Министерство Российской Федерации
по связи и информатизации
Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики
СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ
ЗАДАНИЙ ПО КУРСУ ФИЗИКИ
ЧАСТЬ 3
ПОД РЕДАКЦИЕЙ В. В. ХАЙНОВСКОЙ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Новосибирск
2000

МЛммртикоа НМ,
N ШИШИ иурмя фиши И выполнению
шц|мшшш| ШДММА	1
Мггминши* ушами* nfmmmm мл помощи щттт л м-
мивтоятмьной работ# мал учвАмым материалом курии фишки 3-го
овмосгрй. М гюеобие нключвим основные теоретические положения
тучаемо! о раздала, формулы, наборы задач дли аудиторной и вне¬
аудиторной работы студентов и индивидуальные задания. К неко¬
торым задачам в скобках приведены ответы.
Ил. 24,таблиц 1, лит. ист. 7
Рецензент: Агульник В.И.
Кафедра физики
Для специальностей :2305, 2306, 2307, 0710.
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
в качестве методических указаний
Сибирский государственный универси¬
тет телекоммуникаций и информатики,
2000 г.
I

Оглавление
1.
Введение
4
2.
Волны де Бройля
5
2.1.
Волны де Бройля (основные формулы)
5
2.2.
Волны де Бройля (задачи для самостоятельной работы)
9
3.
Соотношения неопределенностей Гейзенберга (основ¬
ные формулы).
14
4.
Теория Бора для атома водорода (основные формулы)
16
5.
Уравнение Шредингера
18
5.1.
Уравнение Шредингера (основные формулы)
18
5,2.
Индивидуальное задание I (атом водорода в квантовой
механике)
24
6.
Индивидуальное задание 2.
28
7.
Индивидуальное задание 3 (полупроводники)
37
8.
Индивидуальное задание 4(квантовые свойства света)
51
9.
Приложения
56
9.1.
Общие рекомендации по оформлению индивидуальных
заданий
56
9.2.
Полупроводники (теория)
56
9.3.
Универсальные физические постоянные
77
9.4.
Приставки и множители для образования десятичных и
кратных величин
78
9.5.
Соотношения между некоторыми внесистемными еди¬
ницами и единицами Си
78
9.6.
Вычисление некоторых интегралов
79
10.
Литература
80
-3-

1. Вмд#ни«
Курс финики, изучаемый я шптитт »уШ И 'грпш семестре,
включает разделы: квантовые СВОЙСТЯЯ я, атомная физики, эле¬
менты квантовой механики, физикя твёрдого тела, ядерняя фишки.
Наибольшие трудности при изучении учебного мятерняля данных
разделов связаны со сложным математическим яппаратом и отеутст-
вием классических аналогий. Теория раздела «Полупроводники»
включена в пособие полностью, т.к. важна для изучения специаль¬
ных дисциплин в СибГУТИ, а её изложение в учебниках физики не¬
достаточно.
Многие вопросы курса физики третьего семестра являются теоре¬
тическими, и их изучение не подкреплено лабораторным практику¬
мом. В связи с этим особенно высока роль решения задач, как прак¬
тической основы освоения учебного материала. В пособии подобра¬
ны задачи по квантовой механике, физике твёрдого тела и атомной
физике. Задачи укомплектованы в виде индивидуальных заданий (25
вариантов). Кроме того, имеется набор задач для самостоятельной
работы студентов по темам, по которым подбор задач в задачниках,
рекомендованных для вузов, весьма ограничен. Все задачи могут
быть использованы для аудиторной и внеаудиторной работы.
-4-

2.	Волны де Бройля
2.1.	Волны де Бройля (основные формулы)
1.	Основной физической идеей квантовой теории является
идея о том, что корпускулярно-волновая двойственность свойств ха¬
рактерна не только для фотонов, частиц электромагнитного поля, но
и для всех частиц вещества: электронов, протонов, нейтронов, ато¬
мов, молекул и т.д.
В 1924 году де Бройль писал: ’’Каждое движущееся тело со¬
провождается волной, и разделение движения тела и распростране¬
ния волны является невозможным". Идея де Бройля о волновых
свойствах частиц вещества блестяще подтвердилась эксперимен¬
тально.
Длина волны де Бройля задаётся формулой:
где h и Й - постоянные Планка, р - импульс частицы (тела).
2.	При решении задач необходимо учитывать, является частица
релятивистской или классической. Импульс частицы:
а)	в классическом (нерелятивистском) случае:
б) в релятивистском случае:
где т0 - масса покоя, с - скорость света в вакууме, v - скорость частицы .
3.	Критерий того, является движущаяся частица (тело) релятиви¬
стской, или нет, задаётся соотношением:
если v с, или WKmi W0 - частица классическая, W^, W0 соот¬
ветственно кинетическая энергия и энергия покоя, если v~c9 или
WKmi ~ W0 - частица релятивистская.
4.	Импульс частицы связан с кинетической энергией:
а)	в нерелятивистском случае:
(1)
P^rn0v ;
(2)
р = 2^0^ ;
б)	в релятивистском случае:
(4)
где W0 = т0с2 - энергия покоя.
- 5 -

5.	Если заряженная частица с зарядом q ускоряется в электрическом
поле, пройдя разность потенциалов U, то волна де Бройля такой
частицы задаётся соотношением:
а)	в классическом случае:
%= ■ (6)
2	m0qU
б)	в релятивистском случае:
/I
42m0qU ■ ф + ди/2т0с2 '	^
6.	Характеристиками волны являются её групповая и фазовая
скорости. Эти понятия можно использовать и для волн де Бройля.
-E-K-fl
^ к р v
, Лф dW	(9)
vm = vA - к —— = -	-	= V
41 * dk dp
где о, X - частота и длина волны де Бройля, W, Р, v - энергия, им-
,	271
пульс и скорость частицы, к =	- волновое число.
X
7.	Пользуясь основным соотношением между энергией и импуль¬
сом частицы, фазовую скорость можно выразить следующим об¬
разом:
v	_ Х _ ГД _	ш _ ^Р2С2 + ОТрС4	(10)
г’ф	~Т~У ~	h ~	h
что говорит о	дисперсии	волн де Бройля (явление дисперсии харак¬
терно для волновых процессов).
8.	Экспериментальным подтверждением существования волн де
Бройля являются результаты опытов по дифракции движущихся
частиц (в том числе, атомов, молекул). Для объяснения дифрак¬
ционной картины используется формула Вульфа - Брэггов:
2d sin 0 = кХ,	(И)
где к = 1,2,3,... - порядок спектра, d - межплоскостное расстояние
(постоянная кристаллической решётки), 0 - угол скольжения (угол
между направлением движения частицы и поверхностью кристалла).
9.	В классической механике мы видели, что характеристики движе¬
ния тела или частицы зависят от выбора и поведения системы. В
квантовой механике любой квантовый объект проявляет кроме
свойств, присущих телу или частице , при их движении, ещё и
волновые свойства. Интересен вопрос о влиянии выбора и пове¬
дения системы отсчёта на волновые свойства тел, например, во¬
-6-

прос о влиянии на длину волны де Бройля, Ниже приведена зада¬
ча, где требуется определить длину волны де Бройля движущихся
частиц в системе центра масс (центра инерции).
10.	Система отсчёта, жёстко связанная с центром масс данной сис¬
темы частиц, называется системой центра масс (Ц-системой). При
этом центр масс может покоиться, может перемещаться по отно¬
шению к другим системам. Выберем одну из инерциальных сис¬
тем и назовём её К-системой.
Ц-система имеет несколько замечательных свойств:
а)	Полный импульс системы частиц в ней равен 0.
б)	Ц-система для замкнутой системы частиц является инерциальной,
для незамкнутой - в общем случае неинерциальной системой отсчё¬
та.
в)	Кинетическая энегрия системы частиц WKUH в К-системе равна
сумме кинетической энергии этих частиц в Ц-системе WKtlH, и кине¬
тической энергии, связанной с движением системы частиц, как цело-
( шс2)
го 	— :
I 2 J
MV?	(12)
W =W +:
KUH	KUH	2
М - масса всех частиц, Vc - скорость движения системы частиц как
целого, которая является скоростью движения центра масс.
—>
Вектор скорости центра масс Vс задаётся соотношением:
(13)
2>,
; Vi
Vc~ —
2>, ’
i
—^
где mit V, -масса и скорость /-й частицы в К-системе.
г)	Из формулы (13) видно, что кинетическая энергия системы частиц
минимальна в Ц-системе.
д)	Если система частиц находится в силовом поле, то собственная
потенциальная энергия fVn0T системы частиц зависит только от их
взаимного расположения (конфигурации) и одинакова во всех сис¬
темах отсчёта. Поэтому полная энергия в Ц- системе равна:
W ~ W +W
гт полн гг КИН " ПОТ 5
а в К-системе
MV?
W =W +:
тт полн " полн
-7-

10.	ЗА ДАЧА
Нейтрон с кинетической энергией 1¥кш=25 эВ налетает на покоя¬
щийся дейтрон (ядро тяжёлого водорода). Найти длину волны де
Бройля обеих частиц в системе их центра масс.
Из свойств Ц-системы известно, что полный импульс нейтрона и
дейтрона в этой системе равен нулю. Если vx и v2 соответственно
скорости нейтрона и дейтрона в Ц-системе, a mDu тп - их массы, то
mnvx = mDv2.
Из формулы следует, что длины волн де Бройля в Ц-системе равны:
7_7_~ _ * ' _ *	(14)	.
/1 — /uj — /^2 —	^	^
4nv 1
D 2
Кинетической энергией в К-системе отсчёта, где дейтрон покоится,
обладает только нейтрон, В Ц-системе кинетическая энергия систе¬
мы двух частиц складывается из кинетической энергии нейтрона и
дейтрона (который в Ц-системе не покоится), плюс кинетическая
энергия Ц-системы, как целой, т,е.3 кинетическая энергия центра
масс (см.(12)).
W
+
(15)
2	2 2
Вектор скорости масс двух частиц найдём из соотношения:
Vc =
тп Vi + mD v2 __ т„ vi
т„ + mD
Т.К. V 2 — 0 .
т„ + тТ
Величину Vc подставим в уравнение для кинетической энергии (15),
получим, несколько изменив выражения, входящие в него:
W
| (отду2)2 | (m„+mD)m„vf
(15а)
2тг
2 (m„+mD)2
Учитывая, что WKmi =mnvx 2, получим:
отсюда:
W
W.
кин
. (тЛ)2
2
тг
+
ш W
"1пТТ кин
т„ + т
D
т„
W
D
W
ft
т
D
т„ + т
D
= hl_(mn_+mp).
"	2	7?	тп	■	mD
h1 ' {™„+mD).
25? т„-тп
X2 =
2 W
m-rrir

1
% = ft(l_+ ™n ™d)	(16)
2^КИИ *
2.2. Волны де Бройля (задачи для самостоятельной ра¬
боты)
1.	Вычислить длину волны де Бройля для электрона, движущегося
со скоростью v = 0,l с; 0,2с; 0,3с; 0,5с; 0,7с; 0,9с; где с - скорость
света в вакууме. Построить график зависимости X = /(v) и объ¬
яснить его.
2.	Построить зависимость длины волны де Бройля от логарифма
энергии электрона. Для вычисления использовать значения энер¬
гии 10, 102, 10~, 104эВ. Пояснить полученную зависимость.
3.	Рассчитать длину волны де Бройля для электрона, протона, бро¬
уновской частицы (диаметр которой равен 0,2 мкм, а плотность
1,1 г/см) и пули массой 9г, двигающихся с одинаковой скорость
500 м/с. Построить график X = /(т), пояснить полученные ре¬
зультаты, т - массы двигающихся частиц.
4.	В ускорителях электроны приобретают энергию порядка 6 ГэВ.
Какова длина волны де Бройля для них? (~6,5 фм).
5.	Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти элек¬
трон, чтобы его длина волны де Бройля была равна 0,1 нм?
(150 В).
6.	Протон и а-частица прошли одинаковую разность потенциалов.
Найти отношение их длин волн. (2 . 2 = Хр Ха).
7.	Найти длину волны де Бройля для протона, прошедшего разность
потенциалов 1 кВ, 1 МВ.(907 фм; 28,6 фм).
8.	При каком значении ускоряющего потенциала ошибка при опре¬
делении длины волны де Бройля без учёта релятивистской добав¬
ки будет составлять 1%:
1)	для электрона ?
2)	для протона ?
3)	для а-частицы	(22 кВ; 37,5 MB; 150 MB).
9.	Протон имеет кинетическую энергию 1,02 МэВ. Во сколько раз
изменится его длина волны де Бройля, если его кинетическая
энергия в 2 раза 1) уменьшится? 2)увеличится? ( 2;1	2).
Ю.Определить длину волны де Бройля электрона, если его энергия
равна 1 кэВ.(3,9 пм)
11.Вычислить длину волны де Бройля 1) для электрона, 2) протона,
3) атома водорода (A=l, Z=l), 4) атома урана (А=238, Z=92), если
кинетическая энергия каждой частицы равна 100 эВ.(122 нм, 2,8
пм, Ян = Лр, 0,18 пм).

12.Определить длину волны де Бройля для: 1) протона 2)электрона,
если их кинетическая энергия равна удвоенному значению энер¬
гии покоя электрона (132 нм, 0,86 пм)
13.Электрон движется со скоростью 200 Мм/с (электрон релятивист¬
ский). Определить длину волны де Бройля (2,5 нм).
14.Определить длину волны де Бройля движущегося электрона, если
известно, что его масса на 10% больше массы покоя (5,45 пм).
15.Определить энергию A1V, которую необходимо дополнительно
сообщить электрону, чтобы его длина волны де Бройля уменьши¬
лась от 0,2 мкм до 0,1 нм (AW-151 эВ)
16.С	какой скоростью движется электрон, если его длина волны де
Бройля равна его комптоновской длине волны? (212Мм/с).
17.Найти	длину волны де Бройля для электрона, движущегося по
круговой орбите атома водорода, находящегося в основном со¬
стоянии (330 пм).
18.Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося
на второй орбите атома водорода (660 пм)
19.Найти	скорости и кинетические энергии электрона и нейтрона,
если их длина волны де Бройля равна 100 пм (150 эВ, 0,7 Мм/с;
0,08 эВ, 3,9 км/с)
20.Учитывая	волновые свойства частиц, по длине волны де Бройля
указать пределы применимости классических понятий для элек¬
трона и протона, энергия которых равна соответственно 10 эВ, 1
МэВ.
21.Какова	длина волны де Бройля, соответствующая средней энер¬
гии теплового движения атома гелия при температуре 300 К
(70 пм).
22.Найти	скорость электрона, длина волны де Бройля которого такая
же, как нейтрона, движущегося со средней тепловой энергией
при температуре 0е С	(4,77	Мм/с).
23.Вычислить	длину волны де Бройля для тепловых нейтронов
(Т=300К) (145 пм).
24.Вычислить	наиболее вероятную длину волны де Бройля молекул
азота, содержащегося в воздухе при комнатной температуре (47,4
пм).
25.	Определить длину волны де Бройля, соответствующую средней
квадратичной скорости движения молекул водорода при темпера¬
туре 20° С . (145 пм)
26.Электрон, движущийся со скоростью 6 Мм/с, попадает в про¬
дольное ускоряющее однородное электрическое поле напряжён¬
ностью 5 В/с. Какое расстояние он должен пролететь в этом поле,
чтобы длина его волны де Бройля стала равной 0,1 нм? (9,1 см).
-10*-

27,Электрон движется по окружности R=0,5 см в однородном маг¬
нитном поле с индукцией В=8 мТл. Определить длину волны де
Бройля. (ОД нм)
28.На	сколько по отношению к комнатной должна измениться тем¬
пература идеального газа, чтобы длина волны де Бройля его мо¬
лекул уменьшилась на 20%? (^=1,56^)
29.При	какой скорости электрона его длина волны де Бройля будет
равна 1) 500 нм, 2)0,1 нм? В первом случае длина волны соответ¬
ствует электромагнитным волнам видимого диапазона, во втором
случае - рентгеновским лучам. (1,4 км/с, 7,2 Мм/с)
30,Электрон ускорен разностью потенциалов в 100 В. Найти груп¬
повую и фазовую скорость волн де Бройля. То же рассчитать для
разности потенциалов в 10 В? ( 1) 60 Мм/с, 15 Гм/с; 2) 9,6 Мм/с,
9,4	Гм/с).
31.Используя	функцию распределения Максвелла для молекул газа
по скоростям, найти распределение молекул в состоянии тепло¬
вого равновесия по длинам волн де Бройля. Вычислить наиболее
вероятную длину волны де Бройля для молекул водорода при
температуре 300 К (вычисления провести после получения рас¬
чётной формулы).
32.Какова	скорость изменения длины волны де Бройля протона, ус¬
коренного в продольном однородном электрическом поле с на¬
пряжённостью 3 кВ/см в тот момент времени, когда его кинети¬
ческая энергия будет равна 1 кэВ. (0, 60 мк м/с = dX/dt)
33.	Параллельный пучок электронов, движущихся со скоростью
1Мм/с падает нормально на диафрагму с длинной щелью шири¬
ной 1 мкм. Проходя через щель, электроны на экране, располо¬
женном на расстоянии 50 см от щели и параллельном плоскости
диафрагмы, образуют дифракционную картину. Определить ли¬
нейное расстояние между первыми дифракционными минимума¬
ми. (АХ = 1,1мм).
34.Узкий	пучок нейтронов падает на естественную грань моно¬
кристалла алюминия под углом скольжения 5 □. Расстояние между
кристаллическими плоскостями а = 0,2нм. Какова энергия и ско¬
рость нейтронов, для которых в данном направлении наблюдает¬
ся максимум первого порядка? Какая температура соответствует
этой скорости нейтронов? (0,665 эВ, 11км/с, 5000 К)
35.Определить длину волны де Бройля электронов, бомбардирую¬
щих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного
рентгеновского спектра приходится на длину волны X = Знм ?
(0.06 нм)
-11-

