Автор: Неструев Джет  

Теги: математика  

ISBN: 5-900916-57-X

Год: 2003

Текст
                    Гладкие
многообразия
и наблюдаемые


Ж 22.182 Н56 УДК 515.2 Джет Неструев Н56 Гладкие мюгообразия и шблюдаемые. М.: МЦНМО, 2000-2003, —317 с. ISSBN 5-900916-57-Х Первое русское издаше этой кшги вышло в издательстве МЦНМО в 2000 году. При подготовке издашя ш английском языке (Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 220, 2002) было добавлею зшчительюе количество упраяое- шй и исправлена все выявленые опечатки. Все эти измегешя учтен>1 при подготовке шстоящеи электроной версии. © М. М. Виюградов, 2000, 2003
Предисловие Пределы моего языка суть пределы моего мира. Ддвиг Витгенптейн Старое доброе дифферещиальюе исчислеше является ш самом деле частным случаем гораздо более общей конструк- конструкции, которую можю шзвать дифферещиалыым исчислентем тд коммутатив1ыми алгебрами, или просто дифферещиаль- 1ым исчислентем. Оказывается, что ою во всём своем объёме есть просто следствие арифметических операций. Этот факт, замечательный сам по себе, имеет весьма важные приложения, простирающиеся от деликатных вопросов алгебраической геоме- геометрии до теории элементарных частиц. Осювтя цель этой кшга и состоит в том, чтобы дать подробюе объясняйте, почему диф- дифферещиальюе исчислеше является аспектом коммутативюй алгебры. Обшружить это можю, посмотрев ш элеменгарн/ю теорию мюгообразий глазами естествоиспытателя. Поэтому эта кшга заодю служит и введешем в теорию гладких мюгообра- мюгообразий, где слова «теория гладких мюгообразий» мы пошмаем в широком смысле, включающем в себя и дифферещиальюе ис- исчислеше. Гладким мюгообразиям посвящею столько разных и хороших кшг, что появлеше еще одюй требует поясгешя. При стащартюм подходе действие разворачивается следу- следующим образом. Стчала тем или иным способом определяется гладкое мюгообразие, скажем, М. 3iTeM строится алгебра Тм гладких фужций ш нем и так далее. В этой же кшге после- довательюсть действий обращается: мы шчишем с некоторой 3
Предисловие коммутативюй IR-алгебры1 J-, а затем определяем многообразие М = Mjr как IR-спектр этой алгебры. (Естествено, для того, чтобы Mjr действительно могло шзываться гладким многообра- зием, н/жно чтобы алгебра Т удовлетворяла определеным условиям; эти условия приводятся в главе 3, где подробно об- обсуждаются упомян/тые здесь основные определения.) Тшэй подход сегодш нельзя тзвать ювым, оц скажем, широко используется в алгебраической геометрии. Одю из его преимуществ состоит в том, что он с самого тчала не связан с выбором определенной системы коордишт, поэтому отпада- отпадает присущая ашлитическому подходу необходимость постояно доказывать, что то или июе определение или свойство, полу- ченое в некоторой системе коордишт, ш самом деле от выбора коордишт не зависит. Это объясняет популярность бескоорди- штной точки зрешя среди математиков со склоностью к утон- ченой алгебре, ю его уровень абстракции обескураживает более прагматичных прикладных математиков и физиков. Действителью новой является мотивировка алгебраическо- алгебраического подхода к поштию гладкого многообразия, вокруг которого разворачивается весь сюжет юиги. Ош исходит из пришедшего из естественых шук, точнее из физики, поштия тблюдаемой , которое и создает интуитивно прозрачное обоснование для всех основных определений и конструкций. При этом поштия состо- ятя физической системы и измерительюго прибора придают весьма абстрактным алгебраическим поштиям точки спектра и элеметга алгебры Тм ощутимый физический смысл. Один из основных прищипов современой физики утвер- утверждает: существует только то, что шблюдаемо . В математи- математике, которая не является экспериментальной шукой, кощепция шблюдаемости по существу шкогда еще серьёзно не рассматри- рассматривалась. Поэтому всякое обсуждение проблемы существованья в ее формалыых рамках всегда несет в себе изрядн/ю долю 3,есь и далее М обозтчает поле действительных чисел. Впрочем, и это очен> важш, шчто н; мешает замешть его m любое другое поле (или кольцо), если того требуют условия соответствующей задачи.
Предисловие метафизики. Современый математик изучает мюжества, стб- женые теми или иными структурами, совершено не заботясь о том, как отличить одинэлеменг рассматриваемого мюжества от другого. Поскольку же всякое тблюдевже требует соот- соответствующих средств, не имеющих надлежащей формализации в традиционой математике, вопрос о шблюдаемости выюсится за пределы этой туки. Тшэе положение дел не может устраивать математиков, и, прежде всего тех, кто вместе с Архимедом и Ньютоюм рас- рассматривает свою туку как ттуральную философию. Например физики, изучая квантовые явлены, сталкиваются с прищи- пиальюй невозможюстью полюстью отделить тблюдающего от тблюдаемого. Поэтому всякое адекватюе математическое описавже той или июй области квантовой физики не может не включать в качестве своей неотъемлемой части надлежащим образом формализованию кощепцию тблюдены. Кощепция тблюдены должт быть четко сформулироват в любой мате- математической теории всякий раз, когда идет речь о существованш. Как, тпример, тблюдать решены общих систем нелинейных дифферещиалыых уравненш в частных производных и, исхо- исходя из этого, правилью ставить задачу о существовании и един- ствености в том или июм кожретюм случае? Этот вопрос не так бессмыслен, как это может показаться m первый взгляд и его исследование приводит к весьма неожиданым и удиви- удивительным результатам. Изучевже того, как измерительные приборы можю ввести в математику, естествен© тчать с классического уровш, т. е. с той части математики, которая возникла под влияшем нужд классической физики и чьим естественым языком от с тех пор и является. Поэтому мы стартуем с подробюго объяснены того, почему следующая схемаявляется математическим описанием классической процедуры измерены:
Предисловие Физическая лаборатория —> Коммутативтя уштартя M-algebra А Измерителыый прибор —> Элемент алгебры А Состоянже шблюдаемой —> Гомоморфизм уштарнлх физической системы М-алгебр h: А —> Ж Показанже измерительюго —> Зачевже этой фужции прибора h(a), a G А 3iTeM мы описываем первые, шиболее важные последствия этой интерпретации. Самое важюе из нгх, имеющее фуща- менгальюе зшченже и упомянутое выше, состоит в том, что дифферещиальюе исчислеше является естественной частью коммутативюй алгебры. Как уже отмечалось, в рамках упомянутой схемы глад- гладкие (или дифференцируемые) многообразия появляются как М-спектры некоторого класса М-алгебр, называемых по этой причине гладкими, а элементы этих алгебр оказываются глад- гладкими фужциями ш соответствующих спектрах. При этом IR-спектр некоторой IR-алгебры А — это совокупность всех её унггарнэгх гомоморфизмов в IR-алгебру Ш., т. е. то, что «можю увидеть» при помощи даной алгебры. "Еким образом, гладкие многообразия суть «миры», возможность шблюдать которые шм предоставляют гладкие алгебры. Ввиду алгебраической универсальности приведеной выше схемы, «негладкие» алге- алгебры позволяют шм увидеть «негладкие миры» и исследовать их особености — в прямом и переносном смысле — методами дифференциального исчисления. Последнее, одшко, —совсем не то шивное дифферещиальюе исчислеше, которое изуча- изучается ш первом курсе любого ушверситета, а гораздо более деликатшя конструкция. Осювам этого дифферещиальюго исчислешя и посвяще- ш вторая часть кшги. В главе 9 мы «открываем» поштие дифферещиальюго оператора шд коммутативюй алгеброй , тщателью ашлизируя простейшее поштие классического диф- дифферещиальюго исчислешя, поштие производюй (а точнее
Предисловие касательюго вектора). Помимо этого в ней последователью обсуждаются с ювой точки зрешя простейшие конструкции дифферещиальюго исчисления, шпример, касательюе и ко- касательюе расслоешя, вплоть до расслоены джетов, необ- необходимого для доказательства эквиваленгюсти «алгебраическо- «алгебраического» и стащартюго определений дифферещиальюго оператора в том случае, когда осювтя алгебра является алгеброй глад- гладких фужций m гладком мюгообразии. Как иллюстрация воз- можюстей «алгебраического» дифферещиальюго исчисления в коще этой главы приводится построение гамильтоюва фор- формализма тд произвольюй коммутативюй алгеброй. Десятая и одинндцатая главы посвященл изучение рас- слоенш и векторных расслоенш с алгебраической точки зре- Н1Я. Это логически необходимо для последовательюго развития дифферещиальюго исчисления в духе главы 9. Тш, в част- юсти, усташвливается эквиваленгюсть категории векторных расслоенш тд мюгообразием М и категории конечю поро- жденых проективных модулей тд гладкой алгеброй С°°(М). Свершается же одинндцатая глава изучением модулей джетов произвольюго векторюго расслоены и объяснением ушвер- сальюй роли, которую эти модули играют в теории дифферен- циалыых операторов. Тжим образом, последите главы зткомят читателя с неко- некоторыми простейшими устоявшимися частями этого ювого под- подхода к дифферещиальюму нечисленно, полн/ю логическую структуру которого ещё предстоит устаювить. По этой причине одт из осювнлх целей этой кшги — показать, что Ньютон и Лйбнщ открыли дифферещиальюе исчисление примерю в том же смысле, как Колумб Америку, и пригласить читателя продолжить экспедицию. Сбегая вперед и выходя за рамки этой юиги, отметим, что мехашзм квантовой тблюдаемости имеет прищипиалью кого- когомологическую природу и является подходящей специализацией тех естественых методов тблюдешя решенш (нелинейных)
Предисловие дифференциальных уравненш в частных производных, кото- которые постепено проясняются в результате развития вторичюго дифферещиальюго исчислетя и ювой ветви математической физики, шзываемой когомологической физикой. Настоящая кнжга адресован! в первую очередь шчишющим математикам и физикам, ю не только им, а и всем, кто допус- допускает, что может зшть не всё о дифферещиальюм исчисленш и тех геометрических образах, которые естественым образом ассоциируются с его структурами. Для её поншавжя требуется миншалыня математическая подготовка в пределах стандарт- стандартных унжверситетских курсов мюгомерюго ашлиза, линейной и общей алгебры, а также некоторый швык категорюго мыш- ленжя. С тем, чтобы не отвлекаться от осювюй лиши, мы также предполагаем известными следующие элементарные факты, ак- куратюе изложенже которых зашло бы достаточю мюго места и, сверх того, было бы скучю. Это — разбиеше единщы, те- теорема Уитш о погружеши и теоремы о неявной и об обратюй фужции. К шблюдаемости Джета Неструева В 1969 году Алексащр Виноградов, один из авторов этой кшги, шчал вести ш мехмате МГУ семишр, целью которого было разобраться в математической подоплёке квантовой теории поля. В нем пришли участие некоторые студенты-математики, его учешки, и несколько мол одых физиков, инзариангную компоненту которых образовали Дмитрий Попов, Владимир Холопов и Владимир Ащреев. Через пару лет стало ясю, что известные трудюсти КТП проистекают оттого что физи- физики для выражешя своих мыслей пользуются неподходящим математическим языком, и что подходящий язык попросту не- известен(см. эпиграф). Если, ншример, проашлизировать то, что физики шзывают принципом ковариантности, выясшется, что всякое серьезное изложеше его самого и его последствий предполагает концептуально правильное определеше поштий
Предисловие дифферещиальюго оператора, дифферещиальюго уравнения или, скажем, дифферещиальюй формы второго порядка. По этой причине в 1971 году от физического семишра отде- отделился математический, который зашлся изучением структуры дифферещиальюго исчисления и выяснением того, что являет- является ашлогом алгебраической геометрии для систем (нелинейных) дифферещиалыых уравненш с частными производными. Од- ювремено с этим упомян/тый автор шчал читать соответству- соответствующие спецкурсы. Первое время участники этих семишров и слушатели спец- спецкурсов обходились весьма схематичными шбросками лекций и собствеными записками. Одшко лет через десять сделалось очевидю, что шкопившиеся з а это время материалы должны быть систематически обработана и записана. Тшим образом в шчале восьмидесятых годов родился Джет Неструев, т. е. группа математиков, решившая шписать бесконечн/ю серию KHir под шзвашем «Элементы дифферещиальюго исчисле- Н1Я». Ъгда был составлен подробили план первых выпусков и шписан первый из hix, содержание которого соответствует первым восьми главам этой юиги. 3iTeM, с почти пятшдцатилетнш перерывом, вызваным рядом объективных и субъективных причиц был шписанвто- рой выпуск, который, сплавленый с первым, и составляет шстоящую кипу. Ош представляет собой едиюе целое и со- зштелью сделаш независимой от всего неструевского замысла. В этой KHire читатель шйдет ответ ш вопрос, что такое диф- ферещиалыый оператор. Одшко Джет Неструев не теряет шдежды рассказать ему в недалёком будущем и о том, что такое система нелинейных дифферещиалыых уравнений в частных производных, дифферещиальшя форма второй степеш и аш- логичные вещи. Читатель, которому без промедления захочется заглян/ть вперед, может обратиться к литературе, приведен- юй в коще послесловия ш стр. 299. Блее полный список литературы можю шйти в [8].
10 Предисловие Джет Неструев является сугубо штатским философом и шд him не тяготеет бремя военой тайны, как шд известном фращузским генералом. Поэтому нет шкакого секрета в том, что в шписанш этой кшги пришли участие А. М. Аста- шов, А. В. Бчаров, А. М. Виюградов, М. М. Виюградов, СВ. Дужини А. Б Сосинжий. Ее идея и осювнле оригишль- H>ie шблюдешя пришдлежат А. М. Виюградову. Рисужи выполнены А. М. Асташовым. Джет Неструев выражает свою искренююблагодарюстьИ. С. Красильщику за ряд полезных советов и помощь при редактироваши некоторых фрагментов кшги. Джет Неструев Москва- Переел авль - Салерю Апрель 2000 г.
Глава 1 ВВЕДЕНИЕ 1.0. Эта глава содержит предварительюе обсуждение поштия конечюмерюго гладкого (т. е. бесконечно дифференцируемого) мюгообразия — осювюго персошжа всей шшей юиги. Чем же важ1ы и интересно гладкие мюгообразия? Во-первых, мы живем вщтри мюгообразия (Вселения — четырехмерюе мюгообразие, если верить Эйнптейн/) и ш мю- гообразии (земюй поверхюсти, моделью которой служит сфера S2). Нас окружают мюгообразия: поверхюсть чашки есть мю- мюгообразие (а имено, тор S1 x S1, более часто описываемый как поверхюсть бублика или обручальюго кольца или как камера автомобильюго колеса); рубашка — это двумерюе мюгообра- мюгообразие с краем и т.д. Процессы, происходящие в природе, часто адекватю моделируются движением точек ш гладких много- многообразиях, особено если эти процессы не приводят к разрывам или катастрофам. (Катастрофы — в природе, управлении или ш бирже — изучаются «теорией катастроф», которая имеет дело не с мюгообразиями, ю с гладкими отображениями мю- гообразий.) Одтко, что является гораздо более важнлм с точки зрешя этой кн1ги, мюгообразия естествен© возникают во мюгих областях математики (в алгебре и атлизе столь же часто, как в геометрии) и ее приложениях (особено в механже). Прежде чем мы попытаемся объяснить, что такое гладкое мюгообразие, приведем несколько примеров. 11
12 Глава 1 Рис. 1.1. 1.1. Конригурационое пространство вращающегося твер- твердого тела в пространстве ( RotC)). Рассмотрим твердое тело в пространстве, закрепление в точке О шаршром, способном проворачиваться в любом тправленш (рис. 1.1). Мы хотим описать мюжество положенш тела, или, как это шзывают в классической мехашке, его конригурационое пространство. Один из возможных способов решешя этой задачи состоит в выборе системы коордишт Oxyz. Ъгда положение тела опре- определяется коордиштами (ха,Уа, za), (хв,Ув, zb) двух конри- гурационых точек А,В. Одтко очевидю, что такой выбор параметров не экоюмичен ингуитивю ясю, что фактически н/жю только три параметра для определешя положешя тела. По крайней мере это так, если тело не очен> силью смещею отюсителью шчальюго положешя OAqBq. Действителью, шправлеше О А определяется двумя параметрами (шпример, ха,Уа hi рис. 1.1) и только один параметр н/жен чтобы по- показать, как тело поверн/то отюсителью оси О А (шпример,
Введете 13 угол if в = B'QOB, где вектор АВ'О равенвектору AqBq). Нужю подчеркн/ть, что эти параметры не являются обычнлми евкли- евклидовыми коордиштами; шкаким естественым способом нельзя устаювить биективюго (т. е. взаимю одюзшчюго) соответ- соответствия между мюжеством положений тела и обычнлм трехмер- нлм пространством IR3. В самом деле, если мы повернем А В ш угол ip = 2тг, тело не займет ювого положения, ою вернется в положение ОАВ. Ъ есть двум зшчешям параметра ip соот- соответствует одю положение тела. Первое, что приходит в голову в такой ситуации, — это шложить ограничение ш параметр ip. А имено, считать, что этот параметр изменяется в пределах от О до 2тг. Тшэй выход из положены, одшко, не представля- представляется приемлемым, поскольку тогда непрерывюму изменение положения тела (шпример, вращенно) не будет соответствовать непрерывюе изменение параметров. С другой сторонл, локалью , скажем около шчальюго по- положены OAqBq, существует биективюе соответствие, усташ- вливаемое отображением ОАВ н-> (ха,Уа,?>в), между поло- положениями тела и окрестюстью шчала коордишт в трехмерюм пространстве. Иким образом, конригурационое пространство вращающегося твердого тела представляет собой объект, кото- который локалью может быть описантремя евклидовыми коордиш- коордиштами, одшко глобалью имеет более сложн/ю структуру. 1.2. Алгебраическая поверхюсть V. В девятимерюм евкли- евклидовом пространстве Ж9 рассмотрим мюжество V точек, удовле- удовлетворяющих следующей системе шести алгебраических уравне- Н1Й: /y»^ I ry*^* I ry*^* \ • i*Y* i*Y* I /y» i*y* I /y» i*y* I I* X^ ~r 3^5 ~r ^-g —— J-5 X\Xrj ~\~ l?f2,'?% \ X3X9 = Uj х<т "г" ^q "T" ь*^п — -Lj ju/^ju'j ~\ CC§CCq ~\ CCqCCq — U.
14 Глава 1 Оказывается, что это гладкая трехмертя поверхность в IR9 C = 9 — 6). Нетрудю описать (попробуйте это сделать!) биек- тивюе отображение окрестности произвольюй точки (скажем, A,0,0,0,1,0,0,0,1)) этой поверхюсти в окрестюсть шчал а ко - ордитт евклидова пространства IR3. Но это отображение не может быть расширею до отображешя всей поверхюсти V, поскольку поверхюсть V компактш (почему?). Мы получили еще один пример объекта, локалью похожего ш трехмерюе пространство Ж3, ю с другой глобальюй структурой. Не следует полагать, что мюжество решенш любых б ал- алгебраических уравнений с 9 неизвестными обязателью будет иметь такую же простую локалыую структуру — могут быть точки самопересечения и другие особенности . (В этом состоит одт из причинтого, что алгебраическая геометрия, изучающая алгебраические мюгообразия , как ohi шзываются, не является разделом теории гладких мюгообразий.) 1.3. 'рехмерюе проективюе пространство ШР3. В четы- рехмерюм пространстве IR4 рассмотрим мюжество всех пря- прямых, проходящих через тчало коордитт. Мы хотим рассма- рассматривать это мюжество как «пространство», «точками» которого являются прямые. Каждая «точка» этого пространства, шзван- юго геометрами XIX века проективным пространством ШР3, определяется ншравляющим вектором @1,02,03,04) соответ- соответствующей прямой, т. е. четверкой действительных чисел. По- Поскольку пропорциотлыые четверки определяют одн/ и ту же прямую, каждая точка Ш3 есть класс эквивалентности пропорци- отлыых четверок чисел, обозшчаемых Р = (ai : а^ : Оз : а^), где @1,02,03,^4) — произвольный представитель класса Р. В окрестюсти каждой точки пространство ЖР3 устроею подоб- подобно Ш3. Действителью, точку Pq = (а\ : а° : а° : а"), у которой 04 т^ 0> можю записать в виде Pq = (а\/а°А : о^/а°А : а®/аЧ : 1) и дроби а\/а\, о!Ца\, а\/а\ могут рассматриваться как ее ко- ордишты. Рассмотрев все точки Р, у которых а^ ^ 0, и считая Х\ = 01/04, X2 = 02/04, Жз = 03/04 их коордиштами, мы полу- получим биекцию окрестюсти точки Pq в пространстве IR3. Четыре
Введете 15 подобнее окрестюсти (для п\ ^ 0, йг ^ 0> аз ^ О, Й4 ^ 0) покрывают все пространство I5LP3. Одтко точки, пришдле- жащие двум и более окрестюстям, имеют в этих окрестюстях разную коордишты (шпример, точка F : 12 : 2 : 3) будет иметь коордишты B,4, 2/3) в одюй и C, 6, 3/2) в другой системе коордишт). Тшим образом, в целом структура ШР3 отличш от структуры Ж3. 1.4. Специалыая ортогошлыая группа SOC). Рассмотрим группу SOC) изометрий пространства IR3, сохраняющих ори- ориентацию и оставляющих ш месте шчало коордишт. Каждая такая изометрия одюзшчю определяется своим ижарианпым шправлешем и углом поворота ip. Для определения шпра- вленш в Ш3 локалью требуются две коордишты, скажем а,Ь (докажите!). Итак, опять получаем, что три коордишты (if, а, Ъ) определяют элемент группы SOB>), ю являются евклидовыми коордиштами только локалью. 1.5. Фазовое пространство B(V2) бильярда ш диске. Упругий бильярдной шар Р движется с едингчюй скоростью по поверхюсти диска V2, отражаясь от его кольцевой граш- цы С по обычюму закон/ (угол падешя равенуглу отражешя). Мы хотим описать фазовое пространство B(V2) этой мехаш- ческой системы, точками которого, по определешю, являются состоятя системы . Под состояшем системы мы пошмаем по- ложеше шара Р вместе с шправлешем его вектора скорости. Поскольку каждое состояше определяется тремя коордиштами (х,у;(р) (см. рис. 1.2), может показаться, что B(V2) как мю- жество совпадает с V2 х S1, где S1 — едишчшя окружюсть (S1 = Ш. mod 2тг). Одшко это не так, поскольку в момент удара шара о борт бильярда, скажем, в точке (xq, г/о), шправле- ше вектора скорости скачком метет свое зшчеше с ifi ш if2 (см. рис. 1.2). Поэтому н/жю отождествить соответствующие состояшя: A.1)
16 Глава 1 Тжим образом, B(D2) = (D2 x S1)/ ~, где через / ~ обо- зшчеш факторизация по отюшешю эквиваленгюсти ~ между всеми отождествленжями A.1) отюсителью всех возможных столкювенш шара с гранщей С. Рис. 1.2. Поскольку отождествлешя производятся только для точек гранщы С, все точки мюжества B°(V2) = Int?>2 x S1 = x где Int V2 = V2 \ С — внутреность диска V2, имеют окрестю- сти, устроеные подобю открытым окрестюстям в Ж3 (с коорди- ттами (х, у; if)). Весьма простое, ю все же требующее доказа- доказательства (приведите) утверждеше заключается в том, что после отождествлешя «грашчные состояшя» (х,у;(р), (х,у) € С, тоже имеют окрестюсти, подобные открытым мюжествам в Ж3. Тжим образом, мюгообразие B(D2) локалью устроею так же, как IR3, однжо, как мы шже покажем, в целом отличается от IR3.
Введете 17 В качестве более сложюго примера искушеный читатель может попробовать описать фазовое пространства бильярда вн/- три прямоугольюго треугольн ика, рассмотрев треуголыики с острым углом а) —; б) а/2тг/4. 1.6. К приведеным выше примерам трехмерных мюгообра- зий мы пришли из разнлх областей математики или ее приложе- Н1Й: классической мехашки (п. 1.1), алгебраической геометрии (п. 1.2), классической геометрии (п. 1.3), линейюй алгебры (п. 1.4) и мехашки (п. 1.5). Продвшутый читатель ie ошибся, заметив, что ш самом деле в примерах A.1 - 1.4) в разнлх обличьях возникает одю и то же многообразие : RotC) = V = RP3 = SOC). Блее точю, все эти мюгообразия диффеоморфны , т. е. экви- эквивалентна как гладкие мюгообразия (строгое определение см. в п. 6.7). Последнее из построеных мюгообразий — B(D2) (пример 1.5 — отличается от осталыых (т. е. не диффеоморфю им), поскольку, как оказывается, ою диффеоморфю трехмер- юй сфере S3. Начинавший читатель не должен отчаиваться, если онне увидел этого — это не просто заметить и достаточю сложю доказать. Какую же мораль можю вывести из приведеных приме- примеров? История математики учит, что если один и тот же объект под разными масками появляется в различных областях мате- математики и ее приложений и играет в hix важн/ю роль, то такой объект должен изучаться с вн/треней точки зрешя как са- мостоятельюе поштие. Тж было с такими фущаменгалыыми понятиями, как группа или литйюе пространство , и это ока- оказывается справедливым для не менее важюго поштия гладкого мюгообразия . 1.7. Приведение примеры показывают, что мюгообразие М представляет собой мюжество точек, локалью устроеное как евклидово пространство Ш.п, одтко его глобалыня структура,
18 Глава 1 вообще говоря, отличается от структуры Ш.п. Какие же мето- методы пригоднл для изучешя объектов такого рода? Поскольку в окрестюсти каждой точки существуют евклидовы коордишты, то можю попытаться покрыть М коордиштгыми окрестюстя- ми (или картами, или локальтичи системами коордишт , как их еще шзывают). Семейство карт, покрывающее М, шзывает- ся атласом. Этот термиц конечно, подсказан географическим атласом — множеством карт, покрывающим в указанном смысле многообразие S2 (поверхность Змли). Рис. 1.3. Чтобы использовать отделыые карты для изучешя структу- структуры многообразия М в целом, необходимо зшть, как переходить от одной карты к другой, т. е. как склеенл карты вдоль их общей части (см. рис. 1.3). Говоря более строго, мы должнл уметь делать преобразовате коордишт , выражая коордишты точек в одной карте через коордишты в другой (если, конечно, точки пришдлежат обеим картам). В качестве примера пред- предприимчивый читатель может шйти преобразовашя коордишт для атласа из четырех карт ш многообразии I5LP3, описашо- го в п. 1.3. Если мы хотим таким способом получить гладкие
Введете 19 многообразия, то должны потребовать, чтобы преобразованы коордишт задавались хорошими (в некотором смысле) фужци- ями. В этом состоит коордитттш или классический подход к гладким многообразиям. Деталью онбудет описанв главе 5. 1.8. Блее важным, с шшей точки зрешя, является алгебра- алгебраический подход к изучение многообразий. При этом подходе мы забываем о картах и преобразоваши коордишт и работаем только с Ш-алгеброй Тм гладких фужций ш многообразии М. Оказывается, что IR-алгебра Тм полностью определяет много- многообразие М и является удобным для работы объектом. В последующих пужтах мы предпринимаем попытку дать читателям интуитивное представление о «штуральной филосо- философии», лежащей в основе алгебраического подхода. 1.9. При описанш классических физических систем или про- процессов ключевым является поштие состоятя системы. The, в классической мехашке состояше движущейся точки описыва- описывается ее положешем и скоростью в даный момент времеш. Состояше дашого газа с точки зрешя термодишмики опи- описывается его температурой, объемом, давлешем и т. д. Чтобы определить реальное состояше дашой системы, эксперимен- экспериментатору приходится пользоваться различными измерительтичи приборами и устройствами, показатя которых описывают со- состояше системы. Предположим, что М есть множество всех возможных со- стояшй классической физической системы S. Ъгда каждому измерительному прибору D соответствует фужция /о ш мно- множестве М, которая каждому состояшю S € М сопоставляет показаше fD(S) этого прибора. С физической точки зрешя представляют интерес только те характеристики каждого со- стояшя, которые в прищипе могут быть измерены, так что множество М всех состояшй полностью описываются шбором Ф^ всех фужций вида /о, где D — измерительные устройства, быть может воображаемые, поскольку невозможно построить все мыслимые измерительные приборы, да в этом и нет практи- практической необходимости.
20 Глава 1 Тжим образом, с теоретической точки зрешя, физиче- физическая система является ш более чем шбором всех фушций, определеных соответствующими измерительными приборами {настоящими или воображаемыми ). 1.10. Предположим, что фужции /i,...,/^ соответствуют измерительным устройствам D1,..., D^ физической системы S и (f(xi,..., Xk) —произвольна «хорошая» действительюзшч- тя фужция к переменых. В прищипе возможю построить такое устройство D, что соответствующая фужция /д есть сложтя фужция <^(/i,..., /&). Действителью, такое устрой- устройство может быть получен», если сконструировать вспомога- вспомогательна устройство, синтезирующее зшченже <p(xi,..., Xk) no входным зшченжям x±,...,Xk (это всегда можю сделать, ес- если фужция ip достаточю хорошая) и подавать ш входы этого устройства сигшлы от приборов D\,..., -D&. ]удем обозшчать устройство D через <p(Di,..., -Dfc). В частюсти, если мы возьмем (p(xi,X2) = Х\ + х^ (или ip(x) = Хх, Аё I, или <р(х\Х2) = X\X-i), то для любых измери- измерительных устройств D1, D2 сможем сконструировать устройство D1 + D2 (или ADi, или D1D2). Другими словами, если фужции fi = fDi принадлежат Ф^, то и фужции /i + /2, Xfi, /1/2 также принадлежат Ф^. Иким образом, мюжество Ф^ всех фужции / = /d, опи- описывающих систему S, имеет структуру алгебры шд Ж или Ш-алгебры. 1.11. На самом деле мюжество Ф^ всех фужции /о: Ms —> Ш. слишком велико и громоздко для большинства классических за- задач. Системы и процессы, описываемые в классической физи- физике, обычю являются непрерывными или гладкими в некотором смысле. Поэтому разрывные фужции /о не несут содержатель- юй информации о рассматриваемых системах (или процессах) — шм нужны только «гладко работающие» измерительные устройства D. Блее того, задачи классической физики обыч- н> формулируются в термишх дифферещиалыых уравнений, так что мы должны иметь возможюсть брать производные от
Введете 21 фужций /д столько раз, сколько потребуется. Тжим образом, мы приходим к рассмотрение меньшего, чем Ф^, мюжества J~s гладких фужций /д : Ms —> №. йагодаря включению J~s С Фз мюжество J~s тследует структуру №-алгебры. Начитя с этого момента мы забудем о существовании Ф^, так как главным объектом изучены будет гладкая №-алгебра Ts- 1.12. В этом пужте мы более деталью опишем, ш что алге- алгебра Ts может быть похожа в классической ситуации. Например, с точки зрешя классической механжи, система S из N матери- альн>1х точек в пространстве адекватю описывается зшчешями положения и скорости всех точек системы. Поэтому шм н/жю 6N измерительных устройств Di для шхождешя этих вели- величин Следователью, алгебра J~s состоит из всех фужций вида (f(fi, • • •, /блг), где fi — «базиоые фужций», определяемые измеритель№1ми устройствами Di, a if: M.6N —> № — любая «хорошая» (гладкая) фужция. В более сложнлх случаях между базисными фужциями мо- могут возникать соотюшешя. Например, если мы изучаем систему из двух точечных масс, соедигеных стержнем пренебрежимо малой массы, то базисное фужций связанл соотюшешем = г2, 1=1 где г — длит стержш, а фужций fi (соответствено /?+з) суть зшчешя г -ой коордишты первой (соответствено второй) мас- массы. Существует также соотюшеше, в которое кроме коордишт точек входят компоненты векторов их скоростей. Мы предоста- предоставляем дотошюму читателю выписать его самостоятелью. Обобщая эти примеры, можю сказать, что обычю суще- существует базистя система измерительных устройств D1,..., D^, которые адекватю описывают систему S с выбраной точки зрешя. Ъгда №-алгебра J~s состоит из всех элементов ви- вида if(fi,...,fk), где if: Шк —> № — «хорошая» фужция и
22 Глава 1 fi = fDi — фужции, определяемые базисными измерительны- измерительными устройствами. При этом между базисными фужциями могут быть соотюшенжя вида F(fi,..., /&) =0. В этом случае алгебра J~s может быть описаш следующим образом. Пусть Жк — евклидово пространство с коордиштами /i,..., fk и U = {(/i, ...,fk)\ai<fi< bi}, где интервал ]ah h[ состоит из всех возможных показанш прибора Dj. Соотюшенжя Fj(fi,..., fk) = 0 между базисными перемеными /i,...,/^ определяют поверхюсть М в области U, и Ts есть М-алгебра всех гладких фужций ш поверхюсти М. 1.13. Пример (термодишмика идеальюго газа). С точки зренжя термодишмики при рассмотренжи идеальюго газа тс интересуют следующие осювные параметры: объем V, давле- нже р и абсолюття температура Т этого газа. Эти величины, как хорошо известю, удовлетворяют соотюшенжю pV = cT, где с — некоторая коктанга. Ък как 0<р<схэ,0<1л<схэ, 0 < Т < оо, то область U расположеш в первом октанте про- пространства Ж3 = {(V,p, Т)}игиперповерхюсть М в этой области задается уравненжем pV = cT. Соответствующая IR-алгебра со- состоит из всех гладких фужций ш М. Рис. 1.4. Шарнгрные механжзмы E; 2,2,2), A;4,1,4),A; 1,1,1), B; 1,2,1), E; 3,3,1). 1.14. Пример (плоские шаршршю мехашзмы). Механжз- мы такого рода (см. рис. 1.4) составлены из п > 3 идеальных стержнзй ш плоскости, длины этих стержней равны, соответ- ствено, (h; h, ¦ ¦ ¦, ln)', стержнж ш концах соединены идеаль- идеальными шарнжрами в циклическом порядке; первый стержень неподвижю закрепленш плоскости; остальные стержнж могут
Введете 23 двигаться шстолько свободю, шсколько это позволяет кон- конфигурация; шаршры могут свободю двигаться одиншд дру- другим. Очевидю, конригурационое пространство шаршрюго механизма полюстью определяется последовательюстью длин стержней, поэтому можю ссылаться ш кожретнлй механизм просто указывая соответствующую последовательюсть, ншри- мер, E; 2, 3, 2). В юиге читатель шйдет целый ряд упражнений, связаных с шаршрнлми механизмами. Первые задачи можю попробовать решить прямо сейчас. Упражшше. Опишите конригурационые пространства сле- следующих шаршрнлх механизмов: 1. Четырехугольники: E; 2, 2, 2); A;4,1,4); A; 1,1,1); B; 1,2,1); E; 3,3,1). 2. Пятиугольники : A; 1,1,1,1); A; 4,1,1,4); F; 6, 2,2,6); C.9; 1,1,1,1). Мы шдеемся, что читатель получит удовольствие, открыв, что конригурационое пространство A; 1,1,1,1) есть сфера с четырьмя ручками. Упражшше. Покажите, что конригурационое пространство пятиугольника зависит только от длин стержней, ю не от по- порядка, в котором OHi соединена. Упражшше. Покажите, что конригурационое пространство шаршрюго механизма (п — а; 1,..., 1), состоящего из п + 1 стержш есть 1. Сфера Sn~2 если а = 1/2. 2. (та - 2)-мернлй тор Тп~2 = S1 х • • • х S1 if a = 3/2. 1.15. До сих пор мы, полагаясь ш физическую интуицию читателя, не приводили объяснений того, что в действительюсти озшчает поштие состояния s G Ms физической системы S. Теперь, после того как была описат система фужций Ts, у гас появился математически строгий и имеющий яснлй физический смысл способ сделать это.
24 Глава 1 Методологической осювой всех физических рассужденш служит поштие измерены. Поэтому два состояшя шшей си- системы должнл рассматриваться как одишковые в том и только том случае, когда каждое из измерительных устройств дает оди- одишковые показаны в обоих состояшях. Следовательно каждое состояние s G Ms одюзшчю определяется показаниями всех измерительн>1х устройств, т. е. соответствием Ts —> №, сопо- сопоставляющим каждой фужции /d G Ts ее зшчеше /d(s) G Ш. (показание прибора D в этом состоянш). Как легко видеть, это соответствие есть гомоморфизм Ж-алгебр. Тжим образом, по определенно, состояте s рассматриваемой физической систе- системы есть ie что июе, как гомоморфизм М-алгебр s: Ts —> №. Мюжество всех М-гомоморфизмов Ts —> № обозшчим через \J~s\- "Бгда приведеное выше определение озшчает просто, что мюжества Ms и \Ts\ совпадают. 1.16. Суммируя изложение в пп. 1.9-1.15, можю сказать, что любая классическая система описывается шбором подхо- подходящих измерительных устройств и каждое состояте системы есть тбор показашй устройств, соответствующий этому состояшю . Фраза, выделения курсивом, может быть переведеш ш математический язык при помощи следующего словаря: физическая система Ф> мюгообразие, М; состояние системы Ф> точка мюгообразия, х G М; измерительна устройство Ф> фужция ш М, f G Т\ шбор измерительн>1х устройств Ф> гладкая М-алгебра, Т; показание измерительюго устройства <^> зшчеше фуж- фужции, f(x); шбор показашй устройств, соответствующий даному со- состояшю, Ф> гомоморфизм М-алгебр х: Т —> Ш. (/ н-> f(x)). В результате перевода получим следующее высказываше: любое мюгообразие М определяется гладкой Ж-алгеброй Т фунсций ш юм, каждой точке х G М соответствует го- гомоморфизм Ш-алгебр Т —> Ш., который сопоставляет каждой фужции f G Т ее зшчеше f(x) в точке х.
Введете 25 1.17. С математической точки зрешя осювтя идея преды- предыдущего пужта состоит в отождествлеши точки х мюгообразия М и гомоморфизма IR-алгебр х: Т —> Ш. алгебры фужций Т в алгебру №, которое задается формулой x(f) = f(x). A.2) Эта формула, прочитання слева ншраво, определяет гомомор- гомоморфизм х: Т —> Ш., когда задат фужция / G Т. Прочитання справа шлево, ош определяет фужцию /: М —> Ж, если изве- стенгомоморфизм iGM. Тжим образом, формула A.2) лежит в осюве важюго отю- шенгя двойствености между точками мюгообразия и фужция- ми ш нем, двойствености, подобюйтой, что существует между векторами и ковекторами в линейюй алгебре, ю зшчителью более сложюй. 1.18. В общем случае отождествленге М *-* \J-\ между мюже- ством М, т котором определен>1 фужций / € Т, и семейством всех гомоморфизмов М-алгебр Т —> Ш. не может быть корректю построею. Это происходит, прежде всего, потому, что мю- жество |JF| может оказаться «существено меньшим» (пример будет данв п. 3.6) или «большим», как показывает следующий Пример. Возьмем в качестве М мюжество N всех штураль- нлх чисел. Пусть Т есть мюжество всех фужций ш N (т. е. последовательюстей {а (к)}) таких, что lim а (к) существует и fc^oo конечен Ъгда гомоморфизму а: Т -> Ш, {а (к)} ^ lim а (к) fc^oo не соответствует шкакая точка М = N. ¦< Действителью, если гомоморфизму а соответствует некото- некоторая точка и G N, то согласю A.2), п(а(-)) = а(п),
26 Глава 1 так что для любой последовательности а(-) = {а(к)} имеем limo(fc) = a(n). Но это не так, шпример, для последователь- последовательности а(г) = О, г ^ п, а{г) = 1, г > п. Тжим образом, \J-\ больше, чем М, по крайней мере m гомоморфизм «.> Одтко мы можем добавить к N «бесконечность» оо и рас- расширить последовательности (элементы Т\ положив а(оо) = lim a(k), после чего последовательюсти можю рассматривать fc^oo как фужции m N U {оо}. Ъгда, очевидно, гомоморфизм а соответствует «точке» оо. Прием, состоящий в добавлении «точек ш бескотчю- сти» (или мшмых точек, несобственых точек, точек абсолюта и т. д.), крайне полезени будет использованшми в главе 8. 1.19. Развивая в главе 3 алгебраический подход к поштию гладкого мюгообразия, мы будем стартовать с некоторой аб- абстрактной IR-алгебры, элементы которой будем шзывать «фуж- циями». Конечно, Т не может быть произвольной алгеброй, от должт удовлетворять некоторым условиям «гладкости». Гру- Грубо говоря, алгебра Т должт быть гладкой в том смысле, что локально (зтчеше этого слова должно быть определено в чи- чисто алгебраических термитх!) эта алгебра устроет так же, как алгебра С°°(МП) бесконечно дифференцируемых (гладких) фужций m W1. В этом и состоит алгебраический способ сказать, что мюгообразие М имеет такую же локалыую структуру, как и W1. Деталью и строго это будет объяснено в главе 3. Оказы- Оказывается, что, когда выполнена условия гладкости, то алгебра Т полюстью определяет мюгообразие М как мюжество \J-\ всех гомоморфизмов IR-алгебр из Т в № и может интерпретироваться как IR-алгебра гладких фужций m M = \J-\. Алгебраическое определеше гладкого мюгообразия будет приведею в первом пужте главы 4. 1.20. Условия гладкости н/жнл и при классическом коорди- ттюм подходе, который деталью излагается в главе 5. В част- частности, преобразование коордитт должю задаваться гладкими
Введете 27 фужциями. Строгое коордиштюе определеше гладкого мю- гообразия будет даю в п. 5.8. 1.21. Два определены гладкого мюгообразия — алгебраи- алгебраическое и коордиштюе, — конечю, эквивалентна. Это будет доказаю в главе 7. Первая половиш даной кшги и содержит детальюе изложеше этих двух подходов к понятию гладкого мюгообразия и их эквиваленгюсти, а также большое количе- количество примеров, в том числе более строгий разбор примеров, приведеных выше в пп. 1.1-1.5.
Глава 2 ГЛАДКИЕ ФУНКЦИИ В W 2.1. Эта глава юсит вспомогательной характер и может быть опущет при первом чтенш. 3;есь мы показываем, как стро- строить некоторые специфические гладкие фужции ш Ш.п, которые обращаются (или не обращаются) в н/ль ш подмюжествах спе- циальюго вида. Эти фужции понадобятся шм позднее при доказательстве мюгих утверждений, особено в главе 3. Алге- Алгебру гладких фужции ш №п будем обозшчать С°°(МП). 2.2. Предложеше. Существует фушция / G С°°(М), кото- которая обращается в щлъ при всех отрицателыых зшчешях аргуменпа и строго положительт при его положителыых зшчешях. ¦< Покажем, что этими свойствами обладает фужция ж < О, B1) (См. график ш заднем плане рис. 2.1.) Едиктвеное, что н/жю доказать, — это гладкость фуж- фужции /. Ищукцией по п мы покажем, что производтя порядка п фужции / имеет вид х>0,
Гладкие фунсции в 29 Рис .2.1. Этот рисуюк иллюстрирует предложе- ше 2.2 и следствие 2.3. где Рп(х) - мюгочлец и что f^ непрерывна Для п = 0 это очевидю, поскольку lim е~1'х =0. Если B.2) выполнен) для некоторого п ^ 0, то, очевидю, f^n+1'(x) = 0 при х < 0, в то время как для х > 0 имеем Это показывает, что /(n+1) также имеет вид B.2)приж т^ 0. Что- Чтобы показать, что f(n+1> - ншрерывтя фужция и f\n+1> @) = 0, заметим, что по правилу Лпиталя lim е~1'х ха = 0 для любого J х^+0 a G I. Следователью, lim f^n+1'(x) = 0, и, воспользовав- воспользовавшись еще раз правилом Лпиталя, мы получаем ")-0 X х^О 1 ' так что фужция /(n+1) (ж) равш н/лю при ж^Ои непрерывш для всех х. > Упражшше. Пусть / — фужция, определения формулой B.1) и пусть с?; = max |/^|. 1. Докажите что с& < схэ для всех к.
30 Глава 2 2. Исследуйте поведение последовательности {с&} когда к —> сю. 2.3. Следствие. Для любого г > 0 и a G Мп существует фужция д G C°°(]Rn), обращающаяся в щлъ при всех х G М.п, удовлетворяющих условию \\х — а\\ ^ г, и положительтя при всех осталыых х G Ш.п. ¦< Например, такой является фужция g(x) = f(r2-\\x-a\\2), где / - фужция, построения при доказательстве предыдущего предложены. См. рис. 2.1. > 2.4. Предложеше. Пусть GсК" — произвольнее открытое мюжество. Существует такая фужция f G C°°(IRn), что 'f(x)=0, x(?U, f(x) > 0, x G U. ¦< Если U = Ш.п, то положим / = 1, если U = 0, то / = 0. Пусть теперь U ^ Ш.п, [/ ^ 0 и {(/(;} - покрытие области U счет№1м мюжеством открытых шаров (шпример, мюжеством всех шаров с рациошлыыми радиусами, лежащих в U, центры которых — точки с рациошлыыми коордиштами). Согласю следствию 2.3 существуют гладкие фужции /& G С°°(МП) та- такие, что fk(x) > 0, когда х G Uk, и /& = 0, когда х ф Uk- Положим dpfk = sup Т 31метим, что Mk < схэ, так как виз компактюго мюже- ства Uk (черта сверху озшчает замыкаше) фужция /& и все ее производное равнл нулю. Далее, ряд оо „ Мк2к k=i
Гладкие фунсции в R™ 31 сходится к гладкой фужции /, поскольку для любых pi,... ,рп ряд ¦¦¦+*» fk ^ Мк2к dxf ... дхрпп сходится равюмерю (потому что для любого к ^ р\ + ... + рп абсолюття величиш /с-го члеш не превосходит 2~к). Следова- телью, фужция / обладает требуемыми свойствами. > Рис. 2.2. Фужция, разделяющая два мюжества 2.5. Следствие. Для любых двух тпересекающихся замкну- замкнутых мюжеств А, В С М.п существует такая фужция f е С°°(В что '/(*)= О № = 1 при х G А; при х G В; О < f(x) < 1 для всех осталыых х G Ш.п. (См. рис. 2.2.) ¦^ Воспользовавшись предложешем 2.4, выберем фужцию /д, которая равш 1улю ш А я положителын вне А, и ашлогичн/ю фужцию /в для В. В качестве / тогда можю взять фужцию / = fA
32 Глава 2 2.6. Следствие. Пусть U С Ш.п — открытое мюжество и f ? C°°(U). Ъгда для любой точки х G U существуют окрестюсть V С U и фушция g G C°°(IRn) такие, что < Рассмотрим открытый шар W с центром в точке х, замыкавже которого содержится в U. Пусть V - шар меньшего радиуса, концентричный шару W. Искомая фужция может быть определен! следующим обра- образом: 1° где фужция h G C°°(IRn) выбраш согласю следствию 2.5 так, чтобы выполнялось условие h\y = 1, h Rn>w = 0. > 2.7. Предложеше. Для любого шпустого открытого мюже- ства U С Шп существует гладкая фушция / G C°°(U), у которой все поверхюсти уровш компактш, т. е. для любого A Gl мюжество /-1 (Л) компактю. < Обозшчим через Ак мюжество точек х G U, удовлетворяю- удовлетворяющих двум следующим условиям: (i) \\x\\ < к (ii) расстоянже от х до гранщы U нз меньше чем 1/к (если U = W1, то условие (ii) может быть опущею). Очевидю, что все точки Ак являются внутреними для Ак+\. Следователью, Ак и дополненже в Ш.п к внутрености Ак+\ есть два непересекающихся замкнутых мюжества. По следствию 2.5 существуют фужции fk G C°°(IRn) такие, что fk(x) =0 при ж G Ак, fk(x) = 1 0 < fk(x) < 1 во всех остальных случаях .
Гладкие фунсции в R™ 33 Поскольку любая точка х€G будет принадлежать вн/трен юсти мюжеств А& при достаточю больших к, сумма fc=l в окрестюсти любой точки мюжества U содержит только конеч- юе число нен/левых слагаемых и является гладкой фужцией ш U. Рассмотрим точку х € U \ А\~. Тш как все фужции /j неотрицательна, f(x) > /с — 1. Следователью, для любого Л € IR мюжество /-1 (Л) есть замк1утое подмюжество компактюго мюжества А\~, где к — штуральюе число, такое что Л < к — 1. Зимк1утое подмюжество компактюго мюжества всегда компактю, поэтому / есть искомая фужция. > ^фиксируем систему коордишт xi,..., хп в окрестюсти U точки z. Напомнш, что область Отзывается звездчатой отю- сителью точки z, если вместе со всякой точкой у G U отрезок (z,y) целиком принадлежит U. 2.8. Лемма Адамара. Всякая гладкая фужция f в звездчатой окрестюсти точки z представила в виде {xi-Zi)9i{x), B.3) г=1 где gi — гладкие фунсции. Л Действителью, рассмотрим фужцию f(z + (x-z)t).
34 Глава 2 Ъгда (f@) = f(z) и (f(l) = f(x) и согласю формуле Ньютош- Лйбнща 1 dip о i — Zi)dt / -^—(z + (xi — zAt)dt. I ox I,—I 0 31метив теперь, что фужции l 0 являются гладкими, мы завершим доказательство леммы Ада- Адамара. > Пусть, по прежнему, х±,..., хп — фиксирования система коордишт в окрестюсти U точки z и т = (ii,..., in) — муль- тиищекс. Положим т = %\ + ... + i l in, дхт dxl1... дхг« ( ) (i iY (хп - zn)in и т! = ii! •... • гп\. 2.9. Следствие. (Ряд Тейлора в форме Адамара.) Всякая глад- гладкая фушция f в звездчатой окрестюсти U точки z предста- представила в виде |т|=0 ' |<т|=п+1 где ga e C°°(U). ¦< Действителью, воспользовавшись леммой Адамара для ка- каждой из фужций Qi в разложении B.3), фужцию / можю
Гладкие фунсции в R™ 35 представить в виде п f(x) = f(z) Повторяя этот процесс для фужций дц и так далее, мы придем к разложение |-7-|=1 |<т|=П+1 где ат — коктангы и да Е C°°(U). Приметя теперь к этому <э|т|, ч , равенству всевозмож!ые операторы вида ——(z), т\ ^ п, мы С/JU 1 aw/ видим, что ат = ———(z). > 2.10. Следствие. Пусть f(x) е С°°(Ш) и /@) = 0. Ъгда f(x)/x е С°°(Ш). А Действителью, по лемме Адамара всякая гладкая фужция f(x) E С°°(Ж) представима в виде f(x)=f@)+xg(x), где д(х) е С°°(Ж). Если же /@) = 0, то f(x)/x = д(х). > 2.11. Лемма. Ели f e С°°(Шп), причем f(z) = f{y) = 0, где z и у — две различтые точки пространства Ш.п, то фунсцию f можю представить в виде суммы произведений вида g%hi, где gi(z) = 0, Ы(у) = 0. Днейюй замеюй коордишт задачу можю свести к случаю z = @,..., 0, 0), у = @,..., 0,1). По лемме Адамара 2.8 всякая фужция /, такая что f(z) =0, представима в виде г=1 Представив фужцию д%(х) в виде gi(x) = (gi(x) — «;) + «j, где Oii = gi(y), и заметив, что в произведено! Xi[gi{x) — ««) первый
36 Глава 2 сомюжитель обращается в н/ль в точке z, а второй — в точке у, мы сведем задачу к случаю линейюй фужции f(x) = г=1 Условие /(у) = 0 озшчает, что ап = 0. Представив теперь Хг, г < п, в виде Xi = xnXi — Xi{xn — 1), мы завершим доказа- доказательство леммы. > Упражшше. 1. Покажите что любая фужция ш плоско- плоскости f(x,y) G С°°(Ш2), обращающаяся в 1уль ш коордиштюм кресте К = {х = 0} U {у = 0} представима в виде f = xyg(x,y), g(x,y)eCCG(R2). 2. Справедлив ли атлогичнлй результат для объединены прямой х = 0 и параболы у = х2?
Глава 3 АЛГЕБРЫ И ТЭЧКИ 3.1. В этой и следующей главах излагается алгебраический подход к теории гладких мюгообразий, краткий шбросок кото- которого в интуитивных термишх был сделанв главе 1. Стчала мы даем подробный ответ ш следующий фущаменгалыый вопрос: задаш абстрактшя М-алгебра Т, как шйти мюжество (глад- (гладкое мюгообразие) М, такое, что алгебра (гладких) фужций ш нем может быть отождествлеш с Т. В дальнейшем Т будет предполагаться коммутативюй ассоциативюй алгеброй с единицей шд №, или, короче, IR-алгеброй. Все гомоморфизмы М-алгебр, или просто №- гомоморфизмы а: Т\ —> Тч, предполагаютсяуштарнлми, т. е. переводящими единщу алгебры Т\ в единщу JF2. Подчеркнем, что, хотя элементы алгебры Т мы будем шзы- вать «фужциями», в действительюсти это не фужций, а аб- стракт№1е объекты нюпределеной природы. 31дача и состоит в том, чтобы превратить эти абстрактные объекты в шстоящие фужций ш мюгообразий. Для того, чтобы добиться успеха в этом предприятии, шм придется шложить ш Т некоторые условия. Ключевыми здесь будут условия геометричюсти (п. 3.7), полюты {п. "д.21)'И. гладкости (п. 4.1) М-алгебр. Начнем с простой иллюстрации того, каким образом аб- страктю определению М-алгебру можю превратить в шстоя- щую алгебру «хороших» фужций ш некотором мюжестве. 37
38 Глава 3 3.2. Пример. Пусть Т есть IR-алгебра всех бесконечных по- следовательюстей {бц} = (^о> • • •> ^т ¦ • •)> У которых только конечюе число члеюв отличю от н/ля. Операции сложешя и умюжешя последовательюсти ш действительюе число опре- определяются почлено: {а»} + {к} = {аг + k}, \{аг} = {Хаг}, ХеШ. Произведеше {q} последовательюстей {а,} и {к} определяет- определяется формулой k+l=i Может ли эта алгебра быть реализоваш как алгебра «хороших» фужций ш некотором мюжестве? Мы шдеемся, что читатель угадал ответ. Сопоставив после- довательюсти {а,} мюгочлен J2 щх1, мы получим изоморфизм IR-алгебры Т m IR-алгебру №[х] мюгочлеюв от переменой х. Тжим образом, каждая последовательюсть {a,} G Т может рассматриваться как фужция ш М = №, принимающая в точке t G № зшчеше ^2 а$г'• 3.3. Упражшше. Пусть IR-алгебры Т\ и Т2 как линешые пространстваизоморф№1 плоскости IR2 = {(ж, у)}, аумюжеше в hix задается следующими формулами: ?2- (Xl,yi)(x2,y2) = (xiX2 + У1У2,Х!у2 + X2yi). Найдите мюжества М, для каждой алгебры Ti, г = 1,2, точю указав, какие фужций ш М, отвечают элементу (х,у) G Ti. Изоморфн>1 ли алгебры Т\ яТ2? 3.4. Вернемся к рассмотрению абстрактн>1х алгебр Т. Вспо- митя философию п. 1.16 (точка мюгообразия или состояние физической системы определяется тбором показаний измери- тель№1х приборов), введем следующие обозшчешя и определе- определения.
Алгебры и точки 39 Обозшчим через М = \J-\ мюжество всех М-гомо- морфизмов из Т в №: Мэх-.Р^Ш, f^x(f). Элементы мюжества М июгда будут шзываться Ж-точ- ками алгебры J-, а само М — двойственым пространством , или пространством М-точек алгебры Т. Далее, рассмотрим мюжество Ф всех действительных фужций ш М: Ф = {ср: М ^Щ. Мюжество Ф имеет естественую структуру IR-алгебры, опре- определяемую следующим образом: ) = (р(х)+ф(х), ) = ф)-ф(х), C.1) =\<р(х). Определим естественое отображенже т:Т^Ф, C.2) положив (т(/))(ж) = x(f). Образ алгебры Т при отображеши т будем обозшчать через J-, а образ элемента / — через /. Если бы отображенже т было изоморфизмом Т m J-, то мы могли бы рассматривать Т как реализацию Т m двойственом пространстве М = \J-\. Выяснжм, когда же т будет изомор- изоморфизмом. 3.5. Заметим сшчала, что т — гомоморфизм Ш-алгебр. ¦< Действителью, воспользовавшись определенжем отображе- Н1Я т и тем, что любой элемент х G М есть М-гомоморфизм, получаем = x(f+g) = x(f)+x(g) = f(x)+g(x) = т.е. f + g = f + ]j. Ашлогичю проверяется, что fg = f-g~B. Xf = Л/. Недоверчивому читателю рекомещуется провести эту проверку самостоятелью. >
40 Глава 3 Из доказаного утверждены, в частюсти, следует, что Т есть подалгебра IR-алгебры Ф. Начитя с этого момента мы забудем о существовав™ алгебры Ф и ограничимся рассмотре- рассмотрением М-алгебры Т. По ее определению гомоморфизм т: Т' —> Т сюръективен(т. е. является отображением ш всю алгебру Т). Хотелось бы, чтобы гомоморфизм т был также и иньективен (т. е. IE имел ядра). К сожаленпо, в общем случае это ie так. 3.6. Пример. Предположим, что алгебра Т как лигейюе про- пространство изоморфю плоскости Ж2 = {(х,у)} и произведете в Т определен» формулой {х\,У\){х2,у2) = (х1х2,х1у2 + х2у1). Покажем, что двойственое пространство М = \J-\ состоит из одюй точки. Это будет озшчать, что т ш итективю , поскольку тогда Т изоморфю №, в то время как Т двумерю шд №.. Элемент A,0), очевидю, есть единща алгебры J-, и любой элемент (ж, у) обратим тогда и только тогда, когда i ^ 0. А имено, (х, у) = (ж, —ух~2). Следователью, в алгебре Т существует едиктвеный идеал, отличили от {0}, и этот идеал X имеет вид J = {@, у)\уеЩ. Факторалгебра Т'/I естествено изоморфш Ж, и отображение факторизации q: Т —> Т'/I = Ш. есть проекция (х, у) —> х. Не существует М-гомоморфизмов Т —> Ш, отличнлх от q, так что М = {q}. 3.7. Укажем теперь условия, которым должт удовлетворять IR-алгебра Т для того, чтобы гомоморфизм т был иньективен (и, следователью, являлся изоморфизмом). Предложеше. Гомоморфизм т иньективен тогда и только тогда, когда идеал I^J-) = (~) Кегх тривиален хем
Алгебры и точки 41 •^ Заметим, что т(/) = / = 0 в том и только том случае, когда fix) = x(f) = 0 для любого х Е М. Но это и озшчает, что > Доказаное предложена мотивирует следующее Определеше. IR-алгебра Т шзывается геометрической, если J(.F) = р| Кегж = {0}. (Алгебра Т из примера 3.6 не является геометрической, по- поскольку для нее Х{Т) =1 = {(О,у)\у el}^ 0.) Подчеркнем, что алгебра, двойственое пространство кото- которой пусто, не может быть геометрической. Упражшше. 1. Докажите, что алгебра полиюмов Щхг,..., хп] является геометрической. 2.Пусть V конечюмерюе векторюе пространство тд Ш. и пусть G: V —> V — линейн>ш оператор. Рассмотрим алге- алгебру J-'g порождению, как векторюе пространство Gk, k = 0,1,...,. Опишите операторы G для которых алгебра J-'g явля- является геометрической. В пп. 3.5, 3.7 мы фактически доказали следующий важшй результат. 3.8. Ъорема. Лбая геометрическая Ш-алгебра каютчески изоморфш Ж-алгебре J- фунсций, определеных ш двойствен- юм пространстве Ж-точек М = \J-\ = Нотк(^-*,Ж) согласю правилу f{x) = x(f). > Имея в виду этот изоморфизм, мы будем, тчитя с этого места, отождествлять абстрактнее IR-алгебры J-, которые будут предполагаться геометрическими, с IR-алгебрами J- фунсций ш двойственых пространствах М = \J-\. Обозшчеше J- не будет использоваться, и элементы / G Т часто будут рассматриваться как фунсций М —> Ж. 3.9. Упражшше. Проверьте какие из следующих алгебр являются геометрическими.
