@

. .(1. L
БИБЛИОТЕЧКА .КВАНТ-
ВЫПУСК 43
М'
4.
О.Ф. КАБАРДИН
В.А. ОРЛОВ
МЕЖДУНАРОДНЫЕ
ФИЗИЧЕСКИЕ
ОЛИМПИАДЫ
ШКОЛЬНИКОВ
Под редакцией академика АПН СССР
В. r. РАзУмовскоrо


МОСКВА «НАУКА.
r ЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКа-МАТЕМАТИЧЕСКОй ЛИТЕРАТУРЫ
198 5

ББК 22.3
K12
-У'" ДК 53 (023)
р Е Д А К Ц И О Н Н А Я К О Л Л Е r и Я
Академик -o. А. Осипьян (председатель), академик А. Н. Колмс-
ropOB (заместитель председателя), !Iрофессор л. r. Асламазов (ученый
секретарь), член-корреспондент АН СССР А. А. Абрикосов, академик
Б. К. Вайнштейн, заслуженный учитель РСФСР Б. В. Воздвиженский,
профессор С. п. Капица, академик с. п. Новиков, академик АПН СССР
В. r. Разумовский, академик Р. 3. Саrдеев, профессор я. А. Сморо-
динский, академик С. л. Соболев, член-корреспондент АН СССР
д. К. Фаддеев.
Ответственный редактор выпуска А. Р. 3нльберман,
к 12
Кабардин о. Ф., орлов В. А.
l\1еждународные физические олимпиады школь-
ников/Под ред. В. r. Pa3YMoBcKoro. М.: Наука,
rл. ред. физ.-мат. лит., 1985.160 c. (Б-чка
«Квант». Вып. 43.) зо К.
в книrе рассказывается об истории и условиях проведения
Международных физических олимпиад школьников, об участии и
успехах советских ШI{ОЛЬНИКОв на этих олимпиадах. Книrа содержит
условия задач всех олимпиад, проведенных До 1985 r., а также
подробные решения этих задач. При ПОДrотовке решений, приведен-
ных в книrе, использовались лучшие решения советских школьников,
отмеченные специальными призами Международноrо жюри олимпиады.
Для школьников, преподавателей физики средней ШI{ОЛЫ, студен-
тов физических специальностей вузов.
1704000000165
К 053 (02)-85 187-85
ББК 22.3
@ Издательство «Наука».
rлавная редакция
Физикоматематической
литературы, 1985

СОДЕРЖАНI1Е
ОТ авто ро В .. ........
Л'1е)кдуна родные олимпиады по физике
4
5
. слови. РешеНИ:ii
задач
1 J\lЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИJ\1ПИАДА, 1967 r.
(ПНР) .
11 МЕ>КДУНАРОДНАЯ ОЛИlПИАДА, 1968 r.
(ВНР) . . о
111 МЕЖд,rНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1969 r.
(ЧССР) . .
IV J\\Е)КДУНАРОДI1АЯ ОЛ1-IМПИАДА, 1970 r.
(СССР) . .. ..
v МЕ)КДУНАРОДНАЯ ОЛИЛ1ПИАДА, 1971 r.
(НР Б) . . · ·
VI МЕЖдУIАРОДНАЯ ОЛИJ\\ПИАДА, 1972 r"
(СРР) ·
VII МЕ)I(ДУНАРОДНАЯ ОЛI11\1ПИАДА, 1974 r$
(П Н Р) ·
VIII lV1ЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1975 r.
(r ДР) ·
IX МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1976 r.
(BliP) · ·
Х МЕ>КДУI1АРОДНАЯ ОЛИi\;lПИАДА, 1977 r.
(ЧССР) . .,
ХI МЕ)КДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1979 r.
(СССР) . . . . . . . . . . · . . .. ·
XII МЕ>I\ДУНАРОДНАЯ ОЛИN1ПИАДА, 1981 r.
(НРБ) ..................
XIII МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1982 r.
(ФРr) . . . . . . . . . . . . . · . . . ·
XIV МЕ)I\ДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1983 r.
(СР Р) ..................
ХУ J\lЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1984 r.
(Ш веция) . . · .. ........ · ·
Тематический указатель задач . · · · · · · · ·
Проrрамма международной физической олимпиады
14
15
16
18
20
22
25
26
29
30
33
34
36
40
42
158
158
46
51
б
60
66
75
86
91
98
106
112
119
126
137
147

ОТ АВТОРОВ
В книrе рассказывается об орrанизаuии и про
ведении Международных олимпиад по физике, о подrотовке
советских школьников к участию в этих олимпиадах. Читате
ли книrи познакомятся с проrраivlМОЙ Мел(дународных физи
ческих ОЛИl\1пиад, которая существенно шире проrраммы
OCHoBHoro школьноrо курса физики в COBeTCKOi'.1 СОlозе.
Во введении приводятся основные положения статута о по..
рядке проведения Международных физических олимпиад.
Основное содержание !{ниrи составляют условия всех
теоретических и экспериментальных задач, предлаrавшихся
на пятнадцати Международных физических олимпиадах
школьников (с 1 по ХУ), и решения этих задач. Среди них
есть решения, предлаrавшиеся аВТJрами задач, дЛЯ l\1HO
rих задач даны ориrинальные варианты решений, по не-
которым задачам приведены решения, предлоя{енные со-
ветскими школьниками и отм:еченные специальными при..
зами Международноrо жюри.
Авторы книrи на протяжении мноrих лет участвовали
в подrотовке школьников к олимпиадам и являлись руко-
водителями советскоЙ команды на Международных физи-
dlеских олимпиадах.
Замысел создания этой книrи принадлежит И. Ш. Сло-
бодецкому. Книrи с информациеЙ о i\\еждународных физи
ческих олимпиа/\ах издавались в разные rоды в срр (1978 r.),
внр (1978 r.), СФРЮ (1985 r.), а также в rрузинской ССР
(1983 r., автор К. К. Кудава). Это издание  первое на
русском языке и включает наибольшее количество олимпиад.
Авторы выражают блаrодарность В. r. Разумовскому,
М. В. rрабиленкову, А. Р. Зильберману, r. Ш. Кевани"
П1ВИЛИ и Т. О. Окрошидзе, принимавшим участие в обсу.
ждении и рецензировании рукописи.

МЕ/КдУI1:АРО]]JiЫ Е ОЛI1Л1ПИ1\ДЫ
ПО Ф1ЗИI<Е
Л1\еждународные олимпиады по СрИЗlfке про-
водятся с 1967 r. Первая Международная олимпиада была
орrанизована по инициативе Ilольской НародноЙ Респуб...
лики. В неЙ приняли участие 11lКОЛЬНИКИ пяти социалисти-
ческих стран: Болrарии, Венrрии, rlольши, РУf\,1ЫНИИ и Че-
хословакии. У)ке в следующем, 1968 r., к участникам олим-
пиады из этих стран присоединились учащиеся rерманской
Демократической Республики, Союза Советских Социали-
стических Республик и Юrославии. С тех пор команда на-
шей страны участвует во всех олимпиадах. В 1970 и 1979 rr.
Москва принимала у себя участников IV и ХI Международ-
ных физических олимпиад. Число стран-участниц олим-
пиады непрерывно растет. Инициатива социалистических
стран по развитию контактов в области физическоrо образо-
вания в средней школе и по развитию творческих способно-
стей школьников поддержана рядом капиталистических
стран.
В настоящее время в МеждународноЙ физической олим-
пиаде принимают участие школьники из 23 стран: Австрии,
Болrарии, Великобритании, Венrрии, Вьетнама, repMaH-
ской Демократической Республики, rолландии, rреции,
Исландии, Италии, Канады, I(убы, Норвеrии, Польши, Ру-
мынии, Союза Советских Социалистических Республик,
Турции, Федеративной Республики rермании, Финляндий,
Франции, ЧеХОСJIовакии, Швеции, IОrославии.
rлавная цель пр-оведения Международных олимпиад 
международное сотрудничество между странами в решении
проблем, стоящих перед народным образованием. Встречи и
дискуссии между руководителями команд ПОl\10rаIОТ обмену
опыто:v1 работы по совеРlленствованию физическоrо образо-
вания и использованию этоrо опыта в своих странах. Меж-
дународные олимпиады спосоБСТВУIОТ установлеНИIО дру-
)кеских связей между молодежью разных стран, упрочению
взаимопонимания и сотрудничества между rосударствами
5

в духе cor л ашения, подппсанноrо в Хельсинки. lV\еждународ

ные олимпиады  это та ооласть, rде мы ХОТИl\rI copeBHOBaTЬ
СЯ с друrими странами. Б.паrОРОДСТБО TaKoro соревнования
ни у Koro не вызывает СО:'iнения.
В 1\1е:rкдународноЙ clазическоЙ олимпиаде участвует He
большое число IU:(OlbllaKOB, но ей предшествуют разные
этапы национальных олимпиад, в которых ПрИНII:\IаIОТ уча
стие сотни ТЫС5:Ч школьников и тысячи учителеЙ. Перспек
тива участия в О.ТIIIмпиадах все более BbIcoKoro уровня,
ВI{Лlочая уровеЕЬ Ме)кдународной. физической олимпиады,
5iв,ляется I3a:rI{Hbl1 стимулом к систеl\1атическому изучению
фИЗИЕ.И на повышенном уровне, способствует развитию TBOp
ческих способностей школьников.
i\1ел{дународная физическая олимпиада состоит из двух
туров  теоретическоrо, на котором участникам предла
rаются тричетыре теоретические задачи, и эксперименталь
Horo, на котором учащиеся должны выполнить одно или
два экспериментальных задания. Оба тура проводятся в
разные ДНИ, на каждый из них выделяется по пять часов.
Задачи для олимпиады rотовятся представителями стра"
ны-орrанизатора. По статуту олимпиады задачи COCTaB
ляются на основе специальной проrраммы, которая, в ос-
НОВНОМ, включает ВОПРОСЫ, изучаемые в средних llIколах
всех странучастниц. Но имеется ряд вопросов, не входя
щих в проrрамму OCHoBHoro курса физики средней школы
нашей страны. Это приходится учитывать при подrотовке
участников Международной олимпиады. Заметим, что про
rpaMMa Международных олимпиад практически полностью
соответствует проrрамме школ и классов с уrлубленным
изучением физики и факультативному курсу физики *).
Страна-орrанизатор олимпиады формирует специаль-
ную комиссию, которая осуществляет проверку работ
участников. Эта КОl\IИССИЯ предварительно разрабатывает
систему оценок за каждый этап решения задачи. Полное ре-
шение всех теоретических задач при этом оценивается 30
баллами, а экспеРИ1ентальных  20 баллами.
Результаты проверки сообщаются научным руководите
лям команд, которые входят в состав Международной комис
) Ка6ардин О. Ф., Орлов В. А., Поноtарева А. В. Факульта..
тивный курс физики 8 класс. 1\\.: Просвещение, 1985; ,.l(абардuн О. Ф.,
l(абардuнu С. И., Шефер Н. /1. Факультативный курс физики 9 класс.-----
lV1.: Просвещение, 1978; Ка6ардин О. Ф., Орлов В. А., Шефер Н. И.
Факультативный курс физики 1 О Класс.----- М.: Просвещение, 1979.
Кроме этоrо, СМ. также: qtЗорскuй Б. М., Пuнскuй А. А. Основы
физики, т. 1, т. 2.----- Iv\.: IaYKa, 1981.
6

еIIИ, II И:\'1 предосrаii,,1яется БОЗ\10i-КIIОСТЬ ПОС10треть рабо
ты, обсудить про.ВIIJIЬНОСТЬ оценки с теми, кто прорерЯJJ ИХ,
внести различные коррективы. После этоrо результаты
проверки утверждаются j\1еждународноЙ коисспеЙ.
Подведение итоrов ПРО130Д1 IТСЯ слеДУIОЩИ:Уl обр аЗU:.1,
Пре/I\де всет'о СУМУ1ИРУIОТСЯ бз.1ЛЫ, ПОсlученные каждым
участнико:.л за БЫПОtlнение всех задач. Первую пре:\IИiО ПО,,1У
чают участники ОсlИ\Iпиады, НйбраВШIIе не менее 90% баллов
от :\lаКСИ:\1а,,1 bHoro ЧJIСЛ а баЛсl0В, полученноrо наиБО,}Iее yc
пешно ВЫСТУПИВШИ:\1 участнико:л, BTOPYIO пре.1ИЮ получают
участники, набраВIl1ие от 78 до 90 % от маКСИ1fальноrо числа
баллов, третью  набравшие от 65 до 78b от этоrо числа.
частники, получившие от 50 до 65б от максиrvlальноrо
числа баллов, наrраждаются похвальными rрамотами.
УчаIдиеся, которые набрали менее 50% баллов, получают
удостоверение участника олимпиады.
Такой порядок оuенки результатов и подведения итоrов
олимпиады определен статутом, утвер:iкденным странами
участницами олимпиады.
Сиlедует отметить успешные выступления команды СССР
и социалистических стран на Международных олимпиадах
Сведения о Международных олимпиадах по физике
,
 ..... Три команды, набравшие
 
о.. на ибольшую сумму баллов
'" f-o::f
::s: [од и ыесто и ::;:
t::
): пропсдения о ::-
...... f-o
:s: .....и
t:; И ro 1 место 1 1 место 111 место
О :S:: ::r
;:J'»
1 1 967, Пr1Р 5 внр (107) пнр (104) чсср (103)
11 1968, BIP 8 ВНР (93) чсср (85) пнр (84)
111 1969, чсср 8 чсср (222) ВНР (214) СССР (207)
IV 1970, ссср 8 ссср (301) ЧССР (238) 11HP (236)
V 1071, НРБ 7 ВНР (197) СССР (192) СРР (184)
VI 1972, срр 9 СРР (224) ВНР (218) СССР (217)
VII 1974, ПНР 8 сСср (150) ПНР (138) внр (137)
УНl 1975, r др 9 rдр (186) ссср (176) ВНР (171)
IX 1976, ВНР 10 ссср (193) сРР (181) rдр (174)
Х 1977, ЧССР 12 чсср (219) ссср (204) Фрr (184)
XI 1979, ссср 10 СССР (192) НРБ (154) ПIР (151)
ХН 1981, IРБ 14 ссср (202) Ф Р r (199) С Р Р (190)
XIII 1982, Фрr 17 СССР (200,5) ПНР (191,5) сРР (182,5)
XIV 1983, сРР 16 ссср (191,75) СРР (186,25) фрr (153)
XV 1984, Швеuия 18 СССР (190) сРР (181,5) внр (153)
ХУI 1985, СФРЮ 20 СССР (176,5) фрr (157,5) Анrлия (155,5)
7

по физике. В таБЛI'uе приводятся сведения о прошедших
шестнадuати \еждународных олимпиадах по физике *).
J-T спешные выступления советских школьников на Me)l(
дународных физических олимпиадах обеспечиваются BЫCO
ким уровнем естественнонаучноrо образования в средней
школе, систе.лой работы с одареННЬПvIИ ШКОЛЬНИК3l\IИ на
факультативных занятиях и в классах с уrлублеННЫ1 изу
чениеI физики, а также на различных этапах ВсесоюзноЙ
физическоi:'I Оv1!f1пиады, которая проводится с 1967 r. Pa
нее физические ОЛИlvlпиады школьников проводились MHO
rиыи университета1И и крупными техническими вузами
страны.
Всесоюзная физическая олимпиада является составноЙ
частью ВсеСОIОЗНОЙ физикоматематической и химической
олимпиады школьников, которая ежеrодно проводится
Министерством просвещения СССР совместно с ЦI( ВЛКСЛ1,
ВЦСПС, l V \инистерством высшеrо и среднеrо спеЦIlал bHOI'O
образования СССР, Академией наук СССР, Акаденией педа
r'оrических наук СССР и друrими орrанизациями.
Всесоюзная физическая олимпиада проводится в пять
этапов.
rlервый этап  школьныЙ. В нем ПРИНIIмают участие
все )келающие ученики 710 классов, их общее число co
ставляет более двух миллионов школьников.
Второй этап  районный (rородской). В районных олим
ПИ(Jдах участвуют победители IllКОЛЬНЫХ олимпиад, по oд
ному от класса, что составляет при:нерно 300 тысяч rlIКОЛЬ
ников.
Третий этап  областные ОЛИl\1пиады. В них участвуюr
команды IlIКОЛЬНИКОВ, СфОрl\'lI/lровзнные из числа победите
лей районных и rородских олимпиад. Общее число участ-
ников этоrо этапа олимпиадыI около 10 тысяч.
Четвертый этап  республиканские олимпиады, в кото-
рых участвуют победители областных ОJIимпиад и победите
ла конкурса журнала «Квант». В этом этапе ПРИНИIvlаlОТ
участие ПРИl\lерно 1500 школьников.
Пятый  заключительный этап, в котором выступают
команды от каждой республики, сфорыированные из числа
победителей республиканских ОЛИl\/!пиад. Общая числен-
ность участников этоrо этапа олимпиады около 150 чело
век. Проведением олимпиады Н;! всех ее этапах руководят
opraHbI народноrо образования.
*) в 1 Международной. физической олимпиаде команда СССР
не участвовала, во 11  заняла 5-е место.
8

Дипломанты 1 и 11 степени Всесоюзной олимпиады сре-
ди ШКОЛЬНИКОВ 9 класса приrлашаются на недельные отбо
рочные сборы, проводимые в дНИ ЗИЛНIIХ каникул. Канди
датам в команду СССР рассылаются для самостоятельноЙ
работы задания, учитывающие специфику Международных
оли:мпиад. По итоrам ЗИwlНИХ сборов и ВЫСТУП<llений их
участников на заключите.,lЬНОМ этапе Всесоюзной физичес
кой оли:мпиады в 10 классе комплектуется состав участников
Д.,lЯ учебнотреНIIРОВОЧНЫХ сборов, проподимых в течение
одноrо месяца перед нача,,10М lV\.еждународной физическоЙ
олимпиады.
На этих сборах проводится теоретическая и эксперимен-
тальная подrотовка по проrрамме l\\еждународной физичес-
коЙ олимпиады и формируется окончательный состав сбор
ной команды СССР.
На протяжении ряда .пет подrотовка команд советских
школьников проводилась на физическом факультете l\iry.
в последние rоды подrотовка участников команд обеспечи-
вается членами методической комиссии Всесоюзной физи-
ческой олимпиады школьников. Наиболее активное участие
в этой работе принимали профессора Л. r. Асламазов,
С. 1\1. Козел, А. Л. Стасенко, доценты и преподаватели ин-
ститутов Л. П. Баканина, В. Е. Белонучкин, Ю. М. Брук,
А. Р. Зильберман, С. С. Кротов, В. В. Можаев, Ю. А. Ca
марский, И. Ш. Слободецкий, Е. Л. Сурков, сотрудники
АПН СССР О. Ф. Каf5ардин, В. А. Орлов.
В разные rоды нашу страну на l\\еждународных физичес-
ких олимпиадах (МФО) представляли:
11 МФО, ВНР, 1968 r.
1. Виноrрадов Александр (r. Арамиль Свердловской обл.),
Похвальная rpaMoTa;
2. Феизов Селимзян (r. Новосибирск), Похвальная
rpaMOTa;
3. Солнцев Серrей (r. Минск), Похвальная rpaMoTa.
Руководитель команды  инспектор lV\инистерства про
свещения СССР А. r. Европин.
111 МФО, ЧССР, 1969 r.
1. rавриленко ВлаДИ1ИР (r. rорький), Диплом 1 степени;
2. Климов Андрей (Москва), Диплом 1 степени;
3. Черноуцан Алексей (Москва), Диплом 1 степени;
4. Меркулов Владимир (r. Минск), Диплом 11 CTe
пени;
9

5. Кондратьев Николай (l\\осква), ДИПvl0М 111 степени.
В. Nlеркулов получил спецприз за решение теоретической
задачи.
РУI{ОБодители КОivlанды  профессор НIИ общеrо и по
J1итехническоrо образования АПН СССР А. И. Янцов И
старLUИЙ преподаватель л\rу I'. С. Тарасюк.
IV Л\ФО, СССР, 1970 r.
1. ВОЛОIIlИН Л1ихаил (Москва), Диплом 1 степени;
2. lорбачевский Серrей (r. Ломоносов JlенинrрадсICОЙ
обл.), Диплом 1 степени;
3. Петров Борис (Ленинrрад), Дип.пОl\1 1 степени;
4. Булыженков Иrорь (r. Уфа), Диплом 11 степени;
5. JIюксютов Иrорь (r. I<иев), Диплом II степени;
6. Кравцов Владимир (r. rорький), Диплом 111 степени.
Руководители команды  профессор Mry В. А. Иверо
нова и старший преподаватель Mry r. С. Тарасюк.
Председатель орrкомитета  действительный член АПН
СССР В. r. Зубов, председатель Международной комис-
сии........ действительный член АПН СССР В. А. Фабрикант.
V МФО, НРБ, 1971 r.
1. Варламов Андрей (r. Киев), Диплом 1 степени;
2. Абрикосов Алексей (Москва), Диплом II степени;
3. Будник Серrей (r. Днепропетровск), Похвальная rpa-
fOTa;
4. Сальджюнас Витас (r. Вильнюс), Похвальная rpa-
мота;
5. Снеrирев Александр (село Осиновка N\оrилевской
обл.), Похвальная rpaMoTa.
А. Абрикосов получил спецприз за наибольшее число
безупречно выполненных заданий.
Руководители команды  профессор Mry М. д. I<apa-
сев и старший преподаватель Mry r. С. Тарасюк.
УI МФО, СРР, 1972 r.
1. Провоторов Серrей (Ленинrрад), Диплом 1 степени;
2. Ляrушия СерrеЙ (r. Днепропетровск), ДИПЛОI 111 сте-
пени;
3. N\Кртчян Рубен (r. Ереван), Диплом 111 степени;
4. Вайдман Лев (Ленинrрад), Похвальная rpaMOTa;
5. Плетнев Иrорь (Л\осква), Похвальная rpaMoTa.
Руководители КОlVlанды  профессор Mry М. Д. Кара-
сев и старший преподаватель Mry r. С. Тарасюк.
10

VII Л1ФО, ПНР, 1974 r.
1. Курчанов АнатолиЙ (r. )Китомир), Диплом 111 степени;
2. Руднев Алексей (i\t\ocKBa), ДIIП101 111 степени;
3. jV\асич Серrей (r. Новосибирск), Похвальная rpaMoTa;
4. Наний Олеr (r. Кишинев), Похвальная rpal\10Ta;
5. Фалькин Евrений (r. Новосибирск), Похвальная rpa-
м от а.
Руководители команды  заведующий лабораторией
НИИ Си1\\О АПН СССР О. Ф. Кабардин и старший препо-
даватель Mry r. С. Тарасюк.
1. Коршунов Серrей (пос. Монино 10СКОВСКОЙ обл.),
Диплом 1 степени;
2. Авдеев Леонид (r. Новосибирск), Диплом 11 степени;
3. Шахнович Евrений (r. Калининrрад), Диплом 11 сте-
пени;
4. Борю Вадим (r. Запорожье), Диплом 111 степени;
5. Македонов Юрий (r. Калинин), Диплом 111 степени.
Руководители команды  заведующий лабораторией фи-
зики НИИ СиМQ АПН СССР В. r. Разумовский и старший
преподаватель Mry r. с. Тарасюк.
IX МФО, ВНР, 1976 r.
1. Булатов Владимир (Ленинrрад), Диплом 1 степени;
2. Кривцун Владимир (r. Харьков), Диплом 1 степени;
3. Хамитов Ильдар (Ленинrрад), Диплом 1 степени;
4. rолубенцев Андрей (r. Саратов), Диплом 11 степени;
5. Старшенко Валерий (r. Запорожье), Похвальная rpa-
мота.
В. Кривцун получил спецприз за лучшее решение тео...
ретической задачи.
Руководители команды  заведующий ла() ораториеЙ
НИИ СиМО АПН СССР о. Ф. Кабардин и стаРШИh препода
ватель Mry r. С. Тарасюк.
х МФО, ЧССР, 1977 r.
1. Шарипов Руслан (пос. Каракуль Бухарской О,бл.
УзССР), Диплом 1 степени;
2. rанопольский Андрей (r. Минск), Диплом 11 степени;
3. Решетов Владиl'ЛИР (Москва), Диплом 11 степени;
4. Третьяченко Константин (r. Киев), Диплом 11 степени;
5. Щукин Владимир (Ленинrрад), Диплом 11 степени.
А. rанопольский получил спецприз за лучшее решение
теоретической задачи.
11

Ру ко.водители команды  заведующий лабораторией
НИИ СиМО АПН СССР О. Ф. Кабардин, инспектор Мини
стерства просвещения СССР М. В. rрабиленков.
ХI МФО, СССР, 1979 r.
1. Цыпин Максим (Москва), Диплом 1 степени;
2. JlIпилькин Серrей (Москва), Диплом 1 степени;
3. Ющук Олеr (r. Киев), Диплом 1 степени;
4. Ясонов Иrорь (Москва), Диплом I степени;
5. rордиенко Серrей (r. СМО!Iевичи БССР), Диплом 111
степени.
И. Ясонов получил спецприз за лучшее решение Teope
тических задач, М. Цыпин ........ спецприз за лучшее решение
экспериментальной задачи.
Руководители команды........... научные сотрудники НИИ
СиМО АПН СССР В. А. Орлов и С. И. Кабардина.
Председатель орrкомитета ........ председатель УМС при МП
СССР В. В. rорелов, председатель Международной комис-
сии........ профессор МФТИ С. п. Капица.
XII МФО, НРБ, 1981 r.
1. rутин Александр (r. Клинцы Брянской обл.), Дип-
лом 1 степени;
2. Деревянко Владислав (r. Киев), Диплом 1 степени;
3. Солодовников Илья (Москва), Диплом 1 степени;
4. Мушинский Андрей (r. Минск), Диплом 11 степени;
5. Шубенин Иrорь (r. Риrа), Диплом 111 степени.
А. rутин получил два специальных приза за решение Teo
ретических задач, А. Мушинский  спецприз за лучший
эксперимент.
Руководители команды........... заведующий лабораторией
НИИ СиМО АПН СССР О. Ф. Кабардин, начальник естест-
веннонаучноrо отдела УМС при МП СССР М. В. rраби
ленков.
XIII МФО, ФРr, 1982 r.
1. Макеев Борис (Москва), Диплом 1 степени;
2. Панасюк Александр (r. Одесса), Диплом 1 степени;
3. Цветков Павел (Москва), Диплом 1 степени;
4. Ухов Владимир (Ленинrр ад) , Диплом 1 степени;
5. Калда Яан (r. Таллин), Диплом 11 степени.
А. Панасюк получил спецприз за лучшее решение теоре-
тической задачи.
Руководители к.оманды ........... заведующий лабораториеЙ
НИИ СиМО АПН СССР О. Ф. Кабардин, начальник естест-
12

веннонаучноrо отдела УМС при МП СССР 1\'\. В. Iраби-
ленков.
XIV МФО, СРР, 1983 r.
1. Алексеев Антон (JIенинrрад), Диплом 1 степени;
2. rниловской Андрей (JIенинrрад), Диплом 1 степени;
3. Молчанов Владимир (r. Киев), Диплом 1 С'I'епени;
4. Дьячков Михаил (пос. Черноrоловка Московской обл.),
Диплом 11 степени;
5. Бирзвалкс Валдис (r. Риrа), Диплом 111 степени.
За лучшее решение теоретических задач спецпризы по
лучили: А. Алексеев (4я задача), А. rниловской (l-я за
дача), М. Дьячков (l-я и 3я задачи).
В. Молчанов получил спеuприз за лучшее решение экс
периментальной задачи.
Руководители команды  заведующий лабораториеi'i
НvIИ СИ1'10 АПН СССР о. Ф. Кабардин, старший наУЧНЫll
сотрудник НИИ СиМО АПН СССР В. А. Орлов.
XV МФО, Швеuия, 1984 r.
1. Алексеев Антон (Ленинrрад), Диплом 1 степени;
2. Дешковский Александр (r. Барановичи БССР),
Диплом 1 степени;
3. Орлов Серrей (Москва), Диплом 1 степени;
4. 3акреВСI<ИЙ Лев (r. 1\'lинск), Диплом 11 степени;
5. Потеряйко Иrорь (r. Киев), Диплом 11 степени.
За ориrинальное решение задачи спецприз получил
А. Алексеев.
Руководители команды  заведующий лабораториеЙ
НИИ СиМО АПН СССР о. Ф. Кабардин, старший научныЙ
сотрудник НИИ СиМО АПН СССР В. А. Орлов.
ХУI МФО, СФРЮ, 1985 r.
1. Барзыкин Виктор (пос. Черноrоловка МосковскоЙ
обл.), Диплом 1 степени;
2. rриrорьев rеорrий (r. Киев), Диплом 1 степени;
3. Иваненко Тарас (r. Киев), Диплом 1 степени;
4. Жестков Юрий (r. АлмаАта), Диплом 11 степени;
5. Черп Олеr (r. Минск), Диплом 111 степени.
За ориrинальное решение задачи спецприз получи. тт
Т. 11BaHeHKo.
Руководители команды  заведующий лабораториеЙ
нии СиМО АПН СССР О. Ф. Кабардин, старший науч
ный сотрудник НИИ СиМО АПН СССР В. А. Орлов.
13

УСЛОВИЯ ЗАПАЧ
1 МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1967 f. (ПИР)
Теоретический тур
1. На подставке высотой 1===5 1\/1 ле)l(ИТ шар
массой М ==200 r. Пуля массой m== 10 [, летящая в rОРИ30Н
тальном направлении со скоростыо v==500 м/с, пробивает
шар точно по диalVleTpу . а) На каком расстоянии L упадет
на землю пуля, если шар падает на землю на расстоянии
l==20 м от основания подставки? б) I<акая часть а кинети
ческой энерrии пули переходит во внутреннюю энерrию при
пробивании пулей шара? Сопротив-
r r ""
лением воздуха пренеоречь.
2. Вычислите сопротивление
r ме)кду точками А и В бесконечной
А электрической цепи, показанной
................ на рис. 1, если все сопротивле-
Рис. 1 ния В этой цепи одинаковы и
равны '.
3. Два одинаковых шара IплеIОТ одну и ту же темпера-
туру. Один из шаров находится на rоризонтальной плоско-
сти, друrоЙ подвешен на нити. Обоим шарам передают оди-
наковое количество теплоты. Процесс наrревания идет так
быстро, что не происходит потерь теплоты на наrревание со-
седних предметов и окружающей среды. Одинаковы или
различны будут температуры шаров после наrревания? От-
вет обоснуйте.
4. В закрытом сосуде объе'lОМ V == 10 л находится сухой
воздух при следующих условиях: Po 105 Па, t o ==20°C.
В сосуд наливают воду массой m==3 r и наrревают ero
до температуры t== 100°С. Каким станет давление в сосуде
после наrревания? Тепловым расширением сосуда пр ене-
бречь.
14

ЭкспеРИlVlентальный тур
5. Определите удельную теП,,10емкость Kepo
сина.
О б о Р У д о в а н и е: весы, дробь для rраДУИРОВКIf,
калориметр, термометр, источник тока, наrревательная
спираль, стеклянный сосуд, вода, керосин, секундомер,
соединительные провода, ключ. Удельную теплоемкость
воды принять равной 4200 Дж/(кr. К).
11 МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1968 r.
(ВИР)
Теоретический тур
6. На наклонной плоскости с уrлом наклона
а==300 к rоризонту находится сплошной однородный ци..
линдр, масса KOToporo m 1 ===8 Kr, а радиус R==5 см (рис. 2).
К оси цилиндра с помощью нитки прикреплен куб массой
т 2 ==4 Kr, который также находится на плоскости. С каким
ускорением а движутся оба тела? Коэффициент трения меж
ду кубом и наклонной плоскостью f.!== А
:=:: 0,6. Трением качения и трением
в оси пренебречь.
7. В одном химическом сосуде на-
ходится Vl==3.104 м:) толуола при В
температуре t1==0°C, а в друrом V 2 === с
 1,1. 10--4 м:} толуола при температу.. Рис. 2
ре t 2 == 100°С. Какой объем V зай-
мет толуол после смешивания, если ero коэффициент объ..
eMHoro расширения а==О,ООI Kl? Потерями теплоты пр е..
небречь.
8. На плоскую поверхность стеклянноrо полуцилиндра
падают световые лучи под уrлом а==450. Лучи проходят в
плоскости, перпендикулярной оси полуцилиндра. Из какой
части боковой поверхности полуцилиндра будут выходить
лучи света? Показатель преломления стекла n==V2".
Экспериментальный тур
9. В каждой из трех непрозрачных коробок
имеется по одному из элементов электрической цепи  ре..
зистор, конденсатор, катушка. Не открывая коробок, уста..
новите, какой элемент находится в каждой из них, и опре..
делите ero электрические параметры.
",
15

О б о Р У д о R а н и е: два универсальных измеритеJ1Ь
ных прибора  авоыетра, источник npeMeHHoro тока с ча-
стотой v==50 ru и источник постоянноrс тока. Даны nHYT
ренние сопротивления измерительных приборов для отдель
ных диапазонов измерения. Поrрешность приборов при И3
мерениял в цепи ПОСТОЯlIноrо ТОКа составляет 2%, а в llепи
переуlенноrо тока  3 % .
III МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1969r. (ЧССР)
Теоретический тур
10. Система тел, представленная на рис. 3,
образована тремя тележками А, В, С, массы которых соот-
ветственно равны т А ===О,3 Kr, lпв==О,2 Kr и mc==1,5 Kr.
На теле)кку С действует такая rоризонтальная сила F, что
тележки А и B находяrся в состоя
нии покоя относительно тележки С.
1) Определите: а) силу натяжения
нерастяжимой нити, соединяющей Te
С лежки А и В; б) силу Р.
2) Предположив s что тележка С
неподвижнз, найдите: а) ускорение
тележек А и В; б) силу натяжения
нити.
Рис. 3 Сопротивлением воздуха, трени
elVI, моментами инерции блока и KO
лес, а также массой нити пренебречь.
11. Медный калориметр массой пl 1 с водой массой m 2
имеет температуру Tl' В калориметр кладут лед, масса KO
Toporo тз и температура .т 2' а) Определите массу и темпе..
ратуру воды и льда после наступления состояния их теп.по
130ro равновесия при произвольных значениях lп 1 , т 2 , lп з , Tl'
т 2. Напишите уравнения тепловоrо баланса системы.
б) Определите температуру и массу воды и льда в состоянии
тепловоrо равновесия, если m 1 == 1 Kr, т 2 == 1 Kr, тз==-2 Kr,
Tl==283 К, Т 2 ==253 К.
Потерями энерrии пренебречь. Барометрическое давле
ние считать нормальным. Удельная теплоемкость меди
С 1 ==0,39 кДж/(кr. К), воды с 2 ==4,2 кДж/(кr. К), льда с з ==
==2,1 кДж/(кr. К), удельная теплота плавления льда л==
ззо кДж/кr.
12. Шарик массой т, заряженный электрическим заря
дом q, прикреплен к концу непроводящей нити. Друrой ее
I{онец прикреплен к самой высокой точке кольца paДYCOM

16 


R, КОl0рое находится в вертикальной плоскости. На коль..
це, изrотовленном из }I(есткой прuволоки, равномерно рас..
пределен заряд Q Toro же знака, что и q. Определите длину
1 нити, при которой после отклонения шарик окажется на
оси кольца, перпендикулярной к ero плоскости.
Решите задачу сначала в общем виде, а затем для число-
вых значений Q==q==9. 108 Кл, R ==5 см, !n== 1 r, 80==8,9 Х
Х 1012 Ф/м. Толщиной проволоки кольца и массой нити
пренебречь.
13. Над стеклянным отшлифованным кубиком, дли-
на ребра KOToporo 2 см, помещена стеклянная отшлифо-
ванная пластинка так, что в пространстве между ней и ку-
биком возникает тонкий воздушный слой. Если сверху осве-
тить пластинку под прямым уrлом к ее поверхности излу
чением с длинами волн от 400 до 1150 нм, для которых
пластинка прозрачна, то в отраженном свете выполняется
условие максимума интенсивности только для двух длин волн:
л о ==400 нм и еще для одной длины волны. Определите эту
длину волны. Вычислите, насколько нужно повысить тем-
пературу кубика, чтобы он прикоснулся к пластине. Коэф-
фициент линейноrо расширения стекла a==8.106 K 1, по-
казатель преломления воздуха n== 1. Расстояние от основа-
ния кубика до пластинки во время наrревания не меняется.
Экспериментальный тур
14. Рассмотрите замкнутую цепь, состоящую
из: а) двух последовательно включенных аккумуляторов,
маrазина сопротивлений и реохорда и б) последовательно
включенных cyxoro элемента и rальванометра с защитным
сопротивлением. Предложите и объясните такой способ
подключения ветви б) к цепи а), который позволяет путем
изменения положения движка реохорда добиться, чтобы
сила тока в ветви была равна нулю.
Составьте цепь по предложенной схеме и путем измере-
ний определите: 1) отношение напряжения на зажимах двух
последовательно включенных аккумуляторов и Э.Д.с. су-
xoro элемента (напряжения на зажимах обоих аккумулято
ров считайте постоянными); 2) неизвестное сопротивле-
ние R х.
Найдите, для KaKoro сопротивления R маrазина задача
имеет решение. .
О б о Р У д о в а н и е: два железо-никелевых аккумуля-
тора, один сухой элемент, реохорд (однородный провод не-
известноrо сопротивления Rx, натянутый вдоль миллимет-
17

ровой шкалы и снабженный скользящим контактом), Mara-
зин сопротивлений, rальванометр (нулевое значение Haxo
дится посередине шкалы) и защитный резистор.
IV МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1970 r. (СССР)
Теоретический тур
15. Длинный брусок l'vlaCCbI М == 1 Kr нахо-
дится на rладкой rОРИЗ0нтальной поверхности стола, по
которой он может передвиrаться без трения. По верхней
rоризонтальной rрани бруска может скользить каретка с MO
тором, масса которой т==О, 1 Kr. Коэффициент трения KapeT
ки f.t==0,02. Мотор с постоянной скоростью vo==O,l м/с
наматывает на вал нить. Второй конец нити в одном случае
привязан к достаточно удаленной неподвижной опоре
(рис. 4, а), а в друrомк колышку на краю бруска (рис. 4,
б). Удерживая брусок неподвижным, дают возможность ка-
ретке начать двиrаться со скоростью Vo, после чеrо брусок
l
;;f;W;Pl
а
Ри с. 5
отпускают. К моменту освобождения бруска передний край
каретки находится на расстоянии 1==0,5 м от переднеrо
края бруска. Определите для обоих случаев законы движе-
ния бруска и каретки и время, в течение KOToporo каретка
достиrнет переднеrо края бруска.
16. ЭлеIентарная ячейка кристалла хлорида натрия
(поваренной соли  NaCl) представляет собой куб, длина
ребра KOToporo a==5,6.10-- 10 м (рис. 5). Черными кружками
на рисунке обозначены положения атомов натрия, белы
ми  aTOi\10B хлора. Весь кристалл поваренной соли полу-
чается повторением таких элементарных ячеек. Относитель-
ная атомная масса натрия 23, хлора  35,5. Плотность По-
варенной соли р==2,22. 10 Kr/l. Определите массу атома
водорода.
18