36.	Апертура электронного микроскопа равна 0,02 , ускоряющая раз¬
ность потенциалов 10 кВ. Определить размеры деталей, которые
можно разрешить с помощью этого микроскопа, (Справка: апер-
тура микроскопа равна отношению диаметра входной диафрагмы
объектива микроскопа к его фокусному расстоянию).
(АХ ~ 60нм).
37.Узкий	пучок электронов, прошедших разность потенциалов 30
кВ, падает нормально на тонкий листок золота, проходит через
него и даёт дифракционную картину, состоящую из круглого
центрального пятна и ряда концентрических окружностей на
фотопластинке, расположенной за листом на расстоянии 20 см от
него. Радиус первой окружности ri = 3,4 мм. Определить: 1) угол
отражения электронов, который отсчитывается от поверхности
кристалла, 2) длину волны де Бройля электронов, 3) постоянную
кристаллической решётки золота. (30', 7 пм, 0,41 нм)
38.Параллельный	пучок электронов, прошедший разность потенциа¬
лов 1 кВ, , падает нормально на щель шириной 1 мкм. На рас¬
стоянии 50 см от щели стоит люминесцентный экран. Оценить
ширину изображения на экране. (АХ ~ 38мкм).
39.На	грань кристалла под углом 60е к его поверхности падает па¬
раллельный пучок моноэнергетических электронов. Расстояние
между атомными плоскостями кристалла d = 0,2нм. Определить
скорость электронов, если они испытывают интерференционное
отражение первого порядка. (2,1 Мм/с).
40.	Узкий пучок моноэнергетических электронов, имеющих ско¬
рость 10 Мм/с, проходит через поликристаллическую никелевую
фолыу и попадает на экран, расположенный за ней на расстоянии
10 см. Найти радиусы двух первых дифракционных колец, полу¬
ченных на экране при отражении электронов от кристаллических
плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии 0, 215нм.
(33мм, 88мм)
41.Параллельный	пучок моноэнергетических электронов падает
нормально на диафрагму с узкой щелью шириной 1 мкм. Опреде¬
лить скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на
расстоянии 50 см, ширина центрального максимума равна 0, 36
мм. (2 Мм/с)
42.Параллельный	пучок электронов, ускоренный разностью потен¬
циалов 25 В, падает нормально на диафрагму с двумя узкими
щелями, расстояние между которыми 50 мкм. Определить рас¬
стояние между соседними максимумами дифракционной картины
на экране, расположенном на расстоянии 1 м от щелей.
(АХ ~ 4,9мкм)

43.Пользуясь	условием Вульфа - Брэггов, найти первые три значе¬
ния разности потенциалов полей, при которых наблюдаются мак¬
симумы при отражении ускоренных ими электронов при их паде¬
нии под углом 60 □ на естественную грань монокристалла. Посто¬
янная кристаллической решётки 0,24 нм. Преломлением элек¬
тронных волн в кристалле пренебречь. (8,7 В, 34,9 В, 78,6 В)
44.Узкий	пучок электронов с кинетической энергией 10 кэВ прохо¬
дит через поликристаллическую фольгу алюминия, образуя на
экране систему дифракционных колец. Диаметр третьего кольца
равен 3,2 см, расстояние между экраном и фольгой 10 см. Вычис¬
лить значение межплоскостного расстояния (0, 23 нм).
45.Узкий	пучок моноэнергетических электронов падает на поверх¬
ность монокристалла алюминия под углом скольжения 30" , по¬
стоянная кристаллической решётки равна 0,2 нм. При некотором
ускоряющем напряжении Uo наблюдается максимум отражения
электронов. Следующий максимум отражённых электронов воз¬
никал при увеличении ускоряющего напряжения до 2,25 Uo. Най¬
ти величину Uo- (0,15 кэВ)
46.Узкий	пучок моноэнергетических электронов падает нормально
на поверхность монокристалла никеля. В направлении, состав¬
ляющем угол 55Ос нормалью к поверхности, наблюдается макси¬
мум отражения четвёртого порядка при кинетической энергии
электрона 180 эВ. Вычислить значение постоянной кристалличе¬
ской решётки. (0,21 нм)
47.Две	одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпенди¬
кулярно друг другу с длинами волн де Бройля \ и Л2. Найти
длину волны де Бройля каждой частицы в системе их центра
48.Система отсчёта, в которой покоится центр масс данной системы
—^
(Ц-система), движется со скоростью V относительно инерциаль-
ной К-системы отсчёта. Масса системы частиц равна т, её полная
энергия в Ц-системе равна $?полн. Найти длину волны де Бройля в
Ц- и К-системах.
Macc.(Xj =	=	)
-13-
1

3.	Соотношения неопределённостей Гейзенберга
(основные формулы)
1.	В основе соотношений неопределённостей лежит корпускулярно¬
волновая двойственность свойств частиц. Возможность задавать
для частицы лишь вероятность пребывания в данной точке при¬
водит к тому, что классические понятия координаты частицы,
импульса могут применяться лишь в переделах, установленных
соотношениями неопределённостей.
ДхДрх>П	(17)
АуАру >h
AzApz > h.
В этих формулах Ах, Ay,Az характеризуют неопределенности в ко¬
ординатах частицы, a Apx,Apy,Apz - пределы, в которых могут быть
заключены проекции импульса частицы на оси. Чем точнее заданы
координаты частицы, тем более неопределены компоненты её им¬
пульса.
2.	Так как рх = mvx,py = mvy,p. = mv., то уравнения (17) примут
вид:	^
А Л П	(18)
AvyAx > •—
т
AvAy > —
т
. . fi
Av Ау > — .
m
3.	Аналогичное соотношение неопределённостей существует между
энергией W и временем t. Если частица некоторое время At нахо¬
дится в нестационарном (например, возбуждённом) состоянии, то
энергия W этого состояния может быть определена лишь с точно¬
стью до величины AW. Неопред ел ённость энергии АЖ связана
со временем At соотношением:
AW’At>h.	(19)
4.	Шириной Г энергетического уровня называется неопределён-
ность энергии квантовомеханической системы (атома, молекулы
и др), обладающей дискретными уровнями энергии Wk в состоя¬
нии, которое не является строго стационарным. Например, если
электрон в атоме находится в возбуждённом состоянии, то раз¬
мытие уровня энергии и называется уширением уровня AW = Г.
-14-

Значение ширины уровня Г связано со средним временем т пре¬
бывания системы в возбуждённом состоянии соотношением не¬
определённостей:
Г-т	(20)
Для строго стационарного состояния т = оо,Г = 0. Ширина уровня
может быть и очень малой по сравнению с энергией уровня (напри¬
мер, для ядра при а -распаде), и сравнимой со значениямифасстоя-
ний» между энергетическими уровнями (например, для возбуждён¬
ных ядер, испускающих нейтроны при квантовых переходах). Ши¬
рина уровня пропорциональна сумме вероятностей всех возможных
переходов с этого уровня - и спонтанных , и вызванных различными
следствиями.
5.	Ширина энергетического уровня Г определяет ширину спек¬
тральной линии. Зависимость интенсивности I испускания или
поглощения от частоты обычно имеет максимум при частоте пе¬
рехода со0 (рисунок 1), которая определяется соотношением:
W-W,
П
где Wn,Wk - энергии состояний, между которыми происходят пере¬
ходы. Шириной (полушириной) спектральной линии называют ин¬
тервал частот До, отсчитываемый по
кривой / = /(©) (рисунок 1) при значе¬
нии интенсивности, равной половине
максимальной интенсивности /0/2. Так
как длина волны и частоты излучения
связаны соотношением А, = 2тгс/<о, то
ширину спектральной можно характе¬
ризовать интервалом длин волн АХ,
учитывая, что:
\-2ж
Аш =
-АХ
Уширение отражает степень немоно-
хроматичности спектральных линий и
связано со временем жизни тя и тк атомной системы в состояниях,
характеризуемых квантовыми числами пик.
(21)
где Ашп к - естественная ширина спектральной линии. Для установ¬
ления немонохроматичности Аш ограниченного цуга волн (атом из¬
лучает свет в виде отдельных импульсов - цугов волн) следует поль¬
-15-

зоваться соотношением неопределенностей в виде, отличном от
формул (17-20).
Дсо-Д/>1,	(21а)
где At - длительность излучения, Дсо - ширина спектра.
Пространственная протяжённость Ах цуга волн в вакууме задаётся
соотношением:
Дл: = с • At,	(22)
где с=3*108 м/с - скорость света в вакууме.
Чем короче цуг волн, тем шире его спектр, т.е., тем сильнее цуг от¬
личается от монохроматической волны (сравните с волновым паке¬
том).
6.	С помощью соотношений неопределённостей можно оценить ми¬
нимальную энергию частицы в любом силовом поле и=11(г).Ддя
этого необходимо записать полную энергию частицы в виде сум¬
мы кинетической и потенциальной:
2
Ко,. = и7™ + Кот = — + и (г).
полн	КИН	ПОГ	V /
АШ
Затем воспользоваться соотношением неопределённостей (17).
Для центрально-симметричного поля эту формулу можно пере¬
писать в виде Арг ■ Ar>h . С учётом того, что частица квантовая,
надо сделать приближения Арг~р, Аг ~г, найти зависимость энер¬
гии частицы от координат:
2m
и исследовать эту функцию на экстремум, определив наимень¬
шую возможную координату, а затем и минимальную энергию.
Если силовое поле симметрично относительно некоторой оси
(например, U = кх2/2), то следует неопределённость в координа¬
те полагать равной двойному значению координаты Ах = 2 • \х\.
4.	Теория Борз для атома водорода
(основные формулы)
1.	Согласно второму постулату Бора, движение электрона вокруг
ядра возможно только по определённым орбитам, находясь на ко¬
торых, он имеет квантованное значение момента импульса:
h
m 'V„ •r„ =n— ,
-16-

где т - масса электрона, гп - радиус n-ой орбиты, vn - его скорость,
/г=6,62-10'34 Дж’С - постоянная Планка, квантовое число п-1,2,	-
номер орбиты, по которой двигается электрон.
2.	Бор считал, что движение электрона в атоме водорода происхо¬
дит по круговой орбите под действием кулоновской силы притя¬
жения электрона к ядру, играющей роль центростремительной
силы:
mv„
г„	4 лейг2
(24)
Соотношение (23) верно и для движения электрона в водородопо¬
добном атоме, где ядро состоит не из одного протона, а из несколь¬
ких (их число Z). Уравнение (24) изменится, так как заряд ядра бу¬
дет + Z\е\.
Zc2	(24а)
mv\
ГП 4да0г„2 ■
Решая совместно уравнения (23) и (24а), можно определить радиус
орбиты электрона и его скорость на ней:
Н24к£0	2	Ь2£о	2
гп =	  * п =	Г- • п
mZe~	nmZe
Ze2 1	(26)
п 2he0 п
Z
При п = 1 для атома водорода Z = 1
П2г	(27)
гг= Е°, =0.528 А.
пте
1А=10'10м, состояние с п = 1 называется основным.
Для определения круговой и линейной частоты и периода обраще¬
ния электрона по орбите, центростремительного ускорения и момен¬
та импульса используем соотношение:
Т = 2пг„	(28)
* п
Vn
0\=vjrn	(29)
an=vl r„=a2-r„	(3°)
Ln	'?n =и-й.	(31)
Кроме того, можно определить кинетическую, потенциальную и
полную энергию электрона на п-ой орбите:
_ mvl _ Z2wc4 1	(^2)
-17-

_ mv2 _ Z2me4	1	(32)
ишп
w 		= z2ff,e4 1 (33)
” ППТ n	Л	f
,„2„	кин.п	4ff2ft2	w2
Z2meA 1	(34)
8*02AZ и2
полн.п	0„2L2
Если w=l, Z=1 (атом H)
4
те
B?i =-^— = -13,6 эВ.
8£2/г
(35)
Для водородоподобного атома при я=1
й/, ==-13,6-Z2,3B.	(35а)
4.Согласно третьему постулату Бора частота излучения, соответст¬
вующая переходу электрона с одной орбиты на другую, определяет¬
ся формулой:
. <36)
Учитывая (34), (36) и соотношение X - с v, имеем для частоты излу¬
чения :
10QC 1П15	^	^	1	Т	ОТ)
v = 3,288-10 Z -I —1,Гц.
для длины волны:
Л	[п2	к2)
Константы	=3,288-1015Гц и Л =1Д-107м'1 называются констан-
тами Ридберга.
5.	Уравнение Шредингера
(основные формулы)
5.1.	Уравнение Шредингера
1.	Уравнение Шредингера - основное динамическое уравнение
нерелятивистской квантовой механики. Оно играет такую же фунда¬
ментальную роль, как уравнение Ньютона в классической механике
и уравнения Максвелла в классической теории электромагнетизма.
-18»

Уравнение Шредингера описывает изменение во времени со¬
стояния квантовых объектов, характеризуемое волновой функцией:
у/ = if/(x9y,z). Если известна волновая функция в начальный момент
времени, то решая уравнение Шредингера, можно найти у/ в любой
последующий момент времени t
Для частицы массы т, движущейся в потенциальном поле U=U(r),
временное уравнение Шредингера имеет вид:
dy/ Ъ2	(39)
т	=	/\у/ + и - у/,
dt 2т
где
.	-Г.	А д2	д2	д2	(40)
I =	~ 1,	Д = —~ Н	х-	4- ——,
дх ду dz
Д - оператор Лапласа, х, у, z- координаты.
Решение уравнения (39) есть \|/ = \jj(x,y,z,t)- волновая функция, ко¬
торая прямого физического смысла не имеет. Смысл имеет квадрат
модуля волновой функции \у/2\ = doyjdV, как плотность вероятности
обнаружения частицы (системы) в момент времени t в квантовом со¬
стоянии в точке пространства с координатами х, у, z\ dV = dx-dy-dz.
Эта вероятностная интерпретация временной функции - один из ос¬
новных постулатов квантовой механики.
2.	Стационарное (не зависящее от времени) уравнение Шредингера
имеет вид:
Av + |^(r-t/)v = 0,	(41)
где W - полная, a (W-U) - кинетическая энергия частицы (системы).
Потенциальная энергия в уравнении (40) не зависит от времени. Ре¬
шением уравнения (40) является функция вида:
I™	(42)
y = v|i(x,y,z)-e h .
Оператор Лапласа в сферических координатах (г, 09 <р)имеет вид:
1	д( 2 д) 1 S ( . а 5 Y 1	(43)
г — +-=	sinO
г2 дг\ dr) r2sin0 56у	30J r2sin0<3cp2
3.	Зная \|/-функцию, можно рассчитать поведение микрочастиц.
Вероятность обнаружения частицы в объёме Vопределяется:
со = |у(х, у, z)\2dv.
(V)
В одномерном случае вероятность найти частицу в интервале от X]
до Х2 рассчитывается так:
-19-

4.	Среднее значение любой характеристики микрочастицы вычисля¬
ется по формуле:
{/)= \f(x,y,z)\y(x,y,zfdV	(45)
(У)
в одномерном случае:
Х1	-у	(45	а)
{/) = J /(*)И*)| dx
Хх и Х2 - величины, определяющие границы изменения величины х,
они могут быть любые, включая иоо, и 0, и - со.
5.	Если необходимо найти наиболее вероятное положение частицы в
пространстве, то необходимо исследовать на экстремум функцию
И2-
6.	\\\f\ =\j/ -\|/*, где \j/- функция в комплексном виде, a \\t*-функция,
сопряжённая ц/. Возвращаясь к формуле (42), имеем:
-iWt
\|/ = vj/(x,j/,z)*e й
+iWt
V|/* =\|f\x,y,z)-e h
-iWt	+iWt
Тогда |\|/j = Vj/(x,y,z)-e й -y*(x,y,z)-e n ,
-iWt +№
так как e п -e л — 1, то [v(/| = цi(x,y,z)-\\i*(x,y,z)	(46)
не зависит от времени, что означает стационарное (независимое от t)
состояние системы.
7.	Для квантовых систем, движение которых происходит в ограни¬
ченной области пространства, решение уравнения Шредингера су¬
ществует только для некоторых дискретных значений:
WXW2' ...^нумерация которых определяется набором целых кванто¬
вых чисел. Значениям ряда WXW2^ ..Wn соответствуют волновые
функции vj/j \|/2 ...\|/„ Значения Wt называются спектром собствен¬
ных значений энергии, а соответствующие волновые функции -	~
спектром собственных функций. (/=7,2, ...«).
8.	Частица массой т в бесконечном прямоугольном ящике шириной
а (рисунок 2).