42 Глава 3 1. Алгебра №[[#!,..., хп]] формалыых степеных рядов. 2. Фактор-алгебра Щхъ...,xn]/f кЩх1:...,хп], f e Щхъ...,хп]. 3. Алгебра ростков гладких фужций в точке Oet". 4. Алгебра всех гладких огрангченых фужций. 5. Алгебра всех гладких периодических (периода 1) фуж- фужций ш № (см. п. 3.18). 6. Подалгебра предыдущей алгебры, состоящая из всех четных фужций. 7. Алгебры Т\ и J~2 описаные в упражненш 3.3. 8. Алгебра всех дифферещиалыых операторов с постоян- постоянными коэффициентами в Ш.п (умюжеше в этой алгебре есть композиция операторов). 3.10. Алгебра J~s фужций, соответствующих измерительным устройствам классической физической системы (см. пп. 1.9, 1.15), всегда является геометрической. Это свойство есть мате- математическая реализация физического постулата, гласящего, что если все показания двух приборов совпадают при любых со- стояшях системы, то эти устройства измеряют один и тот же физический параметр (т. е. приборы дублируют друг друга, и одиниз hix является лишнш). 3.11. Предложеше. Для произвольюй №-алгебры Т фактор¦- алгебра J-/I(J-): где 1(J-) = f] Кегр, является геометри- ческой и \Т\ = \Т/Х{Т)\. < Определим отображение (р: \Т/Т(Т)\ —> \Т\, сопоста- сопоставив каждому гомоморфизму Ъ: Т'/Т(Т) —> Ж гомоморфизм (р(Ь) = а = Ь о рг, где рг есть отображение факторизации Покажем, что отображение (р биективю (т.е. взаимю од- юзшчю). Очевидю, <р(Ъ\) ^ fip-i), если Ь\ ^ Ъч, так что (р — иньективюе отображение. Пусть теперь а & \Т\. Ъгда Кета D 1{3~)- Поэтому формула Ъ{д) = a(f), где д € JF/Z(JF) и / G Т — произвольный представитель класса смежюсти д,
Алгебры и точки 43 корректши определяет гомоморфизм Ь: J-fX(J-) —> №. Нетруд- Нетрудна проверить, что <р(Ь) = а, т. е. отображение ip есть сюръекция. Тжим образом, ip отождествляет \J-\ и \J-/X(J-)\. Пусть, далее, Ь € |JF/Z(JF)| и а = <^(Ь) = 6 о рг. Ъгда Кег Ь = Кег a/Z(F). Отсюда 1{Т/1{Т))= р| Kerb = р| (Кега Ь^\Т1Х{Т)\ ае\Т\ Кег а) / Х{Т) = Т{Т)/Х{Т) = {0}. 3.12. Для заданий геометрической №-алгебры Т введем то- топологию ш двойственом мюжестве М = \J-\. С физической точки зрешя два состояния s±, S2 класси- классической системы S (две №-точки) близки, если близки соответ- соответствующие показания всех измерительнэ1х устройств, т. е. для любого измерительного устройства D выполнен) условие fD(s2)e}fD(s1)-e,fD(s1)+e[. Мы выразим эту мысль математически, сказав, что топология ш М задается базисом открытых мюжеств вида f~1(V), где V С № — открытое мюжество и / G Т. (Заметим, что выра- жеше /-1 имеет смысл только потому, что мы отождествили Т с алгеброй фужций /: М —> №.) Говоря ишче, топология в двойственом пространстве М = \J-\ является самой слабой из всех, для которых все фунсции из J- wnpepbiemi . 3.13. Предложеше. Ъпология пространства \J-\, введения в предыдущем пунсте, хаусдорфова. < Пусть х я у — две различные точки пространства |JF|, т. е. разные гомоморфизмы из Т в №. Это озшчает, что существует такой элемент / € Т, для которого f(x) 7^ /(?/)> тпример f{x) < f(y). Ъгда мюжества
44 Глава 3 суть непересекающиеся окрестюсти точек х и у. > Теперь, говоря «пространство М = \J~\», мы будем подра- подразумевать топологическую (хаусдорфову) структуру ш М = \J-\. 3.14. В этом пужте мы будем предполагать, что J-q есть не- некоторая IR-алгебра фужций ш заданом мюжестве Mq. Суще- Существует естественое отображение в: Мо —> \J-q\, которое точке а Е Мо ставит в соответствие гомоморфизм / н-> f(a). Дру- Другими словами, 9(a)(f) = f(a), а Е Мо, поэтому если элемент / Е J-q, рассматриваемый как фужция ш двойственом про- пространстве |JFO|, обращается в н/ль ш мюжестве 9(М0), то / есть н/ль алгебры JF0. В частюсти, алгебра JF0 будет геометрической и справедливо следующее Предложеше. Ели J-q есть подалгебра Ж-алгебры тпре- рывтх фужций ш топологическом пространстве Mq, то отображеше в: Mq —> \J-q\ тпрерывю. < Предположим, что U = }~г(У) —базисюе открытое мюже- ствов \J-q\. По определенно гомоморфизм JF0 —> Мпришдлежит U тогда и только тогда, когда переводит фужцию / в некоторую точку открытого мюжества V С Ш. Поэтому обратили образ в~г(и) состоит из всех точек а е Мо, для которых /(а) Е V, и, следовательно есть открытое подмюжество в М. > Отметим, что это предложеше применимо в общем для тс случае (когда J-q — произвольна геометрическая IR-алгебра и Mq = \J~q\), поскольку Mq есть топологическое пространство и элементы J-q есть непрерывнее фужций ш нем (см. п. 3.12). Упражшше. Опишите двойственое пространство для следу- следующих алгебр: 1. Щх,у]/хуЩх,у]\ 2. Ш[х,у, z}/(x2 + y2 + z2- 1)Щх,у, z]. 3.15. Пример. Пусть Т = Ш. [xi,... ,хп] — М-алгебра мю- гочлеюв от п переменых. Каждый гомоморфизм а: Т —> Ш. одюзшчю определяется вектором (Ai,..., Ап), где Aj = a(xi),
Алгебры и точки 45 поскольку к\...кп c*i- • • • (а(хп))кп к\...кп п ¦ Далее, отображение Т заданое правилом, Ck1...knxl ¦ ¦ ¦ хп \ fel \К„ fel...fenAl • • -ЛП ) для любых Ai,..., Хп G Ш. является гомоморфизмом алге- алгебры Т m Ш.. Следовательно, двойственое пространство \J-\ в этом случае естествено отождествляется с пространством Ъпология, определения т пространстве \Т\ (см. п. 3.12), совпадает с обычюй топологией пространства Ш.п. А Действителью, мюжество f~1(V), где / — мюгочлени V открыто в №, является открытым, поскольку мюгочле№1 явля- являются непрерывнэши фужциями. Далее, открытый шар радиуса г с центром (bi,..., Ъп) можю представить в виде /~1(М+), где R+ = {t e R | t > 0}, если взять = г2 - г=1 Поскольку такие шары образуют базис в обычюй топологии ш Rn, две рассматриваемые топологии совпадают. > 3.16. Пример. Пусть Т = C°°(U) — алгебра гладких фуж- ций ш открытом мюжестве U cRn яв: U —> |JF| — отображе- отображение, определеное формулой 9(x)(f) = f(x), x E U, f E J7. Покажем, что отображете в есть гомеоморфизм, так что двойственое пространство \C°°(U)\ гомеоморфю U. ¦< Поскольку иньективюсть отображешя в очевидш (элемен- (элементы / суть фужции ш U), мы шчишем с доказательства его
46 Глава 3 сюръективюсти. Пусть р G \J-\, т.е. р: Т —> Ш. есть гомомор- гомоморфизм М-алгебр. Выберем гладкую фужцию / G C°°(U), у которой все поверхюсти уровш компакт1ы (такая фужция существует со- гласю предложение 2.7). Ъгда компактю, в частюсти, мю- жество L = f~1(X), где Л = p(f). Предположим, что точке р не соответствует нжакая точка мюжества U. Ъгда для любой точ- точки а Е U существует такая фужция /о € Т, что /о(а) ^ p(fa)- Мюжества Ua = {xeU\fa(x)^p(fa)}, aeL, образуют открытое покрытие L. Поскольку мюжество L ком- компактю, мы можем выбрать из этого покрытия когечюе подпо- подпокрытие {Uai,..., Uum\. Рассмотрим фужцию г=1 Это гладкая фужция, которая шгде ie обращается в 1уль, поскольку в точках L ie обращается в 1уль хотя бы одт из фужций fai — p(fai), a bie L отличш от 1уля фужция / —p(f). Следователью, фужция 1/д также пришдлежит Т, т.е. д — обратимый элемент алгебры /. Поскольку р есть гомоморфизм М-алгебр (а мы рассматриваем только увжтарнле гомоморфизмы), р(д) ^ 0. Но по определенно фужций д PiS) = Ш) -Р(/)J + $>(/«,) -p(/ajJ = 0. Полученое противоречие и доказывает сюръективюсть ото- отображения в. Ъ, что в есть гомеоморфизм, гемедлено следует из пред- ложешй 3.14 и 2.4. > Ълько что доказаный результат, в частюсти, озшчает, что|С°°(Мп)| =Rn. 3.17. Упражшше. Опишите дуальюе пространство для ка- каждой из следующих алгебр:
Алгебры и точки 47 2. C 3. Алгебра гладких четнлх фужций ш прямой. 4. Алгебра гладких четнлх фужций периода 1 ш прямой. 5. Алгебра гладких периодических фужций ш прямой, имеющих рациошлыый период (не общий для всех). 6. Алгебра фужций, заданых ш всей прямой в виде отюшешя двух мюгочлеюв p(x)/q(x), q(x) ф 0 для всех жей. 7. Алгебра фужций из предыдущей задачи с дополштель- 1ым условием degp(x) ^ degq(x). 8. Алгебра фужций, заданых ш всей прямой в виде отюшешя двух мюгочлеюв p(x)/q (x), где q(x) не то- ждественый н/ль (т.е. рациотлыых дробей). 9. Подалгебра {/ е С°°(М2) | f(x + l,y)= f(x,y)} алге- алгебры С°°(М2). 10. Подалгебра {/ е С°°(М2) | /(ж + 1,-у) = f(x, у)} алгебры С°°(М2). 11. Подалгебра {/ е С°°(М2) | /(ж,у + 1) = /(ж, у) = /(ж + 1,у)} алгебры С°°(М2). 12. Подалгебра {/ е С°°(М3 \ 0) | /(ж, у, г) = f(Xx, Ay, Az), V А ф 0} алгебры С°°(М3\0). 13. Подалгебра {/ е С°°(М2) | /(ж + 1, -у) = f(x, у) = /(ж, у + 1)} алгебры С°°(М2). 14. Подалгебра {/ е С°°(М3 \ 0) | /(ж, у, г) = f(Xx, Ay, Az), VA e M+} алгебры С°°(М3\0). 3.18. Пример. Пусть JF состоит из всех гладких фужций периода 1 ш прямой IR1. Как обычю, каждая точка a G К1 определяет гомоморфизм Т —> Ш. (/ н-> f(a)). Одтко разную точки могут определять одини тот же гомоморфизм — это будет происходить, если расстояние между точками есть целое число.
48 Глава 3 Покажем, что любой гомоморфизм Т —> Ш. определяется некоторой точкой aGR. ¦< Доказательство проводится так же, как и в предыдущем пужте. А имено, предположим, что гомоморфизм р: Т —> К1 IE определяется шкакой точкой aeffi1. Ъгда для любой точки a G Ш. существуетфужция /о G J-, такая, чтор(/а) ^ /о(а). Из покрытия замкн/того интервала [0,1] открытыми мюжествами вида иа = {х е Щ fa(x) + P(fa)}, a e ш, выберем конечюе подпокрытие Uai,..., Uam. Фужция г=1 не обращается в н/ль ш [0,1] и, в силу периодичюсти, шгде ш Ш1. Следователью, 1/д G Т. Далее рассуждаем, как в предыдущем пужте. > Следователью, в рассматриваемом случае \Т\ может быть отождествлею с факторпростраютвом IR/Z, где Zcffi — под- подгруппа целых чисел. Когечю же, M/Z есть S1 — окружюсть. Иким образом, мы строго доказали, что гладкие периодиче- периодические фушции периода 1 ш прямой — это фактически гладкие фунсции ш окружюсти , что шходится в полюм соответствии с шшими интуитивными представлешями. 3.19. Пусть теперь Т\ и JF2 — геометрические М-алгебры и (р: Т\ —> Тч — гомоморфизм М-алгебр. Для двойственых пространств l^il и \Тъ\ определею двойственоеотображение которое переводит точку х G JF2 в точку х о tp e Т\. Покажем, что отображете \ tp \ тпрерывю . < Рассмотрим базисюе открытое мюжество U = }~г(У) С Т\, где /gJFxhV^cIR — открытое мюжество. Ъгда U содержит все точки х G j^ij такие, что f(x) G V. Обратили образ U отюсителью \ip\ состоит из всех точек у G l^l, таких, что
Алгебры и точки 49 \<p\(y)eU,T.e.f(\<p\(y)) EV.Ho /(МЫ) = 1(У о if) = (у о <p)(f) = (читателю рекомещуется проверить каждое из этих равенств!). Следователью, мюжество |(У9|~1FГ) состоит из всех таких точек у Е 1^1, что (f(f)(y) Е V. Тжим образом, |(У9|~1FГ) откры- открыто. > 3.20. Если ifi: Т\ —> J-2, фъ'- Ръ —> У~з — гомоморфизмы геометрических IR-алгебр Т\, Тч, 3~з, тогда, очевидю, <fi\ = \<fi и Далее, если для гомоморфизма ip: Т\ —> J~2 существует обрат- 1ый <f~1, то l^) = М- В частюсти, если if — изоморфизм, то \ip\ — гомеоморфизм. 3.21. Итак, теперь мы умеем по заданой абстрактюй гео- геометрической IR-алгебре |Т\ строить такое хаусдорфово тополо- топологическое пространство М = \J-\, что Т является подалгеброй алгебры всех непрерывных фужций ш нем. Может показать- показаться, что для выполнения шшей программы определения поштия мюгообразия остается только постулировать, что локалью ал- алгебра Т должш быть устроеш, как С°°(МП) (т. е. что М может быть покрыто семейством мюжеств Ei так, что ограничение алгебры Т m каждое из Ei изоморфю С°°(МП)). Оказывается, одшко, что это не так просто, как представляется с первого взгляда, и ш пути к достижение цели шм придется преодолеть технические трудюсти, связаные с поштием огратчетя . 3.22. Пример. Предположим, что Т = С°°(Ш) и IR+ С Ш — мюжество положительн>1х действительн>1х чисел. Мы можем попробовать получить алгебру гладких фужций ш Ж+, огра- Н1чив ш Ж+ фужций из Т. Рассмотрим, одшко, фужцию 1/х, которая, несомнено, является гладкой ш Ж+. Ясю, что эта фужция не является ограничением какой-либо фужций / G Т = C°°(]R). Как же получать из Т подобною фужций?
50 Глава 3 3.23. Определеше. Пусть Т — геометрическая М-алгебра и Л С \Т\ — подмюжество двойственого пространства; огра- тчетем Т А алгебры Т ш А шзовем мюжество всех фужций /: А —> Ж, таких, что у любой точки а & А существуют окрест- юсть U С Л и элемент /Е Т, такие, что (обычюе) огрангчеше фужций / ш U совпадает с огрангчевжем / (понимаемой как фужция ш |JF|) ш U. (На алгебраическом языке ограничение шзывается локализацией, эта операция будет рассмотреш шми в п. 10.6.) Очевидю, Т . есть М-алгебра. Вернемся теперь к примеру 3.22 и покажем, что фужция 1/х принадлежит С°°(М)|К . Действителью, согласю п. 2.5 для любой точки a G IR+ существует фужция а € С°°(М), которая обращается в нуль, когда х ^ а/3, и равш 1 при х ^ 2а/3. Возьмем в качестве / фужцию, которая равш 0 при х = 0 и а(х)/х при х ^ 0. Очевидю, / е С°°(М) и ш открытом интервале ]2а/3,4а/3[ фужций /и 1/х совпадают. Ашлогичн>1м образом можю показать, что любая гладкая фужция ш М_|_ пришдлежит C°°(IR)L , т. е. выполняется ра- веютво С^ Это утверждеше может быть обобщею следующим образом. 3.24. Предложеше. Пусть Т = C°°(U), где U С Шп — шпустое открытое мюжество. Ели мюжество V открыто eU= \F\, то \ ¦< Отождествлеше U = \J-\ в формулировке предложения бы- было устаювлею в п. 3.16. Предположим, / G C°°(V), x G V. Согласю п. 2.6 существуют такая окрестюсть W точки х, что W С V, и такая фужция g е С°°(Шп), что g w = f\w. Имеем также: g\w = f\w, где g = д\ц. Иким образом, / € C°°(U) т.е. C°°(V) С С°°(и)\у. Обратюе включение следует ieno- средствено из определения алгебры C°°(U) v y.
Алгебры и точки 51 Упражшше. Для мюжеств А = {1/п \ п = 1, 2, 3,... } и В = A U {0}, А С В С Ш, опишите огрангчевжя Ш[х]\А и R\xV \в- 3.25. В общем случае, когда Т является произвольюй гео- геометрической М-алгеброй, а А — подмюжеством двойственого пространства |JF|, каждой фужций / € JF соответствует ее огра- нгчевже ш А С \J-\, принадлежащее, очевидю, алгебре 3~\А- Тжим образом, мы получаем гомоморфизм огратчетя : Ра : Т —>: C;есь, как обычю, элемент / G Т рассматривается как фуж- ция ш двойственом пространстве |Т\.) Предложеше. Пусть г: J-\ —> J~2 — изоморфизм двух геоме- геометрических алгебр, А2 С |^21» Ai = |iI (^4.2)- Ъгда отображение является изоморфизмом. Л Доказательство получается непосредственой проверкой определенш. > 3.26. Теперь рассмотрим гомоморфизм огранжчешя для шиболее важюго частюго случая А = \Т\. Ък как ал- алгебра Т предполагается геометрической (различные элементы / € Т отождествляются с различными фужциями ш |JF|), гомоморфизм р иньективен Кажется доволью страным, что его сюръективюсть ie очевидш: по определенжю, даному в п. 3.23, алгебра Т ,я состоит из всех фужций, которые локалью ведут себя так же, как элементы алгебры Т, — ie ясю, почему все такие фужций должны принадлежать Т. И действителью, это не всегда так.
52 Глава 3 3.27. Пример. Пусть Т — подалгебра алгебры С°°(МП), со- состоящая из фужций, каждая из которых по модулю меньше некоторого мюгочлеш. Ъгда двойственое пространство \Т\ гомеоморфю Ш.п. ¦< Доказательство ашлогичю приведеному в п. 3.16, толь- только фужцию / с компактными поверхюстями уровш н/жю выбрать так, чтобы от принадлежала Т, ю f(x) —> сю при \\x\\ —> схэ, тпример, можю взять /: х —> \\x\\2 + 1. Ъ- гда 1// (х) —> 0 при \\x\\ —> ею и фужция 1// также при- принадлежит Т. Далее доказательство проводится так же, как ив п. 3.16. > Итак, алгебра Т ,„, = Т го„ совпадает с алгеброй С°°(МП) всех гладких фужций ш Мп. В самом деле, любая фужция / G C°°(]Rn) в окрестюсти произвольюй точки aGRn совпа- совпадет с фужцией /в, где в — гладкая фужция, обращающаяся в н/ль вне шара радиуса 2 с центром в точке а и равтя 1 вн/три кощенгричюго шара радиуса 1 (см. п. 2.5), а фужция /в, оче- видю, пришдлежит алгебре Т. Следователью, гомоморфизм р: Т —> Т\, я = C°°(]Rn) не может быть сюръектив№1м. 3.28. Определеше. Геометрическая М-алгебра Т шзывается полюй , если гомоморфизм ограничены р: JF —> JF сюръек- тивен(а зшчит, является изоморфизмом), т. е. любая фужция \Т\ —> М, локалью совпадающая с элементами алгебры Т, сама пришдлежит Т. Ясю, что алгебры C°°(U), где мюжество U С Ш.п открыто, являются полными (см. п. 3.24). Алгебра из последнего примера (п. 3.27) не является полюй. Упражшше. Какие из следующих алгебр являются полными: (i)F = R[x]; (ii) алгебра всех гладких ограшченых фужций; (iii) алгебра всех гладких периодических (с периодом 1) фужций ш IR? 3.29. Вернемся теперь к общей ситуации, когда А является подмюжеством двойственого пространства \J-\ геометрической
Алгебры и точки 53 IR-алгебры Т. Естествено задаться вопросом: можю ли ото- отождествить мюжества \Т . | и А С \J~\7 Предложеше. Пусть А С \Т\, где Т — геометрическая Ш-алгебра. Ъгда отображеше является гомеоморфизмом ш подмюжество пространства ¦< Тш. как все элементы алгебры J-, поншаемые как фужций ш двойственом пространстве \J-\, непрерывны, алгебра J-\. является подалгеброй алгебры непрерывных фужций ш A, a поэтому отображеше ji непрерывна ввиду предложешя 3.14. Далее, ji иньективю: если Oi ийг — различные точки в А, то существует фужция /о G J-, пришмающая различные зшчешя в этих точках, ю фужция /о А, принадлежащая алгебре Т А, пришмает в точках а\ и а^ те же зшчешя, что и /о, так что эти точки определяют различные гомоморфизмы Т А —> Ш. Чтобы доказать непрерывюсть обратюго отображешя jjT1 : ji{A) —> А, рассмотрим базисюе открытое подмюжество мюжества А, имеющее вид А П f~1(V), где / G J-, V С Ш. — открыто. Это подмюжество отображается ш мюжество fj,(A)n(f A)~1{V), т. е. ш открытое подмюжество пространства ц{А). > Если А С В С \Т\, то из определешя 3.23 сразу же вытекает, что [Г в) А = Т А. Совпадеше Ц,{А) с I^Ll дало бы положительный ответ ш вопрос, поставленый в шчале шстоящего пужта. Из пред- предложешя 3.24 следует, что такое совпадеше имеет место для алгебр Т = C°°(U), где U С Шп открыто, если А С \F\ = U также открыто. Однжо в общем случае это не так. 3.30. Пример. Пусть Т = Щх]. Ъгда (см. п. 3.15) \Т\ = R. Пусть А = IR+ С Ш. — положительтя полупрямая. Ъгда гомоморфизм ограшчешя рд: Ш[х] —> Ш[х}\ является изо- изоморфизмом, так как любой мюгочленстепеш п определяется
54 Глава 3 своими зшчешями в (п+1) точке, а зшчит, и своими зшчеш- ями ш №+. С другой сторон>1, отображение ц: №+ —> \Ш[х] является вложешем К+ в К = \К[х = Щ [х] I, так что в дан юм случае Л = №+ и |JF ^| = № не могут быть отождествлены. 3.31. Упражшше. Определите двойственым пространством какой М-алгебры является конригурационое пространство за- даного шаршрюго механизма (см. п. 1.14). 3.32. Во избежаше ситуаций, подобн>1х описаной в примере 3.30, шм пошдобится условие, гарантирующее биективюсть отображены ji: A —> \Т А\, аи(/н /И)- Определеше. Геометрическая М-алгебра Т шзывается за- мкщтой отюсителью гладких композиций или С°°-зам- С°°-замкнутой , если для любого конечюго шбора ее элементов /ъ ¦ ¦ ¦ 1 fk € J- и любой фужции g E C°°(R.k) шйдется та- такой элемент f E J-, что /(а) = g(fi(a),..., ЛИ) Для всех а ^ l-^l- C-3) З.метим, что участвующая в определении фужция / G Т определеш одюзшчю ввиду геометричюсти алгебры Т. В случае когда Ts — это алгебра фужций, определяемых ш некоторой физической системе S с помощью измерительных приборов, С°°-замкнутость алгебры Ts всегда имеет место. Это следует из того, что сложшя фужция C.3) может быть получеш с помощью устройства, синтезирующего фужцию g(fi, ¦ ¦ ¦, fi) — см. п. 1.10. 3.33. Упражшше. Проверьте какие из алгебр, перечислен ных в упражнении 3.28 замкнуты. 3.34. Покажем теперь, что отображете fi: А —> \Т А\ (см. п. 3.29) сюръективю (и поэтому является гомеоморфизмом) для С°°-замкнутых алгебр Т при любом базисюм мюжестве А: А = {а е \Т\ | а < h(a) </3}, a,/3eR, he T. (в более общей форме шм этот факт в дальнейшем не потребу- потребуется).
Алгебры и точки 55 ¦^ Ввиду следствия 2.3, существует такая фужция д G Сс что (? = 0 ш IR \ ]а,/3[ и (? > 0 m ]а, f3[. Ък как алгебра JF является С°°-замкнутой, существует такая фужция / G J-, что /(а) = g(h(a)) для всех точек а G jJ7). Поэтому /(а) > 0 при а е А, и / Л является обратимым элементом алгебры JF ^. Далее, пусть Ъ' G |JF| — образ какой-либо точки Ь € \^\^\ при естественом отображенжи \Т А\ —> \J-\. Если Ъ' ф А, то О = f(b') = (/ A)(b), что противоречит тому, что фужция / А обратима. Ъшш образом, /i(A) = |JF|^|. > 3.35. Имея в виду результат пужта 3.34, хотелось бы превра- превратить геометрическую М-алгебру Т в С°°-замкнутую алгебру Т. Наиболее прямой путь к этому следующий. Отождествляя Т с соответствующей алгеброй фужций ш \Т\, рассмотрим мю- жество Т фужций ш \Т\, пред ставимых в виде g(fi,...Ji), где leN, /i,...,//e^, geC^iR1). На мюжестве Т есть очевидтя структура IR-алгебры, причем Т является подалгеброй алгебры Т. Обозшчим естественое вложенже Т С Т символом i^. Тш. как композиция гладких фужций — сюва гладкая фужция, Т является С°°-замкнутой алгеброй. К тому же это геометрическая алгебра, так как состо- состоит из фужций, заданых ш некотором мюжестве (см. п. 3.14). Тжим образом, мы построили естественое вложенже произвольюй геометрической IR-алгебры Т в С°°-замкнутую М-алгебру Т, которую будем (временю) шзывать С°°-замы- катем Т. Эта алгебра обладает замечательным свойством. 3.36. Предложеше. Лбой гомоморфизм а: Т^ —> J-' из гео- геометрической Ж-алгебры Т в С00'-замкщтую Ж-алгебру J-' мо- может быть едингтвеным образом продолжен до гомоморфизма a: J- —> J-', заданого ш С°°-замыкати алгебры Т. ¦< Предположим, что требуемое продолжеше «существует, т. е. а = а о i-p, где г^: Т —> Т — естественое вложенже. Ъгда
56 Глава 3 из п. 3.20 следует, что \а\ = \г?\ о \а\. Зкесь \а\ обозшчает двойственое отображение (см. п. 3.19). Далее, для любой точки a G | Т'\ имеем = g(f1,...Jl)(\a\(a))=g(tAfi),...^Afi))(\u\(a)) = д(М\а\(а)),..., Отсюда ввиду геометричюсти J7' Если отображеше а существует, последшя формула доказы- доказывает его едиктвеность. Для доказательства существовашя можю воспользоваться этой формулой, как определешем а, если устаювить, что ее правая часть корректю определет, т. е. если показать, что из равенства g(fi, ¦ ¦ ¦, fi) = g'(fi, ¦ ¦ ¦, ///) следует, что ^(«(/i),..., a(/j)) = g(a(f[):..., a(///)) Ък как T' — геометрическая алгебра, достаточна доказать последнее равектво в произвольюи точке о! € \Т'\. Но = 9{fi{a),..., fi(a)) = g{h,..., ft)(a), где а = |a:|(а'). Ашлогичю, Сравнивая две последнее формулы, получим, что гомомор- гомоморфизм а корректю определец что и завершает доказатель- доказательство. > 3.37. Зомечателью, что предложение 3.36 полюстью харак- характеризует С°°-замыкан1е Т геометрической М-алгебры Т. Для объяснения этого факта в адекватных термишх пошдобится следующее
Алгебры и точки 57 Определеше. С°°-замкн/тая геометрическая IR-алгебра Т вместе с гомоморфизмом г: Т—> Тшзывается гладкой оболоч- оболочкой IR-алгебры Т', если для любого гомоморфизма а: Т —> Т' из алгебры Т в геометрическую С°°-замкн/тую IR-алгебру Т' шйдется едигственоерасширенте а гомоморфизма а (т.е. та- такой гомоморфизм а: Т —> J-', что a = aoi). Другими словами, при заданых предположешях диаграмма т ^^я -i / а всегда может быть пополнен* (при помощи пужтирюй стрел- стрелки а) до коммутативюй. Ъперь из предложения 3.36 вытекает, что С°°-замыкайте Т (см. 3.35) является гладкой оболочкой алгебры Т. 3.38. Предложеше. Гладкая оболочка любой Ж-алгебры J- едиттвена с точюстью до изоморфизма. Ъчте, если пары (^fc, •?"*&), к = 1,2, являются гладкими оболочками алгебры J-, существует едиттвепый изоморфизм j: Т\ —> J~2, для которого %2 = j ° ii- Другими словами, следующая диаграмма коммутативт _ 3 _ 3 Т < Прежде всего заметим, что для любой гладкой оболочки (i, T) алгебры Т любой гомоморфизм a: JFfc —> Т, для которого а о г = г, является тождественым отображением, а = icbp (в самом деле, по определенно 3.37 «решеше уравгешя а о г = i» едиктвено, а у этого уравгешя существует очевидюе решеше
58 Глава 3 Далее, согласю тому же определенно для ( ч, J-\), гомомор- гомоморфизм %2 '¦ Т —> J~2 едигственым образом представляется в виде ^2 = ji ° Ч, где ji: Т\ —> J-2 — гомоморфизм. Ашлогичю, Ч = J2 ° «2, где j2 : J-2 —> Т\ — также гомоморфизм. Поэтому i2 = j± oi1= j± о (j2 о i2) = (ji о j2) о i2. Ввиду замечашя в шчале доказательства отсюда следует, что ji о j2 = i(kp2. Ашлогичю, j2 о j\ = idyl. Ъким образом, ji и J2 — обратное друг другу изоморфизмы, и для завершешя доказательства достаточю положить j = j\ (едиктвеность изоморфизма следует из определешя гладкой оболочки). > Непосредствено из предложешя вытекает, что временый термин« С°°-замыкан1е» (см. п. 3.35) характеризуется своим ушверсалыым свойством, приведеным в предложеши 3.36, и, зтчит, совпадает с термиюм «гладкая оболочка». Имено последшй термини будет употребляться в дальнейшем. 3.39. Согласю определенно 3.37 гладкая оболочка Т геоме- геометрической алгебры Т является объектом, который играет уш- версалыую роль в ее отюшешях (т. е. гомоморфизмах) с «ми- «миром» С°°-замкн/тых геометрических алгебр. Гладкая оболочка является, можю сказать, «полюмочнлм представителем» ал- алгебры Т в этом мире, и алгебра Т взаимодействует с последнем исключителью через этого представителя. Читатель, возможю, заметил, что рассуждешя в п. 3.38 являются весьма общими по своей природе. Искусство отыска- Н1Я и использования таких рассуждеши является одюй из от- личителыыхчерт теории категорий, общеизвестюйпод шзва- шем абстрактюй чепухи . По-видимому, прежде чем изучать эту теорию математически, шдо к гей привыкн/ть, поэтому, гепосредствено ж излагая ее, мы будем часто использовать стащартнле рассуждешя и приемы теории категорий (шпри- мер в пп. 6.4, 6.6, 6.16, 6.17). При теоретико-мюжественом подходе к математике изучают вн/тренюю природу математи- математических объектов — точечных мюжеств, сшбженых какой-либо структурой. Это биология видов. С другой сторонл, категорией
Алгебры и точки 59 подход — это что-то вроде социологии: здесь уже интересуются не свойствами отдельных объектов, а их отюшенжями (которые в теории шзываются «морфизмами») с объектами такого же или ашлогичюго типа. Можю также сказать, что категорией подход ашлогиченэксперименгальюму методу в естественых шуках, шпример в квантовой механжке, когда объекты ie изу- изучаются и не могут изучаться сами по себе, а ашлизируются через их взаимодействие с другими объектами. 3.40. Упражшше. Найти гладкую оболочку (i) алгебры Щхг,..., хп]; (ii) алгебры фужций ш прямой № вида fc=0 где пг е Сс
Глава 4 ГЛАДКИЕ МНОГООБРА31Я (алгебраическое определеше) 4.1. Полтя (см. п. 3.28)геометрическая (см. п. 3.7)М-алгебра Т шзывается гладкой, если шйдется такое не более чем счетюе открытое покрытие {Uk} двойственого пространства |JF|, что все алгебры Т тт (см. п. 3.23) изоморфнл алгебре С°°(МП) гладких фужций ш евклидовом пространстве. Фиксирование ттуральюе число п шзывается размерюстью алгебры Т. Гладкие п-мернле алгебры являются для тс главнлм объ- объектом изучения: их можю рассматривать как IR-алгебры глад- гладких фужций ш п-мернлх гладких мюгообразиях. С точки зрешя формальюй математики IR-алгебра Т полюстью опре- определяет соответствующее мюгообразие М как двойственое про- пространство М = \J-\ ее IR-точек (см. п. 3.8), и к тому же с ней удобнее всего работать: вся дифферещиалыня математика фак- фактически обращается имено с Т. Тжим образом, формалью пространство М не требуется. Одтко для того чтобы можю было тглядю представлять М как геометрический объект, шм следует шучиться работать одювремено с гладкой алгеброй Т и пространством М = \Т\ ее М-точек. Этой цели в осювюм и посвящеш шстоящая глава. Рассматривая одювремено Т и М = \Т\, мы говорим о гладком многообразии . Хотя стчала в этой паре определяется 60
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определеше) 61 второй объект, мы идем ш уступки своей геометрической инту- интуиции (и традиционой терминологии) и говорим, что Т — это алгебра гладких футций т мюгообразии М (= \Т\). 4.2. Несколько более общим является понятие гладкой алге- алгебры с краем. В этом случае для каждого элемента Uk покрытия {Uk} мы требуем, чтобы алгебра Т v была изоморфш либо С°°(Шп), либо С°°(Ш1), где а С°°(Н^_) состоит из огрангченш (в обычюм смысле) всех фужцийиз C°°(IRn) m множестве IR™. Упражшше. Доказать, что алгебры C°°(Rn) и С°°(Щ) не изоморфны. Ъчки пространства \J-\, соответствующие краю полупро- полупространства IR" при отождествлении Uk = №™, шзываются гра- точками . Упражшше. Докажите, что мюжество грангиых точек обладает естественой структурой гладкого мюгообразия (без края). Как и выше, подчеркивая геометрическую сторону этого понятия, мы будем говорить, что Т — это алгебра гладких функций т мюгообразии с краем М (= \Т\). 4.3. Лемма. Геометрическая Ш-алгебра Т, изоморфтя одюй из алгебр С°°(Шп) и С°°(М"), является С°°-замкщтой см. п. C.32). < Ммма автоматически следует из более сильюго утверждены: пусть г: Т\ —> Тч — изоморфизм геометрических М-алгебр и алгебра Т\ является С°°-замкнутой, тогда и алгебра J~2 также С°°-замкнута. Проверка этого утвержденжя совершено ашлогичш до- доказательству едшствености гомоморфизма а в п. 3.36 и не должт вызвать трудностей у читателя. >
62 Глава 4 4.4. Предложеше. Гладкие алгебры С°° -замкщты {то же справедливо и для гладких алгебр с краем). Л Предположим, что .Т7 является гладкой IR-алгеброй (возмож- ю, с краем), I е N, g е С°°(Мг), /ь • • •, fi е Т, a {Uk} — покрытие, участвующее в определено! 4.1 (или 4.2). Рассмотрим фужцию , что h: |fhl, h(a) По лемме 4.3 для любого к существует такое hk G Т WaeUk hk(a)=g(f1(a),...,fl(a)). Иким образом, в некоторой окрестюсти любой точки фужция совпадает с фужцией из Т. Ък как ввиду п. 4.1 (или п. 4.2) алгебра Тявляется полюй, то he Т. > 4.5. Пример. Предположим, что Т — алгебра гладких пери- периодических фужций ш прямой № с периодом 1: Очевидю, что Т', будучи подалгеброй геометрической алге- алгебры, сама является геометрической. Нетрудю доказать, что Т является полюй. (В пужте 4.22 можю шйти общее объяоиие полюты всех алгебр, рассматриваемых в примерах 4.5-4.8.) В п. 3.18 было показаю, что пространство \Т\ представляет собой окружюсть S1. Рассмотрим теперь фужций gi, g2 € Т\ д\ if) = sin2 тгг, д2 (г) = cos2 тгг и открытое покрытие окружюсти \Т\ мюжествами Щ = {г е \Т\ | ф) ф 0}, г = 1,2. Лгко устаювить биекции Ui <-> ]0,1[, соответствующие изо- изоморфизмам
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определение) 63 Тжим образом, алгебра Т является гладкой алгеброй размер- юсти 1, а мюгообразие, которое ош определяет, — это окруж- юсть S1 = \J-\. Ашлогичю можю устаювить, что М-алгебра Т = {/ е С°°(М2) | /(n + l,r2) = /(n,r2) V(n,r2) е Ш2} является гладкой алгеброй размерюсти 2. В этом случае про- пространство М = \J-\ гомеоморфю цилин)ру . 4.6. Упражшше. Рассмотрите вшмателыее предыдущий пример и тйдите ошибку в следующем рассужденш: «так как периодическая гладкая фужция с периодом 1 приншает одю и тоже конечюе зшчеше в кощах замк1утого интервала [0,1], тогда как алгебра С°° (]0,1[) содержит как неогранжчен- ные фужции, так и фужции, имеющие различные пределы в точках 0 и 1, то алгебра ^-" L r (где Т — алгебра гладких фужции ш Мс периодом 1) не может быть изоморфюй алгебре () 4.7. Примеры. I. Т = {/ е С°°(М2)| /(п,г2) = 1, — гъ) для всех (n, r2) G М2}. Пространство |Т\ шзывается открытым листом Мёбиуса. Рис. 4.1. II. Т = {/ е С°°(П) | f(ri,r2) = f{n + 1, -г2) для всех (n,r2) G П}, где П — полоса {(ri,r2) eRr — 1 < r2 < 1}.
64 Глава 4 Это гладкая алгебра с краем, а пространство |Т\ известю как (замкн/тый) лист Мёбиуса (см. рис. 4.1). Рис. 4.2. III. Рассмотрим следующую подалгебру алгебры С°°(М2): Т = {/ е С°°(М2) | /(п,г2) = /(п + 1, -г2) = /(п,г2 + 1) для всех (г\, r2) G М2}. Используя фужции , г2) = sin2 тгг1, /ii (n, r2) = sin2 тгг2, , Г-2) = COS2 7ГГ1, /i2 (П, Г2 ) = COS2 7ГГ2, можю покрыть пространство \Т\ четырьмя открытыми мюже- ствами /ife(n,r2) i,k = 1,2.
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определение) 65 Для каждого из этих мюжеств легко строится гомеоморфизм ш открытый квадрат, соответствующий изоморфизму М-алгебры J- ш алгебру гладких фужций ш открытом квадрате. По- этому Т jj = С°°(Ш2) и Т является гладкой IR-алгеброй раз- мерюсти 2. Пространство \Т\ известю как бутылка Клеит . Полезю представить себе, как квадраты U^ «склеиваются» при их погружено! в \Т\. Начало этого процесса изображе- ю ш рис. 4.2. Что произойдет, если процесс осуществляется в трехмерюм пространстве, показан) ш рис. 4.3 (т самом деле самопересечения по маленькой окружюсти у бутылки Клейш нет, в даном случае его тличие вызваю тем, что бутылка Клейш не вкладывается в трехмерюе пространство). 4.8. Упражшше. Докажите, что М-алгебра Т = {/ е С^(Ш2) | /(п,г2) = /(п + 1, -г2) = /(-Г!,Г2 + 1), (г!,Г2)еМ2} гладкая. Найдите как можю больше геометрических описанш топологического пространства \J-\. Докажите, шпример, что \J-\ гомеоморфю пространству, точками которого являются прямые в IR3, проходящие через шчало коордишт. 4.9. Пусть Т — алгебра гладких фужций ш мюгообразии с краем М = \Т\. Напомнш, что согласю определенно 4.2 точку р Е М мы шзываем гратчюй точкой мюгообразия М, если ош соответствует грангчюй точке полупространства IR". Мюжество всех грангиых точек обозшчается дМ и шзыва- ется краем мюгообразия М. Мы оставляем читателю доказа- доказательство следующего утверждения: если край дМ п-мерюго мюгообразия М = \Т\ т пуст, то 3~\ам является гладкой алгеброй размерюсти (п — 1) и у дМ mm грашчтх точек . Упражшше. 1. Докажите следующее утверждение если край дМ п-мерюго мюгообразия М = \J-\ ш пуст, то Т ам — гладкая алгебра размерюсти (п — 1) и дМ ш имеет гратчгых точек (см. второе упражнение в п. 4.2).
66 Глава 4 Рис. 4.3. 2. Проверьте, что многообразие d\J-\ в примере 4.7 (II) можю отождествить с окружюстью (см. п. 4.5). 4.10. З^мечаше. Далеко не очевидю, что размерюсть глад- гладкой алгебры определеш корректю, т. е. не зависит от выбо- выбора покрытия {Uk} и изоморфизмов J-\v = C°°(IRn) (см. п. 4.1). Это непосредствен*) вытекает из того факта, что алгебры С°°(МП) и С°°(Мт) т изоморфш при п ^ т. Читатель, тщателью проработавший предыдущие примеры, несомнено чувствует, что этот факт верен А более опытнлй читатель, возможю, сможет его легко доказать с помощью
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определение) 67 теоремы Сарда об особых точках гладких отображешй. Мы же дадим строгое доказательство только в главе 9, где это представляется более уместным. А пока что читатель-скептик может рассматривать размер- юсть как инзарианг покрытия {?/&}, а не самой гладкой алге- алгебры Т. 4.11. Определеше. Пусть Т — алгебра гладких фужций ш мюгообразии М, а N С М = \Т\ — его подмюжество. Если алгебра J~n = J~ N является гладкой IR-алгеброй, будем говорить, что N является гладким подмюгообразием гладко- гладкого мюгообразия М, a J~n — алгеброй гладких фужций ш подмюгообразии N. Если гомоморфизм огрангчешя г: Т —> J~n сюръективец гладкое мюгообразие N С М = \Т\ шзывается замкщтым . 4.12. Пусть N — замюутое подмюгообразие мюгообра- мюгообразия М. Достаточю ли последователыы были мы в 4.11, говоря об Tn как об «алгебре гладких фужций ш мюгообразии N»? Ответ ш этот вопрос дает следующее Предложеше. Пусть Т — алгебра гладких фужций ш мю- мюгообразии М и N С М = \J-\ — замкщтое гладкое подмюго- подмюгообразие. Ъгда I. N замкщто как подмюжество топологического про- пространства М; II. iV=|^v|- ¦< I. Пусть a G М \ N — пределыня точка мюжества N, а U С М — такая ее окрестюсть, что J- = С°°(МП). Этот изо- изоморфизм можю выбрать так, чтобы элементы алгебры 3~\Т,, со- соответствующие координшым фужциям ri,..., гп Е C°°(]Rn), обращались в н/ль в точке а. Рассмотрим фужцию ш U \ а, соответствующую фужции l/(rf+ .. ¦+r^l). Эта фужция может быть продолжеш с некоторой проколотой окрестюсти U' \ а точки а до гладкой фужции g ш подмюгообразии М \ а.
68 Глава 4 Очевидю, что огрангчеше д N пришдлежит алгебре Т N = Tn , нз IE пришдлежит образу гомоморфизма огрангче- Н1Я г: J-' —> J- N. Это противоречие показывает, что а € N. II. Рассмотрим теперь IR-точку b: Tn -*Rh композицию с = Ьо%: Т —> Ш. Предположим, что с ф N. Обобщая следствие 2.5, построим такую фужцию / € Т, что / N = 0, /(с) ^ 0. Но тогда г(/) = 0 и /(с) = 0. Получили противоречие. Ъким образом, отображеше Ь н-> с = Ь о г является биекцией l^ivl Hi N. Вместе с предложешем 3.29 это дает требуемый результат. > 4.13. Пример. Рассмотрим в IR2 мюжество S1, задавае- задаваемое уравнешем г\ + г\ — 1 = 0. Проверим, что М-алгебра JF^i = С°°(Ж2) ! изоморфш алгебре гладких периодических фужций ш прямой Ж, период которых равен1 (см. пример 4.5). < Сшчала заметим, что F& = С°°(М2)|51 = С°°(М2 \ {0})|5i и рассмотрим отображеше w:R^S1cR2, r ^ (cos27rr,sin27rr). Очевидю, соответствующий гомоморфизм М-алгебр \w\(f)(r) = f{w(r)) = /(cos27rr,sin27rr), r еШ. иньективени его образ содержит подалгебру С^Г(М) гладких 1-периодических фужций ш Ж. Чтобы доказать, что гомомор- гомоморфизм |w| сюръективец рассмотрим гомоморфизм ь: С°°(Ш2 \ {0}) определеный согласю формуле Очевидю, \w\(i(f)\si) = /• > Упражшшя. 1. Покажите, что любая гладкая нечеття фуж- ция периода 2тг ш прямой имеет вид g(x)sinx, где д{х) — гладкая нечеття фужция периода 2тг.
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определение) 69 2. Верю ли, что любая гладкая чеття фужция ш пря- прямой с периодом 2тг представима в виде /(cos x) для некоторой фужции / е С 4.14. Напомнш, что огрангчеше элементов IR-алгебры Т m подмюжество N С |Т\ было определею геометрически (см. п. 3.23). Однжо если N С |Т\ является замкн/тым гладким под- мюгообразием, то есть чисто алгебраический способ определить алгебру Tn = 3~\N- Имено, пусть An С Т — мюжество эле- элементов алгебры J-', обращающихся в н/ль ш N, т.е. AN = {feF\VaeN, f{a)=0}. Это, очевидю, идеал алгебры J-, и можю рассмотреть факторалгебру J-/A n . Существует (см. доказательство предложения 4.12) оче- видюе отождествлеше факторалгебры J-/A n и алгебры Tn = T N, для которого отображение факторизации (р: Т —> J-/A n становится гомоморфизмом ограничения р: Т —> J~n 4.15. Пример. Пусть S1—окружюсть из примера 4.13. То- Тогда, очевидю, Agi — главнэш идеал в С°°(Ж2), порождений фужцией г\ + г\ — 1. ¦< Пусть / G Agi. Докажем, что /(п,г2) = g(ri,r2) ¦ {г\ + г\ - 1) для некоторой фужции д Е С°°(Ж2). Ввиду полюты алгебры С°°(Ш2) достаточю построить фужцию д в некоторой окрест- окрестности окружюсти S1, скажем в М2\{0}. Для этого введем
70 Глава 4 вспомогателыые фужции , . 1-t {t t\ /i(V и, используя ди dt I 1, 12) — ь ¦ Г1,Г2)=/ очевиднее 1 (п ¦ u(t, Г] *г2), соотюшешя 1 г\ 9 i 9 1 + Го 1 -? + г; г2 + ¦u(t,ri г2 1 - \Л?4 /i@, ri,r2) = 0 (так как / G Asi), /i(l,ri,r2) =/(ri,r2), получим 1 — (t:r1:r2)dt = 0 J I П —(riti,r2ti)+r2 — Первый сомюжитель в последнем выражеши и есть искомая фужция g(ri,r2). > 4.16. Упражшше. Пусть А = С°°(Ж2). Покажите что алге- алгебра А/(у2 — хд)А IE является гладкой. Стандартней чисто алгебраический подход к решенно по- добн>1х задач осюванш следующих соображениях: 1. Если алгебра является гладкой, то ее локализация по мак- симальюму идеалу изморфш алгебре ростков гладких фужций ш некотором пространстве Жк в шчале коордишт, см. пример III шстр. 212; 2. Формальюе пополнение этой локализации изоморфю алгебре формалыых степеных рядов.
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определеше) 71 Зщача, одтко, решается гораздо проще, если использо- использовать элементарнее средства дифферещиальюго исчисления в коммутативных алгебрах (см. упражнение 9.34). 4.17. Леммы. Нетрудю обобщить утверждения 2.3-2.7 с Ш.п ш произвольные мюгообразия. В частюсти, для любой ал- алгебры Т гладких фужций ш мюгообразии М справедливы следующие утверждения. I. Для любого открытого мюжества U С М существует такая футция / G Т, что fix) > 0 для всех жеG, f(x) = 0 при х ^U. II. Для любых двух тпересекающихся замкщтых подмю- жеств А, В С М шйдется такая футция f G J-, что fix) = 0 для всех х € А, f(x) = 1 для всех х G В, О <f(x) < 1 в остальных случаях. (Возможю, читатель уже получил более слабое утверждеше, прорабатывая предложение 4.12.) III. Существует футция f G Т', все поверхности уровня которой компактны. 4.18. При доказательстве лемм 4.17 (I-III) может быть полез- полезным следующее утверждеше, известюекак «лемма о разбиеши единщы»: если {Ua} — локалью конгчюе открытое покры- покрытие пространства М = \J-\, то существуют такие футции /а е Т, что faix) =OnpuxeM\UauY,a fa{x) = 1. {Л- калью конечным является такое покрытие {Ua}, что у любой точки х Е М шйдется окрестюсть U С М, пересекающаяся с конечным числом мюжеств Uа.) Мы предлагаем читателю попытаться доказать это утвер- утверждеше сшчала для частюго случая, когда покрытие {Ua} сшбжею изоморфизмами J-\v = C°°(IRn) (или диффеомор- диффеоморфизмами Ua = Жп).
72 Глава 4 4.19. Предположим, что Т — алгебра гладких фужций ш мюгообразии М. Рассмотрим действие группы ш гладком мю- мюгообразии, т.е. такое семейство Г автоморфизмов ^: J- —^ J-, что (i) 7i,72 е Г =^71 °72 е Г, (ii) 7 е Г => 7 е Г. Пусть JFr С JF — подалгебра фужций, ижарианпых отюси- телью этого действия, т.е. Tv = {/е^|7(/)=/ Длявсех7еГ}. 4.20. Лемма. Пусть J-T — подалгебра фужций, итари- amimix отюсителью действия группы Г т М = \J-\ (п. 4.19). Рассмотрим J-T как Ш-алгебру фужций ш \3~Т\- Е- ли J-T содержит фужцию, все поверхности уровт которой компактны, то алгебра Tv геометрическая. < Доказательство — дословюе повторена доказательства предложены 3.16, если учесть, что применяемые там опера- операции сохраняют Г-швариангюсть. > В частюсти, если мюжество |jFr| компактю, то алгебра Tv всегда является геометрической. 4.21. Чтобы шучиться представлять себе алгебру J-T Г-шварианпых фужций ш мюгообразии |JF| = М, рассмо- рассмотрим орбиту Оа = ||7|(а) I 7 е Г} для каждой точки а € М. Обозшчим мюжество всех орбит через N. Элементы алгебры Tv могут пониматься как фужций ш N. Действителью, если Ь = |7|(а) ^ Са и / € Т является Г- ижариангюй фужцией, то f(b) = /(а). Другими словами, каждая «точка» мюжества N (т. е. каждая орбита) определяет IR-точку алгебры J-T, так что имеется естественое отображеше Это отображеше будет биективном, если выполняются следу- следующие два условия.
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определение) 73 I. Абой гомоморфизм a: J-T —> Ш может быть продолжен до гомоморфизма а: Т —> Ш. (сюръективюсть). II. Если Ь ф Оа, то существует фужция / G J-T, для которой f(b) 7^ /(о) (иньективюсть). Эти два условия удовлетворяются, шпример, если группа Г конечш. В качестве упражнения для читателя оставляем их проверку в примерах 4.24 и 4.25 (см. нгже). 4.22. Предложеше. Алгебра J-T Г-инзариамтых фунсций т гладком многообразии М = \J-\ является полюй, если выполняются условия I, II из п. 4.21 и предположетя лем- леммы 4.20. < Дбая действительюзшчтя фужция /: \Т] деляет с помощью проекции М —> N = \Т' -> К опре- (а » Оа) фужцию f:M —> Ж. Если в окрестюсти любой точки Ь = Оа Е \J-r\ фужция / совпадает с некоторой фужцией из J-T, то Г-ижариангтя фужция / совпадает с некоторой гладкой фужцией (из J-) в окрестюсти точки a G \J-\. Тш. как Т является полюй алгеброй, то / € Т и / G Tv. > 4.23. Ясю, что мюжество N орбит действия группы Г ш мю - гообразии М = \Т\ является фактормюжеством мюжества М по отюшенио эквиваленгюсти, при котором отождествляются точки вн/три каждой орбиты. Определеше. Предположим, что N совпадает с | Tv \, а алгебра Tv гладкая (или гладкая с краем); тогда говорят, что Tv — ал- алгебра гладких фужций ш фактормюгообразии мюгообразия М по действию группы Г. Следуя традиции, мы часто будем обозшчать фактормюго- образие М/Т, хотя июгда такое обозшчеше может приводить к заблуждению (так же, как обозшчеше |^1). 4.24. Примеры. I. В примерах 4.5 и 4.7 (I) фактически были рассмотрена фактормюгообразия прямой № и плоскости Ж2 по циклической группе изометрий Z (см. рис. 4.4). II. В примерах 4.7 (Ш) и 4.8 мы рассматривали фактормюгообразия по отюшен ию к действию групп изометрий
74 Глава 4 Рис. 4.4. с двумя образующими. В качестве факультативного упраж- нешя мы предлагаем читателю изобразить, как отображеше : IR2 —> \J-\ (см. п. 4.7 (III)) завертывает бутылку Клеша в плоскость. III. Рассмотрим действия ш Т = С°°(МП) свободюй абеле- вой группы Гсп образующими7ъ • • •, 7п> гДе Ъ — параллель- 1ый переюс ш един1Ч1ый вектор вдоль i-я коордишты, т.е. Г„) = _1, 74 для всех f E J-, (ri,...,rn) G W1. Мгко видеть, что Tv является подалгеброй всех фужций ш CRn, периодических с периодом 1 по каждой переменой. Обобщая рассуждешя пп. 4.5, 4.7, читатель легко проверит, что факторпрострактво пространства Ш.п по этому действию является гладким много- многообразием. Это мюгообразие известю как п-мерняй тор и обо- зшчается Тп. (Очевидю, Т1 = S1. Самый популярней случай, п = 2, упомишлся во введеши как поверхюсть бублика.)
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определение) 75 4.25. Примеры. I. Рассмотрим М-алгебру Мультипликативтя группа Ж+ действителыых положитель- положительных чисел действует ш Т посредством автоморфизмов hx, A > 0: , • • •, Arn+i) для всех feF, (ri,..., rn+i) e Mn+1 \ {0}. Оказывается, что соответствующее фактормюжество является гладким многообразием. Обобщая рассуждеше п. 4.13, пока- покажите, что фактормюгообразие Мп+1/М+ может быть отожде- отождествлен» с замкн/тым подмногообразием в Жп+1, точки которого удовлетворяют уравнение г\ + ... + г^+1 = 1. Это п-мершя сфера S. Докажите, что идеал As» = {/ е Т, f(a) = 0 для всех а Е Sn} является главным идеалом, порожденым фуж- цией (п,..., rn+1) ^rf + ...+ r2n+1 - 1. II. В предыдущем примере заменш группу Ж+ ш мульти- мультипликативною группу № всех нен/левых действительнэ1х чисел (с действием, описываемым той же формулой). Докажите, что факторизация пространства М = \J-\ по этому действию при- приводит к гладкому многообразию. При п = 2 проверьте, что его можно отождествить с проективной плоскостью (см. п. 4.8). В общем случае это многообразие известно как п-мерюе дей- ствительюе проективюе пространство и обозшчается ШРп. III. ЖРп можно также получить из Sn, п > 1, факторизуя по действию группы Z2 = Ш. /Ш+. Геометрически можно пред- представить, что факторпрострактво получею «склеивашем» всех пар диаметралью противоположных точек ш сфере. аметим, что RP1 =* S1. 4.26. Упражшшя. 1. Пусть Г — группа автоморфизмов ал- алгебры Т = С°°(Ж2) с одюй образующей ^: = f(-ri,-r2) длявсех (гьг2)еМ2, / Е Т.
76 Глава 4 Покажите, что алгебра J-T Г-ижарианпых фужций не явля- является гладкой (и даже гладкой с краем). 2. Пусть Г — группа вращенш плоскости вокруг тчала коордитт: i | /cosю — sinю\ ГУ = I 1 ' у sin ip cos <у9 у ' 7(/)(ri,T2) = f(ricos(p — r2 sin <?, ri sin <? + r2 cos <^) для всех (гьг2)еМ2,/е^ = Cc Покажите что пространство \J~T\ есть замкн/тая полупрямая так что J-*r — алгебра гладких фужций ш мюгообразии с краем. Объясните, почему эта алгебра не совпадает со всей алгеброй гладких фужций ш полупрямой? 4.27. ЗЬгечанш. I. По ряду причин определение группового действия ш мюгообразии, даное в п. 4.19, не очен> удачю, и его следует считать предварительном. Удовлетворительюе определение будет даю только в п. 6.10. II. Кроме того, у тс нет удовлетворительнее критерия гладкости алгебры Tv Г-ижарианпых фужций, достаточю простого, чтобы мы могли привести его здесь. Читателю, одтко, будет полезю доказать, что если у любой точки a G М суще- существует такая окрестюсть U С М, U Э а, что \j\(U)r\U = 0 для любого тедитчюго ^ & Г, то алгебра J-T является глад- гладкой. III. Следующие шесть пужтов до некоторой степеш явля- являются преждевремеными. Ввиду их отюсительюй сложюсти при первом чтенш эти пужты могут быть опуще№1. В этом случае можю сразу переходить к главе 5. 4.28. Если физическая система состоит из двух независимых частей, то естествен© под ее состоянием поншать пару (п\,02), где а\ и п2 — соответствен© состояния первой и второй частей. Если состояния пг рассматривать как точки мюгообразии М, (г = 1, 2), ш которых корректю определе№1 и хорошо известил
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определение) 77 алгебры гладких фужций Т%, полезю определить многообра- многообразие М состояшй целой системы через эти алгебры. Упражшше. Пусть Т\ J~2 — геометрические IR-алгебры. По- Покажите, что их тенюрюе произведение Т\ ® J~2 также является к геометрической алгеброй. Определеше. Алгебра Т = Т\ ® J~2 (гладкая оболочка (см. п. к 3.37) тенюрюго произведены Т\ ® J~2 коммутативных алгебр) к шзывается алгеброй гладких футций т декартовом произве- дети гладких мюгообразий М\ и М2. В следующем пужте мы приведем обоснование этой терми- терминологии. 4.29. Предложеше. Пусть Т — <<алгебра гладких футций т декартовом произведети гладких мюгообразий М\ и М2». Ъгда \J-\ в самом деле гомеоморфю декартову произведетю топологических пространств М\ = \Т\\ и М2 = \J~2\. (Мы предлагаем читателю еще раз верн/ться к этому дока- доказательству после прочтешя главы 6.) ¦< Нашей целью является отождествить пространство М\ х М2 с мюжеством М-точек алгебры Т = Т\ ® J-2- Каждой паре к (ai, 0,2) G М1 х М2 сопоставим гомоморфизм а\ ® a2: .Fi|>.F2->K, /i®/2^/i(a1)-/2(a2), /г е Т% (г = 1,2). 31метим, что алгебра Ш. С°°-замкн/та (см. п. 3.32). Следова- телью, по определению гладкой оболочки гомоморфизм п\ ® а2 можю едиктвеным образом продолжить до гомоморфизма аг ® а2: Т = Тг ® Т2 —> М. к Ъким образом, построею отображение тг: М1 х М2 —> 1^1, (aba2) i-^ a± ® а2. Ою иньективю: если а\ ® а2 совпадает с a'x ® а'2, то, учитывая, что эти гомоморфизмы совпадают ш элементах вида /i ® 1
78 Глава 4 и 1 ® /г, тут же получим /г(аО = fi(a'i) Для всех fi Е Ti, г = 1, 2. The как алгебры Т% геометрические, то сц = а\, откуда вытекает иньективюсть тг. Сюръективюсть тг следует из элеменгар1ых свойств тенюрнлх произведений. Тжим образом, тг отожде- отождествляет М\ х М2 и | J-*| как мюжества. Осталось доказать, что тг переводит стандартную тополо- топологию произведены М\ х iW2 в топологию пространства \Т\ (см. п. 3.12). Рассмотрим базис открытых мюжеств в М1 х М2, элементы которого имеют вид U\ x ?72, где ^ = {а е Мг | с* < /Да) < A}, /i e ^i, оц, Pi e R, г = 1,2. Ъгда мюжества =Ux x M2 ={(ai,a2) = Mi X ?72 ={(«!> «2) a2(/ a2(l открыты в топологии, ищуцированой в М\ х Мг отображени- отображением тт. Кроме того, V\ HV2 = U\ x U2. Обратю, из конструкции гладкой оболочки (см. п. 3.37) следует, что для построения базиса топологии в |Т\ можю взять произвольна подмюжество в Т', которое порождает подалге- подалгебру с гладкой оболочкой, совпадающей с Т. В даном случае достаточю взять мюжество фужций вида /1 ® /2, fi G Ti, г = 1,2. Рассмотрим базисюе открытое мюжество, соответствующее такой фужции: V = {(ai,a2) eM1xM2 = \T\\a< f1(a1)f2(a2) < Р}, а, р еШ. Пусть Г\, г2 — коордишты ш плоскости Ж2. Мюжество точек этой плоскости, удовлетворяющих неравенству а < Г\Г2 < Р, открыто и вместе с любой из своих точек содержит прямоуголь- прямоугольное {(ri,r2) | ai < Г\ < Pi; а2 < г2 < Р2} (см. рис. 4.5).
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определение) 79 Рис. 4.5. Поэтому V является объединешем мюжеств вида {(ai,a2) е Mi х М2 | «1 < /i(ai) < ft, a2 < /2(a2) < ft}, а зтчит является открытым в Mi x М2. > 4.30. Лемма-пример. Гладкая оболочка Ш-алгебры О [К ) Qs1 О (К ) изоморфш Ж-алгебре С" •^ Рассмотрим гомоморфизм М-алгебр к «(/ ® р)(п, • • •, rk+i) = f(n, ¦ ¦ ¦, rk) ¦ g(rk+i, • • •, гш). Покажем, что i удовлетворяет условию из определены гладкой оболочки (см. п. 3.37). В самом деле, пусть Г С/ (К I (К) О (К I —> J- гомоморфизм в С°°-замк1утую C.29) М-алгебру Т.
80 Глава 4 Гомоморфизм ф/. является продолжением Ф (т. е. Ф = Ф' о г) тогда и только тогда, когда для всех (ri,...,rfe) G Шк, (si,..., Sj) G Мг,# G C°°(]Rfc+;) выполшется соотюшеше 1),..., Ф(г* ® 1), Si), . . . , в правой части мы рассматриваем г\ и Sj как фужции ш KfeiK',H ввиду С°°-замк1утости алгебры Твыражеше справа корректю определен).) Ък как последшя формула корректю определеш для лю- любого д Е C°°(R.k+l), требуемый гомоморфизм существует и единственен Ввиду теоремы о едиктвености (см. п. 3.38) лемма доказаш. > 4.31. Предложеше. Ели Ж-алгебры Т\ и JF2 являются глад- гладкими, то гладкой будет и алгебра Т = Т\® Тч D.28). к ¦< Мы укажем здесь только осювнле идеи, оставив детали усердюму читателю (см. п. 4.29). Пусть щ Е Mi = \Ti\ и Ui Э щ — такие окрестюсти, что = C°°(]Rni), г = 1, 2. Постараемся устаювить изоморфизм Ввиду п. 4.30 достаточна показать, что Но как было показаю выше, существует гомоморфизм удовлетворяющий, как оказывается, условию из определения гладкой оболочки. >
Гладкие мюгообразия (алгебраическое определение) 81 Упражгенш. 1. Пусть Т\ — гладкая алгебра с краем (см. п. 4.2) и let J~2 — гладкая алгебра. Следуя доказательству предыдущего предложены, покажите, что Т = Т\ ® J~2 — к гладкая алгебра с краем. 2. Останется ли справедливым предыдущее утверждение, если JF2 также будет гладкой алгеброй с краем? 4.32. Примеры. I. Цилищр в примере 4.5 (II) является де- декартовым произведением окружюсти S1 и прямой №. II. п-мерн>ш тор Тп (см. 4.24 (III)) является декартовым произведением Тп~г и S1. В частюсти, Т2 = S1 x S1. 4.33. Упражшше. Читателю, сведущему в топологии, очен> полезю будет доказать, что лист Мёбиуса D.7 (I)) ж является декартовым произведением № и S1 (это можю доказать и без помощи мощнлх топологических методов).
Глава 5 КАРЪ1 И АТЛАСЫ 5.1. В этой главе ингуитивтя идея «введены локалыых ко- ордишт» оформляется в виде строгого математического опре- определены дифференцируемого мюгообразия. Это определена, конечю же, окажется эквиваленгн>ш алгебраическому, дано- му в предыдущей главе. Доказательство эквиваленгюсти будет приведею в главе 7. Коордишпый подход более традиционени июгда, конечю, больше подходит для практических приложений (когда н/жю что-либо вычислить). Одтко этот подход куда менее удобевдля развития теории, так как требует скучнлх проверок коррект- юсти вводимых с помощью коордишт поштий и конструкций, т.е. их независимости от выбора локалыых коордишт. При коордиштюм подходе структура мюгообразия ш мю- жестве задается с помощью семейства согласованых карт , со- составляющих гладкий атлас, так же, как политическая структу- структура ш поверхюсти Эмли описывается картами географического атласа. Выделеные терминл будут строго определена в следу- следующих пужтах. 5.2. Картой (U,x) ш мюжестве М шзывается биекция х: U —> Ш.п подмюжества U С М ш открытое мюжество x(U) в евклидовом пространстве Ш.п. Целое число п (п ^ 0) шзывается размерюстью карты. Примеры. I. Если U — открытое мюжество в Ш.п, то тожде- ственое отображение определяет карту (U, id) ш мюжестве 82 п
Карты и атласы 83 Рис. 5.1. II. Пусть Т2 — конригурационое пространство двойюго плоского маятшка (рис. 5.1). Ъгда (U, s), где a s обозшчает отображение U Э (<р,ф) i—> (sm<?,sin?/>) е Ш2, является картой ш Т2. (Заметим, что, приписывая каждому по- положенно маятшка его кощевую точку Л € М2, мы не получим карты, т. к. такое соответствие не является биекцией.) III. Пусть S — гиперболический параболоид z = 1+х2 — у2. Ъгда вертикально проекция S Э (х, у, z) н-^-» (х, у) € Ш2 окрестюсти U С S точки @,0,1) определяет карту (U,pr) ш S (рис. 5.2). 5.3. Пусть даш карта (U,x) и точка a G U. Заметим, что х(а) — точка в W1, т. е. х(а) = (г\,..., rn) G W1; число г, ш- зывается г-й коордишпгой точки а, соответствующая фужция (сопоставляющая каждой точке a G U ее г-ю коордишту) шзы- вается г-й коордиштюй фушцией (в карте х); ош обозшчается Xi: U —> Ж. Карта полюстью определяется своими п фужция- ми — в литературе выражение «локаль№1е коордишты» часто обозшчает «карту» имено в этом смысле.
