Автор: Успенский В.А. Рычкова Н.Г.
Теги: математика высшая математика история математики переводная литература издательство мир
Год: 1967
Текст
В
СОВРЕМЕННОМ МИРЕ
MATHEMATICS
IN THE
MODERN
WORLD
SCIENTIFIC AMERICAN
NEW YORK 1964
МАТЕМАТИКА В
СОВРЕМЕННОМ МИРЕ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Н. Г. РЫЧКОВОЙ
ПРЕДИСЛОВИЕ
В А УСПЕНСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1967
Сборник представляет собой полный перевод тематического
номера журнала «Сайентифик Америкен*. Статьи написаны
видными зарубежными учеными. К достоинству сборника сле-
дует отнести единство взглядов авторов на роль математики,
непринужденность стиля и оригинальность изложения.
Особое место в сборнике занимают иллюстрации и табли-
цы. Выполненные в цвете и снабженные развернутыми коммен-
тариями, они облегчают понимание математических идей, опи-
сываемых в тексте, раскрывают перед читателем образное со-
держание этой науки.
Книгу с интересом прочтут все любители математики: от
школьников старших классов до инженеров и ученых.
Предисловие
Современный мир неожиданно обнаружил, что математика уверенно
расположилась в самых разных его частях и уголках. Несмотря на то что
вторжение математики продолжается — и со все возрастающей интенсив-
ностью, — удивление по этому поводу скорее даже убывает: математиче-
ская экспансия стала привычной. Сейчас уже все смирились со словосочета-
ниями: «математическая биология», «математическая лингвистика», «матема-
тическая экономика», «математическая психология»; и какую бы дисциплину
ни взять, вряд ли кому-нибудь покажется невозможным присоединение
к ее наименованию эпитета «математический».
Распространение математики вширь сопровождается ее проникновением
вглубь; математика занимает теперь видное положение в жизни общества.
Изменилось и традиционное представление о математиках: место пагане-
леобразных чудаков заняли в этом представлении молодые люди в ковбой-
ках, занимающиеся лыжным спортом. Все большее число родителей же-
лает определить своих детей в школы с математическим уклоном;
математика стала модной профессией.
Исчерпывающие причины такого стремительного (в течение последних
десяти-пятнадцати лет) изменения роли математики в современном мире,
конечно, легче будет установить будущим историкам науки, чем нам, совре-
менникам этого изменения. Однако уже сейчас можно, пожалуй, сказать,
что основная причина заключается не только и не столько в конкретных
успехах математики за последние годы, сколько в осознании необъятных
возможностей применения математики и в появлении возросших потребно-
стей в использовании этих возможнди>^
Тем не менее повсеместное про!Й(кновение математики некоторым ка-
жется загадочным, а некоторым — подозрительным. В самом деле, не вызы-
вает сомнений право на всеобщее признание, скажем, физики или химии:
физика открывает нам новые мощные источники энергии и новые средства
быстрой связи, химия создает искусственные ткани, а сейчас покушается
и на создание искусственной пищи. (Сказанное не претендует, разумеется,
на какое-либо определение и тем более ограничение роли физики и химии.)
Не удивительно, что эти науки, помогающие человеку в его извечных
поисках силы, связи, одежды и еды, прочно и почетно вошли в нашу жизнь.
А ведь математика проникла даже в науки, традиционно считающиеся
гуманитарными. И хотя, например, в языкознании пользуются физически-
ми приборами для исследования устной речи, никто не говорит о «физиче-
ской лингвистике».
Так что же дает людям математика, такая теоретическая наука, которая
не открывает ни новых вещей, как химия, ни новых средств движения
(вещей или сигналов), как физика? И почему появление в какой-либо отрас-
ли науки математических методов исследования или хотя бы просто мате-
5
матического осмысления соответствующей системы понятий и фактов всегда
означает и достижение этой отраслью определенного уровня зрелости, и
начало нового этапа в ее дальнейшем развитии? Наиболее распространенный
в недавнем прошлом ответ состоял в том, что математика умеет хорошо
вычислять и тем самым позволяет находить в нужных случаях требуемые
цифровые данные. Однако при всей важности вычислительного аспекта
математики — и особенно в последние годы, ознаменованные столь бурным
развитием вычислительной техники, — этот аспект оказывается и второсте-
пенным, и вторичным при попытке объяснить причины математизации
современного мира.
Любая попытка дать краткое объяснение этих причин неизбежно приве-
дет к неполной и неточной формулировке. Если все же заранее согласиться
на это, то можно сказать следующее: математика предлагает весьма общие
и достаточно четкие модели для изучения окружающей действительности
в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых
другими науками; действительность же так усложнилась (как за счет по-
знания новых ее сторон, так и за счет создания человеком новых ее форм),
что без упрощающих, огрубляющих, формализующих, охватывающих лишь
одну сторону явления моделей ныне не обойтись. Появление таких моделей
в какой-либо отрасли науки свидетельствует о том, что система понятий
этой отрасли уточнилась настолько, что может быть подвергнута строгому и
абстрактному, т. е. математическому, изучению. Такое изучение в свою
очередь играет решающую роль в дальнейшем уточнении понятий, а следо-
вательно, и в успешном их применении. Математическая модель нередко за-
дается в виде особого «языка», предназначенного для описания тех или иных
явлений. Именно так, в виде языка, возникли в XVII в. дифференциальное
и интегральное исчисления. Важнейшим примером математического языка,
описывающим количественную сторону явлений, служит «язык цифр»;
вот почему упомянутый выше вычислительный аспект математики как
производный от ее основного языкового аспекта мы назвали «вторичным».
Замечательно, что хотя математическая модель создается человеческим разу-
мом, она, будучи создана, может стать предметом объективного изучения;
познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью
реальности.
Сказанным обусловлен и специфический характер математических от-
крытий. Естественнонаучные открытия обнаруживают ранее неизвестные
свойства окружающего мира. Математические же открытия обнаруживают
ранее неизвестные свойства рассматриваемых моделей мира, а наиболее
революционные открытия дают начало новым моделям. Так, поистине
революционный характер носило осознание древними бесконечности нату-
рального ряда, а точнее^ создание такого понятия натурального числа
(такой модели), при котором натуральных чисел оказывалось бесконечно
много (ведь представление, что числа бывают только, скажем, до миллиарда,
а дальше чисел нет, вряд ли могло быть опровергнуто прямым наблюдением).
Возникнув как инструмент в исследовании мира, понятие натурального
числа само стало предметом исследований, приведших к выявлению скры-
6
тых, но объективных свойств этого понятия. Поразительным достижением
античной математики было, например, установление бесконечности мно-
жества1 простых чисел—поразительным как по постановке вопроса о
бесконечности, хотя и без употребления самого слова «бесконечность», так и
по безукоризненной точности формулировки ответа (как гласит двадцатое
предложение IX книги Евклидовых «Начал», «простых чисел существует
больше всякого предложенного количества простых чисел») и по неожи-
данной простоте доказательства. Точно так же принятая нами геометриче-
ская картина мира неизбежно приводит к наличию несоизмеримых отрезков,
потрясшему еще пифагорейцев.
Появление новых моделей нередко означает принципиальный поворот
в развитии математики. Один из таких переломных моментов связан с
величайшими достижениями математической мысли прошлого века — от-
крытием неевклидовой геометрии (правильнее сказать, «неевклидовых гео-
метрий») и возникновением теории бесконечных множеств. Открытие не-
евклидовых геометрий знаменовало начало новой эры в математике: впервые
было обнаружено, что одну и ту же сторону реального мира (в данном слу-
чае его геометрическую структуру) можно отразить различными моделями,
одинаково хорошо согласующимися с действительностью при определен-
ных возможностях экспериментальной проверки. Теория множеств Г. Кан-
тора продемонстрировала возможность строгого изучения бесконечности;
она распространила на бесконечные совокупности понятие количества,
замкнутое до того времени в рамки понятия натурального числа; оказалось,
что не только конечные, но и бесконечные совокупности могут состоять
из разного количества элементов.
Теория множеств дала универсальную систему понятий, которая
охватила все существовавшие к тому времени мауематические теории.
Вместе с тем при дальнейшем развитии теории множеств появились су-
щественные трудности, не преодоленные полностью до сих пор. Исследова-
ния последних лет дают основания считать, что созданная Кантором «наивная
теория множеств» описывает на самом деле не одну, а сразу несколько
«теоретико-множественных моделей», так что факты, верные в одной моде-
ли, могут быть неверны в другой1 2. Если это так (а, по-видимому, это дейст-
вительно так), то «наивная» теория множеств расщепится на несколько
моделей, подобно тому как основанная на непосредственных пространствен-
ных представлениях «наглядная» геометрия расщепилась в прошлом веке
на евклидову и неевклидовы. Подобное расщепление моделей происходит,
пожалуй, все же реже, чем обратный процесс, приводящий к возникновению
на основе нескольких моделей одной обобщающей «сверхмодели»; именно
так, отвлекаясь от частностей, возникают алгебраические понятия кольца,
1 «Множество» — принятый в математике синоним слова «совокупность».
2 Кажется на первый взгляд непостижимым, как это у такого «наглядного»
понятия, как «совокупность», могут быть разные математические модели; но ведь
в прошлом веке, да и сейчас еще, многим было столь же непонятно, что возможны
различные математические модели для «наглядного» представления о прямой.
7
поля, группы, структуры и даже поглощающее их все понятие универ-
сальной алгебры.
Мы видим, что «модель Кантора» оказывается недостаточно четкой —
а ведь выше говорилось именно о «достаточной четкости» как характерной
черте математических моделей. Дело в том, что само понятие «достаточной
четкости», конечно, не абсолютно, а исторически обусловлено. Определения,
открывающие собой Евклидовы «Начала»: «Точка есть то, что не имеет
частей», «Линия же — длина без ширины» и т. д., казались, вероятно, до-
статочно четкими современникам Евклида (III в. до н. э.), а непрелож-
ность его системы в целом не подвергалась публичным сомнениям вплоть
до 1826 г., когда Н. И. Лобачевский сделал свой первый доклад. Зато
именно сомнения в этой непреложности и привели в конечном счете к сов-
ременной (достаточно четкой на сегодняшний день) формулировке евкли-
довой системы геометрии.
Итак, действительное значение математической строгости не следует
преувеличивать и доводить до абсурда; здравый смысл в математике не ме-
нее уместен, чем во всякой другой науке. Более того, во все времена круп-
ные математические идеи опережали господствующие стандарты строгости.
Так было с великим открытием XVII в. — созданием основ анализа беско-
нечно малых (т. е. основ дифференциального и интегрального исчисления)
Ньютоном и Лейбницем. Введенное ими в обиход понятие «бесконечно
малой» определялось весьма туманно и казалось загадочным современникам
(в том числе, по-видимому, и самим его авторам). Тем не менее оно с ус-
пехом использовалось в математике. Разработанный Ньютоном и Лейбни-
цем символический язык не имел точной семантики (которая в удовлетво-
ряющей нас сейчас форме была найдена лишь через полтораста лет), но
даже и в таком виде позволял описывать и исследовать важнейшие явления
действительности. Так было и с такими фундаментальными понятиями
математики, как предел, вероятность, алгоритм, которыми пользовались,
не дожидаясь их уточнения. Так обстоит дело и с «самым главным» поняти-
ем математики—понятием доказательства. «Со времен греков говорить
«математика»—значит говорить «доказательство» — этими словами открыва-
ется знаменитый трактат Н. Бурбаки «Начала математики»1. Однако чита-
тель заметит, что знакомое ему еще со школы понятие доказательства носит
скорее психологический, чем математический характер. Доказательство
(в общепринятом употреблении этого слова) — это всего лишь рассужде-
ние, которое должно убедить нас настолько, что мы сами готовы убеждать
с его помощью других. Несомненно, что уточнение этого понятия (во всей
полноте его объема) — одна из важнейших задач математики.
Трудовые будни математики по необходимости состоят в получении
новых теорем, открывающих новые связи между известными понятиями
(хотя и теперь еще приходится слышать — правда, все реже — удивлен-
ное: «Как? Неужели еще не все открыто в этой вашей математике?»). Однако
1 Н. Бурбаки, Теория множеств. Перевод с французского, М., <Мир»,
1965, стр. 23.
8
к этому математика отнюдь не сводится. Вот какие цели математического
исследования считает важными А. Н. Колмогоров:
«1. Привести общие логические основы современной математики в такое
состояние, чтобы их можно было излагать в школе подросткам 14—15 лет.
2. У ничтожить расхождение между «строгими» методами чистых матема-
тиков и «нестрогими» приемами математических рассуждений, применяе-
мых прикладными математиками, физиками и техниками.
Две сформулированные задачи тесно связаны между собой. По поводу
второй замечу, что в отличие от времен создания Ньютоном и Лейбницем
дифференциального и интегрального исчисления математики умеют сейчас
без большого промедления подводить фундамент логически безукоризнен-
ных математических построений под любые методы расчета, родившиеся
из живой физической и технической интуиции и оправдывающие себя на
практике. Но фундамент этот иногда оказывается столь хитро построенным,
что молодые математики, гордые пониманием его устройства, принимают
фундамент за все здание. Физики же и инженеры, будучи не в силах в нем
разобраться, изготовляют для себя вместо него временные шаткие подмоет,
ки» (А. Н. Колмогоров, Простоту сложному, «Известия», 31/XII
1962 г.). Непрерывное повышение уровня математической строгости одно-
временно с попытками представить самые сложные построения так, чтобы
они стали интуитивно наглядными, возникновение одних понятий и уточне-
ние других, переставших удовлетворять новым требованиям, расщепление
казавшихся еще недавно незыблемыми моделей и образование новых обоб-
щающих моделей — весь этот исполненный большого внутреннего драматиз-
ма процесс характерен для математики не менее, чем доказательство теорем
(без которого, впрочем, описанный процесс был бы совершенно бессодер-
жателен, да и вообще не мог бы иметь места).
Математика подобна искусству — и не потому, что она представляет
собой «искусство вычислять» или «искусство доказывать», а потому, что
математика, как и искусство, — это особый способ познания. Имеет,
быть может, смысл по аналогии с художественными образами говорить о
«математических образах» как специфической для математики форме отра-
жения действительности.
Представление о математике не как о простом собрании теорем, а как
о могучем инструменте познания характерно и для настоящего сборника.
Именно с этой точки зрения освещаются в его одиннадцати статьях различные
стороны современной математики. Первая статья имеет вводный характер.
Последняя рассказывает о техническом средстве современной математики —
вычислительных машинах, в частности о том, как эти машины, которые
вначале служили математике лишь устами для возвещения миру своих
решений на понятном ему языке цифр, способствуют ныне прогрессу самой
математики.
Остальные статьи затрагивают отдельные части математики (статьи со
второй по шестую) и различные ее приложения (статьи с седьмой по де-
сятую): Как отмечается уже в вводной статье, разделение математики на
«чистую» и «прикладную» весьма условно. Во всех этих статьях рассматри-
9
ваются те или иные математические модели. Просто в каждой из статей,
посвященных основным частям математики, эти модели объединены об-
щностью строения, а в каждой из остальных четырех статей — общностью
их применения. В этих последних статьях специальный упор сделан на
использование моделей. Впрочем, ив предыдущих, «неприкладных» статьях
связи математических моделей с отражаемыми ими явлениями из самых
разных областей действительности уделяется большое внимание. Не-
сколько особое место в этой схеме занимает статья о теории регулирова-
ния. По аналогии с тремя предшествующими ей статьями ее можно было
бы назвать «математика в теории регулирования», однако этого не сделано,
и, по-видимому, потому, что в теории регулирования грань между явлениями,
составляющими сам предмет теории, и математическими моделями этих
явлений остается еще довольно неопределенной.
Предлагаемая читателю книга представляет собой сборник пере-
водов статей, образующих тематический номер журнала «Scientific
American» за сентябрь 1964 г. Этот научно-популярный журнал выходит с
1845 г. и пользуется широким признанием во всем мире.
Статьи указанного номера журнала написаны видными зарубежными
учеными — десятью математиками, живущими в Америке, и одним эко-
номистом, живущим в Англии. Вводная статья принадлежит одному из са-
мых известных математиков современного мира Рихарду Куранту. Совет-
скому читателю имя Куранта известно по переводам на русский язык фун-
даментальной монографии .«Методы математической физики», учебника
«Курс дифференциального и интегрального исчисления» и популярной
книги «Что такое математика».
Сочинения большинства других авторов, в том числе научно-популяр -
ные, также переводились на русский язык. Так, только в 1965 г. у нас
вышли «Прелюдия к математике» У. У. Сойера (автора статьи «Алгебра»),
«Вероятность и смежные вопросы в физике» Марка Каца (автора статьи
«Теория вероятностей»), «Неравенства», «Введение в неравенства» и «При-
кладные задачи динамического программирования» Ричарда Веллмана (авто-
ра статьи «Теория регулирования»); в позапрошлом году — «Процессы
регулирования с адаптацией» того же Р. Веллмана и «Нерешенные мате-
матические задачи» Станислава Улама (автора статьи «Вычислительные
машины»); в 1963 г. — «Статистическая независимость в теории вероятнос-
тей, анализе и теории чисел» М. Каца и «Статистическая теория энерге-
тических уровней сложных систем» Фримэна Дайсона (автора статьи
«Математика в физических науках»). Перевод книги автора статьи «Мате-
матика в общественных науках» Ричарда Стоуна «Метод «затраты—вы-
пуск» и национальные счета» издавался даже дважды — в 1964 и 1966 гг.
Автор статьи «Математика в биологических исследованиях» Э. Ф. Мур
известен советскому читателю своей работой, помещенной в сборнике
«Автоматы» (Москва, 1966 г.); его именем теперь названы автоматы,
рассмотренные в указанной работе.
Помимо единой точки зрения на роль математики, статьи сборника
объединены общностью объема (по 16—18 стр.), непринужденностью стиля и
10
оригинальностью изложения. Последняя в сочетании с индивидуальностью
каждого автора не могла не сделать статьи достаточно разнообразными.
Для статей, посвященных приложениям математики, характерна извест-
ная субъективность в отборе материала. Впрочем, этого, вероятно, и нельзя
избежать, если стремиться — в рамках заданного объема — продемонстри-
ровать применимость математических идей на отдельных более детально
разобранных примерах.
Девять статей из одиннадцати посвящены в основном современному
состоянию соответствующих математических идей, хотя и с историческими
экскурсами; цель статей «Арифметика» и «Геометрия»—показать становление
арифметической и геометрической мысли в историческом развитии. Тем
большее недоумение вызывает то, что в статье «Геометрия» даже не упомина-
ются имена основоположников неевклидовой геометрии Больяй и Лоба-
чевского. Это заставляет скептически отнестись ко всем историко-математи-
ческим взглядам автора статьи и с осторожностью подойти к освещению
вопросов истории науки в сборнике в целом; впрочем, эти вопросы носят
в данной книге подчиненный характер. К сожалению, разнообразие стиля
статей коснулось и их доступности. Одни из них, например «Алгебра»,
оказались более, другие, как, например, «Математика в физических науках»,
менее доступными для читателя-неспециалиста. Но даже сравнитель-
но более сложные разделы книги читаются с неослабевающим интересом, так
как почти всюду ощущается искреннее желание авторов донести до всех
читателей современного мира богатство и своеобычность математических
идей.
Особое место в книге занимают иллюстрации и таблицы. Прекрасно
выполненные и снабженные развернутыми комментариями, они не просто
делают более наглядным содержание соответствующих статей, но и служат,
по существу, их конспектами. Комментарии к ним настолько подробны,
что их можно читать независимо от основного текста; тем самым иллюстра-
ции и таблицы образуют как бы книгу в книге.
Нет сомнения, что выход в свет этого сборника будет с интересом встре-
чен советскими читателями.
В. Ус/генскии
Математика в современном мире
Этой статьей открывается издание, посвященное матема-
тике в ее кистом и прикладном аспектах; в действитель-
ности такое разделение условно, так как невозможно про-
вести четкую границу между этими аспектами математики;
как правило, они взаимосвязаны и обогащают друг друга.
Р. Курант
Возросшая роль математики в современном мире прежде всего сказалась
в резком увеличении числа математиков. С 1900 г. число членов профес-
сиональных математических объединений в США увеличилось примерно
в 30 раз. К 1964 г. 4800 человек были удостоены ученых степеней. За послед-
ние 25 лет число специалистов-математиков, работающих вне университе-
тов—в промышленности и государственных учреждениях, увеличилось
в 12 раз. В настоящее время -деятельность десятков тысяч людей самой
различной квалификации тесно связана с математикой. В колледжах в
1962 г. число студентов-математиков было втрое больше, чем в 1956 г.
Математика перестала быть предметом занятий только академической
элиты; теперь профессия математика стала одной из наиболее распростра-
ненных, привлекая к себе все большее число одаренных людей. Значительно
расширились область математических исследований и программа математи-
ческого образования. Математический аппарат проник далеко за пределы
собственно математики: в физику, новые отрасли техники, биологию и
даже в экономику и другие социальные науки. Счетные машины и вычис-
лительная техника способствовали появлению новых областей научных
исследований, имеющих, несомненно, чрезвычайно важное (хотя и не пол-
ностью еще осознанное) значение как для самой математики, так и для всех
наук, органически связанных с ней.
Роль математики в современной жизни лучше всего можно оценить
при поэтапном сравнении успехов ее развития. Всего три столетия назад
основы математического мышления зиждились на геометрии, унаследованной
нами от древних народов и лишь незначительно продвинувшейся за два
тысячелетия. Затем началось стремительное и радикальное преобразование
математики. Строгий аксиоматический дедуктивный стиль геометрии усту-
пил место интуитивному индуктивному подходу, а чисто геометрические
понятия — представлениям о числе и алгебраической операции, вопло-
Ф и г. 1. Фотоснимок этой части древнего египетского папируса дает представление
об одном из самых ранних применений математики — для измерения земли. Назван-
ный Папирусом Ринда по имени его открывателя, этот свиток в целом представляет
справочник землемера для решения практических задач; составлен он примерно в
1550 г. до н. э. писцом по имени Ахмес. Горизонтальными линиями отделены друг
от друга пять различных задач; условия и решение читались справа налево. В верх-
ней части папируса дается «пример расчета площади прямоугольника земли раз-
мером 10 хетов на 2 хета». Вторая задача сверху — вычисление площади «круглого
поля» с периметром 9 хетов. Другие задачи, приведенные в этом папирусе, показы-
вают, как вычислять площади полей, имеющих форму треугольника и трапеции.
Автор папируса характеризует его как «руководство, позволяющее проникнуть в
сущность вещей и познать все существующие вещи». Основная часть папируса хра-
нится сейчас в Британском музее.
13
А В
f—-
L_._ j
D C
A,___В
D C
A____В
D C
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
ПОВОРОТ
ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ
РАВНОМЕРНОЕ СЖАТИЕ
Ф и г. 2. Различные типы геометрии, классифицированные Феликсом Клейном в соот-
ветствии с теми свойствами фигур, которые остаются неизменными, когда они подвер-
гаются разнообразным группам преобразований. Евклидова геометрия, представлен-
ная вверху слева, изучает такие свойства, как, например, «угол>, которые сохраняются,
если квадрат ABCD подвергнуть параллельному переносу, повороту, зеркальному
отражению, а также равномерному во все стороны расширению или сжатию. Аффинная
геометрия, представленная внизу слева, допускает все эти преобразования и проек- *
цию параллельными лучами на плоскость, которая может быть наклонена под
любым углом. Здесь отношение коллинеарных отрезков постоянно. (Если Р — точка
прямой АВ, то отношение АВ к РВ не изменится при аффинном преобразовании фигуры-.)
Вверху справа представлена проективная геометрия, которая допускает проекцию
из одной исходной точки на произвольно наклоненную плоскость. Инвариантное
[ценным в аналитической геометрии и математическом анализе, а также в
механике. Небольшая группа ученых, относившихся к так называемой
математической аристократии, теперь стала ведущей в науке. Ко времени
Великой французской революции математические науки достигли такого
расцвета, что число людей, активно занимающихся научной деятельностью,
значительно возросло. Появилась учебная литература, позволившая озна-
комиться с новыми достижениями математики; университеты стали система-
тически готовить специалистов в области естественных наук и математики.
Открылись новые перспективы развития человеческих знаний.
«1/*лассическая» математика, возникшая в XVII в., и по сей день сохраня-
*>ет свое огромное значение и ведущее положение. Некоторые из самых
плодотворных работ появились в результате уточнения и обобщения двух
основных понятий математического анализа: понятия функции (взаимной
зависимости двух или более переменных) и понятия предела, вводящего
интуитивное представление о непрерывности в жесткие рамки строгого
исследования. В чрезвычайно расширившейся области современной матема-
тики мы постоянно сталкиваемся с понятиями математического анализа,
в частности с теорией дифференциальных уравнений (как обычных, так и в
частных производных),— этим важнейшим инструментом исследования ско-
рости изменения различных величин. В трех последующих статьях на языке,
14
РАССЕЯНИЕ
свойство фигур, проецируемых таким путем, есть перекрестное отношение коллинеар-
^ных отрезков. (Если Р и Q—точки прямой АВ, то отношение AQJPQ.ABIPB при таком
преобразовании остается неизменным.) Четвертый вид геометрии — топология, пред-
ставленная средней правой фигурой,— изучает свойства, сохраняющиеся при изги-
бах, растяжениях и кручениях, называемых непрерывными деформациями. Порядок
следования четырех точек А, В, С, D при таких деформациях сохраняется. В теории
точечных множеств (тип геометрии, показанный внизу справа) порядок следования
точек не остается неизменным при преобразовании, называемом <рассеянием». Рассе-
янные точки сохраняют нумерацию, совпадающую с нумерацией точек исходной фигу-
ры. Таким образом, теория точечных множеств может быть описана как изучение
свойств, сохраняющихся при взаимно однозначных преобразованиях.
по возможности доступном читателю-нематематику, рассматривается роль
арифметики, геометрии и алгебры в современной математике. Мы увидим,
как далеко продвинулась в своем развитии геометрия с появлением понятий
функции и числового континуума; ее наиболее молодые отрасли — топология
и дифференциальная геометрия — стоят сейчас в ряду самых активных
и «современных» разделов математики. Теории вероятностей посвящена
самостоятельная статья, так как эта область математики нашла широчайшее
применение в науке и технике, а также позволила выразить на языке мате-
матики некоторые, важные, еще не решенные проблемы философии науки.
Для современной математики характерно закрепление достигнутых
результатов в духе математической строгости. Такой подход привел к более
интенсивной разработке оснований математики, детальному выяснению
структуры самой математики и смысла «существования» объектов математи-
ческого мышления.
Развитие математической науки неизбежно повлекло за собой спе-
циализацию и обособление; математика оказалась под угрозой потери единст-
ва и внутренней взаимосвязи. Представители различных отраслей математи-
ки стали хуже понимать друг друга, а связь математики с остальными
науками заметно ослабла. Тем не менее благодаря молодым талантам
пользовавшимся решительной поддержкой общества, которое осознало воз-
растающую роль математики, были достигнуты значительные успехи, а рас-
тущий объем математических исследований повлек за собой лавину публика*
15
ций и многочисленные конференции математиков. В связи с этим появилась
настоятельная потребность в четком понимании существа математики,
ее проблем и целей, а также в отыскании идей, которые смогли бы объеди-
нить людей самых различных интересов.
На вопрос «Что такое математика?» невозможно дать обстоятельный
ответ на основе одних лишь только философских обобщений, семантичес-
ких определений или с помощью обтекаемого газетно-журнального много-
словия. Также как нельзя дать общее определение музыке или живописи:
никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм,
гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи.
Для понимания же сути математики еще в большей степени необходимо
подлинное проникновение в составляющие ее элементы.
Принимая во внимание все вышесказанное, можно тем не менее дать
математике некоторое общее определение. Часто говорят, что цель матема-
тики — это последовательное абстрагирование, логически строгая акси-
оматическая дедукция и последующее еще более широкое обобщение.
Такая характеристика содержит лишь долю правды, поскольку она ограни-
чивается однобоким, а порой и карикатурным изображением действительнос-
ти. Прежде всего математика никак не владеет монополией на абстракцию.
Понятие массы, скорости, силы, напряжения, тока — все это абстрактные
идеализации физической реальности. Так что такие математические понятия,
как точка, пространство, число и функция, едва ли много более абстрактны.
Система строгой дедукции из аксиом, принятая Евклидом в его «Нача-
лах», столь длительное время оказывавшая влияние на математику, является
заманчивой формой, в которую часто выкристаллизовывается конечный
продукт математической мысли, поскольку это дает возможность добиться
максимального успеха в осознании и упорядочении математического содер-
жания и в обнажении его структуры. Однако излишнее акцентирование
именно этой стороны математики сбивает с правильного пути, если конст-
руктивным элементам, индукции, воображению, а также трудно уловимому
процессу мышления, называемому интуицией, отводится лишь второстепен-
ная роль. Правда, дедуктивный метод, отправляющийся от аксиом, на первый
взгляд довольно догматических, позволяет при изучении математики бы-
стро овладеть значительными ее «территориями». Однако конструктивный
метод Сократа, идущий от частного к общему и избегающий догматического
подхода, прокладывает независимой творческой мысли несравненно более
надежный путь.
Точно так же, как дедукция должна дополняться интуицией, стремление
к последовательному обобщению должно сдерживаться и уравновешиваться
бережным и любовным отношением к частностям. Отдельные задачи не
следует низводить до отдельных иллюстраций величественных общих
теорий. В действительности же почти все они возникают из рассмотрения
частных проблем; и если такие теории не служат для разъяснения и система-
тизации более узких частных вопросов, они не имеют-смысла.
Взаимосвязь общего с частным, дедукции с конструктивным подходом,
логики с воображением — именно они и составляют самую сущность живой
математики. Может оказаться, чтов основе какого-то конкретного достиже-
ния лежит только один из перечисленных аспектов. Однако всякое пер-
спективное достижение, несомненно, содержит все эти аспекты. Проиллю-
стрируем нашу мысль следующим образным сравнением: мы стартуем с Земли
(конкретная задача) и, сбросив балласт излишней информации, устремляемся
на крыльях абстракции в заоблачные высоты, где в разреженной атмосфере
управление и наблюдение становятся легче. Затем наступает решающее
1в
испытание — приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли по-
ставленные цели (что происходит снова на «Земле», т. е. мы снова рассмат-
риваем конкретную реальность, но теперь уже с новой точки зрения).
Иными словами, полет в область абстрактной общности должен исходить
из конкретного и частного и завершаться конкретным и частным.
Эти положения ярко и убедительно показывают пути развития математи-
ческой науки. Иоганн Кеплер с прозорливостью настоящего диагноста
сумел абстрагировать из массы наблюдений Тихо Браге эллиптическую
форму планетных орбит. Дальнейшее абстрагирование позволило Исааку
Ньютону вывести из этой модели закон всемирного тяготения и дифферен-
циальные уравнения механики. На этом весьма высоком уровне, уже не
отягощенном математическими абстракциями, механика обрела неограничен-
ную свободу и, снизойдя до конкретных «земных» задач, продолжала доби-
ваться успеха за успехом в областях, лежащих далеко за пределами небесной
механики, откуда она ведет свое начало.
Подобным образом Майкл Фарадей установил в теории электромагне-
тизма ряд экспериментальных фактов, которые он связал воедино, дав им
собственное остроумное толкование. Это позволило вскоре абстрагировать
несколько математических качественных законов электромагнетизма. После
того как эти законы были сформулированы для некоторых простых частных
случаев, Джеймс Клерк Максвелл открыл весьма общий количественный
закон, связывающий магнитные и электрические силы, а также скорости
их изменения системой дифференциальных уравнений. Эти уравнения,
абстрагированные и освобожденные от всего частного и конкретного, могут
вначале показаться слишком недоступными для использования. Однако
вскоре становится ясно, что уход Максвелла в высокие сферы абстракции
проложил перед наукой путь к дальнейшему развитию по многим направле-
ниям. Раскрытие волновой природы электромагнитных явлений на основе
уравнений Максвелла вдохновило Генриха Герца на проведение эксперимен-
та по распространению радиоволн, что в свою очередь привело к появлению
отрасли техники совершенно нового типа и открыло перед исследователями
широкие горизонты. В результате стали возникать новые направления;
среди них отметим, например, ныне бурно развивающуюся науку — магнит-
ную гидродинамику.
Нельзя сказать, что уравнения Максвелла — это продукт последователь-
ного дедуктивного мышления. Еще в меньшей степени его открытие может
быть приписано чисто индуктивному сократовскому методу. Вернее всего
было бы причислить Максвелла к тем редким умам, которые способны
уловить сходство и провести параллели между весьма отдаленными, внешне,
казалось бы, совсем не связанными фактами и встать на новую, более глубо-
кую точку зрения, объединяя явно разнородные элементы в единую систему.
В собственно математике соответствующая линия* в развитии — от
конкретного и частного через абстракцию снова к конкретному и частному —
придает теории свой определенный смысл и значение. Чтобы оценить роль
этого основополагающего вывода, необходимо помнить, что слова «конкрет-
ный», «абстрактный», «частный», «общий» в математике не имеют ни постоян-
ного, ни абсолютного значения. Они относятся главным образом к рамкам
нашего мышления, к уровню нашего знания и характеру математического
предмета. Например, мы охотно принимаем за «конкретное» то, что уже
давно стало привычным. Что же касается слов «обобщение» и «абстрак-
ция», то они описывают не статическую ситуацию или конечный резуль-
тат, а живой, динамический процесс перехода от некоторого конкретного
уровня к какому-то другому — «высшему».
17
Иногда плодотворные открытия в математике возникают совершенно
неожиданно, без особых видимых усилий: новые горизонты появляются
при абстрагировании от конкретного материала и раскрытии существенных
по своей структуре элементов. Аксиоматика безотносительно к ее евклидо-
вой форме подразумевает именно этот процесс. Один из последних примеров
плодотворного применения абстракции — это обобщение Джоном фон Ней-
маном и рядом других ученых «спектральной» теории Давида Гильберта,
обобщение, которое и привело от частного случая «ограниченных» линейных
операторов к «неограниченным» операторам.
Этот далеко идущий результат можно проследить по ряду последова-
тельных операций абстрагирования, начавшихся с основ аналитиче-
ской геометрии. Известно, что в трехмерном пространстве с координатами
хх, х2, хя плоскости описываются линейными уравнениями, а поверхности
второго порядка (сфера, эллипсоид и пр.)— квадратными уравнениями
(т. е. такими, в которые неизвестные входят во второй степени). Например,
уравнение, записанное в общем виде как крс* 4- к^ 4- к3%з = 1, описыва-
ет поверхность второго порядка с центром в начале координат и тремя
главными осями, направленными по осям координат. Для эллипсоида
«коэффициенты» klt k2 и k8 должны быть заданы положительными числами
и соответственно равны ’/«?, 1/а2» Vaf, где alt at, ая — три полуоси эллипсои-
да. Поверхность эллипсоида составляют те и только те точки, которые
удовлетворяют такому уравнению (фиг. 3).
Следует отметить, что алгебраизация геометрии позволяет нам без
особого труда перейти к пространству более чем трех измерений, скажем
к пространству п измерений с координатами х1( х2, ..., хп. Как и ранее,
плоскости в таком пространстве снова описываются линейными уравнениями,
а поверхности второго порядка — уравнениями второго порядка (квадра-
тичными формами) относительно переменных хи х2, ..., хл . Один из важней-
ших результатов «линейной алгебры» состоит в том, что поверхности второго
порядка могут быть приведены к «каноническому» виду k^ 4- kjjcf + ...
...+knXn =1 при помощи соответствующего преобразования системы ко-
ординат (или, что то же самое, при движении рассматриваемой поверхности
и фигуры); в результате центр фигуры оказывается в начале координат, а ее
главные оси направлены по осям координат. Эта теорема является ключе-
вой во многих приложениях, например в теории механических или электри-
ческих систем, в которых п материальных точек или п элементов электри-
ческой цепи могут колебаться относительно положения равновесия.
18
Фиг. 3. Алгебра и геометрия приведения к
каноническому виду уравнения поверхности
второго порядка показаны здёсь для случая эл-
липсоида с центром в точке (1, 1,2) той системы
координат, в которой он рассматривается. При
параллельном переносе эта система координат
может быть передвинута в новое положение
(красные оси на левой фигуре) так, чтобы
центр эллипсоида оказался в начале новой
системы координат (0,0,0). Алгебра этого
переноса требует подстановок, приводящих
к уравнению, указанному над средним черте-
жом. Можно достичь того, чтобы главные
оси нашего эллипсоида совпали с осями пере-
двинутой системы координат, если последние
повернуть до положения, изображенного крас-
ными линиями на среднем чертеже. Дальней-
шая подстановка приведет уже к уравнению
данной поверхности в каноническом виде,
указанному над правым эллипсоидом, описываемым этим уравнением. Длины глав-
ных полуосей (аь а2, а3) связаны с коэффициентами уравнения так, как указано в
тексте.
Некоторые физики, не думая о строгом математическом обосновании,
например лорд Рэлей, смело применяли этот вывод и для значительно более
общих случаев, когда число измерений и становится сколь угодно большим.
Такой шаг на пути к дальнейшему обобщению и абстракции элементарной
математики оказался весьма полезным при изучении колебательных систем,
в которых точечные массы или элементы электрической цепи не заданы конеч-
ным числом, а равномерно распределены, скажем, по струне, мембране или
линии электрической передачи.
Гильберт, один из величайших математиков старшего поколения,
понял, что подобным квадратичным формам от бесконечно большого числа
переменных следует предоставить должное место и в общей математической
теории. При попытке сделать это он прежде всего обнаружил, что нужно
ограничить область переменных требованием, чтобы сумма их квадратов
«сходилась», т. е. принимала конечное значение. Это утверждение можно
сформулировать, пользуясь также терминами «обобщенной» теоремы Пифаго-
ра. Тогда ограничение Гильберта сводилось к требованию, чтобы всякая
точка гильбертова пространства была удалена от начала координат на ко-
нечное расстояние г = . Далее Гильберт ввел квадратичйую
форму от бесконечно большого числа переменных — ограниченную форму—
как бесконечную двойную сумму вида
ЯцХ^ #12^1^2 “Ь ^13^1^3 +
“F>-^22-^2 + 23X3X3 -f- ...,
где индекс первой переменной в каждом слагаемом (т. е. переменной хг в
первой строке, переменной х2 — во второй и т. д.) стремится к бесконечности
при переходе от одной строки к другой, а индекс второй переменной (т. е.
х2 в первой строке, х8 — во второй и т. д.) стремится к бесконечности вдоль
каждой строки. Эта бесконечная сумма подчинена решающему ограниче-
нию: она должна сходиться во всякой точке гильбертова пространства.
Оказывается, что в таком пространстве многие понятия из геометрии
конечного числа измерений, относящиеся к свойствам плоскостей и поверх-
ностей второго порядка, сохраняют свою силу. Именно так, в частности,
обстоит дело с приведением квадратичных форм к каноническому виду
(или, как говорят еще, к главным осям). Гильберт показал, что любая
квадратичная форма указанного вида может быть приведена к канониче-
скому виду соответствующим вращением системы координат. По аналогии
19
со случаем конечного числа измерений Гильберт назвал набор значений к г,
к2, к3, ..., появляющихся в этом каноническом виде, «спектром» квадра-
тичной формы.
Обобщая теорию главных осей обычных квадратичных форм конечного
числа переменных на случай их бесконечного числа, Гильберт открыл
также много новых явлений, например возникновение непрерывного «ма-
тематического спектра». Более того/ работы Гильберта сыграли немаловаж-
ную роль при возникновении квантовой' механики. Его термин «математиче-
ские спектры» оказался связанным со спектрами энергетических состояний
атомов и частиц, их образующих. Правда, гильбертова теория квадратич-
ных форм не совсем подходила для решения проблем квантовой механики;
как выяснилось, в этих целях потребовались «неограниченные» формы.
Именно здесь вдохновленный Эрхардом Шмидтом фон Нейман, кото-
рый был склонен к абстрагированию больше, чем его предшественники,
сделал следующий решающий шаг в этом направлении. Отказавшись от
представления Гильберта о квадратичной форме как о чем-то, что может быть
выражено в конкретной алгебраической форме (в виде бесконечной алгеб-
раической суммы), фон Нейман взамен нашел такое абстрактное опреде-
ление квадратичной формы, что сумел избежать ограничений, налагае-
мых гильбертовым подходом. Так расширенная гильбертова спектральная
теория смогла дать ответ на вполне реальные и конкретные запросы
современной физики.
'Т'еория групп, являясь центральной в современной математике, прошла
* в своем развитии аналогичный путь последовательных обобщений.
Эта теория ведет свое начало от частной проблемы, привлекавшей к себе
умы математиков еще в средние века. Речь идет об отыскании решении
алгебраического уравнения степени выше второй алгебраическим же пу-
тем, т. е. с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления
и извлечения корня. Теория квадратных уравнений была известна еще в
Древнем Вавилоне, а решение уравнений третьей и четвертой степеней в
общем виде было получено математиками эпохи Возрождения Джироламо
Кардано ц Никколо Тарталья. Однако решение уравнений пятой и еще
более высоких степеней натолкнулось на непреодолимые трудности.
20
Ф и г. 4. Математики, определив-
шие в значительной степени ха-
рактер математического мышления
XX в. Георг Кантор (слева)—ему
принадлежит идея об упорядоче-
нии бесконечных множеств, кото-
рая позволила сконцентрировать
исследования математиков на тео-
рии множеств. Анри Пуанкаре
(в центре)— противник всеобщего
влияния теории множеств на мате-
матику в целом. Давид Гиль-
берт (справа) обобщил теорию
главных осей; в 1900 г. он предло-
жил математикам XX в. свои 23
проблемы.
В начале XIX в. новое решительное наступление на эту крепость
повели Луи Лагранж, П. Руффини и Нильс Хенрик Абель, а также Эварист
Галуа, который использовал наиболее оригинальный метод. Все они исхо-
дили из хорошо известных фактов. Во-первых, алгебраическое уравнение п-и
степени вида а пхп +an-iXn~l + ... +а1х+ао==0 имеет л корней г1,г2» •••» , и,
во-вторых, полный набор этих корней определяет алгебраическое урав-
нение однозначно. Например, если 1 и 3 являются корнями некоего квад-
ратного уравнения, то этим уравнением будет (х — 1) (х—3) = х2 —4х + 3 =
0. Коэффициенты такого уравнения представляют собой симметрические
функции от его корней, т. е. зависят от всей совокупности этих корней так,
что порядок их нумерации безразличен; например если кубическое урав-
нение х3 + ах2 +Ьх-\- с = 0 имеет своими корнями г2, г3, то его коэффи-
циенты могут быть записаны как
— а = г\ + г2 + г3,
Ь = + 'Vs+'V'i,
— с - ггг2г3.
Из этой записи видно, что если поменять нумерацию корней, то на коэффи-
циентах а, Ь, с это никак не скажется.
Многолетняя работа над такими уравнениями позволила установить,
что ключ к решению задачи выражения корней уравнения через его коэффи-
циенты лежит не только в изучении таких симметрических выражений,
но также в исследовании лишь частично симметрических выражений и
анализе симметрий, которыми они обладают. Выражение £=г1г2 + г3г4,
например, не сохраняется при произвольных перестановках входящих
в него символов гь г2, г3, г4Но если произвести замену индекса 1 на 2 и ин-
декса 3 на 4, то выражение Е не изменится, или, как говорят в таких слу-
чаях, оно инвариантно по отношению к такой перестановке. Если же по-
менять местами индексы 1 и 3, то полученное при этом выражение будет
уже отлично от Е. С другой стороны, последовательное осуществление
двух перестановок, из которых первая нарушает Е, а вторая снова его
восстанавливает, может быть принято за новую перестановку, по отношению
к которой Е инвариантно. Совокупность таких перестановок, названная
Галуа «группой», отражает внутреннюю симметрию, присущую выражению
21
Е. Раскрытие природы таких групп, по мнению проницательного Галуа,
и есть ключ к построению более глубокой теории алгебраических уравнений.
Вскоре математики обнаружили применимость таких групп перестано-
вок и к другим областям математики. Совокупность шести движений, на-
пример, превращающих равносторонний треугольник вновь в такой же тре-
угольник, тоже образует группу (см. «Алгебра», фиг. 24). Другие группы
также оказались существенными элементами большинства областей мате-
матики.
Чтобы охватить такие группы во всех их видах и проявлениях единым
понятием, а также предусмотреть многочисленные скрытые в них возмож-
ности’ потребовалось сформулировать основополагающее понятие группы
в наиболее абстрактной форме. Это и было сделано; группой стали называть
совокупность математических объектов, в которой правило «комбинирования»
любых двух из них задавалось бы так, чтобы в результате снова получал-
ся бы некоторый элемент^, принадлежащий этой же совокупности. От этого
правила требуется, чтобы оно было ассоциативным [т. е. (ST)U должно
быть равно S(TU)]. Далее в совокупность должен входить так называемый
единичный элемент /, который в комбинации с любым другим элементом
совокупности^ снова даст элементS (т. е. IS = SI — S). Наконец, для каждого
своего элемента S наша совокупность должна содержать еще и «обратный»
элемент S"1, такой, что комбинация ЗЗ^дает единичный элемент (55“1==/).
Такое абстрактное определение группы оставляет, конечно, полностью
открытым вопрос о конкретной «материальной» природе группы. Элемента-
ми группы могут быть числа, вращения геометрических тел, деформации
пространства (подобного рода деформации могут, например, определяться
линейными или какими-либо иными преобразованиями координат) или же
как было упомянуто выше, перестановки п объектов.
Одним из главных достижений последних 150 лет было введение понятия
группы: в результате различные разделы математики обрели ясность и
единообразие. Много усилий направлялось на вспомогательный, «высший»
участок «линии развития»— на анализ структуры абстрактных понятий.
Это неизменно способствовало выяснению строения конкретных областей
математики, таких, как теория чисел и алгебра. Одно из самых замеча-
тельных достижений в этом направлении — знаменитая классификация
различных разделов геометрии, предложенная Феликсом Клейном в 70-х го-
дах прошлого столетия. Она основана на инвариантности некоторых опре-
деленных геометрических свойств по отношению к различным группам
преобразований (см. фиг. 2).
Абстрактная теория групп нашла блестящее применение в решении
еще более конкретных проблем физики элементарных частиц. Здесь возмож-
ности теории групп обусловливаются наличием довольно запутанных групп
явных и.скрытых симметрий во взаиморасположениях и взаимодействиях
ядерных частиц. Успех теории групп в систематизации массы эксперимен-
тальных данных, а также в предсказании существования новых элементар-
ных частиц, очевидно, свидетельствует о пользе абстракций в поисках вполне
реальных истин (см. статью «Математика в физических науках», стр. 111).
Интуиция, этот неуловимый жизненный элемент, всегда активно при-
сутствует в творческой математике, побуждая и направляя даже самое
абстрактное мышление. Ее наиболее распространенная форма — геометри-
ческая интуиция — содействовала появлению многих важных достижений
математики последнего времени, как относящихся к самой геометрии, так и
вытекающих из работ в этой области. Тем не менее существует явная тенден-
ция к подкреплению интуиции точными и строгими рассуждениями.
22
Ф и г. 5. Если нанести на «карту* функцию комплексного переменного с бесконечно-
листной римановой поверхности, то* получится фигура, изображенная здесь в верх-
ней части. Составленные из дуг многоугольники, которые становятся бесконечно
малыми по мере приближения к внешнему кругу, соответствуют многоугольникам, со-
ставленным из прямолинейных отрезков (внизу), распространяющимся (без изме-
нения размера) бесконечно далеко по всей плоскости, на которой они изображены.
Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно де-
монстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и
логикой. Располагая небольшим числом разрозненных, но, безусловно, важ-
ных открытий (как, например, открытие односторонней ленты Мёбиуса), со-
ставляющих ее «основной капитал», топология только в XIX в. предстала
как область серьезных научных исследований. Долгое время в ней почти
полностью господствовала геометрическая интуиция. Поверхности разреза-
лись и склеивались для наглядного представления математической сущности
топологии как науки о свойствах поверхностей, остающихся неизменными
при произвольных непрерывных деформациях. Однако уже на заре развития
новой дисциплины Георг Фридрих Бернгард Риман сумел привлечь к ней
внимание ученых. В своей сенсационной работе по теории алгебраических
функций комплексного переменного (в состав такого переменного входит
мнимое число ]/—1) он показал, что для подлинного понимания этих функ-
ций существенны топологические свойства некоторых специальных поверх-
ностей, называемых теперь римановыми поверхностями.
На протяжении прошлого столетия математики открыли и подвергли
систематическому исследованию большое число топологических свойств
поверхностей двух, трех и, наконец, п измерений. В начале XX в. Анри
Пуанкаре и ряд других математиков построили великолепное здание тополо-
гической теории, все еще ориентируясь на интуицию. Эта работа была тесно
связана с развитием теории групп и нашла применение в других областях
математики, а также сыграла свою роль в переходе математической на-
уки на более высокую ступень. Ее результаты использованы в небесной
механике, в частности при построении орбит планет в пространстве, ис-
кривленном гравитационными полями.
Но теперь ученых-топологов начало одолевать двойственное чувство:
с одной стороны, они ощущали потребность заключить геометрическую
интуицию в рамки современной математической строгости, с другой — им
совсем не хотелось терять убедительности и стройности интуитивных гео-
метрических выводов. В первом десятилетии нашего века с этой задачей
справился почти в одиночку голландский математик Л. Э. Я,. Брауэр.
Благодаря его огромным усилиям в топологии теперь подход не менее стро-
гий, чем в геометрии Евклида; идальнейшее развитие этой области матема-
тики происходило на основе логически безупречных рассуждений.
В основе тех трудностей, с которыми столкнулся Брауэр, стояла
дилемма, возникшая в связи с понятием непрерывности. Каждый из
нас интуитивно имеет твердое представление о том, что такое непрерывность
(например, мы можем без труда вообразить плавную кривую). Однако
каждый, кто начинает изучать дифференциальное исчисление, теряет свою
уверенность, как только требуется ввести понятие непрерывности в рамки
строгой математической формулировки. В этой задаче невозможно избе-
жать трудностей, так как геометрическая интуиция дает нам такое представ-
ление о непрерывности, которое не совсем согласуется с математически логи-
ческим представлением о ней. Строгое определение приводит к появлению
множества случаев, которые с точки зрения нашей интуиции кажутся
парадоксальными. Можно без труда, например, построить непрерывную
линию (в точном соответствии с определением), не имеющую конечной длины
(см. фиг. 7), не имеющую определенного направления ни в какой точке, или,
скажем, линию, которая, находясь внутри квадрата, может виться без
самопересечений, подходя сколь угодно близко к любой его точке.
Такие необычные построения показывают, что нужно соблюдать большую
осторожность при обосновании топологических свойств тех или иных
24
Ф и г 6 !еорема Жордана утверждает, что любая замкнутая линия, подобная той,
что показана выше, разграничивает внешнюю и внутреннюю области. Прямая, прове-
денная из внутренней области наружу, пересечет линию нечетное число раз. Прямая
же, проведенная из внешней области, даст четное число таких пересечений.
Ф и ।. 7. Бесконечный зигзаг составлен здесь из последовательно взятых отрезков
длиной 1, 1 /2, 1/з> ••• • Последовательность дробей не имеет конечной суммы, а значит, и
сама линия не имеет конечной длины. [Сам по себе пример линии, не имеющей конечной
длины, не должен поражать воображение: существуют ведь совсем простые примеры
таких линий (на той же фигуре)— бесконечный горизонтальный луч, устремляющийся
вправо от точки О. Если отрезки 0Еъ Е2Е3, Е4ЕЬ и т- Д- параллельны друг другу
(равно как отрезки EiE2, Е3Е^ ЕЪЕ3 и т. д.), то наш бесконечный зигзаг будет прости-
раться над всем бесконечным лучом, и нет ничего удивительного, что у него (зигзага)
нет конечной длины. Если, однако, постепенно приближать направления звеньев
зигзага к вертикальному так, чтобы проекции этих звеньев на горизонтальный луч
достаточно быстро убывали по длине, то можно добиться, чтобы не имеющий конечной
длины зигзаг был расположен над конечным участком горизонтального луча. Напри-
мер, если нужно, чтобы длина горизонтальной проекции отрезка 0Е± была 1/2, длина
горизонтальной проекции отрезка Е^Е2 равнялась 1/4 и вообще длина горизонтальной
проекции каждого отрезка Еп^Еп (имеющего длину Vп) была г12п , то весь бесконечный
зигзаг мог бы уместиться в квадрате со стороной единица. —Прим. ред. ]
поверхностей или других объектов, подвергающихся сложной непрерывной
деформации.
Необходимость в такой осторожной аргументации не всегда становится
интуитивно понятной тому, кто не занимается топологией. Примером может
служить знаменитая теорема Жордана, утверждающая, что на плоскости
всякая непрерывная замкнутая линия без самопересечений разграничива-
ет ее на две четкие области — внутреннюю и внешнюю (фиг. 6). Любой
научный работник, инженер или студент, исходя из соображений здравого
смысла, скажет, что попытка доказать такую теорему представляет собой
ненужное упражнение. Тем не менее при написании своего классического
учебника анализа Жордан счел необходимым доказать это утверждение.
Сколь же тонкой оказалась эта проблема, если найденное Жорданом доказа-
тельство оказалось не безупречным! Равным образом никто не усомнится в
том, что размерность двумерной или трехмерной геометрической фигуры не
меняется при любых непрерывных деформациях. Однако строгое дока-
зательство этого факта, исходящее из общего предположения об абстрактной
непрерывности,— одно из главных достижений Брауэра.
Безусловно, можно избежать некоторых трудностей, возникающих
при введении понятия непрерывности, если на группу непрерывных преоб-
разований наложить некоторые ограничения (например, потребовать «глад-
кости», или дифференцируемости, вместо чистой непрерывности). Это и
было успешно исполнено. Дифференциальная топология (раздел* тополо-
гии, занимающийся подобными рассмотрениями) достигла за последнее
время выдающихся результатов. Изучение преобразований, подчиненных
требованиям «разумной» гладкости, привело к установлению классифика-
ции топологических структур, существенно отличной от той, которая была
получена при условии требования самой общей непрерывности.
Эти достижения поддерживают вполне естественный отход от стрем-
ления к не знающим границ обобщениям. Идея таких обобщений стала
казаться заманчивой с тех пор, как Георг Кантор получил в конце прош-
лого века блестящие результаты в теории множеств. Некоторые великие
ученые, особенно Пуанкаре, жестоко преследовали эту идею, считая ее чуть
ли не угрозой всей математике, в частности потому, что она заводит в
дебри неразрешимых парадоксов. И,хотя воинствующий критицизм Пуан-
каре во многом был чересчур суровым и даже реакционным, тем не менее он
оказал известную пользу математикам конструктивного направления, за-
нятым частными и вполне конкретными проблемами.
Математическая деятельность разных людей и даже одного и того же
человека определяется различными стимулами. Без сомнения, тесные
связи с физической реальностью важных разделов математики, особен-
но анализа, вдохновляют и стимулируют математическую мысль. То же
относится и к другим реальностям. В теории чисел и алгебре раскрывается
загадочная реальность мира чисел, прочно связанного с человеческим ра-
зумом. Более далекой от физической реальности представляется нам ре-
альность логических процессов, неотъемлемо входящих в математическое
мышление. Тем не менее основные идеи в работах по математической логике,
мало известных широким кругам, оказались весьма полезными для понима-
ния и даже для конструирования автоматических вычислительных устройств.
Иными словами, конкретные частные факторы должны стимулировать
математику внести свой вклад в определенную сферу реальности. Полет
в абстракции должен означать нечто большее, чем просто взлет; отрыв от
земли неотделимот возвращения на землю, даже если один и тот же пилот не
в состоянии вести корабль через все фазы полета. Самые отвлеченные, чисто
математические занятия могут быть обусловлены вполне ощутимой физиче-
ской реальностью. То обстоятельство, что математика—эта чистая эманация
26
человеческого разума — может столь эффективно помочь в понимании и
описании физического мира, требует особого разъяснения, и не случайно
этот вопрос-всегда привлекал внимание философов. Оставляя философские
вопросы в стороне, следует, однако, признать, что взятые на себя математи-
кой обязательства по решению различных физических проблем или, наоборот,
видимое отсутствие таких обязательств не может быть принято за критерий
установления различий между теми или иными видами математики или
разногласий, существующих между самими математиками.
На самом деле между «чистой» и «прикладной» математикой невозможно
провести четкую грань. Поэтому-то в математике и не должно быть разделе-
ния на касту верховных жрецов, поклоняющихся непогрешимой математи-
ческой красоте и внимающих только своим склонностям, и на работников,
обслуживающих их. Подобная «кастовость»— в лучшем случае симптом
человеческой ограниченности, удерживающей большинство людей от сво-
бодного странствования по необъятным просторам человеческих интересов.
*
Одна и та же математическая проблема может быть решена по-разному;
приверженец строгого математического подхода (а стремление к таково-
му временами возникает у всякого человека, склонного к научному
мышлению) требует бескомпромиссного совершенства. Он не допускает
никаких пробелов в логике мышления и в решении поставленных задач,
а достигнутый результат, по его мнению, должен быть венцом неразрывной
цепи безупречных рассуждений. И если сторонник такого подхода сталки-
вается с трудностями, которые ему кажутся непреодолимыми, то он скорее
попытается переформулировать задачу или даже поставить другую, родст-
венную ей, трудности которой он может преодолеть. Существует и другой
обходный путь: заново определить то, что считалось «решением проблемы»; в
действительности подобная процедура представляет собой довольно об-
щепринятый предварительный шаг к подлинному решению исходной задачи.
В исследованиях прикладного характера все выглядит по-иному.
Прежде всего поставленную задачу нельзя с такой легкостью видоизменить
или обойти. Здесь требуется другое: дать правильный и надежный с обще-
человеческой точки зрения ответ. В случае необходимости математик мо-
жет пойти на компромисс: он должен быть готов ввести догадки в цепь
рассуждений, а также допустить известную погрешность в числовых зна-
чениях. Однако даже задачи в основном практического направления,
например о течениях с ударными волнами, могут потребовать фундамен-
тального математического исследования, чтобы установить, корректно ли
поставлена такая задача. В прикладных исследованиях могут понадобиться
и доказательства чисто математических теорем существования, поскольку
уверенность в том, что имеется решение, может гарантировать достоверность
используемой математической модели. И наконец, в прикладной математике
доминируют аппроксимации (приближения)—без них невозможно обойтись
при переносе реальных физических процессов на математические модели.
Обращение с реальностью, преобразованной в абстрактные математи-
ческие модели, и оценка точности достигаемых при этом соответствий тре-
буют интуитивных навыков, совершенствуемых опытом. Часто необходимо
как-то преобразовать исходную математическую проблему, которая оказы-
вается слишком сложной для решения современными методами. Это от-
части объясняет характер интеллектуального риска и удовлетворение, ко-
торое испытывают математики, работающие с инженерами и естествоис-
пытателями над решением реальных задач, возникающих всюду, куда
проникает человек в своем стремлении к познанию природы и управле-
нию ею.
27
Арифметика
Арифметика и геометрия—два столпа, на которых зиждет-
ся математика. Построение числовых систем и попытки
разложить их на простейшие элементы расширили понятие
о числе.
Филип Дж. Дейвис
Существует общераспространенное мнение, что математик — это человек,
который хорошо считает. Большинство математиков возражают против
этого. Они говорят, что при сведении банковских счетов у них возникает
не меньше трудностей, чем у любого другого вкладчика; они также лю-
бят ссылаться на оправдывающие их исторические анекдоты, вроде того,
что Исаак Ньютон, который был главным директором монетного двора,
для ведения личных расчетов прибегал к услугам счетовода. Кроме того,
математики отмечают, что счетные линейки и электронные вычислительные
машины были изобретены лишь для того, чтобы помогать им в расчетах.
