Текст
.ЕМГУЛ'/' W
ГМ КЛЕЙНЕР
ЛЛШЕйНЕР
» 2
МАТЕМАТИКА
...И. НАУЧНАЯ
КАРТИНА
™**AgF •»-|-*А£|'цИ|ц_ •"'
«л
JinnnnnnmmnmiiininiiiiiiiiiiiffllF
ЕГИПЕТСКАЯ МАТЕМАТИКА
Геометрические задачи возникали из практики строительства
и земледелия.
Египтяне умели вычислять объемы ряда пространственных фигур,
в частности призмы и пирамиды.
ЕГИПЕТСКАЯ МАТЕМАТИКА
Египтяне умели точно вычислять площади треугольников, прямо-
угольников и трапеций, а приближенно — площадь произвольного
четырехугольника. Некоторые практические задачи сводились к вы-
числению членов арифметической и геометрической прогрессий.
Занимающаяся практическими вопросами математическая наука
египтян созвучна с формой художественного творчества, пытающего-
ся дать возможно более полное й совершенное изображение пред-
метов. В рельефе и рисунках художник располагает все, насколько
возможно, в плоскости, так как это позволяет представить наибольшее
количество точных данных для реального изображения.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
РАБОТЫ ДРЕВНИХ
ГРЕКОВ
Фалес Милетский (638/37—548/47 до н. э.) — один из основа-
телей древнегреческой философии и науки. Его именем названа
теорема (вошедшая в школьный курс математики) о пропорцио-
нальности отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах
Эвдокс Книдский (ок. 406 — ок. 355 до н. э.) рзраббтал так
называемый метод исчерпывания, предвосхитивший учение о преде-
лах. На рисунке представлен ход рассуждений этим методом, которые
ведут к вычислению площади параболического сегмента (парабо-
лический сегмент исчерпывается треугольникам*).
Эратосфен Киренский (ок. 276—194 до н. э.) — изобретатель
знаменитого способа «отсеивания» простых чисел из натурального
ряда — «решета Эратосфена».
Аполлоний Пергский (ок. 260—170 до н. э.) — создатель теории
конических сечений, нашедшей применения лишь в XVI—XVII ст.,
когда Кеплер установил, что планеты Солнечной системы движутся
по эллипсам, а Галилей показал, что брошенный вверх камень ле-
тит в пустоте по параболе.
ПИФАГОР И ЕГО
ШКОЛА
Важным открытием Пифагора
была теорема о том, что сумма вну-
тренних углов треугольника рав-
на 180°.
Фундаментальным результатом
Пифагора и его школы явилось
открытие несоизмеримых отрезков.
Оно послужило огромным стимулом
теоретических исследований в раз-
личных отраслях математики, преж-
де всего в учении о числе.
В школе Пифагора впервые
было доказано, что вся плоскость
вокруг точки может быть полно-
стью покрыта лишь тремя видами
правильных многоугольников: рав-
носторонними треугольниками, ква-
дратами и правильными шести-
угольниками.
ПИФАГОР
И ЕГО ШКОЛА
Выдающиеся результаты получены пифаго-
рейцами в теории чисел. Они ввели следующую
классификацию натуральных чисел: треугольные,
квадратные, пятиугольные, пирамидальные —
суммы треугольных и других чисел; открыли мно-
жество интереснейших зависимостей.
1, 3, 6, 10, 15,...,^± 1,4,9,16,25...п2
1 5 12,22,35................ 1,4,10,20,35....
' * 2 лэ
золото
АРХИМЕД
серебро золото+серебро
При решении задачи о чистоте
сплава, из которого сделана корона
сиракузского царя Гиерона, Архимеда
осенила идея, что объем короны можно
определить, взвешивая воду, вытекшую
при погружении в сосуд.
Полиспаст — один из многочисленных механизмов, изобретен-
ных Архимедом. Трудно перечислить все технические применения
замечательной улитки, или винта, Архимеда.
АРХИМЕД
Архимед был душой и мозгом
обороны Сиракуз от римских за-
хватчиков. Он построил вогнутые
параболические зеркала и сжег
римские корабли. Известны крыла-
тые слова Архимеда: «Дайте мне
точку опоры, и я сдвину Землю».
АПОРИИ ЗЕНОНА ЭЛЕЙСКОГО. СТРЕЛА
Движение само есть противоречие; уже простое механическое
перемещение может осуществиться лишь в силу того, что тело в
один и тот же момент времени находится в данном месте и одновре-
менно — в другом...
г Ф. Энгельс
АПОРИИ ЗЕНОНА ЭЛЕЙСКОГО. ДИХОТОМИЯ.
АХИЛЛЕС И ЧЕРЕПАХА
Мы не можем
представить, выра-
зить, смерить, изо-
бразить движения,
не прервав непре-
рывного...
И в этом суть
диалектики.
В. И. Ленин
О КРАСОТЕ МАТЕМАТИКИ
Правильные многогранни-
ки — тетраэдр, октаэдр, гекса-
эдр (куб), икосаэдр и додекаэдр
издавна привлекали человека
красотой и совершенством.
Природа также использует
их в своих конструкциях. Напри-
мер, существуют кристаллы, име-
ющие такую же форму.
Математика — это величе-
ственное здание, созданное во-
ображением человека для пости-
жения Вселенной.
...В человеческом обществе,
где геометрия занимает исключи-
тельное положение, как это на-
блюдается теперь, искусства и
мысль не могут быть отделены
от этого геометрического и мате-
матического феномена.
Ле Корбюзье
Вдохновение нужно в гео-
метрии, как и в поэзии.
А. С. Пушкин
...Мы, несомненно, но-
сим в себе ощущения ма-
тематической красоты,
гармонии чисел и формул,
геометрической утончен-
ности. Все эти ощущения
поистине эстетичны, и они
хорошо известны всем на-
стоящим математикам.
А. Пуанкаре
Красота тесно связана с
симметрией.
Г. Вейль
Нефроида (от греч.
v£<ppoo— почка) — тра-
ектория фиксированной
точки подвижной окруж-
ности радиуса г, которая
катится без скольжения
вне неподвижной окруж-
ности радиуса 2г, или
огибающая некоторого се-
мейства окружностей.
Кривая обладает интерес-
ными оптическими свой-
ствами: в сочетании с
совокупностью огибаемых
окружностей воспринима-
ется как прекрасный, при-
чудливый узор.
О КРАСОТЕ
МАТЕМАТИКИ
Геометрия есть прообраз
красоты мира.
И. Кеплер
Явление симметрии, толь-
ко отчасти захваченное мате-
матической мыслью, вошло в
науку в связи с тем чувством
красоты, которое проявилось
в человечестве многие тысячи
лет назад.
В. И. Вернадский
О КРАСОТЕ МАТЕМАТИКИ
У истоков симметрии ле-
жит математика; для того
чтобы показать, как работа-
ет математическое мышление,
вряд ли можно найти что-
либо лучше, чем симметрия.
Г. Вейль
, Если одна из двух равных
окружностей будет катиться
без скольжения по другой, то
точка верхней окружности
опишет кривую, называемую
кардиоидой, или улиткой Па-
скаля. Уравнение ее имеет
вид:
(х2+у2+2гх)2=4г2(х2+у2)-
Выберем на данной
окружности произвольную
точку и проведем через нее
семейство окружностей так,
чтобы их центры лежали на
данной окружности. Тогда
огибающая этих окружностей
также будет кардиоидой.
Математика — один из
видов искусства.
Н. Винер
Равенство, неравенство,
повторение и симметрия...
играют в искусстве, так же
как и в математике, фунда-
ментальную роль.
В. Гейзенберг
П. Карус
гармонию
как матема-
Ни одна другая
наука не учит так ясно
понимать
природы,
тика...
ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ
И ТЕХНИКЕ
Поиски кривой, длина ДУ;
ги которой пропорциональна
радиусу-вектору, привели Де-
карта к открытию логариф-
мической спирали. Она напо-
минает спираль Архимеда, но
расстояние между ее витками
возрастает по закону геоме-
трической прогрессии.
Геометр всегда
будет являться худож-
ником, создающим
окончательный образ
построенного здания.
Н. Е. Жуковский
Логарифмическая спи-
раль широко применяется в
технике.
ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ
Контуры листьев и ле-
пестки цветов многих расте-
ний с большой точностью
описываются уравнениями в
полярной декартовой прямо-
угольной системе координат.
Листья на молодых стеб-
лях растений располагаются
по пространственной спирали.
Расстояния между отдельны-
ми листьями характеризуются
числами ряда Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5... (каждый член,
начиная с третьего, равен
сумме двух предыдущих).
[x2<-yz}-2ax3(xz*yzHaz<Tz]x4*0
p=4(1*cos3(p->sinz3<p)
х3*у3=Зах
ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ
Закон Гей-Люссака раскрывает количественную зависимость
объема газа от температуры.
С показательной функцией связан радиоактивный распад.
ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ
В связи с задачей о спрямлении окружности (построении отрез-
ка, длина которого равна длине этой окружности) Архимед построил
особую спираль, определив ее на языке механики как траекторию
точки, совершающей равномерное и поступательное движение по
лучу, который в это же время равномерно вращается вокруг своего
начала. Множество процессов микро- и мегамира описывается урав-
нением этой спирали: р=сра.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ В ЖИВОЙ
ПРИРОДЕ
Полет — это
математика.
В. П. Чкалов
У истоков симметрии лежит
математика.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ Чф
В ЖИВОЙ ПРИРОДЕ /йр/
Сложна геометрия пчелиных сот.
Пчелиный танец осуществляется по контуру некоторой геоме-
трической фигуры.
Паук создает свою паутину в форме логарифмической спирали.
С тех пор как в 1831 г. выдающийся немецкий математик
Г. Ф. Гаусс (1777—1855) опубликовал свое геометрическое истолко-
вание комплексных чисел, раскрылись их огромные прикладные
возможности.
В частности, в картографии широко применяются так называемые
конформные (непрерывные и сохраняющие форму бесконечно малых
фигур) отображения.
топология —
ГЕОМЕТРИЯ XX
СТОЛЕТИЯ
В 1858 г. немецкий
геометр и астроном Август
Фердинанд Мебиус
(1790—1868) открыл и
описал поверхность, име-
ющую удивительные топо-
логические свойства. Са-
мое основное из них то, что
она имеет только одну
сторону (взяв в какой-то
точке этой поверхности
перпендикулярный к ней
вектор и непрерывно ведя
его вдоль замкнутого пути,
мы придем к исходной точ-
ке с перпендикулярным
вектором, противополож-
ным начальному).
Многие результаты
топологии поражают своей
неожиданностью. В част-
ности, шар можно вывер-
нуть на обратную сторону,
не осуществляя при этом
разрывов.
Топология, в определенном
топология —
ГЕОМЕТРИЯ XX
СТОЛЕТИЯ
Топология — область
геометрии, которая исследует
геометрические свойства
поверхностей, не изменяю-
щихся при взаимно однознач-
ных и взаимно непрерывных,
если
можно
или, как их еще называют, топологических преобразованиях.
Поверхности называются топологически эквивалентными,
любую из них в результате указанных преобразований
перевести в другую.
Сфера, «сдутый
куб — топологически
мяч» и
эквива-
лентны.
А эти фигуры топологи-
чески не эквивалентны шару
(не каждая замкнутая кривая
на них ограничивает некото-
рую область).
Иногда топологию назы-
вают геометрией резинки или
резиновой пленкой. При де-
формации резинка свободно
растягивается и сжимается.
При этом сохраняются су-
щественные особенности
линий и поверхностей.
смысле, является передним краем
науки. Она имеет много неразработанных проблем.
ТОПОЛОГИЯ — ГЕОМЕТРИЯ
XX СТОЛЕТИЯ
Слева представлено топологи-
ческое (взаимно однозначное и вза-
имно непрерывное) преобразование,
а справа не топологическое (две
точки слились в одну).
ГРАФЫ
Теория графов широко применя-
ется в физике, химии, биологии, со-
циологии, экономике, картографии.
ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
ребро
п Першина
Задача Эйлера о семи мостах
(1736 г.) Послужила толчком к
развитию теории графов.
Графом называется любая сово-
купность точек и соединяющих их
линий. Один и тот же граф можно
изобразить по-разному:
Граф называется полным, если
каждые две его вершины соединены
одним и только одним ребром.
Какой из этих графов полный?
Граф называется плоским, если его
ребра пересекаются только в его вер-
шинах.
Какой из этих графов плоский?
ГРАФЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Можно ли побывать на всех улицах этого города, пройдя по
каждому мосту лишь один раз?
Может ли заяц побывать под каждым кустом один раз?
МАТЕМАТИКА И АСТРОНОМИЯ
Ньютон с помощью разработанных им математических методов
доказал, что орбиты тел, движущихся около Солнца, могут быть
любой кривой из семейства конических сечений.
ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
л =4
Точку можно рассматривать как 0-мерное пространство. В ре-
зультате движения 0-мерной фигуры получаем 1-мерное простран-
ство; 1-мерной фигуры — 2-мерное пространство (плоскость); ...3-мер-
ной фигуры (куба) —4-мерное пространство (гиперкуб).
ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Проектируя 3-мерный куб на плоскость, получаем 2-мерную
фигуру — его проекцию.
Такой вид имеет 3-мерная проекция (проекция в 3-мерное про-
странство) гиперкуба.
Одна из возможных разверток 3-мерного куба.
Одна из возможных разверток 4-мерного куба.
Мы живем в 4-мерном пространстве-времени.
ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ
Отклонение лучей света Солн-
цем.
Луч света, проходящий
вблизи поверхности Солнца, от-
клоняется от своего прямоли-
нейного пути под влиянием кри-
визны пространства-времени в
окрестности Солнца.
Этот парадокс нельзя было
объяснить средствами классиче-
ской физики. Его причины по-
могла раскрыть общая теория
относительности.
Общая теория относитель-
ности Эйнштейна выражает тяго-
тение через геометрию простран-
ства-времени. Материя «указы-
вает» пространству-времени, на-
сколько оно должно быть искрив-
лено, а искривленное простран-
ство-время указывает материи,
как она должна себя в нем вести.
Черная дыра — исключи-
тельно сильно искривленная об-
ласть пространства-времени.
ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ
Мы — обитатели Метагалактики, расширяющейся, возможно,
после сверхгигантского взрыва. Гигантские массы материи изгибают,
искривляют пространство-время.
ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ
Всякая информация о телах, падающих в черную дыру, теряется
навсегда.
ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ
Траектории теннисного мяча выглядят очень различающимися
в пространстве.
Игра в теннис (в пространстве-времени). Если рассматривать
мировые линии в пространстве-времени, то они кажутся одинаковыми.
Чтобы разобраться в пространственно-временном ходе игры в
теннис,, нужно построить пространственно-временные диаграммы.
Всего по горизонтали мяч пролетает в обоих случаях по 10 м.
По другой оси мы будет откладывать высоту мяча над поверхностью
площадки. Пущенный свечой мяч поднимается на высоту 8 м, тогда
как прямой удар посылает его лишь на несколько сантиметров выше
сетки. По третьей оси мы будем откладывать время, которое займут
полеты теннисного мяча. Летя свечой, мяч затрачивает на путь
между двумя игроками много времени, тогда как на полет при прямом
ударе требуется гораздо больший промежуток.
Оказывается, что в пространстве-времени эти мировые линии
по сути одинаковы. Конечно, прямой удар приводит мяч к цели
быстрее, чем полет свечой. Поэтому мировая линия прямого полета и в
пространстве-времени короче, чем мировая линия свечи. Однако
обе они — дуги одной окружности.
НА ПОМОЩЬ ПРИХОДЯТ ЭВМ
Создание в середине XX века электронно-вычислительных машин
(ЭВМ) можно в некотором смысле сопоставить с изобретением
паровой машины или использованием электричества. Однако ЭВМ
занимают в ряду этих величайших достижений человечества особое
место: если обычные машины расширяли физические возможности
людей, то ЭВМ существенно повысили их интеллектуальный потен
циал. Вычислительные машины привели к появлению новых эффек
тивных методов познания законов реального мира.
На рисунках представлены выполненные с помощью ЭВМ гра-
фик траектории заряженной частицы,'движущейся в электромагнит
ном поле, и модель деления атомного ядра.
ГМ КЛЕЙНЕР
ЛМ КЛЕЙНЕР
МАТЕМАТИКА
И НАУЧНАЯ
КАРТИНА
МИРА
КИЕВ
«РАДЯНСЬКА ШКОЛА»
1984
22.18
К48
КЛЕЙНЕР Г. М„ КЛЕЙНЕР Л. М. Математика и научная картина
мира,— К.: Рад. шк„ 1984.— 112 с. ео к. 22000 экз.
В книге в форме живой беседы анализируются связи математи-
ческих понятий и теорий с объективной реальностью, раскрывается
их роль в создании обоснованной научной картины мира, получившей
множество практических подтверждений и обеспечившей важнейшие
достижения научно-технического прогресса. Обсуждаются философ-
ские вопросы математики и некоторые фундаментальные проблемы
научного атеизма. Раскрывается полная несостоятельность религи-
озных учений в познании окружающего мира.
Предназначается учащимся 6—10 классов, широкому кругу чи-
тателей.
Рукопись рецензировали: заведующий кафедрой математики
Криворожского педагогического института, кандидат педагогических
наук А. Л. Жохов, доцент кафедры геометрии Черкасского педаго-
гического института В. Г. Коваленко, учителя математики В. А. Ясин-
ский (г. Винница) и Я. Е. Гольдберг (г. Хмельницкий).
Оформление и рисунки художника П. А. Крысаченко.
,, 4802020000—420
К---------------352—84
М210(04)—84
© Издательство
«Радянська школа»,
1984
РАЗВИТИЕ НАУЧНОЙ КАРТИНЫ МИРА.
...Наука только тогда достигает
совершенства, когда ей удается
пользоваться математикой.
К- Марис
емля и Вселенная. Смысл
этих слов и сегодня понятен
каждому. Но слова эти су-
ществовали не всегда.
На заре человеческой истории люди жили родами
и племенами на обширных пространствах Европы, Азии,
Африки. Они занимались коллективной охотой на круп-
ного зверя, рыбной ловлей, собиранием лесных плодов
и кореньев.
Вопроса «что такое мир?» люди в то время просто
не поняли бы. Их миром была та среда, в которой оби-
тал данный род или племя, с ее реками и лесами, пеще-
рами и облаками...
Недаром в ряде языков, в том числе и в древнерус-
ском, слово «земля» некогда означало определенную
географическую область или местожительство племени,
народа.
А Вселенная? У этого слова тоже когда-то было иное
значение. Вслушайтесь: Вселенная, то есть заселенная,
обжитая территория. Значит, и в этом случае у древнего
человека речь шла не обо всем мире, а только о той его
части, которая изучена и обжита человеком.
Способность ставить вопрос о мире в целом появи-
лась у людей сравнительно недавно — 7—8 тысяч лет
назад. Из собирателя и охотника человек к этому
времени стал земледельцем и ремесленником. Если
вначале люди не выделяли себя из окружающей среды,
считали, что их предками являются звери и птицы, рас-
тения, даже камни, то теперь, наоборот, человек стал
сравнивать окружающую природу с самим собой, со
своим внутренним миром. Он одушевил природу, стал
верить, что существуют души деревьев и ручьев, гор
и морей, растений и животных.
Сравнение явлений природы со свойствами и дея-
тельностью человека имело далеко идущие последствия.
Человек конечен, смертен. Он рождается и умирает.
5
Он создает вещи, которых не было, и сам же их разру-
шает. Из бесформенного комка глины человек лепит
сосуд. Из руды он выплавляет металл и придает ему
форму — превращает в боевой топор или наконечник
стрелы. Он обтесывает камни и складывает из них жи-
лище. Он бросает в землю зерна, и получается колося-
щееся поле. Не является ли все существующее вокруг
нас результатом деятельности какого-то невидимого
творца? Не этот ли творец однажды преобразовал бес-
форменное вещество природы и создал из него небо
и землю, воду и воздух, растения и животных, наконец,
самого человека?
Так постепенно возникало представление о перво-
начальном мировом хаосе (беспорядке) и космосе (Все-
ленной). Слово «космос» у древних греков употребля-
лось как в значении «порядок», «строй», «красота», так
и «Вселенная». Но вот вопрос: кто превратил хаос в
космос? Кто же все-таки создал мир? Ответ на него
древние люди искали в фантастических представлениях
о всемогущих богах, которые творят мир и управля-
ют им.
Чтобы понять упомянутые представления, надо вы-
яснить, что было-действительно известно нашим дале-
ким предкам о мире. Прежде всего каждодневный опыт
учил людей, что известная им часть мира имеет вид
плоскости, постепенно, возвышающейся к середине. По-
этому в большинстве древних космогоний Земля имеет
вид выпуклого диска или горы. В любом направлении за
известной частью мира находились страны малоизве-
данные. Но здравый смысл подсказывал, что поскольку
люди живут в центре мира, на самой возвышенной его
части (а это ведь казалось всем людям, где бы они ни
обитали), мир не может распространяться во все сторо-
ны бесконечно, неизведанные земли должны где-
то кончиться. У большинства народов существовало
поэтому представление о Мировом океане, омываю-
щем мир.
Повседневные наблюдения говорили также, что Зем-
ля неподвижна и, кроме земного мира, не может быть
ничего сущего. Небесная сфера или твердь, была при
этом необходима, чтобы объяснить, откуда берется
вода, падающая с небес в виде дождя, града или росы,
и почему она все-таки не заливает Землю. Представле-
ние о небесной тверди хорошо подкреплялось падением
«небесных камней» — метеоритов.
6
Изо дня в день, из года в год человек убеждался
на опыте, что Солнце, Луна, планеты и звезды движутся
по небу, восходят на востоке и заходят на западе. Но
если уж сложилось представление о небесной тверди,
не было ничего проще, как прикрепить их к этой сфере
и заставить двигаться вместе с ней. Для опровержения
такого взгляда нужно было по крайней мере предста-
вить себе истинные размеры Земли и других небесных
тел, их взаимные расстояния, понимать, что такое отно-
сительность движения и в чем состоит природа тяго-
тения. Все это было книгой за семью печатями для
науки того времени.
Астрономия — одна из самых древних наук. Еще на
заре человечества охотники искали дорогу к своему
стойбищу, ориентируясь по звездам. Большой толчок
к изучению небесных явлений дал переход людей от
собирательства и охоты к земледелию и скотоводству.
Сроки перегона скота и получения приплода определя-
лись прежде всего по фазам Луны. Сезоны в земледе-
лии связывались с высотой Солнца над горизонтом,
с годовыми изменениями положения звезд на небе.
Ф. Энгельс писал: «Необходимо изучить последова-
тельное развитие отдельных отраслей естествознания.—
Сперва астрономия, которая уже из-за времен года
абсолютно необходима для пастушеских и земледель-
ческих народов. Астрономия может развиваться только
при помощи математики. Следовательно, приходилось
заниматься и математикой.— Далее, на известной сту-
пени развития земледелия и в известных странах (под-
нимание воды для орошения в Египте), а в особенности
вместе с возникновением городов, крупных построек
и развитием ремесла развивалась и механика. Вскоре
она становится необходимой также для судоходства
и военного дела.— Она тоже нуждается в помощи
математики и таким образом способствует ее развитию.
Итак, уже с самого начала возникновение и развитие
наук обусловлено производством» (Диалектика при-
роды.— Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 500).
Так повседневные производственные нужды людей
оказались тесно связаны с расположением небесных
светил. Но объяснить научно эту связь человек в ту
пору был еще не в силах. Поэтому он стал поклоняться
Солнцу и Луне, планетам и звездам как могуществен-
ным и прекрасным богам. Религия тесно переплелась
с наблюдательной астрономией, возникли так называ-
7
емые «астральные», то есть звездные, культы. И так
было во всех районах нашей планеты, где люди пере-
ходили к оседлому образу жизни.
Историки древнего мира говорят, что уровень, до-
стигнутый древней астрономией, был очень высок. Это
верно. Но нельзя забывать, что астрономия была в ту
пору чисто описательной наукой, бессильной что-либо
противопоставить религиозным представлениям об
устройстве мира. От нее была совершенно скрыта дей-
ствительная природа изучаемых ею явлений. Древние
астрономы, например, знали множество созвездий, мог-
ли рассчитать время захода и восхода Луны, Солнца,
планет, наиболее крупных звезд, предсказать солнеч-
ные, и лунные затмения и т. п. Но при этом они совер-
шенно ничего не знали (и не могли знать) о том, что
представляет собой Земля, планеты и звезды, какое
действительное положение занимают они во Вселенной.
Поэтому размышления древних о природе небес
строились преимущественно на домыслах, обрастали
фантастическими, часто религиозными образами. И не
случайно, что в древнем мире наблюдением неба зани-
мались, как правило, жрецы, служители религиозного
культа.
Вселенная древних была очень маленькой и тесной.
И это не удивительно: ведь люди, создавая свои пред-
ставления о ней, не имели другого масштаба, кроме
земного. Таким образом, древние представления о мас-
штабах мира на деле показывают, как узок был мир
практики в то время. У древних греков существовал
миф о том, что, когда бог огня Вулкан уронил на Землю
свою наковальню, она летела целых девять дней. Под-
счеты, основанные на законах свободного падения тел,
показывают, что небо древних греков находилось, если
верить приведенной легенде, чуть дальше орбиты Лу-
ны,— там, где с нашей точки зрения. Вселенная только
начинается.
Именно древние греки сделали первые шаги к пра-
вильному пониманию мира. Они порвали с религиозны-
ми мифами и впервые попытались понять устройство
и масштабы мира с позиций науки. Исходные данные
для этого они получили из путешествий и наблюдений.
Древнегреческий математик Пифагор (VI в. до н. э),
много путешествовавший, первым высказал мысль о
шарообразности Земли. Философ Аристотель (IV в. до
н. э.) доказывал, что Земля — шар, ибо в южных стра-
8
нах появляются новые созвездия, невидимые в север-
ных, а чем дальше мы двигаемся к северу, тем все
больше появляется на.небосводе незаходящих звезд.
Он ссылался также на то, что во время лунных затме-
ний тень от Земли имеет на лунном диске круглую
форму. Спустя много столетий, во время кругосветного
плавания Магеллана, это доказательство шарообраз-
ности Земли вернуло мужество его морякам, которые,
находясь почти три месяца в водах Тихого океана, при-
шли в отчаяние, думая, что никогда уже не вернутся
домой и не увидят суши.
Постепенно идея о том, что Земля — шар, висящий
в пространстве и ни на что не опирающийся, все шире
распространялась среди античных мыслителей. Архи-
мед писал: «Аристарх Самосский... полагает, что не-
подвижные звезды и Солнце не меняют своих мест в
пространстве, что Земля движется по окружности во-
круг Солнца, находящегося в ее центре».
Наконец, за 300 лет до нашей эры географ Эрато-
сфен путем остроумного опыта пытался определить
подлинные размеры земного шара. Заметив, что в день
летнего солнцестояния в городе Сиене (теперь Асуан)
Солнце стоит в зените и поэтому освещает дно самого
глубокого колодца, он измерил угол падения солнечных
лучей в тот же день в Александрии. Зная расстояние
между этими городами, Эратосфен легко вычислил
длину окружности земного шара. Его расчеты оказа-
лись близки к современным.
Успехи древнегреческой науки в исследовании Зем-
ли и небес привели к попыткам объяснить мир из естест-
венных причин.
«Этот космос, один и тот же для всего существую-
щего, не создал никакой бог и никакой человек,— но
всегда он был, есть и будет вечно живым огнем, мерами
загорающимся и мерами потухающим» (Гераклит).
«Солнце и Луна и остальные светила не возникли
сами по себе (вне мира), так что они лишь впослед-
ствии были принимаемы миром, но они с самого начала
стали образовываться и увеличиваться благодаря при-
бавлению и вращению некоторых мелких пород, или
ветряных, или огнеобразных, или состоящих из того
и другого: так ведь подсказывает чувственное восприя-
тие. А величина Солнца, Луны и остальных светил с
нашей точки зрения такая, какою кажется... Далее,
правильность обращения небесных тел следует пони-
9
мать так же, как и правильность некоторых явлений,
случающихся у нас на Земле. Божественную природу
никоим образом не должно привлекать для этого...»