[/=00
Собственные волновые Функции
ц,„(х) = Л-5ш—,	(47)
V а а
п - квантовое число, п~ 1,2,3....
Собственные значения энергии:
; и=0
/
/
/
/
/
/
/[/ = 00
/
/
/
/
/
/
' V
/0
ft JC
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
А
/
W =
п2П2
2 та2
(48)
Рисунок 2
У'
<
а0
/
/
/
/
О
п
' U = оо
/
/
/
/
/ / 7 7"7V / /'"7"/
/
	>.
9.	Частица массой т в двумерном
потенциальном ящике с абсо¬
лютно непроницаемыми стенка-
ми(рисунок 3). Стороны ящика aj
и а2.
Возможные значения энергии час¬
тицы:
Рисунок 3
П] П2 - квантовые числа.
Волновые Функции
VVb (х,у) = -
w
И|’"2 2т
г*-2{± £
о*
ТШлХ
4^2
Ю.Гармонический осциллятор
[к
sm-
•sm
m2y
(49)
(50)
C0n =
t/:
I m
kx2
~2
-	собственная частота;
-	потенциальная энергия.
Рисунок 4
Собственные значения энергии
W„ = I п + -- |йсо0,
(51)
-21-

11.	Движение квантовой частицы отличается от движения класси¬
ческой частицы, В квантовой механике существует конечная веро¬
ятность обнаружить частицу в классически запрещённой области
пространства.
Потенциальный барьер - ограниченная в пространстве область
высокой потенциальной энергии частицы в силовом поле. Если
энергия частицы больше высоты потенциального барьера W > UQ, то
в квантовой механике существует ненулевая вероятность отражения
частицы от такого барьера, хотя в классической физике частица при
таких условиях двигается, не замечая барьера. При W <U0 кванто¬
вая частица проходит (просачивается) сквозь потенциальный барьер.
Такое явление называется туннельным эффектом. Вероятность про¬
хождения частицей барьера называется коэффициентом прозрачно¬
сти D.
Решая уравнение Шредингера для прямоугольного потенциального
одномерного барьера высотой U0 и шириной а (рисунок 5), полу¬
чим коэффициент прозрачности D:
ид
Рисунок 5
Для потенциального одномерного барьера произвольной формы
(рисунок 6):
хх и х2 определяются при условии U -W, где U задается явной
функцией координаты х. Согласно рисунку равенство
Ъ\ ~	(х)~W определяет координату хи U2=f2(x2)=W	-
координату' х2.
(52а)
-22-

Рисунок 6
В формуле (52а) присутствует U = U(x) под знаком корня, где х -
переменная, по которой ведется интегрирование.
12.	Движение в центрально-симметричном поле (примером
является движение одного электрона в поле ядра с зарядом + Z\e\).
Если Z= 1, то это атом водорода, при Z> 1 - атом называется
водородоподобным.
При решении этой задачи надо использовать уравнение Шредингера
в сферических координатах. Потенциальная энергия в СИ имеет вид:
U:
Ze2
4718 0г
(смотри раздел 4)
Собственные функции для описания поведения электрона в
водородоподобных атомах:
Уя,/,тМ.ф)=Л»,/(4^И(е>ф) >	(53)
где R„j{r), Yj>да(0,ф) -радиальная и угловая волновые функции, п, /,
т - квантовые числа (главное, орбитальное, магнитное). При
переходе в сферическую систему координат элемент объема:
dV = dxdydz = г2dr sin 0яШф .	(54)
Пределы полного изменения параметров г от 0 до оо ; 0- от 0 до п\
(р- от 0 до 2п.
Вероятность обнаружения электрона в шаровом слое от г до (г + dr)
от ядра равна dw = \R(rJ2 г2dr .
Тогда плотность вероятности расположения е~ в шаровом слое
толщиной dr равна (dw/dr) = |i?|2 г2
И при определении наиболее вероятного расстояния электрона до
I	,2	^
ядра на экстремум исследуют именно функцию Л г".
-23-

Индивидуальное задание №1
5.2.	Атом водорода в квантовой механике
Радиус первой боровской орбиты (смотри формулу (27)):
h2et
Условие задачи: у/
водорода имеет вид:
Определить:
пте~
функция основного 15
состояния атома
^100 “
•ехр
г
V ri
№ вар.
Вопросы
1
2
1.
1)	среднее значение потенциальной энергии (и)
электрона;
2)	что у/ш является решением уравнения Шредингера;
2.
1)	наиболее вероятное расстояние электрона до ядра;
2)	среднее значение (г) электрона от ядра;
3.
1)	плотность вероятности нахождения электрона на
расстоянии г от ядра (график);
2)	вероятность того, что электрон находится от ядра, на
расстоянии, превышающем гх,
4.
1)	среднее значение модуля кулоновской силы,
действующей на электрон со стороны ядра;
2)	вероятность того, что электрон находится вне сферы
радиусом гХ}
5.
1)	среднее значение расстояния (г) электрона от ядра;
2)	среднеквадратичный разброс = ^(ir~{r})2) в
расположении электрона около ядра;
6.
1)	среднеквадратичную скорость электрона;
2)	величину -у'{^2), сравнить с
7.
1)	средний электростатический потенциал поля,
создаваемого электроном в центре атома водорода;
2)	плотность вероятности нахождения электрона на
расстоянии 0,1^; 0,5^; гх\ 1,5^; 2гх\ (график
dwjdr = /(/•));
1 8.
вероятность нахождения электрона,

8.
1)	внутри сферы радиусом гх;
2)	вне сферы радиусом гг;
3)	отношение этих вероятностей wi/w2)
9.
1)	среднее значение расстояния (г) электрона от ядра;
2)	вероятность нахождения электрона в шаровом слое
от - 0,Ц) до (^+0,1/^) и от ((г)-0,ц) до
((г)+°л^);
Условие задачи 2
Волновая функция, описывающая 2S - состояние электрона в атоме
водорода имеет вид:
^200=7-7== 2-- -ехр	•
rj V 2 rXJ
Определить:
№№ вар.
Вопросы:
10.
1)	что ц/200 является решением уравнения Шредингера;
2)	расстояние электрона от ядра, на котором
вероятность обнаружения электрона имеет
максимум.
11.
1)	построить график \у\ в зависимости от г. Каков
физический смысл функции \y/f;
2)	среднеквадратичное расстояние электрона от ядра
Jp)’
12.
1)	среднее значение (г);
2)	среднеквадратичный разброс ~ (r)f ^ j
13.
расстояния, на которых вероятность нахождения
электрона
1)	максимальна;
2)	равна нулю (обосновать физический смысл
результата);
Условие задачи 3
В 2Р - состоянии могут находиться электроны, поведение которых
описывается волновыми функциями:

V21-1 = A2 ■ Г ' eXP “	'	Sin	G	’	в~Щ
{ 2nJ
—— 1-sin 9 ■e"p
2	rj
№№ вар.
Вопросы
14.
1)	определить значение Ах;
2)	убедиться, что у/ш является решением уравнения
Шредингера,
15.
16.
1)	определить значение Ах\
2)	найти наиболее вероятное гвер положение электрона в
состоянии, определяемом у/2\о]
1)	определить значение Ах; |
2)	найти среднее значение расстояния (г) электрона до
ядра, сравнить со значениями боровских радиусов;
17.
1)	определить значение Л2;
2)%убедиться,	что y/ii-i удовлетворяет уравнению
Шредингера;
18.
1)	определить значение А2;
2)	найти значение среднеквадратичного расстояния
электрона до ядра, сравнить со значениями
боровских радиусов;
19.
1)	найти значение коэффициента А3;
2)	учитывая, что у/2ХХ-Я(г)'У(в,(р), построить в
зависимости от г, и Г(#,^)|2 в зависимости от в;
20.
|
1)	найти значение А3;
2)	найти среднее расстояние (г) электрона от ядра в
состоянии, описываемом if/21x.
Условие задачи 4
\|/ - функция основного состояния гармонического осциллятора
имеет вид:
/ ч Га ( а2х2 )	[тщ
(т - масса, со0 - собственная частота осциллятора).
1	-	-	г-ехр
-26-

Определить:
№№ вар.
Вопросы
! 21.
|
1)	что у/х является решением уравнения Шредингера;
2)	среднее значение модуля координаты (х).
22.
1)	среднее значение потенциальной энергии
осциллятора (U);
2)	среднюю величину л/(^) (среднеквадратичное
расстояние);
Условия задач для вариантов 23 - 25
23.
I
Вычислить расстоянк
составляющая вероятно
атоме водорода имеет
состояниях, если извес"
функций:
/ ( Г '
Rip[r)=A1 • г'ехр| - —
1 2^.
ie, на которых радиальная
сти местоположения электрона в
' максимум в 2Р- и в 3d -
гны радиальные части волновых
5 къЛг)=лз -r2-expf--^ j}
J V 5 r\ )
24.
Радиальные части волне
- и 3d - состояниях име
( Л (
R3P(r)= А-г 6— ехр
V г\) \
( s
(^) = V5 • г2 • ехр - —
1 3?ь
При каких значениях
вероятности MecTonoj
состояниях имеет макси
звых функций электрона в 3Р-
\
5ют вид:
\ 1
г
г радиальная составляющая
тожения электрона в этих
мум;
25.
ц/ - функция, характеризующая одно из состояний
гармонического осциллятора, имеет вид:
/ \ \lа3 ( а2х2')
\mcoQ
где а~л		 (т - масса, со0 - сооственная частота
V ь
осциллятора);
1)	найти наиболее вероятную координату хвер в этом
состоянии;
2)	показать, что у/\{х) есть решение уравнения
Шредингера.
-27-

6.	Индивидуальное задание №2
Вариант 1
1.	В спектроскопии принято характеризовать спектральные линии вол¬
новым числом, обратным длине волны. Зная, что для головной линии
видимого спектра излучения атома водорода волновое число равно 1,
5241 мкм"1, определить длину волны и постоянную Ридберга (в СИ).
2.	Оценить, исходя из соотношения неопределённостей, максимальную
величину возможной энергии гармонического осциллятора, если
Wn0T = кх2 2, а со0 = к т - собственная частота осциллятора
(Гмия=йсо0 2).
3.	Пучок электронов с кинетической энергией 2 кэВ набегает на прямо¬
угольный потенциальный барьер высотой 2,005 кэВ и шириной 0,6
мм. Определить вероятность прохождения электронов сквозь барьер.
Как изменится эта вероятность, если ширин}' барьера увеличить в 2
раза.
Вариант 2
1.	Квант света , порождённый однократно ионизированным атомом ге¬
лия, выбивает электрон из атома водорода, находящегося в основном
состоянии. Определить скорость электрона, "порвавшего” со своим
атомом водорода, если ион гелия до излучения кванта находился в
первом возбуждённом состоянии.
2.	Микрочастица массой т движется в потенциальной яме вида
з
U = кх . Оценить из соотношения неопределённостей линейные
размеры области, в которой может находиться данная частица при
минимально возможной энергии в основном состоянии:
Ах~\\
' Ъкт
3.	Электрон и а-частица двигаются на прямоугольный потенциальный
барьер высотой 50 эВ шириной 0,2 нм. Электрон перед барьером был
ускорен напряжением 49,5 В. Каким напряжением была ускорена а-
частица, если вероятности прохождения барьера обеими частицами
одинаковы?
Вариант 3
1.	Определить, при каком переходе возбуждённый ион гелия излучает
фотон, длина волны которого равна длине волны головной линии се¬
рии Лаймана водородного спектра.
2.	Микрочастица массой т находятся в потенциальном поле
U(x) = аху. Оценить минимальную энергию частицы. Оценки сде¬
лать для электрона и протона. Считать а = 0,1 Дж м3, у = 3.
На2
Wum=0956h\
-28-

3,	Альфа-частица, обладающая энергией 20 эВ, движется на потенци¬
альный барьер, профиль которого имеет форму равнобедренного тре¬
угольника с высотой 21 эВ и шириной основания 2 нм. Определить
коэффициент прозрачности барьера.
Вариант 4
1.	Определить потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения
двукратно ионизованного атома лития.
2.	Пользуясь соотношением неопределённостей, оценить энергию ос¬
новного состояния атома гелия. Указания: потенциальную энергию
считать для конфигурации частиц в атоме гелия, как на рисунке 7,
равной:
2	2
w - _2—^— + — 	 •
пот АжeQr 4л;е0(2г)
е	(	WMm	=	-	«	-83,5	эВ, а = --)
\	Шг	4тг£0	/
Рисунок 7
3.	Пучок электронов, ускоренный напряжением 149,5 В направлен на
барьер, имеющий форму прямоугольной ступеньки. Высота первой
части ступеньки 149,8 эВ при её ширине 0,1 нм; второй - 150 эВ.
Полная ширина барьера 0,4 нм. Определить вероятность проникнове¬
ния электронов за барьер.
Вариант 5.
1.	Определить наибольшую и наименьшую длины волн из спектра ин¬
фракрасной серии атома водорода (серии Пашена).
2.	Оценить минимальную энергию и минимальный размер области для
гг а
электрона в потенциальном поле: и = —, а = const,
г
('W =^2/'««;^гат =-агт/2Пг)
3.	Поток электронов, ускоренны напряжением 199,5 эВ, движется на
барьер, имеющий форму прямоугольной ступеньки. Высота первой
части ступеньки 199,8 эВ при её ширине 0,4 нм; второй - 199,4 эВ.
Полная ширина барьера 0,6 нм. Определить вероятность проникнове¬
ния электронов за барьер.
Вариант 6
1.	Фотон ультрафиолетового излучения с энергией 16 эВ выбивает фо¬
тоэлектрон из атома водорода, находящегося в первом возбуждённом
состоянии. Какой будет скорость электрона вдали от ядра атома во¬
дорода?
2.	Оценить полную минимальную энергию электрона (ближайшего к
ядру) одного из лёгких атомов с порядковым номером Z. Электроны
-29-

3.
2,
3.
в лёгких атомах нерелятивистские. Потенциальная энергия взаимо¬
действия с ядром такого электрона Wn0T = -
Аяе0г
W =•
тг мин
Z2me4
Ss0h2 ,
3.	При альфа-распаде одного из ядер альфа-частица, преодолевая при¬
тяжение ядра, проходит сквозь потенциальный барьер высотой 26
МэВ с вероятностью £> « 3 * 10“8. Считая барьер прямоугольным,
оценить его толщину, если кинетическая энергия альфа-частицы рав¬
на 8,8 МэВ,
Вариант 7
1.	Атомарный водород бомбардируется электронами, прошедшими ус¬
коряющую разность потенциалов 13 В. Построит спектр излучения
атомов водорода.
^ ^	ДА,
2.	Оценить относительную ширину - спектральной линии, если время
X
жизни атома в возбужденном состоянии т~10 не, а частота излучения
v = 5*1014с'1.
u
•10-
Ha прямоугольный барьер высотой 5 эВ набегают электроны с кине¬
тической энергией 4,8 эВ. Построить график зависимости коэффици¬
ента прозрачности барьера от его ширины. Рекомендуем значения
ширины барьера ограничить интервалом от 0,01 нм до 1 нм.
Вариант 8
При наблюдении спектра атомарного водорода при помощи дифрак¬
ционной решётки (постоянная а =2 мкм) измерено, что углу ди¬
фракции, равному 29,05 градусов, во втором порядке соответствует
одна из линий серии Бальмера. Найдите, какому переходу соответст¬
вует эта линия.
Оценить из соотношений неопределённостей линейные размеры
атомов и ядер, полагая величину энергии, связанной с неопределён-
ностью импульса электронов в атомах и нуклонов в ядрах, соответ¬
ственно равной ЮэВ и 1МэВ.
(б-10'п
м = 60пм, 5-10'15м
[=5фм)
На прямоугольный барьер высотой 10 эВ и шириной 0,1 нм движут¬
ся электроны. Построить график зависимости коэффициента про¬
зрачности барьера от кинетической энергии электронов. Рекоменду¬
ем значения кинетической энергии от 0,5 до 9,8 эВ.
Вариант 9
1. Найти спектральные интервалы, принадлежащие сериям Лаймана,
Вальмера, Пашена и нанести их на общую ось.
30-

2.	Альфа-частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме
(одномерной, прямоугольной). Оценить ширину ямы а, если извест¬
но, что минимальная энергия микрочастицы равна 8 эВ.
(а « Тп 2m W -0,8 фм)
3.	Ha прямоугольный потенциальный барьер высотой 18 эВ и шириной
2	нм движутся протон и электрон. Кинетическая энергия электрона
17,5 эВ. Каким ускорением надо ускорить протон, чтобы прозрач¬
ность барьера для обеих частиц была одинаковой?
Вариант 10
1.	Определить длину волны и частоту излучения атома водорода, соот¬
ветствующего четвёртой (считая от головной) линии серии Бальмера.
Какова при этом энергия фотона? (Ответ дать в эВ).
2.	Оценить величину неопределенности импульса электрона, запертого
в одномерном потенциальном поле (рисунок 8)
Гоо, если х < 0
U(x) = \
[еЕх, прих>0
где £ = 3•109 В/мв том случае, когда его энергия имеет
минимальное значение.
0	*	(Ар- 3,5• 10“25 кг/м/с)
Рисунок 8
3.	Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность по¬
тенциалов 15 эВ и движутся на потенциальный барьер высотой 15,3
эВ и шириной 0,05 нм. Определить коэффициенты прозрачности
барьера и их отношение для этих частиц.
Вариант 11
1.	Фотоэффект в вакуумном элементе с цезиевым катодом создаётся из¬
лучателем, содержащим атомарный водород. Какие линии серии
Бальмера могут вызвать фотоэффект? Вычислить наибольшую длину
волны серии* при которой фотоэффект имеет место.
2.	Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, движуще¬
гося внутри сферы радиусом R « 0,05 нм.
(1¥тт=П2/ЫК2*6,9эВ)
3.	Электрон, ускоренный разностью потенциалов 15,9 В, движется на
прямоугольный потенциальный барьер высотой 16 эВ и шириной 2
нм. Какова вероятность прохождения барьера электроном? Как изме¬
нится эта вероятность, если высоту барьера увеличить на 10%?
Вариант 12
1.	Атомный водород переведён в возбуждённое состояние с квантовым
числом 4. Обратные переходы в атомах сопровождаются излучением.

