/
Автор: Матвиевская Г.П.
Теги: математика теория чисел естественные науки европа история математики
Год: 1971
Текст
.
\
,
АКАДЕМИЯ НАУК УЗБЕКСКОй ССР
vIНСТИТУТ Л'\.4ТЕМАТИКИ ИМ. В. И. POMAHOBCKOrO
r. п. МАТВl1ЕВСКАЯ
РАЗВИТИЕ
УЧЕНИЯ
О чи еЛЕ
в ЕВРОПЕ
ДО XVH ВЕКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ФАН» УЗБЕКСКОЯ сср
ТАШКЕНТ.1971
5]
М33
удк 51 (09)
в книrе, которая является продолжением работы Toro же автора
«Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем BOCТOKe , рас-
сматривается развитие арифметики, алrебры, теории квадратичных ирра-
ционаll1ьностей и теории отношений в Европе дО XVI В. включительно.
Основное внимание уделено формированию понятия действительноrо
числа в трудах европейских математиков; отмечается влияние на них
сочинений ученых Ближнеrо и Среднеrо Востока.
Работа написана, r'лавным образом, на основе изучения ориrинаJIЬ-
ных изданий XV XVI вв. с использованием существующей историко-
математической литературы.
Книrа рассчитана на специалистов по истории математики и студен-
тов математических факультетов вузов; может представить интерес и для
широкоrо Kpyra читателей.
Ответственный редактор
академик АН УзССР
С. х. СИРАЖДИНОВ
2 -I
ПРЕДИСЛОВИЕ
Среддевековый перИQД истории европейской математики при
влекает внимание мноrих исследователей, прежде Bcero вви
ду недостаточной ero изученности и обилия вопросов как об-
щеrо, так и частноrо порядка, ждущих cBoero решения. Этот
период интересен, с одной стороны, тем, что именно тоrда
сложились все предпосылки бурноrо расцвета научной MЫC
ли, который начался с XVI в. и привел к созданию в XVII в.
математики переменных величин. С друrой стороны, матема-
тика средневековой Европы, рассматриваемая и сама по се-
бе, представляется сейчас H3MHoro более боrатой по идейно-
му содержанию, чем это казалось сравнительно недавно.
Теперь ясно, что при изучении истории возникновения и
развития той или иной математической идеи следует со вни
манием обращаться к средневековью и восточному, и евро-
пеЙСКО IУ, ожидая получить новые данные, касающиеся
этой истории.
В числе наиболее важных историко-научных проблем в
итературе часто отмечается проблема взаимноrо влияния
культур различных народов. Особый интерес она приобрета-
ет в применении к математике средневековья, хотя и обладав-
шей, как теперь выяснено, общностью закономерностей раз-
вития, но отличавшейся специфическими особенностями в
разных странах Востока и Запада [62, 126].
С точки зрения истории матемаТИКII эпохи Возрождения
и HOBoro времени существенен вопрос о передаче в XI
XIII вв. научных познаний, накопленных на Ближне 1 и Сред-
нем Востоке, в Европу, о ходе их усвоения и начале caMO
стоятельноrо творчества европейских ученых.
В предлаrаемой работе этот вопрос рассматривается в
pal'vIKaX учения о числе, точнее, тех наук, развитие которых
пе.ПО постепенно к расширению понятия числа. Автор видит
в ней продолжение своеЙ книrи «Учение о числе на средне-
3
вековом Ближнеl\1 и Среднем Востоке») выводы которой по..
служили отправной точкой настоящеrо исследования.
ВLIделены два периода истории развития понятия ЧИСj(а
в средневековой Европе. Первый услuвно завершается Х'! В.
и !\10жет быть в общих чертах охарактеризован как период
усвоения восточноrо учения о ч:исле. Второй OXBaTbIBaCT
ХУI В., эпоху BbIcoKoro Возро)кдения [38], коrда, как и в дpy
rих областях науки, в М2тематике был достиrнут значитель
ных проrресс и заложена база для выдающихся открытий
XVII в.
Автор не ставит своей целью дать систематический обзор
арифметики и алrебры рассматриваемоrо периода и KOCHYTЬ
ся всех мноrочисленных вопросов, возникающих в этой связи.
Внимание будет обращено на некоторые основные моментЫ
истории учения о числе. Это относится в особенности к ХУI в.
которому отведена rлава .111: в ней рассматривается несколь
ко наиболее характерных и не всеrда достаточно известных
сочинений, содержащих изложение учения о числе) как ero
fIонимали в то время. Поэтому при составлении списка лите
ратуры имелось в виду указать читателю, в каких источни
ках можно получить более подробные сведения по вопросам,
в данной книrе затронутым только МИМОХОДОl\1. Естественно.
что в этом отношении более полезным оказался бы анноти"
рованный библиоrрафический указатель, но, по мнению aB
тора, такой указатель, касающийся истории математики EB
р.опы в средние века и в эпоху Возрождения, должен стать
предметом самостоятельной работы.
Материалом, на котором построено исследование, послу
жили, rлавным образом, ориrинальные математические сочи
нения, изданные в XY XYI вв. Автор зачастую пользовался
экземплярами из фондов Библиотеки АН СССР в Ленинrра..
де и искренне блаrодарен сотрудникам Отдела редкой кни"
{'Н, прежде Bcero Е. и. rольцман.
Автор крайне признателен академику АН УзССР проф.
С. х. Сираждинову за постоянные внимание и поддержку, а
также профессораl\1 и. r. Башмаковой, Б. А. Розенфельду.
А. п. Юшкевичу и академику АН УзССР проф. В. п. Щеr
ЛОВУ, ознакомившимся с рукописью в первом ее варианте и
сделавшим замечания, которые по возможности были учте
ны при написании КНиrи. За ценные советы, полученные в
процессе работы, автор приносит rлубокую блаrодарность
професеору и. Н. ВесеЛОВСКОl\IУ.
'*
rлава I
СРЕДНЕВЕКОВАЯ ЕВРОПЕЙСКАЯ МАТЕМАТИКА
И ВЛИЯНИЕ НА НЕЕ НА)'"КИ СТРАН ВОСТОКА
1. О культуре и науке Европы
в средние века
Характер развнтия европейской науки и, в частности, мзте
матики в средние века определялся социально-экономически-
1\1И условиями, свойствеННЫ IИ этой исторической эпохе. Она
характеризуется как «эпоха ВОЗIIикновеIIИЯ развития и упад
ка феодальноrо способа пронзводства, феодальных оБIцест
венных отношениЙ во всеМИРНО1\1 масштабе» [38, т. 111, стр. 7]
И подразделяется на три периода: paHHero, развитоrо и позд
Hero феодализма. В Западной Европе, rде феодальные OTHO
шения начали складываться с V в. первый период закончи
ся в XI в., второЙ в ХУ. третиЙ в середине XVII в.
Европейские rосударства paHHero периода феодализма OT
личались предельно низким уровнем развития экономики и
культуры и замедлеННЫ 1 темпом роста производства. Состоя-
ние науки этоrо времени, соответствовавшее ypOBlIlO произво
дительных сил, можно назвать состоянием rлубокоrо упадка.
В конце ХI в. началось оживление в культурной жизни,
вызванное HeKOTOpbI1\1 проrрессом в сфере производства. По
степенное развитие экономики, разделение сельскоrо хозяй
ства и ремесел, рост и усиление rородов, укрепление Topro
вых связеЙ непосредственно сказывались на уровне культуры.
Начали, хотя и медленно, развизаться TaK)I(e естественные
науки, возник интерес к эксперименту как методу исследова
ния и зародилось понимание сковывающеЙ роли схоластики
в научном nporpecce.
Однако существенные изменения как в социально-эконо
мических условиях, так и в культурноЙ жизни произошли
только начиная с Х\' В., в последниЙ период развития феода
лизма, коrда в ero недрах стал зарождаться новый общест
венный строЙ. Параллельно с рОСТО1\1 буржуазии, по словам
Ф. Энrельса, «происходило rиrантское развитие науки.
Стали вновь изучаться астрономия, механика, физика, aHa
ТО1\IИЯ, физиолоrия. Буржуазии для развития ее промышлен",
5
ности НУЖНа была наука, которая исследовала бы свойства
физических тел и фОрi\IЫ проявления сил природы»l).
Наряду с друrими естественными науками в этот пери-
од в эпоху Возрождения начала интенсивно развивать-
ся l\fатематика. Именно в ХУI в. был заложен фундаl\lент ис-
числения бесконечно малых и аналитической rеометрии,
которые сформировались в следующем столетии. Мы видим
здесь убедительное свидетельство влияния практических по
требностей на развитие математики и зависимости стецени
этоrо влияния от состояния техники и производительных сил.
Если раньше «застой техники, общественных отношений при
водил к застою мысли», то «достаточно было производитель-
ным сила 1 и производственным отношениям получить воз-
можности HOBoro развития, и мы видим в Европе значительное
оживление матеrvlатическоЙ мысли, особенно с эпохи Возрож-
дения» [46, стр. 86].
Изучение истории математики средневековья долrо orpa-
ничивалось поздним периодом, в научном отношении, естест-
венно, наиболее интересным. Впоследствии, однако, стало вы-
ясняться, что и ранние этапы заслуживают пристальноrо
внимания. Исследования, которые были начаты во второй
половине XIX в., доказали неправильность взrляда на этот
период как на мертвый период в истории науки. Несмотря на
засилие схоластики, в позднее средневековье не только на-
копился боrатый фактический материал из разных областей
знания, но возникли новые идеи, начали формироваться но.
вые методы, развитие и применение которых обеспечило важ-
нейшие достижения в будущем.
В настоящей rлаве дан общий обзор европейской мате-
матики дО XII в. и отмечено влияние на нее математики
стран Ближнеrо и Среднеrо Востока, а также Византии. Среди
сочинений, переведенных в XII в. с арабскоrо языка, специ-
ально рассматриваются ранние латинские версии «Начал»
Евклида, сыrравшие важнейшую роль в истории математи-
ческой науки в Европе. Сообщаются также сведения о наи-
бо.нее видных ученых XIII XV вв. и об их TpYl{ax по ариф-
метике и алrебре.
2. Европейская математика ДО XII в.
В результате социально-экономических потрясений, перенесен-
ных в первые века нашей эры, из Bcero orpoMHoro боrатства
античной математики Европа ПО"lучила в наследство лишь
то HeMHoroe, что сохрани"ТIИ поздние римляне с их относи.
тельно низким уровнем научных познаниЙ. Ориrинальные
1) 1(. Маркс и Ф. Энrельс Соч.. ИЗД 2 e. ,22. стр. 307.
6
труды римских авторов, rде находила применение математи"
ка, касались, rлавным образом, решения прикладных задач из
области архитектуры и rеодезии [189]. Математические тео..
рии rреческих классиков были полностью забыты [68, 192, 207,
300, 303].
Чрезвычайно скудный по со.nержанию научный материал
подразделялся в средневековой Европе по римской традиции
на «тривиум» (rрамматика, риторика, диалектика) и «квадри
виум» (арифметика, rеометрия, астрономия, музыка).
Европейской математике, базировавшейся на столь бедной
основе, предстояло пройти долrий путь, прежде чем было
восстановлено утраченное понимание проблемы научноrо
исследования и вновь освоены наивысшие достижения антич"
ной науки. На первых же порах было необходимо объединить
в целостную систему и приспособить к требованиям новой
эпохи обрывки древних теорий, которые оказались доступ-
ными в то время учеНЫl\I Европы. Эту задачу призваны бы
ли решить компилятивные сочинения энцик.попедическоrо
характера, составлявшие основную часть европейской науч
ной литературы дО XII в. К наиболее ранним из них относи..
лись труды римских ученых Y YI вв. Марциана Капе.плы
Макробия, Боэция, Кассиодора.
Наиболее значительным из названных авторов был Аниuий
Ман.пий Северин Боэций (480 525 rr.), римский философ,
rосударственный деятель и ученый, находившийся на службе
у Теодориха (ОК. 454 526 rr.) корuля oCTroToB, владычест..
ву которых была в то вр мя подчинена Италия. В числе не-
скольких сенаторов Боэций был обвинен в тайных связях с
Византией и по приказу короля казнен.
Своими мноrочисленными трудами Боэций оказал orpoM-
ное влияние на интеллектуальную жизнь средневековоЙ EB
ропы и В течение почти тысячелетия считался одним из круп..
нейших научных авторитетов древности. Получивший обра..
зование в Афинах и хорошо знакомый с rреческими сочине-
ниями, он перевел некоторые из них в том числе труды
Аристотеля, Евклида, Никомаха, Порфирия на латинский
язык и составил комментарии к ним. Он написал также не-
сколько трактатов по философии, теолоrии, музыке и астро-
номии.
Важную роль в истории европеЙской матеl\lатики cbIrpa..
по сочинение Боэция «О введении в арифметику» (<<Ое insti-
tutione arithmetica»), которое в течение до.пrих веков было
чрезвычайно популярным и служило основой школьноrо и
университеl'скоrо матеl\lатическоrо образования. Фактически
ДО XVII в. оно воспроизводилось СО ссылкой на автора в
книrах по математике в разделах, излаrающих теоретиче-
скую арифметику. Оно попало в число первых математиче-
7
T ci 1.t ' -
? . .
1i
, 4
) 9
':' ?
" ,
.
..
tf
l
I
..
1
-.
I ,
. .'..'
:J,'..::.:....
'v
,1twt» :.,.ю.
а
:+ t-
. !:;:. .:
:.:.х
\oв
TIV..
.' " .'
I
i'
-.
у,
.с
.-а
..
-
t
.,.
е
:;---
..
"
.... "1ТI
..
\
.
\ >.
.
..
... ". х:
, :-
-
" ...
\
".
\.. .
. -'..
Аниций Манлий Северин [ оэциi1 (из сре,lневековой
рукописи).
ских сочинениЙ, изданных типоrрафСКИ1\-I способом [151], и.
lIозднее l\П-Iоrокрзтно переИЗД2валось, ВЬJ.держав только в
XVI в. по крайней 1\1ере, четыре издания.
По содержанию арифметическиЙ труд Боэция совершен
но не ориrинален; он является своБодны1I переводом «BBeдe
ния в арИф!\1етику» НИI{ОJ\ilаха. Подробнее на ЭТОl\1 вопросе
мы остановимся ниже (CJ\f. r--тI. 11)
Боэцию ПРИПИСЫВ2ЛИ в средние века также несколько
трактатов rеО1\Iетрическоrо содержания. Один из них «reo..
?\lетрическая наука», содержащиЙ.. между ПрОЧИl\f, описание
абака, оказался научным ПОД&lТ]оrом Х] в., И 'lеющим це ТIЬЮ
показать, что это средневековое вычислительное устройство
происходило от Пифзrора [24, 25, 312, 437, 465].
По свидетельству Кассиодора, Боэuий дал также полный
латинский перевод «Начал», который, однако, не сохранился
[217, 312].
8
«Книrа о музыке» Боэция, которая излаrает древнеrрече...
скую пифаrорейскую музыкальную теорию и содержит инте-
ресные данные об истории античной математики, также бы-
ла широко распространена и переиздавз.пась впоследствии
несколько раз типоrрафСКИl\l способом. В 1872 r. вышел ее
немецкий перевод [376].
Полностью математические труды Боэция были изданы на
языке ориrин ала в 1867 r. [286].
О славе Боэция математика в средние века свидетельст-
вует одна из скульптур знаменитоrо UПартрскоrо собора (по-
строен в ХI 1 XI 1 1 вв.)) предстаВЛЯЮll{ая «семь свобоцных
искусств» статуя Боэиия олицетворяет арифметику, тоrда
как статуи Евклида и Пифаrора соответственно rеометрию
и музыку.
Хотя творчество Боэция в целом лишено ориrинальности,
значение ero нельзя, как Э10 часто случается, сводить на нет,
ибо ero труды явились первым звеном, связавшим средневе-
ковую европеЙскую науку с аНТИЧIlОЙ, и определили уровень
математическоrо мышления иелой эпохи. Именно как одна из
основ самостоятелыlrоo творчества ]\1'атематиков Европы они
привлекают сеЙчас ВНИ1VIание исследователей.
К более ранним римским сочинениям, :)казаВШИl\1 влияние
на науку Европы, относится «Естественная история» (<<Histo-
ria naturalis») Плиния (23 79 rr.), в которой была собрана
боrатая коллекция естественнонаучных фактов из астроно-
мии, rеоrрафии, антрополоrии, медицины, зоолоrии, ботани-
ки, изящных искусств и т. д.
Живший в начале V в. Марциан Капелла из Карфаrена
дал описание наук тривиума и квадривиума в энциклопедии
«Бракосочетание Филолоrии и Меркурия» (<<Nuptia Philolo
giae et Mercurii»); в неи а.плеI орические персонажи, олицетво-
ряющие семь свободных искусств, приносят по случаю обру
чения Филолоrии (т. е. науки вообще) и Меркурия (олицетво-
рение торrовли) в виде подарков символы своих наук и дают
им разъяснение. Арифметика оrраничивается здесь кратким
извлечением 113 сочинения НИКО:\lахз и рассу)кдениеl\1 в пифа-
rорейском духе о мистическом значении чисел; раздел reo-
метрии содержит толкование основных rреческих математи-
tqеских терминов, а в большей части посвящен rеоrрафии
[411 ].
Видный писатель и политик I,ассиодор (ок. 490 ОК.
575 rr.), занимавший высокие служебные посты при королс'
Теодорихе и ero прееМIIиках, а затем ушедшиЙ от светских
дел в 1\10настырь, написал ряд научных сочинений, в TOl\f
числе «О семи дисциплинах» (<<De septem disciplinas») [198]
в котором, в частности, излаrал основы теоретической ариф-
метики по Боэиию. Кассиодор считал необходимым повыше-
9
иие уровня MOHaCTblpCKoro образования и ставил пере,Д папой
вопрос об основании в Риме теолоrическоrо учебноrо заведе
ния по образцу школы в Нисибине [469, стр. 29].
Энциклопедический обзор всех научных познаний cBoero
времени дал епископ Исидор Севильский (570 636 rr.) в co
чинении, состоящем из двадцати книr и озаrлавленном «Эти
10лоrии» и.ни «Начала» (<<Origines»), в котором бы.пи затро
нуты, хотя и поверхностно, математические вопросы. Этот
ученый пользовался славой caMoro образованноrо человека
'CBoero времени и служил во MHOroM образцом для Беды
Достопочтенноrо (ок. 673 735 rr.), оставившеrо заметный
-след в европейской математике paHHero средневековья [123,
137, 469].
Беда жил в Ирландии, обучался и провел всю жизнь в
'монастыре. Ero научные интересы отличались разнообразием
.н охватывали, наряду с историей и риторикой, астрономию и
математику. Он написал, в частности, энциклопедию «О при
'роде вещей» (<<Ое natura rerum») по образцу «Естественной
истории» Плиния И «Этимолоrий» Исидора Севильскоrо.
В течение долrоrо времени это сочинение служило в Европе
,источником астрономических знаний.
Horo внимания Беда уделил хронолоrии и календарю,
,rлавным образом, вычислению первоrо дня пасхи. Эти воп
,росы рассматриваются в ero труде «О счете времени» (<<Ое
temporum ratione»), в котором он изложил также правила
лальцевоrо счета, широко распространенноrо в средние века
как в странах Востока, так и в Европе [123, 300].
Для Беды Достопочтенноrо уже характерно стремление
не только обобщать знания древних, но и применять их в цe
"lЯХ просвещения. Еlце ярче оно ПРОЯВИ..l0СЬ в творчестве
Алькуина (ок. 735 804 rr.), которыЙ работал при дворе им
лератора Карла Великоrо (768 814 rr.) и сыrрал видную
роль в совершенствовании ШКО,,1ЬНОI 0 образования и распро
.странении математических знаний. Ему приписывают сочине
вие «Задачи для изощрения юношества» (<<Propositiones ad
acuendos juvenos») [129], содержащее l\lноrочисленные уп
ражнения на смекалку, например известную задачу о волке,
козе и капусте и задачи, которые сводятся к целочисленному
решению "lинеЙных уравнениi'l и их систеl\l. Алькуин орrанизо
вал несколько начальных школ, rде преподавались предметы
«тривиума» И «квадривиума», а также школу в монастыре
около rорода Тура, проrрамма обучения в которой была бо
.fJee сложноi'l.
онастыри в период раниеrо европейскоrо средневековья
были центрами научной жизни, и поэтому деятельность мо-
.настырских школ имела важное значение для развития Ma
тематики. ХОТЯ ее преподавание оrраничивалось суrубо при
10
кладными вопросами и ученикам сообща-
лись, rлавным образом, знания, необхо-
димые для вычисления дат церковных
праздников, для нужд строительст-
ва и т. д., но уже в то время отмечал-
СЯ интерес к чисто научным проблемам
t 299, 300].
Традицию основанной Алькуином
шко.ПЫ в Туре продолжала в Х в. школа
в Реймсе, одним из преподавателей ко"
тороЙ был знаменитый rерберт (ок. 940
1003 rr.), видная политическая фиrура
CBoero времени, в последние rоды жиз-
ни папа Сильвестр 11 [19, 24, 123, 282 285, 290, 316, 344].
Он родился в Оверни, образование получил на севере Фран"
ции а затем совершил поездку в Испанию, rде постиr «пре..
мудрость арабов и приобрел те математические и астрономи"
ческие познания, которые так поражали современников»
[316, стр. 62].
Труды rерберта, по которым обуча 7JИСЬ арифметике, reo-
метрии и астрономии долrое время спустя после их написа-
ния, свидетельствуют о пробуждении в Европе в конце Х в.
вниман,ИЯ к научному исследованию. ХОТЯ принадлежность
rерберту некоторых приписываемых ему сочинений сомни..
тельна, деятельность этоrо ученоrо. безус.новно, оказала or..
ромное влияние на развитие математики.
Сохранившаяся переписка rерберта [290, 345] свидетель-
ствует о широте ero научных интересов. Несколько писем но-
сят характер небольших математических трактатов. Так,
в двух письмах к своему ученику Константину из Флери
[345, стр. 39 42] rерберт разъясняет некоторые места из со-
чинений Боэция об арифметике и l'vlузыке, касающиеся
свойств избыточных чисел и числовых отношений. Констан-
тину же адресован трактат о способах арифметических опе-
рациЙ на абаке [24, 285, 290], rде дано первое влитерату"
ре подробное описание l\1етода деления на этом счетном
ИНСТРУl\lенте.
Письмо rерберта к Адальбольду, епископу Утрехта, [345,
стр. 299 301], по словам r rанкеля, есть «первое м:атемати-
ческое сочинение, зас.пуживающее этоrо названия» [300,
стр. 314]. В нем поясняется различие между ПЛОIllадью равно-
CTopoHHero треуrольника, имеющеrо сторону 7, и седьмым
треуrольным числом.
Таким образом, можно утверждать, что к концу Х нача..
.ну ХI вв. работа математиков, следовавших римской тра-
диuии. ознаменовалась некоторыми успехами, r.павным обра-
Пояснительный
чертеж из письма
rерберта к Адаль..
больду из У трехта.
11
зом, В области просвещения. Однако темпы развития мате..
матики и ero направление существенно изменились только
веком позже, с появлением в Европе переводов научных
сочинений с арабскоrо языка на латинский.
3. Ранние латинские переводы
с арабскоrо и rре'ческоrо языков
Решающее значение для развития 1\lатематики в Европе
имела широко развернувшаяся с XI XII B13. деяте 7JЬНОСТЬ
переводчиков научной литературы с арабскоrо и rреческоrо
языков на латинский. После долrоrо периода умственной изо
ляции европейские ученые получили, блаrодаря их перево,дам,
доступ к классическим аНТИЧНЫl\l сочинениям, сохранившимся
в rреческом ориrинале или в арабских версиях, а также к
трудам математиков и астрономов Ближнеrо и Среднеrо
Востока. Помимо rреческо(I и восточной медицины и филосо
фии, они познакомились с астрономией Птолемея и «индий
ской» арифrvlетикой, с алrеброй, триrонометрией и оптикой.
Изучение переводной литературы развивало навыки научно
ro исследования и давало новые стимулы для развития точ
ных наук, что обусловило появление в CKOpOl\1 времени пер
вых ориrинальных трудов европейских ученых.
Восточная наука начала проникать в Европу с Х в. раз
личными путями, в частности, через Испанию и Сицилию.
rJIавныЙ ПУНКТ этоrо ПРОНИКНQвения находился на Пиринеi'I
CKO 1 полуострове [12З, 28'7, ЗОЗ, З99 40 1, 405].
Испанские rорода Толедо, Кордова, Севилья, rренада и
друrие со времени захвата страны арабами (IX в.) стали
крупными центрами науки и образования с мноrочисленны-
ми библиотеками, обсерваториями, высшими учебными
заведениями. В них из разных rосударств Европы стекались
те, кто стремился приобщиться к восточной учености. В XII
и XIII вв. здесь шла активная работа по переводу математи
ческих и астрономических сочинений на латинский язык.
Несколько позднее школы переводчиков появились и на юrе
Франции [ЗаЗ, 405, 416, 487].
К числу первых и наиболее выдающихся переводчиков
математической литературы с арабскоrо языка принадлежит
аlIrЛНIJСКИЙ :монах, член бенеДlIКТИНСКОТ О ордсна Аде.пард из
Бата «пионер изучения арабскоЙ науки и фИ"Т"lософии в
XII в. И cal'vloe знаТlительное ИI\IЯ в анr.пийской науке до Po
берта rpocceTecTa и Роджера Бэкона» [З02, стр. 491]. Извест
но [302, ЗаЗ, З07, З99, 416, 487], что Аделард учился во Фран
иии, та1\1 же преподавал, а затем предпринял длительное пу
тешествие по Италии, Малой Азии, СеверноЙ Африке и Испа
нии с целью изучения арабской науки. Расцвет ero деятель
насти приходится на 1120 llЗО rr.
12
Интересы Аделарда были направлены, rлавным образом,
на фИ 10СОфИЮ, астрономию и матеl\'iатику. В ero основном
фИ.J10СОфСКОl\f сочинении «Естественные вопросы» (<<Questiones
7laturalis») [303], написанном в фОрl\1е диалоrа между НИl\1 и
ero пле IЯННИКОМ, остававшимся во время ero путешествий
во французском rороде Лаоне и придерживавшимся тради
ционноrо схоластическоrо взrляда на науку, содержатся HO
вые для Toro времени l\1ЫСЛИ о неоБХОДИl\fОСТИ познания при
роды. К ранним математическим сочинениям Аделарда OTHO
сится трактат «Правила абака» (<<Regola abaci») [158, ЗаЗ],
составленный под влиянием Боэция и I'ерберта. ПОЗQнее он
написал сочинение об астролябии и ряд друrих произведений.
Наибольшей зас.ТIуrой Аделарда из Вата является пере
вод с арабскоrо на латинский яЗык нескольких трудов по
математике и астрономии [ЗаЗ, 416, 487]. Среди них особое
место заНИ lают «Начала» Евклида в арабской версии Исха
,ка ибн Хунайна, исправленной СаБИТО!\1 ибн Коррой. Этот
перевод получил широкое распространение и сохранился до
настоящеrо времени в мноrочисленных рукописях. CbIrpaB
ший не IeHee серьезную pOJlb в истории европейской MaTe
матики и астрономии перевод астрономических таблиц ал
Хорезми в обработке испанскоrо ученоrо Х в. Ахмада
ал Маджрити был выполнен Аделардом в 1126 r., по-видимо
му, во В рем я cro п ребыва ния в Испа нии.
Есть основания попаrать, что Аделард является так}ке aB
тором двух трактатов, в большой мере способствовавших
распространению в Европе десятичной позиционной системы
счисления с применением нуля: «Книrи введения Алхоризма
в астрономическое искусство, соста вленной маrистром А.»
(<<Liber ysagogarum Alchorismi in artenl astronomicam а та-
gistro А. compositum») [220, 329, 361] и перевода трактата
ал Хорезми об «индиЙской аРИф Iетике» (<<Algorithmi de пи
lnero indorllI11») [220, З29].
Большую славу завоевал мноrочисленными переводами
repa рдо КреМОIlСКИi'I (1114 1187 rr.), до.пrо работавший в
Испании, куда ero привлекло желание ближе познакомиться
с арабскими версиями rреческих сочинениЙ и, в частности,
с «Альмаrестом» Пто.пемея [143, 146, 154, 287, 303, З99, 416,
487]. В Толедо он изучил арабский язык и слушал лекции по
астрономии у анrлнчанина Даниила из 1\10РЛИ.
Опубликованный Б. Бонкомпаньи в 1851 r. список пере-
БОДОВ rерардо Kpel\IOHCKOro [154] насчитывал 71 название,
но впоследствии он значительно обоrатился [З99, 416]. Среди
сочинениЙ, ставших известными европейским ученым блаrо
даря ЭТО:\IУ неутомимому переводчику, труды Аристоте 1Я
и ал-Фараби по философии, медицинские произведения ra
лена, rиппократа, Ибн Сины и ар Рази. Но особенно вели-
13
ка ero заслуrа в распространении математических и астро-
номических знаний: он перевел на латынь «Начала» И «ДaH
ные» Евклида, «Альмаrест» Птолемея, «Конические сечения»
Аполлония, «Оптику» Ибн ал Хайсама, «Книrу окарастуне»
Сабита ибн Корры, знаменитый алrебраический трактат
ал Хорезми и астрономический труд ал-Фарrани, сочинения
Ахмада ибн Юсуфа ал Мисри «Об отношении и пропорции»
и «О подобных дуrах», а также MHoro друrих.
Видными переводчиками XII В. были Роберт из Честера
и repMaH из Каринтии, работавшие в Испании и на юrе
Франции и поддерживавшие тесную связь друr с друrом.
Роберт из Честера известен как автор одноrо из наиболее
ранних латинских переводов сочинениЙ по алхимии, а также
как перево,ЦЧИК корана; наиболее важным для истории евро-
пейской науки является перевод «Алrебры» ал Хорезми, BЫ
полненный им в 1145 r. [287, 303, 333, 336, 399, 416, 487].
repMaH из Каринтии [144, 165, 182, 183, 239, 303, 399, 416,
487], упоминаемый в средневековых источниках также под
именем repMaHa Далматскоrо, Славянина или repMaHa Вто-
poro (в отличие от более paHHero переводчика с тем же име-
нем), учился в Шартре или Париже, был знатоком филосо
фии. Он перевел с арабскоrо несколько сочинений по aCTpo
номии и астролоrии, в том числе «Планисферий» Птолемея,
труды Абу Маш'ара ал Балхи и Сахла ибн Бишра; он упо-
минает также о сделанных им переводах «Альмаrеста»
Птолемея, астрономических таблиц ал Хорезми и ряда дpy
rих сочинений, рукописи которых не сохранились. repMaHY
из Каринтии принадлежит также перевод 12 книr «Начал»
Евклида (си. ниже).
Среди плодотворно работавших переводчиков XII в. HY)I(
но упомянуть также Иоанна СеВИ 1ьскоrо из Толедо автора
перевода арифметическоrо трактата «Книrа Алrорисма о
практике арифl\tlетики (<<Llber algorismi de practica arismet
rice»), а также астрономических сочинениЙ а&ll Фарrани (изда
но в 1493 r.) и .Д.бд а l ,Д.зиза а '1 Кабиси (в .1атинскоЙ TpaHC
крипции Алкабиция). rlepBbIi'I из названных трактатов пред
став-пяет собой, вероятно, позднюю араБСКУIО обработку
арифметическоrо сочинения a-п Хорезми; оп был опубликован
в 1857 r. Б. Бонкомпаньи [155] (C!\f. также [250]).
Среди трудов работавшеrо в то же время ryro из Сантал..
лы, очевидно, уроженца Северной Испании, перевод KOl\I-
l\fентария ал Бируни к аСТРОНОl\IичеСКИ:\tl таблицаl\l а&ll-Хорез-
l\lИ [303, 428].
Итальянец П.ТIатон из Тиво.ТIИ, творчество KOToporo
(.1134 1145 rr.) связано с Барсе.10НОЙ [123, 153, 223, 303],
ЯВ..ТIяется aBTopO l переводов введеНIIЯ к знаl\lеНИТЫl\f aCTpo
НОl\fическим таблиuа:м а.п БаттаНlI, РЯ2а аСТрОНОl\lичеСКIIХ
сочинений и «Книrи об измерениях» (<<Liber embadorum»)
работавшеrо вместе с ним Абраама бар Хийа, известноrо
под именем Савасорды (ок. 1 070 ок. 1136 rr.).
Важнейшим фактором развития культурных и научных
контактов между европейскими rосударствами и странами
Востока была торrовля, которая осуществлялась, rлавным
образом, через освобожденную от арабов в XI в. Сицилию,
через итальянские rорода rеную, Пизу и Венецию, а также
через Византию. Значительно меньшую, хотя иноrда и пре
увеличиваемую, роль в отношении передачи научных знаний
с Востока на Запад сыrрали крестовые походы [38, 56, 371].
Один из крупных центров соприкосновения rреческой,
восточной и латинской науки находился в Сицилии, что объ
ясняется и ее rеоrрафическим положением, и ее историей
[5, 123, 303 305, 426. 432]. Уже в XI в. при норманнском KO
роле Ро,дЖере, а особенно столетие спустя при ero внуке
Фридрихе 11 ко двору в Палермо привлекались талантливые
ученые как из Европы, так и из арабских стран. Здесь, Ha
пример, в 1154 r. был составлен знаменитыЙ rеоrрафическиЙ
трактат ал Идриси.
Около 1150 r. переводчик Евrений из Палермо перевел с
арабскоrо языка «Оптику» Птолемея [365]. РаботавшиЙ при
Фридрихе 11 известный ученый уроженец Шотландии Миха
ил Скотт (ум. ок. 1236 r.) сде.7Jал перевод астрономическоrо
трактата ал Битру.дЖИ (XII в.), сочинений Ибн Сины и Ибн
Рушда (Аверроэса).
В то же время Сицилия, rде rреческий язык был столь же
распространен, как арабский и латинский, стала рО,диной
первых переводов античных сочинений непосредственно с
текста ориrиналов, без использования арабских версий. Так,
еще в XII в. здесь были переведеНьt с rреческоrо на латин
ский язык «Альмаrест» Птолемея, «Данные», «Оптика» EB
клида и приписываеl'tlая ему же «Катоптрика», некоторые TPY
дЫ Аристотеля, [ерона .t\лександрийскоrо и др. [147, 301, 303,
399]. В дальнейшем интерес к перевода 1 rреческих сочине
ниЙ продолжал возрастать и приобрел наиболее широкиЙ
размах в XVI в.
Постепенно стали появляться переводы не только на .пя
тынь, но И на народные языки. Так, по свидетельству флорен
тинскоrо аL1rебраиста XIV в. Каначчи [348, стр. 45], rильемо
де ЛУНИС (XIII В.) перевел с арабскоrо на итальянскиЙ язык
трактат «Правила а.пrебры».
rоворя о ранних переводах с арабскоrо языка, необходи
мо заl\lетить, что несоrласованность специаJIЬНОЙ терминоло
rии, а иноrда недостаточность познаниЙ переводчика в laTe
1\1атике и аСТрОНОl\IИИ приводили к появлению латинских TeK
СТОВ, содержавших MHoro неясных l\leCT и с трудом восприни
1,с)
маемых читателем; это, между прочим, послужило причиной
распространившеrося впоследствии HeBepHoro мнения об
ошибочности арабских переводов с rреческоrо. Часто пере
водчики дублировали друr друrа, причем не BcerAa лучший
или ранний перевод становился более популярным. Наконец,
переводились лишь доступные переводчику сочинения, а из
них чаще выбирались более короткие и леrкие; в результат
мноrие фундаментальные труды ученых Ближнеrо и CpeДHe
ro Востока оста,пись неизвестными средневековой Европе.
Однако это не l\10жет умалить историческоrо значения
деятельности первых переводчиков людей, фактически
возродивших науку в странах Европы. Их творчество в Ha
стоящее время освещено в обширной литературе, и тем не
менее, оно настоятельно требует дальнейшеrо изучения.
э 4. Византийская математика
На развитие науки в средневековоЙ Европе HeCOl\'lHeHHOe вли
яние оказала Византия. Блаrодаря своему rеоrрафическому
положению она явилась средоточиеl\1 различных r{ультурных
течений и промеЖУТОЧНЬЕ\1 звеном в отношениях между
Ближним и Средним Востоком с одной стороны и Европой
с друrой. Поэтому с точки зрения истории науки Византию
рассматривают как «большой резервуар материала, из KOTO
poro менее цивилизованный Запад черпал на протяжении
Bcero средневековоrо периода» [303].
Византийская наука, не пережившая столь rлубокоrо
упадка, какой наблюдался в эпоху paHHero средневековья в
западноевропейской науке, дО ХУ в. В значительной степени
сохраняла античные традиции. rреческий язык был нацио
нальным языком Византии, и, несмотря на борьбу против
«языческой» науки, основу образования составляла классиче
ская rреческая литература [186, стр. 765]. Сочинения rOMepa,
Аристофана, Демосфена, Платона и Аристотеля хранились в
боrатых византийских библиотеках и пользовались широкой
известностью.
Интерес к византийской математике пробудился в конце
прошлоrо века. Особенно важный вклад в ее изучение внес-
ли п. 'rаннери [439] и И. л. rейберr [313], поставившие воп
рос о необходимости внимательноrо исследования ДOKYMeH
тальных источников и в первую очередь сохранившихся 1\lа-
тематических рукописей. Это позволи,по бы объективно BOC
произвести историю византийской математики IV x\/" вв.
а также выяснить некоторые важные MO!vIeHTbI развития Hay
ки в средневековоЙ Европе.
Сформулированная задача не потеряла своей актуально-
СТII и в настоящее время. СеЙчас история византийской l\la
16
тематики является преu,l\iеТОl\1 ИССtlIедования ряда историков
науки и прежде Bcero 1\. Фоrеля, обзорная статья KOToporo
[457] существенно использована в данном параrрафе.
По характеру византийс.кая математика была скорее при-
кладной, чем теоретической наукоЙ и продолжала то направ"
ление в античной l\(атематике IIозднеrо периода, которое бы..
ло представлено трудами repOHa по оптике и механике и
,Птолеl\lея по астр.оно.МИlI. Развитие получили лоrистика, reo
дезия и друrие дисциплины, связанные с жизненной практи"
кой, большое вним:ание привлекала также числовая мистика.
В то )ке время идеи Архиме.да, Аполлония и друrих класси
ков оказались в основном забытыми.
В первый п риод истории византийской матеl\-1атики (y
VI вв.), коrда были еще сильны античные традиции, точные
науки процветали в Александрии, Афинах и в высшей школе
Константинополя. Хотя интересы ученых, работавших в этих
центрах, не совсем совпадали, их научная деятельность про"
текала в тесном контакте. В названных ШКО.пах работали
выдающиеся комментаторы сочинений К.."Iассиков Серен
Антинойский (IV В.), Теон Александрийский и ero дочь rи"
патия (ум. в 415 r.), философы и математики Прокл Диадох
(410 485 rr.), Домнин из JIариссы (У в.), АммониЙ Алек..
,еандрийский (V в.), Симпликий (V VI вв.), Евтокий Аска..
лонский (конец V в.). Последний, например, оставил коммен..
тарии к трудам Аполлония и Архимеда и сохранил в своем
-сочинении чрезвычайно важные отрывки из утерянной впос
ледствии истории rреческой математики Евдема (ок. 320 r.
по Н. э.).
Непосредственно в Византии в Y YI вв. работали над
. троительством знаменитоrо Софийскоrо собора в I<онстанти
r!ополе Антемий Тралесский и Исидор Милетский, оба неза..
урядные математики. Первый написал сочинение о зажиrа
т льных зеркалах, внеся кое чт() новое В теорию конических
чений Аполлония; второЙ составил комментариЙ к утерян
ному труду repoHa, а также издал трактаты «Измерение
J(pyra» и «О шаре и ЦИЛI-iндре» Архимеца с комментариями
.Евтокия; один из ero учеников является автором книrи ХУ
«На чал», приписываемой Евклиду.
В более поздний период, ознаменованный rосударствен
ными потрясениями и воЙнами, античные традиции, особенно
в естественных науках, предельно ослабли. В VII в. закры
лись университеты, в частности Константинопольский, иrрав-
ший ведущую роль после прекращения существования aKaдe
мии в Афинах (529 r.). Единственным научным центром в
послеДУЮlцее столетие оставалась Illкола патриарха в KOH
'Стантинополе, однако с началом иконоБОQчества (VI'II в.)
закрылась и она.
2 113
17
l1а этом фоне существенно понизился и уровень преПО.п.а-
вания математики в обlI еобразовательных школах. Внима-
ние привлекали только вычислительное искусство и теория
измерений.
'[ем не менее, современные историки показывают [73, 123r
132, 455, 457], что рассматриваемый период нельзя назвать.
временем: полной деrрадаuии научной мысли. Об этом сви--
детельствует, наПРИl\1ер, творчество ученоrо IX в. Льва MaTe
!\lатика, о котором сохранились некоторые сведения [73, 311
457]. Он получил образование в Константинополе, а затем у
HeKoero монаха на острове AHДpOC изучал литературу в биб
лиотеках различных монастырей и в дальнеЙlпем преподавал,
светские науки, rлавным образом математику. Около 840 r.
Лев был назначен митрополитом Фессалоник, но как иконо
борец был смещен с этоrо поста после восстановл ния иконо,
почитания. Коrда в 863 r. возобновил свою деятельност
Константинопольский университет, Лев стал ero ректором
и преподавателем философии.
JIbBY l\1.атематику византийские историки приписывали
rлубокие познания в точных науках. Он создал, по их СВИ,це
тельству, LТIюбопытные автоматические устроЙства в импера-
TOpCKOl\'I дворце золотые «диковины», например поющих
птиц или рычащеrо льва, которые поражали воображение
иностранных послов, а также систему световой сиrнализации.
Этот, несомненно, значительный ученый был учителем не-
скольких математиков. С одним ИЗ них связана леrенда
соrласно которой он попал в плен к арабам и был доставлен
ко ,двору халифа ал..1\1а' муна (Yl\-I. в 833 r.), rAe участвовал в.
математических диспутах. При ЭТОl\l ОН проявил не только зна-
ние rреческой rеометрии, но и творческиЙ подход к решению
задач, в чем превзошел баrдадских ученых. Узнав И1\1Я ero'
учителя, халиф приrласил Льва Математика в Баrдад,.
но это приrлашение БЫJIО отклонено по воле византиЙrкоrо
императора. Леrенда rоворит также о научноЙ переписке
между Львом и ал-Ма'муном, касавшеЙся различных вопросов..
rеометрии, на которые византийскиЙ математик дал блестя-
щие ответы.
К Kpyry учеников Льва .Li\1аТСl\lатика принадлежал Ки-
рилл выдающийся просветитель, один из создателеЙ сла..
вянской письменности. Из лекции друrоrо ученика .4рета
видно, что Лев применял буквенные обозначения для Bыpa
)кения арифметических соотношений в общем виде, подобные
тем, которые позднее, в XIII В., встречаются в Европе у
Леонардо Пизанскоrо и Иордана Неморария [4571.
НеоцеНИl\IЫ заслуrи Льва Математика в соБИRании PYKO
писей и переписке сочинений классиков rреческой науки. При
нем были составлены рукописи «Начал». Евклида, ТРУДОВI
18
АПОЛ 1}ОНИН, АрхимеД(i и t 1 толе)lея, утеряннан BllU(:Jj jlt: 1 tlИl1
рукопись «Арифметики» Диофанта, лежащая в основе саIvl0Й
древнеЙ из существующих сейчас рукописей 3Toro сочинения,
которая относится к ХI 1 1 B.. появились также l\tlноrие схолии
к Евкли,ДУ, ком !ентарии к Архимеду и т. д.
В Х в. В Византии работал ученый, известныЙ под И:\lеНСi\l
[ерона Младшеrо, автор трактата об ИЗ}Iерении Je.:\I..lll по
методу repoHa Александрийскоrо; этот трактат был написан
в 938 r., а в 1572 [. издан на .паТИНСКОl\1 языке в Европе, rде
пользовался популярностью.
В тот же период (Х в.) составлены l\lноrие дошедшие до
нас рукописи сочинений Евклида, Евтокия, Птоле lея, не за
бытых, следовательно, по краЙнеЙ l\lepe отдеЛЬНЫl\lИ l\laTel\1a
тиками.
К ХI в. относится деятельность разностороннеrо учено
ro, MHoro занимавшеrося матеl\lатикой, Михаила [lселла
(ок. 1018 ПОС.,1е 1078 r.), который возrлаВИ.,l оБНОВ..lенвыЙ
в это вреl\lЯ университет в Константинополе. ПО:\-IИ 10 сочине-
ний о философских вопросах математики, он написал СХQЛIIИ
к V \;II книrам аРИфl\lетическоrо трактата Ямблиха (111
IV вв.), rреческиЙ текст которых существует сейчас в пу6ли
кации п. Таннери l439, стр. 69 274], и трактат об арlIф!v1С-
тической терминолоrии Диофанта [4 6]. flселлу приписыва
ют правда, без достаточных оснований обзор HaYI{
«квадривиума», широко известный в Европе в ХУI в. и издан
ный на rреческом языке в 1533 r., а с лаТИIIСКИМ перево
ДO I в 1556 r. В этом сочинении, в частности, сообща"lИСЬ
сведения о свойствах чисел по НИКОl\1аху и излаrался способ
определения площади Kpyra как среднеrо rеОl\1етрическоrо
между ПЛОll адями вписанноrо и опиrанноrо квадратов (при
этом 7t == 1I ===: 2,828).
Еще большую популярность у европейских ученых заслу
ЖИ.пи сочинения Максима Плануда (1260 1310 rr.), KOTO
рыЙ в 1296 r. был послом византийскоrо императора в BeHe
ЦИИ. Поборник TecHoro общения с Запа,ДОl\l, он перевел с ла..
тинскоrо на rреческиЙ язык сочинения Овидия, Макробия,
Боэция. El\lY принадлежат КОl\lментарии к ДВУl\l пеРВЫl\l кни
ra1\1 «Арифrvlетики» Диофанта и трактат по практическоЙ
аРИфl\lетике, в KOTOpOl\1 разъясняются правила действиЙ в
десятичной позиционной системе с нуле 1 (обозначается араб
СКИl\l терl\IИНОМ «цифра»). Плануд специально отметил, что
эта система имеет индийское происхождение [123, 192, 291,
457]. Об индийской системе счисления писал и живший
несколько ранее Плануда монах Неофит [439, стр. 20 26].
Ученик Плануда 1\'lануил Мосхопул (ХIII нач. XI\7 в.)
написа.п сочинение о « lаI'ических квадратах», rде, в
lQ
противопо.пОЖНОС1Ь друrим авторам, рассматривает вопрос
не с мистической, а с математическоЙ точки зрения [439,
стр. 27 60].
В XI\l в. в Византии работали также ученый и rосударСl
венный деятель Феодор Метохит (ум. в 1332 r.), написавший
«Основные начала астрономической науки», и ero ученик
Никифор rриrор (1295 1360 rr.), который занимался aCTpo
nомией и оставил после себя траКlат о квадратных числах.
Hro современником был калабрийский монах Барл ам (ум.
ОК. 1348 r.), сочинение KOToporo о практической арифметике
было позднее опубликовано в Европе на rреческом и латин
ском языках. Помимо этоrо сочинения, rде излаrалась Teo
рия обыкновенных и 60 ричных дробей и теория отношений,
а также трактата о солнечных затмениях, он написал KO
ментарий ко второЙ книrе «Начал» Евклида.
Друrой современник Никифора rриrора ученыЙ армян
cKoro происхождения I--IиколаЙ Артавазд Рабдас (ок. 1341 r.)
[55, 91, 123, 439] дал обработку задачника Л'1аксима Плануд а
и остаВИ"l несколько писеl\1 математическоrо содержания,
I'де изложены правила арифметических деЙствий над целыми If
дробными числами {439, стр. 1 19, 61 198]. В частности,
разъясняется метод приближенноrо извлечения квадратноrо
корня, раСС lаТрИ8аIОТСЯ прямое и обратное тройные правила
в их приложении к хозяйственным задачаrvl, решаются зада
чи. сводящиеся к линеЙным уравнениям. Из текста следует.
что Рабцас был знаком с (Арифметикой» Диофанта.
Ученик Никифора rриrора Исаак Арrир (ок. 1310 пос
ле 1371 r.) является автором нескольких трактатов по aCTpo
номии, триrонометрии, rеометрии, rеодезии, а также схолий
к шести первым книrаrvl «Нача"ТJ.» Евклида и к задачнику
Максима Плануда в редакции Николая Артавазда. Кроме TO
ro, ему принадлежит новое издание комментариев Прокла к
«ВведеНИIО в арифметику» Никомаха.
К чис.пу значительных математиков и астрономов XIV в.
принаД.тIежал Феодор Мелитениот. Он написал ок. 1361 r.
«Астрономию в трех КНИI ах», ЯВИВJlIУЮСЯ результатом изуче-
ния трудов Птолеl\'lея и Теона, а также астрономических со-
чинений, привезенных нз Персии.
Кроме названных ученых XIV в. !\10ЖНО упомянуть зани-
мавшеrося аСТРОНОl\'lией НИКОJlая Кабасиллу (ок. 1290
1371 rr.), ero родственника Иоа нна, оставившеrо схолии к
Евклиду, как и Деметрий Кидон, один из первых переводчи-
коп с латинскоrо языка на rреческий [457].
уIмеющиеся данные со вс й определенностью указывают
на непосредственные контакты византийской науки с наукой
Ближнеrо и Среднеrо Востока. В IX в. из Византии в Баr
дап была поставлена значительная часть рукописеЙ rреческих
20
сочинений, которые баrда д.ские ученые переводили на араб-
скиЙ ЯЗЫК. Известно, что специальную экспедицию по по-
купке рукописей возrлавлял знаменитыЙ переводчик, знаток
rреческоrо, сирийскоrо и арабскоrо языков Исхак ибн
Хунайн.
Отражениеrvl СУlцествовавших научных связей являются и
леrенды, подобные прив денному выше рассказу о Льве Ма-
тематике.
Факт TecHoro взаимодействия византиЙскоЙ и так называе-
мой «арабской» науки особенно ясно подтверждается анали-
зом rреческих сочинений математическоrо и астрономическоrо
содержания, наПРИl\lер, исследованноЙ в 1876 r r Узенером
[449] рукописи ХУ 13. из Ватиканскоii библиотеки. В нее вхо-
дит несколько астрономических трактатов, несущих на себе
следы восточноrо влияния. Здесь И .1еются ссылки на выдаю
щихся aCTpOHOl\IOB ал-Баттани (ок. 850 929 rr.), Абд-ар-
Рахмана ас-Суфи (903 986 rr) и аз-Заркали (903 986 rr.),
из которых первый работзл в Баrдаде, второЙ вШиразе,
а третий в испаНСКОl\'I rороде Толедо. Упоминаются астро-
номические таблицы «3идж ас-Санджари» Абд-ар-Рахмана
ал-Хазини (XII в.) ученика великоrо математика и поэта
Омара Хайяма и «3ИДЖ ал-а.пай» ученоrо XIII в. Асир ад-
Дина ал-Абхари. Встречаются имена основателя знаменитой
обсерватории в Mapare Насир ад-Дина ат-Туси (1201
1274 rr.) и ero ученика Мухи ад-Дина ал-Маrриби.
Два имени вызвали сомнение у автора ИСС.педования. Пер-
вое, которое он оставил без опреде,,1ения, в rреческом напи-
I I
сании xov afl'Y) аЛар совершенно очевидно, должно быть рас-
шифровано как Хусам ад-Дин Садар. Этот астроном и мате-
rvlатик работаJl при Хулуrу-хане и заНИ 'lал до ат-Туси долж
ность придворноrо астролоrа.
Второе имя ( аJ.!'Ф J.lло"ха(Уrl ) Узенер прочел как Шамс
(ад"Дин) ал-Бухари и идентифицировал эту личность с ра-
бота шим также в XIII в. Шамс ад-Дином ac-СамарканlI.И
автором таблицы неподвижных звезд (составлена в 1276
1277 r.), трактата «Обоснованные предложения» (ашка. 1
ат-та'сис) и ряда друrих сочинений [4].
о. НеЙrебауэр, исследовавшиЙ недавно византиЙскую
аСТРОНОl\1ическую терминолоrию [370], обнаружил трактаты,
продолжаЮUJ,ие rреческую традицию (например, астрономи-
ческие таб.пиuы, основанные на таблицах П ТО.пемея и Теона),
но наряду с ними и друrие, написанные под ПрЯМЫ 1 воздей-
ствием ученых стран ислама. Среди астрономических терми-
нов иrvlеются слова как чисто rреческоro происхождения, так
и транскрибированные арабские.
Относительно Шамс ад Дина а.,l-Бухари, на зидж кото-
poro встречается ссылка J Нейrебауэр, в противоположность
21
Узенеру, считает, что имеется в виду Шамс аД ДИIl Мирак
ал Бухари [427, стр. 161], ПРОВОДИВШИЙ наблюдения в Бухаре
в 1254 r.
К XIII в. в Византии получила распространение «индиЙ
ская арифметика», о чем свидетельствует, например, упоми
навшийся трактат Максима П.пануда.
Познания византийцев XV в. В области арифметики ярко
характеризуются недавним исследованием XYHrepa и Фоrеля
[321], которые опуБJiиковали с немеЦКИlVl переводом и коммен-
тариями анонимный рукописный rреческиЙ задачник этоrо
времени, хранящийся в Вене. Он содер){{ит сто задач, rлав
HbIrvI образом, практическоrо содержания, мноrие из которых
известны из древневавилонских, китайских, арабских и рим
ских l\lатематических текстов. Наряду с задачами, непосред-
ственно связанными с жизненной практикой (например, вы-
числение цен, задачи об обмене товаров и денеr и т. д.),. BCTpe
чаются и вопросы, для решения которых нужны определен
ные теоретические познания (например, зада ча, сводящаяся
к системе уравнениЙ х+у==а, x+z==b, y+z==c, rде по суще
ству дан способ нахождения чисе..'1 вида 4п, 4п + 1, 4n , + 2,
4п + 3) .
Любопытно, что автор трактата не перенял индийских
цифр, а применял для обозначения чисел от 1 до 9 буквы
rреческоrо алфавита, добавив знак для нуля. Отсюда мож
но заключить, что новое обозначение чисел распространялось
медленно и к XV в. еще не стало rосподствующим.
Пожалуй, наиболее ПРИlVlечательно, что в рукописи BCTpe
ча ютсн вычисления с деСЯТИЧНЫlVIИ дробями, которые, как YT
верждает автор трактата, «турки принесли с собой в страну»
[321, стр. 33]. Несом ненно, при этом имеются в виду сотру Д
ники саl\1аркандскоЙ IllКОЛЫ Улуrбека (и прежде Bcero Али
КУLПЧИ, Уl\lерший в КонстаНl инополе в 1474 r.), явившиеся,
следовательно, передатчиками в Византию открытия Джа!\I
[пида rияс ад Дина ал Каши. Авторы исследования [321] ВИ
дят значение рассмотренной рукописи в том, что она ДOKa
зывает проникновение методов «индийской» арифметики в
Европу не только через 11спанию и Италию, но и через
Византию. Прослеживается также взаимное влияние визан
тиЙской и западноевропейской математики, сказывающееся,
R частности, в терминолоrии: помимо чисто rреческих, араб-
ских и туреIlКИХ слов, встречаЮ'IСЯ и итальянские.
5. Европейские ученые XIII-----XV ВВ.
и их труды по арифметике и алrебре
r Х I 1 I в. В Европе начинается подъем математическоrо TBOp
чрства, появляются сочинения, знаменующие собой нача,,10
22
BOBoro этапа истории точных наук. Приведем общие сведения
о матеl\lатиках XIII XV вв. и об их трудах, которые упоми-
наются в последующих rлавах.
Первым выдающимся европейским ученым, сочинения ко-
Toporo в течение двух-трех столетий оказывали непосредст-
венное воздействие на ход развития математики, является
живший в XIII в. Леонардо Фибоначчи (т. е. сын Боначчи),
чаще фиrурирующий под именем Леонардо Пизанскоrо. Ero
сочинения, изданные по рукописям в середине прошлоrо века
Б. Бонкомпаньи [346], исследованы мноrими историками ма-
тематики [19, 31, 107, 123, 192, 244,245,247,300, 348,399 и др.].
Леонардо ПизанскиЙ, биоrрафические сведения о KOTO
ром весьма скудны, был, по-видимому, близок к купеческим
Kpyral\1 и путешествовал по Еrипту, Сирии, rреции, Сицилии
и Южной Франции. Основательно изучив методы «индийской»
арифметики и отдав им предпочтение перед друrими вычис-
е
лительными методами, он изложил их в законченнои около
1202 r. «Книrе абака» (<<Liber abaci»), представляющей собой
энциклопедию математических знаний ero времени. Второй
вариант этоrо труда был завершен, вероятно, в 1228 r., и
именно этот текст дошел до нашеrо времени.
Во введении автор rоворит, что к «индийским» методам он
«добавил собственное, а также кое что из тонкостеЙ reoM:eT
рическоrо метода Евклида и создал, таким образом, труд, ко-
торый теперь публикует в пятнадцати разделах, чтобы род
.латинян отныне больше не находился в неведении относитель
е
НО этих вещеи».
В «I(ниrе абака» явно сказывается близкое знаком'ство
автора с арабскими арифметическими и алrебраическими со-
чинениями. Сама схема построения этоrо труда, в общем,
повторяет схему изложения материала, ставшую традицион-
ной у восточных l\fатематиков после ал-Хорезми. Вначале речь
'идет об изображении любоrо числа с помощью девяти «ин-
дийских» знаков (наряду с правилаl'vIИ пальцевоrо счета и
деЙствиЙ на абаке), затем дано описание основных ариф
метических операциЙ (' цеЛЫl'vIИ числами и дробями, некоторых
методов практической арифметики, правил действий с квад-
ратными и кубичеСКИl'vfИ корнями и, наконец, решение ряда
rеометрических вопросов и «задач алrебры и алмукабалы».
Мноrие l'vfатематические понятия Леонардо Пизанский вы-
ражает с помощью транскрибированных арабских терминов.
Значительное ЧИС 10 задач прямо заимствовано у восточных
авторов, rlllaBHbIM образом, у ал-Караджи и, вероятно, через
Hero из «Алrебры» Абу Камила. Конечно, трудно сказать,
пользова.ЛСЯ ли Леонардо Пизанский непосредственно араб-
е
.скими источниками или получил свои познания от византии-
'Ских математиков, влияние которых на Hero также не подле..
23
жит сомнению. Так, например, в «Книrе абака» он ссылается
на HeKoero «маrистра Муска из КонстаНТИНОПО,,1Я», предло
жившеrо ему задачи для решения.
О знакомстве Леонардо Пизанскоrо с rреческими источ"
никами, а возможно, с неизвестным нам латинскиrvl перево..
дом «Начал» Евклида не с арабскоrо языка, а непосредствен
но с rреческоrо, свидетельствует, в частности, применение тер..
мина «рити» или «ритон» (rреческое P L ) для обозначения
рациональной величины. Высказывалось, однако, предполо..
жение, что сведения о некоторых разделах «Начал» Евклида
были сообщены Леонардо Пизанскому устно каким-то визан..
тийцем [244].
Помимо «Книrи абака», JIеонардо Пизанский является
автором rеометрическоrо тр актата (<<Practica geometriae»,
J 220 r.), а также двух сочинений «Книrа квадратов» (Libey.
quadratorum», 1225 r.) и «Цветок» (<<Flo »), сыrравших
важную роль в истории учения о числе в Европе [346]. Они
написаны после Toro, как их автор был представлен в Пизе
императору Фридриху 11 и участвовал Б математическом дис
путе с философом и придворным юристом Иоанном из Па
J1epMo 1 ).
Труды Леонардо свидетельствуют не только о ero rлубо..
ких познаниях в различных областях математики и знаком-
стве с трудами предшественников, но и о выдающихся твор"
ческих способностях.
Важное место в истории европейской матеrvlатики зани"
мают труды Иордана Неморария (Jordanus Nemorarius), Be
роятно, современника Jlеонардо. Имеются более или менее
достоверные сведения о TO 1, что он был rенералом основан..
Horo в 1170 r. монашескоrо ордена доминиканцев [192, Т. 11,
стр. 49 54]. НеморариЙ написал несколько замечате.7]ЬНЫХ
для cBoero времени сочинениЙ по математике, астрономии и
механике, в которых встречаются новые важные научные идеи.
Подробному исследованию ero математических трудов посвя..
Iцены мноrочисленные работы историков науки r Эне-
стрёма, М. Курце и друrих.
Оrромной популярностью пользова.ттись TpaKT:lTbI Немора...
рия по арифметике: теоретической «Арифметика, разъяс..
ненная в десяти книrах» (<<Arithmetica decem libros demon..
strata» [257]) и практической «Разъяснение маrистра.
Иордана об алrорисме» (<<Demonstratio magistri Jordani de
algorismo» [192, 253 255]). Не менее известными были ал..
rебраическое сочинение Неморария «О данных числах» «<Ое.
numeris datis» [63, 112, 123, 192, 211, 213,444, 471] и reOMeT"
1) r. Энестрё:\1 [23"1, т. Iл, стр. 72 73] показал, ЧТО в данных о пребы
вании Леонардо при дворе Фридриха 11 противоречий нет.
24
рический трактат «О rреуrольниках» (<<Ос triangulis» [212Dv
Подробно на некоторых разделах трудов Неморария IЫ ос-
тановимся НИЖе. Здесь заметим лишь, что в них ясно просле-
lI{ивается влияние восточной математическоЙ литературы; так,
по мнению r Энестрёма [257], второй из названных трактатов
Иордана Неморария «представляет собой попытку обобщить
учение Евклида при учете арабской арИф lетики». То же
можно сказать о ero алrебраичеСКОl\1 и rеометрическом трак-
татах.
Период XIII XIV вв. обычно хараI{теризуется как врсмя
усвоения знаний, приобретенных на Востоке. Как rоварит
Ф. Рудио, «создается впечатление, что народы бы,ан yrHeTeHLI
массой сообщенноrо им научноrо l\Iатериала и l'vIоr.пи перера-
ботать ero лишь постепенно» [394]. Однако в это время У)I{е-
начинают формироваться новые направления физико-матема-
тических наук. Одной из особенностей европейской науки,
в отличие от науки стран ислама, становится стремление к ма-
тематизации естеСТВОЗllа ния 1).
Математические знания в XIII XIV вв. распространялись
в Европе прежде Bcero блаrодаря монастырским школам, в-
учебную проrрамму которых, хотя и в предельно оrраничен"
ном объеме, входила математика. Немалое значение имела
деятельность мноrочисленных преподавателей, обучавших ме-
тодам практической арифметики, неоБХОДИl\IОСТЬ знания KO
торых остро ощущаJlась в купеческой среде.
Важнейшим событием в культурной жизни Европы был(}
создание, чаще Bcero на базе монастырских ШI<ОЛ, первых
университетов [123, 225, 299, 303 305, 387, 424]. Среди ста-
рейших, возникших еще в XII B., университеты Болоньи,
Парижа и Оксфорда. Вслед за ними, в XIII XIV вв. были'
основаны мноrочисленные университеты в Италии, Франции,.
Анrлии, Испании, rермании.
атематике в различных университетах уделялось неоди..
наковое внимание. Основу проrраМ IЫ обучения составляла.
теолоrия, преподавание котороЙ шло под сильным влияни-
ем сочинений Аристотеля, зачастую по их араБСКИ 1 Bep
еиям. В некоторых университетах наиболее важное значе-
ние придавалось юриспруденции (например, в БО,,10нье)
н медицине (Салерно). Однако учащиеся получали и
математические знания, по краЙнеЙ мере, в объеме «KBaд
ривиума».
1) Науке европеЙСКОI'О средневеКGВЬЯ 11, в частности, раЗ..1ИЧНbl Ma
тематико-философским проблемам Toro времени (учение о «широте форм»
И «интенсификации И ремиссии качеств'», проблема континуума 11 беско.
нечности и др.) сейчас уделяется все большее внимание, однако мноrи
вопросы еще остаются неосвещенными [49, 57, 58, 202, 203, 208, 209, 360"
490, 493 495].
25,
Список книr, которые требовалось изучить, был достаточ
но обширен. Например [387], в Болонском университете XIV в.
астрономия изучалась Bl\reCTe с математикой, причем предпо
лаrалось знание «Начал» Евклида в обработке Кампано (см.
ниже), свободноrо перевода «Альмаrеста» Птолемея, принад
лежащеrо rерардо Кремонскому, «Четырехкнижия» Птоле
мея, трактата по практической арифметике «Algorismi de mi
nutis et integris», ряда переведенных арабскоrо астрономи
ческих таблиц и правил их применения, .астролоrическоrо
трактата Алкабиция (ал-Кабиси) впереводе rерардо Kpe
MOHcKoro и друrих источников.
В университетах Италии, rде было )I{ИВО влияние Леонар
до Пизанскоrо, в преподавании математики преобладали
вопросы более и.пи менее прикладноrо характера. Иные тра-
диции сложились в Парижском университете, основанном в
1253 r. Сорбоном: математические знания были восприняты
здесь, r"laBHbIM образом, из арабских комментариев к трудам
Арнсrотеля, Евклида, Птолемея, и основное внимание уделя
лось не фактам, а методаl\1 рассуждения. В трудах париж
ских l\Iатематиков XIII XIV вв. рассматривались, например,
математическое понятие бесконечности и друrие теоретиче
ские вопросы, важность которых была понятна лишь в
XVI I в. [408].
1,al( самостоятельный предмет математику, долrо относи
мую К подсобным дисциплинам, стали преподавать только в
начале XV В., очевидно, впервые в Вене [102, 299, 446]. В
BeHCKO 1 университете, открытом в 1365 r. и в значительной
мере следовавшем традициям ПаРИЖСJ{оrо, уже в XIV в. пре
имущественное внимание уделялось изучению 1атематики,
фИЗIlКИ, астрономии и Т\1едицины.
В университетах математика носила, как правило, отвле
ченныЙ характер, в ToproBbIX же Kpyrax изучались rлавным
обраЗОl\I практические приемы вычислений. Это дало М. Кан-
тору [192] основание утверждать, что в XIII XIV вв. в Ев-
ропе существовали две математические школы: духовная
школа УIIIIверситетов, основателеl\1 которой он считал Иорда-
на Неl\lорария, и светская купеческая школа, ведущая начало
от J1еонардо Пизанскоrо. Как показа"ry r Энестрём [253], Ta
кая CXel\la слишком ПрИl\Iитивна и не отражает действитель-
.Horo ПО,,10жения дела.
В XIII в. наряду с Леонардо Пизанским и Иорданом Не-
мор з.риеl\I работа"тти и друrие ученые, сочинения которых CbIr
DC1"lH неl\lа"lУЮ РО"lЬ в распространении матеl\1атических знаний.
Среди них С"lедует назвать Иоанна Сакробоско (иначе, Джа-
на rО"l"lивуда или Джона rалифакса), учившеrося сначала
в Оксфардском, а затеl\t в Парижском университетах и пре
подаВCl.ВIuеrо в Париже аСТРОНОl\IИЮ и математику [331]. Ему
26
,принадлежат написанное по образцу «..L\ЛЬ!\lаrеста» сочинение
«Ое spherae mundi» и чрезвычайно популярный в свое время
трактат по арифметике «Tractatus de arte numerandi» (Т. е.
«Трактат об искусстве счета»).
OrpoMHoe влияние на развитие естествознания в средние
века оказали философы XIII в. Роберт rpocceTecT (1175
1253 rr.) и Род}кер Бэкон (ок. 1210 ок. 1295 rr.) [207].
Роберт rpocceTecT, выдающийся ан[,]ийский ученый, за-
нимался не только философией, но и lатематикой, астроно-
мией, физикой. Он переводил на латинский язык rреческие
сочинения и комментировал их, в частности, «Вторые анали-
тики» И «Физику» Аристотеля. Выдвинутое им требование
основывать натурфилософскую теорию на '1атематике и опы-
те было затем повторено и развито ero знаl'vIСНИТЫМ уче-
ником Роджером Бэконом.
Среди математических дисциплин, наряду с арифметикой,
алrеброЙ и rеометрией, большое ВНИl\lание привлекало в
XIII в. учение о перспективе, которое позднее заинтересовало
художников не в меньшей мере, чем !\Iатематиков. Теория
перспективы излаrалась в трудах по оптике Роджера Бэкона,
110анна Пекхама (Joannes РеkhаПl. ОК. 1242 1282 rr.), Ви
тело (Witello, XIII в.), которые ОСlIовыва..1ИСЬ на латинских
переводах «Оптики» выдающеrося арабскоrо математика и
,физика I1бн ал Хайсама (965 1039 rr.).
Важную роль в развитии математики в Европе сыrрали
ранние "lатинские переводы «Начал» Евклнда. К числу наи-
более популярных из НИХ (см. 6) относится обработка этоrо
.сочинения, выполненная Джованни I(а:\/IпаIIО (Joannes Caтpa
nus). Этот ученый, KOToporo Роджер Бэкон называл выдаю-
'ЩИl\IСЯ J\Iатематиком cBoero времени, ПРОИСХОД)(JI из итальян
CKoro rорода Новара (близ jv\илаН<i) и бы..1 каIlе.тIланом папы
,Урбана I\T, время правления KOToporo приходится на rоды
1261 1281; позднее Кампано занимал пост каноника в Пари-
же [145, 192, 259, 399]. Сильное влияние на Hero оказали
.Бзrляды Роберта rpocceTecTa.
Перу КампаllО принадлежат неСКО,,1ЬКО сочинениЙ по MaTe
1\1атик€, астрономии 11, возможно, КО 1ментариЙ к трактату
о музыке Птолемея. Он комментирова..l также «АРИфl'vlетику»
110рдана Неморария. К ero математичеСКИl\I трудам относят
ся трактаты «О квадратуре Kpyra» и «Об отношении». Второй
lIЗ них, как и версия «Начал» Кампано, подробнее будут рас-
'смотрены ниже.
Среди астрономиче.ских сочинений Ка Iпано некоторые но-
сят общетеоретический характер, друrие содержат описание
инструментов, усовершенствование 1 которых он занимался
Эl\1 1.207.. Tp. 67J. \Qд,ип »з т»роко применявшихся парижски
7
мн учеными астрономический инструмент, модеРНИЗIIрован
ный Кампано, долrо был известен под eI'O именем.
В XIII в. работал датский математик Петер Инrварссён
(Petrus Philomeni de Dacia), доминиканский монаХ 1 обучав
шийся в Париже, а затем живший в монастыре ОКО,,10 Копен..
rаrеиа. Помимо календаря, составленноrо на 1292 r и таб
лиц умножения шестидесятиричных чисел, el\IY принадлежит
комментарий к арифметическому TpaKraTY Сакробоско, имею..
щий значение самостоятельноrо труда [218].
В XIV В., конец KOToporo относят уже к эпохе ВОЗРО)К
дения, наблюдается значительный подъем в развитии IIауки
в том числе и матеl\lатики. С этим временем связана деятель..
ность нескольких выдающихся ученых в Анrлии, Франции II
rермании.
Томас Брадвардин (Bradwardinus, ок. 1290 1349 rr.), дол..
ro работавший в Оксфордском университете, славился среди
современников прежде "Bcero как философ; однако наиболь
шую известность ему принесли труды по математике и aCTpo
номии [123, 209, 318]. Математические сочинения Брадвар
дина «Теоретическая rеометрия» (<<Geometria speculati..
va»), «О квадратуре Kpyra» (<<Dе quadratura circuli»), «Тео..
ретическая арифметика» (<<Arithmetica speculativa»), «TpaK
тат о континууме» (<<Tractatus de continuo»), «Об отношениях)
(<<Dе proportionibus») были изданы типоrрафским спосоБОl\I'
после изобретения книrопечатания, некоторые MHoro
кратно.
Особое внимание историков математики привлекает TpaK
тат «Об отношениях»; в 1955 r. текст ero вместе с анrЛИЙСКИl\J
переводом и исследованием опубликовал r Кросби [209]. Не
l\lеньший интерес вызывает и «Трактат О континууме» [58
123, 414].
Жан де Мер (Jean de 1\t\eurs, латинизированная форма'
Joannes de Muris, ок. 1310 ок. 1360 rr.) родился в Нор..
мандии, был в Париже каноником и доктором Сорбонны.
Большая часть ero сочинений по математике, музыке и астро..
номии, широко известных в XIV XV ВВ., осталась вруко"
писях.
Наиболее важен математический труд Жана де Мер .
(<. Четырехчастие чисел» (<<Quadripartitum numerorum»), на
который ссыла.пись выдающиеся немецкие математики ХУ в.
Адам Ризе и Реrиомонтан (см. ниже); последниЙ намеревал..
ся издаrь ero типоrрафским способом. Две rлавы из второй
книrи этоrо сочинения, в которых иде речь о практической
арифметике, были опубликованы и исследованы .4. Наrле!'vl в
1880 r. [362], а третью книrу рассматривал в 1912 !913 rr
л. Карпинский [334]. Трактат Жана де Мер по теоретической'
28
.арифметике, написанный на основе труда DОЭЦИЯ, был напе-
чатан в Вене в 1515 r.
ОДНИl\1 из крупнейших деятелей средневековой науки яв
ляется Николай Орем (Nicole Orem, или Oresme, Horem, Но
ren, ок. 1323 1382 rr.), творчество KOToporo знаменовало
апоrей 1'vlатематики в XIV в. Труды Орема, первым из своих
соотечественников писавшеrо не на лаrинском, а на француз
CKOl\1 языке, сейчас хорошо изученные исследователями [57,
59 61, 90, 123, 180, 192, 202, 210, 297, 423, 473 475, 477, 493,
494], были посвящены астрономии, механике и математике. В
«Трактате О широтах форм» (Tractatus de latitudinibus for
marum) он высказал некоторые идеи математики переменных
величин, в частности, rрафическоrо представления функuии.
и может с полным правом считаться предшественником ra-
.лилея и Декарта [123, стр. 395 403]. В друrом сочинении
«Алrорисм пропорций» (<<Algorisnlus proportionum»), oco
бенно важном для развития понятия числа, он систематиче-
ски применяет дробные показатели степени и распространяет
на них правила действий с целыми показателями.
Известный немецкиЙ ученый XIV Н. Альберт Саксонский
(Albertus de Saxonia), работавший в Парижском университе-
те, а затем ставший первым ректором унивеРСИТЕ:та в Вене,
,относился к тем деятелям науки, чьими трудами были достиr
нуты первые значительные успехи в развитии механики и KOC
'молоrии [57, 192, 408]. Ему принадлежат исследования о
центре тяжести, о фиrуре Земли и т. д.; занимался он и проб-
лемой математической бесконечности. Среди ero сочинениЙ
по математике «Квадратура Kpyra» (<<Quadratura circuli»)
Ii «Трактат об отношениях» (<<Tractatus рrороrtiопum»); пос
ледний был напечатан в Венеции в 1496 r. [130].
В Италии в XIV в. не затухала алrебраическая традиция
Леонардо Пизанскоrо. Еще в XIII В. rильемо де Лунис
(Guglielmo de Lunis) написал латинский трактат по алrебре
[258]. В XIV в. вышло «Рассуждение об алrебре» (Ragiona
menti d' Algebra) Рафаэля Каначчи (Raffaeli Canacci) на
ИТ3"lЬЯНСКОМ языке (как И предыдущее, никоrда не издавав-
шееся типоrрафским способом); эта рукопись хранится в На-
циональной библиотеке Флоренции [383].
В XV В. первенство в математическом творчестве перешло
из Франции в Италию, а затем в rерманию.
Событием оrромной важности для всей культурной жизни
Европы и прежде Bcero для развития науки явилось OTKpЫ
тие (1471 Т.) Иоrанном rуттенберrом (ок. 1400 1468 rr.)
книrопечатания, HaMHoro облеrчившеrо обмен знаний, в част-
ности, f атем атических [77, 192].
Одним -ИЗ первых издателей сочинений по математике был
Эрхард :Ратдольт (Erhard Ratdolt, ОК. 1443 ОК. 1528 rr.),
29
урuженец Ауrсбурrа. В течение 11 лет он жил в tlенеции, [де-
основал ставшую знаменитой типоrрафию и, вернувшись в
1486 r на родину, продолжал издательскую деяте.ПЬНОСТЬ. В
издании РаТДО"lьта вышли мноrочисленные мате!\lатические'
книrи, в том ЧИС"lе «Введение В арИф lетику» Боэция (1488),
аСТРОНО:\1ическое сочинение Абу Маш'ара в латинском пере-
воде Иоанна Севи.пьскоrо (1488 r.) н друrие.
Особенно важное значение имело первое печатное изда
ние «Нача..l» ЕВК,,1ида, вышедшее из типоrрафии Ратдольта
25 мая 1482 r [267]. В этой книrе, значение которой для по
пуляризации 1\1аТСl\1атики трудно переоценить, были впервые
типоrрафским способом воспроизведены rеометрические чер
тежи; в предисловии издателя это ОТ lечало'сь как большой-
успех, упростивший дальнейшую публикацию 1\lатематических
сочинений.
Среди итальянских математиков XV в. самое видное место)
занимает Лука Пачоли (Luca Paciualo, 1445 1514 rr.) [89
123, 128, 185, 192, 339, 412]. Он родился в селении Сан-Се-
Полькро, жил В Перудже, Милане, Неаполе, Риме, ВенеЦИИJ
и Флоренции, возможно, путешествовал по Востоку; БЫ.1 Ч.пе-
ном францисканскоrо монашескоrо ордена.
Пачоли преподавал математику частныM лицам и в учеб
ных заведениях, в том числе в Римском университете. Близ-
кие отношения связывали е!"о с выдающимися деятелями
итальянскоrо Возро)кдения Альберти (1404 1472 rr.),
Пьеро делла Франческо (ОК. 1420 1492 rr.) м: Леонардо да
Винчи (1452 1519). BToporo из них художника и теорети-
ка живописи, автора трактатов о перспективе и прави.пьных
телах Пачоли называл своим учителем.
rлавный труд Пачоли ......... «Сумма ПО арифметике', reoMeT
рии, отношениям и пропорциональности» (<<Summa de arith
metica, geometria, proportioni et proportionalita») издано в
1494 r. в Венеции; позднее, в 1523 r. появилось и. второе из
дание.
В друrом сочинении Пачоли «Божественная пропорция»
(<<Divina proportione», Венеция, 1509 r.) изложена теория!
«ЗОtll0тоrо сечения» примените..1ЬНО к теории правильных мно-
rоrранников, архитектуре и Т.Д.; как приложение к ЭТО1\lУ TPy
ду бы.па издана «Книrа о пяти праВИ..1ЬНЫХ Te"TIax» Пьеро дел-
ла Франческо.
Трактат Пачоли «О силах количеств» (<<De viribus quan-
titatis»), написанный между 1496 и 1508 rr. и оставшийся He
опубликованным, представляет собой собрание мате fатиче-
ских иrр и развлечений. Труд Баше де Мезириака (1587.......
1638 rr.), KOToporo часто считают основоположником этоrо.
раздела математики, ПОЯВИ..1СЯ ..1JИШЬ век спустя) в 1612 r.
Единственная сохранившаяся и находящаЯС5f В' Болонском'
30
. ... ..
.. ':р?
.,.,,;
.,
:' """
.. .: '..:'
..:.... ..........
... ....
..' ...... .1' :.:' '..;.'::
....1' ..' .... .
't
:" . .
. ..
(. ...."
. . . . . .
. . . . .
. :",: . . .' ;.:.' . :... ..... .' .,: ::. :\:' ....::.;.:::. ::;: ". ....
:: '" ., . ::.;:::.:
. '. . .... .
... ..
.. .. . .. .. '.
. ... .. . .
... ..... ... ..'
. .' ..... .
.... ",-...
. ......:........ ..:.
. ,::: :: ::;..:<::<..::.:::...
. '. .' .... -.'
.. .....
..-..:. ......:.:.:. .'
. ., .
.. . . .
. . .. .. ..
.... '.. ...... .-.
.... ...... ....
. :: :. ';:..: :.:::::. ....
. ; . : .' ..:.':
. .
.' , . ." '.
. .. . . .
... ....
. . . . .. .
.... ...... .
.. . . .
. J ....
. .. . ..
. - ..: '.{'.
.... . . .
.....'.#...::..... '.
. i:;/:.:.::: :::;;::i.::.:.> .,: ",:: "': :: : : :.:' :::.' ,.
'-., :: ::У."
.,::, >: <.:
х"> .... .:. ,
..' ........ .'. .., .'. .
. . .. . .'
.'. " " .' . .....
... .:"-.
. .. " ... . .. ... .
.......... .......................
" ...... ..............
....... .... ..........
. .1 . ..... . ,".' ..
0-. .. .:'.;,'. '"",.:' ....
.... :::":"':':".1:':..
. . - .-
..Ь'.:..':. : . ". :;.: .'
. . -" .
...... .;. .."..-у......
1$:,-'_ '. .. .. ,'::.:':::<0. . .
.' .. ..
.. .1'. ..' о :-::.:..::..,я. :.
-<3:(..... "0».':',.
".:'<-'" У.
. . . .
. ..
.. .. .
.....:.... ....... . . .'. ....