(Эпикур).
Еще в древнегреческой философии возникло тече-
ние, резко противопоставляющее небесное и земное.
В то время, как великие материалисты древности Ге-
раклит, Демокрит и Эпикур развенчивали веру в богов
и отрицали божественность небесных светил, Платон,
философ-идеалист, говорил, что астрономия изучает
на небе идеальный мир, соответствующий достоинствам
обитающих там богов. Платон учил, что все небесные
светила прикреплены к хрустальным сферам и движе-
ние их равномерно и совершенно. Все небесное, по
учению Платона, вечно и неизменно. Это представление
поддерживал и ученик Платона Аристотель. Он считал,
что земной мир состоит из четырех элементов — огня,
воздуха, воды и земли. Но этот изменяющийся «под-
лунный» мир простирается только до Луны, за которой
расположен мир совершенный и неизменный, где гос-
подствует пятый элемент — невесомый эфир. Латин-
ское название пятого элемента — квинтэссенция — до
сих пор сохраняется в нашем языке как символ чего-то
самого главного в каждой вещи, явлении.
Представления Платона и Аристотеля оказали
сильное влияние на картину мира, созданную грече-
ским астрономом Птолемеем во II веке до нашей эры.
Птолемей пытался объяснить видимые движения по
небосводу планет Солнечной системы — Венеры, Мар-
са, Юпитера, Сатурна. Как теперь известно, путь этих
светил на нашем небе приобретает сложный вид потому,
что мы наблюдаем их, находясь в движении вокруг
Солнца. Два движения складываются и дают сложную
видимую кривую. Птолемей же считал, что Земля нахо-
дится в центре мира и не может двигаться. Поэтому
он придумал сложную схему, согласно которой Солнце
оказывается на третьем месте от Земли, а все планеты
движутся не только вокруг Земли, но еще и по допол-
нительным орбитам (эпициклам), объясняющим види-
мые пути планет на небе.
Система Птолемея легла в основу христианской
космологии (космология, от греческих слов «космос» —
мир, Вселенная и «логос» — учение, наука о Вселенной
как едином целом). По учению христианской церкви,
человек — царь природы. Ради него созданы Земля и
10
Солнце, небеса и преисподняя. Но мир, окружающий
нас,— мир временный, необходимый только для того,
чтобы человек мог очиститься от лежащего на нем
греха. После смерти праведник переходит в иной, луч-
ший, 'скрытый от наших глаз «духовный» мир, а греш-
ник попадает в подземный ад. Поэтому в центре мира
находится жилище человека — Земля, за ней следуют
сферы Солнца и планет, далее расположена сфера
неподвижных звезд, а дальше — перводвигатель, нача-
ло, управляемое богом и приводящее небесные сферы
в движение.
Христианская церковь господствовала в средне-
вековом обществе, освящая феодальное угнетение и
власть одних людей над другими. Систему земных
отношений она перенесла на небеса. К каждой планет-
ной сфере, по учению церкви, прикреплены разного рода
«небесные силы»: серафимы, херувимы, архангелы;
низший разряд небесного воинства — ангелы — отве-
чали за движение Луны.
Так выглядели небеса на протяжении многих лет
господства христианской веры. Христианская космо-
логия, как и древние системы мира, не соответствовала
действительности, но она хорошо отвечала религиоз-
ному представлению о мире и предназначению в нем
человека, а благодаря птолемеевским эпициклам дол-
гое время удовлетворяла практическим потребностям
и не очень сильно расходилась с наблюдениями.
Наука не может опираться только на здравый смысл,
ограничивающийся рамками повседневной обыден-
ности. Она утверждает, что мир бесконечен в своих мас-
штабах и то, что оказывается бесспорно правильным в
окружающем человека земном шаре, неприменимо в
мире мельчайших частиц материи — молекул и атомов
или в мире бесконечно больших космических тел —
звезд и галактик. Наблюдение и опыт, научные экспе-
рименты, в конечном счете — общественная и производ-
ственная практика — вот единственно верные средства
отличить истину от заблуждения, говорят ученые. Толь-
ко эти средства могут подтвердить или опровергнуть
смелые предположения человеческого разума.
Постепенное развитие производства и торговли при-
вело, однако, к тому, что старое мировоззрение было
подорвано и его учение о человеке как центре миро-
здания оказалось несостоятельным. К XVI веку склады-
ваются все предпосылки для разрушения старого миро-
воззрения. «Рамки старого...,— писал Ф. Энгельс,—
были разбиты; только теперь, собственно, была открыта
земля и были заложены основы для позднейшей миро-
вой торговли и для перехода ремесла в мануфактуру,
которая, в свою очередь, послужила исходным пунктом
для современной крупной промышленности. Духовная
диктатура церкви была сломлена; германские народы
в своем большинстве прямо сбросили ее и приняли
протестантизм, между тем как у романских народов
стало все более и более укореняться перешедшее от
арабов и питавшееся новооткрытой греческой фило-
софией жизнерадостное свободомыслие, подготовив-
шее материализм XVIII века» (Диалектика природы.—
Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 346).
Решающие шаги в создании нового взгляда на по-
ложение Земли во Вселенной сделал польский астроном
Николай Коперник (1473—1543).
После 30 лет упорнейшего труда, долгих размыш-
лений и сложных математических расчетов он доказал,
что Земля — только одна из планет, а все планеты
обращаются вокруг Солнца.
Понятно, какое потрясающее впечатление должна
была произвести книга, в которой Коперник объяснял
мир, не считаясь с религией и даже отвергая всякий
авторитет церкви в делах науки. Ф. Энгельс высоко
оценил подвиг Коперника: «Революционным актом,
которым исследование природы заявило о своей неза-
висимости... было издание бессмертного творения, в
котором Коперник бросил — хотя и робко и, так ска-
зать, лишь на смертном одре — вызов церковному
авторитету в вопросах природы. Отсюда начинает свое
летоисчисление освобождение естествознания от тео-
логии...» (Диалектика природы.— Маркс К., Эн-
гель с Ф. Соч., т. 20, с. 347).
Деятели церкви не сразу поняли, какой удар по
религии наносит научный труд Коперника, в котором он
низвел Землю до положения одной из планет. Прошло
немного лет, и революционное значение новой книги
проявилось в полной мере. Выдвинулись другие круп-
ные ученые — продолжатели дела Коперника. Они раз-
вили и распространили идею бесконечности Вселенной,
в которой Земля как бы песчинка, а миров — бесчис-
ленное множество. С этого времени церковь начала
ожесточенное преследование сторонников учения Ко--
перника, которое подрывало самые основы религиозно-
12
го мировоззрения и открывало широкий путь к матери-
алистическому, подлинно научному познанию явлений
природы.
Коперник полагал, что Вселенная ограничена сфе-
рой неподвижных звезд, которые расположены на не-
вообразимо огромных, но все-таки конечных расстояни-
ях от нас и от Солнца. В учении Коперника утвержда-
лась огромность Вселенной, но не бесконечность ее.
Особенно смело развил и углубил идею бесконеч-
ности Вселенной великий итальянский мыслитель
Джордано Бруно (1548—1600). Бруно утверждал, что
Вселенная бесконечна, что у нее не может быть ника-
кого «центра». Огромное Солнце — всего только одна
из звезд. Каждая звезда — такое же Солнце. Этих
солнц бесчисленное множество, они окружены планета-
ми, на которых может быть жизнь. Бруно высказал
догадки, что и Солнце, и звезды вращаются вокруг
своих осей, а в Солнечной системе, кроме известных
уже планет, существуют и другие, пока еще не откры-
тые. Свои гениальные догадки Бруно не мог подтвер-
дить результатами наблюдений. В его время не было
телескопов. Однако многие предвидения Бруно потом
подтвердились наукой.
В 1592 г. служителям римской церкви удалось при
помощи обмана и предательства схватить Бруно. Более
семи лет они продержали его в тюремных застенках.
Слишком велика была его слава, и церкви хотелось во
что бы то ни стало заставить его отречься от своих
взглядов. Бруно не сдался. Когда его приговорили к
сожжению на костре, он произнес слова, оставшиеся
в веках: «Сжечь не значит опровергнуть».
20 февраля 1600 г. Джордано Бруно был сожжен
на одной из площадей Рима.
Спустя десятилетие после гибели Бруно человечест-
во получило в свое распоряжение телескопы, при по-
мощи которых были сделаны открытия, подтвердившие
и учение Коперника, и предположения Бруно. Первые,
притом выдающиеся, астрономические открытия при
помощи телескопа сделал соотечественник Бруно —
итальянский ученый Галилео Галилей (1564—1642).
Одновременно с Галилеем выдающиеся открытия
в области строения Солнечной системы и движения тел
в ней сделал немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571 —
1630). Учение Коперника требовало математического
уточнения. Вскоре после смерти Коперника астрономы
13
составили на основе его системы мира новые таблицы
движения планет. И хотя эти таблицы лучше согласо-
вались с наблюдениями, чем прежние, составлявшиеся
еще по Птолемею, в них обнаружились расхождения
с данными наблюдений. Необходимо было глубже
исследовать и уточнить законы движения планет. Имен-
но эту задачу и решил Кеплер. Он установил три закона
движения тел в Солнечной системе.
По первому и второму законам Кеплера каждая
планета движется вокруг Солнца по эллипсу, а Солнце
находится в одном из фокусов этого эллипса, причем
скорость движения планеты изменяется вдоль ее пути
определенным образом (приближенно скорость движе-
ния планеты обратно пропорциональна ее расстоянию
до Солнца). В третьем законе Кеплера устанавливается
уже точная связь между расстояниями планет от Солн-
ца и временем их обращения: оказывается, что квадра-
ты времени обращений планет относятся между собой
как кубы их средних расстояний от Солнца.
Книги Кеплера неоднократно запрещались и сжига-
лись на кострах, а жизни его не раз угрожала опас-
ность со стороны церкви и ее приспешников. Однако
прогресс науки остановить было невозможно.
В своем великом труде Коперник объяснил, что
Земля — одна из планет, обращающихся вокруг Солн-
ца. Оставалось, однако, неизвестным, какая сила за-
ставляет планеты совершать такие обращения, не па-
дая на Солнце и не улетая от него.
Ответить на этот вопрос пытались некоторые ученые
второй половины XVII в. Но их попытки обнаружить
силу, управляющую движением небесных тел, не увен-
чались успехом. Сделал это великий английский ученый
Исаак Ньютон (1643—1727) спустя почти полтора сто-
летия после выхода в свет труда Коперника и через три
четверти века после открытий Кеплера и Галилея. Нью-
тон обогатил своими открытиями и математику, и физи-
ку, и астрономию.
Однако самым замечательным из всех его открытий
было открытие закона всемирного тяготения, управля-
ющего движением небесных тел: каждые два матери-
альных тела притягивают друг друга с силой, пропор-
циональной их массам и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними.
Математически этот закон выражается формулой
14
где тх, т2 — массы тел, г — расстояние между ними;
коэффициент пропорциональности G в этой формуле
одинаков для всех материальных тел и называется
постоянной тяготения.
Мысль о том, что небесные тела и вообще все мате-
риальные тела взаимно притягиваются, возникла еще
до Ньютона. На Земле это притяжение проявляется
прежде всего в существовании силы тяжести. Под дей-
ствием этой силы все тела, если их ничем не поддержи-
вать, падают вниз, точнее к центру Земли.
Работы Коперника, Кеплера, Галилея показали, что
Земля — обычное небесное тело, рядовая планета, дви-
жущаяся вместе с другими планетами вокруг Солнца.
Значит, другие небесные тела могут обладать теми же
свойствами, что и Земля, т. е. и на них может существо-
вать сила тяжести. Если материальные тела вблизи
Земли стремятся к ее центру, то вблизи планет или
Солнца они также будут стремится к центрам этих
тел. Так считали Коперник, Кеплер и другие ученые
того времени. Заслуга Ньютона состояла прежде всего
в том, что он установил точную математическую зави-
симость сил притяжения от массы тел и от расстояния
между ними и доказал, что именно эти силы управляют
движением планет и спутников в нашей Солнечной
системе.
Закон всемирного тяготения допускает, как видим,
очень простое математическое выражение. В силу малой
величины диаметра небесных тел по сравнению с их
расстояниями друг от друга, не нарушая достаточной
точности расчетов, эти тела можно считать точками
со сконцентрированными в них массами.
Благодаря этому изучение поведения двух тел, нахо-
дящихся в поле тяготения, не только целиком сводится
к математике, но и с вычислительной стороны не пред-
ставляет никаких трудностей.
Итак, Ньютон, выражаясь современным языком,
построил математическую модель движения планет и
их взаимного расположения на небосводе, сформули-
ровав обобщенные результаты опыта на языке мате-
матики.
Математические модели (иногда их называют также
формальными, логическими или логико-математически-
ми) — это формулы или уравнения, выражающие за-
кономерности поведения и строения объектов.
Вы знакомы с математическими моделями, хотя,
15
может быть, раньше и не встречали этого термина.
Представьте себе, что нужно определить площадь ком-
наты или, если быть более точным, площадь пола
комнаты. Для выполнения такого задания измеряют
длину и ширину комнаты, а затем перемножают полу-
ченные числа. Эта элементарная процедура фактически
означает следующее. Реальный объект — пол комна-
ты — заменяется абстрактной математической мо-
делью — прямоугольником. Прямоугольнику приписы-
ваются размеры, полученные в результате измерения,
и площадь такого прямоугольника приближенно прини-
мается за искомую площадь пола.
Таким образом, создание математической модели
состоит в том, что мы рассматриваем не само явление
во всей его сложности, а упрощаем его, выделяя из
всего многообразия свойств лишь некоторые, по наше-
му представлению, наиболее существенные. Далее мы
делаем предположения о действующих связях явления
с окружающими предметами (если это необходимо)
и четко перечисляем все исходные предпосылки.
В модели Солнечной системы, которую используют
в небесной механике со времен Ньютона, эти предпо-
сылки таковы: 1) планеты считаются материальными
точками с массами, равными массам планет, 2) Солн-
це также считается материальной точкой с соответст-
вующей массой, 3) между этими материальными точ-
ками действуют силы притяжения, вычисляемые по
закону Ньютона.
Создание математической модели — важный этап
познания, поскольку, когда она уже создана, нам из-
вестно, из каких предпосылок мы выводим следствия.
В ходе опытной проверки у нас появляется возможность
исследовать соответствие каждой из предпосылок ре-
альности.
Примером еще одной плодотворной математической
модели является геометрия Евклида (III в. до н. э.),
описывающая окружающее нас пространство. Реаль-
ным объектам в пространстве сопоставлены идеали-
зированные понятия, отражающие только определен-
ные свойства этих объектов. Геометрическая точка, не
имеющая ни толщины, ни ширины,— приближенное
описание и точки на бумаге, и кола, вбитого в землю
для разметки поля, и всего земного шара в космическом
пространстве.
Геометрию Евклида как модель характеризуют та-
16
кие исходные понятия, как точка, прямая, плоскость.
Аксиомы наделяют эти понятия определенными
свойствами. Процесс доказательства теорем служит
проверкой того, что содержащиеся в них утверждения
не противоречат принятым определениям и аксиомам,
т. е. не выходят за рамки данной модели.
Геометрических точек, линий, поверхностей в приро-
де не существует, но к ним привыкают настолько, что
реальные понятия, связанные с наличием у природных
объектов конечных размеров, менее привычны, чем
абстрактные представления, лежащие в основе модели
Евклида. И абсолютно выпадает из поля зрения тот
факт, что основа геометрии Евклида — независимость
окружающего нас пространства от происходящих в нем
процессов и явлений — это лишь некоторое приближе-
ние к действительности.
В обыденной жизни и во многих научных и техни-
ческих приложениях даже странно подвергать сомне-
нию представление о существовании такого незыбле-
мого пространства. В действительности это не так, само
пространство может изменяться под действием находя-
щихся в нем тел, как грунт проминается под тяжестью
стоящего на нем дома.
И для геометрии Евклида как научной модели ука-
занное выше ограничение является наиболее фундамен-
тальным и общим.
К концу XVII в. сложилась картина мира, управля-
емого геометрией Евклида и законами движения Нью-
гона.
При этом два основоположных камня, на которых
возводилось все здание, не имели ничего общего друг
< другом. Бесконечное пространство никак не соотноси-
.ось с наполнявшей его материей. По самой своей сущ-
ости это пространство безотносительно к чему бы то
ни было внешнему оставалось всегда одинаковым и
неподвижным — оно не изменилось бы даже, если бы
вся материя неожиданно исчезла.
Итак, в течение более двух тысяч лет все геометри-
ческие рассуждения основывались на условии справед-
ливости пяти постулатов Евклида. Они формулируются
гак:
1. Через две точки можно провести прямую и притом
только одну.
2. Прямую линию можно неограниченно продол-
жить в обе стороны.
17
3. И.» любой [очки, как из центра, можно описать
окружное!ь любого радиуса.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с
двумя другими прямыми образует с ними внутренние
односторонние углы, сумма которых меньше двух
прямых углов, эти прямые пересекаются, и притом
с той стороны, с которой эта сумма меньше двух
прямых.
Если содержание первых четырех постулатов ясно,
то этого нельзя сказать о пятом. Многие математики
отказывались считать его постулатом и пробовали это
доказать, но все их попытки в этом отношении успехом
не увенчались. Только в 1826 г. великий русский гео-
метр Н. И. Лобачевский и, независимо от него, венгер-
ский математик Янош Больяи (1833 г.) показали,
что можно отказаться от утверждения пятого постулата
и построить непротиворечивую геометрию. Так была
создана неевклидова геометрия. При этом оказалось,
что ее можно использовать в качестве модели физи-
ческого пространства так же, как и евклидову.
Парадоксальным казалось следующее обстоятель-
ство: если сумма углов треугольника равна 180°, то
как может оказаться, что одновременно она может быть
менее 180°? Разъяснение этого парадокса может быть
таким: в неевклидовой геометрии сумма углов треуголь-
ника может быть сколь угодно близка к 180°, если
треугольник достаточно мал. Те треугольники, с кото-
рыми обычно имеют дело — малы, и поэтому сумма их
углов может оказаться также достаточно близкой к
180° с учетом неустранимой в этом случае ошибки
эксперимента.
Открытие неевклидовой геометрии потребовало
отказа от полной уверенности в «абсолютной истин-
ности» евклидовой геометрии, от точки зрения на
аксиомы как на истины, не требующие доказательства
в силу своей очевидности. Оказалось, что аксиомы
скорее являются гипотезами, и речь идет о том, на-
сколько построенные с их помощью модели соответ-
ствуют материальному миру. Это послужило стимулом
к глубоким исследованиям в области оснований мате-
матики, к выяснению того, какими свойствами может
и должна обладать система аксиом. В дальнейшем
это привело к созданию аксиоматического метода, став-
шего теперь одним из ведущих методов познания
18
не только в математике, но и в иных математизируемых
дисциплинах (математической экономике, матема-
тической лингвистике’ и т. д.). Систематическое
применение аксиоматического метода позволило вы-
явить связи межДу областями математики, казавшимися
очень далекими друг от друга, найти пути преодоления
тенденции к расщеплению математики на почти не-
зависимые области и укрепить тем самым единство
математической науки.
Позже, в начале второй половины XIX века, была
выдвинута идея многомерного пространства. В 1854 г.
немецкий математик Б. Риман сформулировал обоб-
щенное понятие пространства как непрерывной сово-
купности любых одномерных ' объектов или явлений.
Риман указал, что отказ от пятого постулата влечет
за собой сомнение и в истинности утверждений хотя
бы некоторых из первых четырех постулатов Евклида.
,Он утверждал, что опыт не может доказать бесконеч-
ность прямой линии, а доказывает лишь то, что, следуя
по ней в любом направлении, мы не сможем достичь
ее конца. Иначе говоря, у прямой линии нет предель-
ной точки.
Исследования Римана показали неограниченное
разнообразие геометрических пространств, отличаю-
щихся друг от друга размерностью, формулами для
вычисления расстояний и т. д. Стали изучаться про-
странства и с комплексными координатами, а также
пространства, элементами которых являются не точки,
1 прямые, окружности, сферы и даже функции и
последовательности (функциональные пространства).
Следует отметить, что восхождение от чувственно
осязаемого реального пространства к абстрактным
математическим пространствам не означало отхода
математики от отображения окружающего нас мира.
Рассуждая подобным образом, Б. Риман исследовал
возможные пространства, основываясь на достовер-
ных фактах о физическом пространстве.
Неевклидова, в частности риманова геометрия яви-
лась предпосылкой для создания новсГго учения о
взаимоотношении пространства и времени — теории
относительности Эйнштейна (1879—1955). Сегодняш-
няя модель окружающего нас пространства — это
четырехмерное пространство — время, где четвертое
измерение (время) неразрывно связано с тремя изме-
рениями пространства. В ней нет уже той незыблемости,
19
которая характеризует пространство евклидовой гео-
метрии. Вблизи больших масс (Солнце, звезды) про-
странство искривляется: объекты и процессы в про-
странстве влияют на его геометрию.
Четырехмерное пространство — время — это эффек-
тивная модель, которую широко используют, например,
при решении вопросов о строении и развитии Все-
ленной.
Итак, мы видим, что, по образному выражению
известного венгерского математика А. Реньи (1921 —
1970), «...законы природы можно сформулировать толь-
ко на математическом языке, то есть представить их
в виде соотношений между выражениями, в которые
входят различные физические величины, каждая из
которых характеризуется определенными числовыми
значениями».
Что же такое математика и каков предмет ее ис-
следований?
Как возникают математические понятия?
Каково отношение математики к действительности?
Каким образом математическое абстрагирование
естественнонаучной или инженерной проблемы позво-
ляет проникнуть в суть явлений глубже и точней, чем
непосредственное наблюдение и экспериментальное
изучение?
Об этом повествует следующая глава.
УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ
ОТНОШЕНИЯ В РЕАЛЬНОМ МИРЕ.
НАУЧНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПРОСТРАН-
СТВЕННЫХ ФОРМ И СВОЙСТВ
ПРОСТРАНСТВА. СВОЕОБРАЗИЕ МА-
ТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ИЗУЧЕ-
НИЯ ОКРУЖАЮЩЕГО МИРА.
Математика, постепенно удаляясь
от пространств, доступных чувст-
венному восприятию, и возвышаясь
до пространства геометрического,
не удаляется... от истинных отно-
шений между вещами. Она скорее
приближается к ним.
В. И. Ленин
равильное представление о
любой науке не складывается
из отдельных, касающихся ее
сведений, даже если они
довольно обширны. Нужно еще иметь верный взгляд
на науку в целом, понимать ее сущность. Цель этой
главы состоит в том, чтобы дать общее представле-
ние о сущности математики.
Слово «математика» греческого происхождения.
Буквально означает «знание», «наука».
Даже при довольно поверхностном знакомстве с
математикой легко заметить характерные ее черты:
это, во-первых, отвлеченность, во-вторых, логическая
строгость и как бы непреложность выводов и, наконец,
чрезвычайная широта применений.
Отвлеченность проявляется уже в простом счете.
Мы оперируем отвлеченными числами, не заботясь о
том, чтобы связывать их каждый раз с конкретными
предметами.
Понятие о геометрической фигуре является ре-
зультатом отвлечения от всех свойств реальных пред-
метов, кроме пространственной формы и размеров.
Понятие о целом числе и о геометрической фи-
гуре — это лишь одни из первоначальных ее поня-
тий. За ними следует едва обозримое множество других,
возвышающихся до таких абстракций, как комплексные
числа, функции, интегралы, дифференциалы, м-мерные
23
и даже бесконечномерные пространства. Абстракции
эти как будто громоздятся одна на другую, удаляясь
в такую отвлеченность, где, кажется, теряется уже
всякая связь с жизнью.
На самом деле это, конечно, не так. И хотя, скажем,
понятие n-мерного пространства действительно очень
абстрактно, оно тем не менее имеет вполне реально^
содержание, понять которое вовсе не так трудно. В этой
книге будет, в частности, подчеркнут и пояснен реаль-
ный смысл абстрактных математических понятий, и
читатель убедится, что все они связаны с жизнью и по
своему происхождению, и в приложениях.
Впрочем, абстракция — не исключительная принад-
лежность математики: она свойственна всякой науке,
да и всему человеческому мышлению вообще. Поэтому
отвлеченность математических понятий не исчерпывает
еще особенностей математики. Математика в отноше-
нии своих абстракций отличается еще тем, что она, во-
первых, оставляет в них прежде всего количественные
отношения и пространственные формы, отвлекаясь от
всего остального. Во-вторых, математические абстрак-
ции возникают, через ряд ступеней; они идут в отвле-
чении гораздо дальше, чем абстракции, обычные в есте-
ственных науках. Эти два момента мы дальше подробно
выясним на примерах основных понятий математики:
числа и фигуры. Наконец,— и это бросается в глаза,—
математика сама по себе вообще почти целиком вра-
щается в кругу абстрактных понятий и их связей. Если
естествоиспытатель для доказательства своих утвер-
ждений постоянно обращается к опыту, то математик
доказывает теоремы только рассуждениями и выклад-
ками.
Конечно, математики для открытия своих теорем
и методов постоянно пользуются моделями, физически-
ми аналогиями, обращаются к множеству отдельных,
совершенно конкретных примеров и т. п. Все это служит
реальным источником теории для нахождения ее тео-
рем, но каждая теорема окончательно входит в матема-
тику только тогда, когда она строго доказана логи-
ческим рассуждением. Если бы геометр, докладывая
о новой открытой им теореме, стал демонстрировать
ее на моделях и этим ограничился, никто из математи-
ков не признал бы теорему доказанной. Требование
доказать теорему хорошо известно из школьного курса
геометрии, и оно проходит через всю математику. Мы
24
могли бы измерять углы у оснований тысячи равно-
бедренных треугольников с огромной точностью, но это
не дало бы нам математического доказательства тео-
ремы о том, что углы при основании равнобедренного
треугольника равны. Математика требует вывести этот
результат из основных понятий геометрии. (При стро-
гом изложении свойства основных понятий точно фор-
мулируют в аксиомах.)
Сами математические выводы отличаются большой
логической строгостью.
Математическое рассуждение проводится, с такой
скрупулезностью, которая делает его бесспорным и
убедительным для каждого, кто только его поймет. Эта
скрупулезность и убедительность математических дока-
зательств хорошо известна уже из курса средней шко-
лы. Да и сами математические истины представляются
совершенно бесспорными. Недаром говорят: «доказать
как дважды два четыре». Здесь математическое соот-
ношение 2x2 = 4 берется именно как образец неопро-
вержимости и бесспорности.
Однако строгость математики не абсолютна: она
развивается; принципы математики не застыли раз
навсегда, а движутся и тоже могут служить и служат
предметом научных споров.
В конечном счете источник жизненности математи-
ки заключается в том, что ее понятия и выводы при всей
своей отвлеченности исходят, как мы убедимся, из дей-
ствительности и находят широкие применения в других
науках, в технике, во всей жизненной практике; это —
самое главное для понимания математики.
Исключительная широта применений математики
представляет тоже одну из характерных ее особен-
ностей.
Во-первых, мы постоянно, чуть ли не ежечасно, на
производстве, в быту, в общественной жизни пользу-
емся наиболее распространенными понятиями и выво-
дами математики, вовсе не задумываясь об этом. Так,
мы применяем арифметику, считая дни или расходы, а
подсчитывая площадь квартиры, используем выводы
геометрии. Выводы эти, конечно, очень простые, но
полезно вспомнить, что когда-то в древности они были
одним из высших достижений зарождавшейся тогда
математики.
Во-вторых, вся современная техника была бы невоз-
можна без математики. Без более или менее сложных
25
расчетов не обходится, пожалуй, ни одно техническое
усовершенствование; в развитии же новых областей
техники математика играет очень важную роль.
