Развитие учения о числе в Европе до XVII века - Матвиевская Г.П.

Автор: Матвиевская Г.П.

Теги: математика теория чисел естественные науки европа история математики

Год: 1971

Похожие

Развитие учения о числе в Европе до XVII века

Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке

Числа: от арифметики до высшей математики

Невероятные числа профессора Стюарта

Текст

Г. П.МАТВИЕВСКАЯ

азвитие
учения

| до XVII века

АКАДЕМИЯ НАУК УЗБЕКСКОЙ ССР

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. В. И. РОМАНОВСКОГО

Г. П. МАТВИЕВСКАЯ

РАЗВИТИЕ

УЧЕНИЯ
О ЧИСЛЕ
В ЕВРОПЕ
ДО XVII ВЕКА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ФАН» УЗБЕКСКОЙ ССР

ТАШКЕНТ-1971
51

МЗЗ

УДК 51 (09)

В книге, которая является продолжением работы того же автора
«Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке», рас-
сматривается развитие арифметики, алгебры, теории квадратичных ирра-
циональностей и теории отношений в Европе до XVI в. включительно.
Основное внимание уделено формированию понятия действительного
числа в трудах европейских математиков; отмечается влияние на них
сочинений ученых Ближнего и Среднего Востока.

Работа написана, главным образом, на основе изучения оригиналь-
ных изданий XV—XVI вв. с использованием существующей историко-
математической литературы.

Книга рассчитана на' специалистов по истории математики и студен-
тов математических факультетов вузов; может представить интерес и для
широкого круга читателей.

Ответственный редактор
академик АН УзССР
С. X. СИРАЖДИНОВ
ПРЕДИСЛОВИЕ

Средневековый период истории европейской математики при-
влекает внимание многих исследователей, прежде всего вви-
ду недостаточной его изученности и обилия вопросов как об-
щего, так и частного порядка, ждущих своего решения. Этот
период интересен, с одной стороны, тем, что именно тогда
сложились все предпосылки бурного расцвета научной мыс-
ли, который начался с XVI в. и привел к созданию в XVII в.
математики переменных величин. С другой стороны, матема-
тика средневековой Европы, рассматриваемая и сама по се-
бе, представляется сейчас намного более богатой по идейно-
му содержанию, чем это казалось сравнительно недавно.
Теперь ясно, что при изучении истории возникновения и
развития той или иной математической идеи следует со вни-
манием обращаться к средневековью — и восточному, и евро-
пейскому, — ожидая получить новые данные, касающиеся
этой истории.

В числе наиболее важных историко-научных проблем в
литературе часто отмечается проблема взаимного влияния
культур различных народов. Особый интерес она приобрета-
ет в применении к математике средневековья, хотя и обладав-
шей, как теперь выяснено, общностью закономерностей раз-
вития, но отличавшейся специфическими особенностями в
разных странах Востока и Запада [62, 126].

С точки зрения истории математики эпохи Возрождения
и Нового времени существенен вопрос о передаче в XI—
XIII вв. научных познаний, накопленных на Ближнем и Сред-
нем Востоке, в Европу, о ходе их усвоения и начале само-
стоятельного творчества европейских ученых.

В предлагаемой работе этот вопрос рассматривается в
рамках учения о числе, точнее, тех наук, развитие которых
вело постепенно к расширению понятия числа. Автор видит
в ней продолжение своей книги «Учение о числе на средне-
вековом Ближнем и Среднем Востоке», выводы которой по-
служили отправной точкой настоящего исследования.

Выделены два периода истории развития понятия числа
в средневековой Европе. Первый условно завершается XV в.
и может быть в общих чертах охарактеризован как период
усвоения восточного учения о числе. Второй охватывает
XVI в., эпоху Высокого Возрождения [38], когда, как и в дру-
гих областях науки, в математике был достигнут значитель-
ных прогресс и заложена база для выдающихся открытий
XVII в.

Автор не ставит своей целью дать систематический обзор
арифметики и алгебры рассматриваемого периода и коснуть-
ся всех многочисленных вопросов, возникающих в этой связи.
Внимание будет обращено на некоторые основные моменты
истории учения о числе. Это относится в особенности к XVI в.
которому отведена глава III: в ней рассматривается несколь-
ко наиболее характерных и не всегда достаточно известных
сочинений, содержащих изложение учения о числе, как его
понимали в то время. Поэтому при составлении списка лите-
ратуры имелось в виду указать читателю, в каких источни-
ках можно получить более подробные сведения по вопросам,
в данной книге затронутым только мимоходом. Естественно,
что в этом отношении более полезным оказался бы анноти-
рованный библиографический указатель, но, по мнению ав-
тора, такой указатель, касающийся истории математики Ев-
ропы в средние века и в эпоху Возрождения, должен стать
предметом самостоятельной работы.

Материалом, на котором построено исследование, послу-
жили, главным образом, оригинальные математические сочи-
нения, изданные в XV—XVI вв. Автор зачастую пользовался
экземплярами из фондов Библиотеки АН СССР в Ленингра-
де и искренне благодарен сотрудникам Отдела редкой кни-
ги, прежде всего Е. И. Гольцман.

Автор крайне признателен академику АН УзССР проф.
С. X. Сираждинову за постоянные внимание и поддержку, а
также профессорам И. Г. Башмаковой, Б. А. Розенфельду.
А. П. Юшкевичу и академику АН УзССР проф. В. П. Щег-
лову, ознакомившимся с рукописью в первом ее варианте и
сделавшим замечания, которые по возможности были учте-
ны при написании книги. За ценные советы, полученные в
процессе работы, автор приносит глубокую благодарность
профессору И. Н. Веселовскому.
Глава I

СРЕДНЕВЕКОВАЯ ЕВРОПЕЙСКАЯ МАТЕМАТИКА
И ВЛИЯНИЕ НА НЕЕ НАУКИ СТРАН ВОСТОКА

§1 . О культуре и науке Европы
в средние века

Характер развития европейской науки и, в частности, мате-
матики в средние века определялся социально-экономически-
ми условиями, свойственными этой исторической эпохе. Она
характеризуется как «эпоха возникновения, развития и упад-
ка феодального способа производства, феодальных общест-
венных отношений во всемирном масштабе» [38, т. III, стр. 7]
и подразделяется на три периода: раннего, развитого и позд-
него феодализма. В Западной Европе, где феодальные отно-
шения начали складываться с V в. первый период закончил-
ся в XI в., второй — в XV, третий — в середине XVII в.

Европейские государства раннего периода феодализма от-
личались предельно низким уровнем развития экономики и
культуры и замедленным темпом роста производства. Состоя-
ние науки этого времени, соответствовавшее уровню произво-
дительных сил, можно назвать состоянием глубокого упадка.

В конце XI в. началось оживление в культурной жизни,
вызванное некоторым прогрессом в сфере производства. По-
степенное развитие экономики, разделение сельского хозяй-
ства и ремесел, рост и усиление городов, укрепление торго-
вых связей непосредственно сказывались на уровне культуры.
Начали, хотя и медленно, развиваться также естественные
науки, возник интерес к эксперименту как методу исследова-
ния и зародилось понимание сковывающей роли схоластики
в научном прогрессе.

Однако существенные изменения как в социально-эконо-
мических условиях, так и в культурной жизни произошли
только начиная с XV в., в последний период развития феода-
лизма, когда в его недрах стал зарождаться новый общест-
венный строй. Параллельно с ростом буржуазии, по словам
Ф. Энгельса, «происходило гигантское развитие науки.
Стали вновь изучаться астрономия, механика, физика, ана-
томия, физиология. Буржуазии для развития ее промышлен-
ности нужна была наука, которая исследовала бы свойства
физических тел и формы проявления сил природы»1).

Наряду с другими естественными науками в этот пери-
од — в эпоху Возрождения — начала интенсивно развивать-
ся математика. Именно в XVI в. был заложен фундамент ис-
числения бесконечно малых и аналитической геометрии,
которые сформировались в следующем столетии. Мы видим
здесь убедительное свидетельство влияния практических по-
требностей на развитие математики и зависимости степени
этого влияния от состояния техники и производительных сил.
Если раньше «застой техники, общественных отношений при-
водил к застою мысли», то «достаточно было производитель-
ным силам и производственным отношениям получить воз-
можности нового развития, и мы видим в Европе значительное
оживление математической мысли, особенно с эпохи Возрож-
дения» [46, стр. 86].

Изучение истории математики средневековья долго огра-
ничивалось поздним периодом, в научном отношении, естест-
венно, наиболее интересным. Впоследствии, однако, стало вы-
ясняться, что и ранние этапы заслуживают пристального
внимания. Исследования, которые были начаты во второй
половине XIX в., доказали неправильность взгляда на этот
период как на мертвый период в истории науки. Несмотря на
засилие схоластики, в позднее средневековье не только на-
копился богатый фактический материал из разных областей
знания, но возникли новые идеи, начали формироваться но-
вые методы, развитие и применение которых обеспечило важ-
нейшие достижения в будущем.

В настоящей главе дан общий обзор европейской мате-
матики до XII в. и отмечено влияние на нее математики
стран Ближнего и Среднего Востока, а также Византии. Среди
сочинений, переведенных в XII в. с арабского языка, специ-
ально рассматриваются ранние латинские версии «Начал»
Евклида, сыгравшие важнейшую роль в истории математи-
ческой науки в Европе. Сообщаются также сведения о наи-
более видных ученых XIII—XV вв. и об их трудах по ариф-
метике и алгебре.

§2 . Европейская математика до XII в.

В результате социально-экономических потрясений, перенесен-
ных в первые века нашей эры, из всего огромного богатства
античной математики Европа получила в наследство лишь
то немногое, что сохранили поздние римляне с их относи-
тельно низким уровнем научных познаний. Оригинальные

О К- Маркс и Ф. Энгельс Соч., изд 2-е, . 22, стр. 307.
труды римских авторов, где находила применение математи-
ка, касались, главным образом, решения прикладных задач из
области архитектуры и геодезии [189]. Математические тео-
рии греческих классиков были полностью забыты [68, 192, 207,
300, 303].

Чрезвычайно скудный по содержанию научный материал
подразделялся в средневековой Европе по римской традиции
на «тривиум» (грамматика, риторика, диалектика) и «квадри-
виум» (арифметика, геометрия, астрономия, музыка).

Европейской математике, базировавшейся на столь бедной
основе, предстояло пройти долгий путь, прежде чем было
восстановлено утраченное понимание проблемы научного
исследования и вновь освоены наивысшие достижения антич-
ной науки. На первых же порах было необходимо объединить
в целостную систему и приспособить к требованиям новой
эпохи обрывки древних теорий, которые оказались доступ-
ными в то время ученым Европы. Эту задачу призваны бы-
ли решить компилятивные сочинения энциклопедического
характера, составлявшие основную часть европейской науч-
ной литературы до XII в. К наиболее ранним из них относи-
лись труды римских ученых V—VI вв. Марциана Капеллы,
Макробия, Боэция, Кассиодора.

Наиболее значительным из названных авторов был Аниций
Манлий Северин Боэций (480—525 гг.), римский философ,
государственный деятель и ученый, находившийся на службе
у Теодориха (ок. 454—526 гг.) — короля остготов, владычест-
ву которых была в то время подчинена Италия. В числе не-
скольких сенаторов Боэций был обвинен в тайных связях с
Византией и по приказу короля казнен.

Своими многочисленными трудами Боэций оказал огром-
ное влияние на интеллектуальную жизнь средневековой Ев-
ропы и в течение почти тысячелетия считался одним из круп-
нейших научных авторитетов древности. Получивший обра-
зование в Афинах и хорошо знакомый с греческими сочине-
ниями, он перевел некоторые из них — в том числе труды
Аристотеля, Евклида, Никомаха, Порфирия — на латинский
язык и составил комментарии к ним. Он написал также не-
сколько трактатов по философии, теологии, музыке и астро-
номии.

Важную роль в истории европейской математики сыгра-
ло сочинение Боэция «О введении в арифметику» («Ве 1пзй-
(иНопе агИйшеНса»), которое в течение долгих веков было
чрезвычайно популярным и служило основой школьного и
университетского математического образования. Фа ктически
до XVII в. оно воспроизводилось со ссылкой на автора в
книгах по математике — в разделах, излагающих теоретиче-
скую арифметику. Оно попало в число первых математиче-
Аниций Манлий Северин Боэций (из средневековой
рукописи).

ских сочинений, изданных типографским способом [151], и
позднее многократно переиздавалось, выдержав только в
XVI в. по крайней мере, четыре издания.

По содержанию арифметический труд Боэция совершен-
но не оригинален; он является свободным переводом «Введе-
ния в арифметику» Никомаха. Подробнее' па этом вопросе
мы остановимся ниже (см. гл. II)

Боэцию приписывали в средние века также несколько
трактатов геометрического содержания. Один из них — «Гео-
метрическая наука», содержащий, между прочим, описание
абака, оказался научным подлогом XI в., имеющим целью
показать, что это средневековое вычислительное устройство
происходило от Пифагора [24, 25, 312, 437, 465].

По свидетельству Кассиодора, Боэций дал также полный
латинский перевод «Начал», который, однако, не сохранился
[217,312].
«Книга о музыке» Боэция, которая излагает древнегрече-
скую пифагорейскую музыкальную теорию и содержит инте-
ресные данные об истории античной математики, также бы-
ла широко распространена и переиздавалась впоследствии
несколько раз типографским способом. В 1872 г. вышел ее
немецкий перевод [376].

Полностью математические труды Боэция были изданы на
языке оригинала в 1867 г. [286].

О славе Боэция-математика в средние века свидетельст-
вует одна из скульптур знаменитого Шартрского собора (по-
строен в XII—XIII вв.), представляющая «семь свободных
искусств»; статуя Боэция олицетворяет арифметику, тогда
как статуи Евклида и Пифагора — соответственно геометрию
и музыку.

Хотя творчество Боэция в целом лишено оригинальности,
значение его нельзя, как это часто случается, сводить на нет,
ибо его труды явились первым звеном, связавшим средневе-
ковую европейскую науку с античной, и определили уровень
математического мышления целой эпохи. Именно как одна из
основ самостоятельного творчества математиков Европы они
привлекают сейчас внимание исследователей.

К более ранним римским сочинениям, оказавшим влияние
на науку Европы, относится «Естественная история» («НЫо-
па па(ига115») Плиния (23—79 гг.), в которой была собрана
богатая коллекция естественнонаучных фактов из астроно-
мии, географии, антропологии, медицины, зоологии, ботани-
ки, изящных искусств и т. д.

Живший в начале V в. Марциан Капелла из Карфагена
дал описание наук тривиума и квадривиума в энциклопедии
«Бракосочетание Филологии и Меркурия» («МирНа РЫ1о1о-
§1ае е! Мегсигп»); в ней аллегорические персонажи, олицетво-
ряющие семь свободных искусств, приносят по случаю обру-
чения Филологии (т. е. науки вообще) и Меркурия (олицетво-
рение торговли) в виде подарков символы своих наук и дают
им разъяснение. Арифметика ограничивается здесь кратким
извлечением из сочинения Никомаха и рассуждением в пифа-
горейском духе о мистическом значении чисел; раздел гео-
метрии содержит толкование основных греческих математи-
ческих терминов, а в большей части посвящен географии
[411].

Видный писатель и политик Кассиодор (ок. 490 — ок.
575 гг.), занимавший высокие служебные посты при короле
Теодорихе и его преемниках, а затем ушедший от светских
дел в монастырь, написал ряд научных сочинений, в том
числе «О семи дисциплинах» («Пе 8ер(ет ШзщрПпаз») [198]г
в котором, в частности, излагал основы теоретической ариф-
метики по Боэцию. Кассиодор считал необходимым повыше-
ние уровня монастырского образования и ставил перед папой
вопрос об основании в Риме теологического учебного заведе-
ния по образцу школы в Нисибине [469, стр. 29].

Энциклопедический обзор всех научных познаний своего
времени дал епископ Исидор Севильский (570—636 гг.) в со-
чинении, состоящем из двадцати книг и озаглавленном «Эти-
мологии» или «Начала» («Оп§тез»), в котором были затро-
нуты, хотя и поверхностно, математические вопросы. Этот
ученый пользовался славой самого образованного человека
своего времени и служил во многом образцом для Беды
Достопочтенного (ок. 673—735 гг.), оставившего заметный
след в европейской математике раннего средневековья [123,
137, 469].

Беда жил в Ирландии, обучался и провел всю жизнь в
монастыре. Его научные интересы отличались разнообразием
и охватывали, наряду с историей и риторикой, астрономию и
математику. Он написал, в частности, энциклопедию «О при-
роде вещей» («Ое па1ига гегит») по образцу «Естественной
истории» Плиния и «Этимологий» Исидора Севильского.
В течение долгого времени это сочинение служило в Европе
источником астрономических знаний.

Много внимания Беда уделил хронологии и календарю,
главным образом, вычислению первого дня пасхи. Эти воп-
росы рассматриваются в его труде «О счете времени» («Эе
{етрогигп гаНопе»), в котором он изложил также правила
пальцевого счета, широко распространенного в средние века
как в странах Востока, так и в Европе [123, 300].

Для Беды Достопочтенного уже характерно стремление
не только обобщать знания древних, но и применять их в це-
лях просвещения. Еще ярче оно проявилось в творчестве
Алькуина (ок. 735—804 гг.), который работал при дворе им-
ператора Карла Великого (768—814 гг.) и сыграл видную
роль в совершенствовании школьного образования и распро-
странении математических знаний. Ему приписывают сочине-
ние «Задачи для изощрения юношества» («РгорозШопез ас!
асиепйоз руепоз») [129], содержащее многочисленные уп-
ражнения на смекалку, например известную задачу о волке,
козе и капусте, и задачи, которые сводятся к целочисленному
решению линейных уравнений и их систем. Алькуин организо-
вал несколько начальных школ, где преподавались предметы
«тривиума» и «квадривиума», а также школу в монастыре
около города Тура, программа обучения в которой была бо-
лее сложной.

Монастыри в период раннего европейского средневековья
были центрами научной жизни, и поэтому деятельность мо-
настырских школ имела важное значение для развития ма-
тематики. Хотя ее преподавание ограничивалось сугубо при-
кладными вопросами и ученикам сообща-
лись, главным образом, знания, необхо-
димые для вычисления дат церковных
праздников, для нужд строительст-
ва и т. д., но уже в то время отмечал-
ся интерес к чисто научным проблемам
[299, 300].

Традицию основанной Алькуином
школы в Туре продолжала в X в. школа
в Реймсе, одним из преподавателей ко-
торой был знаменитый Герберт (ок. 940—
1003 гг.), видная политическая фигура

Пояснительный
чертеж из письма
Герберта к Адаль-
больду из Утрехта.

своего времени, в последние годы жиз-

ни— папа Сильвестр II [19, 24, 123, 282—285, 290, 316, 344].
Он родился в Оверни, образование получил на севере Фран-
ции а затем совершил поездку в Испанию, где постиг «пре-
мудрость арабов и приобрел те математические и астрономи-

ческие познания, которые так поражали современников»
[316, стр. 62].

Труды Герберта, по которым обучались арифметике, гео-
метрии и астрономии долгое время спустя после их написа-
ния, свидетельствуют о пробуждении в Европе в конце X в.
внимания к научному исследованию. Хотя принадлежность
Герберту некоторых приписываемых ему сочинений сомни-
тельна, деятельность этого ученого, безусловно, оказала ог-
ромное влияние на развитие математики.

Сохранившаяся переписка Герберта [290, 345] свидетель-
ствует о широте его научных интересов. Несколько писем но-
сят характер небольших математических трактатов. Так,
в двух письмах к своему ученику Константину из Флери
[345, стр. 39—42] Герберт разъясняет некоторые места из со-
чинений Боэция об арифметике и музыке, касающиеся
свойств избыточных чисел и числовых отношений. Констан-
тину же адресован трактат о способах арифметических опе-
раций на абаке [24, 285, 290], где дано первое в литерату-
ре подробное описание метода деления на этом счетном

инструменте.

Письмо Герберта к Адальбольду, епископу Утрехта, [345,
стр. 299—301], по словам Г Ганкеля, есть «первое математи-
ческое сочинение, заслуживающее этого названия» [300,
стр. 314]. В нем поясняется различие между площадью равно-
стороннего треугольника, имеющего сторону 7, и седьмым
треугольным числом.

Таким образом, можно утверждать, что к концу X — нача-
лу XI вв. работа математиков, следовавших римской тра-
диции. ознаменовалась некоторыми успехами, главным обра-
зом, в области просвещения. Однако темпы развития мате-
матики и его направление существенно изменились только
веком позже, с появлением в Европе переводов научных
сочинений с арабского языка на латинский.

§3 . Ранние латинские переводы
с арабского и греческого языков

Решающее значение для развития математики в Европе
имела широко развернувшаяся с XI—XII вв. деятельность
переводчиков научной литературы с арабского и греческого
языков на латинский. После долгого периода умственной изо-
ляции европейские ученые получили, благодаря их переводам,
доступ к классическим античным сочинениям, сохранившимся
в греческом оригинале или в арабских версиях, а также к
трудам математиков и астрономов Ближнего и Среднего
Востока. Помимо греческой и восточной медицины и филосо-
фии, они познакомились с астрономией Птолемея и «индий-
ской» арифметикой, с алгеброй, тригонометрией и оптикой.
Изучение переводной литературы развивало навыки научно-
го исследования и давало новые стимулы для развития точ-
ных наук, что обусловило появление в скором времени пер-
вых оригинальных трудов европейских ученых.

Восточная наука начала проникать в Европу с X в. раз-
личными путями, в частности, через Испанию и Сицилию.
Главный пункт этого проникновения находился на Пиринен-
ском полуострове [123, 287, 303, 399—401, 405].

Испанские города Толедо, Кордова, Севилья, Гренада и
другие со времени захвата страны арабами (IX в.) стали
крупными центрами науки и образования с многочисленны-
ми библиотеками, обсерваториями, высшими учебными
заведениями. В них из разных государств Европы стекались
те, кто стремился приобщиться к восточной учености. В XII
и XIII вв. здесь шла активная работа по переводу математи-
ческих и астрономических сочинений на латинский язык.
Несколько позднее школы переводчиков появились и на юге
Франции [303, 405, 416, 487].

К числу первых и наиболее выдающихся переводчиков
математической литературы с арабского языка принадлежит
английский монах, член бенедиктинского ордена Аделард из
Бата — «пионер изучения арабской науки и философии в
XII в. и самое значительное имя в английской науке до Ро-
берта Гроссетеста и Роджера Бэкона» [302, стр. 491]. Извест-
но [302, 303, 307, 399, 416, 487], что Аделард учился во Фран-
ции, там же преподавал, а затем предпринял длительное пу-
тешествие по Италии, Малой Азии, Северной Африке и Испа-
нии с целью изучения арабской науки. Расцвет его деятель-
ности приходится на 1120—ИЗО гг.
Интересы Аделарда были направлены, главным образом,
на философию, астрономию и математику. В его основном
философском сочинении «Естественные вопросы» («(^иезНопез
па1игаНз») [303], написанном в форме диалога между ним и
его племянником, остававшимся во время его путешествий
во французском городе Лаоне и придерживавшимся тради-
ционного схоластического взгляда на науку, содержатся но-
вые для того времени мысли о необходимости познания при-
роды. К ранним математическим сочинениям Аделарда отно-
сится трактат «Правила абака» («Ке§о1а аЬасЬ>) [158, 303],
составленный под влиянием Боэция и Герберта. Позднее он
написал сочинение об астролябии и ряд других произведений.

Наибольшей заслугой Аделарда из Бата является пере-
вод с арабского на латинский язык нескольких трудов по
математике и астрономии [303, 416, 487]. Среди них особое
место занимают «Начала» Евклида в арабской версии Исха-
ка ибн Хунайна, исправленной Сабитом ибн Коррой. Этот
перевод получил широкое распространение и сохранился до
настоящего времени в многочисленных рукописях. Сыграв-
ший не менее серьезную роль в истории европейской мате-
матики и астрономии перевод астрономических таблиц ал-
Хорезми в обработке испанского ученого X в. Ахмада
ал-Маджрити был выполнен Аделардом в 1126 г., по-видимо-
му, во время его пребывания в Испании.

Есть основания полагать, что Аделард является также ав-
тором двух трактатов, в большой мере способствовавших
распространению в Европе десятичной позиционной системы
счисления с применением нуля: «Книги введения Алхоризма
в астрономическое искусство, составленной магистром А.»
(«ЫЬег у$а§о§агиш А1сйопзгш ш аг1еш аз1гопогп1сат а та-
д!з1го А. сотрозПит») [220, 329, 361] и перевода трактата
ал-Хорезми об «индийской арифметике» («А1§огШ1гп1 с!е на-
шего шдогшп») [220, 329].

Большую славу завоевал многочисленными переводами
Герардо Кремонский (1114—1187 гг.), долго работавший в
Испании, куда его привлекло желание ближе познакомиться
с арабскими версиями греческих сочинений и, в частности,
с «Альмагестом» Птолемея [143, 146, 154, 287, 303, 399, 416,
487]. В Толедо он изучил арабский язык и слушал лекции по
астрономии у англичанина Даниила из Морли.

Опубликованный Б. Бонкомпаньи в 1851 г. список пере-
водов Герардо Кремонского [154] насчитывал 71 название,
но впоследствии он значительно обогатился [399, 416]. Среди
сочинений, ставших известными европейским ученым благо-
даря этому неутомимому переводчику,— труды Аристотеля
и ал-Фараби по философии, медицинские произведения Га-
лена, Гиппократа, Ибн Сины и ар-Рази. Но особенно вели-
ка его заслуга в распространении математических и астро-
номических знаний: он перевел на латынь «Начала» и «Дан-
ные» Евклида, «Альмагест» Птолемея, «Конические сечения»
Аполлония, «Оптику» Ибн ал-Хайсама, «Книгу о карастуне»
Сабита ибн Корры, знаменитый алгебраический трактат
ал-Хорезми и астрономический труд ал-Фаргани, сочинения
Ахмада ибн Юсуфа ал-Мисри «Об отношении и пропорции»
и «О подобных дугах», а также много других.

Видными переводчиками XII в. были Роберт из Честера
и Герман из Каринтии, работавшие в Испании и на юге
Франции и поддерживавшие тесную связь друг с другом.

Роберт из Честера известен как автор одного из наиболее
ранних латинских переводов сочинений по алхимии, а также
как переводчик корана; наиболее важным для истории евро-
пейской науки является перевод «Алгебры» ал-Хорезми, вы-
полненный им в 1145 г. [287, 303, 333, 336, 399, 416, 487].

Герман из Каринтии [144, 165, 182, 183, 239, 303, 399, 416,
487], упоминаемый в средневековых источниках также под
именем Германа Далматского, Славянина или Германа Вто-
рого (в отличие от более раннего переводчика с тем же име-
нем), учился в Шартре или Париже, был знатоком филосо-
фии. Он перевел с арабского несколько сочинений по астро-
номии и астрологии, в том числе «Планисферий» Птолемея,
труды Абу Маш'ара ал-Балхи и Сахла ибн Бишра; он упо-
минает также о сделанных им переводах «Альмагеста»
Птолемея, астрономических таблиц ал-Хорезми и ряда дру-
гих сочинений, рукописи которых не сохранились. Герману
из Каринтии принадлежит также перевод 12 книг «Начал»
Евклида (см. ниже).

Среди плодотворно работавших переводчиков XII в. нуж-
но упомянуть также Иоанна Севильского из Толедо — автора
перевода арифметического трактата «Книга Алгорисма о
практике арифметики («ЫЬег а1^оп8тти бе ргасНса апзте!-
псе»), а также астрономических сочинений ал-Фаргани (изда-
но в 1493 г.) и Абд-ал-Азиза ал-Кабиси (в латинской транс-
крипции Алкабиция). Первый из названных трактатов пред-
ставляет собой, вероятно, позднюю арабскую обработку
арифметического сочинения ал-Хорезми; он был опубликован
в 1857 г. Б. Бонкомпаньи [155] (см. также [250]).

Среди трудов работавшего в то же время Гуго из Сантал-
лы, очевидно, уроженца Северной Испании, — перевод ком-
ментария ал-Бируни к астрономическим таблицам ал-Хорез-
ми [303, 428].

Итальянец Платон из Тиволи, творчество которого
(1134—1145 гг.) связано с Барселоной [123, 153, 223, 303],
является автором переводов введения к знаменитым астро-
номическим таблицам ал-Баттани, ряда астрономических
сочинений и «Книги об измерениях» («ЫЬег етЬадогигп»)
работавшего вместе с ним Абраама бар Хийа, известного
под именем Савасорды (ок. 1070 —ок. 1136 гг.).

Важнейшим фактором развития культурных и научных
контактов между европейскими государствами и странами
Востока была торговля, которая осуществлялась, главным
образом, через освобожденную от арабов в XI в. Сицилию,
через итальянские города Геную, Пизу и Венецию, а также
через Византию. Значительно меньшую, хотя иногда и пре-
увеличиваемую, роль в отношении передачи научных знаний
с Востока на Запад сыграли крестовые походы [38, 56, 371].

Один из крупных центров соприкосновения греческой,
восточной и латинской науки находился в Сицилии, что объ-
ясняется и ее географическим положением, и ее историей
[5, 123, 303—305, 426, 432]. Уже в XI в. при норманнском ко-
роле Роджере, а особенно столетие спустя — при его внуке
Фридрихе II ко двору в Палермо привлекались талантливые
ученые как из Европы, так и из арабских стран. Здесь, на-
пример, в 1154 г. был составлен знаменитый географический
трактат ал-Идриси.

Около 1150 г. переводчик Евгений из Палермо перевел с
арабского языка «Оптику» Птолемея [365]. Работавший при
Фридрихе II известный ученый уроженец Шотландии Миха-
ил Скотт (ум. ок. 1236 г.) сделал перевод астрономического
трактата ал-Битруджи (XII в.), сочинений Ибн Сины и Ибн
Рушда (Аверроэса).

В то же время Сицилия, где греческий язык был столь же
распространен, как арабский и латинский, стала родиной
первых переводов античных сочинений непосредственно с
текста оригиналов, без использования арабских версий. Так,
еще в XII в. здесь были переведены с греческого на латин-
ский язык «Альмагест» Птолемея, «Данные», «Оптика» Ев-
клида и приписываемая ему же «Катоптрика», некоторые тру-
ды Аристотеля, Герона Александрийского и др. [147, 301, 303,
399]. В дальнейшем интерес к переводам греческих сочине-
ний продолжал возрастать и приобрел наиболее широкий
размах в XVI в.

Постепенно стали появляться переводы не только на ла-
тынь, но и на народные языки. Так, по свидетельству флорен-
тийского алгебраиста XIV в. Каначчи [348, стр. 45], Гильемо
де Лунис (XIII в.) перевел с арабского на итальянский язык
трактат «Правила алгебры».

Говоря о ранних переводах с арабского языка, необходи-
мо заметить, что несогласованность специальной терминоло-
гии, а иногда недостаточность познаний переводчика в мате-
матике и астрономии приводили к появлению латинских тек-
стов, содержавших много неясных мест и с трудом восприни-
маемых читателем; это, между прочим, послужило причиной
распространившегося впоследствии неверного мнения об
ошибочности арабских переводов с греческого. Часто пере-
водчики дублировали друг друга, причем не всегда лучший
или ранний перевод становился более популярным. Наконец,
переводились лишь доступные переводчику сочинения, а из
них чаще выбирались более короткие и легкие; в результате
многие фундаментальные труды ученых Ближнего и Средне-
го Востока остались неизвестными средневековой Европе.

Однако это не может умалить исторического значения
деятельности первых переводчиков — людей, фактически
возродивших науку в странах Европы. Их творчество в на-
стоящее время освещено в обширной литературе, и тем не
менее, оно настоятельно требует дальнейшего изучения.

§ 4. Византийская математика

На развитие науки в средневековой Европе несомненное вли-
яние оказала Византия. Благодаря своему географическому
положению она явилась средоточием различных культурных
течений и промежуточньш звеном в отношениях между
Ближним и Средним Востоком с одной стороны и Европой —
с другой. Поэтому с точки зрения истории науки Византию
рассматривают как «большой резервуар материала, из кото-
рого менее цивилизованный Запад черпал на протяжении
всего средневекового периода» [303].

Византийская наука, не пережившая столь глубокого
упадка, какой наблюдался в эпоху раннего средневековья в
западноевропейской науке, до XV в. в значительной степени
сохраняла античные традиции. Греческий язык был нацио-
нальным языком Византии, и, несмотря на борьбу против
«языческой» науки, основу образования составляла классиче-
ская греческая литература [186, стр. 765]. Сочинения Гомера,
Аристофана, Демосфена, Платона и Аристотеля хранились в
богатых византийских библиотеках и пользовались широкой
известностью.

Интерес к византийской математике пробудился в конце
прошлого века. Особенно важный вклад в ее изучение внес-
ли П. Таннери [439] и И. Л. Гейберг [313], поставившие воп-
рос о необходимости внимательного исследования докумен-
тальных источников и в первую очередь сохранившихся ма-
тематических рукописей. Это позволило бы объективно вос-
произвести историю византийской математики IV—XV вв.
а также выяснить некоторые важные моменты развития нау-
ки в средневековой Европе.

Сформулированная задача не потеряла своей актуально-
сти и в настоящее время. Сейчас история византийской ма-
тематики является предметом исследования ряда историков
науки и прежде всего К. Фогеля, обзорная статья которого
[457] существенно использована в данном параграфе.

По характеру византийская математика была скорее при-
кладной, чем теоретической наукой и продолжала то направ-
ление в античной математике позднего периода, которое бы-
ло представлено трудами Герона по оптике и механике и
Птолемея по астрономии. Развитие получили логистика, гео-
дезия и другие дисциплины, связанные с жизненной практи-
кой, большое внимание привлекала также числовая мистика.
В то же время идеи Архимеда, Аполлония и других класси-
ков оказались в основном забытыми.

В первый период истории византийской математики (V—
VI вв.), когда были еще сильны античные традиции, точные
науки процветали в Александрии, Афинах и в высшей школе
Константинополя. Хотя интересы ученых, работавших в этих
центрах, не совсем совпадали, их научная деятельность про-
текала в тесном контакте. В названных школах работали
выдающиеся комментаторы сочинений классиков Серен
Антинойский (IV в.), Теон Александрийский и его дочь Ги-
патия (ум. в 415 г.), философы и математики Прокл Диадох
(410—485 гг.), Домнин из Лариссы (V в.), Аммоний Алек-
сандрийский (V в.), Симпликий (V—VI вв.), Евтокий Аска-
лонский (конец V в.). Последний, например, оставил коммен-
тарии к трудам Аполлония и Архимеда и сохранил в своем
сочинении чрезвычайно важные отрывки из утерянной впос-
ледствии истории греческой математики Евдема (ок. 320 г.
до н. э.).

Непосредственно в Византии в V—VI вв. работали над
строительством знаменитого Софийского собора в Константи-
нополе Антемий Тралесский и Исидор Милетский, оба неза-
урядные математики. Первый написал сочинение о зажига-
тельных зеркалах, внеся кое-что новое в теорию конических
сечений Аполлония; второй составил комментарий к утерян-
ному труду Герона, а также издал трактаты «Измерение
круга» и «О шаре и цилиндре» Архимеда с комментариями
Евтокия; один из его учеников является автором книги XV
«Начал», приписываемой Евклиду.

В более поздний период, ознаменованный государствен-
ными потрясениями и войнами, античные традиции, особенно
в естественных науках, предельно ослабли. В VII в. закры-
лись университеты, в частности Константинопольский, играв-
ший ведущую роль после прекращения существования акаде-
мии в Афинах (529 г.). Единственным научным центром в
последующее столетие оставалась школа патриарха в Кон-
стантинополе, однако с началом иконоборчества (VIII в.)
закрылась и она.
На этом фоне существенно понизился и уровень препода-
вания математики в общеобразовательных школах. Внима-
ние привлекали только вычислительное искусство и теория
измерений.

Тем не менее, современные историки показывают [73, 123г
132, 455, 457], что рассматриваемый период нельзя назвать
временем полной деградации научной мысли. Об этом сви-
детельствует, например, творчество ученого IX в. Льва Мате-
матика, о котором сохранились некоторые сведения [73, 311,
457]. Он получил образование в Константинополе, а затем у
некоего монаха на острове Андрос, изучал литературу в биб-
лиотеках различных монастырей и в дальнейшем преподавал,
светские науки, главным образом математику. Около 840 г.
Лев был назначен митрополитом Фессалоник, но как иконо-
борец был смещен с этого поста после восстановления иконо,-
почитания. Когда в 863 г. возобновил свою деятельность
Константинопольский университет, Лев стал его ректором
и преподавателем философии.

Льву Математику византийские историки приписывали
глубокие познания в точных науках. Он создал, по их свиде-
тельству, любопытные автоматические устройства в импера-
торском дворце — золотые «диковины», например поющих
птиц или рычащего льва, которые поражали воображение
иностранных послов, а также систему световой сигнализации.
Этот, несомненно, значительный ученый был учителем не-
скольких математиков. С одним из них связана легенда,,
согласно которой он попал в плен к арабам и был доставлен
ко двору халифа ал-Ма‘ мука (ум. в 833 г.), где участвовал в.
математических диспутах. При этом он проявил не только зна-
ние греческой геометрии, но и творческий подход к решению
задач, в чем превзошел багдадских ученых. Узнав имя его
учителя, халиф пригласил Льва Математика в Багдад,,
но это приглашение было отклонено по воле византийского
императора. Легенда говорит также о научной переписке
между Львом и ал-Ма‘муном, касавшейся различных вопросов
геометрии, на которые византийский математик дал блестя-
щие ответы.

К кругу учеников Льва Математика принадлежал Ки-
рилл — выдающийся просветитель, один из создателей сла-
вянской письменности. Из лекций другого ученика — Арета
видно, что Лев применял буквенные обозначения для выра-
жения арифметических соотношений в общем виде, подобные
тем, которые позднее, в XIII в., встречаются в Европе у
Леонардо Пизанского и Иордана Неморария [457].

Неоценимы заслуги Льва Математика в собирании руко-
писей и переписке сочинений классиков греческой науки. При
нем были составлены рукописи «Начал». Евклида, трудов1
Аполлония, Архимеда и Птолемея, утерянная впоследствии
рукопись «Арифметики» Диофанта, лежащая в основе самой
древней из существующих сейчас рукописей этого сочинения,
которая относится к XIII в,; появились также многие схолии
к Евклиду, комментарии к Архимеду и т. д.

В X в. в Византии работал ученый, известный под именем
Герона Младшего, автор трактата об измерении Земли по
методу Герона Александрийского; этот трактат был написан
в 938 г., а в 1572 г. издан на латинском языке в Европе, где
пользовался популярностью.

В тот же период (X в.) составлены многие дошедшие до
нас рукописи сочинений Евклида, Евтокия, Птолемея, не за-
бытых, следовательно, по крайней мере отдельными матема-
тиками.

К XI в. относится деятельность разностороннего учено-
го, много занимавшегося математикой, Михаила Пселла
(ок. 1018—после 1078 г.), который возглавил обновленный
в это время университет в Константинополе. Помимо сочине-
ний о философских вопросах математики, он написал схолии
к V—VII книгам арифметического трактата Ямблиха (111—
IV вв.), греческий текст которых существует сейчас в публи-
кации П. Таннери [439, стр. 269—274], и трактат об арифме-
тической терминологии Диофанта [436]. Пселлу приписыва-
ют — правда, без достаточных оснований — обзор наук
«квадривиума», широко известный в Европе в XVI в. и издан-
ный на греческом языке в 1533 г., а с латинским перево-
дом— в 1556 г. В этом сочинении, в частности, сообщались
сведения о свойствах чисел по Никомаху и излагался способ
определения площади круга как среднего геометрического
между площадями вписанного и описанного квадратов (при
этом гс = ]/8 = 2,828).

Еще большую популярность у европейских ученых заслу-
жили сочинения Максима Плануда (1260—1310 гг.), кото-
рый в 1296 г. был послом византийского императора в Вене-
ции. Поборник тесного общения с Западом, он перевел с ла-
тинского на греческий язык сочинения Овидия, Макробия,
Боэция. Ему принадлежат комментарии к двум первым кни-
гам «Арифметики» Диофанта и трактат по практической
арифметике, в котором разъясняются правила действий в
десятичной позиционной системе с нулем (обозначается араб-
ским термином «цифра»). Плануд специально отметил, что
эта система имеет индийское происхождение [123, 192, 291,
457]. Об индийской системе счисления писал и живший
несколько ранее Плануда монах Неофит [439, стр. 20—26].

Ученик Плануда Мануил Мосхопул (XIII—нач. XIV в.)
написал сочинение о «магических квадратах», где, в
противоположность другим авторам, рассматривает вопрос
не с мистической, а с математической точки зрения [439,
стр. 27—60].

В XIV в. в Византии работали также ученый и государсл
венный деятель Феодор Метохит (ум. в 1332 г.), написавший
«Основные начала астрономической науки», и его ученик
Никифор Григор (1295—1360 гг.), который занимался астро-
номией и оставил после себя трактат о квадратных числах.
Его современником был калабрийский монах Варлаам (ум.
ок. 1348 г.), сочинение которого о практической арифметике
было позднее опубликовано в Европе на греческом и латин-
ском языках. Помимо этого сочинения, где излагалась тео-
рия обыкновенных и 60-ричных дробей и теория отношений,
а также трактата о солнечных затмениях, он написал ком-
ментарий ко второй книге «Начал» Евклида.

Другой современник Никифора Григора — ученый армян-
ского происхождения Николай Артавазд Рабдас (ок. 1341 г.)
[55, 91, 123, 439] дал обработку задачника Максима Плануда
и оставил несколько писем математического содержания,
где изложены правила арифметических действий над целыми и
дробными числами [439, стр. 1 —19, 61 —198]. В частности,
разъясняется метод приближенного извлечения квадратного
корня, рассматриваются прямое и обратное тройные правила
в их приложении к хозяйственным задачам, решаются зада-
чи, сводящиеся к линейным уравнениям. Из текста следует,
что Рабдас был знаком с «Арифметикой» Диофанта.

Ученик Никифора Григора Исаак Аргир (ок. 1310—пос-
ле 1371 г.) является автором нескольких трактатов по астро-
номии, тригонометрии, геометрии, геодезии, а также схолий
к шести первым книгам «Начал» Евклида и к задачнику
Максима Плануда в редакции Николая Артавазда. Кроме то-
го, ему принадлежит новое издание комментариев Прокла к
«Введению в арифметику» Никомаха.

К числу значительных математиков и астрономов XIV в.
принадлежал Феодор Мелитениот. Он написал ок. 1361 г.
«Астрономию в трех книгах», явившуюся результатом изуче-
ния трудов Птолемея и Теона, а также астрономических со-
чинений, привезенных из Персии.

Кроме названных ученых XIV в. можно упомянуть зани-
мавшегося астрономией Николая Кабасиллу (ок. 1290—
1371 гг.), его родственника Иоанна, оставившего схолии к
Евклиду, как и Деметрий Кидон, один из первых переводчи-
ков с латинского языка на греческий [457].

Имеющиеся данные со всей определенностью указывают
на непосредственные контакты византийской науки с наукой
Ближнего и Среднего Востока. В IX в. из Византии в Баг-
дад была доставлена значительная часть рукописей греческих
сочинений, которые багдадские ученые переводили на араб-
ский язык. Известно, что специальную экспедицию по по-
купке рукописей возглавлял знаменитый переводчик, знаток
греческого, сирийского и арабского языков Исхак ибн
Хунайн.

Отражением существовавших научных связей являются и
легенды, подобные приведенному выше рассказу о Льве Ма-
тематике.

Факт тесного взаимодействия византийской и так называе-
мой «арабской» науки особенно ясно подтверждается анали-
зом греческих сочинений математического и астрономического
содержания, например, исследованной в 1876 г Г Узенером
[449] рукописи XV в. из Ватиканской библиотеки. В нее вхо-
дит несколько астрономических трактатов, несущих на себе
следы восточного влияния. Здесь имеются ссылки на выдаю-
щихся астрономов ал-Баттани (ок. 850—929 гг.), Абд-ар-
Рахмана ас-Суфи (903—986 гг ) и аз-Заркали (903—986 гг.),
из которых первый работал в Багдаде, второй — в Ширазе,
а третий — в испанском городе Толедо. Упоминаются астро-
номические таблицы «Зидж ас-Санджари» Абд-ар-Рахмана
ал-Хазини (XII в.)—ученика великого математика и поэта
Омара Хайяма и «Зидж ал-алай» ученого XIII в. Асир ад-
Дина ал-Абхари. Встречаются имена основателя знаменитой
обсерватории в Марате Насир ад-Дина ат-Туси (1201 —
1274 гг.) и его ученика Мухи ад-Дина ал-Магриби.

Два имени вызвали сомнение у автора исследования. Пер-
вое, которое он оставил без определения,— в греческом напи-
сании хогдацт] дал сер—совершенно очевидно, должно быть рас-
шифровано, как Хусам ад-Дин Салар. Этот астроном и мате-
матик работал при Хулугу-хане и занимал до ат-Туси долж-
ность придворного астролога.

Второе имя (Харф цлогхарт^) Узенер прочел как Шамс
(ад-Дин) ал-Бухари и идентифицировал эту личность с ра-
ботавшим также в XIII в. Шамс ад-Дином ас-Самарканди —
автором таблицы неподвижных звезд (составлена в 1276—
1277 г.), трактата «Обоснованные предложения» (ашка;
ат-та‘сис) и ряда других сочинений [4].

О. Нейгебауэр, исследовавший недавно византийскую
астрономическую терминологию [370], обнаружил трактаты,
продолжающие греческую традицию (например, астрономи-
ческие таблицы, основанные на таблицах Птолемея и Теона),
но наряду с ними и другие, написанные под прямым воздей-
ствием ученых стран ислама. Среди астрономических терми-
нов имеются слова как чисто греческого происхождения, так
и транскрибированные арабские.

Относительно Шамс ад-Дина ал-Бухари, на зидж кото-
рого встречается ссылка, Нейгебауэр, в противоположность
Узенеру, считает, что имеется в виду Шамс ад-Дин Мирак
ал-Бухари [427, стр. 161], проводивший наблюдения в Бухаре
в 1254 г.

К XIII в. в Византии получила распространение «индий-
ская арифметика», о чем свидетельствует, например, упоми-
навшийся трактат Максима Плануда.

Познания византийцев XV в. в области арифметики ярко
характеризуются недавним исследованием Хунгера и Фогеля
[321], которые опубликовали с немецким переводом и коммен-
тариями анонимный рукописный греческий задачник этого
времени, хранящийся в Вене. Он содержит сто задач, глав-
ным образом, практического содержания, многие из которых
известны из древневавилонских, китайских, арабских и рим-
ских математических текстов. Наряду с задачами, непосред-
ственно связанными с жизненной практикой (например, вы-
числение цен, задачи об обмене товаров и денег и т. д.), встре-
чаются и вопросы, для решения которых нужны определен-
ные теоретические познания (например, задача, сводящаяся
к системе уравнений х + у = а, х + г = Ь, у + г = с, где по суще-
ству дан способ нахождения чисел вида 4п, 4п +1, 4п,+ 2,
4м 4- 3).

Любопытно, что автор трактата не перенял индийских
цифр, а применял для обозначения чисел от 1 до 9 буквы
греческого алфавита, добавив знак для нуля. Отсюда мож-
но заключить, что новое обозначение чисел распространялось
медленно и к XV в. еще не стало господствующим.

Пожалуй, наиболее примечательно, что в рукописи встре-
чаются вычисления с десятичными дробями, которые, как ут-
верждает автор трактата, «турки принесли с собой в страну»
[321, стр. 33]. Несомненно, при этом имеются в виду сотруд-
ники самаркандской школы Улугбека (и прежде всего Али
Кушчи, умерший в Константинополе в 1474 г.), явившиеся,
следовательно, передатчиками в Византию открытия Джам-
шида Гияс ад-Дина ал-Каши. Авторы исследования [321] ви-
дят значение рассмотренной рукописи в том, что она дока-
зывает проникновение методов «индийской» арифметики в
Европу не только через Испанию и Италию, но и через
Византию. Прослеживается также взаимное влияние визан-
тийской и западноевропейской математики, сказывающееся,
в частности, в терминологии: помимо чисто греческих, араб-
ских и турецких слов, встречаются и итальянские.

§5 . Европейские ученые XIII—XV вв.
и их труды по арифметике и алгебре

С XIII в. в Европе начинается подъем математического твор-
чества, появляются сочинения, знаменующие собой начало
нового этапа истории точных наук. Приведем общие сведения
о математиках XIII—XV вв. и об их трудах, которые упоми-
наются в последующих главах.

Первым выдающимся европейским ученым, сочинения ко-
торого в течение двух-трех столетий оказывали непосредст-
венное воздействие на ход развития математики, является
живший в XIII в. Леонардо Фибоначчи (т. е. сын Боначчи),
чаще фигурирующий под именем Леонардо Пизанского. Его
сочинения, изданные по рукописям в середине прошлого века
Б. Бонкомпаньи [346], исследованы многими историками ма-
тематики [19, 31, 107, 123, 192, 244, 245, 247, 300, 348,399 и др.].

Леонардо Пизанский, биографические сведения о кото-
ром весьма скудны, был, по-видимому, близок к купеческим
кругам и путешествовал по Египту, Сирии, Греции, Сицилии
и Южной Франции. Основательно изучив методы «индийской»
арифметики и отдав им предпочтение перед другими вычис-
лительными методами, он изложил их в законченной около
1202 г. «Книге абака» («ЫЬег аЬасЬ), представляющей собой
энциклопедию математических знаний его времени. Второй
вариант этого труда был завершен, вероятно, в 1228 г., и
именно этот текст дошел до нашего времени.

Во введении автор говорит, что к «индийским» методам он
«добавил собственное, а также кое-что из тонкостей геомет-
рического метода Евклида и создал, таким образом, труд, ко-
торый теперь публикует в пятнадцати разделах, чтобы род
латинян отныне больше не находился в неведении относитель-
но этих вещей».

В «Книге абака» явно сказывается близкое знакомство
автора с арабскими арифметическими и алгебраическими со-
чинениями. Сама схема построения этого труда, в общем,
повторяет схему изложения материала, ставшую традицион-
ной у восточных математиков после ал-Хорезми. Вначале речь
идет об изображении любого числа с помощью девяти «ин-
дийских» знаков (наряду с правилами пальцевого счета и
действий на абаке), затем дано описание основных ариф-
метических операций с целыми числами и дробями, некоторых
методов практической арифметики, правил действий с квад-
ратными и кубическими корнями и, наконец, решение ряда
геометрических вопросов и «задач алгебры и алмукабалы».

Многие математические понятия Леонардо Пизанский вы-
ражает с помощью транскрибированных арабских терминов.

Значительное число задач прямо заимствовано у восточных
авторов, главным образом, у ал-Караджи и, вероятно, через
него — из «Алгебры» Абу Камила. Конечно, трудно сказать,
пользовался ли Леонардо Пизанский непосредственно араб-
скими источниками или получил свои познания от византий-
ских математиков, влияние которых на него также не подле-
жит сомнению. Так, например, в «Книге абака» он ссылается
на некоего «магистра Муска из Константинополя», предло-
жившего ему задачи для решения.

О знакомстве Леонардо Пизанского с греческими источ-
никами, а возможно, с неизвестным нам латинским перево-
дом «Начал» Евклида не с арабского языка, а непосредствен-
но с греческого, свидетельствует, в частности, применение тер-
мина «рити» или «ритон» (греческое рлтг1) Для обозначения
рациональной величины. Высказывалось, однако, предполо-
жение, что сведения о некоторых разделах «Начал» Евклида
были сообщены Леонардо Пизанскому устно каким-то визан-
тийцем [244].

Помимо «Книги абака», Леонардо Пизанский является
автором геометрического трактата («РгасНса §еоте^г1ае>>»
1220 г.), а также двух сочинений — «Книга квадратов» (1_лЬег
циас!га1огит», 1225 г.) и «Цветок» («Е1ор»),— сыгравших
важную роль в истории учения о числе в Европе [346]. Они
написаны после того, как их автор был представлен в Пизе
императору Фридриху II и участвовал в математическом дис-
путе с философом и придворным юристом Иоанном из Па-
лермо1).

Труды Леонардо свидетельствуют не только о его глубо-
ких познаниях в различных областях математики и знаком-
стве с трудами предшественников, но и о выдающихся твор-
ческих способностях.

Важное место в истории европейской математики зани-
мают труды Иордана Неморария (Логдапиз Ыегпогапиз), ве-
роятно, современника Леонардо. Имеются более или менее
достоверные сведения о том, что он был генералом основан-
ного в 1170 г. монашеского ордена доминиканцев [192, т. II,
стр. 49—54]. Неморарий написал несколько замечательных
для своего времени сочинений по математике, астрономии и
механике, в которых встречаются новые важные научные идеи.
Подробному исследованию его математических трудов посвя-
щены многочисленные работы историков науки — Г Эне-
стрёма, М. Курце и других.

Огромной популярностью пользовались трактаты Немора-
рия по арифметике: теоретической — «Арифметика, разъяс-
ненная в десяти книгах» («АгИЬтеНса десет ИЬгоз детоп-
з(га(а» [257])—и практической — «Разъяснение магистра-
Иордана об алгорисме» («Оетопз1га(ю та^^п Логдат де
а1^ог1зто» [192, 253—255]). Не менее известными были ал-
гебраическое сочинение Неморария «О данных числах» («Ое
пшпепз даИз» [63, 112, 123, 192, 211, 213, 444, 471] и геомет-

0 Г. Энестрём [237, т. IX, стр. 72—73] показал, что в данных о пребы-
вании Леонардо при дворе Фридриха II противоречий нет.
рический трактат «О треугольниках» («Ое 1г1ап§и118» [212]).
Подробно на некоторых разделах трудов Неморария мы ос-
тановимся ниже. Здесь заметим лишь, что в них ясно просле-
живается влияние восточной математической литературы; так,
по мнению Г Энестрёма [257], второй из названных трактатов
Иордана Неморария «представляет собой попытку обобщить
учение Евклида при учете арабской арифметики». То же
можно сказать о его алгебраическом и геометрическом трак-
татах.

Период XIII—XIV вв. обычно характеризуется как время
усвоения знаний, приобретенных на Востоке. Как говорит
Ф. Рудио, «создается впечатление, что народы были угнетены
массой сообщенного им научного материала и могли перера-
ботать его лишь постепенно» [394]. Однако в это время уже
начинают формироваться новые направления физико-матема-
тических наук. Одной из особенностей европейской науки,
в отличие от науки стран ислама, становится стремление к ма-
тематизации естествознания1).

Математические знания в XIII—XIV вв. распространялись
в Европе прежде всего благодаря монастырским школам, в
учебную программу которых, хотя и в предельно ограничен-
ном объеме, входила математика. Немалое значение имела
деятельность многочисленных преподавателей, обучавших ме-
тодам практической арифметики, необходимость знания ко-
торых остро ощущалась в купеческой среде.

Важнейшим событием в культурной жизни Европы была
создание, чаще всего — на базе монастырских школ, первых
университетов [123, 225, 299, 303—305, 387, 424]. Среди ста-
рейших, возникших еще в XII в.,— университеты Болоньи,
Парижа и Оксфорда. Вслед за ними, в XIII—XIV вв. были-
основаны многочисленные университеты в Италии, Франции,.
Англии, Испании, Германии.

Математике в различных университетах уделялось неоди-
наковое внимание. Основу программы обучения составляла,
теология, преподавание которой шло под сильным влияни-
ем сочинений Аристотеля, зачастую — по их арабским вер-
сиям. В некоторых университетах наиболее важное значе-
ние придавалось юриспруденции (например, в Болонье)
и медицине (Салерно). Однако учащиеся получали и
математические знания, по крайней мере, в объеме «квад-
ривиума».

0 Науке европейского средневековья и, в частности, различным ма-
тематико-философским проблемам того времени (учение о «широте форм»
и «интенсификации и ремиссии качеств», проблема континуума и беско-
нечности и др.) сейчас уделяется все большее внимание, однако многие-
вопросы еще остаются неосвещенными [49, 57, 58, 202, 203, 208, 209, 360,.
490, 493—495].
Список книг, которые требовалось изучить, был достаточ-
но обширен. Например [387], в Болонском университете XIV в.
астрономия изучалась вместе с математикой, причем предпо-
лагалось знание «Начал» Евклида в обработке Кампано (см.
ниже), свободного перевода «Альмагеста» Птолемея, принад-
лежащего Герардо Кремонскому, «Четырехкнижия» Птоле-
мея, трактата по практической арифметике «А^опзпи де пп-
пиНз е1 т1е^пз», ряда переведенных с арабского астрономи-
ческих таблиц и правил их применения, астрологического
трактата Алкабиция (ал-Кабиси) в переводе Герардо Кре-
монского и других источников.

В университетах Италии, где было живо влияние Леонар-
до Пизанского, в преподавании математики преобладали
вопросы более или менее прикладного характера. Иные тра-
диции сложились в Парижском университете, основанном в
1253 г. Сорбоном: математические знания были восприняты
здесь, главным образом, из арабских комментариев к трудам
Аристотеля, Евклида, Птолемея, и основное внимание уделя-
лось не фактам, а методам рассуждения. В трудах париж-
ских математиков XIII—XIV вв. рассматривались, например,
математическое понятие бесконечности и другие теоретиче-
ские вопросы, важность которых была понятна лишь в
XVII в. [408].

Как самостоятельный предмет математику, долго относи-
мую к подсобным дисциплинам, стали преподавать только в
начале XV в., очевидно, впервые — в Вене [102, 299, 446]. В
Венском университете, открытом в 1365 г. и в значительной
мере следовавшем традициям Парижского, уже в XIV в. пре-
имущественное внимание уделялось изучению математики,
физики, астрономии и медицины.

В университетах математика носила, как правило, отвле-
ченный характер, в торговых же кругах изучались главным
образом практические приемы вычислений. Это дало М. Кан-
тору [192] основание утверждать, что в XIII—XIV вв. в Ев-
ропе существовали две математические школы: духовная
школа университетов, основателем которой он считал Иорда-
на Неморария, и светская купеческая школа, ведущая начало
от Леонардо Пизанского. Как показал Г Энестрём [253], та-
кая схема слишком примитивна и не отражает действитель-
ного положения дела.

В XIII в. наряду с Леонардо Пизанским и Иорданом Не-
морарием работали и другие ученые, сочинения которых сыг-
рали немалую роль в распространении математических знаний.
Среди них следует назвать Иоанна Сакробоско (иначе, Джо-
на Голливуда или Джона Галифакса), учившегося сначала
в Оксфордском, а затем в Парижском университетах и пре-
подававшего в Париже астрономию и математику [331]. Ему
^принадлежат написанное по образцу «Альмагеста» сочинение
«Эе зрЬегае шипсН» и чрезвычайно популярный в свое время
трактат по арифметике «ТгасШиз де аг1е питегапсН» (т. е.
«Трактат об искусстве счета»).

Огромное влияние на развитие естествознания в средние
века оказали философы XIII в. Роберт Гроссетест (1175—
1253 гг.) и Роджер Бэкон (ок. 1210 — ок. 1295 гг.) [207].

Роберт Гроссетест, выдающийся английский ученый, за-
нимался не только философией, но и математикой, астроно-
мией, физикой. Он переводил на латинский язык греческие
сочинения и комментировал их, в частности, «Вторые анали-
тики» и «Физику» Аристотеля. Выдвинутое им требование—
основывать натурфилософскую теорию на математике и опы-
те — было затем повторено и развито его знаменитым уче-
ником Роджером Бэконом.

Среди математических дисциплин, наряду с арифметикой,
алгеброй и геометрией, большое внимание привлекало в
XIII в. учение о перспективе, которое позднее заинтересовало
художников не в меньшей мере, чем математиков. Теория
перспективы излагалась в трудах по оптике Роджера Бэкона,
Иоанна Пекхама (Лоаппез РекЬат, ок. 1242—1282 гг.), Ви-
тело СЩИеПо, XIII в.), которые основывались на латинских
переводах «Оптики» выдающегося арабского математика и
физика Ибн ал-Хайсама (965—1039 гг.).

Важную роль в развитии математики в Европе сыграли
ранние латинские переводы «Начал» Евклида. К числу наи-
более популярных из них (см. § 6) относится обработка этого
сочинения, выполненная Джованни Кампано (Лоаппез Сатра-
пиз). Этот ученый, которого Роджер Бэкон называл выдаю-
щимся математиком своего времени, происходил из итальян-
ского города Новара (близ Милана) и был капелланом папы
Урбана IV, время правления которого приходится на годы
1261 —1281; позднее Кампано занимал пост каноника в Пари-
же [145, 192, 259, 399]. Сильное влияние на него оказали
взгляды Роберта Гроссетеста.

Перу Кампано принадлежат несколько сочинений по мате-
матике, астрономии и, возможно, комментарий к трактату
о музыке Птолемея. Он комментировал также «Арифметику»
Иордана Неморария. К его математическим трудам относят-
ся трактаты «О квадратуре круга» и «Об отношении». Второй
из них, как и версия «Начал» Кампано, подробнее будут рас-
смотрены ниже.

Среди астрономических сочинений Кампано некоторые но-
сят общетеоретический характер, другие содержат описание
инструментов, усовершенствованием которых он занимался
сам |_207,, стр. 67]. Один из широко применявшихся парижски-
мн учеными астрономический инструмент, модернизирован-
ный Кампано, долго был известен под его именем.

В XIII в. работал датский математик Петер Ингварссён
(Ре(ги8 РЬПотегп де Пас1а), доминиканский монах, обучав-
шийся в Париже, а затем живший в монастыре около Копен-
гагена. Помимо календаря, составленного на 1292 г и таб-
лиц умножения шестидесятиричных чисел, ему принадлежит
комментарий к арифметическому трактату Сакробоско, имею-
щий значение самостоятельного труда [218].

В XIV в., конец которого относят уже к эпохе Возрож-
дения, наблюдается значительный подъехМ в развитии науки,
в том числе и математики. С этим временем связана деятель-
ность нескольких выдающихся ученых в Англии, Франции и
Германии.

Томас Брадвардин (Вгадууагдтиз, ок. 1290—1349 гг.), дол-
го работавший в Оксфордском университете, славился среди
современников прежде всего как философ; однако наиболь-
шую известность ему принесли труды по математике и астро-
номии [123, 209, 318]. Математические сочинения Брадвар-
дина — «Теоретическая геометрия» («Оеоте1па 8реси1аН-
уа»), «О квадратуре круга» («Е)е диадга1ига с1гсиИ»), «Тео-
ретическая арифметика» («АгИИгпеНса 8реси1а(}уа»), «Трак-
тат о континууме» («ТгасШиз де сопНпио»), «Об отношениях»
(«Ое ргорогНошЬиз») были изданы типографским способом
после изобретения книгопечатания, некоторые — много-
кратно.

Особое внимание историков математики привлекает трак-
тат «Об отношениях»; в 1955 г. текст его вместе с английским
переводом и исследованием опубликовал Г Кросби [209]. Не
меньший интерес вызывает и «Трактат о континууме» [58г
123, 414].

Жан де Мер (Леап де Меигз, латинизированная форма
Лоаппез де Мипз, ок. 1310 — ок. 1360 гг.) родился в Нор-
мандии, был в Париже каноником и доктором Сорбонны.
Большая часть его сочинений по математике, музыке и астро-
номии, широко известных в XIV—XV вв., осталась в руко-
писях.

Наиболее важен математический труд Жана де Мер —
«Четырехчастие чисел» («(^иадпрагШит питегогит»), на
который ссылались выдающиеся немецкие математики XV в.
Адам Ризе и Региомонтан (см. ниже); последний намеревал-
ся издать его типографским способом. Две главы из второй
книги этого сочинения, в которых идет речь о практической
арифметике, были опубликованы и исследованы А. Наглем в
1880 г. [362], а третью книгу рассматривал в 1912—1913 гг
Л. Карпинский [334]. Трактат Жана де Мер по теоретической
арифметике, написанный на основе труда Боэция, был напе-
чатан в Вене в 1515 г.

Одним из крупнейших деятелей средневековой науки яв-
ляется Николай Орем (КЧсо1е Огет, или Огевте, Ногет, Но
геп, ок. 1323—1382 гг.), творчество которого знаменовало
апогей математики в XIV в. Труды Орема, первым из своих
соотечественников писавшего не на латинском, а на француз-
ском языке, сейчас хорошо изученные исследователями [57,
59—61, 90, 123, 180, 192, 202, 210, 297, 423, 473—475, 477, 493,
494], были посвящены астрономии, механике и математике. В
«Трактате о широтах форм» (ТгасШив де 1аШидш1Ьиз 1ог-
тагит) он высказал некоторые идеи математики переменных
величин, в частности, графического представления функции,
и может с полным правом считаться предшественником Га-
лилея и Декарта [123, стр. 395—403]. В другом сочинении —
«Алгорисм пропорций» («А1§ог18ши8 ргорогБопит»), осо-
бенно важном для развития понятия числа, он систематиче-
ски применяет дробные показатели степени и распространяет
на них правила действий с целыми показателями.

Известный немецкий ученый XIV в. Альберт Саксонский
(А1Ьег1ив де Захоша), работавший в Парижском университе-
те, а затем ставший первым ректором университета в Вене,
относился к тем деятелям науки, чьими трудами были достиг-
нуты первые значительные успехи в развитии механики и кос-
мологии [57, 192, 408]. Ему принадлежат исследования о
центре тяжести, о фигуре Земли и т. д.; занимался он и проб-
лемой математической бесконечности. Среди его сочинений
по математике — «Квадратура круга» («(2иадга1ига сисиИ»)
и «Трактат об отношениях» («ТгасШиз ргорогБопигп»); пос-
ледний был напечатан в Венеции в 1496 г. [130].

В Италии в XIV в. не затухала алгебраическая традиция
Леонардо Пизанского. Еще в XIII в. Гильемо де Лунис
(Си§Ке1то де Битв) написал латинский трактат по алгебре
[258]. В XIV в. вышло «Рассуждение об алгебре» (Ка^юпа-
тепН д'А1§еЬга) Рафаэля Каначчи (КаИаеИ Саласе!) на
итальянском языке (как и предыдущее, никогда не издавав-
шееся типографским способом); эта рукопись хранится в На-
циональной библиотеке Флоренции [383].

В XV в. первенство в математическом творчестве перешло
из Франции в Италию, а затем в Германию.

Событием огромной важности для всей культурной жизни
Европы и прежде всего для развития науки явилось откры-
тие (1471 г.) Иоганном Гуттенбергом (ок. 1400—1468 гг.)
книгопечатания, намного облегчившего обмен знаний, в част-
ности, математических [77, 192].

Одним из первых издателей сочинений по математике был
Эрхард Ратдолът (ЕгИагд КаМоН, ок. 1443 — ок. 1528 гг.),
уроженец Аугсбурга. В течение И лет он жил в Венеции, где-
основал ставшую знаменитой типографию и, вернувшись в
1486 г на родину, продолжал издательскую деятельность. В
издании Ратдольта вышли многочисленные математические-
книги, в том числе «Введение в арифметику» Боэция (1488),
астрономическое сочинение Абу Маш‘ара в латинском пере-
воде Иоанна Севильского (1488 г.) и другие.

Особенно важное значение имело первое печатное изда-
ние «Начал» Евклида, вышедшее из типографии Ратдольта
25 мая 1482 г [267]. В этой книге, значение которой для по-
пуляризации математики трудно переоценить, были впервые-
типографским способом воспроизведены геометрические чер-
тежи; в предисловии издателя это отмечалось как большой-
успех, упростивший дальнейшую публикацию математических
сочинений.

Среди итальянских математиков XV в. самое видное место>
занимает Лука Пачоли (Биса Расшо1о, 1445—1514 гг.) [89,
123, 128, 185, 192, 339, 412]. Он родился в селении Сан-Се-
полькро, жил в Перудже, Милане, Неаполе, Риме, Венеции^
и Флоренции, возможно, путешествовал по Востоку; был чле-
ном францисканского монашеского ордена.

Пачоли преподавал математику частным лицам и в учеб-
ных заведениях, в том числе в Римском университете. Близ-
кие отношения связывали его с выдающимися деятелями
итальянского Возрождения — Альберти (1404—1472 гг.),
Пьеро делла Франческо (ок. 1420—1492 гг.) и Леонардо да
Винчи (1452—1519). Второго из них — художника и теорети-
ка живописи, автора трактатов о перспективе и правильных
телах — Пачоли называл своим учителем.

Главный труд Пачоли — «Сумма по арифметике, геомет-
рии, отношениям и пропорциональности» («Битша бе агНЬ-
теНса, ^еотеШа, ргорогНош е1 ргорогНопаШа») издано в
1494 г. в Венеции; позднее, в 1523 г. появилось и. второе из-
дание.

В другом сочинении Пачоли «Божественная пропорция»
(«П1уша ргорогНопе», Венеция, 1509 г.) изложена теория-
«золотого сечения» применительно к теории правильных мно-
гогранников, архитектуре и т.д.; как приложение к этому тру-
ду была издана «Книга о пяти правильных телах» Пьеро дел-
ла Франческо.

Трактат Пачоли «О силах количеств» («Пе УшЬиз диап-
ШаНв»), написанный между 1496 и 1508 гг. и оставшийся не-
опубликованным, представляет собой собрание математиче-
ских игр и развлечений. Труд Баше де Мезириака (1587—
1638 гг.), которого часто считают основоположником этого-
раздела математики, появился лишь век спустя, в 1612 г.
Единственная сохранившаяся и находящаяся' в Болонском
Лука Пачоли (портрет работы Якопо де Барбари, XV—XVI вв*).
университете рукопись трактата Пачоли была исследован^ в
1924 г. А. Агостини [128].

В 1509 г. Пачоли переиздал также «Начала» Евклида [307].

Живший раньше Пачоли итальянский математик и астро-
ном Проздочимо де Бельдоманди (Ргозс1ос1гпо бе ВеМошапсН,
ок. 1380—1428 гг.) из Падуи написал около 1410 г. «Весьма
полезный и нужный трактат по алгоритму» («А1§оп8гт 1гас-
1а(из региНИз е1 песеззагшз»), посвященный практической
арифметике и изданный впоследствии дважды — в 1483 и
1540 гг. [343].

Другой итальянский математик Пьетро Борги (Р1е1го Вог-
§Ь1), о котором известно лишь, что он был венецианцем и
умер после 1494 г., является автором капитального труда по
коммерческой арифметике, впервые изданного в 1484 г.
Э. Ратдольтом, ставшего чрезвычайно популярным и переиз-
дававшегося в XV—XVI вв. не менее пятнадцати раз [343].

Во второй половине XV в. работал также Франческо Пел-
лос, или Пеллиццати (Егапсезсо РеШггаН), итальянец или
выходец из Прованса, автор трактата по практической ариф-
метике («Аг1 бе агИЬгпеНса»), изданного в 1484. г; в Турине*
сейчас весьма редкого и малоизученного [89]'
В числе ученых XV в., представлявших математику в Гер-
мании, следует, прежде всего, назвать Иоганна из Гмудена
Цокапп уоп Сглибеп, ок. 1380—1442 гг.), который просла-
вился лекциями по астрономии и математике в Венском уни-
верситете [123, 192, 299, 359, 446].

Яркими фигурами европейской математики являются
Пейрбах и Региомонтан, оказавшие, в частности, огромное
влияние на развитие тригонометрии [176—178, 491, 492].

Георг Пейрбах, или Пурбах (Сеог^ РеигЬасЬ, 1423—
1461 гг.), был профессором Венского университета. Он напи-
сал ставший знаменитым учебник по теории планет. Кро-
ме того, ему принадлежит трактат «Начала арифметики»
(«Е1етеп1а агИЬтеНсез»), изданный в XVI в. ( см. о нем
в гл. II, § 9).

Иоганн Мюллер, известный под именем Региомонтана
(Ке§1огпоп1апи8, 1436—1476 гг.), учился в Венском универ-
ситете у Пейрбаха. Отношения между учителем и учеником
стали настолько дружескими, что когда в 1460 г. Пейрбах
был приглашен на работу в Рим, он поставил условие, чтобы
его сопровождал Региомонтан. Планы Пейрбаха были прер-
ваны смертью. Региомонтан последовал этому приглашению
один и провел семь лет в Италии, где изучал труды античных
математиков по греческим рукописям, коллекционированию
которых он уделял много внимания. Вернувшись в Германию,
он поселился в Нюрнберге, однако в 1475 г. был снова приг-
лашен в Рим для участия в реформе календаря и по прибы-
тии туда неожиданно умер.

Не касаясь чрезвычайно важных сочинений Региомонтана
по астрономии и тригонометрии [123, 149, 197, 219, 224, 389,
492], отметим, что он может быть назван автором первой в
Европе работы по истории математики: обзора развития
математической науки с древности и до его времени во вве-
дении к лекциям об астрономии ал-Фаргани.

Интересные сведения об алгебре и арифметике в Герма-
нии XV в. сообщает мюнхенская рукопись (Сод. 1а1. Мопас.
14908), написанная частично на немецком, частично на ла-
тинском языках: переписана она в 1461 г регенсбургским мо-
нахом-бенедиктинцем Фридрихом (Рга1ег Рпдепсиз), воз-
можно, автором сочинения [214—216, 293, 454].

Иоганн Видман (ЛоИапп ЧЧс1тапп)—один из зачинате-
лей немецкой алгебры — был уроженцем богемского города
Эгера. Сведения о нем крайне скудны; известно, что в 1480 г.
он числился студентом Лейпцигского университета, где по-
лучил степень баккалавра, а затем магистра искусств. В
1480 г. в Лейпциге впервые была напечатана его книга
«Быстрый и красивый счет для всего купечества» («ВеЬепде
нпд ИиЬзсИе КесИпип^ аиИ аПеп КаиЛшаппзсИаП»), сыграв-
шая важную роль в истории алгебры; следующие ее издания
вышли в 1508, 1519, 1526 гг. [157, 192, 293, 299].

Во Франции в середине XV в. жил и творил замечательный
ученый, лионский медик и математик Никола Шюке (№со-
1аз СЬидиеЦ [192, 352, 435, 470]. В 1484 г. он закончил свой
труд «Наука о числах в трех частях» («Ье ТпраНу еп 1е
5С1епсе де погпЬгез»), который, хотя и оставался до XIX в.
неопубликованным, получил широкое распространение в ру-
кописях и оказал значительное влияние на математиков
XVI в. В частности, он был почти полностью воспроизведен
в «Арифметике» Этьенна де ля-Рош (ЕзНеппе де 1а Коске),
вышедшей первым изданием в 1520, а вторым — в 1538 г.
Публикация в 1880 г. трактата Шюке [352] имела важнейшее
значение для истории науки, так как позволила исследовате-
лям сделать ряд новых выводов относительно средневековой
европейской математики.