....,:...:..>; .:..:...:.:;.;.:.....:.... '..;.)о;:...:с...:.. ...............0.. -..
.'" ....у"
, ' (.
?;:::.: :::\, ' .. ::::' ( ::;j : .'t,.,.:..
:'. . ':'..:,,". о.
- '. .... . о :' . :. .'. .. ..
:С-. .
. :. .'
Лука Пачоли (портрет работы Якопо де Барбари, XV XVI ВВ.).
университете рукопись трактата Пачоли был'а исследоваНL в
1924 r. А. Аrостини [128].
В 1509 r. Пачоли переиздал также «Начала» Евклида [307].
Живший раньше Пачоли итальянский м-а тематик II астро..
но м Проздочимо де Бельдоманди (Prosdocimo de Beldomandi,
ок. 1380 1428 rr.) из Падуи написал около 1410 r. «Весьма
полезный и нужный трактат по а.пrорисму»' (<<Algorismi tra c
tatus perutilis et necessari us») , посвященный пр актическоЙ
арифметике и изданный впоследствии дважды в 1483 и
1540 rr. [343].
Друrой итальянский математик Пьетро Борrи (Pietro Bor
ghi), о котором известно лишь, что он был венецианце ] и
умер после 1494 r., является автором капитальноrо труда по
коммерческой арифметике, впервые и'зданноrо в 1484 r.
э. РаТДОЛЬТОI\-I, ставшеrо чрезвычайно ПОПУЛЯРНЫl\t и перепз
дававшеrося в XY XYI вв. не !\IeHee пятнадцати раз [343].
Во второй половине ХУ В. работал 1акже Франческо Пе..тI
Лос, или Пеллиццати (Francesco Pel1izz'a'ti), IIтальянец ИЛИ
выходец из Прованса, автор трактата по' практической ариф
1\lетике (<<Art de arithmetica»), изданноrо в 1484. r в Турине"
ейчас весьма редкоrо и малоизученноrо [89]
В числе ученых XV В., представлявших математику в rep-
"1VIании, следует, прежде Bcero, назвать Иоrанна из rмудена
(Johann von Gmuden, ОК. 1380 1442 rr.), который просла..
вился лекциями по аСТрОНОl\1ИИ и математике в Венском уни-
верситете [123, 192, 299, 359, 446].
Яркими фиrурами европейской математики являются
Пейрбах и Реrиомонтан, оказавшие, в частности, orpoMHoe
влияние на развитие триrонометрии [176.......178, 491, 492].
reopr ПеЙрбах, или Пурбах (Georg Peurbach, 1423
1461 rr.), бы.}'! профессором BeIIcKoro университета. Он напи-
сал ставшиЙ знаl\tlенитым учебник по теории планет. Kpo
ме Toro, ему принадлежит трактат «Начала арифметики»
(<<Elementa arithmetices»), изданныЙ в XVI в. ( см. О нем
в r.п. 11, 9).
l-Iоrанн Мюллер, известный под именем РеI'иомонтана
(Regiomontanus, 1436.......1476 rr.), учился в Венском универ-
ситете у Пейрбаха. Отношения между учителем и учеником
стали настолько дружескими, что коrда в 1460 r. Пейрбах
был приrлашен на работу в Рим, он поставил условие, чтобы
ero сопровождал Реrиомонтан. Планы Пейрбаха были прер-
ваны смертью. Реrиомонтан последовал этому приrлашению
один и провел семь лет в Италии, rде изучал труды античных
математиков по rреческим рукописям, коллекционированию
которых он уделял l\:iHOrO внимания. Вернувшись в rерманию,
ОН посе,,1ИЛСЯ в Нюрнберrе, однако в 1475 r. был снова приr..
лашен в РИl\:1 дЛЯ участия в реформе календаря и по прибы-
тии туда неожиданно умер.
Не касаясь чрезвычайно важных сочинений Реrиомонтана
по астрономии и триrонометрии [123, 149, 197, 219, 224, 389,
492], отметим, что он может быть нйзван автором первой в
Европе работы по истории математики: оБЗО!1а развития
математической науки с древности и до ero времени во вве-
дении к лекциям об астрономии ал Фарrани.
Интересные сведения об алrебре и арифметике в repMa-
нии XV в. сообщает мюнхеНСI{ая рукопись (Cod. l(1t. 1\10пас.
14908), написанная частично на немецком, частично на ла
ТИНСКОl\1 языках: переписана она в 1461 r реrенсбурrским Мо-
нахом бенедиктинцем Фридрихом (Fra ter Fridericus) , воз..
можно, автором сочинения [214 216, 293,454].
IforaHH Видман (Johann Widmann) один из зачинате
лей немецкой алrебры был уроженцем боrемскоrо rорода
Эrера. Сведения о нем крайне скудны; известно, что в 1480 r.
он числился студентом Лейпциrскоrо университета, rде по
лучи.}'! степень баккалавра, а затем маrистра искусств. В
1480 r. в Лейпциrе впервые была напечатана ero книrа
«Быстрый и красивый счет для Bcero купечества» (<<Behende
tJпd hubsche Rechnl1ng auff allen Kauffmannschaft»), cbIrpaB"
32
шая важную роль в истории алrебры; следующие ее издания
вышли в 1508, 1519, 1526 rr. [157, 192, 293, 299].
Во Франции в середине XV в. жил И творил замечательный
ученый, лионский медик и математик Никола Шюке (Nico
las Chuquet) [192, 352, 435, 470]. В 1484 r. он закончил свой
труд «Наука О числах в трех частях» «<Le Triparty еп le
science de nombres»), который, хотя и оставался дО XIX в.
неопубликованным, получил широкое распространение в ру-
кописях и оказал значительное влияние на математиков
XVI в. В частности, он был почти полностью воспроизведен
в «Арифметике» Этьенна де ля Рош (Estienne de la Roche),
вышедшей первым изданием в 1520, а вторым......... в 1538 r.
Публикация в 1880 r. трактата Шюке [352] имела важнейшее
значение для истории науки, так как позволила исследовате-
.
лям сделать ряд новых выводов относительно средневековоя
., u
европеискои математики.
При сравнении сочинений Пачоли и Шюке, написанных
.,
одновременно и, по всеи вероятности, независимо друr от
друrа, М. Кантор [192] отметил более высокий теоретический
уровень BToporo из них и на этом основании подчеркнул
большее ero значение для истории математики. r. Энестрём
[237, т. XIII, стр. 339] не соrласен с этим выводом и подчер-
кивает различие целей обоих авторов: «Summa» была заду-
мана как пособие для практиков, «Triparty» как теорети-
ческое сочинение.
К концу XV в. В Европе, таким образом, были усвоены
результаты, полученные восточными математиками, и созда-
ны все условия для Toro, чтобы в следующем столетии, ока-
.,
завшемся переломным в истории науки, европеиские ученые
обоrатили математику первыми важнейшими результатами
cBoero ориrинальноrо творчества.
6. Переводы «Начал» Евклида
«Начала» Евклида, написанные в IV III вв. до н. э., одно
.,
из самых за1\1ечательных математических сочинении, извест-
ных истории науки.
Велико было ero значение и в средние века: ero справед
.,
ливо рассматривали как ключ к пониманию античнои мате-
tатики, на базе которой развивалась математика этоrо пе-
риода на Ближнем и Среднем Востоке и в Европе. Именно
поэтому в IX в., на заре расцвета науки стран ислама, «На-
чала» попали в число первых переведенных на арабский язык
трудов rреческих ученых (подробнее СМ. [82, стр. 99 103]).
На латинский язык впервые «Начала» были переведены,
Вероятно, еще в 1 в. до н. э.; во всяком случае, Евклида упо-
минает Цицерон, сетовавшцй на то, что ero современники ин
3 113
33
тересуются математикой лишь из чисто практических сообра-
жений [308, стр. 206]. Однако только к VI В. относится упо-
минание о конкретном латинском переводе «Начал»; Кассио
дор приписывал ero Боэцию (Euclydem translatum in Roma..
пит linguam idem vir magnificus Boethius dedit [198, стр.
434]). Точных сведений об этом переводе нет. Известно cpeд
невековое сочинение по rеометрии, автором KOToporo назван
Боэций и которое содержит определения книrи 1 «Начал»,
пять постулатов, три аксиомы, ряд определений из книr 11,
111 и IV, несколько предложений из книr I IV (без доказа
тельств), а также вычисление площадей некоторых плоских
фиrур на частных примерах. Однако написано оно, по MHe
нию исследователей, значительно позднее и получило в исто...
рико математической литературе название «Псевдобоэций»
[25, 192, 214, 286, 300, 307, 437, 465]. В конце этоrо сочинения!
рассматриваются три первые задачи из книrи 1 «Начал» и.
о о
приводится систематическое доказательство самыи раннии
о о
пример TaKoro рода в европеискои литературе.
Свидетельство существования перевода «Начал» С rpe
ческоrо на латинский язык дО XII в., т. е. до появления пере
водов арабских версий этоrо сочинения, дают обнаруженные
М. Курце отрывки из некоторых рукописей Х в. Фраrменты,
воспроизведенные им в предисловии к изданию латинскоrо
перевода комментария ан Найризи к «Началам» [221], coдep
жат два предложения (37 и 38) из книrи 1 и одно (8)
из книrи 11; эти отрывки представляют собой дословный пе
о
ревод с rреческоrо текста, выполненныи, судя по некоторым
терминам, итальянцем, мало знакомым как с rреческим язы
ком, так и с математикой. В друrом отрывке [217] дается ла
тинский текст определений из книrи V «Начал» (см. rл. 11,
6).
Были найдены и друrие доказательства существования
paHHero перевода «Начал» непосредственно с rреческоrо язы
ка. Однако, например, довод Т. Хиса [307], ссылающеrося на
старинные анrлийские стихи, из которых будто бы явствует,
что Евклид был известен в Анrлии уже в Х в., как позже ус-
тановлено [489], ошибочен.
В Европе с первыми признаками возрождения математи
ческой науки в ХII в. возник особый интерес к «Началам»
.
как к сокровищнице мудрости ученых прежних поколении.
Первый перевод «Начал» С арабскоrо, по которому eBpo
о
пеиские математики моrли познакомиться с полным текстом
сочинения Евклида, выполнил ок. 1120 r. Аделард из Бата.
Этот перевод получил широкое распространение и сохранил
ся до настоящеrо времени в мноrочисленных рукописях. В
конце прошлоrо века ero изучал r Вейсенборн [466], а He
давно М. Кладжетт [201], который сравнил рукописи с
34
арабским источником и установил, что СУПI.ествуют три версии
перевода Аделарда, имеЮIII.ие значительные различия. В том
же XII в. появились и два друrих перевода «Начал», принад
лежащих [ерардо Кремонскому и [ерману из Каринтии.
Перевод [ерардо KpeMoHcKoro упоминался в средневеко-
вом списке ero сочинений, опубликованном Б. Бонкомпаньи
[154], и долrое время считался утерянным; однако в 1901 r.
А. Бьёрнбо обнаружил в Риме рукопись книr X XY из этоrо
перевода, а в 1904 r. и полный текст в нескольких вариантах
[143, 146]. rерардо Кремонский дал точный перевод арабской
версии «Начал» в обработке Сабита ибн Корры, но, судя по
отдельным rреческим терминам, пользовался также и неиз-
вестным более ранним латинским переводом с rреческоrо.
Недавно r Бусард изучил рукопись XIII в., находящую
ся в Парижской национальной библиотеке (Lat. 166646) и со-
держащую, по всей вероятности, перевод «Начал», выполнен-
ный repMaHoM из Каринтии [182, 183]. Текст первых шести
книr этоrо перевода позволил прийти к выводу, что в ero
основе лежала та же арабская версия «Начал», которой поль
зовался и Аделард.
В XII в. был осуществлен перевод арабскоrо комментария
ан Найризи (в латинизированной форме Анариция) к со-
чинению Евклида; выполнил ero также rерардо Кремонский.
Рукопись вместе с рукописью комментария к книrе Х «На-
чал», приписываемоrо Абд-ал Баки ал-Баrдади (XI в.), была
обнаружена в Кракове и в 1899 r. опубликована М. Курце
[221], вызвав большой интерес [139, 140, 141, 350, 430]1).
Таким образом, в XII в. Европа получила возможность
познакомиться с «арабским Евклидом», Т. е. с интерпрета-
цией «Начал», данной восточными авторами [82, 310]. Именно
из нее и исходили европейские математики XIII XV вв., так
как первый «rреческий» Евклид появился в Европе только в
XVI в., а существовавший, по-видимому, ранее латинский пе-
ревод с rреческоrо оказался забытым после ознакомления с
арабским текстом.
В XIII в. была составлена еlце одна версия «Начал», при-
надлежащая Кампано из Новары [145, 192, 260, 267, 399]. Она
сыrрала особую роль в популяризации сочинения Евклида, а
позднее попала в число первых печатных математических
книr. Кампано внес в текст дополнения, часть которых, воз
можно, заИl\Iствована из арабских источников [260], а друrие
принадлежат ему самому. К последним относится, например,
u .
теорема о существовании четвертои пропорциональнои, KOTO
1) Подробнее этот вопрос мы рассмотрели в [82. стр. 271]. Полный
обзор ранних латинских версий «1-Iачал» дал Д,К. 1\\эрдок в «Bio
graphickal dicionary», т. IV, N. J., 1971 f.
35
рую Кампано приводит среди аксиом, а также рассуждения
о роrовидных уrлах (кн. 111 и Х) и первое в Европе исследо-
вание звездчатых мноrоуrольников [123, 192, 260].
Сходство между версиями «Начал» Кампано и Аделарда
вызвало значительные разноrласия 1 ) между историками науки
по вопросу взаимной зависимости этих текстов [192,211,217,
221, 307, 309, 348, 466, 467, 487]. Наибольшую ясность в Hero
вносят новые исследования М. Кладжетта и Дж. Мэрдока
(см., например, [201, 360]).
«Арабский Евклид» неоднократно комментировался мате-
матиками XIV XV вв. и служил отправным моментом для
исследований в новых направлениях, интересовавших евро-
пейских ученых. Такой комментарий к некоторым разделам
«Начал» содержится в недавно исследованном и опублико-
ванном r. Бусардом трактате Орема «Вопросы О rеометрии
Евклида» (<<Questiones super geometriam Euclidis» [180]; см.
также [61]). Орем отходит от стиля изложения, принятоrо в
«Началах», И прибеrает к распространенной в eto время
форме вопросов и ответов, коrда учитываются все доводы в
пользу данной rипотезы и против нее. Обсуждение отдельных
положений Евклида приводит Орем а, в частности, к пробле-
мам делимости, континуума и суммирования бесконечноrо
.
множества долеи величины; в связи с этим он сделал заме-
чательное для cBoero времени открытие о расходимости rap-
моническоrо ряда (факт, позднее забытый, переоткрывался
заново и доказывался несколько раз).
Несмотря на интерес математиков к «Началам» Евклида,
нельзя сказать, что rлубокое знание их дО XVI в. было ши-
роко распространенным явлением: университетские проrрам-
мы требовали лишь поверхностноrо ознакомления с первыми
книrами этоrо сочинения.
Положение резко изменилось с изобретением книrопеч ..
1'ания. Одной из первых математических книr, изданных ти'"
поrрафским способом, оказались «Начала» в версии Кампа...
но; книrа вышла в первый раз в 1482 r. в Венеции в типоrра-
фии Ратдольта [267]. Во введении Ратдольт rоворит, что труд-
.
ности, связанные с воспроизведением чертежеи, задерживали
обычно выпуск математических сочинений и что ему удалось
найти метод, который позволяет печатать фиrуры с той же
леrкостью, что и буквы. В том же 1482 r. Ратдольт выпустил
второе издание «Начал», отличающееся от предыдущеrо пер-
вой страницей [451], а также тем, что книrа напечатана не
rотическим, а латинским шрифтом. Затем издание повторя-
лось в 1489 r. в Базеле и в 1491 r. в Виченце 2 .
1) Подробнее СМ. [82, стр. 267 270].
2) Указание Сартона [399, Т. 11, стр. 986] на издание 1486 r. в Ульме
ошибочно, что было отмечено им самим [400, стр, 2131.
Зб
Остановимся вкратце на дальнейшей истории публикаций
«Начал» Евклида.
Среди математиков долrо бытовалu убеждение, что Евк-
лид-rеометр и совре lенник Платона философ Евклид из Me
rapbI (ок. 400 r. до н. э.) одно и то же лицо. Это отразилось
и во мноrих изданиях «Начал» X\fI в., и в предисловиях к
ним. Указанное недоразумение было впервые устранено
Хр. I<лавием (1537 1612 rr.) [274]. Друrая ошибка состояла
в том, что Евклиду приписывали только формулировки Teo
рем, доказательства же их считали принадлежащими Теону
Александрийскому, так как пользовались rреческими рукопи
сями комментариев Теона к «Началам». Исправил эту ошибку
Иоrанн Бутео (1492 1572 rr.) в 1959 r. в примечаниях к со-
чинению «О квадратуре Kpyra» [192, т. 11, стр. 519].
Первый перевод «Начал» С rреческоrо текста был опуб-
ликован в Венеции в 1505, а затем в 1510 r. Ero выполнил
Бартоломео Замберти или Дзамберти (Bartolomeo Zamber
ti, Zambertus), секретарь сената в Венеции [237, т. Х,
стр. 82], отдавший, по ero словам, этому труду семь лет
[307, 467].
Замберти подверr резкой критике перевод Кампано; он
упрекал последнеrо в мноrочисленных неточностях и «вар-
варизмах», имея в виду, что Кампано в арифметических ил-
люстрациях к TeOpel\faM Евклида, даваемых по арабской Tpa
диции, искажает ero идеи.
Со cBoero рода реабилитацией Кампано счел необходимым
выступить Лука Пачоли, переиздав в 1509 r. текст ero версии
«Начал» И исправив ошибки переписчиков. Это издание сей
час чрезвычайно редко [З07].
В 1516 r. в Париже ж. Лефевром было осуществлено сов-
местное издание переводов Кампано и Замберти, воспроиз-
водившееся впоследствии несколько раз 1 ).
rреческий текст «Начал» вместе с текстом комментария
Прокла к книrе 1 издал впервые в 153З r. в Базеле Симон
rринэй (Symon Grynaeus). Отрывки опубликовал ранее, в
1498 и 1501 rr., reopr Балла (Valla, 1430 1499). В 1564 r. в
Страсбурrе появилось издание Дасиподия (Cunradum Dasy
podium) [272]. В нем содержится rреческий и латинский текст
книrи 1 «Начал» вместе с подробными комментариями изда-
теля, rде дано общее рассуждение о математике, о rеометрии
и ее началах, о видах теорем и т. д. Затем приводится «ариф-
l\lетическое доказательство Toro, что во второй книrе «Начал:.
доказано с помощью линий и фиrур»; ему предшествует rpe-
ческий текст и латинский перевод этой книrи. Далее следуют
1) В нашем распоряжении имеется издание 1537 r. [268], на которое
в дальнейшем мы иссылаемся.
37
восемь предложений стереометрии и, наконец, даются фор-
мулировки (rреческие и латинские) книr III........XIII «Начал».
Второе издание «Начал» Дасиподия вышло в 1571 r., так-
же в Страсбурrе [273]; оно содержит только текст предложе-
ний (без доказательств и чертежей), причем не только «На-
чал», но и друrих сочинений Евклида.
rреческий текст и латинский перевод предложений (с чер-
тежами, но без доказательств) первых шести книr «Начал»
опубликовал в Лейпциrе в 1549 r. Камерарий (Joachimus Ca
merari us) [269].
К самым популярным и влиятельным изданиям «Начал»
XVI в. относится комментированный перевод Хр. Клавия
[274], вышедший впервые в 1574 r. в РИl\1е и переиздававшийся
впоследствии в 1589, 1591, 1603, 1607, 1612, 1654 rr. и позднее.
Клавий подверr критике предыдущие издания «Начал», упре-
кая Кампано в СЛИШКОМ.строrом следовании арабам, которые,
по ero мнению, MHoroe извратили, а издателей переводов с rpe.
чеСКоrо в том, что они не исправляли мноrочисленных ошибок
переписчиков. В связи с этим трудно точно установить, что
именно принадлежит Евклиду, и потому Клавий не повторяет
текста предыдущих изданий, а стремится сделать содержание
теорем возможно более ясным. rлавную цель он видит в
устранении ошибок, встречающихся у ero предшественников
(например, как уже rоворилось, он показал, что Евклид ав-
тор «Начал» не идентичен с Евклидом из MerapbI).
Не менее важную роль сыrрал и друrоЙ перевод «Начал»
вышедший двумя rодами ранее и выполненный Ф. Комман-
дино (Federico Commandino, 1509 1575 rr.). Этот ученый,
посвятивший свою жизнь переводу и комментированию rpe-
ческих классиков, перевел не только «Начала», НО также тру-
ды Архимеда и Аполлония вместе с древними схолиями
к ним.
В середине ХУI в. начали появляться переводы «Начал»
на европейские языки. Первый итальянский текст, опублико-
ванный в 1543 r., принадлежал выдающемуся математику
Николо Тарталье, в 1565 r. он вышел вторым изданием [271].
Друrой итальянский перевод с rреческоrо ориrинала, напе-
чатанный в Риме в 1545 r., был выполнен Анжело Кайяни
(Angelo Cajani [237, т. IX, стр. 76]) и содержал текст пред-
ложений без доказательств.
Самое старое немецкое издание «Начал» принадлежала
Вильrельму rольцману, известному под и MeHel\:1 Ксиландер
(Xylander), и было издано в 1562 r. в Базеле [270]. Оно со-
держит только текст шести первых книr без доказательств,
но с подробными разъяснениями «на ПОНЯТНЫХ примерах»
и «основательных чертежах». Автор ставит себе в заслуrу
БОЛЬUJОЙ труд, затраченный для Toro, чтобы осуществить
310 издание- «на радость и пользу любящим искусства-
немцам».
В 1564 1565 rr. появилось первое французкское издание
«Начал», В 1570 r. анrлийское, в 1576 r. испанское.
Однако, несмотря на широкое распространение в конце
XVI В. переводов с rреческоrо текста, авторитет «арабскоrо
Евклида» по прежнему оставался высоким. Об этом свиде-
тельствует издание в 1594 r. в Риме арабскоrо текста «Изло
жения Евклида» [275], автором KOToporo в рукописи назван
Насир ад-Дин ат Туси. В 1657 r. вышел ero латинский пе-
ревод [366], широко использовавшийся математиками XVII в.
В частности, Дж. Валлис ( 1616 1703 rr.) посвятил сде-
ланной ат-Туси попытке доказательства пятоrо постулата
Евклида специальное сочинение [458].
Впереводах XVI в., почти всеrда комментированных, «На-
чала» разъяснялись с помощью алrебры, иноrда дополнялись
новыми определениями, аксиомами или предложениями. Поз-
)ке, в XVII в., коrда математика вступила в новую фазу раз-
вития, «Начала», по-пре)l{нему считавшиеся основой MaTeMa
тическоrо образования, стали подверrаться «исправлению».
По словам Д. д. Мордухая-Болтовскоrо, «комментаторы Евк-
лида ХУI в. не критикуют, а разъясняют Евклида, высказы-
ваемое ими мнение выдается или за мнение Евклида, или за
мнение, соrласное с ero взrлядами. В XVII в. выступает Еис-
lides restitutus. Евклида не только комментируют, ero исправ-
ляют. Пополняют систему аксиом, исправляют определения,
меняют части всей лоrической постройки и делают попытки
полной ее перестройки» [85, стр. 261 262].
Впоследствии «Начала» Евклида выдержали в Европе or-
ромное число печатных изданий [40, 52, 64, 99, 118, 123, 125,
192, 307, 308]. rреческая версия Теона считалась канониче-
ской вплоть дО XIX в., коrда Ф. Пейрар обнаружил рукопись
IX в. содержащую более раннюю версию «Начал». После
этоrо были предприняты сравнительные исследования с целью
выделить подлинный текст [309]. Результаты этой работы
"lеr.ЛИ в основу издания «Opera omnia» Евклида под редак-
цией rейберrа и MeHre [277].
rлаваl!
УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ В ЕВРОПЕ ДО XVI В.
7. Предпосылки развития понятия числа в Европе
При всей абстрактности математических понятий их проис
. .
хождение и развитие неразрывно связано с производственнои
деятельностью человека. Ярким примером этому служит ис
.
тория одноrо из основных понятии математики понятия
ч и сл а.
Начальные представления о числе возникли в rлубокой
древности и были связаны с пересчитыванием реальных пред
метов. Отвлеченное понятие числа и операций с числами яви
лось результатом обобщения MHoroBeKoBoro практическоrо
опыта [1, 29, 67]. Практика ставила перед человеком задачи,
решение которых с необходимостью привело к исследованию
свойств чисел и зависимостей между ними.
Первые факты, касающиеся свойств целых, дробных и ир
рациональных чисел, были установленыI в Древнем Вавилоне
и Еrипте, rде математика носила прикладной характер и
призвана была решать проблемы, возникающие непосредст
венно из хозяйственной жизни. Вавилонские и еrнпетские вы-
числители разработали, в частности, методы операций с дpo
бями И способы приближенноrо извлечения квадраТIIоrо кор.
ня, решали задачи на квадратные уравнения [28, 32, 33, 39,
86, 87, 93]. Они исходили при этом из Toro «наивноrо», «праr..
матическоrо» понятия действительноrо числа, которое по
словам Н. Бурбаки предполаrает, что «число рассматри"
вается как определенное блаrодаря возможности получать
ero приближенные значения и вводить их в вычисления» [27,
стр. 146].
Следующий этап в истории понятия числа связан с древ..
. u .
неrреческои математикои, унаследовавшеи познания народов
Древнеrо Востока.
Формирование, а затем экономический и политический
расцвет рабовладельческих rородов rосударств Древней rpe..
ции, развитие мореплавания, торrовлИ, ремесел отразились
40
на общем подъеме культуры и науки Э10rо периоrtа. Потреб-
ности практики стимулировали быстрое развитие астрономии
и математики. Значительный интерес вызывало совершенст-
вование вычислительных приемов, применявшихся в различ-
ных областях науки и техники [8, 39]. Совокупность этих прие-
мов составляла содержание особой дисциплины ----- лоrистики.
Однако для rреческой науки характерно было преимуще-
ственное внимание к теоретическим вопросам, к лоrическому
изложению всякоrо научноrо знания, в том числе и матема-
тики. Именно в [реции математика из суммы прикладных ме-
тодов превратилась в лоrически построенную дедуктивную
теорию со cTporo определенными основными понятиями.
Строrой теорией, в частности, стало в Древней [редии и уче-
ние о числе.
В школе Пифаrора была создана т' ория натуральных чи-
сел, носившая не только математический, но и философский
характер [8, 10, 28, 29, 42, 135]. Под числом понималось соб-
рание единиц; сама единица, которая рассматривалась как
«начало», «причина» чисел, числом не считалась и предпола-
rалась неделимой; дробь среди математических понятий не
фиrурировала. Числа изображались с помощью rеометриче-
ских образов, так что пифаrорейское учение о числе представ-
ляло собой rеометрическую арифметику. Пифаrорейцы разра-
ботали теорию четных и нечетных чисел, рассматривали свой-
ства совершенных, дружественных и фиrурных чисел.
Основные достижения теоретическоЙ арифметики в антич-
ности были изложены в «Началах» Евклида. Здесь (книrи
VII IX) получила вполне cTporoe обоснование теория дели-
v .
мости целых чисел, в основе которои лежал так называемыи
алrоритм Евклида, дающий способ нахождения наибольшеrо
общеrо делителя двух целых чисел. Были доказаны фунда-
ментальные теоремы о единственности разложения всякоrо
целоrо числа на простые сомножители, о существовании бес-
конечноrо множества простых чисел, получен способ после-
довательноrо выделения простых чисел из натуральноrо ря
да и установлены первые факты теории простых чисел [6, 8,
28, 136).
в понятие числа пифаrорейцы вкладывали символический
смысл: числа рассматривались как прототипы объектов реаль-
Horo мира, а эти объекты как отражения чисел. Считалось
возможным всякое взаимоотношение между вещами вы-
разить отношением целых чисел.
Понятие ко.пичественноrо отношения, являвшееся OДHOBpe
менно и математическим и философским, иrрало в пифаrо-
рейской теории ведущую роль. На нем основывалась теория
v
отношении целых чисел, составлявшая важнеишую часть уче-
v .
ния О мировои rармонии; считалось, что с помощью этои тео.
41
рии MOrYT быть описаны все взаимоотношения в природе.
Математически она эквивалентна теории дробей, но построена
при учете предпосылки о неделимости единицы. Исходным ее
моментом является утверждение о соизмеримости всех [eo
метрических объектов. Теория отношений целых чисел дала
прочную основу для доказательств теорем арИф fетики, reo
метрии и музыки. Поэтому открытие СУll(ествова r "я несоизме
римых прямолинейных отрезков (V в. до н. э.) привело к кри
зису начал пифаrорейской науки. Это событие полностью из
менило направление развития математической мысли и пос
тавило ряд задач, для решения которых потребовались уси
лия мноrих поколений ученых [8, 28].
Вследствие открытия несоизмеримости отрезков были
cTporo разrраничены понятия дискретноrо (числа) и непре
pbIBHoro (rеометрической величины), исследованием принци
пиальноrо различия между которыми призвана была зани
маться философия. Резкая rpaHb пролеI'ла также между нау-
ками о числе (арифметика) и о величине (rеометрия) [2, 8,
28, 113, 136].
Понятие отношения приобрело двоякий смысл в зависи
мости от Toro, идет ли речь о числах или о величинах. Оказа
лось, что отношение величин может быть выражено отноше-
нием целых чисел только в случае соизмеримости. Таким об
разом, выяснилось, что построенная пифаrореЙцами Teo
рия целочисленных отношений примеНИl\lа лишь к арифме
тике. Предстояло создать столь же строrую, 110 более об
щую теОРИIО, относящуюся и к величинам, т. е. OXBaTЫ
вающую не только рациональные, но и иррациональные
отношения.
Поте пев неудачу с попыткой унифицировать математику
на основе арифметики, обратились к rеометрии. Возникшие
задачи были решены, во..первых, созданием rеометрической
алrебры, которая дала аналоr операций, ранее установленных
в арифметике, а BO BTOpЫX, разработкой общей теории OTHO
шений, одинаково приrодной для чисел и величин.
Первой по времени появления была так называемая «ан-
тифайретическая,> теория отношений величин, rлавную роль
в которой иrрал алrоритм Евклида [134]. В ее основе лежало
определение равенства двух отношений, соrласно которому
отношения равны тоrда и только тоrда, коrда при разложе
нии их в непрерывные дроби все неполные частные соответ-
ственно равны между собой (по терминолоrии древних, они
имеют один и тот же «антифайрезис»). Эта теория позволила
обосновать предложения, ранее установленные с помощью
теории числовых отношений. Однако ее применение было свя
зано с рядом трудностей: помимо сложности определения опе
u .
рации над отношениями и выяснения их своиств, возникла
42
необходимость доказывать каждую теорему uтдельно для ве"
личин различных видов.
Замечательным достижением античной науки явилась об-
щая теория отношений, разработанная Евдоксом и изложен-
ная впоследствии в книrе V «Начал» Евклида. Она выполняла
в древнеrреческой математике ту же роль, какую сеrодня
иrрает теория действительных чисел [2, 8].
С вычислительной точки зрения эта теория страдала суще-
ственным оrраничением, касающимся операций над отноше-
ниями: для них была определена лишь операция «составле-
ния», соответствующая умножению. Вообще, потребности
практики новая теория моrла удовлетворять в значительно
меньшей степени, чем «антифайретическая», НО В классиче-
ский период истории rреческой математики прикладные воп
росы решались лоrистикой, стоявшей вне теоретической науки
и не требовавшей cTpororo обоснования.
Важнейшую проблему с момента открытия существования
иррациональных отношений составило рассмотрение их с
теоретической точки зрения. Классификация квадратичных и
биквадратичных иррациональностей, которые MorYT быть
построены rеометрически с помощью циркуля и линейки,
принадлежала, вероятнее Bcero, Теэтету. Она изложена в кни-
re Х «Начал» самой большой и наиболее сложной по co
держанию из книr этоrо сочинения [8, 28, 30, 76, 92, 93, 200,
З07, 308, 390].
Таким образом, античные математики фактически пост
роили и широко применяли теорию действительных чисм, но,
придерживаясь взrляда на число и величину как на суще
ственно различные объекты, понятия действительноrо числа
не ввели. Отношени чисел для них не стало еще обобщением
понятия числа. Поэтому все вопросы, связанные с иррацио
нальностью, рассматривались в области rеометрии присущи-
ми ей методами.
Положение изменилось в первые века нашей эры, коrда
в развитии точных наук наметились существенно новые тен-
денции [11, 12]. Под воздействием требований практики нача-
лась усиленная разработка вычислительных методов и общая
арифметизация и алrебраизация математики. Новое направ-
ление проявилось прежде Bcero в учении о числе и о новом
содержании, которое приобретало само понятие числа.
Об этом свидетельствует выдающееся творение античной
математики.......... «Арифметика» Диофанта [12, 13, 231, 306, З08],
.
rде изложена теория неопределенных уравнении в рацио
нальных числах. Диофант строит новую алrебру на чисто
арифметической основе, вводит элеменrы буквенной символи
ки и оперирует расширенным понятием числа как решения
неопределенноrо уравнения, которое может быть не только
43
целым но и дробным; иноrда оНо мыслится и иррациональ-
НЫМ. Идеи Диофанта, вне ВСЯКОI'О сомнения, наложили отпе
чаток на развитие арифметико алrебраическоrо направления
в математике, и прежде Bcero в странах ислама.
Решение мноrих прикладных задач требовало разработки
арифметической теории иррациональных величин. В связи
с этим началась арифметизация теории отношений, что выра-
зилось, например, в появлении понятия «количества отноше-
ния».
Тем не }\1lенее, понятие числа и в это время не было со
всей определенностью распространено на отношение. По-
прежнему под наукой о числе понималась пифаrорейская тео-
ретическая арифметика. Оперировавшая же числовыми ир-
рациональностями лоrистика, хотя и завоевала постепенно
более равноправное положение в математике, строrой теоре-
тической базы, как и раньше, не имела.
rреческое наследие составило основную часть фундамен
та, на котором в IX в. начали строить математическую теорию
средневековые ученые стран Ближнеrо и Среднеrо Востока.
С друrой стороны, они базировались на достижениях древ-
ней индийской математики, среди которых наивысшим яв-
ляется десятичная позиционная система счисления с приме-
нением нуля. Характерной чертой математиков Индии был
интерес к разработке различных вычислительных приемов.
В противоположность rpeKaM, они свободно производили
арифметические операции над числовыми иррациональностя-
ми, не давая, однако, никакоrо теоретическоrо обоснования
этим действиям [123].
Внимание к точным наукам в странах ислама было обу-
словлено, прежде Bcero, необходимостью решения мноrочис-
ленных задач практическоrо характерз. Поэтому центр тя-
жести в математике этоrо времени приходился на разработку
вычислиrельных алrоритмов, в чем можно видеть не только
u О
индииское влияние, но и развитие тенденции, проявившихся
u
В rреческои науке позднеэллинистическоrо периода.
Однако нередко высказываемое мнение о том, что мате-
матика стран Ближнеrо и Среднеrо Востока в средние века
носила суrубо прикладной характер и не дала ничеrо cYIЦe-
cTBeHHoro в области теории, как теперь выяснено, ошибочно.
Об этом свидетельствует, в частности, содержание учения о
ЧИСJIе в трудах математиков стран ислама 1). Они подразде.
ляли это учение на теоретическое (теоретическая арифмети
ка) и практическое (практическая арифметика, алrебра).
Такая классификация показывает, насколько серьезные из-
менения по сравнению с античным периодом произошли в
1) Подробно СМ. [82].
44
трактовке основных математических понятий: противопостав-
ление понятия числа понятию величины фактически переста..
ло cYIЦecTBoBaTЬ, вследствие чеrо исчезло резкое разrраниче
ние Iежду предметом учения о числе и предметом учения о
величине. Теоретическая арифметика продолжала излаrаться
как основной раздел учения о числе, но на равных правах с
ней сюда были отнесены алrебра (ранее трактовавшаяся reo..
метрически) и вычислительная арифметика (лоrистика).
Друrими словами, числовая иррациональность стала рас-
сматриваться как число. То же саМое ранее наблюдалось и
в индийской математике, а с друrой стороны, стирание rрани
между арифметическими и rеометрическими понятиями явно'
наметилось в rреческой математике позднеэллинистическоrо
периода. Мы выяснили, однако, [81 83], что точка зрения ма-
тематиков стран ислама на проблему иррациональноrо числа
отличалась от точек зрения их предшественников прежде все-
ro постановкой проблемы лоrическоrо обоснования действий
с числовыми иррациональносrями. «Наивный» подход вычис-
лителя, не задумывавшеrося над СУIЦностью производимых
операций, уже перестал удовлетворять, и это послужило при..
"
чинои значительноrо расширения понятия числа в средневеко-
u u
вои восточнои математике.
Анализ арабских сочинений, касающихся основных разде-
лов учения о числе, позволил установить, в частности, что
теоретическая арифметика по содержанию и основным поня-
тиям не отличалась от пифаrорейскоrо учения о числе, если
не считать, что были получены некоторые новые результаты
(например. правило нахо)кдения дружественных чисел). Су-
щественным, с тоЧки зрения истории понятия числа, является
часто встречаЮIЦееся отождествление числовоrо отношения
с дробью; иноrда дробь прямо относили к числам. Таким
образом, расширение понятия числа происходило даже
в рамках этоrо, наиболее cKoBaHHoro традицией, раздела
учения о числе.
Внимание к теоретической арифметике показывает, что
математика эrоrо времени не носила исключительно приклад-
Horo характера, однако, безусловно, основной интерес был
направлен на решение вопросов, связанных с практикой.
Успехи, достиrнутые в области практической арифметики,
сыrрали важнейшую роль в развитии ;10НЯТИЯ ЧИСJ!а. Особен-
но существенным было внедрение десятичной позиционноЙ
системы счисления с применением нуля, а также усовершен-
ствование шестидесятиричной системы счисления и, позднее,
открытие десятичных дробей. Разработанные в этот период
вычислительные методы позволили с большой степенью точ-
ности находить рациональные риближения значений ирра-
циональных корней (квадратных, кубических и Т. д.). Слово
45
вычислителей, убежденных в числовой природе иррациональ-
ности, звучало теперь в математике не менее веско, чем сло-
во теоретиков, заставляя последних искать компромиссное
решение вопросов обоснования математических понятий.
Алrебра в странах ислама впервые выделилась в само-
стоятельную науку и избавилась от сковывающей rеометриче-
ской формы, в которую она была облечена в античности.
Здесь нашли развитие арифметико-алrебраические тенденции,
характерные для древневосточной науки и проявившиеся
"
также в rреческои математике позднеrо периода.
В алrебраическом исчислении в качестве чисел особоrо
вида фиrурировали степени неизвестной (<<простые числа»,
«корни», «квадраты» И т. д.). Поскольку решение уравнения
моrло оказаться дробным или иррациональным (отрицатель-
ное и нулевое не рассматривалось) , то дроби и иррациональ-
ные корни из чисел приобрели в вычислениях равные права
с целыми числами. Разделу об уравнениях обычно предшест-
вовало изложение правил действий над иррациональными
выражениями (сначала второй, а затем третьей степени и вы-
ше). Иррациональности стали встречаться не только как ре-
шения, но и как коэффициенты уравнений. Численные алrеб-
раические методы были применены и в rеометрии: вычисле-
"
ние длин и площадеи часто заменяло построение с ПОl\10ЩЬЮ
"
циркуля и линеики.
Осуществив арифметизацию алrебры, ученые стран исла-
ма стремились, однако, обосновать алrебраические действия
с помощью rеометрии в духе rреческой математики. Хотя
rлавное внимание было направлено на нахождение численно-
ro решения уравнения, в случае, коrда получить ero не уда-
. .
валось, умели с пользои применить методы rеометрическои
алrебры. Затушевывание различий между понятиями числа и
величины привело, в частности, к тому, ЧТО в rеометрических
рассуждениях стало иноrда встречаться недопустимое с ан-
тичной точки зрения отступление от принципа однородности
величин и очень часто смешивались rеометрическая и ариф-
1\1етическа я терминолоrии (<<умножение линиЙ» И др.).
Однако математики рассматриваемоrо периода, усвоив-
шие античные представления о лоrическом обосновании тео-
рии, стремились к rлубокому анализу понятия иррациональ-
ности. Это показывают рассмотренные нами [81.......83] араб-
ские комментарии к книrе Х «Начал», В которых решались
мноrие теоретические вопросы учения о числе.
Теории квадратичных и биквадратичных иррационально-
стей, излож нной в книrе Х, восточные математики придава-
ли, как оказывается, orpoMHoe значение и последовательно
перевели ее на арифметический я ык; в этой форме она вош-
ла в трактат по алrсбре как собран е пра и цействиц gД
46
числовыми иррационаЛЬНОСТЯl'.1И и правил р[шения соответст-
вующих квадратных уравнений. Однако и, рассмотренных
комментариев видно, что одновременно ставился вопрос о
правомерности TaKoro перехода от rеометрическоrо учения
Евклида на арифметические позиции «вычислителей». Этот
переход пытались обосновать, примириа обе точки зрения.
Поскольку за исходную предпосылку, как и у rpeKoB, при
.
нималось противопоставление понятии числа и величины, то
rлавную роль продолжала иrрать идея соизмеримости и He
соизмеримости величин, и все теоретические вопросы реша
лись с помощью учения об отношениях. В то же время был
выдвинут ряд принципиально новых паложеl ИЙ. Одно из них
лежало в основе «исчисления отрезков, площздей, объемов»,
развитоrо Ибн ал-Баrдади (X XI вв.). Оно базируется на
понятии «умножения» величин и на противоречащем reoMeT
рической алrебре утверждении, что произведение двух одно-
родных величин есть величина, однородная с ними. Напри-
мер, произведение двух отрезков а и Ь следует изображать не
прямоуrольником, как это делали античные математики, а
с Ь .
таким отрезком С, что =--= , rде е единичныи отрезок.
а е
К одному роду с данной веЛИЧ:iНtJЙ далжен принадлежать и
квадратный корень из нее, существующий, по мнению Ибн
ал Баrдади, для любой величины. Так, нод корнем из отрез
. . .
ка понимался построенныи циркулем и линеикои отрезок
среднее rеометрическое между данны!'.1 Р;1uиональным и еди-
ничным отрезками. В случае плоских фиrуr под корнем по..
нималась фиrура (Toro же вида, что и данная.), !Iлопrадь ко-
торой является среДНИ f rеометрическим между П.JIОЩitДЯМП
данной и единичной фиrур. Таким образом, оказывалось воз
можным повторное извлечение квадратноrо корня из величин.
Нетрудно заметить, что рассуждения Ибн ал Баrдади oc
нованы на идеях, которые впоследствии привели Декарта к
ero аналитической rеометрии. Однако восточный математик
рассматривает лишь корни с показателем 2 n , нужные ему при
изложении книrи Х «Начал» Евклида.
Определив корень квадратный из числа как среднее reo
метрическое между этим числом и единицей. Ибн ал-Баrдади
утверждает, что ме)l{ДУ указанными rеометрическими и ариф-
метическими объектами существует взаИ 1нооднозначное COOT
ветствие. Друrими словами, рациональные отрезки «изобра
жаются» числами, а иррациональные корнями из чисел. Ту
же мысль выражал раньше выдающийся восточный ученый а.Н-
Фараби (IX в.), утверждая, что «определенные рациональные
отрезки соответствуют рациональным величинам, а опреде-
1i1eHHbIe иррациональные числа иррациональным величинам.
отсюда вытекало, что теоремы, доказанные для rеОl\1етриче-
47
ских величин, верны и для их арифметических образов; и об-
ратно, действия с числовыми квадратичными иррационально-
стями можно обосновать, опираясь на строrую теорию Евкли-
да. Таким образом, в частности, обосновывали арифметиза-
цию книrи Х «Начал». В связи С этим становится также по-
нятным частое смешение арифметической и rеометрической
терминолоrии.
Сложнее обстояло дело с обоснованием арифметических
действий над кубическими иррациональностями, которыми
восточные математики занимались не столь систематически.
Однако и в этом направлении были сделаны определенные
.
шаrи, о чем свидетельствует рассмотреннык нами коммента-
рий ал-Махани (IX в.) к книrе Х «Начал»: он дал классифи..
кацию кубических (<<телесных») иррациональностей, следуя
идеям Евклида, и, возможно, пытался каким"то образом рас..
пространить на них предложения книrи Х «Начал»; К сожа..
. .
лению, этот интересныи трактат известен лишь в отрывке.
Те же идеи встречаются и в комментарии ан..Найри и (Х В.),
.
о латинском переводе KOToporo речь поидет ниже.
LLля истории понятия числа чрезвычайно велико значение
трудов ученых стран ислама по теОРИ1i отношений. Эта тео..
рия, в полном ее объеме воспринятая из rреческой науки и
составлявшая основу всех теоретических исследований, под..
верrлась, однако, критике. Возражения вызывали, прежде
Bcero, евдоксовы определения отношения и равенства двух
.
отношении, не удовлетворявшие теперь математиков с вы..
числительной точки зрения. Поэтому была возрождена и пос-
ледовательно изложена «антифайретическая» теория, кото..
рая позволяла строить рациональные приближения иррацио"
нальных отношений с любой точностью.
Наиболее существенным моментом явилась попытка стро"
roro обоснования теории составных отношений, которая при..
.
вела восточных математиков к важнеишему в истории учения
о числе результату к теоретическому распространению по..
нятия числа на отношения величин. Определение этоrо рас..
ширенноrо понятия числа дали Омар Хайям (XII В.), а затем
Насир ад-Дин ат..Туси (XIII в.).
Таким образом, в пропессе формирования понятия дей..
ствительноrо (положительноrо) числа ученые средневеко-
Boro Ближнеrо и Среднеrо Востока сделали важный шаr
впеоед.
Математика европейскоrо средневековья базирсвалась на
двух основах: на познаниях, сохранившихся от rреко-рим-
ской науки, и на сведениях, полученных позднее из арабской
литературы. Б.паrодаря этому второму источнику Еr...ропа поз-
накомилась как с труда IИ античных математиков, так и с
сочинениями восточных авторов. ПQ ТОМУ Rеудивнтельно, чта
48
влияние науки стран ислама на учение о числе в Европе дол-
roe время определяло ее развитие.
В средневековой Европе наблюдается продолжение и пос-
теп нное уrлубление процесса арифметизации и алrебраиза-
ции математической науки, начавшеrося в первые века нашеЙ
эры в rреческой математике и продолженное в странах Ближ-
Hero и Среднеrо Востока.
Переходим к характеристике различных разделов учения
о числе в европеЙской математике дО ХУI в.
9 8. Теоретическая арифметика
Теоретическая арифметика, содержание которой исчерпыва-
лось учением Ником аха rеразскоrо (I II вв. н. э.), состав-
ляла основную часть античноrо математическоrо наследия,
перешедшеrо в Европу непосредственно из rреко-римских ис-
точников.
«Введение В арифметику» Никомаха [232, 368], построен-
ное в пифаrорейском духе, долrое время привлекало внима-
ние не только математиков, но и философов Востока и Запа-
да. Первый латинский перевод «Введения В арифметику», вы-
полненный Апулеем из Мадавры 1 ) во второй половине 11 в.,
был широко распространен в свое время, но сейчас известен
только по упоминаниям о нем. Б IV в. обработку этоrо труда
дал Ямблих 2 ), в УI в. ero комментировал Асклепий Трал-
Jlиан 3 ), а затем ученик последнеrо Иоанн rрамматик, свиде-
тель захвата Александрии арабами (640 r.).
Наиболее популярная латинская версия «Введения В ариф-
метику» Никомаха принадлежит Боэцию, очень точно пере-
давшему ero содержание в своем арифметическом трактате,
u
речь о котором поидет ниже.
На арабский язык сочинение Никомаха было переведено
Дважды в IX в.: выдающийся восточный математик Сабит
ибн Корра ал-Харрани (ок. 830 901 rr.) перевел ero с
rреческоrо, а несторианец Хабиб ибн Бахриз с сирийскоrо
языка. В странах ислама в средние века оно считалось ОСНО-
вополаrаIОЩИМ трудом по арифметике, так же как «Начала»
Евклида по rеометрии. Изложением теории Никомаха
1) РИМСКИЙ философ, ученый и писатель, РОДИЛСЯ ок. 125 r. в Мадав-
ре ( фрика), путешествовал в rрецию и и l'алию, работа.l, [',пзвным обра-
зом, в Карфаrене. Автор энциклопедических трудов и известноrо сочине-
ния «Метаморфозы» (или «Золотой осел»).
2) Неоплатоник, одился во ВТОрОЙ половине 111 в. в Сирии, умер
между 307 и 337 rr. Для ero книr по арифметике (например cTheologume-
па arithmetica:.) характерен крайний числовой МИСТlЩизм.
З) I'реческий философ и математик, современник Симпликия (УМ. ОК.
560 570 rr.). ПОМИМ'О комментария к «Введению в арифметику» Никома-
ха, составил комментарий к «Метафизике» Аристотепя.
4 113
49
.
начинались математические разделы энциклопедии, она сос-
тавляла сущность мноrочисленных трактатов по теоретиче--
ской арифметике (раздел математики, носивший наз-
вание «ал-арисматики»), Т. е. rреческое apt'ttJ.tflTtXfl в араби-
зированной форме), включалась во все книrи учебноrо
характера 1).
Друrое замечательное античное произведение, заложив-
шее основу современной теории чисел, «Арифметика» Дио-
фанта (III в.) получило в средние века значительно меньшее
распространение, чем труд Никомаха. На арабский язык
«Арифметика» была переведена в IX в., однако этот перевод
вскоре оказался утерянным. Влияние ее на восточных мате-
матиков сказывается в тех разделах арабских арифметиче
ских и алrебраических трактатов, rде рассматриваются воп-
росы диофантова анализа (например, в трактате ал-Карад-
жи), а также в сочинениях, правда, немноrочис ryенных, спе-
циально им посвященных.
В Европе с текстом «Арифметики» Диофанта познакоми-
лись только в xv В., а с некоторыми моментами ero теории
в XII.........XIII вв. по арабским сочинениям.
Следует отметить, что в трудах восточных ученых IX
XIII вв. теоретическая арифметика получила некоторое раз-
витие (правило нахождения дружественных чисел, суммиро-
вание числовых рядов, решение некоторых задач диофантова
анализа), тоrда как в Европе она излаrалась дО XIII в. в
объеме труда Ником аха.
Полное изложение теоретической арифметики, ставшее
стандартным для европейской математики вплоть дО XVI в.,
дано в трактате «О введении в арифметику» Боэция. Это со-
чинение написано на основе «Введения В арифметику» Нико-
маха и по существу представляет собой ero перевод. Во всту--
пительном разделе Боэций rоворит, что он вносит в труд Ни-
комаха изменения, расширяя одни разделы, сокращая друrие
и разъясняя с помощью примеров и таблиц наиболее важные,
по ero мнению, вопросы.
Мноrие историки математики обвиняют Боэция в отсут-
ствии ориrинальности, однако этот упрек, если принять во
внимание иель, которую Боэций преследовал, а также атмос-
феру умственной жизни ero времени, представляется не сов--
сем справедливым. Значение ero сочинения прежде Bcero
в том, что оно служило, вероятно, rлавным каналом передачи
математическоrо наследия античности в средневековую Евро-
пу [406]. М. Кантор [192] утверждал, что Воэиий дал плохую
обработку Никомаха, опустив наиболее тонкие fv 1 0MeHTbI, но
1) Подробнее о теоретической арифметике на средневековом Ближнем
и Среднем Востоке см. [82].
50
r Энестрём [237, т. VII, стр. 283] показал несостоятельность
TaKoro обвинения.
Труд Боэция был в течение более чем тысячелетие одниМ
И основных учебных пособий в школах и университетах Ев-
ропы, попал в число первых математических КНИf, изданных
типоrрафСКИl\1 способом [151], и переиздавался несколько раз.
Влияние ero явно сказывается в арифметических раздела
сочинений ученых ХУI и даже XVII вв. Поэтому, не зная со-
чинения Боэция, иноrда трудно понять направление научных
интересов мноrих выдаЮll ИХСЯ Мdтеl\lатиков Toro времени,
постановку некоторых вопросов в их трудах, а также проис..
хождение тех или иных терминов и понятий. Знакомство с
сочинением Боэция особенно необходимо при изучении раз..
вития теории чисел в Европе: оказывается, что выражение
«мертвый период», часто применяемое к истории этой науки
от Диофанта дО XVII в., не следует воспринимать буквально,
так как интерес к теоретико числовым проблемам никоrда не
исчезал, но был направлен, rлавным образом, на вопросы,
затронутые Боэцием.
Хотя в дальнейшеrvr развитие теории чисел пошло по со-
вершенно иному пути, период ее истории дО XVII в. тоже тре-
бует изучения, и этим соображением объясняется внимание,
уделенное в данной rлаве арифметическому сочинению Боэ
ция (по изданию 1488 r. [151]).
Первая (32 rлавы) ИЗ двух книr, составляющих трактат
Боэция, содержит классификацию чисе.lI, которая восходит к
Никомаху. Рассматриваются также общие своЙства целых
чисел и их отношений. Книrа начинается с рассуждения о ве-
личине (magnitude) и множестве (multitude). Свойствами ве..
личины обладают однородные и непрерывные вещи, например
дерево или камень; дискретным же вещам, например стаду
или хору, присуще качество множества. Множества изучают
две математические дисциплины арифметика и музыка;
первая занимается абсолютным множеством, вторая отно-
сительным. Величины являются предметом rеометрии, кото..
о
рая изучает размеры, и астрономии, занимающеися размера..
ми и движениями.
Арифметика является полной и совершенноЙ наукой и пер
венствует среди математических дисциплин. Предмет ариф-
метики число определяется в пифаrорейскоЙ традиции,
как совокупность единиц.
Числа подразделяются прежде Bcero на четные и нечет-
Ные. Различные определения их даются в третьей шестой
rлавах. Одно из них: «Четное есть то, которое IОЖНО разде-
Лить на два равных, не имеющих между собой единицы; не-
четное же то, которое никакое число не деJlИТ на равные.
между которыми не было бы единицы».
51
Второе определение дано «соrласно 11I1фаrору»: «четное
число то, которое одним и тем же дел нием может быть раз-
делено на самое большее и на самое меньшее: наибольшее
по размеру (spacio) и наименьшее по величине (quantitate) ...
Нечетное же число то, с которым так произойти не может n
которое естественно делится на две неравные части». Разъяс-
няя это определение, Боэций rоворит, что, например, четное
число 8 разбивается на 4 и 4, причем нет никаиоrо друrоrо
деления, при котором получились бы большие и меньшие
части.
Соrласно третьему определению, «нечетное число есть то,
которое отличается единицей от четноrо, и наоборот».
В седьмой rлаве утверждается, что каждое число есть по
лусумма соседних чисел, одинаково удаленных от Hero по обе
стороны. Исключением является единица, не имеющая двух
соседних чисел и равная половине единственноrо соседнеrо с
ней числа двух.
Следующие пять rлав содержат классификацию четных
чисел и свойства каждоrо их вида. Вслед за Никомахом Боз-
ций рассматривает четно-четные, четно нечетные и нечетно-
четные числа.
Четно-четное число определяется как то, которое можно
разделить на две части, и эти две части четные; и так будет
столько раз, пока деление частей не достиrнет естественно не-
делимой единицы. Например, число 64 имеет половину 32
и так далее до единицы. Таким обраЗОl\1, к зтому классу отно-
сятся числа вида 2 n .
Четно-нечетное число является противоположным четно-
четному: «оно допускает деление на две равные части, части
же эти далее останутся неделимыми и не MorYT быть разби-
ты; таковы 6, 10, 14, 18, 22 и и 1 подобные». Общий вид этих
чисел 2 (2т + 1 ).
Нечетно четное число, занимаIощее среднее положение
между предыдущими, делится на две равные части, которые,
в свою очередь, MorYT быть разделены пополам, но такое де-
ление не доходит до единицы: к этому классу, следовательно,
относятся числа вида 2 k (2m+l), rде ,,>1. Эта I(лассифика-
ция Ником аха отличается от предложенной Евклидом (<<На-
чала», книrа VII, определения 8 11), который рассматривал
только четно-четные и четно-нечетные числа. В предложении
34 книrи IX он rоворит, что если четное число не является сте-
пенью 2 и не имеет нечетной половины, то оно относится од-
новременно к обоим указанным классам. НИКО .1ах выделил
эти числа, назвав их нечетно-четными, 1-' устраНИIlТI тем самым
неТОЧНОСТЬ,ДОПУlЦенную Евк идом.
Числа nepBoro класса образуют rеометрическую про-
rрессию, а BToporo арифметическую (<<в натураЛЬНОl\-1
52
ряду четно нечетные числа стоят друr от друrа на четвер-
том месте»).
в ряду четно четных чисел произведение двух внешних
ч'ленов равно произведению двух внутренних, если количест..
во чисел между ними четно, и квадраrу среднеrо, если это
количество нечетно. Например, 2, 4, 8, 16, rде 2. 16==4. 8 или
2, 4, 8, rде 2. 8==42. Четно четные числа имеют то свойство,
что сумма крайних равна удвоенному среднему, если количе-
ство чисел в ряду между ними нечетно, и равна сумме двух
средних, если это количество четное; например, 2, 6, 10, rде
2+ 10==2. 6, или 2, 6, 10, 14, rде 2+ 14==6+ 10.
Числа TpeTbero класса получаются умножением ряда не..
четных чисел (3, 5, 7, 9, ...) последовательно на числа перЕО
ro класса (т. е. на 4, 8, 16, 32, ). Если получающиеся при
этом ряды чисел подписать друr под друrом, то обнаружи.
вается следующее: rоризонтальные ряды имеют указанные
свойства четно нечетных чисел (например, 36+20==2. 28 и
12+36==20+28), вертикальные четно четных чисел (напри-
мер, 12.48==242==576 и 12.96==24.48==1152).
Следует отметить, что в этом разделе Боэций пользу
ется термином «знаменование» (denominatio), который
впоследствии получил широкое распространение в eBpo
пейской математике, выражая числовое значение рацио
нальноrо, а позднее иррациональноrо отношения (Cl\1I.
ниже) .
Нечетные числа, рассматриваемые в rлавах 13 18, также
подразделяются на три класса: 1) первые и несоставные (т. е.
простые); 2) вторые и составные; 3) те, которые сами по себе
являются составными, но по отношеНИIО к друrим просты-
ми. Это подразделение, данное Никомахом, не отличается
поrичностью, которая свойственна ero классификации четных
ч и сел.
Простому числу Боэций дает следующее ппределение:
«Первое И несоставное есть то, которое не имеет никакой дру.
rой части, кроме той, которая знаменуется величиной Bcero
числ а».
В rлаве 17 излаrается метод выбора простых чисел l"-1
натуральноrо ряда «решето Эратосфена», в следующей
дан способ нахождения общеrо наибольшеrо делителя на
примерах пар чисел: 9 и 29, 9 и 21.
Далее (rлавы 19 21) вводится иная классификация чет
ных чисел: 1) совершенные, 2) избыточные, 3) недостаточ
Ные. Совершенное (perfectus) это число, равное сумме
своих делителей, т. е. n==а(п); избыточное (superfluus)
меньшее суммы делителей п<а(n), например 12 или 24; не..
ДОстаточное (deminutus) большее суммы делителей:
п>а(n) например 8 и 14.
53
Совершенные числа уподобляются совершенным людям и
помещаются между избыточными и недостаТОЧНЫ!\fИ, которые
сравниваются с людьми, имеющими врожденные физические
уродства (например, сторукий или одноrлазый).
БоэпиЙ приводит четыре первых совершенных числа, из
вестных еще Никомаху: 6, 28, 496, 8128, и высказывает He
верное утверждение, долrо повторявшееся европейскими уче
ными: совершенные числа оканчиваIОТСЯ IIоn;еременно uифрой
6 или 8. rоворя далее о происхождении этих чисел, Боэций
формулирует доказанную Евклидом (<<Начала», книrа IX,
предложение 36) теорему о том, что число ВИД,а 2п 1 (1 +
+2 + 22 + + 2п 1) :=: 2п 1 (2 n 1), rде 2 n 1 простое,
есть совершенное число. Разъясняется это утверждение на
примерах 28 и 496. Далее следует рассуждение о том, что
совершенным числом следует назвать также единицу.
Следующий раздел (rлавы 21 32) первой книrи посвя-
щен «величине, отнесенной к друrой». Если раньше величина
рассматривалась сама по себе, то здесь она дается в отноше-
нии к друrим величинам. Это отношение бывает двоякоrо
рода: отношение равенства и отношение неравенства. Послед-
нее может быть большим и меньшим.
Вслед за НикомаХОlvl Боэций рассматривает пять видов
большеrо неравенства:
1) кратное (multiрlех) если большее из двух чисел coдep
жит в себе меньшее более одноrо раза;
2) превышающее на ДОЛЮ (superparticuIaris) если боль-
шее число содержит в себе меньшее один раз целиком и
еще одну ero долю, т. е. отношение их можно выразить
п + 1 1
как п == 1 + п Некоторым отношениям даны особые
названия: например, sexquialter, sexquitertius и Т.д.;
3) превышающее на доли (superpartiens) если большее
число содержит меньшее один раз целиком и еще несколь-
1 т2 3
ко ero долей, т. е. + n' например, 1 + 3 ,1 + 4
4
1 + 5;
4) кратное, превышающее на долю (multiplex superparti
cularis) если большее число содержит меньшее более од-
1
Horo раза целиком и еще одну ero долю, т. е. т +
n
1 1
например, 2 + "2"' 2 + 3 ;
54
5) кратное, превышающее на доли (multiplex superparti..
.ens), если большее число содержит меньшее более одноrо
раза целиком и еще несколько ero долей, т. е. k + ·
Соответственно вводятся и виды меньшеrо неравенства.
Боэций разъясняет свои определения с помощью примеров и
числовых таблиц.
В заключительной rлаве первой книrи доказано, что все
виды неравенств возникают из равенства. Это доказательство
ПрОВDДИТСЯ по следующей схеме:
1 1 1...
1 2 4...
1 3 9...
1 4 16...
в первом ряду три равных числа; во втором и др. последа..
вательно первое число предыдущеrо ряда, сумма первоrо
и BToporo, сумма пе,рвоrо, удвоенноrо BToporo и TpeTbero и
Т. д. Полученные числа находятся в последовательных KpaT
ных отношениях.
Если затем взять ,ряд удвоений 4, 2, 1, то, применяя тот
же закон, получаем ряд чисел 4, 6, 9, члены KOTcporo нахо..
1
дятся между собой в отношении 12; из ряда утроений 9,
3, 1 получается ряд чисел 9, 12, 16, находящихся в отно-
1
шении 13 и Т. д.
Вторая книта сс>ст-оит ИЗ .54 rлав. Она начинается сана..
лоrичноrо предыдущему рассуждения о том, что все неравен"
ства MorYT быть сведены, как к первоначальному, котноше..
нию равенств.а, а затем, исходя из рядов кратных, находятся
числа, стоящие в одноименном отношении. Например, таб..
лица
1 2 4 8 16 32
3 6 12 24 48
9 18 36 72
27 54 108
81 162
243,
наждый член которой а п . т == а п , т 1 + aп l, т l' rде п
Номер столбца, т номер строки, содержит числа, нахо.
дящиеся ыежду собой в отношении а п , т == 1 2 1 .
а п . т l
55
, .<:
{:::{,::::::::,::; :,. <о.
..t-<ri:ts,. -:
t_д ,(*mr rtЮ $n .
-- IM "
. tq 'f_
1:»НibaиоаШD81О Q-i/
d,Nt;4uob '
tcrnarrp dt,.:JU
_._ ...Фl Inioui
tщal *, ;n6(ОШ\(
ntnt.! cf _I.
,dmr ord_ qdf,e
om:rd qШ
:' ;f.. =r: '"
.. _ --AXW!
mm !t - Wsl
.' :
Qцabt ka .t - -41.:
pmt Otшm 1 -Ut - ф
'" > - и: &.ж. art
pt otШU 1-Ф'( : ._-:. 0-:-=1
r
Я== 41
::". .:.::: :.
'. .,' <h . :0_: - ,_- - __ - ,: ' _-
; I.
tn .n щum-,<
fWUJ"- J; рФ
$! -mф
((-t
'" trib rf
\. ,..<- ftб:m f Щid
1 I ш.
. 11J M t
.. . - "-ос nAft 1iч( :
Цt M I y
-t qu. t i8Ui.u. 4 4
: . i
_1:'-
#
t-$
ь i
o; ........:.:.:.......,.
,-- .._-
Страница из арифметическоrо трактата Боэция (нзд. 1488 r.).
rлавы 4 39 посвящены теории мноrоуrольных чисел. В
современных обозначениях т.. е п..уrольное число Р: есть.
сумма т членов арифметической проrрессии с первым чле
2 т (п 2) т 2 (п 4)m
ном 1 и разностью п....... , т. е. Р п == 2
Боэций вслед за Никомахом дает определение различных
мноrоуrольных чисел и устанавливает взаимоотношения меж
ду ними. Если расположить ряды этих чисел последовательно
друr ПОД друrом, Т. е. составить таблицу:
.56
рз 1 ::3 6 lU 15 21 2М 6 45 55
р, 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Р& 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145
Р6 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190
Р7 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235,
то оказывается, что каждое MHoroyroJlЪHoe число рав'"
но сумме предыдущеrо с тем же номером и треуrольноrо
числа с номером, на единицу меньшим; друrими
словами,
т т + т 1
Р п Pп l Р з
Например, 35 == 25 + 10, 34- = 28 + 6.
Далее оказывается, что каждый Вертикальный ряд этой
таблицы образует арифметическую ПрОI рессию с разностью,
u т m l
равнои предыдущему треуrольному числу, т. е. Р п Pп
==p: l например, 28 22 == 6, 22 16 === 6 и т. Д.
Начиная с rлавы 20, Боэций рассматривает телесные чис-
ла. Простейшим телом он считает пираl\!ИДУ, и позтому преж...
де Bcero определяет пирамида.пьные числа: как мноrоуrоль...
ные числа получаются из суммирования простых арифмети-
ческих рядов, так пирамидальные возникают из суммирова
ния последовательных мноrоуrольных чисел.
При сложении треуrольных чисел возникает пирамида с
треуrольным основанием и с единицей в вершине, при сложе
нии квадратных чисел пираl\lида с квадратным основанием
и Т. д. Друrими словами, m e n уrольное пираl\lидаlllьное
число
Р т 1 + 2
п == Р п Р п +
+ Р:.
Если складывать члены ряда, начиная с большеrо, и не
v 1 1
доити при этом до Р п == ,то получается усеченная пира
мида.
Кроме пирамидальных, вводятся и друrие телесные числа,
отличающиеся друr от друrа в заВИСИl\10СТИ от Toro, равны
или не равны три «измерения», т. е. сомножителя данноrо
числа.
Возможно несколько случаев:
1. если три измерения числа равны, то это кубическое
число тЗ;
11. если все три измерения не равны, то это косое или
клинообразное число;
111. если из трех измерений числа к==а. Ь · с два paBHЫ
Т. е. а==Ь==m. то:
57
1. если третье измерение меныпе, т. . c===т n, п>О, то
зто число «кирпичеобразное», имеющее вид т 2 (т п) ,
2. если третье измерение больше, т. е. с===т+п, п>О, то
это число «балкообразное», имеющее вид т 2 (т+п).
Боэций, как и Никомах, выделяет еще «прямоуrольные»
числа (altera parte longior), длина и ширина Koropblx отли-
чаются на 1, т. е. имеющие вид m(т+l), и «продолrоватые})
(numeri ablongi), длина и ширина которых отличаются боль-
ше, чем на 1, т. е. имеющие вид т (т+n), rде п> 1. Как
квадратным числам соответствуют кубические, так прямо-
уrольным параллелепипедовидные т 2 (т+ 1).
Числа, оканчивающиеся цифрами 1, 5 или 6 и имеющие
то свойство, что все их степени всеrда оканчиваются теми же
цифрами, названы «круrовыми» или «шарообразными».
Следуя Ником аху, Боэций уделяет MHoro внимания срав-
нению квадратных, прямоуrольных и продолrоватых чисел,
l\1е)кду которыми существуют определенные соотношения.
Так, из таблицы, в верхнем р яду которой стоят квадрат-
ные, а в НИ)I{нем ПРЯl\10уrольные числа
п 2 ] 4 9 16 25 36 4q 64 81 100
п(п+l) -2 6 12 20 30 42 56 72 90 110,
C leдyeT:
1) нижние члены находятся к верхним в отношении, «пре-
восходящем на долю»;
2) разность между нижними и верхними членами постоян-
на и равна п;
3) каждый член нижнеrо ряда есть среДнее rеометриче-
ское между соответствующим ему И следующим членами верх-
Hero ряда;
4) разности квадратных чисел дают ряд нечетных, а раз-
ности прямоуrольных ряд четных чисел;
5) сумма двух последовательных членов BepXHero ряда
B leCTe с удвоенным членом нижнеrо, стоящим под первым из
них, есть квадратное число; сумма двух последовательных
Ч lенов нижнеrо ряда вместе с удвоенным членом BepXHero,
стоящим над первым из них, есть также квадратное число, т. е.
п 2 + (п + 1)2 + 2п (п + 1) == (2п + 1 )2, п (п + 1) + (п + ) (п +
+2)+2(п+l)2==4(п+ 1)2
6) если суммировать попарно члены обоих рядов: первый
член BepXHero с первым членом НИжнеrо, затем первый член
нижнеrо со вторым членом BepxHero и т. д., то получится ряд
TpeyrO 'IbHbIX чисел: 1 +2==3, 2+4==6, 4+6== 10,
7) каждое квадратное число, будучи увеличено или умень-
шено на ero корень, дает прямоуrольное число т. е. п 2 + п==
==n(п + 1), и обратно.
В конце этоrо раздела утверждается, что в каждой reo-
,етрической проrрессии, начинающейся с 1, члены, стоящие
.58
на нечетных MeCTax, квадраты. Если написать ряд нечет-
ных чисел, начиная с 1, то первый член есть куб, сумма двух
следующих второй куб, сумма трех следующих третий
и т. д.
в последнем разделе (rлавы 40 54) сочинения Боэция
речь идет о десяти видах пропорций. Отношение определяется
по Никомаху как взаимное положение или зависимость двух
выражений. Помимо трех основных пропорций арифмети
. u .
ческои, rеометрическои и rаРf\.10ническои, раССl\lатривается
еще семь видов, описанных Ником ах ом:
арифметическая а Ь == с d
rеометрическая а Ь == с d
rармоническая а с == (а Ь) : (Ь с)
четвертая а с == (Ь с) : (а Ь)
пятая Ь с == (Ь.... с): (a . Ь)
шестая а Ь == (Ь с): (а Ь)
седьмая а с == (а с) : (Ь с)
восьмая а с == (а с) : (а Ь)
девятая Ь с == (а с) : (Ь с)
десятая Ь с == (а с) : (а Ь).
Подробно обсуждаются свойства трех первых пропорций, осо-
бенно для случаев их непрерывности. Так, для членов непре
рывной арифметической пропорции a- b == b c справедливо
соотношение b2 ac== (a b)2== (b c)2, для членов непре-
рывной rеометрической пропорции а Ь == Ь с соотношение
(a b) (b c) ==а Ь==Ь с. Последнее верно и в общем слу-
чае, т. е. если а Ь==с d) то (a b): (c d)==a:c==b:c.
'Формулируется теорема, доказанная Евклидом в книrе VIII
«Начал» (предложения 11 и 12). между двумя квадратными
числами имеется только одно, а между двумя кубическими
только два средних rеометрических.
rармоническая пропорция привлекает особое внимание,
ибо применяется в музыке. Ей свойственно соотношение
{а+с)Ь==2 ас. rармоническое среднее проявляется в кубе:
он имеет 12 сторон, 8 уrлов и 6 боковых поверхностей; числа
же ]2, 8, 6 находятся в rармонической пропорции.
Если записать ЧИС.па а, Ь, с в порядке уменьшения, то для
.арифметической пропорции справедливо а :Ь<Ь с, для rap
монической а: Ь>Ь с, для rеомеТРliческой, находящейся
между ними, а: Ь == Ь с.
Утверждается, что между двумя числами, четными или He
четными, всеrда MorYT быть найдены три числа так, что каж
дое из них составляет с двумя данными одну из трех первых
пропорций.
В заключение (rлава 54) рассматривается «совершенней
шая средняя»: если для двух данных чисел найти две средние
iaK, что одна из них образует с двумq крайними арифмети-
ческую, а друrая rармоническую пропорцию, тоrда все
59
цетыре числа образуют rеОl\'Iетрическую пропорцию, напри
rvfep, числа 12, 9, 8, 6. В общем виде: если даны числа а и b l
а + Ь 2аЬ
2 средняя арифметическая, а + Ь средняя rармони-
а + Ь 2аЬ ..
ческая, ТО числа а, 2 'а + Ь находятся в rеометрическои
пропорции. Аналоrично рассматриваются два друrих случая.
Иными словами, если имеют место два указанных условия, то
всеrда есть и третье.
Кассиодор в трактате «О семи науках» (De septem disci-
plinas) 1), подразделяя науки на «тривиум» И «квадривиум»,
определяет математику [198, стр. 424] как «науку, которая pac
сматривает абстрактную величину», т. е. величину, «которая
Ivlысленно отделяется от материи или от друrоrо случайноrо».
Математика включает в себя арифметику, музыку, rеометрию
и астрономию, причем арифметика является первым разде-
,,10М, потому что друrие науки «нуждаются В арифметике,
чтобы иметь возможность разъяснить свои преимущества»,
тоrда как арифметика не нуждается ни в одной из них [198,
стр. 425]. Цель а рифметики Кассиодор видит в «изучении
природы абстрактных чисел и Toro, что им присуще, например,
четности, нечетности и т. д.» (там же).
Число, определяемое как «соединение монад», вслед за
Никомахом рассматривается с четырех точек зрения. Приво-
дим классификацию чисел Кассиодора в виде схемы, которая
впоследствии дается почти ВО всех сочинениях арифметиче-
cKoro содержания вплоть до XVI в.
число
Первое подразделение чисел:
{ четно четное;
четное четно нечетное;
нечетно-четное;
первое, или простое;
второе, или составное;
третье среднее, KOTO
рое с одной стороны
является простым, а с
друrой составным2)
нечетное
Второе подразделение:
{ четное
число нечетное
{ избыточное;
недостаточное;
совершенное
1) Ссылки даны по изданию 1589 r. [198}.
2) Т. е. взаимно простые числа.
60
Третье подразделение:
рассматриваемое
само по себе;
кратное число;
превышающее на долю;
превышающее на .дo
ли. ;
кратное, превышающее
на долю;
кратное, превышающее
на . доли. (аналоrично
для соотношения .MeHЬ
ше" )
t
Четвертое подразделение:
{ дискретное
число { линейное;
непрерывное плоское;
телесное.
число
рассма триваемое
по отношению к { не равное друrому;
друrому равное ДРуrому
В последнем подразделении фиrурируют «дискретные» И
«непрерывные» числа, которые определяются как «составлен
ные из дискретных или непрерывных J\110над»; к непрерывным
относятся, например, треуrольные числа [198, стр. 428].
Таким образом, первоначальные сведения по теоретиче
ской арифметике, которыми располаrала Европа дО XII В., не
выходили за рамки, установленные Никомахом.
В некоторых арабских сочинениях, переведенных в XII в.
на латинский язык, излаrались результаты, полученные ма..
тематиками Ближнеrо и Среднеrо Востока в области теоре-
тической арифметики. Как мы показали ранее [82, стр. 110
127], в rлавном восточные авторы следовали за Никомахом,
а поэтому суть их учения была знакома европейцам по
Боэцию.
Однако в трактовке основных понятий у восточных мате-
матиков наблюдался некоторый сдвиr под влиянием практи
ческой арифметики. Прежде Bcero это касается понятия
дроби, которое у Евклида и Ником аха не фиrурировало, а
было заменено понятиям и «части» (<<доли») И «частей»
("дален"), соответствующих дробям вида и В араб.
ской литературе произошло сближение этих понятий [82, 296].
Тенденция эта отразилась, например, впереведенном
rерардо Кремонским анонимном алrебраическом трактате
(отрывок опубликован Б. Бонкомпаньи в 1851 r. [154], т. е.
в одном из ранних математических сочинений, получивших
распространение в Европе. Трактат начинается С"ТJедующиыи
определениями: «Единица есть начало чисел и не есть число.
Число же собрание единиц. Как всякое число есть кратное
единицы, так и она есть кратное своей доли, знаменующейся
им (т. е. этим кратным r. М.). Например, как тройка есть
61
l'peXKpaTHoe единипы, так единица трехкратное своей Tpe
тьей части, знаменующейся тройкой. Отсюда необходимо
следует, что так же, как единица порождает бесконечно м Horo
кратных, так же она порождает бесконечно MHoro долей...»
[154, стр. 28].
Здесь мы снова встречаеlvlСЯ с nOHHTllel\1 «знаменования»
(denominatio): число т является «знаменvющим» ДЛЯ доли
· По-видимому, rерардо Кремонский воспользовался здесь
термином, введенным Боэцием и ставшим к этому времени
вполне обычным.
Наиболее существенно Kpyr рассматривавшихся теорети..
ко-числовых вопросов расширился после знакомства с вос",
точными сочинениями, содержащими решение задач неопре..
деленноrо анализа. Свидетельство этому мы находим в co
чинениях Леонардо Пизанскоrо и Иордана Неморария,
сыrравших видную роль в истории теории чисел.
В четвертой rлаве «Книrи абака» Леонардо коротко разъ..
ясняет основные понятия арифметики Никомаха и указывает
три первых совершенных числа (6, 28, 496). Простые числа он'
называет «числами без правил» (numeros sine regulis) и
утверждает, что у арабов они назьтвались hasam. Это ука...
зание неверно, так как термин «а.:ам» ( r""" rлухой)
в арабской матеl\-fатике обозначал иррационаЛЬНУIО ве.пичину
простое же число называлось «первым» ( J j':1r ал-ав--
вал), как уНикомаха «<numerus primus»). Здесь же на по
лях приведен список двадцати одноrо простоrо числа от 11
до 97
Далее дается таблица разложения составных чисел от
12 до 100 на простые множители и разъясняется способ Ha
хождения множителей произвольноrо большоrо ЧИС.па. Сфор
мулированы признаки делимости на 2, 3, 5, 9 исходя из ко..
нечных цифр числа и суммы значений ero цифр. Делимость
чисел на 7, 11, 13 и т. д. устанавливается путем проб. Пр а-
вильность разложения на множители про'веряется с помощью
прави.па 9 или 11, широко применявшеrося в восточной мате-
матике.
Двенадцатая rлава «Книrи абака» включает словесную
формулировку правил суммирования числовых рядов, в ча..
стности, арифметической и rеометрической проrрессий, ряда
квадратов и возвратноrо ряда. Суммирование rеометрической
проrрессии показано на примере задачи о IIlaXMaTax, ранее
хорошо известной восточным ученым. Сделана ссылка на
«Книrу квадратов:., rде эти вопросы Леонардо рассматри",
вает более подробно.
В «Книrе абака» MHoro внимания уделено и решению не..
определенных уравнений. rруппа заД2'Ч Ta'Koro рода довольно
62
мноrочисленна [123, стр. 368 371]. Некоторые из них сходны'
с задачами из «Арифметики» Диофанта; их Леонардо Mor
заимствовать либо у византийских математиков, .пибо из
арабских сочинений (например, из «Ал-Фахри» ал-Карад-
жи [481]).
Рассматривая некоторые «невозможные» задачи, связан-
ные с решением линейных уравнений, Леонардо впервые в
европейской математике трактует отрицательные ЧИС..lа как
«долr» (ср. [84]).
К области теоретической арифметики может быть отне-
сена также задача об определении числа, KpaTHoro 7, кото-
рое, будучи разделено на 2, 3, 4, 5, 6, дает в остатке 1; она
встречалась ранее у Ибн ал..Хайсама. Решением задачи яв"
ляется число 301; друrие решения получаются прибав.пение 1
KpaTHoro 420.
Здесь же решается знаменитая задача о кроликах, приво-
дящая к рекуррентному ряду. Сколько пар кроликов полу-
чится от одной пары в течение rода, если природа кроликов
такова, что начиная со BToporo месяца жизни, через каждый
месяц пара кроликов производит на свет друrую пару? Ре-
шение дается суммой ряда 1+2+3+...+377, каждый Ч lен
KOToporo, начиная с TpeTbero, находится по правилу:
U п + 1 ===n п + ип 1. Числа этой последовательности, известные сей-
час под названием «числа Фибоначчи», обладают l\Iноrими
интересными свойствами, исследование которых породило об-
ширную литературу [37].
Древнюю историю имеет и широко известная задача о
i женщинах, идущих в Рим, у каждой из которых по 7 мулов,
каждый несет 7 мешков, в каЖДОТ\1 мешке 7 хлебов, в каж-
дом хлебе 7 ножей, каждый из них в 7 ножнах; требуется
определить общее число предметов. Эта задача впервые
встречается в древнееrипетском папирусе Ахмеса [28].