Наконец, почти все науки более или менее сущест-
венно пользуются математикой. Точные науки — меха-
ника, астрономия, физика, а также в большой мере и
химия — обычно выражают свои законы формулами
и развивают свои теории, широко используя математи-
ческий аппарат. Без математики прогресс этих наук
был бы просто невозможен. Поэтому как раз потреб-
ности механики, астрономии и физики всегда оказывали
прямое, решающее воздействие на развитие матема-
тики.
Приведем несколько примеров особенно блестящих
применений математики в точных науках и технике.
Одна из самых далеких планет Солнечной системы
Нептун была открыта в 1846 г. на основании математи-
ческих расчетов. Анализируя неправильности в дви-
жении планеты Уран, астрономы Адамс и Леверье при-
шли к выводу, что неправильности эти вызваны притя-
жением другой планеты. Леверье на основании законов
механики и закона тяготения вычислил, где эта планета
должна находиться, и наблюдатель, которому он об
этом сообщил, увидел ее в телескоп там, где указал
Леверье. Это открытие было не только триумфом меха-
ники и астрономии, особенно системы Коперника, но
также триумфом математического расчета.
Другой, не менее убедительный пример представля-
ет открытие электромагнитных волн. Английский физик
Максвелл (1831 —1879), обобщая установленные опы-
тами законы электромагнитных явлений, выразил эти
законы в виде уравнений. Из уравнений он чисто мате-
матически вывел, что могут существовать электро-
магнитные волны и что они должны распространяться
со скоростью света. Опираясь на это, он предложил
электромагнитную теорию света, которая затем была
всесторонне развита и обоснована. Но, кроме того,
вывод Максвелла толкнул на поиски электромагнитных
волн чисто электрического происхождения, например
испускаемых при колебательном разряде. Такие волны
были действительно открыты Герцем. А вскоре А. С. По-
пов нашел средства возбуждения, передачи и приема
электромагнитных колебаний, вывел их в область широ-
ких применений и положил -тем самым начало всей
радиотехнике. В открытии радио, ставшего общим до-
26
стоянием, сыграли большую роль также результаты
чисто математического вывода.
Так от наблюдений,— каковы, например, наблюде-
ния отклонений магнитной стрелки электрическим то-
ком,— наука идет к обобщению, к теории явлений, к
формулировке законов и их математическому выраже-
нию. Из этих законов рождаются новые выводы, и, на-
конец, теория воплощается в практике, которая в свою
очередь дает теории новые мощные импульсы к раз-
витию.
Особенно замечательно, что даже самые абстракт-
ные построения математики, возникшие внутри нее
самой, уже без непосредственных толчков со стороны
естествознания или техники, находят тем не менее
плодотворные применения. Например, мнимые числа
появились на свет в алгебре, и долгое время их реаль-
ный смысл оставался непонятным, на что указывает
само их название. Однако после того, как в начале
прошлого столетия им было дано геометрическое толко-
вание, мнимые числа вполне укрепились в математике,
и возникла обширная теория функций комплексной
переменной (т. е. переменной вида х-\-у /— 1 ). Эта
теория, так сказать, «мнимых» функций от «мнимых»
переменных оказалась вовсе не мнимым, а очень реаль-
ным средством решения вопросов техники. Так, основ-
ная теорема Н. Е. Жуковского о подъемной силе крыла
самолета доказывается как раз средствами этой теории.
Та же теория оказывается полезной, например, при
решении задач о просачивании воды под плотинами,—
задач, значение которых очевидно в период строитель-
ства крупных гидроэлектростанций.
Другой, не менее блестящий пример представляет
неевклидова геометрия. Она возникла на почве тысяче-
летних, тянувшихся со времен Евклида попыток дока-
зать постулат (аксиому) о параллельных, т. е. из зада-
чи, имевшей чисто математический интерес. Н. И. Лоба-
чевский, создавший эту новую геометрию, сам осторож-
но называл ее «воображаемой», так как не мог указать
ее реального значения, хотя и был уверен в том, что
такое значение ее найдется. Выводы его геометрии
казались большинству не то что «воображаемыми»,
но даже невообразимыми и нелепыми. Тем не менее идеи
Лобачевского положили начало новому развитию гео-
метрии, созданию теорий разных неевклидовых про-
странств; потом эти идеи послужили одной из основ
27
общей теории относительности, причем математическим
аппаратом этой теории служит одна из форм неевкли-
довой геометрии четырехмерного пространства. Так,
казавшиеся по меньшей мере непонятными абстрактные
построения математики оказались мощным средством
развития одной из важнейших физических теорий. Точ-
но так же в современной теории атомных явлений, в так
называемой квантовой механике, существенно исполь-
зуются многие чрезвычайно абстрактные математиче-
ские понятия и теории, как, например, понятие беско-
нечномерного пространства и др.
Итак, мы подчеркнули, что математика имеет широ-
чайшее применение в повседневной практике, в технике,
в науке, причем в точных науках и больших проблемах
техники находят также применения теории, выросшие
внутри самой математики. Такова одна из характерных
особенностей математики наряду с ее отвлеченностью,
строгостью и убедительностью ее выводов.
Обратив внимание на все эти особенности матема-
тики, мы, конечно, не выяснили ее сущности, а указали,
скорее, ее внешние признаки.Задача состоит в том, что-
бы объяснить эти особенности. Для этого нужно отве-
тить, по крайней мере, на следующие вопросы:
Что отражают абстрактные математические поня-
тия? Каков, иными словами, предмет математики?
Почему отвлеченные математические выводы пред-
ставляются столь убедительными, а первоначальные
понятия столь очевидными? В чем, иными словами,
основание метода математики?
Почему при всей своей отвлеченности математика
находит широчайшее применение, а не оказывается
праздной игрой в абстракции? Иными словами: откуда
практическое значение математики?
Наконец, какие силы двигают развитие математики,
позволяя ей соединять абстрактность и широту приме-
нений? Иными словами: в чем содержание процесса
развития математики?
Ответив на эти вопросы, мы получим общее пред-
ставление о предмете математики, об основаниях ее
метода, о ее значении и развитии, т. е. поймем ее сущ-
ность.
Идеалисты и метафизики не только путаются в ре-
шении этих коренных вопросов, но доходят до полного
извращения математики, выворачивая ее в буквальном
28
смысле наизнанку. Так, видя крайнюю отвлеченность
и убедительность математических выводов, идеалисты
воображают, что математика происходит из чистого
мышления.
В действительности математика не дает никаких
оснований для идеализма и метафизики; как раз наобо-
рот: рассматриваемая объективно во всех ее связях
и развитии, она дает еще одно блестящее подтвержде-
ние диалектического материализма и каждым своим
шагом опровергает идеализм и метафизику. Мы убедим-
ся в этом, когда попытаемся даже в самых общих чертах
ответить на поставленные выше вопросы о сущности
математики. Мы убедимся также, что ответ на эти
вопросы уже заключается в положениях, установлен-
ных классиками марксизма как относительно матема-
тики, так и относительно природы науки и познания
вообще.
Понятие о числе (мы говорим пока только о целых
положительных числах), такое для нас привычное,
вырабатывалось очень медленно.
Для того чтобы выяснить хотя бы в основных чертах
историю формирования понятия числа, приходится
пользоваться косвенными данными, а именно данными
этнографии; изучением живых языков, которые сохра-
нили в грамматических особенностях числительных
ценные сведения о прошлом. На этом пути также мы
сталкиваемся с трудностями, поскольку . завоевания
и безжалостное вытеснение туземцев привело к почти
полному уничтожению ряда племен, а то и целых наро-
дов в Южной и Северной Америке, Африке, Австралии.
К тому же христианские миссионеры нередко были
виновниками уничтожения ценнейших памятников куль-
туры прошлого народов, обращаемых в христианство.
В результате из памяти человечества вычеркивались
полностью страницы истории. То немногое, что удалось
собрать путешественникам на протяжении XVI—
XIX вв., представляет неоценимое значение для истории
науки и дает базу для восстановления процесса обра-
зования понятия числа.
Прежде всего выяснилось, что многие племена не
могли вести счет и не имели наименований для чисел.
Они заменяли счет описанием свойств отдельных пред-
метов. Так, по свидетельству известного полярного
исследователя Уильяма Парри (1790—1855), эскимосы
в то время не могли правильно сосчитать число своих
29
детей, если их было больше трех. Однако они сразу
замечали отсутствие кого-нибудь из них, так же, как
могли перечислить каждого, отмечая их отличительные
особенности. Точно так же, имея большое число ездовых
собак, они не могли назвать их числа, но зато были в
состоянии описать каждую из них: собака, родивша-
яся в голодный год; собака черная с белым пятном и т. д.
О вымершем теперь полностью (в результате поли-
тики испанских колонизаторов) племени абипонов со-
хранились рассказы путешественников о том, что в их
языке существовали специальные слова только для
чисел один, два и три. Но тем не менее, когда абипон,
собравшись на охоту, замечал, что нет хотя бы одной
из его многочисленных охотничьих собак, он немедленно
принимался ее разыскивать.
На этом этапе развития народов, число воспринима-
ется не само по себе, а наряду с другими свойствами,
характеризующими качественные особенности каждого
из предметов, подлежащих перечислению.
Счет предметов и сопоставление численности не-
скольких групп предметов представляли огромный труд.
В сочинениях ряда исследователей первобытной куль-
туры разбросаны сведения, подтверждающие мнение,
что операция счета для первобытных племен представ-
ляла тяжелую задачу, от которой они быстро уставали.
Умение считать на первых стадиях формирования
искусства счета не связано жестко с наличием специ-
альных обозначений для цифр. Образование числитель-
ных и тем более цифровых знаков — это уже доста-
точно высокая стадия развития. Специальные слова
для обозначения числительных были выработаны много
позднее того, как появились определенные наименова-
ния для обозначения численностей групп определенных
предметов. Филологи отмечают, что у некоторых афри-
канских народов существуют различные слова для обо-
значения трех коров, трех воинов, трех хижин и т. д.
Также у некоторых племен Канады было отмечено, что
числительного «три» у них не существовало, а для
обозначения трех предметов имелись различные наиме-
нования: «тхе» — три вещи, «тхане» — три лица,
«тхат» — три раза, «тханоэн» — в трех местах и т. д.
У аборигенов Флориды были слова «на-куа» для обо-
значения десяти яиц, «на-банара» для обозначения
десяти корзин с продовольствием, но слова «на» для
обозначения числительного десять у них не было.
30
Разумеется, счет с помощью определенных предме-
тов неизбежно приводит к появлению наименований,
тесно связанных с орудием счета. Понятно, что в качест-
ве таких орудий счета, помогавших перечислению
вещей и запоминанию результата, выбирались предме-
ты, особенно близкие человеку. Как правило, это были
части его тела, пальцы рук и ног, сами руки и ноги.
Так, у жителей Торресова пролива исследователи заме-
тили,' что посредством пальцевого счета могли выразить
довольно большие числа. То, что при первобытном
перечислении предметов зачастую использовались
пальцы, сыграло большую роль в развитии счета на
пальцах. До XVIII в. счет на пальцах имел широкое
распространение в странах Западной Европы и в
России. Итак, число воспринималось вначале непосред-
ственно, как неотъемлемое свойство совокупности пред-
метов, которое, однако, еще явно не выделялось.
На более высокой ступени число уже указывается
как свойство совокупности предметов, но еще не отде-
ляется от нее как «отвлеченное число», как число
вообще, не связанное с конкретными предметами.
Число предметов есть свойство некоторой их сово-
купности, число же, как таковое, иными словами «от-
влеченное число», есть это свойство, отвлеченное от
конкретных совокупностей и мыслимое уже само по
себе, подобно «черноте», «твердости» и т. п. Как чернота
есть общее свойство предметов цвета угля, так число
«пять» есть общее свойство всех совокупностей, содер-
жащих столько же предметов, сколько пальцев на руке.
При этом сама равночисленность устанавливается
простым сравнением: беря предмет из совокупности, мы
загибаем один палец и так пересчитываем их по паль-
цам. Вообще сопоставлением предметов двух совокуп-
ностей можно, вовсе не пользуясь числами, устано-
вить, одинаковое ли в них число предметов. Так, гости,
рассаживаясь за столом и ничего не считая, легко
поправляют хозяйку, если она забыла один прибор:
один гость остался без прибора. Таким образом, можно
дать следующее определение числа: каждое отдельное
число есть свойство совокупностей предметов, общее
для всех совокупностей, предметы которых можно сопо-
ставить по одному, и различное для таких совокупно-
стей, в которых такое сопоставление невозможно.
Для того чтобы обнаружить и ясно выделить это
общее свойство, т. е. для того, чтобы образовать поня-
3!
тие о том или ином числе и дать ему название «шесть»,
«десять» и т. д., нужно было сравнить между собой
немало совокупностей предметов. Люди считали на про-
тяжении долгих поколений, миллионы раз повторяя
одни и те же операции, и так на практике обнаруживали
числа и отношения между ними.
Числовой ряд возник не сразу.
История его формирования весьма длительна, и
запас употребительных чисел увеличивался лишь
постепенно. Людям долгое время даже не приходила
в голову мысль о неограниченности числового ряда.
Только уже в сформировавшихся и далеко продвинув-
шихся на пути прогресса цивилизациях стали появлять-
ся идеи неограниченности множества целых чисел. Это
можно найти в сказаниях о Гильгамеше — герое легенд
Двуречья; в рассказах о Будде и др. Позднее — в Древ-
ней Греции — эта идея была развита Архимедом
(287—212 г. до н. э.) в его сочинении «Псаммит» —
исчисление песчинок. Он показал, что, вопреки мнению
многих, ряд чисел может быть продолжен как угодно
далеко и что можно перечислить не только песчинки
на берегу моря, но даже указать, сколько песчинок
поместится в шаре, радиус которого, как говорил
Архимед, равен расстоянию от Солнца до неподвижных
звезд. Архимед сконструировал в этом произведении
прием, который позволял строить и словесно обозначать
как угодно большие числа. Однако эта идея, хорошо
разработанная Архимедом, еще долгие годы не стано-
вилась всеобщим достоянием. Потребовалось не столько
время, сколько существенное изменение общественных
потребностей для появления настоятельной необходи-
мости оперирования со сколь угодно большими числами,
чтобы идея неограниченности числового ряда стала
доступна подавляющему большинству и вошла в на-
чальную школу. Сочинение Архимеда «Псаммит» имело
прежде всего философское значение. Математики того
времени уже владели идеей неограниченности числового
ряда и получили относительно него фундаментальные
результаты. Евклид доказал бесконечность множества
простых чисел, Эратосфен указал алгоритм выделения
простых чисел (решето Эратосфена).
В математических рукописях Древней Руси изобре-
тение арифметики приписывали или «остропаримого
разума древним философам», или «древнеэллинскому
32
мудрецу Пифагору». В Древней Греции изобретение
целого числа легенды приписывают Прометею. Об этом
замечательно сказано в трагедии Эсхила «Прометей
прикованный»:
...О бедствиях послушайте людей.
Они как дети были глупые.
Я наделил их мыслью и сознанием...
Для них я выдумал науку чисел,
из наук важнейшую...
Все легенды очень красивы. Мы знаем, какой долгий
и трудный путь прошло человечество, прежде чем овла-
дело понятием числа и превратило его в одно из основ-
ных орудий прогресса.
Мы показали лишь часть пути развития числа. Кро-
ме целых положительных чисел, практика заставила
ввести также отрицательные числа, нуль, затем дроби,
мнимые и комплексные числа. Далее на базе полей
действительных и комплексных чисел были построены
новые образования — группы, кольца. Этот процесс
никогда не завершится, так как для развития науки
и практики нужны новые математические образования,
новые понятия.
Задачи, связанные с измерением, разделом имуще-
ства и продуктов, привели к необходимости рассмо-
трения, наряду с целыми положительными числами,
также дробных и отрицательных чисел. Но их введение
и освоение потребовало длительного времени, и только
после того, как оно пройдено, когда остались позади
многочисленные трудности в выработке правил деления
чисел и действий с дробями, появились возможности
формального построения соответствующей теории. Че-
ловечеству потребовались тысячелетия, прежде чем
удалось сформулировать абстрактное определение
дробного числа, чтобы действиям с дробями обучались
школьники. Это великое завоевание человечества. Ведь
еще в XVIII в. в гимназиях даже не добирались до
действий с дробями. Люди разными путями пыта-
лись выбраться из трудного положения, в которое
они попадали, когда приходилось оперировать с дро-
бями. Недаром в немецком языке сохранилось выра-
жение «попасть в дроби», употребляемое в тех случаях,
когда хотят подчеркнуть, что кто-то попал в безвыход-
ное положение. В одной арабской рукописи XII в.
следующим хитроумным способом решена простая
арифметическая задача, лишь бы не иметь дела с дро-
33
бями: «Разделить поровну между одиннадцатью лица-
ми 100 фунтов (хлеба, зерна, муки и т. д.)». Автор
решения предлагает следующий способ: каждое лицо
должно получить по 9 фунтов; оставшийся фунт следует
поменять на яйца, которых при таком обмене будет
получена 91 штука. Оставшиеся после деления 3 яйца
автор предлагает или поменять на соль, или же отдать
за труды тому, кто делил.
Сказанное убедительно показывает, что на всех
этапах развития математического понятия числа прак-
тика играла решающую роль. Правда, в понятие
практики входят при этом различные представления:
практика перечисления, практика раздела имущества и
измерения длин. Введение иррациональных чисел
связано на первых порах с вычислением длины
диагонали квадрата по его стороне. Практика решения
квадратных уравнений привела человечество к мнимым
и комплексным числам.
Мы можем перейти к рассмотрению любого мате-
матического понятия и всюду столкнемся с той же самой
ситуацией: их введение связано всегда с решением той
или иной проблемы, выдвинутой или общественной
практикой, или развитием науки.
История зарождения геометрии по существу сходна
с историей зарождения арифметики. Первые геометри-
ческие понятия и сведения также восходят к временам
доисторическим и также возникли в процессе практи-
ческой деятельности.
Из самой природы заимствовал человек геометри-
ческие формы. Круг и серп луны, гладь озера, прямизна
луча и стройного дерева существовали задолго до чело-
века и предстояли перед ним постоянно. Конечно, до-
статочно прямые линии, а тем более треугольники и
квадраты, наш глаз встретит в самой природе редко.
Ясно, что человек вырабатывал представление об этих
фигурах прежде всего потому, что активно воспринимал
природу и, следуя своим практическим потребностям,
изготовлял предметы все более правильной формы.
Люди строили свои жилища, обтесывали камни, отго-
раживали участки земли, натягивали тетивы на свои
луки, лепили глиняную посуду, совершенствовали ее
и соответственно создавали понятие, что сосуд получа-
ется круглый, что натянутая тетива — прямая. Короче,
форму сначала придавали материалу, а потом уже
осознавали ее как то, что придается материалу и что
34
может рассматриваться само по себе в отвлечении от
материала.
Осознавая форму тел, человек мог совершенство-
вать свои изделия и еще отчетливее выделять само
понятие формы. Так, практическая деятельность слу-
жила основой для выработки отвлеченных понятий
геометрии. Нужно было сделать тысячи предметов с
прямыми краями, натянуть тысячи нитей, провести на
земле массу прямых линий, чтобы получить ясное пред-
ставление о прямой линии вообще, как о том общем,
что есть во всех этих частных случаях. Теперь мы
окружены предметами с прямыми краями, сделанными
людьми, сами учимся проводить прямые, и только поэ-
тому у нас с детства складывается ясное представление
о прямой.
Точно так же понятие о геометрических величи-
нах — о длине, площади и объеме — возникло из прак-
тической деятельности. Люди измеряли длины, опреде-
ляли расстояния, оценивали на глаз площади и объемы
для своих практических целей. Постепенно здесь были
обнаружены простейшие общие законы, первые гео-
метрические зависимости, например площадь прямо-
угольника равна произведению его сторон. Земледельцу
полезно было знать такую зависимость, чтобы оцени-
вать площадь посева, а следовательно, и предполага-
емый урожай.
Так из практической деятельности и жизненных
задач зарождалась геометрия. Развитие ее шло в на-
правлении накопления новых фактов и уяснения их
связи друг с другом. Эти связи превращались постепен-
но в логические выводы одних положений геометрии
из других. Таким путем, во-первых, вырабатывалось
само понятие о геометрической теореме и ее доказа-
тельстве, а во-вторых, выяснились те основные положе-
ния, из которых другие уже могут быть выведены, т. е.
выяснялись аксиомы геометрии.
Так постепенно геометрия превращалась в матема-
тическую теорию.
Известно, что ее систематическое изложение появи-
лось в Греции уже в V в. до н. э., но оно до нас не дошло,
очевидно, потому, что всех их вытеснили «Начала»
Евклида. В этом произведении геометрия была пред-
ставлена в виде такой стройной системы, что ничего
принципиально нового к ее основам не смогли добавить
до Н. И. Лобачевского, т. е. в течение более двух тысяч
35
лет, а все школьные учебники во всем мире представ-
ляли и представляют собой не что иное, как популярную
переработку Евклида. Едва ли много найдется в мире
таких долговечных книг, как «Начала» Евклида,—
это совершенное творение человеческого гения. Конеч-
но, математика ушла вперед, и наше понимание основа-
ний геометрии стало гораздо глубже, и все же «Начала»
Евклида были и во многом остаются образцом книги
по чистой математике. В них, подводя итог предыдуще-
го развития, Евклид представил современную ему мате-
матику как самостоятельную теоретическую науку, т. е.
так, как в конце концов понимают ее и теперь.
История зарождения геометрии дает основания для
тех же выводов, что история зарождения арифметики.
Мы видим, что геометрия возникла из практики и что
ее превращению в математическую теорию предшест-
вовал очень долгий период.
Геометрия оперирует с «геометрическими телами»
и фигурами, изучает их отношения и взаимное рас-
положение. Но геометрическое тело есть не что иное,
как слепок с реального тела, рассматриваемого с точки
зрения его пространственной формы (в том числе раз-
меров), в отвлечении от прочих свойств, будь то плот-
ность, цвет, вес и т. д. Геометрическая фигура есть еще
более общее понятие, в ней можно отвлекаться и от
пространственного протяжения. Так, поверхность имеет
только два измерения, линия — одно, а точка вовсе
не имеет измерений. Точка есть отвлеченное понятие
о конце линии, о месте, уточненном до предела, так что
в нем уже нет частей. (Так, кстати, определял эти
понятия и Евклид.)
Таким образом, геометрия имеет своим предметом
пространственные формы и отношения реальных тел,
отвлеченные от всех прочих свойств, иными словами,
взятые в «чистом виде». Именно этот уровень отвле-
ченности отличает геометрию от других наук, изучаю-
щих также пространственные формы и отношения тел.
В астрономии, например, изучают взаимное расположе-
ние тел, но именно небесных тел, в геодезии — форму
Земли, в кристаллографии — формы кристаллов и т. д.
Во всех этих случаях изучают форму и расположение
конкретных тел в зависимости от их других свойств.
Отвлечение обусловливает умозрительный метод
геометрии; с прямыми без всякой ширины, с «чистыми
формами» уже нельзя ставить опыты. Остается только
36
рассуждать, получая одни выводы из других. Поэтому
геометрическая теорема должна доказываться рас-
суждением, иначе она не будет принадлежать геомет-
рии, не будет относиться именно к «чистым формам».
Очевидность самих исходных понятий геометрии,
приемы рассуждений, убедительность ее выводов имеют
то же происхождение, что и в арифметике. Свойства
геометрических понятий, как и сами понятия, абстра-
гированы человеком из окружающей природы. Люди
много раз проводили прямые линии, прежде чем смогли
создать аксиому, что через всякие две точки можно про-
вести прямую; миллиарды раз перемещали и приклады-
вали друг к другу разные предметы, прежде чем смогли
обобщить это в представлении о наложении геометри-
ческих фигур, и, тем более, применить это представле-
ние для доказательства теорем (как это делается в
известных теоремах о равенстве треугольников).
Наконец, общность геометрии. Объем шара равен
независимо от того, идет ли речь о шарообраз-
ном сосуде, о стальном шаре, о планете, о капле и т. д.
Геометрия смогла выделить общее во всех телах, потому
что всякое реальное тело имеет более или менее опре-
деленную форму, размеры, положение относительно
других тел. Не удивительно поэтому, что она применя-
ется так же широко, как арифметика. Рабочий, изме-
ряющий размеры детали или читающий чертеж, артил-
лерист, определяющий расстояние до цели, колхозник,
измеряющий площадь посева, строитель, оценивающий
объем земляных работ,— все они пользуются геомет-
рией. Штурман, астроном, геодезист, инженер, физик
нуждаются в очень тонких ее выводах.
До сих пор мы рассматривали арифметику и гео-
метрию отдельно друг от друга. Их взаимная связь
ускользнула от нашего внимания. А между тем эта
связь имеет исключительно большое значение. Взаим-
ное проникновение теорий движет математику вперед,
раскрывает богатство отраженных этими теориями свя-
зей действительности.
Арифметика и геометрия не только применяются
одна к другой, но служат при этом истоками дальней-
ших общих идей, методов и теорий. В конечном счете
арифметика и геометрия — это два корня, из которых
росла математика. Их взаимодействие восходит к тем
временам, когда они сами только зарождались. Уже
37
простое измерение длины есть соединение геометрии
и арифметики. Измеряя длину предмета, мы отклады-
ваем на нем некоторую -единицу длины и считаем,
сколько раз это можно сделать; первая операция (от-
кладывание) — геометрическая, вторая (счет) —
арифметическая. И все же со времен древнегреческой
математики между арифметикой и геометрией сущест-
вовал значительный разрыв. Впервые полностью во-
плотил в жизнь идею их единства замечательный
французский математик и философ Рене Декарт
(1596—1650), введя в математику одно из фундамен-
тальных ее понятий — понятие переменной и создав
аналитическую геометрию. Значение его работ Ф. Эн-
гельс охарактеризовал следующим образом: «Поворот-
ным пунктом в математике была Декартова переменная
величина. Благодаря этому в математику вошли движе-
ние и тем самым диалектика и благодаря этому же
стало немедленно необходимым дифференциальное
и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает
и которое было в общем и целом завершено, а не изо-
бретено, Ньютоном и Лейбницем». (Диалектика при-
роды.— Маркс К-, Энгельс Ф. Соч., 2-е изд.,
т. 20, с. 573).
Декарт считал, что в основе познания лежит сравне-
ние между собой предметов одинакового рода, их из-
мерение, а главная роль «человеческого искусства»
состоит в установлении равенств между искомыми и
данными вещами. При этом отношение между вещами
выражалось через отношение их мер, т. е. благодаря
новой точке зрения, через действительные числа. Тем
самым, зависимости между величинами стали выра-
жаться как зависимости между числами. По сути дела,
это была неявно выраженная идея числовой функции
числового аргумента, одной из плодотворнейших мате-
матических моделей.
Понятие функции уходит своими корнями в ту дале-
кую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружаю-
щие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели
считать, но уже знали, что, чем больше оленей удастся
убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от
голода, чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше
полетит стрела, чем дольше горит костер, тем теплее
будет в пещере.
С развитием скотоводства и земледелия, ремесла
и обмена увеличилось количество известных людям
38
зависимостей между величинами. Многие из них выра-
жались с помощью чисел. Это позволило формулиро-
вать их словами «больше на», «меньше на», «больше во
столько-то раз». Если за одного быка давали 6 овец,
то двух быков обменивали на 12 овец, а трех быков —
на 18 овец; если из одного ведра глины изготовляли
4 горшка, то из двух ведер глины можно было сделать
8 горшков, а из трех ведер — 12 горшков. Такие расчеты
привели к возникновению понятия о пропорциональ-
ности величин.
В те времена редко приходилось сталкиваться с
более сложными зависимостями. Но когда возникли
первые цивилизации, образовались большие (по тог-
дашним масштабам) армии, началось строительство
гигантских пирамид, то понадобились писцы, которые
учитывали поступающие налоги, определяли количе-
ство кирпичей, необходимое для возведения дворцов,
подсчитывали, сколько продовольствия надо загото-
вить для дальних походов. От одного поколения
писцов к другому переходили правила решения задач,
и чем лучше писец справлялся с ними, тем большим
почетом он пользовался.