Все это, очевидно, не относится к делу. Кто, как не математики, опека-
ют четные и нечетные, квадратные и круглые числа? К какому другому
авторитету сможем мы обратиться за справкой и помощью по числам Фибо-
наччи, числам Лиувилля, гиперкомплексным и трансфинитным числам?
Математика есть и всегда была по преимуществу игрой чисел. Известный
американский .математик Г. Д. Биркгоф заметил однажды,что незатейли-
вые головоломки о целых числах веками служили источником обновления
математики.
Числа — это неотъемлемое орудие современной цивилизации, исполь-
зуемое для упорядочения сферы ее деятельности. В наиболее примитив-
ном применении числа служат опознавательными знаками, будь то телефон-
ные номера, номера автомашин или числа кода ZIP1. На этом уровне мы
просто сравниваем одно число с другим, не подвергая их арифметическим опе-
рациям. (Вряд ли можно ожидать, что получится что-либо значимое, если
сложить номера телефонов Леонарда Бернстейна и Элизабет Тейлор.) На
следующей, чуть более сложной ступени мы извлекаем пользу из естествен-
ного порядка положительных целых чисел, например когда запоминаем
номер нашей очереди к мясному прилавку или когда на скачках записыва-
ем наездников, приходящих к финишу. Здесь мы еще не нуждаемся в опера-
циях над числами; все, что нас интересует, — это больше или меньше
одно число, чем другое. Арифметика в полном смысле этого слова появ-
1 Код ZIP (ZlP-code— Zoning improvement plan code)— условный код, при-
меняемый в почтовом ведомстве США для обработки исходящей корреспонденции
с помощью электронного оборудования. — Прим. ред.
Ф и г. 8. Числа Нового Света, записанные с помощью точек и черточек на обломке над-
гробной плиты, найденной в штате Веракрус в Мексике,означают дату. Каждая точка
представляет единицу, каждая черточка — пятерку. После реставрации плиты уда-
лось прочесть, что эти числа означают 7 периодов по 400 «лет» (этого числа недоста-
ет сверху), плюс 16 периодов по 20 «лет» (самое верхнее из сохранившихся чисел—точка
стерлась в результате эрозии), плюс 6 «лет» по 360 дней каждый, плюс 16 «месяцев» по
20 дней каждый, плюс 18 дней. Все суммарное время составляет приблизительно
3127 лет от начала данной системы летосчисления. При сопоставлении с христиан-
ским календарем такая дата соответствует ноябрю 4291 г. до н. э. — это вторая
по древности запись даты в западном полушарии.
29
ляется, лишь когда задают себе вопрос: «Сколько?» Вот здесь нас уже ждут
трудности вычитания, сложения, умножения, деления, извлечения квадрат-
ных корней и еще более замысловатых операций над числами.
Сложность цивилизации, как в зеркале, отражается в сложности исполь-
зуемых ею чисел. Две с половиной тысячи лет назад вавилоняне довольст-
вовались натуральными числами, подсчитывая принадлежащие им несколько
овец; их удовлетворяла простейшая арифметика, нужная для регистрации
движения планет. Сегодня экономисты-математики пользуются матричной
алгеброй для описания взаимосвязей сотен предприятий (см. статью
«Математика в общественных науках», стр. 149), а физики—преобразования-
ми в гильбертовом пространстве (т. е. числовой концепцией на семь уров-
ней абстракции выше, чем натуральные числа) для предсказания
квантовых явлений (см. статью «Математика в физических науках», стр.111).
Числовые системы, применяемые в математике, могут быть расчленены
на пять главных ступеней, от самых простых до самых сложных: 1) система,
состоящая только из положительных целых чисел; 2) более высокая ступень,
включающая положительные и отрицательные целые числа и нуль; 3) ра-
циональные числа, в которые дроби входят на равных правах с целыми
числами; 4) действительные числа, включая иррациональные числа, такие,
как, например, к, и 5) комплексные числа, вводящие в рассмотрение «мнимое
число» ]/ —1.
Положительные целые числа — это те, что познает ребенок, когда
учится считать. Обычно их записывают в виде 1, 2, 3, 4, ..., но они могут
быть представлены также множеством других способов. Римляне записыва-
ли их своими знаками I, II, III, IV, ... ; греки своими А; В, Г, А, ... , а
в двоичной системе счисления, куда входят лишь символы 0 и 1, эти числа
записывались бы как 1, 10, 11, 100, ... . Все это суть вариации одного и
того же: мы используем различные символы для обозначения неких сущ-
ностей, смысл и порядок которых понимаются однозначно.
В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых
числах, но с приходом цивилизации вынужден был изобретать все большие
и большие числа. Этот процесс развития чисел проходил с огромным трудом.
Как заметил Бернард Шоу в своем «Человеке и Сверхчеловеке»: «Для
бушмена, который не может вести счет, не прибегая к помощи своих паль-
цев, одиннадцать — неисчислимое количество». Еще в III в. до н. э. люди
не умели выражать большие числа систематически; тогда-то Архимед
предложил некий довольно затруднительный способ их именования в своем
труде «Исчисление песчинок».
Греческие математики, которые бились над именованием больших чисел,
совершили скачок от конечного к бесконечному. Этот скачок обозначен
тремя маленькими точками, которые следуют за числом 4 в верхних рядах
таблицы I. Эти точки указывают, что после четверки есть еще число, а после
него еще одно, и так до бесконечности будут находиться целые числа. Для
древних эта концепция представлялась весьма важным достижением твор-
ческой мысли и вдохновения, поскольку она шла вразрез со всеми накоп-
ленными данными в физике и с философскими воззрениями, что’Вселенная
должна быть конечной. Смелая идея о бесконечности открывала широкие воз-
можности в математике, но она в то же время приводила к парадоксам.
Смысл понятия бесконечности и по сей день раскрыт не до конца.
Как ни странно, но еще труднее оказалось сделать шаг от положитель-
ных чисел к отрицательным. В наши дни, когда 10 градусов ниже нуля —
это всеми однозначно понимаемая величина и когда каждому ребенку
30
1 2 3 4 . . .
...—4—3—2—10
. . . -4 -3 -2 -1 О 1 2 3 4 . . .
1/2
1/3
V4
. . . -4 -3 -2 -1 О 1
1/2
* 1/3
1/4
2 3 4 . . .
Табл. I. Понятия числа могут быть расположены таким образом, что каждое после-
дующее понятие будет охватывать все предыдущие. За наиболее простым понятием,
охватывающим одни только положительные целые числа, идет новое, более обширное,
ибо оно включает уже нуль и отрицательные целые числа. Два Следующих более слож-
ных понятия—рациональные и иррациональные числа; последние мы узнаем по беско-
нечной непериодической последовательности целых после запятой. Они завершают сис-
тему всех действительных чисел. Последним является понятие комплексного числа, воз-
никшее в эпоху Возрождения и доказавшее с тех пор свою жизненную важность для
математиков, физиков и инженеров. Комплексные числа представляют собой объедине-
ние действительных чисел с «мнимой величиной» У—1, или i
НА СЧЕТАХ
III
III III Illi Illi III III III
iii пн и iii iii пн iii n m mi mu mm mi mu
У ЕГИПТЯН
У МАЙЯ • •• — —• — — — — = = = == = = s
У ДРЕВНИХ ГРЕКОВ А в г Д Е F Z н О I IA IB 1Г 1Д IE IF
У РИМЛЯН 1 II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
У АРАБОВ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА °0000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000
T а б л. II. Древние и современные обозначения чисел от 1 до 16 приведены под соответствующими комбинациями костяшек, от-
ложенными на двух колонках счетов. Из шести примеров все, кроме двух, имеют своей основой 10; после числа 10 в ряду
символов обнаруживаются повторения вне зависимости от того, являются ли эти повторяющиеся символы собраниями счет-
ных меток или неразложимыми единствами. [Имеются в виду символы от 0 до 9, которые разлагаются на более элементарные
счетные метки в египетских и латинских обозначениях и представляют собой просто условные знаки в греческих и арабских.—
Прим. ред. ] В обозначениях Майя основание равно 20, а повторения начинаются после цифры 5. Двоичная система счисления
имеет основание 2, и все числа в ней записываются посредством лишь двух символов, 0 и 1. Так, 2, или 21, записывается как
10; 4, или 22, записывается как 100; 8, или 23,— как 1000. Каждая новая степень двойки влечет, таким образом, добавле-
ние новой цифры в двоичную запись числа.
Знаком обратный счет «..., 5, 4, 3, 2, 1, ...», отрицательные числа представ-
ляются совершенно ясным понятием. Но греки имели дело с отрицательными
числами только в терминах алгебраических выражений для площадей
квадратов и прямоугольников, например (а—Ь)2=а2—2ab+b2 (фиг. 9).
Отрицательные числа были окончательно приняты в математике лишь
после появления в 1545 г. «Ars Magna» Джироламо Кардано.
Дроби (или рациональные числа — название, под которым они фигури-
руют в теории чисел) древнее отрицательных чисел. Их можно найти в самых
ранних математических записях, они весьма подробно обсуждаются в одном
египетском папирусе, относящемся к 1550 г. до н. э. (папирусе Ринда).
Нынешний способ записи дробей (например, V4, V5, 8/13), так же как и
современный способ арифметических действий над ними, восходит к XV —
XVI вв. Даже сегодня, вероятно, многим людям нельзя доверить сложение
1/4 с (В самом деле, часто ли им это бывает нужно?) Трактовку дробей,
однако, нельзя считать проблемой, утерявшей свою актуальность. Недавно
она стала предметом споров на страницах газет в связи с включением дро-
бей в некоторые школьные программы по математике, причем сторонники
сокращенных программ выступали против защитников развернутых
программ. Спор родился вследствие расхождения мнений о практиче-
ских и эстетических целях школьной программы математики. Но у
непосвященного человека, узнающего об этом из газет за завтраком, могло
создаться впечатление, что все, что преподавалось ему в школе по дробям,
было неверным.
Иррациональные числа также имеют дЛинную историю. В VI в. до н. э.
математическая школа Пифагора столкнулась с числом, которое нельзя
было отнести ни к целым числам, ни к дробям. Это число, возникшее в свя-
зи с теоремой Пифагора, было J/2— длина диагонали квадрата (или гипоте-
нузы равнобедренного прямоугольного треугольника) со стороной, длина
которой принималась за единицу. Греки были потрясены открытием, что
значение J/2 нельзя выразить в виде отношения а/b с целыми а и Ь, или,
иными словами, что У 2 не равняется никакому рациональному чис-
лу. Так как они исходили из того, что числа бывают только рациональными,
для них это открытие было равносильно тому, что такая диагональ вообще не
имеет математической длины. Греки разрешили этот парадокс, приняв,
что под числами и надлежит понимать длины. Но это мешало развитию ал-
гебры и арифметики, и греческие математики попали в тупик.
Понадобились века дальнейшего развития и усложнения в математике,
чтобы осмыслить то, что корень квадратный из двух можно выразить с
помощью десятичных дробей, если поставить многоточие после вычислен-
ных десятичных знаков. Сегодня мы нажимаем на клавиш извлечения
квадратных корней вычислительного устройства и на табло появляется ответ:
У2 =1,41421.... С помощью электронных вычислительных машин таких
точных десятичных знаков можно получить тысячи. Любое число,
которое может быть записано в таком виде — одной или более цифр слева от
запятой и бесконечной последовательностью цифр справа от запятой,—
называют «действительным» числом. Таким путем мы можем выразить по-
ложительные целыечисла (например, 17=17,0000...), отрицательные целые
числа(—3=—3,000...) или любые рациональные числа (17х/4 = 17,25000...).
Некоторые рациональные числа не приводят к бесконечной цепочке нулей
справа от запятой; так, например, десятичное выражение для одной седьмой
есть: 1/7=0,142857 142857 142857.... Эти числа относятся к рациональным,
потому что справа от запятой они содержат одинаковую беспрерывно по-
вторяющуюся группу знаков. Иррациональными называют те числа, в
33
2—831
Ф и г. 9. Греки наглядно выражали отрицательные числа на языке отрезков и ограни-
ченных площадей. Так, они считали, что квадрат, построенный на отрезке а—6, равен
по площади тому, во что превратится квадрат, построенный на всем отрезке а, после
проведения определенных операций, в которых, например, из а2 вычитались два прямо-
десятичном выражении которых стоит, как мы видели в случае 2, бесконеч-
ная непериодическая последовательность десятичных знаков. Наиболее из-
вестны из иррациональных чисел 1,4142135623... ик- 3,1415926535 ....
Разумеется, иррациональные числа входят в совокупность действительных
чисел.
К комплексным числам мы переходим, когда сталкиваемся с числами,
называемыми мнимыми — термин, который сегодня лишь своеобразный
реликт более наивной эры в арифметике. Величина |/ —1 характерна
для комплексных чисел; при умножении на себя этой величины по-
лучается — 1. Поскольку при этом нарушается основное правило,
что при перемножении двух положительных или двух отрицательных
чисел должно получиться число положительное, величина |/ —1 (или i,
как ее обычно обозначают) действительно является странной, поскольку ее
нельзя назвать ни положительной, ни отрицательной. «Мнимые числа, —
писал в 1702 г. Готтфрид Вильгельм фон Лейбниц,— это поразительный
полет духа божьего; это почти амфибии, находящиеся где-то между бытием
и небытием».
С эпохи Возрождения математики стали использовать комплексные
числа (вида a+by—1) для решения уравнений и открыли много пре-
красных тождеств, хотя никто не мог объяснить, что это были за колдов-
ские мнимости. Абрахам де Муавр вывел формулу (cos0+p —1-sin 0)л =
= cos пв+[/—1 sin п0. Леонард Эйлер установил соотношение
= -1
(здесь е— основание «натуральных логарифмов», равное 2,71828...).
Комплексные числа оставались для математиков лишь предметом отвле-
ченных манипуляций вплоть до XIX в., когда математики начали ис-
кать для них конкретные представления. Норвежец Гаспар Вессель
первым ввел геометрическое представление комплексных чисел (фиг. 11),
это послужило основой для исключительно красивого математического
построения, известного ныне как теория функций комплексного перемен-
ного. Позднее ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон развил
алгебраическую интерпретацию комплексных чисел, согласно которсй каж-
дое комплексное число представлялось парой обычных чисел. Это помогло
утвердит!» основание для развития аксиоматического подхода к алгебре.
34
угольника с длиной а и шириной Ь. Но поскольку эти прямоугольники перекрывают-
ся, то некоторая площадь окажется вычтенной дважды. Это Ь2, которое затем восста-
навливается.
В то же время физики установили, что комплексные числа пригодны
для описания различных физических явлений. Эти числа начали входить
в уравнения электростатики, гидродинамики, аэродинамики, теории коле-
баний и, наконец, в квантовую механику. Сегодня многие труды по теорети-
ческой физике и технике написаны языком комплексных чисел.
В XIX в. математики ввели еще несколько новых числовых систем.
Из них три заслуживают особого внимания — кватернионы, матрицы и
трансфинитные числа.
Кватернионы — великое творенье Гамильтона. В течение многих лет
ему не давал покоя тот факт, что умножение комплексных чисел мож-
но представить просто как поворот на плоскости. Нельзя ли ввести но-
вый вид чисел и определить способ их умножения, выразив с помощью не-
го поворот в трехмерном пространстве? Эти числа Гамильтон назвал
триплетами. Точно так же, как Вессель представлял комплексные числа
точками на двумерной плоскости, триплеты представляли точки трехмерно-
го пространства.
Задача о триплетах, беспрестанно занимавшая Гамильтона, оказалась
крепким орешком. Вся семья Гамильтона переживала с ним его неудачи.
Сам он рассказывал, что стоило ему спуститься к завтраку, как один из
его сыновей спрашивал: «Ну, папа, можешь ли ты уже умножать триплеты?»
И папа должен был удрученно отвечать: «Нет, я могу только складывать и
вычитать их».
Однажды в 1843 г., когда Гамильтон вместе с женой прогуливались вдоль
канала в Дублине, он вдруг постиг способ умножения своих триплетов.
Окрыленный успехом, он тут же вырезал перочинным ножом на Бруемском
мосту ключ к решению задачи; прохожие, должно быть, были озадачены,
прочитав следующую запись: <d2=j2=k2 = ijk —1».
Буквы i, / ибозначали гиперкомплексные числа, которые Гамильтон
назвал кватернионами (общий вид кватерниона а \Ы\ cj \ clky где a, b, cwd
означают действительные числа). В точности так же как квадрат | — 1
равен —1, так и i2 — 1, /2^= — 1 и k2^-—1. Загадка умножения кватернио-
нов заключалась в том, что в нем не выполняется коммутативный закон
умножения (фиг. 12). В то время как в случае обычных чисел аЬ^Ьа, при
перестановке кватернионов произведение должно измениться, например
ij~k, но ji~=—k.
2* 35
25
a2 + b2 = с2
16 + 9 = 25
с = v25 = 5
а2 + b2 = с2
1 + 1=2
Фиг. 10 Иррациональные числа казались грекам парадоксальными, ибо они
не могли представить себе числа, которые не были бы ни целыми, ни отношениями
двух целых. Тем не менее греки представляли эти числа геометрически. В прямоуголь-
ном треугольнике с катетами в 3 и 4 единицы длины гипотенуза равна 5 единицам.
Но никакая рациональная дробь не выражает {/2, т. е. длину гипотенузы прямоуголь-
ного треугольника с катетами по одной единице длины каждый. Получалось, что неко-
торая линия вполне ощутимой длины, которую можно легко построить, тем не менее
оказывалась «неизмеримой».
Вторая новая числовая концепция, упомянутая выше, а именно понятие
матрицы, была развита почти одновременно Гамильтоном и английскими ма-
тематиками Дж. Дж. Сильвестром и Артуром Кэли. Матрицу можно рас-
сматривать как прямоугольную таблицу чисел, например
/ 1 б 7 \
\ 2 0 4 у
Вся таблица мыслится как единый объект. При соответствующих обстоя-
тельствах возможно определить операции сложения, вычитания, умноже-
ния и деления матриц. В результате появляется целая система объектов,
свойства которых в чем-то сходны со свойствами обычных чисел; матрицы
приносят огромную пользу во многих разделах чистой и прикладной мате-
матики.
Третья новая концепция—трансфинитные числа—представляет собой
идею совсем иного рода. Эта идея очень занимательно изложена в фантасти-
ческом примере, который приписывается знаменитому немецкому математику
Давиду Гильберту под названием «Отель Гильберта». Оценить по досто-
инству эту схему могли бы все те, кто искал номера в гостиницах при по-
сещении Нью-Йоркской всемирной выставки. Человек приходит в отель
Гильберта и просит номер. «Гм, — отвечает администратор,— у нас свобод-
ных номеров нет, однако эта проблема разрешима; мы сможем найти Вам
номер». С этими словами он помещает вновь прибывшего в комнату №1,
ее владельца переселяет в комнату №2, жильца этой комнаты — в комнату
№3 и т. д. Занимающий комнату N оказывается в комнате W+1. Просто
в этой гостинице бесконечное число комнат.
На основании чего же тогда администратор утверждает, что все номе-
ра заняты? Аналогичный парадокс подметил Галилей. Каждое целое
36
Фиг. 11. Можно наглядно представить себе комплексные числа и даже оперировать
с ними с помощью геометрии. На действительной оси, или оси х, каждая единица
равна либо 1, либо —1. На мнимой оси, или оси yt каждая единица представляет
либо I, т. е. —1, либо —I. Таким образом, все точки плоскости могут быть представ-
лены комплексными числами вида Если прямую, проведенную через начало
координат и любую точку на плоскости (см. рис. а), повернуть на 90° (как на рис. б),
исходное комплексное число умножится в результате на t. Второй поворот (второе
умножение на i) показан на рис. в.
Фиг. 12. Таблица для умноже-
ния кватернионов, предложен-
ная У. Гамильтоном, раскрывает
некоммутативную природу этих
новых мнимых величин. Если,
например, / из строки умножить
на к из столбца, то получится I,
но если k из строки умножить на j
из столбца, то в ответе будет уже
—i. Каждая их этих трех величин,
будучи умножена сама на себя,
дает —1.
число может быть возведено в квадрат, и отсюда вытекает, что квадратов
столько же, сколько и самих чисел. Но возможно ли это, если вспомнить,
что многие целые числа не являются квадратами других чисел, например
2, 3, 5, 6, ...?
Один из весьма заманчивых аспектов математики заключается именно
в том, что самые тернистые ее парадоксы могут расцвести прекрасными тео-
риями. В XIX в. немецкий математик Георг Кантор превратил изложенный
выше парадокс в новую числовую систему и в арифметику бесконечных
чисел.
Он начал с определения бесконечного множества как такого, которое
может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с частью самого
себя в точности так же, как целые числа находятся во взаимно однозначном
соответствии со своими квадратами. Далее он заметил, что каждое множество,
которое может быть поставлено в такое соответствие с множеством всех
положительных целых чисел, должно содержать бесконечное число элемен-
тов; такое «число» он обозначил первой буквой древнееврейского алфавита
«алеф» ж. Это «первое количественное трансфинитное число» Кантор обозна-
чил индексом «нуль». Затем он показал, что существует бесконечно много
иных множеств (среди которых, например, множество всех действительных
чисел), которые нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с
множеством положительных целых чисел, поскольку они больше этого
множества. Размеры таких множеств представляются другими трансфинит-
ными количественными числами (Жь жа и т. д.). Из столь, казалось
бы, несовершенного материала Кантор создал арифметику обычных й
трансфинитных чисел. В этой арифметике некоторые общепринятые пра-
вила отвергаются, и мы сталкиваемся со странными уравнениями, таки-
ми, как Жо+1 = *0. Это и есть записанный в символах парадокс
с отелем.
Трансфинитные числа пока еще не нашли применения за пределами
самой математики. Но в ней они оказали заметное влияние и стимулировали
дальнейшую разработку множества логических и философских, построений.
С появлением знаменитой канторовой «гипотезы континуума» возник,целый
ряд нерешенных проблем, которые до сих пор занимают математиков.
Не так давно решение некоторых из этих проблем было получено Альфредом
38
a
«8
ae +
fli+bi a2-\-b2 a3-\-b3
a4+b4 Л5+65 ов-\-Ь3
^1~\-Ь^ flg+bg a9-\-b9
a\ a2
ai at>
a7 a8
bi b2 b3
b* b& b6
bf b3 b9
7—8 0+0 0+1
—3+4 1+5 —6—1
4+0 0+3 7+0
-I 0 Г
J 6 —7
4 3 7,
a 1 b>] +^2 ^8+fl3^9
a4^7-l-fl6^8_l-a6^9
a7bi-^-d3b3-\~a9b3
aibi ~^o2b2-\-a3b3
a4^1+a5^2H“a«^3
^7^1+ag^2+a9^3
aib#-\-a2b3-{-a3bQ
Л^+Лб^в+Лб^б
a7^4+a8^b+fl9^e
6 0 —Г 4 2 3 '24+0+ 5 12+0+1 18+ 0— 7
1 —3 2 X 0 1 6 = 4+0—10 2—3—2 3—18+14
8 5 6 -5 -1 7 32+0+30 16+5—6 24+30+42
29 13 11
—6 —3 —1
2 15 96
T абл. III. Матрицы — это прямоугольные таблички чисел, сами по себе не имеющие
численного значения, но с которыми тем не менее можно обращаться как с некими
сущностями, по определенным правилам их складывать, вычитать, умножать и делить.
Такие таблички дают удобный способ для вычисления одновременных изменений в
ряде связанных друг с другом переменных. Любые две матрицы с одинаковым
числом строк и столбцов можно складывать. Сложение матриц производится строка
за строкой, причем каждый элемент каждого столбца первой матрицы прибавляется к
соответствующему элементу второй. Таким образом получается новая матрица. (Этот
процесс схематически показан в верхней части таблицы, немного ниже приведены
числовые значения.) Умножение матриц — более сложный процесс, для которого две
матрицы уже не обязаны быть одного размера, хотя в данном случае они именно тако-
вы. Матрица размером 2x3 может быть умножена на матрицу размером 3 х2. Каждый
член верхней строки левой матрицы последовательно умножается на соответствующий
член первого столбца правой матрицы; сумма этих умножений и есть то число, которое
ставится в первую строку и первый столбец матрицы-результата. Верхняя строка
левой матрицы служит теперь для того, чтобы тем же способом вместе со вторым
столбцом правой составить число для второго столбца первой строки матрицы-резуль-
тата. Затем верхняя строка левой матрицы умножается на третий столбец правой
матрицы. И все это повторяется снова для каждой из строк левой матрицы.
Тарским из Калифорнийского университета в Беркли и Полем Дж. Коэном
из Стэнфордского университета.
Мы рассмотрели предмет (или персонажей) игры чисел; теперь изучим пра-
вила этой игры. Нематематику это может показаться лишним копанием в
очевидных вещах. Геометрия Евклида построена на «само собой разумеющих-
ся» аксиомах, но при строгой проверке этих аксиом в XIX в. обнаружились
скрытые ухищрения, несообразности и слабости, которые нужно было ис-
править, чтобы поставить геометрию на твердую основу. «Но,— могут
нас спросить,—неужели и простые правила арифметики и алгебры нуж-
даются в проверке или доказательстве?» Тем не менее многие математики
XIX в., потрясенные найденными в евклидовых аксиомах дефектами и под-
стегиваемые удивительным видом новых числовых концепций вроде ква-
тернионов, занялись систематическим изучением аксиом теории чисел.
Независимы ли законы арифметики или же один может быть логически
выведен из другого? Действительно ли эти законы являются основными
или они могут быть сведены к более примитивному простому и изящному
набору законов? Получение ответов на вопросы, подобные этим, и составило
39
к.
2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17...
Фиг. 13. Существует бесчисленное множество трансфинитных количественных чисел-
Наиболее известное из них Хо символизирует «число» или «количество» положительных
целых чисел или элементов любого множества, которое может быть поставлено во
взаимно однозначное соответствие с множеством всех положительных целых чисел. Та-
кие множества называют счетными. Количество всех действительных чисел больше, чем
одних только положительных целых, и эквивалентно количеству всех точек на прямой,
на плоскости иди в любом «куске» пространства более высокой размерности. Эти уже
несчетные множества обозначают символом Xi. «Число» всех возможных точечных
множеств есть еще большее трансфинитное количественное число — здесь это Х2.
программу исследований в области аксиоматики, которые продолжаются
и по сей день. В результате были установлены строгие и эстетически привле-
кательные ответы, а в процессе исследования появились новые понятия,
такие, как кольца, поля, группы и структуры, каждое со своими собственны-
ми правилами операций и своей характерной теорией.
Построение набора аксиом для действительных чисел — одно из основ-
ных достижений в этой области, полученное в семидесятых годах прошлого
столетия. Оно резюмируется утверждением, что система действительных
чисел — «полное упорядоченное поле». Здесь каждое слово отражает груп-
пу правил, определяющих поведение таких чисел.
Прежде всего слово «поле» означает математическую систему, где сло-
жение и умножение может производиться по обычным правилам, т. е. долж-
ны выполняться: 1) коммутативный закон сложения: x+t/—у+х; 2) ассо-
циативный закон сложения: x+(y+z) = (x+y)+z; 3) коммутативный закон
умножения: ху=ух\ 4) ассоциативный закон умножения: x(yz) = (xy)z и
5) дистрибутивный закон: x(y+z)=xy-\-xz.
Более того, поле должно содержать элемент «нуль», характеризую-
щийся тем свойством, что 0+х=х для любого элемента х. Оно должно со-
держать также элемент «единица», который обладает тем свойством, что
\-х=х. Для любого элемента х из поля в нем существует также другой
элемент —х, такой, что—х+х=0. На этой основе строится вычитание. К
аксиоматическим свойствам поля относится й правило сокращения при
умножении, т. е. если xy=xz, то y=z (в предположении, что х не равен
0). И наконец, для любого (отличного от нуля) элемента х поле должно
содержать также элемент 1/х, такой, что х (1/х) = 1. Это основа для деления.
40
Итак, поле представляет собой систему (примером служат все рациональные
числа), элементы которой можно складывать, вычитать, умножать и делить
в соответствии с обычными правилами арифметики.
Рассмотрим теперь второе слово в нашем утверждении. О поле говорят,
что оно «упорядоченное», если величину его элементов можно сравнивать.
Стенографический символ, употребляемый для обозначения этого свойства,
имеет вид > и обозначает «больше, чем». Этот символ требует выполнения
собственных правил, а именно: 1) трихотомического закона: для любых
двух элементов х и у справедливо в точности одно из соотношений х>1/,
х=у или #>%; 2) транзитивного закона: если х>у и у>2, то x>z; 3) закона
сложения: если х>у, то x+z>t/+z; 4) закона умножения: если х>у и
z>0, то xz^>yz.
Наконец, что мы понимаем под словом «полное», когда описываем
множество всех действительных чисел как «полное упорядоченное поле»?
Этот термин имеет отношение к задачам, возникающим в связи с числами
вроде у 2. Практически у 2 задается последовательностью рациональных
чисел, именно 1; 1,4; 1,41; 1,414; ..., которые дают все лучшее и лучшее
приближение к нашему у 2. Или, иначе, 12=1; (1,4)2= 1,96; (1,41)2= 1,9981;
(1,414)2—1,999396... . Возведение в квадрат указанных чисел приводит к
последовательности чисел, всеболее и более приближающихся к 2. Заметим,
однако, что и числа начальной последовательности (1; 1,4; 1,41; ...) тоже все
больше сближаются. Нам хотелось бы считать р2^«предел ьным» значением
такой последовательности аппроксимаций. Но для этого мы должны точно
понимать фразу: «числа некой последовательности все больше сближаются»;
кроме того, мы нуждаемся в гарантии, что наша система чисел окажется
достаточно обширной, чтобы привести нас к предельному значению такой
последовательности.
Следуя пути, избранному Кантором, рассмотрим последовательность
чисел из нашего упорядоченного поля. Условимся говорить, что числа этой
последовательности все больше сближаются, если разность двух любых чи-
сел, достаточно далеко стоящих в нашей последовательности, может быть
сделана столь малой, как мы этого захотим. Это означает, что все члены,
взятые достаточно далеко по нашей последовательности, отличаются, на-
пример, друг от друга не более чем на V10. Если мы захотим двигаться
по последовательности еще дальше, то эта разность может стать меньше 1/100
и т. д. Такие последовательности чисел называются фундаментальными.
Упорядоченное поле элементов называется полным упорядоченным по-
лем, если для каждой фундаментальной последовательности его элементов
найдется элемент поля, оказывающийся для этой последовательности пре-
дельным. Таким образом, «закон полноты» требует, чтобы все «щели» меж-
ду рациональными числами были сплошь заполнены. Это последнее ак-
сиоматическое требование, налагаемое на систему действительных чисел.
Все эти правила на первый взгляд столь элементарны, что вряд ли следу-
ет о них упоминать, не говоря уже о том, чтобы заниматься тщательным
анализом.. Тем не менее программа систематизации этих правил оказалась
в большой степени оправданной. Годы шлифовки аксиом привели их к
необычайно простому виду. Правила, только что перечисленные, были
признаны необходимыми и достаточными для описания и обращения с
системой действительных чисел — если исключить одно из них, то предла-
гаемая система становится непригодной. Итак, программа аксиоматиче-
ских исследований дала ответ на ряд основополагающих вопросов о числах
и породила новые понятия, оказавшиеся в высшей степени плодотворными.
41
Аксиоматический подход стал применяться во всей современной мате-
матике, им даже пользуются преподаватели математики старших классов
школы. Один учитель недавно сказал мне: «В былое время все эти проце-
дурные правила были погребены в изысканных печатных трудах и в значи-
тельной степени игнорировались на уроках. Сегодня они успешно включе-
ны в основной курс математики, и учащимся грозит опасность, понимая,
что 2+3 в соответствии с коммутативным законом равно 3+2, так и не
узнать, что эта сумма равна 5». Конечно, здесь все несколько утрировано.
Исключительное внимание, уделяемое ныне аксиоматике, можно было бы
сравнить с занятиями в таком хореографическом кружке, где еженедельно
проводятся дискуссии о хореографии, но никто никогда не танцует. Хоте-
лось бы, чтобы в математике, как, впрочем, и во всем остальном, всегда
соблюдалось разумное чувство меры.
До сих пор мы занимались рассмотрением того, как следует производить
действия над числами; но теперь необходимо внести ясность в более
элементарное понятие о том, что такое числа. Сегодня математики склоня-
ются отвечать на этот вопрос скорее на языке аксиоматики, чем на языке
эпистемологии или философии.
Для пояснения, а еще лучше для построения числа разумнее, вероятно,
испробовать метод синтеза, а не анализа. Посмотрим, можем ли мы, от-
правляясь от каких-либо исходных значимых элементов, довести их шаг
за шагом до чего-либо, соответствующего системе действительных чисел.
В качестве таких исходных элементов примем целые положительные
числа. Они представляют некую действительно существующую в нашем
мире форму, будь то количество пальцев на руке или что-либо иное, что
можно выбрать для счета. Немецкий математик XIX в. Леопольд Кронекер
считал, что целые положительные числа суть творение бога, а все остальные
виды чисел — плоды человеческой изобретательности. Итальянец Джузеп-
пе Пеано дал простейшее описание положительных целых чисел пятью акси-
омами: 1) 1 есть положительное целое число; 2) за каждым положительным
целым числом следует ровно одно и только одно положительное целое число;
3) ни за каким положительным целым числом не следует 1; 4) за разными
положительными целыми числами следуют разные положительные целые чис-
ла; 5) пусть некое утверждение выполняется для числа 1, и пусть всякий
раз, как это происходит для некоторого положительного целого числа,
оно выполняется и для следующего за ним числа, тогда это утверж-
дение распространяется и на все положительные целые числа. (Эта по-
следняя аксиома выражает знаменитый «принцип математической индук-
ции».)
Теперь настало время сказать fiat lux (да будет свет!). Аксиома: система
Пеано существует, и можно считать, что положительные целые числа созданы,
ибо система Пеано, или система объектов, удовлетворяющих пяти перечис-
ленным требованиям, по существу эквивалентна множеству всех положи-
тельных целых чисел. Из пяти правил Пеано могут быть выведены все
знакомые свойства положительных целых чисел.
Раз в нашем распоряжении имеются положительные целые числа и
нам есть над чем работать, мы можем уверенно идти вперед по пути,
начертанному Кронекером, все более расширяя концепцию о числе. С вве-
дением операций над положительными целыми числами мы можем, на-
пример, получить отрицательные целые числа и нуль. Это удобно сделать,
оперируя с парами положительных целых чисел. Рассмотрим в общем виде
такую пару; обозначив ее (а, 6), мы получим из нее целое число посредством
операции а — Ь. Когда а больше 6, вычитание а — b даст положительное
42
целое число; когда Ь больше а, число, получающееся при вычитании, отрица-
тельно; если же а взять равным /?, то операция а—b даст в результате нуль.
Таким образом, посредством пар положительных целых чисел мы сможем
уже представить все целые числа — положительные, отрицательные и нуль.
Правда, этот вывод чреват некоторой неопределенностью, так как любое
заданное целое число может быть представлено многими различными пара-
ми [например, пара (6, 2) дает нам 4, но для 4 подходят также пары (7, 3)
и (8, 4), а также множество других возможных комбинаций]. Эта неопреде-
ленность устраняется, если все такие пары рассматривать как идентичные.
С помощью одних только положительных целых чисел мы можем .теперь
вывести правило равенства пар. Это правило гласит, что (a, b) = (c, d)
в том и только в том случае, когда a+d=b+c. (Заметьте, что последнее
уравнение есть перефразировка следующего: а—Ь=с—d, но отличается
от него тем, что не включает никаких отрицательных чисел.) Можно без труда
показать, что указанное правило, позволяющее нам судить о равенстве
двух пар целых чисел, удовлетворяет трем арифметическим законам, управ-
ляющим равенствами, а именно: 1) рефлексивному закону: (а, 6) = (а, 6);
2) закону симметрии, т. е. если (a, b)=(b, с,) то (b, c) = (a,b), и 3) транзитивно-
му закону, т. е. если (a, b) = (c, d) и (с, d) = (e, /), то (а, b) = (e, f).
Теперь, снова используя лишь положительные целые числа, введем
условия, по которым будут производиться сложение и умножение пар поло-
жительных целых. Для сложения мы имеем (а, 6)+(с, d) = (a+c, b+d).
Так как пара (а, Ь) представляет число (а—Ь), а пара (с, d) — число (с—d),
то здесь имеется сумма (а—й)+(с—d). Алгебраически это то же, что разность
(а+с)—(б+d), а такая разность представляется парой (а+с, б+d), которая
стоит в правой части нашего уравнения. Аналогично умножение пар опре-
деляется следующим правилом: (а, Ь) -(с, d) = (ac+6d, ad+bc). Здесь произ-
ведение пар (а, Ь) • (с, d), или, что то же самое, чисел (а—Ь) • (с—d), алгебраи-
чески выражают как (ac+bd)—(ad+bc), а это и есть число, представляемое
парой (ac+bd, ad+bc).
Можно подробно показать, что все действия над любыми целыми чис-
лами (положительными, отрицательными и нулем) приводят к обычным
результатам, когда мы переходим к таким парам положительных целых
чисел.
Построив все целые числа (как пары положительных целых чисел), мы
можем продолжить наше построение и получить все остальные действи-
тельные и даже комплексные числа. Рациональные числа, или дроби,
которые в обычной системе представляются парами целых чисел, рассматри-
вают и как пары пар положительных целых чисел. Действительным числам,
которые строятся как бесконечные последовательности целых чисел, мы
должны сопоставлять бесконечные последовательности рациональных чи-
сел, а не пары. Когда мы имеем дело с комплексными числами, снова
можем пользоваться парами — фактически именно для этих чисел и был
введен Гамильтоном аппарат числовых пар. Комплексное число a+bj/^—I
можно по существу представлять себе как пару действительных чисел (а, Ь),
где первое число—это действительная часть нашего комплексного числа, а
второе — его мнимая часть. Далее, пары считаются равными только тогда,
когда они содержат одни и те же числа и в том же порядке, т. е. (а, Ь) —
= (с, d), только если а=с и b=d. Правило сложения то же, что и для действи-
тельных чисел: (a, b)+(c, d) = (a+c, b+d). Это приводит нас к «обычному»
43
Фиг. 14. Перевод в геометрическую форму формулы, связывающей числа е (основание
натуральных логарифмов), те и —1, демонстрирует исключительную гибкость
комплексных чисел. Уравнение (красное) может быть представлено в виде суммы
ряда векторов. Когда эти векторы складываются наглядно на комплексной плоскости,
то получается спираль, закручивающаяся вокруг точки —1.
результату сложения двух комплексных чисел: (а+6]/—1) +(c+d]^—1)—
=(a+c)+(b+d)y^—1. Формула умножения для комплексных чисел
(а, Ь) -(с, d) = (ас—bd, ad+bc) соответствует обычному умножению этих
чисел: (а+6]Л=4)« —1)= (ас—bd)+(ad+bc)Y—1- Пары действи-
тельных чисел, с которыми мы манипулируем по этим правилам, воспро-
изводят все обычное поведение комплексных чисел. А непостижимый
—1, эта «амфибия между бытием и небытием», всплывает из моря ак-
сиоматики как числовая пара (0, 1).
'Таким образом, преодолев четыре ступени построений и абстракций, мы
перешли от исходных положительных целых чисел к комплексным числам.
Пары положительных целых, комбинируемые определенным способом, при-
вели нас к множеству всех целых чисел. Пары любых целых чисел (или,
как мы можем теперь считать, пары пар положительных целых чисел),
комбинируемые другим способом, привели к рациональным числам.
Бесконечные последовательности рациональных чисел завершили построение
всех действительных чисел. И, наконец, пары любых действительных чисел
привели нас к комплексным числам.
44
Оглядываясь на те 2500 лет, которые отделяют нас от Пифагора,
мы можем выделить два основных направления в арифметике. Во-первых,
направление синтеза, которое, исходя из простейшего взгляда на числа
как на счетные знаки, привело к построению числовых концепций все воз-
растающей сложности, образованию сложных молекул из атомов. Во-вто-
рых, направление анализа, в котором математик старается достичь пони-
мания сущности чисел путем расчленения сложностей на простейшие
элементы. Оба эти направления чрезвычайно важны. Профессиональные мате-
матики сегодня склонны отнестись пренебрежительно к числам как тако-
вым, выдвигая на первый план качественные аспекты математики, подчер-
кивая ее логическую структуру и символические возможности. Тем не менее
в математических журналах нередко встречаются новые идеи о числах, и
современные арифметические теории именно сейчас получают широкое рас-
пространение в системе среднего образования, проникая даже в програм-
му начальных школ. В настоящее время работают комиссии и создаются
программы преподавания современных числовых концепций, включая теорию
множеств и матрицы, для учащихся старших классов. Можно с уверен-
ностью сказать, что грядущее поколение с захватывающим интересом будет
познавать тайны арифметики и многообразие ее применений.
Геометрия
Целых 2000 лет под геометрией подразумевалась евклидова
геометрия. Затем обнаружили, кто9 другие геометрии с не-
меньшим успехом служат для описания физического про-
странства и что геометрия — это наука о всех возможных
пространствах.
Моррис Клайн
Развитие математики зависит от достижений как арифметики, так и
геометрии.. Тем не менее нельзя сказать, что эти ключевые разделы
математики всегда развивались бок о бок. Часто они конкурировали один
с другим и развитие одного из них происходило за счет другого. История
порой напряженных взаимоотношений между этими двумя дисциплинами,
которых по существу объединяет одна общая цель, невольно ассоциирует-
ся с контрапунктными темами в музыке.
Геометрия оказалась тем разделом математики, в котором был сде-
лан первый крупный шаг. Еще за 4000 лет до н. э. у египетских и вави-
лонских плотников и землемеров существовала некая примитивная мате-
матика, но лишь греческим философам (600 — 300 гг. до н. э.) удалось соз-
дать стройную систему из абстракций и дедуктивных доказательств, а
также воздвигнуть величественное здание евклидовой геометрии, посвя-
тив ее раскрытию тайн Вселенной.
Одной из самых важных причин, побудивших греков обратиться к
геометрии, была трудность, с которой они столкнулись при рассмотре-
нии иррационального числа, т. е. числа, которое не является ни целым, ни
отношением двух целых чисел. Эта трудность возникла в связи со зна-
менитой теоремой Пифагора о том, что длина гипотенузы прямоугольного
треугольника есть корень квадратный из суммы квадратов длин его катетов.
В прямоугольном треугольнике с катетами длиной в одну единицу каждый
длина гипотенузы должна быть равна ]/2, т. е. иррациональному числу.
Понять это оказалось выше сил древних греков: поскольку число для них
всегда означало либо целое число, либо отношение двух целых чисел.
Греки обошли возникшее препятствие, создав геометрию с теоремами и
доказательствами без чисел. Ныне она известна как чистая, или синтети-
ческая, геометрия (последний, неудачный термин теперь может быть оп-
равдан только с точки зрения истории его возникновения).
Поскольку математика древних греков предназначалась для уста-
новления истин в окружающем мире, она должна была и основываться
на них. К счастью, в руках греков было несколько таких явных и несо-
мненных истин: две точки определяют прямую; прямую линию можно про-
должить неограниченно далеко в обоих направлениях; все прямые углы
равны; если к равным прибавить равные, получатся снова равные; фигуры,
Фиг. 15. Репродукция с фрагмента картины Рафаэля «Обручение Марии» раскрывает,
как художники эпохи Возрождения разрешили задачу перспективного изображения
и внесли тем самым вклад в развитие проективной геометрии. Белым выделены линии,
которые в действительности горизонтальны, параллельны друг другу и направлены
от зрителя, смотрящего на картину. Художник рисует их сходящимися к так называе-
мой главной исчезающей точке.
47
Фиг. 16. Конические сечения дают основные кривые, которыми оперирует геометрия.
Вдоль любого ряда букв (например, а, а', а") слева видна плоскость, секущая конус
(при этом получается кривая), в центре—сама кривая, а справа — соответствующая
ей геометрическая поверхность. Так а' — круг, а" — сфера; бг — эллипс, б" — эл-
!
51
липсоид; в' — парабола, в" — параболоид и, наконец, г* — гипербола, гп — гипер-
болоид. Определения и свойства конических сечений были разработаны учеными
Древней Греции, главным образом Аполлонием.
которые могут быть совмещены, являются конгруэнтными. Одни аксиомы
относятся главным образом к самому пространству, другие — к фигурам
в пространстве.
Из этих аксиом Евклид в своих «Началах» вывел почти 500 теорем.
В других трудах Евклида и его последователей — прежде всего Архимеда
и Аполлония — можно найти еще сотни теорем. Поскольку греки занима-
лись исключительно геометрией, то оказалось, что многие чисто геомет-
рические теоремы содержат результаты, ныне рассматриваемые как алге-
браические. Например, решение квадратного уравнения с одним неизвест-
ным (типа х2—8х+7=0) было получено геометрически, и ответ Евклида
был не численным, а в виде отрезка прямой. Отсюда можно сделать вывод,
что евклидова геометрия включала в себя алгебру, которая была уже из-
вестна в то время.
Упомянутое обилие теорем могло бы навести на мысль, что греки
свободно переходили от одной темы исследования к другой. Однако подоб-
ное представление ошибочно. Фигуры, которые они избирали для своих
исследований, были основными: к одной категории относились прямые,
и кривые, к другой — поверхности. В первую категорию входили как
треугольники, так и разные конические сечения: круг, парабола, эллипс
и гипербола. Ко второй категории относились куб, сфера, параболоид,
эллипсоид и гиперболоид (фиг. 16). Затем греческие геометры взялись
за решение основных задач, связанных с этими фигурами. Например,
что нужно знать о двух фигурах, для того чтобы утверждать, что они кон-
груэнтны (т. е. тождественны во всем, кроме положения в пространстве),
подобны (т. е. имеют одну и ту же форму при разных размерах) или же
равновелики (т. е. имеют одинаковую площадь)? Итак, конгруэнтность,
подобие и равновеликость — главные темы евклидовой геометрии, и боль-
шинство ее теорем касается именно этих вопросов.
Древнегреческая цивилизация, породившая геометрию Евклида, была
разрушена Александром Великим, а затем возрождена на новых
началах в Египте. Александр перенес центр своей империи из Афин в
город, который он «скромно» назвал Александрией, и поставил перед собой
задачу слить воедино цивилизации Греции и Ближнего Востока. Этот за-
мысел был окончательно осуществлен преемниками Александра Птоле-
меями, которые правили Египтом с 323 г. до н. э., до тех самых пор, пока
последняя представительница их рода Клеопатра не была соблазнена
римлянами. Под влиянием Египта и Персии александрийская цивилизация
обрела технический уклон, преследуя в большей мере чисто практические'
цели. Математики внесли свой вклад в это направление.
Количественные показатели, как известно, играют главенствующую
роль как в прикладных науках, так и в технике. С целью получения коли-
чественных результатов александрийцы привнесли в геометрию числа,
иными словами — арифметику и алгебру. Однако эти дисциплины не имели
действительно логического обоснования, и александрийцы просто позаим-
ствовали эмпирически обоснованные арифметические сведения у египтян
и вавилонян. А поскольку евклидова геометрия предлагала убедительные
доказательства, она еще многие века продолжала оставаться доминирую-
щей. И только в XIX в. математики, наконец, дали арифметике и алгебре
аксиоматическую основу.
50
В настоящее время геометрия имеет несколько ветвей. Первый шаг к
новой геометрии сделали художники эпохи Возрождения, которые би-
лись над задачей точного изображения того, что видит глаз. Поскольку
реальные картины являются трехмерными, а картины, выполненные ху-
дожниками,— двумерными, то может показаться, что нельзя рисовать
реалистически. Художники положили в основу решения этой проблемы
зрительное восприятие. Представим себе человека, смотрящего одним гла-
зом в окно на некую реальную сцену. Он видит ее потому, что световые
лучи, испускаемые различными точками этой «картины», достигают его
глаза. Скопление таких световых лучей называют проектирующим пучком
или проецированием. А поскольку лучи проходят сквозь стекло, мы имеем
возможность отметить на нем точку, через которую проходит каждый луч.
Совокупность всех таких точек называется проекцией. Художникам при-
надлежит открытие, что глаз воспринимает проекцию точно так же, как
и саму реальную сцену. Физики легко это объясняют (фиг. 17). Испускают-
ся ли световые лучи частицами реальной картины или же точками на стек-
ле, глаз человека достигают одни и те же световые лучи. Следовательно,
и холст может вместить всю картину, возникающую на стекле. Такую
«одноглазую» схему (в зрении участвуют оба глаза) художники восполня-
ли тем, что дальние предметы изображали менее яркими и вводили
светотень. Насколько они преуспели в решении задачи перспективы,
можно судить по картине, репродукция с которой помещена на стр. 46.
Использование метода проецирования поставило на повестку дня
основной геометрический вопрос, который впервые был рассмотрен худож-
никами и затем подхвачен математиками. Каковы же те общие геометри-
ческие свойства исходной фигуры и ее проекции, которые дают возможность
произвести один и тот же эффект на зрение человека? Поиски ответа на
этот вопрос привели к новым понятиям и теоремам, на основе которых
окончательно сформировалась новая ветвь геометрии, называемая проек-
тивной геометрией1. Ниже приводятся некоторые из этих понятий и тео-
рем. На фиг. 17 видно, что проекция прямой—это прямая и что если две
прямые пересекаются в одной точке, то их проекцией будут также
две пересекающиеся прямые, хотя угол между ними обычно отличается
от угла между исходными прямыми. Отсюда следует, например, что тре-
угольник даст треугольную проекцию, а четырехугольник — четырех-
угольную.
Более существенный пример свойств, общих для фигуры и ее проек-
ции, привел в XVII в. французский архитектор и инженер-самоучка Же-
рар Дезарг. Он показал, что для любого треугольника и произвольной его
проекции три точки, в которых пересекаются соответственные стороны,
непременно лежат на одной прямой (фиг. 18). Такое утверждение ныне
известно как теорема Дезарга. Значение этой и других теорем проектив-
ной геометрии в том, что в них не затрагиваются конгруэнтность, подобие,
равновеликость или иные понятия геометрии Евклида, а взамен рассмат-
риваются такие понятия, как «лежать на одной прямой» (о точках), «иметь
общую точку» (о прямых), и другие представления, ведущие свое проис-
хождение от понятия проекции.
1 КН пе Morris, Protective Geometry, «Scientific American», January, 1955.
(Рекомендуем читателю превосходную книгу О. А. Больберга «Основные идеи проек-
тивной геометрии», изд. 3, М.—Л., Учпедгиз, 1949, 188 стр.), в которой, как указы,
вает ее редактор Н. В. Ефимов, «своеобразная система изложения гармонирует с его
легкостью и эмоциональностью». — Прим, ред.
51
К ГОРИЗОНТУ
Фиг. 17 Методы проецирования и понятия, возникшие из работ художников, внесли
свой вклад в развитие проективной геометрии. При проецировании квадрата ACDB
по отношению к двум наблюдателям образуются проекции (изображено красным) на
некоторой секущей плоскости. На рисунке квадрат должен быть изображен в виде
проекции, чтобы он выглядел правдиво на взгляд зрителя.
Фиг. 18. Теорема Дезарга из проективной геометрии устанавливает связь между
свойствами, общими для геометрической фигуры и ее проекций. Теорема утверждает,
что любая сторона треугольника (АВС) и соответствующая ей сторона проекции (изоб-
ражено красным) обязательно пересекутся [быть может, в бесконечно удаленной точке
(если эти стороны параллельны).— Прим. ред. ] (как, например, стороны ВС и В'С'
пересекаются в точке R) и что все три такие точки пересечения Р, Q и R лежат на
одной прямой.
Расцвет проективной геометрии, впрочем, длился не долго; ее оттеснила
новая соперница, появившаяся на математической сцене. Эта соперница,
воплотившая в себе алгебраический подход к геометрии, теперь называется
аналитической, или координатной, геометрией. Возникновение этой дис-
циплины было обусловлено целым рядом событий и открытий, потрясших
научную мысль Западной Европы XVI и XVII вв. и выдвинувших на
передний план проблему установления и использования свойств кривых
и поверхностей.
Когда Николай Коперник и Иоганн Кеплер создали гелиоцентриче-
скую систему движения планет, стала очевидной необходимость разработки
эффективных методов работы с коническими сечениями, ибо именно с их
помощью описываются пути движения небесных тел в такой системе. Более
того, поскольку классическая механика греков, основывающаяся на не-
подвижности Земли, была признана неосновательной, гелиоцентрическая
теория нуждалась в совершенно новой науке о движении, а следователь-
но, и в изучении кривых, по которым тела движутся.
Под влиянием еще ряда факторов геометрия стала развиваться именно
в этом направлении. Все более распространяющееся применение пороха
выдвинуло задачу о траекториях полета снарядов. Изобретение телескопа
и микроскопа вызвало необходимость в изучении линз различной конфи-
гурации. Географические исследования требовали карт, в частности нужно
было, чтобы линии на глобусе соответствовали линиям на плоской карте.
В результате не только выявилась острая нехватка знаний свойств уже
известных кривых, но и потребовалось ввести в рассмотрение новые
кривые. Рене Декарт и Пьер де Ферма знали, что синтетические евкли-
довы методы слишком ограничены, чтобы с их помощью решать такого
рода задачи.
Декарт и Ферма, внесшие огромный вклад в такую быстро развиваю-
щуюся дисциплину, как алгебра, видели, что она позволяет выработать
определенную методологию для геометрии. В разработанной ими анали-
тической геометрии кривые описываются соответствующими уравнениями
благодаря введению системы координат. С помощью такой системы по-
ложение точек на плоскости или в пространстве определяется посредст-
вом чисел. В случае плоскости в системе используются два числа —
абсцисса и ордината (фиг. 19). Абсцисса выражает расстояние точки на
плоскости от некоторой фиксированной вертикали, называемой осью
У, а ордината — расстояние точки от некоторой фиксированной горизон-
тали, называемой осью X. Все расстояния вправо от оси Y и вверх от оси
X считаются положительными, а в противоположных направлениях —
отрицательными.
Каким же образом это нововведение дает нам возможность представ-
лять кривые алгебраически? Рассмотрим окружность радиусом 5 единиц.
Окружность, как и всякая другая кривая, представляет собой некото-
рую частную совокупность точек. Если же поместить ее в систему коор-
динат, то каждая точка на ней будет характеризоваться парой координат.
Поскольку окружность—частная совокупность точек, то их координаты
в некотором смысле особые, что выражается приведенным на фиг. 19
уравнением х2+у2=52. В действительности, если взять абсциссу любой
точки окружности и подставить ее вместо х и взять ординату этой же
точки и подставить ее вместо у, то число, полученное от сложения х2
с у2, равно 25. В таких случаях говорят, что координаты точек кривой
удовлетворяют данному уравнению. Более, того, нашему уравнению удов-
летворяют только координаты точек, лежащих на данной кривой. Для
случая поверхности справедливо уравнение, включающее три координаты.
Так, уравнение сферы радиусом 5 единиц имеет вид х2 +у2 +*2 =25.
53
Фиг. 19. Декартова система координат дала возможность описать любые геометри-
ческие формы посредством уравнений. Для окружности радиусом 5 единиц (слева)
такое уравнение имеет вид xa4~i/a=25. Любые значения х и у, которые при подста-
новке в уравнение дают 25, представляют некоторую точку этой окружности; для
точки Р, например, х=3, а у=4. Справа изображена сфера, уравнение которой есть
x2+y2+z2=25.
Таким образом, в схеме Ферма — Декарта точки превратились в
пары чисел, а кривые — в совокупности таких пар, объединяемых урав-
нениями. Теперь свойства кривых можно было вывести с помощью алгебра-
ических методов решения этих уравнений. Итак, развитие связи ариф-
метики с геометрией описало полный круг. В то время как у древних
греков алгебра была погребена в геометрии, теперь, наоборот, алгебра
затмила геометрию. На языке математиков это называется арифмети-
зацией геометрии.
Декарт и Ферма оказались не совсем правы, полагая, что алгебраический
аппарат обеспечит эффективные методы обращения с кривыми. Этими
методами, например, невозможно было справиться с такими основными
свойствами кривых, как наклон и кривизна. Наклон — показатель степени
подъема или спуска кривой на единицу горизонтали, а кривизна — пока-
затель изменения направления кривой на единицу длины самой кривой.
И наклон и кривизна изменяются от точки к точке вдоль всех кривых, за
исключением прямой линии и окружности. Для вычисления показателей,
меняющихся от точки к точке, чисто алгебраический аппарат Декарта и
Ферма оказывается недостаточным, здесь приходится прибегать к матема-
тическому анализу, в частности дифференциальному исчислению, посколь-
ку оно дает возможность найти эти показатели.
Использование дифференциального исчисления настолько облегчило
изучение кривых, что появился новый раздел математики под названием
«дифференциальная геометрия». В ней рассматриваются разнообразные
задачи, выходящие за рамки вычислений наклона и кривизны, в частности
задача о геодезической линии, или кратчайшем пути, между двумя точками
на поверхности. Пусть требуется узнать, какая кривая, связывающая две
заданные точки Р и Q на поверхности Земли, определяет кратчайшее рас-
стояние между этими точками по заданной поверхности. Если считать Землю
сферой, ответ на этот вопрос прост. Геодезическими тогда служат дуги боль-
54
ших кругов. (Большой круг делит сферу пополам; экватор, например,
является большим кругом в отличие от других параллелей земного шара.)
Если, однако, тщательнее рассмотреть эту задачу и считать Землю эллип-
соидом, геодезические линии становятся более сложными кривыми и зависят
от выбора точек Р и Q. Дифференциальная геометрия рассматривает также
задачи, связанные с кривизной поверхности при изготовлении географи-
ческих карт и с поверхностями наименьшей площади, ограниченными
кривыми в пространстве (столь просто получаемыми с помощью мыльных
пленок; см. фиг. 21).
С точки зрения чистой геометрии методы аналитической и дифферен-
циальной геометрии казались даже подозрительно преуспевающими. Хотя
в этих дисциплинах рассматривались геометрические объекты, кривые
представлялись в них уравнениями и методы доказательств были алге-
браическими или аналитическими (т. е. в них использовались методы диф-
ференциального исчисления). Красивые геометрические обоснования были
заброшены, и геометрия потонула в море формул. Тем самым был предан
забвению сам дух геометрии.
На протяжении целых 150 лет сторонники чистой геометрии остава-
лись в тени. В XIX в. они, однако, нашли в себе мужество и силы, чтобы
вновь упрочить свои позиции. Восстановление прав геометрии начал Гас-
пар Монж (1746—1818), ведущий французский математик и советник На-
полеона. Он считал, что аналитики предали геометрию и поставили
себя в невыгодное положение из-за того, что не смогли дать своему ана*
лизу геометрическую интерпретацию и не взяли на вооружение геометри-
ческие рисунки. Своим энтузиазмом Монж сплотил вокруг себя весьма
широкий круг учеников, среди которых были Л. Карно (1753—1823),
Шарль Брианшон (1785—1864) и Жан Виктор Понселе (1788—1867). Эти
люди, заразившиеся «геометрическим пылом» Монжа, пошли даже
дальше своего учителя и пытались показать, что геометрическими метода-
ми можно достичь того же и даже еще большего, чем алгебраическими и
аналитическими. Последователи Монжа поставили перед собой задачу
одержать верх над Декартом, илй, как сказал Карно, «освободить гео-
метрию от иероглифов анализа».
Геометры, предводимые Понселе, вернулись снова к проективной гео-
метрии, которая была так безжалостно заброшена в XVII в. Понселе, слу-
живший офицером в наполеоновской армии, попал к русским в плен, где
пробыл с 1813 по 1814 г. Там без каких бы то ни было книг он восстановил
в своей памяти все, что узнал от Монжа, и добился новых результатов в
проективной геометрии.
XIX в. был отмечен бурным развитием проективной геометрии. Лю-
бопытно, что алгебраический метод, который по существу оказался расши-
ренным методом координатной геометрии, продвинулся до такой степени,
что с его помощью стали доказывать теоремы самой геометрии. В связи с этим
узурпировались интересы сторонников «чистой» геометрии, которые пытались
ее возродить. Но проективная геометрия вскоре снова была предана забве-
нию — появилась на свет неевклидова геометрия. Возникновение этого но-
вого направления имело столь же драматичный и значимый характер, как
и создание математики древними греками.