84 Глава 5 Рис. 5.2. 5.4. Две карты (U,x) и (V,y) m одюм и том же мюже- стве М шзываются согласоваными , если отображете замены коордишт , т. е отображение у о х'1: x(U П V) -^y(UnV), является диффеоморфизмом открытых подмюжеств в №п или U П V = 0 (см. рис. 5.3). Отюшеше согласованости рефлек- сивю, симметричю и транштивю (в силу соответствующих свойств диффеоморфизмов в Ш.п) так что семейство всех карт ш заданом мюжестве М разбивается ш классы эквиваленгюсти (мюжества согласованых карт). Примеры. I. Все карты (С/, id.), где U — открытое подмюже- ство в Ш.п (п фиксироваю), согласованы. II. Карта (U, s) т двойюм маятнжке Т2, описания в п. 5.2 (II), не согласован! с картой (U, с), где с U Э ((р,ф) |—> (sin(р,д(ф)),
Карты и атласы 85 Рис. 5.3. а д{ф) равю sin ф для отрицателыых фя1—cos ¦?/> для неотрица- неотрицательных ф. Причиш этого состоит в том, что замет коордитт с о s не является гладкой в точке @, 0) GR2. 5.5. Семейство А согласованых карт ха: Ua —> Ш.п ш мю- жестве М (где п ^ 0 фиксирован), а а пробегает некоторое мюжество ищексов J) шзывается атласом ш М, если Ua по- покрывают М, т. е. UaeJ ^" = М. Целое число п шзывается размерюстью атласа А. Атлас является максимальным , если он не содержится hi в каком другом атласе. Очевидю, любой атлас содержится в едиттвеном максимальюм атласе , а имено в атласе, состоящем из всех карт, согласованых с ка- каждой из карт даного атласа. Два атласа шзываются согласоваными , если любая карта одюго атласа согласоваш с любой картой другого. Последнее условие равюсилью тому, что объединение этих атласов также
86 Глава 5 является атласом. Заметим, что если мы возьмем два согласо- ваных атласа, то ohi, вместе с их объединением, содержатся в одюм и том же максимальюм атласе. Отюшеше согласованости атласов является рефлексив- нлм, симметричном и трашитивнлм (ввиду соответствующих свойств диффеоморфизмов в Ш.п), так что семейство всех атла- атласов ш даном мюжестве М разбивается ш классы, каждый из которых содержит ровю одинмаксималыый атлас. Примеры. I. Пространство №п обладает атласом, состоящим из единственой карты (№n, id). Рис. 5.4. II. Сфера S2 обладает атласом, состоящим из двух карт (шпример, стереографических проекций из северюго и южюго полюсов, рис. 5.4). III. Двойюй маятшк (см. п. 5.2, II) также имеет атласы, состоящие из двух карт. Постарайтесь шйти такой атлас.
Карты и атласы 87 5.6. Возможю, читатель удивлец почему мы не определя- определяем мюгообразия как мюжества, сшбженые атласом. Просто IE хотим, потому что такое общее определена заставило бы тс присваивать высокое зваше мюгообразия некоторым несклад- нлм объектам. Вот некоторые из hix. I. Дискреття прямая. Это мюжество точек прямой № с дис- кретнлм атласом, состоящим из всех карт вида (|г},г>), где г е Rnv(r) = о е 1°. II. Длиння прямая. Это несвязюе объединение 1Z = \Ja Жа экземпляров Жа прямой №, ищексированых упорядоченым несчетн>ш мюжеством ищексов а (шпример, а может про- пробегать само мюжество №). На мюжестве 1Z существуют есте- ственые порядок и топология (ищуцированые топологией № и несвязн>ш объединешем). У него есть и естественый атлас Л = {(№а, ida): a G 1}, где ida: №а —> Ж1 — отождествлеше каждого экземпляра Ша с исходн1м прототипом IR1 = Ш. III. Прямая с двойюй точкой. Это прямая №, к которой добавлеш точка в, а атлас состоит из двух карт: (U, х) и (V, у), где U =R, х = id, V ={в} UK\ {0}, у(9) = 0, y(r) =r,reR\ {0}. Говоря по другому, прямая с двойюй точкой может быть полу- чет, если у двух экземпляров прямой отождествить все точки с одишковыми коордиштами, за исключением н/ля. 5.7. Следующие определены н/жнл для того, чтобы ис- исключить из рассмотрешя патологические атласы типа описан- н>гх в п. 5.6. 1удем говорить, что атлас Am M удовлетворяет условию счетюсти , если он состоит из не более чем счетюго числа карт или если все его карты согласована с картами такого не более чем счетюго атласа. Атлас Am M удовлетворяет усло- условию Хаусдорфа, если для любых двух точек а,Ь <Е М шйдутся непересекающиеся карты (U,x), (V,у), содержащие эти точки (йЕ U, Ь G V, U HV = 0) я согласование с картами атласа Л.
88 Глава 5 Ясю, что дискреття и длиння прямые из п. 5.6 (I, II) ie удовлетворяет условию счетюсти, а прямая с двойюй точкой 5.6 (III) — условию Хаусдорфа. 5.8. Коордшатюе определеше мюгообразия. Мюжество с максималыым атласом Лшах = {{Ua, Ха)}, Xa:Ua^ ШП, П > О, удовлетворяющим условиям счетюсти и Хаусдорфа, шзывает- ся п-мертм дифференцируемым или гладким многообразием . В главе 7 будет доказаю, что это определеше эквиваленгю даному в п. 4.1. Для того чтобы описать какое-либо кожретюе многообра- многообразие (М, vAmax), мы часто будем указывать некоторый меньший атлас Л С Лтвх, так как *Атах одюзтчю определяется любым из своих под атласов (см. п. 5.5). В этом случае мы обозшчаем mine многообразие (М, Л) и говорим, что Л — гладкий атлас ш М. Заметим, что прилагательюе «гладкий» неявю включает согласованность, условие Хаусдорфа и условие счетюсти. 5.9. Теперь мы покажем, что любой гладкий атлас А = {(Ua,xa)} т многообразии М определяет топологиче- топологическую структуру ш мюжестве М, перенесению отображени- отображениями ж из мюжеств xa(Ua) С Шп. Ъчнее, базис открытых мюжеств в пространстве М состоит из всех мюжеств вида х~1(Вр), где Вр — всевозможное открытые шары, содержа- содержащиеся в xa(Ua). Непосредствено из определений вытекает, что М является в этом случае хаусдорфовым топологическим пространством со счетюй базой . Эта топологическая ситуа- ситуация ш М подразумевается всегда, когда М стбжею атласом. Например, говоря, что мюгообразие М компактно или связ- связно , мы подразумеваем, что ою является компактном (связном) топологическим пространством отюсителью описаной выше топологии. Лгко видеть, что любая карта (U,x) является гомеомор- гомеоморфизмом открытого в этой топологии подмюжества U С М ш открытое подмюжество ж(С/) С R".
Карты и атласы 89 5.10. Примеры мюгообразий из геометрии. I. Сфера Sn = х = l}cffin+1 имеет атлас из двух карт, задаваемых стереографическими про- проекциями ашлогичю двумерюму случаю (см. п. 5.5, (II)). Сфе- Сфера Sn — это простейшее компактюе связюе n-мерюе мюго- мюгообразие. II. Гиперболоид х2 + у2 — z2 = 1 в Ж3 имеет простой атлас из четырех карт (U±,pzy), (V±,pzx), где U± = {(x,y,z) \x = V± = {(x, y,z)\y = z2 -x2 ±x>0}, ±y > 0}, a pzy и pzx — проекции ш соответствующие плоскости. Соот- Соответствующее двумерюе мюгообразие связю, ю не компактю. Рис. 5.5. III. Проективюе пространство ЖРп — мюжество всех прямых, проходящих через шчало коордишт О в Жп+1. Для любой такой прямой I рассмотрим следующую карту (Ui,pi). Мюжество Ui состоит из всех прямых, образующих с I угол, IE превосходящий, скажем, 30° (рис. 5.5). Для определены р\
90 Глава 5 выберем базис в п-плоскости I1- Э О, перпещикулярюй к I, и зафиксируем одю из полупространств в IRn+1 \ 1^-; каждой прямой V G Ui отображенже р\ приписывает коордишты в I1- проекции ш I1- едингчюго вектора, шправленого в выбраное полупространство и определяющего прямую V. Мюжество всех таких карт (Ui,pi) образует гладкий атлас, шделяющий ШРп структурой компактюго связюго n-мерюго мюгообразия. IV. Грассмаюво прострактво Gn,m — это мюжество всех т-мерных плоскостей в №п, проходящих через шчало коорди- тт О. Для построенжя одюй карты выберем в W1 декартову систему коордишт (xi, Ж2, • • •, хп) и в качестве U возьмем мю- мюжество всех т-мернлх плоскостей, задаваемых в этих коорди- штах системой уравненш вида т i — / / ijji 1> — 1, . . . , 77. 771, а отображенже р : U —> ]Rm(n~m) каждую такую плоскость пе- переводит в шбор коэффициентов а^, участвующих в задающей ее системе. Выбирая различные декартовы системы, можю по- построить различные карты, вместе покрывающие все простран- пространство 6гП)ТО. Впрочем, для покрытия достаточю использовать одну декартову систему, лишь метя в нзй порядок коордишт. Согласованость карт вытекает из гладкой зависимости реше- Н1Й линейюй системы уравненш от ее коэффициентов. Тжим образом, получается m(n — m)-мерюемюгообразие, являюще- являющееся обобщенжем предыдущего примера, имено GHji = ШРп~1. Можю рассматривать плоскости не только в Ш.п, ю и в про- извольюм конечюмерюм векторюм пространстве V. Получа- Получающееся мюгообразие обозшчается Gv,m ¦ Упражшше. Сколько связных карт пошдобится, чтобы по- получить атлас для бутылки Клейш? (см. 4.7, III)? Докажите, что двух достаточю.
Карты и атласы 91 5.11. Примеры мюгообразий из алгебры. I. Общая литй- тя группа GL(n) всех линейных изоморфизмов простран- пространства Ш.п имеет атлас, состоящий из одюй карты размерюсти п2, приписывающей каждому элементу д G GL(n) п2 компо- компонент его матрицы столбец за столбцом в виде одюго вектор- столбца с п2 компонентами. Соответствующее многообразие не компактю и не связю. II. Специальшя ортогошльшя группа SO(n) всех поло- положительных ортоготлыых матриц обладает гладким атласом (п(п — 1)/2)-мерных карт. Его построение мы оставляем чита- читателю, который может воспользоваться примером 5.10 (III).. 5.12. Примеры мюгообразий из мехашки. I. Конригураци- оным пространством двойюго маятнжка (см. пп. 5.2 II и5.4, II), как читатель шверюе уже догадался, является двумерный mopT2 = S1 xS1. II. Конригурационое пространство тонсого одюродюго диска, цетгр которого зафиксирован шартром (позволяющим диску поворачиваться ш любой угол в любом ншравленш трехмерюго пространства), обладает естественым двумерным атласом. Мы шстоятелью рекомещуем читателю шйти такой атлас и сравшть его с атласом проективюй плоскости ЖР2. Надо также принять во вшмаше то, что если одну сторону диска покрасить в зеленый цвет, то соответствующий атлас совпадает с атласом сферы S2. III. Конригурационое пространство твердого тела, свобод- ю вращающегося в пространстве вокруг фиксированой точки (см. также п. 1.1), является трехмерным компактным связным многообразием. Читателю предлагается шйти атлас для этого многообразия и сравшть его с ЖР3 и SOC). 5.13. Упражшше. Рассмотрим многообразия, которые не- неформально обсуждались тми в главе 1): 1. Проективное пространство ЖР3. 2. Сфера S3, у которой отождествлены ангиподалыые точ- точки.
92 Глава 5 3. Диск D3, у которого отождествлена ангиподалыые гра- Н141ые точки (т. е., точки dD3 = S2). 4. Специалыня ортогошлыня группа SOC). 5. Конригурационое пространство твердого тела, свобод- ю вращающегося вокруг ншодвижюй точки в IR3. Покажите, что ohi все диффеоморфнл, используя 1. построение атласов и диффеоморизмов между картами; 2. построение изоморфизмов соответствующих гладких №- алгебр. 5.14. Раже (см. п. 4.2) мы ввели поштие мюгообразия с кра- краем алгебраически. Теперь дадим соответствующее коордиштюе определение. Это определение в точюсти совпадает с определением обыч- юго мюгообразия (см. 5.8), ю поштие карты н/ждается в мо- модификации путем заменл Ш.п m IR". Ъчше, картой с краем (U, х) т мюжестве М шзывается биективюе отображение х: U —> М" подмюжества U С М т открытое подмюжество x(U) в евклидовом полупространстве 31метим, что карта в W1 является частн>ш случаем карты в IR" , ибо x(U) может re пересекать «края» полупространства Все дальнейшие определения (размерюсть, согласован- юсть, атласы и т.д.) остаются теми же, ю с соответствующей замеюй W1 т М". Повторяя эти модифицирование опре- определения, мы получим коордиштюе определение мюгообразия с краем. Усердюму читателю будет полезю произвести все эти по- повторения в деталях — хороший способ проверить, шсколько он овладел главнлм определением 5.8.
Карты и атласы 93 5.15. Если А = (Ua, xa)a(zj состоит из карт с краем, то мю- жество дМ = {т Е М \3а Е J, т = ж (ri,...,rn), rn = 0} точек, которые при коордиттнлх отображениях переходят в грангчн/ю (п — 1)-мерцаю плоскость полупространства IR™, шзывается краем мюгообразия М. Когда дМ пусто, мы сюва получим определена обычюго мюгообразия, так как открытое полупространство {гп > 0} гомеоморфю пространству W1. В литературе термин«мюгообразие» июгда включает в се- себя мюгообразие с краем. В этом случае выражение замкну- замкнутое мюгообразие употребляется для обозшчешя мюгообразия с пустым краем. Предложеше. Край дМ п-мерюго мюгообразия М с краем обладает естественой структурой (п — 1)-мерюго замкну- замкнутого мюгообразия. Схема доказательства: чтобы получить атлас ш дМ, н/ж- ю взять пересечения карт ш М с грангчюй (п — 1)-мерюй плоскостью полупространства шп-1 = {(г1,...,гп)етп+\гп = о}. 5.16. Примеры мюгообразий с краем. I. п-мертш диск является п-мернлм мюгообразием с краем dDn = б1". II. Если М — n-мерюе мюгообразие (без края) с атла- атласом А, то, «убрав из него открытый диск», можю получить мюгообразие с краем. Ъчгее, н/жю взять какую-либо карту (U,x) E А, выбрать в x(U) С W1 открытый п-мернлй диск V и рассмотреть мюжество М \ х~г(у) с очевидюй структурой мюгообразия с краем; М \ х~г(у) июгда шзывают проколо- проколотым мюгообразием . III. На рис. 5.6 представлена «все» компактнее двумернэк мюгообразия с краем S1. Ohi шзываются:
94 Глава 5 Рис. 5.6. 2-диском, проколотым тором, проколотой ориентируемой поверхюстью рода 2,. . . , проколотой ориентируемой поверх- поверхюстью рода к, . . . (верхнш ряд), листом Мёбиуса, проколотой бутылкой Клеит, . . . , про- проколотой неориенгируемой поверхюстью рода к, . . . Ърмин ориетгируемый , который мы не будем здесь об- обсуждать, для двумерюго случая равюсилен выражение «ie содержащий лист Мёбиуса». 5.17. При алгебраическом изученш гладких мюгообразий фущаменгалыым понятием была IR-алгебра гладких фуж- ций J-. Эту IR-алгебру можю определить и для мюгообразия М, заданого с помощью атласа А. Определешя. Фужция /: М —> № ш мюгообразий М с глад- гладким атласом А шзывается гладкой, если для любой карты
Карты и атласы 95 (U,x) G А фужция fox1: x(U) —> Ш., определения ш открытом мюжестве x(U) С Ш.п, является гладкой, т. е. при- шдлежит С°° {х (U)). Мюжество всех гладких фужций ш М обозшчается С°°(М). На этом мюжестве существует очевид- тя структура IR-алгебры, и мы будем времено шзывать его IR-алгеброй гладких отюсителью атласа А фужций ш М. Мгко устаювить, что мюжество С°°(М) будет тем же са- самым для любого атласа А, согласованого с А. Блее того, мы увидим, что С°°(М) — та же М-алгебра, что и при алгебраи- алгебраическом подходе (С°°(М) = Т\ ю это будет доказаю только в главе 7. Упражгенш. 1. Опишите алгебру гладких фужций (в смы- смысле определены, приведеного выше) конригурационого про- пространства двойюго маятнпса (см. 5.12). 2. Ът же вопрос для случая, когда <?-стержен> короче ^-стержш, так что вращеше последнего прекращается, когда он достигает <^-оси (см. рис. 5.1). Опишите соответствующее гладкое мюгообразие. 5.18. Для доказательства эквиваленгюсти двух подходов (в главе 7) шм понадобится следующее Предложеше. Пусть М — мюгообразие, А — гладкий атлас и С°°(М) — Ж-алгебра гладких фужций ш М {отюсителью атласа А). Ъгда существует фужция f G С°°(М), все поверхюсти уровш которой (т. е. мюжества /~1(Л), Ael) компактны. Это предложеше может быть доказаю с использованием предложения 2.7, обобщением которого ою является, а также леммы о разбивши единщы, сформулированой соответствую- соответствующим образом для мюгообразий с атласами (ср. с п. 4.18).
Глава б ГЛАДКИЕ ОТЭБРАЖЕНИЯ 6.1. Пусть Т\ — алгебра гладких фужций ш мюго- образии М\, a J-2 — m М2. Отображение /: М\ —> М2 m- зывается гладким, если / = \ip\, где ip: T2 —> 3~\ — некоторый гомоморфизм М-алгебр. Напомшм, что М, = \Тг\,% = 1, 2, являютсядвойствеными пространствами к Тг (см. п. 3.4), т. е. состоят из всех гомомор- гомоморфизмов М-алгебр х: Тг —> Ш, г = 1,2, а \(р\: jj^-ij —> |JF2| — двойственое отображение, определеное в п. 3.19 формулой |<^|: х I—> х о (р. Все гомоморфизмы предполагаются унггарнл- ми: (рA) = 1. Упражшше. Докажите, что ip иньективю, если / сюръектив- ю. Постройте контрпример, опровергающий обратюе утвер- ждеше (в случае неудачи вернетесь к этому упражнению по про- чтешип. 6.5). 6.2. Пример. Пусть Т — алгебра гладких фужций ш мюго- образии М, т котором действует группа Г. Отображение p=\i\: М ^ М/Г, двойственое вложенно %: Tv —> Т алгебры Г-ижарианпых фужций (см. 4.22) в Т, конечю же, гладкое. Рассмотрим группу Г = Z, действующую ш Ш. сдвигами г I—> r + n, n G Z. Обозшчим через S1 мюжество классов экви- валенгюсти Г\ ~ г2 <^> Г\ — r2 G Z. Пусть Т, как и в п. 4.2, — 96
Гладкие отображешя 97 алгебра гладких Г-шварианпых фужций ш прямой №. Есте- ствення проекция р: Ш. —> S1 является гладким отображением, так как ош совпадает с | г \, где г — вложеше Т *^-> С°° (№). Говорят, что отображение р тматывает прямую № m окружюсть S1. 6.3. Пример. Пусть Т — алгебра гладких фужций ш мю- гообразии М, а N С М — гладкое подмногообразие в М (см. п. 4.11). В этом случае вложеше N ^-> М является гладким отображешем, так как совпадает с \р\, где р: J- N — гомоморфизм ограшчешя (см. п. 4.11). Пусть S1 и Т — те же, что и в п. 6.2, а Т<с — алгебра всех действительюзтчнлх фужций комплексного переменого z = x + iy, гладко зависящих от переменых хяу. Рассмотрим вложеше где [г] G S1 — класс эквивалентности точки г G Далее, определим гомоморфизм Вложеше г совпадает с \C\ и поэтому является гладким отобра- отображением S1 в Ш2 = С. 31метим, что мы уже встречались с этим вложешем в другом коордиштюм пред став ленш (см. п. 4.13). 6.4. Примеры. Пусть Т — алгебра гладких фужций ш от- открытом листе Мёбиуса (см. п. 4.7 (I)), a ^(S1) — алгебра гладких 1-периодических фужций ш прямой («окружюсть» — см. п. 3.18). I. Рассмотрим гомоморфизмы =/(r,0), /3(f)(r) = fBr,b), где /gJ7, r gRi^O — любое действительюе число.
Глава 6 Рис. 6.1. Упражшше. Почему при Ь ^ 0 формула 7(/)(r) = /(г> ^) ie задает шкакого гомоморфизма r)\ T ^ ^(S1)? Гладкие отображешя \а\ и \C\ показанл ш рис. 6.1. Отме- Отметим, что образ отображешя \C\ «вдвое длинее», чем образ \а\. II. Существует замечательюе гладкое отображеше листа Мёбиуса ш окружюсть, а имено отображеше д = |?|, где 31метим, что ао( = id^^i). Отображеше # = |?| можю представить как «сплющиваше листа Мёбиуса ш его средною окружюсть» (рис. 6.2). 6.5. Пример. Выберем иррациошльюе число A G R и рас- рассмотрим отображеше Ъгда f =\if\, где ip(g)(r)=g(r,Xr)
Гладкие отображешя 99 Рис. 6.2. для всех д е С Обозшчим через |^| огрангчеше гомоморфизма ip ш под- подалгебру дважды периодических фужций (см. п. 4.24, (III) для п = 2). Образ гладкого отображешя |^|: IR1 —> Т2 всюду плотенв торе Т2, а зшчит, гомоморфизм (J9 иньективен Этот пример интересен тем, что в нем алгебра фужций «нескольких переменых» оказывается изоморфюй подалгебре алгебры С00^1). Когда число Л выбраю рациотлыым, образ отображешя |^| компактен Частный случай приводится ш рис. 6.3. Поста- Постарайтесь угадать, какое зшчеше числа Л выбраю здесь. 6.6. Ъперь, когда введею понятие гладкого отображешя мюгообразий, ош больше не являются отдельными, незави- независимыми объектами, а собраны в нечто целое, шзываемое кате- категорией. Другими примерами категорий являются группы и их гомоморфизмы, топологические пространства и непрерывные отображешя, IR-алгебры и гомоморфизмы IR-алгебр, линейные пространства и линейные операторы. Как отмечалось в п. 3.39,
100 Глава 6 Рис. 6.3. мы не будем давать каких-либо формалыых определений из аб- страктюй теории категорий, ю часто будем «мыслить ш языке категорий». В частюсти, укажем два фущаменгалыых свойства кате- категории гладких мюгообразий и отображетй : I. если а = \а\: Мг —> М2 и Ъ = \f3\: М2 -+ М3 — глад- гладкие отображены, соответствующие гомоморфизмам М-алгебр а: Тч —> Т\ и C: JF3 —> JF2, то Ь о а: М1 —> М3 — гладкое ото- отображение, так как соответствует композиции а о C (в обратим порядке) гомоморфизмов а и C; II. тождественое отображение id: Mi =M М2=М является гладким, так как соответствует тождественому гомо- гомоморфизму id: Т* =
Гладкие отображешя 101 Другие упомишвшиеся выше категории также обладают атлогичнлми свойствами. Предположим, шм задан некоторый шбор отображений со свойствами I и II. Типичном «трюком теории категорий» является «обращение стрелок»: если отображение А —> В при- шдлежит шшему шбору, будем предполагать тличие отобра- отображешя В —> Авювом, двойственом шборе отображений, в ко- котором композиция записывается в обратюм порядке. Получим двойствещю категорию , также удовлетворяющую свойствам 1иП. Фактически мы уже использовали этот прием, переходя от гомоморфизмов гладких М-алгебр к гладким отображени- отображениям мюгообразий. Содержание глав 4 и б можю резюмиро- резюмировать следующим образом: гладкое мюгообразие — это гладкая М-алгебра, понимаемая как объект двойственой категории. 6.7. Пусть Mi и М2 — мюгообразия. Гладкое отображение a: Mi —> М2 тзывается диффеоморфизмом, если существует такое гладкое отображение Ь: М2 —> Mi, что Ь о а = idMi, а о Ь = id.M2 ¦ Мюгообразия Mi и М2 шзываются диффеоморфгыми , если существует диффеоморфизм одюго из нгх ш другое. Заметим, что два мюгообразия диффеоморфн>1 тогда и только тогда, когда их М-алгебры гладких фужций изоморфн>1. Диффеоморфюсть является отюшешем эквиваленгюсти и будет обозшчаться =. В главе 4, говоря про мюгообразия «то же самое», «иденгичюе», мы ш самом деле имели в виду, что ош диффеоморфнл. Действителью, с точки зрешя теории диффеоморфнле мюгообразия — это одю и то же мюгообразие в различных обличьях. 6.8. Примеры. I. Рассуждешя п. 4.13 можю рассматривать как доказательство того, что два способа построешя окружюсти (как фактормюгообразие прямой IR1 и как подмюгообразие приводят к диффеоморфизм мюгообразиям.
102 Глава 6 II. Лиешый оператор А: Ш.п —> Ш.п является диффеомор- диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда detА ^ 0, т.е. когда он биективен III. Пусть Т\ и J~2 — алгебры гладких фужций ш мю- гообразиях М\ и Мг. Вообще говоря, биективюсти гладкого отображения \а\: М\ —> Мг, где a: J~2 —> Т\ — гомоморфизм М-алгебр, недостаточна для его диффеоморфюсти. В качестве примера можю взять отображение 6.9. Упражшшя. I. Докажите, что край замкн/того листа Мёбиуса (см. п. 4.7 (II)) диффеоморфенокружюсти S1. II. Следуя примеру 4.13, постройте диффеоморфизм между двумя моделями сферы Sn, описаными в п. 4.25 (I). 6.10. Вернемся к теме главы 4, чтобы дать, как и обещали, более удовлетворителыые определешя групповому действию, фактормюгообразиям и декартовым произведениям. Эти опре- определешя будут данл в духе теории категорий — осювываясь ш гладких отображешях и диаграммах. Пусть Т — алгебра гладких фужций ш мюгообразии М, а Г — группа автоморфизмов этой М-алгебры. Гладкое ото- бражеше а: М ^ N из М в N шзывается Т-итариантым , если а о J7J = а для всех 7 ? Г. Очевидю, отображеше факторизации из М т фактормюгообразие М/Т является Г-ижариангнэ1м (предполагается, когечю, что М/Т — гладкое мюгообразие, т.е. алгебра ^-*г-ижариангнэ1х фужций являет- является гладкой М-алгеброй — см. п. 4.23). Оказывается, отображе- отображеше факторизации является «ушверсалыым» Г-ижарианпым гладким отображешем. Предложеше. Пусть J~(N) — алгебра гладких фужций т гладком мюгообразии N и а: М —> N — шкоторое Т-итариатгюе гладкое отображеше отюсителью действия
Гладкие отображешя 103 Г т М, причем M/Y — гладкое многообразие. Ъгда суще- существует едиктвеное отображеше b: M/Y —> N, для кото- которого коммутативт следующая диаграмма : М М/Г < Нам тдо доказать существоваше и едигственость гомомор- гомоморфизма М-алгебр C: J-(N) —> Тт', для которого диаграмма где а = \а\, коммутативш. Ясю, что существует не более одюго такого C. А существует он тогда и только тогда, когда Ima = a(F(N)) состоит из Г-шварианпых элементов. Но для Г-ижариангюго отображешя а это всегда выполняется: для всех 7 G Г, / G F(N) имеют место соотюшешя 7(«(/)) = «(/) о 7 = / о (а о |7|) = / о а = a(f). > 6.11. Амечаше. Ушверсальюе свойство, характеризующее отображеше факторизации М —> М/Г, определяет факторм- югообразие М/Г одюзшчю с точюстью до диффеоморфизма. Доказательство этого утверждешя может быть скопирова- скопирована с доказательства едиктвености гладкой оболочки ( 3.38), и мы предлагаем читателю проделать это. Общий прищип до- доказательств такого типа, который шм сейчас не хотелось бы формализовать, состоит в том, что «любое ушверсальюе свой- свойство определяет объект одюзшчю». 6.12. Вернемся теперь к декартовым произведешям (см. п. 4.28). Пусть J-i, I = 1,2, — алгебра гладких фужций ш мюгообразии Mi. Проекции
104 Глава 6 pi: Мг x M2 -> Mi, (аь a2) ^ ah I = 1, 2, являются гладкими, так как pi = \щ\, где гомоморфизм М-алгебр Tii представляет собой композицию х М2); здесь сг — гомоморфизм гладкой оболочки (см. п. 3.37), а ДЛЯ ВСех Пара проекций (pi,p2) обладает следующим важ1ым ушвер- салыым свойством . Предложеше. Для любого гладкого мюгообразия М и любой пары гладких отображений fi: N —> Mi, I = 1,2, существует едиттвеное гладкое отображение /: N —> Mi x М2, замы- замыкающее коммутативщю диаграмму h М1 х М2 А Обозшчим через J-'(N) алгебру гладких фужций ш N. Пусть fi = \ifi\, где ipi: Tx -+ T{N), I = 1, 2, — двойственые гомоморфизмы М-алгебр. Наше предложеше будет доказаю, если мы устаювим существоваше и едиктвеность следующей диаграммы:
Гладкие отображешя 105 Согласю ушверсальюму свойству Teieopibix произведен™ существует едигственый гомоморфизм ф, показаный ш диа- диаграмме. Тж как IR-алгебра J-'(N) является гладкой, а гомомор- гомоморфизм гладкой оболочки обладает ушверсалыым свойством, описаным в п. 3.38, то гомоморфизм (р также корректю опре- делени единствен > 6.13. Амечаше. Предложение 6.12 можю использовать при построении гладких отображенш из некоторого третьего мю- гообразия М$ в произведеше М\ х М2 двух заданых мюго- образий. Например, гладкое отображеше из мюгообразия N в S1 х S1 — это пара гладких отображенш из N в S1, т. е. пара гладких фужций ш N, заданых по модулю 1. 6.14. Оставшаяся часть этой главы представляет собой обсу- обсуждение развитых в 6.1-6.13 поштий и конструкций ш «языке коордишт», введеном в главе 5. Пусть (М, А) и (N, В) — мюгообразия с гладкими атла- атласами А я В (см. п. 5.8). Отображение /: М —> N шзывается гладким (или бескотчю дифференцируемым ) в точке a G М, если для некоторой пары карт (U,x) и (V,y), соответствен- ю согласованых с атласами А я В я покрывающих точки а и /(а), отображение у о / о х~г, определение в окрестюсти x(f~1(V) П U) точки х(а) Е Ш.п, является бесконечю диффе- рещируемым отображением областей евклидовых пространств (см. рис. 6.4). Отображение f:M^N шзывается гладким, если ою является гладким во всех точках.
106 Глава 6 Рис. 6.4. На коордиштюм языке гладкое биективюе отображеше /: М —> N шзывается диффеоморфизмом, если отображеше /-1 также гладкое. 6.15. При работе с кожретнлми отображешями многообра- многообразий обычю пользуются их коордиштюй записью, т. е. фак- фактически упомян/тым выше отображешем у о / о х~г, которое, будучи отображешем областей евклидовых пространств, запи- записывается в виде фужций где т = dimM, n = dimiV. Для гладкого (гладкого в точ- точке) отображешя все фужций /j, г = 1,...,п, будут также гладкими (соответствено гладкими в точке).
Гладкие отображешя 107 Нетрудю заметить, что если отображеше описывается глад- гладкими фужциями в некотором семействе пар карт, согласован- согласованных с соответствующими атласами, причем карты ш М покры- покрывают все мюгообразие, то это отображеше будет описываться гладкими фужциями для любой пары карт, согласованых с теми же атласами (конечю, не рассматриваются карты, для которых не определеш композиция у о / о ж). Эквиваленгюсть этих коордиттнлх определешй и соот- соответствующих алгебраических будет устаювлеш в главе 7. 6.16. Примеры. I. Отображеше а: Т2 —> Ж2, которое ка- каждому положешю двойюго маятшка (см. п. 5.2 (II)) ставит в соответствие его кощевую точку А (см. рис. 5.1 в главе 5), является гладким. •^ ^фиксируем некоторое положеше двойюго маятшка; тогда все достаточю близкие его положешя характеризуется двумя углами ((р,ф), так что мы имеем карту U Э (положеше) —> (<Р,Ф), согласованию со стащартнлм атласом тора. Мюгообразие IR2 может быть покрыто одюй картой id: IR2 —> Ш2. Можю ска- сказать, что в выбраных локалыых коордиштах отображеше а описывается формулами г\ = R cos if + г cos ф, r-2 = R sin (f + г втф. Строгий смысл этих слов состоит в том, что приведение фор- формулы ш самом деле описывают отображеше (id) о а о Ф, и из определешя 6.14 следует, что а — гладкое отображеше. > II. ^фиксируем едингчнлй вектор v G 51" ё!"и рас- рассмотрим отображеше Проверьте, что /„ является гладким отображешем, используя атласы, упомян/тые в п. 5.10 (I) и 5.11 (II).
108 Глава 6 Можю также рассмотреть отображеше <р: SO(n) xS"-1 -^Sn~\ (A,v)i->A{v), и попытаться доказать его гладкость, работая с атласом ш SO(n) х Sn~1. У читателя хватит мудрости не пытаться это делать всерьез, а со временем доказать гладкость if, используя кощептуалыые определены. 6.17. Другие примеры. I. Рассматривая 4-мерюе евклидово пространство IR4 как алгебру кватернююв Н, подпространство чисто мшмых кватернююв Г\% + T2J + г%к обозшчим через V = IR3 и введем отображеше (И \ {0}) х V ->• V, (q, v) i-> qvq~\ Мгко проверить, что для любого ген/левого кватернют q матрица линейюго оператора v н-> qvq~x в коордиштах г\, Гч, гз является ортогошльюй, так что мы получаем отображеше Ш \ {0} —> SOC). Два кватершош q\ и q^ определяют одю и то же преобразоваше пространства V тогда и только тогда, когда qi = Xq2 для некоторого АеМ\ {0}. Тжим образом, мы получили гладкое отображеше ШР3 ->• SO{3). Напомшм, что ШР3 — это в точюсти фактормюгообразие пространства IR4 \ {0} = Ш \ {0} по группе Ш всех гомотетий с центром в шчале коордишт, см. п. 4.25, и что проекция Ш \ {0} —> ШР3 обладает ушверсаль№1м свойством (см. п. 6.10). Небесполезю, хотя и не совсем просто, попытаться устаювить гладкость этого отображешя, используя атласы, описаные в пп. 5.10 (III) и 5.11 (II). Еще труднее доказать, что это диффеоморфизм (как упомишлось в п. 1.6). II. Композиция S3 ->¦ М4 \ {0} ->¦ SOC) ->¦ S2: где первая стрелка — просто включеше, а две другие опре- определены в пп. 6.17 (I) и 6.16 (II), шзывается отображением
Гладкие отображешя 109 Хопфа. Заметим, что композицию первых двух стрелок можю представить в виде S3 ->• RP3 -^ SOC), где отображеше S3 —> ЖР3 описаю в п. 4.25 (III) как отобра- отображеше факторизации S3 -> S3/Z2 = ШР3. Упражшше. Постарайтесь доказать, что прообраз любой точ- точки из S2 при отображенш Хопфа h: S3 —> S2 является замкну - тым подмюгообразием в S3, диффеоморфизм S1. 6.18. Пример гладкого отображешя мюгообразия с краем. Пусть D3 — 3-мернлй замкнутый диск с центром в шчале коордишт О G К3и радиусом тг. Сопоставим каждой точке а Е D3 поворот пространства Ш3 против часовой стрелки вокруг лиши, соединяющей а с тчалом коордишт, ш угол а = \\a\\. Тжим образом, получею отображенже д: D3 —> SOC). З.ме- тим, что диаметралью противоположные точки края dD3 = S2 мюгообразия D3 определяют один и тот же поворот. Зачит, мюгообразие SOC) = ШР3 ортоготлътх преобразований пространства Ш3 можю представить как диск D3 со склеен- miMU диаметралью противоположными точками края . Отображенже g: D3 —> SOC) является гладким сюръектив- ным отображенжем мюгообразия с краем ш мюгообразие без края. Упражшше. Покажите, что образ края S2 = dD3 при этом отображенш является гладким замкнутым подмюгообразием в SOC), диффеоморфизм мюгообразию ШР2. 6.19. Упражшшя. 1. Выпишите формулы для ортогошльюй проекции едишчюй сферы Sn С Жп+1 ш гиперплоскость W1 С Жп+1 в картах, описаных в п. 5.10 (I), и проверьте, что эта проекция является гладким отображешем. 2. Докажите, что SO (A) ^ S3 x SOC). Указаше: SOC) можю пошмать как мюжество ортоюрмированых пар {и, г>} в IR3, a SO4 — как мюжество ортоюрмированых троек
ПО Глава 6 {u,v,w} в М4; пусть М4 = И и R3 = V С Н, как в приме- примере 6.17 (I); исследуйте отображеше S3 х SO{3) ->• 5ОD), (и, {v, w}) !->• {и, w, uw}. 6.20. Набор всех гладких отображешй (в смысле коорди- штюго определешя 6.13) также обладает двумя свойствами, касающимися композиции и тождественых отображешй и упо- мишвшимися в п. 6.6 (что и не удивителью, так как коорди- штюе определеше эквиваленгю алгебраическому — см. п. 6.1). Класс всех гладких мюгообразий в смысле п. 5.8 вместе с семейством всех гладких (см. п. 6.14) отображешй составляет категорию коордиттшх мюгообразий . Для дальнейшего шм потребуются классические утвержде- шя локальюго мюгомерюго ашлиза — теоремы о геявюй и об обратюй фужции. Мы приводим их здесь в удобюй для шс форме, без доказательств; последше можю шйти в любом ушверситетском курсе математического ашлиза. 6.21. Ъорема об обратюй фужции. Пусть гладкое отобра- жеше / = [J1: ¦ ¦ ¦ : Jn) ¦ № —> К имеет твырожденый якобиане ткоторой окрестюсти на- начала коордишт Oet": Ъгда существуют открытые мюжества U Э 0 и V Э /(О) такие, что отображение tp = f\n: U ^> V имеет гладкое обратюе (р-1: V —> U, матрица Якоби которого в любой точке у G V вычисляется по формуле > 6.22. Ъорема о геявюй фужции. Пусть для гладкого ото- отображения — Ul)---)/n+mJ- -1& X к —> к
Гладкие отображешя 111 /(а, Ь) = 0 G Ш.т и {т х т)-матрица производтьх по перемен miM хп+\,..., хп+т нгвырождет : существуют такие открытые мюжества U и V, а е U С Ш1, Ь е V С Ш71 и такая гладкая фунсция g: U -^ V, что f(x, д(х)) = 0 для всех х G U. > Наконец, шм понадобится еще одш классическая теорема (теорема о линеаризации гладкого отображешя), представляю- представляющая собой амальгаму двух предыдущих. 6.23. Ъорема. Пусть /: Жп —> IRm, т ^ п, — гладкое отображеше, такое, что /@) = 0 и ран матрицы равен т. Ъгда существуют такие окрестности щля U, V С Ш.п и такой диффеоморфизм ip: U —> V, что (/о1р)(хЪ...,Хп) = (х 6.24. З^мечаше. Три теоремы, сформулированые выше, являются «локаль№1ми» в том смысле, что в их условиях данл евклидовы пространства, а заключения касаются окрестюстей (в евклидовых пространствах). Одтко их можю примешть и для «глобальюго» случая мюгообразий, рассматривая от- отдельною коордиштнэк окрестюсти. При этом, в силу един ствености обратюй (или геявюй) фужции в соответствую- соответствующей окрестюсти, ш общей части двух окрестюстей постро- еные фужции (отображешя) совпадают, поэтому их можю «склеить» по всему мюгообразию. Таким образом, заключеше, скажем, теоремы о геявюй фужции можю сформулировать следующим образом если f: М —> N — гладкое отображе- отображение мюгообразий , т = dimM > п = dimiV, и якобиан f в каждой точке имеет рай п , то f~1{z) С М является подмногообразием для любой точки z G N.
112 Глава 6 6.25. Упражшше. Плоский шаровой мехашзм (см. п. 1.14) шзывается твырождепым если все его стержш нельзя рас- расположить ш одюй прямой, (т. е., если между их длитми нет линейнлх соотюшенш с коэффициентами il)- 1. Докажите, что конригурационое пространство невы- рожденого шаршрюго механизма является гладким мюгообразием. 2. Покажите, что конригурационое пространство невы- рожденого пятиугольника (см. п. 1.14) дифеоморфю сфере с не более, чем 4 ручками, или несвязюму объ- объединение двух торов, или несвязюму объединению двух сфер.
Глава 7 ЭСВИВАЛЕНТЮСЪ КООРДИНА1ЮГО И АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЙ 7.1. Целью этой главы является доказательство того, что опре- определены гладкого мюгообразия (пп. 4.1 и 5.8) и гладких ото- браженш (пп. 6.1 и 6.14) приводят к одним и тем же поштиям. Ъм самым будет показаю, что координтый и алгебраический подходы эквивалентна. Эквиваленгюсть двух определенш гладкого мюгообразия будет сформулироваш в виде двух теорем — 7.2 и 7.7. Эквива- Эквиваленгюсть определенш гладких отображенш составляет содер- жаше теоремы 7.16. 7.2. Ъорема. Пусть Т = С°°(М) — алгебра гладких фуш- ций т мюгообразии М, определяемая его гладким атласом А. Ъгда J- является гладкой Ш-алгеброй (в смысле п. 4.1), а ото- бражеше является гомеоморфизмом. < Доказательство будет проведею в четыре шага. Во-первых, будет устаювлеш биект ивюсть отображены в: М —> \Т\ (п. 7.3), далее мы докажем, что это гомеоморфизм (п. 7.4), затем будет показаю, что С°°(М) — геометрическая и полтя алгебра (п. 7.5), и тконщ, что от является гладкой (п. 7.6). 7.3. Отображеше в: М —> \J-\ биективю . 113
114 Глава 7 < Иньективюсть очевидш: если р, q G М — различнее точки, то существует такая фужция / G С°°(М), что /(р) т^ /(?) (ш" пример, фужция, положителыня в малой окрестюсти точки р, не содержащей точку q, и равтя н/лю вне этой окрестюсти, см. п. 2.3); m такой фужций зшчешя гомоморфизмов @(р), Q(q) '¦ f ~^ ^ различал, так как Докажем сюръективюсть. Пусть р: .7-* —> IR — какой-либо гомоморфизм, / G С°°(уМ) — фужция с компактными поверх- поверхностями уровш (см. п. 5.18) и Л = р(/). Допустим, hi одт из точек компактюго мюжества L = f~1(X) не соответствует гомоморфизму р. Ъгда существует такое семейство фужций {fx: х Е L}, что fx(x) ^ p(fx)- Рассмотрим покрытие мюже- мюжества L открытыми мюжествами Ux = {q е М: fx(q) * РШ} и выберем из него конечюе подпокрытие UXl,..., UXm. Рассмо- Рассмотрим фужцию Эта гладкая фужция ш М шгде не обращается в н/ль. Поэтому существует гладкая фужция 1/д, и теперь мы можем легко получить стащартюе противоречие, зшкомое из примеров: Р(д) = W) - АJ + Y1 1=рA)=р(дЛ\ =р(д)рП-\ =0. Следователью, гомоморфизм р задается некоторой точкой мюжества L С М, так что отображение в сюръективю. > 7.4. Отображение в: М —> \J-\ является гомеоморфизмом. < Пусть U — открытое мюжество в |JF|. Ъгда по определе- определению 3.12 мюжество U является объединением мюжеств вида , где V С R открыто. Ък как фужция / е Т = С°°(М)
Эквивалентость коордиттюго и алгебраического определешй 115 гладкая (и, следователью, ншрерывтя), то мюжества /-1 (V), а, зтчит, и их объединение U, открыты в топологии мюгообра- зия М. Верюе и обратюе, для любого открытого в топологии мю- гообразия М мюжества U существует такая фужция / G J-, что U = f~1(M.+). Ммма 4.17, I, очевидю, остается справедливой, если считать, что в ее предположениях М есть мюгообразие в смысле п. 5.8. Но №+ открыто в №, так что U открыто в топологии пространства |JF|. > 7.5. Алгебра Т = С°°(М) является геометрической и полюй . < Геометричюсть алгебры Т очевидш, так как все элементы / G Т являются действительными фужциями ш мюжестве М, а только тождествено равтя н/лю фужция обращается в н/ль во всех точках мюжества М. Очевидю и то, что Т является полюй: любая фужция /: М —> Ж, гладкая в окрест- юсти любой точки, будет гладкой ш всем мюгообразии, т.е. /е^ = С°°(М) (см. п. 5.17). > 7.6. С°°(М) является гладкой Ж-алгеброй. < Для доказательства мы построим такой счетный атлас ^2 = {(Uk,Xk)}, что Xk{Uk) = К". Начнем с произвольюго не более чем счетюго атласа Aq = {(И>Уг)}> согласованого с заданым атласом А. Дзбое открытое мюжество ViiVi) С Ш.п может быть представлею в виде счетюго объединения открытых оо шаров в Ш1, т. е. yi(Vi) = \JGh, где г=1 Gu ={rel": ||г - аи\\ < ги}. Семейство очевидю, является счетным атласом ш М, согласованым с Ао, а зшчит, я с А. Заметим теперь, что по любой карте (U, х) ш М, где x(U) — открытый шар в Ш.п, мы можем построить карту (U, г\ о х),
116 Глава 7 где (г) о x)(U) = Ш.п, если в качестве г\ возьмем произволыый диффеоморфизм открытого шара x(U) ш Ш.п. Например, если x(U) — открытый шар с радиусом р и центром а, биекцию r\: x(U) —> Ш.п можю задать формулой р(г-а) fi(r) = —. . VР ~ \\г ~ а\\ Отображенже г\ обратимо: r)-1(r)=a + Sp Ы12' и, следовательно карта (U, г\ о х) совместш с (U, х). Проведя такую конструкцию для каждой карты атласа А\, мы получим требуемый атлас Л2 = {(?/&, %к)}- Рассмотрим произвольную карту (Uk,Xk) G A2. Мюже- ство Uk, очевидю, открыто в топологическом пространстве М. Ясю, что огранжченже алгебры Т = С°°(М) ш это мю- жество состоит из всех фужций /: Uk —> №, для которых / о х^1 — гладкая фужция ш Ш.п. Следователью, соответствие / I—> /ох^1 осуществляет изоморфизм М-алгебры С°°(М) v m C°°(]Rn), а это зтчит, что F = С°°(М) — гладкая алгебра. > самым теорема 7.2доказаш. > 7.7. Ъорема. Пусть Т — произвольная гладкая Ш-алгебра. Ъгда существует такой гладкий атлас А т двойственом прострактве М = \J-\, что отображеше алгебры Т ш алгебру С°°(М) гладких отюсителью А фуж- фужций ш М {см. 5.17) является изоморфизмом. А Для доказательства потребуется четыре шага. Стчала (п. 7.8) мы построим карту х: U —> W1 для каждого открытого мюжества U из счетюго покрытия пространства |JF|, используя лемму, доказываемую ш втором шаге (п. 7.9). Далее мы показываем, что любые две карты согласованы. На четвертом и последнем шаге мы доказываем, что / G Т
Эквивалентость коордиттюго и алгебраического определешй 117 тогда и только тогда, когда / G С°°(М) (где /, абстрактней элемент алгебры J-, отождествляется с фужцией /: \J-\ —> №, 7.8. Конструкция карты х: U —> М.п. < По определению гладких алгебр (п. 4.1) существует открытое покрытие пространства |JF| открытыми мюжествами U, для которых существует изоморфизм г: J-\ —> C°°(№.n). Возьмем любое такое U и построим карту х: U Композиция \и U \р\ где ji — вложенже (см. п. 3.29), а р: Т —> Т Т1 — отображеше ограничения (см. п. 3.25), как легко проверить, совпадает с это вложешем U С \J-\. Ък как ц — гомеоморфизм ш \Т доказывается шже в п. 7.9), а \р\ о /j, — вложеше U С \J-\, то \р\ должю быть гомеоморфизмом m [/С \J-\. Возьмем теперь в качестве h: Т —> Сс композицию Т Т и h = г о р. Рассмотрим двойственое отображеше р о |г . Ък как \СС = К11 (согласю 3.5), а г является изоморфизмом, то ввиду 3.20 |г| является гомеоморфизмом р также является гомеоморфизмом (ш U G \Т\), и композиция = \р\ о |г| является гомеоморфизмом \h\: U, где U открыто в \Т\. Следователью, мы получим требуемую карту, если положим х = \ti\~1: U —> W1. > l^l^l является гомеоморфиз- 7.9. Лемма. Вложете ji: U MOM Ш < Предположим, что ji ie сюръективю, т. е. существует точ- точка а € \J~\jj\ ч ^{U); введем обозшчеше а = | 1 а), где I . ^ (М) изоморфизм, введеный в п. 7.8. Рассмо- Рассмотрим два случая, когда точка а пришдлежит и ie пришдлежит замыкашю мюжества
118 Глава 7 Первый случай: a G /J>(U). Рассмотрим фужцию /, опре- деленую ш Ш.п \ {a}, fix н-> 1/\\х — а||, и фужцию g = /o|?|~1o/i, определенуюш U. Утверждается,чтод € Т [/. Действителью, у любой точки г G Мп\ {а} есть окрестность, m которой / совпадает с гладкой фужции, определений ш всем Ш.п. Среди прообразов таких окрестностей относительно отобра- отображения (г) о ц для любой точки q G U шйдется окрестюсть, ш которой д совпадает с фужцией из Ту По определенно алгебры Т v (см. п. 3.23) это зтчит, что д локально совпадает с фужцией, принадлежащей Т, и, следовательно, д € Т [/, как и утверждалось. Но теперь рассмотрим фужцию i(g), гладкую (ш всем Шп\) и совпадающую с / ш мюжестве \i\-1 (fj,(U)), за- мыкаше которого содержит точку а, и получим противоречие, так как / «становится бесконечной» в а. Второй случай: а (? l~i(U). Рассмотрим ш Ш.п две гладкие фужции: тождественый н/ль и фужцию /о, обращающуюся в н/ль ш замкн/том мюжестве | г | х (/х(С/)) и равн/ю 1 в точке а (/о существует ввиду п. 2.5). Это различные фужции, поэтому их прообразы при изоморфизме г являются различиями эле- элементами алгебры Т [/, что швозможю, так как оба ohi равн>1 н/лю ш U. Итак, доказаю, что вложенге ji является гомеоморфизмом ш \T\V\. > 7.10. Построеные в п. 7.8 карты согласовать. <\ Предположим, х: U —> Ш.п и у: V —> Ш.п — две такие карты, а г: T\v ->• С°°(Шп) и j: Т\у ->• С°°(Шп) — соответствую- соответствующие изоморфизмы М-алгебр. Пусть W = U П V ^ 0. (Случай W = 0 тривиален) Ввиду п. 3.25 имеются изоморфизмы определяющие изоморфизм t: C°°(x(W)) = C°°(y(W)), чтосо- гласю предложению 3.16 доказывает диффеоморфюсть замены коордишт |t|: y(W) -^ x(W). > 7.11. Зислючительшй шаг : f е Т <^> / е С°°(М).
Эквивалентость коордиттюго и алгебраического определено! 119 < Пусть / G Т. Для доказательства гладкости / в смысле С°°(М) (см. п. 5.17) шм тдо показать, что фужция / о х~х является гладкой фужцией m IRn для любой из карт х: U —> Ш.п, построеных в п. 7.8. Но имеют место равенства (см. п. 7.8) / о х-1 = / о \h\ = / о \р\ о |г| = i(p(f)) е C°°(Rn), так как г — изоморфизм алгебр Т v и С°°(МП). Следователью, /or1 e C°°(Rn). Обратю, пусть / G С°°(М). Это зтчит, что для любой карты (U, х) фужция / о х~х = г(/ ° |р|) притдлежит С°°(МП) и является образом (при г) элемента алгебры Т v (а имено, образом элемента / о |р|). Иким образом, / локалью совпадает с элементами алгебр Т [/, а зтчит, и с элементами алгебры Т. Тш. как Т — полтя алгебра, / G Т. > 7.12. Тжим образом, мы устаювили эквиваленгюсть двух определенш гладкого мюгообразия: алгебраического (п. 4.1) и коордиттюго (п. 5.8). Ткоремы, атлогичнле 7.2 и 7.7, имеют место и для мюгообразий с краем. Доказательства проводятся точю так же (с очевидными модификациями для точек края). Читателю, желающему проверить, тсколько оновладел со дер- жанжемпп. 7.1-7.12, будет полезю провести эти доказательства в деталях. На самом деле атлоги этих теорем справедливы для существено более широкого класса объектов, тпример для следующих. 7.13. Определеше. Гладким мюжеством тзывается пара вида (И7, C°°(W)), где W — замкнутое подмюжество W С М гладкого мюгообразия М и C°°(W) — алгебра гладких фуж- ций m W, определяемая следующим образом: Упражшше. Докажите, что для гладких мюжеств также справедливы теоремы, атлогичнле 7.2 и 7.7. 7.14. Упражгенш. Найдите алгебры C°°(W) для следующих случаев.
120 Глава 7 1. W = К — коордиттнлй крест ш плоскости: K = {(x:y)cR2\xy = 0}. 2. W С Ш2 задается уравнешем у = \/\х\. 3. W — треуголыик в Ш2: W = Тг U T2 U Т3, где A. W — треуголыик, описаный в задаче 3, вместе с тренейобластью: W = {(х:у) \ х + у ^ 1, х,у ^ 0}. 5.W — Koiyc х2 + у2 = z2 6. W = Wi, i = 1, 2, 3, — одиниз трех одюмернлх, гомео- морфнлх между собой полиэдров, изображеных ш рис. 7.1. В главе 9 читателю будет предложею упражнеше 9.36 E), в ко- котором предлагается доказать, что алгебры C°°(Wi), г = 1, 2, 3, попарю неизоморфнл. 7. W С Ш2 — замыкаше графика фужций у = sin -. Рис. 7.1. 1 -скелет тетраэдра Конечю же, существуют разнле описашя рассматриваемых алгебр Например, вероятю шиболее прямой и удобнлй способ описашя гладких фужций ш треугольшке (см. выше задачу 3) состоит в рассмотреши троек (/i, /2, /3), f% G C°°([0,1]), таких, 1) = /2@), /2A) = /3@), /3A) = /i@). Попробуйте что
Эквивалентость коордиттюго и алгебраического определешй 121 дать ашлогичюе описаше для для гладких фужций ш кресте и тетраэдре, упомян/тых в задачах 1 и б соответствено. 7.15. Гладкие мюжества естествено возшкают при рас- смотренш самых разнлх задач. Мы проиллюстрируем это, предложив читателю следующие Упражгенш. 1. Покажите, что конригурационое простран- пространство шаршрюго мехашзма может рассматриваться как гладкое мюжество. 2. Определите, какие из гладких мюжеств, соответствую- соответствующих четырехуголыикам и пятиуголыикам, перечисленым в упражненш 1 п. 1.14 не являются гладкими многообразиями и опишите соответствующие алгебры гладких фужций (сравште с упр. 6.25). 3. Докажите, что гладкое мюжество, соответствующее не- нежесткому вырожденому пятиуголыику (см. упражнение 6.25), ншример, B; 2,1,1, 2), не является гладким мюгообразием и опишите его особые точки (пятиуголыик шзывается вырожден нлм, если его конригурационое пространство состоит из одюй точки, ншример, D; 1,1,1,1)). Змечаше. Гладкое мюжество, соответствующее четырех - угольшку E; 3, 3,1) «дифеоморфю» паре окружюстей, ко- которые касаются друг-друга в некоторой точке, скажем, z. Глад- Гладкие фужций ш этом мюжестве могут рассматриваться как пары (/i,/2), где /ь/2 Е CCO(S1), такие что fi{z) = f2(z) and f[(z) = f'2(z). Попробуйте атлогичнлм образом описать гладкие фужций ш гладких мюжествах из упражнешй 2 и 3. 7.16. Совпадеше двух определешй гладких отображешй, даных впп. 6.1 и 6.14, составляет утверждеше следующей теоремы. Ъорема. Пусть М и N — многообразия соответствено с гладкими атласами А и В и алгебрами гладких фужций J-м и J~n- Отображенле ip: М —> N является гладким относитель- относительно атласов А и В (см. п. 6.14) тогда и только тогда, когда
122 Глава 7 ою гладкое в смысле определетя 6.1, т. е. (P*(Tn) С Тм, где if*: TN — •^ Доказательство приводится нгже, пп. 7.17 и 7.18 соответ- соответствуют частям теоремы «только тогда» и «тогда». 7.17. Ели tp: М —> N — гладкое отображеше, то (p*(TN) С Тм- < Предположим, / G Tn и a G М. Выберем карту (V, у) в окрестюсти точки if (а) и карту (U,x) в окрестюсти точки а, согласование соответствено с атласами В я А я такие, что <p(U) С V. Ъгда отображеше <p*(f) ° х~х = (/ о ф) о ж = (/ о у) о {у о ip о ж) является гладким как композиция двух гладких отображешй областей в евклидовых пространствах. Тжим образом, <?*(/) является фужцией, локалью совпадающей с элементом алге- алгебры Тм- "Бк как Тм — полтя алгебра (см. п. 7.5), то отсюда следует, что 7.18. Ели (р*(Тм) С Тм, mo ip: М ^ N — гладкое ото- отображеше коордиттшх мюгообразий . < Выберем произвольные карты (U,x) G А я (V,y) G В, для которых ip(U) С V. Согласю определешю 6.14 шм тдо доказать, что локальные коордишты точки <р(а) G V являются гладкими фужциями от локалыых коордишт точки a G U. Другими словами, фужции уг о ip г = 1,..., dim N, долж№1 быть гладкими. Для каждой из фужции у1 подберем фужцию /г G Tn, такую, чтоуг = f% v- Согласю условию (P*(Tn) С Тм фужции ip*(fi) = fi о ip являются гладкими, поэтому гладкими являются и фужции уг о ip = ip*(fi) jj. > 7.19. Мы доказали, что две категории — мюгообразий как гладких атласов с гладкими в смысле п. 6.14 отображешями и мюгообразий как гладких IR-алгебр с гладкими в смысле
Эквивалентость коордиттюго и алгебраического определешй 123 п. 6.1 отображениями — эквивалентны. С этого момента мы не будем различать эти две категории. Читатель, звжомый с понятием комплексюго мюгообра- зия, возможю, уже обратил вшмаше ш тот факт, что, вообще говоря, такое мюгообразие не совпадает с комплексном спек- спектром алгебры голоморфных фунсций ш нем. Например, как это хорошо известю из элеменгарюй теории фунсций ком- комплексюго переменого, ш римаювой сфере (и любом другом компактюм комплексюм мюгообразии) голоморфные фужции сводятся к когстангам. По этой причине, казалось бы, можю думать, что «спектралыый» подход, принятый в этой юиге, менее универсален чем стандартный, оперирующий с картами и атласами. Уважеше прищипа шблюдаемости, тем не менее, заставляет тс поншать комплексною мюгообразия как глад- гладкие, ю сшбжёные дополнительна комплексюй структурой. Иными словами, комплексные мюгообразия при таком подходе интерпретируются как решешя некоторых дифферещиалыых уравнений, а комплексные карты появляются как их локальные решешя. Эта точка зрешя, по существу восходящая к Риману, несмотря ш кажущуюся сложюсть, ш самом деле имеет мюго преимуществ. Например, от может быть обобщеш ш любые коммутативные алгебры методами «алгебраического» диффе- рещиальюго исчислешя, осювы которого описываются шже в главах 9 и 11.