Вот, например, послание, направленное египетским
писцом своему менее образованному коллеге:
«Я хочу объяснить тебе, что это. такое, когда ты
говоришь: «Я писец, дающий приказы армии». Ты при-
ходишь ко мне, спрашиваешь о запасах для солдат
и говоришь: «Сосчитай мне это». Ты оставляешь свою
работу, и на мои плечи сваливается задача — учить
тебя, как ее надо выполнить. Я ставлю тебя в ту-
пик, когда приношу тебе повеление от твоего госпо-
дина, тебе — его царскому писцу... мудрому писцу, по-
ставленному во главе этого войска. Должно сделать
насыпь для подъема в 730 локтей длины и 55 локтей
ширины. Она состоит из 120 отдельных ящиков и по-
крывается перекладинами и тростником. На верхнем
конце она имеет высоту в 60 локтей, а в середине 30 лок-
тей; уклон ее — дважды по 15 локтей, а настил — 5 лок-
тей. Спрашивают у военачальников, сколько понадо-
бится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не
знает. Все они надеются на тебя и говорят: «Ты искус-
ный писец, мой друг, сосчитай это для нас поскорей.
Смотри, имя твое славится. Сколько же надо для этого
кирпичей?»
Чтобы решить такую задачу, надо было знать, как
39
зависят объемы геометрических фигур от их размеров,
уметь учитывать наклон насыпи. Некоторые египетские
задачи показывают, что в то время умели даже вычис-
лять объем пирамиды.
Высокого уровня достигла математика в Древнем
Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне
составили таблицы обратных значений чисел, таблицы
квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы
квадратов чисел и их кубов. Говоря современным язы-
ком, это было табличное задание функций
У=— , у~хг, у=х\ у=х2+х? .
Пользуясь такими таблицами, вавилоняне могли
решать и обратные задачи — по заданному объему куба
находить длину его стороны, т. е. извлекать кубические
корни. Они умели даже решать уравнения вида
z — -yjx2 + у2. Были у вавилонян и таблицы функций
двух переменных, например таблицы сложения и умно-
жения. Пользуясь различными таблицами, они могли
вычислять и длину гипотенузы по длинам катетов,
т. е. находить значения функции z =
Разумеется, путь от появления таблиц до создания
общего понятия функциональной зависимости был еще
очень долог, но первые шаги по этому пути уже были
сделаны.
В Древней Греции наука приняла иной характер,
чем в Египте и Вавилоне. Появились профессиональ-
ные ученые, которые изучали саму математическую
науку, занимались строгим логическим выводом одних
утверждений из других. Многое из того, что делали
древнегреческие математики, тоже могло привести к
возникновению понятия о функции. Они решали задачи
на построение и смотрели, при каких условиях данная
задача имеет решение, изучали, сколько решений может
иметь эта задача, и т. д. Древние греки нашли много
различных кривых, неизвестных писцам Египта и Ва-
вилона, изучали зависимости между отрезками диа-
метров и хорд в круге, эллипсе и других линиях.
Но все же древнегреческие математики не создали
общего понятия функции. Возможно, здесь оказало
влияние то, что к практическим приложениям матема-
тики они относились свысока. Одна из дошедших до
40
нас легенд гласит, что когда какой-то человек попро-
сил Евклида обучить его геометрии и задал вопрос:
«А какую практическую пользу я получу, выучив все
эти теоремы?», тот сказал, обращаясь к своему рабу:
«Дай ему обол (мелкую греческую монету), бедняжка
пришел искать пользу».
Вопросами практической математики в Греции
больше занимались астрономы. Они придумали, напри-
мер, долготу и широту, с помощью которых определяли
положение звезд на небосводе. Астрономам приходи-
лось решать сферические треугольники. Это послужило
началом сферической тригонометрии, которая, как ни
странно, была создана раньше, чем плоская. Чтобы
решать тригонометрические задачи, пришлось соста-
вить таблицы зависимости между длиной хорды и вели-
чиной стягиваемой ею дуги. По сути дела, это уже были
таблицы функции y = sinx (длина хорды, стягивающей
дугу 2х, равна 2/?sinx).
Когда византийский император Юстиниан в 529 году
запретил под страхом смертной казни математические
исследования (он видел в них наследие языческой
науки, противостоявшей христианской религии), центр
научных исследований переместился в арабские страны.
Арабские ученые ввели новые тригонометрические
функции и усовершенствовали таблицы хорд, состав-
ленные Птолемеем. Работая с тригонометрическими
таблицами, они прибегали к интерполяции, т. е. к «чте-
нию между строк таблицы». Чаще всего применяли
линейную интерполяцию, считая, что между двумя из-
вестными значениями функция меняется линейно. Но
живший в XI веке хорезмиец аль-Бируни разработал
более точный способ интерполяции, основанный на
замене данной функции квадратичной. Он применил
свой способ только к таблицам синусов и тангенсов,
но в одном месте указал, что этот способ «применим
ко всем таблицам». Здесь впервые встречается мысль
о «всех таблицах», т. е. о всевозможных зависимостях
между величинами.
Исследование общих зависимостей началось в
XIV веке. Средневековая наука была схоластической.
Для доказательства своей правоты ученые прибегали
не к опыту, а к цитатам из Аристотеля и Платона или
к ссылкам на библейские сказания. При таком харак-
тере «научных дискуссий» не оставалось места изуче-
нию количественных зависимостей, речь шла лишь о
качествах предметов и их связях друг с другом. Но
среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что
качества могут быть более или менее интенсивными
(платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем
у того, кто лишь попал под дождь).
Французский ученый Николай Оресм (1323—1382)
стал изображать интенсивности длинами отрезков.
Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно
некоторой прямой, их концы образовывали линию,
названную им «линией интенсивностей» или «линией
верхнего края». Современный читатель сразу узнает
в ней график соответствующей функциональной зави-
симости. Оресм изучал даже «плоскостные» и «телес-
ные» качества, т. е. функции, зависящие от двух или
трех переменных.
Важным достижением Оресма была попытка клас-
сифицировать получившиеся графики. Он выделил
три типа качеств: равномерные (т. е. с постоянной
интенсивностью), равномерно-неравномерные (для ко-
торых скорость изменения интенсивности постоянна
и неравномерно-неравномерные (все остальные), а так-
же указал характерные свойства графиков таких
качеств.
В работах Оресма встречаются понятия мгновенной
скорости и ускорения. Оресму удалось даже с помощью
геометрических соображений найти путь, проходимый
телом при равноускоренном движении. Разумеется,
точного определения мгновенной скорости и ускорения
он не давал, но понимал, что путь при равноускоренном
движении можно геометрически изобразить площадью
треугольника.
Идеи Оресма намного обогнали тогдашний уровень
науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь
выражать зависимости между величинами не только
графически, но и с помощью формул, а буквенной
алгебры в то время не существовало. Лишь после
того, как в течение XVI века была постепенно создана
буквенная алгебра, удалось сделать следующий шаг
в развитии понятий функции.
На протяжении XVI и XVII веков в естествознании
произошла революция, приведшая к глубочайшим из-
менениям не только в технике, но и в мировоззрении
людей. После того как Коперник создал гелиоцентри-
ческую систему, «остановив Солнце и сдвинув Землю»,
нельзя уже было верить, что Земля — центр мирозда-
ния, а библейские сказания непогрешимы. Казалось,
42
что мир сорвался со своих опор, что разрываются
прочнейшие связи.
Астрономия, которая до этого в основном обслу-
живала астрологию (лженауку, пытавшуюся предска-
зывать судьбы людей и государств по положению пла-
нет и звезд), стала чуть не каждый день приносить
новые сведения о мире — люди узнали о спутниках
Юпитера, фазах Венеры, пятнах на Солнце и т. д. Инже-
неры придумывали новые машины, усовершенствовали
часы, мореплаватели возвращались из дальних стран-
ствйй и рассказывали о новых континентах и таинст-
венных странах, которые они открыли во время путе-
шествий.
Все это привело к изменению мировоззрения лю-
дей — они стали смотреть на мир не как на поле при-
ложения божественной воли, а как на механизм, управ-
ляемый своими законами. И основной задачей науки
стало открытие этих законов, описание их в терминах
математики. Перед математикой возникли новые зада-
чи, недоступные для существовавшей тогда науки,
имевшей дело лишь с постоянными, неподвижными
объектами. Нужны были новые математические методы
и модели, которые позволили бы описывать мир, полный
движения и перемен.
Одним из первых задумался над такими задачами
основатель динамики Галилео Галилей. Он размышлял
о том, как меняется скорость падающего тела, как
движется точка на ободе колеса, как качается маятник.
Но решить такие задачи ему удалось лишь в простей-
ших случаях. Чтобы создать математический аппарат
для изучения движений, понадобилось понятие пере-
менной величины. Это понятие, как мы уже упоминали,
было введено в науку Рене Декартом.
При записи зависимостей между величинами Декарт
стал применять буквы. При этом операциям над вели-
чинами соответствовали операции над буквами. Теперь
уже для преобразования одной зависимости в другую
не надо было писать громоздких пропорций, изучать
подобные треугольники и преобразовывать геометричес-
кие фигуры. Достаточно было по твердо установленным
правилам делать алгебраические преобразования, при-
чем все эти преобразования производились в общем
виде.
Отношения между известными и неизвестными ве-
личинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы
43
наглядно изображать уравнения, он заменял все вели-
чины длинами отрезков. По сути дела, здесь была зало-
жена идея метода координат. Как уже говорилось, еще
греческие астрономы задавали положение звезд на
небесной сфере долготой и широтой. Но лишь Декарт
начал геометрически изображать не только пары чи-
сел, а и уравнения, связывающие два числа. Одновре-
менно с Декартом к мысли о соответствии между
линиями и уравнениями пришел другой французский
математик — Пьер Ферма (1601 —1665). Он был совет-
ником тулузского парламентера и занимался матема-
тическими исследованиями лишь в свободное время.
Тем не менее Ферма получил ряд первоклассных резуль-
татов в теории чисел и в других областях математики.
После работ Декарта и Ферма возникла аналити-
ческая геометрия — новая ветвь математики, в которой
линии изучались не геометрическими методами, а путем
исследования их уравнений.
К началу XVII века математики знали такие кривые
линии, как эллипс, гиперболу, параболу и т. д. Однако
в то время еще не было общего метода изучения линий,
и потому исследование каждой кривой превращалось
в сложную научную работу.
Открытия Декарта и Ферма дали в руки математи-
ков метод для получения и изучения новых кривых —
надо было написать уравнение кривой и делать выводы,
исследуя это уравнение. Сам Декарт в 1638 году при-
думал новую кривую, уравнение которой имеет вид
x3-j-y3—Заху—0, а>0.
Ее сейчас называют декартовым листом. Любопытно,
что хотя Декарт применял уже в своей алгебре не
только отрицательные, но даже мнимые числа, он не
рассматривал отрицательных значений координат. Пер-
воначально декартов лист считали симметричным отно-
сительно осей координат, т. е. изображали линию
|х|3 + |г/|3—За|ху| = 0. Окончательно форма кривой была
установлена лишь через полстолетия X. Гюйгенсом
(1629—1695) и Иоганном Бернулли (1667—1748).
Декартов лист, эллипс, гипербола, парабола явля-
ются алгебраическими кривыми. Так называют кривые,
уравнение которых имеет вид Р (х, у)=0, где Р (х, у) —
многочлен от х и у. Но уже Галилей и Декарт изучали
циклоиду — кривую, описываемую точкой обода коле-
са, катящегося без скольжения по прямой дороге (или,
говоря математически, траекторию точки окружности,
44
катящейся без скольжения по прямой линии). Эта
кривая состоит из бесконечного числа арок, каждая из
которых соответствует полному обороту колеса. Можно
доказать, что уравнение одной арки циклоиды имеет
вид: x = r arccos^y^—у2п/ — у1.
Так как в это уравнение входит обратная тригонометри-
ческая функция, циклоида не является алгебраической
кривой.
К неалгебраическим кривым нельзя было применять
алгебраические методы, разработанные Декартом. По-
этому их назвали трансцендентными кривыми (от ла-
тинского «трансценденс» — выходящий за пределы).
Некоторые трансцендентные кривые были известны еще
древнегреческим математикам. Например, в связи с
задачей о спрямлении окружности (построение отрез-
ка, длина которого равна длине этой окружности)
Архимед построил особую спираль, определив ее на
языке механики как траекторию точки, совершающей
равномерное и поступательное движение по лучу, кото-
рый в это же время равномерно вращается вокруг
своего начала.
Другие кривые кинематического происхождения
приходилось рассматривать астрономам. Как известно,
Птолемей, пытаясь объяснить движение планет по небу,
придумал сложную систему мироздания. Он считал, что
в центре Вселенной находится Земля, а планеты равно-
мерно вращаются по окружностям, центры которых,
в свою очередь, равномерно вращаются вокруг Земли.
Если начертить эти траектории, то появятся возвратные
движения и петли, которые и хотел объяснить Птоле-
мей. Следует отметить, что при более точном изучении
выявились расхождения между теорией Птолемея и
наблюдениями, а потому пришлось вводить третьи
окружности, а там и четвертые. В результате получи-
лось нагромождение окружностей, в котором невоз-
можно было разобраться. Король Альфонс X, которому
попытались объяснить систему Птолемея, сказал:
«Жаль, что меня не было, когда бог творил мир: я по-
советовал бы ему сделать мироздание проще». Столь
непочтительное заявление чуть не стоило ему короны —
его обвинили в богохульстве.
Но не только «небесные» причины заставляли мате-
матиков изучать различные кривые. Со многими кривы-
ми приходилось иметь дело и в связи с вполне земными
45
заботами. Картографы интересовались формой мери-
дианов и параллелей при различном выборе проекции
земного шара на плоскость, мореплаватели— линией,
по которой корабль пересекает все меридианы под
одним и тем же углом, инженеры — очертаниями зуб-
чатых колес, кулачковых механизмов и других деталей
машин, а также винтовыми кривыми и поверхностя-
ми и т. д.
Например, архимедова спираль позволяет преобра-
зовать равномерное вращательное движение в равно-
мерное возвратно-поступательное.
После того как были открыты логарифмы, стали
изучать свойства графиков логарифмической и показа-
тельной зависимостей. Задачи механики требовали
отыскания формы провисшего каната (так называемой
цепной линии).
В течение XVII столетия было открыто больше кри-
вых, чем за всю предшествующую историю математики,
и понадобились общие понятия, которые позволили бы
единым образом трактовать и изучать как алгебраи-
ческие, так и трансцендентные кривые, как тригоно-
метрические, так и логарифмические зависимости.
Выработка этих общих понятий, а именно понятий
производной, интеграла и бесконечного ряда, ознамено-
вала новый этап математики — открытие дифференци-
ального и интегрального исчислений.
После того как в науку вошли переменные величины
и функции, были изучены траектории движущихся
точек, расцвела вычислительная математика и была
создана буквенная алгебра, внимание ученых обрати-
лось к изучению соответствий между величинами. С по-
мощью координат удалось изобразить эти соответствия
графически. Математика стала языком естествознания,
причем в формулировке законов природы использовали
не только алгебраические, но и тригонометрические
функции.
Отметим, что в начале XX века на базе теории
функций возникла новая ветвь математики — функцио-
нальный анализ. В нем изучают множества, состоящие
из функций, последовательностей, линий, в которых
определены операции сложения и умножения на числа.
Эти операции обладают свойствами, похожими на
свойства операций над векторами. Однако в отличие
от нашего пространства, имеющего лишь три измере-
ния, изучаемые в функциональном анализе простран-
46
ства могут быть бесконечномерными. Это не мешает
специалистам по функциональному анализу применять
в своих исследованиях геометрический язык.
Хотя функциональный анализ кажется очень аб-
страктной^ наукой, он находит многочисленные прило-
жения в вычислительной математике, физике, эконо-
мике, позволяя с единой точки зрения трактовать самые
различные вопросы и вскрывать геометрическую сущ-
ность проблем, которые на первый взгляд очень далеки
от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с
практикой, видный американский математик Р. Курант
(1888—1972) писал:
«Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт излишней
информации, устремляемся на крыльях абстракции
в заоблачные высоты, разреженная атмосфера которых
облегчает управление и наблюдение. Затем наступает
решающее испытание — приземление; теперь нужно
установить, достигнуты ли поставленные цели...»
А А. Лебег (1875—1941) говорил:
«Те люди, которым мы обязаны отвлеченной науч-
ной мыслью, могли, занимаясь абстрактными вещами,
делать тем не менее полезное дело, именно потому, что
они имели особенно обостренное чувство действитель-
ности».
Наряду с понятиями переменной и функции, реша-
ющую роль в развитии математики и усилении ее
познавательной мощи сыграла идея бесконечности. Ее
зарождение теряется в глубине веков.
Данные лингвистики показывают, что сначала люди
умели считать лишь до двух. Потом запас чисел расши-
рился до шести: даже в XIX в. были обнаружены пле-
мена, считавшие так: «один, два, два-один, два-два,
два-два-один, два-два-два», а обо всем, что содержало
более шести элементов, они говорили «много». И сейчас
в пословицах и поговорках число 7 заменяет слово
«много» («Семеро одного не ждут», «Семь раз отмерь,
один раз отрежь», «Один с сошкой, семеро с ложкой»
и т. д.). Потом наибольшим стало число 40, затем эта
граница отодвинулась до 100, далее — до 1000. Но даже
этих чисел не хватало для того, чтобы пересчитать
звезды на небе, песчинки на берегу моря, листья в лесу.
Глядя ввысь, люди думали о неисчислимом множестве
звезд, о бездонном небе. Эти чувства выражены в сти-
хах М. В. Ломоносова:
Открылась бездна, звезд полна;
Звездам числа нет, бездне — дна.
47
Изобретение позиционных систем счисления дало
возможность называть очень большие числа. Напри-
мер, в одной из вавилонских таблиц приводятся все
делители числа 608+ 10 • 607= 195 955 200 000 000.
В индийских книгах исчисляется- количество «атомов»,
содержащееся в 3200 длинах лука (оно равно
108 470 495 616 000), а в одной из них рассказывается
о сражении, в котором приняло участие 1023 обезьян.
Авторов этих сказаний не смущало, что такого коли-
чества обезьян не вместила бы вся Солнечная система,
они радовались, что могут оперировать громадными
числами.
Работая с громадными числами, люди пришли к
мысли, что нет самого большого числа, что за каждым
числом идет следующее, а ряд натуральных чисел
бесконечен. Сейчас эта идея кажется простой даже
школьникам IV класса, но когда-то она была важным
завоеванием теоретического мышления. Она позволила
поставить вопрос о безграничности пространства. Что
находится за сферой неподвижных звезд? Есть ли гра-
ница Вселенной? Размышляя над этим, древнегрече-
ские философы пришли к представлению о мире, не
имеющем границ. «Где бы ни стал воин, он сможет
протянуть свое копье еще дальше», учил живший в VI в.
до н. э. философ Анаксимандр. Теперь мы знаем, что
это рассуждение доказывает лишь неограниченность,
но не бесконечность пространства.
Еще раньше люди пришли к идее вечности, бесконеч-
ности мира во времени. Она выражена в следующей
восточной притче:
«Вот алмазная гора высотой в тысячу локтей. Раз
в столетие прилетает птичка и точит свой клюв о гору.
Когда она сточит всю гору, пройдет первое мгновение
вечности.»
Так возникла модель мира, бесконечного во всех
направлениях и вечного во времени.
Освоившись с идеей бесконечности, мыслители стали
думать и о бесконечно малых величинах, получающихся
при безграничном делении предметов на части. Повсе-
дневный опыт учил, что хлеб, яблоко, кувшин вина
можно разделить между участниками трапезы. В случае
необходимости каждую из получившихся частей можно
было дальше делить на еще более мелкие части. Но
есть ли граница этому делению? Ответить на этот
вопрос, опираясь только на опыт, было невозможно.
48
Здесь речь шла уже о настолько мелких частях, что их
нельзя было разглядеть самому зоркому из людей.
Поэтому вопрос о пределе делимости вещей перешел
из сферы опыта- в сферу умозрительных рассуждений.
Возникли две основные школы, одна из которых
учила, что безграничное деление возможно, а вторая
пришла к выводу, что существуют наименьшие частицы
вещества — атомы, которые дальше уже не делятся
(атом и значит по-гречески «неделимый»). Но атомисты
и их противники расходились лишь во взглядах на
природу материи. В том, что пространство безгранично
делимо, не сомневались даже самые завзятые сторон-
ники. атомизма.
В середине V в. до н. э. выяснилось, что предположе-
ние о безграничной делимости пространства при не-
осторожном обращении ведет к парадоксальным след-
ствиям. Философ Зенон Элейский, пользуясь этим пред-
положением, доказывал, что ... в мире не существует
движения. Ведь, говорил он, летящая стрела, прежде
чем попасть в цель, должна пролететь половину пути,
а до этого одну четверть пути, еще ранее — одну вось-
мую пути и т. д. А так как пространство безгранично
делимо, то процесс деления пополам никогда не кон-
чится, стрела никогда не полетит и останется неподвиж-
ной (апория «Стрела»).
В апории «Дихотомия» (деление пополам) утвер-
ждается, что тело, которое движется, никогда не достиг-
нет конца пути, так как сначала оно должно достиг-
нуть средины, затем средины половины и т. д., т. е. если
длина пути равна 1, то тело сначала должно пройти
1 >1 1 1
-тг, затем —г, -°-, . -^т--- Итак, оно не только
Z 4 о z Z
никогда не достигнет конца пути, но и вообще не
сдвинется с места.
Наиболее популярная апория «Ахиллес и черепаха»
должна была убедить в том, что если движение все же
началось, то никогда не закончится. Быстроногий
Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале
пути она находится на некотором расстоянии от него.
В самом деле, пусть их разделяет расстояние а и ско-
рость Ахиллеса в k раз превышает скорость черепахи.
За время, в течение которого Ахиллес пробежит рас-
а
стояние а, черепаха продвинется вперед на пока
Л „ а а
Ахиллес пробежит—, черепаха продвинется на-р-ит. д.
49
Каким же образом Ахиллес сможет догнать черепаху?
Ему необходимо преодолеть бесконечную последова-
тельность отрезков за конечный отрезок времени. Итак,
погоня никогда не закончится.
Апории Зенона показали, что представления о бес-
конечности, господствовавшие в тогдашней математи-
ке, были весьма наивны. В частности, в его рассужде-
ниях впервые было выяснено, что отрезок можно раз-
бить на бесконечное множество отрезков, каждый из
которых имеет конечную длину. До него отрезок всегда
разбивали лишь на равные части, а тогда при увели-
чении числа частей их размеры безгранично уменьша-
лись. Философское значение апорий (апория — непре
одолимое противоречие при разрешении проблемы)
Зенона состояло в том, что они вскрывали действи-
тельную противоречивость движения, пространства и
времени. И сейчас в теоретической физике возникают
затруднения, чем-то напоминающие противоречия Зе-
нона. Только у Зенона бесконечным было число частей,
которые должна пролететь стрела, а у современных
физиков бесконечна энергия взаимодействия электрона
с порождаемым им электромагнитным полем. И может
быть, причины затруднений Зенона и современных фи-
зиков чем-то родственны — в обоих случаях речь идет
о возможности применять к микромиру понятия, воз-
никшие при изучении больших объектов, о строении
пространства в малом.
Впечатление, произведенное апориями Зенона, мож-
но сравнить лишь с переворотом в мышлении физиков,
вызванным появлением теории относительности. После
Зенона нельзя уже было обращаться с бесконечностью
с той восхитительной небрежностью, которая была
характерна для его предшественников. Рассуждения,
в которые входило слово «бесконечность», оказались
обесцененными.
Одну из попыток спасти положение предпринял
крупнейший атомист древности Демокрит. Он создал
теорию, в которой пытался доказать, что не только
физические тела состоят из атомов, но и пространство
делимо лишь до определенных пределов, после чего идут
уже части пространства, не имеющие ни формы, ни
размеров. Если бы Демокриту удалась его попытка,
современная математика могла бы принять совсем иной
вид — она была бы не математикой непрерывного, а
математикой дискретного. Но теория Демокрита не
50
смогла объяснить несоизмеримость стороны квадрата
с его диагональю. Ведь если бы отрезки состояли из
конечного числа неделимых частей, то достаточно
было бы подсчитать число этих неделимых в диагонали
квадрата и его стороне, чтобы выразить отношение
их длин в виде дроби. Кроме того, Демокриту не удалось
объяснить, равны ли между собой сечения пирамиды.
Если они равны, то пирамида не может сужаться к вер-
шине, а если не равны, то пирамида должна иметь сту-
пенчатую форму (ведь, по Демокриту, при последова-
тельном делении высоты пирамиды пополам в конце
концов получаются неделимые далее слои). Не исклю-
чено, что сам Демокрит сомневался в реальном суще-
ствовании пирамид, шаров и других геометрических
тел, а считал их абстракцией, т. е. представлял их
в виде ступенчатых тел со столь малыми ступеньками,
что они неразличимы для человеческих чувств. К сожа-
лению, труды Демокрита не дошли до нашего времени,
и мы знаем о них лишь по цитатам, сделанным другими
философами.
Когда стало ясно, что идеи Демокрита не удается
логически обосновать, философы стали искать иные
пути, чтобы опровергнуть рассуждения Зенона. Аристо-
тель ввел различие между актуальной и потенциальной
бесконечностями. Отвечая на вопрос «Существует ли
бесконечное?», он говорил: «Бесконечность не сущест-
вует актуально, как бесконечное тело или величина,
воспринимаемые чувствами... Бесконечное существует
потенциально, бесконечное есть движение...»
Таким образом, Аристотель допускал бесконечный
процесс деления пополам, но не допускал возможности
деления отрезка на бесконечное множество частей.
Ученики Аристотеля считали ненаучным представление,
что величины состоят из бесконечного множества бес-
конечно малых частей. Они говорили: «Наука истинна
лишь постольку, поскольку она не основана на пред-
положении, что непрерывное состоит из неделимого».
Пришлось и математикам изгнать неделимые из
своей науки. Вместе с неделимыми из математики была
изгнана и бесконечность. На любые рассуждения, в
которых использовалось понятие бесконечности, был
наложен запрет. Да и движением, и вообще физически-
ми методами рассуждений старались пользоваться по-
меньше — после Зенона понятие движения считалось
хотя и очевидным, но логически ненадежным.
51
Демокрит, используя свои атомистические представ-
ления, вычислил объем пирамиды. После осуждения его
идей надо было искать новые пути вывода этой форму-
лы, разрабатывать процедуру вычисления геометри-
ческих величин, в которой не говорилось бы ни о бес-
конечно малых, ни о неделимых. Такую процедуру
создал в IV веке до н. э. греческий математик Евдокс.
Он разработал метод исчерпывания (иначе истоще-
ния), позволявший переходить от утверждений о пло-
щадях и объемах многоугольников и призм к соответ-
ствующим утверждениям о площадях и объемах более
сложных фигур. Например, чтобы доказать, что площа-
ди двух кругов относятся как квадраты длин их диа-
метров, Евдокс сначала доказывал соответствующее
утверждение для вписанных в эти круги правильных
многоугольников. Современный математик после этого
совершил бы предельный переход, но для греков этот
путь был закрыт, и потому Евдокс шел обходным путем.
Он предполагал противное, например, что отношение
площадей кругов больше отношения квадратов диа-
метров. После этого он вписывал в эти круги правиль-
ные многоугольники с настолько большим (но все же
конечным!) числом сторон, что их площади очень мало
отличались от площадей кругов.
А тогда оказывалось, что, с одной стороны, отноше-
ние площадей этих многоугольников равно отношению
квадратов диаметров (это было известно и до дока-
зательства), а с другой стороны, оно больше этого
отношения (поскольку этим свойством обладает отно-
шение площадей кругов, а площади многоугольников
почти не отличаются от площадей кругов). Разумеется,
у Евдокса это доказательство излагалось гораздо стро-
же и подробнее, сопровождалось леммами и следстви-
ями и... становилось таким громоздким, что даже чело-
веку, знающему суть дела, было нелегко в нем разо-
браться. Поскольку предположение, что отношение
площадей кругов больше отношения квадратов диа-
метров, приводило к противоречию, а предположение,
что оно меньше отношения квадратов диаметров, опро-
вергалось такими же рассуждениями, оставалось
одно — считать доказанным, что эти два отношения
равны.
