Текст
Список тем
№№ п. п. Название темы Число карточек по уровням трудности Всего карточек по теме
1 2 3
11 Цилиндр и его элементы 10 10 7 27
12 Площадь поверхности цилиндра 12 9 9 30
13 Объем цилиндра 11 9 8 28
14 Конус и его элементы 10 15 10 35
15 Усеченный конус и его элементы 10 9 7 26
16 Площади поверхностей конуса и усеченного конуса 13 11 9 33
17 Объемы конуса и усеченного конуса 12 17 13 42
18 Сфера, шар и их элементы 13 12 12 37
Всего 8 тем 91 92 75 258
© Дудницын Ю. И, Кронгауз В. Л., 1997
© Художественное оформление Ефимов А. В., 1997
© НПО «Образование», 1997
OOQDODDO
для у р о в н е в о г о обучения
Ю.П.Дудницын, В.Л.Кронгауз
ГЕОМЕТРИЯ
Часть 2. Тела вращения
Рекомендовано
Управлением
общего среднего
образования
Министерства
общего и
профессионального
образования
Российской
Федерации
НАУЧНО-
ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ
ОБЪЕДИНЕНИЕ
ОБРАЗОВАНИЕ"
класс
Вас заинтересовало новое пособие и Вы решили приобрести его.
Искренне благодарим Вас за проявленные уважение и доверие к нашей
работе.
Созданием комплекта карточек авторы пытаются оказать помощь
учителю математики в обеспечении благоприятных условий для:
1) достижения всеми одиннадцатиклассниками базового уровня
подготовки по геометрии, соответствующего государственному стандарту
математического образования;
2) усвоения курса стереометрии на более высоком уровне учащимися,
проявляющими интерес и способности к предмету;
3) реализации уровневой дифференциации обучения на уроке.
Содержание заданий на карточках соответствует программе и
учебникам по геометрии для 11 класса полной средней обще-
образовательной школы. Поэтому новое пособие можно использовать в
школах различного типа: гимназиях, лицеях, колледжах, обычных школах,
школах физико-математических и гуманитарного профиля.
Для удобства работы с раздаточными материалами, быстрой
подготовки их к использованию все карточки комплекта упорядочены в
определенной системе. Они расположены по темам и в каждой теме
сгруппированы в соответствии с уровнем трудности заданий.
В каждой группе карточек по определенной теме предлагаются
задания трех- различных уровней сложности. К первому отнесены
задания, соответствующие государственному стандарту (обязательным
результатам обучения). Выполнение их обеспечивает успешное
продвижение одиннадцатиклассников в изучении курса стереометрии.
Ко второму — задания, решение которых предполагает умение применять
знания в ситуациях сходных с теми, что были разобраны в учебнике
или вместе с учителем на уроках. К третьему — задания,
предназначенные школьникам, проявляющим интерес к занятиям
математикой, умеющим творчески применять знания.
Большую пользу принесет использование карточек для организации
индивидуальной, групповой или фронтальной самостоятельной дея-
тельности школьников на уроке. Систематическое применение карточек
дает возможность реального осуществления дифференцированного
подхода к учащимся на различных этапах изучения конкретной темы:
при первичном изучении материала, его закреплении, проведении
тематического или итогового повторения, подготовки школьников к
тематическим зачетам или выпускным экзаменам, осуществления
контроля за уровнем знаний одиннадцатиклассников, а также для
подготовки их к вступительным экзаменам в вузы.
Опыт показывает, что родители учеников успешно используют
карточки с заданиями для организации обучения в домашних условиях
по индивидуальным планам, для определения степени подготовленности
учеников к экзамену по геометрии.
Новое пособие составляет единое целое с аналогичным комплектом
для 10 и И классов, изданным в 1994 году. При составлении карточек
для 11 класса авторы исходили из того, что большинство
десятиклассников к концу учебного года овладели умением изображать
основные геометрические конфигурации, являющиеся составной частью
многих чертежей к задачам на многогранники. Поэтому на карточках
для 11 класса не воспроизведены чертежи. Выполняя задание,
одиннадцатиклассники самостоятельно выполняют построение
соответствующего чертежа в рабочих тетрадях. При возникновении
каких-либо затруднениях учитель сам или с помощью более
подготовленных учащихся оказывает необходимую помощь.
Комплект содержит 258 карточек с заданиями по 8 темам. Общий
список тем, распределение карточек по темам и уровням сложности
приведены в общей таблице и на разделительных карточках.
Каждая карточка представлена в комплекте в единственном числе.
Если возникает необходимость продублировать некоторые задания,
рекомендуем приобрести несколько комплектов пособия.
При подготовке комплекта к использованию следует сгруппировать
карточки по темам, затем упорядочить их в каждой группе. Для этого
используйте шифр, помещенный в правом верхнем углу карточки. Первое
число указывает номер темы, второе — порядковый номер карточки в
группе по данной теме, третье — уровень трудности задания,
помещенного на карточке. Например: шифр
15.27.2
обозначает, что дано задание по 15 теме — "Усеченный конус и его
элементы". Порядковый номер карточки в этой группе — 27. Задание
имеет 2 уровень сложности. Карточки удобно хранить в каталожном
ящике.
В настоящее время завершается экспериментальная работа по
использованию комплекта карточек по геометрии для 11 класса "Часть 3",
который содержит задания по темам "Площадь сферы", "Объем шара",
"Комбинации тел".
Ю. П. Дудницын, В. Л. Кронгауз
Лист 1
Лист 2
Всего карточек 28
1 уровень 11
2 уровень 9
3 уровень 8
Всего карточек 35
1 уровень 10
2 уровень 15
3 уровень 10
Всего карточек 26
1 уровень 10
2 уровень 9
3 уровень 7
Лист 3
Всего карточек 33
1 уровень 13
2 уровень 11
3 уровень 9
Всего карточек 42
1 уровень 12
2 уровень 17
3 уровень 13
Всего карточек 37
1 уровень 13
2 уровень 12
3 уровень 12
Лист 4
Прямоугольник, диагональ которого равна 25 см, а
одна сторона 20 см, вращается вокруг меньшей сто-
роны.