Вычислить наибольшую длину волны излучения. Чему равно число
спектральных линий? К каким сериям они относятся?
2.	Считая, что нуклон в ядре находится в трёхмерном потенциальном
ящике кубической формы с линейными размерами а =10 фм, оценить
самый низкий энергетический уровень нуклонов в ядре.
= ЗЙ2/2та2 * бкэЯ)
3.	На прямоугольный потенциальный барьер высотой 8 эВ и шириной
0,02 нм движутся протон и альфа-частица. Альфа- частица прошла
ускоряющее напряжение 3,9 В. Каким напряжением должен быть ус¬
корен протон, чтобы вероятность прохождения обеих частиц была
одинаковой?
Вариант 13
1.	Атомарный водород облучается монохроматическим светом с длиной
волны 97,21 нм. Какие длины волн можно наблюдать в спектре излу¬
чения водорода?
2.	Электрон находится в одномерной прямоугольной яме с бесконечно
высокими стенками. Ширина ямы а = 10 нм. Оценить количество
столкновений электрона со стенками за время At = 1с при минималь¬
но возможной энергии.(N = fiAt та2 ~1012)
3.	Протон находится в бесконечно глубоком потенциальной ящике во
втором возбуждённом состоянии. Какова вероятность обнаружить
протон в одной из крайних четвертей ящика?
Вариант 14
1.	Атомарный водород бомбардируется пучком электронов, движущих¬
ся со скоростью 2,1 * 106 м/с. Определить длины волн, наблюдаемых в
спектре излучения водорода.
2.	Электрон находится внутри сферической частицы металла, объём ко¬
торой 10‘6 см3 и имеет кинетическую энергию порядка 10 эВ. Найти,
исходя из соотношения неопределённостей, относительную неточ-
( А	*	I		Л
ность скорости электрона.
л/2mW\ 6V
3.	Электрон находится в потенциальном ящике с бесконечно высокими
стенками. Ширина ящика 0,2 нм. Определить наименьшую разность
энергетических уровней электрона и частоту кванта излучения, соот¬
ветствующую этой энергии.
Вариант 15
1.	Используя теорию Бора, вычислите радиус электрона на первой ор¬
бите и скорость электрона на ней.
2.	Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной
яме с бесконечными стенками. Ширина ямы а. Оценить силу давле¬
ния электрона на стенки ямы при минимально возможной его энер-

3.	Электрон находится в бесконечно глубоком потенциальном ящике.
Какова должна быть ширина ящика, чтобы при переходе электрона
из третьего состояния во второе излучался фотон с такой же часто¬
той, как и фотон головной линии серии Бальмера в спектре водорода?
1.	Во сколько раз увеличивается радиус орбиты электрона в атоме во¬
дорода, находящегося в основном состоянии при возбуждении его
квантом излучения с энергией 12,1 эВ?
2.	Пылинка массой ?и=10’ит в воздухе находится во взвешенном со¬
стоянии и в тепловом равновесии. Можно ли установить, будет или
нет движение пылинки отклоняться от законов классической физики?
Принять, что воздух находится при нормальных условиях, пылинки
имеют сферическую форму, плотность вещества пылинок равна
2- 103кг/м3.
3.	Протон находится в бесконечно глубоком потенциальном ящике ши¬
риной 0,01 нм. Построить график зависимости энергии протона от
номера квантового состояния для первых пяти квантовых чисел. Вы¬
числить возможные частоты излучаемых фотонов.
1.	Сравнить, во сколько раз отличаются частота излучения при переходе
электрона из первого возбуждённого состояния в основное и частоты
вращения электрона на первой и второй орбитах в атоме водорода.
2.	Определить естественную ширину АХ спектральной линии излучения
атома при переходе его из возбуждённого состояния в основное.
Время жизни атома в возбуждённом состоянии т~10'8с, длина волны
излучения X = 500 нм.
(X * 13 фм)
3.	Альфа-частица находится в бесконечно глубоком потенциальном
ящике шириной 0,05 нм. Построить волновые функции для первых
трёх разрешённых состояний. Вычислить энергии этих состояний.
1.	Построить в масштабе первые 6 энергетических уровней атома водо¬
рода. Указать стрелками переходы, соответствующие серии Бальмера
и Лаймана. Вычислить энергии фотонов, соответствующие этим ли¬
ниям.
„	Асо
2.	Оценить относительную ширину — спектральной линии, если вре-
со
мя жизни атома в возбужденном состоянии т = 10 не, а длина волны
испускаемого фотона X = 0,6 мкм.
Вариант 16
Вариант 17
Вариант 18

3.	В бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной 0.11 нм на¬
ходится протон, Построить график распределения плотности вероят¬
ности по ширине ящика для первых трёх разрешённых состояний.
Найти внутри ящика точки, в которых вероятности обнаружения про¬
тона в первом и третьем состояниях одинаковы.
Вариант 19
1.	Сколько спектральных линий будет испускать газ двукратно иони¬
зированных атомов лития, возбуждаемых некоторым источником до
третьего энергетического уровня? Вычислить минимальную и мак¬
симальную длины волн в этом излучении.
2.	Используя соотношение A WAt > fi, оценить ширину Г энергетическо¬
го уровня в атоме водорода, находящегося: а) в основном состоянии,
2)	в возбуждённом состоянии, время жизни в котором т~10’8 с, 3) не-
определённость длины волны испускаемого фотона при переходе из
возбуждённого состояния в основное. Принять возбуждённое со¬
стояние, соответствующего главному квантовому числу п~2.
(0; 0,06 мкэВ, АЛ =	— ~3-10’14м.)
9 rWx
3.	Электрон, обладающий кинетической энергией 16,8 эВ, находится в
первом возбуждённом состоянии в бесконечно глубоком потенци¬
альном янщке. Вычислить ширину а потенциального ящика. Найти
вероятность обнаружения электрона в интервале:
0<х<-.
3
Вариант 20
1.	Сколько линий наблюдается в спектре поглощения атомарного водо¬
рода в диапазоне длин волн от 94,5 нм до 110 нм? Указать длины
волн этих линий.
2.	Показать, что измерение координаты микрочастицы с помощью ще¬
ли шириной а связано с возникновением неопределённости в им¬
пульсе Ар такой, что произведение (а-Ар) удовлетворяет соотно¬
шению неопределённостей.
3.	Электрон, обладающий кинетической энергией 32,8 эВ находится в
бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной а =0,2 нм. Оп¬
ределить номер энергетического уровня, на котором находится элек¬
трон. Построить распределение плотности вероятности по ширине
ящика для этого уровня. Вычислить вероятность обнаружения элек¬
трона в интервале от xj =а/4 до Х2=За/4 .
Вариант 21
1.	Излучением, испускаемым однократно ионизированным гелием, воз¬
буждённым предварительно до 4-го энергетического уровня, облу¬
чают атомарный водород, находящийся в нормальном состоянии.
Определить длины волн резонансного поглощения атомов водорода.
-34-

2.	При какой относительной неточности в определении момента им¬
пульса электрона при его движении по первой боровской орбите его
угловая координата окажется совершено неопределённой?
(у~0,025).
3.	В бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной 0,3 нм с не¬
проницаемыми стенками находится электрон в возбуждённом со¬
стоянии с квантовым числом п~Ъ. Определить точки, в которых
плотность вероятности обнаружения электрона равна нулю. Опреде¬
лить энергию фотона, излучаемого этИхМ электроном при переходе в
основное состояние.
Вариант 22
1.	Возбуждённый дважды ионизированный атом лития при переходе в
основное состояние испустил последовательно в одном и том же на¬
правлении два кванта с длинами волн 48,3 нм и 13,5 нм. Вычислить
энергию первоначального состояния, соответствующее ему квантовое
число и скорость отдачи атома лития.
2.	Исходя из соотношения неопределённостей показать, что электроны
не могут находиться внутри атомных ядер. Указания: размер атомно¬
го ядра £■ ^ Ю'м.
3.	При какой ширине потенциального ящика энергия электрона в со¬
стоянии с квантовым числом п-5 Сравнима с его средней кинетиче¬
ской энергией при температуре 800 К.
Вариант 23
1.	Микрочастица с энергией, вдвое превышающей энергию ионизации
двукратно ионизированного атома лития, выбивает из него последний
электрон. Какой будет скорость этого электрона вдали от ядра лития?
2.	Оценить величину минимальной энергии электрона, запертого в од¬
номерном потенциальном поле (рисунок 9) при;
3.	В потенциальном ящике шириной 0,05 нм находится протон в основ¬
ном состоянии. Какова вероятность обнаружения протона в средней
трети ящика?
Вариант 24
1.	Какое ускоряющее напряжение должны пройти свободные электро¬
ны, чтобы при последующем взаимодействии с атомарным водоро¬
дом возбудить в нём 6 линий излучения?

Вариант 24
1.	Какое ускоряющее напряжение должны пройти свободные электро¬
ны, чтобы при последующем взаимодействии с атомарным водоро¬
дом возбудить в нём 6 линий излучения?
2.	Атом испустил фотон с длиной волны X = 0,55 мкм за время т~10'8 с.
Оценить величину неопределенности, с которой можно установить
координату фотона в направлении его движения, а также относитель¬
ную неопределённость его длины волны.
ДхяЗм,-у^З-10'
3.	В бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной 0,2 нм нахо¬
дится альфа-частица в состоянии, характеризуемом квантовым чис¬
лом п= 2. Определить энергию альфа-частицы и вероятность её обна¬
ружения в крайней 1/4 части ящика.
Вариант 25
1.	Вычислить радиус круговой орбиты электрона в атоме водорода в
третьем квантовом состоянии. Сколько длин волны де Бройля этого
электрона ’'укладывается” на длине орбиты?
2.	Траектория частицы в камере Вильсона представляет собой цепочку
маленьких капелек тумана, размер которых порядка 1 мкм. Можно ли
по такому следу электрона с энергией 1 кэВ, обнаружить отклонение
в его движении от законов классической физики?
3.	Электрон находится в бесконечно глубоком потенциальном ящике
шириной 0,1 нм. В каких точках ящика плотность вероятности нахо¬
ждения электрона во 2-м и 3-м энергетических состояниях одинако¬
вы?

7.	Индивидуальное домашнее задание 3
по теме "Полупроводники11
Рекомендации
1.	Перед выполнением задания изучить теоретические основы физики полу¬
проводников, изложенные выше.
2.	Данные первого задания и полученные результаты должны быть использо¬
ваны при выполнении второго задания.
3.	Обратите внимание на то, что при вычислениях единицами измерения
энергетической ширины запрещённой зоны A W и энергии активации
примесей должны быть Джоули.
4.	При необходимости используйте справочные данные.
Вариант 1
Образец германия с собственной проводимостью при температуре 300 К
имеет удельное сопротивление р = 0,5 Ом-м. Подвижность электронов
= 0,38 м2 Вс , подвижность дырок \хр = 0,19 м2 Вс, 8 = 16.
Задание 1
1.	Определить концентрацию собственных носителей заряда. Начертить
энергетическую диаграмму, указав положение свободных и связанных
электронов, положение дырок.
2.	Определить ширину запрещённой зоны AW ^ считая, что в условии за¬
дачи плотность состояний в зоне проводимости и в валентной зоне
Nc= Nv = 2,5 • 1025м*3.
3.	Найти величину плотности дрейфового тока через образец, если напря¬
жённость поля Е=200 В/м.
Задание 2
1.	В исследуемый Вами германий введена донорная примесь
уУд=1021м'3, энергия активации которой AWM=0,36эВ. Найти концен¬
трацию основных и неосновных носителей заряда. Начертить энергетиче¬
скую диаграмму, указав положение донорного уровня.
2.	р-n переход изготовлен из германия NА = Nд = 1021м'3
Определить:
а)	ширину р-n перехода в равновесии;
б)	максимальную напряжённость электрического поля в р-n переходе;
в)	начертить вольт-амперную характеристику р-n перехода, объяснить
её.
-37-

Вариант 2
Образец кремния находится при температуре Т=300 К, подвижность
электронов при этой температуре \лп = 0,13 м2 Вс, подвижность дырок
~ 0,05 м2 Вс, ширина запрещённой зоны AW = 1,1 эВ, в -12.
Задание 1
1.	Определить концентрацию собственных электронов и дырок, счи¬
тая Nc = 2,5 • 102:)м'3 и Nv = 2,5 • 10ьм'3. Начертите энергетическую диа¬
грамму, указав положение свободных и связанных электронов и положе¬
ние дырок.
2.	Определить удельное сопротивление образца.
3.	Найти величину плотности тока через образец при напряжённости
электрического поля Е=100 В/м.
Задание 2
1.	В образец введена акцепторная примесь NА = 1022м‘3 , энергия актива¬
ции которой AWA =0,05 эВ Найти концентрацию основных и неосновных
носителей заряда. Начертить энергетическую диаграмму, указав положе¬
ние акцепторного уровня.
2.	р-n переход изготовлен из кремния с NА = Nд = 1022м'3
Определить:
а)	контактную разность потенциалов в условиях равновесия при прямом
напряжении £/=0,05 В;
б)	ширину р-n перехода;
в)	напряжённость электрического поля при прямом напряжении U~\ В;
г)	начертить ту часть вольтамперной характеристики, которая определя¬
ется диффузионным током.
Вариант 3
Вы исследуете образец кремния с собственной проводимостью при тем¬
пературе Т^З 00 К. Его удельное сопротивление р = 620 0м-м, подвижность
электронов \хп = ОД3 м2 Вс, подвижность дырок \хр = 0,05 м2 Вс, 8 = 12
Задание 1
1.	Определить концентрацию носителей заряда. Начертить диаграмму,
указав положение свободных и связанных электронов, положение дырок.
2.	Определить ширину запрещённой зоны A W, считая, что плотность со¬
стояний в зоне проводимости Nc = 2,75 • 10 25 м3.
3.	Найти величину плотности дрейфового тока через образец, если напря¬
жённость поля Е=300 В/м.
Задание 2
В образец введена донорная примесь Ид =1022м'3, энергия активации
которой tsWд = 0,05 эВ.

1.	Найти концентрацию основных и неосновных носителей заряда. Начер¬
тить энергетическую диаграмму, указав положение донорного уровня.
2.	р-n переход изготовлен из кремния с Nл = Nд = 1022м"3
Определить:
а)	контактную разность потенциалов в условиях равновесия;
б)	ширину р-n перехода;
в)	максимальную напряжённость в р-n переходе;
г)	начертить вольтамперную характеристику р-n перехода, объяснить её.
Вариант 4
Германий с собственной проводимостью находится при температуре 300
К. Подвижность электронов \хп ~0,38м2 Вс, подвижность	дырок
\хр = 0,19 м2 Вс, его удельное сопротивление р = 0,60 Ом • м.
Задание 1
1.	Определить концентрацию собственных носителей заряда. Начертить
энергетическую диаграмхму.
2.	Определить плотность состояний в зоне проводимости, если ширина
запрещённой зоны Д W = 0,72 эВ.
3.	Определить плотность дрейфового тока, созданного электронами
(Е=200 В/м).
Задание 2.
1.	В германий ввели акцепторную примесь NА =1021м'3 энергия актива¬
ции которой AWa- 0,04 эВ. Найти концентрацию основных и неосновных
носителей заряда. Начертить энергетическую диаграмму, указав положе¬
ние акцепторного уровня.
2.	На основе исследуемого германия создан р-n переход.
Na = Nm =1022м'3, е=1б.
Определить:
а)	контактную разность потенциалов в условиях равновесия;
б)	максимальную напряжённость поля в р-n переходе;
в)	начертить ту часть вольамперной характеристики, которая определя¬
ется дрейфовым током через р-n переход.
Вариант 5
Вы исследуете образец арсенида галлия с собственной проводимостью
при температуре 330 К. Его удельное сопротивление р = 8,0 Ом-м. Подвиж¬
ность электронов fdn - 1,0 м2/Вс, подвижность дырок /лр = 0,04 м2/Вс.
Задание 1
1.	Определить концентрацию носителей заряда. Начертить энергетическую диаграм¬
му, указав положение свободных электронов и дырок.
2.	Определить ширину запрещённой зоны, еслиNc = 5 • 1017 см~ъ ;NV = 7-1018см’3.
3.	Найти величину плотности дрейфового тока, если Е=100 В/м.