В течение всего длительного царствования геометрии Евклида многие
математики были обеспокоены небольшим недостатком, который,
как казалось, портил существующий набор аксиом. Евклид сформулировал
свою аксиому о параллельных прямых (под каковыми подразумеваются
две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие ни одной
55
общей точки) следующим образом: если прямая п пересекает две другие
прямые I и т так, что соответственные углы с каждой из них оказываются в
сумме меньше 180°, то / и т встречаются по ту сторону от прямой и, по ка-
кую лежат эти углы. Эта аксиома существенна для вывода наиболее
важных теорем евклидовой геометрии, среди которых, например, теорема
о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Формулировка упомя-
нутой выше аксиомы несколько туманна, и есть основания полагать, что
сам Евклид не был удовлетворен ею. Но и он и все математики вплоть до
XIX в. искренне верили в истинность этого утверждения, иными словами,
а у них не было сомнений, что это достоверная идеализация свойств реаль-
* ных, физически существующих прямых. Евклида и его последователей
беспокоило только то, что данная аксиома не была столь очевидна, как,
скажем, аксиома о равенстве двух прямых углов.
Со времен греков математики пытались заменить аксиому о параллель-
ных прямых какой-либо эквивалентной, т. е. такой, которая вместе с ос-
тальными девятью аксиомами Евклида дала бы возможность вывести все
его теоремы. Предлагались многие эквивалентные аксиомы. Одну из них,
предложенную математиком Джоном Плэйфэйром (1748—1819), обычно
преподают в средней школе. Согласно этой аксиоме, если заданы прямая
/ и точка Р, не лежащая на этой прямой, то существует только одна прямая
т в плоскости, содержащей I и Р, которая проходит через Р и не пересе-
кается с /.
Аксиома Плэйфэйра не только эквивалентна евклидовой аксиоме,
но и проще ее; к тому же она кажется более правдоподобной, поскольку соз-
дает впечатление, что утверждает несомненное и самоочевидное свойство пря-
мых в физическом пространстве. Позднее, однако, аксиома Плэйфэйра,
как и всякая другая, объявлявшаяся эквивалентной евклидовой, переста-
ла удовлетворять математиков, так как все они прямо или косвенно касались
того, что происходит где-то далеко в пространстве. Так, по аксиоме Плэй-
фэйра прямые 11л т не встретятся, сколько бы мы ни продолжали эти линии.
В результате аксиома Евклида оставалась лучшей, поскольку касалась
условия пересечения прямых на некотором конечном расстоянии.
Что же предосудительного в аксиоме, которая утверждает нечто про-
исходящее где-то далеко в пространстве? Дело в том, что такие аксиомы
не поддаются проверке опытом. Предполагалось, что аксиомы евклидо-
вой геометрии — несомненные истины о реальном мире. Однако можно
ли с уверенностью сказать, что две прямые линии будут простираться
сколь угодно далеко в физическом пространстве, но так и не встретятся?
Здесь математики столкнулись с тем, что евклидова аксиома о парал-
лельных не столь уж самоочевидна, а все эквивалентные ей, казавшиеся
более очевидными, при ближайшем рассмотрении также не внушали
доверия.
Проблема аксиомы о параллельных, или, как интерпретировал ее
французский математик Жан Лерон Даламбер, «скандал в геометрии»,
привлекала к себе внимание математиков всех времен. Историю этих ис-
следований стоило бы упомянуть даже только для того, чтобы подчеркнуть
настойчивость и самокритичность математиков. Здесь необходимо опус-
тить исторический экскурс и перейти непосредственно к рассмотрению
результатов этих исследований. Истину, нарушающую истину, впервые
ясно увидел величайший из всех математиков XIX в. Карл Фридрих Гаусс
(1777—1855). Прежде всего он заметил существенное в самой постановке
вопроса, а именно то, что аксиома о параллельных не зависит от
девяти других, т. е. логически возможно выбрать противоречащую ей ак-
сиому и использовать ее в сочетании с девятью остальными аксиомами
Евклида для вывода теорем новой геометрии. Так, можно предположить,
56
что для заданных прямой / и точки Р, не лежащей на этой прямой, суще-
ствует бесконечное число прямых, проходящих через Р и лежащих в плос-
кости Р и /, которые не пересекаются с /. Эту аксиому и принял
Гаусс и из нее вкупе с девятью остальными аксиомами Евклида вывел
множество теорем. Свою новую геометрию Гаусс назвал неевклидовой
геометрией1.
Как и следовало ожидать, многие теоремы новой геометрии проти-
воречили теоремам евклидовой геометрии. Сумма углов треугольника в
этой геометрии всегда меньше 180°. Более того, такая сумма меняется с
размером треугольника и тем ближе к 180°, чем ближе площадь треуголь-
ника к нулю.
Уже сам факт существования логической альтернативы наряду с гео-
метрией Евклида казался явлением потрясающим. Геометрия вплоть до
этого времени была в основном евклидовой, а аналитическая и дифферен-
циальная геометрия — просто другими техническими методами; про-
ективная геометрия, хотя и имела дело с новыми представлениями и но-
вой тематикой, полностью соответствовала положениям евклидовой гео-
метрии. Неевклидова же геометрия вступила с ней в конфликт.
Еще более поражал второй вывод Гаусса. Он заключался в том, что
неевклидову геометрию можно использовать для представления физи-
ческого пространства с тем же успехом, что и евклидову. На первый взгляд
такое утверждение может показаться бессмысленным. Если уж сумма
углов треугольника равна 180°, то как она может одновременно быть ме-
нее 180°? Разъяснение этой парадоксальной ситуации таково: в неевкли-
довой геометрии сумма углов треугольника может быть сколь угодно близ-
кой к 180°, когда размер треугольника достаточно мал. Те треугольники,
с которыми мы обычно имеем дело, тоже малы, и поэтому сумма их углов
может оказаться столь близкой к 180°, что неизбежные ошибки при измере-
нии углов не дадут нам заметить разницы.
Путаница, которую внесла неевклидова геометрия, была необычай-
ной. Если и та и другая геометрии одинаково хорошо описывают физиче-
ское пространство, то где правда об этом пространстве и о фигурах в нем?
На этот вопрос трудно ответить. Должен ли человек ограничивать себя
выбором только этих двух геометрий? Такая печальная возможность тоже
вскоре была осознана. Математики были подавлены еще больше тем, что
геометрия не дает истинного представления о физическом пространстве,
а только служит для изучения возможных пространств. Несколько таких
математически сконструированных пространств, сильно отличающихся
друг от друга, могли соответствовать различным понятиям о физическом
пространстве с равным успехом, во всяком случае в той степени, в какой
об этом позволяет судить эксперимент.
Само понятие «геометрия» нуждалось теперь в проверке, что, впрочем,
было верно и в отношении математики в целом. И так как в продолжение
более чем 2000 лет математика была бастионом истины, неевклидова гео-
метрия — этот триумф разума — казалась интеллектуальным бедствием.
С появление»/ новой геометрии утвердилась мысль, что математика, не-
смотря на всю пользу, приносимую ею в дисциплинировании мышления
1 «Сам Гаусс ничего не опубликовал, кроме немногих случайных высказываний
об этом своем великом открытии.. Первые опубликованные работы по неевклидовой
геометрии написали русский геометр Н И. Лобачевский (1829) и венгр Больяй
младший (1832), которые нашли эти результаты независимо один от другого и обладали
ими, насколько можно судить по имеющимся материалам, уже в 1826 г. и соответст-
венно в 1823 г.> (Ф ел и кс Клейн, Элементарная математика с точки зрения
высшей, т. 2, «Геометрия». Перевод с 3-го немецкого издания, М.—Л., ГТТИ, 1934,
стр. 292). — Прим. ред.
57
человека и в содействии его творческому труду, не отражает истины, а
представляет собой некую выдумку, имеющую лишь видимость истины.
Новые перспективы, открывшиеся в геометрии, были необычайно рас-
ширены трудами Георга Фридриха Бернгарда Римана (1826—1866). Риман
был одним из учеников Гаусса и, несомненно, почерпнул от него интерес
к изучению физического мира. Риман сразу же отметил, что в области гео-
метрии математики впали в заблуждение, поверив, что евклидова аксиома
о параллельных абсолютно верна. А не впали ли они в заблуждение, при-
няв на веру еще одну или даже несколько аксиом Евклида? Риман тотчас
ополчился против аксиомы о бесконечности прямой линии. Опыт, указывал
он, не убеждает нас в бесконечности физической прямой, а показывает
только, что, следуя вдоль прямой, мы никогда не достигнем ее конца. Ведь
так же невозможно отыскать конец прямой, если идти вдоль экватора Земли.
Другими словами, из опыта мы узнаем только, что у прямой линии нет точ-
ки, которую можно было бы считать конечной, или граничной. Если мы
соответственно изменим аксиому Евклида, о которой идет речь, и пред-
положим, что параллельных прямых не существует вовсе, мы получим
новый набор аксиом, который составит основу еще одной неевклидовой
геометрии.
В работе 1854 г., озаглавленной «О гипотезах, лежащих в основании
геометрии», Риман провел еще более глубокое исследование возможных
пространств, используя лишь самые достоверные факты о физическом
пространстве. Он создал новую ветвь геометрии, известную теперь как
риманова геометрия, которая открыла новое неисчислимое многообразие
математических пространств1.
Чтобы постичь геометрию Римана, нужно усвоить сначала, что вся
геометрия определяется тем, что выбрано за расстояние между двумя точ-
ками. Это можно без труда показать. Рассмотрим три точки на поверхнос-
ти Земли. За расстояние между любыми двумя из них можно принять
длину обычного прямолинейного отрезка, который соединяет их под землей.
В этом случае получится треугольник, обладающий всеми свойствами
обычного евклидова треугольника. Сумма его углов, в частности, равна
180°. Можно было бы, однако, взять за расстояние между любыми двумя
из этих точек расстояние по поверхности Земли, понимая под ним длину
дуги большого круга, проходящего через эти точки. В этом случае три
наши точки определят так называемый сферический треугольник. Такие
треугольники обладают уже совершенно иными свойствами. Сумма их
углов, к примеру, может изменяться в пределах от 180 до 540° (фиг. 20).
Этот результат относится к сферической геометрии.
1 См. подробнее в статье Р. LeCorbeiller, The curvature of space, «Sci-
entific American», November 1954.
58
170
Фиг. 20. Сферические треугольники могут иметь
углы, сумма которых больше 180°. На левой сфе-
ре изображен треугольник, углы которого в
сумме составляют 190°. На следующих сферах
показаны треугольники с суммами углов соот-
ветственно 270, 350 и 510°. Сферические треуголь-
ники наглядно иллюстрируют положения неев-
клидовой геометрии Римана.
Риман первым попытался создать геометрию для изменяющихся конфи-
гураций.
Допустим, что мы хотим изобрести геометрию, которая была бы при-
годна для поверхности на горной местности. В некоторых местах такая
поверхность плоская, в других на ней могут находиться холмы кониче-
ской формы, а в третьих — полусферической. Характер поверхности ме-
няется от места к месту, а значит, и определяющая всю геометрию формула
расстояния тоже должна изменяться от места к месту и, возможно, даже
от точки к точке. Другими словами, Риман ввел в рассмотрение неодно-
родные пространства, характеристики которых меняются от точки к точке,
т. е. пространства переменной кривизны.
Риман умер в возрасте сорока лет, успев сделать лишь самый общий
набросок своей концепции пространства. В дальнейшем развитии идей
Римана принимали и продолжают принимать участие многие ученые. В на-
чале нашего столетия существенный вклад в риманову геометрию внесли
итальянские математики Грегорио Риччи и Туллио Леви-Чивита. Риччи
ввел тензорное исчисление — формальный аппарат, дающий возможность
выражать геометрические соотношения безотносительно к системе коор-
динат. Леви-Чивита внес в риманову геометрию понятие параллельности,
что позволило применить понятия евклидовой геометрии о параллельности
в самых разнообразных пространствах.
Создание Альбертом Эйнштейном общей теории относительности не
только стимулировало дальнейшее развитие римановой геометрии, но и
выдвинуло задачу объединения гравитации и электромагнетизма в единой
математической схеме. В этой связи Герман Вейль в 1918 г. ввел, как
он сам их назвал, пространства аффинной связности. В концепции Вейля
при установлении связи между точками в пространстве исполь-
зовалось леви-чивитовское понятие параллельности, а не понятие рас-
стояния. Выражение для расстояния, еще более обобщенное, чем у Ри-
мана, приводит к пространствам, известным как финслеровы простран-
ства.
Г)иман явился также основоположником топологии — другой ветви
* геометрии, где исследования ведутся сейчас наиболее активно. В 50-х
годах XIX в. Риман работал над тем, что теперь называют функциями
комплексного переменного, и для представления этих функций он ввел
класс поверхностей, теперь называемых римановыми. Было доказано,
что свойства таких функций тесно связаны с геометрическими свойствами
этих поверхностей. Однако для любой заданной функции точная форма
соответствующей поверхности не была решающей. А потому Риман счел
нужным классифицировать поверхности исходя из новых принципов.
59
Задавшись двумя подобными фигурами, например большим и малень-
ким треугольниками одинаковой формы, мы можем любой из них рассмат-
ривать как результат деформации или преобразования другого, т. е. либо
считать, что меньший треугольник равномерно растянут до большего, либо,
наоборот, больший равномерно сжат до меньшего. При построении проек-
ции фигура подвергается более существенным изменениям. Но даже
и при таких преобразованиях четырехугольник остается четырехуголь-
ником. Можно рассматривать еще более радикальные преобразования.
Например, круг изогнуть так, что получится эллипс или даже фигура
еще более сложной формы, а сферу вытянуть, придав ей форму яйца.
В рассмотрениях Римана круг может быть заменен эллипсом, а сфе-
ра — яйцом. Но круг, восьмерка и трилистник не являются такими вза-
имозаменяемыми фигурами, так же как сфера, баранка и крендель не яв-
ляются взаимозаменяемыми поверхностями.
Итак, Риман перешел к рассмотрению преобразований, допускающих
растяжение, сжатие, изгиб и даже скручивание. Фигуры, которые могут
быть получены одна из другой посредством таких преобразований, назы-
ваются гомеоморфными или топологически эквивалентными. Если же,
однако, какую-либо фигуру вытянуть или сдавить, чтобы какие-то ее точ-
ки соприкоснулись, то вновь образовавшаяся фигура уже не будет тополо-
гически эквивалентна старой. Например, круг можно сдавить сверху и
снизу так, что получится восьмерка, но эта фигура уже не будет тополо-
гически эквивалентна кругу. Топологически эквивалентные фигуры легко
описать, если представить их сделанными из резины. Тогда любая фигура,
которая возникнет, если сжимать, растягивать, как угодно деформиро-
вать (но не рв^ть) резину, будет топологически эквивалентна первона-
чальной.
Главная задача топологии — установить, когда две фигуры тополо-
гически эквивалентны. Однако это может оказаться трудным, если просто
на глаз сравнивать фигуры, в частности потому, что топология рассматривает
фигуры трехмерные или даже еще большего числа измерений. По этой и
другим причинам стараются охарактеризовать эквивалентные фигуры
посредством некоторых определяющих свойств, и если они обнаруживаются
в двух фигурах, то такие фигуры топологически эквивалентны точно так
же, как, например, два треугольника конгруэнтны, когда две сто-
роны и угол, заключенный между ними, в одном треугольнике равны
соответственным элементам в другом. Если, например, нарисовать на
поверхности сферы или эллипсоида любую замкнутую кривую, то она огра-
ничит часть поверхности. На торе этого не получается (фиг. 23).
Поэтому сфера и тор не являются топологически эквивалентными. Можно
было бы характеризовать замкнутые поверхности тем, что кривые очер-
чивают на них ограниченные области, но для поверхностей более сложных
или с большим числом измерений такой критерий окажется уже недоста-
точным.
Хотя многие из основных задач топологии и остаются еще не решен-
ными, математики по мере возможности все же продвигают эту науку впе-
ред; в результате за последние десять лет разработана новая ветвь, назы-
ваемая дифференциальной топологией. В ней объединены методы топологии
и дифференциальной геометрии в надежде, что в сочетании они дадут луч-
шие результаты, чем в отдельности.
Другой стремительно развивающейся областью в наши дни является
алгебраическая геометрия. Двести лет она была лишь дополнением к ко-
ординатной геометрии и предназначалась для изучения более сложных,
чем конические сечения, кривых, определяемых уравнениями выше второй
степени. С конца XIX в., однако, алгебраическую геометрию стали рас-
60
Фиг. 21. Мыльные пленки всегда приобретают форму поверхностей с наименьшей
возможной площадью. Дифференциальная геометрия занимается отысканием поверх-
ностей наименьшей площади, натянутых на замкнутые пространственные кривые.
Эта геометрия применяется также в задачах, связанных с картографией и с определе-
нием кривизны поверхностей.
сматривать как область, которая изучает свойства кривых, поверхностей
и многомерных структур, определяемых алгебраическими уравнениями
и инвариантных по отношению к рациональным преобразованиям. Такие
преобразования искажают фигуру сильнее проективных, но слабее тополо-
гических преобразований.
Математики из-за своей склонности все усложнять и алгебраизировать
наделили координаты в уравнениях алгебраической геометрии комплекс-
ными значениями и даже значениями из алгебраических полей (см. статью
«Арифметика», стр. 29, и статью «Алгебра», стр. 65). Вследствие этого
даже простое уравнение х2+#2=25, которое, когда х и у вещественны,
представляет круг, может быть сложной римановой поверхностью или
структурой, столь необычайной, что ее даже трудно вообразить. Геомет-
рия от этого страдает, зато алгебра выигрывает.
Наше рассмотрение геометрии как науки о свойствах пространства и фи-
гур в нем показало ее рост, многогранность и жизнеспособность, а также
раскрыло внутренние взаимосвязи между ее различными ветвями и дру-
гими отделами математики, но оно не дало представления обо всей природе
современной геометрии. Часто говорят, что алгебра — это язык. То же мож-
но сказать и о геометрии.
Сегодня математики неотступно занимаются абстрактными простран-
ствами, и из самого термина можно сделать вывод, что предметом этого
занятия являются некие идеализированные, понятные лишь посвященным
пространства. Это верно, но наибольшую пользу теория абстрактных про-
странств приносит тем, что она содействует использованию классов
функций в функциональном анализе. «Точками» абстрактного простран-
ства служат обычно функции, а расстоянием между двумя такими точками—
61
Фиг. 22. На рисунке изображены топологические преобразования некоторых извест-
ных фигур Сфера может быть деформирована в яйцо (а), в форму «ненакаченого мяча»
(б), куб (в) и в деформированный куб (г). Результат каждого преобразования
топологически эквивалентен остальным, а также самой сфере.
некая важная мера разности этих функций. Допустим, что изучаются
функции х2, Зх2 и х3 — 2х и нас интересуют значения, которые они
принимают, когда х изменяется от 0 до 1. Можно определить расстояние
между любыми двумя из указанных функций как наибольшую числен-
ную величину их разности при всех значениях х от 0 до 1. Такие функци-
ональные пространства бесконечномерны. Столь известные в наши дни
гильбертовы и банаховы пространства являются функциональными
пространствами. С математической точки зрения они важны для функци-
онального анализа, который теперь служит главным аппаратом в кванто-
вой механике.
Почему же говорят о пространствах, когда в действительности имеют
дело с функциями? Да потому, что геометрический способ мышления
существенно помогает в создании новых теорем о функциях. То, что иног-
да кажется сложным и непонятным в аналитической формулировке, в гео-
метрической интерпретации может показаться самоочевидным. Изучение
абстрактных пространств составляет, как это ни удивительно, часть тополо-
гии, поскольку важные свойства этих структур, рассматриваются
ли они как действительные пространства или как совокупности функций,
сохраняются (остаются инвариантными) при топологических преоб-
разованиях.
Факт изучения абстрактных пространств ярко иллюстрирует абстракт-
ность современной математики. Геометрия предоставляет возможность
рассматривать модели не только физического пространства, но и любой
структуры, чьи понятия и свойства подходят под геометрическую схему.
И еще в одном жизненно важном отношении геометрия доказывает,
что она представляет собой нечто гораздо большее, чем просто совокупность
тем для размышлений. Мы являемся свидетелями исполнения предсказаний
62
Фиг. 23. Топологическую эквивалентность поверхностей можно установить, вычер-
чивая на них замкнутые кривые. Если каждая такая кривая ограничивает на поверх-
ности некоторую область, то поверхность топологически эквивалентна сфере. Кри-
вая, вычерченная на сфере (слева), не ограничивает части поверхности на торе
(баранке) (в середине) или на кренделе (справа), так что обе эти фигуры топологически
не эквивалентны сфере.
Декарта о том, что физика может быть геометризована. В теории отно-
сительности, одном из двух наиболее замечательных научных достижений
нашего века (квантовая теория — другое величайшее достижение), гравита-
ционный эффект больших масс был сведен к геометрии. В точности так же,
как геометрия холмистой местности требует формулы расстояния, которая
менялась бы от места к месту, для того чтобы отобразить Переменную форму
ландшафта, геометрия Эйнштейна принимает изменяющуюся формулу
расстояния для представления различных масс в пространстве. Материя
определяет геометрию, а геометрия в результате рассчитывает явление,
прежде приписываемое гравитации.
Геометрией уже охвачена часть действительности, и может случиться,
что она должна будет полностью охватить ее. Сегодня физики в квантовой
механике бьются над разрешением кажущихся противоречий в волновых и
корпускулярных свойствах субатомных частиц, и не исключено, что они
должны будут для решения этого вопроса исходить из квантования про-
странства. Не исключено, что материя и пространство сольются, в кон-
це концов, в нечто единое.
Оценивая с современных позиций конкуренцию между геометрией
и алгеброй, можно сказать, что в отношении методики доказательств
геометрия открыла широкие пути алгебре и анализу. Геометрическая
трактовка сложных структур и, конечно, многомерных пространств мо-
жет вызывать недовольство некоторых математиков, подобное тому,
какое Декарт проявлял в отношении евклидовой геометрии, называя ее
«упражнением в осмысливании при непременном условии величайшего
утомления воображения». Более того, нужды науки в количественных
показателях могут быть удовлетворены только при обращении к числам.
Геометрия, однако, позволяет подкреплять формулы и придает
им смысл. Геометрия остается основным источником развития богатой и
плодотворной математической интуиции, которая в свою очередь придает
еще большие творческие силы математикам. Большинство математиков мыс-
лит геометрическими схемами, даже если и следа не остается от этих
«строительных» лесов, когда они представляют свой окончательный ре-
зультат в аналитической форме. Высказывание Платона, что «геометрия
приближает разум к истине», все еще остается в силе.
6
ОПЕРАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТ
1. ОСТАВИТЬ БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ • ♦ •
2. ПОМЕНЯТЬ МЕСТАМИ АиС • • •
3. ЗАМЕНИТЬ А НА В, В НА С, С НА А • • •
4. ПОМЕНЯТЬ МЕСТАМИ С И В • • •
5. ЗАМЕНИТЬ А НА С, В НА А, С НА В • • •
6. ПОМЕНЯТЬ МЕСТАМИ А И В • • •
ПЕРВАЯ ОПЕРАЦИЯ
Алгебра
Элементарная алгебра занимается исключительно общими
свойствами чисел. Высшая алгебра может быть успешно
применена к чему угодно, и в некоторых случаях она раз-
вивается безотносительно к ее конкретному приложению.
У. У. Сойер
ТЛсторию области математики, называемой алгеброй, можно разбить
**на два основных периода. Первый длился с времен таких древнейших
цивилизаций, как египетская и вавилонская, примерно до прошлого сто-
летия, второй — с начала XIX в. до наших дней. В раннюю пору своего
развития математика делилась на отдельные предметы в зависимости от
объектов, которые в данном предмете рассматривались: геометрия была
наукой о форме, арифметика — о числах, а алгебра — о соотношениях
и свойствах чисел вообще (т. е. чисел, выраженных произвольными сим-
волами, чаще всего буквами). Но в такую схему плохо вписывалась три-
гонометрия, поскольку в рассматриваемых ею геометрических задачах
применялись и арифметика, и алгебра, а также аналитическая геометрия,
которая превратила геометрию в ветвь алгебры. Так или иначе, роль ал-
гебры была более или менее четко определена в эту эпоху: под х всегда
подразумевалось число.
Древняя алгебра применялась во многих практических и научных
исследованиях. Археологические данные показывают, что алгебраические
формулы для нахождения объема цилиндра и сферы, по-видимому, исполь-
зовались в древнем Египте при подсчете количества зерна, которое кресть-
янин должен был отдать государству в виде налога. До появления в конце
XVII в. дифференциального и интегрального исчислений, а также небес-
Ф и г. 24. Здесь показано применение алгебры групп к некоторому гипотетическому
явлению физического мира. Представим себе стену с тремя отверстиями, через которые
видно три разных цвета (а). Порядок этих цветов можно поменять шестью различны-
ми способами (6), нажимая одну из шести кнопок, расположенных в нижней части
стены. Эти изменения, или операции, можно проследить по схеме, которая отвечает
четырем основным требованиям, предъявляемым к группе: 1) если одна операция
выполняется вслед за другой, то результат должен быть таким же, как если бы была
выполнена некоторая третья операция; 2) любая последовательность операций подчини*
ется ассоциативному закону, который в символах можно записать как х (yz)= (xy)z\
3) для всякой операции существует обратная (операции 3 и 5 здесь обратны друг другу,
остальные обратны самим себе) и 4) имеется одна тождественная операция, которая
оставляет первоначальный порядок без изменения (здесь это операция 1). Результаты
любой пары последовательных операций представлены на таблице в (она называется
матрицей). Наблюдаемому явлению можно дать следующее «простейшее» физическое
объяснение. Предположим, что позади стены находится соответствующим образом
окрашенный треугольный блок (г). Он может быть повернут или перевернут (при усло-
вии сохранения постоянной ориентации в плоскости) только шестью различными
способами в точном соответствии с шестью цветовыми сочетаниями, видными сквозь
отверстия в стене. Эта конкретная группа относится к конечным некоммутативным
группам: она конечна, ибо число входящих в нее операций конечно, и некоммутативна,
так как последовательность, в которой производятся операции, может повлиять на
результат (ху не обязательно равно ух). Эта некоммутативность демонстрируется на
фиг. д и е, из которых видно, что если операцию 4 произвести вслед за операцией 3,
то результат будет не такой, как получился бы, если бы операция 4 была произведена
первой.
3—831
65
ной механики алгебра и геометрия являлись двойным оплотом всех астро-
номических вычислений. Основные операции древней алгебры знакомы
каждому, кто проходил алгебру по традиционной программе средней
школы. И действительно, человек, изучавший элементарную алгебру и
геометрию в школе, может без каких-либо трудностей усвоить большую
часть математических знаний, накопленных человечеством к началу XIX в.,
поскольку до этого времени математика в основном занималась лишь дву-
мя общедоступными понятиями — числом и формой.
В начале XIX в. облик математики начал меняться. Две новые идеи
значительно расширили ее границы. Первая состояла в том, что математике
не обязательно ограничивать себя числом и формой, она может с успехом
заниматься изучением неких элементов (хотя эти «некие элементы» час-
то оказываются тем или иным способом связанными с числом и фор-
мой). Вторая идея, утверждавшая, что математику иногда можно рассмат-
ривать просто как логическое исследование, не имеющее отношения ни к
чему в частности, продвинула процесс абстракции еще на шаг вперед.
Ученых-естествоиспытателей в отличие от математиков привлекла
первая идея: она наводила на мысль, что математика может иметь сферу
приложений, гораздо, более обширную, чем представлялось ранее. Вторая
идея была больше по душе математикам, которые рассматривали свою
науку как дисциплину, изучающую математически красивые построения.
В действительности между этими точками зрения нет противоречия. С одной
стороны, схемы, избранные математиками за свое изящество, могут превос-
ходно отражать определенный аспект физического мира, с другой — не-
которые модели, обнаруженные естествоиспытателями в природе, обладают
исключительной математической красотой.
Разумеется, немыслимо на нескольких страницах проследить полностью
i или даже частично влияние этих идей на современную алгебру. Прежде
всего алгебра как таковая стала настолько разветвленной отраслью ма-
тематики, что каждую отдельную ее ветвь следовало бы рассмотреть более
или менее обособленно. Кроме того, разрозненные обрывочные сведения
вряд ли удовлетворят большинство читателей, которые могут остаться
в неведении относительно общей основы, придающей этим неполным сооб-
щениям их значимость.
Единственное, пожалуй, удовлетворительное решение — это доста-
точно доскональное изучение какой-нибудь части одной ветви современной
алгебры. При ознакомлении с развитием выбранной ветви за период с
начала XIX в. читатель получит некоторое представление об общем на-
правлении развития алгебры в целом.
Здесь мы подробно расскажем о векторной и матричной алгебре, ко-
торые именно теперь завоевывают себе право на существование в учебных
программах школ. Оба эти предмета внесли значительный вклад как в
математику, так и в естественные науки. В заключение главы будет дан
краткий обзор некоторых разделов современной алгебры, где сейчас ведут-
ся интересные и многообещающие исследования.
Естественно, что новые идеи в алгебре, появившиеся в начале XIX в.,
родились на основе того, что было к тому времени известно в алгебре.
Одним из стимулов к развитию оказалось понятие квадратного корня из
минус единицы — величина, которую обычно обозначают через i. Это поня-
тие в XVII—XVIII вв. использовалось при решении широкого круга
задач, но никто не мог удовлетворительно истолковать его как число.
В начале XIX столетия было предложено два выхода из затруднительного
положения. В первом из них использовался так называемый абстрактный
66
метод, в котором i представлялось как ряд достаточно произвольных
операций над парами чисел (см. статью «Основания математики», стр. 95).
Во втором решении i получало конкретную интерпретацию и отождествля-
лось с геометрической операцией «поворот на прямой угол на плоскости».
Оба указанных решения подсказали дальнейшие исследования.
Раз введение i в элементарную алгебру дало превосходные результаты,
то появление еще нескольких символов также может оказаться полезным.
Правила обращения с этими символами можно было бы тогда строить
исходя из конкретного случая. Если i соответствует повороту на плос-
кости, то почему бы не обратиться к поворотам в трехмерном пространстве
и посмотреть, не послужит ли это толчком для дальнейшего развития
алгебры? Такого рода вопросы привели математиков к да.т пепшим
исследованиям и открытию в 1843 г. кватернионов Уильямом Роуэном
Гамильтоном. В алгебре кватернионов были введены два новых символа,
i и /, для которых i2=—1, j2=—1, и удивительное произведение —ij
(см. статью «Арифметика», стр. 29).
Открытие кватернионов произвело ошеломляющее впечатление на
многих ведущих английских математиков — современников Гамильтона,
оно считалось последним словом в математике и идеальным методом реше-
ния большинства алгебраических проблем. На самом деле кватернионы
были скорее первым, а не последним словом. Барьер был преодолен: ста-
ла развиваться алгебра, отбросившая некоторые из основных положений
древней алгебры. Вскоре математики стали искать другие пути, которые
дали бы им возможность дополнить обычные числа новыми символами, и
пришли к так называемым гиперкомплексным числам. Затем математики
стали спрашивать: а почему следует начинать с обычных чисел? Мс:кс'г
быть, лучше рассмотреть любой набор символов, задавшись определенны-
ми правилами обращения с ними? Понятие «алгебра» постепенно расши-
рилось настолько, что стало включать в себя любую систему рабочих
символов вместе с приписанными им правилами. Теперь каждый мог внес-
ти свою собственную алгебру. Разумеется, отсюда еще не вытекало, что
каждый, кто так поступал, обретал право на бессмертие. Трудность всег-
да состояла в том, чтобы ввести систему, которая давала бы интересные
и плодотворные результаты и вносила значительный вклад в остальную
часть математики и науку в целом.
Таким образом, рамки алгебры как математической науки значитель-
но расширились, но это не исключает возможности, что какая-либо опре-
деленная алгебраическая система может быть применена к решению част-
ной задачи. Такие задачи называют проблемами с алгебраическим аспектов.
В элементарной алгебре символы заменяют числа, а знак плюс указы-
вает, что их нужно сложить. Быть может, читатель удивится, узнав, что
знаком плюс продолжали пользоваться даже после того, как алгебра пере-
стала заниматься исключительно числами. Как складывать вещи, которые
не являются числами? В новой алгебре плюс не означает непосредственного
сложения. Этот знак просто говорит, что производится некая операция
в соответствии с правилами, которые напоминают правила сложения.
Сходство здесь лишь внешнее, а не по существу.
Рассмотрим теперь пример, когда знак плюс приобретает более широ-
кий смысл. Возьмем случай, явно относящийся к сложению, а затем пе-
рейдем к другому, где связь с операцией сложения менее очевидна.
«Сложение» в арифметике обычно связывается с понятием* о прибавле-
нии. Приготавливая пищу, мы говорим, что нужно добавить воды. Боль-
шинству людей не представляет труда выполнить следующее сложение:
3*
67
«2 кошки и 1 собака+1 кошка и 3 собаки=3 кошкам и 4 собакам». Такое
употребление знака плюс кажется нам вполне естественным.
Эту операцию сложения можно проиллюстрировать графически (фиг. 25).
Число кошек откладывается здесь по горизонтали, а число собак — по вер-
тикали. Точка А представляет 2 кошек и 1 собаку, т. е. А отстоит на две
единицы вправо и на одну вверх от начала координат (О). Точно так же
точка В соответствует 1 кошке и 3 собакам. Поскольку точка С представ-
ляет сумму двух этих пар чисел (а именно 3 кошки и 4 собаки), то мы
должны будем сделать следующую запись: С=А+В.
Предположим, что мы показываем этот график кому-нибудь, кто не
в курсе наших рассуждений о кошках и собаках, и просим его описать,
что он видит. Вероятно, мы получим следующий ответ: «На разграфленном
листе бумаги вижу четыре точки О, Л, С и В, расположенные так, что,
если их соединить, получится параллелограмм». Иными словами, когда
нас попросят дать чисто геометрическое описание того, как получить точ-
ку С по точкам О, Л и В, то ответ будет таким: нужно выбрать точку
С так, чтобы она оказалась четвертой вершиной параллелограмма, три
другие вершины которого О, А и В,
Теперь видно, что к диаграмме, построенной на основе утверждения
«2 кошки и 1 собака +1 кошка и 3 собаки=3 кошкам и 4 собакам», можно
подойти по крайней мере с двух точек зрения. Если разговор идет о кош-
ках и собаках, то с самого начала подразумевается сложение, и диаграмма
служит просто иллюстрацией этого сложения. Если рассматривать диа-
грамму с чисто геометрических позиций, то С — это точка, нужная для
построения параллелограмма ОАСВ. В последнем случае запись С—
=А+В или даже предположение о наличии какой-либо связи с алгеброй
могут показаться неестественными. Но, поскольку сама диаграмма оста-
ется одной и той же вне зависимости от метода ее рассмотрения, ясно, что
геометрия параллелограмма должна имегь отчетливый алгебраический
аспект, каким-то образом связанный со сложением.
Пюбому, изучавшему механику или электричество и магнетизм, известно,
v *что в природе часто приходится сталкиваться с правилом параллело-
грамма как способом сложения. На фиг. 26 буквой О обозначено положе-
ние наблюдателя где-то в пространстве. Отрезком ОВ — сила земного
притяжения, т. е. сила, которая действовала бы на наблюдателя, если бы
Земля была единственной массой вблизи него. Аналогично отрезок ОА
обозначает силу собственного притяжения Луны. В действительности силы
притяжения и Земли и Луны действуют одновременно, так что для подсче-
та истинной силы, действующей на наблюдателя, мы должны объединить,
или «сложить», их. Суммарная сила может быть представлена прямой ОС,
которая является диагональю параллелограмма ОАСВ.
Если мы теперь захотим учесть еще силу солнечного притяжения,
то должны «прибавить» ее к силе, представленной отрезком ОС, снова ис-
пользуя правило параллелограмма. И здесь становится очевидной одна
из важных аналогий со сложением обычных чисел. Когда складываются
три любых числа,то последовательность, в которой это происходит, несу-
щественна. Если кому-либо нужно оплатить счета, скажем, в 3,5 и 6 долларов,
он ничего не сэкономит, если будет выплачивать их в каком-нибудь особен-
ном порядке. Как бы он ни платил, все равно ему придется расстаться все
с той же суммой 14 долларов. Это так называемое коммутативное правило
сложения. Строго говоря, здесь используется еще и ассоциативное пра-
вило сложения, которое в символах выглядит так: a+(b+c) = (a+b)+c.
Математики считают, что пользование знаком плюс для выполнения
68
Фиг. 26. При векторном сложении также
требуется строить параллелограммы. Ди-
агональ параллелограмма дает полную силу
притяжения, которую наблюдатель, нахо-
дящийся в точке О, испытывает со стороны
Земли (вектор В) и Луны (вектор Л). Здесь
также можно записать С=А+В.
Ф и г. 25. Сложение, содержащееся в утверж-
дении «2 кошки и 1 собака+1 кошка и 3 соба-
ки =3 кошкам и 4 собакам», можно предста-
вить в виде параллелограмма. Поскольку
точка С указывает сумму количеств, отве-
чающих точкам А и В, мы можем напи-
сать С=А-\-В.
Фиг. 27. Умножение, содержащееся в
утверждении Е=ЗЛ, можно интерпретиро-
вать несколькими различными способами.
Если Л означает 2 кошки и 1 собаку, то Е
означает 6 кошек и 3 собаки. Геометриче-
ски точка Е лежит в том же самом напра-
влении, что и Л, но втрое дальше от О.
Фиг. 28. Отрицательные числа, оказы-
вается, нужны, чтобы выразить, напри-
мер, тот факт, что нам предстоит уплатить
долг в 6 кошек и 3 собаки (F). Перемещение
на плоскости из точки О в точку F можно
также описать как прогулку в три этапа,
каждый из которых состоит из двух шагов
на запад и одного на юг.
какого-либо действия, в котором последовательность операций влияла бы
на конечный результат, лишь сбивает с толку.
Очевидно, что в нашей гравитационной задаче последовательность
операций неважна, поскольку наблюдатель, находящийся в точке О, под-
вергается одновременно воздействию силы притяжения и Земли, и Солнца,
и Луны. При подсчете полного гравитационного эффекта мы можем снача-
ла просуммировать притяжение Земли и Луны, а затем эту сумму «при-
бавить» к силе солнечного притяжения. С тем же успехом можно было
сперва просуммировать силы притяжения Луны и Солнца и их сумму
«прибавить» к силе земного притяжения. Если бы перечисленные действия
приводили к разным ответам, наша чисто геометрическая техника расчета,
очевидно, оказалась бы неудовлетворительной. «Физика» ситуации требует,
чтобы в данном случае и коммутативный и ассоциативный законы выпол-
нялись. Поскольку рассматриваемая нами операция сложения сил подчи-
няется этим законам, она напоминает обычное сложение чисел.
Правило параллелограмма, описанное в двух последних примерах,
известно под названием векторного сложения. Отрезки ОЛ, ОВ и ОС на-
зываются векторами и обычно изображаются стрелками.
Диаграмма с кошками и собаками может быть интерпретирована и
по-другому — в терминах расстояний или «прогулок». Расстояние от О до Л
соответствует переходу на две единицы к востоку и на одну к северу:
аналогично расстояние от О до В соответствует переходу на одну единицу
к востоку и на три к северу. Если мы объединим эти «прогулки», пройдя
сначала две единицы на восток и одну на север, а затем одну на восток-и
три на север, окажется, что мы передвинулись всего на три единицы к вос-
току и на четыре к северу, или на расстояние от О до С. Контекст здесь
совсем иной, но мы снова убеждаемся в том, что С можно толковать как
сумму Л и В.
Мы знаем теперь, что выражение Л+В интерпретируется по-разному.
Каковы же способы для характеристики выражения ЗхЛ, или ЗЛ?
Если Л означает «2 кошки и 1 собака», то вряд ли можно сомневаться,
что произведение ЗЛ выражает «6 кошек и 3 собаки». На фиг. 27 этот
результат обозначен точкой В, так что мы можем написать уравнение
Е—ЗЛ. Геометрически Е лежит в том же направлении от О, что и Л, но
только втрое дальше. В дополнение к этой чисто геометрической интер-
претации уравнения Е=ЗЛ приведем, как и прежде, объяснение в терминах
расстояний. Переход из О в Е может быть разбит на три этапа (от О до
Л, от Л до D и от D до Е), каждый из которых имеет одну и ту же цель:
пройти две единицы к востоку и одну к северу.
Введем теперь символы с и d для сокращенного обозначения кошек и
собак соответственно. Мы видели, что выражение 6c+3d интерпретируется
по меньшей мере тремя различными способами: 1) в его первоначальном
значении, т. е. «6 кошек и 3 собаки»; 2) как способ определения точки Е
на фиг. 27 и 3) как описание этапов прогулки из О в Е на этой же фигуре.
Принятые нами обозначения пока еще страдают одним недостатком.
Для* нас не составляет труда написать 6c+3d для любой «прогулки» из
О в Е, но как быть с прогулкой в обратном направлении? Здесь нам по-
требуются отрицательные числа; так, выражение —6с — 3d можно было
бы представить как прогулку на шесть единиц к западу и на три к югу
и использовать его для определения положения точки F, показанной на
фиг. 28. Или же оно может быть истолковано как «минус 6 кошек и минус
3 собаки», т. е. как долг, который обязывает нас отдать 6 кошек и 3 собак.
70
'Т'еперь мы имеем необходимые данные, чтобы описать положение лю-
* бой точки на плоскости с помощью пары алгебраических символов, таких,
как 6c+3d. Более того, некоторые геометрические построения можно
перевести в простые алгебраические операции над этими символами; на-
пример, построение параллелограмма отвечает сложению. Многие теоремы
элементарной планиметрии доказываются без обращения к геометрическим
построениям, если просто проделать с с и d соответствующие алгебраичес-
кие операции.
На фиг. 31 показаны геометрические искажения прямоугольной кар-
тинки. В положении В исходная картинка А наклонена, т. е. повернута
против часовой стрелки около своего левого нижнего угла; в положении
С увеличена; в положении D зеркально отражена; в положении Е растя-
нута вертикально и сжата горизонтально; в положении F «перекошена»
вправо. Имеют ли эти операции алгебраический аспект? Можем ли мы
складывать и умножать их? Можем ли мы, к примеру, прибавив пово-
рот к зеркальному отражению, написать, что получится В-HD? Это ка-
жется маловероятным и все же возможно. В действительности такие опера-
ции допускают исключительно простое алгебраическое толкование.
Для иллюстрации нашего утверждения вернемся к задаче с кошками
и собаками. Предположим, что кошки и собаки имеют ту же ценность, что
и овцы и крупный рогатый скот в первобытном обществе. Банк нашего
гипотетического общества мог бы установить следующую норму процента:
за каждую кошку, внесенную в банк, вкладчику через год выдаются две
кошки и собака, а за каждую внесенную в банк собаку он по прошествии
Фиг. 29. Матрица, показанная на этой фигуре, используется для исчисления выплат
в соответствии с банковской схемой, которая устанавливает следующую процентную
ставку: за каждую кошку, внесенную в банк, через год выплачиваются 2 кошки и
1 собака, а за каждую собаку через год можно получить 1 кошку и 3 собаки. Числа,
записанные светлым шрифтом, представляют здесь вклады, а полужирным — причитаю-
щиеся по ним выплаты.
71
СОБАКИ
КОШКИ
Фиг. 30. Банковская схема с животными, которую мы использовали для построения
матрицы на фиг. 29, также может быть изображена графически. На левой диаграмме
точки, обозначенные буквами, представляют отдельные вклады; соответствующие
буквы справа указывают выплаты, .причитающиеся по этим вкладам. Превращение
квадратов (вклады) в параллелограммы (выплаты) характерно для любой алгебраиче-
ской «банковской схемы» общего типа.
так: c-*2c+d; d->c+3d. (Стрелка здесь означает едает».) Необычайно прос-
то рассчитать, сколько следует выплатить вкладчику любой «суммы»,
выраженной числом кошек и собак. Например, взнос, состоящий из кошки
и собаки, повлечет выплату 3 кошек и 4 собак (c+d-*3c4-4d). В свою оче-
редь взнос в количестве 2 кошек и 1 собаки обеспечит выплату 5 кошек
и 5 собак (2c+d-*5c+5d). На таблице фиг. 29 приводятся результаты
такого расчета для вкладов с различным числом кошек и собак. Табли-
цы такого типа называют матрицами, а раздел математики, занимаю-
щийся ими, — матричной алгеброй.
Переведем теперь наши символы на язык геометрии. На диаграмме
фиг. 30 точка А представляет вклад 2c+d, а точка А'— выплату, при-
читающуюся по этому вкладу, т. е. 5c+5d. На этой же диаграмме нанесено
несколько других точек; В, например, соответствует вкладу c+d, а В’—
выплате 3c+4d; С—выплате по вкладу, представляемому точкой С;
D’— по вкладу D и т. д. Точки обеих диаграмм располагаются в определен-
ном порядке, образуя геометрические фигуры: исходные точки (А,
В, С, D, Е, F и G) образуют квадраты, а соответствующие им точки со
штрихами (А', В’, С’, D', Е', F' и G') служат вершинами параллелограм-
мов. Этот переход от квадратов к параллелограммам не случаен. В действи-
тельности любая «банковская схема* такого общего типа порождает диа-
граммы, в которых квадраты, представляющие вклады, переходят в па-
раллелограммы, иллюстрирующие выплаты по этим вкладам. И наоборот,
любое геометрическое искажение квадрата, преобразующее его в парал-
лелограмм, можно описать определенной алгебраической банковской схе-
мой. Искажение, обозначенное буквой F на фиг. 31,— пример такого пре-
образования квадрата в параллелограмм. Все остальные преобразования
исходной картинки, показанные на этой фигуре, отвечают аналогичным
«банковским схемам». Так, схема с-+2с, d-+2d ведет к увеличению, со-
ответствующему искажению типа С, в то время как схема с, d^~2d
ведет к преобразованию Е. Чтобы осуществить преобразования, показан-
72
Фиг. 31. Слева изображено несколько геометрических деформаций, которым можно
подвергнуть прямоугольную картинку (Д). Все они имеют алгебраический аспект:
деформация F соответствует алгебраической банковской схеме, которая переводит
квадраты в параллелограммы; другие деформации также соответствуют аналогичным
банковским схемам. Любая комбинация этих операций некоммутативна. Рисунок спра-
ва показывает, что при повороте зеркального отражения мы получаем результат,
отличный от отражения уже повернутой фигуры (или в символах В + D^D + В).
ные на фиг. 32, требуются несколько более сложные алгебраические схе-
мы. Здесь геометрически сравниваются черепа человека, шимпанзе и па-
виана. Сравнительные диаграммы такого типа использовались для изу-
чения большого числа морфологических характеристик, имеющих, как
мы условились говорить, алгебраический аспект.
Можно ли сложить две такие банковские схемы? Предположим, что
в нашем гипотетическом обществе имеется три банка X, Y и Z, которые
объявили о трех различных системах выплаты. Что тогда следует понимать
под суммой X+K=Z? Эта запись могла бы означать, что банк Z выпла-
чивает столько же, сколько банки X и Y, вместе взятые. Подсчитав выпла-
ту по данному вкладу по схеме X и прибавив это количество к рассчитан-
ной выплате по тому же вкладу применительно к схеме У, легко опреде-
лить, сколько по такому вкладу выплатит банк Z. Аналогичным образом
истолковывается уравнение А =ЗВ как означающее, что выплата по схеме
А равна утроенной выплате по тому же вкладу по схеме В.
Объединив оба эти предположения, определим теперь выражение
типа 4А+5В. Выплата по некоторому произвольному вкладу в этой ком-
бинированной схеме будет равна сумме учетверенной выплаты по схеме
А и упятеренной выплаты по схеме В.
Фиг. 32. Можно сказать, что сравнение черепа человека (слева), шимпанзе (в центре)
и павиана (справа) также имеет алгебраический аспект. Как и в случае банковских
схем, прямоугольная сетка координат, покрывающая человеческий череп, может быть
постепенно деформирована с помощью соответствующих алгебраических операций.
Диаграммы такого типа широко использовались в морфологических исследованиях.
73
Продолжим наши рассуждения и рассмотрим умножение банковских
схем. Выражение АВ, например, должно указывать, что некто сначала
помещает свой капитал в банк со схемой В, а выплату, полученную по это-
му вкладу, вновь помещает в банк, но уже со схемой А. Следующий пример
покажет нам, что не лишено смысла называть эту процедуру «умножением».
Предположим, что схема В удваивает вклады, а схема А утраивает их.
Если некто поместит свой капитал в банк, работающий по схеме В, а
затем полученное вновь поместит в банк, но уже со схемой Л, то суммарный
эффект будет состоять в том, что его первдначальный вклад возрастет в
шесть раз. Поскольку шесть — это трижды два, то у нас имеются все ос-
нования связывать такое повторное вложение с операцией умножения.
Что же из всего этого следует? Во-первых, на основе многочисленных
примеров с кошками и собаками мы убедились в том, что алгебру можно
применять в большом числе геометрических задач, не имеющих, казалось
бы, ничего общего с алгеброй. Во-вторых, использование алгебры приво-
дит к замечательному упрощению — большинство выражений, которыми
мы пользовались, были простыми, вроде 6c+3d, известными нам еще из эле-
ментарной алгебры. В-третьих, много важных приложений появилось бла-
годаря расширению понятия «алгебра». Мы уже говорили о способах сложе-
ния сил, изменения формы под действием давления и изменения положения
предметов; все эти вопросы, несомненно, представляют для науки и техни-
ки большой интерес. Существуют также другие, менее очевидные прило-
жения алгебры в естественных науках и высшей математике.
При рассмотрении векторной и матричной алгебры мы широко исполь-
зовали модели, исследуя ряд реальных положений и операций, как-то:
совокупность животных, прогулки, банковские вклады, повороты и отра-
жения, и нашли в них элементы, которые напомнили нам сложение и ум-
ножение обычных чисел. Но формулировка «нечто напоминает нам что-то»
довольно неопределенна. Насколько сильно должно нечто «напоминать»
сложение, чтобы быть отмеченным знаком плюс? И если мы не хо-
тим, чтобы с символикой получилась большая путаница, то, очевидно,
нужны какие-то более точные правила.
Для операции, которую можно было бы воспринять как обобщенное
сложение, мы уже установили некоторые правила. Коммутативное пра-
вило, например, предполагает, что, какие бы объекты а и b ни были взяты
и сколь бы сложна ни была операция их сложения, мы всегда вправе ожи-
дать, что а+b означает то же, что и Ь+а.
В обыкновенной арифметике умножение также коммутативно: 3x4
всегда то же, что и 4x3. Действительно, свойства умножения очень сход-
ны со свойствами сложения. Именно благодаря этому существуют таблицы
логарифмов, которые переводят умножение в сложение. Но, поскольку
расточительно иметь два символа для обозначения одной и той же опера-
ции, математики условились знак плюс применять исключительно в ком-
мутативных схемах, а на знак умножения этого правила не налагать. В не-
которых разделах алгебры ах b может означать то же, что и bХа. Когда же
aXb и ЬХа имеют различный смысл, то алгебру называют некоммута-
тивной. Матричная алгебра, с которой мы ознакомились выше, дает нам
сразу несколько примеров из некоммутативной алгебры. На фиг. 31 легко
увидеть, что последовательность операций «поворота» (В) и «отражения»
(D) картинки влияет на конечный результат. Если дать зеркальное отра-
жение повернутой фигуры, то оно будет отличаться от результата поворота
отраженной картинки; в символах это выражается так: B-\-D^D~YB.
Можно построить также различные «банковские схемы с вкладами-
74
Фиг. 33. Дистрибутивный закон простой арифметики утверждает в символах, что
a(b-\-c)==ab-\-ac. На этом примере можно показать, что граница общей территории,
занимаемой Калифорнией и Иллинойсом, равна границе Калифорнии, сложенной с
границей Иллинойса, или в символах 6(С-|-/)= ЬС-\-Ы. Для случая Калифорнии и
Невады, граничащих друг с другом, дистрибутивный закон не выполняется. Поскольку
понятие границы встречается и в топологии, и в дифференциальном и интегральном
исчислении, алгебра выполняет свою роль в этих разделах без непосредственной связи
с числами.
животными», когда последовательность первичных и повторных вложений
влияет на окончательный результат (однако в обычном банковском деле
повторные вложения всегда коммутативны).
Другое важное свойство, присущее как сложению, так и умножению
в обычной арифметике,— ассоциативность этих операций. Другими сло-
вами, если кому-либо надо сложить 3, 4 и 5, то неважно, будет ли он скла-
дывать 7 с 5 или же 3 с 9. В случае умножения правило ассоциативности
означает, что 3x4x5 может быть найдено путем умножения 12x5 или
же 3x20. В понятии ассоциативности есть некоторая тонкость. Читатель
может спросить: «Нельзя ли просто сказать, что система коммутативна,
а порядок сложения при этом несуществен?» Различие станет ясным, если
рассмотреть две следующие фразы: «прежде временно отсутствовавший»
и «преждевременно отсутствовавший». Порядок слов в обеих фразах один
и тот же, а смысл разный. Изменен лишь способ, которым группируются
слова. Ассоциативность в данном случае связана с грамматикой, а не с
порядком слов. И то, что эти два понятия и в самом деле различны, может
быть выявлено в дальнейшем, когда мы выясним, что матричная алгебра
некоммутативна, но ассоциативна. Большинство успешно используемых
алгебраических систем оказываются ассоциативными, но теория неассоци-
ативной алгебры также Привлекает сейчас внимание многих математиков.
Третий основной закон обычной арифметики заключается в правиле
дистрибутивности, которое в символах утверждает, что a(b+c)= ab+ac.
Свойство дистрибутивности проявляется неожиданно, при самых необычных
обстоятельствах. Например, протяженность границ территории, занимае-
мой Калифорнией и Иллинойсом, равна суммарной протяженности границ
Калифорнии и Иллинойса. Нетрудно увидеть связь между этим утвержде-
нием и равенством Ь(С+1) = ЬС+Ы, где символ b означает «границу», а
С и /— начальные буквы американских названий упомянутых штатов.
Интересно отметить, что дистрибутивный закон неприменим для штатов,
граничащих друг с другом (фиг. 33).
75
Фиг. 34. Поле Галуа — это абстрактная алгебраическая система, состоящая всего
из четырех элементов О, /, А и В, которые можно складывать, умножать, вычитать и
делить, по существу применяя те же правила, которые приняты в арифметике и элемен-
тарной алгебре. Таблица слева служит для сложения, таблица справа — для умноже-
ния. С недавних пор поля Галуа изучаются в приложении к задачам безошибочного
кодирования при передаче информации с помощью быстродействующих вычислитель-
ных машин.
Понятие границы появляется в топологии и некоторых задачах диф-
ференциального и интегрального исчислений. Здесь важно подчеркнуть,
что алгебра играет важную роль в других областях математики, при-
чем не только там, где участвуют числа. На самом деле отдельные ветви
математики находятся в удивительной взаимосвязи.
Слово «поле» в алгебре применяется для описания системы, очень по-
хожей на обычную арифметическую. Операции сложения, вычитания,
умножения и деления включаются в поле и очень напоминают соответст-
вующие арифметические операции. Например, во всяком поле имеется эле-
мент, обозначаемый буквой О, который заменяет нуль (если прибавить О,
ничто не изменится), и элемент /, заменяющий единицу (если умножить
на /, ничто не изменится). Существует огромное многообразие полей. Таб-
лицы, помещенные выше (фиг. 34), определяют поле, которое состоит
только из четырех элементов: О, /, А и В. В этой системе операции про-
изводятся в основном по тем же правилам, что и в обычной арифметике
или элементарной алгебре: здесь выполняются и коммутативный, и ассо-
циативный, и дистрибутивный законы. Существование поля из конечного
числа элементов обнаружил в 1830 г. французский математик Эварист
Галуа. Это поле называют полем Галуа из четырех элементов.
Возьмите любую формулу из курса школьной алгебры, и вы найдете,
что она остается верной в поле Галуа. Например, элементарная алгебра
утверждает, что Л+В, умноженное на Л — В, означает то же, что Л2— В2.
Это справедливо и для поля Галуа. Если взять из таблицы результаты обоих
действий, мы получим один и тот же ответ /.
Теперь можно считать, что в наших рассуждениях достигнута ступень
полной абстракции. Мы уже не предполагаем, что О, /, Л и В имеют
конкретный смысл. Мы просто нашли схему, которая имеет интересные
аналогии со схемами обычной арифметики. Чистый математик заявит, что
в том-то и состоит задача математики — находить красивые и оригиналь-
ные схемы. А математику-прикладнику, ученому-естествоиспытателю или
инженеру интересно установить, похожа ли эта схема на те, которые воз-
никают в природе, можно ли найти для нее подходящую интерпретацию
и приложение. Хотя поля Галуа и возникли как результат абстрактных
математических упражнений, в настоящее время они нашли довольно
неожиданное приложение: их изучают в связи с задачами безошибочно-
го кодирования при передаче информации с помощью быстродействующих
вычислительных машин.
В поле допускается сложение, вычитание, умножение и деление (ис-
ключая деление на нуль). Однако не все алгебраические системы
располагают столькими операциями. В кольце, например, мы можем скла-
дывать, вычитать и умножать, но не всегда можем делить. Обычным при-
мером кольца служат целые числа, как положительные, так и отрицатель-
ные. Например, если ученику известны только такие числа, то он смо-
жет решить любую задачу со сложением, вычитанием и умножением этих
чисел. Однако если потребовалось бы разделить 3 на 4, то он оказался
бы беспомощным.
Группа — понятие еще более широкое, чем кольцо. Когда говорят,
что некоторая система образует группу, то подразумевают существование
в этой системе одной-единственной операции, которую можно рассматри-
вать как обобщенное умножение. Эта операция должна быть ассоциатив-
ной, т. е. выражение вида XYZ обязано иметь определенное значение вне
зависимости от «грамматики». Группа должна содержать также элемент
/, который заменяет число 1 в обычной арифметике. Кроме того, в груп-
пе должно быть возможно деление. Пример группы из шести элементов
дан на стр. 64.
Чтобы алгебраическая система была признана группой, она должна
пройти удивительно мало тестов. Поэтому весьма знаменательно, что та-
кая изящная теория, как теория групп, стала столь широко применяться
во многих ветвях высшей математики и физики (см. «Математика в физи-
ческих науках», стр. 111).
На основе частных задач из различных областей математики возникло
много новых алгебраических систем. В конце XIX в. норвежский математик
Софус Ли дал исчерпывающую классификацию дифференциальных урав-
нений. Некоторые построения этой классификационной системы офор-
мились в самостоятельный предмет исследований, известный под наз-
ванием групп Ли. В свою очередь, ряд задач топологии привел к возникно-
вению нового предмета — гомологической алгебры, которая, помимо то-
пологии, используется также в других важнейших областях знаний.
В конце сороковых годов XIX столетия английский математик Джордж
Буль разработал систему символической логики, в которой предложения
аристотелевской логики были сведены к уравнениям, в значительной мере
схожим с уравнениями элементарной алгебры. Система Буля подчиняется
многим правилам обычной арифметики, включая коммутативный, ассоциа-
тивный и дистрибутивный законы. Булеву алгебру с недавних пор стали
применять при конструировании телефонных блоков и электронных вы-
числительных машин.
Стремительное развитие алгебры, как и любой другой ветви матема-
тики и естествознания, можно сравнить с буйным ростом тропического
леса, сквозь который трудно пробраться. Конечно, познать все невозмож-
но, однако каждый специалист станет уверять вас, что вы должны знать
именно ту часть алгебры, которая ему кажется наиболее интересной. Уче-
ный, пользующийся математикой в своих исследованиях, должен отчетли-
во сознавать, что в математике будет сделано еще очень много новых от-
крытий, не имеющих никакого отношения к его собственным исследованиям,
тем не менее он не должен пропустить того маленького открытия, которое
может оказаться решающим для его работы.