Методом Евдокса с успехом воспользовался Архи-
мед при выводе формул объема пирамиды, шара, пло-
щади параболического сегмента (фигуры,ограниченной
52
дугой параболы и стягивающей ее хордой), сектора,
спирали и т. д. Однако ученым последующих поколе-
ний было непонятно, как Архимед открыл эти формулы,
так как метод исчерпывания позволял отбрасывать
ложное, но не отыскивать истинное.
Разгадка пришла лишь через два тысячелетия, уже
после того, как было построено интегральное исчисле-
ние, позволившее без труда решать еще более сложные
задачи. В 1906 году в библиотеке одного из иерусалим-
ских монастырей был обнаружен написанный на пер-
гаменте богословский трактат. Так как в средние века
пергамент был очень дорог, то монахи обычно брали
древние книги, стирали или смывали с них языческий
текст и писали какое-нибудь житие вымышленного ими
великомученика. Однако, если монах был не слишком
прилежен, то смытую рукопись, хоть и с трудом, можно
было прочесть. Когда опубликовали часть смытого
текста, датский историк математики Гейберг сразу
понял, что монах погубил рукопись с трудами Архиме-
да. Ценой больших усилий текст удалось восстановить.
Оказалось, что большую часть работ Архимеда ученые
уже знали. Но Одна была неведомой — письмо Эрато-
сфену, в котором Архимед раскрывал свои методы и
учил не только доказывать^ но и получать новые ре-
зультаты.
И тут выяснилось, что Архимед получал свои резуль-
таты «незаконными» методами Демокрита, пользуясь
неделимыми частями фигур. Он разлагал цилиндры,
конусы и шары на «неделимые» тонкие кружочки, дока-
зывал нужное ему утверждение для одного такого
кружочка, отмечал, что этот вывод верен для всех
кружочков, и в заключение произносил совершенно
запрещенную правоверными математиками того вре-
мени фразу: «Так как все тело сложено из таких кру-
жков и целиком заполнено ими, то утверждение
верно для всего тела». К этому надо добавить, что
Архимед не боялся использовать и соображения о
равновесии рычагов, переносить кружочки из одного
места в другое и т. д. Впрочем, читатель знает, что
работы Архимеда относились не только к чистой мате-
матике, но и к механике, оптике, гидростатике, что
именно он установил законы плавающих тел, а потому
его любовь к основанным на механике рассуждениям
совсем неудивительна.
В течение почти двух тысячелетий, прошедших после
53
споров Зенона и Демокрита, Платона и Аристотеля,
об атомистическом учении вспоминали мало. Лишь
римский поэт-философ Лукреций Кар в поэме «О при-
роде вещей» снова проповедовал это, казалось бы за-
бытое, учение. В Западной же Европе ученые-схоласты
повторяли вслед за Аристотелем и его учениками, что
вещество безгранично делимо, а уж о пространстве
и времени и говорить нечего — их безграничная дели-
мость казалась очевидной. Укреплению этой точки зре-
ния способствовало то, что в известных тогдашним
ученым математических сочинениях Евклида и Архи-
меда господствовал метод исчерпывания, основанный
на безграничной делимости геометрических фигур.
Одним из первых поднял голос в защиту атомизма
Джордано Бруно, который писал: «Причиной и основа-
нием всех ошибок как в физике, так и в математике
является допущение непрерывности и бесконечного де-
ления». Если схоласты учили, что Вселенная ограни-
чена, q пространство безгранично делимо, то Бруно
принимал неограниченность пространства и предел
делимости. А так как Бруно не только опровергал
мнения Аристотеля, но и проповедовал противоречив-
шее библейским сказаниям учение Коперника, то ин-
квизиция не преминула расправиться с богохульником.
Впрочем, от римской инквизиции недалеко ушел париж-
ский парламент. В 1624 году в Париже были арестова-
ны ученые, выдвинувшие тезис об атомном строении
материи, и издано постановление парламента, предпи-
сывавшее предавать смертной казни всех, кто выступит
с полемикой против старых и общепризнанных авторов.
Но на большинство ученых эти грозные предписа-
ния уже не действовали. Авторитет схоластической
науки безнадежно упал, так как схоласты не могли
ответить на насущные вопросы практики. А эти вопросы
множились с каждым днем, и никто из практиков не
хотел ждать, пока полученные математиками результа-
ты будут доказаны со всей строгостью — ответ требо-
вался как можно скорее. Быстро же получать решения
задач можно было, лишь применяя осужденные офи-
циальной наукой и церковью понятия о неделимых
и бесконечно малых.
Первая работа, в которой эти понятия были исполь-
зованы для вычисления объемов тел, обязана своим
появлением запросам практики, хотя и носившим не-
сколько необычный характер. В 1613 году Иоганн
54
Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней он купил
несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеп-
лер был поражен, увидев, что продавец определял
вместимость бочки, измеряя лишь расстояние от на-
ливного отверстия до самой дальней от него точки
днища. Но такое измерение совсем не учитывало форму
бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интересней-
шая математическая задача: какие измерения надо
произвести, чтобы с достаточной точностью определить
объем бочки?
Задача осложнялась тем, что форма бочек не под-
ходила ни под один из случаев, изученных древними
геометрами — они не были ни шарами, ни параболи-
ческими сегментами, ни эллипсоидами. Решая эту зада-
чу, Кеплер сначала нашел объемы тел, образуемых
при вращении круговых сегментов вокруг хорды (в за-
висимости от того, какой из двух сегментов вращается
вокруг хорды, он назвал эти тела яблоком и лимоном).
Далее он нашел объем кольца, или, как теперь говорят,
тора. Но бочка не была похожа ни на одно из этих
тел, и Кеплеру пришлось перейти к телам, получаемым
при вращении сегментов конических сечений — эллип-
са, параболы и гиперболы. Он дал этим телам весьма
причудливые названия — айва, приземистая дыня,
груша, оливка, слива и даже турецкая чалма.
Но еще причудливее с точки зрения правоверного
геометра были методы, которыми он получал свои
результаты. Чтобы найти, например, объем тора, он
разрезал его на бесконечно тонкие слои плоскостями,
проходящими через ось вращения. Эти слои были с
внутренней стороны уже, чем с внешней, а потому
Кеплер брал их толшину посредине. Умножив ее на пло-
щадь вращавшегося круга, он вычислил объем одного
слоя. Теперь оставалось сложить объемы всех слоев,
чтобы получить объем тора. При этом Кеплер заменил
сумму бесконечно малых хорд длиной окружности. В дру-
гом случае Кеплер разрезал сложную геометрическую
фигуру на бесконечно тонкие слои, переложил их в ином
порядке и получил цилиндрическое копыто — часть
прямого кругового цилиндра, отсекаемую от него плос-
костью, проходящей через диаметр основания. А.уж с
вычислением объема этого копыта он сумел справиться.
В тех случаях, когда и такие изощренные методы
не давали ответа, Кеплер прибегал к рассуждениям
по аналогии, численным расчетам и т. д. Не удивитель-
55
но, что математики, усвоившие лишь букву, а не дух
методов Архимеда, обрушились на Кеплера. Но первый
шаг был сделан — ученые увидели, что инфинитези-
мальные методы (от латинского «инфинитум» — бес-
конечность), т. е. использование таких понятий, как
«бесконечно тонкий слой», «неделимая часть» и т. д.,
могут быть полезны.
Сам Кеплер использовал их в астрономических
исследованиях. Как известно, во втором законе Кеплера
речь идет о площади эллиптического сектора. Но фор-
мулы для вычисления таких площадей математика
древних не давала, и Кеплеру пришлось разрабатывать
новые пути. Так. вместо площади сектора Кеплер
говорил о «сумме всех радиус-векторов». Он рассматри-
вал каждый радиус-вектор как бесконечно тонкий сек-
тор и суммировал площади бесконечного множества
таких секторов.
Ко второй половине XVII века много задач было ре-
шено с помощью таких методов. Были найдены объемы
и площади многих фигур, проведены касательные к
некоторым кривым и найдены длины этих кривых.
Математики заметили, что в некоторых случаях удается
свести вычисление объемов и длин к вычислению пло-
щадей, а английский математик Исаак Барроу (1630—
1677) доказал, что вычисление площадей и проведение
касательных связаны друг с другом примерно так, как
сложение с вычитанием или умножение с делением,
т. е. что эти две задачи обратны друг другу.
Однако, несмотря на обилие накопленного матери-
ала, он не был упорядочен — каждая задача решалась
своим способом.
Все эти разнообразные методы не укладывались в
единое исчисление, которое можно выполнять по опре-
деленным правилам и которому можно научить любого
человека. Чтобы разработать такое исчисление, надо
было вскрыть то общее, что лежало за калейдоскопом
решенных задач, создать на этой основе стройную
систему понятий и потом выработать алгоритмы —
правила, по которым можно вычислять. Это было одно-
временно и почти независимо друг от друга сделано
английским физиком и математиком Исааком Ньютоном
и немецким философом и математиком Готфридом
Вильгельмом Лейбницем (1646—1716).
Ньютон в течение своей долгой жизни занимался
самыми разными областями науки: оптикой и акустикой,
56
механикой и химией, математикой и астрономией. Но
по преимуществу он был физиком. Математика была
для него лишь орудием решения физических задач,
а астрономия — грандиозной космической лаборато-
рией, в которой проверялись его физические идеи.
К сожалению, до нас не дошли открытия Ньютона
в области акустики и химии, которым он отдал много
сил — пожар, случившийся в его доме, уничтожил мно-
гие неопубликованные рукописи Ньютона, а потом он
уже не возвращался к этим исследованиям.
Научные исследования Ньютона продолжались не-
сколько десятилетий, но большую часть этого времени
он лишь разрабатывал идеи, к которым пришел в тече-
ние двух лет (1665—1667 годы), когда после окончания
Кембриджского университета жил на родной ферме,
спасаясь от эпидемии чумы, унесшей многие десятки
тысяч жизней.
Одной из наиболее жгучих физических проблем того
времени было объяснение движения планет. Еще Кеп-
лер сформулировал основные законы этого движения,
выразив в виде трех положений результаты много-
летних наблюдений своих предшественников. Но сами
законы Кеплера не были основаны на каких-либо физи-
ческих принципах; они напоминали в этом отношении
постулаты Бора, описывающие движение электронов в
атоме. И как для объяснения постулатов Бора пона-
добилось создать квантовую механику, так после работ
Кеплера оказалось необходимо создать науку о движе-
нии тел под действием заданных сил и найти силы,
управляющие движением планет. В первую очередь,
надо было понять, какая же сила отклоняет планеты
от прямолинейного и равномерного движения.
Хорошо известен рассказ о том, как Ньютон раз-
мышлял над этими вопросами, отдыхая в саду, и был
неожиданно возвращен к реальной действительности
яблоком, упавшим на него с дерева. Почему яблоко
всегда падает отвесно, подумал он про себя, почему
не в сторону, а всегда к центру Земли? Должна суще-
ствовать притягательная сила в материи, сосредоточен-
ная в центре Земли. Если материя так тянет другую
материю, то должна существовать пропорциональность
ее количеству. Поэтому яблоко притягивает Землю
так же, как Земля яблоко. Должна, следовательно,
существовать сила, подобная той, которую мы назы-
ваем тяжестью, простирающаяся По всей Вселенной.
57
К мысли, что движение планет вызывается такой
силой, приходили и другие ученые, например современ-
ник Ньютона Роберт Гук (1635—1703). Высказывалась
и догадка, что эта сила обратно пропорциональна квад-
рату расстояния между тяготеющими массами (к ней
было несложно прийти, представив себе притягиваю-
щую силу как нечто истекающее из Солнца и распро-
страняющееся во все стороны). Но никому до Ньютона
не удавалось с помощью такой гипотезы объяснить все
особенности движения планет.
Чтобы решить эту проблему, молодому ученому
пришлось создать новый математический аппарат. Из
законов свободного падения он вывел, что постоянная
сила придает движущейся точке постоянное ускорение.
Отсюда был сделан вывод о пропорциональности уско-
рения и силы, действующей на движущуюся точку.
Поэтому по заданным силам можно найти ускорение
точки в каждый момент времени. Задача состояла в
том, чтобы по нему найти сначала скорость, а потом
и положение точки в каждый момент времени.
Ньютон сразу обобщил эту задачу. И скорость, и
координаты точки лишь частные случаи переменных
величин. Поэтому Ньютон рассмотрел произвольные
величины, меняющиеся с течением времени, которые
назвал флюэнтами (от латинского «флюэре» — течь).
В каждый момент времени существовала мгновенная
скорость изменения флюэнты, которую он назвал флю-
ксией. Общая задача была сформулирована им так:
1) из данного отношения между флюэнтами вывес-
ти соотношение между их флюксиями,
2) из данного отношения между флюксиями найти
отношение между флюэнтами.
Иными словами, надо было, зная, как одна перемен-
ная величина зависит от другой, найти соотношение
между мгновенными скоростями их изменения и, обрат-
но, из заданного соотношения между скоростями вы-
вести соотношение между величинами. Ньютон нашел
общие методы решения этих задач. С их помощью он
сумел установить, что движение планет может вызы-
ваться лишь силой тяготения, обратно пропорциональ-
ной квадрату расстояния от Солнца до планеты. Он
показал, что при определенных условиях тело, нахо-
дящееся под действием такой силы, может двигаться
не только по эллипсу, но и по параболе или гиперболе.
Впоследствии оказалось, что некоторые кометы дей-
58
ствительно движутся по таким кривым и потому, по-
явившись однажды, навсегда исчезают. Через два с
половиной столетия теория Ньютона была применена
к движению электронов в атоме и в первом приближе-
нии дала правильное описание этого движения. Лишь
более глубокий анализ вопроса заставил ученых при-
нять во внимание квантовые эффекты.
Впечатление, произведенное достижениями Ньюто-
на на современников, было исключительно велико. Но-
вая механика была изложена в его книге «Математиче-
ские основы натуральной философии», вышедшей лишь
через два десятилетия после того, как он сделал свои
открытия. Но и в этой книге Ньютон не раскрыл своих
методов, а передоказал все результаты с помощью
классических методов геометрии древних греков.
Тому были две причины. Во-первых, далеко не все
ученые были склонны принять новое исчисление. Мно-
гие, познакомившиеся с ним по письмам Ньютона,
предпочитали не пользоваться новыми методами. Во-
вторых, и это самое главное, методы, которыми он полу-
чил свои результаты, не удовлетворяли самого Ньютона;
чтобы объяснить, что такое флюксия, что такое мгно-
венная скорость, ему приходилось говорить о скорости
в момент зарождения величины, об исчислении нулей
и других довольно туманных вещах. Совсем просто
найти среднюю скорость — надо разделить пройденный
путь на время. А при вычислении мгновенной скоро-
сти и промежуток времени, и путь равны нулю,
и надо делить нуль на нуль. В поисках строгого
изложения Ньютон начал разрабатывать понятие
предела, но и здесь был вынужден использовать на-
глядные представления, от которых так хотелось осво-
бодиться.
В то время как Ньютон пришел к новому исчисле-
нию, отправляясь от физических задач, Лейбниц ставил
перед собой более широкие проблемы — он хотел со-
здать универсальный логико-математический метод
познания, а науку о бесконечном рассматривал лишь
в качестве первого образца такого метода. В этом он
был продолжателем дела Декарта, пытавшегося найти
общий ключ для решения загадок материального мира
путем объединения алгебры и геометрии. Но, как мы
уже говорили, алгебраические методы Декарта были
неприменимы к трансцендентным функциям. Оказалось
необходимым создать науку о бесконечном, без чего
59
было невозможно методически развивать и науку о
конечном.
Целью Лейбница, по его словам, было не только
создание науки о числе и пространственном порядке,
но и построении «исчисления более важного, нежели
исчисление арифметики и геометрии, и зависящего от
анализа идей. Это была бы всеобщая характеристика,
создание которой представляется мне одним из наибо-
лее важных дел, какие только можно было бы пред-
принять». Стремясь создать такую науку, Лейбниц
пытался построить своеобразные алгоритмы, предвосхи-
щая идеи математической логики, занимался комбина-
торными проблемами, намечал пути развития общей
алгебры.
Состояние науки того времени не позволило Лейб-
ницу осуществить свои замыслы в полном виде. Как
писал позднее знаменитый немецкий философ Имма-
нуил Кант, «знаменитый Лейбниц обладал многими
действительными знаниями, которыми он обогатил
науки, но еще более грандиозны были его замыслы,
выполнения которых мир тщетно от него ждал».
Руководствуясь своими общими идеями, он при-
думал особое исчисление для бесконечно малых ве-
личин, которое позволяло легко и единообразно полу-
чать результаты, стоившие его предшественникам боль-
ших усилий. И эти, и новые результаты, касавшиеся
самых разнообразных функций и кривых, получались
по четко определенным правилам. Как писал сам Лейб-
ниц, «причина преимуществ этого нового исчисления
заключается в том, что оно разгружает воображение
в проблемах, которые Декарт исключил из своей гео-
метрии под тем предлогом, что они чаще всего приво-
дят к механике, в действительности же потому, что они
не подходили к его исчислению».
Важной заслугой Лейбница в деле развития новых
математических идей была разработка продуманной
системы названий и обозначений. Отсутствие подходя-
щей символики тормозит развитие науки, мешает уче-
ным выразить свои идеи. Поэтому выбор системы сим-
волов, а иногда и отдельных символов имеет огромное
значение. Удачно выбранная символика как бы берет
на свои плечи большую часть умственного труда уче-
ного, облегчает творческий процесс. А иногда симво-
лика приводит к результатам, необъяснимым с точки
зрения существующих понятий, и оказывается, что
понятия нужно обобщить так, чтобы с их помощью
можно было объяснить и эти, кажущиеся лишь «фор-
мальными» результаты. Сам Лейбниц отмечал роль
символики в процессе творчества. «Следует заботить-
ся,— писал он,— о том, чтобы обозначения были удоб-
ны для открытий. Это большею частью бывает, когда
обозначения коротко выражают и как бы отображают
интимнейшую сущность вещей. Тогда поразительным
образом сокращается работа мысли...» Обозначения
Лейбница в дифференциальном и интегральном исчи-
слениях оказались настолько продуманными и удач-
ными, настолько соответствовали сути дела, что и те-
перь они используются без существенных изменений.
Несмотря на все успехи, достигнутые при создании
нового исчисления и применении его к различным прак-
тическим задачам, у многих математиков оставалось
чувство неудовлетворенности — слишком ненадежен
был фундамент, на котором основывались все эти дости-
жения. Неясны были даже основные понятия дифферен-
циала и интеграла. Если дифференциал бесконечно
мал, но отличен от нуля, то можно ли отбрасывать
произведение двух дифференциалов? Что такое сумма
бесконечного числа бесконечно малых? Если они равны
нулю, то и сумма равна нулю, а если отличны от нуля,
то сумма должна равняться бесконечности. Да и что
такое, в конце концов, сами бесконечно малые? Можно
ли рассматривать их как очень малые постоянные,
например как песчинку по сравнению с земным шаром
или частицу «магнитной жидкости» по сравнению с
песчинкой (тогда думали, что магнетизм связан с какой-
то жидкостью, состоящей из мельчайших частиц,
которые могут проходить через поры веществ)?
На все эти вопросы основатели исчисления давали
туманные ответы, а их последователи успокаивали сво-
их учеников, говоря: «Работайте, и вера к вам придет».
И действительно, применение новых методов всегда
давало правильные результаты. Но критики не унима-
лись. Они говорили, что дифференциал — это тень вели-
чины, а дифференциал от дифференциала — тень от
тени. Например, епископ Беркли, философ-идеалист,
обращаясь к неверующему астроному Галлею, насмеш-
ливо писал, что те, кто верит в исчисление бесконечно
малых, спокойно могут поверить и евангельским ска-
заниям.
Лишь в начале XIX в. французскому математику
О. Коши (1789—1857) удалось рассеять мистический
61
туман, который окутывал исчисление бесконечно малых
Он положил в основу не туманное понятие бесконечно
малого дифференциала, а отношение двух диффе-
ренциалов, т. е. производную от функции f(x). Это отно-
шение, по сути дела, рассматривал еще Лейбниц, толкуя
его геометрически, как угловой коэффициент касатель-
ной (тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс).
Но Коши дал для производной определение, не опира-
ясь на геометрию, а используя лишь понятие предела.
Точно так же он определил интеграл, не пользуясь
суммированием бесконечного числа бесконечно малых
величин. Да и основное понятие бесконечно малой
величины было лишено им ореола таинственности —
оказалось, что это просто величина, предел которой
равен нулю.
Таким образом, под уже выстроенное здание анали-
за бесконечно малых был подведен прочный фунда-
мент. Заметим, что это не единственный случай, когда
в математике сначала строят стены, а фундамент за-
кладывают потом. К- Маркс говорил: «В отличие от
других архитекторов, наука не только рисует воздуш-
ные замки, но и возводит отдельные жилые этажи
здания, прежде чем заложить его фундамент» (К кри-
тике политической экономии.— Маркс К. и Эн-
гельс Ф. Соч., т. 13, с. 43).
Например, в конце XIX в. английский электротех-
ник Хевисайд (1850—1925) построил так называемое
операционное исчисление, в котором обращался с опе-
рацией дифференцирования как с обычным символом
буквенной алгебры, позволяя себе делить на выраже-
ния, содержащие этот символ. Математики, воспитан-
ные в строгих правилах, возмущались такой бесцере-
монностью. Но Хевисайд получал правильные резуль-
таты, а критикам отвечал, что не собирается отказы-
ваться от вкусного обеда лишь потому, что не знаком
со всеми тайнами пищеварения. Много лет спустя под
операционное исчисление Хевисайда была подведена
прочная база.
Теперь мы можем, опираясь на все изложенное,
перейти к общим выводам о сущности математики.
Сущность математики была выражена Энгельсом
в одном из разделов «Анти-Дюринга», и мы приведем
здесь этот замечательный отрывок.
62
Свое изложение сущности математики Энгельс на-
чинает с критических замечаний по поводу вздорных
взглядов Дюринга, в частности по поводу ложного
мнения, будто математика занимается творениями
«чистого разума» независимо от опыта, Энгельс писал:
«Но совершенно неверно, будто в чистой математике
разум имеет дело только с продуктами своего собствен-
ного творчества и воображения. Понятия числа и фи-
гуры взяты не откуда-нибудь, а только из действитель-
ного мира. Десять пальцев, на которых люди учились
считать, т. е. производить первую арифметическую опе-
рацию, представляют собой все, что угодно, только не
продукт свободного творчества разума. Чтобы считать,
надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но
обладать уже способностью отвлекаться при рассмат-
ривании этих предметов от всех прочих их свойств
кроме числа, а эта способность есть результат долгого,
опирающегося на опыт, исторического развития. Как
понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы
исключительно из внешнего мира, а не возникли в голо-
ве из чистого мышления. Должны были существовать
вещи, имеющие определенную форму, и эти формы
должны были подвергаться сравнению, прежде чем
можно было прийти к понятию фигуры. Чистая матема-
тика имеет своим объектом пространственные формы
и количественные отношения действительного мира,
стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что
этот материал принимает чрезвычайно абстрактную
форму, может лишь слабо затушевать его происхож-
дение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии
исследовать эти формы и отношения в чистом виде,
необходимо совершенно отделить их от их содержания,
оставить это последнее в стороне как нечто безразлич-
ное; таким путем мы получаем точки, лишенные измере-
ний, линии, лишенные толщины и ширины, разные
а и Ь, х и у, постоянные и переменные величины, и толь-
ко в самом конце мы доходим до продуктов свободного
творчества и воображения самого разума, а именно —
до мнимых величин. Точно так же выведение математи-
ческих величин друг из друга, кажущееся априорным,
доказывает не их априорное происхождение, а только
их рациональную взаимную связь. Прежде чем прийти к
мысли выводить форму цилиндра из вращения прямо-
угольника вокруг одной из его сторон, нужно было
исследовать некоторое количество реальных прямо-
63
угольников и цилиндров, хотя бы и в очень несовер-
шенных формах. Как и все другие науки, математика
возникла из практических потребностей людей: из изме-
рения площадей земельных участков и вместимости со-
судов, из счисления времени и из механики. Но, как и во
всех других областях мышления,законы, абстрагирован-
ные из реального мира, на известной ступени развития
отрываются от реального мира, противопоставляются
ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне
законы, с которыми мир должен сообразоваться. Так
было с обществом и государством, так, а не иначе,
чистая математика применяется ... к миру, хотя она
заимствована из этого самого мира и только выражает
часть присущих ему форм связей,— и как раз только
поэтому и может вообще применяться» (М арке К.,
Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 37—38).
Таким образом, Энгельс подчеркивает, что матема-
тика отражает действительность, что возникла она из
практических нужд людей и возникновение ее первых
понятий и положений было результатом долгого, опи-
рающегося на опыт исторического развития. А возмож-
ность абстрактного рассмотрения предмета математики
имеет объективное основание в самом этом предмете.
Те общие, не зависящие от качественных особенностей
или конкретного содержания, формы, отношения, вза-
имосвязи и законы, которые отражаются в математике,
существуют объективно, независимо от нашего созна-
ния. Только существование числа как объективного
свойства совокупности предметов, независимость
взаимоотношений между числами от качественных осо-
бенностей предметов, богатство этих взаимоотношений
сделали возможной арифметику. Там, где нет таких
форм и отношений, безразличных к содержанию, не-
возможно и математическое рассмотрение.
Указанная основная особенность математики опре-
деляет другие характерные ее особенности. Это—
специфический «язык формул», широта приложений,
отвлеченный от опыта характер математических выво-
дов, их логическая неизбежность и убедительность. Этот
умозрительный,.характер математики является весьма
существенной ее особенностью, и мы рассмотрим эту
особенность подробнее.
Если мы отвлекли, скажем, понятие числа от его
конкретных оснований и рассматриваем целые числа
вообще, вне всякого отношения к тем или иным сово-
64
купностям предметов, то само собой ясно, что мы не
можем производить опытов над такими отвлеченными
объектами.
Оставаясь на этом уровне абстракции и не возвра-
щаясь к конкретным предметам, можно получать новые
выводы о числах только путем рассуждения, исходя
из самого понятия о числе. То же относится, конечно,
ко всем другим математическим выводам. Оставаясь
в пределах чистой геометрии, т. е. рассматривая гео-
метрические фигуры в полном отвлечении от всякого
качественного, конкретного содержания, мы не можем
получить новых выводов иначе как рассуждением,
исходя из самого понятия о той или иной фигуре, из
самых основных понятий, или аксиом геометрии. Так,
свойства круга выводят из понятия о нем как геометри-
ческом месте точек, равноудаленных от данной точки,
вовсе не думая уже о проверке каждой теоремы на
опыте.
Стало быть, отвлеченный характер математики уже
предопределяет тот факт, что математические теоремы
доказываются только рассуждением, исходя из самих
понятий, аксиом и ранее доказанных теорем.
Можно сказать, что в математике исследуют коли-
чественные отношения, имея в виду лишь то, что содер-
жится в самом их определении. Соответственно мате-
матические выводы получают рассуждением, исходя из
определений. Конечно, было бы неправильно понимать
эти слова слишком буквально и предполагать, что
достаточно строгие определения математических поня-
тий действительно формулировались раньше, чем со-
здавалась соответствующая математическая теория; на
самом деле сами понятия уточнялись вместе с разви-
тием теории, в результате ее развития. Глубокий ана-
лиз понятия о целом числе, так же как точная форму-
лировка аксиом геометрии, были даны не в древности,
а к концу XIX в. Тем более неверно думать, будто есть
какое-то абсолютно точно определенное математиче-
ское понятие. Всякое понятие, как бы ни казалось оно
точно определенным, все-таки подвижно, оно развива-
ется и уточняется с развитием науки. Это вполне дока-
зано развитием математики в отношении всех ее поня-
тий и это только лишний раз подтверждает основное
положение диалектики о том, что нет на свете ничего
такого, что было бы совершенно неподвижно и никак
не развивалось бы. Поэтому и в отношении математи-
65
ческих понятий можно говорить, во-первых, только о
достаточной, но никак не совершенной их определен-
ности, а во-вторых, нужно иметь в виду, что точность
и яркость их определения, глубина их анализа разви-
ваются с развитием математики.