При сравнении сочинений Пачоли и Шюке, написанных
одновременно и, по всей вероятности, независимо друг от
друга, М. Кантор [192] отметил более высокий теоретический
уровень второго из них и на этом основании подчеркнул
большее его значение для истории математики. Г. Энестрём
[237, т. XIII, стр. 339] не согласен с этим выводом и подчер-
кивает различие целей обоих авторов: «Витта» была заду-
мана как пособие для практиков, «ТпраНу» — как теорети-
ческое сочинение.

К концу XV в. в Европе, таким образом, были усвоены
результаты, полученные восточными математиками, и созда-
ны все условия для того, чтобы в следующем столетии, ока-
завшемся переломным в истории науки, европейские ученые
обогатили математику первыми важнейшими результатами
своего оригинального творчества.

§6 . Переводы «Начал» Евклида

«Начала» Евклида, написанные в IV—III вв. до н. э.,— одно
из самых замечательных математических сочинений, извест-
ных истории науки.

Велико было его значение и в средние века: его справед-
ливо рассматривали как ключ к пониманию античной мате-
матики, на базе которой развивалась математика этого пе-
риода на Ближнем и Среднем Востоке и в Европе. Именно
поэтому в IX в., на заре расцвета науки стран ислама, «На-
чала» попали в число первых переведенных на арабский язык
трудов греческих ученых (подробнее см. [82, стр. 99—103]).

На латинский язык впервые «Начала» были переведены,
вероятно, еще в I в. до н. э.; во всяком случае, Евклида упо-
минает Цицерон, сетовавший на то, что его современники ин-
тересуются математикой лишь из чисто практических сообра-
жений [308, стр. 206]. Однако только к VI в. относится упо-
минание о конкретном латинском переводе «Начал»; Кассио-
дор приписывал его Боэцию (Еис1ус1ет {гапзЫит т Рота-
пит Ип^иат Нет У1г та^пШсиз ВоеШшз дейИ [198, стр.
434]). Точных сведений об этом переводе нет. Известно сред-
невековое сочинение по геометрии, автором которого назван
Боэций и которое содержит определения книги I «Начал»,
пять постулатов, три аксиомы, ряд определений из книг II,
III и IV, несколько предложений из книг I—IV (без доказа-
тельств), а также вычисление площадей некоторых плоских
фигур на частных примерах. Однако написано оно, по мне-
нию исследователей, значительно позднее и получило в исто-
рико-математической литературе название «Псевдобоэций»*
[25, 192, 214, 286, 300, 307, 437, 465]. В конце этого сочинения
рассматриваются три первые задачи из книги I «Начал» и
приводится систематическое доказательство — самый ранний
пример такого рода в европейской литературе.

Свидетельство существования перевода «Начал» с гре-
ческого на латинский язык до XII в., т. е. до появления пере-
водов арабских версий этого сочинения, дают обнаруженные
М. Курце отрывки из некоторых рукописей X в. Фрагменты,
воспроизведенные им в предисловии к изданию латинского
перевода комментария ан-Найризи к «Началам» [221], содер-
жат два предложения (37 и 38) из книги I и одно (8)
из книги II; эти отрывки представляют собой дословный пе-
ревод с греческого текста, выполненный, судя по некоторым
терминам, итальянцем, мало знакомым как с греческим язы-
ком, так и с математикой. В другом отрывке [217] дается ла-
тинский текст определений из книги V «Начал» (см. гл. II,
§6).

Были найдены и другие доказательства существования
раннего перевода «Начал» непосредственно с греческого язы-
ка. Однако, например, довод Т. Хиса [307], ссылающегося на
старинные английские стихи, из которых будто бы явствует,
что Евклид был известен в Англии уже в X в., как позже ус-
тановлено [489], ошибочен.

В Европе с первыми признаками возрождения математи-
ческой науки в XII в. возник особый интерес к «Началам»
как к сокровищнице мудрости ученых прежних поколений.

Первый перевод «Начал» с арабского, по которому евро-
пейские математики могли познакомиться с полным текстом
сочинения Евклида, выполнил ок. 1120 г. Аделард из Бата.
Этот перевод получил широкое распространение и сохранил-
ся до настоящего времени в многочисленных рукописях. В
конце прошлого века его изучал Г Вейсенборн [466], а не-
давно — М. Кладжетт [201], который сравнил рукописи с
арабским источником и установил, что существуют три версии
перевода Аделарда, имеющие значительные различия. В том
же XII в. появились и два других перевода «Начал», принад-
лежащих Герардо Кремонскому и Герману из Каринтии.

Перевод Герардо Кремонского упоминался в средневеко-
вом списке его сочинений, опубликованном Б. Бонкомпаньи
[154], и долгое время считался утерянным; однако в 1901 г.
А. Бьёрнбо обнаружил в Риме рукопись книг X—XV из этого
перевода, а в 1904 г. и полный текст в нескольких вариантах
[143, 146]. Герардо Кремонский дал точный перевод арабской
версии «Начал» в обработке Сабита ибн Корры, но, судя по
отдельным греческим терминам, пользовался также и неиз-
вестным более ранним латинским переводом с греческого.

Недавно Г Бусард изучил рукопись XIII в., находящую-
ся в Парижской национальной библиотеке (Ьа1. 166646) и со-
держащую, по всей вероятности, перевод «Начал», выполнен-
ный Германом из Каринтии [182, 183]. Текст первых шести
книг этого перевода позволил прийти к выводу, что в его
основе лежала та же арабская версия «Начал», которой поль-
зовался и Аделард.

В XII в. был осуществлен перевод арабского комментария
ан-Найризи (в латинизированной форме — Анариция) к со-
чинению Евклида; выполнил его также Герардо Кремонский.
Рукопись вместе с рукописью комментария к книге X «На-
чал», приписываемого Абд-ал-Баки ал-Багдади (XI в.), была
обнаружена в Кракове и в 1899 г. опубликована М. Курце
[221], вызвав большой интерес [139, 140, 141, 350, 430]О.

Таким образом, в XII в. Европа получила возможность
познакомиться с «арабским Евклидом», т. е. с интерпрета-
цией «Начал», данной восточными авторами [82, 310]. Именно
из нее и исходили европейские математики XIII—XV вв., так
как первый «греческий» Евклид появился в Европе только в
XVI в., а существовавший, по-видимому, ранее латинский пе-
ревод с греческого оказался забытым после ознакомления с
арабским текстом.

В XIII в. была составлена еще одна версия «Начал», при-
надлежащая Кампано из Новары [145, 192, 260, 267, 399]. Она
сыграла особую роль в популяризации сочинения Евклида, а
позднее попала в число первых печатных математических
книг. Кампано внес в текст дополнения, часть которых, воз-
можно, заимствована из арабских источников [260], а другие
принадлежат ему самому. К последним относится, например,
теорема о существовании четвертой пропорциональной, кото-

’) Подробнее этот вопрос мы рассмотрели в [82, стр. 271]. Полный
обзор ранних латинских версий «Начал» дал Дж. Мэрдок в «Вю-
^гарЫска! сНсюпагу», т. IV, М. X, 1971 г.
рую Кампано приводит среди аксиом, а также рассуждения
о роговидных углах (кн. III и X) и первое в Европе исследо-
вание звездчатых многоугольников [123, 192, 260].

Сходство между версиями «Начал» Кампано и Аделарда
вызвало значительные разногласия1) между историками науки
по вопросу взаимной зависимости этих текстов [192, 211, 217,
221, 307, 309, 348, 466, 467, 487]. Наибольшую ясность в него
вносят новые исследования М. Кладжетта и Дж. Мэрдока
(см., например, [201, 360]).

«Арабский Евклид» неоднократно комментировался мате-
матиками XIV—XV вв. и служил отправным моментом для
исследований в новых направлениях, интересовавших евро-
пейских ученых. Такой комментарий к некоторым разделам
«Начал» содержится в недавно исследованном и опублико-
ванном Г. Бусардом трактате Орема «Вопросы о геометрии
Евклида» («ОиезНопез зирег §еоте1г1аш ЕисНсНз» [180]; см.
также [61]). Орем отходит от стиля изложения, принятого в
«Началах», и прибегает к распространенной в его время
форме вопросов и ответов, когда учитываются все доводы в
пользу данной гипотезы и против нее. Обсуждение отдельных
положений Евклида приводит Орема, в частности, к пробле-
мам делимости, континуума и суммирования бесконечного
множества долей величины; в связи с этим он сделал заме-
чательное для своего времени открытие о расходимости гар-
монического ряда (факт, позднее забытый, переоткрывался
заново и доказывался несколько раз).

Несмотря на интерес математиков к «Началам» Евклида,
нельзя сказать, что глубокое знание их до XVI в. было ши-
роко распространенным явлением: университетские програм-
мы требовали лишь поверхностного ознакомления с первыми
книгами этого сочинения.

Положение резко изменилось с изобретением книгопеча-
тания. Одной из первых математических книг, изданных ти-
пографским способом, оказались «Начала» в версии Кампа-
но; книга вышла в первый раз в 1482 г. в Венеции в типогра-
фии Ратдольта [267]. Во введении Ратдольт говорит, что труд-
ности, связанные с воспроизведением чертежей, задерживали
обычно выпуск математических сочинений и что ему удалось
найти метод, который позволяет печатать фигуры с той же
легкостью, что и буквы. В том же 1482 г. Ратдольт выпустил
второе издание «Начал», отличающееся от предыдущего пер-
вой страницей [451], а также тем, что книга напечатана не
готическим, а латинским шрифтом. Затем издание повторя-
лось в 1489 г. в Базеле и в 1491 г. в Виченце2.

Ц Подробнее см. [82, стр. 267—270].

2) Указание Сартона [399, т. II, стр. 986] на издание 1486 г. в Ульме
ошибочно, что было отмечено им самим [400, стр, 213].
Остановимся вкратце на дальнейшей истории публикаций
«Начал» Евклида.

Среди математиков долго бытовало убеждение, что Евк-
лид-геометр и современник Платона философ Евклид из Ме-
гары (ок. 400 г. до н. э.) — одно и то же лицо. Это отразилось
и во многих изданиях «Начал» XVI в., и в предисловиях к
ним. Указанное недоразумение было впервые устранено
Хр. Клавием (1537—1612 гг.) [274]. Другая ошибка состояла
в том, что Евклиду приписывали только формулировки тео-
рем, доказательства же их считали принадлежащими Теону
Александрийскому, так как пользовались греческими рукопи-
сями комментариев Теона к «Началам». Исправил эту ошибку
Иоганн Бутео (1492—1572 гг.) в 1959 г. в примечаниях к со-
чинению «О квадратуре круга» [192, т. II, стр. 519].

Первый перевод «Начал» с греческого текста был опуб-
ликован в Венеции в 1505, а затем в 1510 г. Его выполнил
Бартоломео Замберти или Дзамберти (Ваг1о1отео ХатЬег-
Н, ХатЬеНиз), секретарь сената в Венеции [237, т. X,
стр. 82], отдавший, по его словам, этому труду семь лет
[307, 467].

Замберти подверг резкой критике перевод Кампано; он
упрекал последнего в многочисленных неточностях и «вар-
варизмах», имея в виду, что Кампано в арифметических ил-
люстрациях к теоремам Евклида, даваемых по арабской тра-
диции, искажает его идеи.

Со своего рода реабилитацией Кампано счел необходимым
выступить Лука Пачоли, переиздав в 1509 г. текст его версии
«Начал» и исправив ошибки переписчиков. Это издание сей-
час чрезвычайно редко [307].

В 1516 г. в Париже Ж. Лефевром было осуществлено сов-
местное издание переводов Кампано и Замберти, воспроиз-
водившееся впоследствии несколько раз1).

Греческий текст «Начал» вместе с текстом комментария
Прокла к книге I издал впервые в 1533 г. в Базеле Симон
Гринэй (Зутоп Сгупаеиз). Отрывки опубликовал ранее, в
1498 и 1501 гг., Георг Валла (Уа11а, 1430—1499). В 1564 г. в
Страсбурге появилось издание Дасиподия (Сипгайит Вазу-
родшт) [272]. В нем содержится греческий и латинский текст
книги I «Начал» вместе с подробными комментариями изда-
теля, где дано общее рассуждение о математике, о геометрии
и ее началах, о видах теорем и т. д. Затем приводится «ариф-
метическое доказательство того, что во второй книге «Начал»
доказано с помощью линий и фигур»; ему предшествует гре-
ческий текст и латинский перевод этой книги. Далее следуют

0 В нашем распоряжении имеется издание 1537 г. [268], на которое
в дальнейшем мы и ссылаемся.
восемь предложений стереометрии и, наконец, даются фор-
мулировки (греческие и латинские) книг III—XIII «Начал».

Второе издание «Начал» Дасиподия вышло в 1571 г., так-
же в Страсбурге [273]; оно содержит только текст предложе-
ний (без доказательств и чертежей), причем не только «На-
чал», но и других сочинений Евклида.

Греческий текст и латинский перевод предложений (с чер-
тежами, но без доказательств) первых шести книг «Начал»
опубликовал в Лейпциге в 1549 г. Камерарий (ЛоасЫгпиз Са-
гпегагшз) [269].

К самым популярным и влиятельным изданиям «Начал»
XVI в. относится комментированный перевод Хр. Клавия
[274], вышедший впервые в 1574 г. в Риме и переиздававшийся
впоследствии в 1589, 1591, 1603, 1607, 1612, 1654 гг. и позднее.
Клавий подверг критике предыдущие издания «Начал», упре-
кая Кампано в слишком.строгом следовании арабам, которые,
по его мнению, многое извратили, а издателей переводов с гре-
ческого—в том, что они не исправляли многочисленных ошибок
переписчиков. В связи с этим трудно точно установить, что
именно принадлежит Евклиду, и потому Клавий не повторяет
текста предыдущих изданий, а стремится сделать содержание
теорем возможно более ясным. Главную цель он видит в
устранении ошибок, встречающихся у его предшественников
(например, как уже говорилось, он показал, что Евклид — ав-
тор «Начал» не идентичен с Евклидом из Мегары).

Не менее важную роль сыграл и другой перевод «Начал»
вышедший двумя годами ранее и выполненный Ф. Комман-
дино (Еедепсо СотгпапсПпо, 1509—1575 гг.). Этот ученый,
посвятивший свою жизнь переводу и комментированию гре-
ческих классиков, перевел не только «Начала», но также тру-
ды Архимеда и Аполлония вместе с древними схолиями
к ним.

В середине XVI в. начали появляться переводы «Начал»
на европейские языки. Первый итальянский текст, опублико-
ванный в 1543 г., принадлежал выдающемуся математику
Николо Тарталье, в 1565 г. он вышел вторым изданием [271].
Другой итальянский перевод с греческого оригинала, напе-
чатанный в Риме в 1545 г., был выполнен Анжело Кайяни
(Ап^е1о Са]ат [237, т. IX, стр. 76]) и содержал текст пред-
ложений без доказательств.

Самое старое немецкое издание «Начал» принадлежало
Вильгельму Гольцману, известному под именем Ксиландер
(Ху1апс1ег), и было издано в 1562 г. в Базеле [270]. Оно со-
держит только текст шести первых книг без доказательств,
но с подробными разъяснениями «на понятных примерах»
и «основательных чертежах». Автор ставит себе в заслугу
большой труд, затраченный для того, чтобы осуществить
Зто издание «на радость и пользу любящим искусства
немцам».

В 1564—1565 гг. появилось первое французкское издание
«Начал», в 1570 г.— английское, в 1576 г.— испанское.

Однако, несмотря на широкое распространение в конце
XVI в. переводов с греческого текста, авторитет «арабского
Евклида» по-прежнему оставался высоким. Об этом свиде-
тельствует издание в 1594 г. в Риме арабского текста «Изло-
жения Евклида» [275], автором которого в рукописи назван
Насир ад-Дин ат-Туси. В 1657 г. вышел его латинский пе-
ревод [366], широко использовавшийся математиками XVII в.
В частности, Дж. Валлис (1616—1703 гг.) посвятил сде-
ланной ат-Туси попытке доказательства пятого постулата
Евклида специальное сочинение [458].

В переводах XVI в., почти всегда комментированных, «На-
чала» разъяснялись с помощью алгебры, иногда дополнялись
новыми определениями, аксиомами или предложениями. Поз-
же, в XVII в., когда математика вступила в новую фазу раз-
вития, «Начала», по-прежнему считавшиеся основой матема-
тического образования, стали подвергаться «исправлению».
По словам Д. Д. Мордухая-Болтовского, «комментаторы Евк-
лида XVI в. не критикуют, а разъясняют Евклида, высказы-
ваемое ими мнение выдается или за мнение Евклида, или за
мнение, согласное с его взглядами. В XVII в. выступает Епс-
Ибез гезШи1из. Евклида не только комментируют, его исправ-
ляют. Пополняют систему аксиом, исправляют определения,
меняют части всей логической постройки и делают попытки
полной ее перестройки» [85, стр. 261—262].

Впоследствии «Начала» Евклида выдержали в Европе ог-
ромное число печатных изданий [40, 52, 64, 99, 118, 123, 125,
192, 307, 308]. Греческая версия Теона считалась канониче-
ской вплоть до XIX в., когда Ф. Пейрар обнаружил рукопись
IX в. содержащую более раннюю версию «Начал». После
этого были предприняты сравнительные исследования с целью
выделить подлинный текст [309]. Результаты этой работы
легли в основу издания «Орега отта» Евклида под редак-
цией Гейберга и Менге [277].
Г лава 11

УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ В ЕВРОПЕ ДО XVI в.

§ 7. Предпосылки развития понятия числа в Европе

При всей абстрактности математических понятий их проис-
хождение и развитие неразрывно связано с производственной
деятельностью человека. Ярким примером этому служит ис-
тория одного из основных понятий математики — понятия
числа.

Начальные представления о числе возникли в глубокой
древности и были связаны с пересчитыванием реальных пред-
метов. Отвлеченное понятие числа и операций с числами яви-
лось результатом обобщения многовекового практического
опыта [1, 29, 67]. Практика ставила перед человеком задачи,
решение которых с необходимостью привело к исследованию
свойств чисел и зависимостей между ними.

Первые факты, касающиеся свойств целых, дробных и ир-
рациональных чисел, были установлены в Древнем Вавилоне
и Египте, где математика носила прикладной характер и
призвана была решать проблемы, возникающие непосредст-
венно из хозяйственной жизни. Вавилонские и египетские вы-
числители разработали, в частности, методы операций с дро-
бями и способы приближенного извлечения квадратного кор-
ня, решали задачи на квадратные уравнения [28, 32, 33, 39,
86, 87, 93]. Они исходили при этом из того «наивного», «праг-
матического» понятия действительного числа, которое — по
словам Н. Бурбаки — предполагает, что «число рассматри-
вается как определенное благодаря возможности получать
его приближенные значения и вводить их в вычисления» [27,
стр. 146].

Следующий этап в истории понятия числа связан с древ-
негреческой математикой, унаследовавшей познания народов
Древнего Востока.

Формирование, а затем экономический и политический
расцвет рабовладельческих городов-государств Древней Гре-
ции, развитие мореплавания, торговли, ремесел отразились
на общем подъеме культуры и науки этого периода. Потреб-
ности практики стимулировали быстрое развитие астрономии
и математики. Значительный интерес вызывало совершенст-
вование вычислительных приемов, применявшихся в различ-
ных областях науки и техники [8, 39]. Совокупность этих прие-
мов составляла содержание особой дисциплины — логистики.

Однако для греческой науки характерно было преимуще-
ственное внимание к теоретическим вопросам, к логическому
изложению всякого научного знания, в том числе и матема-
тики. Именно в Греции математика из суммы прикладных ме-
тодов превратилась в логически построенную дедуктивную
теорию со строго определенными основными понятиями.
Строгой теорией, в частности, стало в Древней Греции и уче-
ние о числе.

В школе Пифагора была создана теория натуральных чи-
сел, носившая не только математический, но и философский
характер [8, 10, 28, 29, 42, 135]. Под числом понималось соб-
рание единиц; сама единица, которая рассматривалась как
«начало», «причина» чисел, числом не считалась и предпола-
галась неделимой; дробь среди математических понятий не
фигурировала. Числа изображались с помощью геометриче-
ских образов, так что пифагорейское учение о числе представ-
ляло собой геометрическую арифметику. Пифагорейцы разра-
ботали теорию четных и нечетных чисел, рассматривали свой-
ства совершенных, дружественных и фигурных чисел.

Основные достижения теоретической арифметики в антич-
ности были изложены в «Началах» Евклида. Здесь (книги
VII—IX) получила вполне строгое обоснование теория дели-
мости целых чисел, в основе которой лежал так называемый
алгоритм Евклида, дающий способ нахождения наибольшего
общего делителя двух целых чисел. Были доказаны фунда-
ментальные теоремы о единственности разложения всякого
целого числа на простые сомножители, о существовании бес-
конечного множества простых чисел, получен способ после-
довательного выделения простых чисел из натурального ря-
да и установлены первые факты теории простых чисел [6, 8,
28, 136).

В понятие числа пифагорейцы вкладывали символический
смысл: числа рассматривались как прототипы объектов реаль-
ного мира, а эти объекты — как отражения чисел. Считалось
возможным всякое взаимоотношение между вещами вы-
разить отношением целых чисел.

Понятие количественного отношения, являвшееся одновре-
менно и математическим и философским, играло в пифаго-
рейской теории ведущую роль. На нем основывалась теория
отношений целых чисел, составлявшая важнейшую часть уче-
ния о мировой гармонии; считалось, что с помощью этой тео-
рии могут быть описаны все взаимоотношения в природе.
Математически она эквивалентна теории дробей, но построена
при учете предпосылки о неделимости единицы. Исходным ее
моментом является утверждение о соизмеримости всех гео-
метрических объектов. Теория отношений целых чисел дала
прочную основу для доказательств теорем арифметики, гео-
метрии и музыки. Поэтому открытие существования несоизме-
римых прямолинейных отрезков (V в. до и. э.) привело к кри-
зису начал пифагорейской науки. Это событие полностью из-
менило направление развития математической мысли и пос-
тавило ряд задач, для решения которых потребовались уси-
лия многих поколений ученых [8, 28].

Вследствие открытия несоизмеримости отрезков были
строго разграничены понятия дискретного (числа) и непре-
рывного (геометрической величины), исследованием принци-
пиального различия между которыми призвана была зани-
маться философия. Резкая грань пролегла также между нау-
ками о числе (арифметика) и о величине (геометрия) [2, 8,
28, 113, 136].

Понятие отношения приобрело двоякий смысл в зависи-
мости от того, идет ли речь о числах или о величинах. Оказа-
лось, что отношение величин может быть выражено отноше-
нием целых чисел только в случае соизмеримости. Таким об-
разом, выяснилось, что построенная пифагорейцами тео-
рия целочисленных отношений применима лишь к арифме-
тике. Предстояло создать столь же строгую, по более об-
щую теорию, относящуюся и к величинам, т. е. охваты-
вающую не только рациональные, но и иррациональные
отношения.

Потерпев неудачу с попыткой унифицировать математику
на основе арифметики, обратились к геометрии. Возникшие
задачи были решены, во-первых, созданием геометрической
алгебры, которая дала аналог операций, ранее установленных
в арифметике, а во-вторых, разработкой общей теории отно-
шений, одинаково пригодной для чисел и величин.

Первой по времени появления была так называемая «ан-
тифайретическая» теория отношений величин, главную роль
в которой играл алгоритм Евклида [134]. В ее основе лежало
определение равенства двух отношений, согласно которому
отношения равны тогда и только тогда, когда при разложе-
нии их в непрерывные дроби все неполные частные соответ-
ственно равны между собой (по терминологии древних, они
имеют один и тот же «антифайрезис»). Эта теория позволила
обосновать предложения, ранее установленные с помощью
теории числовых отношений. Однако ее применение было свя-
зано с рядом трудностей: помимо сложности определения опе-
раций над отношениями и выяснения их свойств, возникла
необходимость доказывать каждую теорему отдельно для ве-
личин различных видов.

Замечательным достижением античной науки явилась об-
щая теория отношений, разработанная Евдоксом и изложен-
ная впоследствии в книге V «Начал» Евклида. Она выполняла
в древнегреческой математике ту же роль, какую сегодня
играет теория действительных чисел [2, 8].

С вычислительной точки зрения эта теория страдала суще-
ственным ограничением, касающимся операций над отноше-
ниями: для них была определена лишь операция «составле-
ния», соответствующая умножению. Вообще, потребности
практики новая теория могла удовлетворять в значительно
меньшей степени, чем «антифайретическая», но в классиче-
ский период истории греческой математики прикладные воп-
росы решались логистикой, стоявшей вне теоретической науки
и не требовавшей строгого обоснования.

Важнейшую проблему с момента открытия существования
иррациональных отношений составило рассмотрение их с
теоретической точки зрения. Классификация квадратичных и
биквадратичных иррациональностей, которые могут быть
построены геометрически с помощью циркуля и линейки,
принадлежала, вероятнее всего, Теэтету. Она изложена в кни-
ге X «Начал» — самой большой и наиболее сложной по со-
держанию из книг этого сочинения [8, 28, 30, 76, 92, 93, 200,
307, 308, 390].

Таким образом, античные математики фактически пост-
роили и широко применяли теорию действительных чисел, но,
придерживаясь взгляда на число и величину как на суще-
ственно различные объекты, понятия действительного числа
не ввели. Отношение чисел для них не стало еще обобщением
понятия числа. Поэтому все вопросы, связанные с иррацио-
нальностью, рассматривались в области геометрии присущи-
ми ей методами.

Положение изменилось в первые века нашей эры, когда
в развитии точных наук наметились существенно новые тен-
денции [11, 12]. Под воздействием требований практики нача-
лась усиленная разработка вычислительных методов и общая
арифметизация и алгебраизация математики. Новое направ-
ление проявилось прежде всего в учении о числе и о новом
содержании, которое приобретало само понятие числа.

Об этом свидетельствует выдающееся творение античной
математики — «Арифметика» Диофанта [12, 13, 231, 306, 308],
где изложена теория неопределенных уравнений в рацио-
нальных числах. Диофант строит новую алгебру на чисто
арифметической основе, вводит элементы буквенной символи-
ки и оперирует расширенным понятием числа как решения
неопределенного уравнения, которое может быть не только
целым но и дробным; иногда оно мыслится и иррациональ-
ным. Идеи Диофанта, вне всякого сомнения, наложили отпе-
чаток на развитие арифметико-алгебраического направления
в математике, и прежде всего в странах ислама.

Решение многих прикладных задач требовало разработки
арифметической теории иррациональных величин. В связи
с этим началась арифметизация теории отношений, что выра-
зилось, например, в появлении понятия «количества отноше-
ния».

Тем не менее, понятие числа и в это время не было со
всей определенностью распространено на отношение. По-
прежнему под наукой о числе понималась пифагорейская тео-
ретическая арифметика. Оперировавшая же числовыми ир-
рациональностями логистика, хотя и завоевала постепенно
более равноправное положение в математике, строгой теоре-
тической базы, как и раньше, не имела.

Греческое наследие составило основную часть фундамен-
та, на котором в IX в. начали строить математическую теорию
средневековые ученые стран Ближнего и Среднего Востока.
С другой стороны, они базировались на достижениях древ-
ней индийской математики, среди которых наивысшим яв-
ляется десятичная позиционная система счисления с приме-
нением нуля. Характерной чертой математиков Индии был
интерес к разработке различных вычислительных приемов.
В противоположность грекам, они свободно производили
арифметические операции над числовыми иррациональностя-
ми, не давая, однако, никакого теоретического обоснования
этим действиям [123].

Внимание к точным наукам в странах ислама было обу-
словлено, прежде всего, необходимостью решения многочис-
ленных задач практического характера. Поэтому центр тя-
жести в математике этого времени приходился на разработку
вычислительных алгоритмов, в чем можно видеть не только
индийское влияние, но и развитие тенденций, проявившихся
в греческой науке позднеэллинистического периода.

Однако нередко высказываемое мнение о том, что мате-
матика стран Ближнего и Среднего Востока в средние века
носила сугубо прикладной характер и не дала ничего суще-
ственного в области теории, как теперь выяснено, ошибочно.
Об этом свидетельствует, в частности, содержание учения о
числе в трудах математиков стран ислама1). Они подразде-
ляли это учение на теоретическое (теоретическая арифмети-
ка) и практическое (практическая арифметика, алгебра).
Такая классификация показывает, насколько серьезные из-
менения по сравнению с античным периодом произошли в

О Подробно см. [82].
трактовке основных математических понятий: противопостав-
ление понятия числа понятию величины фактически переста-
ло существовать, вследствие чего исчезло резкое разграниче-
ние между предметом учения о числе и предметом учения о
величине. Теоретическая арифметика продолжала излагаться
как основной раздел учения о числе, но на равных правах с
ней сюда были отнесены алгебра (ранее трактовавшаяся гео-
метрически) и вычислительная арифметика (логистика).

Другими словами, числовая иррациональность стала рас-
сматриваться как число. То же самое ранее наблюдалось и
в индийской математике, а с другой стороны, стирание грани
между арифметическими и геометрическими понятиями явно
наметилось в греческой математике позднеэллинистического
периода. Мы выяснили, однако, [81—83], что точка зрения ма-
тематиков стран ислама на проблему иррационального числа
отличалась от точек зрения их предшественников прежде все-
го постановкой проблемы логического обоснования действий
с числовыми иррациональностями. «Наивный» подход вычис-
лителя, не задумывавшегося над сущностью производимых
операций, уже перестал удовлетворять, и это послужило при-
чиной значительного расширения понятия числа в средневеко-
вой восточной математике.

Анализ арабских сочинений, касающихся основных разде-
лов учения о числе, позволил установить, в частности, что
теоретическая арифметика по содержанию и основным поня-
тиям не отличалась от пифагорейского учения о числе, если
не считать, что были получены некоторые новые результаты
(например, правило нахождения дружественных чисел). Су-
щественным, с точки зрения истории понятия числа, является
часто встречающееся отождествление числового отношения
с дробью; иногда дробь прямо относили к числам. Таким
образом, расширение понятия числа происходило даже
в рамках этого, наиболее скованного традицией, раздела
учения о числе.

Внимание к теоретической арифметике показывает, что
математика этого времени не носила исключительно приклад-
ного характера, однако, безусловно, основной интерес был
направлен на решение вопросов, связанных с практикой.
Успехи, достигнутые в области практической арифметики,
сыграли важнейшую роль в развитии понятия числа. Особен-
но существенным было внедрение десятичной позиционной
системы счисления с применением нуля, а также усовершен-
ствование шестидесятиричной системы счисления и, позднее,
открытие десятичных дробей. Разработанные в этот период
вычислительные методы позволили с большой степенью точ-
ности находить рациональные приближения значений ирра-
циональных корней (квадратных, кубических и т. д.). Слово
вычислителей, убежденных в числовой природе иррациональ-
ности, звучало теперь в математике не менее веско, чем сло-
во теоретиков, заставляя последних искать компромиссное
решение вопросов обоснования математических понятий.

Алгебра в странах ислама впервые выделилась в само-
стоятельную науку и избавилась от сковывающей геометриче-
ской формы, в которую она была облечена в античности.
Здесь нашли развитие арифметико-алгебраические тенденции,
характерные для древневосточной науки и проявившиеся
также в греческой математике позднего периода.

В алгебраическом исчислении в качестве чисел особого
вида фигурировали степени неизвестной («простые числа»,
«корни», «квадраты» и т. д.). Поскольку решение уравнения
могло оказаться дробным или иррациональным (отрицатель-
ное и нулевое не рассматривалось), то дроби и иррациональ-
ные корни из чисел приобрели в вычислениях равные права
с целыми числами. Разделу об уравнениях обычно предшест-
вовало изложение правил действий над иррациональными
выражениями (сначала второй, а затем третьей степени и вы-
ше). Иррациональности стали встречаться не только как ре-
шения, но и как коэффициенты уравнений. Численные алгеб-
раические методы были применены и в геометрии: вычисле-
ние длин и площадей часто заменяло построение с помощью
циркуля и линейки.

Осуществив арифметизацию алгебры, ученые стран исла-
ма стремились, однако, обосновать алгебраические действия
с помощью геометрии — в духе греческой математики. Хотя
главное внимание было направлено на нахождение численно-
го решения уравнения, в случае, когда получить его не уда-
валось, умели с пользой применить методы геометрической
алгебры. Затушевывание различий между понятиями числа и
величины привело, в частности, к тому, что в геометрических
рассуждениях стало иногда встречаться недопустимое с ан-
тичной точки зрения отступление от принципа однородности
величин и очень часто смешивались геометрическая и ариф-
метическая терминологии («умножение линий» и др.).

Однако математики рассматриваемого периода, усвоив-
шие античные представления о логическом обосновании тео-
рии, стремились к глубокому анализу понятия иррациональ-
ности. Это показывают рассмотренные нами [81—83] араб-
ские комментарии к книге X «Начал», в которых решались
многие теоретические вопросы учения о числе.

Теории квадратичных и биквадратичных иррационально-
стей, изложенной в книге X, восточные математики придава-
ли, как оказывается, огромное значение и последовательно
перевели ее на арифметический язык; в этой форме она вош-
ла в трактат по алгебре как собрание правил действий цад
числовыми иррациональностями и правил решения соответст-
вующих квадратных уравнений. Однако и. рассмотренных
комментариев видно, что одновременно ставился вопрос о
правомерности такого перехода от геометрического учения
Евклида на арифметические позиции «вычислителей». Этот
переход пытались обосновать, примирив обе точки зрения.

Поскольку за исходную предпосылку, как и у греков, при-
нималось противопоставление понятий числа и величины, то
главную роль продолжала играть идея соизмеримости и не-
соизмеримости величин, и все теоретические вопросы реша-
лись с помощью учения об отношениях. В то же время был
выдвинут ряд принципиально новых положений. Одно из них
лежало в основе «исчисления отрезков, площадей, объемов»,
развитого Ибн ал-Багдади (X—XI вв.). Оно базируется на
понятии «умножения» величин и на противоречащем геомет-
рической алгебре утверждении, что произведение двух одно-
родных величин есть величина, однородная с ними. Напри-
мер, произведение двух отрезков а и Ъ следует изображать не
прямоугольником, как это делали античные математики, а
таким отрезком с, что ~-~-|-,где е — единичный отрезок.
К одному роду с данной величиной должен принадлежать и
квадратный корень из нее, существующий, по мнению Ибн
ал-Багдади, для любой величины. Так, иод корнем из отрез-
ка понимался построенный циркулем и линейкой отрезок —
среднее геометрическое между данным рациональным и еди-
ничным отрезками. В случае плоских фигур под корнем по-
нималась фигура (того же вида, что и данная), площадь ко-
торой является средним геометрическим между площадями
данной и единичной фигур. Таким образом, оказывалось воз-
можным повторное извлечение квадратного корня из величин.

Нетрудно заметить, что рассуждения Ибн ал-Багдади ос-
нованы на идеях, которые впоследствии привели Декарта к
его аналитической геометрии. Однако восточный математик
рассматривает лишь корни с показателем 2П, нужные ему при
изложении книги X «Начал» Евклида.

Определив корень квадратный из числа как среднее гео-
метрическое между этим числом и единицей. Ибн ал-Багдади
утверждает, что между указанными геометрическими и ариф-
метическими объектами существует взаимнооднозначное соот-
ветствие. Другими словами, рациональные отрезки «изобра-
жаются» числами, а иррациональные — корнями из чисел. Ту
же мысль выражал раньше выдающийся восточный ученый ал-
Фараби (IX в.), утверждая, что «определенные рациональные
отрезки соответствуют рациональным величинам, а опреде-
ленные иррациональные числа — иррациональным величинам.
Отсюда вытекало, что теоремы, доказанные для геометриче-
ских величин, верны и для их арифметических образов; и об-
ратно, действия с числовыми квадратичными иррационально-
стями можно обосновать, опираясь на строгую теорию Евкли-
да. Таким образом, в частности, обосновывали арифметиза-
цию книги X «Начал». В связи с этим становится также по-
нятным частое смешение арифметической и геометрической
терминологии.

Сложнее обстояло дело с обоснованием арифметических
действий над кубическими иррациональностями, которыми
восточные математики занимались не столь систематически.
Однако и в этом направлении были сделаны определенные
шаги, о чем свидетельствует рассмотренный нами коммента-
рий ал-Махани (IX в.) к книге X «Начал»: он дал классифи-
кацию кубических («телесных») иррациональностей, следуя
идеям Евклида, и, возможно, пытался каким-то образом рас-
пространить на них предложения книги X «Начал»; к сожа-
лению, этот интересный трактат известен лишь в отрывке.
Те же идеи встречаются и в комментарии ан-Найризи (X в.),
о латинском переводе которого речь пойдет ниже.

Для истории понятия числа чрезвычайно велико значение
трудов ученых стран ислама по теории отношений. Эта тео-
рия, в полном ее объеме воспринятая из греческой науки и
составлявшая основу всех теоретических исследований, под-
верглась, однако, критике. Возражения вызывали, прежде
всего, евдоксовы определения отношения и равенства двух
отношений, не удовлетворявшие теперь математиков с вы-
числительной точки зрения. Поэтому была возрождена и пос-
ледовательно изложена «антифайретическая» теория, кото-
рая позволяла строить рациональные приближения иррацио-
нальных отношений с любой точностью.

Наиболее существенным моментом явилась попытка стро-
гого обоснования теории составных отношений, которая при-
вела восточных математиков к важнейшему в истории учения
о числе результату — к теоретическому распространению по-
нятия числа на отношения величин. Определение этого рас-
ширенного понятия числа дали Омар Хайям (XII в.), а затем
Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.).

Таким образом, в процессе формирования понятия дей-
ствительного (положительного) числа ученые средневеко-
вого Ближнего и Среднего Востока сделали важный шаг
вперед.

Математика европейского средневековья базировалась на
двух основах: на познаниях, сохранившихся от греко-рим-
ской науки, и на сведениях, полученных позднее из арабской
литературы. Благодаря этому второму источнику Европа поз-
накомилась как с трудами античных математиков, так и с
сочинениями восточных авторов. Поэтому неудивительно, что
влияние науки стран ислама на учение о числе в Европе дол-
гое время определяло ее развитие.

В средневековой Европе наблюдается продолжение и пос-
тепенное углубление процесса арифметизации и алгебраиза-
ции математической науки, начавшегося в первые века нашей
эры в греческой математике и продолженное в странах Ближ-
него и Среднего Востока.

Переходим к характеристике различных разделов учения
о числе в европейской математике до XVI в.

§ 8. Теоретическая арифметика

Теоретическая арифметика, содержание которой исчерпыва-
лось учением Никомаха Геразского (I—II вв. н. э.), состав-
ляла основную часть античного математического наследия,
перешедшего в Европу непосредственно из греко-римских ис-
точников.

«Введение в арифметику» Никомаха [232, 368], построен-
ное в пифагорейском духе, долгое время привлекало внима-
ние не только математиков, но и философов Востока и Запа-
да. Первый латинский перевод «Введения в арифметику», вы-
полненный Апулеем из Мадавры1) во второй половине II в.,
был широко распространен в свое время, но сейчас известен
только по упоминаниям о нем. В IV в. обработку этого труда
дал Ямблих2\ в VI в. его комментировал Асклепий Трал-
лиан3), а затем ученик последнего Иоанн Грамматик, свиде-
тель захвата Александрии арабами (640 г.).

Наиболее популярная латинская версия «Введения в ариф-
метику» Никомаха принадлежит Боэцию, очень точно пере-
давшему его содержание в своем арифметическом трактате,
речь о котором пойдет ниже.

На арабский язык сочинение Никомаха было переведено
дважды в IX в.: выдающийся восточный математик Сабит
ибн Корра ал-Харрани (ок. 830—901 гг.) перевел его с
греческого, а несторианец Хабиб ибн Бахриз — с сирийского
языка. В странах ислама в средние века оно считалось осно-
вополагающим трудом по арифметике, так же как «Начала»
Евклида — по геометрии. Изложением теории Никомаха

!) Римский философ, ученый и писатель, родился ок. 125 г. в Мадав-
ре (Африка), путешествовал в Грецию и Италию, работал, главным обра-
зом, в Карфагене. Автор энциклопедических трудов и известного сочине-
ния «Метаморфозы» (или «Золотой осел»).

2) Неоплатоник, родился во второй половине III в. в Сирии, умер
между 307 и 337 гг. Для его книг по арифметике (например <ТИео1о^ите-
па агШ1теНса») характерен крайний числовой мистицизм.

3) Греческий философ и математик, современник Симпликия (ум. ок.
560—570 гг.). Помимо комментария к «Введению в арифметику» Никома-
ха, составил комментарий к «Метафизике» Аристотеля.
начинались математические разделы энциклопедий, она сос-
тавляла сущность многочисленных трактатов по теоретиче-
ской арифметике (раздел математики, носивший наз-
вание «ал-арисматики»), т. е. греческое ар1<>|И)Т1хт] в араби-
зированной форме), включалась во все книги учебного
характера1).

Другое замечательное античное произведение, заложив-
шее основу современной теории чисел,— «Арифметика» Дио-
фанта (III в.) получило в средние века значительно меньшее
распространение, чем труд Никомаха. На арабский язык
«Арифметика» была переведена в IX в., однако этот перевод
вскоре оказался утерянным. Влияние ее на восточных мате-
матиков сказывается в тех разделах арабских арифметиче-
ских и алгебраических трактатов, где рассматриваются воп-
росы диофантова анализа (например, в трактате ал-Карад-
жи), а также в сочинениях, правда, немногочисленных, спе-
циально им посвященных.

В Европе с текстом «Арифметики» Диофанта познакоми-
лись только в XV в., а с некоторыми моментами его теории —
в XII—XIII вв. по арабским сочинениям.

Следует отметить, что в трудах восточных ученых IX—
XIII вв. теоретическая арифметика получила некоторое раз-
витие (правило нахождения дружественных чисел, суммиро-
вание числовых рядов, решение некоторых задач диофантова
анализа), тогда как в Европе она излагалась до XIII в. в
объеме труда Никомаха.

Полное изложение теоретической арифметики, ставшее
стандартным для европейской математики вплоть до XVI в.,
дано в трактате «О введении в арифметику» Боэция. Это со-
чинение написано на основе «Введения в арифметику» Нико-
маха и по существу представляет собой его перевод. Во всту-
пительном разделе Боэций говорит, что он вносит в труд Ни-
комаха изменения, расширяя одни разделы, сокращая другие
и разъясняя с помощью примеров и таблиц наиболее важные,
по его мнению, вопросы.

Многие историки математики обвиняют Боэция в отсут-
ствии оригинальности, однако этот упрек, если принять во
внимание цель, которую Боэций преследовал, а также атмос-
феру умственной жизни его времени, представляется не сов-
сем справедливым. Значение его сочинения прежде всего
в том, что оно служило, вероятно, главным каналом передачи
математического наследия античности в средневековую Евро-
пу [406]. М. Кантор [192] утверждал, что Боэций дал плохую
обработку Никомаха, опустив наиболее тонкие моменты, но

1) Подробнее о теоретической арифметике на средневековом Ближнем
и Среднем Востоке см. [82].
Г Энестрём [237, т. VII, стр. 283] показал несостоятельность
такого обвинения.

Труд Боэция был в течение более чем тысячелетие одним
из основных учебных пособий в школах и университетах Ев*
ропы, попал в число первых математических книг, изданных
типографским способом [151], и переиздавался несколько раз.
Влияние его явно сказывается в арифметических разделах
сочинений ученых XVI и даже XVII вв. Поэтому, не зная со-
чинения Боэция, иногда трудно понять направление научных
интересов многих выдающихся математиков того времени,
постановку некоторых вопросов в их трудах, а также проис-
хождение тех или иных терминов и понятий. Знакомство с
сочинением Боэция особенно необходимо при изучении раз-
вития теории чисел в Европе: оказывается, что выражение
«мертвый период», часто применяемое к истории этой науки
от Диофанта до XVII в., не следует воспринимать буквально,
так как интерес к теоретико-числовым проблемам никогда не
исчезал, но был направлен, главным образом, на вопросы,
затронутые Боэцием.

Хотя в дальнейшем развитие теории чисел пошло по со-
вершенно иному пути, период ее истории до XVII в. тоже тре-
бует изучения, и этим соображением объясняется внимание,
уделенное в данной главе арифметическому сочинению Боэ-
ция (по изданию 1488 г. [151]).

Первая (32 главы) из двух книг, составляющих трактат
Боэция, содержит классификацию чисел, которая восходит к
Никомаху. Рассматриваются также общие свойства целых
чисел и их отношений. Книга начинается с рассуждения о ве-
личине (ша^пНийе) и множестве (ши1Шис1е). Свойствами ве-
личины обладают однородные и непрерывные вещи, например
дерево или камень; дискретным же вещам, например стаду
или хору, присуще качество множества. Множества изучают
две математические дисциплины — арифметика и музыка;
первая занимается абсолютным множеством, вторая — отно-
сительным. Величины являются предметом геометрии, кото-
рая изучает размеры, и астрономии, занимающейся размера-
ми и движениями.

Арифметика является полной и совершенной наукой и пер-
венствует среди математических дисциплин. Предмет ариф-
метики — число — определяется в пифагорейской традиции,
как совокупность единиц.

Числа подразделяются прежде всего на четные и нечет-
ные. Различные определения их даются в третьей—шестой
главах. Одно из них: «Четное есть то, которое можно разде-
лить на два равных, не имеющих между собой единицы; не-
четное же то, которое никакое число не делит на равныеа
между которыми не было бы единицы».
Второе определение дано «согласно Пифагору»: «четное
число то, которое одним и тем же делением может быть раз-
делено на самое большее и на самое меньшее: наибольшее
по размеру (зрасю) и наименьшее по величине (аиапШа(е)...
Нечетное же число то, с которым так произойти не может и
которое естественно делится на две неравные части». Разъяс-
няя это определение, Боэций говорит, что, например, четное
число 8 разбивается на 4 и 4, причем нет никакого другого
деления, при котором получились бы большие и меньшие
части.

Согласно третьему определению, «нечетное число есть то,
которое отличается единицей от четного, и наоборот».

В седьмой главе утверждается, что каждое число есть по-
лусумма соседних чисел, одинаково удаленных от него по обе
стороны. Исключением является единица, не имеющая двух
соседних чисел и равная половине единственного соседнего с
ней числа — двух.

Следующие пять глав содержат классификацию четных
чисел и свойства каждого их вида. Вслед за Никомахом Боэ-
ций рассматривает четно-четные, четно-нечетные и нечетно-
четные числа.

Четно-четное число определяется как то, которое можно
разделить на две части, и эти две части четные; и так будет
столько раз, пока деление частей не достигнет естественно не-
делимой единицы. Например, число 64 имеет половину 32
и так далее до единицы. Таким образом, к этому классу отно-
сятся числа вида 2".

Четно-нечетное число является противоположным четно-
четному: «оно допускает деление на две равные части, части
же эти далее останутся неделимыми и не могут быть разби-
ты; таковы 6, ГО, 14, 18, 22 и им подобные». Общий вид этих
чисел 2 (2т +1).

Нечетно-четное число, занимающее среднее положение
между предыдущими, делится на две равные части, которые,
в свою очередь, могут быть разделены пополам, но такое де-
ление не доходит до единицы: к этому классу, следовательно,
относятся числа вида 2*(2т+1), где к>1. Эта классифика-
ция Никомаха отличается от предложенной Евклидом («На-
чала», книга VII, определения 8—11), который рассматривал
только четно-четные и четно-нечетные числа. В предложении
34 книги IX он говорит, что если четное число не является сте-
пенью 2 и не имеет нечетной половины, то оно относится од-
новременно к обоим указанным классам. Никомах выделил
эти числа, назвав их нечетно-четными, и устранил тем самым
неточность, допущенную Евклидом.

Числа первого класса образуют геометрическую про-
грессию, а второго — арифметическую («в натуральном
ряду четно-нечетные числа стоят друг от друга на четвер-
том месте»).

В ряду четно-четных чисел произведение двух внешних
членов равно произведению двух внутренних, если количест-
во чисел между ними четно, и квадрату среднего, если это
количество нечетно. Например, 2, 4, 8, 16, где 2- 16=4-8 или
2, 4, 8, где 2-8=42. Четно-четные числа имеют то свойство,
что сумма крайних равна удвоенному среднему, если количе-
ство чисел в ряду между ними нечетно, и равна сумме двух
средних, если это количество четное; например, 2, 6, 10, где
2+10 = 2-6, или 2, 6, 10, 14, где 2+14 = 6+10.

Числа третьего класса получаются умножением ряда не-
четных чисел (3, 5, 7, 9,...) последовательно на числа перво-
го класса (т. е. на 4, 8, 16, 32, ). Если получающиеся при

этом ряды чисел подписать друг под другом, то обнаружи-
вается следующее: горизонтальные ряды имеют указанные
свойства четно-нечетных чисел (например, 36+20 = 2-28 и
12 + 36 = 20 + 28), вертикальные — четно-четных чисел (напри-
мер, 12 • 48 = 242 = 576 и 12-96 = 24-48=1152).

Следует отметить, что в этом разделе Боэций пользу-
ется термином «знаменование» (бепогшпаНо), который
впоследствии получил широкое распространение в евро-
пейской математике, выражая числовое значение рацио-
нального, а позднее — иррационального отношения (см.
ниже).

Нечетные числа, рассматриваемые в главах 13—18, также
подразделяются на три класса: 1) первые и несоставные (т. е.
простые); 2) вторые и составные; 3) те, которые сами по себе
являются составными, но по отношению к другим — просты-
ми. Это подразделение, данное Никомахом, не отличается
логичностью, которая свойственна его классификации четных
чисел.

Простому числу Боэций дает следующее определение:
«Первое и несоставное есть то, которое не имеет никакой дру-
гой части, кроме той, которая знаменуется величиной всего
числа».

В главе 17 излагается метод выбора простых чисел из
натурального ряда — «решето Эратосфена», в следующей
дан способ нахождения общего наибольшего делителя на
примерах пар чисел: 9 и 29, 9 и 21.

Далее (главы 19—21) вводится иная классификация чет-
ных чисел: 1) совершенные, 2) избыточные, 3) недостаточ-
ные. Совершенное (регГес1из) — это число, равное сумме
своих делителей, т. е. п = о(п); избыточное (зирегПииз) —
меньшее суммы делителей п<а(п), например 12 или 24; не-
достаточное (бепппи^из) — большее суммы делителей:
п>о(п) — например 8 и 14.
Совершенные числа уподобляются совершенным людям и
помещаются между избыточными и недостаточными, которые
сравниваются с людьми, имеющими врожденные физические
уродства (например, сторукий или одноглазый).

Боэций приводит четыре первых совершенных числа, из-
вестных еще Никомаху: 6, 28, 496, 8128,— и высказывает не-
верное утверждение, долго повторявшееся европейскими уче-
ными: совершенные числа оканчиваются попеременно цифрой
6 или 8. Говоря далее о происхождении этих чисел, Боэций
формулирует доказанную Евклидом («Начала», книга IX,
предложение 36) теорему о том, что число вида 2Л-1 (1 4-
4-2 22 4- 4- 2Л-1) = 2Л-1 (2Л — 1), где 2п — 1 — простое,

есть совершенное число. Разъясняется это утверждение на
примерах 28 и 496. Далее следует рассуждение о том, что
совершенным числом следует назвать также единицу.

Следующий раздел (главы 21—32) первой книги посвя-
щен «величине, отнесенной к другой». Если раньше величина
рассматривалась сама по себе, то здесь она дается в отноше-
нии к другим величинам. Это отношение бывает двоякого
рода: отношение равенства и отношение неравенства. Послед-
нее может быть большим и меньшим.

Вслед за Никомахом Боэций рассматривает пять видов
большего неравенства:

1) кратное (тпШр1ех)—если большее из двух чисел содер-
жит в себе меньшее более одного раза;

2) превышающее на долю (зиреграгНсЫапз) — если боль-
шее число содержит в себе меньшее один раз целиком и
еще одну его долю, т. е. отношение их можно выразить
п 4- 1 1 , I т Т >-

как —-— = 14-— Некоторым отношениям даны особые
названия: например,-^- — зехцшаНег, —зехциНегНиз и т.д.;

3) превышающее на доли (зиреграгНепз) — если большее
число содержит меньшее один раз целиком и еще несколь-
ко его долей, т. е. 1+-^-, например, 1 + , 1 +

4) кратное, превышающее на долю (шиШр1ех зиреграгН-
си1апз) — если большее число содержит меньшее более од-
ного раза целиком и еще одну его долю, т. е. т 4-
например, 2 + 4-. 2 + 4-;

X о
5) кратное, превышающее на доли (шиШр1ех зиреграгП-
епз), если большее число содержит меньшее более одного
раза целиком и еще несколько его долей, т. е. к + .

Соответственно вводятся и виды меньшего неравенства.
Боэций разъясняет свои определения с помощью примеров и
числовых таблиц.

В заключительной главе первой книги доказано, что все
виды неравенств возникают из равенства. Это доказательство
проводится по следующей схеме:

1 1 1...

1 2 4--.

1 3 9--.

1 4 16...

В первом ряду — три равных числа; во втором и др. последо-
вательно — первое число предыдущего ряда, сумма первого
и второго, сумма первого, удвоенного второго и третьего и
т. д. Полученные числа находятся в последовательных крат-
ных отношениях.

Если затем взять ряд удвоений 4, 2, 1, то, применяя тот
же закон, получаем ряд чисел 4, 6, 9, члены которого нахо-
дятся между собой в отношении 1-^-; из ряда утроений 9,
3, 1 получается ряд чисел 9, 12, 16, находящихся в отно-
шении 14- и т. д.
о

Вторая книга состоит из 54 глав. Она начинается с ана-
логичного предыдущему рассуждения о том, что все неравен-
ства могут быть сведены, как к первоначальному, к отноше-
нию равенства, а затем, исходя из рядов кратных, находятся
числа, стоящие в одноименном отношении. Например, таб-
лица

1 2 4 8 16 32

3 6 12 24 48

9 18 36 72

27 54 108

81 162

243,
каждый член которой ап т = ап т _! + ап^ т_Р где п —
номер столбца, пг — номер строки, содержит числа, нахо-
дящиеся между собой в отношении ——— = 1-4“ •

ап, т — 1

ИИ*

^^тОИ-« с^шй) ШЙ'

/31&а 1?а ЬшЙгЛ &« аМ&ЙжМ
ггйш^НаЫ^<,

Ша

ГШТШ ^Й1>1Ы ЙШЫ^ШЗШ
|^еЙШ^Н<^Ч<т
шил оижй ШчМ*и й»
Й шг' ^Ь<

«Й Й»>Ш

*»Й** ЛеОашеЬИШ|1»
етШйнйИШ^рт «Н4Й

<й« шЪжг’Ш^ж 4Ш^<гМ;>
Нжшй1й^р^^< ’,^<
т< я&

<М ш ГМ

тетЙтШН^$йт »•

^фЛот<^йсши жшж'

Страница из арифметического трактата Боэция (изд. 1488 г.).

Главы 4—39 посвящены теории многоугольных чисел. В
современных обозначениях т-е л-угольное число р^ есть
сумма т членов арифметической прогрессии с первым чле-

ном 1 и разностью п — 2, т. е. р” ~

(п — 2) т? — (п — 4)т
2

Боэций вслед за Никомахом дает определение различных
многоугольных чисел и устанавливает взаимоотношения меж-
ду ними. Если расположить ряды этих чисел последовательно
друг под другом, т. е. составить таблицу:
Рз 1 3 б 10 15 21 28 36 45 55

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

Рз 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145

рй 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190

р- 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235,

то оказывается, что каждое многоугольное число рав-
но сумме предыдущего с тем же номером и треугольного
числа с номером, на единицу меньшим; другими
словами,

Рп =Рп-1 +Рз

Например, 35 = 25 + Ю, 34- — 28 + 6.

Далее оказывается, что каждый вертикальный ряд этой
таблицы образует арифметическую прогрессию с разностью,
равной предыдущему треугольному числу, т. е.р™—р™~х
— р^~х например, 28—22 = 6, 22 — 16 = 6 и т. д.

Начиная с главы 20, Боэций рассматривает телесные чис-
ла. Простейшим телом он считает пирамиду, и поэтому преж-
де всего определяет пирамидальные числа: как многоуголь-
ные числа получаются из суммирования простых арифмети-
ческих рядов, так пирамидальные возникают из суммирова-
ния последовательных многоугольных чисел.

При сложении треугольных чисел возникает пирамида с
треугольным основанием и с единицей в вершине, при сложе-
нии квадратных чисел — пирамида с квадратным основанием
и т. д. Другими словами, т-е п-угольное пирамидальное
число

р~-р'.+р.+ +р"

Если складывать члены ряда, начиная с большего, и не
дойти при этом до р\ — 1, то получается усеченная пира-
мида.

Кроме пирамидальных, вводятся и другие телесные числа,
отличающиеся друг от друга в зависимости от того, равны
или не равны три «измерения», т. е. сомножителя данного
числа.

Возможно несколько случаев:

I. если три измерения числа равны, то это — кубическое
число /п3;

II. если все три измерения не равны, то это — косое или
клинообразное число;

III. если из трех измерений числа к = а*Ь»с два равныг
т. е. а = Ь = т, то:
1. если третье измерение меньше, т. е. с = т—и, п>0, то
это число «кирпичеобразное», имеющее вид т2(т—п),

2. если третье измерение больше, т. е. с = т + п, п>0, то
это число «балкообразное», имеющее вид т2(т + п).

Боэций, как и Никомах, выделяет еще «прямоугольные»
числа (аИега раг1е 1оп21ог), длина и ширина которых отли-
чаются на 1, т. е. имеющие вид т(т+1), и «продолговатые»
(пшпеп аЫоп^), длина и ширина которых отличаются боль-
ше, чем на 1, т. е. имеющие вид т (т + п), где п>1. Как
квадратным числам соответствуют кубические, так прямо-
угольным — параллелепипедовидные т2(т+1).

Числа, оканчивающиеся цифрами 1, 5 или 6 и имеющие
то свойство, что все их степени всегда оканчиваются теми же
цифрами, названы «круговыми» или «шарообразными».

Следуя Никомаху, Боэций уделяет много внимания срав-
нению квадратных, прямоугольных и продолговатых чисел,
между которыми существуют определенные соотношения.

Так, из таблицы, в верхнем ряду которой стоят квадрат-
ные, а в нижнем — прямоугольные числа

п2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
и(и + 1) 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110,
следует:

1) нижние члены находятся к верхним в отношении, «пре-
восходящем на долю»;

2) разность между нижними и верхними членами постоян-
на и равна п;

3) каждый член нижнего ряда есть среднее геометриче-
ское между соответствующим ему и следующим членами верх-
него ряда;

4) разности квадратных чисел дают ряд нечетных, а раз-
ности прямоугольных — ряд четных чисел;

5) сумма двух последовательных членов верхнего ряда
вместе с удвоенным членом нижнего, стоящим под первым из
них, есть квадратное число; сумма двух последовательных
членов нижнего ряда вместе с удвоенным членом верхнего,
стоящим над первым из них, есть также квадратное число, т.е.
п2 4- (п + I)2 + 2п (п + 1) = (2п + 1 )2, п (п + 1) + (п + 1) (п +
-г2) + 2(^+1)2 = 4(^+ I)2;

6) если суммировать попарно члены обоих рядов: первый
член верхнего с первым членом нижнего, затем первый член
нижнего со вторым членом верхнего и т. д., то получится ряд
треугольных чисел: 14-2 = 3, 24-4 = 6, 4 + 6=10,

7) каждое квадратное число, будучи увеличено или умень-
шено на его корень, дает прямоугольное число — т. е. п2±п =
= п(п± 1),— и обратно.

В конце этого раздела утверждается, что в каждой гео-
метрической прогрессии, начинающейся с 1, члены, стоящие
на нечетных местах,— квадраты. Если написать ряд нечет-
ных чисел, начиная с 1, то первый член есть куб, сумма двух
следующих — второй куб, сумма трех следующих — третий
и т. д.

В последнем разделе (главы 40—54) сочинения Боэция
речь идет о десяти видах пропорций. Отношение определяется
по Никомаху как взаимное положение или зависимость двух
выражений. Помимо трех основных пропорций — арифмети-
ческой, геометрической и гармонической, рассматривается
еще семь видов, описанных Никомахом:

арифметическая а
геометрическая а
гармоническая а
четвертая а
пятая Ь
шестая а
седьмая а
восьмая а
девятая Ь
десятая Ь

Ь = с — с1

Ь = с с1

с = (а — Ь) *• (Ь — с)
с = (Ь — с): (а — Ь)
с = (Ь — с)-, (а — Ь)
Ь = (Ь — с): (а — Ь)
с = (а — с)г(Ь — с)
с = {а — с)*, (а — Ь)
с = (а — с): (Ь — с)
с = (а — с): (а - Ь).

Подробно обсуждаются свойства трех первых пропорций, осо-
бенно для случаев их непрерывности. Так, для членов непре-
рывной арифметической пропорции а—Ь = Ь—с справедливо
соотношение Ъ2—ас=(а—Ь)2=(Ь—с)2, для членов непре-
рывной геометрической пропорции а Ь = Ь с соотношение
(а—Ь) (Ь—с)=а Ъ = Ь с. Последнее верно и в общем слу-
чае, т. е. если а Ь = с д,, то (а—Ь) : (с—с!)=а:с = Ь:с.
Формулируется теорема, доказанная Евклидом в книге VIII
«Начал» (предложения 11 и 12)* между двумя квадратными
числами имеется только одно, а между двумя кубическими —
только два средних геометрических.

Гармоническая пропорция привлекает особое внимание,
ибо применяется в музыке. Ей свойственно соотношение
(а + с)Ь = 2 ас. Гармоническое среднее проявляется в кубе:
он имеет 12 сторон, 8 углов и 6 боковых поверхностей; числа
же 12, 8, 6 находятся в гармонической пропорции.

Если записать числа а, Ь, с в порядке уменьшения, то для
арифметической пропорции справедливо а:Ь<Ь с, для гар-
монической а:Ь>Ь с, для геометрической, находящейся
между ними,— а:Ь = Ь с.

Утверждается, что между двумя числами, четными или не-
четными, всегда могут быть найдены три числа так, что каж-
дое из них составляет с двумя данными одну из трех первых
пропорций.

В заключение (глава 54) рассматривается «совершенней-
шая средняя»: если для двух данных чисел найти две средние
так, что одна из них образует с двумя крайними арифмети-
ческую, а другая — гармоническую пропорцию, тогда все
четыре числа образуют геометрическую пропорцию, напри-
мер, числа 12, 9, 8, 6. В общем виде: если даны числа а и Ь,
а 4- Ь , 2аЬ

—2------средняя арифметическая, — средняя гармони-

а 4- Ь 2аЬ
ческая, то числа а,—находятся в геометрической
пропорции. Аналогично рассматриваются два других случая.
Иными словами, если имеют место два указанных условия, то
всегда есть и третье.

Кассиодор в трактате «О семи науках» (Ое зер1еш Шзсь
рИпаз)1), подразделяя науки на «тривиум» и «квадривиум»,
определяет математику [198, стр. 424] как «науку, которая рас-
сматривает абстрактную величину», т. е. величину, «которая
мысленно отделяется от материи или от другого случайного».
Математика включает в себя арифметику, музыку, геометрию
и астрономию, причем арифметика является первым разде-
лом, потому что другие науки «нуждаются в арифметике,
чтобы иметь возможность разъяснить свои преимущества»,
тогда как арифметика не нуждается ни в одной из них [198,
стр. 425]. Цель арифметики Кассиодор видит в «изучении
природы абстрактных чисел и того, что им присуще, например,
четности, нечетности и т. д.» (там же).

Число, определяемое как «соединение монад», вслед за
Никомахом рассматривается с четырех точек зрения. Приво-
дим классификацию чисел Кассиодора в виде схемы, которая
впоследствии дается почти во всех сочинениях арифметиче-
ского содержания вплоть до XVI в.

Первое подразделение чисел:

{четно-четное;

четно-нечетное;
нечетно-четное;
первое, или простое;
второе, или составное;
третье — среднее, кото-
рое с одной стороны
является простым, а с
другой — составнымЗ)

число

нечетное

Второе подразделение:

число

четное
нечетное

{избыточное;

недостаточное;
совершенное

О Ссылки даны по изданию 1589 г. [198].

2) Т. е. взаимно простые числа.
Третье подразделение:

число

рассматриваемое
само по себе;

рассматриваемое (

по отношению к I не равное другому;

другому | равное другому

кратное число;

превышающее на долю;
превышающее на „до-
ли“;

кратное, превышающее
на долю;

кратное, превышающее
на „доли" (аналогично
для соотношения „мень-
ше")

Четвертое подразделение:

{дискретное

[ линейное;

непрерывное < плоское;

I телесное.

В последнем подразделении фигурируют «дискретные» и
«непрерывные» числа, которые определяются как «составлен-
ные из дискретных или непрерывных монад»; к непрерывным
относятся, например, треугольные числа [198, стр. 428].

Таким образом, первоначальные сведения по теоретиче-
ской арифметике, которыми располагала Европа до XII в., не
выходили за рамки, установленные Никомахом.

В некоторых арабских сочинениях, переведенных в XII в.
на латинский язык, излагались результаты, полученные ма-
тематиками Ближнего и Среднего Востока в области теоре-
тической арифметики. Как мы показали ранее [82, стр. 110—
127], в главном восточные авторы следовали за Никомахом,
а поэтому суть их учения была знакома европейцам по
Боэцию.

Однако в трактовке основных понятий у восточных мате-
матиков наблюдался некоторый сдвиг под влиянием практи-
ческой арифметики. Прежде всего это касается понятия
дроби, которое у Евклида и Никомаха не фигурировало, а
было заменено понятиями «части» («доли») и «частей»

(„долей*4), соответствующих дробям видаиВ араб-

ской литературе произошло сближение этих понятий [82,296].

Тенденция эта отразилась, например, в переведенном
Герардо Кремонским анонимном алгебраическом трактате
(отрывок опубликован Б. Бонкомпаньи в 1851 г. [154], т. е.
в одном из ранних математических сочинений, получивших
распространение в Европе. Трактат начинается следующими
определениями: «Единица есть начало чисел и не есть число.
Число же — собрание единиц. Как всякое число есть кратное
единицы, так и она есть кратное своей доли, знаменующейся
им (т. е. этим кратным —Г. М). Например, как тройка есть
трехкратное единицы, так единица — трехкратное своей тре-
тьей части, знаменующейся тройкой. Отсюда необходимо
следует, что так же, как единица порождает бесконечно много
кратных, так же она порождает бесконечно много долей...»
[154, стр. 28].

Здесь мы снова встречаемся с понятием «знаменования»
(депотта(ю): число т является «знаменующим» для доли

По-видимому, Герардо Кремонский воспользовался здесь
термином, введенным Боэцием и ставшим к этому времени
вполне обычным.

Наиболее существенно круг рассматривавшихся теорети-
ко-числовых вопросов расширился после знакомства с вос-
точными сочинениями, содержащими решение задач неопре-
деленного анализа. Свидетельство этому мы находим в со-
чинениях Леонардо Пизанского и Иордана Неморария,
сыгравших видную роль в истории теории чисел.

В четвертой главе «Книги абака» Леонардо коротко разъ-
ясняет основные понятия арифметики Никомаха и указывает
три первых совершенных числа (6, 28, 496). Простые числа он
называет «числами без правил» (пишегоз зше гедиПз) и
утверждает, что у арабов они назывались Иазат. Это ука-
зание неверно, так как термин «асам» ( — глухой)

в арабской математике обозначал иррациональную величину,
простое же число называлось «первым» ( — ал-ав-

вал), как у Никомаха («питегиз рптиз»). Здесь же на по-
лях приведен список двадцати одного простого числа от 11
до 97

Далее дается таблица разложения составных чисел от
12 до 100 на простые множители и разъясняется способ на-
хождения множителей произвольного большого числа. Сфор-
мулированы признаки делимости на 2, 3, 5, 9 исходя из ко-
нечных цифр числа и суммы значений его цифр. Делимость
чисел на 7, 11, 13 и т. д. устанавливается путем проб. Пра-
вильность разложения на множители проверяется с помощью
правила 9 или 11, широко применявшегося в восточной мате-
матике.

Двенадцатая глава «Книги абака» включает словесную
формулировку правил суммирования числовых рядов, в ча-
стности, арифметической и геометрической прогрессий, ряда
квадратов и возвратного ряда. Суммирование геометрической
прогрессии показано на примере задачи о шахматах, ранее
хорошо известной восточным ученым. Сделана ссылка на
«Книгу квадратов», где эти вопросы Леонардо рассматри-
вает более подробно.

В «Книге абака» много внимания уделено и решению не-
определенных уравнений. Группа задач такого рода довольно
62
многочисленна [123, стр. 368—371]. Некоторые из них сходны
с задачами из «Арифметики» Диофанта; их Леонардо мог
заимствовать либо у византийских математиков, либо из
арабских сочинений (например, из «Ал-Фахри» ал-Карад-
жи [481]).

Рассматривая некоторые «невозможные» задачи, связан-
ные с решением линейных уравнений, Леонардо впервые в
европейской математике трактует отрицательные числа как
«долг» (ср. [84]).

К области теоретической арифметики может быть отне-
сена также задача об определении числа, кратного 7, кото-
рое, будучи разделено на 2, 3, 4, 5, 6, дает в остатке 1; она
встречалась ранее у Ибн ал-Хайсама. Решением задачи яв-
ляется число 301; другие решения получаются прибавлением
кратного 420.

Здесь же решается знаменитая задача о кроликах, приво-
дящая к рекуррентному ряду. Сколько пар кроликов полу-
чится от одной пары в течение года, если природа кроликов
такова, что начиная со второго месяца жизни, через каждый
месяц пара кроликов производит на свет другую пару? Ре-
шение дается суммой ряда 1 + 2 + 3 + ... + 377, каждый член
которого, начиная с третьего, находится по правилу:
йл+1«пл + йл_1. Числа этой последовательности, известные сей-
час под названием «числа Фибоначчи», обладают многими
интересными свойствами, исследование которых породило об-
ширную литературу [37].

Древнюю историю имеет и широко известная задача о
7 женщинах, идущих в Рим, у каждой из которых по 7 мулов,
каждый несет 7 мешков, в каждом мешке — 7 хлебов, в каж-
дом хлебе 7 ножей, каждый из них в 7 ножнах; требуется
определить общее число предметов. Эта задача впервые
встречается в древнеегипетском папирусе Ахмеса [28].

Кроме названных, можно отметить также содержащееся
в пятнадцатой главе решение в целых числах неопределен-
ного уравнения х2 + у2 = г2. В отличие от Диофанта, Леонар-
до исходит из тройки чисел Ь, с, (1, удовлетворяющих условию
, 9 , 9 ,9 I Ь \2 . / с \2 . / аЬ\2 . / ас \2 /

62 + с2 = й2, откуда 1-^-) + (т I = 1 и 1-^-) +( — I = а •

Свойства квадратных чисел рассмотрены в другом сочине-
нии Леонардо Пизанского — «Книге квадратов», написанном
в 1225 г. и долго считавшемся утерянным, но открытом и
опубликованном в 1862 г. Б. Бонкомпаньи [346, 347]. Здесь,
в частности, содержится решение задачи, поставленной перед
автором во время публичного диспута с Иоанном Палерм-
ским— нотариусом императора Фридриха II: найти квадрат-
ное число, которое, будучи увеличено и уменьшено на 5, дает
квадратное число. Леонардо не излагает систематически всех
свойств квадратных чисел, а описывает лишь те, которые не-
обходимы для решения этой задачи. В частности, доказано,
что

1+3 + 5 + 7+ + (2га—1) = га2,

га(га + 1) [га (га + 1)] = 6 [ 12 + 22 +

+ 32+ +(га- 1)2 + га2],

(2га - 1)(2га + 1)[(2га - 1) + (2га + 1)] =
= 12[12 + 32 + 52 + + (2га — З)2 + (2га — I)2]

и т. п.

Решение задачи, данное Леонардо Пизанским, следую-
/ 5 \2 97

щее: ( 3 ) = 144 ’ оно удовлетворяет поставленному

условию, так как

11 97 97 - Л И2

11 144*+ 5 — 16 144 — 12

ц 97 5 6— — ( 2 7 V

11 144 °144 ~ Н 12 )

После «Книги квадратов» Леонардо Пизанского в теоре-
тическую арифметику в числе важных ее разделов вошли
вопросы диофантова анализа. Сам Леонардо познакомился
с ними, видимо, через труды восточных математиков, так
как латинская версия «Арифметики» Диофанта получила
распространение в Европе только в конце XV в. [231] (впер-
вые латинский перевод был опубликован в 1575 г. [230], а
греческий текст—в 1621 г. Баше де Мезириаком).

Важную роль в развитии теоретической арифметики в
Европе сыграл трактат Иордана Неморария «Арифметика»
(впервые издан в Париже в 1496 г.1) [324], также представля-
щий собой исследование свойств целых чисел. Эта работа во
многом отличается от сочинений Леонардо и от служившей
автору образцом «Арифметики» Боэция. Хотя Иордан ссы-
лается на «божественного Аниция», как на авторитет, уже 9 * * * * * * *

9 Это издание, которым мы пользуемся, как и следующее (1514 г),

осуществил Жак Лефевр (X ЬеГеуге, латинизированная форма ГаЬег

$1ари1епНз 1445—1537 гг.), который добавил при этом некоторые новые

предложения с доказательствами [192]. Г. Энестрём [257] писал о необ-

ходимости определить по рукописям, какие доказательства принадлежат

самому Иордану и о желательности исследования комментария Кампано

к этому сочинению. Насколько нам известно, решением поставленного

вопроса не занимался никто.
оглавление его. груда говорит о некотором отходе (безуслов-
но, под влиянием восточных сочинений по теоретической
арифметике) от традиции Никомаха.

Изложению предшествует ряд определений (числа, нату-
рального ряда, разности, произведения, доли, частного и т. д.),
двадцать аксиом *) («Доля всякого числа меньше целого»,
«Равные одному и тому же равны между собой» и т. д.) и
шесть постулатов* 2) (например: «Ряд чисел может быть про-
должен до бесконечности»). В книге I, содержащей 31 пред-
ложение, доказываются некоторые общие теоремы, например:
«Всякое число является либо долей, либо долями другого»3).

В отличие от Боэция, Иордан Неморарий чрезвычайно
подробно рассматривает теорию числовых отношений, на
которой основывает все дальнейшее изложение. Особое вни-
мание (книги II, IV, и V) уделяется составным отношениям,
что свидетельствует о непосредственном восточном влиянии,
испытанном автором.

В книге III речь идет о простых и составных числах и,
наконец, в книгах VI—XI — о традиционной классификации
чисел на четные, нечетные, четно-четные, многоугольные, те-
лесные и т. д., а также о видах отношений неравенства меж-
ду числами и о различных средних. Интересно, что квадрат-
ные и кубические числа (книга VI) Иордан Неморарий опре-
деляет с помощью непрерывных пропорций. Он пытается
также доказать ошибочное утверждение (книга VII, предло-
жения 55—56), что все избыточные числа четны.