17. Внутри тонкостенной металлической сферы радиуса
R ==20 см находится металлический шар радиуса '== 10 см,
имеющиЙ общиЙ центр со сферой. Шар через отверстие в
сфере соединен с помощью очень ДtJ1инноrо провода с Зем-
леЙ (рЕС. 6). На внешнюю cqJepy ПО1ещен заряд Q== 10 Кл.
1
о
Рис. 6
Рис. 7
Вычислите потенциал этой сферы, электрическую емкость
полученной системы проводящих тел и начертите эквива
JIентную электрическую схему.
18. В телескопе установлено сферическое зеркало, по-
перечный диаметр KOToporo равен D==O,5 м и радиус кри-
визны R==2 м. В rлавном фокусе зеркала (Р) помещен при-
емник излучения в виде круrлоrо диска. Диск расположен
перпендикулярно оптической оси зеркала (рис. 7). Каким
должен быть радиус, приемника, чтобы он Mor принимать
весь поток излучения, отраженноrо зеркалом? Во сколько
раз уменьшится поток излучения, принимаемый приемни-
ком, если ero размеры уменьшить в восемь раз?
у к а з а н и е. 1) При расчетах д ля малых значений
а (al) можно ПрОИЗБОДИТЬ замену V 1 a 1   ; 2) ди-
фракцию не учитывать.
Экспериментальный тур
19. Определите фокусные расстояния линз.
О б о Р у д о в а н и е: три различные линзы на стой-
ках, экран с изображением rеометрической фиrуры, верти-
кальная ПрОБолока, также укрепленная на стойке, и изме-
рительная лента.
19

v МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1971 r. (НРБ)
Теоретический тур
20. rладкий клин массой М, находящийся на
идеально rладкой rоризонтальной плоскости, Имеет тре-
уrольное сечение с уrлами при основании а 1 и а 2 . На клине
находятся два rладких rруза с массами т 1 и т 2 , связанные
между собой нерастяжимой нитью, которая перекинута че-
рез маленький блок, прикреплеННl?IЙ к вершине клина. Пер-
воначально вся систеrvlа покоится.
С каким ускорением ао будет скользить клин, если систе-
му предоставить «самой себе»? Выразить ускорение rрузов
по отношению к клину через ускорение клина. При каком
соотношении масс rрузов m 1 и т 2 клин будет неподвижен,
а rрузы будут скользить по нему? Массами нити и блока
пренебречь.
21. Стеклянная трубка сечениеl\1 s== 1 см 2 , запаянная
с одноrо конца, заполнена водородом и расположена вер-
тикально так, что запаянный конец находится вверху, а
открытый конец опущен в ванну со ртутью. Вся установка
помещена в rерметизированную камеру, заполненную воз-
духом, температур.а KOToporo То==273 К и давление Ро==
== 1,334. 105 Па. Через некоторое время ртуть в трубке подня-
лась на высоту h o ==0,7 м над уровнем ртути в ванне.
Перемещением одной из стенок камеры давление возду-
ха изотермически понижается до Рl ==8.104 Па, при этом
высота pTYTHoro столбика снижается ДО h 1 ==0,4 м. 3атеТУI
наrревают камеру при постоянном объеме до температуры
Т 2 , в результате чеrо высота pTYTH6ro столбика повышается
ДО h 2 ==0,5 м. После этоrо происходит изобарное расшире-
ние воздуха в камере, а высота pTYTHoro столбика становится
равной h з ==0,45 м.
При условии, что данная система всеrда находится в
состоянии термодинамическоrо равновесия, вычислить: мас-
су т водорода, температуру Т 2, давление р водорода в ко-
нечном состоянии.
Плотность ртути при температуре Т о равна Ро== 1 ,36 х
х 104 Kr/M 3 , коэффициент объемноrо расширения ртути ==
== 1,84.10"'4 Kl, rазовая постоянная R==8,31 Дж/(моль. К).
Температурное расширение стекла и изменение уровня рту-
ти в ванне не учитывать.
у к а з а н и е. Пусть  Т  максимальная разность
температур между состояниями системы. Так как  Т==
1
== xl, то воспользуемся приближением l+х  lx.
20

22. Подсчитайте общую энерrию W, накопленную от
источников постоянноrо напряжения с э.д.с. <81' <82' tf} З,
<f} 4 В конденсаторах с емкостями С 1 , С 2 , С з , С 4 , подк.пючен
ных так, как показано на рис. 8. Все резисторы имеют оди-
наковое сопротивление. Внут- 1J
ренним сопротивлением ис
точников пренебречь. Какой
заряд q2 будет иметь KOHдeH
сатор С 2, если точки Н и В
соединить накоротко? Вычис-
ления произвести для сле-
дующих числовых данных:
с6\ == 4 в, <8 2 == 8 В, <с 3=== 12 В,
<84==16 В, С 1 ==С 2 ===С з ==С 4 ==
==1 мкФ.
23. Перед вертикально рас-
положенным плоским зерка-
лом находится наполненный
водой аквариум шарообразной
формы из TOHKoro стекла. Радиус аквариума R,"' расстояние
между ero центром и зеркалом составляет 3R. Наблюда-
тель, находящийся на большом расстоянии от аквариума и
зеркала, смотрит по направлению, проходящему через
центр аквариума, перпендикулярно зеркалу. В диамет
рально противоположной от наблюдателя точке аквариума
находится маленькая рыбка, которая начинает перемещать-
ся вдоль стенки аквариума со скоростью V. С какой относи-
тельной скоростью V OTII будут расходиться изображения
рыбки,  видимые наблюдателем? Показатель преЛОIvlле-
ния воды n==4/3.
Cz.
G
{-
Рис. 8
Экспериментальный тур
24. Соберите цепь по схеме, котор.ая позволит
получить rрафик зависимости полезной мощности, развива
емой источником на реостате, от силы тока.
Используя данные из полученноrо rрафика:
1) найдите внутреннее сопротивление источника
Э.д.с. ;
2) определите Э.д.с. источника;
3) начертите rрафик зависимости полезной мощности от
внешнеrо сопротивления;
4) начертите rрафик зависимости полной мощности от
внешнеrо сопротивления;
21

5) начертите rрафик зависимости коэффициента полез
Horo деЙствия данноrо источника от внешнеrо СОПрОТИБ
ления.
а б о р у д о в а н и е: источник постоянной э.Д.С., aM
перметр , вольтметр, реостат и соединительные ПрОБода.
VI МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1972 r. (СРР)
Теоретический тур
25. Три цилиндра одинаковой 1accы, длины
и внешнеrо радиуса положены на наклонную плоскость.
В начальный момент они находятся в состоянии покоя.
Коэффициент трения скольжения f.! по наклонной плоскости
задан и одинаков для всех цилиндров.
Первый llИЛИНДР полый (в виде трубы), второй  одно-
родный, а третий имеет такую же полость, как первый, но
закрытую крышками пренебрежимо малой массы и запол-
ненную жидкостью такой же плотности, как и стенки. Tpe
нием между жидкостью и стенками пренебречь.
Плотность вещества первоrо цилиндра в n раз больше
плотности вещества BToporo или TpeTbero цилиндров. апре
делите:
1) Линейные ускорения осей цилиндров в том случае,
коrда скольжение отсутствует. Сравните эти ускорения.
2) Каким должен быть уrол наклона плоскости а, чтобы
ни один цилиндр не СI{ОЛЬЗИЛ.
3) Взаимные отношения уrловых ускорений в случае
качения с проскальзыванием всех цилиндров. Сравните
эти ускорения.
4) Силу взаимодействия между жидкостью и стенками
при скольжении TpeTbero цилиндра. Масса жидкости т
известна.
26. Два цилиндра А и В одинаковых диаметров имеют
свободно передвиrающиеся поршни малой массы с общим
стержнем. Стержень представляет собой короткую трубку,
снабженную краном, который вначале закрыт. Цилиндр
А вместе с поршнем теплоизолирован, а цилиндр В нахо-
дится в термостате, имеющеrv1 температуру t===27°C (рис. 9).
Вначале поршень цилиндра А закреплен и внутри ци-
линдра находится m==32 Kr aproHa под давлением выше ат-
мосферноrо. Цилиндр В объемом V в==5,54 M содержит не-
которое количество кислорода.
После освобождения поршень цилиндра А движется
достаточно меД.,1енно (квазистатически). В состоянии равно-
22

uесия объем aproHa увеличился в 8 раз, а плотность кисло-
рода в цилиндре В увеличилась в 2 раза. Известно КОJ1ичест-
ЕО теплоты Q==747,9.10 4 Дж, переданное термостату. 1\\0-
лярная l\1aCCa aproHa Л1==40.10 кr/:\10ЛЬ.
1) Докажите на основании кинетической теории rазов,
vчитывая упруrие столкновения молекул с поршнем, что
poцecc в цилиндре А описывается уравнением TV 2/3 ==
== const.
2) Определите параметры Р, V, т aproHa в начальном и
конечном состояниях.
3) Вычислите конечное давление смеси rазов, ПQлучаю-
щейся после открытия крана, соеДиняющеrо два цилиндра.
А
d l
Рис. 9 Рис. 10
.. ........... .
27. Плоский заряженный конденсатор с прямоуrоль-
lIЫМИ пластинами установлен в вертикальном положении
так, что ero пластины соприкасаются с диэлектрической
жидкостью. Расстояние между пластинами rораздо l\1еньше
линейных размеров пластин. Известны: напряженность на-
чальноrо электрическоrо поля Е заряженноrо конденсатора,
плотность р и диэлектрическая проницаеrvl0СТЬ в жидкости,
высота пластин конденсатора Н.
Определите высоту поднятия жидкости между пластина-
:ми и объясните это явление. Капиллярностью пренебречь.
28. Тонкая плосковыпуклая линза диамеТРО!vl 2r, радиу-
COl\1 кривизны R, с показателем преломления по установлена
в таком положении, что слева находится воздух (п 1 == 1), а
справа  прозрачная среда с показателем преломления
п 2 =#:1 (выпуклая сторона обращена к воздуху). В воздухе
на расстоянии d от линзы на rлавной оптической оси уста-
новлен точечный источник монохроматическоrо света.
1) Докажите приведенное ниже соотношение между по-
ложениеrvl изображения, отстоящеrо на расстояние f от лин-
зы, и ПОЛО)J{ением источника d в приближении параксиаль-
23

ных пучков:
Fl + F2 ==1
d f '
rде Р 1 и F 2  фокусные расстояния линзы в воздухе и при
одностороннем контакте со средой с показателем прелом-
ления п 2 соответственно.
2) Линзу разрезают перпендикулярно плоской rрани на
две равные части, которые затем раздвиrают на расстояние
бr (би.:lинза Бийе). На оси СИ1метрии этой системы на
расстоянии d (d>F 1 ) от линзы (см. рис. 10) установлен TO
чечный источник света S. Справа от системы на экране Э,
установленном параллельно линзе на расстоянии 1, обра-
зуется N интерференционных полос, если справа тоже на-
ходится воздух.
Определите число интерференционных полос N в зависи-
мости от длины волны Л.
У к а з а н и е. Все показатели преломления являются
абсолютными.
Экспериментальный тур
29. Определите экспериментально с теорети-
ческиrvl оБОСНОIЗаниеl\'1:
1) относительную плотность вещества тел (относительно
воды) ;
2) радиус цилиндрической полости;
3) расстояние между осями полости и цилиндрическоrо
тел а.
Укажите источники поrрешностей ИЗ!\.1ерений и оuените,
какие из них оказывают наиболее существенное влияние на
конечные результаты.
Попробуйте определить поrрешности (например, сред-
неквадратические) количественно.
Опишите все найденные варианты решения задачи с ис-
пользованием только имеющихся у вас средств.
О б о Р у д о в а н и е: два цилиндрических тела (оди-
наковые по внешнему виду и rеометрической форме), изrо-
товленные из одноrо и Toro же вещества, но одно тело
однородно, а друrое имеет внутреннюю полость со следую-
щими характеристиками: форма полости  цилиндричес-
кая; ось полости параллельна оси тела; длина полости прак-
тически равна длине тела, линейка с делениями, деревян-
ный брусок и сосуд с водой.
24

VII МЕЖдУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1974r. (ПНР)
Теоретический тур
30. С неподвижньп.1 атомом водорода, находя
ЩИМСЯ в основном энерrетическом СОСl0ЯНИИ, сталкивается
такой )ке атом водорода, движущийся СО скоростью V.
Пользуясь моделью Бора и зная, что энерrия ионизации
атома водорода составляет Е и , а масса атома равна т, опре
де,,1ИТЬ предельную скорость v o , ни
же которой столкновения атомов
ЯБ.1ЯЮТСЯ упруrИIИ.
После достижения СКОРОСТИ VO
СТО.1кновения lYlежду аТОl\I3МИ MO
rYT стать неупруrими, что вызы 
вает излучение. ОпредеЛIiте про
центное отношение разности частот
излучений, наблюдаемых в направ
лении, совпадающе!\1 с направлени
ем начальной скорости налетающе
[о аТО:\lа, и в противополо)кном Ha
правлении, к cpeДHe.1Y аРИфl\1етическому этих частот. E==
== 13, 6 эВ == 2, 18. 1 О  18 Дп(; m == 1 ,67 · 1 О  27 К r .
31. На плоскопараллельную пластинку (рис. 11) в точ
ке А с координатой х===о перпендикулярно к П.:Iзстинке па
дает узкий пучок света. Показатель преломления вещества
пластинки меняется по формуле n х === l;/R ' rде по и R 
постоянные величины. Пучок покидает пластинку в точке
В под уrлом а к начальному направлению.
1) Определите показатель преломления nв в точке В,
в которой пучок покидает пластинку.
2) Определите координату ХВ точки В.
3) Определите толщину пластинки d.
Принять nо== 1 ,2, R == 13 см, а ==30° .
32. Научная экспедиция, находящаяся на необитаеМОl\1
острове, исчерпала все свои источники энерrии. На этом
острове нет ветров, не текут ручьи, небо покрыто толстым
слоем туч, атмосферное давление  постоянное, а темпера
тура воздуха и воды в омывающем остров необыкновенно
спокойном океане днем и ночью одинакова. На острове был
обнаружен источник химически нейтральноrо rаза, выде-
ляющеrося с постоянной скоростью из одной пещеры. rаз
выделяется при атмосферном давлении и температуре OK
ружающей среды. Члены экспедиции располаrают двумя
полупроницаемыми пленками, из которых одна свободно
у

 
,
А
;с
Рис. 11
25

пропускает обнаруженный l'аз, ЯВ,}lЯЯСЬ однозременно ПО,l
ностыо непроницаемой для воздуха, вторая П.lенка, наобо
рот, пропускает воздух, но не пропускает rаз. Kpoe Toro,
экспедиция иыеет ВОЗ:\10ЖНОСТЬ конструировать простые ле
ханические устройства, например, в виде цилиндров с порш
нем и клапанами, и члены экспедиции решили построить
двиrатель.
Докажите, что 10ЖНО построить такой идеальный двиrа
тель, работающий на этом rазе, и что теоретически 1\'lОЩ
ность этоrо двиrате.ля не будет оrраничена.
Экспериментальный тур
33. В закрытой коробке (<<черном ящике») Ha
ходятся два одинаковых полупроводниковых диода и рези
стор, соединенные в неизвестную электрическую цепь с ДBY
мя выводами. Определите сопротивление резистора.
Рис. 12
о б о р у д о в а н и е: «черный ЯЩИК», два универсаль
ных измерительных прибора для измерения силы тока и
напряжения, батарея аккумуляторов, реостат, провода, мил
лиметровая бумаrа.
При м е ч а н и е. В коробке находилась электричес
кая цепь, схема которой показана на рис. 12.
VIII МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1975 f.
(r ДР)
Теоретический тур
л
34. Стержень закреплен ПОД уrлом "2  а по
отношению к вертикальной оси 00' (рис. 13). Конструкция
может вращаться BOKpyr этой оси с уrловой скоростью ш,
На стержне находится подвижное тело массой m. Движение
тела по стержню происходит с трением. Коэффициент Tpe
ния покоя f.1.
а) Для каких значений уrла а тело находится в покое и
для каких значений а. тело движется при ш==о?
26

б) Определите условия, при которых тело находится в
покое, если КОНСТРУЕllЕЯ вращается с постоянной скоростью
Ш. При вращении yrovl а не меняется.
10'
(W
I
I
I
...........................................
rz' < о

J
I
I
I
l S 1
02. I I
J 1
I I
J d I

)
1 {, > О
1-.:
О!
. .
I
1
1
i
1
r
r
>1
о
Рис. 13
Рис. 14
35. Для толстой стеклянной линзы с радиусами кривизны
'1 И '2 И толщиной d (рис. 14), находящейся в воздухе, фо-
кусное расстояние F определяется следующим выражением:
F  п'1'2
 ,
(п 1) [п ('2 '1) + d (п 1)]
rде п  показатель преломления (воздух  стекло).
У к а з а н и е. 'i>O означает, что центр кривизны Oi
ле}l{ИТ с правой стороны от точки Si; 'i<O означает, что
центр кривизны Oi лежит с левой стороны от точки Si (i===
== 1, 2) .
Для определенных целей желательно, чтобы фокусное
расстояние не зависело от длины волны света л.
а) Для скольких различных длин волн можно добиться
одноrо и Toro же значения фокусноrо расстояния? ,.
б) Найдите соотношение между 'i, d и показателями пре
ломления, при котором фокусное расстояние линзы не за
висит от длины волны света (см. предыдущий вопрос), и об-
судите это соотношение. Нарисуйте возможные формы лин-
зы. Ука}ките положения центров кривизны 01 и 02'
в) Покажите, что для плосковыпуклой линзы определен...
ное фокусное расстояние можно получить только для одной
длины волны света.
r) Укажите еще случаи, коrда при определенных пара-
метрах толстой линзы можно реализовать заданное фокус..
ное расстояние только для одной длины волны.
36. Из точки Q в одной плоскости испускается пучок
положительных однозарядных ионов (заряд +е) одина-
ковой и постоянной массы m. Ионы, ускоренные напряже-
27

нием и, отклоняются однородным маrнитным полем, KOTO
рое направлено перпендикулярно к плоскости распрост
ранения ионов: Индукция маrнитноrо поля равна В. [pa
ницы маrнитноrо поля должны быть таКИ1И, чтобы пучок
ионов сходился в одной точке А (QA ==2а). Траектории ионов
должны быть симметричными относительно линии, пер-
пендикулярной к отрезку QA и проходящей через ero cepe
дину. Из возможных rраниц маrнитноrо поля следует вы..
брать такие, которые находились бы в окрестностях линии,
перпендикулярной к середине 0трезка QA, но не захваты
вали точек Q и А. Область должна быть односвязной, т. е.
без дыр и разрывов.
а) Выразите радиус кривизны R траекторий частиц в
маrнитном поле как функцию напряжения U и индукции В.
б) Укажите характерные свойства траекторий частиц в
описанной установке.
в) Найдите rраницы l\1аrнитноrо поля путем rеометричес-
Koro построения для случаев: R<a, R ==а и R>a.
r) Найдите l\1атематическое выражение для rраницы Mar-
нитноrо поля.
Экспериментальный тур
37. а) Соберите электрическую цепь и прове-
дите необходимые измерения для построения вольтаl\1перной
характеристики полупроводниковоrо прибора в rраницах,
определяемых максимально допустимой мощностью 250 l\1BT.
Запишите результаты измерений в таблицу и нарисуйте
вольтамперную характеристику. Пе..
ред началом измерений подумайте о
том, как можно надежно предотвра-
тить переrрузку полупроводниковоrо
прибора, и запишите ваши рассужде-
ния в отчете. Начертите схему элек"
трической цепи для проведения изме..
рений и проанализируйте системати-
qеские поrрешности, которые возникают при использовании
выбранной вами схемы.
б) Рассчитайте внутренние сопротивления (динамические
сопротивления) полупроводниковоrо прибора при силе
тока 25 мА.
в) Используя схему, показанную на рис. 15, исследуйте
зависимость выходноrо напряжения U 2 от входноrо напря
жения и 1 и результат представьте в виде таблицы и rpa
фика. Входное напряжение и 1 следует изменять в пределах

л Ф и2.
1
о .
11
о
Рис. 15
28

от О до 9 В. При этом полупроводниковый прибор следует
включить в цепь так, чтобы U 2 было по возможности боль
ше. Нарисуйте ПОЛНУIО схему соединения приборов и обсу
дите в отчете результаты измрений.
r) Укажите, насколько изменится выходное напряжение
и 2 , если входное наПРЯ)I<ение и 1 увеличить от 7 до 9 В.
Объясните качественно отношение иl/и2.
д) К какому типу полупроводниковых приборов OTHO
сится прибор, используеrv1ЫЙ в эксперименте? Приведите
пример практическоrо применения схемы, указанной на
рис. 15.
О б о Р у д о в а н и е: полупроводниковый прибор, рео-
стат (140 ОМ), постоянный резистор (300 Ом), источник на-
пряжения (09 В), два универсальных электроизмеритель-
ных прибора (без омметра), соединительные провода.
При м е ч а н и е. Полупроводниковый прибор в этоЙ
работе  стабилитрон.
IX МЕЖдУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1976r. (ВНР)
.Теоретический тур
38. Сфера радиуса R ==0,5 м вращается BOKpyr
cBoero вертикальноrо диаметра с постоянной уrловой ско-
ростью ю==5 рад/с (рис. 16). Вместе со сферой на ее внутрен-
ней поверхности вращается небольшое тело, находящееся
на высоте, равной половине радиуса.
16
Рис. 17
1) Определите минимальное значение коэффициента тре-
ния, при котором это состояние возможно.
2) Найти минимальное значение коэффициента трения,
если уrловая скорость сферы равна ю==8 рад/с.
3) Исследуйте устойчивость состояний при найденных
29

значениях коэффициента треНIIЯ при: а) малых ИЗlенениях
уrловой скорости сферы; б) малыIx изменениях положе.
ния те"lа.
39. Стенки ЦИ"lиндра, поршень и внутренняя переrород
ка площадью 1 дм 2 изrотовлены из теПЛОИЗО"lяционноrо Ma
териала (рис. 17). I<лапан в переrородке открывается в том
случае, еС"lИ давление справа больше давления слева. В Ha
чальноYI состоянии в левой части цилиндра длиноЙ 10==
:z::z11,2 ДI находится 12 r rелия, в правой части, имеющей ту
же длину, 2 r rелия, с обеих сторон температура rаза paB
на оос. Внешнее давление 105 Па. Удельная теплоемкость
rелия при постоянном объеме c v ==3, 15.10:J Дж/(кr. К), а
при постоянном давлении cp==5,25.10 Дж/(кr. К).
Медленно передвиrаем поршень по направлению к пере
rородке (с небольшой остановкой в l\ломент открытия кла
пана) и осторожно доводим поршень до переrородки. Чему
равна произведенная нами работа?
40. В стеКЛЯННОI\1 шаре имеется воздушный сферический
пузырек. Найдите способы измерения диаметра этоrо пу
зырька. Шар должен остаться целым. Способы должны быть
описаны как можно подробнее.
Экспериментальный тур
41. Исследуйте тепловые свойства материала
Х в интервале температур от комнатной дО 80 0 С и определите
ero характерные тепловые константы. Результаты измере
ний представьте в виде таблиц и rрафиков.
О б о Р у д о в а н и е: часы, термометр, наrревательныЙ
элемент на 12 В, две пробирки  с жидкостью, удельная
теплоемкость которой со ===2, 1 кДж/(кr' К), и кристалличес
ким материалом Х с неизвестными теПЛОВЫl\fИ свойствами.
Количество жидкости в пробирках и масса кристалла Х
известны. Материал Х в жидкости не растворяется.
При I\1 е ч а н и е. В качестве жидкости был использо
ван керосин, а кристаллическоrо материала  нафталин.
х МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1977 f. (ЧССР)
Теоретический тур
42. Отношение е максимальноrо и минималь
Horo объемов цилиндра четырехтактноrо двиrателя равно
9,5. РVдиаrрамма работы двиrателя показана на рис. 18.
В двиrатель поступает наружный воздух при температуре
30

t 1 -==27 0 С и давлении Рl == 105 Па. В момент зажиrапия rорю-
чей смеси давление в цилиндре возрастает в два раза.
а) Какие процессы происходят с rазом между точками
Ol, 23, 41 и lO? Процессы 12 и 34  адиабати-
ческие (",== 1 ,4).
р
з
R ........... 
..;
J
J
1
f
I
J
В 4 J

I
F1  о
pz ........ ....
V j
4
1
У2. V
Рис. 18
б) Определите параметры р и Т rаза в точках 1,2,3 и 4.
в) Вычислите К.П.д. цикла тепловоrо двиrателя.
r) Оцените реальность полученных результатов.
43. Прямоуrольная проволочная рамка с размерами сто-
рон а==0,020 м и Ь==О,зо м поrружается в мыльную воду,
блаrодаря чему на ней образуется мыльная пленка. При на-
блюдении в отраженном свете, уrол падения KOToporo а==
== 300, пленка кажется зеленой (л о ==500 нм).
1) Можно ли найти массу этой пленки с помощью весов,
чувствительность которых 0,1 Mr? т т'
Плотность мыльноrо раствора р==
== 103 Kr/M3, показатель преломле-
ния пленки п== 1,33.
2) KaKoro цвета будет казаться
самая тонкая из пленок, удовлетво-
ряющих условию задачи, если свет
будет падать на нее и затем отра-
жаться перпендикулярно пленке?
44. Электроны ускоряются в электронной пушке элект-
рическим полем, проходя отрезок пути, напряжение на
концах KOToporo И==10 3 В. Вылетев из пушки в точке Т,
электроны движутся затем по прямой ТТ' (рис. 19). В точке
31
м
Рис. 19

м на расстоянип d==5,0 см от точки Т находится мишень,
i1ричем прямая ТМ образует уrол а==60 0 с прямой ТТ'.
1) I<акои должна быть индукция В однородноrо лаrнит-
Horo поля, перпендикулярноrо плоскости рисунка, чтобы
электроны, вылетевшие из пушки, попадали в мишень?
2) Какой должна быть индукция В 1 однородноrо маrнит-
Horo поля, параллельноrо прямой ТМ, чтобы электроны по
падали в мишень?
Считать, что модули векторов индукции В и В 1 не пре-
[3ышают 0,03 Тл.
Экспериментальный тур
45. Раскройте тайну «черноrо ящика» с тре-
lVIЯ контактными rнездами А, В и с. Внутри ящика находят-
u
ся два конденсатора и один реЗИС'IОр, включенные звездон
(рис. 20).
\
А
В
.
1
с
Рис. 20
Рис. 21
1) Соберите цепь по схеме рис. 21, состоящую из reHepa-
тора rармонических колебаний (r), приборов для измерения
силы тока и напряжения и «черноrо ящика» АВС. Проведите
необходимые измерения и по полученным данным рассчи-
тайте полное сопротивление (импеданс) ZAB,,,. ZAC, ZBC В
интервале частот от 0,1 до 10 к[ц.
2) На лоrарифмической бумаrе постройте rрафик зависи-
мости импеданса от частоты.
3) Докажите теоретически, что по-значениям импеданса
при данных частотах можно определить сопротивление pe
зистора R и емкости конденсаторов С 1 и С 2'
4) На основании полученных результатов определите,
к какому rнезду подключен резистор, а к каким  KOHдeH
саторы.
5) Вычислите сопротивление R и емкости С 1 и С 2 . При
этом воспользуйтесь значениями импеданса, соответствую-
щими частотам 1 к[ц и 10 К[Ц.
32

6) Укажите, какое влияние на точность измерения имеет
пренебрежение током, протекающим через вольтметр.
О б о Р У д о в а н и е: reHepaTop rармонических коле-
баний, два измерительных прибора ........ амперметр и вольт-
метр переменноrо TOI<a, «черный ящик».
ХI МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1979 т. (СССР)
Теоретический тур
46. Космический корабль массы М == 12 т
движется BOKpyr Луны по круrовой орбите на высоте h==
== 100 км. Для перехода на орбиту прилунения на короткое
время включается двиrатель. Скорость вылетающих из соп-
ла ракеты rазов u==104 м/с. Радиус Луны R л ==1,7.I03 км,
ускорение свободноrо падения у поверхности Луны gл ==
== 1,7 м/ с 2 . "
А
Р и с. 22
Рис. 23
1) Какое количество топлива необходимо израсходовать
для Toro, чтобы при включении тормозноrо двиrателя в точ-
ке А траектории корабль опустился на Луну в точке В
(рис. 22)?
2) Во втором варианте прилунения кораблю в точке А
сообщается импульс в направлении на центр Луны, чтобы
перевести корабль на орбиту, касающуюся Луны в точке
С (рис. 23). Какое количество топлива необходимо израс-
ходовать в этом случае?
47. Деталь, изrотовленная из алюминия, взвешивается
На аналитических весах с помощью латунных rирь.. Один
u
раз взвешивание производится в сухом воздухе, второи
раз  во влажном при давлении паров воды Рв==2.10 3 Па.
Общее атмосферное .давление (P==105 Па) и температура
(t==20°C) в обоих случаях одинаковы.
При какой массе детали можно заметить разницу в по.
казаннях весов, если их чувствительность mо==О,l Mr?
Плотность алюминия Рl ==2700 Kr/M3, латуни......... Р2== .
=== 8500 Kr/M?
2 о. Ф. Кабардин, В. А. Орлов
зз

48. В советскофранцузском эксперименте по оптичес-
кой локации Луны импульсное излучение рубиновоrо ла-
зера на длине волны л===О,69 мкм направлялось с помощью
телескопа, имеющеrо диаметр зеркала D===2,6 м, на лунную
поверхность. На Луне был установлен отражатель, который
работал как идеальное зеркало диаметром d==20 см, отра-
жающее свет точно в обратном направлении. Отраженный
свет улавливался тем же телескопом и фокусировался на
фотоприемник.
1) С какой точностью должна быть установлена оптичес-
кая ось телескопа в этом эксперименте?
2) Пренебреrая потерями света в атмосфере Земли и в
телескопе, оцените, какая доля световой энерrии лазера
будет после отражения от Луны зареrистрирована фото-
приемником.
3) Можно ли отраженный световой импульс увидеть не-
вооруженным rлазом, если пороrовую чувствительность
rлаза принять равной п== 100 световых квантов, а энерrию,
излучаемую лазером в течение импульса, равной Е== 1 Дж.
4) Оцените выиrрыш, который дает применение отража-
теля. Считать, что поверхность Луны рассеивает а== 10%
падающеrо света равномерно в телесный уrол 2л ср.
Расстояние от Земли до Луны L==380 тыс. км. Диаметр
зрачка rлаза принять равным d ap ===5 мм. Постоянная План-
ка h===6,6.104 Дж.с.
Экспериментальный тур
49. Найдите схему электрической цепи «чер-
Horo ящика» и определите параметры ее элементов.
О б о Р у д о в а н и е: источник постоянноrо тока с на-
пряжением 4,5 В, источник переменноrо тока с частотой
50 rц и напряжением на выходе до 30 В, два универсаль-
ных прибора для измерения силы тока и напряжения на по-
u
стоянном И переменном токах, переменныи резистор, соеди-
нительные провода.
При м е ч а н и е. В «черном ящике» был вмонтирован
трансформатор.
XII МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1981 r. (НРВ)
Теоретический тур
50. Пробирка массой М находится в вакууме.
Переrородка массой т и пренебрежимо малой тvлщины
разделяет объем пробирки на две равные части. В закрытой
части пробирки содержится п молей одноаТОl\1ноrо rаэа с
34

молярной массой Мо при температуре Т. Переrородка OCBO
бождается и, двиrаясь без трения, вылетает из пробирки.
ЗатеlVl вытекает из Jfee и rаз. Какова будет конечная CKO
рость пробирки, если в момент начала движения переrород
ки пробирка была неподвижна?
rазовая постоянная R известна. Импульсом rаза дО BЫ
лета переrородки, а также теплообменом между rазом,
с одной стороны, и пробиркой С переrородкой  с друrой,
r.ложно пренебречь. 1-1зменением температуры rаза после
вылета переrородки пренебречь, земное притяжение не
учитывать.
51. Электрическая лаМf!а сопротивлением Ro==2 Ом при
НОМИН:альном напряжении и о ==4,5 В питается током от ак"
кумулятора с Э.Д.с. <8==6 В, внутренним сопротивлением ко..
Toporo мо)кно пренебречь.
1) Пусть номинальное напряжение подается на лампу
через реостат, включенный как потенциометр. Каково долж..
но быть сопротивление R реостата и на какой максималь..
вый ток Imax он должен быть рассчитан, чтобы К.П.д.
системы был не меньше 'У)о==О,6?
2) Чему равен максимально возможный К.П.д. цепи
«лампа  аккумулятор» при номинальном напряжении на
лампе и каким образом их надо соединить через реостат,
чтобы достичь максимальноrо к.п.д.?
52. Приемник радиоволн радиоастрономической обсер..,
ватории расположен на береrу моря на высоте h==2 м над
уровнем моря. При восходе радиозвезды, излучающей элект-
ромаrнитные волны длиной волны л==21 см, над rоризонтом
приемник реrистрирует чередующиеся максимумы lf; мини..
мумы. Реrистрируемый сиrнал прямо пропорционален ин..
тенсивности попадающих в приемник электромаrнитных
волн, электрический вектор которых колеблется в направ-
лении, параллельном водной поверхности.
1) Определите высоты звезды над rоризонтом, измерен-
ные в уrлах по небесной сфере, при которых реrистрируются
Iаксимумы и минимумы (в общем виде).
2) Будет ли сиrнал в приемнике возрастать или умень"
l11аться непосредственно после восхода радиозвезды?
3) Найдите отношение сиrналов в первом максимуме и
следующем за ним миниrvlуме. При отражении электромаr
u u
нитнои волны от воды отношение амплитуд напряженностеи
электрическоrо поля отраженной (Е,) и падающей (E i ) волн
описывается законом:
Е,  ncoscp
Ei  n+CU5<p'
2.
35

rде п ------ показатель преломления, а ер  уrол падения элект
ромаrнитной волны. Для rраницы «воздух  вода» при
л==21 см п==9.
4) Будет ли возрастать или уменьшаться отношение ин
тенсивностей сиrналов, принимаемых в соседних максиму
мах и минимумах, с восхождением звезды над rоризонтом?
у к а з а н и е. При решении задачи считать MOPCKYIO
поверхность rладкой.
Э к с пер и м е н т.а л ь н ы й т у р
53. Проведите следующие исследования.
1) Наrрузите последовательно резиновый шнур rрузами
массой от 15 до 105 r. Занесите в таблицу результаты измере
ний и изобразите rрафически в подходящем масштабе экспе-
риментально полученную зависимость удлинения 111 от
силы натяжения Р.
2) Используя результаты измерений, проведенных в
п. 1), вычислите и составьте таблицу значений объема шнура
при наrрузках от 35 до 95 r. Вычисления выполняйте по-
следовательно для каждых двух соседних значений наrруз-
ки из указанноrо интервала. Запишите формулы, которыми
вы пользовались при вычислениях. Выразите аналитически
ваше предполажение о зависимости объема от наrрузки.
Примите значение модуля Юнrа постоянным и paBHbIl\1
табличному: Е==2.10 6 Па. При обсуждении результатов
следует иметь в виду, что для указанных наrрузок закон
rYKa 111/1==F/ES дЛЯ резины выполняется приблизительно,
поэтому отклонения от Hero MorYT доходить до 10%.
3) Определите объем резиновоrо шнура, используя се-
кундомер и положив на чаIllКУ весов rpy3 массой 60 r.
Укажите использованные при расчетах формулы.
О б о Р у д о в а н и е: упруrий резиновый шнур, вер-
тикально подвешенный на штативе (начальная длина шнура
/0== 150 мм, масса чашки весов 5 r), набор rрузов массой
от 10 до 100 r, секундомер, измерительная линейка, леI<ало
и миллиметровая бумаrа.
у к а з а н и я. Ускорение свободноrо падения при-
нять равным 10 1/c2. Массой шнура пренебречь.
XIII МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1982 r. (Фрr)
Теоретический тур
54. Дана люминесцентная лампа, ВКJIюченная
по схеме рис. 24, частота ПРИЛО)J{енноrо переменноrо на-
пряжения составляет 50 rц. Измеряются слеДУlощие веJIИ-
36

чины: общее напряжение (сетевое напряжение) И==228,5 В,
сила тока 1 ==0,60 А. Напряжение на люминесцентной лам
пе и'==84 В, омическое сопротивление балластноrо дpoc
селя R d ==26,3 Ом. ЛЮI\1инесцентная лампа должна paCCMaT
rиваться как 01ическое сопро
тивление.
а) Какой индуктивностью L
обладает дроссель?
б) Определить значение сдви..
ra фазы ер между напряжением
и током.
в) Какая активная мощность
р выделяется в цепи?
r) Дроссель, кроме оrраничения тока, имеет еще одну
ваЖНУIО ФУНКЦИIО. Назовите и объясните ее.
у к а з а н и е. Стартер S имеет контакт, который вскоре
после включения замыкается, затем открывается и остается
открытым. /
д) Нарисуйте кривую зависимости испущенноrо" лампой
cBeToBoro потока от времени (с количественной шкалой по
оси вреl'лени).
е) Почему лампа rорит все время, хотя приложенное
переменное напряжение через определенные промежутки
времени проходит через нуль?
ж) У люминесцентных ламп описанноrо типа может быть
последовательно к дросселю подключен конденсатор емко..
стью приблизительно 4,7 мкФ. Как действует это на работу
лампы и для какой цели предусмотрена эта возможность?
з) Пронаблюдайте обе половины установленной дeMOHCT
рационной лампы с помощью спектроскопа. Объясните
различие обоих спектров.
55. Дана проволочная вешалка, которая качается с Ma
ленькой амплитудой в плоскости чертежа относительно за
данных положениЙ равновесия (рис. 25). В положениях а и
s
Лары ртути
rv
дроссель
Рис. 24
]
42 с 1'1
Рис. 25
б длинная сторона раСПОu10)кена rорпзонтально. Две дру-
rие стороны равны между собой. Во всех трех случаях
37