Вычислите:
а) длину высоты полученного цилиндра;
б) площадь основания цилиндра.
Диагональ прямоугольника равна 18 см, она состав-
ляет с его стороной угол 30°. Прямоугольник вращается
вокруг большей стороны.
Вычислите:
а) длину высоты полученного цилиндра;
б) площадь основания цилиндра;
в) площадь осевого сечения цилиндра.
Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь кото-
рого 36 дм2.
Вычислите:
а) длину образующей цилиндра;
б) площадь основания цилиндра.
Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ ко-
торого равна 12 см.
Вычислите:
а) длину образующей цилиндра;
б) площадь основания цилиндра.
Лист 5
Диагональ осевого сечения цилиндра равна d. Угол
между этой диагональю и плоскостью основания цили-
ндра <р.
Найдите:
а) высоту цилиндра;
б) радиус основания цилиндра.
Высота цилиндра на 2 см больше радиуса его осно
вания. Площадь осевого сечения цилиндра 96 см2.
Вычислите длину:
а) радиуса основания цилиндра;
б) высоты цилиндра.
Образующая цилиндра в 3 раза больше диаметра
его основания. Площадь осевого сечения цилиндра
300 см2.
Вычислите:
а) длину образующей цилиндра;
б) площадь основания цилиндра.
Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллель-
ной его оси, равна 72 дм2. Плоскость сечения удалена
от оси цилиндра на 4 дм. Высота цилиндра равна 12 дм.
Вычислите площадь основания цилиндра.
Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллель-
ной его оси, равна 360 см2. Основание сечения 6V3" см.
Радиус основания цилиндра 6 см.
Вычислите:
а) длину образующей цилиндра;
б) расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
Высота цилиндра равна 18 см, радиус его основа
ния — 15 см. Сечение цилиндра плоскостью, парал
лельной его оси, является квадратом. Вычислите рас
стояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
Найдите множество точек цилиндра, равноудален-
ных от его оси и одной из образующих.
Найдите множество точек цилиндра, равноудален-
ных от двух данных оборазующих, которые не являются
сторонами его осевого сечения.
Лист 7
Через образующую цилиндра проведены два сечения,
плоскости которых взаимно перпендикулярны. Пло-
щадь каждого из них равна 36 дм2. Вычислите площадь
осевого сечения цилиндра.
Через образующую цилиндра проведены два сечения,
плоскости которых взаимно перпендикулярны. Пло-
щади сечений 150 см2 и 80 см2. Высота цилиндра 10 см.
Вычислите площадь:
а) осевого сечения цилиндра;
б) основания цилиндра.
Образующая цилиндра 12 см, радиус его основания
6 см. Через две образующие цилиндра проведено сече-
ние, оно отсекает от окружности основания дугу в 60°.
Вычислите площадь:
а) осевого сечения цилиндра;
б) данного сечения.
Площадь осевого сечения цилиндра 24 см2. Вычис-
лите площадь сечения, параллельного оси цилиндра и
отсекающего от окружности основания дугу 120°.
Лист 8
Высота цилиндра 15 дм, радиус его основания 10 дм.
Длина отрезка, концы которого лежат на окружностях
оснований, равна 3V4Tдм. Вычислите расстояние от
оси цилиндра этого отрезка.
Через образующую цилиндра проведены два сечения.
Одно из них является осевым сечением цилиндра, его
площадь равна 48 см2. Угол между плоскостями сече-
ний 60°. Вычислите площадь второго сечения.
Через образующую цилиндра проведены две плоско-
сти, угол между которыми 30°. Одна из них содержит
ось цилиндра. Найдите отношение площадей получен-
ных сечений.
Радиус основания цилиндра равен R. На расстоянии
у от оси цилиндра проведено сечение, содержащее две
образующие. Найдите отношение площадей осевого и
данного сечения.
Лист 9
Плоскости двух сечений цилиндра взаимно перпен-
дикулярны. Линия их пересечения параллельна оси
цилиндра. Общий отрезок сечений делит одно из них
на части, площади которых равны 77 см2 и 27 см2, а
другое — на части, площади которых пропорциональ-
ны числам 7 и 33. Вычислите площадь осевого сечения
цилиндра.
Радиус основания цилиндра равен R. Найдите рас-
стояние между осевым и параллельным ему сечениями,
если отношение их площадей равно 2.
Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите
площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной
его оси и удаленной от нее на расстояние равное
половине радиуса основания.
Высота и радиус основания цилиндра равны соотве-
тственно 15 см и 5 см. Концы отрезка МК лежат на
окружностях верхнего и нижнего оснований, МК =
= 17 см. Вычислите расстояние между прямой МК и
осью цилиндра.
у
Лист 10
Высота и радиус основания цилиндра равны соответ-
ственно 32 см и 13 см. Вершины прямоугольника ABCD
лежат на окружностях оснований и различных образу-
ющих цилиндра. Вычислите площадь прямоугольника
ABCD, если АВ : ВС = 1 : 4.
Отношение площади основания цилиндра к площади
его осевого сечения равно а : Ь. Найдите величину угла
между диагоналями осевого сечения.
Осевое сечение цилиндра — квадрат ABBiAi со сто-
роной равной а (А и В — точки нижнего основания
цилиндра).
Найдите кратчайшее расстояние по поверхности ци-
линдра между:
а) точками А и Bi;
б) серединами образующих AAi и BBi;
в) серединой отрезка AAi и точкой В.
Диагональ осевого сечения цилиндра 18 см, она со-
ставляет с плоскостью основания угол 30°. Вычислите
площадь полной поверхности цилиндра.
X
Лист 11
Стороны прямоугольника равны 2 дм и 4 дм. Вычи-
слите отношение полных поверхностей цилиндров, по-
лученных при вращении прямоугольника вокруг его
сторон.
Площадь боковой поверхности цилиндра 100л см2
Вычислите площадь его осевого сечения.
Основание и высота развертки боковой поверхности
цилиндра равны соответственно 20 см и 15 см. Вычис-
лите площадь полной поверхности цилиндра.