Кроме названных, можно отметить также содер)кащееся
в пятнадцатой rлаве решение в целых числах неопределен-
Horo уравнения X2+y2 Z2. В отличие от Диофанта, Леонар-
до исходит из тройки чисел Ь, с, d, удовлетворяющих условию
( Ь ) 2 ( с ) 2 ( аЬ ' ) 2 ( ас ) 2 ""\
b 2 +c 2 ==d 2 , откуда d + d ==lи d, +,7 ==а 2 .
Свойства квадратных чисел рассмотрены в друrом сочине-
нии Леонардо Пизанскоrо «Книrе квадратов», написанном
в 1225 r. и долrо считавшемся утерянным, но открытом и
опубликованном в 1862 r. Б. Бонкомпаньи [346, 347]. Здесь,
в частности, содержится решение задачи, поставленной перед
автором во время публичноrо диспута с Иоанном Палерм-
ским нотариусом императора Фридриха 11: найти квадрат-
ное число, которое, будучи увеличено и уменьшено на 5, дает
63
квадратное число. Леонардо не излаrает систематически всех
свойств квадратных чисел, а описывает лишь те, которые не-
обходимы для решения ЭТОЙ задачи. В частности, доказано,
что
1 + 3 + 5 + 7 + + (2п 1) == п 2,
п(п+1)[п(п+l)]==6 [12+22+
+32+ +(n 1)2+n2J,
(2п 1)(2п + 1 )[(2п 1) + (2п + 1)] ==
==12[12+32+52+ +(2п 3)2+(2п 1)2]
и Т. п.
Решение задачи, данное Леонардо Пизанским, следую-
щее: (3 1 ) 2 == 11 19:4 ; оно удовлетворяет поставленному
условию, так как
97 I 97 ( 1 ) 2
11 144 +5 16 144 412
97 97 ( 7 \ 2
11 144 5 === 6 144 == 2 12)
После «Книrи квадратов» Леонардо Пизанскоrо в теоре-
тическую арифметику в числе важных ее разделов вошли
вопросы диофантова анализа. Сам Леонардо познакомился
с ними, видимо, через труды восточных математиков, так
как латинская версия «Арифметики» Диофанта получила
распространение в Европе только в конце ХУ в. [231] (впер-
вые латинский перевод был опубликован в 1575 r. [230], а
rреческий TeKCT в 1621 r. Баше де Мезириаком).
Важную роль в развитии теоретической арифметики в
Европе сыrрал трактат Иордана Неморария «Арифметика»
(впервые издан в Париже в 1496 r. 1 ) [324], также представля-
ший собой исследование свойств целых чисел. Эта работа во
f\IHOrO l отличается от сочинений Леонардо и от служившей
автору образцом «Арифметики» Боэция. Хотя Иордан ссы-
лается на «божественноrо Аниция», как на авторитет, уже
1) Это издание, которым мы пользуемся, как и следующее (1514 r}.
осуществил Жак Лефевр (J. Lefevre, латинизированная форма Faber
Stapulentis 1445 1537 rr.), который добавил при этом некоторые новые
предложения с доказательствами [192]. r. Энестрём [257] писал о необ-
ходимости определить по рукописям, какие доказательства принадлежат
самому Иордану и о желательности исследования комментария Кампано
к этому сочинению. Насколько нам известно, решением поставленноrо
вопроса не занимался никто.
64
оrла13ление l'o. 'l'руда rОБОрИТ о некотором ОТХОДе (безуслов-
но, под влиянием восточных сочинений по теоретической
арифметике) от традиции Никомаха.
Изложению предшествует ряд определений (числа, нату-
ральноrо ряда, разности, произведения, доли, частноrо и Т. д.),
двадцать аксиом 1) (<<Доля всякоrо числа меньше целоrо»,
«Равные одному и тому же равны между собой» и т. д.) И
шесть постулатов 2 ) (например: «Ряд чисел может быть про-
должен до бесконечности»). в книrе 1, содержащей 31 пред-
ложение, доказываются некоторые общие теоремы, например:
«Всякое число является либо долей, либо долями друrоrо» ).
В отличие от Боэция, Иордан Неморарий чрезвычайно
подробно рассматривает теорию числовых отношений, на
которой основывает все дальнейшее изложение. Особое вни-
мание (книrи 11, IV, и У) уделяется составным отношениям,
что свидетельствует о непосредственном восточном влиянии,
испытанном автором.
В книrе III речь идет о простых и составных числах и,
наконец, в книrах VI XI о традиционной классификации
чисел на четные, нечетные, четно четные, мноrоуrольные, Te
лесные и т. д., а также о видах отношений неравенства меж
ду числами и о различных средних. Интересно, что квадрат-
lIые и кубические числа (книrа VI) Иордан Неморарий опре-
деляет с помощью непрерывных пропорций. Он пытается
также доказать ошибочное утверждение (КНИI а VII, предло
жения 55 56), что все избыточные числа четны.
Неморарий рассматривает и задачи неопределенноrо aHa
лиза, например (книrа VI, предложение 12), об отыскании
трех квадратов, последовательные разности которых равны
между собой, о построении пифаrорейских треуrольников по
данным катетам и т. д.
1\1. Кантор [192, т. 11, стр. 56] (как и М. Курце [213]) счи-
тал, что rлавной заслуrой Иордана Неморария является си-
стематическое употребление букв вместо чисел. Правда, он
оrоваривал, что отсутствие общности (применение в отдель-
ных операциях различных букв, так что конечный результат
IIe выражае1'СЯ с помощью букв, выбранных вначале) и знаков
для обозначения арифметических действиЙ не позволяет ви
деть в Неморарии отца буквенноrо исчислении. t)чевидно, сле-
дует соrласиться с r. Энестрёмом, который ПОI<азал [237, т. VII,
стр. 85 86], что в том же значении буквы нрименялись и в
арифметических книrах Евклида, а ПОТОl'vIУ вывод об особой
1) Неморарнй называет их термином «dignitas», тоrда как у Боэция
онн именуются «communes conceptiones».
2) у Неморария «petitiones».
3) См. «Начала» ЕВКЛiiда, КИ. VII.
5 113
65
е .
нсторическои 3НаЧr lМОСТИ.. буквенноrо ооозначеНия НеМорария
неправомерен. r Энестрем полаrает, что Неморарий приме..
нял евклидово обозначение чисел, но очень часто опускал
изображения линий; по ero мнению, можно rоворить лишь о
«неудавшейся попытке проложить новый путь».
В XIV в. было написано несколько сочинении по теоретн"
ческой арифметике в стиле Боэция. В их числе «Теоретиче..
ская арифметика» Томаса Брадвардина, напечатанная в Па..
риже в 1495 r. {192, 209, 399J, и трактат Жана де Мер (издан
в Вене в 1515 r.), получивший широкое распространение и
долrое время служивший учебником l299, 362].
Диофантов анализ излаrался в разделе «Рассуждения об
алrебре» Рафаэль Каначчи l383]. Раздел этот, как и все co
чинение, написан под прямым влиянием Леонардо Пизанско"
ro и в особенности ero «Книrи квадратов», откуда заимство
ваны мноrие задачи.
Математики ХУ в. уделяли теоретической арифметике не
мень[пее внима вие, чем их предшественники.
Лука Пачоли в первом разделе своей «Суммы», посвя"
щенной, rлаВНЫ 1 образом, практическоЙ арифметике и алrеб
ре, рассматривает и ряд вопросов, связанных со свойства:ми
uелых чисел [339]. Прежде Bcero разъясняется су[цность чисел
в пифаrорейском философско"мистическом духе; число 5, на..
пример, СИ lволизирует пять стихий (землю, oroHЬ, воду, воз..
дух, эфир). Далее следует подразделение чисел «соrласно
I'еометрическим названиям» на треуrольные, кубические и
Т. д., а затем «соrласно ИХ сущности» на дружественные
и совершенные.
Как и Боэций, Пачоли сравнивает совершенное число со
здоровым человеком, а несовершенное с имеIОЩИМ врож-
денный физический недостаток. Он описывает способ нахож
дения совершенных чисел и приводит четырнадцать первых,
тоrда как у Боэция фиrурировали лишь четыре, указанные
ранее Никомахо!Vl. Последнее, четырнадцатое совершенное
число (9007199187632128) дано ошибочно [237, т. XIII,
стр. 154 155], так как оно равно (227 1 )226, а 227 1 не
является простым числом (ero делитель 29 1 ==7. 73). Во-
обще, Пачоли исходит из HeBepHoro утверждения, что всякое
число вида 1 + 2 + +2 2п == 2 2п + 1 1 является простым. Он
повторяет ошибку Боэция, утверждая, что совершенные числа
оканчиваются попеременно либо на 6, .пибо на 8.
В разделе 11 «Суммы» рассматриваются свойства квадрат-
ных чисел со ссылкой на Леонардо Пизанскоrо. Отмечено, что
[а 2 + (а + 1)2]2 + 4а (а + 1)(2а + 1) == [2а + 1 + 2а(а + 1)]2 и
более обще {а 2 + Ь 2 )2 + 4аЬ (а 2 Ь 2 ) == (а 2 Ь'!. + 2аЬ).
Как один из основных разделов своей обобщенной науки о
числах рассматривает теоретическую арифметику и Никола
66
Шюке (352, ctp 619 629]. Он дает ПО образцу Боэция два
подразделения чисел: на четные, нечетные, четно четные и т. д.
И на совершеННbIС и несовершенные. Разъяснив метод нахож-
дения совершенныx чисел, Шюке приводит семь первых из
них (дна неверно) и отмечает ошибочность утверждения,
что всякое совершенное число оканчивается попеременно либо
lIа 6, либо на 8.
Среди несовершенных он выделяет дружественные числа
(которых нет ни у Боэция, ни у Неморария), указывая пару
220 и 284.
Большое внимание Шюке, как и Неморарий, уделяет Teo
рии числовых отношений и непрерывных пропорций. Впервые II
истории математики у Hero встречается оказавшееся столь
плодотворным и приведшее впоследствии к открытию исчис
ления лоrарифмом сопоставление арифметическоrо и reoMeT
рическоrо рядов
1, 2, 3, ... n,
а, а 2 , а 3 , а п .
ШIоке отмечает, что произведение l{аКИХ J1ибо двух чисеll1
нижнеrо ряда дает член этоrо же ряда и что сумма их поряд
ковых номеров, определяющихся членами BepxHero ряда, есть
порядковый номер произведения.
О более широкой постановке задач, связанных с исследо
ванием свойств чисел, свидетельствует и упомянутая выше
мюнхенская рукопись ХУ в., переписаl1ная монахом Фридри-
хом [215]. В ней, наряду с друrими арифметическими предло
)кениями, сфОРl'vlулированы, например, слеДУIощие (в COBpC
мснной теРl'vlинолоrии): «Квадрат четноrо числа всеrда дe
.пится на 4»; «Никакой квадрат не может иметь вида 10n+2,
lOп+3, 10n : 7, 10n+8»; «Всякое четное кубическое число
имеет вид 8n 3 »; «ВСЯI{ИЙ квадрат должен иметь вид 7n+ 1,
7п+2, 7n+4, 7n или 9n+l, 9n+4, 9п+7, 9п» и т. д.
В этой же рукописи содержится немецкое сочинение о
четных, нечетных, совершенных, избыточных и недостаточных
числах, rде приведены правильные значения пяти первых co
вершенных чисел: 6, 28, 496, 8128, 33550336. Рассматриваются
также некоторые задачи на rеометрические проrрессии и не-
определенные уравнения, например 43 х+41 == 39 у +33 ==
==35z+25==31 n+ 17 [215, стр. 64 67]. Такие задачи, состоя-
щие в решении системы уравнений по различному модулю,
относятся к наиболее древним задачам и встречаются впер-
вые в китайском трактате Сунь-цзы [15; 123, стр. 91 93].
Подобных вопросов касались 11 Леонардо Пизанский и Ре-
rиомонтан.
Вопрос О сущности понятия числа большинствоrvt авторов
дО ХУI В. сводился к формулировке пифаrорейскоrо опреде"
67
OI'lеIIИЯ числа как СОВО1<УnНОСТИ едИниц. Это ОI1реДеJtенИе
фиrурирует и в сочинениях по практической арифметике, на-
пример, в «Началах арифметики» Пейрбаха (впервые
опубликовано в 1536 r. [379]), rде rоворится: «Единица
IIC есть число, НО начало числа. Поэтому она ОТIIОСИТ
ся в арифметикс к ЧИСJlам, как точка в rеометрии к
величинам».
9. Практическая арифметика
В период paHHero средневековья преподавание практиче-
<.:кой арифметики в Европе ве.пось по римской традиции и
основными пособиями служили сочинения Беды и Алкуина.
I"лавное внимание уделялось имеющему древнее происхож-
дение пальцевоl'v[У счету, который основан на различном чис-
ловом значении разных заrибов пальцев рук [53, 123, 192, 351];
этот вид счета прочно вошел в обиход ToproBbIX KpyroB и
впоследствии разъяснялся в трактатах по практической
арифметике вплоть дО XVII п. (Леонардо Пизанский, ЛУI<а
Пачоли, Роберт Рекорд и др.).
Правила счета на пальцах изложил rерберт в трактате
хронолоrическоrо содержания, rде впервые встречаются BO
ш. дшие в средневековую математическую терминолоrlIlО на-
звания: digiti пальцевые числа (единицы), articuli cy
ставные числа (десятки), compositi числа, составленные из
десятков и единиц. Например, в изданной во Франкфурте на
Одере в 1557 r. «Арифметике» Лоссия (Luca Lossius) [349],
построенной в фОрlVlе вопросов и ответов, мы встречаем сле
дующие определения: «Каким образом подразделяется чис-
ло? На пальцевое, суставное и составленное. Что есть палец?
Это число, меньшее десяти, как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Что
есть сустав? Это число, которое можно разделить на десять
равных частей, как 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Что есть со-
ставленное число? Это то, которое происходит из сустава и
пальца».
С пальцеВЫl\1 счетом связана и ведущая начало от рим
ской математики популярная формула умножения чисел, не
превышающих 10, встречавшаяся и на Востоке [84]:
аЬ == 1 О [а (1 О Ь)] + (1 О а) (1 О Ь) .
Обычно в ранних европеЙских сочинениях числа изобража
лись РИl'vIСКИМИ цифрами, вычисления с которыми были очень
трудны. Со времени rерберта получил распространение счет
с помощью «абака с колоннами». Средневековый европеЙский
абак (правила вычисления на нем излаrаются в мноrочислен-
ных дошедших до нас рукописях [24 26, 35, 123, 192, 283 285,
407]), по сравнению с древним, был значительно усовершен-
ствован. Вместо камешков, изображавших еДИНIlЦУ соответ-
6R
[
tt.
'6
=
...
w
с.
1::
:";:. '::.:. '.." '. .. . . .
.
I L"I ! . '!i ...... - . """""
u *.. . cr" .> ...... .
" . " . }! . ' . . . ' З . ' . i . ' . . # . ; . . :1 . . ':' : 1 = . = .. u ! . .! .
I 4' i e= W
j . = C . fiio" ,,*. I Ф 1 1 fJ
...о< W; l' =1"" a
. .-- . ts'(Jt>OOjt S JS а rf", 3 .& Ь. "1'
e i . ! i s e . G . . . 439=!
hзQеаа s аа g
- . . . _ 1 ' *"" · о -. М."' . . ".... 1 . . м fW$
.:'''.. A-,f.'"*'* 't'" "'" t -. ... .
. J
,. .. . + "".. f\ .. ..: .. ".. .. ... .. ", 1 '" .,.
.+.t__._ .... .c.
\ . -"-' :., '1" " v
. 1 '.
. . .. " .. .'. .',. :М . ,. : .. "';'.: \о- :;+
... .. .. __ ___ '. ,....... ..... . ... ii ...
.. "'".. 11 ... .. j:,... ",..о " .. ..1' ... ..
, :::'> :
. .
. .
.. .. . . 11 . .... .
. . .... м .,.n__.. _"- 't ..
ii; t:;:; :;!;,:; ':: ,"::: ':'? '7::::'«' -:-:'-' ,::.:.:<::,' .>. .:.:.:>.:.".;': ":'-: '.'.<.: <NМ<-' ::::::::...:'- .." ::::'::':.'::.;::. .."::
k
f
}. ф:
.
1111\111: Р)
I11 :1.
I 1_ r4J ,
Ц . ... tft' t
.. !!t . '0 l
QlJ f; 1*
, .111 I
. ,.-c f j
' 11< i}s
....
.....::...:'......... --...
'" ::t..... .. .., 'J:! '!:t ..
'g a '-9 i tIf' .. I
-е. f.j) 1t .. I . .. :! . ь tfi ! .
::SJ:: t:t 1 1! t::J Q ..
а? : е . t1 . r4
9 a 2 =i .
Е! I '5 -a 8. .. ::
N . ' . Й .. Е .. ;; + . . :« If
' M =
w -1'Y. , ("t
M .tU V .
. р . 1i." i Jt t! '!! i .
t1 3 1 ;jjts e....
;;s It; I'i\: . ' . ! . ! ;II
,t; i! i2 ' е fi,so J . *
. ё. .З' С
lij'li!f; jl
J 1 i;B . . 11 1 11 ..
. i .f. ,tti i:i . B J LJ
1 Q е ... . I '
. .
Iзl!' I " J ,i ;, . .
4th. i"tw'I.L!
.::...:.::..::.:...:....:=:::::::::::: ".
Х.
.. ' a ' I": .112 1 .-
- rcJia fs. i
I >+'2)1',11<1,
l' Р'"' 11 i.;J. ..t4 ...
I f t!,tiIJt · Ii
(с: I I:I 81.... , i
q .. · аi ЙI" e l
I '.,.&- t:,]e
l -gl '! I ё' j "'!i4S
1;:> ) '> '2 .5 G i !l it
,<4 ii l i td i:
(, J:j ':I ' 5 Il f :
. \t W .. tJ &) i со.....
RI!Э,. =E J:j
t; 1:1 h 11. tj о t:.
ч о.э ..c '!.
.: :.: . :. "," ........ :.;......
.. ".' >.. ; .:................. . .. .. .:.... ":а":: :
.. . .-..:.". ........ :..
..,::!
.1:: :3
wfl
iI
fэ
=
a '
-С.е
1 . B
Qбs;
i t:
.111
e!
il!
1i l'i
I
я Q'"
i
't; S
.
... ... . .. ....
м
......
....
...........
t:::
......
....
u
u
С
r::;
;.....
r::;
G)
:s::
f---
о)
.!
,;З .е-
. ", :s::
о-
ro
=
о
u
о)
....
:s::
f--o
о..
t::
о
t:::
......
()
:r
О
u
с"')
.....
1
с\:
.......,
,....
u
ствующеrо разряда и помещавшихся на столбцах счетной
доски, применяли жетоны с записанными на них знаками
( «апексы»), сходными с западно-арабскими цифрами (<<ro
бар»). Сейчас признано, что апексы послужили первыми про-
водниками «индийской» нумерации. в Европу.
Введение так называемых арабских цифр, начавших с
конца Х в. постепенно вытеснять римскую нумераЦИIО, имело
I'ромадное значение для развития мат матики в Европе.
История современных цифр порождает мноrочисленные воп
росы, на которые различные авторы даlОТ зачастую проти-
воречивые ответы. Это касается прежде Bccro вопроса о том,
в какой зависимости нзходится форма наших цифр от формы
индийских, восточно- И западноарабских цифр. Не OCTaHaB
,пиваясь ни на этой, ни на друrих TaKoro рода проблемах,
чрезвычайно подробно освещенных в литературе [7, 19 24,
53, 72, 123, 192, 300, 354, 409, 485], ОТ Iетим лишь, что новая
нумерация и основанная на ней арифметика достаточно бы-
стро распространилась в европейских rосударствах [43, 64,
125, 293, 299, 488).
Однако римская нумерация укоренилась весьма прочно,
так что и после введения арабских цифр операции с чис.пами,
записанными в новой системе, долrо разъяснялись с помощью
римскоrо обозначения [300); так, в rермании даже в начале
XVII столетия числа в учебниках часто записывали слЬвами
или РИМСI{ИМИ цифрами, а вычисления производили, применяя
арабские цифры [339].
С новой арифметикой в Европе познакомились блаrо-
1аря переводам арабских сочинений, которые, начиная с XII в
основательно изучались и постепенно приобретали популяр
ность не только в ученых, но и в ToproBbIx Kpyrax. Наиболее
важную роль в пропаrанде восточных методов счета сыrрали
атинские переводы и обработки трактата ал-Хорезми
«Об индийском счете» [106], впервые появившиеся в Ев рапе
Сlце в середине XII В. Новую арифметику стали называть
IIменем ал-Хорезми в латинизированной форме: «алrоритм»,
IfsllИ «алrорисм»l); внедрение ее проходило в борьбе Iежду
се сторонниками. так называемыми «алrорисмиками», И
приверженцами старых вычислительных приемов «абаци
('тами».
Серьезным препятствием распространению индий кой
арифметики была необходимость производить вычисления на
1) Для обозначения искусства llЫЧlfсленни в ранний средневековый
период применялось. слово «computus»; со времен rерберта в том же
С lысле употребляли термин «abacus». Долrо счита.пось, что происхожде
11 не слова «алrор.исм» вскоре было забыто. однако. как показал К. Хун-
РаТ [322], в ОДНО\I из сочинениЙ X\fl в. rОI30РИЛОСЬ, что «НСКУССТВО СЧIIС-
.1 НИЯ» названо по имени «философа AJ1rOpIlC:\l<.l ».
70
бумаrе, ЧТО предполаrало большую или меньшую степень
rрамотности вычислителя. rpaMoTHocTb же была явлением
относительно редким: искусством письма владело, rлавным
образом, духовенство.
Сейчас известно несколько рукописей XII в., в которых
излаrаются правила «алrорисма». К ним относится прежде
Bcero рукопись латинскоrо трактата «Книrа Алrорисма о
практике арифметики» (<<Liber Algorismi de pratica arismet
rice», принадлежащеrо, очевидно, Иоанну Севильскому;
она была опубликована Б. Бонкомпаньи [155, ч. 11]. Возмож-
но, Аделардом из Бата написано сочинение «Книrа введения
Алхоризма в астрономическое искусство, составленная. маrи
стром А.», сущеСТВУЮlцая в наСТОЯIl{ее время в трех рукопи-
сях ХI 1 1 в. [220, 329, 361]. К XII в. относится перевод а риф-
метическоrо трактата ал-Хорезми «Algorithmi de numero
indorum», выполненный также Аделардом из Вата; сохрани
лась единственная рукопись этоrо перевода, относящаяся к
XIII в. которая находится в библиотеке Кембриджскоrо уни-
верситета [105; 155, ч. 1: 3291. П nимерно в 1200 r. написа н
трактат (подробно см. [121, 123, 3291), начинающийся слова-
ми «Incipit liber alQ"orismi», который был опубликован М. Kall
тором в 1865 r. [190].
Помимо этих переводов и обработок арабских сочинений.
в XII в. появились и трактаты по «алrорисму», написанные
европейскими учеными: среди них - трактат Окреата
(N. O'Creat), известный сейчас в отрывках [314].
Из сочинений XIII в. наиболее широкое оаспространение
(особенно в Италии и Франции) получил «Tractatus de arle
numerorum» Сакробоско [192, 218]. В нем разъясняютсq
правила действий с целыми числами, но без доказательств и
примеров. Рассматривается шесть яоифметических операций:
нумерация (numeratio), сложение (additio), вычитание (sub-
tractio). раздвоение (mediatio). удвоение (duplatio), умно-
жение (multiplicatio), деление (divisio), суммирование чисел
натуральноrо ряда и рядов четных и нечетных чисел (prog-
ressi), извлечение квадратноrо корня (extractio). Такое под-
разделение стало традиционным в арифметических сочинс-
ниях вплоть дО XVI в.
Большой популярностыо ПОЛЬ10вался латинский трактат в
стихах Алекса ндра де Ви.ттРJТ е «Песнь об алrорисме» (<<Car
теп de algorismo») [123. 1921. J{пторый уже в XIII в. был пе
реведен на французский я ык [357]. Известен также ряд ано-
нимных сочинений [192, 315].
Однако наиболее важно место в истоnии европейской
арифметики занимают сочинения Леонардо Пизанскоrо, Иор
дана Неморария и трактат «Разъясненный а.пrорисм», суще-
ствующий в мноrочислеННbIХ списках.
71
«I(ниrа абака» Леонардо Пизанскоrо явилась первым со-
чинением, в котором последовательно и с исчерпываЮIItей
полнотой излаrалась «индийская» арифметика целых и дроб-
ных чисел. Мы отметим лишь основные вопросы, затронутые
в этом широко известном сейчас и исследованном мноrими
историками математики труде (в частности, оно подробно
рассматривается в курсе истории математики М. Кантора
r192, стр. 1 0 40] и в книrс А. п. IОI1Iкевича [123, стр. 363
376]) Особое внимание «Книrе абака» уделяется потому, что
она оказала прямое воздействие на более поздние европей-
ские сочинения по практической арифметике.
В первой из 15 rлав «Книrи абака» речь идет о «числовых
знака" индийцев». Цифры у Леонардо при разъяснении запи-
си чисел в десятичной позиционной системе счисления с ну-
лем располаrаются по арабскому образцу справа налево:
«Девять индийских знаков суть: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С по-
мощью этих знаков и знака О, который по-арабски назы-
вается цефир (zephirum) 1), можно написать любое число».
В этой же rлаве разъясняются приемы пальцевоrо счета,
приводятся таблицы сложения и умножения.
Следующие четыре rлавы содержат описание операций с
целыми числами и способа записи дробей и смешанных чисел.
В случае смешанных чисел, как и в арабском написании,
целое число ставится справа, а дробь слева, но произно-
сятся внаt.Jале целые, а затем дроби.
Подробно разъясняется правило проверки результата
арифметичеСI{ИХ действий с помощью 9; оно доказано в об-
щем виде на линиях. обозначенных буквами.
В rлавах 6 и 7 рассмотрены действия с дробями, сопро-
вождаемые мноrочисленными примерами. Смешанные числа
при перемножении обращаются в дроби, числители которых
перемножаются, и произведение делится последовательно на
их знаменатели. Излаrается метод нахождения общеrо наи-
большеrо делителя со ссылкой на Евклида.
Особенноrо внимания заслуживает предложенный Лео-
пардо Пизанским способ приведения дробеЙ к общему зна
менателю: впервые было разъяснено, что этим общим знаме-
нателем должно быть не произведение данных знаменате-
лей, а их общее наименьшее кратное. Вообще у Леонардо
Пизанскоrо, как и у ero восточных предшественников, дроб
ные и смешанные числа при арифметических действиях
(включая деление) сначала приводятся к дробям с равными
знаменателями, а дальнейшие операции производятся 10ЛЬ-
ко над числителями; так,
1) Ноль по арабски обозначается СЛОRОМ ас спфр (J.A..4.Jr) ,Т. е.
'пустой. В Fвропе термин «uифрз» долrо применялся в этом значении.
72
(J, t' аа Ьс
ь: d == bd : bd == ad Ьс,
например,
52з?i 17..!.Z. 47 1 49 1581 47 149
90 JO 90 90 - 1581
При изложении учения о дробях особенно сказывается
арабское влияние; это касается прежде Bcero раздела rлавы
7, в котором идет речь о разложении данноЙ дроби на сум-
му основных дробей (ср. [84, 123]1) Леонардо приводит таб-
лицу, содеРjкащую разложение дробеЙ с знаменателями 6,
8, 12, 20, 24, 60, 100. Далее даны обlцие правила, которые
а
можно выразить в современных обозначениях так: J ==
пa
1 1 а+l 1 1 1
== п + п (па 1) ; па + 1 па 1 + n + п(па 15
'2а + 3 1, 1 1
(2n+I)(2a+I) 1 2п+ 1 т (2п+ l) a+ n + (2n-t-I)[(2n+ 1)(2a+I) I]
а
Следующее правило касается разложения дроби b' rде
1 Ь 1 а
Ь> а и та < ь < (т + 1) а; тоrда т > а> т + l ' Ь
1 a(т+l) b
т + 1 + b (т + 1) и далее аналоrично.
Последний и, по мнению М. Кантора [192, т. 11, стр. 12],
практически наилучший способ разложения дроби '; на
сумму основных дробей заключается в нахождении числа с,
u Ь
имеющеrо достаточно MHoro делителеи, для KOToporo 2 <
ас ас:Ь (
< С < 2Ь. Рассматривается дробь Ьс == с \ так как а:>2,
c> , то ас>ь); тоrда т== : + аС7:сЬе ,rдее:;?l.
При помощи приводимой Леонардо таблицы и на основе TO
е
ro, что у с есть делители, представляется в виде требуе
с
мой суммы единичных дробей. Аналоrично предыдущему
поступают со вторым слаrаемым.
В следующих шести rлавах (8 13) излаrаются основан-
ные на применении пропорциЙ правила решения задач, BCTpe
73
чающихся в практической жизни, rлавным образом, в ToprOB-
ле. Прежде Bcero на мноrочисленных примерах с весами и
длинами в различных единицах измерения, видами монет и
т. д. разъясняется так называемое «простое тройное прави-
ло», основанное на применении пропорций: даются два чис-
.па количество товара и ero стоимость, а также третье,
которое может означать как количество товара, так и де-
нежную сумму; ищется четвертое число. Это правило, как и
друrие из «Книrи абака», неизменно ИЗJ1аrалось позднее в
учебниках коммерческой арифметики под названием «цепно-
ro». Леонардо применяет название «figura cata» или «chata»,
представляющее собой транскрипцию арабскоrо термина
( шакл ал-катта» (подробнее см. ниже).
Далее рассматриваются задачи на правила трех, пяти,
девяти и больше величин, такж имеющие восточное про-
исхождение (они рас.сматривались, например, в трактате
'1л-Бируни «об индиЙских рашиках» [17, 123]) и основанные,
как и предыдущие, на теории составных отношений.
В rлаве 10 изложено «правило товарищества» (если из-
вестны денежные суммы, внесенные отдельными вкладчика-
ми, требуется разделить прибыль пропорционально доле каж-
a.oro), а в rлаве 11 решаются задачи на смешение :монет;
эти вопросы близки к предыдущим.
Наибольшая по объему и наиболее важная с точки зрения
.Пеонардо Пизанскоrо rлава 12, ПО1VIИМО суммирования число-
вых рядов, сод,=ржит большое число задач на «правило одно-
ro ложноrо положения», или «простое фальшивое правило»,
также сводящееся к вычислению с помощью пропорции. Оно,
как и мноrие друrие практические правила, имеет древнее
происхождение, встречается в вавилон€кой и еrипетской ма-
тематике и с полной ясностью описано в индийской, а затем
в арабской математическоЙ литературе [123, стр. 131 134).
Ero разъясняет, например, Коста ибн Лука (Х в.), указывая
случаи, коrда решение возможно [431]. С помощью этоrо пра
вила решаются задачи, которые сводятся к уравнению
ах+с==Ь или чаще ax b; если в качестве «ложноrо положе
ния» принять X==Xl, то aXl+c bl и решение дается формулой
Ь bl ( Ь )
х == Х 1 + а или Х == Х 1 "ь---; ·
Правило «ложноrо положения» применено у Леонардо
Пизанскоrо, например, при решении следующей задачи: «Тре-
буется найти высоту дерева, у KOToporo под землей находятся
; и + этой высоты, в сумме дающие 21 пядь" В каче
стае "ложноrо положения" берется uбщий зна.менатель дан...
74
u 12 12
ных дробеи 12. Тоrда з т == 7, а по условию должно
7 12
быть 21. Составив пропорцию 2T == 36 ' получим, что иско
мая высота есть 36 пядей.
Друrая задача, решенная с помощью этоrо же правила,
касается представления данноrо числа в виде суммы трех,
четырех или пяти слаrаемых, находящихся между собой
в постоянном отношении. Например, если число 10 требует
ся представить в виде суммы четырех частей TaKoro рода, то
I
а
I
е
9
I
d
' 8
Чертеж к задаче из .. Llber а bacl" Леонар.
ДО Пизанскоrо.
вначале берутся числа 1, 2, 4, 8, находящиеся в постоянном
отношении, хотя для них 1 +2+4+8 15 вместо 10. Посколь
10 2 2 4 8 16
ку 15 == З' искомые числа суть 3 ' 3 , 3' 3.
Более сложна задача, предложенная Леонардо, по ero
словам, неким учителем (маrистром) в Константинополе и
известная раньше арабским авторам: если один человек по
лучит от друrоrо 7 динариев, то он окажется владельцем
суммы, в 5 раз большей; если )ке второй возьмет у nepBoro
5 динариев, то у Hero окажется сумма, в 7 раз большая, че:м
у nepBoro.
Леонардо решает задачу, иллюстрируя ее ПРИВОДИМbI\J
на этой странице чертежом. I1YCTb прямые ag и gb изобража
ют соответственно капиталы первоrо и BToporo, а аЬ их
общий капитал. Пусть также прямая gd изображает 7, а пря
мая eg 5 динариев. Тоrда, по УСЛОВИI(), ad 5db, eb 7ae,
()ткуда видно, что db составляет шестую, а ае, восьмую часть
1 1
от общей суммы. Поэтому db + ае == 6 + 8 от общей
суммы, а аЬ (db + ае) == eg gd == 5 + 7 12. Далее при
меняется правило "ЛОЖноrо положения U: если предполо-
жить, что сумма равна общему наибольшему делителю 3Ha
менателей, т. е. 24, Tor да + + + от нее есть 7, что, бу-
дучи отнято от нее, дает 17 вместо 12; исхода из этоrо,
75
12 14 12 2
нужно положить db == 17 Х 4 == 2 11 ' ае == 17 Х 3 == 217
2 2 14 14
откуда ag == 217 + 5 == 717' gb == 217 + 7 == 917 .
Дается и друrое решение рассматриваемой задачи с по..
мощью «правила, которое называется прямым и которое при..
меняли арабы»; оно состоит в решении уравнения l й степе..
ни, rде за неизвестную принята db. В современных обозна
чениях: если db==x, то, так как eg+gd== 12 и, по условию,
еЬ==7 ае, ae==ad ed, оказывается, что х+ 12==7(5x 12),
14
откуда 34 х :=: 96, х === 2 17
Леонардо называет неизвестную термином res (вещь),
который является epeBOДOM арабскоrо слова аш шай (U' Jr)
применявшеrося в том же смысле.
Далее в rлаве 12 рассматриваются неопределенные урав..
нения l-й степени, о которых шла речь выше.
В rлаве 13 излаrается правило «двойноrо ложноrо поло
,кения», которое было известно еще в Древнем Китае [14, 41]
и фиrурировало в арабской математической литературе
[82,123,431] как "правило двух ошибок" (aJl-хата'ин () Jr);
арабское название этоrо правила в латинизированной фор-
ме (" Regula elchatayn") применяет Леонардо Пизанский, хо-
тя было известно и друrое название: "способ избытка и
недостатка" Правило служит для решения уравнения вида
ах + с == Ь. Неизвестной даются два "ложных" значения Х 1
и х 2 , откуда ах 1 +с==Ь+е 1 , ах 2 +с==Ь+е 2 , rде е 1 и
хl Х еl
е 2 возникающие при этом ошибки. Отсюда == , а
Х2 x 62
X t e<} х.}е l
следовательно, х == .. ..
е2 еl
rлава 14 содержит описание способов приближенноrо из-
влечения квадратноrо и кубическоrо корня, которые также
ранее применялись в арабских сочинениях. Эти правила
разъясняются только на числовых примерах. В общем виде
извлечение квадратноrо корня
V А rде а 2 < А < (а + 1 ):?, проводится по следующей схе-
А a'J
ме: первое приближение есть а, второе а + 2а ' третье
А ..... а 2 (А а 2 )2
(дальше K OToporo автор не идет) а + 2а 4а (А + а 2 ) Нап-
ример, У927435 96з+ з12\ ( 1 )2 [2 (96З+ З Vl )}
76
Второй метод извлечеНия квадратgоrо kОрНЯ oCH0ngH на
предварительном умножении и делении числа, стоящеrо под
корнем, на четную степень 10; например, V7234 ==
1 V 1 1
== 100 Х 72340000 100 · 8505 Т
Далее излаrается в общих чертах теория квадратичных
иррациональностей Евклида по книrе Х «Начал»; подробнее
на этом разделе мы остановимся ниже (см. Э 11).
Относительно извлечения кубических корней Леонардо
rоворит: «Куб линии, состоящей из двух частей, составляет-
ся из кубов отдельных частей и утроенных произведений
квадрата каждой части на друrую часть. Коrда я долrо по-
думал над этим, я изобрел способ извлечения корня». Сле-
довательно, ему остались неизвестными арабские сочинения,
например трактаты ан Насави, в которых излаrается тот )КС
способ.
Если ищется УА, rде а 3 < А < (а + 1)3, или О < А а 3 <
< 3а (а + 1) + 1, то в качестве первоrо приближения берет-
А аЭ
ся а, а BToporo а + За (а + 1) r 1
Например, yr 2345 13+ 23455:197 "" 13 +.
в rлаве 15 «Книrи абака» содержится решение rеометри
ческих задач, rлавным образом, с применением теоремы Пи
фаrора, а также неопределенных уравнений (см. rл. 11, Э 7)
и задач «алrебры и алмукабалы», которые мы раССМОТРИl\1
НИже.
Помимо «Книrи абака» Леонардо Пизанскоrо, в XIII в.
были написаны и друrие сочинения по практической ариф-
метике.
Большой интерес исследователей вызвал средневековый
арифметический трактат, озаrлавленный «Разъясненный
алrорисм» (<<AIgorithmus demonstratus») и известный во мно"
rих рукописях. Вопрос о ero авторе долrо оставался HeBЫ
ясненным. Впервые трактат был опубликован в 1534 r. и. Шо
нером, который пользовался рукописью, переписанной в свое
время Реrиомонтаном. Последнее обстоятельство дало основа-
ние М. Шалю [110] назвать РеrиомонтаIIа автором сочинения,
в чем, однако, позднее справедливо УСО!\lНИЛСЯ С. rюнтер [299J.
Вскоре «AIgorithmus demonstratus» стали связывать с именем
Иордана Неморария [444], и этот взляд укоренился довольно
прочно [192, 212, 213], пока r. ЭllеС1рём не показал ero безос-
71
IIonate.тtbItocTb и не поставил вопрос о более серьезНом изуче..
нии трактата [243]. Такое исследование провел п. Дюrем [233],
установившиЙ, что автором сочинения является Magister Ger-
nardus, живший, по всей вероятности, в ХI 11 в.
В трактате после разъяснения десятичной позиционной
системы счисления излаrаются правила действиЙ с целыми
числами и дробями, обыкновенными (minutae vulgaris)
и 60-ричными (minutae philosophicae). Как особые действия
рассматриваются удвоение и раздвоение. Кроме Toro, ПРI1ВО-
дятся правила пальцевоrо счета.
Иордану Неморарию, несомненно, принадлежит друrой
трактат, носящий название «Разъяснение Иордана об алrо-
рисме»; он был исследован и опубликован r Энестрёмом [254].
После описания способа записи чисел с помощью девяти зна-
ков и определения основных понятий и операций арифметики
(например: «Вычесть это значит найти избыток большеrо
над 1\IеНЬШИl\1», «Умножить числа значит получить число,
которое содержит в себе одно из данных чисел столько раз,
сколько друrое содержит единицу» и т. д.) приводится
34 предложения. Среди них (в современных обозначениях)
1. если аl a. 10, a2 a. 100, аз а. 1000, то аl 10 а,
а 2 1 О а 1, аз 1 О а2, ... ;
2. если аl a. 10, a2 a. 100, аз а. 1000, ... то а: аl ==
а 1 : а2 а2 аз ;
7. а+Ь. 10+с. 100+ будет четным или нечетным в
зависимости от а;
12. 1. 1 оп + 9 · 1 оп == 1 · 1 оп + 1
13. 9+9. 10+9. 102+ +9. 10п 1 < 10 п ;
14. если А a+b. 10+с. 100+ то а, Ь, с, ... определя-
ются однозначно;
15. а. 1 оп == а + а (9 + 9 · 1 0+ + 9 · 1 oп. l) ;
19. а. 1 О п + ь · 1 оп (а + Ь) · 1 оп;
27 если а : Ь с : d, то (а · 100 + Ь) (С. 1 О + d) (а. 1 О +
+ Ь) (С. 100 + d) ;
32. если а 1 == а 10, а 2 == а 100, аз == а 1000, то
ааl аl а 2 а2 аЗ
а 2 7 7
1 2
и Т. д.
Эти предложения являются подrотовительными для пред-
ложений 21 24, 28, 31, 34, в которых даны праВИ,,1а сложе-
ния, вычитания, удвоения, раздвоения, умножения JI ИЗВ,,1ече-
ния квадратноrо корня. Цель трактата состоит в доказател -
стве правильности применяемых арифметических операции
с целыми числами. Уже отмечалось, что r Энестрём охарак-
теризовал это сочинение Иордана Неморария, 13 котором
7&
сказыаеtсяя вJtИ Иие зtl-Насзви, K K попытку оооБЩJttь уче-
ние Евклида при учете арабс]{ой арифметики [254].
Помимо названноrо трактата, Неморарию приписываются
два друrих сочинения по «алrорисму» (также исследованных
r Энестрёмом [255, 265]), в которых разъясняются правила
действий с дробями.
В XIV xy вв. индийская арифметика получила повсс-
местное распространение среди купцов и вычислителей (преж-
де Bcero в Италии, а затем в rермании и Франции).
Как отметил М. Кантор [192, т. 11, rл. 53], учебники по
практической арифметике Toro времени были двух типов, один
из которых определялся сочинением Иордана Неморария.
В трактатах этоrо типа описывались действия удвоения и
раздвоения как специальный вид арифметических операций.
Учебники друrоrо типа строились по образцу «Книrи абака»
Леонардо Пизанскоrо.
Изложение практической арифметики, как и у восточных
математиков, обычно начиналось разъяснением способа запп-
си чисел с помощью индийских цифр. Далее рассматривались
правила действий с целыми числами. Сложение и вычитание
производилось обычно справа налево, но иноrда и в обрат-
ном порядке. Описывалось несколько способов умножения;
некоторые из них непосредственно заимствованы из восточ-
ных сочинений. РазлYlЧНЫМИ приемами производилось и дей-
ствие деления, которое считалось весьма трудной операцией.
Предлаrалась проверка деления и уrvrножения, чаще Bcero
с помощью девятки. Для извлечения иррациональных квад-
ратных и кубических корней применялись приближенные ме-
тоды, описанные раннее весточными математиками.
В следующем разделе рассматривались действия с обык-
новенными и 60-ричными дробями [123, 258, 264]. Десятичные
дроби, открытые в ХУ в. Джамшидом rияс ад-Дином ал-Ка-
ши, Европы не достиrли, и европейские математики пришли
позднее к этому открытию самостоятельно [258, 288, 398, 421].
Далее в учебниках по арифметике, как правило, рассмат-
ривались различные задачи коммерческоrо характера.
В rлавах из второй книrи «Четырехчастия чисел» Жана де
Мер, посвященных практической арифметике (опубликованы
в 1890 r. А. Наrлем [362]) приводятся, в частности, правила
умножения в уме с помощью разложения сомножителей на
\еньшие множители по специальной таблице.
ПраКТlIческая арифметика составляет предмет значитель-
ной части труда Луки IlаЧО..1И «Сумма». Среди арифметиче-
ских операций Пачоли не выде.пяет удвоения и раздвоения,
мотивируя это Tel\l, что онн содеР)l(атся в действиях умноже-
ния и деления. Пачоли ПРИВОДllТ восемь различных способов
умножения, распространенных в разных раЙонах Италии.
79
Cpe.lt11 ННХ умножеНие с nомоЩЫО \ реШеr1<И», Шl1рако nри
l\lенявшееся в странах Ближнеl'О и Среднеrо Востока, «пере-
крестное» умножение, известное еще в Индии, и т. д. (подроб-
нее см., например, [72, 407]).
Из четырех приведенных способов деления один (а ta
voletta) применяется в случае, коrда делитель однозначное
или небольшое двузначное число, друrой состоит в последо-
вательном делении на простые множители делителя, третий
практически совпадает с современным, а последний назы
вается «rалерой» (позднее «деление сверху»), так как циф
ры при этом располаrаются в фиrуру, напоминающую судно.
Пачоли описывает также правила «счета на пальцах»,
бывшеrо очень популярным в то время.
Рассматривается приближенное извлечение квадратных и
кубических корней. Для квадратноrо корня V А , rде А ОТ-
лично от квадрата, ищутся последовательные приближения.
А а 2 А a
а 1 == а + 2а ,а 2 == а 1 + 2а и Т. д. Например, дЛЯ
V ......... 1 9 881
6 получается а 1 == 22 ' а 2 == 2 20' , аз == 2 19)0 . Для куби-
ческоrо корня отмечен лишь случай, коrда подкоренное
число есть точный куб.
Изло}кив правила действий с целыми числами и дробями,
flачоли подробно разъясняет приемы разноrо рода ToproBbIx
вычислений, обмена, бухrалтерскоrо учета и т. Д., причем
применяет иноrда арабские термины. Правило двух «ложных
положений» называется у Hero либо по-итальянски «regola
della doi false positioni», либо, вслед за Леонардо, по-арабски
в итальянизированной форме «еl Catayno».
Среди сочинений на итальянском языке, появившихся к
концу xv в., следует назвать «Тревизскую арифметику», на-
писанную в 1478 r. [192, 410], арифметические трактаты Ка-
ландри, Талиенте и друrие. В предисловии к «Книrе абака)
(<<Libro d'Abaco») Талиенте, опубликованной впервые
в 1491 r., rоворится: «Так как мы теперь знаем, что теория
является частыо философии, то мы пр доставим размышлять
о ней тем, кто занимается философией» (цитировано по
[89, т. 1, стр. 109]); основное внимание уделено пра13ила1\1
IIрактических вычислений.
Шюке в первой rлаве «Науки О числах, изложенной в трех
частях» [352], рассматривая действия с целыми числами, опус-
кает, как и Пачоли, удвоение и раздвоение. Во второй rлаве
приводятся правила действий с дроБЯl\IИ, в четвертой прак-
тические правила, в том числе тройное правило, правило од-
Horo «ложноrо положения», а также «правило средних чисел»
(rigle des nombres moyens), которое, очеВИДIIО, ПРИIIаД"lежит
автору.
80
r1uследнее правило основано на утверждении (не дока..
а+с а с
занном), что ь + d всеrда находится между Ь и -----ёт' поз
ВОJlяющем вставлять среднее значение между указанными
пределами. Этот принцип, связанный с разложением в цеп
ные дроби, применяетrя при решении задач способом двух
"ложных положений", а также для приближенноrо извле..
чениЯ квадратноrо корня, которое иллюстрируется приме
ром V6 Так как 2 < 116 < 3, то сначала взято приближе..
ние 2 + которое оказывается избыточным: (2 + у == 6
1 ( 1 ) 2 4
Второе приближение 2 3 недостаточное: 2 3 == 59
1 1
'Следующее значение, взятое между 2 3 и 22' а имен..
2 1+1
но 25== 2 3+2 ' также оказывается недостаточным. Далее
2 3 1 3 2+ 1
Шюке берет 25< 2 7 < 22' rде 2 т == 2 5+2 и про
Rg
должает таким образом до значения 2 198 . Описанный метод
заимствовал без ссылки на Шюке Этьенн де ла Рош (1520 r.),
а затем испанский ученый Жуан Перес де Мойя (1590 r.)
[351 ] .
При извлечении квадратноrо корня Шюке рекомендует за
помнить, что точный квадрат не может оканчиваться цифра..
ми 2, 3, 7, 8, 9; аналоrично, для четвертой степени невозмож-
но окончание на 2, 3, 4, 7, 8, 9. Он дает также метод извлече
ния кубическоrо корня [266].
В rермании [293, 299, 300, 445] с развитием rородов, pac
ширением торrовли и ремесел в широких деловых Kpyrax
также возросла потребность в освоении методов счета. Уже
в XIII в. возникли специальные школы, в которых обуча.lIИСЬ
будущие вычислители (Rechenmeister), MHoro сделавшие для
внедрения индийско арабской арифметики. В противополож-
ность монастырским (латинским) школам, школы вычислите-
лей предназначались для простых rраждан и преподавание
в них велось на родном языке. Постепенно вырабатывалась
немецкая математическая терминолоrия [358, 391] и вскоре,
наряду с латинскими, появились мноrочисленные немецкие
учебники по «алrорисму» [192, 448]. Однако rpaMoTHocTb все
еще была неодинаково распространена среди слоев населения,
поэтому в rермании, как и в друrих странах, продолжал раз-
виваться и инструментальный счет; в частности, широко при
менялся в XV в., особенно немецкими вычислителями, так
называемый «счет на ,пиниях» [123, 192].
5 113
81
ДревнеЙшая известная сейчас немецкая рукописная книrа
по практической арифметике была составлена в 1445 r.
Ее текст и перевод со старонемецкоrо на современный не..
мецкий язык по экземпляру, хранящемуся в библиотеке Ба..
зельскоrо университета, опубликован Ф. YHrepoM в
1888 r. [448]. Книrа представляет собой учебник, по которому
преподавали математику в латинских школах. В ней имеют..
ся следы влияния римской традиции (например, правило
умножения ab==lO a(10 b), rде а, Ь<10), 110 в OCHOBHOI\I
она построена по образцу друrих европейских сочинений об
«алrорисме». 11злаrаются правила арифметических действий,
включая удвоение, раздвоение и приближенное извлечение
квадратноrо и кубическоrо корня. Обращает на себя внима
иие отсутствие проверки девяткой, которое обычно приводи
лось в TaKoro рода сочинениях.
Большой арифметический раздел содержится и в упо
минавшейся рукописи монаха Фридриха (составлена в 1457
1461 rr.). Описан этот раздел был в 1912 1913 rr. э. Pa
том [388], а опубликован К. Фоrелем в 1594 r. [454]. Он
представляет собой обширное собрание задач коммерческой
арифметики, а также теории чисел (см. выше) и rеометрии.
Среди первых и наиболее значительных сочинений по
практической арифметике, напечатанных в XV XVI вв., сле..
дует назвать учебники Ульриха BarHepa и Иоrанна Видмана.
Изданная в 1482 r. книrа Ульриха BarHepa, которая сейчас
известна под названием «Бамберrской арифметики» (Baт
berger Rechenbuch), была первым печатным немецким со..
чинением по «алrорисму» [192, 454]. Она носит явные следы
влияния итальянской математической литературы, распрост"
раненной в ToproBbIx Kpyrax. Помимо правил арифметических
действий с целыми числами и дробями, в ней подробно изла
rаются практические правила: тройное или «золотое» правило
(Die gulden Regel), правило товарищества, правила сведения
долей денежных единиц к цtлым J\1Iеньшим денежным еди"
ницам и т. д.
Упоминавшееся выше сочинение по практической ариф-
метике reopra Пейрбаха «Начала арифметики», опублико"
ванное только в 1536 r. с предисловием Филиппа Меланхто"
на [379], содержит описание действий с целыми числами и
дробями. различные правила практических вычислеН'Нй и
rлавные теоремы теории отношений (см. ниже), на которой
основываются эти правила.
Прежде Bcero Пейрбах по традиции подразделяет числа
на пальцевые, суставные и составленные, а затем rоворит о
записи любоrо числа с помощью десяти знаков, ссылаясь при
зтом на арабов. Ноль обозначен термином «cifra». Рассматри"
ваются действия удвоения и раздвоения, даются правила
82
... < . \ 4 " ' . ,f," H"''-'
r. ф _... ... ... ,........
-. '"> - . ' , -.;., , .
. _ '... ..- л " ... " . "'.. , . ;::..
............... "," ,) "). "'. '\ ' ...<1-
'':.'' .# N . ..., . ". А ,.,' . . .-<';' ". "fI« .. f<
t- "" ,,"У ::::::::= \.. \. ....... ............... N..................... .... '" <' .,__ :.>
........... : ". ........_... ........' ..fIl...*... ...."А........' ,_.. .. "'.. ...'.-. ww ,f< "
.,.).. ,, ,, .............
.,' , j !.. '''''':'' ,. ..... l q)) , \... J:;.......,A , ,
... ,. ",.. ....... "'t.t' ,+ . ,............ .!J:.... . '" ..,....,. '" "" '1 r '1"" .'1 ).й. 4t '
... о..,.". 1.1 . .: JL r I J ill': ..:: ii 1'" ... (\
.'. v' ' "#.A.. .."....,."'..""'........А. А'''.. .....+..Aic.....«.»». '.. *.. а:-fl&J ' )МIIIWY
# . .;, ;.. 11. IIIJ 1, ...0 .у.
' ...., ...,,'(' , <-.-.... »OO(. '..-I( ,*... '\... . ...,.""... ,
4 : " . . :-< "' .+X'"!. " .....810<. (:" ' ... . ' .
. ;1lI;I.: _' ($."...: ? ; ' ..., ...,... -,ф .\.". "N..": . + ,. ;." ;>:',JФ "i'. , .>" ',' ,'..'
, ....,.!4i ., . ,.', " , " ",. . , ." ;,: . ." '. .: -0-. t ... .' '\
1V, f,'."f i . ,:'\:: :" ">: ". ,,>,' , '" ' : ::. '
.' ' . ' . .' . " "> ш ' tf ,\ '''' ' .': .. .' ',,;. ':i '<-. '" ."«
. * ,'>< т' ."'" .......,..,f"j... l >'. .t..' ":", >: '.
..< *-. -",' . ..
>;> H : .'.......,. , :: . , ._ >'><- ' ,::.".' '\ ( , '. "".<- ' },
. '. *- ,"'" ::if-. t- ,-., . ..
';#" , " '.. ." : < 'х
$<
""
v
, " ()
, ,-
,. (
:y
.0); .".
, .
1.
:if
i .
- ....х:.:...
' .
(jo, .: :::
a ""
, '!r" ....... . ,'..-. .
. , .' . ;'
< '$>' ' :). .' ,, >'
' . ..
'; "';:,
- , ...
, .
. .
", 'н "'tJOМ_
..-м.. 1" J ВН'"
,< '. "J -'"" "\ '$ , i-" f' '.
" " '... . )'
*ос о JYoJ.
....
. ...м-. " "",. "':
Е
5fA
M,N.
A.RI rHMETIq ,.S.
U *"
'-'$ .
.,.,у
'. (J
11
A....L O"R I1':И М V S'.. п6 :'N'V.
, rnеу" it)t &ris, frtilli't.Rt"gиflS
eOтlпUl.libU4:! СУ .::.dc,Pr01l
l'0tCiD.п'iьt .:. _:'.',' .",
.Att:t.ore,'.Gtorgio.. J; I!rb4 :b,i .!,:,
oтnia :; ;:п:l ,I;'; :4Jf4е "*
1\JJ :. ':Al . ,:J;>'t.' . ;I',:,'
ит рr flС@ J;й1i + ,, '.1t4 i
\ ,
:.. -
,у.,.
.у _ -h". ,
. .......-.
"",' )".
'-...:
:<: " . ,- .
i .{
у'
'щ'
(>' -:.
."""
""""
.... х
'( 4
'" - "':'"
;с. ,. <-'- 1', .
;vw>
.. -:-.....
\
\ '
..
::::.":=::::::=/..,::::.
__о
"
. . ::, ;; i jJ
,
I-':
'-' ,,(..
'.l ,
,r ."
, <
.... .
.:,. 't
Титульный ..1,tCT '. Н 1 Ч 11 а).' р f T:i .-{;i" reopra п ейрбаха (ИЗД. 1536 r Фи
ЛИППа Л1еланхтона).
I ... ..
...;.....с.. Clе . JI : I <. J. ::=::
................ """""""'...............
нзвлечения квадратноrо и кубиче<':l\оrо корней из целых и
дробных чисел [266]. Все операции сопровождаются провер
кой. В специальном разделе рассматриваются проrрессии,
как указывает автор, по Иордану Неморарию. Большое вни-
1\1ание уделено пропорциям.
В книrе Иоrанна Видмана (1489 r.) «Быстрый и красивый
счет для Bcero купечества» [157, 192, 293, 446] практическая
арифметика рассматривается в одном разделе из трех, со-
ставляющих это сочинение. Здесь также подробно приводят-
ся правила вычислений с целыми и дробными числами (при-
чем удвоение и раздвоение выделяются специально), даются
формулы суммы арифметической и rеометрической ПрQrрес
Lии и правила приближенноrо извлечения квадратноrо и
кубиче коrо корня с точностью до целых.
10. Алrебра
к числу первых переведенных на латинский язык арабских
сочинений относится алrебраический трактат Мухаммада ибн
Мусы ал-Хорезми [106], который впоследствии неоднократно
комментировался европейскими учеНЫl\'IИ; например, автором
ОДНоrо из наиболее поздних комментариев был выдающийся
нидерландский математик Адриан ван Роумен (1561
1615 rr ) [167,395].
Известны два перевода «Алrебры» ал-Хорезми, относящи-
еся к XII в. Один из них, впервые опубликованный r Либ
ри [348, т. 1, стр. 253 297], принадлежит, как установил
А. Бьёрнбо {146], rерардо Кремонскому. По мнению Дж. Сар-
тона [399, т. 11, стр. 176], «можно сказать, что он означает
начало европейской алrебры». Второй был сделан Робертом
Честерским; ero исследовал и опубликовал в 1911 r. л. Kap
пинский [333].
В XII в. были переведены и друrие алrебраические сочине-
ния, иноrда анонимные {192, 256]; в их числе трактат [154],
переведенный rерардо Кремонским. Характерны первые слова
этоrо сочинения: «Начинается книrа, которая, соrласно ара-
бам, именуется алrеброй и алмукабаLТIОЙ, а у нас названа
книrой восстановления (restaurations), и которая была пере
ведена маrистром rерардо Кремонским в Толедо с арабскоrо
на латынь» [154, стр. 28].
Как и у л: орезм , вначале определяются понятия He
известной (radix), ее квадрата (census) и свободноrо члена
уравнения (numerus simplex), далее даются правила арифме
тических действий с корнями и рассматриваются канониче-
ские виды квад.ратных уравнений. Приведены мноrочисленные
примеры. Правила решения уравнений сформулированы
в стихах.
84
Очень интересна СИl\1волика. которая применена в ЭТОfvf пе
peBOД . Неизвестная 11 ее квадрат обозначены начальными
буквами указанных выше терминов, т. е. r и с; свободный член
обозначен буквой d от слова denaruus (динарий), которое
также употреблялось в этом смысле по араБСКОl\IУ образцу.
Эти знаI(И стави.:lИСЬ под значениями коэффициентов. Так, за
2 2 .) 3 3 3 3
пись с означала x , а r И 4 соответственно ): и т х.
r
Особоrо внимания заслуживают знаки для действия сложе
ния и вычитания: под вычитаемым члеНОl\-1 ставил ась точка,
под прибаВ"lяемым черта; lIапример, запись
225 5
с с r r
3' 4 2 Т
r d с d
обозначала со()тветственно выра)l{ения 2х2 3х, 2х2 4,
5х 2х:!, 5х 4.
Таким обраЗО1\I, в XII в. европейские ученые познакоми
лись не только с методами восточной алrебры, но и зачат-
ками а.J1rебраической символики, которую начали применять
[;раб':кие математики, не дав ей, однако, полноrо развития.
Наиболее по.пное изложение алrебраических методов мы
!iаходим у Леонардо Пизанскоrо и Иордана Неморария.
Леонардо rlизанский, излаrая правила <<.алrебры и алму-
кабалы», которые систематически разъясняются в rлаве 15
«Книrи абака», брал за образец трактат а"l Хорез!\'1И, о чем
свидетельствует пометка «Mahumet» на полях рукописи. Од..
нако большое в.пияние на Hero сказали TaK}I{e Абу Ка1\1ИЛ,
а.п Караджи и друrие восточные авторы. Леонардо rОБОрИТ
о решении «различных вопросов соrласно способу алrебры
и алмукаба0l1Ы, то есть противопоставления (oppositio) и BOC
становления (restauratio) ». Как и ero предшественники, он
рассматривает только положительные коэффициенты ypaB
нений; отрицательный же член приходится «восстанавливать»,
Т. е. переносить в друrую часть уравнения.
Следуя схеме, данной в арабских алrебраических сочине
ниях, Леонардо рассматривает шесть канонических видов
квадратных уравнений и предлаrает rеометрическое доказа
тельство правил их решения. Среди мноrочисленныx приме-
ров одни принадлежат ему CaMOl\1Y, друrие уже встречались
у ero восточных предшественников. Так, решается уравнение
х 2 + I Ох == 39, которое впервые рассмотрел а"l ХореЗ!\l и i 106,
стр. 27 28], а позднее со ссылкой на Hero Абу Камил
[127, стр. 32] и затем ал Караджи [481].
Особенно MHoro примеров заимствовано из «Алrебры»
Абу Камила [127, стр. 217 220]. Среди них, наПрИl\lер, зада
85
ЧИ, которые сводятся к системам (в современной записи):
I х т у == 10, I х t у == 10,
y х V ==40, ; + == V 5,
1 ;ос + у == 1 О,
1 () + 1 о б 1
х y 4
Последняя задача (стр. 204 анr.пийскоrо перепода тракта1 а
Абу KaMII la [127], стр. 454 455 издания текста «книrи' аба
ка» [.'345, т. 1]) вызывает особое внимание исс.lедователеi'f, Tai\:
как решена по-разному у обоих авторов.
Абу Камил, на основе Toro, что 10 == + 1 и ..!Е. ==
х х у
== + 1 нахо д ит..!Q. + == + + 2 и
у' х у х у , исходя из
BToporo уравнения системы, получает уравнение +L ==
у х
1 х
=== 4 2" квадратное относительно z == у .
Леонардо полаrает х == 2 Z, откуда у == 8 + z,
I х + у == 1 О,
; (x y) == 2+,
+
2
10 25
+ 8+ z == Т, 16 == (2 ...... z) (8 + z), z (z + 6) .::= о; опуская ко..
рень z == 6, он получает z === О, а следовательно, х .:....... 2,
у == 8. Это первыIй известный случай, Kor да применяется
нулевое решение уравне"ия.
'Термины, употребляемые Леонардо Пизански , представля
ют собоЙ перевод араб"ских слов, обозначающих те же понятия.
Так, еизвестная названа «radix» или «res», т. е. «корень»,
или ,;вещь", по арабски соответственно "джизр (...J ) И
"щай" (и..t.,). Квадрат неизвестной, который в арабс ой
алrебре фиrурирует ПQД названием "имущество" (Ma ,!Jlo),
у Леонардо обозначен имеющим то Ж значение словом
"census" Постоянная в уравнении "число" или "динарий",
по..арабски "адад" ( ..J. ) или "динар" (Jl ), названа "nu
meri1s" или "denarius"
Алrебраический трактат Иордана Неморария «О данных
числах» [63, 112, 123, 192, 213, 444] частично повторяет co
держание труда Леонардо, однако имеет и MHoro HOBoro.
Впервые это сочинение опубликовал (по рукописи, храня
щейся в Базеле) п. Трейтлейн в 1879 r. [444], а в 1891 r.
М. Курце издал исправленный текст (по l\fюнхенской' PYKO
писи) с ком мента риями [213]. Позднее бы..7JО произведено
86
сравнение опубликованных текстов с венской рукописью [112].
Русский комментированный перевод С. Н. Шрейдера издан
под редакцией и. Н. Веселовскоrо [63, 112].
Трактат состоит из четырех книr. В первой книrе рас-
сматривается 29 задач о подразделении числа на две части
так, чтобы удовлетворялось некоторое условие; они сводятся
к системам двух уравнений с двумя неизвестными, которые
Неморарий, в отличие от друrих авторов, решает, не приводя
к квадратному уравне нию. Та к (задача N23), если х+у==а,
.ху == Ь, то х у == v а 2 4Ь, а отсюда по значению сум..
мы и разности определяются х и у.
Во второй (27 задач) и третьей (23 задачи) книrах при
решении задач, сводящихся к линейным уравнениям и их
системам, широко применяются пропорции. Ряд примеров
встречался ранее у ал-Караджи [481]. Здесь Неморарий ссы-
лается на «арабский метод», чеrо он не делает в друrих
сочинениях.
Среди задач, рассмаТРИЕаемых в четвертой книrе, HeKOTO
рые сводятся к квадратному уравнению.
Никаких обозначений для алrебраических действий Немо-
рарий не применяет; однако при сложении он сокращает за-
пись, располаrая слаrаемые непосредственно друr за друrом.
Для квадратноrо уравнения Неморарий указывает два
положительных корня; отрицательный корень опускается.
'Операции с иррациональными выражениями не производятся.
В единственном примере, rде получаются иррациональные
решения (книrа первая, задача 16), эти решения названы
«худшими» И не рассматриваются.
Таким образом, Kpyr вопросов, затраrивавшихся в евро-
'пейских алrебраических сочинениях XIII в., оrраничивался,
как в трактатах ал Хорезми и ero последователей, задачами,
которые сводятся к решению квадратных уравнений шести
канонических типов. Что касается формы изложения алrеб-
ры, то в большинстве случаев дО XV в. европейские авторы
также придерживались восточной традиции, ссылаясь на
арабское происхождение этой науки.
Алrебру называли «большим искусством» (ars major), в
противоположность «малому» (ars minor), т. е. практической
арифметике. Часто вплоть дО XVI в. за ней сохраняли араб
ское название «AIgebra et almuchabala», а иноrда ее имено-
вали «Ars rei et census», что означает дословно «искусство
-вещи и имущества» и также соответствует арабской термино
.лоrии.
С XIV в. алrебра получила значительное распространение
у практиков. Нача.пи появляться сочинения не только на ла
тинском, но и на народных языках. Раньше Bcero алrебраИ е
ческие методы вошли в итальянскую математику, чему в
87
большоЙ степени способствовали сочинения Леонардо Пизан
'CKoro. Ero прямыми последователями были в XIII в. Дн Лу
I1ИС автор латинской алrебры [237, т. IX, стр. 73 741
И в XIV в. Р Каначчи, написавший трактат по алrебре на
итальянском языке [256, 332, 348, 383].
Рукописи Каначчи, содеР)l{ащие две редакции ero трактата
н представляющие немалый исторический интерес, были ис-
следованы лишь в 1953 r. [383]. Во введении упоминаются
Ди Лунис И Леонардо Пизанский. Относительно первоrО I
сказано, что ero сочинение это версия трактата ал Хорез-
ми. Каначчи впервые применил термин «алrебра» отдельно
для обозначения науки об уравнениях. Обсужд.ая происхож
дение слова «алrебра», автор связывает ero с именем леrен-
дарноrо арабскоrо математика rебера (впоследствии такое
заблуждение стало весьма распространенным).
В трактате MHoro транскрибированных арабских слов,
так как итальянские термины представляют собой перевод
соответствующих латинских. Нйпример, сяово cosa (вещь),.
которое обозначает неизвестную, перевод латинскоrо тер-
мина res, ПРОИСХОДЯlцеrо в свою очередь от арабскоrо «шай»
(u ). То же относится к те.рмину censo, 0значающе..
му квадрат неизвестной: он соответствует латинскому сеп..
sus и арабскому "мал" (Jlo, иму щество ). Свободный член
dramma название денежной единицы соответствует араб..
скому "дирхам" ( LA.J )' часто применявшемуся в том же
значении.
Далее автор рассматривает канонические типы KBa,дpaT
ных уравнений. Он называет уравнения ах 2 ==Ьх', ах 2 ==с,.
Ьх == с простыми видами casi semplici), а ах 2 + Ьх== с,
ах 2 +с==Ьх, ах 2 ==Ьх+с составными (casi compositi). Особоrо'
внимания заслуживает вторая редакция сочинения Каначчи,.
rде рассматривается уже 60 различных видов уравнений BTO
рой степени и выше с положительными коэффициентами.
Среди них не только уравнения, сводящиеся к квадраТНЫ I'
каноническим, но и такие как ax 3 ==d, ахЗ==сх+d, ax3==d+bx2 .
ах 3 == Ьх 2 + сх + d, сх + Ьх 2 + ах 3 == d', dx+ сх 2 + Ьх 3 + сх 4 == е,.
ах 6 == Ьх 4 + сх 3 , Ьх 9 + ax 10 == сх4, Ьх 9 + сх4 == ах6" Ьх 9 == ах 6 + Ьх 4 .
Каначчи делает попытку дать общее решение кубическоr{)l
уравнения ах 3 == Ьх 2 + сх + d, однако пользуется неверной фор
мулой х == :а + у"( :а у + с d . не учитывая при этом
что, как показал Леонардо Пизанский (см. ниже), неприво
димое уравнение 3 й степени неразрешимо в квадратичных
иррациональностях.
Таким образом, в XIV В. в итальянская математике уже-
был поставлен вопрос о решении ур,з.внения степени выше-
88.
8ТUрОЙ И тем самым наivlечен выход за пределы, устанuвлен
ные ал Хорезми. Это подтверждает друrая итальянская руко-
пись XIV в. [108, стр. 95], rде дано р ешение ура внения ах3+
+ЬХ2+СХ==kпоформулех==V( /+ : . вер-
ное, коrда Ь 2 == Зае.
Классификация кубических уравнений, данная Омаром
Хайямом [96, 105, 119], и их rеометрическое решение оста-
лись в Европе неизвестными. Во всяком случае, нет никаких
свидетельств о знакомстве европейских Iатематиков с идея-
ми Хайяма.
Из сочинений, написанных в XIV в. во Франции, обраlцает
на себя внимание алrебраическая часть рассматривавшеrося
выше трактата Жана де Мер [334], rде также сказалось влия
вие Леонардо Пизанскоrо.
Унаследованное от восточных lатеl\lатиков учение о ли
нейных и квадратных уравнениях CTaL7IO базой начавшеrося
Е ХУ в. заметноrо движения вперед. В Италии в ХУ в. про-
должали появляться руководства по алrебре, написанные по
образцу сочинений ХУI в. (например, рукопись, Исс.:lедова H
ная л. Карпинским [332].
Первым печатным сочинением, заложившим основы новой
алrебры, была «Сумма» Луки Пачоли [89, 123, 185, 192, 339].
Алrебру он называет «arte maggiora» (<<большое искусство»),
«regola della cosa» (<<правило неизвестноЙ») или «A1gebra
е Almucabala» и отводит ей восьмой раздел cBoero труда.
Здесь мы сталкиваемся с явлением, роль KOToporo в исто..
рии математики невозможно переоценить, с зарождением
символической алrебры. Для обозначения операций сложения
и вычитания [Iачоли систематически применяет знаки р
(от слова plus или piu) и m (от minus И.,lИ mепо). Неизвест"
ную и ее степени он также обозначает сокращенно. Приводим
эти обозначения в виде таблицы, rде слева дана современная
запись, в центре полное название, применяемое Пачоли
справа применяемое им сокращение:
х о numero
х 1 cosa
x censo
х З сиЬо
х' censocenso
х 5 prlmo relato
х 6 censo de сиЬо, сиЬо de censo
х 1 secundo relato
х 8 censo de censo de censo
х 9 сиЬо de сиЬо
хlО censo de prlmo relato
хН tertio relato
и т 11. па -t"29
пО'
со
се
си
се.се
рО rO
се. си.
20 r O
се. се. се.
си. си
се. p rO
з 0 r O
89
Таким образом, Пачоли, в противоположность математи
'кам стран ислама и их последователю Леонардо Пизанско-
ву, применяет fvlультипликативную систему обозначения сте-
пеней неизвестной (в «Книrе абака» х 6 обозначено термином
«census census census», х 8 census census census censu
и т. д.)
Обращают на себя внимание названия 5 й степени «orimo
relato», 7 й степени secundo relato» и т. д., ставшие бще
употребительными в ХУI в. Возможно [393], что они представ
ляют собой итальянскиЙ перевод rреческих терминов, при.
менявшихся Псе.плом (а/I.0'УОС;; протос;;, а/..о\,ос;; Ов\'тврос;; и Т. д.
[246, 248, 436].
Знак R, перечеркнутый внизу косой чертой (от слова
radix корень), введен для обозначения квадратноrо корня.
Если под корнем стоит сложное выражение, то после упомя-
HYToro знака Пачоли став ит букву V (от слова universalis)
Например, выражение V 40 V 320 он записывал в виде
,.....,
RV40mR320.
Пачоли формулируе правило знаков, хотя еще не рас-
сматривает вычитаемый член как отрицательное число. В этом
он следует за арабскими авторами, которые, в свою очередь,
ПОВТОРЯJ1И Диофанта [8, 13, 82].
Теорию уравнений Пачоли излаrает в пятом «трактате»
BocbMoro раздела «Суммы». Исследуя шесть канонических
видов квадратных уравнений, он дает правила их р шения
в латинских стихах, которые называет «изящными» [339], хотя
соrласиться с этим трудно. Далее, он приводит восемь урав-
нениЙ четвертой степени, из которых два (ах 4 + сх 2 == dx, ах 4 +
+ dx == сх 2 ), СВОДЯlциеся к кубическим, он определяет как «He
возможные» (impossibile), уподобляя их решение квадратуре
Kpyra.
Можно заключить, что сочинение Луки Пачоли подвело
итоr результатам, полученным дО XV в. итальянскими алrе-
браистами. На Hero опирались в своем творчестве выдающиеся
математики X\TI в. Ферро, Тарта.пья, Кардано и друrие, нашед
шие решение кубическоrо уравнения в радикалах задачи,
которая оказалась непосильной для rpeKoB и математиков
средневековоrо Востока.
Алrебраические методы в XV в. rJlубоко внедрились и во
французскую математику. Об этом свидетельствует упоминав-
шееся сочинение Никола Шюке «Наука О числах, изложен
ная в Trex частях», последняя часть KOToporo содержит издо-
,жение алrебры [352]. Шюке рассматривает четыре вида урав-
нений:
, ax rrl === ьх т + n ах m + ьх",+п == cxm 2п
т Ь т+п + т+2п ах т + сх т+2п == ьхт+п
ах х сх , ·
.90
Повторяя своих rIр.едшественников, он обычно опускает
нулевое решение и иноrда называет ero «невозможны »
(<<impossible», «irreperible»). Однако, как отметил r. Энестрем
1237, Т. VIII, стр. 203], утверждение 1\1. Кантора [192, T.II,
'СТр. '358] о том, что для Шюке не существовало решения х==о,
неточно, ибо в отдельных случаях (например [352, стр. 641])
не rоворится о ero -невозм'ожности.
r Энестрём обратил также внимание на пример 3х 2 '+
+ 12 12х (rде х === 2 V 4 4), решая который, Шюке
рассматривает подкоренную величину, равную нулю, как
число: из Hero навлекают корень, ero прибавляют и отни
мают. Можно наПО\1НИТЬ, что тот же примРр в виде х 2
4х + 4 == О ран..ее встречался у Леонарло 11изанскоrо.
Шюке .вводит 1ново.е .обозначение для степеней неизвест-
ной: над коэффициентом справа ставится показатель степе
ни (например, 83 равносильно современному 8х 3 ),. Интересно,
что при этом ОН :не из.беrает ни нулевоrо, ни даже отрица-
""
т.ельноrо показателя; так, 7 1 . т . означает у Hero 7x 1
Важную роль в развитии европейской алrебры сыrрали
l\lатематики I7ер.мании [241, 293, 299, 446, 462 464], rде алrе-
tбраические методы распространились уже в середине XV в.
l215]. Они попали сюда из Италии, о чем rоворит немецкое
название, при,менявшееся к алrебре в то время: «правило KOC
"се» или «искусство коссе» (от итальянскоrо cosa). Вначале
вычислители, П0стиrшие это искусство и прославившиеся
,умением решать с ero помощью трудные практические зада-
чи, старались держать алrебраические методы в секрете, но
затем ПОЯВlI.,1ИСЬ и печ.атные труды по алrебре.
3аслуrой немецких «коссистов» В истории математики яв
..ляется разработка алrебраической СИl\flВОailИКИ и прежде все-
[о введение специальных знаков для обозначения алrебраиче-
С'ких операций.
В упоминавшейся ВЪШIе мюнхенской рукописи, составлеН
ной в 1461 r. монахом беlIеднктинuем ФРИДРИХОl\fl, наряду с
,друrими интересными трактатами, содержится и алrебра, Ha
писанная частью на немецком, частью на латинском Я,зыке.
Рукопись была исследована [ерхардтом (1870 r.) [292], а за
тем более rлубоко \1. I(урце (1895 r.), который опубли
ковал ее текст [215, стр. 41 57]. Рукопись прямо свидетель
ствует -об итальянском происхождении немецкой алrебры.
Об 'ЭI0'М rоворит название одноrо из отрывков (<<Regule
tdelacose secundum 6 capitula») и применяемые в ней терми
'ны: «numerus», «cosa», «censo», «censo di censo», «сиЬо di си-
'Ьо». Неизвестную автор обозначает немеЦКИl\1 словом «Ding»
:(вещь), причем везде уточняет: «то есть cosa». Д.пя неизве-
4СТНОЙ иноrда ВВОДИТСЯ -сокращенное обозначение первая
91.
буква ее HeMeUKoro названия. Встречается также знак для
действия умножения
Немецкий отрывок рукописи начинается ссылкоЙ на ал-Хо-
резми и на ero «Книrу алrебры и алмолкобулы» (<<Machmet
in dem peuch algebra und almalcobula...»), а далее следует
описание шести канонических видов квадратноrо уравнения,
причем четвертый сопровождается примером из трактата ал
Хорезми, почти неИЗ lенно фиrурировавшим в средневековых
алrебраических сочинениях как на Востоке, 'так и на Западе:
х 2 + 10х==39.
Кроме Toro, автор приводит пример уравн ения, которое
"не является одним И3 шести правил" : х + V х:! Х == 2 и
предлаrает следующее решение: V х:! Х == 2 Х, х 2
х == 4 + х 2 4х, х 2 + 3х == х 2 + 4, 3х 4, х 1 +
Шесть канонических видов квадратноrо уравнения, KOTO
рые названы "Cosa gleich numero" "Censo gleicll den nu
mcro", "Cosa gl eich censo" и т. д.
Далее под заrоловком «Заметь, что такое квадрат, неиз
вестная и куб» даются названия степеней неизвестной (до х 6
включительно). Обращает на себя внимание, что принцип
их образования не мультипликативный, как у Пачоли, а aд
д.итивный; так, х 5 названа «duplex сиЬо», а хб «сиЬо di сиЬо»
Здесь, как и в следующих отрывках (большей частью
..lатинских), содержатся новые при меры к приведенным выше
правилам, которые в одном месте названы «правилами араб
ской алrебры» [215, стр. 62]. Особенно примечателен пример
х 2 +25== 15х, rде автор определенно указывает на существо
u 15 1.1 125 1 5
вание двух решении уравнения: х = 2 + r "2 и х=== Т......
1 ( 125 15
V т. Он rоворит: "Если я вычитаю, остается "2 минус
125 15
корень из т: если прибавляю, получается т и корень из.
125
Т А поскольку здесь не может бhlТЬ достиrнут успех
соrласно способу вычитания, необходимо поступать соrлас .
но способу сложения" [215, стр. 631. Таким образ()м, автор/
отказывается от BToporo решения.
Л1.ноrие примеры (их мы рассмотрим в 11) свидетель ,
ствуют о знакомстве автора с книrоЙ Х «I lачал» Евклида.
Среди первых немецких математиков, знавших алrебру,.
были Пейрбах, Реrиомонтан и Видман.
РеrИОl\10нтан в историко-математичеrКОl\1 введении к лек
ПИЯМ об д.льфраrанусе упоминает об «Арифметике» Дио
фанта, в котороЙ, по ero мнению,> СQдеР)l:(нrс;я C; Ц. 1' ариф
92
метики, в том числе «искусство неизвестной и ее квадрата»,
названное по-арабски а.тIrеброй [179, 446].
О ВИДl\'1ане известно, что он читал лекции по алrебре в
Лейпциrском университете и написал учебник [123, 157, 241,
464]. Обнаружена немецкая рукопись алrебраическоrо содер-
жания (переписанная в 1481 r.), которая принадлежала в
свое время ВИДfvlану. Он перевел одну из задач на латинский
язык, дал еЙ свое решение и добавил новые задачи. Текст их
был опубликован э. Вапплером в 1899 r. [464].
В сочинении «Быстрый и красивый счеr для Bcero купе-
чества» [157, 446] Видмана также затраrиваются алrебраиче-
ские вопросы. В rлаве о коммерческой арИфl\1етике он решае1
задачу с помощью «правила, называемоrо алrобре или кос-
се» (<<Reg'el Algobre oder Cosse gеппапt») .Особенно важно,
что дecь впервыIe применяются современные знаки «плюс»
И «минус» для обозначения действий сложения и вычитания
(хотя eH e не систематически [237, т. VIII, стр. 195 198; Т. IX,
стр. 155 157]).