Задание 2
В образец ввели акцепторную примесь NA = 1015см~3 энергия активации
которой A WА = 0,04 эВ.
1.	Найти концентрацию основных и неосновных носителей заряда. Начер¬
тить энергетическую диаграмму.
2.	р-n переход изготовлен из этого же материала NA = 1015см3,
N д =1017см'3.
Определить:
а)	ширину р-n перехода в условиях равновесия, s = 12 •
б)	начертить вольтамперную характеристику, объяснить.
Вариант 6
Вы исследуете образец арсенида галлия с собственной проводимостью при
температуре 330 К. Его удельное сопротивление р = 8,0 Ом * м. Подвиж¬
ность электронов = 1,0м2 Вс, подвижность дырок jup = 0,04 м2/Вс
Задание 1
1.	Определить концентрацию носителей заряда. Начертить энергетиче¬
скую диаграмму, указав положение свободных электронов и дырок.
2.	Определить ширину' запрещённой зоны, еслиА^ = Nv = 3 • 1022 см’3.
3.	Найти величину плотности дрейфового тока, если Е=100 В/м.
Задание 2
В образец ввели акцепторную примесь NA =1015см'3 энергия активации
которой AWa = 0,04 эВ.
1.	Найти концентрацию основных и неосновных носителей заряда. Начер¬
тить энергетическую диаграмму.
2.	р-n переход изготовлен из этого же материала NA =1015см'3,
NM = 1017см'3.
Определить:
а)	ширину р-n перехода в условиях равновесия, 8 = 12;
б)	начертить вольтамперную характеристику, объяснить.
Вариант 7
Задание 1
1.	Как и во сколько раз изменится сопротивление образца из чистого гер¬
мания, если его температуру изменить от Т^ЮО К до Ti=300 К, APT =0,72
эВ.
2.	Вычислить электронную составляющую плотности диффузионного то¬
ка через этот образец, если на нём на длине / = 10 мм концентрация
электронов изменяется от Wj =1016 см'3 доЮ13 см’3,	Т=250 К,
— 0,39 м2 Вс.	-40-

Задание 2
1.	Определить концентрацию основных и неосновных носителей заряда в
донорном	германии	при	Т=300	К,	где
N д = 1016 см'3, AWM =0,03 эВ. Ширина запрещённой зоны ДЙК = 0,72эВ.
2.	Определить ширину р-n перехода, созданного на основе германия с
Na = 1016см'3, Ид = 1016см"3,6 = 16 при Т=300 К и обратном напряжении
и=0,1 В, если пп пр =104.
3.	Как и во сколько раз изменится плотность обратного тока через р-n пе¬
реход при условии второй задачи, если температура изменится от Ti=100
К до Т2=300 К? Начертить эту часть ВАХ.
Вариант 8
Задание 1
1.	Сила тока через полупроводник поддерживается постоянной. При тем¬
пературе fi -2Ъ° С падение напряжения на образце Uf= 30 В. С увеличе¬
нием температуры до t2= 95° С падение напряжения изменилось и стало
U12 В.
Определить:
а)	ширину запрещённой зоны;
б)	начертить график зависимости In а от 1 /Т.
Объяснить.
2.	Определить концентрацию собственных носителей заряда в материале
1-ой задачи, используя результаты решения tx ~25° С,
NC=NV =2,5'1019см’3.
Задание 2
1.	р-n переход создан на основе германия (как и в 1-ом задании) с
Na = 1015см'3, Nд = 101бсм'3, AWд = 0,03 эВ, AWa = 0,04 эВ, Т = 310 К,
AW = 0,72эВ, £ = 16.
Определить:
а)	концентрацию основных и неосновных носителей заряда в "р" -
материале;
б)	определить контактную разность потенциалов в р-n переходе в усло¬
виях равновесия;
в)	определить максимальную напряжённость в р - п переходе.
Вариант 9
Задание 1
Тонкая пластинка из Si, шириной /= 3 мм помещена перпендикулярно ли¬
ниям индукции однородного магнитного поля (#=0,5 Тл). При плотности
тока у' = 2мкА мм2, направленной вдоль пластины, холловская разность
потенциалов UX=0,058B.
Определить:
-41-

sg$S) а) концентрацию носителей заряда;
б)удельную	электропроводность полупроводника, если напряжённость
электрического поля 100 В/м;
в)	как и во сколько раз изменится холловское напряжение, е ели магнит¬
ную индукцию увеличить в 2 раза.
Задание 2
р-n переход изготовлен на основе Si
МА=1015см\Ыд=1015см\АЖд=0,04эВ,Ы¥А=0,0гэВ,Т = 310К,
Д^=1,1 эВ, Nc =NV =5-1019см'3.
а)	Определить концентрацию основных и неосновных носителей заряда
в п-области р-n перехода;
б)	определить прямой ток через образец (s=3 мм2) при [7=0,1 В;
в)	начертить вольтамперную характеристику при двух различных тем¬
пературах. Объяснить.
Вариант 10
Задание 1
1.	Как, во сколько раз и почему изменится сопротивление образца из чис¬
того кремния, если его температуру изменить от Tj=300 К до Т2=400 К,
AW = 1,1 эВ.
2.	Вычислить электронную составляющую диффузионного тока через
этот образец, если в нём на длине /=100 м, концентрация электронов изме¬
ниться от 1016 см'3 до 1033 см'3, Т=400 К, = 0,19 м2/Вс
Задание 2
1.	Определить концентрацию основных и неосновных носителей заряда в
донорном кремнии при Т=400 К, где N д = 1016м’3, AWд = 0,05 эВ. Ширина
запрещённой зоны AW =1,1 эВ, Nc =7Vv =5*1019см"3.
2.	Определить ширину р-n перехода, созданного на основе кремния с
NА =1016см"3, Nд =1017см‘3,£ = 12 при Т=400 К и прямом напряжении
£7=0,05 В, если пп пр = 104.
3.	Как и во сколько раз изменится плотность прямого тока через р-n пере¬
ход в условии второй задачи, если температура изменится от Tj до Т2. На¬
чертите эту часть ВАХ.
Вариант 11
Задание 1
1.	Ширина запрещённой зоны кремния 1,1 эВ. Полупроводник обладает
собственной проводимостью. Начальная температура кремния 43°С. На
сколько градусов был нагрет полупроводник, если его сопротивление
уменьшилось в 100 раз? Начертите график зависимости , объясните его.
2.	Рассчитать концентрацию собственных носителей заряда в кремнии при
43°С, если/Ус'-Nv =2-1019см'3, сравнить с концентрацией свободных

электронов в меди при комнатной температуре. Необходимые данные
возьмите в справочниках.
3.	Найти плотность тока в образце кремния длиной 10 мм, если падение
напряжения на нём 2 В. Подвижность электронов 0,19 м2 Вс, дырок
0.05	м2 Вс.
Задание 2
1.	В р-n переходе, изготовленном на основе кремния при Т=300 К, концен¬
трация доноров Nд = 1015см'3, с энергией активации A)¥д = 0,04 эВ, кон¬
центрация акцепторов NA =1012см'3, с энергией активации
тл =0,01эя.
Определить:
а)	концентрации основных и неосновных носителей заряда впир- по¬
лупроводниках;
б)	контактную разность потенциалов при отсутствии внешнего поля;
в)	ширину р-n перехода (£ = 12);
г)	начертить энергетическую диаграмму р-n перехода.
Вариант 12
Задание 1
1.	Сравнить электропроводность чистого германия при температуре -40°С
и +100°С. Энергия активации равна 0,72 эВ.
2.	В германиевом проводнике подвижность электронов равна 0,4м2/Вс,
подвижность дырок 0,2м2/Вс. Вычислить собственную удельную элек¬
тропроводность германия и определить напряжённость поля в полупро¬
воднике, если плотность тока равна 0, 001 А/мм2. Концентрация носителей
заряда 2-1019м'3.
3.	Сила тока через полупроводник поддерживается постоянной. При тем¬
пературе 20°С падение напряжения на полупроводнике равно 27 В. С уве¬
личением температуры до 100°С напряжение падает до 10 В. Определить
ширину запрещённой зоны полупроводника.
Задание 2
1.	Концентрация доноров, введённых в германий Ид = 5*1015см‘3. Энер¬
гия активации примеси AWд = 0,05 эВ.
а)	какая часть этих атомов остаётся неионизованной при Т=100 К?
б)	вычислить удельную проводимость полупроводника при Т=300 К, ес-
ли =1,4-1012см'3, jun = 3900 см2/Вс,Д^ = 0,72 эВ.
2.	Во сколько раз изменится плотность тока в германии, если образец на¬
греть на 100 градусов, начальная температура Т=300 К.
3.	В р-n переходе, изготовленном на основе Ge, концентрация доноров
Nд = Ю15см*3, концентрация акцепторов^ = 1015см'3. Найти ширину р-
-43-

п перехода при 300 К, если приложено прямое напряжение U=1 В, а
п„ пр- ю4,£ = 16.
Вариант 13
Задание 1
1.	Концентрация собственных носителей заряда в кремнии при Т= 300 К,
щ = pi = Ю10см*3, подвижность электронов jun = 0,18м2/Вс, подвижность
дырок jup = 0,05 м2/Вс.
а)	Определить сопротивление кремниевого стержня длиной 1 см и попе¬
речного сечения 1 мм2;
б)	как и во сколько раз изменится это сопротивление при нагревании до
400 К. ( AW = 0,01 эВ).
2.	Во сколько раз изменится плотность тока в этом кремнии, если
а)	его нагреть на АТ = 100°? Начальная температура полупроводника
Т=300К, ДГ = Цэ£;
б)	какую долю дрейфового тока составляет электронная составляющая?
в)	начертить зависимость In а от 1/Т.
Задание 2
1.	р-n переход изготовлен на основе кремния. Концентрация доноров
NM =1016см’3( AWд =0,045 эВ), концентрация акцепторов
*
Na = 1013см"3( AWa = 0,02 эВ). Определить:
а)	концентрации основных и неосновных носителей заряда в р и п - по¬
лупроводниках;
б)	ширину р-n перехода при обратном напряжении (7=0,2 В;
в)	начертить энергетическую диаграмму р-n перехода в условиях равно¬
весия и обратном включении, указав переходы через р-n тех носителей за¬
ряда, которые создают обратный ток.
Вариант 14
Задание 1
1.	Полупроводник с собственной проводимостью имеет при некоторой
температуре удельное сопротивление 0,5 Ом/м.
а)	Определить концентрацию носителей заряда, если подвижность
электронов = 0,4 м2 Вс, \хр = 0,2 м2 Вс;
б)	чему равна плотность тока в полупроводнике, если напряжённость
поля 100 В/м?
2.	Германий, имевший температуру 300°С, был охлаждён так, что у него
удельное сопротивление увеличилось в 10 раз. До какой температуры он
был охлаждён? Ширина запрещённой зоны 0,72 эВ.
3.	Сила тока через полупроводник поддерживается постоянной. При тем¬
пературе 20°С падение напряжения на полупроводнике равно 27 В. С уве¬

личением температуры до 100°С напряжение падает до 10 В. Определить
ширину запрещённой зоны полупроводника.
Задание 2
1.	Как и во сколько раз изменится концентрация неосновных носителей в
германии n-типа при увеличении температуры от Т]=200 К до Т2=300 К,
если энергия активации доноров AWгд = 0,05 эВ ?
2.	В р-n переходе, изготовленном на основе германия, концентрация доно¬
ров Мд = 1018см'3, концентрация акцепторов NA = Ю14см"3. Найти ши¬
рину переходного слоя при Т= 300 К, если приложенное обратное напря¬
жение £7=0,1 В. Электронов в п - области в 104 раз больше, чем в р -
области, £ = 16,
Вариант 15
Задание 1
1.	Найти минимальную энергию, необходимую для образования электрон-
но-дырочной пары в кристалле с собственной проводимостью, если его
электропроводимость изменилась в 10 раз, при изменении температуры от
+200°С до +250°С.
2,	Удельное сопротивление полупроводника при температуре 500 К
4	• 104 Ом • м .Определить:
а)	ширину запрещённой зоны;
б)	плотность тока при этих температурах, если напряжённость внешнего
поля 200 В/м;
в)	какой характер проводимости (электронный или дырочный) будет
преобладать в собственном проводнике? Почему?
Задание 2
1.	В антимонид индия, находящийся при температуре Т=350 К введена ак¬
цепторная примесь NА = 1015см"3, энергия активации которой
AWa = 0,01э£. Найти концентрацию основных и неосновных носителей
заряда (Nc = Nv =1,8-1019 см"3), AW = 0,43 эВ. Начертить энергетическую
диаграмму, указав на ней донорный уровень.
2.	Используя результаты задачи 1 второго задания, определить, какую
часть от общего тока составляет электронная составляющая.
3.	В р-n переходе, изготовленном на основе антимонида индия, концен¬
трация доноров Ид =10°см"3, концентрация акцепторов NA =1015см'3.
Найти ширину переходного слоя при отсутствии внешнего поля и напря¬
жённости поля р-n перехода , если пп пр = 104 , е = 16, Т=300 К.

Вариант 16
Задание 1
1.	Германий, имеющий температуру 300° С, был охлаждён так, что его
удельное сопротивление увеличилось в 10 раз. До какой температуры он
охлаждён? Ширина запрещённой зоны 0,72 эВ.
2.	Чему равна плотность дрейфового поля в образце германия длиной 1 см
при напряжении U=0,3 В и температуре 350 К, Nc = Nv = 2,5 -1019см3,
= 0,39м2 Вс, \хр = 0,19м2 Вс.
3.	Какую долю от общего дрейфового тока составляет электронная со¬
ставляющая (условие задачи № 2)?
Задание 2
1.	Концентрация введённых в фосфид индия (JnP) доноров
Ыд =1016см'3. Энергия активации донора АЖл=0,05эЛ. Определить
концентрацию основных и неосновных носителей заряда, если температу¬
ра образцаТ=320К, ДГ = 1,Зэ£, Nc =NV =1019см’3.
2.	р-n переход сделан на основе JnP с концентрацией NA =1016см“3 и
Ыд = 1016см'3, 8 = 14, температура 290 К. Определить:
а)	контактную разность потенциалов в р-n переходе;
б)	максимальную напряжённость поля;
в)	величину энергетического барьера р-n перехода для основных носи¬
телей;
г)	начертить энергетическую диаграмму.
Вариант 17
Вы исследуете образец германия с собственной проводимостью при тем¬
пературе 330 К. Его удельное сопротивление р = 50Ом-см. Подвижность
электронов \хп = 0,39 м2 Вс, подвижность дырок \ip = 0,19 м2 Вс,
Задание 1
1.	Определить концентрацию носителей заряда. Начертить энергетиче¬
скую диаграмму, указав положение свободных электронов и дырок.
2.	Определить ширину запрещённой зоны, если Nc = Nv = 2,5 • 1019см‘3.
3.	Найти величину плотности дрейфового тока, если Е=100 В/м
Задание 2
В образец ввели акцепторную примесь NA =1016см'3, энергия активации
которой A WA = 0,04 эВ.
1.	Найти концентрацию основных и неосновных носителей заряда. Начер¬
тить энергетическую диаграмму.
2.	р-n переход изготовлен из этого же материала NА = Nд = 1016см'3.
Определить:
а)	ширину р-n перехода в условиях равновесия, г = 16;

б)начертить вольтамперную характеристику, объяснить.
Вариант 18
Задание 1
В полупроводнике подвижность электронов jiw -0,38м2 Вс, подвижность
дырок \хр =0Д8м2 Вс, концентрация собственных носителей заряда 2,5
1019 см'3. Вычислить:
1.	Собственную удельную проводимость.
2.	Напряжённость электрического поля, если плотность дрейфового тока
равна 0,002 А/ м2.
3.	Какова доля дрейфового тока, созданного дырками?
Задание 2
1.	Определить концентрацию основных и неосновных носителей заряда в
акцепторном полупроводнике, где NA = 2 • 1015см'3, AWa = 0,03 эВ, а ши¬
рина запрещённой зоны A W = 0,80 эВ, Т=340 К. Начертить энергетиче¬
скую диаграмму.
2.	Определить ширину р-n перехода, выполненного на основе Si,
Na =1016см’3,/Уд =1016см2, £ = 12; температура 340 К, приложено
обратное напряжение U=0,05 В, а пп пр = 105.
3.	Начертить вольтамперную характеристику р-n перехода, объяснить.
Вариант 19
Задание 1
1.	Сила тока через полупроводник поддерживается постоянной. При тем¬
пературе *7=18° С падение напряжения на образце £//=25 В. С увеличени¬
ем температуры до t2~&8° С падение напряжения изменилось и стало
£/,=12 В.
а)	Определить ширину запрещённой зоны,
б)	начертить график зависимости In а от 1/Т. Объяснить.
2.	Определить концентрацию собственных носителей заряда в материале
1-й задачи, используя результаты решения. Т=320 К, Nc = Nv = 3 • 1019см”3.
Задание 2
р-n переход создан на основе кремния с	=	1017см"3,
ИА = 1015см'3 AWA = 0,05 эВ, А 1¥д = 0,04 эВ,	Т=320 К, AW = 1,1 эВ.
Определить:
а)	концентрацию основных и неосновных носителей заряда в п мате¬
риале;
б)	определить контактную разность потенциалов в р-n переходе при об¬
ратном напряжении £/=0,06 В;
в)	определить максимальную напряжённость в р-n переходе в условии
пункта "б".
-47»

Вариант 20
Задание 1
Тонкая пластинка из Ge шириной Ъ~2 мм помещена перпендикулярно ли¬
ниям индукции однородного магнитного поля (В=0,4 Тл) При плотности
тока j = 3-10~6а/мм2 , направленной вдоль пластины, холловская раз¬
ность потенциалов равна 0,4 В. Определить:
1.	Концентрацию носителей заряда.
2.	Удельную электропроводность полупроводника, если напряжённость
электрического поля 100 В/м.
3.	Как и во сколько раз изменится холловское напряжение, если магнит¬
ную индукцию В увеличить в 2 раза?
Задание 2
р-n переход изготовлен на основе Ge . NA =1017см*3, Нд = 1017см'3,
AWA = 0,03 эВ, A W/7 = 0,05 эВ, Т = 320 К, AW = 0,72 эВ.
Nc - Nv = 2,5 *1019 см'3.
а)	определить концентрацию основных и неосновных носителей заряда
в р области р-n перехода;
б)	определить обратный ток через р-n переход (S=2 мм2) при U=0,1 В,
\хп = 0,38м2 Вс, \хр = 0,19м2 Вс, т = 10"8с;
в)	начертить вольтамперную характеристику р-n перехода при двух раз¬
личных температурах, объяснить.
Вариант 21
Вы исследуете образец арсенида галлия с собственной проводимостью при
температуре 330 К. Его удельное сопротивление р = 800Ом м. Подвиж¬
ность электронов \хп = 1,0 м2 Вс, подвижность дырок ju = 0,04 м2 Вс.
Задание 1
1.	Определить концентрацию носителей заряда . Начертить энергетиче¬
скую диаграмму, указав положение свободных электронов и дырок.
2.	Определить ширину запрещённой зоны, если Nc = Nv = 3 • 1019см’3.
3.	Найти величину плотности дрейфового тока, если Е=100 В/м.
Задание 2
В образец ввели акцепторную примесь NA =1015см"3, энергия активации
которой AWa = 0,04 эВ.
1.	Найти концентрацию основных и неосновных носителей заряда, начер¬
тить энергетическую диаграмму.
2.	р-n переход изготовлен из того же материала NA =1015см'3,
Д^=1017см-3.
Определить:
а)	ширину р-n перехода в условии равновесия; 8 = 12
-48-