Стороны прямоугольника, который является развер-
ткой боковой поверхности цилиндра, равны 24л см и
16 см (высота цилиндра).
Вычислите:
а) длину радиуса основания цилиндра;
б) длину диагонали осевого сечения цилиндра;
в) площадь полной поверхности цилиндра.
у
Лист 12
Квадрат со стороной 32 см являтеся разверткой боко-
вой поверхности цилиндра.
Вычислите площадь:
а) боковой поверхности цилиндра;
б) полной поверхности цилиндра.
Разверткой боковой поверхности цилиндра является
квадрат, диагональ которого 6 см. Вычислите площадь
поверхности цилиндра.
Диагональ прямоугольника 24 см. Она образует с
основанием угол 60°. Вычислите площадь полной по-
верхности цилиндра, образованного при вращении
прямоугольника вокруг меньшей стороны.
Диагональ прямоугольника ABCD равна а. Угол САВ
равен <р. Найдите площадь боковой поверхности цилин-
дра, полученного при вращении прямоугольника ABCD
вокруг прямой АВ.
X
Лист 13
Меньшая сторона прямоугольника равна а. Угол
между диагоналями 2<р. Найдите площадь боковой по-
врехности цилиндра, полученного при вращении пря-
моугольника вокруг данной стороны.
Образующая цилиндра на 4 дм больше диаметра его
основания. Вычислите площадь полной поверхности
цилиндра, если диагональ осевого сечения равна 20 дм.
Высота цилиндра на 12 см больше радиуса его ос-
нования. Площадь полной поверхности цилиндра
288л см2.
Вычислите:
а) длину высоты цилиндра;
б) площадь основания цилиндра.
Диагональ прямоугольника, который является разве-
рткой боковой поверхности цилиндра, равна 10 см.
Основание развертки 5 см. Вычислите площадь полной
поверхности цилиндра.
Высота цилиндра на 10 см больше радиуса его ос-
нования. Площадь полной поверхности цилиндра
264л см2.
Вычислите:
а) длину диаметра основания цилиндра;
б) площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь основания цилиндра 36 см2. Площадь его
18 ,
осевого сечения — см2.
л
Вычислите:
а) площадь полной поверхности цилиндра;
б) наибольшее расстояние между точками верхнего и
нижнего оснований.
Площадь боковой поверхности цилиндра 40 дм2.
Диагонали его осевого сечения взаимно перпендику-
лярны. Вычислите площадь полной поверхности цили-
ндра.
Высота цилиндра 36 см, диаметр его основания —
20 см. На сколько нужно увеличить высоту цилиндра,
чтобы площадь боковой поверхности нового цилиндра
оказалась равной площади полной поверхности дан-
ного?
Лист 15
Лист 16
Диагональ осевого сечения цилиндра 20 см. Площадь
полной поверхности цилиндра в 2 раза больше площади
его боковой поверхности. Вычислите площадь полной
поверхности цилиндра.
Через две образующие цилиндра проведено сечение.
Оно отсекает от окружности основания цилиндра дугу
в 90° и делит его боковую поверхность на две части.
Вычислите отношение их площадей.
Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси
и удаленной от нее на расстояние равное половине
радиуса основания, является квадратом. Его площадь
216 см2. Вычислите площадь полной поверхности ци-
линдра.
Площадь боковой поверхности цилиндра 144л см2.
Его осевое сечение — квадрат. На какие отрезки нужно
разделить образующую плоскостью, параллельной ос-
нованию, чтобы площадь полной поверхности одного
из образовавшихся цилиндров была в 2 раза больше
площади полной поверхности другого?
Лист 17
Хорда основания цилиндра равна а. Она стягивает
дугу окружности основания в Р°. Площадь сечения,
проведенного через эту хорду перпендикулярно плос-
кости основания, равна S. Найдите площадь полной
поверхности цилиндра.
Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра
12 см. Она составляет с основанием развертки угол а.
При каком значении а площадь полной поверхности
цилиндра принимает наибольшее значение?
Отношение площадей боковой поверхности цилинд-
ра и его основания равно 8. Расстояние между образу-
ющей и перпендикулярным ей диаметром основания
равно 10 см. Вычислите площадь полной поверхности
цилиндра.
Отношение площади полной поверхности цилиндра
к площади его осевого сечения равно 2л. Найдите угол
между диагональю осевого сечения и плоскостью осно-
вания цилиндра.
Лист 18
Сумма длин радиуса основания и образующей цили-
ндра равна 8 дм. Радиус основания может изменяться
от 1,5 дм до 3 дм. При каком значении радиуса разность
между площадями боковой поверхности и оснований
будет наибольшей?
Образующая цилиндра 16 см. Диагнональ его осевого
сечения — 20 см. Вычислите объем цилиндра.
Диагональ осевого сечения цилиндра 12 см, она на-
клонена к плоскости основания под углом 45°. Вычис-
лите объем цилиндра.
Высота и диаметр основания одного цилиндра равны
соответствено 8 м и 6 м. Высота и диаметр другого
цилиндра — 4 м и 3 м. Вычислите отношение объемов
этих цилиндров.
Лист 19
Лист 20
X
Лист 21
Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь кото-
рого равна S. Найдите объем этого цилиндра.
Радиусы оснований двух цилиндров равны R и г.
Осевое сечение каждого из них является квадратом.
Найдите отношение объемов этих цилиндров.
Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его
оси. Диагональ сечения равна она наклонена к
плоскости основания цилиндра под уголом <р. Плос-
кость сечения отсекает от окружности основания дугу
величиной а. Найдите объем цилиндра.
Прямоугольник, площадь которого 200 см2, вращает-
ся вокруг одной из сторон. Точка пересечения его диа-
гоналей описывает окружность, длина которой 20л см.
Вычислите объем цилиндра.
X
Прямоугольник, периметр которого равен Р, враща-
ется вокруг одной из сторон. Длина окружности, кото-
рую описывает точка пересечения его диагоналей, рав-
на с. Найдите объем цилиндра.
Радиус основания цилиндра равен R. Площадь сече-
ния цилиндра плоскостью, параллельной его оси, рав-
на S. Расстояние между осью и плоскостью сечения
равно 0,5 R. Найдите объем цилиндра.
