Л. Г. Белозеров, В. А. Киреев
КОМПОЗИТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
ПРИ СИЛОВЫХ И ТЕПЛОВЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
[ НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ 8 )
[ ОДНИ РУКИ И2Х8Д8?]
КОЯОХЗА
ОСКОР^А
ФМ.
Москва
Физматаит
2003

ББК 22.251
Б 43
УДК 539.3
Издание осуществлено при поддержке Цен-
Центрального аэрогидродинамического инсти-
института (ЦАГИ) им. проф. Н.Е. Жуковского
ББЛ03БР0В Л. Г., ЕИРББВ В. А. Композитные оболочки при сило-
силовых и тепловых воздействиях.—М.: Издательство физико-математичес-
физико-математической литературы, 2003.—388 с—ISBN 5-94052-064-7.
Книга посвящена созданию надежных методов определения предельных на-
нагрузок нагружаемых оболочечных конструкций, находящихся в условиях неод-
неоднородного и нестационарного поля температур. Первая часть посвящена теорети-
теоретическим основам прочности и устойчивости композитных оболочек при силовых и
тепловых воздействиях; во второй части представлены результаты эксперимен-
экспериментальной проверки предлагаемых методов расчета.
Для научных и инженерно-технических работников, а также преподавате-
преподавателей, аспирантов и студентов вузов.
Научное издание
БЕЛОЗЕРОВ Леонид Георгиевич
КИРЕЕВ Владимир Александрович
КОМПОЗИТНЫЕ ОБОЛОЧКИ
ПРИ СИЛОВЫХ И ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Редактор Н. И. Чернышева
Компьютерная графика М. Н. Грицук
Компьютерная верстка Г. М. Красникова
ИД №01389 от 30.03.2000
Гигиеническое заключение № 77.99.02.953.Д.003724.07.01
от 05.07.2001
Подписано в печать 27.05.2003. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 24,25. Уч.-изд. л. 26,7. Тираж 1000 экз.
Издательство Физико-математической литературы
119071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с готовых диапозитивов
ГУП «Облиздат»
248640 Калуга, пл. Старый торг, 5
Заказ №130
Г8594 И520641'
ISBN 5-94052-064-7
© Л.Г. Белозеров, В.А.Киреев, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Часть 1. Теоретические основы прочности и устойчивости
композитных оболочек при силовых и тепловых
воздействиях 11
Глава 1. Теория расчета предельных нагрузок по обобщенным
характеристикам 11
1.1. Метод исследования предельных нагрузок 12
1.2. Применение методов теории подобия к расчету неравно-
неравномерно нагретых элементов конструкций 18
1.3. Алгоритмы определения обобщенной характеристики . . 29
1.4. Метод замены температурных полей 37
1.5. Метод преобразований обобщенных характеристик .... 47
1.6. Метод определяющей температуры 51
Глава 2. Предельные нагрузки неравномерно нагретых по
толщине ортотропных оболочек при силовых воз-
воздействиях 75
2.1. Уравнения устойчивости пологих конических и цилин-
цилиндрических оболочек 75
2.2. Жесткостные характеристики оболочек (пластин) при не-
нестационарных режимах нагрева 83
2.3. Устойчивость конической оболочки при внешнем да-
давлении 90
2.4. Устойчивость конической оболочки, сжатой вдоль оси . . 98
2.5. Устойчивость цилиндрической оболочки при однородных
нагрузках 105
2.6. Устойчивость цилиндрической оболочки при нагружении
несимметричным внешним давлением и изгибающим
моментом 114
2.7. Устойчивость цилиндрической оболочки при изгибе попе-
поперечной силой 119

4 Оглавление
2.8. Устойчивость цилиндрической оболочки при неоднород-
неоднородном продольном сжатии 123
2.9. Предельные нагрузки продольно сжатых (растянутых)
цилиндрических оболочек 124
Глава 3. Устойчивость заполненных цилиндрических оболочек
при силовых и тепловых воздействиях 128
3.1. Постановка задачи 128
3.2. Определение компонентов докритического напряженного
состояния 131
3.3. Устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек с
изотропным заполнителем при действии нагрузок и тем-
температуры 137
3.4. Примеры расчетов 141
Глава 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек враще-
вращения при тепловых воздействиях 146
4.1. Постановка задачи термоупругости 146
4.2. Определение критического перепада температуры между
стенкой цилиндрической оболочки и шпангоутом в случае
защемления 148
4.3. Определение критического перепада температуры между
стенкой цилиндрической оболочки и шпангоутом в случае
шарнирного опирания 155
4.4. Термоустойчивость цилиндрической (сферической) обо-
оболочки при неравномерном распределении температуры по
длине (по экватору) 159
4.5. Применение разностных методов для решения задач тер-
термоустойчивости цилиндрической оболочки 164
4.6. Методика расчета теплофизических характеристик мате-
материала оболочек 168
4.7. К оценке напряжений в осесимметрично нагретых обо-
оболочках вращения 183
4.8. Влияние термоциклирования на предельные нагрузки
углеродных оболочек 192
Глава 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболо-
оболочек при изотермических состояниях 197
5.1. Основные предположения. Характеристики упругости
монослоя и пакета 197
5.2. Виды намоток 200
5.3. Основные уравнения для расчета 201
5.4. Устойчивость при кручении, при изгибе поперечной силой
оболочек, полученных косой, перекрестной и изотропной
намотками 205

Оглавление 5
5.5. Устойчивость при осевом сжатии, внешнем давлении и
изгибе поперечной силой многослойных оболочек 208
5.6. Устойчивость при совместном действии кручения и нор-
нормального давления оболочек, полученных косой, пере-
перекрестной и изотропной намотками 211
5.7. Анализ результатов расчета на устойчивость оболочек,
полученных косой, перекрестной и изотропной намот-
намотками 212
5.8. Влияние схем армирования на устойчивость неравно-
неравномерно нагретых по толщине оболочек 224
Часть 2. Экспериментальные основы прочности и устойчи-
устойчивости композитных оболочек при силовых и тепло-
тепловых воздействиях 231
Глава 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
неравномерно нагретых по толщине ортотропных
цилиндрических оболочек при осевом сжатии 231
6.1. Конструкция оболочек, технология и методика испы-
испытаний 231
6.2. Результаты исследования 235
6.3. Обсуждение данных эксперимента и расчета 249
6.4. Экспериментальная проверка метода замены температур-
температурных полей 259
6.5. Экспериментальная проверка метода определяющей тем-
температуры 259
Глава 7. Влияние схем армирования на деформативность и
предельные нагрузки продольно сжатых слабокони-
слабоконических и цилиндрических оболочек при изотерми-
изотермических состояниях 263
7.1. Предельные нагрузки стеклопластиковых оболочек, изго-
изготовленных комбинированной намоткой 263
7.2. Предельные нагрузки разноориентированных намоточ-
намоточных оболочек 273
7.3. Влияние нагрева на предельные нагрузки разноориенти-
разноориентированных намоточных оболочек 294
Глава 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
оболочечных конструкций при силовых и тепловых
воздействиях 305
8.1. Предельные нагрузки тонкостенных стеклопластиковых
оболочек при кручении 305
8.2. Предельные нагрузки одно- и много секционных оболочеч-
оболочечных конструкций при поперечном изгибе 312

Оглавление
8.3. К методике исследования предельных нагрузок цилин-
цилиндрических панелей при растяжении в двух направлениях
со сдвигом 327
8.4. Предельные нагрузки цилиндрических и плоских пане-
панелей при продольном сжатии 335
8.5. Методика определения предельных нагрузок замкнутых
в вершине оболочек вращения при неравномерном внеш-
внешнем давлении и нагреве 350
8.6. К вопросу о регламентировании нагрузок и температур-
температурных полей при испытаниях углеродных элементов кон-
конструкций 367
]писок литературы 381

ПРЕДИСЛОВИЕ
Тепловой режим конструкций энергетических устройств из
композитных материалов (КМ) в ряде случаев характеризуется ин-
интенсивным теплообменом на поверхности, высокими скоростями
изменения температуры во времени и большими градиентами тем-
температур внутри этих конструкций. При этом в материале воз-
возникают нелинейные физико-химические явления, которые часто
ведут к снижению несущей способности конструкций. К ним от-
относятся структурные фазовые превращения, взаимодействие ком-
компонентов, расслоение, температурные и структурные напряжения,
изменение теплофизических, упругих, прочностных и других
характеристик, реологические эффекты. Расчет предельного со-
состояния конструкции, находящейся в таких условиях, должен
включать описание процессов теплопроводности, термо- и вязко-
упругости, кинетики химических реакций, аэродинамики филь-
фильтрующих газов, диффузии, а также требует из-за анизотропии
свойств определения большого количества теплофизических и ме-
механических характеристик материалов. Точный расчет с учетом
изменения характеристик от температуры весьма сложен, так как
связан с решением нелинейных интегродифференциальных урав-
уравнений с переменными коэффициентами. На достоверность его ре-
результатов большое влияние оказывает трудность представления и
выбора достаточно полно отражающей действительность модели
процесса, связанного с необратимыми явлениями.
Нельзя не считаться с менее принципиальными, но все же важ-
важными фактами — отсутствием, как правило, на начальном этапе
освоения материалов достаточного количества характеристик, а
также значительным расхождением между их паспортными и ре-
реальными значениями.
Необходимость получения в процессе проектирования конст-
конструкции из новых материалов конкретных сведений о несущей
способности ее элементов на различных этапах эксплуатации за-
заставляет разрабатывать методы исследования и расчета, позволя-
позволяющие иметь достоверную информацию о поведении конструкции в
реальных условиях. Решению этой задачи и посвящена моногра-
монография. В ней предпринята попытка систематизировать разработан-
разработанные с участием авторов методы определения предельных нагрузок
оболочечных конструкций из КМ, находящихся в условиях неод-
неоднородного и нестационарного поля температур.
Первая часть монографии посвящена теоретическим основам
прочности и устойчивости композитных оболочек при силовых и
тепловых воздействиях. Значительное внимание уделено изло-
изложению теории расчета предельных нагрузок (гл. 1), которая осно-
основывается на использовании обобщенных характеристик, получа-

Предисловие
емых на отдельных образцах конструкции при нестационарных
режимах нагрева (метод замены температурных полей, метод пре-
преобразования обобщенных характеристик с помощью критериев те-
теплового подобия) либо при изотермических состояниях (метод
определяющей температуры).
В гл. 2 представлено обобщение системы дифференциальных
уравнений смешанного вида типа Кармана на случай ортотропной
конической неравномерно нагретой по толщине оболочки с учетом
зависимости характеристик упругости материала от температуры.
С помощью этих уравнений исследована устойчивость незаполнен-
незаполненных конических и цилиндрических оболочек при различных ви-
видах нагружения.
В гл. 3 на базе этих уравнений рассмотрена устойчивость за-
заполненных ортотропных цилиндрических оболочек.
Глава 4 посвящена изучению аналитическими и численными
методами локальной термоустойчивости ортотропных цилиндри-
цилиндрических и сферических оболочек. В ней также рассмотрено анали-
аналитическое определение перемещений и напряжений в ортотропных
оболочках вращения, испытывающих осесимметричный нагрев,
влияние термоциклирования на предельные нагрузки при внеш-
внешнем давлении на примере углеродных оболочек и представлен алго-
алгоритм расчета теплофизических характеристик многослойных КМ.
В гл. 5 получены разрешающее дифференциальное уравнение
устойчивости слоистой цилиндрической оболочки относительно
прогиба выпучивания с произвольным строением пакета по тол-
толщине и расчетные формулы для определения критических уси-
усилий при различных видах нагружения, в частности, в оболочках,
изготовленных прямой, однозаходной, перекрестной и изотроп-
изотропной намотками. Сформулирована задача поиска оптимальных па-
параметров неравномерно нагретых по толщине многослойных ци-
цилиндрических оболочек. Для случая, когда активным является
ограничение по устойчивости, оценено влияние схемы армиро-
армирования на критические параметры нагрузки и волнообразования.
Эти исследования расширяют представление о роли проектных
параметров оболочечных конструкций, оцениваемых по моделям
В. И. Королева и С. А. Амбарцумяна.
Во второй части излагаются экспериментальные основы проч-
прочности и устойчивости композитных оболочек и цилиндрических
панелей при силовых и тепловых воздействиях. Результаты экс-
экспериментальной проверки предлагаемых в монографии методов
расчета приведены в гл. 6. Они базируются на изучении законо-
закономерностей изменения предельных нагрузок большого количества
продольно сжатых ортотропных цилиндрических стеклопластико-
вых оболочек с различными геометрическими размерами при изо-
изотермических состояниях и нестационарных режимах нагрева.

Предисловие
В гл. 7 изучается влияние схем армирования на предельные на-
нагрузки и деформативность продольно сжатых слабоконических и
цилиндрических оболочек из стекло-, органо- и углепластика. При-
Приведены результаты сравнения экспериментальных данных, полу-
полученных авторами и известных им из литературных источников, с
данными расчетов по формулам теорий анизотропных тел и орто-
тропных одно- и многослойных оболочек.
Глава 8 посвящена экспериментальному исследованию предель-
предельных нагрузок тонкостенных композитных элементов конструкций
(цилиндрических оболочек при кручении, одно- и многосвязных
оболочек при поперечном изгибе, цилиндрических панелей при
растяжении в двух направлениях со сдвигом, цилиндрических и
плоских панелей при продольном сжатии, замкнутых в вершине
оболочек вращения при неравномерном внешнем давлении) при
изотермических состояниях и нестационарных режимах нагрева.
Значительное внимание уделено описанию методики испытаний,
оценке точности воспроизведения и регламентированию нагрузок
и температурных полей при испытаниях, сопоставлению экспери-
экспериментальных данных с расчетными.
По ряду разработанных алгоритмов составлены программы
расчетов на алгоритмическом языке ФОРТРАН для ЭВМ, тексты
которых можно найти в ранее опубликованных работах авторов.
В связи с этим авторы приносят извинения читателям из-за не-
неудобств, связанных с ограниченным объемом монографии.
Глава 1, п. 6.1, 6.2, 6.4, 7.1 написаны Л.Г. Белозеровым, гл. 2-5
и п. 6.3, 7.2, 7.3 — В.А. Киреевым, а гл. 8 и п. 7.3 — совместно.
Подготовка рукописи книги к изданию выполнена В.А. Ки-
Киреевым, так как Леонид Георгиевич Белозеров ушел из жизни
16 июня 2000 г.
Авторы признательны В. Г. Дмитриеву, В. П. Рукавцу и
А.П. Быркину за содействие в издании книги и выражают бла-
благодарность Г.М. Просиной за помощь при подготовке рукописи.
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Xi (г = 1, 2, 3); х, у, z — декартовы координаты;
г — время;
Р — сила;
Г — температура;
р — плотность;
с — удельная теплоемкость;
а — коэффициент температуропроводности;
А — коэффициент теплопроводности;
щ (г = 1, 2, 3); u, v, w — компоненты вектора перемещений;
h — коэффициент теплообмена;
1 Зак. 130

10 Предисловие
q — плотность теплового потока;
q — поверхностная нагрузка, давление, распределенное усилие;
р — интенсивность поверхностной нагрузки;
/ — характерный размер, длина;
Е — модуль Юнга;
Е\, Е2 — модули Юнга в направлениях х, у либо в направле-
направлениях основы и утка;
Е*, El, E% — модули Юнга при температуре;
v — коэффициент Пуассона;
^ь ^2 — коэффициенты Пуассона в направлениях х, у;
v\iv2 — коэффициенты Пуассона при температуре;
е — относительная деформация;
Fo — критерий Фурье;
h — толщина;
Ро — критерий Померанцева;
Pd — критерий Предводителева;
Ki — критерий Кирпичева;
Bi — критерий Био;
b — скорость нагрева;
G, Gn — модули сдвига;
G*, G*2 — модули сдвига при температуре;
Кр = Р/Ро — относительная предельная нагрузка;
в = (Г — То)/Го — относительная температура;
? = x/h — относительная толщина, относительная коорди-
координата;
R — радиус;
т —в задачах устойчивости число полуволн в продольном
направлении;
п — в задачах устойчивости число волн в окружном направ-
направлении
Индексы
а) нижние:
кр — критический;
н — наружный;
вн — внутренний;
max — максимальный;
min — минимальный;
с — среда;
t — изотермический;
г — нестационарный;
ср — средний;
opt — оптимальный;
0 — начальный, нулевой;
б) верхние:
0 — докритический

Часть 1
Теоретические основы прочности
и устойчивости композитных оболочек
при силовых и тепловых воздействиях
Глава 1
ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПРЕДЕЛЬНЫХ НАГРУЗОК
ПО ОБОБЩЕННЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Предложена методика исследования и расчета предельных на-
нагрузок неравномерно нагреваемых тонкостенных конструкций из
КМ, в том числе и оболочечных, согласно которой влияние на проч-
прочность или устойчивость различных физико-химических явлений,
возникающих в условиях неоднородного и нестационарного поля
температур, оценивается по результатам испытаний фрагментов
или образцов конструкций вместо традиционных образцов мате-
материалов. Она базируется на представлениях, вытекающих из за-
законов термодинамики и механики твердого деформируемого тела.
Расчет конструкции при различных режимах нагрева ведется с
помощью ее обобщенной характеристики — функциональной за-
зависимости между несущей способностью и распределением темпе-
температур в стенке, определяемой при нестационарных режимах на-
нагрева (метод замены температурных полей, метод преобразования
обобщенных характеристик с помощью критериев теплового подо-
подобия) либо при изотермических состояниях (метод определяющей
температуры).
Уменьшение погрешностей расчета достигается тем, что обоб-
обобщенная характеристика учитывает изменение механических ха-
характеристик материалов (обратимое и необратимое), влияние
структурных и термических напряжений, а также особенности
технологических процессов изготовления и технологические де-
дефекты конструкции, которые не могут быть учтены в полном
объеме существующими методами расчета.
Знание обобщенных характеристик конструкций позволяет в
ряде случаев сократить объем экспериментальных исследований,
поскольку обобщенная характеристика, полученная для одной
формы конструкции, может быть с помощью методов теории обоб-
обобщенных переменных распространена в случае одинакового меха-
механизма разрушения на другие формы конструкции из таких же
материалов.

12 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
Впервые попытка применить методы теории обобщенных пере-
переменных к решению задач в области температурной прочности ма-
малотеплопроводных конструкций из неметаллических материалов
и, в частности, к определению предельных нагрузок в случае одно-
одностороннего нестационарного нагрева тонкостенных цилиндриче-
цилиндрических оболочек из стеклопластика была сделана Л. Г. Белозеровым
и Н. А. Малаховым в 1964 г. С этой целью была проведена серия
испытаний, при которых на моделях оболочек устанавливались за-
зависимости предельных нагрузок от критериев теплового подобия,
характеризующих тепловые граничные условия на наружной те-
пловоспринимающей поверхности. С помощью этих зависимостей
определялась несущая способность оболочек при других подобных
режимах нагрева. Этот же подход был затем использован авто-
авторами работы [73] при исследовании закономерностей разупрочне-
разупрочнения стеклопластиковых образцов при нестационарном нагреве.
§ 1.1. Метод исследования предельных нагрузок
На основании изучения закономерностей изменения характе-
характеристик прочности и устойчивости ряда элементов композитных
конструкций при различных видах нагружения в неоднородном
и нестационарном поле температур предлагается новая методика
их исследования и расчета. Основным ее отличием от существу-
существующих является то, что физическими системами, на которых ис-
исследуется влияние на прочность или устойчивость полей темпера-
температур при выбранных режимах нагрева, вместо образцов материала
или его компонентов служат образцы конструкций. Под образ-
образцами конструкций условно подразумеваются либо модели, либо
конструктивно- технологически подобные образцы, либо непосред-
непосредственно элементы конструкций. Расчет образцов конструкций при
других режимах нагрева ведется по определяемым на них обоб-
обобщенным характеристикам. За обобщенные характеристики при-
принимаются феноменологические зависимости вида
Ро~ Л,
связывающие значения действующих на образец внешних меха-
механических сил Р с распределениями температур в стенке Т при
выбранных режимах нагружения и нагревания его поверхности в
моменты времени, предшествующие разрушению или потере ус-
устойчивости.
Полученные экспериментальным путем, эти зависимости в до-
достаточной мере учитывают обратимое (чисто температурное) и не-
необратимое (из-за термического разложения, структурных превра-
превращений, химического взаимодействия компонентов, расслоений у

§ 1.1. Метод исследования предельных нагрузок 13
граничных поверхностей и других явлений) изменения механиче-
механических и теплофизических характеристик материалов и влияние на
них структурных и термических напряжений, а также особенно-
особенности технологических процессов изготовления элементов конструк-
конструкций и их технологические дефекты.
Рассматриваемая методика обеспечивает более надежную ин-
информацию о статической прочности или устойчивости элементов
конструкций, а также прогнозирование их поведения при различ-
различных режимах нагрева. В процессе исследования возможно также
определение некоторых механических и теплофизических харак-
характеристик материалов и измерение деформаций и перемещений.
Обобщенная характеристика включает в себя множество пре-
предельных напряженных состояний, соответствующих различным
уровням нагрузок при комнатной и повышенной температурах.
Условимся относить к ним состояния, при которых происходит
либо разрушение материала, либо выпучивание стенок, либо по-
потеря образцом устойчивости в целом. Внешнюю нагрузку, вы-
вызывающую предельное напряженное состояние, будем называть
предельной.
Характерными предельными состояниями являются началь-
начальное и конечное. За начальное примем состояние, соответствую-
соответствующее параметрам Р = Pq и Т = Tq перед началом нагрева, а за
конечное — состояние, наступающее в тот момент времени, когда
нагреваемый образец перестает сопротивляться действию внешней
механической нагрузки, т. е. если к нему приложить малую на-
нагрузку, он разрушится. Наименьшую из существующих в стенке
температур в этот момент времени назовем критической темпера-
температурой. Следовательно,
Ткр = lim inf Т.
Величина Ткр определяется природой и структурой материала,
напряженно-деформированным состоянием и механизмом разру-
разрушения образца. В случае монотонного возрастания температуры
наружной поверхности Тн при одностороннем нагреве критической
будем считать температуру внутренней поверхности образца Твн,
при симметричном двустороннем нагреве — температуру средин-
срединной поверхности и т. д. При этом в каждой точке образца (внутри
или на поверхности) должно выполняться условие T(xi) ^ Ткр.
В интервале температур (То, Tmax)j где Ттах — температура
тепловоспринимающей поверхности стенки образца при выбран-
выбранном режиме одностороннего нагрева в момент времени ткр, когда
Твн = Гкр, предельная нагрузка изменяется от своего начального
состояния Ро до конечного РТкр. Закономерности ее изменения
будут зависеть от физико-механических характеристик материала

14
Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
образца, от вида нагружения, режима нагрева и механизма разру-
разрушения. Если образец выполнен из материала, механические ха-
характеристики которого с ростом температуры снижаются, а темпе-
температура Тн является монотонно возрастающей функцией времени,
то Ро = Ртах? а РГкр = Pmin- В остальные моменты времени
Ртах > Р > Pmin-
На рис. 1.1а в качестве примера в системе координат [Р, т]
приведена закономерность изменения предельных нагрузок, по-
полученная при линейных законах изменения с течением времени
р,т
Рис. 1.1. Предельные нагрузки образца (а) и распределения температур в его
стенке (б)
температуры Тн образцов и постоянных уровнях нагрузки Pi
(i — 1, 2, ..., к), а на рис. 1.15 — распределение температур по
толщине стенок в моменты времени т\, Т2, ткр, предшествующие
их разрушению. На рис. 1.2 эта за-
закономерность представлена в относи-
относительных координатах [Р/Ро, т/ткр] и
может рассматриваться как обобщен-
обобщенная характеристика. Подробнее алго-
алгоритм определения обобщенных харак-
характеристик изложен в § 1.3.
У элементов с переменной толщи-
толщиной стенки распределение температур
по толщине в процессе нагрева может
быть различным. Если во всех точках
наружной поверхности элемента тем-
температура Тн изменяется с течением
времени одинаково, то чем меньше
0,4 ¦
0
0,4
0,8 т/т
Рис. 1.2. Обобщенная характе-
характеристика в системе координат
Р/Ро, т/ткр
толщина, тем скорее на внутренней поверхности установится тем-
температура Ткр. Это означает, что у конструкции с переменной

§1.1. Метод исследования предельных нагрузок 15
толщиной стенки существует область значений ткр. Вначале будут
выходить из строя тонкие сечения, а затем более толстые. Обоб-
Обобщенная характеристика может выражаться гладкой или кусочно-
гладкой функцией. Точки разрыва первого рода будут соответ-
соответствовать различным значениям ткр. Существование этих точек
будет определяться типом сечения конструкций. Аналогичный вид
могут иметь характеристики подкрепленных конструкций, много-
многослойных конструкций с легким заполнителем, а также конструк-
конструкций из разнородных материалов.
Излагаемые в данной главе метод исследования закономерно-
закономерностей изменения предельных нагрузок и теория расчета элементов
композитных конструкций по их обобщенным характеристикам
опираются в основном на представления, вытекающие из поста-
постановки и методов решения краевых задач математической физики.
Предположим, что поведение образца конструкции при совмест-
совместных тепловых и механических воздействиях аналогично поведе-
поведению твердого упругого анизотропного тела, на которое действуют
поверхностные Pi и массовые Xi силы и которое нагревается на
поверхности А. Тогда оно может быть описано системой дифферен-
дифференциальных уравнений краевой задачи термоупругости, которая при
отсутствии инерционных членов в несвязанной постановке имеет
следующий вид [81,90]:
^-(рсТ) = div(AgradT) + U; A.1)
от
aijtj+Xi = 0; A.2)
Ч = sTjkl°kl + ctijT; A.3)
?ij = 2Kj + ui,i)> *» J» M = li 2, 3. A.4)
Здесь U — плотность источников тепла; о~ц — тензор напряжений;
Sij — тензор малых деформаций; sjjkl — коэффициенты податли-
податливости изотермического состояния; ац — тензор теплового расши-
расширения тела; щ — вектор перемещений. Дифференцирование по
пространственной координате обозначено запятой на уровне ин-
индексов с одновременным обозначением соответствующей коорди-
координаты.
Если при испытаниях образца удовлетворяются краевые усло-
условия, то процесс определения обобщенной характеристики можно
уподобить процессу нахождения решения краевой задачи экспери-
экспериментальным путем. В этом случае каждая ее точка рассматри-
рассматривается как фактическое, полученное экспериментально решение

Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
краевой задачи термоупругости при выбранных начальных и гра-
граничных условиях.
Известно [90], что задачу термоупругости в несвязанной по-
постановке разделяют на две и решают их последовательно. Пер-
Первая представляет собой краевую задачу теории теплопроводности
с уравнением поля A.1). У непрозрачных материалов, к кото-
которым относится большинство композитов, теплопередача от точки
к точке внутри осуществляется теплопроводностью и описывается
уравнением теплопроводности Фурье.
Начальные условия определяются распределениями темпера-
температур в теле в начальный момент времени. Граничные условия мо-
могут быть заданы следующими способами [83]:
T(Xi,T) = f(Xi,Ty, A.5)
^ит) = д(хг,т); A.6)
&Г ~
А— = к[Т0-Т(хит)}- A.7)
Xi G A;
хг G Ax2.
Здесь n — внешняя нормаль к поверхности в точке; Ai, Аг —
коэффициенты теплопроводности на контактирующих поверхно-
поверхностях; А\2 — общая поверхность.
Определение температурных полей в композите значительно
усложняется при наличии термической деструкции связующего,
которая существенно изменяет процесс переноса тепла в матери-
материале. Система уравнений, описывающая распространение тепла в
композите в этом случае, должна включать уравнения химической
кинетики, сохранения массы, энергии и количества движения, со-
состояния парогазообразной фазы, а также необходимые соотноше-
соотношения для входящих в эту систему физических параметров [130].
После нахождения температурного поля задача распределения
напряжений сводится к задаче линейной несвязанной квазиста-
квазистатической теории термоупругости, которую описывают уравнения
A.2)—A.4). Граничные условия на поверхности тела могут быть
заданы в перемещениях
щ = и^(хг)

§ 1.1. Метод исследования предельных нагрузок 17
или в напряжениях
Pi = o-ijuj, A.8)
где пу — направляющие косинусы внешней нормали к граничным
поверхностям.
Погрешность определения обобщенной характеристики будет
зависеть от погрешностей воспроизведения внешних воздействий
и измерений параметров, характеризующих эти воздействия, а
также от погрешностей обработки результатов испытаний.
В данной главе значительное внимание уделяется созданию
методов расчета элементов конструкций с различными геометриче-
геометрическими размерами по их обобщенным характеристикам при разных
режимах нагревания и нагружения. Укажем основные положения,
на которых они базируются:
1) при заданном способе приложения и уровне внешней на-
нагрузки распределение напряжений по толщине стенки элемента
конструкции однозначно определяется полем температур;
2) существует температура, которая названа критической и ко-
которая является константой для рассматриваемого вида нагруже-
нагружения и материала элемента конструкции.
Первый момент накладывает ограничение на характер поведе-
поведения интересующих нас материалов. Положение о существовании
критической температуры связано с тем, что в ряде случаев трудно
установить ее точное значение из-за отсутствия постоянной темпе-
температуры размягчения у некоторых компонентов и отсутствия рео-
реологических свойств, проявляющихся при высоких температурах.
Погрешность расчета элементов конструкций по их обобщен-
обобщенным характеристикам будет зависеть от выбора образцов конструк-
конструкций, на которых они определяются, от погрешностей обобщенных
характеристик и используемых методов расчета. Одной из основ-
основных задач теории расчета в этом случае является создание про-
простых и надежных методов, позволяющих при минимальной ин-
информации охватить наибольшее количество явлений. В связи с
этим при нахождении обобщенных характеристик широко исполь-
используются методы теории обобщенных переменных, которые, с одной
стороны, позволяют уменьшить объем экспериментальных иссле-
исследований, а с другой — определить предельные нагрузки элемен-
элементов при подобных режимах нагревания. Кроме того, ниже изла-
излагается ряд методов расчета, позволяющих вычислять предельные
нагрузки элементов конструкций при режимах нагревания, отлич-
отличных от тех, при которых находились обобщенные характеристики.
Отметим, что помимо определения фактической прочности и
закономерностей изменения предельных нагрузок элементов кон-
конструкций, находящихся в условиях неоднородного и нестационар-
нестационарного поля температур, рассматриваемый подход к исследованию

Гл.1. Теория расчета предельных нагрузок
предельных нагрузок позволяет установить характер разрушения
элементов, вычислить параметры волнообразования тонкостен-
тонкостенных элементов и рассмотреть их поведение в докритической и за-
критической областях, выявить новые эффекты, определить чув-
чувствительность к концентрациям напряжений в местах крепления,
проверить существующие и разрабатываемые методы расчета.
Нахождение предельных нагрузок на образцах конструкций
ведет к сокращению объема экспериментальных исследований,
способствует отработке технологических процессов изготовления
натурных конструкций и созданию методики их испытаний в ла-
лабораторных условиях.
Организация и проведение заранее на научной основе иссле-
исследований закономерностей изменения предельных нагрузок типо-
типовых элементов из новых материалов (оболочек, панелей, пластин,
стержней, балок и др.) и представление их в виде справочных дан-
данных должно способствовать быстрейшему внедрению их в произ-
производство изделий.
§ 1.2. Применение методов теории подобия к расчету
неравномерно нагретых элементов конструкций
Из теории подобия следует, что если есть уравнения, описыва-
описывающие физический процесс или явление, то решение задачи можно
получить в форме безразмерных величин. Неизвестные относи-
относительные переменные определяются здесь как функции независи-
независимых переменных и критериев теплового подобия, играющих роль
постоянных параметров. Эти критерии получают из интеграль-
интегральных, дифференциальных или конечных уравнений путем перехода
к алгебраическим соотношениям с помощью математического ап-
аппарата теории подобия [41, 81].
Если решение задачи найдено в безразмерных величинах для
какого-либо частного случая, то полученный результат можно рас-
распространить на множество подобных явлений при выполнении
следующих условий: а) геометрического подобия модели и натуры;
б) подобия их физической структуры; в) подобия начальных состо-
состояний; г) подобия граничных условий.
При рассмотрении явлений термомеханического подобия воз-
возможны два варианта постановки задач [126]. В задачах первого
типа внешние тепловые условия не рассматриваются и темпе-
температурное поле считается заданной функцией координат. Они ха-
характерны для установившихся тепловых режимов, в которых
температурные напряжения и смещения не зависят от времени.
В задачах второго типа распределение температур внутри тела
заранее неизвестно. На граничных поверхностях наряду с внеш-
внешними нагрузками задаются плотность теплового потока и темпе-

§ 1.2. Применение методов теории подобия 19
ратура, определяющие последующий характер изменения темпе-
температурного поля.
В задачах первого типа критериальные уравнения термоупру-
термоупругости имеют вид
а ( Р
u
где ip\, <р2, (рз — некоторые неизвестные экспериментально опре-
определяемые функции; а, е, а, и — любые из компонентов тензоров
Oij, ?ij, otij и вектора щ; I — характерный размер.
В задачах второго типа в критериальные уравнения входят еще
критерии теплового подобия. Отметим, что эти критерии, получен-
полученные в работах [41, 81] для изотропного тела на основе масштабных
преобразований уравнения теплопроводности Фурье и граничных
условий теплообмена, сохраняют свою структуру при рассмотре-
рассмотрении явлений теплового подобия в анизотропном теле в случае одно-
одномерной задачи. Обеспечивая подобие явлений в сходных точках на
поверхности тел, они тем самым сохраняют равенство температур
в сходных точках внутри геометрически подобных тел, выполнен-
выполненных из одного и того же материала. К этим критериям относятся:
при граничных условиях A.5) — Fo, Po, Pd; A.6) — Fo, Po, Ki;
A.7) — Fo, Po, Bi.
Здесь
B.1)
Задачи второго типа значительно усложняются, если физи-
физические параметры, входящие в уравнения термоупругости, зави-
зависят от температуры. При анализе явлений теплового подобия в
твердом теле в работе [128] эти зависимости представляют в
виде х — /х(^> ^*' X*)- Здесь под х подразумевается любая из
переменных физических величин. Звездочками отмечены неко-
некоторое параметрическое значение температуры Т и соответствую-
соответствующие ей значения физических величин. При рассмотрении задачи
моделирования теплопроводности при начальном условии То =
= f{xi,l', I", ..., ln,T*), i = 1, 2, 3 и граничных условиях

20 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
—X(dT/dn) = hT, было получено общее решение дифференци-
дифференциального уравнения теплопроводности, удовлетворяющее этим ус-
условиям, в виде
Т~*~ \k' Щ 'Л*' с*' А*,)' г-1'2'3'
где
А-Л(?); ?-/«(?). (,2)
Это означает, что если в геометрически подобных телах вы-
выполняются условия B.2), а также условия
ГыЛ _(ыЛ
то во всех сходных точках модели и образца и в сходные моменты
времени, т. е. при
а~т\ агт
]2 * \ /2 / '
'0 / мод \ 10 / обр
будут иметь место равенства
71* /
мод \ / обр
Здесь «мод» — модель, «обр» — образец.
Этот подход используется затем в работе [99] при анализе явле-
явлений термомеханического подобия и распространяется на все физи-
физические переменные параметры, входящие в уравнения. Общий вид
решения системы дифференциальных уравнений термоупругости
при нагружении тела постоянными силами в случае граничных
условий третьего рода, а также при отсутствии массовых сил и
источников тепла представлен в виде
Р_ hip а*т I \
)*/2> ТГ' /2 ' Г ) '
где Da — девиатор напряжений, De — девиатор деформаций.