Видман пользовался латинскими сочинениями, ведущими
начало от Иордана Неморария. Но с друrой стороны, то об
стоятельство, что он называет алrебраическое искусство
«Rcgula cosse», а также сходство мноrих разделов с сочине-
нием J1еонардо Пизансксrо, указывает на итальянское влия
нне. Поэтому М. Кантор [192, т. 11, стр. 229] сделал вывод,
что алrебра ученоrо происхождения, имеЮIцая источником
латинские труды, бы.па известна в rермании в середине
ХУ в., а в конце столетия она соединилась с итальянскоЙ
алrеброй, распространенной среди купцов. Однако из прове-
денноrо М. Курце (см. выше) анализа рукописи монаха
Фридриха ясно, что итальянское влияние сказалось в HeMeи
ком «коссичеСКОfvl искусстве» значительно раньше.
11. Теория квадратичных иррациональностей
Теоретическую .оСНОВУ операций над иррациональными KOp
нями в средние века как на Востоке, так и в Европе состав-
..1ЯЛО rеометрическое учение древних об иррациональных вели
чинах, изложенное в книrах V и Х «Начал» Евклида. Книrа Х
-содержит частный раздел общей теории отношений, pac
-сматриваемой в книrе \Т, и касается теории квадратичных и
биквадратичных иррациональнсстей. Однако на практике
l\lатеrvlатик прежде Bcero сталкивался именно с этими про
стейшими видами иррациональных выражений, и поэтому
правила их ыреобразоваяий приводились обычно раньше,
чем излаrаласъ общая теория. В связи с этим впервые был
'поставлен и вопрос о числовой природе иррациональноrо
корня (ка;к .цр.авило., И.l'dМСЯ в виду квадратный корень и
93
лишь изредка ](убический). В общем виде такая проблеМ(t.
рассматривалась в рамках теории отношений.
НаПОl\'IНИМ кратко содержание книrи Х «Начал» Евклида..
Исходное понятие книrи Х соизмеримость величин, т. е.
наличие у них общей меры. Вводится некоторый п.рямолиней
ныЙ отрезок, и все остальные отрезки подразделяются преж
де Bcero на соизмеримые и несоизмеримые с ним. Данный
отрезок и соизмеримые с ним называются, «раЦИQнальными В
Д.,ТIине» или «линейно рациональными» Рассматриваются
также отрезки, которые сами несоизмеримы с данным, но
квадраты, построенные на них, соизмеримы с квадратом, по
строенным на этом отрезке. Обе эти rруппы величин объеди
няются названием «рациональные», причеl\1 относящиеся ко)
второй rруппе определены как «рациональные В степени».
Прибеrая к алrебраическоЙ rерrvIинолоrИII, можно изобразить
рассмотренные Евклидом рациональные в длине и в степени.
величины соответственно как а и -V и. Оста.пьные отр'езки
Евклид определяет как иррациональные и приступает к клас
сификации тех из них, которые MorYT быть построены с по
мощью циркуля и линейки.
Первая иррациональность (медиаль) стрr)ится как CTOpO
на квадрата, равновеликоrо прямоуrольнику, образованному
соизмеРИМЫl'tlИ только в степени отрезками, или, друrимн
словами, как среднее rеОl\Iетр ичеСК Оf между этими отрезкаl\1И
(в современной записи 1/ y · "} ' ь или y ). Остальные ар-
рациональности являются составными: они возникают при
сложении или вычитании двух отрезков., удовлеТВОРЯЮlllИХ
определенным условиям. Так, ,,6иноми.аль (и COOTBeTCTBeH
НО "вычет") получается при сложении (ВЫ,Ч}-Jтании) ,двух
рациональных, соизмеримых только в (lтепени отрезков
(Т. е. У А 1 Y B и l/ A / B ) [lРId сложении ивычита..
нии двух соизмеримых только в степени медиалей (y A +
+ / в ) возникают С'ледующие четыре иррациональности.:
если площадь, заключенная между этими медиалями
(уА. у в ), рациональна, получается. .первая бимедиаль"
(соответственно "первый медиальный вычет"), еми же она
медиальна, то получается "вторая бим-едиаль"" (соотвеl.'СТ"
венно "второй медиальный вычет"')., Следующие шесть ир-
рациональностей возникают при слож..ении и вычитании двух
отрезков а и Ь, несоизмеримых ни в длине, ни в степени;
они различаются в зависимости от Toro l будут. ли CYMM
квадратов, построенных на них, и З8КJ1юченная между ни..
ми площадь рациональными или медиальными. Привлекая
алrебраическую символику и упрощая иэлож.ение,. это МОЖ
94
но разъяснить слеДУЮЩИ f образом. Так I<aK ({l + Ь)2
== а'2 + Ь 2 2аЬ, то НОЗ\.fОЖНhI три С. 1 IУЧ(}Я:
а'2 т b
а'2 + b
а'2 т Ь'2
р з ц и о I ал ь Н о,
I еди ал ЬНО,
меДllально,
:2 аЬ
2 аЬ
2 аЬ
lе]иа:IыI;;
рз ционал ыl;;
ме;:I.И3.ilЬ:IО.
в пеРВОl\1 С"lучае ПО"lучается «БО"lьшая> (COOTBeTCTBeHHO
«меньшая)} иррациональность, во BTOpOl\1 «раЦIlонально И
медиально ква.J.Рl1РУЮIЦаЯ» (l:OOTBeTcTBeHHo «образующая с
рациональным целое медиальное»), а в третьем «бимедн--
а.пьно квадрирующая» (соответственно «образующая с ме"'
диаЛЬНЫl'v1 целое l\lедиальное»). /казанные отрезки яв.пяют
ся иррационаЛЬНОСТЯl\IИ СООТВетственно первоЙ и третье,Й
rексад.
Далее Евклид рассматривает шесть видов биномиалей и
шесть вычетов (или «апотом» ), образующих вторую и чет
вертую rексады иррациональностей. Эти иррациональные ОТ-
резки классифицируются в первую очередь в зависимости от
Toro, будет ли для биномиали (вычета) V А + у в' Bыpa .
жени е I А=В линейно соизмеримо c / А , ИЛИ )J{f онИI
линеЙно несоизмеримы, в rеометричеСl<ОЙ фор,М'УЛИ
ровке это условие предполаrает, что бицомиаль разде",
лена на два рациональных (в смысле Евклида,
отрезка "рационали" , из которых квадрат большеrо пре .
восходит квадрат меньшеrо на квадрат, цостроенный на
отрезке, либо соизмеримом с большей из р,ационалей, либо
несоизмеримом с ней. В том и друrом случае возникают по,
три вида ирраuиональностей:
1. YA B соизмерим линейно с V А .
1) отрезок 1,/ А рационален в До/1Ине, V В рационален в.
степени, по,,'учается "первая биномиаль" (соответственно
"пер вы й BhT'1 ет );
2) V А рациона"lен в степени, V 13 раIlионален в дли...
не, получается "вторая биномиаль" ("второй вычет");
3) V А рационален ТО.,lЬКО в степенИ" 11 B также, полу
чается "третья биномиаль" (третий выЧетЦ')
11. V A B несоизмерим с -v А линейно.
1) JI А раuионален в длине, v f В рационален в степен.и,.
"четвертая биномпаль " (" четвертый вычет");
2) V А рациона.lен в степени, V В рационал'ен- в. ДЛИне"
"пятая биномиа"lЬ" (" пятый вычет"); а
3) 1/ A рациона,,1ен только в степени, V В также,. ".ше"'
стая биномиаollЬ" ("шестой вычет").
Определив каждую из приведенных. вы.ше иррациональ
настей, Евклид доказывает, что, bo-перВJ;IХ. она действитель
95.
Но иррациональна, а, во-вторых, все соизмеримые с ней вели
чины относятся к тому же классу иррациональностей.
Наконец, устанавливается зависимость fежду иррацио
нальн стями первой и второй (соответственно третьей и чет
вертой) rексад, которая в алrебраической форме l\10жет быть
выраж на следующим образом:
V V А + V B y Y A+ rA B + v VА rА=В .
Иррациональности, которые классифицировал Евклид, явля-
ются корнями некоторых типов квадратных и биквадратных
уравнений.
Как уже отмечалось, в вычислительной математике стран
ислама фактически стерлось античное противопоставление
числа и величины: над числовыми ирраuиональностями стали
производить операции по правилам действий над числами.
Однако понятие иррациональноrо числа введено не было.
Рассматривая вопрос теореlически, восточные математики
по существу возвращались на rеометрические позиции rpeKoB
и обосновывали действия над иррациональностями теорией
Евклида, изложеннои в книrах V и Х «Начал».
Существенно новым оказалось стремление ПРИl\fИРИТЬ точ
ки зрения вычислите.пей и теоретиков. Был четко сформули
рован принцип взаИl\1НО однозначноrо соответствия между
объектами арифметики и rеометрии: числовыми иррациональ
ностями, с одной стороны, и иррациональными величинами,
изображаемыми прямолинейными отрезками, с друrой.
Указанный принцип послужил ЛОI'ическим основание!vI
арифметизации теории квадратичных иррациональностей,
а правила действий над числовыми иррациональностями, Ta
ким образом, БЫ.JlИ теоретически узаконены «Началами»
Евклида [82].
В настоящеl\1 параrрафе пойдет речь о трактовке теории
квадратичных иррациональностей в сочинениях европейских
математиков XII XV вв.
Ни у Боэция, ни у друrих ученых, Рdботавших в римской
традиции, теория иррациональных ве.ПИЧИН не рассматрива
ется 1 ); средневековые математики Европы столкнулись с нею
при освоении восточней науки.
1) Имеется, правда, пре-..1.положение, что она излаrалась в утерянном
сейчас латинском перевОJ.е "Начал.', выполненном .1.0 ХН в. С rреческо
fO ориrинала. Об этом, В: частности. свидетельствует применявши йся
Леонардо Пизанским термин "rlti 11, обозначающий понятие рациональ
ности и являющийся транскрипцией rреческоrо pr,'t"l. Однако не исклю
чено, что все сведения о книrе Х "На чал 11, которыми располаrал Лео
"ардо, были получены им в. Византии.
96
Определение иррациональной величины впервые в латин-
ской литературе, насколько сейчас известно, дал [ерардо
Кремонский в переводах комментариев ан Найризи и Ибн
Абд а.п Баки а.п Баrдади в книrе Х «Начал» Евклида [221]; он
обозначил понятие иррациональности словом «surdus» (rлу-
хой), представляющим собой буквальный перевод соответст-
вующеrо арабскоrо термина »асам" (/""",1). »r лухая величи-
на, повторяет rерардо Кремонский знакомое нам по араб-
ским трактатам определение, это та, которую нельзя выра-
зить словом, как, например, корни из чисел, не являющихся
квадратными» [221, стр. 253]. Это определение фиrурирует и в
более поздних европейских трудах.
Как и у восточных математиков, теория квадратичных
иррациональностей излаrалась в Европе с rеометрической
точки зрения в комментариях к «Началам», либо с ариф-
метической в специальных разделах алrебры.
Комментарии к книrе Х сНачал» Евклида
Поскольку европейские математики познакомились с теори-
ей квадратичных иррациональностей по арабским версиям
«Начал», то, естественно, сразу была воспринята и данная в
них арифметическая интерпретация этой теории. Коrда в
ХУI в. получил распространение «rреческий Евклид», без
следов арифметизации, это уже не внесло никаких изменений
в сложившиеся взrляды. Более TOI'O, понимание книrи Х
«Начал» в античной rеометрической трактовке встретило в
XVI XVII вв. значительные трудности, о чем свидетельству-
ют мноrочисленные высказывания ученых этоrо времени.
Не случайно числовые примеры, разъясняющие предло-
жения книrи Х, мыI встречаем не только в первом ИЗ,дании
«Начал» В обработке Кампано, но и впереводе 3амберти,
который ставил целью cTporo следовать идеям rpeKoB, а
поэтому не должен был пользоваться арифметической интер-
претацией понятий. Этим объясняется, почему европейские
ученые более смело шли по пути арифметизации теории ирра-
циональных величин и выработки понятия иррациональноrо
числа, чем их восточные предшественники, в большей мере ско-
ванные античной rеометрической традицией.
Чтобы дать ясное представление о той арифметизирован-
ной форме, в какой теория квадратичных иррациональностей
Евклида вошла в европейскую математику, приведем вы-
держки из упомянутоrо комментария 11бн Абд ал Баки ал..
Баrдади к КIIиrе Х «Начал» впереводе [ерардо Кремон-
CKoro [221].
Трактат начинается с основных опреде.пений. «Поскольку
величины сравниваются между собой, одни из них оказыва-
7 ..113
97
ются соизмеримыми, друrие несоизмеримыми. Соизмери-
мые это те, для которых существует одна величина, являю-
Iцаяся их общей частью и измеряющая их все, что очевидно
для величин, которые считаются числами. Рациональные ве-
личины это те, которые измеряются одной заданной вели-
чиной. Следовательно, они соизмеримы. Поэтому любые две
соизмеримые величины ЯВЛЯIОТСЯ либо рациональными, либо
rлухими, и не может случиться, что одна из них rлухая, а дpy
}"ая рациональная, поскольку между rJIУХОЙ и рациональноЙ
нет линеЙноЙ соизмеримости».
Далее следует рассуждение, характерное и для друrих
арабских комментариев: как иллюстрация иррациональных
величин приводятся корни из неквадратных чисел. Примеча-
тельно, что в этом трактате вводится «телесная» иррацио-
нальность, или «rлухая кубическая величина'> ,т. е. V а , rAe
а не равно кубу. Среди арабских комментаторов Евклида до
11бll Абд а.IJ БаI{И ал Баrдади кубические иррациональности
рассмаТрИRаJl только aJl-Махани (IX в.), которыЙ lIаЗЫRаJl их
«ребрами тел» и дал их классификацию [82, стр. 196 199].
Затем автор пишет: «Несоизмеримые величины те, для ко-
торых не находится одной общей величины, пересчитывающеЙ
их все, например корни чисел, не являющихся квадратами,
коrда они сравниваются с числами. Для всякой величины,
которая полаrается числом, между какими-либо двумя по-
следовательными числами существует корень, несоизмери-
мый с ней, например три и корень из трех. Потому что три и
корень из трех линейно неСОИЗl\tlеримы, поскольку ОДНа ра-
циональная, а вторая rлухая: таким образом, три несоизме-
римо с корнем из трех. Три же, будучи умножено на }{орень
из трех, становится rлухой, потому что получается rлухая ку-
бическая величина.
l-'Iз этоrо следует, что всякая величина, которая полаrа-
ется числом, рациональна, откуда все величины, соизмери-
мые с ней, рациональны, а все величины, несоизмеримые с
ней, иррациональны. Поэтому rоворят, что величины перво-
начально делятся на два вида, из которЫХ один.......... рацио-
нальные, т. е. те, которые выражаются словами, например,
коrда мы rоворим: десять, двадцать, тридцать и т. п.; друrоЙ
же rлухие, которые словами выразить невозможно, как
корни чисел, не являющихся квадратами, например десять,
двадцать, тридцать, сорок, и ребра тел, являющихся не ку-
бами, а телами с различными ребрами, например тело, полу-
ченное от у tножения двух на три, а затем на четыре, что
есть двадцать четыре; сторона ero rлухая, не выражается
словами .
9Н
.......
Таким образом, "rлухие" числа это, например, УI0,
У 20 , у зо , У 40 или yr 24 . Позднее дается более четкое оп..
ределение: "Всем этим числам и им подобным, не имею..
щим корня, который выражается словами, дано название
r лу хих" .
Обращает на себя внимание, что автор применяет в од-
ном значении термины «rлухое число», «rлухая величина»,
«rлухая линия», что свидетельствует о стирании противопо-
ложности между понятиями числа и величины.
Дальше приводится классификация «rлухих» величин,
которая в схематическом виде выrлядит так:
1. Простые «r лухие величины»
1) рациональные в степени, или первы медизли до (на п ..
ример, у' 6 , У В , 10),
2) вторые медиали (например, V У6 ) и Т. Д.
11. Составные "rлухие величины"
1) непрерывные:
менее сложные (например, У В + У I0, у 45 + 5);
более сложные (например, У 60 + V у зо , V У32 +
+ v 4) ;
y a :i:VF с Y a :i:Yb
2) дискретные · y УЬ ' у y .
с а:!: Ь с:!: d
Вид «дискретных» составных иррациональностей друrими
арабскими авторами не вводился, хотя частные от деления
иррациональных величин рассматривали 1vlноrие.
Затем перечисляется 12 видов иррациональностей, описан-
ных Евклидом. Хотя автор трактата, как следует из сказан-
Horo им, не чувствует резкоrо различия между понятиями
числа и величины, теория Евклида требует подчеркнуть ЭТIJ
различие. Оно состоит прежде Bcero в возмdжности делить
rеометрическую величину до бесконечности, откуда следует,
что для величин не существует такой общей меры, как еди-
ница для чисел. Естественно, что, рассматривая числовые
иррациональности, разъяснить это нелеrко, и автор обраrца-
ется к прямолинейным отрезкам.
«Два СОИЗ1\1еримЫХ числа либо рациональные, либо rлу-
хие. I--Ie может случиться так, чтобы одно было рациональ-
ным, а друrое rлухим. Несоизмеримые числа либо оба яв-
ляются rлухими, либо одно из них rлухое, а п.руrое рацио-
нальное, так как rлухой корень несоизмерим с рациональным,
Т. е. зТо......... совокупность rлухих и рациональных корней, соиз-
меримых инесоизмеримых.
Длины же, т. е. величины, не таковы. Потому что в пер-
вом предложении ,десятой книrи сказано, что если от боль-
шей из двух различных величин ОТНИ1\1ается больше ее поnо-
99
вины, из остатка больше ero половины и так далее, то не-
ВОЗМО;'КНО, чтобы НС осталась величина, мсньшая данной
величины. Следовательно, деление не приведет к друrой изве-
стной веЛИЧИllе, относителыIо которой установлено, что с ее
помощыо соизмеримые отделяются от несоизмеримых, Tal{
как при Делении веJ1ИЧИН не достиrается минимальная вели-
чина. А если так, то не получится познаваемая величина,
которая является частью двух величин, пересчитываЮLцей их».
Далее приводятся формулировки и доказательства предло-
жений книrи Х, которые сопровождаются числовыми приме..
рами. Этот раздел трактата Абд"ал Баки ал БаI дади под-
робно проанализировал r Зутер [430], внесший также MHoro..
численные поправки в латинский текст, изданный М. Курце.
Среди примеров, иллюстрирующих rеометрическое пред..
ло жение Евкли да, приведены следующие:
V 4 ( 6 ::t V20 == V 24" :t У320 == У 20 ::t 2, V 4(уТ2::t 3) ==
V У192:!: 12 == V у 108 :t 1 ! -VШ V 4(Y20:t УВ)
V J 320 + "V" 128 1/ r 1/ 80 + у 48 + V У 80 V4в-
Таким образом, оснопное СООТНОUJение из книrи Х «Начал»
Евклида cTaJ}o известно, в Европе почти в то же время, что и
в Индии (Бхаскара) [123, стр. 142]. Между прочим, r Энест"
рём упрекал М. Кантора за то, что 011 В своем курсе истории
математики не отмети.п 31'oro обстоятельства и не УlIОМЯНУ.п,
что арабы знали арифметическую формулировку соотношения
задолrо до Бхаскары; тем самым было создано впечатление,
что последний является ее aBTOpOl\1 [273, т. 111, стр. 238].
Остановимся также на некоторых ДРУI ИХ латинских пере..
водах Кllиrи Х «Начал» И прежде Bcero на сравнении ее в
версиях Каl\Iпано (изд. 1482 и 1537 rr. [267, 268]) и Замберти
(изд. 1537 r. [268]).
Замберти в критике издания Кампано нересматривает
введенную последним терМИНОЛОI ИЮ, часто заменяя ее дру"
rой, более соответствующей, по ero мнению, rреческой тер"
минолоrии Евклида. Так, соизмеРИJ\iIые величины Кампано
li я. 3 Ы в а С1' «с () 111 m Ll n i с а n t е s с} Ll а 11 t i t а t е s», 3 а 1\1 б е р т и «с О m m е n
surabiles magnitudines». Определяя соизмеримые величины,
первый rоворит о величине, которая их «пересчитывает»
(numerat), второй о том, что они «измеряются одной И
тоЙ )I{е мероЙ» (eadem mensura dimetitur). Кампано rоворИТ
о «квадратных поверхностях» (supeI.fjcies quadratas), которые
«пер считываIОТСЯ» одной общеli поверхностыо: у Замберти
речь IIДСТ оп одноЙ и той же «площади» (area), которой изм .
ряются ЭТ1I квадраты. IIррацноналыlеe JIИНИИ Замберти обо..
}ОО
" ' з '
. ь
... ...
, . .. . «:
., .
' t< . .
... .' 1 .
ь
v" н 4
. 16'. .'-
, :'. t :.
'- .
.
. .
::\ ?.::::.:.:..
. .) . ".:...
>:::" =:.,. '. :::::: ;;:'::: :;::::. :
. " :: ....' . . -," ; : '.:. 0":-:':::" :::: '\
- . -. "
. '.'", -.-:-:::-:- :.,
:f': .......:....... .: ....... .. :.: :.;:...:..... :..:.:':'. ....:.:. .
::." , ..../..0.0 ... :.:.' ' "'" . . ...._.:...:...:::.;.. ;:n:a:j :.::
.
. " j;:.: : .. '. . ' " " .::..: . .. . :.: . ::;::; ;::;:: :; . ;; . i! . i, . : i: .. ::4 . : . .'
'. f<..... ' .. ':':':':"J. '
. ' .
. .
.
-:.': ........... 4
". .. :::;;.:.::::::: ::.:.:> 'J'.
. .: .::.:.:.:.. :':.. . .. .' ..
: t..::. и:::{t-"
. 'f.. .. .........., . ..'1
j
,О f
t : . . lil а! .{ . .. о"
. ., о
t
.. . .
...
лt
... .:...
LIBER
f,, (6пumkаns1tn« r6nаНr06f'i .fapadigfФr .t J::f);
fanktratu0 f(Щ} ;WOJt!Q quadl'1n.U\. >f.i>tdqutdr ш Untt..fb. b.{..-d.d
t tm(аtuffuш'6УЬ"tФ Оft)1Ooшwtm f g.t..g.ь w.тс щ..OIaC
omwтрmшm4 tnтщf, hfкa.f.s..qtkdt 9« Ijn. .J>._
dt Ьщоо:tn qusdr-аю ftiшJ.Ь:.,cr.f(t.Шn} f ptnШnmj p1imtC"OiШlPIOаUI
щ.f"Ь"tma.f.6хщ udfтра(ФJm ..",,(Ща оап
Фf5tF..f 6,,'t.f<>ь.rttfkut.щmctс;qUadmю,цщ(unt ,tАtuк4 t(t <,.bдml
uinшur d'f(rOflttbl Inpottu,(a tm.tl"U.mФоt)$!in«J i> in Iou&iшdmt. idro4;
fЮ.1jlтrt>,аФr3JWiрofrt( (UJU (и (тinquadrlrmnkщt"f.><6<,adqt1 tш«..f.;
Ь.Ом nшщm6.(+tdnЩtltr,,dуrotра(U(tf tOtпitWi ы
"".(,,6 ad й tщ«.i ЬJtМ numтш.( ",dnumtтт.(..(Um .,...fk
numtrU\"" qu fug.(. ""О u6 Qdf'atu$: ft4f va t1i..t.tm ;.1"m ItfЩ...А.Ь=..Ш In.1
t6maJfDNb.tшtt (.f.$Jlf lndц1t пknqшf f6U:Df 'Фf.U4"Ь.ok __6т11i jtJ
роrtШ. {т 't а O!OUt IuJQ1t1"f..g. "g.,Ь.pponat"butOmШ pnh q." ""r f i ",
I" }' t mfcc r .
. . . ({ Ш ':iЩ ". , 4f3Ш)U . . . а1Ю . W1са , p(Jf1 . ' , kt..b . , +MO qucdr.9
, . . (.."Оf'ff. u6 f!tщJcШu jU d"т) qudratnmtt
R .quedr.Ui"иa tn 4' tQfUJtt.(.qDtd1iЮ ad.d..
> qШ.d} (fi;1 nonqшadr tщ;I"fkut'f : &QtQd
nтtК't'Wdt. ' 4S..tщJt(.tttu(Uidt....l.w ,...Q.Uldratu ПОПК- 'I'...f:. rJOU I
tшn:dtq;f ШО f J;оd'JJ.ЮJ1\ t6хшL '''ftrq;qutdratоо -б.....
OiUir .dtm.;J +f.. .t.'! V'абtnтм fи' "Ut,. .qutdra
hЮ;Ь,, fu fUtt.ttlnt»o :ФtUt' fii fit..(>,ЗfYrt f.pIOf_(t.ь.mА
'difqjq;рщn (nodmt.unt fJОПt<Ь.OUf(ft l.d<4d.("ООШ"Ш' J.di". .п...(..t:l #«'
"t;t,,(..rok6wt,, аfU$tXр:m.t1t(ф :( tюm tQ4' <1'q)
.0«..(,,(0' quadпnюrrrfPOtbdt) ftafnmw.f .ajn.d.cntq)..t.qalkqxnт.
dtQUm(t рш(V dшiцщd: f..non.quadtati:1:(о...d...... -9
fk nOijdnu4.6i (щ"d.umna' dТ« Q4tat dfa qeoq;4".qdr t' (J.%" t" dafdi
(Ощf "z--norU (q.n"O(faut:1'J;'P..t t"t1) df(ч , 1_.<wf&.:,Ю1i:щ;
J. mur.ал.t>.Фiiро{Тlb1t«(U fmt roLa \tJIit1f( Otflat($ вidt ".
quar(na f.tft (t)"п f"ЩШtU6.d"(4("qn'i QМU"b.fu Oj)f d fМL(
"plkfqP1фЮf1tt тtv«рtimtm nontqefitQ:.s"...d.ap1bW
qD( fUmt(t.a.m"b t т.(...1. qDta .a"т.bJIt.4.t т"t.ftt,,( fщт- ш.tLНt ctfl
famnaJ.&d.'.4 qМ. r« . IвJфt"U$ dt.f"tdус:.fюn"d.$d.twdП pa'mU{. .t.
sd.<L{щ.(+od., ,(u 1taq; OUo, tJOOft"fo.ШtП.(.*l...( fjt
i.uumq.f'.« qutti "mЮ.(О1i non qdrat oomtblb i d.n6 (jdrati 4..qII.I
td.d..irkUt at.td Qdnuй 'Щ.("ad.(. .fn.
snt:oko f4. .f'"b" fbmouuйf..riimiluiidrtti,,,.,,"'.1
tDт.f4 J kut >Ь.:ld>,,)(rurfufqJquadшum.r..g.. i.b. f...c.8Lc.
.tmращr..J P-ЮРОШQn4kшtrntqtJdrttmt"а. td "i.b,."...
m iii iq; ouorz пunкrоf.Ь.-i.сJu Qdr t9 mt R fФam t.'Ji J.М.. Ь.
.lnloniuud "t 't:. . att,,"at, 1t( taoJ. 9fpfa 1'8
'" potd1 tm ff()-(omшIК U9liJ1(( -I.rотltpor\k'f . а*'
rпam rtan.1 "qu( tnm fit pot "n(Ю1 bm4 .Ь.ш .f..b"pa.fc.tatf .
dmj РШni.(бmunu.rt"1 Шfсо.f.Ь.UtшJ.а.tn tDd1It f fai8m JlIi.,..C09
Страница 113 "Начал. Евклида в обработке Кампано (изд. 1482 r.).
значает термином «irrationalC's», I\ампаll() )КС д()б В.15IСТ: «sivc
sur(lac» (или r.]ухис), т. с. ПрИJ\IСН5Iет TC'pMIIII, ВПt'.'lеlllll)lii ДJlЯ
ЭТIIХ линий ['сра рдо Kpe 101lcKII м. Слово «ОТIIОIlIСНИС» у Кам
пано перСВОДIIТС5l KaJ{ «proportio», у За м берт и «,.atiu»; с.
во «величина» соответственно как «qualltitas» И «mag
nitudo».
101
При сравнении книrи Х в обоих изданиях «Начал» обра-
щает на себя внимание различие в доказательстве l-ro пред-
ложения. Замберти приводит два доказательства: одно из
них совпадает с тем, которое и. rейберr считает подлинным,
друrое с приписываемым схолиасту [54, т. 11, стр. 363].
Кампано дает только второе из упомянутых доказательств,
как все арабские переводчики и КОМl'лентаторы Евклида
(см. [82, стр. 195]) .
Кроме Toro, Кампано дополняет это предложение рассуж-
дением об уrлах прямолинейных и роrовидных (angulus
contingentiae), разрешая кажущееся противоречие между
l-м предложением книrи Х и 16-м книrи 111 (в издании Кам-
пано 15.м книrи 111). Эти уrлы, заключенные между кри"
вой и касательной к неЙ или между двумя кривыми, дают
пример величин, не удовлеТВОРЯЮ1l1ИХ так называемому прин..
ц пу непрерывности (если даны величины а и Ь, то найдутся
такие числа т и n, что аm>Ь, Ьп>а).
Кампано rоворит: «Необходимо заметить, что 16-е пред-
ложение книrи 111, которое утверждает, что уrол касания
меньше, чем любой уrол, заключенный между двумя прямы-
ми линиями, как кажется, противоречит этому преДЛО)l{ению.
Так как, если дан любой прямолинейный уrол, то если из Hero
вычесть больше половины, от остатка снова больше полови-
вины, то кажется, что можно повторить это дсстаточное чис-
ло раз так, что с необходимостью останется прямолинейный
уrол, меньший уrла касания, противоречие с чем следует из
15..ro предложения книrи 111. Но они не являются созвучны-
ми уrлами, так как криволинейное и прямолинейное, взятые
абсолютно, не относятся к одному и тому же роду. Неверно
также, что уrол касания может быть взят столько раз, что
может превзойти любой прямолинеиный уrол ПОЭТО:\IУ
ясно, что любой прямолинейный уrол больше, чем беско..
нечное число уrлов касания». Более подробно Кампано рас-
сматривает этот вопрос, комментируя 16-е предложение
книrи 111.
В дополнение к 7-му предложению (х. 9 в издании rей..
берrа) Кампано приводит доказательство несоизмеримости
стороны квадрата с ero диаrональю. 3амберти дает это пред..
ложение под HOl\fepOM 118, причем доказывает ero ДВУ!\IЯ раз-
личными способаl\IИ (оба рассмотрены rейберrОl\I); в заклю-
чение, однако, как и у Кампано, дается «более очевидное
разъяснение» с помощью чисел, против KOToporo на полях
сделана отметка: «в rреческом отсутствует» (<<graecus поп
habet») .
Кампано вводит также дополнения, разъясняющие идею
построения книrи х. Так, в дополнении к 18 :\IY предложению
(х. 30 в. издании rейберrа) он, забеrая вперед, rоворит о
102
цели построения двух соизмеримых, рациональных ТО.I1ЬКО в
степени прямых, из которых большая в квадратах превышает
меньшую на квадрат на прямой, несоизмеримой с большей.
Замберти заключает книrу Х следующим не встречающим..
ся у Евклида рассуждением, с помощью KOToporo понятия
соизмеримости и несоизмеримости распространяются на пло
щади и тела. Если мы ДОПУСТИ I, что средним пропорциональ
ным двух линейно несоизмеримых прямых а и является 'У,
то отношение а к будет двойным отношением сх к 'У; но с
ПОl\10ЩЬЮ двойноrо отношения изображается отношение пло
lltадей квадратов, построенных на а и 'У, или KpyroB с диамет
рами а и 'У. Таким образом, найдены «плоские площадИ»
(areolae planae), несоизмеримые Iежду собой.
Аналоrично вводится понятие неСОИЗl\lеримых тел: «Если
на квадратах со сторонами а и или на равных этим KBaд.pa
там прямолинейных фиrурах мы построим телесные парал-
лелепипеды, пирамиды или призмы с равными высотами, то
они относятся между собой как основания. Если основания
соизмеримы, то СОИЗl\fеримы и тела; если же несоизмеримы,
то и тела несоизмеримы. Так же, если на двух данных Kpyrax
построим конусы или цилиндры равной высоты, то они будут
относиться друr к друrу как основания, т. е. как сами круrи.
Если круrи соизмеримы, то и конусы и цилиндры соизмеримы,
если же несоизмеримы, то конусы и цилиндры также несоиз-
меримы. Таким образом, ясно, что соизмеримые и несоизме
римые бывают не только среди линий и понерхностей, но
также и среди телесных фиrур».
Из предложений книrи Х европейских комментаторов Ев-
клида особенно привлекало доказательство несоизмеримости
диаrонали квадрата с ero стороной. Как пример существова-
ния иррациональных величин, этот факт приводит Альберт
Саксонский [130]. Обращает lIа Hero внимание и Орем в TpaK
тате «Вопросы О rеометрии Евклида», ПОСТРОСIIНОМ в форме
вопросов и ответов; преДПОJlаrая сначала, что диаrональ co
измерима со стороноЙ, 011 доказывает затем противное [61].
Книrа Х «Начал» п алrебраичеtКих сочинениях
Первое известное изложение книrи Х «Начал» на языке
арифметики находится в rлаве 14 «Книrи абака» Леонардо
Пизанскоrо. Оно полностью выдержано в восточной тради
ции.
rлава начинается следующчм, знакомым нам по арабским
сочинениям, рассуждением: «Так как теперь нужно обратить
ся к корням, следует сказать сначала, что такое корснь. K()
103
рень из какоro..либо числа это такое число, которое, буду-
чи умножено на себя, производит само число, например 3,
являющееся корнем из 9, и 6, являющееся корнем из 36, так
как утроенное 3 даст 9, а ушестеренное 6 даст 36. Некоторые
числа имеют корни и называются квадратными, а некоторые
не имеют [корней]. Их корни называются rлухими (surde),
так как их нельзя найти в числах» [346 ,т. 1, стр. 353].
Кроме Toro, по арабскому образцу (например, у Ибн ал..
Баrдади [82, стр. 217 220]) Леонардо да'ет понятию корня
также и rеометрическое истолкование, раССl\lатривая ero как
среднее rеометрическое между двумя отрезками, построен..
ное циркулем и линейкой. Далее предлаrается описанный вы..
ше (см. 9) способ приближенноrо извлечения квадратноrо
корня.
Во второй части rлавы 14 изложены «с помощью чисел»
некоторые предложения книrи Х «Начал» Евклида.
Сначала определяются две рациональные (в длине и в
степени) линии: «Первая линия называется рациональНОЙ
(riti), Т. е. рациональная (ratiotinata) в длине и степени, под
которой понимаются рациональные числа, например 1, 2, 3 и
т. д. У тех, которые суть корни, степень тзкже рациональна,
поскольку от умножения какоrо-либо числа на себя необхо..
димо получается число. Вторые называlОТСЯ рациональными
только в степени (riti potentia solum). Под этим понимается
корень из квадратноrо числа. Этот корень называется rлухИМ,
так как не может быть выражен числом, но ero степень вы..
ражается числом» [346, т. 1, стр. 356]. То, что для обозначе..
ния рациональной величины Леонардо применяет слово
«riti», непосредственно происшедшее от rреческоrо термина,
заставляет, как уже упомянуто, предположить [247], что он
имел перед собой либо rреческий текст «Начал», либо неиз"
вестный сейчас латинский перевод этоrо сочинения с rрече..
cKoro, а не с арабскоrо языка.
Далее следуют определения тринадцати иррациональНО"
стей с характерным для арабских сочинений на ту же тему
смешение 1 аРИфl\lетической и rеОI\fетрической терминол оrии .
Медиаль определяется следующим образом: «Из тринад"
цати иррациональных (inratiocinatis) линий первая является
простой, называеl\fОЙ медиа.пыо (nledia), степень котОрОЙ
есть иррациона.пьная, называемая l'v!едиальной площадью
(superficies media). Так как она средняя в отношении между
двумя соизмеримыми только в степени площап.ями, то под
этой линией понимается корень корня из чис.па, степень ко"
Toporo есть корень из неквадратноrо числа: ведь и все корни
из неквадратных чисел являются средними l\lежду ДВУl\IЯ
нераВНЫl\IИ числами, Т. е. теl\IИ, которые не Иl'vlеют l\lежду со..
бой отношения как квадратное число к квадратному числу.
104
Например, если одно из чисел есть 10, а друrое 12, ТО cpe.lJ;
ним между ними является корень из 120, ПОСКОЛЬКУ 1 О отно.
сится К корню из 120 как корень из 120 к 12» [346, Т. 1,
стр. 356].
Остальные двенадцать «линий» Леонардо определяет как
«корни из чисел, состоящих из двух имен», т. е. корни из ше-
сти биномиалей. Первая биномиаль есть «совокупность числа
и корня, причем степень числа превосходит степень корня на
какой.либо квадрат»; аналоrично определяются и остальные
биномиали. Определения Леонардо иллюстрирует, соответ-
ственно, следующими ЧИСЛОВЫМII примерами БИIIомиалей:
4 + V' 7 , VШ + 7 V 112 V84 4 + VШ, V 20 + 3,
У 20 + Vs Далее формулируются теоремы об И8влечен ии
корня из биномиал ей и ВЫ ЧЕТОВ по фор муле V V А -+ У В ==
"1 / уХ + у А + "1 / УА У А В и таким об р а
v 2 v 2 "
зом, определяются иррациональности второй и четвертой
rексад (Леонардо идет здесь путем, обратным евклидову).
Например: «Корень из третьей БИIlОl\1иали есть линия,
которая называется бимедиалыо (bimedialis), или ИЗ ДВУХ
медиальных вторая; под этим понимается сумма двух кор-
неЙ, соизмеримых только в степени, из KOTOPIJIX один, будучи
YMHO)l{eH на друrой, производит медиальное, т. с. корень из
неквадратноrо числа» [346, т. 1, с тр. 3 57]. П рив еденыI ПрНl\lе-
ры для первой биме диали (V уз V У 27 ), "большей"
(V V14 + уТЗ + V у4" У13 ) р ационально и медиально
квадрирующей (V у 20 + V2 + V Y 20 У2 ) и бим еди-
ально квадрирующеЙ (V У 24 + у? + V у 24 yr).
Аналоrично определяются вычеты (recisi) и формулируются
теоремы об извлечении корней из них.
В следующих разделах rлавы 14 рассматриваются правила
умно}кения корней на корни и числа [346, т. 1, стр. 357], на
корни из корнеЙ [там же, стр. 359], находятся два корня
IIЗ корня, которые, будучи перемножены, п роизводят рацио-
нальное (riton), дается правило а + у ь == V а 2 + ь + 2 V аЬ
и т. д.
Однако Леонардо выходит за пределы тех вопросов,
которые рассматриваются в книrе Х «Начал»: ОН вводит
трехчленные квадратичные иррациональности и кубические
корни.
105
в rлаве "О делении чисел и корней" [346, Т. 1, стр.
374 376] идет речь об уничтожении иррациональности в
1 1
знаменателях дробей не только вида 4 и 4
а + уЬ Уа + уЬ
(для которых это осуществлялось с помощью предложений
112 и 113 книrи Х "Начал"), но и дробей, имеющих в эна..
менателе трехчленные выражения а + Уь + Ус и va +
+ Уь + Ус в частности, произведя преобразование
10 10 (2 + уз УБ) 10 (2 + уз .... У5)
2+V З +V5 (2+Vз)2. 5 2+У 48
t
он сводит вопрос к уже известной задаче.
r Энестрём [237, т. XIII, стр. 66 77] указывает на ошибку
11. Тропфке [447, т. 1 ,стр. 231], считавшеrо, что первый случай
приведения дробей к рациональному знаменателю методом,
отличным ОТ данноrо Евклидом, встречается только позднее
у Кардано. В то же время он полаrает, что это расширение
области евклидовых иррациональностей за счет трехчленных
выражений, возможно, через арабов восходит к учению Апол
лония о «неупорядоченных» иррациональных величинах
(см. [82, стр. 66; 325; 483]). Однако ни О,дин из рассмотренных
нами арабских трактатов не дает доказательства этоrо пред-
положения. Поэтому приходится считать, что Леонардо Пи-
занский исследовал трехчленные иррациональности впервые
и самостоятельно.
Кубический корень, как и у БОЛЫJlИlIства восточных мате-
матиков, с теоретической точки зрения у Леонардо не рас-
сматривается.
Вопрос об источнике знакомства Леонардо с книrой Х
«Начал» обсуждался в литературе [244, 245], причем, как уже
отмечено, был СДелан вывод, что знания в этой области Лео
нар.ДО получил в Византии. В то же время сравнение с pac
смотреННЫl\fИ нами [82] арабскими комментариями к книrе Х
показывает, что Леонардо продолжал восточную традицию,
излаrая предложения Евклида на языке арифметики.
Чрезвычайно интересный результат, знаменовавший важ
ный шаr вперед в изучении иррациональных величин, был
получен Леонардо Пизанским в ero трактате «Flo »l) при ре..
Lllении кубическоrо уравнения х 3 +2х 2 + 10х==20, которое
предложил ему на диспуте Иоанн Палермский. Впервые
«Flo » стал известен историка 1 математики блаrодаря пуб-
ликации Б. Бонкомпаньи в 1857 1862 rr. сочинений Леонар-
1) Буквально «цветок». TaKoro рода названия (8 смысле «избран
ное») были широко распространены в научной литературе Toro времени
[237! Т. VIII J стр. 811.
106
до Пизанскоrо [346, т. 11, стр. 227 252]; подробно исследовал
этот трактат Ф. Вёпке [482].
Леонардо ставит вопрос: возможно ли вообu!е решение
указанноrо уравнения в иррациональностях книrи Х, и дo
казывает, что это невозможно, Т. е. ре шение н е мо жет им еть
вид 11 п, ;;- п , т + V п , -V т + Уn, V т + 1In, V v т+: V п
Значения неизвестной Леонардо считает положительными,
доказательства проводит rеометрически.
Сначала показано, что х не является целым числом.
х З + 2х 2
Действительно, х == 2 10 ,следовательно, х < 2; от..
сюда х == 1, но тоrда х З + 2х2 + 10 == 13 < 20.
а
В то же время х не может быть дробью. Пусть х ==-ь '
а 2
тоrда если 10х дробно, то И 2х 3 также дробно: 2 ---,;2 ==
т п . аЗ р q r
== Ь 2 +т' rде т<b'b3 b3+b2+T' rдер >b1q<b.
Тоrда :З + q t т + r + п/, 10а +- 20. Если 10 : целое, то
аЗ а 2 а
ь3 + 2---,;2 == 20 10 т также целое, что невозможно.
Решение не может иметь вид -V ft ; действительно, так
как 2 === 2 ( х + : ), то в таком случае fрациональная Be
личина равнялась бы иррациональной.
4/
Не может решение иметь и вид 1/ fl.
х З
Так как х + 10 ==
}п уп должна
10
2х2 4r
2 10' то первая бимедиаль 1/ п +
2 2Уn
равняться вычету 10 ,что, как доказано Евклидом,
невозможно. Реш ние не может также имеrь вид т + -V п ,
ибо при подстановке оказывается, что б.иномиал ь равна
рациональному числу.
Аналоrичные рассуждения проводятся и в остальных
случаях.
Получив, таким образом, доказательство cBoero утверж..
дения, Леонардо удовлетворяется приближенным значением
101
корня х== 1.22' 7 11 42'1(зо'V 4 V 40 V ', степень точности кото-
poro очень высока 1 ).
Влияние Леонардо Пизанскоrо сказывается в трактовке
теории иррациональных величин Жаном де Мер [334]. В
третьей книrе ero «Четырехчастия чисел», rде рассматривают
ся вопросы алrебры, находится рассуждение (проведенное
как с помощью линий, так и аналитическим методом) о би-
номиалях и вычетах.
В «Рассуждениях об алrебре» Р. Каначчи один раздел со-
держит вычисления с квадратными и Fубическими корнями.
Числа автор подразделяет на «имеIОlцие корни» И на «rлухие»
(numeri surdi), которые корней не имеют. Примеры, сопро-
вождающие правила, мноr очисленны и разнообразны. Среди
них 40: (Y 25 У9), 10: V 1/ У256 2,(бо ): з)r 320 +
+ V' 20 , v54 16, 1/112+ У7 VV 20 + У8 и. т. Д.
Следующим известным сочинением, rде излаrается теория
квадратичных иррациональностей в арифметической форме,
является «Сумма» Луки Пачоли. В вопросах истолкования
понятия числа иррациональноrо корня этот автор стоит на
той же позиции, что и ero предшественники.
Обзор содержания книrи Х «Начал» Пачоли дает в раз-
деле «Практические операции алrебры и алмукабалы», rде
ПрИ80ДИТ правила действия с корнями, а затем переходит н
«иррациональным линиям из книrи Х Евклида» и к арифмети-
ческой интерпретации содержаlllИХС5I в H Й прелложениЙ2).
В тех случаях, коrда Пачоли выходит за пределы книrи Х, он
иноrда допускает ОUlибки, которые позднее paCCMOTpeJI Кар-
дано в специальном разделе cBoero сочинения (C\f. ниже).
Как и Леонардо Пизанский, Пачоли производит операции
с трехч.пенными ВIJIраiкениями 3J , например, уничтожает ир
рациональность в знаменателе в следующем примере:
y w -vro (Уб + У7 ув)
У6 + у 7' + у а (V6 Y7)2 8
уIO(уб-.+ У7 УВ) ylo (Vб- + У7 ys)(yf68 5)
У 1б8 5 143
1) 3на чение полученное Ф. 8ёпке: х == 1.221 711 42 П1 зз 1V 4 V 38 VI ,5.
По всеА очевидности, в описке зо lV повинен переписчик.
) Не имея в своем раСIIОрЯЖСНИII сочинения Пачоли, мы пользуе'vН-'Я
в данном случае 1I0дробными ОllllсаНIIЯ IИ А. Кестнера t339] , М. Кантора
р92] и Л. Оль ШКII [89).
З) Кантор [192, т. 11, стр. 320] утверждает, что все TaKoro рода рас-
суждения Пачоли ошибочны; r. Энестрём [237, Т. XII, стр. 244] показал
несправедливость этоrо обвинения.
108
Книrу «Начал» 13 Европе, как и раньше на Востоке, счй-
тали однои из важнейших rлав алrебры, и алrебраисты, по-
ВИДИМОМУ, были основательно с ней знакомы. Об этом свиде-
тельствует, например, упоминавшаяся выше мюнхенская py
копись xv в., написанная частично на немецком, частично на
латинском языке. В ней со ссылкой на ал-Хорезми разъяс
няются понятия квадрата, корня и числа и даются примеры
применения правил алrебры. При решении одноrо из них [215,
стр. 60] возникает необходимость разделить числа на «бино-
15 17
миали"
.. / 1381 ' 53 V r 1З 1 ' О которых сказано,
14 т V 196 14 + 196
что они представляют собой "иррациональные и невырази-
мые" линии.
Несколько ниже [215, стр. 62] вводится со ссылкой на Евк-
лида понятие вычета на примере V 600 20.
Автор МlонхенскоЙ рукописи отсылает читателя к «деся
той книrе Евклида, в которой идет речь об этих иррациональ
ных линиях». По ero словам, практические задачи, сводящие
ся к действиям с иррациональными корнями, иноrда нельзя
решить точно, что объясняется различием между числом и
величиной: «Никто не продаст тебе ничеrо за корень из деся
ти, так как это не число; и если разложить в дроби, никоrда
не получишь корня из этоrо числа» [215, стр. 60]. Для точно-
ro решения таких задач необходимо знакомство с «rлухими»
корнями, 110 ЭТО дело учсных, а не купцов (<<pro doctis et
поп pro mercatoris»), так как последние «измеряют все свои
доходы единицами, а не иррациональными корнями». Автор
добавляет, что «мы, у которых нет флоринов и которые боrат-
ства не расходуем, постиrаем нашим разумом также то, что
для купца невозможно» [215, стр. 61]. Здесь же подчеркивает-
ся, что «rлухое число» не является числом «<surdus numerus
поп est numerus»), «потому ЧТО число это то, что измеряет-
ся единицей».
Необходимость изучения теории иррациональных величин
обоснована тем, что при решении вопросов алrебры встре-
чаются такие, «которые никоrда не MorYT быть решены с по-
мощью числа, а только с помощью rлухих (in surdo), и тот,
кто не знает о rлухих, а таК)I{е о полученных сложением и
нычитани(!м, о биномиалях и вычетах и о друrих иррацио-
нальных, ничеrо хорошеrо в арифметике не придумает» [215,
стр. 64].
СвидетеЛЬСТВа знакомства алrебраистов Xv в. с античной
теорией квадратичных lIррациональностей МЫ находим и в
друrих сочинениях.
109
примеры1' служащие иллюс'tра циями к п редложениям
книrи Х "Начал", в частности, y 14 + VТВO"=' 3 + уБ" при-
водятся в трактате Никола Шюке [352, стр. 709]. На эту кни-
ry "Начал" ссылается также Иоrанн 8идман, указывая, что
в ней Евклид "ясно и достаточно" (klerlich und genugsam)
разъяснил вопросы, связанные с несоизмеримыми величина..
ми [157, стр. 208].
s 12. Теория отношений
Античная теория отношений, иrравшая столь важную роль в
математике стран ислама, заняла не менее значительное мес-
то в трудах средневековых европейских ученых. Сфера ее
приложения расширялась за счет естественных наук и, преж-
де Bcero, механики и физики, которые с течением времени на-
чали привлекать все большее внимание. Коrда в XIV в. были
сделаны первые попытки количественно выразить физические
процессы, аппаратом для этоrо служила теория отношений
[57 59, 123,209,360].
Напомним, что античные математики, исходившие из при н-
ципиальноrо различия между понятиями числа и величины,
создали две теории отношений ........ для целых чисел и для
непрерывных величин. Теория числовых отношений была
изложена в книrе VII «Начал» Евклида, а позднее...... в не-
сколько ином плане во «Введении В арифметику» Нико
маха.
Общая теория отношений непрерывных величин является
предметом книrи V «Начал», сыrравшей особую роль в исто-
рии математики. Отношение здесь определяется как «некото-
рая зависимость двух однородных величин по количеству.
«Центральное место в системе определений книrи V зани-
мают четвертое, часто называемое «принципом непрерывнос-
ти», И знаменитое пятое определение равенства отношений.
«Принцип непрерывности» состоит в утверждении, что в
отношении между собой MorYT находиться не всякие две ве-
личины, а те, которые, «взятые кратно, MorYT преВ30ЙТИ друr
друrа»; примером величин, не удовлетворяющих этому усло-
вию, являются так называемые роrовидные уrлы (см. выше).
ФОРМУЛИРОrJка пятоrо определения, соrласно Евклиду, сле-
дующая: «rоворят, что величины находятся в том же отно-
шении: первая ко второй и третья к четвертой, если равно-
кратные первой и третьей одновременно больше, или одно-
временно равны, или одновременно меньше равнократных вто-
рой и четвертой каждая каждоЙ при какой бы то ни было
кратности, если взять их в соотнетственном порядке» [54, т. 1,
стр. 142]. I/Iли друrими словами, величины а и Ь находятся МеЖ
110
ду собой в том Же отноtпении, что и величИНЫ с и d, если длst
произвольных целых чисел т и п либо та > пЬ, те > пd.
либо та == пЬ, те == nd, либо та < пЬ, те < nd.
Выше мы отмечали, что уже в античной математике в
поздний период ее истории на отношение начинали CMOT
реть, как на некоторое обобщение понятия числа, о чем сви
детельствует появление понятия «количества отношения»,
вставленное и в «Начала» (книrа VI, определение 5) KOMMeH
таторами труда Евклида.
Вся дальнейшая история книrи V Евклида, выражаясь
СJIовами д. д. Мордухай-Болтовскоrо, «эТо........ история ариф
метизаuии rеометрии, история ЭВОЛIОЦИИ идеи числа» [85,
стр. 255].
Последовательной арифметизации общая теория отноше-
ний подверrлась в математике стран ислама, rде была осозна
на необходимость рассматривать отношения с вычислитель
ной точки зрения. Определение Евклида было заменено дpy
rим, которое возрождало раннее rреческое (<<атифайретиче
ское») определение, основанное на алrоритме Евклида.
Кроме Toro, восточные математики обоrатили античное
учеllИ теориеЙ составных ОТНОllJений, что означало важней
ший шаr в развитии понятия числа. «Составное отношение»,
соответсrВУlощее современному понятию произведения OTHO
шений, фиrурировало и в книrе V «Начал» (определения 9 и
10); однако речь здесь шла только о случаях «двойноrо» И
«тройноrо» отношения, т. е., с нашей тQчки зрения, о возведе-
нии отношения в квадрат или куб. В книrе VI используется
понятие cocTaBHoro отношения для общеrо случая, но без вся
Koro обоснования.
Арабские авторы дали систематическое изложение теории
СОСТаВНЫХ отношений, что привело их !3 XII в. (Омар Хайям)
к теоретическому распространению понятия числа на отноше
ния величин. Наиболее ранними сочинениями об отношениях
были трактаты Ахмада ибн Юсуфа ал Мисри (IX X вв.)
[148, 427], Сабита ибн Корры ал Харрани (ум. ок. 901 r.) [98,
148, 380, 427] и Абу Юсуфа Якуба ал I-<инди (ум. ОК. 873 r.)
[355, 427].
В Европе учение об отношении стаа 1 10 известно задолrо до
появления первых переводов арабских сочинений по rрече
ским источникам «Началам» Евклида и «Введению в ариф
метику» Никомаха.
Применение учения об отношениях в теоретической ариф
метике по Никомаху воспроизвел в своем трактате БоэциЙ
(см. выше): он дал определение отношения (<<Взаимная за
висимость двух выражений») и пропорции (<<Равенство двух
отношений»), а затем подробно рассмотрел непрерывную
пропорцию.
111
13 дальнейшем при изложении теории числовых отношениА
часто объединялось почерпнутое из «Начал» Евклида и
трактата Боэция.
О том, что европеЙские математики обратили на общую
теорию отношений особое внимание, свидетельствует, напри
мер, отрывок из мюнхенской рукописи Х в., опубликованный
М. Курце [217], rде содержится латинский перевод 18 опре-
делениЙ из книrи V «Начал». Евклидова теория отношений из
лаrа.п:ась также в ранней средневековоЙ версии «Начал», при
писываемой иноrда БОЭЦИIО (см. так)ке [360]).
В XII в. ученые Европы познакомились с теорией отноше..
ний в арабской интерпретаuии. Источниками служили, во пер.
вых, арабские версии «Нача.п:», BO BTOpЫX, специальные сочи
нения о рассматриваемой теории.
Несомненно, orpoMHoe влияние на развитие теории отно-
шений в Европе оказал трактат Ахмада ибн Юсуфа ал Мис-
ри, переведенный [ера'рдо Кремонским под названием «Epi-
stola de proportione et proportionaIitate» (имя автора в TpaH
скрипции переводчика Ametus fiIius Josephi). Этот TpaK
тат имеется сейчас в мноrочисленных рукописях [145, 148,
192, 193, 209, 360, 415, 416]; в 1960 r. было осуществлено ero
критическое издание (см. [360]). Ссылки на Hero встречаются
у Леонардо Пизанскоrо, Кампано, Брадвардина и друrих aB
торов. Именно из этоrо сочинения в Европе стала известна
теория составных отношений, прочно вошедшая затем в Ma
тематику.
Получил распространение перевод трактата об отноше-
ниях ал-Кинди, озаrлавленный в одних рукописях «Tractatus
de proportione et proportionaIitate» [145], а в друrих «Ое sex
quantitatibus» [415].
[ерардо Кремонский перевел также сочинение Сабита ибн
Корры о составных отношениях; латинский текст и ero He
мецкий перевод были опубликованы А. Бьёрнбо [148].
Однако в Европе теория отношений претерпела значитель
ные изменения в сравнении как с аНТИЧНЫl'vl, так и с восточным
ее вариантами. К такому выводу пришли Дж. Мэрдок В ос-
новательном исследовании «языка отношений» европейской
средневековой математики [360], а затем А. Молланд, обра-
тивший внимание на применение этоrо языка в rеометрии
[356]. Оказывается, что в латинских сочинениях изменились
формулировки основных определениЙ теории отношений, в
чем можно видеть отражение некоторых особенностей мате-
матики этоrо периода, в частности, стремление к арифметиза-
ции античных rеометрических теорий.
Основные моменты теории Евдоксз, по видимому, поняты
не были. Вместо «принципа непрерывности» обычно фиrури
ровало определение непрерывной пропорциона.пьности. Напри
мер, в изданном r. Бусардом переводе «Начал», принадле-
112
Жащем tepMaHY из Каринтии, сказано: «Величины, О KOtO-
рых rоворится, что они имеют непрерывную пропорциональ-
ность, суть те, равнократные которых либо равны, либо рав-
но без перерыва увеличиваются или уменьшаются» [183,
стр. 96]; Т. е. а, Ь, с непрерывно пропорциональны, если и та,
тЬ, те непрерывно пропорциональны, т. е. та: тЬ==тЬ: тс.
По-иному определялось и равенство отношений. Как опре-
деление Евдокса, так и «антифайретическое» определение
восточных математиков, известное на Западе по переводу
комментария Ан-Найризи [221], воспринято не было: обычно
утверждалось, что а: Ь == е d тоrда и только тоrда, коrда
та : пЬ ==те : nd.
Дж. Мэрдок приходит К выводу, что «в результате неуда-
u .
чи с попыткои понять евдоксову заrадку пятои книrи латин-
ский Запад потерял два вполне общих критерия равенства от-
ношений, которыми он владел» [360, стр. 261].
Взамен этих критериев был выдвинут новый, который спо-
собствовал дальнейшему развитию понятия числа: равенство
отношений стало определяться равенством их «знаменова-
ний». «3наменование» (denominatio) отношения представля-
лось как число, целое или дробное, которое выражает это от-
ношение.
Такой подход облеrчил дальнейшую арифметизацию Тео-
рии отношений. Особенно важную роль при этом сыrрала тео-
рия составных отношений, появившаяся уже в ранних вер-
сиях «Начал». Составное отношение рассматривалось, КаК
произведение чисел, «знаменующих» исходные отношения.
По мнению Дж. Мэрдока, «можно сказать, что средние
века, как арабские, так и латинские, находились внекотором
роде на полпути между строrим rреческим отделением вели-
чины от л.искретных количеств (т. е. чисел) и, с друrой CTO
роны, утверждением Джона Валлиса, что вся пятая книrа
«Начал» Евклида есть арифметика» [360, стр. 271].
Необходимо, однако, отметить, что понятие «знаменова-
u .
ния», как и основанныи на нем критерии равенства отноше-
ний, применялось вплоть дО XVI в. только к числовым, т. е.
рациональным отношениям.
Термин «знаменование», обозначавший в первоначаЛЬНО)1
философском ero ПРИl\1енении определение вещи с помощью
атрибута, причины или, в общем Сl\lысле, аналоrии встречал-
ся и в раннесредневековых математических сочинениях; нап-
ример, у Сакробоско число 20 «знаменуется» пальцевым чис-
лом 2 [356, СТр. 167........168]. В теории отношений оно служило
некиим арифметическим аналоrом понятия отношения двух
величин. Применение ero в этом смысле встречало, однако,
затруднения в связи с иррациональностью «знаменования в
случае несоизмеримости рассматриваемых величин; оно Mor
8...113
113
по быть устранено gвеДеНием nонятйя Ирр nИо"аЛЬноrо чис-
ла, но такой шаr и явился самым трудным в истории учения
о числе. Как будет показано, европейские средневековые ма-
тематики ощущали незавершенность своей теории и стреми-
лись каким-то образом уйти от возникших при этом лоrиче-
ских несоответствий.
Наиболее ранний пример применения понятия «знамено-
вание» в математике, не заl\1еченный исследователями, встре-
чается во «Введении В арифметику» Боэция.
Рассматривая четно-нечетные числа [151, rл. ]0], Боэций
относит к ним те, «все части которых имеют противополож-
ные знаменования», вводн также ПОIIЯТИС «величин частей,
которые знаменуются». При этом он утверждает, что «если
знаменование чеТIIое, величина части будет нечетной, а если
знаменование нечетное, величина будет четной». Разъясне-
ние дано на примере ч тно-нечетноrо числа 18: половина ero,
т. е. вторая часть, имеющая четное «знаменование» 2, есть 9
и представляет собой нечетную «величину»; третья часть с
нечетным «знаменованием» 3 есть четная «величина» 6, а
шестая часть (<<знаменование», Т. е. 6, четно) имеет нечетную
«величину» 3, т. е. 18==9+9==3+3+3+3+3+3. Число сла-
raeMbIx в ка)I{ДОМ разбиении или, друrими СJIовами, покаэа-
тель «доли» называется «знаменованием». Этот же термин
применяется и позднее в rлаве 11 сочинения Боэция.
В более узком смысле, как «знаменование отношения»,
рассматриваемый термин применен [ерардо Кремонским в
переводе комментариев ан-Найризи к у:ниrе V «Начал» Евк-
лида.
После формулировки 9 определения книrи V (<<коrда три
величины пропорциональны, rOBopSlT, что первая к третьей
имеет двойное отношение первой ко второй») дается ero под-
робное разъяснение. Рассматривается число, «которым пер-
вая величина измеряет вторую», И утверждается, что оно,
«будучи умножено на себя, производит число, которое яв-
ляется отношением первой к третьей»; то же справедливо и
для четырех, пяти и т. д. величин, находящихся в непрерыв-
ной пропорции [221, стр. 164]. В следующем за этим примере
приводятся конкретные «числа, знаменующие (denominans)
отношения».
Однако у нас все же нет достаточно веских оснований для
утверждения, что термин «зна1\1енование отношения» ...... араб-
cKoro происхождения. rерардо Кремонский, знакомый, по-
видимому, с теРl\lинолоrией Боэция, применил этот термин,
ВОЗМО)l{НО, по ПРИl\1еру последнеrо.
Несомнснное DЛlIянне восточноЙ теории составных отно-
шений МЫ наблюдаем в «I<ниrе абака» Леонардо Пизан-
cKoro. Упомянутое выше «цепное правило» для отыскания ве-
114
личин, связанных несколькими nроItорциями, названо «ffgura
cata» или «figura chata» (транскрипция арабскоrо «шакл ал-
катта» фиrура секущих) и при ero объяснении сделана
ссылка на Птолемея и Ахмада ибн Юсуфа ал-Мисри (Ametus
filius).
Теория составных отношениЙ применяется, например, в
следующей задаче: сколько дней можно кормить 10 лошадей
16-ю единицами веса ячменя, если 5 лошадей съедают за
9 u 6 9.16.5
днеи таких единиц; решение: б.lU == 12.
Кроме конкретных чисел, для TaKoro рода задач приме-
няются и буквенные обозначения: а лошадей съедают Ь ячме-
ня за с дней, d лошадеЙ съедят е ячменя за f дней; тоrда
произведения аес и dbf равны. Это можно выразить и по-ино-
l'vIY: каждый сомножитель первоrо произведения находится к
какому-либо сомножителю BToporo произведения в отношении,
u е db
составленном из двух друrих отношении; например, ......... / === .
ас
Таких комбинаций для первых трех чисел может быть 18;
именно о них идет речь в сочинении Ахмада ибн Юсуфа, на
которое ссылается автор «Книrи абака»: «Ахмад сын рас-
смотрел восемнадцать комбинациЙ из них в КIIиrе, которую
он составил об отношениях».
Важнейшее значение для развития теории отношений И, в
частности, для широкоrо распространения понятия «знамено-
вания» имела, как нам кажется, «Арифметика» Иордана Не-
морария [324]. Из десяти составляющих ее книr в четырех
(книrи II V) излаrается теория отношений; на доказанных
в них теоремах основывается все дальнейшее изложение.
НеморариЙ рассматривает определения и предложения из
книr VII IX «Начал» Евклида и из «Введения В арифмети-
ку» Никомаха (или сходные с ними), но вводит также новое
понятие «знаменования» отношения и излаrает с ero помощью
теории cocTaBHLIX отношении целыIx чисел.
Во введении, определив понятия числа (<<величина, яв-
ляющаяся собранием дискретностеЙ»), натура.пьноrо ряда
чисел, разности, произведения чисел и 1. д., Неморарий дает
определение «соизмеримости» чисел: «rоворят, что число пе-
ресчитывает друrое, если оно производит ero, будучи умно-
жено на некоторое число». Повторив евклидово определение
«доли» (<<части»), он .rоворит: «Знаменующим (denominans)
является число, соrласно которому берется доля от целоrо»;
«доли» (<<части») определяются, как «знаменующиеся тем же
числом». Этими же понятиями Неморарий пользуется и в
постулатах: «Доля всякоrо числа меньше це.поrо», «Меньшей
является всякая доля с большим знаменующим», «Единица
есть доля всякоrо числа, знаменующаяся этим числом» И т. д.
]15
Таким образом, в первой книrе ТерМИН «зitамеttование»
по существу применяется, как и у Бо ция, для обозначения
знаменателя данной дроби.
Вторая книrа начинается с основных определений теории
числовых отношений:
«Отношение есть зависимость двух однородных величин,
одной к друrой, по количеству»;
«rоворят, что числа находятся в отношении к числам, Kor-
да меньшее составляет от большеrо ДОJIЮ или доли; большее
же к меньшему коrда оно содержит ero и ero долю и доли»;
«Непрерывная пропорциональность имеет место, коrда
средние члены не отличаlОТСЯ друr от друrа: она может со.
стоять са мое меньшее из трех членов, средниЙ из которых яв-
ляется общим. Ненепрерывная пропорция ....... это такая, в ко-
торой существует разрыв между средними. Поэтому требует-
ся, чтобы по меньшей мере второй и третий из четырех чле-
IIОВ были взяты как средние. Если имеются три непрерывно
пропорциональных числа, то rоворят, что первое к третьему
имеет двойное отношение первоrо ко второму, а в случае че-
тырех отношение первоrо к четвертому тройное».
В следующем определении Неморарий впервые пользует-
ся понятием «знаменования отношения»: «Коrда же эти или
обратные отношения будут продолжены, то rоворят, что от-
ношение первоrо к ПОСJIеднему составлено из остальных. ro-
ворят, что знаменование отношения меньшеrо к большему
есть ДОJIЯ или доли, которые оно составляет; знаменование же
отношения большеrо к меньшему есть число, определяющее,
сколько раз меньшее содержится в большем и составляет от
Hero долю или доли. Равными называются отношения, имею..
щие одно и то же знаменование; большим которое имеет
большее знаменование, меньшим меньшее».
1
Таким образом, от числа п, "знаменующеrо" долю и
п
т Н u
доли п ' еморарии переходит к понятию "знаменования
1
отношения", под которым по существу понимает дробь
п
т
ИЛИ п ' выражающую рассматриваемое отношение.
В третьей книrе, содержащей учение о простых ЧИСЛЗ)f,
пuвторяются, rлавным образом, рассуждения из книrи VII
«Начал», в четвертой излаrается теория непрерывных про..
порций из книrи VI 1 1 «Начал», в пятой ........ теория составных
отношениi'I. Здесь Неморариi'I дает правила составления и вы-
деления отношений. называя эти операции «с.пожением» И
«вычитанием» И определяя их следующим образом: «rоворят,
что всякое отношение сложено с каким-либо друrим, если они
составляются вместе. Разностью двух отношений называется
116
такое отношение, о котором rоворят, что ОНо является избыт-
ком одноrо над друrим».
Далее следуют предложения относительно отношений и
операций над ними; например, в первом утверждается: «То,
что является избытком отношения первоrо члена ко второму
над отношением TpeTbero к четвертому есть отношение между
произведением первоrо члена на четвертый и произведением
u ( ас ad )
BToporo на третии» т. е. 'ь d означает Ьс ·
Теорию числовых отношений Неморарий широко исполь-
зует в книrах II IV трактата «О данных числах» [63]. Фор-
мулируя и решая задачи, он обращается с отношениями, как
с дробями, на ОСIIовании введеНIIоrо им понятия о целом и
дробном «знаменовании» отношения.
Приведем, например, решение второй задачи из книrи 11
этоrо сочинения: «Если дано отношение заданноrо числа к
какому-нибудь друrому, то отсюда следует, что будет дан-
ным и это последнее. Если отношение выражается целым чис-
лом, то неизвестное число определяется леrко. Если отноше-
ние выражается дробью или смешанным числом, то задача
решается леrко, если данное число является последующи r
членом отношения; в этом случае для нахождения предыду-
щеrо члена надо данный последующий член умножить на це-
лую часть отношения, взять ero части, соответствующие дроб-
ным частям отношения, и затем сложить все полученные
члены (например, 16 (3 + ) == 48 + 8 + 4 == 60 ). Если
же является данным преДЫДУULИЙ член, то ero надо разде-
лить на знаменатель отношения; таким образом определится
последуюuJ.ИЙ" [63, стр. 579].
ПРСДЛО)КСlIное Иорданом Неморарием построение теории
целочисленных отношений с применением понятия «знамеНQ-
вания отношения» стало вскоре традиционным.
Большую популярность получил также комментарий Кам-
пано к книrе V «Начал», В котором видели образец изложе-
инн оБUJ.ей теории отношений. Кампано был, по-видимому,
также автором специальноrо сочинения об этой теории «Ое
proportionc et proportionalitate», rде 011, судя по всему, ком-
ментировал трактат Ахмада ибн Юсу(lJа; это сочинсние I<ампа-
110 имеется в нескольких рукописях [145, стр. 240], но, на-
сколько известно, до сих пор остается lfеисследованным.
В определении 3 КIIиrи V «I ачал» 1) l(а мпа 110 разъясняет
сущность отношения: «Отношение есть определенная зависи-
1) CTralJHILbI в IIЗJL3IJиlt «11;1'1(\,11» 14R2 [' [267]. которым мы пользуемся.
не нумерованы; поэтому вводим УСЛОВНУIО нумерацию ДЛЯ каждой книrи
этоrо сочинения,
111
мость (состояние, habitudo) двух каких-либо однородных ве-
личин одной к друrой». Он ОТl\fечает, что отношение l\fожет
иметь место не только между rеометрическими величинами,
но и между весами, силами и звуками; отношения весов и сил
описаны в сочинении Платона «Тимей», а отношения зву-
ков .......... у Боэция. Со ссылкой на Аристотеля Кампано rOBO"
рит, что наиболее простым случаем является отношение reo-
метрических величин, свойства KOToporo рассмотрел Евклид.
В отношении MorYT находиться равные и неравные, но обяза-
тельно однородные величины.
Далее рассматривается различие между отношением чи-
сел, всеrда рациональным, и отношением rеометрических ве-
личин, которое может быть как рациональным (в случае со-
измеримости состаВсПЯЮIILИХ ero величин), так и иррациональ.
ным (если эти величины несоизмеримы). Отсюда следует, что
«rеометрическое отношение более абстрактно, Чеl\f арифмети-
ческое» .
Пропорциональностью Кампано называет подобие (simili-
tudo) отношений (определение 4) и различает непрерывную
(continua) иненепрерывную (incontinua) пропорциональ-
ность.
Между величинами существует непрерывная пропорцио-
нальность, если их «равнократные либо равны, либо равно
увеличиваются или уменьшаются» (определение 5). Разъяс-
няя это определение, Кампано рассматривает три однород-
ные величины а l ы с и их равнократные d, е, f (на полях
даются числовые значения а==4, Ь==2, с==l, d==12, е==6, '==3);
между а l ы с существует непрерывная пропорциональность,
если d: е==е : '. Друrими словами, «непрерывно пропорцио-
нальные суть те, все равнократные KoropbIx непрерывно про-
порциональны» (книrа V, стр. 3).
Ненепрерывная пропорциональность отличается от непре-
рывной тем, что она может быть установлена и между раз-
нородными величинами: две первые из четырех данных вели.
чин MorYT относиться к одному роду, две слеДУЮIJLие ....... к дру-
rOMY.
Далее вводится понятие равенства отношений (определе-
ние 6), соrласно которому а: Ь == с : d тоrда и только тоrда,
коrда та: nЬ==тс: nd. Это определение, в корне отличаю-
щееся от данноrо Евдоксом, как уже отмечалось, стало обыч-
" u
ным В европеискои математике.
После определения пропорциональных величин, т. е. ве-
личин, находящихся в одном и том же отношении (определе-
ние 7), и подробноrо разъяснения случая, коrда отношение
двух величин Не равно отношению двух друrих (определение
8), Кампано формулирует по Евклиду определения двойноrо
118
.
" троиноrо, а затем «переставленноrо», «перевернутоrо ,
«присоединенноrо» и друrих видов отношения, а также «пере
.мешанной» пропорции.
В конце этоrо раздела дается общая сводка приведенных
определений и ОТl\lечено, что принципы книrи V «Начал» MHO
v
rим кажутся чрезвычаино трудными, а слеДУЮIцие из них
выводы весьма непонятными.
Особоrо внимания заслуживает рассуждение Кампано о
различии между рациональным и иррациональным отноше
нием: «Если бы всякое отношение было познаваемым, или
рациональным, тоrда было бы леrко постиrнуть разумом, что
такое отношения, одинаковые или различные. Те, которые
имели бы одно знаменование, были бы одинаковыми, KOTO
рые же разные разными. Эта леrкость обнаруживается в
арифметике, поскольку отношение любых чисел является поз
HaBaeMbI1\1 и рациональным. Поэтому Иордан в шестой книrе
своей «Арифметики» определил, какие ОТIIОПlения являются
одинаковыми и какие различными. 01--1 сказал, что одинако
вые это те, которые имеют одно и то же знаменование;
большее же которое имеет большее знаменование, MeHЬ
шее меньшее. Однако существует бесконечно MHoro ирра
циональных отношений, знаменования которых непознавае
мы, а потому Евклид рассматривал в этой своей книrе OTHO
Пlения вооБIllе, не уточняя, ряционалыlеe они или иррацио
нальные» [267, книrа V, стр. 11].
Таким образом, Кампано совершенно ясно rоворит, что
критерий равенства «знаменований» может быть применен
лишь к числовым ОТНОIпениям. Для произвольных же величин
«нельзя определить равенство (idemptitas) отношений через
равенство знаменований, как в арифметике, ибо, как сказа
но, знаменования мноrих отношений просто неизвестны» [267,
книrа V, стр. 11]; поэтому к ним применимо только указанное
определение равенства с помощью равнократных, которое
Кампано приписывает Евклиду.
Несколько ранее, однако, рассматривая двойные и трой
ные отношения [267, книrа V, стр. 7], он дает БОLТIсе широкое
толкование понятия «знаменования»: «3наменование отноше
ния двух величин, 1\1ежду которыми не вставлена никакая
средняя, имеет ПРИРОJ1У линии. У Т('Х же, 1\1ежду КОТОРIJIМИ
попадает одно среднее в непрерЬТВIIОl1 I1РОП()РUИИ, знаМСII()
вание ИМеет природу поверхности, так как ПРОИСХОДИТ от YM
ножения знаменований двух первых 3наменование OTHO
шения величин, между которыми в непрерывной пропорции
находятся две средние, имеет телесную природу, так как воз
никает от умножения двух первых знаменований; все же,
что получается от умножения линии на поверхность, приоб
ретает значение тела». Друrими словами, если а: Ь == Ь : C то
119
f == (ту и, следовательно, : имеет природу квадрата или,
как сказано в друrом месте, "знаменуется квадратом" .
Если а:Ь == Ь:с == c:d, то 7 == ( : )3 и "знаменуется кубом".
В заключение Кампано утверждает, что данные определе-
ния не следует пытаться доказать; доказательству подле1Кат
только выводы, вытекающие из них. Он подверrает критике
попытку доказательства определений Евклида, сделанную
Ахмадом ибн Юсуфом, которая основана на порочном Kpyre
рассуждения; так, доказывая определение равенства отноше-
ний, Ахмад ибн Юсуф использовал принципы, уже предпола-
rающие, что понятие равенства отношений известно [267,
книrа V, стр. 12]; (см. [360, стр. 253]).
В книrе V КампаНQ дал также доказательства иррацио-
нальности «золотоrо сечения» [192; 237, т. VII, стр. 380, т. IX,
стр. 153].
В XIV в. теория отношений используется не только в те-
оретической арифметике и в алrебре, но и при рассмотрении
rораздо более широкоrо Kpyra вопросов и прежде Bcero для
математическоrо выражения законов физики. Новый подход
ярко отразился в трактате Томаса Брадвардина «Об отноше-
ниях», который был исследован Кросби в 1955 r. и опублико-
ван им вместе с анrлийским переводом [209].
В трактате изучаются движения и скорости. В первой rла-
ве Брадвардин, исходя из утверждения Аристотеля о сущест-
вовании пропорциональной зависимости между движением и
скоростью, рассматривает теорию отношений, как основу ис-
следования. Опирается он на Боэция, Каl'vfпаIIО и АХl\1ада ибн
Юсуфа. В противоположность Неморарию, он упоминает не
только рациональные, но и иррациональные отношения [209,
стр. 66]. Рациональным названо отношение, которое «непо
средственно выражается каким-нибудь числом, например,
двойное отношение, тройное и т. д.». Иррациональное отно-
шение это такое, «которое не непосредственно знаменуется
каким-либо числом, а лишь с помощью взятия половины
(medietas) ».
Таким образом, под «выразимостью» отношения Брадвар-
дин понимает нахождение показатеll1JЯ двойноrо, тройноrо и
вообще KpaTHoro рациональноrо отношения; для иррацио-
нальноrо отношения он вводит понятие «половинноrо» пока-
1
I ) 2
зателя, т. е. : Как пример приводится отношение сто-
роны и диаrонали квадрата, которое знаменуется "полови-
ной двойноrо отношения".
120
По словам Брадвардина, рациональные отношения рас.
сматриваются, rлавным образом, в арифметике и классифи-
цируются в соответствии с учением Никомаха. Иррациональ-
ные отношения рассматриваются в друrих естественных
науках.
Основное внимание Брадвардин уделяет теории целочис-
ленных отношений и непрерывных пропорций и видит в раз-
личии между видами пропорций отражение аристотелевскоrо
различия между непрерывным и дискретным; ссылаясь на Ax
мада ибн Юсуфа, он утверждает [209, стр. 74], что если He
прерывная пропорция СУlцествует только между однородными
членами, то дискретная может состоять из членов разноrо
рода, например из сил и скоростеЙ.
В последнем разделе первой rлавы CBoero трактата Брад-
вардин приводит ряд аксиом (совпадающих с определениями
книrи V Кампано) и предложений теории отношений. равныI-
ми он называет отношения, имеющие равные «знаменования».
Столь же важное место занимает теория отношений и в
друrом сочинении Брадвардина «Теоретическая reOMeT-
рия», впервые изданном в 1495 r. [192, 209]. Ей отведен третиЙ
раздел этоrо трактата (в первых двух рассматривается уче-
ние о звездчатых мноrоуrольниках и изопериметрических фи-
rypax, а в четвертом некоторые теоремы о пространствен-
ных фиrурах). Здесь рассуждения Брадвардина во MHoroM
совпадают с рассуждениями Неморария. Так, он I'ОВОрИТ о
«знаменовании» отношения, имея в виду, что «как одна ве-
u
личина относится к друrои, так знаменуется отношение между
НИМИ». Равны те отношения, «у которых равные 3HaMeIlOBa
ния». Так как «всякая величина пропорциональна всякоii
u
величине, но не всякая соизмерима LO всякои», рассматри
ваются не только рациональные, но и иррациональные отно-
шения, имеющие 1\1есто соответственно между соизмеримы-
ми и несоизмеримыми величинами.
Важный шаr в развитии теории оrношений сделал Нико-
лай Орем, видевший в ней, как и Брадвардин, аппарат для
исследования физических явлений. Эти вопросы он рассмот-
рел в сочинениях «TI.actatus de proportionum» и «Algorismus
proportionum» (иначе «Tractatus de proportionibus proportio-
num») .
В первом из них [59, 123, 192] теория отношений излаrает
ся в стиле Неморария. Особое внимание уделено отношениям
движений, в частности, дви)кений небесных тел, а также соиз-
lерИ 10СТИ и несоизмеримости этих движений.
Второе из названных сочинений осталось неизданным в
средние века, но было распространено в рукописях. Впервые
ero опубликовал М. Курде в 1868 r. [210]; недавно оно было
издано вновь [375] (см. также [297]).
1 ?1
Во введении по анапоrии с ДВОЙНЫМ, тройным и Т. д. от-
ношениями Орем определяет половинное отношение, отноше-
ние одной трети, четвертное отношение и т. д. И вводит для
них специальные обозначения. Так, двойное отношение он
обозначает через 2 a, тройное через з а, половинное че-
р 1 3
рез 1. 2" и т. Д. Соrласно определению Орема, если а::= Ь
1
--- а 12
С == 11 ь, то == ь т. е. это отношение является полу
с
торным. Таким образом, здесь впервые были применены
степени с дробным показателем.
Под отношением (proportio) Орем всеrда подразумевает
отношение большеrо члена к меньшему; н противном случае
речь идет о дроби (fra ctio ) .
Рациональное отнощение всеrда «выражается через свои
члены, или наименьшие числа»; иррациональным Орем назы
вает отношение с дробным показателем.
Далее рассматривается девять правил составления отно-
шений (вместо термина «составление» применяется, как и у
Иордана Неморария, слово «сло}кение»).