Лист 22
Диагональ прямоугольника равна 30 см, его площадь V
432 см2. Вычислите объем цилиндра, г слученного при
вращении прямоугольника вокруг большей стороны.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна S.
Длина окружности его основания С. Найдите объем
цилиндра.
Лист 23
Квадрат, сторона которого равна т, вращается вокруг
прямой, параллельной его стороне. Расстояние от этой
прямой до ближайшей стороны квадрата равно 2 т.
Найдите объем тела, полученного при вращении квад-
рата.
Вершины квадрата, площадь которого равна 36 см2,
лежат на окружностях оснований цилиндра. Угол меж-
ду плоскостями квадрата и основания цилиндра равен
60°. Вычислите объем цилиндра.
Вершины равностороннего треугольника, сторона
которого равна т, расположены на окружностях осно-
ваний цилиндра. Угол между плоскостями треугольни-
ка и основания цилиндра а. Найдите объем цилиндра.
В нижнее основание цилиндра вписан треугольник,
площадь которого 336 см2. Его стороны пропорциона-
льны числам 7, 24, 25. Расстояние от центра верхнего
основания цилиндра до вершин треугольника 65 см.
Вычислите объем цилиндра.
X
Лист 24
Высоты двух цилиндров пропорциональны числам 3
и 5. Площадь боковой поверхности каждого цилиндра
равна площади его основания. Найдите отношение
объемов этих цилиндров.
Площадь боковой поверхности цилиндра численно
равна его объему. Найдите диаметр основания ци-
линдра.
Радиусы оснований двух цилиндров равны R и г.
Площади их боковых поверхностей равны. Найдите
отношение объемов этих цилиндров.
Найдите наибольший возможный объем цилиндра,
площадь полной поверхности которого равна 54л см2,
если известно, что длина радиуса основания может
изменяться от 1 см до 4 см.
X
Лист 25
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см.
Найдите наибольший возможный объем цилиндра.
Диаметр основания конуса 16 см, длина его высоты
8 см.
Вычислите:
а) длину образующей;
б) угол наклона образующей конуса к плоскости его
основания.
Длина образующей конуса равна 4 дм, она наклонена
к плоскости основания под углом 30°.
Вычислите длину:
а) радиуса основания конуса;
б) высоты конуса.
Длина образующей конуса равна а. Угол при вершине
его осевого сечения 2[3. Найдите площадь основания
конуса.
X
Лист 26
Длина образующей конуса 10 см, диаметр его осно-
вания 12 см.
Вычислите:
а) длину высоты конуса;
б) площадь осевого сечения конуса;
в) расстояние от центра основания конуса до обра-
зующей.
Длина образующей конуса равна 10 см, диаметр его
основания 5^/3” см. Вычислите наибольший угол между
образующими конуса.
Радиус основания конуса 9 дм, площадь его осевого
сечения 360 дм2. Вычислите длину образующей конуса.
Образующая конуса 18 см, она наклонена к плоско-
сти основания под углом 60°. Вычислите площадь осе-
вого сечения конуса.
Лист 27
Равнобедренный прямоугольный треугольник, пло-
щадь которого 144 см2, вращается вокруг катета. Вычи-
слите площадь основания и длину образующей образо-
вавшегося конуса.
Образующая конуса 17 см, его высота 15 см. Через
середину высоты проведена плоскость, параллельная
плоскости его основания. Вычислите площадь получен-
ного сечения.
Площадь сечения конуса плоскостью, параллель-
ной его основанию и делящей высоту пополам, равна
144 см2. Образующая конуса равна диаметру его осно-
вания. Вычислите длину высоты конуса.
Наибольший угол между образующими конуса 120°.
Площадь его осевого сечения 40\3 см2.
Вычислите длину:
а) образщующей конуса;
б) высоты конуса;
в) радиуса основания конуса.
Лист 28
Длины образующей и радиуса основания конуса рав-
ны соответственно 15 см и 12 см. Через хорду основа-
ния, длина которой 18 см, и вершину конуса проведено
сечение.
Вычислите:
а) площадь сечения;
б) длину высоты конуса.
Через вершину конуса и хорду его основания, равную
16 см, проведено сечение. Угол между плоскостями
сечения и основания конуса 60°. Радиус основания
конуса равен 10 см.
Вычислите:
а) длину высоты конуса;
б) расстояние от центра основания конуса до плос-
кости сечения.
Хорда основания конуса, длина которой равна 12 см,
стягивает дугу в 90°. Через эту хорду и вершину конуса
проведено сечение. Угол между плоскостями основа-
ния конуса и сечения равен 60°.
Вычислите:
а) длину высоты конуса;
б) длину радиуса основания конуса;
в) площадь сечения.
Высота конуса 6 дм. Через вершину конуса проведе-
но сечение, отсекающее от окружности основания ее
шестую часть. Угол между плоскостями сечения и осно-
вания конуса равен 30°. Вычислите площадь сечения.
Лист 29
Лист 30
—
LJTZ
Центральный угол развертки боковой поверхности
конуса 120°. Образующая конуса 30 см. Вычислите дли-
ну окружности основания конуса.
Плоскость, параллельная основанию конуса, делит
его высоту в отношении 2:3, считая от вершины.
Образующая конуса 12 см. Наибольший угол между
образующими 120°. Вычислите площадь сечения ко-
нуса.
KrKjbiLiai
Центральный угол развертки боковой поверхности
конуса 120°. Образующая конуса 27 см. Вычислите пло-
щадь основания конуса.
Центральный угол развертки боковой поверхности
конуса равен ф, длина ее дуги — j. Найдите угол при
вершине осевого сечения конуса.
Лист 31
Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2 а°.
Сколько градусов содержит центральный угол разверт-
ки его боковой поверхности, если sin а = 0,4?
Высота конуса равна VTдм. Его осевым сечением
является равносторонний треугольник. Вычислите гра-
дусную меру центрального угла развертки боковой по-
верхности конуса.
J.Rj! JLlH
Высота конуса 20 см, радиус его основания 25 см.