(aв) возникают колебания с одинаковыми периодами. rде
лежит центр масс и каков период колебаний?
Из эскизов не MorYT быть сняты друrие данные, кроме
раЗ1еров. В частности, распределение массы вешалки в дe
талях нам неизвестно.
56. Дан воздушный шар с постоянным объемом V ==
== 1, 1 О M. Масса оболочки (объемом оболочки пренебречь)
составляет т о ==О,187 Kr. Шар должен стартовать при OKPY
жаlОllей температур воздуха t 1 ==20 0 С и нормальном aTMOC
ферном давлении Po===I,OI3.10 5 Па. Плотность воздуха при
этих условиях имеет следующее значение: Рl === 1,2 кr/м З .
а) Вычислите температуру t 2 , которую должен иметь
наrретый воздух внутри шара, чтобы он Mor свободно па
рить в воздухе.
б) Воздух внутри привязанноrо на тросе шара HarpeBaeT
ся до постоянной температуры t з == 110°C. Вычислите силу,
действующую на трос.
в) Примем, что отверстие снизу шара завязано (плотность
воздуха в нем остается тоrда постоянной). Шар поднимается
с постоянной температурой виутреннеrо воздуха t з ==110 0 С
в изотермической атмосфере при 20 0 С и давлении на уровне
Земли Р 0==1,013.105 Па. Какой высоты h достиrнет шар при
этих условиях?
r) Шар, находящийся на высоте h (вопрос в»), смещается
на высоту, приблизительно равную L\h==10 м, из положения
равновесия и затем отпускается. Опишите качественно,
как он движется.
Экспериментальный тур
57. 1) Определите фокусное расстояние линзы
с максимальной поrрешностью + 1 % .
2) Определите показатель преЛОl\fления стекла, из KO
Toporo изrотовлена линза. Показатель преломления воды
п в == 1,33.
Для фокусноrо расстояния F тонкой линзы, находящей-
ся в воздухе:
1 ( 1 1 )
===(n1)  ,
F '1'2
rде n  показатель преломления стекла, из KOToporo иэrо-
товлена линза, '1 и '2  радиусы кривизны обеих прелом
ляющих поверхностей.
Для симметричной двояковыпуклой ,,7IИНЗЫ 'l=='2==',
u 
для симметричнои двояковоrнутои линзы r 1 -==, 2 ==.........., о
38

О б о Р У д о в а н и е: симметричная двояковыпуклая
линза, плоское зеркало, В9да, линейка, карандаш и штатив
с муфтой.
58. Движение катящеrося цилиндра складывается из
вращательноrо движения BOKpyr оси и rоризонтальноrо
поступательноrо движения. В этом опыте определяются
только ускорение поступательноrо движения и вызывающие
ero силы.
К цилиндру радиусом R и массой М, который лежит на
rоризонтальной поверхности, приложена сила на расстоя-
нии ri (i==l, . . .,6) от оси llилиндра (см. рис. 26). После
освобождения llИЛИНДР катится с ПОСТОЯННЬПА ускорением.
f1
11 d
А L В
ll1
Рис. 26
Перед началом опыта установите плоскую поверхность
rоризонтально подкладыванием листков картона. Для дан-
Horo опыта достаточно rоризонтальное положение с по-
rрешностью + 1 I\1M на 1 м длины. .
а} Определите экспериментально линейные ускорения а!
оси цилиндра для различных расстояний ri (i==l, . . ., 6).
б) Рассчитайте с помощью найденных значений ускоре-
ний ai rоризонтальные силы реакций F i , действующие меж-
ду цилиндром и rоризонтальной поверхностью.
в) Изобразите зависимость F i от 'i rрафически. Обсудите
полученные результаты.
r) Какие последствия имело бы не rоризонтальное поло-
{ение поверхности, по которой катится цилиндр?
д} Опишите определение вспомоrательных величин и
друrую возможную дополнительную настройку. Укажитс,
насколько они влияют на результаты.
Даны следующие значения;
R ==5,00 см,
М ==3,275 Kr,
т==2 х 50,0 r,
D==1,50 см,
d==O,10 мм,
'1 ==0,75 см,
, 2 == 1 ,50 см,
,з==2,25 см,
'4==3,00 см,
, 0==3,75 C!vl,
r 6 ==4,50 см.
39

Трением и массой ролика при расчете пренебречь. Тро-
сики с узлом на конце вдеваются в шлицы на цилиндре.
Они должны быть введены в отверстия как можно rлубже.
Для этоrо используется обычная канцелярская скрепка.
Длина измеряется линейкой, время  электронным секун-
домером.
XIV МЕЖдУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1983 r. (СРР)
Теоретический тур
59. Частица движется вдоль положительной
полуоси Ох под действием силы F, проекция F х которой на
ось Ох представлена на рис. 27 (Fz==Fy==O).
Одновременно на частицу действует сила трения, модуль
которой равен Р тр == 1 ,00 Н. В начале координат установлена
идеально отражающая стенка, перпендикулярная оси Ох.
lIастица стартует И3 точки хо== 1,00 м с кинетической энер-
rией Е к == 10,0 Дж.
1} Определите путь, пройденный частицей до ее полной
остановки.
2} Представьте rрафически зависимость потенциальной
энерrии частицы в поле силы F х от координаты х.
3} Постройте качествен-
ный rрафик зависимости про-
еКllИИ скорости V x от коорди-
наты х.
L 1
С 1
1\r
l01
А
(х,1f C z
в
D .хо х Lz .J lO2-
R К
"'10,0

Ри с. 27 Рис. 28
60. Цепь переменноrо тока (рис. 28) состоит из идеаль-
ных катушек индуктивностью L 1 == 10 MrH, L 2 ==20 lrH,
конденсаторов емкостью С 1 ==10 нФ, С 2 ==5 нФ и резистора
с сопротивлением R == 100 кОм. При замкнутой цепи ампли-
туда силы переменноrо тока остается постоянноЙ при изме-
нении частоты reHepaTopa синусоидальноrо напряжения.
(feHepaTop тока с постоянной амплитудой.)
40

Определите: 
а) отношение частоты v м, при которой активная мощность
Ртах, выделяемая в цепи, максимальна, к разности частот
v==v+v, rде "+ и "  частоты, при которых активная
мощность равна половине максимальной мощности Ртах.
Цепь размыкается. Известно, что в момент времени t o
после размыкания цепи силы тока в катушках L 1 и L 2 имеют
значения: i 01 ==0,1 А и i 02 ==0,2 А (см. рис. 28, rде показаны.
направления токов), а напряение на конденсаторе С 1
равно и о ==40 В.
Определите:
б) частоту свободных электромаrнитных колебаний в
цепи L 1 С 1 С 2 L 2 ;
в) силу тока на участке контура АВ;
r) амплитуду колебаний силы тока в катушке L 1 .
у к а з а н и е. Взаимной индукцией катушек L 1 и L 2
пренебречь.
61. Две призмы с преломляющими уrлами А 1 ==600,
А 2 ==300 склеены так, как показано на рис. 29 (уrол С==900).
Показатели преломления
призм выражаются соотноше-
ниями:
в
п 1 ==а 1 +b t /')1,;2,
п 2 == а 2 +Ь 2 /Л 2,
rде а 1 ' 1,1, Ь 1 == 100 нм 2 , а2==
== 1 ,3, Ь 2 === 5. 104 нм 2 .
1) Определите длину волны
Л О излучения, падающеrо на
систему призм, если волна распространяется без прелоr"Iле..
ния на rранице АС при любом уrле падения ее на rpaHb AD.
Определите также значения показателей преломления n 1
и п 2 для этой длины волны.
2) Нарисуйте ход лучей в системе призм для трех раз
личных длин волн л'кр>Л о , Л о , Лф<Ло, если уrол падения для
всех трех волн на rpaHb AD одинаков.
3) Определите уrол наименьшеrо отклонения системой
призм света с длиной волны Л о .
4) Определите длину волны излучения, падающеrо на
систему призм параллельно основанию DC и выходящеrо из
Нее также параллельно ОСl!ованию DC.
62. Фотон с длиной волны Лi рассеялся на дви)нущеМС51
СЕободном электроне. В результате электрон остановился,
а фотон с длиной волны л'о отклонился от направления дви-
п1
с
Рис. 29
41

жения первоначальноrо фотона на уrол 8==600. Рассеянный
фотон испытал новое рассеяние на друrом неподвижном CBO
бодном электроне. В результате последнеrо рассеяния фотон
с длиной волны 'Af== 1 ,25. 1010 м отклонился от направления
движения фотона с длиной волны 'Ао опять на уrол 8 ==
== 600 .
Определите длину волны де Бройля электрона, взаи
модействовавшеrо с ИСХОДНЫ!\1 фотоном. Известны следу
ющие величины: постоянная Планка h===6,6. 1034 Дж. с,
масса покоя электрона m==9, 1. 1031 Kr, скорость света
с==3,0.10 8 м/с.
Экспериментальный тур
63. а) Определите Э.Д.с. источника тока с по
мощью двух вольтметров (без маrазина сопротивлений), ис
пользуя минимальное число электрических схем.
б) Определите Э.Д.с. источника тока, ero внутреннее co
противление и сопротивление вольтметра, используя один
вольтметр и маrазин сопротивлений. С этой целью желатель
но построить по экспериментальным данным два rрафика,
соответствующих теоретическим линейным уравнениям;
с их помощью определите ИСКОl\1ые величины.
в) Ука}ките источники поrрешностей ИЗ!\lерений. Какие
из них больше влияют на окончательные результаты?
О б о Р У д о в а н и е: источник постоянноrо тока, два
вольтметра и маrазин сопротивлений.
XV МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА, 1984 r.
(ШВЕЦИЯ)
Теоретический тур
64. а) На рис. 30 показан ход луча через плос
копараллельную прозрачную пластинку, коэффициент пре
u u
ломления которои изменяется с расстоянием z от нижнеи
поверхности пластинки. Докажите, что ПА sin а==пв sin.
б) Представьте, что вы стоите посередине широкой плос-
кой пустыни. Вдали вы видите нечто похожее на водную по
верхность. Коrда вы приближаетесь к «воде», она постепенно
удаляется от вас, так что расстояние до «нее» все время OCTa
ется равным 250 м. Объясните этот феномен!
в) Вычислите температуру Т у поверхности Земли для
предыдущеrо пункта задачи, предположив, что ваши rлаза
42 /

находятся на высоте 1,6 м от поверхности. Известно, что
показатель преломления воздуха по при температуре То==
== 15 0 С и нормальном атмосферном давлении равен 1,000276,
Температуру воздуха на высоте, большей 1 м, считать
постоянной и равной Т 1 ==зо о с. Давление нормальное
(0,1013 МПа). Принять, что (пl) пропорционально плот-
ности частиц в rазе.
:g
za
{ -
1.
Рис. 30
Рис. 31
65. На некоторых озерах, обычно ПРОТ!1женных и уз
ких, можно иноrда наблюдать довольно необычное явление,
так называемое сейши. Вода в них иноrда колеблется, как
чай в стакане, который вы несете своему rостю, находяще-
муся в друrом конце комнаты.
Для создания моделей сей шей используется прямоуrоль
ная ванночка. Толщина водяноrо слоя в ванне равна h.
[оризонтальная длина ванны L. Предположим, что поверх-
ность воды вначале составляет небольшой уrол с rоризон"
тальной плоскостью. Тоrда вода начнет качаться, т. е. по..
верхность воды остается ровной, но колеблется относитель-
но rоризонтальной поверхности. Постройте модель движе-
ния жидкости и выведите выражение для периода колебаний
т сейшей. Начальные условия даны на рис. 31. Предпола
rается, что h. В нижеприведенных таблицах даны перио.
ды колебаний воды при разных толщинах ее слоя в двух
ванночках с разными длинами. Установите какимнибудь
способом, как выведенная вами формула соотносится с экс-
периментальными данными, и оцените применимость вашей
модели.
На рис. 32, а, б представлены диаrраммы изменения
уровня водной поверхности от времени t для двух населен..
ных пунктов, находящихся на противоположных (по длине)
береrах озера Веттерн в Швеции. Длина озера  123 км
и средняя rлубина  50 м.
43

Результаты эксперимента в ванночках
L==479 мм
30 50 69 88 107 124 142
1,78 1,40 1, 18 1,08 1,00 0,91 0,82
L == 14q мм
31 38 58 67 124
h, мм
Т, с
h, мм
Т, с
0,52
0,48
0,43
0,35
0,28
Установите масштаб времени на диаrраммах и определите
период колебаний воды.
см
20
15
10 
5
О
20 
15 
10
5
О
t
Рис. 32
66. Электрический фильтр должен состоять И3 четырех
компонент, соединенных так, как показано на рис. 33. Им..
педансом источника напряжения можно пренебречь, а на..
rРУЗ0чное сопротивление считать бесконечно большим.
ив"
ивы"
t
r
I
f
f
f
Уа 'у
J10rарt1срмическзя WК8Ла.
Рис. 34
Рис. 33
44

Фильтр должен быть таким, чтобы отношение UBblxlUBX
зависело бы от частоты тока так, как показано на rрафике
(рис. 34). При частоте "о разность фаз между и вых и и ВХ
должна быть равной нулю.
Для построения фильтра вы можете выбрать четыре из
следующих компонент: два резистора сопротивлением по
10 кОм, два конденсатора емкостью по 10 нФ, две катушки
индуктивностью по 160 MrH (катушки не содержат железных
сердечников, и их активным сопротивлением можно пре..
небречь).
Определите частоту "о и ОТНОlпение U вых l U ВХ при этой
частоте для всех возможных комбинаций компонент.
Экспериментальный тур
67. Соберите электрическую цепь по схеме
(рис. 35). Определите экспериментальным путем среднее
значение мощности, выдеЛЯlощейся на резисторе R при coe
динении точек А и В с reHepaTopoM переменноrо тока часто
той 0,20 кrц и амплитудой наПРЯ)l{ения 2,0 В (т. е. между
МИНИМУl\1ами и максимумами 4,0 В).
А
{] R
В
Рис. 35
о б о р у д о в а н и е: reHepaTop синусоидальных коле
. баний, настроенный на частоту 0,20 кrц, двухлучевой ос..
циллоrраф, миллиметровая бумаrа, диод, конденсатор eM
костью 0,10 l\ЛКФ, резистор с неизвестным сопротивлением,
коммутационная доска, соединительные провода.
68. В спектре неоновой лампы видно несколько спект
ральных линий в желтооранжевокрасной области. Одн:.1
из желтых линий наиболее яркая. Определите длину вол
НЫ, соответствующую этой линии. Оцените точность Ba
. u
ших вычислении.
О б о Р У д о в а н и е: неоновая лампа, подключенная
к источнику переменноrо напряжения в 220 В, лазер (длина
волны ero неизвестна), дифракционная решетка с неизвест
ной постоянной, объектмикрометр (стеклянная пластинка,
в центре которой имеется шкала длиноЙ 1 M1, содержащая
100 делений), деревянная tУ1етровзя линеЙка, штатив, за
)I\IfMbI.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. а) Обозначив через иl и и2 модули скоростей пули и
шара соответственно после вылета пули из шара (рис. 36), ЗC:iпишем кине
матические уравнения движерия пули и шара:
L.I == Vlt, (1)
1 == V2t, (2)
У ==hgt2/2. ' (3)
Время t падения шара и пули находим из выражения (3): t == V 2h/g,
так как у == О.
.... --.
"'., ..... ..... ..... .....
" ........-.
, .....-.
'\ .......
'\ '....
, .....
\\ "
 "
'\ '
1. "
\ "
{ "
, ,
\ \
, ,
1 \
} \
\

о
l
.х
L
Рис. 36
Для проекций импульсов на rоризонтальную ось, направленную
по вектору 01, на основании закона сохранения импульса можно записать
уравнение
mи== ти l+ Ми 2,
из KOToporo следует, что
м
иl == V........  и2'
т
Подставляя из (2) в (4) величину V2== tft, получим
Ml
Vl == и---- т т ·
(4)
(5)
46

Подставляя (5) в (1), получим
L == v ... / 2h _____ М . [. L == 100 м.
V g т '
б) Для TOrO чтобы найти а, воспользуемся законом сохранения
энерrии
2 2 М 2
т; == m;1 + 2 и2 +и.
(6)
По условию задачи изменение внутренней энерrии тел  U связано с
кинетической энерrией пули соотношением
mv 2
I1и == а ----r ·
Отсюда следует, что
2 2
иl М ('2
а === 1 ----- ------ -----  
и 2 т и 2 ·
(7)
Подставляя найденные ранее значения Vl и V2' получим
(v zygj2ii) 2 М (1 уgщi)2
(2 ти2
а==1
(8)
Подстановка числовых данных приводит к результату
а==0,928, или a93%.
При м е ч а н и е. Приведенное выше решение справедливо лишь
при условии отсутствия трения между шаром и подставкой и отрыве
шара от подставки без вращения на ее краю. При отсутствии трения шар
начнет вращаться на краю подставки, если не будет выполнено условие
v/ Rg. Это условие можно вывести, записав выражения BToporo закона
Ньютона и закона сохранения энерrии для шара в момент отрыва при
ero скатывании с подставки :
2 2 2
m'Uз mvз ти 2
R==mgcos а; ==+mgh,
rде Vs  скорость шара в момент отрыва, h== R (l-----cos а)  расстоя
ние, на которое опускается иентр шара до момента отрыва, а ----- уrол
между вертикалью и направлением на иентр шара в момент ero отрыва.
Из полученных уравнений следует, что cos а==l/ з (2+v;/gR), откуда
v/gRl.
Для отрыва шара массой 0,2 Kr, изrотовленноrо, например, из алю
миния (R0,026 М), v/gR== 1500» 1, т. е. отрыв шара от подставки прои
зойдет сразу.
2. Обозначим сопротивление между точками А и В для n звень"
ев R n' а для (n+ 1) звеньевRп+l' Тоrда
+ rRп
Rn+l==r r+Rn ·
47

Сопротивление одноrо звена R 1 == 2,. Очевидно, что , Е:;;; R п  2,
и R n+ 1 < R п для любых n, так как при подключении HOBoro звена
сопротивление между точками подключения падает.
Итак, последовательность R n монотонно убывает и оrраничена
снизу: R п ,. Обозначим сопротивление всей цепи, Х' Так как цепь
А r r r А'
... ----...
,.
........
t;
в
в
Рис. 37
Рис. 38
бесконечная, то сопротивление цепи за точками А' В' (рис. 37) тоже
равно 'х' Следовательно, вся цепь эквивалентна схеме, представлен-
1l0Й на рис. 38. Ее соп ротивление равно
+ "х 2 2 О
'АВ=='х== , + .. 'x"x' == ,
, 'х
, :f:: V ,2 + 4,2 1 :f:: У5
'x==" 2 ----- '.
Так как 'х > О, то один корень не имеет физическоrо смысла,
т. е.
'х
1 + У5 ?
2 '  1 ,6,.
3. Различие будет связано с поведением центров масс шаров.
Пусть при наrревании шаров их объемы увеличиваются. В этом слу
чае ВЫС01а центра масс первоrо шара над rоризонтальной плоскостью
Рис. 39
Рис. 40
увеличится (рис. 39), а центр масс подвешенноrо шара опустится
(рис. 40).
На основании первоrо закона термодинамики МОЖНО записать;
а ) Q === cт Т 1 + тgh, А Т 1 =:: Q  тglz ·
ст '
б) Q == clnT2тgh, IJ.т == Q + nlJZ/l
2 с Пl '
48

rде с  удельная теплоемкость вещества, из KOToporo изrотовлен шар,
m  ero масса.
Отсюда следует, что T2>Tl' т. е. висящий шар должен наrреться
до более высокой температуры, чем шар, лежащий на rоризонтальной
поверхности. Оценим полученный эффект. Пусть радиус шара R, а козф
фициент линейноrо расширения материала, из KOToporo изrотовлен шар,
равен сх. Тоrда отношение изменения температуры шара за счет измене
ния положения ero центра масс к изменению температуры  Т за счет
сообщения ему количества теплоты Q будет равно
T' == mgh == mgRaT _____ д-. Ra
T cтT cтT С .
Подсчитав оценочные значения, например, для железноrо шара радиуса
R==O,1 м (с==450 Дж/(кr. К), а== 11,7. 10--6 К ;L), получим:  т' /  Т==
==2,6 .108.
Таким образом, обсуждаемый в задаче эффект ничтожно мал и лежит
за пределами возможности экспериментальноrо обнаружения.
4. Давление в сосуде, соrласно закону Дальтона, будет равно сумме
парциальных давлений воздуха P 1 и воды Р 2 : .
P==P 1 +P 2 .
ДЛЯ изохорноrо процесса зависимость давления воздуха от температуры
имеет вид:
т
P1==P o То ;
Давление паров воды Р 2 не больше давления насыщенноrо пара при Т==
== 100°С (Р нас == 105 Па). Если испарится вся вода, то парциальное давле
ние водяноrо пара определится из уравнения Менделеева ----- Клапей
рона:
Р 1 == 1 ,27 . 1 О 5 Па.
m
P 2 V== М RT,
rде М ----- молярная Масса воды, R ----- rазовая постоянная:
mRT
Р 2 === MV ; Р 2 == 0,52. 105 Па.
Так как Р 2<Р НаС , то испарится вся вода, налитая в сосуд. Искомое
давление в сосуде будет равно
P==I,27.10 Па+0,52.10 Па==1,79.10 5 Па.
5. Удельную теплоемкость С х неизвестной жидкости, масса которой
ml, можно определить по изменению ее температуры  Т при наrревании
в калориметре с помощью электрической спирали, если известна мощ
ность Р электрическоrо тока, время наrревания { 1 , удельна я теплоем
кость С К калориметра и ero масса т к , Для этоrо можно воспользоваться
законом сохранения энерrии:
Pt 1 ==cxml T +скт к T. (1)
49

Однако по условию задачи мощность Э.тIектрическоrо тока не может
быть измерена, так как нет ни амперметра, ни вольтметра. Не известна
и удельная теплоемкость материала, из KOToporo изrотовлен калориметр.
Для решения задачи можно воспользоваться следующим способом.
Заменим в калориметре неизвестную жидкость водой с известной
удельной теплоемкостью СВ и известной массой т 2 . Поrрузим в БОДУ
спираль и, считая неизменной мощность наrревателя, измерим время t 2 ,
необходимое для TaKoro же повышения температуры  Т воды, какое
наблюдалось при наrревании неизвестнои жидкости за время /1'
На основании закона сохранения энерrии для этоrо случая запишем
уравнение в виде
Pt 2 === свт2 T + скт к L. Т.
(2)
Количество теплоты, получаемое калориметром неизвестной удельной
теплоемкости, можно найти, измерив время t з , необходимое для TaKoro
же наrревания вдвое большеrо количества воды в калориметре:
Рtз==св2т2 T+CKтK T. (3)
Из уравнении (2) и (3) получаем:
2Pt 2 -----Рt 3 ==С К т К T, и.пи скт к T ===Р(2t2tз). (4)
Подст авляя (4) в (1) и (2), находим
Р (t 1 .....2/ 2 + t з ) === схтl T и Р (/з ----- t 2 ) == свт2 T.
Ее ли Д.,1я уп рощения расчетов в опыте выбрать массы тi и т2
рапными (т. е. тl == т2), то из двух последних уравнений неизвест-
ная теплоемкость С х определяется выражением
t 1 ..... 2/2 + /3
С Х == / t СВ.
3 ----- 2
Таким образом, в эксперименте необходимо измерить время 1 i Ha
rревания жидкости с неизвестной теплоемкостью С х в калориметре на
 т rрадусов, время 12 TaKoro же наrревания воды такой же массы в том
же калориметре и время 13 TaKoro же наrревания вдвое БО.тIьшеrо коли
чества воды в том же калориметре.
При выполнении опытов с керосином опасно использовать способ
наrревания с помощью спирали. Для безопасности опыта измерение теп
JIоемкости керосина можно ВЫПОIl1JНИТЬ следующим способом.
Налить в н:алориметр керосин, заполнив ero примерно до половины,
и определить массу т 1 керосина. В стеклянный сосуд налить примерно
столько же воды, сколько налито керосина в калориметр, и определить
массу т 2 воды. При использова.нии в опыте большоrо количества воды и
керосина теплоемкостью калориметра можно пренебречь.
HarpeTb с помощью спирали воду в стеклянном сосуде до темлерату
ры т 2 И перелить ее в калориметр с керосино. Зная массу воды т2,
керосина m 1 , начальную температуру керосина Т 1 И темпераТУf)У смеси
е керосина и воды, можно рассчитать удельную теплоемкость керосина,
50

записав уравнение тепловоrо баланса:
свm2 (Т 2  8) == с х т l (8  Т 1),
откуда
свт2 (Т 2 ----- 8)
с х == тl (8Tl) ·
6. Задачу можно решить динамическим и энерrетическим способа
ми. Рассмотрим оба способа.
а) Динамический способ решения. Выберем координатные оси и
укажем силы, действующие на куб и цилиндр (рис. 41). Запишем ypaB
нения BToporo закона Ньютона в про- у
екции на оси Ох и Оу для цилиндра:
mlg sin а-----р;р----- Ti === тlа, (1)
N 1 mlg cos а=== о; (2)
для куба:
т 2 + m2g slp а ----- F тр == т2 а ,
N 2 ----- m2g cos a:t::: о.
(3)
(4)
т 2 g

Так как масса нити пренебрежимо
мала, то Т 1 == Т 2'
Из уравнения (4) получаем, что N 2==m2g cos а, а следовательно,
FTp==f.A.N 2==f.A.m 2 g cos а. Пусть сила трения цилиндра о плоскость ДOCTa
точно велика для Toro, чтобы цилиндр при своем движении не проскаль
зывал. В этом случае уrловое ускорение цилиндра равно 8==а/ R.
Запишем основное уравнение динамики вращательноrо. движения
Рис. 41
для цилиндра:
,
F TpR == 18,
rде l----Момент инерции цилиндра, откуда следует, что
Р ' 18 lа mlR2 а тl а
тр==т== R2 == 2 · R2 ==2'
Складывая у равнения (1) и (3), получим:
,
(тl + m2)g sin а........ F тр ----- F тр == (тl + т2) а.
Подставим в последнее равенство полученные значения для
,
ния Р тр И Р тр :
тl а
(ml + т2) g sln а ----ll m 2g cos а ----- 2 == (ml + т2) а,
(5)
сил тре..
откуда
а == (ml +т2) sin allт2 cos а g .
3/2тl+ma
Подстановка числовых данных приводит К OTBTY: а == 2,46 м/с 2 
 2,5 м/с 2 .
Убедимся, что наше предположение об отсутствии проскальзыва.
пия цилиндра сп равеДЛИDО. Для этоrо необходимо, чтобы yr ловое
51

ускорение B==a/R ==2,5/0,05==50 c2 было бы меньше уrловоrо УСКО-
,
рения, сообщаемоrо максимальной силой трения (Р тр)тах цилиндра
о плоскости :
........ (Р;Р)тах R ...... (tm1g cos а) R ......... 2fJ.g'cos а .  210 2
Brr.ax  / 0,5mR 2 ...... R ' Втах t'OW с.
Действительно, так как Е < Втах, то проскальзывания цилиндра нет
и наше решение корректно.
б) Энерrетический способ решения. За время t после начала движе-
ния цилиндр и куб приобретут скорость v. al, переместятся вдоль на-
клонной плоскости на расстояние l==a/ 2 /2 и опустятся по вертикали на
h== 1 sin а== (at 2 /2) sjn а.
Их потенциальная энерrия уменьшится при этом на величину
дЕл == (т1 +т2) gh == (т1 + т2) g (at 2 j2) sin а.
В этот момент времени кинетическая энерrия цилиндра и куба будет
Е  Е + Е ....... m 1 v 2 + 1 ю2 + т2\. 
K1 2-----  }
222
rде ю ----- уrловая скорость вращения цилиндра. Так как ю==v/R, 1==
==m 1 R 2 /2, v==at, то
Е  (ml +т2) v2 + m1R2v2 == (3/ 2т1 +т2) и 2 === (3/2 пZ1 +т2) a 2 t 2
к ----- 2 4R 2 2 2.
За это же время сила трения куба о плоскость совершит работу
А тр == F Tpl == f.tm2g cos а (at 2 /2).
Из закона сох ранения энерrии можно записать следующее равенство:
дЕл == Е к + А тр '
Из Hero следует:
(т1 + т2) sin а ----- f.tm2 cos а
а=== 3/2 тl +т2 g.
Подставив в последнее выра}кение числовые значения, получим
a2,5 м/с 2 .
7. Обозначим через V 01 и V 02 объемы толуола в сосудах при темпе
ратуре оос. Тоrда
V 1 == V 01 (1+a/ 1 ), V 2 == V 02 (1+aI 2 ).
Массы толуола в сосудах будут соответственно
т 1 ==ро У О1 , т 2 ==ро У О2 ,
rде Ро ----- плотность толуола при оос. Запишем уравнение тепловоrо ба
ланса для процесса смешивания толуола:
ст 1 (8-----/ 1 )==cm 2 (/2-----8),
rде 8 ----- температура смеси после установления тепловоrо равновесия,
с ----- удельная теплоемкость толуола. Из этоrо уравнения ПОЛУЧИ;i]
8.m1t1+m2t2 VOlt1 V Ci2 t 2
----- ml + IlZ ;:-  y иl +v o;  ·
52

Объем V толуола цосле смешивания равен
1 е ( 1 VOlfl + V 0 2 f 2 )
v == (V O l + V 02 ) ( +а ) == (У О1 + V 02 ) +а V 01 + V 02 :::z:
== (V 01 + V 02 ) +а (V o1 f 1 + V o2 f 2 ) == (V 01 +aV 01 f) + (V02+aV02t)==Vl+V2'
Итак, после смешивания объем толуола не изменился и остался равным
V==4, 1 .lO4 M.
При решении задачи не были использованы числовые данные, при
веденные в условии задачи, так как полное изменение объема L\ V равно
нулю при любых значениях этих величин.
8. Найдем уrол  преломления на плоской поверхности полуци
линдра. По закону преломления
sln а  1 А  sln а  sin 450  О 5
sln   n, s Пр........ п-----..... У2' ,.
Отсюда === arcsin 0,5==300.
На цилиндрическую поверхность полуцилиндра лучи падают под
разными уrлами. Из полуцилиндра выйдут лишь лучи, не испытавшие
BHYTpeHHero отражения. Ус-
ловие выхода луча:
1
s lп '\'  ----- .
n
Критический уrол падения
луча на цилиндрическую
поверхность равен
1 1
'\' == arcsln n == arcsln У2
'\' == 450.
Из рис. 42 видно, что из
полуцилиндра выйдут лучи, .Рис. 42
точки падения которых на
ЦИlIиндрическую поверхность определяются уrлами <р, лежащими в
пределах
,
<Pl<P2== (180-----<р2),
при которых ,\,==450. Найдем уrлы <Рl и <Р2. Из 60АВ получим <Рl== 180°-----
_____'\'_____(90° _____)==900 -----'\'+ ==900 -----45°+300==750. Из 60CD найдем <Р2==
==,\,+(900+)== 165°.
Таким образом, свет будет выходить из части боковой поверхности
цилиндра, оrраниченной дуrой BD, отсекаlощей уrлы <р, лежащие в
пределах
7501650.
При м е ч а н и е. Лучи, которые падают под уrлами <р<75 0 или
<р> 165°, претерпят MHoroKpaTHoe внутреннее отражение и тоже выйдут
из полуцилиндра, но через ero плоскую поверхность. Попробуйте это
доказать.
53

9. Для исследования содержимоrо коробок необходимо поочередно
подключить выводы каждой коробки сначала к источнику постоянноrо
тока и зафиксировать показания амперметра и вольтметра, а затем к
источнику переменноrо тока и тоже отметить показания амперметра и
вольтметра.
По результатам измерений на постоянном токе определяются элект
рические сопротивления
R 1 == и 1 /1 1 , R 2 == u 2/12' Rs== U а/ 1 з.
Измерения на переменном токе ПОЗВОЛЯIОТ обнаружить, что полное
сопротивление ZI электрической цепи в коробке N2 1 существенно боль
rnе, чем R 1 . Следовательно, в этой коробке находится катушка, индуктив
ность которой L можно рассчитать, применив закон Ома для цепи перс
MeHHoro тока, содержащей индуктивное сопротивление:
1 ,  и  и L V (и/ 1)2 ----- (и i/ 11)2
1 J откуда == 2 ·
Zi. V Ri + 41t 2 V 2 L2 1tV
В коробке N2 2 сопротивления элемента цепи постоянному току и
переменному току оказываются одинаковыми, следовательно, в ней Ha
ходится резистор.
В коробке N2 3 сопротивление элемента цепи на переменном токе
Z2 имеет конечное значение, а на постоянном токе стремится к бесконеч
ности. Можно сделать вывод, что в этой коробке находится конденса-
тор. Ero электроемкость С можно определить, применив закон Ома для
цепи переменноrо тока, содержащей емкостное сопротивление:
, ,
g м 1== ИЗ === Из
Zз 1/21tvC
а
тsg
F
о
х
. :.
Рис. 43
откуда
,
с== 13 .
,
2лvU з
Для повышения точности измере-
ний следует учитывать сопротивление
амперметра, так как вольтметр в ис
пользованной цепи измеряет н апряжс-
вне на элементе, находящемся в короб-
ке, и на амперметре.
10. 1) Рассмотрим случай, коrда Бсе три тележки движутся
с одинаковым ускорением а, равным
F
а== .
mA+mB+ 17l c
(1)
На рис. 43 указаны силы, действующие на тележки А и В. Запишем
второй закон Н ьютона в проеl{ЦИЯХ на координатные оси Ох и Оу
для тележек А и В.
54

Для тележки А:
N 2 ==mAa,
т 2 -----mАg == О.
(2)
(3)
Для тележки В:
Ti==mBa, (4)
NimBg==O. (5)
т ак как нить и блок невесомы, то Т 1 == Т 2 И из выражений (2) и (5)
следует:
т ==тва === mAg,
тА
a===g.
тв
(6)
Из (1) и (6) получим:
F ( + .J.... ) (тА +тв+те) тAg
== тА тв I те а== .
тв
Подставляя числовые значения величин, получим: а) Т 3H; б) F 30H.
2) Запишем второй закон Ньютона, предположив, что тележка С
неПОДБижна:
mАg + т ==----- mAai,
т ==тваl'
Решая эти уравнения совместно и подставляя числовые значения,
найдем:
а) ai==  g6 м/с 2 , б) Т== тB g 1,2 Н.
тА тв тА тя
11. а) Для решения задачи прежде Bcero нужно определить, произой
дет ли при установлении тепловоrо равновесия таяние льда или замер
зание воды. Если количество теплоты Ql, выделяющееся при остывании
калориметра и воды до То==273 К, больше количества теплоты Q2, необ
ходимоrо для наrревания льда до То==273 К (Ql>Q2), то произойдет
таяние части или Bcero льда. Если Ql <Q2, то произойдет замерзание
части или всей воды. В случае Ql==Q2 при температуре То установится
тепловое равновесие при неизменных значениях массы воды и льда.
Рассмотрим возможные варианты.
1) Для случая Ql <Qj, т. е.
(сlml+с2т2)(Тl----- То) <сзmз (То----- Т 2),
найдем сначала массу t::.m 2 замерзшей воды. Составим уравнение тепло
Boro баланса
QI-----Q2===лт2.
Если при вычислении масса
т ........ Q 1 ----- Q 2
2----- Л
замерзшей БОДЫ окажется больше массы всей воды (т2>т2), то это
означает, что вся вода в калориметре замерзла и охладилась до темпе..
ратуры Т з<Т о . В этом случае масса lп 4 льда в калориметре равна
т 4 ==т2+ т з, масса т о БОДЫ равна нулю: тъ==О, а температура Т 3 льда
55

и калориметра определяется из уравнения тепловоrо баланса
с 1 т 1 (Т 1----- Т з)+с 2 m 2 (Т 1 ----- Т о )+сз m 2 (То----- Т з)+лm 2 == сзmз (Т з----- Т 2).
Из этоrо уравнения получаем выражение для нахождения температуры
Т з в состоянии тепловоrо равновесия:
С1 т 1 Т 1 +С2 т 2 (Т 1  Т о) +сз m 2 Т О + лm2 +сз m З Т 2
Тз
Сl т l + сз m 2 + сзmз
Если Дт 2 <.т 2 , то температура Т 3== То-
2) Для случая Q1>Q2 найдем массу дm з растаявшеfО льда. Составим
уравнение тепловоrо баланса
Q2-----Ql ==лДт з .
Если при вычислении масса
дmз === Q2 ----- Ql
"л
растаявшеrо льда окажется больше массы Bcero ЛЬДа (дmз>m з ), то это
означает, что весь лед в калориметре растаял и вода после таяния льда
наrрелась до температуры Т з>Т о . В этом случае масса т 5 воды в кало
риметре равна m 5 ==m 2 +m з , масса т 4 льда равна нулю: т 4 ==О, а TeM
пература Т з воды и калориметра определяется из уравнения тепло
Boro баланса
с 1 т 1 (Т 1----- Т з)+с 2 m 2 (Т 1----- Т з)==лmз+сзm з (То----- Т 2)+с 2 т 2 (Т з----- То).
Тоrда температура Т з в состоянии тепловоrо равновесия равна
С1 т 1 Т l +c2m2T2-----лmз+сзmз (Т о -----Т 2 ) +С2 m з Т о
Тз
Cl пl l +С2 m 2+ С 2 m з
Если Дmз<mз, то Тз==Т о .
б) Используя числовые значения, сравним количества теплоты
Ql==4,59.10 4 Дж и Q2==8,4. 104 Дж.
Так как Q2>Q1' часть воды замерзнет. Найдем массу замерзшей воды:
л Q2 ----- Ql ,...., О 11 
ilm2 ....... "л ,...." u К r ·
Следовательно, масса m Б воды в калориметре стала равной т Б ==т 2 -----
дт 2 ==О,885 Kr, а масса т 4 льда равна m 4 ==m з +дm 2 ==2, 115 Kr. Темпе
Jl ратура Тз воды и льда в кало
l риметре равна оос.
 F 12. На шарик с зарядом q
.... действуют три силы (рис. 44):
тg J Fi сида т ----- натяжение нити, си 
ла тя)кести mg и сила F
Рис. 44 электростр.тическоrо взаимодеi
ствии между зарядами Q и q.
Сила F является равнодействующей сил Fi, с которы.1И заряды
малых участков кольца д[ взаимодействуют с зарЯДО\1 q ([ < ').
Каждый из таких участков можно считать точечным зарядом дQi'
56