1. правило "сложения" рациональныIx ОТНОll1ений
а с ас
Ь d == bd равносильно современному умножению дробей;
4 5 20 2 ( а ) 2 а'2 ( а ) 3 аЗ
например, 3. Т === 3 == 6 3; в частности, ь =:= 7)2' \Ь == ь3
и т. д. Сделана ссылка на б-е предложение книrи V "Ариф-
метики" Неморария;
11. правило "вычитания" рациональныIx
а с ad б u
ь d :=: Ьс равнuсильно делению дро еи; например, если
:3 " 4 3.,1 9 О
от "отнять 3' ,yдeT 4.2 == 8. стальные правила MorYT
быть выражены в COBpeMeHHhIX обозначениях следующим
образом:
отношений:
ш. а: == (а т ) a == ( a Y (a yf:- == a ;
IV (а т ): (а m: )-h (aт) == (а тр )
1 1
v. аЬ n == (ап.ь)п
111
VI. ь: == ( :п уп == ( оь п уп
ь п
1 1
а == ( Уn;
ь п
127
1 1 1 1 1
L 1 аn ( )"п
ае.ь! == (а!. bl) e/
VII VIII. а т === а тр
, 1 Ь
I
ь n
1 1 1 1 1
(т)п
........... ......... а ll
IX. аn.ь п == (аЬ) п
}""'"".
ь ,.
Во втором разделе трактата излаrаются дальнейшие пра-
вила действий с отношениями, а в третьем даны приложения.
Например, показано, что правильный вписанный 2n-уrольник
есть среднее пропорциональное между вписанным и описан-
ным правильными n-уrольниками.
Как на источники, помимо Неморария, Орем указывает
на Евклида и Боэция.
С той же точки зрения раССl\Iатривал в XIV в. теорию от-
ношений и Альберт Саксонский, который изложил ее в нача-
ле cBoero сочинения (<<Tractatus proportionum» [130]) о дви-
жении и скоростях. Он повторяет определения отношения,
соизм:еримых и несоизмеримых величин и вводит понятис
рациональноrо отношения для двух соизмеримых величин, не-
посредственно выражающеrося каким либо числом. Приме-
ром иррациональноrо отношения служит отношение диаrона-
ли квадрата к ero стороне; оно обозначается термином Оре-
ма «половинное отношение».
Разницу между рациональным и иррациональны:м: OTHO
шеНИЯ IИ Альберт Саксонский, как и Брадвардин, видит в
том, что первое справедливо для дискретных и непрерывных
величин, тоrда как второе лишь для непрерывных и по-
этому рассматривается только в rеометрии. Подробно излаrа-
ется теория числовых отношений.
Идеи Брадвардина и Орема нашли применение в мате-
матике последующеrо столетия. В частности, .:1 то относится
к понятию дробноrо показателя степени. Вот отрывок из ру-
кописи 1458 r., опубликованный М. Курце [216, стр. 7]: «Тре-
буется доказать, что диаrональ квадрата имеет к стороне
половинное отношение. Пусть имеется !{вадрат adef, диаrональ
KOToporo ed; она делится пополам в точке Ь. Чертится друrой
квадрат bdca, диаметром KOToporo необходимо будет сторона
первоrо квадрата ad. Следовательно, как диаrональ большо-
ro КВt\драта ed относится к стороне Toro же квадрата ad, так
ad' диаметр меньшеrо квадрата относится к стороне этоrо
l\lеньшеrо квадрата bd. Но [отношение] первоrо, Т. е. ed,
к последнему, т. е. bd, есть двойное отношение, по условию;
отношение краЙних составляется (componitur) из отношений
средних, как утверждает Евклид в определении 19 седьмой
123
книrи и как основательно доказывается во второй книrе
о 36 видах отношений l ). Так как средние находятся в не-
прерывном отношении, то необходимо следует, что ed к ad
находится в половинном отношении, ad к аЬ в таком же
отношении».
Большое внимание уделено теории отношений и в «Науке
О числах, изложенной в трех частях» Никола Шюке. В rла..
пе 3 первой части после определения отношения [352, стр 621]
он рассматривает различные виды числовых отношений и пов-
торяет классификацию Никомаха. Далее излаrается теория
непрерывных пропорций, а в rлаве 4 тройное правило
в качестве при мера применения теории отношений. В связи
с непрерывными пропорциями Шюке проводит, как упомина..
лось выше, рассуждение о соответствии арифметическоrо и
r'еометрическоrо рядов, делая Tel\1 самым слеДУIОЩИЙ после
Орем а шаr в развитии понятия лоrарифма.
Учение о пропорции изложено в rлаве 6 «Суммы» Луки
Jlачоли [89, 192, 339]. Для Hero эта теория не только мате-
.
Iатическии аппарат, но и выражение принципов rармонИИ,
которым подчиняется природа. Поэтому конечная цель вся-
Koro исследования, с ero точки зрения, состоит в установле..
нии отношений между различными вещаl\fИ и явлениями, и
отсюда же вытекает важнейшая роль теории пропорций в са-
J\lbIX разных науках, а также в искусстве, для KOToporo про
порция «мать и царица». Среди трудов, содержащих уче-
ние о пропорции, I Iачоли называет сочинсния llлатона, Ари
стотеля, Евклида, Архимеда, Боэция, Сабита ибн Корры,
Брадвардина, Неморария и Альберта CaKcoHcKoro.
Пачоли вводит ряд вспомоrательных предложений, необ-
ХОДИl'vIЫХ при изучении пропорциопальности величин и непре..
рывных пропорций. Среди них, например, задача об отыскании
четыехx 13СЛIlЧIIII, Н3ХОДЯlILИХСН n lIеIIрсры13lIоi'1 пропорции
л у==у: z==z: и, если известны х+и==m, y+z==n.
Приложение теории пропорций к изобразительному искус-
ству Пачоли дал в сочинении «Божественнан пропорция» [192].
Иоrанн Видман [157, стр. 207], определяя отношение, ссы-
лается на Кампано, а далее особо выделяет иррациональные
отношения и отсылает читателя к книrе Х «Начал» Евкли-
да [157, стр. 208]. Он рассматривает также возможность удво-
ения, утроения и т. д. отношений, их сложения и вычитания.
При этом упоминается шестой раздел «АРИф1\fетики» Немора-
рия, а также трактат римскоrо reoMeTpa Юлия Фронтина;
последняя ссылка не COBCel\1 ясна. (r Энестрём считает это
опечаткой и полаrает, что имелся в виду Боэций (237, т. VIII,
стр.195]).
1) Имеется в виду, очевидно, сочинение Ахмада ибн Юсуфа.
124
Понятием «знамеilования отноШения Нидман пользуеТС}1,
например, в ОДНОЙ из задач рукописи «дрезденской алrеб..
ры» [463, стр. 552]: требуется найти стороны двух квадратов
из условия, что больший в 9 раз превышает сторону мень-
шеrо, а меньший составляет 2 ; стороны большеrо, т. е. x l ==9y,
у2:-;2 х. При этом величины у2 и х находятся между со-
бой в отношении, которое имеет »знаменование" 2 .
Последовательное изложение «алrоритма отношений» мы
находим также в «Арифметике» reopra Пейрбаха [379]. Оно
начинается с определения отношений величин: «Отношение
есть определенная зависимость двух величин одноrо рода, кан:
разъяснил Евклид в ПЯТОЙ книrе «Начал». Это достаточнu
показано комментатором Евклида Кампано в разделе, пред-
шествующем доказательству. В ero комментарии отношение
определено таким же образом. Но, будучи отнесено к числам,
как в «Арифметике» Иордана, оно может быть определено
так: отношение есть определенная зависимость двух чисел.........
первоrо ко второму».
Разrраничив нечисловые и числовые отношения, Пейрбах
в дальнейшем занимается только последними. Он дает их
классификацию по Никомаху и применяет термин «знамено..
вание:. к целому числу, «знаменующему:. долю или доли,
т. е. в значении знаменателя дроби. Правила «сложения И
вычитания» отношений Пейрбах излаrает по Неморарию и ви-
дит в них теоретическое обоснование умножения и деления
дробей.
В издании 1536 r. к этому сочинению присоединен не-
большой трактат «Об отношениях из «Начал» Евклида», так-
же на латинском языке, автором KOToporo назван Иоанн
Фоrелин (Ioann V ogelin). Здесь дается краткое изложение
теории отношений как основы действий с дробями. Вначале
четко сформулировано различие между рациональным и ир-
рациональным отношениями.
«3наменование» рациональноrо отношения рассматрива-
ется как дробь. Поставив задачу: найти знаменование како-
rо-либо данноrо отношения, автор останавливается отдельно
на случаях «большеrо» и «меньшеrо» неравенств, т. е. не-
правильной и правильной дроби. В первом он предлаrает:
«РаздеЛII большее число на меньшее, и число, которое полу-
чается, есть знаменование данноrо отношения». Во втором:
«Поставь меньшее над большим, отделенным палочкой, как
у обыкновенных дробей (minutiarum vulgarium), и будешь
иметь знаменоваНllе».
125
Таким образом, Мы видим, что теори ЧИСJiовьiх отноше-
ний в конце ХУ в. фаКТИt.ески сливалась с теорией дробей,
и это явля.пось значительным шаrом в арифметизации поня-
тия отношения. Однако вопрос об иррациональном отноше-
нии обычно остаВJIЯЛСЯ в стороне, ибо для создания ero ариф-
Iетическоrо аналоrа требовалось введение понятия иррацио
IIальноrо числа, что было деЛО 1 будущеrо.
Результаты Омара ХаЙЯ lа и Насир ад-Дина ат-Туси,
распространивших понятие числа на отношение двух произ-
вольных величин, очевидно, остались совершенно неизвест-
ными европейским математикам, по крайней мере дО XVI в.
. .
.
Подведем в нескольких словах итоr сказанному выше.
В XII XV вв. учение о числе занимало в европейской ма-
тематике то же место, что и в математике стран Ближнеrо
и Среднеrо Востока, и достаточно четко подразделялось на
арифметику теоретическую и практическую, алrебру, тео-
рию квадратичных иррациональностей и теорию отношений.
.в каждом из этих разделов продолжало ощущаться сильное
восточное влияние, однако в XIV XV вв. были получены и
новые результаты, указывающие на то, что европейская ма-
тематическая наука начала самостоятельное развитие.
Теоретическая арифметика в период paHHero cpeДH BeKO
вья существовала параллельно и независимо в науке стран
ислама и в Европе; она явилась предметом первых MaTCMa
тических трудов европейских ученых (например, Боэция).
Если первоначальные сведения, которыми они располаrа.пи,
не выходили за рамки пифаrорейской арифметики, то зна
комство с арабскими сочинениями расшири.по Kpyr paCCl\1aT-
риваемых вопросов, rлавным образом, за счет неопределен-
Horo анализа. Как и на Востоке, в теоретической арифмети
ке вплоть дО XVI в. видели один из основных разделов учения
о числе.
В области практической арифметики восточное влияние
на Европу было особенно заметным. Уже с конца Х в. Bl\1e
сте с индо-арабскими цифрами начал-и усваиваться вычис:лн
тельные приемы, разработанные в странах ислама. Важней
rпую роль в пропаrанде этих методов счета сыrрали латин-
ские переводы и обработки арифметическ rо трактата
ал Хорезми. В XII В. появились первые европеиские сочин -
ния по практическоЙ арифметике. Наиболее сильное воздеи-
ствие на дальнейшее развитие матеlVlатики оказали труды
Леонардо Пизанскоrо, Иордана Неморария, а позднее JIуки
Пачоли.
126
Сведения о восточноЙ алrебре европеЙцы получили впер-
вые в XII в. из алrебраическоrо трактата ал-Хорезми, и дО
Х,У! в. он служил образцом изложения этой науки. Однако
уже в XIV в. итальянские алrебраисты сделали попытку ре-
шить уравнение 3 й степени в общеrvl виде, что означало
выход за пределы, установленные ал-Хорезми. К концу X'V в.
алrебраические методы прочно вошли в европейскую мате-
матику, и, что особенно важно, были созданы некоторые эде-
менты буквенной алrебры.
Ilреемственность математических идей особенно наrляд-
но выступает на примере траК10ВКИ иррациональной величины
в Европе до ХУI в. Из восточных сочинений был усвоен не
только термин «rлухое число» для обозначения иррациональ-
Horo корня, но также ero определение и подход к обосно-
ванию действий с числовыми иррациональностями. По-
прежнему основное значение здесь имели теория квадра-
тичных ирраЦИОllальностеЙ и теория отношениЙ (книrи V и
Х «Начал»).
Ilоскольку теория квадратичных иррациональностей стала
известна европейцам по арабским версиям «Начал», была
l:разу воспринята и ее арифметическая интерпретация, на
основе которой европейские ученые шли по пути арифмети-
зации теории величин смелее, чем ИХ восточные предшествен-
ники.
Значительный шаr вперед в изучении иррациональных
величин сдела.1J Леонардо Пизанский, показавший, что реше-
ние предложенноrо ему кубическоrо уравнения не может быть
дано с помощью иррациональностей книrи Х «Iiачал».
В алrебраических сочинениях, как и раНЬПIе у арабских
авторов, книrа Х выступала в виде специальноrо раздела о
действиях над числовыми иррациональностями.
Античная теория отношений иrрала в средневековой евро-
пейскои математике не менее важную роль, чем в восточной,
причем сфера ее приложения здесь расширилась за счет есте-
ственных наук. Вначале с неи познакомились по rреческим ис-
точникам, а позднее широкую популярность приобрели пере-
воды арабских сочинений о теории отношений. Однако в
Европе не было воспринято ни обычное на Востоке «антифай-
ретическое» определение равенства отношении, ни определе-
ние Евдокса. Характерным стало определение равенства цело-
численных отношений с ПОl\10ЩЬЮ «знаменопапии» некото-
рых целых н дроБНЬiХ чисел, выра}кающих эти отношения.
Ba)i(HOe знаЧ Нllе придава.тIОСЬ теuрии составных отношении.
Составное числовое отношение стало определяться как произ-
в е Д 1111 е : 11 а м н u в а 11 и СI » и с х O) 11 Ы Х ОТ н о ш е 11 и i'r . Т а к ой п од -
ХОД значительно облсrЧJlJI Д3JIьней[llУЮ арифметизацию
общей теОрИll отнош ниЙ. резуJlьтаты )ке, полученные в
127
TOM направлении Омаром Хайямом и Иасир ад-Дином а1'-
Туси, очевидно, оставались неизвестными европейским
математикам.
Итак, до конца XV в. в науке о числе, в ее содержании и
форме изложения не наблюдалось принципиальных измене..
ний. Хотя европейские математики достиrли определенноrо
проrресса, старый подход к трактовке понятия числа продол-
жал сохранять свою силу: теоретическое о.боснование этоrс
понятия по-прежнему искали в «Началах» Евклида с их про..
тивопоставлением числа и величины как существенно раз-
личных объектов математики. Решающие перемены во взrля..
дах наступили в XVI в. в переломном периоде истории
науки.
Fлава 1//
УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ В XVI В.
13. Вводные замечания
J
lJ3 эпоху В.озрождения в экономике Европы произошли важ-
ные преобразования, вызванные разложением феодальноrо
уклада и зарождениеlVl HOBoro социально-экономическоrо
строя. Они повлекли за собой столь же серьезные изменения
13 культурной жизни общес тва. lП о словам Энrельса, «это был
величаЙший проrрессивны й переворот из всех пережи
тых до Toro вре:мени человечеСТВОl\f, эпоха, которая нуждалась
в титана.х и которая породила титанов по силе мысли, стра-
'Сти и характеру, по мноrосторонности и учености»l).
<:: Эта эпоха характеризовалась небывалым ранее подъемом
научной мысли и началом решительной борьбы со CKOBЫBa
ющими ее средневековыми схоластичеСI{ИМИ методами. Все
большее значение приобретал спер имент как основное
CP ДCT&O ПОЗI:Iаl:ll!Я ПрИРОД1>J, в q зрастал интер ёс 'k e CTeCTBeHHЫM
наукам. Требования развивающейся промышленности обусло-
вили повышенное внимание к машино и приборостроению
и вообще 1\ Me.x '! !!. ..: Путешествия и rеоrрафические откры-
тия вызвали к жизни новые отрасли естествознания, стиму
Jlировали oDНОВJIение древних научных дисциплин, в пеРВУIО
(}чередь aCTpoHoMI1 . Революцией в науке о вселенной яви-
410СЪ создание в трудах Коперника (1473 1543 rr.), Тихо
Браrе (1546 1601 rr.), rалилея (1564 1642 rr.), Кеплера
(1571 1630 rr.) новой rелиоцентрической системы мира.
Эти достижения прямо и косвенно сказывались на раз-
БИТИИ математики, от которой не только требовали разработ-
ки новых вычислительных методов, но ожидали также rлубо-
ких теоретических обобщений, которые позволили бы осмыс-
лить полученные факты. XVI в. ЯВИJ1СЯ важным этапом в
истории математики, коrда ученые Европы, освоив античное
и восточное наследие, внесли в науку ориrинальные резуль..
таты cBoero творчества. Решающее воздействие на уче-
1 К. Маркс и Ф. Энrельс. Соч., изд. 2-е, Т. 20, стр. 346.
9 113
129.
ние о числе оказал их вклад в алrебру. В этой области
европейские математики XVI в. впервые перешли рубежи,
оставшиеся недоступными их rреческим и восточным пред
шественникам, получив алrебраическое решение уравнения
третьей степени. Этим открытием кубические иррационаЛh
ности были широко введены в вычислительную математику,.
причем eIЦe более, укрепился взrляд на иррациональный KO
рень как на число. \
Важнейшую роль сыrрала разработка более совершенных
вычислительных методов, применявшихея, в частности, при
составлении J иrQ НО Мет нх таблиц. Создание и BHeдpe
ние в практику теории десятичных дробей дало возможность
получать неоrраниченное приближение всякоrо иррационалlY
Horo числа.
Если уже математики XV в. видели в арифметике и ал
rебре единую науку о чис.пе, то в XVI в. эта точка зрения
стала rо.сподствующей. Появились мноrочисленные сочине..
ния, в которых излаrалась «обобщенная арифметика»,
включающая теоретическую и практическую арифметику,
теорию иррациональных величин и алrебру. Авторы их
" u
рассматривали предмет с новых, оолее широких позиции,
обобщая в первую очередь достижения вычислительной
математики.
/ Однако дЛЯ XVI в. был характерен, с друrой стороны,
I возросший интерес к древнеrреческим математическим сочи-
/ нениям, рукописи которых в БОЛЬШОJ\11 количестве попали в.
/ это время в Европу из Византии. Труды классиков .перево-
. дились на латынь и изучались значительно rлубже, чем
раньше.
",- Европейские ученые вновь столкнулись с JIоrическои стро-
i I'ОСТЬЮ античных теорий, что побудило их обратить внима-
! иие на обоснование понятий, которыми пользовал ась совре-
менная им математика. В частности, в сочинениях этоrо
времени со всей четкостью был поставлен вопрос о содер-
жании понятия числа. Лоrическую базу для ero обоснования,
как и раньше, видели в «Началах» Евклида, а поэтому в
попытках построить единое учение о числе математики ХУI в..
продолжали исходить из античноrо противопоставления чис-
ла и величины. Это чрезвычайно затрудняло развитие теории,
и выход европейские ученые, как раньше восточные, видели
в выявлении аналоrии между объектами и методами reoMeT-
рии и арифметики. Друrими словами, продолжая по тради
ции считать, что между понятиями числа и rеометрической
величины лежит пропасть, делали попытки перекииу ь через
нее мост. В этой связи необходимо еще раз отметить иеуrа-
сающий интерес математиков XVI в. к «Началам» Евклида,.
появление мноrочисленныx изданий эrоrо сочинения и KOM
130
1\lентариев к HeMv)J Особенно MHoro внимания уде,,1ЯЛОСЬ и
теперь книrе Х ал».
К концу XVI в. уже не только производились операЦIIИ
ад дробными, иррационаЛЬНЫl\IИ, отрицатеЛЬНЫl\IИ числами,
110 и возникли предпосылки для теоретическоrо расширения
по нятия числа, т. е. для введения в математику ПОНЯТИЯ дей
СТ Rите JIыIроo ЧI JI.a J !.
Ниже мы дадим обзор со'......инений XVI В., rде выясняется
свойственный '10МУ времени {подход к понятию числа. Эти
i
труды, мноrие из которых Ite привлекали вниман!-. >l I1СС ..10-
вателей, заслуживают изу ения, ибо не тольКО являются
историко-научными доку нтами, содержащими установлен-
ные в XVI в. и впервые з иксированные в печаТНОl\1 издании
факты, но дают яркое п еДlтавление о характере математи-
ческоrо мышления эпох.. Они наrлядно показывают, что
к новоЙ трактовке OCHO):JHbIX понятий учения о числе мате-
!\13ТИКИ ПОДХОДIIЛИ чреЗ]Jычайно медленно, с труДОl\1 преодо-
левая традиции.
. ИзучеIlие различных сочинениЙ, в которых трактуются oд
ни и те же вопросы, дает представление о TOIVI, как 1\fенялось
со временем толкование основных понятий данной теории и
ее изложение. Еще раз подтверждается, что великие откры-
тия в математике не возникают на пустом месте и что, по
словам Б. В. rHeAeHKo, «успех науки в не меньшей степени
зависит от Toro, как подrотавливаются эти открытия, состав-
ляющие эпоху, повседневным трудом мноrих сотен ученых
не столь крупноrо paHra, как постепенНо отдельные задачи
приводят к постановке общих проблеl\1 и к созданию общих
методов исследования и формированию обп!их научных KOH
цепций» [48, стр. 11].
14. Итальянские математики XVI В.
Решение кубиче'скоrо уравнения. СТИ .УЛО 1 р.ля действитель
Horo ВОЗРО)l{дения европейскоЙ математики, начавшеrося в
первой половине ХУI В., послужи,по наЙдеН .ИТq.J}ЬЯНСКИМИ
учеными общее решение кубическоrо уравн енияr Одновремен
но это открытие существенно изменило взrляд и на науку
числе. Так как обстоятельства ei"o достаточно подробно осве-
щены в литературе [31,72, 100, 107, 111, 162, 192, 251, 300, 477,
4.79], мы коснемся их только вкратце, отметив общие выводы
итальянских математиков, касающиеся учения о числе.
Впервые р .щ е.ние ...куБИЧ G. QJ9 _J'р В JI;ИЯ дЛЯ ...случая
х 3 + рх :......lf, ще р, .>O, -нашел болонекий профессор С ЦИ 1! QН
д ль Ф еjjро (Scipione del Ferro, ум. в 1526 r.) [280], н е опуб-
ли овавш ии , однако, cBoero открытия. Ero метод стал изв .
стен математику по имени Фиоре (Fiore), КОТОРЬВ':'I ПОС"lе этоrо
131
неизменнU одерживал победу на пуБличны1x диспутах, решая
.задачи, сводящиеся к уравнению указанноrо вида.
В ОДНО1\Т из таких состязаний ero победил Нико"ТIО Tap
талья (Nicolu Tartaglia, 1500 1557 rr.), выдающийся италь
ЯНСКIIЙ l\lатематик ХУI в., который не только самостоятельно
переоткрыл правило Сципиона дель Ферро, но и решил урав-
нение вида X3 pX+q (р, q>O) Тарталья показал, что если
дано уравнение ха+рх == q (р, q>O), то х : 1/ U V 'V , rде
Ц V =::. q, UV == ( / если дано уравнение х 3 == рх + q, то
3 3 ( ,3
Х == V и +}/ v , rде и + v == q, uv == ) Друrими словами,
была найдена формула (известная теперь как "формула
KapДaH()' ), котuрая в С lучае уравнения х.1 + рх: == q имеет
вид
3 ;' / 2
х== V 11 ( g )
( р ) 3 I q I 3 / 1 I ( q ) 2 (р ) q
J т 2 1 J/ V "2 т \З , "2
Тарталья все же не сумел преодолеть трудностей, возни
каЮЩIlХ в так называемом неприводимом с.пучае, т. е. при
2 :i
( g ) + ( ) < О, Kor да уравнение имеет три действительных
КОРНЯ, получающихся., однако, как сум ма или разность
мнимых чисел.
О св<;>ем решеНtlИ Тарталья сообщил известному милан-
скому ученому, врачу, философу и математику Джироламо
Кардано (Girolamo или по-латыни Hieronimo Cardano,
1501 1576 rr.) по ero просьбе. Кардано обещал хранить пра
вило в тайне, но в 1545 r. нарушил обещание, опубликовав
подробный анализ решения кубических ypaBH . . !3f G ЧИ НИИ
« еликое искусство алrебраических правИJ1.. > «Ars m na
de reb'us algebraicis» [195]) Это вызвало возмущение Tap
тальи и долrий спор о приоритете, в котором принял участие
ученик Кардано Луиджи Феррари (Luigi Ferrari, 1522
1565 rr.), решивший уравнение четвертой степени, сведя ero
к кубическому [372]; решение Феррари также изложено в упо
МЯНУТОl\1 трактате ero учитеJIЯ. Кроме Toro, Кардано дал дока-
зательство правила решения кубическоrо уравнения [479]
и нашел зависимость между корнями и коэффициентами квад-
paTHoro ураВI:Iения, известную под названием «правИЛ'а Вие-
та» [476]. ·
Наука о числе у Н. rартальи. Основное произведение
Н. Тартальи «Общий трактат о числе и мере» (<<General trat-
tato di numeri et misure» [441]), первые два тома KO'Toporo' ВЫ-
Р" { '..ц .f"[ (!
IJ j : \,.....
132
-.. -
.. ...._......:........ ... _. ... .......:. ....:::;....-;:.:... y ...."')" .
:'f..::;' .*.:..
.......::.
-;:-
:::
Q; SO 't:? J М 1 .A!t &I>,
:::;&:::::;aj:::-:-Т::::Ii i: :-'1,:- _,::- ::ц::=---:,:: - -:J.k:--:2::::-:;.:? -\r\ i:i;:
::;:-a :-Nledicf'i;_
-- - ...-. . - - . ..
AR'T[S.MA GN AE
ri_-: (:-_1 :1: ----11 "'=,=,- Е R ю:- -- : '1 ----: - - L : - J -:": А -- L h--_-- с р-- Q -_-А ::r::::,6::
p--J---v- _U +{----- - --- .L;-_u: - __ --- -------0 - --- U_- U J'= r):::::-;:J,:t-:-
. ......
;f$. ;;; :::Ь::E:: :: kt($:
f41l)U$.
i
J$
t
I
:.
А-а
ч..
у ?t: ::.. :t.'*
Титульный лист "Ars magna M ДЖИрОJ1а IО Кар.1дНО (изл. 1545 r.).
ШЛИ В 1556 1"., а третиЙ. в 1560 r., представ.пяет собоЙ превос
ходный, по словам М. Кантора, учебник арифметики, в кото..
ром можно видеть характерную дЛЯ ХУI в. попытку ИЗ,,10ЖИТЬ
учение о числе с самой общей точки зрения. Сочинение вапи"
сано в той же традиции, которой веком ранее придержива 1ИСЬ
Шюке и Пачо.пи, и предполаrает аналоrИЧI-lУЮ К,,1ассиФикаЦИIQ
1 33
p .
(...
'!"' ....... .,.
::::::":.:::.
«
SE:CONDA
GENERAL
I
PARTE
TRATTATODI
LA
..J}....EL
N::V:.f11 fl.RJ"t f r .1 t $. "..& L L) J
N' C:'t)LO т AR r AGLiA,
..
-:=tt.. J,. L.'Л <L V .А L' Е J N ."у. } ':: I..C f J.,. 1. а. 8 f $ t N -о l' I F I С А L 4
t t -у f t. .>. V'" Т.. >: 1:" '$;.::!!"C,:,:. .:;t(f V.. t <\. tt т.. n J 1. L А .АА IIc;,A.
k .lt 1.11':: :. i('li); ;& Qpaukmj pr
.
'.' . {
'
f :" ;7'/' :.' ' ,
li
!
..
.
. .
.. .
'. "'w ... "' ': 'f": *. '
., . .'
.:.
...:
...:
l'
(1\,; ;
. . .'"
.. "t
), :.
-$'"
t
с
" ,: : " ',' <:. . . < f i \
" : :::": t .... .;; ,. .< :;, ... :""';' ',< ""
",", ,;"o/',;'i:»: : ', '{ '! '<' '; ':.'
" . . :<i;.: ,. .'. , "':.'. ' ,. ', ' . }''' '''' .,
.& ., . '. . ",. . ., > . .{ ':. :,« ..
'} ' ":: . . "--.: . . .' ":....". - '.> .' . .(....:. '" .... :... .
: . ,
. >:\ t: : .....: "::(!"'..
. :. .. . .......
':.......' : >< ' '::: .\ .:;
.
, . ; ; : 6
r'"
".
:.:.<-......<
.:".
. :
.>. ..: ./:> .
.
t
.t.). '''УТ' . 'Z" ,'"", ": .ii" ' . . ..... 'i...W; ;)O;,.,/.;, ......
$1 А 'l:J'< ... 1:)::'$('
() "'-
>. <:о
с.,. ,', 4
ii 5 ' .
+
< '\
....... J '
. '< }
>' fj
,;. . "
о
Z
....<>. .:
...
...
о
х
.
()
fмf
.
N.
N
>
:,
Сon pti .ilt" io ,.J*,tf :(J;щ-t{1 di P.Jp P ,,!(\ t 111. OttlJ. tlfu""
iIH itt. t $t : > '(1f'i . ,,1 i \l€ i ""\ itlJ\ .. (:U n '"
'ttrт G jO )t 1)..к;) J V rt'< H( .
/ :n>'<!1j Р е С иrtll) Т 1'О; пiJ dt.' i N шJ,.
J,\J D [" 1 *
.Arpr ttQ JtU. AUCfOf'<
i '.
:,.,.
титулыlйй ..lI1СТ СОЧIIНСIIIIИ "Gепеrа] trattato di Iltlшеri et 111isure" НИКОЛО
Тартальи с порт! TO I a Topa (изд. 1556 r.)
разделов науки о числе. Однако, сравнивая ero с «Суммой»
Пачоли, Кантор отмечает большую ясность и даже известное
изящество изложения Тартальи [192, т. 11, стр. 472].
В предисловии автор трактата выражает намерение
написать книrу, в которой рассматривались бы не только
вопросы арифметики, rеометрии, учения об отношении
(как рациональном так и иррациональном) и пропор-
циональнасти, но и великоrо искусства, называемоrо
IIo-арабски «алrеброй и алмукабалой», а по-итальянски.........
«regola delle cosa».
Сочинение начинается с определения величин, которые дe
.лятся по традиции на непрерывные и дискретные, и с разъ-
яснения раЗЛИЧI-JЙ между ними. Тарталья продолжает при
держиваться античной установки о ПРОТИВОПОЛОJКности непре-
рывной величины и дискретноrо количества. Он, как и все
\\1атематики ero времени, свободно перемножает величины,
что противоречит духу учения Евклида, но требует различать
-термины, обозначающие умножение абстрактных чисел (mul-
tiplicare) и rеометрических величин (ducere), критикуя I(ам-
пано за смешение эт;их понятий.
Изучающая числа арифметика является первой из мате-
матических дисциплин и подразделяется на две части: тео-
ретическую и практическую. Первая рассматривает свойства
чисел отвлеченно, и цели ее показаны Евклидом в кни
тах VII IX «Начал». Предметом второй являются вычисле-
ния (calculatione), встречающиеся в ToproBoM искусстве.
Практическая арифметика изложена в первой части со-
чинения, состоящей из 17 rлав, rде числа рассматриваются
«в аспекте чистой торrовой практики».
rОБОрЯ о способе записи чисел, Тарталья приводит раз-
личные итальянские термины, применявшиеся для обозначе
ния нуля: «teccha», «circolo», «cifra», « zerr », « nulla» . Далее
.он излаrает правила действий СЦелыми числами и дробя-
ми (rл. 7), дает представление о различных денежных, ве-
-<:овых и т. п. единицах и их взаимной зависимости, подробно
разъясняет приемы практических вычислений, в том числе
-тройное правило и разные ero виды: правила товарищества,
смешения II т. д. В двух последних rлавах изложено правило
«двойноrо 10жноrо положения», или, как ero называет Tap
талья, Прllменяя искаженный арабский термин, «regole Hel
cataym».
Тарталья упоминает мноrих ранних авторов сочинений по
практическоЙ арифметике, в частности, Леонардо Пизанско-
ro, Пьетро Борrи и Луку Пачоли, особенно часто отмечая
ошибки последнеrо.
Вторая часть сочинения, rде исследуются теоретические
вопросы, начинается с классификации «абстрактных» чисел
135
по НИКОl\lаху и правил СУl\Iмирования арифметических и reo..
Iетрических проrрессий. Далее разъясняются действия с ир..
рационаЛЬНЫl\IИ «rлухими» корнями (radici sord'i), способьr
приближенноrо извлечения корней и правила преобразования
иррациональных выражений. С помощью чисел и корней сфор
мулированы все определения и предложения книrи Х «Начал)>-
Евклида и показан их «полезный И необходимый смысл для
общеrо искусства числа и меры». Рассматриваются правила
сложения, вычитания, умножения и делени'я био'номиалей и
вычетов, сопровождающиеся примераl\IИ. Изл'аrается теории
отношений со ссылкой на книrи V и VII «Начал» Евклида,
а также на Кампано и Луку Пачо.пи.
Понятие числа у и. Кардано. Человек сложной биоrрафии,
типичный представитель своеЙ эпохи [65, 187, 374], и. Кардано
является автором мноrочисленных с очине ний _ po философии,.
l\iе,цklJlaН.е и. матемаТИ.ке! Последние сыrра л и, в частности,
важную роль в развитии науки о числе. Остановимся на HeKO
торых моментах теории I\ардано. / \ ,-',
Б трактате «Practica arithmetica et mensurandi singu]a
ris» [194], опубликованном в 1539 r., Кардано дает кл'ассифи
кацию чисел, ключая Bu.. понятие числ'а не толькО' целое и:
дробь, но и квадратичную иррациональность. Ка.к cne Ц11аль
вый вид чисел он выделяет степени н'еизвестной, фиrурирую
щие в..aJlF е.
/
сла, соrласно Кардано, бывают четырех В'и:дов':
1. Y l?,l ..9исла те, «которые составлены из единиц и
от единицы берут свое начало; они увеличиваются до бес
конечности, но коrда достиrают единицы, то далее YMeHЬ
шаться не MorYT; нет никакоrо числа, менъшеrо единицы»l).
Единицу, таким образом, Кардано считает числом'.
11. J!.роБНЬJf сла «суть те, которые обозначаются двумя
буквами (binas litheras) и имеIОТ обратное отношение к цe '
JIbIM. Так, половиной называется половин'а единицы и т. д.».
111. u:....рр циОНвдъНhtМ"И (<<rлухими», surdi) числами «назы
ваются те, относительно которых само по себе нельзя понять,.
что они собой представляют. Называются же rЛУХИl\IИ пото
l\IY, что не MorYT быть услышаны. их нельзя ни услышать .
ни представить. Таким является квадратный корень из 7,
обозначающий число, которое будучи умножено на себя,..
даст 7». Таким образом, обосновать понятие иррационально..
ro числа строже, чем это было сделано до Hero, Кардано'
не может. Иррациональные числа, в сво.ю очередь, подраз
дел. ются на четыре вида:
/;'1)\ абсолютное иррациональное ЧИСL10, например 7;
t ,/
..........#
в издании 1539 r., которым мы пользуемся, листы не HYMer.oBaHbI.,
136
: .c-" :::'..::: : ::'...:' : ",". о-=:-:
, .
с. . /<Л А Nj MBDIC! "
NEN.S'rS>PRACTJCA R'r
. «.. mmшшngЩarr ilri
....у-- 06:-
. tia, ,..
:
........
.">-,,,' :.: ,;./< .::.' ,::. ' :.:' .:, '-"'\
,Ю
- i:, . ;.,\;\
;
С'Ф
1
,f.;
,
...
:..,., ,1/
.......
''''>:r.; '. '..:.'
.... . '.;t"
'"t .
<'>.
.
(' . "t"
. ...
,p> .-:
(".
:' .'.
":-:. .'.'
.
.'" .): .с::'
:::>. ". .' I Х. . :.,;
/: : ':-1; .' ::'. ....': . ' :'
r" '
j
.'::-. "
; : ".,
::';.: ".(.
, , "'
. '.)
;
;,
/.::'"
.',
:" '.::::
\ ".
'::,
, ,. ., .',. ",. '1' . "
::- . 1.> ". .... . ..' : \ , ' ':'. :{.
Х\ ,:.
, .' '., . ' . .. ..: .-
, ; \:: ,'у;' . .
. ." .... ,;: . . ,..,.:. .'
.
. .
<
: .,'. \.
. .. ..::.. .' '::, :.\
'. ....
:. "5." ..: . ",
':: .. О::. ". .
,
:'. . . :' ":' ' : :. ;::'. ..' :'$(. ::.::. :'. .' : л7. .. . :
. ''','; y: \>: .l;;,." >"'Я . ' .:" : b
:' rU :<::'::.., "" . С,"
'/ cc;.:.> " h 'C' " '<::" ' " '. ,',
-..... ...... .-.:......д(?:::;:::: : .-::.:, ?:::'.. .::'* ':' ":: ':::>" ::'.:".:. J'o..
::' . -: : ::? ::':': :.: :., '.:-:.:.' "': :
,, ::
, ::" j
Портрет Джироламо Кардано с титулы-lrоo листа co
чинения .PJ"actica aritllmeticae" (изд. 1539 r.).
2) соединенный корень (radix Iigata), например'
,.....,
У 9 + V I 6 == 7, обозначается через LR.9. pR. 16;
3) универсальный корень (radix universalis), по,]. которым
по нимается корень из суммы числа и h:ОрНЯ, например
V 7 + v 4 == 3; обозначение: R.V.7 pR.4;
4) раздельный корень (radix distincta), например
V9' + y 4 == 3 + 2, r де слаrаемые следует не суммировать
а воспринимать как два различных ЧИС,;lа. Обозначение:
,....."
R.d 9р R4
137
1 v........иМеНоВаННые ,( denominati) числа, т. е. степени He
, u
нзвестнои, те, «которые являются числами только при срав-
'нении, например корень, квадрат, куб и т. д.». Кардано
'приводит названия первых одиннадцати степеней неизвестной,
причем отмечает, что названия седьмой (т. е. х 6 ) cubus 'cen-
'SUS и восьмой (т. е. х 7 ) relatum secundum были даны древ.
ними.
Наз ав иррациональные величины числами (<<по аналоrии
с: целы и»), Ка рдано, тем не менее, в rлаве 44 рассматривает
ИХ чистd rеометрически на основе книrи Х «Начал». Он предпо
лаrает, ч'!о читатель знаком с теорией, изложенной в этой кни
rc, а «практику» приводит В виде примеров (<<умному ДOCTa
точно одноrо примера» ). Как и у Евклида, вводятся понятия
рациональных и иррациональных линий, но трактуются они
как числа и корни из чисел. Заметив, что, «поскольку число
TaKoro вид.а является линией, оно имеет те же свойства»,
Кардана, н пример, делит числа в среднем и крайнем отноше-
f-JИИ: «Если какое либо число умножить на себя, прибавить
квадрат по.. вины, извлечь из полученноrо квадратный корень
и отнять от bero половину числа, то оставшееся есть большая
часть числа, \ разделенноrо в среднем и крайнем отношении».
Да rt ПОМОЩЬЮ числqJJ8Yfd1J Qациональностей разъясня
ются предложения книrи ,"<i затем на примерах отыскивают-
ся стороны правильных мноrоrранников. Например, «Если дан
диаметр сферы 10, умножь это на себя будет 100; раздели
пополам будет 50, а ero корень есть сторона октаэд-
ра» и т. д.
Книrа Х «Начал» обсуждается и в последней rлаве этоrо
сочин ния, озаrлавленной «Об ошибках брата Луки». Кардано
указывает, что Пачоли «ошибался', раССМt тривая иррацио
нальные величниы сверх десятой [книrи] Евклида, так как был
уперев, что всякая иррациональная величина есть медиаль».
Так, «он хотел, чтобы БИIIомиаль R. 40. р. 3. или подобная
еЙ была медиальной площадью, что совершенно противоре
чит Евклиду, так как Евклид rоворил, что медиальной яв
.пется только такая площадь, которую можно обозначить KOp
нсм простоrо иррациональноrо числа, например R. 5 или
R. 15>.'>. I<a рдано утверждает, что разъяснил все это в отдель
ноЙ книrе, являющейся «завершением Bcero искусства», KO
торую не сумел напечатать ввиду ее слишком большоrо
объеl\1а.
Среди друrих ошибок Пачоли Кардано указывает на BЫ
ражение 1/ Y80 11 48, KOToporo "не может быть в дей-
.ствительности, потому что RR. 80 есть приблизительно 3,
.а R. 48 приблизите.7lЬНО 7 Поэтому если возьмем
rOOJ rOOJ
.RR. 80 т. R. 48, то, как сказано, будет 3 т7; если же
'IЗВ
""""
,понять это в смысле RR. 80 т. R. 48, тоrда оно плохо pac
Т10ложено" Друrими словами, Пачоли пришел к значению 4
'которое, по мнению Кардана, невозможно.
Что касается теории отношений (rлава 37), то Кардано
'стоит на точке зрения, типичной дЛЯ XVI в. «Отношение,
пишет он, есть некоторая зависимость между двумя ОДНо-
родными величинами, как сказал Евклид. Оно бывает двоя
KIIM: отношениеrvl равенства инеравенства. Пример первоrо:
5 к 5 или диаrональ к диаrонали. ()тношения нераве'нства
бывают двух видов: рациональное и иррациональное. rоворят,
что отношение рациональное, если оно может быть обозначе
но числом, например 7 к 5. Иррациональное же то, которое
не l\10жет быть выражено числом, например диаrональ к CTO
ране. Иррациональные отношения бывают двух видов: боль
Illие и меньшие; бо..ТIьшее ,это, например, диаметр к стороне,
.а меньшее, наоборот».
Таким образом, для иррациональных отношений Кардано
вводит понятия «больше» и «меньше», но трактует их затем
чисто rеометрически в соответствии с книrой Х «Начал» EBK
/Iида. РаЦlIональные ОТНОlпения, выражаемые «числом», ОН
1\:лаССIIфицирует по Никомаху.
Теория отношений подрdбно рассматривается и применя
.е1СЯ к решению различных физических задач в трактате Кар-
дано «Новое сочинение об от\ношениях» (<<Opus novum de pro
portionibus») [196], представляющем, по C"ТIOBaM Энестрё-
1'rla [237, т. IX, стр. 16з 164], характерное для Кардано
пестрое собрание cTaporo и HOBoro, полезных и бесполезных
методов. Здесь иррациональное отношение выделено с
помощью слеДУЮlцеrо определения, у друrих авторов не
встречавшеrося: «Если при ,tIелеIIИИ знаменателя на чис
. 1итель получается иррациональная величина (quantitas
iloga), отношение называется иррационаЛЬНЫl\1; если же
целое число или определенная доля чис а, то рациональ-
ным (<<rhete»)
Далее ПОС..1едовательно разъясняются правила арифмети-
ческих действий над рациональными отношениями, которые в
значительной мере отождествляются с дробями. Затем дается
.описание пяти способов приближенноrо извлечения корней
810рОЙ, третьей и п Й степени.
В назваННОl\I выше трактате «Великое искусство» Кардано
1-Ie только из.паrает известные в ero время l\1етоды решения
l\:убическоrо 'уравнения, но и доказывает правильность общей
'ФОРМУJIЫ на примере х 3 +6х==20. Доказате..1ЬСТВО проведено
по существу чисто алrебраически, несмотря на rеометриче
.(:}(ую IIЛЛIостраци.ю. По ходу рассуждения Кардано приводит
}т.рав-нени.е .К .н .п.Ю .в правой части.
139
В ЭТОМ же сочинении Кардано сталкивается с отрицатель
НЫl\lИ, «ложными» числами, отмечая [195, л. 39 об.], что при
бавление отрицательноrо равносильно вычитанию по,п:ожи
тельноrо числа. Кроме Toro, он впервые раСС1VIатривает случай
извлечения квадратноrо корня из отрицательноrо числа, при
дя, таким образом, к понятию м имой величины [36, стр. 37].
15. Не'ме кие коссисты
В rермании в ХУI в. продолжало развиваться уже сложив
шееся направление «коссической» алrебры. Коссисты Ан..
дреас Александр, Христоф Рудольф, Михаэль Штифель, Адаl\f
Ризе, Иоrанн Шейбель занимают видное место в истории
европейской матеl\1атики. Им принадлежат большие заслуrи
в развитии алrебраическоЙ символики и в дальнейшей ариф..
метизации учения о величине.
Андреас Александр. Сведений об этом vченом, жившем
в CaMOl'v1 начале ХУI в., сохраНИJ10СЬ мало. 11звестно [242,461],
что родом он был из Реrенсбурrа, учился у математика-мона-
ха по имени Аквинус Дакус [192, т. 11, стр. 238], в 1502 1504 rr.,
преподавал математику в JIсйпциrском университете!). Андре-
аС Александр автор опубликованных в 1504 r. сочинений
«Mathemalogium... super novam et veterem logicam Aristote-
lis» [461] и «Perspectiva Joannis Pisani» [339, т. 2, стр. 271
273]. Младший современник Андреаса Александра Адам Ризе'
особо отмечает ero заслуrи в изучении и усовершенствова-
нии «коссическоrо» искусства, называя ero автором двух сочи..
нений на эту тему одноrо на латинском, а друrоrо на не..
мецком языке.
О латинской алrебре ничеrо неизвестно; долrое время не
было сведений и о немецкой, но в 1902 r. М. Курце опубли-
ковал [222] анонимную рукопись под заrлавием «Die Algebra
des Initius Algebras ad Ylem geonletram l11agistrum Sl1um»,
которая, как предположил r Энестрём [240], содержит l1емец
кую алrебру Андреаса Александра.
Предположение основано на словах Адама Ризе [138,.
стр. 33], который пишет, что книrа об алrебре (<<das Buch voru
dem ding») была переведена с арабскоrо языка на rреческий'
(krichisch) Архимедом, затем с rреческоrо на латинский ,
Апулеем и, наконец, частично на немецкий (eins teils ver-
deutst) «ученым MaTeMaTl'!KOM маrистром Андреасом Алек-.
сандром». То же повторяется и во введении к рукописи, опуб-
1Jикованной Курце [240, стр. 449].
{,
, ""
,/ '"
1 Валлнер [461] сообщил, что с 1504 r. Андреас Александр был про-.
фессором в Kё 1ЬHe, но Энестрём [237, т. Х, стр. 345] считает эти сведения.
недостоверными.
140
По словам Ризе, кроме Toro, Андреас Александр перевел
лишь часть латинскоrо сочинения на немецкий язык; п дей
ствительно, в рукописи содержатся только три книrи из BOCЬ
ми, названны.х в оrлавлении.
Наконец, Ризе rоворит о восьми уравнениях, рассмотрен-
ных АндреаСОl\f АлексаНДРОl\'l; в рукописи также речь идет о
восьми видах уравнений, причем последнее, приведенное Ризе,
совпадает с восьмым уравнением рукописи, тоrда как ero
нет ни в одном из друrих цитированных Ризе сочинений. На
наш взr"lЯД, нет основа ниЙ сом неваться в правильности
выводов r Энестрёма, хотя сам он и не считал их оконча
тельными.
Упомянутое сочинение представляет немалый интерес. Cy
.дя по оrлавлению, латинский текст состоял из восьми книr;
в немецком переводе пять опущено (в том числе четвертая
книrа «О рациональных и иррациональных отношениях» и пя
тая «О биномиалях»). [лавы каждой книrи начинаются с
атинскоrо текста, после чеrо идет немецкий перевод и KOM
l'Vlентарий. В тексте постоянно фиrурируют имена rреческих
ученых и мыслителей, причем в самых странных сочетаниях.
Как показал М. Курце [240, стр. 441 443], под именем Yles
понимается Евклидl), которому адресует данный трактат ero
ученик по имени Initius Algebra. Последний разъясняет учи
телю, как из rеометрических предложений «Начал» можно по-
учить шесть канонических уравнений алrебры (алrебра в
тексте называется «Gebra und Almuchabola»).
Названия степеней неизвестной 2 ), применяемые aBTopOM,
обычные для немецких сочинений XVI в.: х о dragma,
Xl res, radix, х2 zensus, х3 cubus, х4 zensus de zensu,
х 5 sursolidum, х 6 zensicubus, х 7 bissursolidum, х 8
zensus zensui de zense, х 9 cubus de cubo 3 ).
1) Имеются средневековые рукописи, rде rоворится, что «Euclides»
это название сочинения, автором KOToporo был математик Elias.
2) Относительно коссических обозначений степеней см. [36, стр. 31 34].
З) Интерес исследователей вызвало происхождение некоторых из этих
наименований и прежде Bcero термина «sursolidum» или «surdesolidum»
(у Штифе.тJЯ, см. ниже), который применяется для обозначения пятоЙ сте-
пени наряду с итальянским «primo relato» [246, 248]. Имеется толкование
этоrо термина (п. Таннери) -как «телесной величины невыразимоrо вида»,
связанное со словом «surde», т. . «rлухой», что является переводом араб-
coro слова «асамм», применявшеrося в восточной математике для обозна-
чения понятия иррациональности.. Возникает вопрос о взаимной зависимо-
оСти фОJbld «sursolidum» и «6urdesolidum». r Энестрём видел во второй из
них иска)кение первой и поэтому был не соrласен с трактовкой Таннери
(см. также [393].).
Указанные термины :примеlfЯЛИСЬ не только в XVI в. (Штифель, Рамус,
Клавий, Рекорд, Пе.'1етье), но и в XVII в. (например, Декарт). Иноrдв
'они видоизменялись: «s.Qlidш» (Рамус) , «superso1idus» (Пелетье).
141
Знаки сложения ивычита ния ( + у ) применяются, B
противополжность Видману, систематически.
В следующих за введением шести rлавах первой книrи
дается алrебраическая интерпретация 1 6 ro предложений
книrи 11 «Нgчал» Евклида, а затем излаrаетсsr собственно
наука Gebra und Almuchabola, написанная якобы «арабом
Алrеброй». Прежде Bcero разъясняются ПОIfЯТИЯ степеней не-
извеСТlIОЙ и коссические знаки (rл. 8 I6). Затем автор pac
сматривает восемь типов уравнений, имеюЩJfХ. в современных.
обозначениях вид:
1.. ах" == bx"+t, п == О, 8;
11. ах":: ьх n + 2 , п === О, 7;
JII. аХ" == ьх n + з , п == О, 6;
IV n Ь .п+4 . О 5
. ах == х , п ,. . . ;
V. аХ" == ьх"+l + схll+2, п == О,
VI. ьхn+l == ах" + сх"+2, п === О,
VH. сх"+2:=: ах" + ьх n + 1 , п == О,
VIII. а..'(,'" == ь.х"+2 + сх"+ 4
7 .'
,.
7;
7.
,.
ьх n + 2 == ах1l + сх1l+4
ех п + 4 ...:..... ах" + 'Ьх n + 2
,ах" == ь,х,,-=tЗ + с_х n + 6
.ь_х n + З :..:... ах" + сх,,+6
,п+6 " + Ьх "+3
.СХ == ах
ах n == ь.х"+4 + ,сх n + 8
ьх"+4 :::: ах n +,сх,,+8
сх,,+4 ах" + ьх n + 4
II == О, 5;
. п == О, ... 3;
п =- O 1.
ХОТЯ каждый раз рассматривается лишь несколько кон..
кретных значении n, рассу.ждения носят общий характер.
Среди сочинений восточных aBTO OB сходные случаи встре-
чались в трактате «ал-Фахрm> JI-Кзр'аджи [481].
В следующих rлавах (18 25) даются решения указанных
уравнений:
а
1. Х'==Ь'
142
x V' {( ь ,2 .
11. У. х == ) + b
Ь' 2с с 2с ,.
V ь V(b/ а
111. х== '; , VI. x== +
2c 2с
4/;; х == . + { ис )2+
IV. х ==];, Ь. УН.
в случае VIII степени х 2 , х 3 , х 4 полаrаются ИСКОМЫ1\1И нrиз
вестными и уравнения сводятся к одному из рассмотренных
видов.
Во второй книrе, озаrлавленной «О прибавляеl\IЫХ и BЫ
читаемых величинах», разъясняются правила действий с по-
ложительными и отрицательными числами. Существенно, что
хотя в заrлавии и иноrда в тексте по традиции, ведущей на-
чало от Диофанта, rоворится о «прибавляемых» (addjtae)
и «вычитаемых» (diminutae) величинах, автор рассматривает
их как числа и зачастую называет «положитеЛЬНЫf\.IИ И отри-
цательными числами» (affirmativen und negativen Zah]en)
В связи с применением знаков «плюс» И «минус» ставится
также вопрос [240, стр. 499] о сущности биномиалеЙ и выче
тов и утверждается, что они, являясь «абсолютными ирраuио-
нальными числами» (absoluti numeri surdi), находятся, oд
нако, в потенции (in schwengender mutter), и дЛЯ ТОТО, что-
бы они проявились, их следует рассматривать в уравнении.
ПрlfВОДЯТСЯ правила сложения и вычитания положитель-
ных и отрицательных величин (так, при сложении ВЬJчетов
5 х 2 6 х 3 , 9 х 2 4 х 3 нужно складывать отдельно ПОЛО)J{И
тельные и отрицательные члены, и тоrда общий результат
есть 14 х 2 .......... 1 О Х З ) .
Рассматриваются раЗЛI-!чные случаи умножения двучлен-
ных выражений, например (2 х 2 х 3 ) (2 5 х) ==4 х+ 10 х 4
4хЗ 10х 2 .
В общем виде приводится правило знаков при У lножении,
выраженное в таблице [240, стр. 509], причем учитываются все
возможные комбинации. Здесь мы встречаем отдельно взятое
отрицательное число, имеющее специальное обозначение.
Действие деления одноrо мноrочленноrо выражения на
друrое автор считает невозможным.
Третья книrа, озrлавленная «О соизмеримых рациональ-
ных числах, а также об иррациональных», подразделена на
три «трактата». В первом дано правило извлечения корней,
которое рассматривается как обратное по отношению к пра-
вилу возведения в степень бинома (х+ у)n; подробно rоворит-
ся о случаях n== 1, ... 9, причем рассуждения сопровождаются
числовыми примерами. Для этих С lIучаев приводится таб,,1JИ
143
ца БИНОl\1иа lЬНЫХ коэффициентов [240, стр. 542]. Указано,
..
однако, что Д lЯ оольших показателеи извлечения корня удоб
нее ПРОИЗВОДIIТЬ с помощыо ПОС"lсдовате.пьных извлечениЙ
КОрНСД второй и третьей степени.
Второй трактат содержит учение о целых числах. В rла
ВС 1 излаrается правило нахождения простых сомножителей
AaHHoro числа, на которое обратил ВНИl\lание r Энестрём
[237, т. VIII, стр. 212]. Пусть N ==п 2 +а, rде а<2 п+ 1. Нужно
т 2 + а
исследовать, являются ли числа (rде т == 1,2, 3) цe
1l т
лыми; в этом случае п т есть сомножитель N. Действи
N п 2 + а п 2 т 2 + т 2 + а т 2 + а
тельно, == == ==п+т+.
1l т п т п т 1l т
В rлаве 2 разъясняется различие lYlежду величинами, pa
циональными в длине и в степени. Дается правило нахож
дения общеrо наибольшеrо делителя чисел. Решается задача,
Иl\1еющая китайское происхождение: «Найти число, которое,
будучи разделено на 7, 8, 9, 11, дает в остатке соответственно
5, 7, 6, О» (rлава 4). Далее изучаются совершенные, четно
четные, четно нечетные, нечетно-четные, избыточные и недо..
статочные числа (rлавы 5 6); излаrается тройное правило,
в основе KOToporo лежит учение о пропорции (rлавы 7 9),
а также друrое популярное практическое правило (rлава 10),
носившее название regula virginum или r(egula coecis [53, 429].
В третьем: трактате описаны действия с иррациональными
ЧИСLilаl\IИ. Сlllедует снова подчеркнуть, что иррациональное чис
.по (numerus surdus, die irrationalische zal) рассматривается
как объект арифметики и определяется как «число, которое не
может быть выражено отношением двух рациональных чи
с е л > ( \\ е 1 с h е r z а 1 k h е i n р r о р 01. t z i s t ge ge n d е r а n d е rum а 1 s
do mag sein ein rationalische zal gegen der andern) [240.
стр. 574]. В дальнейшеlVl постоянно rоворится не об «ирра..
циональi-lой величине», а об «иррациональном числе». В со-
01 ветствии с книrой Х «Начал» исследуются «числа, ирра
циона"ТIьные в Д ТIине, но рациональные в степени», и «числа,
ирраЦlIональные и в длине, и в степени» (или «медиальные
числа») Далее предлаrаются правила действий с иррацио
на.пЬНЫl\11I корнями и прежде Bcero правило «сложения He
соизмеРИl\IЫХ в длине чисел», которое в современной записи
выr0l1ЯДIIТ так:
}/ а 11 ь ==
п./ (а + Ь) + J/( kl(aп lb + V(k2)пaп 2b2 +
п V п п l
· · · + I k ) аЬ
\ п l '
144
rде kl' k 2 , kп l биномиальные коэффициенты (аналоrич
НО дЛЯ случая 11 а 'Ii Ь ). Напри мер, '
Y 3 +Y5==V8+Y 60 .
Формулируются и разъясняют ся п ример ами правила:
у'а .у Ь == V аЬ ; Y'V' аЬ == Vv r аЬ ;
п I т / п / п / т r
V а у Ь == V !!.... }ir a 'У Ь == V V ат == V V ат .
Ь ' ь п ь п '
п п /
Ьу а == V ab п ; V: == V :п '
Приближенное извлечение корня производится либо по
формуле
п 1 j/
JI а == ь аЬ,
.либо , что чрезвычайно примечательно, по формуле
У а п + Ь ==а+ ь
, k aп l + k aп 2 + k ап з + + k а + 1
1 2 3 п l
'Которую ранее мы встречали лишь в арабских источниках.
На этом кончается часть сочинения, переведенная и про
'комментированная немецким математиком. К сожалению,
сохранился только отрывок латинскоrо текста четвертой кни
rи «О биномиалях и вычетах, а также обо всех иррациональ
ных числах, которых существует тринадцать» {240, стр. 607
609]. Книrа представляла собой, очевидно, систематическое
изложение книrи Х «Начал» С помощью алrебраических поня
тий. Отрывок содержит лишь начало, rде воспроизведена
евклидова классификация иррациональностей.
Поскольку MHoroe свидетельствует о том, что сочинение
написано не под итальянским влиянием, можно думать о ero
.арабском происхождении. Возможно, что, действительно, как
указывает автор, трактат был переведен на латинский язык
с rреческоrо в конце ХУ в. и имеет своим ориrиналом неиз
вестный арабский трактат, получивший распространение в
Византии Турции (прообразом ero, однако, служила не
«Алrебра» ал Хорезми [105] и не «Ал Мухаммадия» ал Куш
чи, следовавшеrо традиции ал Хорезми [82]). В пользу Ta
Koro предположения свидетельствует упомянутое правило
'приближенноrо извлечния корня n й степени, ранее в EBpO
пе не встречающееся.
jl0---113
145
Вопрос этот заслуживает дальнеЙшеrо исследования На
I атериале византийских источников.
rенрих rpaMMaTeyc. rенрих Шрейбер (Schreiber) из Эр
фурта, известный под именем rpaMMaTeyca (Grammateus)
[293, 299, 446J, является одним из первых немецких а.7Irебраи
стов. По отзывам современников [138, стр. 10], он был обра
зованным математиком и астрономом, хорошо знакомым
с «Началами» Евклида.
В вышедшем в 1518 r. учебнике «Eyn kiinstlich behend und
gewiss Rechenbiichlin vff alle Kauffmanschafft. Nach Gemey
пеп Regeln de tre. Welschel1 practic. Rcgeln falsi, Etlichen Re
geln Coss... Buchhalten... Visier Ruthen zu machen», он наряду
с друrими вопросами практической арифметики кратко изло
жил правила решения уравнений. rpaMMaTeyc собирался Ha
писать большое сочинение по алrебре, но осуществить это
намерение, по словам Ризе, помешали ero усиленные занятия
астрономией [138, стр. 1 О].
rpaMMaTeyc оказал немалое влияние не только на HeMeц
ких математиков. Об этом свидетельствует опубликованное в
Антверпене в 1537 и переиздававшееся в 1544, 1545, 1548 rr.
сочинение по арифметике и алrебре rолландскоrо коссиста
Жиля ван дер Хёке (Giels van der Hoecke [237, т. VII,CTp. 211]).
Адам Ризе. Знаменитый «вычислитель» (Richenmeister)
д.дам Ризе (Riese, или Ries) родился в 1492 r. в Штасель
штейне, около Бамберrа, получил образование, очевидно, в
Эрфуртском университете и большую часть жизни прожил
D Аннаберrе, преподавая математику; умер он в 1559 r. Славу \
Ризе принесли три учебника аРИфlVIетики (изданы в 1518, )
1525, 1550, 1579 rr.), в которых излаrались правила «счета на I
линиях», доступноrо и для людей, не умеющих писать, а TaK
же разъяснялись различные приемы практической ариф:мети-
ки [392J.
Около 1524 r. Ризе закончил сочинение по алrебре (<<Die
Coss») оставшееся неопубликованным; рукопись обнаружил
в 1855 r. в Мариенбурrе Б. Берлет и опубликовал ее текст
вместе с исследованием о творчестве Ризе [138]. Жизнь и тру-
ды Ризе изучались и друrими историками математики, в том
числе п. Трейтлейном [446], Ф. Дейбнером [226] и К.. Фоrе-
лем [456].
Во введении к «Алrебре» Ризе называет среди своих
предшественников, помимо rенриха rpaMMaTeyca и Андреаса
Александра, raHca Бернекера (Hans Bernecker) из Лейпциrа
и raHca Конрада (Hans Conrad) из Эйспебена и Аннаберrа,
как первых, кто серьезно занялся изучением апrебры. raHC
'Бернекер предложил ряд примеров, которые Ризе воспроиз
водит в своем сочинении. Относительно raHca Конрада ему
известна сумма, которую уплатил этот математик названно..
146
Е
>
C-
@
.
.
.
,.t '. ..
( . '
1"; .. \
'.\ .
)., '. i! . . J
< \ } ,\ ,,' . ч)\\' . .:.. ,"
О " \ ,! , J :
А " ,\ f', , :< < .,
'1..Y"v : . $ .,. ....; .. '$'
"t-- ( . ' . .: ' ' ,'.. . .." ;;
· . c<' :' .: .: ..
"', v, '';;;;';:--''-''
..
.
Прижизненный портрет Адама Ризе (из книrи В. Ber..
let .Adam Rfese", Leipzlg, 1892).
l\1Y выше монаху Аквинусу Дакус.у за решение алrебраичеСI{Оi'I
задачи (<<еупет sch\vartzen munich prediger ordens, "7elcher
aquinas genant \vartt 1 f] gebenn» [138, стр. 30]).
Ризе старается сформулировать правила алrебраических
действий понятными словами, упрекая друrих авторов в не..
ясности изложения и в пристрастии к латинскому языку,
ь связи с чем «редкий Mor у них что"нибудь понять». Он orpa..
ничивается решением уравнений первой и второй степени, для
которых приводит мноrочисленные примеры, взятые, .r.лавным
образом, из практической жизни.
«Алrебра» показывает, что ее автор был не тодько прак-
тиком-вычислителем, но и образованным математиком.
По словам п. Трейтлейна, Ризе «задолrо до Штифеля и Кар-
Д(tНО и не зная Рудольфа, выполнил свою задачу, преДпола..
rавшую не совсем обычный объем математических знаний»
[446, стр. 14].
Причиной, по которой сочинение Ризе не увиде,,10 света,
был, по всей видимости, недостаток в средствах для ero опуб"
ликования [226]. Около 5591.X t 113 ереработал «Алrебру»,
сославшись и на сочинеНИ 'i Ji!iП ,;нные с 1524 r. друrnми
авторами. Однако и вт р.ая( , осталась неопублико"
ванной. .
- .J
'1"47
Христоф Рудольф и Михаэль Штифель. О Рудольфе
(Christof Rudolff), авторе сочинения, сыrравшеrо важную
роль в истории алrебры, сведений не сохранилось. Имеются
указания на то, что родом он был из Явора в Силезии, рабо-
тал в Вене, умер до 1544 r. [237, т. VIII, стр. 204 205].
Алrебра Рудольфа была издана в 1525 r. в Страсбурrе
под заrлавием «Behend und Hubsch Rechnung durch die kun-
streichen regeln AIgebre so gemeiklich die Coss genennt wer-
den... В посвящении Рудольф обещает издать свое сочинение
и на латинском языке; этоrо намерения, однако, он не осу-
ществил (правда, r Энестрём [237, т. VIII, стр. 204 205]
упоминает неисследованные рукописи латинской алrебры,
возможно, принаД ТIежащей Рудольфу).
Очень скоро книrа, получившая всеобщее признание, CTa
ла редкостью, что побудило \ихаэля UUтифеля предпринять
новое издание. Сочинение Рудольфа было опубликовано во
второЙ раз с комментариями UUтифеля в 1553 r. в Кениrсбер-
re и носило теперь название: «Die Coss Christoffs Rudolffs mit
sch6nen Exempeln der Koss durch Michael Stifel gebessert und
sehr gemehrt» [419].
Михаэль Штифель (Mich. Stifel) [104, 187, 192, 294, 319,
320] один из крупнейших математиков XVI B. родился
в 1486 r. в Эслинrе. В ранней молодости он вступил в aBry-
стинскиЙ монашеский орден, но после появления учения Лю-
тера стал ero ярым приверженцем и вынужден был около
1521 r. бежать из монастыря. С этоrо времени Штифель вел
проповедь HOBoro вероучения, занимая духовные должности
в различных районах rермании. Умер он в 1567 r. в Иене.
Интерес к математике, особенно к числовой мистике, про-
явился у UUтифеля еще в монастыре. Позже он занялся серь-
езным изучением «Начал» Евклида в обработках Кампано
и Замберти, а также трудов Рудольфа, Ризе, Кардано и дpy
rих европейских авторов.
В 1544 r. было опубликовано сочинение UUтифеля «Обоб-
щенная арифметика» (<<Arithmetica integra»), в 1545 r.
«Немецкая арифметика» «<Deutsche arithmetica»), излаrающая
практические вычислительные правила, в 1546 r. «Вычисли-
тельная книrа по вельской и немецкой практике» (<<Rechen-
buch von der welschen und deutschen PrJactik»), а в 1553 r.
вышла в свет ero обработка «Алrебры» Рудольфа.
Остановимся прежде Bcero на последнем сочинении [419].
Блаrодаря тому, что Рудольф так ясно и точно изложил по-
немецки «удивительное и совершенно философское искусство
вычисления, названное Coss», сам Штифель, по ero словам,
постиr это искусство без затруднений; теперь же, ввиду ред-
кости сочинения Рудольфа, IIR просили ero ВЗЯТЬСЯ за но-
вое издание. После подробноrо оr ,вления дан совет начи
148
:.....{i:i::j:i:.iii:! .,i!!ш::.i;....:'::"}:::/::.i.ш.:::.:::.:::..::::::::::...:
(" 5u cd1\-t....S C ([ 1'11.i(
*inS '1'.:>. . . .. . .. .. . ..... ...... . .... . ..: .. .. ......<::,.
I);t'mt JCТSt,4U blCt't "Ъtt {:ofi\/Jt ttt..
in fon\>trbqt r.t : 1t Ul4\t. b lI n lq
fd)$ucl1 J!,:cmpcl.... . . ...
9! '_ !
Imttyntm 2Q oCi btt .'fn 541tn n:
t1mt1.vln/2t.ыfllеupttй{)lR"' t11Itkt
rcnlDiШ iCen/""'pr.с &«а.
. tlumaircll.. ... . .... ..
lmtt an;CЪc$41 fd)rфn... 610ft (_ <
т ttued) sd)cn fig:tetAI Ьcm. tИttn f1M Ьe . .. <
kd). ate. . · 2.. J. + .r. 6 .,. .. ..9 !: "" Ie,c..'.!";:.!
t)enbc "nЬ; :udCd,. о. t1u.. t !><
1Шt)te/font-«n t1k"rft " 4t. ...t i
,,; r IC J IКtt fl$fscfd3t ""аС. . .. . : : , .. . ,] i. . . .,.... . .. ... ....: . :. , . . ;( й ; . ; . .. . ... . iJ . . . .. . ; , . . .: . ... . :. . ' . : . . . i . .i . i: . .... . i . . . .. . . . .. . :.. . .. . : . : . :. . :. . . . . . ?!
&:/:.::,:.'j;. .-:.:. ,, ... , о
Страница из книrи Христофа Рудольфа "Косс" в обработ
ке Михаэля ШтифеJlЯ (изд. 1553 r.).
нающему, в каком порядке следует читать книrу: поскольку
наибольшую трудность представляют «rлухие И биномиаль..
вые числа» (Surdischen und Binomiscllen zalen), то TpaKTY
ющие их разделы нужно изучать в самом конце.
Изложив правила арифметических действий (лл. 1 5 об.),
Рудольф пишет, что он не продолжает объяснений, так как
«об этих вещах можно узнать в любом обычном учебнике
149
арифметики», и переходит к арифметической и rеометрической
проrрессиям, рассматривая их на числовых примерах.
В добавлении Штифеля rоворится, что Рудольф положил
учение о проrрессиях в основу своей алrебры и поступил пра-
вильно, ибо «коссическое искусство настолько целиком и пол-
ностью основывается на проrрессиях, что по справедливости
[ожет быть описано как исчисление с помощью rеометриче
ской проrрессии». Далее указаны области, rде находят при
менение проrрессии" и, в частности, теория фиrурных чисел
(со ссылкой на Боэция и Иордана Неморария).
При объяснении происхождения названия «rеометрическая
проrрессия» сделано интересное замечание, в котором мож-
но видеть первую попытку ввести понятие MHoroMepHoro про-
странства. Поскольку rеометрически мо}кно интерпретировать
только четыре первых члена проrрессии, то каждую reo-
метрическую 'проrрессию можно считать соответствующей
арифметической, единицу точке, первое число линии, вто-
рое число четырехуrольной плоской фиrуре, третье число
кубическому телу. Далее, «поскольку, однако, мы находимся
в области арифметики, rде нам позволено придумывать
MHoro вещей, которые иначе не имеют совсем никакоrо обра-
за, то позволено и то, что' недопустимо в rеометрии. А имен
но, что мы предполаrаем телесные линии иL пов рхности
(c6rperliche liniee und superficies) и выходим' за пределы
куба, как если бы существовало больше трех измерений, что,
однако, противно природе» (л. 9).
Подход Штифеля к понятию дроби выясняется из ero до-
, К 1
полнения к rлаве 2: « . ак 3 rульдена есть третья часть од-
1 U 'u
Horo rульдена, так и 3 есть часть одном единственн<УИ единИ-
цы. Поэтому справедливо спрашивают и обсуждают, поче-
rvIY единица подр'азделяется, тоrда как древние и новые
мастера... rоворят, что единица неделима, и на этой основе...
строят всю теоретическую арифметику. Здесь следует дать
короткий простой ответ. Такое подразделение единицы долж-
но быть разрешено вычислителями ввиду большой ПО.тIьзы,
которую из этоrо имеют» (.п. 22). Тоrда, разъясняет Шти-
фель, MO. HO получить алrоритм всех дробных чисел, воз-
никающий блаrодаря «таким ПРИДУl\1анным долям единицы»
и являющийся «прекрасной основой» для построения «всех
алrоритмов всех дробных чисел, безразлично, являются они
rлухими или биномиальными, или являются вычтенными
(Residuisch) или иррациональными, как их можно назвать
по-иному» (.п. 22).
Таким образом, не считая дробь истинным числом, Шти-
фель, тем не менее, полаrает полезным и необходимым поль
30Аатьср ею и в теоретических рассуждениях.
150
Далее излаrаются «тройное правило», правила извлече.
ния корней, вводятся понятие «коссических чисел» и их:
обозначения, формулируется правило знаков и т. д. Затем
обсуждаются иррациональные числа и правила действи!!
с ними.
Соrласно определению Рудольфа, «rлухим числом (nume
ru surdus) называется число, из KOToporo нельзя извлечь
корень и, тем более, нельзя такой корень выразить»
(.]1. 85 об.). Вводятся обозначения для корней, объясняются
правила действий с ними и с В Iражениями, содержащими
иррациональность в знаменателе.
В .rлавах о биномиалях и вычетах приведены определе
ния Рудольфа (л. 112): биномиаль это "двуименное число
(zwinahmig zaI), которое имеет такой знак: ,,+", например,
5 + У7, У в + У 6 , VТ2 + 3 и т. д. Аналоrично определя.
ется вычет как "число двойноrо наименования, связанное
знаком " " Далее приводится несколько примеров для
объяснения правил сложения и вычитания этих "чисел"
Штифель, желая «показать, как Евклид рассуждал о би
номиалях и вычетах и какой вывод делал из этоrо», рас-
сматривает вопрос подробнее, «чтобы и немецкий читатель
имел представление об этом вопросе, который в прежние
времена считался Cal\'lbIM трудным во всем Евклиде» (л. 118).
Прежде Bcero он определяет шесть видов биномиалей, пони-
мая под биномиалью «число, одна часть KOToporo есть обычное
число (например, 3,. 4, 5 и т. д.), а друrая часть rлухое
число, обозначенное У» (.п:. 118 об.). T первой биномиали
«большая часть рациональная, а меньшая rлухая», (напри-
мер, 12 + У 6 ); у второй "большая часть rлухая, а меньшая
рацио.нальная" (например, У 120 + 6); у третьей "обе части
являются rлухими числами" (например, У 12 + У6).
«Итак, заключает Штифель, каждый простой вычис-
литель тоже может леrко понять, что у Евклида является
биномиалью или не биномиалью, вычетом или не вычетом»
(л. .1}9).
В дополнении к rлаве, содержащей правило извлечения
корня из биномиа.пей, Штифель. замечает, что «эта тлава KO
роткая, но очень важная, так как если не уrvlеешь извлекать
квадратныЙ корень из биномиалей и вычетов, то невозможно
понять десятую книrу Евклида». Он подробно разъясняет
евклидову классификацию, пользуясь арифметическими тер-
минами: «Евклид вводит тринадцать линий. Ты понимаешь,
таким образом, что это тринадцать rлухих чисел, которые,
будучи причислены к линия.м, дают линиям названия. Мы
будем здесь (по праву) называть их не линиями, а rлухими
числами, но соrлаСНfJ Tel\f ви з:м, Q которых учит Евклид»
(л. 121 об.).
151
в последующей rлаве речь идет о «пяти видах отноше
ний»; Штифель добавляет рассуждение об «общем алrоритме
отношения» и учит «сложению, вычитанию, умножению и дe
лению отношений», называя это «удивитеЛЬНЫl\1 деЛОJ\.I»
(wunderbarlich ding).
Второй раздел сочинения Рудольфа представляет собой
руководство к решению уравнений, снабженное мноrочислен
ными примерами.
Таким образом, подход Рудольфа и особенно Штифеля к
понятию числа оказывается значительно более общим, чем у
ранних авторов: дробь и иррациональное число они (хотя и
со значительными оrоворками) прямо называют «числами»,
причем делают попытку дать теоретическое обоснование та-
кой точки зрения.
Еще более четко Штифель излаrает свои взrляды в зна
менитоЙ «Обобlценной арифметике» (<<Arithmetica integra»).
Сочинение 1 ) состоит из трех книr: 1 «О рациональ.ных чис-
лах», 11 «Об иррациональных числах», 111 «Об алrебре).
'Такое подразделение обусловлено подходом Штифе.пя к TpaK
товке понятия числа. Исходя из представления о неделимости
единицы, он рассматривал два основных вида чисел «истин-
ные» (numeri veri) и «ложные» (numeri ficti). К «истинным»
он относил рациональные числа, подразделяя их на абстракт-
ные (abstracti) и именованные (contracti или denominati).
К «ложным» были отнесены иррациональные числа, которые
он называл также «подобием чисел» (imagines numerorum);
они подразделялись на абсолютные (absoluti) и коссические
(cossici). Это бы.п принципиально важный шаr в истории уче-
ния о числе, окончательно разрушивший античное противопо
ставление числа величине.
Книrа 1 содержит учение о рациональных числах; она под-
разделяется на практическую (rлавы 1 и 10) и теоретическую
(rлавы 2 9) арифметику.
Практической арифметике, которая позднее стала пред
метом отдельноrо сочинения Штифеля, здесь отведено cpaB
нительно мало места: изложены способы изображения чисел,
разъясняются арифметические действия с целыми числами
и дробями (включая удвоение, раздвоение и проrрессии), и
несколько практических правил. Штифель приводит способ
деления, который у Луки Пачоли назван «rалерой» из-за фи
rypbI, в которую располаrаются цифры при вычислении".
Из практических правил дается, в частности, тройное прави...
ло (Regel de tri).
Значительно больше внимания уделено теоретической
арифметике, которая рассматривает «сущность И виды абст",
Ссылки даны по изданию 1594 [. [420}.
152
рактных чисе..l». Они подразделяются на четно нечеtные, чеТ.:
но чеТНbJе и четнu нечетно четные; ка)l(ДЫЙ из этих видов ил'"
люстрируется, соответственно, проrрессией:
1) арифметической 6, 10, 14, 18,
2) rеометрической 4, 8, 16, 32,
3) 12, 20, 24, 28, ;36,..., три первых Ч..1С1I3 котороЙ образуют
обратную rармоническую.
I< четно-нечетно четным числам относятся, в частности,
совершенные числа, относительно которых Штифель утверж
дает, что все они, за исключением 6, являются кратными 4.
В книrе 11 рассматриваются иррациональные числа.
Вначале Штифель сообщает, что между математиками
происходит спор о том, являются ли эти числа истинными
или ложными, и, ссылаясь на rеометрическое доказательство,
утверждает, что если рациональные числа мы считаем «pe
альными, точными», то, рассматривая иррациональные, при-
ходим к противоположному утверждению и «отрицаем,
что иррационаlllьные числа являются чисJtами» (,,1. 103). Он
утвер)l{дает, что нельзя назвать истинным ЧIIСЛО, не имею
щее определенноrо отношения ни к одному истинному чис
лу, и rоворит: «Отношение иррациональноrо ЧИС.,1а к рацио-
нальному не менее неточно, чем отношение бесконечноrо к
конечному» (л. 103).
Далее Штифель доказывает свое утверждение: если бы ир-
рациональное ЧИСll10 было истинным ЧИСlll0М, то оно было бы
либо целым, либо дробным. Леrко видеть, что целым оно быть
не может. Действительно, «любое иррациональное число попа-
дает между каКИМИ lIибудь ближайшими целыми числами. Так,
У 6 попадает между 2 и 3, а 1/ 10 , VП, )112, VТЗ, V14,
У 15 попадают между 3 и 4 и т. д. Но достаточно известно,
что между двумя ближайшими целыми ЧИС.lIами не попада...
ет никакое целое ЧИС.lIо" (л. 103 об.).
В то же вре IЯ иррациональное число не может быть дроб.
ным, ибо «неВОЗ1\10ЖНО, чтобы при умножении дробноrо числа
на себя получилось целое число, а при умножении иррацио.
нальноrо числа на себя может получиться целое число: так
Уб на себя в квадрате производит 6, ;/t) на себя в кубе про
изводит 6 и т. д.» (л. 103 об.) Предложение о том, что дробь
при умножении на себя не может дать целоrо числа, доказано
следующим образом: «Если знаменатель не де"lИТСЯ на чис
литель, то Te f более квадрат знаменателя не делится на квад..
рат числителя. Таким же образом и тем более куб знамена..
теля не делится на куб числителя, чтобы получилось целое
число. Отсюда, как никакое целое число при умножении на
себя не может произвести дробноrо числа, так и никакое
дробное ЧИСll10 при умножении на себя не может произвестJt
нелоrо числа» (д. 103 об.). Кроме Toro, «любое дроб.
153
ное ЧИСJ10 имеет определенное отношение к любому це-
лому числу, а никакое иррациональное число не имеет опре-
деленноrо отношения ни к какому числу ни к целому, ни
к дробному» (л. 103 об.).
Таким образом, иррациональное число не может быть ни
целым, ни дробным. В то же время между двумя ближайши-
ми целыми числами находится бесконечно MHoro как дробей,
так и иррациональных чисел.
rлава 2, названная: «Что думал Евклид об иррациональ
ных числах», начинается с утверждения, что «Евклид в пятом
предложении своей десятой книrи совершенно отрицал, что
иррациональные числа являются числами» (л. 103 об.).
Сформулировав это предложение (<<Две соизмеримые вели-
чины относятся, как число к числу. Следовательно, две не-
соизмеримые величины относятся не как число к числу»), Шти-
фель иллюстрирует ero примерами (V 24 : V 6 == 4:2, но
1/ 24 : 1/8 == 1/ 12 : 2) и rоворит: "Поэтому Кампано, который
разбирался в Евклиде, утверждал, что одиннадцатое пред-
ложение второй книrи Евклида не может быть доказано с
помощью чисел" (л. 104 об.). В то же время он видит, что
Евклид широко применял эти "образы чисел", особенно в
книrе х.