Глава 8 СПЕКТЫ И ПРИЗРАКИ 8.1. В предыдущих главах мы постарались деталью развить теорию главных поштий шстоящей кшги — гладких М-алгебр и гладких мюгообразий. При этом мы определили главный класс геометрических объектов, с которыми будем работать. Одтко большинство из тех определен™, конструкций и ре- результатов, с которыми читатель встретится в этой юиге, спра- справедливы для алгебр, более общих, чем гладкие М-алгебры. Для того чтобы показать, как работает геометрическая интуи- интуиция в этих более общих ситуациях, шм понадобятся некоторые обобщены поштий точки, гладкой алгебры и мюгообразия. 8.2. Можю указать целый ряд причин почему желателью обобщение поштия точки. I. Хотя «показания измерительных устройств» (см. п. 1.9), которые мы использовали для мотивировки шших конструкций, обычю являются действительными числами, часто приходится рассматривать измерешя более общей природы (комплексные числа, матрицы, вычеты по модулю какого-шбудь числа и т. д.). Убедительным примером может служить комплексгый фазовый метод, используемый в элеменгарюй теории электричества. II. Если решеше какой-либо проблемы (физической или ма- математической) сводится к решешю алгебраического уравнения с коэффициентами в кольце А (или в поле А, не являющемся алгебраически замкнутым), то, как правило, полезнее искать ре- решеше в расширеши В D А этого кольца, а не в самом кольце. 124
Спектры и призраки 125 Простейшим примером является использование комплекстых коршй мюгочлет с действительными коэффициентами. Менее тривиальный пример — операторы Паули, возника- возникающие в квантовой мехашке электроюв как матричтые решетя О\ > с, Сз системы уравненш °\ = °2 = аЗ = ~1 G1G2 — <72<7i = Gз, III. Математику фавится избавляться от исключешй, он стремится к эстетичюй унификации любой теории; в результа- результате он часто вводит язык, в котором исключены оказываются частью общего правила. Тж, параллелыые прямые «пересе- «пересекаются ш бесконечюсти», мтмые и бескотчю удаленые точки появляются во мюгих ситуациях, в частюсти, в связи с М-алгебрами (см. 1.18). Этот трюк с придаваем ингуитивюго геометрического смысла различным алгебраическим ситуациям особено плодотворенв алгебраической геометрии, идеи кото- которой будут здесь часто использоваться. 8.3. Мотивирующий пример. Если / G Ш[х] — неприводи- неприводимый мюгочленстепеш 2, то, очевидю, нет hi одюй М-точки алгебры Ш[х], являющейся корнем этого мюгочлет, т.е. нет такого гомоморфизма а: Ш[х] —> №, что а(/) = 0. Одтко существует ровю два гомоморфизма в по- поле комплексных чисел, а, а: Ш[х] —> С, для которых a(f) = а(/) = 0. Ниже это будет доказан» (см. п. 8.7), ю мы рекомещуем читателю постараться доказать это сейчас. Го- Гомоморфизмы типа а я а следует рассматривать как комплекстые точки алгебры Щх]. 8.4. Пусть к — некоторое поле, К D к — кольцо без де- делителей нуля, а Т — коммутативтя /с-алгебра с единицей. Принимая во BHiMaHie пример 8.3, естествено определить точку алгебры Т «тд кольцом» К как эпиморфизм /с-алгебр а: Т —> К и точки OiiF^KiDk, i = 1,2,
126 Глава 8 считать тождествепыми {эквивалетгтыми ), если существует такой изоморфизм /: К\ —> К2, что п2 = I о а±. Теперь можю дать следующее Определеше. Пусть К — /с-алгебра без делителей н/ля. Класс эквиваленгюстиэпиморфизмов /с-алгебр а: Т —> К D к шзы- вается К -точкой /с-алгебры Т. Про кольцо К говорят, что ою является областью точки а. В дальнейшем мы часто будем говорить о точках алгебры J-, не уточшя их область. Читатель долженпомшть, что у каждой точки /с-алгебры Т есть своя область и различные точки могут иметь различнее (или одишковые) области. 8.5. С точки зрешя шшей физической интерпретации (в тер- мишх измеренжй) изоморфизм / в определенш 8.4 можю ис- истолковать как эквиваленгн/ю замен/ «системы тблюденш», которая, конгчю, нг должш влиять ш мюжество точек (состо- янш), определяемых алгеброй Т. Определеше 8.4 можю также мотивировать чисто алгебра- алгебраически, что будет сделаю в следующем пужте. 8.6. Ъорема. Ъчки коммутативюй k-алгебры Т (потмае- мые в смысле п. 8.4) шходятся во взаимю одюзшчюм соот- соответствии с простыми идеалами алгебры Т, которое задается отображетем (а: Т -> К)\—> Кега С Т. ¦< Простота идеала Кег а зависит только от класса гомомор- гомоморфизма а и различные классы эквиваленгюсти соответствуют различным идеалам, — очевидю. Для доказательства сюръективюсти возьмем произвольный простой идеал р С Т. Ъгда в кольце J-'/р нет делителей н/ля, и отображение факторизации q: Т —> Т/р является точкой алгебры Т, для которой Кег q = р. > Мюжество простых идеалов /с-алгебры Т называется про- простым спектром алгебры Т и обозначается SpecJF. Согласю теореме Spec T можю рассматривать как мюжество всех то- точек алгебры Т. Очевидю, при к = № имеет место включение
Спектры и призраки 127 SpecJ- D \J-\, так что элементы SpecJ7 обобщают поштие IR-точки, т. е. IR-точки в смысле п. 3.4 — это «точки тд полем IR» в смысле п. 8.4. 8.7. Примеры (осюваные ш теореме 8.6). I. У компакт- юго гладкого мюгообразия ie может быть точек тд полем комплексных чисел С. < Пусть а: С°°(М) ->• С — С-точка и a(f) =ieC. Ъгда аA + /2) = 0 и поэтому 1 + /2 € кега. С другой стороны, элемент 1 + /2 очевидю обратим в С°°(М) и, следователью, не может принадлежать вжкакому собственому идеалу в С°°(М). > II. Мюжество всех точек полиюмиальюй алгебры Ш[х] можю отождествить с комплексной полуплоскостью {z\Imz^ 0}, к которой добавлеш точка и, соответствующая идеалу ¦< Тш. как Ш[х] — кольцо главных идеалов, любой простой иде- идеал здесь имеет вид М[ж]/, где / — неприводимый мюгочлен Но тогда мы имеем либо / = 0, либо / = а{х — Ь), либо, нжонщ, / = а(х — с) {х — с), где а, 6 ? 1, асис — сопряжение ком- комплексные числа. Тшим образом, любому ненулевому простому идеалу в Щх] соответствует либо одю действительюе число, либо пара сопряженых комплексных чисел. > Ъм самым мы доказали утвержденже, упомишвшееся в кон- конце п. 8.3. Упражгенш. 1. Пусть к — поле, и X — формалыня перемен- тя; опишите Spec к [X]. 2. Покажите, что /^° = f]k^, z G М, есть простой идеал вС°°(М). 8.8. Мы шучились каждой /с-алгебре Т ставить в соответ- соответствие точечюе мюжество Spec T, и было бы естествено попы- попытаться сшбдить его топологией. В сходюй ситуации, работая с \Т\, мы вводили топологию, ищуцированую топологией Ш.,
128 Глава 8 ю в случае произвольней /с-алгебры Т у тс нет больше фикси- рованого поля Ш. с заслуживающей доверия топологией. Нужш ювая идея, чтобы отыскать топологию в Spec Т. Пусть С — замкн/тое мюжество в Ш.п; тогда шйдется фуж- ция / G C°°(IRn), для которой /(г) = 0 тогда и только тогда, когда г G С. Ъ же справедливо для замкн/того мюжества В т мюгообразии М: существует фужция / € Т = С°°(М), для которой f(p) = 0 в том и только том случае, когда р € В (см. п. 4.17 (I)). Это обстоятельство послужит осювой для введены топологии в Spec T. Во-первых, заметим, что любой элемент / € Т может рас- рассматриваться как фужция ш SpecJF. Имено, для любого простого идеала р G Spec T положим f(p) = f mod p. Для произвольюго подмюжества Е С Т обозшчим че- через V(E) С SpecJF мюжество всех простых идеалов, содер- содержащих Е. Другими словами, если р G V(E), то для любой фужции / G Е имеем f(p) = 0. Теперь мы можем опреде- определить топологию Лрисского ш простом спектре Spec T любой /с-алгебры Т как топологию, в которой шбор {V(E) | Е С J-} составляет базис замкн/тых мюжеств. 8.9. Определение топологии ^рисского в Spec T можю дать и в термишх операции замыкашя. Для произвольюго мюже- мюжества М С Spec Т рассмотрим идеал 1м = П Р и определим замыкаше М мюжества М как М = {р е Spec Т | р э 1м}- Это определение имеет яснэ1Й смысл: если элемент / G Т обращается в н/ль ш М, т.е. рем^ f(p) =  / ер, то онобращается в н/ль ш М; обратю, если любой элемент /, обращающийся в н/ль ш М, равен н/лю и в некоторой точке р G SpecJF, то р Е М. (Ът факт, что эта конструкция приво- приводит к той же топологии, что была введет в п. 8.8, вытекает непосредствен^) из определений.)
Спектры и призраки 129 Возможю, читатель заинтересуется, какой цеюй достигнута крайни общюсть этой конструкции. Оказывается, топология Зфисского в Spec T шхаусдорфова . В частюсти, Spec T со- содержит незамкнутые точки, кот орые будут рассмотрены в сле- следующем пужте. 8.10. Упражшше. 1. Докажите, что одюточечюе мюжество {р} С Spec T замкнуто в топологии Зфисского тогда и только тогда, когда идеал р максимален 2. Опишите топологию Зфисского ш М[Х]|. Сравните топологию З.рисского ш \ЩХ] =Еи топологию З.рисского ш Сс 3. Опишите топологию Зфисского ш Spec Ш[Х]. 8.11. Предложеше. Зичыкаше точки q G SpecJ7 (точте говоря, одюточечюго мюжества {q}, q ? Spec J-) совпадает с мюжеством V(q) = {pe SpecJ7 | q С р}. (Другими словами, {q} — это мюжество всех общих щлей для всех фушций из идеала q.) ¦< По определенно 8.8 мюжество V(^) замкнуто. С другой сто- стороны, если Е <ZT,qE V(E), то q Э Е => V(q) С V(E). > 8.12. Следствия и примеры. I. Ък как в /с-алгебре нет делителей нуля, то {0} G Spec T и {0} = Spec T. Поэтому идеал {0} шзывается общей точкой мюжества Т. II. В частюсти, точка и из примера 8.7 (II) — имено такая общая точка. III. Пусть / G k[xi,... ,хп] = J- — неприводимый мю- гочленот п переменых шд алгебраически замкнутым полем к. Рассмотрим простой идеал р = k[xi,..., хп] ¦ /. З.мыкан1е точки р в простом спектре Spec Т алгебры мюгочлеюв Т со- состоит, кроме самой точки р, из всех максимальных идеалов,
130 Глава 8 соответствующих точкам гиперповерхности Ъчка р шзывается поэтому общей точкой этой гиперповерхю- сти. (Каждой точке (ri,..., rn) € к" соответствует максималь- 1ый идеал Т порожденый всеми моюмами Х\ — Г\,..., хп — гп.) IV. Согласю предложение 8.11 замыкайте точки р из предыдущего примера содержит все простые идеалы, содер- содержащие р. С точки зрешя «геометрии максималыых идеалов» любой такой идеал определяет поверхюсть «меньшей размерю- сти», содержащуюся в гиперповерхюсти Hf и является общей точкой этой меньшей поверхюсти. 8.13. Ъорема. Простой спектр SpecТ любой k-алгебры Т компактен Переформулируем теорему в термишх замк1утых мю- жеств: если {Ма}а?А — такое семейство замюутых мюжеств, что f] Ma = 0, то мы можем выбрать конечюе подсемейство Ма1,..., MaN с пустым пересечешем. Докажем теорему в этой (эквиваленгюй) форме. ¦< Не теряя общюсти, можю считать, что Ма = V(Ea), где Еа С Т — некоторое подмюжество. Обозшчим через {Еа} С J- идеал, порожденый мюжеством Еа, и заметим, что 0=f]Ma= Но это зтчит, что идеал Xlae^i-^"} ffi содержится hi в каком простом, а зтчит, и hi в каком максимальюм идеале алгебры Т. Другими словами,
Спектры и призраки 131 Поэтому мы можем шйти а±,... ,ам ? i и /j G г = 1,..., N, для которых J2i=1 f% = 1. Но в этом случае N N П Маг = УС?{Еаг}) = V(F) = 0. > г=1 г=1 8.14. Посмотрим теперь, как простые спектры ведут себя при гомоморфизмах соответствующих /с-алгебр. Пусть Т\ и Т2 есть /с-алгебры, и a: Т2 —> JFX — гомоморфизм /с-алгебр. Утверждается, что еслм р <Z J-\ — простой идеал, то это же верю для а~1{р) С J-2. < Если qi E а~1(р), то для любого q^ G JF2 выполняются соотюшешя a{qiq2) E a{a~1{p)q2) = pa(q2) Ср. Тжим образом, qiq2 E а-1(р) и а^) — идеал. Докажем, что он прост. Пусть 51,^2 Е Т2 и q\q2 E а~1(р). Ъгда Oi(qi)oi(q2) G р и ввиду простоты р хотя бы один из элементов a(qi), a(q2), скажем первый, принадлежит р. Отсюда видю, что т. е. идеал а^) прост. > Тшерь любому гомоморфизму /с-алгебр а : Т2 —> Т\ можю сопоставить отображение простых спектров а\: SpecJFx —> SpecJF2 (р \—> а~1(р)). 8.15. Для любого гомоморфизма /с-алгебр а: Т2 —> Т\ соот- соответствующее отображение простых спектров а\: Spec.7-1 —> SpecJF2 непрерывна в топологии ^рисского. •^ Доказательство представляет собой непосредственую про- проверку определений, и мы оставляем его читателю. > 8.16. Теперь, переписав ашлогичюе определение для глад- гладких мюгообразий (п. 6.1), получим следующее
132 Глава 8 Определеше. Отображение C: Spec7-*i —> Spec7-*2 тзыва- ется гладким, если существует такой гомоморфизм /с-алгебр a: JF2 —>• JF2, что /5 = \а . Итак, читатель встретился еще с однш примером категорий: категорией простых спектров /с-алгебр, в которой морфизмами являются гладкие отображешя спектров. Заметим, что эта ка- категория является двойственой (в смысле п. 6.6) категории /с-алгебр и их гомоморфизмов. 8.17. Пусть идеал р € Spec Т, где Т — некоторая /с-алгебра, удовлетворяет условию J-'/р = к. Ъгда легко показать, что р — максимальней идеал. Мы предлагаем читателю также следующее Упражшше. 1. Идеал р — максимальней тогда и только тогда, когда J-'/р — поле. 2. Если Т — когечю порождения алгебра, р — макси- максимальней идеал, то J- /р —кошчюе алгебраическое расширение к. 8.18. Определеше. Максималыым спектром SpmJ-* для /с-алгебры Т шзывается мюжество максималь№1х идеалов ал- алгебры Т. Предыдущий пужт так же, как и пп. 8.10-8.11, где рассма- рассматривалось замыкайте одюточечнех мюжеств в Spec T', тводит ш мысль о рассмотрении Spm T вместо Spec T. Действителью, в этом случае мы избавимся от такой патологии, как незамкну- незамкнутые точки, а шбор точечнех областей будет более обозримым. Одтко изучать максимальнее идеалы почти не имеет смысла ввиду следующего фущаменгальюго обстоятельства: в отли- отличие от простых максималъше идеалы могут иметь прообраз, т являющийся максимальном идеалом (см. п. 8.19). Тжим образом, не существует отображения максимальных спектров, которому бы естественым образом можю было сопоставить гомоморфизм соответствующих алгебр. Другими словами, со- соответствие A I—> Spm А не является фужтором из категории iiT-алгебр в категорию топологических пространств.
Спектры и призраки 133 8.19. Пример. Пусть J-2 = fc[a;i,a;2] — алгебра мюгочлеюв от двух переменых, Т\ = к{х\) — поле рациошлыых фуж- ций, a: J~2 —> Т\ — композиция эпиморфизма факторизации Т2 = k[xi,x2] -> k[xi,x2]/(x2) = k[xi] и вложешя к[х\] ^-> к{х\) = Т\. Идеал {0} С к{х\) максималец в то время как идеал а ({0}) = J-2 ¦ Х2 — простой, ю не максималыый. Тем самым доказан) выделеное курсивом утверждение из предыдущего пужта. 8.20. Упражшшя. 1. Пусть М — компактюе мюгообразие. Докажите, что любой максималыый идеал в С°°(М) имеет вид /jz, z G М (см. упражнение 2 из п. 8.7). 2. Покажите, что для любого нжомпактюго мюгообразия М в алгебре С°°(М) существуют максималь№1е идеалы, не пред ставимые в виде /jz, z G M. 3. Покажите, что любой такой максималыый идеал имеет бесконечюе число образующих. 8.21. В оставшейся части этой главы мы обсудим некоторые свойства простых и максималыых спектров, отличающие их от гладких мюгообразий. Как мы видели в примере 8.7 (II), простой спектр может кроме «видимых» точек содержать точки с неочевидюй геоме- геометрической интерпретацией (в указаном примере — это простой идеал ш). Начнем с некоторых примеров, показывающих, что «точки» такого типа могут возникать и в максимальюм спектре Spm T. 8.22. Призраки. Читатель, вншателью прочитавший пример 8.7 (I), конечю, заметил, что максимальнее идеалы алге- алгебры гладких фужций ш компактюм мюгообразий шходятся во взаимю одюзшчюм соответствии с обычнлми М-точками этой алгебры (т. е. обычнлми точками мюгообразия). Для не- компакт№1х мюгообразий это уже не так.
134 Глава 8 Действителью, пусть /с — идеал всех фужций с компакт - 1ым юсителем ш некомпактюм мюгообразии. Никакой мак- сималыый идеал, содержащий /с, не может быть ядром какой- либо IR-точки (доказательство оставляется читателю в качестве упражнения). Тжие максималыые идеалы соответствуют «точ- «точкам» исходюго мюгообразия, которые мы шзываем призрака- призраками. В пп. 8.24-8.26 мы увидим, как могут материализоваться такие призраки. 8.23. Прежде чем продолжить рассказ о призраках, сдела- сделаем одю замечайте. Пусть Т — IR-алгебра гладких фуж- фужций ш компактюм мюгообразии М. Как упомишлось выше, М = Spm J-, ю не следует думать, что М = Spec T. По этому поводу читателю стоит выполнить следующее Упражшше. Фужция / € Т шзывается плоской в точке а Е М, если от вместе со всеми своими производивши обра- обращается в этой точке в н/ль. Фужций, плоские в даной точке а Е М, образуют идеал. Докажите, что этот идеал прост, т.е. является точкой пространства Spec T, которой не соответствует шкакая точка ш М. 8.24. Пример (компактификация прямой). Пусть Т = C°°(]R) — IR-алгебра гладких фужций ш прямой Ш., а /с, как и выше, — идеал фужций с компактными юсителями. Можю попытаться описать максималыые идеалы, содержащие /с, ю у большинства этих идеалов-призраков нет разумюго конструк- тивюго описания. Одтко есть два очен> милых мюжества фужций, содер- содержащих /с, — это мюжества Д+0О и Д_с -оо К сожаление, эти мюжества не являются идеалами (и, можю сказать, только поэтому не являются максимальными идеалами). Это неприятюе обстоятельство можю преодолеть следующим
Спектры и призраки 135 образом. Положим dkf dkf = { f & Т V/c^O lim ——- и lim ——- существуют} U r^+oo drk r^-oo drk J и определим /л±оо как Т\ П Д±0О. Ъгда справедливы следующие утверждения I. /i+oo и /Л-оо — максимальнее идеалы алгебры Т\, содер- содержащие /с. II. Если М = [0,1] С Ш.1 и алгебра Тм состоит из огра- Н1чен1й всевозможных фужций из Т m М, то мюгообразие с краем М гомеоморфю \J-\ \. III. При таком отождествлении идеал /с стаювится идеалом фужций, рав№1х н/лю в окрестюстях кощов отрезка [0,1], а идеалы /i+оо и /л_оо стаювятся соответствено точками 0 и 1. IV. Отсюда следует, что все максимальнее идеалы алге- алгебры Т\, кроме ji+00 и ji-oo, соответствуют обычнлм точкам прямой Ж1; что касается идеалов /i±oo> то это «призраки», при- соедишные к прямой с целью сделать ее компактюй. V. Докажите, что алгебра Т\ ж изоморфш алгебре Тм и вообще re является гладкой. Попробуйте вместо Т\ построить другую подалгебру алгебры Т, изоморфн/ю Тм ¦ 8.25. Другой пример. Среди мюгочисленых методов ком- пактификации прямой рассмотрим еще только один Пусть dkf dkf T2 = {feT1\ Wk lim -i. = urn 4 e Щ lim = urn 4 e Щ. r^+oo dr r^-oo dr Положим jloo = jl+00 П T2(= jl-oo П T2). Мгко доказать, что топологическое пространство \Т2\ гомео- гомеоморфю окружюсти S1. Наглядю это можю представить как склейку «бескогечю удаленых кощов» прямой с помощью «призрака», соответствующего идеалу /ioo (см. рис. 8.1). Как и в предыдущем примере, подалгебра Т2 ж является гладкой, ю есть в алгебре Т и гладкие подалгебры, изоморф- нле COO(S1). Если построение гладких заменителей для Т\
136 Глава 8 Рис. 8.1. и JF2 вызывает трудюсти, постройте стчала гладкие вложешя Ж1 ^-> [0,1] и К1 ч S1, а затем рассмотрите «ограничены» фужций из С°°([0,1]) и COO(S1) m вложеную прямую. 8.26. Дальнейшие примеры. I. Обозшчим через Т алгебру комплексюзтчных фужций комплексюго переменого, опре- деленых, голоморфных и огрангченых в области \z\ < 1. Среди максимальных идеалов алгебры Т шм, кошчю, извест- известны идеалы, соответствующие точкам а, \а\ < 1, а имено На = {/ е Т | /(а) = 0}. Можю определить На и при \а\ = 1, положив Докажите, что максималыый спектр алгебры Т состоит из всех идеалов jia, 1. II. Найдите максималыый спектр алгебры JF2 комплексю- зшч1ых фужций двух комплексных переменых, ашлитиче- ских и огрангченых в открытом полидиске, т. е. ш мюжестве {(zi,z2) , \z2\ < 1}.
Глава 9 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КАК АСПЕКТКОММУТ^ИВНОЙ АЛГЕБРЫ 9.1. Осювываясь ш описаной в предыдущих главах форма- формализации процесса тблюдешя в классической физике, можю прийти к некоторым весьма важнлм выводам. Во-первых, обра- обратим вшмаше ш то, что дифферещиальюе исчислеше является естественым языком классической физики. С другой сторонл, поскольку вся инрормация о классической физической систе- системе заключеш в соответствующей алгебре шблюдаемых, отсюда с неизбежюстью вытекает, что необходимое для описания фи- физических задач дифферещиальюе исчислеше является одшм из аспектов коммутативюй алгебры. Объяснение того, как извлечь чисто алгебраическое опре- делеше дифферещиальюго оператора из известных фактов, предоставляемых шм элементарном ашлизом, является осюв- юй целью шстоящей главы. Очен> важю, что полученые конструкции можю использовать для произвольных, и совсем не обязателью гладких, коммутативных алгебр. Но самое глав- юе, пожалуй, не в этом. Ъ, что дифферещиальюе исчислеше есть формальюе следствие арифметических операций, является не только уди- вителью красивым и неожиданым фактом, имеющим важюе зшчеше вн/три самой математики. Это позволяет также пе- пересмотреть некоторые существующие парадигмы, касающиеся 137
138 Глава 9 взаимоотношения математики с естествеными туками, и, пре- прежде всего, с физикой и механжкой. Уваженже концепции тблю- даемости является для математики гарантом ее существовашя как естествено-тучюй дисциплины. 9.2. Начнем с простейшего понятия дифферещиальюго ис- исчисления, производюй, формализующей математически идею скорости. В элеменгарюй механжке шм объясняют, что ско- скорость — это вектор, подразумевая под вектором шправленый отрезок. Икая точка зренжя не может считаться удовлетво- удовлетворительней, поскольку совершено непонятно, что такое «ш- правленый отрезок» в случае абстрактюго («искривленого») мюгообразия. По этой причине основатели дифферещиальюй геометрии определяли касательный вектор как величину, кото- которая в заданий системе локальных коордишт характеризуется тбором из п чисел, причем этот тбор определеным образом изменяется при переходе к другой системе коордишт. Тшэй подход также неудовлетворителен, так как описывает векторы в локальных коордиштах, по существу не объясняя, что это такое. Во мюгих современых учебнжках дифферещиальюй гео- геометрии можю шйти другое определение касательюго вектора, которое не апеллирует к локальным коордиштам: касательным вектором шзывается класс эквиваленгюсти гладких кривых, касающихся друг друга в заданий точке интересующего тс гладкого мюгообразия. Попытавшись шйти сумму двух таких классов или умюжить такой класс ш число, т. е. попробо- попробовав ввести структуру линейюго пространства ш мюжестве всех касательных векторов, мы убедимся, что и даный подход не очень-то удобендля работы. Принципиальна причиш неудовлетворительности всех этих определен™ касательюго вектора состоит в том, что онг юсят описателыый характер, нгчего не говоря о фунсцио- шльюй роли этого понятия в дифференциальном исчислении. Можю понять эту роль, проашлизировав, что такое скорость с точки зрешя алгебры шблюдаемых.
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 139 Пусть А — некоторая алгебра шблюдаемых. Ъгда по опре- определенно М = \А\ есть мюгообразие состоянш соответствую- соответствующей системы и некоторое кожретюе состояние системы есть элемент h G \А\. Поэтому эволюция состояния системы во вре- времен! описывает семейство ht. Стало быть, скорость изменены состояшя системы в момент времен! to есть д def CLtlt h ~ dt t=t0 (9.1) где по определенно dht какой бы смысл мы ш вкладывали здесь в поштие предела. Инлми словами, то, что мы воспришмаем как движеше, есть факт изменены показашй приборов с течешем времеш, а скорость движешя есть скорость изменены этих показашй. Перевод сказашого ш геометрический язык, очевидю, осу- осуществляется ш осюве соответствия M3z^h = hz€: \A\, где А = С°°(М) и hz{f) = f{z), V/ е С°°(М). При этом переводе семейство {ht} оказывается кривой z(t) ш многообра- многообразии М, и кривая z(t) такова, что ht = hz(t), а производшя dht —7- является касательным вектором к этой кривой, а зшчит, (Хь и к мюгообразию М. Соотюшеше ( 9.1) при этом пришмает вид А, = dt где z = z(tQ) и, очевидю, Az ^ Ah. Итак, мы пришли к интерпретации : А ->¦ Ш, (9.2) t=t0 скорость изменены состояшя си- системы, описываемой алгеброй А касателыыи вектор к многообразию М Выше термин«касательн>1Й вектор» использовался в интуи- интуитивном смысле, и теперь шшей целью является его строгое опре- делеше исключительно в термишх алгебры шблюдаемых А. Найденая интерпретация позволяет сделать это естественым
140 Глава 9 образом. Едшствено, что для этого н/жю сделать, — уяс- Н1ть математическую природу оператора А^ (или Az), нестрого определеного формулой ( 9.1) (соответствен*) ( 9.2)), посколь- поскольку IE всякое отображение из А в №, шпример h, естествен*) шзывать скоростью изменжя состояния. 9.3. Алгебра шблюдаемых представляет собой сочетайте двух структур: структуры векторюго пространства и мультиплика- тивюй. Взаимодействие оператора А^ (или Az) с первой из hix очевидю: онявляется IR-лшешым, т. е. (9-3) Упражшше. Убедитесь в этом. Для того чтобы выяснеть взаимоотюшешя между опера- оператором Д/г и мультипликативюй структурой алгебры С°°(М), н/жю вычислить действие этого оператора ш произведеше двух шблюдаемых. Мы имеем d{ht{f)ht{g)) t=t0 dt t=t0 dt dt t=to OX t=t0 = Ah(f)h(g) + h(f)Ah(g), т. е. А^ удовлетворяет следующему правилу Лйбнща: Ah(fg) = Ah(f)h(g) + h(f)Ah(g). (9.4) В геометрической форме ою выглядит так: Az(fg) = AK(f)g(z) + f(z)Az(g). (9.5) Итак, правила (9.3) и (9.4) полюстью регулируют взаи- моотюшешя оператора А^ с базовыми структурами алгебры шблюдаемых. Поэтому у шс теперь есть все осювашя пришть следующее
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 141 9.4. Определеше. Отображеше шзывается касателъшм вектором к многообразию М в точке z E М, если ою удовлетворяет двум следующим условиям: 1) М-линейюсть: 3=1 3=1 2) Лкальюе правило Лйбнща (или правило Лйбнща в точке z): Очевидю, что если мы определим сумму двух касателыых векторов и произведеше касательюго вектора ш действитель- юе число по следующим естественым правилам: Л ем, то и в том, и в другом случае результат будет М-линейнлм оператором, удовлетворяющим правилу Лйбнща, т. е. сюва будет касателыым вектором. Ишми словами, мюжество TZM всех касательн>1х векторов в точке z & М обладает естественой структурой векторюго пространства шд Ш.. Ою шзывается касателыым пространством многообразия М в точке z. Змечаше. Нулевой вектор 0^ G TZM представляет собой н/- левое отображеше из С°°(М) вМив таком качестве совпадает с 0z> для любой другой точки z'. Одтко естественс делать различие между векторами 0^ и 0z>, z ^ z', поскольку ohi каса- касаются М в разнлх точках (удовлетворяют различ№1м правилам Лйбнща). См. также п. 9.52.
142Глава 9 9.5. Посмотрим теперь, как описываются операторы ? G TZM в локалыых коордиштах. Пусть U — область в Ш.п. Зирик- сируем систему локалыых коордишт х±,..., хп. Пусть в этой системе коордишт у =y{At) = {z! + аг At, ...,zn + anAt), Ъгда, очевидю, z = y@) и Az(f) = lim ;_ f(y(At)) - f(z) df(y(t)) ^ _ df At dt = > a. t=o Это не что июе, как дифферещироваше фужции / по ш- правлешю а = («i,..., ап), т. е. Az совпадает с оператором дифферещировашя по тправленпо а и, зшчит, характери- характеризуется упорядоченым шбором из п чисел. Это шблюдеше проясшет скрытый смысл классического описательюго опре- делешя касательюго вектора. Рассуждешя, приведеные в пп. 9.3 и 9.5, базируются ш поштии оператора Az, которое ie было строго определен), и, следователью, также не являются строгими. Ohi, тем не ме- менее, позволили шм сформулировать кощепцию касательюго вектора в термишх алгебры шблюдаемых (определеше 9.4), и, используя это определение как отправн/ю точку, мы теперь можем сравнить шш подход с обычнлм. 9.6. Ъорема о касательюм векторе. Пусть М — глад- гладкое многообразие, z G М и Х\,... ,хп — некоторая система локалъшх коордишт в окрестюсти U Э z. Ъгда в этой си- системе коордишт любой касателъшй вектор ? G TZM может быть представленв виде г=1
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 143 Другими словами, для гладких многообразий понятия каса- тельюго вектора и дифферещироватя по шправлетю со- совпадают. ¦< Доказательство этой теоремы состоит из нескольких шагов, первый из которых предоставляется самостоятелью сделать читателю. 9.7. Лемма-упражшше. Пусть f = const € №, тогда ?(/) = 0. > 9.8. Лемма. Касателъшй вектор является локалъшм опера- оператором, т. е. если фушции f,gEJ- совпадают на откры- открытом мюжестве U Э z, то для любого касательюго вектора ? G TZM выполняется равенство ?(/) = ?(<?)¦ < Для доказательства этого утверждешя достаточю проверить, что если для некоторой окрестюсти U Э z выполнен) равенство f\u = 0, то ?(/) = 0. Действительна в этом случае согласю следствию 2.5 шйдется такая фужция h € С°°(М), что h(z) = 0 и Н\м\и = 1- Тэгда / = hf и, согласю правилу Лйбнща Ш) = Z(hf) = f(z)?(h) + h(z)?(f) =0. > 9.9. Лемма. Для любой открытой окрестюсти U Э z век- mopmie пространства TJJ и TZM естествено изоморфты. < Вложеше г: U С М открытого мюжества U в мюгообразие М порождает отображение dzi: TZU —> TZM. Имено, пусть ?eTzU*feC°°{M). Положим dzi(O(f) = Ш\и)- (Про- (Проверьте, что отображение dzi(?) в самом деле является касатель- tt>iM вектором.) Очевидю, отображение dzi М-линейю. Построим обратюе ему отображение. Для этого сшчала заметим, что для всякой фужции g G C°°(U) можю шйти фужцию / е С°°(М), совпадающую с g в некоторой окрест- окрестюсти точки z. Действителью, воспользуемся следствием 2.5 и рассмотрим фужцию h G C°°(U), тождествен© равн/ю н/лю вне некоторой компактюй окрестюсти Vq С U и принимающую зшчеше 1 в окрестюсти V\ С Vq этой точки (см. п. 2.5). Ъгда
144 Глава 9 в качестве / G С°°(М) можю взять фужцию, равн/ю н/лю вне U и совпадающую с gh в U. Определим теперь гомоморфизм 7Г[/: TZM —> TZU, положив t^u(v)(9) = v(f)- Из леммы 9.8 сле- следует, что зшчеше rj(f) ie зависит от выбора фужции /, т. е. гомоморфизм 7Г[/ определенкорректю. Теперь легко видеть, что dzi о тг[/ = id и 7Г[/ о dzi = id. > 9.10. Из предыдущей леммы вытекает, что шм достаточю ограничиться случаем М = U С Ш.п. При этом можю считать область U звездчатой отюсителью точки z, т.е. такой, что вместе со всякой точкой у G U отрезок [z, у] целиком принад- принадлежит U. Согласю следствию 2.9 из леммы Адамара всякая гладкая фужция / в звездчатой окрестюсти точки z предста- вима в виде f(x) = f(z) + "}2(x Z) Примешв теперь к последнему равенству касателыый вектор и воспользовавшись правилом Лйбнща, сразу же получим, что для любого дифферещировашя ? G TZM г=1 где a,i = ?,(xi — Zi) = ?(xi). Теорема доказаш. > 9.11. Из теоремы о касательюм векторе следует, что TZM есть n-мерюе векторюе пространство тд №. Действителью, согласю этой теореме для любой коордиштюй окрестюсти (U,x) точки z касателыые векторы д д _ ' ¦"' дхп порождают пространство TZM. Пусть ? = YTj=i азЪ неко- С/JU п торая линейтя комбишция векторов ——. Поскольку, очевид- ю, aj = ?(xj), то вектор ? отличенот н/ля, если хотя бы один
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 145 из коэффициентов a,j отличенот нуля. Тжим образом, векторы —— линзйю независимы и, следователью, образуют базис ка- касательюго пространства TZU. Изоморфизм dzi: TZU —> TZM, построеныи при доказательстве теоремы, показывает теперь, что dim TZM = п. Ниже мы будем отождествлять векторы ——, OXj образующие базис TZU, с векторами dzi ( —— j, образующими \ (у JU j / базис TZM. Из сказаного вытекает, что размерюсть касательюго про- пространства TZM равш числу локальных коордишт в любой содержащей ее карте, т.е. размерюсти мюгообразия М. 9.12. Пусть теперь yi,...,yn — другая система локальных коордишт в окрестюсти точки z. Ъгда в соответствующем базисе — д касательюго пространства Далее, т. е. д dxi П П к=1 г=1 г=1 >Ук z п п и матрицей перехода от базиса дун д -^ Х=\ dxi дУк дхь
146 Глава 9 соответствующего системе локалыых коордишт к базису д дуг z ' дуп соответствующему системе локалыых коордишт у\,. служит матрица Якоби /дуг дг ч ,Уп дхг, дуп \дхг '" дхп/ z Ищекс z указывает, что элементы матрицы Якоби вычисля- вычисляются в точке z. Устаювленые правила замены коордишт ка- сательюго вектора показывают, что шш подход эквивалентен подходу, принятому в тенюрюм ашлизе. 9.13. Дифферещиал гладкого отображешя. Вполне есте- ствено, что всякое гладкое отображеше мюгообразии поро- порождает отображеше касателыых к шм векторов. (Попробуйте убедиться в этом самостоятелью, продолжив неформальные рассуждешя п. 9.2.) Строгая же конструкция состоит в следу- следующем. Пусть ip : М —> N — некоторое гладкое отображеше и ? G TZM. Ъгда отображеше г\ = ? о ip* : C°°(N) —> Ж является касателыым вектором к мюгообразию N в точке (p(z). Действителью, его IR-линейюсть очевидш. Кроме того, если/,#€ C°°(N), то Определеше. Отображеше dz<p:Tz{M)^Tz{N), ?^?о^, ?eTzM, шзывается дифферещиалом отображешя ip в точке z много- многообразия М.
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 147 Рис. 9.1. Очевидю, дифферещиал dz(p является ли1ЕЙ1ым отобра- жешем. 9.14. Упражшше. Докажите, что если ф : N —> L — еще одю гладкое отображеше, то (9.6) Докажите также, что если N = L яф = id^v, то Формула (9.6) для ф = (р~г показывает, что d^v'1 = D <р)~г.
148 Глава 9 В частюсти, dzip является изоморфизмом, если ip является диффеоморфизмом. Тшерь мы можем вериться к дискуссии п. 4.10 и доказать следующее 9.15. Предложеше. Алгебры С°°(М) и C°°(N) тизоморф- гы, если dimM ^ dimiV. В частюсти, алгебры Cco(Wl) и C°°(]Rm) тизоморфгы, если т ^ п. Л Действительна, пусть Ф: C°°(N) —> С°°(М) есть изомор- изоморфизм. Ъгда, ip = |Ф|: М —> N является диффеоморфизмом. Как было отмечею выше, в этом случае дифферещиал является изоморфизмом для всех z & М. Поэтому dim М = dim TZM = dim T^N = dim N. > 9.16. Опишем dz(p в коордиштах. Пусть, как и в п. 6.15, (xi,..., хп) и (yi,..., ут) — локальные карты в М и N, содер- содержащие ТОЧКИ Z И (f(z) COOTBeTCTBeHD, И (р*(Уг) = Уг(^1) • • • ) хп) — фужции, описывающие отображение (р в коордиштах. Ъгда если д е C°°(N), то 1:..., хп)) дУз =E Z L wyj 99 , N
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 149 дц>3-,лдд '"z)- _д_ дУз <e(z) И1ЫМИ словами, д )jr- ip(z) (9.7) т.е. матрица линейюго отображешя dzip отюсителью базисов ( д \ду3- соответствено есть якобиева матрица отображешя ip в точке z: \\d<Pi\\ тт —— . Нижши ищекс z здесь указывает ш то, что все про- производную, фигурирующие в этой матрице, вычисляются в точке z. Тжим образом, коордиштюе представлеше дифферещиала dz(p имеет вид / \dxi дх дхп) (9.8) где («1,..., ап) и (Pi,..., Рт) —коордиштывектора v G TZ(M) и его образа dzip(v) отюсителью базисов д I .}¦{ д дУз соответствено. 9.17. Касательюе мюгообразие. Как известю из элемен тарюй мехашки, всякое консретюе состояше мехашческой системы S определяется ее положешем (конфигурацией) и мгю- веной скоростью. Если М = Ms — пространство конфигу- конфигураций (см. пп. 1.1, 5.12) этой системы, то, как это следует
150 Глава 9 из соображений, приведеных в п. 9.2, поштие касателью- го вектора к многообразию Ms иденгичю поштию состояния системы S. Ъчнее говоря, если мы рассматриваем касатель- 1ый вектор ? G TZM, то z — это положение системы, а ? — мгювення скорость. Тжим образом, мюжество всех состоянш системы (обратите вшмаше ш замечайте 9.4) есть d TMd= \JTZM. Это мюжество естественым образом сшбжается структурой гладкого мюгообразия, и получений таким образом объект шзывается касателъшм многообразием мюгообразия М. По- Поскольку эволюция механической системы одюзшчю опреде- определяется её тчалыым состоянием, то дифферещиалыые урав- уравнения, описывающие возможнее эволюции системы, обязанл быть уравнениями ш мюгообразий ТМ. Помимо механпси, необходимость рассмотрения касатель- нлх мюгообразий естествено возникает в самых разнлх обла- областях математики, прежде всего в дифферещиальюй геометрии. 9.18. Чтобы ввести структуру гладкого мюгообразия ш ТМ, тм понадобятся следующие простые факты. I. Всякое гладкое отображение Ф: М —> N порождает ото- отображение мюжеств ТФ: ТМ ->• TN, переводящее касателыый вектор ? € TZM в б^Ф(?) € T^iV. Ввиду 9.6 Г(ФоФ) =ТФ о ТФ. II. Если W С Ш.п — открытая область арифметического пространства, то TW естественым образом отождествляется с областью W х Rn С Rn x Rn = R2n. Имено, если z G W, z = (z1:..., zn) и ? е TZW, то с ^ I \ с S^ д S "^^ \zli ¦ ¦ ¦ ) zni Oil, . . . , OLn), еСЛИ ? = у OL{ ——. г=1 Х%
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 151 III. Определен) естественое отображеше мюжеств 7ГГ = 7ггм: ТМ -> М, TZM Э^и^еМ, сопоставляющее каждому касательюму вектору соответствую- соответствующую точку касашя. IV. Если U С М — открытое мюжество, то = у tzm =\Jtzu = tu. zeu zeu 9.19. Заметим теперь, что всякая карта (U, х) мюгообразия М порождает, согласю сказаному выше, отображеше Tx:TU -^TW С R2n, где W = x(U). Ою, очевидю, является биекцией. Отождествляя затем со- согласю 9.18 (IV) TU и тг^1Fг), мы получаем 2п-мерн/ю карту (ti^1(U),Tx) ш ТМ. Зцесь через Тх обозшчеш система ко- ордиштн>1х фужций {xi,qj}, где Хг для (z,?) G TU есть г-я коордишта точки z, aqj — j-я компонента в разложеши векто- д ра ? по базису . Карты подобюго вида ш ТМ шзываются специалътми . Если карты (U, х) и (V, у) т М согласова- согласована!, то соответствующие им специальное карты (ti^1(U),Tx) и (ж^1(У),Ту) также согласовано. В самом деле, ашлитиче- ская запись отображешя заменл коордишт (Ту) о (Тх)-1: T(W) - T(W), W = y(U'), имеет вид (см. (9.12)) Vi — yi\%)i Pj — fc=l и, стало быть, рассматриваемое отображеше имеет следующую матрицу Якоби ',] * О JI '
152 Глава 9 где J — матрица Якоби отображения замены коордишт у о ж, а звездочка обозшчает некоторую (п х п) -матрицу. Тжим обра- образом, (Ту) о (Та;) является диффеоморфизмом открытых под- мюжеств в Ш2п. Пусть А = {(Uk,Xk)} — некоторый атлас ш М. Ъгда согласю сказаному выше ТА = {Gr^1(Lrfc),Ta;fc)} является специальгым атласом ш ТМ. Если атласы А1 и А2 ш M со- гласова1ы, то согласован^! и соответствующие им специальное атласы ТА1 и ТА2. Если атлас А счетени хаусдорфов, то та- таковым будет и ТА. По всем этим причиним структура гладкого мюгообразия ш мюжестве ТМ, задаваемая атласом ТА, не за- зависит от выбора атласа А ш М. Мюжество ТМ, шделеное описаной гладкой структурой, шзывается касателыым мю- гообразием мюгообразия М. Отметим также, что отображение 7ГГ: ТМ -> М, описаное в п. 9.18 (III), является гладким. Ою шзывается касателъшм расслоетем мюгообразия М. 3;есь мы впер- впервые употребляем термин «расслоеше» (строгое определеше см.вп. 10.10), изучению которого целиком посвяще№1 главы 10 и 11. В даном случае онапеллирует к тому факту, что касатель- нле пространства TZM, слои отображения тгт, все одишковы (диффеоморфнл друг другу) и «расслаивают» касательюе мю- гообразие ТМ. Блее того, эти слои являются изоморфными между собой векторными пространствами. Подобные рассло- ешя шзываются вектортыми и подробю изучаются в главе 11. Упражшше. Докажите, что отображение с?Ф: ТМ —> TN, соответствующее гладкому отображение Ф: М —> N, является гладким. 9.20. С точки зрешя прищипа шблюдаемости существен- ю более привлекатель№1м было бы ассоциировать со всякой (гладкой) алгеброй А алгебру ТА, такую, что \ТА\ = Т\А\. Это
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 153 действительна можю сделать, одшко рассмотрение соответ- соответствующих конструкций вывело бы шс за рамки шстоящей юи- ги. Поэтому мы будем вын/жде ны ограничиться приводимым шже примером того, как это делается в случае кокасательюго многообразия, к рассмотрению которого мы сейчас и переходим. 9.21. Помимо описашя состояния механической системы в термишх «положение, скорость» существует и другое, ча- часто более удобюе описайте в термишх «положение, импульс». Фундаментальное соотюшенте р = mv, связывающее скорость и импульс материальюй точки, пока- показывает, что импульсы являются линейными фужциошлами ш пространстве скоростей. Иными словами, импульс системы S, шходящейся в положении z & М = Ms, является линей- линейным фужциошлом ш касательюм пространстве TZM, т. е. элементом двойственого пространства Т*М d= RomR(TzM, R). Пространство Т*М шзывается касательгым простраттвом к мюгообразию М в точке z, а его элементы — касательгыми ковекторами к М в точке z. Итак, импульсы механической системы S суть касательные ковекторы мюгообразия конригу- рацийМ = Ms. Эти и мюгие другие соображения приводят шс к поштию кокасательюго мюгообразия. Чтобы его определить, рассмо- рассмотрим мюжество T*Md= |Jt;m вместе с естественой проекцией тг^ = 7гг«м: Т*М ->• М, Т*М эйигеМ. 9.22. Естествення структура гладкого мюгообразия ш Т*М может быть определеш по схеме, уже использований шми
154 Глава 9 для ТМ. Крайне полезши при этом оказывается интерпретация касательных ковекторов как дифференциалов фужций ш М. Имено, пусть U Э z — некоторая окрестюсть точки zeM и / G C°°(U). Определим фужцию dzf m TZM, положив dz№=№, i^TzM. Упражшше. Докажите следующие утверждения. 1. Если / = const, то dzf = 0. 2.dz(fg)=f(z)dzg + g(z)dzf. В силу определения структуры лигейюго пространства ш TZM (см. п. 9.4) фужция dzf будет линейюй. Поэтому dzf есть касателыый ковектор в точке z, шзываемый дифферещи- алом фужций f в точке z. Если (U,x) — карта, содержащая точку z, то / д д dzXi[ —— (z) = где Sj — символ Кронекера. Это показывает, что (dzxi,..., dzxn) есть базис пространства Т*М, двойственый д д базису в TZM. Поэтому всякий ковектор Kdxi z'""> дхп в G Т*М едиктвеным образом представляется в виде в = Y,PidzXi, Pi e г=1 Полезю заметить, что В частюсти, если в = dzf, то д df Эта формула оправдывает введеную термиюлогию и показы- показывает, что всякий ковектор в может быть представлен в виде
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 155 $ = dzf. Итак, касателыые векторы в даной точке исчерпы- исчерпываются дифферещиалами фужций в этой точке. 9.23. Всякое гладкое отображение Ф: М —> N порождает линейюе отображение сопряжение линейюму отображение dz$:TzM ^T4z)N. Если ? G TZM и д G C°°(N), то по определенно Это озшчает, что d^{d4z)g) = d^{g). Заметим также, что в обозшчешях п. 9.16 матрица отобра- жешя dz<&* отюсителью базисов {dzXi} и {d^^yj} в Т*М и T^,z^ N соответствено является трагспошрованой матрицей 11 С/11' Якоби Jz = \\-^~{ \\dXjy 9.24. Построеше специальн>1х карт ш Т*М проводится аш- логичю тому, как это было сделаю выше для ТМ. Вместо свойств I - IV п. 9.18 при этом используются следующие факты. I. Всякий диффеоморфизм Ф: М —> N порождает биекцию Ф*: Т*М ->• T*N, Т*Мэв^ {dz^*)~1{e). II. Если W С Ш.п — открытая область, то T*W = W х Rn С Rn x Rn = M2n, и отождествление T*W = W x IRn производится по правилу T*W Э 9 <^> (zi,...,zn,pi,...,pn), где z = (zi,...,zn), в = YTi=\V%dzx% и (xi) — стащартшк коордишты в Ш.п.
156 Глава 9 Пусть теперь (U, х) — некоторая карта ш М и W = x(U) С Ш.п. Естественое отождествление TJJ и TZM по двойствености позволяет отождествить Т* U и Т* М, что, в свою очередь, приводит к отождествление T*U и тпр* (?/"). Отсюда, с учетом II, мы получаем специальною карту (тт^1 (U), Т* х) ш Т*М. 3;есь через Т*х обозшчеш система коордиштнлх фужций {xi,pj}, где Хг для (z,9) G T*U есть г-я коордишта точки z, a pj — j-я компонента в разложении ковектора в по базису dxi. Если А = {(Uk,Xk)} — атлас ш М, то Т*А = {Gr^(Uk),T*Xk)} — атлас (размерюсти 2п) ш Т*М. Если атласы А1 и А2 m М согласована, то согласован>1 и атла- атласы T*Ai и Т*Л2. Ввиду этого атлас Т*А определяет ш Т*М структуру гладкого мюгообразия, не зависящую от выбора кон- кретюго атласа А. Получение таким образом гладкое 2п-мерюе мюгообра- зие Т*М шзывается кокасательгым мюгообразием мюгообра- мюгообразия М. Отметим также, что отображение 7ГГ*: Т*М -+ М является гладким. Ою шзывается кокасателыым расслоетем мюгообразия М. 9.25. Всякая фужция / G С°°(М) порождает гладкое ото- отображение sdf:M^T*M, sdf(z) = dz(f). Это отображение характерю тем, что каждой точке z G М сопоставляет точку в растущем шд ней слое tt^I(z) = Т*М кокасательюго расслоены. Отображения такого рода шзы- ваются сечешями. Блее подробю это поштие обсуждается в следующих главах, см. пп. 10.12 и 11.7. Упражшше. Опишите Sdf в специаль№1х локалыых коорди- штах. 9.26. Отображение Ф: М —> N порождает семейство ото- отображений dz<&*: TL.N —> Т*М, связывающих кокасателыые
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 157 пространства отделыых точек мюгообразий М и N. Т?м ie ме- iee, это ie позволяет, вообще говоря, построить отображеше кокасателыых мюгообразий T*N —> Т*М, сводящееся к dz<&* при ограшчеши ш T^,z-,M. Упражшше. Покажите, что подобюе отображеше существу- существует лишь тогда, когда Ф является биекцией, и ою является гладким, только если Ф — диффеоморфизм. Если dim М = dim N = п и отображеше Ф: М —> N регу- лярю во всех точках мюгообразия М, т. е. все дифферещиалы суть изоморфизмы, то можю определить гладкое отображеше Т*М —> T*N, «шкрывающее» Ф и сводящееся к (с^Ф*) при ограшчеши ш Т*М. Отображеше Ф*, рассмотреное в п. 9.24, есть его чаепый случай. 9.27. Зомечателью, что кокасательюе пространство Т*М можю определить и чисто алгебраическим способом, как это пришто в алгебраической геометрии. Пусть jiz — идеал, состо- состоящий из всех фужций, обращающихся в н/ль в точке z: def {/ е с Предложеше. Существует естественый изоморфизм между Т*М и факторпрострагством /j,z//j,^. ¦< Рассмотрим факторалгебру и отображеше где/ е C^iM) и [/] = / mod ц2г. Ъккак dzf = 0, если^ е ц2г (см. упражнеше из п. 9.22), то это отображеше определею корректю. Очевидю, ою Ж-лшейю и сюръективю, поскольку (см. п. 9.22) всякий ковектор в может быть представлен как дифферещиал некоторой фужций, в = dzf.
158 Глава 9 Разложение алгебры С°°(М) в прямую сумму линейнлх пространств С°°(М)=Ш(Вцк, f = f(z) + (f-f(z)), порождает прямое разложение JlM = R®(j,z/(j,2z. (9.9) Ввиду упражгешя из п. 9.22 отображение dz анулирует его первое слагаемое. С другой сторонл, лемма Адамара 2.8 по- показывает, что если / G jiz и dzf = О, то / G ji2z. Поэтому огрангчеше dzm Цх/ц2г является изоморфизмом. > Следствие, dim J\M = n + 1. •^ Действителью, доказаное предложеше позволяет перепи- переписать равенство ( 9.9) в виде J\M = 1© Т*М. > 9.28. Факторалгебра J\M, оказавшаяся полезши при дока- доказательстве предложения из п. 9.27, является, как мы увидим впоследствии, одюй из важнейших конструкций дифферен- циальюго исчисления и шзывается алгеброй джетов первого порядка (или 1-джетов) алгебры гладких фужций С°°(М) в точке z G М. Объединение шделяетсяестественой структурой гладкого мюгообразия, по- добю тому как это было сделаю выше для Т*М. Упражшше. Проведите в деталях соответствующие постро- построены. Опишите, каковы специальное локалыые коордишты ш JXM. Мюгообразие JXM шзывается мюгообразием джетов пер- первого порядка мюгообразия М. Подобю касателыым и кокасателыым мюгообразиям JXM расслаивается шд М при помощи естественого отображешя ttji: J'M^M, nji([f]l) = z,
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 159 где [f\\ обозшчает образ фужции / при отображенш факто- факторизации С°°(М) —> 3\М. Подобю тгг и тгг* (см. пи. 9.19 и 9.24 соответственно) отображение ttji также является вектор- 1ым расслоешем тд М. Его слои имеют размерюсть (п + 1). Со всякой фужцией / G С°°(М) можю связать гладкое ото- отображение зы.М^^М, 3jlf(z) = \f\l, являющееся сечешем расслоешя ttji . Отображение 7rji)T.: J'M -> Т*М, 7rji)T.([/]^) = dzf, связывающее естественым образом мюгообразия 1-джетов и кокасательюе мюгообразие, является одюмер1ым вектор- 1ым расслоешем шд Т*М. Мюгообразие ,1ХМ замечателью тем, что позволяет по- построить исчерпывающую теорию дифферещиалыых уравненш первого порядка в частнлх производ1ых с одюй неизвестюй. При этом дифферещиалыые уравнешя интерпретируются как подмногообразия в J1M. Ъорема о касательюм векторе позволила сделать первый шаг в осмысленш дифферещиальюго исчислены как аспекта коммутативной алгебры. Мы сделаем следующий, определив понятие касательного вектора к спектру произвольной комму- коммутативной алгебры. Итак, пусть А — произвольна уштартя коммутативтя iiT-алгебра. Обозтчим через \А\ iiT-спектр алгебры, т. е. сово- совокупность всех (уштарнлх) iiT-гомоморфизмов из А в К. 9.29. Определеше. Отображение ?: А —> К шзывается ка- сателъшм вектором илидифферещироватем в точке h E \А\, если оно 1) iiT-лшейно, т. е. к к . \*К, fje A;
160 Глава 9 2) удовлетворяет правилу Лйбнща в точке h, т. е. ?(/<?)=/(ВДЛ+ <?(ВДЛ, f,geA. Это определение в случае К = Ж и А = С°°(М) совпадает с определением касательюго вектора к мюгообразию М (= \А\) в точке zGM. Чтобы убедиться в этом, достаточна вспомшть про отождествление М = \С°°(М)\ и проинтерпретировать z как гомоморфизм hz: / н-> f(z),f G С°°(М). На мюжестве всех касательных векторов естествено определяется структура iiT-модуля (векторюго пространства шд К, если К — поле): l.F+6)(a)=6W + 6(a),aei; Обозшчим этот iiT-модуль через Т^А. Если К = Ш. и Л = С°°(М), то при указаном выше отождествлеши точки z G М с -ftT-гомоморфизмом hz пространство TZM будет иден- тичю ThzA. З^мечаше. В алгебраической геометрии рассматриваются са- самые разнле спектры алгебр: максимальнее, простые (и другие). Соответствующим образом поншая символ h в предыдущем определении, читатель легко сможет определить поштие каса- касательюго вектора и для точек этих спектров. 9.30. Кокасателыые пространства к спектрам коммутатив- коммутативных алгебр. Предложение 9.27, выявляя чисто алгебраиче- алгебраическую природу кокасательюго расслоены, указывает, как мож- ю определить кокасательюе пространство к спектру \А\ про- извольюй коммутативюй iiT-алгебры А в некоторой его точке /* ё \А\. Имено, положим Т?А^цф1 (9.10) где Hh есть ядро гомоморфизма iiT-алгебр h: А —> К. По опре- определению Т?А является iiT-модулем. Важн/ю роль этого поштия иллюстрирует следующее
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 161 Предложеше. Для любой К-алгебры А определет есте- ственая сюръекция К -модулей vh: RomK(T*A,K) -> ThA. (9.11) Ели К — поле, то v^ является изоморфизмом. < Заметим сшчала, что всякое К-лтеяте отображеше (р: Т?А —> К порождает касателыый вектор ?veThA, Zv(a)=(p([a-h(a)-lA]), где [b] = b mod ji\. (Убедитесь в этом.) Соответствие (р н-> ^, очевидю, определяет гомоморфизм iiT-модулей uh: RomK(T*A,K)^ThA. Отображеше v^ сюръективю. Действителью, пусть ? G Т^А. Рассмотрим .ЙТ-линейюе отображеше А ->¦ К, ^([а]) = ?(а), а е ^: Т* Из правила Лйбшца следует, что ?(/^) С /i^, так что отобра- отображеше <у9? определен) корректю. Очевидю, I'hijPi) = ?• Если К — поле, то Vh является также инъекцией. В самом деле, пусть теперь a, b G jih и [а] ^ Щ. Ък как К — поле, то всегда можю шйти линейн/ю фужцию (р ш векторюм (шд К) пространстве Т?А, такую, что <^([а]) ^ у(И), т. е. 9.31. Чтобы алгебраизовать поштие дифферещиала гладко- гладкого отображешя, заметим, что всякому (уштарюму) гомомор- гомоморфизму iiT-алгебр F: А\ —> А2 соответствует отображеше их iiT-спектров Если при этом ? G Th(Ai), то отображеше =U о F: А, ^ К является касатель№1м вектором к пространству \А\\ в точке |-F|(/i) = h о F. Ъким образом, мы получаем iiT-линейюе
162 Глава 9 (докажите это) отображение dh\F\:Th{A1)^ThoF{A2). Если F = if*, где (р: М2 —> М1 — гладкое отображение, и Ai = C°°(Mi): г = 1,2, то дифферещиалы dh<p и dh\F\ совпадают. 9.32. Упражгенш. 1. Докажите, что Т^КК = 0, где idfc: К —> К — единствення точка iiT-спектра К. 2. Пусть г: К —> А, /с н-> к ¦ 1а, — каюшческое вложеше и ^ G T/jA. Докажите, что ? Imi = 0, т. е. что дифферещирова- ше в точке переводит коктангы в 1уль. 3. Пусть F: А1 —> А2 — эпиморфизм iiT-алгебр. Дока- Докажите, что для любой точки h E \А2\ отображеше dh\F\ есть моюморфизм. 4. Пусть С°М — алгебра всех непрерыв1ых фужций ш М. Докажите, что TZ(C°M) = 0 для любой точки z G М. 9.33. Достоинства алгебраического подхода к дифферещи- альюму исчислешю могут быть продемонстрирован^! уже сей- сейчас, хотя мы еще не продвинулись дальше определения каса- тельюго вектора. Скажем, мы можем определить касателыые пространства мюгообразий с особеностями и даже произволь- нлх гладких мюжеств и получить благодаря этому простейшие инварианты особых точек. Некоторые примеры этого данл га- гаже. Следующее утверждение, доказательство которого дословю переюсится из п. 9.9, будет весьма полезю при атлизе этих примеров. Мы используем шже определения и обозшчешя пп. 3.23-3.25. Предложеше. Пусть Т — произвольная геометрическая Ш-алгебра и [/ С \J-\ — открытое подмюжество. Ъгда гомоморфизм ограшчешя рц: Т —> J- v индуцирует изомор- изоморфизм : Th{T v)
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 163 Разумеется, ашлогичюе утверждение имеет место и для произвольных -ftT-алгебр. Попробуйте доказать это самостоя - телью. 9.34. Упражшшя. 1. Рассмотрим полукубическую параболу W = {(х:у) е М2 | у2 = х3}. Докажите, что пространство TZW двумерю для z = @, 0) и одюмерю во всех осталыых точках. Отсюда, очевидю, следует, что алгебра C°°(W) = C°°(R2)/(y2 - x3)C°°(R2) не является гладкой (сравш с 4.16). 2. Приведите пример гладкого мюжества, у которого каса- касательную пространства одюмерны во всех точках, кроме одюй, где ою 3-мерю. 9.35. Пример. Пусть К — координтый крест ш плоскости: К = {(х,у) С М2 | ху = 0} и Т = С°°(К) = С°°(М2)|К — алгебра гладких фужций ш К. Опишем TZC°°(K.) для всех точек z G К. Элементы алгебры С°°(К) можю поншать как пары (f(x),g(y)) гладких фужций ш прямой, таких, что /@) = (?@). Ишче говоря, 31метим, что для любой неособой точки ш кресте, т. е. точки вида (х,0), где i ^ 0, или @,у), где у ^ 0, касательюе пространство одюмерю. Пусть, скажем, z = (х,0), х ^ 0 и U = {(я/, 0) | хх1 > 0}. Ъгда U открыто в К = |JF| и, зшчит, ввиду предложены из п. 9.33мы имеем TZT = TZT [/. Осталось заметить, что J- = С и = СС ). В качестве базисюго вектора для пространств вида Т(х,о) можю взять оператор d_ dx (х,0) d_ dx (x,o) а для касателыых пространств вида = —(%) dx оператор А. dy @,2/) А. dy
164 Глава 9 Рассмотрим теперь точку @, 0). Очевидю, операторы d_ dx d и @,0) @,0) dy будут касателыыми векторами в этой точке. Ош линей - ю независимы, поэтому пространство 7"(о,о) по крайней мере двумерю. Поскольку естественое отображеше ограшчешя т: С°°(Ж2) —> С°°(К) есть эпиморфизм, то согласю задаче 3 пужта 9.32 отображеше U@,0)T- J@,0)l(-/ {**-)) ~^ J@,0)l(-/ (^К JJ — К не имеет ядра, так что касательюе пространство Т@0)(Соо(К)) изоморфю Ж2. Итак, «особость» точки @, 0) € К проявляется, вчастюсти, в том, что размерюсть касательюго пространства в ней больше, чем для «юрмалыых» точек. Подчеркнем, что стандартный коордиттный подход не по- позволяет определить касательные векторы в точке @, 0). Если же пошмать касательный вектор как класс эквивалентных кривых, то m мюжестве касательных к К векторов в этой точке нельзя ввести структуру линейюго пространства. 9.36. Упражшшя. Пусть W С Шп — гладкоемюжество. На- помшм, что по определешю C°°(W) = {f\w \ f E C°°(IRn)}. Найдите TZW для всех точек z G W в следующих случаях (см. упражнение 7.14). 1. W С Ш2 задается уравнением у = \/\х~\. 2.W — треугольшк в W1={(x,y) 3. W — треугольшк, описаный в задаче 2, вместе с вну- трешей областью: W = {(ж, у) \ х + у ^ 1, ж, у ^ 0}. A.W — конус х2 + у2 = z2 вЖ3. '¦ 0 0 W У $ х $ и w2u х = 0} у = 0} W3, где
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 165 5. W = Wi, г = 1,2,3, — один из трех одюмерных го- меоморфных между собой полиэдров, изображеных ш рис. 7.1. Объяснгге, почему алгебры C°°(Wi), г = 1,2,3, попарю геизоморфны. 6. W С Ш.2 — замыкаше графика фужции у = sin ^. 9.37. Упражшше. Пусть dimTzW = О, где W — гладкое мюжество. Докажите, что z является изолированой точкой W. Это утверждеше, одтко, не справедливо для произвольных алгебр. Приведите пример алгебры Т такой, что \Т\ — М, ю dimTjjF = 0 для всех z & \Т\. Можете ли вы построить алгебру Т с двойственым про- пространством \Т\ ~ Ш. такую, что dim.TzJ- = 2 для некоторой точки z G | J-\? А такую, что dim.TzJ- = 2для всех zG \J~\t 9.38. Блее сложною объекты дифферещиальюго исчисле- Н1Я, которые можю сконструировать из касательн>1х векторов, — это векторные поля. Наглядю-геометрическое представле- представление о векторюм поле шм дают мюгочисленые силовые поля, встречающиеся в физике и мехашке, поле скоростей движущей- движущейся сплошюй среды и т. п. «Поле» стрелок ш метеорологической карте можю рассматривать как поле скоростей движущихся воздушных масс. Попытаемся формализовать это поштие в том же духе, как это было сделаю с касательными векторами. Первый шаг в этом шправлеши очевиден векторюе поле ш мюгообразии М — это семейство касательных векторов {Xz}zeM, где Xz G TZM. В термишх алгебры шблюдаемых С°°(М) это озшчает, что мы имеем дело с семейством операторов ^М, zeM. В частюсти, подобюе семейство операторов сопоставляет ка- каждой фужции / G С°°(уМ) семейство чисел {Xz(f), z G M}, которое физик тзвал бы скалярным полем, а математик просто фужциейш М. Обозшчивэту фужцию Х(/), поопределешю получаем
166 Глава 9 В этих обозтчешях становится ясю, что слова «векторюе по- поле» следует интерпретировать как некоторую операцию ш ал- алгебре С°°(М): X: С°°(М) ->?, где вопросителыый зтк озшчает некоторую совокупюсть фужций ш М. Мы естественым образом формализуем идею гладкостивекторюгополя X, положив ? = С°°(М), т. е. потре- потребовав, чтобы X(f) е С°°(М) для любой фужций / е С°°(М). Итак, гладкое векторюе поле X ш М является оператором, действующим ш С°° (М): X: С°°(М) -^С°°(М). Ввиду IR-линейюсти отображений Xz, «составляющих» опе- оператор X, последней также является М-лигейнлм. Блее того, правило Лйбнща в точке z для касательюго вектора Xz по- позволяет убедиться, что X{fg){z) = Xz{fg) = Xz{f)g{z) + f{z)Xz{g) = (X(f)(z))g(z) + f(z)(X(g)(z)) = [X(f)g + fX(g)}(z), т.е. для оператора Х выполнен) правило Лйбнща X(fg)=X(f)g + fX(g), f,geC°°(M). (9.12) Сказаное служит мотивировкой следующего определения. Определеше. М-линейнлй оператор X, удовлетворяющий правилу Лйбнща ( 9.12), шзывается гладким векторгым полем т мюгообразии М. (Всюду шже слово «гладкий» будет опускаться, поскольку мы будем иметь дело только с гладкими векторными полями.) 9.39. Даное тми определеше векторюго поля сформули- роваю в термишх осювюй алгебры С°°(М) и вполне удо- удовлетворяет прищипу шблюдаемости. Блее того, мы теперь можем a posteriori оправдать использоваше слов «векторюе поле» в этом определеши, ассоциировав с каждым векторным
Алгебраическое дифферещиальюе исчисление 167 полем X семейство касательных векторов {Xz G TzM}z€m- Имено, положив XK(f)=X(f)(z), zeM, (9.13) мы легко убеждаемся, что определение таким образом отобра- отображения Xz : С°°(уМ) —> Ж являются М-лигейными и удовлетво- удовлетворяют правилу Лйбнща в точке z, т. е. являются касательными векторами в точке z. Упражшше. Докажите это. 9.40. Предложеше. (Лкализуемость векторных полей.) Пусть X — векторюе поле ш М. Ели фунсции /, д G С°°(М) совпадают ш ткотором открытом мюжестве U С М, то фунсции X(f):X(g) также совпадают ш U. < Действителью, ввиду леммы 9.8, Xz(f) = Xz(g) для всех z G U. Зачит, X(f)(z) = X{g){z) для всех z G U. > Интерпретация векторюго поля X как семейства касатель- касательных векторов позволяет связать с him сечеше касательюго расслоены sx: М ->• ТМ, z i-> Xz G TZM С ТМ. Упражшше. Докажите что всякое (гладкое) сечеше касатель- касательюго расслоены имеет вид Sx, так что векторные поля ш М при желаши можю пошмать как сечены касательюго расслоены. 9.41. Равенство (9.13) показывает, что семейство касатель- касательных векторов {Xz}z?m одюзшчю определяет породившее их поле X. Воспользовавшись этим, мы можем без труда пошть, как векторюе поле X описывается в термишх локальных ко- ордишт. Действителью, если (U,x) — карта ш М и z G U, то Xz, как касательной вектор в точке z G U, записывается в виде (9.14) Обозшчеше on{z) подчеркивает, что коордишты вектора Xz зависят от точки z G U, т.е. являются фужциями ш U.