Сила Fi ero взаимодействия с зарядом q определяется по закону.
Ку лона:
1  Q iq
p ' ...... 4  1 2'
nр'о
rде
Q
Qi  2nR li'
Так }{ак заряд равномерно распределен по кольцу, то в результате сим
метрии равнодействующая сил F i направлена вдоль прямой, проходя
щеЙ перпендикулярно плоскости кольца через ero центр. Поэтому MO
дуль силы F равен сумме проекций векторов всех сил Fi на ось
кольuа, перпендикулярную ero плоскости:
1 Qq
F === F i cos а== 41[80 2nR 12 cos ali.
Т ак как 1 i == 2nR, то
P  1 Qq
4  l 2 cos а.
пво
(1)
Запишем условия равновесия шарика:
т sin а ----- тg == О, Т cos а  F == О.
Из этих уравнений находим
F == тg .
tg а
(2)
(3)
Из выражений (1) и (3) получаем:
тg....... 1 Qq nzg .......  9q . R
tg а .......... 4nво [2 cos а, или sin а ----- 41[80 [2 ' rде Sln а:::::: 1 '
откуда найдем
1....... V 1 QqR
----- 4nво тg ·
Подставив числовые значения величин, получим l==7, 1.10--2 м.
13. Запишем условие интерференционно-
ro максимума для отраженноrо света
==nл
,
.
2
1
, l'

If
(1)
"tj
rде n== 1, 2, 3, . . ., л----- длина волны, ----- ра-
зность хода лучей 1 и 2 (рис. 45). Луч 1,
отраЗПRШИЙСЯ от верхней rрани кубика, прой
дет расстояние на 2d большее, чем луч 2,
отразившийся от нижней rрани пластинки,
если уrол падения близок к НУЛJ<). Кроме Toro,
луч 1 отражается от оптически более плотной Рис. 45
среды, при этом происходит сдвиr по фазе
На Jt (потеря л/2), а луч 2 отражается от оптически менее плотной среды
Il ero фаза не изменяется. Таким образом, УС.повие (1) можно записать
57

в виде:
2d + "Лj2 == пА, или 2d
(2п 1) л
2
(2)
Условие (2) должно выполняться для двух длин волн ----- для Ао==
==400 нм (при n==k+ 1) и дЛЯ А 1 , находящейся между 400 и 1150 нм (при
n==k), т. е.
2d _____ 2k + 1 '1
----- 2 o'
2k ----- 1
2d,=== 2 Аl'
Отсюда получаем, что
2k + 1-
Аl == 2k _____ 1 ло.
Но по условию А! < 1150 им, следовательно,
2k+ 1
2k_____l .400 НМ < 1150 I1М.
Это неравенство выполняется при k> 1.
Третья длина волны А 2 (при n==k-----l) должна быть уже больше
1150 нм:
2k+ 1
2k -----3 . 400 нм > 1150 нм.
Это неравенство выполняется при k < 3. Следовательно, 1 < k < 3,
т. е! k === 2. Тоrда
2k+ 1 5
Аl == 2k-----l Ао==з- Ао === 666,7 им,
2k+ 1 5
d Ао::=----- Ао  500 нм.
4 4
Теперь Можно найти изменение температуры, при котором за счет
тепловоrо расширения ребро куба удлинится на толщину зазора d: d==
==aaT, откуда
T===d/aa,
T==3,1 1<.
14. Цепи а) и б) представлены соответственно на рис. 46, а и б. Сила
тока в цепи б) будет равна нулю, если напряжение, приложенное к ее
и
bi  I Ф
Ян ях t:::::!
ii Rзаш.
О
Рис. 46
выводам, будет равно э. Д. с. <fJ по модулю и противоположно по знаку.
Это возможно, если U>С. в этом случае нужное напряжение можно
получить на участках АС, 8С или CD путем изменений сопротивления
RM маrазина сопротивлений и перемещения скользящеrо контакта С по
58

реохорду. Рассмотрим случай подключения цепи б) к точкам В и е
цепи а) (рис. 47). Тоrда для выполнения условия U ВС=={} нужно BЫ
брать значения сопротивления R 1 маrазина сопротивлений и сопротивле
иия Ra участка Ее реохорда такими, чтобы
выполнялось равенство
(!
UBc==IRa':::::! R1+Rx Ra==<f},
и
---i
rде U ----- напряжение на зажимах аккумуля- R
,., Н:х;
торов.
paBHo; ::Bie; :: r:: ; ча :::н:;ч:с:::о;: A G: В
., R защ
1  длина Bcero реохорда, Rx сопротиВ- .
ление Bcero реохорда. Поэтому последнее
уравнение можно представить в таком виде: Рис. 47
л aR x
ф == U 1 (R1 + Rx) ·
Изменив длину участка Ее реохорда, можно вновь добиться выполнения
условия U Bc==f8 путем изменения сопротивления маrазина сопротивле
ний. Определив значение R 2 сопротивления моста сопротивлений при
равенстве нулю силы тока через rальванометр во втором опыте при ВС==
== Ь, составим второе уравнение:
л и bRx
ф l(R2+Rx).
По измеренным значениям R. 1 , R 2 , а, Ь и 1 из двух уравнений с тремя
неизвестными f8, U и Rx можно найти значение сопротивления Rx
реОХОРД8 и отношение U / <fi
R. ----- а R 2 ----- Ь R 1 и ( R 2 ----- R 1) 1
х..... Ь-----а ' <fJ аR2-----ЬR1 ·
Это решение получено в предположении, что напряжение и не изме
няется при изменениях сопротивления моста сопротивлений в цепи а),
т. е. внутреннее сопротивление аккумуляторов пренебрежимо мало.
При выполнении эксперимента для получения результатов с наи
меньшей поrрешностью измерений нужно выбрать такие значения длин
участка Ее реохорда, при которых была бы мала относительная поrреш
ность измерений самих длин а и Ь (для этоrо они должны быть возможно
большими) и вместе с тем имела бы по возможности большое значение
разность длин (Ь-----а). Поэтому в первом опыте можно установить значе
Ilне длины а== 1/2, а во втором ----- значение Ь== 1. В этом случае формулы
для нахождения Rx и И/8 упрощаются:
U 2 (R 2 ----- R 1)
R х == R 2 -----2R 1, {J ::= R 2 _____ 2Rl t
59

Если внутреннее сопротивление, аккумуляторов не слишком мало
по сравнению с сопротивлением Rx реохорда, то при выполнении экспе
римента необходимо использовать такие способы двух подключений цепи
б) к цепи а), при которых сила тока в цепи аккумуляторов не изме
н яется .
Для Toro чтобы сила тока в первой цепи была одинаковой в обоих
опытах, сопротивление маrазина сопротив.пений должно быть в этих
опытах неизменным. Ero значение RM нужно выбрать таким, чтобы путем
перемещения скользящеrо контакта С цо реохорду можно было добиться
отсутствия тока во второй цепи при ее подключении сначала к точкам
В и С, а затем к точкам А и С первой цепи. Для этих случаев можно
записать уравнения
11 ==IRa==1  Rx. {j==1 (Rи+Rв)==1 (RM+  Rx).
Из этой системы уравнений получаем
R == lR M
Х а-----Ь'
т. е. сопротивление реохорда должно быть больше или равно сопро-
тивлеНИIО маrазина: Rx  R M .
Найдем оrраничения дЛЯ RM при первом способе решения. Так
как и == 1 (R м + Rx), то отношение и / <8 равно
и RM+Rx
7== Ra ·
. Из последнеrо равеНСТЕа можно получить выражение для сопротив-
ления R м маrазина:
Rи  Rx  Rx==Rx (  .   1) .
Максимальное возможное значеIjие сопротивления RM соответствует
случаю а  1, т. е.
RM тах == Rx (   1 )
и при и ==  обращается в нуль.
15. а) К моменту освобождения бруска каретка имеет скорость ио
относительно стола и продолжает движение с этой же скоростью.
Б русок под действием силы трения F тр == llтg со стороны каретки
приобретает ускорение a==FTp/M==J..tтg/M; а==О,О2 м/с 2 , а скорость
бруска изменяется со временем по закону Vб == at.
Так как брусок не может двиrаться быстрее каретки, то в неко..
торый момент времени t == t o проскальзывание прекратится, т. е.
Vб == ио. Определим этот момент времени:
t ....... l'O ........ vOI1  5
0-----   ----- с.
а fA.mg
60

К этому моменту времени перемещения каретки и бруска относительно
стола будут соответственно равны:
иM
SK == voto ,
JA,тg
2 2
S ...... а t о ........ v о М
б  2 ----- 2 JA,тg ·
Перемещение каретки относительно бруска равно
иM
S==SкSб  2тg ......... 0,25 м.
Так как S <l, то каретка не достиrнет края бруска до тех пор, пока
брусок не упрется в неподвижную опору. Расстояние до опоры в условии
задачи не указано, поэтому вычислить это время нельзя. Итак, каретка
движется равномерно со скоростью ио==О,1 м/с, брусок первые 5 с дви
жется равноускоренно с ускорением а==0,02 м/с 2 , а затем брусок дви
жется вместе с кареткой равномерно.
б) Так как между бруском и поверхностью стола трения нет, то
система тел «брусок ----- каретка» является замкнутой. Для этой системы
можно использовать закон сохранения импульса:
ти+Ми==lпио, (1)
rде V и u ----- nроекции скоростей каретки и бруска относительно стола
на rоризонтальную ось, направленную по вектору скорости и о ' Скорость
наматывания нити ио равна скорости каретки относительно бруска
(и-----и), Т. е.
ио== и-----и. (2)
Решая систему уравнений (1) и (2), получаем:
и==О, и==ио.
Таким образом, после освобождения брусок останется неподвижным
относительно стола, а каретка будет двиrаться с прежней скоростыо
ио и достиrнет края бруска через время " равное
'== l/ио== 5 с.
16. Подсчитаем, какое количество n 1 атомов натрия и какое количе
ство n 2 атомов хлора входит в состав одной элементарной ячейки крис
7алла NaCl (см. рис. 5).
В центре ячейки находится один атом натрия, полностью принадле
жащий этой ячейке, и 12 атомов натрия, находящихся на ребрах боль
шоrо куба. Каждый из атомов на ребре куба принадлежит еlце трем дpy
rим элементарным ячейкам, данной ячейке принадлежит 1/4 атома HaT
рия. Bcero одной ячейке принадлежит
1
nl == I + 12.44 атома натрия.
В одной элементарной ячейке кристалла NaCl имеется 6 атомов
Х.,10ра, находящнхся на rранях куба, и 8 атомов хлора, находящихся в
61

ero вершинах. Каждый атом на rрани принадлежит еще одной ячейке,
а атомы в вершинах куба принадлежат еще семи ячейкам. Поэтому одной
ячейке принадлежит
1 1
п2 === 6'2"+8.8==4 атома хлора.
Таким образом, ОДНОЙ элементарной ячейке кристалла NaCI при
надлежат 4 атома натрия и 4 атома хлора.
acca т такой ячейки равна
m===4т,Na+4m,CI (а. е. м.),
rде т, Na и т, СI.....относительные атомные массы натрия и хлора.
Так как масса атома водорода mн приблизительно равна одной атом-
ной единице массы: тн == 1,008 а. е. м.  1 а. е. м., то масса элемен-
тарноЙ ячейки NaCI равна
т== 4 (т, Na +т, Cl) т н ,
С друrой стороны, она равна т == раЗ, следовательно,
т ......... раЗ rO.J 1 67 lO 27 Kr
H-----4(m'Nа+ m 'Сl) rO.J ,. ·
17. Потенциал сферы в случае отсутствия заряда на шаре равен
1 Q
epoe=====450 В.
4лво R
При соединении шара, находящеrося внутри сферы, с Землей потен
циал шара равен нулю, между ним и сферой существует электрическое по-
ле, под действием KOToporo на шар с Земли перетечет некоторый заряд q.
Заряд Q, равномерно распределенный на сфере, не создает поля внутри
нее, поэтому поле внутри сферы определяется только зарядом шара q,
и разность потенциалов между шаром и сферой равна
дер == ерш ----- ере  ( !l.._____!l.. ) . (1)
4Л80 r R
Поле вне сферы такое, как если бы все заряды были расположены в цeHT
ре сферы. IIоэтому потенциал сферы ере после соединения шара с Землей
равен
1 q+Q
СРс == 4лв о R · (2)
Следовательно, потенциал шара
qJш==qJс+ qJ  480 ( q1 Q + ;   )  480 (  +  ) ==0, (3)
откуда следует, что
r
q ==  Q ....... t
R.
(4)
62

Подставляя выражение (4) в (2), получим искомое значение для по-
тенциала сферы:
r
1 QQR 1 Q(R-----r)
<Ре  4Л80 R 4лво R2 225 В.
Электрическая емкость полученной системы проводящих тел равна
С==!{== BoR2 ==4,4. IOll Ф =: 44 пФ.
ере  r
Эквивалентная электрическая система состоит из двух параллельно
соединенных конденсаторов: 1) сферическоrо с зарядами на обкладках
+q и -----q и 2) конденсатора «сфера  Земля» с зарядами на обкладках
+ (Q-----q) и -----( Q-----q) (рис. 48).
А
м
+ q -- q
"'.......,
I '
\ I
'"... ,

..........
\
R/Z
о
T(Qq) (Q.--q)
Ри с. 48
Рис. 49
18. Как известно, лучи, параллельные rлавной оптической оси
сферическоrо зеркала и проходящие на небольших расстояниях 01' нее,
после отражения сходятся в rлавном фокусе зеркала Р, находящемся
на расстоянии R/2 от центра О сферической поверхности. Рассмотрим
теперь ход луча, отраженноrо у края сферическоrо зеркала большоrо
диаметра D (рис. 49). Уrол падения а луча на поверхность зеркала равен
уrлу отражения. Поэтому уrол ОАВ в треуrольнике, образованном pa
диусом ОА сферы, проведенным в точку падения луча, отраженным лу
чом АВ и отрезком ВО rлавной оптической оси, равен а. Уrлы ВОА и
М АО равны, т. е. уrол ВОА равен а.
СлеJ!.овательно, треуrо.лъник АОВ равнобедренный, сторона АВ в
нем равна стороне ВО. Так как сумма длин двух любых сторон в Tpey
rольнике больше длины ero третьей стороны, AB+BO>OA==R, то
BO>R/2. Это означает, что луч, параллельный rлавной оптической оси
сферическоrо зеркала и проходящий не очень близко от нее, после OTpa
жения пересекает rлавную оптическую ось в точке В, расположенной
между фокусом F и зеркалом. Фокальную плоскость этот луч пересекает
в точке С, удаленной от rлавноrо фокуса на некоторое расстояние CF==r.
Таким образом, при отражении параллельноrо пучка лучей от сфе
рическоrо зеркала конечных размеров он не сходится в фокусе зеркала,
а образует D фокальной плоскости пучок радиуса '.
Из 6. ВРС записываем:
'== ВЕ tg == ВР tg 2а,
БЗ

sln 2а, cos 2сх
rде сх ----- максимальный уrол падения крайнеrо луча, падающеrо на
зеркало, причем sin a===D/2R:
R R R 1 -----cos а
Bp===Bo-----ор== 2 2 2
cos сх == cos а
R 1 ----- cos а sln 2сх
'==........... . Выразим значения cos а,
2 cos Q', cos 2а
через sin а, учитывая малость уrла а:
sin 2 а
cos а === V 1----- sin 2 а  1----- 2 '
sin 2а === 2 sin сх cos СХ,
cos 2а === cos 2 а ----- sin 2 а === 1----- 2 sln 2 а.
Следовательно,
Тоrда
R s in 3 сх R. . D 3
'==:::2 1  2 sfn 2 а  2" sln 3 сх  16R2
Подставляя числовые данн ые, по лучим: r  1,95.10--3 м  2 мм.
Из выражения D == V 16R2, видно, что, если радиус приемника
уменьшить в 8 раз, то поперечный диаметр D' зеркала, с KOToporo
падает свет на приемник, уменьшится в 2 раза, а, следоватльно,
«рабочая» площадь зеркала уменьшится в 4 раза.
Во столько же раз уменьшится поток излучения Ф, попадающий
в зеркало и принимаемый приемником, так как Ф"",S.
19. Рассматривая предметы через линзы, леrко установить, что были
даны две линзы соби рающие и одна рассеивающая. Фокусное раССТОЯНИQ
собирающей линзы можно определить следующими способами:
1) получить на экране действительное изображение удаленноrо нс"
точника, например дома, видимоrо из окна. В этом случае фокусное рас..
стояние F будет приблизительно
равно расстоянию от линзы до эк..
рана f : F =. ';
2) с помощью линзы получить
действительное изображение reoMe
рической фиrуры, изображенной на
экране. Положение действительноrо
изображения фиксируется методом
параллакса: если в точку, в которой
находится изображение, поместить
вертикальную проволоку (рис. 50),
то при небольших смещениях rлаза от rлавной оптической оси линзы
изображение предмета и проволока не будут расходиться.
По измер.енным расстояниям d и t получим ИЗ формулы тонкой ЛИН--
зы значение фокусноrо расстояния: 
1 I I df
Р==([+Т; р== d+f "
d
f
р>
Рис. 50
64

Наибольшую точность этот метод дает при выполнении соотношения
{=== d.
(Это обнаруживается при исследовании на минимум rраницы относитель
ноЙ поrрешности измерения Фокусноrо расстояния ВРа.)
А
в
Рис. 51
Правильность полученных значений F 1 И F 2 можно проверить, соб-
рав трубу Кеплера (рис. 51), рассчитав ее увеличение по формуле r==
== tg ep2/tg ер1  F 1/ F 2 и сравнив полученное значение с результатами опы"
та по наблюдению делений линейки одним rлазом через трубу Кеплера,
а вторым rлазом непосредственно.
-;а.....................
Рис. 52
Определение фокусноrо расстояния рассеивающей линзы можно
провести методом компенсации. С этой целью нужно получить де:Йстви
теЛЬНОЕ: изображение S' предметZt S с помощью собирающей линзы. По
ложение изображения можно зафиксировать методом параллакса.
Если между предметом и собирающей линзой поставить рассеиваю
щую линзу, то изображение перемещается. Найдем новое положение
изображения S". Используя свойство обратимости световых лучей, мож"
но принять, что световые лучи выходят из точки S". Тоrда точка S'
является мнимым изображением точки S", а расстояния от оптическоrо
центра рассеивающей линзы до точек S' и S" являются соответственно
расстояниями f до изображения и d до предмета (рис. 52). Используя
формулу тонкой линзы, получим
1 1 1
----- F; == ----- т + d '
рз===_L.
d-----f
Проверить полученные значения фокусных расстояний можно, соб..
рав трубу rалилея и сравнив рассчитанное значение увеличения трубы
с опытными данными.
з о. Ф. Кабардин, В. А. орлов
65

20. Решим задачу, воспользовавшись законами сохранения. Обозна--
чим через а модуль ускорений rрузов относительно клина, ао  модуль
ускорения caMoro клина относительно плоскости (рис. 53). Так как на
систему «клин ---- rРУЗБl» не действуют внешние силы в rоризонтальном
направлении, то сумма проекций импульсов тел, входящих в систему,
на rоризонтальную ось Ох
ДОЛ2Кна оставаться постоян-
ной величиной. В начальный
момент времени система по-
. коится И сумма проекций
импульсов тел равна нулю:
Px==O,
тlVix+т2V2x+Mvx==O, (1)
и
а о

D
Рис. 53
.х
rде ('1х, и 2х , и х ...... проекции скоростей rрузов и клина на ось Ох.
Проекции ускорений тел системы на оси Ох и Оу:
afy == ---- а sfn cti;
а2у == а sin (Х2;
aix ==aoa COS Cli;
а2х == ао......а cos (Х2;
а х == ао.
Следовательно, через время t после начала движения скорости Vix,
V2Xi и х будут соответственно равны
Vix == aix l , V2x == a2x t , V x == axt.
Подставляя эти выра2Кения в уравнение (1), получим
т! (aoa COS CXi)+т2 (aoatos (Х2)+Мао==О.
Из последнеrо уравнения получаем формулу для вычисления уско-
рения:
м +тi+т2
а == ао I
т! cos Clf+m2 cos а2
Соrласно закону сохранения энерrии равны изменения кинети-
ческой и потенциальной энерrий системы тел «rрузы....... клин....... Земля»
(2)
или
АЕ к ==....... дЕ п,
2 2
тiVl т'Р2 М и 2
2 + 2 +==тighiт2gh2,
rде
(З)
V 2 2 1/ 2 2
Vf== VIX+ V ly == V аlх+аlУ ' t,
V 2 2 ./ 2 2
Vg == и2Х+ и'!.у== r a2x+a2y,l,
V == aot,
af y t 2 a 2y t 2
hi == 2 ' h 2 ,:::: 2 ·
66

в результате подстановок из полученных выражений формула (3)
примет видt
тl [(ао.....а cos СХl)2 + а 2 sln 2 СХl] + т2 [(ао -----а cos СХ2)2 + а 2 Sin 2 (X2J + Ma==
:::: тlga sin CXi ----- m2ga sЦ1 CXI.
Подставляя в это выражение значение ускорения а из формулы
(2), получим
(т! эш cxi..... т2 sin СХ2) (mi cos СХ:[ + т2 cos СХ2)
ao (ml +т2+М) (mi+т2)(ml cos сх+т2 cos СХ2)2 g. (4)
При выполнении соотношения mi sin CXi.......т2 sin CX2O' т. е. при
отношении масс rрузов ml/m2sin cx 2 /sin CXi, ао==О, а так как Vo==O, то
клин будет неподвижен.
Выражение (2) показывает, что при выполнении этоrо условия моду"
ли ускорения rрузов относительно клина будут также равны нулю, Т. е.
rрузы при неподвижном клине Moryr ':'олько равномерно сколroитъ по
нему.
2 t. Обозначим высоту трубки над ртутью Н (H:::J: const). высоту
подъема ртути в трубке h, (рис. 54, а).
р
Ib
:к:::
z 
fJ
У() 6
Рис. 54
Давление водорода в трубке меньше давления воздуха на вели-
чину pghi:
РН 2 == РВоэд.....рghl f
rде р ....... плотность ртути при температуре 1.
Р==Ро (l.....t),
Ро----- плотность ртути при 'ООбс, или при То==273 К? ...... коэффициент
объемноrо расширения ртути. Объем водорода равен
Vi == S (Н ----- h;),
rде s..... площадь поперечноrо сечения трубки.
Запишем уравнения Менделеева  Клапейрона для водорода в точ-
ках О, 1, 2J 9 РV-диаrраммы изменения состояния воздуха в камере
3" 61

(рис, 54, 6):
т. 1
т
(P(JPogho) S (Н ho)':::! М RTo,
т
(Р 1 POghl) S (Н hl)  М RTo,
т
(P2Plgh2) S (H-----h2) М RT 2 ,
(1)
(2)
(3)
т. О
т. 2
lде
Р Т'А
Р 2 == i То '
Рl== l+ (2To)  ро [l (T2To)],
(4)
так как процесс изохорный;
т
т. 3 (Р 2 -----Р2g h з) S (Н -----h з )== М RТ з ,
(5)
rде
Р2 == ро [1-----  (Тз........ То)] t
v з Н ----- h3
Т з == т 2 V 2 == Т 2 Н ----- h 2 '
(6)
так как процесс изобарный.
Мы получили систему уравнений, в которых неизвестны параметры
Н, т, Т 2, ТЗ, P'j.
Из уравнений (1) и (2) найдем Н и т:
р о ----- Pog ho ....... Н ----- h 1.
PfPoghl Н ho ·
Н == ho (РО ----- pogh o ) hf (Р 1  poghi) 1 3
р о ----- р 1 ----- pog (ho ----- h 1) :::::, М,
М
т RT (Po-----pgh o ) S (Н ho)  2,11.10"'6 Kr,
Из уравнений (3) и (4) найдем Т 2 И Р 2.
Если в первом приближении можно пренебречь малым изменением
плотности ртути при ее наrревании, то в этом случае получим
Pogh 2 S (Н ----- h 2 ) 3 Т 2 ..
Т 2 == P1 S (Hh2) !!!:....R  64 К; P 2 ==Pi ТО  1,067.1O Па.
ТО М
Искомое давление водорода в конечном состоянии равно Р=== Р 2
......роgh з  4,67 .104 Па.
Если 1Ке учесть малое изменение плотности ртути, то расчеты cy
щественно УСЛО1Княтся. В этом случае из уравнений (3) и (4) получим
{Р 1 : POgh2 [l (T2To)]} S (Н h2)=== .z RT 2 .
откуда
Т 2 :=. Р Pogh 2 S (Н h2) (l + РТо)  359 К.
1 А т
т о S (Н h2) + t-'Роgh 2 S (Н ........h 2 )  м R
68

JLавление Р2 изменится незначительно:
р 2 == Р i : ;::;J 1,05. 105 Па.
JLля определения давления Р водорода в конечном состояgии
Р==Р2роgJlз[1Р (ТзТо)]
(7)
нужно рассчитать температуру Тз. Для этоrо воспользуемся уравнения-
ми (5) и (6):
{ т Нhз
Р2 Pogh8 [l----- (Тз.... Т о)]} 8 (Н -----h 3 ) == М RT 2 Н h2 '
т 1
М R т 2 Н _____ h ----- Р 2 + роgh з 8 + роgh з  Т 08
Тз '== 2 :=:::: 546 К.
Рроgh з 8
Подставив полученное значение ТЗ в выражение (7), найдем p
4,8.104 Па.
Таким образом, наше первое приближение было вполне коррект-
ным; уточненные значения Т 2 И
Р отличаются лишь на 1-----21>.
22. Эквивалентная элеКТРlf.
ческая схема цепи по рис. 8
представлена на. рис. 55. Из
этоrо рисунка видно, что через
источники {f 2 И CfJ 3 ток не идет, D
так как в точках С и Е эти ис-
точники подключены к верши-
нам, к которым подсоединены
только конденсаторы.
Ток в цепи может течь толь
ко по контуру ABFGHDA. Сила тока в этом контуре равна
1...... <8 4 ----- <81
........ 4 R '
СЗ
е
Рис. 55
rде R -----сопроТивление каждоrо из резисторов. Падение напряжения
на каждом из резисторов
и  I R ...... !} 4 ----- CfJ 1 R  <84----- <8 f
R  ----- 4R · ----- 4 t
Энерrия электрическоrо поля в конденсаторах равпа
С U 2 С и 2 С и 2 С и 2
W==- 1 С 1 + 2 С 2 + з С З . L 4 C4  ( и2 + и2 + и2 +и2 ) .
2 2 2 I 2 2 С 1 С 2 С 3 С"
Для расчета модулей напряжений U Сl' U С2' U СЗ, U C.f. применим вто-
рое правило Кирхrофа для замкнутых цепей: ABCDA, врасв,
69

АС з ЕНRDА, РЕНОР:
U 1).D iJ 4 ----- <8 f
<82<8i == U R+ СI::;> U СI == (9 2-----(91  4 '
U д ..n <8 4 ----- <8 i
tC4<82==UR+UC'J c2==(94-----(92 4 '
U 1) ..n <84<8i.
<88-----<8i==UR+UСа Сз==(93«>1----- 4 '
<8 4 ----- <8 i
<C4<88== UR+U C , > и с ,==<84.......<83 4
Подставив числовые значения, получим U С1 == 1 В, U с 2 == 5 В;
и с s == 5 В, U с, == 1 В, W == 2,6. 1 О  5 Дж.
При закорачивании точек Н и В по участку цепи ВРОН течет тои:
[' == <84/ 2R .
Искомый заряд q конденсатора С 2 равен
,
q2 == с 2 и С 2 '
rде и2 ==<82I'R ==<82-----<84 R / 2R ===<82-----{J4/ 2 ' q==C 2 (<82......<84/2).
Подставляя числовые значения, получим q2 == о. Следовательно, заряд
конденсатора С 2 в этом случае будет равен нулю.
23. При рассматривании рыбки будут видны два ее изображения.
Первое изображение получается в результате прохождения световых
лучей от рыбки к наблюдателю через одну преломляющую поверхность
«вода ----- воздух» (преломленим в стекле по условию задачи пренебре..
raeM). Второе изображение получается в результате прохождения через
аквариум световых лучей, отраженных плоским зеркалом. В этом случае
аквариум можно считать шаровой линзой, через которую рассматривает
ся изображение рыбки, даваемое плоским зеркалом. Найдем скорость
перемещения первоrо изображения. Пусть рыбка за малый интервал
времени Д' переместилась вдоль стенки аквариума из точки А в точку
8 (рис. 56). Найдем перемещение ее изображения. Для этоrо найдем по
пожение изображения рыбки.
Выберем луч 1 света, выходящий из точки В и проходящий через
центр О сферическоrо аквариума. Этот луч выйдет из аквариума без
преломления. Луч 2  это такой луч, который после преломления на
rранице «аквариум ---- воздух» идет параллельно прямой, проходящей
через точки О и А. Коrда рыбка находится в точке В, ее изображение
!Находится на пересечении продолжений лучей 1 и 2 в точке В 1 . Найдем
скорость Vl перемещения изображения рыбки из точки А 1 В точку 81:
v1==A 1 B 1 / дt.
Перемещение А 1 В 1 изображения можно выразить через действитель
ное перемещение АВ рыбки и затем через ее действительную скорость v:
v==AB/ дt, vl/v==A1B1/ АВ.
70

Для малых уrлов ер и а из рис. 56 следует, что AB Rep, A 1 B 1 ==
==DC Ra, rде R  радиус сфррическоrо аквариума. Следовательно,
vl/v==A 1 B 1 / АВ===а/ер.
Как видно из рис. 56, уrол 1'== 1800 .....2== 180 0 .....а.....<р. Отсюда следует,
ч т о ер:;:;::: 2 .......a и
и! а a/
v == 2  ...... а а-. 2 a/ ·
Для малых уrлов а и  a/  sin a/sin  == пj откуда
Uf..... п
v 2 п.
При n==4/3 получаем vl/v==2, т. е. vl==2v, вектор 171 скорости перемеще-
ния изображения рыбки направлен в ту же сторону, что и вектор ско-
рости 17 рыбки.

At
I {
... )
В ..... !
...., J
M"""::::
Bj
Рис. 56
Рис. 57
Найдем теперь скорость и2 перемещения BToporo изображения.
Сначала определим фокусное расстояние аквариума как шаровой линзы.
Рассмотрим ход произвольноrо луча света, проходящеrо на неболь--
шом расстоянии от центра О сферическоrо аквариума (рис. 57). После
преломления на двух rраницах раздела «воздух ----- вода» (в точке О)
и «вода...... воздух» (в точке А) луч отклоняется от первоначальноrо на..
правления распространения и пересекает прямую, проходящую через
центр О и параллельную первоначальному направлению луча в некото-
рой точке Р. Найдем расстояние ВР, которое обозначим а (BP==a)
Для малых' yr лов 'у и б можно записать приближенные равенства
АВВF.б и ABOBt1'.
Так как OB R, из этих равенств следует
аб=== R1', или а== R1'/б.
Остается выразить а через величины уrлов у и б. Для уrлов 6АОР мож-
но записать равенство
б==а-----1' .
Так как уrол ')':::::: 2pa7 получим
б== 2a......2.
71

Подставляя полученные значения для уrлов 'у и б в выражение для а,
находим
2a 2a/
a==R 2a2B ===R 2 (a/ 1) ·
Уrлы а и  являются соответственно уrлами падения и преломления CBe
товых лучей на rранице «воздух  вода». Для малых yr лов а и 
a/ sin a/sin ==п. Отсюда
2п
a==R 2(пI) '
Подставив значение показателя преломления п==4/З, получаем
а== R.
Следовательно, фокус шаровоrо аквариума с водой находится на расстоя--
нии R от ero поверхности или на расстоянии 2R от ero центра.
Рассматривая изображение рыбки в плоском зеркале как дейст--
вительный объект, найдем efo изображение после прохождения лучей
через аквариум.
Для нахождения положения изображения точки 81 выберем два
.пуча, один -из которых проходит через центр О сферы, второй....... через
А{
8f
Рис. 58
фокус F на прямой ОА (рис. 58). Луч 1 пройдет через аквариум без изме--
нения направления, луч 2 после прохождения аквариума пойдет парал--
лельно прямой ОА. Изображение точки 81 получится В точке 8 з пересе..
чения этих лучей.
Используя рис. 58, можно установить СООТIIОLТJение между действи"
тельным перемещением АВ рыбки в аквариуме и перемещением А з 8 з
ее изображения перед аквариумом.
При отражении в плоском зеркале выполняется равенство
А 1 В 1 ==АВ.
Из подобия треуrольников F А 2В 2 и F А 1 В 1 следует
А 2В 2/ А 1 В 1 == R/ЗR== 1/3,
А 2 В 2 == А 1 В 1 /З== АВ/З.
Расчеты, аналоrичные проведенным для первоrо случая, показыва
ют, что
АзВ з / А 2 В 2 == 2, следовательно, АзВ з == 2А 2 В 2 == 2/ з АВ.
72

Таким образом, скорость BToporo изображения рыбки
и2 == А зВ 3/ I1t == 2/ з(v I1t /l1t) == 2/ з v
направлена в сторону, ПРОТИВОПОЛОЖНУI{) направлению скорости рыбки:
112 == -----2/ з V.
Относительная скорость, с котороЙ будут расходиться два изобра
жения рыбки, равна:
11 0тн == 111----- V 2'
V OTH == 2и+ 2/ зv == 8/ зv .
24. Для выполнения экспериментальноrо задания можно собрать
цепь по схеме рис. 59 и с помощью реостата изменять полное сопротивле--
ние внешнеЙ цепи R. Результаты измерений силы тока 1, напряжения
р
Y4r
I
-$,1'
v
Рис. 59
и и полезной мощности р== 1 и вносятся в таблицу. Полезной мощностью
считаем мощность, выделяемую на реостате и амперметре. rрафик зави--
симости р==! (/) теоретически представляет собой параболу (рис. 60).
Действительно, зависимость полезной мощности от силы тока выражает--
ся формулой
р == 1 и == 1 (-----I,) == 1 <8  12,.
Исследование зависимости мощности Р от силы тока 1 на экстремум
приводит к результатам
,
р 1 == се -----21 r == О,
или
1 == се /2,;
"
р 1 == -----2Т < О.
Таким образом, максимум мощности достиrается при силе тока, рав"
ной 1 == {} /2т. Мощность при этом будет
Pтax f, (c  )== f,2 .
Полезная мощность достиrает мзксимальноrо значения при равен-
стве сопротивлений R и (:
l {} c8
 R + r ----- 2, 
73

Отмечая по rрафику значение силы тока J и соответствующее
еначение максимальной мощности Р max, можно рассчитать внутрен-
....Нее 'CШIротивление источника тока , и ero э.Д.с.:
2 2
Pmax==/max r , '==Ршах//тах;
<fJ == 2/ max' == 2/ max P max/ /ax == 2Pmax/ / max'
Используя полученный rрафик, HeTpYHO построить требуемые rрафики.
ро
,r
о
r
Рис. 61
R
о
r
r
r- 2r
Рис. 62
R
р
8:о/4'
а) Полезная мощность Р (рис. 61) зависит от внешнеrо сопротивл
ния R: .
Р  /2R <8 2 R...... 1J2 R ....... i1'A ( 1 )
 ......(R+r)2 R+r R+r......... R+' l+,/R ·
Максимальное значение полезной мощности достиrается при R == r
и равно Р max == <82/4,.
б) Полная мощность РО (рис. 62) зависит от внешнеrо сопротив-
ления R:
с8 <82
РО == / 1)  J:J 
«> R+r(9R+'.
Максимальное значение полной мощности достиrается при R==O,
а затем при возрастании R полная мощность убывает.
в) Коэффициент полезноrо действия 1') источника зависит от внешн
ro сопротивления R:
р <8 2 R (R + ') R 1
f) == РО == (R +r)2 с8 2  R +' 1 +r/R ·
При возрастании R от нуля до значений во MHoro раз ббльших, чем
(, к. п. д. возрастает от О до 1 (рис. 63).
Следует заметить, что при использовании обычных батареек
недопустимо проводить измерения в области больших токов (поряд..
ка нескольких ампер), так как параметры батарейки при больших то-
ках быстро изменяются (это связано, в чаСТНОСТИ 1 с сильным HarpeBoM
батари).
74

25. 1) На ЦИ,,1ИНДРЫ, скатывающиеся с наклонной плоскости I
действуют следующие внешние силы (рис. 64): сила тяжести mg;
сила реакции N и сила трения F Тр' (Заметим, что F тр  lJ.N.)
1
 -
v
r 2r
Рис. 63
R
с1
Рис. 64
Запишем уравнения BToporo закона Ньютона в проекциях на
координатные оси:
м g sln (Х...... F тр == М а, ( 1)
N Mg cos (Х==о, (2)
rде а  ускорение оси цилиндра, М ---- полная масса каждоrо цилиндра.
Цилиндр вращается с уrловым ускорением е:
е==а/ R,
rде R  радиус цилиндра.
Так как это ускорение сообщается цилиндру силой трения, то, при--
менив основное уравнение динамики вращательноrо движения твердоrо
тела, получим
а
FTpR==Je==! R'
(3)
rде !  момент инерции цилиндра. Эта запись справедлива, если ци--
JIИНДР скатывается без проскальзывания.
Из выражений (3) и (1) имеем
а
Mg sln (x! R2 ===l\.1a,
Mg sin r:x g sln r:x
а М+J/R2----- 1+I/MR2 . (4)
Обозначим '...... внутренний радиус первоrо и TpeTbero цилиндров,
р  плотность вещества первоrо цилиндра. Тоrда по условию задачи
плотности вещества BToporo и TpeTbero цилиндров будут в n раз меньше:
Р2==РЗ==Р/ n.
Из условия равенства масс первоrо и BToporo цилиндров получим:
рл; (R2r2) l==l!.. nR 2 1,
n
r
-./ N n 1 .
[[ у
,
(5)
75