Именно эта определенность математических понятий
вместе с общезначимостью самой логики оказываются
причиной характерной для математики внутренней
убедительности и логической необходимости ее выво-
дов. Неизбежность умозрительных выводов математики
дает повод к ошибочному представлению, будто мате-
матика имеет основание в чистом мышлении, будто
она априорна, а не исходит из опыта, будто она не
отражает действительности. К такого рода взглядам
пришел, например, немецкий философ Иммануил
Кант. Это глубоко ошибочное идеалистическое пред-
ставление происходит, в частности, от того, что мате-
матику рассматривают не в ее реальном возникновении
и развитии, а в готовом виде. Но такой подход несосто-
ятелен уже по той причине, что не соответствует факти-
ческому положению дел. То, что математика не апри-
орна, а возникла из опыта — это твердо установленный
факт. Кстати, о фактическом возникновении геометрии
писал еще Эвдем Родосский: «Геометрия была открыта
египтянами и возникла при измерении земли. Это
измерение было им необходимо вследствие разлития ре-
ки Нила, постоянно смывавшего границы. Нет ничего
удивительного в том, что эта наука, как и другие, возни-
кла из потребностей человека. Всякое возникающее зна-
ние из несовершенного состояния переходит в совершен-
ное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно
постепенно становится предметом нашего рассмотрения
и, наконец, делается достоянием разума».
Не только самые понятия математики, но и ее выво-
ды, ее методы отражают действительность. Это важное
обстоятельство как раз и вскрывает Энгельс, когда
пишет, что «выведение математических величин друг
из друга, кажущееся априорным, доказывает не их
априорное происхождение, а только их рациональную
взаимную связь». Математические выводы и доказа-
тельства возникли как отражение реальных связей,
которые люди исследовали на опыте. Сложение чисел
отражает реальное соединение нескольких совокупнос-
тей предметов в одну. Известное доказательство тео-
ремы о равенстве треугольников, в котором говорят
66
о их наложении, несомненно, имеет своим источником
операцию фактического прикладывания предметов друг
к другу, которая постоянно производится при сравне-
нии их размеров. Вычисление объемов интегрирова-
нием отражает в абстрактной форме реальную возмож-
ность складывать тела из тонких слоев или резать
их на такие слои. Более сложные математические до-
казательства есть результат дальнейшего развития,
исходящего из таких материальных оснований.
Полное отвлечение предмета математики от всякой
конкретности и основанный на этом умозрительный
характер математических выводов влекут за собой
другую важную особенность математики: в математике
исследуют не только такие количественные отношения
и пространственные формы, которые непосредственно
абстрагируются из действительности, но и такие отно-
шения и формы, которые определяются внутри самой
математики на основе уже сложившихся математи-
ческих понятий и теорий. Именно на эту особенность
математики обращает внимание Энгельс, когда, указав
на возникновение понятий точки, линии, постоянной и
переменной величины, говорит: «... и только в самом
конце мы доходим до продуктов свободного творчества
и воображения самого разума, а именно — до мнимых
величин».
Историческим фактом является то, что мнимые чис-
ла не были взяты из действительности в том же смыс-
ле, как, скажем, целые числа. Они появились перво-
начально внутри самой математики, из необходимого
развития алгебры, как корни уравнений вида х2=—а
(где а>0). И хотя постепенно с ними начали опери-
ровать довольно свободно, их реальный смысл оста-
вался долго неясным, почему за ними и закрепилось
название «мнимых». Потом было открыто их геометри-
ческое истолкование и они нашли многочисленные
важные применения. Точно так же геометрия Лоба-
чевского возникла как продукт творчества этого вели-
кого ученого; он не видел еще ее реального значения
и назвал ее потому «воображаемой геометрией». Но
она была не свободной игрой ума, а неизбежным выво-
дом из основных понятий геометрии, и Лобачевский
рассматривал ее как возможную теорию пространст-
венных форм и отношений. Поэтому «свободное твор-
чество и воображение», о которых говорит Энгельс,
нельзя понимать как простой произвол мысли. Свобод-
67
ное творчество в науке — это осознанная логическая не-
обходимость, определяющаяся исходными, взятыми из
опыта понятиями и положениями.
На новом этапе развития математики, начало кото-
рому положило как раз построение геометрии Лоба-
чевского и точной теории мнимых чисел, возникли и
постоянно возникают новые понятия и теории, созда-
ваемые на основе уже сложившихся понятий и теорий
без того, чтобы заимствовать их непосредственно из
действительности. Математика определяет и исследует
возможные формы действительности, что как раз и
составляет одну из решающих особенностей этого этапа
ее развития.
Правильное понимание этой особенности дает тео-
рия познания диалектического материализма. Ленин
писал: «Познание есть отражение человеком природы.
Но это не простое, не непосредственное, не цельное
отражение, а процесс ряда абстракций, формирования,
образования понятий, законов...» (Ленин В. И. Фило-
софские тетради.— Поли. собр. соч., т. 29,с. 163—164).
Метафизический материализм также считает позна-
ние, в частности математику, отражением природы.
Однако метафизический материализм не понимает
сложности этого отражения, не понимает того, что
оно идет через ряд абстракций, путем формирования
новых понятий, построения теорий на основе уже сло-
жившихся понятий и теорий, путем рассмотрения не
только данного в опыте, но и возможного. Между тем
такой переход от данного к возможному обнаружива-
ется уже в образовании таких понятий, как любое целое
число или бесконечная прямая, потому что в опыте не
даны ни сколь угодно большие числа, ни бесконечные
прямые. Но когда понятие числа выкристаллизовалось,
то из самого этого понятия, из самого закона образо-
вания последовательных чисел путем прибавления еди-
ницы выявилась возможность бесконечного продолже-
ния числового ряда. Совершенно так же из проведения
прямых выявилась возможность неограниченного про-
должения прямой, выраженная во втором постулате
Евклида: «Каждую прямую можно неограниченно про-
должить». Дальнейший процесс абстракции привел
к понятиям о всем натуральном ряде чисел и о всей
бесконечной прямой.
На последнем этапе развития математики качест-
венно новым явилось построение теорий, идущих через
68
ряд абстракций, и формирование понятий. Но, восходя
по этим ступеням абстракции, математика вовсе не
отрывается от действительности. Новое вырастает в
ней на основе отражения действительности, вследствие
логики самого ее предмета, и именно в силу этого
возвращается к действительности в применениях
к проблемам физики и техники. Так было с мнимыми
числами.
То же верно в отношении других математических
теорий, как бы ни были они абстрактны.
Характерный пример представляют теории различ-
ных многомерных пространств. Они складывались как
обобщения евклидовой геометрии, в соединении с раз-
витием алгебры и анализа, под влиянием механики
и физики. Сочетание этих идей привело Римана к по-
строению общей теории, которая была развита дальше
другими математиками, нашла ряд важных приложе-
ний и, наконец, послужила готовым математическим
аппаратом для построения Эйнштейном общей теории
относительности, точнее теории тяготения. Абстрактные
геометрические теории нашли такие блестящие прило-
жения не случайно, не вследствие «предустановленной
гармонии природы и разума», а вследствие того, что
сами они выросли на почве геометрии, возникшей не-
посредственно из опыта, и в своем возникновении свя-
зывались их творцами с задачей исследования реаль-
ного пространства. Риман, в частности, прямо пред-
видел связь теории с теорией тяготения.
Так в развитии математики осуществляется закон
движения познания, сформулированный В. И. Лени-
ным: «Мышление, восходя от конкретного к абстракт-
ному, не отходит — если оно правильное...— о т истины,
а подходит к ней. Абстракция материи, закона
природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом
все научные (правильные, серьезные, не вздорные)
абстракции отражают природу глубже, вернее, пол-
нее. От живого созерцания к абстрактному мышле-
нию и от него к практике — таков диалектический
путь познания истины, познания объективной реаль-
ности (Ленин В. И. Философские тетради.— Поли,
собр. соч., т. 29, с. 152).
Из сказанного ясно, что совершенно ложным явля-
ется идеалистический взгляд, будто математические
теории представляют собой только условные схемы,
предназначенные для описания данных опыта «упоря-
69
дочения потока ощущений» на основе «принципа эко-
номии мышления».
Энгельс отмечает (см. цитату на с. 63), что положе-
ния математики, абстрагированные от реального мира,
как бы противопоставляются ему и применяются к его
изучению, как некоторые готовые схемы. Мы, действи-
тельно, постоянно пользуемся, например, счетом, при-
меняя его в готовом виде. Тем более это верно в отноше-
нии теорий, возникающих на более высоких ступенях
абстракции. В качестве примера уже упоминалось, что
риманова геометрия послужила готовой математиче-
ской схемой для теории тяготения. Но Энгельс объясня-
ет, что возможность такого применения математики
к исследованию реального мира основана на том, что
она заимствована из этого самого мира и только выра-
жает часть присущих ему форм и связей и собственно
только потому может вообще применяться. Тот факт,
что многие теории создаются внутри самой математики,
ничего здесь не меняет. Возникая как теории возможных
форм действительности, они вовсе не условны, потому
что возникают необходимо, вследствие самой логики
предмета и именно поэтому находят реальные примене-
ния. Так или иначе математические теории отражают
действительность и различие состоит лишь в том, что
это отражение в одних случаях более непосредственно,
тогда как в других идет через ряд абстракций, образо-
вание понятий и т. д.
Последний этап в развитии математики характерен
не только более высокими ступенями абстракции, но
характерен еще существенным расширением ее пред-
мета, выходящего за рамки первоначального понима-
ния количественных отношений и пространственных
форм.
Фигуры в многомерных или бесконечномерных про-
странствах — это, конечно, не пространственные формы
в обычном смысле, как их понимаем мы все, когда имеем
в виду обычное реальное пространство, а не абстракт-
ные пространства математики. Эти пространства имеют
реальный смысл и отражают в отвлеченном виде опре-
деленные формы действительности, но эти формы толь-
ко сходны с пространственными; поэтому в отношении
к обычному реальному пространству их можно назвать
«пространственно подобными». Говоря о многомерном
пространстве и фигурах в нем, мы тем самым придаем
понятию пространства новое содержание, так что необ-
70
ходимо ясно различать обобщенное абстрактное поня-
тие пространства в математике, с одной стороны, и поня-
тие пространства в его исходном смысле универсальной
формы существования материи, с другой.
Другим примером выхода предмета математики за
пределы пространственных форм и количественных
отношений в первоначальном смысле этих слов может
служить возникновение в конце прошлого века новой
дисциплины — математической логики, достигшей те-
перь широкого развития. Предметом ее рассмотрения
является строение математических выводов, иными сло-
вами, она изучает, какие предположения можно выво-
дить из данных посылок данными средствами. Она ис-
следует свой предмет, как это свойственно именно мате-
матике, в полном отвлечении от содержания и потому
заменяет предложения формулами. Отношения между
посылками и заключением, аксиомами и теоремами,
конечно, не сводятся к пространственным формам или в
обычном смысле к количественным отношениям, скажем
к отношениям объемов понятий.
В качестве другого примера укажем на теорию
групп, которую можно понимать как учение о симметрии
в самом общем виде. Однако изменение симметрии кри-
сталла, скажем, при переходе серы из ромбической
формы в призматическую, есть коренное качественное
изменение состояния вещества. Таким образом, теория
групп есть учение о таких величинах или о таких опре-
деленностях предметов, изменение которых сопровож-
дается коренным изменением самих предметов.
Итак, расширение предмета математики ведет к су-
щественному расширению самого понятия количествен-
ных отношений и пространственных форм. Каковы же
в таком случае характерные общие черты этого расши-
ряющегося предмета математики?
Если отвечать на этот вопрос не перечислением, а
постараться найти, общее и характерное, что есть в
предмете математики при всем его разнообразии, то
ответ мы находим у Энгельса. Достаточно принять
во внимание не только его указание на предмет матема-
тики, но также и на способ рассмотрения этого пред-
мета: полное отвлечение форм и отношений от со-
держания. Этот абстрактный характер математики дает
одновременно также определение ее предмета.
Предмет математики составляют те формы и отно-
шения действительности, которые объективно обладают
71
такой степенью безразличия к содержанию, что могут
быть от него полностью отвлечены и определены в
общем виде с такой ясностью и точностью, с сохране-
нием такого богатства связей, чтобы служить основа-
нием для чисто логического развития теории. Если та-
кие отношения и формы, называть количественными
и пространственными в общем смысле слова, то можно
коротко сказать, что математика имеет своим предметом
количественные отношения и пространственные формы,
взятые в их чистом виде.
Абстракция, как уже отмечалось, отнюдь не явля-
ется привилегией математики. Однако другие науки
интересуются прежде всего соответствием своих аб-
страктных схем какому-либо вполне определенному
кругу явлений и включают как одну из важнейших
задач исследование границ применимости к данному
кругу явлений уже сложившейся системы понятий и
соответствующей смены применяемой системы аб-
стракций. Математика, напротив, исследуя общие свой-
ства в полном отвлечении от конкретных явлений, рас-
сматривает сами эти системы абстракций в их отвлечен-
ной общности, вне границ их применимости к отдельным
конкретным явлениям. Можно сказать, что для мате-
матики характерно абсолютизирование абстракций.
Именно указанное объективное безразличие к со-
держанию исследуемых в математике форм определяет
основные особенности математики: ее умозрительный
характер, логическую необходимость и непреложность
ее выводов, возникновение внутри все новых понятий
и теорий. Этим же безразличием к содержанию обу-
словлены особенности приложений математики. Когда
мы смогли перевести практическую задачу на язык
математики, мы одновременно смогли отвлечься от
второстепенных конкретных особенностей задачи, и,
пользуясь общими формулами и выводами, получить
определенный результат. Отвлеченность математики
составляет, таким образом, ее силу, и эта отвлеченность
практически необходима.
Возвращаясь теперь к суждению Энгельса о матема-
тике мы видим, какая глубина и богатство содержания,
какие возможности развития заключаются в этом суж-
дении. Не будучи сам математиком, он дал столь глу-
бокий анализ основ этой науки не только потому, что
был гениальным мыслителем, но, самое главное, потому,
что владел, диалектическим материализмом и руковод-
72
ствовался им в задаче выяснения сущности математики.
Не удивительно поэтому, что никто до Энгельса не мог
дать столь глубокого и верного решения этого вопроса.
Самые крупные математики не могли решить его в та-
ком объеме. Точно так же в дальнейшем Ленин в работе
«Материализм и эмпириокритицизм» дал такой анализ
проблем физики, который превосходит все, сделанное
в этой области.
Это доказывает еще раз силу диалектического ме-
тода, доказывает, что для овладения наукой недоста-
точно знаний ее отдельных положений, недостаточно
даже быть творческим работником в этой науке — для
этого нужно еще владеть верным общим методом, вла-
деть диалектическим материализмом. Без этого выводы
науки либо будут казаться бесформенной грудой, либо
представляться в искаженном виде; вместо верного
понимания науки получится ложное, метафизичекое,
идеалистическое представление о ней. Так, например,
многие математики, не владеющие диалектическим ма-
териализмом, либо вовсе не ориентируются в общих
вопросах своей науки, либо трактуют их совершенно не-
верно. Любопытно, например, отметить, что два извест-
ных американских геометра Веблен и Уайтхед в своей
книге «Основания дифференциальной геометрии» пыта-
ются подойти к определению того, что такое геометрия,
и приходят к выводу, что такого определения дать нель-
зя, кроме разве следующего: «геометрия есть то, что
называют геометрией специалисты».
Математика не есть создание какой-либо одной
исторической эпохи, какого-либо одного народа; она
есть продукт ряда эпох, продукт работы многих поколе-
ний. Ее первые понятия и положения возникли, как мы
видели, в глубокой древности и уже более двух тысяч
лет назад были приведены в стройную систему. Несмот-
ря на все преобразования математики, ее понятия
и выводы сохраняются, переходя из одной эпохи к дру-
гой, как, например, правила арифметики или теорема
Пифагора. Новые теории включают в себя пред-
шествующие достижения, уточняя, дополняя и обоб-
щая их.
В то же время развитие математики не только не
сводится к простому накоплению новых теорем, но
включает существенные, качественные изменения. Со-
ответственно, развитие математики разделяется на ряд
периодов, переходы между которыми как раз и обозна-
73
чены такими коренными изменениями в самом предмете
или структуре этой науки.
Математика включает в свою сферу все новые обла-
сти количественных отношений действительности.
В то же время важнейшим предметом математики были
и остаются пространственные формы и количественные
отношения в простом, наиболее непосредственном смыс-
ле этих слов, и математическое осмысление новых
связей и отношений неминуемо происходит на основе
и в связи с уже сложившейся системой количественных
и пространственных научных представлений.
Наконец, накопление результатов внутри самой ма-
тематики необходимо влечет как восхождение к новым
ступеням абстракции, к новым обобщающим понятиям,
так и углубление в анализ основ и первоначальных
понятий.
Как дуб в своем могучем росте утолщает старые
ветви новыми слоями, выбрасывает новые вётви, тя-
нется вверх и углубляется корнями вниз, так и матема-
тика в своем развитии накапливает новый материал
в уже сложившихся своих областях, образует новые
направления, восходит к новым вершинам абстракции
и углубляется в своих основах.
Общественная практика играет определяющую роль
в развитии математики в трех отношениях. Она ставит
перед математикой новые проблемы, стимулирует ее
развитие в том или ином направлении и дает критерий
истинности ее выводов. Это чрезвычайно ясно видно
на примере возникновения анализа. Во-первых, именно
развитие механики и техники выдвинуло проблему изу-
чения зависимостей переменных величин в их общем
виде. Архимед, подойдя вплотную к дифференциально-
му и интегральному исчислению, оставался в рамках
задач статики, тогда как в новое время именно исследо-
вание движения породило понятия переменной и функ-
ции и побудило к оформлению анализа. Ньютон не мог
развить механику, не развивая соответствующего мате-
матического метода. Во-вторых, именно потребности
общественного производства побуждали к постановке
и решению всех этих проблем. Ни в античном, ни в
средневековом обществе этих стимулов еще не было.
Наконец, весьма характерно, что математический ана-
лиз в своем возникновении находил обоснование своих
выводов именно в приложениях. Только поэтому он
и смог развиваться без тех строгих определений его
74
основных понятий (переменная, функция, предел),
которые были даны позже. Истинность анализа устанав-
ливалась применениями в механике, физике и техни-
ке. Сказанное относится ко всем периодам развития
математики.
Начиная с XVII в. наиболее непосредственное влия-
ние на ее развитие оказывают вместе с механикой
теоретическая физика и проблемы новой техники. Ме-
ханика сплошной среды, а потом теория поля (тепло-
проводность, электричество, магнетизм, поле тяготе-
ния) направляют развитие теории дифференциальных
уравнений в частных производных. Разработка молеку-
лярной теории и вообще статистической физики, начи-
ная с конца прошлого века, служила важным стимулом
развития теории вероятностей, особенно теории случай-
ных процессов. Теория относительности сыграла реша-
ющую роль в развитии римановой геометрии с ее анали-
тическими методами и обобщениями.
В настоящее время развитие новых математических
теорий, как функциональный анализ и др., стимули-
руется проблемами квантовой механики и электродина-
мики, задачами вычислительной техники, статистиче-
скими вопросами физики и техники и т. д. и т. п. Физика
и техника не только ставят перед математикой новые
задачи, наталкивают ее на новые предметы исследо-
вания, но также пробуждают развитие нужных для них
разделов математики, которые складывались первона-
чально в большей мере внутри нее самой, как это было
с римановой геометрией. Короче, для интенсивного
развития науки нужно, чтобы она. не только подошла
к решению новых задач, но чтобы необходимость их
решения обусловливалась потребностями развития
общества. В математике в последнее время возникает
много теорий, но только те из них получают развитие
и прочно входят в науку, которые нашли свои примене-
ния в естествознании и технике либо сыграли роль
важных обобщений тех теорий, которые имеют такие
приложения. Вместе с тем другие теории остаются без
движения, как, например, некоторые рафинированные
геометрические теории, не нашедшие существенных
применений.
Истинность математических выводов находит свое
последнее основание не в общих определениях и аксио-
мах, не в формальной строгости доказательств, а в ре-
альных приложениях, т. е. в конечном счете в практике.
75
По содержанию развитие математики определяется
ее предметом, но побуждается оно в основном и в конеч-
ном счете потребностями производства.
Конечно, мы не должны забывать, при этом, что
речь идет лишь об основной закономерности и что
связь математики с производством, вообще говоря,
является сложной. Из того, что говорилось выше, ясно,
что было бы наивным пытаться обосновать появление
каждой данной математической теории непосредствен-
ным «производственным заказом».
Математика всегда испытывала самое существенное
влияние не только общественного производства, но всех
общественных условий в целом. Ее блестящий прогресс
в эпоху возвышения Древней Греции, эпоху Возрожде-
ния в Италии, в эпоху буржуазных революций в Евро-
пе,— все это убедительно демонстрирует неразрывную
связь прогресса математики с- общим техническим,
политическим прогрессом общества.
Это также ярко видно на примере развития матема-
тики в России. Становление самостоятельной русской
математической школы, идущей от Лобачевского,
Остроградского и Чебышева, нельзя отделить от про-
гресса русского общества в целом. Время Лобачев-
ского — это время Пушкина, Глинки, декабристов, т. е.
расцвет математики был одним из элементов этого об-
щего подъема.
Тем более убедительно влияние общественного раз-
вития в период после Великой Октябрьской социали-
стической революции, когда исследования фундамен-
тального значения появились друг за другом с пора-
зительной быстротой во многих направлениях: в теории
множеств, топологии, теории чисел, теории вероятно-
стей, теории дифференциальных уравнений, функци-
ональном анализе, алгебре, геометрии.
Наконец, математика всегда испытывала и испыты-
вает на себе заметное влияние идеологии. Как и во
всякой науке, объективное содержание математики вос-
принимается и толкуется математиками и философами
в рамках той или иной идеологии. Короче, объективное
содержание науки всегда укладывается в те или иные
идеологические формы; единство и борьба объектив-
ного содержания и идеологических форм в математике,
как и во всякой науке, играют далеко не- последнюю
роль в ее развитии.
ВЕКА НЕУТИХАЮЩЕЙ БОРЬБЫ.
МАТЕМАТИКА ОПРОВЕРГАЕТ РЕЛИ'
ГИОЗНЫЕ ДОГМЫ.
Математика... проникла в самое
сердце теологической системы и ...
вдребезги разбивала все ее устои,
которые с такой фантастической
настойчивостью и последователь-
ностью воздвигались в течение ряда
веков.
В. А. Стеклов
орьба науки и религии, ра-
зума и догмы началась, как
было показано на страницах
этой книги, уже в глубокой древности, когда изобра-
женная в Библии картина мира пришла в противо-
речие со сведениями, постепенно накопленными есте-
ствознанием. С каЖдым новым крупным открытием
наук о природе делалась все более ясной фантастичность
библейских мифов о сотворении мира и человека.
Испытал гонения и преследования видный древне-
греческий астроном и математик Аристарх Самосский
(ок. 310—230 до н. э.). Жрецы требовали над ним суда
за то, что он «сдвинул с места центр Вселенной», пере-
местив его с Земли на Солнце. Спасаясь от преследо-
вания жрецов, обвиняемый в безбожии, ученый был
вынужден оставить Афины. Гелиоцентризм Аристарха
был необыкновенно смелым для своего времени. Напере-
кор общепринятым взглядам, он считал, что Солнце
неподвижно и находится в центре Вселенной, а Земля
вращается вокруг него, что звезды также неподвижны
и размещены на сфере огромного радиуса.
Следует отметить, что полисный общественный
уклад Греции и республиканский строй в Риме в опре-
деленной степени способствовали развитию атеисти-
ческих идей, хотя критика религии и тогда требовала
огромного мужества.
Положение в корне изменилось, когда на смену язы-
ческой религии пришло христианство. Христиане, по
образному выражению В. И. Ленина, достигнув по-
ложения государственной религии, «забыли» о «наив-
ности» первичного христианства с его демократично-
го
революционным духом. Выдающийся советский мате-
матик В..А. Стеклов дал выразительную картину рас-
пространения христианства и верно отметил его роль
для европейской культуры: <<В это время надви-
гается на Европу одно из величайших бедствий, скоро
погрузившее ее в непроглядный мрак невежества
и застоя, я разумею христианство, и именно христи-
анство, воспринятое варварами, нахлынувшими на
древний классический Рим и раздавившими эту пере-
росшую себя громаду.
Век разума сменяется веком непробудного умствен-
ного сна, продолжавшегося почти без перерыва полто-
ры тысячи лет. В истории человечества не найти более
грандиозного и ужасающего по своим проявлениям
бедствия, чем это.
Невежество с удивительной ловкостью использовало
учение Христа, чтобы под его прикрытием загубить
всякое проявление живого духа, сковать всю Европу,
казалось, цепями беспросветного мрака».
В математике церковники видели наследие язы-
ческой науки, которая противостояла христианству.
Метод поиска истины в математике обусловливал не-
нависть к ней всех представителей религии. Француз-
ский материалист Поль Гольбах (1723—1789) смелый
борец против религии, писал в книге «Разоблаченное
христианство»: «В свое время папа Григорий Святой
наказывал уничтожить языческие книги. На заре хри-
стианства Св. Павел повелел принести книги и сжечь
их на его глазах; с того времени церковь всегда при-
бегала к этому методу. Основатели христианства долж-
ны были под страхом мук учиться грамоте. Католи-
ческая церковь поступила очень разумно, изъяв святое
писание из рук народа... Для церковников было
счастливым время, когда грамотными были только
монахи...».
Начались погромы, и в пламени пожаров от рук
озверелых толп христиан погибали выдающиеся памят-
ники искусства, библиотеки. Трагической стала судьба
научного центра всего эллинистического мира Мусейона
(дома муз) в г. Александрии и его жемчужины —
Александрийской библиотеки. В I ст. до н. э. в ней хра-
нилось 700 000 свитков. В библиотеке работали ученые,
переводчики, поэты. Значительную часть библиотеки
сожгли еще в 47 г. до н. э. легионеры Юлия Цезаря.
Однако фатальную роль в судьбе библиотеки сыграла
80
христианская церковь. В 391 году толпы христианских
монахов разрушили храм египетского бога Сераписа,
памятники искусства и рукописи, которые хранились
в нем. А в 415 г. по приказу патриарха Кирилла они
сожгли и Александрийскую библиотеку. Одного из
главных вдохновителей этого преступления архиепи-
скопа Феофила православная церковь славит и теперь.
То, что все же уцелело после разгрома христианских
фанатиков, уничтожили мусульмане. История сохрани-
ла приказ восточного завоевателя об уничтожении в
640 г. остатков знаменитой Александрийской библио-
теки: «Если эти книги дополняют Коран,— сказал дес-
пот,— то они лишние, так как там уже все сказано.
Если эти книги противоречат Корану, они опасны. В том
и другом случае книги подлежат уничтожению».
Александрия была не единственным научным цен-
тром эллинистического мира. В Афинах продолжала
работать школа, основанная Платоном еще в 387 г. до
н. э. в саду героя Академа и названа Академией.
В 529 году по требованию церковников римский импе-
ратор Юстиниан приказал закрыть Академию, как
оплот язычества. Потом издал ряд жестоких законов
против всех, кто занимается математикой. Их прирав-
нивали к ворам и убийцам, наиболее неугодным богу
людям. Математические книги приказано было сжи-
гать. Византийскому императору Льву Исаврянину
(VIII ст.) и этого показалось мало. Он приказал сжи-
гать не только греческие книги, но и тех, кто их читал.