Определения книrи Х «Начал» Евклида, которая, по словам
Штифеля, касается «общей трактовки иррациональных чи-
сел», разъясняются в следующей rлаве. Если при делении од-
иоrо из данных иррациональных чисел на друrое получится
рациональное число, они соизмеримы. Здесь, в частности,
рассматриваются числовые примеры соизмеримых (1/ 216
У 600 , }/ 24 ) и несоизмеримых (V 18 , 162 ) величин и
при водится rеометрическая иллюстрация последнеrо "риме-
ра (см. рисунок на стр. 156): даны отрезки АВ и BD, на
которых строятся квадраты OFOB и ABNM; пусть эти
квадраты измеряются одним квадратом Е, причем OFDB ==
== 18Е, ABNM == 9Е. Из чертежа понятно, что квадраты
OFDB и BDH/ и их стороны (V 18 и 162 ) несоизме
римы.
Далее дана классификация иррациональных чисел, кото-
рая существенно отлична от классификации Евклида. Шти-
фель различает прежде Bcero rлавные (principales) и BTOpO
степенные (minus principales) виды абстрактных иррацио-
нальных чисел.
rлавные видыI:
1) простые иррациональные числа «медиали», которые
"Illтифель определяет как «rлухие корни из рациональных
.Чlfсел». относя к ним не только OpHI1 С показателем 2 п ,
J54
как у Евк ида, но иррациональные корни произвольной
степени; этот вид подразделяется на бесконечно MHoro
видов: квадратные медиали, т. е. квадратные корни
из рациональных чисел; кубические медиали, т. е. кубичес..
кие корни из рациональных чисел; квадратно"квадрат"
вые медиали; медиали пятой степени, медиали шестоЙ
степени и Т. д.;
2) составные иррациональные числа: бимедиали числа,
'ТJолученные от сложения двух l\lедиальных чисе.П одноrо вида
l например, У 12 + У 8, tt 12 + tt 6 , у28 + У12); биномиа-
ли числа, полученные от сложения медиальноrо числа
'с рациональным или двух медиальных чисел различноrо
вида (например, У 12 + V 12 , / 12 + 12 );
3) иррациональные числа, являющиеся корнями из со..
,ста вных (specie s radicalium componitorum), например,
V У 12 + 1/18
4) составные иррациональные числа, полученные вычита..
нием, относительно которых «Евклид доказал, что они во всеМ
ТIодобны полученным сложением»: «бимедиальные вычеты
числа, полученные при вычитании медиалей одноrо вида (на..
пример, У12 1/ 6 , v24 / 18 ); биномиальные вычеты
-числа, полученные при вычитании медиальноrо и рацио..
нальноrо числа или двух медиальных чисел различноrо
,вида (12 У140 , У 200 12, У 12 tt 60 , tt 12 УВ}
5) радикальны е числа о т полу ченных при в ычитани и
(на пример, V yТ2 У 8 , V6 У 6 , V У 12 2
]/60 ).
Второстепенные виды, широко при меняемые в алrебре:
1) иррациональные числа, полученные при сложении:
iримедиали (например, v r 24 + У 12 + / 8 ), квадримедиали
(например, / 24 + V 8 + 1 5 + ' 2 ), триномиали ( например,
12 + 1/ 12 + / 12 ), квадриномиали (например, 200 +
+ У l000 + 10 + У 2 );
2) иррациональные числа, полученные при вычитании:
-тримедиальные вычеты (например, 1/ 24 У8 У6) ,
квадримедиальные вычеты (например, 20 r 17 8
2), триномиалыIеe вычеты (например, }/ 20 / 20
155
7 ' .. .;00;; 'J' ..
_. . _ . . .' .. ... . y,; v' . ... . ....:« .,vv. _ . .
.'
J' O( .
..':': ........ ;,..:..
Ь\ fC НА S 1.1' ST JF+E 1.1-1
-.J, ..--
- :_-:,--
D
--t--.
,q! f (::
.
/
.,/j t $
,
....
...
s
: {-
,--
1
-_7i:--
.;[.6'\...
о
---:Ж:
- >\:,
Iif
( J::J-Jt::a:fttm -11 иa m.odt.(' : _ ngnз.. f. Jt1\} :r..t ,n-: Iura
t= ' fU"\тi',.i:tU;j:d - :'t..t:f:nt>,ж. , .:: ; qtn t.;jt:f kЙ(:k ..t: у f: :,. "O qua
dt. t:.. f:tt)1nt.rц.I.;)j'UC1-tt tu t11nt (- m(uШtаЫlt. Nt t.n(J-аt
s
fкы
:::. . "'S:=::.: ::":::.:.:..:-..::.........: .....:..:;:..:::: . :.:. : J' ;'..(. -:'wr о(
.-:':,..':'
Страница из "Arithmetica integra" Мнхаэля Штифеля (иэд.
1594 r.).
r20), квадриномиальные вычеты (например, 16 VТ8
V 7 V2);
3) ,иррациональные числа, полученные с помощью как
(например, V 60 + V 20 8,
сложения, так и вычитания
6 + V 28 10 V 14 5);
4) иррациональные числа, полученные при извлечении
I<акоrо..либо корня из числа, относящеrося к OДH()
156
МУ из указа нных видов (например, VV 20 + 4 +V6
VV 20 4 yr8 , lf8+V lO V 200 );
5) всякое друrое иррациональное число будет относиться
к одному из четырех предыдущих видов.
Таким образом, Штифель значительно расширил класси
q)икацию Евклида, охваТИЕ радикальные выражения любоrо
вида, но, естественно, потерял при этом то rлубокое BHYTpeH
нее содержание, которое отличает книrу Х «Начал».
В ЭТО I разделе он разъяснил также применение знаков
«плюс» И «минус»: «Коrда складываются два несоизмеримых
или два друrих, отношение которых неизвестно (как это бы
вает с коссическими числами), тоrда между слаrаемыми мы
ставим знак «+» И rоворим, что составленное таким образом
есть сложенное. Таким образом, знак «+» называется зна
ком сложения (signum additorum). Подобным образом мы
называем знак « » знаком вычитания (sigl1um subtractorum),
потому что если хотим отнять какое-либо число от несоизмери-
:Moro с ним или от TaKoro, отношение KOToporo к вычитаемо-
му неизвестно, тоrда применяется этот знак» (л. 110).
В rлаве 5 Штифель рассматривает классификацию ир
рациональных величин, данную Евклидом в книrе Х «Начал»,
И сравнивает ее со своей классификацией.
В следующих (6 7) rлавах разъяснены правила дей
ствий с медиальными иррациональными числами, описанны
lИ выше, и особенно с теми медиалями, «которых не ка-
сался Евклид», Т. е. корней произвольной степени.
Иоrанн Шейбель. Иоrанн Шейбель (Johann Scheybel,
Scheybl, или Joannes Schevbelius), видный математик XVI в.
родился в 1494 r. в Кирхrейме, близ Штутrарта; учился в Ве-
не, Лейпциrе и Тюбинrене, rде получил степень маrистра и
затем преподавал в течение долrих ТIeT rеометрию, арифме-
тику и «Евклида». Умер там же в 1570 r., завещав рукописи
и астрономические инструменты университету.
Шейбель написал несколько сочинений по математике,
rлавным образом, учебников. Обзор некоторых из них дал в
1796 r. А. Кестнер [339], но основательно творчество Шейбеля
было изучено лишь в конце XIX в. r Штайrмюллером [413]
и отчасти п. Трейтлейном [446].
В 1545 r. в Лейпциrе вышло арифметическое сочинение
Шейбеля «Ое numeris et diversis rationibus seu regulis
computationum opusculum».
В отличие от друrих авторов учебников арифметики, Шей-
бель не просто сообщает правила действий, но излаrает пред-
(eT, который является для Hero «искусством и наукой», как
в научном трактате, и пытается дать представление о ero об-
157
щих методах. Как сочинение научноrо содержания, оно наПII
сано Шейбелем на латинском языке, однако, существовало и
в немецком переводе [339, т. 1, стр. 104]. Мы остановимся
несколько подробнее на друrой книrе UUейбеля, которая на-
зывается «Euclidis Megarensis, Philosophi et Mathematici,
sex Iibri priores, de Geometricis princi pij s» и представляет
собой характерное дЛЯ ХУI в. издание I VI книr «Начал»,
rде rеометрическая теория разъясняется с п,омощью алrебры.
Напечатана она в 1550 r. в Базеле [403]. Чтобы получить воз-
можность последовательно применять этот l\1етод, Шейбе.пь
предпосылает «Началаl\l» раздел с «кратким описанием пра-
вил алrебры». Изобретение алrебры он приписывает Дио..
фанту.
Ряд степенеЙ неизвестной, или «именованных чисел», со..
поставляется с рядом натуральных чисел; вводятся «КОССН-
ческие» обозначения, разъясняются действия сложения, вы-
читания, умножения и деления целых и дробных выражений;
дается правило знаков, причем Шейбель применяет термины
«положительный» (affirmativus) и «отр,ицательный» (negati-
vus) для знаков «плюс» И «минус». Рассматриваются уравне-
ния и задачи, приводящиеся к ним.
Далее следует раздел о «rлухих» числах, бинсмиалях и
вычетах, в котором можно наблюдать еще более последова
тельную арифметизацию учения о величинах, чем у Штифеля.
«rлухие» или «иррациональные» числа определяются, как
числа, «корни которых нельзя выразить ТОЧНЫl\1 числом»
[403, стр. 35]. Друrими словами, он rоворит не о «rлухом»
корне, а о «rлухом» подкоренном выражении и этим нару..
шает традицию. «rлухими считаются числа 3, 17, 21, 346.
и т. д.».
Правило сложения д вух иррациональных чисел V а +
+ vb == V а + Ь + 2 V о ь основано, как rоворит автор, на
4"м предложении книrи 11 "Начал".
В разде.пе «А.лrоритм биномиалей и вычетов» (стр. 45 55)
даются определения TaKoro типа: «БИНОl\lиаль, или диния из-
двух имен, как ее определил Евклид в 36-м предложении
десятой книrи, есть иррациональная линия, составленная из
двух рациональных, соизмеримых только в степени, взятых
в одном напраI3лении; например, 4 + У 7 , уТ2 + 3. V 27 +
+ У 15 , 4 + У8, V r 12 + 2, У 27 + У 18 . Шейбе ,ь, таким
образом, rоворит о "линиях", имея в виду иррациональные
корни. Он утверждает, что "рассмотрение биномиалей и
вычетов не представляет трудностей, так как все правила
операций с ними описаны выше".
Формулируются правила сложения, вычитания, умноже..
ния и деления БИНОl\lиалей и вычетов, сопровождающиеся чис..
lЕ8
ловЫМИ примерами. Дается классификация биномиалей, пред
ставленная в таблице [403, стр. 50}. Словесно выражено
основное правило (<<салоп generalis») извлечения KBaдpaTHO
ro корНЯ из бино миален и вы четов: если А >В, то
V v А + -V в V A + V А : в + V A V А 4 B
Проверка, как ранее у арабских авторов [82, стр. 199
213] производится последовательным возведением резуль
тата' в квадрат. KpOMt Toro, Шейбель указывает и дpy
rой алrебраический путь (ср., например , с трактатом ал
Ахвази [82, стр. 205 208]): V V А + у в == V х -V у paB
....... В
насильно системе х + у == у А, ху == т,. решение которой
получается из пропорции Х: У: У: : (V А х).
Мноrочис.пенные задачи иллюстрируют опи.санные прави
ла (например, ищутся rипотенуэа и катет треуrольника, дpy
rой катет KOToporo 8 V32, а сумма rипотенузы и иско
Moro катета 16 V 128 ).
Затем Шейбель переходит к изложению. «Начал», сопро
ВОJl{дая каждое предложение примерами с рациональными и
иррациональными числами. Иноrда приводится rреческий
Tel{CT. По словам Шейбеля, перевод сделан им самим.
Во введении к книrе V [403, стр. 225] разъясняются OCHOB
ные понятия общей теории отношении и дается никомахова
классификация числовых отношений.
Шейбель rоворит о «знаменовании» отношения, имея
13 виду при этом выражение рациональ.ноrо отношения дробью.
Так, рассматривая три числа: 9, 24, 64, он называет «знаме
нованием, или отношением первоrо ко второму» дробь
а "знаменованием, или отношением первоrо к третьему"
8 ' 9 9 24 9 ( 3 ) 2
дробь 64. При этом, так как 24 == 64 ' то 6-1: == 1r ' т. е. яв
ляетсЯ двойным отношением.
Во введении к книrе УI [403, стр. 267] изложено учение
о составНОМ отношении. Даны следующие определения: «ro
верится, что отношение составля-ется из отношений, коrда=
веЛ:i ЦИНЫ отношений, то есть знаменования, будучи перемно
женЫ образуют отношение. rоворят, что то. отношение co
, u u
ставлено из отношении, которое получено из знаменовании
этиХ отношений. Величинами же, то. есть знаменоианиями OT
ношениЙ называется то, чем Зlf3менуются или имеНУIОТСЯ
отношениЯ». В качестве примера приводятся отношения 8: 4
и 4: 2, имеющие «знаменование» 2. Отношение 8: 2 имеет
159"
=: .::.. ::;=:: :. ":::::: : ;:: '.. .. . ;:. .:;.::= : : WfIV . . _ :..:. : :::. ::::.:::. .: ,.::,.: . , :: : ::,: : ( > : = : ::: . ::::::::: ;:"r. : ..
:: . . : ... f:-"
., .
:....
.J;.:..
",;(;' Е ':"" В; ,1), '.' " Е :..... . ::
.. ., '::.:. ...... " .': .. ....: .1 .:, f1. '. <:.
o! f,I1S "
"; ,
11f5r
:!
' ':: .::.:::=:: ".::::.:.:'...:::.::. "':; ":';:::'
. ....--.. - ...
-.... ......... '.
... ...
.-.. ...
.... ..
. . . .
. -.'. «
... .. .-
." . .
... -
- ..... .
'"
. )\ . .::
'. ........ ..;-
. . . '. .. ......
,=::> :. ',,' .
.\'.: . ::: . . i .
:!\\,.:.,"
: ...t
\ I,> ";: ':
'.:;.#.. .
....... .....;:;:::
. ",",
.
", ,";, :;.,';':\':' ,$' . .
, . ..--': ,::,::". -- ..
Apud: !r
. 1 . 1 ' '- "' Й "
. .. -.
.: '.-.. ::' .::. :.:.. :.:.:
: :!: :!H P::,,::..I':\r;i:I:':ti:I ;I;:':j, ;:t>;
i
*
.,
: ..:--....;.... ._.....: {;::-::::..:.:::.::::.:::::::.:.;:: .:::=:::::::=:".:-:::.:=...:::'.:":: - -:...:.-::::.:".:.'::.:.:.:...::;:.;:::::..:-:::::;::::::::::::::::::::::: :::::.::::=::.=::::
.:..:::::::'.:::,::::.::.
::.::.:.:;:;:.:..:.:.:..::..:..:::.....
Титульный лист "Алrе5l-'Ы" Иоrанна Шейбеля (мзд.
1552 r.).
..«знаменование» 4 и составлено из отношений 8: 4 и 4: 2.
Таким образом, Шейбель выражает «количество» OTHO
-шения (рациональноrо) числом и операцию составления OT
'ношений сводит к пер ем ножен ию соответствующих чисел.
Этот важный р.езультат остался не отl\tlеченным исследовате-
лями творчества Шейбеля.
Алrебраический раздел рассмотренной книrи Шейбеля был
'издан отдел-ь'но в 1552 r. в П-ариже [404].
Третье сочинение Шейбеля [339, т. 1, стр. 104 108], пред
,ставляющее интерес для истории учения о числе, вышло в
'1558 f. на не'мецком языке (<<Das sibend acht und neunt buch,
'160
des hochberumbten Mathematici EucIidis Megarensis...») .
в нем излаrаются книrи VII IX «Начал» Евклида, которые,
110 словам автора, содержат «причину, основу И фундамент
операциЙ и правил всякоrо обычноrо счета». ШеЙбель rоворит
в заrлавии, что он перевел эти книrи с латинскоrо (вероятно,
с текста Кампано) и сопроводил их примерами, имея в виду,
чтобы они «каждому обыкновенному вычислителю стали леr-
ко понятны и моrли принести пользу».
Все предложения сопровождаются числовыми примерами,
но доказаны не всеrда (хотя отмечено, что мноrие вычисли-
тели не удовлетворяются простыми словами, а требуют до-
казательства). Обычно примеНЯВIlIиеся практические правила
Шейбель выводит как следствия из предложений «Начал».
Так, «тройноrо правила» у Евклида нет, но ввиду ero боль-
шой пользы оно приводится И обосновывается 23 M предло-
жением книrи VI.
В заключение Шейбель обещает вычислителям изложить
и книrу Х «Начал», в котороЙ, как и в друrих книrах Евкли-
.да, следует видеть обоснование «коссическоrо правила, как
ero называют, или алrебры».
."'емма Фризий. Среди ученых, на которых оказал влия-
ние Штифель, следует назвать rолландскоrо математика reM-
му Фризия (Gemma Frisius, 1508 1555 rr.), известноrо
трудами по картоrрафии, космоrрафии и об астрономических
инструментах [382]. На полях экземпляра «Обобщенной
арифметики» Штифеля он написал комментарии к этому
,сочинению [166, 170], rде пытался доказать правило знаков
при умножении и уделил MHoro внимания теории уравне-
ний. Поняв важность сопоставления арифметической и reo-
1\1етрической проrрессий, он заметил: «Интересное рассуж
.дение».
reMMa Фризий составил также учебник по практиче-
ской арифметике «Леrкий метод арифметической практики»
(<<Arithmeticae practicae methodus facilis»), опубликованный
в Па риже с коммента риями Пелетье (см. НИ)l{е) в 1551 r
и переизданный в 1553 и 1556 rr}). Он представляет собой
типичный пример сочинений TaKoro рода.
Трактат состоит из четырех частей. В первой излаrаются
правила операций с целыми числами, в том числе четыре спо-
tсоба деления; при этом особенно подчеркивается значение
проrрессий. Относительно действий удвоения и раздвоения
.автор rОБОрИТ, что их не следует рассматривать как отдель-
ные арифметические операции, ибо в таком случае нужно вы-
делить и действия умножения и деления на 3, 4 и т. д.
1) В использованном нами экземпляре из Библиотеки АН СССР стро-
,ки С указанием rода издания оторваны [289].
11 113
161
Во второй части излаrается теория дробей приведение
дробей к общему знаменателю, сложение, вычитание, умно-
жение и деление. Отдельно формулируются прямое и обрат-
ное тройное правило для дробей.
Третья часть содержит практические вычислительные пра-
1Jила, а также способы приближенноrо извлечения квадрат-
ных и кубических корней. В конце [289, лл. 54 об. 47 об.}
кратко сообщаются «правила кос, или алrебры». Таким обра..
зом, алrебра рассматривается здесь как раздел практической
арифметики.
В четвертой части трактата изложена теория ЧИСL10ВЫХ от..
ношений, а в приложении правила действий над 60 ричными
или, как их называли, астрономическими или физическими
дробями [289, лл. 64 76].
9 16. Французские математики
Сочинения по алrебре французских ученых XVI в. в проти"
RОПОЛОЖНОСТЬ трудам их итальянских и немецких современ-
ников, долrо не вызывали особоrо интереса историков мате-
матики. А Босман [168, 171], r. Энестрём [237, т. VI, стр. 409
410], r Вертrейм [472] впервые показали, что эти сочинения,
несомненно, заслуживают внимания и что великиЙ IvIатематик
Ф. Виет (см. ниже) имел среди соотечественников не одноrо
пр едш ест в енни ка.
Ниже дается обзор работ ученых XVI В., стреl\IИВШИХСЯ
выработать общие принципы науки о числе, включающей как
арифметику, так и алrебру.
Рамус и Шонер. Пьер де ла-Раме (Pierre de la Ramee),
известный под латинизированным именем Рамуса (Petrus
Ramus), стоит в ряду наиболее замечательных Llичностей
XVI В. [187, 188, 192, 400, 402]. Он родился в 1515 r. близ
Суассона в обедневшей аристократической семье. Поступив
в услужение к боrатому студенту, Рамус по ero записям лек..
дий изучил латинский и rреческий языки и философию. Впо-
следствии он получил также rлубокие познания в матема-
тике. В течение долrих лет Рамус....... «блестящий оратор, rлу"
бокий философ, остроумный математик» [187] занимался
преподавательской деятельностью, принимая в то же время
активное участие в научных и релиrиозных спорах. Он тре..
бовал освободить науку от rнетущеrо авторитета Аристоте-
ля, выдвинув лозунr: «Все, что сказал Аристотель, ошибочно»,
и тем самым приобрел мноrочисленных BparoB в ученой среде.
Вынужденный уехать за rраницу после начала rражданской
войны во Франции, Рамус побывал в Базеле, rейде.пьберrе
[188], Франкфурте-на..Майне, Нюрнберrе и друrих rородах.
162
"'-.. .. ,
\ ., .»
... .
' >1.,
..
,,,"
· J :\
'i. \ * , .;-
.-.
,....: 1; z.
, . . - tl.
, :'. :. .
. .,
..9""'"
..
;
, >,
t> /
('
. , l'
<f'> \
,.. .:"
'. 4 '
I "
f": .: ..
\88f '
. 1 .t-{.
'."..... ',.
.'i>. '<
. -»).."'0- .:
:V..}. . .
'. ::
. .
i о .
(.. ' .
,,* Д! .У{' 4I ,' ,
<'h '. . "1 .-' у ,<'<
· t .. .
<. о-
»
.:. :.. О, '%
>
. .::.J).<6.
f'
..
t ' 1 '
> ; \ .Vt
t .
. "
. ;', kf 1. .;
. ;.. :. .. . с' : е -
. <.-:'
9'
(j, ...,."
.,;: v .-/.'
.. t:.'.< t;, .:. .1; . '
.. ..;,. .. ..' ..... > ..; (' ,., :) . :.:..<.
>. . .... ::. i ..
+ ..
. , -
( , .
. :' 00
+. ; '. .
'-'''<.
.: ." .
.:f; .:.....
-.....-'"0(-
.........
-:--:. . о"
(- r . 't \ .
k (,t 0'0 ООХО.
. '" '4>.. л ..
. . ' . >: . .:... '" Ао . »
j .. ...J"fr" '.'.
" " ", '; . ... ,
i?-.J#l:' ;У' '.
.<t
..
, , ; .
. .. \::4 ,. ( ',) " .
' . . .... . . $-: > $i' :.. ,А .. "'. . :.+, '
v -1. '"i ;';".
<. 11' . -:.t. :', "о
, "",.' .. . :::
...
:.
. у
",
\'
'"
.... :..0;:; ".'::
Прижизненный портрет Питера Рамуса (ИЗ книrи G. Sarton
"Six wing ", Bloomington, 1957).
В 1570 r. он веРIIУ lСЯ в Париж и, будучи ryreHoToM, поrиб в
Варфоломеевскую ночь.
Наряду с трудами по философии, rрамматике и лоrике, Ра-
!\IУС написал неСКО,,1ЬКО сочинений по математике. Среди
них «Тридцать одна книrа математических бесед» (<<Scholarum
mathematicarum libri unus et triginta», Базель, 1959 r.) [385].
В математических науках, как и в философии, Раму с стре-
мился к низвержению древних авторитетов, препятствующих,
по ero мнению движению вперед. Так, в названном сочинении
он приветствует Коперника и высказывает пожелание, чтобы
в астрономии отказались от старых rипотез и старались ос-
новываться на фактах и вычислениях [385, стр. 47]. Здесь же
он обрушивается с резкой критикой на Евклида: выражая
точку зрения практиков. он считает,. что не следует давать
163
определения прежде, чем в них появится нужда, что. неверно
предпосылать rеометрию арифметике и что десятая книrа
«Начал» не может сравниться ни с одним сочинением по He
ясности иненужности [385, стр. 152].
Эти идеи он положил и в основу друrоrо сочинения:
«Арифметики две книrи, rеометрии двадцать семь» «<Arith..
meticae libri duo: geonletriae septem et viginti», Базель,
1569 r. [384]. Рамус начинает с предло)кениЙ теоретической
аРИфl\lетики, затем излаrает теорию дробей 'и уделяет особое
внимание учению об отношениях и пропорциях. rеометрия
носит у Hero чисто прикладной характер, основные пред.поже
ния иллюстрируются числовыми примерами: большой раздел
отведен практическим измерениям. Общие теоремы о вели
чинах приводятся во вводной rлаве rеОl\lетрической части кни"
rи. rеометрию Рамус определяет как «искусство хорошо изме-
рять» И дает краткий исторический очерк ее развития. Далее,
ссылаясь на определения Аристотеля, он рассматривает не-
прерывные величины, являющиеся предметом rеометрии, их
соизмеримость, несоизмеримость, раuиона.аьность, иррацио-
нальность. Рациональными Рамус называет такие величины,
«отношение которых выразимо числом данной меры».
Излаrая предложения Евклида, Рамус опускает книrу Х
«Начал» И не касается теории квадратичных иррациональ-
ностей даже в разделе оправильных мноrоrранниках, rде
все доказательства основаны на этой теории. Тем самым
он еще раз проявляет отрицательное отношение к отвлеченным
рассуждениям в математике.
Третье сочинение Рамуса «Арифметики две книrи и алrеб-
ры столько же» (<<Arithmetices libri duo, et Algebrae toti-
dem») впервые появилось в 1586 r. 1 ) в обработке ero учени-
ка л. Шонера (Lasarus Scllonerus) В первоЙ книrе (о «про
стой» арифметике) рассматривается способ обозначения
чисел, разъясняются арифметические действия с целыми чис-
Jiами, определяются четные, нечетные, взаимно простые чис-
ла; даются правила нахождения общеrо наибольшеrо дели
теля и общеrо наименьшеrо KpaTHoro. В коммеП1 ариях
к каждой TeOpeJ\1le сделаны ссылки на соответствующие пред-
ложения Евклида. Излаrая теорию дробей, Рамус определяет
еВК.}lИДОВЫ понятия «доли» И «долей», а затем rоворит, что
«при делении меньшеrо на большее частное будет меньше
единицы, и оно называется дробью или долей, величина ко-
торой находится этим делением». Таким образом, понятия
дроби и доли сливаются у Hero в одно понятие.
1) Мы пользовались изданием 1592 r. [3861. У М. Кантора это издание
названо первым [192, Т. 11, стр. 562 563] ошибочно, на что указал
r Энестрём [237, т. XIII, стр. 71].
164
,
rr"' ',.., . ".
:-....:.... ... ::......:..
"" <
Е RI RAM
ARI THMETICES LI..
в 1t 1 D U О, Е Т А L G Е В R 1Е o
tidcm:aLAZARO SСИОN.аао
emendati & exp1i-
catl.
'q
.
Ejlt{dtl1z S С н о. N Е R 1 libr d, (J . ltlr>
Dc ]..'rитеrи jigиrаtМ; а/и,. )Dc LogJ/ir
G' . .)
J f хлgепЩ14.
;
,.
t..
.t. y .. . i<
". ,.r +.<' . .
. # 'l»' ,. '. . ,
. .' ;-.t....;.. . .
\ .. . ' . :,: .: .. \.. ,,'
... ..) ,.:,
. ф . . .., , .'1\., "
.
:, . -.... "f.......
. (: I , " .' .. .
,!<i--' х,' .
" . i . J Y '. <,'
""......... : . ..... .., ..
., . ... ..' .
{ ":, ' . '
... "",'
." ......... "''' .
. ...... -:, ;'С . ...
-; ..... . !
,.."..'::
"
i
1:"
t:
(::
" ::
;=
':
!::
. 1!.
1;;:
.r 4." "., . . .
. . ;J, _.: :'" - "
. . е о . '"""'" ,.. .
,.
:.:
'FR.ЛNСОFtIRТI
Apud heredes .Andre Wccbeli)
'Сl.аudiцm MarrHuln & lO.:H1"AubJ.lum l
ID XCII.
С.т s. С4{.МДJtj/АI16рrluilеgi,дd/iх..iнiи .
-}
'.
1::
i::
':'0
,.
.. ......;...:.::-.: ......:.", ",
т итульный лист "Арифметики" Питера Рамуса в обработке
л. Шонера (изд. 1.::>92 r.).
Интерес для истории европейской математики представля
ет заметка о происхождении алrебры. r Энестрём счита-
ет [261], что, если узнать, откуда почерпнуты эти данные,
можно было бы уточнить вопрос об источниках алrебры
ХУI в. Он предполаrает, что Рамус пользовался либо pac
смотренным выше сочинением Андреаса Александра, либо ле
жащим в ero основе неизвестным нам трактатом, о котором
rоворилось выше.
Вторая часть сочинения (о «сравнительной арифмети
ке») это изложение теории величин и, в частности, теории
отношений, которая предполаrается основой всех правил
практической арифметики.
С точки зрения истории учения о числе небезынтересно
ДОПОJIнение Шонера к этому сочинению Рамуса; М. Кантор
[192, т. 11, стр. 562 563], на наш взrляд, пренебреrает им
Не совсем заслуженно (см. также [237, т. VII, стр. 91 92]).
В трактате Шонера можIfо видеть одну из сделанных
в ХУI в. попыток объединить различные разделы ариф
метики и алrебры и построить на некоторой строrой
основе единое учение о рациональном и иррациональном
числе.
В первом разделе дополнения рассматриваются «фиrур
ные» числа. При этом, однако, понимаются не пифаrорейские
Фиrурные числа, а числа, состоящие из нескольких равных
сомножителей, т. е. степени целых и дробных чисел; сомно-
жители называются «сторонами» фиrурноrо числа. Отноше-
ние двух таких чисел оказывается «составленным» из OTHO
шений их сторон. Исходя из этоrо rеометрическоrо опреде-
ления, Шонер обосновывает понятие иррациональноrо корня
.
как «невыразимои» стороны числа, а затем излаrает правила
вычислений с ними.
Формулируется несколько общих поедложений относи
тельно фиrурных чисел, например: «При делении плоскоrо
числа на одну ero сторону получается друrая сторона». Чис
ло, ИlVlеющее две равные стороны, называется квадратным,
а ero стороны корнями, которые обозначаются буквой 1.
Сторона может быть либо «выразимой» (ехр Нса bile) , либо
«невыразимой» (inexplicabile) в зависимости от Toro, можно
выразить числом ее отношение к единице или нет. Шонер
замечает, что по арабски квадратное число называется
«zensus» И разъясняет методы приближенноrо извлечения
квадратноrо корня.
Относительно иррациональноrо корня, т. е. «невырази
мой» стороны неквадратноrо числа вида тn автор rоворит,
что она может быть наЙдена как среднее rеометрическое
между т и n. Например, «поскольку нельзя выразить CTOpO
ну квадрата 40, которая обозначается 1 40, то она опреде-
166
ляется из непрерывной пропорции 4. 140. 10» [386, стр. 247],
т. е. 4: V 40 V 40 : 1 о.
L{алее исследуются «кубические» числа и дается правило
приближенноrо извлечения кубическоrо корня.
Затеl\1 illонер переходит к «оста.ПЬНЫМ фиrУРНЫ 1 числам»,
Т. е. составленным больше, чем из трех равных СОМlIо)кителей,
и пользуется при этом, как ранее UПтифель, представлением
о MHOrOl\/lepHbIx телесных фиrурах. Он rоворит, что если в reo-
метрии нельзя rоворить о четырех или более измерениях,
то в арифметике с успехом применяются такие понятия, пред-
стаВЛЯlощие собой «скорее ложные, чем истинные, видоизме-
нения rеометрических объектов» [386, стр. 271]. Так, пятая
степень определяется как «телесное, второе из следующих
после куба». Этим он объясняет смысл названия «surdesoli-
.dum» для пятой степени неизвестной, которое, по ero словам,
-«ведет происхождение от арабов» [386, стр. 273].
Вторая часть сочинения UПонера посвящена 60-ричным
дробям.
Интересно отметить, что при изложении теоремы о со-
ставных отношениях UПонер ссылается на латинский перевод
трактата Сабита ибн Корры «De figur'a sectore».
ж. Пелетье. Жак Пелетье или, в латинской транскрипции,
Пе.петарнус (Peletier, Peletarius, 1517 1582 rr.) математик
и врач, широко образованный представитель французских ry-
манистов XVI в., литератор-линrвист, сделавший попытку
преобразовать rраМl\1атику родноrо языка, весьма известный
в свое время поэт, автор переводов творений [омера, Вир-
rилия, Петрарки; ero собственные стихотворные произведе-
ния, вышедшие в 1547 [. и переизданные в 1904 r. [378], дают
прекрасный образец французской поэзии эпохи Возрождения.
Пелетье изучал математику, философию, право, а позднее
J\11едицину, работал в Ле Мане, Париже, Пуатье, Лионе, Бор:
до. Этот разносторонниЙ ученыЙ, )кизнь KOToporo была полна
случайностей и приключений, оставался прежде Bcero мате-
матиком. Об этом rоворит и одно из ero лирических стихо-
творений, озаrлавленное: «Тем, кто порицает математику»
IЗ78, стр. 1 04 1 05].
Среди ero трудов комментированное издание шести пер-
вых книr «Начал» Евклида (Лион, 1557 r.), сочинение о прак-
тической арифметике (1563 r.), несколько rеометрических
трактатов: «О равенстве ПРЯl\10уrольных и криволинейных yr-
лов» (1559 r.), «О касании линий и о двух линиях, лежащих
в одной плоскости, не па раллельных и не пересекающихся»
(1563 r.) и друrие.
Мы остановимся на ero алrебраичеСКОl\1 трактате, который
в 1554 r. был издан в Лионе на французском языке (<<L' Al-
gebre, departie еп deux Iivr »), а в 1560 r. в Париже на ла-
167
тинеком (<<Iacobi Peletarii Cenomani, ае occulta parte пите..
rorum, quam Algebram vocant, libri duo»); впоследствии
сочинение MlIoroKpaTHo переиздавалось (1604, 1609"
1622 rr. и т. д.) 1).
«Алrебра» Пелетье привлекла внимание истор ков MaTe
матики только в конце XIX в. Ее упоминал Трейтлейн [446]
и исследовали А. Босман [171] и r Энестрём [237, т. VII,
стр. 389; 249].
Книrа написана под сильным влиянием Кардано, Шти"
феля и Шейбеля, на которых автор неоднократно ссылается.
Он упоминает [Iачоли и Рудольфа, а из древних ДИuфан
та, ал Хорезми (<<Machometi Mosis Arabis filius), а также
леrендарноrо арабскоrо ученоrо rебра, KOToporo в ХУI в. ча..
сто считали, наряду с двумя предыдущими, основоположни"
ком науки алrебры, названной, якобы, ero именем.
Сочинение состоит з двух КНиr. В первой даются праБII
ла алrебраическоrо исчисления и излаrается теория ypaBIIe
ний с одноЙ И мноrими неизвестными. Вначале (rл. 1)
определяются «созданные числа» (numeri creati), применяе
мые в алrебре, т. е. степени неизвестной. Обозначаются они
так же, как у Штифеля. Исходя из Toro, что виды этих чисел
«правильно выражаются» всякой rеометрической проrресси
ей, начинающейся с единицы, автор, как и Штифель, сопо..
ставляет арифметическую и rеометрическую проrрессии
(rл. 2), а затем вводит обозначения чисел, применяемые в а.:!
rебре, и дает их классификацию (rл. 3 4). Помимо «абсо..
лютных чисел», которые рассматриваются «сами по себе без
знака» и применяются в арифметике, он выделяет: 1) «зна
менованные» (denominatos) или «коссические» числа,
Т. е. степени неизвестной, 2) «иррациональные», обычно на..
зываемые «rлухими», 3) «знаменованные иррациональные»
в которых «абсолютное число явдяется средним между ДBY
мя знаками, например квадратный корень из 8 кубов». IlpJl
водятся операции с числами этих видов.
Во второЙ книrе рассматриваются «иррациональные» чиr..
ла. Она начинается общим: определением: «Иррациональные
числа это корни из рациональных чисел, которые не И1\1е
3....
ют истинноrо корня, например, V q2 (т. е. V 2 ). Иррациональ
ными называются такие, которые к абсолютным не имеют ни
KaKoro отношения». Обычно их название surdi Пелетье объ
ясняет тем, что «нельзя понять, каковы они ни по величине
ни по качеству».
Далее (rл. 2) подробно обсуждается, являются ли ирра..
циональные ЧИС.па числаl\IИ. Повторяя, что они не И?vlеют ни..
1) В нашем распоряжении имеется только первое латинское издание
[377]. Французское издание 1554 r. подробно описал БQсман [171].
168
.tr:. .
.....Jt.. t.ф . "
:0 ' О. ...: '" ) ."
,' ' ъ.;
'я "Л' > $: {,,)
.A/v,.. ... L
i-.., '\
->ft ,
'\
......#.
,'"
.\
".
.. /-
,
.l J . ."" ',ft;\ , V;
. . ( '» t ':
,. ... " A .
о JLET ARII
CE'NOM Wl', DE ОС,СРLТЛ
"
lАв..tt NVblEJ..OI.VM. AD
lDAтЮlI с""Н т,1{tgis Ay,п ...
'унт, 1 ,Ixr PriJNNs.
PR A:FA.TI.O.
..,.\}l ...м.. . .. .., V " J + d . '". r" ru i. n t t l ' . Р . Ц .
. .. ,. . ';А'> '\ ''''',: .! 1 S ', .'"
& { ": ' 't · : . 10 .ltJUS m dШU1tur
ll li. ' :' < . . Capellane,1J non.vnt
11;', , ,..' >E" hort1inu (uioial11':'Pi{
.. {" (', . . ;}\ . . 1 . " . c; p lH1arllnl i"nt1e . .t1t;I O ;:
r . . \j . 1<:.. , t . :.:
" ,, ;< ..' ts,(V. / 11 'т tribuunt. ,(са \<1 .
. . . . J," у. '. . '.: :... : .' " 2" . .:..!...
. ": . . < \ <' Jarum .fen11J13 n:():fx:fe:
. A ".;" '.: .-.., .,..,. . ,.' .... ' . ...u:s:.:.. ч . l1зtU , . v:irtu . :ttHl1 . ",,:::
'* . .. ptJ*'> " " " .' .'. .:'..'
, .' х' .hit, ,}nanimisnoitri$w :f
4 " ,"'"='" ta,atque ignicufif
qUOi 'м cD:s'ill.a .:.юtеfuз; 1.0 n'9 i$: X' itat C9! n1,'i : ,
ni quoda genio '4rg r: аSПО\С-Ц:fJ+ .. .;tgлащ,:?! ,е,::
ro.in rtbu ,.con auetf.lam:fa'J .mpo:rnm ft):r :::
f:::; :!r r: S;;Z=: F. '
.... oh..- : е..
Страница из "De occulta parte numerorum" Жака Пе
летье (иад. 1560 r.).
чеrо общеrо с абсолютными числами, автор rоворит, что «МЫ,
однако, не считаем их просто ничем», и отмечает «необходи
1\10CTb их применения». Он приходит к выводу, что сущность
этих «невыразимых» чисел в том, «что они не имеют приро-
ды дискретных величин, но являются только их тенью», и, не
находясь среди чисел, объединены условным названием «ир-
рациональных чисел». Ilелетье дает к.пассификацию (rл. 3)
этих чисел, сжато повторяя соответствующий раздел сочине
ния Штифедя. и рассматривает правила действий над ними,
169
иллюстрируемые мнurочисленными примерами. Наиболее ин-
тересно изложение преобразования триномиалей (rл. 23).
Пе.петье, очевидно, независимо от Пачоли, сочинения кото-
poro он не знал [237, т. VI, стр. 402J, предложил правило
уничтожения иррациональности в знаменателе для выраже-
v а
нии вида "1/ 1/ ·
",Ь +Jlс +r d
Рассматриваются также некоторые задачи диофантова
анализа.
Заслуживает внимания рассуждение о том, что если в
уравнении аох п == alx n l + а2Х a 2 + + а п (rде ао, al, ..., ап по-
ложительны) удовлетворяется условие ао>аl +а2+ +а п , то
положительный корень Х< 1. Хотя речь идет о частном случае
х З ==ах 2 +Ь, рассуждение является общим [237, т. VII, стр. 389].
' Пелетье впервые встречается доказанное впоследствии
ВиеТОI\I утверждение о том, что произведение корней уравне-
ння равно ero свободному члену (хотя только для частноrо
случая [249]). Вслед за Штифелем он дает примеры извлече-
ния корня из алrебраическоrо полинома. Нужно также отме-
тить, что у Hero встречаются примеры (лл. 10 и 58), rде в oд
ноЙ стороне уравнения стоит «О или ничто».
В заключительном разделе латинской «Алrебры» Пелетье
высказывается по поводу установленноrо Бутео (см. ниже)
авторства Евклида в доказательствах предложений «Начал».
Соrлашаясь, что эти доказательства не принадлежат Теону,
он отмечает, что, по словам Прокла, MHoroe было доказано до
Евклида Теэтетом и Евдоксом. Поэтому неизвестно точно, что
принадлежит Евклиду, и можно с уверенностью приписать
ему лишь упорядочение материала.
и. Бутео. Французский математик Жан Борель Бутеон
(Jean Волrеl Buteon, 1492 1572 rr.), имя KOToporo более из
вестно в латинской форме Бутео (Johannes Buteo) написал
ряд rеометрических сочинений, в том числе «О квадратуре
Kpyra» (<<De quadratura circuli», 1559 r.), rде впервые пока
зано, что Евклид, а не Теон был автором доказательств пред-
ложений «Начал» [192, т. 11, стр. 519].
Бутео принадле:lКИТ также трактат по арифметике и ал-
rебре «Лоrистика, которая также обычно называется ариф-
l\1етикой, подразделенная на пять книr» (<<Logistica quae
et Arithmetica vulgo dicitur in libros quinque digesta»), издан
ный в 1559 r. в Лионе. Подробно это сочинение исследовал
r Вертrейм в 1901 r. [472], и на ero статье основан НИЖесле-
дующий обзор.
Сочинение состоит из пяти книr. В первой автор указывает
на различие между арифметикой теоретической и практиче-
екой (лоrистикой) и приводит сведения по истории последней,
упоминая Архимеда в связи с ero трактатом об исчислении
170
песчинок и арабов, стараниями которых это искусство не
постиrла судьба друrих сочинений древних авторов.
Переходя к изложению предмета, Бутео разъясняет вна-
чале правила пальцевоrо счета, а затем способ изображе-
ния чисел с помощью девяти знаков и правила арифметиче-
ских действий. Умножение и деление проверяются девяткой,
правило же проверки семеркой из за ero большей сложности
только упомянуто. Здесь же суммируются ряды четных и не-
четных чисел, а также rеометрическая проrрессия со знаме-
нателем 2.
Во второЙ книrе описаны действия с дробями, правила
бинома и два способа прнближенноrо извлечения квадратноrо
КОрНЯ. Первый состоит в применении формулы
" 2 r ( ) 2
уа +rNa+
2а 2(a+ )'
второй повторяет метод Шюке (см. выше), но заимствован
из обработки ero сочинения Этьенном де ля-Рош. С по-
мощью этоrо метода Бутео получил ряд последовательных
приближений для V 13 :
1 "1f1i5 2 З "1f1i5 2 З .../ 5
3"2 < у 13 < 3 з ' 35< v 13 < 3 з ' 3"5 < v 13 < 388
Кубический корень извл екается по формуле
/ 3 r
V а + r а + 3а 2 + За 8
Бутео определяет первую цифру корня, а следующие из за
трудоемкости процесса советует находить с помощью таблиц.
Далее {}ечь идет о теории составных отношений, на кото-
рой основывается разъяснение правил одноrо и двух .пож-
ных положеНИЙ.
Третья книrа посвящена алrебре. О нахождении неизве-
стной Бутео rоворит как об определении стороны квадрата,
прямоуrольника, куба, называет степени неизвестной соот-
'ветственно терминами «линия», «квадрат», «куб» и изобра-
,жает их не с помощью знаков, применявшихся не lеllКИМИ
коссистами, а вводя собственные обозначения (знаки для х 2
И х 3 представляют собой rрафическое изображение квадрата
и куба). Применяет он также знаки Р и М для действий сло
жения и вычитания.
Бутео излаrает теорию уравнений первой и второй степе-
НI1. Чтобы облеrчить усвоение, правила решения он дает,
171
подобно Пачоли, в стихотворной форме. При рассмотрении
уравнения х 2 + ь == ах указаны два корня.
//' В четвертой книrе решаются разнообразные задачи без
(помощи алrебры, с применением тройноrо правила, правила
«ложноrо положения» и Т. д.
Пятая книrа содержит примеры решения уравнений пер
вой и второй степеней.
Следует отметить, что Бутео осуждал отход от античных
позиций в вопросе о числе и величине, упрекая Штифеля за
изложение теории иррациональных чисел в отдельной книrе.
r. rоссеJlеи. Сочинение rосселена (Guillaum Gosselin)
по алrебре «О великом искусстве или о скрытом разделе чисел,
которое обычно называется алrеброй и алму абалой (<<Dе ar
te magna seu de occulte parte numerorum, quae et AIgebra,
et Almucabala vulgo disitur, libri quatuor»), было опублико
вано в Париже в 1577 r.; здесь в последний раз арабский Tep
мин «almucabala» встречается в заrлавии европейской квн-
rи [368, стр. 53]. СведеНjfЙ об авторе не сохраНИЛОf:Ь.
В 1578 r. в Париже была издана «Арифметика» Тартальи
в обработке rоссслена (подробное описание дано А. Кестне-
ром [339" стр. 197 200]).
НазванныЙ трактат был исследован в 1906 r. А. Босма-
ном [168].
Сочинение состоит из четырех книr и написано под влия-
нием Кардано, Штифе.пя и Пелеть . Вместо знаков «плюс» И
«минус» применяются буквы Р и 1\1; последовательные степе..
ни неизвеСТIIОЙ обозначаJОТСЯ буквами L, Q, С, QQ и т. д.
Например, уравнение 12x x2+48==144 24x+2x2 у Hero
записано как 12LMIQP48 aequalia 144Л124LР2Q.
Первая книrа, состоящая из 17 rлав, содержит определе
ния пaBHЫX понятий учения о числе и теоретические поло-
жения, на которых оно основано. Так, определяются понятия
величины, числовоrо и нечисловоrо отношений, излаrаются
правила действий над числовыми отношениями, дается опре
деление алrебры, как науки, имеющей целью нахождение
неизвестной величины с помощью уравнений.
Во второй книrе изложены правила действий с иррацио-
нальными величинами, а далее рассматривается теория ypaB
нений.
17. АиrJlийская математика. Роберт Рекорд
Роберт Рекорд (Recorde, 1510 1558 rr.), придворный врач,
был, по словам Кэджори, «утренней звездой анrлийской мате-
матической литературы» [184] и первым ученым Анrлии
сторонником теории Коперника [204].
172
Наибольшей популярностью пользовались два учебника
Рекорда по математике, написанные по-анrлийски в форме
беседы учителя с учеником. Первое «The Ground of Ar
tes» посвящено арифметике. Изданное впервые около
1540 [., оно выдержало в ХУI в. более десяти изданий и в те-
чение 150 лет слу)ки.по школьным учебником.
Второе сочинение «Whetstone of Witte» было опубликова
но в 1558 r. Очевидно, оно не переиздавалось и является сей-
час библиоrрафической редкостью. В 1901 r. r Энестрём
указал на необходимость подробноrо изучения этоrо TpaKTa
та [238], и в 1912 r. л. Карпинский дал ero обзор [335). В со-
чинении излаrаются основы алrебры ПО образцу Кардано,
Шейбеля и Штифеля, на которых Рекорд ссылается.
Первый раздел содержит теоретическую арифметику
теорию числовых пропорций (по Боэцию) и фиrурных чисел,
причем наибольшее внимание уделено вопросам, которые pac
сматривал II1тифель.
Изложение алrебры на анrлийском языке потребовало раз-
работки новой теРl\1инолоrFИ, которая у Рекорда носит следы
явноrо влияния немецкой. Так, степени неизвестной он назы
вает cossike nombres. От слова «coss», по всей вероятности,
произошло и название трактата: оно звучит сходно с латин
ским «cos» точильный камень (по-анrлийски whetstone).
Как и Штифель, пятую степень неизвестной Рекорд назы
вает «surdesolides» и замечает: «Я не Mory сообщить пра-
вильную этимолоrию этоrо названия, за исключением Toro,
что оно названо, как если бы было телесным над телеСНЫl\l»
1335, стр. 225]. Высказывание интересно в связи с обсуждав-
шейся выше трактовкой этоrо термина как одноrо из пер"
ВЫХ понятий MHoroMepHoro пространства.
В следующих разделах Рекорд приводит правила прибли
женноrо извлечения квадратных и кубических корней и
излаrает теорию уравнений, следуя Штифелю.
Большое значение для дальнейшеЙ истории алrебраическоЙ
символики имел введенный Рекордом знак равенства «==».
18. Учение о числе в конце XVI в.
Остановимся на трудах математиков, работавших на рубеже
ХУI и XVII вв. В их сочинениях был подведен итоr раЗБИТИЯ
учения о числе в XVI Н.
Христофор Клавий. Христофор Клавий (Cllristophor Clavi
us, 1537 1612 rr.), первоначально IJlJiю('сель, уроженец Бам-
берrа, работал в Риме, rде преподавал математику в колле
rии ордена иезуитов, члеНОl\f KOToporo состоял [192, 400]. Друr
rалилея [228], разносторонний ученый, сделавший заметный
вклад в триrонометрию, rеометрию, алrебру и астрономию
173
XVI В., он известен также участием в реформе календаря
предпринятой папой rриrорием XIII. К сожалению, историк
математики не уделили Клавию той доли внимания, которую
он заслужил, если учесть значение ero трудов как учебников,
широко распространенных в XVI XVII вв. О популярности
Клавия среди современников rоворит издание по.пноrо собра-
ния ero математических трудов, начатое еще при жизни ав-
тора.
Наиболее ва)l{ное сочинение Клавия ОQработка «I;ачал»
Евклида, впервые опубликованное в 1574 r. и выдержавшее
MHoro изданий l ).
Клавий rоворит во введении, что предыдущие издания
«Начал» страдают мноrими недостаткаl\1И. Так, Кампано
слишком просто повторял арабов; текст Теона был искажен
переписчиками, новые же издатели Евклида либо оrраничива-
JfИСЬ первыми шестью книrами, либо опускали старые дока-
зательства и заменяли их своими, не столь точными.
Клавий старался дать исчерпывающее разъяснение «На-
чал» и поэтому не стремился дословно повторять доказатель-
ства, которые, как он считает, либо слишком коротки,
а потому непонятны, либо слишком растянуты. Он использо
вал все комментарии предшественников, подверr их критике
и, по словам М. Кантора, не обошел в своих разъяснениях
ни одной трудности, сделав MHoro удачных заl\lечаний [192,
т. 11, стр. 512].
Очень часто Клавий ссылается на арабских KOl\IMeHTaTO
ров Евклида, однако точно неизвестно, изучал ли он Koro
нибудь из них [339, т. 11, стр. 255]. r 3утер полаrает [425],
что он широко использовал РУI{ОПИСЬ «Изложения Евклида»
ат Туси. изданноrо в Риме на арабском языке в 1594 [. [275].
Особенно интересно сочинение Клавия с точки зрения
истории учения о числе: им была систематически изложена
теория числовых отношении с помощьЮ введенноrо ранее
понятия «знаменования» отношения и теМ самым сделан сле-
дующий шаr в формировании понятия действительноrо числа.
Разъясняя предмет книrи V «Начал», Клавий rоворит, что
она «учит об отношениях непрерывных величин вообще, не
касаясь какоrо-либо KOHKpeTHoro вида величин, наПрИ lер,
линии, поверхности, тела». Даются определения «аликвотных»
И «аликвантных» долей; первое понятие совпадает с евклидо-
вой «долей», второе с «долями». Разъясняются понятия
отношения и пропорции и подчеркивается значение послед-
ней в науке. Выделены непрерывные пропорции, а затем да-
на никомахова классификация числовых отношений.
J) Мы пользуемся изданием 1591 r. [274].
174
-' ",,=, . ,'!
..,
;
t L = :: R; lfttrМ'((-fi'"
.' . .f'"# (!:.imt /j ft_fi ii fii!' #tв :rtДit fii-рrt'tt.t *,gJ fJ Jdr#.hJt>. gиwliftt.
g':.щ:. tjJ }i # .' b . __. tшii fftfJМ.1Ми. it1!.tIf f.t:ii+
'h. #..#t .;?"+-lifЩf .... ..: . MfJU Df1Ш#gfШtm r1l1l1l!!g"'&к#М'< 'dtUtl 'l
:'-ji*#Jf$ . .. .'
ft8....:.$ 1!... :)kM$.N Т' . .. t"t.. .
'1 _. \ : H!:! . . ) ". . .. . -r .. I ,,
.....
"':".
)О:"
:.".:
е?
-:.:.
f.?
:.'.:
0(.,
ё;:::
0:',
::
,
i.,
.:
.:. I
..........
ЕУ:С:': IDI'S
ELE,&I.ENTV
... у 1 N Т' V М.
. ,....:' ..У
. . .,.
01(
м
t.:
..:
k:
:.
.
!j;
!
j:!:
.. l! :..р: 1 N. l' <J: .1 O....N Е J:
I
'р'л. . . .:efi .m'з tt . nituJОn1зrm :. itudinis)miЛQ:rmаiоri.,(UО1 т1-;.
"fW: 1:1 .
.n()( Q1Ctit\tf mЗJоtСt'U<t
' Ц'''' -1f (it.. "u,.. Ert%lii.:,jt '*W1liыц b.t .
,., . ' Р . t1етАМ """ dffl J fйе1fU1Ф1 tk rA4f$ JtJ}1!f м n# . .,. 4 ttlft;,ftl p.tf3:itt f'*
'if : (tI Joj:.,i щJ41tАmrt&1tlli .fЯ,.'.t'п (.1jЩf*fЛ#. .$4t pr , t'tlтm JщfЦ11tlt
. i{ ". .. . bet..lJ t' fJ!i,4R'f#. .fВ,Щ-, ' 4 и! ,fY "#tt$ tpWttJtДjt1# ##tf## m IN $.'ltt..
.: .fli ,. vt 'j\l t+ и Jif e#Jt d d:rG4т *J# #Аtfj (,f(-t n bIК4. r-рР*,пп> tI (ffr
" -'(" ,.i qNf1J. S Yl ftf#. ft -ltPl jjlH<t lj#-тAtЛ f; iM" JM.f ftt t Jt
". . : . b 1ffl:1I.t ,,{f.ft. fn ":u иrl.l.,t Ф' АЬ. pf!t' ",hllJ;-.. '" t « , 1#...
РlN: "тflt ю fi7Ht'f 1fji'tffl рыа иn.Jt.ftLцриd dt: t p ptn lt.litт.tJJub.. fftf
. А у........... '.. t r ,,4 , t. tth . flP.. -щ ttм'P/ tЩ##ft$ 'P' Нf
'. '.' g . . "#tf4t.,. WИfff1ltJРl !t>lt: 1.#1*' > f t .p /p..
........ 'flll : '...."..11'.. .,1t/ ш #. tf'f.f(t)#tI -Щ1tf11 wи..;#-tt .'(fr ttl4l ft"fj
<. , ""tI :......, :.'" ) .. .t {ыd t4i: . .tiitui#C 4t4ftfН AJ. и А<r.u't. tttlШ",
... &Фс .Jtfd:. :f#t4щ.. tIJЮ Dtп.{1 4#.tМAgntt,,4 ...
. У . ' ,,'" ..:.: . . . . .:.. " . . . .. : . ". . . « ,.... I .. . хф-r*fdffi#*1f4fпt "(dit- t t (J tА ( <
т !! .... ......> :.::" ?:it t р.р4_f >fН1',-:l_ Jiю4t<пf1l
. .....:. . . J. :. _.lJ-t.i . 4#t_lqf,..
:» l>w :.i .:....t:. ___dl ... #.t fl 81"
... ,.: . . .иа.i .iи:п r-tfdИ.t...,,'4 -J#IМf:t
t. ... ;f: . tй1f +о( . .'-k:fl! т-_.,1W t"" frJQ".l;<п
tk. .'Ul dti ю_ . .' J4iat.zI" -,m' ' #.t""<-.?'4<ILiI # С' <
lWs.iJbln :' ' -' :w.lt ..
t з. :-" . м-- . ._". /...t
ffЙR#" ( n. ..У
. .y" '....ft4 ......,; _щhr tfPi-
. . t.fu ".".* .,. f #1
- .. -
# ."
(
::
'!:
. s
..
J
Tt. L.X
:F'
А
.f..i'
.1-
Страница из .Начал. Евклида в обработке Христофора
КлавиSl (ИЗJ;..
1591 r.).
Uтношения Клавий подразделяет на рациональные, KOTO
рые MorYT быть выражены в числах, и иррациональные, ,l(ЛЯ
которых это невозможно и которые рассма1риваются в кни
[е Х «Начал». Для рациональных отношений он определяет
понятие «знаменователя» (denominator): «знаменователь ка-
коrо-либо отношения есть число, которое точно и ясно Bыpa
жает отношение одной величины к друrой» [274, стр. 206].
Знаменователи подразделяются на виды соrласно классифи
кации Никомаха. Клавий rоворит [274, стр; 210], что если
известен знаменователь, то известно и отношение, и поэтому
считает более удобным выражать отношения через знамено
ватели, а не через наименьшие числа, как обычно делают
:математики (например, отношение 1700 к 400 можно Быра
зить как отношение 1 i к 4, но удобнее как знаменова-
1
тель 44). 3наменователь отношения находится посредством
деления предыдущеrо члена на последующий.
Понятие «знаменователь» позволяет Клавию, как и Шей
белю, применять к числовым отношениям арифметические
действия. Так, рассматривая двойное отношение, он rоворит,
что при этом «произведение знаменователя данноrо отношения
на себя дает знаменователь Toro отношения, которое являет
ся двойным относительно данноrо» [274, стр. 256].
Следует также отметить, что Клавий формулирует аксио
l\IY о существовании четвертой пропорциональной, которая, по
словам д. д. Мордухай Болтовскоrо, «должна была оказать
большой толчок в направлении арифметизации rеометрии»
[54, т. 11,398].
Таким образом, рациональное отношение Клавий факти
чески отождествляет с числом. В вопросе же об иррациональ
ном отношении он остается на старых позициях и при изложе
нии книrи Х «Начал» cTporo следует Евклиду. «Я не Mory
соrласиться, Пi1шет он, с мнением тех, которые полаrают,
что для ее [книrи Х] понимания необходим раздел арифмети
ки, в котором идет речь о корнях из рациональных чисел и,
как их называют, иррациональных. Напротив, я решительно
утверждаю, что о полном понимании этих разделов ариф
метики судят по этой десятой КНИrе».
Клавий считает, что «те, кто размышляют об алrебре, MO
[ут сами, коrда захотят, леrко приложить сущность доказа
тельства этой книrи к числам, тем более, что не очень давно
это добросовестно осуществил прославленный аРИфl\Iетик
.L\\их. Штифель во второй книrе сочинения, озаrлавленноrо
<Arithmetica integra» [274, стр. 99].
Однако Клавий не всеrда придерживается этой точки зре
ния; например, при разъяснении понятий рациональных и ир
рациональных линий он применяет числовые иррационально
сти: «Корни квадратные из чисел 20, или 1000 и т. д., т. е., что
176
то же, прямая линия, квадрат которой есть 2О, или 1000 и Т. д.,
называются рациона.пЬНЫl\IИ, так как соизмеримы в степени
с рациональной линией» [274, ч. 11, стр. 101].
Книrе Х К.паВIIЙ придает большое значение, так как счи
тает, что, не зная paCCl\10TpeHHbIX в ней .пиний, «нельзя В co
вершенстве понять l\Iноrочис.пенные плоские и телесные Be
/IИЧИIIЫ». Из.по;,кение ero выдер)ка но в стиле Евклида, на чер
тежах нет чисел, разъясняющих пред.пожения. Однако он дo
полняет эту книrу ПОСТУ,,1атом (<<Любую величину можно
столько раз брать краТIIОЙ, что она превысит ..lIоБУIО величину
зтоrо рода») и тремя аксиомами:
1) величина, ИЗl\lеряющая ка кие либо величины, измеряет
также составленную из них;
2) велична, ИЗl\1еряющая какую либо величину, измеряет
также всякую веЛИЧIIНУ, которую она измеряет;
3) величина, измеРЯlощая цеЛУIО величину и отнимаеl\IУЮ
от нее, измерит также и оставшуюся.
Таким образом, при всем стремлении cTporo воспроизве
сти теорию Евклида КлавиЙ не cMor противостоять проявив
шейся в ero время тенденции к «улучшению» этой теории,
что было вызвано новыми требованиями относительно CTpO
rости математических определений.
Друrое сочинение Клавия «Алrебра», вышедшее в
1608 r. и переиздававшееся впослеДствии l ), построено по об.
разцу «Обобщенной арифметики» Штифеля.
В rлаве 1 речь идет об истории и названии алrебры. Заме
чая, что мноrие приписывают ее открытие «арабскому aCTpo
ному rебру», Клавий соrлашается с Реrиомонтаном, видев-
шим основоположника алrебры в Диофанте. Подробно
разъясняются различные названия этой науки: латинское
«правило корня И квадрата» (regula census et rei), итальян-
ское «правило коссе» (regula delle cosa), от KOToporo про
изошел термин «коссическое правило» (regula cossica), а так-
же арабское «Algebra et Almuchabala» При этом Клавий
правильно толкует эти арабские термины как обозначения
действий «восстановления» И «противопоставления».
Рассуждая о цели сочинения, Клавий rоворит, что рас-
сматриваемый Иl\tl алrоритм (т. е. «рассуждение, охватываю-
щее сложение, вычита ние и друrие операции над числами»),
отличается от применяемоrо в «обычной арифметике» тем,
что здесь фиrурируют «числа трех видов»: коссические, или
«знаменованные» (denominata), полученные с помощью reo
метрической проrрессии», т. е. степени неизвестной; «ради-
кальные» (numeri radicales), т. е. корни /lюбоЙ степени из чи
1) Мы пользуемся изданием 1609 r. [205].
1 '2 11 :
177
r.'..'...:t::::: .....,.. ,...... .,........ ... ...'. ........ ....'. ... '"
ALCEBRA
,. .
iCHRISTOPHORI
IС L А VI 1
BAMcBERG ENSJS
:: Е S О с. 1 .Е Т. А Т..Е:.:
1 Е S. У.
'!!
!;!:
[
:
:::
1 .
.
:
.
$
.
"f>-
p RE LI l! twAL LOBRoCr М.
Excudebat 5tcphanus Gam() etus
.-0 _ .;';".:.: .. . . .:;.._.. " .." .. "
*.... · A o м. DcI .х.
l
)
JJ
.-. --.- -.....;:;r.. :!o.--". : :.......-... .: .:-n О .. .....:.. Q:\....-...:-- .....:::. ..:::;::G:... '.: ,'
ТИТУЛЬНЫd лист .Алrебры" Христофора Клавия (нзд. 1609 r.).
сел, «которые 71ибо Иl\lеют ЭТОТ корень, либо нет»; полученные
сложением или вычитанием радикальных.
Таким образом, здесь Клавий вслед за Штифеле1'v1 после
довательно проводит идею арифметизации теории иррацио
нальных величин.
Соrласно указанному подразделению чисел строится из
ложение. В rлавах 1 5 объясняются правила деЙСТВИI i с «KOC
сическими» числа ми. Вводятся обозначения степеней неизве
стной (по Штифелю), даются как лаТИНСI{ие, так и итальян
ские названия.
rлава 6 повествует об отрицательных числах «фиктив-
НЫХ, или меньших, чем ничто». Поясняя это понятие отрица
тельноrо числа, Клавий пишет: «Как придуманы корни из
чисел, которые их не имеют, например корень квадратный,
или кубический, или биквадратный, или пятой степени
(surdesolidc) из числа 20, причем такая ФИКIlИЯ полезна
и удобна тем, кто занимается математикой, таким же образом
пишущими об алrебре неспроста придуманы числа, меньшие,
чем ничто, например 0 4, т. е. от ничеrо отнятое 4»
[205, стр. 28].
После изло)кения теории уравнений (r.п. 8 15) Клавий
рассматривает «иррациональные числа», которые определяет,
как и Штифель: «Иррациональные, или rлухие ЧИС..lа суть
корни из чисел, которые нельзя выразить числами, а потому
услышать» [205, стр. 76]. Подробно излаrаются правила дей
ствий с иррациональными числами.
Далее Клавий переходит к числам TpeTbero вида И, поми
мо биномиалеЙ и вычетов, рассматривает ТРИНОl\Iиали и
квадриномиа.пи.
rл'ава 18 я [205, стр. 147 162] названа «Об извлечении
корней из биномиалеЙ и вычетов, и одновременно о друrих
иррациональных линиях, которые обсу)кдает ЕВКJIИД Е кни
re Х».
В заключение решаются мноrочисленные задачи по
мощью алrебры и без нее.
В 1583 r. в Риме было опубликовано сочинение Клавия по
практической арифметике, в котором очень полно излаrались
правила действий с целыми ЧИС.пами и дробями [339].
Франческо Мавролико. Франческо Мавролико (Frапсisсus
Maurolycus, 1994 1575 rr.), родившийся и ПрОЖИВШИli БО.llh
тую часть жизни в Мессине, был широко образованным уче-
ным и автором мноrочисленных трудов по математике, астро-
номии, оптике, истории. Он, относится к rруппе ита.ПЬЯНСКИХ
математиков XVI В., ставивших основноЙ целью r"lубокое
овладение rреческим научным наследием на основании ори..
т'инальных текстов и усовершенствование античных матема..
тических методов. Популяризации ЭТИХ ,.методов в Европе
17Q
в XVI XVll нв. в большой l\lepe способствовали выполнен
ные Мавро..1ИКО переводы с rреческоrо языка трудов Архиrvlе
да, Евклида, АПОLТlЛОНИЯ, Автолика, Менелая, Теодосия [108 t
192, 206, 402]. Он составил также обзоры сочинений Боэция,
Иордана Неморария, Роджера Бэкона, Джона Пекхаl\1а и
друrих бо..lее ранних европейских мате:матиков.
В то же время lVlавролико написал ряд ориrинальных
сочинениЙ, сыrравших существенную роль в развитии отдель-
ных математических ДИСЦИПЛIlН. Так, ero трактат «De lineis
horariis» (1575 r.) содеЙствова.,l пробуждению интереса к Teo
рии конических сечений, которая приобретала в это время
большое прикладное значение в связи с определением пла-
нетных орбит, данным Кеплером [108, 131, 400]. Сочинение
Мавролико «Photismi de lumine» [206], опубликованное впер
вые в 1575 r., заНИl\1ает важное место в истории оптики.
Для развития триrонометрии серьезное значение имели не-
которые сокращения в 'обозначении функций, примененные
Мавролико в вышедшем в 1558 [. издании «Сферик» lVleHe-
лая; это был первый шаr в развитии языка триrонометриче
ских формул [177, 178,491].
Мноrие труды lVlавролико, в том числе трактаты по алrеб
ре и rеометрии, остались в рукописях [348, т. 111, стр. 241
255; 364]. Некоторые были опубликованы блаrодаря содей
ствию ero друзей; например, упомянутый трактат по оптике
появился в печати в результате стараний Клавия и с ero до-
бавлениями.
Одно из наиболее ориrинальных и значительных сочи
нений Мавролико «Две книrи арифметики» «<Arithmetico-
rum libri duo») [353], вышедшее из печати в 1575 r. в BeHe
ции. r Вакка [450] увидел в нем первыЙ в истории пример
применения метода полной индукции; по мнению r Фрей
денталя [281], здесь мы встречаем лишь неполную индукцию,
которую применяли и до Мавролико. В то же время оно
содержит интересную попытку изложить учение о числе в об-
щем виде, включая в понятие числа иррациональные выра-
жения, примирить числовые теории классиков с требованиями
современной ему математики.
В первой части трактата [353, стр. 1 82] рассмотрены
целые числа и, rлавным образом, свойства плоских и телес-
ных чисел различноrо вида. В сочинениях Евклида, Ilифаrо-
ра, ЯмБLТIиха, Никомаха, Боэция и Иордана Неморария, по
мнению автора, этот вопрос обсужден недостаточно BceCTO
ронне. Изложению предшествует таблица фиrурных чисел
и ее разъяснение, а также рассуждение о совершенных чис
лах. Опреде"ТIения даются в пифаrорейском стиле и изложение
ведется по традиционному плану. Единица рассматривается
как начало чисел, соответствующее точке в rеометрии. 1\'\aB
1R()
Di+ FR А N.C:;:IS Сl
М А V R О L У 1.'
': :
АВ ' В " Al IS ' М .' ' Е ' SS ' ЛNЕN ' SIS '
, '. ' " .' " , '. ' . '..-.J ::,' ..
Iathematici celeberrimi J
ARITH]Y! ET/COR1?M LJ..ERl .пРО.!$
N 'У N С Р R f А! ..у f, ').N L V С Е М Е D 1 Т 1,
Curn reruт OтlllUт 110tl/bl/iNVL>.1f
INDIC Е C..OPIO SI S 51 МО..
'"
<
<" с. f'i""'"*')P .,.."t . ..,. .... .
, А.'..,... I ,.
. .. . . '. " -1" .' . ". j{'
t . "> :.. 's .*/ ОС' "i . z
. ': ". , . . ;t;"= c.r ' 1>: ' ..' ..
. ,o,-м..М.... "" """....,, . ()
fOOOOI . <6J+ . . У, ..у, "A ". .>, -t.' <
: ,.:..}.$ ' :.: : .,' ; \ :
v! ' . . . . . >:' ''' ;,,::' !""
. .. .... , ir-"
...... '"'".... (' . '
а'! . ,.. у -4 . ........' -- -:.:. ,.:
'> < ,)......... . « '.r' .., '\ , . и
d " . '.' . '. >' .. . . .," " - . ""'Y '#> ;1
, . . .. .. J' :.. .'. , . /:. I
."' ..', ',"
. , ' / , " h' ... '1 < '\ :x -«: 7 < , :".'
, · \ '. . , "....: , . ' '. '. .'. С):
)! 1) '7 'У'" " .. .. ',,'-- .: .
, "--' ,'>,(. '" ..." ':. ... ...., I? f Q
.. , ('- ;.. ... .... .' ,
.J . 'J. " , ' . , ' .' " _ ....' " . ,'
J, <;.. '.# .:.'...... . '. . ",f .
... ('-' , . n'а:.. *-.... · " . ..,
..-. .' 1" >r' ...'..
: ",. ," t . .,. . , . . , . tт1
CVM PRIVILEGIO
V neriJS. Apud Francii . Fl a.nClkt' ..«t S'cJ1tt11Cll\.
М D LX Х У«
... .. .]0." . ...
...............
'1 ИТУЛЬНhIЙ ,,1НСТ "A.ritlll11eticorUIl1 lib 'i duo M ФраllЧ
ролико вводит новые ряды чисел, состоящих из двух и трех
сомножителей, и дает выражение их общих членов и суммы.
ПОl\IИМО ником аховых линейных, поверхностных, пирамидаль
ных и друrих чисел, он рассматривает цилиндрические, би
квадратные числа, правильные числовые мноrоrранники (Ha
пример, ряд тетраэдров: 1, 9, 34, 91, 189, .....) и т. д. Между
числами разных рядов устанавливается зависимость; так, он
показывает, что всякое совершенное число одновременно яв-
.пяется шестиуrольным, а следовательно, треуrольным.
Интересна вторая часть трактата, в которой рассматри-
вается учение о величинах, подробно излаrается теория OTHO
I.uений и теория квадратичных иррациональностей, включая ее
nриложение к праВИЛЬНЫ11 телам. Мавролико сделал здесь
Чрезвычайно важный шаr в сторону окончательноrо сбли-
'жения понятий числа и .величины, стремясь в то же время
придерживаться античной строrости. Ero точка зрения вы-
'ражена в первых словах введения: «Так как арифметика есть
инструмент всякоrо исчисления, а числа суть термины, кото-
рыми обозначается любая величина, то несомненно, что с по
.мощью чисел можно осуществить исчисление всяких величин
[353, стр. 83].
Далее он rоворит о вычислительной стороне rеометрии и
о применении чисел для «все более близкоrо нахождения
предела (limit) иррациональной величины», например для
измерения «с помощью частей, в которых представляется
диаметр», стороны вписанноrо в Kpyr paBHocTopoHHero Tpe
уrольника или квадрата.
Для каждоrо рода величин вводится единичная величина,
«которая выбирается произвольно как общая мера величин
этоrо рода и которая знаменуется единицеЙ, подобно тому как
единица общее мерило чисел» [353, стр. 85]. Если Иl\1еется
величина, кратная данной, то она «будет обозначаться тем
числом, соrласно которому определено кратное»; если же Be
личина содержит долю или доли данной, она «будет обозна-
чаться двумя числами, а именно знаменателем и числите
лем доли или долей» [353, стр. 86]. Далее доказано (предло
жение 1), что все «установленное наl\IИ для чисел, линий и
тел с помощью отношения, пропорции, соизмеримости, а так-
же подобия, l\fОЖНО доказать и заключить относите.пьно Be
личин любоrо рода» [353, стр. 86].
Таким образом, сначала устанавливается соответствие
между числами и рациональными величинами, а затем фор..
мулируются и доказываются правила арифметических дей-
ствиЙ над этими величинами, т. е. фактически излаrается
арифметика дробей.
После этоrо Мавролико рассматривает иррациональные
величины. причем подчеркивает, что «нелеrко распространить
182
на НИх вычислительную практику», пер ходя от линий и по-
верхностей, исследованных Евклидом, к более общему слу-
чаю, и обещает разъяснить MHoroe из содержащеrося в кни-
re Х «Начал».
Прежде Bcero (кн. 11, часть 1) Мавролико формулирует
и доказывает правила действий над одночленными и MHoro-
членными иррациональностями, которые называет COOTBeTCT
венно величинами «одноrо имени» или «мноrих имен». Во вто-
рой части книrи 11 рассматриваются иррациональные вели-
чины с точки зрения их сонзмерИl\10СТИ инесоизмеримости:
вводятся основные определения квадратичных иррациональ-
ностей по Евклиду и предлаrается в схематичеСКОl\'1 виде их
классификация. Все предложения книrи Х «Начал» сначала
излаrаются на языке арифмеТИКII в общем виде, а затем разъ
ясняются на прим:ерах.
В заКЛIочение даны правила вычисленИЯ сторон paBHOCTO
ронних мноrоуrольников и ребер правильнЫх мноrоrранников.
Рафаэль Бомбелли. Сведений о жизни выдающеrося мате-
rvIатика, последнеrо представителя школЫ итальянских алrе
браистов ХУI в. Рафаэля Бомбелли (Rafael BombelIi) почти
не сохрани.пось. Судя по титульному листу ero OCHoBHoro тру-
да «i\лrебры», опубликованноЙ при жизни автора в 1572 r.
и переизданной в 1579 r. [152, 278], он был rражданином
Болоньи. Ему принадлежит также сочинение по rидравли-
ке [160}.
«Алrебру» БомбеЛ,,1И высоко оценивали математики XVII в,.
видевшие в ней наиболее фундаментальное изложение науки
об уравнениях. По ней изучали алrебру Стевин (см. ниже)
и Леi"lбниц; rЮIUlrенс, стремясь выразить Лейбницу наи
высшую похвалу, писаOll, что он сде,,1ал больше, чем Бомбел-
ли [163].
Творчество Бомбелли долrо не вызывало должноrо инте-
реса историков математики, хотя в общих чертах содержание
.«Алrебры» излаrалось неоднократно [192, 348]. На необходи-
мость более детальноrо изучения ero наследия указывал
r Энестрём [237, т. VIII, стр. 87; т. IX, стр. 77], обративший
внимание, в частности, на слова БомбелЛИ о том, что помимо
,«Алrебры», он написал также «rеометрию», которая в 1572 r.
была почти rOToBa и которую он собиралСя вскоре опублико-
вать [152, стр. 648 649]. Сожалея об утере этоrо сочинения,
r Энестрём имел в виду содержащееся в нем указание на
непосредственную связь неприводимоrо случая кубическоrо
уравнения с трисекцией yr ла, хотя обычно считалось, что
впервые эту связь заметил Виет (см., например, [177, стр.
171]) .
Действительный вклад Бомбео/l,пи в развитие а.1rебры вы-
яснился после Toro, как в 1923. r. Э. Бортолотти обнаружил
lH3
; t:::::
t.
.':
t :.
J _:
...
PER
J)iRAFAl L BOM1>}1J,.Llda.&logna
Diuili:-i-t.1-tre Lib:ri .
[Сп l tiitfiшю ftpfJtrJVdJire т ptrfe1til
СО f.!tlitj:(jfJC llelta tfl1rica Jell Ariтttiid.
u .-
COl11t na -Та.uоJа со'riоfз de[!e-mtt.teri:c>c.!le
io tffa-li со,O.tсn.вQ:n.Q..
р ejl4bW А in ilite # btJ1t,pci., tklti: 1JsJit!/i tif
- 4tJ1A ,'#ftjtifJ.ll.e
К':'--
. :-.1'.
.. . . .
1; .--.:.; .
'<'-с-
. . -
./.:.:.:.....-<-
" $(. .'
-'\>.. : :':::"
. .".;;. ":о.:
'::'_-VW'.
.
.f.'
.'"
} ...
" 7. '-
. - . .
. . - ....- . .....
- .$-- .- <- .' -'
. ..' ::" . l: '. <;/''- '. ,.
< -
х-
('
)t
,
:: , '.. ':
" ь '-.
,,' .
-.-. ""1."
IN ВО OGl. ,
PCi GJo-u.а n:l1:i -I _o'fst :.1 D L \: Х .1.)\
т 11 Т \' Л Ь н ы Й oi
. А.lrебры" l аэля Бомб ,пли. (НЗ, 1579 r.)"I
в библиотеке Болонскоrо университета ero неопубликован"
вые рукописи, в 1'01\1 ЧИСOilе УПОl\fЯНУТУЮ «rеометрию», частично
издал их в 1929 'r. [163] и провел rлубокое исследование тру-
дов этоrо замечательноrо ученоrо [160 163]. Работа над
архивом Бомбелли продолжается [323] и, по-видимому, мо-
жет дать новые интересные результаты.
Значение «Алrебры» не только в .поrически заверШСННОl\1
изложении теории уравнений первых четырех степеней. Ру"'
ководящая идея Bcero сочинения, расположение l\fатериала,
методы построения и, как показал э. Бортолотти, доказа
тельства, аналитические по своей сущности, указывак)т на
значительный шаr, сделанный Бомбелли в направлении даль...
нейшей арифметизации !\1(]тематическоЙ науки.
В книrе 1 дано, по существу вперRые, последовательное
расширение понятия числа от рациональноrо до комплекс-
Horo. Прежде Bcero рассматривается «исчисление простых
корней» и, в частности, приближенное извлечение квадратно-
ro корня. Арифметическое рассуждение дополняется reoMeT
рическим: представляя подкоренное выражение в виде пря..
молинейноrо отрезка, БОl\Iбелли строит квадратный корень
как среднее пропорциональное l'vJежду данным отрезком If
введенным заранее единичным; нахождение кубическоrо KOp
ия соответствует построению двух средних пропорциональ
ных.
Сформулировав правила умножения и деления «простых'
корней», БОТV1белли переходит к сложению и вычитаНИIО кор-
ней квадратных, т. е. к рассмотрении) биномиалеЙ и выче
тов (Binomi е Recisi) Евклида. Вначале он выясняет, какие
суммы и разности корней MorYT быть сведены к «простым
корням», а затем подробно излаrает книrу Х «Начал» в ана-
литической форме, исследовав, таким образ' ом, свойс тва би .
номиалей и выч етов, корни из которых V v а + V ь об06..
щенно названы "Radici Legate" Последние являются эле-
ментами новои, более широкой ЧИСЛОВО.1 области. Для них
также решается вопрос, в каких случаях они MorYT быть.
сведены к предыдущему виду, т. е. к биномиалям и выче-
там; друrими словами, дается способ извлечения квадратных'
корней из биномиалеи и вычетов, коrда это оказывается
возможным.
Далее Бомбелли переходит к числам, возникающим при
решении уравнений третьей степени. Сначала рассматрива-
З V 3
ются арифметические операции над выражениями 1/ а + Ь
(binomi cubici), a / b (recisi cubici), i a + 1/ аЬ +У ь ,
для которых дается, например, правило УНИЧТОЖЕНИЯ ирра-
циональности в знаменателе дроби, содержащем TaKoro ро-
18
да выражение; это правило Бомбелли приписывает Сципиону
дель Ферро.
Для более сложных выражений (Radici Legate СнЬе)
разъясняется, в частности, способ преобразования "куби
ческой стороны " (lato cu bo) биномиали в биномиаль, т. е.
приведения V 1/ п + 1/ m к виду -V v + 1/ а . Эта задача, КЗI{
показывае т Бо мбелли, сводится к реIllению уравнен ия
хз+з хVп m2 2т, для KOToporo 2и== ;/Y п +т
3/1/ п т.
Следующее расширение рассматриваемой Бомбе.пли чис
ловой области состоит во введении мнимых чисе..т1 (numeri
immaginari), вызванном необходимостью решать кубическое
ураВtfсние в неприводимом случае. Хотя с мнимыми выраже
ниями алrебраисты сталкивались и раньше, они (например,
Кардано ) считали эти выражения бесполезными. Бомбелли
впервые понял их значение для математики. Мнимые числа,
которые у Hero выступают как квадратные корни из отрица
тельных чисел и обозначаются R (о. т. 1), т. е. УО=1, Бом..