§1.2. Применение методов теории подобия 21
В задачах статической прочности упругого тела, подвержен-
подверженного воздействию температур, решение считается найденным в
том случае, если известно распределение напряжений, деформа-
деформаций, перемещений и температур в любой точке тела. Поэтому в
левые части критериальных уравнений, представляющих собой
общий интеграл дифференциальных уравнений рассматриваемых
задач, входят преимущественно величины, связанные с искомыми
полями деформаций, напряжений, перемещений или температур.
Разрушение образцов в случае нагружения их постоянными си-
силами будет происходить при достижении критических значений
девиатора напряжений, девиатора деформаций, а также других ве-
величин, входящих в критериальные уравнения.
Анализ термомеханического подобия явлений в элементах ком-
композитных конструкций. При определении структуры критериев
термомеханического подобия явлений в элементах композитных
конструкций будем предполагать, что свойства компонентов, обра-
образующих композит, удовлетворяют условию монолитности [103], а
сам композит является анизотропной и однородной сплошной сре-
средой. Условие однородности может быть принято в связи с тем,
что поперечные размеры наполнителя, обусловливающего неодно-
неоднородность, пренебрежимо малы по сравнению с геометрическими
размерами элемента конструкции.
Анализ термомеханического подобия проведем на основе об-
общих методов теории подобия с помощью масштабных преобразова-
преобразований системы уравнений A.2)—A.4). Масштабные преобразования
уравнения A.1) и тепловых граничных условий подробно изло-
изложены в работах [81, 86, 128].
Рассмотрим некоторое множество 1, 2, ..., х, ..., п явлений,
протекающих в геометрически подобных системах из КМ при воз-
воздействии на них механических и тепловых нагрузок. Предполо-
Предположим, что между одноименными параметрами подобных явлений,
т. е. между одноименными переменными и постоянными физиче-
физическими величинами уравнений, описывающих эти явления, суще-
существуют соотношения
Т = М%ТН; xt = M*.af;
?Ц = Щ^Ф °И = Мч°ф Xi = M%.x?- B.3)
Здесь буквой М обозначены множители преобразования. Верх-
Верхний индекс указывает номер явления, а нижний — преобразуе-
преобразуемую величину. Предположим далее, что существуют следующие

22 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
равенства множителей преобразования:
М?. = М* = М* = const; Ме*. — Ме = const;
М* = М* = const; М* = М? = const; fo 4)
Mst = М*т = const; M?.. = Ma = const.
Производя в уравнениях A.2)—A.4) масштабные преобразова-
преобразования определяющих параметров с помощью равенств B.3) и B.4),
получим
1TZ = Ь^ХЬ 2-5
дх? Mg
м»
B7)
Условия тождественности для систем уравнений A.2)—A.4) и
B.5)-B.7), при которых может быть реализовано термомехани-
термомеханическое подобие явлений, приводит к следующим соотношениям
между выбранными множителями преобразований:
МТМ? _
' м?
м* ' м?
B.8)
ЁМ1
= 1 м = 1
м? ' е
Эти соотношения позволяют установить инвариантность без-
безразмерных комбинаций определяющих параметров:
1х ., sTa .,
— = idem; = idem;
a ?
aT
— = idem; ? = idem.
Подставляя во второе уравнение системы B.8) значение мно-
множителя М* = 1, найдем М*т = 1/М*.

§ 1.2. Применение методов теории подобия
23
Коэффициенты sjjkl представим в виде матрицы
1
Ex'
vy'x'
Ey'
1
Ey'
Vz'x> Vx'y',x'
Ez> Gx'y'
"z'y' Vx'y',y'
Ez' Gx'y'
1 Vx'y',z'
Ez' Gx'y'
1 Vy,
Gx'y' С
Vy'z',x'
Gy'z'
Gy'z'
Vy'z',z'
Gy'z'
z',x'y'V:
ly>Z'
1 v..
Gy'z'
Vz'x',x'
Gz'x'
Vz'x',y'
Gz'x'
Vz'x',z'
Gz'x'
z'x',x'y'
Gz'x'
z'x',y'z'
Gz'x'
1
G
= \\A\\. B.9)
z'x'
Здесь x', y', z' — оси координат, произвольно ориентированные в
материале относительно главных осей xi, ?2, ?3. Нижние части
матриц симметричны верхним относительно главной диагонали.
Предположим, что между входящими в состав матрицы B.9)
одноименными техническими постоянными нескольких подобных
явлений существует связь:
Е{ = MgE?
(¦i = t' ii' r'V
\i — u, , у , z ),
(г, j = x', y', z');
(г, j = x', y', z'; i ф j);
(Z. 7 = & n "U ч % \ 1 ifc 1 }*ч
A* 1 —*~ T" It Ф ' 9 rr 1' l
B.10)
Выразим коэффициенты Пуассона f;j, Ченцова z/^ j и коэффи-
коэффициенты взаимного влияния fij,ij через линейные ?j, ?j (г, j =
= 1, 2, 3; г ф j) и угловые е„ (г, j = 1, 2, 3; г ^ j; ij ^ ij)
относительные деформации:
B.11)

24 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
Представим, что в подобных явлениях существуют тождества
вида
и имеются равенства множителей преобразования относительных
деформаций, т. е.
М* = М*. = Мч = const = М*. B.13)
Ранее показано, что М* — 1.
Подставив в третье, четвертое и пятое уравнения системы
B.10) значения побочных коэффициентов B.11) с учетом B.12)
и B.13), получим
?«
MH ??¦'
Эти равенства, представляющие собой формулы для определе-
определения побочных коэффициентов в х-м явлении, будут справедливы
при соблюдении условий
М*. = 1; М* . = 1; М?.. .. = 1. B.14)
Отсюда вытекает следующая группа инвариантов подобия:
i/ij — idem; v^i — idem; vij,ij — idem. B.15)
Следовательно, механическое подобие явлений будет соблю-
соблюдаться при равенстве значений одноименных коэффициентов
Пуассона, Ченцова и взаимного влияния.
Предположим, что существует равенство множителей преобра-
преобразования модулей упругости Eij и Gy, т.е. Mg = Mg.. = М?.
Выполняя в элементах матрицы B.9) масштабные преобразо-
преобразования с учетом B.12) и B.15) и вынося постоянный множитель
М^ из матрицы, получим
Подставляя в левую часть этого равенства значение множителя
преобразования М*т = 1/М?, найдем
*№

§1.2. Применение методов теории подобия 25
Отсюда вытекает, что М^/М^ = 1. Это дает еще один инва-
инвариант подобия а/Е = idem.
Отметим, что матрица B.9) соответствует наиболее полной
расчетной схеме анизотропии. При других схемах (ортотропии,
трансверсальной изотропии, изотропии) она содержит меньшее
количество элементов, однако множители их преобразования при
этом не меняются. Следовательно, инварианты подобия, получен-
полученные для наиболее полной расчетной схемы анизотропии, сохра-
сохраняют свою структуру при других схемах анизотропии.
Для подтверждения правомерности допущения о равенстве
множителей преобразования М? и Mq воспользуемся формулой
связи между упругими постоянными ортотропного материала [7]:
Е0Е45
Е90{1 + vQ)'
Здесь индексы «О», «45», «90»указывают направления, по которым
определяются значения G, E, v.
После масштабных преобразований эта формула принимает
вид
45
Отсюда с учетом B.14) следует, что М? = М?.
Зададим граничные условия на поверхности тела в напряже-
напряжениях A.8). Масштабные преобразования этих условий приводят
к инварианту Р/а — idem.
Если механические усилия на поверхности тела заданы в виде
сосредоточенных сил Pi, P2, ... , то с помощью масштабных пре-
преобразований уравнений связи между приложенными усилиями и
р
напряжениями получают еще один инвариант подобия [99]: —j^ =
= idem.
Так как физические величины, входящие в полученные выше
инварианты подобия, являются функциями температуры, то в со-
соответствии с [99, 128] к системе уравнений A.2)—A.5) необходимо
присоединить уравнения вида B.1) и выполнить масштабные пре-
преобразования. Не останавливаясь подробно на этих исследованиях,
отметим, что общий вид решения системы дифференциальных
уравнений термоупругости анизотропного тела при нагружении
его постоянными силами в случае тепловых граничных условий
третьего рода без источников тепла и при отсутствии массовых сил
может быть при рассмотрении одномерной задачи представлен как

26 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
а*Т* Р* Ы* а*т Т Е е у а
?* ' о*1*2' А* ' I*2 ' Т*' Е*' ?*' у*' а*'
Р А а Л о
—, ¦—, —, — I. Здесь под ^ подразумевается группа коэффи-
лг А а ь J
циентов Пуассона, Ченцова и взаимного влияния.
Выпишем определяющие параметры и соответствующие им
размерности физических величин:
а, Е, ?, v, а, Т, Р, I, h, А, а, г; B.16)
[ст] = Па = Н • м-2; [Е] = Па = Н • м~2;
[е] = 1; И = 1; [а] = К; [Т] = К;
B 17)
[Р] = Н; [I] = м; [Л] = Вт/м2 = Н • м • с • К;
[А] = Вт/м2 = Н ¦ с • К; [а] =8*2-с; [г] = с.
Здесь Н, м, с, К — единицы измерения массы, длины, времени и
температуры соответственно.
Из перечня B.16) и формул размерностей B.17) следует, что
число определяющих параметров N — 14, а число основных еди-
единиц измерения п = 4. Следовательно, в соответствии с 7г-теоремой
анализа размерностей из четырнадцати определяющих параме-
параметров при числе основных единиц измерения п = 4 можно обра-
образовать десять независимых безразмерных соотношений Gг =
= N — п = 10), являющихся критериями термомеханического
подобия.
Удовлетворение требованиям 7г-теоремы после некоторых пре-
преобразований и исключения в соответствии с [99] симплексов, за-
зависящих от безразмерной температуры, позволяет представить об-
общее решение рассматриваемой задачи в критериальной форме как
?*
(
E*e* ~h\^ 'e*l*2' I*2' A )' I* ~ h\^ ' a*l*2' I*2' A* j'
B.18)
гДе /i) /2) /з, /4 — функции, подлежащие определению экспери-
мзнтальным путем.

§ 1.2. Применение методов теории подобия 27
Значительный интерес для излагаемого метода представляет
первое уравнение системы B.18). Входящие в него критерии по-
подобия имеют следующий смысл. Первый критерий v* требует
для всех подобных явлений тождественных значений коэффици-
коэффициента Пуассона, Ченцова и взаимного влияния. Второй критерий
Р*/(а*1*2) указывает на то, что геометрически подобные и по-
подобно нагруженные статическими внешними силами тела из од-
одного и того же материала получают одинаковые напряжения, если
все силы пропорциональны квадратам линейных размеров (закон
Барба-Кика). Если законы подобия соблюдены, то соотношение
Р/Р* должно приниматься в виде функции комплексов а*т/1*2 и
Ы*/Л*, т.е.
Если по условиям задачи в качестве параметрических величин
заданы значения физических переменных при Т = Го, то
Р ( Л
При других граничных условиях вместо комплекса-аргумента Bi
могут использоваться комплексы Pd, Ki и др.
В случае соблюдения законов подобия и равенстве чисел Fo, Hi,
где IIj — один из комплексов-аргументов, определяющих условия
теплообмена на граничных поверхностях, должно выполняться
равенство значений относительных предельных нагрузок образца
и элемента конструкции, т.е. {Р/Ро)обр = {Р/Ро)эл- Это озна-
означает, что при построении обобщенной характеристики элементов
конструкции из КМ в виде соотношения между экспериментально
определяемыми значениями предельных нагрузок при повышен-
повышенной и нормальной температурах Кр = Р/Ро могут быть приме-
применены методы теории подобия. Очевидно, что они могут исполь-
использоваться также при определении предельных нагрузок элементов
конструкций в случае подобных режимов нагрева. Отметим, что
предельные напряженные состояния образцов при совместном дей-
действии внешней нагрузки и температуры определяются в основном
критическими значениями напряжений, деформаций, перемеще-
перемещений и т.д., т.е. критическими значениями зависящих от темпе-
температуры физических величин, из которых образованы остальные
комплексы или симплексы, входящие в критериальные уравнения
рассматриваемой задачи.

28 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
Различный характер зависимостей от температуры теплофи-
зических и механических характеристик материалов практически
исключает возможность определения обобщенных характеристик
на образцах из других материалов. Поэтому образцы конструкций
должны изготавливаться из тех же материалов, что и элементы,
по единому с ними технологическому процессу и должны иметь
аналогичную структуру стенки. Важным является соблюдение
одинаковых граничных условий в опорных устройствах, так как
ряд КМ весьма чувствителен к концентрациям напряжений, воз-
возникающих вблизи них. Вопросы местной прочности для конструк-
конструкций, выполненных из этих материалов, могут играть существен-
существенную роль.
В зависимости от продолжительности нагрева и нагружения,
уровней внешних нагрузок и температур, характера их распреде-
распределений, свойств материалов и структуры стенки образца в нем мо-
могут возникать как упругие, так и неупругие деформации. В случае
неупругих деформаций критерии, полученные на основе уравне-
уравнений термоупругости, непригодны для моделирования процессов.
При малых упругопластических деформациях их можно получить
с помощью основных уравнений деформационной теории пластич-
пластичности [104].
Процессы ползучести при кратковременном интенсивном на-
нагревании материалов с малой теплопроводностью не оказывают
заметного влияния на напряженное состояние, и в ряде случаев
ими можно пренебречь. Здесь более существенным является ис-
искажение температурных полей из-за разложения связующего в по-
поверхностных слоях материала. Положение иногда спасает высокая
температура начала разложения полимера и приближенное моде-
моделирование. В случае неоднородного поля температур к комплек-
комплексам-аргументам, определяющим распространение тепла в стенке
образца, необходимо присоединить комплекс-аргумент Ро.
Нагревание образцов лучше проводить при постоянных уров-
уровнях нагрузки, так как в этом случае влияние на несущую способ-
способность таких явлений, как ползучесть материала, «идет в запас».
При выборе геометрических размеров образцов конструкций
необходимо стремиться к тому, чтобы характер разрушения образ-
образцов и элементов был одинаков.
Отметим, что при соблюдении законов подобия, одинаковом
механизме разрушения и равенстве чисел Fo, П* обобщенная ха-
характеристика, полученная для тел одной формы (например, для
гладких цилиндрических оболочек), может быть использована для
расчета предельных нагрузок других тел (например, конических,
оживальных и других оболочек с основанием в виде окружности,
эллипса и др.). В этих случаях необходимо только определять их
предельные нагрузки при Т = Tq.

§ 1.3. Алгоритмы определения обобщенной характеристики 29
§ 1.3. Алгоритмы определения обобщенной характеристики
При установлении обобщенной характеристики эксперимен-
экспериментальным путем может быть принят следующий алгоритм. Вна-
Вначале определяется закономерность изменения предельных нагру-
нагрузок образцов при начальной (комнатной) температуре и строится
зависимость Р = РоA), где I — характерный геометрический раз-
размер образца, например толщина стенки h. Затем исследуются за-
закономерности изменения предельных нагрузок образцов при вы-
выбранных значениях одного или нескольких критериев теплового
подобия и строятся кривые
? = <MFo, П;)- C.1)
"О
Одновременно с этим определяются температурные поля в стенке
и строятся зависимости
После этого на образцах конструкции или материала устанавли-
устанавливается значение температуры вкр = (Ткр — То)/То. Значение вкр
и зависимости C.1) используются далее для определения связи
FoKp = /№), где FoKp — критические числа Фурье. Эти числа
соответствуют моментам времени ткр, при которых в случае мо-
монотонного возрастания относительной температуры наружной по-
поверхности вн в каждой точке образца устанавливается температура
в ^ 9кр. При режимах нагревания, соответствующих различным
значениям чисел П;, числа FoKp будут различными. Зависимость
C-1) в координатных осях Р/Ро, Fo будет иметь несколько ветвей,
берущих начало в общей точке {Р/Ро = 1; Fo = 0) и пересекаю-
пересекающих ось абсцисс в точках {Р/Ро = 0; Fo = FoKp).
На основании результатов исследования строятся номограммы
или выводятся эмпирические формулы, с помощью которых произ-
производится расчет предельных нагрузок неравномерно нагретых эле-
элементов конструкций при подобных режимах нагревания в преде-
пределах исследованных значений чисел Fo и П, [13].
Анализ решений дифференциального уравнения теплопровод-
теплопроводности Фурье указывает на то, что процесс нагревания тел про-
простейших форм (пластин, цилиндров, шаров и др.), выполненных
из КМ, включает в себя несколько стадий. Начальная стадия, при
которой на распределение температур в стенке влияют начальные
условия, называется иррегулярным режимом. Вторая стадия на-
называется регулярным режимом. Распределение температур здесь
не зависит от начальных условий и описывается некоторой функ-
функцией координат и времени Т (ж,, г).

30 Гл.1. Теория расчета предельных нагрузок
Регулярные режимы в твердом теле возможны при различ-
различных граничных условиях теплообмена: Тс = const, q — const,
Тс = То + Ьт и др. При определении температурных полей прини-
принимают [81], что регулярный режим в теле наступает тогда, когда эти
решения не зависят от времени. Практически это означает, что че-
через промежуток времени, определяемый неравенствами Fo > Foper
или т > трег, в решениях уравнения теплопроводности, предста-
представленных в виде ряда, опускают члены, кроме первого, или отбра-
отбрасывают всю сумму ряда. Здесь индекс «per» характеризует начало
регулярного режима.
В связи с этим обобщенная характеристика будет также состо-
состоять из двух ветвей. Границей их раздела будет точка на кривой,
соответствующая числу Fo = Foper. При Fo < Foper разрушение
образца конструкции будет происходить в условиях иррегулярного
режима, а при Fo ^ Foper — в условиях регулярного теплового
режима. В ряде случаев при расчете предельных нагрузок удобнее
пользоваться ветвями обобщенных характеристик, полученными
при регулярных тепловых режимах и представленными в анали-
аналитическом виде функциями температур вн и вви. Это упрощает про-
проведение расчетов и позволяет приближенно оценить предельные
нагрузки в тех случаях, когда из условий эксперимента известны
только температуры 9Н и 0ВН.
Отметим, что в координатных осях P/Pq, Fo/FoKp кривые C.1)
будут иметь две общие точки: {Р/Ро = 1; Fo/FoKp= 0) и (P/Pq = 0;
Fo/FoKp = 1). Форма кривых будет различной для разных мате-
материалов и режимов нагрева. Результаты экспериментального ис-
исследования закономерностей изменения предельных нагрузок при
нестационарных режимах нагрева стеклопластиковых оболочек,
панелей, элементов крыла, а также плоских образцов из различ-
различных материалов (стекло-, угле-, органопластиков) в случае осе-
осевого сжатия или растяжения показали, что зависимости Р/Ро =
= <р (Fo/Fo , IIj) в ряде случаев могут быть представлены одной
кривой
Р ( Fo\
и аппроксимированы степенным рядом
Р А
где ат — опытные коэффициенты.

§ 1.3. Алгоритмы определения обобщенной характеристики 31
Комплекс-аргумент Fo/Fo является обобщенным числом Фу-
Фурье. Его введение сокращает объемы экспериментальных иссле-
исследований при установлении обобщенных характеристик. Однако в
ходе этих исследований необходимо установить границы чисел IIj,
при которых справедлива зависимость C.2),
Отметим, что обработка результатов испытаний при осевом
сжатии и растяжении около тысячи образцов материалов из сте-
стеклопластиков на основе фенолформальдегидных, эпоксифеноль-
ных и других связующих с толщинами стенок от 0,5 до 10 мм,
нагреваемых до температуры Тн ^ 1270 К со скоростями от 0,5 до
30 К/с, подтвердила возможность построения кривых C.2) в до-
достаточно большом диапазоне чисел Предводителева (Pd = 0,4-г 9).
При этом разность между наибольшими и наименьшими значени-
значениями Кр не превышала 20 % по отношению к среднему.
Алгоритм определения обобщенной характеристики для глад-
гладких цилиндрических оболочек с постоянной толщиной стенки.
Пусть оболочка нагружается равномерно распределенной по тор-
торцам осевой сжимающей нагрузкой, а температура ее наружной по-
поверхности изменяется с течением времени по линейному закону.
Так как критическая нагрузка тонкостенной цилиндрической обо-
оболочки является нелинейной функцией показателя тонкостенное™,
то в первую очередь нужно определить зависимость Pq = f(R/h).
Если известны упругие характеристики материала, эту зависи-
зависимость можно найти расчетным путем по формулам теории ани-
анизотропных или ортотропных оболочек [24, 72].
Для определения температурных полей в стенке оболочки
воспользуемся решением дифференциального уравнения тепло-
теплопроводности, которое при рассмотрении одномерной задачи без
учета теплоизлучения в безразмерных величинах имеет вид [81]
1 °° А
Fo- -(I -^2) + y^^cos/in^exp(-/i^Fo) , C.4)
где
t
n=l M
Ап~{ 1} Bп-1)тг' ^-^2п 1>2> Ь~ дт>
„, bh2 „ ат
Выражение C.4) справедливо в том случае, если распределе-
распределение температур в стенке оболочки рассматривается как в плос-
плоской неограниченной пластине с началом координат на внутренней

32 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
поверхности при краевых условиях
Т(х, 0) = Т = const; Т = То + Ьт; ^^ Т' = 0 C.4а)
от
и соответствует решению при не зависящем от температуры ко-
коэффициенте температуропроводности. В этом выражении в =
= у>(?, Fo,Pd). Следовательно, зависимость относительной несу-
несущей способности оболочек от критериев теплового подобия будет
иметь вид Р/Ро = i/>(Fo, Pd) и в осях Р/Ро, Fo может быть пред-
представлена множеством исходящих из точки (Р/Ро = 1; Fo = 0)
ветвей, соответствующих разным значениям чисел Pd. Каждая
ветвь будет пересекаться с осью абсцисс в точках Fo = FoKp. Связь
между числами FoKp и Pd найдем из решения C.4) после подста-
подстановки в него значений ? = 0, в = вкр, Fo = FoKp:
вкр = Pd
1 °° л
+ 53
F°kp - « + 53 ~Т ехр (-^пРокр) - C.5)
1 M J
Установив опытным путем на образцах оболочек или матери-
материалов значение температуры вкр и определив из уравнения C.5)
числа FoKp, обобщенную характеристику можно найти как
(М)
С этой целью проводятся испытания нескольких образцов обо-
оболочек при выбранных значениях чисел Pd и постоянных уровнях
нагрузки Ро- Полученные опытным путем зависимости C.6) в
пределах выбранных значений чисел Pd могут быть аппроксими-
аппроксимированы степенным рядом C.3).
Для представления обобщенной характеристики
Fo
полученной при регулярном режиме, в виде Кр = Кр(ви, ввн, 6кр)
воспользуемся решениями дифференциального уравнения тепло-
теплопроводности [81].
Если начало координат расположить на внутренней поверхно-
поверхности стенки, то в случае одномерной несимметричной задачи из
этих решений получим системы уравнений, характеризующих из-
изменение температуры с течением времени в различных точках

§ 1.3. Алгоритмы определения обобщенной характеристики 33
стенки конструкции:
Г.ОХЗД
при ? = 1 0„ = 0H(Fo, Ш);
при ? = 0 0В„ = 0BH(Fo, Ц); C.7)
при ? = ?кр = 0 0кр = 0Kp(Fo, Пг).
Решив эти уравнения относительно Fo и FoKp, получим систему
вида
Fo = Fo@H, Ui); Fo = Fo@BH, Ц); FoKp = FoKp@Kp, U,),
из которой найдем выражение для обобщенного критерия Фурье:
Fo/FoKp = Ф@„, 0В„, 0кр).
В качестве примера рассмотрим случай нагревания неограни-
неограниченной стенки (пластины), температура которой с течением вре-
времени изменяется по линейному закону, а распределение темпера-
температур по толщине при числах Fo > Foper после отбрасывания суммы
ряда в формуле C.4) выражается уравнением параболы
C.8)
Температура в каждой точке стенки будет линейной функцией
времени.
Система C.7) в этом случае будет выглядеть следующим об-
образом:
0„ = PdFo; 0В„ = Pd ( Fo - - J ; 0кр = Pd ( FoKp - - 1 . C.9)
Отсюда
Решив систему C.10) относительно Fo/FoKp, найдем
-*L = °* . C.11)
ГОкр С/Кр Т»я- СВн
Следовательно, обобщенная характеристика C.3) в случае ква-
квазистационарного режима нагрева может быть записана с учетом
выражения C.10) как
[НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ S \
t ОДНИ РУКИ И2ХВДВЕ]
4 Зак. 130
вивяиот
КОЛОХЗА

34
Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
Отметим, что правая часть равенства C.11) после преобразо-
преобразований может быть представлена в виде
О» 1
1 + (#кр — Овн)/вн
Получаемый таким образом симплекс-аргумент @кр — ввя)/вя
в абсолютных величинах может быть записан как
"kd "bh -Ikd -ibh
"я J-я — JO
Это выражение указывает на то, что равенство чисел Кр насту-
наступает при одинаковых значениях соотношения между разностями
температур Ткр - Твн и Тн - То.
В случае иррегулярных режимов критические числа Фурье
являются корнями трансцендентных уравнений типа C.4). В пер-
первом приближении при линейном законе изменения с течением вре-
времени температуры вя они могут быть определены из выражения
ci6>Kp+c2Pd
F°KP = c3Pd '
C.12)
где С{ (i = 1, 2, 3) — коэффициенты, получаемые при аппрокси-
аппроксимации сомножителя правой части уравнения C.4)
Л
1 п=1 Мп
кусочно-линейной функцией.
Последующие приближения можно получить при более точной
аппроксимации или при решении уравнений C.4) графическим
способом. В табл. 1.1 приведены значения коэффициентов Cj и ин-
интервалы чисел 0Kp/Pd, в которых они действительны. Значения
коэффициентов последней строки соответствуют квазистационар-
квазистационарному состоянию в точках тела ? = 0.
Таблица 1.1. Значения коэффициентов Ci
С\
1,00
1,00
2,00
С2
0,00
0,25
1,00
сз
0,18
0,80
2,00
0Kp/Pd
0,00-0,07
0,07-0,63
0,63-оо

§ 1.3. Алгоритмы определения обобщенной характеристики 35
С учетом C.12) аргумент характеристики C.3) можно предста-
представить в виде
Fo c3Fo Pd
Fo
Kp
Следовательно,
c'FoPd
C.13)
C.14)
Для представления ветви обобщенной характеристики C.14),
полученной при иррегулярном режиме, в виде Кр — Кр @Н, 0ВН, вкр)
также воспользуемся решением C.4) и составим систему уравне-
уравнений, аналогичную системе C.7):
0„ = PdFo;
0вн = Pd
0кр = Pd
C.15)
Рокр-з+ЁтУ^рН'п1
п=1
Решение этой системы относительно чисел Fo и FoKp приво-
приводит к
=
FoKp 1+[с1@кр-0в„)]/(сз0„)'
/о
V "
где Cj (г = 1, 3) — коэффициенты аппроксимирующей функции
решения уравнения теплопроводности. Их значения приведены в
табл. 1.1.
С учетом C.16) выражение C.14) принимает вид
КР =
1
m=l
Анализ решения уравнения теплопроводности при других гра-
граничных условиях указывает на то, что обобщенный критерий Фу-
Фурье также может быть выражен через температуры вн, ввн, вкр.
4*

36 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
Отметим, что возможность представления критерия Fo/FoKp в
виде C.16) подтверждает правомерность преобразования кривых
Кр (Fo) в кривую Кр (Fo/FoKp) при постоянных значениях коэф-
коэффициента температуропроводности а. При других условиях воз-
возможны погрешности, которые могут возникать из-за различных
значений температурных напряжений, влияния скорости нагре-
нагревания на кинетические характеристики материала, реологических
эффектов. Величины этих погрешностей могут быть установлены
экспериментальным путем.
Ниже приведен ряд формул, аналогичных формулам C.12) и
C.13), с помощью которых можно вычислить предельные нагрузки
различных элементов конструкций (пластин, оболочек, стержней)
при одностороннем (несимметричном) или двустороннем (симме-
(симметричном) нагреве для двух режимов: плотность теплового пото-
потока — постоянная величина и температура среды — линейная
функция времени. Входящие в формулы коэффициенты ат
определяются экспериментально при установлении обобщенных
характеристик. Они зависят от вида материала, напряженно-
деформированного состояния, геометрии элемента конструкции и
граничных условий. Соответствующие решения задач теплопро-
теплопроводности заимствованы из работы [81].
Отметим, что приводимые ниже формулы могут использовать-
использоваться для расчета предельных нагрузок в случае квазистационарных
режимов нагрева. Формулы для иррегулярных режимов можно
получить после составления систем уравнений, аналогичных си-
системе C.15).
1. Плотность теплового потока q— постоянная величина.
Краевые условия теплообмена:
Т(х, 0) = Т = const;
-dT{h, т) _ ЭГ@, т)
дх ' дх
Решение задачи теплопроводности:
1 °О о
в = /3Ki
Fo - \{l -
6
Здесь

§ 1.4. Метод замены температурных полей
37
Формулы для расчета:
_ 60кр + /3Ki
°Kp ~ 6/3Ki '
2. Температура среды — линейная функция времени.
Краевые условия теплообмена:
C.17)
Г(х, 0) = Г = const;
' T)
= 0;
Решение задачи теплопроводности:
Здесь
C.18)
Mn(Br
i
+
— корни характеристического уравнения ctg /л — — ц.
Bi
Формулы для расчета:
flH/[2(flH-flBH)]+l/Bi
вкр/[2{вя-ввя)]+1/В\-
т=1
F°Kp~Pd + Bi + 2-
§ 1.4. Метод замены температурных полей
Ниже рассматривается метод расчета предельных нагрузок эле-
элементов конструкций при произвольных законах изменения с тече-
течением времени температуры их наружной поверхности. Сущность
его состоит в замене для рассматриваемых моментов времени

38
Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
полей температур в' = #'(?, Fo') (рис. 1.3а) исследуемого элемента
приближенными полями в = 0(?, Fo), для которых предельные
нагрузки могут быть определены с помощью его обобщенной ха-
характеристики. Ограничимся случаем, когда эта характеристика
0,4 0,8 _Fp_ 0 Pd,
0,8 0,4 0
Рис. 1.3. К расчету предельных нагрузок с помощью метода замены температур-
температурных полей
найдена при линейном законе изменения с течением времени тем-
температуры окружающей среды вс, а распределение температур по
толщине стенки образца представлено решением C.18).