Теория вероятностей
Математикам приходится сталкиваться с событиями ре-
ального мира, которые не могут быть строго или точно
предсказаны. Новая область чистой математики, называемая
теорией вероятностей, основывается на методах, разрабо-
танных для таких случаев.
f
Марк Кац
Секретарь-машинистка напечатала 10 писем и надписала адреса на десяти
конвертах. Если она теперь разложит письма по конвертам, не сличая с
адресами, насколько вероятно, что ни одно письмо не попадет в пред-
назначенный конверт? Читатель, возможно, удивится, узнав, что вероят-
ность такого события больше, чем один шанс из трех; точнее, она почти
равна (Это замечательное число 2,71828..., или е — основание
натуральных логарифмов, оказывается, играет важную роль в теории
вероятностей.)
Метод, применяемый для решения задачи с письмами, называется
комбинаторным анализом. Вот другой, более известный пример задачи
комбинаторного анализа: какова вероятность того, что при игре в покер
выбранные наугад из колоды в 52 карты пять карт окажутся одной масти?
Разумеется, комбинаторный анализ имеет и более существенные и ценные
практические приложения, нежели оценка различных шансов в покере
или ответы на забавные вопросы о последствиях поведения рассеянной сек-
ретарши. Комбинаторный анализ стал исключительно важным разделом
математики. Принципы этого анализа лучше всего иллюстрируются прос-
тыми примерами. Вернемся к возникающей при игре в покер задаче о пяти
картах, чтобы понять ее причастность к теории вероятностей.
Пьер Симон де Лаплас (1749—1827) построил теорию вероятностей,
полностью основываясь на комбинаторном анализе. Он определил вероят-
ность как p=n/N. Это выражение означает, что вероятность р некото-
рого события есть отношение числа исходов (п), при которых интересующее
нас событие может произойти, к общему числу всех возможных исходов
(N), При этом важно иметь в виду, что все исходы должны быть одинаково
правдоподобными. Вероятность определенной комбинации карт одной
масти в покере — это отношение числа всех возможных комбинаций карт
одной масти к общему числу возможных комбинаций. Задача комбинатор-
ного анализа — подсчитать эти числа.
Начнем с более простого случая, когда легче найти эти числа.
< Ф и г. 35. Устройство для наглядной демонстрации законов теории вероятностей
механически осуществляет приближение к колоколообразному «нормальному», или
гауссову, распределению. Красные шарики из резервуара вверху скатываются по
шестиугольным препятствиям и скапливаются внизу в гнездах. Теоретически для
каждого шестиугольника вероятность того, что шарик покатится как вправо, так и
влево, раана Va- Таким образом, шарики стремятся распределиться в соответствии с
пропорциями треугольника Паскаля (см. табл. IV). На нашей фотографии шарики,
находящиеся в движении, получились нечетко. Окончательное распределение еще не
сложилось, поскольку некоторые из шариков не прошли всего пути. Это устройство
известно под названием доски Гальтона (по имени ее изобретателя).
79
Если задано множество из четырех объектов Л, В, С и D, то сколько
двуэлементных подмножеств, или сочетаний по два, можно составить
из его членов? На этот вопрос легко ответить, просто пересчитав число
всевозможных пар: получится шесть двуэлементных комбинаций Л В, Л С,
AD, BCt BD и CD. Однако по мере увеличения числа объектов опреде-
лить число их сочетаний становится все труднее и труднее. Следова-
тельно, нужно найти какие-то менее громоздкие приемы вычислений без
непосредственного перебора всех сочетаний. (Комбинаторный анализ
иногда называют «подсчетом без счета».)
Теперь добавим к нашим четырем объектам пятый и снова подсчитаем,
сколько различных пар можно из них составить. Ясно, что новый объект
Е добавит к прежнему числу пар лишь четыре, в которых он сам объеди.
няется в пары с каждым из прежних четырех. Таким образом, всего полу,
чится 6 + 4, т. е. 10 пар. Запишем это с помощью условных символов ком.
бинаторного анализа: Сь=С* +С}. Здесь С — число сочетаний, а нижний
и верхний индексы — соответственно общее число всех объектов и число
их в каждом сочетании. Например, Cf означает число сочетаний из
пяти объектов, взятых по два. Подсчитаем теперь по тому же принципу
число сочетаний по четыре объекта, которые можно образовать из 10 объ-
ектов. Начнем с записи Cio=Cg +С9, а затем будем переходить к все мень-
шим и меньшим числам, так что окончательный ответ получится простым
сложением всех этих выражений. На практике в таких случаях для про-
стоты подсчета сочетания располагают в возрастающем порядке.
Приведенная схема хорошо укладывается в таблицу, известную под наз-
ванием треугольника Паскаля, по имени Блеза Паскаля (1623—1662),
одного из основателей теории вероятностей. Треугольник строится из коэф-
фициентов разложения бинома, так что каждая последующая строка соответ-
ствует следующему, более высокому показателю степени (>габл. IV). Каждое
число в таблице равно сумме двух чисел, стоящих слева и справа от
него строкой выше. Число сочетаний для произвольного множества объектов
находят, следуя вдоль строки слева направо. Например, четвертая
строка описывает возможные сочетания для случая, когда общее число
объектов равно четырем. Читая слева направо, мы находим сперва число
1 для «пустого» множества (т. е. множества, не содержащего ни одного объ-
екта); затем число 4 — столько можно составить подмножеств по одному
объекту; после этого 6 — число всевозможных сочетаний, составленных
из этих четырех объектов по два; далее опять 4 — число всевозможных
сочетаний по три и наконец снова 1 — для полного множества из всех че-
тырех объектов. Если пользоваться таблицей для нахождения числа со-
четаний по четыре, которые можно составить из общего числа в 10 объек-
тов, то надо обратиться к десятой строке, отсчитать пять чисел вправо
и прочесть результат — 210.
Но и треугольник Паскаля становится мало удобным в обращении,
когда приходится иметь дело с большими числами, вроде тех, с которыми
мы сталкиваемся в задаче об игре в покер. Пионерам в области теории
вероятностей удалось, к счастью, вывести и доказать общую формулу
Qr = ___
г\(п—г)\ ’
где Сгп означает, что п объектов соединяются в подмножества по г объек-
тов, а символ I означает «факториал».
80
1 1
1 2 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Табл. IV. Треугольник Паскаля — наглядное пособие по вычислению вероятностей.
Он составлен из коэффициентов разложения бинома. Каждое число является суммой
двух других, стоящих непосредственно над ним. Некоторые из характерных свойств
и возможных приложений этого треугольника описаны в тексте.
В случае Сц> формула после сокращения числителя и знаменателя
на (п—г)! превращается в
r>4 10 • 9 • 8 • 7 ni л
С,о= 1-213-4 =210*
Теперь уже нетрудно подсчитать вероятность появления пяти карт
одной масти при игре в покер. В каждой из мастей имеется по С?3 возмож-
ных комбинаций, и, значит, на четыре масти их придется 4С?3. Общее
число всех возможных комбинаций в покере есть Отсюда вероятность
получения пяти карт одной масти равна
_ 13-12-11-10-9
4С13 _ 4’ 12-3 4-5 33
С* “ 52-51,50-49-48 “ 16600’
52 "^’1-23-4-5
Итак, примерно в двух случаях из 1000 при сдаче по пять карт (из
полной колоды) все пять могут оказаться одной масти.
Обратимся теперь к игре в орлянку. Предположим, что некто бросает
монету 10 раз. Какова вероятность того, что 4 раза выпадет орел? В де-
сятой строке треугольника Паскаля мы увидим, что общее число возмож-
ных последовательностей выпадений орла и решки при десятикратном
бросании составляет 1024. Из этой суммы в 210 последовательностях орел
выпадает 4 раза. Таким образом, если игра ведется «честно», т. е. когда
все 1024 возможности могут быть признаны одинаково правдоподобными,
вероятность выпадения орла 4 раза из десяти равна 210/1024, или
около 21%.
Сумма всех членов любой заданной (имеющей номер п) строки тре-
угольника Паскаля равна 2 в степени п (например, 1024=210). Таким образом,
в общем случае вероятность выпадения орла точно k раз при /г-кратном
бросании монеты равна Сп/2п . Предположим, что нам нужно вычертить
на плоскости поведение вероятностей выпадения орла 0, 1, 2, 3, ... раз
(до 10 раз при 10 бросаниях монеты). Мы можем вычертить ряд прямо-
угольников, высота каждого из ко’торых представляет соответствующую
вероятность (фиг. 36). Получится «кривая» с пиком - в середине (вероят-
ность 2Б2/1024 Для 5 выпадений орла) и двумя минимумами (одинаковая
вероятность 1/ 1024 Для 0 и 10 выпадений орла). Если мы тем же
способом изобразим картину для 10 000 бросаний, то наш график станет
4-831
81
Фиг. 36. Вероятности выпадения орла при 10 бросаниях монеты можно превратить
в гистограмму, напоминающую нормальное распределение. Как видно из 10-й строки
треугольника Паскаля, имеется 210 последовательностей, содержащих ровно 4
выпадения орла среди общего числа 1024 последовательностей со всевозможными
распределениями выпадения орла и решки при 10-кратном бросании монеты. Таким
образом, шансы на то, что орел выпадет ровно 4 раза, составляют около 21%. Прибли-
женно шансы на выпадение орла 0, 1, 2, 3, 4 и 5 раз при 10-кратном бросании (горизон-
тальная шкала) составляют соответственно 0,001; 0,01; 0,045; 0,12; 0,21 и 0,25 (верти-
кальная шкала). Вероятности и столбцы, их представляющие, начиная с 6 и до 10
орлов при 10 бросаниях монеты, идут в убывающем порядке. На той же самой шкале
гистограмма для 10 000 бросаний была бы гораздо шире и ниже, и, для того чтобы
проявилось сходство ее с нормальной кривой, пришлось бы выбрать другой масштаб.
намного шире и ниже. Высшая точка (для 5000 выпадений орла) уже не бу-
дет соответствовать 25%, а составит всего 1 /100*|/п, или около0,56%. Может
показаться странным, что с возрастанием числа бросаний шансы на выпа-
дениеорла ровно в половине случаев уменьшаются, да еще в такой степени,
но это недоумение тотчас исчезает, если вспомнить, что точное 50/50 рас-
пределение орла и решки— всего лишь один из возможных результатов,
а общее их число возрастает с каждым новым бросанием.
Если вычерчивать кривую вероятностей для еще большего числа броса-
ний, то она окажется такой пологой, что ее трудно будет отличить от гори-
зонтальной прямой. Но если высоту наших прямоугольников увеличить
в одно и то же число раз, а именно в Уп7г, и во столько же раз уменьшить
ширину их оснований, то образуется симметричная кривая с пиком посре-
дине. А при увеличении числа бросаний ее профиль приближается к гладкой
и непрерывной кривой, которая описывается уравнением
У = —^=— е~х2/2 .
Здесь е — наше славное число 2,71828..., основание натуральных ло-
гарифмов. (Если бы нашелся столь безрассудный банк, что согласился пред-
ложить годовую процентную ставку в 100% и начислял бы эти проценты не-
прерывно—не только ежедневно, но и ежечасно, ежесекундно, каждое мгно-
вение, то к концу года вклад в 1 доллар вырос бы до 2,71828... долларов.)
Тот факт, что при увеличении числа бросаний вероятностная кривая
становится все более пологой, иллюстрирует так называемый закон боль-
ших чисел. Если монету «честно» бросать сотни тысяч и даже миллионы
раз, то распределение выпадения орла в последовательности исходов, дол-
жным образом центрированное и нанесенное на график, будет почти точно
отражено одной из наиболее достопримечательных в науке кривых, фор-
мула которой была приведена выше. Она известна как «нормальная», или
Гауссова, кривая и используется, когда нужно охарактеризовать рас-
82
200
140 145 150 155 160 165 170 175 180
РОСТ, CM
Ф и г. 37. Гистограмма роста женщин, к которой может быть подогнана нормальная
кривая. В данной выборке было 1375 женщин. Эта колоколообразная кривая соответст-
вует многим другим эмпирическим распределениям, встречающимся в физике и биологии.
пределение мужчин и женщин по росту, горошин по размеру, новорожден-
ных младенцев по весу, частиц газа по скоростям движения и бесчислен-
ного количества других явлений и свойств физического и биологического
миров.
Интересная зависимость между бросаниями монеты и нормальной
кривой явилась одним из главных стимулов для дальнейшего развития
теории вероятностей. Та же зависимость легла и в основу модели «случай-
ных блужданий» движущихся частиц. Так была разрешена загадка броу-
новского движения и заложены основы современной теории атома.
Сегодня теория вероятностей — краеугольный камень всех естествен-
ных наук, а статистика — неотъемлемый элемент всей человеческой дея-
тельности. Теперь мы видим, насколько прав оказался Лаплас, когда он
писал в своей основополагающей работе по теории вероятностей «Theorie
analytique des probabilites» («Аналитическая теория вероятностей»), опу-
бликованной в 1812 г.: «Замечательно, что наука, которая начала с рас-
смотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом челове-
ческого знания... Ведь большей частью важнейшие жизненные вопросы
являются на самом деле лишь задачами из теории вероятностей».
Мне представляется, что для «наиболее важных объектов человече-
ского знания» весьма характерно то обстоятельство, что обычно проходит
длительное время, пока они утвердятся в такой роли. После Лапласа инте-
рес к теории вероятностей несколько спал, и в продолжение XIX в. и пер-
вых двух десятилетий XX в. ее фактически перестали считать математи-
ческой дисциплиной. Лишь немногие математики продолжали работу в
этом направлении; среди них были блестящий и самобытный русский мате-
матик П. Л. Чебышев и его ученик А. А. Марков (стремительное развитие
теории вероятностей в СССР в настоящее время во многом обязано этим
ученым). Теория вероятностей была блестяще использована в физике не
только Альбертом Эйнштейном и Марианом Смолуховским в их решении
задачи о броуновском движении, но также Джеймсом Клерком Максвеллом,
Людвигом Больцманом и Джосайа Уиллардом Гиббсом в кинетической теории
газов. На рубеже нашего столетия два величайших математика, Анри
Пуанкаре и Давид Гильберт, попытались воскресить интерес к теории
1 83
Фиг. 38. Бюффонова задача об игле заключается в вычислении вероятности того,
что игла длиной менее ширины половицы, упав на пол, попадет на щель между
половицами. Здесь длина каждой из игл составляет ровно половину ширины полови-
цы, т. е. 10 см.
вероятностей, но, несмотря на их оригинальные работы, казалось бы, по-
буждающие к дальнейшему ее развитию, отклик был все же слабым.
Чем же объясняется такая апатия профессиональных математиков?
Причины тому разные. Одна из основных в том, что вся теория казалась
построенной на шатких и нестрогих основаниях. Лапласовское опреде-
ление вероятности, например, зиждилось на допущении, что любой исход,
относящийся к рассматриваемому случаю, одинаково правдоподобен, а по-
скольку это утверждение само носит вероятностный характер, то и опре-
деление исходило из порочного круга понятий. Но и это еще не самое
худшее. Вся теория вероятностей была «заражена» парадоксами и противоре-
чиями, а так как во всех областях математики возрастали требования к
строгости подхода, то теория вероятностей казалась бесплодной почвой,
непригодной для какой бы то ни было дальнейшей обработки.
Однако в. 30-х годах нашего столетия теория вероятностей вновь заняла
должное место у математиков, поскольку в значительной мере были уточ-
нены ее основные понятия и выявлена ее связь с теорией меры — этой
отраслью математики, восходящей к Евклиду, которая в начале XX в.
сильно продвинулась вперед благодаря обобщениям, сделанным фран-
цузскими математиками Эмилем Борелем и Анри Лебегом. Для лучшего
понимания всего сказанного разберем знаменитую задачу о геометрических
вероятностях, а именно задачу об игле Бюффона. Если случайно уронить
на пол иглу длиной 10 см, то какова вероятность того, что она упадет на
щель между двумя соседними половицами (шириной по 20 см)? Положение
иглы при каждом бросании мы можем отмечать по местонахождению сере-
дины иглы на половице и углу, образованному иглой со щелью (фиг. 38).
Изобразим теперь всевозможные положения иглы с помощью абстракт-
ной диаграммы (фиг. 39), где высота прямоугольника представляет собой
ширину половицы, а на основании откладывается угол (в радианном
измерении, т. е. л, где л = 180°/ /2 = 90° и т. д.).
Возможные положения иглы заполняют этот прямоугольник, пло-
щадь которого равна ~d. Математики называют такой прямоугольник
84
CM
20
15
10
5
Фиг. 39. На этой абстрактной диаграмме также показаны положения трех игл. На
горизонтальной шкале откладываются углы, образуемые каждой иглой с одним краем
половицы. Углы даны в радианах, т. е. выражены через к, гдетг=180°. На вертикаль-
ной шкале размечена ширина половицы в сантиметрах. Три отмеченные точки —
положения центров трех игл на диаграмме. Прямоугольник, который можно назвать
пространством выборок, включает все возможные положения, которые при падении
может занять игла. Темнее окрашены области, соответствующие положениям, при
которых игла пересечет щель.
«пространством выборок» — этот термин они используют для обозна-
чения совокупности всех возможных исходов в любом вероятностном
эксперименте. (При бросании 10 монет пространство выборок есть
все множество 1024 возможных последовательностей 10 выпаданий орла
или решки). Какая же часть площади прямоугольника соответствует
в нашем опыте тем положениям иглы, при которых она пересечет щель?
Для ответа на этот вопрос достаточно знать элементарную тригонометрию.
Интересующая нас площадь состоит из двух участков внутри прямоуголь-
ника с криволинейной границей. Их совместная площадь (ее можно под-
считать путем элементарных выкладок) оказывается равной удвоенному
Z, т. е. двум длинам иглы.
Если теперь предположить, что все возможные положения иглы на
полу в равной мере правдоподобны, то вероятность того, что она при па-
дении пересечет щель, должна быть равна отношению затененной площади
на фиг. 39 ко всей площади прямоугольника, или 2/Ad. В данном случае
теория противоречит собственной произвольной предпосылке. В действи-
тельности нет достаточной причины считать, что положение всех точек
рассматриваемого абстрактного прямоугольника одинаково правдоподобно,
однако допущение это кажется столь естественным, что представляется
не требующим доказательств. Насколько произволен такой подход, убе-
дительно показал французский математик Дж. Л. Ф. Бертран. Он пред-
ложил пример (известный как парадокс Бертрана), в котором из предпо-
сылок, кажущихся одинаково естественными, получаются совершенно
различные ответы к задаче о вероятностях. Это натолкнуло на мысль о
необходимости более глубокого понимания роли и природы вероятностных
предпосылок. Современную точку зрения на эти вопросы лучше пояснить
на следующем примере.
Предположим, что двое знакомых, живущих в разных пригородах
Нью-Йорка, хотят встретиться в полдень возле публичной библиотеки на
42-й улице. Графики движения поездов (а также то, как они соблюдаются
на практике) таковы, что наши знакомые могут рассчитывать лишь на то,
чтобы попасть к месту встречи между двенадцатью и часом дня. Они и
65
договариваются встретиться у библиотеки в этом промежутке времени, но
с условием, что каждый будет ждать по прибытии не более 10 мин. Какова
же вероятность того, что приятели встретятся?
Хотя подобная ситуация мало правдоподобна, такую задачу тем не
менее ни в коей мере нельзя считать тривиальной. Если в нее включить
многих участников вместо двух, то она становится аналогичной важной
нерешенной задаче из статистической механики (хотя и намного проще
ее), решение которой пролило бы свет на теорию перехода вещества из од-
ного состояния в другое, например из твердого в жидкое.
Допустим, что каждый из двух знакомых может появиться в назна-
ченном месте в любой момент между двенадцатью и часом, тогда можно
геометрически построить пространство выборок аналогично тому, как
мы это делали в задаче с иглой Бюффона. Если момент прихода одного
лица откладывать по оси х, а другого — по оси у (фиг. 40), то любой
возможный момент прихода как одного, так и другого лица будет обоз-
начен точкой на данном квадрате. Точки, которые лежат внутри части
квадрата, где разница во времени прихода наших знакомых составляет
не более 10 мин, соответствуют встрече; все остальные точки относятся к
случаю, когда встреча не состоится. Приняв отношение двух площадей
за вероятность встречи, мы подсчитаем, что она равна 11/8в, т. е. за
встречу имеется почти один шанс из трех.
При рассмотрении данного примера мы сделали два допущения. Про-
анализируем их в более общем плане.
Теория вероятностей в самом широком смысле, как математическая
дисциплина, имеет дело с задачами вычисления вероятностей сложных со-
бытий, состоящих из совокупностей «элементарных» событий, вероятности
которых известны или постулируются. Например, при бросании двух иг-
ральных костей получение в сумме 10 очков есть «сложное» событие, со-
стоящее из следующих трех «элементарных» событий: 1) на первой кости
выпадет 4, а на второй — 6; 2) на первой кости выпадет 5 и на второй —
тоже 5 и 3) на первой кости выпадет 6, а на второй — 4. Встреча наших
двух приятелей представляет собой также сложное событие; примером эле-
ментарного события, входящего в его состав, здесь мог бы быть приход
каждого из них в интервале времени между 12 ч 20 м и 12 ч 25 м.
В наших подсчетах вероятности встречи двух знакомых допускалось,
во-первых, что каждый из них может прийти в любой момент времени меж-
ду двенадцатью и часом, причем все эти моменты прибытия считались оди-
наково правдоподобными. (Если вернуться к игре в кости, то эквивалент-
ным предположением будет то, что любая из шести граней кости выпадает
с одинаковой вероятностью.) Но если кто-либо из друзей может приехать
только на поезде, который по расписанию прибывает на нью-йоркский
вокзал Грэнд Сэнтрал в 12 ч 20 м или еще позднее, то это допущение
становится абсолютно неправдоподобным, поскольку он наверняка не при-
будет на условленное место раньше этого времени. Для случая двух иг-
ральных костей аналогичная ситуация возникает, когда они фальшивые
(например, налиты свинцом).
Иначе обстоит дело, когда поездов шесть и они по расписанию при-
бывают начиная с 12 часов дня через каждые 10 мин и, кроме того, слу-
чайным образом отклоняются от расписания; тогда наше допущение
становится более обоснованным, хотя и теперь нет достаточно строгих
оснований утверждать, что все моменты прибытия одинаково вероятны.
Во-вторых, мы предположили, что моменты прихода к месту встречи
двух лиц не зависят друг от друга. Это допущение, так же как и первое,
86
Фиг. 40. Графическое изображение возможных моментов прибытия двух жителей
пригорода, намеревающихся встретиться у библиотеки между двенадцатью и часом
дня. Момент прибытия первого лица откладывается по горизонтали, второго—по верти-
кали. Окрашенная область соответствует встрече. Для того чтобы она произошла,
один из наших приятелей должен появиться у библиотеки не позднее чем через 10 мин
после другого. Как видно из фигуры, если один из них придет в 12 ч 40 м (две третьих
горизонтального отрезка направо), а другой — в 12 ч 20л« (одна третья вертикального от-
резка вверх), то они не встретятся. Точка (2/3, 1/3) лежит вне окрашенной области.
12:00 12.10 12:20 12:30 12:40 12:50 1:00
Фиг. 41. Кривая плотности вероятности иллюстрирует степень непредсказуемости
времени прибытия в случае, когда в Нью-Йорк прибывает в 12 ч 20 м лишь один
поезд. Тогда наиболее правдоподобное время встречи у библиотеки 12«35jw. Окрашен-
ная часть площади представляет собой вероятность прибытия между 12 ч 40 м
и 12 ч 44 м.
12:00 12:06 12:12 12:18 12:24 12:30 12:36 12:42 12:48 12:54 1:00
Фиг. 42. Прибытие поездов через каждые 6 мин даст кривую плотности, пока-
занную на фигуре черной волнистой линией. Оранжевая «кривая» отражает случай,
когда все моменты прибытия одинаково правдоподобны.
87
играет важную роль. Математически оно отражается правилом перемноже-
ния вероятностей. Согласно этому правилу, в тех случаях, когда отдельные
события не зависят друг от друга, вероятность сложного события (т. е.
того, что все эти события произойдут) вычисляется как произведение отдель-
ных вероятностей. (Со строго логической точки зрения это правило ум-
ножения вероятностей дает определение независимости.) При бросании
двух костей независимость событий предполагалась в той же мере, что и в
случае двух приятелей, решивших встретиться в Нью-Йорке (мы считаем,
что они не согласовали время своего прибытия, т. е. не договаривались
приехать на конкретных поездах).
Однако между задачей о бросании игральных костей и задачей о встре-
че двух пригородных жителей имеется существенное различие. В первом
случае число возможных исходов конечно (равно 36), в то время как во
втором случае это число бесконечно, поскольку приятели могут при-
быть к месту встречи в любой момент в пределах часа, т. е., как говорят
математики, пространство выборок здесь есть континуум с бесконечным
числом «точек».
Для дальнейшего вычисления вероятностей были введены два общих
правила, или аксиомы. Первая аксиома касается взаимно исключающих
друг друга событий, т. е. таких, когда появление одного препятствует поя-
влению любого другого. Для таких событий вероятность того, что произой-
дет по крайней мере одно из них, равна сумме вероятностей отдельных со-
бытий (аксиома сложения). Вторая аксиома относится к таким двум событи-
ям, наступление одного из которых влечет за собой наступление другого.
В этом случае вероятность наступления только одного из этих событий
определяется вычитанием меньшей вероятности из большей.
Оба эти правила вычисления вероятностей сложных событий тождествен-
ны тем, которые употребляются для вычисления площадей и объемов
в геометрии. Подставим слово «множество» вместо слова «событие» и «пло-
щадь» (или «объем») вместо слова «вероятность»; тогда задача сводится к
сопоставлению множествам подходящих площадей, а это уже относится
к теории меры, причем слово «мера» означает площадь, но только в при-
менении к весьма сложным множествам.
Если мы теперь вернемся к задаче о встрече двух приятелей, то уви-
дим, что множество, соответствующее их встрече, устроено очень просто.
Его площадь, а значит, и вероятность полностью укладывается в рамки
геометрии Евклида и может быть вычислена путем оперирования с конечным
числом неперекрывающихся прямоугольников. В задаче с иглой Бюффо-
на, где границей интересующей нас области служат кривые, потребовалось
бы ввести бесконечное число таких прямоугольников, но и эта задача все
же остается относительно простой и решается с помощью элементарных
выкладок. Когда Борель и Лебег создали теорию меры, математики
получили возможность снабжать мерами исключительно сложные
множества исходя из постулата о том, что мера бесконечной совокуп-
ности неперекрывающихся множеств вычисляется как сумма мер отдель-
ных множеств (это соответствует требованию, что вероятность хотя бы од-
ного из бесконечного числ^ взаимно исключающих друг друга событий
вычисляется как сумма составляющих вероятностей).
Теория меры позволила ставить и решать такие сложные задачи из
теории вероятностей, которые казались немыслимыми во времена Лапласа.
. Вот, например, одна такая задача, привлекшая к себе внимание математи-
ков в тридцатых и сороковых годах нашего столетия и способствовавшая
включению теории вероятностей в основное русло математики.
88
Рассмотрим бесконечный ряд
т + ^ + -Г + т+ т + “б’ + "Г + "8" + - •
Известно, что этот ряд расходится, т. е. при добавлении все большего числа
членов можно получить любое сколь угодно большое наперед заданное
число.
Предположим, что вместо плюсов между членами этого ряда наугад
расставлены плюсы и минусы в соответствии с выпадением орла или
решки при бросании монеты. Какова тогда вероятность того, что ряд
будет сходиться? Иными словами, какова вероятность того, что если мы
будем распространять наше суммирование на все большее и большее число
членов, то сумма будет более приближаться к какому-то фиксированному
числу?
Для ответа на этот вопрос следует в качестве пространства выборок
рассмотреть все возможные бесконечные последовательности выпадений
орла и решки. Одна из таких последовательностей может, например,
начинаться так: ООРРРОРО... Будем считать, что О (орел) соответствует
плюсу, а Р (решка) — минусу, тогда наш числовой ряд примет следующий
вид:
iJL.J___L —J___L_i__L_
' 1 2 3 4 5'6 7 8 ‘ * *
С каждой такой последовательностью мы можем связать действитель-
ное число /, заключенное в пределах между 0 и 1, причем t может быть
представлено в двоичной системе счисления, где символ 1 соответствует *
О, а символ 0 (нуль) — Р. Тогда приведенная последовательность примет
вид /=0,11000101... Эти двоичные символы образуют модель независимых
бросаний монеты. Те /, которые ведут к сходящимся рядам, составляют
некоторое множество, и вероятность того, что t попадет в такое множество,
есть «мера» этого множества. Оказывается, что множество тех мыслимых
/, которые не ведут к сходящимся рядам, является столь скудным, что
его мера, или вероятность, равна нулю (хотя само это множество имеет
очень сложную структуру и его нельзя считать пустым). Следовательно,
если вышеприведенный ряд снабдить знаками наугад, то вероятность того,
что он будет сходиться, можно считать равной единице.
Описанная выше задача может служить примером задач о «счетных ве-
роятностях», рассматривающих события, разлагающиеся на дискретные
составляющие. За два последних десятилетия математикам удалось добиться
еще более многообещающих результатов в теории так называемых стохасти-
ческих процессов, т. е. при вероятностном анализе явлений, непрерывно
меняющихся во времени. Стохастические процессы встречаются в физике,
астрономии, экономике, генетике, экологии и многих других областях зна-
ния. Простейший и наиболее известный пример стохастического процес-
са — броуновское движение.
Норберт Винер построил свою теорию броуновского движения на ос-
нове теории меры множества всех непрерывных траекторий. Его концепция
оказалась необычайно плодотворной в теории вероятностей. Она вдох-
нула новую жизнь в старые задачи, такие, как, например, задача об опре-
делении электростатического потенциала проводника «произвольной» фор-
мы, занимавшая умы выдающихся математиков более ста лет! Кроме того,
теория Винера открыла и совершенно новые области исследований, а так-
же привела к установлению прочных связей между теорией вероятностей
и другими ветвями математики.
89
Фиг. 43. Броуновский след, оставляемый частицей, которую со всех сторон «толкают»
молекулы окружающей ее жидкости или газа. Как стохастический процесс
(т. е. процесс, непрерывно меняющийся во времени) броуновское движение поддается
анализу и моделированию (см. фиг. 44) при помощи методов теории вероятностей.
Фиг. 44. Модель броуновского движения можно построить, если фиксировать резуль-
таты бросания монеты. Использовались две серии по 90 с лишним бросаний монеты в
каждой. На горизонтальную шкалу нанесены результаты первой серии бросаний,
на вертикальную — второй. Результат каждого бросания (из какой-либо серии) со-
стоял в том, что общее число выпадений решки, накопленных для данной серии в
момент рассматриваемого бросания, вычитался из общего накопленного числа выпаде-
ний орла. При первых трех бросаниях в обеих сериях выпадали орлы, в серии, отклады-
ваемой по горизонтали, при четвертом бросании выпал также орел, а в серии, откладыва-
емой по вертикали,— решка. Числа, стоящие у точек,— номера бросаний. Цветная
линия соединяет «положения» через каждые четыре бросания в точности так же, как
след броуновской частицы, зафиксированный фотокамерой, показывает лишь неболь-
шую часть головокружительного числа «толчков», которые принимает на себя наша
частица от окружающих ее молекул
В столь кратком обзоре теории вероятностей мы смогли затронуть
лишь немногие из основных достижений и всего несколько наиболее ха-
рактерных задач. Теория вероятностей является основой новых разделов
науки, таких, как теория информации, теория массового обслуживания,
теория диффузии и математическая статистика. Подводя итог сказанно-
му о месте теории вероятностей, можно утверждать, что теперь без нее
не может обойтись ни один инженер и что она стала одной из самых про-
цветающих ветвей чистой математики, достигшей высокого уровня формали-
зации и строгости.
В заключение — несколько слов о философском аспекте теории вероят-
ностей (на эту тему написаны многие тома). Рассмотрим термодинами-
ческую и механическую точки зрения на поведение материи.
Возьмем два сосуда, один (Л) наполненный газом, другой (В) пустой. Что
произойдет, если эти сосуды соединить трубкой и внезапно открыть клапан
соединительной трубки? В соответствии со вторым началом термодинамики
газ устремится из сосуда А в сосуд В с экспоненциальной скоростью,, пока
давление в обоих сосудах не сравняется. На этом основан закон о возрас-
тании энтропии, который в своей наиболее пессимистической форме ут-
верждает, что вся материя и вся энергия во Вселенной неизбежно должна
уравняться и перейти в состояние, которое Рудольф Клаузиус, отец вто-
рого начала термодинамики, назвал Warmetod — тепловой смертью.
А вот механическая, или кинетическая, точка зрения рассматривает
эту же ситуацию совершенно иначе. Молекулы газа будут стремиться пе-
рейти из областей с более высоким давлением в те, где это давление ниже.
Но это движение окажется не просто односторонним. Наталкиваясь на
стенки и сталкиваясь друг с другом, молекулы будут двигаться в слу-
чайных направлениях, и те, что перемещались в сосуд В, могут с равной
возможностью повернуть обратно или остаться там, где они были. Более
того, как показал Пуанкаре в форме математической теоремы, динамическая
система, подобная этой, будет сколь угодно близко подходить к своему
начальному состоянию, т. е. такому, когда все или почти все молекулы
газа перейдут вновь в сосуд А.
В 1907 г. Пауль и Татьяна Эренфест проиллюстрировали это положение
на простой и красивой вероятностной модели. Сосуд А содержит
большое количество пронумерованных шаров, а сосуд В пуст. Из треть-
его сосуда, наполненного пронумерованными билетиками, вынимается
наугад один (скажем, 6-й), и тогда шар, отмеченный этим номером, пе-
рекладывается из А в В. Билетик возвращается обратно и возобновляется
вынимание билетов и перекладывание шаров из сосуда в сосуд. Каждый
раз, вынимая наугад какой-то номер от 1-го до А^-го (общее первоначаль-
ное число шаров в сосуде Л), шар с этим номером перекладывают из
того сосуда, в котором он находился в этот момент, в другой (фиг. 45).
Интуиция подсказывает нам, что до тех пор, пока в сосуде А шаров
намного больше, чем в сосуде В, вероятность того, что мы вынем номер,
принадлежащий шару из сосуда Л, будет заметно больше вероятности
того, что мы вынем цомер, принадлежащий шару из сосуда В. Таким
образом, вначале будет наблюдаться сильный «переток» шаров из Л в В.
Продолжая вынимать билетики, мы заметим, что вероятность вытяги-
вания номера шара из Л будет меняться в зависимости от предыду-
щих выниманий билетиков. Эта форма зависимости вероятности от
предшествующих событий носит название цепи Маркова, и в игре,
которую мы рассматриваем, все имеющие к этому отношение факты
91
Фиг. 45. Модель Эренфестов, иллюстрирующая цепь Маркова, заключается в игре с
перекладыванием шаров из одного сосуда в другой в соответствии с тем номером,
который мы вынимаем наугад из третьего сосуда (изображен слева). До тех пор пока в
сосуде А шаров намного больше, чем в сосуде В, в основном будет происходить пере-
кладывание шаров из Л в В. Вероятность нахождения в сосуде А шара с вынутым
номером будет меняться в зависимости от результатов предшествующих выниманий.
Такая форма зависимости называется цепью Маркова.
•
ЯВИ1И1..............
Фиг. 46. Чтобы воспроизвести на вычислительной машине модель Эренфестов с 16 384
воображаемыми шарами и 200 000 выниманиями, понадобилось всего около 2 мин.
Начиная с положения, когда все шары находились в сосуде А, число шаров в нем
отмечалось точкой после каждой тысячи выниманий. Оно убывало экспоненциально до
тех пор, пока не было достигнуто равновесие при 8192 шарах (т. е. половине первона-
чального количества) в каждом сосуде. После этого флуктуации были уже невелики.
могут быть строго и точно выведены. Оказывается, что в среднем число
шаров в сосуде А будет в действительности убывать с экспоненциальной
скоростью, как и предсказывает термодинамическая теория, пока пример-
но половина шаров не окажется в сосуде В. Но эти вычисления показы-
вают также, что если игру продолжать достаточно долго, то с вероятностью,
равной 1, все шары попадут назад в сосуд Л, как и утверждает теорема
Пуанкаре!
Сколько же выниманий в среднем потребуется, чтобы вернуться снова
к этому исходному положению? Ответ гласит — 2N выниманий, а это ис-
ключительно большое число, даже если общее число шаров N не превосходит
100. Этим и объясняется, почему наблюдения, которые мы производим,
дают нам движение только в одном направлении без каких-либо осцилляций
в прямом и обратном направлении. Вся история существования чело-
вечества ничтожно коротка в сравнении с временем, нужным природе,
чтобы двинуться вспять.
Для экспериментальной проверки теоретических подсчетов игру Эрен-
фестов провели на быстродействующей вычислительной машине. Начали
с 16 384 шаров в сосуде Л, и каждый «прогон» состоял из 200 000 выни-
маний (что заняло меньше 2 мин машинного времени). Была вычер-
чена кривая, дающая число шаров в сосуде Л по результатам каждой ты-
сячи выниманий (фиг. 46). Как и ожидалось, убывание числа шаров в Л
сначала происходило почти точно по экспоненциальной кривой. Но, на-
чиная со значения, близкого к положению равновесия (т. е. 8192 — поло-
вина общего числа шаров), кривая стала неровной, произвольно отклоняясь
то вверх, то вниз. Возможно, эти мелкие колебания были несколько преу-
величены из-за каких-либо отклонений в работе самой машины, но, во вся-
ком случае, они отражают истинные флуктуации, которые должны воз-
никнуть при оставшемся числе шаров в сосуде Л.
Эти слабые причудливые флуктуации отражают изменчивость в при-
роде и все то, что стоит между нами и тепловой смертью, на которую мы,
казалось бы, обречены вторым началом термодинамики! Теория вероят-
ностей примирила термодинамический и кинетический подходы к при-
роде, показав, что на самом деле между ними нет противоречия, если
только второе начало термодинамики понимать достаточно гибко. В
самом деле, развитие теории вероятностей в XX в. изменило наши воз-
зрения в такой степени, что мы больше не считаем выведенные нами за-
коны природы незыблемыми или абсолютно истинными.
Основания математики
Когда какая-либо математическая идея оказывается полез-
ной, на ее основе воздвигают математическую надстройку,
Позднее исходная идея может оказаться шаткой, но нужно
суметь обновить ее, не разрушив при этом существующей
надстройки.
У. В. Куайн
Неопровержимость — имя тебе, математика. Пусть представитель ес-
тественных наук удовлетворяется очевидностью, математику нужны до-
казательства. И если кто-то проявляет беспокойство по поводу оснований
математики, то не значит ли это, что стандарты научной строгости стали
суровыми? И в самом деле, в какой еще области можно надеяться найти ос-
нования, хотя бы наполовину столь же прочные?
Беспокойство по поводу оснований математики чаще всего возникает
в критические моменты, когда кажется, что основополагающие идеи ста-
новятся шаткими, и математики вынуждены проверять их. Такого рода
проверка идеи бесконечно малых была проведена спустя много лет после
разработки дифференциального исчисления Исааком Ньютоном и Готт-
фридом Вильгельмом фон Лейбницем. Это понятие величины, сколь
угодно приближающейся к нулю, но все же отличной от него, послужило
основанием для исследования скоростей изменения различных процессов
(то, чем занимается дифференциальное исчисление).
Рассмотрим автомашину, разгоняющуюся с места до скорости 90 км
в час. Предположим, что в момент, когда стрелка спидометра показывала
«60», машина шла со скоростью километр в минуту; в предыдущие мгно-
венья эта скорость была меньше, а в последующие она оказывается большей.
Мгновенная скорость километр в минуту не означает, что машина прошла
километр за одну минуту, поскольку эта скорость не сохраняется в те-
чение целой минуты. Она вообще не остается постоянной, так как машина
непрерывно ускоряет свое движение. Расстояние, проходимое в каждое
мгновение, есть нуль, и выражение «ни одного километра за мгновенье» устра-
няет разницу между одной скоростью и другой. И вот основоположники
дифференциального исчисления предположили существование бесконечно
малых чисел, едва отличных от нуля и друг от друга. (Нам знакомы умень-
шающиеся в геометрической прогрессии дроби Vg, 1/1б и т. д., но ни одна
из них не является бесконечно малой; предполагается, что бесконечно
малая доля может войти в единицу не шестнадцать, а бесконечное чи-
сло раз.)
Прохождение одного километра в минуту означает тогда, что за неко-
торое бесконечно малое время автомашина проходит определенное беско-
нечно малое расстояние. Прохождение же половины километра за минуту
означает, что за это же бесконечно малое время автомашина прошла поло-
Ф и г. 47. Число 4 представлено как класс, включающий все четырехчленные классы,
внешняя рамка не замкнута справа, так как членство в этом классе не ограничивается
приведенными здесь примерами. Правильным названием для общей картины было бы
число «4». Утверждение, что класс тетраэдров, конусов, сфер или цилиндров имеет
четыре члена, означает, что они «принадлежат» «4». Эта точка зрения на число — одна
из выдвинутых исследователями оснований математики.
95
Фиг. 48. Кривая ускорения автомашины от момента покоя. Вертикальные полоски
представляют одинаковые участки дороги протяженностью 1 км, наблюдаемые через
каждые 15 сек. В первые 15 сек машина продвигается примерно на 14 м. В четвертые
15 сек она проходит расстояние, в 32 раза большее.
вину того бесконечно малого расстояния, которое она проходила при
скорости километр в минуту. Абсурдность такого подхода казалась
очевидной, но возникшее в результате дифференциальное исчисление дало
возможность создать математический аппарат для изучения скоростей.
Затронутая здесь задача является характерной для проблем, возникаю-
щих при установлении оснований математики: как, сохранив полезную
надстройку, отделаться от бесконечно малых, отдав предпочтение более
ясным идеям?
В XIX в. Огюстен Коши И его последователи разрешили эту задачу.
Рассмотрим все уменьшающиеся промежутки времени, включающие рас-
сматриваемое мгновенье. Если против каждого такого интервала написать
расстояние, которое за это время проходит машина, то для коротких вре-
менных интервалов отношение «расстояние/время» будет близко к кило-
метру в минуту. Всегда найдется такой временной интервал, что для всех
интервалов, входящих в него,' отношение расстояние'время будет прибли-
жать километр в минуту с любой наперед заданной точностью. Последова-
тельность отношений расстояние/время, взятых по все более сужающимся
Фиг. 49. Мгновенье, в которое машина достигает скорости 1 км в минуту, показано
в виде точки на отрезке кривой ускорения движения. Отношение расстояиие/время
(d/t) для сближающихся интервалов будет образовывать последовательность, стре-
мящуюся к определенному конечному пределу.
96
интервалам, будет стремиться к некоему пределу (который и определяется
дифференцированием). Понятие предела, включающее короткие, но не бес-
конечно малые расстояния, используется для определения того, что понима-
ется под прохождением автомашиной километра в минуту в данный момент
времени.
Бесконечно малые — не единственное математическое понятие, которое
нужно было либо узаконить, либо отвергнуть. Взять хотя бы все еще очень
близкое нам представление о мнимых числах, открытых в XVI в., как о ква-
дратных корнях из отрицательных чисел. Возведите в квадрат любое дейст-
вительное число, положительное или отрицательное, — результат будет по-
ложительным. Что же тогда представляют собой квадратные корни из отри-
цательных чисел? Чем бы они ни были, но они стали столь насущными в при-
кладных вопросах, что если нужно всего лишь поделить время на расстоя-
ние, то в соответствии с релятивистской физикой закончить придется это
вычисление мнимым числом. Как и в дифференциальном исчислении, провер-
ка основания должна быть проведена, памятуя о сохранении надстройки.
Квадратный корень из —1 есть мнимая единица, иначе ее обозначают L
Остальные мнимые числа суть произведения i на действительные числа (см.
«Арифметика», стр. 29). Действительному числу 3 соответствует мнимое число
3/, действительному числу У2 — мнимое число V2 Л а действительному числу
к — мнимое к/. Мнимые числа, составленные таким образом, можно объеди-
нять с действительными с помощью операции сложения; тогда мы придем к
числам 3 2i и им подобным, известным под названием комплексных чи-
сел. Именно в такой ситуации используются мнимые числа. Комплексные чис-
ла представляют собой способ «кодирования», или «упаковки», пары действи-
тельных чисел хну, каждое из которых легко однозначно восстановить.
Это соответствие может быть отражено на плоскости, определяемой действи-
тельной осью х и мнимой осью у (фиг. 50). При ретроспективном взгляде
может показаться, что можно было избежать загадочных мнимых чисел,
сохранив полностью комплексные числа, если считать их просто «упорядо-
ченными парами» действительных чисел.
Идея упорядоченных пар может оказаться полезной и во многих других
случаях. Применяется она всегда по принципу обращения с двумя предме-
тами, как с одним, не теряя при этом из виду ни того, ни другого. Вообще
говоря, упорядоченная парах и у, будь это просто числа или что-либо другое,
обычно обозначается (х, у). На самом деле важно выяснить не то, что пред-
ставляют собой пары, а то, что с их помощью можно делать. При этом нужно
иметь в виду то свойство пар, что если (х, у) есть (z, до),то хесть z, az/
есть w.
Мы уже говорили о том, что в принципе можно было обойтись и без мифа
о мнимых корнях. Тем не менее и он играет свою роль, сильно упрощая за-
коны алгебры; этим преимуществом можно воспользоваться, если только
удастся «оправдать» мнимые и комплексные числа. С этой целью можно при-
бегнуть к маневру, широко распространенному в исследованиях оснований
математики: определить комплексные числа просто как упорядоченные пары
действительных чисел, а затем производить над ними обычные операции —
сложение, умножение и возведение в степень так, чтобы они имели смысл
при их применении к упорядоченным парам. Это может быть сделано таким
образом, что у нас появится алгебра упорядоченных пар4 которую нельзя
будет формально отличить от алгебры комплексных чисел, то есть комплекс-
ные числа могут быть объяснены как упорядоченные пары, но с тем же
успехом можно сказать, что комплексные числа как таковые становятся
ненужными при появлении упорядоченных пар.
97
действительной, горизонтальной, осью и мнимой, вертикальной, так, как это показано
для точек K(14-2t) и Н (2-f-i) на графике (слева). Если две эти точки и начало коорди-
нат считать вершинами параллелограмма, то четвертая его вершина (Р) покажет их
сумму.
Вместо того чтобы говорить только о том, какие функции выполняют
упорядоченные пары, мы могли бы пойти дальше и постараться установить,
что же они собой представляют. Надо сказать, что этот вопрос не столь
насущен, как вопросы о бесконечно малых или о мнимых числах, и потому
несет в себе несколько больше элементов от случайной философии. Любой
ответ, как бы он ни был искусствен, оказывается дееспособным до тех пор,
пока он предполагает закон пар: если (х, у) есть (z, w), то х есть z, а у есть
w. В настоящее время широко распространен подход, предложенный Нор-
бертом Винером и Казимиром Куратовским, где упорядоченная пара
(х, у) не отождествляется просто с классом, члены которого суть х и у,
поскольку такое отождествление привело бы к путанице (х, у) и (у, х).
По предложению Винера — Куратовского пара (х, у) отождествляется с
классом из двух классов. Один из них — это класс, единственный член
которого х, а другой — это класс, члены которого и х и у. Теперь можно
сказать, что упорядоченные пары интерпретированы нами как’некоторые
двучленные классы классов, или же что понятие упорядоченных пар нами
опущено и заменено двучленными классами классов. Разница здесь только
словесная, но первое объяснение имеет то преимущество, что в нем сохра-
няется обозначение (х, у) и само слово «пара».
гКилософский смысл этих проблем следует, вероятно, искать между него-
т7дующими вопросами оскорбленного здравого смысла «что такое беско-
нечно малая» или «что такое квадратный корень из отрицательного дейст-
вительного числа» и вопросами скучающего ребенка в дождливый день,
требующими безотлагательного ответа.
Ответить на философский вопрос «что такое число» значительно труд-
нее, чем на вопрос об упорядоченных парах. Начнем с натуральных чи-
сел, т. е. положительных целых чисел и нуля. Мы называем числа при
помощи числительных. Символ «12» —это название числа 12. Перефрази-
руем наш вопрос: что мы называем при помощи числительных? Что такое
12? С одной стороны, это сколько месяцев в году, сколько было апостолов,
сколько яиц в коробке. С другой — 12 это не просто свойство дюжины
яиц, месяцев, апостолов, это общее свойство класса дюжины яиц, класса
дюжины месяцев или класса дюжины апостолов.
Ясность в математике приобретается за счет обсуждения классов,
а не отдельных свойств. Какие бы выкладки мы ни производили с привле-
чением понятия о свойстве, все они могут быть выполнены с неменьшим
98
Фиг. 51. Функция «корень квадратный» может быть представлена внешней рамкой,
не замкнутой внизу, содержащей упорядоченные пары (а, Ь), в которых а и b связаны
отношением «6 в а раз больше, чем а». Каждая такая упорядоченная пара считается
двучленным классом. Один из классов-членов показан в каждой рамке слева. Единствен-
ный его член — это первый элемент пары. Другой класс-член показан справа, он со-
держит оба элемента пары. При таком условии пару (3, 9) нельзя перепутать с парой
(9, 3), представляющей функцию «квадрат». Этим вариантом определения, использую-
щим пары, широко применяемым в современной математике, мы обязаны Норберту
Винеру и Казимиру Куратовскому.
успехом при использовании понятия о классе всех вещей, обладающих
этим свойством. При этом достигается большая ясность, поскольку, когда
мы говорим о классах, у нас имеется четкое представление об их тождест-
ве и различии: это зависит от того, состоят или не состоят эти классы
из одних и тех же элементов.
В частности, тогда лучше всего объяснять 12 не как свойство быть дю-
жиной, а как класс всех дюжин, класс всех 12-членных классов. Каждое нату-
ральное число п превращается тогда в класс всех n-членных классов. Мож-
но разорвать порочный круг применения и для определения этого жен, если
каждое число определять через предшествующие ему числа. Если мы,
например, уже имеем 5, то 6 можно определить как класс тех классов, ко-
торые при исключении одного члена будут принадлежать классу 5. Если
начать с самого начала, то 0 можно объяснить как класс, состоящий из
единственного пустого класса. Тогда 1 — это класс тех классов, уменьше-
ние которых на один член приводит нас к классам, принадлежащим 0.
Тогда 2 — это уже класс тех классов, которые после исключения одного
члена принадлежат классу 1, и т. д.
Известно, что любой вариант определения упорядоченных пар оправ-
дывает себя, если только он удовлетворяет основному закону пар. Точно
так же любое определение натурального числа оказывается подходящим,
если оно удовлетворяет требованию: существуют некое начальное 4исло
и некая операция нахождения следующего числа, применение которой
каждый раз дает новое число. Изложенный выше вариант определения
числа, предложенный Готтлобом Фреге в 1884 г., удовлетворяет этому
требованию (фиг. 52). Есть и другие варианты: например, предложенный
Джоном фон Нейманом, отождествляющий каждое число с классом всех
предшествующих чисел (фиг. 53). В этой системе 0 сам по себе — пустой
класс; 1 — это класс, единственным членом которого является 0; 2 — класс,
состоящий из двух членов: 0 и 1. Там, где Фреге говорит, что класс из п
членов принадлежит числу и, фон Нейман сказал бы, что класс из п членов —
это класс, члены которого могут быть поставлены во взаимно однозначное
соответствие с членами числа п.
Будем ли мы трактовать числа такими способами или каким-нибудь
другим, следующая ступень — определить над ними арифметические
операции. В основе сложения лежит следующая совершенно очевидная
мысль: /и+и — это число членов в классе, одна часть которого состоит
из т членов, а оставшаяся часть — из п. Произведение тХп дает ответ
на вопрос, сколько членов имеет класс, если он распадается на т частей
по п членов в каждой.
L_|о существуют еще и отрицательные числа, которые также нужно рас-
1 1смотреть, затем дроби и все иррациональные числа, такие, как |/2 и
к, иными словами, все остальные действительные числа, за исключением на-
туральных. Для всех них подходит опять-таки любой вариант определения,
удовлетворяющий определенным требованиям. Один вариант (с большим
единообразием, чем остальные) интерпретирует каждое действительное число
как некоторое отношение между натуральными числами; в данном случае
это отношение сравнения по величине. Возьмем, в частности, действи-
тельное число 1/2- Оно интерпретируется как отношение, в котором 1
находится с любым целым числом, начиная с 3 и выше, в котором 2 нахо-
дится с любым целым, начиная с 5, и т. д. Аналогично каждое положи-
тельное действительное число х отождествляется с отношением «менее чем
в х раз больше». Действительное, число Ч* , например, выступает как отно-
шение, в котором 1 находится с каждым целым числом, начиная с4и выше,
100
Фиг. 52. Натуральное число 4 показано здесь как класс всех четырехчленных классов;
внешняя рамка, таким образом, оказывается не замкнутой снизу. В соответствии с
этим вариантом определения числа, впервые высказанного Готтлобом Фреге, единица
может быть объяснена как класс тех классов, которые, будучи уменьшены на один
член, станут принадлежать к числу 0.
Фиг. 53. Вариант Джона фон Неймана определения натурального числа 4 делает
упор на способность натуральных чисел быть поставленными во взаимнооднозначное
соответствие (показано стрелками) с некоторым классом из четырех членов. Три эле-
мента этого класса определяются этим соответствием. Последний, четвертый элемент —
пустой класс.
Фиг. 54. Действительное число 4 представлено классом, не замкнутым снизу (внешняя
рамка), состоящим из упорядоченных пар, в которых а «менее чем в 4 раза больше 6».
Это есть отношение, в котором 3 находится с 1,7—с 2, а 11—с 3. Это же соглашение при-
меняется к дробям и к отрицательным числам.
2 — с каждым целым от 7 и выше, а 3 — с каждым целым от 10 и выше и
т. д. Что касается отрицательных действительных чисел, то они берутся
как обратные отношения: поскольку V2 есть отношение «менее чем вдвое
меньше» («менее чем вполовину больше»), то —х/2 получается как отношение
«более чем вдвое больше».
Рискуя все в большей мере быть похожими на скучающего ребенка,
непрестанно задающего вопросы в дождливый день, мы можем теперь
спросить: «А все-таки, что такое отношение?» Исходя из наших рассуждений
об упорядоченных парах, мы говорим, что отношение может быть отождест-
влено с классом всех упорядоченных пар (а, Ь), в которых а находится
в данном отношении к Ь. Таким образом, все действительные числа в
конечном итоге отождествляются с классами, как это было в случае нату-
ральных чисел. Число х/2 становится классом всех упорядоченных пар
(а, 6), в которых а «менее чем вдвое меньше 6». В то время как класс упо-
рядоченных пар, который мы отождествили с х/2, не может содержать пару
(2, 4) без нарушения отношения «менее чем», ибо тогда а было бы точно
в х раз меньше 6, он содержит упорядоченную пару (20, 41) или любую
другую, где а сколь угодно близко к тому, чтобы быть в х раз
меньше Ь.
Различным действительным числам соответствуют различные клас-
сы упорядоченных пар. Это обстоятельство доказывается существова-
нием рационального числа между любыми двумя точками на действи-
тельной прямой. Так, если х и у — различные действительные числа (х,
скажем, меньше, чем у), то существует такое рациональное число а/b (а
и b — целые), что а/b меньше у, но больше х. Тогда упорядоченная пара
(а, Ь) попадает в класс, соответствующий у, но не попадет в класс, соот-
ветствующий х, разделяя таким образом эти два класса. Описание положи-
тельного действительного числах как отношения «менее чемвх раз больше»
приводит к тому же порочному кругу, что и описание натурального
п как класса всех n-членных классов. Но зато, как и в том случае, это опи-
сание помогает нам понять, что за объекты чйсла. Дело в том, что повтор-
ное использование по кругу «и» или «х» в нашем описании подска-
зано здравым смыслом. В действительности же этого в обоих случаях мож-
но избежать, если дать строгое, но сложное определение.
Нам пришлось принять некоторый вариант определения натурального
числа до построения всех вещественных чисел вообще, поскольку эти числа
мы рассматривали как отношения между натуральными. Поэтому послед-
ние следует рассматривать как отличные от соответствующих целых действи-
тельных чисел, хотя это совершенно бесполезно. Вещественное число 5,
например, появляется в виде класса упорядоченных пар (а, Ь) из нату-
ральных чисел а и 6, где а «менее чем в 5 раз больше Ь».
О функциях в математике говорят не меньше, чем о числах. Но фи-
лософский вопрос «что такое функция?» разрешается легче, чем вопрос «что
такое число?». Функция может быть отождествлена с отношением между
ее значениями и ее аргументом. Функция «квадратный корень из ...» объяс-
няется как отношение корня к квадрату числа, т. е. как отношение, в
котором находятся 0 к 0; 1 к 1; 2 к 4; а 2/3 к 4/9 ит. д. Функция корень квад-
ратный становится, таким образом, классом всех пар (0, 0), (1, 1), (2,4),
(2/3, 44) или в общем виде (х, х2). Фиг. 51 представляет эту функцию как
класс.
Наше выборочное исследование оснований математики началось с
неприятных неожиданностей и вылилось, как мы видим, в процесс сведения
одних понятий к другим и уменьшения числа основных математических
концепций. Применим теперь этот метод к сведению всем известного опре-
деления простого числа к терминам элементов и классов. Чтобы сохра-
102
нить всю систему предпосылок, следует детально воспроизвести по-
следовательные определения, приняв во внимание все логические и мате-
матические построения, используемые в них. Каждое определение
должно пояснить нам, как можно избежать некоторых оборотов, пере-
фразировав их или предложения, в которых они появляются, с тем что-
бы свести все к какому-то остаточному словарю, который в конечном
счете будет состоять из нескольких начальных терминов.
Заменим сначала фразу
п есть простое число
на фразу
п есть натуральное число, и для всех натуральных чисел h и k,
если п равно произведению hxk, то либо h, либо k есть I1.
Этот первый шаг дал нам возможность исключить опасное словосоче-
тание «простое число» из нашего словаря, но вместо этого появились слова
«п есть натуральное число», а также обозначение для умножения h на k
и обозначение для 1. Мы знаем, что знак умножения можно исключить,
раскрыв n=hxk следующим образом:
класс из п членов распадается на h частей по k членов в каждой
Чтобы заменить понятие «части» класса на более простое понятие
членства в классе, эту фразу можно переписать так:
для каждого класса х из п членов существует класс у из h членов,
такой, что каждый член класса у имеет k членов, никакие члены
класса у не имеют общих членов и все члены членов класса у, и толь-
ко они, являются членами класса х.
Хотя определение становится очень громоздким, термины, входящие
в него, сводятся лишь к терминам членства в классе. Теперь можно исклю-
чить фразу «х имеет п членов» и ей подобные словосочетания. Если для оп-
ределения натуральных чисел воспользоваться вариантом Фреге, то тогда
вместо «х имеет п членов» следует написать «х есть член п». А наша перво-
начальная фраза сведется теперь уже к следующей:
п есть натуральное число, и для всех натуральных чисел h и k,
если для всякого члена х класса п существует член у класса h, такой,
что все члены у являются членами класса k и никакие члены класса
у не имеют общих членов, а все члены членов у, и только они, есть
члены х, то либо h, либо k есть 1.
Несмотря на то что данное определение стало еще более громоздким,
сокращение числа терминов имеет большое значение. В конце концов там,
где требуется большая ясность, можно восстановить опущенные обороты,
используя установленные нами сокращения.