б) начертить вольтамперную характеристику, объяснить.
Вариант 22
Задание 1
В полупроводнике подвижность электронов \лп =0,4м2 Вс, подвижность
дырок ц = 0,14 м2 Вс, концентрация собственных носителей заряда
2 • 1019 см"3. Вычислить:
1.	Собственную удельную проводимость.
2.	Напряжённость электрического поля, если плотность дрейфового тока
равна 0,001 А мм2.
3.	Какова доля дрейфового тока, созданного дырками?
Задание 2
1.	Определить концентрацию основных и неосновных носителей заряда в
акцепторном полупроводнике, где МА =2*1015см"3,	А^=0,03эВ, а
ширина запрещенной зоны A W - 0,80 эВ, Т=290 К, Nс = Nv = 2 • 10[9см‘3.
Начертить энергетическую диаграмму.
2.	Определить ширину р-n перехода, выполненного на основе GaAs, где
Na =10ьсм’3, Мд = 1016см’3, 8 = 14, температура 340 К, приложено
прямое напряжение [7=0,05 В, а пп пр = 103.
3.	Начертить ту часть вольтамперной характеристики, которая создана
током основных носителей заряда.
Вариант 23
Задание 1
1.	Как и во сколько раз изменится сопротивление образца из чистого гер¬
мания, если его температуру изменить от T]=100 К до Т2=300 К,
АГ = 0,72 эВ.
2.	Вычислить электронную составляющую плотности диффузионного то¬
ка через этот образец, если на нём на длине /=10 мм концентрация элек¬
тронов изменяется от гц =1016см‘3до 1013см'3, Т=250 К, = 0,39м2 Вс.
Задание 2
1.	Определить концентрацию основных и неосновных носителей заряда в
донорном германии при Т=100 К, где Нд =1016см"3, A= 0,03 эВ.Ши¬
рина запрещённой зоны A W = 0,72 эВ.
2	Определить ширину р-n перехода, созданного на основе германия с
Na =1016см'3, Ыд =1016см"3, 8 = 16, при Т=300 К и при обратном
напряжении [7=0,1 В, а пп пр =104.
3	Как и во сколько раз изменится плотность обратного тока через р-n пе¬
реход при условии второй задачи, если температура изменится от Ti=100
К до Т2=300 К. Начертите эту часть ВАХ.
-49-

Вариант 24
Задание 1
1.	Сила тока через полупроводник поддерживается постоянной. При тем¬
пературе ti=25° С падение напряжения на образце Uj~3Q В. С увеличени¬
ем температуры до *2=95* С падение напряжения изменилось и стало
U2= 12 В.
а)	Определить ширину запрещённой зоны;
б)	начертить трафик зависимости In а от 1/Т. Объяснить.
2.	Определить концентрацию собственных носителей заряда в материале
1-й задачи, используя результаты решения t=25° С, Nc =NV= 2,5 • 1019см'3.
Задание 2
р-n переход создан на основе германия с Мд = 1016см'3,
Np =101SCM3, Шд = 0,03эВ, AWa =0,04эВ, Т=310 К, AW = 0,72эВ,
£ = 16.
Определить:
а)	концентрацию основных и неосновных носителей заряда в р -
материале;
б)	определить контактную разность потенциалов в условиях равновесия;
в)	определить максимальную напряжённость в р-n переходе.
»	Вариант 25
Задание 1
Тонкая пластинка из Si шириной Ь=3 мм помещена перпендикулярно ли¬
ниям индукции однородного магнитного поля (В=0,5 Тл). При плотности
тока j = 2мкА мм2, направленной вдоль пластины, холловская разность
потенциалов равна Ux = 0,058 В. Определить:
а)	концентрацию носителей заряда;
б)	удельную электропроводность полупроводника, если напряжённость
электрического поля 100 В/м;
в)	как и во сколько раз измениться холловское напряжение, если магнит¬
ную индукцию В увеличить в 2 раза?
Задание 2
р-n переход изготовлен на основе Si. NA =1015см"3, Ыд = 1015см‘3,
ЛWA = 0,03 эВ, АЖД = 0,04 эВ ,Т=310К, AW = 1,1 эВ, Nc = Nv = 5 ‘ 1019см‘3.
1.	Определить концентрацию основных и неосновных носителей заряда в
п области р-n перехода.
2.	Определить прямой ток через образец (S=3 мм2) при U=0,1 В.
3.	Начертить вольтамперную характеристику при двух различных темпе¬
ратурах. Объяснить.

8,	Индивидуальное задание 4
(квантовые свойства света)
Вариант №1
1.	Оценить температуру поверхности Солнца, если известно, что расстояние от
Земли до Солнца 150 Мкм, радиус Солнца 0,69 М км и солнечная
постоянная 1,35 К Вт/м2.
2.	Температура абсолютно чёрного тела увеличилась в 2 раза, в результате чего
длина волны, на которую приходится максимум излучения, изменяется на
600 нм. Определить начальную и конечную температуры тела.
3.	Уединённый железный шарик облучается монохроматическим светом с
длиной волны 200 нм. До какого максимального потенциала зарядится
шарик, теряя фотоэлектроны? Работа выхода для железа 4,36 эВ.
4.	При взаимодействии свободного электрона с квантом света длиной волны
0,01 нм комптоновское смещение оказалось равным 0,0024 нм. Определить
угол рассеяния кванта; энергию рассеянного кванта; энергию, переданную
электрону.
Вариант №2
1.	В спектре излучения огненного шара радиусом 100 м, возникающего при
ядерном взрыве, максимум энергии излучения приходится на длину волны
289 нм. Определите температуру поверхности шара; энергию, излучаемую
поверхностью шара за время 1с; максимальное расстояние, на котором будут
воспламеняться деревянные предметы, если их поглощательная способность
равна 0,7. Теплота воспламенения сухого дерева 50 кДж/м2.
2.	Определить поглощательную способность серого тела, имеющего
температуру 1 кК, если его поверхность 0,1 м2 излучает за 1 мин. энергию
13,4	кДж.
3.	Плоскую цинковую пластинку освещают излучением со сплошным
спектром, коротковолновой границе которой соответствует длина волны 0,4
мкм. Вычислить, на какое максимальное расстояние от поверхности
пластинки может удалиться фотоэлектрон, если вне пластинки имеется
задерживающее однородное электрическое поле 10 В/см.
4.	Вычислить импульс электрона отдачи, если известно, что фотон,
первоначальная длина которого равна 0,05 А, рассеялся под углом 90°.
Вариант №3
1.	Исследование спектра излучения Солнца показывает, что максимум
испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм.
Расстояние между Землёй и Солнцем 150 Мкм, радиус Солнца 0,69 Мкм.
Определите мощность суммарного излучения Солнца; энергию,
поступающую на 1 м2 поверхности Земли.
2.	Волосок лампы накаливания, рассчитанный на напряжение 2 В, имеет
длину 10 см, диаметр 0, 03 мм. Определите температуру нити, длину волны,
на которую приходится максимум энергии в спектре излучения.
Удельное сопротивление материала нити 55 нОм* м.
-51-

Вследствие теплопроводности лампа рассеивает 8% потребляемой
мощности, удельное сопротивление материала волоска 55 НОм.м.
3.	Красная граница фотоэффекта рубидия равна 0, 81 мкм. Определить
скорость фотоэлектронов при облучении рубидия монохроматическим
светом с длиной волны 0, 4 мкм. Какую задерживающую разность
потенциалов надо приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототок?
На сколько нужно изменить задерживающую разность потенциалов при
уменьшении длины волны падающего света на 200 нм?
4.	Фотон рассеялся под углом 120° на покоившемся свободном электроне , в
результате чего электрон получил энергию 0,45 МэВ. Найти энергию
фотона до рассеяния.
Вариант №4
1.	Медный шарик диаметром 1,2 см поместили в откачанный сосуд,
температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному
нулю. Начальная температура шарика 300° К. Считая поверхность шарика
абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура
уменьшится в два раза.
2.	Определить предельную температуру нагревания электроутюга мощностью
600 Вт, если величина излучающей поверхности 300 см2 и поглощательная
способность 0,2. Температура окружающей среды 300° К. Определить
предельную температуру нагревания, если бы утюг был абсолютно чёрным
телом.	*
3.	Фотон с энергией 1 МэВ рассеялся на свободном покоящемся электроне.
Найти кинетическую энергию электрона отдачи, если в результате
рассеяния длина волны фотона изменилась на 25%.
4.	При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с
длинами волн 0, 35 мкм и 0, 54 мкм обнаружили, что соответствующие
максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в два
раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.
Вариант №5
1.	Металлический шар радиусом 1 см и теплоёмкостью 14 Дж/град. При
температуре 1200° К помещён в термостат, температура которого
поддерживается равной 0° по Кельвину. Коэффициент поглощения шара
равен 0,4. Через сколько времени температура шара уменьшится в два раза?
2.	Какую температуру должно иметь тело, чтобы оно при температуре
окружающей среды 290° К излучало в 100 раз больше энергии, чем
поглощало?
3.	Фотон с длиной волны 6,0 пм рассеялся под прямым углом на покоившемся
свободном электроне. Найти: частоту рассеянного фотона, кинетическую
энергию электрона отдачи.
4.	Фототок, возникающий в цепи вакуумного фотоэлемента, при освещении
цинкового электрода электромагнитным излучением с длиной волны 262
нм, прекращается, если подключить внешнее задерживающее напряжение
-52-

1,5 В. При каком задерживающем напряжении прекратится фототок, если
длину волны измерения увеличить в 1,5 раза?
Вариант №6
1.	При освещении катода светом с длинами волн сначала 440 нм, а затем 680
нм обнаружили, что запирающий потенциал изменился в три раза.
Определить работу выхода электрона.
2.	Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на
рассеивающее вещество. При этом длины волн излучения, рассеянного под
углами 60° и 120°, отличаются друг от друга в два раза. Найти длину волны
падающего излучения.
3.	Теплопроводящий шар по размеру равен объёму Земли. Радиус Земли 6,4
Мм. Удельная теплоёмкость шара 200 Дж/кг град., плотность 5500 кг/м3.
Начальная температура 300° К. Определить время, за которое шар остынет
на 0,001° К. Шар считать абсолютно чёрным.
4.	Какую мощность надо подводить к зачернённому металлическому шарику
радиусом 2 см, чтобы поддерживать его температуру на 20° К. выше
температуры окружающей среды? Температура окружающей среды 300° К.
Считать, что тепло теряется только вследствие излучения.
Вариант №7
1.	Температура абсолютно чёрного тела изменилась при нагревании от 1000 до
2000 К. Во сколько раз изменилась при этом его энергетическая светимость?
На сколько изменилась длина волны, на которую приходится максимум
излучательной способности? Во сколько раз изменилась его излучательная
способность?
2.	Металлический шар радиусом 1 см с теплоёмкостью 10 Дж/град имеет
температуру 1000° К. Шар помещён в среду, температура которой
поддерживается равной нулю градусов Кельвина. Поглощательная
способность шара 0,4. Через сколько времени температура шара уменьшится
в два раза?
3.	Энергия рентгеновских лучей 0,5 МэВ. Найти энергию электрона отдачи,
если длина волны рентгеновских лучей после комптоновского рассеяния
изменилась на 30%. Определить угол рассеяния.
4.	Фотоны с энергией 4,9 эВ вырывают электроны из металла, работа выхода
которого 4,5 эВ. Найти максимальный импульс, передаваемый поверхности
металла при вылете каждого электрона.
Вариант №8
1.	По пластинке длиной 3 см и шириной 1 см проходит электрический ток
напряжением 2 В. После установления теплового равновесия температура
пластинки стала равной 1000° К. Определить силу тока, если коэффициент
поглощения пластинки 0,8.
2.	Абсолютно чёрное тело нагрели до некоторой температуры. Если тело охлаждается на
1000 градусов, то изменение длины волны, на которую приходится максимум
излучательной способности, равно 1мкм. При охлаждении на 2500 градусов изменение
длины волны станет равным 8 мкм. Определить начальную температуру тела.
-53-

3.	Найти работу выхода, если известно, что электроны, вырываемые из металла
светом с длиной волны 0,35 мкм, полностью задерживаются разностью
потенциалов 0,66 В. Определить задерживающую разность потенциалов,
если металл облучается светом длиной волны 0,55 мкм. Во сколько раз
изменяется максимальная скорость фотоэлектронов в этих опытах?
4.	Фотон с энергией 0,15 МэВ рассеялся на покоившемся электроне, в
результате чего его длина волны изменилась на 3 пм, Найти угол, под
которым вылетел комптоновский электрон.
Вариант №9
1.	Температура "голубой" звезды 30000° К.
Определить:
а)Энергетическую	светимость или интегральную интенсивность излучения;
б)	длину волны, соответствующую максимуму излучательной способности;
в)	максимальную излучательную способность.
2.	Температура вольфрамовой спирали в 2 5-ваттной электрической лампочке
2500° К. Отношение её энергетической светимости к энергетической
светимости абсолютно чёрного тела при данной температуре равно 0,3.
Найти площадь излучаемой поверхности спирали.
3.	Длина волны света, соответствующая красной границе фотоэффекта, для
некоторого металла 275 нм. Найти работу выхода электрона из металла,
максимальную, скорость электронов, вырываемых из металла светом с
длиной волны 180 нм.
4.	Рентгеновские лучи, с длиной волны 20 пм испытывают комптоновское
рассеяние пол углом 90°. Найти изменение длины волны рентгеновских
лучей при рассеянии, энергию и импульс электронов отдачи.
Вариант №10
1.	Глаз в темноте обладает чувствительностью, воспринимая на длине волны
560 нм, световой сигнал, содержащий не менее 60 фотонов в секунду.
Определить интенсивность волны. Определить мощность источника, если он
расположен от глаза на расстоянии 10м. Диаметр зрачка в темноте 8 мм.
2.	На слой вещества, который находится в камере Вильсона, падают
рентгеновские лучи. Камера помещена в магнитное поле с индукцией 0,02
Тл. Комптоновские электроны отдачи образуют треки с радиусом кривизны
радиусом 2,4 см. Определить минимально возможную энергию
рентгеновских фотонов, при которой могут образовываться такие электроны
отдачи.
3.	Имеется два абсолютно чёрных источника теплового излучения.
Температура одного из них 2500° К. Найти температуру другого источника,
если длина волны, отвечающая максимуму его испускательной способности,
на АХ = 0,5 мкм больше длины волны, соответствующей максимуму
испускательной способности первого источника.
4.	Электромагнитное излучение с длиной волны 0,3 мкм падает на
фотоэлемент, находящийся в режиме насыщения. Спектральная

чувствительность фотоэлемента 4,8 мА/Вт. Найти выход фотоэлектронов,
т.е., число электронов на каждый падающий фотон.
Вариант №11
1.	Монохроматическая световая волна с длиной 0,6 мкм падает нормально на
зачернённую поверхность и оказывает на неё давление, равное 3 мн/м2.
Определите концентрацию фотонов в световом потоке.
2.	ГТри нагревании тела длина волны, на которую приходится максиммум
излучательной способности, изменилась от 1,2 до 1,5 мкм. На сколько
изменилась максимальная излучательная способность тела? На сколько
изменилась энергетическая светимость тела?
3.	По пластинке проходит электрический ток. Равновесная температура
пластинки 1400° К. Мощность электрического тока уменьшают в три раза.
Определить равновесную температуру в этом случае.
4.	Рентгеновские лучи с длиной волны 20 пм испытывают комптоновское
рассеяние. Найти изменение длины волны рентгеновских лучей при
рассеянии, энергию и импульс электронов отдачи. Угол рассеяния равен 60°.
Вариант №.12
1.	Какую долю энергии, ежесекундно получаемой от Солнца, излучал бы
зелёный шар, если бы температура поверхности равнялась 0°С и
коэффициент поглощения равнялся единице. Солнечная постоянная
энергии равна 1,4* 103 Дж/м2с.
2.	Температура тела увеличилась в два раза; в результате этого длина волны,
на которую приходится максимум излучательной способности, уменьшилась
на 0,2 мкм. Определить начальную и конечную температуру.
Поглощательная способность равна 0,5.
3.	При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с
длинами волн 0,4 мкм и 0,6 мкм обнаружили, что соответствующие
максимальные скорости фотоэлектронов отличаются в полтора раза. Найти
работу выхода электрона из металла и максимальные скорости электронов.
4.	В результате эффекта Комптона фотон при соударении со свободными
электронами рассеялся под углом 60°. Энергия рассеянного электрона равна
0,4 МэВ. Определить энергию фотона до рассеяния.
-55-