§1.4. Метод замены температурных полей 39
Исходными для расчета служат значение предельной нагрузки
образца при комнатной температуре Pq, обобщенная характери-
характеристика
Ы ?) D.1)
' FoKp
а также зависимости
FoKp = tp(Bi, Pd); — = <p(Bi, Fo). D.2)
На рис. 1.3б,в,г приведены виды этих кривых для случая Bi =
= const.
Расчет проводится в следующем порядке. Вначале одним из
методов теории приближения функций (точечным или квадратич-
квадратичным аппроксимированием функций, методом средних и др.) для
выбранного момента времени определяются числа Bi, Pd, Fo
вспомогательного поля температур, наиболее приближающегося к
действительному. После этого по зависимости D.2) (рис. 1.3в)
находится значение критического числа Фурье FoKp, а затем с по-
помощью зависимости D.1) (рис. 1.36) — значение числа Кр. Зная
предельную нагрузку элемента конструкции при комнатной тем-
температуре Ро, из числа Кр легко определить предельную нагрузку
при приближенном поле температур — Р = РоКр. Это значение
предельной нагрузки для вспомогательного поля температур при-
принимается эквивалентным значению предельной нагрузки для дей-
действительного поля температур, т. е. Р ~ Р'. Аналогично произво-
производится расчет предельных нагрузок для всех выбранных моментов
времени.
Воспользуемся для нахождения чисел Pd, Fo, Bi точечным ап-
аппроксимированием функций. В качестве аппроксимирующего по-
полинома здесь будет полином, получаемый после следующих пре-
преобразований выражения C.18). Ограничиваясь первым членом
суммы ряда, входящего в правую часть этого выражения, раскла-
раскладывая косинус в ряд по аргументу fj,n? и сохраняя три первых
члена разложения, получаем
в({) = А? + В?2 + С. D.3)
Здесь
А = ™jld exp (_M?Fo); В = Pd Q - f) exp (-„?Fo);
С = Pd |fo - l-(l + J:) + ^exp (-/i?R>)] . D.4)

40
Ги. 1. Теория расчета предельных нагрузок
Правомерность наложенных ограничений определялась расчет-
расчетным путем. На рис. 1.4 в виде графиков 0i(?) (темные кружочки)
и 0г(?) (крестики) приведены результаты расчета температурных
0,12
0,08
0,04
0,8 0,6 0,4
0,2
Рис. 1.4. Результаты расчета температурных полей для Bi = 100 A); 10 B),
1E)
полей с помощью точной C.18) для 0i(?) и приближенной D.3) для
^г(?) формул. Расчет проводился для случаев Pd = 0,5; Fo = 0,3;
Bi = 100; 10; 1. Как следует из этих графиков, погрешность при-
приближения незначительная и практически не оказывает влияния
на значение обобщенного критерия Фурье, относительная погреш-
погрешность которого не превышает 3%.
Решив систему уравнений D.4) относительно чисел Pd, Fo и
Bi, найдем
Pd = 2{Вц\ + 4! A); Fo = -\ 1:
4.Л) Ш
4.Л)
D.5)

§ 1.4. Метод замены температурных полей 41
Это указывает на то, что числа Pd, Fo и Bi могут быть выра-
выражены через коэффициенты А, В, С полинома D.3). Отметим, что
число Fo всегда положительно. Следовательно, второе уравнение
системы D.5) имеет смысл, если
12А
nAE? + 4!A)
За меру отклонения полинома D.3) от заданной функции #
на множестве точек ?о, ?ъ • • •,?т будем принимать величину
+ Bg + C-e'iJ, D.6)
i=0
называемую квадратичным отклонением. В соответствии с мето-
методом наименьших квадратов для построения аппроксимирующего
полинома D.3) требуется подобрать коэффициенты А, В, С так,
чтобы величина квадратичного отклонения была минимальной.
Для решения этой задачи используем общие приемы дифферен-
дифференциального исчисления, т. е, найдем частные производные от ве-
величины S по переменным А, В, С, которые затем приравняем к
нулю. В результате получим систему уравнений
i=0
m
i=0
m
i=0
m
m
i=0
m
i=0
i=0
m
i=0
m
*& - 0; D.7)
i=0 i=0 i=0
решение которой относительно коэффициентов А, В, С может
быть получено с помощью формул Крамера [71]. Из-за громозд-
громоздкости оно не приводится. Подставляя значения коэффициентов А,
В, С в D.5), найдем значения чисел Pd, Fo и Bi поля температур,
наиболее приближающегося к заданному. Отметим, что система
уравнений D.7) имеет единственное решение, если ее определи-
определитель D ф 0.
Как следует из выражения C.18), определяющими критери-
критериями теплового подобия здесь являются Bi и Pd. Это означает,
что для реализации метода замены температурных полей необхо-
необходимо иметь обобщенные характеристики .Kp(Fo/FoKp) для ряда
3 Зак. 130

42 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
чисел Bi. Это связано с предварительным проведением большого
объема экспериментальных исследований по определению обоб-
обобщенных характеристик. Однако этот объем исследований зна-
значительно сокращается, если в качестве определяющего служит
только один критерий — критерий Pd. Переход к нему можно
совершить, устремив в выражении C.18) значение Bi к бесконеч-
бесконечности. В этом случае температура наружной поверхности образца
мгновенно становится равной температуре окружающей среды и
затем изменяется с течением времени по линейному закону. Про-
Процесс определения температурных полей в этом случае остается не-
неизменным. Коэффициент С при Bi ->• оо, как следует из D.4),
будет таким:
Отметим, что при Bi -* оо значительно облегчается и нахо-
нахождение обобщенных характеристик, так как в этом случае для на-
нагревания наружной поверхности образца может быть использован
достаточно хорошо разработанный радиационный метод.
Температурные поля, полученные при квазистационарных со-
состояниях, могут быть также использованы при расчете предель-
предельных нагрузок с помощью рассматриваемого метода замены. При
точечном квадратичном аппроксимировании функций в качестве
аппроксимирующего полинома здесь будет полином, получаемый
после преобразования правой части выражения C.8). Он может
быть представлен в виде
в = Bi2 + С, D.8)
где 5 = (l/2)Pd; С = Pd(Fo - 1/2).
Отсюда
Pd = 2B; Fo=^?.
m
В этом случае 6 = ? (В? + С- в\J.
i=0
Далее, используя необходимые условия экстремума функций
нескольких переменных с целью получения нормальной системы
для определения коэффициентов В и С и решая эту систему, по-
получаем

§1.4. Метод замены температурных полей 43
где
i=0
mm
г=0 г=0
m
i=0
Подставляя значения коэффициентов В и С в D.8), найдем
параметры вспомогательного поля температур, с помощью которых
определим значение Кр.
Основным преимуществом использования обобщенных харак-
характеристик, полученных при квазистационарных режимах, является
то, что при определении этих характеристик экспериментальным
путем значительно упрощается сам процесс их нахождения. Они
могут быть получены при малых темпах нагревания наружной по-
поверхности образца.
Итак, при точечном квадратичном аппроксимировании темпе-
температурных полей в стенке образца полями, полученными в случае
линейного с течением времени закона изменения температуры его
наружной поверхности, имеются два полинома и две соответству-
соответствующие им формулы для расчета относительных предельных нагру-
нагрузок:
к
7; КР = 1-
й
m1
D.10)
причем основным критерием при замене действительных полей
температур приближенным в этом случае является критерий
г=1
Для оценки погрешности решения в ряде случаев может
использоваться подход, который применялся С. А. Чаплыгиным
при приближенном интегрировании дифференциальных уравне-
з*

44 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
ний [44]. Сущность его состоит в том, что искомое решение в' =
= в {Q (^ ^ ? ^ 1) аппроксимируется двумя последовательно-
последовательностями функций вп = #п(?) и вп = вп(?) (п = 1, 2, 3, ...), удовле-
удовлетворяющими двойному неравенству #п@ ^ #'@ ^ #П(?)ПРИ ? ^
€ [?о = 0, ?т = 1] и начальному условию 0п(?о) <= #'(?о) = #п(?о)>
причем такими, что 6П(?) — вп =4 0 на [? = 0, ?т = 1].
Геометрически это значит, что заданная кривая #'(?) «зажима-
«зажимается» в сколь угодно узкий криволинейный сектор, образованный
двумя кривыми — 0п(?) и вп(?). В этом случае возможно срав-
сравнение средних квадратичных отклонений функций #п(?) и #'(?)>
вп{0 и в1 (О, 0@ и в1 (О, 0„(О И 0@. 0п(О и 6{О, а также оценка
значений Кр верхнего и нижнего приближении.
Если теплофизические характеристики материала являются
функциями температуры, то нахождение вспомогательного поля
температур может осуществляться с помощью последовательных
приближений. В качестве первого приближения можно использо-
использовать числа Pd и Fo вспомогательного поля температур, получаемые
из выражения C.8), которое после подстановки в него значений
? = 1,# = #дИ? = 0, в = в'вн распадается на два уравнения:
9>вн = Pd Fo - 0,5 + Y, -f
L
D.12)
Из решения этой системы получим зависимость
п=1 ™
с помощью которой для данных значений температур в'н и в'вн
можно вычислить число Fo. Число Pd находится из уравнения
D.12). Затем по кривой FoKp = ty?(Pd) определяется критиче-
критическое число Фурье и строятся графики функций Кр = Kp(Fo) (см.
рис. 1.3(9), в = 0(Fo) (см. рис. 1.3е), в = 0(?, Fo) (см. рис. 1.3ас).
Затем кривые в' = 0'(?, Fo') совмещаются с кривыми в = в(?, Fo),
и определяется квадратичное отклонение D.6). Если при этом ве-
величина 8 является большой, делается следующее приближение.
Основным требованием при выборе кривой в± = #i(?, Fo), наибо-
наиболее приближающейся к кривой в[ = в[{^', Fo'), является
o'BHl = eBHi. D.13)

§ 1.4. Метод замены температурных полей 45
Проведенные расчеты и экспериментальные исследования по-
показали, что при одностороннем нагреве на величину Кр оказывает
большое влияние температура менее нагретых слоев, которые при
монотонном возрастании вн примыкают к внутренней поверхно-
поверхности. Небольшое их отклонение от действительного поля приводит
к значительным погрешностям в определении Кр. В то же время
при фиксированном положении ввн изменение температуры наруж-
наружных слоев слабо влияет на величину Кр. С приближением 9Н к
вкр это влияние уменьшается, что значительно упрощает выбор
температуры наружных слоев.
Удовлетворение требованию D.11) и требованию
О'М) > Ш D.14)
в тех случаях, когда температура в каждой точке конструкции
является монотонно возрастающей функцией времени, гаранти-
гарантирует некоторый запас при определении Кр. Эти требования явля-
являются достаточными при изменении температуры 9'н по закону
PdFo), 0<Fo<Fob
^ Fo < Fon.
Если температура в'н в процессе нагрева имеет ряд экстрему-
экстремумов, то удовлетворение требованиям D.13) и D.14) может при-
привести к погрешностям из-за снижения прочности при повторном
нагреве материала. Влияние повторного нагрева на механические
характеристики в настоящее время недостаточно исследовано. По-
Поэтому будем считать, что если температура отдельных слоев пре-
превышает критическую, то их несущая способность исчерпывается и
после снижения температуры не восстанавливается. Границей не-
несущей зоны при одностороннем нагреве будем считать координату
?Кр) соответствующую температуре вкр. Следовательно, если тем-
температура отдельных слоев превышает критическую, важно подо-
подобрать вспомогательное поле, хорошо совпадающее с действитель-
действительным на участке стенки 0 ^ ? ^ ?кр.
Отметим, что при линейном законе изменения температуры
наружной поверхности во времени распределение температур по
толщине стенки в любой момент выражается гладкой функцией
#'(?). При произвольных законах изменения температуры 6'н во
времени вид функции #'(?) может быть различным. Хороший
результат метод замены температурных полей (с малой средней
квадратичной погрешностью) дает при замене гладких монотонно
возрастающих или убывающих функций, а также функций с точ-
точками перегиба на участке ? > ?Кр-

46
Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
После нахождения кривых в = #(?, Fo) определяются с помо-
помощью графика рис. 1.3<9 значения чисел Кр, которые принима-
принимаются эквивалентными значениям К'Р элементов конструкций в
моменты времени, соответствующие числам Fo'. Затем по извест-
известным значениям Pq и К'р находятся предельные нагрузки элемен-
элементов Р.
Отметим, что при любом методе приближения функций выбор
кривых в — #(?, Fo) может осуществляться только в пределах тех
чисел, при которых определялась обобщенная характеристика. По-
Поэтому в случае необходимости этот диапазон чисел Pd может быть
расширен с помощью метода замены температурных полей. За-
Зависимости Kp(Fo, Pd) в этом случае находятся расчетным путем.
Числовой пример. Определим предельную нагрузку при осевом
сжатии гладкой цилиндрической оболочки средней длины с тол-
толщиной стенки h ~ 2 мм и радиусом срединной поверхности R =
— 300 мм, распределение температур по толщине стенки которой
в безразмерных координатах представлено на рис. 1.5 (сплошная
Рис. 1.5. Действительное и вспомогательные поля температур в стенке оболочки
линия). Известны То = 293 К; а = 13,3-10"8 м2/с; Ро = 8 ¦ 105 Н;
^кр = 0,73; обобщенная характеристика оболочки при линейном
с течением времени законе изменения температуры наружной по-
поверхности стенки
D.15)
0н-0в
"
кр
Для решения этой задачи воспользуемся точечным квадратич-
квадратичным аппроксимированием функций. С целью сокращения вы-
вычислений при построении аппроксимирующего полинома ограни-
ограничимся участком обобщенной характеристики, полученным при
квазистационарном состоянии. В этом случае аппроксимирую-
аппроксимирующий полином может быть представлен как в = В?2 + С. Вы-
Вычислив по формулам D.9) значения его коэффициентов, найдем,

§1.5. Метод преобразований обобщенных характеристик 47
что В = 0,203; С = 0,305. Следовательно, 9 = 0,203?2 + 0,305
(пунктирная линия на рис. 1.5). Подставляя значения В и С в
D.8), получим Pd = 0,406, Fo = 1,25. Величину КР = 0,455
имеем из выражения D.15) путем подстановки в него значений
9И = В + С и 9ВН = С. Следовательно, Р = Р0КР = 36,4 • 104 Н.
Среднее квадратичное отклонение полинома #(?) от функции
#'(?)- А = 0,021.
Следуя методу С. А. Чаплыгина, проведем из точки (? = 0;
9' = 0,3) параболы 0i(?) = 0,3?2 + 0,3 и 02(О = 0,15?2 + 0,3,
наиболее близко приближающиеся сверху и снизу к кривой #'(?)
(штрихпунктирные линии на рис. 1.5), и определим с помощью
формулы D.15) соответствующие им значения Кр: Крх = 0,417,
Кр2 = 0,488. Величина Кр, соответствующая искомому поли-
полиному, находится в промежутке между ними. Относительная по-
погрешность нижнего приближения АКр/Кр2 = 6,7%, а верхнего
AKP/KPl =9,1%.
§ 1.5. Метод преобразований обобщенных характеристик
Из решений дифференциального уравнения теплопроводности
Фурье при различных краевых условиях теплообмена и из кри-
критериальных уравнений обобщенных характеристик видно, что
температурные поля в стенке образца и его предельные нагрузки
являются функциями одних и тех же определяющих критериев
теплового подобия — Pd, Bi, Ki и др. Например, если в одномер-
одномерной задаче 9 = 9(е, Fo, iij), то и Кр = i^p(Fo, П*). От вида гра-
граничных условий теплообмена зависит распределение температур в
стенке образца и, следовательно, его предельные нагрузки. Изме-
Изменение граничных условий ведет, в свою очередь, к получению ре-
решений уравнений теплопроводности и критериальных уравнений
обобщенных характеристик с другими определяющими критери-
критериями теплового подобия. Представляет значительный интерес ис-
исследование возможностей нахождения аналитических выражений
обобщенных характеристик для режимов нагревания, определяе-
определяемых критерием ГЦ, если известно изменение предельных нагрузок
образца при режимах нагревания, определяемых критерием tlj.
Из сравнения решений уравнения Фурье, приведенных в § 1.4,
следует, что в случаях нагревания наружной поверхности пла-
пластины по линейному закону, изменения температуры окружающей
среды по линейному закону и нагревания от источника с посто-
постоянной плотностью теплового потока распределение температур по
толщине пластины при числах Fo > Foper описывается полиномом
второй степени с различными коэффициентами (параболой). Рас-
Рассмотрим два режима нагревания наружной поверхности образца:

48 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
Ти = Tq + Ьт и q = const. При квазистационарных состояниях
распределение температур в стенке для этих режимов может быть
представлено следующими полиномами:
0 = Pd [Fo-0,5A-?2)]; E.1)
в' = /Ж! (ъ>-\ + ^2) . E.2)
Обозначим коэффициенты этих полиномов следующим обра-
образом:
В' = ^/3Ki; С" = /Ж Fo' - \{3Kl
2 6
Приравняв между собой значения одноименных коэффициен-
коэффициентов В = В' и С = С', получим
Pd = /Ш; Fo = Fo' + I. E.3)
о
Равенства E.3) означают, что распределение температур по
толщине пластины в моменты времени, соответствующие чис-
числам Fo и Fo', при равных значениях Pd и /3Ki одинаково, т.е.
6{?, Fo, Pd) = ff(t, Fo', /Ж1).
Предположим, что обобщенная характеристика в случае нагре-
нагревания по режиму Тн = То + Ьт является линейной функцией обоб-
обобщенного критерия Фурье, т. е.
КР = 1 - — = 1 - ви = 1 - 2PdFo E.4)
FoKp ви — вви + вкр 20кр + Pd
Тогда с учетом равенств E.3) выражение E.4) можно предста-
представить как
2/Ж1 (Fo' +1/3)
Кр ~1 ~ 20 + /Ж1 • E-5)
Значение относительной предельной нагрузки, определяемое
выражением E.5), является эквивалентным значению предельной
нагрузки К'р образца при нагревании его по режиму q = const в
моменты времени, соответствующие числам Fo', т.е. Кр = К'р.
Из изложенного выше следует, что если известно аналитиче-
аналитическое выражение обобщенной характеристики для режима нагрева,

§1.5. Метод преобразований обобщенных характеристик 49
определяемого критерием Pd, то с помощью формулы E.5) можно
построить обобщенную характеристику для режима нагрева, опре-
определяемого критерием /3KL В общем случае она может быть пред-
представлена как
20кр + /Ж
С помощью аналогичных преобразований можно получить фор-
формулы для обобщенной характеристики при линейном законе изме-
изменения температуры окружающей среды, рассмотрев систему урав-
уравнений
0 = Pd[Fo-O,5(l-?2)];
В этом случае
Pd = Pd'; Fo = Fo' - -b
2Pd; (Fo' - 1/Bi)
29KD + Pd'
k=\
Если рассматривается система уравнений
то
6Pd[Fo'
2/Bi)/2]
k=\
Pd

50 Гл.1. Теория расчета предельных нагрузок
Отметим, что изложенный выше прием приближения функции
(?) к #'(?) в теории приближения функций называется интерпо-
интерполированием функций. Если число узлов интерполирования равно
степени полинома #(?), то значения его коэффициентов можно
определить из системы уравнений типа
E.6)
Известно, что определитель этой системы есть определитель
Вандермонда и система имеет единственное решение, а полином,
коэффициенты которого вычисляются из этой системы, называ-
называется интерполяционным полиномом Лагранжа [44].
При принятых выше обозначениях система E.6) в рассматри-
рассматриваемом случае имеет вид
где ?о = 0; ?i = 1- В качестве интерполяционного полинома Ла-
Лагранжа здесь может выступать любой из рассматриваемых поли-
полиномов, для которого известна зависимость Кр(?о).
Излагаемый метод преобразования можно распространить на
случаи, когда одно из решений уравнения Фурье выражается
какой-либо функцией #'(?), при которой закон распределения тем-
температур по толщине стенки отличается от закона, описываемого
полиномом #(?)¦ Для этих целей один из узлов интерполирова-
интерполирования задается в точке ? = 0, второй последовательно принимает
значения ^ (к = 1, 2, ..., п). При каждом из этих значений
определяется отклонение функции #(?) от #'(?), а затем — его
минимум. Коэффициенты построенного таким образом полинома
используются для нахождения обобщенного критерия Фурье и зна-
значений К р.
Числовой пример. Пусть известна обобщенная характеристика
в случае линейного с течением времени закона изменения темпе-
температуры наружной поверхности образца Кр = 1 — FoFo~p- Тре-
Требуется определить значение числа К'р при нагревании образца
от источника с постоянной плотностью теплового потока для мо-
момента времени, соответствующего числу Fo' = 0,6, причем /3 = 1,3;
Ki = 0,53; 0кр = 1.

§1.6. Метод определяющей температуры 51
Подставляя в формулы E.3) значения /3, Ki, Fo', найдем Pd =
= 0,689, Fo = 0,933. Затем, используя формулу E.4), получим
Кр = К'р = 0,521. Из решений уравнения Фурье E.1) и E.2)
найдем 6>„ = 0,643; ввн = 0,298; 9'н = 0,643; 6>в„ = 0,293. Отсюда
следует, что в обоих случаях температуры вн и ввн равны. Легко
убедиться с помощью формул E.1) и E.2), что температуры в
остальных точках стенки также одинаковы.
Значения обобщенных чисел Фурье для разных режимов на-
нагрева определим из формул C.12) и C.17): Fo/FoKp = 0,479;
Fo'/Fo^ = 0,37.
Поскольку при обоих режимах нагрева в моменты времени,
соответствующие числам Fo и Fo', температуры во всех точках
стенки образца одинаковы, то отклонение функции в от в' равно
нулю. Это означает, что в данном случае получено точное значение
числа К'р.
§ 1.6. Метод определяющей температуры
Рассмотрим возможность расчета предельных нагрузок образ-
образцов, находящихся в нестационарном температурном поле, по обоб-
обобщенным характеристикам, определяемым при их изотермических
состояниях:
Pt ФиФ2*
Pq Ф10Ф20
Здесь Pt — предельная нагрузка образца при состоянии, харак-
характеризуемом изотермой Т; Ф^ — функция, учитывающая зависи-
зависимость характеристик материала от температуры; Фгг — функция,
определяемая геометрией образца; индекс «0» относится к характе-
характеристикам материала и геометрии при начальном изотермическом
состоянии. Пренебрегая изменением геометрии от температуры,
получим
*» = * = & (Ы)
т. е. относительная предельная нагрузка при изотермических со-
состояниях является функцией температуры.
Введение понятия определяющей температуры. Анализ явле-
явлений термомеханического подобия при режимах нагрева, соответ-
соответствующих различным значениям определяющего критерия ГЦ,
указывает на то, что каждому значению обобщенного числа Фу-
Фурье соответствует семейство эквивалентных по относительной не-
несущей способности кривых в (?, Fo, Etj), описываемых одним

52
Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
законом распределения температур по толщине образца (рис. 1.6),
т. е. при Кр = idem, Fo/FoKp = idem, в (?, Fo, П,) = var. Каждая
кривая этого семейства характеризуется определенными значени-
значениями чисел вн и ввн. Связь этих чисел с числами Fo и П, может
быть установлена с помощью двух вариантов представления числа
Fo/FoKp, приведенных в § 1.3 для различных режимов нагрева, и
О Fo,Fo2Fo3
Fo = idem
Рис. 1.6. К введению понятия опре-
определяющей температуры: о — Kp(Fo);
б - A-p(Fo/FoKp); в —0@
систем уравнений, аналогичных системе C.7). Например, при-
приравняв между собой оба варианта обобщенных чисел Фурье при
линейном законе изменения с течением времени температуры 6Н,
а также разделив первое уравнение системы C.9) на второе,

§1.6. Метод определяющей температуры 53
получим
= —; F.2)
ef;= йъ^т- F-3)
Решив эти уравнения относительно чисел Pd и Fo, найдем
Pd = 2@H-0BH); F.4)
^ тт- F-5)
Обозначив постоянное значение обобщенного числа Фурье как
г-5—— = idem = Fo F.6)
и подставив Fo в формулу F.2), получим
Fo= —. F.7)
Отсюда
Pd = —!?_?. F.8)
2Fo - Fo
или
(Ой J- PHWn
F.9)
Задавая далее различные значения соотношения вн/ввп и ис-
используя формулы F.5) и F.8), можно определить числа Fo и Pd
для семейства кривых в (?, Fo, Pd) при Fo = idem, которое мо-
может быть построено с помощью формулы C.8). На рис. 1.7 в ка-
качестве примера приведено одно из семейств кривых для случая
Fo = 0,5 и вкр = 1. Исходные данные для расчета представлены
в табл. 1.2. Анализ поведения кривых этого семейства указывает,
что с уменьшением числа вн/ввн распределение температур по тол-
толщине стенки стремится к равномерному. При этом вн/ввн -> 1 и,
как следует из F.4) и F.5), Pd -> 0, Fo -> оо. С уменьшением

54
Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
0,8 0,4
Рис. 1.7. Распределение температур в стенке образца: Pd = 1,43 A); 0,666 B);
0,4 E); 0,26 D); 0,095 E); 0,049 F)
числа Fo температуры вн и ввн взаимно приближанугся к некото-
некоторой температуре Qf Обобщенное число Фурье в предельном случае
принимает следующий вид:
lim
в.
F.10)
Таблица 1.2. Е расчету темперахурных полей в стенке образца,
представленных на рис. 1.7
6,00
2,00
1,50
1,30
1,10
1,05
1,01
Fo
0,60
1,00
1,50
2,17
5,50
10,50
50,50
Pd
1,430
0,666
0,400
2,600
0,095
0,049
0,001
0,857
0,666
0,600
0,565
0,523
0,511
0,502
0вн
0,143
0,333
0,400
0,435
0,476
0,487
0,497
в
0,382
0,444
0,467
0,476
0,490
0,495
0,499
в
1,309
1,126
1,071
1,050
1,020
1,010
1,002
?ср
0,577
0,577
0,577
0,577
0,577
0,577
0,577
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707
0,707

§ 1.6. Метод определяющей температуры 55
Приравняв между собой F.10) и F.6), найдем, что
et = e*PFo = -—f-z-j- (б.п)
"н ~ ^вн "Г "кр
или, с учетом F.7),
_ ^pPdFo FЛ2)
1 20Kp + Pd
Из этих равенств следует, что
Ь = 0кр^- или Y~ = ^~. F-13)
jboKp 6/Kp JboKp
Равенства F.10)—F.12) свидетельствуют о том, что для каждо-
каждого семейства кривых #(?, Fo, Pd), характеризуемых постоянным
значением обобщенного числа Фурье, существует определенное
значение температуры Bt, соответствующей равномерному распре-
распределению температур по толщине стенки образца. Следовательно,
каждую кривую из рассматриваемых семейств можно заменить од-
одной эквивалентной по несущей способности изотермой В% = const.
Температуру Bt, при которой правомерна эта замена, назовем опре-
определяющей температурой. Численное ее значение равно произве-
произведению критической температуры на обобщенное число Фурье.
Связь между определяющей и средней интегральной темпе-
температурами. Помимо определяющей существует еще средняя инте-
интегральная температура Вср, характеризующая каждую кривую се-
семейства В (?, Fo, IIj). Ее можно определить путем интегрирования
решения дифференциального уравнения теплопроводности Фурье
от нуля до единицы. Например, при линейном изменении темпе-
температуры Вн с течением времени в случае регулярного режима
-^. F.14)
Между определяющей и средней температурами можно устано-
установить связь, полагая в соответствии с C.8), что

56 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
и разделив F.15) на F.14). Тогда
Ь _ Fb-l/2 + fl/2
9ГР - Fo -1/3 ' FЛ6)
Здесь ?gt — относительная координата, соответствующая значе-
значению определяющей температуры на кривых 0(?, Fo, Pd). Для
каждого семейства кривых, характеризуемых постоянным значе-
значением определяющей температуры, ?#е = idem, т. е. кривые имеют
одну общую точку пересечения (Ot, ?gt). В то же время относи-
относительная координата ?дср, соответствующая значению средней ин-
интегральной температуры вср, не зависит от определяющей темпе-
температуры и является постоянной величиной при всех числах Pd и
Fo. Значение ?gt можно определить из F.15), а значение ?gt — из
решения C.8), полагая в = вср и ? = ?дс . Тогда
1Й
2РЬ 1; FЛ7)
|j-2Fo + l. F.18)
Подставив в F.17) выражение F.12), а вF.18)-F.14),найдем
F.17а)
F.18а)
Подставив далее в F.16) выражение F.17а) и решив F.16) от-
относительно Ot, получим
Заметив, что число Фурье с помощью форумы F.14) может быть
представлено как
F°=ft4 <6-2o>
и внеся это значение Fo в F.19), получим
0 вср + B/3)(9я-9вя)
9 = ( }

§ 1.6. Метод определяющей температуры
57
или, с учетом F.4),
0
B/3)@н-0.и)
Следовательно,
рГ._ et _^cp + B/3)(gH-gBH)
F.22)
F.23)
7кр
В табл. 1.2 даны значения всех величин, характеризующих
кривые семейства #t = 0,5, Bi = с». Из нее следует, что при
08/0вн -> 1, Fo -> с», Pd -> 0, вь/вср -> 1 &t/?cp = 1,225 = idem,
#н ->¦ 0t> ^вн -> ^t- Геометрическая интерпретация исследуемого
явления приведена на рис. 1.8. В системе координат в, Fo лучами,
0,666
1,43 0,4 0,26
0,095
Pd = 0,049
0
8
12
16
20 Fo
Рис. 1.8. Геометрическая интерпретация закономерностей изменения определя-
определяющей и средней интегральной температур при Bi — оо; 0t = 0,5; вкр — 1;
Fo = 0,5; Pd = 0,049-1,43
исходящими из точки (в = 0, Fo = 0), представлены закономерно-
закономерности изменения температуры вя при различных числах Pd. Лучи
пересекают кривые, соответствующие значениям вн и ввя рассма-
рассматриваемого семейства. При Fo -> с» и Pd -> 0 они асимптоти-
асимптотически приближаются к определяющей температуре 9t (пунктир-
(пунктирная линия). К этой температуре асимптотически приближается и
средняя интегральная температура вср.
Переход от изотермических состояний к нестационарным.
Допустим, что обобщенная характеристика, полученная при
изотермических состояниях, представлена в виде степенного

58 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
ряда
J>()', F.24)
J=l
а обобщенная характеристика для квазистационарных режимов —
выражением C.3). Так как обобщенное число Фурье является ар-
аргументом функции Крт и в предельном случае тождественно равно
аргументу функции Kpt, то
Здесь индекс «т» относится к предельным нагрузкам при неста-
нестационарных режимах нагрева, 6t = в.
Очевидно, что тождество F.25) может существовать, если k = j
и аь = Cj. Следовательно,
Формула F.26) указьтает на то, что переход от изотермиче-
изотермического состояния к нестационарному может быть осуществлен в том
случае, если для последнего известны значения определяющей и
критической температур, а также обобщенного числа Фурье. Прак-
Практически это ведет к простой замене координат Kpt, в/вКр на Крт,
Fo/FoKp.
Исследуем в качестве примера закономерности изменения зна-
значений Кр с относительной толщиной стенки ? и теплоизолирован-
теплоизолированной внутренней поверхностью при линейном с течением времени
законе изменения температуры окружающей среды и соответству-
соответствующем ему распределении температур по толщине
используя для этих целей обобщенную характеристику при изотер-
изотермических состояниях
Kn = l-j- F.28)
и значение критической температуры вкр = 1.
Интегрируя решение F.27) по ? в пределах от 0 до 1 и подста-
подставляя полученное значение вср в F.22), находим выражение для

§ 1.6. Метод определяющей температуры
59
Ot = в. Подставив затем это выражение в F.28) с учетом F.26),
получим формулу для расчета предельных нагрузок в случае ква-
квазистационарных режимов нагрева:
КР = \-
Pd (Fo - 1/Bi)
9кр + Pd/2
при числах Fo > 1/Bi. Результаты расчетов представлены на
рис. 1.9 в виде зависимостей Kp(Fo, Pd) при Bi = с» и 1,43 ^
^ Pd ^ 0,26 (рис. 1.9а), KP{Fo, Pd) при Bi = 1 и 0,544 ^ Pd ^
^ 0,087 (рис. 1.9г), KP{Fo, Pd) при Pd = 1 и oo ^ Bi ^ 1
Bi=oo;Pd=var
Bi=°o
0,8
в,
0,4
0,8
0,4
2
a
4
Bi
Fo
=idem:
Pd=var
0,5
6
0
0,4
0,8 Fo/Fon
Bi=var; Pd=idem
К„
, = 0,5
Рис. 1.9. Результаты расчета температурных полей и предельных нагрузок:
а, б— Pd = 1,43 A); 0,67 B); 0,4 C); 0,28 Ц); г,д—Тй = 0,087 A); 0,4 B);
0,544 C); е - Bi = oo A); 10 B); 5 E); 1 U)
(рис. 1.9е). Распределение температур по толщине стенки обо-
оболочки при Кр = 0,5 приведено на рис. 1.9б,д,ж, а обобщенная
характеристика в системе координат Кр — на рис. 1.9в.