Неморарий рассматривает и задачи неопределенного ана-
лиза, например (книга VI, предложение 12), об отыскании
трех квадратов, последовательные разности которых равны
между собой, о построении пифагорейских треугольников по
данным катетам и т. д.

М. Кантор [192, т. II, стр. 56] (как и М. Курце [213]) счи-
тал, что главной заслугой Иордана Неморария является си-
стематическое употребление букв вместо чисел. Правда, он
оговаривал, что отсутствие общности (применение в отдель-
ных операциях различных букв, так что конечный результат
не выражается с помощью букв, выбранных вначале) и знаков
для обозначения арифметических действий не позволяет ви-
деть в Неморарий отца буквенного исчисления. Очевидно, сле-
дует согласиться с Г. Энестрёмом, который показал [237, т. VII,
стр. 85—86], что в том же значении буквы применялись и в
арифметических книгах Евклида, а потому вывод об особой

О Неморарий называет их термином «сКдпЙаз», тогда как у Боэция
они именуются «соттипез сопсерНопез».

2) У Неморария — «реШюпез».

3) См. «Начала» Евклида, кн. VII.
исторической значимости буквенного обозначения Неморария
неправомерен. Г Энестрём полагает, что Неморарий приме-
нял евклидово обозначение чисел, но очень часто опускал
изображения линий; по его мнению, можно говорить лишь о
«неудавшейся попытке проложить новый путь».

В XIV в. было написано несколько сочинений по теорети-
ческой арифметике в стиле Боэция. В их числе «Теоретиче-
ская арифметика» Томаса Брадвардина, напечатанная в Па-
риже в 1495 г. (192, 209, 399], и трактат Жана де Мер (издан
в Вене в 1515 г.), получивший широкое распространение и
долгое время служивший учебником [299, 362].

Диофантов анализ излагался в разделе «Рассуждения об
алгебре» Рафаэль Каначчи [383]. Раздел этот, как и все со-
чинение, написан под прямым влиянием Леонардо Пизанско-
го и в особенности его «Книги квадратов», откуда заимство-
ваны многие задачи.

Математики XV в. уделяли теоретической арифметике не
меньшее внимание, чем их предшественники.

Лука Пачоли в первом разделе своей «Суммы», посвя-
щенной, главным образом, практической арифметике и алгеб-
ре, рассматривает и ряд вопросов, связанных со свойствами
целых чисел [339]. Прежде всего разъясняется сущность чисел
в пифагорейском философско-мистическом духе; число 5, на-
пример, символизирует пять стихий (землю, огонь, воду, воз-
дух, эфир). Далее следует подразделение чисел «согласно
геометрическим названиям» на треугольные, кубические и
т. д.» а затем «согласно их сущности» — на дружественные
и совершенные.

Как и Боэций, Пачоли сравнивает совершенное число со
здоровым человеком, а несовершенное — с имеющим врож-
денный физический недостаток. Он описывает способ нахож-
дения совершенных чисел и приводит четырнадцать первых,
тогда как у Боэция фигурировали лишь четыре, указанные
ранее Никомахом. Последнее, четырнадцатое совершенное
число (9007199187632128) дано ошибочно [237, т. XIII,
стр. 154—155], так как оно равно (227—1 )226, а 227—1 не
является простым числом (его делитель 29— 1=7-73). Во-
обще, Пачоли исходит из неверного утверждения, что всякое
число вида 1+2+ +22л =22л+1 — 1 является простым. Он
повторяет ошибку Боэция, утверждая, что совершенные числа
оканчиваются попеременно либо на 6, либо на 8.

В разделе II «Суммы» рассматриваются свойства квадрат-
ных чисел со ссылкой на Леонардо Пизанского. Отмечено, что
[а2 + (а + 1)2]2± 4а(а+ 1)(2а + 1) = [2а ± 1 ± 2а(а+ I)]2 и
более обще (а2 + &2)2 ± 4а& (а2 — 62) = (а2 — Ь2 + 2аЬ).

Как один из основных разделов своей обобщенной науки о
числах рассматривает теоретическую арифметику и Никола
Шюке [352, стр 619—629]. Он дает по образцу Боэция два
подразделения чисел: на четные, нечетные, четно-четные и т. д.
и на совершенные и несовершенные. Разъяснив метод нахож-
дения совершенных чисел, Шюке приводит семь первых из
них (два — неверно) и отмечает ошибочность утверждения,
что всякое совершенное число оканчивается попеременно либо
на 6, либо на 8.

Среди несовершенных он выделяет дружественные числа
(которых нет ни у Боэция, ни у Неморария), указывая пару
220 и 284.

Большое внимание Шюке, как и Неморарий, уделяет тео-
рии числовых отношений и непрерывных пропорций. Впервые в
истории математики у него встречается оказавшееся столь
плодотворным и приведшее впоследствии к открытию исчис-
ления логарифмом сопоставление арифметического и геомет-
рического рядов

1, 2, 3,... п,
а, а2, а3, ап.

Шюке отмечает, что произведение каких-либо двух чисел
нижнего ряда дает член этого же ряда и что сумма их поряд-
ковых номеров, определяющихся членами верхнего ряда, есть
порядковый номер произведения.

О более широкой постановке задач, связанных с исследо-
ванием свойств чисел, свидетельствует и упомянутая выше
мюнхенская рукопись XV в., переписанная монахом Фридри-
хом [215]. В ней, наряду с другими арифметическими предло-
жениями, сформулированы, например, следующие (в совре-
менной терминологии): «Квадрат четного числа всегда де-
лится на 4»; «Никакой квадрат не может иметь вида 10п + 2,
Юи + 3, 10п-г7, 10п + 8»; «Всякое четное кубическое число
имеет вид 8/г3»; «Всякий квадрат должен иметь вид 7п+1,
7п-|-2, 7 п + 4, 7 п или 9п+1, 9п + 4, 9и + 7, 9 п» и т. д.

В этой же рукописи содержится немецкое сочинение о
четных, нечетных, совершенных, избыточных и недостаточных
числах, где приведены правильные значения пяти первых со-
вершенных чисел: 6, 28, 496, 8128, 33550336. Рассматриваются
также некоторые задачи на геометрические прогрессии и не-
определенные уравнения, например 43х + 41 =39// + 33 =
= 35г + 25 = 31 п+17 [215, стр. 64—67]. Такие задачи, состоя-
щие в решении системы уравнений по различному модулю,
относятся к наиболее древним задачам и встречаются впер-
вые в китайском трактате Сунь-цзы [15; 123, стр. 91—93].
Подобных вопросов касались и Леонардо Пизанский и Ре-
гиомонтан.

Вопрос о сущности понятия числа большинством авторов
до XVI в. сводился к формулировке пифагорейского опреде-
;1епия числа как совокупности единиц. Это оПреДеЛенйё
фигурирует и в сочинениях по практической арифметике, на-
пример, в «Началах арифметики» Пейрбаха (впервые
опубликовано в 1536 г. [379]), где говорится: «Единица
не есть число, по начало числа. Поэтому она относит-
ся в арифметике к числам, как точка в геометрии — к
величинам».

§ 9. Практическая арифметика

В период раннего средневековья преподавание практиче-
ской арифметики в Европе велось по римской традиции и
основными пособиями служили сочинения Беды и Алкуина.
Главное внимание уделялось имеющему древнее происхож-
дение пальцевому счету, который основан на различном чис-
ловом значении разных загибов пальцев рук [53, 123, 192, 351];
этот вид счета прочно вошел в обиход торговых кругов и
впоследствии разъяснялся в трактатах по практической
арифметике вплоть до XVII в. (Леонардо Пизанский, Лука
Пачоли, Роберт Рекорд и др.).

Правила счета на пальцах изложил Герберт в трактате
хронологического содержания, где впервые встречаются во-
шедшие в средневековую математическую терминологию на-
звания: (ИдШ — пальцевые числа (единицы), агНсиИ — су-
ставные числа (десятки), сотрозШ — числа, составленные из
десятков и единиц. Например, в изданной во Франкфурте на
Одере в 1557 г. «Арифметике» Лоссия (Биса Ьоззшз) [349],
построенной в форме вопросов и ответов, мы встречаем сле-
дующие определения: «Каким образом подразделяется чис-
ло? На пальцевое, суставное и составленное. Что есть палец?
Это число, меньшее десяти, как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Что
есть сустав? Это число, которое можно разделить на десять
равных частей, как 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Что есть со-
ставленное число? Это то, которое происходит из сустава и
пальца».

С пальцевым счетом связана и ведущая начало от рим-
ской математики популярная формула умножения чисел, не
превышающих 10, встречавшаяся и на Востоке [84]:
а&=10[а— (10 — &)]+(№ — а) (10 — Ь).

Обычно в ранних европейских сочинениях числа изобража-
лись римскими цифрами, вычисления с которыми были очень
трудны. Со времени Герберта получил распространение счет
с помощью «абака с колоннами». Средневековый европейский
абак (правила вычисления на нем излагаются в многочислен-
ных дошедших до нас рукописях [24—26, 35, 123, 192, 283—285,
407]), по сравнению с древним, был значительно усовершен-
ствован. Вместо камешков, изображавших единицу соответ-
Страница из сочинения о практической арифметике Луки Лоссия (из.
ствующего разряда и помещавшихся на столбцах счетной
доски, применяли жетоны с записанными на них знаками
(«апексы»), сходными с западно-арабскими цифрами («го-
бар»). Сейчас признано, что апексы послужили первыми про-
водниками «индийской» нумерации в Европу.

Введение так называемых арабских цифр, начавших с
конца X в. постепенно вытеснять римскую нумерацию, имело
громадное значение для развития математики в Европе.
История современных цифр порождает многочисленные воп-
росы, на которые различные авторы дают зачастую проти-
воречивые ответы. Это касается прежде всего вопроса о том,
в какой зависимости находится форма наших цифр от формы
индийских, восточно- и западноарабских цифр. Не останав-
ливаясь ни на этой, ни на других такого рода проблемах,
чрезвычайно подробно освещенных в литературе [7, 19—24,
53, 72, 123, 192, 300, 354, 409, 485], отметим лишь, что новая
нумерация и основанная на ней арифметика достаточно бы-
стро распространилась в европейских государствах [43, 64,
125, 293, 299, 488).

Однако римская нумерация укоренилась весьма прочно,
так что и после введения арабских цифр операции с числами,
записанными в новой системе, долго разъяснялись с помощью
римского обозначения [300]; так, в Германии даже в начале
XVII столетия числа в учебниках часто записывали словами
или римскими цифрами, а вычисления производили, применяя
арабские цифры [339].

С новой арифметикой в Европе познакомились благо-
даря переводам арабских сочинений, которые, начиная с XII в
основательно изучались и постепенно приобретали популяр-
ность не только в ученых, но и в торговых кругах. Наиболее
важную роль в пропаганде восточных методов счета сыграли
латинские переводы и обработки трактата ал-Хорезми
«Об индийском счете» [106], впервые появившиеся в Европе
еще в середине XII в. Новую арифметику стали называть
именем ал-Хорезми в латинизированной форме: «алгоритм»,
или «алгорисм»1); внедрение ее проходило в борьбе между
се сторонниками, так называемыми «алгорисмиками», и
приверженцами старых вычислительных приемов «абаци-
стами».

Серьезным препятствием распространению индийской
арифметики была необходимость производить вычисления на

9 Для обозначения искусства вычислений в ранний средневековый
период применялось, слово «сотриШз»; со времен Герберта в том же
смысле употребляли термин «аЬасиз». Долго считалось, что происхожде-
ние слова «алгорисм» вскоре было забыто, однако, как показал К. Хун-
рат [322], в одном из сочинений XVI в. говорилось, что «искусство счис-
ления» названо по имени «философа Алгорисма».
бумаге, что предполагало большую или меньшую степень
грамотности вычислителя. Грамотность же была явлением
относительно редким: искусством письма владело, главным
образом, духовенство.

Сейчас известно несколько рукописей XII в., в которых
излагаются правила «алгорисма». К ним относится прежде
всего рукопись латинского трактата «Книга Алгорисма о
практике арифметики» («ПЬег А1^оп$гт де ргаНса апэтеГ
псе», принадлежащего, очевидно, Иоанну Севильскому;
она была опубликована Б. Бонкомпаньи [155, ч. II]. Возмож-
но, Аделардом из Бата написано сочинение «Книга введения
Алхоризма в астрономическое искусство, составленная маги-
стром А.», существующая в настоящее время в трех рукопи-
сях XIII в. [220, 329, 361]. К XII в. относится перевод ариф-
метического трактата ал-Хорезми «А1^огПЬпн де питего
тдогит», выполненный также Аделардом из Бата; сохрани-
лась единственная рукопись этого перевода, относящаяся к
XIII в. которая находится в библиотеке Кембриджского уни-
верситета [105; 155, ч. I: 3291. Примерно в 1200 г. написан
трактат (подробно см. [121, 123, 3291), начинающийся слова-
ми «1пс1рИ НЬег а1доп$гп1», который был опубликован М. Кан-
тором в 1865 г. [190].

Помимо этих переводов и обработок арабских сочинений,
в XII в. появились и трактаты по «алгорисму», написанные
европейскими учеными: среди них — трактат Окреата
(М. О'Сгеа!), известный сейчас в отрывках [314].

Из сочинений XIII в. наиболее широкое распространение
(особенно в Италии и Франции) получил «ТгасШиз де аг!е
питегогит» Сакробоско [192, 218]. В нем разъясняются
правила действий с целыми числами, но без доказательств и
примеров. Рассматривается шесть арифметических операций:
нумерация (питегаНо), сложение (аддШо), вычитание (зиЬ-
1гасНо), раздвоение (тед1аБо), удвоение (дир1аНо), умно-
жение (тиШрИсаНо), деление (д1У18ю), суммирование чисел
натурального ряда и рядов четных и нечетных чисел (ргор-
гезз!’), извлечение квадратного корня (ех1гасНо). Такое под-
разделение стало традиционным в арифметических сочине-
ниях вплоть до XVI в.

Большой популярностью пользовался латинский трактат в
стихах Александра де Виледье «Песнь об алгорисме» («Саг-
теп де а1доп8то») [123, 1921. который уже в XIII в. был пе-
реведен на французский язык [357]. Известен также ряд ано-
нимных сочинений [192, 315).

Однако наиболее важное место в истории европейской
арифметики занимают сочинения Леонардо Пизанского, Иор-
дана Неморария и трактат «Разъясненный алгорисм», суще-
ствующий в многочисленных списках.
«Книга абака» Леонардо Пизанского явилась первым со-
чинением, в котором последовательно и с исчерпывающей
полнотой излагалась «индийская» арифметика целых и дроб-
ных чисел. Мы отметим лишь основные вопросы, затронутые
в этом широко известном сейчас и исследованном многими
историками математики труде (в частности, оно подробно
рассматривается в курсе истории математики М. Кантора
[192, стр. 10—40] и в книге А. П. Юшкевича [123, стр. 363—
376]) Особое внимание «Книге абака» уделяется потому, что
она оказала прямое воздействие на более поздние европей-
ские сочинения по практической арифметике.

В первой из 15 глав «Книги абака» речь идет о «числовых
знакак индийцев». Цифры у Леонардо при разъяснении запи-
си чисел в десятичной позиционной системе счисления с ну-
лем располагаются по арабскому образцу — справа налево:
«Девять индийских знаков суть: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С по-
мощью этих знаков и знака 0, который по-арабски назы-
вается цефир (герЫгит)1), можно написать любое число».
В этой же главе разъясняются приемы пальцевого счета,
приводятся таблицы сложения и умножения.

Следующие четыре главы содержат описание операций с
целыми числами и способа записи дробей и смешанных чисел.
В случае смешанных чисел, как и в арабском написании,
целое число ставится справа, а дробь — слева, но произно-
сятся вначале целые, а затем дроби.

Подробно разъясняется правило проверки результата
арифметических действий с помощью 9; оно доказано в об-
щем виде на линиях, обозначенных буквами.

В главах 6 и 7 рассмотрены действия с дробями, сопро-
вождаемые многочисленными примерами. Смешанные числа
при перемножении обращаются в дроби, числители которых
перемножаются, и произведение делится последовательно на
их знаменатели. Излагается метод нахождения общего наи-
большего делителя со ссылкой на Евклида.

Особенного внимания заслуживает предложенный Лео-
нардо Пизанским способ приведения дробей к общему зна-
менателю: впервые было разъяснено, что этим общим знаме-
нателем должно быть не произведение данных знаменате-
лей, а их общее наименьшее кратное. Вообще у Леонардо
Пизанского, как и у его восточных предшественников, дроб-
ные и смешанные числа при арифметических действиях
(включая деление) сначала приводятся к дробям с равными
знаменателями, а дальнейшие операции производятся толь-
ко над числителями; так,

0 Ноль по-арабски обозначается словом ас-сифр ,т. е.

пустой. В Европе термин «цифра» долго применялся в этом значении.
ас аа Ьс , ,

~г“ • -ту — ттг тгг — аа ас,

ь а ьа ьа

например,

С9о 79 17 17 _ 47 149 1581 _ 47 149
026 90 1/ 30 ~ 90 90 “ 1581

При изложении учения о дробях особенно сказывается
арабское влияние; это касается прежде всего раздела главы
7, в котором идет речь о разложении данной дроби на сум-
му основных дробей (ср. [84, 123]|) Леонардо приводит таб-
лицу, содержащую разложение дробей с знаменателями 6,
8, 12, 20, 24, 60, 100. Далее даны общие правила, которые
можно выразить в современных обозначениях так: —

= 1 , 1 . а+ 1 = I___. 1 ._____1___

п ‘ п (па — 1)’ па-\-\ па—\' п ' п(па — 1)

2я4-3 1 , 1 . ____1_____

(2и-Н)(2а+1)-1 — 2и+1 г (2и + 1)я+и + (2и г 1)[(2м 1)(2я+1)-1 ]

Следующее правило касается разложения дроби ~, где

Ь> а и та < Ь < (т + I) а\ тогда — > — > ——-т, -т-
4 ‘ 7 ’ т а т 1 о

— ^4“Т + —и далее — аналогично.

Последний и, по мнению М. Кантора [192, т. II, стр. 12],
практически наилучший способ разложения дроби -у- на
сумму основных дробей заключается в нахождении числа с,
О Ь

имеющего достаточно много делителей, для которого <

< с < 2Ь. Рассматривается дробь = ~Сс~~ ^так как
Ь . а е . ас— Ье <

с > —о—, то ас > о ; тогда -=------------?---,гдес>1.

2 I О С ОС

При помощи приводимой Леонардо таблицы и на основе то-
го, что у сесть делители, * представляется в виде требуе-
мой суммы единичных дробей. Аналогично предыдущему
поступают со вторым слагаемым.

В следующих шести главах (8—13) излагаются основан-
ные на применении пропорций правила решения задач, встре-
чающихся в практической жизни, главным образом, в торгов-
ле. Прежде всего на многочисленных примерах с весами и
длинами в различных единицах измерения, видами монет и
т. д. разъясняется так называемое «простое тройное прави-
ло», основанное на применении пропорций: даются два чис-
ла — количество товара и его стоимость, а также третье,
которое может означать как количество товара, так и де-
нежную сумму; ищется четвертое число. Это правило, как и
другие из «Книги абака», неизменно излагалось позднее в
учебниках коммерческой арифметики под названием «цепно-
го». Леонардо применяет название «Н^ига са!а» или «сЬа!а»,
представляющее собой транскрипцию арабского термина
«шакл ал-катта» (подробнее см. ниже).

Далее рассматриваются задачи на правила трех, пяти,
девяти и больше величии, также имеющие восточное про-
исхождение (они рассматривались, например, в трактате
ал-Бируни «об индийских рашиках» [17, 123]) и основанные,
как и предыдущие, на теории составных отношений.

В главе 10 изложено «правило товарищества» (если из-
вестны денежные суммы, внесенные отдельными вкладчика-
ми, требуется разделить прибыль пропорционально доле каж-
дого), а в главе 11 решаются задачи на смешение монет;
эти вопросы близки к предыдущим.

Наибольшая по объему и наиболее важная с точки зрения
Леонардо Пизанского глава 12, помимо суммирования число-
вых рядов, содержит большое число задач на «правило одно-
го ложного положения», или «простое фальшивое правило»,
также сводящееся к вычислению с помощью пропорции. Оно,
как и многие другие практические правила, имеет древнее
происхождение, встречается в вавилонской и египетской ма-
тематике и с полной ясностью описано в индийской, а затем
в арабской математической литературе [123, стр. 131—134).
Его разъясняет, например, Коста ибн Лука (X в.), указывая
случаи, когда решение возможно [431]. С помощью этого пра-
вила решаются задачи, которые сводятся к уравнению
ах + с = Ь или чаще ах = Ь\ если в качестве «ложного положе-
ния» принять х = %1, то ах14-с = &1 и решение дается формулой

, Ь —Ьл / ь

X = Ха -\----- ИЛИ X = Х1 -Г-

1 а \ 01

Правило «ложного положения» применено у Леонардо
Пизанского, например, при решении следующей задачи: «Тре-
буется найти высоту дерева, у которого под землей находятся
-4- и этой высоты, в сумме дающие 21 пядь“ В каче-
стве „ложного положения" берется общий знаменатель дан-
12 12

ных дробей 12. Тогда -д- + —= 7, а по условию должно

7 19

быть 21. Составив пропорцию “2Г ='35'’ получим, что иско-
мая высота есть 36 пядей.

Другая задача, решенная с помощью этого же правила,
касается представления данного числа в виде суммы трех,
четырех или пяти слагаемых, находящихся между собой
в постоянном отношении. Например, если число 10 требует-
ся представить в виде суммы четырех частей такого рода, то

1---1----*---’-------------1---

а в у (16

Чертеж к задаче из ,ЫЬег аЬас!“ Леонар-
до Пизанского.

вначале берутся числа 1, 2, 4, 8, находящиеся в постоянном
отношении, хотя для них 1+2 + 4 + 8=15 вместо 10. Посколь-

10 2 2 4 8 16

ку "уз" = “у > искомые числа суть -у , -у, -у, -у.

Более сложна задача, предложенная Леонардо, по его
словам, неким учителем (магистром) в Константинополе и
известная раньше арабским авторам: если один человек по-
лучит от другого 7 динариев, то он окажется владельцем
суммы, в 5 раз большей; если же второй возьмет у первого
5 динариев, то у него окажется сумма, в 7 раз большая, чем
у первого.

Леонардо решает задачу, иллюстрируя ее приводимым
на этой странице чертежом. Пусть прямые и §Ь изобража-
ют соответственно капиталы первого и второго, а аЬ — их
общий капитал. Пусть также прямая %(1 изображает 7, а пря-
мая — 5 динариев. Тогда, по условию, аЛ = 5с1Ь, еЬ = 7ае,
откуда видно, что ЛЬ составляет шестую, а ае—восьмую часть

от общей суммы. Поэтому ЛЬ +- ае = -у + -у от общей
суммы, а аЬ — (с!Ь + ае) — е^ -I- = 5 + 7 12. Далее при-

меняется правило „ложного положения14: если предполо-
жить, что сумма равна общему наибольшему делителюзна-
менателей, т. е. 24. тогда 4-+4- от нее есть 7, что, бу-

О о

дучи отнято от нее, дает 17 вместо 12; исходя из этого,
12 14 12 2

нужно положить б//? = у=гХ4 = 2^у , ае = X 3 = 2-уу-

9 9 14. 14

откуда аё = 2-^ + 5 = 7^, %Ь = 2-^ + 7 = 9.

Дается и другое решение рассматриваемой задачи с по-
мощью «правила, которое называется прямым и которое при-
меняли арабы»; оно состоит в решении уравнения 1-й степе-
ни, где за неизвестную принята йЬ, В современных обозна-
чениях: если йЬ = х, то, так как е^Ч-^б/=12 и, по условию,
еЬ = 7 ае, ае = ай—ей, оказывается, что х+12 = 7(5х—12),
14
откуда 34 х = 96, х = 2

Леонардо называет неизвестную термином гез (вещь),
который является переводом арабского слова аш-шай
применявшегося в том же смысле.

Далее в главе 12 рассматриваются неопределенные урав-
нения 1-й степени, о которых шла речь выше.

В главе 13 излагается правило «двойного ложного поло-
жения», которое было известно еще в Древнем Китае [14, 41]
и фигурировало в арабской математической литературе
[82, 123, 431] как „правило двух ошибок* (ал-хата‘ин —ОСХаЛ);
арабское название этого правила в латинизированной фор-
ме („Ке§и1а е1сИа!аупи) применяет Леонардо Пизанский, хо-
тя было известно и другое название: „способ избытка и
недостатка* Правило служит для решения уравнения вида
ах + с = Ь. Неизвестной даются два „ложных* значения х1
и х2, откуда ахх 4- с = Ь + еъ ах2 + с = Ь + е2, где ех и
е2 — возникающие при этом ошибки. Отсюда , а

следовательно, х =

— х:2е1

е2 ~

Глава 14 содержит описание способов приближенного из-
влечения квадратного и кубического корня, которые также
ранее применялись в арабских сочинениях. Эти правила
разъясняются только на числовых примерах. В общем виде
извлечение квадратного корня

У А где а2 <А <(а 4- I)2, проводится по следующей схе-
. А — а2

ме: первое приближение есть а. второе а 4—, третье

, х А — а? {А — д2)2

(дальше которого автор не идет) а 4------------ъ--------/ /л 1 /2т Нап-

2(1 *т(1 ^-/1 -р

ример, V92 7435 ~ 963+ - I Т

0X1 у 0X1 /

2 (963 + )
Второй метод извлечения квадратного корня основан на
предварительном умножении и делении числа, стоящего под

корнем, на четную степень 10; например, /7234 =

= X /72340000“~ -8505-^

Далее излагается в общих чертах теория квадратичных
иррациональностей Евклида по книге X «Начал»; подробнее
на этом разделе мы остановимся ниже (см. §11).

Относительно извлечения кубических корней Леонардо
говорит: «Куб линии, состоящей из двух частей, составляет-
ся из кубов отдельных частей и утроенных произведений
квадрата каждой части на другую часть. Когда я долго по-
думал над этим, я изобрел способ извлечения корня». Сле-
довательно, ему остались неизвестными арабские сочинения,
например трактаты ан-Насави, в которых излагается тот же
способ.

Если ищется у А, где а3 < А < (а + I)3, илиО < А — а3<
< За(а + 1) + 1, то в качестве первого приближения берет-
. А — а?

ся а, а второго а+ 3д(д + 1) + 1

Например, У2345 — 13+ 23^~2197 ~13-^-.

В главе 15 «Книги абака» содержится решение геометри-
ческих задач, главным образом, с применением теоремы Пи-
фагора, а также неопределенных уравнений (см. гл. II, §7)
и задач «алгебры и алмукабалы», которые мы рассмотрим
ниже.

Помимо «Книги абака» Леонардо Пизанского, в XIII в.
были написаны и другие сочинения по практической ариф-
метике.

Большой интерес исследователей вызвал средневековый
арифметический трактат, озаглавленный «Разъясненный
алгорисм» («А1еогШ1ти8 с!етоп81га1и8») и известный во мно-
гих рукописях. Вопрос о его авторе долго оставался невы-
ясненным. Впервые трактат был опубликован в 1534 г. И. Шо-
йером, который пользовался рукописью, переписанной в свое
время Региомонтаном. Последнее обстоятельство дало основа-
ние М. Шалю [НО] назвать Региомонтана автором сочинения,
в чем, однако, позднее справедливо усомнился С. Гюнтер [299].
Вскоре «А1&огШ1ГП118 с1етоп81га1и8» стали связывать с именем
Иордана Неморария [444], и этот взляд укоренился довольно
прочно [192, 212, 213], пока Г. Энестрём не показал его безос-
повательпость й не поставил вопрос о более серьезном изуче-
нии трактата [243]. Такое исследование провел П. Дюгем [233],
установивший, что автором сочинения является Ма^чз^ег Сег-
пагбиз, живший, по всей вероятности, в XIII в.

В трактате после разъяснения десятичной позиционной
системы счисления излагаются правила действий с целыми
числами и дробями, обыкновенными— (пптйае уи!^апз)
и 60-ричными (тти(ае рйНозорЫсае). Как особые действия
рассматриваются удвоение и раздвоение. Кроме того, приво-
дятся правила пальцевого счета.

Иордану Неморарию, несомненно, принадлежит другой
трактат, носящий название «Разъяснение Иордана об алго-
рисме»; он был исследован и опубликован Г Энестрёмом [254].
После описания способа записи чисел с помощью девяти зна-
ков и определения основных понятий и операций арифметики
(например: «Вычесть — это значит найти избыток большего
над меньшим», «Умножить числа — значит получить число,
которое содержит в себе одно из данных чисел столько раз,
сколько другое содержит единицу» и т. д.) приводится
34 предложения. Среди них (в современных обозначениях)

1. если а1 = а-10, 02 = 0-100, 0з = 0-1ООО, то 01 = 100,

02= 10 01, 0з = Ю02, ••• ;

2. если 01 = 0-10, 02 = 0-100, 0з = 0-1ООО,... то 0:01 =
= 01 : 02 = 02 0з ~ >

7. а + Ь • 10-Ьс • 100+ будет четным или нечетным в
зависимости от а;

12. 1 • 10я+9-10я = 1 • 10я+1

13. 9+9 • 10 + 9 • 102+ +9 • 10я-1 < 10я;

14. если Л = а + д-10 + с-100+ то а, Ь, с,... определя-
ются однозначно;

15. а- 10я=а + а (9 + 9-10+ +9-10"-1);

19. а- 10я +Ь‘ 10я=(а + />) • 10я;

27 если а:Ь = с:(1, то (а • 100 + &) (с • 10+с?) = (а • 10 +
+ Ь) (с -1004-0);

32. если ах — а 10, а-> = а 100, а, = а 1000, то
аах__а{а2__а2 я3_

я2 а[ ^2

И Т. Д.

Эти предложения являются подготовительными для пред-
ложений 21—24, 28, 31, 34, в которых даны правила сложе-
ния, вычитания, удвоения, раздвоения, умножения и извлече-
ния квадратного корня. Цель трактата состоит в доказатель-
стве правильности применяемых арифметических операций
с целыми числами. Уже отмечалось, что Г Энестрём охарак-
теризовал это сочинение Иордана Неморария, в котором
сказывается влияние ан-Йасаьй, как Попытку обобщить уче-
ние Евклида при учете арабской арифметики [254].

Помимо названного трактата, Неморарию приписываются
два других сочинения по «алгорисму» (также исследованных
Г Энестрёмом [255, 265]), в которых разъясняются правила
действий с дробями.

В XIV—XV вв. индийская арифметика получила повсе-
местное распространение среди купцов и вычислителей (преж-
де всего в Италии, а затем в Германии и Франции).

Как отметил М. Кантор [192, т. II, гл. 53], учебники по
практической арифметике того времени были двух типов, один
из которых определялся сочинением Иордана Неморария.
В трактатах этого типа описывались действия удвоения и
раздвоения как специальный вид арифметических операций.
Учебники другого типа строились по образцу «Книги абака»
Леонардо Пизанского.

Изложение практической арифметики, как и у восточных
математиков, обычно начиналось разъяснением способа запи-
си чисел с помощью индийских цифр. Далее рассматривались
правила действий с целыми числами. Сложение и вычитание
производилось обычно справа налево, но иногда и в обрат-
ном порядке. Описывалось несколько способов умножения;
некоторые из них непосредственно заимствованы из восточ-
ных сочинений. Различными приемами производилось и дей-
ствие деления, которое считалось весьма трудной операцией.
Предлагалась проверка деления и умножения, чаще всего
с помощью девятки. Для извлечения иррациональных квад-
ратных и кубических корней применялись приближенные ме-
тоды, описанные раннее восточными математиками.

В следующем разделе рассматривались действия с обык-
новенными и 60-ричными дробями [123, 258, 264]. Десятичные
дроби, открытые в XV в. Джамшидом Гияс ад-Дином ал-Ка-
ши, Европы не достигли, и европейские математики пришли
позднее к этому открытию самостоятельно [258, 288, 398, 421].

Далее в учебниках по арифметике, как правило, рассмат-
ривались различные задачи коммерческого характера.

В главах из второй книги «Четырехчастия чисел» Жана де
Мер, посвященных практической арифметике (опубликованы
в 1890 г. А. Наглем [362]) приводятся, в частности, правила
умножения в уме с помощью разложения сомножителей на
меньшие множители по специальной таблице.

Практическая арифметика составляет предмет значитель-
ной части труда Луки Пачоли «Сумма». Средн арифметиче-
ских операций Пачоли не выделяет удвоения и раздвоения,
мотивируя это тем, что они содержатся в действиях умноже-
ния и деления. Пачоли приводит восемь различных способов
умножения, распространенных в разных районах Италии.
Среди них — умножение с помощью «решетки», широко при-
менявшееся в странах Ближнего и Среднего Востока, «пере-
крестное» умножение, известное еще в Индии, и т. д. (подроб-
нее см., например, [72, 407]).

Из четырех приведенных способов деления один (а 1а-
уо1е!1а) применяется в случае, когда делитель — однозначное
или небольшое двузначное число, другой состоит в последо-
вательном делении на простые множители делителя, третий
практически совпадает с современным, а последний назы-
вается «галерой» (позднее — «деление сверху»), так как циф-
ры при этом располагаются в фигуру, напоминающую судно.

Пачоли описывает также правила «счета на пальцах»,
бывшего очень популярным в то время.

Рассматривается приближенное извлечение квадратных и
кубических корней. Для квадратного корня УА, где А от-
лично от квадрата, ищутся последовательные приближения.

А — а2 Л — а2

ах = а ---— , а2 = ах -|---— и т. д. Например, для

V6 получается ах = 2-^ , а2 = 2 , аг — 2 . Для куби-

ческого корня отмечен лишь случай, когда подкоренное
число есть точный куб.

Изложив правила действий с целыми числами и дробями,
Пачоли подробно разъясняет приемы разного рода торговых
вычислений, обмена, бухгалтерского учета и т. д., причем
применяет иногда арабские термины. Правило двух «ложных
положений» называется у него либо по-итальянски «ге^о1а
с1е11а с1о1 Га1зе розШош», либо, вслед за Леонардо, по-арабски
в итальянизированной форме «е1 Са1аупо».

Среди сочинений на итальянском языке, появившихся к
концу XV в., следует назвать «Тревизскую арифметику», на-
писанную в 1478 г. [192, 410], арифметические трактаты Ка-
ландри, Талиенте и другие. В предисловии к «Книге абака»
(«ЫЬго сГАЬасо») Талиенте, опубликованной впервые
в 1491 г., говорится: «Так как мы теперь знаем, что теория
является частью философии, то мы предоставим размышлять
о ней тем, кто занимается философией» (цитировано по
[89, т. I, стр. 109]); основное внимание уделено правилам
практических вычислений.

Шюке в первой главе «Науки о числах, изложенной в трех
частях» [352], рассматривая действия с целыми числами, опус-
кает, как и Пачоли, удвоение и раздвоение. Во второй главе
приводятся правила действий с дробями, в четвертой — прак-
тические правила, в том числе тройное правило, правило од-
ного «ложного положения», а также «правило средних чисел»
(г1§1е без потЬгез тоуепз), которое, очевидно, принадлежит
автору.
Последнее правило основано на утверждении (не дока-

ч а 4- с ас

ванном), что всегда находится между — и , поз-

воляющем вставлять среднее значение между указанными
пределами. Этот принцип, связанный с разложением в цеп-
ные дроби, применяется при решении задач способом двух
„ложных положений*, а также для приближенного извле-

чения квадратного корня, которое иллюстрируется приме-
ром ]^6 Так как 2 < ]/б’ <3, то сначала взято приближе-
1 / 1 \2 1
ние 2 которое оказывается избыточным: (2

Второе приближение 2 -------недостаточное:

Следующее значение, взятое между 2-Ь и 2-Ь а имен-
о 2

0 2 1 1 у-у

но 2 -ё- —1 о—й, также оказывается недостаточным. Далее

Э О 2

Шюке берет 2 -|- < 2 -?- < 2 Д-, где 2 — 2и про-

должает таким образом до значения 2^. Описанный метод
заимствовал без ссылки на Шюке Этьенн де ла Рош (1520 г.),
а затем испанский ученый Жуан Перес де Мойя (1590 г.)
[351].

При извлечении квадратного корня Шюке рекомендует за-
помнить, что точный квадрат не может оканчиваться цифра-
ми 2, 3, 7, 8, 9; аналогично, для четвертой степени невозмож-
но окончание на 2, 3, 4, 7, 8, 9. Он дает также метод извлече-
ния кубического корня [266].

В Германии [293, 299, 300, 445] с развитием городов, рас-
ширением торговли и ремесел в широких деловых кругах
также возросла потребность в освоении методов счета. Уже
в XIII в. возникли специальные школы, в которых обучались
будущие вычислители (КесЬепте1з(ег), много сделавшие для
внедрения индийско-арабской арифметики. В противополож-
ность монастырским (латинским) школам, школы вычислите-
лей предназначались для простых граждан и преподавание
в них велось на родном языке. Постепенно вырабатывалась
немецкая математическая терминология [358, 391] и вскоре,
наряду с латинскими, появились многочисленные немецкие
учебники по «алгорисму» [192, 448]. Однако грамотность все
еще была неодинаково распространена среди слоев населения,
поэтому в Германии, как и в других странах, продолжал раз-
виваться и инструментальный счет; в частности, широко при-
менялся в XV в., особенно немецкими вычислителями, так
называемый «счет на линиях» [123, 192].
Древнейшая известная сейчас немецкая рукописная книга
по практической арифметике была составлена в 1445 г.
Ее текст и перевод со старонемецкого на современный не-
мецкий язык по экземпляру, хранящемуся в библиотеке Ба-
зельского университета, опубликован Ф. Унгером в
1888 г. [448]. Книга представляет собой учебник, по которому
преподавали математику в латинских школах. В ней имеют-
ся следы влияния римской традиции (например, правило
умножения а&=10—а(10—Ь), где а, Ь<10), но в основном
она построена по образцу других европейских сочинений об
«алгорисме». Излагаются правила арифметических действий,
включая удвоение, раздвоение и приближенное извлечение
квадратного и кубического корня. Обращает на себя внима-
ние отсутствие проверки девяткой, которое обычно приводи-
лось в такого рода сочинениях.

Большой арифметический раздел содержится и в упо-
минавшейся рукописи монаха Фридриха (составлена в 1457—
1461 гг.). Описан этот раздел был в 1912—1913 гг. Э. Ра-
том [388], а опубликован К. Фогелем в 1594 г. [454]. Он
представляет собой обширное собрание задач коммерческой
арифметики, а также теории чисел (см. выше) и геометрии.

Среди первых и наиболее значительных сочинений по
практической арифметике, напечатанных в XV—XVI вв., сле-
дует назвать учебники Ульриха Вагнера и Иоганна Видмана.

Изданная в 1482 г. книга Ульриха Вагнера, которая сейчас
известна под названием «Бамбергской арифметики» (Вагп-
Ьег^ег КесйепЬисЬ), была первым печатным немецким со-
чинением по «алгорисму» [192, 454]. Она носит явные следы
влияния итальянской математической литературы, распрост-
раненной в торговых кругах. Помимо правил арифметических
действий с целыми числами и дробями, в ней подробно изла-
гаются практические правила: тройное или «золотое» правило
(Б1е §и1беп Ке§е1), правило товарищества, правила сведения
долей денежных единиц к целым меньшим денежным еди-
ницам и т. д.

Упоминавшееся выше сочинение по практической ариф-
метике Георга Пейрбаха «Начала арифметики», опублико-
ванное только в 1536 г. с предисловием Филиппа Меланхто-
на [379], содержит описание действий с целыми числами и
дробями, различные правила практических вычислений и
главные теоремы теории отношений (см. ниже), на которой
основываются эти правила.

Прежде всего Пейрбах по традиции подразделяет числа
на йальцевые, суставные и составленные, а затем говорит о
записи любого числа с помощью десяти знаков, ссылаясь при
этом на арабов. Ноль обозначен термином «сИга». Рассматри-
ваются действия удвоения и раздвоения, даются правила
ЕЬЕМЕЫ

ТА ДШГНМЕТМЖ

ПБ НУ*
теш Ые$ш, раЗи» Ке^уг
соттшШшъ&г <& Рго»
|ютошШ*

Ашоте <3еот$о РсигЪасЫэ.

бпм'а теса15 т Веет <Л’Ы ^ЙС?*
АШ^сши $п^ии.т1.

Ап, м. О. XXXVI.

<Ж ^Дс»ж Шйф. МеййШ

Титульный ллст ., Н1Ч11 а м}) 4 угл^л14 Георга Пейрбаха (изд. 1536 г Фи-
липпа Меланхтона).

извлечения квадратного и кубического корней из целых и
дробных чисел [266]. Все операции сопровождаются провер-
кой. В специальном разделе рассматриваются прогрессии,
как указывает автор, по Иордану Неморарию. Большое вни-
мание уделено пропорциям.

В книге Иоганна Видмана (1489 г.) «Быстрый и красивый
счет для всего купечества» [157, 192, 293, 446] практическая
арифметика рассматривается в одном разделе из трех, со-
ставляющих это сочинение. Здесь также подробно приводят-
ся правила вычислений с целыми и дробными числами (при-
чем удвоение и раздвоение выделяются специально), даются
формулы суммы арифметической и геометрической прогрес-
сии и правила приближенного извлечения квадратного и
кубического корня с точностью до целых.

§ 10. Алгебра

К числу первых переведенных на латинский язык арабских
сочинений относится алгебраический трактат Мухаммада ибн
Мусы ал-Хорезми [106], который впоследствии неоднократно
комментировался европейскими учеными; например, автором
одного из наиболее поздних комментариев был выдающийся
нидерландский математик Адриан ван Роумен (1561—
1615 гг) [167, 395].

Известны два перевода «Алгебры» ал-Хорезми, относящи-
еся к XII в. Один из них, впервые опубликованный Г Либ-
ри [348, т. I, стр. 253—297], принадлежит, как установил
А. Бьёрнбо [146], Герардо Кремонскому. По мнению Дж. Сар-
тона [399, т. II, стр. 176], «можно сказать, что он означает
начало европейской алгебры». Второй был сделан Робертом
Честерским; его исследовал и опубликовал в 1911 г. Л. Кар-
пинский [333].

В XII в. были переведены и другие алгебраические сочине-
ния, иногда анонимные (192, 256]; в их числе трактат [154],
переведенный Герардо Кремонским. Характерны первые слова
этого сочинения: «Начинается книга, которая, согласно ара-
бам, именуется алгеброй и алмукабалой, а у нас названа
книгой восстановления (гез(аигаИопз), и которая была пере-
ведена магистром Герардо Кремонским в Толедо с арабского
на латынь» [154, стр. 28].

Как и у ал:Хорезми, вначале определяются понятия не-
известной (гаШх), ее квадрата (сепзиз) и свободного члена
уравнения (пишегиз З1тр1ех), далее даются правила арифме-
тических действий с корнями и рассматриваются канониче-
ские виды квадратных уравнений. Приведены многочисленные
примеры. Правила решения уравнений сформулированы
в стихах.
Очень интересна символика, которая применена в этом пе-
реводе. Неизвестная и ее квадрат обозначены начальными
буквами указанных выше терминов, т. е. г и с\ свободный член
обозначен буквой (1 от слова бепагииз (динарий), которое
также употреблялось в этом смысле по арабскому образцу.
Эти знаки ставились под значениями коэффициентов. Так, за-

2 о > 3 3 о 3

пись с означала 2х-, а г и 4 — соответственно Зх и -т-х.

— — г 4

Особого внимания заслуживают знаки для действия сложе-
ния и вычитания: под вычитаемым членом ставилась точка,
под прибавляемым — черта; например, запись

2 2 5 5

с с г г

X ’ ~4~ X X

г а с (1

обозначала соответственно выражения 2х2 — Зх, 2х2 — 4,
5х — 2х2, 5х — 4.

Таким образом, в XII в. европейские ученые познакоми-
лись не только с методами восточной алгебры, но и зачат-
ками алгебраической символики, которую начали применять
арабские математики, не дав ей, однако, полного развития.

Наиболее полное изложение алгебраических методов мы
находим у Леонардо Пизанского и Иордана Неморария.

Леонардо Пизанский, излагая правила «алгебры и алму-
кабалы», которые систематически разъясняются в главе 15
«Книги абака», брал за образец трактат ал-Хорезми, о чем
свидетельствует пометка «МаЬите!» на полях рукописи. Од-
нако большое влияние на него сказали также Абу Камил,
ал-Караджи и другие восточные авторы. Леонардо говорит
о решении «различных вопросов согласно способу алгебры
и алмукабалы, то есть противопоставления (оррозШо) и вос-
становления (гез^аигаНо)». Как и его предшественники, он
рассматривает только положительные коэффициенты урав-
нений; отрицательный же член приходится «восстанавливать»,
т. е. переносить в другую часть уравнения.

Следуя схеме, данной в арабских алгебраических сочине-
ниях, Леонардо рассматривает шесть канонических видов
квадратных уравнений и предлагает геометрическое доказа-
тельство правил их решения. Среди многочисленных приме-
ров одни принадлежат ему самому, другие уже встречались
у его восточных предшественников. Так, решается уравнение
х2+10х = 39, которое впервые рассмотрел ал-Хорезми [106,
стр. 27—28], а позднее со ссылкой на него—Абу Камил
[127, стр. 32] и затем ал-Караджи [481].

Особенно много примеров заимствовано из «Алгебры»
Абу Камила [127, стр. 217—220]. Среди них, например, зада-
чи, которые сводятся к системам (в современной записи):
х + у = 10, х 4- У = Ю, х у — 10,
у- (х-у) = 21, (у* - х ]/й = 40, [Л. + = У5у

' х + у = 10,

Последняя задача (стр. 204 английского перевода трактата
Абу Камила [127], стр. 454—455 издания текста «Книги аба-
ка» [345, т. I]) вызывает особое внимание исследователей, так
как решена по-разному у обоих авторов.

Абу Камил, на основе того, что — = — 4- 1 и — =

7 ’ х х 1 у

х । . 10 Ю у , х , п

- — + 1, находит — + "\Г=г+~т+2 и’ исходя из
второго уравнения системы, получает уравнение — +-Х-=

, 1 X

= 4 у-, квадратное относительно г = — .

Леонардо полагает х — 2 — х, откуда у = 8 + г, й +

+ = 16 = (2 — 2)(8 4-г), х(х + 6) = 0; опуская ко-

рень 6, он получает г = 0, а следовательно, х = 2,
у = 8. Это — первый известный случай, когда применяется
нулевое решение уравнения.

Термины, употребляемые Леонардо Пизанским, представля-
ют собой перевод арабских слов, обозначающих те же понятия.
Так, неизвестная названа «гасНх» или «гез», т. е. «корень»,
или „вещь*, по арабски соответственно „джизра и

„шай* Квадрат неизвестной, который в арабской

алгебре фигурирует под названием „имущество* (мад,.Л^^,
у Леонардо обозначен имеющим то же значение словом
„сепзиз* Постоянная в уравнении — „число* или „динарий*,
пО-арабски „адад* или „динар* названа „пи-

шегйз* или „йепапиз*

Алгебраический трактат Иордана Неморария «О данных
числах» [63, 112, 123, 192, 213, 444] частично повторяет со-
держание труда Леонардо, однако имеет и много нового.

Впервые это сочинение опубликовал (по рукописи, храня-
щейся в Базеле) П. Трейтлейн в 1879 г. [444], а в 1891 г.
М. Курце издал исправленный текст (по мюнхенской’ руко-
писи) с комментариями [213]. Позднее было произведено
сравнение опубликованных текстов с венской рукописью [112].
Русский комментированный перевод С. Н. Шрейдера издан
под редакцией И. Н. Веселовского [63, 112].

Трактат состоит из четырех книг. В первой книге рас-
сматривается 29 задач о подразделении числа на две части
так, чтобы удовлетворялось некоторое условие; они сводятся
к системам двух уравнений с двумя неизвестными, которые
Неморарий, в отличие от других авторов, решает, не приводя
к квадратному уравнению. Так (задача №3), если х+у = а,
ху — Ь, то х — у — У а? — 46, а отсюда по значению сум-
мы и разности определяются х и у.

Во второй (27 задач) и третьей (23 задачи) книгах при
решении задач, сводящихся к линейным уравнениям и их
системам, широко применяются пропорции. Ряд примеров
встречался ранее у ал-Караджи [481]. Здесь Неморарий ссы-
лается на «арабский метод», чего он не делает в других
сочинениях.

Среди задач, рассматриваемых в четвертой книге, некото-
рые сводятся к квадратному уравнению.

Никаких обозначений для алгебраических действий Немо-
рарий не применяет; однако при сложении он сокращает за-
пись, располагая слагаемые непосредственно друг за другом.

Для квадратного уравнения Неморарий указывает два
положительных корня; отрицательный корень опускается.
Операции с иррациональными выражениями не производятся.
В единственном примере, где получаются иррациональные
решения (книга первая, задача 16), эти решения названы
«худшими» и не рассматриваются.

Таким образом, круг вопросов, затрагивавшихся в евро-
пейских алгебраических сочинениях XIII в., ограничивался,
как в трактатах ал-Хорезми и его последователей, задачами,
которые сводятся к решению квадратных уравнений шести
канонических типов. Что касается формы изложения алгеб-
ры, то в большинстве случаев до XV в. европейские авторы
также придерживались восточной традиции, ссылаясь на
арабское происхождение этой науки.

Алгебру называли «большим искусством» (агз та]ог), в
противоположность «малому» (агз тшог), т. е. практической
арифметике. Часто вплоть до XVI в. за ней сохраняли араб-
ское название «А1^еЬга е( а1тискаЬа1а», а иногда ее имено-
вали «Агз ге1 е( сепзиз», что означает дословно «искусство
вещи и имущества» и также соответствует арабской термино-
логии.

С XIV в. алгебра получила значительное распространение
у практиков. Начали появляться сочинения не только на ла-
тинском, но и на народных языках. Раньше всего алгебраи-
ческие методы вошли в итальянскую математику, чему в
большой степени способствовали сочинения Леонардо Пизан-
ского. Его прямыми последователями были в XIII в. Ди Лу-
пис — автор латинской алгебры [237, т. IX, стр. 73—74].
и в XIV в. Р Каначчи, написавши?! трактат по алгебре на
итальянском языке [256, 332, 348, 383].

Рукописи Каначчи, содержащие две редакции его трактата
и представляющие немалый исторический интерес, были ис-
следованы лишь в 1953 г. [383]. Во введении упоминаются
Ди Лунис и Леонардо Пизанский. Относительно первого*
сказано, что его сочинение — это версия трактата ал-Хорез-
ми. Каначчи впервые применил термин «алгебра» отдельно
для обозначения науки об уравнениях. Обсуждая происхож-
дение слова «алгебра», автор связывает его с именем леген-
дарного арабского математика Гебера (впоследствии такое
заблуждение стало весьма распространенным).

В трактате много транскрибированных арабских слов,
так как итальянские термины представляют собой перевод
соответствующих латинских. Например, слово соза (вещь),.

которое обозначает неизвестную,— перевод латинского тер-

мина гез, происходящего в свою очередь от арабского «шай»
(ст')’ Т° же относится к термину сепзо, означающе-

му квадрат неизвестной: он соответствует латинскому сеп-
зиз и арабскому „мал4* (Ло, имущество). Свободный член

бгашта — название денежной единицы — соответствует араб-
скому „дирхам44 часто применявшемуся в том же

значении.

Далее автор рассматривает канонические типы квадрат-
ных уравнений. Он называет уравнения ах2 = 6х, ах2 = сг
Ьх = с простыми видами (сазт зетрПс1), а ах2 + Ьх = с,
ах2 + с = Ьх, ах2 = Ьх + с составными (саз! сотрозШ). Особого
внимания заслуживает вторая редакция сочинения Каначчи,
где рассматривается уже 60 различных видов уравнений вто*-
рой степени и выше с положительными коэффициентами.
Среди них не только уравнения, сводящиеся к квадратным
каноническим, но и такие как ах3 = (11 ах3 = сх+с1, ах^^+Ьх2,.
ах3 = Ьх2 + сх + (/, сх + Ьх2 4- ах3 = й, йх+сх2 + Ьх3 + сх4 = ег
ах6 = Ьх4 + сх3, Ьх9 + ах™ = сх\ Ьх9-\-сх4 = ах6, Ьх9 = ах6+Ьх4.

Каначчи делает попытку дать общее решение кубического*
уравнения ах3 = Ьх2 + сх + б/, однако пользуется неверной фор-

мулой х =+ 1/ (Д~У+ с + , не учитывая при этом„
что, как показал Леонардо Пизанский (см. ниже), неприво-
димое уравнение 3-й степени неразрешимо в квадратичных
иррациональностях.

Таким образом, в XIV в. в итальянской математике уже
был поставлен вопрос о решении уравнения степени выше*
второй и тем самым намечен выход за пределы, установлен-
ные ал-Хорезми. Это подтверждает другая итальянская руко-
пись XIV в. [108, стр. 95], где дано решение уравнения ах3-!-
+ Ьх2 + сх — к по формуле х — рЛ(-у-^+ , вер-
ное, когда Ь2 = Зас.

Классификация кубических уравнений, данная Омаром
Хайямом [96, 105, 119], и их геометрическое решение оста-
лись в Европе неизвестными. Во всяком случае, нет никаких
свидетельств о знакомстве европейских математиков с идея-
ми Хайяма.

Из сочинений, написанных в XIV в. во Франции, обращает
на себя внимание алгебраическая часть рассматривавшегося
выше трактата Жана де Мер [334], где также сказалось влия-
ние Леонардо Пизанского.

Унаследованное от восточных математиков учение о ли-
нейных и квадратных уравнениях стало базой начавшегося
в XV в. заметного движения вперед. В Италии в XV в. про-
должали появляться руководства по алгебре, написанные по
образцу сочинений XVI в. (например, рукопись, исследован-
ная Л. Карпинским [332].

Первым печатным сочинением, заложившим основы новой
алгебры, была «Сумма» Луки Пачоли [89, 123, 185, 192, 339].
Алгебру он называет «аг!е та^юга» («большое искусство»),
«ге^о1а с!е11а сова» («правило неизвестной») или «А1^еЬга
е А1тисаЬа1а» и отводит ей восьмой раздел своего труда.

Здесь мы сталкиваемся с явлением, роль которого в исто-
рии математики невозможно переоценить, — с зарождением
символической алгебры. Для обозначения операций сложения

и вычитания Пачоли систематически применяет знаки р

(от слова р1ив или рш) и т (от тши$ или тело). Неизвест-
ную и ее степени он также обозначает сокращенно. Приводим
эти обозначения в виде таблицы, где слева дана современная
запись, в центре — полное название, применяемое Пачоли,.
справа — применяемое им сокращение:

питего л0'
X1 соза со
X2 сепзо се
X3 сиЬо си
х^ сепзосепзо се-се
X5 рг!то ге!а(о р°г°
X* сепзо де сиЬо, сиЬо де сепзо се. си.
х' зесипдо ге!а(о 2°г°
X3 сепзо де сепзо де сепзо се. се. се.
X9 сиЬо де сиЬо си. си
Л10 сепзо де рг!то ге!а1о се- р° г°
х" 1ег11о ге!а1о 3°г°

ИТ Д. ДО V29
Таким образом, Пачоли, в противоположность математи-
кам стран ислама и их последователю Леонардо Пизанско-
ву, применяет мультипликативную систему обозначения сте-
пеней неизвестной (в «Книге абака» х6 обозначено термином
«сепзиз сепзиз сепзиз», х8 — сепзиз сепзиз сепзиз сепзиз
и т. д.)

Обращают на себя внимание названия 5-й степени — «рпгпо
ге!а(о», 7-й степени — зесипбо ге1а(о» и т. д., ставшие обще-
употребительными в XVI в. Возможно [393], что они представ-
ляют собой итальянский перевод греческих терминов, при-
менявшихся Пселлом (алоуод лротод, аЛоуод дегтерод и т. д.
[246, 248, 436].

Знак К, перечеркнутый внизу косой чертой (от слова
гаШх — корень), введен для обозначения квадратного корня.
Если под корнем стоит сложное выражение, то после упомя-
нутого знака Пачоли ставит букву V (от слова итуегзаНз)
Например, выражение ^40-1/320 он записывал в виде

КУ40шК320.

Пачоли формулирует правило знаков, хотя еще не рас-
сматривает вычитаемый член как отрицательное число. В этом
он следует за арабскими авторами, которые, в свою очередь,
повторяли Диофанта [8, 13, 82].

Теорию уравнений Пачоли излагает в пятом «трактате»
восьмого раздела «Суммы». Исследуя шесть канонических
видов квадратных уравнений, он дает правила их решения
в латинских стихах, которые называет «изящными» [339], хотя
согласиться с этим трудно. Далее, он приводит восемь урав-
нений четвертой степени, из которых два (ах4 + сх2 = йх, ах4 +
+ ^х = сх2), сводящиеся к кубическим, он определяет как «не-
возможные» (1гпрозз1Ы1е), уподобляя их решение квадратуре
круга.

Можно заключить, что сочинение Луки Пачоли подвело
итог результатам, полученным до XV в. итальянскими алге-
браистами. На него опирались в своем творчестве выдающиеся
математики XVI в. Ферро, Тарталья, Кардано и другие, нашед-
шие решение кубического уравнения в радикалах — задачи,
которая оказалась непосильной для греков и математиков
средневекового Востока.

Алгебраические методы в XV в. глубоко внедрились и во
французскую математику. Об этом свидетельствует упоминав-
шееся сочинение Никола Шюке «Наука о числах, изложен-
ная в трех частях», последняя часть которого содержит изло-
жение алгебры [352]. Шюке рассматривает четыре вида урав-
нений:

ахт = Ьхт+п а.хт + Ьх'п+П = схт~2п

ахт = Ьх,п+п 4- схт+2я, ах’п + схт+2п = Ьхт^".
Повторяя своих предшественников, он обычно опускает
.нулевое решение и иногда называет его «невозможным»
(«1тро881Ые», «игерепЫе»). Однако, как отметил Г. Энестрём
{237, т. VIII, стр. 203], утверждение М. Кантора [192, т. II,
стр. 358] о том, что для Шюке не существовало решения х = 0,
неточно, ибо в отдельных случаях (например [352, стр. 641])
не говорится о его невозможности.

Г Энестрём обратил также внимание на пример Зх2 -н
4-12 = 12%(где х = 2 + |/4 - 4), решая который, Шюке
рассматривает подкоренную величину, равную нулю, как
число: из него извлекают корень, его прибавляют й отни-
мают. Можно напомнить, что тот же пример в виде х2 —
— 4х + 4 = 0 ранее встречался у Леонардо Пизанского.

Шюке вводит шовае обозначение для степеней неизвест-
ной: над коэффициентом справа ставится показатель степе-
ни (например, 83 равносильно современному 8х3). Интересно,
что при этом он :не избегает ни нулевого, ни даже отрица-
тельного показателя; так, 71’т‘ означает у него 7х-1

Важную роль в развитии европейской алгебры сыграли
математики Германии [241, 293, 299, 446, 462—464], где алге-
браические методы распространились уже в середине XV в.
[215]. Они попали сюда из Италии, о чем говорит немецкое
название, применявшееся к алгебре в то время: «правило кос-
ее» или «искусство косее» (от итальянского сова). Вначале
вычислители, постигшие это искусство и прославившиеся
умением решать с его помощью трудные практические зада-
чи, старались держать алгебраические методы в секрете, но
затем появились и печатные труды по алгебре.

Заслугой немецких «коссистов» в истории математики яв-
ляется разработка алгебраической символики и прежде все-
го введение специальных знаков для обозначения алгебраиче-
ских операций.

В упоминавшейся выше мюнхенской рукописи, составлен-
ной в 1461 г. монахом-бенедиктинцем Фридрихом, наряду с
другими интересными трактатами, содержится и алгебра, на-
писанная частью на немецком, частью на латинском языке.
Рукопись была исследована Герхардтом (1870 г.) [292], а за-
тем— более глубоко — М. Курце (1895 г.), который опубли-
ковал ее текст [215, стр. 41—57]. Рукопись прямо свидетель-
ствует об итальянском происхождении немецкой алгебры.
Об этом говорит название одного из отрывков («Ке§и1е
(бе1асо8е весипбшп 6 сарИи!а») и применяемые в ней терми-
ны: «пишегиз», «соза», «сепзо», «сепзо сП сепзо», «сиЬо сП си-
Ьо». Неизвестную автор обозначает немецким словом «Вш§»
(вещь), причем везде уточняет: «то есть сова». Для неизве-
стной иногда вводится сокращенное обозначение — первая
буква ее немецкого названия. Встречается также знак для
действия умножения

Немецкий отрывок рукописи начинается ссылкой на ал-Хо-
резми и на его «Книгу алгебры и алмолкобулы» («МасИгпе!
ш дет реисН а!§еЬга ипд а1та1соЬи1а...»), а далее следует
описание шести канонических видов квадратного уравнения,
причем четвертый сопровождается примером из трактата ал-
Хорезми, почти неизменно фигурировавшим в средневековых
алгебраических сочинениях как на Востоке, так и на Западе:
х2+10х = 39.

Кроме того, автор приводит пример уравнения, которое
„не является одним из шести правил*: х + ]^х2 — х = 2 и
предлагает следующее решение: ]/х2 — х = 2 — х, х2 —
— х = 4 + х2 — 4х, х2 + Зх = х2 + 4, Зх «= 4, х = 1

Шесть канонических видов квадратного уравнения, кото-
рые названы „Соза §1е1сЬ питего" „Сепзо &1е1сИ дел пи-
тего", „Соза §1е1сИ сепзо" и т. д.

Далее под заголовком «Заметь, что такое квадрат, неиз-
вестная и куб» даются названия степеней неизвестной (до х6
включительно). Обращает на себя внимание, что принцип
их образования не мультипликативный, как у Пачоли, а ад-
дитивный; так, х5 названа «дир1ех сиЬо», а х6— «сиЬо сП сиЬо»

Здесь, как и в следующих отрывках (большей частью
латинских), содержатся новые примеры к приведенным выше
правилам, которые в одном месте названы «правилами араб-
ской алгебры» [215, стр. 62]. Особенно примечателен пример
х2 + 25=15х, где автор определенно указывает на существо-
вание двух решении уравнения: х= -2~ + г ~2~ и х=~2-------

1/125 гч о 15

— |/ —. Он говорит: „Если я вычитаю, остается минус

125 . 15

корень из если прибавляю, получается и корень из

125 А л

А поскольку здесь не может быть достигнут успех
согласно способу вычитания, необходимо поступать соглас-
но способу сложения" [215, стр. 63]. Таким образом, автор'
отказывается от второго решения.

Многие примеры (их мы рассмотрим в § И) свидетель-
ствуют о знакомстве автора с книгой X «Начал» Евклида.

Среди первых немецких математиков, знавших алгебру,,
были Пейрбах, Региомонтан и Видман.

Региомонтан в историко-математическом введении к лек-
циям об Альфраганусе упоминает об «Арифметике» Дио-
фанта, в которой, по его мнению^ содержится весь цвет ариф-
метики, в том числе «искусство неизвестной и ее квадрата»,
названное по-арабски алгеброй [179, 446].

О Видмане известно, что он читал лекции по алгебре в
Лейпцигском университете и написал учебник [123, 157, 241,
464]. Обнаружена немецкая рукопись алгебраического содер-
жания (переписанная в 1481 г.), которая принадлежала в
свое время Видману. Он перевел одну из задач на латинский
язык, дал ей свое решение и добавил новые задачи. Текст их
был опубликован Э. Вапплером в 1899 г. [464].

В сочинении «Быстрый и красивый счет для всего купе-
чества» [157, 446] Видмана также затрагиваются алгебраиче-
ские вопросы. В главе о коммерческой арифметике он решает
задачу с помощью «правила, называемого алгобре или кос-
ее» («Ке§е1 А1^оЬге одег Соззе деппапЬ) .Особенно важно,
что здесь впервые применяются современные знаки «плюс»
и «минус» для обозначения действий сложения и вычитания
(хотя еще не систематически [237, т. VIII, стр. 195—198; т. IX,
стр. 155-157]).

Видман пользовался латинскими сочинениями, ведущими
начало от Иордана Неморария. Но с другой стороны, то об-
стоятельство, что он называет алгебраическое искусство
«Ке§и1а соззе», а также сходство многих разделов с сочине-
нием Леонардо Пизанского, указывает на итальянское влия-
ние. Поэтому М. Кантор [192, т. II, стр. 229] сделал вывод,
что алгебра ученого происхождения, имеющая источником
латинские труды, была известна в Германии в середине
XV в., а в конце столетия она соединилась с итальянской
алгеброй, распространенной среди купцов. Однако из прове-
денного М. Курце (см. выше) анализа рукописи монаха
Фридриха ясно, что итальянское влияние сказалось в немец-
ком «коссическом искусстве» значительно раньше.

§11. Теория квадратичных иррациональностей

Теоретическую основу операций над иррациональными кор-
нями в средние века как на Востоке, так и в Европе состав-
ляло геометрическое учение древних об иррациональных вели-
чинах, изложенное в книгах V и X «Начал» Евклида. Книга X
содержит частный раздел общей теории отношений, рас-
сматриваемой в книге V, и касается теории квадратичных и
биквадратичных иррациональностей. Однако на практике
математик прежде всего сталкивался именно с этими про-
стейшими видами иррациональных выражений, и поэтому
правила их преобразований приводились обычно раньше,
чем излагалась общая теория. В связи с этим впервые был
поставлен и вопрос о числовой природе иррационального
корня (как правило., имелся в виду квадратный корень и
лишь изредка — кубический). В общем виде такая проблема-
рассматривалась в рамках теории отношений.

Напомним кратко содержание книги X «Начал» Евклида..

Исходное понятие книги X — соизмеримость величин, т. е.
наличие у них общей меры. Вводится некоторый прямолиней-
ный отрезок, и все остальные отрезки подразделяются преж-
де всего на соизмеримые и несоизмеримые с ним. Данный
отрезок и соизмеримые с ним называются, «рациональными в
длине» или «линейно рациональными» Рассматриваются
также отрезки, которые сами несоизмеримы с данным, но
квадраты, построенные на них, соизмеримы с квадратом, по-
строенным на этом отрезке. Обе эти группы величин объеди-
няются названием «рациональные», причем относящиеся ко>
второй группе определены как «рациональные в степени».
Прибегая к алгебраической терминологии, можно изобразить
рассмотренные Евклидом рациональные в длине и в степени,
величины соответственно как а и У а. Остальные отрезки
Евклид определяет как иррациональные и приступает к клас-
сификации тех из них, которые могут быть построены с по-
мощью циркуля и линейки.

Первая иррациональность (медиаль) строится как сторо-
на квадрата, равновеликого прямоугольнику, образованному
соизмеримыми только в степени отрезками, или, другими
словами, как среднее геометрическое между этими отрезками
(в современной записи Уа\ Ь или с Остальные ир-
рациональности являются составными: они возникают при
сложении или вычитании двух отрезков., удовлетворяющих
определенным условиям. Так, „биномиаль" (и соответствен-
но „вычет") получается при сложении (вычитании) двух
рациональных, соизмеримых только в степени отрезков
(т. е. У А + УВ и У А — У 5) При сложении и вычита-
нии двух соизмеримых только в степени медиалей А ±
± уУВ} возникают следующие четыре иррациональности:
если площадь, заключенная между этими медиалями
(/л. /в). рациональна, получается, „первая бимедиаль"
(соответственно „первый медиальный вычет"), если же она
медиальна, то получается „вторая бимедиаль" (соответст-
венно „второй медиальный вычет"). Следующие шесть ир-
рациональностей возникают при сложении и вычитании двух
отрезков а и Ь. несоизмеримых ни в длине, ни в степени;
они различаются в зависимости от того, будут ли сумма
квадратов, построенных на них, и заключенная между ни-
ми площадь рациональными или медиальными. Привлекая
алгебраическую символику и упрощая изложение,, это мож-
но разъяснить следующим образом. Так как (а ± Ь)2
= а2 + Ь2 2аЬ, то возможны три случая:

а'2 4- Ь2 рационально,

а2 + Ь2 медиально,

а'2 -г Ь'2 медиально,

2 аЬ меаиально;

2 аЬ рационально:

2 аЬ медиально.

В первом случае получается «большая> (соответственно
«меньшая») иррациональность, во втором — «рационально и
медиально квадрирующая» (соответственно «образующая с
рациональным целое медиальное»), а в третьем — «бимеди-
ально квадрирующая» (соответственно «образующая с ме-
диальным целое медиальное»). Указанные отрезки являют-
ся иррациональностями соответственно первой и третьей
гексад.

Далее Евклид рассматривает шесть видов биномиалей и
шесть вычетов (или «апотом»), образующих вторую и чет-
вертую гексады иррациональностей. Эти иррациональные от-
резки классифицируются в первую очередь в зависимости от
того, будет ли для биномиали (вычета) УА + У"В выра..
жение У А—В линейно соизмеримо с]/ Ау или же они[
линейно несоизмеримы, в геометрической формули-
ровке это условие предполагает, что биномиаль разде-
лена на два рациональных (в смысле Евклида)
отрезка — „рационали44, из которых квадрат большего пре-
восходит квадрат меньшего на квадрат, достроенный на
отрезке, либо соизмеримом с большей из рационален, либо
несоизмеримом с ней. В том и другом случае возникают по.
три вида иррациональностей:

Ь УА—В соизмерим линейно с У А.

1) отрезок У А рационален в длине, У В рационален в.
степени, получается „первая биномиаль44 (соответственно
„первый _вычет44);

2) У А рационален в степени, У В рационален в дли-
не, получается „вторая биномиаль44 („второй вычет44);

3) ]/А рационален только в степени, УВ— также, полу-
чается „третья биномиаль44 (третий выЧетиУ

П. у ~ДУ^В несоизмерим с У А линейно.

1) |/X рационален в длине, У В рационален в степени,,
„четвертая биномиаль44 („четвертый вычет44);

2) У X рационален в степени, У В рационален в, длине*
„пятая биномиаль44 („пятый вычет44); _ а

3) у А рационален только в степени, У В — также,, „.ше^
стая биномиаль44 („шестой вычет44).

Определив каждую из приведенных, выше иррациональ-
ностей, Евклид доказывает, что, во-первых, она действитель-
но иррациональна, а, во-вторых, все соизмеримые с ней вели-
чины относятся к тому же классу иррациональностей.

Наконец, устанавливается зависимость между иррацио-
нальностями первой и второй (соответственно третьей и чет-
вертой) гексад, которая в алгебраической форме может быть
выражена следующим образом:

= у УА+У~В ± 1/

У А - УА-В

Иррациональности, которые классифицировал Евклид, явля-
ются корнями некоторых типов квадратных и биквадратных
уравнений.

Как уже отмечалось, в вычислительной математике стран
ислама фактически стерлось античное противопоставление
числа и величины: над числовыми иррациональностями стали
производить операции по правилам действий над числами.
Однако понятие иррационального числа введено не было.
Рассматривая вопрос теоретически, восточные математики
по существу возвращались на геометрические позиции греков
и обосновывали действия над иррациональностями теорией
Евклида, изложенной в книгах V и X «Начал».

Существенно новым оказалось стремление примирить точ-
ки зрения вычислителей и теоретиков. Был четко сформули-
рован принцип взаимно однозначного соответствия между
объектами арифметики и геометрии: числовыми иррациональ-
ностями, с одной стороны, и иррациональными величинами,
изображаемыми прямолинейными отрезками, — с другой.

Указанный принцип послужил логическим основанием
арифметизации теории квадратичных иррациональностей,
а правила действий над числовыми иррациональностями, та-
ким образом, были теоретически узаконены «Началами»
Евклида [82].

В настоящем параграфе пойдет речь о трактовке теории
квадратичных иррациональностей в сочинениях европейских
математиков XII—XV вв.

Ни у Боэция, ни у других ученых, работавших в римской
традиции, теория иррациональных величин не рассматрива-
ется1); средневековые математики Европы столкнулись с нею
при освоении восточной науки.

О Имеется, правда, предположение, что она излагалась в утерянном
сейчас латинском переводе „Начал-, выполненном до XII в. с греческо-
го оригинала. Об этом, в-, частности, свидетельствует применявшийся
Леонардо Пизанским термин „гШ“, обозначающий понятие рациональ-
ности и являющийся транскрипцией греческого Однако не исклю-
чено, что все сведения о книге X „Начал-, которыми располагал Лео-
нардо, были получены им в. Византии.
Определение иррациональной величины впервые в латий-
ской литературе, насколько сейчас известно, дал Герардо
Кремонский в переводах комментариев ан-Найризи и Ибн
Абд-ал-Баки ал-Багдади в книге X «Начал» Евклида [221]; он
обозначил понятие иррациональности словом «зигбиз» (глу-

хой), представляющим собой буквальный перевод соответст-
вующего арабского термина „асам* „Глухая величи-

на,— повторяет Герардо Кремонский знакомое нам по араб-

ским трактатам определение,—это та, которую нельзя выра-

зить словом, как, например, корни из чисел, не являющихся
квадратными» [221, стр. 253]. Это определение фигурирует и в
более поздних европейских трудах.

Как и у восточных математиков, теория квадратичных
иррациональностей излагалась в Европе с геометрической
точки зрения — в комментариях к «Началам», либо с ариф-
метической — в специальных разделах алгебры.

Комментарии к книге X «Начал» Евклида

Поскольку европейские математики познакомились с теори-
ей квадратичных иррациональностей по арабским версиям
«Начал», то, естественно, сразу была воспринята и данная в
них арифметическая интерпретация этой теории. Когда в
XVI в. получил распространение «греческий Евклид», без
следов арифметизации, это уже не внесло никаких изменений
в сложившиеся взгляды. Более того, понимание книги X
«Начал» в античной геометрической трактовке встретило в
XVI—XVII вв. значительные трудности, о чем свидетельству-
ют многочисленные высказывания ученых этого времени.

Не случайно числовые примеры, разъясняющие предло-
жения книги X, мы встречаем не только в первом издании
«Начал» в обработке Кампано, но и в переводе Замберти,
который ставил целью строго следовать идеям греков, а
поэтому не должен был пользоваться арифметической интер-
претацией понятий. Этим объясняется, почему европейские
ученые более смело шли по пути арифметизации теории ирра-
циональных величин и выработки понятия иррационального
числа, чем их восточные предшественники, в большей мере ско-
ванные античной геометрической традицией.

Чтобы дать ясное представление о той арифметизирован-
ной форме, в какой теория квадратичных иррациональностей
Евклида вошла в европейскую математику, приведем вы-
держки из упомянутого комментария Ибн Абд-ал-Баки ал-
Багдади к книге X «Начал» в переводе Герардо Кремон-
ского [221].