белли считает полноправными арифметическими объектами
и подробно излаrает правила их исчисления.
Наконец, вводится понятие комплексноrо числа (numeri
.complessi); такие числа, по словам Бомбелли, всеrда BCTpe
чаются при решении уравнений третьей степени с кубически
ми коэффициентами. Для них также даны правила арифме-
'тических действии, сопровождающиеся мноrочисленными при
,мерами.
Кубическ ие корни ИЗ комплексных выражений
V m + i -vn: Бомбелли приводит к виду u + i 1/;. решая
(систему
3
и 2 + v 2 === V т 2 + n, и 2 3uv == т.
Например (в современных обозн ачениях), дл я
3/52 + уо 2209 === 3/52 -+ i У 2209
имеем:
v т 2 + п == 2704 + 2209 == r 4913 == 17,
.U 2 +V 2 === 1 7, uЗ 3uv== 52, откуд а и ===4, v== 1;
.тоrда 3/52 + yO 2209 4 + 1/0 1.
Книrа 11 содержит теорию алrебраических полиномов и
уравнения первых четырех степеней. Начинается она с опре
делений неизвестной и ее степеней и введения системы сим
волов показате..тIьноrо типз: х обозначается знаКОl\f 2.., х 2 зна
:К()М....... и т. д. Даются правила действия lIад мноrочл нами
l б
(polinomi algebraici), в TOl\tI числе способ деления полинома
на сумму или разность неизвестной и даНIIоrо числа.
При изложении теории уравнений Бомбелли для каждоrо
отдельноrо случая приводит чисто аналитическое доказа-
тельство, а затем rеометрическое. Он уточняет высказы
вание Кардано о том, что хотя в неприводимом случае урав-
нение x3==px+q не может быть решено по общей формуле,
данной дель Ферро, иноrда ero можно свести к уравнению
отарой степени путем прибавления или вычитания числа а,
аЗ + q
у довлеТВОРЯЮIllеrо условию а == ; тоrда обе стороны
р
уравнения делятся на х + а или х а. Бомбелли показал,
что число а, определенное так, что все уравнение делится
на х а, должно быть корнем этоrо уравнения.
Однако наиболее важный вклад Бомбелли в теорию I{уби
ческих уравнений состоит в применеНИI1 lIравила действий
с мнимыми числами для решения неприводимоrо случая ку-
бическоrо ура внения x 3 ==px+ q и в распространени и на Hero
3 r q ... f q'2 рЗ 3 r а I / q2 р3
формулы V "2 + V 2" 27 + 1/ v ""4 27 он пока
зал, что эта формула может дать рациональное значение
,..,
корня, если входящие в нее куоические корни дают сопря
женные комплексные числа. Например, для уравнения х 3 ===
'j 2
== 15х + 4 оказ ывается: ; == 1 25, == 4, откуда
х == V2 + уа 121 + у2 уа 121
:но
v 2 + 1' а 121 == 2 + уа 1
И, следовательно, х == 4.
Исследование завершается указанием на связь решения
неприводимоrо случая кубическоrо уравнения с решениеrvl
rеометрической задачи трисекции уrла. (Более подробно об
этой задаче rоворится в рукописи, обнаРУ)l{енной э. Борто-
лотти [163]).
Перейдя к уравнениям четвертой степени, Бомбелли рас-
-сматривает 42 возможных случая и, таким образом, дает
.полное изложение теории биквадратных уравнений.
Третья книrа содержит собрание задач, среди которых наи-
более интересны заимствованные непосредственно из сочине
ния Диофанта. Во введеНИIl Бомбе.п.пи З(\ 1ечает, что, в проти-
воположность своим предшественникам, он рассматривает
чисто арифметические задачи, rде речь идет о числах, а не о
товарах, деньrах и т. д. С этоЙ точки зрения книrа Бомбелли
-является началом возрождения теории чисел в Европе [161].
1,Н7
Среди рукописей Бомбелли, обнаруженных э. БОР'IОЛОТ -
ти [163], находится книrа IV «Алrебры», озаrлавленная «Ли
нейная алrебра» «<.A.lgebr а linearia) ОНа содер)кит чрезвы
чайuно важный для истории учения о числе результат, состоя
щии, по словам Н. Бурбаки, в том, что, выразив числа по
средством длин, Бомбелли получил rеометрическое ОПРt.'де.пе
ние поля действительных чисел... и TtlVl Cal\1bIl\I дал своеЙ
«Алrебре» прочную rеометрическую O HOBY» [27, стр. 151].
Бомбелли последовательно из аrает исчисление отоезков,
т. е. по существу ВЫПО.пняет то, что в XVII в. было еще раз
осуществлено Декартом в ero знаменитой «rеометрии». Это
дает основание Н. Бурбаки считать, что «Алrебра» Бомбеллн
поразительно опередила свою эпоху. Однако при исследова
нии арабских рукописей, комментирующих книrу Х «Начал»
I-:вклида, мы встретились и с восточным пр дшествеННИКО 1
Дека рта Ибн ал Баrдади (см. [82, стр. 217 223])
Первая rлава книrи IV «Алrебры» Бомбелли начинается
с определения понятия прямолинейноrо отрезка и с описания
основных операций над отрезками. Методаl\1И, известными из
«Начал» Евклида, решаются задачи: разделить отрезок на две
равные части ( 1), опустить перпендикуляр из данной точки
вне прямой ( 2) и возвести ero из точки на ПрЯ1\IОЙ ( 3),
провести прямую, параллельную данной ( 4), разде.ilИТЬ OTpe
30I{ на три равные части ( 5), построить квадрат на даННОJ\1
отрезке ( 6) и Т. д. Вслед за этими предварительными пред
"lожениями даются определения действий сложения 11 вычн
тания отрезков ( 15 16), умножения их, понимаемоrо как
построения пряl\tl0уrольников с данными сторонами ( 17)
н деления, которое производится соrласно предложению 12
!{ниrи VI «Начал» ( 18). При этом вводится фиксированныЙ
единичный отрезок «общая l\tlepa» (ипа соmипе Пlisurа),
что позволяет установить взаимно однозначное соответствие
между длинами отрезков и отношеНИЯ!VlИ величин.
Существенно, что Бомбелли рассматривает также отрица
ТС.пьные и нулевые отрезки и площади, которые отсутствуют
у Декарта.
Извлечение квадратноrо корня ( 19) осуществляется по
С'троениеl\'l отрезка, среднеrо пропорциональноrо мел{ду еди
ничным и данным отрезками. Соответственно, ИЗБ.lечение
кубическоrо корня ( 20) есть построение двух средних про
I!орциональных. В «линейной алrебре», rоворит БОl\lбе&llЛ 11, эта
операции не вызывают тех трудностей, с которыми ОНИ свя
заны при рассмотрении чисел.
С ПОl\10ЩЬЮ CBoelul «,,1ИIIеЙНОI U I аЛI'ебры» Бомбелли ИЗ<i1аrаеr
далее теорию уравне ий первой четвертой степеней.
Во второй rлаВ.е l.{!Jиrи IV дается «rеометрическое Ilред
CT .п ние ирра uиона,,11?1 ?С » :?дec qОМQе"ТIЛИ paCC;\I атривае L
l A R
евклидову теорию квадратичных иррациональностей, расши-
peHHYlo за счет к бических иррациональностей. С помощью
<<-линейноЙ алrебры,> он доказывает результаты, изложенные
I1M ранее аналитически (<<Алrебра», кн. 1).
Третья rлава содержит «rеОl\1етрическое построение ал-
rсбраических задач». Здесь решаlОТСЯ разнообразные задачи,
сходные с рассмотренными в книrе 111 «Алrебры» (наПРИ:\lер:
разделить отр'езок на три части пропорционально трем дaH
ным отрезкам) rеОl\Iетрические построения у БОl\1белли при-
званы подтвердить законность результатов, полученных ана-
.питическим путем.
В книrе V «Алrебры» рассмотрены пробле 1Ы плоскоЙ
rеометрии и теория правильных l\1ноrоrранников. В предло-
жении о вписанном в Kpyr прави.пьном девятиуrо.пыIкеe задачя
трисекции уrла сводится к решению кубическоrо уравнения
R неприводимом случае.
Франсуа Виет. За1'.1ечательный французский математик,
сочетавший занятия l\1атематикой с деятельностью юриста,
Франсуа Виет (Fran\ois Viete или Vieta, 1540 1603 rr.) за
нимает особое место в истории учения о числе как создатель
nepBoro алrебраическоrо исчисления [100, 108, 120, 181, 192].
Око И3.!Iожено в ero rлавном lVlатематичеСКОl\l труде «Введение
В искусство анализа» (<< In artem analyticam isagoge»,
1591 r.) [453].
Приверженец античных традиций, Виет cTporo различал
число и величину и, соответственно, обычный «числовой счет»
(logistica numeralis) от разработанноrо им «видовоrо счета»
(logistica speciosa), который носит характер rеометрической
теории. Впервые при изложении было введено буквенное обо
значение для числовых коэффициентов уравнения, что в соче
тании друrими сокращениями и знаками знаменовало важ
нейший шаr вперед в создании алrебраической символики.
I<а)кДый из рассматриваемых Виетом «видов» величин
обозначается прописной буквой: неизвестная rласной, а
данная соrласнои. Размерность величин определяется co
ответствующим термином; так, третья степень названа Te
"Т"JOM и обозначается А CUbl1S для неизвестной или В solidus
для известной величины, а далее следуют «rиперrеометриче-
ские» названия (например, девятая степень известной вели
чины у Виета это А cubo-cubo cubus, а неизвестной
В solido solido solidum).
Действия сложения и вычитания над величинами подчи-
lIeHbI античному принципу однородности и допускаются толь-
1<0 в пределах одноrо вида. При перемножении двух величин
возникает новая, размерность которой складывается из.раз-
'мерностей исходных. Деление связано с вычитанием pagMep'"
u
1I0стеи.
1891
[lод числами Виет подразумевал только рациональные и
Не включал в это понятие ни отрицательных, ни мнимых
количеств; буквы обозначали у Hero только рациональные
положительные числа. Если неизвестная в уравнении при..
нимала иррациональное значение, он переходил к «reoMeT
ричеСКОlVlУ» решению задачи, основанному на теории отноше
ниЙ Евклида.
Таким обраЗОlVl, Виет пытался построить cTporoe учение,
удовлетворяющее потребностям COBpeMeHHO ему науки, но
в то же время основанное на античном разделении понятиЙ
числа и величины.
С точки зрения формирования tl rлядов Виета на ирра..
циона.пыlеe величины интересен один из трактатов, недавно
обнаруженный среди ero рукописей и опубликованный r Ву..
сардом [181].
Виет различает два вида иррациональностей: относящие...
ся к абсолютным числам, например V8,-V З2 и т. д., И К ал..
rебраическим, например V ЗN , -v 4N и т. д. Прежде Bcero
утверждается, что между двумя последовательными числа..
ми находится бесконечно MHoro иррациональностей. Так,..
.../ .../ 1/ .. lfiI .. / l
между 3 и 4 попадают t' 5. t' 6 . v 7 У8. V 5'2' V 5"'J'.'.'
у82, 8З ,
Аналоrичное наблюдение было СДеtJ1ано Штифе.пем (см:. BЫ
ше), а еЩе раньше Ибн ал-Баrдади [82, стр. 221 222].
Далее Вйе"т отмечает, что из составных иррациональностей,
КОL7JичествО видов которых бесконечно, применение находят
.,lишь lIемноrие: бимедиали, биномиа.,1И, вычеты, триномиали
и квадриномиали..
Примерами аБСО,,1lGТНЫХ составных иррациональностей
служат v з + У7, 113+ У 5 , У7 + У2 + 1, з + vп + у з
Свойства некоторых из них paccMoTf)eHbI, по словам Виета"
Евклидом в книrе Х "Начал"..
Затем Виет излаrает правила Действий с аБСОIl'IЮТНЫМИ:
ирраЦИ'ОfIЗЛЬНОСТЯМИ И, в частности, превращения разноимен
НЫХ корней в одноименны'е, определения соизмеримости и
несоизмеримости корнеЙ, определения большеrо из двух не..
СОИЗ1\1еримых корней, умножения, деления и т. д. Далее разъ-
ясняются аналоrичные правила для составных иррациональ-
ностей.
Во второй части сочинения paccMOTpeHbr о'перации над «ал
rебраичеСКИlVlИ» числами.
СИМОН Стевин. Симон Стевин (Simon Steyin, 1548 1620
rl'.), ОДИН из выдаЮlltихся )ilаТС fЗТИКОВ коыца. Xv начала
190
XVII ВВ., рОДИЛСЯ В Брюrrе в купеческой среде, раБРТ-(JЛ воен-....
ным инженером 1[173, 396, 398, 421]. Важное l\1( CTO ср д-и ехо со-
чинений по математике и механике заНИl\1ают раБОТI I. по прак-
тичеСКО(I КОМl\lерч скоЙ ариq)метике, например «Тзб,,;:J.UЦЫ про
центов» (<<Tables d'Interet», 1582 r) и знаменитое СQчинеНllе
«Десятая» (<<La Disme», 1585 r.), в котором БыJ1;q:.. сдел:ана.
попытка ввести в праКl ику десятичную систему мер, весов
и денежных единиц, а также впервые излаrалис!? правила.
арифметических операций с дссятичными дробями.
Стевину принад.пежит оrромная заслуrа и в развитии по-.
нятия числа с теоретической точки зрения: следуя: цдеям ШТИ-
фе.пя и Бомбелли, он окончательно порвал с тра.д ционным
разделением понятий числа и величины. Взrлядьi. Стевина на.
сущность этих вопросов выражены в трактате «rеометри"
ческие проблемы» (<<Problemata geometrica») и особе.нцо
четко в сочинении «Арифметика» (<<L' Arithmetiqqe», 1585 r.),.
Оба они недавно переизданы Д. Стройком в числе основных
математических трудов Стевина [418] и СОПРОВОЖД НрI анrлий...
ским переводом.
При написании «rеометрических проблем» [4J 8, Т,. 11 а"
Сlр. 121 369] Стевин опирался на «Начала» ЕВJ{JJ.ида в обра
ботке Клавия, труды Архимеда, опуБЛИI\оваННрI в латин..
CKO!'vl переводе в 1558 r., и rеометрический TpaI(T.aT Альбрех
та Дюрера (см. [104]).
Сочинение состоит из пяти книr. В первой изл аrается тео-.
рия отношений Евклида с приложением ее к задачам деле..
ния мноrоуrольных фиrур в заданном отнош нии. Стевин
утверждает, что «rеометрическое отношение, которое друrие.
оrраничивают двумя членами, допускает любое ЧJIСЛО чле-
нов» [418, т. 11, стр. 140], и дает определения двоЙноrо, трой-
Horo и т. д. отношений. Он подра деляет ОТНQЩ Н»Я на ра..
циональные, для которых воспроизводит традиционную ни-
комахову классификацию, и на иррационаЛЫ:l ые. Ори этом
он rоворит о своей поддержке «мнения тех, :кто »азывает ир"
рациональные корни числами» [там же, стр. 148] И обещает'
разъяснить этот вопрос в алrебраическом трактате.
Вторая книrа содержит применение правил. одноrо и двух
«ложных положений» к rеометрическим пастроеНИЯl\'I, причем.
автор последовательно проводит высказанную Бомбелли идею.
о тесной внутренней связи между rеометрией. и. арифметикой
и, в частности, между учениями о rеометрическом и арифме-
тическом отношении. В остальных трех книrах тр-актата опи..
сываются правильные и полуправильные М.I-Iоrоrранники.
«Арифметика» Стевина, написанная на rолланд.ском язы..
ке, впервые вышла из печати во французском переводе
R 1585 r. Она включает теоретический раздел, содержащий
собственно арифметику и диофантов анал.И-З, и пра J'ический,
191
куда входят французский перевод «Таблиц процентов» и «Дe
сятой», а также чрезвычайно важные для истории понятия
числа «Трактат О несоизмеримых величинах» и комментарий
к книrе Х «Начал» Евклида. Впоследствии сочинение CTe
вина было переиздано ero учеником А. Жираром: (Albert
Girard, 1595 1633 rr.) с дополнениями, сыrравшими caMO
Сl0ятеЛЬНУIО роль в развитии алrебры [295]. В них, в частно
сти, было доказано, что число корней уравнения равно ero
степени, и T 1 самым устанавливалось равноправие положи-
тельных, отрицательных и мнимых корней.
Определив арифметику как науку о числах, Стевин пи
шет: «Число есть то, чем определяется любая величина»
[418, т. IIa, стр. 495J, имея при этом в виду целые, дробные
и иррациональные числа. Несколько НИ)i{е он утверждает, что
:«нет никаких абсурдных, иррациональнь!х, неправильных, He
выразимых или rлухих чисел» [там же, Tp. 532] и что «лю-
бой корень есть число» [там же, стр. 738]. Поскольку число
.любоrо вида является корнем Скак 2 есть корень квадратныЙ
И.3 4, так У2 есть корень из 2), то различия между НИМИ
яет и можно rоворить только об их соизмеримости или не..
,соизмеримости.
Таким обраЗОl\f, впервые был дан положительный ответ
на вопрос, поставленный Штифелем: «Является ли ЧИСЛОl\f ир
рациональное число?» Стевин сумел сделать решающий шаr,
который оказался не под силу ero предшественникам,
еще скованным античноЙ традицией и отказавшиrvlСЯ поэтому
признать иррациональные корни «настоящими» числами.
Более Toro, он отождествляет число с непрерывной величи-
ной (<<как непрерывная вода соответствует непрерывной влаж
ности, так непрерывная величина соответствует непрерывно
1\1У числу»).
Причиной, побудившей Стевина предпринять переоценку
понятия числа, несомненно, явились ero занятия вычислитель-
ной математикой и, в частности, операции с введенными им
десятичными дробями. По словам Н. Бурбаки, он «ясно
сознавал, что эти дроби дают алrоритм неоrраниченноrо при
ближения всякоrо деиствительноrо числа [27, стр. 151].
Второе положение Стевина, разрушавшее СЛОЖИВUIиеся
взrляды, состоит в безусловном утверждении, что «единица
есть число». Оно сформулировано среди основных определе..
ний [418, т. IIa, стр. 425] и сопровождается доказательством,
в котором отверrается пифаrорейская аналоrия между еди
ниuей и точкой. Стевин замечает, что если две единицы в
CYM le дают число, отличное от единицы, то две точки
образуют только точку; поэтому более целесообразно
считать образом точки нуль, ибо множество нулей снова
образует нуль.
1 ?
Сам нуль Стевин числом все же не считает и нулево'е pe
шение уравнения не рассматривает Отрицательные числа
включаются в ero определение. Что касается l\1НИМЫХ, извест
ных ему из «Алrебры» Бомбелли, то в них он не видит поль
зы [418, т. IIa, стр. 309].
Все числа Стевин подразделяет на «а рифметические» (цe
лые, дробные), «rеометрические» (квадраты, кубы и т. д.) И
«алrебраические» (полиномы). При этом он отказывается от
коссических обозначений и вводит символику, заимствованную
у Бомбе.пли. ·
Во второй книrе «Арифметики» рассматриваются правила
действий с целыми числами, дробями и радикала IИ, правило
«ложноrо положения», а также операции с полиномами и Teo
рия уравнений.
Относительно роли, которую сыrрал Стевин в развитии
теории уравнений, среди исследователей существовали разно.
rласия. А. Босман, написавший ряд работ о творчестве CTe
вина [173], считал, что он первый дал единое решение для
квадратных уравнениЙ раЗЛИЧllоrо вида, предложил алrебраи
ческое доказательство формулы решения и интерпретировал
отрицательный корень уравнения. r Вилейтнер [478] показаlil
lIеправомерность TaKoro вывода: это сделали ранее Тарталья,
Кардано, Штифель и Бомбелли, трудами которых Стевин
пользовался. Несомненная заслуrа ero состоит в четком и яс.
ном изложении полученных ими результатов.
«Трактат О несоизмеримых величинах», который COCTaB
,ляет вместе с дополняющим ero комментарием 1{ кни
.re Х «Начал» Евклида раздел «Арифметики» Стевина,
содержит подробное изложение теории иррациональных
ч Hce.;l.
Вначале автор пишет, что некоторые видят в книrе Х
«наиболее rлубокий и непонятный раздел математики», дру-
rие считают «ее предложения чрезвычайно неясными» и рас-
С1\lатривают их как «крест математика» [418 Т. 11 а, стр 713].
I(aK ранее Штифель и ero последователи, Стевин по.паrает,
что трудности, связанные с пониманием этой книrи, можно
леrко устранить. если разъяснить ее с помощью иррациональ-
ных чисел. Основываясь на своем утверждении о равнопра-
вии иррациональноrо числа, он рассматривает двенадцать
видов «несоизмеримых» чисел Евклида. Стевин называет ир-
рациональные числа «одной из великих тайн ПfJИРОДЫ» [418,
Т. 11 а, стр. 718] и замечает, что они помоrают описывать
не только двенадцать биномиалей Ев ида. но и «тысячено-
МlIали», а также их корни и корни их корней до бесконеч.
насти.
Несоизмеримые величины определяются как «веЛИЧИНbl,
у которых числа, выражающие их, несоизмеримы» [418, Т. IIa,
13 l1З
193
стр. 723]; вводится понятие «мноrочленных величин», Bыpa
жаемых «мноrочленными числами».
«Корень квадратный из линии, rоворит далее Стевин,
это линия, средняя пропорциональная между линией, выра..
женной данным числом, и линией, соответствующей данной
единице» [418, Т. IIa, стр. 724]. В этом определении непосред-
ственно сказывается влияние Бомбелли.
Сформулировав определения, Стевин переходит к разъ
яснению некоторых предложений книrи Х с, помощью чисел.
В первом предложении требуется, имея заданные отрезок и два
числа, найти отрезок, который относится к данному, как чис..
ло к числу. Задача решена для случаев, коrда отношения
данных чисел суть 115: 11з ,;;2 ;;3, (1IЗ + 11 5 ): (11 6 +
+11 7 +V2) у!+у! У 2 +y
, У5 + У7 уз + У6 '
-V-1I6 + 115'+112 (1Iз + V2).
Условие второй задачи является обобщением предложе
ния 9 книrи VI «Начал» и требует отсечь от данноrо отрезка
заданную ero часть. Она решается для случаев, коrда эта
часть выражена числами
/ У2+УЗ 1IУ5+У3
V 3' ' У7 +У6+У5' VY 6 +Y5+Y2.
Третье предложение дает правило извлечения корня из
любоrо числа, выражающеrо данный отрезок. Построение
сопровождается примером: 118 + r 15 +-tr 255 4 ;; 80 .
Далее Стевин rоворит, что все эти рассуждения можно
распространить и на друrие случаи (для кубическоrо корНЯ
построение проводится с помощью двух средних пропорцио
нальных и т. д.) и, наконец, разъ ясняет пр авило извлечени я
корня из биноми али на примере V yi2' + 12 V 1Iз + 1/2 +
+ V уз 112, заметив, что так же MorYT быть интерпре-
тированы и остальные предложения книrи х.
Приведенный обзор сочинений ХУI в. имеет целью пока
зать на конкретных примерах состояние учения о числе .в
этот важныЙ период истории науки, коrда заверша.пось в oc
новных чертах формирование элементарной математики, име
194
ющей дело с постоянными величинаl\-IИ, и возникали пред
посылки создания математики переменных зеличин.
Сделаем некоторые выводы из сказанноrо выше.
Существеннейшим Достижение 1 математики XVI в. был(р
оформление алrебры в науку дающую методы решения'
уравнений первых четырех степеней. Разработка этих
методов вызвала усиленный интерес к вопросу о сущ .
ности понятия числа и к уточнению с новых позиций ero
содержания.
В учении о числе в это время продолжали сохранять.
свою силу античные концепции. Противопоставление числа и
величины все еще признавалось одним из основных принципов.
математики. Однако развитие алrебры, в которой своБОДНD
производились операции над иррациональными количествами
н иррациональный корень выступал в кач.естье решения ИЛIL.
коэффициента уравнения, заставляло все rлубже задумывать
ся над тем, не является ли природа корня числовой. В XVI в..
впервые с полной отчетливостью был сформулирован воп
рос: «Является числом иррациональное число или нет?».
Он возникал и ранее, но никоrда еще не требовалось столь,
KOHKpeTHoro ответа на Hero, как теперь.
Восточные !\-Iатематики, фактически стершие rpaHb между
понятиями числа и rеометрической величины, при обоснова
нии своих взrлядов становились на своеобразную арифме
тико-rеометрическую точку зрения, базирующуюся на идее
соответствия между объектами арифметики и rеометрии.
Эта же идея стала руководящеЙ в сочинениях европейских
математиков. Наиболее последовательно ее развил Бомбелли,.
который дал rеО lетрическое определение поля действитель....
ных чисел, предвосхитив мысль Декарта.
Поскольку почву для cTpororo обоснования теории ирра
циональностей по-прежнему находили в rеометрии, то не Me
нее важное место, чем раньше, в мате1\Iатике XVI в. продол
жали заНИl\flать книrи V и Х «Начал» Евклида,
преимущественно их арифметическая интерпретация. В то )ке
время происходило сближение понятий дроби и числовоrо
отношения. Бы.па систе1\Iатически построена (Шейбель,
I\лавий) теория «знаменовате"lеЙ» раЦIIональных отноше-
ниЙ, которые теперь стали определенно рассматриваться
как числа.
Наряду с попыткой лоrически обосновать расширеннос
понятие числа исходя из античной rеометрической теории,.
постепенно завоевывала права rражданства 11 чисто арифме
тическая точка зрения: дроби и числовые иррациональности
выделялись как самостоятельные виды чисел (Кардано, Шти-
фель, Шейбе,,1Ь, Клавий) . Правда, разрушая традиционную
установку, но не имея друrой столь же прочной лоrическои
lQS
базы рассуждения, ученые XVI в. еще не решались признать
этоrо открыто. Уйти от прямоrо ответа помоrали разноrо рода
представления об иррациональных числах как о «ненастоя-
IДИХ», «фиктивных» числах, «теНЯХ» истинных чисел, которые,
хотя и не удовлетворяют классичеСКО IУ определению числа,
но обладают свойствами настоящих чисел, и применение их
в математике оправдано получаемой от этоrо пользой.
Выделение иррационаJlЬНЫХ чисел в специальный класс
чисел 11 расширение рассматриваеl\10Й области иррациональ-
ности по сравнению с еВКJlИДОВОЙ явилось важным шаrом на
пути к созданию понятия действительноrо числа.
Однако учение о числе было освобождено от оков reo
метрии далеко не сразу, ПОСКО,,1ЬКУ дЛЯ cTpororo обоснования
операциЙ над иррациональностями приходилось возвращаться
I( аНТИЧНОl\1У разделению понятий числа и величины. Поэто
МУ, естественно, сделать следующиЙ шаr в обобщении поня
тия числа проще BceI'O оказалось тем математикам, KOTOpЫ
наиболее тесно соприкасались с вычислительной практикой,
rде числовая иррациональность всеrда выступала как число.
Именно Стевин, развивший и применявший теорию деся
тичных дробей, CMor без колебания заявить, что ЛJQбой KO
рень является числом и что «нет никаких абсурдных, ирра
uиональных, неправильных, невыразимых или rлухих чисел».
Он также базировался при этом на идее об аналоrии, суще
CTBYlollLeii между rеометрическими и арифметическими объ
ектами.
Несмотря на большие изменения в подходе к основным
понятиям учения о числе, мноrие разделы этоrо учения
сохранили в XVI в. прежний облик. Как видно из сочинениЙ
даже наиболее революционно мысливших математиков
Тартальи, Кардано, Штифеля, Рамуса, не rоворя уже о Ta
ких верных последователях древних, как Мавролико, преж
ним авторитетом пользовалась никомахова теоретическая
арифметика, входившая самостоятельным разделом в эти со-
чинения. Впрочем\ следы ее влияния заметны и два столе-
тия спустя, например, в знаменитом «Трактате об учении
() ЧИС"fJах > Л. Эй.пера, предстаВ J]яющем собой, несмотря на
Iноrие существенно новые результаты, образец традицион
Horo изложения этоrо учения.
В XVI в. обычно повторялось освященное веками опреде-
.пение числа как совокупности единиц. Лишь Стевин утверж
дал, что «число есть то, чем определяется любая величина»,
н высказал мысль о непрерывности числа, нарушая пифаrо-
рейский подход к этому понятию как к дискретному коли
честву.
Единица, как правило, числом по-прежнему не считалась,
хотя мноrие (например, Рамус и Стевин) уже придержива
196
JIИСЬ И противоположной точки зрения, видя в ней не только
«начало чисел» но и число. Следует отметить, что и в XVII в.
в этом были убеждены даJlеко не все.
Арифметические операции с нулем фОр!vIально производи
лись задолrо дО ХУI в. и с.пучаи, коrда нуль выступал в роли
решения уравнения, были известны (Леонардо Пизанский,
Шюке), однако представление о равноправии нуля с друrи
ми числами начало складываться только в XVII в.
В ХУI в. в математику вошли отрицательные числа (AH
дреас Александр, Кардано, ШтифеJlЬ, Шейбель, Пелетье,
КлавиЙ) . Фактически это произошло HaMHoro раньше, если
вспомнить правило знаков в «Арифметике» Диофанта и в
арабской алrебре, отрицательные числа, фиrурировавшие под
названием «долr» В китайской математике и у Абу л Вафы
Однако теперь их стали рассматривать как самостоятельные
арифметические объекты «фиктивные числа» особоrо рода.
Отрицательные числа фиrурирова.пи уже в сочинении AHдpe
аса Александра, а Штифе.пь, Клавий и Пелетье rоворят о
них, как о «ПрИДУ1\lанных» чис.7Jах, меньших нуля, которые
столь же удобны, как J1 иррациональные. Окончательно по
нятие отрицательноrо числа было узаконено в XVII в. Дe
картам.
Важнейшее значение И?\1ели мнимые числа, введенные
в связи с неприводимым случаем кубическоrо уравнения
(Кардано, Бомбелли) . Хотя мноrие математики как в XVI,
так п в XVII вв., наПРИ1vlер Стевин и Декарт, не видя в мни
мых числах пользы, не включают их в понятие числа, «мало
помалу, однако, рождается доверие к исчислению с этими
«невозможными» числами, так же как и с отрицательными,
и это несмотря на то, что в течение более чем двухсот .ТIeT
не было придумано для них никакоrо «представления» [27,
стр. 67].
Достижения алrебры сделали естественной попытку соз
дания «общей математической науки», изучающей свойства
как чисел, так и rеометрических величин [117, 120]. ЭТО BЫ
звало, в свою очередь, понимание необходимости вк.1адывать
более общиЙ CMbICvl в понятие числа. Однако и в XVII в. по
ЭТО1viУ поводу высказывались самые раЗ,,1ичные взrляды н толь
ко во второй половине столетия было четко сформулировано
определение, показывающее, что решительный шаr в направ
лении создания понятия деЙствительноrо числа, наконец,
сделан.
Представление об отношении как об основном объекте
этой универса.пьной математики в XVII в. продолжало укреп
ляться. Об ЭТО1\1 свидетельствует внимание, которым неизмен
но пользовалась евклидова теория отношений, все чаще под.
нерrавшаяся критике. Такую критику мы находим в «Книrе
197
fQб отношениях» (<<Ое proportionibus liber») выдающеrося
математика I! физика Эванrелисты Торричелли (Evangelista
Torricelli, 1608 1647 rr.), которая была опубликована лишь
:недавно по рукописи [381, 443]. Торричелли видит в теории
-отношений фундамент универсальной rеометрии и поэтому
'считает необходимым уточнить и исправить все неясные Me
'Ста в книrе V «Начал» Евклида. Он дает последовательное
изложение этой теории на rеОl\1етрической основе, но само
понятие отношения приобретает у Hero арифметический смысл.
Так, равенство отношений величин определяется с помощью
nыражающеrо их числовоrо отношения.
Особенно существенную роль в формировании взrляда на
r"IИСЛО как на обобщение понятия отношения сыrрало сочине
вие «rеометрический труд» (<<Opus geometricum», 1647 1'.
[298]) rриrория из Санкт-Винцента (Gregorius а St. Vincentio,
1584 1667 rr.). Он развил идеи cBoero учителя Клавия, рас-
пространив ero теорию «знаменователей» на иррациональные
'Отношения [109, 172, 192, 317]. «3наменователь, или количест-
во отношения», который, будучи «умножен на последующий
член отношения, производит предыдущий», фактически яв-
.ляется числом рациональным или иррациональным, BЫ
ражающим данное отношение. rриrорий изображает «знаме
нователи» прямолинейными отрезками и из.паrает правила
..арифметических действий над ними, последовательно обосно-
.вывая их на базе rеометрической алrебры.
Ревизию античной теории отношений с позиций, близких
к rриrорию из Санкт-Винцента, предпринял математик из
Антверпена Андрэ Таке (Andreas Tacquet, 1612 1660 rr.),
автор нескольких сочинений, в том числе трактата о практи
ческой и теоретической арифметике [174], вышедшеrо в 1656 r.
JI выдержавшеrо несколько изданиЙ, а также сокраr.ценноrо
изложения «Начал» Евклида [434] (о русском переводе
'с 1\1. [118]).
Таке отмечает важное значение теории отношений в reo
метрии и утверждает, что тот не математик, кто не знает ее
[i 74, стр. 114]. Он излаrает теорию «знаменователей» рацио
нальных и иррациональных отношений со ссылкой на сочи
нение rриrория из Санкт-Винцента, который, по ero мнению,
<,оздал «новую науку об отношениях» [174, стр. 146]. «3HaMe
IIователь» рациональноrо отношения Таке определяет как pe
зультат деления большеrо Ч.пена 1Iа меньший; для ирра-
ционалыlrоo отношения непосредственное выражение чис r
.10М невозможно. Приведены праВИ"lа арифметических дей
твиЙ над отношениями, которые фактически рассматрива-
10ТСЯ как числа особоrо рода. Для Таке «составление
QтношениЙ есть не что иное, как умножение отношениЙ»
Т174, стр. 150].
198
В 1637 r. была опубликована знаменитая «rеомеrрия»
Декарта, знаменовавшая собой начало HOBoro периода в раз
витии математики. По словам Ф. Энrельса, «поворотным
пунктом В математике была Декартова nеременная величина.
Блаrодаря этому в математику вошли движение и тем самым
диалектика и блаrодаря этому же стало немедленно необхо
димым дифференциальное и интеzральное исчисление, KOTO
рое тотчас и возникает и которое было в общем и целом
завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем»l).
Важнейшую роль сыrрало сочинение Декарта и в истории
учения о числе. Изложенная в нем буквенная алrебра сделала
возможным применение арифметических операций к reoMeT-
рическим объектам, а это, в частности, означало, что предпо-
лаrаемое со времени античности принципиальное различие
между понятиями числа и величины окончательно стерто.
Переменная Декарта это, с одной стороны, отрезок пере-
менной длины, с друrой, ero числовое выражение, т. е. она
выступает в «двуликом rеом:етрическом и числовом образе»
[120, стр. 526], что предполаrает существенное расширение
понятия числа.
Как было показано, уже математики ХУI в. осознали He
обходимость построенl'fЯ теории, которая объединяла бы в
себе рассматриваемые ранее раздельно учение о числе и уче
ние о величине. В XVII в. эта идея стала rосподствующей и
нашла четкое выражение в «rеометрии» Декарта и в друrих
ero произведениях.
Декарту ясно внутреннее единство всех математических
наук, о чем он rоворит, наПрИ1\lер, в «Рассуждении о мето-
де»: «Хотя их предметы различны, тем не менее все они со-
rласуются между собой в том, что исследуют только раз-
личные встречающиеся в них отношения или пропорции»
[51, стр. 23]. Поэтому он не стремится изучать «все отдельные
науки, которые составляют то, что называют математикой»,
считая более правильным обратить внимание на выяснение
общих свойств отношений и пропорций каждоrо вида. Он пи-
шет по этому поводу: «Я решил, что лучше исследовать толь-
ко эти отношения вообще и искать их только в предметах,
которые облеrчили бы мне их познание, нисколько, однако,
не связывая их этими предметами, чтобы иметь возможность
применять их потом ко всем друrим подходящим к ним пред-
метам» [51, стр. 23].
Для облеrчения исследования отношений различных видов
Декарт предлаrает «представлять их В виде линий», не найдя
ничеrо более простоrо и наrлядноrо «для воображения и
чувств».
1) К. Маркс и Ф. Энrельс. Сац., ИЗД. 2-е, Т. 20. стр. 573.
199
В основе общеЙ математической науки До.пжна, по Декар-
ту, лежать символическая алrебра. Чтобы удерживать в Па-
мяти исследуемые отношения и рассматривать одновременно
несколько, он стреrvIИТСЯ выражать их «возrvlОЖНО наименьшим
ЧИС,,10 I знаков». «ТаКИl\1 путем пишет он, я заимствовал
БЬJ все ,,1учшее из rеометрическоrо анализа и из алrебры и ис
правлял бы недостатки одноrо с помощью друrой» [51, стр. 24].
Математика, как считает Декарт, дает универсальныЙ ме-
тод познания заКОНОlvlерностей ПрИрОДЬJ, ПРИ lенение KOToporo
в друrих естественных науках и прежде Bcero в физике поз-
воляет найти истину. В матеlvlатике и, в частности, в учении
о числе этот метод сыrрал особую роль, предоставив «сред-
ства общиrvt образом решать любые вqпросы относительно
как дискретных, так и непрерывных величин» [120, стр. 542].
«rеометрия» Декарта начинается утверждением, что «все
задачи rеометрии можно леrко привести к таким терминам,
что для их построения нужно будет затем знать лишь длину
eKOTOpыx прямых линий» [51, стр. 301]. Далее устанавливает-
ся существование паралле 7IИЗ lа между «исчислением ариф..
метики» и «построениями rеометрии». Этот параллелизм вы-
является блаrодаря разработанноrvlУ Декартом исчислению
отрезков, которое по существу повторяет теорию Бомбелли,
изложенную в неопубликованных разделах ero «Алrебры».
Как и БОJ\1белли, Декарт определяет арифметические опе-
рации над rеометрическими величинами, изображая величину
прямолинейным отреЗКО1\I. При этом, «дабы удобнее устано-
вить более тесную связь с числами», он вводит фиксирован-
ный отрезок, который называет единицей и который обыкно-
венно может быть выбран произвольно.
Основное от.пичие эrоrо исчисления от античной reoMeT-
рической алrебры состоит, как и у Бомбелли, в полном отказе
от принципа однородности. Так, относительно произведения
двух отрезков Декарт пишет: «Найти четвертую линию, так
относящуюся к одной из этих двух, как друrая к единице,
это то же самое, что умножение». Друrими словами, произ-
ведение изображается не построеННЫ1\1 на данных отрезках
прямоуrольником, а отрезком, который строится как четвер-
тая пропорциональная, т. е. определяется из пропорции
х a Ь е, тде е единичныЙ отрезок. К построению четвер-
той пропорциональной сводится и действие деления. Квад-
ратный корень рассматривается как средняя пропорционал :-
ная между даННЬJМИ и единичными отрезками, т. е. х== 11 а
находится из пропорции а х==х: е.
Исходя из TaKoro определения арифметических действий
над rеометрическими величина1\'IИ, Декарт строит теорию урав-
нений, с помощью которой, по ero мнению, можно решить
любую математическую задачу. Уравнение решается reoMeT-
200
рическиl'tI путеl\1: ero корень t:ТРОИТСЯ как uрдината точки
ресечения определенных плоских кривых.
Хотя L{eKapr фактически распространил понятие числа на
любое вещественное число, явной формулировки этоrо поня
тия он не дал. Как и ero предшественники, он называет ир
рациональные числа «rлухими», считая их равноправными с
рациональными. МНИ1\lые же числа для Hero воображае
мые, а отрицательные ложные. Последние он истолковы"
вает как отрезки ординат, которые расположены от оси в CTO
РОНУ, противоположную направлению отрезков, изображаю
щих положительные числа.
Пример изложения науки о числе, как она понималась
в XVII в., дает L{ж. Ва.1о11ИС (John Wallis, 1616 1703 rr.)
[69 71, 108] в «Универсальной математике» (<<Mathesis
Universalis»), которая была издана впервые в 1657 r. [459}
и вошла затем в первыЙ том опубликова IIHoro в 1693 1699 rr.
полноrо собрания сочинений автора [460]. Определив MaTe
матику как науку о непрерывных или дискретных величинах
и подразделив ее на чистую (арифметика и rеометрия) и
смешанную (астрономия, хронолоrия, rномоника, rеодезия,
механика, перспектива, музыка и т. д.), Валлис рассматрива
ет объекты rеометрии и арифметики и принципы, лежа..щие
в основе этих наук. rеометрию и арифметику он назы-
вает науками о том, как хорошо измерять и как хорошо
считать, повторяя определение, встречавшееся, например,
у Рамуса.
Объект арифметики число Валлис определяет по тра..
диции как совокупность единиц, единицу же считает «наи
меньшим числом» [460, стр. 24 25]. Со ссылкой на L{eKapTa
Валлис отмечает связь между арифметикой и rеометрией
и устанавливает, как и Стевин, соответствие 1\1ежду едини"
цей и отрезком единичной длины, а Не точкоii. Относите,,1ЬНО
же нуля, который также рассматривается как «начало чисел»,
Валлис утверждает, что он не является числом [460,
стр. 25 26]. Более Toro, дроби, находящиеся между наимень
шим числом единицей и нулем, не являются «истинны..
ми числами» (veri numeri), а должны рассматриваться как
отношения чисел [460, стр. 27]. В друrО 1 месте [460, стр. 211]
Валлис отмечает «тождественность (ldentitas) или тесную
связь (affinitas)>> между дробями и отношениями.
Отношения Валлис подразделяет на рациональные, «ко..
торые можно выразить истинными числа1\IИ», и иррациональ..
ные, для которых это невоз! ожно [460, стр. 149]. Он подроб
но излаrает (rл. 35) книrу V «Начал» Евклида, в которой
видит «учение об отношениях, как арифметических, так и
rеометрических», т. е. выражаемых «не только целыми чис-
лами, но также дробными и rлухими» [460, стр. 183].
201
В самой арифметике, по мнению Валлиса, «вряд ли можно
усмотреть что то иное, чем учение об отношениях»: целые
числа являются «знаками отношений», у которых последую..
щий член есть 1, а остальные числа (либо дробные, либо
также rлухие) суть знаки или показатели для описания всех
друrих отношений [460, стр. 183]. Объясняя, почему древние
не создали «универсальноrо» учения об отношениях линий
и чисел, Валлис указывает, что ввиду отсутствия символики
у них не было способа выражать любое отношение.
Таким образом, Валлис чрезвычайно близок к отожде
ствлению понятий отношения и числа, хотя и не решается
сделать этот вывод. Подобно математикам ХУI в., он оправ
дывает свой отход от традиционноrо толкования этих поня"
тий тем, что рассматриваемые им числа не являются настоя
щими: «Как из несовершенноrо или даже невозможноrо вы..
читания появляются отрицательные числа (1 2, 2 3
и т. д.), а из несовершенноrо или даже невозможноrо деле
( 2 3 4 )
ния дрооные числа 3 ' 3 ' 3 и т. д. ,так из несо-
вершенноrо или невозможноrо извлечения корней появля"
ются rлухие числа (VЗ, У4. У5 и т. д.)" [460,стр.211].
Окончательно сформулировал новый взrляд на число Иса..
ак Ньютон (Isaac Newton, 1642 1727 rr.) во «Всеобщей
арифметике» (<<Arithmetica universalis»), написанной на oc
нове прочитанноrо им в 1673 1683 rr. курса лекций по алrеб
ре и опубликованной в 1707 r. Подводя итоr всему предше
ствующему развитию понятия числа, он заявил: «Под числом
l\lbI понимаем не столько множество единиц, сколько отвле
ченное отношение какой либо величины к друrой величине
Toro же рода, дробное и иррациональное. Целое число есть
то, что измеряется единицей, дробное кратной долеЙ еди
ницы; иррациональное число несоизмеримо с единицей» [88,
стр. 8}.
Однако основная работа по лоrически CTporoMY обосно
ванию понятия деиствительноrо числа в это время только
начиналась, и завершилась она лишь в XIX столетии.
JIИТЕР А T .P А
J. А л е к с а н Д р о в А. Д. Общий взrляд на математику, В сб. «Ма-
тематика, ее содержание, методы и значение», т. 1, М., 1956,
5 78.
2. А.тУ И 1\f О В н. r Величина и отношение у Евклида, В сб. «Истори
ко-математические исследования», вып. VIII, М., 1955, 573 619.
.'3. А р х и м е д. Сочинения, Пер. вступит. ст. и ком мент. и. Н. Bece
ловскоrо, М., 1962.
4. А х м е Д о в А. I"еометрический трактат Шамсиддина Самарканди,
«Изв. АН УзССР», серия физ.-мат. наук, 1969, N2 3, 5 7.
5. Б а р т о л ь Д В. В. История изучения Востока в Европе и России,
изд. 2-е, Л., 1925.
6. Б а ш м а к о в а И. r Арифметические книrи «Начал» Евклида,
В сб. «Историко математические исследования "', вып. 1, М. Л.,
1949, 296 328.
Б а ш м а к о в а И. r., ю ш к е в и ч А. П. Происхождение систем
счисления, Энциклопедия элементарной математики, т. 1, М. Л.,
1951.
8. Б а ш м а к о в а И. r Лекции по истории математики в Древней
rреции, в сб. «Историко-математические исследования», вып. XI,
М., 1958, 225 440.
9. Б а ш м а к о в а И. r Об античной математике первых веков на-
шей эры, В сб. «Историко-математические исследования», вlып. XIV,
1\1., 1961, 473 490.
10. Б а ш м а к о в а И. r Цикл раб(IТ по истории античной математики,
Автореф. дисс. на соиск. уч. степени д-ра физ.-мат. наук, М., 1961.
Б а ш м а к о в а И. r., М а р к у ш е в и ч А. И. «Начала» Эвклида,
БСЭ. изд. 2 e. 309 311.
12. Б а ш м а к о в а И. r о некоторых проблемах античной математики,
В сб. «Историко-математические и cc.Т'J едо вани я», вы,' Х\Т, М.,
1963, 37 50.
13. Б а ш м а к о в а И. r Диофант и Ферма, В сб. «Историка-мате-
матические исследования», вып. XVII, М., 1966, 185 204.
] 4. Б е рез к и н а Э. И. ДревнекитайскиЙ трактат «1\'\атематика в де-
вяти книrах», В сб. «Историко-математические исследования»,
вып. Х, "\. 1957, 427 584.
15. Б е рез к н н а Э. l'I. О математическом трактате Сунь цзы, В сб.
«Иrторико математические исследования». НblП. XI 1 1. М., 1960,
219 230.
16. Б и р у н и. Индия, Пер. и прим. Ю. Н. 3авадовскоrо и А. Б. Хали-
лова, Избранные произведения, т. 11, Ташкент, 1963.
203
17. Б и р у Jl И. КВИI а об ИНДИЙСКИХ раllJиках, Ilep. и прим. Б. А. }.Jозен-
фельда. В сб. «Из истории науки и техники в странах Востока»,
вып. 111, Л\., 1963, 148 163.
18. Б о б ы н и н В. В. Периоды, Направления llIКОЛЫ в развитии наук
математиче ких, М.. 1887
19. Б а б ы н и н В. В. Очерки истuрии раЗВИТlIЯ математических наук
на Западе, М., ] 896.
20. Бобынин В. В. Отзыв о сочинениях Н. И. Бубнова, Спб., 1911
21. Б о е в r. П. О происхождении и эволюции наших цифр, Уч. зап.
CapaToBCKoro rосуниверситета. вып. meX.-мат. наук, т. 70, 196].
5 9.
22. Б у б н о в Н. .М. Происхождение и история наших цифр, naJIeOrpa-
фичеСI{ая поп ытка, К нев. 1 O
23. Б У б н о в Н. 1\\. Арифметическая самостоятельность европейской
культуры, Киев, 1908.
24. Б У б н о в Н. 1\\. Подлинное сочинение rерберта об абаке или систе-
ма элементарной арифметики классической древности, Киев, 1911.
25. Б у б н о в Н. М. Абак и Боэций. ЛотаринrскиЙ научный подлоr XI в.,
Петроrрад, 1915.
26. Б У б н о в Н. М. Забытая арифметика классической древности. Древ-
ний абак КО"lыбель современноЙ арифметики. 11СС.1едования по
истории науки в Европе, т. 5, вып. 2, Киев, 1916.
27. Б У р б а к и Н. Очерки по истории математики, Пер. с франц.
И. r Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова, М., 1963.
28. В а н Д е р В а р Д е н Б. Л. Пробуждающаяся наука. .N\атематика
Древнеrо Еrипта, Вавилона и rреции, Пер. и. Н. Веселовскоrо,
М., 1959.
29. В а с и л ь е в А. В. Целое число, Петроrрад, 1922.
30. В а щ е н к о З а х а р ч е н к о М. Е. Начала Евклида с пояснитель-
ным введением и толкованием, Киев, 1880.
31. В а щ е н к о З а х а р ч е н к о М. Е. История математики, Киев, 1883.
32. В е с е л о в с к и й И. Н. Еrипетская наука и rреция, Тр. Ин та исто
рии естеств., т. 11. 1948, 426 498.
33. В е с е .п о в с к и й И. Н. Вавилонская математика, Тр. Ин та исто
рии естеств. и техники АН СССР, т. 5, 19.55.
34. В е с е л о в с к и й И. Н. Архимед, М., 1957.
35. В е с е л о в с к и й И. Н. Способы записи чисел и вычислений в
древнеrреческой математике, В КН. «Архимед, Сочинения», М., 1962,
625 628.
36. В и л е й т н е р r Хрестоматия по истории математики, М. Л., 1935.
37 В о Р о б ь е в Н. Н. Числа Фибоначчи, М., ] 964.
38. Всеобщая история, Т. 111, М., 1957; Т. IV, М., ]958.
39. В ы r о Д с к и й М. Я. Алrебра и арифметика в древнем мире,
2 e из,.].., М., 1967
40. В ы r о Д с к и й 1\\. я. «Начала» Евклида, В сб. «Историко матема
тические исследования», вып. 1, М. Л. 1949, 217 295.
41. В ы r о Д с к и й М. Я. Происхождение «правила двух ложных по
ложений», В сб. «Историка-математические исследования», вып. XIII,
М., 1960, 231 253.
42. r е й б е р r J,-I. Л. Естествознание JI математика в К.lзссическоii
древности, Пер. С. П. Кондратьева под ред. и с предисл. А. П. Юш-
кевича, М. Л., 1936.
43. r н е Д е н к о Б. В. Очерки по истории математики в России, М. Л.,
1946.
44. r н е Д е н к о Б. В. П о r р е б ы с с к и й И. Б. Об истории матс-
матики и ее значении для математики и друrих наук,В сб. «Исто-
рико математические исследования», вып. XI, М., 1 58, 441 460.
204
4.'). r н е Д е н к о Б. В. О некоторых задачах истории математики, В сб.
«Историко мате!\[атические исследования», АЫП. XI, М., 1958, 47 62.
46. r н е Д е н к о Б. В.. П о r р е б ы с с к и Й 11. Б., Ш т о к а л о И. 3.,
Ю ш к е в и ч А. П. О проблемах истории математики в России и в
СССР и о работах в этой области за 1956 1961 rr., В сб. «Истори
ко математические ИССOllедования», вып. Х\Т. 1\\.. 1963, 11 36.
47. r н е Д е н к о Б. В., Рыб н и к о в К. А., С и м о н о в Н. и. Про.
блемы истории математики HOBoro времени, В с6. «Историко мате-
матические исследования», вып. XV, М., 1963, 73 98.
48. r н е.д. е н к о Б. В. Роль истории физико-математических наук в раз-
витии современной науки, В сб. «История и методолоrия естествен-
ных наук», вып. V, М., 1966, 5 14.
49. r р и r о р ь я н А. Т., 3 у б о в В. П. Очерки развития основных
понятий механики, М., 1962.
50. Д е к а р т Р. rеометрия, Со вступит. ст. А. П. Юшкевича «Декарт
И математика», М. Л., 1938.
51. Д е к а Pl т Р. Рассуждение о методе с приложениями: Диоптрика,
Метеоры, rеометрия; Ред., пер. ст. н KO:\1!\lel-l1. r [' С.пюсаревCl
и А. П. Юшкевича, N\., 1953.
52. Д е п м а н и. я. reopr Петр Домкино (О первом издании «Начал»
Евклида на русском языке), Тр. Ин-та истории естеств. т. 11..
1948, 573 574.
53. Д е п м а н И. Я. История арифметики, М., 1959.
54. Е в к л и д. Начала, Пер. и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовскоrо,
пр,и ред. участии М. Я. Выrодскоrо и и. Н. Веселовскоrо, l\\. Л.,
т. 1, кн. I VI, 1948; т. 11, кн. VI I X, 1949; т. 111, кн. XI XV,
1950.
55. Е r а н я н А. М. Математика в Армении с \' по VII века, В сб.
науч. трудов Арм. roc. заочноrо пед. ин-та, .N26, ч. 11, Ереван, 1967
56. 3 а б о р о в М. А. Крестовые походы, М., 1956.
57. 3 у б о в В. П. Трактат Николая Орема «О конфиrурации качеств»,
В сб. «Историко математические исследования», вып. XI, М., 1958,
601 635.
58. 3 у б о в В. П. Трактат Брадвардина «О континууме», В сб. «Исто-
рико математические исследования», вып. XII 1, М., 1960, 385----440.
59. 3 у б о в В. П. НИКОOllай Орем и ero математико астр.ономический
трактат «О соизмеримости И..1JИ несоизмеримости движений неба ,
В сб. «Историко-астрономические исследования», вып. VI, М., 1960,
301 400.
.60. 3 у б о в В. П. О некоторых математических трудах Николая Ope
ма, Тр. Ин та истории естеств. и техники, АН СССР., т. 34, 1960,
343 349 .
61. 3 у б о в В. П., Ю ш к е в и ч А. П. Рецензия на книrу «Н. Орем.
Вопросы о I'еометрни Евк..1И..1а». «Вопросы истории естеств., и
техники», ВЫП. 13, 1962, 160 162.
62. 3 У б о в В. П., Роз е н Ф е л ь Д Б. А., Ю ш к е в и ч А. П. Об пс.
СOl'Iедованиях по истории \lатематики средних веков, В с6. «Истори
ко математические исс.lедования», ВЫП. Х\Т, М., 1963, 51 72.
63. И о Р Д а н Н е м о р а р и Й. О данных чис.lах, Пер. С. Н. Шрейдера,
под ред. И. Н. Веселовскоrо, В сб. «Историко математические иссле-
дования», вып. XII, М., 1959, 559 588.
64. История отечественноЙ математики, т. 1, Ред. Штокало yI. 3., Боrо-
:lю60В А. Н.. Юшкевич А. П. и др. Киев. 1966.
'65. К а р Д а н о Д ж. О моей жизни, М., 1938.
66. К а р ы H и я 3 О В Т. Н. Астрономическая школа Улуrбека, М., 1950.
167. К о л м о r о р о в А. Н. История математики, Большая Советская
энциклопедия, т. XXVI, изд. 2, 1954.
.68. К о .ТI ь м а н Э. 11СТОРllЯ математики в древности, М., 1961.
205
69. К Р а м ар. Ф. д. Интеrрационные методы Джона Валлиса, В сб.
«Историко математические исследования», вып. XIV, М., 1961,
11 100.
70. К Р а м арФ. д. Развитие rеометрических исчислений, Автореф.
ДИсс. на соиск. уч. степени д-ра физ..мат. наук, Алма.Атз, 1966.
71. К Р а м арФ. д. От универсальной арифметики Ньютона к з.ТJrебре
кватернионов rамильтона, в сб. «Историко математические иссле
дования», вып. X\;II, М. 1966, 309 31б.
72. К э д ж о риФ. История элементарной математики с указанием на
методы преподавания, Пер. с анrл. под ред., с прим. и добав.п.
и. ю. Тимченко, Одесса, 1910; 2.е изд. Одесса, 1917.
73. Л и п ш и Ц Е. Э. Византийский ученый Лев Математик (Из истории
византийской культуры IX В.) «ВизантийскиЙ временник», т. 11 (27),
1949, 106 149.
74. М а м е д б е й л и r Д. Мухаммед Насирэддин Туси о теории na
раллельных и теории отношений, Баку, 1959.
75. М а м е Д б е й л и r. д. Основатель Мараrинской обсерватории Ha
сирэддин Туси, Баку, 1961. ,.
76. М а р к у ш е в и ч А. И. О классификации иррациональностей в кни
re Х «Начал» Евклида, В сб. «Историко-математические исследо
вания», вып. 1, М., 1948.
77. М а р к у ш е в и ч А. И. Эволюция научной книrи в Западной EB
ропе, В сб. «Пятьсот лет после rутенберrа, 1468 1968», М., 1968,
239 286.
78. М а т в и е в с к а я r п. Заметки о совершенных числах в запис
ных книжках Эйлера, Тр. Ин та истории естеств. и техники
АН СССР, т. 34, стр. 416 427.
79. 1 а т в и е в с к а я r. п. О неопубликованных рукописях Леонарда
Эйлера по диофантову анализу, В сб. «Историко-матеl\-Iатические
исследования». вып. XIII, М., 1960, 107 18б.
80. М а т в и е в с к а я r П. к истории математики Средней Азии, Таш-
кент, 1961.
81. М а т в и е в с к а я r П. К истории учения о числе на cpeДHeBe
ковом Ближнем и Среднем Востоке, В сб. «Историко-математиче-
ские исследования», вып. XVII, М., 1966, 273 280.
82. М а т в и е в с к а я r п. Учение о числе на средневековом Ближнем
и Среднем Востоке, Ташкент, 1967.
83. М а т в и е в с к а я r п. Учение о числе в средние века, Автореф.
дисс. на соиск. уч. степени д-ра физ.-мат. наук, Ташкент, 1968.
84. М е Д о в о й М. И. Об арифметическом трактате Абу л Вафы, В сб.
«Историко математические исследования», вып. XIII, 1960, 253 324.
85. М о р Д у х а й.Б о .7I т О В С К О Й Д. д. Из прошлоrо пятой книrи
«Начал» Евклида, «Математическое образование», 1916, .N2 5 8,
255 263, 277 289.
86. Не й r е б а у е р О. Лекции по истории античных математических
наук, Пер. с прим. И предисл. С. я. Лурье, М. Л., 1937.
87. :н ей r е б а у е р О. Точные науки в древности, Пер. с анrл. Е. В. rox
ман, под ред. и с предисл. А. п. Юшкевича, М., 1968.
88. Н ь ю т о н И. Всеобщая арифметика или книrа об арифметических
синтезе и анализе, Пер., СТ. и коммент. А. п. Юшкевича, М., 1948.
89. О л ь ш к и Л. История научной литературы на новых языках,
тт. I II, М. Л., 1933 1934.
90. О р е м Н и к о л а й, Трактат о конфиrурации качеств, Пер.
В. П. Зубова, В сб. «Историко математические исследования», вып.
XI, Nl., 1958, 636 731.
91. П е т р о с я н r Б. Математика в Армении в древних и средних
веках, Ереван, 1959 (на арм. ЯЗ., резюме на рус. и анrл.).
206
92. Р а и к А. Е. Десятая книrа «Начал> Евклида, В сб. «Историко-
математические исследования», вып. 1, 1948, 343 384.
93. Р а и к А. Е. Очерки по истории математики в древности, Саранск,
1967.
94. Р о 3 е н Ф е л ь Д Б. А., Ю ш к е в и ч А. п. Комментарии к TpaK
татам rиясэддина ал-Каши, В КН. ал Каши «Ключ арифметики,
Трактат об окружности», 1\1., 1956, 324 380.
95. Роз е н Ф е л ь Д Б. А. Ю ш к е в и ч А. п. Математика стран Ближ-
Hero и Среднеrо Востока в средние века, «Советское BOCTOKOBeдe
ние», 1958, NQ 3; NQ 6.
96. Роз е н Ф е л ь Д Б. А. Ю ш к е в и ч А. п. Омар Хайям, М., 1969
97. Роз е н Ф е л ь Д Б. А., К у б е с о в А. К., С о б и Р о в r с. Кто
был автором римскоrо издания «Изложения Евклида Насир ад Ди
на ат Туси»? В сб. «Вопросы истории естеств. и техники», вып. 20,
М., 1966, 51 53.
98. Роз е н Ф е л ь д Б. А., К арп о в а л. М. Книrа Абу л Хасана
Сабита ибн Корры ас Саби о составлении отношений (пер., ком-
мент. и вступит. ст.), В сб. «История физико математических наук
в стр.анах Востока», вып. 1, 1966, 5 41.
99. Рыб н и к о в К. А. Русские издания «Начал» Евклида, « ' спехи
математичес их наук», вып. 9, 1941, 318 321.
100. Рыб н и к о в К. А. История математики, т. 1, J\tl., 1960; т. 11, М.,
1963.
101. С т рой к д. я. Краткий очерк истории математики, 2 e изд., Пер.
с нем. изд. и доп. И. Б. Поrребысскоrо, М., 1969.
102. Ф е т т ер r. Краткий обзор развития математики в чешских зем-
лях до Белоrорской битвы, В сб. «Историко-математические ис-
следования», вып. XI, М., 1958, 461 514.
103. Ф е т т е р r Краткий обзор развития математики в чешских землях
от Белоrорской битвы до конца XVII в., В сб. «Историко матема-
тические исследования», вып. XIV, М., 1961, 491 516.
104. Фри б У с Е. А. Развитие математики в rермании XVI в. в трудах
reoMeTpa А. Дюрера и алrебраиста М. Штифеля, Автореф. дисс.
на СО ИСК. уч. степени Канд. физ.-мат. наук, М., 1969.
105. Хай й а м О м а р. Математические трактаты, Пер. Б. А. Розен-
фельда с пршм. Б. А. Розенфельда и А. п. Юшкевича, В сб. «Исто-
рико математические исследования», М., 1953, вып. VI, 11 72.
106. А л ь X о р е 3 м и М у х а м м а д. Математические трактаты, Пер.
Ю. Х. Копелевич и Б. А. Розенфельда, коммент. Б. А. Розенфель-
да, Ташкент, 1964.
107. Ц е й т е н r История математики в древности и в средние века,
Пер. с франц. изд. П. с. Юшкевича, предисл. М. я. Выrодскоrо,
М. Л., 1932.
108. Ц е й т е н r. История математики в XVI и XVII веках, Пер. с нем.
п. Новикова, обработка, прим. и предисл. М. я. Выrодскоrо, М. Л,.
1936; 2 e изд. М. Л., 1938.
109. Ч е р,к а л о в а Л. И. Формирование понятия действительноrо по-
oI10жительноrо числа в XVI XVI 1 вв., Автореф. дисс. на соиск. уч.
степени канд. физ.-мат. наук, М., 1965.
110. Ш а л ь М. Исторический обзор происхождения и развития reoMeT-
рических методов, т. 1 2 (Пер. с франц.), М. 1883.
111. Ш е р е м е т ь е в с к и й В. п. Очерки по истории математики, М.,
1940.
112. Ш рей Д е р С. Н. Начала западноевропейскоЙ а"lrебры в сочинении
Иор.дана Неморария «О данных числах», В сб. «Историко-матема-
тические исследования», вып. XII, М., 1959, 679 688.
113. Ш т о ,,1 Ь U О. Величины и числа, Пер. с нем., «lvlатематическое
образование», 1914, NQ 1, 43 48, NQ 2, 98 102; Ng 3, 136 146.
207
114. Щ е r л о в В. П. Самаркандская обсерваТОРИп У.пуrбека, «Земля
и Вселенная», 1967, NQ 4, 62 б8.
115. Щ е r.п о в В. П. ЯН rевелии, Ат.пас звездноrо неба, Встул. статья.
т ашкент, 1968.
116. Ю ш к е в и ч А. П. Декарт и математика, В кн. «Декарт. reoMeT-
рия», М., 1938.
117 Ю ш к е в и ч А. п. О «Всеобщей арифметике» И. Ньютона, В ки.
«Ньютон, Всеобщая арифметика», М., 1948, 347 391.
118. Ю ш к е в и ч А. П. О первом русском издании трудов ЭВКЛlfда и
Архимеда, Тр. Ин-та истор.ии естеств. АН СССР, т. II, 1948, 566
572.
119. Ю ш к е в lf ч А. П. Омар Хайям и ero «аЛlебра», Тр. Ин-та истории
естеств. АН СССР, Т. 11, 1948, 499 534.
120. Ю ш к е в и ч А. П., О «rеометрии» Декарта, В КН. «Декарт, Рассуж-
дев не о методе», .М. 195Э, 524 559.
121. Ю ш к е в и ч А. П. Арифметический трактат Мухаммеда бен N1yca
ал Хорезми, Тр. 11H Ta истории естеств. и техники АН СССР, т. 1,
1\1., 1954, 85 127.
122. Ю ш к е в If ч А. П., Роз е н Ф е л ь Д Б. А. Математика в странах
Востока в средние века, ,В сб. ... 11з истории науки и техники в странах
Востока», вып. 1, 1960, 349 421.
123. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в ср.едние века, М., 1961.
124. Ю ш к е в и ч А. П. О развитии понятия функции, В сб. «Историко-
математические исследования», ВЫП. XVII, М., 1966, 123 150.
125. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России, М., 1968.
126. Ю ш к е в и ч А. П. Исследования по истории математики в странах
Востока в средние веКа. Итоrи и перспективы, В сб. «Физико мате
матические науки в странах Востока», ВЫП. 1 I (V), Л\., 1969,
5 17.
127 А Ь К 111 i 1. The «Algebra» af Ab u I (CJ nlil, kitIi'b iТ al jabr 'va'l nlU.
qabala in а commentary Ьу Mordecai Finzi, Hebrew text, translation,
and commentary with special reference to the Arabic text Martin
Levey, Madison, Milvaukee and London, 1966.
128. А g о s t i n i А. 11 «Dе \'iribus quantitatis» di Luca Pacioli, Bologna,
1924.
129. /\ 1 с u i n i opera omnia, ed. J F N\igne, Paris, 1851.
130. А 1 Ь е r t u s d е S а хоп i а. Tractatus proportionum, Venetia, 1496.
131. А m о d е о F 11 trattato delle coniche di Francesco Maurolico, Bibl.
math., F. 3, Bd IX, 1908/1909, 123 138.
132. А n а s t о s М. \' The history af Byzantine science. Report оп the
Dumbarton Oaks SYlnposium of 1961, Dumbarton Oaks Р apers, 1962,
409 411.
133. А r r i g h i G. La Пlаtеmаtiс in Italia durапtе il nledio e'/o, Actes du
XI Congr. Intel'n. d'Hist. des sci.. t. 111, Ossolineum, 1968. 185 188
134. В е с k е r о. Eudoxos-Studien, 1. Eine yoreudoxische Proportionenlehre
und ihre Spuren bei Aristoteles und Euklid, Quel1en и. Stud. zur
Gesch. d. Math., Astron. и. Phys., АЫ. В, Bd 11, Berlin, 1932.
135. В е с k е r о. Eudoxos-Studien, IП. Die Lehre VOnJ Geraden und Unge-
raden im neunten Buch der Euklidischen Elemente, Quellen и. Stud.
zur Gesch. d. Math., Astron. и. Phys., Bd 111, Berlin, 1936.
136. В е с k е r О. Das mathematische Denken der Antike, Freiburg Miin
chen, 1954.
137. В е d а е V е n е r а Ь i 1 i s opera omnia, ed. J. А. Gilles, London,
1843 1844.
138. В е r 1 е t В. Adam Riese, sein Leben, seine Rechenbiicher und seine
Art zu rechnen, Die Coss ,"оп Adam Riese, Leipzig, 1892.
139. В е s t h о r n R. О. Ueber den Commentar des Simrlicit1s zu den Ele-
menta, Bibl. math., F. 2, Hcl 6, 1892, 65 66.
208
l O. Веsthоrп . О., Heibet-g J. L. Codex teidensis'399, .1, ЕисН-
dis еlеmепtа il1terprefatione al-Hads hdschadsc ii cUm соmmеп-
tariis al N()irizii, Arabice et latine ed., I. III, Ha\'nlae, 1893 1910.
141. В j б r n Ь о А. А. Recension: М. Curtze, Anaritii iп decem libros prio-
res ElementOrtlln Euclidis, Bibl math., F. 3, Bd. 11, 1901, 363 366.
142. В j б r n Ь о А. А. Studien uber Мепеlаоs Spharik, Abhandl. zur Gesch.
d. math. Wiss.. Н. XIV, 1902.
143. В j б r n 1J о А. А. Uber zwei mathem.atische Handschriften aus dem
viеrzеhпtеп JatHhL1ndert, Bibl. math., F. 3, Bd 111, 1902.
144. В j б r n Ь о А. А. I--Iernlannus Dalmata als Obe.rsetzer astronomischer
Arbeiten, BibI. math., F. 3, Bd 1\', 1903, 130 133.
145. В j б r n Ь о А. А. Die mathematischen S. Маrсоhапdsсhriftеп in Flo-
renz, Bibl. math., F 3, Bd IV, 1903, 238 245.
146. В j б r n Ь о А. А. Gerhard von Cremonas Obersetzung von Alkwarizmis
AIgebra und von Euklids Elementen, BibI. math., F 3, Bd VI, 1905,
239 248.
147 В j б r n Ь о А. А. Die mittelalterJichen lateinischen Obersetzungen aus
dem Griechischen auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaf-
ten, Archiv fur d. Gesch. d. Naturwiss. и. d. Тесhпik, Bd 1, 1909,
385 394.
148. В j б r n Ь о А. А. Thabits Werk i.iber den Тrапsvеrsа lensatz (liber de
figura sectore), mit Bemerkungen von Н. Suter, hrsg. und erganzt
von Н. Bi.irger und К. Kohl, Abhandl. zur Gesch. d. N aturwiss. и. d.
Med., Н. 7. Erlangen, 1924.
149. В 1 а s с h k е W., S с h орр е G. Regiomontanus: СоmПlепsurаtоr,
Abhandl. math. naturwiss. KI. Ak. Wiss. и. Litel"atL1r, 1956, Nr. 7.
150. В 1 i е т е t z r i е d е r F. Adelard von Bath, Мuпсllеп, 1935.
151. В о е t h i и s. De institut'ione arithnJetica, At1gsbtIrg, ed. Е. Ratdolt,
1488.
152. В о m Ь е 11 i R. L'Algebra, Bologna, 1579.
153. В о n с о т р а g n i В. Delle versioni fatte da Рlаtопе Tiburino tradut-
tore del secolo duodecimo, Atti dell' Accad. POlltif. dei Lincei, t. IV,
1851, 249 286.
154. В о n с о m р а g n i В. Della vita е delle opere di Gherardo Cremone-
se, Roma, 1851.
155. В о n с о m р а g n i В. Trattati d'aritmetica J)ublicati de Baldassar
Boncompagni 1. Algorithmi de numero indororh, 11 Joanni Hispalen-
sis liber algorismi de pratica arislnetrice, Roma, 1857.
156. В о n с о т р а g n i В. Intorno аl comento di Procli sul primo libro
degli elemel1ti di Euclide, Bull. di bibl. е di storia delle sci. mat. е fis.,
t. VII, Roma, 1874, 152 165.
157 В о n с о m р а g n i В. Intorno ad ип trattato d'aritmetica di Giovanni
Widmann di Eger, ВиН. di bibI. е di storia delle sci. mat. е fis., t. XIV,
Roma, 1876, 188 210.
158. В о n с о m р а g n i В. Intorno ad ипо scritto inedito di Adelardo di
Bath intitolato «Regule Abaci», BuIl. di bibl. е di storia delle sci.
mat. е. fis., t. XIV, Roma, 1881, 1 134.
159. [В о r е 11 i А.]. Euclidis restitutus а Jo. Alp}10n. BoreIlio neapolitanu
Editio tertia denuo limata, Roma, 1679.
160. В о r t о 1 о t t i Е. La trisezione dell'angol0 ed il caso irreducibile
della equazione cubica пеН' «AIgebra» di Raf аеl BOlnbelli, Rendicon-
to delle Sessioni della R. Accad delle Sci. dell'Instituto di Bologna,
1922 ] 923.
161. В о r t о 1 о t t i Е. L'AIgebra, Opera di Rafael BombelIi, Cittadino Во-
10gnese, Archiv ftir d. Gesch. d. Math., d. Naturwiss. и. d. Technik,
Bd 11, 1929, Н. 4, 407 422.
162. В о r t о 1 о t t i Е. L'algebra nella storia е neIla preistoria deIla scien-
ze, Osiris, vol. 1, 1936, 184 230.
14 113
209
163. В о r t о 1 о t t i Е. L'At"ebra, Qpera di Raf8el BOlnbelli da t301ogna.
Libri IV е \' comprenentti «La ?arte Geometrica» inedita tratta da I
man05critto В. 1569 del1a Biblioteca dcll' Archiginnasio di Bologna,
Соllеziоле per lа storia е lа filosoiia delle matematiche, N2 7, Во-
10gna, 1929.
164. Б о r t о 1 о t t i Е. Le storia della nlatematica nella Universita di Во..
10gna, Bologna, 1947.
165. В о s m а n s 11. Hermann lе Dallllate, traducteur des traitcs arabes.
Revlle des questions sci. publiee par Ia Soc. Sci. de Bruxelles, 63,
1904, 669 672.
166. В о s m а n s 11. Le cOnlmentaire de Gemma Frisius sur l' Arithmetica
integra de Stifel, Ann. de la Soc. Sci. de Bruxelles, 30 1, 1905,
165 168.
167. В о s m а n s Н. Le fragment du commentaire d'Adrien Romain sur
l'Algebre de Mahumed Ьеп Миэа el-Chowareznli, Апп. de lа Soc. Sci.
de Bruxelles, 30 : 2, 1906, 267 287.
168. В о s m а л s Н. Le «Ое arte nlagna» de (Juillaum Gosselin, Bibl. math.,
F. 3, Bd 7, 1906, 44 56.
169. В о s m а n s Н. Kleine Bemerkungel1 zur 2. Auflage von Cantors
«Vоrlеsuлgеп», Bibl. math., F 3, Bd VII, 1906/1907,214.
170. В о s m а n s Н. Analyse des notes que Gemma Frisius а ecrits sur les
marges de son exemplaire de l' Arithmetica integra de Stifel, Апл. de
la Soc. Sci. de Bruxelles, 30 1, 1906.
171. В о s m а л s н. L'Algebre de JaqtJes Peletier du Малs departie еп
deux livres, Reyue des qHestions sci. рныiеe par lа Soc. Sci. de Bru.
xelles. 11з, 1907, 117 173.
172. В о s m а л s Н. Particularitrs de lа 'iie de Gregoire de st. Vincent,
Алл. de lа Soc. Sci. de Bruxelles, 34: 1, 1909/1910, 174.
173. В о s m а л s Н. Notes sur l'Arithmetique de Silnon Stevin, Ano. de 1з
Soc. Sci. de Bruxelles, 35, 1910/1911, 293 304.
174. В о s m а л s Н. Andre Tacquet (S. J.) et 50П traite d'«Arithmetique
theoretique et pratique», Isis, IX, 1927, No. 1, 66 82.
175. В о у е r с. В. Рrороrtiол, equation, function: three steps in the deve-
10pment of а солсерt, Scripta math., vol. 12, 1946, No. 1, 13.
176. В r а u n m i.i h 1 А. N assir Еddiл Tusi und Rеgiоmоntал, АЬhалdl. d.
Leop.-Carol. Akad. d. Naturwiss., Bd 71, 1898, 33 67.
177. В r а u л m i.i h 1 А. V оrlеsuпgел i.iber die Geschichte der Trigonometrie,
Bd 1 2, Leipzig, 1900.
178. В r а u n m i.i h 1 А. Die Entwickel ung der Zeichen- und Formelsprache
in der Trigonometrie, В ibl. math., F. 3, Bd 1, 1900, 64........74.
179. В r е t s с h n е i d е r с. G. (ed.). Corpus Reformatorum, XI, 1840,
531 544.
180. В u s а r d Н. L. L. (ed.). N. Oresme, Questiones super geometri3m
Е uclidis, Leiden, 1961.
181. В u s а r d Н. L. L. Ober einige Papiere аиэ Vietas NachI8 in der
Pariser Bibliotheque Nationale, Centaurus, "'01. 10, 1964, No. 2,
65 126.
182. В u s а r d Н. L. L. Die Obersetzung der Elemente Euclids durcb Her-
mапл von Karnten, Sympos. «Die 1\lath matik in den Lалdеrп des
Оstелs im Mittelalter»" Abstracts. lV\oskau. 1966, 5.
183. В u s а r d Н. L. L. The translation of the Еlеmелts of Euclid from
the Ar3bic into Latin Ьу H rm8nn of Carinthia, Leiden, 1968.
184. С а j о r i F. Robert Record, The math. Teacher, vol. 15, 1922, No. 4-----5,
294 302.
1 С а j о r j F. Notes оп Luca Pacioli's «Summa», Arch. di storia d. sci.
елzа, t. 5, 1924, 12 130.
186. The Cambridge medieval history, vol. IV (ТЬе Еаstеrл Roman Empi.
re, 717---1453), Cambridge, 1923.
210
t 87. С а n t о r М. Petrus Ramus, l\1khael Stifel, Hieronymus Cardanus,
drel mathematische Charakterbilder aus dem 16. Jahrhulldert, Zeitschr.
filr Math. и. Phys., Bd 2, 1857, 353 376.
188. С а n t о r М. Ramus im Heidelberg, Zeitschr. rur Math. и. Phys., Bd 3,
1858, 133 143.
189. С а n t о r М. Die romischen Agrimensoren und ihre Stellung in der
Geschichte der Feldmessel1kunst, 1875.
190. С а n t о r N\. Ober einen Codex des Klosters Salelll, Zeitschr. fiir Math.
u. Phys., Bd 10, 1865.
191. С а n t о r Лt\. Rezension: Н. \\.Teissenborn, Die Obersetzungen des
Euklid durch Сатрапа und Zamberti, Zeitschr. fiir Math. и. Phys.
Bd 27, 1882, hist. }jt. АЫ., 110 i 11.
] 92. С а n t о r М. \Torlesungen uber Geschichte der Mathematik, Bd I II,
Aufl. 3, Leipzig, 1900 1907.
193. С а n t о r М. Ahmed und sein Buch uber die Proportionen, BibI. math.,
F 2, Bd 2, 1888, 7 9.
194. [С а r d а по.]. 11iеrопiПli С. Cardani medici mediolanensis practica
Arithmeticae, et Mensurandi singularis, 1539.
195. [С а r d а n о.]. rlieronjmy Cardal1i Artis l\1agnae sive de Regulis algeb-
raicis, lib. unus..., 1545.
196. [С а r d а по.]. Hieronimi Car(Jani opus novum de proportionibus, Ба-
sileae, 1545.
197 С а r т о d у Т. J. Rеgiоmопtапus' notes оп al Bitruji's, Isis, vol. 42,
р а rt 2, 1951.
198. [С а s s i о d о r u s]. l\1agni Aure1ii Cassiodori senatoris, v. с. variarum
1ibri XII, Parisiis, 1589.
199. С h а s 1 е s М. Rapport sur иl1 Memoire de 1\\. F. W oepcke, intitule:
Essai d'une restitution des trа\'зuх perdus d'ApolIonius sur les quan-
tites irrationnelles, Comptes rendus de l' Acad. de Sci., t. 37, Paris,
1853, 533 568.
200. С h r i s t е n s е n S. А. Ueber Gleichungen vierten Grades im zehnten
Buch der Elemente Euclid's, Zeitschr. fiir Math. и. Phys., Bd 34,
1889, hist. lit. АЫ., 201 217.
201. С 1 а g е t t А\. ТЬе meJieval latin transfatiol1s from the arabic of the
Elements of Euclid with special emphasis оп the versions of Adelard
of Bath, Isis, "01. 44, 1953, 16 42.
02. С 1 а g е t t М. N icole Oresme al1d medieval sciel1tific tl1ought, Proc.
Amer. philos. Soc., vol. 108, 1964, No. 4, 298 309.
203. С I а g е t t М. The scince of nlecl1anics in the Middle Ages, Madison,
Wisсопsiп, London, 1959.
204. С 1 а r k е F. 1\\. Ne\'v' light оп Hobert Recordc, Isis, vol. VIII, 1926,
50 70.
205. [С 1 а v i u s]. AIgebra Christopll0ri Clavii Bal11bergensis е Societate
Jesu, Aurelianae Allobrogull1, 1609.
206. С r е w Н. The photismi de lumine ос Maurolycus, N. У., 1940.
207. С r о т Ь i е А. С. Augustine to Galileo. The history of science а. о.
400 1650, London, 1952.
208. С r о т Ь i е 1\. С. (ed.). Scientific c lange, London, 1963.
209. С r о s Ь у Н. L. Thomas of Bradwardine. I--lis Tractatus de proportio-
nibus. Its significance for the development of mathematical physics.
Л1аdisоп, 1955.