OMeHT инерции первоrо цилиндра
/ i === 1/2/'11 (R2 + ( 2 ).
с учетом (5) получим
(6)
1 f== 1/ 2 MR2 (2-----I/n).
OMeHT инерции BToporo цилиндра
1 2 === 1/ 2М R 2. (7)
Жидкость, находящаяся в полости TpeTbero цилиндра, вклад в
энерrию вращательноrо движения не вносит, так как при отсутствии
трения между жидкостью и стенками цилиндра она не вращается.
Плотность вещества TpeTbero цилиндра в n раз меньше плотности
вещества первоrо цилиндра, поэтому эффективная (вращающаяся) масса
TpeTbero цилиндра М эф === М/п. а ero момент инерции
1 1 MR2
/З===2 М эф R2 (2----- I/n) ==2  (2----- I/n). (8)
Подставляя значения / i, /2 И J з в выражение (4), получим
2g sin а 2g sln а
а 1 == 4 _____ 1 / п 3 + (1 ......... 1/ п) ; (9)
а2===2/ зgs inа; (10)
2g sin а 2g sin а 2g sln а
аз::=: 2 + 2/n----- 1/n 2  3 + (2/п ----- l/п 2 -----1) == 3 ----- (1  2/п + I/n2) . (11)
Сравнение ускорений
2 2 2
а 1 : а2 : аз == 3 + ( 1 _____ 1 j п) : 3: 3 ----- (1 _____ 2/ n + 1 / п 2)
показывает, что а!  а2  аз.
2) Условие скатывания цилиндров без проскальзывания:
Р тр  Il-N.
Из уравнения (2)
N == Mg cos а, F тР  flMg cos а.
Из уравнения (3)
F тр == / a/R2, / а/ R2  flMg cos а.
Используя уравнение (4), запишем
/ g sin а
R2 (1 +/ /MR2)  flMg cos а,
или
tg а  fl (1 + MR2/ /). (12)
Найдем максимальные значения tg а, при которых каждый из ци-
линдров не проскальзывает:
t . ( 1 MR2 / )  [ 1 + MR2 ]  4п-----l
g аl  fl + / 1  fl 1/ 2 MR2 (2-----1/п) ----- 2п-----l "",
tg СХ2==/1 (I+MR2jI 2 )==/1 [1 + 1::;2 ] ==3/1,
76

tg аз == 11 (1 + MR2/ 1з) ==
[ /ИR2 ] 2п2+2п 1
== t 1 + 1/2 (М R 2/ п) (2..... 1/ п) == 211,..... 1 f-t.
При п > 1 минимальныЙ уrол, при котором ни один цилиндр не
проска.."Iьзыnает, соответствует yr лу
411, ..... 1
аl == arctg 2 1 11.
п-----
При м е ч а н и е. Из выражения (12) следует, что уrол а убывает
при возрастании момента инерции 1. Максимальный момент инерции ----
у первоrо цилиндра. Это мы показали, доказав, что a 1 <а2<а з . Отсюда
сразу следует, что
4п..... 1
tg amin == 2п _____1 11,
(13)
4п ----- 1
amin == arctg 2п-----l f-t.
3) Для случая качения со скольжением всех цилиндров запишем
F TpR 11М gR cos CG
F тр == !J.Mg cos а, 8 ::::: 1 ----- 1 ·
Отношение уrловых ускорений равно
111 1 1 ( 1 )
81:82:88== 11 :7;:т;=:::: 2-----1/п : 1: (I/п) (2-----1/n) ...... 1: 2...... n :n. (14)
Из выражения (14) видно, что наибольшее уrловое ускорение при п> 1 ----
У TpeTbero цилиндра.
4) В случае скольжения TpeTbero цилиндра необходимо дополни
тельно рассмотреть силы, действующие на жидкость: силу тяжести mg
и силу F ----- равнодействующую сил давления стенок на жидкость
(рис. 65). На основании BToporo закона Ньютона можно записать
тgsin а+Рх==та,
..... тg cos а + F у == О,
rде ускорение цилиндра (и жидкости)
mg sin а..... F тр
равно а == или а == .
т
== g (sln а -----11 cos а). Следовател ьно,
F х ==..... l1тg cos а, F y==mg cos а. От-
сюда МОДУЛЬ искомоЙ силы F равен
F == V p+p== mg V 1 + 112 cos а,
Рис. 65
а направление вектора этой силы определяется уrлом В (рис. 65):
tgB==Fy/Fx==I/I1' или ==arCotg(I/I1).
26. 1) Обозначим v -----скорость молекулы в системе отсчета xyz,
а vxee проеКЦИIО на ось Ох, перпендикулярную поршню (рис. 66).
77

В системе отсчета х' у' z' (рис. 67), движущейся со скоростью
поршня а, скорость молекулы равна 'О, == 'о  а. Проекция скорости
О , , ,
молекулы на ось х равна VX' == иX И, а после упруrоrо взаимо-
действия молекулы с поршнем становится равной
"
Vx' ==..... (v.xu) == UVx.
В неподвижной системе координат xyz проекция скорости молекулы,
отлетающей от поршня, на 'ось Ох равна
"
vx==2uvx.
Поскольку все направления движения молекул равновероятны, то
1/'
!J
v
r4
1 1
...u v u

I I J
.7J
О ,
.;&'
Рис. 66
Рис. 67
модуль скорости ПОДлета ющих к п оршню молекул будет равен
V 2 2 2 ..r
vo== vx+ V y+vz==v x y3,
а модуль скорости отлетающих от порт ня молекул ра вен
V( ,, ) 2 2 2 V 2 2
v== Vx + V y + Vz == (2U----v x ) + 2и х.
Изменение кинетической энерrии молекулы после столкновения
с поршнем равно
ти 2 ти т [ 2 2 ]
дЕ к == 2......----"2:=:2 (2и ----и х )2 + 2vx......3vx == 2mu 2 ......2muv x . (l)
Так как скорость тепловоrо llвижения молекул и х HaMHoro больше
скорости движения поршня U (и х » и), то !1Е к 2muvx. За время
!1е с поршнем площадью S стал киваетс я Z молекул:
Z ==l/2п I v xU 1 S !1t, (2)
rде пконцентрация молекул, I vx----u l----средНее значение модуля
разности скоростей V x и и.
Следовательно, за время !1е внутренняя энерrия Bcero rаза
изменяется на величину
1
!1и ==!1EKZ==2muvX.2 n J vxu I S At==
2'" 1 
==  nmSvx U !1t == ---- 3" nmSv 2 и t. (3)
78

Полная энерrия молекул rаза в объеме V равна
ти 2
U == п V ---т---'
Из выражений (3) и (4) получим
I1и 2 Su t
-тт== 3 V f
(4)
т ак как изменение объема  V == Su t j то
и 2 V и 2 V
u==----- 3 V j или u+-з v == о.
(5)
Перейдем к бесконечно малым приращениям и проинтеrрируем
выражение (5):
S dU + .! S dV :=
U 3 V '
2
In U +-з1n V == const, или uу 2 /3 == const.
Так как и '" т ( и ==  ::; RT), ТО
Ту 2 / 3 == const, (6)
что и требовалось доказать.
2) Обозначим начальные параметры состояния aproHa в цилиндре
Pi, Vfj Ti, а конечные параметры Р2' V 2 , Т 2 . По условию V 2 ==8У:!.
Т ак как плотность кислорода в цилиндре В увеличилась в 2 раза i
то при той же массе объем кислорода V уменьшился в 2 раза:
V == V в/2, rде V в ----- начальный ero объем.
Так как сумма объемов rазов в двух цилиндрах остается неиз-
менной V А + V в == const, то
Vi+ УВ== У 2 + VB/2==8Vi+ Ув/2.
Отсюда
Vi==VB/14;
V 2 ===8Vi;
v t :---- 0,396 М З ;
V 2 == 3, 166 м З .
Как мы доказали в п. 1, процесс в цилиндре А описывается
уравнением
Т V 2/3 T V 2/3
1 1 ........ 2  ·
ИЗ этоrо уравнения следует:
, т i/T 2 == (V 2/ У 1)2/3 == (8V i/V 1)2/3 == 82/3 == 4,
т. е. при адиабатическом увеличении объема в 8 раз температура
уменьшается в 4 раза. За счет уменьшения внутренней энерrии ар-
3 т
rOHa совершается работа А ==.......  U == 2 м R (Т i ----- Т 2) (QA == О, так
как нет теплообмена). При этом в сосуде В выделяется и передается
термостату количество теплоты Q == А (U в == О, так как процесс
79

изотермический), следовательно,
3 {п
Q == ---- U ==2" м R (Т 1..... Т 2).
По условию задачи Т 1 == 4 Т 2, поэтому
т 8 QM Т 2 == QM .
1 ==9 mR ' 9 mR
Подставив данные значения, получим Т i == 1000 К, Т 2 == 250 К.
ИЗ уравнения Менделеева  Клапейрона найдем искомые значе-
ния Р 1 И Р 2: .
р == mТ1R == 112Q ==168.106П,
1 V1M9V1 9VH ' а,
тТ 2 R 2 Q 7 Q :>
Р2== V 2 M ==9 V 2 == 18 VH ==5,25.10 Па.
З) После открывания кранов в обоих сосудах устанавливается TeM
пература t==27°C (т==зоо К).
Суммарное давление смеси rазов по закону Дальтона будет равно
сумме парциальных давлений aproHa и кислорода:
р==р Ar+ P 0 2 '
Р mRT mRT 14 mRT  3,36.105 Па.
Ar== М (V 1 + VB) м (VB/14+ VB) ===15 MVB
Кислород расширидся, но ero температура в конце процесса та же,
что и в начале, поэтому запишем:
VB ( ,VB ) 15
Р 2т == Р О2 (VB+ V 1 ) === Р0 2 V ВТ14 ==14 Р 02'
При равновесии начальное давление кислорода было равно конечному
давлению aproHa Р 2 :
р 02  ;5 Р2 == 2,45.103 Па.
Окончательно получаем: Р==5,81 .10 Па.
27. Причиной возникновения силы, поднимающей жидкость в за..
зоре между пластинами конденсатора, является неоднородность элект..
ростатическоrо поля у края пластин конденсатора. Жидкость поляризу"
ется, II на каждый ее диполь действует сила, втяrивающая ero в область
более сильноrо поля, т. е. внутрь конденсатора. Конденсатор отключен
от источника тока, заряд на ero пластинах не изменяется:
Qo==CoU o .
При поднятии :ж:идкости на высоту It (рис. 68) общий заряд пластин
сохраняется, а емкость С полученноrо конденсатора станет равной
h Н ..... h
С==С 1 +С 2 ==С о 8 /1 +с о н '
rде 11  высота пластин конденсатора. Энерrия электрическоrо поля
TaKoro конденсатора вместе с потенциальной энерrией поднятой жидкос--
80

ти равна
Q тgh Q pHhdgh
w=== 2С +== 2Co [fJt/H+(H.....h)/Hj + 2
QH

2С о [Н +h (8 1)]
+ pg н d/1,2
2 '
rде d  расстояние между пластинами, Н ..... ширина каждой пластины
конденсатора (считаем их для простоты квадратными).
Условие равновесия  минимальное значение энерrии W (h).
Для исследования функции W (h) на минимум берем производную
W' (h) и приравниваем ее нулю. При этом вы-
соту подъема жидкости обозначим h 1 :
Q2 Н (8.....1)
W' (h) ==2 Co [1; + h 1 (B 1)]2 +pgHdh 1 == Oj
+
+
+
или
Q2 (8 1)
h 1 [Н +hl (B 1)]2== ;COPdg .
+
:t:: +
Введем обозначения: h 1 / Н === а и
Q (8 ----- 1) 1 W о (8....... 1)
2C o pg dH =:: pgdH3
W o 8-----1
== А,
W max 2
+ ....
+
rде W тах ----- потенциальная энерrия жидко- Рис. 68
сти, заполняющей весь конденсатор.
Подставляя эти обозначения в последнее уравнение, получаем куби
ческое уравнение относительно а:
а[ 1 +а (8-----1 )]2== А.
При небольших значениях а и 8 приб.[I,Иженное решение этоrо уравнения
а==А,
откуда
h 1 === Н W o (в -----1) 
W max 2
(BI)BOE
2pg
Нет смысла вычислять это значение более cTporo, так как даже
для воды (в == 81), приняв Ео == 104 В 1м, получим
h == (81  1) 8,85. 1012. 108  4. 106
1 2. 103 . 1 О  м,
что явно меньше влияния капиллярности и друrих эффектов. Видно
также, что конденсатор не заполняется жидкостью целиком.
28. 1) Если бы справа за линзой был воздух, то лучи, выходящие
из источника 80, преломившись в ней, сходились бы в точке 81 на рас..
стоянии /1 от линзы (рис. 69).
81

В соответствии с формулой линзы
1 1 1
...... +  == 
d 11 F 1 '
имеем
Ff + Ff  l
d f1  ·
При заполнении пространства справа за линзой средой с показателем
преломления n 2 изображение источника 80 смещается в точку S на рас--
стояние f от линзы (рис. 69).
17 !
па (х пZ
 S1 а
s

f
d
Рис. 69
Для доказательства искомоrо равенства нужно показать, что
Р! Р 2
7f == ,---.
Запишем закон преломления для обоих случаев:
sln ао 1 sin ао n2
sln а! n;; ; sln а == ПО '
rде ао ...... уr<?л падения луча на rранице «линза  воздух». Из получен-
ных выражений при малых значениях уrлов ао, аl, а, коrда sin aa,
следует:
по
а! == поа.о, а == ............. ао :::;> а f == п 2 а.
п2
Так как a{==x/fi' a==xlf, то f==пJi'
Рассмотрев ход пучка лучей, параллельноrо rлавной оптической
оси, можно таким же образом доказать, что F 2==n2Ff. Следовательно,
Р! Р 2 /n2 Р?,
71== '/п2 ==т'
из уравнений (1) и (2) следует
Р 1 + Р2  l
d T'
что и требовалось доказать.
82

2) Разрезанная линза дает два изображения 8! и 82 источника S
на расстоянии f от линзы (рис. 70). Эти источники KorepeHTHbI, они СОЗll'.а--
ют интерференционную картину на экране Э.
lt
f
:с
Z
Рис. 70
Расстояние а==8 1 8 2 между иоображениями источника леrко найти
из подобия треуrольников 80102 и 88182:
а
б==
d+f
d '
a::6(1+{)'
(1)
Интерференционная картина получается при наложении коrереит--
ных волн, испущенных источниками 8f и 82' Размер Ь==8 1 8 2 области,
в которой видна инт.ерференционная картина, можно определить из
подобия треуrольников 80102 и 88182:
ь l+d
б== d ;
Ь'='б(l+  ).
(2)
Найдем координату Уя k-ro максимума. Если этот максимум на-
ходится в точке М экрана, то должно выполняться соотношение
8 2 М ...... S 1 М == kЛJ
rде л......длина волны. Обозначим 8fM ==Lf; 8 2 М ==L 2 . ИЗ рис. 70
видно, что
ч '=' (11)1 + (Yk  ) 91
Ч==(l 1)2+ (Yk+  ) 2,
Вычитая из BToporo равенства первое, получим L:  Li == 2Yka, или
(L 2 + L 1 ) (L 2 ...... L 1 ) == 2Yka, откуда
2Yk a
L 2 ......L 1 == L 2 + L 1 ·
83

в случае, коrда Yk « 1-----1, можно принять приближенное равенство
L 2 + L 1  2 (l  1). т or да
L L ,...., Yk a ·
2 1 '" 11 '
Yk k'Л (1 !)
а 1  1 == k'Л, Yk == а ·
(3)
Расстояние L\ между соседними максимумами равно
k'Л (1 п
L\==YkYki==
а
(k-----l) 'л (1 п
а"
'л (1 ----- f)
а
(4)
Из формулы (4) следует, что все максимумы находятся на одинако-
БОМ расстоянии друr от друrа. Поэтому искомое число максимумов
N == 8182 ==. (5)
 L\
Подставляя выражения (1), (2) и (4) D (5), получим
N== б(I+1/d)а == б 2 (1+1/d) (l+f/d)
л (l-----f) л (lf) ·
Ясно, что интерференционная картина будет при 1 > f. Из формулы
линзы
1 1 1
-----+-----==
d f F
можем записать
Fd f F
'== d-----F ' или ([== d-----F .
Тоrда для N получим следующее выражение:
б 2 (l+d) R
N ==т 1 (dF) -----Fd ' rде F == по  1 ·
29. 1) Для определения плотности вещества Р, из KOToporo изrотов
лены цилиндрические тела, учтем, что масса однородноrо цилиндра М
равна
М===лR2Нр,
(1)
rде R  радиус основания цилиндра, Н  ero высота.
С друrой стороны, масса этоrо тела равна массе вытесненной им
воды М 1 :
Mi==M==SnHpo,
(2)
rде Sпплощадь поrруженной в БОДУ части основания ЦИЛиндра,
роплотность воды.
Из уравнений (1) и (2) получим
nR 2 н р:;::: Sn H Ро,
Sn
р == Ро nR2 ·
84

Как ви ДНО ИЗ рис. 71, площадь Sn равна
S  R 2 3600 ----- 2ер + 1 R 2 2
п л 3600 2" sin ер;
rде 2ер ----- уrол, под которым линия АВ видна из точки О на оси цилиндра
(рис. 71).
Определение плотности цилиндра возможно путем измерения rлу"
бины h поrружения цилиндра в воду (рис. 72) (при этом надо аккуратно

............... ......
......... ............... ............   
---.....r
 ............... ...............  ..........................  ........
Рис. 71
Рис. 72
поддерживать цилиндр в вертикальном положении). Плотность цилинд"
ра в этом случае определяется по формуле
h
Р==Ро Н'
2) Для определения радиуса цилиндрической полости r запишем BЫ
ражения для массы цилиндра с полостью
М' ==лрН (R2-----r 2 ) (3)
и равной ей массы M воды, вытесненной этим цилиндром:
M == М' ==SHpo, (4)
rде S -----площадь поrруженной части основания цилиндра с полостью.
Из выражений (3) и (4) получим
'== ... / R2  роSл
V лр ,
S  определяется таким )ке способом, как и Sп (см. п. 1).
3) Д.ня определения расстояния l между осями цилиндр с полостью
устанавливают на наклонной плоскости и, постепенно увеличивая уrол
наклона к rоризонту, находят максимальное значение уrла сх тах ' при
котором тело еще не скатывается. Скатывание цилиндра начинается в
том случае, коrда центр масс С займет самое левое из всех возможных
положений (рис. 73). Расстояние центра масс цилиндра с полостью от
rеометрическоrо центра Kpyra х равно
х== R Sifl сх. (5)
85
( 2 2 Н '
л R ----- r ) р == SпНро,

с друrой стороны, расстояние х можно рассчитывать, рассматривая
целЫЙ цилиндр как два тела: цилиндр с полостью и «вставка», заполня
ЮЩ8Я полость. Из услови.я равновесия сплошноrо цилиндра на rоризон
тanьной поверхности следует
(Mgтg)x== lтg, (6)
rAe М ...... масса однородноrо цилиндра, т...... масса «вставки».
Из выражений (5) и (6) получим
1  (М m R s.in СХ . (7)
Так как М == 1tR2 Н р, а т == 1tr 2 .H р, искомое значение 1 равно
l == (R2 ----- , 2 ) R sln (Х
,2
Этот ответ справедлив при выполнении условия (М ......т)g sIn (Х <
<Р тр п ==f.1 (Mт)g cos (Х, т. е. для уrлов (X<arctg 1-1, так как в против
НОМ СЛУ9ае начнется скольжение цилиндра по наклонной плоскости
Рис. 73
(,....  коэффициент трения скольжения). В предложенной работе коэффи"
циент трения был достаточно велик.
30. Соrласно модели атома Бора излучение (или поrлощение) кванта
электромаrнитной энерrии возможно при переходе из одноrо стационар--
Horo состояния в друrое:
EkE{lhVknhR ( 2  ;2 ),
тде R ...... постоянная Ридберrа, h  постоянная Планка. Энерrия иони..
зации атома водорода равна энерrии перехода из OCHoBHoro состояния
n== 1 в состояние k== 00 :
ЕиhR ( +o) ,=,hR. (1)
86

Так как по условию атомы водорода находятся в основном состоя.
нии, то минимальная энерrия возбуждения Ев равна
Ев . == Е 2 E i == IlR ( 1----- J.. ) == ! hR.
mln 4 4
Учитывая выражение (1), получим
3
E Bmin ==4 Е и . (2)
в системе отсчета, связанной с центром масс атомов, оба атома В(}-
дорода имеют скорости, равные v/2. Применим закон сохранения энер-
rии
т IV ) 2
22 \"2 ==Ек+Е в ,
rде Е к кинетическая энерrия атомов после
Ев энерrия возбуждения атома водорода.
Соударение будет упруrим, если
2 ; (  ) 2 < Е пmiп == : Ев,
mv 2 3
Следовательно, из равенства. т == 4 Е и предельная скорость VOi
ниже которой столкновения атомов являются упруrими, будет
(8)
соударения (Ек  O)j
ио== у 3и .
Подставив числовые значения, получим V o == 6,26 .104 м/с.
Пусть 'l'o-----СКОрОСТЬ налетающеrо атома. Тоrда после Heynpyroro
столкновения система будет Двиrаться со скоростью а, модуль кото-
рой можно определить из закона сохранения импульса:
mv o == 2ти; и == vo/2.
Частоты излучения Vi и V 2, наблюдаемые в направлении движения
и в противоположном направлении, соrласно эффекту Доплера, можно
определить как
Vi ;::: V o ( 1 +  } V2 == Vo ( 1   ) .
rде vо-----частота излучения неподвижноrо атома, CCKOpOCTЬ света.
Отсюда I1v == 2 VI----- V 2 == 2 2и/с == 2и == . Подставляя числ<r
V ep Vi+V2 2 С с
вые данные, получим
I1v I1v
...............==2.10--4; .100% o ==0 02%.
. V '
Уер ер
31. 1) Разобьем мысленно пластинку на очень тонкие слои, перпен
дикулярные оси Ах. Внутри каждоrо с'лоя показатель преломления бу..
87

дем считать постоянным. При переходе IIЗ одноrо слоя в друrой луч ис
пытывает преЛОI7ение (рис. 74). Ввиду различных флуктуаций реаль
ныи све'l'ОБОЙ пучок нельзя направить на эти слои аБСОЛIОТНО точно под
!J
.7J
Рис. 74

Рис. 75
уrлом падения 900, поэтому пучок будет преломляться (это ясно и из
обратимости лучей).
Запишем закон преломления для перехода луча из слоя i.......l
8 слой i:
sfn ! ...1
sln i
nl
nl-- 1
Записав такие же отношения для соседних слоев между сечениями
А и В и перемножив их, получим
ПА sin A == nв sin B'
ПО условию задачи ПА == по, A == 900, откуда найдем
по == nВ sш  в' (1)
Рассмотрим преломление на rранице «стекло.......воздух» в точке
В (рис. 74):
s in 'V 1
sin а == n В '
rде 'V == Р А   в == п/2  В' Следовательно, sin у == cos B == (sin а)/nв,
откуда
sJn  в == V 1....... (sln 2 а)/ n'iз.
Из (1) и (2) получаем
nс == nBV 1  (sin 2 а)/ nЪ, или nв == V n + sin 2 а.
ПОДС1авив ЧИС,,10вые данные, найдем nв == 1,3.
по
2) По условию задачи nв =-= 1 XB/R ' тоrда
xB==R Ono/nB); хв==О,ОI м.
3) Как было показано в п. 1), Б точке С с координатами х и у
(рис. 75) выполняется равенство
nс sin Вс == по sin В А == по'
(2)
88

Следовательно,
, sln Вс === по/пс.
(3)
Подставив условие
по
п 
с  l-----х! R
в выражение (3), получим
sin Вс == l-----хjR.
Про ведем ряд математических преобразований, чтобы
симость t:1y (x):
(4)
получить зави
Ау
sin Вс== V x2+ y2 о
(5)
Из (4) и (5) получаем
y х R -----х
sln c== V дх2 +б у 2 == 1 R== R ·
Из равенства (6) следует
t  y  R-----x
g  с  x  V R 2 ----- (R ----- х) 2 ·
Отсюда находим зависимость Y (x):
R ----- х
t:1y ==  L1x.
V R2-----(R -----х)2
Проинтеrрировав выражение (7) в пределах от () до Хн, получим
Хн Хн
d==YH == S R -----Х dx == V R2 ----- (R _____х)2 == V хн (2R .....хН);
О V R2 ----- (R -----х)2 о
Yd == 0,05 м.
32. Схема возможноrо двиrателя представлена на рис. 76. Полный
цикл TaKoro двиrателя совершается за 4
такта.
lй такт: кран К 1 открыт, кран К 2 за-
крыт. Через пленку П 1 в цилиндр входит
rаз из пещеры, а через пленку П 2 ----- воз- pv
дух из атмосферы. Давление в цилинд-
ре равно сумме парциальных давлений
воздуха и rаза: Р == РО + РО == 2Р о о
Концентрация rаза и воздуха при
этом с разных сторон цилиндра одинако-
ва. Избыточное давление выталкивает пор-
шень.
При перемещении поршня конпентра-
ция воздуха и rаза уменьшается, что вызывает новый приток вещества,
который создает новый сдвиr поршня. На поршень при этом нужно по
местить такой, rруз, чтобы поршень двиrался очень медленно и прак-
чески без ускорения.
(6)
(7)
РО
fQ
пещера с rазоМ
Рис. 76
89

2й такт: краны К 1 и К 2 закрываем. Объем rазов в цилиндре продол-
жает увеличиваться при постоянной температуре (ДЛЯ чеrо наrрузку
необходимо nOHeMHory убирать), дополнительно совершается работа.
3й такт: открываем кран К 2 . Давление в цилиндре будет равно Ро.
4-й такт: при постоянном давлении РО внутри цилиндра мы
уменьшаем ero объем до нуля, положив на поршень совсем леrкий
rрузик (этоrо достаточно, так как Рвнутр == Рнаружн)'
Цикл, изображенный на рис. 77, завершен. Затем открываем
кран Ki, закрываем кран К2' и цикл повторяется.
Полезная работа за цикл ра.вна А == А! + А 2 == Р О V о +
V{
+ S РО  dV==PoVo'+PoV o In i == РоУ о ( l+ln  ) .
V o о о
Так как объем Vi можно в принципе сделать неоrраниченно боль..
шим, то работа и мощность T8Koro двиrателя теоретически ничем не or-
раничены.
l'
2,Рр
D
V o
yj v
FЪ
Рис. 77
Рис. 78
33. Собрав цепь по схеме, изображенцой на рис. 78, можно при на..
,
пряжении/ и 1 измерить два значения силы тока 11 и 11 при разной по"
лярности включения источника тока, затем таким же образом при на-
,
пряжении U 2  значения силы тока 12 И 12. Полученные результаты
позволяли сделать следующие выводы:
 цепь проводит ток в обоих направлениях;
----- при различной полярности включения источника сила тока име
ет разные значения;
......... при обоих направлениях сила тока является нелинейной функ-
цией напряжения.
Такими свойствами может обладать цепь, представленная на рис. 12.
При одинаковой силе тока 1, протекающеrо через цепь в разны
направлениях, разность модулей напряжений U 2 и и! равна модулю
напряжения на резисторе И: и== U 2и1' rде U 2......... на!Iряжение на
участке «диод  резистор», U 1 ......... напряжение на участке «диод».
Отсюда следует, что сопротивление резистора R равно
R== == и 2 ----- Ui .
J 1
90

Более точный результат можно получить путем rрафическоrо вычита-
ния напряжений U 2 и и 1 вольтамперных характеристик, соответствую..
щих одинаковым значениям силы тока, затем построить rрафик
D
и
J N
,
l!"
t
1
Рис. 79
Рис. 80
/,,}(U2Ul) И определить сопротивление по KOTaHreHCY уrла наклона
получившейся прямой (рис. 79):
R==ctg а== и //.
34. а) Если стержень не вращается (00==0), то для равновесия тела
(рис. 80) ДОЛЖНЫ выполняться следующие условия:
тg sln aPTp ==0,
N тg сов CG === О.
Так как Р тр <: flN, получим:
тg sin CG-<:flтg cos а,
fltg СХ.
(1)
Максимальный уrол , при котором тело еще покоится, определяется из
соотношения
fl== tg . (2)
Из (1) и (2) условие равновесия можно записать в виде
tg tg а, или ICGI <11.
При lal>II==arctg fl тело движется.
б) Если стержень вращается с постоянной уrловой скоростью 00,
то равнодействующая СИJl тg, N и Р тр обеспечивает телу центростре-
мительное ускорение ад. с. == 002, == оо2[ cos а и при этом равна
FR==тg+N+Fтр==та д . с.' (3)
Сила трения Р тр может быть направлена как вверх, так и вниз
вдоль стержня. В зависимости от этоrо изменяется модуль равнодеЙ-
ствующей силы F R'
На рис. 81 изображена векторная сумма сил, действующих на
тело в том случае, если сила трения направлена вверх по стержню:
F R == тg tg (сх  ер),
(4)
91

на рис. 82  если сила трения направлена вниз по стержню:
F R == mg tg (а+ ер). (5)
Применив второй закон Ньютона для обоих случаев, получим
mg tg ( а-----т) == тш2[ cos а, [== к tg (а----- ер) (6)
'r ю2 cos а '
mg tg ( а + т) === тш2[ cos а, 1 .i.. tg (а+ <р) (7)
't'  ю2 cos а '
rде tg q:> == r;p ..;;;;. Jl: ..;;;;. Jl == tg, т. е. q:>";;;;'  == arctg Jl.
1J
1J
с
()
х
т!1
Рис. 81
Рис. 82
Следовательно, тело не перемеlдается вдоль стержня, если вы-
полняются условия
tg (а ----- ер)  tg (а----- р),
tg (а+ <J-)  tg (а+ ),
т. е,
к tg (а----- р)  1  К tg (а+ Р) .
ю2 cos а ю2 cos а
Этот ответ справедлив при а:;?; р. Если Р > а, то условие равновесия
тела на стеР2Кне следует записать в виде
O 1  2 g tg(a+B).
(j) cos а
35. а) У равнение зависимости фокусноrо расстояния F линзы от
показателя преломления стекла относительно воздуха n квадратное, сле
довательно, одно и то 2Ке значение F возмо}кно только при двух значени"
ях n, а значит, и при двух значениях длины волны Л, так как n==n (л)
монотонная функция.
б) Запишем выра2Кение F (n 1 )==р (n 2 ), используя условие задачи:
nl'1'2 n2'1'2
=== .
(nl ----- 1) [nl ('2 ----- (1) + d (nl -----1)] (n2 ----- 1) [n2 ('2 ----- '1) + d (n2 ----- 1)]
Проведя преобразования, получим
nl n 2 (n2----- n l) ('2----- r l +d) == (n2----- n l) d.
92

Если п1:1= п2, то
'1'2===d ( 1 ) "
п1 п 2
Так как п1>l и п 2 >1, то
(1)
O<'1'2<d, (2)
r де d ..... толщина линзы (d>O),
Возможны следующие случаи:
1) '1>0, '2>0, т. е. центры кривизны обеих линз лежат справа от
точек 81 и 82, причем '2<'1 <'2+ d 1' При этом 0102<8182 (рис. 83).
$j
О?
Рис. 83
2) '1>0, '2<0, при этом 0<1'11+1'21 <d 2 (рис. 84).
3) '1 <О, '2<0, при этом 0<1'21-----1'11 <d з , т. e.I'11 <1'21 <d з +I'11
(рис. 85). Ясно, что и в этом случае 0102<8182'
d z
S'l.
eS j
Рис. 84
Рис. 85
При м е ч а н и е. СлучаЙ'l <О, '2>0 не удовлетворяет условию
(2), так как при этом '1-----'2<0.
в) Для плосковыпуклой линзы '2  00. Фокусное расстояние
такой линзы будет стремиться к значению F 1:
F 1 . F ( ) l ' п'1 'i
1 ,. II n == r/"'(nl) [n (I. ;; )+  (nI))] == n1 ·
При заданном значении F получаем для п линеЙное уравнение
(п 1) Р 1 ==='i,
т. е. определенное фокусное расстояние можно получить ТОЛLКО при
одном значении п (или л).
r) Преобразовав исходное уравнение F (п), получим
F (r2......ri+d) n2-----[('2rl) F+2dF+'1'2] n+Fd==O.
93

Введем для удобства рассмотрения следующие оБОЗН8чения:
А == ('2'i+d) Р;
в == ----- [ (, 2  , 1) F + 2dF + , i' 2] 
с == F d.
Переписав наше уравнение с учетом введенных обозначений, получим
квадратное уравнение
Ап 2 +Вп+С==0.
Это квадратное уравнение имеет только одно положительное действи'"
тельное решение при выполнении одноrо из следующх условий:
1) А==О, тоrда п==-----С/В>I. При этом
r1=='2+ d ,
Fd
п== > 1,
F ('2 ----- '1) + 2Р d + '1'2
n=::r. Fd > 1
Fd+'i'2 t
Отсюда следует, что '1'2<0, т. е. '2<0, 'i>O,
d== 1'1/+ 1'21. Этот случай представлен на рис. 86.
2) Дискриминант уравнения равен нулю:
В2-----4АС==0, тоrда п==-----В/2А> 1. При этом
[Р ('2-----'I)+'1'2]2+4Fd,1'2==0'
F (2d +'2 ----- (1) + '1'2 1
п== 2Р > ·
(d +'2 ----- '1)
3) в == О, тоrда п 2 == c / А > 1. При этом F ('9 ----'! + 2d) + 'i'2 ==0,
п== ... /' ........ > 1,
У r2f+ d
11
12.
а
rt
Рис. 86
4) Возможен также случай, коrда один из двух корней уравнения
отрицательный или меньше единицы. Тоrда значение п> 1 будет только
одно, и заданное фокусное расстояние можно реализовать только для
одной длины волны.
36. а) Изменение кинетической энерrии положительных ионов про-
исходит вследствие совершения работы силами электростатическоrо
поля:
А==АЕ к ,
еи ==mv 2 j2, v== У2еи/т .
(1)
На ион в маrнитном поле действует сила Лоренца: F==evB. Эта сила со-
общает иону центростремительное ускорение. Ilрименив второй закон
Ньютона моя{но записать следующее равенство:
evB == mv 2 j R  R == mv /еВ, (2)
rде R ----- радиус окружности, по которой движется ион в поперечном
маrнитном поле.
94

Подставив выра2кение (1) в (2), п олучи м
R==J... ... / 2ти .
B'V е
б) ИОНЫ движутся по прямым до пересечения с областью маrнитноrо
поля, в маrнитном поле их траектории искривляются и становятся
о'
о
Рис. 87
о,.
о
Рис. 88
дуrами окружностей. После выхода из маrнитноrо поля ИОНЫ снова дви
жутся по прямым (рис. 87). Ясно, что прямые являются касательными
к дуrам окружностей, и следовательно, радиусы, проведенные к rранице
о' /..#'" маrнитноrо поля, перпендикулярны к
// этим прямым.
,/ Так как траектории ионов должны
быть симметричными относительно пер--
пендикуляра 00', проходящеrо через
середину отрезка Q А, то траектории
ионов пересекают прямую 00' под
прямым уrлом, причем центры окруж-
ностей лежат на этой прямой.
в) В зависимости от соотношения
между R и а rраницы маrнптноrо
а
о
Рис. 89 Рис. 90
поля будут иметь различный вид, представленный на рисунках:
1) для случая R<a ........ на рис. 87;
2) для случая R==a ....... на рис. 88;
3) для случая R>a........ на рис. 89.
95

r) На рис. 90 показана одна из траекторий иона. Точка Р (х, у) при
надлежит rранице маrнитноrо поля. Обозначим а ----- уrол между осыо
 ОУ и радиусом, проведенным в точку Р. Так как радиус перпендикуля--
рен касательной АР, то уrол А тоже равен а (как уrлы со взаимно пер..
пендикулярными сторонами). Из рис. 90 видно, что
х == R sin а,
у == (ax) tg а.
Отсюда, ИСКЛIочая а, получим уравнение rраницы поля:
(а x) х
У== у R2x2 
37. а) Для выполнения эксперимента можно было составить цепь
либо по рис. 91, либо по рис. 92. В первом случае дает завышенные
Рис. 91
Рис. 92
показания амперметр, во втором  вольтметр. Для устранения систе.
матической поrрешности необходимо учитывать внутренние сопротив-
ления при боров . Сопротивление вольтметра можно определить, вклю-
чив ero по схеме рис. 93, rдеRв==U//; rде
U и / ----- показания вольтметра и амперметра.
после учета сопротивлений приборов
следует построить вольтамперную характери..
стику полупроводниковоrо прибора (рис. 94).
Так как максимально допустимая мощ"
ность полупроводниковоrо прибора 250 мВт,
то при снятии вольтамперной характеристики серию измерений следо..
вало проводить так, чтобы произведение напряжения на этом приборе
на силу тока было меньше 250 мВт. При построении вольтамперноЙ
характеристики целесообразно предварительно обозначить области,
в которых нельзя производить измерения. (На рис. 94 эти области
находятся за двумя rиперсолами АА' и ВВ'.)
Дополнительные систематические поrрешности возникают вслед..
ствие повышения температуры полупроводниковоrо прибора, а сле
довательно, уменьшения ero сопротивления.
б) Используя вольтамперную характеристику, можно получить диф
ференциальные (динамические) сопротивления Рl и Р2 прибора в прямом
и обратном направлениях. С этой целью в точках вольтамперной ха рак...
теристики, соответствующих току 25 Mi\, следует провести касательные.
t.   : ер
Рис. 93
96

Искомые сопротивления:
dUi  и 2
Pi== 1111 ==ctgai, Р2== 11/2 ==ctg rl2.
На рис. 94 выделены: в прямом направлении область A/1==4010==
==30 мА и соответствующая ей область l1иl==0,80,76==0,04 В, в
I,MA
300
250
J
I
(
10
о
10
20
30
40
50
1,0 и, 8
Рис. 94
обратном направлении........ I1/2==3020== 10 мА, Аu 2 ==7,з-----7,2==0, I В.
Следовательно, дифференциальные сопротивления полупроводниковоrо
прибора при силе тока 25 мА равны соответственно:
в п.{}ямом направлении
Рl==l1и 1 /11/ 1 == 1,3 Ом,
в обратном направлении
Р2==l1и 2 /11/ 2 ==10 Ом.
Эти измерения неточные, поэтому относительная поrрешность до
50% при измерении динамических сопротивлений считал ась допу-
стимой.
Анализ вольтамперной характеристики показывает, что исследуе.-
мый полупроводниковый прибор ........ это стабилитрон.
4 О. Ф. Кабардин, В. А. Орлов
97