168 Глава 9 Ввиду (9.13) и (9.14) п X(f)(z)=Xz(f)=^ ? г=1 %—J. так что и, следователью, д г=1 При этом фужции a, G C°°(U). Действителью, пусть z G U. Рассмотрим фужцию Xi G С°°(М), которая совпадает с х^ в некоторой окрестюсти V точки z. По определенно X(xi) G . Далее, X{xi V = «j, поскольку ж. V v , и, еле- дователью, a, G C°°(V). Поскольку точка z G ?7 произвольш, это доказывает, что а% — гладкая фужция ш U. Рис. 9.2.
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 169 9.42. Поведете векторнлх полей при отображениях. Пусть X — векторюе поле ш М и ip : М —> N — глад- гладкое отображение. Дифференциалом dzip каждый вектор Xz отображается в касателыый вектор Y<f>(z) = dzip(Xz) G T^^N. Семейство касателыых векторов {Yip(z)}zeM не образует, во- вообще говоря, шкакого векторюго поля ш N. Это видю из того, что если и Е N \ ip(M), то вектор Yu не определен Если же и Е <р{М), то точка и может иметь несколько прообразов и поэтому в общем случае вектор Yu определен нюдюзтчю (см. рис. 9.2). Итак, как правило, при гладких отображениях векторнле поля не отображаются вместе с мюгообразиями. Одтко диф- диффеоморфизмы являются исключением из общего правила и если (р — диффеоморфизм, то соответствующее отображение вектор- векторюго поля X может быть определен» при помощи формулы Y = (ip-1)* о X о ip*. Упражшше. 1. Проверьте, что Y действителью является век- торнлм полем. 2. Докажите, что Y^) = dzip(Xz). Ниже (см. п. 9.47) будет показаю, что образ векторюго поля все же может быть разумнлм образом определен если надлежащим образом обобщить кощепцию векторюго поля. 9.43. Даное выше определение векторюго поля ш мюго- образии является часиым случаем общей алгебраической кон цепции дифферещировашя, которая состоит в следующем. Пусть А — коммутативтя iiT-алгебра. Определеше. iiT-линейюе отображение Д: А —> А шзыва- ется дифферещироватем алгебры А, если ою удовлетворяет правилу Лйбнща: A(ab) = аА(Ь) + ЬА(а) Уа,ЬеА. Обозшчим мюжество всех дифферещированш алгебры А че- через D(A). Пусть Д, V G D(A) и а Е А. Ъгда, очевидю,
170 Глава 9 А + V Е D(A) ийДе D(A). Эти операции сшбжают D(A) естественой структурой Л-модуля. Всякое дифферещироваше -ftT-алгебры А может быть ин- терпретироваю как векторюе поле ш \А\. Чтобы увидеть это, достаточна перенести формулу ( 9.13) m алгебраическую ситуа- ситуацию. Пусть А е D(A) и h e \А\. Положим Ah = hoA: A^K. Ъгда, очевидю, оператор Д^, как композиция .ЙТ-линейнлх операторов, также К-лтеепя Ah{ab) = h(A(ab)) = h(A(a)b + aA(b)) = h{A{a))h{b) + h{a)h{A{b)) = Ah{a)h{b) + h{a)Ah{b). Тжим образом, Ah E Th(A). В дальнейшем для краткости вместо D(C°°(M)) мы будем писать просто D(M). 31метим, что определение касательюго вектора А^, запи- саное в виде Ah(f) = h(A(f)), feA, оказывается идентичном ( 9.13), если К = Ш., А = С°°(М), a h = hz ёМ= |Л|, по обыкювешю, интерпретируется как гомоморфизм, переводящий / в f(z). Если алгебра А явля- является геометрической, то система касателыых к \А\ векторов {A/ij/jgm одюзшчю определяет «векторюе поле» Д. 9.44. Ъчю так же, как и в случае касателыых векторов (см. пп. 9.33 - 9.36), можю развить теорию векторнлх полей ш геометрических объектах гораздо более общей природы, чем гладкие мюгообразия. Например, исходя из п. 9.33 можю развить общую теорию векторнлх полей ш произвольных за- мкн/тых подмюжествах гладких мюгообразий буквалью так же, как и ш самих этих мюгообразиях. В примерах, рас- рассматриваемых шже, мы используем такие же геометрические обозшчешя, как и для гладких мюгообразий. Лкализуемость векторнлх полей (предложение 9.40) имеет место и в этом более общем случае и доказывается буквалью таким же образом.
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 171 9.45. Пример. Опишем векторные поля ш кресте К, при- пришв обозшченжя п. 9.35, где изучались касательные векторы к нему. Обозшчим через Ах и Ау алгебры гладких фужций ш прямой с фиксироваными координтыми фужциями х я у соответствен©. Определена естественые вложешя ix:Ax^C™(K), f(x)~(f(x),№), а также проекции ттх: С™(К) ^ Ах, {f{x),g{y))~f{x), - АУ) (f(x),g(y))~g(y). Очевидю, тгх о гх = id и TTj, о ij, = id. Поэтому, если Д G то Ах = жх о Д о гх е D(AX) и Ау = жу о Д о %у е D(Ay Покажем, что (9.15) и поля Ах, Ау обращаются в нуль в точке 0. < В самом деле, пусть Рассмотрим точку z = @, у) G К, у ^ 0. Ъгда достаточю ма- малая окрестюсть Uточки z есть интервал и (р\и = с. Поэтому вви- ввиду свойства локализуемости касательных векторов Az(ip) = 0. Иными словами, Д(<^)(^) = 0 для всех точек оси у, кроме точ- точки @, 0). По соображениям нзпрерывюсти A(ip) тождествено равю нулю ш всей этой оси. Поэтому гх(тгх(Д(<^))) = A(ip), или ix(Ax(f)) = Д(гх(/)). Последнее равенство озшчает, что %х о Ах = А о %х. Кроме того, Дж(/)@) = 0, так как Д(<^)@, 0) = 0. Следова- телью, векторюе поле Ах G D(AX) обращается в нуль в точке 0. Ашлогичю, iy о Ау = А о гу, и векторюе поле Ау G D(Ay) обращается в нуль в точке 0.
172Глава 9 Заметив теперь, что №), <?Ы) = Ш) + гу(д) -(с, с), с = /@) = 0@), и что A((c,c)^} = 0, поскольку фужции вида (с, с) есть кон- константы в алгебре С°°(К), мы оконгателью получаем A((f(x),g(y)))=A(tx(f)) + A( где последнее равенство следует из того, что Д*(/)@)=Д»(</)@)=0. > Очевидю, верю и обратюе: всякая пара полей Ах G D(AX), Ау G D(Ay) определяет по формуле (9.15) векторюе поле А т К, если эти поля обращаются в н/ль в точке 0. Упражшше. Опишите Л-модули векторнлх полей для следу- следующих алгебр. 1. Для всех алгебр, рассмотрение в упражнении 9.36. 2. Для IR-алгебры Ст(М}), то ^ 1, то раз непрерывна диф- ферещируемых фужций ш прямой. (Указаше: рассмотрите сшчала случай то = 0.) 3. Для А = К[Х]/Х1+1К[Х] — алгебры срезаных поли- юмов, К = Ж или Z/то Z. 4. Для булевой, т. е. коммутативюй алгебры шд F2 = Z/2Z, элементы которой удовлетворяют соотюшенно а2 = а. 9.46. Векторюе поле ш подмюгообразии. Выше мы фор- формализовали два геометрических образа — мюгообразие, у ко- которого в одюй точке «растет» стрелка, и мюгообразие, во всех точках которого «растут» стрелки. Очевидю, есть и про- межуточтя ситуация, когда стрелки «растут» только в точках некоторого подмюгообразия, (или, более общо, замкн/того под- мюжества). Тжого рода примеры дают поля скоростей точек движущейся Н1ти или звучащей мембранл. Рассуждешя, аш- логичнле тем, что привели тс к определенно векторюго поля
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 173 ш мюгообразии М, позволяют без труда дать надлежащую формализацию и в этом случае. Пусть N С М — подмюгообразие гладкого мюгообра- зия М. Определеше. IR-лшейюе отображение X: С°°(М) -+C°°{N) шзывается касателыым (к М) вектортым полем вдоль N, если X(fg)=X(f)g\N + f\NX(g). (9.16) Сумма двух векторнлх полей вдоль N является, очевидю, вектор1ым полем вдоль N. Кроме того, можю определить операции умюжешя таких полей ш фужции из С°°(М): (fx)(g)=f\Nx(g), f,gec°°(M). Совокупюсть D(M, N) всех касателыых вдоль N полей ш мюгообразии М является С°°(М)-модулем отюсителью этих операций. Если z G N, то следующий ашлог формулы (9.13): Xz{f) = X{f){z) (9.17) определяет касателыый вектор к мюгообразию М в точке z, со- соответствующий векторюму полю X вдоль подмюгообразия N. Заметим, что ( 9.17) теряет смысл, если z ф N', так что даное выше определеше и ш самом деле представляет поле векторов вдоль подмюгообразия N. 9.47. Векторнле поля вдоль отображений. Соотюшеше (9.16) может быть переписаю также в виде X(fg)=X(f)i*{g)+i*(f)X{g), где г: N ^-> М обозшчает отображешевложешя. После этого стаювится ясю, что ою не теряет смысла, если г — произволь- юе отображение N в М.
174 Глава 9 Определеше. Пусть ip: N —> М — гладкое отображенжемю- гообразий. IR-линзйюе отображенже шзывается касателъшм (к М) векторшм полем вдоль ото- бражетя tp, если Vf,g G C°°(M). (9.18) Совокупюсть ДДМ) всех векторных полей вдоль задано- го отображения (р является С°°(М)-модулем, если операцию умюжевжя поля X G DV(M) m / € С°°(М) определить по правилу {fX){g) = <p*{f)X{g). С°°(М)-модуль DV{M) стаювится также C°°(N)-модулем, если следующим образом определить операцию умюжешя его элементов ш элементы алгебры C°°(iV): (fX)(g) ^ fX(g), f g C°°{N), g G C°°{M), X e DV{M). Упражшше. Проверьте, что соотюшенже ( 9.17) в даном кон- контексте позволяет соотнести с каждой точкой z G N касательный к М вектор в точке ip(z). Всякое векторюе поле X G Dip(M) может быть ингерпре- тироваю как шфиштезималътя деформация отображенжя ip. Действителью, так как Xz G TV^M, этот вектор естествено поншать как инриштезималъюе смещете образа точки z при отображении ip. Векторнэ1е поля вдоль отображений во мюгих случаях удоб- ю и естествено шзывать также отюсителыыми векторными полями. Пример. Пусть (р: N —> М — произвольюе гладкое отобра- отображение, X е D(N) иУе D(M). Ъгда X о ip* ц ip* oY являются векторными полями вдоль отображения (р. Отюсительюе поле X о ip* уместю трактовать как образ поля X при отображети ip (см. п. 9.42).
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 175 9.48. Зимечателыый пример отюсительюго векторюго по- поля дает утверсальюе векторюе поле ш М. Ою строится следующим образом. Рассмотрим касательюе расслоеше тгт: ТМ —> М (см. п. 9.17). Пусть ? — касателыый к М вектор, понима- понимаемый также и как точка многообразия ТМ. Ушверсальюе векторюе поле Z ш М определим как векторюе поле вдоль отображения тгг: z{f№=№, feC°°{M). 9.49. Упражшше. 1. Покажите, что Z(f) e С°°(ТМ). (Ука- заше: воспользуйтесь специальными локалыыми коордишта- ми ш ТМ.) 2. Убедитесь, что Z и в самом деле является векторнлм полем вдоль тгт. 3. Пусть X G D(M). Докажите, что X = s*xoZ, (9.19) где Sx '¦ М —> ТМ, z I—> Xz e TZM, есть сечеше касательюго расслоешя, соответствующее векторюму полю X. Формула (9.19) объясняет, почему поле Z является ушверсалыым: все векторнле поля ш М получаются из шго при помощи сеченш касательюго расслоешя. 9.50. Обсуждавшиеся выше варианты понятия векторюго поля отличаются лишь тем, как для hix понимается прави- правило Лйбнща, т. е. правило дифферещировашя произведены. Напишем его, ie уточни область зшчешй отображения X: X(fg)=fX(g)+gX(f). (9.20) Эта запись имеет смысл тогда, когда определею умюжеше объектов X(g),X(f) ш фужции f,g соответствен©, шыми словами, когда область зтченш отображения X есть модуль тд областью определения. По этой причин? следующее опре- делеше включает в себя все, что обсуждалось выше в связи с касателыыми векторами и векторными полями.
176 Глава 9 Определеше. Пусть А — коммутативтя -ftT-алгебра и Р — А-модуль. -ftT-лшейюе отображеше Д: А —> Р шзывается дифферещироватем алгебры А со зтчешями в Р, если ою удовлетворяет правилу Лйбнща ( 9.20), т. е. A(fg)=fA(g)+gA(f) Vf,geA. Операции превращают совокупность D(P) всех дифферещи- рованш алгебры А со зтчешями в Р в Л-модуль. 9.51. Пусть X Е D(P) и h: Р —> Q — гомоморфизм А-модулей. Ъгда ho X Е D(Q). (Проверьте это.) Блее того, отображеше D(h):D(P)^D(Q), D{P) 3X^hoX E D(Q), является, очевидю, гомоморфизмом Л-модулей. При этом ) =idD(P), Это озшчает, что соответствие Р н-> D(P) является фужто- ром в категории Л-модулей и их гомоморфизмов. Это один из осювнлх фужторов дифферещиальюго исчисления. Не- Некоторые другие будут описанл шже. Полюе систематическое описаше алгебры этих фужторов и особеностей ее реализации тд кожрет№1ми коммутатив№1ми алгебрами и есть предмет дифферещиальюго исчисления в современом зшчеши этого слова. Поэтому можю утверждать, что построеше дифферен- дифференциального исчисления, шчатое Ньютоюм и Лйбнщем, еще не завершею. Это еще предстоит сделать. 9.52. Покажем, как специализировать определеше из п. 9.50, чтобы получить определеше касательного вектора и всевозмож- всевозможных типов векторных полей, рассмотреных выше, а также описать процедуры сопоставлешя векторным полям касатель- касательных векторов в фиксирований точке. При этом всюду мы будем считать, что К = Ж. I. Касательный вектор к многообразию М в точке z: P = A/fj,z=R,
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 177 где nz — идеал точки z. II. Векторюе поле ш мюгообразии М: Сопоставлеше векторюму полю X G D(M) касательюго век- вектора Хг e TZM: D(A) э!н!г = hoX e D(A//xz), где h: A —> A/jiz — гомоморфизм факторизации. Инлми сло- словами, Xz = D{h){X). III. Векторюе поле вдоль подмюгообразия N С М: А = С°°{М), Р = A/fiN, где fiN = {fe С™{М) \f\N= 0}. 1ужю обратить вшмаше ш естественый изоморфизм = A/(j,N. Если X е D(M,N) = D{P) и z e N, то IXz ^ I^n и определеш естествення проекция h: P = A//x N При этом Xz = h о X = D(h){X). IV. Векторюе поле вдоль отображешя ip: N —> М: А = С°°(М), Р = С°°(М), <p = \F\, где F: А —> Р — некоторый гомоморфизм IR-алгебр. 3;есь н/жю обратить вшмаше ш то, что структура Л-модуля ш ал- алгебре Р = C°°(N) задается по правилу (/, д) -> F(f)g = <p*{f)g, f е С°°{М), д е C°°{N). Пусть X е DV(M). Если zeNsih: P^Q = P//xz — естествення проекция, то Xz = h о X. Ответим заодю ш возможаш вопрос читателя: что та- такое непрерывнее векторн>1е поля ш М? Это элементы С°°(М)-модуля D(C°(M)), где С°(М) — алгебра гепрерыв- №ix фужций ш М, пошмаемая как С°°(М)-модуль. Ашло- гичю можю определить и векторнле поля класса Ст.
178 Глава 9 9.53. Зисаншвая обсуждеше геометрических и алгебраиче- алгебраических вопросов, связаных с идеей векторюгополя, 1ужю отме- отметить, что модуль D(M) векторнлх полей или, более общо, диф- ферещированш коммутативюй алгебры А является юсителем еще одюй очен> важюй алгебраической структуры. А имено, следующая билинейтя кососимметрическая операция, удовле- удовлетворяющая тождеству Якоби, задает ш D(A) структуру алгебры Л . Предложеше. Коммутатор [А, V] = AoV —VoA дифферен- цировашй А, V G D(A) сюва является дифферещироватем. ¦< Действителью, [A,V}(fg)=(AoV-VoA)(fg) =A(/V(r?) + gV(f)) - V(/A(r?) + gA(f)) =Д(/) V(g) + /A(V(p)) + A(g) V(/) + pA(V(/)) -V(f)A(g) - fV(A(g)) - V(g)A(f) - gV(A(f)) Поскольку кососимметричность коммутатора очевидш, шм остается проверить, что онудовлетворяет тождеству Якоби. 9.54. Предложеше. Пусть V, A', A" G D(A). Ъгда В самом деле, [[V, А'], А"] + [А', [V, А"]] = [[V, А'], А"] - [[V, А"], А'] = [V о А' - А' о V, А"] - [V о Д" - Д" о V, А'] = V о Д' о Д" - Д' о V о Д" - Д" о V о Д' + Д" о Д' о V - V о Д" о Д' + Д" о V о Д' + Д' о V о Д" - Д' о Д" о V - V о Д' о Д" - Д" о Д' о V - V о Д" о Д' + Д' о Д" о V = V о (Д' о Д" - Д" о Д') - (Д' о Д" - Д" о Д') о V
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 179 = v о [д', д"] - [д', д"] о v = [V, [Д', д"]]. > 9.55. Описаше вектор1ых полей в термишх локалыых коор- дишт, шйденое в п. 9.39, показывает, что ohi являются (ска- ляр1ыми) дифферещиалыыми операторами первого порядка. С другой сторсны, дифферещиалыый оператор первого поряд- порядка общего вида Д ш многообразии М записывается следующим образом: п Я /3 РС°°и г=1 Обратим вшмаше ш то, что его свободней член C имеет вполне шварианпый смысл: C = АA). Поэтому мы можем утверждать, что А есть дифферещиалыый оператор перво- первого порядка в том и только том случае, когда А — АA) есть дифферещироваше. Это дает шм бескоордиштюе алгебраи- алгебраическое определеше (скалярнлх) линейюго дифферещиальюго оператора первого порядка. Ою, одтко, не вполне элегангю по своей форме и по этой причине не позволяет угадать аш- логичюе определеше дифферещиальюго оператора высшего порядка. «Причешем» его с этой целью, заметив, что прави- правило Лйбнща для дифферещировашя А — ДA) эквивалента следующему равенству: A(fg) - fA(g) = gA(f) - fgA(l) или [AJ}(g)=g[AJ}(l): где [А,/] = А о f — /оД — коммутатор оператора А и опера- оператора умюжешя ш /. Пусть теперь д = hs. Ъгда, учитывая, равенство s[A,/](l) = [Д,/](s), получаем [A,f}(hs) = h[A,f}(s).
180Глава 9 Последнее равенство можю переписать в виде [[А, /], h] (s) = 0. Поскольку s — произвольна фужция, это озшчает, что шми доказаю следующее 9.56. Предложеше. Ж-лишйюе отображете тогда и только тогда является дифферещиалыым операто- оператором первого порядка, когда для любых f,gE C°°(M) [[A,/U]=0. (9.21) Заметим, что ( 9.21) эквивалентна тому, что для любого / G А коммутатор [А, /] является С°°(М)-гомоморфизмом. Глядя ш последнее равенство, читатель, шверюе, уже по- ншает, как дать определена дифферещиальюго оператора произвольюго порядка для произвольюи коммутативюи алге- алгебры А. Но прежде чем дать такое определена, заметим, что выражевже [[Д,/], #] не симметричю отюсителью / и д, в то время как ш самом деле / и д входят в него равюправю: [[A,f\,g] = Aofg + fgA-gAof-fAog=[[A,g],f\. Поэтому мы изменам тши обозшченжя, сопоставив каждому элементу f E А отображенже Sf: Яотк(А, А) - Яотк(А, A), Sf(A) = [А,/]. Ввиду сказаного выше операторы Sf и Sg коммутируют и усло- условие (9.21) принимает вид (SgoSf)(A)=0 V/, geA. Итак, теперь мы можем дать следующее осювюе 9.57. Определеше. Пусть А — iiT-алгебра. iiT-гомоморфизм А: А —> А шзывается лишйшм дифферещиалъшм операто- оператором порядка ^ I, если для любых /о,..., fi G А (Sfoo...oSfl)(A) = 0. (9.22)
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 181 Обозшчим мюжество всех дифферещиалыых операторов по- порядка ^ I из А в А через Diff; А. Тш. же, как и D(A), это мю- мюжество устойчиво отюсителью сложешя и умюжешя ш эле- элементы алгебры А и поэтому естествено сшбжается структурой Л-модуля. Блее того, ш этом мюжестве можю задать еще одну структуру Л-модуля, определив действие элемента / G А ш оператор Д как композицию До/. Ъкую структуру шзы- вают правой или, июгда, плюсовой, а действие элемента / € А ш оператор Д часто обозшчают /+Д вместо До/. Мюже- Мюжество Diffi А, рассматриваемое как модуль отюсителью правого умюжешя, мы обозшчим через Diff+ А. Две структуры умю- умюжешя в Diffi А коммутируют, задавая тем самым структуру бимодуля, который обозшчается Diffj A. 9.58. Упражшшя. 1. Докажите последнее утверждеше. А имено, проверьте, что мюжество Diff; А устойчиво отю- отюсителью правого умюжешя и что левое и правое умюжешя в Diffi А коммутируют. 2. Выясште, будет ли мюжество D(A) устойчиво отюси- отюсителью правого умюжешя. Чтобы вывести ряд естественых и полезных свойств диффе- дифферещиалыых операторов шд коммутативными алгебрами, шм пошдобятся следующие обозшчешя. Пусть >сп = A, 2,..., п) — упорядочений шбор целых чисел и л = (ii,... ,ц), I ^ п, — его упорядочение подмюжество. Положим по определешю н\ = I, ах = пгг ¦... ¦ пц и 5а>с = 5ai о ... о 8ai , а упорядочение дополнеше к до нп будем обозшчать через ~н. Упражшше. Пусть А — iiT-алгебра и Д, V — iiT-лшешые отображешя из А в А. Ъгда 5вж„(А о V) = ]Г 5вж(А) о 5e3F(v), аг е А, (9.23) аг,Ъ е А. (9.24)
182 Глава 9 Для случая, когда A G Diffm A, m < п, левая часть послед- последнего равенства согласю определенно 9.57 обращается в нуль и его можю переписать в следующем виде: (9.25) Эти формулы позволяют легко доказать два следующих важных утверждения. 9.59. Предложеше. Пусть V и А — дифферещиалыые операторы порядков ^ I и ^ т соответствен!). Ъгда их композиция А о V является дифферещиалыым оператором порядка ^ I + т. ¦< Действителью, положим в формуле (9.23) п = т + I + 1. Ъгда каждый из моюмов в правой части полученого равенства будет обращаться в н/ль согласю определенно дифферещи- альюго оператора, поскольку либо \я\ ^ т + 1 и поэтому 5а>с(А) = 0, либо \к\ ^ 1 + 1, и соответствено <5a_(V) = 0. > 9.60. Предложеше. Пусть I С А — произволътш идеал, aelk, Ae Diffn А и п < к. Ъгда А(а) е 1к~п. А Для доказательства предложены шм достаточю ограничить- ограничиться случаем а = п\ ¦... ¦ а&, щ G /. Пусть к = п + 1. Рассмотрим равенство ( 9.25), положив в шм 6 = 1. Ъгда каждое из слагае- слагаемых в правой его части будет содержать в качестве сомюжителя хотя бы одиниз элементов сц G /и, следователью, также будет принадлежать /. Переход от/с = п + гк/с = п + г+1 осуще- осуществляется следующим образом. Опять воспользуемся формулой (9.25). Каждое из слагаемых в правой части имеет вид ah ¦ ...-aimA(ah ¦ ...-ajk_m). Этот моюм принадлежит 1т. Если т ^ к — п, то он при- принадлежит 1к~п. В противюм случае, если к — т > п, то A(aJ1 • ... • cijk_m) E /fc~m~n согласю предположение индук- индукции, и, следователью, весь моюм в целом принадлежит 1к~п. >
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 183 Докажем теперь, что для алгебр гладких фужций опре- делете 9.57 совпадает с обычтым определетем лишйюго дифферещиальюго оператора . Нужнлй шм результат будет следовать из предыдущего предложены, следствия из него и те- теоремы 9.62. 9.61. Следствие. Ели фужций fug совпадают в ткоторой окрестюсти U Э z, то для любого дифферещиальюго опе- оператора А имеет место раветтво A(f)(z) = A(g)(z). Ишче говоря, дифферещиалъше операторы являются локалъшми. < Действителью, пусть Д — оператор порядка ^ I. Посколь- Поскольку / ~~ 9 е /4+1 для любого I, то ввиду предложены 9.60 A(f-g)efiz. > Это следствие позволяет для любого дифферещиальюго оператора Д G Diff; С°°(М) корректю определить его огра- нгчеше Д]^: C°°(U) —> C°°(U) m любую открытую область U С М, положив A\v(f)(z) = A(g)(z), f e C°°(U), g e C°°(M), z e U, где g — произвольна фужция, совпадающая с / в не- некоторой окрестюсти точки z. Согласю этому определенно А|^(/|у) = А(/)|[7, если / е С°°{М). Очевидю, оператор одюзшчю определяется совокупюстью своих ограничений ш карты произвольюго атласа. Остается доказать, что справедлива следующая 9.62. Ъорема. Пусть А е DiflF/ C°°(M) и хъ...,хп — си- система локалъшх коордишт в ткоторой окрестюсти U С М. Ъгда оператор Д „ можю представить в виде д v = |<т=0 ¦< Пусть z G U и / G С°°(М). Рассмотрим произвольн/ю звездчатую окрестюсть Uz С U точки гив этой окрестюсти
184 Глава 9 представим, согласю п. 2.9, фужцию / в виде J^ d^f fix — z)a\ H=o где h(x) e /4+1 и (х - z)a d= (хг - сцУ1 ¦ ... ¦ (хп - ап)а". Поэтому *(/)(*) = " . <т|=0 где ( \ 45? д I ( у^ ^ Остается заметить, что фужций аа (х) по построению являются гладкими. > Чтобы пошть, как алгебраическое определена дифферен циальюго оператора 9.57 работает в случае, когда алгебра А не является алгеброй фужций ш гладком мюгообразии, про- проделайте следующие 9.63. Упражшшя. 1. Опишите модули дифферещиалыых операторов для алгебры С°°(К). (См. примеры 9.35 и 9.45.) 2. Проделайте то же самое для алгебры «срезаных» мюго- члеюв А = К[Х]/Х пК[Х], где К = R и К = Ът. (См. упраж- упражнение 2 из п. 9.45.) 3. В классической ситуации А = С°°(Ж) любой дифферен циалыый оператор порядка больше чем 1 может быть пред- представлен как сумма композиций операторов первого порядка. Выясште, будет ли это справедливо для алгебр из двух преды- предыдущих упражнений. 9.64. Джеты порядка I в точке. Приведем еще одю важюе следствие предложены 9.60. Напомнш, что через /4+1 обозш- чается (I + 1)-я степени идеала jiz, состоящего из всех фужций ш М, обращающихся в н/ль в точке z.
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 185 Следствие. Пусть А е DiflF/ C°°(M), f,geC°°(M)uze M. Ъгда A(f)(z) = A(g)(z), если f = g mod /Jz+1. •^ Действителью, в этом случае / — g E /4+1 и, следователью, A(f-g)efj,z,T.e.A(f-g)(z) = O. > Этот факт полезю рассматривать, введя в рассмотрена векторюе пространство джетов 1-го порядка, или 1-джетов, (гладких) фужций ш М в точке z (ср. с п. 9.27): Образ фужций / при естественой проекции шзывается ее джетом порядка I (или 1-джетом) в точке z и обозшчается [f]lz. В этих термишх условие / = g mod /i^+1 озшчает, что [f]lz = [g]lz, и предыдущее следствие утверждает, что A(f)(z) = A(g)(z), если [f]lz = [g]lz. Иаими словами, отображеше Лд,, : JiM - R, [f}lz^A(f)(z), определею корректю. Ою, очевидю, М-линейю. Важюсть этого отображешя заключается в том, что ою полюстью опре- определяет оператор Д в точке z. Упражшше. Отображеше h^z является линейюй фужцией ш пространстве JlzM. Найдите базис пространства JlzM, в ко- котором компоненты этой фужций суть числа aa(z), участвующие в формулировке теоремы 9.62. 9.65. Мюгообразие джетов. Семейство лигейнлх фужцио- шлов {h/\}Z}z(zM одюзшчю определяет оператор Д, так как A(f)(z) = hA,z([f]lz). (9.26) Поэтому умести» сконструировать ювый объект, объединяю- объединяющий отделыые отображения h^z в едиюе целое. С этой целью
186 Глава 9 н/жю, прежде всего, объедишть их области определены так же, как это было сделаю в п. 9.28 для 1 = 1: JlM = I I JlM. Мюжество JlM сшбжается структурой гладкого мюго- образия подобю тому, как это было сделаю выше для ТМ и Т*М. Детали этого построены будут приведена в п. 10.11. Это гладкое мюгообразие шзывается многообразием джетов порядка I (или /-Эжетов)мюгообразия М. Отображеше ttji = irjiM: JlM ->• М, JlM э J\M 3 в ь-> z G M, расслаивает мюгообразие JlM шд М. По этому определенно TTji (z) = JlzM. Кроме того, со всякой фунсцией / G С°°(М) естественым образом связывается сечеше sjl{f): М -. JlM, z ь- [f}[ е 3\М С JlM, этого расслоешя. Ою шзывается l-джетом фунсции /. Всякий оператор Д G Diff^ C°°(M) определяет отображеше hA: JlM -^MxR, J[M 39^(z, h^ Пусть тгк: Mxl->I — каюшческая проекция. Ъгда ввиду (9.26)тгк(Ъд([/]^)) = A(f)(z), и, следователью, А(/) = 7ГК о hA о sii(/), (9.27) где Д(/) поншаетсякак гладкое отображешеиз Мв1. Этосо- отюшеше показывает, что вся инрормация об операторе Д за- шифроваш в отображеншгладких мюгообразий h/\. В п. 11.47 будет показаю, что Sjt является дифферещиалыым оператором порядка I, область зшченш которого есть мюжество сеченш расслоешя Tiji. Этот оператор естествено шзвать утверсаль- гым дифферещиалыым оператором порядка I, поскольку все кожретнле операторы получаются из него путем композиции с отображешями из JlM в М х Ш. Специфика отображешй
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 187 вида h/\ из JlM в М х Ш может быть описаш следующим образом. Рассмотрим проекцию тг:Мх1^М, {z,\)\-+z. От является тривиалыым расслоешем тд М со слоем Ш. (см. п. 11.2). Ъгда, как нетрудю видеть, отображены вида h/\ являются морфизмами векторюго расслоешя Tiji в векторюе расслоеше тг (см. п. 11.4) и, в частюсти, отображают слой TTji (z) = JlzM в слой tt~1(z) = №. Это отображение слоев, очевидю, и есть h.AjZ. Все эти факты обшруживают фущаменгалыую роль век- торнлх расслоешй в дифферещиальюм исчислеши. По этой и мюгим другим причишм, некоторые из которых встретятся по ходу дальнейшего изложены, теория векторнлх расслоешй является необходимой частью дифферещиальюго исчисления шд гладкими мюгообразиями. Эта теория будет рассмотреш шми в главе 11. Ввиду ушверсальюсти оператора Sjt, выражаемой форму- формулой (9.27), мюгообразия JlM и некоторые их естественые обобщения лежат в осюве современой геометрической теории дифферещиалыых уравнений в частнлх производ№1х. Уш- версальюсть этого оператора проявляется также и в том, что модуль сеченш расслоены Tiji: JlM ->• М (см. п. 11.7) является представляющим объектом фужтора диф- дифферещиальюго исчисления Diff^ в категории геометрических С°°(М)-модулей (см. п. 11.55). 9.66. Выше мы доказали, что в случае когда А = С°°(М) — алгебра гладких фужций ш мюгообразии М, определение 9.57 эквиваленгю обычюму определенно линейюго диффе- дифферещиальюго оператора, действующего ш фужций, зшчешя- ми которого также являются фужций ш М, т. е. скалярюго
188 Глава 9 дифферещиальюго оператора. Одшко и самый общий слу- случай, случай матричюго дифферещиальюго оператора, также может быть описанчисто алгебраически. Напомнш, что такой оператор Д обычю определяется как матрица, составления из дифферещиалыых операторов: Д = ... Ак>т/ где Ajj — дифферещиалыые операторы порядка ^ I, а дей- действие этого оператора ш вектор-фужцию / = (/i,..., fn) опре- определяется следующим естественым способом: ... Afe,m/ \f В главе 11 будет показаю, что вектор-фунсцииуказаного вида естествено рассматривать как сечены m-мерюго векторюго расслоены шд М и что категория всех векторнлх расслоешй шд М эквиваленгш категории проектив№1х модулей шд алге- алгеброй С°°(уМ). Эти и сделаные в п. 9.50 шблюдешя заставляют предполагать, что дифферещиалыые операторы общего вида должнл быть отображешями, связывающими модули шд неко- некоторой осювюй алгеброй А. Зомечателью, что для того, чтобы определить общее поштие дифферещиальюго оператора, до- статочю повторить «скалярюе» определена 9.57. Едиютвен- юе, ш что при этом н/жю обратить вшмаше, это тот факт, что для любого -линейюго отображены Л-модулей Д: Р —> Q и а Е А определенкоммутатор где элемент a G А поншается как оператор умюжены ш а элементов соответствующего Л-модуля. Инз1ми словами, <5а(Д)(р) = А(ар) -аА(р), ре Р.
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 189 Итак, можю думать, что следующее чисто алгебраическое опре- определение в «стащартюй» ситуации эквиваленгю обычюму по- штию (матричюго) дифферещиальюго оператора. 9.67. Определеше. Пусть Л — произвольна коммутативтя iiT-алгебра, Р, Q — А-модули. iiT-гомоморфизм А: Р —> Q шзывается лишйшм дифферещиалъшм оператором порядка ^ I, действующим из Р в Q, если для любых по,..., щ Е А (Saoo...oSai)(A) = 0. (9.28) Ът факт, что при соответствующей специализации ( К = Ж, А = С°°(М), Р и Q — проективные Л-модули) даное опре- определеше совпадает с обычным, будет доказан в главе 11 после устаювленжя связи между векторными расслоенжями и проек- проективными модулями. Обозшчим мюжество всех дифференциальных операторов порядка ^ I из Р в Q через Diff^P, Q). Это мюжество устой- устойчиво отюсителью сложения и обычюго (левого) умюженжя ш элементы алгебры А: (аА) (р) d= а ¦ А(р), а е А, р е Р. Поэтому ою естествено сшбжается структурой левого Л-моду- ля. На нем также можю задать еще одну структуру Л-модуля, определив действие элемента а <Е А т оператор Д как ком- композицию А о а. Тжую структуру шзывают правой или, ию- гда, плюсовой, а соответствующее действие элемента а <Е А т оператор Д часто обозшчают а+А вместо А о а. Мюжество Diffi(P, Q), рассматриваемое как модуль отюсителью право- правого умюженжя, мы обозшчим через Diff;+(P, Q). Две структу- структуры умюженжя в Diff^P, Q) коммутируют, задавая тем самым структуру бимодуля, который обозшчается Diffj (P,Q). Для краткости вместо обозшченжя Diffj (A, Q) используется обо - зшченже Diffj+) Q. Если h: Р —> Q — гомоморфизм Л-модулей, то соответствие Д I—> h о Д, Д е Diff^ P, задает гомоморфизм Л-модуля Diff; P в Л-модуль Diff; Q. Поэтому соответствие Р н-> Diff г Р является
190 Глава 9 фужтором ш категории А-модулей. Обозшчим его Diff;. Это — еще одинпример абсолютюго фужтора дифферещиальюго исчислешя (см. и. 9.51). Тжие фужторы определе1ы тд всеми алгебрами. Выбрав некоторый А-модуль Р, мы получим при- пример отюсительюго фужтора дифферещиальюго исчислешя Вывод формул (9.23)-(9.25) и доказательство предложе- предложены 9.59 без всяких изменений переюсятся со случая скаляр- нлх операторов ш общий случай. Что же касается предложены 9.60, то его ашлогом в общем случае служит следующее Предложеше. Пусть I С А — идеал, P,Q — А-модули, р е IkP, A e Diffn(P, Q) и п < к. Ъгда Д(р) е Ik~nQ. Одтко и для него доказательство переюсится практически безо всяких измегенш. Упражшше. 1. Убедитесь, что Diffo(P, Q) = DiS+{P, Q) = ЯошК(Р, Q). 2. Рассмотрим отображены Л-модулей г+ и г+, которые как отображешя несущих мюжеств являются тождествеными: t+: Diff, (P,g) - Diff+(P,g), i+(f) = /, t+: Diff+(P,g) ^ Diff, (P,g), «+(/) = /. Докажите, что ohi являются дифферещиалыыми операторами порядка ^ I. 9.68. Обратим вшмаше ш то, что всякий дифферен- циальн>ш оператор порядка ^ I является автоматиче- автоматически и дифферещиалыым оператором порядка ^ т, если I ^ т. Поэтому определею естественое вложеше бимодулей Diff i (P, Q) С Diff ?' (Р, Q). Обозшчим прямой предел цепоч- цепочки вложенш Diff(+)(P, g) с ... с DiffJ+)(P, Q) с DiffJ+|(P, Q) с ... через Diff (+)(Р,<3).
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 191 Как отмечею выше, композиция двух дифферещиалыых операторов, если от определет, есть сюва дифферещи- алыый оператор. Поэтому отюсителью операции компози- композиции бимодуль Diff (+> (Р, Р) превращается в (некоммутативен)) Л-алгебру. При этом Diff ^+> (P, Q) может рассматриваться как правый Difr""*(Р, Р)- и как левый Diff^+>(Q, <5)-модуль. 9.69. Теперь мы имеем все необходимое, чтобы ответить ш во- вопрос, заданый в п. 9.20: спектром какой алгебры является кокасательюе мюгообразие Т*М. Начнем с необходимых ал- алгебраических определений. Пусть А — iiT-алгебра. Упомян/тое выше (см. п. 9.68) вложеше Л-модулей Difffc_i А С Difffc А позволяет определить фактормодуль Sk(A)d^DiSkA/DiSk_1A, который шзывается модулем символов порядка к (или к-символов). Класс смежюсти оператора Д G Diffk А по мо- модулю Difffc_i А будем обозшчать через smblfc Д и шзывать символом Д. Определим алгебру символов алгебры А, положив S*{A)= ®Sn{A). Операция умюжешя в S* (А) ищуцироваш операцией ком- композиции дифферещиалыых операторов. Ъчнее говоря, для элементов smbl^ Д G $i(A) и smblfc V G Sk(A) положим по определению smbl; Д • smblfc V d= smblfc+;(A о V) е Sl+k(A). Это определение корректю, так как не зависит от выбора пред- представителей в классах smbl^ Д и smblfc V. Действительна если, скажем, smbl^ Д = smbl^ Д', то Д — Д' G Diffy_i А и, следова- телью, (Д - А') о V е Diff;+fc_i A. Предложеше. S*(A) — коммутатившя алгебра.
192 Глава 9 ¦< Нам нужю убедиться, что Д о V - V о Д = [Д, V] е Diff,+fe_i А, если Д G Diff; А и V G Difffc А. Воспользуемся ищукцией по l+к. Для/+/с = 0, то есть для/ = к = О, утверждешеочевидю, поскольку скалярные дифферещиалыые операторы порядка нуль — это операторы умюжешя ш элементы алгебры А, а алгебра А коммутативш. Шаг ищукции от I + к < п к I + к = п обосювывается следующей формулой, вытекающей из весьма частюго случая ( 9.23): = Sa(A) о V + Д о <Je(v) - <5a(V) о Д - V о 5а(А) Порядки операторов <5а(Д) и <5a(V) равны соответствено 1 — 1 и к — 1. Поэтому согласю предположешю ищукции последнее выражеше есть оператор порядка ^ к + I — 2. Следователью, порядок оператора [А, V] не превосходит I + к — 1. > Следует обратить вшмаше ш то, что Sq(A) = А есть под- подалгебра алгебры S*(A) и операция левого (правого) умюжешя дифференциальных операторов ш элементы алгебры А сво- сводится к операции левого (соответствено правого) умюжешя ш элементы этой подалгебры. Ввиду коммутативюсти алгебры 5* (А) эти операции умюжешя совпадают. 9.70. Пусть теперь smbl^ Д G Si (А) и smblfc V G Sk (A). Ъгда согласю последнему предложешю [Д, V] G Diff^+fc_i А. Паре (smblz Д, smblfc V) можю сопоставить элемент {smbl; Д, smblfc V} d= smblfe+/_i [A, V] е «Sfe+/_i (A). Это определеше корректю, т. е. не зависит от выбора пред- представителей в классах smbl^ Д и smblfc V, что проверяется так же, как корректюсть умюжешя в S*(A). Операция {•, •} iiT-линейт и кососимметричт. От удовлетворяет тождеству
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 193 Якоби, поскольку коммутатор линейных операторов удовле- удовлетворяет этом тождеству. Тжим образом S*(A) превращается в алгебру Ж отюсителью этой операции. Если 61,62 € S±(A), то и {61,62} € S\(A). Ишче говоря, S±(A) С S*(A) есть подал- подалгебра Ж . Упражгенш. 1. Пусть б = smbli Д. Покажите, что соответ- соответствие s <-> Д - ДA) е D(A) определею корректю и усташвливает изоморфизм алгебр Ж 2. ^фиксируем произвольный элемент б G S*(A). Покажи- Покажите, что отображенже является дифферещировашем алгебры «S* (А). 9.71. Предположим, что кольцо К — алгебра тд полем рациошльных чисел Q. Ъгда всякий элемент a G А определяет гомоморфизм iiT-алгебр Ea:S,(A)^A, smbl*(A)-^ ^ Убедимся в этом. 31метим, во-первых, что <5^(V) = 0, если V € Difffc_i А. Поэтому отображенже Sa определею корректю. Его iiT-лшейюсть очевидш. Далее, Sa . . : So (А) = А —> А является тождественымотображенжем, так что SoA,5»(a)) = 1л (унжтарюсть). Наконец, если Д G Diff^ Л, V G Dift^ Л, то из формулы (9.23) следует, что 6™(А о V) = Скш Ska(A) о #(V). (9.29) 1к как 5*(Д) е Diff0A = Л и 5^(V) G Diff0A = Л есть операторы умюженжя ш элементы [<5„(Д)]A) и [^а(^)]A) ал" гебры Л соответствено, то мультипликативюсть отображенжя Sa вытекает нзпосредствено из ( 9.29). Предложеше. Пусть I С А — идеал и П: А —> А/1 — естествения проекция. Ъгда П о На = 0, если a G I2.
194 Глава 9 ¦< Из формулы (9.24) вытекает, что к г=0 2 Поэтому если а € I2, то [<?(Д)]A)=Д(а*) mod/2. Если, сверх того, Д G Difffc А, то ввиду предложены 9.60, А(ак) Е /fc, /с > 1, и, следователью, n(Sa(smblfc Д)) = 0. > 9.72. Ъперь мы можем описать iiT-спектр |<5>*(А)| алгебры <5>*(А). Пусть h E \А\. Ъгда композиция -y h3 является гомоморфизмом iiT-алгебр и, зшчит, является точкой спектра |<5 Следствие. Пусть jih = ker/j и а — h(a) ¦ 1а = b — h(b) ¦ la mod /j%. Тогда 7fe,a = lh,b- Л 31метим, прежде всего, что 8\лА = 0 для Л G К. Поэтому Sa = Но_ь(о).1А, Eb = Еь_щу1л и мы можем ограшчиться случаем h(a) = h(b) = 0, что равюзшчю тому, что а, Ь Е jih- Далее, согласю шшим предположешям а' = а — b G ji\. Поскольку s=0
Алгебраическое дифферещиальюе исчисление 195 то, положив As = mzgy5a~s(А) и считая, что Д € Difffc А, мы шходим, что s=l =Sa(smblfc A) + Y^ Ha/(smble(Ae)). s=l Поэтому из предложены 9.71 следует, что h о Н^ = /j о Но. > Напомшм, что по определенно (см. п. 9.30) кокасателыым пространством к спектру \А\ в точке h G | А\ шзывается фактор- модуль Tj*(A) = jih/l^'h- Следствие 9.72 позволяет построить отображение lh: Th{A) ^ \S*{A)l положив ift([a]) = ^а, а Е fih- Ишми словами, каждому «кокасательюму вектору» к «мюгообразию» \А\ соответству- соответствует точка «мюгообразия» (^(Л)). Исследуем это соответствие подробнее. 9.73. Предложеше. Пусть К — поле и всякий касателъ- тш вектор ? G Т^А продолжается до «векторюго поля» X G D{A), т. е. для всякого ? G Т^А существует такое диф- ферещировате X G D(A), что ? = hoX. Ъгда отображете %h итективю. < Согласю (9.11) всякому iiT-лшейюму отображению if: Tj?A —> К можю поставить в соответствие касателыый вектор ?р = Vh{y) E ThA. Пусть теперь а, Ь е /^ и [а] ^ [Ь], где [д] = д mod ji\. Ък как К — поле, то согласю п. 9.30 Vh — изоморфизм, и поэтому^ (а) ^ ?р(Ь). Продолжим касательн>ш вектор ^ до векторюго поля X G D(A). Ъгда предыдущее неравенство интерпретируется как h(X(a)) ^ h(X(b)). Ото- Отождествляя теперь D(A) и Si(A) (см. упражнение 1 из п. 9.70),
196 Глава 9 мы видим, что Х(а) = SO(X), X(b) = Sft(X), и поэтому по- последнее неравенство можю переписать в виде Тжим образом, jh,a 7^ Jh,b, что равюсилью н/жюму шм неравенству ih([a\) ^ ih([b}). > Очевидю, что предпосылки доказаного предложения вы- полшются для алгебры А = С°°(М). Поэтому, положив iz = ihz Для точки z G М, имеем 9.74. Следствие. Отображеше iz: Т*М -+ |5*(С°°(М))| итективю. > Объедишя отображения iz по всем точкам z & М, получаем вложеше TzM z. (9.30) 9.75. Приведем еще некоторые факты, полезнее при даль- дальнейшем атлизе iiT-спектра алгебры S* (А). Пусть h Е |<5*(Л)|. Отождествим А с Sq(A). Ъгда, очевид- ю, h = h\Ae \A\. Упражшше. Покажите, что если h Elmih, to h A = h. Убе- Убедитесь, что проекция тгг*: Т*М —> М является геометрическим описанием отображения h н-> h в том случае, когда А = С°°(М). (Т е. если % = he, в е Т*М, то h = hz, где z = тгг*(#).) 31метим теперь, что если а е А и X е D(A) = Si(A), то h(aX) = h(a)h(X). В частюсти, h(aX) = 0, если а Е jih- Поэтому корректю определен) отображеше iiT-модулей 1: D{A)/jihD{A) ->К, Ть(Х mod fihD(A)) =1г(Х). С другой сторонл, определею естественое отображеше rh: D(A)/fj,hD(A) ->¦ ThA, X mod fj,hD(A) иЫ Лемма. Ели A = C°°(M), mo Th — изоморфизм вектортых пространств шд №.
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 197 ¦< Из теоремы о спектре 7.7 вытекает, что h = hz для некоторой точки z G М, и, следователью, h о X = Xz (см. п. II из 9.52). Тш. как всякий касателыый вектор ? G Т^А = TZM можю, очевидю, продолжить до векторюго поля ш М, то т^ — сюръективюе отображеше. Иньективюсть т^ озшчает, что из равенства Xz = 0 следует, что X G /JhD(A) = /JZD(M). Последнее легко доказывается исходя из того, что если Я () г=1 °Х% в некоторой системе локалыых коордишт, то а%{г) = 0, т. е. коэффициенты «;, г = 1, ...,гг, пришдлежат /i^ «локалью». > Следующий результат может быть использован чтобы стро- строго обосювать последней шаг в доказательстве предыдущей лем- леммы. Упражшше. Пусть X G D(M) и Xz = 0 для некоторой точки z G М. Докажите, что тогда X = Х^Г=1 fi-^-i + ^ /г ? (^^(М), У, Xj G D(M) где /j (соответствено, X,) совпадает с «г (соответствено, ——), г = 1,..., п, в некоторой окрестюсти точки z, a Y обращается в н/ль в этой окрестюсти. Теперь мы можем полюстью описать IR-спектр алгебры символов S* (С°°(М)). 9.76. Ъорема. Отображеше г: Т*М -+ |5*(С°°(М))| явля- является изоморфизмом, т. е. Т*М является Ш-спектром алгебры S*{C°°{M)). Л Иньективюсть отображения г доказаш в следствии 9.74. Докажем сюръективюсть. Пусть в обозшчешях п. 9.75 А = С°°(М), Ъ G |<S*(A)|, h = ЦА и точкам G М такова, что h = hz. Ъгда ThA = TZM и ввиду леммы 9.75 отображеше h можю интерпретировать как IR-линейюе отображеше из TZM в №, т. е. как ковектор dzf G Т*М (см. п. 9.22). Согласю
198Глава 9 определенно h мы видим, что = Xz(f)=dzf(Xz) = h(Xz) Тжим образом, h s (A) = Jhz,f с iA\- Нижеследующая лемма, предпосылка которой очевидном образом выполняется для ал- алгебры С°°(уМ) благодаря «разбиенио единщы» (см. лемму 4.18), показывает, что этого достаточна для утверждения, что h пришдлежит образу отображения г. > 9.77. Лемма. Пусть К-алгебра А такова, что для любого штуральюго I всякий дифферещиалъшй оператор порядка ^ I представим в виде суммы моюмов вида аХ\ о ... о Xs, где Xi Е D(A), s ^l. Ъгда, если Jiiji2 Е |<S*(A)|, Tii\A ^ А Переходя к символам дифферещиальн>1х операторов, мы убеждаемся, что алгебра 5* (А) порождается своим подмоду- подмодулем Si(A) = D(A), т. е. что любой символ s = smblfc(<5) представляется в виде суммы моюмов asi ¦ ... • Sk, где Si = smbliXj, Xj G D(A). Тш. как hi есть гомоморфизм алгебр, то hi(as\ ¦ ... ¦ Sk) = hi(a)hi(s\) ¦ ... ¦ hi(sk) и требуе- требуемое равенство h\(s) = /i2(s) вытекает из того, что по условию hi (а) = /гг(а) и hi(s) = /12E) для всех а Е А = So (А) и seD(A)=S1(A). > 9.78. Упражшше. Опишите М-спектр алгебры символов ш кресте iS!|t(C0O(K)), используя и модифицируя по мере необхо- необходимости конструкции, позволившие шм описать спектр алгебры <5>*(С°°(М)). Ввиду предложения 9.71 этот спектр естествено интерпретировать как кокасательюе пространство ш кресте. 9.79. Алгебра символов в коордигатах. Ъорема 9.76 по- позволяет интерпретировать элементы алгебры <5>*(С°°(М)) как фужции ш Т*М. Опишем эту интерпретацию в термишх спе- циаль№1х коордишт (см. п. 9.24).
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 199 Пусть (U,x) — локалыня карта ш М. Ъгда согласю п. 9.24 (T*U,T*x) — локалыня карта ш Т*М. Лкализация ш область U дифференциальных операторов, определеных ш М, порождает естественым образом соответствующую ло- локализацию алгебры е>*(С°°(М)), которая, очевидю, совпадает с е>* (C°°(U)). Поэтому мы можем ограшчиться интерпретацией ее элементов как фужций ш T*U. Мы будем использовать обозшченжяп. 9.76. Пусть в = dzf e T*U, f е С°°(и) и Д е DifffcС°°(М). Обозшчим через бфужциюш Т*М, соответствующую симво- символу smblfc Д. Ъгда по определенно Отождествим, как и выше, векторюе поле X G D(U) с его символом. В п. 9.76 было замечею, что 7fcz,/(-^0 = Xz(f). Поэтому <0)=Xz(f). В частюсти, если X = ——, тоб(^) = ——(z). OXi OXi Напомнжм, что согласю определенно специальн>1х коорди- тт (х,р) в T*U коордишта Рг(9) есть г-я компонента ковекто- ра в отюсителью базиса {dzXi} в Т*М. Ък как в шшем случае О = dzf, то pi(9) = -k-(z) и, зшчит, OXi S^L =Pi- 31метим далее, что так как smblfc+;(A о V) = smblfc(A) • smblj(V), если Д е Difffc С°°(М): V е DiflF, С°°(М), то б(ДоУ) = бд • sV- Поэтому если Д = ?н<л а^^> то бд = ^ астрст, гдерст = р!1 • • • • • р^", если а = (н,... ,in). \а\=к
200 Глава 9 Тжим образом, алгебра S*(C°°(U)) изоморфш алгебре поли- юмов от переменых Pi, ¦ ¦ ¦ ,рп с коэффициентами в алгебре C°°(U). Из этого непосредствен!) вытекает следующее 9.80. Предложеше. Алгебра <5>*(С°°(М)) изоморфш подалге- подалгебре алгебры С°°(Т*М), состоящей из фушций, огратчетя которых т слои Т*М кокасательюго расслоетя суть по- лиюмы. Алгебра С°°(Т*М) изоморфш гладкому замыкашю алгебры S*{C°°{M)). Упражгенш. 1. Докажите, что огранжченже отображенжя s*df: C°°(T*M) ->• С°°(М) ш подалгебру 5*(С°°(М)) совпа- совпадает с отображением Ef: С°°(Т*М) ->• С°°(М) (см. 9.71). 2. Пусть А — К-алгебра, h e \А\ и S+(A) = J2i>oSi(A)- Ъгда отображенже h:S*(A)^K, h\A = h, h\s+{A)=0, является гомоморфизмом iiT-алгебр, т. е. h G |е>*(А)|. Покажи- Покажите, что при А = С°°(М) отображенже \А\ —> |<5*(Л)|, h ^h, совпадает с Sdf для / = 0 (каюнгческое вложенже М в Т*М). 3. Найдите атлог отображенжя Sdf для произвольных iiT-алгебр. 4. Опишите алгебру символов е>*(С°°(К)), реализовав ее как алгебру фужций ш спектре |<S*(C°°(K)) |. 9.81. Гамильтоюв формализм ш Т*М и |<5*(Л)|. Опишем теперь для А = С°°(М) скобку {•, •}, определению в 9.70, в специальных локалыых коордиштах. Ввиду кососимметрич- юсти этих скобок и соотюшенжя {б, si62} = {б, Si}s2 + si{s, s2} (9.31) (см. упражненже 2 из п. 9.70) эту скобку достаточю вычи- вычислить для коордиштнлх фужций. В обозшченжях предыдуще- предыдущего пужта согласю определенжю имеем: ]. (9.32)
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 201 Тк как [/, д] = [д, /] = 0, если f,ge C°°{U), \ -^, -^ \ = О и ——, / = ——, то, согласю ( 9.32) \-OXj \ ОХ; {f(x),g(x)} = 0, {jh,Pj} = 0, {pi,f(x)} = ^. (9.33) Далее, ш осюваши ( 9.31) для F = f(x)pa, G = д(х)рт имеем {F,Cf}={f{x)jf,g{x)pr} ={pa, 9(x)}f(x)pT - {p\ f(x)}g(x)p°. Ввиду последнего из равенств ( 9.33) Собирая все эти формулы воедию, в итоге получаем следующую формулу а это стащарття скобка Пу ассот ш Т*М. Б лее того, эта фор - мула показывает, что дифферещироваше алгебры символов Хр = {F, •}, геометрически интерпретируемое как векторюе поле ш ее IR-спектре, т. е. ш Т*М, имеет вид > 0.35) таким образом, Хр является гамильтоювым векторным по- полем ш Т*М, отвечающим фужции Гамильтош F. Это дает шм осюваше шзвать скобку {•,•} ш алгебре символов <5>*(А) произвольюй iiT-алгебры А скобкой Пуассош , а дифферен- дифференцирование {б, •}, б G S*(A), гамильтоювым векторгым полем ш |е>*(А)|. Итак, мы еще раз видим пользу от точки зрешя
202 Глава 9 m дифферещиальюе исчисление как ш аспект коммутативюй алгебры, вытекающей из уважены прищипа шблюдаемости. Читатель может, шпример, развлечься, развив гамильтоюву мехашку ш гладких мюжествах или шд арифметическими полями. Упражшше. 1. Пусть F = F(x,p) E С°°(Т*М). Убе- Убедитесь, что шхождеше фужций, удовлетворяющих усло- условию s%(F) = 0, / G С°°(М), равюсилью решенпо уравненш Гамильтош—Якоби и тйдите ашлог этих уравненш для про- извольюй -ftT-алгебры А. 2. Опишите гамильтоюву мехашку ш кресте К. 9.82. Итак, мы видим, что дифферещиальюе исчисление является естественым следствием классической кощепции ш- блюдаемости и развивается легко и естествено, если не терять из виду это обстоятельство. Коммутативюсть алгебры шблюда- емых, как это уже отмечалось, формализует фущаменгальн/ю для классической физики идею независимости тблюденш. Б- лее изыскания реализация этой идеи при помощи коммутатив- нлх градуированых алгебр, по традиции шзываемых физи- физиками супералгебрами, is привюсит шкаких дополштелыых трудюстей. Все определения и конструкции дифферещиаль- юго исчисления дословю переюсятся ш этот случай, а также ш любые другие случаи, когда поштию коммутативюсти можю придать разумнлй смысл. В квантовой физике, как известю, приходится отказать- отказаться от прищипа независимости тблюденш. Быо бы, одтко, неправильна пытаться прокванговать дифферещиальюе исчи- исчисление с целью шйти естественые математические средства для описаны квантовых явленш путем механической заменл коммутативною алгебр ш некоммутативные. Читатель может убедиться в этом, попробовав систематическим образом пере- перенести ш некоммутативные алгебры определены и конструкции шстоящей главы. Неудача попыток подобюго рода принимает поистине катастрофические размеры, если пытаться переюсить более тожие и глубокие конструкции. Все эти и мюгие другие
Алгебраическое дифферещиальюе исчислеше 203 доводы указывают ш то, что вряд ли можю математически адекватю формализовать квантовый принцип шблюдаемости ш языке некоммутативной алгебры (или нжоммутативюй гео- геометрии). Сейчас есть все осювашя полагать, что эта цель может быть достигнута естественым образом ш языке вторичюго диффе- рещиальюго исчисления, являющегося своеобразным синтезом обычюго (=первичюго) дифференциального исчисления и го- гомологической алгебры. Во всяком случае, ie вызывает comie- Н1Й, что это исчислеше является естественым языком геоме- геометрической теории гелигейнлх дифференциальных уравгенш в частных производных.