Следующий термин, который требуется исключить,—это «натуральное
число» (данный термин здесь употребляется по отношению к п, h и k). Ска-
1 Следовало бы еще добавить условие «п>1», ибо «простым числом мы называем
каждое натуральное число, большее единицы, которое не является произведением
двух натуральных чисел, больших единицы» (В. Серпинский, Что мы знаем
и чего не знаем о простых числах. Перевод с польского, М.— Л., 1963, стр. 11).—
Прим. ред.
103
Утверждение относительно п Термины, при помощи которых оно разверты- вается Определение терминов
п есть простое число Простое число п есть натуральное число, и для всех натуральных чисел h и А, если п равно произведению Ах А, то либо А, либо А есть 1
п есть натуральное число, и для всех натуральных чисел h и k, если п равно произведению hxk, то либо А, либо k есть 1 п равно произведению hxk Класс из п членов распадает- ся на А частей по k членов в каждой
п есть натуральное число, и для всех натуральных чисел h и А, если класс из п членов рас- падается на h частей по k чле- нов в каждой, то либо А, либо h есть 1 х распада- ется на А ча- стей по k чле- нов в каждой Существует класс у из А чле- нов, такой, что каждый член класса у имеет А членов, ни- какие члены класса у не имеют общих членов, и все члены чле- нов класса у, и только они, яв- ляются членами класса х
п есть натуральное число, и для всех натуральных чисел h и А, если для каждого члена х класса п существует член у клас- са Л, такой, что все члены ^яв- ляются членами класса k и ни- какие члены класса у не имеют общих членов, а все члены чле- нов у, и только они, суть чле- ны х, то либо А, либо k есть 1 1 п есть натуральное число 0 Объект, следующий за 1 п есть член каждого такого класса г, что 0 есть член г и все объекты, следующие за чле- нами кла'сса z, суть члены клас- са г 0 есть класс, единственным элементом которого является класс, не имеющий членов Объект, следующий за /и, есть класс всех таких классов, которые при исключении из них одного члена становятся принад- лежащими т 1 есть класс всех таких клас- сов, которые при исключении из них одного члена становятся классом, не имеющим членов
п есть член каждого такого класса г, что класс, единствен- ным членом которого является класс, не имеющий членов, яв- ляется членом z, и для каждого члена т класса г класс всех таких классов, которые при исключе- нии из них одного члена стано- вятся принадлежащими т, есть член z, и для всех А и А, кото- рые являются членами каждого
Продолжение таблицы
Утверждение относительно п Термины, при по- мощи которых оно развертыва- ется Определение терминов
такого класса z, что класс, един- ственным членом которого явля- ется класс, не имеющий членов, есть член z, и для каждого чле- на т класса z класс всех таких классов, которые при исключении из них одного члена становятся принадлежащими т, есть член z, если для каждого члена х класса п имеется член у клас- са Л, такой, что все члены у являются членами класса k и ни- какие члены класса у не имеют общих членов, а все члены чле- нов у, и только они, суть чле- ны х, то либо h, либо k есть класс всех таких классов, кото- рые при исключении из них одного члена становятся клас- сом, не имеющим членов
Т а б л. V. В верхней левой клетке этой таблицы приведена упрощенная фраза. Опреде-
ление «и есть простое число» создает словарь терминов (средняя колонка), которые
должны быть раскрыты (как показано в правой колонке), Последнее предложение
оперирует лишь с понятием членства в классе. Если не стремиться к краткости, то это
предложение может быть переписано только через такие обороты речи, как «и», «не», «яв-
ляется членом» и идиома квантора общности—«каждая вещь х является такой, что ...
х...». Вариант определения числа, которым мы пользуемся при раскрытии терминов,
был разработан Фреге.
зать, что п есть натуральное число, это значит сказать, что п есть 0 или объ-
ект, следующий за ним, или следующий, за этим следующим и так далее.
Фреге показал, как можно уйти от словосочетания «и так далее», опреде-
лив «натуральное число» как
член каждого класса z, такого, что 0 есть член z и все объекты,
следующие за членами класса z, суть члены класса z.
По Фреге, «О» — это класс, единственным элементом которого является
класс без членов, а «объект, следующий за» любым т,— это класс всех
классов, которые при исключении из них одного члена оказываются при-
надлежащими к т. Если упразднить слова «О» и «объект, следующий за»
в вышеупомянутой фразе «является натуральным числом», а затем по-
ставить то, что при этом получится, в соответствующие места первона-
чальной фразы, то мы найдем наконец очень длинное определение с не-
большим числом терминов (табл. V). Наше промежуточное определение,
заканчивающееся числом 1, также оказывается объясненным, посколь-
ку 1 является «объектом, следующим за» нулем. Запас слов, которыми
мы теперь оперируем, сводится лишь к членству в классе и к набору эле-
105
ментарных логических частиц, таких, как «является», «и», «или», «если,
то», «каждый», «все» и т. п.
Если и дальше идти по пути уменьшения словарного запаса, то можно
все их свести к нескольким основным словам и словосочетаниям. Сре-
ди них — союз «и» и отрицание «не». Затем следует использовать идиому
квантора общности: «каждая вещь такова, что... она...», или при исполь-
зовании более гибкой формулировки с употреблением переменных: «каждая
вещь х такова, что...». Первая часть фразы «каждая вещь х такова, что»
кратко обозначается как (х). Существует также символ е, обозначающий
«является членом». Быть может, в наш перечень следует включить и скоб-
ки, используемые для группировки словосочетаний. Вот как будет выгля-
деть, например, фраза, кратко записанная в сокращенных обозначениях:
(х) не (у) не (х еу и не у ех).
Это сводится в сущности к фразе «любая вещь является членом какой-
то вещи, не являющейся членом исходной вещи».
Всякая фраза, которая может быть выражена на языке чистой класси-
ческой, математики, арифметики, дифференциального или интегрального
исчисления или какой-либо иной дисциплины, может быть перефразирова-
на в соответствии с таким малым запасом слов, хотя эта перефразировка
может привести к очень длинной фразе. То, во что превратилось выше
предложение «п есть простое число», удлинилось бы еще сильнее на языке
предлагаемых пяти основных выражений. Хотя все пять вышеупомянутых
выражений не следует рекомендовать ни в качестве обыденного математи-
ческого языка, ци как практическое средство для выкладок, они представ-
ляют определенный теоретический интерес, поскольку показывают, как
много математических идей можно выдвинуть на весьма скудной основе.
Четыре из пяти основных выражений относятся к дисциплине, называе-
мой математическая логика. Пятое — «е » — присуще теории множеств,
или математике классов. Можно было бы сказать, что все эти выражения
относятся к теории множеств, ибо в конечном счете логические выражения
составляют неотъемлемую часть в любой науке, а значит, и в данной теории.
Могло бы показаться, что всю математику можно выразить языком тео-
рии множеств. Поэтому всё математические истины можно рассматривать как
истины из этой теории, и всякая математическая задача может быть преоб-
разована в задачу теории множеств. Это означает, что либо откроются
благоприятные перспективы для дальнейшего развития важнейших ма-
тематических проблем, либо теория множеств столкнется с такими же боль-
шими трудностями, как и классическая математика в целом.
Оказалось верным последнее предположение. Самым слабым местом
в теории множеств является не то, что в ней можно написать предложе-
ния, истинность или ложность которых трудно доказать, а то, что можно
написать предложения, для которых одновременно истинность и лож-
ность представляется одинаково легко доказуемой. Вот одно из них:
не (у) не (х) \не (хьу и х$х) и не (не х t у и не х tx)].
Если эту фразу перевести частично на язык простых смертных, то
она будет звучать так:
Существует некая вещь у, такая, что (х) (х с у, если и только если
не х ех).
Это кажется верным; надо только взять в качестве у класс всех вещей х
таких, что х не есть член самого себя. Оказывается, что это утверждение
106
Фиг. 55. Пятицветная карта может быть так перекрашена в четырехцветную, что по-
лосы одного цвета не будут иметь общей границы. Математическое доказательство
этого утверждения для общего случая не найдено, хотя никто и не нарисовал еще
карту, для которой необходимо пять цветов.
ложно: если бы у было таким, как утверждалось выше, мы могли бы, в
частности, в качестве х взять это у и вывести, противореча самим себе, что
у с у тогда и только тогда, когда не у $у.
Этот парадокс, открытый Бертраном Расселом в 1901 г., самый прос-
той из всех парадоксов теории множеств. Отсюда можно сделать вывод,
что наличие необходимого и достаточного условия для членства в каком-
либо классе не гарантирует того, чтс^ такой класс существует. Парадокс
Рассела указывает, в частности, что нет класса, состоящего в точности из
вещей, которые не являются членами самих себя. Следовательно, главной
задачей теории множеств оказывается выяснение того, какие классы суще-
ствуют. Никакого естественного и одновременно годного ответа до сих
пор не получено. Ответ, что существует класс с любым (каким угодно)
условием членства,— несостоятелен.
С 1901 г. появилось большое число теорий множеств, но ни одна из
них не имела бесспорного преимущества перед другой. Даже вопрос о
том, свободны ли они от собственных противоречий, является спорным
в рамках такого рассмотрения, поскольку мы не можем больше доверять
здравому смыслу при установлении правдоподобия тех или иных пред-
107
положений. Теория множеств дискредитирована парадоксами, и в качестве
основания математики она оказывается гораздо менее надежной, чем ее
надстройка.
Таким образом, теорию множеств, очевидно, не следует рассматри-
вать как основание математики, надеясь на то, что она избавит нас от
опасений за прочность классической математики. При разработке всевоз-
можных систем по созданию подходящей теории множеств мы пытаемся
лишь найти схему, которая воспроизводила бы при соответствующей над-
стройке принятые законы классической математики. На данном этапе мы
рассматриваем теорию множеств как удобный краткий словарь мате-
матических терминов, используемый для формулирования общей системы
аксиом классической математики.
Однако подобный способ построения аксиоматики никогда не будет дове-
ден до совершенства, и весьма маловероятно, что можно найти доста-
точно сильную процедуру доказательств, охватывающую все истины клас-
сической математики или хотя бы одной только арифметики и исключаю-
щую все ошибки. Курт Гёдель доказал это в 1931 г.
Процедура доказательства для сложения и вычитания, показанная в
табл. VI, является полной: всякая истина, которую можно записать в
принятых нами обозначениях, может быть доказана с помощью этой про-
цедуры. Данные обозначения, однако, объемлют лишь немногие аспекты
арифметики и не могут быть использованы для умножения, равно как и
для логических операций. При введении дополнительных обозначений для
этих целей ни одна процедура доказательства не может охватить все ис-
тинное, избегая при этом ложного. Это неизбежно, даже если мы ог-
раничимся рассмотрением всего лишь одних натуральных чисел.
В так называемой элементарной теории чисел принят именно такой
способ обозначения переменных. Например, в выражении
(х) (у) не (z) [не (х~у \ z) и не (у xrz)\
обо всех натуральных числах х и у говорится, что либо х — у + z, либо
у x+z для некоторого натурального числа z. Гёдель показал, что если за-
дана какая-то процедура доказательства, то с помощью этого ограничен-
ного запаса обозначений можно построить предложение, которое окажется
ложным, если для него будет существовать доказательство в соответствии
с этой процедурой, и истинным, если для него такового не будет. «Поэто-
му,— заключил Гёдель,— заданная процедура либо ошибочна, поскольку
она позволяет доказывать ложное, либо неполна, поскольку терпит неу-
дачу при попытке доказать некую истину из элементарной теории чисел».
Открытие Гёделя нанесло удар по существовавшим в то время преду-
беждениям. Предполагалось, что сама природа математической истины
состоит в ее доказуемости. Оказалось, что это н^ так. Конечно, каждое
предложение, которое можно выписать в соответствии с этой ограниченной
и четкой формулировкой в элементарной теории чисел, имеет определен-
ный смысл и выражает либо истину, либо ложь. Каждое такое утвер-
ждение или его отрицание непременно является истиной. Однако истину
не всегда можно подкрепить доказательством.
В отличие от распространенного мнения характер истины в матема-
тике не столь уж сильно отличается от характера истины в какой-ли-
бо естественной науке.
Работа'в области оснований математики может быть связана как с
понятиями, так и с законами. В данной статье показано, что оперирование
108
Число Шаг Источник
1 х = х —(у—у) Аксиома
2 х — (у — г) = г — (у—х) Аксиома
(Отсюда выводятся теоремы либо путем подстановки произвольного терми-
на вместо всех вхождений какой-либо переменной, либо же, если дано урав-
нение, заменой в произвольном месте одной его части на другую)
3 г = г — (у — у) Шаг 1
4 Z Z — (х, — х) Шаг 3
5 1 1 1 1 II 1 Шаг 4
6 х — (х — г) = г — (х — х) Шаг 2
7 X — (X — (у — у)) = (у — у) — (X — X) Шаг 6
8 х — х = (у — у)—(х —х) Шаги 1, 7
9 х ~ х = у — у Шаги 5, 8
(Выражение «х + р> можно считать сокращенной записью выражения
<х— ((У — УУ—*/)». Законы сложения тогда выглядят просто как сокраще-
ние законов вычитания. Так, закон «х + у — у + х» доказывается, как по-
казано ниже)
10 х — ((х — х)— у) = у — ((х — х) — х) Шаг 2
11 х — ((У — У)—У)=У — ((х — х) — х) Шаги 9, 10
12 х + у = у + х • Шаг 11, опре- деление
Табл. VI. Процедура доказательства для арифметического сложения и вычитания
начинается с равенств (шаг 1 и шаг 2), взятых в качестве аксиом. Затем определяются
дальнейшие шаги для выведения теорем с помощью подстановки. С 3-го по 9-й ша-
ги вытекают из предыдущих, выписанных в колонке справа. Сложение определяется
в терминах вычитания, прежде чем доказывается его элементарный закон (шаги
10—12).
понятиями представляет собой сведение некоторых из них к меньшему чис-
лу других, уже известных. Но вышеупомянутое открытие Гёделя в равной
мере относится и к изучению законов и их раскрытию в виде аксиом и про-
цедур доказательств. Это направление исследований не было сведено
на нет, поскольку выяснилось, что хотя и нельзя получить полных си-
стем для основных областей математики, можно получить неполные си-
стемы, которые раскрывают многое до сих пор непонятное.
Открытие Гёделя, несомненно, стимулировало развитие работ по
исследованию оснований математики, посвященных изучению законов.
Замечательная техника гёделевского доказательства вызвала к жизни
весьма обширную и быстро развивающуюся ветвь математики — теорию
доказательств. Это яркий пример роли оснований в появлении над-
стройки.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД,Q
Математика в физических науках
В физике можно найти разительные примеры той огромной
роли, которую играет математика при установлении связей
между различными явлениями природы. Таким примером
может служить использование теории групп при отыскании
связей, существующих между элементарными частицами.
Ф. Дж. Дайсон
В 1910 г. математик Освальд Веблен и физик Джеймс Джинс обсуждали
реформу учебного плана по математике в Принстонском университете.
«Можно обойтись без теории групп,— сказал Джинс,— этот раздел мате-
матики никогда не принесет какой-либо пользы физике». Мы не знаем,
оспаривал ли Веблен эту точку зрения или же он просто отстаивал необ-
ходимость преподавания теории групп из чисто математических сообра-
жений; известно только, что теорию групп продолжали преподавать. И
то, что Веблен оставил без внимания совет Джинса, как оказалось, сыграло
немаловажную роль в развитии науки в Принстоне. По иронии судьбы
именно теория групп впоследствии стала для физиков одним из централь-
ных предметов, и теперь она завладела умами всех тех, кто стремит-
ся раскрыть тайну природы элементарных частиц. И самое забавное, что
именно принстонские профессора Г. Вейль и Е. Вигнер оказались пионерами
теоретико-группового направления в физике двадцатых годов, оставаясь
во главе его и в настоящее время.
Из этой маленькой истории вытекают две морали. Первая: ученым
не следует столь безапелляционно высказываться по вопросам, стоящим
вне их узкой компетенции. Судьба Джинса служит ярким примером того,
как вреден догматический подход в науке. Неудачная история с Вебленом
была только началом: позднее Джинс сделал шаг от плохого к худшему,
став преуспевающим популяризатором и радиокомментатором; к тому же
он добивается английского дворянства и губит свою репутацию ученого,
погрузившись в расплывчатые, поверхностные рассуждения на философ-
ские и религиозные темы.
Фиг. 56. Успех теории групп в физике элементарных частиц выявился драмати-
ческим образом в начале 1964 г., когда была открыта частица омега-минус (Q-)-
барион в Брукхэйвенской лаборатории.
Существование частицы омега-минус было предсказано «восьмеричным путем»—
теорией, выдвинутой независимо Гелл-Манном и Нееманом. Термин «восьмеричный»
относится к схеме классификации, основанной на абстрактной теории групп. Более
ранняя теория гласила, что симметрия «изотопического спина» (горизонтальные
стрелки) связывает семейства частиц с различными электрическими зарядами (Q).
«Восьмеричный путь» вызывает новый вид симметрии (наклонные стрелки) и позволяет
объединить более широкий класс частиц с различными величинами гиперзаряда (У)
и изотопического спина (/). Омега-минус-бариона недоставало для того, чтобы этот
расширенный класс частиц имел все десять возможных членов, из которых девять
были уже известны: дельта(Д)-квартет, сигма(2)-триплет и кси(3)-дублет. Омега-
минус является единственным барионным синглетом с отрицательным электрическим
зарядом; его наблюдаемая масса с точностью до нескольких миллионов электрон-
вольт совпала с теоретически предсказанной массой.
111
Не следует, однако, с пренебрежением отйоситься к истории заката и
падения Джинса. Никто от этого не застрахован! Как бы то ни было,
в 1910 г. Джинс считался уважаемым ученым-физиком (в Принстоне, под-
ражая англичанам и следуя их приверженности к титулам, так же как
к псевдоготике в архитектуре, его называли профессором прикладной
математики). Он не был ни менее сведущим, ни более невежественным, чем
большинство его коллег. Очень немногие в то время могли представить
себе, сколь плодотворным окажется союз теории групп с физикой. Так что
вторая и более серьезная мораль нашей небольшой истории заключается
в том, что будущее науки предсказать невозможно. Место математики в
физических науках нельзя определить раз и навсегда. Взаимосвязь
математики со всей наукой так же богата и многообразна, как и само
содержание науки.
При всех отклонениях и поворотах в развитии физики неизменным ос-
тается один фактор — исключительная роль математического вообра-
жения. В каждом столетии отдавалось предпочтение какому-то своему на-
правлению в науке и вырабатывался свой стиль в математике. Однако вся-
кий раз, когда добивались крупных успехов в физике, ее все глубже
постигали благодаря синтезу эмпирического наблюдения с чисто математи-
ческой интуицией. Математика для физика это не только инструмент, с
помощью которого он может количественно описать любое явление, но и
главный источник представлений и принципов, на основе которых зарожда-
ются новые теории.
Способность математики отображать поведение физической вселенной
беспрестанно удивляла физиков всех времен. Великий астроном XVII в.
Иоганн Кеплер, открывший законы движения планет, выразил свое изум-
ление, прибегнув к богословским понятиям: «И вот сам Господь, который
был слишком благ, чтобы оставаться праздным, затеял игру в символы,.
посылая знаки своего подобия в мир. Поэтому я и осмеливаюсь думать,
что вся природа и благословенное небо записаны на языке искусства гео-
метрии». В более идеалистическом XIX в. немецкий физик Генрих Герц,
который первым подтвердил опытом уравнения электромагнетизма Джеймса
Клерка Максвелла (доказав существование радиоволн), писал: «Невозмож-
но избавиться от ощущения, что эти математические формулы существуют
независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас,
мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем пер-
воначально было заложено». Наконец, в наш рационалистический XX в.
Е. Вигнер в характерной для него строгой и сдержанной манере выразил
свое изумление перед успехами более современных математических идей:
«Мы находимся в положении человека, который, вооружившись связкой
ключей, принялся открывать одну дверь за другой, причем каждый раз
он находит нужный ключ с первой или со второй попытки. В результате
этот человек начинает скептически относиться к тому, что каждой двери
соответствует свой ключ».
Почти ничего общего нет между кеплеровской, герцевской и вигнёров-
ской математиками. Кеплер занимался евклидовой геометрией, т. е. кру-
гами, сферами и правильными многогранниками; Герц размышлял об урав-
нениях в частных производных; Вигнер писал об использовании комплекс-
ных чисел в квантовой механике и, без сомнения, имел также в виду (хо-
тя и не упоминал об этом) свой собственный вклад в распространение те-
ории групп во многие области физики. Геометрия Евклида, дифференци-
альные уравнения в частных производных и теория групп — это три на-
правления математики, столь далекие друг от друга, что кажутся принад-
112
лежащими различным математическим мирам. И тем не менее эти направ-
ления оказались тесно связанными в нашем едином физическом мире. Все
это поразительные факты, которые никто еще не смог полностью осмыслить.
Отсюда можно заключить с уверенностью только одно. Человеческий
разум еще далек от сколько-нибудь полного понимания как физиче-
ского, так и математического мира, не говоря уже о соотношении
между ними.
Здесь я не буду вдаваться в глубокие философские рассуждения, по-
чему математика придает физике такую большую силу. В каждом столе-
тии лишь немногие физики (в нашем веке это, пожалуй, только Альберт Эйн-
штейн, Герман Вейль, Нильс Бор, П. У. Бриджмен и Е. Вигнер) могли
проникнуть достаточно глубоко в основы наших знаний, чтобы суметь
разобраться в истинно трудных философских вопросах. Большинство уче-
ных, в том числе и я, утешают себя словами французского математика Анри
Лебега: «По-моему, математикам, постольку, поскольку они математики,
нет нужды заниматься философией. К тому же это мнение не раз высказы-
вали и многие философы».
Мы с радостью оставляем философию таким гигантам, как Бор и Виг-
нер, а сами довольствуемся более поверхностными исследованиями. Поэ-
тому я не буду далее обсуждать, в связи с чем математические представле-
ния стали господствующими в физике. Постараюсь избегнуть философских
вопросов, приняв на веру, что природу следует изучать с помощью мате-
матики, и затрону лишь вопросы практического значения, связанные с
выяснением того, каким образом идеи математики воздействуют на физику.
Какой отпечаток накладывает математика на формирование взглядов фи-
зика? Какие области математики сулят надежды на достижение нового
уровня физического понимания? И наконец, поскольку один конкретный
пример лучше многочисленных рассуждений, я постараюсь обрисовать
роль, которую сыграла в физике теория групп, постепенно подготовив соз-
дание теории элементарных частиц, известной как «восьмеричный путь».
Эта теория, разработанная независимо Гелл-Манном и Нееманом, бле-
стяще подтвердилась открытием омега-минус-частицы.
Прежде чем приступить к подробному рассмотрению проблем сегод-
няшнего дня, я хочу, обратившись к нескольким историческим примерам,
показать воздействие математических воззрений на физику. Исторические
экскурсы для проведения параллелей между проблемами прошлого и на-
стоящего часто помогают при попытке объяснить частные вопросы неспе-
циалистам. Однако читатель должен быть предупрежден, что не следует
принимать на веру эти аналогии и относиться к ним слишком серьезно.
В конце концов лишь очень немногие ученые, принимающие активное учас-
тие в развитии науки, достаточно сведущи в ее истории, и практически ни-
кто из них не руководствуется историческими аналогиями в своей непо-
средственной деятел ьности.
Самым выразительным примером успешного применения математиче-
ского мышления в физике все еще остается эйнштейновская теория грави-
тации, известная также как общая теория относительности. Чтобы по-
строить свою теорию, Эйнштейн взял в качестве рабочего материала неев-
клидову геометрию — теорию искривленных пространств, созданную в
прошлом столетии. Он отождествил наше физическое пространство — вре-
мя с искривленным неевклидовым пространством, так что законы физики
превратились в утверждения геометрии, в корне отличной от классиче-
ской геометрии плоского (евклидова) пространства (см. «Геометрия»,
стр. 47); При этом Эйнштейн исходил из весьма общей аргументации и эсте-
тических соображений. Экспериментальная проверка его теории была сде-
лана уже после того, как ее построение было в основном завершено, и
5-831 пз
не сыграла никакой роли в процессе создания этой теории. Сам Эйнштейн,
казалось, так безоговорочно доверял своей математической интуиции, что
не испытывал ни малейшей неуверенности относительно исхода наблюде-
ний. Тем не менее лишь их положительные результаты сыграли решающую
роль в признании его теории другими учеными-физиками.
Общая теория относительности — первый пример физической теории,
появившейся в результате математического «прыжка в неизвестное». Она
могла бы оставаться неоткрытой еще столетие, не появись человек с эйн-
штейновым воображением. Этого нельзя- сказать о квантовой механике,
другом крупнейшем достижении физики XX в., созданной независимо
Вернером Гейзенбергом и Эрвином Шредингером, которые шли совершен-
но различными путями. Однако завершить эту теорию удалось впоследствии
совместными усилиями многих умов. Но и в квантовой механике решающим
шагом был умозрительный скачок математического воображения, наглядно
проявившийся в работе Шредингера, который основывался на формаль-
ном математическом сходстве между теорией распространения световых
лучей и теорией движения пучков частиц, открытом за девяносто лет
до этого ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном.
Шредингер заметил, что теория световых лучей представляет собой
особый предельный случай теории световых волн, которая была построена
после Гамильтона Максвеллом и Герцем. Поэтому Шредингер рассуждал
так: «Почему бы не существовать теории волн соответствующих частиц, ко-
торые имели бы к траекториям частиц точно такое же отношение, какое све-
товые волны имеют к световым лучам?» Этот чисто математический подход
привел его к построению волновой теории частиц, которую называют кван-
товой механикой. Теория была немедленно сопоставлена с эксперименталь-
ными данными, касающимися поведения атомов. Подтверждение теории
экспериментом оказалось даже еще брлее впечатляющим, нежели в случае
общей теории относительности. Как это нередко случается в физике, тео-
рия, основанная на некоторых общих математических принципах, в соче-
тании с немногими экспериментальными данными оказалась в состоянии
предсказать бесчисленное множество ‘последующих данных, получаемых
из опыта с неизменной и поразительной точностью.
Общая теория относительности и квантовая механика — это примеры
удачных совпадений, когда математическая интуиция выступила в плодо-
творной и созидательной роли. К сожалению, имеется и оборотная сторона
медали. Математическая интуиция чаще оказывается консервативной,
нежели революционной силой, чаще сковывает, чем освобождает. Самым
печальным примером регресса за всю историю естествознания было посту-
лирование Аристотелем и Птолемеем геоцентрической системы мира, сог-
ласно которой предполагалось, что небесные тела движутся по сферам и
кругам с Землей в центре. Астрономия Аристотеля погрузила науку во
мрак невежества почти на 1800 лет (с 250 г. до н. э. по 1550 г.). Столь про-
должительный застой объясняется, конечно, многими причинами, однако
нельзя не признать, что астрономия Аристотеля стала популярной из-за
сбивающего с толку математического предубеждения, что эстетически
приемлемы только сферы и круги.
Птолемей объяснял движение Луны и планет с помощью диферентов
и эпициклов, иными словами, целой иерархией кругов различного диаметра,
движущихся один по другому. Самым большим злом системы Птолемея ока-
залось то, что она была так точно подогнана под все известные сведения о
движении каждой планеты, что оставалась неуязвимой для опровержения
наблюдением. При Птолемее (150 г. н. э.) жизненные силы греческой мате-
матики иссякли и не появлялись новые математические идеи, которые мог-
ли бы вступить в противоборство с этим удивительным нагромождением
114
Фиг. 57. Кеплеровская модель солнечной системы, опубликованная в 1596 г., основы-
валась на пяти «правильных» многогранниках евклидовой геометрии. Орбиты планет
последовательно вписываются и описываются около октаэдра, икосаэдра, додекаэдра,
тетраэдра и куба. Модель представляет собой превосходный пример дезориентирующей
математической интуиции, и хотя Кеплер знал, что его теория расходится с лучшими
наблюдениями того времени, он всегда рассматривал эту модель как одно из своих
величайших достижений.
из евклидовых сфер и кругов, тормозившим всю научную мысль. Воцари-
лась тысячелетняя ночь, не потревоженная ни новыми астрономическими
наблюдениями, ни новыми математическими идеями.
В 1604 г., когда Кеплер окончательно ниспроверг эпициклическую
космологию, открыв, что планеты движутся по эллипсам, устоявшихся
математических представлений, которые отдавали бы предпочтение эллип-
тическому движению, не существовало. Кеплеру пришлось даже перебороть
себя и пойти против своих предвзятых математических взглядов, которые
еще оставались сугубо средневековыми. И только после многих лет борьбы
со всевозможными системами эпициклов он преодолел свой консерватизм
настолько, что решился рассмотреть систему эллипсов. И такой математи-
ческий консерватизм является скорее правилом, нежели исключением
среди великих умов в физике. Человек, пролагающий пути в эпоху новых
воззрений, сам чаще всего остается в плену у старых представлений. Даже
Исаак Ньютон, создавший дифференциальное исчисление как математи-
ческий инструмент для своих эпохальных открытий, предпочитал в физике
и астрономии выражать свои идеи архаичными геометрическими термина-
5
115
Отношение орбит По Ко- перни- ку В модели Кеплера Современ- ные значения
Меркурий (афелий) Венера (перигелий) 0,723 0,707 0,650
Венера (афелий) Земля (перигелий) 0,794 0,795 0,741
Земля (афелий) Марс (перигелий) 0,757 1 0,795 0,735
Марс (афелий) Юпитер (перигелий) 0,333 0,333 0,337
Юпитер (афелий) Сатурн (перигелий) 0,635 0,577 0,604
МЕтРИЙ ВЕНЕР*
МАРС
Фиг. 58. Развернутая модель кеплеровых многогранников, изображающих солнечную
систему, показывает, каким образом каждая орбита занимала свой сферический слой,
толщина которого соответствовала разнице между афелием и перигелием при обращении
планеты вокруг Солнца.
В табл. VII приведены три колонки чисел, показывающих отношение афелия одной
орбиты к перигелию орбиты следующей внешней планеты. Первая колонка содер-
жит наблюденные значения этих величин, взятых Кеплером у Коперника. Во
ми. Его «Principia Mathematical полностью написана языком классической
греческой геометрии. Ассистент Ньютона Генри Пембертон, редактиро-
вавший и издавший третье издание его «Principia Mathematical отмечал,
что Ньютон всегда глубоко восхищался древнегреческими геометрами
и огорчался тем, что не мог выдержать их стиль изложения. Лорд Кейнс,
экономист, любимым занятием которого было коллекционирование и изу-
чение неопубликованных рукописей Ньютона, так выразил свое впечат-
ление о нем: «Начиная с восемнадцатого столетия Ньютона считают первым
и величайшим ученым современного склада, рационалистом, научившим
нас мыслить на основе трезвого и строгого анализа. Мне он представляется
совсем иным. Да-, я думаю, что мою точку -зрения разделит каждый, кто
попытается разобраться в содержимом ящика, который Ньютон упаковал
перед тем, как в 1696 г. окончательно оставил Кембридж. Ньютон не был
первым представителем века разума. Он был последним из магов, послед-
ним из вавилонян и шумеров, последним великим умом, который смотрел
как на зримый, так и на интеллектуальный мир такими же глазами, как и
те, кто заложил основы нашего интеллектуального наследия немногим менее
десяти тысяч лет назад. Исаак Ньютон, родившийся в Рождество 1642 г.,
вскоре после смерти отца, был последним чудо-младенцем, которому древ-
ние волхвы могли бы воздать искренние и достойные почести».
Характер Ньютона, его склонность к алхимии и к древним апокали-
птическим писаниям — все это, безусловно, заслуживает внимания, но
нас интересуют здесь исключительно математический стиль и вкус Нью-
тона, а также влияние математики на его научные исследования. Все, что
нам известно о его отношении к математике, согласуется с выводами Кейнса.
116
второй колонке приведены теоретические значения, вычисленные по модели много-
гранников Кеплера. В третьей колонке даны значения, принятые в настоящее время.
Кеплер «сжульничал» с орбитой Меркурия, чтобы скрыть слишком явное расхождение
его теории с данными Коперника. Хотя четыре внешних многогранника описаны
вокруг «орбитального слоя» обычным способом (слой касается граней многогранника),
октаэдр описан вокруг слоя орбиты Меркурия особым образом: слой касается ре-
бер октаэдра.
Вряд ли можно сомневаться в том, что Ньютон, как и Кеплер, сделал свои
открытия, преодолев глубоко консервативные математические предрас-
судки.
Из этих исторических примеров можно заключить только одно: мате-
матическая интуиция и Хороша и плоха, она необходима для творческой
работы в физике и в то же время ей нельзя полностью доверяться. Причины
этой двойственности заложены в природе самой математики. Физик Эрнст
Мах заметил: «Математика черпает свою силу в умении исключать все лиш-
нее в процессе мышления и в удивительной способности экономить мысли-
тельную работу». Физик строит свои теории на математическом материале,
поскольку математика позволяет ему добиться большего, чем без нее.
Искусство физика состоит в умении подобрать необходимый математический
материал и с его помощью построить модель того или иного явления при-
роды. Причем он исходит не из рациональных соображений, а скорее ре-
шает интуитивно, подходит ли данный материал для его целей. Когда по-
строение теории завершено, последовательный рационалистический и кри-
тический разбор наряду с экспериментальной проверкой покажет, можно
ли признать эту теорию разумной. В процессе создания физической тео-
рии математическая интуиция необходима, поскольку «умение исклю-
чать все лишнее» дает свободу воображению. Но математическая инту-
иция таит в себе и опасность, ибо многие ситуации в науке требуют для
уяснения той или иной проблемы как раз усиленного обдумывания, а не
уклонения от него.
Перейдем теперь к рассмотрению современного положения в физике.
Вовсе не желая быть бестактным по отношению к специалистам в области
117
Фиг. 59. Открытие эллиптической орбиты для Марса было величайшим триумфом
Кеплера, достигнутым после многолетних трудов по построению круговых орбит,
удовлетворяющих наблюдениям Тихо Браге.
На приведенной диаграмме Кеплера показано, что Марс «ометает» равные пло-
щади за равные промежутки времени (Солнце находится в точке п).
физики твердого тела, ядерной спектроскопии и других разделов физики*
я все же буду для краткости называть здесь физикой отдел, занимающийся
изучением элементарных частиц, т. е. «физику высоких энергий». Физика
(в этом ее узком смысле) находится сейчас в необычайно благоприятных
условиях. Создание больших ускорителей привело за последние пять лет
к открытию целого мира частиц с таким множеством свойств и необычай-
ным богатством структуры, которые вряд ли кто мог предвидеть. Мы должны
быть глубоко благодарны тем ведущим физикам-теоретикам и государст-
венным деятелям, которые, не зная, к каким это приведет результатам,
нашли в себе достаточно веры и мужества, чтобы около десятка лет назад
решиться на строительство ускорителей. Теперь благодаря им мы распола-
гаем огромным запасом точной информации о мире, который предстает
перед нами таким же новым и удивительным, каким казался мир атомов в
десятых годах XX в. Как и тогда, у нас нет универсальной теории, и тео-
ретики могут распоряжаться экспериментальными данными по своему ус-
мотрению.
В такой ситуации.физики-теоретики выбирают объекты и методы, руко-
водствуясь собственными математическими вкусами. Главным для теоре-
118
Фиг. 60. Кривизна пространства была постулирована Эйнштейном на основе весьма
общих соображений и эстетических суждений. Для построения своей теории Эйнштейн
использовал неевклидову геометрию — теорию' искривленного пространства, разрабо-
танную в XIX в. На фигуре изображено два двумерных тела большой массы
на двумерной поверхности. Локальная кривизна пространства около тел объясняет
их гравитационные свойства. Реальное физическое пространство-время является
четырехмерным.
тика оказывается теперь не вопрос «Справедлива ли моя теория?», а скорее:
«Является ли то, что я создаю, теорией?». Материал, которым он рас-
полагает, состоит из фрагментов математики, руководств по технике вы-
числений и нескольких общих принципов, сохранившихся от прежних
дней. Какая комбинация этих ингредиентов заслужит названия теории —
это вопрос математического вкуса.
В современной теоретической физике существует три главных метода:
теория поля, метод S-матрицы и теория групп. Все эти методы отнюдь не
исключают друг друга; по крайней мере нет никакого противоречия между
тем, что делают приверженцы указанных методов, хотя временами и воз-
никают разногласия между ними. Вероятно, в конечном итоге все три ме-
тода, вместе взятые, внесут свой плодотворный вклад в наше понимание
природы.
Названные методы отличаются не только выбором математического
материала, но также и способом его использования. Теория поля исходит
из того, что предпочтение должно быть отдано основательности математи-
ческих выкладок, поскольку глубокое физическое понимание неотъемлемо
от большой математики. Поэтому для создания структуры, воплощающей
некоторые характерные черты реального мира, здесь выбрана алгебра
операторов в гильбертовом пространстве совместно с другими сложны-
ми разделами математики. Упор здесь делается на строгое математиче-
ское осмысливание теории, а не на детальное сопоставление с эксперимен-
том.- Из трех перечисленных выше методов теория поля хуже других сог-
ласуется с экспериментом, зато математически оказывается самой строгой
и изысканной; что же касается ее уместности в физике, то она далеко не
ясна. Я сам приверженец теории поля, и это позволяет мне судить о свой-
ственных ей ограничениях.
В теории S-матрицы (S — начальная буква немецкого слова Streu,
означающего рассеяние) математический материал подобран по возможнос-
ти элементарным. Эта теория включает обычную теорию аналитических
119
функций комплексного переменного, т. е. теорию, существенные черты
которой не претерпели изменений с начала прошлого столетия, когда она
была создана французским математиком Огюстеном Коши. Теория S-мат-
рицы компенсирует слабость своего математического аппарата тем, что в
основном опирается на экспериментальные данные. Последователи этой
теории обычно стремятся вычислить или предугадать результат некоторого
опыта, используя результаты других экспериментов. Иногда такие пред-
сказания делаются прямо из «основных положений» независимо от других
экспериментальных данных, и надежда возлагается на возможность вы-
вести все эти «основные положения». Одна из наиболее приятных и вооду-
шевляющих черт метода S-матрицы заключается в том, что «правила игры»
можно менять в ходе вычислений. Этот метод в современном его виде яв-
ляется промежуточным, поскольку он не применяется как законченная тео-
рия, и в нем используется метод проб и ошибок для подгонки под данные
эксперимента. На каждой стадии применения этой теории сопоставле-
ние с результатами опытов безжалостно обнажает идеи, не выдерживающие
критики, открывает новые просторы для поисков истины.
Успех теории S-матрицы с точки зрения интерпретации данных опы-
тов и указания новых возможностей для экспериментаторов был весьма
впечатляющим. Что же касается предпочтения, отдаваемого мною теории
поля, то оно основывается на личных вкусах, на которые, как мы уже
видели, полагаться нельзя. На мой взгляд, теория S-матрицы слишком
проста, ей очень не хватает математической глубины, и я не могу поверить,
что в нее входит все необходимое. Если окажется, что теория S-матрицы
может все объяснить, то я с разочарованием вынужден буду признать,
что Природа в конце концов оказалась весьма неизобретательной. Впро-
чем, я понимаю, что она склонна проявлять свою изобретательность
самым неожиданным для нас образом.
'Теперь перейдем к рассмотрению теории групп, третьему главному на-
1 правлению современной теоретической физики. Рассмотрим эту теорию
несколько подробнее, чем две предыдущие. Математический аппарат здесь
отличается значительной глубиной и силой. Основы указанной теории были
заложены в первой четверти XX в. Два основных понятия, которыми опе-
рирует теория,— это «группа» и «представление». Под группой понимается
набор операций, обладающих тем свойством, что любые две операции, вы-
полненные последовательно, эквивалентны некоторой третьей из того же
набора. Например, группа трехмерных вращений О3 определяется как
множество всех возможных вращений обычного трехмерного пространства
вокруг неподвижной точки. Очевидно, что если и /?2 суть два таких
произвольных вращения, то последовательное осуществление сначала од-
ного из этих вращений, а затем другого может быть отождествлено с неко-
торым третьим вращением /?3. Представлением группы называют такой
набор чисел и некоторые правила их преобразования, что каждая опе-
рация из группы порождает строго определенное преобразование этих чи-
сел. Преобразования в представлениях могут быть только линейными, т. е.
если какое-либо преобразование переводит р в р', a q в /, то оно обязано
переводить (p+q) в (p'+q'). Примером представления группы 03 может
служить совокупность трех координат (х, у, z), которая определяет поло-
жение любой точки Рв пространстве (фиг. 61). Если совершить вращение
/?, точка Р перейдет в новое положение Р' с координатами х', у’, г', что
и определяет правило преобразования координат тройки х, у. г. Это част-
ное представление группы О3 называют трехмерным или триплетным пред-
ставлением, поскольку оно содержит в себе тройку чисел.
120
Ф и г. 61. Трехмерная группа вращений 03 определяется как совокупность всех вра-
щений обычного трехмерного пространства около фиксированного центра.
Если и R2 — любые два вращения, то результат этих операций, выполненных по-
следовательно, эквивалентен результату третьего вращения /?3.
Огромная роль теории групп в физике объясняется двумя факторами.
Во-первых, согласно законам* квантовой механики, если физический
объект обладает какой-либо симметрией, то существует точно определен-
ная группа операций (G), сохраняющих эту симметрию, и возможные
квантовые состояния объекта находятся в точном соответствии с представ-
лениями группы G. Во-вторых, все «хорошо устроенные» группы вместе
с их представлениями были описаны и классифицированы математиками
раз и навсегда, безотносительно к тем физическим применениям, в которых
эти группы могут быть использованы. На основе этих двух факторов ока-
залось возможным построить чисто абстрактную теорию симметрии эле-
ментарных частиц, опирающуюся на абстрактные свойства групп и пред-
ставлений и не связанную с какими бы то ни было произвольными механи-
ческими или динамическими моделями.
Принципиально важный переход от конкретной теории групп к аб-
страктной легче всего пояснить на примерах. Атом, свободно движущийся
в разреженном газе, не имеет предпочтительного направления в простран-
стве, и поэтому такой атом обладает симметрией обычной группы вращений
03. Среди представлений группы 03 имеется триплетное. Те состояния
атома, спин которых равен единице, принадлежат этому представлению и
называются поэтому триплетными состояниями. Такие состояния встре-
чаются всегда группами по три с одинаковой энергией. Если теперь при-
ложить магнитное поле, нарушающее сферическую симметрию, то три рав-
121
Орбита 3: рх = У 2 , q2 = У~8~,
Ръ= Qi = Рз = Яз = 0 •
Полная энергия для орбиты 3 =
= [₽? + $ = [2 + 8] = 10.
в — представление орбит
в восьмеричном пути'.
fli2 = Pi^2 — Рг71 »
а2з = Рг<7з — РзРг — О,
°3i = РзР1 — Р1Рз = О»
$н = pf +
$22 — Р2 + р2’
$33 = Рз + Рз = О*
$12 = Р1Р2 — Р1Р2 — О,
$23 — РгРз + РгРз = О’
$81 — РзР1 + РзР1 =
г — значения Зц, а12, S22:
Орби- та 1 2 3 4 5 6 7
Sn 0 1 2 5 8 9 10
fllf 0 3 4 5 4 3 0
$22 10 9 8 5 2 1 0
Полная энергия для всех орбит =
= $ц + $22 == Ю.
Фиг. 62. Модель «восьмеричного пути» имеет такое же отношение к абстрактной
группе SU3, какое имеют к абстрактной группе О3 вращения в трехмерном пространстве
(см. фиг. 61).
Модель (а) содержит семь планетарных орбит, преобразуемых одна в другую
операциями, принадлежащими группе SU3, о которой рассказывается в тексте.
То, что орбит именно семь, несущественно: можно взять любое другое число орбит,
чтобы удовлетворить требованиям данной модели. Орбита 3 изображена отдельно (б),
чтобы показать, как движение определяется точками Р и Q со значениями координат
Pi и q2. Для задания точки в пространстве обычно нужны шесть координат (три р и
три q). Однако координатные оси в данной модели выбраны так, что р2 и q± равны
нулю, а поскольку все орбиты расположены в одной плоскости, значения коорди-
нат р3 и q3 также равны нулю. Всем показанным орбитам соответствует одна и та же
полная энергия (p2i+<722= 10), но разные моменты количества движения, выражаемые
величинами аХ2. В частности, две прямолинейные орбиты (1 и 7) имеют нулевые моменты
количества движения, в то время как круговая орбита (4) — наибольший. В соответ-
ствии с «восьмеричным путем» эти семь орбит можно представить совокупностью из де-
вяти чисел, приведенных в (в). Очевидно, что шесть из этих чисел равны нулю, ибо
Рг» Рз» Я1 и Яз равны нулю. Таким образом, остаются лишь три компоненты: $ц, ai2, $22.
При подстановке соответствующих значений рх и q2 эти три компоненты принимают
значения, указанные в таблице (г). Эти значения таковы, что они преобразуются одно
в другое, когда к ним применяется операция группы SU3: это возможно отчасти потому,
что полная энергия для всех орбит: Зц+3Я2=10.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД,Q
Фиг. 63. Расширенное семейство из вось-
ми частиц было первой группировкой, ко-
торую подсказывал «восьмеричный путь».
Эта группа содержит восемь наиболее из-
вестных барионов: нейтрон № и протон N+,
известные также под названием нуклон-
ного дублета, лямбда (А)-синглет, ис-
ходный сигма (Е)-триплет и исходный
кси(Н)-дублет. Сигма-триплет и кси-дублет,
которые появляются в расширенном се-
мействе, состоящем из десяти членов,
содержащем омега-минус (см. фиг. 55),
представляют собой более тяжелые части-
цы с теми же значениями Y и /.
ные до этого значения энергии станут несколько отличаться друг от друга
и три состояния дадут в спектроскопе видимый триплет спектральных ли-
ний. Такая классификация состояний атома в соответствии с их вращатель-
ной симметрией представляет типичный пример применения конкретной
теории групп.
Обратимся к другому примеру. Существует три вида элементарной
частицы, называемой к-мезоном (или пионом): положительно заряжен-
ные, отрицательно заряженные и нейтральные. Все они обладают пример-
но одинаковой массой и всем им свойственна примерно одинаковая ин-
тенсивность ядерного взаимодействия. Допустим, что они образуют три-
плетное представление некоторой группы О/, обладающей точно такой же
абстрактной структурой, что и О3, но не имеющей ничего общего с обычными
вращениями в пространстве. В таком случае мы можем предсказать многие
свойства пионов, исходя из одной только абстрактной теории групп, не
зная ничего о конкретной природе операций, составляющих группу О/.
Все предсказанные таким путем свойства к-мезонов оказались правиль-
ными. Но еще более знаменательно то, что эти свойства Николас Кеммер
предсказал на основе абстрактной теории групп в 1938 г., за девять лет
до того, как был открыт первый пион! Группа 03 (слегка видоизмененная)
известна в физике как «группа изотопического спина».
Наконец, мы подошли к восьмеричному пути, который дал ключ к клас-
сификации частиц, открытых совсем недавно. Эта классификация свя-
зана с группой U3, которая обширнее группы О3 и менее известна, чем
03. Чтобы нематематик получил представление о том, что такое группа U3,
рассмотрим механическую модель, имеющую такое же отношение к абстракт-
ной группе, какое имеют вращения в трехмерном пространстве к абстракт-
ной группе 03. Не предполагается, что такая модель реально су-
ществует, она строится только для того, чтобы проиллюстрировать струк-
туру группы U 3.
Рассмотрим солнечную систему, в которой сила притяжения изме-
няется не обратно пропорционально квадрату расстояния, а прямо про-
порционально первой степени этого расстояния. Предположим, что планеты
123
Фиг. 64. Спектральная линия ниобия (внизу)
расщепляется на три компоненты, когда магнитное
поле нарушает вращательную симметрию атома.
Две компоненты наблюдаются в направлении,
перпендикулярном магнитному полю (середина),
третья компонента наблюдается в направлении,
параллельном магнитному полю (вверху). Трип-
лет линий соответствует трем возможным состоя-
ниям атома, обладающего спином, равным еди-
нице. Встречаются они только вместе, группами
потри с одной и той же энергией. Такая классифи-
кация состояний атома по вращательной симмет-
рии представляет собой пример использования
конкретной теории групп.
настолько малы, что можно пренебречь их взаимными возмущениями. Тог-
да каждая планета движется независимо от других по эллиптдческой орби-
те, в центре которой находится Солнце. При этом все планеты имели бы
один и тот же период обращения, так что внешние двигались бы бы-
стрее внутренних. Назовем период обращения каждой планеты «годом»;
таким образом, спустя год они все возвращаются в свое исходное
положение.
Движение планеты может быть точно задано двумя точками в прост-
ранстве, которые обозначим Р и Q, где Р — положение планеты в данный
момент, a Q — положение, которое она займет три месяца спустя. Другая
планета, которая движется по той же орбите и опережает первую на три
месяца, будет характеризоваться парой координат (Q, —Р), где —Р обоз-
начает точку, диаметрально противоположную точке Р. Полная энергия
каждой из этих планет вычисляется по формуле (OP2+OQ2), т. е. равна
сумме квадратов расстояний точек Р и Q от Солнца, находящегося в точке
О. Группа U3 (в нашей модели) определяется как совокупность всевоз-
можных преобразований движений планет, удовлетворяющих трем сле-
дующим условиям: 1) преобразования должны быть линейными; 2) они
должны сохранять неизменной полную энергию каждого движения и
3) если две или более планет движутся по одной и той же орбите, то и после
преобразования они будут продолжать двигаться по одной и той же
орбите.
Если ограничиться только двумя первыми условиями, мы получили
бы группу всех линейных преобразований пар координат (Р, Q), сохраняю-
щих неизменной сумму (OP2+OQ2). Это просто группа вращений 0в в
пространстве шести измерений (три измерения для Р и три для Q). Группа
U3 представляет собой, таким образом, подгруппу группы Ов. Третье ус-
ловие, налагаемое на группу U3, может быть сформулировано в более сжа-
той, эквивалентной форме: преобразование, которое переводит движение
планеты (Р, Q) в движение планеты (/?, S), должно также переводить
124
(Q, —P) в (5, —/?). Легко видеть, что к группе U3 относятся два следующих
преобразования специального вида. Рассмотрим, во-первых, обычное враще-
ние, примененное к Р и Q одновременно. Такие вращения, очевидно, удов-
летворяют всем трем нашим условиям. Отсюда вытекает, что группа вра-
щений О3 представляет собой подгруппу группы U 3. Во-вторых, рассмот-
рим преобразования сдвига во времени, при которых движение каждой
планеты преобразуется в такое же, но опережающее или отстающее от пер-
вого на определенный промежуток времени. Такие сдвиги по времени так-
же принадлежат группе U3 и образуют ее подгруппу Т.
В физике удобнее перейти от группы U3 к меньшей группе SU3. (Ког-
да я пишу SU3, то подразумеваю группу, которую специалисты обозначают
S(73/Z8). Мы получим SU3 из группы U3, если не будем принимать во вни-
мание время. Для SU3 все движения, происходящие по одной и той же ор-
бите, отождествляются независимо от времени. В то время как U3 преоб-
разует одно движение планеты в другое, соответствующее данному моменту
времени, SU3 преобразует одну орбиту в другую безотносительно ко времени.
На математическом языке SU3 представляет собой группу U3 без подгруппы
Т (сдвигов во времени). Представления SU3 — это в точности те пред-
ставления {73, которые не зависят от времени.
Найдем теперь простое представление группы SU3. Движение пла-
неты (P,Q) определяется посредством шести координат (рь р2, Рз» Рь ?з)
точек Р и Q. Эти координаты уже образуют представление группы t/3,
но не SU3, поскольку они зависят от времени. Простейшие величины, не
зависящие от времени, состоят (мы не будем здесь пояснять почему) из
произведений этих координат, взятых во всевозможных комбинациях, как это
показано нафиг. 62. Имеется девять, и только девять, таких величин. Три
из них представляют собой компоненты момента количества движения и
обозначаются через а12, а23 и а32, шесть остальных компонент другого ви-
да Sn, S22, S33, Si2, S23, S3i связаны с полной энергией системы (подстроч-
ные индексы здесь означают, какие именно р и q входят в произведение;
так, ^i2=Pi?2 Ыр а 512=рiP2+ q^q2)•
Так как это представление группы SU3 включает девять величин, гово-
рят, что оно девятимерно. Но сумма Sn+5 22+5 33 равна полной энергии
системы и остается неизменной при любых операциях группы U 3. Когда
сумма трех величин постоянна, то очевидно, что лишь две из них незави-
симы, а третья всегда определяется по двум ранее заданным. Три величи-
ны Sn, S22, 533 можно свести к двум независимым различными способами,
но из соображений удобства они обычно комбинируются следующим об-
разом: одну величину выражают как Sn — S22, другую — как
S33—1/2(S11+S22). В результате вместо шести независимых компонент оста-
ется только пять, и вместе с тремя компонентами а они образуют набор из
восьми величин, которые преобразуются одна в другую под действием груп-
пы U3. Эти восемь величин не зависят от времени и образуют восьмимерное
представление группы SU3. Полученное таким образом представление
является простейшим из всех существующих, оно-то и составляет суть зна-
менитого «восьмеричного пути».
Представим себе, наконец, что St/g-симметрия в действительности не
является совершенной. Допустим, например, что «третье направление»
(т. е. задаваемое координатами р3 и q3) чем-либо отличается от двух других.
В рамках нашей воображаемой солнечной системы это означает, что сим-
метрия сохраняется только в случае, если все орбиты лежат в одной плос-
кости, и нарушается при вращениях, выводящих их из этой плоскости.
Тогда из группы симметрии U 3 выделится ее подгруппа t/2, включающая
только те преобразования из t/3, которые оставляют третье направление
неизменным. Для операций группы (72 «восьмеричный путь» -перестает
125
быть единым представлением. Его восемь компонент разделяются на
части следующим образом:
5зз — 4" (Sn + S22) (синглет);
^гз» 531, | (два дублета);
#28» #31 J
($81 ^22)» ^12» #12 (триплет).
Каждая из этих частей образует представление группы f/2. Другими сло-
вами, преобразование, которое определяется представлением-синглетом,
относится только к части из одного члена. Каждое из двух представлений-
дублетов связано с несколько более обширными частями — из двух чле-
нов. Аналогично часть, относящаяся к триплетному представлению, со-
стоит из трех членов.
Обратимся теперь к реальному миру элементарных частиц и сравним
восьмичленную структуру с восемью «основными» барионами, наиболее
известными «тяжелыми» элементарными частицами. Они состоят из синг-
лета лямбда (Л), дублета протон-нейтрон (или нуклоны), дублета кси
(S) и триплета сигма (£). Совпадение полное.
В другие представления группы SU3 входит 10, 27 и более членов.
Гелл-Манн первым заметил, что десятичленное представление может быть
заполнено с помощью девяти известных барионов, если их дополнить
недостающим синглетом, который Гелл-Манн заранее назвал омега-минус
(£2~)-барионом (фиг. 63). Известными членами этого десятка были: квартет
дельта (А), один сигма-триплет и один кси-дублет. Предсказанный таким
образом синглет был открыт в феврале 1964 г. при помощи пузырьковой
камеры в Брукхэйвенской национальной лаборатории.
Теперь совершенно очевидно, что абстрактная симметрия со струк-
турой группы SU3 действительно существует и управляет поведением силь-
но взаимодействующих частиц. Эта симметрия не идеальна, ее нарушает
некоторое относительно слабое возмущение, которое сводит группу SU3
к ее подгруппеSU2. Остаточная симметрия группы U3 в основном тождест-
венна симметрии изотопического спина, рассмотренной ранее. Теперь
хаотическая картина сильно взаимодействующих частиц в значительной
степени упорядочена с помощью удивительных по своей простоте идей
теории групп.
Эта теория во многих отношениях оказывается наиболее удовлетво-
рительной из всех трех ранее обсуждавшихся нами методов теоретической
физики. В отличие от теории S-матрицы она покоится на стройной и безу-
пречно строгой математической основе, а в отличие от теории поля имеет
прочную экспериментальную базу. Недостаток этого метода в том, что он
оставляет необъясненным слишком многое из того, что хотелось бы рас-
крыть. Теория групп великолепно выделяет те объекты природы, кото-
рые могут быть поняты, когда используется язык одной только абстракт-
ной симметрии, и не подает больших надежд на возможность раскрыть
сущность менее упорядоченных явлений, осмыслить разнообразные чис-
ленные значения времени жизни частиц и интенсивности их взаимодейст-
вия, по которым накоплено огромное число экспериментальных данных,
ожидающих своего объяснения. Видимо, в результате такого процесса
абстрагирования многие существенные и конкретные черты реального мира
выпадают из рассмотрения. Теория групп достигла успеха лишь, потому,
что ее цели были очень скромны. Она не претендует на объяснение
126
всего и вряд ли перерастет в законченную или всеобъемлющую физическую
теорию.
Итак, в теоретической физике используется три метода: теория поля,
S-матрицы и теория групп. Ни один из них в действительности не
заслуживает названия «теории», если под этим понимать нечто подобное
великим теориям прошлого, как, например, общая теория относительнос-
ти или квантовая механика. Они слишком неопределенны, слишком част-
ны или же отрывочны. Разумеется, это мое сугубо личное мнение. Даже
если приведенные теории успешно достигнут поставленных перед ними
целей, они все же не удовлетворят эстетическим требованиям, предъявляе-
мым мной к теории. Я не могу не поддаться искушению назвать эти методы
«мостами из снега над пропастями незнания», чтобы выразить свое чувство
неудовлетворенности. К этому великолепному образу часто прибегают,
когда говорят об идеях, не вызывающих симпатии. Однако не следует так-
же забывать, что впервые такое сравнение было применено фанатичным
биометриком Карлом Пирсоном в его резкой критике закона наследствен-
ности Грегора Менделя.
Математика в биологических
исследованиях
Хотя математика и используется в биологии, сложные
биосистемы с трудом поддаются математическому описа-
нию. Способ такого описания, который может оказаться
полезным для биологов, подсказывается абстрактным ана-
лизом процесса самовоспроизведения
Эдуард Ф. Мур
Оене Декарт рассматривал животных (а также и человеческий организм,
* но не душу) как устройства, которые можно перевести на язык механики.
Когда Декарт был наставником королевы Швеции Христины, она однажды
задала ему каверзный вопрос: «Как же машина может воспроизводить саму
себя?» Этот же вопрос задают себе математики и сегодня, размышляя над
возможностями и ограничениями машин. В попытках создать строгую ма-
тематическую теорию самовоспроизведения они применяют математические
методы для изучения процессов, которые до сих пор считались исключи-
тельно биологическими.
Подобное применение математики — большая редкость. В то время как
на протяжении вот уже 300 лет физика и математика развиваются в тесной
связи и стимулируют друг друга (см. «Математика в физических
науках», стр. 111), подлинно математическая мысль оказывала на биологию
весьма слабое влияние. Существует лишь несколько исключений. Томас
Мальтус создал математическую модель, согласно которой население уве-
личивается в геометрической прогрессии, в то время как производство про-
дуктов питания растет лишь в арифметической, усиливая тем самым борьбу
за существование. И Чарлз Дарвин, и Альфред Рассел Уоллес, читая Маль-
туса, видели в этой борьбе механизм, с помощью которого можно объяснить
естественный отбор. Таким образом, сугубо математическая идея легла в
основу концепции о биологической эволюции1.
*В начале XIX в. английский священник Мальтус выступил с проповедью своей
теории, которую Маркс справедливо назвал «людоедской». Мальтус считал, что про-
грессирующее обнищание человечества совершенно неизбежно; в качестве выхода
он ратовал за сокращение рождаемости у неимущих слоев населения. По словам
Фиг. 65. Самовоспроизведение — один из биологических процессов, допускаю-
щих математический анализ. Маленькие красные и синие «существа» — это два
вида частей элементарной самовоспроизводящейся машины, изобретенной генетиком
Л. С. Пенроузом. Если эти части поместить на пластмассовый лоток (а) и все время
его встряхивать из стороны в сторону, то они начнут сталкиваться, но сцепляться
не будут (б). Если внести теперь сине-красный «зародыш», или «машину» (в), и снова
начать встряхивать лоток, то этот зародыш сообщит наклон остальным существам
и произойдет их сцепление и образование сине-красных единиц (г); на лотке (д) эти
«машины» отстоят на большом расстоянии друг от друга, просто чтобы их было лучше
видно. Если же вместо сине-красного внести красно-синий «зародыш» (е), то в резуль-
тате встряхивания образуются только красно-синие машины (ж, з)\ машина «дает
чистокровный приплод». «Существа» Пенроуза были сделаны из фанеры, те, что пока-
заны на фотографии,— из алюминия.