в) Для исследования зависимости выходноrо напряжения U 2 от
входноrо Ui следует собрать электрическую цепь по схеме рис. 95.
Для получения максимальноrо значения U 2 стабилитрон следует
подключить в обратном направлении (рис. 95).
lft B
8
i
б
4
2
() 2.  lIз1 В
Рис. 95 Рис. 96
До напряжения пробоя (7 В) практически все напряжение падает
I на стабилитроне, так как ero сопротивление до пробоя HaMHoro больше
сопротивления резистора R: U 2== и 1 ,. а затем напряжение U 2 изменяет-
ся очень мало по отношению к А и 1 , так как после пробоя ero сопротив
пение становится меньше R. rрафик зависимости U 2 ==f(U 1 ) представ
.лен на рис. 96.
r) При увеличении напряжения Ui от 7 до 9 В (Аи 1 ==2В) изменение
выходноrо напряжения Аи 2 оказывается в 20 раз меньше изменения
входноrо напряжения AU i (AU 2 ==O,1 В). Это связано с'тем, что после
пробоя стабилитрона ero дифференциальное сопротивление р становится
иамноrо меньше сопротивления резистора R (р< R) и практически все
напряжение Падает на резисторе.
д) Стабилитроны обычно используются в радиотехнике для стаби-
пизации напряжения в цепи при' изменении силы тока, потребляемоrо
цепью. Схема, представленная на рис. 95, является схемой простейшеrо
стабилизатора напряжения.
38. 1  2) На рис. 97 показаны силы, действующие на тело: 'сила
тяжести mg, сила реакции со стороны сферы N и сила трения Р тр '
Сила трения перпеНДИI<улярна силе реакции, но направление ее не-
известно: она может быть направлена так, как показано на рис. 97,
или в противqположную сторону.
Равнодействующая РЯ этих трех сил
FR==m.If+N+F Tp
сообrцает телу центростремительное ускорение
а == 002, == 002 R sfn а
ц. с. ,
rде ауrол между радиусом ОС и вертикалью.
Следовательно, вектор F R направлен к оси вращения и перпен-
дикулярен ей. Модуль этой силы равен
F R == тю 2 R sm сх,


В зависимости от направления вектора силы трения Р тр модуль
силы F R будет. иметь разныв значения, Это хорошо видно ИЗ риСе
J)
PR (J
Рис. 97
тg
А
Рис. 98
98 и 99_ (Аналоrичный метод исследования был применен нами при
решении задачи Н2 34.)
Так как уrол между векторами тg и N равен (х, получим
F R == тg tg (a ), (1)
если сила трения направлена так, как показано на рис. 98.
j)
тg
А
F((
а
Fя
Q
8
т,
А
Рис. 99
Рис. 100
Если сила трения направлена в противоположную сторону, то
FR==тg tg (a+), (2)
rде
 == arctg "".
Это ясно из соотношения
tg  == F тр/ N == f-tN / N == "".
Следовательно, для равновесия тела на сфере должно выполняться
условие
  tg .
(3)
Значение tg  нетрудно найти из выражений (1) и (2). Учитывая, что
tg а :f: tg 
tg (а :f: ) == 1 + tg а tg  t
получим
t  == 1 g tg а-----ro 2 R sln а I  sln а r g_____ro 2 R cos а'
g g+tg а.0,)2 R sin а g cos а+ф2 R sin 2 а ·
4*
99

Минимальное значение fJ. равно
эш а , g _____002 R cos а I
J1min == g cos а+0о 2 R sin 2 а · (4)
При условии <о == <Oi == 5 рад/с выполняется неравенство
g > <02 R cos а, так как 10 > 25.0,5. cos 600,
тоrда
sln а (g-----w 2 R cos а)
f.1imin == g cos a+00 2 R sin2 а 0,23.
При условии 00 == 002 == 8 рад/с выполняется неравенство
g < <o2R cos а, так как 10 < 64.0,5.0,5,
(5)
тоrда
sin а (ro 2 R cos a-----g)  О 18
g cos a+00 2 R sin 2 а  , ·
Переход от fJ.imin к fJ.2min происходит при такой уrловой скоро-
сти <00, при которой F тр == О, а слеДОFательно,  == о (рис. 100).
При этом, в соответствии со вторым законом Ньютона:
2
тoooR sln а== тg tg а,
уrловая скорость 00 0 враrцен ия сферы равна
<о  ... / g · <о ----- -. / 10  6,3 c-- 1 .
o V Rcosa' o V 0,5.0,5
Так как <Oi < <00' то Ilimin определяется выражением (5), а при 002 >
> <00 f.12mil1 определяется выражением (6).
3) а) При небольшом увеличеНI:IИ yr лавой СКОРОСТИ 00 от значе-
ния <Of == 5 paдjc равнодействующая всех сил F R == mw 2 R sin а также
возрастает.
,
ИЗ рис. 101, а видно, что ПрИ этом модуль силы трения Р тр умень-
шается, а модуль силы N' реакции опоры Бозрастает. В результате
 ' н'
f.12mln
(6)
а.
тg
А
т!/
Рис. 101
минимальный коэффициент трения f1'min, необходимый для удержа-
ния тела на сфере в положении, характеризуемом yr лом а} умень-
шаеNЯ:
fJ.mln == I t g  1, r де t g  == F тр/ N.
100

Следовательно, при небольшом увеличении уrловой скорости (00 > (а)1)
тело сохранит свое первонача.JIьное положение.
При небольшом уменьшении уrловой скорости (00 < (01) умень-
"
шается F R. ДЛЯ удержания тела в положении равновесия необходима,
как видно из рис. 101 . а, большая сила трения при меньшеiL силе
N", т. е. больший коэффициент трения. Это невозможно, так как
  aretg Ilmax.
Поэтому тело опустится вниз и займет новое положение, при кото-
ром  == arctg Ilmax. При (о == 002 == 8 рад/с реакция тела на малые из-
менения уrловой скорости будет противоположной (это ясно из ана-
лоrичноrо анализа рис. 101, 6).
б) В случае 00==001==5 рад/с сила трения направлена вверх, а следо--
вательно, равновесное положение тела находится выше положения paB
повесия в отсутствие трения. Поэтому при небольшом смещении тела
вниз оно останется в новом положении, а при смещении вверх  BepHeT
ея в прежнее положение.
В случае 00==002==8 рад/с сила трения направлена вниз, поэтому ре.-
акция тела на малые изменения положения тела (уrла а) будет противо
положна.
При м е ч а н и е. Ответ на 3й вопрос задачи можно получить
чисто формальным путем, построив rрафик функции
а ) . == sin ct I g-----оо 2 R cos ct I
Il (mln g cos а+ oo 2 R sin 2 ct
и проанализировав изменение этоrо rрафика при изменениях ro или а.
На рис. 102 представлен rрафик этой зависимости при 0>:1==5 рад/с (кри-
вая 1). Кривая 2 соответствует случаю 00>001' кривая 3----- случаю Ю<IOt.
Из рис. 102 видно, что при незначительном увеличении уrловой ск(}-
рости (00)001) минимальный коэффициент трения, необходимый для
удер}кания тела на сфере в ПО;lожении, характеризуемом уrлом ао==60 0 ,
J.l ( а )min
f! (а )mtr1
а , ао
.Jt/2. а
3
о
о
ай az :rcjz С(
Рис. 103
Рис. 102
уменьшается. А так как тело до изменения уrловой скорости имело боль
ши й коэффициент трения, то оно сохранит свое первоначальное по..'10
жени.
При уменьшении уrловой скорости (00<000) минимальный коэффи
циент трения, необходимый для удержания тела в положении, хара Kтe
.101

ризуемом уrлом ao600, будет больше, чем тот, который был до измене-
ния уrловой скорости, поэтому тело опустится вниз.
На рис_ 103 приведен rрафик fJ. (a)min для 002==8 рад/с (кривая 1).
При незначительном увеличении уrловой скорости «(0>(02) минималь
ный коэффициент трения, необходимый для удержания тела в положе.-
нии, характеризуемом уrлом ao600, возрастает (кривая 2) и становится
больше имеющеrося, поэтому тело не сможет остаться в прежнем поло..
жении и поднимется.
При незначительном уменьшении уrловой скорости «(0<002) мини
мальный коэффициент трения, необходимый для удержания тела в
положении, характеризуемом уrлом ао==60 0 , уменьшается (кривая 3),
поэтому тело сохраняет свое прежнее положение.
39. Для теплоизолированной системы первый закон термодинамики
можно записать в виде
A==L\U.
(1)
Полная работа А совершается над rазом силой, которой мы действовали
на поршень, и силой атмосферноrо давления:
A==A 1 +P o Sl o - (2)
Изменение внутренней энерrии rелия определяется как
L\U==cv(тi+тs)(TTo), (3)
rде сvудельная теплоемкость rелия при постоянном объеме, T
конечная температура rаза.
Из выражений (1)  (3) получаем формулу для расчета искомой
работы Ai:
А! == Cv (тf +тg) (Т........ Т о) PoSlo,
(4)
в которой неизвестна лишь конечная температура Т.
ДЛЯ e нахождения рассмотрим последовательно все этапы процесса
сжатия rелия.
Начальные значения давления rелия в левой и правой частях
цилиндра (рис.17) определим из уравнения Менделеева  Клапейрона:
Р  тiRT o Р  тgRT O (5)
01  V оМ' 02  V оМ ·
Так как тi>т2, то P O i>P02.
При движении поршня к переrородке rаз в правой части будет сжи
маться до тех пор, пока ero давление не станет равным Р 01- В этот
момент открывается клапан.
Так как сосуд с rазом теплоизолирован, то процесс в нем будет
адиабатическим и описывается уравнением Пуассона: ру у == const,
rде 'v == cp/cv (вывод этой формулы дан в решении задачи NQ 26).
Запишем уравнение Пуассона для rелия в правой части ци-
ли ндра :
Р О1 У? ==P02 v l,
102

rде V f........объем rаза в правой части цилиндра в момент открывания
клапана:
Vi==V o (P 02 /P(Jl)1/ v .
(6)
Подставляя значения РО! и Р 02 в выражение (6), найдем
V f == V о (m2/ml) l/V; (7)
Vf  0,34 V o .
Температуру Ti, которую будет иметь rаз в правой части ци-
линдра в момент открытия клапана, найдем из уравнения Клапейрона:
P 01 V i P 02 V O
Т1. То J
откуда
РО! Vr
т f == Т о ............ ........... . (8)
Р 02 V 2
С учетом выражений (5) и (7) получим:
Т! == То ml ( т2 ) l/v == То ( т2 ) l/vl  2,О5Т о .
т2 тl тl
После открывания клапана rазы перемешиваются и происходит
теплообмен при постоянном объеме. Из уравнения тепловоrо баланса
CV m l (8....... Т о) == CV m 2 (Т i ----- О)
находим
o=== miT o + т2 Т !  1 15Т .
mi+m ' о
После перемешивания весь rаз массой m==mi+m2 сжимается адиа--
батически от объема V 1 + V o до объема V o , а ero температура увеличивает--
ся от 8 до Т в соответствии с уравнением Пуассона:
Pv'" == const:::;> TVl == const
. ,
TVJl == е (V i + V o)V---l,
Т==6 ( Vfi:Vo )l ==6 (1+  )l :::::1. 4T o.
Подставляя значение конечной температуры Т смеси rазов в выражение
(4), найдем искомую работу, совершенную при сжатии:
А 1 ==4816 Дж1120 Дж==3696 Дж3,7 кДж.
40. Рассмотрим два способа измерения диаметра воэдушноrо сфери--
ческоrо пузырька воздуха в стеклянном шаре....... механический и опти"
ческий .
1) Если известна плотность Ре стекла, из KOToporo ИЭfотовлен шар,
и имеl0ТСЯ весы, то, определив массу m шара, запишем:
m == Ре V ,
rде V ---- объем, занимаемый стеклом,
4 3't
V ==3 л (R3rЗ) ==6 (D3dЗ),
103

D ----- диаметр шара, измеряемый штанrенцирку лем, d  диаметр
пузырька воздуха. Отсюда
1t
т==рс 6 (D3dЗ),
d=== .. / DЗ 6т .
V зtРс
Если нет штанrенциркуля, но есть измерительный цилиндр, то,
измерив с помощью Hero объем У О шара, получим
Ясно, что если d«D, то этот способ не позволяет получить сколько--
нибудь удовлетворительную точность измерения.
2) Поrрузим шар в жидкость, подобрав ее с таким же показателем
пре.ломления, как у стекла. При этом rраница «шар..... жидкость» пере..
станет быть видимой, воздушный пузырек будет четко виден блаrодаря
полному внутреннему отраже-
нию, происходящему на ero по-
верхности.
В этом случае диаме,.р пу-
зырька можно определить, на-
правив сверху вниз параллель
ный пучок света на шар и полу-
чив тень от пузырька воздуха на
дне сосуда.
41. а) Для выполнения ра-
боты сначала наrревается жид..
кость, а saTeM в тех же услови-
яx  жидкость с кристалличе-
ским материалом Х. По резуль-
t татам эксперимента следует по-
б t 1 c
строить rрафики зависимости
температуры от времени для
обоих случаев (рис. 104).
По этим rрафикам можно найти искомые величины для определения
удельной теплоемкости Сх кристаллическоrо вещества Х. Измерим про
межутки времени tlO и t40, необходимые для одинаковоrо HarpeBa"
пия от температуры ТО дО Ti одной жидкости (rрафик 1) и жидкости с
кристаллическим веществом Х (rрафик 2). При этом условия теплообмена
с окружающей средой одинаковы. Считая количество теплоты, nepeдa
ваемой от наrревателя в единицу времени, постоянным: q===Q/t==const,
запишем уравнения тепловоrо баланса для 'этих случаев:
1t т
cP==Yo,
6 Ре
т
/1
I
I
о
7j
1i
7i
JC
I
1
I
I
J
.
J
J
.
!
I
1
I
]
I
J
70 а
t J t z t J t 4
t 5
Рис. 104
qti == сото (Т i  Т о),
2
'"
,/
d
I
I
I
1
J
1
I
I
1
I
I
I
I
r
I
I
1
!
1
1
J
1
i
d=== V  ( VO.....  ) ·
. 1t Рс
qt 4 == (сото + схтх) (Т 1 ----- Т о),
rде то и тx массы жидкости и кристаллическоrо вещества, Си и
CX их удельные теплоемкости соответственно.
104

Из этих уравнений находим выражение для сх:
сото (t 4 ----- /1)
сх== mX t 1 ·
Для получения более точноrо результата нужно учесть теплоеМКОСТj
материала пробирки и термометра. Это можно сделать, проведя измере--
ние времени, необходимоrо для TaKoro )ке наrревания жидкости друrой
массы.
u '
б) Для определения удельнои теплоемкости Сх расплавленноrо
кристаллическоrо вещества Х по rрафику рис. 104 найдем промежутки
времени /3-----/2 и /0-----/5, В течение которых жидкость с известной теплоем--
костью и расплавленное вещество Х одинаково наrреваются от темпера
туры Т 2 до температуры Т 3- Запишем уравнения тепловоrо баланса для
этих случаев:
q (t з ----- t 2 ) == сото (Т 3----- Т 2)'
,
q (t в ----- '5) == (сото + схтх) (ТЗ ----- Т 2)
откуда
, то ( t6 t5 1)
С х == со............... t t ----- ·
тх з----- 2
в) За температуру плавления кристаллическоrо материала можно
Т1+Т2
принять температуру Т пл == 2 ·
r) Для определения удельной теплоты плавления Ах кристалли-
ческоrо вещества Х запишем уравнение тепловоrо баланса для про-
межутков времени t 1 -----о и /5 ----- t 4 : r
q (t 1 ----- о) == сото (Т 1 ----- Т о),
,
q (/5 t 4 ) == (сото +cxпzx) х
х (Т 2----- Т 1) + 'Ахтх.
В случае, если температуры
т 2 и Т 1 близки друr друrу, а ин-
тервал времени t 5 ----- t 4 достаточно
велик, последнее уравнение мож-
но записать в виде
q (/5 ----- '4) :::::: лхтх-
Следовательно,
')...;х == сото (Т i ----- Т о) (! 5 ----- t 4) .
mX t l
Данное задание можно было выпол-
нить, ИСС..ТIедовав зависимость темпе
ратуры жидкости и жидкости с кристаллическим веществом Х от вре..
мени при их остывании. flри этом жидкость и жидкость с веществом Х
должны быть первоначально HarpeTbI до температуры выше точки пла..
вления кристаллическоrо вещества. Используя полученные rрафи:ки
то

)
1
I
J
1 r I J
1, J I
. I r 1 J J
  i-'H-r- 
11 I\ I 1\.
,1)\1 I 1 \
l' 1\ J I Z
11 J 1\ t J
11 J 1'1 I
, ( 1 1 t
Н 11 1 1.
11 l ' t 1
t[ 1
о t j tz. t J t 4
Рис.
t 1 С
105

(рис. 105), способом, аналоrичным описанному, нетрудно рассчитать
все искомые величины.
42. а) Участок O1 характеризует изобарное всасывание смеи,
1-----2 ee адиабатическое сжатие, 2 -----8 ----- изохорное увеличение дав-
ления при зажиrании смеси, 8 4....... адиабатическое расширение......... « ра-
бочий ход», 4  1----- изохорный выпуск rззов, 1 o  изобарное уда-
ление смеси из цилиндра.
б) т 1 == Т о == 300 К, Р 1 == Р 0== 1 o Па.
Так как процесс 1-----2 адиабатический, воспользуемся уравне-
нием Пуассона:
получим
Pl v l ==P 2 vi,
Р2 == Р 1 (V 2/V 1)1' == P 1 e'V == 2,34 МПаj
rде B-----степеНь сжатия: B==V 2 /V 1 .
Из уравнения КлапеЙрона
P 1 V i P2 V :t
--------- ----- ...............
Т 1 ----- Т а
Т  T . Р! Vf _____ Т ! Р?
а  1...................... -----  ........... .
Р 1 V a 8 Р1
(1)
(2)
с учетом (2) находим
T2==Tle'V1==740 К.
По условию при эажиrании свечи давление возрастает в 2 раза, т. е.
Р З == 2Р 2 == 4,68 МПа.
Для изохорноrо процесса 28 имеем
Р з Тз Р з
Р 2 == Т 2 ' Тз == т 2 Р 2 == 2Т а == 1480 К.
Процесс 3.........4 адиабатический, поэтому записываем
рзvr ==P4V,
Р4,==Р з (V 1 /V 2 )'V ==Рзвv ==0,2 МПа.
u Р V" Р V
Из уравнения Клапеи рона ; з 1 == ;42 получим
Т Т Р4 V 2 Т
4 == з  p ........... V == зВ'\' В == Т з в1 'V == 600 К.
з i
Процесс 4.......1 изохорный; поэтому
P4.T4 Pf
Р!  T ; Т;==Т 4 Р 4 ==300 К.
Как и следовало ожидать, Т  == т f.
В) К.п.д. цикла тепловоrо двиrателя по определению равен
Ап QiQ2
f) Ql  Ql
106

rде Апполезная работа, совершенная двиrателем за цикл, Q!........
количество теплоты, подведенное от наrревателя, Q2  количество
теплоты, отданное холодильнику. Так как процессы 12 и 3-----4
ПРОFСХОДЯТ без теплообмена, то подвод и отвод тепла осуществляется
только на участках 2-----3 и 4-----1:
Qi === cv m (ТЗ ----- т 2), Q 2 == cv m (Т 4 ..... Т 1),
rде cv удельная теплоемкость rаЗ8 при постоянном объеме,
11 == cv m [(ТЗ ----- Т 2) ----- (Т 4 ----- Т 1)] _____ 1 _____ Т 4 ----- Т i 1 _____ Т f == 1 _____.2.....  о ,6.
сv m (Т з -----Т 2 ) Та-----Т2 Т'). B'\'1
r) Полученные в результате идеализации значения максималь-
Horo давления Р З == 4,68 МПа и К.п.Д. 11  60-6 превышают значения
максимальноrо давления РО и К.П.д.
реальных карбюраторных двиrате.
лей BHYTpeHHero сrорания.
43. 1) Для ответа на первый
вопрос задачи нужно рассчитать
минимальную массу пленки. mmin
и сравнить ее с чувствительностью
весов 11т === 0,1 Mr:
mmin == abdmi,n р,
rде dmin толщина самой тонкой
пленки, при которой возможен ин-
терференционный максимум для
света с длиной волны Ао.
Интерференция происходит между лучами 1 и 2 (рис. 106).
Оптическая разность хода этих лучей равна
dn
11 == (АВ + ВС) n-----DC == 2  -----2d tg  sш а.
cos t-'
Соrласно закону преломления n == sin а/sш, ПОЭ70МУ
2dn
11== (l-----sln l Р) == 2dn соэ р.
COS t-'
Известно, что при отражении луча 2 в точке С происходит изменение
фазы волны на n, т. е. «теряется» половина волны. Поэтому оптическая
разность хода волн в точке наблюдения равна
А' == 2dn cos  ; .
А
[31
J
fЗ I ;З
В
Рис. 106
(1)
(2)
Запишем условие интерференционноrо максимума,
А' == 2k  '
rде k.......целое число. Тоrда
ло ло ло
2dn cos р ----- 2 == 2k "2' или 2dn cos р == (2k + 1) "2. (3)
107

Из выражения (3) найдем толщину мыльной пленки d:
d== (2k+ 1) ло == (2k + 1) ло
4n cos  4n Уl sin2 
(2k + 1) ло (2k + 1) ЛО
 
4n Yl-----sin 2 а./n 2 4 у n 2 -----sin 2 а
Толщину самой тонкой пленки dmin можно определить при k == О
ЛО 1
dml n == -----  10--7 м.
4 У n 2 .....sin 2 rx
иниМальная масса пленки равна
mmin ===abdmin р==6.10-- 8 Kr===0,06 Mr < 0,1 Mr;
следовательно, массу этой пленки измерить на 'наших весах нельзя.
2) При нормальном падении и отражении света (а== О) выраже-
ние (4) запишем в виде 
d  2k: l! . (5)
(4)
При k==O
л,
dml n == 4n .
(6)
Отсюда получаем, что длина волны л, излучения, для которой
выполняется условие интерференционноrо максимума для самой тон-
кой мыльной пленки, равна л,== 4nd m in  5,32.10--7 м, что соответст-
вует зеленому цвету. Значит, при освещении белым светом пленка
будет казаться зеленой.
44. 1) Электроны попадают в маrнитное поле, имея скорость t[},
которую они приобрели, ускоряясь в электрическом поле:
еи == mv 2 /2,
v== У2еи 1т,
(1)
rде е и m-----заряд и масса электрона. В случае, коrда вектор индук-
ции маrнитноrо поля В перпендику ля,рен плоскости рисунка
(рис. 107), электроны движутся в этом поле по окружности, которая
касается прямой ТТ' в точке Т, и попадают в точку М мишени.
Центростремительное ускорение электронов создается силой
Лоренца Fл==еvВ:
v 2 /R ==evB/m.
Искомая индукция маrнитноrо поля равна
В ==mv/eR.
Подставляя в эту формулу выражение (1), получим
В ==.!. .../ 2mи .
R V е
(2)
(3)
108

Из рис. 107 ВИДНО, что
d
R == 2 sin а '
(4)
Подставив (4) в (3), получим ответ задачи в общем виде:
В==- 2 sln а  /"" 2ти
d V е
(5)
и найдем числовое значение индукции: В==3,7.10-- 3 Тл.
2) В этом случае электроны влетают в маrнитное поле ПОД yr лом а
к вектору индукции маrнитноrо поля 81 и движутся по спирали. Это
сложное движение можно представить как результат двух движений:
R
(f)
в
о
7;
т
Рис. 107
Рис. 108
paBHOMepHoro движения со скоростью Vl==V cos а в направлении линий
индукции маrнитноrо поля и paBHoMepHoro двия<ения по окружности
со скоростью V2==V sin а в плоскости, перпендикулярной прямой Т М
(рис. 108).
Сделав целый оборот BOKpyr оси спирали за время t==2лR 1 /V2, элект-
роны пересекут прямуI.O ,!М на расстоянии l==Vlt от точки Т. Чтобы
электроны попали в мишень М, им необходимо сделать целое число обо-
ротов, т. е. чтобы расстояние TM==d содержало целое число отрез-
ков 1:
2лR f Vf
d == п! == nVj  2лR lп  == 2лR 1 п ctg а.
V2 V2
(6)
При движении электронов по окружности под действием силы
Лоренца eV2Bi == mv/ R 1,
R 1 == mV2/eBf.
(7)
109

Учитывая, что V2==V COS а, И используя полученное выражение для
скорости электрона V (1), получим:
1 -. j2mV
R 1 == В V  sln а.
Из (6) и (8) получаем
n -. / 2ти
d== 231: Bi V  cos а
и находим искомое значение индукции Bi маrнитноrо поля,
, в 2пn cos а -. / 2ти   6 7  10 --3 Т
 f d V е ----- п... , · л.
По условию задачи 81 Е;;; 3.10--2 Тл, поэтому возможны такие
значения модуля индукции В 1 при n == 1} 2, 3, 4: Bi == 6,7.10--1 Тл;
8  == 1 ,34 t 1 О -- 2 Т л; 8 == 2, О 1 · 1 О -- 2 Т л; В  I , == 2,68 I 1 О -- 2 Т л. (П ри
б6льших n значения 8  3. 10-- 2 Т л.)
45. 12) По результатам измерений силы тока 1 и напряжения и
вычисляются значения полноrо сопротивления z== U/I. Затем выполня-
ется построение rрафиков зависимости полных сопротивлений для вы..
водов цепи АВ, 8С, АС от частоты 'V. Удобно эти rрафики построить в
лоrарифмическом масштабе (рис. 109).
(8)
Z,1<OH
20
103 Ун Z103VK 4103 }/,rц
" YL.',
" "
" '\
Рис. 109
34) По виду полученных rрафиков можно сделать вывод о том, к
каким клеммам подключены элементы цепи, определить параметры
этих элементов.
110

На низких частотах все три rрафика линейны и параллельны между
собой. Это позволяет определить емкости С 1 и С 2 8 На высоких частотах
два rрафика имеют общую асимптоту, что позволяет определить сопро
тивление резистора" R.
Линейность rрафика ZBC == f (v) доказывает, что клеммы Ее под..
ключены к выводам 2.....3 (рис. 20). Действительно, полное сопротив.
пение пепи равно
1 1 ( 1 1 )
Z2З== шС == 2лv C 1 + С 2 ·
Пролоrарифмируем это выражение:
1 1 ( Ci+ С2 )
g Z2--З== g 2ЛС 1 С 2 -----lg "'.
Для полных сопротивлений Zi--2 и Zi--З можно записать:
Z 2  R 2 + 1 Z 2  R 2 + 1
Jl2  (2лvС 1 )2 ., 13  (2лvС 2 )2'
(1)
При низких частотах выполняются слеДУlощие приближенные равен-
ства:
1
Zi2  2 С j
лv 1
1
Ig Zi--2 == 19 2nС) lg "',
1
Z! --3  2 С '
ЛV 2
1
Ig Zi -- з ::::::: 19 2л С 2 ...... Ig v ·
На высоких частотах полные сопротивления приблизительно равны ак"
тивному сопротивлению резистора, т. е.
Zl--2 ------+- R; Zi --3  R 8
Таким образом, клемма А подсоединена к резистору.
Электрическая цепь «черноrо ящика» изображена на рис. 110.
5) Определить параметры C 1 , С 2 и R наиболее просто rрафиче-
ским способом. Для этоrо на rрафиках
ZAC == f (v) проводим общую асимптоту до
пересечения с осью Z. По этой оси пря-
мо находим сопротивление резистора R.
Из rрафика на рис. 109 видно, что
R  1,5 кОм.
Продолжения линейных участков rpa-
фиков 19 ZAB == f (1g "') и Ig ZAC == f (lg "')
(рис. 109) пересекают общую асимптоту
в точках М и К j . соответствующих ча-
стотам v М и 'VK. Зная эти частоты, мож-
но получить формулы для расчета емкостей
.1
Ig Zo == Ig R == Ig 2nС 1 -----lg v Af,
1
С  ·
1  2ЛVА1R '
зависимости
ZAB == f (v),
1
А
конденсаторов Ci и С 2 :
1
Jg Zo == Ig R == 19 2nС 2 ----- Ig v к,
1
С 2 == 2 R .
ЛVК
111

Подставляя значения частот "м===I,2.IОЗ ru и "к==2,9.1OS rn,
получим значения емкостей: С! == 9. 1 О... 8 Ф  90 нФ; С 2 ==
== 3,7.10---8 Ф  37 нФ.
Этот результат можно проверить, определив частоту "L, соот-
ветствующую точке пересечения rрафика Z ВС (v) и общей асимптоты.
Эта частота равна "1 == 4,1.103 rц, следовательно, общая емкость
в цепи ЕС равна
1
С о БЩ== 2 R ==26 нФ.
nVL
Так как конденсаторы соединены последовательно, то
С 1 С 2
Собщ == C 1 +С 2 ·
Подставив в эту формулу значения C 1 и С 2 , получим Собщ26,2 нФ,
что хорошо соrласуется с результатами опытов.
6) Для учета силы тока, протекающеrо через вольтметр, можно
отключить ero, снять новые показания амперметра и использовать их
в расчетах. Если при отключении вольтметра нет заметных изменений
силы тока в цепи, то влиянием вольтметра на точность измерений можно
пренебречь.
При м е ч а н и е. Если бы на низких частотах rрафики ZAC (v) и
ZAB (v) не были параллельны rрафику ZBC (v), то это означало бы,
1
что считать Х С == (ОС » R нельзя. Тоrда для расчета С и R необхо-
димо было бы пользоваться общими формулами (1), используя по
два значения частоты для каждоrо rрафика:
С 1 == ... i ( .!. ____ .!. ) . 1
V (O. (O Zz
==>
Z== R2+ (  C ) 2 R == ,. / Z2-----
(02 1 V ы2C
Аналоrичные формулы получаются и для цепи (АС).
46. 1) При движении корабля по круrовой орбите ero центростреми"
тельное ускорение создается силой тяrотения к Луне:
ММл Mv
О R2 '
rде R==Rл+h-----радиус первоначальной орбиты, VoCKOpOCTb ко-
рабля на круrовой орбите:
ио== у G Л .
(АВ)
2 ( 1 ) 2
Z 1 == R 2 + -----------
(О1 С 1
Так
МЛ
как gл ==0 R2 ' ТО
Л
,. / gлR
Vo == V R
.... / gл
R JI R.п+ii.
(1)
112

После включения тормозноrо двиrателя, сообщающеrо кораблю
импульс, касательный к траектории, скорость корабля останется пер
пендикулярной к радиусвектору ОА (рис. 22). Корабль при этом начи
нает двиrаться по эллипсу с фокусом в центре Луны.
Обозначив V А и V В ----- скорости корабля в точкак А и В, запи
шем уравнения законов сохранения энерrии и момента импульса:
Mv ММл Mv ММл
 a R ..... 2-----0 Rл ' (2)
Mv AR == МvвRл. (3)
Решая уравнения (2) и (3) совме стно, находим
.. / МлRл
VA == V 20 R (R+Rл) '
с учетом выражения (1) получим
.. / 2Rл
иА ==vo V R+Rл.
Следовательно, изменение скорости L\v корабля в точке А должно
быть
dV==VoVA==Vo (l У Rл )==VО (l Y 2:h )==24M/C.
Так как двиrатель включается на короткое время, закон сохранения
импульса для системы «корабль ----- топливо» можно записать в виде
(М т 1 )L\v== т 1 и,
rде т1.  масса сrоревшеrо топлива.
Отсюда получаем
L\v
тl == и + L\v М.
с учетом Toro, что и « и, находим
v
тl   М == 29 Kr.
и
2) Во втором случае вектор L\172 направлен перпендикулярно
вектору 170' поэтому
17 А == 170+ L\ 17 2' V А == V v+ L\v.
На основании закона
записать уравнение
М (и + и)
2
сохранения энерrии в этом случае можно
GММл
R
Mи
2
ОММл
Rл
(4)

а на основании закона сохранения момента импульса-----уравнение
MVoR == МvсRл.
(5)
113

Решая уравнения (4) и (5) совместно и учитывая выражение (1),
находим
.../ (RRл)2 h ..../ gл 97
AV2== V gл R == V Rл+h  M/C
Используя закон сохранения импульса, получим
AV2
т2 == М  116 Kr.
u
47. На деталь и rири в первом случа действует выталкивающая ap
химедова сила со стороны cyxoro воздуха, во втором  со стороны влаж
Horo воздуха. Различие в показаниях весов p определяется изменением
разности этих сил.
Разность этих сил в сухом воздухе:
,
AFi==AVPBg,
а во влажном:
"
АР 2 == А V PBg ,
" ,.
rде AV -----разность объемов детали и rири, Рв и рвплотности cyxoro
и влажноrо воздуха соответственно.
Тоrда различие в показаниях весов АР можно записать как
АР == АР i-----AF 2 == А Vg (p  Р;). (1)
По условию задачи эта разность должна быть замечена, т. е.
AFтog, или AV(p p;)тo, откуда
AV
то
, ".
Р в ........ Р в
(2)
Разность объемов алюминиевой детали и латунных rирь определим
из уравнения
А V == т ......!!!:... == т ( Р2  Pi ) (3)
Р! Р2 PfP2'
rде т  искомая масса детали. Из выражений (2) и (3) получаем
т == AV РIР2  , то" PfP2 11 (4)
Р2  Р i;:;"-- Р в ........ Р в Р 2 ...... Р!
ДЛЯ нахождения массы т детали необходимо определить раз-
, "
НОСТЬ Рв ---- Рв. При одинаковом общем давлении во втором случае
часть cyxoro воздуха заменена па ром:
, " Ат в Атп
Рв ....... Р В ==............... ........ .
V V
Изменения массы воздуха Ат в и пара I1тп найдем, применив
уравнение Менделеева........ Клапейрона:
А PBVM B А Р в VM n
т в == RT i тп== RT t
114

откуда получим
 " Р в (МвМп)
РВ ...... РВ == R Т '
Из уравнений (4) и (5) получаем
moR Т PiP
т -;;::: Р в (Мв  м п ) P2Pf'
(3)
(6)
Подстановка числовых значений дает ответ: тO,0432 Kr  43 r.
При м е ч а н и е. Коrда мы записывали выражение (3), мы счи
тали массу детали равной массе rирь, при этом мы допускали неболь
шую поrрешность.
Можно использовать для решения задачи друrо:Д: путь. Рассчитаем
изменение архимедовой силы по изменению средней молярной массы
воздуха.
В сухом воздухе условие равновесия детали и rирь запишем в виде
( МвР ) ( МвР )
Pi  R Т V i == Р2........ R Т V .
(7)
Во влажном воздухе молярная масса ero равна
М Рв pP JJ
М== вр+М п р ,
(8)
а условие обнаружения отклонения весов запишем в виде
(Pi ;: ) Vi(p2 r ;: ) Y2тo. (9)
Из выражений (7) ----- (9) можно получить более точный ответ:
 moRTpiP2M8PB (10)
т  (М в ...... М п) (Ре......... Р1) Р в ·
Так как МвР в « тoP1P 2 RT, то оба полученные выражения (6) и (10)
приводят к практически одинаковому числовому результату: т  43 r.
48. 1) Точность установки оптической оси телескопа определяется
расходимостью cBeToBoro пучка вследствие дифракции на уrол 6<р:
Вер  'Л/D  2,6.10--7 рад  0,05".
2) Долю световой энерrии лазера К 1 , попавшей на отражатель,
можно найти по отношению площади 81 отражателя (81 == 1td 2 /4)
к площади 82 cBeToBoro пятна на Луне (82 == 1tr 2 j rде r == LBep  L'Л/D,
L ----- расстояние от Земли до Л уны):"
81 d 2 d 2 D2
К! == 82 == (2r)2 == 4л 2 L2 ·
Отраженный световой пучок тоже расходится и образует на поверх-
ности Земли световое пятно радиусом R:
R =='AL/d. так как r.
11.5

Поэтому доля К 2 отраженной энерrии, попавшей в телескоп, состав-
ляет
D2 D 2 d'l
К 2 == (2R)2 =..:: 4л 2 L2 ·
Доля Ко энерrии лазера, попавшей в телескоп после отражения
света от отражателя на J4rHe, равна
Ko==KlK2==( :::r )4 >::i IO12.
3) В зрачок невооруженноrо r лаза попадает во столько раз мень-
шая доля cBeToBoro потока по сравнеНИIО с телескопом, во сколько
раз площадь зрачка Sap меньше площади зеркала телескопа ST:
S d 2
К К эр К эр 3 7 10 --18
эр == о  == о D2  , · ·
Поэтому число фотонов N, попавших в зрачок, равно
Е
N ==  Ка р == 12.
h,'
Так как N <n, то невооруженным rлазом зафиксировать отражен--
ный импульс невозможно.
4) В отсутствие отражателя (1.== 10% энерrии лазерноrо излучения,
попавшеrо на Луну, рассеивается лунной поверхностью в телесном
уrле Ql==2л: ср.
Телесный уrол, в котором видно с Луны зеркало телескопа, COCTaB
ляет
Q2 == ST/ L2 == 1tD2j4L2.
Поэтому В телескоп попадает доля К энерrии, равная
Q2 D2
К  ,.,  ,.,  f"OJ О 5 10 --18
 v.. Qi  v.. 8L2 f"OJ , · ·
Таким образом, выиrрыш , который дает применение отража-
теля, равен
 == Ко / К  2. 106.
При м е ч а н и е. Полученный результат является .пишь оценоч
ным, так как световой поток внутри уrла распределяется неравномерно.
49. «Черный ящик» имел 4 вывода. Для определения эквивалентной
цепи и параметров ее элементов можно выполнить сначала измерения
на постоянном токе. Наиболее целесообразно собрать цепь по схеме по
рис. 111 и построить вольтамперные характеристики для различных BЫ
БОДОВ «ящика». Это сразу позволяло убедиться, что в «ящике» нет источ
ников э. д. С. (rрафик !==! (И) проходит через начало координат), нет дио
дов (сила тока не зависит от полярности включения внешнеrо источника
тока), по уrлу наклона rрафика можно определить сопротивления меж
ду различными выводами «ящика». Опыты позволяли оценить значения
Rt.... 2 и R3....4. Между друrими ВЫВОJlами «ящика» амперметр тока не пока
116

зывал. Это означает, что между этими выводами, возможно, находятся
резисторы с сопротивлениями большими, чем R и :
R  Umax........ 4,5В  225 . 10 6 0
и  /min 2.10-- 6 А  , м,
rде /min минимальное значение силы тока, который зафиксировал
1
.3
«Черный
я ш.и К'»
2.
4
Рис. 111
бы прибор. Возможно, что между выводами 13t 14, 23, 2----4
находятся конденсаторы (рис. 112).
Далее можно выполнить аналоrичные измерения на переменном TO
ке. Снятые вольтамперные характеристики позволяли определить пол
ные сопротивления переменному току участков 1 2 и 3-----4: ZI и Z2 И
сравнить их со значениями R 1 и R 2' Оказалось, что ZI> R 1 и Z2> R 2'
Я 1
1
3
1
2
2
я ,
R2.
4
Рис. 112
Рис. 113
Этот факт сразу позволяет заключить, что в «черном ящике» к выводам
12 и 3.....4 подключены катушки (рис. 113). Индуктивности катушек
L 1 и L 2 можно определить по формулам
L' V ZR
1  2лv '
L  v ZR
2  2лv ·
После этоrо надо было исследовать зависимости Z==I (/), L==I (1).
Характер обнаруженных зависимостей позволял сделать вывод о Ha
личии ферромаrнитных сердечников в катушках. По результатам изме
рений на переменном токе можно было определить также верхнюю rpa
ницу емкостей конденсаторов, которые моrли бы быть между выводами
1-----3, 14, 23, 24:
с  /mil1
max  2лvU max
5.10-- 6 А  --9 
2 . З, 14 . 50 с --1 . 3 в  5. 1 О Ф  5 нФ.
117