9. Приложения
9.1.	Общие рекомендации по оформлению индивидуаль¬
ных заданий
1.	Индивидуальные задания должны выполняться в от¬
дельных тетрадях или на отдельных листах (по требова¬
нию преподавателя).
2.	Условие задачи записывается полностью. Номер вариан¬
та выбирается под тем же номером, что и запись фами¬
лии студента в журнале группы.
3.	Затем необходимо сделать краткую запись условия, все
единицы измерений величин перевести в систему СИ.
4.	Сделать рисунок, иллюстрирующий решение задачи. Ри¬
сунок должен выполняться четко и аккуратно с помо¬
щью чертежных инструментов.
5.	Решение задачи обязательно должно сопровождаться
текстовым описанием. Следует обосновать выбор систе¬
мы отсчета, физических законов, упрощений. Без тек¬
стового пояснения индивидуальные задания не прини¬
маются.
6.	Исходя из основных законов, описывающих данную за¬
дачу, или определений физических величин, вывести
конечную формулу в общем виде.
7.	Проверить конечный результат по размерности.
8.	Подставить числовые данные, рассчитать, продумать ре¬
альность результата. Лучше избегать промежуточных
вычислений.
9.	В некоторых заданиях к наиболее трудным задачам даны
ответы (в скобках). Использовать готовые формулы для
вычисления нельзя. Расчетные формулы должны быть
последовательно выведены и обоснованы.
9.2. Полупроводники (теория)
Само название «полупроводник» произошло от различия элек¬
тропроводности полупроводников от электропроводности металлов
и диэлектриков.
Действительно, <тдгол < сг^п < °мет • этот признак не является
решающим в классификации.
Основными свойствами, отличающими полупроводники от
других твердых тел, являются следующие:

1.	Характер и величина зависимости электропроводности от
температуры. Проводимость полупроводников возрастает с увели¬
чением температуры по экспоненциальному закону
<т = сг0exp	(A(j	=	5-i-70	на	1°	Кельвин).	У	металлов	увеличе¬
ние температуры приводит к уменьшению проводимости.
2.	Сильное влияние примеси на проводимость. Что значит
сильнее? Концентрация примеси 10~7, 10~9% уже существенно уве¬
личивает проводимость. У металлов же введение примеси уменьша¬
ет проводимость. Почему?
3.	Высокая чувствительность электрических свойств полу¬
проводников ко всякого рода внешним воздействиям (механическая
деформация, облучение светом, рентгеновскими лучами или быст¬
рыми частицами и др.).
В электронике находят применение ограниченное число полу¬
проводников. Это германий, кремний, арсенид галия, антимонид ин¬
дия и др.
9.2.1.	Кристаллическая структура полупроводников и
1.	Применяемые в технике полупроводники имеют весьма со¬
вершенную кристаллическую структуру - атомы размещены в про¬
странстве на постоянных расстояниях, образуя кристаллическую
решетку. Такие полупроводники, как германий и кремний имеют
структуру типа алмаза, в которой каждый атом окружен такими же
атомами, находящимися в вершинах правильного тетраэдра. Плот¬
ность размещения атомов для германия 4,45- 1022 1/см , для кремния
Каждый атом в кристаллической решетке Ge или Si электри¬
чески нейтрален и связан ковалентными (парно-электронными) свя¬
зями с четырьмя равно-отстоящими от него соседними атомами. В
полупроводниках типа А111 Ву ионно-ковалентная связь. Валентные
электроны распределяются между соседними атомами, В результате
каждый атом окружен стабильной группой из восьми электронов
связи.
2.	Если не нужно выделять кристаллографического направле¬
ния, такую решетку изображают на плоскости (рисунок 10).
зонная теория
-	5* 1022см'3.
-57-

Рисунок 10 Кристаллическая решетка Si, изображенная на плоско¬
сти
Это идеальная решетка. При 71О К все узлы заняты, все связи запол¬
нены. Свободных носителей заряда нет,
3.	С точки зрения зонной теории твердого тела, такой кристалл
изображается энергетической диаграммой, представленной на ри¬
сунке 11.
т
Рисунок 11 - Энергетическая
диаграмма полупроводника
Рисунок 12 — Зависимость функции
распределения электронов f(W) от
энергии W при Т7—О К
Заполнение энергетических уровней электронами подчиняется
статистике Ферми-Дирака, в основе которой лежат следующие по¬
ложения:
1)	все электроны тождественны;
2)	выполняется принцип Паули;

3)	функция распределения f{W), т. е, вероятность запол¬
нения уровня с энергией W имеет следующий вид:
^W^ Jw-IVF') ~	*	(55)
где WF - энергия Ферми, смысл-уровень энергии, вероятность за¬
полнения которого равна 1/2 при Т > ОК.
По определению функция распределения есть отношение чис¬
ла частиц с энергией в интервале от W до W+dW к числу возможных
состояний в этом же интервале энергий N(W), т. е.
, , n{w)dw
П ’ N{w)dw	(56)
При n{w)« N(JV) (обычный случай для полупроводников, исполь¬
зуемых для приборов) единицей в знаменателе функции распределе¬
ния Ферми-Дирака можно пренебречь, и функция принимает вид
W-Wp
f(W )=е кТ" .
Зная функцию распределения и N(W) можно определить число час¬
тиц с определенной энергией :
W-WF
n{w)=N{w)-e *т ,	(57)
где к - постоянная Больцмана.
При Г=ОК(рисунок 12) валентная зона полностью заполнена f(W)—1
(это электроны, участвующие в ковалентных связях); зона проводи¬
мости пустая f(W)=0 (свободных носителей заряда нет), AW- шири¬
на запрещенной зоны. Уровень Ферми WF расположен строго
посередине запрещенной зоны.
9.2.2.	Проводимость полупроводников
Проводимость полупроводников определяется двумя типами
носителей заряда, их концентрацией, которая зависит от примесей и
температуры.
Собственная проводимость
Собственная проводимость полупроводников с точки зрения
кристаллической структуры.
Полупроводник, в узлах кристаллической решетки которого
расположены только собственные атомы, называется собственным.
-59-

W1
Рисунок 136 ~
С точки зрения
зонной теории
симость f(W) от W
при 7>0
Рисунок 13а - Генерация
пар зарядов с точки зрения
кристаллической структу¬
ры
Рисунок 13 - Схема образования электрона и дырки (термогенера¬
ция).
а)	Т = О К - случай рассмотрен выше. Если приложить электри¬
ческое поле, то тока не появится, т. к. нет свободных носителей за¬
ряда.
б)	Т > О К- при тепловых колебаниях атомов в решетке кристалла
могут быть разорваны некоторые ковалентные связи , в результате
чего в междоузельном пространстве появляются свободные элек¬
троны (рисунок 13а), а покинутое электроном место имеет избыточ¬
ный положительный заряд, называемый дыркой. Дырка может быть
занята электроном из соседней связи, при этом пустое место-дырка
переместится в эту соседнюю связь и т. д. Следовательно, переме¬
щение дырки по кристаллу можно рассматривать, как движение по¬
ложительного заряда. Свободный электрон и дырка будут переме¬
щаться по кристаллу хаотически в отсутствии электрического поля и
направленно при наличии поля, создавая электронную и дырочную
составляющие электрического тока. Процесс возникновения элек¬
тронно-дырочных пар называется генерацией. На образование од¬
ной пары расходуется энергия, необходимая для разрыва ковалент¬
ной связи (Ge-0,72 В, 5/-1,1 эВ, GaAs-1,41 эВ ).
Концентрация собственных электронов определяется температурой:
•ехР|"Т^1	(58)
и, = л/ад
( *	•	V/2
К -т )
2 кТ
N=2,
3/2
.р!	■kT/2xh2
где Nc - эффективная плотность состояний в зоне проводимости,
Nv - эффективная плотность состояний в валентной зоне.
(59)
-60-

После подстановки численных значений физических констант к, ft,
я и введения относительных выражений для эффективных масс тп
Nv - рассчитывается аналогично, и в инженерных расчетах
Г = 300 К, то N = 2,5-1019см‘3.
Аналогично рассчитывается концентрация собственных дырок при
При встрече электрона с дыркой происходит рекомбинация.
Скорость рекомбинации, т. е. количество исчезающих в еди¬
ницу времени электронно-дырочных пар равна:
где г - коэффициент рекомбинации.
Процессы термогенерации и рекомбинации электронов и дырок идут
одновременно.
Это условие определяет равновесную концентрацию носителей за¬
ряда п{ - Pj в собственном полупроводнике при заданной темпера¬
туре.
Разрыв ковалентной связи и образование пары электрон-
дырка описывается, как переход электрона из валентной зоны в зону
проводимости, на что тратится энергия,равная ширине запрещенной
зоны (рисунок 136). Свободный электрон может двигаться в зоне
проводимости (энергетический интервал между уровнями в которой
очень мал «10~22 эВ), свободная дырка может двигаться только в
валентной зоне, ее энергия на энергетической диаграмме возрастает
вниз. Функция распределения Ферми меняет вид (рисунок 13в): за¬
штрихованные «хвосты»одинаковые по величине и в зоне проводи¬
мости, и в валентной зоне показывают, что вероятность образования
электрона и дырки одинаковы. Рекомбинация электрона и дырки со¬
рт т* и температуры 7\ получится следующая формула для вычис¬
ления Nc:
	3/2
NV&NC. Если ml = т*р = т0 (т0 - масса покоя электрона) и
Г = 293 К и AW = 0,72 эВ (Ge), и,. = 2,5 • 1013 ]/см3. А в кремнии при
этой же температуре и, = 1,4 • Ю!0 l/см3. Т. к. а « п, то
(60)
При установившемся равновесии vreH = vpeK = гщ .
(61)
-61-

ответствует переходу электрона из зоны проводимости на свобод¬
ный уровень валентной зоны.
Примесная проводимость полупроводников
1.	Донорная проводимость
Донорная проводимость возникает в полупроводниках, кото¬
рые легированы примесью с валентностью, большей валентности
собственных атомов. Например, в Si (валентность IV) вводятся
атомы As или Sb (валентность V).
а)
решетки
Донорная проводимость с точки зрения кристаллической
Т1РГ
Рисунок 14а-Образование Рисунок 146 - С
свободных носителей за- точки зрения
ряда с точки зрения кри- зонной теории
сталлической решетки
Рисунок 14в - Зави¬
симость fiw) от W
для донорного полу¬
проводника
Рисунок 14 - Схема появления свободных электронов за счет доно-
ров.
Пятый электрон атома As не участвует в создании ковалент¬
ных связей и оказывается наиболее слабо связанным. Он легко от¬
рывается за счет энергии теплового движения, становится свобод¬
ным и способен создавать электронный ток при наличии электриче¬
ского поля. Этот процесс аналогичен ионизации атома в газе. При
таком образовании свободного электрона не наблюдается разрыв ко¬
валентных связей и образование дырки. Атом примеси становится
положительным ионом, но он по-прежнему прочно «сидит» в узле
решетки (рисунок 14а). Такие примеси называют донорными, а по¬
лупроводник донорным, электронным или п-типа. Как правило, при
комнатной температуре все доноры ионизированы и nD = ND (N D -
концентрация доноров, обычно 1011 ч~1019см~3 для Si), Кроме того,
происходит и процесс генерации пар электрон-дырка, но в таком
-62-

полупроводнике электронов значительно больше, чем дырок:
Пп ” Nd + Щ > а Рп ~ Pi • Электроны в таком полупроводнике назы¬
ваются основными носителями заряда, дырки неосновными. При
этом не нарушается электрическая нейтральность полупроводника.
б)	С точки зрения зонной теории положение пятого элек¬
трона атома примеси на энергетической диаграмме изображают по¬
мещенным на примесном (донорном) уровне, расположенным в
верхней половине запрещенной зоны, вблизи зоны проводимости.я
AWd соответствует энергии необходимой для отрыва электрона от
атома (например для As в Si A WD = 0,05 эВ). Этому процессу соот¬
ветствует переход электрона с донорного уровня в зону проводимо¬
сти. Концентрация свободных электронов за счет донорной примеси
и ее зависимость от температуры оценивается следующим выраже¬
нием:
/ AWd\
(62)
Вероятность появления электрона в зоне проводимости в донорном
полупроводнике значительно больше вероятности образования дыр¬
ки в валентной зоне, что отражается графиком распределения Фер¬
ми. Уровень Ферми в донорных полупроводниках лежит в верхней
половине запрещенной зоны (рисунок 146, 14в). По-прежнему воз¬
можны процессы рекомбинации, но при каждой температуре уста¬
навливается равновесие.
Концентрация электронов в зоне проводимости определяется
выражением:
n„=ND+nr	(63)
Если обозначить концентрацию дырок в донорном полупроводнике,
то справедливо соотношение п„рп = ni . Отсюда можно определить
концентрацию дырок в донорном полупроводнике
(64)
Рп=	•
п„
2.	Акцепторная проводимость
Акцепторная проводимость наблюдается в полупроводниках,
легированных примесью, с валентностью меньше валентности ос¬
новного атома. Например, Al, Ga, В в Si.
а) Акцепторная проводимость с точки зрения кристалличе¬
ской решетки. Одна связь около атома В оказывается незаполнен¬
ной. При Г = 0 электрон соседних атомов может перейти, заполнив
эту связь (рисунок 15а).
Рисунок 15:Схема образования дырки за счет акцепторной примеси.
В результате атом В становится отрицательным ионом, «сидящим»
-63-

в узле решетки, а около атома кремния, от которого «ушел» элек¬
трон образовалась дырка. Свободные электроны при этом не обра¬
зуются. Энергия образования дырки мала (например, для В в Si
AWA = 0,045 эВ; для В в Ge AWa = 0,0104 эВ).
Примесь, благодаря которой появляются дырки, называется
акцепторной, а полупроводник акцепторным, дырочным или р-
типа.
Wef	Щ
1Г1ГТ
Рисунок 15а - Образова-	Рисунок	156 -	С	Рисунок 15в - Зави-
ние свободных носителей	точки	зрения	симость f(w) от W
заряда с точки зрения	зонной теории	для акцепторного по-
кристаллической решетки	лупроводника
Одновременно проходит термогенерация электронно-дырочных пар,
но дырок больше [рр = NA + рг ) и они являются основными носите¬
лями, а электроны неосновными.
б) С точки зрения зонной теории положение свободного
места, на котором может быть захвачен электрон изображается ак¬
цепторным уровнем, расположенным в нижней половине запрещен¬
ной зоны (рисунок 156). Расстояние между уровнем акцептора и по¬
толком валентной зоны соответствует энергии образования дырки, т.
е. электрон переходит из валентной зоны на примесный уровень.
Концентрация дырок, появившихся за счет акцепторных примесей
оценивается выражением:
Ра =na *ехР
A WA
2кТ )’	(65)
где Na~ концентрация акцепторов. В таких полупроводниках веро¬
ятность появления дырки в валентной зоне больше, чем вероятность
появления электрона в зоне проводимости. Это отражено графиком
функции Ферми и положением уровня Ферми (рисунок 15в).
Как правило, в реальных полупроводниках есть и донорные
акцепторные примеси. Они компенсируют друг друга, и тип полу¬
-64-

проводника определяется разностью концентраций примеси. Напри¬
мер, если NА > ND, то полупроводник р -типа и концентрация ды¬
рок определяется разностью (Na - ND). И наоборот.
9.2,3.	Ток в полупроводниках
Дрейфовый ток
Когда отсутствует внешнее поле, электроны и дырки находятся в
хаотическом движении. При наличии электрического поля на хаоти¬
ческое движение накладывается компонента направленного движе¬
ния, т. е. дырки направленно движутся вдоль электрического поля,
электроны против, создавая ток одного направления (рисунок 16).
->
. Л
Щ	 Е
<	/
Рисунок 16 - Схема движения электронов и дырок под действием
внешнего поля
Ток обусловленный внешним полем напряженностью Е называют
дрейфовым. Электронная jn и дырочная jp составляющие плотно¬
сти дрейфового тока равны следующим выражениям:
-> -> ->
Л др. = еп\=епМ„Е^
Лдр = -*Рур=ер1ЛрЕ ,
где е - заряд электрона, р и п - концентрация дырок и электронов:
Лр. =	+рцр)Е = аЕ,	(66)
т. е. это выражение закона Ома в дифференциальной форме, где
и ju подвижности электронов и дырок, т. е. скорости электронов vn
и дырок \'р, возникающие при напряженности поля Е равном еди¬
нице:
__Vn .	_ ^ р
£	(67)
Например, при Т = 300 К
ju„ =3900cm2/Bc, ju =1900см2/Вс в Ge
-65-

jUf1 =1350cm2/Bc, \ip =500cm2/Bc в Si
Диффузионный ток
Электрический ток, обусловленный градиентом концентрации
носителей,называют диффузионным током.
В одномерном случае плотность диффузионного тока электро¬
нов и дырок равна следующим выражениям:
- п —
Лдиф' 6 " dx -	(68)
п ф
7ряиф.	е Р dx 7	(69)
где dn/dx и dp/dx - градиент концентрации электронов и дырок, Dn
и Dp - коэффициенты диффузии электронов и дырок, численно рав¬
ные количеству электронов (или дырок), проходящему через едини¬
цу площади в единицу времени при градиенте концентрации носи¬
телей равном единице.
Движение носителей заряда происходит в сторону убывания
их концентрации (знак минус у дырочной составляющей). Элек¬
тронная составляющая тока имеет знак (+), т. к. за направление тока
принято направление положительного заряда. В общем случае в по¬
лупроводниках может быть и электрическое поле и градиент кон¬
центрации носителей. Полная плотность тока при этом равна:
гг , dn
Jn - епИ„ Е + eD —
dx
-	электронная составляющая тока;
jp=eP[xpE-eDp&
-	дырочная составляющая.
9.2.4. Экспериментальные методы исследования полупро¬
водников
Основными характеристиками полупроводниковых материа¬
лов являются тип проводимости, концентрация основных носителей
заряда, ширина запрещенной зоны, подвижность носителей заряда,
положение примесных уровней в запрещенной зоне.
1)	Ширина запрещенной зоны и положение примесных
уровней, как правило, определяют по экспериментальной зависимо¬
сти проводимости и от температуры Т.
-66-