60 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
Из этих рисунков следует, что подобие закономерностей изме-
изменения относительных предельных нагрузок в системе координат
Кр, Fo и Кр, Fo/FoKp сохраняется для всех рассматриваемых
случаев. В случае Pd = idem, Bi = vax равным значениям Кр
соответствует одно распределение температур в стенке.
Исходя из изложенного выше условимся в дальнейшем за ос-
основной режим нагревания принимать режим, характеризуемый
числами Bi = с» и Pd = bh2/(aTo).
Отметим, что число Bi оказывает влияние на интенсивность
нагрева, особенно при малых его значениях. Например, в случае
Bi = 10 число Fo возрастает на 10% по сравнению с Fo при Bi = с».
В интервале 100 < Bi < с» число Fo изменяется незначительно.
При нагреве конструкции радиационными нагревателями темпе-
температура на ее поверхности следует с самого начала нагревания за
температурой окружающей среды и его интенсивность зависит от
скорости перемещения тепла внутри тела, т.е. от коэффициента
температуропроводности. Такой процесс нагревания характерен
для числа Bi —> оо, значение которого как параметр принято нами
для основного режима нагрева.
Алгоритмы расчета предельных нагрузок при произвольных
распределениях температур по толщине стенки. На основе ме-
метода определяющей температуры можно построить два алгоритма
расчета предельных нагрузок образцов, находящихся в нестацио-
нестационарном поле температур. При первом из них, дающем удовлетво-
удовлетворительные результаты в случае монотонно убывающих или моно-
монотонно возрастающих зависимостей #(?), сначала в соответствии с
методом замены температурных полей находятся коэффициенты
А, В, С одного из аппроксимирующих полиномов D.10), а затем
по формулам D.3) или D.8) вычисляются значения температур 9Н
и ввя приближенного поля. Эти значения вместе со значением вкр
подставляются в формулу C.16) или C.11), и определяется обоб-
обобщенное число Фурье. В соответствии с C.11) оно принимается
эквивалентным числу 9/9кр при изотермическом состоянии. Да-
Далее непосредственно из графика Крь{в/вкр) находится значение
Kpt, которое согласно F.25) также принимается эквивалентным
значению Крт для приближенного поля температур.
Для вычисления обобщенного числа Фурье для функций #(?),
полученных при сложных краевых условиях, может быть пред-
предложен алгоритм расчета, построенный на замене определяющей
температуры 6't рассматриваемой кривой определяющей темпера-
температурой 0t параболы с равными значениями чисел вср и Pd. С этой
целью вначале находим среднюю интегральную температуру 9ср
рассматриваемой кривой #(?), а затем для нее — число Pd, кото-
которое означает некоторую безразмерную скорость нагревания тела

§ 1.6. Метод определяющей температуры (И
до температуры вср. Число Pd может быть получено следующим
образом. Кривая #(?) разбивается на m отрезков с равномерным
шагом. Для каждого отрезка по формуле, аналогичной F.4), вы-
вычисляются числа Pdj, т.е. Pdj = 2|0j — 0j_i| (i = 1, 2, ..., m).
Здесь в{ и di-i - температуры на границах отрезков. Число Pd
для всей кривой равно сумме чисел P
Pd = ]TPdi = 2TT\0i-0i-i\- F-29)
i=i i=i
Найденные значения чисел вср и Pd подставляются в формулу
F.21), которая принимает вид
(б.зо)
Правомерность этого равенства вытекает из условий сохране-
сохранения удельных расходов тепла и скоростей нагрева при замене про-
произвольного распределения температур в стенке элемента параболи-
параболическим.
Разделив выражение F.30) на вкр, получим значение числа
9/вкр для изотермического состояния, эквивалентное значению
обобщенного числа Фурье для нестационарного состояния. Далее
непосредственно из графика Крг(в/вкр), как и в предыдущем слу-
случае, находим значение Kpt, которое принимаем эквивалентным
значению Крт для приближенного поля температур.
Доказательство правомерности равенства определяющих тем-
температур при параболическом и произвольном распределениях.
Установим вначале связь между числом Pd параболы, получаемой
при одностороннем нагреве по линейному с течением времени
закону теплоизолированной пластины, и числами Pdj интерпо-
интерполяционной кривой, состоящей из m парабол. Узлы интерполи-
интерполирования хо, xi, X2, ... , Жто расположим на границах отрезков
i = 1, 2, ..., m (рис. 1.10а). Произведем замену граничных усло-
условий теплообмена на границах отрезков, допуская условно, что у
каждого из них одна поверхность теплоизолированная, а другая
нагревается с течением времени по линейному закону. В этом
случае пластина с внешними краевыми
Т{х, 0) = Го - const; Тх (Л, 0) = То + Ьгт; ^ Т' = 0

62
Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
и внутренними граничными условиями теплообмена
ЭГк(ж<+0,г)
дх
Xj - 0, т)
F-31)
дх
заменяется системой пластин с краевыми условиями
Т(х, 0) = Го = const; T2i(x - 0, т) = Го + кт;
dT2i-i(xi-i+0,T)
дх
= 0.
F.32)
Индексом «1» обозначены параметры исходной параболы, а ин-
индексом «2» — интерполяционной кривой.
,3 I
* x, *м Of I f,_, О
а б
Рис. 1.10. К доказательству правомерности равенств определяющих температур
при параболическом и произвольном распределениях
Одним из необходимых условий производимой замены явля-
является сохранение равенства температур в узлах интерполирования
при фиксированных положениях кривых 1 и 2, х- е.
xi n) = Т2(хг - 0, n) = T2i(xi + 0, ri+1);
_ь n) = T2i-i(xi-i + 0, n) = T2i-x{xi^ - 0, Ti_i).
F.33)
При выполнении этого условия скорости нагревания каждой
пластины bi, их средние температуры T2i, продолжительности на-
нагрева от температуры Tq до T2i Дт* = tj — tq и удельные расходы

§ 1.6. Метод определяющей температуры 63
тепла Д<Эгг = Qi% — <Эо = cp(T2i — То) за время т* от начала
(то = 0) нагрева до температуры Тг* будут разными и в случае
m ф оо отличными от значений Ъ\, т\, Тц для исходной кривой.
Перейдем к безразмерной системе координат в, ?, в которой
в = (Т - То)/То, ? = oo/hi @ < ? < 1), 6 = ^/Л (узлы ин-
терполирования), а распределение температур по толщине стенки
определяется следующими выражениями:
0!(?)= Pd[Fo - 0,5A-?2)]И(?);
F.34)
-0,5A-?2)].
Интегрируя первое уравнение системы F.34) в пределах от &_i
до ?i, а второе — от 0 до 1, найдем значения средних температур fy,
^2г отрезков при граничных условиях теплообмена F.32) и F.33):
0И= У Pd[Fo-0,5A-?2)К =
ft-i
= Pd[Fo - 0,5 + i(f? + e«e«-i + &i)] i F-35)
% = I Рф [FOi - 0,5A - e2)] ^ = Pdi (Vo - ^j .
о
Средние температуры кривых 1 и 2 могут быть выражены че-
через средние температуры отрезков в виде
. m i m
>,. F.36)
1 У;н; 2
i=i i=i
Удельные расходы тепла AQi и Д<52> идущие на нагревание
пластин до температур в\ и #2, могут быть с учетом F.36) пред-
представлены как
1 m , m
AQi = срГо- Veu; AQ2 = срТ0- J2^2i- F.37)
1=1 1=1
Сопоставляя значения AQi и Д<525 найдем
.. m I m
- у;ё„ = срто- y;^2i+д(д<э), F.38)
771 *-^ 771 Z-'
1=1 1=1

64 Гл.1. Теория расчета предельных нагрузок
где
1 m
mi=i
Из формулы F.38) видно, что при m ф оо удельные расходы
тепла AQi и Д<5г разные.
Последовательно подставляя в первое уравнение системы F.34)
значения ? = & и ? = ?j_i, а во второе -?=1и? = 0, найдем
значения температур 6ц = #2г = ^и #h-i = #2г-1 = ft-i в узлах
интерполирования:
0,5(la];
ft_! = Pd[Eb - 0,5A - e?_i)];
0i_i = Pdi(Poi-O,5). F'40)
Отсюда
ft - ft_! = 0,5Pd(^ - e'-i); ft - ft-i = 0,5Pdi. F.41)
Приравнивая эти выражения, получаем
Pd(f?-^_1) = Pd*. F.42)
Суммарные значения чисел Pd будут такими:
d- F-42a)
Подставляя в находящуюся под знаком суммы разность ква-
квадратов абсцисс узлов интерполирования последовательно их зна-
значения, находим, что в интервале чисел ? [0,1] ?^ = 1, ?д = 0, а
остальные значения ?? взаимно уничтожаются. Тогда
то то
) = i; F-43)
Это означает, что замена внутренних граничных условий те-
теплообмена F.31) граничными условиями F.32) при соблюдении

§1.6. Метод определяющей температуры 65
условия F.33) не оказывает влияния на безразмерную скорость
нагревания пластины и, кроме того, в случае m ф оо эта скорость
не зависит от числа т. Так как
то, приравнивая эти значения, получаем
00
2 = ^ b{h2
bh2 = ^ b{h2 = const. F.45)
i=i
Численное выражение величины Pdj может быть найдено из
второго уравнения системы F.41), т.е.
0i_1). F.46)
Тогда
Значение безразмерного времени нагрева отрезка пластины
может быть получено из первого уравнения системы F.40) с уче-
учетом F.46), т.е.
F° = лпг <6'48>
С возрастанием чисел т толщина отрезков уменьшается, & —>
-> ^_1, Oi -> &t_b Pd -> 0, Fo -> с». При m = с» ^ = ^_i = ?,
&i = &j_i = 0(?). Подставляя в первое уравнение системы F.35)
значения ? — & = ^_i, а во второе — значения Pdj F.46) и Foj
F.48), получаем
Оц = 92i = в@- F.49)
С учетом этого равенства, означающего, что значения средних
температур отрезков при т = с» и текущее значение относитель-
относительной температуры одинаковы, разность между расходами тепла,
идущего на нагрев отрезков с различными граничными услови-
условиями теплообмена, равна нулю, т.е. A(AQ) = 0. Подставляя это
значение в F.38), найдем
AQi = AQ2. , F.50)
Правомерность этого равенства также можно доказать, заме-
заменяя в F.37) значения средних температур отрезков в соответствии
с F.49) значениями текущей температуры, которая может быть
6 Зак. 130

66 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
представлена первым уравнением системы F.34), а затем, устрем-
устремляя m к бесконечности и переходя к интегрированию по перемен-
переменной ?, найти средние температуры кривых
. F.51)
Отсюда вытекает, что при m = оо кривые 1 и 2 совпадают, что
и подтверждает справедливость равенства F.50).
Из выражений F.47) и F.51) следует, что безразмерная ско-
скорость нагрева отрезков есть величина постоянная для всех чи-
чисел m и равная безразмерной скорости нагрева теплоизолирован-
теплоизолированной с обратной стороны пластины в случае изменения с течением
времени температуры ее наружной поверхности по линейному за-
закону. При фиксированных положениях кривых 1 и 2 числа Pd и
Pdj, представляющие собой удвоенные разности ординат кривой и
отрезков, характеризуют перепады температур по толщине стенки.
Сопоставляя выражения F.47) и F.51), найдем
Fo~з)?Pdi= 2(f°ИI
' г=1
Fo~з)?
_ m
Подставляя значения 9 и ^ Pdi в формулу F.21), получим
i=i
величину определяющей температуры 9% для рассматриваемой па-
параболы.
В случае произвольного распределения температур в стенке
пластины (рис. 1.106) с помощью аналогичной замены гранич-
граничных условий теплообмена при соблюдении равенства температур
в узлах интерполирования и равенства средних температур исход-
исходной A) и интерполяционной B) кривых при m = оо определяются
параметры (9 и Pd) эквивалентной по удельным расходам тепла и
скоростям нагрева параболы 3:
И] (б-бз>
получаемой при линейном с течением времени законе изменения
температуры 9Н теплоизолированной с обратной стороны пласти-
пластины, т. е. параболы, для которой
m
Pd3 = ^2 Pd2i' m / °°; 0з = 02 = 01, m = oo. F.54)

§ 1.6. Метод определяющей температуры
67
Далее по известным значениям F.54) для параболы F.53) на-
находится значение определяющей температуры dt, например с по-
помощью формулы F.30). Для монотонно возрастающих функций
в(?) безразмерная скорость нагрева может быть определена в со-
соответствии с F.42) и F.44) как
= 2
- di-i) = 2@max - 0min),
где втах и 6min — температуры на граничных поверхностях пла-
пластины.
в
1,0
0,8
0,4
0,6
0,2
0,8
0,4
1,0
0,6
/' ¦
0,8 0,4 0
в
0,6
0,2
0,6
0,2
\
\
\
/
\
\
- 1,0
0,6
0,8 0,4 О
0,2
Рис. 1.11. Распределение температур в стенке: I-V — исходные кривые; 1 —
параболы, вычисленные по формуле F.53); 2 — параболы, полученные точечным
квадратичным аппроксимированием
В связи с тем что удельные расходы тепла, идущие на нагре-
нагревание отрезков, и средние температуры этих отрезков всегда поло-
положительны, то и безразмерные скорости нагревания также должны
6*

68
Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
быть положительными, т. е.
т
Правомерность перехода от произвольного распределения тем-
температур в стенке к параболическому F.53) исследовалась с помо-
помощью точечного квадратичного аппроксимирования функций. На
рис. 1.11 сплошными линиями показаны исследуемые кривые 0(?),
штрихпунктирными обозначены параболы F.53), а пунктирными
с двумя точками — параболы, полученные точечным квадратич-
квадратичным аппроксимированием. Там же пунктирными линиями обо-
обозначены величины Ot для парабол F.53). Значения Крт для обеих
парабол определяли по формуле F.21). Результаты расчетов для
случая вкр = 1 сведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3. Результаты расчета предельных нагрузок
при различных распределениях температур
Номер
параболы
1
2
6Кр
Пара-
Параметры
<?ср
Pd
Fo
Bt
КР
Pd
Fo
Bt
KP
,%
Номер кривой
I
0,493
1,800
0,606
0,575
0,425
1,018
0,805
0,542
0,458
7,3
II
0,816
1,200
1,010
0,760
0,240
-0,046
-16,890
0,764
0,236
1,7
III
0,523
0,600
1,200
0,556
0,444
0,372
1,200
0,518
0,482
7,8
IV
0,684
1,800
0,712
0,675
0,325
0,422
1,880
0,656
0,344
5,5
V
0,406
1,200
0,792
0,500
0,500
0,096
4,810
0,455
0,545
а о
Исследование показало, что средние квадратичные отклонения
при излагаемом методе больше, чем при точечном квадратичном
аппроксимировании, однако параболы F.53) точнее отслеживают
кривизну функций 0(?), что ведет к увеличению 0* и, следова-
следовательно, к снижение значений предельных нагрузок, получаемых

§ 1.6. Метод определяющей температуры 69
при точечном аппроксимировании. Это снижение E,5 - 8,2 %) идет
в запас прочности, что повышает надежность предлагаемого ме-
метода.
Как следует из табл. 1.3, для кривых типа II парабола, получен-
полученная точечным аппроксимированием функций, имеет отрицатель-
отрицательные значения чисел Pd и Fo. Такие значения нельзя получить
при линейном с течением времени нарастании температуры вн,
что ограничивает использование метода замены температурных
полей. В то же время на метод определяющей температуры эти
ограничения не накладываются.
Сравнительный анализ результатов расчета. Сравним резуль-
результаты расчета относительной предельной нагрузки пластины при
линейном законе изменения с течением времени температуры вн
для случаев, когда Qt вычисляется по формуле F.21) и когда в ка-
качестве определяющей принята средняя температура несущей зоны
стенки 0ср. Пусть обобщенная характеристика пластины при изо-
изотермических состояниях представлена выражением F.24) и явля-
является линейной функцией аргумента, т.е. j = 1, Cj = —1. Подста-
Подставляя в F.24) решение C.8) и интегрируя от 0 до ?кр, где ?кр —
координата границы несущей зоны стенки, получаем
КРт = 1-^ (Fo - I) , если вн < 0кр. F.55а)
Числа Fo = Fofc, соответствующие моментам времени, при ко-
которых вн = 0кр, найдем из первого уравнения системы C.7), т. е.
Fofc = §J. F.56)
При числах Fo ^ Fojt предельная нагрузка наружных слоев
будет равна нулю и, следовательно, толщина несущей зоны будет
изменяться. Характер изменения в процессе нагрева величины
?кр получим из уравнения C.8), решив его относительно ?кр:
F.57)
С учетом F.57) выражение F.55) при Fo ^ Fojt примет после
преобразований следующий вид:
^кр

70
Гл.1. Теория расчета предельных нагрузок
Связь между числами Fojt и FoKp найдем из совместного реше-
решения третьего уравнения системы C.7) и уравнения F.56):
— Fn
-^0Кр 2-
F.59)
Выражение F.55) при Fo = Fojt принимает вид
или, с учетом F.56),
КРт =
Pd
3FOjfc
F.60)
Подставляя сюда значения числа Fojt из F.59), получаем
1
КРт =
3(FoKp-l/2)'
F.60а)
Выражения F.59)-F.60а) значительно облегчают построение
графиков функции F.55).
На рис. 1.12 приведено семейство кривых XpT(Fo), вычислен-
вычисленных по формулам F.55) и F.55а) для случая вкр = 2, Foper = 1.
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,3 1
7 Fo
Рис. 1.12. Семейство кривых KpT(Fo), вычисленных по формулам F.55) и
F.55а)
Пунктирными линиями нанесены участки кривых, соответствую-
соответствующие иррегулярным режимам нагрева. Штрихпунктирной линией
отмечена нижняя граница области А — области, в которой распо-
располагаются линейные участки зависимости XpT(Fo), вычисленные

§1.6. Метод определяющей температуры 71
по формуле F.55а). Эта линия соответствует значениям Крт =
= Pd/C0Kp) при Fo = Fojfc. С уменьшением чисел Pd значения
Крт в точках Fo = Fojt уменьшаются и стремятся к нулю. Ле-
Левая граница области А ограничена прямой Foper = 1, а правая —
прямой, соответствующей числу Pd = 0,3. Ниже области А распо-
расположена область Б с линейными участками зависимостей Xpr(Fo),
вычисленных по формулам F.55).
В диапазоне чисел Pd < 2 кривые состоят из трех участ-
участков. Первый — криволинейный — расположен в интервале чисел
0,3 < Fo < 1 и соответствует иррегулярным режимам, второй —
линейный — находится в интервале чисел 1 ^ Fo ^ Fojt и соот-
соответствует квазистационарным режимам, третий — линейный —
в интервале чисел Fojt ^ Fo < FoKp также соответствует квазиста-
квазистационарным режимам.
Отметим, что при 2 ^ Pd ^ 3 зависимости делятся на два
участка: один из них, криволинейный, располагается в интервале
чисел 0,3 < Fo < 1 и соответствует иррегулярным режимам, а
второй, линейный, при 1 < Fo < FoKp соответствует квазистаци-
квазистационарным режимам. Значение числа Pd = 3 получено из урав-
уравнения F.55а) после подстановки в него значений чисел Кр = 0,
Foper = 1, #Кр = 2. При Pd > 3 отсутствуют участки с квазиста-
квазистационарными режимами.
Пунктирными линиями с двумя точками на рис. 1.12 обозна-
обозначены прямые, полученные при расчете предельных нагрузок с уче-
учетом формулы F.21). Как следует из рисунка, расхождение между
результатами расчета при числах Fo > 1 незначительно. Так, при
Pd = 0,3 и Fo = 1 абсолютная погрешность АКрт = 1,5 %.
С целью выяснения возможностей преобразования семейства
кривых Крт (Fo) в кривую Крт (Fo/FoKp) произведем замену пере-
переменной Fo в уравнениях F.55) и F.55а) на переменную Fo/FoKp.
Умножив и разделив их члены, содержащие Fo, на FoKp и обозна-
обозначив т] ~ Fo/FoKp, с учетом C.10) получим
KPr = o 2 + 2Г- -г
КРт = 1 - ^ ^p + Pd/2^ _ 1 ^ ; если вн < 0кр. (бб1а)
Если кривые Крт (Fo) G А и Б подобны, то после преобразова-
преобразования их в кривую Крт (г}) должно выполняться условие

72
Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
Однако, как следует из рис. 1.13, на котором приведено семейство
кривых Крт (Fo) G А и Б в системе координат Крт, г), это условие
0,8
0,6
0,4
0,2
0
ОД 0,4 0,6 0,8
Рис. 1.13. Области значений зависимостей KpT{q) для квазистационарных ре-
режимов: расчет по формуле F.64) для Pdo = 0,3; — • — • расчет по
формуле F.65) для FOper = 1; расчет по формуле F.65) для чисел Fo*,-;
расчет по формуле F.61) для Pd = 2; — • • • расчет по формуле
F.25) с учетом F.21)
не выполняется здесь из-за участков с разными угловыми коэф-
коэффициентами. Оценим абсолютную и относительную погрешности
преобразования, представив их в виде
АКРт=КРтп-Крт/,
skPt =
то
Здесь индексами «0» и «р обозначены величины, соответству-
соответствующие выбранным значениям Pdo и Pdj. Для участков зависимо-

§ 1.6. Метод определяющей температуры 73
стей Kp(Fo) e Ac учетом F.61) получим
;
"кр
ЯК (Pdp-Pdj) A/3-77/2)
Рт (вкр + Pdo/3) - г, (вкр + Pdo/2) • К°ЛО)
Приравняв эти выражения к нулю, найдем, что min АКрт = О,
mm.8KpT =0. Эти минимумы соответствуют значению ту* = 0,666.
Подставив значение rf в формулу F.61), получим Кр = 0,333. Из
анализа формул F.61) следует, что кривые Крт (Fo) G А имеют в
новой системе координат одну общую точку (Кр , г)*) — точку их
пересечения, координаты которой не зависят от чисел Pd и вкр.
Она делит область А на две подобласти — А' и А". Левая граница
подобласти А' ограничена прямой
Pd0 (вкр + Pdp/2 1
Рт 0k7—^—^
а правая — кривой
1\
Pd,
F.65)
FOper = 1 *
Fo FoKpj
Правая граница подобласти А" ограничена прямой F.64), а
левая - кривой F.65), у которой щ = Fojtj/FoKpJ-. Максимумы
АКрт и 6Кр_ в области А' найдем из условий = 0 и
aPdj
— т = 0 при наложении на значения Крт и Крт. ограни-
ограничений, вытекающих из формул F.64) и F.65). В результате из
д(АКРт) _
условия —-—-— = 0 получено квадратное уравнение
aPd
@,25Foper - 0,083)PdJ + (Foper -
- (О.ЗЗЗ^кр + O,5FofcPdoHKp = 0,
5 Зак. 130

74 Гл. 1. Теория расчета предельных нагрузок
положительный действительный корень которого
-(Foper-0,333)flKp ,
Ч =
2@,25Fofe - 0,083)
^/(Foper-0,333J^p+4@,25Foper-0H83)@,333^p+0I5FoperPdo^p)
± 2@,25Fofe - 0,083)
определяет значение числа Pdj, при котором существует
max AKpT ? А'.
Расчеты показывают, что в рассматриваемой задаче Pdj =
= 1,05; rjj = 0,415; шахАКРт = 0,046; 6КР = 7,6%.
дFКрт) п
Из условия ———— = 0 получено уравнение пятой степени
oird
j
(из-за громоздкости не приводится), корни которого находили ме-
методом последовательных приближений. В результате установлено,
что тах6Крт = 8,1% находится при Pdj = 1,3; т) = 0,49. Гра-
Границы области Б в новых координатах ограничены прямой F.61)
для Pd = 2, прямой F.64) для Pd = 0,3 и левой границей обла-
области А". Результаты вычислений показывают, что max АКрт ? А"
и Б < max AKpT G A', a max 5Крт ? А" и Б одного порядка с
max 6КРт ? А'.
Отметим, что точка с координатами Кр, rf имеет некоторый
физический смысл. Она отделяет область режимов, при которой
начинается разрушение наружной поверхности стенки.
Пунктирной линией с тремя точками на рис. 1.13 показана пря-
прямая, полученная после преобразования семейства прямых Kp(Fo).
Она также проходит через точку с координатами Кр , г)*.

Глава 2
ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ НЕРАВНОМЕРНО
НАГРЕТЫХ ПО ТОЛЩИНЕ ОРТОТРОПНЫХ
ОБОЛОЧЕК ПРИ СИЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Исследована устойчивость неравномерно нагретых по толщине
гладких круговых конических и цилиндрических незаполненных
оболочек из КМ при различных видах нагружения. КМ предпо-
предполагается ортотропным с зависящими от температуры упругими
характеристиками Е*, Е%, G*.
Сделано обобщение системы дифференциальных уравнений
типа Кармана относительно нормального прогиба и функций уси-
усилий в срединной поверхности, полученной ранее А. Н. Кудиновым
[74] для цилиндрической панели, на случай конической оболочки.
Принимается, что температура изменяется только по толщине обо-
оболочки. Получены формулы для жесткостных характеристик обо-
оболочек (пластин) из КМ, находящихся в нестационарном темпера-
температурном поле.
Решены задачи устойчивости неравномерно нагретых по тол-
толщине конических оболочек из КМ под действием внешнего давле-
давления и осевого сжатия, а также цилиндрических оболочек под дей-
действием осевого сжатия (равномерного и неоднородного), внешнего
давления (равномерного и несимметричного), кручения и изгиба
[17-19, 21, 22, 58, 64], которые существенно дополняют имеющиеся
сведения в литературе [32, 38, 44, 46, 51] по устойчивости цилин-
цилиндрических оболочек при нагреве.
Предложена формула для определения предельных нагрузок
неравномерно нагретых по толщине продольно сжатых (растяну-
(растянутых) цилиндрических оболочек из КМ [63].
§ 2.1. Уравнения устойчивости пологих
конических и цилиндрических оболочек
Рассмотрим круговую коническую оболочку толщиной h, на
срединной поверхности которой введены криволинейные коорди-
координаты1) s, в, z (рис. 2.1).
1) Предполагается, что оси упругой симметрии материала совпадают с коор-
координатными осями.
5*

76
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
Удлинения es, eg и сдвиг 7 B срединной поверхности пред-
представим как
_ du
Es = Ts'
1 dv и w
ев = -— + tg/3;
s dtp s s
1 du dv v
s dip ds s'
A.1)
Здесь ip = Ocosp, C — угол
наклона образующей к основа-
основанию конуса; u, v, w — смещения
точек срединной поверхности
соответственно в направлении
образующей, вдоль окружности,
получающейся при пересечении
срединной поверхности с плос-
плоскостью, перпендикулярной к оси
оболочки, и по внутренней нор-
нормали к поверхности.
Для изменений кривизн xs,
щ и кручения х справедливы
упрощенные зависимости, если
напряжения, вызываемые моментами, малы по сравнению с на-
напряжениями от усилий [87]:
Рис. 2.1. Система координат при
рассмотрении круговых коничес-
конических оболочек
OS2
A.2)
s ds dtp s2 dtp ds \s dtp)
1 dw
Исключая из соотношений A.1) перемещения и и w, получим
уравнение совместности деформаций
d2{see) des д2?я d2(s7)
S ds2 ~S ds ~ dtp2 ~ ds dtp
d2
w
A.3)

§ 2.1. Уравнения устойчивости пологих оболочек
77
Уравнения равновесия элемента оболочки, вырезанного сече-
сечениями вдоль линий кривизны (рис. 2.2), имеют вид [92]
A.4)
as dip
d(Ness) dNe
- s{Naxs
2XNes) = q(s, в).
Здесь Ns, Ng, Nsg — усилия в срединной поверхности; Qs, Qe —
перерезывающие усилия.
Составляя уравнения моментов этих усилий относительно ка-
касательных к линиям 7] = в, ? = s, получим
d(sMs) дН
SQS = —^ h -г Мв;
os dtp
A.5)
где Ms, Mg, Msg, H — моменты.
Шестое уравнение моментов относительно оси z не удовлетво-
удовлетворяется, если принимаются равенства Ngs = Nsg, Msg = Mgs = H.
Рис. 2.2. Усилия и моменты, действующие на элемент оболочки
Можно показать [88], что вносимая при этом погрешность того же
порядка, что и погрешность других соотношений теории оболочек.
Пусть оболочка неравномерно нагрета по толщине z и вдоль
направлений s и в, т.е. Г = T(s, в, z). Усилия и моменты че-
через деформации в срединной поверхности и параметры изменения

78 Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
кривизн и кручения вьфажаются так:
Ns = Вце8 + Bi2eg - Nsg; Ms = Dnxs + Di2xg - Msg;
Ng = B22 + B\2ES — Ngj*; Mg = D22Hg + D22HS — Mgj*\ A-6)
С Н = 2DlzX + ^337-
Здесь i = 1 соответствует направлению вдоль координаты s, a
i = 2 — вдоль в;
0,5Л
E*(T)dz;
1 -
0,5/i 0,5/i
; А33= I G*(T)(z-zo)dz;
-0,5/1 -0,5/1
0,5ft
А^т-^— / E*(T)(z-zoJdz;
-0,5/1
0,5/1
-0,5/i
1
1 - 12
-
0,5/i
~'-°'5/l A.8)
1
Mst = / El(T)(ai + v2ct2){z — zq)Tdz\
-0,5/i
0,5/i
= ^ / E2(T)(a2 + i^ai)Br - zo)Tdz.
1 - ^1^2 У

§ 2.1. Уравнения устойчивости пологих оболочек 79
Координата zq определяется из соотношения
/г/2
Г El(z)(z-zo)dz = O. A.9)
-ft/2
В дальнейшем будем рассматривать случай, когда температур-
температурное поле по толщине имеет больший градиент, чем по двум другим
направлениям, и учитывать изменение характеристик материала
только по толщине.
Первые два уравнения системы A.4) будут тождественно
удовлетворяться, если ввести функцию усилий / по форму-
формулам [87]:
Nse = A
s
sds' * ds2'
A.10)
+ = (
s dsdtp s2 dip ds \s dtp)
Воспользуемся уравнением совместности деформаций A.3).
Если ввести в него выражения деформаций по формулам
_ Nsg 33
7 Gh GhX
и выразить Ns, N$, Nsg через функцию усилий по формулам A.10),
а изменение кривизн — через прогиб по A.2), то придем к урав-
уравнению
(LIV + Lm + Lu + LI)f + s tg/3^ + LtrrNffr + LsTNsT =
Щ
Gh [dsdtp \s dip) ds2dtp

80 Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
Здесь под Ei, E2, G понимаются средние значения характеристик
по толщине, например
0,5/i
El[T(z)}dz;
-0,5/i
2 d4
Eihs2d<p4 E2hds4 \Gh Ex
_ш 2 d3 Bv% 1\1 33
~ E2/i as3 \E2h Gh) sdsdip2'
E2hJ s2d<p2 Eihds2'
"" ~
Eihsds'
5v?2 ?^i/i 3s ?^2^ ds E2h ds2'
Id2 s d v22s d 1 v2 d2
se Ehdip2 Ehds Eh ds
E2h ds E2hds2'
Подставляя выражения для перерезывающих сил A.5) в
третье уравнение равновесия A.4) и учитывая соотношения
для моментов A.6), кривизн и кручения A.2), получаем урав-
уравнение
(MIV + М111 + Мп + Ml)w + Netg/3-
- s(Nsxs + Ывнв + 2Nsdx) ~ MsTMsT -
1ЭП IJ?_ ПдГ\] , ,
sd4>) sdsdv \sdip)\ q{ *V)'
Gh [p\4) v \p)\
A.12)

§2.1. Уравнения устойчивости пологих оболочек 81
Здесь
»
i a2 i 5 /i \ _ _,
s as2 s as \s ) Gh
Уравнения A.11) и A.12) являются основными уравнениями
упругих неравномерно нагретых гибких пологих конических обо-
оболочек из ортотропного материала.
Для изотропного материала
Л/2 Л/2
Лзз = I СГ{Т)(х - zo) dz = щ±-^ I E*(T)(z - z0) dz = О
-Л/2 -Л/2
и уравнения A.11) и A-12) принимают вид [92]
22 + sV2MT -NetgP + s(Nsxs + Nexe + 2NsBx) = q;
= 0.
Здесь
Л/2
- f E*(T)a(T)Tdz;
-Л/2
Л/2
= -i- / E*(T)a(T)(z - zo)Tdz;
L — U J
-Л/2

82 Гл. 2, Предельные нагрузки ортотропных оболочек
Л/2
-Л/2
d2 Id Id2
1 |
ds2 s ds s2
Уравнения устойчивости в «малом» без учета моментности до-
критического состояния получим из A.11) и A.12), если отбросим
в них температурные слагаемые и будем понимать под функцией
w дополнительный прогиб, а под / — функцию дополнительных
усилий при потере устойчивости:
2Азз Г д2 (ldw\ a3 (ldw\
~~FnT а а ~яГ~)+5а9а ~"я~) AЛ<:5)
Gn ldsdip\sdipj ds2d(p\so-'1
(MIV + Mm + Mu + Ml)w + tg /з
( Z~^Z ) + Z'aTaZ \ ~~aZ ) ¦ (L14)
Gh [ds2dip\sd(pj sdsd(p\sdtp
Здесь N®, Nq, N®g — докритические усилия (положительные при
сжатии). Температурное влияние учитывается этими усилиями,
которые в общем случае являются функциями координат s, в.
В заключение приведем уравнения устойчивости в «малом»
для цилиндрической оболочки. Принимая во внимание, что х =
= ssin/З, г = scosp, а ^- = - —, — = -т—;-^-, и устремляя
dip cos p дв ds sin рот
{3 к 7г/2, получаем из системы уравнений A.13), A.14)
^^ w), A.16)
где '
R = г, у = М;

§ 2.2. Жесткостные характеристики оболочек (пластин) 83
и 1*2 — линейные дифференциальные операторы:
Уудх' ду) 5ж4 v g 2j &г2 а2 ^ аУ4'
A-17)
L — билинейный оператор,
M/0, u;j
/о — функция докритических усилий
Исключая из системы уравнений A.15), A-16) функцию /, при-
приходим к разрешающему уравнению относительно w:
LiL2W %^ + ад/о, «;). A.19)
Система уравнений A.15), A-16) является исходной для ана-
анализа устойчивости цилиндрических оболочек (панелей) из КМ.
§ 2.2. Жесткостные характеристики оболочек (пластин)
при нестационарных режимах нагрева
При высокой температуре тепловоспринимающей поверхности
тонкостенной конструкции из КМ в стенке образуется несколько
зон: прококсованная, пиролизная и непораженная. Мгновенное
значение несущей способности конструкции определяется толщи-
толщинами этих зон, их жесткостными и прочностными характеристи-
характеристиками, на нее оказывают влияние термические напряжения, напря-
напряжения от давления газообразных продуктов пиролиза, что может
привести к расслоению материала, слои которого, однако, сохра-
сохраняют жесткостные характеристики, но не воспринимают внешних
нагрузок. Последние воспринимает, в основном, непораженная
(несущая) зона стенки, толщина которой с ростом температуры
уменьшается.
Распределение температуры в случае одностороннего высоко-
высокотемпературного нагрева тонкостенной конструкции в момент вре-
времени т обозначим через Г (ж, у, г, т), где х, у — координаты на

84 Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
срединной поверхности, z — расстояние от срединной поверхности
до какой-либо точки стенки по внешней нормали. Границу несу-
несущей зоны будем находить с помощью критической температуры
Гкр, понятие о которой введено в гл. 1 [13]. Толщину несущей
зоны h(x, у, т) определим так:
ГЛо, если Г„<Гкр,
h(x, у,т) = 1 0,5/i0 + z., если Гн > Гкр и Т(х, у, z, т) < Ткр,
[О, если Т(х, у, z, т) > Ткр,
B.1)
где ho — толщина стенки; Гн = Т(х, у, ho/2, т); z* является кор-
корнем трансцендентного уравнения Гкр = Т(х, у, z*, т).
Для тонких оболочек распределение температуры по толщине
стенки в случае линейного закона изменения температуры среды
(поверхности) с течением времени с хорошей степенью точности
может быть определено из решения уравнения теплопроводности
для плоской стенки [99].
Проведем обобщение на случай произвольного изменения во
времени температуры тепловоспринимающей поверхности. Най-
Найдем температурное поле T(z, т) в пластинке для случая, когда
внутренняя поверхность теплоизолирована, а наружная нагрева-
нагревается по произвольному закону. Бели Г = Г + Го, то для Г имеем
краевую задачу
эт. ~ аг(о, т) ~
= дР"' ^ ' ' = ' —df— = ' ' ' ' ^ ^ '
B-2)
дт
Решение задачи B.2) согласно теореме Дюамеля [81] будет сле-
следующим:
т
f(z, т)= I ^Т~г'Тх(г, t)dt + f@)Ti(z, т),
о
где
00
Ti(z, т) = 1 - У2 Ап cos ^Jexp (-ц2пFo),
n=l
An, цп определяются так же, как и для формулы A.3.4I).
^Формула C.4) гл. 1.