Глава 10 ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ 10.1. В1утрення структура точки. Кощепция шблюдаемо- сти, развитая в предыдущих главах, предполагает, что точка — это элементарный объект, который можю ищивидуализировать при помощи даной системы приборов, т. е. заданий алгебры шблюдаемых А. Одтко опыт жизш в реальюм физическом многообразии подсказывает, что точка может иметь ту или ин/ю «вн/тренюю структуру», ншример обладать температурой, цветом, влажностью и т. д. и т. п. Придайте точюго мате- математического смысла словам «вн/трення структура» является следующим необходимым шагом в ашлизе классического меха- шзма шблюдаемости. Это можю сделать при помощи поштия расслоешя, изучеше которого составляет предмет шстоящей главы. A priori, мы должны допустить две возможюсти, соответ- соответствующие тому, какой статус, отюсительтш или абсолюттш , придается концепции вн/треней структуры в рамках классиче- классического механизма шблюдаемости. Отюсительюсть вн/треней структуры озшчает, что ош может быть изучеш не выходя из рамок классического подхода, путем простого добавления к уже имеющимся приборам ювых. Математический смысл этой конструкции заключается в том, что алгебра шблюдаемых А расширяется до большей алгебры В посредством вложешя 204
Гладкие расслоешя 205 г: А ^-> В. При этом вн/трення структура, которой обла- обладает точка z G \А\, описывается ее прообразом |i|~1(z) С \В\ при отображении IR-спектров |г|: \В\ —> \А\ (см. п. 3.19). Пример. Бсцветной трехмерн^ш мир Ж3 можю сделать цвет- 1ым, если добавить к инструментам, измеряющим коордиш- ты точки, еще один прибор, измеряющий цвет, т. е. частоту электромагштюго излучешя. Алгебраически это озшчает, что алгебра А = С°°(М3) замешется алгеброй В = A ®r С, где С — алгебра гладких фужций ш «мюгообразии цветов», ко- которое естествен© отождествляется с Ш^_. Вложеше г: А —> В определяется правилом А э а ^ а ® \с Е А ®к С. Возвращаясь к общему случаю, заметим, что |i|~1(z) = \BZ где Bz = B/(fiz -В). Тжим образом, вн/трення структура точ- точки z Е А тблюдаема при помощи алгебры Az. Предположение, что все точки z G \А\ равюправ№1 в том смысле, что ка- каждая из hix обладает такой же вн/треней структурой (может шходиться в таком же состоянии и т. п.), как и любая другая, озшчает, что мы имеем в своем распоряжении равюзтчнле до- полнетелыые возможюсти шблюдать за тем, что происходит «вн/три» различ№1х точек спектра \А\. Это равюсилью тому, что все алгебры «дополштелыых шблюдаемых» Az одишко- вы, т. е. изоморфнл между собой. Если это условие реализуется некоторым регулярном образом (см. п. 10.9), то отображение г\: \В\ —> \А\ шзывается локалью тривиальным гладким рас- слоетем . В приведеном выше примере это условие выполняю, и все алгебры Az изоморфно С. На первый взгляд, отюсителыые вн/трение структуры ж добавляют нгчего ювого в классическую схему шблюда- емости, так как любая гетривиальшя структура такого типа компенсируется подходящим расширением алгебры А. Это, од- шко, ж всегда удобю делать, если мюгообразие М = \А\ играет роль экраш, ш котором высвечиваются точки, имеющие разное вн/трение структуры. Ък, шпример, обстоит дело
206 Глава 10 в случае реальюго физического пространства. Блее того, этот вопрос перестает быть только вопросом удобства, если «вн/- трение структуры» точек ш шшем экране М абсолютна в том смысле, что не могут быть описанл рассмотреным выше спосо- способом, т. е. в рамках классического подхода. Тшэвыми являются квантовые явлешя, мюгочисленые попытки объяснить кото- которые введентем так шзываемых «скрытых параметров», т. е. дополштелыых классических шблюдаемых, оказались несо- стоятелыыми. Сказаное выше призваю подчеркн/ть роль мюгообразия как ушверсальюго (mine физическое пространство) или спе- циализированого (шпример, конригурационое пространство механической системы) экрат, ш котором визуализируется ин- интересующая тс информация. Обсуждаемое в этой главе поштие расслоешя соответствует ситуации, когда точки ш экране имеют одишковые вн/трение структуры. Ниже, если это не оговорею особо, все алгебры предпола- предполагаются гладкими. 10.2. Квазирасслоеше как расширеше алгебр. Теорию расслоешй удобю предварить обсуждешем более общего пош- тия — квазирасслоешя. В алгебраических термишх его можю сформулировать так. Определеше. Гладкое квазирасслоеше — это вложеше глад- гладких алгебр г: А<-^> В. Мюгообразие 11 шзывается базой квази- квазирасслоешя г, мюгообразие \В\ — тотальным пространством квазирасслоетя , а отображеше |г|: \В\ —> \А\ — проекцией. 10.3. Пример I. Расслоеше-произведеше. Пусть А я С — гладкие алгебры. Положим В = A ®r С (здесь, как и выше, черта сверху озшчает гладкое пополнейте алгебры, см. п. 3.37) и определим вложеше г: А —> В правилом а н-> а ® 1. Кожрет- №im примером такого квазирасслоешя может служить расслое- ше тора тд окружюстью, которое определяется как вложеше
Гладкие расслоешя 207 алгебр г: А ^-> В, где В = {д е С°°(М2) | д(х + 1, у) = д(х, у + 1)= д(х, у)} — алгебра двояко периодических фужций двух переменых, а А — ее подалгебра, состоящая из фужций, не зависящих от у. В самом деле, если А ={/ е Сс С ={/ е Сс A0.1) A0.2) то легко проверить, что А ® С = В. Рис. 10.1. Пример II. ]утылка Клейш, расслоения тд окружюстью (см. рис. 10.2). Это вложеше алгебры A = {f eC°°(R)\ f(x + l)= f(x)} гладких периодических фужций ш прямой в алгебру В = {д е С°°(М2) | д(х + 1, у) = -д(х, у + 1) = д(х, у)} по правилу / ^ д: д(х,у) = f(x).
208 Глава 10 Рис. 10.2. Пример III. Двулистюе шкрытие окружюсти. Вложеше ал- алгебры A = {f eC°°(R)\ f(x + l) = f(x)} в себя по правилу / н->• д: д(х) = fBx). Пример IV. Одюлистюе расслоеше прямой шд окружю- стью. Пусть В = С°°(Ж), а А С В состоит из тех фужций / G В, для которых фужция х I—> /A/е) и все ее производ- 1ые имеют конечною пределы при х —> 0. Нетрудю пошть, что А = COO(S1) и при подходящем выборе этого изоморфизма даному вложешю отвечает отображеше +t2'i+t2;- Образом этого отображешя является вся окружюсть без одюй точки.
Гладкие расслоешя 209 Примеру. В пужте 9.18 описаю отображеше касательюго пространства ТМ мюгообразия М ш само это мюгообразие. Очевидю, соответствующее отображеше алгебр гладких фужций С°°(М) —> С°°(ТМ) является гомоморф1ым вложешем гладких алгебр. Наиболее важнлм классом гладких квазирасслоешй явля- являются расслоешя (см. пп. 10.9 и 10.10) — квазирасслоешя, обладающие свойством локальюй тривиальюсти. Из приве- деного списка примеры I-III,V обладают этим свойством, а пример IV — нет. Чтобы дать точюе определеше локальюй тривиальюсти, шм понадобятся поштие слоя квазирасслоешя и процедура локализации. 10.4. Слой квазирасслоешя. Геометрически, слоем квази- квазирасслоешя г: А —> В шд точкой h G | А | шзывается ее прообраз при отображеши |г|: \В\ —> \А\. В примерах I—II слоем квазирасслоешя является окруж- юсть, в примере III — пара точек, а в примере IV, в зависимо- зависимости от выбора точки z, слой либо пуст, либо состоит из одюй точки. И шкогец, в примере V слой TZM изоморфенпростран- ству W1. Обратите вшмаше ш то, что в примерах I и II база и слой квазирасслоешя одишковы, а тоталыые пространства различил. Алгебраическое определеше слоя шд точкой а € | А\ можю сформулировать так: это факторалгебра алгебры В по идеалу, порожденому мюжеством г(/ло), где jia <Z А — максимальней идеал точки а.
210 Глава 10 10.5. Категория квазирасслоешй. Морфизм квазирасслое- Н1Я %\: А —> В\ в квазирасслоеше %2 '¦ А —> В2 — это, по опре- определенно, гомоморфизм алгебр ip: В2 —> В\, замыкающий ком- мутативн/ю диаграмму А Эквиваленгтя формулировка ш языке спектров (см. 8.6 и 3.4) состоит в том, что должт быть коммутативюй диаграмма Это зшчит, что отображение \(р\ переводит слои одюго квази- расслоешя в слои другого: |(y9|(|ii|~1(a)) С j^l (a), или, что то же самое, ip(B2 ¦ ?2(а*о)) С В\ ¦ ii{jia) для любой точки a G \А\. Совокупюсть всех квазирасслоешй шд гладкой алгеброй А = С°°(уМ) и морфизмов между нши составляет категорию квазирасслоешй шд М, обозначаемую QB м. Если ip — изоморфизм, или, что эквивалента), \ip\ — диф- диффеоморфизм, то квазирасслоешя %\ и %2 тзываются эквива- летгтичи . В том частюм случае, когда гомоморфизм ip сюръек- тивец что соответствует собственому вложешю мюгообразий В\\ —> I-B2I, расслоеше %\ шзывается подрасслоешем квази- расслоешя |гг|. Простейшим примером квазирасслоешя с базой М и сло- слоем F служит расслоеше-произведеше М х F с естественой проекцией ш первый сомюжитель, или, в алгебраических тер- мишх, естественое вложеше алгебры = С°°(М) в пополнен юе тенюрюе произведеше А® С, где С = C°°(F).
Гладкие расслоешя 211 Квазирасслоеше, эквиваленте в категории QB м квази- расслоенно такого рода, шзывается тривиальтич расслоетем . Квазирасслоеше, локалью изоморфюе тривиальюму, шзы- шзывается (просто) расслоешем. Ъчный смысл эта фраза получит после того, как мы объяснш, что такое локализация. 10.6. Локализация. Цель этого пужта — описаше алгебра- алгебраической конструкции, позволяющей дать чисто алгебраическое определеше операции ограшчешя гладкой алгебры ш откры- открытое по дмюжество (см. п. 3.23). Пусть А — коммутативюе кольцо с едишцей и S—мульти- пликативюе подмюжество в А, т. е. S замкнуто отюсителью умюжешя, содержит 1 и не содержит 0. В мюжестве всех пар вида (a,s), где а Е A, s E S, рассмотрим отюшенте эквива- ленгюсти (а1: si) ~ (а2, s2) -ф^ф- 3s Е S: s(ais2 - a2si) = 0. Класс эквивалентности пары (a, s) обозшчается — (или a/s) и шзывается формальюй дробью ; множество всех таких классов обозшчается S~1A. Сложеше и умюжеше формальных дробей можю ввести согласно обычным формулам: a2 aia2 а± а2 Si S2 S1S2 Si S2 S1S2 Мюжество S~1A, превращенное таким образом в кольцо, шзы- шзывается локализацией кольца А по мультипликативному подмю- жеству S. Тривиальные проверки предоставляются читателю. Определим каютческий гомоморфизм ь: А —> S-1A соот- соотношением ь(а) = а/1. Вообще говоря, ь is является ш моно- мономорфизмом, ш эпиморфизмом. Пусть теперь Р — Л-модуль. Действуя по приведешой выше схеме определим ш мюжестве пар вида (p,s), где р G Р, s G S, отюшеше эквивалентности, положив (pi,Si) ~ (p2)s2) ^> 3s Е S: s(pis2 -p2si) = 0.
212 Глава 10 Класс эквиваленгюсти пары (р, s) обозшчается - (или p/s) и также шзывается формалъюй дробью ; мюжество всех таких классов обозшчается S~1P. Упражгенш. I. Проверьте, что операция сложены элементов Б~1Ря операция умюжешя элемента S~1Pm элемент алгебры S~1A, вводимые следующими формулами: Pi P2 _ Р1^2+Р2^1 01 Р_2 _ OlP_2 Si S2 SiS2 ' Si S2 SiS2' корректю определены и превращают S~1P в 5'~1Л-модуль. II. Пусть (р: Р —> Q — гомоморфизм Л-модулей. Дока- Докажите, что отображение S~1((p): S~1P —> S~1Q, задаваемое формулой корректю определею и является гомоморфизмом S~1A-mo- дулей. Резюмируя результаты этого пужта, можю сказать, что приведение здесь конструкции сопоставляют мультиплика- тивюму подмюжеству S С А фужтор из категории Л-модулей в категорию 5'~1Л-модулей. I. Если в А 1st делителей н/ля и S = А \ {0}, то S-1A есть поле частных кольца А. II. Пусть А = Z и S — мюжество всех неотрицательных степеней числа 10. Ъгда S-1A — мюжество всех рациотлыых чисел, десятичтя запись которых конечш. III. Если А = С°°{М), х е М и S = А \ цх, то S^A есть кольцо ростков гладких фушций ш М в точке х (читатели, зшкомые с поштием ростка, могут доказать этот факт в каче- качестве упражнения; остальные, пришв его за определение, могут попытаться пошть его геометрический смысл).
Гладкие расслоешя 213 10.7. Предложеше. Пусть U — открытое подмюжество многообразия М, А = С°°(М) и S = {f eA\ f(x) ^ОУхе U}. Ъгда S-1A = C°°(U), а каютческий гомоморфизм ь: С°°(уМ) —> C°°(U) совпадает с гомоморфизмом огратче- i(f) = f\v. ¦< Для доказательства этого утверждения рассмотрим отобра- отображение a: S-1A —> C°°(U), действующее по правилу / G A, s G S, х G U, s{x) т.е. превращающее формальн/ю дробь в обычюе частюе двух фужций. Это определение корректю, поскольку элементы s G S не обращаются в н/ль в точках U. Предположим, что Oi(fifsi) = «(/2/82). Ъгда фужция f\S2 — /2S1 тождествено равш н/лю ш U. По лемме II пужта 4.17 существует фуж- фужция s G S, тождествено равтя н/лю вне U. Произведете этих двух фужций будет тождествено равю н/лю ш всем многообразии М: s(f\S2 — /2S1) = 0 как элемент алгебры А. Следовательно, формальные дроби /i/si и /2/S2 равн>1 меж- между собой. Это доказывает иньективность отображения а. Его сюръективность вытекает из следующей леммы. > Упражшше. Приведите пример такой геометрической, но не гладкой алгебры А и такого открытого подмножества U С \А\, что алгебры S-1A и А\ц не изоморфны. 10.8. Лемма. Пусть U — открытое подмюжество мюго- образия М и f G C°°(U). Ъгда существует такая фужция g G С°°(уМ), тгде т U w обращающаяся в щлъ, что про- произведете fg гладко продолжается т все мюгообразие М и, следователью, f = a(fg/g). А Строгое доказательство этого факта можно получить при помощи техшки «разбиешя единщы», описаний в главе 2. Детали мы оставляем читателю в качестве упражнения. >
214 Глава 10 Теперь мы в состояши дать строгое алгебраическое опреде- определение расслоешя. Вшчале ншомнш, что со всяким гомомор- гомоморфизмом iiT-алгебр ip: А —> В связывается операция заметь колец. От состоит в том, что всякий В -модуль R рассматрива- рассматривается как А-модуль: а ¦ г = (f(a)r, а Е А, г Е R. В частюсти, и алгебра В может рассматриваться как А-модуль, поэтому для заданого мультипликативюго подмюжества S С А определен 5'~1Л-модуль S~1B. 10.9. Определеше. Пусть А, В и F — гладкие алгебры. Иньективнлй гомоморфизм г: А —> В шзывается расслоет- ем \В\ шд \А\ со слоем \F\, если каждая точка z G \А\ обладает открытой окрестностью Uz С \А\, шд которой локали- локализация гомоморфизма г эквивалента расслоешю-произведешю S~XA —> SjxA ® F, где Sz С А — мультипликативтя си- система, отвечающая подмюжеству Uz, т. е. состоящая из всех элементов алгебры А, зшчешя которых в точках Uz отличн>1 от 0. Ъчнее говоря, должен существовать изоморфизм алгебр р: S~XB —> S~XA ® F, делающий коммутативном треугольник где j — естественое отображение, переводящее всякий элемент а в а ® 1. (Напомнш еще раз, что черта обозшчает гладкое замыкаше алгебры.) Расслоеше тг тривиалью тогда и только тогда, когда пре- предыдущее условие (аксиома локальюй тривиальюсти ) выпол- выполняется для него при Uа = М. Геометрический атлог предыдущего определения формули- формулируется несколько проще. Эквиваленгюсть обоих определенш вполне очевидш.
Гладкие расслоешя 215 10.10. Определеше. Пусть Е и М — гладкие мюгообра- зия. Гладкое отображеше тг: Е —> М шзывается расслоет- ем, если для некоторого мюгообразия F выполшется сле- следующее условие: любая точка х G М обладает окрестюстью U С М, для которой существует тривиализующий диффео- диффеоморфизм ip: ж~1(и) —> U х F, замыкающий коммутативн/ю диаграмму UxF где р — проекция ш первый сомюжитель. При этом М шзывается базой, F — слоем, а Е — {тотальтич) пространством расслоешя тг. Говорят также, что Е расслаивается шд М со слоем F, и пишут Е —> М. Пространство расслоешя тг обычю обозшчается Еж. Условие локальюй тривиальюсти озшчает, что отображеше тг локаль- ю устроею как проекция прямого произведешя мюгообразий ш одиниз сомюжителей. Слоем расслоешя тг шд точкой х € М шзывается мюже- ство жх = ж~1(х). Каждый слой Еп, сшбженый структурой подмюгообразия мюгообразия Е, диффеоморфенфиксирован- юму «внешнему» слою F. 10.11. Еще гесколько примеров. В шжеследующих приме- примерах мы приводим только геометрическую конструкцию. Чита- Читателю рекомещуется в каждом случае описать соответствующее вложеше гладких алгебр. I. Расслоеше прямой шд окружюстью (ср. п. 6.2). Пред- Представляя себе окружюсть как мюжество комплексных чисел, по модулю равнлх едишце, отображеше Ж1 —> S1 можю задать формулой t I—> elt. Для любой точки iG^b качестве U в усло- условии локальюй тривиальюсти можю взять любое содержащее х собственое открытое мюжество.
216 Глава 10 В приведеном примере слоем служит н/льмерюе мю- гообразие Z. Расслоены с н/льмернлми слоями шзываются ткрытиями . II. Другой пример шкрытия — отображение Sn —> ЖРп, которое ставит в соответствие точке х € Sn С Шп прямую, про- проходящую через эту точку и тчало коордитт (см. определения в п. 5.10). Это расслоеше тривиалью шд дополгешем к любой гиперплоскости ЖРп \ МР". Его слой состоит из двух точек. III. Открытый лист Мёбиуса расслаивается шд окружю- тп> стью со слоем прямая: М —> S . 3;есь М есть полоса [0,1] х № с отождествлеными точками @, у) и A, — у) для каждого |/€l, S1 есть отрезок [0,1] с отождествлеными кощами 0 и 1, а про- проекция тг: М —> S1 устроеш так: тг(х,у) = х. Наглядю можю себе представлять (см. рис. 6.2), что лист Мёбиуса (стащартю вложеный в IR3) сжимается к своей средней лиши — слоя- слоями шд точками средней лиши служат перпещикулярнле ей (открытые) отрезки. Проверим аксиому локальюй тривиальюсти для этого при- примера. Если a G S1 — вн/трення точка отрезка [0,1], то в ка- качестве окрестюсти U можю взять интервал ]0,1[, если же а = 0, то положим U = {х <Е S1 х ^ ^}, а диффеоморфизм ip: тг~1(и) —> U х Ш. определим так: ж, —у), если х > ^. IV. Расслоеше едингчнлх касатель№1х векторов к сфере тг: T\S2 —> S2. Пространство этого расслоешя TiS2 = {(х, у) е Ш3 х Ш3 | \х\ = 1, \у\ = 1,х±у} есть подмюгообразие в Ш6. вставляя группу ортогошльн>1х преобразовашй трехмерюго пространства действовать ш фик- сированый едишчн>ш касательн>ш вектор к сфере, мы по- получим диффеоморфизм T\S2 = SOC) и, следователью, диф- диффеоморфизм T\S2 = I5LP3. Читатель, конечю, заметил, что
Гладкие расслоешя 217 пространство расслоешя T\S2 — это еще одш (пятая) реализа- реализация мюгообразия, рассмотреного в шчале кшги в примерах 1.1-1.4. Слоем этого расслоешя является, очевидю, окруж- юсть. Для проверки локальюй тривиальюсти докажем, что рас- рассматриваемое расслоеше тривиалью шд любой открытой по- полусферой в S2. Действителью, если U — эта полусфера и S1 — ее грашца, то, отождествляя точки U и S1 с их радиус- векторами, положим (f(x, z) = х х z (векторюе произведеше) для х Е U и z E S1. Поскольку векторы х € U и z € S1 шкогда не колижарнл, отображеше (р: U x S1 —> тг~1Fг) есть диффеоморфизм. V. Композиция расслоешя S3 —> ЖР3, определеного в примере II, с расслоешем ШР3 —> S2, определеным в при- примере IV, представляет собой расслоеше S3 шд S2 со слоем S1, шзываемое расслоешем Хопфа , сравште с. п. 6.17A1). Проверку условия локальюй тривиальюсти мы предоставляем читателю. VI. Ъвтологическое расслоеше шд грассмашаюм . Пусть GUjk — мюгообразие /с-мернлх лигейнлх подпространств n-мерюго пространства Ш.п (см. пример IV из п. 5.10) и Еп^ есть мюжество всех пар (х, L), где х G L G Gn,fc, сшбженое струк- структурой подмюгообразия в W1 x Gn,fc- Соответствие (x,L) н-> L задает квазирасслоеше €> = Qn,k '¦ -E'n.fc * Gn,k, шзываемое тавтологическим. Упражшше. Покажите, что при к = 1 тавтологическое рас- расслоеше ЕП}1 —> GU}i = ЖРп~г эквиваленгю проекции /77-. ТП> Dn \ f Т Л ч ТО) ТЭП—1 7Г: 1Кг \ \J-ios —* Ш±г , где Lo есть (п + 1)-я ось коордишт в Жп+1 (=«вертикальшя>> прямая), и тг сопоставляет каждой «шклоной» прямой ее про- проекцию ш Шп = {хп+1 = 0}.
218 Глава 10 Чтобы показать, что тавтологическое квазирасслоеше удо- удовлетворяет условию локальюй тривиальюсти, построим покры- покрытие многообразия GUjk стащартюй системой окрестностей Uj, где / = {ii,..., г^}, 1 ^ i\ < ... < ik ^ п. Каждое мюжество Ui состоит из всех /с-плоскостей в Ш.п, проектирующихся без вы- рождешя ш Шк вдоль My ~fc, где / = {1,...,п}\/,а символ Ш ™, J = {ji,..., jm}, обозшчает m-мерюе подпространство в Ш.п, штян/тое ш базисное векторы с юмерами j\,..., jm. Если х G L и L G Ui, то паре (ж, L) G Еп^ можю сопоставить пару (х,Ь), где х <Е Rkj =Rk есть проекция х вдоль Щ~к т Rkj. Это соответствие является тривиализующим диффеоморфиз- диффеоморфизмом тавтологического расслоешя шд Ui. По этой причине вП)& является расслоешем. Упражшше. Проверьте, что при к = 1, п = 2 мы получим не что июе, как расслоеше листа Мёбиуса тд окружюстью из примера III. Все перечисление расслоешя нетривиаль№1. Например, лист Мёбиуса геориенгируем и поэтому не диффеоморфенци- лищру S1 х №. Нетривиальюсть расслоешя едишчнэ1х каса- телыых векторов к сфере (пример IV) можю усмотреть исходя из того, что ш сфере не существует векторюго поля, все век- векторы которого отличил от н/ля, или же если зшть простейшие свойства фущаменгалыых групп. В самом деле, мюгообразия №Р3 и S2 х S1 не диффеоморфн>1, ибо имеют различнее фуща- менгальнэк группы: тгДМР3) = Z2, ni(S2 x S1) = Z. Отсюда следует также нетривиальюсть расслоешя Хопфа (пример V). VII. Касательюе расслоете Жт' ТМ —> М (см. п. 9.19). Если (U,x) — локалыня карта ш М, то соответствующий тривиализующий диффеоморфизм U х Шп —> тг^ (U) есть ком- композиция естественых отождествлешй UxRn<—>TU и TU
Гладкие расслоешя 219 описаных в п. 9.18 II и IV: П гч \z,q) •->• > ^гтг- г=1 е tzm с ти, z meq = (qi,...,qn). В зависимости от многообразия М касательюе расслоеше может быть как тривиалыым, так и нетривиальном. Мюго- образие, касательюе расслоеше которого тривиалью, шзы- вается параллелизуемым — примером может служить любая группа Ж. Упражшше. Приведите по 2-3 примера параллелизуемых и непараллелизуемых мюгообразий. VIII. Кокасательюе расслоете тгг*: Т*М —> М (п. 9.24). В этом случае, как и в предыдущем, необходимая тривиализация GхМ"-> ж^} (U) получается из отождествлений UxRn<—>T*U и T*U <—>ir? описаных в п. 9.24: ,q) » УъЪхг G TIM с T*U, гдер= (pi,...,pn). IX. Расслоете l-джетов фушций Tiji: JlM —> М. Исполь- Используя локалыую карту (U, х) т М, построим тривиализующее отображение U x RN -^ к~}{и) = Jl(U), где N — число различ№1х производ№1х порядка ^ I, согласю правилу (z,pl) ^ [fpifz ? JlzM С JlU, где/pi = ^2a<i —~.Ра{х — z)a ирг = (ра) — арифметический век- вектор, компоненты которого суть символы ра, \а\ ^ I, размещен- размещенною в лексикографическом порядке ищексирующих их муль- тиищексов. Формула B.4) показывает, что /-джеты фужций вида /Р( в точке z исчерпывают JZM. Фужций Xi, i = 1,..., п,
220 Глава 10 и Ра-, Iе""! ^ h очевидю, образуют локальн/ю карту ш тг,г (U), и такие специалыые карты образуют гладкий атлас ш JlM. 10.12. Сечешя. Сечетем расслоешя тг: Е —> М шзывается гладкое отображеше s: М —> Е, сопоставляющее каждой точке х Е М элемент слоя, висящего шд этой точкой: s(x) € жх. Ишче говоря, требуется, чтобы тг о s = id-м- Мюжество всех сеченш расслоешя тг обозшчается через Г(тг). На алгебраическом языке, сечешем расслоешя г: А ^-> В будет гомоморфизм алгебр а: В —> А, левый обратный к г, т. е. такой, что а о г = id^. Примеры. I. Расслоеше тг: Ж1 —> S1, описаное в примере 10.13 (I), не имеет ш одюго сечешя. Действительна, предпо- предположим, что /: S1 —> Ж1 — гладкое отображеше и тг о / = i Из последнего равенства следует, что тг .,с1.: /(S1) —> S1 явля- ется диффеоморфизмом подмногообразия /(S1) С1!ш S1. С другой стороны, заметим, что образ любого непрерывного ото- бражешя /: S1 —> Ж1 является интервалом, кощы которого суть мишмум и максимум фужции /. Но интервал и окруж- юсть не гомеоморфны. II. Расслоеше T\S2 —> S2 (пример 10.13 (IV)) не имеет сечешй. Действительно, из тличия сечешя /: S2 —> T\S2 вы- вытекало бы существоваше диффеоморфизма if: S2 х S1 -^TiS2: достаточю положить ip(x,a) равным вектору, полученому из f(x) поворотом ш угол а (скажем, против часовой стрелки, если смотреть ш сферу сшружи). III. Сечешя тривиального расслоешя шд М со слоем F шходятся во взаимно однозтчном соответствии с гладкими отображешями из М в F. IV. Сечешя касательюго расслоешя шд мюгообразием М естествено интерпретируются как векторные поля ш этом мюгообразии (см. п. 9.40). Подобным же образом сечешя кока- сательюго расслоешя шд М естествено ассоциируются с диф- ферещиалыыми формами первого порядка, или 1-формами. Это поштие вводится и обсуждается шже впп. 11.41-11.44.
Гладкие расслоешя 221 Ашлогичшя ситуация имеет место и для расслоешй джетов, см. пп. 9.65, 11.46-11.47. Упражшше. Опишите сечешя Sx, Sdf и Sj((/) касательюго, кокасательюго расслоешй и расслоешя /-джетов (см. 9.40, 9.25 и 9.65 соответствешз)в термишх специальных локалыых коордишт. V. Опишем некоторые замечателыые сечешя тавтологиче- тавтологического расслоешя On>fc: ЕП}к —> GUjk (см. пример VI из п. 10.11). Пусть 9ftfc,n — пространство (к х п)-матриц, имеющих pair к. Если J = (ji,.. .,jk), 1 < J! < ... < jk < n, и М е Шк,п, то M.j обозшчает (к х к)-матрицу, образованию столбцами матрицы Л4, имеющими юмера ji, ¦ ¦ ¦ ,jk. "Бк как Л4 имеет ран4 к, то хотя бы один из ее миюров \Adj\ отличен от н/ля. Поэтому J2j\Mj\2 > 0. ^фиксируем / = (ii,...,ik) и рассмотрим следующую фужцию ш 9Jtfc,n: \Mi Очевидю, vi e C°°(9Jlfc)n). Блеетого, если д € GL(k,M), то = \g\-^i{M). (ю.з) Пусть, далее, Л4/ — матрица, дополштельшя к Л4/. Обо- зшчим через Matfc>n пространство всех {к х п)-матриц шд №. Отображеше )Ц A0.4) ввиду A0.3) является СЬ(к,Ж)-эквивариатгн>ш , т. е. е GL(fc,№). A0.5) Ою, очевидю, гладкое. Кроме того, mi(Ai) G 9?tfc,n, если \Adi\ т^ 0. В противюм случае mi(Ai) есть н/левая матрица. Рассмотрим естественую проекцию
222 Глава 10 где ц{ЛЛ) есть подпространство в Ш.п, порождение строка- строками матрицы Л4. Очевидю, что условия /л(Л4') = ц{ЛЛ) и Л4' = д(Л4) для некоторого д G GL(k,M) эквивалентна. По- Поэтому /i(m/(.M)) = ji{M), если mi(M) G 9#fc,n> в том и только том случае, когда \AAi\ 7^ 0. С другой стороны, последнее усло- условие, как нетрудю видеть, равюсилью тому, что /Д.М) € Ui (см. пример VI в п. 10.11). Определим теперь сечеше тавтологического расслоешя On,k, положив Si}i(L) = (i-я строка матрицы т/(Л4), L), где L = ji{M). Ввиду A0.5) это определение корректю. По построению векторы Siti(L),... ,Sitk(L) пришдлежат L, если L E Ui, и обращаются в н/ль в противюм случае. Как показы- показывает определяющая формула A0.4), все сеченш Sij являются гладкими. 10.13. Подрасслоешя. Говорят, что расслоеше г): Ev —* М является подрасслоетем расслоены тг: Еж —> М (обозшчеше г\ С тг), если (i) Ev — подмюгообразиев Еж; (ii) отображение г\ есть ограшчеше тг ш Ev; (iii) для любой точки х G М слой г\х есть подмюгообразие СЛОЯ ТГа;. Упражшше. Дайте алгебраическое определение подрасслое- подрасслоешя. Примеры. I. Тавтологическое расслоеше шд грассмашаюм (пример VI из 10.11) является подрасслоешем тривиальюго расслоешя Ш.п х GUjk —> GUjk- II. Расслоеше един!чн>1х касательн>1х векторов к сфере (пример IV из 10.13) не имеет собственых подрасслоенш. В свою очередь, ою является подрасслоешем касательюго расслоены шд сферой.
Гладкие расслоешя 223 10.14. Сумма Уитш. По двум расслоешям г\ и С, тд одним и тем же мюгообразием М можю построить ювое расслоеше тг, слой которого тд любой точкой х G М является прямым произведешем слоев двух даных расслоенш: Расслоеше тг традиционо шзывается прямой суммой или суммой Уитш расслоенш г\ и ( и обозшчается г] (В (. Чтобы придать этой конструкции точной смысл, нужю объяснить, каким образом из указаных слоев составляется мюгообразие. Как всегда, есть два способа это сделать. Алгебраическое определение суммы Уитш таково: если два даных расслоешя отвечают расширешям алгебр г : А ^-> В и j : А ^-> С, то их сумма Уитш — это гомоморфизм j : А ^-> В ®А С, переводящий а в аA ® 1) = i(a) ® 1 = 1 ® j(a). Обратим вшмаше ш то, что в определеши участвует тен- зорюе произведеше алгебр В и С, рассматриваемых как моду- модули тд А, a re тд исходном полем. Это озтчает, что умюжеше Ь Е В (соответствен© с € С) m & А определяется естествен- естественном образом как i(a)b (соответствен© j(a)c). йагодаря этому перемюжаются имено слои, а ж тоталыые пространства. Геометрическая конструкция суммы Уитш заключается в следующем. Пространство расслоешя г\ © С, определяется как а проекция — как отображеше, сопоставляющее паре (у, z) точку г\ (у). Упражшше. Проверьте, что оба определешя суммы Уитш эквивалентно, причем слой получаемого расслоешя тд про- извольюй точкой базы х тходится в естественой биекции с мюгообразием г\х х С,х.
224 Глава 10 Полезюе альтерштивюе описаше суммы Уитш состоит в следующем. Отображение Vx(: E11xEc^MxM, (ei,e2) •->¦ (v(ei), C(e2)), является расслоентем со слоем (r)u,?v) в точке (u,v), и, v G М. Диагошль Мд = {(-г,-г) | -г Е М} С М х М является, очевидю, подмюгообразием в М х М. Отображение z н-> (z, z) отождествляет ее с М. Это отождествление, в свою очередь, влечет за собой отождествлеше (гуХ(^)~1(Мд) = E^q . При этом проекция г] (В С отождествляется с г\ х С . xC)-i(M у Проекции pv: Evx Е{ -> Ev и р^:^х^-> ?"с, будучи ограшчеными ш (rj x С)~1(-^д), порождают гладкие сюръективнле отображешя соответствено. Если s G Г(гу ф С)> то> очевидю, s^ = рч о s e r(ry)nsc = p^os e Г(С), причем s(z) = (sv(z), s^z)) e r}zxC,z. Это усташвливает естественую биекцию A0.6) 10.15. Примеры прямых сумм. I. Пусть a: S\ U S\ —> S1, S\ и S^ — копии S1, есть тривиальюе, а /3: 511 —> S1 — нетривиальюе двулистнле шкрытия окружюсти. Обозшчим через А алгебру гладких фужций ш окружюсти, т.е. алгебру гладких периодических фужций ш прямой. В алгебраических термишх отображеше а описывается вложешем г: А —> А (В А, f I—>(/,/), а C описывается вложешем j: А —> А, переводя- переводящим f(x) в fBx). Сделав одинобход вдоль окружюсти-базы и проследив за возшкающеи перестаювкои точек слоя, нетруд- нетрудна убедиться в том, что 1. а® а — тривиальюе 4-листюе шкрытие окружюсти,
Гладкие расслоешя 225 2. а ® C = C © C — 4-листюе шкрытие окружюсти, тотальюе пространство которого состоит из двух ком- компонент связюсти, каждая из которых является нетриви- нетривиальным двулистным шкрытием. Упражшше. Получите тот же результат чисто алгебраически, рассматривая тенюрныепроизведены алгебр А\ и А 2 тд А, где А\ = А2 = А = CCO(S1), причем А\ и А2 рассматриваются как Л-модули со структурой, ищуцированой вложешями г и j. Рис. 10.3. Прямая сумма двух листов Мёбиуса II. Прямая сумма двух листов Мёбиуса (рис. 10.3), рас- рассматриваемых как расслоешя тд окружюстью, тривиалын. Чтобы убедиться в этом, нужю в тривиальюм расслоенш тд окружюстью со слоем Ж2 указать два образующих прямую сум- сумму одюмернлх подрасслоешя, каждое из которых есть лист Мёбиуса. Действителью, пространство этого двумерюго рас- расслоешя диффеоморфю открытому полюторию S1 x D2. Пред- Представляя себе последши вложеным в трехмерюе пространство, выберем в слое тд каждой точкой х G S1 пару перпещи- кулярнлх отрезков, гладко зависящих от ж и расположеных так, что, когда х делает полный обход окружюсти, каждый
226 Глава 10 из этих отрезков поворачивается ш 180°. Эти отрезки опишут два требуемых листа Мёбиуса. III. Покажите, что расслоеше 1-джетов (см. п. 9.28) явля- является суммой Уитнг тривиальюго Мх1->Ми кокасательюго жт* расслоенш (см. п. 9.24). 10.16. Ивдуцированое расслоеше. Если задаю расслоенге тг: Еж ->Ми гладкое отображение мюгообразий /: N —> М, то можю шд каждой точкой у G N «повесить» экземпляр пространства тгд^) ¦ Тэ, что при этом получится, шзывается рас- слоешем, ик)уцированым из тг посредством отображетя /. Приведем два варианта точюго определения, соответствую- соответствующего этой шглядюй картинг. Геометрически пространство ищуцированого расслоешя можю определить следующим образом Проекция /*(тг) задается формулой /*(тг)(у, z) = у. Убедимся, что при этом выполняется локалыня тривиальюсть. Для точки Ь Е N обозшчим а = f(b) и выберем окрест- юсть U точки а в М, шд которой тг тривиалью. Пусть ф: тт~1(и) —> U х F — тривиализующий диффеоморфизм и ф — его композиция с проекцией U x F —> F. Положим ) = (у,ф(г)).Ъгда — послойнлй диффеоморфизм. Огратчете расслоешя тг ш подмюгообразие N С М является простым, ю важнлм частнлм случаем операции ин- дуцировашя. Ою определяется следующим образом: тг ^тг • ж~1(Ю —>• N A0 7) Упражшше. Убедитесь, что тг N = г*(ж), где г: N ^-> М — каюшческое вложеше. Алгебраическое определеше ищуцированого расслоешя заключается в следующем. Пусть г: А ^-> В — расслоеше,
Гладкие расслоешя 227 понимаемое как вложеше гладких алгебр, a ip: А —> А\ — гомоморфизм алгебр, отвечающий гладкому отображение мю- гообразий \(р\: \А\\ —> \А\. ]удем рассматривать А\ и В как А-модули с умюжешем, ищуцированым гомоморфизмами ip и г соответствено. Ъгда ин)уцированое расслоете \ip\*(i) — это естественое отображеше алгебр А1 —> А1 ®а В. Змечаше. Коммутативюсть диаграммы ср А—1L^A1 В Аг®АВ показывает, что поштие ищуцированого расслоешя обобщает сумму Уитш. Упражшше. 1. Докажите эквиваленгюсть алгебраического и геометрического определенш ищуцировансго расслоешя. 2. Покажите, что отюсительюе векторюе поле X вдоль отображешя мюгообразий ip: N —> М (см. п. 9.47) может быть ингерпретироваю как сечеше ищуцированого рассло- расслоешя (р*(тгтм), подобю тому как обыкювеное векторюе по- поле интерпретируется как сечеше Sx касательюго расслоешя (см п. 9.40). 10.17. Примеры. I. Пусть/i — расслоеше листа Мёбиусашд окружюстью A0.11, III), fn: S1 —> S1 —n-кратюе шкрытие окружюсти (считая, что S1 = {z G С | \z\ = 1}, можю положить fn(z) = zn, n E Z). Ъгда если п четю . (Зкесь и шже через 1м обозшчается тривиальюе расслоеше шд М со слоем №.) II. Критерий тривиальюсти в термишх ищуцированых расслоешй. Расслоеше тривиалью тогда и только тогда, когда
228 Глава 10 Рис. 10.4. /*(//) прип = 1, 2, 3. ою может быть получею ищуцировашем из расслоешя тд точкой. 10.18. Определим каютческий морфизм к: -Е"/*^) —> Ew равенством ?c(y,z) = z. Очевидю, к вписывается в следующую коммутатив1ую диаграмму: М т. е. является /-морфизмом расслоешя /*(тг) в расслоеше тг. Вообще, если заданл расслоешя тг шд М яг] тд N и глад- гладкое отображеше /: N —> М, то f-морфизмом или морфиз- морфизмом шд f из г\ в тг шзывается всякое гладкое отображеше
Гладкие расслоешя 229 ф: Ev —> Еж, для которого коммутативш диаграмма Е„ N Ф f ж ¦ М Поштие /-морфизма обобщает поштие морфизмов расслое- шй шд М: последите суть ie что июе, как морфизмы шд отображением id-м- Пример. Отображение ТФ: ТМ —> TN, порожденое глад- гладким отображешем (п. 9.18)Ф: М —> N, является Ф-морфизмом ТТТМ В 1TTN- Пара (/*(тг),гу) обладает следующим ушверсалыым свой- свойством: для всякого расслоешя г\ шд М, заданого вместе с некоторым /-морфизмом ф: г) —> ж, существует едиктвеное гладкое отображеше %, делающее коммутативюй диаграмму М Проверка очен> проста: едиктвеность следует из того, что, пользуясь коммутативюстью диаграммы, можю для про- извольюго у G Ev шйти проекции элемента х(у) ш N и -^тг- Существованже следует из явюй формулы х(у) = (v(y)i Ф(у))- Имеетсяестественоеотображенже /: Г(тг) —> Г(/*(тг)),ш- зываемое отображенжем подъема сечешй . Имено, для всякого s G Г(тг) зшченже сеченжя f(s) в каждой точке у G N есть по определенно зшченже s в точке /(у). Ъчтя формула имеет
230 Глава 10 следующий вид: Сечеше f(s) шзывается поднятием сечетя s вдоль /. 10.19. Регулярнее морфизмы. Если мы работаем с мюго- образиями, точки которых обладают одюй и той же «ветреней структурой», то естествен*) ввести в рассмотрена и связываю- связывающие их морфизмы как отображения, сохрашющие информацию об этой структуре. В самом общем виде эта идея формализу- формализуется выделением следующего класса морфизмов расслоенш. Имено, воспользуемся обозтченшми предыдущего пужта и шзовем /-морфизм ф регуляргым , если для любого z € N отображение слоев фг: r\z —> Tif(z) является диффеоморфизмом. Следующее предложение усташвливает специфику регулярных морфизмов. 'Еорема. Пусть ф: г\ —> тг — регуляртш морфизм расслоетй шд отображетем /: N —> М. Ъгда каютческий морфизм Х- "Ц —>• /*(тг)> описаный в предыдущем пуште, является эквивалетгюстью расслоетй шд N. ¦< Для любого z G N отображение слоев Xz '¦ Vz ~^ f*(^)z, как это следует из конструкции отображения %, каюшчески ото- отождествляется с отображением ф: r\z —> ^f(z) и поэтому является диффеоморфизмом. Из этого очевидным образом следует, что X '¦ Ev —> -Е"/*Gг) — также диффеоморфизм. > Это предложение показывает, что расслоенш, связаные регулярн>1ми морфизмами с даным расслоешем тг, исчерпы- исчерпываются ищуцироваными из iero расслоениями. В связи с этим возникает замашивая идея построить для заданого типа сло- слоев утверсальюе расслоеше , т. е. такое, что все остальные расслоенш с этим же слоем ищуцируются из iero при помо- помощи всевозможных гладких отображений. Зомечателью, что эта идея после надлежащей кожретизации может быть реализова- т. Следующий пример показывает, в упрощеном виде, как это можю было бы сделать.
Гладкие расслоешя 231 Рис. 10.5. Отображеше Гаусса 10.20. Пример (отображеше Гаусса). Пусть М — п-мерюе мюгообразие. Согласю теореме Уитш существует его погруже- ше в Ш2п, т.е. такое отображеше if: М —> Ш2п, что для любой точки z G М дифферещиал dzf>: TZM —> T^^IR2™ является инъекцией. Обозшчим через га, а <Е Ж2п, отображеше сдвига Ш2п ->• Ш2п ш -а: R2n э v ^ v - а е Ш2п, а грассмаюво мюгообразие G2rijn будем пошмать как мю- мюгообразие всех п-мернлх лигейнлх подпространств в ТоШ.2п, О = @,..., 0) е Ш2п. Отображеше Гаусса g: М —> G2n>n сопо- сопоставляет каждой точке zGM образ касательюго пространства TZM при отображеши О lf\ . 1Z1V1 —> 1 QlK Отображеше g естественым образом шкрывается морфизмом расслоешй ^: жТм —> ®2п,п, тдеО2ПуП: Е2п,п ~^ G2n,n — тавто- тавтологическое расслоеше, описаное в примере VI пужта 10.11. В самом деле, если ? G TZM, то <p)(Q,g(z)) e Е 2П}П.
232 Глава 10 Тжим образом, ввиду теоремы 10.19 все касателыые расслое- Н1Я ищуцируются из тавтологического. Этот факт играет важ- 1ую роль в теории многообразий. Например, онлежит в осюве теории характеристических классов.
Глава 11 ВЕКЮРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И ПРОЕКТ1ВНЫЕ МОДУЛИ 11.1. Как было отмечею в предыдущей главе, с точки зрешя мехашзма шблюдаемости слой тд точкой расслоешя опи- описывает «ветренее устройство» этой точки. Это ветренее устройство может иметь собственую математическую структу- структуру. Например, слои касательно го расслоешя обладают есте- ственой структурой линейного пространства, и эта структура имеет очевидней «физический смысл». Действительно, если мюгообразие М есть конригурационое пространство некото- некоторой мехашческой системы (см. п. 9.22), то для фиксированной точки аёМ касателыый вектор интерпретируется как вектор скорости точки системы в конфигурации а. Расслоешя подобно- подобного типа, со слоями — линейными пространствами, шзываются векторными (точное определеше см. в п. 11.2). Ош образуют весьма интересный и важный класс расслоешй. В частности, помимо касательного расслоешя, к этому классу принадлежат такие н/жные для тс расслоешя, как кокасательное и расслое- ше джетов — одиниз основных объектов изучешя совремешой геометрической теории дифферещиалыых уравненш. Векторные расслоешя могут быть алгебраически описаны более простым, чем в общем случае, способом. Оказывается, что при выполгенш некоторых естественых условий регу- регулярности в качестве расширешй алгебр А ^-> В, отвечающих векторному расслоешю, достаточно рассматривать расширешя 233
234 Глава 11 вида А ^-> S(P), где S(P) — полшя симметрическая алгебра некоторого Л-модуля Р, шдлежащим образом пополнения. Тжим образом, изучеше векторных расслоешй шд многообра- многообразием М сводится к изучешю определеного класса модулей шд алгеброй А = С°°{М). Мы шчнем с геометрического определешя векторюго рас- расслоешя. Изучив простейшие свойства векторных расслоешй, мы докажем осювную теорему об эквиваленгюсти поштия век- векторюго расслоешя шд М и конечю порожденого проективю- го модуля шд А и после этого сможем объясшть, как в даном контексте появляются симметрические алгебры модулей. 11.2. Геометрическое определеше векторюго расслоешя. Расслоеше тг: Е —> М со слоем V шзывается вектортым , если 1. V — линейюе пространство (шд Ж); 2. жх — линейюе пространство для любой точки х G М; 3. выполнен» векторюе условие локальюй тривиальюсти : для любой точки х G М шйдется окрестюсть U С М, х G U, и тривиализующий диффеоморфизм if: tt~1(U) —> U x V, литйгый ш каждом слое , т. е. такой, что все отображешя if у : Жу —> V, у G U, линейны. Размерюстью векторюго расслоешя шзывается размер- юсть его слоя. Нульмерюе расслоеше шзывается щлевым и обозшчается Ом- Одюмерюе тривиальюе расслоеше шзы- шзывается едитчгым и обозшчается 1м- 11.3. Адаптирование координ аты в векторнлх расслоен!- ях. Пусть (U, х) — локальшя карта ш М, удовлетворяющая векторюму условию локальюй тривиальюсти 3 определешя векторюго расслоешя 11.2, if: tt~1(U) —> U x V — соответ- соответствующий тривиализующий диффеоморфизм и ? G V. Отобра- жеше очевидю, является сечешем расслоешя тг _. Если v±,..., vm — базис m-мерюго векторюго пространства V, то сечешя ej = sf., 1 ^ j' ^ т, таковы, что для любой точки z G U
Векторнле расслоешя и проективное модули 235 векторы ei(z) = ^(ZjVi),... ,em(z) = ^{z.Vm) образуют базис линейюго пространства тг^1(^) = V. Ниже (см. п. 11.7) будет показаю, что совокупность сеченш произвольюго век- торюго расслоешя тг шд М обладает естественой структурой С°°(М)-модуля, ищуцированой структурой линейюго про- пространства в слоях тгz. Поэтому сказаное фактически озшчает, что для выбраной шми коордиштюй окрестюсти U модуль сеченш расслоешя ж\и свободен и е, = sf., 1 ^ j; ^ то, есть его базис. Пусть теперь z € U я (xi,..., хп) — коордиштн>1е фуж- ции ш U. Дзбая точка у G ttz С tt~1(U) определяется шбором из п + то чисел (х\,..., хп, и1,..., ит), где (х\,..., хп) — коор- дишты точки z, а (г*1,..., ит) — коордишты точки у отюси- т) телью базиса ei\z,...,em\z. Фужции (х±,... , жп, г*1,... ,иг> образуют систему коордишт ш тг-1(?7) и шзываются адапти- роваными коордиштами расслоешя тг. В соответствии с этим карта (тг-1(?7), х\,..., хп, и1,..., ит) ш мюгообразии Е шзы- шзывается адаптированой картой. И шкогец, атлас, состоящий из адаптированых карт, также шзывается адаптировапым . Нетрудю проверить, что если карты (U,x) и (U',x') ш М согласована, то согласована и соответствующие им адапти- рованые карты ш Е. (Читателю рекомещуется сделать эту проверку самостоятелью в качестве упражнешя.) Это, в част- юсти, озшчает, что каждому атласу ш мюгообразии М можю сопоставить адаптированый атлас ш пространстве расслое- расслоешя Е. 11.4. Морфизмы вектор№1х расслоешй. Морфизмом век- торшх расслоешй а: тг —> г\ шд М шзывается гладкое отображеше а: Еп —> Еп, являющееся морфизмом расслое- расслоешй и послойю М-линейюе (т. е. отображеше ах должю быть лигейнлм для любой точки базы х Е М). Мюжество всех мор- морфизмом из тг в гу мы будем обозшчать Мог(тг, rf), а определению таким образом категорию векторнлх расслоешй обозшчим че- через VBM.
236 Глава 11 При локальюм изученш морфизмов удобт такая точка зре- шя: морфизм тривиалыых вектор1ых расслоенш тд М есть IE что июе, как гладкая операторюзшчтя фужция ш мю- гообразии М. Ъчтя формулировка этого утверждения содер- содержится в следующей очевидюй лемме. 11.5. Лемма. Пусть тг: М х V —> М и r\: M x W —> М — тривиалъше расслоетя. Всякому послойюму отображетю ip: M xV —> М х W, литйюму ш слоях, можю сопоставить семейство лишйшх операторов ip: М —> Hom(V, W), полагая по определетю зтчеше оператора <р(х) ш векторе v G V равтым W-составляющей элеметга ip(x,v) G M x W. Ъгда следующие условия эквиваленты : (а) отображете ip гладкое (т. е. ip — морфизм расслое- тй ), (б) отображете (р гладкое (пространство Hom(V, W) т- делею структурой многообразия, как кошчюмерюе веще- ственое лишйюе пространство ). 11.6. Примеры векторнлх расслоешй. I. Расслоеше листа Мёбиуса шд окружюстью, рассмотреное в предыдущей гла- главе (пример 10.11 (III)), можю рассматривать как векторюе расслоеше, если считать его слои одюмернлми линеЙ1ы- ми пространствами. Представляя алгебру фужций ш листе Мёбиуса как подалгебру В С С°°(Ж2), выделеную условием f(x + 1,у) = f(x, —у), мы можем задать это расслоеше вло- жешем алгебр А —> В, которое переводит фужцию / в фуж- цию д, д{х,у) = f(x). ^есь А = {/ е С°°(М) | f(x + 1) = /(ж)} — алгебра гладких фужций ш окружюсти. II. Касательно расслоеше Жт- ТМ —> М (см. п. 9.19). Очевидю, тривиализующие диффеоморфизмы, описаные в п. 10.11 (VII), послойю линейн>1. Поэтому касательно рас- слоеше является векторн>ш. III. Кокасательюе расслоеше тгг*: Т*М —> М (см. п. 9.24). Как и в предыдущем примере, тривиализующие диффеомор- диффеоморфизмы, описаные в п. 10.11 (VIII), очевидю, лшешы.
Векторнле расслоешя и проективное модули 237 IV. Тривиализации, описаные в п. 10.11 (IX), также линей- 1Ы, так что расслоеше /-джетов TTji: JlM —> М — векторюе. Заметим, что для трех последшх примеров специалыые системы коордишт, определеные в пи. 9.19, 9.24 и 10.11 (IX) соответственно, очевидю, являются адаптироваными. Упражшше. Покажите, что отображешя являются векторнлми расслоешями. 11.7. Модуль сечешй векторюго расслоешя. Зомечатель- юй особенностью вектор1ых расслоешй является то, что сово- совокупности их сечешй являются модулями шд алгебрами гладких фужций соответствующих базисных многообразий. Возшка- ющая таким образом связь между векторнлми расслоешями и модулями, к изучешю которой мы приступаем, имеет фуща- менгальюе зшчеше. 31метим сшчала, что мюжество сечешй любого векторюго расслоешя непусто — он> всегда содержит щлевое сечете Sq , определяемое так: для любой точки z?M зшчеше Sq(z) есть н/ль линейного пространства ttz . Используя линейн/ю структуру в слоях 7Га;, в множестве се- сечешй векторюго расслоешя можю ввести операции сложешя и умюжешя ш фужцию: (si + s2)(z) = 8l(z) + s2(z), (fs)(z) = f(z)s(z) для любых сечешй s,Si,S2, любой гладкой фужций / е С°°(М) и любой точки z E М. Из определешя немедленно следует, что сумма двух сечешй и произведеше сечешя ш гладкую фужцию суть сюва (гладкие) сечешя. Эти операции превращают совокупюсть всех гладких сечешй расслоешя тг в С°°(М)-модуль, обозшчаемый Г(тг). В следующей лемме выясшется связь между глобалыым и поточечном подходом к рассмотрешю сечешй векторюго
238Глава 11 расслоены. Как и раньше, через jiz мы обозшчаем максималь- 1ый идеал алгебры С°°(М), определяемый равенством | f(z) = 0} и шзываемый идеалом точки z. 11.8. Лемма. Пусть ж — векторюе расслоете шд мюго- образием М и z G М. Ъгда (а) для любой точки у G irz существует такое сечете s G Г(тг), что s(z) = у; (б) если s G Г(тг) и s(z) = 0, то существуют такие fi G l^z> Si G Г(тг), что s представило в виде кошчюй суммы s = Е fiSi- ¦< (а) Для тривиальюго расслоешя это утверждеше, очевидю, верю. Поэтому в силу локальюй тривиальюсти шд некоторой окрестюстью U точки z существует сечеше s П G Г(тг и I, для которого s u(z) = у. Чтобы получить теперь глобальюе (т. е. определеное шд всем М) сечеше расслоешя тг, обладающее тем же свойством, остается лишь домюжить s и ш гладкую фужцию, юситель которой содержится в U, а зшчеше в точке z равю 1. (б) Сшчала рассмотрим случай тривиальюго расслоены. В этом случае (см. п. 11.3) существуют базиоые сечены ei,..., ет G Г(тг), зшчешя которых в каждой точке z G М образуют базис линейюго пространства nz. Даное сечеше s можю разложить по базису: s = Y^if^i- Из того, что s(z) = 0, следует, что f%(z) = 0 для всех г = 1,..., т, поэтому fi G iiz, что и требовалось. В случае произвольюго рассло- расслоены существуют такая окрестюсть U точки z, такие сечены ei G Г(тг|[/) и такие фунсции fi G C°°(U), что s\v = Ya=i fiei- Выберем гладкую фужцию / G С°°(М) так, что supp/ С U и f(z) = 1. Продолжив фужцию ffi G C°°(U) (сечеше fei G Г(тг „)) тождественым н/лем ш все мюгообразие М, мы получим, очевидю, гладкую фужцию (соответствено се- чеше) ш М. Продолжая обозшчать эти продолжены //ги/е^
Векторное расслоешя и проективное модули 239 соответствено, мы видим, что т и, следователью, г=1 Остается заметить, что фужции 1 — /2, //i, . . . , ffm пришд- лежат jiz. > Доказання лемма допускает следующую компактною пере- переформулировку. Прежде чем ее привести, ншомнш, что после- довательюсть Л-модулей . . . —> J^—i > -П > -гг+1 • • • шзывается точюй в члеш Pi, если Кега, = Imaj_i. Ъкая последовательность шзывается точюй , если точш в каждом члене. 11.9. Следствие. Для любого векторюго расслоешя тг после- довательюсть О -> ^Г(тг) ->¦ Г(тг) ->¦ тгг ->¦ О, гЭе первая стрелка — включете, а вторая сопоставляет всякому сечетю его зтчеше в точке z G М, точш. Следо- Следователью, Г(тг)//^гГ(тг) = ттг. > Напомнш, что всякому элементу h E \А\ сопоставляется идеал jih = ker/i С А. Полученый выше результат мотиви- мотивирует следующее определеше: слоем Ph А-модуля Р шд точкой h E \А\ мы шзывается фактормодуль P/jihP- Зачешем ph элемента р € Р в точке h шзывается образ р при гомоморфизме факторизации Р —> Ph. В случае А = С°°(М), h = hz для z G М мы пишем в этом же смысле Pz = P/jizP и говорим о зшченш pz элемента р G Р в точке ?.
240 Глава 11 Упражшше. Покажите, что для случая алгебры гладких фужций А = С°°(уМ) и Р = D(M), имеет место равенство D(M)Z = TZM и зшчеше векторюго поля X G D(M) в точке z есть не что июе, как касателыый вектор поля X в этой точке (см п. 9.39). (Инлми словами, использование для векторнлх полей обозшчешя Xz в смысле указаного пужта и в смысле предыдущего определены не приводит к коллизии — это одю и то же.) 11.10. Следующий факт оказывается полезном при атлизе структуры модулей сеченш. Предложеше. Пусть сечетя Si,...,Si G Г(тг) таковы, что для любой точки z G М векторы Si(z),..., Si(z) порождают слой ttz. Ъгда эти сечетя порождают и модуль Г(тг). Л Пусть к — размерюсть расслоены тг. Рассмотрим упорядо- ченый шбор целых чисел I = г±,... ,г^, 1 ^ %\ < ... < i\. ^ I и положим Ui = {z G М | Six (z),..., Sik (z) G irz линейю независимы }. Очевидю, что мюжество Ui открыто и сечешя s^ \jjj, • • •, Sik \jjj порождают C°°(Ui)-модуль Г(тг|[/7). Кроме того, [JjUi = М. Действителью, для всякой точки z G М можю из сечешй Si(z),..., Si(z), порождающих слой ttz, выбрать некоторую его базу, скажем Si1(z),..., Sik(z). Это озшчает, что z G Ui. Для любого сечешя s G Г(тг), очевидю, имеет место разло- разложение к а=1 Пусть теперь фужция jii G С°°(М), строго положительтя вн/три Ui и равтя н/лю вне этого мюжества, такова, что фужций \fii\i,i m 0
Векторнле расслоешя и проективное модули 241 являются гладкими ш М. Ъгда фужция ц = ^2j jii всюду положителын ш М и Поэтому s = - у fiis = у —Si. // / ^ / ^ II V I I,i V 11.11. Геометризация модулей. Со всяким Л-модулем Р вд коммутативюй iiT-алгеброй А можю связать геометрический объект \Р\ = U Ph (или \Р\ =\JPZ, если А = С°°{М)), he\A\ z?M естественым образом проектирующийся ш \А\: Л-модуль Ph = P/jihP можю естественым образом рассма- рассматривать и как модуль тд А/ць, т. е. — в силу изоморфизма A/ji h = К — как iiT-модуль. Проекция Tip очень похожа ш расслоеше и, как будет показаю шже, эквиваленгш векторюму расслоешю, если А = С°°(М) и модуль Р когечю порождени проективен По- Поэтому мы будем шзывать её псевдорасслоетем . В случае Р = D(M) каждому элементу X G D(M) можю сопоставить сечеше Sx '¦ z н-> Xz G TZM = D(M)Z касателью- го расслоешя Жт- Очевидю, что эта конструкция юсит общий характер и пригодш для произволь№1х псевдорасслоенш: вся- всякому элементу р G Р можю сопоставить отображение sp: \А\ ->• \Р\, h^ph. Это позволяет шм геформалью представлять себе элементы модуля Р как сеченжя псевдорасслоенш \Р\ точю так же, как элементы алгебры А мы представляем фужциями ш её спектре \А\. Одт из осювных задач даной главы и состоит в том, чтобы показать, что векторнле расслоешя получаются
242 Глава 11 из проективных модулей в результате описаний процедуры подобю, тому как гладкие мюгообразия получаются из гладких алгебр. Отображения вида sp: \А\ —> \Р\ шзываются сечетями псевдорасслоешя Жр. (Заметим, что мюжество |Р|нешделею вжкакой структурой, позволяющей ишче выделить разумный класс среди всех отображений вида s: \А\ —> \Р\, жр о s = id\A\.) Мюжество Г(Р) всех сеченш псевдорасслоешя Жр есть Л-модуль отюсителью естественых операций Ч ^Р1 ' ^Р2 ) ^Р1+Р2 ) Pi ) Р2 ^ -* ) (asp) = sap, pe P. Ъким образом, каждому Л-модулю Р мы сопоставили Л-модуль Г(Р) сечешй псевдорасслоешя Жр. Ъперь одш из целей этой главы может быть сформулироваш более точ- ю: мы хотим доказать, что если А = С°°(М), то для любого конечю порожденого проективюго Л-модуля Р псевдорассло- еше Жр является вектор№1м расслоением, а модули Р и Г(Р) естествен© изоморфны. Упражшше. Докажите, что соответствие Р н-> Г(Р) есть фужтор в категории Л-модулей. З.метим, что если элемент р С°°(М)-модуля Р пришдле- жит (~)z(zM /J>ZP, то его зшченже в любой точке z е М равю нулю. Тжие элементы шзываются твидимыми , хотя точнее было бы шзывать их ттблюдаемыми . Действителью, если р е Р, то р mod nz согласю принципу шблюдаемости интер- интерпретируется как компонента внутреней структуры точки z e M и пришдлежюсть элемента р пересеченно П^ем №zP озшчает принципиальную нешблюдаемость этой компоненты. С°° (М) -модуль Р шзывается геометрическим, если OzeM l1^ = 0, т. е. если Р не содержит нешблюдаемых эле- элементов. Упражшше. Покажите, что геометричюсть Л-модуля Р рав- юсильш тому, что модули Р и Г(Р) изоморфны.
Векторнле расслоешя и проективное модули 243 Алгебраическая переформулировка этого может быть сдела- ш следующим образом. Отображение Г = ГР: Р —> р/ р| цгР = Г(Р) «убивает» невидимые элементы и сопоставляет каждому С°°(М)-модулю Р геометрический модуль Г(Р), который в дальнейшем будет шзываться геометризацией модуля Р. Соответствие Р н-> Г(Р) определяет фужтор из категории Mod C°°(M) всех С°°(М)-модулей в категорию GMod C°°(M) всех геометрических С°°(М)-модулей. В целом ряде задач рас- рассмотрение подкатегории GMod С°°(М) вместо большей катего- категории Mod С°°(уМ) оказывается полезном и эффективном. Упражшше. Покажите, что подкатегория GMod С°°(М) ка- категории Mod С°°(М) устойчива отюсителью операции тен- зорюго произведены и фужтора Нот, а имено пока- покажите, что если Р, Q — геометрические С°°(М)-модули, то и Р ® Q, Hom?? (M)(P, Q) будут геометрическими С°°(М)-модулями. Зшие того, как варьируется слой Р^ в зависимости от точки h Е \А\, дает мюго полезши инрормации о строеши исходюго модуля Р, скажем его особеностейи т. п. Например, мы можем говорить о юсителе модуля Р: где черта озшчает замыкайте в топологии ^рисского. Упражшше. 1. Касательно пространство TZM естествено рассматривать как С°°(М)-модуль, определив операцию умю- жешя правилом (f,g) (->• f(z)?, f G С°°(М), ? e TZM. Пока- Покажите, что юситель этого модуля есть точка z. 2. Покажите, что юситель С°°(М)-модуля D(M,N) (см. п. 9.46) векторнлх полей вдоль подмюгообразия п С М совпадает с N.