1)	Ширина запрещенной зоны и положение примесных
уровней, как правило, определяют по экспериментальной зависимо¬
сти проводимости а от температуры Т.
Так как а ~ п, то проводимость полупроводника может быть
записана в виде суммы двух членов:
( AW)	( ЛЩ
а = а0 • ехр - 		 + Gj • ехр
2 кТ
2 кТ
?
(70)
In <т = In а г
AW\
2 кТ!
-	определяет собственную проводимость.
( Awx\
In а = In	определяет	примесную	проводимость.
Графически эта зависимость представлена на рисунке 17.
рабочая область
приборов
Рисунок 17 - Экспериментальная зависимость проводимости полу¬
проводника от температуры
tga =
AW
2 к '
AW,
2 к
Отсюда можно определить положение примесного уровня A Wl и
ширину запрещенной зоны A W.
Если полупроводник с несколькими примесями, то на графике
должно появиться несколько «ступенек».
„67-

Рабочая область для приборов (плато на графике рисунка 17) огра¬
ничена температурами Гтах и Гт1п, которые вычисляются по форму¬
лам:
т
min k-ln{Ne(T)/BND)	(71)
г	Ш
““ 2-k-ln(Nc(T)/mDy	О72)
При вычислении значений Гтах и ТтЬ следует вначале взять значе¬
ние Nc = 2,5 • 1019см'3 (при 300 К), а затем вычислить Nc при Гтах и
^тт по Формуле:
кс = (T’min/300)3/2 • 2,5 • 1019см~3	(73)
2)	Для определения типа проводимости полупроводников и
концентрации свободных носителей заряда в них используется эф¬
фект Холла, суть которого заключена в следующем: если полупро¬
водник с током поместить в магнитное поле с индукцией В, направ¬
ленной перпендикулярно току j, то между верхней и нижней гра¬
нью образца появляется разность потенциалов (рисунок 18), назы¬
ваемая Холловской Э.Д.С. Опыт показал, что величина
Uх = R - В • j'd, где R ~ константа, зависящая от типа полупровод¬
ника. Эффект Холла объясняется электронной теорией и является
следствием существования силы Лоренца. Упрощенно можно ска¬
зать так, что на каждый основной носитель заряда (электрон или
дырку), движущийся со скоростью v в магнитном поле В, действует
сила Лоренца, перемещая его к одной из граней образца.
ь ^	1	|5L
Рисунок 18 - Схема, поясняющая возникновение Холловской Э.Д.С.
Перемещение зарядов будет происходить до тех пор, пока сила дей¬
ствующая со стороны возникшего внутри кристалла электрического
поля напряженностью Е, не сравняется с величиной силы Лоренца,
т. е.:
evB = еЕ, Е =
Uv
j^evn
-68-

v -	,	Ux -	-d • j' В.
en	ne	v
Это выражение совпадает с выражением £/х, полученным из опыта.
Постоянная Холла равна Rx = \/пе. Эта зависимость изменя¬
ется в квантовом эффекте Холла, По результатам эксперимента
можно определить следующее:
1)	по знаку Uх тип проводимости полупроводника,
2)	по значению Rx определить концентрацию носителей заря¬
да в полупроводнике
3)	используя значение проводимости а и концентрации ос¬
новных носителей заряда п можно вычислить их подвиж¬
ность:
а = еп/лп,	//„=	—.
еп
Электронно-дырочный переход (р- п-переход)
1.	При контакте двух полупроводников пир -типа про¬
водимости концентрация электронов и дырок по обе стороны от гра¬
ницы значительно различаются. Диффундируя во встречных направ¬
лениях через пограничный слой, дырки и электроны рекомбиниру¬
ют. Поэтому область контакта оказывается сильно обедненной сво¬
бодными носителями заряда и приобретает большое сопротивление.
Кроме того, на границе оказывается двойной электрический слой,
образованный отрицательными ионами акцепторной примеси и по¬
ложительными ионами донорной примеси (на рисунке ионы приме¬
сей изображены кружками). Р - п - слой обеднен носителями заря¬
дов из-за их взаимной компенсации. Этот слой создает электриче-
->
ское поле Е0, противодействующее дальнейшему переходу через
слой основных носителей.
Возникшая контактная разность потенциалов равна:
кТ. Рр
<Р = — In—,	(75)
е Рп	К J
где р - концентрация дырок в материале р -типа, р„- концентра¬
ция дырок в материале w-типа, к - постоянная Больцмана, Г - абсо-
лютная температура, е - заряд электрона.
-69-

В)
Г)
Рисунок 19 - р ~ я-переход в равновесии
а - схематическое изображение р - и-перехода;
б - распределение концентрации свободных носителей заряда вдоль
оси X;
в - распределение потенциала вдоль оси X;
г - энергетическая диаграмма.
При Т = 300 К и Nd = Na = 1016см“3, <рк = 0,36 В. Ширина образо-
вавшегося р- «-перехода равна:
NА и Nd - концентрация акцепторов и доноров соответственно,
д* = 0,4 мкм для предыдущего случая, Поле в р- п -переходе неод¬
нородное. График распределения напряженности вдоль р-п-
перехода представлен на рисунке 19в пунктиром, максимальная на¬
пряженность рассчитывается по формуле:
(76)

где /±хп и Ахр - ширина положительной и отрицательной части
р — « перехода. При NA=ND - переход симметричный и
Дх„ =Ахр=Ах/2.
Для рассматриваемого выше численного примера:
Равновесие достигается при такой высоте потенциального барьера
е<ркъ при которой значение энергии Ферми WF будет одинаково для
всех областей (рисунок 19г). На рисунках изображены р-п-
переход, распределение концентрации свободных носителей заряда
(рисунок 196) по областям, распределение потенциала (рисунок 19в)
и энергетическая диаграмма р - п -перехода в равновесии (рисунок
19г). Собственное поле р - «-перехода препятствует диффузии че¬
рез переход основных носителей (дырок из р -области, электронов
из п - области) и ускоряет неосновные. В равновесии диффузионный
ток основных носителей jmф равен дрейфовому току неосновных/^.
Полный ток j = Удиф ~jQ =0.
2.	Если приложить к р - «-переходу внешнее электриче-
ское поле (U) направление напряженности которого Е в области
->
контакта противоположно собственному полю Е0 (Ерез = Е0 - Е)
(рисунок 20), то электроны от источника, поступая в «-область
уменьшают объемный заряд. Ширина р -п -перехода становится
меньше:
Меньше становится и скачок потенциала ср = <рк ~U, т. е. барьер для
основных носителей заряда уменьшится и через переход идет диф¬
фузионный ток, плотность которого возрастает с увеличением при¬
ложенного напряжения по экспоненциальному закону:
Я,
'max
3 • 105В/м.
(78)
(79)
Дрейфовый ток определяется . числом неосновных носителей
j . Плотность полного тока через р~ «-переход называемого в
этом случае прямым, равна:

J p-n	Jдиф Jo Jo 6Xp	1 .
(80)
Следовательно при прямом включении через /?-«-переход вводится
(инжектируется) дополнительная концентрация неосновных носите¬
лей заряда (дырок в «-область и электронов в /т-область). Распреде¬
ление концентрации свободных носителей при прямом включении
представлена сплошной кривой на рисунке 206. По мере удаления от
р -« -перехода концентрация инжектированных неосновных носи¬
телей заряда убывает за счет рекомбинации до равновесной. Не¬
большое возрастание концентрации основных носителей заряда око¬
ло р — «—перехода наблюдается только при больших уровнях ин-
жекции за счет «притягивания» основных носителей инжектирован¬
ными неосновными. Инжекция является одним из важных способов
введения неравновесной концентрации зарядов.
3. Если внешнее поле совпадает по направлению с
собственным полем р- «-перехода, то Ерез=Е0+Е, контактная
разность потенциалов возрастает <p = <pk+U, область станет шире:
Поле ^-«-перехода становится «более ускоряющим» для неоснов¬
ных носителей и удаляет часть этих носителей из объема вблизи
р - «-перехода. Этот процесс называется экстракцией. В результате
экстракции неосновных носителей заряда электрическим полем (на-
рисунке 21 представлено распределение свободных носителей заря¬
да), концентрация неосновных носителей вблизи /?-«-перехода
уменьшается. Энергетический барьер для диффузии основных носи¬
телей заряда увеличится и диффузионный ток быстро уменьшится
до нуля. Полный ток при этом определится дрейфовым током неос¬
новных носителей заряда. Этот ток очень мал и называется обрат¬
ным током. Следовательно, /^-«-переход обладает способностью
проводить ток в одном направлении значительно больше, чем в дру¬
гом. Зависимость плотности тока через идеальный р~п~переход от
внешнего напряжения представлена на рисунке 22 и определяется
следующей формулой:
где j0 - плотность обратного тока при достаточно большом напря¬
жении.
(81)
(82)
-72-

где /0 - плотность обратного тока при достаточно большом напря¬
жении.
Рисунок 20 - р~ «-переход при прямом включении
а - схематическое изображение р - «-перехода;
б - распределение свободных носителей;
в - распределение потенциала;
г - энергетическая диаграмма.
Для расчета прямого тока U подставляется со знаком (+), а для об¬
ратного со знаком (-). Значение j0 (плотность тока насыщения), соз¬
данного неосновными электронами и дырками может быть вычисле¬
на по формулам:
-73-

где т„, тр - среднее время жизни электрона и дырки .соответственно
Dn, Dp - коэффициенты диффузии, вычисленные по формулам
Эйнштейна:
цп и pi - подвижности электронов и дырок соответственно.
Суммарная плотность тока jo через р-п- переход равна:
На рисунке 22 отражено влияние температуры на зависимость j от U
на примере германия. При увеличении температуры р - «-перехода
возрастает термогенерация электронно-дырочных пар, что значи¬
тельно сказывается на величине обратного тока, определяемого ма¬
лым количеством неосновных носителей (пунктирная кривая рисун¬
ка 22). На рисунке 23 показаны в сравнении зависимости j от U для
идеального р - «-перехода (сплошная кривая) и реального. Отличие
в прямой ветви характеристики объясняется падением напряжения
на «объеме» полупроводников « и р-типа, в обратной ветви - то¬
ком утечки по поверхности и наступающим при определенном
пробое (электрическом, тепловом).
Dn —	-	•	pin,
(84)
е
(85)
%

б
г
Рисунок 21 - р “ «-переход при обратном включении
а - схематическое изображение р-п -перехода;
б - распределение потенциала вдоль оси X;
в - энергетическая диаграмма;
г - распределение концентрации свободных носителей заряда.
Рисунок 22 - Зависимость тока через р - «-переход от напряжения
при разных температурах (обратный ток дан в увеличенном в 106 раз
масштабе)
-75-

Рисунок 23 - Зависимость тока через р ~ «-переход от напряжения
1	- идеальный р - «-переход;
2	- реальный р - «-переход.
4. Так как в области р - «-перехода имеются подвижные и
неподвижные заряды и возникает разность потенциалов, то р-п-
переход характеризуется определенной емкостью:
1)	барьерная емкость обусловлена неподвижными заряда¬
ми ионизированных примесей. Двойной слой разноименных элек¬
трических зарядов подобен плоскому конденсатору и его емкость:
П — ^ион —
<Рк	’	С86)
в отсутствие электрического поля. Внешнее поле изменяет барьер¬
ную емкость по следующему закону:
с° ~ C<r° ]j<pk -и ’
Зависимость Са от U представлена на рисунке 24 сплошной кри¬
вой;
2)	при прямом включении р- «-перехода возникает диф¬
фузионная емкость, обусловленная накоплением неосновных носи¬
телей в р и п областях структуры после диффузии (инжекции) не¬
основных носителей через р - «-переход.
Эта компонента емкости шунтируется низким прямым сопротивле¬
нием р - «-перехода и зависит от приложенного напряжения (пунк¬
тирная кривая рисунка 24). Полная емкость £>-«-перехода равна
сумме барьерной и диффузионной емкостей Ср_„ = Сдиф + Сбар. Это
-76-

свойство р~ «-перехода позволяет использовать его как перемен¬
ную емкость (зависящую от внешнего напряжения). Эти приборы
называют варикапами.
С 4
■'бар
/
прям
Рисунок 24 - Зависимость барьерной и диффузионной емкостей
р - п -перехода от приложенного напряжения
Именно р- «-переход является основным элементом в полу¬
проводниковой электронике (в том числе и микроэлектронике). На
его основе созданы различные типы полупроводниковых диодов,
транзисторов, тиристоров, стабилитронов и др.
9.3.	Универсальные физические постоянные
Электрический заряд электрона, квант заряда е = 1,6 • 10-19 Кл
Удельный заряд электрона = 1,76 • 1011 Кл/кг
т0е
Масса покоя электрона т0е = 9,1 • 10~31 кг
Масса покоя протона т0 = 1,673 • 10'27 кг
Масса покоя нейтрона т0п = 1,675 • 10~27 кг
Скорость света в вакууме с = 3 • 108 м
Магнетон Бора //б = eti/lm0е = 9,27 • 10'24 А м2
Магнетонядерный /ля -еЬ/2т^р =5*10~27А*м2
Постоянная Планка h = 6,63 • 1 (Г34 Дж • с = 4,14 • 10-15 эВ • с
Ь = fijln = 1,05 • 10"34 Дж • с = 0,659 • 10~14 эВ • с
-77-

Постоянная Авогадро	= 6,02 • 1023моль-1
Постоянная Больцмана	к = 1,38 • 10”23 Дж/К
Постоянная Стефана-Больцмана <т = 5,67 • 10~8 Вт/(м2 • К4)
Постоянные Ридберга = 2,07 Л01вс~1
R(\/a) = 1Д0-107м-1
Боровский радиус г0 = 5,29-Ю"11 м
Комптоновская длина волны электрона Яс = 2,43 • 10-12 м
Энергия ионизации атома водорода WK = 13,6эВ = 2Д81018 Дж
Энергия покоя электрона Woe = тое •с2 =0,51 МэВ
Энергия покоя протона Wop = 938,26 МэВ
Энергия покоя нейтрона Won = 939,55 МэВ
Электрическая постоянная е0 = 8,85 -10~12 Ф/м
Магнитная постоянная ju0 = 4/г 10~7 Гн/м
9.4 Приставки и множители
для образования кратных и
дольных единиц
9.5 соотношение между
некоторыми несистем¬
ными единицами и едини¬
цами СИ
Наименование
(обозначение)
Множитель
Наименование
Множитель
Гита (Г)
ю9
Длина
/^(ангстрем)
= Ю~10м
Мега (М)
106
Кило (К)
103
Масса
1а.е.м.= 1,66 -1(Г27
КГ
Деци (д)
10'1
Энергия, ра¬
бота
1эВ= 1,6-10“19 Дж
Санти (с)
10~2
Количество
теплоты
1 кал = 4,19 Дж
Милли (м)
1(Г3
Давление
1 атм = 760
ммрт.ст. = 101,3
кПа
Микро (мк)
1(Г6
Нано(н)
ю-9
Пико (п)
ю-12
Время
1 год “ 3,11 -107 с
Фемто (ф)
10-15
-78-

9.6. Вычисление некоторых интегралов.
Постоянные интегрирования в таблице опущены.
[*— = In X
J X
Jsinx^x = -cosx
jcos xdx = sin x
jtgxdx = - ln|cos;
Jt'/gjr/x = ln|sin jc|
:nexdx = и!
^xe~axdx =
v TC
2a3/2
“г x<ix _ 7Г2
'X 3 j	4
rx dx к
Kx
0 6
-1	15
^.1,18
««'-1
j*X2£ °Л С/х -
У/г
4а
,3/2
-ctgx
г <ix
ter®*
Jsm x
JeVx =
Г dx
J-		 = arctSx
J
1 + x"
dx
- arcsin x
Vl - x2
\--Д= = ln(x + л/х2 “ 1 )
Vx2 -1	'
J* V“<fe :
]e~*2dx:
7Г
2~~
rx dx
0V-1
1 ,r3<&
= 2,405
f
= 0,225
jxe-ay2dx = -
0 ^
Г 4 -ox'1' i Зл/^Г
-79-

Литература
1.	И. В. Савельев. Курс общей физики, том 3, М.: Наука, 1979,
с 304.
2.	Б. М. Яворский, А. А. Деглаф. Курс общей физики, том 3, М.:
Высшая школа, 1967, с 553.
3.	Р, Фейман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Феймановские лекции по фи¬
зике (квантовая механика) М.: Мир, 1967, с 259.
4.	Дж. Орир. Физика. Том 2, М.: Мир, 1981, с 622.
5.	И. Е. Иродов. Задачи по общей физике. М.: Наука, 1979, с 367.
6.	В. А. Батушев. Электронные приборы. М.: Высшая школа,
1979, с 355.
7.	Л. А. Сена. Единицы физических величин и их размерности.
М.: Наука, 1977, с 335.
Татьяна Александровна Лисейкина
Татьяна Юрьевна Пинегина
Виктор Михайлович Татарников
Анатолий Павлович Шерстяков
Валентина Васильевна Хайновская
СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ
ЗАДАНИЙ ПО КУРСУ ФИЗИКИ
ЧАСТЬ 3
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Редактор: В. В. Хайновская
Корректор: Д. С. Шкитина
Лицензия ЛР-020475, январь 1998 г, подписано в печать 02.08.99
формат бумаги 62x84 1/16, отпечатано на ризографе, шрифт №10,
изд. л. 5,6, заказ № 170, тираж - 500. СибГУТИ
630102, Новосибирск, ул. Кирова, 86.