§ 2.2. Жесткостные характеристики оболочек (пластин) 85
Пусть
/('") =
О2 + О2Т, если т* ^ т,
тогда
• ( b\, если 0 ^ т ^ т*,
\ &2, если т* ^ т.
Так как /@) = 0, то
о
Полагая, что упругие характеристики материала линейно за-
зависят от температуры, т. е.
Е\ = С1 + diT, G* = сз + d3T, B.3)
где Cj-, dr (г = 1,3) — некоторые константы, с помощью фор-
формул A.7), A.9) вычисляем жесткости оболочек для распределения
температур (формула C.4) гл. 1):
-{
Еь если г=1, . ,
G, если r = 3; ^ ;
[о,2 - 0,5 fo,5 + ^)+ 0,333 @,5 + ?V 1 +
[ V /i/ \ Л/ J
оо .
Е—^ ехр (-и2, Fo) < 2 ( — + 0,5) /х„ +
ц, \ h /
n=l
+2(о,5-а;

86 Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
Здесь выражение
h
A(i) + № + c(i) ? ^^l exp (_мз Fo)
B.6)
вычислено по формуле A.9):
И Pd(Fo - 0,5)],
cW=drT0Pd (r = l, 3).
Жесткости в кольцевом направлении могут быть выражены
через жесткости в осевом направлении как
Отметим, что в случае равномерного поля температур по тол-
толщине стенки жесткости оболочки в соответствии с формулами A.7)
могут быть представлены как
Gh; Щ
Вычислим жесткости оболочки для случая линейного распре-
распределения температуры по толщине стенки Т = То + T\z, где То =
( )/, ()/
При линейной зависимости упругих характеристик от темпе-
температуры изменение их по толщине будет также линейным: Е{ =
= Е[ + E'(z, G* = С + G"z. Здесь Е[ = J f
33o, 3i
Воспользовавшись формулами A.7), A.9), получим
D
Dn-
h Щ
G>h3 fi 10 ^o\2 0zoG"'M ^0 1 ^"Л
I 1 i 1 О I _ 1 О __. I — -1

§ 2.2. Жесткостные характеристики оболочек (пластин) 87
Для расчета температурного поля, толщины несущего слоя и
жесткостных характеристик оболочки (пластины) составлена про-
программа на языке ФОРТРАН. Трансцендентное уравнение B.1) ре-
решалось методом половинного деления, а определенные интегралы
в выражениях A.7), A.9) вычислялись по восьмиточечной фор-
формуле Гаусса [44]. С помощью этой программы был проведен расчет
G*.10-3,?! ЮЛ
МПа МПа
" 1,5
293 393 493 Г, К
Рис. 2.3. Зависимость модулей упругости материала от температуры
оболочек (пластин) из стеклопластика с коэффициентом темпера-
температуропроводности о = 15,2 • 1СГ8 м2/с, температура наружной по-
поверхности которых изменялась с течением времени по линейному
закону. Для этого материала зависимость модулей упругости от
температуры близка к линейной (рис. 2.3):
ci+diT, если Т < -^Ц

О,
если
?L
c3 + d3T, если T<-j-,
О, если Т ^ ——,
где значения постоянных ci = 3,595-104 МПа, d\ — —4,30-10 МПа/К,
сз = 6,19 ¦ 103МПа, dz = -9,95 • Ю^ЖПа/К получены стати-
статистической обработкой экспериментальных данных работы [114];
щ = v\ = 0,142; Ткр - ----

88
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
Изменения величин h/h0, zo/ho, Ei/E$, G/G°, /^
.D33/.D33 при b = 5 К/с во времени для оболочек (пластин) с ho —
= 3,2 мм представлены на рис. 2.4-2.7 {Е\ = ЕЦТо), G0 = G*(T0),
i
0,8
0,6
0,4
0,2
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
¦
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
1
20
40
60 г, с
Рис. 2.4. Изменение относительной толщины несущего слоя во времени при
Ь = 5К/с
Dn = ?i*g/12(l - u№), Dlz = G°hlll2). Сплошные кривые
соответствуют расчету с постоянной толщиной несущего слоя,
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
40 г* 60
80 г, с
Рис. 2.5. Изменение относительного смещения срединной поверхности оболочки
во времени при 6 = 5 К/с

§ 2.2. Жесткостные характеристики оболочек (пластин)
89
которая равна исходной, если время нагрева не превышает зна-
значения т* = (Ткр - То) /Ъ.
Я?| °з°з
0,8
0,6
0,4
0,2
¦
\
\
\
\
20
40г* 60 80 т,с
Рис. 2.6. Изменение жесткостей стенки на растяжение-сжатие и сдвиг во вре-
времени при Ь — Ъ К/с
В заключение отметим, что метод приведения неоднородной
оболочки (пластины) к эквивалентной однородной оболочке по
Е\' О0
0,8
0,6
0,4
0,2
0 20 40г* 60 80 г, с
Рис. 2.7. Изменение жесткостей стенки на изгиб и кручение во времени при
жесткостям использован при анализе напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния трехслойных панелей с обшивками из КМ [65].

90
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
§ 2.3. Устойчивость конической оболочки
при внешнем давлении
Для исследования воспользуемся системой уравнений устойчи-
устойчивости A.13) и A.14). Усилия докритического напряженного состо-
состояния при равномерном внешнем давле-
давлении q выражаются так (рис. 2.8):
№ = о-
sQ '
#о_ я__,
s~ 2tg^
— ^^.
C-1)
Рис. 2.8. Коническая обо-
оболочка при равномерном
внешнем давлении
Представим функции w и / в виде
«; = V'(s) tg^cosn^;
/ = Xf(s)Eihl?2tg2pcosn9.
Здесь под ? понимается величина
? =
I — длина образующей от вершины до большего основания. Вве-
Введение параметра ? позволяет выделить в уравнениях устойчиво-
устойчивости малые члены, которыми можно пренебречь. Далее произведем
упрощение уравнений, используя прием Н. А. Алумяэ [4].
Вводя безразмерные параметры нагрузки и волнообразования
7ЕЯ,
cos2 C
и безразмерную координату
приведем формулы C.1) к виду
C.2)
C.3)
C.4)

§ 2.3. Устойчивость конической оболочки при внешнем давлении 91
Если принять во внимание соотношения C.2)-C.4), то после
выполнения ряда преобразований уравнениям устойчивости A.13)
и A.14) можно придать вид
ШШ*)+з&(У)Ь (з-5)
_
dx2 V dx* dx* Dn x dx2 + Du J2 dx
°22\ it] D22O2 ^
Du) ^J Ai 23
Заметим, что величина е мала по сравнению с единицей, если
угол /3 не близок к нулю, а величина П становится больше еди-
единицы, если /3 близок тг/2. Когда угол /3 не близок ни к нулю, ни
к тг/2, то в уравнениях C.5), C.6) можно пренебречь членами,
содержащими ?и ?2, и тогда придем к системе уравнений
жзА/ '
Du x3
Исключив из нее функцию Xfi получим дифференциальное
уравнение для функции ф(х)
d2 (^#ф\ {D22n Л
[5) [№)Ф и C.7)
которое примем за исходное.

92 Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропяых оболочек
Для решения рассматриваемой задачи воспользуемся методом
Бубнова-Галеркина. В результате получим
ti = l ' ' ^;;; "; 2 , C.8)
где
° , C.9)
0 0
Произведя минимизацию ц по параметру волнообразования Q,
найдем
при ^ =
Выберем функцию ф — ф(х) такой, чтобы она удовлетворяла
граничным условиям при х = 0их = 1, и вычислим интегралы
Sj (j = 1, 2, 3). Тогда окончательно получим
(ЗЛ1)
при числе волн в окружном направлении
/ 3,5' ^ \
п. =
\SV) \D22J Ctgl/4/Г
Если температура не меняется по толщине оболочки, то послед-
последние формулы преобразуются таким образом:
12
[12A -
C.11a)

§ 2.3. Устойчивость конической оболочки при внешнем давлении 93
Значение коэффициента д* зависит от вида опирания оболочки
и для каждого отношения vi/v? является постоянным (предпола-
(предполагается, что коэффициенты Пуассона не зависят от температуры).
Таким образом, по формуле C.11) определяем верхнее критическое
давление с учетом неравномерного распределения температуры по
толщине стенки оболочки.
Вычислим коэффициент /х* для двух вариантов граничных
условий:
I. w = dw/ds = 0 при s — О, I (защемленная оболочка);
И. w — Ms = 0 при s = О, I (шарнирно опертая оболочка).
Относительно функции ф = ф(х) эти условия запишутся так:
I. ф = йф/dx = 0 при х = 0, 1;
И. ф = 0, (Рф/dx2 + 1/2(Лф/Aх) = 0 при х = 0, 1.
Предположим, что потеря устойчивости сопровождается образо-
образованием вмятин с одной полуволной вдоль образующей и большим
числом волн вдоль окружности. Исходя из этого зададим функцию
ф в виде [37]
ф = Ах3A + а.фх) sin тле. C.12)
Здесь
— 1
для варианта I граничных условий,
для варианта И.
График этой функции приведен на рис. 2.9.
А
12 Ь
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 2.9. Функция, характеризующая прогиб в момент выпучивания защемлен-
защемленной A) и шарнирно опертой B) конических оболочек

94
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропяых оболочек
Подставляя выражение C.12) в соотношения C.9), получим
= -20,6437 - 51,4958cty - 29,llloJ =
г
1,7406, если
1,6710, если
= —1,
= -0,759;
= 0,08700 +I
= 0,02813
+ 0,03929oJ =
'0,0121, если аф = — 1,
. 0,02302, если аф = 0,759;
¦С
¦ 0,01572е4 =
' 0,00214, если
. 0,00552, если
= -1,
= -0,759.
Используя значения Sj (j = 1, 2, 3), найдем коэффициент /i*.
На рис. 2.10 приведена зависимость этого коэффициента от отно-
80
60
40
20
0 12 3 D22/Dn
Рис. 2.10. Зависимость параметра давления fi, от отношения жесткостей
D22/D11 защемленной A) и шарнирно опертой B) замкнутых в вершине ко-
конических оболочек
шения жесткостей D22/D11. Видно, что увеличение жесткости
в кольцевом направлении приводит к повышению критического
внешнего давления.

§ 2.3. Устойчивость конической оболочки при внешнем давлении 95
Для изотропного материала (v = 0,3) с учетом одного члена
ряда для прогиба выпучивания
Г 21,2 для защемленной оболочки,
\ 35,2 для шарнирно опертой.
Отметим, что Н. И. Трапезин [119], решая уравнение C.7) ме-
методом конечных разностей, для защемленной оболочки получил
значение /х» = 18,2.
Приведем также более точное решение задачи с помощью ме-
метода Бубнова-Галеркина для системы уравнений A.13), A-14),
представленной в виде
Luf + Li2w = 0; L2if + L%w + qL$w - 0,
где
Ll2 . . чр* _
os2
ds2 Gh [dsd(p\sd(pj ds2 dip \s d<p
г f a " "*> I--JL- l °\ . У f1 d
22
Пусть
u; = Лй>(в, у»), / = C/(e, v), C-13)
тогда уравнения задачи в форме метода Бубнова-Галеркина будут
такими:
27TCOS/3
2
0
S2 27TCOS/3
2 /
/ / №21/ + 4?^ + qL{22w)w ds d9 = 0.

96
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
Проводя интегрирование и исключая постоянные Аи С, получим
/л\
Я = Z7^ ~- C-14)
Здесь
S2 27TCOS/3
si О
S2 27TCOS/3
; Li2 = I / JL12W ds d9\
s\ 0
«2 2ixcasl3
L21 = I / wL,2\f dsd6\
s\ 0
S2 2ttcos;3
ig = f f wL^udsde (i = 1, 2).
*i ° C.15)
В качестве примера рассмотрим конические оболочки из упо-
упомянутого выше стеклопластика, находящиеся в нестационарном
24
16
О
40
80
120
160
г, с
Рис. 2.11. Изменение во времени критического давления стеклопластиковых
конических оболочек: 6 = 2,15К/с A); 5,0 B); 7,5 C)\ h = 5 мм, / = 500мм,
температурном поле (формула C.4) гл. 1). Изменение критиче-
критического давления во времени показано на рис. 2.11. Сплошные

§ 2.3. Устойчивость конической оболочки при внешнем давлении 97
кривые соответствуют условиям шарнирного опирания оболочки,
пунктирные — защемлению, а штрихпунктирные — расчету с уче-
учетом изменения толщины несущего слоя. Критическое давление
определяли согласно выражению C.14), проводя его минимиза-
минимизацию по параметрам волнообразования, прогиб и функцию усилий
задавали в виде
w(s, <р) = ж3A 4- a^simrxcosne;
\-~( ~ - s - (ЗЛ6)
I'
Видно, что для заданного момента времени критическое давление
уменьшается с ростом скорости нагрева.
На рис. 2.12 представлены результаты расчета для шарнирно
опертых оболочек: кривые 1 получены с помощью аналитичес-
аналитической формулы C.11), а кривые 2 и 3 — путем минимизации
Рис. 2.12. Результаты расчета критических давлений шарнирно опертых сте-
клопластиковых конических оболочек при 6 = 5 К/с, Л = 5 мм, / = 500мм,
/9 = 70°
выражения C.14), пунктирные кривые соответствуют расчету с
учетом изменения толщины несущего слоя. При получении кри-
кривой 2 выбирали для прогиба и функции усилий выражение w =
= / = х2 sin [7гт(ж — xi)], где т — число полуволн, а для кривых

98
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
1,3— выражение C.16). Видно, что результаты расчета по при-
приближенной формуле C.11) являются завышенными в связи с тем,
что она не учитывает влияние жесткостей оболочки на сдвиг и
кручение.
§ 2.4. Устойчивость конической оболочки,
сжатой вдоль оси
Случай осесимметричного выпучивания. Рассмотрим кониче-
коническую оболочку, сжатую вдоль оси (рис. 2.13). Пусть ее изогнутая
поверхность после выпучивания оста-
остается осесимметричной, т.е. w = w(s),
f= f(s), тогда уравнения A.13), A.14)
будут иметь вид
Рис. 2.13. Коническая обо-
оболочка, сжатая вдоль оси
_?_<&]_ 2s d3f
E2h ds4 + E2h ds3
, 1 14Г .
d2/
ds2
dsA
ds
d3w
ds3
+
lcfw
s ds2
ds
D.2)
Уравнения D.1), D.2) можно также
представить как
d2
E2hds2 V ds2)
ldf
d /lduA
D.1a)
ds2
= 0. D.2a)
Предположим, что при потере устойчивости образуется боль-
большое число волн и длина каждой волны невелика. Величину s в
пределах одной волны можно считать постоянной [101]. Будем рас-
рассматривать волну, примыкающую к большему основанию конуса.

§ 2.4. Устойчивость конической оболочки, сжатой вдоль оси 99
Полагая s = 1\, где 1\ — расстояние по образующей от вершины
до большого основания, и учитывая, что усилия докритического
напряженного состояния при осевом сжатии N® = Р'/(itssin2 /3),
Ng = N®9 = О, получим из уравнений D.1а) и D.2а)
E2h
ds*
7 9
dsl
Решение системы уравнений D.3), D.4) зададим в виде
7Г 7Г
го = Л sin — {s-h)\ f = Bsm-(s-h),
где As — длина волны.
Подставляя D.5) в D.3) и D.4), получим
D.5)
Приравнивая определитель системы уравнений D.6) с неизвест-
неизвестными А, В к нулю, находим
Произведем минимизацию N® по Gr/As) и определим верхнее
критическое усилие осевого сжатия
N1 =
при
(JL\ - fehtg2/?
KKj'yDn l\
и критическую нагрузку
Ркр = N^irk sin 2/3 = 4тг \/DnE2h sin2 )9. D.7)

100
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
Если характеристики материала не зависят от температуры,
то получим формулу
sin2/3. D.7а)
Отметим, что формула D.7) справедлива при условии, что чи-
число волн вдоль образующей достаточно велико. Известно [37], что
это условие выполняется при 7г/2 — /3 ^ 30°.
Случай неосесимметричного выпучивания. На основании при-
приема Н. А. Алумяэ, упростив систему уравнений A.13) и A.14), по-
получим
- ~з X/ = 0; D.8)
d2Xf
dl
Pctg/3
dxl D\\ x6 dxl
Здесь /i =
Исключив функцию Xf из системы D.8) и D.9), получим диф-
дифференциальное уравнение для функции ф(х):
d2 („3
dx2 \ dx2) dx1 D\\ хъ
С помощью процедуры метода Бубнова-Галеркина найдем
где
XI
XI

§ 2.4. Устойчивость конической оболочки, сжатой вдоль оси 101
Выполняя минимизацию /i по параметру волнообразовния Q,
получим
На рис. 2.14 представлен график зависимости
отношения жесткостей i?22/-Dii- Так как
?B)
от
Е2/Еи то
о
Рис. 2.14. Влияние отношения изгибных жесткостей D22/D11 на критический
параметр осевой силы
увеличение модуля упругости в кольцевом направлении при посто-
постоянном модуле упругости в меридиональном направлении ведет к
увеличению критической нагрузки.
Выберем функцию ф = ф(х) такой, чтобы она удовлетворяла
()
граничным условиям.
= 1, 2, 3) имеем
п» =
B)
B)
После нахождения интегралов 5] (j =
D.10)
Таким образом, формула D.10) определяет верхнюю критиче-
критическую нагрузку осевого сжатия с учетом неравномерного распреде-
распределения температуры по толщине стенки оболочки.
Вычислим интегралы Sj (j = 1, 2, 3). Рассмотрим усечен-
усеченные конические оболочки. Пусть имеют место следующие вари-
варианты граничных условий:
1) ф = ф' = 0 при х = Х2, 1 (х2 = h/h);
2) ф = ф" = 0 при ж = ж2, 1.

102
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропиых оболочек
Выберем
ф = Ау3 A + афу) sin
D.11)
где у = х - Х2.
Если пф = —A — %2)~1, то функция ф(х) удовлетворяет усло-
условиям защемления торцов оболочки, а если а^ = — F+^2)/(8+^г)*
хA — %2) — шарнирному опиранию торцов.
Критическую нагрузку сжатой усеченной оболочки определяли
с помощью программы, составленной на алгоритмическом языке
ФОРТРАН. Интегралы вычисляли по восьмиточечной квадратур-
квадратурной формуле Гаусса.
На рис. 2.15 представлена зависимость относительной кри-
критической нагрузки конических оболочек из стеклопластика от
0^
0,8
0,4
a 0
0,6
0,4
6 0,2
0,7
0,5
0,3
Q
1 1 1 1 1
w-w' = Q ^ '
^ ~~~~w = w"=0 ^^_^^-
•
*
i
•
0,1
0,3
0,5
0,7
Рис. 2.15. Изменение относительной критической нагрузки стеклопластиковых
усеченных конических оболочек от параметра жг = hfh- /3 = 70° (а); 50° (б);
30° (в)
параметра х^ для v<z — 0,15. Точками указаны результаты экспе-
эксперимента [3]. Видно, что имеет место качественное согласование ре-
результатов расчета и эксперимента. Отношение экспериментально

§ 2.4. Устойчивость конической оболочки, сжатой вдоль оси 103
определенной критической нагрузки к теоретической для шар-
шарнирно опертых оболочек составляет 32-86%.
Приведем также решение рассматриваемой задачи исходя из
системы уравнений A.13), A.14), представленной в виде
Lnf
= 0; L2i/
= 0,
D.12)
где операторы Ln, L12, ^22, -^21 определяются согласно выраже-
выражениям C.13),
*" D.13)
гB)_
Ь22 -
QS2 '
Применяя процедуру метода Бубнова-Галеркина к уравнениям
D.12), получим
тA)\
1{2)
/1\ /<у\
где Li2, ^21, L221 -^22 определяются согласно выражениям C.25).
В качестве примера рассмотрим замкнутые конические обо-
оболочки («2 = 0, s\ = I) из стеклопластика [58,114], находящиеся в
нестационарном поле температур (формула C.4) гл. 1). Изменение
0,8
0,4
о
40
80
120
160
т, с
Рис. 2.16. Изменение во времени сжимающих критических нагрузок шар-
шарнирно опертых замкнутых в вершине конических стеклопластиковых оболочек
сЛ0 = 5мм, / = 500мм, /9 = 70s: 6 = 2,15К/с A); 5,0 B); 7,5 {3)
критической нагрузки во времени для шарнирно опертых оболо-
оболочек показано на рис. 2.16, где пунктирные кривые соответствуют

104
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
расчету с учетом изменения толщины несущего слоя. Критиче-
Критическую нагрузку определяли по формуле D.13), проводя минимиза-
минимизацию по параметрам волнообразования тип. Прогиб и функцию
усилий задавали в виде w(s, <р) = j/j(s)cosn6, f(s, <p) = w(s, ф),
где (р = в cos p. Для функции ф(в) использовали выражение
D.11).
Видно, что для заданного момента времени критическая на-
нагрузка уменьшается с ростом скорости нагрева.
Рис. 2.17 иллюстрирует влияние граничных условий на крити-
критическую нагрузку. Кривые 1 соответствуют шарнирно опертым обо-
оболочкам, а кривые 2 — защемленным. Сплошные кривые получены
Рис. 2.17. Влияние граничных условий на критическую осевую силу при
6=7,5 К/с
путем минимизации выражения D.13), пунктирные — по анали-
аналитической формуле D.10), а штрихпунктирные ветви кривых —
расчетом с учетом изменения толщины несущего слоя. Критиче-
Критическая нагрузка для защемленных оболочек больше, чем для шар-
шарнирно опертых.
Погрешность в определении критической нагрузки по прибли-
приближенной формуле D.10) не превышает 14% по сравнению с расчетом
по формуле D.13).

§ 2.5. Устойч-сть цилиндр, оболочки при однородных нагрузках 105
§ 2.5. Устойчивость цилиндрической оболочки
при однородных нагрузках
Случай равномерного продольного сжатия. Рассмотрим глад-
гладкие цилиндрические оболочки, неравномерно нагретые по толщине
и находящиеся под действием осевого сжатия и неравномерно рас-
распределенного давления (рис. 2.18).
Известно [37], что для изотропных оболочек средней длины
граничные условия мало влияют, например, на величину крити-
критического сжимающего усилия. По аналогии с изотропными для
Рис. 2.18. Круговая цилиндрическая оболочка под действием осевого сжатия и
давления
ортотропных оболочек решение уравнения A.19), в котором Nx =
= — ah, Ny = Nxy = 0 в случае продольного сжатия, Njj = — qR,
Nx = Nxy = 0 в случае внешнего давления и Nx = —ah, N° =
= — qR, N° = 0 в случае совместного действия осевого сжатия и
внешнего давления, a — осевые напряжения, ищем в виде
го = го* sinQ!ma;sin/9nj/,
E.1)
где го* — некоторая постоянная am = mir/l, /3n = n/R. Отметим,
что выражение для прогиба E.1) удовлетворяет условиям шарнир-
шарнирного опирания оболочки, т. е. го = d2w/dx2 = 0 при х = 0, I.
Подставив E.1) в A.19), получим характеристическое урав-
уравнение
E.2)
В случае осевого сжатия из E.2) найдем напряжения для неосе-
симметричного выпучивания:
at,
+ В
E.3)
7 Зак. 130

106
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропяых оболочек
Здесь
R2'
E.4)
Полагая х = am/Pn, представляем E.3) в виде
х2
a =
+ в
P2L2(x,
х2
или
где
Ах2
Bi=B
L2(x,
E.5)
E.6)
"l Ii(x,l)' x-
Достаточно хорошее приближение можно получить, считая т
и п непрерывными аргументами и проводя минимизацию выра-
выражения E.5). Из условия да/80^ = 0 находим
Подставляя E.7) в E.5), получаем
Окр =
E.7)
E.8)
Ii(x,l)'
Устремив х к бесконечности, найдем выражение для минималь-
минимального критического напряжения при осесимметричном выпучи-
выпучивании:
a*=2y/ABDn = ~
После минимизации <ткр по к будем иметь
E.9)
E.10)
Подставив E.10) в E.8), найдем выражение для критического на-
напряжения при неосесимметричном вьшучивании:
hR
11
E2/El+2(D33/Dn)+v2
E.11)

§ 2.5. Устойч-сть цилиндр, оболочки при однородных нагрузках 107
Формулы для определения критических напряжений при рав-
равномерном поле температур по толщине стенки получим, подставив
B.8) в E.9) и E.11):
h
сткР сткРу 2^E~*JE~*+E2*/G*-2v2
Они аналогичны формулам, приведенным в работах [24,48].
Отметим, что если исходить из системы линейных уравнений
устойчивости в «малом» относительно перемещений ее срединной
поверхности, то придем к полученным здесь результатам [22].
Приведем решение, полученное в [96]. Для этого прогиб пред-
представим в виде E.1), а функцию напряжений — в виде
f(x, у) = f; sin3 amx sin3 /3ny, E.12)
где /« — некоторая постоянная.
Подставив выражения E.1), E.12) в A.15), A.16), умножив
первое уравнение системы на /, а второе — на го и выполнив не-
необходимые операции метода Бубнова-Галеркина, получим систему
двух алгебраических уравнений относительно амплитудных зна-
значений радиальных перемещений и функции напряжений, из кото-
которой найдем
4
H*4Sdsb EЛЗ)
где
122а* +4 (f 2,) <*Л + f
L%(a в ) = -—оГ + 4 — -
9 \ Ct / b\
Для равномерно нагретой по толщине конической подъемистой
оболочки в работе [14] методом Ритца-Тимошенко получена фор-
формула для критического напряжения осевого сжатия. Обобщением
ее на случай неравномерно нагретой по толщине оболочки будет
формула, по виду совпадающая с E.3), однако в последней
A = CE2z0tg2f3; B =
^ / 1 SA ~ I S2 mix a n
С = 1 ; zq = In —; am = -=-; pm =
S2J Si Zq COS
2*?Л'
п
os/3'
E.14)

108 Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
Следовательно, имеем
при осесим-
метричном
выпучивании,
E.15)
при не осе сим-
симметричном
выпучивании.
Коническая оболочка переходит в цилиндрическую, если угол
конусности стремится к нулю (или /3 -»¦ тг/2). В этом случае г\ =
— г2 = R, si/s2 ~ 1 - G/Л)cos/?, In(s2/si) = -In(si/s2) «
и 1 — (l/R) cos p. Учитывая эти соотношения, заметим, что фор-
формула E.15) для конической оболочки переходит при J3 -»• тг/2 в
формулу E.11) для цилиндрической оболочки.
Определим в качестве примера критические напряжения осе-
осевого сжатия оболочки, температура в каждой точке наружной
поверхности которой с течением времени изменяется по линей-
линейному закону. Подставив значения жесткостей B.4), B.5) в E.9)
и E.11), получим окончательные выражения для расчета крити-
критических напряжений в цилиндрической оболочке при различных
темпах нагрева. Из-за громоздкости эти выражения здесь не при-
приводятся.
Отметим, что формулы E.9) и E.11) могут быть использованы
для расчета критических напряжений и при других распределе-
распределениях температур по толщине, отличных от формулы C.4) гл. 1.
Случай равномерного внешнего давления. В случае внешнего
давления из E.2) найдем
, =-L, [?,(«., A)+ f^j]. («6)
При п, близких к пкр, величина a^ мала по сравнению с
и вместо равенства E.16) можно записать

§ 2.5. Устойч-сть цилиндр, оболочки при однородных нагрузках 109
Примем m = 1 (am = a\ = it/I), тогда из условия dq/df3%
найдем
E.18)
22
Подставив E.18) в E.17), получим
4тг
_
9кр "
33/4
E.19)
Для оболочки, равномерно нагретой по толщине, из E.19), при-
принимая во внимание соотношения B.7), имеем формулу
V2
E.20)
приводимую также в работе [106].
Результаты расчета по формуле E.20) удовлетворительно согла-
согласуются с экспериментальными данными, полученными при испы-
испытаниях оболочек из стеклотекстолита при комнатной температуре.
Отношение экспериментальных данных к расчетным колеблется в
пределах от 0,72 до 1,28 [31].
Случай кручения. Обратимся теперь к случаю кручения обо-
оболочки моментами Мк, приложенными к ее торцам в виде равно-
Рис. 2.19. Круговая цилиндрическая оболочка под действием крутящих моментов
мерно распределенных сдвигающих усилий (рис. 2.19). В этом
случае в оболочке возникают только постоянные усилия
ху 2тгД2
E.21)

ПО Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
и моменты
0 _ М^_
0 _
ху~
Последние можно не принимать во внимание, так как наибольшие
напряжения от М® в h/R меньше напряжений от N® [42].
Если принять докритическое напряженное состояние безмо-
ментным, то для определения верхнего значения критического
крутящего момента М* можно исходить из разрешающего уравне-
уравнения устойчивости A.19), которое применительно к данной задаче
принимает вид
т ( д д\ т ( д д
дх' ду) z\dx' dyj R2 Эх*
x' ду) дхду [ЪМ)
В работах [42,43] показано, что для изотропных оболочек сред-
средней длины можно прийти к замкнутым формулам для критиче-
критического момента и критического числа волн по окружности, если
удовлетворять только граничным условиям
w = 0 при х = ±-. E.24)
Получим формулы и для неравномерно нагретых ортотропных
оболочек. Примем выражение для прогиба в виде
где А{ — некоторые постоянные; Ai, A2 удовлетворяют соотноше-
соотношению
A2-Ai = 27rmy (m=l, 2). E.26)
Подставляя выражение E.25) в уравнение E.23), находим
Задача свелась к вычислению минимального значения Мк,
удовлетворяющего соотношениям E.27), E.26). Это можно вы-
выполнить, например, графически [134]. Получим аналитическое