Трактат начинается с основных определений. «Поскольку
величины сравниваются между собой, одни из них оказыва-
ются соизмеримыми, другие — несоизмеримыми. Соизмери-
мые— это те, для которых существует одна величина, являю-
щаяся их общей частью и измеряющая их все, что очевидно
для величин, которые считаются числами. Рациональные ве-
личины — это те, которые измеряются одной заданной вели-
чиной. Следовательно, они соизмеримы. Поэтому любые две
соизмеримые величины являются либо рациональными, либо
глухими, и не может случиться, что одна из них глухая, а дру-
гая рациональная, поскольку между глухой и рациональной
нет линейной соизмеримости».

Далее следует рассуждение, характерное и для других
арабских комментариев: как иллюстрация иррациональных
величин приводятся корни из неквадратных чисел. Примеча-
тельно, что в этом трактате вводится «телесная» иррацио-
нальность, или «глухая кубическая величина» ,т. е. у7#, где
а не равно кубу. Среди арабских комментаторов Евклида до
Ибн Абд-ал-Баки ал-Багдади кубические иррациональности
рассматривал только ал-Махани (IX в.), который называл их
«ребрами тел» и дал их классификацию [82, стр. 196—199].
Затем автор пишет: «Несоизмеримые величины — те, для ко-
торых не находится одной общей величины, пересчитывающей
их все, например корни чисел, не являющихся квадратами,
когда они сравниваются с числами. Для всякой величины,
которая полагается числом, между какими-либо двумя по-
следовательными числами существует корень, несоизмери-
мый с ней, например три и корень из трех. Потому что три и
корень из трех линейно несоизмеримы, поскольку одна ра-
циональная, а вторая глухая: таким образом, три несоизме-
римо с корнем из трех. Три же, будучи умножено на корень
из трех, становится глухой, потому что получается глухая ку-
бическая величина.

Из этого следует, что всякая величина, которая полага-
ется числом, рациональна, откуда все величины, соизмери-
мые с ней, рациональны, а все величины, несоизмеримые с
ней, иррациональны. Поэтому говорят, что величины перво-
начально делятся на два вида, из которых один — рацио-
нальные, т. е. те, которые выражаются словами, например,
когда мы говорим: десять, двадцать, тридцать и т. п.; другой
же — глухие, которые словами выразить невозможно, как
корни чисел, не являющихся квадратами, например десять,
двадцать, тридцать, сорок, и ребра тел, являющихся не ку-
бами, а телами с различными ребрами, например тело, полу-
ченное от умножения двух на три, а затем — на четыре, что
есть двадцать четыре; сторона его глухая, не выражается
словами».
Таким образом, „глухие* числа —это, например, "Кю,
]/20, ]/30, У^40 или у/"24. Позднее дается более четкое оп-
ределение: „Всем этим числам и им подобным, не имею-
щим корня, который выражается словами, дано название
глухих*.

Обращает на себя внимание, что автор применяет в од-
ном значении термины «глухое число», «глухая величина»,
«глухая линия», что свидетельствует о стирании противопо-
ложности между понятиями числа и величины.

Дальше приводится классификация «глухих» величин,
которая в схематическом виде выглядит так:

I. Простые «глухие величины»

1) рациональные в степени, или первые^ медиали до (нап-
ример, У 6, У8, 10), ___

2) вторые медиали (например, и т. д.

II. Составные „глухие величины*

1) непрерывные: __

менее сложные (например, У8 ± К10, ]/45 ± 5);

более сложные (например, 1^60 + р^УЗО, 1^32 +
+ /4);

Уа± У& с Уа ± У~Ь
дискретные 1, -7=—=>, .

г с Уа±ут Ус ±уа

Вид «дискретных» составных иррациональностей другими
арабскими авторами не вводился, хотя частные от деления
иррациональных величин рассматривали многие.

Затем перечисляется 12 видов иррациональностей, описан-
ных Евклидом. Хотя автор трактата, как следует из сказан-
ного им, не чувствует резкого различия между понятиями
числа и величины, теория Евклида требует подчеркнуть это
различие. Оно состоит прежде всего в возможности делить
геометрическую величину до бесконечности, откуда следует,
что для величин не существует такой общей меры, как еди-
ница для чисел. Естественно, что, рассматривая числовые
иррациональности, разъяснить это нелегко, и автор обраща-
ется к прямолинейным отрезкам.

«Два соизмеримых числа либо рациональные, либо глу-
хие. Не может случиться так, чтобы одно было рациональ-
ным, а другое — глухим. Несоизмеримые числа либо оба яв-
ляются глухими, либо одно из них глухое, а другое рацио-
нальное, так как глухой корень несоизмерим с рациональным,
т. е. это — совокупность глухих и рациональных корней, соиз-
меримых и несоизмеримых.

Длины же, т. е. величины, не таковы. Потому что в пер-
вом предложении десятой книги сказано, что если от боль-
шей из двух различных величин отнимается больше ее поло-
вины, из остатка — больше его половины и так далее, то не-
возможно, чтобы не осталась величина, меньшая данной
величины. Следовательно, деление не приведет к другой изве-
стной величине, относительно которой установлено, что с ее
помощью соизмеримые отделяются от несоизмеримых, так
как при делении величин не достигается минимальная вели-
чина. А если так, то не получится познаваемая величина,
которая является частью двух величин, пересчитывающей их».

Далее приводятся формулировки и доказательства предло-
жений книги X, которые сопровождаются числовыми приме-
рами. Этот раздел трактата Абд-ал-Баки ал-Багдади под-
робно проанализировал Г Зутер [430], внесший также много-
численные поправки в латинский текст, изданный М. Курце.

Среди примеров, иллюстрирующих геометрическое пред-
ложение Евклида, приведены следующие:

)Л(6±1/2б = /24 ± /320 = /20 ± 2, /4(/Т2±3)'=

//192±12 = //Ю/ ± |/ /П/ К4 (/20 ±/8~)

= К) 320 ± /128 Г уЖ + /48 ± С/80 - /48~

Таким образом, основное соотношение из книги X «Начал»
Евклида стадо известно, в Европе почти в то же время, что и
в Индии (Бхаскара) [123, стр. 142]. Между прочим, Г Энест-
рём упрекал М. Кантора за то, что он в своем курсе истории
математики не отметил этого обстоятельства и не упомянул,
что арабы знали арифметическую формулировку соотношения
задолго до Бхаскары; тем самым было создано впечатление,
что последний является ее автором [273, т. III, стр. 238].

Остановимся также на некоторых других латинских пере-
водах книги X «Начал» и прежде всего на сравнении ее в
версиях Кампано (изд. 1482 и 1537 гг. [267, 268]) и Замберти
(изд. 1537 г. [268]).

Замберти в критике издания Кампано пересматривает
введенную последним терминологию, часто заменяя ее дру-
гой, более соответствующей, по его мнению, греческой тер-
минологии Евклида. Так, соизмеримые величины Кампано
называет «соттитсагйез циапШа1ез», Замберти — «соттеп-
зигаЬПез та^пПисПпез». Определяя соизмеримые величины,
первый говорит о величине, которая их «пересчитывает»
(пигпега!), второй — о том, что они «измеряются одной и
той же мерой» (еабет тепзига сИтеШиг). Кампано говорит
о «квадратных поверхностях» (зиреНклез циас1га(аз), которые
«пересчитываются» одной общей поверхностью: у Замберти
речь идет об одной и той же «площади» (агеа), которой изме-
ряются эти квадраты. Иррациональные линии Замберти обо-
иввя

Х&б&шткапЛя' хлблвЬ' рр&с I йн^ЫЙ^'&рег ^йжШйШгХх^!?;
(шШкйг. ,ррошр Ш 1Шйе>€Ь.6ш л^йЛ

< ткашг ипа<§>Ь>й€а<т^риав1ш^Л4ЛхйЛ?.№тссдШа^
Ыотштрлтшл. «ш 11МзХ§,ф€й1Ьп^1р^а1йт>Ш^»§Ь.<?1»
ей Ькттш фа&ат В<жТ.Ь<рО',^лст| я рспЫлта ршШ:соШЖсаЙ/
пса.€<Ь,Ш«>(4лп1сп$и»<!^4р€ГЙЬзт ^ов » двврорв^ <№&&&я»»
ф(о Л&«ЖЬ.й Ш тпсй^ цЫт^$в1 йвяхЫШк* ше^рми»/

Ш1ХШ <С1ШШэ ШрОШКШЙХлОВ<4Ж»ишХ$Л^

ПЯ51шй\од^ф01Ш:<шп & <^ш<?^егшШжХ^а4^ЫШШсХ.

Ыт пшжшвл*а4тшх ,4дарегрцМж срИмЬ/

нссХ^Ы фМшн &тж,§д>^о| пйлшй.с й4 пшштт.с сдав Ш^х(й
п«тагш^па4шда><лст0п^ фНшз: рег ^^св^т^Ш^йЖйгш/
<^Ш1ЙоЬ|11л11ги:с<€.§Л1Ноп^|Я^пе:к^шг1§пЖ1р4Шх$.ЬЛгдпа1«»1
рсгошгт <: а*жшсШшв?Х$л.$ Ь.^онсгсЬтдат» ртГцллджШ1щ.
^^^Эп0гиттГе€Ш|Агфегйге> ^м^юЯНо

л ^жШ®г<Г

| с.ф»4гш лгз гй фр^сттгтш^<4т^вбяайш^й4.4м

шпашЖ Тж|.1Ш^я/

Гшв:сЙ^Й>ре«й>л>М>^<ж. »^.М^ь^г^я5ф1а<1шг^4Ые &&&
ШВ^й М ^л>х1.Ха1ек айпшшзв Гигсра?сп^.спшжш1?{$й^

штшшс» :«йтхШ(Н|й &хЖ тао^^рйспйе^ЬлйМ
сгй^сх ршпз т<^Ншшйй1<Ь^ШгМаЛа^л\тзгйг йех«<шллс ^ле/
жглхт^л<^Ыгмшехрж^0с<х>^Х«^ лот г^^жйв вятеой^
<я«Л4^ «нт^Ш0рег|нйхГф Ш*шГй».€см
еЙ4Жиехт1ш«ия<Ийа**<»<хшжт|Шт^

Ш по <Ип>Леч ст Хшва* йТа 4&#*<а д^ц& *р с^х сшШ
соМ’.х ноп? с^21,0С1аик1ф.аХ^Л,гМсхр4 («>сш(<& кг^еаййщй
^^ст^шжлл^фегрЫГйикшШ» тигс т(Цю»:вй«Й^М
Я^ййш цше в«Л-<Й спил/«с^зз{йЛ<Лмфй олв^Мй Рй^тйми4 »&<

<я₽тсхршп<ш;сгирегргШт ихкЫшп пш<^(М-««&Л.«|ваЬй

^гшйзХ.а4хлф13рл- 1^(фгшейЛ^сХкшЛ«4хс«й ратшйтХ
«4ДХтл>а4>с1йц5т^Р1^фшил05Ш’п>слгхХ« фзк^гшв «эдж^
ешт^Хафййе Шшшжст ошф^^с^^М.пй^йсШгх^м/
«:Ой4 ЛФШК* *М,С ш фНй«4 4&Ш

1^*:©й0 Ши«Хм^ь><Ф^ ьлйхва йт.сп йс $4г^1лмй М«/
1»т.^йсш ,Ь«я4.с,гиг(»^5 <^а4г<1шп.Г^«4 фЫгшт^Х Ш«и»
«&|кге$йр»р0Ш(таЫя€етйа>4гй1йтх». «4цЫ«иГ &Ь*&»Мыи*
ш штя5 оиорттю,0^>Ьл<€<йг ^**«п<ёШгп$е$Ш|одЛийм
тшЬй§ии41кс1шссл>гзпап^ М«^< $ей»х т&ЖдоздШф$&й т
г&ваЫ ш ройт ш* по <6тппкап$Ь»ксл 4ШН ройсс ш кжцтдкгх
тетрапол, / фссшпГп (хяши»1тса^«Ь.Ш1ШХ4$<рсг«|^ш^« рсм|
йтрйтгсотимш Вг 1«иаЛ.Ь>ШксЖ§лп к^йте й*» в »<

Страница из „Начал" Евклида в обработке Кампано (изд. 1482 г,).

значает термином «1’ггаНопа1ез», Кампано же добавляет: «81уе
8игс1ас» (или глухие), т. е. применяет термин, введенный для
этих линий Герардо Кремонским. Слово «отношение» у Кам-
па по переводится как «ргорогНо», у Замберти «гаНо»; сх
во «величина»-—соответственно как «^иап^^1а8» и «тад-
пИидо».
При сравнении книги X в обоих изданиях «Начал» обра-
щает на себя внимание различие в доказательстве 1-го пред-
ложения. Замберти приводит два доказательства: одно из
них совпадает с тем, которое И. Гейберг считает подлинным,
другое — с приписываемым схолиасту [54, т. II, стр. 363].
Кампано дает только второе из упомянутых доказательств,
как все арабские переводчики и комментаторы Евклида
(см. [82, стр. 195]).

Кроме того, Кампано дополняет это предложение рассуж-
дением об углах — прямолинейных и роговидных (ап^иШз
сопНп&епНае), разрешая кажущееся противоречие между
1-м предложением книги X и 16-м книги III (в издании Кам-
пано— 15-м книги III). Эти углы, заключенные между кри-
вой и касательной к ней или между двумя кривыми, дают
пример величин, не удовлетворяющих так называемому прин-
ципу непрерывности (если даны величины а и Ь, то найдутся
такие числа тип, что ат>Ь, Ьп>а).

Кампано говорит: «Необходимо заметить, что 16-е пред-
ложение книги III, которое утверждает, что угол касания
меньше, чем любой угол, заключенный между двумя прямы-
ми линиями, как кажется, противоречит этому предложению.
Так как, если дан любой прямолинейный угол, то если из него
вычесть больше половины, от остатка снова больше полови-
вины, то кажется, что можно повторить это достаточное чис-
ло раз так, что с необходимостью останется прямолинейный
угол, меньший угла касания, противоречие с чем следует из
15-го предложения книги III. Но они не являются созвучны-
ми углами, так как криволинейное и прямолинейное, взятые
абсолютно, не относятся к одному и тому же роду. Неверно
также, что угол касания может быть взят столько раз, что
может превзойти любой прямолинейный угол Поэтому
ясно, что любой прямолинейный угол больше, чем беско-
нечное число углов касания». Более подробно Кампано рас-
сматривает этот вопрос, комментируя 16-е предложение
книги III.

В дополнение к 7-му предложению (X. 9 в издании Гей-
берга) Кампано приводит доказательство несоизмеримости
стороны квадрата с его диагональю. Замберти дает это пред-
ложение под номером 118, причем доказывает его двумя раз-
личными способами (оба рассмотрены Гейбергом); в заклю-
чение, однако, как и у Кампано, дается «более очевидное
разъяснение» с помощью чисел, против которого на полях
сделана отметка: «в греческом отсутствует» («^гаесиз поп
ИаЬеЬ).

Кампано вводит также дополнения, разъясняющие идею
построения книги X. Так, в дополнении к 18-му предложению
(X. 30 в. издании Гейберга) он, забегая вперед, говорит о
цели построения двух соизмеримых, рациональных только в
степени прямых, из которых большая в квадратах превышает
меньшую на квадрат на прямой, несоизмеримой с большей.

Замберти заключает книгу X следующим не встречающим-
ся у Евклида рассуждением, с помощью которого понятия
соизмеримости и несоизмеримости распространяются на пло-
щади и тела. Если мы допустим, что средним пропорциональ-
ным двух линейно несоизмеримых прямых аир является у,
то отношение акр будет двойным отношением а к у; но с
помощью двойного отношения изображается отношение пло-
щадей квадратов, построенных на а и у, или кругов с диамет-
рами а и у. Таким образом, найдены «плоские площади»
(агео1ае р1апае), несоизмеримые между собой.

Аналогично вводится понятие несоизмеримых тел: «Если
на квадратах со сторонами аир или на равных этим квадра-
там прямолинейных фигурах мы построим телесные парал-
лелепипеды, пирамиды или призмы с равными высотами, то
они относятся между собой как основания. Если основания
соизмеримы, то соизмеримы и тела; если же несоизмеримы,
то и тела несоизмеримы. Так же, если на двух данных кругах
построим конусы или цилиндры равной высоты, то они будут
относиться друг к другу как основания, т. е. как сами круги.
Если круги соизмеримы, то и конусы и цилиндры соизмеримы,
если же несоизмеримы, то конусы и цилиндры также несоиз-
меримы. Таким образом, ясно, что соизмеримые и несоизме-
римые бывают не только среди линий и поверхностей, но
также и среди телесных фигур».

Из предложений книги X европейских комментаторов Ев-
клида особенно привлекало доказательство несоизмеримости
диагонали квадрата с его стороной. Как пример существова-
ния иррациональных величин, этот факт приводит Альберт
Саксонский [130]. Обращает па него внимание и Орем в трак-
тате «Вопросы о геометрии Евклида», построенном в форме
вопросов и ответов; предполагая сначала, что диагональ со-
измерима со стороной, он доказывает затем противное [61].

Книга X «Начал» в алгебраических сочинениях

Первое известное изложение книги X «Начал» на языке
арифметики находится в главе 14 «Книги абака» Леонардо
Пизанского. Оно полностью выдержано в восточной тради-
ции.

Глава начинается следующим, знакомым нам по арабским
сочинениям, рассуждением: «Так как теперь нужно обратить-
ся к корням, следует сказать сначала, что такое корень. Ко-
рень из какого-либо числа — это такое число, которое, буду-
чи умножено на себя, производит само число, например 3,
являющееся корнем из 9, и 6, являющееся корнем из 36, так
как утроенное 3 даст 9, а ушестеренное 6 даст 36. Некоторые
числа имеют корни и называются квадратными, а некоторые
не имеют [корней]. Их корни называются глухими (зигде),
так как их нельзя найти в числах» [346 ,т. I, стр. 353].

Кроме того, по арабскому образцу (например, у Ибн ал-
Багдади [82, стр. 217—220]) Леонардо дает понятию корня
также и геометрическое истолкование, рассматривая его как
среднее геометрическое между двумя отрезками, построен-
ное циркулем и линейкой. Далее предлагается описанный вы-
ше (см. § 9) способ приближенного извлечения квадратного
корня.

Во второй части главы 14 изложены «с помощью чисел»
некоторые предложения книги X «Начал» Евклида.

Сначала определяются две рациональные (в длине и в
степени) линии: «Первая линия называется рациональной
(гШ), т. е. рациональная (гаНоНпа!а) в длине и степени, под
которой понимаются рациональные числа, например 1, 2, 3 и
т. д. У тех, которые суть корни, степень также рациональна,
поскольку от умножения какого-либо числа на себя необхо-
димо получается число. Вторые называются рациональными
только в степени (гШ ро1епНа 8о1пш). Под этим понимается
корень из квадратного числа. Этот корень называется глухим,
так как не может быть выражен числом, но его степень вы-
ражается числом» [346, т. I, стр. 356]. То, что для обозначе-
ния рациональной величины Леонардо применяет слово
«гШ», непосредственно происшедшее от греческого термина,
заставляет, как уже упомянуто, предположить [247], что он
имел перед собой либо греческий текст «Начал», либо неиз-
вестный сейчас латинский перевод этого сочинения с грече-
ского, а не с арабского языка.

Далее следуют определения тринадцати иррационально-
стей с характерным для арабских сочинений на ту же тему
смешением арифметической и геометрической терминологии.

Медиаль определяется следующим образом: «Из тринад-
цати иррациональных (тгаНосшаНз) линий первая является
простой, называемой медиалыо (тесНа), степень которой
есть иррациональная, называемая медиальной площадью
(зирегПшез глесНа). Так как она средняя в отношении между
двумя соизмеримыми только в степени площадями, то под
этой линией понимается корень корня из числа, степень ко-
торого есть корень из неквадратного числа: ведь и все корни
из неквадратных чисел являются средними между двумя
неравными числами, т. е. теми, которые не имеют между со-
бой отношения как квадратное число к квадратному числу.
Например, если одно из чисел есть 10, а другое 12, то сред-
ним между ними является корень из 120, поскольку 10 отно-
сится к корню из 120, как корень из 120 к 12» [346, т. I,
стр. 356].

Остальные двенадцать «линий» Леонардо определяет как
«корни из чисел, состоящих из двух имен», т. е. корни из ше-
сти биномиалей. Первая биномиаль есть «совокупность числа
и корня, причем степень числа превосходит степень корня на
какой-либо квадрат»; аналогично определяются и остальные
биномиали. Определения Леонардо иллюстрирует, соответ-
ственно, следующими числовыми примерами биномиалей:
4+_/7, /Т12 + 7 /ПТ + /84 4 4 /Т0\ /20 4 3,

/20 +/8 Далее формулируются теоремы об извлечении
корня из биномиалей и вычетов по формуле У/А 4 /В=
— УА + /л ~ в 4 У А~ УА ~ в , и, таким обра-
зом, определяются иррациональности второй и четвертой
гексад (Леонардо идет здесь путем, обратным евклидову)*
Например: «Корень из третьей биномиали есть линия,
которая называется бимедиалыо (ЫтесНаИз), или из двух
медиальных вторая; под этим понимается сумма двух кор-
ней, соизмеримых только в степени, из которых один, будучи
умножен на другой, производит медиальное, т. е. корень из
неквадратного числа» [346, т. I, стр. 357]. Приведены приме-

ры для первой бимедиали (Куз КУ27),
(Кум + утт + Кут-утз) рационально и

болыпей

медиально

квадрирующей ()^/20 +/2 + 1^/20 — /2 ) и бимеди-
ально квадрирующей (КУ24+У7 +КУ24-У7 ).

Аналогично определяются вычеты (гес151) и формулируются
теоремы об извлечении корней из них.

В следующих разделах главы 14 рассматриваются правила
умножения корней на корни и числа [346, т. I, стр. 357], на
корни из корней [там же, стр. 359], находятся два корня
пз корпя, которые, будучи перемножены, производят рацио-
нальное (гИоп), дается правило а +/Ь — У с? + Ь + 2 У аЬ
и т. д.

Однако Леонардо выходит за пределы тех
которые рассматриваются в книге X «Начал»:

вопросов,
он вводит

трехчленные квадратичные иррациональности и кубические
корни.
В главе „О делении чисел и корней* [346, т. I, стр.
374—376] идет речь об уничтожении иррациональности в
знаменателях дробей не только вида-----и —--_

а + У Ь Уа 4- У Ь

(для которых это осуществлялось с помощью предложений
112 и 113 книги X „Начал*), но и дробей, имеющих в зна-
менателе трехчленные выражения а + УЬ + Ус пУа +
+ ]/Ь + ]/с В частности, произведя преобразование

10 = 10 (2 + /3~— /5~) _ 10(2 4-/3“-/5~)

2 4- /3’4- /5" ~ (2 4-/3“)а- 5 “ 2 4-/48”

он сводит вопрос к уже известной задаче.

Г Энестрём [237, т. XIII, стр. 66—77] указывает на ошибку
И. Тропфке [447, т. I ,стр. 231], считавшего, что первый случай
приведения дробей к рациональному знаменателю методом,
отличным от данного Евклидом, встречается только позднее
у Кардано. В то же время он полагает, что это расширение
области евклидовых иррациональностей за счет трехчленных
выражений, возможно, через арабов восходит к учению Апол-
лония о «неупорядоченных» иррациональных величинах
(см. [82, стр. 66; 325; 483]). Однако ни один из рассмотренных
нами арабских трактатов не дает доказательства этого пред-
положения. Поэтому приходится считать, что Леонардо Пи-
занский исследовал трехчленные иррациональности впервые
и самостоятельно.

Кубический корень, как и у большинства восточных мате-
матиков, с теоретической точки зрения у Леонардо не рас-
сматривается.

Вопрос об источнике знакомства Леонардо с книгой X
«Начал» обсуждался в литературе [244, 245], причем, как уже
отмечено, был сделан вывод, что знания в этой области Лео-
нардо получил в Византии. В то же время сравнение с рас-
смотренными нами [82] арабскими комментариями к книге X
показывает, что Леонардо продолжал восточную традицию,
излагая предложения Евклида на языке арифметики.

Чрезвычайно интересный результат, знаменовавший важ-
ный шаг вперед в изучении иррациональных величин, был
получен Леонардо Пизанским в его трактате «Пор»1) при ре-
шении кубического уравнения х3 + 2х24- 10х = 20, которое
предложил ему на диспуте Иоанн Палермский. Впервые
«Р1ор» стал известен историкам математики благодаря пуб-
ликации Б. Бонкомпаньи в 1857—1862 гг. сочинений Леонар-

О Буквально «цветок». Такого рода названия (в смысле «избран-
ное») были широко распространены в научной литературе того времени
[237, т. VIII, стр. 81].
до Пизанского [346, т. II, стр. 227—252]; подробно исследовал
этот трактат Ф. Вёпке [482].

Леонардо ставит вопрос: возможно ли вообще решение
указанного уравнения в иррациональностях книги X, — и до-
называет, что это невозможно, т. е. решение не может иметь

Значения неизвестной Леонардо считает положительными,
доказательства проводит геометрически.

Сначала показано, что х не является целым числом.
Действительно, х — 2 —» следовательно, х < 2; от-
сюда х = 1, но тогда х3 + 2х2 + 10 = 13 < 20.

В то же время х не может быть дробью. Пусть л ,
тогда если 10% дробно, то и 2х3 также дробно: 2 =

= + — . где р >Ь,д<Ь.

Тогда + -41^ + г- + п ~1~ ’°а 20. Если 10-^— целое, то

+ 2-~ =20— 10-^- также целое, что невозможно.

Решение не может иметь вид ]/ п; действительно, так

2х2 х2\

как = 2 — х + -ру , то в таком случае [рациональная ве-
личина равнялась бы иррациональной.

Не может решение иметь и вид у и. Так как х +-уу =

2 — то первая бимедиаль \ п Н—\^П должна
о 2 /й" о

равняться вычету 2-----чт0’ как Доказано Евклидом,

невозможно. Решение не может также иметь вид т-\-Уп,
ибо при подстановке оказывается, что биномиаль равна
рациональному числу.

Аналогичные рассуждения проводятся и в остальных
случаях.

Получив, таким образом, доказательство своего утверж-
дения, Леонардо удовлетворяется приближенным значением
корня х=1.22т 7п42ш301У 4у40ут, степень точности кото-
рого очень высока1).

Влияние Леонардо Пизанского сказывается в трактовке
теории иррациональных величин Жаном де Мер [334]. В
третьей книге его «Четырехчастия чисел», где рассматривают-
ся вопросы алгебры, находится рассуждение (проведенное
как с помощью линий, так и аналитическим методом) о би-
номиалях и вычетах.

В «Рассуждениях об алгебре» Р. Каначчи один раздел со-
держит вычисления с квадратными и кубическими корнями.
Числа автор подразделяет па «имеющие корпи» и на «глухие»
(питеп зигсИ), которые корней не имеют. Примеры, сопро-
вождающие правила, многочисленны и разнообразны. Среди
них40: (У25-/9-), 10: К Ку25б"- 2,(б0->*-л200>.3,у320+
+ ^20,1^54-у'Тб’.К 112-Ь УТ К/20 + /8" и. т. д.

Следующим известным сочинением, где излагается теория
квадратичных иррациональностей в арифметической форме,
является «Сумма» Луки Пачоли. В вопросах истолкования
понятия числа иррационального корня этот автор стоит на
той же позиции, что и его предшественники.

Обзор содержания книги X «Начал» Пачоли дает в раз-
деле «Практические операции алгебры и алмукабалы», где
приводит правила действия с корнями, а затем переходит к
«иррациональным линиям из книги X Евклида» и к арифмети-
ческой интерпретации содержащихся в ней предложений2).
В тех случаях, когда Пачоли выходит за пределы книги X, он
иногда допускает ошибки, которые позднее рассмотрел Кар-
дано в специальном разделе своего сочинения (см. ниже).

Как и Леонардо Пизанский, Пачоли производит операции
с трехчленными выражениями3), например, уничтожает ир-
рациональность в знаменателе в следующем примере:

_ __/10__________ /10 (/б + /? - /8~) _

Ьб’+ьг+ьг _ (к?’ I- ут)2~ 8 _

_ /То(/б~'+ /7- V») _ /10 (Кб + /7~- /8 )(/168 - 5 )

— /168 - 5 ~ 143

О Значение полученное Ф. Вёпке: х=1.221 7П42П,33,У 4У38У1,5.
По всей очевидности, в описке 30,у повинен переписчик.

-’) Не имея в своем распоряжении сочинения Пачоли, мы пользуемся
в данном случае подробными описаниями А. Кестнера [339], М. Кантора
[192] и Л. Ольшки [89].

3) Кантор [192, т. II, стр. 320] утверждает, что все такого рода рас-
суждения Пачоли ошибочны; Г. Энестрём [237, т. XII, стр. 244] показал
несправедливость этого обвинения.
Книгу X «Начал» в Европе, как и раньше на Востоке, счи-
тали одной из важнейших глав алгебры, и алгебраисты, по-
видимому, были основательно с ней знакомы. Об этом свиде-
тельствует, например, упоминавшаяся выше мюнхенская ру-
копись XV в., написанная частично на немецком, частично на
латинском языке. В ней со ссылкой на ал-Хорезми разъяс-
няются понятия квадрата, корня и числа и даются примеры
применения правил алгебры. При решении одного из них [215,
стр. 60] возникает необходимость разделить числа на «бино-

« 15 17

МИЭЛИ Г /ЧЦГ'бТ 7ПГ’ о которых сказано,

14 т у 196 14 + у 196

что они представляют собой „иррациональные и невырази-
мые41 линии.

Несколько ниже [215, стр. 62] вводится со ссылкой на Евк-
лида понятие вычета на примере]^600 — 20.

Автор мюнхенской рукописи отсылает читателя к «деся-
той книге Евклида, в которой идет речь об этих иррациональ-
ных линиях». По его словам, практические задачи, сводящие-
ся к действиям с иррациональными корнями, иногда нельзя
решить точно, что объясняется различием между числом и
величиной: «Никто не продаст тебе ничего за корень из деся-
ти, так как это не число; и если разложить в дроби, никогда
не получишь корня из этого числа» [215, стр. 60]. Для точно-
го решения таких задач необходимо знакомство с «глухими»
корнями, но это — дело ученых, а не купцов («рго досИз е!
поп рго глегса1опз»), так как последние «измеряют все свои
доходы единицами, а не иррациональными корнями». Автор
добавляет, что «мы, у которых нет флоринов и которые богат-
ства не расходуем, постигаем нашим разумом также то, что
для купца невозможно» [215, стр. 61]. Здесь же подчеркивает-
ся, что «глухое число» не является числом («зигйиз питегиз
поп ез! питегиз»), «потому что число — это то, что измеряет-
ся единицей».

Необходимость изучения теории иррациональных величин
обоснована тем, что при решении вопросов алгебры встре-
чаются такие, «которые никогда не могут быть решены с по-
мощью числа, а только с помощью глухих (1П зигйо), и тот,
кто не знает о глухих, а также о полученных сложением и
вычитанием, о бнномиалях и вычетах и о других иррацио-
нальных, ничего хорошего в арифметике не придумает» [215,
стр. 64].

Свидетельства знакомства алгебраистов XV в. с античной
теорией квадратичных иррациональностей мы находим и в
других сочинениях.
Примеры, служащие иллюстрациями к предложениям
книги X „Начал", в частности, V 14 + 1/180= 3 ± ]/5 при-
водятся в трактате Никола Шюке [352, стр. 709]. На эту кни-
гу „Начал" ссылается также Иоганн Видман, указывая, что
в ней Евклид „ясно и достаточно" (к1ег11сй ипй ^епиё8ат)
разъяснил вопросы, связанные с несоизмеримыми величина-
ми [157, стр. 208].

§ 12. Теория отношений

Античная теория отношений, игравшая столь важную роль в
математике стран ислама, заняла не менее значительное мес-
то в трудах средневековых европейских ученых. Сфера ее
приложения расширялась за счет естественных наук и, преж-
де всего, механики и физики, которые с течением времени на-
чали привлекать все большее внимание. Когда в XIV в. были
сделаны первые попытки количественно выразить физические
процессы, аппаратом для этого служила теория отношений
[57—59, 123, 209, 360].

Напомним, что античные математики, исходившие из прин-
ципиального различия между понятиями числа и величины,
создали две теории отношений — для целых чисел и для
непрерывных величии. Теория числовых отношений была
изложена в книге VII «Начал» Евклида, а позднее — в не-
сколько ином плане — во «Введении в арифметику» Нико-
маха.

Общая теория отношений непрерывных величин является
предметом книги V «Начал», сыгравшей особую роль в исто-
рии математики. Отношение здесь определяется как «некото-
рая зависимость двух однородных величин по количеству.
«Центральное место в системе определений книги V зани-
мают четвертое, часто называемое «принципом непрерывнос-
ти», и знаменитое пятое определение равенства отношений.

«Принцип непрерывности» состоит в утверждении, что в
отношении между собой могут находиться не всякие две ве-
личины, а те, которые, «взятые кратно, могут превзойти друг
друга»; примером величин, не удовлетворяющих этому усло-
вию, являются так называемые роговидные углы (см. выше).

Формулировка пятого определения, согласно Евклиду, сле-
дующая: «Говорят, что величины находятся в том же отно-
шении: первая ко второй и третья к четвертой, если равно-
кратные первой и третьей одновременно больше, или одно-
временно равны, или одновременно меньше равнократных вто-
рой и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было
кратности, если взять их в соответственном порядке» [54, т. I,
стр. 142]. Или другими словами, величины а и Ь находятся меж-
ду собой в том же отношении, что и величины с и <1, если для
произвольных целых чисел т и п либо та^пЬ, тс>пс1>
либо та = пЬ, тс = пс1, либо та < п,Ь, тс < пс1.

Выше мы отмечали, что уже в античной математике — в
поздний период ее истории — на отношение начинали смот-
реть, как на некоторое обобщение понятия числа, о чем сви-
детельствует появление понятия «количества отношения»,
вставленное и в «Начала» (книга VI, определение 5) коммен-
таторами труда Евклида.

Вся дальнейшая история книги V Евклида, выражаясь
словами Д. Д. Мордухай-Болтовского, «это — история ариф-
метизации геометрии, история эволюции идеи числа» [85,
стр. 255].

Последовательной арифметизации общая теория отноше-
ний подверглась в математике стран ислама, где была осозна-
на необходимость рассматривать отношения с вычислитель-
ной точки зрения. Определение Евклида было заменено дру-
гим, которое возрождало раннее греческое («атифайретиче-
ское») определение, основанное на алгоритме Евклида.

Кроме того, восточные математики обогатили античное
учение теорией составных отношений, что означало важней-
ший шаг в развитии понятия числа. «Составное отношение»,
соответствующее современному понятию произведения отно-
шений, фигурировало и в книге V «Начал» (определения 9 и
10); однако речь здесь шла только о случаях «двойного» и
«тройного» отношения, т. е., с нашей точки зрения, о возведе-
нии отношения в квадрат или куб. В книге VI используется
понятие составного отношения для общего случая, но без вся-
кого обоснования.

Арабские авторы дали систематическое изложение теории
составных отношений, что привело их з XII в. (Омар Хайям)
к теоретическому распространению понятия числа на отноше-
ния величин. Наиболее ранними сочинениями об отношениях
были трактаты Ахмада ибн Юсуфа ал-Мисри (IX—X вв.)
[148, 427], Сабита ибн Корры ал-Харрани (ум. ок. 901 г.) [98,
148, 380, 427] и Абу Юсуфа Якуба ал-Кинди (ум. ок. 873 г.)
[355, 427].

В Европе учение об отношении стало известно задолго до
появления первых переводов арабских сочинений по грече-
ским источникам — «Началам» Евклида и «Введению в ариф-
метику» Никомаха.

Применение учения об отношениях в теоретической ариф-
метике по Никомаху воспроизвел в своем трактате Боэций
(см. выше): он дал определение отношения («Взаимная за-
висимость двух выражений») и пропорции («Равенство двух
отношений»), а затем подробно рассмотрел непрерывную
пропорцию.
Ё дальнейшем при изложении теории числовых отношений
часто объединялось почерпнутое из «Начал» Евклида и
трактата Боэция.

О том, что европейские математики обратили на общую
теорию отношений особое внимание, свидетельствует, напри-
мер, отрывок из мюнхенской рукописи X в., опубликованный
М. Курце [217], где содержится латинский перевод 18 опре-
делений из книги V «Начал». Евклидова теория отношений из-
лагалась также в ранней средневековой версии «Начал», при-
писываемой иногда Боэцию (см. также [360]).

В XII в. ученые Европы познакомились с теорией отноше-
ний в арабской интерпретации. Источниками служили, во-пер-
вых, арабские версии «Начал», во-вторых, специальные сочи-
нения о рассматриваемой теории.

Несомненно, огромное влияние на развитие теории отно-
шений в Европе оказал трактат Ахмада ибн Юсуфа ал-Мис-
ри, переведенный Герардо Кремонским под названием «ЕрЬ
з!о1а <1е ргорогНопе е! ргорогНопаШа(е» (имя автора в тран-
скрипции переводчика — Ате(из ППиз ЛозерЫ). Этот трак-
тат имеется сейчас в многочисленных рукописях [145, 148,
192, 193, 209, 360, 415, 416]; в 1960 г. было осуществлено его
критическое издание (см. [360]). Ссылки на него встречаются
у Леонардо Пизанского, Кампано, Брадвардина и других ав-
торов. Именно из этого сочинения в Европе стала известна
теория составных отношений, прочно вошедшая затем в ма-
тематику.

Получил распространение перевод трактата об отноше-
ниях ал-Кинди, озаглавленный в одних рукописях «ТгасШиз
йе ргорогНопе е1 ргорогНопаШа1е» [145], а в других «Ве зех
циапШаНЬиз» [415].

Герардо Кремонский перевел также сочинение Сабита ибн
Корры о составных отношениях; латинский текст и его не-
мецкий перевод были опубликованы А. Бьёрнбо [148].

Однако в Европе теория отношений претерпела значитель-
ные изменения в сравнении как с античным, так и с восточным
ее вариантами. К такому выводу пришли Дж. Мэрдок в ос-
новательном исследовании «языка отношений» европейской
средневековой математики [360], а затем А. Молланд, обра-
тивший внимание на применение этого языка в геометрии
[356]. Оказывается, что в латинских сочинениях изменились
формулировки основных определений теории отношений, в
чем можно видеть отражение некоторых особенностей мате-
матики этого периода, в частности, стремление к арифметиза-
ции античных геометрических теорий.

Основные моменты теории Евдокса, по-видимому, поняты
не были. Вместо «принципа непрерывности» обычно фигури-
ровало определение непрерывной пропорциональности. Напри-
мер, в изданном Г. Бусардом переводе «Начал», принадле-
жащем Герману из Каринтии, сказано: «Величины, о кото-
рых говорится, что они имеют непрерывную пропорциональ-
ность, суть те, равнократные которых либо равны, либо рав-
но без перерыва увеличиваются или уменьшаются» [183,
стр. 96]; т. е. а, Ъ, с непрерывно пропорциональны, если и та,
тЬ, тс непрерывно пропорциональны, т. е. та : тЬ — тЬ : тс.

По-иному определялось и равенство отношений. Как опре-
деление Евдокса, так и «антифайретическое» определение
восточных математиков, известное на Западе по переводу
комментария Ан-Найризи [221], воспринято не было: обычно
утверждалось, что а: Ь = с с1 тогда и только тогда, когда
та : пЬ=тс: пй.

Дж. Мэрдок приходит к выводу, что «в результате неуда-
чи с попыткой понять евдоксову загадку пятой книги латин-
ский Запад потерял два вполне общих критерия равенства от-
ношений, которыми он владел» [360, стр. 261].

Взамен этих критериев был выдвинут новый, который спо-
собствовал дальнейшему развитию понятия числа: равенство
отношений стало определяться равенством их «знаменова-
ний». «Знаменование» (депопппаНо) отношения представля-
лось как число, целое или дробное, которое выражает это от-
ношение.

Такой подход облегчил дальнейшую арифметизацию тео-
рии отношений. Особенно важную роль при этом сыграла тео-
рия составных отношений, появившаяся уже в ранних вер-
сиях «Начал». Составное отношение рассматривалось, как
произведение чисел, «знаменующих» исходные отношения.

По мнению Дж. Мэрдока, «можно сказать, что средние
века, как арабские, так и латинские, находились в некотором
роде на полпути между строгим греческим отделением вели-
чины от дискретных количеств (т. е. чисел) и, с другой сто-
роны, утверждением Джона Валлиса, что вся пятая книга
«Начал» Евклида есть арифметика» [360, стр. 271].

Необходимо, однако, отметить, что понятие «знаменова-
ния», как и основанный на нем критерий равенства отноше-
ний, применялось вплоть до XVI в. только к числовым, т. е.
рациональным отношениям.

Термин «знаменование», обозначавший в первоначальном
философском его применении определение вещи с помощью
атрибута, причины или, в общем смысле, аналогии встречал-
ся и в раннесредневековых математических сочинениях; нап-
ример, у Сакробоско число 20 «знаменуется» пальцевым чис-
лом 2 [356, стр. 167—168]. В теории отношений оно служило
некиим арифметическим аналогом понятия отношения двух
величин. Применение его в этом смысле встречало, однако,
затруднения в связи с иррациональностью «знаменования» в
случае несоизмеримости рассматриваемых величин; оно мог?
ло быть устранено введением Понятия иррационального чис-
ла, но такой шаг и явился самым трудным в истории учения
о числе. Как будет показано, европейские средневековые ма-
тематики ощущали незавершенность своей теории и стреми-
лись каким-то образом уйти от возникших при этом логиче-
ских несоответствий.

Наиболее ранний пример применения понятия «знамено-
вание» в математике, не замеченный исследователями, встре-
чается во «Введении в арифметику» Боэция.

Рассматривая четно-нечетные числа [151, гл. 10], Боэций
относит к ним те, «все части которых имеют противополож-
ные знаменования», вводя также понятие «величин частей,
которые знаменуются». При этом он утверждает, что «если
знаменование четное, величина части будет нечетной, а если
знаменование нечетное, величина будет четной». Разъясне-
ние дано на примере четно-нечетного числа 18: половина его,
т. е. вторая часть, имеющая четное «знаменование» 2, есть 9
и представляет собой нечетную «величину»; третья часть с
нечетным «знаменованием» 3 есть четная «величина» 6, а
шестая часть («знаменование», т. е. 6, четно) имеет нечетную
«величину» 3, т. е. 18 = 9 + 9 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3-1-3, Число сла-
гаемых в каждом разбиении или, другими словами, показа-
тель «доли» называется «знаменованием». Этот же термин
применяется и позднее в главе 11 сочинения Боэция.

В более узком смысле, как «знаменование отношения»,
рассматриваемый термин применен Герардо Кремонским в
переводе комментариев ан-Найризи к книге V «Начал» Евк-
лида.

После формулировки 9 определения книги V («когда три
величины пропорциональны, говорят, что первая к третьей
имеет двойное отношение первой ко второй») дается его под-
робное разъяснение. Рассматривается число, «которым пер-
вая величина измеряет вторую», и утверждается, что оно,
«будучи умножено на себя, производит число, которое яв-
ляется отношением первой к третьей»; то же справедливо и
для четырех, пяти и т. д. величин, находящихся в непрерыв-
ной пропорции [221, стр. 164]. В следующем за этим примере
приводятся конкретные «числа, знаменующие (бепоттапз)
отношения».

Однако у нас все же нет достаточно веских оснований для
утверждения, что термин «знаменование отношения» — араб-
ского происхождения. Герардо Кремонский, знакомый, по-
видимому, с терминологией Боэция, применил этот термин,
возможно, по примеру последнего.

Несомненное влияние восточной теории составных отно-
шений мы наблюдаем в «Книге абака» Леонардо Пизан-
ского. Упомянутое выше «цепное правило» для отыскания ве-
Лйййн, связанных несколькими пропорциями, названо «Й^ига
са!а» или «П§ига сЬа1а» (транскрипция арабского «шакл ал-
катта» — фигура секущих) и при его объяснении сделана
ссылка на Птолемея и Ахмада ибн Юсуфа ал-Мисри (Ате1из
НИиз).

Теория составных отношений применяется, например, в
следующей задаче: сколько дней можно кормить 10 лошадей
16-ю единицами веса ячменя, если 5 лошадей съедают за
9*16-5

9 дней 6 таких единиц; решение: б—= 12.

Кроме конкретных чисел, для такого рода задач приме-
няются и буквенные обозначения: а лошадей съедают Ь ячме-
ня за с дней, с1 лошадей съедят е ячменя за / дней; тогда
произведения аес и с1Ь( равны. Это можно выразить и по-ино-
му: каждый сомножитель первого произведения находится к
какому-либо сомножителю второго произведения в отношении,
е йЬ
составленном из двух других отношении; например , у = — •
Таких комбинаций для первых трех чисел может быть 18;
именно о них идет речь в сочинении Ахмада ибн Юсуфа, на
которое ссылается автор «Книги абака»: «Ахмад сын рас-
смотрел восемнадцать комбинаций из них в книге, которую
он составил об отношениях».

Важнейшее значение для развития теории отношений и, в
частности, для широкого распространения понятия «знамено-
вания» имела, как нам кажется, «Арифметика» Иордана Не-
морария [324]. Из десяти составляющих ее книг в четырех
(книги II—V) излагается теория отношений; на доказанных
в них теоремах основывается все дальнейшее изложение.

Неморарий рассматривает определения и предложения из
книг VII—IX «Начал» Евклида и из «Введения в арифмети-
ку» Никомаха (или сходные с ними), но вводит также новое
понятие «знаменования» отношения и излагает с его помощью
теории составных отношений целых чисел.

Во введении, определив понятия числа («величина, яв-
ляющаяся собранием дискретностей»), натурального ряда
чисел, разности, произведения чисел и т. д., Неморарий дает
определение «соизмеримости» чисел: «Говорят, что число пе-
ресчитывает другое, если оно производит его, будучи умно-
жено на некоторое число». Повторив евклидово определение
«доли» («части»), он говорит: «Знаменующим (депотшапз)
является число, согласно которому берется доля от целого»;
«доли» («части») определяются, как «знаменующиеся тем же
числом». Этими же понятиями Неморарий пользуется и в
постулатах: «Доля всякого числа меньше целого», «Меньшей
является всякая доля с большим знаменующим», «Единица
есть доля всякого числа, знаменующаяся этим числом» ит. д.
Таким образом, в первой книге термин «зйамеиование»
по существу применяется, как и у Боэция, для обозначения
знаменателя данной дроби.

Вторая книга начинается с основных определений теории
числовых отношений:

«Отношение есть зависимость двух однородных величин,
одной к другой, по количеству»;

«Говорят, что числа находятся в отношении к числам, ког-
да меньшее составляет от большего долю или доли; большее
же к меньшему — когда оно содержит его и его долю и доли»;

«Непрерывная пропорциональность имеет место, когда
средние члены не отличаются друг от друга: она может со-
стоять самое меньшее из трех членов, средний из которых яв-
ляется общим. Ненепрерывная пропорция — это такая, в ко-
торой существует разрыв между средними. Поэтому требует-
ся, чтобы по меньшей мере второй и третий из четырех чле-
нов были взяты как средние. Если имеются три непрерывно
пропорциональных числа, то говорят, что первое к третьему
имеет двойное отношение первого ко второму, а в случае че-
тырех отношение первого к четвертому — тройное».

В следующем определении Неморарий впервые пользует-
ся понятием «знаменования отношения»: «Когда же эти или
обратные отношения будут продолжены, то говорят, что от-
ношение первого к последнему составлено из остальных. Го-
ворят, что знаменование отношения меньшего к большему
есть доля или доли, которые оно составляет; знаменование же
отношения большего к меньшему есть число, определяющее,
сколько раз меньшее содержится в большем и составляет от
него долю или доли. Равными называются отношения, имею-
щие одно и то же знаменование; большим — которое имеет
большее знаменование, меньшим — меньшее».

Таким образом, от числа п. „знаменующего" долю и
доли Неморарий переходит к понятию „знаменования
отношения", под которым по существу понимает дробь ~п
т
или -, выражающую рассматриваемое отношение.

В третьей книге, содержащей учение о простых числах,
повторяются, главным образом, рассуждения из книги VII
«Начал», в четвертой излагается теория непрерывных про-
порций из книги VIII «Начал», в пятой — теория составных
отношений. Здесь Неморарий дает правила составления и вы-
деления отношений, называя эти операции «сложением» и
«вычитанием» и определяя их следующим образом: «Говорят,
что всякое отношение сложено с каким-либо другим, если они
составляются вместе. Разностью двух отношений называется
такое отношение, о котором говорят, что оно является избыт-
ком одного над другим».

Далее следуют предложения относительно отношений и
операций над ними; например, в первом утверждается: «То,
что является избытком отношения первого члена ко второму
над отношением третьего к четвертому есть отношение между
произведением первого члена на четвертый и произведением
„ (ас ай

второго на третий» I т. е. означает

Теорию числовых отношений Неморарий широко исполь-
зует в книгах II—IV трактата «О данных числах» [63]. Фор-
мулируя и решая задачи, он обращается с отношениями, как
с дробями, на основании введенного им понятия о целом и
дробном «знаменовании» отношения.

Приведем, например, решение второй задачи из книги II
этого сочинения: «Если дано отношение заданного числа к
какому-нибудь другому, то отсюда следует, что будет дан-
ным и это последнее. Если отношение выражается целым чис-
лом, то неизвестное число определяется легко. Если отноше-
ние выражается дробью или смешанным числом, то задача
решается легко, если данное число является последующим
членом отношения; в этом случае для нахождения предыду-
щего члена надо данный последующий член умножить на це-
лую часть отношения, взять его части, соответствующие дроб-
ным частям отношения, и затем сложить все полученные
члены ^например, 16 (з + ------0 = 48 4- 8 4 = 60^. Если

же является данным предыдущий член, то его надо разде-
лить на знаменатель отношения; таким образом определится
последующий44 [63, стр. 579].

Предложенное Иорданом Неморарием построение теории
целочисленных отношений с применением понятия «знамено-
вания отношения» стало вскоре традиционным.

Большую популярность получил также комментарий Кам-
пано к книге V «Начал», в котором видели образец изложе-
ния общей теории отношений. Кампано был, по-видимому,
также автором специального сочинения об этой теории «Ве
ргорогНопс е( ргорогНопаНШе», где он, судя по всему, ком-
ментировал трактат Ахмада ибн Юсуфа; это сочинение Кампа-
но имеется в нескольких рукописях [145, стр. 240], но, на-
сколько известно, до сих пор остается неисследованным.

В определении 3 книги V «Начал»') Кампано разъясняет
сущность отношения: «Отношение есть определенная зависи-

0 Страницы в издании «Начал» 1482 г [267], которым мы пользуемся,
не нумерованы; поэтому вводим условную нумерацию для каждой книги
этого сочинения,
мость (состояние, ЬаЬНибо) двух каких-либо однородных ве-
личин одной к другой». Он отмечает, что отношение может
иметь место не только между геометрическими величинами,
но и между весами, силами и звуками; отношения весов и сил
описаны в сочинении Платона «Тимей», а отношения зву-
ков — у Боэция. Со ссылкой на Аристотеля Кампано гово-
рит, что наиболее простым случаем является отношение гео-
метрических величин, свойства которого рассмотрел Евклид
В отношении могут находиться равные и неравные, но обяза-
тельно однородные величины.

Далее рассматривается различие между отношением чи-
сел, всегда рациональным, и отношением геометрических ве-
личин, которое может быть как рациональным (в случае со-
измеримости составляющих его величин), так и иррациональ-
ным (если эти величины несоизмеримы). Отсюда следует, что
«геометрическое отношение более абстрактно, чем арифмети-
ческое».

Пропорциональностью Кампано называет подобие (81гпП1-
1ц(1о) отношений (определение 4) и различает непрерывную
(сопНпиа) и ненепрерывную (тсопНпиа) пропорциональ-
ность.

Между величинами существует непрерывная пропорцио-
нальность, если их «равнократные либо равны, либо равно
увеличиваются или уменьшаются» (определение 5). Разъяс-
няя это определение, Кампано рассматривает три однород-
ные величины а, Ь, с и их равнократные й, е, I (на полях
даются числовые значения а=4, Ь=2, с=1, </=12, е = 6, /=3);
между а, Ь, с существует непрерывная пропорциональность,
если (1:е=е:[. Другими словами, «непрерывно пропорцио-
нальные суть те, все равнократные которых непрерывно про-
порциональны» (книга V, стр. 3).

Ненепрерывная пропорциональность отличается от непре-
рывной тем, что она может быть установлена и между раз-
нородными величинами: две первые из четырех данных вели-
чин могут относиться к одному роду, две следующие — к дру-
гому.

Далее вводится понятие равенства отношений (определе-
ние 6), согласно которому а:Ь = с:<1 тогда и только тогда,
когда та : пЬ = тс: пЛ. Это определение, в корне отличаю-
щееся от данного Евдоксом, как уже отмечалось, стало обыч-
ным в европейской математике.

После определения пропорциональных величин, т. е. ве-
личин, находящихся в одном и том же отношении (определе-
ние 7), и подробного разъяснения случая, когда отношение
двух величин не равно отношению двух других (определение
8), Кампано формулирует по Евклиду определения двойного
И тройного, а затем — «переставленного», «перевернутого»,
«присоединенного» и других видов отношения, а также «пере-
мешанной» пропорции.

В конце этого раздела дается общая сводка приведенных
определений и отмечено, что принципы книги V «Начал» мно-
гим кажутся чрезвычайно трудными, а следующие из них
выводы — весьма непонятными.

Особого внимания заслуживает рассуждение Кампано о
различии между рациональным и иррациональным отноше-
нием: «Если бы всякое отношение было познаваемым, или
рациональным, тогда было бы легко постигнуть разумом, что
такое отношения, одинаковые или различные. Те, которые
имели бы одно знаменование, были бы одинаковыми, кото-
рые же разные — разными. Эта легкость обнаруживается в
арифметике, поскольку отношение любых чисел является поз-
наваемым и рациональным. Поэтому Иордан в шестой книге
своей «Арифметики» определил, какие отношения являются
одинаковыми и какие различными. Он сказал, что одинако-
вые — это те, которые имеют одно и то же знаменование;
большее же — которое имеет большее знаменование, мень-
шее — меньшее. Однако существует бесконечно много ирра-
циональных отношений, знаменования которых непознавае-
мы, а потому Евклид рассматривал в этой своей книге отно-
шения вообще, не уточняя, рациональные они или иррацио-
нальные» [267, книга V, стр. 11].

Таким образом, Кампано совершенно ясно говорит, что
критерий равенства «знаменований» может быть применен
лишь к числовым отношениям. Для произвольных же величин
«нельзя определить равенство (ИетрШаз) отношений через
равенство знаменований, как в арифметике, ибо, как сказа-
но, знаменования многих отношений просто неизвестны» [267,
книга V, стр. 11]; поэтому к ним применимо только указанное
определение равенства с помощью равнократных, которое
Кампано приписывает Евклиду.

Несколько ранее, однако, рассматривая двойные и трой-
ные отношения [267, книга V, стр. 7], он дает более широкое
толкование понятия «знаменования»: «Знаменование отноше-
ния двух величин, между которыми не вставлена никакая
средняя, имеет природу линии. У тех же, между которыми
попадает одно среднее в непрерывной пропорции, знамсно-
вание имеет природу поверхности, так как происходит от ум-
ножения знаменований двух первых Знаменование отно-
шения величин, между которыми в непрерывной пропорции
находятся две средние, имеет телесную природу, так как воз-
никает от умножения двух первых знаменований; все же,
что получается от умножения линии на поверхность, приоб-
ретает значение тела». Другими словами, если а:Ь = Ь:с, то
2

а I « а

и, следовательно, — имеет природу квадрата или,
как сказано в другом месте, „знаменуется квадратом44.
Если а:Ь = Ь:с = с:<2, то у = (у) и .знаменуется кубом".

В заключение Кампано утверждает, что данные определе-
ния не следует пытаться доказать; доказательству подлежат
только выводы, вытекающие из них. Он подвергает критике
попытку доказательства определений Евклида, сделанную
Ахмадом ибн Юсуфом, которая основана на порочном круге
рассуждения; так, доказывая определение равенства отноше-
ний, Ахмад ибн Юсуф использовал принципы, уже предпола-
гающие, что понятие равенства отношений известно [267,
книга V, стр. 12]; (см. [360, стр. 253]).

В книге V Кампано дал также доказательства иррацио-
нальности «золотого сечения» [192; 237, т. VII, стр. 380, т. IX,
стр. 153].

В XIV в. теория отношений используется не только в те-
оретической арифметике и в алгебре, но и при рассмотрении
гораздо более широкого круга вопросов и прежде всего для
математического выражения законов физики. Новый подход
ярко отразился в трактате Томаса Брадвардина «Об отноше-
ниях», который был исследован Кросби в 1955 г. и опублико-
ван им вместе с английским переводом [209].

В трактате изучаются движения и скорости. В первой гла-
ве Брадвардин, исходя из утверждения Аристотеля о сущест-
вовании пропорциональной зависимости между движением и
скоростью, рассматривает теорию отношений, как основу ис-
следования. Опирается он на Боэция, Кампано и Ахмада ибн
Юсуфа. В противоположность Неморарию, он упоминает не
только рациональные, но и иррациональные отношения [209,
стр. 66]. Рациональным названо отношение, которое «непо-
средственно выражается каким-нибудь числом, например,
двойное отношение, тройное и т. д.». Иррациональное отно-
шение — это такое, «которое не непосредственно знаменуется
каким-либо числом, а лишь с помощью взятия половины
(те(Не1аз)».

Таким образом, под «выразимостью» отношения Брадвар-
дин понимает нахождение показателя двойного, тройного и
вообще кратного рационального отношения; для иррацио-
нального отношения он вводит понятие «половинного» пока-
1
/ \2

зателя, т. е. 1у I Как пример приводится отношение сто-
роны и диагонали квадрата, которое знаменуется .полови-
ной двойного отношения".
По словам Брадвардина, рациональные отношения рас-
сматриваются, главным образом, в арифметике и классифи-
цируются в соответствии с учением Никомаха. Иррациональ-
ные отношения рассматриваются в других естественных
науках.

Основное внимание Брадвардин уделяет теории целочис-
ленных отношений и непрерывных пропорций и видит в раз-
личии между видами пропорций отражение аристотелевского
различия между непрерывным и дискретным; ссылаясь на Ах-
мада ибн Юсуфа, он утверждает [209, стр. 74], что если не-
прерывная пропорция существует только между однородными
членами, то дискретная может состоять из членов разного
рода, например из сил и скоростей.

В последнем разделе первой главы своего трактата Брад-
вардин приводит ряд аксиом (совпадающих с определениями
книги V Кампано) и предложений теории отношений. Равны-
ми он называет отношения, имеющие равные «знаменования».

Столь же важное место занимает теория отношений и в
другом сочинении Брадвардина — «Теоретическая геомет-
рия», впервые изданном в 1495 г. [192, 209]. Ей отведен третий
раздел этого трактата (в первых двух рассматривается уче-
ние о звездчатых многоугольниках и изопериметрических фи-
гурах, а в четвертом — некоторые теоремы о пространствен-
ных фигурах). Здесь рассуждения Брадвардина во многом
совпадают с рассуждениями Неморария. Так, он говорит о
«знаменований» отношения, имея в виду, что «как одна ве-
личина относится к другой, так знаменуется отношение между
ними». Равны те отношения, «у которых равные знаменова-
пия». Так как «всякая величина пропорциональна всякой
величине, но не всякая соизмерима со всякой», рассматри-
ваются не только рациональные, но и иррациональные отно-
шения, имеющие место соответственно между соизмеримы-
ми и несоизмеримыми величинами.

Важный шаг в развитии теории отношений сделал Нико-
лай Орем, видевший в ней, как и Брадвардин, аппарат для
исследования физических явлений. Эти вопросы он рассмот-
рел в сочинениях «Тгас(а1и8 с1е ргорогНопит» и «А^опзтиз
ргорогНопит» (иначе «ТгасШиз бе ргорогНошЬиз ргорогНо-
пшп»).

В первом из них [59, 123, 192] теория отношений излагает-
ся в стиле Неморария. Особое внимание уделено отношениям
движений, в частности, движений небесных тел, а также соиз-
меримости и несоизмеримости этих движений.

Второе из названных сочинений осталось неизданным в
средние века, но было распространено в рукописях. Впервые
его опубликовал М. Курце в 1868 г. [210]; недавно оно было
издано вновь [375] (см. также [297]).
Во введении по аналогии с двойным, тройным и т. д. от-
ношениями Орем определяет половинное отношение, отноше-
ние одной трети, четвертное отношение и т. д. и вводит для
них специальные обозначения. Так, двойное отношение он
обозначает через 21а. тройное через половинное—че-

рез и т. д. Согласно определению Орема, если а=Ь3

с _ у 6, то — = Ь т. е. это отношение является полу-
торным. Таким образом, здесь впервые были применены
степени с дробным показателем.

Под отношением (ргорогНо) Орем всегда подразумевает
отношение большего члена к меньшему; в противном случае
речь идет о дроби (ГгасНо).

Рациональное отношение всегда «выражается через свои
члены, или наименьшие числа»; иррациональным Орем назы-
вает отношение с дробным показателем.

Далее рассматривается девять правил составления отно-
шений (вместо термина «составление» применяется, как и у
Иордана Неморария, слово «сложение»).

I. правило „сложения" рациональных отношений
~ — равносильно современному умножению дробей;

, \2 / \3

4 5 20 /ч 2 / а \ а? / а \ а3

например, у ~ = з'= 6Т; в частное™. = 7з

и т. д. Сделана ссылка на 6-е предложение книги V „Ариф-
метики" Неморария;

П. правило „вычитания" рациональных отношений:
•у —с- = равносильно делению дробей; например, если

3 4 3-39^

от „отнять" —, будет = у. Остальные правила могут
быть выражены в современных обозначениях следующим
образом:

т 11/ р\— / 1 \« 1

к - -- I — \Р I --- \П1 -

ШП ( ^т\ П х, Р __ .

. а = \а ) а = \а ] \а / — а ;

р. I р. ±

IV (ат)’ =ия/ (О’ =(атр)<г

1 1

V. аЬп ==[ап-Ь}п
1 р

УП-УШ. ат = атр

1 1 1

ае Ь/ (а'-Ь')е/

IX. ап-Ьп = (аЬ)п

ап

Ъп

Во втором разделе трактата излагаются дальнейшие пра-
вила действий с отношениями, а в третьем даны приложения.
Например, показано, что правильный вписанный 2п-угольник
есть среднее пропорциональное между вписанным и описан-
ным правильными п-угольниками.

Как на источники, помимо Неморария, Орем указывает
на Евклида и Боэция.

С той же точки зрения рассматривал в XIV в. теорию от-
ношений и Альберт Саксонский, который изложил ее в нача-
ле своего сочинения («ТгасШиз ргорогНопит» [130]) о дви-
жении и скоростях. Он повторяет определения отношения,
соизмеримых и несоизмеримых величин и вводит понятие
рационального отношения для двух соизмеримых величин, не-
посредственно выражающегося каким-либо числом. Приме-
ром иррационального отношения служит отношение диагона-
ли квадрата к его стороне; оно обозначается термином Оре-
ма «половинное отношение».

Разницу между рациональным и иррациональным отно-
шениями Альберт Саксонский, как и Брадвардин, видит в
том, что первое справедливо для дискретных и непрерывных
величин, тогда как второе — лишь для непрерывных и по-
этому рассматривается только в геометрии. Подробно излага-
ется теория числовых отношений.

Идеи Брадвардина и Орема нашли применение в мате-
матике последующего столетия. В частности, ^то относится
к понятию дробного показателя степени. Вот отрывок из ру-
кописи 1458 г., опубликованный М. Курце [216, стр. 7]: «Тре-
буется доказать, что диагональ квадрата имеет к стороне
половинное отношение. Пусть имеется квадрат айе}, диагональ
которого ес1; она делится пополам в точке Ь. Чертится другой
квадрат Ьйса, диаметром которого необходимо будет сторона
первого квадрата ай. Следовательно, как диагональ большо-
го квадрата ей относится к стороне того же квадрата ай, так
ай'—диаметр меньшего квадрата — относится к стороне этого
меньшего квадрата Ьй. Но [отношение] первого, т. е. ей,
к последнему, т. е. Ьй, есть двойное отношение, по условию;
отношение крайних составляется (сотропНиг) из отношений
средних, как утверждает Евклид в определении 19 седьмой
книги и как основательно доказывается во второй книге
о 36 видах отношений1). Так как средние находятся в не-
прерывном отношении, то необходимо следует, что ей к ай
находится в половинном отношении, ай к аЬ — в таком же
отношении».

Большое внимание уделено теории отношений и в «Науке
о числах, изложенной в трех частях» Никола Шюке. В гла-
ве 3 первой части после определения отношения [352, стр 621]
он рассматривает различные виды числовых отношений и пов-
торяет классификацию Никомаха. Далее излагается теория
непрерывных пропорций, а в главе 4 — тройное правило
в качестве примера применения теории отношений. В связи
с непрерывными пропорциями Шюке проводит, как упомина-
лось выше, рассуждение о соответствии арифметического и
геометрического рядов, делая тем самым следующий после
Орема шаг в развитии понятия логарифма.

Учение о пропорции изложено в главе 6 «Суммы» Луки
Пачоли [89, 192, 339]. Для него эта теория — не только мате-
матический аппарат, но и выражение принципов гармонии,
которым подчиняется природа. Поэтому конечная цель вся-
кого исследования, с его точки зрения, состоит в установле-
нии отношений между различными вещами и явлениями, и
отсюда же вытекает важнейшая роль теории пропорций в са-
мых разных науках, а также в искусстве, для которого про-
порция— «мать и царица». Среди трудов, содержащих уче-
ние о пропорции, Пачоли называет сочинения Платона, Ари-
стотеля, Евклида, Архимеда, Боэция, Сабита ибн Корры,
Брадвардина, Неморария и Альберта Саксонского.

Пачоли вводит ряд вспомогательных предложений, необ-
ходимых при изучении пропорциональности величин и непре-
рывных пропорций. Среди них, например, задача об отыскании
четырех величин, находящихся в непрерывной пропорции
х у = у = г \ и, если известны х + и = т, у + 2 = п.

Приложение теории пропорций к изобразительному искус-
ству Пачоли дал в сочинении «Божественная пропорция» [192].

Иоганн Видман [157, стр. 207], определяя отношение, ссы-
лается на Кампано, а далее особо выделяет иррациональные
отношения и отсылает читателя к книге X «Начал» Евкли-
да [157, стр. 208]. Он рассматривает также возможность удво-
ения, утроения и т. д. отношений, их сложения и вычитания.
При этом упоминается шестой раздел «Арифметики» Немора-
рия, а также трактат римского геометра Юлия Фронтина;
последняя ссылка не совсем ясна. (Г Энестрём считает это
опечаткой и полагает, что имелся в виду Боэций [237, т. VIII,
стр. 195]).

0 Имеется в виду, очевидно, сочинение Ахмада ибн Юсуфа.
Понятием «знаменования отношения» Видман пользуется,
например, в одной из задач рукописи «дрезденской алгеб-
ры» [463, стр. 552]: требуется найти стороны двух квадратов
из условия, что больший в 9 раз превышает сторону мень-
шего, а меньший составляет 2-|-стороны большего, т. е. ха=9у,
у2—-2-|-л. При этом величины уа и х находятся между со-

о
бой в отношении, которое имеет „знаменование* 2

Последовательное изложение «алгоритма отношений» мы
находим также в «Арифметике» Георга Пейрбаха [379]. Оно
начинается с определения отношений величин: «Отношение
есть определенная зависимость двух величин одного рода, как
разъяснил Евклид в пятой книге «Начал». Это достаточно
показано комментатором Евклида Кампано в разделе, пред-
шествующем доказательству. В его комментарии отношение
определено таким же образом. Но, будучи отнесено к числам,
как в «Арифметике» Иордана, оно может быть определено
так: отношение есть определенная зависимость двух чисел —
первого ко второму».

Разграничив нечисловые и числовые отношения, Пейрбах
в дальнейшем занимается только последними. Он дает их
классификацию по Никомаху и применяет термин «знамено-
вание» к целому числу, «знаменующему» долю или доли,
т. е. в значении знаменателя дроби. Правила «сложения и
вычитания» отношений Пейрбах излагает по Неморарию и ви-
дит в них теоретическое обоснование умножения и деления
дробей.

В издании 1536 г. к этому сочинению присоединен не-
большой трактат «Об отношениях из «Начал» Евклида», так-
же на латинском языке, автором которого назван Иоанн
Фогелин (1оапп Уо^еКп). Здесь дается краткое изложение
теории отношений как основы действий с дробями. Вначале
четко сформулировано различие между рациональным и ир-
рациональным отношениями.

«Знаменование» рационального отношения рассматрива-
ется как дробь. Поставив задачу: найти знаменование како-
го-либо данного отношения, автор останавливается отдельно
на случаях «большего» и «меньшего» неравенств, т. е. не-
правильной и правильной дроби. В первом он предлагает:
«Раздели большее число на меньшее, и число, которое полу-
чается, есть знаменование данного отношения». Во втором:
«Поставь меньшее над большим, отделенным палочкой, как
у обыкновенных дробей (пппиНагит уи^апит), и будешь
иметь знаменование».
Таким образом, Мы видим, что теория числовых отноше-
ний в конце XV в. фактически сливалась с теорией дробей,
и это являлось значительным шагом в арифметизации поня-
тия отношения. Однако вопрос об иррациональном отноше-
нии обычно оставлялся в стороне, ибо для создания его ариф-
метического аналога требовалось введение понятия иррацио-
нального числа, что было делом будущего.

Результаты Омара Хайяма и Насир ад-Дина ат-Туси,
распространивших понятие числа на отношение двух произ-
вольных величин, очевидно, остались совершенно неизвест-
ными европейским математикам, по крайней мере до XVI в.

♦ *

Подведем в нескольких словах итог сказанному выше.
В XII—XV вв. учение о числе занимало в европейской ма-
тематике то же место, что и в математике стран Ближнего
и Среднего Востока, и достаточно четко подразделялось на
арифметику — теоретическую и практическую, алгебру, тео-
рию квадратичных иррациональностей и теорию отношений.
В каждом из этих разделов продолжало ощущаться сильное
восточное влияние, однако в XIV—XV вв. были получены и
новые результаты, указывающие на то, что европейская ма-
тематическая наука начала самостоятельное развитие.

Теоретическая арифметика в период раннего средневеко-
вья существовала параллельно и независимо в науке стран
ислама и в Европе; она явилась предметом первых матема-
тических трудов европейских ученых (например, Боэция).
Если первоначальные сведения, которыми они располагали,
не выходили за рамки пифагорейской арифметики, то зна-
комство с арабскими сочинениями расширило круг рассмат-
риваемых вопросов, главным образом, за счет неопределен-
ного анализа. Как и на Востоке, в теоретической арифмети-
ке вплоть до XVI в. видели один из основных разделов учения
о числе.

В области практической арифметики восточное влияние
на Европу было особенно заметным. Уже с конца X в. вме-
сте с индо-арабскими цифрами начали усваиваться вычисли-
тельные приемы, разработанные в странах ислама. Важней-
шую роль в пропаганде этих методов счета сыграли латин-
ские переводы и обработки арифметического трактата
ал-Хорезми. В XII в. появились первые европейские сочине-
ния по практической арифметике. Наиболее сильное воздей-
ствие на дальнейшее развитие математики оказали труды
Леонардо Пизанского, Иордана Неморария, а позднее — Луки
Пачоли.
Сведения о восточной алгебре европейцы получили впер-
вые в XII в. из алгебраического трактата ал-Хорезми, и до
XVI в. он служил образцом изложения этой науки. Однако
уже в XIV в. итальянские алгебраисты сделали попытку ре-
шить уравнение 3-й степени в общем виде, что означало
выход за пределы, установленные ал-Хорезми. К концу XV в.
алгебраические методы прочно вошли в европейскую мате-
матику, и, что особенно важно, были созданы некоторые эле-
менты буквенной алгебры.

Преемственность математических идей особенно нагляд-
но выступает на примере трактовки иррациональной величины
в Европе до XVI в. Из восточных сочинений был усвоен не
только термин «глухое число» для обозначения иррациональ-
ного корня, но также его определение и подход к обосно-
ванию действий с числовыми иррациональностями. По-
прежнему основное значение здесь имели теория квадра-
тичных иррациональностей и теория отношений (книги V и
X «Начал»),

Поскольку теория квадратичных иррациональностей стала
известна европейцам по арабским версиям «Начал», была
сразу воспринята и ее арифметическая интерпретация, на
основе которой европейские ученые шли по пути арифмети-
зации теории величин смелее, чем их восточные предшествен-
ники.

Значительный шаг вперед в изучении иррациональных
величин сделал Леонардо Пизанский, показавший, что реше-
ние предложенного ему кубического уравнения не может быть
дано с помощью иррациональностей книги X «Начал».

В алгебраических сочинениях, как и раньше у арабских
авторов, книга X выступала в виде специального раздела о
действиях над числовыми иррациональностями.

Античная теория отношений играла в средневековой евро-
пейской математике не менее важную роль, чем в восточной,
причем сфера ее приложения здесь расширилась за счет есте-
ственных наук. Вначале с ней познакомились по греческим ис-
точникам, а позднее широкую популярность приобрели пере-
воды арабских сочинений о теории отношений. Однако в
Европе не было воспринято ни обычное на Востоке «антифай-
ретическое» определение равенства отношений, ни определе-
ние Евдокса. Характерным стало определение равенства цело-
численных отношений с помощью «знаменований» — некото-
рых целых и дробных чисел, выражающих эти отношения.
Важное значение придавалось теории составных отношений.
Составное числовое отношение стало определяться как произ-
ведение знаменований» исходных отношении. Такой под-
ход значительно облегчил дальнейшую арифметизацию
общей теории отношений. Результаты же, полученные в
Зтом направлении Омаром Хайямом и Насир ад-Дином ат-
Туси, очевидно, оставались неизвестными европейским
математикам.

Итак, до конца XV в. в науке о числе, в ее содержании и
форме изложения не наблюдалось принципиальных измене-
ний. Хотя европейские математики достигли определенного
прогресса, старый подход к трактовке понятия числа продол-
жал сохранять свою силу: теоретическое обоснование этогс
понятия по-прежнему искали в «Началах» Евклида с их про-
тивопоставлением числа и величины как существенно раз-
личных объектов математики. Решающие перемены во взгля-
дах наступили в XVI в. — в переломном периоде истории
науки.
Глава III

УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ В XVI в.

§13. Вводные замечания

эпоху Возрождения в экономике Европы произошли важ-
ные преобразования, вызванные разложением феодального
уклада и зарождением нового социально-экономического
строя. Они повлекли за собой столь же серьезные изменения
в культурной жизни общества. ]Цо словам Энгельса, «это был
величайший прогрессивный переворот из всех пережи-
тых до того времени человечеством, эпоха, которая нуждалась
в титанах и которая породила титанов по силе мысли, стра-
сти и характеру, по многосторонности и учености»1).