210. С u r t z е М. Der AIgorismus Proportionum des Nicolaus Oresme zum
ersten Male nach der Lesart der Handschrift R. 40 2 der Gymnas.-
BibIiothek zu Thorn hetausgegeben, Ber1in, 1868.
211. С u r t z е 1\\. Ober eine Handschrift der Konigl. Bibliothek zu Dres-
den, Zeitshr. fur Math. und Phys. Bd 28, 1883, hist-Iit. Abt.,
1 13.
212. С u r t z е М. Jordani Nemorarii Geometria vel de Triangulis Libri 4,
Mitteil. des Сорретп icus Vereins., Thorn, 6. 1887.
'l11
213. С u r t z е М. Commentar zu dem «Tractatus de nUnleris datis» des Jor-
danus Nemorarius, Zeitschr. fur Math. u. Phys., Bd 36, 1891.
214. С u r t z е М. Mathe111atisch-Geschichtliclles allS dem Codex tatinus
Monacensis No. 14908, Archiv d. lVlath. u. Phys., Bd 13, Н. 4,
1894/ 1895, 388 406.
215. С u r t z е М. Ein Beitrag zur Geschichte der АlgеЬrа in Oeutschland
irn ХУ Jhr., Abhandl. ztlr Gesch. d. math. \Viss. Н. 7, 1895.
31 74.
216. С u r t z е Л1. Miscellen zur Geschichte der Mathematik in 14. und 15.
Jahrhundert, Bibl. math., F. 2, Bd 9, 1895, 1 8.
217. С u r t z е М. Z ur Geschichte der Obersetzungen der Elementa im
Mittelalter, BibI. math., F. 2, Bd 10, 1896, 1 3.
218. С u r t z е М. Petri Philomeni de Dacja in Algorismus vulgarem Joan-
nis de Sacrobosco commentarius, Havniae, 1897.
219. С u r t z е М. Oie Quadratwurzel formel des Heron bei den Arabern und
bei Regiomontan und damit Zusammenhangendes, Zeitschr. fiir Math.
u. Phys., Bd 42, 1897, hist.-lit. АЫ., 145 152.
220. С u r t z е М. Ober eine Algorismus-Schrift des XII. Jahrhunderts,
Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss., Н. VIII, 1898, 17 27.
221. С u r t z е М. Anaritii in' decem litJros priores commentarii ех interpre-
tatiolle Gherardi Cremonensis in codice Cracoviensi 1569 servata
(Euclides opera omnia, ed. Heiberg J. L., Supplementum), Lipsiae,
1899.
222. С u r t z е М. Die Algebra des Initius Algebras ad Ilem Geometram
magistrum suum, Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss., Leipzig, Н. XI,
437 609.
223. С u r t z е М. Oer «Liber embadorum» des Savasorda in der Oberset-
zung des Plato van Tivoli, Abhandl. zur Gesc11. d. math. Wiss., 1-1. XII,
Leipzig, 1902.
224. С u r t z е 1\1. Der Briefwechsel Regiomontan's mit Giovanni Bianchini,
J асоЬ von Speir und Christian Roder, Abhandl. zur Gesch. d. math.
Wiss., Н. XII, Leipzig, 1902, 185 336.
225. О е n i f 1 е 1 f. Die Entstehung der U niversitaten des Mittelalters bis
1400, Berlin, 1885; 2, АиН., Graz, 1956.
226. О е u Ь n е r F. ...Nach Adam Ries. Leben und Wirken des gro en
RecheJ1meisters, Leipzig Jena, 1959..
227. D е р а u R. Simon Stevin, Bruxelles, 1942.
228. 00 ' Е 1 i а Р. М. Galileo in China, Cambridge, Massachusetts, 1960.
229. D i е r с k s S. Die Araber in Mittelalter und ihr Einfl uss auf die Kul-
tur Europas, Leipzig, 1882.
230. D i о Р h а n t i А 1 е х а n d r i n i Rerum arithmeticorum libri sex.
А Guil. Xylandro Augustano incredibili labore latine redditum, Bas-
lae, 1575.
231. О i о Р h а n t е d' А 1 е х а n d r i е. Les six 1ivres arithmetiques et la
1ivre qes nombres polygones, ed. Р. v" er Eecke, Bruges, 1928.
232. D' О о g е М. L. Nicomachus of Gerasa, Introduction to arithmetic.
Transl. into english, with studies in Greek arithmetic Ьу Е. S. Rob-
bins and L. С. Karpinski, Апп. Arbor, 1938.
233. D u h е т Р. Sur l'Algorithmus demonstratus, Bibl. math., F. 3, Bd VI,
1905, 9 15.
234. Е n е s t r б 111 G. Anfrage 47, BibI. math., F. 2, Bd 8, 1894, 96.
235.. Е n е s t r б m G. Sur l'origine du terme «Surdus» (incornmensurable),
Bi l. math., F. З, Bd 17 1900, 516.
236. Е n е s t r б т а. Ober den V erf asser ei ner von Cur,tze (1898) heraus-
gegebenen AIgorismus-Sсhrift aus dеЦ1 12. Jahrhundert, BibI. math.,
F 3, В d 11, 19q 1, 312. .
237 Е 11 е s t t б т а. Kleine Bemerkungen zur 2. Aufl'age von СапtОJ'S
«Yorl sun.gen . BibI. math., f. 3, Bd I X.IV. 1900......1914.
\2
238. Е n е s t r о m а. S1.tr l at c\)re de Robert Recorcte, Bibl. math. F' 3,
Bd 11, 1901, 152.
239. Е" е s t r б 'п G. HermallnUS sectlndtls (Oa1111ata), I3ibl. math. r
Bd 111, 1902, 410 411.
240. Е n е s t r б m G. Ein verscll01lener detltschc." Cossist aus dem Anf ange
des sechzehnten Jahrhun(lerts, Ril)l. math., 1.:' 3, Bd 111, 1902, 355 360.
241. Е n е s t r б rn G. 1 st Johanl1es Widl11al1 V erf asser der «Dresdener Al
gebra?», Bibl. math., J; 3, Bd I\r, lН03, 90.
242. Е n е s t r б П1 G. Ol)er (Ien detltschen Л\аtllеlnаtikеr Лпdl"еаs Alexan
der, Bibl. math., F. 3, В(} I\ , 1903, 290 291.
243. Е" е s t r б m G. 1st Jord anlls NCI110rari us V erf asser der Scl1rift «АI
gorithmus demonstratt1s»?, Bitэl. matl)., F 3, Bd \i, 1904, 9 14.
244. Е" е s t r о m G. \Voher hat Leon(JHio PisallO seine Kenntnisse (tCl"
Elementa des Euklides епtпоml11еп?, Bibl. math. f 3, Bd \', 1904,
414 415.
245. Е n е s t r б m G. Ei" "eues litcrarisches Iiilfsmittel zur Verbreitun
mathematisch-historischer Kenntnisse, Bibl. lnath., F 3, Bd У, 1904.
404 40f).
246. Е" е s t r б m G. Vber zwei altere Benennungen der fi.il1ften Potenz
ei"er Grosse, Bibl. math., F. 3, Bd \'1, 1905, 324 325.
247. Е" е s t r б m G. Woher habe" Leonardo Pisano und Jordanus Nel11o
rarius ihre Lбsu"gе" des Problems der Wurfelverdoppelung entnom
те"?, Bibl. math., F 3, Bd VI, 1905, 214 215.
248. Е" е s t r б m G. Bemerku"g i.iber zwei altere Benel1nungen der fi.inf
te" Pote"z ei"er Grбssе, Bibl. math., F. 3, Bd VI, 1905, 410.
249. Е n е s t r б m G. Vber die Entdecku"g des Zusammenhanges zwischen
de" Wurzel" ei"er Gleichu"g und der Gleichungsko"stante, Bibl.
math., F. 3, Bd VI, 1905, 409 41 О.
250. Е" е s t r о m G. Ober den Bearbeiter oder Obersetzer des уоп Воп
compag"i herausgegebene Liber algorismi de practica al"ismetrice,
Bibl. math., F. 3, Bd VI, 1905, 114.
251. Е" е s t r о m G. Hat Tartaglia "eine Lбsuпg der kubischen Gleichung
уоп Del Ferro e"tlehnt?, Bibl. math. F 3, Bd VII, 1906/1907,
38 43.
252. Е" е s t r б m G. Ober die Anfange der Benutzung \'оп Null als ei"e
wirkliche Grosse, Bibl. math., F 3, Bd VII, 1906п907, 309.
253. Е" е s t r о m G. Ober zwei a"gebliclle mathematische Schulen iln
christliche" Mittelalter, Bibl. math., F. 3, Bd \'11, 1906/ 1907, 252 262.
254. Е" е s t r о m G. Ober die «Demo"stratio Jordani dc algorismc»,
Bibl. math., F. 3, Bd VII, 1906/1907, 24 37
255. Е" е s t r о m G. Ober ei"e dem Jordantls Nemorarius zugeschriebcnp
kurze Algorismusschrift, Bibl. math., r 3, Bd VIII, 1907/1908,
135 153.
256. Е" е s t r о m G. Vber eine im Mittelalt r i.ibersetzte ara bische Schrift
algebraische" I"halts, Bibl. math., F. 3, Bd \!III, 1907/1908, 416.
257. Е" е s t r.o m G. Ober die «Arithmetica» des Jordanus NemorariLJs,
Bibl. math., F. 3, Bd IX, 1909, 175.
258. Е" е s t r'б m G. Ober das angebliche Dezimalbruchzeichen einiger der
altesten gedruckte" Rechenbi.icher, Bibl. math. F 3, Bd Х, 1909/1910,
238 243"
259. Е n е s t r б П1 а. Ober die Geschkhte uer Sternvielecke im .i\1ittelalter,
Bibl. math., F. 3, Bd Х, 190Y/1910, 277
260. Е" е s t r б m G. Ober die Geschichte der ersten algebraischen Lбsuпg
der allgemeinen Gleictltlng \"icrtel1 (jra(Jes, вiыl. 111ath., F 3, В(} 11,
191,0/1911, 182 183.
261, Е" е s t r 6 In G. Uber lJrsprung еiпеr Notiz (ttlS aeln 16. Jahrlltlnttert,
betreffenp ;{lie Erfi"dung der Al (:'l)ra, Bibl. П 1 i.1th. F 3, Bd Xll,
1911/1 у 12. 1 ЕН 182.
213
262. Е n е s t r о m G. Ober den «Algorismus de integris des Meisters Ger-
nardus», Bibl. math., r.'. 3, Bd XIII, 1912/1913, 289 332.
263. Е n е s t r б m G. Ober den urspriing1ichen Titel der geometrischen
Schrift des Jordanus Nemorarius, Bibl. math., F. 3, Bd XI 1 1,
1912/1913, 83 84.
264. Е n е s t r о rn G. Uber den Algorismus de minutiis, Bibl. math., F. 3,
Bd XIV, 1914/1915.
265. Е n е s t r б m G. Das Bruchrechnung des Jordanus Nemorarius, Bibl.
math., r. 3, Bd XIV, 1914/1915, 41 54.
266. Е n е s t r о m G. Uber die Gescl1icllte der KuW.kwurzelausziehung im
Mittelalter, Bibl. math., F. 3, Bd XIV, 1914/1915, 83 4.
267. Е u с 1 i d i s Elementa geometriac cOnlment. Johannus Campanus, Er-
hard Ratdolt, Venezia, 1482.
268. Е u с 1 i d i s М е g а r е n s i s N\athematici clarissimi Elementorum
Geometricorum Libri XV. Сит expositione Theonis in priores XII а
Bartholmaeo Veneto latinitate donata, Campani in omnes, et Hypsic-
les Alexandrini in duos postremos, Basileae, 1537.
269. Е u с I i d i s еlеПlепtоrtJm geometricoruln libri sex, conversi in lati-
num sermonem а Joach. Camerario, Lipsiae, 1549.
270. [Е u с 1 i d е s}. Die Sechs Erste Bucher Euclides von anfang oder grund
der Geometrj... AlIes zu НеЬ und gebrauch den Kunstliebenden Teiit-
sche so sich der Geometrj und Rechenkunst anmassen mit vilfaltiger
muhe und arbait zum trevlichsten erarnet und in Truckh gegeben.
Durch Wilhelm Holtzman genant Xylander von Augsburg, Basel,
1562.
271. Е u с 1 i d i s М е g а r е n s е philosopho, solo introd uctore delle scien-
cie mathematice Diligentemente Rassetato, et аНа integrita ridotto,
per il degno professore di tal scientie Nicolo Tartalea Brisciano, Ve-
neti а, 1565.
272. Е u с I i d i s quindecim Elementorurn Geometriae primum: ех Theonis
COnlmentariis Grece, et Latine cui accesserunt Scho1ia, in quibus quae
ad percepienda Geometiae Elementa spectant, breviter et dilucide
explicantur, al1ctore Cunrado Dasypodio, Scholae Argentinensis pro-
f essore, 1554.
273. Е u с 1 i d i s omnes omnium 1ibrorunl propositiones, graece et latine:
edite per М. Cunradum Dasypodium, Argentinae, 1571.
274. Е u с I i d i s Elelnel1torum Libri XV, Accesit Х\ТI de Solidum Regula-
riuln сuiusliЬеt intraquodlibet comparatione... Auctore Christophoro
Clavio Baptistae Ciotti, 1591.
275. Е 11 с 1 i d i s elementorum geometricorum Libri Tredecim ех traductio-
пе doctissimi Nasiridini Tusini, Nunc primum arabice impressi, Ro-
тае, 1594.
276. Е u с I i d е s restitutus, sive prisca geometriae elementa, brevius et
facilius contexta. Alphonso Borellio in Messanensi pridem, пипе vero
in Pisana Academia Л1аthеsеоs Professore. Pisis, 1658.
277. Е u с 1 i d е s. Opera omnia, ed. J. L. Heiberg, А. Н. Menge, Lipsiae,
1888, vol. I \r.
278. F а v а r о А. Intorno ad ипа pretesa seconda edizione dell'Algebra di
Rafael Bombelli, BibI. math. F. 2, Bd 7, 1893, 15------16.
279. F а v а r о А. Di Niccolo Tartaglia е della stampa di alcune delle sun
opere сап partico)are riguardo alla «Travagliata inventione», Isis,
vol. 1, 1913, 329 340.
280. F r а t i L. Scipione del Fero, Boll. di bibliogr. е. storia d. sci. mat., 12,
1910, 1 5.
281. Freudenthal I I. Zur Geschichte der vollstandigen Induction,
Arch. 1 ntern. d 'Hist. des Sci., t. 32, 1953, No. 22, 17 37.
2Я2. F r j d 1 е i n а. Gerbert, die Geometrie (tes Boethius und die indischen
Ziffern, Erlangen, 1861.
214
283. t: r i е d 1 е i n О. Zur Geschichte ut1serer 2ahtzeichert und ut1seres lif-
fersystems, Zeitschr. fiir Matll. u. Phys., Bd 9, 1864, 73 95.
284. F r i е d 1 е i n G. Das Rechnen mit Columnen vor dеrп 10. Jahrhundert,
Zeitschr. fiir Math. и. Phys., Bd 9, 1864, 297 330; Bd 10, 1865,
241 282.
285. F r i е d 1 е i n G. Gerberts Regeln der Division, Zeitschr. fiir Math.
Phys., Bd 9, 1864, 145 171.
286. F r i е d 1 е i n а. Anicii Manlii Torquati Severini Boetii Ое institution
arithmetica libri duo, Ое il1stitutione lnusica libri quinque, Accedit
geometria quae fertur Boetii, Ех libri8 manuscriptis ed., Llpsiae, 1867
287. F ii с k J. Die arabischen Studien in Europa bis in den Anf ang des 20.
J ahrhunderts, Leipzig, 1955.
288. G а n d z S. The invention of the deci111al fraction and the application
of the exponential calculus Ьу Immanuel Bonfils of Tarascon, Isis,
vol. 25, 1936.
28!9. [G е m m а F r i 5 i u 5]. Arithmeticae practicae Methodus f acilis... per
Gemmam Frisium, Lipsiae, 1592.
290. G е r Ь е r t i postea Silvestri рарае Opera mathematica, ed. N. Bиb
nov, Berlin, 1899.
291. G е r h а r d t G. J. Das Rechenbuch des Maximus Planudes. Nach den
Handschr. d. Kgl. Bibl. zu Paris, Halle, 1865.
292. G е r h а r d t G. J. Zur Geschichte der AIgebra in Deutschland, i\\onat
sber. d. Berl. Akad., 1870, 141 153.
293. G е r h а r d t G. J. Geschichte der Mathematik in Deutschland, МПп
chen, 1877.
294. G i е 5 i n g J. Stifels Arithmetica integra, Dobeln, 1879.
295. G i r а r d А. Invention nouvelle еп l'algebre, Amsterdam, 1629.
296. G о 1 d s t е i n В. R. А treatis.e оп number theory from а tenth centl1ry
arabic source, Centaurus, \'01. 10, No. 3, 1964, 129 160.
297. G r а n t Е. Nicole Oresme алd his «Ое proportionibus proportionum»,
Isis, vol. 51, 1960.
298. G r е g о r i u 5 а S а n с t о V i n с е n t о, Opus Geometricorum quad.
raturae circuli et sectioni coni, Antverpiae, 1647.
299. G ii n t h е r S. Geschichte des mathematischen Unterrichts im deutschen
Mittelalter bis zum Jahre 1525, Berlin, 1887.
300. Н а n k е 1 Н. Zur Gescl1ichte der I\tlathematik im Altertum und lV\ittt\-
lalter, Leipzig, 1874.
301. Н а 5 k i n s Ch. Н. The Sicilian Translators of the twelfth century а:
the first latin wеrSЮI1 of PtoleJnY's Almagest, Harvard Stud. Cla..;
PhiI., 21, 1910, 75 102.
302. Н а 5 k i n 5 Ch. Н. Adelard of Bath, The el1glish hist. review, vol. 26,
1911, 491 498.
303. Н а s k i n 5 Ch. Н. Studies tlle history of nlediaeval science, Caln
bridge, 1924.
304. Н а 5 k i n s Ch. Н. Arabic sciel1ce Western Europe, Isis, vol. 7,
No. 23, 1925, 478 4В8.
305. Н а 5 k i n s Ch. Н. Studies in mediaeyal cuHure, N. У 1958.
306. Н е а t h ТЬ. L. Diophantus of Alexandria. А study in the history of
Greek algebra, Cambridge, 1885; 2 ed. 1910.
307. Н е а t h Th. L. The thirteell books of EL1clid's EIements, translated
from the text of Heiberg, with introduction and cornmentary,
vol. 1 1I 1, С ambrid ge, 19О8; 2 ed. 1926.
308. Н е а t h Th. L. А manual of Greek mathematics, Oxf ord, 1931.
309. Н е i Ь е r g J. L. Litterargeschichtliche Studien uber Euklid, Leipz.ig,
1882.
310. Н е i Ь е r g J. L. Die arabisclle Tradition der Elemente Euklid's,
Zeitschr. fiir Math. и. Phys., Bd 29, 1884, hist.-lit. Abt., 1 22.
311. Н е i Ь е r g J. L. Der byzantinische 1\1athematiker Leon, Bibl. math.,
F. 2, В d 1, 1887, 33......36.
215
31:2. Н е i Ь е r g J. L. Beitrage zur Geschichie der Л\аthеmаtik im Mitlelal-
ter, Zeitschr. fi.ir Math. и. Phys. Bd 35, hist.-lit. АЫ., 1890, 41 58,
81 1 00.
ЗI 3. }; е i Ь е r g J. L. Byzantinisclle Analekten, Abhandl. zur Gesch. d.
j\1ath. Wiss., 11. 1 Х, 1899, 161 174.
3 14. rI е 11 r у Ch., Prologus Ocreati in Helceph ad Adelardum Batensem
magistrUJl1 suum, Fr(1gment sur 1(1 multiplication et lа division,
АЬhапdl. zur Gesch. d. math. Wiss., Н. 111, 1880.
315. 11 е n r у Ch. Sur les deux plus (1nciens traites fran<;ais d'algorisme et
de gеОlпеtriе, Bu 11. di bibl. е di stor. d. sci. mat. е fis. t. XV, 1882,
49 70.
316. Н о с k С. F Gerbert oder Pabst Sylvester 11, Wien, 1837.
317. Н о f f m а n n J. Е. Das Opus geometricorum des Gregorius а S. Vin-
centio und seine Einwirkung auf Leibniz, Berlin, 1941.
318. Н о f f m а n n J. Е. Zum Gedenken ап Thomas Вrаdwаrdiпе, Centau-
rus, vol. 1, 1951, No. 4, 293 308.
319. Н о f f m а n n J. Е. Michael Stifel, 1487? 1567. Leben, Wirken und
Bedeutung fiir die Mathematik seiner Zeit, Wiesbaden, 1968.
320. Н орр е Е. Michael Stifels handschriftliche N achlass, Mitteil. d. Math.
Ges. in Hamburg, Bd 111, Н. 10, Leipzig, 19ОО, 411 423.
321. Н u n g е r Н., V о g е 1 К. Ein Byzantinisches Rechenbuch des 15.
Jahrhunderts, 100 Aufgaben aus dem Codex ViП,dоЬопепsis 'PtJil.
gr. 65. Text, Obers. u. Komment., Wien, 1963.
322. Н u n r а t h К. ZUIП Verstandnis des Wortes Algorlsmus, Bibl. math.,
F 2, В d 1, 1887, 70.
323. .J а у а w а r d е n е S. А. Recent researches оп Raf аеl Bombelli, mathe-
matician and engineer of Bologna, Sommaires XI Congr. Intern.
d'Hist. des Sci., sect. 1, 2, 3, Varsovie Cracovie, 1965, 150.
324. J о r d а n u s N е m о r а r i u s. Arithmetica, Parisiis, 1496.
325. J u n g е G., Т h о In s о n W. The commentary of Pappus оп book Х
of Euclid's Elements, Cambridge, 1930.
326. J u n g е G. Zwei wenig Ьеl<аппtе mittelalterliche Aufgaben, Zeitschr.
fiir math. и. naturwiss. Unterrichl, Jg 66, 1935, 117 119.
327. J u n g е G. Das Fragment der lateinischen Obersetzung des Pappus-
Коmmепtаrs zum 10. Buche Euklids (Nr. 7377 А, Fol. 68 70 der
Bibl. Nat. zu Paris), Quel1en и. Stud. zur Gesch. der Math. Astr. и.
Phys., Abt. В., Bd 3, Н. 1, 1936, 1 17.
328. J u s с h k е w i t s (' h А. Р., R о s е п f е 1 d В. А. Das Mathematik der
Lander des Ostens im Mittelalter, S wjetische Beitrage zur Gesch. d.
N aturwiss., hrsg. G. Harig, Berlin, 1960.
329. J u s с h k е w i t s с h А. Р. Ober ein Werk des АЬи 'Abdallah Muhammad
ibn Musa' al-НuwаrizШi al-Magu zur Arithmetik der Inder, Schrif-
v
tenreihe Gesch. der Naturwiss., Techn. und Med., Beih. 1964 (zum 60.
Geburtstag vo" G. Harig), 21 63.
330. J u s с h k е w i t s с h А. Р. Geschichte der Mathematik im Mittelalter,
Leipzig, 1964.
331. К а r р i n s k i L. С. Jordanus Nemoral'ius and John of Halifax, Amer.
math. monthly, vol. 17, 1910, 108 113.
332. К а r р i n s k i L. С. Ап Italian algebra of the fifteenth century, Bibl.
math., F. 3, Bd XI, 1910/1911, 209 219.
333. К а r р i n s k i L. С. Robert of Chester's translation of Algel)ra of Al-
Khowarizmi, Bibl. math., F. 3, Bd XI, 1910/1911, 12 131.
334. К а r р i n s k i L. С. The «Quadripartitum numerorum» of John of
Meurs, Bibl. math., F. 3, Bd XIII, 1912/1913, 99 114.
335. К а r р i n s k i L. С. The Whetstone of witte (1557), Bibl. math., F 3,
Bd XIII, 1912/1913, 223 228.
336. К а r р i п s k i L. с. Robert of Chester's lаtiп tra"slation of the Al-
gebra of AI-Khowarismi, N. У., 1915.
216
'337 К а r р i n s k i L. .С. Origines et dеvеlорреmепt de Patgebre, Scientia.
t. 26, N2 LXXX V 111=----8, 1919.
338. К а r р i п s k i L. С. ТЬе ItаIiап arithmetic of Master J асоЬ of Fl0rеп.
се, 1307, Archeion, t. 11, 1929, 170 177.
339. К а s t п е r А. G. Geschichte der Mathematik, seit der Wiederherstet-
luiig der Wissепsсhаftеп bis ап das Епdе des асhtzеhпtеп JahrhufJ-
derts, Bd I IV, Gбtfifigеп, 1796.
340. К а t z е ri е 11 е п Ь о g е ii А. Tlle representation of the seven liberat
arts, Iп: «Twelfth-cer1ttity Europe and the foundations of modern
Society», ed. М. Clagett, 19&1, 39 55.
341. К е n n е d у Е. S. А surv.ey of Islamic Аstrопоmiсаl tables, Trans.
Amer. Phylos. Soc., vol. 46, chap. 2, 1956.
342. К 1 а m r о t h М. Ueber .dep аrаЬisсhеп Euklid, Zeitschr. d. deutsch.
МоrgепНiпd. Ges., Bd 38 1881, 270 326.
343. К 1 е Ь s А. С. IпсuпаЬulа sсiепtifiса et medica, Osiris, vol. 4. 1938,
1 359.
344. К u s h у а r i Ь п L а Ь Ь а п. Principles of hiпdu rесkопiпg. А transla
tiоп with iпtrоduсtiоп апd поtеs Ьу М. Levey апd М. Petruck of the
КitаЪ fi u su l hisab аl-hiпd, ТЬе Uпivеrsitу of Wisсопsiп Press, Madi-
r sоп а. Milwaukee, 1965.
345. L а t t i n Н. Р. The letters of Gerbert, N. У., 1961.
846. [L е о п а r d о Р i s а по]. Scritti di Lеопаrdо Рisапо matematico del
secol0 decimoterzo, publicati da Baldassare Вопсоmраgпi, vol. I (Li-
ber Abbaci), 1857; vol. 11 (Practica geometriae), 1862.
347" L е о п а r d d е Р i s е. Le livre de nombres carres, ed. Р. Ver Eecke,
. Bruges, 1952.
з48. L i Ь r i G. Histoire des sсiепсеs nlathematiques еп Italie, t. I IV,
P>afis, 1838.
349. [L о 5 s i u s L.]. Arithmetices errotemata puerilia. In quibus sex species
huius utilismae artis, et Regula, quam vосапt Detri, breuiter et pers-
picue trаduпtur. Iп Gratiam et usum scholarum puerilium Lаtiпаrum
collecta et iп lисеm iam rесепs edita а Luca Lossio LuпеЬurgепsi,
Frапсоfоrdiае March., 1557.
350. М а п s i о n Р. Sur lе cOlnmel1taire d'Anaritius relatif аих еlеmепts
d'Euclide, Апп. de lа Soc. Sci. de Bruxeles, t. 24, 1900, 47 49.
351. М а r r е А. Мапiеrе de computer des апсiепs avec les doigts de5
mаiпs, d'apres uп petit роете iпеdit arabe de Сhеms-Еddiп еl Maus.
sol е le Tratado de !v\athelnaticas de Juan Perez de Моуа, ВиН. di
bibl. е di stor. d. sci. Inat. е. fis., t. 1, 1876.
352. М а r r е А. Notice sur Nicolas Chuquet et son Triparty еп lа science
des nombres, ВиН. di bibl. е di storia d. sci. lnat. е. fis., t. XIII, 1880,
555-----659. 693 814.
353. [М а u r о 1 у с u s О.]. Francisci ..Maurolyci Abbatis !v\essanensis,
Mathematici celleberrimi, Arithmeticorum libri duo. Nunc primum in
Lucem Editi... Venetiis, 1575.
354. .. е n n i n g е r К. Zahlwort und Ziffer, 2. АнН., Gбttiпgеп, 1958.
355. М i е 1 i А. La sсiепсе arabe et son r61e dans l'evolution scientifique
mondial, Leyden, 1938.
356. М о 11 а n d А. а. The denomination of proportions in the Middle Ages,
Actes du XI Congr. Intern. d'Hist. des Sci., Ossolineum, t. 111, 1968.
167 170.
357. М о r t е t V. Le plus ancien traite fran<;ais d'algorisme, Bibl. math.,
F. 3, Bd IX, 1908/1909, 55 64.
358. М ii 11 е r F. Zur Terminologie der altesten mathematischen Schriften
in deutscher Sprache, Abhand 1. zur Gesch. d. math. Wiss. Н. IX,
1899, 303----333.
359. М u n d i J. John of Gmuden, Isis, vol. 34, 1942.
360. М u r d о с h J. Е. The medieval language of proportions: elements of
the interaction with greek foundations and the development of new
*113
217
mathematical techniques, In: «Scientific change» (ed. Ьу А. С. Crom..
bie), London, 1963, 237 271.
361. N а g 1 А. Uber eine .Algorismus-Schrift des XII. Jahrhиnderts und
iiber die Verbreitung der indisch-arabischen Rechenkunst und Zahl-
zeichen im Christlichen Abendlande, Zeitschr. fiir Math. и. Phys.,
Bd 24, 1889, hist.-lit. Abt., 129 146, 161 170.
362. N а g 1 А. Das quadripartitum des Joannes de Muris u'nd' das praktische
Rechnen im vierzehnten Jahrhundert, Abhandl. zur Gesch. d. math.
Wiss., Н. V, 1890, 137 146.
363. N а g 1 А. Der arithmetische Tractat von Radulph von Laon, Abhandl.
zur Gesch. d. math. Wiss., Н. V, 1890, 85 14б.
364. N а р о 1 i F. Intorno alla vita ed ai lavori di 'Francesco Maиrolico,
Bull. di bibl. е di storia d. sci. mat. е fis.. t. rx, Roma, 1876.
365. N а r d u с с i Н. Sur l'optique de Claude ptolemee, Bibl. math., F. 2..
Bd 2, 1888, 97 102.
366. [N а 5 s е r е d i n u s]. Euclidis Elementorum libri tredecim, Romae..
1657.
367. N а t u с с i А. Origine е sviluppo del concetto di nиmero irrazionale..
Scientia, vol. 38, 1925, 293 302.
368. N е s s е 1 m а n n а. Н. F. Algebra der Griechen, Berlin, 1842.
369. N е u g е Ь а u е r о. Тhe exact sciences in Antiquity, 2 ed., Brown
U niversity Press, Providence, Rhode Island, 1957.
370. N е u g е Ь а u е r о. Studies in byzantine astronomical terminologie,.
Trans. of the Amer. Philos. Soc. vol. 50, pt. 2, 1960.
371. N е w h а 11 А. Тhe crusades, N. У., 1927.
372. N о t а r i V. L'equazione di q.uarto grado. Rizoluzione di Lodovico
Ferrari е sua interpretazione geometrica, Periodico di maf. Bologna,
4, 1924. 327 334.
373. О r е о. Number theory and his history, N. Y. Toront London, 1948.
374. О r е о. Cardano, the gambling scholar, Princeton, 1953.
375. [О r е s m е N i с о 1 е]. De proportionibus proportionum and Ad pauca
respicientis, ed. and transl. Е. Grant, Madison, Wisconsin, 1966.
376. Р а u 1 О. Boetius und die Griechische Harmonik. Оев Anicius Manlius
Severinus Boetius fiinf Biicher iiber die Musik, Leipzig, 1872.
377. [Р е 1 е t а r i u s1. Jacobi Peletarii Cenomani, de occulta parte numero-
rum, quam AIgebram vocant, libri duo, Parisiis, 1560.
378. Р е 1 е t i е r J. Oevres poetiques, publ. d'apres l'edition originale de
1547 par L. Seche, avec une notice biographique, un comment. et des
notes par Р. Laumonier, Paris, 1904.
379. [Р е u r Ь а с h а.]. Elenlenta Arithmetices. Algorithmus de numeris
integris, fractis, regulis communibus, et de proportionibus. Auctore
Georgio Peurbachio, Vitaeberge, l' 536.
380. Р 1 о о i j N. В. Euclid's conception of ratio and his definition of pro..
portional magnitudes as criticized Ьу arabian commentators, Rotter-
dam, 1950.
381. Р о d е t t i F. La teoria delle proportioni in un manoscritto inedito di
Evangelista Torricelli, Boll. di bibI. е storia d. sci. mat., 1914.
382. Р о g о а. Gemma Frisius, his method of determining differences of
longitude Ьу transporting timepieces (1530), and his treatise оп trian-
gulation (1533), Isis, vol. 22, 1934, 469 505.
383. Р r о с i s s i А. Sui «Ragionamenti d' Algebra» di Raff aello Canacci,
Atti della Accad. Ligure di sci. е lettere, vol. IX, Genova, 1953, 5 76.
384. [R а m u s Р.]. Petri Rami Arithmeticae libri duo: geometriae septem
et viginti, Basel, 1569.
385. [R а m u s Р.]. Petri Rami scholarum mathematicarum libri unus et
triginta, Basel, 1569.
386. [R а m u s Р.}. Petri Rami Arithmetices libri duo et Algebrae totidem
а Lazaro Schonero emendati et explicati. Eiusdem Schoneri НЬп
218
duo: aHer, De Numeris figllratis; alter, Ое Logistica. sexagenaria,
Francofurti, 1592.
387. R а s h d а 11 Н. The Universities of Europe the Middle Ages.
vol. 1 3, Oxford, 1895.
388. R а t h Е. Uber ein deutsches Rechenbuch а us dem 15. J ahrhundert.
Bibl. math., F. 3, Bd XIII, 1912/1913. 17 22.
389. R е g i о m о n t а n u s. Оп triangles, ed. and transl. В. Hughes, Madl.
son Milvaukee I..ondon, 1967.
390. R е i d е m е i s t е r К. Die Arithmetik der Griechen, Hamburger math.
Einzelschriften, Н. 26, Leipzig Berlin, 1940.
391. R е i n е r К. Die Terminologic der altesten mathematischen Werke in
deutscher 5prache, Miinchen, 1960.
392. [R i е s е А.]. Rechnung auff der Linien und Federn Auff al1erley Hand.
thirung Gemacht durch АdаПl Riesen, r"rankfurt ап der Oder, 1579.
\1
393. R о s е n f е I d В. А., С е r n о v а М. L. AIgebraic exponents and their
geometric interpretation, Organon, 4, 1967, 1 09 112.
394. R u d i о F Ueber dem Antheil der mathematischen Wissenschaften ап
der Kultur der Renaissance, Hamburg, 1892.
395. 5 а r t о n а. Adrian van Roomen's commentary оп Al Khwarizmi
(с. 1598), Isis, vol. 21, 1934, 209.
396. 5 а r t оп а. 5imon 5tevin of Bruges (1548 1620), Isis, voI. 21. 1934,
241 303.
397. S а r t о n а. Jean Trenchant, french mathematician of the second half
of the sixteenth century, Isis, vol. 21, 1934, 207 209.
398. 5 а r t о n а. The first expIanation of decimaI fractions and measures
(1585), Isis, voI. 23, 1935, 153 244.
399. 5 а r t оп а. Introduction to the history of science, voI. I III, Ба1-
timore, 1927 1948.
400. 5 а r t о n а. Appreciation of ancient and medieval science during the
Renaissance (1450 1600), Philade1phia, 1953.
401. 5 а r t о n а. Ancient science and modern civilization, Univers. of Neb.
rasca, 1954.
402. S а r t о n а. 5ix vings. Меп of science in the Renaissance, B100ming.
ton, 1957.
403. [5 с h е u Ь е 1 i u s]. EucIidis Megarensis, Phi10sophi et Mathematici
exceIIentissimi, sex 1ibri priores... Algebrae porro reguIae, propter nu.
merorum exempla, passim propositionibus adiecta, his 1ibris, praemis.
sae sunt, eaedemque demonstratae. Authore Joanne Schevbelio in in.
clyta Academia Tubingensi Euclidis professore ordinario, БаsiIiаее,
per Iohannem Hervagium, 1550.
404. [5 с h е u Ь е 1 i u s]. Algebrae compendiosa f acilisque descriptio, qua
depromuntur magna Arithmetices miracula. Authore loanne Scheube-
Но Mathematicarum professore in academia Tubingensi, Parisiis, 1552.
405. 5 с h i р р е r g е s Н. Assimilations-Zentren arabischer Wissenschaft
im 12. Jahrhundert, Centaurus, vol. 4, 1956, Nr 4, 32 350.
406. 5 с h r а d е r D. V. De arithmetica, book 1, of Боеthius, Math. teacher
vol. 61, 1968, No. 6, 615 628.
407. S с r i Ь а С. J. ТЬе concept of number, Mannheim Zurich, 1968.
408. 5 е r g е s с u Р. Les mathematiques а Paris ап mоуеп age, БuН. Soc.
math. France, 1939 (1967), 5uppl., 27-----42.
409. S m i t h D. Е., К а r р i n s k i L. С. ТЬе Hindu-Arabic numerals, Bos-
ton London, 1911.
410. 5 m i t h D. Е. ТЬе first great commercial arithmetic, Isis, vol. VIII,
1926, 41 9.
411. 5 t а h 1 W. Н. Dominant traditions iri early medieval Latin science,
Isis, vol. 50, 1959,95-----124.
412. S t а i g m ii 11 е r Н. Lacas Paciulo, Eine biographische Skizze, Zeitschr.
fiir Math. u. Phys., Бd 34, hist.-lit. Abt., 1889, 81......102' 121.......128.
218
413. 5 t а i g m ii t t е r Н. Johannes Scheubel, ein deutscher Algebraiker des
XVI. Jahrhunderts, Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss. Н. IX, 1899,
430 469.
414. 5 t а m m Е. Tractatus de continuo von Thomas Bradwardina. Eine
Handschrift aus dem XIV. Jahrhundert, Isis, vol. 36, 1936, 13 32.
415. 5 t е i n s с h n е i d е r М. Jusuf Ьеп Ibrahim und Ahmed Ьеп Jusuf,
BibI. math., F. 2, Bd 2, 1888, 49 52, 111 117.
416. 5 t е i n s с h n е i d е r М. Die europaischen Obersetzungen aus dem
Arabischen bis Mitte des 17. J ahrhunderts, 5itzungsber. d. Wiener
Akad.. phil.-hist. Kl., Bd 149, 1904; Bd 151, 1905.
417 5 t е v i n S. L'arithmetique, Reпeue corrigee et augmentee de plusiers
traictez et annotation par Albert Girard, Leide, 1625.
418. [5 t е v i n 5.]. The principal works of 5imon Stevin, vol. 11, Mathema-
tics, ed. Ьу о. J. 5truik, Amsterdanl, 1958.
419. [5 t i f е 1 М.]. Die Coss Christoffs Rudolffs mit schonen Ехеmреlп der
Koss gebessert und sehr gemehrt. Zu Konigsperg in Preussen ged-
ruckt, 1553.
420. 5 t i f е 1 М. Arithmetica Integra, Norimberg..ae, 1594.
421. 5 t r u i k о. J. 5imon 5tevin and the decirnal fractions, Math. teacher,
1959, No. 6, 474 478.
422. 5 u 11 i v а n J. W. W. The history of nlathematics in Europe, London,
1925.
423. 5 u t е r Н. Eine bis jetzt unbekannte 5chrift des Nic. Oresme, Zeitschr.
fiir Math. и. Phys., Bd 27, hist. lit. АЫ., 1882, 122 125.
424. 5 u t е r Н. Die Mathematiker auf den Universitaten des Mittelalters,
Z iiri сЬ, 1887.
425. S u t е r Н. Einiges aus Nassir ed Dins Euklidausgabe, BibI. math., F. 2,
В d 6, 1892, 3 6.
426. 5 u t е r Н. Die Araber als Vermittler der Wissenschaften in deren
Obergang уот Orient ап den Okzident, Aarau, 1897.
427. 5 u t е r Н. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre
Werke, Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss., Н. Х, Leipzig, 1900.
428. 5 u t е r Н. Der Verfasser des Buches «Griinde der Tafeln des Chowa-
rezmi», BibI. math., F. 3, Bd IV, 1903, 127.
429. 5 u t е r Н. Ober die Bedeutung des Ausdruckes «Regula coeci», Bibl.
math., F. 3. Bd VI, 1905, 112.
430. 5 u t е r Н. Ober den Kommentar des Muhammed Ьеп 'Abdelbaql zum
zehnten ВисЬе des Euclides, Bibl. math., F. 3, Bd VII, 1906/1907,
234 251.
431. 5 u t е r Н. Die Abhandlung Qosta Ьеп L Uqa' s und zwei andere Апо-
путе iiber die Rechnung mit zwei Fehlern, Bibl. math., F. 3, Bd IX,
1908/1909, 111 112.
432. 5 u t е r Н. Beitrage zu den Beziehungen Keiser Friedrichs 11. zu
Zeitgenossischen Gelehrten des Ostens und Westens, insbesondere zu
dem arabischen Enzyclopadisten Кета} ed din ibn Iunis, Abhandl. zur
Gesch. d. Naturwiss. и. d. Med., Н. IV, Erlangen. 1922, l .
433. 5 u t е r Н. Der Kommentar des Pappus zum Х. Buche des Euklides
aus der АЬи Othman al Dimashkl ins Deutsche iibertragen, Abhandl.
zur Desch. d. Naturwiss. и. d. Med., Н. IV, Erlangen, 1922, 9 78.
434. Т а с q u е t А. Elementa Euclidea Geometriae planae ас solidae, Vene
tiis, 1737.
435. Т а n n е r у Р. L'extraction der racines carres d'apres Nicolas Chuquet,
BibI. math., F. 2, Bd 1, 1887, 17 21.
436. Т а n n е r у Р. Psellus sur Diophante, Zeitschr. fiir Math. и. Phys.,
Bd 37, hist.-lit. ЛЬt., 1892, 41 49.
437. Т а n n е r у Р. Notes sur lа Pseudo (lcometrie de Воесе, Bibl. math.,
F. 3, Bd 1, 1900, 39 50.
438. Т а n n е r:v Р. Repense а la question 119. 5ur l'auteur d'uп texte al-
220
gorithmique du 12 sieclc publiee par Curtze, BibI. math. F. 3, Bd 1 '
1901 416.
439. Т а n n е r у Р. 5ciences exactes chez les Byzantines, Memoires scien
tifiques, t. IV, Toulouse Paris, 1920.
440. Т а n n е r у Р. Memoires scientifiques, publ. par. J. L. Heiberg et
Н. G. Zeuthen, t. I III, Paris, 1912/1913.
441. Т а r t а g 1 i а N. General trattato di numeri et misure, Vinegii, 1556.
442. Т а t оп R. (ed.). La science antique et medievale, t. I II, Paris, 1957
443. Т о r r i с е 11 i Е. Opere, ed. а. Loria е. G. Vassura, vol. 1, pt. 1, Faen
za, 1919.
444. Т r е u t 1 е i n Р. Der Tractat des Jordanus Nelnorarius «De numeris
datis», Abhand 1. zur Gesch. d. math. Wiss., 11. 11, 1879.
445. Т r е u t 1 е i n Р Das Rechnen im 16. Jahrhundert, Zeitschr. fiir Math,
u. Phys., Bd 22, 1877.
446. Т r е u t 1 е i n Р Die deutsche Coss, АЬhапdl. zur Gesch. d. math. Wiss...
Н. 11, 1879, 1 124.
447. ,. r о р f k е J. Geschichte der elementaren N\athematik, Bd 1 7, Ber
]jn Leipzig; АиП. 2, 1921 134; Auf1. 3, Bd 1 4, 1930 1940.
448. U n g е r F. Das alteste deutsche Rec}lenbuch, Zeitschr. f ur Math. и.
Phys., Bd 33, hist. lit. Abt., 1888, 125 145.
449. U s е n е r Н. Ad historiam astronomiae symbola, Вопп, 1876.
450. V а с с а G. Maurolycus, the first discoverer of the principle of mathe
matical induction, ВиВ. of the Amer. math. 50С., vol. 1 , 1909, 70 73.
451. V а 1 е n t i n G. Die beiden Euclid Ausgaben des Jahres 1482, Bibl.
math., F. 2, Bd 7, 1893, 33 38.
452. V а n d е r W а е r d е n В. L. Die AriHlmetik der Pythagoreer, 1,
l\1ath. апп., Bd 120 (1947 1949), 127 153, 676 700.
453. V i е t а F. Opera mathematica, ed. Уап 5chooten, Leiden, 1646.
454. V о g е 1 К. I)ie practica des Algorismus Ratisbonensis. Ein Rechenbuch
der Benediktinerabtei 5t. Emmeran aus der .i\\itte des 15. Jahrhunderts.
Miinchen, 1954.
455. V о g е 1 К. La cultura della matematica in Bisanzio, Actes du VIII
Congr. Intern. d'Hist. des Sci., Florence Mi1an, t. 1, 1956, 68 69.
456. V о g е 1 К. Adam Ries (е), der deutsche Rechenmeister, Abhandl. u.
Ber. d. deutsch. Museums, Jg 27, Н. 3, 1959.
457 V о g е 1 К. Der Anteil von Bizanz ап Erhaltung und Weiterbildung
der griechischen Mathelnatik, N\iscellanea j\1ediaevalia, Bd 1, 1962,
112 128.
458. W а 11 i s J. Ое postulato quinto et definitione quinta libri 6 Euclidis
Opera mathematica, t. 11, Oxoniae, 1693, 669 673.
459. W а 1 1 i s J. Mathesis universalis, sive Aritllmeticum Opus integrum,
tum philologice, tum mathematice traditum, Oxonli, 1657.
460. W а 11 i s J. Opera mathematica, vol. 1, Oxoniae, 1695.
461. W а 11 n е r С. R. Antwort auf die Anfrage 112 iiber (Ien del1tschen
.i\\athematiker Andreas Alexander, BibI. math., F. 3, Bd IV, 1903, 403.
462. W а р р 1 е r Е. Beitrag zur Geschichte der Mathematik, Abhand[. zur
Gesch. d. math. Wiss., Н. У, 1889, 14 7 168.
463. W а р р 1 е r Е. Zur Geschichte der deutschen Algebra, Abh. zur
Gesch. d. math. Wiss., Н. IX, 1899, 539 554.
464. W а р р 1 е r Е. Zur Geschichte der Mathematik im 15. Jahrhl1ndert,
Zeitschr. fiir Math. u. Phys., Bd 45, hist. lit. АЫ, 1900, 47 56.
465. W е i s s е n Ь о r n Н. Zur Boetius Frage, Abhandl. zur Gesch. d. math.
Wiss., Н. 11, 1879, 185. .
466. W е i s s е n Ь о r n Н. Die Obersetzung des Euklid aus d m Arabischen
in das Lateinische durch Adelard von Bath пасЬ zwei Handschriften
der Kgl. BibIiothek in Erfurt, Abhandl zur Gesch. d. math. Wiss.,
Н. 111, 1880, 141 166.
467. W е i s s е n Ь о r n Н. Die Obersetzung des Euklid durch Саmрапо und
221
Zamberti. Eine mathematisch-historische Studie, НаНе, 1882 (Rez.:
М. Cantor, Zeitschr. fiir Math. и. Phys., hist.-lit. Abt., Bd 27, 1882,
110-----111).
468. W е i s 5 е n Ь о r n Н. Zur Geschichte der Einfiihrung der jetzigen Zif..
fern in Europa durch Gerbert, Berlin, 1892.
469. W е r n е r К. Beda der Ehrwiirdige und seine Zeit, Wien, 1875.
470. W е r t h е i m G. Die Berechnung der irrationalen Quadratwurzeln nd
die Erfindung der Kettenbrueche, Abhandl. zur Gesch. d. math. WlSS.,
Н. VIII, 1898, 148 160.
471. W е r t h е i m G. Ober die Losung einiger Aufgaben im «Tractatus de
numeris datis des Jordanus Nemorarius, Bibl. math., F. 3, Bd 1,
1900, 417 422.
472. W е r t h е i m о. Die Logi tik des Johannes Buteo, Bibl. math., F. 111,
В d 11, 190 1, 213 219.
473. W i е 1 е i t n е r Н. Der «Tractatus de latitudinibus formarum» des
Oresme, Bibl. math., Р. 3, Bd XIII, 1912/1913, 145.
474. W i е 1 е i t n е r Н. Ober dem Funktionsbegriff und die graphische
Dars'tellung bei Oresme, Bibl. math. F. 3, Bd XIV, 1914{1915,
19 243.
475. W i е t е i t n е r Н. Zur Friihgeschichte der Riiume von mehr als drei
Dimensionen, Isis, vol. 7, 1925, 486 489.
476. \V i е 1 е i t n е r Н. Uber die Wurzelrelationen der quadratischen Glei-
chllng, besonders bei Cardano, .Arch. di Stor. della sci. vol. VI, 1925,
201 205.
477 W i е 1 е i t n е r Н. Zur Geschichte der gebrochenen Exponenten, Isis,
vol. 6, 1924, 509 520.
478. W i е 1 е i t n е r Н. Uber die Fortschritte, die Simon Stevin in der Lб-
sung der quadratischen Gleichungen erzielte, Sitz. d. Phys.-med. Soz.
in Erlangen, Bd 58/59, 1926/1927, 177 180.
479. W i е 1 е i t n е r Н. Ober Cardanos Beweis fiir die Losung der kubi-
schen Gleichung, Sitz. d. Phys.-Med. Soz. zu Erlangen, Bd 58/59,
1926/1927, 173......176.
480. W i е 1 е i t n е r Н. Der Begriff der Zahl in seiner logischen und histo-
rischen Entwicklung, 3. АиН., Leipzig Berlin, 1927.
481. W о е р с k е F. Extrait du Fakhri precede d'un memoire sur l'algebre
indeterminee chez les arabes, Paris, 1853.
482. W о е р с k е F. Sur ип essai de determiner la nature de lа racine d'une
equation du troisieme degre, contenu dans ип ouvrage de Leonard
de Pisc decouvert par М. lе prince В. Boncompagni, Journ. de math.
pures et appl., t. XIX, 1854, 401 406.
483. \V о е р с k е Р. Essai d'une restitution de travaux perdus d'Apollonius,
sur les quantites irrationnelIes, Мет. pres. par divers savants а
l'Acad. de Sci., t. 14, Paris, 1856, 658 720.
484. W о е р с k е F Traduction d'un fragment апопуте sur la formation
des triangles rectangles еп nombres entiers et d 'ип autre traite sur le
тете sujet par АЬои Dja'far Mohammed Веп Alho ain, Atti dell'
Accad. Pontif. de Nuovi Lincei, t. XIV, Roma, 1861.
485. W о е р с k е F. Memoire sur l'introduction de l'arithmetique indienne еп
occident, Journ. as., ser. 5, t. 13, 1863, 69 79, 514.....529.
486. W u s s i n g Н. Mathematik in der Antike, Leipzig, 1962.
487. W ii s t е n f е I d. Die Obersetzungen arabischer Werke in das Lateini-
sche seit dem XI. Jahrhundert, Abhandl. d. Ges. d. Wiss. zu Gбttiпgеп,
В d 22, 1877, 1.....53.
488. У е 1 d h а m Р. А. The story of reckoning in the Middle Ages, London,
1926.
489. У е 1 d h а m F А. The alleged early english version of Euclid, Isis.
vol. 9. 1927. 2З4 2З8.
222
490. У u s 'Ь 'k.e v i с h А. Р. The origin.al contributions of medieval mathema-
ticians, In: Crombie (ed.) «Scientifical change», Oxford, 1963.
491. Z е 11 е r М. С. ТЬе development of trigonometry from Regiomontanus
to Pitiscus, Апп Arbor, 1944.
492. Z i n n е r Е. Leben und Wirken des Johannes Miiller уоп КбпigsЬеrg
genannt Regiomontanus, Miinchen, 1938.
493. Z о и Ь о v V. Р. Sur ип ecrit faussement attribue а Nicolas Oresme,
Arch. Intern. d'hist. des sci., 1958, N2 45, 377 378.
494. Z о u Ь о v v. Р. Quelques observations sur l'auteur du traite anonyme
«Utrum dyameter alicuis quadrati sit commensurabilis costae eiusdem»,
1 sis, vol. 50, 1959, 130 134.
495. Z о u Ь о v у. Р. Jean Buridan et les concepts d u point аи quatorzieme
sjr.cle, di.aeval and Ren.aissance stud., vol. 5, 1961, 43 95.
УКАЗ.. ТЕЛЬ ИМЕН
Абу-л-Вафа ал-Бузджани 197,206
Абу Камил ибн Шуджа ал-Мисри
23, 85, 86, 208
Абу Маш'ар ал-Валхи 14, 30
Ал-Абхари, Асир ад-Дин 21
Аrостини А. (Agostini А) 31, 208
Автолик 180
Адальболд из Утрехта (Adalbold)
11
Аделард из Вата (Adelard of
Bath) 12, 13, 34 36, 71, 209,
211, 215, 216, 221.
Аквинус Дакус (Aquinus Dacus)
140, 147
A "eKcaHДp де Виледье (de Ville-
dieu, Alexandre) 71
Александров А. Д. 203
Алимов Н. r. 203
Альберт Саксонский (Albertus de
Saxonia) 29, 103, 123, 124,
208
Альберти, ,Неон Баттиста (Alber-
ti, Leone Battista) 30
Алькуин (Alcuin) 10, 11, 68, 208
Аммоний Александрийский 17
Амодео Ф. (AInodeo F.) 208
Анастос М. (Anastos N\. У.) 208
Андреас Александр (Andreas Ale-
xandr) 140, 141, 146, 166,
197, 213, 221.
Анри ш. (Henry Ch.) 216
Антемий Тралесский 17
Аполлоний 14, 17, 19, 38, 106, 180,
211, 222
Апулей из Мадавры 49
Артир Исаак 20
Арет 18
Аристотель 7, 13, 15, 16, 25 27,
49, 118, 120, 124, 162, 164,
208
Ар истоф ан 16
224
Арриrи Дж. (Arrighi G.) 208
Архимед 17, 19, 38, 124, 140, 170,
180, 191, 203, 204, 208
Асклепий Траллиан 49
ал-Ахвази, Ахмад ибн ал-Хусайн
159
Ахмад ибн Юсуф ал-Мисри (Ame
tus filius Josephi) 14, 111,
112, 115, 117, 120, 121, 124,
211, 220
Ахмедов А. 203
Ахмес 63
ал-Баrдади, Мухаммад ибн Абд
ал-Баки 35, 97, 98, 100, 220
Барлаам 20
Бартольд В. В. 203
ал-Баттани 14, 21
Баше де Мезириак (Bachet de
J\\eziriac С. G.) 30, 64
Башмакова и. r 4, 203, 204
Беда Достопочтенный (Beda Уе-
nerabilis) 10, 68, 208, 222
де Бельдоманди, Проздочимо (de
Beldomandi, Prosdocimo) 31
Беккер О. (Becker О.) 208
Березкина э. vl. 203
Берлет Б. (Berlet В.) 146, 147,208
Бернекер, raHc (Bernecker, Hans)
146
Бестrорн Р. (Besthorn R. О.) 208
ал-Бируни, Абу Райхан 14, 74.
203, 204
ал-Битруджи 15,211
Блашке В. (Blaschke W.) 209
Блимецридер Ф. (Bliemetzrieder
F.) 209
Бобынин В. В. 204
Боrо..rtюбов А. Н. 205
Боев r. П. 204
Бойер К. (Boyer с. В.) 210
Бомбелли, Рафаэль (Bombelli,
Raffael) 183 189, 191, 193
195, 197, 200, 209, 214, 216,
223
Бонкомпаньи Б. (Boncompagni В.)
13, 14, 23, 35, 61, 63, 71, 106,
209, 217
Борrи, Пьетро (Borghi, Pietro) 31,
135
Борелли, Альфонсо (Borelli А.)
209, 214
Бортолотти Э. (Bortolotti Е.)
183 185, 187, 188, 209, 210
Босман А. (Bosmans Н.) 162, 168,
172, 193, 21 О .
Боэций (Boethius, Anitius Manll-
us Torquatus Severinus)
7 9, 13, 19, 29, 30, 34, 49
59, 61, 62, 64 67, 96, 111,
112, 114, 116, 118, 120, 123,
124, 126, 150, 173, 180, 204,
209, 211, 214, 215, 218 221
Браrе, Тихо (Brahe, Tycho) 129
Брадвардин, Томас (Bradwardi-
nus, Thomas) 28, 66, 112,
120, 121, 123, 124, 205, 211,
216, 220
БраУНМЮJ!Ь А. (Braunmiihl А.)
210
БреТIuнейдер К. (Bretschneider
С. G ) 210
Бубнов Н. 1\\. 2J4
Бурбаки Н. (Bourbaki N.) 40, 188,
192, 204
Бусард r (Busard I. L. L.) 35, 36,
112, 190, 21 О
Бутео== Бутеон, Жан Боррель (Bu-
teon, Jean Borrel) 37, 17n
172, 222
ал-Бухар и, Шамс ад Дин 21, 22
Бхаскара 100
Бьёрнбо А. (ВjбrпЬо А.) 35, 84,
112, 209
Бэкон, Роджер (Васоп, Roger) 12,
27. 180
BarHep, Ульрих (Wagner, Ulrich)
82
Вакка (Уасса а.) 180, 221
Валентэн r. (Valentin G.) 221
Валла, reopr (Уа1lа, Georgius) 37
Валлис, Джон (Wallis, John) 39,
113, 201, 202, 206, 221
Валнер (Wallner с. R.) 221
Ваплер э. (Wappler Е.) 221
Ван дер Варден Б. л. (van der
Waerden В. L.) 204, 221
Васильев А. В. 204
Ващенко-3ахарченко М. Е. 204
15 113
ВеЙсенборн r. (Weissenborn Н.)
34, 221, 222
Вер нер К. (Werner К.) 222
Вертrейм r. (Wertheim G.) 162,
170, 222
Веселовский и. Н. 4, 87, 203, 204,
205
Вёпке Ф. (Woepcke F.) 107, 108,
211, 222
Видман, Иоrанн (Widman, Johann)
32, 82, 84, 92, 93, 110, 124,
125, 142, 209, 213
Виет, Франсуа (Viete, Fran<;ois)
132, 162, 170, 183, 189, 190,
210, 221
Вилейтнер r. (Wieleitner Н.) 193,
204, 222
да Винчи, см. Леонардо да Винчи
Вирrилий 167
Витело (Witello) 27
Воробьев Н. Н. 204
Вуссинr r (Wussing Н.) 222
Вюстенфельд Ф. (Wiistenfeld F.)
222
Выrодский N\. Я. 204, 205, 207
rален 13
rалилей, rалилео (Galilei, Galileo)
29, 129, 173, 211, 212
rандц С. (Gandz S.) 215
rанкель 1" (I;ankel Н.) 11, 215
rебер 88
rейберr и. Л. (I-Ieiberg J. L.) 16,
39, 102, 204, 208, 212, 214
216
rерардо Кремонский (Gherardo
Cremonese) 13, 26, 35, 61,
62, 84, 97, 101, 112, 114, 209,
212, 222
rербеРТ==СИ 1ьвестр 11 (Gerbert)
11, 13, 68, 70, 204, 214 217
repMaH из Каринтии (Hermannus)
14, 35, 113, 209, 210, 213
repoH Александрийский 15, 17, 19,
212
repoH Младший 19
rерхард r. (Gerhardt G. J.) '91,
215
rизинr (Giesing J.) 215
rипатия 17
rиппократ 13
rпеденко Б. В. 131, 204, 205
rольдстейн Б. (Goldstein В. R.)
215
rольцман Е. и. 4
rOMep 16, 167
rосселен r. (Gosselin а.) 172, 210.
rофман и. (Hoffmann J. Е.) 216
225-
'r охман Е. В 206
rpaMMaTeyc,. rенрих (Grammate-
us, Heinrich) 146
'rpaHT э. (Grant Е.) 215, 218
rриrор, Никифор 20
'rриrорий XIII 174
-rриrорий из Санкт-Винцента
(Gregorius а Sancto Vincen-
. tio) 198, 210, 215, 216
rриrорьян А. Т. 205
-rринэй, Симон (Grynaeus, Symon)
37
rpocceTeCT, Роберт (Grosseteste,
Robert) 12, 27
ryro из Санталлы 14
fуттенберr, Иоrанн (Guttenberg,
Johann) 29, 206
rюiIтенс, Христиан (Huygens,
Christian) 183
rюнтер С. (Gunther 5.) 77, 215
Даниил из Морли 13
Дасиподий (Dasypodium, Cunra-
dum) 37, 38, 214
ДеЙбнер Ф. (Deubner F.) 146, 212
Декарт, Рене (Descartes, Rene)
29, 47, 141, 188, 195, 197,
199 201, 205, 208
Деметрий Кидон 20
Демосфен 16
Денифль (Denifle Н.) 212
Депман 11. я. 205
Депо, Р. (Depau R.) 212
Диркс (Diercks 5.) 212
Диофант 19, 20, 43, 44, 50, 51, 63,
64, 90, 92, 143, 158, 168, 177,
187, 197, 203, 212, 215, 220
Домнин из Лариссы 17
Д'Оодж (D'Ooge М. L.) 212
ДIорер, Альбрехт (Diirer, Alb-
recht) 191, 207
Дюэм п. (Duhem Р.) 78, 212
Д'Элиа (D'Elia Р М.) 212
Евrений из Палермо 15
Евдем 17
Евдокс Книдский 43, 112, 113, 118,
127, 170, 208
Евклид (EucIides) 7, 9, 13 20, 23,
24, 26, 27, 30, 31, 33 39,
41 43, 47 49, 52, 54, 59,
61, 65, 72, 77, 79, 92 100,
102 104, 10 115, 118 120,
123 125, 128, 130, 135, 136,
138, 139, 141, 142, 146, 148,
151, 154, 155, 157, 158, 161,
163, 164, 167, 170, 174 177,
179, 180, 183 185, 188,
'226
190 193, 195, 198, 201,
203 210, 212 220
Евклид из MerapbI 37, 38
Евтокий Аска.понский 17, 19
Еrанян А. М. 205
Елдrам Ф. (Yeldham F. А.) 222
Жирар, Альбер (Girard, Albert)
192, 215, 220
Заборов М. А. 205
Замберти Дзамберти, Бартоломео
(Zamberti, Bartolomeo) 37,
97, 100 102, 148,211,214,
221
аз Заркали 21
Зубов В. П. (Zoubov V. Р.) 205,
206, 223
Зутер r. (Suter Н.) 100, 174, 209,
220
Ибн ал Баrдади, Хасан ибн Му-
хаммад 47, 104, 188, 190
Ибн Рушд (Аверроэс) 15
Ибн Сина (Авиценна) 13, 15
I-Iбн ал Хайсам (Альrазен) 14, 27,
63
ал Идриси 15
Инrварссён (Ingwarsson== Petrus
Philomeni de Dacia) 28,
212
Иоанн rрамматик 49
Иоанн из Палермо 24, 63, 106
Иоанн Севи.пьский 14, 30, 71
Иоrанн из rмудена (Johann von
Gmuden) 32, 217
Иордан Неморарий (Jordanus Ne-
morarius) 18, 24 27, 62, 64
67, 71, 77 79, 84, 85, 87, 93,
115 117, 119 126, 150, 180,
207, 211 214, 216, 221, 222
Исидор N\илетский 17
Исидор Севильский 10
Исхак ибн Хунайн 13, 21
Кабасилла, Николай 20
ал Кабиси (Alcabitius) 14, 26
Кайяни, Анжело (Cajani, Angelo)
38
Каландри (Calandri) 80
Камерарий (Camerarius, Joahi-
Inus) 38, 214
Кампано, Джованни (Саmрапо,
Giovanni Campanus, Johan-
nes) 26 28, 35 38, 64, 97,
100 102, 112, 117 121, 124,
125, 135, 136, 148, 154, 161,
174, 211, 214, 221
j(аначчи, Рафаэль (Canacci, Raf-
f aello) 15, 29, 66, 88, 108,
218
Кантор М. (Cantor М.) 26, 33, 50,
65, 71 73, 91, 93, 100, 108,
133, 135, 164, 166, 174,
210 212
'Капе.lла, Марциан 7, 9
.ал-Караджи 23, 50, 63, 85, 87, 142
Кардано, Джиро.туамо==Иероним
(Cardano, Girolamo) 90,
106, 108, 132, 133, 13 140,
147, 148, 168, 172, 173, 186,
187, 193, 195 197, 205, 210,
211, 218, 222
Кар,п Великий 10
Кармоди r. (Carmody Т. J.) 211
Карпинский Л. (Karpinski L. с.)
28, 84, 89, 173, 212, 216, 217,
219
Карпова Л. А. 207
'Кары Ниязов Т. Н. 205
Кассиодор 7, 8, 9, 34, 60, 211
.ал Каши, Джамшид rияс ад-Дии
22, 79, 207
Кеннеди э. С. (Kennedy Е. S.) 217
КеП.1]ер, Иоrанн (Kepler, Johannes)
129, 180
Кестнер А. (Kastner А. G.) 157,
172, 217
ап-Кинди, Абу Юсуф Якуб 111,
112
Кирилл 18
1(лавий, Христофор (Clavius, Chris-
tophor), 37, 38, 141, 173.........180'
191, 195, 197, 198, 211, 214
Кладжет 1\\. (Clagett М.) 34, 36,
211,217
Кламрот М. (Klamroth М.) 217
Кларк Ф. (Clarke F. М.) 211
Клебс А. (Klebs А. С.) 217
Колмоrоров А. Н. 205
Коль К. (КОЫ К.) 209
Кольман э. 205
Коммандино, Федерико (Соmmап-
dino, Federico) 38
Конрад, raHc (Conrad, Hans) 146
Константин из Флери 11
-Коперник, Николай (Copernicus,
Nicolaus) 129, 163, 172
Коста ибн Лука 74, 220
Крамар Ф. Д. 206
Кромби А. (Crombie А. С.) 211
Кросби r. (Crosby Н. L.) 28, 120,
211
КСИollандер == Вильrельм rольцман
(Xylander \\'.) 38, 212, 214
.курце М. (Curtze М.) 24, 34, 35,
65, 85, 91, 93, 100, 121, 123,
140, 141, 209, 211, 212, 221
Кушиар ибн Лаббан (Kushyar ibn
Labban) 217
ал Кушчи, Али 22, 145
Кэджори Ф. (Cajory F.) 172, 206,
210
Лев Математик 18, 21, 206, 215
Лейбниц, rотфрид Вильrельм (Le-
ibniz, Gottfried Willhelm)
183, 199
Леонардо да Винчи (Leonardo da
Vinci) ЗО
.Пеонардо Пизанский Фибоначчи
(Leonardo Fibonacci) 18, 23,
24, 26, 29, 62 64, 66 68,
71.........80' 85, 86, 8 91, 93,
96, 10з......-l08, 112, 114, 115,
126, 127, 135, 197, 204, 213,
217, 222
Лефевр, Жак (Lefevre J.==Faber
Stapulensis) 37, 64
Либри Дж. (Libri а.) 84, 217
Липшиц Е. э. 206
Лоссий, Лука (Lossius, Luca) 68,
69, 21 7
де Лунис (de Lunis, Gt1glielmo)
15, 29, 88
Лютер, Мартин 148
Мавролико, Франческо (Mauroly-
cus F.) 179 183, 196, 208,
211, 217, 218, 221
ал-Маrриби, Мухи ад-Дин 21
ал-Маджрити, Ахмад 13
Макробий 7, 19
Мамедбейли r д. 206
ал-Ма'мун 18
Мансьон П. (Mansion Р.) 217
Марр А. (N\arre А.) 217
Маркс, Карл, 6, 129, 199
Маркушевич А. И. 203, 206
Матвиевская r. п. 206
ал Махани 48, 98
Медовой М. и. 206
Меланхтон, Филипп 82, 83
Мелитениот, Феодор 20
MeHre А. (1'v\enge А. Н.) 39, 214
Менелай 180
\еннинrер К. (Menninger К.) 217
де Мер, Жан (de N\eur, Jean Joan
nes de Muris) 28, 66, 79, 89,
1 08, 218
Метохит, Феодор 20
Мие.пи А. (Mieli А.) 217
Михаи.l Скотт 15
227
де Мойя, Жуан Перес (de Моуа,
Juan Perez) 81, 217
Молланд А. (1\\011 and А. G.) 112,
217
Мордухай ВuлтовсКОЙ д. д. 39,
111, 176, 205, 206
1\\орте (Mortet У.) 217
Мосхопу л, Мануил 19
Муиди (Mt1ndi J.) 217
Муск 24
1\'lIоллер Ф. (MiiIler F.) 217
Мэрдок дж. (Murdoch J. Е.) 36,
112, 113, 217
Наrль А. (NagI А.) 28, 79, 218
ан-Найриэи (Anaritius) 34, 35,
48,97,113, 114,209,212,217
Н а пол и Ф. ( N а ро Ii F. ) 218
Нардуччи (Narducci Н.) 218
ан-Насави 77, 79
Натуччи А. (N atucci А.) 218
Нейrебауэр О. (Neugebauer О.)
21, 206, 218
Неморарий, см. Иордан Неморарий
Нессельман r. (Nesselmann G.
Н. I .) 218
Неофит 19
Никомах rеразский 7, 8, 9, 19, 20,
49 54, 56, 58 62, 65, 66,
110, 111, 115, 121, 124, 125,
136, 139, 176, 212
Нотари (Notari У.) 219
Ньютон, Исаак (Newton, Isaac)
199, 202, 206, 208
Ньюхелл А. (Newhall А.) 218
ОвидиЙ 19
Окреат (O'Creat N.) 71, 216
Ольшки Л. 206
Оре о. (Ore О.) 218
Орем, Николай (Oresme, Nicole)
29, 36, 103, 121 124, 205,
206, 210, 211, 215, 218, 222,
223
Папп Александрийский 216, 220
Пауль о. (Раиl О.) 218
Пачоли, Лука (Paciuolo, Luca)
30, 31, 3З, 37, 66, 68, 79, 80,
89, 90, 92, 108, 124, 126, 133,
135, 136, 138, 139, 152, 168,
170, 172, 210, 219, 222
Пейрар Ф. (Peyrard F.) 39
Пейрбах, reopr (Peurbach, Georg)
32, 68, 82, 83, 92, 125, 218
Пекхам, Иоанн (Peckham, Joan-
nes) 27, 180
Пелетье, Жак (Peletier, Jacques)
228
141, 161, 167 170, 172, 197,.
210, 218
Пел.пос== flеллиццати, Франческо
(Pellizzati, Francesco) 31
Петрарка 167
Петросян r Б. 206
Пифаrор 8, 9, 41, 52, 77, 180
П.пануд, Максим 19, 20, 22, 215
Платон 16, 37, 118, 124
Платон из Тиволи 14, 209, 212
Плиний 9, 1 О .
Плуэй э. (Plooij Е. В.) 218
Поrо (Pogo G.) 218
Поrребысский 11. Б. 204, 207
Подетти Ф. (Podetti F.) 218
Порфирий 7
Прокл 20, 37, 170, 209
Прочизи А. (Procissi А) 218
Пселл, Михаил 19, 20, 220
Птолемей, Клавдий 12, 13 15, 17,
19 21, 26, 27, 115, 215, 218.
Пьеро делла Франческо (della
Franceschi, Piero) 30
ар-Рази 13
Раик А. Е. 207
Рамус, fIитер (Ramus, Petrus== de
Ia Ramee, Pierre) 141, 162
166, 196, 201 , 21 О, 211, 218
Рат Э. (Rath Е.) 82, 219
Ратдольт, Эрхард (Ratdolt Н.)
29 31, 36, 209
Рашдал (RashdaII Н.) 219
Реrиомонтан Мюллер, Иоrанн
(Regiomontanus, Joannes)
28, 32, 67, 77, 92, 177, 209
212,219,223
РеЙдемейстер К. (Reidemeister К.)
219
Рейнер К. (Reiner К.) 219
Рекорд, Роберт (Recorde, Robert)
68, 141, 172, 173, 21 О, 211,
213
Ризе, Адам (Riese, Adam) 28, 140,
141 , 14 148, 208, 212, 219,
221
Роберт из Честера 14, 84, 216
Роджер, норманнский король 15
Розенфе 1ЬД Б. А. 4, 204, 205, 207,
208, 216, 219
ван Роумен, Адриан (van Roumen)
84, 210,219
де ля Рош, Этьенн (de Ia Roche,
Estienne) 33, 81, 171
Рудио Ф. (Rudio F.) 25, 219
Ру ;t ол ьф, Х р и стоф ( R u d о lf f ,
Christof) 140, 147 152, 168,
220
IСабит ибн Корра ал-Харрани 13,
14,35,49, 111, 112, 124, 167,
207, 209
'Савасорда (Savasorda) 15, 212
Сакробоско rоливуд rалифакс
(Sacrobosco, Ioannes-John
of HaHfax) 26, 28, 71, 113,
212, 216
ас-Салар, Хусам ад-Дин 21
ас Самарканди, Шамс ад-Дин 21,
203
'Сартон Дж. (Sarton а.) 38, 84,
163, 219
Сахл ибн Бишр 14
'CeprecKY П. (Sergescu Р.) 219
Серен Антинойский 17
Сильвестр 11, см. rерберт
Симонов Н. И. 205
СНМЛо!1ИКИЙ 17, 49
Сираждинов С. х. 4
Скриба (Scriba С. J.) 219
Смит д. (Smith D. Е.) 219
Стевин, Симон (Stevin, Simon)
183, 190 194, 196, 197, 201,
210, 212, 219, 220, 222
Стройк Д. (Struik D. J.) 191, 207,
220
Сулливан (Sullivan J. W. W.) 220
ас Суфи, Абд ap PaXMaH 21
Tal{e, . ндрэ (Tacquet, Andre) 198,
210, 220
Та.lиенте 80
Таннери п. (Tannery Р.) 16, 19,
141, 220, 221
Тарта.1ЬЯ, Николо (Tartaglia, Nic-
colo) 38, 90, 132, 134, 135,
172, 193, 196, 213, 214, 221
Татон Р. (Taton R.) 221
Теодор их 7
Теодосий 180
Теон Александрийский 17, 20, 21,
37, 39, 170, 174
Т е -jтет 43, 170
ТИ\1ченко И. Ю. 206
Томсон (Thomson W,) 216
Торричелли, Эванrелиста (Torricel-
Н, Evangelista) 198, 218,
221
ТреЙТ.lеЙн п. (Treutlein Р.) 86,
146, 147, 157, 168, 221
Тропфке й. (Tropfke J.) 106, 221
ат-Туси, Насир ад-Днн (Nassere-
dinus) 21, 39, 48, 126, 128,
174, 206, 207, 210, 214, 218,
220
Узене Н. (Usener Н.) 21, 22, 221
У луrбек 22, 205, 208
YHrep Ф. (Unger F.) 82, 221
Урбан IV 27
Фаваро А. (Favaro А.) 214
ал-Фараби 13, 47
ал Фарrани (Альфраrанус) 14, 32,
92
Ферма, Пьер (Fermat, Pierre) 203
Феррари, Луиджи (Ferrari, Luigi)
132, 218
де"lЬ Ферро, Сцилион (del Ferro,
Scipione) 90, 131, 132, 186,
187, 213, 214
Феттер r. 207
Фиоре (Fiore) 131
Фоrелин, Иоанн (VogeHn, Joann)
125
Фоrель (Vogel К.) 17, 22, 82, 146,
216, 221
Фрати Л. (Frati L.) 214
Фрейденталь r. (Freudenthal Н.)
180, 214
Фрибус Е. А. 207
Фридлейн r (Friedlein а.) 214,
215
Фридрих 11 15, 24, 63, 22й
Фридрих, монах из Реrенсбурrа
(FraLer Fridericus) 32, 67,
82,91,93
Фризий, reMMa (Frisius, аеmmа)
161, 210, 215, 218
Фюк Н. (Fiick J.) 215
Хабиб ибн Бахриз 49
ал-Хазини, Абд ар-Рахман 21
Хайям, Омар 21, 48, 89, 111, 126,
128, 207, 208
Хаскинс Ч. (Haskins С. Н.) 215
Ван дер Хёке (van der Hoecke,
Giels) 146
Хие Т. Л. (Heath Th. L.) 34, 215
ХОК (}Iock С. F.) 216
Холле Э. (Норре Е.) 216
ал Хореэми, Мухаммад ибн Муса
(Algorismus) 13, 14, 23, 70,
71, 84, 85, 87 89, 92, 109,
126, 127, 145, 168, 207 210,
216, 220
Христенсен (Christensen S. А.)
211
Хулаrу-хан 21
XYHrep (Hunger fl.) 22, 216
Хунрат К. (Hunrath К,) 70, 216
Целлер М. (Zeller М. С.) 223
Цейтен r. (Zeuthen а.) 207, 221
229
Циннер э. (Zinner Е.) 223
Цицерон 33
Черкалова л. и. 207
Шаль М. (Chasles М.) 77, 207,
211
Шейбель, ИOI'анн (Scheybel,
Johann) 140, 157 161, 168,
173, 176, 195, 197, 219, 220
UUереметевский В. П. 207
UUилперrес (Schipperges Н.) 219
UПонер и. (Schonerus, Joannes) 77
UПонер л. (Schonerus, Lasarus)
162, 164 167, 218
Шрадер д. (Schrader О. V.) 219
UU рейдер с. Н. 87, 205, 207
UUтайrмюллер (Staigmiiller Н.)
157, 219, 220
UПтамм э. (Stamm Е.) 220
UUтейншнейдер М. (Steinschnei-
der М.) 220
Штифель, Михаэль (Stifel, Mi-
chael) 140, 141, 147, 148,
150 154, 156 159, 161,
167 170, 172 174, 177, 179,
190 193, 195----197' 207, 210
215,. 216, 220
Штокало И. З. 205
Шroльц о. 207
Шюке, Никола (Chuquet, Nicolas)
33, 67, 80, 81, 90, 91, 110.
124, 133, 171, 197, 217, 220
Щеr лов В. п. 4, 208
Эйлер, Леонард (Euler, Leonhard)
196, 206
Энrельс, Фридрих 5, 6, 129, 199
Энестрём r. (Enestr6m G.) 24----
26, 33, 50, 64 66, 77----79
91, 100, 106, 108, 124, 139----
141,144, 148,162,164,166,.
168, 173, 183, 212 214
Эратосфен 53
Юнrе r (Junge G.) 216
Юшкевич А. п. 4, 72, 203 208,.
216, 223
Юшкевич П. с. 207
Якопо де Барбари 31
Ямблих 19, 49, 180
оrЛАВ./1ЕНИЕ
Предисловие . ..
r лава /. Средневековая европейская математика и влияние на нее
науки стран Востока .. .
1. О культуре и науке Европы в средние века
2. Европейская математика до XII в. ..
3. Ранние латинские переводы с арабскоrо и rреческоrо
языков
4. ВизаН'I'ийская математика . .
5. Европейские ученые XIII XV вв. и их труды по ариф-
мети'ке и алrебре . . .
6. Переводы «Начал» Евltllида .
rлава 11. Учение о числе в Европе дО XVI В. .
7. Предпосылки развития понятия числа в Европе
8. Теоретическая арифметика
9. Практическая арифметика
10. Алrебра ....
11. Теория квадратичных иррациональностей
Комментарии к книrе Х «Начал» Евклида
Книrа Х «НачаJI» в алrебраических сочинениях
12. Теория отношений .
Fлава ///. УчеНliе о числе в XVI В.
13. Вводные замечания . .
14. Итальянские математики XVJ В.
15. Немецкие коссвсты .
16. Французские математики . . w .
11. Анrлийская математика. Роберrr Рекорд
18. Учение о числе в конце XVI В.
Литература
Указатель имен
.
.
З:
5
5
6
12
16
22
33
40
40
49.
68
84
93
97
103
110
129'
129-
131
140
162
172
173
203
22i
Матвиевская
Развитие
XVII века.
231 с.
тики IIМ. В.
Библиоrр. :
rалина Павловна.
учения о числе в Европе дО
Т., «Фан», 1971.
(Акад. наук УзССР Ин т MaTeMa
и. POMaHOBCKoro) .
С.
БlсО9)
rалина Павловна
Матвиевск,ая
РАЗВ IТИЕ УЧЕНI1Я О ЧИСЛЕ
В ЕВРОПЕ до XVII ВЕКА
.. \
... ...
j etaKTop с. с. Басеина
.){УДО)f(н8К Н. Н. Каленьтьев
\ " { .Тq1lНЧеский реnа"тор Х. У. Кара6аева
'f\. . . .:-..ltbрректОР л. А. rурьянова
, :', ,-
РО5867. Сдано в набор 15/VI-197tr Подписraо к печати зо7VIII 71 r. Формат 60Х90 1 '''
7,25 бум. л. 14,5 печ. л. Уч.-изд. JI. 15,1. ИЗ4. 768. Тираж 1200. Цена 1 р. 75 К.
ТипоrрафИR издательства .Фан. УзССР, Ташкент, ул. Черданuева, 21. Заказ 113.
Адрес издательства: Ташкент, ул. rоrОЛR, 70.
Утверждено к печати 'чеНblМ советом
Института JНйTe,М,aTик.и им. В. и. POAtaHOBCKOZO,
Отделение'м' фuзиКО 'м'ате'м'атическuх наук
: АН УзССР
{' "..
....
4-
.
4