§2.5. Устойч-сть цилиндр, оболочки при однородных нагрузках 111
решение. При п, близких к пкр, величина А? (г = 1, 2) мала
по сравнению с п2. Тогда вместо равенства E.27) можно записать
соотношение
Мк = -?- (d22ti4 + EihE??) (i = 1, 2). E.28)
Из уравнения E.28) и условия E.26) следует, что
Обозначим
V л 2ixmR
("о)
Тогда уравнение E.28) при i = 1 и уравнение E.29) можно
представить в виде
\/2 (M*V8 = оЗ/8 -1 +о-5/8 3 E 31)
2ixmR) \ D22 )
1) + 1]=О. E.32)
Правая часть соотношения E.31) и соотношение E.32) совпа-
совпадают с соответствующими выражениями, полученными В. М. Да-
ревским для изотропных оболочек [42], причем автором показано,
что минимум момента достигается при о, = 5 и у» = 0,68. Под-
Подставив указанные значения о* и х* в соотношение E.31), получим
(г>\ 1/2 / г) \ 5/8
т) и*») EihR2- (ыз)
Из уравнения E.30) для о найдем критическое число окруж-
окружных волн

112
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
Числовые коэффициенты в формулах E.33) и E.34) соответ-
соответствуют числу m = 1.
Для оболочки, равномерно нагретой по толщине, принимая во
внимание выражение B.17), получим формулы
2irR2h
Щ
Ж E-35)
E.36)
Они совпадают с формулами, приведенными в [96, 106]. Отме-
Отметим, что в формулы E.35), E.36) не входит модуль сдвига мате-
материала G*.
В заключение отметим, что величина критического сжимаю-
сжимающего напряжения неравномерно нагретой по толщине оболочки,
60
т, с
293
393
493
593
Рис. 2.20. Результаты расчета критических сжимающих напряжений цилиндри-
цилиндрической оболочки с R = 145 мм, /ю = 3,2 мм, I — 550 мм при 6 = 5 К/с
полученная по формулам E.9), E.11), незначительно (на 2%) от-
отличается от значения, полученного по этим формулам в предполо-

§2.5. Устойч-сть цилиндр, оболочки при однородных нагрузках 113
жении равномерного нагрева ее до средней температуры. Резуль-
Результаты расчетов представлены на рис. 2.20 (кривые 1, 2). Там же
приведены результаты расчетов, полученные с помощью теории
Флюгге [122] (кривая 5). Критические напряжения определялись
из уравнения
Fn -
F12
Fi2
F23
F23
F33 - A
= 0,
где
Fn = (Bn + In)A2 + (B33 - I33 + D33)n2;
F12 = -(Я12 + В33 + An + A33)Xn;
= (An + 5n)A3 + [n2(Al2 + 2I33 - D33) + B12] A;
F22 = (B33 + ЗА33 + 3533)А2 + A + A22)n2;
= - [(An + 2A33 + Du + з533)А2п + n3A22 + n];
+ 2[n2(D12 + 2Dm) + Al2] A2 +
+ (n2 - 1JD22 + Bn2 - l)i22
A = rrnrR/l; m, n — параметры волнообразования;
42 =
B22
Aij, Bij, Dij определяются согласно A.7).
Как следует из рис. 2.20, результаты расчетов для рассмотрен-
рассмотренных оболочек средней длины по классической теории и теории
Флюгге близки. Отметим также, что величина критического внеш-
внешнего давления неравномерно нагретой по толщине оболочки, вычи-
вычисленная с помощью формулы E.19), примерно на 7% отличается от
значения, найденного по формуле E.20) в предположении равно-
равномерного нагрева ее до средней температуры. Результаты расчетов

114
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
представлены на рис. 2.21 (кривые 1, 2). Там же для сравнения
приведены результаты расчетов по формуле E.16) (кривые 3, 4)-
¦1(Г2,МПа
36
28
20
12
20
40
60
г, с
Рис. 2.21. Результаты расчета критического давления для цилиндрической обо-
оболочки с R = 145 мм, ho = 3,2 мм, I = 550 мм при Ь = 5 К/с по формулам E.19)
A), E.20) B), E.16) C,4)
Для кривой 3 qKp = q(ai, /?*) (/?* определяется из соотношения
E.18)), для кривой 4 Чкр = ming(a:m, /3m). Сопоставление резуль-
результатов расчета указывает на их достаточную близость.
§ 2.6. Устойчивость цилиндрической оболочки
при нагружении несимметричным внешним давлением
и изгибающим моментом
Пусть неравномерно нагретая по толщине оболочка находится
под действием несимметричного внешнего давления, изменяюще-
изменяющегося в окружном направлении по закону q = qk cos (ky/R) (k =
= 0, 1, 2,...), и изгибающего момента М, приложенного в диаме-
диаметральной плоскости (рис. 2.22). Примем, что давление самоурав-
самоуравновешено в поперечном сечении оболочки и изменяется плавно.
Поэтому в первом приближении можно пренебречь влиянием на-
начального моментного состояния на критические параметры на-
нагрузки. Вносимая при этом погрешность может быть оценена в
следующем приближении.

§2.6. Устойчивость цилиндрической оболочки при нагружении 115
Считая докритическое состояние оболочки безмоментным и по-
поперечные сечения круговыми, имеем следующие выражения для
докритических усилий [75]:
=
-?) sin |.
Здесь за положительные усилия принимаются усилия растяжения.
Решение системы уравнений A.15), A.16) осуществим методом
I II111I1
tttltltl
Рис. 2.22. Цилиндрическая оболочка под действием изгибающего момента и
внешнего давления
Бубнова-Галеркина для случая шарнирного опирания торцов обо-
оболочки. Аппроксимирующее выражение для прогиба примем в
виде
оо оо
v-^ ^ . тпх . пу
w = у У wmn sin —— sin —. F.1)
m=0n=0
Подставляя выражение F.1) в уравнение A.15), найдем функцию
усилий
л i ОО ОО 9 9
Ь^п ^—\ ^—\ т тг ._ ттгх _.__ пу
. —, ,..„..,1, n/R) I R
m=0 n=0 L v I'll
Применяя к уравнению A.16) процедуру метода Бубнова-Галерки-
Бубнова-Галеркина, получим однородную систему уравнений относительно параме-

116 Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
тров Щ,у
. *2А2А, ч <
"I2
j + k)]
m=l
Здесь
по _
fin j
[Tr
V
IL
причем Е% = El(T0).
Далее предположим, что основным фактором, вызывающим по-
потерю устойчивости оболочки, является внешнее давление, а вол-
волнообразование происходит по одной полуволне в осевом направле-
направлении. В этом случае i = 1, а система уравнений F.2) упрощается
и принимает вид
Х2Р'к
Щ-к) ~

§ 2.6. Устойчивость цилиндрической оболочки при нагружении 117
Отметим ряд результатов, получаемых с помощью формулы
F.3):
а) в случае действия только одного равномерного внешнего да-
давления (к = 0)
1
R2
б) в случае изменения внешнего давления вдоль дуги по закону
^j , рк =
Ч J
Здесь
Ч J
F.4)
F.5)
4i^ = -AB\^
F.6)
в) в случае нагружения оболочки внешним давлением, изменя-
изменяющимся по закону
9 = 9l(c + ?>cos|), F.7)
и изгибающим моментом
Wj{bj\ - ajtj) - ajij+1wj+1 - ajj-iWj-i = 0. F.8)
Здесь
2w тг2 _ D (j±l) _ D.. , ,.2
•2^ Pi ^-^
Системы уравнений F.5) либо F.8) можно представить в ма-
матричном виде. Левую часть матрицы обозначим через F. Искомое

118 Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
значение верхнего критического давления q'lb является наимень-
наименьшим из всех значений q[, обращающих в нуль определитель ма-
матрицы F. Таким образом, для вычисления q[b необходимо найти
наибольшее собственное число Атах. Для оценки верхней границы
области значений характеристических чисел А применим неравен-
неравенство Фробениуса [109]. Вообще говоря, для случая матрицы с ве-
вещественными элементами /у имеет место неравенство
|Afc| < max (RF, 2» (k = 1, 2, ..., n), F.9)
n n
где Rf = maxRif, Rjf = ^2 \fi,j\, Tp = maxT^, %p = ^ |/y,i|
j=\ j=i
\l — l1 z) • • •) nl-
Из F.9) для случая изменения давления по закону F.4) с уче-
учетом обозначений F.6) получим
9i6 > mi 1
Здесь Нав = тг2/6 + 1/2 ~ 2,143. Считая, что при потере
устойчивости образуется достаточно большое число волн, это не-
неравенство приближенно можно представить в виде
Ч1Ъ' (А + ВУ
Здесь q'o — критическое давление для оболочки, нагруженной рав-
равномерно распределенным давлением. Итак, нижней границей для
максимального амплитудного критического значения неравномер-
неравномерного давления является значение критического равномерного да-
давления.
Полагая р[ — 0 и применяя оценку F.9) к системе уравнений
F.8), находим для случая изменения давления по закону F.7)
/ . . bj
где kcD = (тг2 + 3)/12 ~ 1,07. Следовательно, максимальное
амплитудное значение и для этого случая нагружения будет не
меньше, чем критическое давление для оболочки, нагруженной
равномерным давлением.

§ 2.7. Уст-сть цилиндр, оболочки при изгибе поперечной силой 119
В качестве иллюстрации на рис. 2.23 приведены закономер-
закономерности изменения во времени критических параметров внешнего
давления нагреваемых односторонне по линейному закону во
р\ ¦ кг1
о
20
40
Рис. 2.23. Изменение во времени относительных критических параметров
внешнего давления оболочек с ho = 1 мм, R = 264 мм, I = 762 мм при
А = В = С = D = 0,5 и 6 = 3,8К/с
времени стеклопластиковых оболочек для трех вариантов его за-
задания: а — равномерного, б — несимметричного F.4) ив —
F.7). Пунктирные кривые соответствуют оценкам, полученным с
помощью неравенства Фробениуса F.9). Порядок усеченной ма-
матрицы F рассматривался в пределах jo • • • jo +13, где jo — крити-
критическое число полуволн в окружном направлении, получаемое для
случая равномерного внешнего давления.
Отметим также, что максимальное амплитудное значение кри-
критического давления в случае нагружения F.7) примерно на 25%
превышает критическое давление при равномерном нагружении,
а в случае F.4) — примерно на 15%.
§ 2.7. Устойчивость цилиндрической оболочки
при изгибе поперечной силой
При изгибе консольно закрепленной цилиндрической оболоч-
оболочки поперечной силой Q, приложенной к ее свободному концу
(рис. 2.24), в ней согласно безмоментной теории возникают вну-
внутренние осевые и сдвигающие усилия
Q
у
Q У
*RCOSR-
G.1)
Так как решение задачи устойчивости при совместном дей-
действии усилий JVf и N®2 имеет значительные математические

120
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
трудности, считается возможным рассматривать отдельно устой-
устойчивость от N° и N°2 [42].Это связано с тем, что, как видно из
соотношений G.1), максимальные значения усилия N° и N°2 при-
принимают во взаимно перпендикулярных плоскостях и при макси-
максимальном значении одного другое обращается в нуль. Далее при
Рис. 2.24. Круговая цилиндрическая оболочка при изгибе поперечной силой
анализе устойчивости предполагается, что эти усилия постоянны
и равны их амплитудным значениям, в связи с чем используются
соответствующие соотношения для критических нагрузок при рав-
равномерном осевом сжатии и кручении; предполагается также, что
такой расчет должен давать нижнюю оценку для критического зна-
значения изгибающей силы.
В работе [68] указанная задача была изучена для «холодной»
оболочки из изотропного материала. Ниже рассматривается устой-
устойчивость неравномерно нагретой по толщине оболочки из ортотроп-
ного материала, нагруженной только сдвигающими усилиями.
В этом случае разрешающее уравнение устойчивости A.19) имеет
вид
у d2w \
Из всех граничных условий так же, как и при кручении, будем
учитывать только равенство нулю радиального прогиба на концах
оболочки, т.е.
w = 0 при х = ±-.
G.2)

§ 2.7. Уст-сть цилиндр, оболочки при изгибе поперечной силой 121
Выражение для прогиба выпучивания примем в виде
2 оо
/1./Т" — till
%D — > > С«п Sill ~~ . ( i .о I
/ ^ / .j v id ^ '
Здесь Cin, щ — некоторые постоянные величины. Подставляя вы-
выражение G.3) в уравнение G.2), получим
2 оо
ч п \ _ / m п
г=1 п—0
Q
Iv \ [r R) R
lM n-l\ шх-{п-\)у
J R
или, заменяя индексы суммирования,
2 оо
шх — пу
sin
„ , ... ... - .... , R
г=1 п=0
Q
"Б"' т; sm
.Л' Л/ Л
i=l n=-l J
Приравнивая к нулю сумму коэффициентов при синусах с оди-
одинаковыми аргументами, найдем
—aioCiO + асц = 0;
2aci2 = 0;
+ ЗаСгз = 0; G.4)
(n - l)acj(n - 1) - ainCin + (n + l)acj(n + 1) = 0,

122
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
где
j, n)/D°n
n
12A-
Система однородных уравнений G.4) будет иметь отличные от
нуля решения, если ее определитель равен нулю:
ai0 a О 0 0 О
О -ой 25 0 0 О
О a -ai2 За 0 О
О О О (n-lM -ain(n + l)a О
= 0.
G.5)
Из граничного условия G.2) при х = 1/2 после подстановки в
него выражения для прогиба G.3) вытекает соотношение
G.6)
где к = 1, 2, 3,...
Таким образом, задача сводится к нахождению минимального
значения а, удовлетворяющего соотношениям G.5) и G.6). Это
можно осуществить, например, графическим методом [108]. Од-
Однако можно поступить иначе. Для этого представим систему урав-
уравнений G.4) в виде
- (п - l)Cj(n_!) - (П+ l)Cj(n+1) = О,
G.7)
где А = I/a. Тогда' искомое значение параметра верхнего кри-
критического усилия аь является обратной величиной наибольшего
собственного числа Атах матрицы, соответствующей системе урав-
уравнений G.7), при выполнении условия G.6).

§ 2.8. Устойч^сть цилиндрич. оболочки при продольном сжатии 123
Применяя к системе уравнений G.7) оценку F.9), получим
\п — 1| + \п + 1\
G.8)
т.е. максимальное амплитудное значение сдвигающих усилий,
действующих на оболочку при изгибе поперечной силой, будет не
меньше значения усилий при кручении ободочки, равных ампли-
амплитудным,
§ 2.8. Устойчивость цилиндрической оболочки
при неоднородном продольном сжатии
Неоднородные осевые напряжения, являющиеся следствием,
например, неоднородного температурного поля, разложим в ряд
Фурье:
j=0
Решение системы уравнений A.15), A46) будем искать в виде
. тпх v^ . nV th • т7ГЖ v~* д пУ
n=0 n=0
Подставляя значения w и Ф в уравнение A.15), получим
171 гттг \ 2 1
Bn = An~R\~T) L^mn/^n/RY
Отметим, что согласно [66]
inJMq [ cos (n + q)ip + cos |
n—Q g=0 i=0
oo
n-1
.i=0 i+n i=0
cosn<p. (8.1)
Подставляя в A.16) выражения для w, Ф и iV° и принимая во
внимание (8.1), после соответствующих преобразований получим
следующую систему однородных алгебраических уравнений для

124
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
различных значений индекса п:
п + тт
где
li=O
(ran/I)'
^ = 0 при п = О;
i=O
= 0
(8.2)
при п = 1, 2, 3, ..., oo, (8.3)
'тэт п\ /ттг\4 E<ih 1 1
L \~T/ R2 L2(mn/l, n/R)\ '
A; — число, зависящее от внешней нагрузки, геометрических ха-
характеристик оболочки.
Внешняя нагрузка N{ должна быть выражена через Пп и с, а
Пп зависит, в свою очередь, отпит. Искомое значение верхнего
критического параметра нагрузки кв является обратной величиной
наибольшего собственного числа стах матрицы, соответствующей
системе уравнений (8.2), (8.3).
§ 2.9. Предельные нагрузки продольно сжатых
(растянутых) цилиндрических оболочек
Цилиндрическую оболочку рассмотрим как стержень, находя-
находящийся в условиях сжатия (растяжения) и нестационарного на-
нагрева. Из формулы для нормальных напряжений в поперечном
Рис. 2.25. Стержень с произвольным поперечным сечением
сечении неравномерно нагретого стрежня произвольного сечения
(рис. 2.25), приводимой в работе [27], получаем выражение для

§ 2.9. Предел, нагрузки продольно сжатых цилиндр, оболочек 125
нахождения его предельной нагрузки
fE*TdF
E*dF a±b ' F
(F)
E*
jE*dF
jE*aTxdF fE*aTzdF
x-
J E*x2 dF
F
+ z-
fE*z2dF
F
-aT
¦ (9-1)
Здесь знак «+» соответствует растяжению, а знак «—» — сжа-
сжатию; ?, z — координаты точки поперечного сечения; F —
площадь; о~±ъ — предел прочности материала (сг+ь > 0; о~-ь < 0).
, , Z
Рис. 2.26. Система координат для круговой цилиндрической оболочки
Рис. 2.27. Система координат для стержня прямоугольного сечения
Из (9.1) могут быть получены формулы для любых контуров
поперечного сечения элементов (одно- или много связных). Так,
для круговой цилиндрической оболочки (рис. 2.26), находящейся
в температурном поле ТB),
= 2nRh inf
0,5/i0
I E*[T(I)](
-0,5/i0
E* [(Tz)]
0,5h0
f a[T(z)]E*[T(z)](z
-0,5/tp
0,5h0
J E*[
-O,5/io
/J

126
Гл. 2. Предельные нагрузки ортотропных оболочек
а для стержня прямоугольного сечения (рис. 2.27)
O,5/io
(*)
/ E*[T{z)]dzx
-Ofiho
0,5/i0
O-±b[T{z)] -0,5/ip
E*[T(z)}
E*[T(z)]a[T(z)]T(z)dz
O,5/io
/
-0,5/iq
E*[T(z)]dz
O,5/io
E'[T(z)]a[T{z)\T(z)dz
-O,5/io
¦ (9-2)
С помощью этих формул были определены предельные на-
напряжения оболочки и стержня из стеклопластика, для которых
зависимости пределов прочности при растяжении и сжатии от
температуры приведены на рис. 2.28, а изменение температур
, МПа
300
200
100
293
393 493 593 Г, К
Рис. 2.28. Зависимость предела прочности при сжатии стеклопластика от темпе-
температуры
наружной и внутренней поверхностей при одностороннем нагре-
нагреве — на рис. 2.29. Изменение предельных напряжений с тече-
течением времени представлено на рис. 2.30: сплошные кривые соот-
соответствуют сжатию, а пунктирные — растяжению.

§ 2.9. Предел, нагрузки продольно сжатых цилиндр, оболочек 127
Отметим, что наименьшее значение выражения в правой ча-
части уравнения (9.2) достигается на ненагреваемой поверхности,
600
400
200
±NIF, МПа
300
О
20
40
60 г, с
40
60 г, с
Рис. 2.29. Изменение во времени температуры поверхностей оболочки и стержня
Рис. 2.30. Изменение во времени предельных нагрузок стержня A) с ho = 4,4 мм
и оболочки B) с ho = 4,4мм, R = 145мм для материала с a = 9 • 10~6K-1;
сжатие; — растяжение
что согласуется с экспериментальными данными работы [79] для
стержней прямоугольного сечения.

Глава 3
УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАПОЛНЕННЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ СИЛОВЫХ И ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Рассмотрена устойчивость цилиндрических оболочек средней
длины из ортотропного материала с упругим изотропным заполни-
заполнителем, подверженных действию нагрузок (внешнее давление, осе-
осевое сжатие, кручение) и нагрева. Оболочки считали тонкими и
упругими, а упругие характеристики материала — зависящими
от температуры, которую изменяли только по толщине этих обо-
оболочек. Осевая и внешняя поверхностные нагрузки равномерные,
а кручение осуществлялось двумя сосредоточенными моментами.
Полагали, что внешняя нагрузка полностью воспринимается обо-
оболочкой. Заполнитель рассматривался как изотропный упругий ци-
цилиндр, скрепленный по внешней поверхности с оболочкой, его тем-
температурное расширение не учитывалось.
Граничные условия на торцах соответствовали шарнирному
опиранию в случае внешнего давления и осевого сжатия, в случае
кручения выполнялось условие отсутствия прогибов на опорах.
Критические параметры нагрузки и волнообразования опреде-
определены численно. В качестве иллюстрации приведены результаты
расчета на устойчивость стеклопластиковых оболочек с заполните-
заполнителем, подверженных действию нагрузок и одностороннего поверх-
поверхностного нагрева. Показано стабилизирующее влияние упругого
заполнителя.
§ 3.1. Постановка задачи
Рассмотрим круговую цилиндрическую композитную оболочку
с изотропным заполнителем, находящуюся в неоднородном по ее
толщине температурном поле и подверженную действию одной из
нагрузок (внешнее давление, осевое сжатие или кручение). Мате-
Материал оболочки будем рассматривать как ортотропный с упругими
характеристиками, зависящими от температуры. Примем, что оси
ортотропии совпадают с координатными линиями на срединной
поверхности оболочки.

§3.1. Постановка задачи 129
Возникающие в оболочке усилия могут привести к выпучива-
выпучиванию. Для определения параметров критических нагрузок будем
исходить из разрешающего уравнения относительно прогиба вы-
выпучивания w B.1.19) *) [74, 21], дополненного членом, учитываю-
учитывающим взаимодействие оболочки с заполнителем,
+ LL(* «О + Liqr, A.1)
где qr — реакция радиального взаимодействия заполнителя с обо-
оболочкой. Докритические усилия JV.J?, Njj, N®y выражаются через
функцию усилий Фо по формуле A.18) гл. 2. Для их определения
необходимо рассмотреть докритическое напряженное состояние в
оболочке с заполнителем при действии нагрузок и температуры.
Давление на оболочку со стороны заполнителя находится из ре-
решения пространственной задачи теории упругости для него. Пред-
Предположим, что между оболочкой и заполнителем осуществляется
только радиальное взаимодействие. Тогда реакция этого взаимо-
взаимодействия будет такой [54, 135]:
а) для заполнителя в виде сплошного цилиндра
Чт = -fhv, A.2)
где
n, А) =
А2 Г A2
ж -, чч 2A -и3) B ,
А2 \А
^Формула A.19) гл. 2.
10 Зак. 130
. 1
А2
-0-
+ 4-
2 г
п 1
I
А*[
A V
1+4-
'>п - 4>l]
А н'п
/21
nj
п4

130 Гл. 3. Устойчивость заполненных цилиндрических оболочек
б) для заполнителя в виде цилиндра с центральным отверстием
qr = -pw,
где
Fn(X) = (/„(A) Ui [A - 4A - i/3)V'n(A)] + А3фп(Х) + у
( 2
+ Kn{\) |Л2[А - 4A - i/э
постоянные Ai определяются из решения системы уравнений
H + ai6A6 = 0;
Н Н О26>1б = 0;
R
az\A\ + A32A2 Н h азб^б = у;
+ «42^2 Н h а46-4б = 0;
ab\A\ + A52A2 Н h а5б-4б = 0;
aeiAi + (I62A2 Н Ь авб^б = О,
причем
= /п(Л) |l - 8{12и |
l]; A.4)
«23 = /п(АJ^Р /(А)^
В коэффициентах ai2, аи, ai6, «22, «24, «26 функции /П(А) за-
заменяются на КП(Х), а V'n(A) — на </?п(А), где r/>n(A) = I^(X)/In(X),
<Рп{Х) = К'П(Х)/КП(Х); коэффициенты 041, ..., а4в представляют

§ 3.2. Компоненты докритического напряженного состояния 131
собой те же функции A.4), A.5), только от аргумента К\, где
К — ro/R (го — радиус центрального отверстия); А = mirR/l;
/„(А), Kn{\), I'n{\), К'п{\) — модифицированные функции Бес-
Бесселя первого и второго рода от аргумента А порядка п и их произ-
производные по аргументу; Д, = E3/R(l +v3); E3, v3 — модуль упруго-
упругости и коэффициент Пуассона заполнителя, рассматриваемого как
однородное упругое изотропное тело.
Отметим, что если в соотношениях A.2), A.3) будем полагать
п = О, А —> 0, то получим [85]
Qr = -&VJO lim /o(A) = -&- -w = ~P3w,
А->0 1 — 1/3
что соответствует сплошному упругому заполнителю, моделиру-
моделируемому основанием Винклера с постоянным коэффициентом «по-
«постели»
Укажем также на то, что в работе [49] предложена следующая
формула для коэффициента «постели», характеризующего жест-
костные свойства упругого цилиндра с центральным отверстием:
¦Ъ _ (Д2 " г\)Е3
Полагая в A.7) г —> 0, получаем прежнюю формулу для коэффици-
коэффициента «постели», соответствующего сплошному заполнителю A.6).
Задавая выражение для прогиба выпучивания и подставляя
его в A.1), имеем характеристическое уравнение для определе-
определения критических параметров нагрузки. Ниже будут приведены
примеры использования этого уравнения.
§ 3.2. Определение компонентов
докритического напряженного состояния
Будем использовать основные соотношения безмоментной тео-
теории симметрично нагруженных цилиндрических оболочек враще-
вращения, приведенные в [82]. Для усилий N%, N°, N%y имеем
N° = - Xdx+AN; N° = RZ; N°y = - / Ydx+BN, B.1)
10*

132 Гл. 3. Устойчивость заполненных цилиндрических оболочек
где An, Bn — постоянные интегрирования; X, У, Z — компо-
компоненты поверхностной нагрузки.
Перемещения щ, vq, u>o точки срединной поверхности оболочки
определяются как
X X
ио= [exdx + Au; vQ = -y° dx + Av; wQ = e^R, B.2)
J J
о о
где Au, Av — постоянные интегрирования; e0., ejj, y®y — относи-
относительные деформации срединной поверхности, для которых имеем
соотношения [92] (рассматривается случай неравномерно нагретой
оболочки)
'=
Ifxy
о _
¦Взз
Здесь жесткостные параметры согласно формуле A.7) гл. 2 будут
такими:
Вц = - {- ; B33 = Gh; B12 = v2Bn = v\B& (г = 1, 2),
1 — 1/11/2
а температурные усилия согласно формуле A.8) гл. 2 запишутся
следующим образом:
0,5/i
/ №] { }f dz-
0,5/i
B.4)
где T = T — To; a|, a2 — коэффициенты линейного расширения
в осевом и кольцевом направлениях соответственно.
Перейдем к определению усилий, возникающих в оболочке при
действии нагрузки и температуры.

§ 3.2. Компоненты докритяческого напряженного состояния 133
Случай внешнего давления. Замкнутая круговая оболочка не-
несет равномерно распределенную нормально приложенную нагрузку
J-
it t t,-t 11
* 1 .. M
Рис. 3.1. Круговая цилиндрическая оболочка с заполнителем, находящаяся в не-
неоднородном по толщине температурном поле и подверженная действию внешнего
давления (а), осевого сжатия (б) и кручения (в)
интенсивностью q (рис. 3.1а). Торцы оболочки (х = О, х = I) пол-
полностью закреплены. Здесь имеем следующие граничные условия:
при х — 0 uq = 0 и vq = 0; B.5)
при х — I uq = 0 и vq = 0. B.6)
Компоненты поверхностной нагрузки
Х = 0, У = 0, Z = g. B.7)
Внутренние усилия найдем из системы B.1) с учетом B.7):
N% = An, Ny = Щ, N%y = В^. Следовательно, деформации е°,
Еу, -у^у не изменяются по длине. Тогда для перемещения получим
uo = e°xx + Au; vo = -?°yx + Av. B.8)

134 Гл. 3. Устойчивость заполненных цилиндрических оболочек
Из граничных условий B.5) находим, что Аи = 0 и А„ = 0.
Следовательно, щ = ?°? и v0 = 7хух-
Из условий B.2) имеем
Отсюда А^ = N\t + vi{Ny — N2t),B^ = 0 и, следовательно,
° ; N% = Rq, N°y = 0. B.9)
С учетом отпора заполнителя q = q — Д,эдо, N° = (q — C3Wq)R,
где q — внешнее давление, Дз — коэффициент «постели» и
прогиб в докритическом состоянии, откуда Wo = (q —
Учитывая соотношения B.3), получаем
e
ll
/33
В соответствии с данным выражением имеем
l-N2T) B.10)
В22
и, следовательно,
где
Л - 1 + PaR2 B 12^
В22
Случай осевого сжатия. Замкнутая круговая цилиндрическая
оболочка не допускает тангенциальных перемещений по торцам и
несет равномерно распределенную сжимающую нагрузку интен-
интенсивностью р — o~xh и нормально распределенную поверхностную
нагрузку итенсивностью q0T (рис. 3.16). Это определяет следую-

§ 3.2. Компоненты докритического напряженного состояния 135
щие граничные условия и компоненты поверхностной нагрузки:
при х = 0 N°=p, vo = O; B.13)
при х = I N°=p, v0 = 0; B.14)
Х = 0, У = 0, Z = qOT. B.15)
Из B.1) с учетом B.15) и B.13) для внутренних усилий по-
получим
° ° ° B.16)
Следовательно е°, jxy, e® неизменны по длине оболочки. Поэтому
= 1%х + Av.
1%
B.17)
Из условия B.13) найдем, что Av = 0. Тогда vq = 7i«a;- Второе
условие из B.14) дает ^у1 = 0, т. е. 7^ = 0. Следовательно, в силу
соотношения B.3)
№ху = 0. B.18)
Из условия равновесия элемента оболочки с учетом отпора за-
заполнителя имеем
Отсюда Wo = —
чаем
° = q(yrR = -l33w3R. B.19)
. Принимая во внимание B.3), полу-
полуСледовательно,
где
¦811-822 —
B 21)
Отметим, что если на торцах оболочки выполняются гранич-
граничные условия «о = 0, vo = 0 при х = 0; iV° = p, vq = 0 при х = I,
то для усилий получим прежние соотношения.