Эта эпоха характеризовалась небывалым ранее подъемом
научной мысли и началом решительной борьбы со сковыва-
ющими ее средневековыми схоластическими методами. Все
большее значение приобретал эксперимент как основное
средств.о. познания природы, возрасталГйнтфеС" к естественным
наукам. Требования развивающейся промышленности обусло-
вили повышенное внимание к машино- и приборостроению
и вообще к механике. Путешествия и географические откры-
тия вызвали к жизни новые отрасли естествознания, стиму-
лировали обновление древних научных дисциплин, в первую
очередь астрономии. Революцией в науке о вселенной яви-
лось создание в трудах Коперника (1473—1543 гг.), Тихо
Браге (1546—1601 гг.), Галилея (1564—1642 гг.), Кеплера
(1571 —1630 гг.) новой гелиоцентрической системы мира.

Эти достижения прямо и косвенно сказывались на раз-
витии математики, от которой не только требовали разработ-
ки новых вычислительных методов, но ожидали также глубо-
ких теоретических обобщений, которые позволили бы осмыс-
лить полученные факты. XVI в. явился важным этапом в
истории математики, когда ученые Европы, освоив античное
и восточное наследие, внесли в науку оригинальные резуль-
таты своего творчества. Решающее воздействие на уче-

1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., изд. 2-е, т. 20, стр. 346.
ние о числе оказал их вклад в алгебру. В этой области
европейские математики XVI в. впервые перешли рубежи,
оставшиеся недоступными их греческим и восточным пред-
шественникам, получив алгебраическое решение уравнения
третьей степени. Этим открытием кубические иррациональ-
ности были широко введены в вычислительную математику,
причем еще более укрепился взгляд на иррациональный ко-
рень как на число. !

Важнейшую роль сыграла разработка более совершенных
вычислительных методов, применявшихся, в частности, при
составлении тригонометрических таблиц. Создание и внедрен
ние в практику теории десятичных дробей дало возможность
получать неограниченное приближение всякого иррациональ-
ного числа.

Если уже математики XV в. видели в арифметике и ал-
гебре единую науку о числе, то в XVI в. эта точка зрения
стала господствующей. Появились многочисленные сочине-
ния, в которых излагалась «обобщенная арифметика»,
включающая теоретическую и практическую арифметику,
теорию иррациональных величин и алгебру. Авторы их
рассматривали предмет с новых, более широких позиций,
обобщая в первую очередь достижения вычислительной
математики.

/ Однако для XVI в. был характерен, с другой стороны,
/возросший интерес к древнегреческим математическим сочи-
I нениям, рукописи которых в большом количестве попали в
/ это время в Европу из Византии. Труды классиков перево-
дились на латынь и изучались значительно глубже, чем
раньше.

Европейские ученые вновь столкнулись с логической стро-
I гостью античных теорий, что побудило их обратить внима-
I ние на обоснование понятий, которыми пользовалась совре-
менная им математика. В частности, в сочинениях этого
времени со всей четкостью был поставлен вопрос о содер-
жании понятия числа. Логическую базу для его обоснования,
как и раньше, видели в «Началах» Евклида, а поэтому в
попытках построить единое учение о числе математики XVI в.
продолжали исходить из античного противопоставления чис-
ла и величины. Это чрезвычайно затрудняло развитие теории,
и выход европейские ученые, как раньше восточные, видели
в выявлении аналогии между объектами и методами геомет-
рии и арифметики. Другими словами, продолжая по тради-
ции считать, что между понятиями числа и геометрической
величины лежит пропасть, делали попытки перекинусь через
нее мост. В этой связи необходимо еще раз отметить неуга-
сающий интерес математиков XVI в. к «Началам» Евклида,
появление многочисленных изданий этого сочинения и ком-
ментариев к нему/ Особенно много внимания уделялось и
теперь книге X «Начал».

/ К концу XVI в. уже не только производились операции
/над дробными, иррациональными, отрицательными числами,
но и возникли предпосылки для теоретического расширения
(понятия числа, т. е. для введения в математику понятия дей-
\ствителыюро~чнсла.._7 /

Ниже мы дадим обзор сочинений XVI в., где выясняется
свойственный юму времени /подход к понятию числа. Эти
труды, многие из которых цё привлекали вниманья исследо-
вателей, заслуживают изучения, ибо не только являются
историко-научными документами, содержащими установлен-
ные в XVI в. и впервые зафиксированные в печатном издании
факты, но дают яркое представление о характере математи-
ческого мышления эпох^г. Они наглядно показывают, что
к новой трактовке основных понятий учения о числе мате-
матики подходили чрезвычайно медленно, с трудом преодо-
левая традиции.

'Изучение различных сочинений, в которых трактуются од-
ни и те же вопросы, дает представление о том, как менялось
со временем толкование основных понятий данной теории и
ее изложение. Еще раз подтверждается, что великие откры-
тия в математике не возникают на пустом месте и что, по
словам Б. В. Гнеденко, «успех науки в не меньшей степени
зависит от того, как подготавливаются эти открытия, состав-
ляющие эпоху, повседневным трудом многих сотен ученых
не столь крупного ранга, как постепенно отдельные задачи
приводят к постановке общих проблем и к созданию общих
методов исследования и формированию общих научных кон-
цепций» [48, стр. 11].

§ 14. Итальянские математики XVI в.

Решение кубического уравнения. Стимулом для действитель-
ного возрождения европейской математики, начавшегося в
первой половине XVI в., послужило найденное, итальянскими
учеными общее решение кубического уравнения/ Одновремен-
но это открытие существенно изменило взгляд и на науку о
числе. Так как обстоятельства его достаточно подробно осве-
щены в литературе [31, 72, 100, 107, 111, 162, 192, 251, 300, 477,
479],- мы коснемся их только вкратце, отметив общие выводы
итальянских математиков, касающиеся учения о числе.

Впервые решение _-кубического,_уравнения для ^случая
х3+рх^^Ггде р,-^>0, -нашел болонский профессор Сципион
дель Ферро (8с1рюпе <1е1 Еегго, ум. в 1526 г.) [280], не опуб-
ликовавший, однако, своего открытия. Его метод стал изве-
стен математику по имени Фиоре (Еюге), который после этого
неизученно одерживал победу на публичных диспутах, решая
задачи, сводящиеся к уравнению указанного вида.

В одном из таких состязаний его победил Николо Тар-
талья (\Чсо1о ТаНа^Па, 1500—1557 гг.), выдающийся италь-
янский математик XVI в., который не только самостоятельно
переоткрыл правило Сципиона дель Ферро, но и решил урав-
нение вида х3 = рх + д (р, р>0) Тарталья показал, что если
дано уравнение х*+рх = д (р, #>0), то х = } и — где
и — -V — д, иъ — ) если дано уравнение х3 = рх + <?, то

3 у- 3 у - ( Р ^

х = у и + у V, где и + V = д, иъ = \^\ Другими словами,
была найдена формула (известная теперь как „формула
Кардано41), которая в случае уравнения х*5 -р рх = д имеет
вид

Тарталья все же не сумел преодолеть трудностей, возни-
кающих в так называемом неприводимом случае, т. е. при

\2 / \

2/ \3]

< 0, когда уравнение имеет три действительных
корня, получающихся, однако, как сумма или разность
мнимых чисел.

О своем решении Тарталья сообщил известному милан-
скому ученому, врачу, философу и математику Джироламо
Кардано (Спго1ато — или по-латыни Шегошшо—Сагдапо,
1501 —1576 гг.) по его просьбе. Кардано обещал хранить пра-
вило в тайне, но в 1545 г. нарушил обещание, опубликовав
подробный анализ решения кубических уравнений в;цочин^нии
«Великое искусство алгебраических правил*» (^Агз главна
бе геЬиз а1^еЬга1с1з» [195]) Это вызвало возмущение Тар-
тальи и долгий спор о приоритете, в котором принял участие
ученик Кардано Луиджи Феррари Реггап, 1522—

1565 гг.), решивший уравнение четвертой степени, сведя его
к кубическому [372]; решение Феррари также изложено в упо-
мянутом трактате его учителя. Кроме того, Кардано дал дока-
зательство правила решения кубического уравнения [479]
и нашел зависимость между корнями и коэффициентами квад-
ратного уравнения, известную под названием «правила Вие-
та» [476].

Наука о числе у Н. Тартальи. Основное произведение
Н. Тартальи «Общий трактат о числе и мере» («Оепега! 1га1-
1а1о 61 пишеп е( пизиге» [441]), первые два тома которого вы-
о/ -
Н1ЕКОЫУ=

М I С А К О А Ы I,

р Й /Е ВТ А Ы Т I О I М 1 МАТ НВ :

М А Т I С I» » Й I 4 О 1 О Ц <
асМейй^

АВ.Т18 МАСГЫАВ

В1УЕ РЕ ЯЕСУШ АЕОЕВЙАЛ^
с I > Т < I ШТ Т О Т I V ш о « к о

<1с Ап|Ьо€11С^С|1ШЛ 0 Ш О ?|КН$ ТТЛ
шГогфй мЛ т оЫшс ©о

Г 1 АЫЫ&т ОйЫеЬСо^

1 Ш 1юаш) шэшж ЫШеЖШЛиз> ас 4тогДш»<>тЬш Ш Аойже |
»пиаии1^а(т?Ш?йт емйшк»

ГЫшп^Ы цаш тжн» а!ш^аос цш, цтжгоат^Ы

>*« ш% иЫ ЙЙЙС ехрйсте» Ниж ««1«Ьшт

<^^ег?оис?е4еерЫсиП^р^тт шЫк «ййШб6йп«к^^Ыг11<ехйм1Ш^

.с&ш АшШжжх ?Ь<Ьигс ш кксш ешсо . Сс ^и«Й ш «Ъезст фючйт

«тЫЬш »с! (ре Ат&т* ^рейтоЛ^^Ь*** ^скжгйШГуШ |Л|Шяв

Сфегк 1Ше48 йЬгоз ? атркАашиг»ас т< -

ноге йШЙи ре)4Исаж5ратт ^мй аЬ Ашк^

:й 1сда® 4&|ртш геа>|рйш

Дк

Титульный лист „Аг$ гпадпа" Джироламо Кардано (изд. 1545 г.),
шли в 1556 г.» а третий—в 1560 г., представляет собой превос-
ходный, по словам М. Кантора, учебник арифметики, в кото-
ром можно видеть характерную для XVI в. попытку изложить
учение о числе с самой общей точки зрения. Сочинение напи-
сано в той же традиции, которой веком ранее придерживались
Шюке и Пачоли, и предполагает аналогичную классификацию
й* • ' ' -лаг?

1А 5ЕСОИОА РАИТЕ

>ЖЬ бВМКЯАЬ ТЯАТТАТО Ш
нумВж^ нт мига!, ш шсоьо танг асма.

МШ'Л^ГА^В 1Ж ТХ.Л1,С1 11^Я I ЗИ&0Г1Г1СА
т ЖИ/в«\о.*, кг гл&тж г^дисл

с-регпт? |^гмка^

А'

«&Рара РаЫо Ш1 |ЗЛ$&**
йп&нг Ь 4* VлешД Л -с&т-

1йЬ«?о 4’ V ЯЫ<».

Тя рсг С*МГ(& ТПН.4&? <& * №

М Л ЬК 1.

А|>ргЛ 4<1ГАи«ог<

Титульный лист сочинения „Сенега! 1гаПа(о сИ питег! е! пизиге" Николо
Тартальи с порт| етом автора (изд. 1556 г.)
разделов науки о числе. Однако, сравнивая его с «Суммой»
Пачоли, Кантор отмечает большую ясность и даже известное
изящество изложения Тартальи [192, т. II, стр. 472].

В предисловии автор трактата выражает намерение
написать книгу, в которой рассматривались бы не только
вопросы арифметики, геометрии, учения об отношении
(как рациональном так и иррациональном) и пропор-
циональности, но и великого искусства, называемого
по-арабски «алгеброй и алмукабалой», а по-итальянски —
«ге§о1а (1е11е сова».

Сочинение начинается с определения величин, которые де-
лятся по традиции на непрерывные и дискретные, и с разъ-
яснения различий между ними. Тарталья продолжает при-
держиваться античной установки о противоположности непре-
рывной величины и дискретного количества. Он, как и все
математики его времени, свободно перемножает величины,
что противоречит духу учения Евклида, но требует различать
термины, обозначающие умножение абстрактных чисел (ти1-
ИрИсаге) и геометрических величин (дисеге), критикуя Кам-
пано за смешение этих понятий.

Изучающая числа арифметика является первой из мате-
матических дисциплин и подразделяется на две части: тео-
ретическую и практическую. Первая рассматривает свойства
чисел отвлеченно, и цели ее показаны Евклидом в кни-
гах VII—IX «Начал». Предметом второй являются вычисле-
ния (са1си1аНопе), встречающиеся в торговом искусстве.
Практическая арифметика изложена в первой части со-
чинения, состоящей из 17 глав, где числа рассматриваются
«в аспекте чистой торговой практики».

Говоря о способе записи чисел, Тарталья приводит раз-
личные итальянские термины, применявшиеся для обозначе-
ния нуля: «{ессЬа», «сисо1о», «сИга», «гегго». «пп11а». Далее
он излагает правила действий с целыми числами и дробя-
ми (гл. 7), дает представление о различных денежных, ве-
совых и т. п. единицах и их взаимной зависимости, подробно
разъясняет приемы практических вычислений, в том числе
тройное правило и разные его виды: правила товарищества,
смешения и т. д. В двух последних главах изложено правило
«двойного ложного положения», или, как его называет Тар-
талья, применяя искаженный арабский термин, «ге^о1е Не1-
са1ауш».

Тарталья упоминает многих ранних авторов сочинений по
практической арифметике, в частности, Леонардо Пизанско-
го, Пьетро Борги и Луку Пачоли, особенно часто отмечая
ошибки последнего.

Вторая часть сочинения, где исследуются теоретические
вопросы, начинается с классификации «абстрактных» чисел
по Никомаху и правил суммирования арифметических и гео-
метрических прогрессий. Далее разъясняются действия с ир-
рациональными «глухими» корнями (гасИс! зогШ), способы
приближенного извлечения корней и правила преобразования
иррациональных выражений. С помощью чисел и корней сфор-
мулированы все определения и предложения книги X «Начал»
Евклида и показан их «полезный и необходимый смысл для
общего искусства числа и меры». Рассматриваются правила
сложения, вычитания, умножения и деления биономиалей и
вычетов, сопровождающиеся примерами. Излагается теория
отношений со ссылкой на книги V и VII «Начал» Евклида,
а также на Кампано и Луку Пачоли.

Понятие числа у И. Кардано. Человек сложной биографии,
типичный представитель своей эпохи [65, 187, 374], И. Кардано
является автором многочисленных сочинений по философии,,
медицине и. математике. Последние сыграли, в частности,
важную роль в развитии науки о числе. Остановимся на неко-
торых моментах теории Кардано. >

В трактате «РгасНса агШппеНсае е1 шепзигапсН зш§и1а-
Г18» [194], опубликованном в 1539 г., Кардано дает классифи-
кацию чисел,-включая в- понятие числа не только целое и:
дробь, но и квадратичную иррациональность. Как-специаль-
ный вид чисел он выделяет степени неизвестной, фигурирую-
щие валгебре.

/ Числа, согласно Кардано, бывают четырех видов:

Целыечисла — те, «которые составлены из единиц и
от единицы берут свое начало; они увеличиваются до бес-
конечности, но когда достигают единицы, то далее умень-
шаться не могут; нет никакого числа, меньшего единицы»1).
Единицу, таким образом, Кардано считает числом;

II. Дробные числа «суть те, которые обозначаются двумя
буквами (Ыпаз ШИегаз) и имеют обратное отношение к це-
лым. Так, половиной называется половина единицы и т. д.».

III. Иррациональными- («глухими», зигсИ) числами «назы-
ваются те, относительно которых само по себе нельзя понять,,
что они собой представляют. Называются же глухими пото-
му, что не могут быть услышаны. Их нельзя ни услышать»,
ни представить. Таким является квадратный корень из 7,
обозначающий число, которое будучи умножено на себя,,
даст 7». Таким образом, обосновать понятие иррационально-
го числа строже, чем это было сделано до него, Кардано
не может. Иррациональные числа, в свою очередь, подраз-
деляются на четыре вида:

/Ч)\ абсолютное иррациональное число, например 7;

В издании 1539 г., которым мы пользуемся, листы не нумерованы..
С<;а1ШЛШ ШшсгмеоБ
ыёьш^р&жгпсл ЛЯ1ТН

шеисеД

р»1«1 »*нз$сбйися1иг,т пй
р>&<жа остои&пЫъ

Портрет Джироламо Кардано с титульного листа со-
чинения .РгасНса агИНтеНсае" (изд. 1539 г.).

2) соединенный корень (гасНх Н^аТа), например-
]/9 + )/16 = 7, обозначается через ЬК.9. рК. 16;

3) универсальный корень (гасНх итуегзаНз), под которым
понимается корень из суммы числа и корня, например

7 + рЧ = 3; обозначение: К.У.7 рК.4;

4) раздельный корень (гасНх сН$Нпс1а), например
Уэ'+уТ = 3 + 2, где слагаемые следует не суммировать^
а воспринимать как два различных числа. Обозначение:

К.а 9р К4
ДУ^ДИменованные (бепоттаН) числа, т. е. степени не-
известной, — те, «которые являются числами только при срав-
нении, например корень, квадрат, куб и т. д.». Кардано
приводит названия первых одиннадцати степеней неизвестной,
причем отмечает, что названия седьмой (т. е. х6) сиЬиз сеп-
$из и восьмой (т. е. х7) геШигп зесипбит были даны древ-
ними.

Назвав иррациональные величины числами («по аналогии
с целыми»), Кардано, тем не менее, в главе 44 рассматривает
их чисто геометрически на основе книги X «Начал». Он предпо-
лагает, что читатель знаком с теорией, изложенной в этой кни-
ге, а «практику» приводит в виде примеров («умному доста-
точно одного примера»). Как и у Евклида, вводятся понятия
рациональных и иррациональных линий, но трактуются они
как числа и корни из чисел. Заметив, что, «поскольку число
такого вида является линией, оно имеет те же свойства»,
Кардано, например, делит числа в среднем и крайнем отноше-
нии: «Если* какое-либо число умножить на себя, прибавить
квадрат подовины, извлечь из полученного квадратный корень
и отнять от Ьего половину числа, то оставшееся есть большая
часть числа,!разделенного в среднем и крайнем отношении».

Далее-<с_помощью числовых^ярцациональностей разъясня-
ются предложения книги Х,^а затем на примерах отыскивают-
ся стороны правильных многогранников. Например, «Если дан
диаметр сферы 10, умножь это на себя — будет 100; раздели
пополам — будет 50, а его корень есть сторона октаэд-
ра» и т. д.

Книга X «Начал» обсуждается и в последней главе этого
сочинения, озаглавленной «Об ошибках брата Луки». Кардано
указывает, что Пачоли «ошибался, рассматривая иррацио-
нальные величины сверх десятой [книги] Евклида, так как был
уверен, что всякая иррациональная величина есть медиаль».

Так, «он хотел, чтобы бипомиаль К. 40. р. 3. или подобная
ей была медиальной площадью, что совершенно противоре-
чит Евклиду, так как Евклид говорил, что медиальной яв-
лется только такая площадь, которую можно обозначить кор-
нем простого иррационального числа, например К. 5 или
К. 15». Кардано утверждает, что разъяснил все это в отдель-
ной книге, являющейся «завершением всего искусства», ко-
торую не сумел напечатать ввиду ее слишком большого
объема.

Среди других ошибок Пачоли Кардано указывает на вы-
ражение /80-/48, которого „не может быть в дей-
ствительности, потому что КК. 80 есть приблизительно 3,
а К. 48 — приблизительно 7 Поэтому если возьмем
КК. 80 т. К. 48, то, как сказано, будет 3 т7; если же
понять это в смысле КК. 80 т. К. 48, тогда оно плохо рас-
положено" Другими словами, Пачоли пришел к значению—4
которое, по мнению Кардано, невозможно.

Что касается теории отношений (глава 37), то Кардано
стоит на точке зрения, типичной для XVI в. «Отношение,—
пишет он, — есть некоторая зависимость между двумя одно-
родными величинами, как сказал Евклид. Оно бывает двоя-
ким: отношением равенства и неравенства. Пример первого:
5 к 5 или диагональ к диагонали. Отношения неравенства
бывают двух видов: рациональное и иррациональное. Говорят,
что отношение рациональное, если оно может быть обозначе-
но числом, например 7 к 5. Иррациональное же то, которое
не может быть выражено числом, например диагональ к сто-
роне. Иррациональные отношения бывают двух видов: боль-
шие и меньшие; большее—это, например, диаметр к стороне,
а меньшее.— наоборот».

Таким образом, для иррациональных отношений Кардано
вводит понятия «больше» и «меньше», но трактует их затем
чисто геометрически в соответствии с книгой X «Начал» Евк-
лида. Рациональные отношения, выражаемые «числом», он
классифицирует по Никомаху.

Теория отношений подробно рассматривается и применя-
ется к решению различных физических задач в трактате Кар-
дано «Новое сочинение об отношениях» («Ориз поуит <1е рго-
рогНотЬиз») [196], представляющем, по словам Энестрё-
ма [237, т. IX, стр. 163—164], характерное для Кардано
пестрое собрание старого и нового, полезных и бесполезных
методов. Здесь иррациональное отношение выделено с
помощью следующего определения, у других авторов не
встречавшегося: «Если при Делении знаменателя на чис-
литель получается иррациональная величина (циапШаз
а!о§а), отношение называется иррациональным; если же
целое число или определенная доля числа, то рациональ-
ным («гке(е»)

Далее последовательно разъясняются правила арифмети-
ческих действий над рациональными отношениями, которые в
значительной мере отождествляются с дробями. Затем дается
описание пяти способов приближенного извлечения корней
второй, третьей и п-й степени.

В названном выше трактате «Великое искусство» Кардано
не только излагает известные в его время методы решения
кубического уравнения, но и доказывает правильность общей
формулы на примере х3 + 6х = 20. Доказательство проведено
по существу чисто алгебраически, несмотря на геометриче-
скую иллюстрацию. По ходу рассуждения Кардано приводит
уравнение .к нулю в правой части.
В этом же сочинении Кардано сталкивается с отрицатель-
ными, «ложными» числами, отмечая [195, л. 39 об.], что при-
бавление отрицательного равносильно вычитанию положи-
тельного числа. Кроме того, он впервые рассматривает случай
извлечения квадратного корня из отрицательного числа, при-
дя, таким образом, к понятию мнимой величины [36, стр. 37].

' § 15. Немецкие коссисты

В Германии в XVI в. продолжало развиваться уже сложив-
шееся направление «коссической» алгебры. Коссисты — Ан-
дреас Александр, Христоф Рудольф, Михаэль Штифель, Адам
Ризе, Иоганн Шейбель — занимают видное место в истории
европейской математики. Им принадлежат большие заслуги
в развитии алгебраической символики и в дальнейшей ариф-
метизации учения о величине.

Андреас Александр. Сведений об этом ученом, жившем
в самом начале XVI в., сохранилось мало. Известно [242,461],
что родом он был из Регенсбурга, учился у математика-мона-
ха по имени Аквинус Дакус [192, т. II, стр. 238], в 1502—1504 гг..
преподавал математику в Лейпцигском университете1). Андре-
ас Александр — автор опубликованных в 1504 г. сочинений
«Ма1йегпа1о^шт... зирег поуат е1 уе1егет 1о^1сат Апз1о1е-
118» [461] и «РегзресНуа Лоаптз Р1зат» [339, т. 2, стр. 271—
273]. Младший современник Андреаса Александра Адам Ризе
особо отмечает его заслуги в изучении и усовершенствова-
нии «коссического» искусства, называя его автором двух сочи-
нений на эту тему — одного на латинском, а другого на не-
мецком языке.

О латинской алгебре ничего неизвестно; долгое время не
было сведений и о немецкой, но в 1902 г. М. Курце опубли-
ковал [222] анонимную рукопись под заглавием «В1е А1^еЬга
без 1ш(шз А1^еЬгаз аб У1ет ^еошекат та^1з1гит зиит»,
которая, как предположил Г Энестрём [240], содержит немец-
кую алгебру Андреаса Александра.

Предположение основано на словах Адама Ризе [138,.
стр. 33], который пишет, что книга об алгебре («баз Впей уош
бет бт^») была переведена с арабского языка на греческий
(кпсЫзсй) Архимедом, затем с греческого на латинский —
Апулеем и, наконец, частично на немецкий (ешз 1е11з уег-
беи!з1) «ученым математиком магистром Андреасом Алек-
сандром». То же повторяется и во введении к рукописи, опуб-
ликованной Курце [240, стр. 449].

1 Валлнер [461] сообщил, что с 1504 г. Андреас Александр был про-
фессором в Кёльне, но Энестрём [237, т. X, стр. 345] считает эти сведения
недостоверными.
По словам Ризе, кроме того, Андреас Александр перевел
лишь часть латинского сочинения на немецкий язык; и дей-
ствительно, в рукописи содержатся только три книги из вось-
ми, названных в оглавлении.

Наконец, Ризе говорит о восьми уравнениях, рассмотрен-
ных Андреасом Александром; в рукописи также речь идет о
восьми видах уравнений, причем последнее, приведенное Ризе,
совпадает с восьмым уравнением рукописи, тогда как его
нет ни в одном из других цитированных Ризе сочинений. На
наш взгляд, нет оснований сомневаться в правильности
выводов Г Энестрёма, хотя сам он и не считал их оконча-
тельными.

Упомянутое сочинение представляет немалый интерес. Су-
дя по оглавлению, латинский текст состоял из восьми книг;
в немецком переводе пять опущено (в том числе четвертая
книга «О рациональных и иррациональных отношениях» и пя-
тая— «О биномиалях»). Главы каждой книги начинаются с
латинского текста, после чего идет немецкий перевод и ком-
ментарий. В тексте постоянно фигурируют имена греческих
ученых и мыслителей, причем в самых странных сочетаниях.

Как показал М. Курце [240, стр. 441—443], под именем У1ез
понимается Евклид1), которому адресует данный трактат его
ученик по имени 1пШи8 А1^еЬга. Последний разъясняет учи-
телю, как из геометрических предложений «Начал» можно по-
лучить шесть канонических уравнений алгебры (алгебра в
тексте называется «ОеЬга ипс1 А1тисИаЬо1а»).

Названия степеней неизвестной2), применяемые автором,—
обычные для немецких сочинений XVI в.: х°—йга^та,
х1 — гез, гасНх, х2— хепзиз, х3 — сиЬиз, х4 — хепзиз бе хепзи,
х5 — зигзоИйит, х6 — хепзкиЬиз, х7 — ЫззигзоИбит, х8 —
хепзиз хепзи! с1е хепзе, х9 — сиЬиз с1е сиЬо3).

0 Имеются средневековые рукописи, где говорится, что «ЕисКбез»—
это название сочинения, автором которого был математик ЕНаз.

2) Относительно коссических обозначений степеней см. [36, стр. 31—34].

3) Интерес исследователей вызвало происхождение некоторых из этих

наименований и прежде всего термина «зигзоНбиш» или «зигбезоИбиш»

(у Штнфеля, см. ниже), который применяется для обозначения пятой сте-

пени наряду с итальянским «ргйпо ге!а(о» [246, 248]. Имеется толкование

этого термина (П. Таннери) как «телесной величины невыразимого Ьида»,
связанное со словом «зигбе», т. е. «глухой», что является переводом араб-
сого слова «асамм», применявшегося в восточной математике для обозна-
чения понятия иррациональности. Возникает вопрос о взаимной зависимо-
сти форм «зигзоПбиш» и «зигбезоПбит». Г Энестрём видел во второй из
них искажение первой и поэтому был не согласен с трактовкой Таннери

(см. также [393]).

Указанные термины .применялись не только в XVI в. (Штифель, Рамус,
Клавий, Рекорд, Пелетье), но и в XVII в. (например, Декарт). Иногда
они видоизменялись: «зоКбиз» (Рамус), «зирегзоКбиз» (Пелетье).
Знаки сложения и вычитания ( + У —) применяются, в,
противополжность Видману, систематически.

В следующих за введением шести главах первой книги
дается алгебраическая интерпретация 1—6-го предложений
книги II «Начал» Евклида, а затем излагается' собственно
наука (ЗеЬга ипб А1тис11аЬо1а, написанная якобы «арабом
Алгеброй». Прежде всего разъясняются понятия степеней не-
известной и коссические знаки (гл. 8—16). Затем автор рас-
сматривает восемь типов уравнений, имеющих, в современных^
обозначениях вид:

I. ахя = 6хл+1, л = 0, 8;

II. ахя = 6хл+2, л = 0, 7;

III. аХя = 6хл+3, п — 0, 6;

IV. ахя = дхя+\ й»0,..,5;

V. ахл = $хл+1 + схя+2, п = 0,

VI. дхя+1 = ахл + схя+2, п = 0,
VII. схл+2 - ахя 4- Ьхя+\ /г = 0,
VIII. ахй = Дхя+2 + гхя+4'

*хл+2 = ахп + гхл+4 /г = 0,

7г

гхл+4 = ахя + Ьхя+2

ахл - Ьхя+3 4- схл+6

Ьхя+3 = ахп 4- схл+6

схл+6 = ах" 4- ^хл+3

п = 0, ... 3;

ахя = Ьхя+* 4- схл+8

Ьхп+* = ахя+ схя+8 /1 = 0,1.

схя+4 = ахя 4- *хп+4

Хотя каждый раз рассматривается лишь несколько кон-
кретных значений и, рассуждения носят общий характер.
Среди сочинений восточных авторов сходные случаи встре-
чались в трактате «ал-Фахри» ал-Караджи [481].

В следующих главах (18—25) даются решения указанных
уравнений:

а
В случае VIII степени х2, х3, х4 полагаются искомыми неиз-
вестными и уравнения сводятся к одному из рассмотренных
видов.

Во второй книге, озаглавленной «О прибавляемых и вы-
читаемых величинах», разъясняются правила действий с по-
ложительными и отрицательными числами. Существенно, что
хотя в заглавии и иногда в тексте по традиции, ведущей на-
чало от Диофанта, говорится о «прибавляемых» (асШйае)
и «вычитаемых» ((Кппшйае) величинах, автор рассматривает
их как числа и зачастую называет «положительными и отри-
цательными числами» (аГПгшаНуеп ипд пе^аНуеп ХаЫеп)

В связи с применением знаков «плюс» и «минус» ставится
также вопрос [240, стр. 499] о сущности биномиалей и выче-
тов и утверждается, что они, являясь «абсолютными иррацио-
нальными числами» (аЬзо1иН питеп зигсН), находятся, од-
нако, в потенции (1п зс!т\уеп§епс1ег тиНег), и для того, что-
бы они проявились, их следует рассматривать в уравнении.

Приводятся правила сложения и вычитания положитель-
ных и отрицательных величин (так, при сложении вычетов
5х2— 6х3, 9х2 — 4х3 нужно складывать отдельно положи-
тельные и отрицательные члены, и тогда общий результат
есть 14 х2 — Юх3).

Рассматриваются различные случаи умножения двучлен-
ных выражений, например (2х — 2х3) (2 — 5х) =4x4-Юх4 —
— 4х3— Юх2.

В общем виде приводится правило знаков при умножении,
выраженное в таблице [240, стр. 509], причем учитываются все
возможные комбинации. Здесь мы встречаем отдельно взятое
отрицательное число, имеющее специальное обозначение.

Действие деления одного многочленного выражения на
другое автор считает невозможным.

Третья книга, озглавленная «О соизмеримых рациональ-
ных числах, а также об иррациональных», подразделена на
три «трактата». В первом дано правило извлечения корней,
которое рассматривается как обратное по отношению к пра-
вилу возведения в степень бинома (х-ь*/)л; подробно говорит-
ся о случаях п=1,...9, причем рассуждения сопровождаются
числовыми примерами. Для этих случаев приводится табли-
ца биномиальных коэффициентов [240, стр. 542]. Указано,
однако, что для больших показателей извлечения корня удоб-
нее производить с помощью последовательных извлечений
корней второй и третьей степени.

Второй трактат содержит учение о целых числах. В гла-
ве 1 излагается правило нахождения простых сомножителей
данного числа, на которое обратил внимание Г Энестрём
[237, т. VIII, стр. 212]. Пусть ^ = п2 + а, где а<2п+1. Нужно
/22-2 —/ ч гл о \

исследовать, являются ли числа т (где т = 1,2,3) це-

лыми; в этом случае п — пг есть сомножитель ТУ.

М и2 + а п2 — т? + т? а
тельно, -------=-------—-----------1---!—

’ п — т п -— т

Действи-
т2 4- а
п — т'

п — т

В главе 2 разъясняется различие между величинами, ра-
циональными в длине и в степени. Дается правило нахож-
дения общего наибольшего делителя чисел. Решается задача,
имеющая китайское происхождение: «Найти число, которое,
будучи разделено на 7, 8, 9, 11, дает в остатке соответственно
5, 7, 6, 0» (глава 4). Далее изучаются совершенные, четно-
четные, четно-нечетные, нечетно-четные, избыточные и недо-
статочные числа (главы 5—6); излагается тройное правило,
в основе которого лежит учение о пропорции (главы 7—9),
а также другое популярное практическое правило (глава 10),
носившее название ге§и1а уи§тит или г(е§и1а соес1з [53, 429].

В третьем трактате описаны действия с иррациональными
числами. Следует снова подчеркнуть, что иррациональное чис-
ло (питегиз зигдиз, (Не игаНопаНзсйе га1) рассматривается
как объект арифметики и определяется как «число, которое не
может быть выражено отношением двух рациональных чи-
сел> (\\те1сйег ха! кйет ргорогЫз! &е^еп дег апдегит а!з
до та§ зет ет гаНопаНзсйе ха1 дедеп дег апдегп) [240,
стр. 574]. В дальнейшем постоянно говорится не об «ирра-
циональной величине», а об «иррациональном числе». В со-
ответствии с книгой X «Начал» исследуются «числа, ирра-

циональные в длине, но рациональные в степени», и «числа,
иррациональные и в длине, и в степени» (или «медиальные
числа») Далее предлагаются правила действий с иррацио-
нальными корнями и прежде всего правило «сложения не-
соизмеримых в длине чисел», которое в современной записи

выглядит так:

л п г—
у а у Ь —

У (а + *) + /( к^пап~хЬ + (А2)пап-у +

+ У(Лл-1)''а6

п-1
где Ар /?2, Лл_1 — биномиальные коэффициенты (аналогич-
п / п Г — \

но для случая у а — У оу Например,

/3 + /5 = У 8+/60.

Формулируются и разъясняются примерами правила:

п п г— п г—- т Гп г-^ п Г т

у а - у Ь — у аЬ-, у у аЬ = у у аЬ ;

___ п .— п /

Приближенное извлечение корня производится либо по
формуле

V а =у }/ аЬп,

либо, что чрезвычайно примечательно, по формуле

Г ^ап 1 + к2ап~2 + к3ап 3+ + кп_га + \ ’

которую ранее мы встречали лишь в арабских источниках.

На этом кончается часть сочинения, переведенная и про-
комментированная немецким математиком. К сожалению,
сохранился только отрывок латинского текста четвертой кни-
ги «О биномиалях и вычетах, а также обо всех иррациональ-
ных числах, которых существует тринадцать» (240, стр. 607—
609]. Книга представляла собой, очевидно, систематическое
изложение книги X «Начал» с помощью алгебраических поня-
тий. Отрывок содержит лишь начало, где воспроизведена
евклидова классификация иррациональностей.

Поскольку многое свидетельствует о том, что сочинение
написано не под итальянским влиянием, можно думать о его
арабском происхождении. Возможно, что, действительно, как
указывает автор, трактат был переведен на латинский язык
с греческого в конце XV в. и имеет своим оригиналом неиз-
вестный арабский трактат, получивший распространение в
Византии — Турции (прообразом его, однако, служила не
«Алгебра» ал-Хорезми [105] и не «Ал-Мухаммадия» ал-Куш-
чи, следовавшего традиции ал-Хорезми [82]). В пользу та-
кого предположения свидетельствует упомянутое правило
приближенного извлечния корня п-й степени, ранее в Евро-
пе не встречающееся.
Вопрос этот заслуживает дальнейшего исследования на
материале византийских источников.

Генрих Грамматеус. Генрих Шрейбер (8сИге1Ьег) из Эр-
фурта, известный под именем Грамматеуса (6гатта1еиз)
[293, 299, 446], является одним из первых немецких алгебраи-
стов. По отзывам современников [138, стр. 10], он был обра-
зованным математиком и астрономом, хорошо знакомым
с «Началами» Евклида.

В вышедшем в 1518 г. учебнике «Еуп кйпзШсИ Ьекепс! ипб
§еш1зз КесйепЬйскИп уИ а11е КаиИтапзскаШ. Ыасй Оетеу-
пеп Кеде1п Не 1ге. АМе1зсИеп ргасНс. Ке^е1п 1а1з1, ЕШсИеп Не-
де1п Со88... ВисИИаИеп... У181ег Ри1Иеп хи таскеп», он наряду
с другими вопросами практической арифметики кратко изло-
жил правила решения уравнений. Грамматеус собирался на-
писать большое сочинение по алгебре, но осуществить это
намерение, по словам Ризе, помешали его усиленные занятия
астрономией [138, стр. 10].

Грамматеус оказал немалое влияние не только на немец-
ких математиков. Об этом свидетельствует опубликованное в
Антверпене в 1537 и переиздававшееся в 1544, 1545, 1548 гг.
сочинение по арифметике и алгебре голландского коссиста
Жиля ван дер Хёке (СИе1з уап бег Ноеске [237, т. VII.стр. 211]).

Адам Ризе. Знаменитый «вычислитель» (КесЬепте181ег)
Адам Ризе (К1езе, или Шез) родился в 1492 г. в Штасель-
штейне, около Бамберга, получил образование, очевидно, в
Эрфуртском университете и большую часть жизни прожил
в Аннаберге, преподавая математику; умер он в 1559 г. Славу
Ризе принесли три учебника арифметики (изданы в 1518,
1525, 1550, 1579 гг.), в которых излагались правила «счета на
линиях», доступного и для людей, не умеющих писать, а так-
же разъяснялись различные приемы практической арифмети-
ки [392].

Около 1524 г. Ризе закончил сочинение по алгебре («В1е
Созз») оставшееся неопубликованным; рукопись обнаружил
в 1855 г. в Мариенбурге Б. Берлет и опубликовал ее текст
вместе с исследованием о творчестве Ризе [138]. Жизнь и тру-
ды Ризе изучались и другими историками математики, в том
числе П. Трейтлейном [446], Ф. Дейбнером [226] и К. Фоге-
лем [456].

Во введении к «Алгебре» Ризе называет среди своих
предшественников, помимо Генриха Грамматеуса и Андреаса
Александра, Ганса Бернекера (Напз Вегпескег) из Лейпцига
и Ганса Конрада (Напз Сопгаб) из Эйслебена и Аннаберга,
как первых, кто серьезно занялся изучением алгебры. Ганс
Бернекер предложил ряд примеров, которые Ризе воспроиз-
водит в своем сочинении. Относительно Ганса Конрада ему
известна сумма, которую уплатил этот математик названное
Прижизненный портрет Адама Ризе (из книги В. Вег-

101 „Адат К1е8е“, Ее1р21$, 1892).

му выше монаху Аквинусу Дакусу за решение алгебраической
задачи («еупет 8сИ\уаг1геп титей ргесН^ег огбепз, ч7е1сйег
адшпаз &епап1 ууагН 1 П ^еЬепп» [138, стр. 30]).

Ризе старается сформулировать правила алгебраических
действий понятными словами, упрекая других авторов в не-
ясности изложения и в пристрастии к латинскому языку,
ь связи с чем «редкий мог у них что-нибудь понять». Он огра-
ничивается решением уравнений первой и второй степени, для
которых приводит многочисленные примеры, взятые, главным
образом, из практической жизни.

«Алгебра» показывает, что ее автор был не только прак-
тиком-вычислителем, но и образованным математиком.
По словам П. Трейтлейна, Ризе «задолго до Штифеля и Кар-
дано и не зная Рудольфа, выполнил свою задачу, предпола-
гавшую не совсем обычный объем математических знаний»
[446, стр. 14].

Причиной, по которой сочинение Ризе не увидело света,
был, по всей видимости, недостаток в средствах для его опуб-
ликования [226]. Около 1550, дД^зе переработал «Алгебру»,
сославшись и на сочинения^ ;«^пщ^нные с 1524 г. другими
авторами. Однако и вторая, $едаад#я осталась неопублико-
ванной.
Христоф Рудольф и Михаэль Штифель. О Рудольфе
(СИг18(оГ КидоШ), авторе сочинения, сыгравшего важную
роль в истории алгебры, сведений не сохранилось. Имеются
указания на то, что родом он был из Явора в Силезии, рабо-
тал в Вене, умер до 1544 г. [237, т. VIII, стр. 204—205].

Алгебра Рудольфа была издана в 1525 г. в Страсбурге
под заглавием «ВеИепд ипс! НиЬзсИ КесИпип^ (ЗигсЬ сПе кип-
з1ге1с11еп ге^е1п А1^еЬге зо ^ете1кПс11 сНе Созз ^епепп! \уег-
с!еп... В посвящении Рудольф обещает издать свое сочинение
и на латинском языке; этого намерения, однако, он не осу-
ществил (правда, Г Энестрём [237, т. VIII, стр. 204—205]
упоминает неисследованные рукописи латинской алгебры,
возможно, принадлежащей Рудольфу).

Очень скоро книга, получившая всеобщее признание, ста-
ла редкостью, что побудило Михаэля Штифеля предпринять
новое издание. Сочинение Рудольфа было опубликовано во
второй раз с комментариями Штифеля в 1553 г. в Кенигсбер-
ге и носило теперь название: «Б1е Созз СЬпз^оНз КийоШз тИ
зскбпеп Ехетре1п с!ег Козз дигск М1сИае1 8Ше1 ^еЬеззег! ипс!
зекг ^етекг!» [419].

Михаэль Штифель (М1сЬ. 8Ше1) [104, 187, 192, 294, 319,
320] — один из крупнейших математиков XVI в.— родился
в 1486 г. в Эслинге. В ранней молодости он вступил в авгу-
стинский монашеский орден, но после появления учения Лю-
тера стал его ярым приверженцем и вынужден был около
1521 г. бежать из монастыря. С этого времени Штифель вел
проповедь нового вероучения, занимая духовные должности
в различных районах Германии. Умер он в 1567 г. в Йене.

Интерес к математике, особенно к числовой мистике, про-
явился у Штифеля еще в монастыре. Позже он занялся серь-
езным изучением «Начал» Евклида в обработках Кампано
и Замберти, а также трудов Рудольфа, Ризе, Кардано и дру-
гих европейских авторов.

В 1544 г. было опубликовано сочинение Штифеля «Обоб-
щенная арифметика» («АгШппеНса т!е§га»), в 1545 г.—
«Немецкая арифметика» («Веи^зсИе агШипеНса»), излагающая
практические вычислительные правила, в 1546 г. — «Вычисли-
тельная книга по вельской и немецкой практике» («КесЬеп-
ЬисИ уоп (Зег \уе18сИеп ипд деи1зскеп Рг]асНк»), а в 1553 г.
вышла в свет его обработка «Алгебры» Рудольфа.

Остановимся прежде всего на последнем сочинении [419].
Благодаря тому, что Рудольф так ясно и точно изложил по-
немецки «удивительное и совершенно философское искусство
вычисления, названное Созз», сам Штифель, по его словам,
постиг это искусство без затруднений; теперь же, ввиду ред-
кости сочинения Рудольфа, мшмщф просили его взяться за но-
вое издание. После подробного оглавления дан совет начи-
де Ы|ф Ш
доу1г Ш5«*п Стук ЗЭа «11
ЫГФН**4>1 ЭШсадгЫеа/
лшг (ШАш анМ'п м-м'кйЙШ
|Ь$а<гП<гипв $«**

ЫеФцИ»п&«

ХХтйпкг 5ф|» ли ЫеХедсЫш СИМ<««
ш (Ъп^егЬсу® сЛсге/ иш шй »»Ь »тпфаку
р^т&ДОфФь

0*гп1гс2гИМв1&иг113/шй1

»пъаееу1есш $оф(арйН. Юма
ретеупетТИдепфтоЬадйп^сп^к»’ 1«И*
^цтлкгп/Злдат/вмрффюш/ ЙМгфЙсй
««/ХХш^кхп/^лЬргодгс&ихм.

^Пипипнп

Хетг еш 1«Ь< $й1 (фгсукп <шГб (риф*
«I Ьигф |феп (флет / Ьое» пеап |м* Ьеьшй
кф.<йв»I ♦ а»?• <♦$♦ 4»>*8»9«щй>Ы<у&
ЬепЪс »пЬ&ийф. »♦ ииилде«йпгЛ^в*йИа«
шф1»/(ФПМ'п тфт&а мНхзд ь.$сигте/ им
(кркпПмдфу«&|» € $

А___± —

Страница из книги Христофа Рудольфа „Косс* в обработ-
ке Михаэля Штифеля (изд. 1553 г.).

нающему, в каком порядке следует читать книгу: поскольку
наибольшую трудность представляют «глухие и биномиаль-
ные числа» (8игсН$сИеп ипб ВшогтнзсИеп ха1еп), то тракту-
ющие их разделы нужно изучать в самом конце.

Изложив правила арифметических действий (лл. 1—5 об.),
Рудольф пишет, что он не продолжает объяснений, так как
«об этих вещах можно узнать в любом обычном учебнике
арифметики», и переходит к арифметической и геометрической
прогрессиям, рассматривая их на числовых примерах.

В добавлении Штифеля говорится, что Рудольф положил
учение о прогрессиях в основу своей алгебры и поступил пра-
вильно, ибо «коссическое искусство настолько целиком и пол-
ностью основывается на прогрессиях, что по справедливости
может быть описано как исчисление с помощью геометриче-
ской прогрессии». Далее указаны области, где находят при-
менение прогрессии,, и, в частности, теория фигурных чисел
(со ссылкой на Боэция и Иордана Неморария).

При объяснении происхождения названия «геометрическая
прогрессия» сделано интересное замечание, в котором мож-
но видеть первую попытку ввести понятие многомерного про-
странства. Поскольку геометрически можно интерпретировать
только четыре первых члена прогрессии, то каждую гео-
метрическую прогрессию можно считать соответствующей
арифметической, единицу — точке, первое число — линии, вто-
рое число — четырехугольной плоской фигуре, третье число —
кубическому телу. Далее, «поскольку, однако, мы находимся
в области арифметики, где нам позволено придумывать
много вещей, которые иначе не имеют совсем никакого обра-
за, то позволено и то, что недопустимо в геометрии. А имен-
но, что мы предполагаем телесные линии и. поверхности
(сбгрегИсЬе Игпее ипб зирегйаез) и выходим, за пределы
куба, как если бы существовало больше трех измерений, что,
однако, противно природе» (л. 9).

Подход Штифеля к понятию дроби выясняется из его до-
полнения к главе 2: «Как -у гульдена есть третья часть од-
ного гульдена, так и есть часть одной единственной едини-
цы. Поэтому справедливо спрашивают и обсуждают, поче-
му единица подразделяется, тогда как древние и новые
мастера... говорят, что единица неделима, и на этой основе...
строят всю теоретическую арифметику. Здесь следует дать
короткий простой ответ. Такое подразделение единицы долж-
но быть разрешено вычислителями ввиду большой пользы,
которую из этого имеют» (л. 22). Тогда, — разъясняет Шти-
фель, — можно получить алгоритм всех дробных чисел, воз-
никающий благодаря «таким придуманным долям единицы»
и являющийся «прекрасной основой» для построения «всех
алгоритмов всех дробных чисел, безразлично, являются они
глухими или биномиальными, или являются вычтенными
(Ке$1с1ш$с11) или иррациональными, как их можно назвать
по-иному» (л. 22).

Таким образом, не считая дробь истинным числом, Шти-
фель, тем не менее, полагает полезным и необходимым поль-
зоваться ею и в теоретических рассуждениях.
Далее излагаются «тройное правило», правила извлече-
ния корней, вводятся понятие «коссических чисел» и их'
обозначения, формулируется правило знаков и т. д. Затем
обсуждаются иррациональные числа и правила действий
с ними.

Согласно определению Рудольфа, «глухим числом (пите-
гп8 зиМиз) называется число, из которого нельзя извлечь
корень и, тем более, нельзя такой корень выразить»
(л. 85 об.). Вводятся обозначения для корней, объясняются
правила действий с ними и с выражениями, содержащими
иррациональность в знаменателе.

В главах о биномиалях и вычетах приведены определе-
ния Рудольфа (л. 112): биномиаль — это „двуименное число
(гчм!паИпи§ 2а0, которое имеет такой знак: „ + “, например,
5 + У7, У8 + У6, УТ2 + 3 и т. д. Аналогично определя-
ется вычет как „число двойного наименования, связанное
знаком „ —" Далее приводится несколько примеров для
объяснения правил сложения и вычитания этих „чисел"

Штифель, желая «показать, как Евклид рассуждал о би-
номиалях и вычетах и какой вывод делал из этого», рас-
сматривает вопрос подробнее, «чтобы и немецкий читатель
имел представление об этом вопросе, который в прежние
времена считался самым трудным во всем Евклиде» (л. 118).
Прежде всего он определяет шесть видов биномиалей, пони-
мая под биномиалью «число, одна часть которого есть обычное
число (например, 3, 4, 5 и т. д.), а другая часть — глухое
число, обозначенное V» (л. 118 об.). У первой биномиали
«большая часть рациональная, а меньшая глухая», (напри-
мер, 12+ Уб); у второй „большая часть глухая, а меньшая
рациональная" (например, У120 +б); у третьей „обе части
являются глухими числами" (например, У12 + Уб ).

«Итак, — заключает Штифель, — каждый простой вычис-
литель тоже может легко понять, что у Евклида является
биномиалью или не биномиалью, вычетом или не вычетом»
(л. 119).

В дополнении к главе, содержащей правило извлечения
корня из биномиалей, Штифель замечает, что «эта глава ко-
роткая, но очень важная, так как если не умеешь извлекать
квадратный корень из биномиалей и вычетов, то невозможно
понять десятую книгу Евклида». Он подробно разъясняет
евклидову классификацию, пользуясь арифметическими тер-
минами: «Евклид вводит тринадцать линий. Ты йонимаешь,
таким образом, что это — тринадцать глухих чисел, которые,
будучи причислены к линиям, дают линиям названия. Мы
будем здесь (по праву) называть их не линиями, а глухими
числами, но согласно тем видам, о которых учит Евклид»
(л. 121 об.).
В последующей главе речь идет о «пяти видах отноше-
ний»; Штифель добавляет рассуждение об «общем алгоритме
отношения» и учит «сложению, вычитанию, умножению и де-
лению отношений», называя это «удивительным делом»
(хуипбегЬагПсЬ сКп^).

Второй раздел сочинения Рудольфа представляет собой
руководство к решению уравнений, снабженное многочислен-
ными примерами.

Таким образом, подход Рудольфа и особенно Штифеля к
понятию числа оказывается значительно более общим, чем у
ранних авторов: дробь и иррациональное число они (хотя и
со значительными оговорками) прямо называют «числами»,
причем делают попытку дать теоретическое обоснование та-
кой точки зрения.

Еще более четко Штифель излагает свои взгляды в зна-
менитой «Обобщенной арифметике» («АгШптеИса 1п(е§га»).
Сочинение1) состоит из трех книг: I — «О рациональных чис-
лах», II — «Об иррациональных числах», III — «Об алгебре».
Такое подразделение обусловлено подходом Штифеля к трак-
товке понятия числа. Исходя из представления о неделимости
единицы, он рассматривал два основных вида чисел — «истин-
ные» (пшпеп уег1) и «ложные» (пшпеп ПсН). К «истинным»
он относил рациональные числа, подразделяя их па абстракт-
ные (аЬ$1гас<л) и именованные (соп1гасН или бепотшаН).
К «ложным» были отнесены иррациональные числа, которые
он называл также «подобием чисел» ({ша^шез питегогшп);
они подразделялись на абсолютные (аЬзо1иН) и коссические
(СО881С1). Это был принципиально важный шаг в истории уче-
ния о числе, окончательно разрушивший античное противопо-
ставление числа величине.

Книга I содержит учение о рациональных числах; она под-
разделяется на практическую (главы 1 и 10) и теоретическую
(главы 2—9) арифметику.

Практической арифметике, которая позднее стала пред-
метом отдельного сочинения Штифеля, здесь отведено срав-
нительно мало места: изложены способы изображения чисел,
разъясняются арифметические действия с целыми числами
и дробями (включая удвоение, раздвоение и прогрессии), и
несколько практических правил. Штифель приводит способ
деления, который у Луки Пачоли назван «галерой» из-за фи-
гуры, в которую располагаются цифры при вычислении.
Из практических правил дается, в частности, тройное прави-
ло (Ке^е! бе (п).

Значительно больше внимания уделено теоретической
арифметике, которая рассматривает «сущность и виды абст-

Ссылки даны по изданию 1594 г. [4201-
рактных чисел». Они подразделяются на четйо-нечеТные, чет-
но-четные и четно-нечетно-четные; каждый из этих видов ил-
люстрируется, соответственно, прогрессией:

1) арифметической 6, 10, 14, 18,

2) геометрической 4, 8, 16, 32,

3) 12, 20, 24, 28, 36,..., три первых члена которой образуют
обратную гармоническую.

К четно-нечетно-четным числам относятся, в частности,
совершенные числа, относительно которых Штифель утверж-
дает, что все они, за исключением 6, являются кратными 4.

В книге II рассматриваются иррациональные числа.

Вначале Штифель сообщает, что между математиками
происходит спор о том, являются ли эти числа истинными
или ложными, и, ссылаясь на геометрическое доказательство,
утверждает, что если рациональные числа мы считаем «ре-
альными, точными», то, рассматривая иррациональные, при-
ходим к противоположному утверждению и «отрицаем,
что иррациональные числа являются числами» (л. 103). Он
утверждает, что нельзя назвать истинным число, не имею-
щее определенного отношения ни к одному истинному чис-
лу, и говорит: «Отношение иррационального числа к рацио-
нальному не менее неточно, чем отношение бесконечного к
конечному» (л. 103).

Далее Штифель доказывает свое утверждение: если бы ир-
рациональное число было истинным числом, то оно было бы
либо целым, либо дробным. Легко видеть, что целым оно быть
не может. Действительно, «любое иррациональное число попа-
дает между какими-нибудь ближайшими целыми числами. Так,
]Лб_ попадает между 2 и 3, а 1/Г10, )/11, )/12, ]Л13, ]/Т4 ,
]/15 попадают между 3 и 4 и т. д. Но достаточно известно,
что между двумя ближайшими целыми числами не попада-
ет никакое целое число44 (л. 103 обл.

В то же время иррациональное число не может быть дроб-
ным, ибо «невозможно, чтобы при умножении дробного числа
на себя получилось целое число, а при умножении иррацио-
нального числа на себя может получиться Целое число: так
уТГ на себя в квадрате производит 6, на себя в кубе про-
изводит бит. д.» (л. 103 об.) Предложение о том, что дробь
при умножении на себя не может дать целого числа, доказано
следующим образом: «Если знаменатель не делится на чис-
литель, то тем более квадрат знаменателя не делится на квад-
рат числителя. Таким же образом и тем более куб знамена-
теля не делится на куб числителя, чтобы получилось целое
число. Отсюда, как никакое целое число при умножении на
себя не может произвести дробного числа, так и никакое
дробное число при умножении на себя не может произвести
целого числа» (л. 103 об.). Кроме того, «любое дроб*
ное число имеет определенное отношение к любому це-
лому числу, а никакое иррациональное число не имеет опре-
деленного отношения ни к какому числу — ни к целому, ни
к дробному» (л. 103 об.).

Таким образом, иррациональное число не может быть ни
целым, ни дробным. В то же время между двумя ближайши-
ми целыми числами находится бесконечно много как дробей,
так и иррациональных чисел.

Глава 2, названная: «Что думал Евклид об иррациональ-
ных числах», начинается с утверждения, что «Евклид в пятом
предложении своей десятой книги совершенно отрицал, что
иррациональные числа являются числами» (л. 103 об.).
Сформулировав это предложение («Две соизмеримые вели-
чины относятся, как число к числу. Следовательно, две не-
соизмеримые величины относятся не как число к числу»), Шти-
фель иллюстрирует его примерами (У24:Уб =4:2, но
У24: У8 = У12 :2) и говорит: „Поэтому Кампано, который
разбирался в Евклиде, утверждал, что одиннадцатое пред-
ложение второй книги Евклида не может быть доказано с
помощью чисел" (л. 104 об.). В то же время он видит, что
Евклид широко применял эти „образы чисел", особенно в
книге X.

Определения книги X «Начал» Евклида, которая, по словам
Штифеля, касается «общей трактовки иррациональных чи-
сел», разъясняются в следующей главе. Если при делении од-
ного из данных иррациональных чисел на другое получится
рациональное число, они соизмеримы. Здесь, в частности,
рассматриваются числовые примеры соизмеримых (]/216
УбОО, У24) и несоизмеримых (У 18, >/"162 ) величин и
приводится геометрическая иллюстрация последнего приме-
ра (см. рисунок на стр. 156): даны отрезки АВ и ВО, на
которых строятся квадраты СРОВ и АВ№М; пусть эти
квадраты измеряются одним квадратом Е, причем СРОВ —
= 18/:, АВКМ = §Е. Из чертежа понятно, что квадраты
СРОВ и ВОН1 и их стороны (У18 и У162) несоизме-
римы.

Далее дана классификация иррациональных чисел, кото-
рая существенно отлична от классификации Евклида. Шти-
фель различает прежде всего главные (ргшс1ра1е8) и второ-
степенные (плоив ргшс1ра1е8) виды абстрактных иррацио-
нальных чисел.

Главные виды:

1) простые иррациональные числа — «медиали», которые
Штифель определяет как «глухие корни из рациональных
.чисел», относя к ним не только корни с показателем 2Л,
как у Евклида, но иррациональные корни произвольной
степени; этот вид подразделяется на бесконечно много
видов: квадратные медиали, т. е. квадратные корни
из рациональных чисел; кубические медиали, т. е. кубичес-
кие корни из рациональных чисел; квадратно-квадрат-
ные медиали; медиали пятой степени, медиали шестой
степени и т. д.;

2) составные иррациональные числа: бимедиали — числа,
полученные от сложения двух медиальных чисел одного вида
(например, >02 + ]/8, т/”12 + У^б, 1/28 + ?О2); биномиа-
ли — числа, полученные от сложения медиального числа
с рациональным или двух медиальных чисел различного
вида (например, )/12 + 12, У 12 + 12);

3) иррациональные числа, являющиеся корнями из со-
ставных (зрешез гасКсаИит сотрот(огит), например,
У у 12 + /Те

4) составные иррациональные числа, полученные вычита-
нием, относительно которых «Евклид доказал, что они во всем
подобны полученным сложением»: «бимедиальные вычеты —
числа, полученные при вычитании медиалей одного вида (на-
пример, ]/12 — ]/б, -/24 —у/ 18); биномиальные вычеты —
числа, полученные при вычитании медиального и рацио-
нального числа или двух медиальных чисел различного
вида (12 - /140, У200 - 12, /12 -1^60, |Т2 - У&);

5) радикальные числа от полученных при вычитании
^например, К/12-/8, Уб—Уб, УУ12-2
У60 -1^20 ).

Второстепенные виды, широко применяемые в алгебре:

1) иррациональные числа, полученные при сложении:
тримедиали (например, У24 + ]/12 + )/8 ), квадримедиали
(например, /л24 + у/ 8 + У 5 4-У 2), триномиали ( например,
12 + ]/12 + ]/ 12), квадриномиали (например, 200 +
4- 5/Юбб + ^/То + 7У2 );

2) иррациональные числа, полученные при вычитании:
тримедиальные вычеты (например, 1^24 — }/8 — Уб ) ,
квадримедиальные вычеты (например, уОО — У 17 — 1^8 —
— 1/2), триномиальные вычеты (например, >г20 — /^20 —

ЙЫ 1ш* г * Л тсийгз

Г^тшПй *|ш4шйт^ а »Д фЫгаЫл^ > йцсЦш
фма «»тшш Втошт йжс Л<Айй»ЬЫте
мйт фшйшт* < , рЫЛ & ций мз л^ь «м4т«хйт
ш*и* птм ^да^йе гшжшш ^мштВт < йЬт <Ь»
*ш*ш$ фжйошт т>Ш*йсй ^<Лежтйн&ей<Й^х
Ьйшшяшыш ен^оа^тЫф^^^ Л &скш йсш
и а!шч ^ч.сш₽Ь§шм > Ым «<<^й *ра^ <ж

6сШ

Страница из „АгНЬтеНса 1п1ерга“ Михаэля Штифеля (изд.

1594 г.).

5 Лпгч \

— у 20 1, квадриномиальные вычеты

-1/7-1^2);

(например, 16 — |/ 18—

3) иррациональные числа, полученные с помощью как
сложения, так и вычитания (например, ^/бО + ТЛЮ—8,
6 + 1/28-^/ТО- к 14-5);

4) иррациональные числа, полученные при извлечении
какого-либо корня из числа, относящегося к одно-
му из указанных видов (например, V ]/20 + 4 + 3/6
V/20 - 4 -, V8 + 3/10 - V 200 );

5) всякое другое иррациональное число будет относиться
к одному из четырех предыдущих видов.

Таким образом, Штифель значительно расширил класси-
фикацию Евклида, охватив радикальные выражения любого
вида, но, естественно, потерял при этом то глубокое внутрен-
нее содержание, которое отличает книгу X «Начал».

В этом разделе он разъяснил также применение знаков
«плюс» и «минус»: «Когда складываются два несоизмеримых
или два других, отношение которых неизвестно (как это бы-
вает с коссическими числами), тогда между слагаемыми мы
ставим знак « + » и говорим, что составленное таким образом
есть сложенное. Таким образом, знак « + » называется зна-
ком сложения (з^пит адсШогит). Подобным образом мы
называем знак «—» знаком вычитания (з1§пит зиЫгас1огит),
потому что если хотим отнять какое-либо число от несоизмери-
мого с ним или от такого, отношение которого к вычитаемо-
му неизвестно, тогда применяется этот знак» (л. НО).

В главе 5 Штифель рассматривает классификацию ир-
рациональных величин, данную Евклидом в книге X «Начал»,
и сравнивает ее со своей классификацией.

В следующих (6—7) главах разъяснены правила дей-
ствий с медиальными иррациональными числами, описанны-
ми выше, и особенно — с теми медиалями, «которых не ка-
сался Евклид», т. е. корней произвольной степени.

Иоганн Шейбель. Иоганн Шейбель (ЛоЬапп 8сНеуЬе1,
8сНеуЫ, или Лоаппез 8сЬеуЬеНиз), видный математик XVI в.
родился в 1494 г. в Кирхгейме, близ Штутгарта; учился в Ве-
не, Лейпциге и Тюбингене, где получил степень магистра и
затем преподавал в течение долгих лет геометрию, арифме-
тику и «Евклида». Умер там же в 1570 г., завещав рукописи
и астрономические инструменты университету.

Шейбель написал несколько сочинений по математике,
главным образом, учебников. Обзор некоторых из них дал в
1796 г. А. Кестнер [339], но основательно творчество Шейбеля
было изучено лишь в конце XIX в. Г Штайгмюллером [413]
и отчасти П. Трейтлейном [446].

В 1545 г. в Лейпциге вышло арифметическое сочинение
Шейбеля «Ое питепз е1 сИуегз1з гаНотЬиз зеи ге^иИз
сотриШюпит оризси1ит».

В отличие от других авторов учебников арифметики, Шей-
бель не просто сообщает правила действий, но излагает пред-
мет, который является для него «искусством и наукой», как
в научном трактате, и пытается дать представление о его об-
щих методах. Как сочинение научного содержания, оно напи-
сано Шейбелем на латинском языке, однако, существовало и
в немецком переводе [339, т. I, стр. 104]. Мы остановимся
несколько подробнее на другой книге Шейбеля, которая на-
зывается «ЕисИсНз Ме§агеп818, РИПозорЫ е( МаИзеглаНс!,
8ех ПЬп рпогез, бе Сеоте1пс18 рппарЦз» и представляет
собой характерное для XVI в. издание I—VI книг «Начал»,
где геометрическая теория разъясняется с помощью алгебры.
Напечатана она в 1550 г. в Базеле [403]. Чтобы получить воз-
можность последовательно применять этот метод, Шейбель
предпосылает «Началам» раздел с «кратким описанием пра-
вил алгебры». Изобретение алгебры он приписывает Дио-
фанту.

Ряд степеней неизвестной, или «именованных чисел», со-
поставляется с рядом натуральных чисел; вводятся «косси-
ческие» обозначения, разъясняются действия сложения, вы-
читания, умножения и деления целых и дробных выражений;
дается правило знаков, причем Шейбель применяет термины
«положительный» (аШгтаНуиз) и «отрицательный» (пе^аП-
уиз) для знаков «плюс» и «минус». Рассматриваются уравне-
ния и задачи, приводящиеся к ним.

Далее следует раздел о «глухих» числах, бинсмиалях и
вычетах, в котором можно наблюдать еще более последова-
тельную арифметизацию учения о величинах, чем у Штифеля.

«Глухие» или «иррациональные» числа определяются, как
числа, «корни которых нельзя выразить точным числом»
[403, стр. 35]. Другими словами, он говорит не о «глухом»
корне, а о «глухом» подкоренном выражении и этим нару-
шает традицию. «Глухими считаются числа 3, 17, 21, 346*
и т. д.». __

Правило сложения двух иррациональных чисел ]/# +
+ УЪ = а + Ь + 2 УаЪ основано, как говорит автор, на
4-м предложении книги II „Начал44.

В разделе «Алгоритм биномиалей и вычетов» (стр. 45—55)
даются определения такого типа: «Биномиаль, или линия из
двух имен, как ее определил Евклид в 36-м предложении
десятой книги, есть иррациональная линия, составленная из
двух рациональных, соизмеримых только в степени, взятых
в одном направлении; например, 4 + /7 , /12 + 3, )/27+
+ ]/15, 4 + ]/8, У'12 + 2, У27 + ]/18. Шейбель, таким
образом, говорит о „линиях44, имея в виду иррациональные
корни. Он утверждает, что „рассмотрение биномиалей и
вычетов не представляет трудностей, так как все правила
операций с ними описаны выше44.

Формулируются правила сложения, вычитания, умноже-
ния и деления биномиалей и вычетов, сопровождающиеся чис-
ловыми примерами. Дается классификация биномиалей, пред-
ставленная в таблице [403, стр. 50]. Словесно выражено
основное правило («сапоп ^епегаПз») извлечения квадратно-
го корня из биномиалей и вычетов: если Д>В, то
1? ;ГТв = |/^+ |/±Е? ± |/

Проверка, как ранее у арабских авторов [82, стр. 199 —
213], производится последовательным возведением резуль-
тата в квадрат. Кроме того, Шейбель указывает и дру-
гой — алгебраический путь (ср., например, с трактатом ал-
Ахвази [82, стр. 205-208]): |//А± у В = 1/х У у рав-
носильно системе х-Уу=УА, ху = решение которой
получается из пропорции х:^~ = ^: (ул—х).

Многочисленные задачи иллюстрируют описанные прави-
ла (например, ищутся гипотенуза и катет треугольника, дру-
гой катет которого 8 — /32, а сумма гипотенузы и иско-
мого катета 16— /128).

Затем Шейбель переходит к изложению. «Начал», сопро-
вождая каждое предложение примерами с рациональными и
иррациональными числами. Иногда приводится греческий
текст. По словам Шейбеля, перевод сделан им самим.

Во введении к книге V [403, стр. 225] разъясняются основ-
ные понятия общей теории отношений и дается никомахова
классификация числовых отношений.

Шейбель говорит о «знаменований» отношения, имея
в виду при этом выражение рационального отношения дробью.
Так, рассматривая три числа: 9, 24, 64, он называет «знаме-
пованием, или отношением первого ко второму» дробь

а „знаменованием, или отношением первого к третьему*
дробь При этом, так как = то = т. е. яв-
ляется двойным отношением.

Во введении к книге VI [403, стр. 267] изложено учение
о составном отношении. Даны следующие определения: «Го-
ворится, что отношение составляется из отношений, когда
величины отношений, то есть знаменования, будучи перемно-
жены, образуют отношение. Говорят, что то отношение со-
ставлено из отношений, которое получено из знаменований
этих отношений. Величинами же, то есть знаменованиями от-
ношений называется то, чем знаменуются или именуются
отношения». В качестве примера приводятся отношения 8:4
и 4:2, имеющие «знаменование» 2. Отношение 8:2 имеет
АЬСЕВВАЕ
СОМРЕЫЙ 05 А
Мсш 5&уь йнсщг
л 4^йтцадгта§оа
АтЬтмЪ^

&йгшй Т4^^р

г*«$:мг^

^ршЮЫЫ тот Сжйад Ршр® 13 ю
сГа4«ЖЙС:о1|ф11 > ъ,

I | |

С ГМ мнаьсио

ВмЖг;:г< : <^д2 « •>::••-Ух^ &221 ':Ж

Титульный лист „Алгебры" Иоганна Шейбеля (изд.

1552 г.).

«знаменование» 4 и составлено из отношений 8:4 и 4:2.

Таким образом, Шейбель выражает «количество» отно-
шения (рационального) числом и операцию составления от-
ношений сводит к перемножению соответствующих чисел.
Этот важный результат остался не отмеченным исследовате-
лями творчества Шейбеля.

Алгебраический раздел рассмотренной книги Шейбеля был
издан отдельно в 1552 г. в Париже [404].

Третье сочинение Шейбеля [339, т. I, стр. 104—108], пред-
ставляющее интерес для истории учения о числе, вышло в
1558 г. на немецком языке («Ваз 81Ьепс1 асЫ ипд пеип! ЬисЬ,
дез ЬосЬЬегитЫеп Ма(ЬетаНс1 ЕисИШз Ме§агепз1з...»).
В нем излагаются книги VII—IX «Начал» Евклида, которые,
по словам автора, содержат «причину, основу и фундамент
операций и правил всякого обычного счета». Шейбель говорит
в заглавии, что он перевел эти книги с латинского (вероятно,
с текста Кампано) и сопроводил их примерами, имея в виду,
чтобы они «каждому обыкновенному вычислителю стали лег-
ко понятны и могли принести пользу».

Все предложения сопровождаются числовыми примерами,
по доказаны не всегда (хотя отмечено, что многие вычисли-
тели не удовлетворяются простыми словами, а требуют до-
казательства). Обычно применявшиеся практические правила
Шейбель выводит как следствия из предложений «Начал».
Так, «тройного правила» у Евклида нет, но ввиду его боль-
шой пользы оно приводится и обосновывается 23-м предло-
жением книги VI.

В заключение Шейбель обещает вычислителям изложить
и книгу X «Начал», в которой, как и в других книгах Евкли-
да, следует видеть обоснование «коссического правила, как
его называют, или алгебры».

Гемма Фризий. Среди ученых, на которых оказал влия-
ние Штифель, следует назвать голландского математика Гем-
му Фризия (Оетта Рпзшз, 1508—1555 гг.), известного
трудами по картографии, космографии и об астрономических
инструментах [382]. На полях экземпляра «Обобщенной
арифметики» Штифеля он написал комментарии к этому
сочинению [166, 170], где пытался доказать правило знаков
при умножении и уделил много внимания теории уравне-
ний. Поняв важность сопоставления арифметической и гео-
метрической прогрессий, он заметил: «Интересное рассуж-
дение».

Гемма Фризий составил также учебник по практиче-
ской арифметике «Легкий метод арифметической практики»
(«АгШзтеНсае ргасНсае теШобиз ГасШз»), опубликованный
в Париже с комментариями Пелетье (см. ниже) в 1551 г
и переизданный в 1553 и 1556 гг.1). Он представляет собой
типичный пример сочинений такого рода.

Трактат состоит из четырех частей. В первой излагаются
правила операций с целыми числами, в том числе четыре спо-
соба деления; при этом особенно подчеркивается значение
прогрессий. Относительно действий удвоения и раздвоения
автор говорит, что их не следует рассматривать как отдель-
ные арифметические операции, ибо в таком случае нужно вы-
делить и действия умножения и деления на 3, 4 и т. д.

9 В использованном нами экземпляре из Библиотеки АН СССР стро-
ки с указанием года издания оторваны [289].
Во второй части излагается теория дробей — приведение
дробей к общему знаменателю, сложение, вычитание, умно-
жение и деление. Отдельно формулируются прямое и обрат-
ное тройное правило для дробей.

Третья часть содержит практические вычислительные пра-
вила, а также способы приближенного извлечения квадрат-
ных и кубических корней. В конце [289, лл. 54 об.— 47 об.}
кратко сообщаются «правила кос, или алгебры». Таким обра-
зом, алгебра рассматривается здесь как раздел практической
арифметики.

В четвертой части трактата изложена теория числовых от-
ношений, а в приложении — правила действий над 60-ричными
или, как их называли, астрономическими или физическими
дробями [289, лл. 64—76].

§16. Французские математики

Сочинения по алгебре французских ученых XVI в. в проти-
воположность трудам их итальянских и немецких современ-
ников, долго не вызывали особого интереса историков мате-
матики. А Босман [168, 171], Г. Энестрём [237, т. VI, стр. 409—
410], Г Вертгейм [472] впервые показали, что эти сочинения,
несомненно, заслуживают внимания и что великий математик
Ф. Виет (см. ниже) имел среди соотечественников не одного
предшественника.

Ниже дается обзор работ ученых XVI в., стремившихся
выработать общие принципы науки о числе, включающей как
арифметику, так и алгебру.

Рамус и Шонер. Пьер де ла-Раме (Р1егге де 1а Наглее),
известный под латинизированным именем Рамуса (Ре1гиз
Нашив), стоит в ряду наиболее замечательных личностей
XVI в. [187, 188, 192, 400, 402]. Он родился в 1515 г. близ
Суассона в обедневшей аристократической семье. Поступив
в услужение к богатому студенту, Рамус по его записям лек-
ций изучил латинский и греческий языки и философию. Впо-
следствии он получил также глубокие познания в матема-
тике. В течение долгих лет Рамус — «блестящий оратор, глу-
бокий философ, остроумный математик» [187] — занимался
преподавательской деятельностью, принимая в то же время
активное участие в научных и религиозных спорах. Он тре-
бовал освободить науку от гнетущего авторитета Аристоте-
ля, выдвинув лозунг: «Все, что сказал Аристотель, ошибочно»,
и тем самым приобрел многочисленных врагов в ученой среде.
Вынужденный уехать за границу после начала гражданской
войны во Франции, Рамус побывал в Базеле, Гейдельберге
[188], Франкфурте-на-Майне, Нюрнберге и других городах.
Прижизненный портрет Питера Рамуса (из книги Ст. 8аг(оп
„$1х В1оот1п^(оп, 1957).