244 Глава 11 Указания геометризация Л-модулей позволяет лучше уви- увидеть и пошть структуру различных конструкций линейюй алге- алгебры шд А как в общем, так и в кожретнлх случаях. Например, структуру некоторого гомоморфизма Л-модулей /: Р —> Q можю увидеть, «вычислив» его зтчетя в разнлх точках спектра \А\. Под зшчешем F в точке /i G \А\ понимается отображение фактормодулей Fh'- Ph -^ Qh- Ввиду того что F{jihP) С jihQ, даное определение го- гомоморфизма Fh корректю. В геометрической ситуации, ко- когда А = С°°(уМ), как обычю, используются обозшчешя Fz, Pz, Qz вместо Fhz, Phz,Qhz- 11.12. | P\ как топологическое пространство. Из общих со- ображенш шм хотелось бы рассматривать \Р\ ж просто как мюжество, а как геометрический объект. Прищип шблюда- емости стимулирует шс попытаться интерпретировать \Р\ как iiT-спектр некоторой iiT-алгебры. Пошть, как это делается, можю из главы 9, шдлежащим образом обобщив конструкции, использование при доказательстве того, что кокасательюе мюгообразие Т*М является М-спектром алгебры символов 5*. Ашлиз указаных там конструкций показывает, что естествен нлм кащидатом ш роль такой алгебры является симметриче- симметрическая алгебра S(P*) модуля Р* = Нот^Р, А). По определенно где Sk(P*) — симметрическая тешоршя степени модуля Р*. Заметим, что всякий элемент / G Р* = S\(P*) можю рассма- рассматривать как фужцию ш \Р\, положив /Ы d= ftp) mod fih eA/fih = K, he\A\,pe P. Ввиду того что / — гомоморфизм, это определение корректю. Далее, для элемента /i <g> ... ® fk e (P*)®k, где через (P*)®fc
Векторнле расслоешя и проективное модули 245 обозшчеш к-я тенюртя степени А-модуля Р*, положим (Л ® • • • ® Л)Ы d= ЛЫ • • • • • ЛЫ- е К Эта формула позволяет рассматривать элементы тенюрюго произведенжя (p*)®fe как фужцииш \Р\. Заметим, одшко, что если элемент и € (p*)®fc кососимметричец то u(ph) = О для любого ph Е \Р\. Ишче говоря, такому элементу соответствует фужция ш \Р\, тождествено равтя нулю. Профакторизовав тензорную алгебру (Р*)® = Xlfc>o (P*)®k по ее кососимметриче- ской подалгебре, мы как раз и придем к симметрической алгебре S(P*) и к интерпретации ее элементов, как фужций ш \Р\. Ниже эта идея более деталью обсуждается для модулей тд алгеброй гладких фужций С°°(М). Тш, в частюсти, показы- показывается, что для любого векторюго расслоешя тг пространства |Г(тг)| и Еж совпадают. Обозшчим теперь через J-(\P\) iiT-алгебру фужций ш \Р\, соответствующих элементам алгебры S(P*). Фиксация этой ал- алгебры позволяет превратить \Р\ в топологическое пространство, задав ш нзм соответствующую топологию ^рисского, т. е. считая базисными замкнутыми множествами мюжества нулей фужций из Т(\Р\). Упражшше. Покажите, что отображены Жр: \Р\ —> \А\ я sp: \А\ —> \Р\, р Е Р, непрерывны в этой топологии. Наличие топологии Зфисского ш \Р\ позволяет расширить класс сеченш псевдорасслоенжя ж р. Имено, непрерывное ото- бражеше s: \А\ —> \Р\ шзывается юпрерывшм сечетем псев- дорасслоешя Жр, если Жр о s = id^. Множество всех сеченш псевдорасслоешя Жр обозшчается Г0(Р). Упражшше. Покажите, что структура линейного тд К про- пространства в каждом из слоев Ph С \Р\ ищуцирует структуру Л-модуля в Г0(Р). 11.13. Фужтор сеченш. Сопоставлеше векторному рассло- ешю его модуля сечешй ж н-> Г(тг) следующим образом превращается в фужтор. Пусть a G Мог(тг,гу). Положим
246 Глава 11 r(a)(s) = а о s для любого s G Г(тг). Мгко пошть, что Г(а): Г(тг) —> Г(гу) есть гомоморфизм С°°(М)-модулей, а соот- соответствие а н-> Г(а) обладает необходимыми свойствами: (i) r(id7r) = idr(Tr) для любого тг, (ii) Г(а о /3) = Г(а) о Г(/3) для произвольюй пары морфиз- /- Р ОС MOB С —^ 7Г —> 77- Упражшше. Пусть Р = Г(тг), Q = Г(гу), a € Мог(тг,гу) и F = Г(а). Покажите, что отображеше Fz: Pz —> (^ (см. п. 11.11) каюшчески отождествляется с az: nz —> r\z при отождествлешях Pz = nz, Qz = rjz, описаных в лемме 11.8. Изучеше фужтора Г, связывающего геометрию вектор- 1ых расслоенш с алгеброй колец и модулей, составляет один из осювнлх предметов шстоящей главы. Посредством этого фужтора геометрические свойства расслоенш и операции тд Н1ми исчерпывающим образом выражаются ш языке алгебры. Простейшей иллюстрацией этому служит следующее утвержде- утверждение. Предложеше. Векторюе расслоете ж тривиалью тогда и только тогда, когда модуль Г(тг) свободен А В самом деле, пусть (р: Еп —> М х V — тривиализую- щий диффеоморфизм, а v\, . . . , vn — базис линейюго про- пространства V. Положим 6i(x) = ip~1(x,Vi). Ъгда е\, . . . , ет — базис модуля Г(тг). Если, шоборот, известю, что модуль Г(тг) свободени е\, . . . , ет — его базис, то диффеоморфизм ip: Еж -»Мх Ш.п можю определить так: г=1 Змечаше. Для всякого свободюго С°°(М)-модуля котч- юго типа Р, т. е. модуля, обладающего когечюй системой образующих, существует расслоеше, модуль сеченш которо- которого ему изоморфен В самом деле, свободней С°°(М)-модуль
Векторнле расслоешя и проективное модули 247 paira т изоморфен Г(тг), где тг — расслоеше-произведеше М хГ -> М. 11.14. Проектив1ые модули. Ясю, что модули сеченш век- векторных расслоешй долж1ы обладать некоторой спецификой, проистекающей из того, что все слои каждого отдельного рас- расслоешя одишковы. Её тдо устаювить, поскольку имено ош формализует столь важн/ю для шс гипотезу иденгичюсти вн/- трених структур точек (см. п. 10.1). От, как мы увидим впоследствии, адекватю описывается поштием проективности, к изучешю которого мы сейчас переходим. Модуль Р шд коммутативном кольцом А шзывается про- проективным , если онобладает следующим свойством: для любого эпиморфизма Л-модулей (р: Q —> R и любого гомоморфизма ф: Р —> R существует такой гомоморфизм %: Р —> Q, что ср о х = ф, т. е. диаграмма p X / ф коммутативш. Гомоморфизм % шзывается поднятием ф вдоль (р. Примеры проективных модулей будут приведены ш- же, после доказательства следующего предложешя, в котором собраны важнейшие характеристики проективных модулей. 11.15. Предложеше. Следующие свойства А-модуля Р экви- валенпны : (а) Р проективен; (б) любой эпиморфизм tp: Q —> Р произвольюго А-модуля ш Р обладает расщепленлем, т. е. существует такой гомо- гомоморфизм х '¦ Р ~> Q> что f ° X = idp; (в) Р изоморфенпрямому слагаемому ткоторого свободюго А-модуля;
248 Глава 11 (г) фуштор Нот^Р, •): Q н-> Нот^Р, Q) т категории А-модулей точец т. е. переводит moumie последовательюсти в moumie. Л Докажем, что (а) =>• (б). Достаточна в определенш проектив- юсти положить R = Р и ф = idp. Докажем, что (б) =>• (в). Пусть ip: Q —> Р — эпимор- эпиморфизм некоторого свободного А-модуля ш Р (такой эпимор- эпиморфизм можю построить, взяв, ншример, в качестве Q свобод- свободный модуль с базисом {ер}рер, равюмощным мюжеству Р, и положив (f(ep) = р). В силу (б) существует такой гомомор- гомоморфизм х е Hom(P, Q), что % о <у9 = idp. Ъгда Р = 1т%, a Q = 1т х Ф Кег<у9. В самом деле, любой элемент a G Q представляется как сумма х(<^(а)) + [а — х(<^(а))]; здесь пер- первое слагаемое принадлежит Im%, а второе — Кег<^. Если же а е ImxnKer^, то а = х(р)>Р е Р, иО = if (а) = р(х(р)) = Р- Следователью, а = 0. Докажем, что (в) =^> (г). Заметим сшчала, что для свободюго модуля R фужтор HomA(R, •) точен Это следует из опреде- определены свободюго модуля: гомоморфизм из R в другой модуль одюзшчю определяется своими зшчешями ш базисных эле- элементах, причем эти зшчешя могут быть любыми. Пусть теперь R = Р © Q, а последовательюсть А-модулей точш. Ъгда точш и следующая последовательность H.omA{R,S): > RomA(R: Sk) ->¦ Нопи(Д, Sk+1) ->¦ ..., являющаяся прямой суммой последовательюсти Hoiru(P, S) вида • • • -> Ноту1(Р, ^) -^ Ноту1(Р, ^fe+i) -^ ..., и последовательюсти Hoiru(E,<S), имеющей вид , Sk) -
Векторнле расслоешя и проективное модули 249 Ишче говоря, каждый член последовательюсти Hom^(i?, S) есть прямая сумма соответствующих члеюв последователь- юстей Hom^P, S) и Hom.A(Q,S) и каждый гомоморфизм последовательюсти Hom^i?, S) есть прямая сумма соответ- соответствующих гомоморфизмов последовательюстей Hom^P, S) и Нот. a(Q, S). Остается применить следующее простое утвер- утверждение: прямая сумма двух последовательюстей модулей точш тогда и только тогда, когда точны обе последовательюсти- слагаемые. Наконец, для доказательства импликации (г) =>¦ (а) доста- точю приметать свойство (г) к точюй последовательюсти О—^ Упражшше. Предположим, что Р С R, где Р — проектив- проективный, a R — свободаш модуль. Можю ли отсюда заключить, что R = Р © Q, где Q С R — подходящий подмодуль? 11.16. Примеры проективных модулей. I. Над полем все Л-модули свободн>1 и, зшчит, все проективнл. II. Над кольцом целых чисел Z тоже не существует других проективных модулей, кроме свободных (хотя в этом случае не все модули свободны). В самом деле, Z-модуль — это то же самое, что абелева группа, а любая подгруппа свободюй абелевой группы свободш. III. Простейшим примером проективюго, ю не свободюго модуля может служить группа Z, рассматриваемая как модуль шд кольцом Z©Zc умюжешем (а, Ь) ¦ х = ах. IV. Главным примером проективных модулей для шс будут модули сеченш векторных расслоенш. Об этом говорится шже (теорема 11.32). Упражшше. Опишите проективные модули шд кольцами вы- вычетов Ъ/т Z и шд кольцом матриц.
250 Глава 11 11.17. Подрасслоешя. Говорят, что векторюе расслоеше r\: Ev —> М является подрасслоетем векторюго расслоешя тг: Еж —> М (обозтчеше г\ С тг), если 1. Ev — подмюгообразие в Еж; 2. отображеше г\ есть огрангчеше тг ш Ev; 3. для любой точки iGM слой rjx есть линейюе подпро- подпространство слоя жх. Примеры. I. Нулевое подрасслоеше: пространство расслоены совпадает с образом н/левого сечены. II. Докажем, что касательюе расслоеше двумерюй сферы не имеет одюмернлх подрасслоешй. Для этого предполо- предположим, что такое расслоеше ? существует. Ъгда для гладкой ориентируемой замкн/той кривой Г С S2 можю определить целочисленый ижарианг ^(Г), равн>ш числу полуоборотов, которые делает касателыый вектор к кривой по отюшешю к слою ?. Число и (Г) не мешется при гладкой деформации кри- кривой Г, и метет зтк при изменении ориентации кривой. Пусть Г+ — маленькая положителью ориентирования кривая и Г~ — та же самая кривая с отрицательюй ориентацией. Ъгда, очевидю, ^(Г+) = 2 и ^(Г~) = —2. Но ш сфере кривая Г+ может быть гладко продеформироваш в Г~. Это противоречие доказывает mine утверждение. 11.18. Локальюе устройство подрасслоешй. Пусть в ка- каждой точке zeM задаю лигейюе подпространство r\z слоя тг% . Для того чтобы такое распределеше задавало некоторое под- расслоеше расслоешя тг, н/жю, чтобы, во-первых, мюжество U^eM Vz было подмюгообразием в Еж и, во-вторых, выпол- шлось условие локальюй тривиальюсти для семейства \j]z}- В случае тривиальюго расслоешя тг эти требовашя можю переформулировать в виде следующей несложюй леммы. 11.19. Лемма. Пусть тг: М —> Жп —> М — проекция ш первый сомюжитель и в каждой точке z G М задаю к-мерюе подпространство r\z С тг% = Ш.п. Обозтчим через rj: M —>
Векторное расслоешя и проективное модули 251 GUjk отображете rj(z) = r\z. Ъгда следующие два условия эквивалетггы : (а) семейство {rjz}z&M задает подрасслоете rj С тг; (б) отображете rj гладкое. •^ Докажем, что (б) =Ф- (а). Пусть а € М и е1,...,е& — базис пространства rja. По лемме 11.8, существуют сечешя s±,..., Sfc G Г(т/) такие, что Sj(a) = е,. В силу непрерывюсти сечешй Si шйдется такая окрестюсть U точки а, что век- векторы Si(z),..., Sk(z) линейю независимы при любом z G U. Следователью, векторы Si(z),..., Sk(z) составляют базис про- пространства rjz. Ъгда отображеше rj (в окрестюсти U) можю представить в виде композиции двух гладких отображешй U Э z I—> (si(z),..., Sk(z)) ь-> ?(si(z),..., Sk(z)) e GUjk, где C(si(z),..., Sk(z)J — пространство, штян/тое ш векторы Si(z),..., Sk(z). Следователью, отображеше rj гладкое. Докажем теперь, что (а) =^> (б). Пусть rjz G Gn^ гладко зависит от z. Пользуясь стащартюй системой коордиттнлх окрестюстей ш Gn^ (см. 10.11 (VI)), легко выбрать базис Si(z),..., Sk(z) пространства rjz, гладко зависящий от точки z, если z шходится в некоторой окрестюсти U точки а € М. Определим отображеше (р: U х Жк —> U x W1 по формуле к ip(z, Аь ... Afe) = (z, ^2 ^iSi(z)). г=1 Из линейюй независимости векторов Si(z),..., Sk(z) следует, что (р имеет максимальней ран4. Но тогда по теореме о неявюй фужции (см. теорему 6.23 и замечаше 6.24) образ Im tp отобра- жешя (р в пространстве U x W1 является подмюгообразием. Но это зтчит (по построешю ф), что {rjz}z?M задает подрасслоеше расслоешя тг. > Раскрывая структуру подрасслоешй тривиальюго рассло- расслоешя, лемма тем самым показывает локальюе устройство под- подрасслоешй любого расслоешя. Сейчас мы примешм ее для
252 Глава 11 исследовашя вопроса об условиях, при которых ядро и образ морфизма векторнлх расслоенш ip G Мог(тг, rf) являются под- расслоешями в тг и г\ соответствено. Под ядром (соответствен- ю образом) мы пошмаем здесь мюжество [JzeM Ker ipz С Еж вместе с огрангчешем ш это мюжество проекции тг (соответ- (соответствено мюжество U^eM Im ^ ^- ^v вместе с огрангчешем проекции г}). 11.20. Предложеше. Следующие условия т морфизм век- mopmix расслоетй ip: тг —> г\ тд многообразием М эквива- летггы : (а) dimKer^a; ш зависит от х; (б) dimlm^a; ш зависит от х; (в) Кепр — подрасслоете тг; (г) Im ip — подрасслоете г). ¦< Импликации (в) =^> (а) и (г) =^> (б) очевид1ы. Эквиваленгюсть (а) -Ф=> (б) вытекает из того, что сумма dimKer^a; + dimlm^ всегда постоянн (и равш размерюсти слоя тг). Докажем, что из (б) следует (г). Поскольку утвержде- нге (г) локалью, достаточю доказать его в окрестюсти ка- каждой точки базы. Выберем такую окрестюсть U С М дан- юй точки, что расслоены тг и г\ тривиалыы и, зш- и и чит, можю считать, что мы имеем дело с морфизмом ipu тривиалыых расслоенш, действующим из ТГ[/: U х V —> U в r)u'- U х W —> U. Этому морфизму соответствует гладкое отображеше фи'- U —> Hom(V,W), сопоставляющее точке х оператор (р(х), зшчеше которого ш векторе v G V равю W- составляющей элемента (p(x,v) G Mx W. По условию оператор фх имеет IE зависящий от х ран:, равный, скажем г. Пусть в дан- юй точке a &U векторы v\, . . . , vr таковы, что их образы при (ра линейю независимы. Ъгда из соображешй непрерывюсти в некоторой окрестюсти точки а векторы ipx(vi), . . . , (px(vr) образуют базис Im^, гладко зависящий от х. По лемме 11.19 ((б) =^> (a)) Im ip — подрасслоеше г).
Векторнле расслоешя и проективное модули 253 Теперь примешм предыдущие рассуждешя к выводу им- импликации (а) =>• (в). Если семейство операторов ipx G Hom( V, W) гладко зависит от ж и имеет постояный pair г, то Im^, как элемент грассмашаш Gw,r > гладко зависит от х (в силу леммы 11.19, (а) =>¦ (б)). Заметим, что Кег <^х = Annlm^* (шпомшм, что Annlm(y9* обозшчает анулятор образа ipx, т. е. множе- ство совместных нулей всех фужциошлов из Im tpx). Гладкость семейства (рх следует из того, что компоненты этого операто- оператора равны компонентам (рх (в подходящих базисах). Поэтому Imyj* гладко зависит от х. Остается заметить, что отображеше Ann: Gy*,r -^ Gv,dimV-r, сопоставляющее каждому подпро- подпространству его анулятор, гладкое. > 11.21. Прямая сумма векторнлх расслоешй. В случае век- векторных расслоешй конструкцию прямой суммы (п. 10.14) нуж- ю согласовывать с линейной структурой ш слоях. Говорят, что векторюе расслоеше тг есть прямая сумма двух своих подрас- слоешй ту и С (обозшчеше: тг = г\ ф (), если слой тд каждой точкой базы х G М есть прямая сумма двух подпространств: 7ГЖ = % ф Со;- Если зада№1 два вектор№1х расслоешя г\ и С, тд одшм и тем же многообразием М, то всегда можю построить расслоеше тг, распадающееся в прямую сумму двух своих подрасслоешй, изоморфных г\ и С,. Тшэе расслоеше тг определен» одюзшчю с точностью до изоморфизма; он> шзывается вшшшй прямой суммой или суммой Уитт расслоешй г\ и С, и обозшчается так- также г\(В(. Как и в случае произвольных расслоешй, пространство расслоешя г\ © ( можю определить следующим образом: Епфс = {(У, z)eEvxEc\ v(y) = ф)}, а проекцию — как отображеше, сопоставляющее паре (у, z) точку г\(у). Слой суммы Уитш тд произвольной точкой базы х шходится в естественой биекции с пространством tjx (В Сх', с помощью этой биекции слои (rj © ()х шделяются линейной структурой.
254 Глава 11 11.22. Примеры прямых сумм. I. Пусть М — подмюгообра- зие евклидова пространства Е. Ъгда тривиальюе расслоеше Е х М —> М распадается в прямую сумму двух подрасслое- Н1Й: касательюго Жт' ТМ ->Ми юрмальюго v: NM —> М. Слой vz юрмальюго расслоешя шд точкой zGMno опреде- определенно является ортоготлыым дополнением подпространства TZM пространства TZE, где последнее отождествляется с Е. Лэбопытю отметить, что, ншример, для сферы S2 С Ш3 рас- слоеше v тривиалью, а расслоеше тгг нетривиалью (ибо ою не имеет hi одюго сечены, шгде не обращающегося в н/ль — см. пример 10.11 (III)), так что прямая сумма тривиальюго расслоены с нетривиальном может быть тривиальюй — факт, ш первый взгляд удивителыый. II. Сумма Уитш листа Мёбиуса с тривиалыым одюмер- нлм (едингиым) расслоешем нетривиальш. В самом деле, пространство этой суммы есть произведете [0,1] х IR2 С Ш.3 с отождествлеными точками @,y,z) и (l,—y,z) для любых у, z G Ш.. Это мюгообразие неориежируемо и, следователью, не диффеоморфю S1 x IR2. 11.23. Предложеше. Ели тг = г\ ф (, то Г(тг) = Г(т/) ф Г(С) (прямая сумма подмодулей). < Требуемое утверждение вытекает из ( 10.6) ввиду естествен- юго отождествления Г(т/) х Т(ф) и Г(т/) ф Т(ф). > При исследоваши свойств проективюсти модулей сеченш существеную роль играет следующее 11.24. Предложеше. Всякое подрасслоете векторюго рас- слоетя выделяется прямым слагаемым. < Доказательство осювывается ш одюм стащартюм техни- техническом приеме — введенш скалярюго произведены. Зщать скалярюе произведете ш расслоеши тг — это зтчит, по определению, задать скалярюе произведете в слое шд каждой точкой ieM, причем так, чтобы ою гладко зависело от этой
Векторнле расслоешя и проективное модули 255 точки. Требование гладкости скалярюго произведены мож- ю формулировать так: скалярюе произведете любых двух гладких сеченш должю быть гладкой фужцией. З^мечаше. Изучив конструкцию тенюрюго произведения векторнлх расслоенш (п. 11.35), читатель поймет, что ска- скалярюе произведете ш векторюм расслоенш тг есть не что июе, как гладкая фужция ш мюгообразии Е^®*, огрангче- ше которой ш каждый слой есть положителью определения билинейтя форма. Пример. Скалярюе произведете ш касательюм расслоенш — это римаюва метрика ш мюгообразии. 11.25. Лемма. На любом векторюм расслоенш можю ввести скалярюе произведете. < Для доказательства леммы заметим, во-первых, что ш три- виальюм расслоенш задача решается тривиалью: достаточю в каждом слое взять одю и то же скалярюе произведете. Пусть, далее, {Ui}iei — покрытие мюгообразия М открытыми мюжествами, тд каждым из которых расслоеше тг тривиалью, и пусть Qi — некоторое скалярюе произведете ш расслоенш тг „ . Выберем разбиеше едишцы {ej}je/, подчишное покры- покрытию {Ui}i(zi (см. 4.18), и положим для yi,y2 € тг^ где суммироваше распрострашется ш все ищексы г, для кото- которых х Е Ui. Все необходимые свойства фужции g проверяются непосредствен*). > Продолжим доказательство предложешя. Пусть тг — рас- слоеше тд М и г\ С тг. Выберем ш тг некоторое скаляр- скалярюе произведете д. Рассмотрим в слое тд каждой точкой х G М пространство 7^ — ортоготльюе дополнение к г\ в тг в смысле скалярюго произведены д. Нужю проверить
256 Глава 11 лишь гладкую зависимость г]^г от х. Поскольку это свой- свойство локальюе, здесь можю считать расслоеше тг тривиаль- 1ым, тг: М х V —> М. Ъгда имеем гладкие отображены ц: М ->• GV,fc (см. п. 11.19) и д: М ->• (V ® V)* (скаляр- юе произведете). Обозшчим через N С (V ® V^)* мюжество всех симметрических положителью определеных билинейнлх форм. Спариваше Gy,k x iV —> Gv,n-k, при котором паре (L, if) сопоставляется ортогошльюе дополнеше к L в смысле ска- лярюго произведешя if, есть гладкое отображеше. Наконец, отображеше х н-> гу^- можю представить в виде композиции М -> М х М ->¦ Gv,k x iV ->¦ Gy)n_fc, где первая стрелка — диагошльюе отображение х н-> (ж,ж), вторая — прямое произведете отображений rj и ^, а тре- третья — описание выше спариваше. Следовательно сквозюе отображение гладкое, и ввиду леммы 11.19, предложение дока- заю. > 11.26. Ивдуцированые векторшю расслоешя. Геометри- Геометрическая конструкция ищуцированого расслоешя для вектор- н>1х расслоеши шчем ж отличается от соответствующей кон- конструкции в общем случае (см. 10.16). Приведем одинхарактернлй пример ищуцированого век- торюгорасслоешя. Пусть тг: Е —> М — некотороерасслоеше и тгт*: Т*М —> М — кокасательюе расслоеше его базы. Ъгда сечешя ищуцированого расслоешя тг*(-^) тзываются гори- зоипальтичи 1-формами ш пространстве расслоешя Е (см. п. 11.41). Обратите вшмаше ш то, что Г(тг*(А)) вкладывается в модуль 1-форм ш мюгообразии Е. Следующий факт является одшм из ценгралыых в теории векторнлх расслоеши. 11.27. Ъорема. Всякое векторюе расслоеше со связюй базой ин)уцируется тавтологическим шд шдлежащим мюгообрази- ем Грассмана.
Векторнле расслоешя и проективное модули 257 ¦4 Пусть r\: Ev —> M,dimM = n,dimEv = n + к. Обозшчим через oz: rjz —> Tz{r]z) С TZ(EV) каюшческое отождествлеше векторюго пространства r\z со своим касателыым простран- пространством в н/ле и рассмотрим существующее согласю элеменгарюи теореме Уитш погружеше ф: Еп —> ]R2(n+fc) мюгообразия Е1^ в евклидово пространство. Это озшчает, что все дифферен- дифференциалы <1уф: Ту(Еп) [Ф(у) п+к) yeEv иньективнэ!. Рис. 11.1. Определим отображеше Гаусса д: М —> G2(n+k),k, сопо- сопоставив точке z G М /с-мерюе подпространство касательюго пространства То(Ш.2{п+к)) = Ш2(-п+к\ О = @,..., 0), являющее- являющееся образом подпространства Tz{r]z) С TZ(EV) при отображеши z пошмается как точка мюгообразия Еп — н/левой элемент слоя rjz, a ra: v н-> v — a, a,v,E Ж2(п+к\ является отображешем сдвига пространства IR2(n+fc) ш вектор —а. Ото- Отображеше д шкрывается морфизмом векторнлх расслоешй 7:
258 Глава 11 Очевидю, что для любого z G М отображеше jz является изоморфизмом слоя rjz ш слой в точке g(z) G G2(n+k),k- 'Ео- рема 10.19 теперь показывает, что расслоены п и д*(<с>2{п+к),к) изоморф1ы. > 11.28. Следствие. С°°(М)-модулъ Г(тг),тг: Еж -> М, по- порождается т более чем N сечетями расслоетя ж, где N = N(n, к) — ткоторое штуральюе число, зависящее только от размерюстей слоя и базы (кип соответствен*)) расслоетя ж. А Заметим, что сечены Si^ тавтологического расслоены вТО)ь описание в примере V п. 10.12, удовлетворяют предпо- предпосылкам предложены 11.10. Поэтому сечены f(si}i) любого ищуцированого расслоены /*(@т,г) (см- конец п. 10.16) также удовлетворяют этим предпосылкам и, зтчит, поро- порождают модуль Г(/*@ТО)г)). Но ввиду теоремы 11.27 вся- всякое /с-мерюе векторюе расслоеше шд n-мерюй базой ин- индуцируется некоторым отображешем Гаусса g из тавто- тавтологического расслоены ©2(n+fc),fc- Поэтому сечены ^(s/^), 1 ^ г ^ /с, / = {ii,..., ik} С {1,..., 2(п + к)}, согласю пред- ложешю 11.10 порождают модуль Г(тг). Их число равю, оче- очевидю, кС2/п+к\, и мы можем положить N(n, к) равнлм этому числу. > Мы подготовили все необходимое, чтобы сформулировать и доказать две осювнле теоремы этой главы ( 11.29 и 11.32), в которых дается исчерпывающий ответ ш вопрос об алгебра- алгебраической природе модулей сеченш гладких векторнлх расслое- Н1Й. 11.29. Ъорема. Для любой пары ж, п eenmopmix расслое- тй шд многообразием М фуштор сечетй Г осуществляет взаимю-одюзтчюе соответствие Мог(тг,гу) ^ НотСсо(м)(Г(тг),Г(гу)).
Векторное расслоешя и проективаге модули 259 ¦< Нужю доказать, что для любого С°°(М)-гомоморфизма мо- модулей F: Г(тг) —> Т(г)) существует единственый морфизм рас- слоешй ip: тг —> г], для которого V(ip) = F. Докажем вшчале единственость. Пусть (р,ф G Мог(тг,гу) и V(ip) = Г(^). Это озшчает, что <р,ф" Еж —> Ev, причем ipos = фоз для любого сечешя s G Г(тг),т. e.ip(s(x)) =/ф(з(х)) для любых s Е Г(тг) иж€ М. А поскольку по лемме 11.8(а) любая точка пространства Еж может быть представлеш в виде s(x), отсюда следует, что (р = ф. Пусть теперь дангомоморфизм F: Г(тг) —> Г(т/) и требуется определить соответствующее отображеше (р: Еж —> Еп, т. е. определить его зшчеше (р(у) € Еп для каждой точки у € Еж. Ъчка у лежит в некотором слое: у Е жх. Выберем согласю лемме 11.8(а) такое сечеше s G Г(тг), что s(x) = у, и положим: <p{y)=F{s){x). При этом н/жю проверить: (а) корректюсть определешя, (б) тот факт, что (р — морфизм расслоешй, (в) равенство Т((р) = F. (а) Пусть Si и S2 — два таких сечешя расслоешя тг, что Si(x) = S2(x). Из леммы 11.8F) вытекает, что Si — s2 E /^хГ(тг). Следователью, F(si — s2) E fJ>xF(r]) и F(si)(x) = F(s2)(x). (б) 3;есь заслуживает проверки лишь гладкость отображе- отображешя ip: Еж —> Ev. Достаточю доказать гладкость отображешя (ри = <Р -1(тт\ Для произвольюго открытого мюжества U(lM, шд которым тг и г\ тривиалыы. Для этого заметим, что iPu(t(x))=Fu(t)(x), A1.1) где t G Г(тг „), a Fjj: Г(тг „) —> Г(гу|[/) — локализация го- гомоморфизма F ш подмюжестве U (т. е. по мультипликатив- юй системе фужций, не обращающихся в н/ль в точках U; см. п. 10.6). Далее, выбрав базисы свободных C°°(U)-модулей Г(тг и) и Г(?7 и), мы сможем записать гомоморфизм Fjj с помо- помощью матрицы шд кольцом C°°(U). В силу равенства A1.1) эта
260Глава 11 же матрица есть запись в коордиштах морфизма ipu (см. лемму 11.5). Поскольку элементы этой матрицы принадлежат C°°(U), отображевже ipu гладкое. (в) Для любого s Е Гтг имеем )(*) = {ч> ° s)(x) = <p(s(x)) = F(s)(x), T.e.r(<p)(s)=F(s). > 11.30. Лемма. Ели ip: ? —> тг — морфизм векторных рас- слоетй, причем ipx есть изоморфизм лишйтьх пространств Сх — кх шд любой точкой х G М, то tp — изоморфизм расслоешй. ¦< Для доказательства леммы достаточна проверить гладкость обратюго отображенжя (р~г: Еж —> Eq (все остальюе очевидю). Для этого по теореме об обратюй фужции (п. 6.21) достаточю показать, что дифференциал dy(p в любой точке у G Eq есть изоморфизм касательных пространств. Тш. как размерюсти мюгообразий Eq и Еж равны, то равны размерюсти касатель- касательных пространств ТуЕ^ и Т^у^Еж. Зачит дифференциал dy(p является изоморфизмом, если ониньективен Чтобы убедиться в последнем заметим, что dv[y)Ti о dy(p = dy( так как тг о (р = (. Поэтому v E kerdyip =^> v E kerdy( <^> v E Ty((z), z = ((у). Но ip = tpz есть изоморфизм между слоями (^ и ttz, так что v = 0. Z > 11.31. Следствие. Ели F G НогПG°°(м)(Г(С), Г(тг)) и для любой точки х Е М ин)уцированое отображеше является изоморфизмом лишйтьх пространств, то F — изо- изоморфизм модулей. Л Действительна, чтобы свести это утвержденже к только что доказаной лемме, достаточю заметить, что F = T(ip) для
Векторнле расслоешя и проективное модули 261 некоторого ip G Мог(?,тг), причем Fx = ipx в каждой точке х е м. > 11.32. Ъорема. Ели М — связюе многообразие, то С°°(уМ) -модуль Р изоморфен модулю сечений Г(тг) гладкого векторюго расслоения тг нгд М тогда и только тогда, когда Р кошчю порожден и проективен Л А. Прежде всего вспомнш, что для любого векторюго рас- расслоения тг нгд многообразием М модуль Г(тг) кошчю порожден (следствие 11.28). Б Покажем, что модуль Г(тг) проективен. < Ввиду А существует конечтя система сеченш Si,... ,Sn, порождающая Г (?). Рассмотрим свобод1ый модуль Q paira N, порожденый элементами ei,..., ем, и такой его гомоморфизм F: Q —> Г(^), что F(ei) = Sj, г = 1,... ,N. По построение F — эпиморфизм. 31метим, что Q = Г(т/) для некоторого тривиальюго расслоешя г}, следователью, по теореме 11.29 существует такой морфизм ip G Мог(тг, г)), что F = V(ip). По лемме 11.8 в каждой точке z G М отображение ф% сюръективю, так как F — эпиморфизм. Поэтому применимо предложение 11.20, из которого мы заключаем, что Кег ip явля- является по драсслоешем в г}. В силу предложения 11.24 имеет место прямое разложение г\ = Кег^ф^, где^ — некоторое подрассло- ешев тг. Отсюда по предложешю 11.23 Г(т/) = Г(Кег<^)фГ(^), т. е. модуль Г(^) является прямым слагаемым свободюго мо- модуля. Следователью (см. предложеше 11.15), модуль Г(?) проективен Проверим теперь, что отображеше (р, ограшченое ш про- пространство расслоешя (, осуществляет изоморфизм (тж. Дей- Действительна, tpz: (z —> тГг — линейн>1Й изоморфизм для любой точки z E М, и остается воспользоваться леммой 11.30. Из то- того, что С = тг, вытекает изоморфизм модулей Г(?) = Г(тг) и, тем самым, истиность утверждешя Б >
262 Глава 11 В. Докажем, что всякий проективтый модуль кошчюго типа изоморфен модулю сечешй гладкого векторюго рас- слоешя . < Пусть Р — проективный С°°(М)-модуль конечюго типа. Ъгда (см. предложена 11.15 и замечайте в п. 11.13) можю ншисать Г(т/) = Р' © Q, где г\ — некоторое тривиальюе рас- слоенже шд М, а Р' и Q — подмодули модуля сечешй Г(т/), причем Р' = Р. Поскольку модуль Р интересует шс только с точюстью до изоморфизма, в дальнейшем мы будем писать Р вместо Р'. Обозшчим Pz = {p(z) | р Е Р}. Это IR-линейюе подпро- подпространство в r\z. Ашлогичю определяется пространство Qz. Мы утверждаем, что r\z = PZ®QZ. В самом деле, пусть у G r\z. Возьмем такое сеченже s Е Г(т/), что s(z) = у, и представим его в виде р + q, где р € Р, q G Q. Ъгда у = p(z) + q(z) G Pz + Qz. С другой стороны, предположим, что у G Pz П Qz, т. е. что у = p(z) = q(z), где р G P, q G Q. Ъгда (р — g)(z) = 0 и по лемме 11.8F) Р - Я = для некоторых fi E jiz,Pi E P, qi E Q. Из последнего равенства ввиду соотюшенжя Р П Q = 0 заключаем, что р = У~У /;Р;. Следователью, р(^) = 0, т. е. у = 0. Итак, rjz = Pz (В Qz. Мы хотим убедиться в том, что объединение подпро- подпространств Pz образует подрасслоеше в г}, а модуль Р состоит из его гладких сечешй. Покажем сшчала, что dimPj не зави- зависит от z. Пусть dimPj = г в некоторой точке z Е М я зшчешя сечешй р\,..., рг Е Ръ этой точке порождают Pz. Из гладкости (даже из непрерывюсти) сечешй следует линейшя независи- независимость векторов рг(у), . . . , Рг(у) Для точек у, лежащих в неко- некоторой окрестюсти U точки z. Следователью, dimP^ ^ dimPj. Поскольку такое же рассуждеше приводит к неравенству dim Qy ^ dim Qz в некоторой окрестюсти точки z, ав силу ска- заного выше сумма dim Py + dim Qy постоянн, мы заключаем,
Векторнле расслоешя и проективное модули 263 что dimP^ есть локалью постояння фужция переменой у, т.е. ввиду связюсти М это просто константа. Имея в виду лемму 11.5, докажем теперь, что подпростран- подпространство Pz, как точка в Gy,r, где V — слой расслоешя г], гладко зависит от z (здесь ввиду локальюго характера задачи можю считать расслоеше г\ тривиалыым). В самом деле, выберем ба- базис pi (а), . . . , рг (а) пространства Ра в некоторой точке а Е М. Ъгда векторы Pi(z), . . . , pr(z) составят базис пространства Pz для всех точек z, пришдлежащих некоторой окрестюсти точ- точки а. Тжим образом, семейство Pz локалью обладает базисом, гладко зависящим от z, и, зшчит, является гладким семейством в грассмашане Gy,r- Обозшчим расслоеше, слоями которого являются про- пространства Pz, буквой ж. По построению Р С Г(тг). Докажем обратюе включение. Пусть s € Г(тг) С Г(т/). Найдутся такие элементы р G Р ид G Q, что s = p + q. Поскольку Pz П Qz = 0, из равенства p(z) + q(z) = s(z) следует, что q(z) = 0 для любого z Е М. Поэтому q = 0ns=p<EP. > Итак, Р = Г(тг), и теорема полюстью доказаш. > Змечаше. Приведеное доказательство показывает, что мо- модуль Г(?) проективени в случае, когда базисюе мюгообразие несвязю. С другой сторонл, всякий проективн>ш модуль шд С°°(М) очевидн>ш образом сводится к прямой сумме модулей вида Г(тга), где тга — некоторое векторюе расслоенже шд связ- юй компонентой Ма мюгообразия М. При этом размерюсть расслоешя тга может меняться от компоненты к компоненте. 11.33. Эквивалеиюсть двух категорий. В совокупности две теоремы 11.29 и 11.32 усташвливают эквиваленгюсть катего- категории VBm векторных расслоешй шд мюгообразием М и ка- категории Modpf C°°(M) конечю порожденых проективных мо- модулей шд гладкой алгеброй С°°(М). Этот результат полюстью ашлогичен результату п. 7.19 об эквиваленгюсти категории мюгообразий и категории гладких М-алгебр. Его можю ис- использовать в обе стороны, то есть применять алгебру к геометрии и геометрию к алгебре.
264 Глава 11 Вот пример: для любого векторюго расслоения тг суще- существует такое векторюе расслоеше г\, что расслоеше тг © г\ тривиалью . Этот удивителыый с точки зрены геометрии факт после применены теоремы 11.32 сводится к определенно про- ективюго модуля. Ниже (см. п. 11.38) будет приведен пример утверждения {теюоршй квадрат одюмерюго проективюго модуля шд С°°(М) изоморфен С°°(М)), для доказательства которого, Hi- оборот, уместю использовать геометрические аргументы (вве- деше скалярюго произведены ш пространстве расслоены). В следующих пужтах мы обсуждаем две операции шд векторными расслоениями — тенюрюе произведение и ищу- цироваше — и соответствующие операции шд проективными модулями. 11.34. Предложеше. Теюорюе произведение двух проектив- шх модулей шд коммутатившм кольцом является проек- тившм модулем. < Как известю, для любых Л-модулей Р, Q, R выполняется тождество ЯотА(Р ®А Q, R) ^ ЯотА(Р: HomA(Q, R)), т.е. фужтор Нот а(Р ®Q,-) является композицией фужторов Homyi(P, •) и Hoiru(E, •). Остается воспользоваться эквива- ленгюстью утверждешй (а) и (г) из предложены 11.15. > 11.35. TiiBopiDe произведете расслоешй. Пусть г\ и ( — векторную расслоены шд мюгообразием М. Слоем расслоены тг = т/ (8> С {теюорюго произведения г] и (,) шд точкой z Е М служит, по определенно, лигейюе пространство тг^ = r\z ® (z. Структура гладкого мюгообразия ш пространстве расслоешя Еп = IJ^eM ж% вводится следующим образом. Покроем мюжество Е коордиштн>ши окрестюстями вида тг~1Fг), где U — коордиштшя (т. е. диффеоморфшя W1) область в М, шд которой оба расслоены г\ и С, тривиалыы. Пусть V — «вншиий» слой расслоешя Т), W — «вншиий»
Векторнле расслоешя и проективное модули 265 слой расслоешя (, a ip: rf1 (U) —> U xV яф: С (U) —> U x W — тривиализующие диффеоморфизмы. Карту X:k-\U) -^U x (V®W) построим так. Пусть и Е 7T~1(U). Ъгда и € r\z ® (z для неко- некоторой точки z & М. Отображены (риф, огрангченые ш слой тд z, дают изоморфизмы r\z —> V и (z —> W и, следовательно изоморфизм rjz®(z —> V ®W. Обозшчая образ элемента и при этом изоморфизме через v, положим х(и) = {ziv)- Упражшше. Проверьте, что совокупюсть всех карт описан- юго вида образует гладкий атлас ш Еж. Итак, расслоеше r\ ® С, определею. 31метим, что аксиома локальюй тривиальюсти выполшется для него по построение Через т\®к удобю обозшчать к-ю тежорн/ю степени рас- расслоешя Г]. Пример. тг|? ® тг^« есть расслоеше к раз конграварианпых и I раз коварианпых тензоров. 11.36. Предложеше. Пусть Р и Q — проективтые модули тд коммутативюй алгеброй А, тогда модуль Hom^P, Q) также проективен Он кошчю порожден если кошчю поро- ждеты Р и Q. ¦< Заметим, что если R и S — (когечю порожденые) свобод- нле модули, то Hom^i?, S) также (конечю порожде^ и сво- свободен Действителью, если {г,} и {sj} — свободнэк обра- образующие модулей R и S соответствено, то Л-гомоморфизмы hij G Hom^i?, S), определеные по правилу hij(ri) = SijSj, где Sij — символ Кронекера, суть свободнее образующие e Пусть теперь R и S — свободнее Л-модули, прямыми слагаемыми которых являются Р nQ соответствено. Пусть аР: P^R и /3Р: R^ Р, аР о /3Р = idF, и ашлогичю (Xq, Cq для Q, — инъекция и проекция, реали- реализующие соответствующие разложешя модулей R и S в прямые
266 Глава 11 суммы. Ъгда Л-гомоморфизм ЯотА(Р, Q) э h н-> aQ о h о CР е RomA{R, S) есть вложеше Нот^(Р, Q) в свобод1ый модуль Hom^i?, S), образ которого вместе с ядром проекции HomA(R, S) Э Н ^ j3Q о Я о аР е Homyi(P, Q) реализуют Homyi(P, Q) как прямое слагаемое в свободюм Л-модуле Hoiru(i?, 51). > Имеется естественое отображеше L-.P*®AQ^RomA(P,Q), гдеР* =RomA(P,A), A1.2) определяемое равенством i(p* ® ?)(р) = Р*(р)ц- В случае когда модули Р я Q проективнл и конечю порождена, ь является изоморфизмом. Этот факт очевидном образом доказывается для когечю порожденых свобод1ых модулей. На произвольнее конечю порожденые проективную Л-модули онпереюсится рассуждешем, подобн>ш использованому при доказательстве предложены 11.36. 11.37. Со всяким векторнлм расслоешем ( можю связать двойственое расслоеше (*, слой Q в точке z & М которого есть векторюе пространство, двойственое к (z. Аккуратюе построение специальюго гладкого атласа ш Eq* = \_}Z&M С* и тривиализующих диффеоморфизмов повторяет практически до- словю построение кокасательюго расслоешя по касательюму пространству (см. п. 9.24) и поэтому опускается. Пример, тгу = тгг*. Для всякого векторюго расслоешя ? определею естествен- юе спариваше ,ПС)) -. сг(м), (S, s*)(z) d=f Ш, s*(z)), s е Г(С), s* е Г(С), z e м.
Векторнле расслоешя и проективное модули 267 Упражшше. Воспользовавшись условием локальюй триви- альюсти, входящим в определеше расслоешя, покажите, что (s,s*)(z) действителью есть гладкая фужция. Это спариваше в случае ? = тгтм превращается, в силу равенства {тгтм)* = тгт*м, в спариваше Метрика ш С, позволяет отождествить С, и ?* для любой точки гбМ. Лмма 11.30 позволяет ввиду этого утверждать, что векторнле расслоешя С и С* изоморфвы. Действуя абсолютю в этом же духе, для пары векторнлх расслоеши г\ и С, можю построить расслоеше Hom(ry, Q, слой которого в точке z G М есть HoniR^,^). Конструкция по- повторяет ашлогич1ую для тенюрюго произведешя расслоеши (п. 11.35). Если же воспользоваться естественым изоморфиз- изоморфизмом векторнлх пространств Hom^(r]zXz) = vt ® Cz, то су- ществоваше векторюго расслоешя Hom(ry, () можю доказать исходя из существовашя расслоешя rj* ® (, вытекающего из сказаного выше и из п. 11.35. 11.38. Пример. Ънюрнлй квадрат листа Мёбиуса, рассма- рассматриваемого как одюмерюе векторюе расслоеше шд окружю- стью (пример 11.6 (III)), есть I^i — тривиальюе одюмерюе расслоеше. Этот результат можю или гепосредствено полу- получить из конструкции листа Мёбиуса и определешя тенюрюго произведешя (рекомещуем читателю это проделать), или вы- вывести из следующего более общего факта: теюортый квадрат любого одюмерюго расслоетя изоморфен едитчюму рассло- расслоению. Для доказательства н/жю воспользоваться упомян/тыми выше изоморфизмами Но расслоеше Нот(?, Q для одюмерюго ? тривиалью: диф- диффеоморфизм (р~г: М х № —> -Енот(с,С)> обратили тривиализую- щему, можю задать формулой if-1 (а, Х)у = Ху для всех a G М, Хеш, у еЕп.
268 Глава 11 Заметим, ткетец, что тенюрюе умюженже определяет ш мюжестве классов изоморф1ых одюмер1ых векторных рас- слоевжй V1(M) шд мюгообразием М структуру группы. По- Порядок любого нзединжчюго элемента этой группы равен2. Тис, шпример, V1(S1) = 7L>2, причем два элемента этой группы реализуются цилищром и листом Мёбиуса. В следующей теореме усташвливается естествення связь фужтора Г с фужторами ® и Нот. 11.39. Ъорема. Фуштор Г сохраняет теюорюе произведе- произведете и фуштор Нот, т. е. Г(Нот(тг,гу)) ^ НотСсо(м)(Г(тг),Г(гу)) для любых двух вектортых расслоений тг и г\ шд мюгообрази- мюгообразием М (здесь и ниже memopmie произведения С°°(М)-модулей берутся шд кольцом С°°(М)). А Естественые изоморфизмы Нот(тг, г,) ^ тг* ® ту, НотСсо(м)(Г(тг), Г(т/)) ^ Г(тг* ® Г(т/) (см. п. 11.36) вместе с естествеными отождествленжями ж** = тг, Г(тг)** = Г(тг), показывают, что утвержденже тео- теоремы достаточю доказать только для тензорюго произведенжя. Мы построим отображенже из Г(тг) ® Г(гу) в Г(тг ® rf) и по- покажем, что ою является изоморфизмом. Пусть s G Г(тг), t G T(rj). Определимсеченже s<S>t G Г(тг®гу) формулой (s ® t)(x) = s(x) ® t{x). Из конструкциирасслоенжя тг ® г\ легко видеть, что таким образом определеное отображе- Hie s®t есть гладкое сеченже расслоенжя тг ® г\. Очевидю, что сопоставленже паре (s, t) сеченжя s®t гомоморфю по обоим ар- аргументам и, следовательно, определяет гомоморфизм С°°(М)- модулей ь: Г(тг) ® Г(т/) —> Г(тг ® rf). Рассмотрим зшченже этого гомоморфизма в некоторой точке х € М Вернемся к гомомор- гомоморфизму 6,
Векторнле расслоешя и проективное модули 269 и покажем, что он является изоморфизмом линейных про- пространств. Заметим, что ta;(Es« ® U}) = ^2^г(х) ® U(x), где квадратные скобки обозшчают класс элемента в факторпро- странстве. А. Сюръективюсть ьх. Произвольный элемент пространства ъх ® г)х имеет вид ^у%® zi} yi Е жх, Zi Е г}х. По лемме 11.8(а) существуют сеченжя S; € Г(тг), U € Г(т/), зшченжя которых в точке х суть соответствен!) у г и z^. Ъгда ta;(Es« ®ti\) = Б Иньективюсть ьх. Нужю доказать, что если S; G Г(тг), U Е Г(т/) и ^Sj(x) ® U(x) = 0 в пространстве жх ® г]х, то шйдутся такие сеченжя pi G Г(тг), ^ € Г(т/) и фужции /j G /ix, что XIs? ® ^ = Z1/«P« ® & в Г(тг) ® Г(т/). В следующей лемме выясшется структура нулевых элементов в тешорюм произведенжи линейных пространств. 11.40. Лемма. Пусть V и W — литйтые пространства шд одшм и тем же полем, Vi G V, Wi G W — тщлевые векторы и X^i vi ® w% = 0 в V ® W. Ъгда шйдутся такое ттуральюе число к, 1 ^ к ^ т, и такие элеметгы поля ац, 1 ^ г ^ к, к < j ^ т, что после некоторой перещмерации одюй и той же для Vi и Wi, будут справедливы равенства к г=1 т dijWj, i = 1,..., k. j=k+i < Действителью, если элементы v\,. . . , vm линейю независи- независимы, то из равенства ^) v^ ® Wi = 0 следует, что все Wi равны 0. В противюм случае выберем из v\,. . . , vm максимальную линейю независимую систему. Пусть это будет V\,. . . , г>&. Для j = k + 1,..., т запишем разложеше по этому базису:
270Глава 11 j=k+l i=l т J J / j=k+l Отсюда Wi = — YlT=k+i aijwii и лемма доказаш. > Применим лемму в ситуации, сложившейся у тс при дока- доказательстве теоремы. Получим и Отсюда т г=1 т / j i'j j=k+l к к т j=k+l т m к j=k+l i=l г=1 j=k+l что и требовалось доказать. Итак, ь — изоморфизм в каждой точке х € М. Из этого мы хотим, пользуясь леммой 11.30, заключить, что ь — изомор- изоморфизм модулей. Но оба модуля, фигурирующие в этом следствии, должнл быть модулями сеченш некоторых векторнлх расслое- нш. В рассматриваемой ситуации сомштелыый в этом смысле модуль Г(тг) ® Г(т/), очевидю, конечю порождени в силу те- теоремы 11.32 и предложения 11.34 проективен Следователью, по осювюй теореме 11.32 он изоморфен некоторому моду- модулю сеченш, и упомян/тое следствие к нему применшо. Это завершает доказательство теоремы. >
Векторнле расслоешя и проективное модули 271 11.41. Дифферещиалыые 1-формы, ^фиксируем много - образие М. Модуль гладких сеченш Г(тгт*) расслоешя тгт* = тгт*м тзывается модулем дифферещиалыых 1-форм многообразия М и обозшчается Л1 (М). Элементы этого моду- модуля, т. е. гладкие сеченжя расслоешя тгт*, шзываются диффе- рещиалыыми 1-формами ш многообразии М. Согласюп. 9.25 всякой фужции / € С°°(М) соответствует сечеше sdf:M^T*M, sdf(z) = dz(f). Сечешя такого рода шзываются дифференциалами гладких фужции, и это простейшие примеры дифферещиалыых форм. На всякий элемент С°°(М) -модуля А1(М) можю смотреть с двух точек зрешя — геометрической, рассматривая его как отображеше из М в Т*М, удовлетворяющее определеным условиям, или сугубо алгебраической, забывая про эту его геометрическую природу. Чтобы подчеркн/ть фиксацию точки зрешя, мы будем для дифференциала фужции / использовать обозшчеше Sdf, рассматривая его как сечеше, и обозшчеше df, рассматривая его как элемент модуля А1(М). Как следует из упражнешя п. 9.22, отображеше является дифферещировашем алгебры С°°(М) со зшчешя- ми в С°°(М) -модуле А1(М). Ою шзывается ушверсалъгым дифферещировашем. Смысл этой терминологии станет ясен из дальнейшего. Пусть теперь (U, х) — некоторая карта ш М и (тг^» (U), Т*х) — соответствующая ей специальшя карта ш Т*М. Напомшм (см. п. 9.24), что через Т*х обозшчается система коордишпых фужции {xi,pj}, где Хг для (z, в) Е T*U есть г-я коордишта точки z, a Pj — j-я компонента в разложеши ковектора в по базису dxi. В пределах этой специальной карты всякое
272 Глава 11 гладкое сечеше s имеет коордиштюе представлеше mepj(x) e C°°{U). Сечеше sdXi e F(T*U) = A\U), как и вы- выше, будем обозшчать через dxi. Из сказаного следует, что сече- Н1Я dxi, г = 1,..., п образуют базис свободного C°°(U)-модуля A1 (U). В частюсти, поскольку ограшчеше любой дифферен- циальюй формы ш G Л1(М) ш U есть дифферещиалыня форма из A1 (U), то в пределах этой карты ее можю предста- представить в виде о; = ^2ipi(x)dxi. Для дифферещиала df, очевидю, имеем г\ р (см. упражнеше из п. 9.25). Поскольку векторнле поля можю интерпретировать как сечешя касательюго расслоешя (см. п. 9.40), то согласю определешю модуля дифференциальных форм спариваше можю пошмать как спариваше (D(M),A\M)) A1.3) Возвращаясь к локальным коордиштам, шпомшм, что для любой точки z E U С М базис dzxi,..., dzxn лишйюго про- пространства Т*М по определешю является двойственым к базису д д г' ' Охп z лигейюго пространства TZM. Поэтому если в специальных локальных коордиштах X = ^2аг(х)— и =
Векторное расслоешя и проективаге модули 273 то ограничение (Х,ш) v результата спаривашя A1.3) фор- формы и и векторюго поля X т область U есть фужция Х1г агРг{х) е C°°(U). В частюсти, для ш = df имеем 11.42. Ушверсальюе дифферещироваше. Вышемыизме- шли шшим прищипам, дав описательюе, a ie кощептуальюе определение модуля дифферещиалыых 1-форм А1(М). Сей- Сейчас это прегрешеше будет исправлен). Пусть 9Я — некоторая категория модулей тд алгеброй А. Пара (<5, Л), где Л — объект 9Я и 5 G -О(Л), шзывается универ- универсальным дифференцированием в категории 9Я, если для любого модуля Р из 9Я соответствие Нопи(Л, PKh^ho5e D{P) усташвливает изоморфизм Л-модулей Homyi(A, Р) и D(P). Предложеше. Ушверсальюе дифферещироваше одюзшчю с точюстью до изоморфизма, т. е. если (<5',Л') — другое ушверсалъюе дифферещироваше, то существует такой изо- изоморфизм А-модулей 7: Л —> Л', что 5' = 7 ° S. А Ввиду ушверсальюсти S существует такой гомоморфизм 7: Л —> Л', что 5' = 7 ° <5- Ашлогичю, 8 = ^' о 8' для не- некоторого 7' Е Hoiru(A', Л). Поэтому 8 = ^' о^ о 8 я!т8 СЛО, где Ло = {и Е Л | 7'(тМ) = w} С Л. Пусть а: Л —> Л/Ло — естествення проекция. Ъгда, очевид- ю, 0 = а о 8 Е D(A/A0). Поэтому а = 0 ввиду ушверсаль- юсти 8. Но так как а — сюръекция, последнее озшчает, что Л = Ло и, следовательно 7'°7 = ^л- Симметричю, 7' ° 7' = i^AS и, зшчит, 7 и Т' — взаимю обратную изоморфизмы. >
274 Глава 11 11.43. Ъорема. Пара (d, Л1(С0О(М))) является ушвер- салыым дифференцированием в категории геометрических С™ (М)-моду лей. Л Рассмотрим естественый гомоморфизм Г]Р: Нотс<х,(м)(Л1 (М), Р)->.D(P), Ы/го d, и покажем, что он является изоморфизмом, если модуль Р геометричен Построим с этой целью обратили гомоморфизм иР: D{P) -> Horn^^A^M),^, X » hx. Для этого шм пошдобится тот факт, что всякая форма и Е А1(М) представима в виде и = J2ifidgi, который неза- независимо доказывается нгже (следствие 11.49). Положим и докажем корректюсть этого определены. Пусть z Е М и / = Ysici9i> гДе с% = fi(z) очевидю, uz = J2icidz9i = dzf.Кроме того, hx(u)(z) = ¦у- 3;есь Xz обозшчает композицию С°°(М) —> Р —> Pz (см. конец п. 11.11), поэтому зшчеше hx(oo) в произвольюй точке z Е М определен) корректю, т. е. не зависит от выбора представления ш = J^j f%dg%. Тш. как модуль Р геометричец отсюда следует, что hx(oo) определен) корректю. Если ш = dg, то, согласю определенно, hx(dg) = X(g), т. е. X = hx ° d 45 г]р о up = [д.щру Если же X = h о d, то т. e. hx = h <^> up о r\p = \д.щр). > Доказання теорема определяет спаривайте A) -. Р, (и,Х) » hx(u).
Векторнле расслоешя и проективное модули 275 Его результат удобю записывать в виде ш(Х) = hx(oo). Упражшше. Покажите, что для Р = С°°(М) это спаривавже совпадает с введеным в п. 11.41. 11.44. Дифферещиалыые формы кощептуалью. Дока- Доказания теорема показывает, каким долженбыть «правилыый», т. е. кощептуалыый подход к теории дифферещиалыых форм тд произвольюй алгеброй А. Имено, дифферещиалыые 1-формы следует поншать как элементы Л-модуля Л, который является областью зтченш унжверсальюго дифферещирова- Н1Я 5: А —> А. Этот модуль, и это очень важю подчеркнуть, зависит от выбора категории 9Я Л-модулей (см. п. 11.42) и ш- зывается представляющим объектом для фужтора D в этой категории. Упражшше. Приведите пример категории С°°(М)-модулей, в которой фужтор D нзпредставим, т. е. ie допускает ушвер- сальюго дифферещировашя. В категории всех Л-модулей шд произвольюй коммутатив- юй iiT-алгеброй А фужтор D представим. Соответствующее ушверсальюе дифферещироваше обозшчим Доказательство его существования — типичюе теоретико- категорюе рассуждеше. Имено, рассмотрим свободней Л-модуль Л, порождений всевозмож№1ми символами da, a G А. Пусть Ло — его подмодуль, порождений всевозмож- всевозможными элементами вида d(ka) — kda, d(ab) — adb — bda, k e K, a,b e A. Ъгда Aaig(A) = Л/Ло и dgigu = da mod Ло, а е A. Если A = C°°(M), то Aalg(A) ^ A1(M). Например, если M = Ж, то da\gex — exda\gx 7^ 0. Можю, одшко, доказать, что А1(М) является геометризацией модуля Aa\g(A).
276 Глава 11 Атлогичнле факты имеют место и для других фужторов дифферещиальюго исчислешя. Для фужтора Diff; ohi обсу- обсуждаются шже. 11.45. Поведете дифферещиалыых форм при отображе- ши мюгообразий. Пусть F: М —> N — некоторое отображе- ше мюгообразий. Заметим, что композиция doF*: C°°(N) ->Аг{М) является дифферещировашем алгебры C°°(N) в C°°(N) -мо- -модуле Л1 (М). Напомнш, что структура С°°(N)-модуля в Л1 (М) определеш умюжешем (/,и) » F*(f)u, f e C°°{N), и е А\М). Упражшше. Докажите, что отюсителью так введеного умюжешя А1(М) является геометрическим C°°(N)-модулем. Поэтому согласю теореме 11.43 существует такой гомомор- гомоморфизм C°°(iV)-модулей что hdoF* ° d = d о F*. Для краткости будем обозшчать также через F*. Тжим образом, определею М-линейюе ото- бражеше обладающее следующими свойствами: (i) F*od = doF*; (ii) F*{fu) = F*{f)F*{u), если / e ^(N), ш е A Согласю (i) и (ii) если и = i i Упражгенш. Покажите, что l.G*oF* = {Fo G)\ если L Д М Д N; 2. (F*) = (F-1)*; 3. F*(u))z(?,) = u)F(z)(dzF(^)), или, что эквиваленгю, F*(u)z = (dzF)*(uF{z)),
Векторное расслоешя и проективное модули 277 11.46. Алгебры джетов Jl (M). Теперь мы вернемся к случаю А = С°°(уМ) и по ашлогии с дифференциальными 1-формами определим для каждого штуральюго I С°°(М) -модуль JJl(M) как модуль сечешй векторюго расслоешя TTji: JlM —> М (см. пример IX п. 10.11). Элементы этого модуля шзываются l-джетами ш мюгообразии М. Согласюп. 9.65 всякой фужции / € С°°(М) соответствует сечеше зШ): М ->¦ JlM, z^[f}lz. Сечешя такого рода шзываются l-джетами гладких фужций. З.метим, что операция умюжешя в алгебре С°°(М) ищу- цирует структуру алгебры в каждом из слоев расслоешя Tiji. Действителью, пусть z <E M, f,g e С°°(М) и/iG jJz+1. Ъгда 19 = f(g + h) mod jilz+1. Поэтому формула [f]lz ¦ [g]lz d= [fg]lz корректю определяет произведеше элементов слоя J\M. Это умюжеше ищуцирует в JJl(M) = FGTji) структуру С°°(М)-алгебры. Наличие умюжешя позволяет, в частюсти, дать более про- простую и шглядную интерпретацию записи джетов в коордиштах. Положим 5xi = ji(xi) — Xiji(l) и 5а = 5х^ ¦ ... ¦ 5xik, если а = (ii,..., ik), 0 < |<т| ^ I. Положим также <5ж0 = ji(l). Ъгда сечешя 5а, а\ ^ I, образуют базис расслоешя Tiji шд U. Это сразу же следует из того, что /-джеты полиюмов (х — z)a, а\ ^ I, образуют базис в JlzM. Итак, всякий джет порядка I ш мюгообразии М в специальюй системе коордишт, соответствующих локальюй карте (U, х), может быть записан в виде Х!ы^г otadx'7. 11.47. Алгебры джетов J\M) как представляющие объек- объекты. По отюшешю к дифференциальным операторам ш алге- алгебре С°°(М) алгебры джетов J\M) играют роль, аналогичную роли модуля дифференциальных форм А1(М) по отюшешю к дифференцированиям. Схема рассуждешй, используемая для доказательства этого факта, почти дословю повторяет исполь- использованию шми в п. 11.41.
278 Глава 11 Сбывая о том, что модуль Jl{M) определен тми как модуль сеченш расслоены JlM, и рассматривая его элементы с чисто алгебраической точки зрешя, будем обозшчать джет фужции / е С°°(М) через jt(f). 11.48. Ъорема. Существует такой кошчтш шбор фушций /i, • • •, fm е С°°(М), что l-джеты ji(fi),... ,ji(fm) порожда- порождают С°°{М) -модуль J\M). < Если М = Жк, то в качестве таких фужций можю взять все моюмы вида ха, \а\ ^ I, где х — стащарття декартова карта в Жк. В общем случае рассмотрим для подходящего к какое-шбудь погружение F: М —> Жк (теорема Уитш). Ъ- гда система фужций F*(xa), \а\ ^ I, обладает требуемым свойством. Действительна, ввиду следствия 11.28 достаточна показать, что для любой точки z & М /-джеты [F*(xa)]lz поро- порождают JlzM. Но поскольку F — погружение, дифферещиал dzF иньективец так что (dzF)* — сюръекция. Поэтому среди дифференциалов dzF*(xi), г = 1,..., к, шйдется п = dimM независимых, скажем ^^(^i),..., dzF*(xn). Поэтому фуж- фужции F*(xi),..., F*(xn) будут образовывать систему локалыых коордишт вблизи точки z. Как показывает следствие 2.9 из обобщеной леммы Адамара, их моюмы степеш ^ I порожда- порождают JlzM. > 11.49. Следствие. Существует такой кошчтш шбор фуж- фужций /i,..., /т из С°°(М), что дифферещиалы dfi,..., dfm порождают С°°(М) -модуль А1(М). А Рассмотрим фужции такие /i,..., fm, что их дифферен- дифференциалы порождают 171(М). Ъгда их дифферещиалы поро- порождают А1(М). Действительна, каюшческое прямое разложе- Hie JlM = 1© Т*М (см. следствие 9.27) показывает, что расслоеше TTji является прямой суммой Уитш расслоешя 1м: М х № —> Ми Жт*. Поэтому, переходя к модулям их сеченш, мы видим, согласю предложению 11.23, что J\M) =С0О(М)фЛ1(М).