О том, как церковники ненавидели и преследовали
науку, в том числе и математику, свидетельствуют их
собственные высказывания. Христианский святой Ав-
густин Аврелий (354—430) провозглашал: «Геомет-
рию следовало бы запретить во всех христианских стра-
нах, так как она приучает разум логически мыслить»,
утверждая, что «математика отворачивает от бога», и
предупреждал верующих: «Хороший христианин дол-
жен остерегаться математиков... Нам угрожает реаль-
ная опасность, что математики заключили договор
с сатаной, чтоб затемнить разум и заключить человека
в западню ада».
Русское православное духовенство в рукописных
поучениях предостерегало: «Богомерзостен перед Богом
всякий, кто любит геометрию... люби простоту больше
мудрости, не взыскуй того, что выше тебя, а какое тебе
дано от Бога учение, то и держи».
81
Насколько тяжело было прогрессивной мысли ло-
мать устои церковников, свидетельствует трагедия уче-
ного монаха Герберта (ок. 940—1003), который, нахо-
дясь на вершине церковной иерархии — будучи папой
римским, потерпел жестокое поражение при попытке
ввести индийскую десятичную систему исчисления и
основанную на ней арифметику.
Всеми методами церковь пыталась отторгнуть чело-
веческую мысль от книги, а книгу от человеческой
мысли. На церковных соборах в Туре (1163 г.) и в Пари-
же (1231 г.) чтение книг по физике провозглашалось
грехом. Выдающийся отечественный биолог — дарви-
нист академик К. А. Тимирязев (1843—1920) с гневом
писал: «Костер задушил голос Бруно, исторг отречение
Галилея, вынудил малодушие Декарта. А что он борол-
ся против книги, не доказывает ли этот факт, что еще
долго после того, как палач перестал бросать на костер
мыслителя, он продолжал бросать в огонь его оружие —
книгу. Но победила книга».
Европа содрогалась от ужасов: людей сжигали,
колесовали, четвертовали, закапывали живыми в зем-
лю, замуровывали в стены храмов. За 50 лет с 1550 г.
по 1600 г. только в Италии было сожжено 78 ученых
вместе с их трудами.
Для преследования неугодных церкви людей в
ХП1 в. создали специальную организацию — инквизи-
цию (от лат. inquisitio — расследование).
А. И. Герцен писал о деятельности инквизиторов:
«Когда люди не были так разборчивы, как теперь, и
были полны наивной веры, они без малейшего раздумья
водили на казнь во имя всякой идеи и во имя всякого
убеждения. За что погибли тысячи еретиков? За то, что
одни уверяли, что 2x2 три, а другие твердо знали, что
2x2 пять, и жарили за это целыми стадами честных
испанцев, немцев, голландцев, и неумытые судьи, воз-
вращаясь домой, говорили: «Что делать: справедли-
вость выше всего... и кротко засыпали с чистой совестью
на мягких подушках, забывая запах подожженного
мяса».
Почти 300 лет инквизиция свирепствовала в боль-
шинстве стран Западной Европы.
Говоря о развитии естествознания в эпоху Возрож-
дения Ф. Энгельс в «Анти-Дюринге» отмечал: «Вместе
с великими итальянцами, от которых ведет свое лето-
исчисление новая философия, оно дало своих мучени-
82
ков для костров и темниц инквизиции. И характерно,
что протестанты перещеголяли католиков в преследо-
вании свободного изучения природы. Кальвин сжег
Сервета, когда тот вплотную подошел к открытию
кровообращения, и при этом заставил жарить его
живым два часа; инквизиция по крайней мере удо-
вольствовалась тем, что просто сожгла Джордано
Бруно» (М арке К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 347).
Русское духовенство также не останавливалось
перед расправой с еритиками. В 1675 г. боярина Арта-
мона Матвеева обвинили в колдовстве, объявили черно-
книжником и выслали в Пустоозерский монастырь. Вся
вина его заключалась в том, что у него обнаружили
свод врачебных советов, в котором «написаны многие
статьи цифирью», т. е. в тексте были арабские цифры.
Кровавыми страницами отмечена также история
ислама — одной из наиболее распространенных ре-
лигий.
Отношение мусульманского духовенства к матема-
тике четко сформулировал один из теоретиков средне-
векового ислама аль-Газали (1059—1111). Он понимал
безнадежность отбрасывания науки, в том числе и мате-
матики. Одновременно богослов констатирует, что
«мало существует людей, занимающихся математикой
и не становящихся при этом вероотступниками и не
скидывающих с голов своих узд благочестия». Он даже
поясняет, почему математика разрушает религиозное
мировоззрение и приводит к вероотступничеству: «Вся-
кий, изучающий математику, приходит в такой восторг
от точности охватываемых ею наук и ясности их доказа-
тельств, что о философах у него начинает складываться
благоприятное мнение. Он начинает думать, что все
их науки обладают тем же четким и строго аргументи-
рованным характером, как и эта наука, а затем, если
окажется, что он уже слышал людские разговоры об
их неверии и безбожии и об их пренебрежительном
отношении к шариату, такой человек сам становится
богоотступником ».
И аль-Газали рекомендует ограничить математику
узкоспециальными исследованиями, а главное разо-
рвать ее связи с философией и тем самым лишить ее
мировоззренческой функции. Тогда она не будет опас-
ной для религии: «Необходимо постоянно держать под
уздой каждого, кто занимается указанными науками.
Хотя эти науки и не связанные с религиозными пред-
83
метами, все же будучи основополагающими принципа-
ми всех их знаний, они являются для такого человека
источником всех тех бед и злосчастий, коим подверже-
ны и сами математики».
Математики не приняли удобной для ортодоксаль-
ного ислама программы действий. Они смело делали
мировоззренческие выводы из наблюдаемых связей
между явлениями природы, раскрывали огромное зна-
чение математических методов в познании законов
природы. Тяжелыми, опасными путями шли к истине
математики средневекового Востока. Биографии ал-
Хорезми (787—бл. 850), ал-Бируни (973—1048),
О. Хайяма (1048—1131), ал-Каши (ум. 1413), М. Улуг-
бека (1394—1449)—все это героические страницы
борьбы за истинные знания об окружающем человека
мире. Ценой страданий, а часто и жизни сподвижники
науки разрывали цепи религиозных преград, вели-че-
ловечество к все новым победам в познании тайн при-
роды.
Многие события, связанные с борьбой разума про-
тив догмы были кратко и выразительно освещены в
письме советских астрономов главе католической церк-
ви папе Пию XI, опубликованном в 1930 г. Вот несколь-
ко выдержек из него:
«Мы нижеподписавшиеся профессора и руководи-
тели научных астрономических учреждений Советского
Союза, обращаемся к Вам с настоящим письмом...
...Мы считаем нужным высказать мысль, что за
истекшие несколько столетий, приблизительно со време-
ни Галилео Галилея, астрономия не имела смелости,
а папскому престолу не представлялось случая выска-
зать свои соображения о значении и роли церкви в
развитии астрономии.
Поэтому мы попросили бы Вас не рассматривать
наш вопрос как праздный, если даже мы вынуждены
будем углубиться далеко в историю. После папы Урба-
на VIII, который был на престоле с 1623 до 1644 г., сме-
нилось 23 или 25 христовых наместников, а сейчас
таковым являетесь Вы. Никто из них не дал разъясне-
ния по некоторым вопросам, всегда казавшимся темным
пятном в истории...
В 1592 г. некий служитель христовой церкви, бене-
диктинский монах Джордано Бруно был заключен в...
свинцовую, тюрьму в целях пресечения пропаганды
учения о движении Земли.
84
Через 8 лет, т. е. в 1600 г., Бруно был отлучен от
церкви и приговорен к наказанию «по возможности
милосердно и без пролития крови», что в переводе
с языка святейшей инквизиции означало сожжение
живым на костре. Как известно, эта мера была осу-
ществлена немедленно.
В том же 1592 г. тосканский правитель Медичи,
опасаясь гнева духовенства и папы, принял меры к
изгнанию Галилея из Пизы, которому пришлось без
копейки денег уехать в Падую. Однако борьба духовен-
ства с Галилеем не окончилась. В 1615 г. папа Павел V
в священном совете официально признал за ересь уче-
ние о движении Земли... В сентябре 1632 г. состоялось
окончательное постановление инквизиции о предании
Галилея суду. 13 февраля 1633 г. Галилей, удрученный
летами и болезнью, с опасностью для жизни предпри-
нял путешествие в Рим. 23 июля того же года в церкви
Санта Мария-Спра-Миневра у него вырвали отре-
чение...
После смерти Галилея, проведшего остаток жизни в за-
ключении, инквизиция потребовала для сожжения все
письма и рукописи великого ученого.
...Николай Коперник, скончавшийся в 1543 г. на-
писал сочинение «Об обращениях небесных сфер»,
которое в течение многих лет задерживалось с выходом
в свет из-за боязни за последствия. Эта книга появи-
лась лишь тогда, когда 70-летний Коперник лежал на
смертном одре... Здесь уместно будет напомнить Вам,
что это великое сочинение было изъято из индекса за-
прещенных книг лишь в 1831 г., т. е. в то время, когда
ни запрещение, ни разрешение учения о движении
Земли было уже не. во власти церкви и не имело
ровно^никакого значения ни для кого.
В 1597 г. астроном Тихо Браге вынужден был поки-
нуть отечество, будучи объявлен еретиком и безбожни-
ком. «Всякая земля — отечество для сильного, а небо
есть везде». Так писал Браге ландграфу Гессенкскому.
В 1598 г. Кеплер, открывший законы движения пла-
нетной системы, вынужден был бежать из Штирии в
Венгрию, ввиду того, что ревностный католик Ферди-
нандо объявил генералиссимусом своих войск св. Деву
и дал обет искоренить всякую ересь. Кеплеру не помог-
ло даже то, что перед этим он выступил защитником
реформы календаря папы Григория, вызывая этим про-
тив себя недовольство народа, говорившего: «Мы счи-
85
таем папу за рыкающего льва; лучше оставаться в
разногласии с Солнцем, чем в согласии с папой...».
Эти немногочисленные факты, на которые мы про-
сим Вас обратить внимание, приводятся лишь в каче-
стве иллюстрации того антагонизма, который издавна
существовал между церковью и наукой. С тех пор мно-
гое изменилось...
Если св. Климент VIII некогда посылал на костер
основателей нашей науки, то Вы, папа Пий XI, никого
из ее представителей послать на костер не можете, хотя
взгляды наши — насквозь — «еретические». Теперь
папская церковь ополчается против «постыдных мате-
риалистических заблуждений» потому, что прямо на-
падать на науку в наш век — предприятие бесполезное,
и ни для кого теперь не является тайной, что наука не
может не быть материалистической...»
Приведем в заключение перечень важнейших собы-
тий, отражающих длительный период идеологической
борьбы, которая не закончилась и в наши дни.
411 г. до н. э.
Обвинрн в безбожии и изгнан из Афин древне-
греческий' философ Протагор, выразивший сомнение
в существовании богов. Его произведение «О богах»
сожжено на городской площади.
391 г.
Христианскими фанатиками уничтожаются почти
все остатки сгоревшего еще в 47 г. до н. э. богатейшего
собрания рукописных книг древности (около 700 тыс.
свитков) в Александрии. Окончательно библиотека
была уничтожена фанатиками-мусульманами в 640 г.
415 г.
Толпа фанатиков-христиан растерзала талантливую
женщину — математика Гипатию Александрийскую.
1000—1002 гг.
Преследование мусульманским духовенством уче-
ного-естествоиспытателя, математика и философа Ибн
Сины (Авиценны), который в своих произведениях
высказывал свободолюбивые мысли.
86
1160 г.
Сочинения Ибн Сины по приказу халифа Мостан-
джира публично сожжены на площади Багдада.
1163 г.
Издание буллы папы Александра III о запрещении
«изучения физики или законов природы».
1195—1198 гг.
Преследование мусульманским духовенством вели-
кого арабского ученого Ибн Рушда (Аверроэса). Ему
принадлежит теория «двойственной истины», сыграв-
шая большую роль в освобождении науки от власти
религиозного гнета. Эта теория утверждала независи-
мость философии от религии, что давало возможность
философам обосновывать концепции, принципиально
несовместимые с религиозными догмами. Эта теория бы-
ла официально осуждена в 1907 г. папой Пием X в «Сил-
лабусе» (перечне) еретических учений, приложенном к
очередной его энциклике.
1449 г.
Убийство великого узбекского астронома и матема-
тика М. Улугбека в результате заговора мусульман-
ского духовенства. Одновременно была разрушена
созданная им в Самарканде крупнейшая в то время
обсерватория, остатки которой были впервые обнару-
жены только в 1908 г. При этом обнаружилось, что
в обсерватории был установлен мраморный секстант
диаметром в 40,21 м.
1553 г.
В Швейцарии по приказанию одного из «отцов»
протестантской церкви Кальвина был сожжен на ко-
стре выдающийся испанский ученый Сервет, открыв-
ший малый круг кровообращения.
1559 г.
Издание верховным руководством католической
церкви первого списка («индекса») запрещенных книг.
Эти «индексы» затем регулярно переиздавались и до-
полнялись. Сочинения Джордано Бруно были вычерк-
нуты из них только в 1948 г.
87
1564 г.
На острове Занте в Средиземном море умирает
крупнейший анатом эпохи Возрождения А. Везалий.
За анатомирование трупов, которое было осуждено
церковью как святотатство в конце ХШ в. папой Бони-
фацием VIII, Везалий был приговорен к паломничеству
в Ерусалим.
1566 г.
Разгром по наущению церковников первой русской
типографии Ивана Федорова и Петра Мстиславца в
Москве.
1600 г.
На Площади цветов в Риме сожжен на костре вели-
кий итальянский мыслитель Джордано Бруно.
1619 г.
В Тулузе сожжен на костре итальянский философ
Д. Ч. Ванини, отрицавший бессмертие души, творение
мира из ничего и божественность Иисуса.
1633 г.
Осуждение инквизицией Галилео Галилея за ряд
астрономических и философских сочинений, но главным
образом за пропаганду и разработку гелиоцентрической
системы Коперника. 22 июня 1633 г. Галилей был
вынужден публично отречься от своих «заблуждений».
«Я, Галилео Галилей,— зачитал он заранее заготовлен-
ный текст отречения,— сын покойного Винченцо из
Флоренции, преклонив колена перед Вашими высоко-
преосвещенствами и генеральными инквизиторами,
имея перед очами святое Евангелие, которого касаюсь
собственными руками, клянусь, что всегда верил и
ныне верю и... впредь буду верить во все, что счи-
тает истинным, проповедует и чему учит святая
католическая и апостольская римская церковь...» Пуб-
личным отречением Галилей спас жизнь, но не свободу:
до самой смерти он оставался под строгим надзором
церкви.
1633 г.
Р. Декарт, вынужденный эмигрировать из Франции
в Голландию, узнав о том, что Галилей привлечен к
88
суду инквизиции, приостанавливает подготовку к изда-
нию своего труда «Мир», в котором признавался факт
вращения Земли. Этот трактат увидел свет уже после
смерти Декарта, в 1664 г.
1642 г.
Запрещение в Утрехтском университете учения Де-
карта (картезианства): в глазах церковников Декарт
был еретиком, поскольку он признавал своих собратьев-
ученых «господами и хозяевами природы». В 1647 г.
преподавание картезианства было запрещено и в Лей-
денском университете.
1656 г.
Амстердамские раввины предают анафеме филосо-
фа Б. Спинозу. «Да будет он проклят и днем и ночью, да
будет проклят, когда ложится и встает; да будет про-
клят и при выходе и при входе! — говорилось в тексте
«Великого отлучения».— Предупреждаем вас, что ни-
кто не должен говорить с ним ни устно, ни письменно,
не оказывать ему какие-либо услуги, не проживать с
ним под одной крышей, не стоять от него ближе, чем
на четыре локтя, не читать ничего, им оставленного
или написанного!».
1714 г.
Посмертное отлучение инквизицией от церкви за
подрыв религиозных догм английского естествоиспыта-
теля У. Гарвея, открывшего в 1628 г. систему крово-
обращения.
1740 г.
Уничтожение по требованию синода тиража пере-
веденной А. Кантемиром книги Б. Фонтенеля «О мно-
жественности миров». В 1600 г. учение о множествен-
ности миров послужило главным основанием для казни
Джордано Бруно.
1749—1753 гг.
Травля парижскими богословами выдающегося
ученого-натуралиста Ж- Бюффона за его взгляды о
естественном происхождении живых существ. Вынуж-
денное отречение Бюффона от «крамольных идей».
89
1751 г.
Молодой бакалавр теологии аббат де Прада защи-
щает в Сорбонне докторскую диссертацию. Но вскоре
выясняется, что в одобренной учеными мужами работе
содержалось десять утверждений, являющихся «лжи-
выми, необдуманными, вредными для католических
богословов... ошибочными, богохульными, материали-
стическими, опасными для общества и для обществен-
ного спокойствия» и т. д. Десятая его «ересь» гласила:
«Рассуждения отцов церкви могут подвергаться логи-
ческой проверке». Де Прада был лишен степени и обви-
нен в связях с авторами «Энциклопедии». 11 февраля
1762 г. был выдан ордер на его арест. Неудачливый
докторант был вынужден бежать из Франции.
1751 — 1772 гг.
Преследования церковниками авторов и издателей
крупнейшего памятника французского Просвещения —
«Энциклопедии, или Толкового словаря наук, искусств
и ремесел». Лишение ученых степеней, заточение не-
которых из них в Бастилию, запрещение отдельных
томов.
1756 г.
Синод обратился к императрице Елизавете Петровне
с докладом о запрещении Петербургской Академии
наук печатать произведения, противные вере и нрав-
ственности. Члены Синода просили запретить издание
работ, подобных книге Б. Фонтенеля «О множествен-
ности миров».
1757 г.
Требование Синода заточить в монастырь М. В. Ло-
моносова за антиклерикальные высказывания. В 1759 г.
Ломоносов тем не менее предлагает внести в устав
академического университета следующий пункт: «Духо-
венству к учениям, правду физическую для пользы и
просвещения показующим, не привязываться, а особли-
во не ругать наук в проповедях».
1769 г.
Сожжение в Москве на Лобном месте книги про-
фессора Московского университета Д. С. Аничкова за
90
содержащиеся в ней высказывания о происхождении
религии.
1791 г.
В день годовщины взятия Бастилии, которую выда-
ющийся английский химик Дж. Пристли отмечал со
своими друзьями, спровоцированная церковниками
толпа уничтожила его лабораторию, библиотеку и
сожгла его рукописи.
1798 г.
Травля английского врача Э. Дженнера за открытие
вакцинации (метода противооспенных прививок), кото-
рое расценивалось как «нечестивое деяние».
1828 г.
Утверждение царем Николаем I «Устава о цензуре
и печати», запрещающего публикацию произведений,
содержащих «что-либо клонящееся к поколебанию уче-
ния православной церкви». Этот устав действовал до
1917 г. и служил основанием для запрещения печатания
работ Ч. Дарвина, Э. Геккеля, И. Мечникова, И. Се-
ченова.
1860 г.
Епископ Оксфордский публично осуждает книгу
Ч. Дарвина «Происхождение видов» за содержащееся
в ней указание о естественном происхождении че-
ловека.
1863 г.
Запрещение министром внутренних дел напечатать
в журнале «Современник» работу И. М. Сеченова
«Попытка ввести физиологические основы в психиче-
ские процессы», поскольку ее содержание было «на-
правлено к отрицанию нравственных основ общества,
к потрясению догмата о бессмертии души и вообще
религиозных начал».
1901 г.
Святейший синод принимает решение об отлучении
от церкви «лжеучителя» графа Льва Толстого, который
проповедует «ниспровержение всех догматов право-
славной церкви и самой сущности веры христианской».
91
1903 г.
Запрещение цензурой книги И. И. Мечникова «Этю-
ды о природе человека» за подрыв веры в загробную
жизнь.
1925 г.
«Обезьяний процесс» — суд в Дейтоне (США) над
преподавателем Джоном Скопсом, посмевшим излагать
основы эволюционного процесса.
1961 г.
Травля и угроза отлучения от церкви итальянского
ученого Даниэля Петруччи за «богопротивные опыты»
по изучению формирования живого организма в искус-
ственных условиях.
1965 г.
Второй Ватиканский собор принял постановление,
обращенное к «мыслителям и ученым», в котором,
в частности, говорилось: «Сегодня со всей ясностью
проявилась возможность глубокой связи между подлин-
ной наукой и подлинной верой, которые — как вера,
так и наука — служат единой цели». В соответствии
с этим тезисом многие современные теологи признают
за наукой право изучать материальный мир с оговоркой,
что наряду с ним существует и другой, высший мир —
мир сверхъестественного, занимающий в человеческом
бытие главенствующее положение.
История доказала беспомощность врагов прогрес-
са поставить науку, в том числе и математику, на
службу силам реакции и мракобесия. В тяжелых битвах
с открытыми и замаскированными врагами научного
прогресса, математика с честью выполнила и продол-
жает выполнять великую историческую миссию в рас-
крытии тайн природы, в создании могучей техники и,
что не менее важно, в формировании научного миро-
воззрения.
о
НАУКА-СИЛА, ПРЕОБРАЗУЮЩАЯ МИР
Человек не может охватить = отра-
зить^ отобразить природы всей,
полностью...
он может лишь вечно приближаться
к этому, создавая абстракции, по-
нятия, законы, научную картину
мира...
В И. Ленин
ело век — творческое суще-
ство. Смысл его бытия в том,
чтобы непрерывно творить
новое. Но для этого он должен столь же непрестанно
познавать мир, открывать новые законы природы.
«Знание есть сила» — это положение, провозглашен-
ное Френсисом Бэконом (1561 —1626), одним из родо-
начальников науки нового времени, оказалось порази-
тельно пророческим. За три с лишним века, которые
прошли с того времени, человечество благодаря зна-
ниям, науке достигло поразительных успехов. Наука
приобрела огромное, ни с чем не сравнимое влияние
на общество, коренным образом преобразовав условия
его жизни.
Знание действительно оказалось силой, и притом
весьма могущественной.
Но что такое научное знание и в силу каких особен-
ностей оно способно оказывать столь мощное воздей-
ствие на жизнь людей?
Чтобы ответить на этот, далеко не простой вопрос,
сопоставим науку с так называемым обыденным зна-
нием.
Обыденное — его иногда называют также стихийно-
эмпирическим — это такое знание, которым люди руко-
водствуются в своем повседневном житейском обиходе.
Это знание, хотя и не раскрывает глубинную сущность
вещей, вполне достаточно для того, чтобы разумно
решать вопросы, с которыми люди сталкиваются в своей
повседневной жизни.
Однако возможности обыденного, стихийно-эмпири-
ческого знания при решении научных вопросов ока-
зываются довольно ограниченными. Ф. Энгельс писал,
что «...здравый человеческий рассудок, весьма почтен-
ный спутник в четырех стенах своего домашнего обихо-
95
да, переживает самые удивительные приключения,
лишь только он отважится выйти на широкий простор
исследования» (Анти-Дюринг.— Маркс К., Энгельс Ф.
Соч., т. 20, с. 21).
Поэтому .многие положения науки, оцениваемые с
точки зрения обыденного знания, представляются не-
обычными, диковинными, парадоксальными. Особенно
наглядно это может быть проиллюстрировано примером
из современной физики. Сегодня, пишет по этому поводу
американский ученый Дж. Орир в своей книге «По-
пулярная физика», мы сомневаемся даже в том, что
2 + 2 = 4 в применении к физическим явлениям (в чем
нет сомнения у «здравого рассудка»). Например, если
частица движется относительно некоторой инерциаль-
ной системы отсчета со скоростью 20 млрд, см/с, а сама
эта система отсчета движется по тому же направлению
со скоростью 20 млрд, см/с относительно другой инер-
циальной системы отсчета, то скорость частицы отно-
сительно второй системы отсчета равна не 40, а только
27,3млрд.Здесь действует правило сложения скоростей,
которое с точки зрения «здравого смысла» может пока-
заться странным: результирующая скорость всегда
будет меньше простой арифметической суммы ее состав-
ляющих. Если скорость мала по сравнению со скоростью
света, то этот эффект все равно существует, хотя он и
очень мал (потому мы и пренебрегаем им в повседнев-
ной практике, пользуясь обычным арифметическим
правилом: 2 + 2 = 4).
Закон сложения скоростей был получен А. Эйн-
штейном в его теории относительности
f рез:
+ ^2
где с — скорость све
Следовател то, что представляется естествен-
ным и понятным с точки зрения обыденного знания, ока-
зывается совершенно иным с более глубокой, научной
точки зрения, а обыденное знание оказывается недоста-
точным, а иногда даже и ложным.
И тем не менее сс₽ же не следует относиться к обы-
денному знанию чересчур пренебрежительно. Нельзя
забывать, что с его помощью добывается немало надеж-
ных сведений об окружающем'мире и что оно не отгоро-
жено непроходимой пропастью от знания научного. Бо-
96
лее того, само научное знание выросло из повседневных
наблюдений, из обыденного знания и поначалу не
выходило за его пределу. На первых ступенях развития
науки, когда еще не были разработаны специальные
научные методы исследования, ученые опирались в сво-
их представлениях на результаты непосредственных
наблюдений.
Лишь с дальнейшим развитием знания была раскры-
та несостоятельность этих ранних представлений и они
были заменены взглядами, основанными на более глу-
боком изучении природы. Например, геоцентрическая
система мира древнегреческого астронома Клавдия
Птолемея, опиравшаяся на многочисленные астроно-
мические наблюдения, сделанные его предшественни-
ками (египетскими, вавилонскими и особенно гречески-
ми астрономами), в большой степени соответствовала
непосредственным чувственным образам, которые мо-
жет составить любой неискушенный наблюдатель. Эта
система, хотя и удовлетворяла в течение ряда столетий
многим практическим потребностям, оказалась непри-
годной, когда повысились требования к точности кален-
даря и составлению навигационных карт.
Система Птолемея явно не соответствовала новым
астрономическим данным, накопленным учеными. Как
известно, это привело к тому, что она была заменена —
не без длительного и упорного сопротивления со сторо-
ны церковников и в результате ряда драматических
коллизий — гелиоцентрической системой Николая Ко-
перника. Новая астрономическая система принципи-
ально отличалась от геоцентрической. Она давала науч-
ное объяснение всем наблюдавшимся явлениям и по-
зволила сделать немало важных предсказаний, хотя
и противоречила обыденным представлениям, основан-
ным на непосредственном восприятии. Истина лежала
глубже, и она не усматривалас’ простым созерцанием.
Очень удачно изобразил эту ситуацию А. С. Пушкин
в одном из своих поразительно ярких и глубоких фило-
софских стихотворений:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить,
Сильнее бы не мог он возпазить;
Хвалили все ответ замыс..,ватый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит.
Однако ж прав упрямый Галилей.
97
Да, действительно прав оказался Галилей, защи-
щавший и развивавший систему Коперника, а не его
противники — церковники, отстаивавшие библейские
каноны и находившуюся в согласиии с ними идею
геоцентризма.
Итак, следовательно, знание, основанное на непо-
средственных чувственных восприятиях, охватывает
лишь сферу видимого, внешнего (сферу явлений) и не
раскрывает в объектах внутренние существенные сто-
роны и связи, которые определяют характер их поведе-
ния и развития. Получение обыденных знаний не носит
систематического, организованного характера, осно-
ванного на применении определенной методики.
Научное исследование является целенаправленным.
Его результаты выступают в виде системы понятий,
законов, научных теорий. Говоря коротко, коренное
отличие науки от обыденного (стихийно-эмпирического)
знания состоит в том, что она носит систематический,
последовательный характер, т. е. представляет собой
знание, организованное в строгую систему, опираю-
щуюся на научный метод. Такими научными системами
являются, в частности, геометрия Евклида, классиче-
ская механика Ньютона, теория относительности Эйн-
штейна.