129
Вклад биологии в математику также невелик. Наиболее заметный был
сделан в области генетики популяций Р. А. Фишером в Англии и Сьюэ-
лом Райтом в Соединенных Штатах, которые построили математические моде-
ли, демонстрирующие, как законы наследственности в сочетании с вероятно-
стными законами управляют судьбой гена, его выживанием или исчезновени-
ем в популяции. Крайне усложненная модель Сьюэла Райта, основанная на
теории диффузии, натолкнула Уильяма Феллера из Принстонского универ-
ситета на новые математические исследования.
Разумеется, в своей повседневной работе биологи прибегают к матема-
тике. Как исследователь биолог должен согласовать полученные им резуль-
таты со статистическими критериями (некоторые из них были разработаны
Фишером), а соотношения, которые он установил, обычно изображаются
кривыми из аналитической геометрии. Уравнения термодинамики широко
используются в биохимии. Статистические методы сыграли важную роль в
расшифровке генетического кода и составлении хромосомных карт. Однако
биологи пользуются лишь традиционной математикой. И хотя неоднократно
пытались создать «математическую биологию», в большинстве случаев пер-
воначальные замыслы не были осуществлены. Однако вполне вероятно, что
новые математические исследования на основе вычислительной техники
внесут более значительный вклад в биологию, чем использование простейших
моделей биологических процессов.
Особая ценность математики для биологии состоит не в применении ее
как аппарата исследований, а в возможности абстрактно подойти к реше-
нию фундаментальных проблем и обнаружить связи между принципиаль-
но различными явлениями и процессами. Организмы — это машины, хо-
тя и очень высокоорганизованные. Автор полагает, что подлинное сотруд-
ничество математики с биологией возникнет при анализе «теории машин»,
которая, как выяснилось, имеет отношение к основным проблемам биологии.
Обсуждению этой темы и посвящена настоящая статья.
Клод Э. Шеннон из Массачусетского технологического института и
Джон Маккарти из Стэнфордского университета отмечали, что когда люди
находят машинные аналоги для человеческого организма, то их представле-
ния соответствуют духу времени. Декарт сравнивал человеческое тело с
водяными часами и фонтанами сложной конструкции. В первой половине
нашего века мозг рассматривали как нечто похожее на автоматическую те-
лефонную станцию. В последние годы чаще всего пользуются аналогией
с вычислительной машиной. Быть может, именно поэтому большинство
исследователей, занимавшихся последнее время проблемой связи между
организмом и машиной, концентрировали'свое внимание на изучении цент-
ральной нервной системы. Они стремились разрешить два вопроса: «Являет-
ся ли человеческий мозг своего рода вычислительной машиной?» и «Можно
ли построить вычислительную машину, которая бы «умела думать» подобно
мозгу?»
Эти вопросы можно рассматривать с различных точек зрения, объеди-
ненных одной общей идеей об «автомате», который по существу является иде-
ализированной машиной или ее частью, либо когда проводятся аналогии с
нейрофизиологическими процессами, идеализированным организмом или его
частью, например клеткой. В теории автоматов изучается не внутреннее уст-
ройство автомата, а особенности его внешних проявлений. Говоря словами
Джона .фон Неймана, элементы машины или организма «рассматривают-
ся как автоматы, чья внутренняя структура не обязательно должна быть
Маркса, Мальтус делал «только такие выводы, которые приятны и полезны аристо-
кратии, приятны буржуазии и им обеим против пролетариата» (Маркс К-, Тео-
рия прибавочной стоимости, т. 2, ч. 1, 1936, стр. 205, 207). —Прим. ред.
130
Предыду-
щее со-
стояние
Настоящее
состояние
О 1
Настоящее
состояние
Настоящий
выход
Фиг. 66. Конечный автомат — идеализированная машина или часть ее. В теории авто-
матов—это основной строительный блок для самых различных систем, от простейших
нейронных сетей и схем вычислительных устройств до сложных самовоспроизводя-
щихся машин. Такой автомат можно описать с помощью двух таблиц. Одна (вверху
слева) показывает изменение в состоянии машины за единицу времени в зависимости
от входного сигнала (цветного). Другая (вверху справа) показывает выходной сигнал,
связанный с каждым состоянием. Это описание может быть выполнено в виде диаг-
раммы (внизу). В кружках обозначены состояния и выходные сигналы; стрелки ука-
зывают переходы для каждого входного сигнала (цветного).
Фиг. 67. Секретный замок может быть описан как конечный автомат. Последователь-
ность входных сигналов образует комбинацию. В нашем простом примере отпирающая
комбинация есть 0, 1,0; выходной сигнал 1 означает «отперто».
вскрыта, но которые предполагаются реагирующими на отдельные точно
определенные раздражители некоторым точно определенным образом».
Одной из наиболее полезных абстрактных машин такого рода является
«машина с конечным числом состояний», или «конечный автомат». Это некий
«черный ящик», который имеет конечное число дискретных внутренних «со-
стояний». Обычно он имеет также конечное число возможных входных и
выходных сигналов. Состояние и выходной сигнал в любой момент времени
Т зависят некоторым произвольным образом от предыдущего состояния и
от входного сигнала в момент времени Т — 1. Итак, располагая конечным
автоматом и набором правил его перехода из одного состояния в другое,
можно точно определить по начальному состоянию и последовательности
сигналов на входе, каковы будут состояние автомата.и сигнал на выходе в
любой заданный момент времени. Вышеуказанные правила могут быть пред-
ставлены в виде таблицы или диаграммы (фиг. 66). Когда мы имеем дело с
машиной с конечным числом состояний, важно знать, что такое состояние.
Состояния автомата, служащего абстрактной моделью секретного замка
сейфа, определяются не понятиями «заперто» или «открыто», а положением
различных невидимых извне приспособлений и рычажков внутри замка,
которое изменяется с каждым поворотом диска для получения соответст-
вующей комбинации цифр (фиг. 72).
В 1943 г. Уоррен Маккалок и У. С. Питтс из Массачусетского техноло-
гического института разработали абстрактную и в высшей степени про-
стую модель основного биологического элемента нервной системы — нерв-
ной клетки, или нейрона. По существу это был конечный автомат всего с
двумя возможными состояниями: возбуждения и покоя (отсутствия воз-
буждения). Комбинируя эти элементы (формальные нейроны), они получили
модель нервной системы. Позднее С. К. Клини Из Висконсинского универ-
ситета доказал общую теорему, характеризующую различные типы пове-
дения сети нейронов Маккалока—Питтса. Теорему Клини стали затем при-
менять к произвольным машинам с конечным числом состояний, не обяза-
тельно имеющим отношение к нейронам. Таким образом, попытка проанали-
зировать нервную систему привела к определенным теоретическим дости-
жениям в логике и такой прикладной науке, как электротехника.
Английский ученый А. М. Тьюринг совсем по-иному подошел к пробле-
ме создания «думающей машины». Он попытался определить в терминах
логики автомат, который смог бы в принципе выполнять какие-то точно оп-
ределимые вычисления, но никаких аналогий с физиологией мозга при этом
не проводил. Машина Тьюринга осуществляет большое число самых простых
операций. Она также представляет собой автомат с конечным числом со-
стояний, однако снабженный бесконечно длинной «лентой». На конечном
участке этой ленты записываются инструкции; располагая достаточным
временем, головка машины прочитывает их и свои ответы печатает далее
на этой же ленте. Тьюринг показал, что можно даже сконструировать
«универсальную» машину, выполняющую любое мыслимое вычисление.
Если ее снабдить описаниями задачи и схемы машины, с помощью кото-
рой такая задача может быть решена, то «универсальная» машина сама
разберется в том, как ей справиться с конкретным заданием, и затем вы-
полнит его.
И модель нейронов Маккалока—Питтса, и более абстрактная машина
Тьюринга послужили основой для интересных исследований на тему о
природе мышления и о предельных возможностях машин. Специалисты по
теории автоматов, например, попытались промоделировать способность
132
биологических систем к самовосстановлению, а также их высокую надежность
работы, несмотря на то, что они выполнены из малонадежных компонентов.
Фон Нейман показал, как сделать машину, которая функционировала бы
нужным образом, даже если некоторые ее части выйдут из строя. Это можно
осуществить за счет введения в машину избыточности, или резервирования,
например в вычислительной машине путем замены одной логической
схемы несколькими такими же схемами, включенными параллельно. Как
резервирование, так и способность к самовосстановлению имеют очень
важное значение при разработке вычислительных машин и других элек-
тронных устройств, и сейчас этот вопрос подвергается серьезному изучению.
И все-таки остается фактом то, что настоящий нейрон не просто
двухпозиционный переключатель, пребывающий либо во включенном (воз-
бужденном), либо в выключенном (спокойном) состоянии в каждый фикси-
рованный момент времени, а вычислительные машины не являются «дума-
ющими машинами».
По-видимому, существуют иные, более совершенные принципы создания
вычислительных машин, чем имитация мозга, как мы его понимаем, и более
совершенное толкование принципов его работы, отличающееся от современ-
ной упрощенной точки зрения на поведение нейронов. Иногда мне кажется,
что попытки подойти к созданию «мыслящей машины» на основе простейшей
схемы нейронов напоминают давние поползновения человека смастерить для
полета искусственные крылья. Конечно, полет птиц обнаруживает неко-
торые основные принципы аэродинамики, которые используются авиа-
конструкторами, но в деталях имеется существенное различие. Описание
же деятельности мозга на языке логики оказывается далеко за преде-
лами наших сегодняшних возможностей. Фон Нейман предполагал, что
наипростейшее из возможных описание операций, свойственных только
мозгу, может быть выполнено в виде диаграммы, отражающей все возмож-
ные нервные связи! Может быть, и возникнет когда-нибудь математиче-
ская логика, способная объяснить работу мозга, но для этого, несомнен-
но, потребуется метод на несколько порядков сложнее тех, которые были
изобретены математиками до сих пор.
Существуют ли все же какие-нибудь свойства живых существ, более до-
ступные логическому анализу?
В этом отношении огромный интерес представляет процесс самовоспро-
изведения. Несомненно, это наиболее примитивная характеристика жизни.
Большинство живых организмов не может мыслить и многие даже вовсе не
имеют нервной системы, но все организмы способны воспроизводить себе
подобных. Логически весьма вероятно, что и самовоспроизведение окажется
намного проще процесса мышления. Если бы кому-нибудь удалось открыть
логическую схему самовоспроизведения, он смог бы по крайней мере опреде-
лить узловые задачи в этом процессе и, возможно, даже наметить пути их
решения, что в свою очередь могло пролить свет на некоторые биологиче-
ские процессы, которые сейчас столь интенсивно изучаются.
Фон Нейман был первым, кто в деталях рассмотрел методы создания са-
мовоспроизводящихся машин. Однажды он задал себе следующий вопрос:
«Можно ли построить из отдельных (простейших) элементов такой агрегат, что
если его поместить в некий резервуар, в котором плавают указанные элемен-
ты в достаточно большом количестве, то он станет производить другие аг-
регаты, каждый из которых в конце концов окажется новым автоматом,
в точности аналогичным первоначальному?» Позже фон Нейман показал что
если машину снабдить соответствующей программой действий и поместить в
«среду-кладовую», состоящую из таких же деталей, что и сама машина, то
133
она будет бродить среди них, отыскивая необходимые для самовоспроизведе-
ния детали; следовательно, со временем таких машин окажется уже две,
затем четыре, восемь, шестнадцать, и это будет продолжаться до тех пор,
пока не иссякнет запас необходимых деталей в «кладовой».
На первый взгляд это кажется неосуществимым и даже абсурдным.
Но возьмем крохотное «зернышко» кристалла, заключающее в себе всего
несколько молекул вещества, поместим в среду, состоящую из множества
таких молекул, и создадим нужные температуру и давление, тогда наше зер-
нышко вызовет процесс соединения молекул вещества в точно такие же кри-
сталлы. При такой постановке вопроса процесс кристаллизации можно
считать самовоспроизведением. Аналогичным образом допустимо рассматри-
вать и закрытие застежки-«молнии». Два маленьких крючочка вносятся в
«среду», состоящую из большого числа таких же крючочков, расположенных
в ряд, и одного «замочка». Все крючочки последовательно соединяются и
образуют ряд «двукрючковых машин», т. е. нечто вроде одномерного крис-
талла.
Это, разумеется, тривиальные примеры, поскольку каждый из них вклю-
чает лишь одно простое изменение в состоянии: переход от аморфного к кри-
сталлическому (в первом примере) или от открытого к закрытому (во втором).
Но как быть с перфокартой в вычислительной машине? Это ведь тоже сво-
его рода «машина», и она воспроизводит себя с помощью сложной окружаю-
щей среды в виде перфорирующего устройства, которое выполняет все дей-
ствия, необходимые для дублирования перфокарт. (Заметьте, однако, что
в то время как некоторым одноклеточным организмам для воспроизведения
достаточно наличия просто питательного субстрата, более высокоорганизо-
ванные существа оказываются зависимыми от окружающей среды, кото-
рая должна содержать такие сложные элементы, как, например, витамины.)
Поэтому трудность заключается в создании сложной машины в условиях
простого окружения, быть может, с большим числом деталей, но не очень
разнообразных или с малым числом «состояний». Как раз этого и достиг фон
Нейман в своей модели самовоспроизведения.
У читателя может возникнуть еще и такой вопрос: связана ли в дейст-
вительности модель фон Неймана каким-либо образом с биологическим вос-
произведением? Одно из первых логических затруднений, с которым приш-
лось столкнуться фон Нейману, как, впрочем, и предложенный им метод
решения, дает положительный ответ на этот вопрос. Фон Нейман очень быстро
пришел к выводу, что команды, которые сообщают машине, как построить
саму себя, не могут быть полными. Для этого команды должны были бы
описывать не только автомат, но и самих себя, т. е. должен существо-
вать план построения плана построения машины и так далее до беско-
нечности.
Этого нетрудно избежать, если иметь две машины, которые обращались
бы с планом построения каждая по-своему. Одна машина является «копиров-
щицей плана построения» (С), другая—«исполнительницей плана построения»
(О). Они взаимосвязаны друг с другом и с пусковым устройством (S), вклю-
чающим каждую из них в надлежащее время, при этом план построения
описывает все три элемента (Bc+o+s)- Вся машина может быть символически
выражена в виде C+0+S+Bc+o+s- Получив в свое распоряжение план
построения машины в целом, С копирует его, а О в свою очередь следует ему
для построения С, О и S.
Недавние открытия в генетике показывают, что существует поразительное
сходство между моделью фон Неймана и процессами, происходящими
в живой клетке. В — это набор генов, построенных из дезоксирибонуклеи-
новой кислоты (ДНК), кодирующей наследственные признаки. С — фер-
134
мент ДНК-полимераза, который катализирует процесс репликации цепо-
чек ДНК и тем самым копирует гены. О—система из информационной ри-
бонуклеиновой кислоты (РНК), ферментов и рибосом, выстраивающая в
определенной последовательности аминокислоты в соответствии с про-
граммой ДНК; при этом синтезируются ферменты и другие белки и стро-
ится новая клетка.
Ранние модели фон Неймана можно назвать «кинематическими», по-
скольку в них рассматриваются физические элементы, в движении. Однако
эти модели так и не удалось построить. Несколько менее общие кинемати-
ческие модели все же были показаны в действии. Одна из них изобретена Го-
мером Джекобсоном; роль машины, воспроизводящей саму себя, играет
состав из игрушечных вагончиков. Каждый такой вагончик представляет
собой отдельную часть, а управление процессом самовоспроизведения осу-
ществляется с помощью специальных схем, вмонтированных в каждый ва-
гончик. Когда состав из вагончиков разных типов, собранных в определен-
ной последовательности, ставится на рельсы, он начинает двигаться в раз-
ных направлениях, сталкиваясь с неприцепленными вагонами, передвигая
их, когда это необходимо, на запасные пути и сцепляя последовательно по
собственному подобию. Джекобсон спроектировал модель, функциониру-
ющую со всякого рода поездами любой длины, и построил простейшую
демонстрационную модель, в которой поезд из двух вагончиков мог
воспроизводить себя.
Английский генетик Л. С. Пенроуз подошел к этой проблеме по-другому,
исходя из своих исследований способов копирования генетического мате-
риала. В своей наиболее элементарной форме машина Пенроуза имеет два
вида частей: части А и В — простейшие фигуры такой формы, что они могут
сцепляться друг с другом одним из двух возможных способов. Если поме-
стить машину АВ в лоток с большим количеством отдельных частей А и В
и встряхнуть его, то образуется некоторое число новых пар АВ, т. е, первая
машина действует подобно зародышу (фиг. 65). Если это делает машина ВА,
то среди вновь произведенных машин большая часть также будет иметь
вид В А.
, Хотя «кинематические» модели обладают такими достоинствами, как
близость к действительности, и производят большое впечатление, они чрез-
вычайно сложны с математической точки зрения. В своей последней работе
фон Нейман обратился к абстрактной модели; он отказался от металличе-
ских деталей, обойдя, таким образом, все проблемы, связанные с механиче-
ским движением, подгонкой деталей друг к другу и сложностями манипули-
рования с ними, и занялся задачей скорее чисто логического и математиче-
ского, чем механического и электротехнического характера. В качестве
«кладовой» он выбрал математическую среду в виде плоскости, разделенной
на квадратные клетки (нечто вроде шахматной доски или мозаики). В каж-
дую такую клетку он поместил одну из своих элементарных составляющих
частей — машину с конечным числом состояний. Такие машины у фон Ней-
мана не имеют ни входов ни выходов, а обладают лишь некоторым числом
допустимых состояний. Все эти состояния и правила, согласно которым
машины переходят из одного состояния в другое, одинаковы для всех кле-
ток, хотя в один и тот же момент разные клетки могут находиться в различ-
ных состояниях. Каждая машина является детерминированной и синхрон-
ной; это означает, что в каждый целочисленный момент времени Т (за ис-
ключением начальных условий или момента времени Т=0) состояние каж-
дой клетки зависит только от состояния ее самой и соседних с ней клеток
в момент времени Т — 1.
Существует особое состояние, называемое состоянием «покоя»; в каж-
дый момент все клетки (за исключением конечного числа клеток) находятся
135
Фиг. 68. В данном сорокаклеточном построении квадратные клетки показаны в
состояниях, обозначенных буквами X, У, Z, О (состояние покоя). Вся конфигурация
содержит в себе три копии семиклеточной конфигурации (голубые). Они должны быть
«непересекающимися подмножествами»; четвертое множество, такое же, как эти три
(обведено черным), не считается такой копией потому, что не является подмножест-
вом, не пересекающимся с остальными.
в нем; оно характеризуется тем свойством, что если некоторая клетка и
все соседние с ней в момент времени Т — 1 находятся в состоянии покоя, то
эта клетка будет в этом состоянии и в момент времени Т. Подобная система,
состоящая из мозаичного пространства, клеточных машин, допустимых
состояний и правил перехода, называется «мозаичной структурой». Ко-
нечный блок из клеток, или «построение», называют «конфигурацией» в том
случае, когда заданы состояния ее клеток.
Какое отношение имеют все приведенные выше определения к машинам и
их самовоспроизведению? Рассмотрим мозаичное пространство как
крайне абстрактную «среду», такую среду, в которой пространство и время
квантованы, а движения и другие формы плавных изменений заменены по-
следовательностями дискретных состояний, переходы между которыми
описываются определенными правилами. В пределах «среды» находятся
конфигурации из квадратных клеток (это и есть наши «машины»), и именно
их можно сделать самовоспроизводящимися. Отдельные клетки пред-
ставляют собой элементарные составляющие, скажем молекулы. Изменяю-
щиеся состояния таких составляющих можно себе представить как коли-
чественно различные состояния — состояния с различными уровнями
энергии или химической активности — и разные геометрические положе-
ния. Правила перехода из одного состояния в другое представляют собой
физические или химические законы, действующие в этой «среде». Они-то
и определяют, как клетки должны изменяться и какая между ними сущест-
вует зависимость. Клетки, находящиеся в состоянии покоя, являются сырь-
ем, при этом в соответствии с определением клетка, отделенная от целой
конфигурации клеток, не может внезапно активизироваться. Машина
«дотягивается» до окружающего сырья только посредством локального
действия.
136
В этом случае все сводится к построению мозаичной структуры из от-
дельных клеток с небольшим числом различных состояний (т. е. структуры
с достаточно простыми частями), а также к выбору правил перехода и по-
следующей организации этих клеток в конфигурации; которые по прошест-
вии какого-то времени смогут воспроизводить себе подобных. Эта задача
сходна с составлением программы для вычислительной’машины. Фон Нейман
далее потребовал, чтобы каждая конфигурация включала в себя универ-
сальную машину Тьюринга. На этой основе он разработал большую часть
деталей для самовоспроизводящейся конфигурации, состоящей примерно
из 200 000 клеток с 29 допустимыми состояниями. После смерти фон Ней-
мана в 1957 г. работа с мозаичными моделями была продолжена, проверя-
лись различные детали моделей, делались попытки сформулировать некото-
рые выводы в форме теорем с доказательствами.
Теперь рассмотрим, как быстро может расти популяция из самовоспро-
изводящихся конфигураций. Популяция не может расти по экспоненци-
альному закону, скажем каждый раз удваиваться. Популяция, образован-
ная двумерной мозаикой, никогда не сможет численно стать больше квадрата
времени ее воспроизводства. Сформулируем это утверждение в виде теоремы:
если самовоспроизводящаяся конфигурация способна репродуцировать f(T)
отпрысков за время Г, то существует такая положительная константа k,
что /(Г) << kT2. (Символ означает «меньше или равно».)
Эта теорема может быть доказана следующим образом. Пусть С —
самовоспроизводящаяся конфигурация и размер наименьшего квадратного
построения, вмещающего копию С, равен DxD. Тогда в любой момент
времени Т общее число клеток, не находящихся в состоянии покоя, будет
самое большее (2Т +D)2, поскольку указанный квадрат может за единицу
времени увеличиваться не больше чем на одну клетку с каждой стороны.
Если V — число клеток в С, то
КП <
Это неравенство можно подвергнуть последовательному упрощению и
получить конечный вывод теоремы.
Существует еще один важный вопрос: любая ли конфигурация способна
воспроизводить себе подобную? Оказывается, что имеются конфигурации,
которые не могут возникать за исключением исходного момента, т. е. момен-
та Т=0. Такая конфигурация неконструируема, т. е. ее невозможно полу-
чить из другой конфигурации с помощью заданных правил перехода. Джон
У.Тьюки из Принстонского университета предложил назвать «райским садом»
блоки клеток, не имеющие каких-либо предшествующих состояний. Посколь-
ку эти конфигурации не воспроизводятся никакими другими конфигурация-
ми, они не могут также воспроизводить и самих себя. Исследование условий,
при которых существуют такие конфигурации, помогает определить ос-
новные ограничения, суживающие возможности машин воспроизводить
самих себя.
Одним из таких условий является возможность выполнения опера-
ции стирания. В вычислительных устройствах термин «стирание» озна-
чает операцию, которая восстанавливает у элементов памяти их исходное
состояние, что бы ни хранилось в них до стирания.
Вообще стирание — процесс необратимый, так как после него невоз-
можно установить предыдущие состояния, из которых могло возникнуть
137
Конфигурации двух внутренних построений отличаются одна от другой. Здесь показан
частный случай, когда внутренние построения имеют одинаковый размер (они могут
быть, однако, и произвольного размера). Конфигурации, обозначенные буквой G
(незаполненные <квадраты>), соседствующие с внутренними построениями, аналогичны
друг другу. То же самое можно сказать и о конфигурациях, обозначенных буквой И,
Промежуточные построения также аналогичны друг другу. Два различных построения
фиг. 69 стали тождественными. Они называются «взаимно стираемыми!.
Ф и г. 71. Теорема о «райском саде> (см. текст) доказывается с помощью этой диаграммы.
Малое построение размером пУ п обладает стираемой конфигурацией. Большое пост-
роение имеет размер knX kn. (Здесь целое положительное число k равно 4; в действи-
тельности оно может быть и много больше.) Здесь показано построение в момент вре-
мени Т. В момент Т+1 оно сведется к размеру (krt—2)Х(Ал—2).
настоящее. А потому в период, предшествующий стиранию, должно быть по
меньшей мере два возможных состояния, которые могут перейти в одно и то
же настоящее состояние. В случае мозаичной структуры стирание необходи-
мо определить несколько более формально, чтобы быть уверенными в том,
что информация, относящаяся к прошлым состояниям, действительно
стерта, а не просто перешла в соседние состояния.
Чтобы дать такое определение, рассмотрим две конфигурации,
показанные на фиг. 69. Конфигурации двух внутренних построений в
некоторый заданный момент отличаются одна от другой; назовем их F и
F*. В это же время конфигурации промежуточных построений — неза-
полненные «квадратные рамки», непосредственно соседствующие с внутрен-
ними построениями,— обе суть G, т. е. одно промежуточное построение—
копия другого. Это верно и для конфигураций внешних построений —
обе они обозначены через Н. Рассмотрим теперь конфигурации, в которые
эти построения превращаются по прошествии единицы времени (фиг. 70).
Если в момент Т +1 обе внутренние конфигурации суть Д а две промежуточ-
ные — g (т. е. и внутренние и промежуточные являются соответственно ко-
пиями друг друга), тогда можно сказать, что две начальные конфигурации
«взаимно стираемы»: ранее они отличались одна от другой, а теперь ста-
ли одинаковыми.
139
Заметьте, что мы не можем установить, какова именно окончательная
конфигурация внешнего построения, поскольку состояния его клеток нахо-
дятся под влиянием тех наружных клеток, которые не учитывались нами
при этом определении; функция внешнего построения заключается просто
в том, чтобы «защищать» промежуточное построение. Следовательно, кон-
фигурацию можно считать стираемой, если существует другая, такая,
что вместе с нашей они взаимно стираемы. Далее из определения следует,
что если некоторая стираемая конфигурация любой формы находится в пря-
моугольном построении, то все это построение стираемо. Таким образом,
нашу задачу можно рассматривать на языке квадратных построений, с
которыми работать легче, чем с построениями произвольной формы.
'Теперь сформулируем следующую теорему: в мозаичной структуре, обла-
• дающей стираемыми конфигурациями, существуют также конфигурации
«райский сад». (Можно построить мозаику и без стираемых конфигураций,
однако подобная структура будет по существу тривиальной.)
Эта теорема доказывается в общих чертах следующим образом. Пусть
п — целое положительное число, такое, что имеется некоторое построение
размером пХ/г, которое включает стираемую конфигурацию. Рассмотрим
тогда более крупное построение размером knXkn (фиг. 71). Каждое из k2
построений размером пХп достаточно велико, чтобы могло содержать копию
стираемой конфигурации; k выбирается так, чтобы в крупном построении
содержалось много таких стираемых конфигураций. Если для каждой
клетки допустимо А состояний, то все построение в момент времени Т
имеет A{kn)2 возможных конфигураций. Рассмотрим далее построение, в
которое вышеуказанное первое построение переходит за единицу времени.
Напомним, что мы не можем определить состояния для «внешнего незапол-
ненного квадрата» в момент Т+1. Поэтому для построения, соответствую-
щего моменту времени Т+1, допустимо лишь меньшее число состояний,
а именно A{kn~2^2.
Теперь если в исходном (knх^-построении было одно (пх^-построе-
ние со стираемой конфигурацией, то два возможных состояния—то, которое
соответствует этой конфигурации, и другое, которое соответствует взаимно
стираемой с нею конфигурации, — перейдут в единственное возможное
состояние в момент Т+1. Если имелись два экземпляра стираемой конфи-
гурации, то четыре соответствующих им возможных состояния снова перей-
дут в единственное возможное. Вообще, если в момент Т имелось «экземпля-
ров стираемой конфигурации, то в момент Т+1 все 25 их состояний перейдут
в одно. Это положение изображено на фиг. 72. Теперь необходимо лишь по-
казать, что потеря в числе состояний, подлежащих стиранию, должна быть
больше потери от сокращения числа граничных клеток, т. е. возникающей
за счет разности между A{kn)2 и A{kn 2)2.
Рассмотрим вместо самого числа состояний их логарифмы. Логарифм
отношения, которое указывает потерю, связанную со сжатием гранич-
ного слоя, имеет линейный порядок роста в зависимости от k. Логарифм же
числа состояний, теряемых нами при стирании, возрастает так же, как
число стираемых конфигураций, а следовательно, приблизительно так
же, как общая площадь построения, т. е. квадрат числа k. Тогда для
больших k при стирании будет потеряно больше состояний, чем при сокра-
щении пограничного слоя. Поэтому в момент времени Т+ 1 должно су-
ществовать такое состояние Р, которое не может быть достигнуто ни из ка-
кого состояния, соответствующего моменту времени Т.
Состояние Р и есть конфигурация «райский сад», о которой говорится в
теореме. Это состояние можно себе представить, однако его нельзя достичь
140
СОСТОЯНИЯ В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ Т
СОСТОЯНИЯ В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ (Т+1)
Фиг. 72. Число допустимых состояний для построения, показанного на фигуре, за
промежуток времени от Т до Т+1 уменьшается как в силу стирания, так и за счет
сжатия пограничного слоя (см. текст). Можно показать, что потеря от стирания намного
больше, чем от сжатия пограничного слоя. А потому должно быть в момент Т+1 некое
«лишнее состояние», это и есть Р — конфигурация «райский сад».
из какого-либо предшествующего состояния. Оно соответствует машине,
которая может быть описана как соединение определенных частей, но кото-
рую нельзя создать из них. Поскольку это та машина, которую нельзя
воспроизвести, она должна быть и машиной, которая не может воспроиз-
водить саму себя.
По всей вероятности, рассмотрения двух упомянутых теорем достаточно
для того, чтобы получить представление о том, как такой процесс само-
воспроизведения можно рассмотреть в абстрактной форме и математически
его исследовать. Но это не означает, что должна существовать тесная связь
между мозаичной моделью самовоспроизведения и биологическим воспроиз-
ведением — это еще требует доказательств. Тем не менее представ-
ляется реальным, что обращение к машинным моделям в конце концов
поможет нам преодолеть трудности, которые возникают при описании
биологических процессов или при установлении для них определенных кри-
териев.
Возьмем такой пример. Предполагается, что жизнь на Земле возникла
вследствие случайных взаимодействий неживой материи. Насколько прав-
доподобна такая версия, судить трудно. Быть может, из мозаичной мо-
дели нам как раз удастся узнать, насколько сложным должен быть набор
отдельных частей, чтобы он был способен к самовоспроизведению и даль-
нейшей эволюции к более сложному потомству. Начало таким исследованиям
положил Джекобсон, который характеризовал сложность в терминах «би-
тов» информации; его машиной был игрушечный состав из двух вагон-
чиков.
Даже если и будет доказана абсолютная неприменимость к биологии
промашинного воспроизведения, оно тем не менее может само по себе пред-
ставлять исключительный интерес. Вернемся к модели фон Неймана с кла-
довыми из деталей для самовоспроизводящейся машины. Что если такую
машину рассматривать не просто как произвольную «кладовую», а в пределах
некоторой естественной среды? Такая машина, будучи в действительности
искусственным живым устройством, сможет создавать себя по частям из
природных веществ и полностью воспроизвести саму себя. В подобном про-
цессе она извлечет из среды определенные вещества, очистит и сконцентри-
рует их. Например, установки, приспособленные к самовоспроизведению в
океанской среде, смогут построить себе подобных, в основном из магния, ко-
торый присутствует в морской воде, и таким образом будут использованы для
141
сбора «урожая» магния. Никто еще не осуществил инженерных расчетов,
необходимых для создания машины подобного рода, но я полагаю, что со
временем она будет создана.
Приложение
Математическая модель нервного импульса
В биологии нейроны, нервные клетки, а также нервные сети наиболее
часто подвергаются математическим исследованиям. Некоторые из этих
моделей, как указал Э. Мур (см. выше), далеко отходят от действительно
существующих биологических объектов. С помощью других моделей, одна-
ко, пытаются раскрыть, как функционируют нервные клетки или нервные
волокна. Модель нервного импульса, разработанная А. Л. Ходжкином и
А. Ф. Хаксли из Кембриджского университета, — классический тому
пример.
Сигналы, распространяющиеся по аксону нервной клетки, как по элект-
рокабелю, представляют собой электрические импульсы амплитудой около
100 мв и длительностью около 0,001 сек. Одинаковые по форме импульсы
подаются с постоянной скоростью с помощью механизма, регенерирующего
их в каждой точке вдоль аксона. Энергия для регенерации возникает за
счет распределения ионов по обе стороны мембраны аксона. Внутри аксона
сконцентрированы в основном ионы калия, и если через мембрану аксона
могут проникнуть только ионы калия, то разность потенциалов на ней
должна быть эквивалентна потенциалу равновесия для калия (Ек), равному
приблизительно 75лв, при условии, что внутренняя сторона аксона заряжена
отрицательно. Ионы натрия в основном концентрируются снаружи, и если
сквозь мембрану могут проникать только ионы натрия, то мембранное напря-
жение должно быть равным потенциалу равновесия для натрия (Е^а), т. е.
составлять около 50л(в, при условии, что аксон внутри по-прежнему заряжен
отрицательно. Проницаемость мембраны для ионов в значительной степени за-
висит от изменений величины потенциала. В состоянии покоя проницаемость
мембраны для ионов калия умеренна и ее потенциал равен приблизительно
60 мв. Если какой-то искусственный возбудитель или распространяющийся
нервный импульс понижает этот потенциал, мембрана мгновенно становится
высокопроницаемой для ионов натрия, которые проникают в аксон; потен-
циал на этом участке активности на данное мгновение становится положи-
тельным. Затем почти сразу же проницаемость для натрия падает до нуля и
снова возрастает проницаемость для калия, мембранный потенциал восста-
навливается до своего значения в состоянии покоя, в то время как нервный
импульс распространяется дальше вдоль аксона.
Фиг. 73. Нервный импульс представляет собой волновое изменение разности потен-
циалов по обе стороны мембраны аксона. Ионы натрия проникают в аксон во время
восходящей фазы импульса, а ионы калия выходят из аксона во время нисходящей
фазы.
142
Фиг. 74. Аналог аксона в виде электрической схемы, состоящей из сопротивлений,
мембранных емкостей и источников ионных токов.
Установлено, что распространение нервного импульса, или колебание
потенциала, представляет по существу электрический процесс, который опи-
сывается нелинейным дифференциальным уравнением (фиг. 76). Это уравне-
ние свидетельствует о том, что ток 1т на любом участке мембраны (цветная
схема) равен разности между протекающими вдоль него входящими и выхо-
дящими на этом участке токами, а эта разность в свою очередь равна сумме
емкостного тока мембраны и ионного тока, переносимого ионами сквозь
мембрану. Зависимость ионного тока от мембранного потенциала оставалась
неизвестной вплоть до 1949 г., пока не было открыто влияние токов ионов
натрия и калия на восходящую и нисходящую фазы импульса. В 1952 г. был
измерен ионный ток в условиях, когда мембранный потенциал поддерживал-
ся неизменным. На основе полученных данных были выведены законы, уп-
равляющие зависимостью проницаемости мембраны по отношению к натрию
и калию от ее потенциала. Затем эти законы были сформулированы в виде
системы дифференциальных уравнений.
Существенный нелинейный элемент, который объясняет механизм по-
явления ионного тока, показан на фиг. 75. Уравнение, написанное под
схемой, раскрывает нам, каким образом ионный ток складывается из электро-
химической движущей силы для каждого иона и его удельной проводимости.
Проводимости же натрия и калия зависят от трех безразмерных, экспери-
ментально определяемых величин т, h и п. Эти переменные величины под-
чиняются нелинейным дифференциальным уравнениям, приведенным на
фиг. 76. Временные постоянные т и значения для стационарного режима в
уравнениях суть функции только мембранного потенциала. Пять уравнений—
три последних и два описанных выше — в совокупности и составляют так
называемую модель Ходжкина — Хаксли.
Ф и г. 75. Источники ионных токов включают калиевые и натриевые элементы каждый
с переменным сопротивлением. Е — мембранный потенциал.
143
Фиг. 7b. Данные, полученные с помощью вычислительной машины, показывают измене*
ние мембранного потенциала и эффективных проводимостей мембраны для натрия и
калия вдоль аксона за определенный промежуток времени. Изменение потенциала по*
казано кривой красного цвета; 0 соответствует мембранному потенциалу в состоянии
покоя, равному приблизительно 60 мв. Изменения ионной проводимости мембраны:
для натриевой активации в виде кривой М, для натриевой инактивации кривой Н и
для калиевой активации кривой 2V. ЛИх значения заключены между 0 и 1. Эти
переменные подчиняются нелинейным дифференциальным уравнениям, приведенным
над каждой кривой. Временные константы напряжений и значения стационарного
режима для каждого из уравнений были получены экспериментально.
га 100
ВРЕМЯ, МСЕК
Фиг. 77. Объемное изображение нервного импульса, распространяющегося во времени
и пространстве, построено на основе семейства кривых, полученных при помощи вычис*
лительной машины, которая вычисляла напряжение в зависимости от расстояния по ак-
сону через последовательные промежутки времени (цветные кривые). Черные кривые —
напряжение в зависимости от времени. Диаграмма показывает, как мгновенные воз-
будители (действующие в течение 0,2 мсек) затормаживают изменение потенциала,
который колеблется у своей пороговой величины, а затем резко переходит в активный
потенциал, и как нервный импульс достигает постоянной формы и скорости.
Если допустить, что импульс распространялся с постоянной скоростью,
то решение уравнений приводит к волновой форме импульса и позволяет
дать соответствующее описание другим наблюдаемым явлениям. Для того
чтобы проследить кратковременное нарастание импульса при нанесении раз-
дражения, требуется, однако, более общее решение. Недавно были произве-
дены вычисления на электронных вычислительных машинах, в которых эти
пять уравнений были заменены разностными. В результате было получено
семейство кривых (см. фиг. 76), иллюстрирующих соотношение между нат-
риевой и калиевой проводимостью и потенциалом. Трехмерная диаграмма
на фиг. 77 показывает, как образуется импульс, достигающий фиксирован-
ной формы и постоянной скорости.
Модель передачи энергии в системе „хищник—жертва"
Экология, наука о взаимодействии организмов с окружающей средой,—
это область биологии, в которой все в большей мере применяется так назы-
ваемая конструктивная математика, т. е. математика, предназначенная
для создания моделей, которые позволяют предсказывать и предвидеть по-
ведение биологических систем. Рассмотрим вкратце одно из исследований
процесса хищничества. Л. Б. Слободкин из Мичиганского университета про-
водил лабораторные эксперименты с популяциями мелких пресноводных
ракообразных Daphnia. Он измерил калорийность самой популяции, ее
пищи (водорослей) и тех дафний, которым он отводил роль «жертвы»
(просто удаляя их из резервуара), причем «поедание» производилось с
различной скоростью.
Если приток энергии в единицу времени у популяции в устойчивом
состоянии есть /, если при отсутствии хищничества калорийность попу-
ляции («урожай на корню») есть Р и если на получение одной калории уро-
жая в день расходуется с калорий, то
/ = сР.
Если же имеет место хищничество, ю урожай на корню Р' будет меньше,
нежели Р. Допустим, что приток энергии постоянен, тогда произойдет не-
которое изменение Ас расхода энергии, так что при хищничестве
I = (с + А с) Р' = cP' + A cP'.
Последний член в этом уравнении отражает эффект хищничества. Если
тот же эффект рассмотреть с другой точки зрения, то
1 = сРЧ^-Е^.
tpi
В этом новом выражении учтены все рассматриваемые виды урожая
(У,.). Член Epi представляет собой безразмерный показатель, т. е. своего
рода «коэффициент регрессии», введенный во избежание превращения / в
Y без учета того, что произойдет при поедании водорослей (/) дафниями
(У). Рассмотрение этого уравнения показывает, что высокий коэффициент
Epi будет соответствовать незначительному поеданию водорослей при задан-
ном урожае. Измерив I, Р' и У., Слободкин решил это уравнение для с при
различных Epi. Оказалось, что большие значения Epi характерны для стар
шего поколения дафний. Это означает, что коэффициенту Epi должно соот-
ветствовать какое-то биологически значимое выражение.
6—831
145
Фиг. 78. Экологическая эффективность достигает максимального значения (7—13%)
либо для рачков дафния (Daphnia pulex), либо для различных видов кишечнополост-
ных гидр (Hydra).
Если оценить каждое гибнущее животное количеством энергии, которое
требуется, чтобы его «заменить», то сумма энергетических затрат, необходи-
мых для замены всех животных, гибнущих в данный промежуток времени
при устойчивом состоянии популяции, должна быть точно равна энергии,
потребляемой популяцией за этот период. Так, если Ki — затраты энергии
на замену одного животного в возрасте i и если в единицу времени погибает
Di таких животных, то при отсутствии хищничества
/ = 1Х Pl = cP,
а при наличии хищничества
/ = 2^^ = сР’ + ±сР'.
Предположим теперь, что мы рассматриваем только один вид жертвы k-
Тогда, сделав некоторые преобразования с нашими уравнениями, можно
написать
р _______________К*__________
Pk VI » • Р' V?
Это уравнение показывает, что поедание животных, которые уже близки
к смерти, так или иначе сводит к минимуму различие между двумя-приве-
денными выше уравнениями, а потому представляет собой наилучший ва-
риант как для хищника, так и для жертвы. При этом хищник обеспечивается
максимально постоянным количеством пищи, и в то же время популяция про-
должает существовать, несмотря на хищничество. Тогда можно ожидать,
что в природе отношения между хищником и жертвой будут развиваться
так, чтобы животные, служащие источником жизни, имели максимальный
Epi. Для хищника это означает поедание самых крупных и самых слабых
из всех доступных ему животных. Это предполагает такую организацию
жизни для жертвы, при которой причины гибели не в результате хищни-
ке
чества максимально проявляются в том возрасте, когда эти животные обычно
поедаются основным хищником.
В связи с введением коэффициента регрессии Eph который Слободкин
называет «эффективностью популяций», возникают новые вопросы об
истинном поведении хищника и механизме старения. Хотя этот коэффициент
не позволяет сделать единое численное предсказание, он предполагает соз-
дание теории. В этом отношении он отличается от другого выражения эф-
фективности У//, или «экологической эффективности», которая имеет до-
вольно постоянную максимальную величину у различных популяций (фиг.
78). Однако еще не выдвинуто никакого объяснения этой величины, хотя
она и предсказуема. Иными словами, отношение Y/I нуждается в конструк-
тивном математическом анализе.
Цены внутреннего
рынка —
Общие расходы
потребителей
Цены внутреннего
рынка
Общие расходы
потребителей
Импорт
Экспорт
/
Цены внешнего
рынка
Внешнеторговый
баланс
Темп роста
экспорта
Стоимость, добавлен-
ная в процессе
производства
Уровень
производства
Средняя ставка
заработной платы
Потребность в
"капиталовложениях
Темп роста
спроса
Потребительский
i спрос *'
i
Распределение
основных фондов
в промышленности
Распределение
трудовых ресурсов
в промышленности
Трудовые
ресурсы
V
Потребность в
, квалифицированных
трудовых ресурсах
Предложение
квалифицированной
рабочей силы
Распределение насе-
и
подготовка
Распределение тру-
довых ресурсов по
образовательному
уровню
Распределение
населения по
образовательному
уровню J
Математика в общественных науках1
Некоторые общественные науки, например экономика, имеют
дело с фактами, которые обычно выражают числами. Но-
вые методы нахождения соотношений между этими числа-
ми основываются на математическом анализе общества в
целом.
Ричард Стоун
Около 75 лет назад американский экономист Ирвинг Фишер установил,
что во всем мире едва насчитывалось пятьдесят достойных внимания книг
и статей по математической экономике. Сегодня не только в экономике, но
и во всех остальных общественных науках положение в корне изменилось;
каждый год появляются тысячи новых книг в огромном потоке математи-
ческой литературы. Причиной тому — все возрастающее понимание пре-
имуществ выражения на языке математики концепций, которые прежде
излагались только словесно.
Степень использования математики в различных областях знания раз-
лична. Все, что охватывается демографией и экономикой, выражается явно
количественными показателями, а это неизбежно требует широкого приме-
нения математики. Кроме того, в общественных науках становится все более
очевидным, что одно лишь словесное описание сложных систем и их взаимо-
связей приводит к обобщениям, которые с трудом поддаются анализу, сравне-
нию и применению. В еще большей мере это относится к словесной формули-
ровке теорий о функционировании таких систем. Подобные трудности в
основном преодолеваются при замене слов математическими выражениями.
С одной стороны, ряд проблем, которые, казалось бы, абсолютно не связаны
друг с другом, как, например, проблема исследования различных систем
Под редакцией канд. экон, наук В. А. Маша.
|Ф и г. 79. Схема взаимодействия четырех основных потоков математической модели
британской экономики. В основной части модели — схема реальных потоков (густо
окрашенные стрелки). Спрос на предметы потребления и темп роста этого спроса в
сочетании с экспортом и темпом его роста (в среднейчасти схемы, справа) определяют
капиталовложения, необходимые для требуемого роста выпуска продукции. Уровень
выпуска продукции определяется конечным спросом для потребления, капиталовложе-
ний и экспорта, а также текущими потребностями в сырье и топливе. Для заданных
уровней выпуска продукции и ресурсов рабочей силы распределение труда и капитала
в промышленности определяется соображениями эффективного использования ресурсов.
Система внешней торговли (слабо окрашенные стрелки) имеет аналогичное начало из
двух частей и, кроме очевидного воздействия цен внешнего рынка и торговых балансов
на импорт, влияет на уровень выпуска отечественной продукции и на цены внутреннего
рынка. В системе цен (серые стрелки) показано непосредственное их влияние на разме-
ры потребительского спроса. Обратная связь возникает из-за влияния уровня заработ-
ной платы, производительности труда и стоимости, добавленной в процессе производст-
ва (в средней части схемы, слева), так что цены внутреннего рынка и общие затраты
потребителей в конце цикла вычислений вновь пересчитываются. Наконец, поскольку
квалификация рабочей силы не менее важна, чем основные фонды, четвертая система
(черные стрелки) демонстрирует взаимосвязанные факторы образования и професси-
ональной подготовки, которые взаимодействуют как с общей численностью рабочей
силы (в терминах производительности труда и спроса на квалифицированную рабочую
силу), так и со спросом на предметы потребления (в терминах затрат на образование).
149
a б
Воз- раст Число женщин на 1940 г. Число женщин на 1955 г. Число дочерей на 1940— 1954 гг. Возраст Возраст от 0 до 14 лет Возраст от 15 до 29 лет Возраст от 30 до 44 лет
0—14 14 459 16 428 4 651 0—14 14 459 (А) 4 65 Г А 10 403 В 1374 С
< 15-29 15 264 14 258 10 403 15—29 15 264 (В) 14 258 А 0 0
30—44 И 346 14 837 1 374 30—44 11 346 (С) 0 14 837 В 0
Момент времени Т 1940 1955
1 1 Г 1 1 1
! = 0,32167 0,68154 0,12110 14 459 16 428
ф
2
Ф ю
* 0,98610 0 0 х 15 264 = 14 258
S 1
° 0 0,97203 0 11 346 14 837
। 1 I 1 1 ' 1 ! 1 1 ’
г
т2 Момент времени Т 1940 1970
1 1 == 0,77554 0,33694 0,03895 1 14 459 16 799
ф
s
ф о
О-СО 0.31719 0,67207 0,11942 X 15 264 = 16 200
X с <D
S
0,95852 0 0 1 1 11 346 1 13 863 1 1 ’
д
т3
Момент времени Т 1940 1985
1 , 1 I ( 1
| = 0,58172 1 0,56643 0,09392 1 14 459 18 123
й/
S
0,76476 0,33226 0,03841 X 15 264 = 16 565
= •
2
£ 0,30832 0,65327 0,11608 11 346 15 747
образования и планирование капиталовложений, тождественны в матема-
тическом смысле. С другой стороны, даже в вопросах, где представления
весьма неопределенны и где трудно получить какие-либо точные данные,
с помощью математики удается вскрыть важные закономерности.
Рискуя быть уличенным в излишнем упрощенчестве, можно все же ска-
зать, что общественные науки, несмотря на все их разнообразие, имеют лишь
две основные области исследования. Первая из них — это точное описание
функционирования различных общественных систем и взаимосвязей их от-
дельных частей, например брак в родовой общине или вклад, вносимый
сталелитейной промышленностью в показатель валовой продукции техни-
чески развитой страны. В исследованиях такого рода анализируется струк-
тура системы. Вторая область исследований относится к проблемам управле-
ния, т. е. к рассмотрению влияния сознательно применяемых методов на
функционирование различных социальных структур, и к анализу рацио-
нальных процессов, которые лежат в основе определения направления раз-
вития. В этих исследованиях анализируются и изучаются принимаемые
решения.
В обеих вышеуказанных областях исследований к сходным проблемам
применяются одни и те же математические методы. Если необходим эмпири-
ческий анализ дискретных наблюдений, большую пользу извлекают из ко-
нечной математики, прежде всего из матриц, матричной алгебры и уравне-
ний в конечных разностях. Там, где, наоборот, требуется чисто теоретиче-
ский анализ и данные представляют скорее информацию непрерывного
характера, а не дискретные «биты», использование дифференциального и
интегрального исчисления и уравнений в частных производных имеет много
преимуществ. В нижеследующих примерах показано применение обоих
к математических методов.
В число демографических исследований входит анализ структуры и ве-
роятного роста народонаселения. Для прогнозирования будущей струк-
туры народонаселения, предположив, что картина рождаемости и выжива-
ния не изменяется, требуется знать, во-первых, число людей различных
возрастов, проживающих на определенную дату, во-вторых, показатель
выживания для определенного интервала времени, начиная с этой даты;
в-третьих, число людей, родившихся за тот же самый период времени от
разных возрастных* групп. Третья совокупность показателей дает, между
прочим, пример того вида неточности, которая может вкрасться в количест-
венные данные, используемые в общественных науках. В действительности
Табл. VIII. С помощью матричной алгебры можно вычислить будущий состав насе-
ления. В приводимом примере предполагается, что рождаемость и смертность остают-
ся неизменными в течение 45 лет. Определяется будущая структура только женской
части населения по трем укрупненным возрастным группам. Данные взяты из выборок
и прогнозов, основанных на переписи населения США 1940 г. В трех столбцах таблицы
а показано: число женщин в каждой из возрастных групп по состоянию на 1940 г.;
для каждой такой группы — число женщин, доживших до 1955 г. наконец, число
дочерей, рожденных в каждой такой группе в течение 15-летнего периода. Эти данные
преобразуют в квадратную матрицу б, а затем — в матрицу коэффициентов в. Если
умножить матрицу коэффициентов справа на столбец численности возрастных групп
по состоянию на 1940 г., то результат (столбец «1955» в в) есть прогнозируемый состав
женского населения в 1955 г. Умножая на столбец численности возрастных групп в
1940 г. квадрат или куб нашей матрицы коэффициентов (см. г и д), мы получаем соответ-
ственно аналогичные прогнозы на 1970 и 1985 гг.
1 Разумеется, в 1955 г. это число будет показано в графе, относящейся к следующей
возрастной группе.—Прим. ред.
151
РОДИТЕЛИ
ОТЕЦ МАТЬ
«ПАРИЯ» X
« ПАРИЯ» X
« ПАРИЯ» X
РЕБЕНОК
РОДИТЕЛИ
ОТЕЦ МАТЬ
Табл. IX. По закону о браке у индейского племени Нэтчез в Северной Америке по
крайней мере один из партнеров (муж или жена) должен был быть из неимущих
(«пария»). Здесь показано семь возможных вариантов брачного союза и в какое сословие
при этом попадают потомки. На первый взгляд такая система кажется допустимой.
Но математический анализ выборочно взятого населения (в данном случае 70 аристокра-
тов и 500 неимущих в начальный момент) показывает, что недостаток в представите-
лях сословия «пария» обнаружится уже в пятом поколении.
мужья и жены часто принадлежат к различным возрастным группам, и
деторождение зависит как от этого фактора, так и от индивидуальной спо-
собности женщин к деторождению. Однако в математической модели, которая
будет здесь рассмотрена, детей классифицируют лишь по возрастным груп-
пам матерей.
При таком способе анализа удобнее всего представлять изменения,
происходящие за определенный период, в виде прямоугольной таблицы, или
матрицы (табл. VIII). Вначале данные о возрастном составе населения рас-
полагают в трех столбцах. Затем строят собственно квадратную матрицу,
где каждой возрастной группе соответствуют одна строка и один столбец.
В клетках верхней строки матрицы приводится число детей, родившихся за
выбранный период у матерей соответствующих возрастных групп. Затем
число индивидуумов каждой возрастной группы, выживающих до конца
этого периода, а следовательно, переходящих из своей возрастной группы
в следующую, вносится по диагонали, идущей вниз слева направо и распо-
ложенной непосредственно под главной диагональю в том же направлении.
Теперь можно приступить к обработке данных. Если разделить число
новорожденных и число выживающих индивидуумов, записанных в каждом
столбце матрицы, на число индивидуумов той же возрастной группы в 1940 г.
(см. матрицу б), то получим (соответственно) нормы рождаемости и выжива-
ния. Эти коэффициенты запишем затем в матрице в. Если теперь столбец с
числом индивидуумов по возрастным группам в 1940 г. умножить справа на
матрицу коэффициентов в, то результат, который получится для каждой
152
Исходное население 1-е поколе- ние 2-е поколе- ние 3-е поколе- ние 4-е поколе- ние 5-е поколе- ние
«Солнца» 10 10 10 10 10 10
«Благородные» 20 30 40 50 60 70
«Почтенные» 40 60 90 130 180 240
Всего 70 100 140 190 250 320
«Парии» 500 470 430 380 320 250
Всего 570 570 1 570 570 570 570
G G+1 G+2 G+3 G-f-4 (7+5
«Солнца» S S S S S S
«Благородные» N W+S N'+2S W+3S W+4S W+5S
«Почтенные» Н #+# H+2N+S H+3N+3S H+4N+6S H+5W+10S
возрастной группы, даст предполагаемый состав популяции к концу выбран-
ного периода. Предположим, что этот период составляет х лет; если тре-
буется получить структуру народонаселения по истечении 2х лет, то столбец
исходной численности по возрастным группам умножается на квадрат мат-
рицы коэффициентов. Когда необходимо выяснить структуру по истечении
Зх лет, матрицу-множитель нужно возвести в третью степень и т. д. Здесь
операции, выполняемые над нашими данными, просто названы умножением.
Математики знают, что этот процесс по существу есть умножение матрицы
коэффициентов на столбец цифр именно справа, поскольку при умножении
матриц неприменим коммутативный закон обычного арифметического ум-
ножения (см. «Арифметика», стр. 29).
При прогнозах такого рода предполагается, что картина рождаемости
и выживания остается неизменной в течение всего рассматриваемого периода
времени. Эта предпосылка является вторым примером расхождений, сущест-
вующих между моделью и действительностью. Тем не менее даже такая
далекая от реальности модель проливает свет на данную проблему. Опера-
ции с этой жесткой моделью показывают, что если показатели рождаемости и
смертности в самом деле окажутся неизменными, то со временем будут до-
стигнуты как стабильная возрастная структура, так и постоянный темп ро-
ста народонаселения.
Разумеется, такая неизменная матрица коэффициентов весьма мало
правдоподобна, так как рождаемость и смертность зависят либо от случай-
ных, либо от систематически действующих факторов или же от тех и других
153
одновременно. Поэтому исследователь стремится приблизиться к реальности,
варьируя величины, входящие в матрицу коэффициентов; этот процесс из-
вестен как усложнение модели. Не представляет труда сформулировать
условия, при которых численность населения будет стремиться к какому-то
верхнему или нижнему пределу, следовательно методы, применяемые де-
мографами, могут быть распространены на изучение проблем, касающихся
экологии и эпидемиологии.
/^ледует особо отметить, что процесс математизации помогает выявить опре-
ло* деленное сходство в структуре многих проблем, хотя они и представляют-
ся различными. Матрица, прогнозирующая развитие народонаселения, была
использована для демографических целей. Точно так же можно прогнози-
ровать развитие популяций, состоящих из неодушевленных предметов,
таких, как, скажем, телеграфные столбы, железнодорожные вагоны или
жилые дома, и тогда эта модель может быть использована при изучении
проблем материальных запасов в промышленности или городского строи-
тельства. В таких случаях нормы рождаемости заменяются нормами вло-
жений, а показатель смертности — показателем износа. Какой бы ни была
возрастная структура первоначального запаса, модель показывает необхо-
димое пополнение или замену, обеспечивающую надлежащий запас в тече-
ние любого желаемого отрезка времени.
Для этнографов представляет интерес также исследование родственных
связей со всей сложностью установления картины браков и поколений,
кланов, фратрий, племен и, наконец, классовой структуры и социальных
сдвигов. В исследованиях такого рода часто бывает удобно пользоваться
для обработки данных уравнениями в конечных разностях. Классический
пример социального напластования существовал у Нэтчез — племени аме-
риканских индейцев бассейна Миссисипи. Племя Нэтчез разделялось на
два основных класса: аристократов и неимущих. Аристократы в свою
очередь делились на три сословия [на людей «солнца» (высшее сословие),
«благородных» (среднее сословие) и «почтенных», которые еще счита-
лись аристократами, но были всего на одну ступеньку выше неимущих —
«парий»].
Исходя из описаний путешественников-очевидцев, брачные законы,
существовавшие у племени Нэтчез, вносили своего рода постоянный соци-
альный фермент. В каждом браке один из партнеров (муж или жена) всегда
выбирался из класса «парий». При этом ребенок, родившийся от матери
аристократки, принадлежал к сословию своей матери. Так, ребенок матери из
сословия «солнца», «благородных» или «почтенных» и отца из «парий» также
становился «солнцем», «благородным» или «почтенным». Ребенок же матери
из «парий» и отца из «солнца» должен был принадлежать к сословию, на
ступень ниже отцовского, и в данном случае он становился лишь «благород-
ным». Подобное перемещение в низшее сословие осуществлялось последо-
вательно, так что отпрыск матери из «парий» и отца из «благородных» ста-
новился «почтенным», а матери из «парий» и отца из «почтенных» — просто
«парием». На низшей ступени этой социальной лестницы у мужчины и жен-
щины из сословия «парий» ребенок относился к «париям» (см. табл. IX).
Племя Нэтчез давно исчезло с лица земли, но исследователи классовых
структур продолжают интересоваться, могла ли такая сложная социальная
система обладать естественной устойчивостью. Для математизации этой
задачи необходимо предположить, что общая численность племени Нэтчез
стабильна, что каждый индивидуум из этого племени вступает в брак ровно
один раз и от каждого такого брака рождается один мальчик и одна девочка.
Если с учетом всех этих факторов построить математическую модель, то
154
становится очевидным, что такая классовая структура может быть устойчи-
вой лишь в том предположении, что с самого начала отсутствуют сословия
«солнца» и «благородных». В противном случае уже через несколько поколе-
ний появилось бы такое многочисленное потомство аристократов, что для
браков не нашлось бы больше неимущих.
Приведенная математическая модель дает основание предположить, что
племя Нэтчез в действительности не имело стабильной классовой структуры.
Однако из-за недостаточности фактических данных нельзя быть уверенным
в правильности этого вывода. Если изменить модель с учетом того, что воз-
можно различное количество браков, приходящееся на одного индивидуума,
или различная деторождаемость, скажем в результате брака представителя
сословия «солнца» с «парием» и брака «пария» с «парнем», или с учетом таких
совершенно не включенных в модель элементов, как быстрый рост числен-
ности племени Нэтчез в результате завоеваний и ассимиляции, то все эти
изменения могли бы привести к совсем другому результату.