Векторнле расслоешя и проективное модули 279 Следователью образы элементов, порождающих 1/1(М), при проекции J1 (М) —> А1(М) порождают Л1 (М). Осталось заме- заметить, что образом ji(f) при этой проекции является df. > 11.50. Предложеше. Ж-гомоморфизм jr. C°°(M) -> Jl{M), f h~? ji(f)> является дифферещиалъшм оператором порядка I, т. е. удовлетворяет определению 9.57. •^ Нам нужю доказать, что для любых фужций д0,... ,gi вы- выполнен) равенство Eдо о ... о 8gi) (ji) = 0. Пусть в G Jl(M) и Ъгда Sg(A)(f) = в ¦ 3l{gf) - дв ¦ jt(f) = в ¦ л(д) ¦ jt(f) - в ¦ 9Jl(f) = Ш -gjiO)] ¦ о ¦ ji(f) = Sfa) ¦ в ¦ jt'~ где Si(g) = [ji(g) - gji(l)}. Поэтому [fto ° • • • ° К) (Л)] (/) = 5i(go) ¦¦¦¦¦ Искомый результат вытекает из того, что ^(^о) ¦ • • • ¦ $i(9i) = 0- Для его доказательства заметим, что образ элемента Si(g) при естественой проекции j\m) -, j°(m) = с°°(м), Ш) ^ Mf), равен 8о(д) = 0. Это озшчает, что зшченже сеченжя $i(g) в любой точке z & М принадлежит fizJlzM = jiz/ji1^1. Поэтому Ъким образом, Si(go) ¦... ¦ Si(gi) — нулевое сеченже расслоешя ж ji, т. е. нулевой элемент модуля J\M). > Оператор^: С°°(М) —> J\M) шзывается утверсальгым дифференциальным оператором порядка ^ I m мюгообра- зии М. Смысл слова «унжверсальный» станзт ясениз дальней- дальнейшего.
280 Глава 11 Если Р — геометрический С°°(М)-модуль, то определен) естественое спаривайте Действителью, пусть Д е Diffy P, в е Jl(M), z е М и / е С°°(М) — такая гладкая фужция, что в(^) = [/]!,. Положим (Д, е)(г) = Д(/Hг) G Рг. В силу следствия 9.64 (Д, в)(^) не зависит от выбора фужции /. Упражшше. Покажите, подобю тому как это сделаю при доказательстве теоремы 11.43, что совокупность A(/)(z) € Pz определяет элемент (Д, в) € Р. Произвольному оператору Д G Diff^ P можю сопоста- сопоставить гомоморфизм С°°(М)-модулей /гд: J\M) —> Р, поло- положив /гд(в) = (Д, в). Как следует из определения спаривашя, (A,ji(f)) = Д(/). Поэтому, очевидю, ji о /гд = Д. С другой сторонл, если /г: J\M) —> Р — произвольней С°°(М)-гомо- морфизм, то композиция будет, согласю 9.59, 9.67, дифферещиаль№1м оператором по- порядка ^ I. При этом, очевидю, h/\h = h. Итак, шми доказаю следующее важюе 11.51. Предложеше. Для любого геометрического С°°(М)- модуля Р соответствие HomCco(M)(^(M), PKh^hojte Diff, P определяет естественый изоморфизм С°°(М)-модулей (M)(J^l(M), Р) = Diff г Р. Ишче говоря, фу штор в категории геометрических С°°(М)-модулей предста- представим и геометрический С°°(М)-модуль Л\М) является для тго представляющим объектом. > Это предложеше объясняет, почему дифферещиалыый оператор ji: С°°(М) —> JJl(M) шзывается ушверсальнэтм.
Векторнле расслоешя и проективное модули 281 Заметим, что здесь, по тем же причишм, что и в случае диффе- рещиалыых форм, предположена о геометричюсти Р весьма по существу и без него предложение 11.51 не верю. Зачевже предложения 11.51 состоит еще и в том, что ою указывает, как правилью ввести поштие джета в диф- ферещиальюм исчислении шд произвольюй коммутативюй iiT-алгеброй А. Для этого, прежде всего, тдо выбрать соот- соответствующую категорию Л-модулей, скажем 9Я (см. п. 11.42) и затем определить модуль /-джетов Jl(flKA Упражшше. Опишите модули джетов ш кресте J7"'(K). 11.52. Зичеш колец. Для того чтобы перевести ш алгебраи- алгебраический язык конструкцию ищуцированого расслоешя, необ- необходимо пошть, какие связи между модулями шд двумя раз- личнлми алгебрами ищуцируются некоторым гомоморфизмом между жми. Пусть ip: А —> В — гомоморфизм колец и Р — модуль шд А. Гомоморфизм (р позволяет рассматривать В как А-мо- дуль с умюжешем а ¦ Ь = (р(а)Ь и, следователью, определить Л-модуль ip*(P) = В ®а Р¦ Полагая &i(&2 ® V) = Ь^Ь^ ®р, мы превращаем ip*(P) в Б-модуль. Сопоставление Р н-> ip*(P) лег- легко достраивается до фужтора из Mod А в Mod В, шзываемого фужтором заметы колец . Предложеше. Фуштор заметы колец сохраняет проектив- юсть. ¦< Покажем, что из проективюсти Л-модуля Р следует про- ективюсть 5-модуля (р*(Р), пользуясь свойством (г) из пред- предложения 11.15. Для произвольюго В -модуля Q имеет место изоморфизм абелевых групп ЯотА(Р ®А В, Q) ^ ЯотА(Р, ЯотА(В, Q)). A1.4) Ъчнее, элементы ,Q) и S е НотА(Р, НотA(B,Q)),
282 Глава 11 соответствующие друг другу при этом изоморфизме, связанл соотюшешями Ь) = д(р){Ь), реР, be В. Если, вчастюсти, 7 ? Ноп1в(Р®аВ, Q), то для любых р € Р, bi, Ь2 Е В имеем 7(р ® bib2) = btfip ® b2) и, следователью, 5(р)(Ъ1Ъ2) = Ъ1-5(р)(Ъ2), т.е. 5(р) Е HouiB(B,Q) = Q. Это рассуждеше проходит и в обрат1ую CTopoiy. &чит, изоморфизм ( 11.4) ищуцирует изоморфизм HomB(P ®AB,Q)^ ЯотА(Р, Q). Этот изоморфизм естественпо Q, т. е. достраивается до изо- изоморфизма фужторов ш категории В -модулей со зшчешями в категории абелевых групп Нотв(Р ®А Б, •) ^ ЯотА(Р: •), из которого по предложение 11.15 следует проективюсть В- модуля Р ®а В. > 11.53. Алгебраический парафраз ищуцированых расслое- шй. Устаювим теперь алгебраический смысл процедуры ин- дуцировашя для вектор1ых расслоешй. Пусть ip: N —> М — гладкое отображеше мюгообразий, — соответствующий гомоморфизм колец фужций иФ» — фунс- тор заме1ы колец. Согласю предложешю 11.52 фужтор Ф* сохрашет свойство проективюсти; кроме того, он очевидю, сохрашет свойство когечюй порождености. Поэтому мож- ю рассмотреть огрангчеше Ф* ш подкатегорию проективнлх С°°(М) -модулей конечюго типа Ф„: Modp/С°°(М) ->• Modp/ C
Векторнле расслоешя и проективное модули 283 11.54. Ъорема. Для любого векторюго расслоетя тг шд М имеет место изоморфизм C°°(N)-модулей Этот изоморфизм можю выбрать естественым по тг, так что фушторы Г о ср* и Ф* о Г изоморфш, и в этом смысле коммутативш следующая фушторшя диаграмма : VBM - г Modp/ С°°(М) - Modp/ г ¦< Ниже мы будем ссылаться ш подштие сеченш ф, определен- юев п. 10.18. Пусть А = С°°{М), В = C°°{N). Отображеше В х Г(тг) - Г(^(тг)), которое паре (/, s) ставит в соответствие сечеше / • ф(э), гомо- морфю шд А по каждому аргументу (здесь Б-модуль Г(<^*(тг)) рассматривается как Л-модуль: умюженже вводится с помощью гомоморфизма колец ip). Это отображеше определяет, следова- телью, Л-гомоморфизм 31метим, что ш самом деле v является гомоморфизмом не только шд А, ю и шд В. Действительна, для f,g G В и s E Г(тг) выполняется равенство u(fg ®s)= fg<p{s) = fu(g <g> s), где ф — подштие сечешй, определешзе в п. 10.18. Докажем, что v — изоморфизм. Модуль В ®а Г(тг) конеч- ю порождени проективец следователью, по теореме 11.32 он изоморфенмодулю сечешй некоторого расслоешя шд N и к не- нему примешма лемма 11.30. Воспользуемся этим и рассмотрим зшчеше гомоморфизма v в некоторой точке w G N vw: В®А Г(тг)/иш ®А Г(тг) -^ (<?*(тг))ш
284 Глава 11 Учитывая отождествление (<^*(тг))ш с тг<р(ш) получаем равенство Vw{[g®s]) = g{w)s{<p{w)). Отображение vw эпиморфю, ибо для любого z € 7Г<р(ш) можю по лемме 11.8(а) шйти такое s, что s((f(w) = z, и тогда мы получим uw([l ® s]) = z. Проверим моюморфюсть vw. Пусть ^2,гд% ® s% — такой элемент В ®а Г(тг), что ^2li9i{w)si{ip{w)) = 0. Обозшчим g%{w) = Pi Е Ш. и положим д~г = gi — Pi. Ъгда предыдущее равенство можю переписать в виде ^V /3jSj E ^(ш)Г(тг), т. е. jtj, где fj E () U E Г(тг). По определенжю Л-модульюй структуры в В д® ft = ip*(f)g®t для любых д Е В, f E A, t Е Г(тг), поэтому можю проделать следующие тождественые преобра- преобразованы: (последнее справедливо, поскольку (f*(fj) Е <р*{n<p(w)) С jiw)- Итак, vw — изоморфизм для любой точки w G N, и, следо- вателью, v — изоморфизм В -модулей. Его естественость по тг очевидш. Ъорема доказаш. >
Векторнле расслоешя и проективное модули 285 Упражшше. Покажите, что C°°(iV)-модуль ДДМ) вектор- 1ых полей вдоль отображены ip: N —> М (см. п. 9.47) есте- ствено изоморфенмодулю Г (tp* (тгт*)). Теперь уместю спросить, что представляет собой подъ- подъем сеченш ш алгебраическом языке, т. е. как отображенте Г(тг) —> В ®а Г(тг)? Мгко усмотреть из определенш, что подъ- подъем сечешй есть отображете, переводящее всякий элеменп s е Г(тг) в 1 <g> s. 11.55. Векторнле псевдорасслоешя и геометрические мо- модули. Пусть М — гладкое многообразие и Т = С°°(М). Ъо- рема 11.32 позволяет придать геометрический смысл поштию конечю порожденого проективюго Т-модуля. Сейчас мы, продолжая тему пп. 11.11-11.12, хотим выясниъ, шсколько поддаются геометрическому истолковашю произвольнее моду- модули шд Т. В п. 11.11 произвольному модулю Р шд произвольной коммутативной iiT-алгеброй А было сопоставлено псевдорас- слоеше тгр. При этом в качестве алгебры фужций J-*(|P|) ш тотальюм пространстве расслоешя рассматривалась симметри- симметрическая алгебра S(P*), которая и задавала ш нем соответству- соответствующую топологию Зфисского. Одтко в случае А = С°°(М), если мы не хотим уйти слишком далеко от категории глад- гладких многообразий, естествено рассмотреть гладкое замыкайте = S(P*) симметрической алгебры S(P*) — так же, как это было сделаю в случае кокасательного расслоешя и ал- алгебры символов. Возшкает предположеше, что рассмотрев, для произвольного конечно порожденого, но не обязательно проективюго С°°(М)-модуля Р пару |P|,JF(|P|), мы получим гладкое мюжество (см. п. 7.13), ю обсуждеше этого не входит в тши планл. 11.56. Упражшшя. 1. Покажите, что определение в п. 11.11 отображешя я>: \Р\ —>• \А\ и sp: \А\ —>• \Р\, р е Р, непрерывн>1 в топологии ^рисского, соответствующей алгебре фужций е>(Р*).
286 Глава 11 2. Пусть Р = -D(C°°(K))—модуль векторных полей ш кре- кресте (см. упражнения 7.14, 9.35, 9.45, 9.78). Найдите \Р\. Теперь под непрерывными сечешями псевдорасслоешя я> мы будем поншать сечешя, непрерывные в топологии Зфис- ского, соответствующейзамыканпо Т(\Р\) = S(P*) симметри- симметрической алгебры. Мюжество всех таких непрерывных сеченш образует модуль шд кольцом С°°(М), который мы обозшчим через Гс(тг). Соответствие р н-> sp определяет гомоморфизм С°°(М)-модулей S: Р^Гс(тг). В силу теоремы 11.32 для проективюго конечю порожденого модуля Р этот гомоморфизм является моюморфизмом и его образ совпадает с подмодулем гладких сеченш в Гс(тг). Перейдем теперь к рассмотрение примеров геометрических и негеометрических модулей шд алгебрами гладких фужций. 11.57. Примеры. А. Геометрические тпроективтые модули. I. Гладкое отображение мюгообразий ip: M —> N порожда- порождает гомоморфизм колец гладких фужций ш hix if*: В —> А и, следовательно превращает А в Б-модуль. Простая провер- проверка показывает, что этот модуль всегда геометричен Одтко проективным он является лишь в исключительных случаях (ншример, когда (р — диффеоморфизм). Простейший пример геометрического непроективюго модуля такого сорта можю по- получить, взяв в качестве М мюгообразие, состоящее из одюй точки. Задача. Описать все гладкие отображения (р, для которых В -модуль А проективен II. Мгко видеть, что идеал jia любой точки а € М, рас- рассматриваемый как С°°(М)-модуль, является геометрическим. Оказывается, что он проективен в том и только том случае, когда dimM = 1.
Векторнле расслоешя и проективное модули 287 В самом деле, зтчеше модуля ца в точке Ь G М — это факторпрострагство Ца/l^al^b- Его размерюсть , IdimM, если Ь = а, I 1, если о j= а. (Первый факт вытекает из того, что /ло//-*а есть ffi что июе, как кокасательюе пространство к мюгообразию М в точке а (см. п. 9.27. Второй легко выводится из леммы 2.11.) Тжим образом, размерюсть слоя векторюго слоешя, от- отвечающего идеалу jia, постоянн в случае, когда dimM = 1, и непостоянн, если dimM > 1. В природе существует два различных связнлх одюмернлх мюгообразия без края: прямая Ж1 и окружюсть S1. Какие век- Topibie расслоешя отвечают модулю jia в каждом из этих двух случаев? Неожиданый ш первый взгляд ответ заключается в следующем: для прямой это тривиальюе расслоеше IRi, а для окружюсти это расслоеше в виде листа Мёбиуса, описаное в примере 11.6 (I). Докажем это. Пусть Т = С0О(М1) и a G Ш.1 — произвольна точка. Из п. 2.10 вытекает, что отображение Т —> /ia, переводящее всякую фужцию / в произведете {х — a)f, осуществляет изоморфизм модулей Т —> jia- Поэтому jia = J-= F(Iri). Для Т = COO(S1) и a G S1 это рассуждеше не прохо- проходит, ибо ш окружюсти максималь№1Й идеал ца не является главнлм (нет гладкой фужции, которая обращается в н/ль ровю в одюй точке и имеет в ней нен/левую производн/ю). Изоморфизм между jia и модулем сеченш нетривиальюго од- юмерюго векторюго расслоешя тг, пространство которого Еж представляет собой лист Мёбиуса, можю построить так. По- Поскольку слои расслоешя Еж суть прямые, ш мюжестве сечешй есть корректю определеное умюжеше. ^фиксируем сечеше /о € Г(тг), имеющее простой н/ль в точке а и не имеющее других н/лей. Ъгда отображеше, переводящее всякую фуж- фужцию / G Г(тг) в произведеше /о/, задает искомый изоморфизм Г(тг) ^ Т.
288 Глава 11 Б Негеометрические модули. III. С°°(М)-модуль джетов порядка Z-th JlzM = C°°(M)/fj,z+1 (см. п. 9.64) IE является геометрическим, если 1^1. Причит этого в том, что: (i) /v • J\M = JlzM, если z' ^ z; (ii) Ijz-JzM = ijz/ij1+1. Оставляя доказательство этого читателю мы заключаем отсюда, что z'eM Последнш модуль состоит из всех невидимых элементов JlzM (см. 11.11) и не тривиаленпри I ^ 1. Напротив, С°°(М)-модули TZM = D(M)/(j,zD(M) (см. лемму 9.75) и Т*М = A1(M)/fizA1(M) являются геометриче- геометрическими. В самом деле, если Р — одиниз hix, to /v • Р = Р для z' т^ z и jiz ¦ Р = 0 (докажите это) и поэтому П^'ем № " Р = 0. IV. Пусть А = С°°(М) и / — идеал в А, состоящий из всех фужций с компакт№1м юсителем. Читатель в качестве упраж- упражнения может доказать, что модуль Р = А/1 обладает свойством Р = Пжек^-^* и> стало быть, отображение S (см. п. 11.56) для него есть тождественый н/ль. Тжим образом, в последнем примере модуль Р целиком состоит из невидимых (нешблюдаемых) элементов. 11.58. Векторнле раселоешя как квазирасслоешя. Ъперь мы в состоянии выполнить даное ранее обещайте и объяснить связь между алгебраической трактовкой векторюго расслоешя как модуля и трактовкой квазирасслоешя как вложены гладких алгебр. Предложеше. Алгебра фужций ш пгопгалъюм пространстве векторюго расслоетя тг изоморфт гладкому замыкатю пол- полюй симметрической алгебры модуля сечетй Г(тг). Л Поскольку модули сеченш даного расслоены тг и сопря- женого тг* изоморф№1 (см. замечайте в п. 11.38), достаточю
Векторнле расслоешя и проективное модули 289 построить изоморфизм алгебры ССО(Е7Г) и гладкого замыка- Н1Я симметрической алгебры модуля Г(тг*). Тшэй изоморфизм строится естественым образом. В самом деле, всякое сечеше s G Г(тг*) = 511(Г(тг*)) задает линейную фужцию ш слоях расслоешя Ev. Элементы 512(Г(тг*)) соответствуют фужциям ш Ev, квадратичным ш слоях, элементы 513(Г(тг*)) — фуж- фужциям ш Еж, кубичным ш слоях, и т. д. Это, очевидю, гладкие фужции. Всю симметрическую алгебру 51(Г(тг*)) можю рас- рассматривать как алгебру фужций, полиюмиалыых ш слоях расслоешя Еж. А конструкция гладкого замыкашя (см. п. 3.37) дополшт полиюмиалыые фужции до мюжества всех гладких фужций. > Мы завершим эту главу, доказав эквиваленгюсть двух опре- делешй дифферещиальюго оператора, стащартюго и алге- алгебраического (см. п. 9.67) в классе проективных С°°(М)-модулей и построив для фужтора Q н-> Diff i (P, Q), где модуль Р — про- ективец представляющий объект в категории геометрических С°°(М)-модулей. 11.59. Расслоешя джетов JlP. Пусть Р — проективный С°°(М)-модуль, т. е. модуль сечешй некоторого векторюго расслоешя тгр: Е —> М, и jiz G С°°(М) — максимальный идеал, соответствующий точке z G М. 31метим, что /i^+1-P есть подмодуль модуля Р, поэтому определен фактормодуль JlzP = P/ji^P. Образ элемента р € Р при отображеши факторизации обозшчается \p]lz G JlzP¦ Полезю отметить, что векторюе пространство Jlz P является также и J^M-модулем отюсителью операции умюжешя 1ПЖ = Ifpt feC°°(M),PeP. Упражшше. Докажите корректюсть этого определешя. Положим JlP = [JzeM J\P'¦ Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы сшбдить JlP структурой гладкого мюгообразия так, чтобы естествення проекция JlP ->• М, JlzP^ze M,
290 Глава 11 задавала ш гладком мюгообразии JlP структуру векторю- го расслоешя шд М. Это векторюе расслоеше шзывается расслоетем джетов порядка I (или 1-джетов) расслоешя тгр. Рассмотрим ш тотальюм пространстве Е расслоешя я> адаптированый атлас (см. п. 11.3). Его карты имеют вид (ж~1 (U), х, и), где (U, х) — карта соответствующего атласа ш М и и = и1,... ,ит, т = dimvrp, — послойное коор- дишты. Ъгда согласю п. 11.13 локализация Рц = Г(тгр [/) есть свобод1ый C°°(U)-модуль. Пусть е±,..., ет — его произ- волыый базис. Ъгда ограшчеше любого элемента q G P m U можю представить в виде г=1 Ишче говоря, в адаптированых коордиштах сечеше вектор- юго расслоешя представляется вектор-фужцией (f1,..., /m) от переменых (xi,..., хп). Отсюда сразу же следует, что [q]lz одюзшчю определяется m-вектором ([J1]^, • • •, [/m]i) и по- поэтому шбор чисел чисел х,... ,хп,иг,... ,ит, а где (и-7,... ,р^,...) — специальное локалыые коордишты I- джета фужции /J in JlM (см. п. 10.11, IX), одюзшчю опре- определяет точку [q]lz G it~j}p{U). Очевидю, фужции Xi, и\ р*а, 1 ^ г ^ п, 1 ^ j ^ т, 0 < |<т| ^ I, образуют систему коордишт в области 7Tjlp(U) С JlP, зада- задавая тем самым ш ней структуры карты. Карты такого рода шзываются специальными картами в JlP. Упражшше. Покажите, что специальное карты ш JlP, соот- соответствующие согласованым картам ш М, согласован>1 между собой. Инлми словами, эти карты образуют атлас, определяя тем самым структуру гладкого мюгообразия ш JlP. Очевидю, проекция JlP ->• М, JlzP^ze M,
Векторнле расслоешя и проективное модули 291 является гладкой. Специальное карты, описание выше, пред- представляют собой прямые произведены вида U х МтЛГ, где N — число различных производных порядка ^ I (см. пример IX из п. 10.11). Поэтому тгjip является расслоением. Блее того, тривиализующие диффеоморфизмы тт~1р(и) —> U x M.mN ли- нейнл ш каждом слое, так что тгjiP — векторюе расслоеше тд М. 11.60. Пусть, по-прежнему, А = С°°(М), z е М и Р, Q — проективную С°°(М)-модули, которым соответствуют вектор- №ie расслоешя тгр и ttq шд М соответствено. Имеет место следующее обобщение следствия 9.61. 11.61. Предложеше. Пусть pi, P2 Е Р, A G Diff^P, Q) и р\ — Р2 Е 1Л1^гР- Ъгда A(p1)(z) = A.(p2)(z). В частюсти, если элеметгы pi, p2 G Р совпадают в шкоторой окрест- юсти U Э z, то для любого дифферещиальюго оператора А е Diff(P, Q) имеем A(p1)(z) = A(p2)(z). Ишче говоря, дифферещиалыые операторы, действующие т сечетя век- mopmix расслоетй, также являются локалыыми. < Действителью, если р\ — р2 G /4+1Р, то согласю предло- предложению 9.67 A(pi — р2) Е jizQ- Если же элементы pi, р2 Е Р совпадают в некоторой окрестюсти U Э z, то р\ — р2 € /4+1Р для любого/. > Это предложеше позволяет для любого дифферещиальюго оператора A G Diff (P, Q) и произвольюй открытой области U С М корректю определить ограшчеше А : Р —> Q \ , положив A TT(p)(z) = A(p)(z), pePTnPeP,zeU, где р — произвольн>ш элемент модуля Р, совпадающий с р в некоторой окрестюсти точки z. Согласю этому определе- определеД[/(р| )(z) = А(р) jj(z), если р Е Р. Очевидю, опера- операнно j тор А одюзшчю определяется совокупюстью своих ограшче- шй ш карты произвольюго атласа ш мюгообразии М.
292 Глава 11 ^фиксируем теперь систему локалыых коордишт Xi,...,xn в некоторой окрестюсти U С М, такой, что век- и ttq тривиалыы. Пусть е±,..., ет ~&Q соответствен*). Ъгда тор1ые расслоены я> и ?i,..., ?fc — базисы модулей Р огрангчеше любых элементов ставляется в виде V Д greC°°{U). Фиксация базисов ei,..., ет и е±,..., ег позволяет опреде- определить C°°(U)-линейные отображения и Я v ?7 пред- т ?r, где и, f то и г=1 Композиция Ajj = fijoAoai: C°°(U) —> C°°(U) является, со- гласю 9.67, 9.59 дифференциальным оператором порядка ^ I. Для скалярных дифферещиалыых операторов мы уже доказа- доказали, что алгебраическое определение 9.57 совпадает с обычным. Теперь мы видим, что действие оператора Д шр вектор-фужцию (f1,..., fr' ¦¦¦ Al,m\ //l и т. е. ш , описывается формулой Из нее следует, что стащартюе поштие матричюго дифферен- циальюго оператора является частнэш случаем общего алгебра- алгебраического определены 9.67, поскольку для скалярных диффе- рещиалыых операторов (в даном контексте для Aj j) этот факт был устаювленранее (см. п. 9.62). Матричные дифферещи- алыые операторы представляют собой коордиштюе описаше дифферещиальн>1х операторов в смысле определены 9.67 тд осювюй алгеброй А = С°°(М), отображающих сечешя одюго векторюго расслоены в сечены другого.
Векторнле расслоешя и проективное модули 293 11.62. Модули джетов JJl(P). Модуль гладких сеченш век- торюго расслоешя KjiP шзывается модулем l-джетов рас- расслоешя тгр и обозшчается JJl(P). Элементы этого моду- модуля шзываются геометрическими l-джетами модуля Р или просто l-джетами. Полезю отметить, что Л1(Р) является JJl(M) -модулем отюсителью операции умюженжя (в ¦ Q){z) = 6{z)Q{z), в е Jl(M), в е Jl(P), где стоящее в правой части умюженже jlM х J[P ->• J[P z z z было определен) в п. 11.59. Как и в скалярюм случае, всякому элементу модуля Р можю сопоставить сеченже ji(p) расслоешя Kjip, положив ji(p){z) = \p]lz. Пусть в адаптированых локальных коорди- штах р представляется вектор-фужцией (Z1, • • • ,/то). Ъгда в соответствующих специальных коордиштах ш JlP сечеше ji(p) представляется вектор-фужцией Из коордиштюго пред став лешя сечешя ji(p) видю, во- первых, что это сечеше гладкое, т. е. ji(p) G JJl(P), и, во- вторых, что IR-линейюе отображеше есть дифференциальный оператор порядка ^ I. Упражшше. Докажите это, не прибегая к коордиштам. Оператор ji шзывается ушверсалыым дифференциальным оператором порядка I в расслоеши тгр. 11.63. Предложеше. Пусть Р — проективгый С°°(М) -мо- -модуль. Существует такой кошчтш тбор р\,..., рт G Р, что l-джеты ji(pi), ¦ ¦ ¦ ,ji(pm) порождают С°°(М)-модуль J
294 Глава 11 ¦< Рассмотрим какую-шбудь конечн/ю систему pi,... ,р\. G Р, порождающую Р (следствие 11.28), и некоторую систему фуж- ций /i,..., fs, /-джеты которых порождают JJl(M) (предложе- (предложение 11.48). Ъгда /-джеты ji(fipj), I ^ i ^ s, I ^ j ^ к, порождают J\P). Чтобы убедится в этом, достаточю, ввиду предложения 11.10, показать, что /-джеты [fipj}lz порождают слой JlzP для любого z E М. Но любой элемент этого слоя имеет вид \p]lz для некоторого р € Р. Пусть = V^ rt,fi, д^ е С°°(М), и [gjfz = V^ \,AfAl X,, (= 1\$ з Ъгда Пусть Q — произвольнэш геометрический С°°(М)-модуль. Пользуясь приведеной в п. 11.50 схемой, определим спарива- ше Рассмотрим точку z G М и для джета в G J\M) выбе- выберем такой элемент р & Р, что O(z) = \p]lz. Для произволь- юго дифферещиальюго оператора Д G Diff^(P, Q) положим (A,Q)(z) = A(p)(z) e Qz. В силу предложения 11.61 (Д, в) (z) не зависит от выбора представителя в классе \p]lz. Если G = ^2ihiji(pi) (см. предложение 11.63), то в каче- качестве р можю, очевидю, взять ^2^гРг, где Хг = hi(z) G Ш.. Поэтому A(p)(z) = Ввиду геометричюсти модуля Q отсюда следует, что
Векторнле расслоешя и проективное модули 295 Это доказывает существование спаривашя. Действуя, как и в п. 11.50, сопоставим произвольюму оператору Д G Diff;(P, Q) гомоморфизм С°°(М)-модулей Как следует из определения спаривашя, (A.,ji(p)) = Д(р). Поэтому, очевидю, ji о h/\ = Д. С другой сторонл, если h: J\P) —> Q — произвольней С°°(М)-гомоморфизм, то ком- композиция Ah = hojr.P^Q будет, согласю пп. 9.59, 9.67, дифферещиалыым операто- оператором порядка ^ I. При этом, очевидю, IiAh = h. Итак, тми устаювленследующий важ1ый факт. 11.64. Ъорема. ^фиксируем проектившй С°°(М)-мо- дуль Р. Для любого геометрического С°°(М) -модуля Q со- соответствие {) QKh^hojiE DiflF,(P, Q) определяет естественый изоморфизм С°°(М)-модулей Homc~{M)(Jl(P),Q) = DiflF, (P,Q). Ишче говоря, отюсителъшй фунстор дифферещиалъюго исчислешя Q I—> Diff^(P, Q) представим в категории геоме- геометрических С°°(М)-модулей и С°°(М)-модуль ^Г1(Р) является для шго представляющим объектом. > Доказання теорема позволяет измешть точку зрешя и определить модуль Jl{P) (вместе с оператором ji: Р —> J\P)) как представляющий объект фужтора Q н-> Diff^(P, Q) т категории геометрических С°°(М)-модулей. Икой подход является кощептуалыым, и его польза состоит в том, что он немедлено переюсится ш произвольною алгебры и категории модулей тд шми. Разумеется, вопрос существования при этом каждый раз долженрешаться отделью. Одтко для так шзы- ваемых дифферещиалью замкщтых категорий , куда входят
296 Глава 11 шиболее интереснее категории модулей, он допускает увжвер- сальюе решенже. В частюсти, таким образом можю определить Л1(Р) для любого геометрического, не обязательна проектив- юго модуля Р. Упражшше. Покажите, что Л-модуль Diff;(P, Q) геометри- чец если геометриченмодуль Q. 11.65. В этой кнжге мы имели дело с гладкими многообра- многообразиями, гладкими фужциями, гладкими векторными полями, гладкими сеченжями векторн>1х расслоенш и т. п. А как же быть с аналогичными объектами, скажем, класса Ст? Эти и другие понятия стащартюго ан ализа нетрудна ввести в рамки развитого выше подхода, переходя к другим фужциотлыым алгебрам и используя процедуру замены колец. Блее того, ш этом пути теорию можю сделать более точюй и гибкой, чем при традиционом подходе. Упражшше. 1. Пусть Р — модуль гладких, т. е. класса С°°, сеченш некоторого гладкого векторюго расслоены тгр. Дайте алгебраическое определение модуля сеченш этого расслоены класса Ст (ншример, непрерывных). 2. Определите чисто алгебраически векторные поля (диф- ферендиалыые операторы) класса Ст ш гладком мюгообра- зии М.
Послесловие Если продолжить путь, шмеченый в этой юиге, и про- ашлизировать, в какой мере современня математика соот- соответствуют прищипу шблюдаемости, можю прийти к выводу, что мюгое в ней попросту кощептуалью несостоятельна. Это неизбежна приводят к трудюстям, прищипиальюсть кото- которых по привычке игнорируется всякий раз, когда сталкиваются с эксперименгальюй проверкой. Если, шпример, теория меры является правильюй теорией интегрированы, то почему же hi к чему удовлетворительюму не приводят все попытки построить ш её осюве теорию конгин/альюго интеграла, существование которого вполне подтвержден) эксперименгалью? Неизбежном следствием всего этого является тот факт, что физикам в своих теориях приходится пользоваться «нетблю- даемой» математикой, что и приводит к известном трудюстям, скажем, в квантовой теории поля, которые некоторые даже объ- объявляют её имманенгюй характеристикой. Пришто считать, что математическим осювашем квантовой мехашки является тео- теория самосопряженых операторов в гильбертовом пространстве. Почему же тогда, как выразителью писал П. Дирак, «физиче- «физически существеные в квантовой теории поля взаимодействия ш- столько силыы, что выбивают всякий шрёди1геровский вектор состояния из гильбертова пространства в тименэший возмож- возможной промежуток времен!»? Констатировав это, следует либо отказаться от попыток ншисать уравнение Шрёдин^ера в кон- контексте теории поля, либо усомшться в правомерюсти считать гильбертовы пространства осювой квантовой мехашки. Сам Дирак с большой неохотой, как онсам это призшет, принимает 297
298 Послесловие первую альтерштиву, и этот отказ — вынужденыи, поскольку математика того времен! предоставляла ему возможность раз- размышлять о решениях дифферещиалыыхуравненш, пользуясь лишь огрангченым и не локализуемым языком гильбертовых пространств (см. эпиграф к предисловию). С другой сторонл, поскольку формализм гильбертовых пространств не содержит шкакого мехашзма, позволяю щего отличить один гильбертов вектор от другого, hi о каком соблюдении прищипа шблюдае- шблюдаемости в его рамках не может быть и речи. Поэтому более прин ципиалыым был бы выбор второй альтерштивы. Эта послед- шя, одшко, требует выяснены мюгих других вещей, среди которых, шпример вопрос о том, как можю шблюдать реше- Н1Я дифферещиальн>1х уравнений в частн>1х производных, а это как раз мен>ше всего интересует специалистов, изучающих дифферещиалыые уравнения. Подобшя постаювка вопроса показалась бы им просто курьезюй. Тжим образом, последовательшя математическая форма- формализация мехашзма шблюдаемости в том или июм его аспекте зачастую требует пересмотра тех разделов математики, которые, казалось бы, устаювленл раз и швсегда. Осювшя трудюсть, которую шдо преодолеть с этой целью, состоит в том, чтобы шйти требуемое решеше в рамках дифферещиальюго исчи- слешя, избегая соблазюв фужциошльюго ашлиза, теории меры и ашлогичнлх чисто теоретико-мюжественых постро- ешй. Например, мы должнл отказаться от теории меры как теории ингегрировашя в пользу чисто когомологического под- подхода. Осювнле поштия теории меры можю изложить ш одюй страшце. Чтобы объясшть, что такое когомологии де Рама, их (страшц) потребуется гораздо больше. Кощептуальшя дистан ция, разделяющая осювы этих двух теорий, дает представлеше о том, сколь непростой может оказаться такого рода проблема. Как, отправляясь от подобюго пересмотра, можю прийти к упомишвшемуся уже во введеши вторичюму дифферещи- альюму исчислешю и его осювнлм приложешям, таким, как
Послесловие 299 когомологическая физика, т. е. классическая и квантовая тео- теория поля, изложения ш этом естественом для неё языке, автор предполагает постепено рассмотреть в серии кшг, тд которой онтчал работать. Представление о том, что уже сделаю и что ещё предстоит, читатель может получить из приводимой шже библиографии. Литература 1. А. М. Виюградов, И. С. Красильщик, Что такое гамиль- тоюв формализм ? — УМН, 30 A975), 177-202. 2. А. М. Виюградов, Геометрия тлитйшх дифферещиаль- гых уравттй . Итоги туки и технпси. Проблемы геометрии. Т 11 — М. ВИНИТИ, 1980, 89-134. 3. А. М. Vinogradov, Local symmetries and conservation laws, — ActaAppl. Math., vol. 2, № 1 A984), 21-78. 4. I. S. Krasil'shchik, A. M. Vinogradov, Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Bdcklund transformations, — Acta Appl. Math., 15 A989I-2, 161-209. 5. A. M. Vinogradov, From symmetries of partial differential equations towards secondary («quantized») calculus, —J. Geom. and Phys., 14 A994), 146-194. 6. M. Henneaux, I. S. Krasil'shchik, A. M. Vinogradov (Eds.), Secondary Calculus and Cohomological Physics, — Contemporary Mathematics, vol. 219, American Mathematical Society, 1998. 7. A. M. Виюградов, И. С. Красильщик, В. В. Лгчагин Вве- Введете в геометрию тлитйшх диферещиалъшх уравттй , — М. «Наука», 1986. 8. Симметрии и закош сохраття уравттй математической физики, под ред. А. М. Виюградова и И. С. Красильщика, — М., «Факториал», 1997. 9. I. S. Krasil'shchik and A. M. Verbovetsky, Homological meth- methods in equations of mathematical physics, Open Education, Opa- va, 1998. См. также Diffiety Inst. Preprint Series, DIPS 7/98 http: //ecf or. rssi. ru/~diffiety/preprint/98/08J98abs. htm.
300 Послесловие 10. А. М. Vinogradov, Cohomological Analysis of Partial Dif- Differential Equations and Secondary Calculus, — Translations of Mathematical Monographs, vol. 204, American Mathematical Society, 2001.
A. M. Виюградов ПРИНЦИП НАБЛЮДАЕМОСТИ ТЮРИН МНОЖЕСЪ И «ОСНОВАНИЯ МАТМАТ1КИ» Приводимые шже замечашя общего характера призванл вписать рассмотреные в этой кшге вопросы в общую перспек- перспективу шблюдаемой математики. Пропозициогалыые и булевы алгебры. Если физик опи- описывает природу при помощи приборов, имеющих М-зншые шкалы, то «обычнлй человек» делает это при помощи вы- сказывашй. Используя элементарнее операции коньюжции, дизъюжции и отрицашя, из заданых высказывашй можю образовать ювые. Система высказывашй, замкнутая отюси- телью этих операций, шзывается пропозициотлъюй алгеброй . Тжим образом, средства шблюдешя ie вооружёного допол- штельн>ши приборами ищивидуума формализуются понятием пропозициошльюй алгебры. Поскольку всякий юрмалыый человек зшет, что ш самом деле оншблюдает, т. е. получает информацию об окружающей тс природе, при помощи своих глаз, ушей и других оргаюв чувств, это последнее утверждеше нуждается в разъяоенш. 301
302 А. М. Виюградов Во-первых, образ ищивидуума, имеющего в качестве средств тблюдевжя лишь собственые органы чувств, мы ис- использовали, чтобы подчеркнуть необходимость ввести предста- вленже об осювюм, изшчальюм механжзме обработки инрор- мации, который в дальнейшем будет шзываться примитивтым . Стало быть, пропозициотлыые алгебры мы отождествляем с примитивными средствами шблюденжя. Далее, ншомнш, что всякую пропозициональную алгебру А, как известю, можю превратить в унжтарную коммутативную алгебру шд полем Z2 вычетов по модулю 2, следующим образом введя операции сложены и умюжевжя: def pq = p A q, p + q d= (pAq) V(pAq), где V и Л — пропозициотлыые связки, коньюжция и дизъ- южция соответствено, а черта озшчает отрицавже. Все эле- элементы полученой таким образом алгебры идемпотенпы, т. е. а2 = а. Назовем булевой всякую унггарную коммутативную Z2- алгебру, все элементы которой идемпотенпы. Обратю, всякую булеву алгебру можю поншать как пропозициошльную отю- сителью операций A def р A q = pq, pV q = p + q + pq, _ def Л , p = 1+p. Это показывает, что по существу нет нжкакого различия между пропозициошльными и булевыми алгебрами, и употребленже одюго из этих двух термиюв призваю лишь подчеркнуть, о каких операциях идет речь в рассматриваемом контексте. Тжим образом, сделаное выше утвержденже можю эквивалентным образом переформулировать так: булевы алгебры являются примитивтыми средствами шблюдетя .
Прищип тблюдаемости и «осювашя математики» 303 Булевы спектры. Преимущество последней формулировки в том, что от позволяет сразу же усмотреть поразительною ашлогию с механизмом шблюдешя в классической физике в том виде, как онингерпретированв этой юиге. Имено, в по- последнем М-зншые шкалы н/жю заменить ш Z2-3Hi4№ie (т. е. ш те, которые «показывают» только «да» и «нет») и добавить условие идемпотенгюсти. Эта ашлогия показывает, что то, что можю шблюдать при помощи ткоторой булевой алге- алгебры А, является её Ж,2-спектром, т. е. совокупностью всех её гомоморфизмов как уттарюй Ж,2-алгебры в уштарщю Т,2-алгебру Z2. Обозшчим упомян/тый спектр SpecZ2 и заметим, что он обладает естественой топологией — топологией Зфисского. Поэтому точнее было бы сказать, что булевы алгебры позволяют шблюдать топологические пространства вида SpecZ2, которые по этой причине будут далее шзываться булевыми простран- пространствами. В связи с последнем естествен© спросить, обладают ли спектры булевых алгебр другими, отличнлми от топологиче- топологической, структурами, шпример дифференцируемой, как это име- имеет место для спектров IR-алгебр. Читатель, справившийся с упражнением 4 из п. 9.45, уже зшет, что дифферещиальюе исчисление шд булевыми алгебрами тривиалью в том смысле, что всякий дифферещиалыый оператор шд такой алгеброй имеет н/левой порядок, т. е. является гомоморфизмом моду- модулей шд этой алгеброй. Это озшчает, в частюсти, что феюмен движетя т может быть математически адекватю описан и исследован чисто логическими средствами , или, говоря по- попросту, ш повседневюм языке (см. классические логические парадоксы ш эту тему). Приводимая шже ценгральшя в теории булевых алгебр тео- теорема Стоуш показывает, что спектры булевых алгебр обладают лишь одюй независимой структурой — топологической. В её формулировке предполагается, что поле Z2 сшбжею дискрет- юй топологией.
304 А. М. Виюградов Ъорема Стоуш. Всякое булево пространство является абсо- лютю шсвязтия компакттм хаусдорфовым пространством и обратю. Всякая булева алгебра совпадает с алгеброй открыто-замкщтых мюжеств своего спектра отюсителью теоретико-мюжественых операций симметрической разю- сти и пересечетя. Напомним, что абсолюття несвязюсть некоторой тополо- топологии озшчает, что мюжества, являющиеся в ней одювремено открытыми и замкнутыми, образуют базу этой топологии. По- явлеше этих одювремешэ открытых и замкнутых мюжеств в булевых пространствах объясняется тем, что всякая пропо- зициошльтя алгебра обладает естественой двойствешэстью. Имено, операция отрицания отображает её ш себя, переста- переставляя при этом операции коньюжции и дизъюжции. Обратим также вшмаше ш то, что теорема Стоуш является близнецом теоремы о спектре (см. пп. 7.2, 7.7). Их доказательства эксплу- эксплуатируют одну и ту же идею, отличаясь лишь в тех технических деталях, которые отражают специфику рассматриваемых клас- классов алгебр. Читатель может попробовать доказать эту теорему в качестве упражнения, заметив, что элементы исходюй булевой алгебры естествен© отождествляются с открыто-замкнутыми подмюжествами своего спектра, а соответствующие операции коньюжции, дизъюжции и отрицания стаювятся при этом теоретико-мюжествеными операциями пересечены, объеди- объединены и дополнения соответствен©. Нетрудю видеть, что спек- спектром конечюй булевой алгебры является конечюе мюжество, сшбжешэе дискретюй топологией. Тжим образом, всякая ко- нечшя булева алгебра оказывается изоморфюй алгебре всех подмюжеств некоторого мюжества. «Глаза» и «уши». После всех этих приготовлений роль «глаз» и «ушей» в процессе шблюдешя можю представить себе следу- следующим образом. Прежде всего «сырая» информация, фиксируе- фиксируемая одшм из шших оргаюв чувств, записывается шшим мозгом и затем отправляется в соответствующий раздел памяти. Можю
Прищип тблюдаемости и «осювашя математики» 305 думать, что в процессе записи «сырая» информация разбива- разбивается ш элементарные блоки, «макросы» и т. п., которые соот- соответствующим образом маркируются средствами повседневного языка. Эти маркировки необходимы для последующего маншу- лированжя поступившей информацией. Система предложений, образующая некоторое описайте, порождает идеал управляю- управляющей булевой алгебры, выделяющий в её спектре соответствую- соответствующее замкнутое подмюжество. Представив, что с каждой точкой этого спектра связан элементарный блок, маркирований ас- социированым с ней максимальным идеалом, можю прийти к выводу, что всякому замкнутому подмюжеству спектра со- соответствует некоторый образ, подобю тому как кримишлист создает фоторобот ш осюванш разрозненых деталей, сооб- щеных ему свидетелями. Таким образом, абстрагируясь от «материального» содержания элементарных блоков (это может быть «фотография» атомического фрагмента зрительюго или звукового образа и т. п.), соответствующих согласю описаний схеме точкам спектра управляющей булевой алгебры, мы можем считать, что все, что можю шблюдать ш примитивюм уровне, тавтологически исчерпывается точками этого спектра. Булевы алгебры, соответствующие примитивюму уровно. Ясю, что всякая математически строгая концепция тблюдае- тблюдаемости должт исходить из некоторой концепции шблюдателя, поншаемого как своего рода механжзм получения и переработ- переработки информацию. Иными словами, понятие шблюдателя должю быть формализоваю примерю в таком же духе, как, скажем, понятие алгоритма формализуется при помощи машины Тью- Тьюринга. Чтобы не оказаться априорюй метафизической схемой, всякая такая формализация, очевидю, должш учитывать «экс- «экспериментальные даные». Таковые можю шйти в практике конструированы и эволюции современых компьютерных си- систем и теоретических идеях, стоящих за нши. Поэтому с этой целью полезю представить отдельюго математика или, ещё лучше, математическое сообщество, поншаемое в духе юосфе- ры Вернадского, как своего рода компьютер. Ъгда, имея в виду,
306 A. M. Виюградов что операционня система всякого современого компьютера является программой, шписаной ш языке двоичнлх кодов, можю сказать, что шкакой альтерштивы конечюй булевой алгебре в качестве мехашзма, описывающего информацию ш этом примитивюм уровне, ie существует. Как из чисто практи- практических соображенш, так и из соображенш теоретической про- простоты было бы неудобю ограшчить размеры этой алгебры тем или И1ым числом, скажем числом элементарных частиц во все- леной. Поэтому естествено взять свободн/ю булеву алгебру со счетнлм числом образующих. Поштие уровш шблюдаемо- сти, по-видимому, является важнлм в математическом атлизе самого поштия шблюдаемости, и мы ещё раз его обсудим шже. Как теория мюжеств оказалась в осювашях математики. Как мы видели, всякая конечшя пропозициошльшя алгебра каюшчески изоморфш алгебре всех подмюжеств спектра ас- социировашзй с ней булевой алгебры. Этот спектр конечен и его топология дискретш. По этой причине о топологии мож- ю забыть, шчего при этом не потеряв. Блее того, каждый кожретнлй ищивидуум, особено если он не зтком с тео- теорией булевых алгебр, уверен и явю чувствует «всеми своими порами», что шблюдает имешз подмюжества, а точнее опре- определяемые ими «фотороботы». Поэтому такое непосредствен^ «материальюе» ощущеше является источшком той мысли, что первичными кирпичиками точюго абстрактюго мышлешя являются «точки» («элементы»), сгруппированые в «сооб- «сообщества» — мюжества. Пришв, а точнее ощутив эту идею первичюсти кощепции мюжества под давлешем диктата ш- ших непосредственыхощущешй, мы оказываемся вын/жденл положить теорию мюжеств в осюваше точюго зшшя, т. е. математики. На примитивюм уровне конечных мюжеств этот выбор, ввиду сказаного выше, не приводит к противоречию с прищипом шблюдаемости, так как всякое конечюе мюжество едиютвеным и естественым образом интерпретируется как спектр некоей булевой алгебры. Одшко если мы выходим за пределы класса конечных мюжеств, ситуация резко метется:
Прищип тблюдаемости и «осювашя математики» 307 поштие шблюдаемого мюжества, т. е. булева пространства, перестает совпадать с поштием мюжества вообще. Поэтому уважеше прищипа шблюдаемости заставляет шс отказать- отказаться от идеи рассматривать теорию мюжеств как формально- формальнологическое осюваше математики и покин/ть этот воспетый Гильбертом рай. Плодотворюсть этого шага, помимо прочего, видш из того, что позволяет сразу же избежать мюгих им- маненпых парадоксов теории мюжеств. Например, ашлогом «мюжества всех мюжеств» в шблюдаемой математике являет- является «булево пространство всех булевых пространств». Послед - шя же конструкция очевидном образом не имеет смысла, так как не определяет шкакой топологии в «булевом пространстве всех булевых пространств». Или же «шблюдаемый» вариант «мюжества, (не) содержащего себя как элемент», т. е. «булева пространства, (не) содержащего себя как элемент», шстолько красюречив, что не требует дальнейших комментариев. В свя- связи с этим можю дополнительна заметить, что для того, чтобы шблюдать (ш примитивюм уровне!) булевы пространства как самостоятельнее объекты, необходима отделыня, различающая их булева алгебра. Наблюдаемые математические структуры (группы Буля). Теперь уместю спросить, что представляют собой шблюдае- мые математические структуры. Если, шпример, речь идёт о шблюдаемой в «булевом» смысле группе, то под таковой есте- ствено поншать топологическую группу, юсителем которой является некоторое булево пространство. Тшую группу уместю шзвать булевой. Инлми словами, группа ]уля — это групповая структура ш спектре некоторой алгебры ]уля. Измешв в этом определен™ кощепцию шблюдаемости с «булевой» ш клас- классическую, мы придем к поштию группы Ж, т.е. групповой структуры ш спектре классической алгебры шблюдаемых. Наблюдете шблюдаемых: разлитые уровш тблюдае- тблюдаемости. Подобю тому как операционня система компьютера манипулирует программами следующего уровш, можю пред- представить себе булеву алгебру примитивюго уровш (см. выше),
308 A. M. Виюградов точки спектра которой маркируют другие такие же алгебры. Иноми словами, речь идет о булевой алгебре, шблюдающей другие булевы алгебры. Итерируя эту процедуру, можю прий- прийти к «шблюдаемым объектам», которые, если забыть о мю- гоступешатости рассматрива емой схемы шблюдешя, шивю восприншаются как мюжества, более мощное, чем конечное или счётное. Например, отправляясь от примитивного уровш, можю ввести в шблюдаемую математику то, что в «нешблю- даемой» связаю с использованием мюжеств конгин/альюй мощюсти. Можю шдеяться, что ш этом пути окажется воз- мож1ым, в частюсти, конструктивна формализовать шблюдае- мость гладких М-алгебр, которые, в свою очередь, формализуют процедуру шблюдешя в классической физике. Долой теорию мюжеств? Неудача мюгочисленых попыток положить теорию мюжеств в формалью-логические осювашя математики, а также соображения шблюдаемости, приведен- приведенное выше, позволяют с уверешзстью отвергн/ть эту идею. Мы можем также заметить, что от трушает физиологические осювы человеческого мышления, которое базируется ш гармо- шчюм (в идеале) взаимодействии левого и правого полушарий головюго мозга. Как известю, левое из hix является блоком рациошльюго мышления, который вычисляет, рассуждает ло- логически и принимает прагматичное решешя. Двойственым образом, «иррациошльюе» мышлеше, т. е. интуиция, пред- предчувствия, эмоции, воображение и геометрия, является продук- продукцией правого полушария. Если интересующая тс проблема достаточю сложт для прямого логического атлиза, мы обра- обращаемся к тшей интуиции с вопросом, что же делать. Мы также зшем, что для получены удовлетворительюго результа- результата ингуитивюе решеше должю быть подвергн/то логическому контролю и, возможю, откорректироваю ш этой осюве. Ъ- ким образом, в процессе приштия решены, поиска решены некоторой проблемы и т. п. происходит «передача управления» от одюго полушария к другому, и подобное итерации могут
Прищип тблюдаемости и «осювашя математики» 309 оказаться мюгократнлми. Всё это, разумеется, в полюй ме- мере касается математических проблем. Мвое полушарие, т. е. алгебро-ашлитический блок шшего мозга, не в состоянш шй- ти решеше проблемы, сложюсть которой превышает, скажем, возможюсти шшей памяти. Действителью, из всякой пред- предпосылки можю извлечь очен> мюго логически правилыых выводов. Поэтому при чисто логически-формальюм подходе число цепочек, составленых из звеньев типа посылка-вывод, растет с их длиюй по меньшей мере экспонещиалью, тогда как те из hix, которые приводят к решенпо, образуют исчезающе малую долю от этого числа. Тжим образом, если правилыые следствия из правилыых предпосылок извлекаются тугад, а нгчего лучшего левое полушарие делать ie умеет, распростране- ше этой «логической вол1ы» во все сторонл переполшет шшу память существен© раньше, чем ош достипет разыскиваемого тми острова. Едигственым выходом из этой ситуации являет- является шправлеше этой волнл в шдлежащее русло, т. е. выбор ш каждом шаге тех логических ходов, которые более или менее ш- прямую могут вести к решенпо. Но что озшчает «шпрямую»? Это зшчит, что должш быть построеш паюрама проблемы, ш которой можю прочертить возможнее пути её решешя. Строи- Строительство такой паюрамы, ишче говоря геометрического образа проблемы, происходит уже в правом полушарии, которое и со- создаю природой для выполнения подобюго рода работ. Визовым строителыым материалом, в том что касается математики, слу- служат мюжества. Это — мюжества в тивюм смысле, так как ош обитают в правом полушарии. Поэтому всякая попытка формализовать их, перемещая из правого полушария в левое, является надругательством тд природой и как таковая долж- ш быть отвергн/та. Итак, оставим теорию мюжеств в правом полушарии, в той её тивюй форме, благодаря которой ош оказалась столь полезюй. Ин^шитезимальтя шблюдаемость. Выше булевы алгебры были рассмотрена как атлоги гладких алгебр. Но мы можем обратить приоритеты и сделать всё шоборот. В таком ракурсе
310 A. M. Виюградов операции, или, лучше сказать, фужторы дифферещиальюго исчисления, предстает ашлогами логических операций, а ою само — механизмом маншулировашя инриштезималыыми описаниями. Этим мы хотели бы подчеркн/ть инриштезималь- 1ый аспект, связаный с проблемой шблюдаемости. Некоторые «первичное» фужторы были описа1ы в этой кшге. Полнот их список вместе с правилами сочетания есте- естествен© пошмать как алгебру логики дифферещиальюго исчи- исчисления. Работу, связаную с полюй формализацией этой идеи, ещё предстоит завершить. В заключена стоит отметить, что, выражаясь неформальна, в воображаемом компьютере, который оперирует с шкопленым до сих пор математическим зтшем, программа «Дифферен- циальюе исчисление» заведомо не составляет часть его опера- ционой системы и, стало быть, шходится ш более высоком по сравнению с примитивном (см. выше) уровне. Это озшчает, что построеные ш его осюве геометрические образы нельзя трактовать слишком материалью. 3i нши следует оставить тот статус шивюсти, о котором мы говорили выше. Коютрук- тивюе дифферещиальюе исчисление, развитое в рамках кон- структивюй логики, иллюстриру ет, что может произойти, если проигюрировать это предостережете.
Ивдекс С°°-замкн/тая геометрическая R- алгебра, 54 /-морфизм расслоешй, 228 регулярней, 230 Г-ишарианпые отображешя, 102 Г-ишарианпые фунсции, 72, 102 К-точки к-алгебры, 126 М-точки, 39 адаптированые коордитты, 234, 290 алгебра гладких фунсций, 61 m декартовом произведен™, 7 7 алгебра символов, 191 коммутатившсть, 191 коордитты, 198 структура алгебры Л, 193 атлас, 85 размершсть, 85 согласованость, 85 условие Хаусдорфа, 87 условие счетшсти, 87 база квазирасслоешя, 206 бильярд m диске, 15 булево простраштво, 303 булевы алгебры, 301 булевы группы, 307 бутылка Клеит, 65 расслоеная тд окружюстью, 207 векторше поле, 166 вдоль отображешя, 173 Гамильтошво, 201 как гладкое сечеше, 167 m подмшгообразии, 172 отображешя, 169 ушверсальше, 175 векторше расслоеше, 234 Им, 234 Ом, 234 адаптированые коордитты, 234 модуль сечешй, 237 прямая сумма, 253 размершсть, 234 сумма Уитш, 253 векторнде расслоены морфизмы, 235 вращающееся твердое тело, 11,91 Гамильтошв формализм в Т*М, 200 311
312 Ищекс геометризация модулей, 241 геометрическая М-алгебра С°°-замкн/тая, 54 гладкая, 60 с краем, 61 гладкая оболочка, 57 ограшчеше, 50 полтя, 52 размершсть, 60 геометрическая М-алгебра, 41 геометрическиеС00 (М) -модули и псевдорасслоешя, 285 геометрический С°°(М)-модуль, 242 гладкая алгебра, 60 размершсть, 66, 148 с краем, 61 гладкая оболочка, 57 гладкая фунсция алгебраическое определеше, 60 коордиттюе определение, 94 гладкое многообразие алгебраическое определеше, 60 коордиттюе многообразия, 88 с краем, 92 гладкое мшжество, 119 касателыые векторы, 164 гладкое отображение алгебраическое определеше, 96 дифферещиал, 146, 148 коордиттюе определеше, 105 гомоморфизм ограшчешя, 51 Грассмаювопростраштво, 90 тавтологическое расслоеше тд, 217 как подрасслоеше тривиаль- шго, 222 сечешя, 221 группа GL(n), 91 50C), 15, 108, 109 50D), 109 SO(n), 91 действие, 71, 102 двойшй маятшк, 83, 84, 91 двойственое простраштво \3~\, 39 топология, 43 джеты алгебра J\M, 158 J\M, 184 J\M), 277 векторше простраштво JlzP, 289 мшгообразие JXM, 158 JlM, 185 модуль Jl(P), 293 расслоеше JXM, 159 JlP, 289 JlM, 186, 219 фунсций, 186 диффеоморфизм, 101 дифферещиал гладкого отображешя, 146 коордитты, 148 фунсций, 271 в точке, 154 дифферещиалыые 1 -формы, 271 отображешя, 276 дифферещиалыый оператор в алгебре, 180 в модуле, 189 дифферещироваше алгебры, 169 в модуле, 176 в точке спектра, 159 замет колец, 214,281
Ищекс 313 Зфисского топология, 128 ивдуцированое расслое!ие, 226 алгебраичесая формулировка, 282 ивдуцированые векторн>1е рас- слоен!я, 256 карта, 82 согласованность, 84 касательше мшгообразие, 149 специалыый атлас, 152 касательше пространство, 141 базис, 145 замет коордитт, 146 касательное расслоеше, 152, 218, 236 сечешя, 220, 221 касателыый вектор в точке спектра, 159 в точке, 141 категория Modpf С°°(М), 263 VBm векторных расслоешй, 235 квазирасслоешй, 209 мшгообразий как гладких М-алгебр, 100 как гладких атласов, 110 квазирасслоеше, 206 кокасательше мшгообразие, 153, 156 специалыый атлас, 155 кокасательше пространство алгебраическое определение, 157 в точке, 153 многообразия, 153 спектра, 160 кокасательше расслоение, 156, 219, 236 сечешя, 221 крест, 120 алгебра гладких фунсций, 120 алгебра символов, 198 векторное по ля, 171 гамильтошва мехашка, 202 касателыые пространства, 163 модули джетов, 281 модули дифферещиалыых операторов, 184 критерий тривиальшсти расслое- расслоений, 227 лемма Адамара, 33 лист Мёбиуса, 63, 97, 216, 227, 254 прямая сумма, 225 локализация, 211 локалыые коордитты, 83 максимальней спектр, 132 матрица Якоби, 146 многообразие джетов первого порядка, 158 порядка Z, 185 модуль дифферещированш, 170 со зтчешями в модуле, 176 структура алгебры Л, 178 модуль сеченш, 237 мультипликативше подмноже- ство, 211 тблюдаемые и прищип тблю- даемости, 4, 138, 202, 297, 301 ткрытие, 216 нжидимымый элемент, 242 шситель модуля, 243 ограшчеше М-алгебры, 50 ограшчеше расслоешя, 226 отображеше Гаусса, 231,257
314 Ищекс параллелизуемые мшгообразия, 219 подмшгообразие, 67 подрасслоеше векторшго расслоен!я, 250 подрасслоеше квазирасслоешя, 210 подрасслоешя, 222 подъем сечешй, 229 полтя геометрическая М-алгебра, 52 правило Жбнща, 141, 160, 166, 169, 176 призраки,133 проективше пространство ШР3, 14, 108 RPn, 75, 89 проективн>1е модули, 247 проекция квазирасслоешя, 206 пропозициотлыые алгебры, 301 простой спектр, 126, 130 пространство Грассмат тавтологическое расслоеше тд, 256 прямая дискреття, 87 длиная, 87 с двойшй точкой, 87 прямая сумма векторнех расслое- расслоений, 253 псевдорасслоеше, 241 псевдорасслоен!я и модули, 285 размершсть атласа, 85 гладкой М-алгебры, 60 карты, 82 расслоеше алгебраическое определение, 214 геометрическое определена, 215 /-морфизм, 228 векторше, 234 ивдуцированое, 226, 282 критерий тривиальюсти, 227 ограшчеше, 226 подъем сеченш, 229 регулярней /-морфизм, 230 расслоеше Z-джетов, 186, 219 сечен!я, 221 расслоеше Хопфа, 217 расслоение-произведение, 206 регулярней /-морфизм расслое- шй, 230 ряд 1йлора, 34 сечеше расслоены, 220 сечешя псевдорасслоенш, 242 символ дифферещиальшго опе- оператора, 191 скобка Пуассот, 201 спектр максимальней, 132 простой, 126, 130 сумма Уитш, 223 векторнех расслоешй, 253 тавтологическое расслоеше, 217, 256 как подрасслоеше тривиалью- го, 222 сечешя, 221 теорема о касательюм векторе, 142 о нугаюй фунсции, 110 об обратшй фунсции, 110 теорема Стоут, 303
Ищекс 315 термодитмика идеальшго газа, 22 ТОПОЛОГИЯ в|Р|,244 Зфисского, 128 т двойственом пространстве М= 1^,43 тотальше пространство квазирас- слоешя, 206 точтя последовательшсть, 239 унлверсальше векторше поле, 175 унлверсальше дифферещирова - Hie алгебраический случай, 275 геометрический случай, 273 дескриптивше определеше, 271 уншерсалыый дифферещиаль- н>ш оператор, 186,279 условие Хаусдорфа, 87 счетшсти, 87 фактормшгообразие, 73 фунстор D, 176 представляющий объект, 275 S~\212 Diffb 187, 189 представляющий объект, 280, 295 Г, 242, 245 Horru(P,-),248 абсолютной, 190 замен>1 колец, 281 точтш, 248 Хопфа отображение, 109 расслоеше, 217
Оглавлеше Предисловие 3 Глава 1. Введете 11 Глава 2. Гладкие фужции в Ш.п 28 Глава 3. Алгебры и точки 37 Глава 4. Гладкие мюгообразия (алгебраическое определена) 60 Глава 5. Карты и атласы 82 Глава 6. Гладкие отображены 96 Глава 7. Эквиваленгюсть коордиштюго и алгебраического определено! 113 Глава 8. Спектры и призраки 124 Глава 9. Дифферещиальюе исчислеше как аспект коммутативюй алгебры 137 Глава 10. Гладкие расслоешя 204 Глава 11. Векторнле расслоешя и проективное модули 233 Послесловие 297 316
Оглавлеше 317 А. М. Виюградов Прищип шблюдаемости, теория мюжеств и «осювашя математики» 301 Ищекс 311