Через вершину конуса проведена плоскость, удаленная
от центра его основания на 12 см. Вычислите площадь
сечения конуса.
Через вершину конуса, высота которого равна Н,
проведено сечение. Угол между плоскостями сечения и
основания равен а. Угол при вершине сечения 2<р.
Найдите:
а) радиус основания конуса;
б) расстояние от центра основания до плоскости
сечения.
у
Лист 32
Образующая и радиус основания конуса равны /
Найдите:
а) градусную меру центрального угла развертки бо-
ковой поверхности конуса;
б) площадь круга, вписанного в развертку боковой
поверхности конуса.
Высота конуса равна радиусу его основания. Через
две образующие проведена плоскость, отсекающая от
окружности основания дугу в 90°. Вычислите угол ме-
жду плоскостями сечения и основания.
Угол при вершине осевого сечения конуса равен а.
Найдите градусную меру центрального угла развертки
его боковой поверхности.
Разность между длинами образующей и высотой ко-
нуса равна (11 — 4^6) см. Синус угла между образу-
ющей и высотой -jy. Вычислите площадь основания
конуса.
Лист 34
Длины радиусов оснований и образующей усеченно-
го конуса равны соответствено 7 см, 15 см и 17 см.
Вычислите длину его высоты.
Длины диаметров оснований и образующей усечен-
ного конуса равны соответственно 10 см, 22 см и 20 см.
Вычислите площадь осевого сечения усеченного ко-
нуса.
Длины радиусов оснований и высоты усеченного
конуса равны соответственно 4 дм, 20 дм и 30 дм. Вы-
числите длину его высоты.
Длина образующей усеченного конуса 12 см. Длины
окружностей его оснований 14л см и 30л см.
Вычислите:
а) длину высоты усеченного .конуса;
б) угол между образующей и плоскостью основания
усеченного конуса.
Лист 35
Длины радиусов оснований усеченного конуса 10 см
и 8 см. Угол между его образующей и плоскостью
основания 45°. Вычислите площадь осевого сечения
усеченного конуса.
Длины образующей и диаметра основания конуса
равны соответственно 26 см и 20 см. Через середину
образующей конуса проведена плоскость, параллельная
плоскости его основания.
Вычислите:
а) высоту образовавшегося усеченного конуса;
б) площадь меньшего основания усеченного конуса.
Площадь сечения усеченного конуса плоскостью,
проходящей через середину образующей и параллель-
ной его основаниям, равна 225л см2. Высота усеченного
конуса равна 20 см. Вычислите площадь его осевого
сечения.
Треугольник АВС с прямым углом С вращается во-
круг стороны ВС. АВ = 26 см, ВС = 24 см. КМ — его
средняя линия, параллельная стороне АС.
Вычислите:
а) длины образующих полученных конусов и усечен-
ного конуса;
б) площади оснований полученных конусов и усе-
ченного конуса.
X
Лист 36
Равнобокая трапеция, периметр которой равен 54 см,
вращается вокруг своей оси симметрии. Боковая сто-
рона и основания трапеции пропорциональны числам
5, 5 и 12.
Вычислите:
а) длины окружностей оснований полученного усе-
ченного конуса;
б) длину высоты усеченного конуса.
Длины высоты и меньшего основания прямоуголь-
ной трапеции равны 8 см. Угол между боковой сторо-
ной и основанием 45°. Трапеция вращается вокруг
меньшей боковой стороны.
Вычислите:
а) площадь осевого сечения полученного усеченного
конуса;
б) длину его образующей.
Длины образующей и высоты усеченного конуса
равны соответственно 29 см и 21 см. Радиусы основа-
ний пропорциональны числам 5 и 9. Вычислите пери-
метр осевого сечения усеченного конуса.
Длины высоты и образующей усеченного конуса
равны соответствено 12 см и 13 см. Радиусы оснований
пропорциональны числам 3 и 4. Вычислите площади
оснований усеченного конуса.
X
Лист 37
Длина высоты усеченного конуса 8 см, радиуса од-
ного из оснований 13 см. Вычислите площадь осевого
сечения усеченного конуса, если длина его образующей
17 см.
Радусы оснований усеченного конуса 37 см и 2 см
Образующая его равна радиусу одного из оснований
Вычислите площадь осевого сечения усеченного ко-
нуса.
Площадь осевого сечения конуса 64 см2. Угол при его
вершине 90°. Через середину образующей конуса про-
ведено сечение, параллельное основанию.
Вычислите:
а) высоту образовавшегося усеченного конуса;
б) площади оснований усеченного конуса.
Радиусы оснований усеченного коунса 12 см и 20 см.
Диагональ его осевого сечения перпендикулярна боко-
вой стороне.
Вычислите длину:
а) высоты усеченного конуса;
б) образующей усеченного конуса.
Через середину образующей усеченного конуса, дли-
на которой 29 см, проведена плоскость, параллельная
его основаниям. Площади оснований равны 25л см2 и
676л см2.
Вычислите:
а) площадь сечения;
б) длины отрезков высоты усеченного конуса, на
которые делит ее плоскость сечения.
Образующая усеченного конуса 10 см. Площади его
оснований л дм2 и 49л дм2. Через некоторую точку
образующей проведена плоскость, параллельная осно-
ваниям. Площадь полученного сечения равна полусум-
ме площадей оснований. Вычислите длины отрезков,
на которые делит сечение высоту усеченного конуса.
Основания прямоугольной трапеции пропорциона-
льны числам 2 и 3. Боковая сторона ее равна 30 см и
наклонена к основанию под углом 60°. Трапеция вра-
щается вокруг меньшей боковой стороны.
Вычислите:
а) длину высоты полученного усеченного конуса;
б) площади оснований усеченного конуса.
Через две образующие усеченного конуса проведена
плоскость, отсекающая от окружностей оснований дуги
в 120°.
Вычислите:
а) площадь сечения;
б) угол между плоскостями сечения и основания,
если радиусы оснований равны 10 см и 2 см.
Лист 39
Отношение площадей оснований усеченного конуса
равно 4. Длина его образующей 2,5 дм. Синус угла
наклона образующей к плоскости большего основа-
ния 0,6.