В совершенно иной области исследований экономисты, желающие провести
* анализ темпов роста, сталкиваются с проблемой приведения в опреде-
ленную систему бесчисленного количества операций, связанных с произ-
водством, потреблением, накоплением и внешней торговлей. Один из спо-
собов построения такой стройной системы — это рассмотрение экономики
в виде сложной системы взаимосвязанных «счетов»; теоретически этого
можно добиться с помощью огромной матрицы, в которой каждой паре
«строка — столбец» соответствовал бы один такой «счет». Доход можно было
бы записать по строкам, а расходы — по столбцам. В действительности если
все потоки какой-либо экономической системы подробно занести в единую
матрицу, то она оказалась бы неимоверно большой и ее практически не-
возможно было бы использовать в расчетах. Единственное решение — это
объединение «счетов» в укрупненные группы. В замкнутой экономике можно,
например, свести сложную картину деятельности к трем взаимосвязанным
счетам: «счет производства», «счет потребления» и «счет накопления» (фиг. 80).
В экономике, описанной моделью такого типа, счет производства полу-
чает деньги со счета потребления за продаваемые потребительские товары и
оказываемые услуги, а со счета накопления — за продаваемые средства
труда. Затем со счета производства на счет потребления передается та часть
выручки за реализуемую продукцию, которая соответствует доходу. Этот
доход для счета потребления является единственным видом поступлений,
которые делятся затем на две неравные части. Большая часть тратится на
приобретение дополнительных количеств потребительских товаров и услуг
(что снова приводит к возникновению потока со счета потребления на счет
производства), а меньшая переходит в сбережения (с соответствующим по-
током на счет накопления). Для того чтобы система была замкнутой, эти
сбережения выплачиваются затем со счета накопления на счет производства
за дополнительные средства труда.
Две гипотезы в этой модели очевидны. Согласно первой, общий доход
'в точности равен сумме затрат на предметы потребления и сбережений,
согласно второй, сбережения в свою очередь в точности равны затратам на
средства труда. Две другие гипотезы, хотя и не столь очевидные, при анализе
оказываются ключевыми в этой замкнутой модели экономики. Одна из них
состоит в том, что население сберегает определенную долю своих доходов
(обозначим ее через а), вторая — что существует определенный коэффициент
пропорциональности между затратами на средства труда, т. е. дополнитель-
ными капиталовложениями, и ростом «выхода» со счета производства, т. е.
дополнительной продукцией. (Этот коэффициент обозначен р.)
155
Фиг. 80. По представлениям Кейнса, в замкнутой экономике доход равен потребле-
на ю плюс сбережения, а сбережения равны капиталовложениям. Если производство,
потребление и накопление взаимоувязаны в модели (верхняя часть фигуры), процесс
роста такой замкнутой экономики можно представить в виде потоков дохода на счет
потребителей /, откуда этот поток раздваивается 2 на потребительские затраты и на
сбережения. Поток сбережений 3 идет со счета накопления на счет производства,
увеличивая основные фонды и тем самым стимулируя рост производства (4, утолщен-
ная стрелка). Если темп роста экономики требуется увеличить, то нужно либо сберегать
и инвестировать большую часть дохода, либо использовать меньше основных фондов на
единицу выпускаемой продукции. Важность даже незначительного увеличения темпа
роста экономики, например для развивающихся стран, видна из нижней части данной
фигуры, где сравниваются два темпа роста для периода в 50 лет, различающиеся всего
на 1%.
Любая замкнутая экономика, основывающаяся на таких предпосыл-
ках, может расти лишь с постоянным темпом, который характеризуется от-
ношением а/p. Для того чтобы увеличить темп роста, система должна либо
сберегать и затем инвестировать большую часть своего дохода (т. е. увели-
чить а), либо, наоборот, требовать меньше капиталовложений на единицу
выпускаемой продукции (т. е. уменьшить 0), либо осуществить и то и дру-
гое одновременно. В качестве примера возьмем следующие численные ве-
личины параметров: а (норма сбережений) равно 10% от дохода, а р (ука-
занный выше коэффициент пропорциональности) равно 2,5%. Тогда от-
ношение а/p даст темп роста 4%. Но если а увеличить до 12,5%, а р снизить
до 2, то темп роста народного хозяйства возрастет с 4 до 5%.
Можно привести еще один пример использования математики в анализе
социальных явлений — это пример из сферы образования.Беспокойство
за наличие в обществе достаточного количества преподавателей в будущем
требует анализа соотношения между числом учителей и учеников. В про-
стейшем случае можно считать само собой разумеющимся, что число выпуск-
ников при любой системе образования пропорционально числу учителей,
занятых в этой системе. Увеличение числа учителей в свою очередь зави-
сит от доли (она предполагается постоянной) учащихся данной системы,
которые становятся учителями, и доли (также предполагается постоянной)
учителей, выбывших по причине смерти, ухода на пенсию или перемены рода
занятий.
Число выпускников, приходящихся в этом примере на одного учителя,
можно обозначить через а, долю учащихся, которые становятся учителями,—
через 0, а долю выбытия учителей — через 7. Тогда легко вывести формулу
для расчета относительного прироста учителей (обозначим его 8). Эта фор-
мула имеет следующий вид: 8 = а0—7. На первый взгляд может показаться,
что здесь математизировано лишь совершенно очевидное. Уравнение говорит
только о том, что если потребуется больше учителей, то необходимо либо
1) предложить существующим учителям выпускать большее количество
учащихся (т. е. увеличить а), либо 2) убедить большее число выпускников
избрать профессию учителя (т. е. увеличить 0); либо 3) уменьшить убытие
учителей (т. е. снизить 7), либо, наконец, выполнять все эти мероприятия
одновременно.
Сведение задачи к математическим отношениям позволяет не только
вскрыть самоочевидные факты. Если все вышеуказанные требования ото-
бразить с помощью графика (фиг. 81), то можно проанализировать дополни-
тельно еще ряд моментов, влияющих друг на друга. Предположим, что поло-
жение в обществе таково, что практически никак нельзя повлиять на по-
стоянное снижение числа учителей (скажем, ни одно учебное заведение не
примет снова на работу тех учителей, которые сменили профессию). При таких
обстоятельствах исключаются какие бы то ни было существенные измене-
ния коэффициента 7, однако на величину а и 0 еще можно воздействовать.
Каковы будут тогда результаты от повышения заработной платы учителям?
Это, безусловно, привело бы к тому, что большее число выпускников избрало
профессию учителя (увеличение 0), а также к упрочению статуса учителя,
значит, к повышению эффективности его труда (рост а).
В самом деле, если предположить, что между а и 0 и заработной платой
учителя существует гиперболическая зависимость, то при очень низкой
оплате труда учителя не станут работать, а выпускники не захотят стать
учителями и, наоборот, при очень высокой оплате и учителя будут работать
эффективнее и количество выпускников, которые решат стать учителями,
будет приближаться к своему максимуму. В таком случае соотношение между
157
Фиг. 81. Наглядное графическое представление задачи перспективного обеспечения
общества кадрами учителей. Прежде всего из фигуры видно, что все возможные показа-
тели относительного прироста численности учителей определяются взаимоотношением
между числом учащихся-выпускников, которых может подготовить каждый учитель,
и долей выпускников, которые становятся учителями. Для каждого темпа роста всю
совокупность допустимых сочетаний этих взаимосвязанных факторов можно предста-
вить в виде гиперболы (черные линии). Отдельный расчет в свою очередь устанавлива-
ет линейное соотношение между этими же двумя факторами при изменяющихся стиму-
лах (более или менее высокая оплата учителей). Если это линейное соотношение нанес-
ти на тот же график (красная прямая), то пересечение этой прямой с семейством ги-
пербол указывает конкретные значения каждого из двух факторов в рассматривае-
мом случае. Теперь можно сделать новый расчет, который укажет соответствующие
ставки заработной платы учителей.
аир является линейным, и если его изобразить на нашем графике, то возни-
кает возможность вычислить для всех значений аир соответствующие им
ставки заработной платы.
Все предыдущие примеры были связаны с описанием человеческого
общества без рассмотрения тех механизмов, которые определяют его совре-
менное состояние. Исследование различных общественных явлений с уче-
том этих механизмов требует анализа методов принятия решений.
Процесс принятия решений может быть в значительной степени сформули-
рован и изучен на языке математики. Кроме классического аппарата мате-
матики, для принятия решений используются новые методы, как-то: линей-
ное программирование, теория игр и теория статистических решений.
Однако необходимо предварительно разграничить решения, принимаемые
в условиях определенности, от решений, принимаемых в условиях неопре-
деленности. В рамках этих двух категорий необходимо различать решения,
158
относящиеся к одному периоду времени, от тех решений, которые связаны
с линией поведения в течение нескольких периодов.
Примером первой категории и первой подкатегории (т. е. решение одно-
этапное, принимаемое в условиях определенности) служит задача о диете,
где выбирается соответствующий режим питания при минимальных затра-
тах. В этой задаче необходимая диета определяется в виде некоторого ми-
нимального числа показателей питательной ценности, таких, как количество
белков, жиров, углеводов, витаминов, калорийность и т. п. Продукты
питания, цены которых известны, характеризуются разными значениями
показателей питательной ценности. Сколько тогда нужно купить каждого
пищевого продукта, чтобы получить требуемый рацион питания при мини-
мальных затратах?
Поскольку функция, минимум которой требуется найти в этой задаче,
линейна, то для решения используется аппарат линейного программирова-
ния. Если взять упрощенный случай (рассмотреть только два продукта пи-
тания и только три показателя питательной ценности), то задачу можно
интерпретировать геометрически на плоскости. По каждой из двух осей ко-
ординат откладывается один из двух выбранных продуктов питания (фиг. 82).
При п продуктах питания такое же геометрическое построение может быть
сделано в п-мерном пространстве; с ростом п возрастает и число вычислений,
необходимых для отыскания решения.
На практике решение задачи о диете минимальной стоимости сводится
к выбору всего лишь нескольких продуктов питания, т. е. к весьма неудов-
летворительной диете. Обычно эта задача ставится очень узко, например не
принимается в расчет вес продуктов, входящих в самый дешевый рацион,
а часто оказывается, что этот вес очень велик. Недавно диетологи устано-
У врли, что ограничение веса ежедневно потребляемой пищи приводит к зна-
чительно более разнообразной диете без существенного изменения ее сто-
имости. Эта проблема слишком узкой постановки задач раскрывает харак-
терную для всех сложных расчетов особенность: математические методы
являются «буквальными». С их помощью решаются задачи в том виде, как
они поставлены, и уже дело исследователя проследить за их формули-
ровкой.
Если решение принимается в условиях неопределенности, величины,
которые ранее были известны (или предполагались известными), теперь за-
даются целым распределением. Задача состоит в том, чтобы выяснить при-
роду этого распределения и решить, как оно должно влиять на принимаемое
решение. Для этого необходимо использовать теорию вероятностей и мате-
матическую статистику. Классическим примером является выпадение орла
и решки при бросании фальшивой монеты. При нормальных обстоятельствах
и обычной монете вероятность выпадения орла при одном бросании для всех
практических целей принимается равной Ч* а вероятность выпадения орла
два раза подряд должна быть равна V4. Очевидно, что фальшивая монета,
у которой с обеих сторон орлы, не даст тех же вероятностей: шансы на вы-
падение орла при одном бросании такой монеты увеличиваются с 1/2 до 1.
Вообразим, что вместо такой грубой подделки наша монета устроена столь
хитроумно, что вероятность выпадения орла при одном бросании может быть
любым числом между 0 и 1. Как установил Пьер Симон де Лаплас, шансы на
выпадение орла два раза подряд будут для такой монеты уже не а Ч3.
Здесь, разумеется, вместо обычного распределения величин было взято
какое-то иное. В действительности такой монеты не существует. Однако
реальный мир изобилует ситуациями, в которых принятие решений осущест-
вляется в условиях неопределенности; при этом попытка сделать опреде-
ленные предположения о распределении оказывается столь же риско-
ванной, как опрометчивая ставка на фальшивую монету.
159
Фиг. 82. Рацион, требующий минимальных затрат, показывает, что даже решение,
принятое в условиях определенности не всегда приемлемо. В этом примере допускает-
ся, что хлеб и сыр характеризуются разными сочетаниями трех требуемых показателей
питательной ценности (например, 60 г сыра содержат столько же белка, сколько шесть
батонов хлеба). Нанеся эти три пропорции на график, получим ломаную линию (ярко
окрашенную), каждая точка которой удовлетворяет всем требованиям, касающимся
питательной ценности. Теперь необходимо найти самое дешевое сочетание двух про-
дуктов питания. Если 360 г сыра стоят столько же, сколько шесть батонов хлеба
(верхний график), то самый дешевый рацион разумен: на каждые полбатона хлеба при-
ходится несколько более 60 г сыра. Если же заменить это соотношение цен на обратное
(нижний график), то самый дешевый рацион должен содержать неприемлемое количест-
во дешевого хлеба по сравнению с количеством дорогого сыра.
Сочетание различных теоретических методов с фактическими материалами
в области общественных наук приводит к получению полезных моделей
реальных ситуаций. Если модель используется в свою очередь для решения
нескольких задач, то в результате формируется определенная политика.
Именно по этой причине, я думаю, в настоящее время во многих странах
строятся крупные количественные модели национальных экономических
систем, предназначенные для практического использования. Народное хо-
зяйство можно рассматривать как систему, преобразующую информацию в
решение. Современная количественная модель экономики, при условии, что
она достаточно подробна и реальна, может предоставить много полезной ин-
формации лицам, принимающим решения по дальнейшему развитию эко-
номики.
В течение четырех последних лет мои коллеги и я работали в Кембридж-
ском университете над созданием численной модели народного хозяйства
Англии. Сейчас у нас имеется работающая модель, которая, нуждаясь еще
во многих усовершенствованиях, уже позволяет сказать, что поставленная
задача выполнима. На первом этапе сконструирована модель для случая
устойчивого экономического роста, начиная с 1970 г. (см. табл. X). Эта мо-
дель основывалась на конкретных предположениях об уровне жизни в Анг-
лии к 1970 г., а также о темпах дальнейшего развития народного хозяйства.
Экономические следствия из этих предпосылок представлены в виде балан-
сов. Во-первых, даются балансы производства и потребления по 31 группе
продуктов, выделенных в нашей модели. Во-вторых, приводятся балансы
доходов и расходов в соответствующих отраслях производства. Три других
баланса завершают наш ряд: это баланс спроса и предложения на рабочую
силу, баланс накоплений и капиталовложений и баланс внешнеэкономиче-
ских расчетов (внешняя торговля Англии).
Переменные величины нашей модели записаны в квадратной матрице,
состоящей из 253 пар строк-столбцов (каждый из них есть счет, на котором
отражаются поступления в какую-либо отрасль или сектор экономики стра-
ны или распределение ее продукции), а также соответствующих цен и нату-
ральных показателей. Всю совокупность данных мы назвали «матрицей об-
щественных счетов» (табл. X). Используя эту матрицу, мы получаем резуль-
таты, по крайней мере совместимые с арифметической и бухгалтерской
точек зрения.
Обработка данных этой модели осуществляется при помощи электрон-
ной вычислительной машины. Информация, необходимая для получения
серии межотраслевых балансов, включает 5—6 тыс. чисел, а каждый расчет
требует около 30 миллионов умножений. Вычислительной машине «Атлас»,
которая использовалась в данном случае, нужно всего 22 сек на эти расчеты.
По существу, только развитие электронной вычислительной техники от-
крыло перед нами возможность применения таких макромоделей. Всего
поколение назад, когда при зарождении эконометрики использовались
арифмометры, такие модели были бы немыслимы, так как 22 сек работы «Ат-
ласа» эквивалентны 60 человеко-годам работы на арифмометре.
Теперь, когда матрица общественных счетов работает, хотя во многом
еще ее необходимо совершенствовать, мы приступили к работе над второй
задачей. В ней задается современное состояние экономики Англии и требует-
ся узнать те изменения, которые необходимы, чтобы привести дальнейшее
развитие народного хозяйства в течение ближайших лет в лучшее соот-
ветствие с нашим прогнозом на 1970 г. Мы надеемся, что со временем нам
удастся добиться хорошей взаимосвязи обеих названных частей нашей
модели.
161
Матричная модель
Счета производства
Товары и услуги Промышленность Потребительские товары и услуги Государство
2 is jh iis Л % ad | X 2 3 ж П S. ж h <| *8. ad i 1 о ж 2 II h; h хЭ £ с 1 £ |ii оЗ% 23* ш
। 2 3 4 5 6 7 8 9 10 и 12 13 14
1 Счета производства Товары и услу- ги Топливо и энергетика Металлургия, машиностроение, строительство Сельское хозяйство, легкая про- мышленность Обслуживание 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 590 235 72 281 353 6 077 693 1 724 274 750 4 032 1 767 476 756 882 367 0 0 4 046 1 478 647 373 1363 878 94 88 381 2569 74 637 28 23 46 62 147 266 41 98 39 = 67 |
Промышлен- ность Топливо и энергетика Металлургия машиностроение, строительство Сельское хозяйство, легкая про- мышленность Обслуживание 5 6 7 8 2686 5 12 0 4 15349 43 25 12 74 11789 4 0 17 12 10640 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ° I ° 1 0 I
Потребитель- ские товары и ус луги Пищевые продукты, напитки, табачные изделия Одежда и содержание домашних хозяйств Прочие 9 10 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ° I 0 0
Государство Оборона Здравоохранение. образование, детские учреждения Прочие 12 13 14 0 0 0 0 С 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
h Косвенные на- логи и субсидии Косвенные налоги За вычетом субсидий 15 16 1 0 49 0 85 0 0 0 53 -3 76 0 126 -257 604 1 221 0 471 -118 372 0 10 0 20 0 14 0
Счета дох< и расход Отдельные сек торы общества Распределение доходов от права собственности Частный сектор Общественный сектор 17 18 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 101 792 0 1 401 4 341 0 1 369 2 408 0 1899 5028 0 0 0 0 524 86 0 0 118 0 0 718 0 0 921 0 0 699 0
Товары и ус- луги Топливо и энергетика Металлургия, машиностроение, строительство Сельское хозяйство, легкая про мышленность 20 21 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' 0 1
11ромышлен- НОСТЬ Замена изно- шенных фондов Топливо и энергетика Металлургия, машиностроение, строительство Сельское хозяйство, легкая про- мышленность Обслуживание 23 24 25 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 185 0 0 0 0 184 0 0 0 0 312 0 0 0 0 416 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Промыт лен ность Прирост основ- ных фондов Топливо и энергетика Металлургия, машиностроение, строительство Сельское хозяйство, легкая про- мышленность Обслуживание 27 28 29 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 70 0 0 0 0 119 0 0 0 0 91 0 0 0 0 209 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Счета движ Потребители Замена изно- шенных фондов Жилье Предметы длительного пользова- ния 31 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 132 227 0 337 0 0 0 0 0 0
Потребители Прирост основ ных фондов Жилье Предметы длительного пользова ния 33 34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 164 171 0 234 0 0 0 0 0 0
Государство Замена изно- шенных фондов Итого 35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 42 20
Государство Прирост основ- ных фондов Итого 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 44 26
Отдельные сек- торы общества Изменения актива и пассива Частный сектор Общественный сектор 37 38 39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —7 0 0 -83' °| -81 0 0 -112 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.
Счет <<ктальной мир» 40 145 665 1 308 347 333 560 | 1 045 255 296 0 277 120 0 26,_
Всего затрат 2 849 16 135 13 252 11 016 2702 15 445 111 836 10 669 7041 4918 4470 1611 1548 1030
Табл. X. В матричной модели английской экономики представлены расходы и дохо-
ды за 1960 г. по четырем национальным счетам. Здесь эти четыре основных счета под-
разделяются на 40 групп; в более детальной модели, построенной автором на-
стоящей статьи, таких подразделений 253. «Учетная» природа модели показана
для статьи 10 потребительской части счета «Производство» (одежда и содер-
жание домашних хозяйств); в пересечении строки 10 и столбца 18 представлена
вся сумма (4918 млн. ф. ст.), которую расходуют потребители на одежду и содержание
домашних хозяйств. В свою очередь в столбце 10 показаны элементы этих затрат.
Первая статья (647 млн. ф. ст.)— это затраты на освещение и отопление домашних
^рмтанской ЗКОИОМИКИ
-с < Счета доходов и расходов Счета движении капитала
Косвенные иг тоги и субсидии Отдельные секторы общества Товары и услуги Промышленность Замена изношенных фондов Промышленность Прирост основных фондов Потребители Замена изношенных фондов Потребители Прирост основных фондов Государ- ство За- мена на ношенных фондов Государст во При рост ОС ио иных фондов Отдел ьиые cei бщества
& X I 1 h h «S !-в Q. I 5 g 3 h 2 h ,1 2x si sh £ S 2 = " л л Sa х h Н 2 ‘ Sts О Ч х 1 i & & I 2 а Ив ч й 2 й •« а Ih 3^ S г м i I * ii S3 1! л [1 я г е X 1 X Is X х 3 f g т 1 з 8? s 8 3 1 a g
t. 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Л
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6 0 0 0 0 339 0 0 0 0 230 0 38 142 0 5 0 174 0 4 0 289 6 11 0 331 0 65 52 262 0 0 430 0 2 0 298 3 0 0 737 0 60 0 107 0 25 0 262 33 169 0 646 0 0 0 410 47 217 0 63 0 0 0 274 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 170 2295 1250 1036 2 8- 16 1 1321 1! 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 154 11 8 10 €
0 0 0 0 0 0 0 0 0 7041 4 918 4 255 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | 0 1 0 0 0 0 0 0 215 7C 4 <
0 0 0 0 0 0 0 0 0 ’ 0 0 0 1611 1548 1030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О 1 0 i 0 ! 0 0 0 0 1 ( 1 f 1 I
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 6 0 6 0 20 0 0 7 0 ! 8 1 0 29 0 0 0 100 0 0 0 125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i o 1 0 0 0 3-
0 0 3405 0 0 489 0 6139 -666 0 0 3624 0 1650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 о’ 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 : о 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 о 1 0 1 0 1 0 0 0 0 ' 0 0 0 179 0 °l 5 22 £
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 4 1_ 0 0 0 0 0 ! о L_ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i “6 1 357 j 240 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0» 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 , 0 i 0 0 1 и 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 246 320 218 617 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 293 394 189 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 () 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 205 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 062 0 0 0 -51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2213 0 236 -282 74 0 0 0 I 1
0 0 0 0 | 86 0 18 9 1 0 0 1 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —344 0 o| о t
3405 489 5473 22 900 | 5874 -6 357 240 | 185 1 184 | 312 | 416 | 316 1 439 309 823 1 132 564 1 646 799 63 275 1648 3136 1861 5146
хозяйств, т. е. на уголь, кокс, газ, электричество, нефтепродукты. Отрицательный
элемент в строке 16 (—118 млн. ф. ст.) отражает предоставленные правительством субси-
дии на аренду жилья. Элемент столбца 10 и строки 18 (86 млн. ф. ст.)— общая сумма
заработной платы, выплаченной в 1960 г. домашней прислуге. В более детализирован-
ной модели, разработанной автором, рассматриваются не только различные отрасли про-
мышленности (квадратная матрица размером 31 X 31 вместо матрицы 4X4, показанной
здесь на пересечении 1,2,3 и 4-й строк с 5,6, 7 и 8-м столбцами), но также более под-
робно анализируются потребление, накопление и внешнеторговые расчеты.
Следует отметить, что одним из главных преимуществ экономических мо-
делей является то, что с их помощью можно выявить результаты любых
сделанных нами предположений. Мы можем, например, построить «замкну-
тую» систему и наблюдать за ее «естественным» развитием. При заданных на-
чальных значениях с помощью модели можно проследить за тем,как в буду-
щем произойдет изменение целого ряда переменных. Однако при переходе от
фактического состояния на сегодняшний день к прогнозируемому состоянию
в 1970 г. мы чаще всего сосредоточиваем свой интерес на средствах достиже-
ния такого положения вещей, которое вряд ли наступит «естественно». Су-
ществует много вопросов подобного рода: о сокращении безработицы,
увеличении числа людей с высшим и средним образованием, вопрос о том,
как избежать повторных кризисов в платежных балансах. Для каждого
из них мы должны сделать модель в некотором отношении «открытую»,-
добавив к ней новую особенность — точную формулировку поставленной
цели. Тогда модель покажет, как осуществляется сбалансированная си-
стема при предположении, что поставленные цели достигнуты. Между тем по
мере увеличения размеров нашей исходной модели приходится решать,
практичнее ли добавлять новые категории или лучше вводить подмодели.
Более многообещающим представляется введение подмоделей. Например,
можно представить себе децентрализованную систему, в которой подмодель
для топливной промышленности и энергетики или подмодель финансовой
деятельности строилась бы и использовалась специалистами по топливу или
финансам, обладающими всеми необходимыми знаниями. Другое преиму-
щество метода подмоделей состоит в том, что в них могут быть отражены
положения, когда в отдельных отраслях производства происходят измене-
ния, в то время как построение единой модели требует жестких соотноше-
ний между затратами и выпуском, полностью исключающих подобные
изменения.
Хотя матрица общественных счетов вначале предназначалась только для
отображения экономических аспектов общественной жизни Англии, впослед-
ствии выявилась тенденция ее неуклонного расширения. При установлении
той роли, которую играют труд, капитал и изобретения в производстве това-
ров потребления и в сфере обслуживания, например, оказалось необходимым
рассмотреть влияние не только различных профессий, но также и отношения
общества к исследованиям и нововведениям. Вопрос о влиянии различных
профессий привел нас к изучению систем общего и специального образова-
ния, вто время как последние два вопроса привели нас в область социальной
психологии. В конечном итоге нам предстоит, по всей вероятности, по-
дойти к рассмотрению модели всей британской социально-экономической
системы.
В реальной жизни развитие таких систем может оказаться неравномер-
ным — либо из-за присущей им тенденции к колебаниям, либо потому, что
они лишь в ограниченной мере могут оправиться от ряда естественных воз-
мущений, которые неизбежно воздействуют на них. Но подобно своим био-
логическим и техническим аналогам социально-экономические системы обла-
дают устройствами автоматического регулирования (примером таких уст-
ройств в экономике может служить механизм ценообразования). Однако
нередко эти механизмы не очень исправно выполняют свои функции,
частично потому, что их цели ограничены, частично вследствие того, что
они функционируют на основе ограниченной информации. Именно поэтому
во всех странах в большей или меньшей степени пытаются разработать меры,
улучшающие механизмы регулирования.
Выше уже отмечалось, что сочетание модели с совокупностью целей
порождает политику; когда же политика сочетается с системами регулирова-
ния, то возникает план действий. Этот план в свою очередь комбинируется
164
с происходящими событиями, давая всем нам наш опыт социально-эконо-
мической жизни. Этот опыт снова используется (в виде «обратной свя-
зи») для изменения теорий, которых мы придерживаемся, фактов, рас-
сматриваемых нами как .относящиеся к делу, целей, кажущихся нам
правильными, и регулирующих систем, которые мы считаем эффектив-
ными. При изменении этих факторов опыт используется для модифи-
кации наших моделей, политики и планов действия. И так продолжается
беспрестанно. Можно надеяться, что в один прекрасный день благодаря
аппарату математики принимаемые решения станут основываться несколько
больше на знаниях и несколько меньше на догадках и что мир, в котором
мы живем, будет функционировать немного лучше и меньше будет зависеть
от непредвиденных событий.
Теория регулирования
Теоретическая разработка саморегулирующихся систем и
их расчет в современной технике требуют применения са-
мых современных и сложных математических методов. С
помощью тех же математических методов можно описать
механизмы регулирования в отдельных живых организмах
и в целых человеческих обществах.
Ричард Беллмаи
*
Теория регулирования, так же как и многие другие теории широкого на-
1 значения, представляет собой скорее образ мышления, чем какое-то
конкретное сочетание математических, естественнонаучных и технических
методов. К теории регулирования можно отнести любой рациональный
подход, который выбирают люди для разрешения своих противоречий со
средой, как естественной, так и сложившейся в результате технического
прогресса. В широком смысле задача теории регулирования состоит в том,
чтобы заставить систему (любого типа) функционировать наиболее приемле-
мым образом, скажем быть более надежной,целесообразной или экономичной.
Если речь идет о биологической системе, то нужно раскрыть механизм функ-
ционирования системы и на основе этого ослабить или устранить те или
иные причины конфликтов и страданий.
В данной статье мы рассмотрим в основном вопросы теории регулирова-
ния с достаточно полно выраженным математическим содержанием; однако
ряд наиболее интересных задач теории регулирования находится в области
экономики, биологии или психологии, где пока что еще не достигнуто точ-
ное понимание происходящих в них явлений. Понимание того или иного
явления можно считать достигнутым, лишь когда ученый умеет предсказы-
вать, а для этого ему нужно оперировать количественными показателями. Ка-
чественные предсказания, скажем, землетрясения, урагана или экономиче-
ского кризиса в ближайшем будущем гораздо менее ценны, чем те же пред-
сказания, но с точным указанием времени и места события.
Возможность производить количественные прогнозы — непременное
предварительное условие развития теории регулирования. Для этого не-
обходим аппарат, дающий численные данные, что в свою очередь требует
создания математической модели. Может показаться, что чем ближе модель
к действительности, тем точнее ее прогнозы и тем эффективнее, следователь-
но, управление. К сожалению, это не так. Реальный мир столь обилен дета-
лями, что, попытавшись построить математическую модель, очень близкую к
действительности, мы очень скоро запутываемся в погоне за сложнейшими
уравнениями, которые содержат неизвестные величины и неизвестные функ-
ции. Определение же этих функций ведет к еще более сложным уравнени-
ям, с еще большим числом величин и функций — и так до бесконечности.
Фиг. 83. Регулирование по замкнутому циклу осуществляется вычислительной маши-
ной на одной из крупных тепловых электростанций мощностью 650 Мв/и в штате
Кентукки. Эта станция имеет две секции, регулируемые вычислительными машинами.
В системе замкнутого цикла эта машина непосредственно регулирует переменные
процесса.
167
Фиг. 84. Система регулирования химического процесса, установленная в штате
Техас на предприятии химической компании «Силаниз», где цифровая вычислительная
машина производит регулирование по системе замкнутого цикла. Завод перерабатыва-
ет нефтяной газ в уксусную кислоту, ацетальдегид и другие химические вещества,
которые используются в производстве красок, пластмасс, волокон, медикаментов,
косметики, топлив и смазочных масел. Системы регулирования по замкнутому циклу
применяются также в прокатных цехах.
1Л зобилие проблем, возникающих на современном уровне развития чело-
* 1 веческого общества, привело к изучению в широком плане теории регу-
лирования и к разработке многообразных систем регулирования. Хотя
разработка таких систем началась еще задолго до создания электронных
вычислительных машин, их появление вскоре после окончания второй ми-
ровой войны вызвало исключительно быстрое развитие теории регулирова-
ния. Последние 20 лет эта теория развивалась бок о бок почти в органиче-
ской взаимосвязи с вычислительной техникой. Создание и эксплуатация боль-
шинства наиболее совершенных управляющих систем, используемых для
военных нужд, космических исследований, в промышленном производстве,
были бы невозможны без вычислительных машин.
В промышленности на основе электронно-вычислительной техники ши-
роко используется теория регулирования для управления учетом товаров,
планирования работы поточных линий и для улучшения экономических
показателей электростанций, прокатных станов, нефтеочистительных и
химических заводов. Подсчитано, что к середине 1964 г. в США было введено
или вводилось в действие около 500 вычислительных машин, специально
спроектированных для регулирования различных технологических процес-
сов. Пять лет назад их насчитывалось не более десятка.
Большая часть вычислительных машин, используемых для регулирова-
ния технологических процессов, все еще работает по «разомкнутому цик-
лу»— это значит, что они снимают показания по какому-либо протекаю-
щему процессу, анализируют их с целью возможных улучшений и пред-
168
ставляют свои предложения человеку-оператору для принятия решения.
Однако все в большем числе предприятий используются машины с замкну-
тым циклом. Решения вычислительной машины непосредственно передаются
на исполнительные органы, так что регулирование производится автома-
тически.
Особенно показателен в этом отношении новый сталелитейный завод в
Роттергаме (Англия). Здесь установлены три большие цифровые вычисли-
тельные машины, между которыми существует определенная иерархия.
Головная машина участвует в процессе производства лишь косвенно и ис-
пользуется для его планирования. Она получает заказы клиента и класси-
фицирует их в соответствии с маркой стали и видом продукции. Затем эта
же машина вычисляет трехнедельную программу эффективной эксплуата-
ции сталеплавильных печей и прокатных станов и следит за ее выполне-
нием. Как только одна из печей дает плавку, вступает в действие
вторая вычислительная машина и вырабатывает исчерпывающие инструкции
для дальнейшего производственного процесса. Эта машина участвует
непосредственно в процессе производства и фактически управляет прокатным
станом. Третья машина определяет размеры заготовки и вычисляет, как
ее разрезать, с тем чтобы отходы были минимальными. Сейчас многие фирмы
стремятся перейти на такое комплексное использование вычислительных
машин, участвующих во всем процессе производства — от получения заказа
до составления счетов на готовую продукцию.
Задачи регулирования, которые за последние 25 лет поставили перед
математиками промышленные и военные предприятия и учреждения, подго-
тавливающие космические полеты, привели к возрождению большого чис-
ла, казалось бы, неактуальных математических дисциплин и к появлению
новых математических теорий, представляющих интерес сами по себе.
Ввиду тесной связи проблем регулирования и устойчивости при изучении,
например, устойчивости солнечной системы, вновь обратились к математиче-
ским теориям XVIII и XIX вв., которые были рассмотрены под новым уг-
лом зрения и применены ко многим современным задачам. Эти теории содер-
жали весьма глубокие концепции, предложенные французским математиком
Анри Пуанкаре и русским математиком А. М. Ляпуновым. Ныне они широ-
ко используются при исследовании проблем регулирования.
Наиболее актуальные и сложные проблемы регулирования, с которыми
столкнулись в науке,технике,медицине и даже политике, можно охаракте-
( ризовать как многоступенчатые, или многостадийные, процессы принятия
решений. Раньше эти проблемы обычно решали, как говорится, на пальцах
и как бог на душу положит, опираясь на прошлый опыт. Основная задача —
это определить целесообразный и разумный образ действий, исходя из не-
полных данных и того частичного понимания, которого удалось достичь.
По мере получения большей информации можно ожидать, что удастся найти
лучшее решение, однако главное — это выработать разумную линию уже
сейчас.
Известная задача, которая лишь частично решается,— это задача под-
держания здоровой национальной экономики, т. е. нахождения путей избе-
жать, с одной стороны, кризисов и, с другой — инфляций. Необходимая
управляемость экономики может быть достигнута рядом методов. Один из
них заключается в регулировании процентных ставок по займам. Если уси-
ливаются признаки инфляции, то такая ставка повышается и ограничивается
количество денег в обращении, если же наступает кризис, ставка снижается,
в результате темп инвестирования увеличивается и в обращение поступает
большее количество денег.
169
Фиг. 85. Регулирование с обратной связью часового маятника было изобретено в
1673 г. голландским математиком Христианом Гюйгенсом. Изогнутые металлические
полоски с обеих сторон цепочки маятника (справа), обозначенные буквой Т, обеспечива-
ют постоянный период колебаний маятника независимо от длины его дуги. Стержень S
движется вместе с маятником, передавая его движение часовому механизму.
Экономическая политика при этом существенно зависит от того, что
именно происходит в экономической системе в данный момент. А чтобы это
знать, необходима ответная информация, т. е. нужна «обратная связь».
Понятие регулирования с обратной связью известно теперь почти каждому.
Оно означает наличие автоматического регулирующего звена между ка-
кой-то переменной и причиной, вызывающей ее изменение. Примером ран-
него внедрения в технику регулирования с обратной связью может служить
регулятор, который Джеймс Уатт использовал в своей паровой машине.
И даже еще раньше Христиан Гюйгенс изобрел приспособление для регули-
рования периода колебания часового маятника, которое называлось бы
ныне статической системой с обратной связью (фиг. 86).
Обычно к системе регулирования с обратной связью прибегают., когда
сложность проблемы усугубляется недостатком знаний о ней (деликатно
называемым «неопределенностью»). Если, например, мы разбирались бы в
механизмах экономики так же хорошо, как, скажем, в движении планет,
то могли бы заблаговременно предсказать, как сложатся отношения между
170
Фиг. 86. Центробежный регулятор (слева) — одно из самых ранних изобретений в
области автоматического регулирования — был создан Джеймсом Уаттом для регули-
рования скорости движения поршня паровой машины. Если скорость машины превы-
шает заданную, то стержень (D), на котором укреплены шары (Е), вращается быстрее,
так что шары расходятся з стороны. Это в свою очередь закрывает заслонку (Z),
уменьшая приток пара в машину и тем самым замедляя ее. Часть мощности машины
расходуется на вращение стержня D, определенная доля ее используется по каналу об-
ратной сЬязи для регулирования скорости машины.
производителями и потребителями, например к каким результатам приве-
дут рост населения, появление новых товаров и новых методов обслуживания.
Основываясь на этих знаниях, можно было бы вычислить и объявить целе-
сообразные процентные ставки на много лет вперед. Однако нужно было бы
сообразовываться с последствиями опубликования таких данных, поскольку
и производитель и потребитель учли бы эти будущие процентные ставки
в своих текущих экономических решениях.
Жизнь вынуждает нас придерживаться политики «поживем — уви-
дим», т. е. делать вывод о тенденциях текущего момента только после наблю-
дения за экономической картиной в течение определенного периода. На ос-
нове этих выводов изменяется процентная ставка или приводится в дейст-
вие какой-либо другой рычаг управления экономикой. При этом надежда
возлагается на своевременность того или иного мероприятия. Вопрос согла-
сования во времени внешних факторов играет первенствующую роль в те-
ории регулирования. Любой, кто раскачивал качели, знает, что получится,
если приложить усилие на долю секунды раньше или позже.
В силу сложности и неопределенности современных проблем регулиро-
вания принцип обратной связи стал общепризнанным. В действительности
же иногда забывают, что многие задачи регулирования все еще решаются
без использования непосредственной, действенной обратной связи. Так, на-
пример, обстоит дело, когда для вытачивания тождественных деталей уста-
навливается автоматический металлорежущий станок. При этом-предпола-
гается, что задача регулирования предварительно решена полностью. На
практике, конечно, детали несколько отличаются друг от друга, и в какой-
то момент установленный допуск превышается; тогда производят повторную
регулировку станка. Это так называемое регулирование с обратной связью—
постфактум.
В новейших металлорежущих станках размеры обтачиваемых деталей
контролируются непрерывно и обратная связь обеспечивает точное регу-
171
лирование параметров резания. Такой метод дает возможность вытачивать
одни и те же детали с любой желаемой степенью точности. Для этого отнюдь
не обязательно использовать цифровые вычислительные машины.
Применение вычислительной машины необходимо в случае, когда слож-
ные задачи требуется решать с большой скоростью, например при запусках
космических кораблей. В многостадийном процессе принятия решений выбор
их зависит от полученной информации, которая по мере развития процесса
поступает в устройство управления по каналу обратной связи. Вычисли-
тельная машина, установленная на ракете или на земле, нужна для приня-
тия с необходимой скоростью целой последовательности решений. О подоб-
ных машинах говорят, что они работают в «реальном» времени, поскольку
их ответы не должны отставать от задаваемых им вопросов.
Вычислительная машина, управляющая технологическим процессом
нефтеперегонного завода, также должна действовать в реальном масштабе
времени. Правда, время, которым она располагает для принятия решения,
в 10—100 раз больше, чем у машины, управляющей ракетой. Зато машине,
управляющей технологическим процессом, возможно, понадобится учесть
в 10—100 раз больше переменных. И ей может понадобиться просматри-
вать более длинные последовательности логических альтернатив, прежде
чем принять решение.
Каким же аппаратом располагают математики при попытке регулировать
многостадийные процессы принятия решений? Общепринятым является
так называемый перечислительный подход. Каждое решение можно рассмат-
ривать как выбор среди некоторого числа переменный, которые определяют
состояние процесса на следующей его стадии; любая последовательность
выборов определяет еще более обширную совокупность переменных. Связав
все эти выборы воедино, математик может «свести» проблему к задаче Нью-
тона об отыскании максимума заданной функции.
Отыскание максимума функции с достаточно хорошим «поведением»
может показаться простой задачей—математику нужно лишь вычислить част-
ные производные и решить полученную систему уравнений для на-
хождения точки максимума. К сожалению, эффективное аналитическое или
численное решение многих даже несложных на вид линейных уравнений
оказывается весьма трудным. По сути это не что иное, как «проклятие раз-
мерности», с которым физикам приходилось так долго мириться. И все же,
несмотря на это, можно добиться значительных результатов.
Существуют, однако, и более серьезные трудности. Во многих случаях
решением оказывается граничная точка области изменения. Это соответст-
вует связям или ограничениям, которые накладываются реальными физиче-,
скими или инженерными системами. Когда это так, математический анализ
часто не дает возможности отыскать точки максимума и минимума и должен
быть дополнен утомительным (и обычно неосуществимым) методом перебора.
Наконец, часто результат решения оказывается не однозначно определен-
ной, а случайной величиной. Процесс в таких случаях называют стохасти-
ческим. Любая методика, связанная с простым перебором, здесь в еще боль-
шей степени обречена на неудачу из-за быстрого увеличения числа возмож-
ных исходов на каждой ступени процесса. Мы не в состоянии «перечислить»
все возможности и выбрать лучшую, когда их 1050 или 10100.
Однако это не означает, что математик исчерпал все свои ресурсы.
Оглянувшись назад, он должен спросить себя, понимает ли он характер
искомого решения и как влияют на вид данного решения физические
свойства системы. Другими словами, математик может считать свою зада-
чу решенной, лишь когда разберется в сущности оптимального подхода
к решению. Позвольте разъяснить это положение.
172
Мы видели, что в рамках обычного подхода весь многоступенчатый
процесс принятия решений рассматривается как одноступенчатый. То есть
если такой процесс имеет N стадий или ступеней и на каждой из них должно
быть принято М решений при обычном подходе, то процесс рассматривается
как одноступенчатый с MxN измерениями. Хотелось бы избежать такого
перемножения размерностей, поскольку оно лишь затрудняет анализ и
неизбежно усложняет вычисления.
Альтернативой является так называемый стратегический подход, в
котором упор делается на характеристики системы, определяющие приня-
тие решения на любой стадии процесса решения. Иными словами, вместо
того чтобы строить оптимальную последовательность решений от фиксиро-
ванного состояния системы, определяется оптимальное решение от любого
состояния системы. Только когда известно последнее состояние системы,
можно считать, что раскрыта суть решения.
Математическое достоинство такого подхода состоит прежде всего в
том, что он редуцирует размерность задачи в целом к размерности любой
заданной стадии решения. Задачу тогда легче обработать аналитически;
она становится проще и с вычислительной стороны. Кроме того, этот под-
ход приводит к аппроксимациям («аппроксимациям в пространстве страте-
гий») с единственным в своем роде математическим свойством («монотон-
ностью сходимости»). Это означает, что каждое последующее приближение
улучшает предыдущие (фиг. 89).
Несколько лет назад я предложил такой стратегический подход к много-
ступенчатому процессу назвать динамическим программированием. Одна
из его задач — установить оптимальный вариант регулирования с обратной
связью. Прилагательное «динамическое» указывает, что время в этом про-
цессе играет первостепенную роль и что последовательность операций может
иметь решающее значение. Подход этот, однако, в той же мере применим и к
статическим процессам, если просто интерпретировать их как динамические,
в которые время вводится условно.
Динамическое программирование в свою очередь положило начало
развитию таких дополнительных и вспомогательных теорий регулирования,
как теории стохастических и «адаптивных» вариационных процессов, мар-
ковских процессов решений, квазилинеаризации и инвариантных вложений.
В нескольких словах объяснить эти теории невозможно, однако даже одно
их перечисление наглядно показывает, как за последние годы развилась и
разветвилась теория регулирования.
Рассмотрим теперь, как выбор стратегии1 может упростить задачу, которую
иначе трудно было бы решить на вычислительной машине. Например,
администратор гостиницы должен обеспечить стульями группу людей в
зале. У него есть помощник, который без труда переносит стулья, но счи-
тать не умеет. Какое решение принимает администратор?
Он прибегает к элементарному, но весьма эффективному методу эквива-
лентности и использует регулирование с обратной связью, приказывая по-
мощнику носить стулья до тех пор, пока каждый находящийся в зале не
получит место. Эта последовательная процедура гарантирует, что все будут
обеспечены местами, даже если не определять число людей или стульев. Бо-
лее того, если некоторые стулья поломанные, то небольшое уточнение в ука-
заниях администратора гарантирует, что в конце концов каждый окажется
на крепком стуле.
1 Термин «стратегия» широко используется при математическом изучении про-
цессов принятия решений; им обозначается правило, по которому принимаются ре-
шения. — Прим. ред.
173
a
6
ИЗМЕРЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ
ЕГУЛ'ЛРШЛОЙ ВЕЛИЧИНЫ
ОТВЕТНАЯ РЕАКЦИЯ
(НАГРЕВАНИЕ)
Фиг. 87. Изображенные здесь четыре системы регулирования показывают, как можно
измеряемую величину подвергнуть все более совершенному способу регулирования. Ди-
аграмма а дает картину простой реакции типа да—нет на измеряемую величину, вроде
включения света в комнате, как только солнце скроется за тучей. Измеряемая величина
не регулируется, и обратная связь отсутствует. На диаграмме б, отражающей работу
системы отопления, характеристика включить—выключить сочетается с обратной
связью. Когда температура падает ниже желаемого уровня, система отопления нагрева-
ется , но поскольку в этой системе не предусмотрено охлаждения, температура в помеще-
нии может повыситься и оказаться выше желаемой, когда температура наружного
воздуха повысится. На диаграмме в показан режим нагрева сосуда при протекании
химического процесса, который включает как нагрев, так и охлаждение. Произведено
такое градуирование, что при приближении к точке, на которую установлено действие
автоматического регулятора, скорость нагрева или охлаждения замедляется. Задача
регулирования на диаграмме г та же, что и на в, но здесь введены две модификации с
целью повышения скорости и точности регулирования. Нагрев и охлаждение не градуи-
рованы, но производятся при необходимости с неизменно высокой скоростью. В до-
полнение вычислительная машина в системе регулирования измеряет скорость измене-
ния регулируемой величины, учитывает задержку механизма записи температур и
прекращает нагрев или охлаждение, прежде чем будет достигнута точка включения
регулятора. Таким образом, колебание, или «рысканье», системы быстро затухает.
Фиг. 88. Задачу преследования можно решить, если придерживаться простой страте-
гии, пригодной для использования вычислительной машиной. Эта задача состоит в
нахождении пути, который прокладывает собака (D), преследующая кролика (/?).
В начальный момент (вверху) кролик находится в 50 м от исходной точки, а собака —
в 25 м. Собака пробегает за секунду 10 л, а кролик—5 м: Собака всегда сохраняет в
течение секунды выбранное направление. По прошествии первой секунды собака дости-
гнет точки а кролик — точки (внизу). Чтобы определить точку Dlt проводим
прямую, соединяющую D с /?, и вдоль нее отмеряем 10 единиц длины. Аналогично
определяется D2, если соединить с 7?i, и т. д. Результирующая траектория аппро-
ксимирует ту, по которой в действительности следует собака, и может быть уточнена,
если изменять направление преследования через все более и более короткие промежут-
ки времени.
Рассмотрим другой пример: у пожилой женщины плохая память,
ее пугает, что по утрам ей приходится затрачивать много времени на по-
иски тех или иных принадлежностей туалета. Она могла бы создать для
себя некую «регистрационную» систему, дополненную систематическим
указателем, но это принесло бы ей массу дополнительных хлопот.
Вместо этого она справляется со своей задачей, поместив все необходи-
мые принадлежности своего туалета в каждый ящик шкафа.
В обоих случаях решение довольно «простое», но нельзя сказать,
что его сразу легко найти. Обе идеи обычно используются в програм-
мируемых машинах при решении сложных задач. Первая применяется
в некоторых процессах моделирования и в вычислениях методом Монте-
Карло. С помощью второй находят ключевые элементы информации из
очень большой памяти машины. Поскольку эти элементы часто бывают
нужны, они хранятся в нескольких местах, что значительно- сокращает
время, необходимое для их нахождения.
Можно добавить, что многих математиков тревожит мысль, что Все-
ленная, по-видимому, намного проще, чем кажется по их сложным ма-
тематическим моделям. Однако не так-то легко встать на новую точку зре-
ния, которая укажет простой путь к решению столь сложной задачи.
За время работы с вычислительными машинами благодаря оригинальным
точкам зрения, вроде только что упомянутых, время от времени разрешались
176
проблемы, казавшиеся ранее неразрешимыми, а сложные задачи превраща-
лись в обыкновенные упражнения.
Следующий пример покажет, как понятие стратегии может не только
упростить задачу с многоступенчатым принятием решения, но и дать чис-
ленные результаты. Чтобы разобраться в этом примере, рассмотрим прежде
всего фиг. 88, где показан след собаки в погоне за кроликом. Собака вначале
находится в точке D, а кролик — в точке /?; он бежит вправо вдоль оси х.
Если собака все время будет бежать прямо на кролика, то какой кривой
можно описать ее путь?
Это стандартная задача теории дифференциальных уравнений, но
вряд ли читателю-нематематику многое скажет математическая запись та-
кого решения. Чтобы разобраться в нем, читатель должен сначала овладеть
определенным комплексом математических знаний. Если вдуматься, то
может показаться удивительным, что собака решает эту задачу безошибоч-
но, хотя, разумеется, не получает численных ответов.
Форма нашей кривой может быть хорошо аппроксимирована следую-
щим образом. Предположим, что собака пробегает 36 км в час, т. е. 10 м в
секунду, а кролик в два раза меньше, т. е. 5 м в секунду. Вначале пусть
кролик находится в 50 м от нулевой точки по оси х, а собака в 25 м от нее, но
по прямой, перпендикулярной оси х, Допустим теперь, что собака бежит
в течение секунды не меняя направления. В конце первой секунды она
достигнет точки Dlt а кролик — точки Секундой позже собака окажет-
ся в точке О2, а кролик — в точке /?2 и т. Д-
Чтобы определить, где будет находиться точка Dlf достаточно соединить
при помощи линейки точки D и R и отложить на этой прямой 10 единиц.
Аналогично D2 определится, если соединить Dr с и вновь отмерить такую
же длину. Процесс этот продлится до тех пор, пока расстояние между со-
бакой и кроликом не сократится до нуля. (Не будем обращать внимания
на то, что последние шаги при такой «стратегии» останутся для нас не-
сколько неясными.) Ломаная линия, которую мы получили, есть простая
аппроксимация истинного пути следования собаки. Очевидно, что если в
нее вводить очередные поправки все чаще и чаще, скажем каждую сотую,
тысячную,миллионную и т. д. долю секунды, то можно добиться сколь угод-
но точной аппроксимации. При ручном счете такая процедура становится
все более утомительной, но электронная вычислительная машина может без
труда справиться с этой задачей в несколько секунд.
Более сложные варианты приведенной задачи возникают при опреде-
лении оптимальной траектории полета космических аппаратов. В ряде таких
случаев «кролик» — это воображаемая точка, и задача состоит в определе-
нии ее положения, нужного для получения требуемой траектории; в других
«кролик»—реальный объект (другой аппарат или планета), и точное опре-
деление его местоположения сопряжено с дальнейшими значительными слож-
ностями.
Здесь следует особо подчеркнуть, что можно получить решение исход-
ной задачи, сосредоточив усилия на исходном процессе, причем нужно
просто соблюдать инструкции, предписывающие поведение в каждой точке
во времени и в пространстве. На математическом языке это и означает, что
нужно следовать определенной стратегии.
С точки зрения теории регулирования сказанное выше имеет большое
значение по многим причинам. Во-первых, вычислительной машине легко
задать определенную стратегию; во-вторых, математический уровень задач
оказывается более глубоким при относительной простоте манипуляций с
символами. Пользоваться той или иной стратегией неизменно проще, чем
учитывать развитие во времени. Сейчас отводится значительно большая
роль формулированию задачи: идея состоит в том, чтобы по возможности
176
Фиг. 89. Задача о выборе маршрута часто встречается в теории регулирования и до появления
вычислительных машин и специальных методов программирования решалась с трудом. Приведенная
задача состоит в отыскании пути из точки 1 в точку N, которую следует достичь в минимально ко-
'' роткий промежуток времени. Кружки представляют города, связанные между собой сетью дорог,
; причем время на передвижение из одного города в другой известно для каждой пары городов.
Традиционный подход к такого рода задачам состоит в том, чтобы просто перебрать все воз-
и можные варианты. Для данного примера N есть всего лишь 11-я точка, а число всевозможных
путей, ведущих из 1 в 11 (без возвращения в одну и ту же точку), достигает 10 000. Если же N
было бы 30-й точкой, то быстродействующей вычислительной машине потребовалось бы более
100 час, для того чтобы только перебрать все возможные пути. Один из способов сделать эту за-
дачу более легко поддающейся обработке — использовать «динамическое программирование»,
которое предполагает выбор стратегий. Достоинство таких стратегий заключается в том, что они
могут быть применены, начиная с любой точки i нашей сети, и, таким образом, удовлетворяют
правилу: «Поступай наилучшим для данной ситуации образом». Четыре меньшие диаграммы
показывают, как выбирались стратегии в предположении, что i есть точка 8. Время (в ча-
сах), нужное на путешествие из i в N по различным маршрутам, показано на схеме б.
Начальная стратегия (в) заключается в следовании прямо из/ в N, что займет 10час. Вторая
стратегия (а) заключается в следовании с одной остановкой, что дает возможность выбрать марш-
рут по двум дорогам, причем каждый из них займет 9 час. Третья стратегия (д)— сделать две оста-
новки, что и дает маршрут с минимальным временем. Если бы за начальную точку i была выбрана
точка /, то нужно было бы следовать той же процедуре, однако поскольку вычерченная здесь сеть
дорог не дает прямого пути из точки 1 в точку N, то первая стратегия, которую имело бы смысл
проверить, была бы стратегия с наименьшим числом остановок (в данном случае с тремя). Разу-
меется,.существу ют способы сформулировать этот подход на языке программы для вычисли-
тельной машины. Уравнение, которым решается данная задача, имеет вид
/<= пИп[Гу+/;],
где/<— минимальное время, нужное для передвижения из произвольной точки t в /V; /^есть время,
необходимое для передвижения из i в любую другую точку /, которой, в частности, может
быть и N, afj — минимальное время, за которое от / можно добраться до №. Это уравнение дина-
мического программирования решается методом последовательных приближений, в котором каж-
дое последующее приближение улучшает результат предыдущего. Это уравнение может быть ре-
шено численно для сетей из нескольких сот точек за несколько часов, а на электронной вычис-
лительной машине за несколько секунд. Из уравнения можно определить и оптимальную стра-
тегию («куда идти дальше?»), и минимальное время. Более того,это уравнение воплощает в себе всю
математическую мощь классического вариационного исчисления.
1—831
полно использовать структуру процесса, чтобы наилучшим образом
описать его аналитически, а также выявить структуру оптимальной стра-
тегии. При этом мы стремимся уйти от старомодного описания с помощью
сложных уравнений, которые с трудом поддаются численному решению.
Мы не пытаемся втиснуть каждый новый процесс в жесткие рамки Матема-
тики XVIII в. Такова основная идея методики, лежащей в основе динамиче-
ского программирования.
С помощью этой концепции, учитывающей широкий диапазон возмож-
ностей цифровых вычислительных машин, можно легко и быстро получить
численное решение многих задач регулирования, перед которыми отступали
даже наиболее изобретательные математики еще два десятилетия назад.
Новый подход позволил решать исключительно трудные задачи анализа
траекторий, регулирования технологических процессов, проверки и смены
оборудования, теории связи, размещения гидроэлектрических мощностей,
использования лесных массивов, планирования капиталовложений и мно-
гие другие.
Т/роме того, понятие стратегии легко применимо к изучению более слож-
Г^ных и близких к реальности процессов принятия решений, включающих
как элементы неопределенности, так и обучение. О первых из двух назван-
ных здесь процессах уже говорилось — это стохастические процессы; вто-
рые известны под названием «адаптивных» (или «с адаптацией»).
Процесс погони собаки за кроликом — пример детерминированного
процесса, все основные механизмы которого полностью раскрыты до конца,
и решение заключается «йросто» в нахождении соответствующей процедуры.
Так, мы предполагали, что местонахождение как собаки, так и кролика
можно точно проследить и определить в каждый момент времени, что ско-
рости остаются постоянными и ничто не отвлекает животных и т. п.
Даже такая идеализированная ситуация требует достаточно сложного
математического аппарата и оставляет много нерешенных вопросов, как это
видно, в частности, из исследований по классической небесной механике. Пос-
ле многих веков наблюдений и вычислениимы не можем с желаемой степенью
точности предсказать положения планет через год или десять лет. Они
будут значительно расходиться с действительными. Те, кто занимается дол-
госрочными прогнозами, сталкиваются с еще более удручающими проблема-
ми, в частности с тем, что никому не известно, устойчива ли наша солнечная
система.
Очевидно, что если даже для движения планет нельзя создать идеали-
зированную картину с полной информацией и прогнозом, то тем труднее
это осуществить для задач оптимизации траекторий, управления спутни-
ками и осуществления встреч космических аппаратов и в еще большей сте-
пени для задач, связанных с регулированием химических процессов, эко-
номическим планированием или медицинской диагностикой. На практике
мы постоянно используем приборы, которым свойственны погрешности при
восприятии и измерении, обработке, накоплении и воспроизведении инфор-
мации и при выполнении принятых решений. Таким образом, на каждом
шагу мы вводим различные погрешности: при наблюдении, вычислении, ре-
шении, в операциях и даже в оценке результатов.
Понятие стратегии, включающей регулирование с обратной связью,
идеально подходит для операций с рядом неопределенностей реального
мира. С помощью динамического программирования предписание «поступай
наилучшим для данной ситуации образом» (кстати, эта фраза полна здра-
вого смысла) может быть легко переведено в алгоритмы, или своды правил,
для строгой формулировки и численного решения стохастических задач
управления.
178
Когда мы обращаемся к процессам регулирования с адаптацией* то обна-
руживаем еще большую степень неопределенности. В стохастическом
случае предполагается хорошее знание устройства изучаемой системы,
причин, вызывающих различные эффекты, и самое, пожалуй, существен-
ное—это предположение, что мы знаем, чего хотим. В случае же процесса
регулирования с адаптацией все эти допущения могут оказаться непри-
емлемыми.
В сущности все основные нерешенные проблемы здравоохранения можно ,
истолковать как проблемььрегулирования с адаптацией,. Поскольку никто
не знает причин возникновения рака, коронарной недостаточности иди ду-
шевных расстройств, терапия, имеющая своей целью регулирование, безус-
ловно, основывается на большом числе различных гипотез. Этимч,объясняет-
ся, почему необходима такая осторожность при лечении пациентов. При ,
изучении национальной экономики США никто не знает точно, что случится,
если снизить налоги или сократить расходы на военные нужды. Более того,
существуют бесконечные разногласия даже в отношении того, что считать
желательным экономическим положением.
Когда сталкиваются с задачей регулирования с адаптацией, то полагают,
что через некоторое время о регулируемой системе будут знать больше
и изменят метод регулирования в соответствии с вновь полученной инфор-
мацией. В жизни почти все основные процессы решения являются процес-
сами регулирования с адаптацией. Поэтому не следует удивляться тому,
что в результате биологической эволюции животные в той или иной мере
успешно справляются с задачами регулирования с адаптацией. На основе
инстинктов животные могут также справиться с задачами детерминирован-
ного и в известной степени стохастического регулирования. Инстинкт мо-
жет быть описан как регулирование с обратной связью детерминированного
типа. Один и тот же раздражитель вызывает одну и ту же реакцию неза-
висимо от того, какие изменения были внесены в окружающую среду.