В 1570 г. он вернулся в Париж и, будучи гугенотом, погиб в
Варфоломеевскую ночь.

Наряду с трудами по философии, грамматике и логике, Ра-
мус написал несколько сочинений по математике. Среди
них «Тридцать одна книга математических бесед» («8сИо1агиш
таП1ешаНсагит ИЬп ипиз е! 1п§1п(а», Базель, 1959 г.) [385].

В математических науках, как и в философии, Рамус стре-
мился к низвержению древних авторитетов, препятствующих,
по его мнению движению вперед. Так, в названном сочинении
он приветствует Коперника и высказывает пожелание, чтобы
в астрономии отказались от старых гипотез и старались ос-
новываться на фактах и вычислениях [385, стр. 47]. Здесь же
он обрушивается с резкой критикой на Евклида: выражая
точку зрения практиков, он считает* что не следует давать
определения прежде, чем в них появится нужда, что неверно
предпосылать геометрию арифметике и что десятая книга
«Начал» не может сравниться ни с одним сочинением по не-
ясности и ненужности [385, стр. 152].

Эти идеи он положил и в основу другого сочинения:
«Арифметики две книги, геометрии — двадцать семь» («Ап 111-
гпеБсае ИЬг1 био: §еоше1г1ае 8ер1еш е( у1§1пН», Базель,
1569 г. [384]. Рамус начинает с предложений теоретической
арифметики, затем излагает теорию дробей и уделяет особое
внимание учению об отношениях и пропорциях. Геометрия
носит у него чисто прикладной характер, основные предложе-
ния иллюстрируются числовыми примерами: большой раздел
отведен практическим измерениям. Общие теоремы о вели-
чинах приводятся во вводной главе геометрической части кни-
ги. Геометрию Рамус определяет как «искусство хорошо изме-
рять» и дает краткий исторический очерк ее развития. Далее,
ссылаясь на определения Аристотеля, он рассматривает не-
прерывные величины, являющиеся предметом геометрии, их
соизмеримость, несоизмеримость, рациональность, иррацио-
нальность. Рациональными Рамус называет такие величины,
«отношение которых выразимо числом данной меры».

Излагая предложения Евклида, Рамус опускает книгу X
«Начал» и не касается теории квадратичных иррациональ-
ностей даже в разделе о правильных многогранниках, где
все доказательства основаны на этой теории. Тем самым
он еще раз проявляет отрицательное отношение к отвлеченным
рассуждениям в математике.

Третье сочинение Рамуса «Арифметики две книги и алгеб-
ры— столько же» («АгИЬтеНсез ИЬг1 био, е( А1^еЬгае 1оН-
бет») впервые появилось в 1586 г.1) в обработке его учени-
ка Л. Шонера (Ьазагиз Зсйопегиз) В первой книге (о «про-
стой» арифметике) рассматривается способ обозначения
чисел, разъясняются арифметические действия с целыми чис-
лами, определяются четные, нечетные, взаимно простые чис-
ла; даются правила нахождения общего наибольшего дели-
теля и общего наименьшего кратного. В комментариях
к каждой теореме сделаны ссылки на соответствующие пред-
ложения Евклида. Излагая теорию дробей, Рамус определяет
евклидовы понятия «доли» и «долей», а затем говорит, что
«при делении меньшего на большее частное будет меньше
единицы, и оно называется дробью или долей, величина ко-
торой находится этим делением». Таким образом, понятия
дроби и доли сливаются у него в одно понятие.

]) Мы пользовались изданием 1592 г. [386]. У М. Кантора это издание
названо первым [192, т. II, стр. 562—563] ошибочно, на что указал
Г Энестрём [237, т. XIII, стр. 71].
РЕТК1 К.АМ1

АК1ТНМЕТ1СЕЗ Ы-

ВЯ1 »ио, ет Аьсевкл то-
гМстгаЕдхлко $сното
степени & ехрП-
саи.

Е]и]%ет $ с н ао к I ИЬп Ам: л1пг»
Ле ^йте^^игаш>айег^Уе I.

Ари4 Ьеге<3е$ Апскеаг Х’У'ссЬеП,

СЬшйшт Магпшт & 1оап. ДиЬйиап,

М Л хсп.

С«т^.

Т итульный лист .Арифметики" Питера Рамуса в обработке
Л. Шонера (изд. 1о92 г.).
Интерес для истории европейской математики представля-
ет заметка о происхождении алгебры. Г Энестрём счита-
ет [261}, что, если узнать, откуда почерпнуты эти данные,
можно было бы уточнить вопрос об источниках алгебры
XVI в. Он предполагает, что Рамус пользовался либо рас-
смотренным выше сочинением Андреаса Александра, либо ле-
жащим в его основе неизвестным нам трактатом, о котором
говорилось выше.

Вторая часть сочинения (о «сравнительной арифмети-
ке») — это изложение теории величин и, в частности, теории
отношений, которая предполагается основой всех правил
практической арифметики.

С точки зрения истории учения о числе небезынтересно
дополнение Шонера к этому сочинению Рамуса; М. Кантор
[192, т. II, стр. 562—563], на наш взгляд, пренебрегает им
не совсем заслуженно (ем. также [237, т. VII, стр. 91—92]).
В трактате Шонера мож#о видеть одну из сделанных
в XVI в. попыток объединить различные разделы ариф-
метики и алгебры и построить на некоторой строгой
основе единое учение о рациональном и иррациональном
числе.

В первом разделе дополнения рассматриваются «фигур-
ные» числа. При этом, однако, понимаются не пифагорейские
фигурные числа, а числа, состоящие из нескольких равных
сомножителей, т. е. степени целых и дробных чисел; сомно-
жители называются «сторонами» фигурного числа. Отноше-
ние двух таких чисел оказывается «составленным» из отно-
шений их сторон. Исходя из этого геометрического опреде-
ления, Шонер обосновывает понятие иррационального корня
как «невыразимой» стороны числа, а затем излагает правила
вычислений с ними*

Формулируется несколько общих поедложений относи-
тельно фигурных чисел, например: «При делении плоского
числа на одну его сторону получается другая сторона». Чис-
ло, имеющее две равные стороны, называется квадратным,
а его стороны — корнями, которые обозначаются буквой /.
Сторона может быть либо «выразимой» (ехрИсаЬЛе), либо
«невыразимой» (техрИсаЬПе) в зависимости от того, можно
выразить числом ее отношение к единице или нет. Шонер
замечает, что по-арабски квадратное число называется
«гепзиз» и разъясняет методы приближенного извлечения
квадратного корня.

Относительно иррационального корня, т. е. «невырази-
мой» стороны неквадратного числа вида тп автор говорит,
что она может быть найдена как среднее геометрическое
между тип. Например, «поскольку нельзя выразить сторо-
ну квадрата 40, которая обозначается I 40, то она опреде-
ляется из -Непрерывной пропорции 4. /40. 10» [386, стр. 247],
т. е. 4: /40 = /40:10.

Далее исследуются «кубические» числа и дается правило
приближенного извлечения кубического корня.

Затем Шонер переходит к «остальным фигурным числам»,
т. е. составленным больше, чем из трех равных сомножителей,
и пользуется при этом, как ранее Штифель, представлением
о многомерных телесных фигурах. Он говорит, что если в гео-
метрии нельзя говорить о четырех или более измерениях,
то в арифметике с успехом применяются такие понятия, пред-
ставляющие собой «скорее ложные, чем истинные, видоизме-
нения геометрических объектов» [386, стр. 271]. Так, пятая
степень определяется как «телесное, второе из следующих
после куба». Этим он объясняет смысл названия «зигдезоП-
<1ит» для пятой степени неизвестной, которое, по его словам,
«ведет происхождение от арабов» [386, стр. 273].

Вторая часть сочинения Шонера посвящена 60-ричным
дробям.

Интересно отметить, что при изложении теоремы о со-
ставных отношениях Шонер ссылается на латинский перевод
трактата Сабита ибн Корры «Пе П^ига зес1оге».

Ж. Пелетье. Жак Пелетье или, в латинской транскрипции,
Пелетариус (Ре1еНег, Ре1е1агшз, 1517—1582 гг.)—математик
и врач, широко образованный представитель французских гу-
манистов XVI в., литератор-лингвист, сделавший попытку
преобразовать грамматику родного языка, весьма известный
в свое время поэт, автор переводов творений Гомера, Вир-
гилия, Петрарки; его собственные стихотворные произведе-
ния, вышедшие в 1547 г. и переизданные в 1904 г. [378], дают
прекрасный образец французской поэзии эпохи Возрождения.

Пелетье изучал математику, философию, право, а позднее
медицину, работал в Ле Мане, Париже, Пуатье, Лионе, Бор-
до. Этот разносторонний ученый, жизнь которого была полна
случайностей и приключений, оставался прежде всего мате-
матиком. Об этом говорит и одно из его лирических стихо-
творений, озаглавленное: «Тем, кто порицает математику»
[378, стр. 104—105].

Среди его трудов — комментированное издание шести пер-
вых книг «Начал» Евклида (Лион, 1557 г.), сочинение о прак-
тической арифметике (1563 г.), несколько геометрических
трактатов: «О равенстве прямоугольных и криволинейных уг-
лов» (1559 г.), «О касании линий и о двух линиях, лежащих
в одной плоскости, не параллельных и не пересекающихся»
(1563 г.) и другие.

Мы остановимся на его алгебраическом трактате, который
в 1554 г. был издан в Лионе на французском языке («1/А1-
§ёЬге, дерагНе еп беих Иугез»), а в 1560 г.— в Париже на ла-
тинском («1асоЫ Ре1е1аги Сепошаш, ае оссиИа раг1е пите-
гогит, диат А1деЬгат уосап!, ПЬп дио»); впоследствии
сочинение многократно переиздавалось (1604, 1609„

1622 гг. и т. д.) О

«Алгебра» Пелетье привлекла внимание историков мате-
матики только в конце XIX в. Ее упоминал Трейтлейн [446]
и исследовали А. Босман [171] и Г Энестрём [237, т. VII,
стр. 389; 249].

Книга написана под сильным влиянием Кардано, Шти-
феля и Шейбеля, на которых автор неоднократно ссылается.
Он упоминает Пачоли и Рудольфа, а из древних — Диофан-
та, ал-Хорезми («МасЬотеН Мо818 АгаЫз Шшз), а также
легендарного арабского ученого Гебра, которого в XVI в. ча-
сто считали, наряду с двумя предыдущими, основоположни-
ком науки алгебры, названной, якобы, его именем.

Сочинение состоит из двух книг. В первой даются прави-
ла алгебраического исчисления и излагается теория уравне-
ний с одной и многими неизвестными. Вначале (гл. 1)
определяются «созданные числа» (питеп сгеаН), применяе-
мые в алгебре, т. е. степени неизвестной. Обозначаются они
так же, как у Штифеля. Исходя из того, что виды этих чисел
«правильно выражаются» всякой геометрической прогресси-
ей, начинающейся с единицы, автор, как и Штифель, сопо-
ставляет арифметическую и геометрическую прогрессии
(гл. 2), а затем вводит обозначения чисел, применяемые в ал
гебре, и дает их классификацию (гл. 3—4). Помимо «абсо-
лютных чисел», которые рассматриваются «сами по себе без
знака» и применяются в арифметике, он выделяет: 1) «зна-
менованные» (с!епотта1о$) или «коссические» числа,
т. е. степени неизвестной, 2) «иррациональные», обычно на-
зываемые «глухими», 3) «знаменованные иррациональные»,
в которых «абсолютное число является средним между дву-
мя знаками, например квадратный корень из 8 кубов». При-
водятся операции с числами этих видов.

Во второй книге рассматриваются «иррациональные» чис-
ла. Она начинается общим определением: «Иррациональные
числа — это корни из рациональных чисел, которые не име-
ют истинного корня, например, (т. е. у 2 ). Иррациональ-
ными называются такие, которые к абсолютным не имеют ни-
какого отношения». Обычно их название зигсН Пелетье объ-
ясняет тем, что «нельзя понять, каковы они ни по величине,
ни по качеству».

Далее (гл. 2) подробно обсуждается, являются ли ирра-
циональные числа числами. Повторяя, что они не имеют ни-

9 В нашем распоряжении имеется только первое латинское издание
[377]. Французское издание 1554 г. подробно описал Босман [171].
1АСОВ1 РЕЬЕТАКП

СЕП0МЛК1. РЕ 0ССЕ1.ТЛ

М»’Г1 НУМЕ*ОМУМ* л©
1мяпеш СфЦмнт&ди Лгскй-
<гит31.^Рптм,

РЯЛГАТ1О.

“ У1с1сгсгйтйшрш-
1о акшз тесЬипшг*
СареПапс поп уй
Ыпнпй сиадатрГГ
сфкпагит тпепйо*
п*т тЬии пг: ГеИ ;1»
Ьгит Гетта поп Й
с» ооат уйшшв
т яштй пойш тЛ-
еа*агдие сх ^пкЫм
«ум» Мет Ша хигпа т поЪв ехспа^сотти*
ш фо<Д |еЫо йг^егс а$пойипг.Ма$пат ге
го т гсЬш сопшшегйатДсп гетрогат ГЪг-
шпаках Ги» уИЬш тгагетуЬеиаеет-рго--
йгцусфй р‘гх(ат рикЫсцй» роттшг
* »1

Страница из „Бе оссика райе питегогит* Жака Пе-
летье (изд. 1560 г.).

чего общего с абсолютными числами, автор говорит, что «мы,
однако, не считаем их просто ничем», и отмечает «необходи-
мость их применения». Он приходит к выводу, что сущность
этих «невыразимых» чисел в том, «что они не имеют приро-
ды дискретных величин, но являются только их тенью», и, не
находясь среди чисел, объединены условным названием «ир-
рациональных чисел». Пелетье дает классификацию (гл. 3)
этих чисел, сжато повторяя соответствующий раздел сочине-
ния Штифеля. и рассматривает правила действий над ними,
иллюстрируемые многочисленными примерами. Наиболее ин*
тересно изложение преобразования триномиалей (гл. 23).
Пелетье, очевидно, независимо от Пачоли, сочинения кото-
рого он не знал [237, т. VI, стр. 402], предложил правило
уничтожения иррациональности в знаменателе для выраже-
ний вида

Уь +ус + уа

Рассматриваются также некоторые задачи диофантова
анализа.

Заслуживает внимания рассуждение о том, что если в
уравнении аохл = Д1Хл“1 + а2хл-2 + + ап (где а0, аь..., ^по-
ложительны) удовлетворяется условие а0>а1-Ьа2+ +ал, то
положительный корень х<1. Хотя речь идет о частном случае
х3 = ах2 + Ь, рассуждение является общим [237, т. VII, стр. 389].

У Пелетье впервые встречается доказанное впоследствии
Виетом утверждение о том, что произведение корней уравне-
ния равно его свободному члену (хотя только для частного
случая [249]). Вслед за Штифелем он дает примеры извлече-
ния корня из алгебраического полинома. Нужно также отме-
тить, что у него встречаются примеры (лл. 10 и 58), где в од-
ной стороне уравнения стоит «0 или ничто».

В заключительном разделе латинской «Алгебры» Пелетье
высказывается по поводу установленного Бутео (см. ниже)
авторства Евклида в доказательствах предложений «Начал».
Соглашаясь, что эти доказательства не принадлежат Теону,
он отмечает, что, по словам Прокла, многое было доказано до
Евклида Теэтетом и Евдоксом. Поэтому неизвестно точно, что
принадлежит Евклиду, и можно с уверенностью приписать
ему лишь упорядочение материала.

И. Бутео. Французский математик Жан Борель Бутеон
(Леап Вогте! Ви1еоп, 1492—1572 гг.), имя которого более из-
вестно в латинской форме—Бутео (ЛоИаппез Ви1ео) написал
ряд геометрических сочинений, в том числе «О квадратуре
круга» («Пе циадга^ига сисиИ», 1559 г.), где впервые пока-
зано, что Евклид, а не Теон был автором доказательств пред-
ложений «Начал» [192, т. II, стр. 519].

Бутео принадлежит также трактат по арифметике и ал-
гебре «Логистика, которая также обычно называется ариф-
метикой, подразделенная на пять книг» («Ьо^тзНса циае
е! АгИЬтеНса уи1^о сНсКиг т ИЬгоз цитцие Ш^ез^а»), издан-
ный в 1559 г. в Лионе. Подробно это сочинение исследовал
Г Вертгейм в 1901 г. [472], и на его статье основан нижесле-
дующий обзор.

Сочинение состоит из пяти книг. В первой автор указывает
на различие между арифметикой теоретической и практиче-
ской (логистикой) и приводит сведения по истории последней,
упоминая Архимеда — в связи с его трактатом об исчислении
песчинок — и арабов, стараниями которых это искусство не
постигла судьба других сочинений древних авторов.

Переходя к изложению предмета, Бутео разъясняет вна-
чале правила пальцевого счета, а затем — способ изображе-
ния чисел с помощью девяти знаков и правила арифметиче-
ских действий. Умножение и деление проверяются девяткой,
правило же проверки семеркой из-за его большей сложности
только упомянуто. Здесь же суммируются ряды четных и не-
четных чисел, а также геометрическая прогрессия со знаме-
нателем 2.

Во второй книге описаны действия с дробями, правила
бинома и два способа приближенного извлечения квадратного
корня. Первый состоит в применении формулы

У а2 + г со а + ~г-

второй повторяет метод Шюке (см. выше), но заимствован
из обработки его сочинения Этьенном де ля-Рош. С по-
мощью этого метода Бутео получил ряд последовательных
приближений для ]/13:

3-1 </15<з|.

3^-<у13<3у, з|<У13< 3

Кубический корень извлекается по формуле

Зя2 -|- Зл

а? + г ~ о +

Бутео определяет первую цифру корня, а следующие из-за
трудоемкости процесса советует находить с помощью таблиц.

Далее речь идет о теории составных отношений, на кото-
рой основывается разъяснение правил одного и двух лож-
ных положений.

Третья книга посвящена алгебре. О нахождении неизве-
стной Бутео говорит как об определении стороны квадрата,
прямоугольника, куба, называет степени неизвестной соот-
ветственно терминами «линия», «квадрат», «куб» и изобра-
жает их не с помощью знаков, применявшихся немецкими
коссистами, а вводя собственные обозначения (знаки для х2
и х3 представляют собой графическое изображение квадрата
и куба). Применяет он также знаки Р и М для действий сло-
жения и вычитания.

Бутео излагает теорию уравнений первой и второй степе-
ни. Чтобы облегчить усвоение, правила решения он дает,
подобно Пачоли, в стихотворной форме. При рассмотрении
уравнения х2 + Ь = ах указаны два корня.

В четвертой книге решаются разнообразные задачи без
помощи алгебры, с применением тройного правила, правила
«ложного положения» и т. д.

Пятая книга содержит примеры решения уравнений пер-
вой и второй степеней.

Следует отметить, что Бутео осуждал отход от античных
позиций в вопросе о числе и величине, упрекая Штифеля за
изложение теории иррациональных чисел в отдельной книге.

Г. Госселен. Сочинение Госселена (ОиШапш ОоззеИп)
по алгебре «О великом искусстве или о скрытом разделе чисел,
которое обычно называется алгеброй и алму^абалой («Эе аг-
16 та^па зеи де оссиИе раг(е питегогит, диае е1 А1^еЬга,
е( А1тисаЬа1а уи1^о сИзИиг, НЬп диалог»), было опублико-
вано в Париже в 1577 г.; здесь в последний раз арабский тер-
мин «а!тисаЬа1а» встречается в заглавии европейской кни-
ги [368, стр. 53]. Сведений об авторе не сохранилось.
В 1578 г. в Париже была издана «Арифметика» Тартальи
в обработке Госселена (подробное описание дано А. Кестне-
ром [339, стр. 197—200]).

Названный трактат был исследован в 1906 г. А. Босма-
ном [168].

Сочинение состоит из четырех книг и написано под влия-
нием Кардано, Штифеля и Пелетье. Вместо знаков «плюс» и
«минус» применяются буквы Р и М; последовательные степе-
ни неизвестной обозначаются буквами Ь, С<), С, и т. д.
Например, уравнение 12х — х2+48=\44— 24х + 2х2 у него
записано как 12ГМ1(^Р48 аециаКа 144М24ГР2С2.

Первая книга, состоящая из 17 глав, содержит определе-
ния главных понятий учения о числе и теоретические поло-
жения, на которых оно основано. Так, определяются понятия
величины, числового и нечислового отношений, излагаются
правила действий над числовыми отношениями, дается опре-
деление алгебры, как науки, имеющей целью нахождение
неизвестной величины с помощью уравнений.

Во второй книге изложены правила действий с иррацио-
нальными величинами, а далее рассматривается теория урав-
нений.

§ 17. Английская математика. Роберт Рекорд

Роберт Рекорд (Ресогде, 1510—1558 гг.), придворный врач,
был, по словам Кэджори, «утренней звездой английской мате-
матической литературы» [184] и первым ученым Англии —
сторонником теории Коперника [204].
Наибольшей популярностью пользовались два учебника
Рекорда по математике, написанные по-английски в форме
беседы учителя с учеником. Первое — «Тйе Огоипд оГ Аг-
1е$» — посвящено арифметике. Изданное впервые около
1540 г., оно выдержало в XVI в. более десяти изданий и в те-
чение 150 лет служило школьным учебником.

Второе сочинение «ШЬе181опе о! АУШе» было опубликова-
но в 1558 г. Очевидно, оно не переиздавалось и является сей-
час библиографической редкостью. В 1901 г. Г Энестрём
указал на необходимость подробного изучения этого тракта-
та [238], ив 1912 г. Л. Карпинский дал его обзор [335). В со-
чинении излагаются основы алгебры по образцу Кардано,
Шейбеля и Штифеля, на которых Рекорд ссылается.

Первый раздел содержит теоретическую арифметику —
теорию числовых пропорций (по Боэцию) и фигурных чисел,
причем наибольшее внимание уделено вопросам, которые рас-
сматривал Штифель.

Изложение алгебры на английском языке потребовало раз-
работки новой терминологии, которая у Рекорда носит следы
явного влияния немецкой. Так, степени неизвестной он назы-
вает со881ке потЬгез. От слова «со88», по всей вероятности,
произошло и название трактата: оно звучит сходно с латин-
ским «со8» — точильный камень (по-английски \уйе181опе).

Как и Штифель, пятую степень неизвестной Рекорд назы-
вает «8игс1е8оИс1е8» и замечает: «Я не могу сообщить пра-
вильную этимологию этого названия, за исключением того,
что оно названо, как если бы было телесным над телесным»
[335, стр. 225]. Высказывание интересно в связи с обсуждав-
шейся выше трактовкой этого термина как одного из пер-
вых понятий многомерного пространства.

В следующих разделах Рекорд приводит правила прибли-
женного извлечения квадратных и кубических корней и
излагает теорию уравнений, следуя Штифелю.

Большое значение для дальнейшей истории алгебраической
символики имел введенный Рекордом знак равенства « = ».

§ 18. Учение о числе в конце XVI в.

Остановимся на трудах математиков, работавших на рубеже
XVI и XVII вв. В их сочинениях был подведен итог развития
учения о числе в XVI в.

Христофор Клавий. Христофор Клавий (Сйпз^орИог С1ау1-
и$, 1537—1612 гг.), первоначально Шлюссель,—уроженец Бам-
берга, работал в Риме, где преподавал математику в колле-
гии ордена иезуитов, членом которого состоял [192, 400]. Друг
Галилея [228], разносторонний ученый, сделавший заметный
вклад в тригонометрию, геометрию, алгебру и астрономию
XVI в., он известен также участием в реформе календаря,
предпринятой папой Григорием XIII. К сожалению, историки
математики не уделили Клавию той доли внимания, которую
он заслужил, если учесть значение его трудов как учебников,
широко распространенных в XVI—XVII вв. О популярности
Клавия среди современников говорит издание полного собра-
ния его математических трудов, начатое еще при жизни ав-
тора.

Наиболее важное сочинение Клавия — обработка «Начал»
Евклида, впервые опубликованное в 1574 г. и выдержавшее
много изданий1).

Клавий говорит во введении, что предыдущие издания
«Начал» страдают многими недостатками. Так, Кампано
слишком просто повторял арабов; текст Теона был искажен
переписчиками, новые же издатели Евклида либо ограничива-
лись первыми шестью книгами, либо опускали старые дока-
зательства и заменяли их своими, не столь точными.

Клавий старался дать исчерпывающее разъяснение «На-
чал» и поэтому не стремился дословно повторять доказатель-
ства, которые, как он считает, либо слишком коротки,
а потому непонятны, либо слишком растянуты. Он использо-
вал все комментарии предшественников, подверг их критике
и, по словам М. Кантора, не обошел в своих разъяснениях
ни одной трудности, сделав много удачных замечаний [192,
т. II, стр. 512].

Очень часто Клавий ссылается на арабских комментато-
ров Евклида, однако точно неизвестно, изучал ли он кого-
нибудь из них [339, т. II, стр. 255]. Г Зутер полагает [425],
что он широко использовал рукопись «Изложения Евклида»
ат-Туси. изданного в Риме на арабском языке в 1594 г. [275].

Особенно интересно сочинение Клавия с точки зрения
истории учения о числе: им была систематически изложена
теория числовых отношений с помощью введенного ранее
понятия «знаменования» отношения и тем самым сделан сле-
дующий шаг в формировании понятия действительного числа.

Разъясняя предмет книги V «Начал», Клавий говорит, что
она «учит об отношениях непрерывных величин вообще, не
касаясь какого-либо конкретного вида величин, например,
линии, поверхности, тела». Даются определения «аликвотных»
и «аликвантных» долей; первое понятие совпадает с евклидо-
вой «долей», второе — с «долями». Разъясняются понятия
отношения и пропорции и подчеркивается значение послед-
ней в науке. Выделены непрерывные пропорции, а затем да-
на никомахова классификация числовых отношений.

’) Мы пользуемся изданием 1591 г. [274].
МДЖЧР V ---? ’ *,

втеьг» г$ е в <т гт*>ж

я^^л*^^^!*****»

М*4 ^^4^^

*?%$$&**?*

ЛЙЖ* % >-

ТГКО В>ОМ1 СПАЯТЬ

Е V С Ь I И I $

I Е Е Е М Е Ы Т V М
ОУ I Ы Т V М-

;

Й Т I » 7.Т / О » К «

Ра о ей та^п1ш4отя§П1ш4тЬ>т5я0Г тают лит гт*
йог жйш таюгет.

ё/.Г «? 4^<«Ы^^4^4гЬЙ« Ш^^<^»^Г^Г€^т4^/4ГГ^^

^С!- 4&^««4* ^г^жм4*8^^йл«т Д^мшям/е

''" ЗА**Г

лЛ 4,#4^4Лгг

А 1гл г.

в-
<

ф**}р* *• !*^Ж^5^Й?0® ЖГ»«Г4^ &»«Гг$*т*ж

юз$*мк&> м<*|&4^4»*^*а* Ъф**##'#*

*ы^*&^* <йш Л. |ма *

»ат Д^€\> т& штяфШ*

'*«*****'^ №
ГХ|м»«ж^т *ж^жйй Е<Г IV
^4 М С^-*

IЬыь, ЙГЙШ, шж=йй^йжг«г ^./^4 г«^ят
^й^»^т#4'Ы<^мН*4*4а«
^Ж^Г4^Й»1^««1Н4$~ <'<&^х«й»тЛ»*4 |мт^»вт.:г« 4-4*&^Ш«жв 4,^44^

ж*нжНя*

М*Й*»>/*«^Ь**

_1ж«< •*

«тм 9В^/иг4й1.^Ш^. Л*4&Гг*м»

*•«• ^»-П ^^д.»7 «Ж4« Л жгг- М/Г *4<»«:4. * *

1Мми ।

*г—л*

1 I.

М ▼ &ТЗ ГЬЖ Ж ММ* <• т^т—е ^й.<Ао айве* мчйо ямйгав

>> **/Г рй-—. ^_ _ ^04- .*«
Отношения Клавий подразделяет на рациональные, кото-
рые могут быть выражены в числах, и иррациональные, для
которых это невозможно и которые рассматриваются в кни-
ге X «Начал». Для рациональных отношений он определяет
понятие «знаменователя» (бепоттаки): «знаменователь ка-
кого-либо отношения есть число, которое точно и ясно выра-
жает отношение одной величины к другой» [274, стр. 206].
Знаменователи подразделяются на виды согласно классифи-
кации Никомаха. Клавий говорит [274, стр; 210], что если
известен знаменователь, то известно и отношение, и поэтому
считает более удобным выражать отношения через знамено-
ватели, а не через наименьшие числа, как обычно делают
математики (например, отношение 1700 к 400 можно выра-
зить как отношение 17 к 4, но удобнее — как знаменова-
тель 4^-). Знаменователь отношения находится посредством
деления предыдущего члена на последующий.

Понятие «знаменователь» позволяет Клавию, как и Шей-
белю, применять к числовым отношениям арифметические
действия. Так, рассматривая двойное отношение, он говорит,
что при этом «произведение знаменователя данного отношения
на себя дает знаменователь того отношения, которое являет-
ся двойным относительно данного» [274, стр. 256].

Следует также отметить, что Клавий формулирует аксио-
му о существовании четвертой пропорциональной, которая, по
словам Д. Д. Мордухай-Болтовского, «должна была оказать
большой толчок в направлении арифметизации геометрии»
[54, т. II, 398].

Таким образом, рациональное отношение Клавий факти-
чески отождествляет с числом. В вопросе же об иррациональ-
ном отношении он остается на старых позициях и при изложе-
нии книги X «Начал» строго следует Евклиду. «Я не могу
согласиться,— пишет он, — с мнением тех, которые полагают,
что для ее [книги X] понимания необходим раздел арифмети-
ки, в котором идет речь о корнях из рациональных чисел и,
как их называют, иррациональных. Напротив, я решительно
утверждаю, что о полном понимании этих разделов ариф-
метики судят по этой десятой книге».

Клавий считает, что «те, кто размышляют об алгебре, мо-
гут сами, когда захотят, легко приложить сущность доказа-
тельства этой книги к числам, тем более, что не очень давно
это добросовестно осуществил прославленный арифметик
Мих. Штифель во второй книге сочинения, озаглавленного
<АгШ1теНса т^га» [274, стр. 99].

Однако Клавий не всегда придерживается этой точки зре-
ния; например, при разъяснении понятий рациональных и ир-
рациональных линий он применяет числовые иррационально-
сти: «Корни квадратные из чисел 20, или 1000 и т. д., т. е., что
176
то же, прямая линия, квадрат которой есть 20, или 1000 и т. д.,
называются рациональными, так как соизмеримы в степени
с рациональной линией» [274, ч. 11, стр. 101].

Книге X Клавий придает большое значение, так как счи-
тает, что, не зная рассмотренных в ней линий, «нельзя в со-
вершенстве понять многочисленные плоские и телесные ве-
личины». Изложение его выдержано в стиле Евклида, на чер-
тежах нет чисел, разъясняющих предложения. Однако он до-
полняет эту книгу постулатом («Любую величину можно
столько раз брать кратной, что она превысит любую величину
этого рода») и тремя аксиомами:

1) величина, измеряющая какие-либо величины, измеряет
также составленную из них;

2) велична, измеряющая какую-либо величину, измеряет
также всякую величину, которую она измеряет;

3) величина, измеряющая целую величину и отнимаемую
от нее, измерит также и оставшуюся.

Таким образом, при всем стремлении строго воспроизве-
сти теорию Евклида Клавий не смог противостоять проявив-
шейся в его время тенденции к «улучшению» этой теории,
что было вызвано новыми требованиями относительно стро-
гости математических определений.

Другое сочинение Клавия — «Алгебра», — вышедшее в
1608 г. и переиздававшееся впоследствии1), построено по об-
разцу «Обобщенной арифметики» Штифеля.

В главе I речь идет об истории и названии алгебры. Заме-
чая, что многие приписывают ее открытие «арабскому астро-
ному Гебру», Клавий соглашается с Региомонтаном, видев-
шим основоположника алгебры в Диофанте. Подробно
разъясняются различные названия этой науки: латинское —
«правило корня и квадрата» (ге^и1а сепзиз е( ге1), итальян-
ское— «правило косее» (ге^и1а де11е соза), от которого про-
изошел термин «коссическое правило» (ге^и!а соззка), а так-
же арабское «А1^еЬга е1 А1шисйаЬа1а» При этом Клавий
правильно толкует эти арабские термины как обозначения
действий «восстановления» и «противопоставления».

Рассуждая о цели сочинения, Клавий говорит, что рас-
сматриваемый им алгоритм (т. е. «рассуждение, охватываю-
щее сложение, вычитание и другие операции над числами»),
отличается от применяемого в «обычной арифметике» тем,
что здесь фигурируют «числа трех видов»: коссические, или
«знаменованные» (депош1па1а), полученные с помощью гео-
метрической прогрессии», т. е. степени неизвестной; «ради-
кальные» (питеп га(Нса1ез), т. е. корни любой степени из чи-

0 Мы пользуемся изданием 1609 г. [205].
Титульный лист .Алгебры“ Христофора Клавия (изд. 1609 г.).
сел, «которые либо имеют этот корень, либо нет»; полученные
сложением или вычитанием радикальных.

Таким образом, здесь Клавий вслед за Штифелем после-
довательно проводит идею арифметизации теории иррацио-
нальных величин.

Согласно указанному подразделению чисел строится из-
ложение. В главах 1—5 объясняются правила действий с «кос-
сическими» числами. Вводятся обозначения степеней неизве-
стной (по Штифелю), даются как латинские, так и итальян-
ские названия.

Глава 6 повествует об отрицательных числах — «фиктив-
ных, или меньших, чем ничто». Поясняя это понятие отрица-
тельного числа, Клавий пишет: «Как придуманы корни из
чисел, которые их не имеют, например корень квадратный,
или кубический, или биквадратный, или пятой степени
(зигдезоКбе) из числа 20, причем такая фикция полезна
и удобна тем, кто занимается математикой, таким же образом
пишущими об алгебре неспроста придуманы числа, меньшие,
чем ничто, например 0—4, т. е. от ничего отнятое 4»
[205, стр. 28].

После изложения теории уравнений (гл. 8—15) Клавий
рассматривает «иррациональные числа», которые определяет,
как и Штифель: «Иррациональные, или глухие числа суть
корни из чисел, которые нельзя выразить числами, а потому
услышать» [205, стр. 76]. Подробно излагаются правила дей-
ствий с иррациональными числами.

Далее Клавий переходит к числам третьего вида и, поми-
мо биномиалей и вычетов, рассматривает триномиали и
квадриномиали.

Глава 18-я [205, стр. 147—162] названа «Об извлечении
корней из биномиалей и вычетов, и одновременно о других
иррациональных линиях, которые обсуждает Евклид в кни-
ге X».

В заключение решаются многочисленные задачи по-
мощью алгебры и без нее.

В 1583 г. в Риме было опубликовано сочинение Клавия по
практической арифметике, в котором очень полно излагались
правила действий с целыми числами и дробями [339].

Франческо Мавролико. Франческо Мавролико (Егапазсиз
Маиго1уси$, 1994—1575 гг.), родившийся и проживший боль-
шую часть жизни в Мессине, был широко образованным уче-
ным и автором многочисленных трудов по математике, астро-
номии, оптике, истории. Он относится к группе итальянских
математиков XVI в., ставивших основной целью глубокое
овладение греческим научным наследием на основании ори-
гинальных текстов и усовершенствование античных матема-
тических методов. Популяризации этих методов в Европе
в XVI—XVII вв. в большой мере способствовали выполнен-
ные Мавролико переводы с греческого языка трудов Архиме-
да, Евклида, Аполлония, Автолика, Менелая, Теодосия [108,
192, 206, 402]. Он составил также обзоры сочинений Боэция,
Иордана Неморария, Роджера Бэкона, Джона Пекхама и
других более ранних европейских математиков.

В то же время Мавролико написал ряд оригинальных
сочинений, сыгравших существенную роль в развитии отдель-
ных математических дисциплин. Так, его трактат «Бе Ппе18
Ьогагпз» (1575 г.) содействовал пробуждению интереса к тео-
рии конических сечений, которая приобретала в это время
большое прикладное значение в связи с определением пла-
нетных орбит, данным Кеплером [108, 131, 400]. Сочинение
Мавролико «РЬоНзгп! бе 1иште» [206], опубликованное впер-
вые в 1575 г., занимает важное место в истории оптики.
Для развития тригонометрии серьезное значение имели не-
которые сокращения в обозначении функций, примененные
Мавролико в вышедшем в 1558 г. издании «Сферик» Мене-
лая; это был первый шаг в развитии языка тригонометриче-
ских формул [177, 178, 491].

Многие труды Мавролико, в том числе трактаты по алгеб-
ре и геометрии, остались в рукописях [348, т. III, стр. 241—
255; 364]. Некоторые были опубликованы благодаря содей-
ствию его друзей; например, упомянутый трактат по оптике
появился в печати в результате стараний Клавия и с его до-
бавлениями.

Одно из наиболее оригинальных и значительных сочи-
нений Мавролико — «Две книги арифметики» («АгИЬтеНсо-
гит ИЬг1 био») [353], вышедшее из печати в 1575 г. в Вене-
ции. Г Вакка [450] увидел в нем первый в истории пример
применения метода полной индукции; по мнению Г Фрей-
денталя [281], здесь мы встречаем лишь неполную индукцию,
которую применяли и до Мавролико. В то же время оно
содержит интересную попытку изложить учение о числе в об-
щем виде, включая в понятие числа иррациональные выра-
жения, примирить числовые теории классиков с требованиями
современной ему математики.

В первой части трактата [353, стр. 1—82] рассмотрены
целые числа и, главным образом, свойства плоских и телес-
ных чисел различного вида. В сочинениях Евклида, Пифаго-
ра, Ямблиха, Никомаха, Боэция и Иордана Неморария, по
мнению автора, этот вопрос обсужден недостаточно всесто-
ронне. Изложению предшествует таблица фигурных чисел
и ее разъяснение, а также рассуждение о совершенных чис-
лах. Определения даются в пифагорейском стиле и изложение
ведется по традиционному плану. Единица рассматривается
как начало чисел, соответствующее точке в геометрии. Мав-
О. ЕКАЫС15С1

МА V К О Ь V С I-

АВВАТ18 МЕ88АКЕЫ818,
МасЬетайа секЬегпть „

ЛК1ТНМЕТ1С0КРМ ИЕ&1 ЛЕО,

МУ ИС РКГМ УМ 1М 1УСЕМ ЕО1Т1,
(ит гетит отпшт .

1ЫЭ1СЕ СОРЮ51551 МО -

СУМ РК IV! ЕЕ СИ О
Уепеор, АриИРгалаГс Егапс1&;««,5следГст.
М О IX X V.

Титульный лист „АпНипеИсогит ПЬп с!ио“ Франч
ролико вводит новые ряды чисел, состоящих из двух и трех
сомножителей, и дает выражение их общих членов и суммы.
Помимо никомаховых линейных, поверхностных, пирамидаль-
ных и других чисел, он рассматривает цилиндрические, би-
квадратные числа, правильные числовые многогранники (на-
пример, ряд тетраэдров: 1, 9, 34, 91, 189,.) и т. д. Между

числами разных рядов устанавливается зависимость; так, он
показывает, что всякое совершенное число одновременно яв-
ляется шестиугольным, а следовательно, треугольным.

Интересна вторая часть трактата, в которой рассматри-
вается учение о величинах, подробно излагается теория отно-
шений и теория квадратичных иррациональностей, включая ее
приложение к правильным телам. Мавролико сделал здесь
чрезвычайно важный шаг в сторону окончательного сбли-
жения понятий числа и величины, стремясь в то же время
придерживаться античной строгости. Его точка зрения вы-
ражена в первых словах введения: «Так как арифметика есть
инструмент всякого исчисления, а числа суть термины, кото-
рыми обозначается любая величина, то несомненно, что с по-
мощью чисел можно осуществить исчисление всяких величин
[353, стр. 83].

Далее он говорит о вычислительной стороне геометрии и
о применении чисел для «все более близкого нахождения
предела (НгпИ) иррациональной величины», например для
измерения «с помощью частей, в которых представляется
диаметр», стороны вписанного в круг равностороннего тре-
угольника или квадрата.

Для каждого рода величин вводится единичная величина,
«которая выбирается произвольно как общая мера величин
этого рода и которая знаменуется единицей, подобно тому как
единица — общее мерило чисел» [353, стр. 85]. Если имеется
величина, кратная данной, то она «будет обозначаться тем
числом, согласно которому определено кратное»; если же ве-
личина содержит долю или доли данной, она «будет обозна-
чаться двумя числами, а именно знаменателем и числите-
лем доли или долей» [353, стр. 86]. Далее доказано (предло-
жение 1), что все «установленное нами для чисел, линий и
тел с помощью отношения, пропорции, соизмеримости, а так-
же подобия, можно доказать и заключить относительно ве-
личин любого рода» [353, стр. 86].

Таким образом, сначала устанавливается соответствие
между числами и рациональными величинами, а затем фор-
мулируются и доказываются правила арифметических дей-
ствий над этими величинами, т. е. фактически излагается
арифметика дробей.

После этого Мавролико рассматривает иррациональные
величины, причем подчеркивает, что «нелегко распространить
на них вычислительную практику», переходя от линий и по-
верхностей, исследованных Евклидом, к более общему слу-
чаю, и обещает разъяснить многое из содержащегося в кни-
ге X «Начал».

Прежде всего (кн. II, часть I) Мавролико формулирует
и доказывает правила действий над одночленными и много-
членными иррациональностями, которые называет соответст-
венно величинами «одного имени» или «многих имен». Во вто-
рой части книги II рассматриваются иррациональные вели-
чины с точки зрения их соизмеримости и несоизмеримости:
вводятся основные определения квадратичных иррациональ-
ностей по Евклиду и предлагается в схематическом виде их
классификация. Все предложения книги X «Начал» сначала
излагаются на языке арифметики в общем виде, а затем разъ-
ясняются на примерах.

В заключение даны правила вычисления сторон равносто-
ронних многоугольников и ребер правильных многогранников.

Рафаэль Бомбелли. Сведений о жизни выдающегося мате-
матика, последнего представителя школы итальянских алге-
браистов XVI в. Рафаэля Бомбелли (КаГае! ВотЬеШ) почти
не сохранилось. Судя по титульному листу его основного тру-
да — «Алгебры», опубликованной при жизни автора в 1572 г.
и переизданной в 1579 г. [152, 278], он был гражданином
Болоньи. Ему принадлежит также сочинение по гидравли-
ке [160].

«Алгебру» Бомбелли высоко оценивали математики XVII в,,
видевшие в ней наиболее фундаментальное изложение науки
об уравнениях. По ней изучали алгебру Стевин (см. ниже)
и Лейбниц; Гюйгенс, стремясь выразить Лейбницу наи-
высшую похвалу, писал, что он сделал больше, чем Бомбел-
ли [163].

Творчество Бомбелли долго не вызывало должного инте-
реса историков математики, хотя в общих чертах содержание
«Алгебры» излагалось неоднократно [192, 348]. На необходи-
мость более детального изучения его наследия указывал
Г Энестрём [237, т. VIII, стр. 87; т. IX, стр. 77], обративший
внимание, в частности, на слова Бомбелли о том, что помимо
«Алгебры», он написал также «Геометрию», которая в 1572 г.
была почти готова и которую он собирался вскоре опублико-
вать [152, стр. 648—649]. Сожалея об утере этого сочинения,
Г Энестрём имел в виду содержащееся в нем указание на
непосредственную связь неприводимого случая кубического
уравнения с трисекцией угла, хотя обычно считалось, что
впервые эту связь заметил Виет (см., например, [177, стр.
17!]).

Действительный вклад Бомбелли в развитие алгебры вы-
яснился после того, как в 1923 г. Э. Бортолотти обнаружил
И К.ЛГАВ1 Вомвжюм 4а ВоЪ^па
ЫшЙш «е ЦЬп*

1л умк сшриш ^лйге й|?^м

Гжйл ^еЙ’ЖЫжл»

Сой упа ТаиЫа соршГа 4е!1с тагегйгсЬе
ййОГай соп«й§ойо«

1Ы ВОЬОСНА»

Рег СЙашпш Ко&. М ВIX XIX
в библиотеке Болонского университета его неопубликован-
ные рукописи, в том числе упомянутую «Геометрию», частично
издал их в 1929 г. [163] и провел глубокое исследование тру-
дов этого замечательного ученого [160—163]. Работа над
архивом Бомбелли продолжается [323] и, по-видимому, мо-
жет дать новые интересные результаты.

Значение «Алгебры» — не только в логически завершенном
изложении теории уравнений первых четырех степеней. Ру-
ководящая идея всего сочинения, расположение материала,
методы построения и, как показал Э. Бортолотти, доказа-
тельства, аналитические по своей сущности, указывают на
значительный шаг, сделанный Бомбелли в направлении даль-
нейшей арифметизации математической науки.

В книге 1 дано, по существу впервые, последовательное
расширение понятия числа от рационального до комплекс-
ного. Прежде всего рассматривается «исчисление простых
корней» и, в частности, приближенное извлечение квадратно-
го корня. Арифметическое рассуждение дополняется геомет-
рическим: представляя подкоренное выражение в виде пря-
молинейного отрезка, Бомбелли строит квадратный корень
как среднее пропорциональное между данным отрезком и
введенным заранее единичным; нахождение кубического кор-
ня соответствует построению двух средних пропорциональ-
ных.

Сформулировав правила умножения и деления «простых
корней», Бомбелли переходит к сложению и вычитанию кор-
ней квадратных, т. е. к рассмотрению биномиалей и выче-
тов (Втогт е Кес181) Евклида. Вначале он выясняет, какие
суммы и разности корней могут быть сведены к «простым
корням», а затем подробно излагает книгу X «Начал» в ана-
литической форме, исследовав, таким образом, свойства би-
номиалей и вычетов, корни из которых ±УЬ обоб-
щенно названы „Кас11с1 Ье2а1е“ Последние являются эле-
ментами новой, более широкой числовой области. Для них
также решается вопрос, в каких случаях они могут быть
сведены к предыдущему виду, т. е. к биномиалям и выче-
там; другими словами, дается способ извлечения квадратных
корней из биномиалей и вычетов, когда это оказывается
возможным.

Далее Бомбелли переходит к числам, возникающим при
решении уравнений третьей степени. Сначала рассматрива-
ются арифметические операции над выражениями -у^а + 7/Ь
(Ыпопн сиЫс1), — (гес181 сиЫс!), /а+^аН/й,

для которых дается, например, правило уничтожения ирра-
циональности в знаменателе дроби, содержащем такого ро-
да выражение; это правило Бомбелли приписывает Сципиону
дель Ферро.

Для более сложных выражений (КасНс! Ье§а1е СиЬе)
разъясняется, в частности, способ преобразования „куби-
ческой стороны“ (1а1о сиЬо) биномиали в биномиаль, т. е.
приведения 'у/~Уп±Ут к виду Уъ ± У и. Эта задача, как
показывает Бомбелли, сводится к решению уравнения
х3 4- Зх Уп — т2 - 2/и, для которого = у/~У п + т —
— у/]// п — т.

Следующее расширение рассматриваемой Бомбелли чис-
ловой области состоит во введении мнимых чисел (пшпеп
ппша^пап), вызванном необходимостью решать кубическое
уравнение в неприводимом случае. Хотя с мнимыми выраже-
ниями алгебраисты сталкивались и раньше, они (например,
Кардано) считали эти выражения бесполезными. Бомбелли
впервые понял их значение для математики. Мнимые числа,
которые у него выступают как квадратные корни из отрица-
тельных чисел и обозначаются К (0. т. 1), т. е. У0— 1, Бом-
белли считает полноправными арифметическими объектами
и подробно излагает правила их исчисления.

Наконец, вводится понятие комплексного числа (питеп
сотр1е881); такие числа, по словам Бомбелли, всегда встре-
чаются при решении уравнений третьей степени с кубически-
ми коэффициентами. Для них также даны правила арифме-
тических действий, сопровождающиеся многочисленными при-
мерами.

Кубические корни из комплексных выражений
у т±1уп Бомбелли приводит к виду и-[-1Уъ, решая
-систему

и2 + V2 = т2 + п, и2 — = т.

Например (в современных обозначениях), для

У52У/6 ~2209 = У52
имеем:

Ут* + п = У2704 + 2209 = у'4913 = 17,

и2 _|_ = 17, и3 — Зиъ = 52, откуда и = 4, V = 1;

тогда У52 + /О'-2209 = 4 + ]/0~=Л.

Книга II содержит теорию алгебраических полиномов и
уравнения первых четырех степеней. Начинается она с опре-
делений неизвестной и ее степеней и введения системы сим-
волов показательного типа: х обозначается знаком—, х2 зна-
ком- и т. д. Даются правила действия над многочленами
(роНпогп! а1§еЬга1С1), в том числе способ деления полинома
на сумму или разность неизвестной и данного числа.

При изложении теории уравнений Бомбелли для каждого

отдельного случая приводит чисто аналитическое доказа-

тельство, а затем — геометрическое. Он уточняет высказы-

вание Кардано о том, что хотя в неприводимом случае урав-
нение х3 = рх + ^ не может быть решено по общей формуле,
данной дель Ферро, иногда его можно свести к уравнению

второй степени путем прибавления или вычитания

а3 4- д
а =-----тогда

удовлетворяющего условию

обе

уравнения делятся на х 4- а или х — а. Бомбелли

числа а,
стороны
показал,

что число а, определенное так, что все уравнение делится
на х — а, должно быть корнем этого уравнения.

Однако наиболее важный вклад Бомбелли в теорию куби-
ческих уравнений состоит в применении правила действий

с мнимыми числами для решения неприводимого случая ку-
бического уравнения х^ — рх-\-ц и в распространении на него

формулы у +]/ он пока-

зал, что эта формула может дать рациональное значение

корня, если входящие в нее кубические корни дают сопря-
женные комплексные числа. Например, для уравнения х3 =
= 15х + 4 оказывается: = 125, = 4, откуда

х= {<2+/0-121 + ^2-/0-121

;но ______________

1^2 ± ]'0 - 121 = 2 ±
и, следовательно, х = 4.

Исследование завершается указанием на связь решения
неприводимого случая кубического уравнения с решением
геометрической задачи трисекции угла. (Более подробно об
этой задаче говорится в рукописи, обнаруженной Э. Борто-
лотти [163]).

Перейдя к уравнениям четвертой степени, Бомбелли рас-
сматривает 42 возможных случая и, таким образом, дает
.полное изложение теории биквадратных уравнений.

Третья книга содержит собрание задач, среди которых наи-
более интересны заимствованные непосредственно из сочине-
ния Диофанта. Во введении Бомбелли замечает, что, в проти-
воположность своим предшественникам, он рассматривает
чисто арифметические задачи, где речь идет о числах, а не о
товарах, деньгах и т. д. С этой точки зрения книга Бомбелли
является началом возрождения теории чисел в Европе [161].
Среди рукописей Бомбелли, обнаруженных Э. Бортолот-
ти [163], находится книга IV «Алгебры», озаглавленная «Ли-
нейная алгебра» («А1^еЬга Ипеапа) Она содержит чрезвы-
чайно важный для истории учения о числе результат, состоя-
щий, по словам Н. Бурбаки, в том, что, выразив числа по-
средством длин, Бомбелли получил геометрическое определе-
ние поля действительных чисел... и тем самым дал своей
«Алгебре» прочную геометрическую основу» [27, стр. 151].

Бомбелли последовательно излагает исчисление отрезков,
т. е. по существу выполняет то, что в XVII в. было еще раз
осуществлено Декартом в его знаменитой «Геометрии». Это
дает основание Н. Бурбаки считать, что «Алгебра» Бомбелли
поразительно опередила свою эпоху. Однако при исследова-
нии арабских рукописей, комментирующих книгу X «Начал»
Евклида, мы встретились и с восточным предшественником
Декарта — Ибн ал-Багдади (см. [82, стр. 217—223])

Первая глава книги IV «Алгебры» Бомбелли начинается
с определения понятия прямолинейного отрезка и с описания
основных операций над отрезками. Методами, известными из
«Начал» Евклида, решаются задачи: разделить отрезок на две
равные части (§1), опустить перпендикуляр из данной точки
вне прямой (§2) и возвести его из точки на прямой (§3),
провести прямую, параллельную данной (§4), разделить отре-
зок на три равные части (§5), построить квадрат на данном
отрезке (§ 6) и т. д. Вслед за этими предварительными пред-
ложениями даются определения действий сложения и вычи-
тания отрезков (§ 15—16), умножения их, понимаемого как
построения прямоугольников с данными сторонами (§ 17)
и деления, которое производится согласно предложению 12
книги VI «Начал» (§ 18). При этом вводится фиксированный
единичный отрезок — «общая мера» (ипа сошипе гтьига),
что позволяет установить взаимно однозначное соответствие
между длинами отрезков и отношениями величин.

Существенно, что Бомбелли рассматривает также отрица-
тельные и нулевые отрезки и площади, которые отсутствуют
у Декарта.

Извлечение квадратного корня (§ 19) осуществляется по-
строением отрезка, среднего пропорционального между еди-
ничным и данным отрезками. Соответственно, извлечение
кубического корня (§20) есть построение двух средних про-
порциональных. В «линейной алгебре», говорит Бомбелли, эти
операции не вызывают тех трудностей, с которыми они свя-
заны при рассмотрении чисел.

С помощью своей «линейной алгебры» Бомбелли излагает
далее теорию уравнений первой—четвертой степеней.

Во второй главе книги IV дается «геометрическое пред-
ставление иррациональных». Здесь Бомбелли рассматривает
евклидову теорию квадратичных иррациональностей, расши-
ренную за счет кубических иррациональностей. С помощью
«линейной алгебры» он доказывает результаты, изложенные
нм ранее аналитически («Алгебра», кн. I).

Третья глава содержит «геометрическое построение ал-
гебраических задач». Здесь решаются разнообразные задачи,
сходные с рассмотренными в книге III «Алгебры» (например:
разделить отрезок на три части пропорционально трем дан-
ным отрезкам) Геометрические построения у Бомбелли при-
званы подтвердить законность результатов, полученных ана-
литическим путем.

В книге V «Алгебры» рассмотрены проблемы плоской
геометрии и теория правильных многогранников. В предло-
жении о вписанном в круг правильнОхМ девятиугольнике задача
трисекции угла сводится к решению кубического уравнения
в неприводимом случае.

Франсуа Виет. Замечательный французский математик,
сочетавший занятия математикой с деятельностью юриста,
Франсуа Виет (Ргап^о1з У1ё1е или У1е1а, 1540—1603 гг.) за-
нимает особое место в истории учения о числе как создатель
первого алгебраического исчисления [100, 108, 120, 181, 192].
Оно изложено в его главном математическом труде «Введение
в искусство анализа» («1п аг1еш апа1у11саш {за^о^е»,
1591 г.) [453].

Приверженец античных традиций, Виет строго различал
число и величину и, соответственно, обычный «числовой счет»
(1о§1зНса пишегаИз) от разработанного им «видового счета»
(1о§1зНса зресюза), который носит характер геометрической
теории. Впервые при изложении было введено буквенное обо-
значение для числовых коэффициентов уравнения, что в соче-
тании другими сокращениями и знаками знаменовало важ-
нейший шаг вперед в создании алгебраической символики.

Каждый из рассматриваемых Виетом «видов» величин
обозначается прописной буквой: неизвестная—гласной, а
данная — согласной. Размерность величин определяется со-
ответствующим термином; так, третья степень названа те-
лом и обозначается А сиЬиз для неизвестной или В зоНбиз
для известной величины, а далее следуют «гипергеометриче-
ские» названия (например, девятая степень известной вели-
чины у Виета — это А сиЬо-сиЬо-сиЬиз, а неизвестной —
В зоИдо-зоИбо-зоИбигп).

Действия сложения и вычитания над величинами подчи-
нены античному принципу однородности и допускаются толь-
ко в пределах одного вида. При перемножении двух величин
возникает новая, размерность которой складывается из раз-
мерностей исходных. Деление связано с вычитанием размер-
ностей.
Под числами Виет подразумевал только рациональные и
не включал в это понятие ни отрицательных, ни мнимых
количеств; буквы обозначали у него только рациональные
положительные числа. Если неизвестная в уравнении при-
нимала иррациональное значение, он переходил к «геомет-
рическому» решению задачи, основанному на теории отноше-
ний Евклида.

Таким образом, Виет пытался построить строгое учение,
удовлетворяющее потребностям современной ему науки, но
в то же время основанное на античном разделении понятий
числа и величины.

С точки зрения формирования взглядов Виета на ирра-
циональные величины интересен один из трактатов, недавно
обнаруженный среди его рукописей и опубликованный Г Бу-
сардом [181].

Виет различает два вида иррациональностей: относящие-
ся к абсолютным числам, например ]/8,)/32 и т.д., и к ал-
гебраическим, например ]/ЗМ, у 4^ и т. д. Прежде всего
утверждается, что между двумя последовательными числа-
ми находится бесконечно много иррациональностей. Так,,
между 3 и 4 попадают У 5 , Уб , У7 ]/8 , у/

^82, ^83.

Аналогичное наблюдение было сделано Штифелем (см. вы-
ше), а еще раньше — Ибн ал-Багдади [82, стр. 221—222].

Далее Виет отмечает, что из составных иррациональностей,
количество видов которых бесконечно, применение находят
лишь немногие: бимедиали, биномиали, вычеты, триномиали
и квадрйномиали.

Примерами абсолютных составных иррациональностей
служат Уз+]/Т, '|/3 + ’|/5,)/7г+/2’+1, 3 + УП + /3
Свойства некоторых из них рассмотрены, по словам Виета,.
Евклидом в книге X „Начал".

Затем Виет излагает правила действий с абсолютными,
иррациональностями и, в частности, превращения разноимен-
ных корней в одноименные, определения соизмеримости и
несоизмеримости корней, определения большего из двух не-
соизмеримых корней, умножения, деления и т. д. Далее разъ-
ясняются аналогичные правила для составных иррациональ-
ностей.

Во второй части сочинения рассмотрены операции над «ал-
гебраическими» числами.

Симон Стевин. Симон Стевин ($1гпоп 8Че\чп, 1548—1620
гг.), один из выдающихся математиков конца. XV—начала
XVII вв., родился в Брюгге в купеческой среде, работал воен-
ным инженером ,[173, 396, 398, 421]. Важное место среди его со-
чинений по математике и механике занимают работы по прак-
тической—коммерческой арифметике, например «Та бди цы про-
центов» («ТаЫез сГ1п{еге(», 1582 г ) и знаменитое сочинение
«Десятая» («Ьа 01$те», 1585 г.), в котором быдд. сделана
попытка ввести в практику десятичную систему мер, весов
и денежных единиц, а также впервые излагались правила,
арифметических операций с десятичными дробями.

Стевину принадлежит огромная заслуга и в развитии по-
нятия числа с теоретической точки зрения: следуя; идеям Шти-
феля и Бомбелли, он окончательно порвал с традиционным
разделением понятий числа и величины. Взгляды. Стевина на.
сущность этих вопросов выражены в трактату «Геометри-
ческие проблемы» («РгоЫеша(а ^еошеШса») и особенно
четко — в сочинении «Арифметика» («Ь'АгййтеНдие», 1585 г.).
Оба они недавно переизданы Д. Стройном в числе основных
математических трудов Стевина [418] и сопровождены англий-.
ским переводом.

При написании «Геометрических проблем» [418, т. Па,,
стр. 121—369] Стевин опирался на «Начала» Евкдида в обра?
ботке Клавия, труды Архимеда, опубликованные в латин-
ском переводе в 1558 г., и геометрический трактат Альбрех7
та Дюрера (см. [104]).

Сочинение состоит из пяти книг. В первой излагается тео-
рия отношений Евклида с приложением ее к задачам деле-
ния многоугольных фигур в заданном отношении. Стевин.
утверждает, что «геометрическое отношение, которое другие-
ограничивают двумя членами, допускает любое число чле-
нов» [418, т. II, стр. 140], и дает определения двойного, трой-
ного и т. д. отношений. Он подразделяет отношения на ра-
циональные, для которых воспроизводит традиционную ни-
комахову классификацию, и на иррациональные. При этом
он говорит о своей поддержке «мнения тех, кто называет ир-
рациональные корни числами» [там же, стр, 148] и обещает
разъяснить этот вопрос в алгебраическом трактате.

Вторая книга содержит применение правил, одного и двух
«ложных положений» к геометрическим построениям, причем
автор последовательно проводит высказанную Бомбелли идею,
о тесной внутренней связи между геометрией и арифметикой
и, в частности, между учениями о геометрическом и арифме-
тическом отношении. В остальных трех книгах трактата опи-
сываются правильные и полуправильные многогранники.

«Арифметика» Стевина, написанная на голландском язы-
ке, впервые вышла из печати во французском переводе
в 1585 г. Она включает теоретический раздел, содержащий
собственно арифметику и диофантов анализ, и практический,
куда входят французский перевод «Таблиц процентов» и «Де-
сятой», а также чрезвычайно важные для истории понятия
числа «Трактат о несоизмеримых величинах» и комментарий
к книге X «Начал» Евклида. Впоследствии сочинение Сте-
вина было переиздано его учеником А. Жираром (А1Ьег1
СНгагс!, 1595—1633 гг.) с дополнениями, сыгравшими само-
стоятельную роль в развитии алгебры [295]. В них, в частно-
сти, было доказано, что число корней уравнения равно его
степени, и тем самым устанавливалось равноправие положи-
тельных, отрицательных и мнимых корней.

Определив арифметику как науку о числах, Стевин пи-
шет: «Число есть то, чем определяется любая величина»
[418, т. Па, стр. 495], имея при этом в виду целые, дробные
и иррациональные числа. Несколько ниже он утверждает, что
«нет никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, не-
выразимых или глухих чисел» [там же, стр. 532] и что «лю-
бой корень есть число» [там же, стр. 738]. Поскольку число
любого вида является корнем (как 2 есть корень квадратный
из 4, так ]/2 есть корень из 2), то различия между ними
яет и можно говорить только об их соизмеримости или не-
соизмеримости.

Таким образом, впервые был дан положительный ответ
на вопрос, поставленный Штифелем: «Является ли числом ир-
рациональное число?» Стевин сумел сделать решающий шаг,
который оказался не под силу его предшественникам,
еще скованным античной традицией и отказавшимся поэтому
признать иррациональные корни «настоящими» числами.
Более того, он отождествляет число с непрерывной величи-
ной («как непрерывная вода соответствует непрерывной влаж-
ности, так непрерывная величина соответствует непрерывно-
му числу»).

Причиной, побудившей Стевина предпринять переоценку
понятия числа, несомненно, явились его занятия вычислитель-
ной математикой и, в частности, операции с введенными им
десятичными дробями. По словам Н. Бурбаки, он «ясно
сознавал, что эти дроби дают алгоритм неограниченного при-
ближения всякого действительного числа [27, стр. 151}.

Второе положение Стевина, разрушавшее сложившиеся
взгляды, состоит в безусловном утверждении, что «единица
есть число». Оно сформулировано среди основных определе-
ний [418, т. Па, стр. 425] и сопровождается доказательством,
в котором отвергается пифагорейская аналогия между еди-
ницей и точкой. Стевин замечает, что если две единицы в
сумме дают число, отличное от единицы, то две точки
образуют только точку; поэтому более целесообразно
считать образом точки нуль, ибо множество нулей снова
образует нуль.
Сам нуль Стевин числом все же не считает и нулевое ре-
шение уравнения не рассматривает Отрицательные числа
включаются в его определение. Что касается мнимых, извест-
ных ему из «Алгебры» Бомбелли, то в них он не видит поль-
зы [418, т. Па, стр. 309].

Все числа Стевин подразделяет на «арифметические» (це-
лые, дробные), «геометрические» (квадраты, кубы и т. д.) и
«алгебраические» (полиномы). При этом он отказывается от
коссических обозначений и вводит символику, заимствованную
у Бомбелли.

Во второй книге «Арифметики» рассматриваются правила
действий с целыми числами, дробями и радикалами, правило
«ложного положения», а также операции с полиномами и тео-
рия уравнений.

Относительно роли, которую сыграл Стевин в развитии
теории уравнений, среди исследователей существовали разно-
гласия. А. Босман, написавший ряд работ о творчестве Сте-
вина [173], считал, что он первый дал единое решение для
квадратных уравнений различного вида, предложил алгебраи-
ческое доказательство формулы решения и интерпретировал
отрицательный корень уравнения. Г Вилейтнер [478] показал
неправомерность такого вывода: это сделали ранее Тарталья,
Кардано, Штифель и Бомбелли, трудами которых Стевин
пользовался. Несомненная заслуга его состоит в четком и яс-
ном изложении полученных ими результатов.

«Трактат о несоизмеримых величинах», который состав-
ляет вместе с дополняющим его комментарием к кни-
ге X «Начал» Евклида раздел «Арифметики» Стевина,
содержит подробное изложение теории иррациональных
чисел.

Вначале автор пишет, что некоторые видят в книге X
«наиболее глубокий и непонятный раздел математики», дру-
гие считают «ее предложения чрезвычайно неясными» и рас-
сматривают их как «крест математика» [418 т. II а, стр 713].
Как ранее Штифель и его последователи, Стевин полагает,
что трудности, связанные с пониманием этой книги, можно
легко устранить, если разъяснить ее с помощью иррациональ-
ных чисел. Основываясь на своем утверждении о равнопра-
вии иррационального числа, он рассматривает двенадцать
видов «несоизмеримых» чисел Евклида. Стевин называет ир-
рациональные числа «одной из великих тайн природы» [418,
т. II а, стр. 718] и замечает, что они помогают описывать
не только двенадцать биномиалей Евклида, но и «тысячено-
миали», а также их корни и корни их корней до бесконеч-
ности.

Несоизмеримые величины определяются как «величины,
у которых числа, выражающие их, несоизмеримы» [418, т. Па,
стр. 723]; вводится понятие «многочленных величин», выра-
жаемых «многочленными числами».

«Корень квадратный из линии, — говорит далее Стевин,—
это линия, средняя пропорциональная между линией, выра-
женной данным числом, и линией, соответствующей данной
единице» [418, т. Па, стр. 724]. В этом определении непосред-
ственно сказывается влияние Бомбелли.

Сформулировав определения, Стевин переходит к разъ-
яснению некоторых предложений книги X с помощью чисел.
В первом предложении требуется, имея заданные отрезок и два
числа, найти отрезок, который относится к данному, как чис-
ло к числу. Задача решена для случаев, когда отношения

данных чисел суть ]/5_: К$ 2 у^З , (]/3 + ]/5 ): (Кб 4-
+ 1/7 + Г2-) У1 + У1 /2+КУ_

//6"+ /5"+ (]/з’+У2‘).

Условие второй задачи является обобщением предложе-
ния 9 книги VI «Начал» и требует отсечь от данного отрезка
заданную его часть. Она решается для случаев, когда эта
часть выражена числами

/2 + /3 У/5 н- КЗ

3 ’ ут+ /6 + Кб ’ К/бЧ- /5 +К2 ’

Третье предложение дает правило извлечения корня из
любого числа, выражающего данный отрезок. Построение
сопровождается примером: ]/$ + К15+К255 — 4 — К^О .

Далее Стевин говорит, что все эти рассуждения можно
распространить и на другие случаи (для кубического корня
построение проводится с помощью двух средних пропорцио-
нальных и т. д.) и, наконец, разъясняет правило извлечения
корня из биномиали на примере 1/У12 + 12 = /]/3 + У 2 +
+ V уз- у 2, заметив, что так же могут быть интерпре-
тированы и остальные предложения книги X.

Приведенный обзор сочинений XVI в. имеет целью пока-
зать на конкретных примерах состояние учения о числе в
этот важный период истории науки, когда завершалось в ос-
новных чертах формирование элементарной математики, име-
ющей дело с постоянными величинами, и возникали пред-
посылки создания математики переменных величин.

Сделаем некоторые выводы из сказанного выше.

Существеннейшим достижением математики XVI в. было>
оформление алгебры в науку дающую методы решения
уравнений первых четырех степеней. Разработка этих
методов вызвала усиленный интерес к вопросу о сущ-
ности понятия числа и к уточнению с новых позиций его
содержания.

В учении о числе в это время продолжали сохранять
свою силу античные концепции. Противопоставление числа и
величины все еще признавалось одним из основных принципов,
математики. Однако развитие алгебры, в которой свободно
производились операции над иррациональными количествами
и иррациональный корень выступал в кацестье решения или
коэффициента уравнения, заставляло все глубже задумывать-
ся над тем, не является ли природа корня числовой. В XVI в.
впервые с полной отчетливостью был сформулирован воп-
рос: «Является числом иррациональное число или нет?».
Он возникал и ранее, но никогда еще не требовалось столь
конкретного ответа на него, как теперь.

Восточные математики, фактически стершие грань между
понятиями числа и геометрической величины, при обоснова-
нии своих взглядов становились на своеобразную арифме-
тико-геометрическую точку зрения, базирующуюся на идее
соответствия между объектами арифметики и геометрии.
Эта же идея стала руководящей в сочинениях европейских
математиков. Наиболее последовательно ее развил Бомбелли,
который дал геометрическое определение поля действитель-
ных чисел, предвосхитив мысль Декарта.

Поскольку почву для строгого обоснования теории ирра-
циональностей по-прежнему находили в геометрии, то не ме-
нее важное место, чем раньше, в математике XVI в. продол-
жали занимать книги V и X «Начал» Евклида,
преимущественно их арифметическая интерпретация. В то же
время происходило сближение понятий дроби и числового
отношения. Была систематически построена (Шейбель,
Клавий) теория «знаменователей» рациональных отноше-
ний, которые теперь стали определенно рассматриваться
как числа.

Наряду с попыткой логически обосновать расширенное
понятие числа исходя из античной геометрической теории,,
постепенно завоевывала права гражданства и чисто арифме-
тическая точка зрения: дроби и числовые иррациональности
выделялись как самостоятельные виды чисел (Кардано, Шти-
фель, Шейбель, Клавий). Правда, разрушая традиционную
установку, но не имея другой столь же прочной логической
базы рассуждения, ученые XVI в. еще не решались признать
этого открыто. Уйти от прямого ответа помогали разного рода
представления об иррациональных числах как о «ненастоя-
щих», «фиктивных» числах, «тенях» истинных чисел, которые,
хотя и не удовлетворяют классическому определению числа,
но обладают свойствами настоящих чисел, и применение их
в математике оправдано получаемой от этого пользой.

Выделение иррациональных чисел в специальный класс
чисел и расширение рассматриваемой области иррациональ-
ности по сравнению с евклидовой явилось важным шагом на
пути к созданию понятия действительного числа.

Однако учение о числе было освобождено от оков гео-
метрии далеко не сразу, поскольку для строгого обоснования
операций над иррациональностями приходилось возвращаться
к античному разделению понятий числа и величины. Поэто-
му, естественно, сделать следующий шаг в обобщении поня-
тия числа проще всего оказалось тем математикам, которые
наиболее тесно соприкасались с вычислительной практикой,
где числовая иррациональность всегда выступала как число.

Именно Стевин, развивший и применявший теорию деся-
тичных дробей, смог без колебания заявить, что любой ко-
рень является числом и что «нет никаких абсурдных, ирра-
циональных, неправильных, невыразимых или глухих чисел».
Он также базировался при этом на идее об аналогии, суще-
ствующей между геометрическими и арифметическими объ-
ектами.

Несмотря на большие изменения в подходе к основным
понятиям учения о числе, многие разделы этого учения
сохранили в XVI в. прежний облик. Как видно из сочинений
даже наиболее революционно мысливших математиков —
Тартальи, Кардано, Штифеля, Рамуса, не говоря уже о та-
ких верных последователях древних, как Мавролико, преж-
ним авторитетом пользовалась никомахова теоретическая
арифметика, входившая самостоятельным разделом в эти со-
чинения. Впрочем, следы ее влияния заметны и два столе-
тия спустя, например, в знаменитом «Трактате об учении
о числах» Л. Эйлера, представляющем собой, несмотря на
многие существенно новые результаты, образец традицион-
ного изложения этого учения.

В XVI в. обычно повторялось освященное веками опреде-
ление числа как совокупности единиц. Лишь Стевин утверж-
дал, что «число есть то, чем определяется любая величина»,
и высказал мысль о непрерывности числа, нарушая пифаго-
рейский подход к этому понятию как к дискретному коли-
честву.

Единица, как правило, числом по-прежнему не считалась,
хотя многие (например, Рамус и Стевин) уже придержива-
лись и противоположной точки зрения, видя в ней не только
«начало чисел» но и число. Следует отметить, что и в XVII в.
в этом были убеждены далеко не все.

Арифметические операции с нулем формально производи-
лись задолго до XVI в. и случаи, когда нуль выступал в роли
решения уравнения, были известны (Леонардо Пизанский,
Шюке), однако представление о равноправии нуля с други-
ми числами начало складываться только в XVII в.

В XVI в. в математику вошли отрицательные числа (Ан-
дреас Александр, Кардано, Штифель, Шейбель, Пелетье,
Клавий). Фактически это произошло намного раньше, если
вспомнить правило знаков в «Арифметике» Диофанта и в
арабской алгебре, отрицательные числа, фигурировавшие под
названием «долг» в китайской математике и у Абу-л-Вафы
Однако теперь их стали рассматривать как самостоятельные
арифметические объекты — «фиктивные числа» особого рода.
Отрицательные числа фигурировали уже в сочинении Андрей
аса Александра, а Штифель, Клавий и Пелетье говорят о
них, как о «придуманных» числах, меньших нуля, которые
столь же удобны, как и иррациональные. Окончательно по-
нятие отрицательного числа было узаконено в XVII в. Де-
картом.

Важнейшее значение имели мнимые числа, введенные
в связи с неприводимым случаем кубического уравнения
(Кардано, Бомбелли). Хотя многие математики как в XVI,
так и в XVII вв., например Стевин и Декарт, не видя в мни-
мых числах пользы, не включают их в понятие числа, «мало-
помалу, однако, рождается доверие к исчислению с этими
«невозможными» числами, так же как и с отрицательными,
и это несмотря на то, что в течение более чем двухсот лет
не было придумано для них никакого «представления» [27,
стр. 67].

Достижения алгебры сделали естественной попытку соз-
дания «общей математической науки», изучающей свойства
как чисел, так и геометрических величин [117, 120]. Это вы-
звало, в свою очередь, понимание необходимости вкладывать
более общий смысл в понятие числа. Однако и в XVII в. по
этому поводу высказывались самые различные взгляды и толь-
ко во второй половине столетия было четко сформулировано
определение, показывающее, что решительный шаг в направ-
лении создания понятия действительного числа, наконец,
сделан.