Вычислите площадь осевого сечения:
а) усеченного конуса;
б) полного конуса.
Длины радиусов оснований и образующей усеченно-
го конуса равны соответственно 7 см, 17 см и 26 см.
Вычислите расстояния от точки пересечения диагона-
лей осевого сечения до плоскостей оснований.
Диагональ осевого сечения усеченного конуса дели-
7 1
тся его осью на отрезки длиной 6 т- см и 13 т- см. Длина
О о
образующей 13 см. Вычислите длины радиусов основа-
ний усеченного конуса.
Длины образующей и радиусов оснований усеченно-
го конуса равны соответственно 24 см, 18 см и 10 см.
Вычислите градусную меру дуги развертки боковой
поверхности усеченного конуса.
X
Лист 40
В усеченном конусе, радиусы оснований которого R
и г, проведена плоскость под углом а к основанию. Эта
плоскость отсекает от окружности каждого основания
дугу в 0°. Найдите площадь сечения усеченного конуса
данной плоскостью.
Радиус окружности, вписанной в осевое сечение усе-
ченного конуса, равен R. Угол между образующей и
плоскостью основания <р.
Найдите:
а) длину образующей усеченного конуса;
б) площадь сечения, проведенного через середину
образующей, параллельно основаниям усеченного ко-
нуса.
Длина образующей конуса 24 см. Угол между обра-
зующей и плоскостью основания 60°. Вычислите пло-
щадь боковой поверхности конуса.
Образующая конуса равна 8 см, она наклонена к
плоскости основания под углом 30°. Вычислите пло-
щадь полной поверхности конуса.
у
Лист 41
Угол между образующей и плоскостью основания
конуса 60°. Радиус его основания 3 м. Вычислите пло-
щадь боковой поверхности конуса.
Высота конуса 16 дм, его образующая 20 дм. Вычис-
лите площадь полной поверхности конуса.
Радиус основания конуса 6 см. Высота конуса 8 см.
Вычислите площадь:
а) боковой поверхности конуса;
б) полной поверхности конуса.
Длина высоты конуса 8 см. Угол при вершине его
осевого сечения 90°.
Вычислите площадь:
а) боковой поверхности конуса;
б) полной поверхности конуса.
X
Лист 42
Площадь осевого сечения конуса 420 см2. Радиус его
основания 20 см. Вычислите площадь боковой поверх-
ности конуса.
Через вершину конуса и сторону правильного треу-
гольника, вписанного в его основание, проведено се-
чение. Все стороны сечения равны а. Найдите площадь
боковой поверхности конуса.
Через вершину конуса и сторону квадрата, вписан-
ного в его основание, проведено сечение. Все стороны
сечения равны а. Найдите площадь боковой поверхно-
сти конуса.
Угол между образующей конуса и плоскостью его
основания 30°. Расстояние от центра основания до
образующей 6 см. Вычислите площадь боковой поверх-
ности конуса.
X
Лист 43
Образующая конуса 12 см. Центральный угол разве-
ртки его боковой поверхности 120°.
Вычислите площадь:
а) боковой поверхности конуса;
б) полной поверхности конуса.
Прямоугольный треугольник, катеты которого 12 см
и 5 см, вращают вокруг каждого из них. Вычислите
отношение площадей боковых поверхностей получен-
ных конусов.
Центральный угол развертки боковой поверхности
конуса 90°. Образующая конуса 6 дм.
Вычислите:
а) площаль боковой поверхности конуса;
б) длину радиуса его основания.
Образующая конуса 40 см, диаметр его основания
12 см.
Вычислите:
а) площадь боковой поверхности конуса;
б) градусную меру центрального угла развертки бо-
ковой поверхности конуса.
Площадь осевого сечения конуса 32 см2. Угол при
его вершине 90°. Вычислите площадь полной поверх-
ности конуса.
Площадь осевого сечения конуса равна У. Угол между
образующей и плоскостью основания конуса равен <р.
Найдите площадь полной поверхности конуса.
Через две образующие конуса проведено сечение, его
основание 16 см. Радиус основания конуса 10 см. Угол
между плоскостями сечения и основания конуса 60°.
Вычислите площадь полной поверхности конуса.
Осевое сечение конуса — равносторонний треуголь-
ник. Найдите отношение площадей боковой поверхно-
сти и основания конуса.
Лист 45
Высота конуса равна диаметру его основания. Най-
дите отношение площадей основания конуса и его
боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности конуса 14 дм2. Синус
угла между его образующей и высотой равен у . Вычи-
слите площадь полной поверхности конуса.
11 Ж/ Г J8
Площадь боковой поверхности конуса 100л см2. Си-
7
нус угла между образующей и его высотой равен .
Вычислите площадь полной поверхности конуса.
Высота усеченного конуса 6 см, радиусы его основа-
ний 10 см и 2 см.
Вычислите площадь:
а) боковой поверхности усеченного конуса;
б) полной поверхности усеченного конуса.
Вычислите площадь боковой поверхности усеченно-
го конуса, радиусы оснований которого равны 11 см и
21 см, а диагональ его осевого сечения — 40 см.
Радиусы оснований усеченного конуса равны Ли г.
Угол между образующей и плоскостью основания усе-
ченного конуса равен <р. Найдите площадь боковой
поверхности усеченного конуса.
lBj I lKj И
I i’FJ ilFiflB
Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2ф.
Радиус окружности описанной около него — R. Найди-
те площадь полной поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса втрое больше
площади его основания. Найдите угол между образу-
ющей и плоскостью основания конуса.
Лист 47
Угол при вершине осевого сечения конуса 2<р. Пери-
метр осевого сечения 2р. Найдите площадь полной
поверхности конуса.
Образующая усеченного конуса 10 см, разность ра-
диусов его оснований 6 см, площадь осевого сечения
112 см2. Вычислите площадь боковой поверхности усе-
ченного конуса.
I ГГ>; F И
! UEJI i RJ НЮ
11 № 1! Fl И5
Диагональ осевого сечения усеченного конуса 10 см.