136 Гл. 3- Устойчивость заполненных цилиндрических оболочек
Случай кручения. Замкнутая круговая цилиндрическая обо-
оболочка не допускает продольных перемещений по торцам и несет по
ним равномерно распределенные сдвигающие усилия интенсивно-
интенсивностью s и поверхностную нагрузку qOT (рис. 3.1 в). Это определяет
следующие граничные условия и компоненты поверхностной на-
нагрузки:
при х = 0 щ = 0, К = а
при х = I uo = 0, N%y = s; B.23)
Х = 0, У = 0, Z = 0. B.24)
Из B.1) с учетом B.22), B.24) для внутренних усилий имеем
N° = AN, N° = qmR, N% = BN = s. B.25)
Тогда е°, Еу, е^у неизменны по длине оболочки. Поэтому
щ = Е°хх + Аи. B.26)
Из условия B.22) следует, что Аи = 0 и, соответственно, щ =
= ?°ж. Первое условие из группы B.23) дает е°/ = 0, т. е. е° = 0.
Поэтому
¦sjfzwgfr - **-ыя>,- ад]=о,
откуда An = 7V° = v\ (Ny — N^r) + Nit- Принимая во внимание
соотношение B.19), имеем
\впв22-в212
11.
N _
\впв22-в212
[j [(j ) +
Отсюда
N* = т^-Nrr B.27)
dii?22
и, следовательно,
n B-28)

§ 3.3. Устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек 137
§ 3.3. Устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек
с изотропным заполнителем при действии нагрузок
и температуры
Внешнее давление и нагрев. Докритические усилия, возни-
возникающие в оболочке, определяются соотношениями B.9)—B.11).
Решение уравнения A.1) ищем в виде
w = w sin amx sin т]пу, C.1)
где ат = гмг/1, % = n/R, m — число полуволн в осевом на-
направлении, an — число целых волн в окружном, w* — стрела
прогиба. Отметим, что выражение C.1) удовлетворяет условиям
шарнирного опирания торцов оболочки. Введем следующие без-
безразмерные параметры [69, 70]:
, _ gR2 &R2 _ PR2
1 ' ш; ш
/
_ Nit R 1 -0,5ft
1 ~
0,5Л
El{\ l)fd C.2)
R
о h0 ~ 1 - U1U2 E%h0
0,5Л
D / E*2(a*2
R -о,5Л
Следовательно, комплекс B.12) примет вид
Е°
C.3)
Подставляя выражение C.1) в уравнение A.1) и используя обо-
обозначения C.2), C.3), получаем
-1
+
+ —--J2\^3-^~r -О2- )- Si62Ji } (l+i/i0) *• C.4)
9 Зак. 130

138 Гл. 3. Устойчивость заполненных цилиндрических оболочек
Для определения критического давления необходимо произве-
произвести минимизацию выражения C.4) по параметрам волнообразова-
волнообразования в и х. Если допустить, что в2 <С 1 [69], то
D22 М4 Exh wbx Eh0 .„ _.
++^ C-5)
Щ к E\\iq х E2h
Минимизируя уравнение C.5) по х(п), найдем величину кри-
критического давления и число волн
В С
9кР = An2Kp + — + — -D; C.6)
С ± VC2 + 12AB
' C7)
kp V 2А
где
R
Осевое сжатие и нагрев. Докритические усилия, возникающие
в оболочке, определяются соотношениями B.16), B.18), B.20).
Принимаем решение A.1) в виде C.1) и полагаем
0,5Л
/ a*2T{z)E*2dz
R ^
Щ Wo V б2'1 + ШзЕ2- C'8)
Тогда, внося C.1) в A.1) и учитывая выражения C.2), C.8),
будем иметь
1 5 E*h |
x в* + (E2/G - 2v2) в2 + E2/Ei E$h
62x 62в2
\ C.9)

§ 3.3- Устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек 139
Для определения критического параметра осевого напряжения
необходимо произвести минимизацию выражения C.9) по параме-
параметрам волнообразования в, к.
Кручение и нагрев. Докритические усилия определяются со-
согласно выражениям B.25), B.27) и B.28). Выпучивание оболочки
при кручении сопровождается образованием регулярно расположен-
расположенных по окружности винтообразных волн, наклоненных к образую-
образующей. Будем считать, что края оболочки закреплены и что закреп-
закрепление носит характер либо шарнирного опирания, либо заделки.
Обычно [42, 54] считается возможным удовлетворить не всем гра-
граничным условиям, а только
ш = 0 при i' = ±- (х' = х--). C.10)
2 \ 2/
Если принять выражение для прогиба в виде
. \
с, sin
R
с, sin , C.11)
R
где Аг — Ai = 2mnR/l (m = 1, 2, ...); Cj, Aj — некоторые постоян-
постоянные величины; n — число целых волн, образующихся в кольцевом
направлении, то тогда и только тогда удовлетворяются условия
C.10). Будем полагать
s R ~ А-
т* ы>' в{ = ^ (ЗЛ2)
Тогда, подставляя C.11) в A.1) и учитывая выражения C.2),
C.12), получим
1 E2h Щ ш
Of + {E2/G - 2v2) Щ + Eh/Ei E°h0 к QiK
--^-\-%Л, ,-1,2, C.13)
\-v\V2j J
причем J\, J2 определяются по формулам C.2).
9*

140 Гл. 3. Устойчивость заполненных цилиндрических оболочек
Некоторые частные результаты. В случае, когда температура в
теле цилиндрической оболочки распределена равномерно, имеем
А» = q§ (i = I, 2);
J = a*2(T)(T - To)?; J2 = [a*2(T) + vxa\{T)] (T - To)|;
Принимая во внимание C.13), можно получить выражение для
параметров критических нагрузок. Например, в случае осевого
сжатия будем иметь
* Щ в4 + (Eb/G - 2v2) в2 +
iC14)
в2я в262 &2
Отметим, что если принять модули упругости ортотропного ма-
материала не зависящими от температуры и перейти к изотропному
материалу, то получим выражение для параметров нагрузки
в' 1 UKJ Ш
——ус Л = — Л — > X
12A-1/2) Q2
f_ L я»,' <3-15)

§ 3.4. Примеры расчетов 141
где
Оно, за исключением множителя 1 + [^/(c^2)]^ совпадает с фор-
формулой, приведенной в работе [69].
§ 3.4. Примеры расчетов
Рассмотрим заполненные оболочки, подвергающиеся нагреву,
которые выполнены из КМ с упругими и теплофизическими ха-
характеристиками, приведенными в гл. 2.
Нахождение критических параметров внешнего давления или
сжимающей нагрузки сводится к определению минимума правой
части выражений C.4) либо C.9) относительно целочисленных па-
параметров волнообразования тип для заданных коэффициентов
упругого основания ш и ш3 и параметров режима нагрева, напри-
например темпа и времени, т. е. q* = ming*, с* = miner*. Несколько
сложнее обстоит дело с вычислением критического параметра кру-
крутящего момента. Следуя методу, предложенному Швериным [134]
для изотропных оболочек, находим минимум выражения C.13)
по параметрам волнообразования m, n, Ai и Аг, причем Ai и Аг
связаны зависимостью Аг — Ai = 2nmR/l. Для этого предложен
итерационный процесс. Если г* к < т.* к, то условие окончания
процесса таково: т?г ^ т% г (г > к), и наоборот, при этом
А1 — А1 + J\°*i т1,к — т\Л1 ;> Т2,к
где
{-1, если т?к<ток;
1 ?? (*-1
8Х = 2nm(R/l) A/50), т. е. 1/50 от длины хорды, которую необхо-
необходимо вложить в кривую т*(А).
За минимальное значение параметра критического сдвигаю-
сдвигающего усилия принималась величина

142 Гл. 3. Устойчивость заполненных цилиндрических оболочек
Критические параметры нагрузки и волнообразования опреде-
определяли численно. Для этой цели были составлены программы на
языке ФОРТРАН, одна из которых приведена в [61]. Определим
критические нагрузки оболочек, находящихся в нестационарном
температурном поле (формула C.4) гл. 1), используя эти прог-
программы.
Результаты расчета на устойчивость оболочек с ho = 3,2 мм,
R = 145 мм, I = 550 мм представлены на рис. 3.2, 3.3 для
B7; 0),
0,8 о)
0,8 о)
Рис. 3.2. Зависимость критического параметра осевых напряжений от относи-
относительной жесткости заполнителя при Ъ = 2,5 К/с: • — расчетные значения для
чисел m и n, a = 3,6 • 104 МПа, с3 = 6,19 • 103 МПа, di = -43,0 МПа/К,
d3 = -9,95МПа/К, а2 = 8 ¦ 1(Г6 К'1
Рис. 3.3. Зависимость критического параметра осевых напряжений от отно-
относительной жесткости заполнителя при Ъ = 2,5 К/с: с\ = 3,14 • 104 МПа,
сз = 6,19-103 МПа, di = -3,75 МПа/К, d3 = -9,95 МПа/К, а2 = 1,5-КГ6 К
случая осевого сжатия, на рис. 3.4, 3.5 для случая внешнего да-
давления и на рис. 3.6, 3.7 для случая кручения (числа в скобках
на рисунках — параметры волнообразования тип). Пунктир-
Пунктирные кривые соответствуют расчету, когда заполнитель модели-
моделируется основанием Винклера. Видно, что в обоих случаях с

§ 3.4. Примеры расчетов
143
увеличением жесткости заполнителя критическая нагрузка не-
неограниченно растет. Нагрев уменьшает критическую нагрузку
при нагружении оболочек осевым сжатием и кручением, что
О
0,4
0,8
Рис. 3.4. Зависимость критического параметра внешнего давления от отно-
относительной жесткости заполнителя при 6 = 2,5 К/с: с\ — 3,6 • 104 МПа,
сз = 6,19 • 103 МПа, di = -43,0 МПа/К, d3 = -9,95 МПа/К, а2 = 8 • 1(Г6 К,
сп = 1,5 -10 К
Рис. 3.5. Зависимость критического параметра внешнего давления от отно-
относительной жесткости заполнителя при 6 = 2,5 К/с: с\ = 3,14 • 104 МПа,
сз = 6,19 • 103 МПа, dx = -37,5 МПа/К, <?•» = -9,95 МПа/К, сц = 8 • 10~6 К,
а2 = 1,5-10-6 К
обусловлено не только падением жесткостных характеристик
оболочки, но и влиянием температурных усилий. Иная кар-
картина наблюдается при нагружении оболочек внешним давле-
давлением.
Решение задачи с использованием в качестве модели запол-
заполнителя основания Винклера дает сильно заниженные значения
критической нагрузки по сравнению с решением, когда запол-
заполнитель рассматривается с позиций пространственной теории уп-
упругости.

144 Гл. 3. Устойчивость заполненных цилиндрических оболочек
Расчеты показывают, что при низких жесткостных характе-
характеристиках заполнителя сжатая оболочка выпучивается по неосе-
симметричной форме. С повышением жесткости появляется осе-
симметричная форма потери устойчивости, число волн по длине
г* Г
Рис. З.6. Зависимость критического параметра крутящего момента от относи-
относительной жесткости заполнителя при 6 = 2,5 К/с: • — расчетные значения при
числах m и n, a = 3,6 • 104 МПа, с3 = 6,19 • 103 МПа, di = -43,0 МПа/К,
из = -9,95 МПа/К, qi = 1,5 • 1<Г6 К, а2 = 8 • 1(Г6 К"
Рис. 3.7. Зависимость критического параметра крутящего момента от относи-
относительной жесткости заполнителя при 6 = 2,5 К/с: • — расчетные значения при
числах m и n, ci = 3,14 • 104 МПа, с3 = 6,19 • 103 МПа, di = -37,5 МПа/К,
d3 = -9,95 МПа/К, qi = 8 • 1<Г6 К~\ а2 = 1,5 • 1<Г6 К
оболочки возрастает, тогда как число волн в кольцевом направле-
направлении уменьшается. Влияние коэффициента Пуассона на критиче-
критический параметр нагрузки о*х в случае осевого сжатия показано на
рис. 3.8. Из него видно, что с возрастанием значений v3 увеличи-
увеличивается значение параметра о%.
В заключение отметим, что результаты расчета на устойчи-
устойчивость при осевом сжатии заполненных стеклопластиковых оболо-
оболочек по предлагаемой методике удовлетворительно согласуются с
экспериментальными данными работ [111, 116] (табл. 3.1: Рэ —
разрушающая нагрузка; Ркр, Р®р — критическая нагрузка для не-
незаполненной и заполненной оболочек).

§ 3.4. Примеры расчетов
145
B7;0)
0
0,4
0,8
Рис. 3.8. Влияние коэффициента Пуассона vo заполнителя на критический
параметр осевых напряжений: • — расчетные значения при числах тип,
a = 3,6 • 104 МПа, с3 = 6,19 • 103 МПа, di = -43,0 МПа/К, <f3 = -9,95 МПа/К,
Q2=8-10 К, «^ =0,142
Таблица 3.1. Геометрические параметры, характеристики упругости,
критические нагрузки заполненных етеклопластиковых оболочек
Номер
обо-
оболочки
1
2
3
4
5
6
7
8
?•
293
293
293
293
293
293
293
293
h,
мм
0,47
0,46
0,44
0,49
0,47
0,97
1,02
0,97
я,
мм
64,73
64,73
64,72
64,75
64,73
150,48
150,50
150,48
мм
215
227
227
381
381
382
385
380
Six
хЮ~5,
МПа
1,62
1,75
1,66
1,87
1,83
1,78
1,76
1,98
хЮ~5,
МПа
2,48
2,68
2,55
2,78
2,75
2,78
2,79
2,88
Gx
хЮ~5,
МПа
0,491
0,495
0,505
0,478
0,490
0,496
0,497
0,516

0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
0,12
МЙа
6,00
6,00
6,00
6,00
6,00
6,00
6,00
6,00
а
19,70
18,30
17,70
18,00
16,80
69,30
78,50
79,50
Ркр,
кН
18,50
20,43
18,20
21,15
20,00
71,60
92,60
102,20
кн"
11,81
13,42
11,40
13,72
12,61
54,10
57,00
64,50
Рэ
-Ркр
1,063
0,893
0,972
0,852
0,841
0,967
0,848
0,777

Глава 4
ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ ПРИ ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Рассмотрена круговая цилиндрическая оболочка из ортотроп-
ного материала, подкрепленная по торцам шпангоутами. Полу-
Получены как аналитическое [59], так и численное с помощью метода
конечных разностей решения задачи термоустойчивости такой
оболочки для двух вариантов граничных условий (шарнирное опи-
рание и защемление).
Изучена устойчивость цилиндрической (сферической) оболочки
при скачкообразном распределении температуры по длине (эква-
(экватору). Получено аналитическое решение.
Представлен алгоритм расчета теплофизических характеристик
многослойных КМ [117].
Рассмотрено аналитическое определение перемещений и на-
напряжений в ортотропных оболочках вращения, испытывающих
о се симметричный нагрев. Изучено влияние термоциклирования
на предельные нагрузки при внешнем давлении оболочек из КМ
на углеродной основе.
§ 4.1. Постановка задачи термоупругости
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку, подкреплен-
подкрепленную по торцам шпангоутами. При нагреве такой оболочки коль-
кольцевые сжимающие напряжения, возникающие в узкой зоне сопря-
сопряжения обшивки с более холодными шпангоутами, могут вызвать
местное выпучивание.
Уравнения устойчивости ортотропной оболочки в «малом» с
учетом моментности состояния, предшествующего потере устой-
устойчивости, имеют, в отличие от уравнений A.15), A.16) гл. 2, сле-
следующий вид:
д д
=-*?-**<•»>¦

§ 4.1. Постановка задачи термоупругости
147
Здесь w — прогиб, Ф — функция усилий. Потеря устойчивости
состоит в возможности появления смежной формы равновесия, пе-
периодической в окружном направлении.
Так как напряжения, вызывающие потерю устойчивости обо-
оболочки, быстро затухают с удалением от шпангоута, то оболочку
можно считать полу бесконечной. Пусть длинная оболочка нагрета
равномерно до температуры Toq. На торце х = О край оболочки
V
т
0
«
1
i
i.
X
Рис. 4.1. Круговая цилиндрическая оболочка, подкрепленная шпангоутами (о),
при кусочно-постоянном распределении температур по ее длине (б)
закреплен на жестком холодном шпангоуте (рис. 4.1) с температу-
температурой Тшп. При нагреве возникают прогибы и усилия, симметрич-
симметричные относительно оси оболочки:
WQ = <
—1 + е Al(cos Xx + sin Arc) для защемленной
оболочки,
а2АТД(-1 + е~Хх cos Xx)
для шарнирно
опертой;
A.3)
i Al(cos Xx + sin Ax) для защемленной
оболочки,
—Eya.?. AThe~Xx cos Xx для шарнирно
опертой.
A.4)

148 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Здесь
7Ш
Задача устойчивости сводится к нахождению собственных зна-
значений и функций однородных уравнений A.2) и A.3) с краевыми
условиями
дЧ дЧ
w~ ду2 ~ дхду ~ ;
— = 0 для защемленной оболочки,
) Щ>иаг = 0; A.6)
dw
—-=¦ = 0 для шарнирно опертой
ш, Ф ограничены при х -» со.
§ 4.2. Определение критического перепада температуры
между стенкой цилиндрической оболочки
и шпангоутом в случае защемления
Если в уравнения устойчивости A.1), A.2) ввести безразмер-
безразмерные переменные
t = \x, т, = Ху, B.1)
то они примут вид
т (д д_\ h
2 W дт}) W ~
А2 дт
?
(д д\ Е2
Так как получить точное решение уравнений B.2) и B.3) ана-
аналитически затруднительно, то будем искать приближенное реше-
решение, следуя процедуре метода Бубнова-Галеркина в форме Пап-
ковича. Зададим изогнутую поверхность оболочки в виде [77] с
амплитудой /у.
w = /ье~^A - cos c?) sin677- B.4)
Параметры a, b, cf будем определять из условия минимума кри-
критического перепада.

§ 4.2. Критический перепад температуры в случае защемления 149
Использование уравнений B.2) и B.3) предполагает, что при
потере устойчивости образуется большое число волн в окружном
направлении. Вид функции Ф определим из уравнения B.3), от-
отбрасывая в нем слагаемое, обусловленное деформацией до потери
устойчивости:
д\, Е2 d2w
Вместо функции усилий Ф введем функцию ф, считая
Тогда уравнение B.5) примет вид
Граничные условия будут такими:
= 0 при ? = 0, B.8)
на бесконечности функция и ее производные равны нулю.
Очевидно, что V(?> V) = ^(^) sin 677, а для определения
имеем обыкновенное дифференциальное уравнение
G71 \ //2a/i J?
-?-2v2) Ь-Jr + -?ф = /6e~2f(l - cosc?), B.9)
G / d^z bj\
причем d2ip/d?2 = d3ip/d?3 = 0 при ? = 0, на бесконечности функ-
функция и ее производные равны нулю.
Оказывается, что корни характеристического уравнения, соот-
соответствующего уравнению B.9), зависят от параметра —2V2 + E2/G
и при —2^2 + E2/G = 2 являются кратными. В связи с этим ре-
решение краевой задачи для функции ip имеет вид
ф =
если Щ--2и2 = 2,
е
если -^ - 2v2 > 2

150 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
(быстро растущая часть отброшена). Здесь для E2/G — 2v2 = 2 и
Ei/E2 = 1
Si = -i- [a2 C6 - 2a)Л1 + Цбо2 - 232 - 6а6)Л2 -
б3
- C6с2 - 36S2 - бас2 + 2а3) Лз];
б2
а для
(а2-б2J A2V Л
62-г2J-4а2с2]; А = (а2- 62-Э2J+ 452с2;
> 2
- q) + Лз^у^са2 - г2) + ^(зг2 - г2)] ;
Зо2 - г2) - 2а6сл/Л^]}
- о) + л3[(о2 - г2)^^+^(зг3 - а2)]
3о2 - а2)]}
1 й
1
А2=
(E2/G - 2u2) + {Е2/ЕхN4'
ZSc\2{a? - с2) - {E2/G -
[(о2 - g2J - Atfc2 - (E2/G - 2v2) (о2 - с^N2 + {Е2/Е1Щ
_ .

§ 4.2. Критический перепад температуры в случае защемления 151
2
:г2 -$\
А =
(о* -
G
V - с2)
452c2
G
G
-4
Величины 5i, 5г определены из граничных условий.
Случай, когда —2^ + E2/G = 2, возможен, например, для
изотропного материала, так как Е\ = Ei = .Е, и = vi = v и
G = ?/2A +1/). Случай, когда -2i^ + E2/G < 2, здесь не рассма-
рассматривается. Для композитных материалов — 2i*2 + E2/G ^ 2.
Формула для функции усилий Ф находится с помощью B.6).
Введем в уравнение B.2) выражения для wo и N° согласно A.3),
A.4) и функции w и Ф согласно B.4), B.6), а также применим к
нему операцию метода Бубнова-Галеркина. Выполнив преобразо-
преобразования, получим
- 2Ь2B1?зз
. B.10)
Здесь
= / w —тл-dt; S2= w l>0 d?;
= w
о
оо
d?
); ф* = у.
B.11)

152 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Критический перепад температуры определим из уравнения
B.10):
АТкр =
или, с учетом формулы A.5),
/ут —
КР
где
Si - 2Ь2
S2
После вычисления интегралов имеем
+ 452а2 + За4) о
зг4
B.12)
454] .
+
4 ~
а2) 4Dо2 + г2)
а4 - За2? - г4)
4аDо2 + г2)
г2 + 3E + ьJ]
3
(а + 6) [4B +6J + И2] {а
если —^ — 2i*2 = 2;
(л
-02 A2
, если —— 2i^2 > 2;
(л

§ 4.2. Критический перепад температуры в случае защемления 153
, _ 3(а + 1) а + 1-с
>5 " A + 2аJ + 1 + 2[A + 2аJ + A - 2сJ] +
а + 1 + с 2A +а)-с
¦ 2аJ + A - сJ
2A +а)+с
A + 2аJ + A + сJ;
Е2
если —- - 2^2 > 2;
G
(b2Bi - 2ЬВ2)с42 +И?В2с52, если -? - 2v2 = 2;
G
a)+c 2A+2)-с
A + 2аJ + A + 2J A + 2аJ + (с - IJ
а + cf+l а —с
С2 =
A + 2аJ + Bс + IJ A + 2аJ + Bс - IJ'
2а + с 2а 2а-Ъ
A + 2аJ + A - сJ A + 2аJ + 1 A +- 2аJ + A + сJ
а + с~ а — с:
4а
сз =
С41 =
A + 2аJ + A - 2сJ A + 2аJ + A + 2сJ'
2а + с " 2а-с
A + 2аJ + 1 ~ A + 2аJ + A - сJ ~ A + 2аJ + A + сJ'
а + 6\/АГ + с
— с
С42 =
а+^+с
а + 6-с"

154 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
2 (а + by/A2) a + &уА2 + с
C5i = " -—
- с
a + feJ-(l-cJ-2(a
ЬJ-2]
[(а-
Величина коэффициента /г(, входящего в формулу B.18), зави-
зависит от параметров a, b, с, определяющих характер волнообразова-
волнообразования, и является постоянной для каждого КМ.
Для изотропной оболочки формула B.12) принимает вид
AT - ** h
где
Все величины Sj (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6) берутся для случая, когда
E2/G - 2v2 = 2.
В работе [77] рассматривается задача определения критиче-
критического перепада температуры для изотропной оболочки. Приве-
Приведенное в ней выражение для функции усилий в срединной по-
поверхности является решением приближенного дифференциального
уравнения совместности, а критический перепад температуры
находится из решения уравнения устойчивости в энергетической
трактовке.
Результаты минимизации коэффициента перепада темпера-
температуры как функции а, Ь, с с помощью программы, приводимой в
[123], представлены в табл. 4.1. Индекс «О» у величины kf озна-
означает, что при ее вычислении не учитывается моментность исход-
исходного состояния. Величины в скобках, относящиеся к оболочкам
из изотропного материала, получены Л. М. Куршиным [77].

§ 4,3. Критич. перепад температуры в случае шарнир, опирания 155
Таблица 4.1. Критические параметры волнаобразования
и коэффициенты перепада температур
Материал
Изотропный
Стекло-
Стеклопластик I
Стекло-
Стеклопластик II
Изотропный
Стекло-
Стеклопластик I
Стекло-
Стеклопластик II
Защемление
Коэффи-
Коэффициент
перепада
6,286
F,41)
4,646
5,106
5,960
E,59)
4,466
4,949
а
1,283
A,00)
1,029
0,967
1,233
A,00)
0,965
0,936
6
1,671
A,45)
1,662
1,540
1,671
A,45)
1,548
1,443
с
1,293
A,30)
1,476
1,519
1,236
A,30)
1,405
1,438
Шарнирное опирание
Коэффи-
Коэффициент
перепада
h
13,56
A6,6)
9,470
10,39
12,39
A5,7)
8,853
9,732
а
0,626
@,65)
0,533
0,522
0,543
@,65)
0,482
0,473
6
2,006
A,45)
1,912
1,768
1,708
A,45)
1,713
1,592
с
1,209
A,00)
1,250
1,255
1,124
A,00)
1,174
1,183
Отметим, что решение задачи методом конечных разностей
при граничных условиях A.6) для изотропных оболочек дало к® =
= 5,61, А;* = 7,30 [40,88,112].
Упругие характеристики материала стеклопластиковых оболо-
оболочек типа I принимали следующими: J5"i = 2,30 - 104 МПа, i?2 =
= 2,00 • 104МПа, G = 0,36 • 104МПа, vx = 0,142. Для оболочек
типа II оси ортотропии повернуты на 90° относительно координат-
координатных осей.
Из табл. 4.1 видно, что учет моментности исходного состояния
увеличивает критический перепад температуры. Это может быть
объяснено стабилизирующим эффектом искривления образующих
оболочки.
§ 4.3. Определение критического перепада температуры
между стенкой цилиндрической оболочки
и шпангоутом в случае шарнирного опирания
Аналогично изложенному выше решается задача нагрева обо-
оболочки с шарнирно опертым краем.
Изогнутую поверхность оболочки зададим в виде w = Де^ х
х sinc?sin&77, удовлетворяя граничному условию (геометрическо-
(геометрическому) w = 0 при ? = 0 и условиям ограниченности при ? — оо.
Условие d2w/d{,2 = 0 при ? = 0 для выбранной функции не под-
подходит.

156 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Функцию ф найдем из уравнения B.7) при условиях B.8), т. е.
Ф = h [е~^{А2 sin с? + А3 cos
/б
+
#2 п п
если — - 2v2 ~ 2,
Сх
, если -^ - 2v2 > 2
G
sin \щ.
Здесь для EilG -2i^ =2 и Е1/Е2 = I
5i = -i- [A2{Za2Z- с3 - 2Ш) + А3(с?Ь- fb-a3 + Zac2)];
б2
б2
В2 = -i [^(бо2?- 2с3 - бабе) + ^(ЗсРб - 3^6 - 2а3 + бас2)],
а для .E2/G - 2t/2 > 2
a4 + с4 -
- 2щ)Ь2{сР - с2)
- о2) + 2 (Я2/? - 2t/2) ^
А2 [А
2 [А3
- о2)] + Л2 [^За2 - с2) -
[(о2 -&)by/h. +SCc2 -а2
-г2)]}

§ 4.3> Критич. перепад температуры в случае шарнир, опирания 157
Критический перепад температуры определяется по формуле
B.12), причем величины Sj (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6), определяющие
коэффициент kt, будут следующими:
4а
с2
52 ~ 45;
4(о2 + ;
с2
[Л2(а4 + с4 - ба^с2) + Л34ас(а2 - с2)]2с2
4~ (а + Ь) [(а + 6J+ 4с2]
с[Л245с(с2 - а2) + Л3(а4 + с4 - ба2^)]
(а+ 6J+ 4^
-46352)с 264?2(g + 6)c
E + 6J+22
^
#2
если —— 21*2 = 2,
-, если—-2i^>2;
2а+1
2 | Bа + 1)
1
2
Bа-
Л2(а2-с2) +
2
2с +
A + 2аJ +
X
1 +
!5JН
2 + 1
flJ
1
Bс +
2а
-Bс-
1
+ Bс -1J
1
2
A +2аJ
¦
1JJ
1 Bа+1):
1
2 + Bс + IJ
2с-1
+ 1 ' A+2аJ + Bс-1J
, А3(а?-?)-
1)
2
1 + 2а
¦ 2аJ + A +
2асЛ2
2сJ
]}'

158 Гл.4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
-2ЬВ2)х
1+Z + b
1 + a + b
A+a + bJ + A-еJ (]
f (l+Z + bJ-(l-cJ
ь2в
pi
если — - 2^2 = 2,
a+
a + bJ + (l + cJ_
A + a + bJ-A+cJ
+b2\\B2
если — — 2^2 > 2.
G
+(l+cJ.
Величины Sj (j = l, 2, 3, 4, 5, 6) получены по формулам B.11),
в которых Wq(?) = —1 -fe~^cos?, ??(?) = — e~^? *(?)
Значения критического перепада температуры для оболочки из
изотропного материала и стеклопластика даны в табл. 4.1. Реше-
Решение задачи при граничных условиях A.6) для изотропной обо-
оболочки методом конечных разностей дало k° = 8,75 и kt = 40,5
[88,112], т. е. пренебрежение в уравнениях устойчивости членами,
содержащими dwo/d? и д2и>о/д?2, недопустимо.
Таким образом, критический перепад температуры для шар-
нирно опертой оболочки оказывается значительно выше по срав-
сравнению с критическим перепадом температуры для оболочки, за-
защемленной по торцам на шпангоуты. Это объясняется большей
податливостью при нагреве шарнирно опертой оболочки.
В заключение отметим, что применение метода Бубнова-Галер-
Бубнова-Галеркина к двум уравнениям совместности панелей и оболочек может
дать неверные результаты [104]. Поэтому, учитывая неопределен-
неопределенность оценки решений в этом случае, мы отказались от решения
уравнения совместности по методу Бубнова-Галеркина и стреми-
стремились получить точное или приближенное решение.

§ 4.4. Термоустойчивость цилиндрической (сферической) оболочки 159
§ 4.4. Термоустойчивость цилиндрической (сферической)
оболочки при неравномерном распределении
температуры по длине (по экватору)
При равномерном нагреве цилиндрической (сферической) обо-
оболочки, частично заполненной жидкостью (рис. 4.2а) порожняя ее
часть будет нагреваться быстрее, чем участок, непосредственно
Рис. 4.2. Круговая цилиндрическая оболочка, частично заполненная жидкостью
(а), при кусочно-постоянном распределении температур по ее длине (б)
контактирующий с жидкостью. Наличие перепада температур
АГ = Гг — Т\ по длине (по экватору) оболочки приводит к появле-
появлению нормальных кольцевых усилий N*. В более нагретой области
эти усилия являются сжимающими и при определенном перепаде
температур АГ* могут привести к выпучиванию оболочки.
Будем считать, что температура по толщине стенки постоянна,
а по длине (по экватору) изменяется скачком (рис. 4.26). В этом
случае из расчета основного (докритического) напряженного состо-
состояния, следуя работе [92] , находим
N° = ±E2ha2ATJ(x),
где
— exp (—Arc) cos Arc при re ^ О,
exp (Xx) cos Arc при re < 0.
Так как температурные усилия быстро затухают при удалении
от места скачка температуры, то рассматриваемую оболочку можно
считать бесконечно длинной. Выпучивания ее следует ожидать
тоже в ограниченной области — там, где действуют сжимающие
усилия N°
.

160 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Введем обозначения х = x/R, у = y/R, тогда система уравне-
уравнений B.1) и B.2) примет вид
д д\ дЧ
^dy:)= ^+
D-1)
Здесь и далее подчеркнутые слагаемые сохраняются только для
сферической оболочки.
Будем полагать
оо оо
w = ^2Wn cos ny; Ф = ^2 ®n cos riy. D.2)
n=2 n=2
Подставляя D.2) в D.1), получим
™ - 2BD33 + V2Dn)n2W* + D22n4Wn =
= Rh®1,} - Rhn4n - N°R2n2Wn - п2ЛФ„и#; D.3)
2n2w1JWn. D.4)
Точное решение этой задачи можно найти, если пренебречь ис-
искривлением образующих оболочки до выпучивания, т. е. полагать
и>о(х) = 0. В этом случае система уравнений D.3), D.4) примет
вид
™ - 2BD33
+ W22n4 + ^-n2E2ha2AT*f(x)R21 Wn+hRn4n-hR$P = 0; D.5)
*^ - (§ - 2^2) n2** + |п4Фп + E2RW% - E2Rn2Wn = 0.
D.6)
Для решения задачи при граничных условиях Wn, W^, ...,
Ф„, Ф^,1 -> 0 при х -> ±сю воспользуемся интегральным преобра-
преобразованием Фурье [НО], следуя [9].