Представление об отношении как об основном объекте
этой универсальной математики в XVII в. продолжало укреп-
ляться. Об этом свидетельствует внимание, которым неизмен-
но пользовалась евклидова теория отношений, все чаще под-
вергавшаяся критике. Такую критику мы находим в «Книге
х)б отношениях» («Ое ргорогНошЬнз ПЬег») выдающегося
математика п физика Эвангелисты Торричелли (Еуап§е11$1а
ТогпсеШ, 1608—1647 гг.), которая была опубликована лишь
недавно по рукописи [381, 443]. Торричелли видит в теории
отношений фундамент универсальной геометрии и поэтому
считает необходимым уточнить и исправить все неясные ме-
ста в книге V «Начал» Евклида. Он дает последовательное
изложение этой теории на геометрической основе, но само
понятие отношения приобретает у него арифметический смысл.
Так, равенство отношений величин определяется с помощью
выражающего их числового отношения.

Особенно существенную роль в формировании взгляда на
число как на обобщение понятия отношения сыграло сочине-
ние «Геометрический труд» («Ориз ^еоглеШсшп», 1647 г.
[298]) Григория из Санкт-Винцента (Сге^огшз а 81. УтсепНо,
1584—1667 гг.). Он развил идеи своего учителя Клавия, рас-
пространив его теорию «знаменователей» на иррациональные
отношения [109, 172, 192, 317]. «Знаменователь, или количест-
во отношения», который, будучи «умножен на последующий
член отношения, производит предыдущий», фактически яв-
ляется числом — рациональным или иррациональным, — вы-
ражающим данное отношение. Григорий изображает «знаме-
нователи» прямолинейными отрезками и излагает правила
-арифметических действий над ними, последовательно обосно-
вывая их на базе геометрической алгебры.

Ревизию античной теории отношений с позиций, близких
к Григорию из Санкт-Винцента, предпринял математик из
Антверпена Андрэ Таке (Апдгеаз Тасцне!, 1612—1660 гг.),
автор нескольких сочинений, в том числе трактата о практи-
ческой и теоретической арифметике [174], вышедшего в 1656 г.
и выдержавшего несколько изданий, а также сокращенного
изложения «Начал» Евклида [434] (о русском переводе
см. [118]).

Таке отмечает важное значение теории отношений в гео-
метрии и утверждает, что тот не математик, кто не знает ее
[174, стр. 114]. Он излагает теорию «знаменователей» рацио-
нальных и иррациональных отношений со ссылкой на сочи-
нение Григория из Санкт-Винцента, который, по его мнению,
создал «новую науку об отношениях» [174, стр. 146]. «Знаме-
нователь» рационального отношения Таке определяет как ре-
зультат деления большего члена на меньший; для ирра-
ционального отношения непосредственное выражение чис-
лом невозможно. Приведены правила арифметических дей-
ствий над отношениями, которые фактически рассматрива-
ются как числа особого рода. Для Таке «составление
отношений есть не что иное, как умножение отношений»
Т174, стр. 150].
В 1637 г. была опубликована знаменитая «Геометрия»
Декарта, знаменовавшая собой начало нового периода в раз-
витии математики. По словам Ф. Энгельса, «поворотным
пунктом в математике была Декартова переменная величина.
Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым
диалектика и благодаря этому же стало немедленно необхо-
димым дифференциальное и интегральное исчисление, кото-
рое тотчас и возникает и которое было в общем и целом
завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем»1).

Важнейшую роль сыграло сочинение Декарта и в истории
учения о числе. Изложенная в нем буквенная алгебра сделала
возможным применение арифметических операций к геомет-
рическим объектам, а это, в частности, означало, что предпо-
лагаемое со времени античности принципиальное различие
между понятиями числа и величины окончательно стерто.
Переменная Декарта — это, с одной стороны, отрезок пере-
менной длины, с другой,— его числовое выражение, т. е. она
выступает в «двуликом геометрическом и числовом образе»
[120, стр. 526], что предполагает существенное расширение
понятия числа.

Как было показано, уже математики XVI в. осознали не-
обходимость построения теории, которая объединяла бы в
себе рассматриваемые ранее раздельно учение о числе и уче-
ние о величине. В XVII в. эта идея стала господствующей и
нашла четкое выражение в «Геометрии» Декарта и в других
его произведениях.

Декарту ясно внутреннее единство всех математических
наук, о чем он говорит, например, в «Рассуждении о мето-
де»: «Хотя их предметы различны, тем не менее все они со-
гласуются между собой в том, что исследуют только раз-
личные встречающиеся в них отношения или пропорции»
[51, стр. 23]. Поэтому он не стремится изучать «все отдельные
науки, которые составляют то, что называют математикой»,
считая более правильным обратить внимание на выяснение
общих свойств отношений и пропорций каждого вида. Он пи-
шет по этому поводу: «Я решил, что лучше исследовать толь-
ко эти отношения вообще и искать их только в предметах,
которые облегчили бы мне их познание, нисколько, однако,
не связывая их этими предметами, чтобы иметь возможность
применять их потом ко всем другим подходящим к ним пред-
метам» [51, стр. 23].

Для облегчения исследования отношений различных видов
Декарт предлагает «представлять их в виде линий», не найдя
ничего более простого и наглядного «для воображения и
чувств».

1) К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., изд. 2-е, т. 20. стр. 573.
В основе общей математической науки должна, по Декар-
ту, лежать символическая алгебра. Чтобы удерживать в па-
мяти исследуемые отношения и рассматривать одновременно
несколько, он стремится выражать их «возможно наименьшим
числом знаков». «Таким путем — пишет он, — я заимствовал
бы все лучшее из геометрического анализа и из алгебры и ис-
правлял бы недостатки одного с помощью другой» [51, стр. 24].

Математика, как считает Декарт, дает универсальный ме-
тод познания закономерностей природы, применение которого
в других естественных науках и прежде всего в физике поз-
воляет найти истину. В математике и, в частности, в учении
о числе этот метод сыграл особую роль, предоставив «сред-
ства общим образом решать любые вопросы относительно
как дискретных, так и непрерывных величин» [120, стр. 542].

«Геометрия» Декарта начинается утверждением, что «все
задачи геометрии можно легко привести к таким терминам,
что для их построения нужно будет затем знать лишь длину
некоторых прямых линий» [51, стр. 301]. Далее устанавливает-
ся существование параллелизма между «исчислением ариф-
метики» и «построениями геометрии». Этот параллелизм вы-
является благодаря разработанному Декартом исчислению
отрезков, которое по существу повторяет теорию Бомбелли,
изложенную в неопубликованных разделах его «Алгебры».

Как и Бомбелли, Декарт определяет арифметические опе-
рации над геометрическими величинами, изображая величину
прямолинейным отрезком. При этом, «дабы удобнее устано-
вить более тесную связь с числами», он вводит фиксирован-
ный отрезок, который называет единицей и который обыкно-
венно может быть выбран произвольно.

Основное отличие этого исчисления от античной геомет-
рической алгебры состоит, как и у Бомбелли, в полном отказе
от принципа однородности. Так, относительно произведения
двух отрезков Декарт пишет: «Найти четвертую линию, так
относящуюся к одной из этих двух, как другая к единице, —
это то же самое, что умножение». Другими словами, произ-
ведение изображается не построенным на данных отрезках
прямоугольником, а отрезком, который строится как четвер-
тая пропорциональная, т. е. определяется из пропорции
х а = Ь е, где е— единичный отрезок. К построению четвер-
той пропорциональной сводится и действие деления. Квад-
ратный корень рассматривается как средняя пропорциональ-
ная между данными и единичными отрезками, т. е. х = ]/ а
находится из пропорции а х=х :е.

Исходя из такого определения арифметических действий
над геометрическими величинами, Декарт строит теорию урав-
нений, с помощью которой, по его мнению, можно решить
любую математическую задачу. Уравнение решается геомет-
рическим путем: его корень строится как ордината точки
ресечения определенных плоских кривых.

Хотя Декарт фактически распространил понятие числа на
любое вещественное число, явной формулировки этого поня-
тия он не дал. Как и его предшественники, он называет ир-
рациональные числа «глухими», считая их равноправными с
рациональными. Мнимые же числа для него — воображае-
мые, а отрицательные — ложные. Последние он истолковы-
вает как отрезки ординат, которые расположены от оси в сто-
рону, противоположную направлению отрезков, изображаю-
щих положительные числа.

Пример изложения науки о числе, как она понималась
в XVII в., дает Дж. Валлис (ЛоЬп ШаШз, 1616—1703 гг.)
[69—71, 108] в «Универсальной математике» («МаШе818
ЫшуегзаПз»), которая была издана впервые в 1657 г. [459}
и вошла затем в первый том опубликованного в 1693—1699 гг.
полного собрания сочинений автора [460]. Определив мате-
матику как науку о непрерывных или дискретных величинах
и подразделив ее на чистую (арифметика и геометрия) и
смешанную (астрономия, хронология, гномоника, геодезия,
механика, перспектива, музыка и т. д.), Валлис рассматрива-
ет объекты геометрии и арифметики и принципы, лежащие
в основе этих наук. Геометрию и арифметику он назы-
вает науками о том, как хорошо измерять и как хорошо
считать, повторяя определение, встречавшееся, например,
у Рамуса.

Объект арифметики — число — Валлис определяет по тра-
диции как совокупность единиц, единицу же считает «наи-
меньшим числом» [460, стр. 24—25]. Со ссылкой на Декарта
Валлис отмечает связь между арифметикой и геометрией
и устанавливает, как и Стевин, соответствие между едини-
цей и отрезком единичной длины, а не точкой. Относительно
же нуля, который также рассматривается как «начало чисел»,
Валлис утверждает, что он не является числом [460,
стр. 25—26]. Более того, дроби, находящиеся между наимень-
шим числом — единицей — и нулем, не являются «истинны-
ми числами» (уеп* лишен), а должны рассматриваться как
отношения чисел [460, стр. 27]. В другом месте [460, стр. 211]
Валлис отмечает «тождественность (МепШаз) или тесную
связь (аИшИаз)» между дробями и отношениями.

Отношения Валлис подразделяет на рациональные, «ко-
торые можно выразить истинными числами», и иррациональ-
ные, для которых это невозможно [460, стр. 149]. Он подроб-
но излагает (гл. 35) книгу V «Начал» Евклида, в которой
видит «учение об отношениях, как арифметических, так и
геометрических», т. е. выражаемых «не только целыми чис-
лами, но также дробными и глухими» [460, стр. 183].
В самой арифметике, по мнению Валлиса, «вряд ли можно
усмотреть что-то иное, чем учение об отношениях»: целые
числа являются «знаками отношений», у которых последую-
щий член есть 1, а остальные числа (либо дробные, либо
также глухие) суть знаки или показатели для описания всех
других отношений [460, стр. 183]. Объясняя, почему древние
не создали «универсального» учения об отношениях линий
и чисел, Валлис указывает, что ввиду отсутствия символики
у них не было способа выражать любое отношение.

Таким образом, Валлис чрезвычайно близок к отожде-
ствлению понятий отношения и числа, хотя и не решается
сделать этот вывод. Подобно математикам XVI в., он оправ-
дывает свой отход от традиционного толкования этих поня-
тий тем, что рассматриваемые им числа не являются настоя-
щими: «Как из несовершенного или даже невозможного вы-
читания появляются отрицательные числа (1—2, 2 — 3
и т. д.), а из несовершенного или даже невозможного деле-

4
и т.
о

вершенного или невозможного извлечения корней появля-
ются глухие числа (]/3, ]/4 , 1^5 и т. д.)„ [460,стр.211].

Окончательно сформулировал новый взгляд на число Иса-
ак Ньютон (1заас Хе\у1оп, 1642—1727 гг.) во «Всеобщей
арифметике» («АпйппеНса ишуегзаИз»), написанной на ос-
нове прочитанного им в 1673—1683 гг. курса лекций по алгеб-
ре и опубликованной в 1707 г. Подводя итог всему предше-
ствующему развитию понятия числа, он заявил: «Под числом
мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвле-
ченное отношение какой-либо величины к другой величине
того же рода, дробное и иррациональное. Целое число есть
то, что измеряется единицей, дробное — кратной долей еди-
ницы; иррациональное число несоизмеримо с единицей» [88,
стр. 8].

Однако основная работа по логически строгому обосно-
ванию понятия действительного числа в это время только
начиналась, и завершилась она лишь в XIX столетии.

/2 3

ния — дробные числа [у, -у,

д. , так из несо-
ЛИТЕРАТУРА

1. Александров А. Д. Общий взгляд на математику, В сб. «Ма-
тематика, ее содержание, методы и значение», т. I, М., 1956,

5-78.

2. А л и м о в Н. Г Величина и отношение у Евклида, В сб. «Истори-
ко-математические исследования», вып. VIII, М., 1955, 573—619.

3. Архимед. Сочинения, Пер. вступит, ст. и коммент. И. Н. Весе-
ловского, М., 1962.

4. Ахмедов А. Геометрический трактат Шамсиддина Самарканди,
«Изв. АН УзССР», серия физ.-мат. наук, 1969, № 3, 5—7.

5. Бартольд В. В. История изучения Востока в Европе и России,
изд. 2-е, Л., 1925.

6. Башмакова И. Г Арифметические книги «Начал» Евклида,
В сб. «Историко-математические исследования», вып. I, М.—Л.,
1949, 296—328.

Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Происхождение систем
счисления, Энциклопедия элементарной математики, т. I, М.—Л.,
1951.

8. Башмакова И. Г Лекции по истории математики в Древней
Греции, В сб. «Историко-математические исследования», вып. XI,
М., 1958, 225—440.

9. Башмакова И. Г Об античной математике первых веков на-
шей эры, В сб. «Историко-математические исследования», вып. XIV,
М., 1961, 473—490.

10. Башмакова И. Г Цикл работ по истории античной математики,
Автореф. дисс. на соиск. уч. степени д-ра физ.-мат. наук, М., 1961.
Башмакова И. Г., Маркушевич А. И. «Начала» Эвклида,
БСЭ. изд. 2-е, 309—311.

12. Башмакова И. Г О некоторых проблемах античной математики,
В сб. «Историко-математические исследования», вып, XV, М.,
1963, 37—50.

13. Башмакова И. Г Диофант и Ферма, В сб. «Историко-мате-
матические исследования», вып. XVII, М., 1966, 185—204.

14. Березкина Э. И. Древнекитайский трактат «Математика в де-
вяти книгах», В сб. «Историко-математические исследования»,
вып. X, М. 1957, 427—584.

15. Березкина Э. И. О математическом трактате Сунь-цзы, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XIII, М., 1960,
219—230.

16. Б и р у н и. Индия, Пер. и прим. Ю. Н. Завадовского и А. Б. Хали-
дова, Избранные произведения, т. И, Ташкент, 1963.
17. Б и р у и и. Кнша об индийских рашиках, Пер. и прим. Б. А. Розен-
фельда, В сб. «Из истории науки и техники в странах Востока»,
вып. III, М., 1963, 148—163.

18. Бобынин В. В. Периоды, направления школы в развитии наук
математических, М., 1887

19. Бобынин В. В. Очерки истории развития математических наук
на Западе, М., 1896.

20. Бобынин В. В. Отзыв о сочинениях Н. И. Бубнова, Спб., 1911.

21. Боев Г. П. О происхождении и эволюции наших цифр, Уч. зап.
Саратовского госуниверситета, вып. мех.-мат. наук, т. 70, 1961.
5—9.

22. Бубнов Н. М. Происхождение и история наших цифр, палеогра-
фическая попытка, Киев. 1908

23. Б у б н о в Н. М. Арифметическая самостоятельность европейской
культуры, Киев, 1908.

24. Бубнов Н. М. Подлинное сочинение Герберта об абаке или систе-
ма элементарной арифметики классической древности, Киев, 1911.

25. Б у б н о в Н. М. Абак и Боэций. Лотарингский научный подлог XI в.,
Петроград, 1915.

26. Бубнов Н. М. Забытая арифметика классической древности. Древ-
ний абак — колыбель современной арифметики. Исследования по
истории науки в Европе, т. 5, вып. 2, Киев, 1916.

27. Б у р б а к и Н. Очерки по истории математики, Пер. с франц.
И. Г Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова, М., 1963.

28. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика
Древнего Египта, Вавилона и Греции, Пер. И. Н. Веселовского,
М., 1959.

29. В а с и л ь е в А. В. Целое число, Петроград, 1922.

30. В а щ е н к о-З ахарченко М. Е. Начала Евклида с пояснитель-
ным введением и толкованием, Киев, 1880.

31. Ващенко-Захарченко М. Е. История математики, Киев, 1883.

32. В е с е л о в с к и й И. Н. Египетская наука и Греция, Тр. Ин-та исто-
рии естеств., т. II, 1948, 426—498.

33. Веселовский И. Н. Вавилонская математика, Тр. Ин-та исто-
рии естеств. и техники АН СССР, т. 5, 1955.

34. Веселовский И. Н. Архимед, М., 1957.

35. В е с е л о в с к и й И. Н. Способы записи чисел и вычислений в
древнегреческой математике, В кн. «Архимед, Сочинения», М., 1962,
625—628.

36. Вилейтнер Г Хрестоматия по истории математики, М.—Л., 1935.

37 Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи, М., 1964.

38. Всеобщая история, т. III, М., 1957; т. IV, М., 1958.

39. Выгодский М. Я. Алгебра и арифметика в древнем мире,
2-е изд., М., 1967

40. Выгодский М. Я. «Начала» Евклида, В сб. «Историко-матема-
тические исследования», вып. I, М.—Л. 1949, 217—295.

41. Вы го дек ий М. Я. Происхождение «правила двух ложных по-
ложений», В сб. «Историко-математические исследования», вып. XIII,
М., 1960, 231—253.

42. Гейберг И. Л. Естествознание и математика в классической
древности, Пер. С. П. Кондратьева под ред. и с предисл. А. П. Юш-
кевича, М.—Л., 1936.

43. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, М.—Л.,
1946.

44. Гнеденко Б. В. Погребысский И. Б. Об истории мате-
матики и ее значении для математики и других наук,В сб. «Исто-
рико-математические исследования», вып. XI, М., 1958, 441—460.
45. Гнеденко Б. В. О некоторых задачах истории математики, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XI, М., 1958, 47—62.

46. Гнеденко Б. В., Погребысский И. Б., Штокало И. 3.,
Юшкевич А. П. О проблемах истории математики в России и в
СССР и о работах в этой области за 1956—1961 гг., В сб. «Истори-
ко-математические исследования», вып. XV, М., 1963, 11—36.

47. Г н е д е н к о Б. В., Рыбников К. А., С и м о н о в Н. И. Про-
блемы истории математики Нового времени, В сб. «Историко-мате-
матические исследования», вып. XV, М., 1963, 73—98.

48. Гнеденко Б. В. Роль истории физико-математических наук в раз-
витии современной науки, В сб. «История и методология естествен-
ных наук», вып. V, М., 1966, 5—14.

49. Григорьян А. Т., Зубов В. П. Очерки развития основных
понятий механики, М., 1962.

50. Декарт Р. Геометрия, Со вступит, ст. А. П. Юшкевича «Декарт
и математика», М.—Л., 1938.

51. Дек ар. т Р. Рассуждение о методе с приложениями: Диоптрика,
Метеоры, Геометрия; Ред., пер. ст. и коммент. Г Г Слюсарева
и А. П. Юшкевича, хМ., 1953.

52. Депман И. Я. Георг Петр Домкино (О первом издании «Начал»
Евклида на русском языке), Тр. Ин-та истории естеств. т. II.,
1948, 573—574.

53. Д е п м а н И. Я. История арифметики, М., 1959.

54. Евклид. Начала, Пер. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовского,
пр.и ред. участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского, М.—Л.,
т. I, кн. I—VI, 1948; т. II, кн. VII—X, 1949; т. III, кн. XI—XV,
1950.

55. Е г а н я н А. М. Математика в Армении с V по VII века, В сб.
науч, трудов Арм. гос. заочного пед. ин-та, №6, ч. II, Ереван, 1967

56. Заборов М. А. Крестовые походы, М., 1956.

57. Зубов В. П. Трактат Николая Орема «О конфигурации качеств»,
В сб. «Историко-математические исследования», вып. XI, М., 1958,
601—635.

58. 3 у б о в В. П. Трактат Брадвардина «О континууме», В сб. «Исто-
рико-математические исследования», вып. XIII, М., 1960, 385—440.

59. 3 у б о в В. П. Николай Орем и его математико-астрономический
трактат «О соизмеримости или несоизмеримости движений неба»,
В сб. «Историко-астрономические исследования», вып. VI, М., 1960,
301—400.

.60 . 3 у б о в В. П. О некоторых математических трудах Николая Оре-
ма, Тр. Ин-та истории естеств. и техники, АН СССР., т. 34, 1960,
343—349.

61. Зубов В. П., Юшкевич А. П. Рецензия на книгу «Н. Орем.
Вопросы о геометрии Евклида», «Вопросы истории естеств., и
техники», вып. 13, 1962, 160—162.

62. 3 у б о в В. П., Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П. Об ис-
следованиях по истории математики средних веков, В сб. «Истори-
ко-математические исследования», вып. XV, М., 1963, 51—72.

63. Иордан Неморарий. О данных числах, Пер. С. Н. Шрейдера,
под ред. И. Н. Веселовского, В сб. «Историко-математические иссле-
дования», вып. XII, М., 1959, 559—588.

64. История отечественной математики, т. I, Ред. Штокало И. 3., Бого-
любов А. Н., Юшкевич А. П. и др. Киев, 1966.

65. Кар дано Дж. О моей жизни, М., 1938.

66. Кар ы-Н и я з о в Т. Н. Астрономическая школа Улугбека, М., 1950.
'67. Колмогоров А. Н. История математики, Большая Советская
энциклопедия, т. XXVI, изд. 2, 1954.

68. Кольман Э. История математики в древности, М., 1961.
69. К р а м а р. Ф. Д. Интеграционные методы Джона Валлиса, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XIV, М., 1961,
11—100.

70. К р а м а р Ф. Д. Развитие геометрических исчислений, Автореф.
дисс. на соиск. уч. степени д-ра физ.-мат. наук, Алма-Ата, 1966.

71. Крамар Ф. Д. От универсальной арифметики Ньютона к алгебре
кватернионов Гамильтона, В сб. «Историко-математические иссле-
дования», вып. XVII, М. 1966, 309—316.

72. Кэ джо ри Ф. История элементарной математики с указанием на
методы преподавания, Пер. с англ, под ред., с прим, и добавл.
И. Ю. Тимченко, Одесса, 1910; 2-е изд. Одесса, 1917.

73. Л и п ш и ц Е. Э. Византийский ученый Лев Математик (Из истории
византийской культуры IX в.) «Византийский временник», т. II (27),
1949, 106—149.

74. М а м е д б е й л и Г Д. Мухаммед Насирэддин Туси о теории па-
раллельных и теории отношений, Баку, 1959.

75. М а м е д б е й л и Г. Д. Основатель Марагинской обсерватории На-
сирэддин Туси, Баку, 1961.

76. М а р к у ш е в и ч А. И. О классификации иррациональностей в кни-
ге X «Начал» Евклида, В сб. «Историко-математические исследо-
вания», вып. I, М., 1948.

77. М а р к у ш е в и ч А. И. Эволюция научной книги в Западной Ев-
ропе, В сб. «Пятьсот лет после Гутенберга, 1468—1968», М., 1968,
239—286.

78. Матвиевская Г П. Заметки о совершенных числах в запис-
ных книжках Эйлера, Тр. Ин-та истории естеств. и техники
АН СССР, т. 34, стр. 416—427.

79. М а т в и е в с к а я Г. П. О неопубликованных рукописях Леонарда
Эйлера по диофантову анализу, В сб. «Историко-математические
исследования», вып. XIII, М., 1960, 107—186.

80. Матвиевская Г П. К истории математики Средней Азии, Таш-
кент, 1961.

81. Матвиевская Г П. К истории учения о числе на средневе-
ковом Ближнем и Среднем Востоке, В сб. «Историко-математиче-
ские исследования», вып. XVII, М., 1966, 273—280.

82. Матвиевская Г П. Учение о числе на средневековом Ближнем
и Среднем Востоке, Ташкент, 1967.

83. М а т в и е в с к а я Г П. Учение о числе в средние века, Автореф.
дисс. на соиск. уч. степени д-ра физ.-мат. наук, Ташкент, 1968.

84. Медовой М. И. Об арифметическом трактате Абу-л-Вафы, В сб.
«Историко-математические исследования», вып. XIII, 1960, 253—324.

85. М о р д у х а й-Б о л т о в с к о й Д. Д. Из прошлого пятой книги
«Начал» Евклида, «Математическое образование», 1916, №5—8,
255—263, 277—289.

86. Не й г е б а у е р О. Лекции по истории античных математических
наук, Пер. с прим, и предисл. С. Я. Лурье, М.—Л., 1937.

87. Нейгебауер О. Точные науки в древности, Пер. с англ. Е. В. Гох-
ман, под ред. и с предисл. А. П. Юшкевича, М., 1968.

88. Ньютон И. Всеобщая арифметика или книга об арифметических
синтезе и анализе, Пер., ст. и коммент. А. П. Юшкевича, М., 1948.

89. Ольшки Л. История научной литературы на новых языках,
тт. I—II, М.—Л., 1933—1934.

90. Орем Николай, Трактат о конфигурации качеств, Пер.
В. П. Зубова, В сб. «Историко-математические исследования», вып.
XI, М., 1958, 636—731.

91. Петросян Г Б. Математика в Армении в древних и средних
веках, Ереван, 1959 (на арм. яз., резюме на рус. и англ.).
92. Ра ик А. Е. Десятая книга «Начал* Евклида, В сб. «Историко-
математические исследования», вып. I, 1948, 343—384.

93. Р а и к А. Е. Очерки по истории математики в древности, Саранск,
1967.

94. Ро зенф е льд Б. А., Юшкевич А. П. Комментарии к трак-
татам Гиясэддина ал-Каши, В кн. ал-Каши «Ключ арифметики,
Трактат об окружности», М., 1956, 324—380.

95. Розенфельд Б. А. Юшкевич А. П. Математика стран Ближ-
него и Среднего Востока в средние века, «Советское востоковеде-
ние», 1958, № 3; № 6.

96. Розенфельд Б. А. Юшкевич А. П. Омар Хайям, М., 1965.

97. Розенфельд Б. А., Кубесов А. К., Собиров Г С. Кто
был автором римского издания «Изложения Евклида Насир ад-Ди-
на ат-Туси»? В сб. «Вопросы истории естеств. и техники», вып. 20,
М., 1966, 51—53.

98. Р о з е н ф е л ь д Б. А., Карпова Л. М. Книга Абу-л-Хасана
Сабита ибн Корры ас-Саби о составлении отношений (пер., ком-
мент. и вступит, ст.), В сб. «История физико-математических наук
в странах Востока», вып. I, 1966, 5—41.

99. Р ы б н и к о в К. А. Русские издания «Начал» Евклида, «Успехи
математических наук», вып. 9, 1941, 318—321.

100. Рыбников К. А. История математики, т. I, М., 1960; т. II, М.,
1963.

101. Стро йк Д. Я. Краткий очерк истории математики, 2-е изд., Пер.
с нем. изд. и доп. И. Б. Погребысского, М., 1969.

102. Феттер Г. Краткий обзор развития математики в чешских зем-
лях до Белогорской битвы, В сб. «Историко-математические ис-
следования», вып. XI, М., 1958, 461—514.

103. Феттер Г Краткий обзор развития математики в чешских землях
от Белогорской битвы до конца XVII в., В сб. «Историко-матема-
тические исследования», вып. XIV, М., 1961, 491—516.

104. Фрибус Е. А. Развитие математики в Германии XVI в. в трудах
геометра А. Дюрера и алгебраиста М. Штифеля, Автореф. дисс.
на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук, М., 1969.

105. Хаййам Омар. Математические трактаты, Пер. Б. А. Розен-
фельда с прим. Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича, В сб. «Исто-
рико-математические исследования», М., 1953, вып. VI, 11—72.

106. А л ь-Х орезми Мухаммад. Математические трактаты, Пер.
Ю. X. Копелевич и Б. А. Розенфельда, коммент. Б. А. Розенфель-
да, Ташкент, 1964.

107. Цейтен Г История математики в древности и в средние века,
Пер. с франц, изд. П. С. Юшкевича, предисл. М. Я. Выгодского,
М.—Л., 1932.

108. Цейтен Г. История математики в XVI и XVII веках, Пер. с нем.
П. Новикова, обработка, прим, и предисл. М. Я. Выгодского, М.—Л,.
1936; 2-е изд. М.—Л., 1938.

109. Черкалова Л. И. Формирование понятия действительного по-
ложительного числа в XVI—XVII вв., Автореф. дисс. на соиск. уч.
степени канд. физ.-мат. наук, М., 1965.

ПО. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геомет-
рических методов, т. 1—2 (Пер. с франц.), М. 1883.

111. Шереметьевский В. П. Очерки по истории математики, М.,
1940.

112. Шрейдер С. Н. Начала западноевропейской алгебры в сочинении
Иордана Неморария «О данных числах», В сб. «Историко-матема-
тические исследования», вып. XII, М., 1959, 679—688.

ИЗ. Штольц О. Величины и числа, Пер. с нем., «Математическое
образование». 1914, № 1, 43—48, №2, 98—102; №3, 136—146.
114. Щеглов В. П. Самаркандская обсерватория Улугбека» «Земля
и Вселенная», 1967, №4, 62—68.

115. Щ еглов В. П. Ян Гевелий, Атлас звездного неба, Вступ. статья,
Ташкент, 1968.

116. Юшкевич А. П. Декарт и математика, В кн. «Декарт, Геомет-
рия», М., 1938.

117 Юшкевич А. П. О «Всеобщей арифметике» И. Ньютона, В кн.
«Ньютон, Всеобщая арифметика», М., 1948, 347—391.

118. Юшкевич А. П. О первом русском издании трудов Эвклида и
Архимеда, Тр. Ин-та истории естеств. АН СССР, т. II, 1948, 566—
572.

119. Юшкевич А. П. Омар Хайям и его «алгебра», Тр. Ин-та истории
естеств. АН СССР, т. II, 1948, 499—534.

120. Юшкевич А. П., О «Геометрии» Декарта, В кн. «Декарт, Рассуж-
дение о методе», М. 1953, 524—559.

121. Юшкевич А. П. Арифметический трактат Мухаммеда бен Муса
ал-Хорезми, Тр. Ин-та истории естеств. и техники АН СССР, т. 1,
М., 1954, 85—127.

122. Юшкевич А. П., Розенфельд Б. А. Математика в странах
Востока в средние века, В сб. «Из истории науки и техники в странах
Востока», вып. 1, 1960, 349—421.

123. Юшкевич А. П. История математики в средние века, М., 1961.

124. Юшкевич А. П. О развитии понятия функции, В сб. «Историко-
математические исследования», вып. XVII, М., 1966, 123—150.

125. Юшкевич А. П. История математики в России, М., 1968.

126. Юшкевич А. П. Исследования по истории математики в странах
Востока в средние века. Итоги и перспективы, В сб. «Физико-мате-
матические науки в странах Востока», вып. II (V), М., 1969,
5—17.

127 А Ь и К ат г 1. ТИе «А1&еЬга» о( АЬи Калп1, кИаЬ Н а1-]аЬг \уа’1-ти-
д$Ьа1а гл а соттеп!агу Ьу Могбесаг Рглхг, НеЬгеху 1ех(, 1гапз1а1гоп,
апс! соттеп!агу зресга! геГегепсе 1о 1Ье АгаЫс 1ех1 МагНп
Ьеуеу, МасНзоп, Мгкаикее апс! Ьопбоп, 1966.

128. АдозНп! А. II «Бе УгггЬиз диапШаНз» 61 Биса РасюИ, Во1о&па,
1924.

129. А1сигпг орега отпга, еН. 3 Г Мг^пе, Раггз, 1851.

130. А! Ье Низ бе 8 а х о п г а. Тгас1а1из ргорогНопит, УепеНа, 1496.

131. Атобео Р II 1гаНа1о де11е солгсЬе сП Ргапсезсо МаигоПсо, ВгЫ.
та!Ь., Р. 3, Вб IX, 1908/1909, 123—138.

132. Апаз1оз М. V ТИе Ыз1огу о! ВухапНпе заепсе. Рерог! оп 1Ье
ОитЬаНоп Оакз Зутрозшт о! 1961, ОитЬаНоп Оакз Рарегз, 1962,
409—411.

133. А г г 1 % И 1 О. Ьа таЗетаНса гл ИаПа 6игал1е П тебю-еуо, Ас!ез би
XI Соп^г. 1п1егп. сГН1з1. без зек, I. III, ОззоНпеит, 1968. 185—188

134. Вескег О. Еис1охо5-81ис1геп, I. Егпе УогеибохгзсИе РгорогИопеп1е11ге
ипс! гИге Зригеп Ье1 Апз1о1е1ез ипб ЕикНб, <Эие11еп и. 81иб. гиг
(ЗезсИ. 6. МаПъ, Аз1гоп. и. РИуз., АЫ. В, Вс! II, ВегПп, 1932.

135. Вескег О. Еш1охо8-81идгеп, III. Оге ЬеЬге уот (Зегабеп ипс! Ип&е-
габел гт пеип1еп ВисИ бег ЕикНсПзсИеп Е1етеп1е, (2ие11еп и. 81ис1.
хиг (ЗезсИ. 6. МаПъ, Аз1гол. и. РИуз., Вс! III, ВегИп, 1936.

136. Вескег О. Оаз таПлетаПзсИе Оепкеп бег АпНке, РгегЬиг^—Мйп-
сИеп, 1954.

137. Вебае УепегаЫНз орега отта, ес1. Л. А. (ЗШез, Ьопбоп,
1843—1844.

138. Вег1е1 В. Абат Щеве, зет ЬеЬеп, зегпе РесИепЬйсИег ипс! зете
Аг1 хи гесИпеп, Оге Созз гоп Абагп Р.гезе, Ьегрхг^, 1892.

139. Вез11югп К. О. ОеЬег бел Соттеп1аг без БгтрНсгиз хи бел Е1е-
тел!а, ВгЫ. та111., Р. 2, Вс1 6, 1892, 65—66.
140. Вез!Ьогп К. О., Не1Ьегй 1. Ь. Содех Ье1депз18'$99, I, ЕисН-
д!з е1етеп!а тГегргеСаНопе аЕНадзскдзёкадзсЫ! сит соттеп-
Гагпз аМХЫпгп, АгаЫсе е! 1аНпе ед., I—III, Наутае, 1893—1910.

141. В!дгпЬо А. А. Кесепзюп: М. Сиг!ге, АпагИп т десет ИЬгоз рпо-
гез Е1етеп!огит ЕисИд!з, В1Ы та!к., Е. 3, Вд. II, 1901, 363—366.

142. В]дгпЬо А. А. 81ид!еп йЬег Мепе1аоз 8ркапк, АЬкапд1. гиг безск.
д. та!к. ДМ188., Н. XIV, 1902.

143. В]дгпЬо А. А. ОЬег г\уе! таШетаНзске НапдзскпПеп аиз дет
у!еггекп!еп Лакгкипдег!, В1Ы. та!к., Е. 3, Вд III, 1902.

144. В]бгпЬо А. А. Негтаппиз Ва1та!а а!з ОЬегзе!гег аз!гопот!зскег
АгЬеИеп, В1Ы. та!к., Е. 3, Вд IV, 1903, 130—133.

145. В]дгпЬо А. А. Э!е таШетаНзскеп 8. МагсокапдзскпИеп т Е1о-
гепг, В1Ы. та!к., Е 3, Вд IV, 1903, 238—245.

146. В]бгпЬо А. А. бегкагд уоп Сгетопаз ОЬегзеГгип^ уоп АНоуапггтз
А1^еЬга ипд уоп ЕикИдз Е1етеп!еп, В1Ы. та!к., Е 3, Вд VI, 1905,
239—248.

147 В]дгпЬо А. А. Э!е т!!!е1а1!егИскеп 1а!е!п!зскеп СЬегзекип^еп аиз
дет бпесЫзскеп аи( дет ОеЫе!е дег та!кета!!зскеп иЧззепзскаГ-
!еп, АгсЫу Гйг д. безск. д. ЫаШгшзз. и. д. Тесктк, Вд I, 1909,
385—394.

148. В]дгпЬо А. А. ТкаЫ!з ДУегк йЬег деп Тгапзуегза1еп8а!2 (ИЬег де
П^ига зесГоге), пн! Ветегкип^еп уоп Н. 8и!ег, кгз&. ипд ег&апг!
уоп Н. Вйг^ег ипд К. КоЫ, АЬкапд!. гиг безск. д. Ха!иг\У138. и. д.
Мед., Н. 7. ЕНап^еп, 1924.

149. В1азскке ДУ., 8 с кор ре б. Ке^ютопГапиз: Соттепзига!ог,
АЬкапд!. та!к.-па!иг5У!з8. К1. Ак. ДУ188. и. ЬИегаГиг, 1956, №. 7.

150. ВНете!гг!едег Е. Аде1агд уоп Ва!к, Мйпскеп, 1935.

151. Вое! к! из. Эе тзШиИопе агЛктеНса, Аи^зЬиг^, ед. Е. Ка!до1!,
1488.

152. В о т Ь е 111 К. Ь’А1^еЬга, Во1о^па, 1579.

153. Вопсотра^п! В. Ве11е уегзют Га!!е да Р1а!опе ИЬиппо !гади!-
!оге де! зесоТо диодеато, АШ де1Г Ассад. РопШ. де! Ыпсе!, I. IV,
1851, 249—286.

154. Вопсотра^п! В. Ое11а уИа е деПе ореге д! бкегагдо Сгетопе-
зе, Кота, 1851.

155. Вопсотра^п! В. Тга!!а!1 д’ап!те!тса риЬНсаН де Ва1даззаге
Вопсотра^т I. А1$оп!кпм де питего тдогогк, II Лоапт Н!зра1еп-
818 ИЬег аЦгопзпн де ргаНса апзте!псе, Кота, 1857.

156. Вопсотра^п! В. 1п!огпо а1 сотепГо д! РгосИ зи1 рпто НЬго
де^П е1етепН д! ЕисНде, ВиП. д! Ь1Ы. е д! з!ог!а деИе зс!. та!, е Из.,
!. VII, Кота, 1874, 152—165.

157 Вопсотра^п! В. 1п!огпо ад ип !га!!а!о д’агИтеНса д! СНоуапт
ДУ1дтапп д! Е&ег, ВиП. д! ЫЫ. е д! з1ог!а деПе зс!. та!, е !!з., !. XIV,
Кота, 1876, 188—210.

158. Вопсотра^п! В. 1п!огпо ад ипо зсп!!о тедИо д! Аде1агдо д!
Ва!к !пН!о1а!о «Ке^и1е АЬас!», ВиП. д! ЫЫ. е д! з!опа деПе зек
та!, е. Из.,!. XIV, Кота, 1881, 1—134.

159. [В о г е 111 А.]. Еис11д!з гез!!!и!из а Ло. А1ркоп. ВогеШо пеароШапо
ЕдШо !егИа депио Ита!а, Кота, 1679.

160. Вог!о1о!!1 Е. Ьа !пзег!опе де!Гап^о1о ед И сазо !ггедис!Ы1е
деПа едиахюпе сиЫса пе!Г «А1стеЬга» д! КаГае! ВотЬеП!, Кепд!соп-
!о деПе 8езз!оп! деПа К. Ассад деПе 8сй де1Г1пзШи!о сП Во1оета,
1922—1923.

161. Вог!о1о!!! Е. Ь’А1^еЬга, Орега д! Ка(ае1 ВотЬеШ, СШадто Во-
1о§пезе, АгсЫу Гиг д. безск. д. Ма!к., д. Ма!иг\У18з. и д. Тесктк,
Вд 11, 1929, Н. 4, 407—422.

162. Вог!о1о!!! Е. Ь’а1&еЬга пе11а з!опа е пеПа рге!з!ог!а деПа зс!еп-
/е, Оз!пз, уо1. I, 1936, 184—230.
163. В о г I о 1 о Н 1 Е. Ь’А|$еЬга, Орега сП Раке! ВотЬеШ да Во1одпЗ.
ЫЬп IV е V сотргепепШ «Еа Раг1е СеотеЫса» тедка 1гаПа да1
тапозсгШо В. 1569 де|1а В1ЬНо1еса де!Г Агскфппазю д! Во1о&па,
СоПегюпе рег 1а з1опа е 1а П1о8опа деПе та!етаНске, № 7, Во-
1о^па, 1929.

164. Вог1о1о1Н Е. Ье з1ог!а деПа тактаНса пеПа ЫтуегзИа д1 Во
1о&па, Во1о^па, 1947.

165. В о з т а п з И. Негтапп 1е Оакпа^е, 1гадис1еиг дев каПёз агакез.
Реуие дез диезПопз 8С1. риЬНёе раг 1а 8ос. 8с1 де ВгихеПез, 63,
1904, 669—672.

166. В о з т а п з Н. Ье соттеп1аие де бетта Рпзшз зиг ГАгНЬтеНса
Ые^га де 8Ше1, Апп. де 1а 8ос. 8с1 де ВгихеПез, 30 1, 1905,
165—168.

167. Возтапз Н. Ье ка^теп! ди соттеп1аие д’Адпеп Котат зиг
ГА1&ёЬге де Макитед Ьеп Миза еЬСкохуагехт!, Апп. де 1а 8ос. 8ск
де ВгихеПез, 30 : 2, 1906, 267—287.

168. Возтапз Н. Ье «Ое аг!е та^па» де ОшПаит СоззеПп, В1Ы. та1к.,
Р. 3, Вд 7, 1906, 44—56.

169. Возтапз Н. К1ете Ветегкип^еп гиг 2. АиПа^е уоп Сап1огз
«Уог1езип&еп», В1Ы. та1к., Р 3, Вд VII, 1906/1907, 214.

170. Возтапз Н. Апа1узе дез по!ез дие (Зетта Рпзшз а ёсгИз зиг 1ез
таг&ез де зоп ехетр1аие де ГАгПктеПса т!е&га де 8Ше1, Апп. де
1а 8ос. 8с1. де ВгихеПез, 30 1, 1906.

171. Возтапз Н. Ь’А1&ёЬге де Ладиез Ре1еНег ди Мапз дёрагНе еп
деих Пугез, Реуие дез диезНопз зси риЬНёе раг 1а 8ос. 8с1. де Вги-
хеПез, Из, 1907, 117—173.

172. Возтапз Н. РагНси1агИёз де 1а У1е де Сгё^оие де 81. V^псеп^,
Апп. де 1а 8ос. 8с1 де ВгихеПез, 34 : 1, 1909/1910, 174.

173. Возтапз Н. Ыокз зиг 1’АгПктёНдие де 81топ 81еут, Апп. де 1а
8ос. 8с1. де ВгихеПез, 35, 1910/1911, 293—304.

174. Возтапз Н. Апдгё Тасдие! (8. Л.) е! зоп каПё д’«АгПктёНдие
(ЬёогеНдие е1 ргаНдие», Ыз, IX, 1927, Мо. 1, 66—82.

175. Воуег С. В. РгорогПоп, едиаНоп, ТипсНоп: 1кгее з1ерз т П1е деуе-
1ортеп1 о! а сопсер!, 8спр1а та!к., уо1. 12, 1946, Ыо. 1, 5—13.

176. Вгаиптйк1 А. Йаззк Еддт Тиз! ипд Ре^1отоп1ап, АЫ1апд1. д.
Ьеор.-Саго1. Акад. д. МаШг^чзз., Вд 71, 1898, 33—67.

177. ВгаиптйН А. Уог1езип§еп йЬег д1е ОезсЫсЫе дег Тп2опоте1пе,
Вд 1—2, Ье1р21&, 1900.

178. ВгаиптйН А. О1е Епкпске1ип& дег 7е:скеп- ипд Рогтекргаске
щ дег Тп^опотеЫе, В1Ы. таН1., Р. 3, Вд I, 1900, 64—74.

179. Вге1зскпе1дег С. 6. (ед.). Согриз РеГогта1огит, XI, 1840,
531—544.

180. Визагд Н. Ь. Ь. (ед.). Ы. Огезте, (^иезНопез зирег ^еотеЫат
ЕисПд13, Ье1деп, 1961.

181. Визагд Н. Ь. Ь. ОЬег епи^е Рарьеге аиз V^е^а8 ЫасЫаР ш дег
Рапзег В1Ы1оН1ёдие МаНопаТе, Сеп1аигиз, уо1. 10, 1964, Йо. 2,
65—126.

182. Визагд Н. Ь. Ь. О1е ОЬегзекип^ дег Е1етеп1е ЕисПдз дигсЬ Нег-
тапп уоп Кагп1еп, 8утроз. «В1е МаНмчпаНк т деп Ьапдегп дез
Оз1епз 1т МИ1е1аИег>\ АЬз1гас1з, Мозкаи, 1966, 5.

183. Визагд Н. Ь. Ь. Тке 1гаяз1аНоп о{ 1ке Е1етеп1з о( ЕисНд кот
Фе АгаЫс 1п1о ЬаНп ку Негтапп оГ Санп1к1а, Ье1деп, 1968.

184. Са|ог1 Р. Кокег! Кесогд, Тке та!к. Теаскег, уо1. 15, 1922, Мо. 4—5,
294—302.

185. Са]ОГ1 Р. Ыо1ез оп Ьиса РасюП’з «8итта», Агск. д1 з1опа д. зс1-
епха, 1. 5, 1924, 125—130.

186. Тке Саткпдде тед!еуа1 к!з1огу, уо1. IV (Тке Еаз1егп Ротап ЕтрЬ
ге, 717—1453), Саткпдде, 1923.
187. Сап!ог М. Ре!гиз Ратиз, М1сЬае1 8Ше1, РИегопутиз Сагбапиз,
дге! таГЬетаИзсЬе Скагак1егЬ11с1ег аиз с!ет 16. ЛаЬгЬипбег!, ХеИзсЬг.
Гйг Ма1Ь. и. РЬуз., Вс! 2, 1857, 353—376.

188. Сап! о г М. Ратиз 1гп Не!бе1Ьег^, 2е11зсЬг. Гйг Ма1Ь. и. РЬуз., Вс1 3,
1858, 133—143.

189. Сап1ог М. О1е гбгтзсЬеп А&птепзогеп ипс! 1Ьге 81е11ип^ т бег
СезсЫсЫе бег РеГбтеззепкипз!, 1875.

190. С ап Гог М. ОЬег етеп Собех без К1оз1егз 8а1ет, 7еИзсЬг. Гйг МаГЬ.
и. РЬуз., Вб 10, 1865.

191. СапГог М. Регепзюп: Н. \Уе1ззепЬогп, О1е ОЬегзеГгип&еп без
ЕикИб дигсЬ Сатрапо ипс! ХатЬегН, 7е11зсЬг. Гйг МаГЬ. и. РЬуз.
Вб 27, 1882, ЫзЕ-НЕ АЫ., 110— 111.

192. СапГог М. УоНезип^еп йЬег ОезсЫсЫе бег МаГЬетаНк, Вб I—II,
АиП. 3, Ее1’рх1^, 1900—1907.

193. СапГог М. АЬтеб ипс! зет ВисЬ йЬег сИе РгорогНопеп, В1Ы. таГЬ.,
Р 2, Вб 2, 1888, 7—9.

194. [Сагбапо.]. Н1еготгт С. Сагбат тесИс! тебю1апеп$1з ргасНса
АгИЬтеЕсае, е! МепзигапсН зт&Ыапз, 1539.

195. [Сагбапо.]. Н!егоп1ту Сагбап! Аг1!з Ма^пае з!уе бе Ре^иПз а1&еЬ-
га1с1з, ИЬ. ипиз..., 1545.

196. [Сагбапо.]. Н!егоп1т1 Сагбат ориз поуит ае ргорогВоЫЬиз, Ва-
зПеае, 1545.

197 С а г т о а у Т. Л. Ре&ютоЫапиз’ поГез оп аЕВИгйр’з, 1з1з, уо1. 42,
рагГ 2, 1951.

198. [С а з з 1 о а о г и з]. ЛАа^п! АигеШ Саззюбоп зепаГопз, V. с. уапагит
ИЬг1 XII, Рапзпз, 1589.

199. СЬаз1ез М. Раррог! зиг ип Мётоие ае М. Р. ДУоерске, 1пШи1ё:
ЕззаГ а’ипе гезШиВоп аез Ггауаих регбиз б’АроПотиз зиг 1ез циап-
Шёз пгаНоппеПез, СотрГез гепаиз ае ГАсаа. ае 8с1., I. 37, Рапз,
1853, 533—568.

200. СЬг1з1епзеп 8. А. (Лебег СИекЬип^еп У1егГеп Огабез кп геЬЫеп
ВисЬ аег Е!етеп1е ЕисИб’з, ХеИзсЬг. Гйг МаГЬ. и. РЬуз., Ва 34,
1889, ЫзГ.-ПЕ АЫ., 201—217.

201. С1 а^еЫ М. ТЬе теЛеуа! 1а1т 1гапз!а11опз Ггот 1Ье агаЫс о! ГЬе
Е1етеп1з оГ ЕисНб \уИЬ зреоа! етрЬаз1з оп ГЬе уегзюпз о! Аае1ага
оГ ВаГЬ, 1з1з, уо1. 44, 1953, 16—42.

202. С1а^е11 М. М1со!е Огезте апа теб!еуа1 заепйНс Пюи^Ы, Ргос.
Атег. рЫ1оз. 8ос., уо1. 108, 1964, Мо. 4, 298—309.

203. С1а^еН М. ТЬе зстсе оГ тесИатсз т 1Ье М1аа1е А^ез, МааГзоп,
АУ18сопзн1, Ьопаоп, 1959.

204. С1агке Р. М. №е\у П^Ы оп КоЬегГ Кесоне, 1з!з, уо1. VIII, 1926,
50—70.

205. [С 1 а V 1 и з]. А1^еЬга СЬпзГорЬоп С1ауи ВатЬегдепз!з е 8ос!е1а1е
Лези, АигеПапае АПоЬго^ит, 1609.

206. С г е Н. ТЬе рЬоНзгт бе 1итте о( Маиго1усиз, Ы. У., 1940.

207. С г о т Ь 1 е А. С. Аи&изйпе 1о СаШео. ТЬе Ыз1огу оГ зс!епсе а. □.
400—1650, Еопбоп, 1952.

208. СготЫе А. С. (еб.). ЗсГепВПс сЬап^е, Еопбоп, 1963.

209. СгозЬу Н. Е. ТЬотаз оГ Вгаа^агбте. Н1з Тгас1а1из бе ргорогНо-
П1Ьиз. Из з^пШсапсе Гог 1Ье беуе!ортеп1 оГ та1ЬетаНса1 рЬузГсз,
МабГзоп, 1955.

210. СигГге М. Оег А^опзтиз РгорогИопит без №со1аиз Огезте гит
егзГеп Ма1е пасЬ бег ЕезагГ бег НапбзсЬпИ К. 4° 2 бег бутпаз.-
В1ЬНо1Ьек ги ТЬогп ЬеГаиз&е&еЬеп, ВегНп, 1868.

211. Сиг! ге М, ОЬег ете НапбзсЬпП бег Кот&1. В1ЬИо1Ьек ги Огез-
беп, 7еИзЬг. Гйг Ма1Ь. ипб РЬуз. Вб 28, 1883, ЫзМИ. АЫ.,
1—13.

212. С и г I 2 е М. Логбат Ыетогагп Оеоте!па уе! бе Тпап^иНз ЫЬп 4,
МШеП. без Соррегтсиз-Уегетз., ТЬогп, 6, 1887.
213. Сиг!ге М. Сотгпеп!аг ги дет «Тгас!а!из де питепз даПз» дез Лог-
дапиз Метогагшз, ХеИзскг. Гйг Ма!к. и. Ркуз., Вд 36, 1891.

214. Сиг!ге М. Ма!кета!15ск-бе8ск!ск!11ске8 аиз дет Содех 1а!тиз
Мопасепз18 Мо. 14908, АгсЫу д. Май), и. Ркуз., Вд 13, Н. 4,
1894/1895, 388—406.

215. С и Нге М. Ет ВеПга^ гиг безсЫсЫе дег А1&еЬга т Веи!зск1апд
1т XV Лкг., АЬкапд!. гиг безск. д. та!к. №1зз. Н. 7, 1895,
31—74.

216. Сиг!ге М. М1зсе11еп гиг безсЫсМе дег Ма!кета!1к т 14. ипд 15.
Лакгкипдег!, В1Ы. та!к., Е. 2, Вд 9, 1895, 1—8.

217. Сиг!ге М. Хиг безсЫсЫе дег ОЬегзе!гип^еп дег Е1етеп!а 1т
М1Не1а11ег, В1Ы. та!к., Р. 2, Вд 10, 1896, 1—3.

218. Сиг1ге М. Ре!п РкПотет де Васда 1п А1^ог1зтиз уи!&агет Лоап-
тз де Засгокозсо соттеп!апиз, Наутае, 1897.

219. Сиг!ге М. В1е (^иадгаЪуиггеИогте! дез Негоп Ье1 деп Агакегп ипд
Ье1 Ке&1отоп!ап ипд дагт! Хизаттепкап^епдез, ХеИзскг. (йг Ма!к.
и. Ркуз., Вд 42, 1897, ЫзЕ-Н!. АЫ., 145—152.

220. Сиг!ге М. ОЬег ете А1^опзтиз-8скгИ! дез XII. Лакгкипдег!з,
АЬкапд!. гиг безск. д. та!к. №!зз., Н. VIII, 1898, 17—27.

221. Сиг! г е М. Апап!н т десет ИЬгоз рпогез соттеп!агп ех 1п!егрге-
!а!1опе бкегагд! Сгетопепз1з т сод!се Сгасоу1епз1 1569 зегуа!а
(ЕисПдез орега отта, ед. Не1Ьег& Л. к, 8ирр1етеп!ит), Ырз1ае,
1899.

222. С и г! г е М. В1е А1&еЬга дез 1т!шз А1&еЬгаз ад Пет беоте!гат
та^1з!гит зиит, АЬкапдП гиг безск. д. та!к. №1зз., Ье1рг1^, Н. XI,
437—609.

223. С и г! г е М. Вег «ГЛЬег етЬадогит» дез 8ауазогда т дег ОЬегзе!-
гипд дез Р1а!о уоп Т1уоИ, АЬкапд!. гиг безск. д. та!к. №188., Н. XII,
Ье1рг1^, 1902.

224. Си Нге М. Вег ВпеГ\уескзе1 Ке^1отоп!ап’з пм! бюуапт В1апскт1,
ЛасоЬ уоп 8ре1г ипд СкпзПап Кодег, АЬкапд!. гиг безск. д. та!к.
Мзз., Н. XII, Ьехрг!^, 1902, 185—336.

225. ВепШе И. В1е Еп!з!екип& дег 1Лп1уегз11а!еп дез М1!!е!а1!егз Ыз
1400, ВегИп, 1885; 2, АиП., бгаг, 1956.

226. ВеиЬпег Р. ...Маск Адат К1ез. ЬеЬеп ипд №1гкеп дез &гореп
Кескепте1з!ег5, Ье1рг1&—Лепа, 1959,.

227. В е р а и К. 81топ 8!еуш, ВгихеПез, 1942.

228. В’ЕНа Р. М. баШео т СЫпа, СатЬпдде, МаззаскизеПз, 1960.

229. В 1 е г с к з 8. В1е АгаЬег т МП!е1а1!ег ипд 1кг ЕтПизз аи! д!е Ки1-
!иг Еигораз, Ье1рг1^, 1882.

230. В1оркап!1 А1ехапдг1п1 Кегит агИктеИсогит ПЬп зех.
А биП. Ху1апдго Аи^из!апо тсгедПЯН 1аЬоге 1а!те геддИит, Ваз-
1ае, 1575.

231. В1оркап!е д’А1ехапдг1е. Ьез з1х Пугез агИктёПциез е! 1а
Пуге дез потЬгез ро1у^опез, ед. Р. \’ег Ееске, Вги&ез, 1928.

232. В ’ О о & е М. Ь. Мсотаскиз о! бегаза, 1п!годис!1оп !о ап!ктеНс.
Тгапз!. 1п!о еп^Изк, ^/Нк з!ид1ез т бгеек агПктеПс Ьу Е. 8. КоЬ-
Ьтз апд Ь. С. Кагртзк!, Апп. АгЬог, 1938.

233. В и к е т Р. 8иг ГА1доп!ктиз детопз!га!из, В1Ы. та!к., Р. 3, Вд VI,
1905 9_______15

234. Епез!гот б. АпТгаде 47, В1Ы. та!к., Р. 2, Вд 8, 1894, 96.

235. . Е п е з ! г б т б. 8иг Гопоте ди !егте «8игдиз» (тсоттепзигаЫе),
В1Ь1. та!к., Р. 3, Вд I, 1900, 516.

236. Епез!гбт б. ОЬег деп Vег[а85ег етег уоп Сиг!ге (1898) кегаиз-
^е&еЬепеп А1&0П5тиз-8скгИ! аиз дет 12. Лакгкипдег!, В1Ы. та!к.,
Р 3, Вд II, 1901,312.

237 Епез!^бт б К1ете Ветегкип^еп гиг 2. АиПа^е уоп Сап!огз
«УоНезипзеп», В1Ы. та!к., Р. 3, Вд I—XIV, 1900—1914.
238. Ёпез!гбт 6. Зиг Га1&еЬге бе ЙоЬег! Йесогбе, ЫЫ. та!Ь. Г 3,
Вб II, 1901, 152.

239. Елез1г6т С. Негтаппиз зесипбиз (0а1та1а), ЫЫ. та1Ь. Г
Вб III, 1902, 410—411.

240. Епез!г6т О. Ет уегзсЬоПепег беиксЬег Созз1з1 аиз бет АпГап^е
без зесЬхеЬп1еп баЬгЬипбеНз, В1Ы. та1Ь., Е 3, Вб III, 1902, 355—360.

241. Е п е з I г о т О. 1з( боЬаппез Мбтап УегГаззег бег «Огезбепег А1-
ееЬга?», В1Ы. та!Ь., Е 3, Вб IV, 1903, 90.

242. Е лез I гот О. ОЬег бел беиксЬеп ЛЫЬетаНкег Апбгеаз А1ехап-
бег, В1Ы. та!Ь„ Е. 3, Вб IV, 1903, 290—291.

243. Епезкбт О. 1з! богбапиз Кетогапиз VегГа88е^ бег 8сЬг1Г1 «А1-
^огИЬтиз бетопзкаЮз»?, В1Ы. та!1)., Е 3, Вб V, 1904, 9—14.

244. Епез!гот О. ШоЬег Ьа1 Ьеопагбо Р1запо зете Кепп(п1з8е бег
Е1етеп!а без ЕикНбез епйюттеп?, В1Ы. та(Ь. Е 3, Вб V, 1904,
414—415.

245. Епез!г6т С. Ет пеиез ШсгапзсЬез НПГзтШе! хиг Vе^Ьге^^ип^
та1ЬетаН8сЬ-Ыз!ог18сЬег Кепп(п18зе, В1Ы. та1Ь., Е 3, Вб V, 1904.
404—405.

246. Епез!г6т О. ОЬег х\уе! аНеге Вепеппип&еп бег ГйпИеп Ро1епх
етег Огдззе, В1Ы. та!Ь., Е. 3, Вб VI, 1905, 324—325.

247. Елез1г6т (д. АУоЬег ЬаЬел Ёеопагбо Р1запо ипб богбапиз №то-
гапиз 1Ьге Ьдзип^еп без РгоЫетз бег АУйг(е1уегборре1ип^ еп1пот-
теп?, В1Ы. та!Ь., Е 3, Вб VI, 1905, 214—215.

248. Епез1г6т (з. Ветегкип^ йЬег х^Уе! аНеге Вепелпип^еп бег ГйлГ-
1ел Ро!епх етег Огдззе, В1Ы. та!Ь., Е. 3, Вб VI, 1905, 410.

249. Епез1гот (з. ОЬег б!е Еп!бескип^ без 2изаттепЬап^ез хипзсЬел
бел АУигхе1п етег СИекЬип^ ипб бег СНекЬип^зкопзкпк, В1Ы.
та!Ь., Е. 3, Вб VI, 1905, 409—410.

250. Епез1гот О. ОЬег бел ВеагЬеИег обег ОЬегзекег без уоп Воп-
сотра&т Ьегаиз&е&еЬепе ЫЬег а1&опзгт бе ргасНса апзте1псе,
В1Ы. та!Ь., Е. 3, Вб VI, 1905, 114.

251. Епез1гот О. На! ТаНа^Иа <ете Ьдзип^ бег киЫзсЬеп €д1е1сЬип^
уоп Ве1 Еегго епИеЬп!?, В1Ы. та!Ь. Е 3, Вб VII, 1906/1907,
38—43.

252. Епез1гдт С. ОЬег б!е АпГап^е бег Вепи!хип^ уоп 1Ми11 а!з ете
\У1гкПсЬе (дгоззе, В1Ы. та!Ь., Е 3, Вб VII, 1906/1907, 309.

253. Епез!гот О. ОЬег х\уе! ап^еЬИсЬе та(ЬетаНзсЬе 8сЬи1еп пл
сЬпзШсЬеп МИ1е!аИег, В1Ы. та!Ь., Е. 3, Вб VII, 1906/1907, 252—262.

254. Елез1гот О. ОЬег б1е «ВетопзкаНо богбап! бе а1^ог!зтс»,
В1Ы. так!., Е. 3, Вб VII, 1906/1907, 24—37

255. Елез1гот (з. ОЬег ете бет богбапиз Иетогапиз хи&езсЬпеЬепе
кигхе А^опзтиззсЬпИ, В1Ы. та!Ь., Г 3, Вб VIII, 1907/1908,
135—153.

256. Елез1гот (з. ОЬег ете 1т МП(е1а11ег йЬегзеШе агаЫзсЬе 8сЬгЕ1
а1&еЬга1зсЬел 1лЬа11з, В1Ы. та!Ь., Е. 3, Вб VIII, 1907/1908, 416.

257. Елез1г,от О. ОЬег б!е «АгИЬтеНса» без богбапиз Иетогапиз,
В1Ы. та!Ь., Е. 3, Вб IX, 1909, 175.

258. Е лез! гот (д. ОЬег баз ал&еЬИсЬе Оех1та1ЬгисЬхе1сЬел е1п1^ег бег
а11ез(еп &ебгиск1ел КесЬепЬйсЬег, В1Ы. та!Ь. Е 3, Вб X, 1909/1910,
238—243.

259. Епез1гот (д. Ооег б!е ОезсЫсЫе бег 81егпу1е1еске 1т МИ!е1а11ег,
В1Ы. та!Ь., Е. 3, Вб X, 1909/1910, 277

260. Елез1гдт (д. ОЬег б!е (дезсЫсЫе бег егз!еп а!^еЬга1зсЬеп Едзил^
бег аП&ететел СИекЬип^ у1ег(еп Огабез, В1Ы. та(Ь., Е 3, Вб 11,
1910/1911, 182—183.

261. Е лез! гот О. ОЬег Огзргипсг етег МоМя аиз бет 16. баЬгЬипбегГ,
ЬекеИепб <Ие ЕгПлбип^ бег А1"еЬга, ЫЬ1. та|Ь. Е 3, Вб XII,
1911/1912. 181—182.
262. Епез1гбт С. ОЬег бел «А1&опзтиз бе Ые&пз без Ме1з1егз Сег-
пагдиз», В1Ы. та1Ы, Р. 3, Вд XIII, 1912/1913, 289—332.

263. Епез1гбт С. ОЬег деп игзргйп^ИсЬеп ТИе! бег &еоте1пзс11еп
8сЬгИ1 без Логдапиз Ыетогапиз, В1Ы. таН1„ Р. 3, Вб XIII,
1912/1913, 83—84.

264. Епез1гбгп О. ОЬег с!еп А1^опзтиз бе ттиШ$, В1Ы. таНъ, Р. 3,
Вд XIV, 1914/1915.

265. Епез1гбт О. Оаз ВгисЬгесЬпип^ дез Логдапиз Метогапиз, В1Ы.
таН1., Г. 3, Вд XIV, 1914/1915, 41—54.

266. Епез1гот О. ОЬег (Не СезсЫсЫе Лег КиЫк^иг2е1аизг1еЬип^ 1т
М1Пе1а11ег, В1Ы. та(Ь., Г. 3, Вд XIV, 1914/1915, 83—4.

267. Е и с 1 1 д 1 з Е1етеЫа ^еоте1г!ае соттеЫ. ЛоЬаппиз Сатрапиз, Ег-
Ьагд Ка(до11, Vепе2^а, 1482.

268. Е и с 11 д 1 з М е & а г еп з 1 8 МаЫетаНс! с1ап881гт Е1етеЫогит
СеотеЫсогит ЫЬп XV. Сит ехрозШопе ТЬеотз т рпогез XII а
Ваг1Ьо1таео Vепе^о 1аНЫШе допа(а, Сатрап! т отпез, е! Нурзк-
1ез А1ехапдпп1 1п диоз роз(гетоз, ВазПеае, 1537.

269. Е и с 1 1 д 1 з е1етеп1огит деоте!псогит ИЬп зех, сопуегз! т 1аН-
пит зегтопет а ЛоасЬ. Сатегапо, Е1рз!ае, 1549.

270. [Е и с 11 д е з]. О1е 8есЬз Егз1е ВйсЬег ЕисИдез уоп аЫап^ одег ^гипд
дег СеотеН]... АПез ги ИеЬ ип(1 ^еЬгаисИ деп КипзШеЬепдеп Тей1-
зсЬе зо 81сЬ дег Сеоте1г] ипд КесЬепкипз! аптаззеп тИ уШаШ^ег
тйЬе ипд агЬаН гит 1геуПсЬз1еп егагпе! ипд т ТгискЬ ^еяеЬеп.
ОигсЬ \У11Ие1т НоИгтап ^епап! Ху1апдег уоп Аи^зЬиг^, Вазе1,
1562.

271. ЕисНсНз Ме^агепзе рЬПозорЬо, зо1о 1Ыгодис1оге деПе зс!еп-
с1е таЫетаНсе 0Ш^еп(етеп1е Каззе1а1о, е1 аПа 1п1е^п1а пдойо,
рег Н де^по рпЯеззоге (Н 1а1 зс!епНе Ы1со1о Таг1а1еа ВпзЫапо, Vе-
пеНа, 1565.

272. Е и с 1 1 д 1 з цшпдеат Е1етеЫогигп Сеоте1пае рптит: ех ТЬеотз
СоттеЫаглз Сгесе, е1 ЕаНпе сш ассеззегип! 8сЬоИа, 1п цшЬиз циае
ад регсер1епда СеотеНае Е1етеп1а зрес1ап1, ЬгеуНег е1 (Шиадё
ехрНсап(иг, аис(оге Сипгадо Оазуродю, 8с1ю1ае Аг^еп1теп81з рго-
Геззоге, 1554.

273. Е и с 11 д 1 з отлез отлтт ПЬгогит ргорозШолез, §гаесё е1 1аНпё:
едИе рег М. Сипгадит ОазуросНит, Аг^елНпае, 1571.

274. Е и с 1 1 д 1 з Е1етеп1огит 1ЛЬг1 XV, АссезИ XVI де 8оНдит Ке^и1а-
гшт сишзИЬе! 1п1гациодКЬе1 сотрагаНопе... Аис1оге СЬпз1орЬого
С1аую ВарНз1ае СЫН, 1591.

275. Е и с 11 д 1 з е!етеп1огит &еоте1псогит ЫЬп Тгедесйт ех 1гадисНо-
ле досНз81т1 №81пд1Л1 Тизт!, Миле рптит агаЫсе 1трге881, Ко-
тае, 1594.

276. Е и с 1 1 д е з гезН1и1из, з1уе рпзеа &еоте1пае е1етеп!а, Ьгеушз е!
ГасПшз соп(ех!а. А1рЬопзо ВогеШо 1л Меззалелз! рпдет, пипс уего
1п Р1запа АсадепНа Ма1Ьезеоз Рго!еззоге. Р1818, 1658.

277. Е и с 11 д е з. Орега отта, ед. Л. Ь. Не1Ьег<*, А. Н. Меп&е, Е1рз1ае,
1888, уо1. I—V.

278. Рау а го А. 1п1огпо ад ипа рге(еза зесопда ед]2юпе де1ГА1^еЬга д1
Раке! ВотЬеШ, В1Ы. та1Ь. Е. 2, Вд 7, 1893, 15—16.

279. Рауаго А. 01 М1ссо1о Таг1а^Па е де11а з1атра д1 а!сипе деПе зип
ореге соп рагНсо!аге п&иагдо аПа «Тгауа^Па1а туепНопе», 1818,
уо1. 1, 1913, 329—340.

280. Р г а 11 Е. 8с1р1опе де! Рего, Во11. д1 ЫЫюдг. е. з1опа д зс1 та!., 12,
1910, 1—5.

281. Ргеидеп1Ьа1 II. /иг СезсЫсЫе дег уо11з1апд1§еп 1пдисНоп,
АгсЫ 1Ыепг д’Н1зЕ дез 8с1„ Е 32, 1953, Мо. 22, 17—37.

282. Е г 1 д 1 е 1 п С. СегЬег!, <Ие Сеоте!пе дез ВоеНмиз ипд д!е 1пд1зсЬеп
ИИГегп, Ег1ап^еп, 1861.
283. Р г 1 е 8 1 е I п О. 2иг ОевсЫсЫе иЬзеГег 2аЬ1ге1сЬеП ипс! ийзегез 21Ь
1егзу51етз, ХеИзсЬг. Гиг Ма1Ь. и. РЬуз., Вд 9, 1864, 73—95.

284. Р г 1 е д 1 е 1 п 6. Ваз КесЬпеп пЫ Со1итпеп уог дет 10. ЛаЬгЬипдег!,
ХеИзсЬг. Гйг Ма1Ь. и. РЬуз., Вд 9, 1864, 297—330; Вд 10, 1865,
241—282.

285. Рг1ед1е1п 6. (легЬег1з Ке&е1п дег В1у1зюп, 7еЛзсЬг. Гйг Ма1Ь.
РЬуз., Вд 9, 1864, 145—171.

286. Р г 1 е д 1 е 1 п О. Атен МапШ ТогциаН Зеуепт ВоеШ Ве ЫзШиОопе
агИЬтеНса ИЬп дио, Ве шзШЫюпе тизка ИЬг! ашпцие, АсседИ
^еотеШа циае 1ег1иг Вое1п, Ех ИЬпв тапизспрйз ед., 1лрз1ае, 1867

287. Риск Л. В1е агаЫзсЬеп 84ид1еп 1П Еигора Ыз 1п деп АпГап^ дез 20.
ЛаЬгЬипдеНз, Ье1рг1^, 1955.

288. (л а п д г 8. ТЬе туепНоп о! 4Ье деЫта! ГгасНоп апд 1Ье аррИсаНоп
о! 4Ье ехропепНа! са1си1из Ьу 1ттапие1 ВопШз о! Тагазсоп, 1з1з,
уо1. 25, 1936.

289. [(Зет та Рг181из]. АгПЬтеНсае ргасНсае МеЫодиз ГасШз... рег
(Зеттат Рпзшт, 1лрз1ае, 1592.

290. О е г Ь е г 4 1 роз!еа 8Пуез1п рарае Орега та!ЬетаНса, ед. Ы. ВиЬ-
поу, ВегИп, 1899.

291. (легЬагд! (л. Л. Ваз КесЬепЬисЬ дез Мах1тиз Р1апидез. ИасЬ деп
НапдзсЬг. д. К&1. В1Ы. хи Рапз, На11е, 1865.

292. (легЬагд! С. Л. 2иг (лезсЫсЫе дег А1^еЬга т ВеЫзсЫапд, МопаЬ
зЬег. д. Вег1. Акад., 1870, 141—153.

293. (легЬагд! О. Л. ОезсЖсЫе дег Ма1ЬетаНк т ВеЫзсЫапд, Мйп-
сЬеп, 1877.

294. СИ е з 1 п Л. 8Ше1з АгкЬтеНса 1Ые^га, ВдЬе1п, 1879.

295. СНгагд А. 1пуепкоп поиуеПе еп Га1ёёЬге, Атз1егдат, 1629.

296. (ло1д§1е1п В. К. А кеабзе оп питЬег 1Ьеогу кот а 1еп1Ь сеЫигу
агаЫс 8оигсе, СеЫаигиз, \о1. 10, 1\о. 3, 1964, 129—160.

297. Огап! Е. №со!е Огезте апд Ыз «Ве ргорогНотЬиз ргорогкопит»,
Ыз, уо1. 51, 1960.

298. О ге $ о п и 8 а 8 а п с I о V 1 п с е п I о, Ориз (леотеккогит циад-
га1игае сисиП е! зесНот сот, Ап1уегр1ае, 1647.

299. (л й п IЬ е г 8. ОезсЫсЫе дез та1Ьета!1зсЬеп 1ЛЫегпсЫз 1т деЫзсЬеп
МШе1аИег Ыз гит ЛаЫе 1525, ВегНп, 1887.

300. Напке1 Н. 7иг ОезсЫсЫе дег АШЬетаНк 1т А11ег1ит ипд МИ1е-
1а11ег, Ье1р21^, 1874.

301. На8к1пз СЬ. Н. ТЬе 81сШап ТгапзЫЫгз о! (Ье к^еШЬ сеЫигу а:
Ше Пгз1 1аИп ууегзюп о! Р1о1ету’з А1та&ез1, Нагуагд 81ид. С1аз
РЫ1., 21, 1910, 75—102.

302. Назктпз СЬ. Н. Аде1агд о( Ва1Ь, ТЬе епдПзЬ Ыз1. геу!е\у, уо1. 26,
1911, 491—498.

303. Назк1П8 СЬ. Н. 81ид1ез 1Ье Ыз1огу о! тед!аеуа1 заепсе, Сат-
Ьпд^е, 1924.

304. Назк1п8 СЬ. Н. АгаЫс заепсе ^ез1егп Еигоре, 1з1з, уо1, 7,
Мо. 23, 1925, 478—488.

305. На8к1пз СЬ. Н. 81ид1ез т тед1ае\а1 сиНиге, Ы. V 1958.

306. Неа1Ь ТЬ. Ь. ВюрЬаЫиз о! А1ехапдпа. А з!иду т 1Ье Ь1з1огу о!
(лгеек а!^еЬга, СатЬпд&е, 1885; 2 ед. 1910.

307. Неа1Ь ТЬ. Ь. ТЬе 1Ыг1ееп Ьоокз о! ЕисПд’з Е1етеЫз, 1гапз1а1ед
кот 1Ье 1ех1 о! Не|Ьег^, иЫЬ ткодисМоп апд соттеЫагу,
уо1. I—III, СатЬпд&е, 1908; 2 ед. 1926.

308. Неа1Ь ТЬ. Ь. А тапиа! оГ (лгеек таЫетаОсз, Ох(огд, 1931.

309. Н е 1 Ь е г Л. Ь. Ыкегаг^езсЫсЫНсЬе 81ид1еп йЬег ЕикНд, Ье1ргЫ,
1882.