Затем можно было проверить наличие индуктивной связи между
цепями 12 и 8-----4. rрафик зависимости напряжения И З -- 4 от напряже--
пия U 1 -- 2 (рис. 114) позволяет определить не только коэффициент транс--
IJx>рмации
К == Иi--2 1
U 3--4 2'
НО и максимальные рабочие напряжения на катушках Li и L 2 , при
,."и f 2,
В
4
i
"
"
'
'

;


'"
.,
.l

2
о
2.
4
6 8 10
Рис. 114
12.
14 ,.."у з ,, 4 , В
которых коэффициент трансформации еще не изменяется, Т. е. насы-
щение сердечника еще не наступило:
Иi--2 <mах)==2,5 В, U В -- 4 <mах>==5 В.
Можно было построить rрафик К (Ui--2) или к (И з -- 4 ) (рис. 115).
J(
015
о
z
1
5 S
3 4
Рис. 115
10
б
,..., и 3-4, rr
lJ 1-2.26
Определение схемы «ящика» было возможно и после опытов на по
стоянном токе. Для этоrо надо было обнаружить наличие индуктивной
связи между выводами 1----2 и 8-----4, т. е. появление э. д. С. индукuии В
цепи 3-----4 при замыкании и размыкании цепи 1----2 и наоборот. Сравни
В8Я направления отброса стрелок вольтметров, подключенных к выво..
118

дам 12 и 3........4, можно было определять направления намотки обмоток
трансформатора.
50. До истечения rаза, т. е. до момента вылета переrородки из про--
бирки, систему «пробирка с rазом ...... переrородка» можно считать замк
нутой. Запишем для нее законы сохранения импульса и энерrии:
(М + nМ о) и! ----- ти == О, (1)
(М +nМО) V + ти 2 ==AU j (2)
2 .. 2
rде и! -----скорость пробирки в момент вылета переrородки со ско-
ростью и, I1и ---- изменение внутренней энерrии rаза. Так как rаз
идеальный и одноатомный, то
6.и == 3 /2 n R T == 3/ 2n R (Т..... Т к);
т к -----температура [аза в момент вылета переrородки определяется из
уравнения адиабатическоrо расши рения:
PVV == const.
С учетом уравнения rазовоrо состояния РУ == nR т получим
TVVl ==const, TVV1 == Т к VXl.
Т ак как по условию задачи V к == 2 У, а пока затель адиабаты для
одноатомноrо rаза равен Y==Cp/cV==/2R : З/ 2 R ==5/3, то
Т к == T(V/V K )V-- 1 == Т /22/3== Т .2--2/3.
Решая уравнения ( 1) ---- (4) совместно, получаем
.... /,,, mпRT
Vi == V 3 (1.......2 «{) (nМо + М) (т + nмо + М) ·
(3)
(4)
(5)
Если допустить, что масса rаза nмо MHoro меньше массы про-
бирки и переrОрОДКИi то ф ормула (5) упрощается:
.. ---- ' /3 ( 1 2 2/3 ) mnR Т (5 ' )
Vl ---- V ..... М (т + М) ·
После вылета переrородки пробирка приобретает дополнительную
скорость (,'2 З счет упруrих ударов атомов о дно пробирки. Каждый
атом передает пробирке импульс, равный
р == 2тА 6.V X J
rде тА----масса атома: тА ==Mo/N А, а и х выражается через среднюю
квадратическую скорость атомов следующим образом:
--- ........ У и2 { V + и + и; == и 2 ,
v х  ........ 3 ; т а к как ..... ...... ___
2 2 2
их == Vy == Vz.
Следовательно, за счет упруrоrо удара одноrо атома пробирка полу-
чает импу лье
Мо .... '/' и 2
p==2 NA V 3'
119

Все расчеты мы проводим в системе отсчета, движущейся со CKOpO
стью '01, И В предположении, что тепловые скорости движения атомов
MHoro больше скорости пробирки .
Так как в среднем о дно пробирки ударяется половина всех атомов,
то полный импульс Рп, полученный пробиркой, равен
у .........
1 и 2
РП == '2 nN АР == nМо 3 '
(6)
а скорость пробирки и2 В системе" отсчета, движущейся со ско-
ростью 'Vj, равна
Рп Мо" / и 2
и2 == М === n М V 3.
(7)
Подставляя в полученное выражение значение средней квадратиче-
ской скорости атомов
..r2  V / 3RTK
У V  Мо
и учитывая выражение (4) для темпер атуры Т к, получим
 2 ....1/3 n у М oR Т
и2  М'
(8)
Следовательно, искомая конечная скорость пробирки в системе OT
счета, в которой в начальный момент пробирка была неподвижна, равна
и==иl +t'2 ==
 / 3 ( 1 2 2/3 ) mnR т + 2  1/3 n V М oR Т ,....,
== V ----- (nМо+ М) (т+nМо+М) М """
I'J ... /3 (1 ----- 2 2/з ) mnR Т + 2 1/3 n V М oR Т
,..; JI м (т + М) м.
51. 1) Напряжение И О подается на лампу с сопротивлением Ro че
рез' потенциометр, общее сопротивление R KOToporo надо определить
(рис. 116). Запишем для этой цепи законы Кирхrофа:
1== и о + и о  .(1)
Ro RRx'
rде Rx -----сопротивление BepXHero участка реостата,
Uo==iJIRx.
К. п. д. такой цепи равен
РПОJl ИбlR U
f)   ----- -----
 р ист....... 1 С ----- R 1 <8 ·
Из выражения (3) видно, что максимальный ток, на который должен
быть рассчитан реостат, определяется минимальным значением к. п. д.
цепи лампы:
(2)
(3)
И и
J тах == R c8Т}min == R СТ}о ·
(4)
12О

Сопротивление реостата R как функцию от к. п. д. цепи рассчи-
2
ио
таем, подставив значение силы тока из выражения (3), / == R <f}'Y) ,
в формулы (1) и (2):
и о _____+ 1
R I {J О ----- R О l ----- R х '
R == ( .D _____ И ) R <f}'Y)
х (9 О и ·
(5)
(6)
Отсюда
<82 1 +ч (I  )
R == R ОУ} --ё7 <f} ·
О 1-----  f)
и о
Для отвеТа на оставшиеся два воп роса задачи необходимо выяснить
характер зависимости R (f)). С этой целью найдем производную R:
R'(f))  ( Ч+Ч 2 (1 f ) ) ' '"
1----- и о 11
"'1+2Ч(I J (I o ч)+rЧ+Ч2(1  )] : ==
== ч (2  ч) (1  ) + 1.
(7)
Так как 11 <1, то полученное выражение поло)и:ительно, а, следовательно,
]
IO
g R  Л,х

Рис. 116
Рис. 117
R (ч)  функция возрастающая, и для Toro чтобы к. п. д. был не MeHЬ
ше 'У)о==О,6, сопротивление реостата должно быть больше или равно ми
нимальному значеНИIО Rmin' Это значение получается при подстановке
в выражение (7) l1=='У)о:
<82 l+чо (1  )
R Rmill ==Rof)O {J ==8,5 ОМ.
U О 1----- ............... 'У) О
и о
2) Так как R (11) ..... функция возрастающая, то максимальное зна..
чение к. п. д. будет достиrнуто при R---+oo. При этом общая сила тока
будет минимальна и весь ток пойдет через наrрузку: /==/o==Uo/R, а
'tlmax == / U 0/ J <fj == Uo/G == 0,75.
121

Для реализации этоrо случая достаточно собрать 9лектрическую цепь
по схеме, представленной на рис. 117. Сопротивление R 1 части реостата,
через которую протекает ток, определим, применив закон Ома
с-----и о <8иo ( <f1 )
Ri== 10 == и о Ro== и о -----1 Ro==.O,67 Ом.
52. 1) Сиrнал, реrистрируемый приемником А, определяется интер-
ференцией прямоrо луча 1 и луча 2, отраженноrо от поверхности воды
f/II'
.".

.,---
с
Рис. 118
(рис. 118). Так как луч 2 отражается от оптически более плотной среды,
фаза колебаний изменяется на п, при этом разность хода  лучей 1 и 2
равна
'А h 'А ( h )
==AC+2AВ == sin а +2 sin а cos 2а. ==
л h л
==2+ sfn а (l.......cos 2а) == '2+ 2h sln а. (l)
Запишем условие интерференционных максимумов:
л 
2" + 2h sfn amax == kЛi
или
. ( 1 ) л л
sln атах. == k....... "2 2h :::::; 4/l (2k....... 1);
(2)
rде k== 1, 2, 3, . . ., 19. (Разность хода не может превышать h, следова-
тельно, k не превышает 19.)
Условия интерференционных минимумов определяются из выраже-
ния
л л
2+ 2h sln aml n == (2k + 1) 2 j
или
k'A
sln amin ==.............. J
2h
(3)
rде k==O, 1, 2, 3,..., 19.
2) Так как при восходе уrловая высота а радиозвезды равна ну-
лю, то выполняется условие минимума. Поэтому непосредственно после
ее восхода интенсивlЮСТЬ принимаемоrо сиrнала будет возрастать.
122

3) При выполнении условия интерференционноrо максимума в при
емник попадает электромаrнитная волна, амплитуда электрическоrо
поля Е которой равна сумме амплитуд электрическоrо поля Е i паДаю
щей волны прямоrо луча и отраженной волны Er: Emax==Ei+Er.
Е ----- Е . n cos <Р Е
Так как по У словию задачи r ' , то max ==
---- · n+ COS <Р
== Е; ( 1+ n----- соз <Ртах ) f
n+cos <Ртах
Поскольку <Ртах == n/2 (Xтax' получим
Е === Е. ( 1 + n ----- sin <Ртах ) == Е . 2n . ( 4 )
тах l n + sln <Ртах l n + sin <Ртах
При интерференционном минимуме амплитуда результирующей
волны равна
Е Е Е 2 sin <Рт \n
Emin == i  r == i + in ·
n S <Pmin
(5)
Интенсивность 1 .пропорциональна квадрату амплитуды Е, поэтому
отношение интенсивностей в соответствующих максимумах и минимумах
равно
1 тах ( Етах ) 2== 2 n2 (n+sJn <J1min): .
1 min Emin sin <Pmin (n + sin <Ртах)
Подставляя в выражение (6) условия (2) и (3) для sin <Pmin и
sin <Ртах, получим
(6)
4n 2 h 2 [ n+k ] 2
k 2 '),. Й n+(2k 1)  ·
4h
Из этой общей формулы, справедливой для любоrо k, получим BЫ
ражение для частноrо случая k== 1, соответствующеrо первому максиму
му и следующему за ним минимуму:
1 тах =z 4n 2 h 2 ( n + 'A/2h ) 2 == 3.10 i .
1 min 'АВ n+'Aj4h
4) Так как n > л/2h, то из соотношения (7) получаем
1 тах 4n 2h 2
,....,
I min """ k 2 'A2 '
I max
lmln
(7)
т. е. с восхождением радиозвезды над rоризонтом в связи с ростом
числа k отношение интенсивностей сиrналов 1 max/ I min, принимаемых
в соседних максимумах и минимумах, уменьшается.
53. 1) При. выполнении первоrо задания следует провести не
менее 10 измерений длины 1n резиновоrо шнура при разных значе-
ниях массы rРУЗ8 т n .
Вычислив для каждоrо опыта значение ln == 1n  10, построить
rрафик зависимости удлинения A1 n от силы натяжения F n ==:2 mrzg.
123

Таблица 1
т n, Kr
Fn=тng, Н
ln, мм
t!ln=ln--1o, мм
0,005 0,05 153 3
0,015 О, 15 158 8
0,025 0,25 164 14
0,035 0,35 172 22
0,045 0,45 181 31
0,055 0,55 191 41
0,065 0,65 202 53
0,075 0,75 215 65
0,085 0,85 228 78
0,095 0,95 243 93
О, 1 05 1,05 261 111
Результаты одноrо !1З опытов приведены в табл. 1. rрафик
ln (Р n)' соответствующий этой зависимости, представлен на рис. 119.
А l п, ММ
110
100
ВО
80
70
60
50
D Ц,1 OJ2 0,3 0,4 0,5 0,6 017 0,8 0,9 1,0 F.;,H
Рис. 119
2) Для вычисления объема V п шнура при каждом измерении
нужно использовать закон rYKa в виде
l 1 ДРn
--т;;-- == Е --S;;'
откуда
s  ln др n
п  Е l '
124

rде Iil == [n  ln  f. !1Р n == !1m n g. (использование закона rYKa в виде
дl I F
lпп == Е S для определения Sn приводит К большим поrрешностям,
так как Iil п сравнимо с [n.)
Зная Sn, леrко рассчитать значение объема шнура V п при ка>к-
дом значении F п:
[2 f1F
n п
V rп == Sn1n == Е f11' ·
n
По результатам табл. 1 требовалось составить табл. 2 и внести
в нее результаты всех расчетов.
Таблица 2
,
I1mn=mn тп--l' !!J.F n = lll = S ln!!J.Fn Vn=lnSn,
кр =l1mng, ln, м =ln --ln--l' п Е 6.1 n ' мз
Н М м 2
0,035.....0'025 О, 1 О, 172 0,008 1 07. 1 О -- 6 184. 1 О -- 9
,
0'045.....0'035 О, 1 О, 181 0,009 101.10--6 183 . 1 О  9
,
0'055.......0'045 О, 1 О, 191 0,010 О 95. 1 О -- 6 182. 10--9
,
0,065-----0'055 О, 1 0,203 0,012 О 92. 1 0--6 187.10--9
,
O,0750,065 О, 1 0,215 0,012 0,89.10--6 191.10--9
0,085-----0'075 О, 1 0,228 0,013 О , 88. 1 О -- 6 200.10--9
0'095.....0'085 О, 1 0,243 0,015 0,81.10--6 196. 1 0-- 9
О, 105-----0' 095 О, 1 0,261 0,018 О 72. 1 0--6 188 . 1 О  9
,
Результаты этих опытов показывают, что относительный разброс
полученных значений объема шнура от среднеrо значения объема равен
 V пер' 100% '" 5,3 .10-- g . 100 0 ! '" 2 8 0!
В  V '" 1 8 9 . 1 О  9 1'0""", 1'0 ·
пер
Это меньше заданных в условии задачи возможных отклонений от закона
rYKa.
Таким образом, полученные результаты позволяют сделать вывод
о постоянстве объема шнура в условиях данноrо опыта:
V п == const.
При м е ч а н и е. Этот же результат можно получить и теорети'"
чески. Запишем закон [ука для относительноrо удлинения шнура:
f11 1 F
Т===Е s (l)
125

и для относительноrо уменьшения ero радиуса:
d, о F
,::2 E у' (2)
rде о  постоянная Пуассона.
Объем резиновоrо шнура равен
V == n,2l.
Изменение объема шнура при малых изменениях ero длины равно
L\ V == n (2,! L\, +.,2 L\l). (3)
Учтя выражения (1) и (2), получим
АV=:л; ( 2rr ; 1+r 2 1   ) == r 2 1 fs (12(J). (4)
Выражение (4) показывает, что объем шнура может увеличиться
или уменьшиться в зависимости от постоянной Пуассона для вещества,
из KOToporo изrотовлен шнур.
Так как для резины 0==0,5, то L\ У==о, а следовательно,
V==const.
3) Второй способ определения объема шнура при заданной массе
rруза заключается в определении периода малых колебаний чашки Q
rрузом на весах. Эти колебания происходят под действием силы
L\t
F==ES T .
При малых амплитудах можно считать S постоянной величиной,
поэтому, применив второй закон Ньютона:
____ Е S L\t  d 2 (L\l)
1  т dt2 ,
можно определить период rармонических колебаний системы;
Отсюда находим
 j--тL
Т==2п V ES '
S  (2n)2 тl
 ЕТ2 ,
а искомый объем шнура равен
4n 2 ml 2
V == Sl == ЕТ?, ·
Измерив период колебаний T==t/n==5,25c/l0==O,52 с при массе
rруза с чашкой, равной т==О,О65 Kr, получаем У;::::: 195 t lO-- 9 м З , что соrла-
суется с данными первой серии измерений. .
54. а) Коrда лампа находится в рабочем режиме, эквивалентную схе..
МУ цепи можно представить так, как показано на рис. 120.
Полное опротивление такой цепи равно
z == у (R  + R d)2 + (2nvL}2J
126

откуда искомая индуктивность дросселя
L == ............... 2 1 У Z2 ----- (R JI + R d) 2 .
NV
..
Подставляя в последнее уравнение Z == U / / и R JI == и' / /, получим
L z= 2" У 22  ( Rd+ ' ) 2  1,09 rH,
б) Как видно из векторной диаrраммы ДJМI данной цепи (рис. 121),
сдвиr фазы между колебаниями напряжения и силы тока определяется
из выражения
t U L 2nvL 2nvL
g ер== Uл+Ud == RJI+Rd ==и'// +Rd ;
tg ер  2,06, ер  64,10.
в) Среднюю мощность, выделяемую в цепи за период, можно рассчи..
тать по одной из нижеприведенных формул:
р == / U cos ер, (1)
rде / и U -----действующие значения силы тока и напряжения, или
р == /2R == /2 (Rd+ и' /1). (2)
Подстановка числовых данных в любую из этих формул приводит
К результату: Р  60 Вт.
llJ.
и
rv
Рис. 120
121
r) Сетевое напряжение ниже напряжения зажиrания люминесцент"
ной лампы. При замыкании контактов стартера через дроссельную ка..
тушку течет ток. При размыкании контактов стартера возникает 9. д. с.
самоиндукции, пропорциональная индуктивности катушки и скорости
изменения тока:
<с == ....... L 11 i ==........ L i' .
t
Характерное время 'т, в течение KOToporo изменяется сила тока в
катушке, зависит от емкости С схемы, включенной параллельно дрос"
селю:
tt y LC.
127

Если eMKQCTb С мала, то э. д. с. самоиндукции может достиrать зна
чения, достаточноrо для зажиrания rазовоrо разряда в лампе.
При м е ч а н и е. Для зажиrания лампы необходимо, чтобы мо"
мент размыкания контактов стартера не совпал с моментом, коrда MrHo"
венное значение силы тока равно нулю.
д) В стационарном режиме световой поток Ф лампы пропорционален
выделяемой в ней электрической мощности р:
Ф "-' Р == 1 i1R л cos 2 rot == 1/21 Rл (1 +cos 2oot) ===1/2 Ф м(1 + cos 2oot),
rде 1м и Ф М----- амплитудные значения .силы тока и cBeToBoro потока.
Из полученноrо выражения видно, что частота колебаний ФиР
равна 2v == 100 rц. rрафик зависимости lОЩНОСТИ Р лампы от вре-
мени t показан на рис. 122 штриховой линией.
f! gJ
J
о
10
20
Рис. 122
за
4 О t, м с
rрафик зависимости Ф (t) не полностыо совпадает с rрафиком Р (t).
В моменты времени, коrда р== О, Ф:I= О, так как свечение плазмы
в лампе полностью не прекращается. Приблизительный rрафик Ф (t)
представлен на рис. 122 сплошной линией.
е) Несмотря на то, что напряжение на лампе в определенные проме..
жутки времени равно нулю, в лампе остаются свободные носители заря
да  ионы ртути и электроны. В ремя их рекомбинации достаточно вели..
ко по сравнению со временем, в течение KOToporo отсутствует подвод
энерrии.
ж) Подключение последовательно с дросселем конденсатора CO
==4,7 мкФ практически не отразится на зажиrании лампы, так как ем-
кость конденсатора СО MHoro больше емкости С, образуемой электродами
лампы и стартера, и их совместная емкость С' мало отличается от С:
С , СОС С
== Со+С === 1 + С/СО  С.
Поэтому при размыкании контактов стартера напряжение на лампе
значительно больше напряжения на конденсаторе:
И Л/И ==Со/С:> 1.
Таким образом, принцип зажиrания лампы останется прежним.
Рассмотрим теперь, изменится ли сила тока, протекающеrо через
лампу в стационарном режиме.
128

Схема новой цепи представлена на рис. 123. Полное сопротивление
этой цепи равно
l'..,. У ( roL c ) 2 +(RJ[ +Rd)2.
1
Так как Х L r:: (J)L  342 Ом, а Х с:!!; ооС  677 ОМ, Т. е. I (J)L 1 
 I roL  ro 1, получаем: l'  374 Ом (l' Z). Следовательно, сила
тока в цепи изменится мало: j' ==0,61 А. Мало изменится и напря-
жение на лампе: U' c:s: 85,5 В.
lI"
с
'У
.....,

Рис. 123
Рис. 124
Мало изменится также модуль сдвиrа фаз........этот уrол лишь из-
менит знак, что хорошо видно из векторной диаrраммы (рис. 124):
1
(J) L  ..............
tg ср' == R JJ +  == 2,01; ср' ==  63,6" (1 ср' I  I ер 1).
При параллельном включении большоrо количества люминесцент"
ных ламп увеличивается сдвиr фаз между током и напряжением, и для
получения той же мощности на каждой лампе нужна большая сила тока.
Рассмотрим это на примере. При двух параллельно включенных
лампах без конденсаторов сила тока равна
1==10 COS «(J)t+cp)+ 10 cos «(J)t+<p)==2/ 0 cos ((J)t+<p).
Если же включить параллельно такой лампе лампу с конденсатором СО,
то 
1==/0 cOS«(J)t+cp)+/o cOS«(J)t.....<p)==2/0 cos <р COS (J)t.
Из полученных выражений видно, что сила тока во втором случае мень..
ше в 2,3 раза, так как cos <p0,44.
Таким образом, конденсаторы нужны для компенсации сдвиrа фаз.
а) Одна половина люминесцентной лампы была очищена о} люми"
HecueHTHoro покрытия. Учащиеся с помощью спектроскопа наблюдали
линейчатый спектр ртути.
Спектр от половины трубки с покрытием был сплошным. Он образу-
ется при поrлощении люминофором ультрафиолетовоrо излучения ртут..
s О. Ф. Кабардин, В. А, Орлов
129

ной лампы с последующим излучением сплошноrо спектра в ВИДПМО"
области в соответствии с законом Стокса:
Л 2 >А 1 .
55. Как видно из рис. 125, центр масс веша1КИ ле}кит на прямой,
которая о.дновременно является высотой, медианой и биссектрисоЙ paB
нобедренноrо треуrольника. Обозначим
Sa' Sб' Sв расстояния от центра масс до
точек подвеса в случаях, изобраjкенных
на рис. 125.
Так как во всех трех случаях ко..
Рис. 125 леблющаяся вешалка является физи--
ческим маятником, то перпод колеба-
ний этоrо ма ятника (вешалки) можно опр еделить как
Т==211; V :gS ' (1)
rде I ----- момент инерции вешалки относительно оси колебаний. СоrлаСRО
теореме [Птейнера
1==/o+m8 2 ,
rде 10  момент инерции вешалки относительно ее
расстояние от центра масс до оси колебаний.
Из выражений (1) и (2) получаем:
Т==2л"';- lo+т
r Ing8'
I om82 ==mgS (Т /2л)2,
82........ gS (Т /2л)2 + I о/т == о.
(2)
центра масс, S -----
(3)
Так как по условию периоды колебаний вешалки во всех трех
слуqаях равны, то уравнение (3) имеет не более двух корней. Дру-
rими словами, два значения:из трех: Sa, S 6, S8 равны между собой.
Учитывая соотношение 88 > 8a+S 6, получаем, что равными
MorYT быть только расстояния Sa И 86-
Из у словий 8 а ==Sб и 8 a +S6== 10см получаем: 8 a ==S6==5CM,
а 88 == У212+5 2 ==21,6 см.
Зная два разных корня 8i и 82 уравнения (3), из теоремы
Виета следует
8i +82 == g (Т j2n)2,
откуда
Т==2л V S1S2 == 211; v SaS. .
Подстановка числовых данных приводит к резуль-тату: Т== I ,03 с.
При м е ч а н и е. Формулу (1) нетрудно вывести. При отклоне
нии вешалки на малый уrол а от положения равновесия на нее будет
действовать момент сип М, возвращающий ее к первоначальному поло
130

ению:
м == -----тgSа.
Используя второй закон динамики для вращательноrо движния:
М==/Е==/а",
получим дифренциальное уравнение
11 mgS
а == ----- 1 а.
Решением этоrо уравнения ЯВJlяется ra рмоническая функция с пе-
риодом
Т==2л У ms ·
Доказать теорему Штейнера поп робуйте сами.
56. 8) Условие равновесия шара в воздухе запишем в виде
F А ==р т ,
rде F А 8рхимедова сила, равная F А == Р1 Vg, а Fт-----сипа тяжести
шара с воздухом: FT==P2Vg+тog (Рl и Р2ПЛОТИОСТИ окружаю-
щеrо воздуха при температуре Ti и воздуха в шаре при темпера-
туре Т 2).
Тоrда условие равнове,СИЯ шара в воздухе можно записать как
Рl Vg==P2 Vg+mog,
откуда
то== (Рl-----Р 2) V.
Из уравнения rазовqrо состояния:
(1)
т
РУ==-М RT,
Р==  RT
следует, что
Pi==PM/RT 1 ,
P2==PM/RT 2 .
Отсюда
Ptfp2 == т 2fT 1.
Из выражений (1) и (2) получаем
Т  Ti
s ·
1 ----- то/рУ
(2)
(3)
Подстановкi числовых данных приводит к результату: Т 2==341 К, или
12== 6В О С.
б) Если воздух в шаре HarpeTb до температуры Т з ==383 К, то 1I0вое
,
значение силы тяжести шара р т равно
F;==тоg+рзVg.
Для удерЖЗI!ИЯ шара в положении равновесия необходимо, чтобы
сила Р, действующая на трос, привязанный к шару, была равна
F == F А ........ Р; == Pl V g...... (то + Рз V g) == [(РI ---- Рв) v  то.] g. (4)
5.
131

Аналоrично вырв,кению (2) записываем
Р1/РВ == Т з/Т 1. (5)
Из выражений (4) и (5) получаем
F == [Рl (1  Т 1/Т з) V  то] g == 1,2 Н. (6)
в) Из условия равновесия шара на искомой высоте h получаем
то + Рз V
F'л==F;, РhVg==т+рзVg, Ph== v ' (7)
rде Ph  плотность воздуха на высоте h.
С друrой стороны, плотности воздуха Ph и Рl в изотермической
атмосфере связаны барометрической формулой:
Ph==Ple--Р1gh/Ро, (8)
откуда получим
r р о'
h 0 ] .1
==............... n ,
Plg Ph
а с учетом выражений (5) и (7) запишем:
h == Р о ln Рl V Р О ln Рl V . (9)
Plg то+рзV Plg тО+Р1 Т I V / Т З
Подстановка числовых значений приводит к результату: h 843 м.
r) При небольшой разности высот h== 1 О м по сравнению с высотой
h==843 м барометрическую формулу (8) можно представить в виде ли..
нейной Функции
Ph+Ah==Ple"P1g(h+h)/Po == Phe---P1g Ah/P o  Ph (l----Р1В h/Po).
Следовательно, для шара, у KOToporo отверстие закрыто, архиме--
дова сила, действующая на Hero, равна
FЛ==Рh+АhVg.
Изменение этой силы при малых изменениях высоты h нетрудно рассчи
тать:
==...... PhPtg Vg,
Ah РО
откуда
2
I1F А ==  Ph:g v М.
Так как сила, действующая на шар, прямо пропорциональна смещению
шара, то он совершает rар монические колебания, пе риод которых равен
т == 2л  / (то + Рз v) Р о == 2л .. / (то + Рз V) Р о :::::а
V PhP1g2V g V (то+рз V ) Рl
== 2л У РО  186 3
.  с  мин.
g Pi
При получении 9Toro результата мы не учитывали сопротивление
воздуха, которое, с одной стороны, приведет к тому, что колебания будут
132

взтухающими, а с друrой CTOf>OHbI, период реальных колебаний будет
несколько больше рассчитанноrо.
Отметим, что в связи с большим периодом колебаний шара (3 мин.)
указанные поправки к полученному значению будут незначительными,
так как сила сопротивления, зависящая от скорости, будет невелика.
При м е ч а н и е. При решении этой части задачи мы не учитыва...
ли эффекта «присоединенной массы» воздуха.
57. 1) Метод определения фокусноrо расстояния линзы с использо..
ванием зеркала заключается в следующем. Линзу кладут на зеркало,
а над ними в штативе закрепляется остро отточенный карандаш (рис.
126). Лучи от ero острия преломляются в линзе, затем отражаются от


Зеркало
Рис. 126
/ / // / ,
Зеркало
Рис. 127
зеркала и вновь преломляются в линзе. Действительное изображение
острия карандаша наблюдается rлазом и фиксируется методом парал.пак"
тическоrо смещения.
Наибольшая точность измерений может быть достиrнута при равен..
стве расстояний d и f : f==d. В этом случае острие карандаша и ero изо..
бражение не будут смещаться относительно друr друrа при изменениях
положения r лаза наблюдателя (рис. 127).
Используем формулу линзы
1 1
([+т == D,
rде D ----- оптическая сила системы линз:
D== Do+ Do== 2Do== 2/ F о,
8десь Do  оптическая сила одной линзы, F о ----- искомое фокусное рас..
стояние линзы.
Из равенства
1 I 2
+-----==
d f Fu
можно найти ро: при d==f, Fo==d. Схема хода лучей на рис.
ждает, что если d== F () то и '== F о.
127 подтвер"
133

При измерении расстояний d и f нужно учесть, что TO расстояния
ОТ оптическоrо центра линзы. Поэтому, измерив высоту 11- острия 'каран--
Д8ша от зеркала, нужно вычесть половину толщины линзы
d == h .....1/ 2 h l.
2) Показатель преломления линзы можно определить из формулы
1.. == (п ----- 1) ( 1.. _____ 1.. ) .
F '1"
Так как линза симметричная и двояковыпуклая, то '1:Е::: ----- '! Е::';
8 следовательно,
1 2
 F == (n ----- 1) -----.
о '
(1)
Радиус кривизны линзы r можно определить следующим образом.
Налив на зеркало воды и положив на нее линзу, мы получим оп
тическую систему, состоящую из стеклян-
ной двояковыпуклой линзы, водяной
плосковоrнутой линзы и зеркала
(рис. 128).
Определив способом, 8налоrичным
описанному в п. 1), фокусное расстояние
системы линз F С, можно. найти фо-
кусное расстояние водяной линзы F в:
Dc==DB+Do, ==+...!..
Ре Р8 Fo'
Стеклянная
J1 и Н за
)/Ш/
зеркало
Рис. 128
ОТКУ да
1 I I
F8  Fe ----- РО ·
(2)
с друrой стороны,
 == (п В ..... 1) ( 1....... 1.. ) ,
F п '1'2
НО так как 'f== " '2==00, то
1 I
F 8 == .....(п В ----- 1) "
rде по ----- известный показатель преломления воды.
Из выражений (1), (2) и (3) получаем
, (nп-----I) РОРс
п == 2Р о + I , , == (Р с ----- F о) ·
откуда следует ответ задачи:
п== (пп-----I) FC +I.
2 (рс-----ро)
58. а) Линейное ускорение а оси цилиндра можно определить
из выражения
(3)
s ==at 2 /2,
134

измерив путь 8, пройденный цилиндром за время [:
а == 28/t 2 .
Как видно из рис. 26, путь, пройденный цилиндром от кон-
такта А до контакта В, равен
S==L YR2(R  D)2 YR2(Rd)2==
==L Y2RDD2 Y2Rd d2 .
Время t фиксируется электронным секундомером. Ускорения а; HY.iI{HO
было рассчитать ДЛЯ с...'Iучаев, коrда нить намотана на каждый из
шести шкивов: '1 == 0,75 см, 12 == J ,50 см, 'з == 2,25 см, '4:::;: 3,00 см,
'6 == З,75 см, '6 == 4,50 см.
б) Обозначив силу натяжения нити буквой Т, запишем выраже-
ние BTOpOro закона Ньютона в проекциях на rОРИЗ0нтал ьное направ-
ление. Для rруза:
тgT==ma,
rде m масса rруэа, а т  ускорение rруэа. Для цилиндра:
TFi==Mai, (2)
rде F i----- искомая rормзонтальная сила реакции, ВОЗникающая между
цилиндром и rОРИЗ0нтальной поверхностью. Записывая условие (2),
мы считаем, что силы Т и F 1 направлены в противоположные стороны.
Соотношение между ускорениями rруза и цилиндра а т и й; леrко
получить, учтя, что при повороте цилиндра нз малый уrол fJJ ero
центр масс смещается на величину ДХ; ==Rcp, а нить с rрузом сме.
щается нз величину rп === 1i, H
==(R +,;) <р. Отсюда О,2
R+'i
ДХ т == R Xi,
R+,;
а т == ai ===
R
== ( I +  ) щ.
0,1
(3)
Из выrажсниЙ (1), (2) и
(3) пол учаем
F i == Т  Mai == т (g arп).....
........М ai == mg ----- (Mai+ та т )==
== mg ----- [М + т (1 + , i J R )] а i.
(4)
... 0,1
(1)
'lJ Ctf
о
Рис. 129
Выражение (4) позволяет рассчитать значения силы Fi для каждоrо
значения 'j и ai. Эксперимент показал, что проекция вектора силы Р,.
. при i== 1, 2, 3 имеет положительные значения, а при i==4, 5, 6 принимает
отрицательные значения.
в) rрафик зависимости Р ; от '; представлен на рис. 129. Из rрафика
.видно, что изменение знака... силы FJ происходит при 'o 215 см, что
135

составляет половину радиуса R цилиндра:
'o R/2.
Факт изменения знака проекции вектора силы F i можно объяснить
так. При малых значениях '; и== 1, 2, .j) момент силы Т меньше Toro зна
чения, при котором цилиндр приобретает такое уrловое ускорение, что
может катиться без проскальзывания. При налични трения сила F i Ha
лравлена противоположно вектору силы Т и создает дополнительный
вращающий момент. Проекция силы Fi при этом положительна, так как
именно такое направление предполаrалось при записи условия (2).
При больших значениях '1 (i==4, "5, 6) момент сиды Т превышает
значение, при котором вращение цилиндра обеспечивает движение без
проскальзывания. При наличии сил трения сила РI создает вращающий
момент, противоположный моменту силы Т, компенсирует избыток мо.
мента силы Т.
Полезно выполнить теоретический анализ полученных результатов.
Запишем основное уравнение динамики вращательноrо движения
цилиндра относительно ero центра масс:
т,+р iR ==. /8, (5)
rде 8уrловое ускорение: 8 ==ai/R, / MOMeHT инерции цилиндра
со шкивами. Без учета наличия шкивов J ==.1/ 2 MR2.
Таким образом, выражение (5) можно представить в виде:
1 а. 1
T,+Fi R == 2 MR2 R -==2 MRa{. (6)
Подставив в уравнение (6) значения Т из (1) и Р i из (4), получим
1 ----- 2 !L
R
F i == тg ( ) . (7)
3+2  1 +  s
Анализ выражения (7) позволяет преДСК8зать ВЫВОДЫ, получен-
ные в эксперименте. Действительно,
при , i -----+ О F 1 == тg > о,
3+2
м
при 'iR Fi==......... mg <о.
3+8.!!:.
М
Так как в условии задачи т М (т==O,l Kr, М ==3,275 Kr), то
Fi==(   :  )m g , (8)
Выражение (8) показывает, что функция F i (' д линейная и об-
ращается в нуль при выполнении условия
1 2" R
З3R==0=Фri==2'
136

Таким образом, условие (4) также вытекает из теоретическоrо рассмотре..
ния задачи.
59. 1) В ПО.пе силы F х можно ввести потенциальную энерrию Е п
(ан.алоrично потенциальной энерrии в поле силы тяжести).
Работа си.пы трения является мерой изменения механической энер"
rии частицы:
ATP== (Ек+Е п ).
Так как остановиться частица может только у стенки (в друrих
случаях равновесие невозможно), то перемещение ее происходит из
Хо До о:
----- F TPS == ----- Е к ----- F хХо,
s== E K + PXXO 20 м,
Р тр
2) Так как зависимость потенциальной энерrии частицы от коор-
динаты выражается соотношением
Е п === Е по + F хх,
то rрафик Е п (х) ЯВJ1яется линейной функцией. При Е п () , О прямая
проходит через начало координат
(рис. 130).
3) При движении частицы к 1:..
стенке ее ускорение равно
F х.....ртР 10
ai" ==
т
а при движении от сТенки-----
F х + F Тр
а2х ==
т
rрафик зависимости и х (х) для
обоих случае (ио х > О и VO x < О)
будет состоять из половинок разных
ражений:
1,0 :с, 11
Рис. 130
r'
парабол. Это следует из вы..
2 Fx----Frp
Vxk==2aixX==2 х,
т
2 . Рх+Ртр
Vx (k+l) == 2а2ХХ == 2 М.
т
Отсюда
V;k F х.......ртР 9
и (k+l> F х + F Тр П ·
Следовательно, отношение последовательных отрезков по оси ОХ равно
xk 11
xk + 1 == 9" ·
в зависимости от направления вектора начальной скорости rpa.
фики V x (х) будут иметь вид, представленный на рис. 131 или 132.
137

Рис. 131
Рн\;. 132
138

60. а) Вычислим силу тока 1, протеК8ющеrо через источник тока,
воспол ьзовавшись методом BeI\To pHbIX диаrрамм (рис. (33):
1== V IR+(1 Lt -1l LI 1 Ct  1 C;s)2 ==
, 1 I 1 1 ) 2
:::= U V R2 + \ шL 1 + ooL g roCfroCB ·
По условию задачи амплитуда этоrо тока поддерживается постоян-
ной при любой частоте rеиератора: 1 == 10'
.{.,
Рис. 133
р
Ifnax
Rnо.у. ....
и т
о ()) W", йJ+ (1,)
Рис. 134
1Ct
2.
1
Введя эквивалентную индуктивность двух параллельно соединен-
111
ных катушек т== L 1 + L 2 и эквивалентную емкость двух парал-
лельно соединенных конденсаторов C==Cf+C2, получим
и == J oR
УI + R2 (1/ooLroC)2 ·
Средняя активная мощность Р за период равна
U 2 IR 1
Р == 2R ==-----r 1+ R2 (ljroL----- roC)3 ·
Отсюда SlСНО, что активная мощность, передаваемая цепи от ИСТОЧ-
ЮIка тока, максимальна при выполнении условия:
1
....... roмС == О,
OOML
1 I
(ом ==   == 103 рад/с.
YLC , / L 1 L 2 ( C + C )
V L 1 + L 2 1 2
Условие, при котором аК1'ивная мощность Р (00:1:) равна половине
максимальной мощности Р так:
р (00::1:) == Ртах/ 2 (рис. 134);
/
можно записать в виде:
RZ ( L 6JC)Z ==1.
139

UТСЮД3 получаем уравнение
ro4ro2 ( L + R:C2 ) + L;C2 ==O.
Cor ласно теореме В нета
{ 2 2 2 1
Ю++Ш == LC + R 2 C'!. '
2 2 1 1
ffi+ffi == L 2 C 2  (j)+(U == LC ;
11m == (J) + ........ ю.... ==
'1f V 2 2  / 2 1
== r (ffi+(j))2== ffi++ffi........2(i)+(J) == V LC + R2C2
2 1
LC == RC ·
Следовательно, искомое значение отношения "м/ t:.v равно
"М  юм  }. == R ... / с == R ... / (С] +С 2 ) (L 1 t-.L2) == 150.
Ь-" ----- O)  У LC V L V L 1 L 2
б) Представив контур L 1 C 1 C 2 L 2 в виде эквивалентноrо контура
LC, r де
L
L 1 L,
L 1 + L 2 '
C==C1+C 9 ,
получим, что частота свободных электромаrнитных колебаний в нем
равна
I
== 15,9 кrц.
  L 1 L 2
2зt V (С 1 +С 2 ) [1 + L 2
Этот же результат можно получить, используя п. а): максимальная aK
тивная мощность выделяется при совпадении частоты v М колебании при..
ложеННОI'О напряжения с собственной частотой колебании. Заметим,
что, так как L 1 C 1 ===L 2 C 2 (10 MrH .]0 нФ===20 MrH.5 нФ), то частоты ево"
бодных колебаний контуров L 1 C 1 и L 2 C 9 совпадают:
1
"о == 2зt у[с 
"1 == "2
1 1
2зt У L 1 C 1 == 2зt У L 2 C 2 '
7. е. колебания в них происходят независимо друr от друrа.
Вместе с тем этот факт не препятствует существованию кольцевоrо
тока " который может без затухания течь через катушки L 1 и L 2 . При..
чиной ero возникновения Mor ло быть, например, изменение внешнеrо
маrнитноrо поля.
в) Если ток на участке цепи АВ существует, 70 он как раз и явля"
ется постоянным кольцевым током I А R, протекающим через катушки
L 1 и L 2 . Для постоянноrо тока достаточно найти одно значение в момент
времени 'о-
140

Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 135. Из первоrо закона
КИ р хrофа следует, что
1 АВ == i 01 + i C1 ==  Ic'J ----- i 02 , i C1 + i C2 == ----- (i 01 + i 02 ).
УЧТЯ, что
 dQ dU
'Сl ===--ёft==C 17 t
о С dU
'С2== 27 t
получим
i C1 !i c2 == С 1 /С 2 ,
С С!
[ С1 =:(iCI+icJ Cl1C2 t:a  (iof+ i 02 ) С 1 +C s '
1 о + . . с о + ' ) Ci
АР == '01 'ci =-= loi...... 101 102 С 1 + C s .
1 АВ == ----- 0,1 А.
Следовательно, ток течет от точки В к точке А и равен / пА == 0,1 А.
r ) Поскольк у колебания в кон- [ .
1 l, 01
турах L 1 C 1 и L 2 C 2 ие зависят друr от
друrа, вычислим амплитуду колеба-
ний силы тока /01 В катушке Li'
применив закон сохранения энерrии
к первому контуру для момента вре-
мени t o .
Учтем также, что вследствие
линейности уравнений и (t), J (t),
Q и) колебания не зависят и от нали-
чи я кольцевоrо тока / АВ в цепи
L1LJ, нужно только вычесть ero из {м. чтобы получить MrHOBeHHoe зна-
чение колебания силы тока ij в катушке L 1 :
l l .==i o1 ........./ AB ' Li/l L 1 ( ; J ) 2 + CiU:
2 "2"'" 01....... АВ 2'
Отсюда для амплитуды колебаний силы ток а в катушке Li полуqаем
/oi== Y(IOf/AB)2+ f: U  0,204 А.
61. 1), Для Toro чтобы пучок света с длиной волны Ао не пре-
пОМJlЯЛСЯ на rранице АС при любом уrле падения на rрзнь AD,
показатели препомления должны быть рав ны: п! == ns, следовательно,
'\. У Ь 1 ----- Ь з
ai+ b l//\,5 ==а2+Ь2/л', Ао== .  500 НМ.
alal
С1

.А
 8
fj
l
С2  ...С е
L2 lD'l.