Важнейшими элементами, из которых строится на-
учная система — наряду с фактами и понятиями,—
являются научные законы. Благодаря познанию зако-
нов наука смогла перейти от описания явлений, собира-
ния и систематизации фактов — этим она главным
образом и занималась в XVII—XVIII вв.— к их объ-
яснению и предсказанию новых законов и новых явле-
ний. Что же такое научный закон и в чем его отличие
от объективного закона природы?
В самой общей форме на этот вопрос можно отве-
тить так. Законы науки являются отражением законов
природы. Они открываются и формулируются учеными
и, следовательно, представляют собой наши знания
о законах природы.
Научные законы не выдумываются произвольно, не
создаются учеными по их усмотрению или прихоти, хотя
выдумка, фантазия изобретение играют в их создании
немалую роль. Научные законы открываются. Это
значит, что законы, которые действуют в природе,
будучи обнаружены исследователем, истолковываются
им и затем выражаются и формулируются с помощью
98
определенного языка, которым мы пользуемся в своей
обыденной жизни, или искусственного, например мате-
глатического, языка специальных обозначений. •
Законы науки, таким образом, представляют собой
как бы перевод объективных закономерностей природы
на человеческий язык, или, иными словами, они явля-
ются моделями (преимущественно математическими)
щконов природы. Возьмем, к примеру, закон всемирно-
го тяготения, открытый Ньютоном:
„ ~ пцт?
Его математическая формула представляет собой
типичный пример научного закона. Она выражает су-
щественную необходимую связь, состоящую в том, что
в< е тела в мире притягиваются друг к другу с силой,
которая зависит от самих этих тел и расстояний между
ними. В этом и состоит объективное содержание закона.
Его субъективная форма — это его словесная или мате-
матическая формулировка, выражающая связь между
понятиями (сила, масса, расстояние), в которых наше
сознание отражает объективные свойства вещей. Бук-
вально то же можно сказать о любом другом научном
шконе (законе Бойля—Мариотта, законе Кулона, зако-
не Ома и т. д.).
Но поскольку научные законы — это не сами суще-
ственные связи, а лишь их отражение в нашем созна-
нии, то правомерен вопрос: адекватны ли научные
иконы соответствующим объективным законам?
Действительно, раскрыть содержание того или иного
обьективного закона и сформировать соответствующий
ему научный закон вовсе не просто. Ибо законы не
лежат на поверхности и не могут быть обнаружены
непосредственным наблюдением. Не случайно, напри-
мер, Кеплер затратил на открытие законов движения
планет всю свою сознательную жизнь; то же можно
сказать о Фарадее и Максвелле, открывших и сформу-
лировавших законы электромагнетизма, об Эйнштейне,
I рулившемся многие годы над созданием теории отно-
сительности, и многих других ученых.
Природа, таким образом, не легко расстается со
своими тайнами и ученым приходится затрачивать не-
малые усилия, чтобы их открыть. И это открытие обычно
происходило не сразу, не до конца, а в форме неполного,
приближенного, относительного знания. Лишь в даль-
нейшем, на каждой последующей ступени развития
99
науки, смысл и содержание объективного закона рас-
крывается все глубже и полнее, а формулировка со-
ответствующего научного закона постепенно уточня-
ется и становится все более адекватной отражаемому
им объективному закону.
Это неполное соответствие между научным и объек-
тивным законами обусловлено прежде всего сложной
структурой самой действительности. Существенные
связи являются внутренними, глубокими и потому не
могут быть постигнуты непосредственно. Кроме того, на
каждой данной ступени развития науки познания, спо-
собы проникновения человеческого ума в сложную
структуру реальности ограниченны, несовершенны. Но
того, что не смогло постигнуть одно поколение людей
в данную эпоху, постигнут последующие поколения на
новых этапах научного развития. Постепенно несоот-
ветствие между научными законами и соответствую-
щими законами природы становится все меньшим, а
адекватность этих законов все более возрастает.
Проиллюстрируем это на примере закона всемир-
ного тяготения.
Как известно, открытие этого закона Ньютоном
было одним из величайших триумфов познания, выда-
ющимся подвигом человеческого гения. Закон Ньютона
хорошо соответствовал результатам наблюдений. И тем
не менее некоторых фактов он объяснить не Мог. Не
объяснял этот закон, в частности, смещения перигелия
Меркурия (точки его орбиты, ближайшей к Солнцу).
Смысл этого явления состоял в следующем. Как
известно, согласно первому закону Кеплера, планеты
должны иметь эллиптические орбиты. Фактически же
их перемещение происходит по более сложным кривым,
так как движение планет возмущается влиянием сосед-
них небесных тел. Для Меркурия, в частности, это
возмущение проявляется особенно значительно в сме-
щении его перигелия примерно на 540" за столетие (по
отношению к неподвижным звездам). Если учесть влия-
ние всех видимых известных планет, то для этого сме-
щения получится величина порядка 500" за столетие.
Различие в 40" за столетие между предсказанием, сде-
ланным на основе закона тяготения Ньютона, и астро-
номическими наблюдениями казалось ученым необъяс-
нимым, пока, наконец, его не объяснил А. Эйнштейн на
основе разработанной им новой теории тяготения, выте-
кающей из общей теории относительности.
100
Нет сомнения, однако, что и эта теория — не оконча-
тельное слово науки. Ее дальнейший прогресс, даль-
нейшее усовершенствование научных, прежде всего
математических, методов с неизбежностью приведет
ученых к более совершенному, более полному познанию
всемирного тяготения, к появлению более совершенной
теории гравитации, описываемой, соответственно, более
совершенной математической моделью.
Особенно важная роль в процессах создания науч-
ных законов и их систем — научных теорий принадле-
жит, как мы видим, методу математического модели-
рования. Именно с помощью этого метода производит-
ся определенная схематизация действительности, без
которой не может быть осуществлено построение на-
учной теории или закона.
Модель выступает как упрощенная ситуация того
фрагмента изучаемой действительности, в котором вы-
полняются принципы данной теории. Другими словами,
математическая модель является промежуточным зве-
ном между теорией и изучаемой реальностью. Она
дает возможность перебросить мост от первой ко вто-
рой, позволяет наметить в основных чертах пути приме-
нения научной теории на практике и одновременно
указывает способы ее экспериментальной проверки.
Возьмем в качестве примера такой теории систему
аксиом евклидовой геометрии. Как известно, эта систе-
ма представляет собой совокупность суждений относи-
тельно таких объектов, как точки, прямые и плоскости.
Но в реальном мире таких объектов не существует.
Поэтому геометрию нельзя рассматривать как тео-
рию, непосредственно описывающую действительность.
Теоремы евклидовой геометрии строго выполняются
лишь в отношении упомянутых выше идеализирован-
ных объектов. Эти идеализированные объекты (точки,
прямые, плоскости) и отношения между ними (принад-
лежность, порядок, конгруэнтность, параллельность) и
представляют собой теоретическую или идеальную мо-
дель евклидовой геометрии (теоретической системы), в
которой выполняются все ее аксиомы. Между этой
моделью евклидовой геометрии и определенной частью
трехмерного объективного мира имеется соответствие.
Следовательно, соответствие существует не между са-
мой системой евклидовой геометрии, а между ее идеали-
зированной моделью и объективным миром. В этом как
раз и состоит смысл высказанного утверждения, что
101
модель выступает в качестве промежуточного звена
между теорией (в данном случае системой аксиом и
теорем евклидовой геометрии) и реальностью.
Рассматривая этот пример в своей книге «Эволю-
ция физики», А. Эйнштейн и Л. Инфельд пишут: «Смысл
этого в том, что все логически доказанные положения
евклидовой геометрии могут быть также подтверждены
действительным экспериментом. С помощью твердых
тел или световых лучей мы можем построить объекты,
соответствующие идеализированным объектам евкли-
довой геометрии. Ребро линейки или световой луч со-
ответствует прямой. Сумма углов треугольника, постро-
енного из тонких жердей, равна 180°. Отношения ради-
усов двух концентрических окружностей, построенных
из тонкой упругой проволоки, равно отношению длин
окружностей. Истолкованная таким образом евклидова
геометрия становится главой физики, хотя и очень
простой ее главой».
Таким образом, интерпретированные с помощью
геометрической модели утверждения евклидовой гео-
метрии становятся физически содержательными, т. е.
утверждениями о пространственных свойствах опреде-
ленной части реального физического мира. Именно
благодаря этому геометрические системы (в том числе
и неевклидовы) могут подвергаться экспериментальной
и практической проверке путем соответствующих из-
мерений.
Итак, мы убедились, что открытие (построение)
научного закона — это крайне сложный творческий
процесс. Ученый — такой же творец нового, как поэт,
композитор, ваятель. Без воображения, фантазии, без
настоящего дерзания не может быть творческих иска-
ний, необходимых для построения как эмпирических,
так и теоретических законов.
Эмпирические законы выводятся из наблюдений
и экспериментов. Однако и здесь необходима предва-
рительная идея, догадка, гипотеза, построение моделей.
История науки показывает, сколь большую роль сыгра-
ли научные гипотезы и построенные на их базе матема-
тические модели явлений. Вспомним хотя бы гипотезу
строения Солнечной системы Коперника. Не менее вы-
разительным примером является модель строения атома,
предложенная Резерфордом. Эта модель исходила из
гипотезы, что атом построен 'примерно так же, как и
Солнечная система: вокруг ядра атома вращаются
102
электроны. Сама модель оказалась неудовлетвори-
тельной, и дальнейшее развитие науки ее отвергло. Но
она повлекла за собой исследования, приведшие к
современной атомной физике и к первым шагам на
пути покорения таящейся в недрах атома энергии.
В наиболее простых случаях ученый при отыскании
эмпирических законов прибегает к методу проб и оши-
бок (как это делал, например, Кеплер при поиске
законов движения планет Солнечной системы).
При поиске законов теоретическим методом ученый
тоже отталкивается от фактов. Далее идет догадка,
гипотеза, предположение о том, каким может быть и
каким должен быть этот закон. После этого начина-
ется сложная работа по построению ряда теоретических
абстракций. На основе этих абстракций строится ма-
тематическая модель — формула научного закона. Вна-
чале закон выступает как гипотетическое построение,
которое лишь позднее, будучи апробировано опытом,
практикой, превращается в достоверное положение
науки. Однако движение мысли на этом не прекращает-
ся. С усовершенствованием техники научного экспе-
римента и появлением новых фактических данных, на-
учные законы дополняются и обобщаются.
Интересно отметить также еще одно важное свой-
ство научных понятий, законов и теорий — их информа-
тивную емкость: они как бы сокращают множество
фактов, с которыми пришлось бы оперировать, и, сле-
довательно, делают наши рассуждения о них проще,
экономнее, изящнее. В силу этого необходимым услови-
ем адекватности научного закона закону природы ста-
новится его простота. Вот почему проблеме простоты
научных законов (теорий) и соответствующих матема-
тических моделей всегда уделяли и уделяют большое
внимание. Идея простоты проходит красной нитью через
всю историю естествознания. Эта идея играла руково-
дящую роль в исследованиях Галилея, Ньютона, Лапла-
са, Планка, Максвелла, Эйнштейна и многих других
ученых. В самом деле, разве не являются поразительно
простыми (и поразительно изящными, красивыми)
закон тяготения Ньютона —
Р__q тхт2
соотношение Эйнштейна между массой и энергией —
Е=тс2,
103
соотношение Планка между энергией и частотой кван-
та —
E=hv
и многие другие законы науки.
Отметим, что философы и естествоиспытатели
XVII—XVIII вв. обосновывали необходимость научной
простоты ссылкой на простоту самой природы. Так,
Галилей говорил, что «природа не делает многим то,
что может сделать нескольким».
Ньютон видел основание правила простоты в том,
что «природа сама проста и не роскошествует излиш-
ними причинами вещей». В таком же духе понимали
простоту Декарт, Лейбниц, Максвелл и многие другие
ученые и мыслители.
Такой подход долгое время казался оправданным,
однако самой природе присущи не только простота, но
и сложность, она не только экономна, но и расточи-
тельна. Поэтому речь должна идти не о простоте дей-
ствительности, а о простоте выражения знаний об этой
действительности. Простым должно быть отражение
законов природы в нашем сознании. И научная тео-
рия тем более совершенна, чем большее число фак-
тов она объясняет при минимуме исходных посылок,
причем более простой следует считать общую теорию.
Будучи более общей на данном этапе научного разви-
тия, такая теория дает возможность истолковать боль-
шее число эмпирических фактов и содержит при этом
меньшее число исходных посылок по сравнению с любой
частной теорией, с необходимостью вводящей всякого
рода дополнительные допущения, значительно услож-
няющие ее практическое применение. Так, геоцентри-
ческая система Птолемея при включении в нее ряда до-
полнительных положений могла бы объяснить движе-
ние планет ничуть не хуже системы Коперника. Однако
преимущество и, следовательно, простота последней
состоит в том, что для согласования с наблюдаемыми
фактами она ограничилась меньшим (в сравнении с
системой Птолемея) числом исходных допущений. Тео-
рия Коперника, таким образом, оказывается с этой
точки зрения более простой (более совершенной и более
изящной), а теория Птолемея — более сложной.
Сказанное, однако, не означает, что математический
аппарат более «простой» теории является в то же время
простым сам по себе. Это отнюдь не так.
104
Возьмем, к примеру, арифметическую задачу, кото-
рая решается путем очень трудоемких вычислений и за-
путанных рассуждений. Арифметический путь, который
ведет к решению задачи, сложен. Но та же задача мо-
жет быть решена алгебраическим способом, путем
составления соответствующего уравнения, решение
которого для человека, знакомого с алгеброй, не состав-
ляет большого труда. Аппарат алгебраической теории
сложнее арифметического, однако решение задачи с
помощью этого более сложного теоретического аппа-
рата значительно проще. Простота здесь достигается
через сложность.
Или другой пример. Общеизвестно, что таблицы
логарифмов значительно облегчают сложные матема-
тические вычисления. Те же вычисления потребовали бы
колоссального труда, если бы производились на основе
выполнения арифметических действий.
Но теория логарифмов, конечно, сложнее арифме-
тики. И здесь простота достигается через сложность.
Более общая теория, обладающая минимумом знакомых
средств (и, следовательно, информативно более емкая),
дает возможность решать с помощью своего более
сложного математического аппарата большее количе-
ство задач и объяснить большее количество фактов,
причем решать более простым путем, нежели эти же
задачи решает менее общая частная теория.
Разъясняя смысл, вкладываемый в понятие сложной
простоты, Эйнштейн в книге «Физика и реальность»
писал, что «теория производит тем большее впечатле-
ние, чем проще ее предпосылки, чем разнообразнее
предметы, которые она связывает, и чем шире область
ее применения». Но широта предпосылок теории и той
предметной области, которую она истолковывает, от-
нюдь не означает, что эту теорию просто и легко при-
менять. Парадоксальность «сложной простоты» в том
как раз и состоит, что более простая (и более общая)
теория обладает более сложным и более громоздким
математическим аппаратом. Простое в одном отноше-
нии оказывается сложным в другом. «Чем проще и фун-
даментальнее становятся наши допущения,— пишет
Эйнштейн в книге «Физика и реальность»,— тем слож-
нее математическое орудие нашего рассуждения, тем
длиннее, тоньше и сложнее становится путь от теории
к фактам. Современная физика проще, чем старая,
но именно поэтому она кажется более трудной и запу-
10.5
тайной». «Все очень сложно,— говорит современный
американский физик Р. Фейнман в книге «Характер
физических законов».— Простота достигается через
сложность». Эту мысль Фейнман удачно разъяснил на
примере закона всемирного тяготения Ньютона: «Пора-
зительнее всего, что закон тяготения прост. Его легко
сформулировать так, чтобы не оставалось никаких
лазеек для двусмысленности и для иного толкования...
Он прост по форме. Я не говорю, что он действует про-
сто: движение разных планет, их взаимные влияния
могут быть очень запутанными, и определить, как дви-
жется каждая звезда в шаровом скоплении, не в наших
силах. Он действует сложно, но его коренная идея
проста. Это роднит все наши законы. Сами по себе они
оказываются простыми, хотя в природе действуют
сложным образом». К этому надо добавить, что более
общий, более сложный и более абстрактный закон (или
теория) всегда оказывается информационно более ем-
ким, нежели закон (теория) более простой и частный,
так как емкость знания тем больше, чем в меньшем
количестве знаковых средств (например, математи-
ческих символов) удается его выразить.
Заметим также, что всякая более общая теория,
удовлетворяющая критерию «сложной простоты», явля-
ется в то же время и более изящной, удовлетворяющей
эстетическому чувству ученого, которое играет отнюдь
не последнюю роль в научных изысканиях. В этом смыс-
ле теория Коперника красивее теории Птолемея, теория
относительности Эйнштейна красивее теории Ньютона
и т. д. Не говоря уже о красоте и изяществе уравнений
Максвелла, по поводу которых Г. Герц в работе «Об
отношении между светом и электричеством» в порыве
восторга написал такую.вдохновенную фразу: «Изучая
эту чудесную теорию, нельзя не почувствовать, что ее
математическим формулам присуща самостоятельная
жизнь и собственное сознание, что они умнее нас, умнее
даже своего создателя, что они дают нам больше, чем
в них было заложено вначале».
Не случайно в современной литературе много гово-
рится о том, что в числе побудительных мотивов,
движущих учеными в их творчестве, значительную роль
играет стремление к красоте и изяществу. Не оставляет
сомнения, что, например, для Птолемея, Коперника,
Кеплера, Эйнштейна красота и гармония математиче-
ских зависимостей служили не только эвристическими
106
средствами познания, но и сильнейшими источниками
творческого вдохновения.
Из сказанного выше следует, что если на объяснение
тех или иных материальных явлений и процессов
претендует несколько математических моделей, то сле-
дует выбрать из них наиболее простую, т. е. такую,
которая, опираясь на минимальное число исходных
допущений, способна объяснить более широкий круг
явлений, нежели какая-либо другая. Ибо «большая
степень обобщения и большая простота,— как удачно
заметил современный английский математик и педагог
У. Сойер в книге «Прелюдия к математике»,— неотде-
лимы друг от друга...». Более общие модели, будучи в
то же время и более простыми, позволяют не только
объяснить огромную массу эмпирического материала,
относящегося к определеннойпредметной области мате-
риального мира, но и выразить ее при этом предельно
экономно, компактно, сжато.
В этом смысле теория относительности, например,
как более общая, является в то же время и более про-
стой, нежели классическая механика, ибо дает возмож-
ность без всяких дополнительных допущений объяснить
такие явления, которые классическая физика без таких
допущений не объясняет.
Совершенно очевидно также, что потенциально
более общая математическая модель является в то же
время и информативно более емкой, несущей в малом
объеме знаковых средств наибольшее количество ин-
формации.
Итак, метод математического моделирования, сво-
дящий исследование явлений внешнего мира к мате-
матическим задачам, т. е. анализу математических
моделей, занимает ведущее место среди других методов
исследования и неотделим от общего процесса изучения
человечеством явлений окружающего мира.
Отметим, что расширение области применения мате-
матики в научном познании является общей законо-
мерностью развития. Эта закономерность существовала
и проявлялась всегда, в течение всей истории челове-
ческой цивилизации.
Подлинный смысл взаимосвязей математики с дру-
гими областями науки, связей, ведущих к взаимному
обогащению их содержания, раскрыл В. И. Ленин,
когда отметил, что каждый крупный успех естество-
знания означает вместе с тем приближение к таким
107
однородным и простым элементам материи, законы дви-
жения которых допускают математическую обработку
(Материализм и эмпириокритицизм.— Поли. собр. соч.,
т. 18, с. 326), т. е., что он порождает новые продвижения
по пути математизации знания.
И все же само понятие «математизация науки,
научного знания» возникло лишь в наши дни как отра-
жение процесса расширяющегося использования мате-
матических методов и моделей.
Структура математики особенно изменилась за по-
следние 20—30 лет. Появились и получили существен-
ное развитие многие новые области: большая группа
дисциплин, объединяемых математической кибернети-
кой, многочисленные разделы, вычислительной матема-
тики и математического обеспечения быстродействую-
щих вычислительных устройств, исследование опера-
ций, теория оптимального управления и др. Повысилась
роль математической логики. В теории алгебраических
и дифференциальных уравнений приближенные методы
решения заняли гораздо большее, чем прежде, место.
Главной причиной столь глубоких, коренных изме-
нений в составе и содержании математики явилось
проникновение математических методов исследования
в другие области научного знания. Это проникновение
в последние несколько десятилетий сделалось, особенно
широким и стремительным. При этом речь идет не о
простых вычислительных или измерительных операци-
ях, сопровождающих практически любое научное ис-
следование, но о сравнительно сложном математиче-
ском аппарате, нередко создаваемом в процессе этого
проникновения.
Ряд областей приложения математики за этот
весьма краткий исторический период настолько раз-
росся, что образовал самостоятельные научные дисцип-
лины. К математической физике, сформировавшейся
в первой половине XIX в., присоединились: математи-
ческая биология, математическая экономика, матема-
тическая лингвистика и многие другие. Возможности
решения научных и научно-практических задач в ре-
зультате приложения математических методов неизмен-
но возрастали. Возрастал и поток требований к самой
математике.
Таким образом, процесс математизации научного
знания неотделим от общего процесса научно-техни-
ческой революции, является его органической частью.
108
Термин «научно-техническая революция» обозначает
огромную область изменений в развитии материального
производства, техники, науки, и социальных отношений
в современном человеческом обществе. Истоки научно-
технической революции лежат в качественном скачке,
в познании и использовании законов природы. Этот
скачок настолько значителен, что создает все предпо-
сылки для превращения науки в производительную силу
общества. Реализация этого превращения производит
переворот в системе производительных сил и реорга-
низует систему производственных отношений.
Современное материальное производство сделалось
очень сложным, основу техники во всевозрастающей
степени начинают составлять автоматические устрой-
ства. Машинное производство, при котором рабочий
непосредственно участвует в технологическом процес-
се, выполняет некоторые операции, уступает место про-
изводству автоматизированному. Народное хозяйство
в целом и такие, например, области техники, как космо-
навтика, ракетная техника, средства защиты от внезап-
ного нападения, в том числе ядерного, предъявляют
исключительно высокие требования в части надежности
и точности функционирования как технических устройств,
так и операторов.
При достаточно высоком уровне автоматизации
системы автоматических устройств снабжаются счетно-
решающими, контролирующими и управляющими
устройствами. Процессы, определяющие коренные из-
менения производительных сил, происходят на основе
достижений науки и, в частности, математики. Без серь-
езных математических усилий и достижений обойтись
оказалось невозможно. Дальшейший прогресс техники,
организация связи, управляющих функций в общест-
венной жизни ставят настолько сложные задачи, что
их решение стало возможным в сильной (в ряде случаев
решающей) степени зависеть от возможности их мате-
матизировать.
Итак, основной причиной математизации знания
являются процессы и запросы материального производ-
ства. Внутри науки (в плане, наиболее близком к мате-
матике) эти требования отражаются в том, что науке
приходится перерабатывать большой и всевозрастаю-
щий объем информации. Поиск самого эффективного
способа обработки и осмысливания экспериментально
добываемой и наблюдаемой информации производится
109
на основе разработки общих понятий, складывающихся
в абстрактные системы, логические построения. Послед-
ние и служат исходным материалом для создания мате-
матических моделей.
В заключение отметим, что характеристика сущно-
сти математизации знаний не может быть полной без
учета социального аспекта этой проблемы. Дело в том,
что техническая перестройка материального производ-
ства, составляющая основу научно-технического про-
гресса, изменяет место человека в этом производстве
и его общественную роль. По существу, роль человека
может быть резко повышена, поскольку автоматизация
освобождает его от исполнения механической, одно-
образной работы. К тому же превращение науки в про-
изводительную силу воплощается не только в техниче-
ских усовершенствованиях, но и в более высоком уровне
научной и технической подготовленности (в том числе
математической) самих рабочих.
Ход научно-технической революции и математиза-
ция знаний в капиталистических странах испытывают
неблагоприятное влияние антагонистических общест-
венных отношений. При социализме прогресс техники
и науки, осуществляемый при органическом соединении
достижений научно-технической революции с преиму-
ществами социалистической системы общественных
отношений, является основным путем и средством со-
здания материально-технической базы коммунизма.
Математизации знаний принадлежит в этом немалая
роль.
В Основных направлениях экономического и соци-
ального развития СССР на 1981—1985 годы и на период
до 1990 года указывается, что следует сосредоточить
усилия на решении следующих важнейших проблем,
посвященных развитию науки и ускорению техническо-
го прогресса:
«развитие математической теории, повышение ее
эффективности в прикладных целях;
повышение качества, надежности, экономичности
и производительности, уменьшение шума и вибрации
машин, оборудования и других изделий машинострое-
ния, снижение их материалоемкости и энергопотреб-
ления;
совершенствование вычислительной техники, ее эле-
ментной базы и математического обеспечения, средств
и систем сбора, передачи и обработки информации...».
110
Таким образом, первоочередные задачи, поставлен-
ные перед математиками, имеют важное значение для
развития народного хозяйства нашей страны. Творче-
ские усилия математиков, наряду с разработкой теоре-
тических проблем, должны быть сосредоточены на ре-
шении ключевых народнохозяйственных задач, на от-
крытиях, способных внести действительно революцион-
ные преобразования в производство.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
1. Энгельс Ф. Анти-Дюринг.— Маркс К., Энгельс Ф. Соч..
2-с изд., т. 20, с. 3—338.
2. Энгельс Ф. Диалектика природы.— Маркс К-, Энгельс Ф.
Соч., 2-е изд., т. 20, с. 339—626.
3. Л е н и н В. И. Материализм и эмпириркритйцизм.— Поли,
собр. соч., т. 18, с. 7—384.
4. Л е н и и В. И. Философские тетради.— Поли. собр. соч.,
1 29, с. 1—672.
5. Боголюбов О. М. Математичне природознавство. К..
1978. 48 с.
6. В и л е н к и в Н. Я. Функции в природе и технике. М.,
1978. 192 с.
7. Гнеденко Б. В. Математика в современном мире. М.,
1980. 128 с.
8. Гнеденко Б. В., С о л о г у б В. С. Математика i науково-
ехшчний прогрес. К-, 1978. 48 с.
9. Д р у я и о в Л. Л. Законы природы и их познание. М.,
1982.112 с.
10. К а р ц е в В. П. Приключения великих уравнений. М.
1978. 223 с.
11. Конфорович А. Г. Неск1нченн1сть у математицг К.,
1978. 92 с.
12. Конфорович А. Г., Аидр1евська Г. М. 1стор!я роз-
витку математики. К., Вища шк., 1981. 96 с.
13. Л и м а н М. М. Школьникам о математике. М., 1981. 80 с.
14. Р е н ь и А. Трилогия о математике. М., 1980. 367 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Математика — язык науки 3
Математика и реальный мир ... 21
Великое противостояние . ..... 77
От тайны к тайне................................ 93
Список использованной и рекомендуемой литературы 111
Григорий Моисеевич Клейнер,
Лев Моисеевич Клейнер
МАТЕМАТИКА И НАУЧНАЯ КАРТИНА
МИРА
Зав. редакцией математики О. П. Бондаренко
Редактор Л. Л. Разумова
Литредактор Г. В. Брезницкая
Художеств, редактор И. А. Савчук
Техиич. редактор А. Г. Фридман
Корректор А. Б. Кирнос
Информ, бланк № 4296
Сдано в набор 05.07.84. Подписано к печати 05.11.84. БФ 10843. Формат
84 X 100/32. Бумага офсетн. № 1. Гарнитура литературная. Способ печати
офсети. Условн. лист. 8,58+1,56 вкл.+ 0,195 форз. Услови. кр.-отт. 23,99.
Уч. изд. лист. 6,16 + 0,34 форз.+ 1,63 вкл. Тираж 22 000 экз. Изд. № 27438.
Зак. № 4—212. Цена 60 к.
Издательство «Радянська школа», 252053, Киев,
Ю. Коцюбинского, 5.
Отпечатано с текстовых диапозитнвоа ГЬловного предприятия РПО «Поли-
грвфкнига» иа киевской книжной фабрике «Жовтень». 252053, Киев,
Артема, 25.
60 к.