Синус угла наклона ее к плоскости большего основания
0,75. Образующая 8 см.
Вычислите площадь:
а) осевого сечения усеченного конуса;
б) боковой поверхности усеченного конуса.
Образующая усеченного конуса равна 10 см, высота
8 см. Площадь его боковой поверхности равна сумме
площадей оснований.
Вычислите:
а) площади оснований усеченного конуса;
б) площадь полной поверхности усеченного конуса.
X
Лист 48
Угол между образующей и плоскостью основания
усеченного конуса равен <р. Образующая равна L Диа-
гонали осевого сечения усеченного конуса взаимно
перпендикулярны.
Найдите площади:
а) боковой поверхности усеченного конуса;
б) полной поверхности усеченного конуса.
Угол между образующей усеченного конуса и плос-
костью его основания а. Площади оснований Si и S2.
Найдите площадь боковой поверхности усеченного ко-
нуса.
Сумма длин образующей конуса и диаметра его осно- Образующая конуса 13 см, его высота 12 см. Вычис-
вания равна 4 дм. Какую длину имеет образующая лите объем конуса.
конуса с наибольшей площадью полной поверхности?
у
Лист 49
Образующая конуса 6VT см. Угол между образующей
и плоскостью основания 45°. Вычислите объем конуса.
Радиус основания конуса 6 дм. Угол между образу-
ющей и высотой конуса 30°. Вычислите объем конуса.
Площади полной поверхности и основания конуса
равны 24л см2 и 9л см2. Вычислите объем конуса.
Стороны осевого сечения конуса 40 см, 40 см и 24 см.
Вычислите объем конуса.
X
Лист 50
Угол при вершине осевого сечения конуса 120°. Об-
разующая его 16 см. Вычислите объем конуса.
Вычислите объем конуса, радиус основания которого
24 дм, а площадь его осевого сечения 168 дм2.
Длина высоты конуса 4Ддм. Тангенс угла между
образующей и плоскостью основания равен 5. Вычис-
лите объем конуса.
Образующая конуса 4 дм. Центральный угол развер-
тки его боковой поверхности 90°. Вычислите объем
конуса.
Площадь осевого сечения конуса 12,5ч2 дм2. Наибо-
льший угол между образующими 90°. Вычислите объем
конуса.
Через середину высоты конуса проведена плоскость,
параллельная плоскости основания. Найдите отноше-
ние объемов тел, на которые делит эта плоскость дан-
ный конус.
Образующая конуса 20 см. Площадь его основания
144л см2. Через точку, которая делит образующую в
отношении 3:1, считая от вершины конуса, проведена
плоскость, параллельная плоскости основания. Вычи-
слите объемы частей, на которые делит эта плоскость
данный конус.
Хорда основания конуса равная 6 дм, стягивает дугу
в 90°. Через эту хорду и вершину конуса проведено
сечение. Угол между плоскостями сечения и основания
конуса 60°. Вычислите объем конуса.
Лист 52
Радиус основания конуса равен R. Через вершину
конуса и хорду его основания проведено сечение. Угол
между плоскостями сечения и основания конуса равен
ф. Градусная мера меньшей из дуг, на которые делит
хорда окружность основания, равна а°. Найдите объем
конуса.
Угол между плоскостями основания конуса и сече-
ния, проходящего через две его образующие, равен а.
Хорда, являющаяся основанием сечения, равна 2т. Она
удалена от центра основания конуса на расстояние,
равное £. Найдите объем конуса.
Угол при основании осевого сечения конуса равен
а. Радиус окружности, описанной около него г. Найди-
те объем конуса.
Длины высоты и образующей конуса пропорциона-
льны числам 4 и 5. Объем конуса 96л см3. Вычислите
площадь его полной поверхности.
Лист 53
Лист 54
Площаль боковой поверхности конуса VTOOn см2.
Тангенс угла между образующей и плоскостью основа-
ния равен 3. Вычислите объем конуса.
Угол между образующей и плоскостью основания
конуса 60°. Площадь его боковой поверхности 6л см2.
Вычислите объем конуса.
Через середину образующей конуса проведена плос-
кость, параллельная его основанию. Вычислите объем
отсеченного конуса, если объем другой отсеченной
части равен 70 см3.
Объем усеченного конуса 584л см3. Радиусы его ос-
нований 10 см и 7 см. Вычислите длину высоты усечен-
ного конуса.
у
Лист 56
Отношение площадей основания и боковой поверх-
ности конуса равно т. Длина образующей I. Найдите
объем конуса.
Угол между образующей и плоскостью основания
конуса <р. Разность длин образующей и высоты конуса
d. Найдите объем конуса.
Площадь боковой поверхности конуса равна 5. Рас-
стояние от центра основания до образующей d. Найдите
объем конуса.
Сечением конуса плоскостью, содержащей его вер-
шину, является прямоугольный треугольник. Оно делит
боковую поверхность конуса на две части, площади
которых относятся как 1 : 2. Радиус основания конуса
равен R. Найдите объем конуса.
Лист 57
Высота конуса Н. Две его взаимно перпендикулярные
образующие делят площадь боковой поверхности на две
части, отношение которых равно 0,5. Найти объем
конуса.
Объем конуса 243 см3. Высота конуса разделена на
три равные части. Через точки деления проведены
плоскости, параллельные основанию. Вычислите объем
части конуса расположенной между этими плоскос-
тями.
fSTiYSf!
Объем усеченного конуса 2580л см3. Его высота рав-
3
на 15 см. Она составляет - высоты полного конуса.
О
Вычислите длину радиуса большего основания усечен-
ного конуса.
Радиусы усеченного конуса пропорциональны чис-
лам 1 и 2. Площадь его полной поверхности вдвое
больше площади боковой поверхности. Площадь осе-
вого сечения усеченного конуса /и2. Найдите его объем.
Лист 59
Периметр равнобедренного треугольника 2р. Какую
длину должны иметь его стороны, чтобы объем тела,
образованного при вращении треугольника вокруг ос-
нования, был наибольшим?
Точка С сферы удалена от концов ее диаметра АВ на
10 см и 24 см. Вычислите длину линии пересечения
сферы и плоскости, содержащей точки А, В и С.