РИСjl 135
При этом
ni == n2 == по == ai + Ьi/л == 1,5.
2) Приняв длину волны KpaCHoro цвета Л кр ==800 нм, 8 фиоле..
TOBoro f._ф == 400 НМ, получим:
пlкр==аl+Ь 1 /Л КР == 1,26 j n2кр==а2+Ь2/ЛКр== 1,38.
141

А Н3.ПОТИЧJIО нзiiдем
п]ф===I,73, п2ф==I,61.
То есть покззатель преломлеJlИЯ второй призмы для KpaCHoro цвета
больше, чем для первой, а для фиолетовой  наоборот. Учтя это, Ha
рисуем качественно ХОД лучей в призме
(рис. 136).
3) При длине волны падаlощеrо све-
та, для которой выполняется условие
пl==п 2 , две призмы эквивалентны одной
призме с преЛОМЛЯIОЩИМ уrлом 110==300"
"с
/1
," r
л&J
I J
/ t
I I
I I
I I
/ t
/ I
I I
А I I В
......
а ('-
JJ
с
])
Рис. 136
Рис. 137
Леrко видеть, что уrол отклонения луча е TaHoii прнзмой будет МИНИ Ф
мальным, если уrол, под которым луч падает на переДНIОIО rpaHb лризмы
(AD), равен yrТIY, ПОД которым ОН
ВЫХОДИТ из заднеЙ J'рани (1ВС) (рис.
137), т. е.
sin а sln (Ао.+ Omin)/2
110 == .  '"
SlЛ'l sln (A'u)j2)
0"1l1in == 2arcsln r 110 sln (А"'о;2)]  Ао ==
== 15040'.
4) На рис. ]38 показан ход луча,
удовлетворяющеl"О условиям зада
чи. Запишем законы преломления для 9Toro луча:
sin .1(}О sin (600  В)  п2
sin   lll; sin 300  пl ·
"-
300'.....
Л Z
Рис. 138
Подставляя выражения для показателеЙ пре.помления, данные по усло
вию задачи: п 1 ==а t +Ь 1 /л 2 , п 2 ==а 2 +Ь 2 /л 2 , получаем уравнение
л 4 (3aia;a2 1)+л 2 (6a1bl2ab2b2)+(3bib)== О,
0,3бл44,8.105л2-----2,75. 1010 == о.
Решение 3Toro Сиквадратноrо уравнения дает ответ задачи: л  ]200 НМ.
62. Длина полны де Бройля для э...тlектрона J пзаН1\10деЙСТВУlощеrо
с исходным фотоном) равна
Ae==h/Pe)
142

rде p импульс электрона -----сВязаН с ero кинетнчеСК0Й энерrией Е к
слеДУIОЩИМ образом:
Ре==У Е к (E K + 2m Oc i )/c.
Эта формула получается из выражений, следующих из специальной
теории относптельностп:
{ Ек ==тe2тoc2;
р 2 с 2 == т 2 е 4 ----- m5C .
Кинетическую энерrию электрона Е к можно найти из закона со-
хранения энерrии:
тос? + 1lC /ло == те? + Ilс(лi,
откуда
Е к == те 2  тое';! == he /ло  hc /,лl.
11так, для определения искомой длины волны де Бройля Л е нало найти
длину волны фотона ло.
Рассчитаем изменение длины волны фотона при рассеянии на н.'!
nодвuжно'м' электроне, применив законы сохранения энерrии и ИМ
пульса:
( тое? + hc /ло == тс 2 + he /л/,
t P2 == ( :0 ) 2 + ( / ) а  2 Ло1 cos 9.
Проведя несложные математические преобразования, получим
h
л/ Ао ==  (1----- cos 8). (1)
тос
Величина h/тoc называется комптоновской длиной ВОЛНЫ. Для элект-
h
рона она равна 2,4-10--12 М. Следовательно, ло == л/ (1..... cos 600)==
тое
== I ,24.10--10 М. Записав аналоrичные уравнения для nepBoro рассея-
ния (на двuжущемся свободном электроне), получим:
hc I'Л- о ----- he /л i == Е к i,
P1C! == Е"l (ЕКl+ 2mс 2 ) == ( : У + (  у  2 :: cos е,
Р;l == ( !:.. ) 2 + (  ) 2  2  cos е,
л о Л1' ло'Л-,
откуда
h
Л О ----- 'л- 1 == -----  (1  cos е).
те
(2)
Сравнивая выражения (1) и (2), находим, что лi === Л!, Ре! == Ре'!.-
Равенства лi == Л/ и Р ei == Р е2 МОЖНО было бы получить сразу.
за'Jетив, что оба рассеяния фотонов на электронах -----одиНакоВые
процессы, обращенные во времени (рис. 139).
Так как кинетическая энерrия электрона (Ек hсl'Л-оhС/Лi ==
== 1,6.10--17 Дж ,...,., 100 эВ) MHoro меньше el'o энерrии покоя (т о с 2 :==
143

== 8,1.1014 Дж  0,5 МэБ), то формула
УЕ к (Ек+2m о с 2 )
p(l с
упрощается: Ре== У2т о Е к , и искомая длина волны де Бройля для
электрона равна
h h
;'/1 "'"" == у :::::1 I ,24. 10  10 М.
Ре 2т о Е к
Задачу можно было решить следующим простым приближенным
способом. Выяснив, что tJ.л < Лf (это следует из Toro, что tJ.Л::::!' 10--12 м,
Лi == 10"'10 м), получаем, что импульсы фотонов Р; и Ро приблизительно
ЛО
"'.
"
РО
Рис. 139
Рис. 140
рапны Между собой, а так как уrол между ними равен 600, то из
рис. 140 ВИдно, что импульс электрона Pe==tJ.p равен по модулю
Р/ ==hjл/. Отсюда следует, что длина волны де Бройля электрона
равна Л е == h j Ре == hj Р! == Лi ::::!, 1,25. 1 o 10 м.
63. а) Первое задание требовалось выполнить, используя минималь
ное число электрических схем. Оказывается, достаточно собрать только
две электрические схемы (рис. 141 и 142).
{/1
V f
и'
2.
V 2
 t
 t
$,r
Рис. 141
G,r
Рис. 142
Записав закон Ома для этих цепей, получим
{ <8==/IRl+/lR2+11fr
IJ == 12R2+ 12'.
Исключая f из этих уравнений, найдем э. Д. {
,
<fJ .....11 1 2 R 1 ....... /1/2R 1 R 2 == и 1 и 2
/2 -----/1 /2R 2  /1 R 2 U ..... U 2 ·
,
Подставляя показания вольтметров и 1 , U 2 И и 2 , получаем ответ.
144

Этот метод давал хорошие результаты при сопротивлениях вольт"
метров, близких между собой. При этом их показания были близки и
поrрешность измерений минимальная.
у
R
tt f
t 1 0
(r
Рис. 143
tr
Рис. 144
б) Для выполнения BToporo задания необходимо было провести се..
рию измерений с помощью электрических цепей, схемы которых пред"
ставлены на рис. 143 и 144.
Показания вольтметра в первой цепи (рис. 143):
<8Rv
Ui==/1 R V R+Rv+"
rде R v........сопротивление вольтметра. Отсюда
1 R+Rv+ r
и1. :::; B Rv ·
Данные для построения rрафика линейной функции (что orOBa.
1
ривалось в условии задачи) и 1 (R) можно получить, измен яя
b j
1/и 1 ,
B1
D
Л. ОМ
, .
о
1/R" OM!
Рис. 145
Рис. 146
сопротивление R маrаэина сопротивлений. Этот rрафик пересекает
ось ординат (1/ U 1) в точке
b. Rv+'
1 <ORv'
а rBHreHC уrла наклона прямой к оси абсцисс (R) равен
ki==tgal==I/<f1R v (рис. ]45).
Показания вольтметра во второй 'цепи (рис. 144):
U =о; 1 R == <f}R o <8 ---- <8
I О О Ro+' l+r/Ro..... 1+' (l/Rv+ ljR) ,
145

,... е.
1 J+r(I/R+I/Rv)
и 1 == t6)
ЭТО позволяет построить rрафик линейной функции: J (  ). Дан-
ный rрафик пересекает ось ординат (1/U 2 ) в точке b z == j:: ==bi,
а TaRreHc уrла наклона ПрЯМОЙ к оси абсцисс 1/ R равен kfj == tg CXg==
== (/{J (рис. 146).
. Запишем систему уравнений:
{ r/cf} == k 2 {
{ 1/{JRv==ki 
' (r+Rv)/<8Rv==b
rR v== k 2 /kf
Rv+r===b/ki
<8 == l/kiR. v
.
(1)
(2)
Из уравнении (1) и (2), использовав теорему Виета, получим сле.
дующее квадратное уравнение:
Ю  R+ z: ==0, klRZbR +k2==0,
R  h :1: V b24klk2 .
[,2 2k 1
Корни этоrо уравнения R i и R 2 дадут значение BHYTpeHHero conpo.
тивления источника тока r и сопротивлеНИR вольтметра R v. Опреде-
лить, какое из двух данных значений R i и R 2 соответствует (, а ка.
кое R v, , по условию данноrо эксперимента невозможно. Поэтому
получается два возможных значения для 9. д. С.:
<f}==1/k 1 R 1 и <f1==llk 1 R"
или
с == rl/ k 2 и <с == r2/ k 2.
Если считать, что R v было бол ьше (, то
R  b+Yb24klk2 (== b-----Vb24klk2
V 2k 1 j 2k 1
/1== bVb24klkz .
2k 1 k"
В опытак бы
Iоo получено, что Ь ==0,21 8"'1, ki== 10---6 {Om.B)---I,
k 2 == 103 Ом/В. Это давало следующие значения для искомых величин:
Rv 200 кОм :f: 6 кОм, r  5,2 кОм :f: 1500M, <8  4,8 В :f: 0,15 В.
При м е ч а н и е. Правильность нашеrо предположения (Rv>
>r) подтверждается получением для э. д. с. источника тока значения.
соrласующеrося с первым опытом.
в) Метод измерения напряжения, используемый при выполнении
первоrо задания, дает максимаЛhНУIО точность для источника тока с
большим 'внутренним сопротивлением r (сравнимым с сопротивлениями
вольтметров). Так как наибольшую поrрешность измерения э. д. с.
146

,
ЭТИМ способом вносит малая разность и2.......и 2, в схеме на рис. 142 еле..
довало подключать такой вольтметр (У 1 или V 2), чтобы разность бы...'Iа
наибольшей.
При выполнении BToporo задания опыты следует лр()водить при Ma
лых значениях силы тока, так как в противном случае у батареек изме
няются значения э. д. С. и BHYTpeHHero сопротивления и rрафики иско
мых зависимостей перестают быть линейными.
В предлаrаемой работе с целью оrраничения силы тока и уве.пиче
ния внутренпеrо сопротивления источника тока последовательно к ба
тарейке лодключался резистор на 5,2 кОм. Для обычной батарейки доста..
точно было примеНИ1Ь одну схему по рис. 142 и считать, что <8== и.
64. а) Разбиваем пластинку на большое число параллельных слоев,
iit)ждому слою соответствует свой показатель преломлени я:
п 1 , п 2, п з . . .
Записывая закон преломления для каждой последовательной пары
слоев (рис. 147), получим:
sln ct   sln at _____ п2 sfл а2 пз
sin <Хl ПА sin СХ2 ....... nl ' sin аз n2" · .,
от]{у да
ПА sin сх == nl sln аl == п2 sfл СХ2 == пз siл аз == · . . == nв sin .
Аналоrичное соотношение мы уже получали при решении задачи .N'Q 31.
б) Лучи света, идущие от неба, отражаются от околоземных слоев
воздуха, имеющих большую температуру и соответственно меньший ло
казатель преломления. При выполнении условия полноrо отражения
виден мираж ----- кажущаяся «водная поверхность», отражающая небо.
ПА
п 1
п 2
А
а?. .
------------- .(  .--._._--_..-
 fi
..t::
П в
8
L
Sz.
Рис. 148
Рис. 147
При смещении наблюдателя на расстояние ДS вся картина смещает
ся так, что расстояние до «воды» остается одинаI{ОВЫМ. Это ВИДНО из
рис. 148. раница «водной поверхности» представляет собой окружность
с центром в точке нахо)кдения наблюдателя.
в) Рассмотрим ход луча, который кажется нам исходящим от rpa
ницы водной поверхности (рис. 149). Обозначим показатель преilомления
воздуха у поверхности Земли n, в точке наблюдения....... по. Как было
J47

показано в п. а):
п sin ==ni sfn K.
Так как sin  == stn 900== 1, то пi sin сх к == п, rде сх к  критический уrол,
при котором наблюдатель начинает видеть «водную» поверхность.
Из формулы
L
вJп а== VL' + h i
можно рассчитать показатель преломления воздуха n:
L.
п== YLS +h" ni.
Так как по условию задачи n-----l "'-J р, а p==т/V==P AA1/RTt то
ПО"""" 1 == Р AM/R То,
n-----I == РАМ/ RT,
пi...... 1 == Р АМ /R Т i,
rде То== 15°С==288 К, Т 1 ==30 0 С==303 К, а Т ---- искомая температура воз..
духа у повер хности Земли.
(1)
7
Рис. 149
Из полученных выражений, считаи атмосферное давление постоян..
ным, находим
То
п == 1 + т (пе....... 1),
То
nf== 1 + Т{ (пo 1).
(2)
(3)
Подставляя в (3) числовые значения, находим: nl== 1,0002623. Зная пl,
с помощью формулы (1) рассчитываем п:
L
n == V nр= 1,0002418.
LZ+ h 2
Из выражения (2) получаем формулу для расчета искомой температуры
Т:
пo 1
Т == Т о r == 329 К == 56 ос.
n-----
148

J\10ЖНО оценить поправку, вносимую изменением давления воздуха с
ВЫСОТОЙ:
РАМ
p < Plgh== RT1 gh,
p Mgh
Р А < RT 1 ::::: 1,8.10--'.
Видно, что изменением давления с высотой можно пренебречь по
сравнению с изменением показзтеля преломления воздуха.
65. Рассчитаем координаты хс и Ус центра масс воды в положе-
нии, указанном на рис. 150, относительно точки О (центра масс не-
возмущенной жидкости). Из рис.
150 видно, что
ХА ==L/3, УА ==h/2+ /3;
ХН == ----- L/3, Ув == h/2 /3.
UL
о ;z;

По определению координаты цент-
ра масс можно рассчитать из вы-
ражения
Ximi ХАтА+хвтв
xc====
'Lт/ тА+тв
rде тА ,...., (Lh/2+Ls/4), тв", (Lh/2.....L'S/4),
Отсюда
L
Рис. 150
тА +тв '" Lh.
а
!::.. ( Lh + L )  tL ( Lh  )
3 2 4 3 2 4 sL
Хс == Lh 6h ·
Аналоrично
Ус == t (+) t (). 2
Lh 6h ·
Видно, что Хс > Ус. При качании жидкости в ванночке (или озере)
проекции скорости движения центра масс воды будут
, L,' , s'
и х == ХО == 6h ' и у == ус == 3h ·
Т ак как L», то V х » и У .
Причина движения воды ----- в подъеме центра масс и увеличении
потенциальной энерrии на величину
W N == MgyC== Mg2/6h.
Кинетическая энерrия воды W к равна
1 2 1 ( 2 2 )
W И ==2"МV =="2 м и:о+иу.
Т 2 2 W 1.., 2 1 ('S ')2 L 2
ак как и » иУ} то К  '2 /у' 1и х =-:2 м 36h 3 . Выражение для
149

полной 'меХ'8нической знерrии движения воды
Mg2 1 (') L!
W:=:!Wп+W и == 6h +2"М 361t Z
аналоrично выражению дли энерrии rармоническоrо осциллятора:
1 1. 1 1.
W ............... kx' + ..... тх 2 == ........ mro l х 2 + ----- тх 2.
...... 2 2 2 2
Сравнивая два последних выражения, аапишем
{ , Mg
mro == 3h '
Лtl L а
т == 36h 2 ·
Решив полученную систему уравнений, на йдем
у 12hg 2л t L
о) == L · откуда Т ==(;)::::: у 3" ygh ·
Введем обозначение теоретически рассчитанноrо для данной модели
L
коэффициента пропорциональности (ХТ между Т и ..r ______ :
f gh
(хт== Т У gh /L == п/уз  1,81.
Обрабатывая результаты эксперимента в ванночках, получим: дЛЯ
L==479 мм
h, мм 30 50 69 88 107 124 142
(Х == у gh · Т / L 2, 01 2,05 2, О 1 2, 1 О 2, 12 2, 1 О 2, 12
(Хер == 2,07;
для L == 143 мм
h, мм I 31 38 58 67 124
,
а == у gh · Т / L J 2, 19 2,05 2, 27 1,98 2, 16
(Хер == 2, 13.
Из этих расчетов видно, что
т вксп  1,1 Т модеJ[И.
Эти отличия MorYT объясняться наличием трения, капиллярных сил.
Заметим, что при увеличении L, (Хер приближается к теорети-
ческому (хт.
L
Для озера Т ==(хт y == 10" с  2,8 часа. Из рис. 32 видно, что
gll
за 18 делений шкалы происходит 12 колебаний водной поверхности"
следовательно, цена деления шкалы времени Т х на диаrрамме равна
18Тх== 12Т , Тх==2/аТ  2 часа.
Возможны и друrие модели рассматриваемоrо явления.
150

Например, считая, что образуется стоячая волна с узлом в середине
поверхности воды в сосуде, получаем:
Т==л/v==2L/v,
rде V:-----СКОрОСТЬ распространения волны в сосуде с rлубиной h равна
V::: у gh . Отсюда
T==2L/Y gh.
в этой модели СХ т == V gh. Т /L == 2, что ближе к эксперименталь-
ным данным (al  2,07, СХ2  2,13), чем ранее рассчитанное теорети-
ческое значение а т (а т == 1,81).
66. Рассмотрим самый общий случай, обозначив через 11' 12,
Za, Z4 импедансы элементов цепи (рис. 151).
Z1
lIsx
иБЫ
Рис. 151
Ясно, что при "........-+ О И "........-+ 00 импеданс наших элементов дол-
жен либо стремиться к нулю, либо к бесконечности, либо оставаться
постоянным.
Z1
llB
lI B 't
7..
JJ ВЫ)( V sx Z4- .... и еых
а о
Z1 Z1
UiibJt.. lJ 5X Zz Z3 UBЫ
О Q
Z
Рис. 152
Определим, в каких случаях будет выполнено условие
К== и ВЫХ == 1,
и ВХ
1/1з рис. 152, а ----- z ясно, что J, == 1, если
1) ZI  OJ 2) Z2""""'" 01 З) Z3  00, 4) Z4 ------+ 00.
]1

Рассчитаем полный импеданс цепи
Z (ZI +zз) Z2
ZоБIЦ == 4 + ZI +Z2+Z3 .
Обозначив силу тока в Z4 через 1, а силу тока в lз через 1 (рис. 151),
получим
U ВХ == 1 Zобщ,
и вых == /Z4 + iZs,
Z2 С
rде l == 1 Zl +Z2 + Z8 · ледовательно.
1 ( Z + Z2 Z З ) .
к == U вых 4 ZI + Z2 + ZЗ  1........ Zl Z S
и ВХ I ( Z + (Zl+Zз)l2 )  Z4(ZI+Z2+ZS)+Z2(Zl+ZЗ)'
4 ZI +Z2+Z3
Представим это выражение в виде:
К == U вых == 1  I
и ВХ A+iB ·
Сдвиrа фаз (<p) между напряжениями и вых И и ВХ не будет, если
В :::х О И К > О (при К < О, <p == п). Нетрудно показать. преобразо-
вав выражение для К:
2A1
К == 1........ А2 + BS '
что при В == О отношение К == и иЫХ минимально и равно
их
1
Kml n == l----- А ·
На рис. 153, а ........ .м представлены 12 возможных схем, удовлетВОРЯЮЩИХ
всем требованиям условия задачи.
а) На рис. 153, а изображена схема, для которой выполняются yc
повия
1 ) .
roС R2
Отсюда следует, что при (00 == I/CR == 104 с-- 1 , Т. е. при V o == 1,59-103 ru,
I 2
К== lз==з  0,67.
152
V ......... О, Z3  00;
v  00, Zl......... о;
R
К == и в ых == 1  iюС ==
и ВХ R ( R +  )+  ( R + .l )
twG lWC iffiC
I
==1
З+т (юс

Аналоrично рассчитываются все остальные схемы.
б) Схема по рис. 153, б:
K==l I
3 + il ( юС  ЮR' ) ·
1
При 000 == l/CR == 104 c-- 1 , "о == 1,59- 103 rц, к == 1 3== 0,67.
,,o,
"QO,
Z 4............ 00;
Zi  о;
 J --11If----Io
:x у ивы; и вк
fL
U IJЫХ ив'!..
и НХ
08Ы (JsK
8
О вх
ивы>с
ж
и В '(
LJ ablx
к
и еЫ '(
ивык. ив"I.
ивы'!.
У ВК
е
ивы>с и 8 '1,
(J
в) Схема по рис. 153, 8:
" ........... О, Z 1  о;
"  00, Z4  00;
U81(
и
УдЫ'!. U зх
.л
Рис. 153
1/ flbI)(
i1
К===l 1
3+i (* iJ ·
1
При (00 == R/L == 6,25.104 с"' l , 'V o == 104 rц, к == 1 3 == 0,67.
r) Схема по рис. 153, :
,,O, Z2O;
,,-----+ 00, Z3  00;
1
К == 1....... . ( R2 ) ·
3+"': (j)L
R roL
1
При (Oo==RIL==6,25.I04C"'J., v o == 104 rц, К== lз- 0,67.
.153

д) Схема по рис. 153, д:
'v  О, Zi -----+ о; K:%:I 1----- LjC .
" -----+ 00, Z2 -----+ о; R 2 +  + iR ( O)L _____  )
с юС
LjC
При юо==У 2'LС ==З,5.10 c;lJ "0==5,6.103 rц, /(::::::1 R2+LjC ==
1
- 1 + L/CR2 ==0,86.
е) Схема по рис. 153, е:
" -----+ О, Z2 -----+ о; К == 1  L/C .
" -----+ 00, Zl -----+ о; 2 L ( 2 1 )
R +-----+iR O)L-----
С юС
I
При (00 == У 1/2LC == 1,7 .104 C;l, "о == 2,8 кrц, к == 1 + LjCR2 == 0,86.
ж) Схема по рис. 153, ж:
" -------+ О, Z з -----+ 00;
" -----+ 00, z 4 -----+ 00;
R2
/(==1 L ( 1 ) .
С + R 2 + iR 2(j)L ----- юС
)
При 000== у Ij2LC == 1,7.104 с'" 1 , "о == 2,8 .103 rц, к == 1 + CR2/L  0,14.
з) Схема по рис. 153, э:
" -----+ 'О, Z 4 -----+ 00;
'v -----+ 00, z з -----+ о;
R2
К==1 L ( 2 ) .
с + R 2 + iR (OL ----- юС
r 1
При (00== У 2/LСЗ,5.104с"'1,,,о==5,6.lозrц,К== J+CR2jL OJI4.
и) Схема по рис. ]53, и:
" -----+ О, Z2 -----+ о; К == 1 R
'v ........... 00. z 4 ........... 00; 2 R + i ( (jJ L  ;с ) ·
При (00 == v 2/ LC == 3,5. 104 c;l, "о == 5,6. ]03 ru, к == 0,5.
к) Схема по рис. 153, к:
" -----+ О, Z 4 -----+ 00;
'v -----+ 00, z 2 -----+ о;
I
/(==1-----. 1 ) .
2+ ( 2U)L
R О)С
При (00 == У 1/2LC == 1,7.104 c...;l, "о == 2,8 .103 rц, К == 0,5.
л) Схема по рис. 153, л:
" -----+ О, Z 2 -----+ о;
" -----+ 00, Zl  о;
К== 1
[/С
( 2 ) 2L.
i R ro L ----- ------- + ..........
О)С С
При 0>0 == У 2/LC == 3 J 5.10 4 c..;lJ "о == 5,6. JO:} rц, /( == 0,5.
154

м) Схема на рис. {53, м:
к === I  ( LIC t ) 2L '
iR 2roL ----- юС +с
При 0О0:=: V I /2LC == {,7. 10' c-- 1 , "о == 2,8.103 ru, к == 0,5.
67. Собирается электрическая схема по рис. 35. Клеммы А и В
подключаются к reHepaTopy nepeMeHHoro тока. С ВЫВОДОВ А и В и с кон--
денсатора снимается сиrнал на разные каналы осциллоrрафа.
По первому каналу осциллоrрафа настраивается reHepaTOp на за
данные амплитуду и период колебаний, по второму каналу наблюдается
кривая зарядки и разрядки конденсатора. Картины совмещаются на эк..
ране осциллоrрафа (рис. 154).
\' ............ О. Z i ........ о;
\'  00, Z2  о;
Рис. 154
в интервале времени 0-----t 1 конденсатор заряжается, от 11 до 12 он
разряжается, но закон изменения напряжения на нем отличается от
экспоненциальноrо. От /2 до /3 конденсатор разряжается по экспоненци--
альному закону.. так как внешнее напряжение, приложенное к ero ВЫ--
водам, равно нулю:
q dq dq q dq dt
. ---- +  R  О   == ----  =:> ----- == ----- ............ ==;)
с dt dt RC q RC
 In!L.  ____.....i......  q  q е-- t/RC  и  и e-- t / RC
.......,.,. q о  R С"""'"  О   о ·
Измерив два значения напряжения И 1 и Ив на конденсаторе через
промежуток времени /),t, можно определить сопротивление резистора по
формуле
И 2 ==e--t!.t/RC  R == f!t In и 1 .
и! С Ив
Для повышения точности измерений значения R следовало провес
ти серию измерений и найти среднее значение. Нахождение среднеr()
значения можно упростить, использовав построение rрафика зависимо--
сти In И ОТ t.
155

Зная R, можно рассчитать искомую мощность, выделяющуюся на
резисторе, по фОрМУЛ,е
т
S !!ff dt
о
р== т
.
т
Интеrрал  U1dt рассчитывается по площади под rрафиком U2(t),
о
значения и, t и Т СНИМВIОТСЯ С осциллоrраммы, 'полученной на экране
осциллоr рафа.
68. Для определения длины волны желтой линии спектра неоновой
лампы необходимо получить ее спектр с помощью дифракционной ре..
шетки.
Так как ПОСТQянная решетки d неизвестна, то следовало сравнить
дифракционные картины, получаемые от лазера с помощью объект--
микрометра, представляющеrо собой дифракционную решетку с из вест..
ной постоянной d o , и с помощью дифракционной решетки (рис. 155).
п-z
JJазер
Рис. 155
Записывая условия дифракционных максимумов для обоих опытов,
получим:
d o sin (хо== ПОЛо, d sin а== nло,
rде ло-----длина волны лазерноrо света, по и n----- порядок спектра (ero
желательно выбрать максимально большим, при котором еще доста..
х
..r · При
f L2+xl
точная интенсивность спектральных линий), sin а
достаточно больших L sln а  х! L.
Из записанных выше выражений получаем
d==d nslna o
о п sin а t
о
156

rде (Ха и а ........ уrлы дифракционноrо отклонения, соответствующие MaK
симумам по- и n-ro порядка, получаемые с помощью объект
микрометра и дифракционной решетки соответсТвеННО.
Постоянная дифракционной решетки получается в 6 раз меньше
(d 1,67 ,106 м), чем у объектмикрометра. Это позволяет использовать
эту решетку для исследования спектра неоновой лампы.
:t)
Неоновая
лампа.
Рис. 156
Наблюдая неоновую лампу через дифракционную решетку и иэме..
рия уrол <р, на котором возникает тe мнимое изображение желтой спект..
ральной линии (рис. 156), рассчитываем ее длину волны л по формуле
d sln <р == тл, '"  d 810 <Р !!.. х
 m т YLI+ x ' .
При проsедении опыта желательно было из темной бумаrи вырезать
щель для получения Y3Koro пучка света от неоновой лампы.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ЗАДАЧ
Для удобства пользования данной кннrой учащимися
различных классов приводим распределение помещеннмх в ней
олимпиадных задач по разделам и темам школьноrо курса физики.
Раздел курса физики
Номера задач
теоретических ТУРОВ
Номера задач
эксперимен.
тальных
туров
Механика
], 6, 1 О , 15, 20, 25, 29, 53, 58
34, 38, 46, 59
Молекулярная физика и термо- ,3, 4, 7, 1], 16,2], 5, 41
динамика 26,32, 39, 42, 47,
"50 56
,
Электростатика и законы лосто- "2 12, 17, 22, 27, 51 14, 24, ЗЗ,
,
ЯНlIОIО тока 37, 64
Электромаrнетизм 36, 44, 60, 67 49, 68
Колебания и волны \52, 54, 55, G6 \9, 45
Qптика 8, 13, ]8,23, 2R, ЗJ, 19, 57,69
35 , 40, 43, 48, 61, 65
Атомная и ядерная физика /30.62
проrРЛМJ\tlА J\tlЕЖДУНАРОДНОЙ
ФИЗИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ *)
1.Механика.
Кинематика материальной точки. Законы Ньютона.
Инерциальные системы отсчета.
Замкнутые и незамкнутые системы тел. Импульс, энерrия, работа,
мощность. Закон сохранения энерrии и импульса. Силы упруrости и
трения. Закон всемирноrо тяrотения. Потенциальная энерrия и работа
в rравитационном поле. Законы Кеплера.
Статика. Центр масс. Момент сил. Кинематика вращательноrо ДВИ
*) Эта лроrрамма была принята Международной комиссией в
1985 r.
158

}КСНИЯ твердоrо Т(\1а. Л\омснт инерции. Основное уравнение динамики
вращаТCJlЬflоrо ДБи}{(ения. Теорема Штейнера. Закон сохранения MO
мснта импульса. Кинетическая энерrия вращающеrося тела. Неинер
циальные системы отсчета. Силы инерции.
2. Т е р м о Д и н а м и к а и м о л е к у л я р н а я Ф и з и к 8.
Внутренняя энерrия. работа и теплота. Первый и второй законы
термодинамики. Идеальный rаз. Давление идеальноrо rаза. Число ABO
rадро. Уравнение состояния идеальноrо rаЗ8. Абсолютная температура.
Работа -при ИЗQтермическом и адиабатическом процессах. Цикл Карно.
1(. п. д. цикла. Обратимые инеобратимые процессы. Энтропия.
3. К о 'л е б а н и я и в о л н ы.
rармонические колебания. Продольные и поперечные волны. Ли-
неЙная П<1ляризация. Звуковые полны. Эффект Доплера. Интерферен
цИЯ БОЛН. Стоячие волны.
4. Э л е к т р о д и н а м и к а.
. Закон сохранения электрическоrо заряда. Закон Кулона. Электри
ческое поле. Потенциал. Закон raycca. Электроемкость. Плотность
энерrии электрическоrо поля.
Сила тока. Законы Ома и Кирхrофа. Работа и мощность постоянноrо
и переменноrо тока. Закон Джоуля  Ленца.
Маrнитное поле прямоrо ПрОБода, витка и длинной каТУlllКИ с TO
ком. Сила Ампера. Сила Лоренца.
Закон электромаrнитной индукции. Маrнитный поток. Закон Лен
ца. СаМОИНДУIПИЯ. Индуктивность. Плотность энерrии маrнитноrо поля.
Активное, емкостное и индуктивное сопротивления в цепи перемен
Horo тока. Резонанс в последовательной и параллельноЙ [епи.
Колебательный контур. Частота колебаний.
Световые волны. Дифракция от одной и двух щелей. ДифраI{ЦИОН
ная решетка. Разрешающая способность решетки. Интерференция в
тонких пленках. Бреrrовское отражение. Принцип Ферма.
Дисперсионные и дифракционные спектры. Линейчатые спектры.
Поляризация электромаrнитных волн. Разрешающая способность
оптических систем. Излучение абсолютно черноrо тела. Закон Стефа
на  Больцмана.
5. К в а н т о в а я и р е л я т и в и с т с к а я Ф и з и к 3.
Фотоэффект. Энерrия и импульс фотона. Волны де Бройля. COOTHO
шение неопределенностей.
Принцип относительности. Сложение скоростей. Релятивистский
эффект Доплера. Релятивистские уравнения движения, импульса, энер
rии. Закон взаимосвязи массы и энерrии. Законы сохранения энерrии
н импульса.
Уровни энерrии атомов и молекул. ,Излучение и поrnощение энер
rии. Спектры водородоподобных атомов.
Энерrетические уровни атомных ядер. Альфа, бета и rаммаизлу
чения. Взаимодействие излучений с веществом. Закон радиоактивноrо
распада. Состав атомных ядер. Дефект масс. Ядерные реакции.

Ом, Федорович КабарlJин
ВАадиAlир Алексеевич Орлов
МЕЖдVНАРОДНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ
ШКОЛЬНИКОВ
Серия tВибпиоте'lка KBaHт..
Редактор Л. А. ПаНЮШ1(uна
Художественный редактор Т. Н. КОАьченl<.О
Технический редактор С. Я. LUкдяр
Корректоры О. А. БутУСQва. М. Л.МедвеЙ,,,ал
ив .м f 2787
Сдано в набор 12.06.85. Подписано к печати lЗ.II.8б. Т.22ЗI7.
Формат 84х 1 08/32. Бумаrа тип.  2. rарнитура литературная. Печать
высокая. Усл. пе'l. JI. 8,4 Усл. кр.-от. 8,82. Уч.-изд. JI. 9,ОВ.
Тираж 1 БОООО экз. Заказ .м 1269. Цена 30 коп.
Ордена Трудовоrо KpacHoro Знамени издательство «Наука)
rланная редакция физико-матемаической литературы
1170 71 Москва В-71 t Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции н ордена Трудовоrо KpaCHoro Знамени
МПО «Первая Образцовая типоrрафия ИМени А. А. Жданова
Союзполиrрафпрома при rОСУДарственном комитете СССР
по делам издательств, полиrрафии d книжной торrовли.
11 ЗОО..J Москва, Валовая, 28
,