Чтобы справиться с задачами регулирования с адаптацией, высшие
животные наделены чем-то, что мы отождествляем с «разумом». В самом деле,
разум можно определить как способность решать в какой-то степени задачи
регулирования с адаптацией. Разум проявляется как через адаптацию, так
и через гибкость поведения. Трудно, конечно, провести четкую грань между
инстинктом и разумом. Вероятно, поэтому «разумом» лучше называть любой
тип поведения с обратной связью и различать разные уровни разумности.
Норберт Винер, выдающийся математик, скончавшийся в 1964 г., счи-
тал, что возможно построить унифицированную теорию регулирования с
обратной связью, применимую как к живым организмам, так и к машинам.
Эту теорию он назвал «кибернетикой». Винер, так же как и многие другие
ученые, надеялся, что приемы и методы, столь успешно используемые в тех-
нике регулирования, можно применять в биологии и медицине (например,
при создании искусственных органов человека), а также что исследования в
области нейрофизиологии внесут ценный вклад в создание и изучение систем
связи, вычислительных машин и более общих систем регулирования раз-
личного типа. Но по мере исследования математиками, психологами и ин-
женерами крупных систем (живых и неживых) разной степени сложности
мысль об универсальном использовании какой-то одной кибернетической
теории становится все менее и менее правдоподобной. Й все же те, кто стре-
мится к разгадке тайн современной науки и человеческого общества, не
найдут лучшего начала, чем изучение теории регулирования.
7*
Вычислительные машины
Производство вычислительных машин, способных с большой
скоростью осуществлять арифметические операции, было
вызвано широким использованием математики в различных
областях науки и техники. Можно ожидать, что эти ма-
шины окажут плодотворное влияние и на развитие самой
математики
Станислав М. Улам
Хотя для многих людей электронные вычислительные машины символизи-
руют важность математики в современной жизни, лишь немногие про-
фессиональные математики близко знакомы с этими машинами. Некоторые,
видимо, даже опасаются, что их научный вклад и творческая индивидуаль-
ность будут оттеснены или даже вовсе заменены менее творческими, чисто
механическими приемами исследования. Я уверен, что такого рода опасения
совершенно необоснованны. Правильнее рассматривать вычислительную
машину как устройство, полезное для обработки и представления символов.
Даже лица, наиболее склонные к абстрактному мышлению, согласны, что
записывание нескольких символов на листе бумаги позволяет лучше сосре-
доточиться. В этом отношении новые электронные машины увеличивают
нашу эффективную память и способствуют значительному расширению воз-
можностей экспериментирования с символами в науке. Я попытаюсь пока-
зать, какую пользу приносит электронно-вычислительная техника в матема-
тических исследованиях.
Идея использования механических или полуавтоматических средств
для арифметических операций очень стара. История возникновения счетоЪ
теряется в глубине веков, а некоторые виды вычислительных устройств были
созданы, по-видимому, еще в Древней Греции. Блэз Паскаль в XVII в. скон-
струировал механизм для выполнения арифметических операций. Готтфрид
Вильгельм фон Лейбниц, один из создателей математической логики и соав-
тор исчисления бесконечно малых, описал в общих чертах то, что мы теперь
назвали бы программой автоматизации мышления. Англичанин Чарльз
Беббедж был тем, кто впеовые ясно представил себе универсальную вычи-
слительную машину с гибкой схемой программирования и запоминающим
устройством. В 1833 г. он дал описание устройства, которое назвал аналити-
ческой машиной, посвятив остаток своей жизни и бблыпую часть своего со-
стояния попыткам его практической реализации.
Фиг. 90. Схемы, применяемые в вычислительных машинах, стали почти микроскопи-
ческими. Хотя каждая из двоичных интегральных схем (один квадратик) фирмы
«Вестингауз» меньше булавочной головки, в ней имеются 6 транзисторов, 12 дио-
дов, 11 сопротивлений и 2 конденсатора. Такие крошечные блоки теперь использу-
ются главным образом в специальных вычислительных машинах, предназначенных
для военных и космических нужд. Более чем сотня таких блочкое монтируется одно-
временно на тонкой рифленой силиконовой пластинке размером в юлдолларовую мо-
нету. Четыре блока, не похожие на остальные, служат для регулировки и отладки в
процессе изготовления. В коммерческих машинах такие блоки п- изваны обеспечить
большее быстродействие и надежность при меньшей стоимости, ем более крупные
блоки, широко используемые сегодня.
181
Фиг. 91. Первым механическим вычислительным устройством была, по-видимому,
суммирующая машина, изобретенная в 1642 г. французским философом и математиком
Блэзом Паскалем. Машина суммирует числа, когда колеса поворачиваются при помо-
щи острия. Шестеренки автоматически производят «перенос» числа с одного- колеса
на следующее. Аналогичные, но более простые приборы, изготовленные из пластмассы,
сейчас повсеместно имеются в продаже.
Значительный вклад в развитие современной вычислительной техники
внесли инженер-электрик Дж. Преспер Эккерт младший, физик Джон
У. Мокли, а также один из ведущих математиков нашего столетия Джон
фон Нейман. В 1944 г. Эккерт и Мокли с головой ушли в создание машины,
известной теперь как ЭНИАК (ENIAC — Electronic Numerical Integrator
and Computer, т. e. электронный числовой интегратор и вычислитель).
Первая машина ЭНИАК, выпущенная по заказу артиллерийского управле-
ния американской армии в конце 1945 г., предназначалась для вычисления
таблиц артиллерийской стрельбы. Схема этой машины была рассчитана на
выполнение конкретной последовательности вычислений; если требовалась
какая-либо иная последовательность, схему приходилось практически за-
ново монтировать. Фон Нейман, услышав о проекте ЭНИАК во время своего
визита на Абердинский испытательный полигон летом 1944 г., загорелся
аналогичной идеей и начал разрабатывать логическую схему вычислительной
машины, способной использовать гибкую запоминаемую программу, ко-
торую можно было бы изменять, не перестраивая всей схемы машины.
Энтузиазм фон Неймана к созданию подобной машины в значительной
степени был вызван затруднениями, с которыми он столкнулся в Лос-Аламо-
се как консультант теоретической группы, которой было поручено решение
вычислительных задач, связанных с созданием проекта атомной бомбы. Од-
нажды, после обсуждения одной из таких задач фон Нейман сказал мне: «При
ее решении нам, вероятно, придется выполнить больше элементарных ариф-
метических операций, чем их было произведено человечеством за всю его
историю». Я напомнил ему, что существовали миллионы школьников и общее
число всех сложений, умножений и делений, которые они обязаны были
выполнять каждый день в течение нескольких лет своего обучения, несом-
ненно, превосходит то количество, которое понадобится произвести в нашей
задаче. К сожалению, этот огромный резерв талантов был недосягаем для
нас в той же мере, как и эксплуатация электронно-вычислительных машин
в 1944 г. Вычисления, связанные с изобретением атомной бомбы, приш-
лось упростить настолько, что их можно было выполнить с помощью каран-
даша и бумаги да еще старомодных настольных арифмометров.
Этажом ниже моего рабочего кабинета в Лос-Аламосе сейчас установлена
электронная вычислительная машина МАНИАК II (MANIAC — Mathema-
182
Фиг. 92. «Разностная машина» — так часто называют первую из современных матема-
тических машин, изобретенную в 1820 г. английским математиком Чарльзом Беббед;
жем. Он построил миниатюрный вариант, а большая машина, которая рисовалась его
воображению, так никогда и не была завершена. Части ее, вроде той, что изображена
здесь, хранятся сейчас в Научном музее в Южном Кенсингтоне. Беббедж провел
многие годы в безуспешных попытках создать «аналитическую машину», которая
могла бы производить почти все операции, доступные современной вычислительной
машине.
tical Analyser, Numerical Integrator and Computer, т. e. математический
анализатор, числовой интегратор и вычислитель), представляющая собой
усовершенствованный вариант машины МАНИАК I, которую фон Нейман
и его сотрудники создали в Институте перспективных исследований в 1952 г.
МАНИАК П, пущенная в ход в 1957 г., может складывать числа, содержа-
щие 13 десятичных (или 43 двоичных) разрядов, приблизительно за 6 мксек
(шесть миллионных долей секунды). Отдельное здание поблизости занимает
еще более совершенная вычислительная машина СТРЕТЧ (STRETCH), по-
строенная фирмой ИБМ. Машина СТРЕТЧ может оперировать с числами,
183
состоящими из 48 двоичных разрядов; быстродействие ее примерно в 10
раз выше, чем у машины МАНИАК II.
МАНИАК П и СТРЕТЧ — примеры множества построенных по
специальным требованиям вычислительных машин, появившихся во всем
мире за последние два десятилетия. Первая большая универсальная
машина, УНИВАКI была создана в 1951 г. для Бюро переписи, а тремя
годами позже компания «Дженерал электрик» впервые использовала
УНИВАК I для производственных целей. За 13 лет, прошедших с пуска
первой машины УНИВАК, в правительственных учреждениях, промыш-
ленности и университетах США введено в строй более 16 000 вычислительных
систем всевозможных видов. Около 250 из них являются крупнейшими,
быстродействие и мощность которых того же порядка, что и машины
МАНИАК II.
Вместе с ростом быстродействия увеличивались также объем памяти
машин и скорость выборки хранимых в памяти чисел и программ. В самых
крупных электронных машинах объем памяти сейчас достигает при-
мерно 100 ООО «слов», или нескольких миллионов отдельных двойчных раз-
рядов. Я здесь имею в виду, так сказать, «быструю», оперативную память,
с временем выборки информации из нее до микросекунд. Это время неуклон-
но сокращается, и можно ожидать, что в недалеком будущем быстродейст-
вие машин возрастет в сотни раз. «Медленная», или долговременная, память,
употребляемая как дополнение к «быстрой», обычно состоит из информации,
хранящейся на магнитной ленте, и практически эта память может быть не-
ограниченной. Размеры запоминающих устройств и основных электрон-
ных схем также последовательно уменьшались, и теперь даже наиболее
Фиг. 93. Первая электронная цифровая машина ЭНИАК была построена в Пенсиль-
ванском университете по заказу артиллерийского управления американской армии.
Машина ЭНИАК. завершенная осенью 1945 г., имела 19 000 электронных ламп, 1500
реле и сотни тысяч сопротивлений, конденсаторов и катушек индуктивности. Она по-
требляла из электрической сети мощность, равную почти 200 кет. В результате перебоев
питания, отказов в работе ламп и прочих трудностей работа с ней первые несколько лет
была мучительной. Для изменения ее программы приходилось перестраивать сотни це-
пей. Вплоть до 1955 г. машина ЭНИАК, подвергаясь непрерывному усовершенствованию,
использовалась в Центре баллистических исследований в Абердине (штат Мэриленд).
184
Фиг. 94. Машина МАНИАК II была построена в Лос-Аламосской научной лаборатории
в 1957 г. Машина СТРЕТЧ, построенная фирмой ИБМ и установленная в Лос-Аламосе
четырьмя годами позже, обладает примерно в 10 раз большим быстродействием. Обе
машины широко использовались автором статьи и его коллегами для экспериментирова-
ния в математике.
сложные вычислительные машины можно уместить в небольшой комнате.
Размеры следующего поколения вычислительных машин, сделанных с
использованием микроэлектронных схем, уменьшатся в 100 или даже
в 1000 раз.
Конечно, многие задачи настолько сложны, что для их решения недоста-
точна память любой машины, которую могут создать инженеры в ближайшее
десятилетие. Гидродинамика сжимаемой жидкости, например, поддается
основательному изучению с помощью существующих машин только при
ограничении исследований задачами в двух измерениях, но задачи в трех
измерениях уже нельзя решить достаточно удовлетворительно. При двумер-
ном исследовании можно считать, что жидкость заключена в «ящик», раз-
деленный, скажем, на 10 000 ячеек; стороны такого «ящика» разделены на
100 равных частей. В каждой ячейке хранится ряд значений, например
плотности жидкости и скорости ее течения; новый набор этих значений
вычисляется для последовательно выбранных моментов времени. Очевидно,
что если ту же задачу просто распространить на три измерения, понадо-
бится миллион ячеек, что превосходит возможности современных машин.
Примером задачи с аналогичными ограничениями является прогноз погоды,
для которого целесообразно использовать подобную многоячеечную трех-
мерную модель атмосферы.
185
Ф и г. 95. Уменьшение размеров элементов означало возрастание надежности и быстро-
действия машин плюс существенную экономию при конструировании и эксплуатации
вычислительных систем. Блок электронных ламп (сверху) использовался в первом, по-
колении вычислительных машин, которые фирма ИБМ начала строить с 1946 г. Первые
вычислительные машины, работающие на транзисторах, были построены в 1955 г.
В них использовались блоки, показанные на фигуре внизу слева. Справа показана
плата с шестью микроминиатюрными схемами, каждая из которых имеет несколько
транзисторов и диодов. Такие платы употребляются в новейших вычислительных
машинах фирмы ИБМ.
В ряде случаев, когда задача оказывается слишком сложной для полно-
го решения с помощью вычислительной машины, удается получить неко-
торый «представительныйэ набор частных решений методом Монте-Карло.
Много лет назад мне пришлось обдумывать способы подсчета того, какая
часть пасьянсов сходится до последней карты. Однако найти общее реше-
ние не удалось, и я попытался эту задачу изучить эвристическим путем и
хотя бы приближенно представить себе характер решения. Практически
следовало разложить 100 или 200 пасьянсов, записывая их результаты.
Это оказалось идеальной задачей для вычислительной машины и легло за-
тем в основу метода Монте-Карло.
Данный метод обычно применяется к задачам математической физики,
которые, например, возникают при расчете ядерных реакторов. В реакторе
освобождаются нейтроны; они сталкиваются, рассеиваются, множатся и
поглощаются или вылетают наружу с различными вероятностями, завися-
щими от геометрии и взаимного расположения тепловыделяющих элементов
и других компонентов реактора. При сколько-нибудь сложной геометрии не
186
известно, как непосредственно вычислить число нейтронов в любом задан-
ном диапазоне энергий, направлений и скоростей. Поэтому прибегают к
процедуре выборок, когда вычислительная машина прослеживает огромное
число возможных «историй» отдельных частиц. Вычислительная машина
рассматривает не все события для каждой отдельной частицы, образующие
очень сложно разветвленное «дерево», а отбирает в каждой точке ветвления
только одну из возможностей, обладающую вероятностью, известной физи-
кам, и исследует широкий класс различных цепочек событий. Если полу-
чить статистику по множеству таких цепочек, то можно представить себе
поведение всей системы. Класс различных цепочек может быть весьма об-
ширным, но все же он мал в сравнении с гораздо большим классом всех воз-
можных ветвлений. Такие процедуры выборки, которые нельзя было бы
осуществить без вычислительных машин, ныне применяются в самых раз-
нообразных задачах.
Широкий диапазон работ по математической физике, проведенных за
последние несколько лет благодаря использованию вычислительных ма-
шин, представляет внушительную картину. Астрономические журналы,
например, публикуют все большее число результатов, полученных с помощью
вычислительных машин по таким проблемам, как эволюция звезд, движения
в звездных скоплениях, сложное поведение звездных атмосфер и проверка
космологических теорий. Давно известно, что математически трудно полу-
чить частные решения задач из общей теории относительности, которые по-
зволили бы проверить предсказания различных формулировок непосредст-
венным наблюдением или экспериментом. Теперь во многих случаях при
помощи вычислительных машин возможно делать такие предсказания. Зию
относится и к ядерной физике, в частности к теории поля.
'Теперь мне хотелось бы на ряде примеров рассмотреть, как вычислитель-
* ная машина может выполнить работу, интересную и полезную для мате-
матика. Возьмем задачу из теории чисел; эта наука изучает свойства обыч-
ных целых чисел, особенно те из них, которые касаются двух наиболее
элементарных операций над ними: сложения и умножения.
Как и в других отраслях «чистой» математики, здесь нужно открыть,
а затем доказать теорему, утверждающую некую общую истину относительно
чисел. Часто легко обнаружить какую-то закономерность, справедливую в
некоторых частных случаях; задача состоит в том, чтобы показать, что эта
закономерность верна и в общем случае.
Карл Фридрих Гаусс, прозванный современниками «принцем матема-
тиков», черпал силы для отыскания общих истин в области теории чи-
сел в экспериментировании с частными случаями и тщательном разборе
примеров. Когда его спросили, как ему удалось предсказать некоторые
замечательные закономерности поведения чисел, он ответил: «Dutch
planmassiges tattonieren» — путем планомерных усилий. Сриниваса Ра-
мануджан, феноменальный индийский исследователь в области теории
чисел, также увлекался экспериментированием с примерами. Легко предста-
вить себе, что в руках этих двух математиков вычислительная машина спо-
собствовала бы многим открытиям в теории чисел. Большой интерес
в этой теории представляют простые числа, т. е. класс целых чисел, которые
делятся только сами на себя и на единицу. Греки доказали, что число всех
простых чисел бесконечно,,но некоторые из самых элементарных вопросов,
касающихся простых чисел, остаются без ответа и по прошествии несколь-
ких веков работы над ними.
Например, можно ли всякое четное число представить как сумму двух
простых? Это знаменитая теорема Гольдбаха. Так, 100 = 93+7, а
187
200 = 103+97. Было показано, что все четные числа, не превосходящие
2 000 000, могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел, но
до сих пор не доказано, что это верно для всех четных чисел вообще.
Интересен также тот факт, что существует много пар простых чисел,
отличающихся одно от другого на 2, например 11 и 13, 17 и 19, 311 и 313.
Хотя, кажется, просто доказать, что таких пар «простых чисел-близнецов»
существует, бесконечное множество, никто не был в состоянии этого сделать.
Приведенные здесь две нерешенные задачи .показывают, что пытливая чело-
веческая мысль может без труда привести к математическим утверждениям
необычайной простоты, истинность или ложность которых крайне трудно
доказать. Утверждения такого рода заставляют математиков все время за-
думываться над их доказательствами.
Но наличие доказательства не всегда облегчает математику жизнь. Хотя
и легко доказать, что простых чисел существует бесконечное множество,
хотелось бы иметь формулу для написания сколь угодно большого простого
числа. Но таковой пока еще нет. Ни один математик не может по требованию
написать простое число, скажем, в 10 миллионов знаков, несмотря на то что
.оно безусловно существует;
Одно из самых больших простых чисел было не так давно найдено с
помощью электронной вычислительной машины в Швеции. Это число
2*ш.—1 содержит 967.знаков. Вообще числа вида 2" —1 называют числами
Мерсенна. Возможно, что имеется бесконечное множество простых чисел
такого вида, но точно никто этого не знает.
Другие числа специального вида, которые, может быть, дают, а может
быть, и нет бесконечное количество простых чисел, — это числа Ферма,
.имеющие вид 28"+1. Для п = 0,1, 2 и 3 соответствующими числами Ферма
будут 3, 5, 17 и 257. Такие числа даже при умеренных значениях п стре-
мительно возрастают. И не известно, например, является ли простым чис-
ло Ферма для п = 13 (т. е. 22“+1, или 2®1М+1).
Для экспериментирования на вычислительной машине удобны и чис-
ла Мерсенна, и числа Ферма, так как они приобретают чрезвычайно прос-
той вид при записи их в.двоичной системе (табл. XI). Числа Ферма начинают-
ся с единицы, затем следуют нули, а в конце снова стоит единица. Числа
Мерсенна в двоичной записи состоят исключительно из одних единиц.
С помощью вычислительной машины легко эмпирически установить появ-
ление простых чисел, записанных в двоичной системе.
Весьма правдоподобным кажется следующее утверждение: существует
такое число п, что бесконечное число простых чисел можно записать
в виде двоичной последовательности, содержащей ровно п единиц. (Чис-
ло нулей, стоящих между единицами, разумеется, неограниченно.) Хотя
средствами современной теории чисел это утверждение недоказуемо, я по-
лагаю, что экспериментирование на вычислительной машине прольет свет
на поведение двоичных последовательностей, содержащих различные коли-
чества единиц. Следующий пример внесет бдльшую ясность в это предполо-
жение.
Несколько лет назад я и мой коллега Марк Б. Уэллс работали над со-
ставлением программы для изучения некоторых комбинаторных свойств
распределения нулей и единиц в простых числах, записанных в двоичном
коде. Однажды Уэллс заметил: «Нельзя ожидать, что количества нулей и еди-
ниц в двоичном разложении простого числа будут асимптотически прибли-
жаться друг к другу с ростом этого простого числа, поскольку числа, деля-
щиеся на 3, имеют в двоичной записи четное число единиц». Это утвержде-
ние основывалось на следующем аргументе: a priori можно ожидать, что в
188
Числа Мерсенна ( 2Я- 1) | Числа Ферма (22 + 0
п в десятичной системе в двоичной системе п в десятичной системе в двоичной системе
1 1 1 0 3 11
2 3 1 1 5 101
3 7 111 2 17 10001
4 15 НИ 3 257 100000001
5 31 11111 4 65 537 10000000000000001
Табл. XI. Числа Мерсенна и числа Ферма приобретают простой вид, если их записать
в двоичной системе счисления. Хотя многие из чисел Мерсенна не являются простыми
(например, 15), возможно, что существует бесконечно много простых чисел этого вида.
Бесконечное количество простых чисел существует, возможно, и среди чисел Ферма,
но даже для такого малого п, как 13, еще не проверено, является ли соответствующее
число Ферма простым.
3 11
6 110
9 1001
12 1100
15 1111
18 10010
21 10101
24 11000
27 11011
30 11110
33 100001
36 100100
39 100111
42 101010
45 101101
48 110000
Т а б л. XII. Целые числа, делящиеся на три, обычно содержат в двоичном представле-
нии четное число единиц. Это наблюдение привело к доказательству общей теоремы,
приведенной в тексте.
выборке из целых чисел, записанных в двоичной системе, число нулей и
единиц распределяется по случайному закону и что то же самое будет верно
и для большой выборки из одних только простых чисел. Но если бы оказа-
лось справедливым, что все числа, делящиеся на 3, содержат в двоичной за-
писи четное число единиц, то распределение единиц и нулей в большой вы-
борке из простых чисел уже не было бы случайным.
После разговора с Уэллсом я пытался доказать его утверждение о чис-
лах, делящихся на 3, но безуспешно. А спустя некоторое время обнаружил,
что оно и вовсе неверно. Первое число, опровергающее его, есть 21, двоичное
представление которого включает три единицы (табл. XII).
Тем не менее оказывается, что абсолютное большинство целых чисел,
делящихся на 3, имеет четное число единиц. Исходя из этого Уэллсу
удалось доказать следующую теорему: среди всех целых чисел от 1 до 2Л,
делящихся на 3, всегда преобладают такие, в двоичной записи которых
имеется четное число единиц, и разность между их числом и числом тех, у
которых число единиц нечетно, может быть точно вычислена—она равна
3(n-i)/2# Уэллс нашел соответствующие доказательства и для целых чисел, де-
лящихся на 5, на 7 и некоторые другие делители, но обнаружил, что по
мере возрастания делителя доказательство усложняется.
Пока еще очень немногие задачи из теории чисел изучались экспери-
ментально на вычислительных машинах. И отнюдь не все такие работы сво-
дятся к таблицам, особым примерам и т. п. Д. X. Леммер из Калифорний-
ского университета в Беркли чрезвычайно эффективно использовал вычис-
лительные машины в теории чисел. С их помощью он недавно получил не-
сколько общих теорем. По существу его метод состоял в том, чтобы вместо
рассмотрения общих утверждений исследовать большое число частных
случаев. Но их оказалось столько, что без вычислительной машины обойтись
практически невозможно. Используя вычислительную машину, Леммер и
его помощники оказались в состоянии выявить все исключения и тем самым
открыть теорему, справедливую для всех прочих случаев. К сожалению,
интересная работа Леммера написана труднодоступным математическим язы-
ком, и более подробное изложение ее завело бы нас слишком далеко.
Следует подчеркнуть, что в доказательстве теоремы Леммера машина
была лишь орудием, облегчившим получение этого доказательства. Здесь
не было программы, которая привела бы вычислительную машину к выдаче
полного формального доказательства некоторого математического утверж-
дения. Но и такая программа, кстати, не выходит за пределы наших воз-
можностей. Вычислительная машина может оперировать не только с числами,
но также и с символами, необходимыми для логических операций. Так, она
может выполнять простые команды, соответствующие основным операциям
«булевой алгебры». Эти операции по существу совпадают с аристотелевыми
выражениями «и», «или» и «не». В соответствии с набором инструкций вы-
числительная машина может осуществлять такие команды в предписанной
последовательности и выбрать в «лабиринте» возможных альтернатив те,
которые в каждый момент удовлетворяют результату предыдущих вы-
числений.
В итоге оказалось возможным составить программу, предписывающую
вычислительной машине найти доказательства элементарных теорем евкли-
довой геометрии. Некоторые из таких попыток, в частности те, что были вы-
полнены в Исследовательском центре фирмы ИБМ, оказались весьма ус-
пешными. Другие программы позволили вычислительной машине найти до-
казательства простых фактов из проективной геометрии. Я не сомневаюсь,
что подобные попытки — только начало: в будущем роль машин в «эффек-
тивной части» математических исследований значительно возрастет.
190
Перейдем теперь от целых чисел к вопросам комбинаторного ана-
лиза и обсудим некоторые примеры использования вычислительных ма-
шин в этой области. В двух словах «комбинаторный анализ» — это анализ
свойств совокупностей’ и конфигураций, определяемых конечным числом
«точек». Обычные примеры — задачи о различных размещениях и сочета-
ниях, изучаемые в курсе школьной алгебры. В типичном случае исходят
из некоторого конечного множества, содержащего п точек, и предполагают
наличие заданных или предписанных зависимостей между любыми двумя
или в более общем случае между любыми k из них. Тогда можно поставить
задачу вычислить число всех возможных структур, связанных задан-
ным образом, или же найти число структур, эквивалентных друг другу.
В некоторых случаях конечное множество заданных объектов можно рас-
сматривать как совокупность преобразований некоторого множества в себя.
В самом широком смысле можно сказать, что комбинаторный анализ зани-
мается классификацией и морфологией зависимостей и конфигураций.
Электронные вычислительные машины и в этой области оказываются чрез-
вычайно полезными. Приведу лишь несколько примеров.
Рассмотрим хорошо известную задачу расположения восьми ферзей
на шахматной доске таким способом, чтобы ни один из них не угрожал дру-
гому. Для обычной шахматной доски, разделенной на 8 х8 клеток, сущест-
вует только двенадцать существенно различных решений этой задачи. Но
математику было бы интересно узнать, сколькими различными способами
такая задача может быть решена, если взять п ферзей и (п хл)-клеточную
доску. Подобные задачи на «перечисление» обычно бывают трудоемкими,
и вычислительная машина может оказаться полезной в их решении.
Следующая задача впервые была предложена в XIX в. швейцарским
математиком Якобом Стейнером. Имеется п объектов; спрашивается, можно
ли построить такое множество троек, составленных из этих объектов, чтобы
каждая пара объектов встречалась бы в одной и только в одной тройке?
Если п равно, например, 5, имеется 10 возможных пар из пяти объектов,
но, немножко поэкспериментировав, можно убедиться, что не найдется
способа разместить их по тройкам так, чтобы никакие пары не повторя-
лись в разных тройках. Эта задача может быть решена только в слу-
чае п, равного 6Л+1 или 6Л+3, где k—любое целое положительное число.
Решение для случая Л=1 (когда п=7) показано в табл. XIII. Число троек,
получающееся в решении, равно 7. Но сколькими способами решается та-
кая задача? Если п — большое число, то и здесь не обойтись без вычис-
лительной машины.
Другой известный пример комбинаторной задачи — это задача о крат-
чайшем пути, или, как ее называют, задача о коммивояжере. Пусть заданы
положения п точек на плоскости или в пространстве; требуется соединить
все эти точки так, чтобы общий путь между ними был как можно короче.
Другой вариант той же задачи — найти путь через систему точек (не обя-
зательно проходя через каждую из них), который займет минимальное время
(см. «Теория регулирования», стр. 167). Оба варианта отличаются от двух
предыдущих тем, что в них требуется найти способ или предписание для по-
строения кратчайшего пути. Строго говоря, это уже задачи из «метакомби-
наторики». Последний термин означает, что точная формулировка задачи
требует определения, что следует понимать под предписанием для такого
построения. Здесь дать определение возможно, и, стало быть, возможна
точная формулировка задачи. Когда п точек распределены в многомерном
пространстве, задачу также трудно решить без вычислительной машины.
Последний пример из комбинаторики дадим в виде задачи из генеалогии.
Предположим для простоты, что некая популяция состоит из множества ин-
дивидуумов, которые сочетаются между собой случайным образом, и что от
191
1.2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
2,3 2,4 2,5 2,6 2,7
3,4 3,5 3,6 3,7
4,5 4,6 4,7
5,6 5,7
6,7
1,2,3 1,3 1,4,5 1,5 1,6,7 1,7
2,3 2,4,6 2,5,7 2,6 2,7
3,4,7 3,5,6 3,6 3,7
4,5 4,6 4,7
5,6 5,7
6,7
Табл. XIII. Задача Стейнера ставит следующий вопрос. Можно ли п заданных
объектов сгруппировать по тройкам так, чтобы каждая пара объектов встречалась
в одной и только одной тройке? Задача может быть решена положительно только при
п=6Л+1 или 6^+3, где ^^произвольное целое положительное число. Здесь приведено
одно решение для &=1 (при п=7). В таблице слева выписаны все возможные пары из
семи объектов. Таблица справа приводит семь троек, которые содержат каждую пару
лишь один раз.
каждой пары по прошествии определенного времени рождается одна пара по-
томков. Пусть такой процесс продолжается много поколений, и допустим,
что потомство появляется у всех родителей одного поколения в одно и то же
время. Тогда сразу же возникает множество интересных вопросов комбина-
торного характера.
Например, сколько различных предков у индивидуума из пятнадцатого
поколения найдется, скажем, в девятом поколении? Поскольку оно отстоит
от пятнадцатого на шесть поколений, очевидно, что максимальное число
различных предков достигает 2е. Однако такой ответ предполагает, что
нет никакого родства между кем бы то ни было из предков. Как и в слу-
чае генеалогического древа человека, в нашем примере имеется некоторая
вероятность того, что такое родство существовало, и, следовательно, истин-
ное число предков будет меньше 2е. Какова вероятность того, что истинное
число предков равно тому или иному числу?
Предположим, что исходная популяция состоит из двух классов (т. е.
каждый индивидуум обладает одним из двух характерных признаков);
как эти классы перемешиваются с ростом числа поколений? Другими слова-
ми, требуется найти пропорцию обоих признаков у всех предков для лю-
бого индивидуума n-го поколения.
Сделаем теперь несколько более реальное допущение. Рассмотрим про-
цесс развития популяции, аналогичный прежнему, но откажемся от ограни-
чения, устанавливающего, что все отпрыски родителей одного возраста
появляются одновременно. Вместо этого допустим, что появление нового
поколения продолжается какой-то конечный период времени в соот-
ветствии с определенным распределением вероятностей. Тогда по исте-
чении некоторого срока индивидуумы самого последнего поколения
будут как бы принадлежать разным .поколениям. Действительно, такого
рода процесс характерен для народонаселения земного шара, поскольку в
среднем наблюдается тенденция к тому, что матери моложе отцов. Поэтому,
прослеживая путь, скажем, на десять поколений назад по линии матерей,
192
Фиг. 96. Генеалогия ставит много интересных вопросов комбинаторного анализа.
В простом случае, показанном на нашей фигуре, индивидуумы трех различных цветов
«сочетаются» в пары. Строго говоря, X, Y и Zуказывают долю каждого цвета в каждом
из поколений, но здесь они также характеризуют сам цвет. Каждая комбинация приво-
дит к появлению пары потомков, и цвет потомков однозначно определяется цветами
родителей в соответствии с установленным правилом. (Например, два Y или два Z дают
два X.) Предполагая, что исходная популяция состоит из сотен членов, можно интересо-
ваться вопросами вроде следующих: сколько различных предков, скажем, в первом
поколении имеется у данного индивидуума из пятого поколения? Каковы пропорции
X, Y и Z среди предков данного индивидуума из n-го поколения?
мы в сумме получим меньшее число лет, чем если бы мы взяли десять поко-
лений по линии отцов. Вычисление среднего числа поколений, представлен-
ных историей рода каждого индивидуума через много лёт после его начала,
становится сложной комбинаторной задачей. Эту и многие другие аналогич-
ные проблемы трудно решить аналитически. Однако, если такой процесс
промоделировать на вычислительной машине, легко получить данные,
проливающие некоторый свет на существо вопроса.
Последняя область математики, которую хотелось бы обсудить в связи с
вычислительными машинами, — это весьма распространенная, но мало
исследованная теория нелинейности. Линейная функция одного перемен-
ного имеет вид х'=ах+Ь, где ан Ь — постоянные. Функции и преобразова-
ния этого вида являются простейшими с математической точки зрения и
часто возникают в естественных науках и в технике. Квантовая механика,
например, является линейной теорией, хотя сейчас и имеются указания,
что для более полного понимания ядерных и внутриядерных явлений по-
требуются уже нелинейные теории. Во многих физических теориях, напри-
мер в гидродинамике, уравнения с самого начала нелинейны.
Простейшей нелинейной функцией является квадратичная; для одной
переменной она имеет вид у = а&+Ьх+с, где а, 6 и с — постоянные, Чита-
теля-нематематика может удивить, как мало известно о свойствах таких
нелинейных функций и преобразований. Даже некоторые совсем простые
вопросы относительно этих свойств пока остаются без ответа.
193
1
х' = у1 + г1 у' = 2ху + 2хг г' =хв + 2уг
Начальная точка Р Первая итерация Т(Р) Вторая итерация Г* (Р) Третья итерация Г» (р) Четвертая итерация Т« (Р>
х = 1/» х'=1/« X" =»/1. хю = 61/256=0,238 хГ" = 0,295
у = 41 | 1 У' = 41 у" = 4ц у" = 110/256 =0,430 у"" =0,363
2=0 г' = 41 г" = 4 и zw =85/256 =0,332 z"" = 0,342
Сумма 1 1 1 1 = 1,000 | 1,000
Фиг. 97. Процесс итерации состоит в повторных применениях некоторой функции
(или преобразования) к начальному значению (или точке). Здесь три уравнения с тремя
неизвестными определяют точку на плоскости. Итерирование порождает последова-
тельность точек, или «образов». Поскольку координаты этих образов в сумме составля-
ют 1, на плоскость необходимо наносить только две переменные (скажем, х и у). Первая
итерация Т р) получается подстановкой в три уравнения начальных значений х, у и z
(1/«»1/в»0). Подстановка новых значений х', у\ z'(l/<» 1/я> х/<) дает вторую итерацию,
Ts(p), и т.д. Вычислительные машины могут быстро вычислить и визуально представить
тысячи итераций некоторой точки, поведение которых затем может быть изучено (см.
примеры на стр. 196).
Приведем йример. Математикам хотелось бы больше знать о поведении
нелинейных функций в так называемом итерационном процессе. Итерация
означает просто многократное повторное применение функции (или преобра-
зования) к некоторому исходному значению. Например, если некоторая
точка описывается функцией корень квадратный из х, то первой итерацией
будет корень квадратный из корня квадратного из х и каждая последующая
итерация будет состоять в извлечении нового квадратного корня.
Преобразование, заданное посредством двух функций от двух перемен-
ных, определяет точку на плоскости; итерация такого преобразования
194
дает последовательность точек, или «образов» (фиг. 97). Отыскание свойств
этой последовательности итерированных образов одной точки, описываемой
нелинейной функцией, вообще говоря, является сложным процессом. Со-
временные методы математического анализа не позволяют изучить поведение
таких достаточно просто определяемых преобразований.
И здесь снова эмпирический подход с использованием вычислитель-
ной машины может оказать большую помощь, в особенности, если машина
снабжена электронно-лучевым индикатором, дающим визуальное изображе-
ние положения итерированных точек на плоскости. Машина МАНИАК II в
Лос-Аламосе была оснащена подобной аппаратурой, что и дало нам возмож-
ность увидеть на экране результаты сотен последовательных итераций.
Обычно при изучении таких точечных конфигураций математику ин-
тересно узнать, сходится ли последовательность итерированных образов к
какой-либо одной, так называемой неподвижной точке. Часто эти образы
на первый взгляд кажутся беспорядочно разбросанными. Но если построить
сотни таких образов, то можно увидеть, что они располагаются в виде кри-
вых неожиданной и необычной формы, подобно тем, что изображены на
четырех осциллограммах на фиг. 98. Такая эмпирическая работа привела
меня и моих сотрудников к некоторым общим предположениям относительно
свойств нелинейных преобразований и к отысканию некоторых из них.
Какие требования следовало бы предъявить к электронным вычисли-
тельным машинам, чтобы они могли стать еще более ценным инструментом
научных исследований? Главное, чтобы они могли справиться с более широ-
ким кругом логических операций. Как уже говорилось, простейшие опера-
ции логики, булевы операции, были заложены в электронные вычислитель-
ные машины с самого начала. Но для овладения большей частью современ-
ной математики вычислительной машине требуется иметь «квантор общ-
ности» и «квантор существования». . Квантор общности нужен для вы-
ражения часто встречающихся в математических работах утверждений
типа: «то-то и то-то справедливо для всех х». Квантор существования
нужен для того, чтобы выразить другое общее утверждение: ^Существует
такое х, что то-то и то-то справедливо». Если бы можно было добавить эти
два квантора к булевым операциям, появилась бы возможность переложить
на машинный язык почти всю классическую математику, и многое из совре-
менной. К сожалению, нет хорошей машинной программы, которая могла
бы манипулировать с понятиями «для всех» и «существует».
Скорость процесса вычислений и объем памяти машин, безусловно,
будут и впредь непрерывно возрастать; можно ожидать также и более фун-
даментальных достижений. Современные вычислительные устройства осу-
ществляют операции в линейной последовательности: в каждый момент они
делают какую-либо одну вещь. В настоящее время стремятся изобрести ма-
шину, более сходную с устройством нервной системы животных, которая
может осуществлять много операций одновременно. Существуют планы соз-
дания машин, в которых арифметические операции выполнялись бы одновре-
менно в нескольких местах.
Такая «многоколейная» машина имела бы огромное значение для метода
Монте-Карло. Ведь задача машины состоит в вычислении индивидуальных
историй воображаемых частиц, при этом во многих задачах судьбы отдель-
ных частиц считаются независимыми одна от другой. Это означает, что их
можно вычислять .параллельно, а не последовательно. Более того, нет не-
обходимости проводить вычисления со многими десятичными знаками — точ-
ность в 4—5 десятичных знаков часто оказывается достаточной. Таким об-
разом, важно иметь машину, которая могла бы вычислять одновременно
сотни историй, хотя и с не очень высокой точностью. Имеется много и других
задач, когда наличие такой машины было бы полезным.
195
Фиг. 98. Итерации нелинейных преобразований, выполняемые быстродействующими
вычислительными машинами в Лос-Аламосе, наблюдались на экране осциллографа.
Цель этого исследования, проведенного П. Р. Стейном совместно с автором настоящей
статьи, заключалась в изучении асимптотических свойств или «предельных множеств»
итераций некоторых нелинейных преобразований сравнительно простого вида. Это
итерации для наборов из четырех функций от четырех переменных, поэтому они
должны быть изображены в трехмерном пространстве. Прямые точечные линии
означают оси координат (см. двумерную фигуру на стр. 194). Фигура в левом
верхнем углу — пространственная (не плоская) кривая. Кривая вверху справа
состоит из двух плоских кривых. Две нижние фигуры имеют более сложный характер.
Фиг. 99. Модель для прогнозов погоды в северном полушарии была построена вы-
числительной машиной СТРЕТЧ в Бюро погоды США. Пытаясь развить и проверить
новые теории о поведении атмосферы, исследователи составляют программу, вклю-
чающую уравнения, описывающие атмосферные явления. Затем в эти уравне-
ния подставляются данные реальных наблюдений, на основании чего машина строит
меняющуюся модель погоды для периодов в несколько дней и недель. Эта модель
сравнивается с действительными наблюдениями за некоторый период. Затемненные
участки между «горизонталями» на этой карте показывают предполагаемое атмосфер-
ное давление на уровне моря во время одного из таких исследований. Модель сплошь
заполнена густо расположенными числами и буквами, печатаемыми непосредственно
самой машиной.
Желательно также еще больше упростить процесс обращения опера-
тора с машиной. В настоящее время трудно изменить ход вычислений, когда
часть результатов уже получена. Если бы машина была более гибкой и ход
решения задачи можно было бы изучать визуально в процессе вычислений,
то многие математики стали бы шире использовать возможности экспери-
ментирования с помощью вычислительных машин.
Можно представить себе и появление новых методов вычислений, спе-
циально предназначенных для автоматических вычислительных устройств.
Благодаря быстродействию машины мы могли бы почти осязаемо исследовать
геометрические конфигурации в пространствах более чем трех измерений и
тем самым обрести какую-то новую интуицию. Это стимулировало бы мате-
матика к работе в области топологии и комбинаторного анализа новых
математических объектов. Таковыми могут быть и обычные целые чис-
ла, но далеко превосходящие любые из использующихся ныне. Мы оказа-
лись бы также в состоянии справляться с математическими выражениями,
содержащими гораздо больше кванторов существования, чем те, что сей-
час используются в различных математических формулировках. На маши-
нах будущего играли бы в новые игры; в многомерных пространствах рас-
сматривались бы новые объекты и их перемещения, которые при нашем
опыте,по существу ограниченном тремя измерениями, трудно даже воо-
бразить.
И вновь возникает старый философский вопрос: является ли математи-
ка в значительной степени свободным порождением человеческого разума
или же выбор определений, аксиом и задач в основном навеян окружающим
физическим миром? (Я включил бы в физический мир как его часть и анато-
мическое строение мозга.) Вполне вероятно, что работа с электронными
машинами в течение ближайшего десятилетия позволит ответить на этот
вопрос. Более глубокое понимание может возникнуть на основе изучения
аналогий между человеческой нервной системой и вычислительной машиной.
Откроются новые перспективы применения математики в биологических
науках, а изучение живой материи потребует разрешения новых математи-
ческих проблем.
Библиография
Приводимый ниже список может оказаться полезным для тех, кто хотел бы озна-
комиться с дополнительными материалами по темам, охваченным статьями этого сбор-
ника*
Математика в современном мире
Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей. Лекции,
прочитанные в Геттингенском университете, т. 1, Арифметика. Алгебра. Анализ,
М.—-Л., 1965; т. 2, Геометрия, М.— Л., 1934.
• Колмогоров А. Н., Математика, БСЭ, изд. 2-е, т. 26, М., 1954.
• Колмогоров А. Н.., О профессии математика, М., 1959.
* Курант Р., Роббинс Г., Что такое математика. Элементарный очерк
идей и методов, М.—Л., 1947.
• Математика, ее содержание, методы и значение, т. 1—3, М., 1965.
Пуанкаре А., Наука и гипотеза, СПб, 1906.
* Радемахер Г.,Теплиц О., Числа и фигуры. Опыты математического
мышления, М., 1962.
• Сойер У. У., Прелюдия к математике. Рассказ о некоторых любопытных
и удивительных областях математики с предварительным анализом математического
склада ума и целей математики, М., 1965.
К a s n е г Е., N е w m a n J. R., Mathematics and the Imagination, Simon
and Schuster, 1963.
Kline M., Mathematics in Western Culture, Oxford University Press, 1953,
W e у 1 H., Symmetry, Princeton University Press, 1952.
Арифметика
• Берман Г. H., Счет и число (как люди учились считать), М., 1956.
• Берман Г. Н., Число и наука о нем. Общедоступные очерки по арифме-
тике натуральных чисел, М., I960.
• Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука. Математика Древ-
него Египта, Вавилона и Греции, М., 1959.
• Виленкин Н. Я., Рассказы о множествах, М., 1965.
• Окунев Л. Я., Целые комплексные числа, М., 1941.
• Фаддеев Д. К., Число, БСЭ, изд. 2-е, т. 47, М., 1957. (С библиографией.)
A a b ое A., Episodes from the Early History of Mathematics, Random House,
1964.
1 Библиография взята из того же номера журнала «Scientific American» (сентябрь
1964 г.), который содержит оригиналы всех публикуемых в настоящей книге статей.
Для книг, переведенных на русский язык, сообщаются библиографические сведения
лишь о соответствующих русских изданиях. Книги, добавленные в библиографии
редактором перевода, отмечены звездочкой. — Прим ред.
а В раздел библиографического списка, относящийся к вводной статье Р. Ку-
ранта, включены сочинения общего характера. Как правило, в дальнейших разделах
списка они не повторяются. Однако в большинстве случаев отдельные главы этих
сочинений, посвященные частным областям математики, могут рассматриваться как
самостоятельные произведения и поэтому должны быть мысленно приписаны к соот-
ветствующим разделам библиографии. — Прим. ред.
199
Barkers. F., Philosophy of Mathematics, Prentice-Hall, Inc., 1964.
Bell E. T., The Development of Mathematics, McGraw-Hill Book Company,
Inc., 1945.
Dant zig T., Number: The Language of Science, The Macmillan Company,
1954.
D a v i s P. J., The Lore of Large Numbers, Random House, 1961.
К 1 i n e M., Mathematics and the Physical World, Thomas Y. Crowell Company,
1959.
S m i t h D. E., History of Mathematics, vol. II: Special Topics of Elementary
Mathematics, Dover Publications, Inc., 1958.
Геометрия
• Александров А. Д., Геометрия, БСЭ, изд. 2-е, т. 10, М., 1952.
• Богомолов С. А., Эволюция геометрической мысли, Л., 1928.
• Болтянский В. Г., Ефремович В. А., Очерк основных идей
топологии, в сб. «Математическое просвещение», М., вып. 2, 1957; вып. 3, 1958; вып. 4,
1959; вып. 6, 1961.
* В о л ь бе р г О. А., Основные идеи проективной геометрии. Пособие для
учителей средней школы, М.—Л., 1949.
• Гильберт Д., Ко и • Фоссен С., Наглядная геометрия, М.—Л,
1951.
Курант Р., Роббинс Г., Что такое математика. Элементарный очерк
идей и методов, М.—Л., 1947.
• Кутузов Б. В., Геометрия Лобачевского и элементы оснований гео мет*
рии. Пособие для учителей средней школы, М., 1950.
Сойер У. У., Прелюдия к математике. Рассказ о некоторых любопытных
и удивительных областях математики с предварительным анализом математического
склада ума и целей математики, М., 1965.
* Штейнгауз Г., Математический калейдоскоп, М.—Л., 1949.
* Kline М., Projective Geometry, «Scientific American», January 1955.
* Le Corbeiller, The Curvature of Space, «Scientific American», Novem-
ber 1954.
Reid C., A Long Way from Euclid, Thomas Y. Growell Company, 1963.
Singh J., Great Ideas of Modern Mathematics: Their Nature and Use, Dover
Publications, Inc., 1959.
Алгебра
• Александров П. С., Введение в теорию групп, М., 1951.
• Шмидт О. Ю., К У р о щ А. Г., Алгебра, БСЭ, изд. 2-е, т. 2, М., 1950,
Fletcher Т. J., Some Lessons in Mathematics, Cambridge University Press,
1964.
Huntington E. V., The Fundamental Propositions of Algebra, «Monographs
on Topics of Modern Mathematics, J. W. A. Young (ed.), Dover Publications, Inc., 1955.
Insights into Modern Mathematics: Twenty-third Yearbook, The National Council
of Teachers of Mathematics, 1957.
Stein S. К.» Mathematics: The Man-made Universe, W. H. Freeman and
Compant, 1963.
Теория вероятностей
* Борель Э., Вероятность и достоверность, М., 1961.
♦ г Б о р е л ь Э., Случай, М.—П., 1923.
• Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я.» Элементарное введение в теорию
вероятностей, М.» 1961.
• Колмогоров А. Н., Вероятность, БСЭ, изд. 2-е, т. 7, М., 1951.
200
• Мизес Р., Вероятность и статистика, М.~Л., 1930.
• Прохоров Ю. В., Севастьянов Б. А., Теория вероятностей,
БСЭ, изд. 2-е, т. 42, М., 1956.
Феллер У., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, М., 1964.
• Я глом А. М.» Я глом И. М., Вероятность и информация, М.» 1960.
Todhunter I., A History of the Mathematical Theory of Probability from
the Time of Pascal to That of Laplace, Chelsea Publishing Company, 1949.
Von M i ses R., Probability, Statistics and Truth, The Macmillan Company,
1957.
Weaver W., Lady Luck, Doubleday and Company, Inc., 1963.
Whitworth W. A., Choice and Chance: With One Thousand Exercises, Haf-
ner Publishing Co., 1951.
Основания математики
• Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, М., 1939.
• Бурбаки Н., Теория множеств, М^, 1965.
* Ван Хао, Мак-Нотон Р., Аксиоматические системы теории множеств,
М.» 1963.
• Генкин Л., О математической индукции, М., 1962.
• Гильберт Д., Основания геометрии, М.—-Л., 1948.
• Клини С. К., Введение в метаматематику, М., 1957, часть 1-я.
• Ландау Э., Основы анализа. Действия над целыми, рациональными, ир-
рациональными, комплексными числами, М., 1947.
Френкель А. А., Бар-Хилел И., Основания теории множеств, М., 1966.
• Рашевский П. К., Геометрия и ее аксиоматика, в сб. «Математическое
просвещение», вып. 5, М., 1960.
BernaysP, Fraenkel A. A., Axiomatic Set Theory, North-Holland
Publishing Company, 1958.
Frege G., The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry
into the Concept of Number, Basil Blackwell, 1953.
Russel B., Introduction to Mathematical Philosophy, George Allen and Un-
win, Ltd., 1919.
Q uine W. V. O., Set Theory and Its Logic, Harvard University Press, 1963.
Математика в физических науках
• Боголюбов Н. Н., Поливанов М. К.» Поля и кванты. Квантовая
теория поля — наука об элементарных частицах и их взаимодействиях, в сб. «Глазами
ученого», М., 1963.
• Ли Цзун-дао, Математические методы в физике, М., 1965.
• Ферми Э., Квантовая механика (конспект лекций), М., 1965.
Чу Дж. Ф., Г е л л - М а н н М., Р о з е н ф е л ь д А. X., Сильно взаимо-
действующие частицы, в сб. «Над чем думают физики», вып. 3 — Элементарные
частицы, М., 1965.
* Эйнштейн А., Творческая автобиография, в сб. «Эйнштейн и современ-
ная физика, Сборник памяти А. Эйнштейна», М., 1956.
К о е s t 1 е г A., The Sleepwalkers, Grosset and Dunlap, Inc., 1963.
Wigner E. P., The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Na-
tural Sciences, «Communications on Pure and Applied Mathematics», 1960, February,
vol. 13. No. 1.
201
Математика в биологических исследованиях
* «Автоматы», сб. статей под ред. К. Э. Шеннона и Дж. Маккарти, М., 1956.
* Г аазе-Рапопорт М. Г., Автоматы и живые организмы. Моделирова-
ние поведения живых организмов, М., 1961.
• Джекобсон Г., О моделях воспроизведения, в кн. «Кибернетический
сборник», вып. 7, М., 1963.
«Математические проблемы в биологии», сб. статей под ред. Р. Веллмана.
М., 1966.
* «Моделирование в биологии», М., 1963.
Нейман Дж.,фон, Общая и логическая теория автоматов, в кн. Т ь ю-
ринг А., Может ли машина мыслить, т. II, М., 1960.
♦ «Самоорганизующиеся системы», М., 1964.
* Шеннон К., Вклад фон Неймана в теорию автоматов, в кн. Ш е н н о н К.»
Работы по теории информации и кибернетики, М., 1963.
Myhill J., The Converse of Moore's Garden-of-Eden Theorem. — «Procee-
dings of the American Mathematical Society», 1963, August, vol. 14, No 4.
Stahl W. R., Coffin R. W., G о h e e n H. E., Simulation of Biological
Cells by Systems Composed of String-process!ng Finite Automata, в кн. «AFIPS 1964
Spring Joint Computer Conference», Spartan Books, Inc., 1964.
Математика в общественных науках
* Боненбласт Г. Ф., Теория игр, в сб. «Математическое просвещение»,
вып. 4, М., 1959; а также в кн. «Современная математика для инженеров», под ред.
Э. Ф. Беккенбаха, М., 1959.
♦ Булевский В. А., Рубинштейн Г. Ш., Несколько лекций по ли-
нейному программированию, Новосибирск, 1965.
* Канторович Л. В., Экономический расчет наилучшего использования
ресурсов, М., 1959.
* Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж., Введение в конечную
математику, М., 1963.
* Л у р ь е А. Л., Методы линейного программирования и их применение в эко-
номике, М., 1964.
* Применение математики в экономических исследованиях, М., вып. 1, 1959;
вып. 2, 1961; вып. 3, 1965.
* Рубинштейн Г. Ш.,0 развитии и применениях линейного программи-
рования в СССР, в кн. «Линейные неравенства и смежные вопросы», сб. статей под
ред. Г. У. Куна и А. У. Таккера, М., 1959.
* Терехов Л. Л., Применение математических методов в экономике, М.,
1962.
* Т и н т е р Г., «Введение в эконометрию», М., 1965.
* Чернов Г., М о з е с Л., Элементарная теория статистических решений,
М., 1962.
* «Экономисты и математики за круглым столом», М., 1965.
Game Theory and Related Approaches to Social Behavior, Martin Shubik (ed.),
John Wiley and Sons, Inc., 1964.
Goldberg S., Introduction to Difference Equations, John Wiley and Sons,
Inc., 1958.
К e m e n у J. G., S c h 1 e i f e r A., Jr., Snell J. L., T h о m p s о n G. L.,
Finite Mathematics with Business Applications, Prentice-Hall, Inc., 1962.
The Model in Its Environment: A Progress Report. — Paper No. 5 «А Programme
for Growth», Richard Stone (gen. ed.), Published for the Department of Applied Econo-
mics, University of Cambridge, by Chapman and Hall; July, 1964.
202
Schlaifer R.. Probability and Statistics for Business Decisions. An Intro-
duction to Managerial Economics under Uncertainty, McGraw-Hill Book Company,
Inc., 1959.
White H. C., An Anatomy of Kinship: Mathematical Models for Structures
of Cumulated Roles, Prentice-Hall, Inc., 1963.
Теория регулирования
Веллман P., Динамическое программирование, М., 1960.
* Веллман Р. и др., Некоторые вопросы математической теории процессов
управления, М., 1962.
* Веллман Р.,Дрейфус Ст., Прикладные задачи динамического про-
граммирования М., 1965.
Веллман Р., Процессы регулирования с адаптацией, М., 1964.
* Веллман Р., Теория динамического планирования, в кн. «Современная
математика для инженеров», под ред. Э. Ф. Беккенбаха, М., 1959.
* Солодовников В. В., Регулирование, БСЭ, изд. 2-е, т. 36, М., 1955.
Roberts S. М., Dynamic Programming in Chemical Engineering and Process
Control, Academic Press, 1964.
Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory, Richard Bellman
and Robert Kalaba (eds.), Dover Publications, Inc., 1964.
Вычислительные машины
* БрудноА. Л., Введение в программирование, М., 1965.
* Бут Э., Б у т К., Автоматические цифровые машины, М., 1959.
* Кил н е р Д. Е., Характеристики вычислительных машин второго десяти-
летия, в сб. «Кибернетический сборник», вып. 5, М., 1962.
* Криницкий Н. А., Миронов Г. А., Фролов Г. Д., Програм-
мирование, М., 1963. («Справочная математическая библиотека», под общей редакцией
Л. А. Люстерника и Р. А. Ямпольского.)
* Лебедев С. А., Электронные вычислительные машины, М., 1956.
* Л итцм а н В., Великаны и карлики в мире чисел, М., 1959.
«Самоорганизующиеся системы», М., 1964.
У л а м С., Нерешенные математические задачи, М., 1964. (Современные проб-
лемы математики.)
L е h m е г D. Н., Teaching Combinatorial Tricks to a Computer, в кн. Procee-
dings of Symposia in Applied Mathematics, vol. 10, Combinatorial Analysis, American
Matnematical Society, 1960.
Von Neumann J., The Computer and the Brain, Yale University Press,
1958.
W i 1 k e s M. V., Automatic Digital Computers, John Wiley and Sons, Inc., 1956.
Коротко об авторах
Рихард Курант — заслуженный профессор математики Нью-Йоркского университета.
В течение 22 лет был директором Института математических наук при Нью-
Йоркском университете. В 19о1 г. этому институту присвоено имя куранта.
В 1966 г. Курант избран иностранным членом АН СССР.
Филип Дейвис — профессор прикладной математики Броуновского университета.
Специалист по численному анализу.
Моррис Клайн — профессор математики. Глава специализированного математического
отделения при Нью-Йоркском университете, директор отдела электромагнит-
ных исследований Института математических наук имени Куранта. Автор
ряда популярных книг по математике.
У. У. Сойер — профессор математики Уэслейнского университета. Автор ряда попу-
лярных книг по математике.
Марк Кац — профессор математики Рокфеллеровского института. Специалист в об-
ласти теории вероятностей и статистической механики.
У. В. Куайн — профессор философии Гарвардского университета. Автор ряда книг
по математической логике и философии математики.
Фримэн Дайсон профессор математической школы при Принстонском институте
перспективных исследований. Проблемы, над которыми работает Дайсон
последние 10 лет, являются одновременно физическими и математическими.
Эдуард Мур — доктор математики. Специалист в области теории автоматов. Сотруд-
ничает в исследовательском отделении фирмы «Белл телефон лабораториз».
Ричард Стоун — профессор экономики Кембриджского университета. Занимается ма-
тематическим моделированием британской экономики.
Ричард Веллман — доктор математики. Автор 17 книг и около 400 статей по различ-
ным вопросам математики. Работает в фирме «Ренд».
Станислав Улам — научный консультант Лос-Аламосской научной лаборатории.
Предложил метод Монте-Карло, положивший начало использованию теории
вероятностей в численных расчетах.
Содержание
Предисловие................................................ 5
Математика в современном мире. Р. Курант х................ 13
Арифметика. Филип Дж, Дейвис.............................. 29
Геометрия. Моррис Клайн................................... 47
Алгебра. У. У. Сойер...................................... 65
Теория вероятностей. Марк Кац............................. 79
Основания математики. У. В. Куайн......................... 95
Математика в физических науках. Ф. Дж, Дайсон........... 111
Математика в биологических исследованиях. Эдуард Ф, Мур 129
Математика в общественных науках. Ричард Стоун .... 149
Теория регулирования. Ричард Веллман..................... 167
Вычислительные машины. Станислав М. У лам............... 181
Библиография............................................. 199
Коротко об авторах....................................... 204
I
/
Математика
в современном мире
Редакторы Р. А. Фесенко, Л. И. Штейнаауз
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор Ю. Л. Максимов
Технический редактор П> Грибова
Корректор л. И. Иванова
Сдано в производство 10/Х 1966 г.
Подписано к печати 5/Х 1967 г.
Бумага офсетная № 1 70х 108l/te=6,5 бум. л.
18,2 печ. л.
Уч.-изд. л. 17,51. Изд. № 12/3209
Цена 1р. 19 к. Зак. 831
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР>
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ярославский полиграфкомбинат Главполи-
графпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР
Ярославль, ул. Свободы, 97
Вниманию питателей!
В серии «В мире науки и техникам опубликованы и готовятся
к печати также следующие научно-популярные книги:
Азимов А. Краткая история биологии
Аугуста И. Великие открытия
Гарднер М. Этот правый, левый мир
К л а р к А. Сокровища Большого рифа
Пирс Дж. Квантовая электроника
Ф и и к Д. Вычислительные машины и человеческий разум
М 37С