Радиус сферы 10 см. На расстоянии 5VJ см от ее
центра проведена плоскость. Вычислите длину линии
их пересечения.
Радиус шара 10 см. На расстоянии 8 см от его центра
проведена плоскость. Вычислите площадь фигуры, яв-
ляющейся их пересечением.
Лист 60
Диаметр шара 52 см. Вычислите площадь сечения
шара плоскостью, удаленной от его центра на 10 см.
Через точку сферы проведены две взаимно перпен-
дикулярные плоскости. Они пересекают сферу по окру-
жностям, радиусы которых равны п и Г2.
Найдите:
а) радиус сферы;
б) расстояния от центра сферы до каждой плоскости.
иягяягетзтяи
Плоскость касается шара, радиус которого 5 см. То-
чка М этой плоскости удалена от центра шара на 13 см.
Вычислите расстояние от точки М до точки касания
шара и плоскости.
На поверхности шара радиуса R даны две точки, рас-
стоянние между которыми равно радиусу шара. Найди-
те кратчайшее расстояние по поверхности шара между
этими точками.
Угол между двумя радиусами шара 90°. Расстояние
между их концами 15см. Вычислите кратчайшее рас-
стояние по поверхности шара между концами радиусов.
Через точку А, лежащую на поверхности шара, радиус
которого равен R, проведена плоскость. Угол между
этой плоскостью и радиусом, проведенным в точку А,
равен 60°. Найдите площадь сечения шара этой плос-
костью.
Лист 61
На поверхности шара даны три точки, расстояния
между которыми равны 8 см. Вычислите площадь сече-
ния шара плоскостью, содержащей эти точки.
Составьте уравнение сферы с центром в точке С(—9;
4; 0), проходящей через точку А(0; 1; 0).
Сфера задана уравнением х2 + у2 + z2 = 64. Вычис-
лите расстояние от точки М (—4; —7; 5) до ближайшей
точки сферы.
Плоскость, перпендикулярная диаметру сферы, де-
лит его на отрезки длиной 4 дм и 25 дм.
Вычислите:
а) длину линии пересечения сферы и плоскости;
б) расстояния от концов диаметра до точек линии
пересечения сферы и плоскости.
Лист 62
X
Радиус сферы 63 см. Точка М касательной плоскости
удалена на 16 см от точки касания.
Вычислите расстояние от точки М до:
а) ближайшей точки сферы;
б) точки сферы наиболее удаленной от М.
Через точку М проведены к шару две касательные
плоскости. Двугранный угол, между гранями которого
расположен шар, равен 60°. Кратчайшее расстояние
по поверхности шара между точками касания равно
120 см. Вычислите длину радиуса шара.
Лист 63
ния, если их радиусы равны 24 см.
у
Лист 64
Радиус шара 10дм. Две параллельные плоскости
расположены по разные стороны от его центра. Пло-
щади сечений равны 36л дм2 и 64л дм2. Вычислите
расстояние между плоскостями.
Радиус шара 13см. По одну сторону от его центра
проведены две параллельные плоскости. Площади по-
лученных сечений 144л см2 и 69л см2. Вычислите дли-
ны отрезков, на которые делят эти плоскости перпен-
дикулярный им диаметр шара.
На поверхности шара даны три точки, расстояние
между которыми равны 12 см, 16 см и 20 см. Расстоя-
ние от центра шара до плоскости, проведенной через
эти точки, 24 см. Вычислите длину окружности боль-
шого круга данного шара.
Стороны треугольника, равные 39 см, 28 см и 17 см,
касаются сферы, радиус которой равен 13 см. Вычис-
лите длины отрезков, на которые делит плоскость тре-
угольника перпендикулярный ей диаметр.
X
Составьте уравнение сферы, диаметром которой яв-
ляется отрезок АВ, А(—2; 3; 0), В(1; 2; —1).
Лист 65
Сфера задана уравнением х2 + у2 + z2 - 2х + 4у = 4.
Вычислите:
а) координаты центра сферы;
б) длину радиуса сферы.
Длина общей хорды двух взаимно перпендикулярных
сечений шара 16 см. Площади этих сечений 185л см2 и
320л см2. Вычислите длину окружности большого круга
данного шара.
Через середину радиуса шара проведена перпендику-
лярная ему плоскость.
Найдите отношение:
а) площадей сечения и большого круга этого шара;
б) расстояний от концов диаметра до точек окружно-
сти сечения.
X
Угол между двумя диаметрами большого круга шара
равен 2а. Разность хорд, соединяющих конец одного с
концами другого, равна т. Найдите радиус шара.
Радиусы двух шаров 25 см и 29 см. Расстояние между
их центрами 36 дм. Вычислите длину линии, по которой
пересекаются их поверхности.
Лист 66
Лист 67
Длины сторон треугольника 13 см, 14 см и 15 см.
Шар, радиус которого 5 см, касается всех сторон треу-
гольника.
Вычислите:
а) площадь круга, являющегося пересечением шара
и плоскости треугольника;
б) расстояния от центра шара до сторон треуголь-
ника.
Шар касается всех сторон правильного треугольника,
сторона которого равна а. Радиус шара равен R.
Найдите расстояние от центра шара до:
а) сторон треугольника;
б) вершины треугольника.
Стороны ромба касаются сферы радиуса R. Найдите
расстояние от центра сферы до плоскости ромба, если
диагонали его равны 2di и 2сЬ.
Через точку А проведены три касательные к шару.
Углы между касательными 60°. Расстояние от точки А
до точки касания равно а. Радиус шара равен R. Найди-
те расстояние от точки А до центра шара.
Лист 68
444Ш^
Сфера проходит через точки А(1; —2; —2), В(0; 2; —3),
С(1; -2; 0), D(0; 0; -1). Найдите координаты центра
сферы и ее радиус.
Даны две сферы (х - 5)2 + у1 + (z ~ V26)2 = 64,
х2 + (у — 7)2 + z2 = 36.
а) Докажите, что они имеют общие точки.
б) Вычислите длину линии их пересечения.