310. Не1Ьег^ Л. Ь. В1е агаЫзсЬе ТгадШоп дег Е1етеЫе ЕикПд’з,
7екзсЬг. Гиг Ма!Ь. и. РЬуз., Вд 29, 1884, Ыз4.-Ш. АЫ., 1—22.

311. Не1Ьег& Л. Ь. Вег ЬугапНтзсЬе МаЫетаНкег Ьеоп, В1Ы. та1Ь.,
Р. 2, Вд 1, 1887, 33—36.
312. Не!Ьег^ Л. Ь. Ве1!га^е хиг СезсЫсЫе Лег Ма!кетаНк 1т М1Йе1а1-
!ег, ХеПзскг. Гиг Ма!к. и. Ркуз. Вс1 35, к1з1.-П1. АЫ., 1890, 41—58,
81 — 100.

313. Не1Ьег^ Л. Ь. ВугапПтзске Апа1ек!еп, АЬкапд!. хиг безск. д.
Ма4Ь. №1зз„ Н. IX, 1899, 161 — 174.

314. Непгу СИ., Рго1о^из ОсгеаЕ т Не1серк ас! Аде1агдит Ва!епзет
та&181гит зиит, Ега^теп! зиг 1а тиШрНсаВоп е! 1а с11У181оп,
АЬкапд!. хиг безск. д. та!к. №!зз., Н. III, 1880.

315. Непгу Ск. Зиг 1ез деих р!из апоепз (гаИёз Ггап<;а18 сГа1^ог1зте е!
де ^ёотё!пе, ВиП. (И ЫЫ. е сП з!ог. д. зек та!. е Нз. I. XV, 1882,
49—70.

316. Нос к С. Е бегкег! одег Ракз! 8у1уез!ег II, №!еп, 1837.

317. НоИтапп Л. Е. Ваз Ориз &еоте!псогит без бге^опиз а 8. У1П-
сепПо ипс! зете Ет\уикип& аиГ Ее!кп1х, ВегПп, 1941.

318. НоИтапп Л. Е. 7ит бедепкеп ап Ткотаз Вгадхуагдте, СепГаи-
гиз, уо1. I, 1951, Ко. 4, 293—308.

319. НоИтапп Л. Е. ЛНскае! 8Ше1, 1487?—1567. Ьекеп, №!гкеп ипд
ВедеЫип^ Гйг сПе МаГкетаПк зетег 7еП, №1езЬадеп, 1968.

320. Нор ре Е. ЛНскае! 8Ше1з капдзскгИШске КасЫазз, МПЛеП. д. Ма!к.
без. т НатЬиг^, Вд III, Н. 10, Ее1ргцу, 1900, 411—423.

321. Нип&ег Н., V о & е 1 К. Ет ВухапНтзскез Кескепкиск дез 15.
Лакгкипдег!з, 100 АиГ^аЬеп аиз дет Содех УтдоЬопепз18 РЫ1.
&г. 65. Тех!, Окегз. и. КоттепЕ, №1еп, 1963.

322. Нипга!к К. 7ит Уегз!апдтз дез №ог!ез А^опзтиз, В1Ы. та!к.,
Е 2, Вд 1, 1887, 70.

323. Лауахуагдепе 8. А. Кесеп! гезеагскез оп КаГае! ВоткеП!, та!ке-
таНаап апд еп&теег о! Во1о^па, Зоттатез XI Соп^г. 1п!егп.
д’Н1з!. дез 8сЕ, зес!. 1, 2, 3, УагзоуГе—Сгасоу!е, 1965, 150.

324. Л о г д а п и з КетогаНи з. АгЛктеПса, Рапзпз, 1496.

325. Лип^е б., Т к о т з о п №. Тке соттеЫагу о! Рарриз оп Ьоок X
о! ЕисИд’з Е1етеп!з, Саткпд&е, 1930.

326. Л и п & е 6. 7хуе1 хует& Ьекапп!е тИ!е1а1!егИске АиГ^акеп, 2еПзскг.
Гйг та!к. и. паГигичзз. Ет!егпсЫ, Л^ 66, 1935, 117—119.

327. Л и п & е О. Ваз Ега^теп! дег 1а!ет1зскеп Окег8е!гип^ ^ез Рарриз-
КоттеЫагз гит 10. Виске ЕикНдз (Кг. 7377 А, Ео1. 68—70 дег
В1Ы. КаЕ хи Рапз), (^иеПеп и. 8!ид. хиг безск. дег Ма!к. Аз!г. и.
Ркуз., АЫ. В., Вд 3, Н. 1, 1936, 1—17.

328. ЛизсккехуЫзск А. Р., К о з е п Г е 1 д В. А. Ваз Ма!кетаПк дег
Еапдег дез Оз!епз 1т МИ!е1а1!ег, 8^ху]е!1зске ВеПга^е хиг безск. д.
Ка!иг\У188., кгз&. б. Нап&, Вег1т, 1960.

329. ЛизсккехуИзск А. Р. ОЬег ет №егк дез Аки ’АЬдаПак Микаттад

1Ьп М°8а аЕНихуапгпи аЕМа&из! хиг АгИктеНк дег 1пдег, 8скгИ-
V

1епге1ке безск. дег Ка!игху1зз., Тескп. ипд Мед., Ве!к. 1964 (гит 60.
беЬиг!з!а& уоп б. Нап&), 21—63.

330. Лизскке\У1!зск А. Р. безсЫсЫе дег Ма!кетаПк 1т М1!!е1а1!ег,
Ее1рг1^, 1964.

331. Кагр1пзк1 Е. С. Логдапиз Кетогапиз апд Локп о! НаШах, Атег.
та!к. топ!к!у, уо1. 17, 1910, 108—113.

332. КагрГпзк! Е. С. Ап ИаИап а!^екга оГ !ке ННееп!к сеп!игу, В1Ы.
та!к., Е. 3, Вд XI, 1910/1911, 209—219.

333. Кагр1пзк1 Е. С. Кокег! о! Скез!ег’з 1гапз1а!1оп о! А1^екга о! А1-
Ккохуапхгт, В1Ы. та!к., Е. 3, Вд XI, 1910/1911, 125—131.

334. Кагр1пзк1 Е. С. Тке «ОиадпрагШит питегогит» о! Локп о!
Меигз, В1Ы. та!к„ Е. 3, Вд XIII, 1912/1913, 99—114.

335. КагрГпзк! Е. С. Тке №ке!з!опе о! хуП!е (1557), В1Ы. та!к., Е 3,
Вд XIII, 1912/1913, 223—228.

336. Кагр1пзк1 Е. С. Кокег! оГ Скез!ег’з 1аПп 1гапз1а11оп о( !ке А1-
^екга о! АЕКкохуапзпн, К. У., 1915.
337 К а г р 1 п 5 к 1 к. С. Оп^пеа е1 дёуе!орретеп{ <1е Га1&ёЬге, 5с!епНа,
к 26, № кХХХУШ—8, 1919.

338. К а г р 1 п а к 1 к. С. ТЬе ИаПап агИЬтеНс о! Маз1ег ЛасоЬ о! Погеп-
се, 1307, Агскеюп, к 11, 1929, 170—177.

339. Каз1пег А. (Э. СезсЫсЫе дег Ма1ЬетаНк, вей дег \У1едегЬега1ек
1ип^ дег ХКПааепаскаНеп Ыз ап даз Епде дез асМхеЬЫеп ЛаЬгЬип-
дег1а, Вд I—IV, бдШй^еп, 1796.

340. Ка1гепё11епЬо^еп А. ТЬе гергеаеЫаНоп о! 1Ье аеуеп ПЬега!
аг1а, 1п: «ТхуеШН-сеЫиГу Еигоре апд 1Ье ГоипдаНопа о! тодегп
8ос1е1у», ед. М. С1а^еН, 1961, 39—55.

341. Кеппеду Е. 8. А аигу.еу о! 1з1агтс Аз1гопогтса1 1аЫез, Тгапз.
Ашег. РЬу1оа. 8ос., уо1. 46, сЬар. 2, 1956.

342. К1атго1Ь М. ЫеЬег дер агаЫасЬеп ЕикПд, ИеИзсЬг. д. деи1аск.
Мог^еЫапд. Сев., Вд 35, 1881, 270—326.

343. К1 е Ь з А. С. 1псипаЬи1а ааепННса е1 тедка, Озтз, уок 4. 1938,
1—359.

344. КизЬуаг 1Ьп каЬЬап. Рппс1р1ез о! Ыпди гескотп^. А 1гапа1а-
Ноп 5уПЬ 1п1годисНоп апд по!еа Ьу М. кеуеу апд М. Ре1гиск о! 1Ье
КИаЪ Н изи! ЫзаЬ а1-Ыпд, ТЬе ЫтуегаИу о! Унасопат Ргезз, Мадь
зоп а. МПхуаикее, 1965.

345. каШп Н. Р. ТЬе 1еНега о! СхегЬеН, № V., 1961.

346. [кеопагдо Р1 з а по]. 8сгПН д1 кеопагдо Р1запо та1етаНсо де!
зесо1о дес1то1ег2о, риЬПсаН да Ва1даззаге Вопсотра^т, уок I (к1-
г Ьег АЬЬас1), 1857; уок II (РгасНса ^еоте1пае), 1862.

347 кеопагд де Р 1 з е. ке Пуге де потЬгез саггёз, ед. Р. Уег Ееске,
, Вги^ез, 1952.

348. ЙIЬ г 1 С. Н1з1о1ге дез аЫепсез та1ЬётаНциез еп ИаИе, к I—IV,
Рапа, 1838.

349. [к о з а 1 и з к.]. АгПЬтеНсеа егго1ета1а риепПа. 1п цшЬиа вех зреиез
Ьиша иНПатае агНз, е1 Ке^и1а, циат уосап! Ве1п, ЬгеиПег е1 рега-
р!сие 1гадип1иг. 1п СхгаНат е1 изит зсЬо1агит риепПит каНпагит
со11ес1а е1 т 1исет 1ат гесепв едИа а киса кобзю кипеЬиг^епа!,
ЕгапсоГогд1ае МагсЬ., 1557.

350. М а п в 1 о п Р. 8иг 1е соттеЫаие д’АпагШиз ге!аШ аих ё1ётеп1з
д’ЕисИде, Апп. де 1а 8ос. 8ск де Вгихе1ез, к 24, 1900, 47—49.

351. Магге А. Матёге де сотрЫег дез апЫепз ауес 1еа до1^1в дез
тэта, д’аргёз ип реШ роете тедИ агаЬе де СЬетэ-Еддт е! Маиа-
зо1 е 1е Тга1адо де Ма1ЬетаНсаз де Лиап Регег де Моуа, ВиП. д1
ЫЫ. е д1 з1ог. д. ас!. так е. На., к 1, 1876.

352. Магге А. КоНсе зиг №со1аз СЬицие! е1 зоп ТпраНу еп 1а зЫепсе
дез потЬгез, ВиП. д1 ЫЫ. е д1 з1опа д. зс1. так е. На., к XIII, 1880,
555—659, 693—814.

353. [Маиго1усиа В.]. Ггапс1зс1 Маиго1ус1 АЬЬаНз Меззапеп818,
Ма1ЬетаНс1 сеПеЬегпгт, АгИЬтеНсогит 11Ьг1 дио. КТипс рптит т
кисет ЕдШ... УепеШз, 1575.

354. Мепп1п^ег К. 2аЫ\уоН ипд 71Иег, 2. АиН., СбШп^еп, 1958.

355. М1 е 11 А. ка аЫепсе агаЬе е! зоп г61е дапз Гёуо1иНоп ааепНПцие
топд1а1, кеудеп, 1938.

356. М о 11 а п д А. С. ТЬе депоттаНоп о! ргорогНопа т 1Ье М1дд1е А^ез,
Ас1ез ди XI Соп^г. 1п1егп. д’ЬПзк дез 8ск, ОааоПпеит, к III, 1968.
167—170.

357. Мог1е! V. ке р!из апЫеп 1гаИё Ггап^з д’а!^опзте, В1Ы. та1Ь.,
Е 3, Вд IX, 1908/1909, 55—64.

358. МйПег Г. 7иг Тегтто1о^1е дег аИез1еп та1ЬетаНзсЬеп 8сЬпНеп
1п деЫасЬег 8ргасЬе, АЬЬапдк гиг беасЬ. д. та(Ь. ДУ1зв. Н. IX,
1899, 303—333.

359. М и п д 1 Л. ЛоЬп о! Стидеп, 1а1а, уо1. 34, 1942.

360. МигдосЬ Л. Е. ТЬе тед1еуа! 1ап^иа^е о! ргорогНопа: е1етеп1в о!
1Ье 1ЫегасНоп иЫЬ ^геек ГоипдаНопа апд 1Ье деуе1ортеп1 о! пе^у
таГЬетаНса! ГесЬтдиез, Тп: «8с1епННс сЬап^е» (ед. Ьу А. С. Сгот-
Ые), Ьопдоп, 1963, 237—271.

361. Ы а & 1 А. ОЬег ете А1&опзтиз-8сЬпИ дез XII. ЛаЬгЬипдеНз ипд
йЬег дк УегЬгеЛипе дег 1пд1зсЬ-агаЫзсЬеп КесЬепкипзГ ипд 7аЫ-
хекЬеп 1т СЬпзНкпеп АЬепд1апде, 2еНзсЬг. Гиг Ма1Ь. и. РЬуз.,
Вд 24, 1889, Ызк-Пк АЬк, 129—146, 161—170.

362. Ы а % 1 А. Ваз диадпраНИит дез Лоаппез де Мипз ипд даз ргакНзсЬе
КесЬпеп 1т У1еггеЬп1еп ЛаЬгЬипдеН, АЬЬапдк гиг ОезсЬ. д. та!Ь.
Мзз„ Н. V, 1890, 137—146.

363. Ы а % 1 А. Вег агПЬтеНзсЬе ТгасГа! уоп КадЫрЬ уоп Ьаоп, АЬкапд!.
гиг ОезсЬ. д. та!Ь. УЛзз., Н. V, 1890, 85—146.

364. Ы а р о 11 Р. 1п1огпо аПа уИа ед а! 1ауоп д1 Ргапсезсо МаигоПсо,
ВиП. д! ЫЫ. е д! зГопа д. зек так е Пз.. I. IX, Кота, 1876.

365. Ыагдисс! Н. 8иг ГорНдие де Скиде РЫётёе, В1Ы. та1Ь., Р. 2Г
Вд 2, 1888, 97—102.

366. [Ы а з з е г е д 1 п и з]. ЕисИд1з Е1етеп1огит ПЬп 1гедес1т, Котае,.
1657.

367. Ыа1исс1 А. Оп&те е зуПирро де1 сопсеНо д1 питего игахюпак,.
8с1епНа, уо1. 38, 1925, 293—302.

368. Ыез8е1тапп 6. Н. Р. А1^еЬга дег СпесЬеп, ВегПп, 1842.

369. Ыеи&еЬаиег О. ТЬе ехасГ зекпеез 1п АпНциНу, 2 ед., Вгочуп
ОтуегзКу Ргезз, РгоУ1депсе, КЬоде 1з1апд, 1957.

370. Ыеи&еЬаиег О. 81идкз 1п ЬухапНпе азкопотка! 1ептпо1о^1е,
Тгапз. о! кЬе Атег. РЫ1оз. 8ос., уо1. 50, рк 2, 1960.

371. Ы е уг Ь а 11 А. ТЬе сгизадез, М. У., 1927.

372. Ы о I а г I V. Ь’едиахюпе д1 диаНо &гадо. Ккокхюпе д1 Ьодоуко
Реггап е зиа 1п(егрге1аг1опе ^еотекка, Реподко д! так Во1о^па,
4, 1924. 327—334.

373. Оге О. МитЬег ГЬеогу апд Ыз Ыз(огу, Ы. V.—Тогопк—Ьопдоп, 1946.

374. Оге О. Сагдапо, ГЬе ^атЬПп^ зсЬо1аг, Рппсект, 1953.

375. [О г е з т е Ы 1 с о 1 е]. Ве ргорогНотЬиз ргорогНопит апд Ад раиса
гезрккпНз, ед. апд капзк Е. ОгапГ, Мад1зоп, УПзсопзт, 1966.

376. Раи! О. ВоеНиз ипд дк ОпесЫзсЬе Нагтотк. Вез Апкшз МапПиз
Зеуеппиз ВоеНиз ГйпГ ВйсЬег йЬег сНе Миз1к, Ье1рг1^, 1872.

377. [Р е 1 е 1 а г 1 и з]. 1асоЫ РекГагн Сепотат, де оссиИа рагГе питего-
гит, диат А1^еЬгат уосапГ, ПЬп дио, Рапзпз, 1560.

378. Р е 1 е 11 е г Д. Оеугез роёНдиез, риЫ. д’аргёз ГёдИюп оп^так де
1547 раг Ь. 8есЬе, ауес ипе поНсе Ыо^гарЫдие, ин соттепк е( дез
по1ез раг Р. Ьаитопкг, Рапз, 1904.

379. [РеигЬасЬ О.]. Е1етеп!а АгИЬтеНсез. А1^огНЬтиз де питепз
тк^пз, ГгасНз, ге^иПз соттитЬиз, е1 де ргорогНотЬиз. АисГоге
6еог|1о РеигЬасЫо, УИаеЬег^е, 1536.

380. Р 1 о о 1 ] М. В. ЕисПд’з сопсерНоп о! гаНо апд Ь1з деПпИюп оГ рго-
рогНопа! та^пкидез аз спНскед Ьу агаЫап соттепШогз, КоНег-
дат, 1950.

381. РодеГЫ Р. Ьа (еопа деПе ргорогкот 1п ип тапозспНо тедИо д1
Еуап^еПз1а ТогпсеШ, Во11. д1 ЫЫ. е зГопа д. зек так, 1914.

382. Ро^о О. Оетта Рпзшз, Ыз теЫод о! де1егттт^ дИГегепсез о!
1оп^Ииде Ьу 1гапзрогНп^ Нтер!есез (1530), апд Ыз кеаНзе оп 1пап-
^и1аНоп (1533), Ыз, уо1. 22, 1934, 469—505.

383. Ргос1881 А. 8ш «Ка^юпатепН д’А1^еЬга» д1 КаИаеПо Сапасс!,
А1Н деПа Ассад. Ы^иге д1 зс1. е 1еИеге, уо1. IX, Оёпоуа, 1953, 55—76.

384. [К а т и з Р.]. Ре1п Кат! АгКЬтеНсае ИЬг1 дио: ^еотеГпае зер1ет
е( у|&тН, Вазе1, 1569.

385. [К ат из Р.]. Ре1п Кат! зсЬо!агит та1ЬетаПсагит ПЬп ипиз е!
Гп^тГа, Вазе1, 1569.

386. [К а т и з РД. Ре1п Кат! АгПЬтеНсез ПЬп дио е! А1^еЬгае ГоНдет
а Ьагаго ВсЬопего етепдаН е! ехрНсаП. Ешздет ЗсЬопеп ИЬп
дио: аЛег, Ве Мигпепз П&игаНз; а11ег, Ве Ео^рзйса зеха&епапа,
Ргапсо(игН, 1592.

387. ПазЬдаП Н. ТЬе ишуегзЖез о! Еигоре 1Ье М1д(Пе А&ез,
уо1. 1—3, ОхГогд, 1895.

388. На!Ь Е. ОЬег е!п деиксЬез РесЬепЬисЬ аиз дет 15. ЛаЬгЬипдег!,
В1Ы. таН1., Г. 3, Вд XIII, 1912/1913. 17-22.

389. Ке&1отоп1апиз. Оп 1пап^1ез, ед. апд 1гапз1. В. Ни^Ьез, МадЬ
зоп—МЦуаикее—Ьопдоп, 1967.

390. Ке1дете1з1ег К В1е АгЛЬтеНк дег СпесЬеп, НатЬиг&ег та1Ь.
Е1пге1зсЬпИеп, Н. 26, Ье1р21^—ВегИп, 1940.

391. Ке1пег К. В1е Тегтто1о&1е дег аИез(еп та1ЬетаЛзсЬеп АУегке !п
деиксЬег 8ргасЬе, МйпсЬеп, 1960.

392. [К 1 е з е А.]. КесЬпип^ аиИ дег Ытеп ипд Еедегп АиИ аПеНеу Напд-
1Ыгип^ бетасМ дигсЬ Адат К1езеп, Егапк!иг1 ап дег Одег, 1579.

393. КозепГе1д В. А., Сетоуа М. Ь. А1^еЬга1с ехропепк апд 1Ье1г
^еоте1г1с ткгргеЫюп, Ог^апоп, 4, 1967, 109—112.

394. К и д 1 о Е ЫеЬег дет АЫЬеЛ дег та1ЬетаНзсЬеп иЧззепзсЬаИеп ап
дег КиИиг дег Репа1ззапсе, НатЬиг^, 1892.

395. 8 а г I о п О. Адпап уап Роотеп’з соттепкгу оп АЕКЫуапхпл
(с. 1598), 1818, уо1. 21, 1934, 209.

396. 8аг1оп О. 81Ш0П 81еу1п о! Вги&ез (1548—1620), Ыз, уо1. 21. 1934,
241—303.

397. 8 а г I о п О. деап ТгепсЬаЫ, (гепсЬ таН1етаНс1ап о! 1Ье зесопд ЬаИ
о( 1Ье 81хкеЫЬ сеп1игу, 1818, уо1. 21, 1934, 207—209.

398. 8аг1оп О. ТЬе Пгз1 ехр1апаНоп о! дес!та1 ГгасНопз апд теазигез
(1585), 1818, уо1. 23, 1935, 153—244.

399. 8аг1оп О. 1п1годисНоп 1о 1Ье Ызкгу о! зеленее, уо1. I—III, Ва1-
Птоге, 1927—1948.

400. 8 а г I о п О. Арргес1аНоп о! апс1еп1 апд тед1еуа1 зс1епсе диг1п^ 1Ье
Кепа1ззапсе (1450—1600), РЫ1аде1рЫа, 1953.

401. 8аг1оп С. Апс1еЫ зс1епсе апд тодет с1уЛ12аНоп, Отуегз. о! МеЬ-
газса, 1954.

402. 8 а г I о п О. 81х уш&з. Меп о! зс1епсе т 1Ье Кепа1ззапсе, В1оогтп&-
1оп, 1957.

403. [8 с Ь е и Ь е 11 и з]. ЕисИд1з Ме&агепз18, РЬЛозорЫ е1 Ма1ЬетаНс1
ехсе11епНзз1т1, зех ИЬп ргюгез... А1^еЬгае рогго ге&и1ае, ргор!ег пи-
тегогит ехетр1а, разз1т ргорозЛютЬиз ад1еск, Ыз НЬпз, ргаегЫз-
зае зшЛ, еаедетцие детопз1га1ае. АЫЬоге Лдаппе 8сЬеуЬеНо т 1п-
с1у!а Асадепиа ТиЫп^епз! ЕисИд1з ргоГеззоге огдтапо, ВазШаее,
рег 1оЬаппет Негуа&шт, 1550.

404. [8 с Ь е и Ь е 11 и з]. А1^еЬгае сотрепдюза Гас^1^8^ие дезспрИо, аиа
дерготиЫиг та&па АгЛЬтеНсез гтгаси1а. АиЛтоге 1оаппе 8сЬеиЬе-
Ио Ма1ЬетаНсагит ргоГеззоге т асадепиа ТиЫп^епз!, Рапзпз, 1552.

405. 8сЫ р рег&ез Н. Аз81тЛа11опз-7еп1геп агаЫзсЬег У^ззепзсЬаН
1т 12. даЬгЬипдег!, СеЫаигиз, уо1. 4, 1956, Ыг 4, 325—350.

406. 8 с Ь г а д е г В. V. Ве агЛЬтеНса, Ьоок I, оГ ВоеШиз, Ма1Ь. 1еасЬег,
уо1. 61, 1968, Ыо. 6, 615—628.

407. 8 с г 1 Ь а С. д. ТЬе сопсер! о! питЬег, МаппЬе1т—7йпсЬ, 1968.

408. 8ег^езси Р. Ьез та1ЬётаНдиез а Рапз ап тоуеп а^е, ВиП. 8ос.
таН1. Егапсе, 1939 (1967), 8ирр1., 27—42.

409. 8 т И Ь В. Е., К а г р 1 п з к 1 Ь. С. ТЬе НЫди-АгаЫс питегак, Воз-
1оп—Ьопдоп, 1911.

410. 8тИЬ В. Е. ТЬе Пгз1 ^геа1 соттегс!а1 агЛЬтеИс, 1818, уо1. VIII,
1926, 41—49.

411. 81аЫ АУ. Н. ВоттаЫ (гадИюпз Й! еаг!у тед1еуа! ЬаЛп заепсе,
1818, уо1. 50, 1959, 95—124.

412. 81а1&тй11ег Н. Ьасаз Рас1и1о, Ете Ыо^гарЫзсЬе Зкиге, 2еЛзсЬг.
!йг Ма1Ь. и. РЬуз., Вд 34, ЫзЫЛ. АЫ., 1889, 81—102, 121—128.
413. 81а1&тпй11ег Н. Локаппез 8скеиЬе1, ет деЫзскег А1^еЬга1кег дез
XVI. ЛакгкипдеНз, АЬкапд!. гиг Оезск. д. шаШ. Мзз. Н. IX, 1899,
430—469.

414. 81а шт Е. ТгасШиз де сопНпио уоп Ткотаз Вгадхуагдта. Ете
НапдзскпИ аиз дет XIV. ЛакгкипдеН, Ыз, уо1. 36, 1936, 13—32.

415. 81е1пзскпе1дег М. Лизи! Ьеп 1ЬгаЫт ипд Актед Ьеп ЛизиГ,
В1Ы. та1к., Е. 2, Вд 2, 1888, 49—52, 111—117.

416. 8 1е 1 п з с к п е 1 д е г М. ЕИе еигора!зскеп ОЬегзеГгип^еп аиз дет
АгаЫзскеп Ыз М1Не дез 17. ЛакгкипдеНз, 811гип^зЬег. д. \У1епег
Акад.. ркП.-Ыз1. К1., Вд 149, 1904; Вд 151, 1905.

417 81еу1п 8. Ь’агИктёНдие, Кепеие согп^ёе еГ аи^теЫёе де р!из1егз
1га!с1ег е1 аппоШюп раг А1Ьег1 биагд, Ье1де, 1625.

418. [81еУ1п 8.]. Тке ргтсяра! хуогкз оГ 81топ 81еу!п, уо1. II, МаЫета-
Исз, ед. Ьу В. Л. 81ги1к, АтзГегдат, 1958.

419. [8 I И е 1 М.]. В1е Созз СкпзГоГГз КидоИГз пЫ зскдпеп Ехетре1п дег
Козз ^екеззег! ипд зекг &етекг1. 2и Кот&зрег^ т Ргеиззеп &ед-
гиск1, 1553.

420. 8 11Г е 1 М. АгИктеНса 1п1е^га, МоптЬег&ае, 1594.

421. 8 I г и 1 к В. Л. 81топ 81еут апд Гке десппа! ГгасНопз, МаГк. Геаскег,
1959, Ко. 6, 474—478.

422. 8 и 11 1 V а п Л. XV. XV. Тке к!з1огу оГ та1кета11сз 1п Еигоре, Ьопдоп,
1925.

423. 8 и1ег Н. Ете Ыз ]е(г1 ипЬекаппГе 8скпИ дез ЬПс. Огезте, 2еИзскг.
Гйг МаГк. и. Ркуз., Вд 27, ЫзЫИ. АЫ., 1882, 122—125.

424. 8 и I е г Н. В!е МаГкетаНкег аиГ деп ОтуегзПаГеп дез МИ1е1а11егз,
2йпск, 1887.

425. 8и1ег Н. Е1т&ез аиз Каззи ед-Втз ЕикИдаиз^аЬе, В1Ы. таГк., Е. 2,
Вд 6, 1892, 3—6.

426. 8 и I е г Н. В1е АгаЬег а!з Vегт^Шег дег ’МззепзскаНеп т дегеп
ОЬег&ап^ уот ОпеЫ ап деп Ок/лдеЫ, Аагаи, 1897.

427. 8 и I е г Н. В1е МаГкетаНкег ипд АзГгопотеп дег АгаЬег ипд 1кге
ХХГегке, АЬкапд!. гиг безск. д. таГк. ХХЧзз., Н. X, Ье!рг1&, 1900.

428. 8 и1ег Н. Бег VегГа85ег дез Вискез «бгйпде дег ТаГе!п дез Скохуа"-
геггт», В1Ы. та1к., Е. 3, Вд IV, 1903, 127.

429. 8 и I е г Н. ОЬег дхе ВедеЫип^ дез Аиздгискез «Ке^и1а соесЬ>, В1Ы.
та1к., Е. 3. Вд VI, 1905, 112.

430. 8 и I е г Н. ОЬег деп КоттеЫаг дез Микаттед Ьеп ‘АЬде1ЬаоГ гит
гекЫеп Виске дез ЕисИдез, В1Ы. та1к., Е. 3, Вд VII, 1906/1907,
234—251. ___

431. 8и1ег Н. В1е АЬкапд1ип& <3оз1а Ьеп Ьицаз ипд ххуе! апдеге Апо-
путе йЬег дхе Кескпип^ пЫ гхуе! ЕеЫегп, В1Ы. та1к., Е. 3, Вд IX,
1908/1909, 111—112.

432. 8 и1ег Н. ВеИга&е ги деп Вег!екип^еп КеГзег Епедпскз II. ги
2е11^епдз818скеп 6е1екг1еп дез ОзГепз ипд ХУезГепз, тзЬезопдеге ги
дет агаЫзскеп Епгус1орад1з1еп Кета! ед-дт 1Ьп 1итз, АЬкапд!. гиг
Оезск. д. КаГигинзз. и. д. Мед., Н. IV, ЕНап&еп. 1922, 1—8.

433. 8 и1ег Н. Бег КоттеЫаг дез Рарриз гит X. Виске дез ЕикИдез
аиз дег АЬй О1ктап а1-В!тазккГ тз ВеЫзске йЬеНга^еп, АЬкапд!.
гиг Везск. д. Ка1иг\У1зз. и. д. Мед., Н. IV, Ег!ап^еп, 1922, 9—78.

434. Тасдие! А. Е1етеЫа ЕисИдеа (ЗеотеЫае р!апае ас зоИдае, Vепе-
Шз, 1737.

435. Таппегу Р. Ь’ех1гас1юп дег гастез саггёз д’аргёз К!со1аз СкиаиеГ,
В1Ы. та1к., Е. 2, Вд 1, 1887, 17—21.

436. Таппегу Р. РзеПиз зиг ВюркаЫе, 2еИзскг. Гйг МаГк. и. Ркуз.,
Вд 37, к!з1.-1И. АЫ., 1892, 41—49.

437. Таппегу Р. МоГез зиг 1а Рзеидо-СтёотёГпе де Воёсе, В1Ы. таГк.,
Е. 3, Вд I, 1900, 39—50.

438. Таппег.у Р. Кёропзе а 1а диезГюп 119. 8иг ГаЫеиг д’ип 1ех1е а1-
^огИЬгтцие Ии 12 51ёс1е риЬПёе раг СигГге, В1Ы. та1Ь. Е. 3, Вд Н>
1901, 416.

439. Таппегу Р. 8с1епсез ехасГез сЬег 1ез ВугапНпез, Мёшоиез зоеп-
ННциез, I. IV, Тои1оизе—Рапз, 1920.

440. Таппегу Р. Мёгпоиез заепННциез, риЫ. раг. Л. Ь. Не1Ьег§ е1
Н. С. 2еи1Ьеп, I. I—III, Рапз, 1912/1913.

441. Таг1а$На Р4. Сепега! ГгаИаГо сН питеп е1 гтзиге, Уте^п, 1556.

442. ТаГоп К. (ед.). Ьа зс1епсе апНцие е1 тёд1ёуа!е, I. I—II, Рапз, 1957

443. ТогНсеН! Е. Ореге, ед. С. Ьопа е. О. Уаззига, уо1. I, р(. I, Еаеп-
га, 1919.

444. Тгеи11е1п Р. Вег Тгас1а( Нез Логдапиз \етогапиз «Эе питепз
даНз», АЬЬапд1. гиг ОезсЬ. д. та1Ь. ДУ1зз., Н. II, 1879.

445. Тгеи11е1п Р Ваз КесЬпеп 1т 16. ЛаЬгЬипдег!, 2еПзсЬг. Гиг МаШ.
и. РЬуз., Вд 22, 1877.

446. Тгеи11е1п Р В1е деиГзсЬе Созз, АЬЬапд!. гиг ОезсЬ. д. таГЬ. ДУГзз.,
Н. II, 1879, 1—124.

447. ТгорГке Л. ОезсЫсЫе дег е!етеп1агеп МаГЬетаНк, Вд 1—7, Вег-
11 п— Ее1рг1е; АиП. 2, 1921—134; АиП. 3, Вд 1—4, 1930—1940.

448. Оп^ег Е. Ваз аИезГе деиГзсЬе КесЬепЬисЬ, 2еПзсЬг. Гиг МаГЬ. и.
РЬуз., Вд 33, ЫзЫИ. АЫ., 1888, 125—145.

449. Ызепег Н. Ад Ыз1опат азГгопогтае зутЬо1а, Вопп, 1876.

450. Уасса 6. Маиго1усиз, 1Ье ПгзГ д1зсоуегег оГ 1Ье рппс!р1е оГ таГЬе-
таНса! тдисНоп, ВиП. оГ 1Ье Атег. таГЬ. 8ос., уо1. 16г, 1909, 70—73.

451. Уа1еп1!п С. В1е Ье1деп ЕисПд-Аиз&аЬеп дез ЛаЬгез 1482, В1Ы.
таГЬ., Е. 2, Вд 7, 1893, 33—38.

452. V а п дег ДУ а е г д е п В. Ь. В1е АгИЬтеНк дег РуГЬа^огеег, I,
Ма1Ь. апп., Вд 120 (1947—1949), 127—153, 676—700.

453. VI е! а Е. Орега таГЬетаНса, ед. Уап 8сЬоо1еп, Ье1деп, 1646.

454. Уо&е! К. В1е ргасНса дез А1^опзтиз КаНзЬопепзГз. Ет КесЬепЬисЬ
дег Вепед1кПпегаЫе1 81. Еттегап аиз дег МП1е дез 15. ЛаЬгЬипдегГз,
МйпсЬеп, 1954.

455. Уо^е! К. Ьа сиИига деПа таГетаНса 1п В1зап2ю, АсГез ди VIII
Соп&г. 1Ыегп. д’Н1зГ. дез Зек, Е1огепсе—МПап, 1. I, 1956, 68—69.

456. Уо&е! К. Адат К1ез(е), дег деиГзсЬе КесЬепте1з1ег, АЬЬапд1. и.
Вег. д. деЫзсЬ. Мизеитз, Л& 27, Н. 3, 1959.

457 Уо&е! К. Вег АпГеП уоп В1гапг ап ЕгЬаНип^ ипд ДУеИегЬПдип^
дег ^песЫзсЬеп МаГЬетаНк, АНзсеПапеа Мед1аеуаПа, Вд I, 1962,
112—128.

458. ДУ а 1 11 з Л. Ве роз1и1а1о ци1Ыо е1 деНпШопе ци1пГа НЬгг 6 ЕисНдЬ
Орега таГЬетаНса, 1. II, Охотае, 1693, 669—673.

459. ДУ а 1 1 1 з Л. Ма1Ьез1з итуегзаИз, 51Уе АпГЬтеНсит Ориз тГе&гит,
Гит рЫ1о1о&1се, Гит таГЬетаНсе ГгадИит, Охопп, 1657.

460. ДУ а 11 1 з Л. Орега таГЬетаНса, уо1. I, Охотае, 1695.

461. ДУ а 1 1 п е г С. К. АЫауогГ аиГ д!е АпГга^е 112 йЬег деп деи!зсЬеп
Ма1ЬетаНкег Апдгеаз А1ехапдег, В1Ы. та!Ь., Е. 3, Вд IV, 1903, 403.

462. ДУ а р р 1 е г Е. ВеПга& гиг ОезсЫсЫе дег Ма1ЬетаНк, АЬЬапд!. гиг
ОезсЬ. д. та1Ь. ДУ1зз., Н. V, 1889, 147—168.

463. ДУ а р р 1 е г Е. 2иг ОезсЬкМе дег деи!зсЬеп А1^еЬга, АЬЬ. гиг
ОезсЬ. д. та!Ь. ДУ1зз., Н. IX, 1899, 539—554.

464. ДУ а р р 1 е г Е. 2иг ОезсЫсЫе дег Ма1ЬетаНк 1т 15. ЛаЬгЬипдег!,
2еИзсЬг. Гиг Ма1Ь. и. РЬуз., Вд 45, ЫзЫИ. АЫ, 1900, 47—56.

465. ДУе1ззепЬогп Н. 2иг ВоеНиз-Егаее, АЬЬапд1. гиг ОезсЬ. д. таГЬ.
ДУ188., Н. II, 1879, 185.

466. ДУеГззепЬогп Н. В1е ОЬегзеГгип^ дез ЕикПд аиз д^т АгаЫзсЬеп
1п даз Ьа1е1п15сЬе дигсЬ Аде1агд уоп Ва1Ь пасЬ гхуе! НапдзсЬпПеп
дег К&1. В1ЬНо1Ьек т ЕгГиг!, АЬЬапд1 гиг ОезсЬ. д. та!Ь. ДУГзз.,
Н. III, 1880, 141—166.

467. ДУеГззепЬогп Н. В1е ОЬегзеГгип^ дез ЕикПд дигсЬ Оатрапо ипд
ХатЬегП. Еше таГЬетаНзсЬ-Ы81оп8сЬе $1исНе, НаПе, 1882 (Кег.:
М. СапГог, 2е11зсЬг. (йг Ма1Ь. и. РЬуз., ЫзЕ-Ш. АЫ., Вс1 27, 1882,
110—111).

468. АУетззепЬогп Н. 2иг СезсЫсМе дег ЕЫйЬгип^ дег ]е!г1$еп 2И-
Гегп т Еигора дигсЬ ОегЬегГ, ВегИп, 1892.

469. АУегпег К. Веда дег ЕЬпуйгдт&е ипд зете 2еИ, АУтеп, 1875.

470. XV е г IЬ е 1 т С. В1е ВегесЬпип^ дег 1гга(юпа1еп 0иадга{\уигге1п ипд
д!е ЕгПпдип^ дег КеНепЬгиесЬе, АЬЬапдИ гиг СезсЬ. д. та1Ь. "\У1зз.,
Н. VIII, 1898, 148—160.

471. АУег^Ьегт С. ОЬег сИе Ьбзип^ е1т§ег АиГ^аЬеп 1т «ТгасШиз де
питепз даНз» дез Логдапиз Кетогагшз, В1Ы. та1Ь., Р. 3, Вд I,
1900, 417—422.

472. '\Уег(Ье1т О. В1е Ео^1$Нк дез ЛоЬаппез Ви1ео, В1Ы. та1Ь., Р. III,
Вд II, 1901, 213—219.

473. XV1 е 1 е 11 п е г Н. Вег «ТгасГаГиз де 1аШид1тЬиз Гогтагит» дез
Огезте, В1Ы. та1Ь., Р. 3, Вд XIII, 1912/1913, 145.

474. XVI е 1 е 11 п е г Н. ОЬег дет РипкНопзЬе&пИ ипд д!е ^гарЫзсЬе
ВагзГеИип^ Ье! Огезте, В1Ы. та1Ь. Р. 3, Вд XIV, 1914/1915,
193—243.

475. V/ 1 е 1 е 11 п е г Н. 2иг РгйЬ^езсЫсЫе дег Кайте уоп теЬг а!з дге!
В!тепз1опеп, Ыз, уо1. 7, 1925, 486—489.

476. \У1е1еИпег Н. ОЬег д!е 5Уигге1ге1аНопеп дег диадгаНзсЬеп СИеь
сЬип&, Ьезопдегз Ье! Сагдапо, АгсЬ. д! 31ог. деИа зси уо1. VI, 1925,
201—205.

477 XV ! е 1 е 11: п е г Н. 2иг СезсЫсЫе дег ^еЬгосЬепеп ЕхропеЫеп, 1з!з,
уоЕ 6, 1924, 509—520.

478. XV 1 е I е 11 п е г Н. ОЬег д!е РогЬсЬпНе, сИе 8!топ 81еу!п т дег Иб-
зип^ дег циадгаИзсЬеп СНе!сЬип&еп егг!еИе, 8Иг. д. РЬуз.-тед. 8ог.
т Ег1ап^еп, Вд 58/59, 1926/1927, 177—180.

479. XV1 е 1 е 11 п е г Н. ОЬег Сагдапоз Ве5Уе!з Гиг д!е Ебзип^ дег киЫ-
зсЬеп 61е!сЬип&, 8Иг. д. РЬуз.-Мед. Зог. ги ЕНап^еп, Вд 58/59,
1926/1927, 173—176.

480. 1У1е1еИпег Н. Вег Ве^пП дег 2аЫ т зетег 1о&!зсЬеп ипд Шз1о-
пзсЬеп Еп1\У1ск1ищг, 3. АиП., Ее!рг!&—ВегИп, 1927.

481. XV о е р с к е Р. ЕхГгаИ ди РакЬг! ргёседё д’ип тётоие зиг Га1&ёЬге
тдеГегттёе скег 1ез агаЬез, Рапз, 1853.

482. XVоерске Р. Зиг ип езза! де дёГегттег 1а па!иге де 1а гасте д’ипе
ёяиаНоп ди 1го1з1ёте де&гё, сопГепи дапз ип оиуга^е де Еёопагд
де Р1зс десоиуег! раг М. 1е рппсе В. Вопсотра&т, Лоигп. де таГЬ.
ригез е1 арр1., I. XIX, 1854, 401—406.

483. \Vоерске Р. Езза! д’ипе гезШиНоп де Ггауаих регдиз д’АроИопшз,
зиг 1ез диапШёз игаНоппеИез, Мёт. ргёз. раг д!уегз зауапГз а
Г Асад, де Зег, I. 14, Рапз, 1856, 658—720.

484. ^оерске Р ТгадисНоп д’ип Гга^теп! апопуте зиг 1а ГогтаИоп
дез 1пап&1ез гес1ап$1ез еп потЬгез епНегз е! д’ип аиГге ГгаИё зиг 1е
тёте зи]е1 раг АЬои В}а’Гаг МоЬаттед Веп АПю^ат, АН! де1Г
Ассад. РопШ. де Г4иоУ1 Итсе!, I. XIV, Кота, 1861.

485. XVоерске Р. Мётоие зиг ГтГгодисНоп де ГагИЬтёНдие 1пд1еппе еп
оссхдепГ, Лоигп. аз., зег. 5, 1. 13, 1863, 69—79, 514—529.

486. XV и з з 1 п & Н. МаГЬетаНк т дег АпНке, Ее1рг1&, 1962.

487. XVй8^епГе1д. В1е ОЬегзеГгип&еп агаЫзсЬег ^егке т даз Еа(етЬ
зсЬе зек дет XI. ЛаЬгЬипдеН, АЬЬапд!. д. Сев. д. ^1зз. ги СхбШп^еп,
Вд 22, 1877, 1—53.

488. Уе1дЬ ат Р. А. ТЬе зГогу о! гескошпд т 1Ье М1дд1е Аеез, Еопдоп,
1926.

489. Уе1дЬат Р А. ТЬе а11е&ед еаг1у еп&ПзЬ уегзюп о! ЕисИд, 1з1з,
уо1. 9. 1927, 234—238.
490. У изккеу1ск А. Р. Тке оп§ша1 сопХпЪаНопз оГ тесИеуа! та(кета-
Наапз, 1п: СготЫе (ей.) «ЗаепННса! скайпе», ОхГогй, 1963.

491. 2е11ег М. С. Тке йеуе1ортеп! о! 1п^опоте1гу кот Ке§ютоп(апиз
1о РШзсиз, Апп Агког, 1944.

492. 2 1 п п е г Е. ЬеЬеп ипй \У1гкеп без Локаппез МйПег уоп Кот^вЬег^
^епапп! Ке&юпклйапиз, Мйпскеп, 1938.

493. 2 о и Ь о V V. Р. Зиг ип ёсп1 Гаиззетеп! акпЬиё а М1со1аз Огезте,
Агск. 1п1егп. й’Ыз!. йез зек, 1958, № 45, 377—378.

494. 2 о и к о V V. Р. (Эие1диез окзегуаИопз зиг Гаи1еиг йи 1гаИё апопуте
«Шгит йуате!ег аПсшз циайгаН зП соттепзигаЪШз соз!ае ешзйет»,
Ыз, уо1. 50, 1959, 130—134.

495. 2 о и Ь о у V. Р. Йеап Випйап е1 1ез сопсер1з йи рот! аи циа!огх1ёте
з!сс1е, Мей1аеуа1 апй Кепа^ззапсе з!ий., уо1. 5, 1961, 43—95.
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН

Абу-л-Вафа ал-Бузджани 197,206
Абу Камил ибн Шуджа ал-Мисри
23, 85, 86, 208

Абу Маш‘ар ал-Балхи 14, 30

Ал-Абхари, Асир ад-Дин 21

Агостини А. (А&озЙт А) 31, 208

Автолик 180

Адальболд из Утрехта (Ада1Ьо1д)
11

Аделард из Бата (Аде1агд оГ
Ва1Ь) 12, 13, 34—36, 71, 209,
211, 215, 216, 221.

Аквинус Дакус (Ацитиз Васиз)
140, 147

Александр де Виледье (де УШе-
(Неи, А1ехапдге) 71

Александров А. Д. 203

Алимов Н. Г. 203

Альберт Саксонский (А1Ьег1из де
Захогпа) 29, 103, 123, 124,
208

Альберти, Леон Баттиста (А1Ьег-
Н, Ьеопе ВаШз(а) 30

Алькуин (А1сшп) 10, 11, 68, 208

Аммоний Александрийский 17

Амодео Ф. (Атодео Р.) 208

Анастос М. (Апаз^оз М. V.) 208

Андреас Александр (Апдгеаз А1е-
хапдг) 140, 141, 146, 166,
197 213 221.

Анри Ш. (Непгу СИ.) 216

Антемий Тралесский 17

Аполлоний 14, 17, 19, 38, 106, 180,
211, 222

Апулей из Мадавры 49

Артир Исаак 20

Арет 18

Аристотель 7, 13, 15, 16, 25—27,
49, 118, 120, 124, 162, 164,
208

Аристофан 16

Арриги Дж. (Агп&Ы С.) 208
Архимед 17, 19, 38, 124, 140, 170,
180, 191, 203, 204, 208

Асклепий Траллиан 49
ал-Ахвази, Ахмад ибн ал-Хусайн
159

Ахмад ибн Юсуф ал-Мисри (Ате-
1из ННиз ЛозерЫ) 14, 111,
112, 115, 117, 120, 121, 124,
211, 220

Ахмедов А. 203

Ахмес 63

ал-Багдади, Мухаммад ибн Абд
ал-Баки 35, 97, 98, 100, 220

Барлаам 20

Бартольд В. В. 203

ал-Баттани 14, 21

Баше де Мезириак (ВасЬе! де
Мегшас С. С.) 30, 64

Башмакова И. Г 4, 203, 204

Беда Достопочтенный (Веда Уе-
пегаЬШз) 10, 68, 208, 222
де Бельдоманди, Проздочимо (де

Ве1дотапд1, Ргоздос1то) 31

Беккер О. (Вескег О.) 208

Березкина Э. И. 203

Берлет Б. (Вег1е1 В.) 146, 147,208

Бернекер, Ганс (Вегпескег, Напз>
146

Бестгорн Р. (Вез(Ьогп К. О.) 208
ал-Бируни, Абу Райхан 14, 74,
203, 204

ал-Битруджи 15, 211

Блашке В. (В1азс11ке АУ.) 209

Блимецридер Ф. (ВИете12педег
Р.) 209

Бобынин В. В. 204

Боголюбов А. Н. 205

Боев Г. П. 204

Бойер К. (Воуег С. В.) 210
Бомбелли, Рафаэль (ВотЬеШ,
КаИае!) 183—189, 191, 193—
195, 197, 200, 209, 214, 216,
223

Бонкомпаньи Б. (Вопсотра^гп В.)
13, 14, 23, 35, 61, 63, 71, 106,
209, 217

Борги, Пьетро (Вог^Ы, Р1е1го) 31,
135

Борелли, Альфонсо (ВогеШ А.)
209, 214

Бортолотти Э. (Вог1о1оШ Е.)
183—185, 187, 188, 209, 210

Босман А. (Возгпапз Н.) 162, 168,
172, 193, 210

Боэций (ВоеИйиз, АпШиз МапП-
и§ Тогдиа(из Зеуеппиз)
7-9, 13, 19, 29, 30, 34, 49—
59, 61, 62, 64—67, 96, 111,
112, 114, 116, 118, 120, 123,

124, 126, 150, 173, 180, 204,

209, 211, 214, 215, 218—221

Браге, Тихо (ВгаЬе, ТусЬо) 129
Брадвардин, Томас (ВгадшагсП-

пиз, ТЬогпаз) 28, 66, 112,
120, 121, 123, 124, 205, 211,
216, 220

Браунмюль А. (ВгапптйЫ А.)
210

Бретшнейдер К. (ВгексЬпеИег
С. 6 ) 210

Бубнов Н. М. 204

Бурбаки Н. (ВоигЬак! М.) 40, 188,
192, 204

Бусард Г (Визагд Н. Ь. Ь.) 35, 36,
112, 190, 210

Бутео = Бутеон, Жан Боррель (Ви-
коп, Леап Вогге!) 37, 170—
172, 222

ал-Бухарн, Шамс ад-Дин 21, 22
Бхаскара 100

Бьёрнбо А. (В]бгпЬо А.) 35, 84,
112, 209

Бэкон, Роджер (Васоп, Ко^ег) 12,
27, 180

Вагнер, Ульрих (АУа^пег, ТЛпсЬ)
82

Вакка (Уасса С.) 180, 221

Валентэн Г. (Уа1епНп С.) 221
Валла, Георг (Уа11а, Сеог^шз) 37
Валлис, Джон (АУаШз, ЛоЬп) 39,
113, 201, 202, 206, 221

Валнер (ХУаПпег С. К.) 221

Ваплер Э. (АУарр1ег Е.) 221

Ван дер Варден Б. Л. (уап дег

У7аегдеп В. Ь.) 204, 221

Васильев А. В. 204

Ващенко-Захарченко М. Е. 204

Вейсенборн Г. ('\Уе1ззепЬогп Н.)
34, 221, 222

Вернер К. (АУегпег К ) 222

Вертгейм Г. (АУег1Ье1т С.) 162,
170, 222

Веселовский И. Н. 4, 87, 203, 204,
205

Вёпке Ф. (АУоерске Е.) 107, 108,
211, 222

Видман, Иоганн (АУ1дтап, Локапп)
32, 82, 84, 92, 93, 110, 124,
125, 142, 209, 213

Виет, Франсуа (У1ё1е, Егап(;о18)
132, 162, 170, 183, 189, 190,
210, 221

Вилейтнер Г. (АУ1е1еИпег Н.) 193,
204, 222

да Винчи, см. Леонардо да Винчи
Виргилий 167

Витело (АУИеПо) 27

Воробьев Н. Н. 204

Вуссинг Г (АУиззт^ Н.) 222

Вюстенфельд Ф. (\Уйз1епГе1д Е.)
222

Выгодский М. Я. 204, 205, 207

Гален 13

Галилей, Галилео (Оа1Ие1, ОаШео)
29, 129, 173, 211, 212

Ганди С. (Сапдх 8.) 215

Ганкель Г (Напке! Н.) И, 215

Гебер 88

Гейберг И. Л. (Не1Ьег& Л. Ь.) 16,
39, 102, 204, 208, 212, 214—
216

Герардо Кремонский (Окегагдо
Сгетопезе) 13, 26, 35, 61,
62, 84, 97, 101, 112, 114, 209,
212, 222

Герберт = Сильвестр II (ОегЬег!)
11, 13, 68, 70, 204, 214—217

Герман из Каринтии (Негтаппиз)
14, 35, 113, 209, 210, 213

Герои Александрийский 15, 17, 19,
212

Герои Младший 19

Герхард Г. (Сегкагд! С. Л.) 91,
215

Гизинг (Слезть Л.) 215

Гипатия 17

Гиппократ 13

Гнеденко Б. В. 131, 204, 205

Гольдстейн Б. (СюИзкш В. К.)
215

Гольцман Е. И. 4

Гомер 16, 167

Госселен Г. (ОоззеИп С.) 172, 210<

Гофман И. (НоИтапп Л. Е.) 216
Гохман Е. В. 206

Грамматеус, Генрих (Огашша1е-
П5, НетпсЬ) 146

Грант Э. (Сгап! Е.) 215, 218

Григор, Никифор 20

Григорий XIII 174

Григорий из Санкт-Винцента
(Сге&опиз а $апс1о Утсеп-
Но) 198, 210, 215, 216

Григорьян А. Т. 205

Гринэй, Симон (Сгупаеиз, $утоп)
37

Гроссетест, Роберт (Сгоззе1ез1е,
КоЬеН) 12, 27

Гуго из Санталлы 14

Гуттенберг, Иоганн (СиНепЬег^,
ЛоИапп) 29, 206

Гюйтенс, Христиан (Ниу^епз,
СЬпзНап) 183

Гюнтер С. (СйпОзег 8.) 77, 215

Даниил из Морли 13

Дасиподий (ВазуросНит, Сипга-
(1ит) 37, 38, 214

Дейбнер Ф. (ВеиЬпег Е.) 146, 212
Декарт, Рене (ВезсаНез, Репе)
29, 47, 141, 188, 195, 197,
199—201, 205, 208

Деметрий Кидон 20

Демосфен 16

Денифль (ВешПе Н.) 212

Депман И. Я. 205

Депо Р. (Вераи К.) 212

Диркс (В1егскз 8.) 212

Диофант 19, 20, 43, 44, 50, 51, 63,
64, 90, 92, 143, 158, 168, 177,
187, 197, 203, 212, 215, 220

Домнин из Лариссы 17

Д’Оодж (В’Оо&е М. Ь.) 212

Дюрер, Альбрехт (Вйгег, А1Ь-
гесЫ) 191, 207

Дюэм П. (Викеш Р.) 78, 212

Д’Элиа (В’ЕНа Р М.) 212

Евгений из Палермо 15

Евдем 17

Евдокс Книдский 43, 112, 113, 118,
127, 170, 208

Евклид (ЕисПЛез) 7, 9, 13—20, 23,
24, 26, 27, 30, 31, 33—39,
41—43, 47—49, 52, 54, 59,
61, 65, 72, 77, 79, 92—100,
102—104, 106—115, 118—120,
123—125, 128, 130, 135, 136,

138, 139, 141, 142, 146, 148,

151, 154, 155, 157, 158, 161,

163, 164, 167, 170, 174—177,

179, 180, 183—185, 188,

190—193, 195, 198, 201,

203—210, 212—220

Евклид из Мегары 37, 38

Евтокий Аскалонский 17, 19

Еганян А. М. 205

Елдгам Ф. (ТеМйат Р. А.) 222

Жирар, Альбер (Спгагд, А1ЬеН)
192, 215, 220

Заборов М. А. 205

Замберти = Дзамберти, Бартоломео
(7агпЬегН, Ваг1о1огпео) 37,
97, 100—102, 148, 211, 214,
221

аз-Заркали 21

Зубов В. П. (7опЬоу V. Р.) 205,
206, 223

Зутер Г. (8и1ег Н.) 100, 174, 209,
220

Ибн ал-Багдади, Хасан ибн Му-
хаммад 47, 104, 188, 190

Ибн Рушд (Аверроэс) 15

Ибн Сина (Авиценна) 13, 15

Ибн ал-Хайсам (Альгазен) 14, 27,
63

ал-Идриси 15

Ингварссён (1п^\уаг85бп = Ре1гиз

РЬПотпет с!е Васга) 28,
212

Иоанн Грамматик 49

Иоанн из Палермо 24, 63, 106

Иоанн Севильский 14, 30, 71

Иоганн из Гмудена (ЛоЬапп уоп

Сшидеп) 32, 217

Иордан Неморарий (Логдапиз Ие-
тпогапиз) 18,24—27,62,64—
67, 71, 77—79, 84, 85, 87, 93,
115—117, 119—126, 150, 180,
207, 211—214, 216, 221, 222

Исидор Милетский 17

Исидор Севильский 10

Исхак ибн Хунайн 13, 21

Кабасилла, Николай 20
ал-Кабиси (А1саЬШиз) 14, 26
Кайяни, Анжело (Са]аш, Ап^е1о)
38

Каландри (Са1апс1п) 80

Камерарий (Сагпегапиз, ЛоаЫ-
шиз) 38, 214

Кампано, Джованни (Сагпрапо,
61ОУапп1 = Сатпрапиз, ЛоЬап-
пез) 26—28, 35—38, 64, 97,
100—102, 112, 117—121, 124,
125, 135, 136, 148, 154, 161,
174, 211, 214, 221
Каначчи, Рафаэль (Саласе!, КаГ-
ГаеПо) 15, 29, 66, 88, 108,
218

Кантор М. (Сап1ог М.) 26, 33, 50,
65, 71—73, 91, 93, 100, 108,
133, 135, 164, 166, 174,

210—212

Капелла, Марциан 7, 9

ал-Караджи 23, 50, 63, 85, 87, 142

Кардано, Джироламо=Иероним
(Сагбапо, Сиго1ато) 90,
106, 108, 132, 133, 136—140,
147, 148, 168, 172, 173, 186,
187, 193, 195—197, 205, 210,
211, 218, 222

Карл Великий 10

Кармоди Г. (Сагтоду Т. 3.) 211

Карпинский Л. (Кагртзк! Ь. С.)
28, 84, 89, 173, 212, 216, 217,
219

Карпова Л. А. 207

Кары-Ниязов Т. Н. 205

Кассиодор 7, 8, 9, 34, 60, 211
ал-Каши, Джамшид Гияс ад-Дин
22, 79, 207

Кеннеди Э. С. (Кеппебу Е. 8.) 217

Кеплер, Иоганн (Кер1ег, ЛоЬаппез)
129, 180

Кестнер А. (Каз1пег А. С.) 157,
172, 217

ал-Кинди, Абу Юсуф Якуб 111,
112

Кирилл 18

Клавий, Христофор (С1аушз, СЬпз-
1орЬог),37, 38, 141, 173—180,
191, 195, 197, 198, 211, 214

Кладжет М. (С1а^еН М.) 34, 36,
211, 217

Кламрот М. (К1атго1Ь М.) 217

Кларк Ф. (С1агке Р. М.) 211

Клебс А. (К1еЬз А. С.) 217

Колмогоров А. Н. 205

Коль К. (КоЫ К.) 209

Кольман Э. 205

Коммандино, Федерико (Соттап-
сИпо, Ребепсо) 38

Конрад, Ганс (Сопгад, Напз) 146

Константин из Флери 11

Коперник, Николай (Сореггисиз,
1Ч1со1аиз) 129, 163, 172

Коста ибн Лука 74, 220

Крамар Ф. Д. 206

Кромби А. (СготЫе А. С.) 211

Кросби Г. (СгозЬу Н. Ь.) 28, 120,
211

Ксиландер = Вильгельм Гольцман
(Ху1апс1ег XV.) 38, 212, 214

Курце М. (СиНхе М.) 24, 34, 35,

65, 85, 91, 93, 100, 121, 123,
140, 141, 209, 211, 212, 221

Кушиар ибн Лаббан (КизЬуаг 1Ьп
ЬаЬЬап) 217

ал-Кушчи, Али 22, 145

Кэджори Ф. (Саргу Р.) 172, 206,
210

Лев Математик 18, 21, 206, 215

Лейбниц, Готфрид Вильгельм (Ье-
1Ьп12, ПоШпес! АУИ1Ье1т)
183, 199

Леонардо да Винчи (Ьеопагбо ба
Уте!) 30

Леонардо Пизанский-Фибоначчи
(Ьеопагдо Р1Ьопасс1) 18, 23,
24, 26, 29, 62—64, 66—68,
71—80, 85, 86, 88—91, 93,
96, 103—108, 112, 114, 115,
126, 127, 135, 197, 204, 213,
217, 222

Лефевр, Жак (ЬеГеУге Л.=РаЬег
81ари1епз1з) 37, 64

Либри Дж. (1лЬп О.) 84, 217

Липшиц Е. Э. 206

Лоссий, Лука (Ьоззшз, Ьиса) 68,
69, 217

де Лунис (де Ьитз, Си^Нектю)
15, 29, 88

Лютер, Мартин 148

Мавролико, Франческо (Маиго1у-
сиз Р.) 179—183, 196, 208,
211, 217, 218, 221
ал-Матриби, Мухи ад-Дин 21
ал-Маджрити, Ахмад 13
Макробий 7, 19
Мамедбейли Г Д. 206
ал-Ма’мун 18

Мансьон П. (Мапзюп Р.) 217

Марр А. (Магге А.) 217

Маркс, Карл, 6, 129, 199

Маркушевич А. И. 203, 206

Матвиевская Г. П. 206
ал-Махани 48, 98
Медовой М. Й. 206
Меланхтон, Филипп 82, 83
Мелитениот, Феодор 20
Менге А. (Меп^е А. Н.) 39, 214
Менелай 180

Меннингер К. (Меппт&ег К.) 217
де Мер, Жан (бе Меиг, Леап-Лоап-
пез бе Мипз) 28, 66, 79, 89,
108, 218

Метохит, Феодор 20

Миели А. (М1еН А.) 217

Михаил Скотт 15
де Мойя, Жуан Перес (с!е Моуа,
Лиап Регег) 81, 217

Молланд А. (МоПапд А. О.) 112,
217

Мордухай-Болтовской Д. Д. 39,
'111, 176, 205, 206

Морте (Мог1е1 V.) 217

Мосхопул, Мануил 19

Мунди (МипсИ 5.) 217

Муск 24

Мюллер Ф. (МйПег Р.) 217

Мэрдок Дж. (МигбосК 3. Е.) 36»

112, 113, 217

Нагль А. (№$1 А.) 28, 79, 218
ан-Найризи (АпапНиз) 34, 35,
48, 97, 113, 114, 209, 212,217

Наполи Ф. (№роП Р.) 218

Нардуччи (1Чаг(1исс1 Н.) 218
ан-Насави 77, 79

Натуччи А. (№1исс1 А.) 218

Нейгебауэр О. (Ыеи^еЬаиег О.)
21, 206, 218

Неморарий, см. Иордан Неморарий
Нессельман Г. (1Чеззе1тапп О.

Н. Р.) 218

Неофит 19

Никомах Геразский 7, 8, 9, 19, 20,
49—54, 56, 58—62, 65, 66,
НО, 111, 115, 121, 124, 125,
136, 139, 176, 212

Нотари (Г4о1ап V.) 219

Ньютон, Исаак (№\у(оп, 1заас)
199, 202, 206, 208

Ньюхелл А. (№\уйа11 А.) 218

Овидий 19

Окреат (О’Сгеа! Ы.) 71, 216

Ольшки Л. 206

Оре О. (Оге О.) 218

Орем, Николай (Огезте, №со!е)
29, 36, 103, 121 — 124, 205,
206, 210, 211, 215, 218, 222,
223

Папп Александрийский 216, 220

Пауль О. (Раи! О.) 218

Пачоли, Лука (Расшо1о, Ьиса)
30, 31, 33, 37, 66, 68, 79, 80,
89, 90, 92, 108, 124, 126, 133,
135, 136, 138, 139, 152, 168,
170, 172, 210, 219, 222

Пейрар Ф. (Реугагс! Р.) 39
Пейрбах, Георг (РеигЬасй, Оеог^)
32, 68, 82, 83, 92, 125, 218

Пекхам, Иоанн (РескНат, Лоап-
пез) 27, 180

Пелетье, Жак (Ре1еНег, Засциез)

141, 161, 167—170, 172, 197,.
210, 218

Пеллос=Пеллиццати, Франческо
(РеШггаН, Ргапсезсо) 31

Петрарка 167

Петросян Г Б. 206

Пифагор 8, 9, 41, 52, 77, 180

Плануд, Максим 19, 20, 22, 215

Платон 16, 37, 118, 124

Платон из Тиволи 14, 209, 212

Плиний 9, 10

Плуэй Э. (Р1оо1з Е. В.) 218

Пого (Ро^о О.) 218

Погребысский И. Б. 204, 207

Подетти Ф. (РобеШ Р.) 218

Порфирий 7

Прокл 20, 37, 170, 209

Прочизи А. (Ргос1551 А ) 218

Пселл, Михаил 19, 20, 220

Птолемей, Клавдий 12, 13—15, 17,
19—21, 26, 27, 115, 215, 218-

Пьеро делла Франческо (деПа
РгапсезсЫ, Р1его) 30

ар-Рази 13

Раик А. Е. 207

Рамус, Питер (Катиз, РеГгиз = с1е
1а Катёе, Р1егге) 141, 162—
166, 196, 201, 210, 211, 218

Рат Э. (Ка1Ь Е.) 82, 219

Ратдольт, Эрхард (КаМоИ Н.)
29—31, 36, 209

Рашдал (КазЬдаП Н.) 219

Региомонтан-Мюллер, Иоганн
(Ке^1отоп1апиз, Лоаппез)
28, 32, 67, 77, 92, 177, 209—
212, 219, 223

Рейдемейстер К. (Ке1(1ете151ег К.)
219

Рейнер К. (Кетег К ) 219

Рекорд, Роберт (Кесогбе, КоЬег!)
68, 141, 172, 173, 210, 211,
213

Ризе, Адам (К!езе, Абат) 28, 140,
141, 146—148, 208, 212, 219,
221

Роберт из Честера 14, 84, 216

Роджер, норманнский король 15

Розенфельд Б. А. 4, 204, 205, 207,
208, 216, 219

ван Роумен, Адриан (уап Коигпеп)
84, 210, 219

де ля Рош, Этьенн (бе 1а Носке,
ЕзНеппе) 33, 81, 171

Рудио Ф. (КисНо Г.) 25, 219

Рудольф, Христоф (Нис1о1И,
СЬпз1о() 140, 147—152, 168,
220
‘Сабит ибн Корра ал-Харрани 13,
14, 35, 49, 111, 112, 124, 167,
207, 209

Савасорда (Зауазогба) 15, 212

Сакробоско=Г оливуд = Г алифакс
(ЗасгоЬозсо, 1оаппез-Лойп
о! НаШах) 26, 28, 71, 113,
212, 216

ас-Салар, Хусам ад-Дин 21
ас-Самарканди, Шамс ад-Дин 21,
203

Сартон Дж. (8аг1оп С.) 38, 84,
163, 219

Сахл ибн Бишр 14

Сергеску П. (Зег^езси Р.) 219

Серен Антинойский 17

Сильвестр II, см. Герберт

Симонов Н. И. 205

Симпликий 17, 49

Сираждинов С. X. 4

Скриба (ЗспЬа С. Л.) 219

Смит Д. (ЗгпИй В. Е.) 219

Стевин, Симон (81еуш, Зттоп)
183, 190—194, 196, 197, 201,
210, 212, 219, 220, 222

Стройк Д. (81гшк В. Л.) 191, 207,
220

Сулливан (ЗиШуап Л. XV. XV.) 220
ас-Суфи, Абд ар-Рахман 21

Таке, Андрэ (Тасцие!, Апбгё) 198,
210, 220

Талиенте 80

Таннери П. (Таппегу Р.) 16, 19,
141, 220, 221

Тарталья, Николо (ТаНа^На, Ы1С-
со!о) 38, 90, 132, 134, 135,
172, 193, 196, 213, 214, 221

Татон Р. (Та1оп К.) 221

Теодорих 7

Теодосий 180

Теон Александрийский 17, 20, 21,
37, 39, 170, 174

Теэтет 43, 170

Тимченко И. Ю. 206

Томсон (Тйотпзоп XV.) 216

Торричелли, Эвангелиста (Тогпсе!-
11, Еуап^еИз1а) 198, 218,
221

Трейтлейн П. (ТгеиНет Р.) 86,
146, 147, 157, 168, 221

Тропфке Й. (ТгорГке Л.) 106, 221
ат-Туси, Насир ад-Дин (Ыаззеге-
сНпиз) 21, 39, 48, 126 128,
174, 206, 207, 210, 214, 218,
220

Узенер Н. (Озепег Н.) 21, 22, 221

Улугбек 22, 205, 208

Унгер Ф (Сп^ег Е.) 82, 221

Урбан IV 27

Фаваро А. (Еауаго А.) 214
ал-Фараби 13, 47

ал-Фаргани (Альфраганус) 14, 32,
92

Ферма, Пьер (Регта!, Р1ёгге) 203

Феррари, Луиджи (Реггап, Ьш&1)
132, 218

дель Ферро, Сципион (с!е1 Регго,
8с1рюпе) 90, 131, 132, 186,
187,213,214

Феттер Г. 207

Фиоре (Рюге) 131

Фогелин, Иоанн (Х;о^еПп, Лоапп)
125

Фогель (Уо&е! К.) 17, 22, 82, 146,
216, 221

Фрати Л. (РгаН Б.) 214

Фрейденталь Г. (Ргеис1еп1йа1 Н.)
180, 214

Фрибус Е. А. 207

Фридлейн Г (РпесПетп С.) 214,

215

Фридрих II 15, 24, 63, 220

Фридрих, монах из Регенсбурга
(Рга1ег ГНдеНсиз) 32, 67,
82, 91, 93

Фризий, Гемма (Рпзшз, Сеттла)
161, 210, 215, 218

Фюк Н. (Рйск Л.) 215

Хабиб ибн Бахриз 49

ал-Хазини, Абд ар-Рахман 21

Хайям, Омар 21, 48, 89, 111, 126,
128, 207, 208

Хаскинс Ч. (Назктпз С. Н.) 215
Ван дер Хёке (уап дег Ноеске,
Спе1з) 146

Хис Т. Л. (Неа1й Тй. Б.) 34, 215

Хок (Носк С. Р.) 216

Хоппе Э. (Норре Е.) 216

ал-Хорезми, Мухаммад ибн Муса
(А1^опзтиз) 13, 14, 23, 70,
71, 84, 85, 87—89, 92, 109,
126, 127, 145, 168, 207—210,
216, 220

Христенсен (Сйпз1еп5еп 8. А.)
211

Хулагу-хан 21

Хунгер (Нип&ег Н.) 22, 216

Хунрат К. (НипгаЧ1 К.) 70, 216

Целлер М. (2е11ег М. С.) 223

Цейтен Г. (2еи1йеп С.) 207, 221
Циннер Э. (21ппег Е.) 223

Цицерон 33

Черкалова Л. И. 207

Шаль М. (СЬаз1ез М.) 77, 207,
211

Шейбель, Иоганн (8сЬеуЬе1,
ЛоЬапп) 140, 157—161, 168,
173, 176, 195, 197, 219, 220

Шереметевский В. П. 207

Шиппергес (ЗсЫррег^ез Н.) 219

Шонер И. (ЗсЬопегиз, Лоаппез) 77

Шонер Л. (Зсйопегиз, Ьазагиз)
162, 164—167, 218

Шрадер Д. (ЗсЬгабег Ц. V.) 219

Шрейдер С. Н. 87, 205, 207

Штайгмюллер (81а1^тй11ег Н.)
1^7 910 99П

Штамм Э. (81атт Е.) 220

Штейншнейдер М. (81етзсЬпе1-

Лег М.) 220

Штифель, Михаэль (8Ше1, МЬ
сЬае1) 140, 141, 147, 148,
150—154, 156—159, 161,

167—170, 172—174, 177, 179,

190—193, 195—197, 207, 210,
215, 216, 220

Штокало И. 3. 205

Штольц О. 207

Шюке, Никола (СЬицие!, 1Ч1со1аз)
33, 67, 80, 81, 90, 91, НО,
124, 133, 171, 197, 217, 220

Щеглов В. П. 4, 208

Эйлер, Леонард (Еи1ег, ЬеопЬагд)
196, 206

Энгельс, Фридрих 5, 6, 129, 199

Энестрём Г. (Епез1гот С.) 24—
26, 33, 50, 64—66, 77—79,
91, 100, 106, 108, 124, 139—
141, 144, 148, 162, 164, 166,

168, 173, 183, 212—214

Эратосфен 53

Юнге Г (Лип&е О.) 216

Юшкевич А. П. 4, 72, 203—208,

216, 223

Юшкевич П. С. 207

Якопо де Барбари 31

Ямблих 19, 49, 180
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . ... , . 3'

Глава I. Средневековая европейская математика и влияние на нее
науки стран Востока . . 5

§ 1. О культуре и науке Европы в средние века 5

§ 2. Европейская математика до XII в. . . 6

§ 3. Ранние латинские переводы с арабского и греческого
языков ... 12

§ 4. Византийская математика . . 16

§ 5. Европейские ученые XIII—XV вв. и их труды по ариф-
метике и алгебре ... 22

§ 6. Переводы «Начал» Евклида . 33

Глава II. Учение о числе в Европе до XVI в. 40

§ 7. Предпосылки развития понятия числа в Европе 40

§ 8. Теоретическая арифметика 49

§ 9. Практическая арифметика 68

§ 10. Алгебра .... 84

§11. Теория квадратичных иррациональностей 93

Комментарии к книге X «Начал» Евклида 97

Книга X «Начал» в алгебраических сочинениях ЮЗ

§ 12. Теория отношений . ПО

Глава III. Учение о числе в XVI в. . 129

§ 13. Вводные замечания . . . 129

§ 14. Итальянские математики XVI в. 131

§ 15. Немецкие коссисты . . 140

§ 16. Французские математики . 162

§ 17. Английская математика. Робефлг Рекорд 172

§ 18. Учение о числе в конце XVI в. 173

Литература . 203>

Указатель имен 224
Матвиевская Галина Павловна.

Развитие учения о числе в Европе до
XVII века. Т., «Фан», 1971.

231 с. (Акад, наук УзССР Ин-т матема-
тики им. В. И. Романовского).

Библиогр.: с.

51с09)

Галина Павловна
Матвиевская

РАЗВИТИЕ УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ
В ЕВРОПЕ ДО XVII ВЕКА

Утверждено к печати Ученым советом
Института математики им. В. И. Романовского,
Отделением физико-математических наук
АН УзССР

/ . !*е|[актор С. С. Бассина

| 5 ^Художник Н. Н. Каленыпьев

\ у .Технический реДа^тор X. У. Карабаева

\ " ...Корректор Л. Л. Гурьянова

Р05867. Сдано в набор 15/У1-19)Гг.;Подписяво к печати 30/VIII-71 г. Формат 60Х9011Й—

7,25 бум. л.-14,5 печ. л. Уч.-изд. л. 15,1. Изд. № 768. Тираж 1200. Цена 1 р. 75 к.

Типография издательства «Фан* УзССР, Ташкент, ул. Черданцева, 21. Заказ 113.
Адрес издательства: Ташкент, ул. Гоголя, 70.