§ 4.4. Термоустойчивость цилиндрической (сферической) оболочки 161
Отметим, что представление функций W а Ф в виде D.2) воз-
возможно из-за быстрого затухания прогиба и его производных при
выпучивании оболочки. Для сферической оболочки эти функции
существуют и определены в интервале (—тг/2, тг/2). Продолжение
их в интервале (—оо, оо) диктуется потребностью применяемого
метода решения.
После выполнения интегральных преобразований Фурье в
уравнениях D.3), D.4) получим
[Dns4 + 2BГ>зз + u2Dn)n2s2 + D22n4]W(s) + Rhs4n(s) +
+ОО
~ 1 1 Г -
+ Rhп2Фп(s) + -п2E2a2AT*hR2—= / f(x)Wn(x)eisxdx +
—oo
+OO
n2a2АГ,-^= / юо{х)Фп(х) ешс?х = 0;
?/1T J
| ,4 + *2 ( ^ - 2^2 ) п< + ^п41 Фп(з) - s'E2RWn(s) -
+оо
+
— f wo(x)Wn(x) ei
2-/7Г J
x) eis*dx =
dx = 0.
Здесь Wn(s), Фп(«) — трансформанты Фурье неизвестных функ-
функций Wn(x), Фпр).
Исключая Фп(в) из уравнений D.5), D.6), имеем
Dns4 + 2nVBD33
+ (s + n)E2htf l
+ s4 + (E2/G - 2u2) s2n2 + {E2/Ex)n* n[ }
—00
J
+оо
f(x)eis*Wn(x)dx. D.7)
Интеграл, входящий в правую часть D.7), представляет собой
трансформанту Фурье произведения функций f(x) и Wn(x). В со-
12 Зак. 130

162 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
ответствии с теоремой о свертках трансформант [9] находим
+ОО +ОО
f(x)Wn(x) eis*dx = j Wn(S)F(s -
—oo —oo
где F(s) — трансформанта Фурье функции f(x),
F(s) = -
„-г4>
причем Л = ЛЛ.
Введем обозначение
2BD33 -
E2hR2(s
s2 + n4D
22
Vn(s) =
S4 + {E2/G _
С учетом D.8) уравнение D.7) приобретает вид
+ОО
где
k{s, С) = —E2a2hn2 \L2(s, n) + E2hR
4тг
x \L2(C, n) + E2hR2
1/2
Vn(s) = АГ, I k(s, C)U(C) d(,
Wn(s). D.8)
D.9)
Li{s, n)
Таким образом, задача свелась к решению однородного ин-
интегрального уравнения Фредгольма второго рода D.9) с симме-
симметричным ядром, причем критический перепад температуры можно
рассматривать как независимый параметр. Это уравнение имеет
нетривиальное решение при некоторых собственных значениях
AT*. Наименьшее из них (с недостатком) можно оценить прибли-
приближенно по формуле
-1/2
AT, =
D.10)

§ 4.4. Термоустойчивость цилиндрической (сферической) оболочки 163
Вычисление интеграла в D.10) может быть произведено чи-
численно. Полагая s = s*n, A = А*п, ? = ?*п и учитывая формулу
A.5) для А, получим
где
+OO +OO
S2= 11 ^2(s*'x) +
—oo —oo
D.12)
При численном определении несобственного интеграла в
D.12) использовали переменные s* = tgt, ^ = tgu> и предста-
представление
вление
+ОО+ОО
= У J
1-е 1-е"
-Лт, /" /
cos*(nt/2)Cos2(™/2)
D.13)
где /(s*, С*) — подьштегральная функция в D.12).
В случае изотропного материала из формул D.11)—D.13) сле-
следуют выводы, приводимые в работе [92].
Результаты по определению критической величины к® для обо-
оболочек из изотропного материала и стеклопластика представлены в
табл. 4.2. Интегралы вычислялись методом прямоугольников для
различных значений малого параметра Г.
12*

164 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Таблица 4.2. Критические коэффициенты перепада температур
и числа волн в зависимости от е и числа узлов
Материал
Изотропный
Стеклопластик
(тип I)
Оболочка
Цилиндрическая
1°
7,270
5,499
5,499
5,511
5,499
5,499
5,561
4,108
4,108
4,115
4,108
4,108
0,100
0,010
0,001
0,100
0,010
0,001
0,100
0,010
0,001
0,100
0,010
0,001
Число
узлов
40
40
40
60
60
60
40
40
40
60
60
60
Число
волн
41
41
41
41
41
41
40
40
40
40
40
40
1°
8,541
8,392
8,392
8,398
8,392
8,392
6,520
6,354
6,354
6,357
6,354
6,354
Сферическая
0,100
0,010
0,001
0,100
0,010
0,001
0,100
0,010
0,001
0,100
0,010
0,001
Число
узлов
40
40
40
60
60
60
40
40
40
60
60
60
Число
волн
66
66
66
66
66
66
64
64
64
64
64
64
§ 4.5. Применение разностных методов
для решения задач термоустойчивости
цилиндрической оболочки
Используем метод конечных разностей для решения задачи
устойчивости цилиндрической оболочки при действии локальных
осесимметричных усилий от температуры, описываемой уравне-
уравнениями B.2), B.3) и граничными условиями A.6). Разделяя пере-
переменные подстановкой w = Wcosfiri; Ф = /cos(Зт] (C = пА^Я),
где п — число волн по окружности, сводим уравнения B.2), B.3)
к системе обыкновенных уравнений:
- 2BD
33
- (f -

§ 4.5. Применение разностных методов для решения задач 165
Производная здесь берется по ?. Эту систему заменим системой
четырех уравнений второго порядка:
U = W11; ф = /п;
DnUn - 2BD33 + V2Dn)/32U + D22/34W =
h №
^^-^2*; EЛ)
- (f -
Систему E.1) будем решать в конечных разностях, используя
метод прогонки [8] и заменяя дифференциальные операторы раз-
разностными [26]. Разобьем длину I* на j частей с шагом с (I* —
длина интервала, за пределами которого возмущения можно счи-
считать отсутствующими). Для производных используем трехточеч-
трехточечную аппроксимацию:
I*
2cq\ = m+i - m-\\ A;? = rji-i ~ 2rji + rji+v, с = -, E.2)
где i = 0, 1, 2, ..., j — номера точек разбиения начиная от начала
координат.
Формулы E.2) являются центральными для производных.
Если воспользоваться ими для перехода от дифференциальных
уравнений и краевых условий к конечно-разностным, то метод
прогонки даст более точные приближения. Он удобен тем, что
в нем при любой величине шага сетки решение сводится к рас-
раскрытию определителя четвертого порядка. Это позволяет, умень-
уменьшая последовательно шаг, получить точный результат. При этом
длина /* должна быть выбрана такой, чтобы отброшенная часть
не влияла на критический параметр усилий (температуры).
Разностный аналог системы E.1) будет таким:
W,-i - 2W, + Ww - c?U, = 0; Л-i - 2/, + /i+i - с2* = 0;
+«" - (f -

166 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Если полагать
и учитывать обозначение B.12), тогда систему E.3) можно запи-
записать в матричном виде
iTji + Е(гц-1 + r/i+i) = О,
E.4)
вводя матрицы
Г w 1
/*
и
-2
О
; е =
О
-2
1
0
0
0
0
1
0
0
-с2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
о
-с2
-4с2
х/32с
2с2
(§-*>
Функции F\, F\ вычисляются для координат точек ? = ic, причем
для защемленной оболочки
Fi - -e~^(cos^ + sin О; F2 = 2e~^(sin?
для шарнирно опертой
Fi = -e"ecos^; F2 = 2e"^sin^.
Решение уравнения E.4) ищем в виде
Гц = Мм-1. E.5)
Подставив в него r/j+i, будем иметь (Bi +Mi+\)rji = — гц-\, т. е.
TK = -Ei+Mi+i)-Vi- E-6)

§ 4.5. Применение разностных методов для решения задач 167
Сопоставив выражения E.5) и E.6), получим
Mi = -(Bi + Mi+1)-1. E.7)
Решение E.5) должно удовлетворять граничным условиям при
х = с, I* Рассмотрим два варианта граничных условий при х = 0:
1) свободное опирание на шпангоуте
d2w дЧ дЧ _
'd^-0] E'8)
2) защемление на шпангоуте
dw дЧ дЧ
Из E.8), E.9), используя E.2) и определение для щ E.6), по-
получаем соответственно две системы однородных алгебраических
уравнений четвертого порядка:
Dr)Q = 0; Dt)Q + G(m - r/_i) = 0. E.10)
Здесь D = ||dnfc||, G = \\qnk\\ — матрицы четвертого порядка,
имеющие следующие отличные от нуля элементы:
d\\ = d,22 — С?44 = 1, 931 = 1-
Подставляя в системы E.10) выражения для щ и щ согласно
E.5) и приравнивания определители к нулю, получаем уравнения
для критического параметра температуры:
deti(*t) = O (г = 1,2), E.11)
где deti = \M\, det2 = \DMq + GM\Mq — G\. Матрицы Mo и М\
определяются рекуррентной зависимостью E.7), в которой следует
полагать Mj = 0, учитывая условие затухания компонентов напря-
напряженного и деформированного состояний, т.е. щ = 0 при х = I*.
Процесс последовательного вычисления по формуле E.7) начина-
начинается с номера i = j. При заданных Г, с, R, h и характеристиках
материала уравнения E.11) позволяют найти параметр темпера-
температуры как функцию параметра окружных волн C. Минимум этой
функции определяет критический параметр температуры.
Для реализации изложенного алгоритма была составлена на
языке ФОРТРАН. При этом учитывалось, что задача нахождения
корня уравнения E.11) эквивалента задаче нахождения минимума
выражения 0,5 [detj(A;t)] .

168 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Для решения последней была применена схема Фибоначчи [56].
Результаты расчетов приведены в табл. 4.3. Для оболочек из изо-
изотропного материала полученные решения мало отличаются от ре-
результатов работы [8].Применение метода конечных разностей для
оболочек из ортотропного материала позволило вычислить более
точные значения коэффициентов перепада температур по сравне-
сравнению со значениями, полученными аналитическим путем.
Таблица 4.3. Критические коэффициенты перепада температур
и параметры волнообразования цилиндрических оболочек
в зависимости от количества точек разбиения
Материал
Стекло-
Стеклопластик
Изотроп-
Изотропный
R/h
500
500
Коэффици-
Коэффициент пере-
перепада тем-
температуры
Без учета
моментно-
сти докри-
тического
состояния
С учетом
момент-
ности
Без учета
моментно-
сти докри-
тического
состояния
С учетом
момент-
ности
Количе-
Количество то-
точек раз-
разбиения
101
251
351
101
251
351
101
251
351
101
251
351
Граничные условия
Зашемление
К? или kt
4,30
4,18
4,22
5,17
5,01
5,07
5,52
5,36
5,46
7,19
6,99
7,09
п
42
44
41
60
56
56
45
42
41
60
61
60
1,49
1,56
1,45
6,12
1,98
1,98
1,22
1,14
1,11
1,62
1,65
1,62
Шарнирное опирание
К° или h
6,22
6,28
6,29
14,80
15,09
15,12
8,83
8,78
8,78
33,15
34,34
34,44
п
44
41
42
95
95
95
50
44
46
140
146
144
Р
1,56
1,45
1,49
3,36
3,36
3,36
1,35
1,19
1,24
3,79
3,95
3,90
§ 4.6. Методика расчета тепло физических характеристик
материала оболочек
Вычисление теплофизических характеристик пакета из ЕМ.
Рассмотрим КМ, состоящий из слоев с различными теплофизи-
ческими характеристиками. Если их толщина достаточно мала
по сравнению с размерами оболочки и расстояниями, на которых
температура и тепловой поток изменяются на заметную величину,
то расчет теплофизических характеристик пакета можно выпол-
выполнять, принимая монослой анизотропным и квазиоднородным с
осредненными коэффициентами теплопроводности Ау-, температу-
температуропроводности ау и линейного теплового расширения ohj. Такой
подход оправдывается малыми размерами и большим числом во-

§ 4.6. Методика расчета теплофизических характеристик 169
локон наполнителя при достаточно равномерном распределении их
в массе материала пакета и может быть использован при решении
многих практических задач по определению температурных полей
[80,125].
В расчете теплофизических характеристик слоистого пакета
можно выделить два основных этапа:
1) расчет теплофизических характеристик монослоя по соот-
соответствующим характеристикам матриц и волокон или их экспери-
экспериментальное определение;
2) расчет теплофизических характеристик пакета на основе
данных, полученных на предыдущем этапе.
Допустим, что пакет общей толщиной h состоит из имеющих
различную ориентацию волокон однонаправленных слоев толщи-
толщиной hi (рис. 4.3а).
Однонаправленные КМ в силу особенностей технологии изго-
изготовления являются ортотропными. Осями ортотропии для них
У
Рис. 4.3. Строение многослойного пакета (а) и оси ортотропии однонаправлен-
однонаправленного КМ (б)
будут оси Ox', Oy', Oz (рис. 4.36). В качестве допущения приме-
применима изотропность в плоскости, перпендикулярной волокнам (из-
за равномерности в случайном расположении и распределении во-
волокон). Поэтому в осях Ox', Oy', Oz матрицы, соответствующие
тензорам теплопроводности Ау, температуропроводности ajj, ли-
линейного термического расширения «у принимают диагональный
вид. Например, тензор \ц может быть записан в виде
\г
лх'х'
О
о
о
0
0
Kz
=
II
0
0
0
Ai
0
0
0
А±
11 Зак. 130

170 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
где А?, — коэффициент теплопроводности однонаправленного слоя
вдоль волокон; А^ — коэффициент теплопроводности однонапра-
однонаправленного слоя поперек волокон.
Тогда в осях Oxyz, где Ох и Оу получены поворотом на про-
произвольный угол <fi осей Ох' и Оу' в плоскости х'Оу1 (рис. 4.36),
тензоры Ay, ajj, c*ij будут иметь симметричный вид, например:
Ахх
Ку
0
Ку
Хуу
0
D
0
0
А22
=
COS2 </3j
\jj sin
0
+ Al± 2(Af
2<Pi (Al± -
— A^)sin2y)i
Am) COS2 (Pi + Am
0
0
0
Характеристики пакета могут быть получены осреднением по
Фойхту:
~ *zy =
Величину А22 для многослойного пакета определяют исходя из
п
соотношения 1/А22 =
г=1
Угол </?» поворота к главным осям теплопроводности может
быть найден из условия
y = Е D - Ai
Здесь /ij = hi/h.
Все изложенное вьппе, в том числе и до обозначения, справед-
справедливо для тензоров ац и ау пакета из КМ.
Вычисление коэффициентов теплопроводности и температуро-
температуропроводности ортотропного монослоя. Величины Atj и а^ ортотроп-
ного монослоя определяются на основании следующих допущений:

§ 4.6. Методика расчета теплофиэических характеристик 171
1) материал представляется в виде совокупности ячеек опреде-
определенного вида;
2) предполагается доминирующим характер кондуктивной те-
теплопередачи;
3) предполагается прямолинейность и параллельность изотер-
изотермических поверхностей и линий теплового потока [127,130].
Рис. 4.4. Плотно упакованные тетрагональная (а) и гексагональная (б) струк-
структуры КМ
Наиболее употребимы модели материала, состоящие из ячеек
гексагональной и тетрагональной структур (рис. 4.4 и 4.5). Внутри
Рис. 4.5. Гексагональная (о) и тетрагональная (б) структуры со свободным рас-
расположением волокон
ячейки КМ двухфазная среда: первая фаза — пористое связующее
вещество, вторая — волокнистый наполнитель.
и*

172 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Теплопроводность пористого связующего вещества может быть
определена по формуле [94]
А2 = А2 ( 1
(l-m2)/3
где т2 = т/A — Д2); Д2 = *с{р/Р2)\ Iх — Аг/А2; А2 — коэффи-
коэффициент теплопроводности непористого связующего вещества; m —
общая пористость КМ (или отношение объема его пор к общему
объему); р — плотность КМ, определенная по начальной массе и
объему образца; т2 — пористость связующего вещества; рг —
плотность связующего; х — истинная весовая доля связующего;
Аг — теплопроводность газового включения.
В работе [33] получены коэффициенты теплопроводности мно-
многокомпонентных однонаправленных материалов для регулярной
структуры — гексагональной и тетрагональной (рис. 4.5).
В направлении, перпендикулярном расположению волокон,
= l, 3, 4, ...,n,
fei
F.1)
где F2, V)k — относительные объемные содержания связующего
А;-го элемента наполнителя.
В направлении, параллельном расположению волокон, Ап =
= A2F2 + 2J AfcVjfc, k = 1, 3, 4, ..., n; здесь Afc — коэффициент
fe=i
теплопроводности А;-го элемента наполнителя.
В [130] проведен анализ, основанный на решении нестационар-
нестационарной задачи теплопроводности в ячейке (рис. 4.6 и 4.7) при опреде-
определенных граничных условиях, и предложены следующие аналити-
аналитические зависимости, аппроксимирующие полученные результаты:
для тетрагональной структуры
Л
- V WU +
1 - Vi(l - A2/Ai) - 0,045(Ai/A2 - 1)V2'
для гексагональной структуры
= Аз
1 -Vi A - А2/А1) - 0,047 (А1/А2 -1I/2 A - 0,64|Vi - 0,3|)'

§ 4.6- Методика расчета теплофизических характеристик 173
Полагая, что действительная структура слоя в плоскости,
перпендикулярной армирующим волокнам, представляет собой
Рис. 4.6. Элементарная ячейка и ее параметры (I-IV — зоны КМ)
случайную совокупность элементарных ячеек тетрагональной и
гексагональной структуры с различным объемным содержанием
армирующего материала, и считая распределение ячеек по типу
Рис. 4.7. Типы элементарных ячеек: tp = 0, 90° (а); 45, 135° (б); 0, 60, 120°
(в); 30, 90, 150° (г); Si и 5г — геометрические параметры ячеек, определяемые
по формулам работы [130]
структуры равновероятным, а по объемному содержанию — под-
подчиняющимся нормальному закону распределения, автор работы
[130] получил формулу
А2
х±_
У1-3*
_
Vi-Зст
F.2)

174 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
где V\ — среднее объемное содержание волокна в KM; V\ — объем-
объемное содержание волокна в отдельной малой зоне KM; a — среднее
квадратичное отклонение.
Результаты численных расчетов по формуле F.2) могут быть
представлены в виде аппроксимационной зависимости
=
1-У1A-А2/А1)-0,045(А1/А2-1I/2[1-0,42|У1-0,4|][И-57а2У14/3]"
F.3)
В работе [127] для вычисления коэффициента теплопроводно-
теплопроводности тетрагональной плотно упакованной структуры (см. рис. 4.4)
приведены следующие формулы:
для материала с 0 ^ Ai/A2 ^ 2
А± = т,
(тг/2 - B/^1 - (Ai/A2 - IJ) axctg J2\x/\2 - 1))
а при 2 < Ai/Аг < оо
F.4)
— А2
(ж12 - B/^/(Ai/A2 - IJ - l)axcth у/13
для гексагональной плотно упакованной структуры
Аср = 0,866/ACPl+0,134/Ai'
здесь при 0 < Ai/A2 < 2
0,732(Ai/A2 - 1)А2
CPl ~ 0,824 - @,87/у/1 - (Ai/A2 - IJ) arctg v^2Ai/A2-l'
а при 2 ^ Ai/A2 < оо
0,732А2
CPl ~ 0,824 - @,87/v/(Ai/A2 - IJ - l) axcth y/l - 2A2/Aj"
Поскольку натуральная структура представляет собой нечто
среднее между тетрагональной и гексагональной, то, введя пред-
представление о прослойке из связующего вещества и вычислив коэф-
коэффициент теплопроводности ячеек гексагональной и тетрагональ-

§ 4.6- Методика расчета теплофизических характеристик 175
ной структур с прослойкой, получим
R + sR ^ A + з)(А«/А2+з) . ,
т RK + sR/X2 (l + a) + a(A/A + a)' K '
где А* — коэффициент теплопроводности ячейки, состоящей из
зон I, II—IV (рис. 4.7); Аср подсчитывается по формуле F.4); s —
относительная толщина прослойки, выраженная в долях радиуса
волокна. (Величину s можно определить по фотографиям микро-
микрошлифов образцов, но следует учесть, что из-за сложностей, свя-
связанных с приготовлением микрошлифов КМ, этот путь трудоемок.
Кроме того, его нельзя использовать при создании новых материа-
материалов, поэтому данную величину получают расчетом, если известны
плотность и относительное содержание компонентов материала.)
Для материала с ячейкой тетрагональной структуры s =
= у/ж/AVi — 1, а с ячейкой гексагональной структуры s =
= 0,95/v/Vi-l.
Для реального материала в [127] предложена расчетная фор-
формула s = 0,92/\/VT - 1.
В [127] и [36] приведена также формула для Ах, основанная на
уточнении формулы [94]:
В [36] показано, что при характерных для реальных материа-
материалов величинах и малых значениях V\ отношения Ai/Аг формулы
F.5) и выражение F.6) дают практически совпадающие резуль-
результаты.
Для вычисления коэффициента температуропроводности кро-
кроме Ау необходимо знать еще плотность р и удельную теплоем-
теплоемкость с, которые, пользуясь правилом смесей, можно записать в
виде
J2 Л = 1,3, 4,..., п, F.7)
где рк — плотность А;-го элемента наполнителя;
, Л = 1,3, 4, ...,п; F.8)
С2 — удельная теплоемкость связующего; Ск — удельная теплоем-
теплоемкость А;-го элемента наполнителя.

176 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Поскольку сир являются скалярными характеристиками, ком-
компоненты тензора температуропроводности могут быть записаны
следующим образом:
т. е. тензоры температуропроводности и теплопроводности совпа-
совпадут с точностью до скалярного множителя, который будет зависеть,
как и Ау, от процентных соотношений связующего и компонентов
наполнителя.
Вычисление коэффициентов теплового расширения анизотроп-
анизотропного монослоя. Коэффициенты а^- определяют изменение разме-
размеров как за счет повышения температуры, так и за счет внутренних
термических напряжений, возникающих в КМ вследствие разли-
различия коэффициентов теплового расширения наполнителя и связу-
связующего.
Представляя однонаправленный материал как среду с беско-
бесконечно длинными цилиндрическими включениями и используя ги-
гипотезу плоских сечений, автор работы [127] получил следующую
формулу для определения коэффициента линейного теплового рас-
расширения в направлении вдоль волокон:
= а°+ 1 + зд/ВД = am -1 +ад/ад' FЛ0)
где аа и Ea, am и Ет — коэффициенты линейного теплового рас-
расширения и модули упругости материала наполнителя и связую-
связующего соответственно.
В работе [80] дана формула для поливолокнистого материала:
«и =«m- (cm-Oi^-^y^Vk, k = I, 3, 4, 5, ..., га, F.11)
где Е\\ — модуль упругости при растяжении однонаправленного
материала в направлении, параллельном волокнам.
Число компонентов наполнителя для поливолокнистого мате-
материала га — 1. Если же оно равно единице и для вычисления ве-
величины ?j| использована формула смеси Ец = EaV\ + EmV2, то
выражения F.10) и F.11) совпадут.
Величину коэффициента линейного теплового расширения в
направлении поперек волокон а±_ в работе [130] предлагается опре-
определять по формуле
F.12)

§ 4.6. Методика расчета теплофизических характеристик 177
где vm — коэффициент Пуассона связующего. Формула F.12) вы-
выведена в предположении, что объемное содержание волокон мало
и Em < Ea.
Отметим, что в работе [67] ац и ах находятся так:
=аа- (аа - ат) — —л ; F.13)
b\yv)
ai = ат + (ат - a\\)v2i - (ат - аа)A + щ)— —, F.14)
где va — коэффициент Пуассона материала волокна; V2\ — коэф-
коэффициент Пуассона монослоя. Характеристики JSy и V2\ определя-
определяются в соответствии с методикой, приведенной в работе [102].
Пример расчета. Программа расчета, реализующая рассмо-
рассмотренный выше алгоритм, составлена на языке ФОРТРАН, ее текст
приведен в [117]. Программа построена так, что по ней можно вы-
выполнить любой из девяти следующих вариантов расчета упомяну-
упомянутых выше величин:
1) Лц и Ах для однонаправленного слоя;
2) Ац и Ах для однонаправленных слоев, составляющих пакет,
компонентов тензора Ау пакета, угла поворота их произвольной
системы осей координат относительно главных осей и значений
компонентов тензора Aj, в осях, повернутых относительно главных
на 15, 30, 45, 60, 75, 90°;
3) Xij компонентов тензора для пакета, утла поворота к глав-
главным осям и значений компонентов тензора Ау в осях, повернутых
относительно главных на 15, 30, 45, 60, 75, 90°;
4) ац и ах однонаправленного слоя;
5) ац и ах однонаправленных слоев, составляющих пакет, ком-
компонентов тензора ац для пакета, угла поворота избранной системы
координат относительно главных осей и значений компонентов
тензора аи в осях, повернутых относительно главных на 15, 30,
45, 60, 75, 90°;
6) aij компонентов тензора для пакета, угла поворота их коор-
координат к главным осям и значений компонентов тензора ац в осях,
повернутых относительно главных на 15, 30, 45, 60, 75, 90°;
7) аи и ах однонаправленных слоев;
8) ац и ах однонаправленных слоев, составляющих пакет,
компонентов тензора ац для пакета, угла поворота системы ко-
координат относительно главных осей и значений компонентов тен-
тензора ац в осях, повернутых относительно главных на 15, 30, 45,
60, 75, 90°;

178 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
9) a.{j компонентов тензора для пакета, утла поворота к глав-
главным осям и значений компонентов тензора а„ в осях, повернутых
относительно главных на 15, 30, 45, 60, 75, 90°.
Расчет коэффициентов теплопроводности поливолокнистых мо-
монослоев А^ выполняется только по формуле F.1). Коэффициенты
линейного теплового расширения рассчитываются по формулам
F.11) и F.12). При этом предварительно вычисляются величины
модулей Е\ и Е'г, а также коэффициенты Пуассона v\ и V2 для
ортотропного монослоя по формулам, приведенным в работе [102].
Определим теплофизические характеристики стеклопластика
марки 33-18С с коэффициентом наполнения V\ = 0,7 и приведен-
приведенными в табл. 4.4 характеристиками компонентов [97].
Таблица 4.4. Характеристики компонентов стеклопластика 33-18С
Характеристика
А, Вт/м2-с
с-1(Г2,Дж/кг-К
р ¦ Ю-3, кг/м3
V
Я-НТ4, МПа
о-10е, К
Наполнитель
0,885
7,94
2,54
0,2
7,40
50
Связующее
1,186
16,70
1,25
0,34
3,15
60
На рис. 4.8 представлены результаты расчета величины Aj_
для однонаправленного слоя при изменении в нем содержания Vi
0,2
Рис. 4.8. Зависимость величины Aj. для однонаправленного слоя при изменении
в нем содержания V\ наполнителя: расчет, • — эксперимент
наполнителя от 0 до 0,9. Значение V\ « 0,9 есть максималь-
максимальная степень наполнения материала круглыми волокнами, а фор-

§4.6. Методика расчета теплофизических характеристик 179
мулы для определения Aj_ выведены именно для такого наполни-
наполнителя. Как и следовало ожидать, Aj_ слоя растет в зависимости
от увеличения V\. Как видно из графика, расчет по формулам
F.3) — кривая 3, F.5) — кривая 2, F.1) — кривая 1 дает резуль-
результаты, практически совпадающие во всем интервале изменения Vi.
Xjl, Вт/м2К
0,5
0,1
Рис. 4.9. Результаты расчета
F.6) — 4\ • — эксперимент
0,5 0,9 Х„Вт/м2К
± по формуле F.1) — 1\ F.5) — 2; F.3) — 3;
Формула F.6) — кривая 4 дает несколько завышенный результат
как по сравнению с указанными выражениями, так и по сравне-
сравнению с экспериментом [97].
На рис. 4.9 представлены результаты расчета A_l, в которых
переменной была величина Ai. Ход кривых показывает, что
формулы F.1), F.3) и F.5) позволяют получить практически
0,4
Рис. 4.10. Зависимость величины а± для однонаправленного слоя от объемного
содержания наполнителя Vi: 1 — расчет по формуле F.1); 2 — F.5); 3— F.3);
4 —F.6); • — эксперимент

180 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
одинаковые результаты в выбранном диапазоне изменения Ai, a
уточненная формула F.6) дает кривую, лежащую выше трех пер-
первых кривых и экспериментальной точки. Как указано в работе
[127], с увеличением Ai/Аг зависимости F.1), F.5) и F.6) будут
приближаться к линейным.
На рис. 4.10 и 4.11 показаны зависимости а± монослоя от V\ и
Ai. Кривая зависимости а±_ от Х\ может быть получена из графика,
аг107,м2/с
0,1
0,5
0,9
„ Вт/м2К
Рис. 4.11. Результаты расчета а± по формулам F.1) — 1; F.5) — 2; F.3) — 3;
F.6) — 4', • — эксперимент
приведенного на рис. 4.9, только за счет изменения масштаба, так
как при данном значении V\ величина ср знаменателя в формуле
F.9) не зависит от Ai.
Интересно отметить, что в данном случае результат, получен-
полученный с помощью уточненной формулы F.6), наиболее близок к
данным эксперимента, поскольку произведение ср, где сир вы-
вычисляют по формулам F.7) и F.8), получается несколько завы-
завышенным.
На рис. 4.12 приведены результаты расчетов зависимости вели-
величин а± и аи от V\. График, отражающий расчет по F.12), лежит
выше кривой, полученной по формуле F.14). Как уже указывалось,
формула F.12) выведена в предположении, что объемное содержа-
содержание наполнителя мало. Интересно, что именно она дает результат,
наиболее близкий к экспериментальному.
Заметим, что результаты расчетов аи по формулам F.11) и
F.13) одинаковы.
При рассмотрении кривых a^(Vi) и a*±(Vi) можно заметить,
что при определенных значениях Vi величина коэффициента ли-
линейного теплового расширения монослоя в направлении поперек
армирования становится больше величины коэффициента линей-
линейного теплового расширения каждого из компонентов материала.
Данный эффект отмечен в работах [127,30,34].

§ 4.6. Методика расчета теплофизических характеристик 181
а106,град-'
Рис. 4.12. Зависимость коэффициентов линейного термического расширения
от Vi: * — расчет по формуле F.12); ** — расчет по формуле F.14); Т —
эксперимент для а±; Ш — эксперимент для ац
На рис. 4.13 представлены результаты расчета зависимости а±
и ац от коэффициента линейного теплового расширения связую-
связующего. Данное параметрическое исследование проведено в связи
аг106, 1/К;а|Г107, 1/К
50
10
30
50
а2106,
Рис. 4.13. Зависимость коэффициентов линейного термического расширения
а±, а\\ от коэффициентов линейного термического расширения связующего: * —
расчет по формуле F.12); ** — расчет по формуле F.14); Т — эксперимент
с тем, что, как указано в работе [97], величина ат для эпоксид-
эпоксидных смол может изменяться в довольно широких пределах (от
40 ¦ 10~6 до 80 • 10~6 1/К). В результате исследования было устано-
установлено, что при ат « 60 • 10~6 1/К величины а±_ и ац более всего

182 Гл.4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
удовлетворяют экспериментальным данным. Это значение am и
было выбрано для расчета зависимости коэффициентов линейного
теплового расширения монослоя от Vi-
На рис. 4.14 и 4.15 приведены зависимости значений ком-
компонентов Ххх и ХуУ тензора теплопроводности для монослоя и
X, Вт/м2К
0,6
X, Вт/мЖ
0,2
0
30°
60°
Рис. 4.14. Зависимость коэффициентов теплопроводности Ххх и Ауу монослоя от
угла поворота ip осей координат относительно главных
Рис. 4.15. Зависимость коэффициентов теплопроводности Ххх и Ауу пакета
[0/90/0] от угла поворота ip осей координат относительно главных
пакета [0/90/0] соответственно, а на рис. 4.16 — зависимость \ху
от утла поворота избранных осей координат относительно глав-
главных. Такого же рода кривые могут быть построены с помощью
(VlO6,1/K
40 г
20
0
30°
60°
0
30°
60°
Рис. 4.16. Зависимость коэффициента теплопроводности Аху от угла поворота tp
осей координат относительно главных: 1 — монослой; 2 — пакет
Рис. 4.17. Зависимость коэффициента линейного теплового расширения ахх от
угла поворота ip осей координат относительно главных: расчет; Ў —
эксперимент
программы для ЭВМ и для компонентов тензоров температуропро-
температуропроводности и линейного теплового расширения. Так, например, на
рис. 4.17 представлена зависимость ахх тензора коэффициентов
линейного теплового расширения от утла <р и показаны экспери-
экспериментальные точки.

§ 4.7. К оценке напряжений в осесимметрично нагретых оболочках 183
§ 4.7. К оценке напряжений в осесимметрично
нагретых оболочках вращения
Рассматривается методика определения перемещений и напря-
напряжений в ортотропной тонкой оболочке вращения, испытывающей
осесимметричный нагрев, на срединной поверхности которой
Рис. 4.18. Оболочка вращения и системы координат на ее срединной поверхности
Рис. 4.19. Угол наклона ip касательной в произвольной точке меридиана к оси z
(рис. 4.18) введены координаты а, /3, (, (а — длина дуги мериди-
меридиана; /3 — угол в поперечном сечении, плоскость которого перпен-
перпендикулярна оси вращения оболочки; ? — коорди-
координата, отсчитываемая от срединной поверхности
оболочки в направлении внутренней нормали).
Уравнение срединной поверхности можно задать
также и в координатах г, z (z — координата
по оси вращения оболочки; г = r(z) — радиус
поперечного сечения оболочки). При этом если
ip — угол наклона касательной в какой-либо
точке меридиана к оси z (рис. 4.19, 4.20), то
sin ip = dr/da, cos ip = dz/da.
Предполагается, что плоскости упругой сим-
симметрии материала оболочки перпендикулярны
координатным осям О'а', О'C', О'С,1', показан-
показанным на рис. 4.18.
В основу решения задачи положены гипо-
гипотезы Кирхгоф фа-Лява о нормальном элементе
и гипотезы термоупругости Дюгамеля-Неймана
Рис. 4.20. Систе-
Системы перемещений
(u, w) и (?*, 77*)
точки срединной
поверхности обо-
оболочки
для температурных деформаций и напряжений, общепринятые
для изотропных оболочек. Кроме того, предполагается, что обо-

184 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
лочка находится в упругом состоянии, а ее механические и тепло-
физические характеристики не зависят от температуры.
Поскольку в ортотропном теле растяжение-сжатие в главных
направлениях не вызывает искажения углов, будем считать, что
при нагревании не искажаются утлы между нормалями к плос-
плоскостям упругой симметрии. Для рассматриваемого случая тон-
тонкой оболочки с осесимметричным распределением температуры
это означает отсутствие в ней сдвиговых деформаций собственно
от нагревания.
Следуя гипотезам термоупрутости, обобщенный закон Гука в
случае действия температуры можно записать таким образом:
Е*
~— [е + vp?pp + С(х vP*p) ~ T(aaa
Ч Г , ч 1
\?РР + vcfiaa — Cfap ~ va^a) ~ Tiapp + Vaaaa) I;
- ~ vavp
аар = 0, G.1)
где ??, JSJ — модули упругости материала оболочки; va,vp — ко-
коэффициенты Пуассона; еаа, ерр — удлинения срединной поверхно-
поверхности; ха, хр — изменение ее кривизн; ааа, арр — коэффициенты
линейного температурного расширения.
Если и, w — соответственно тангенциальное и радиальное пе-
перемещения точки на срединной поверхности, то для удлинений и
изменений кривизн имеем соотношения
du dtp
da da1
G.2)
d Idw dips
01 da \da da,
Система напряжений ааа, арр приводит к усилиям Na, Np и
моментам Ма, Мр, которые связаны с деформациями и измене-
изменениями кривизн срединной поверхности соотношениями
Na = Вп(еаа
Np = B22(epp ¦
G.3)
Ма = -Dn(xa + vpxp) - Mit;
и .
г
sin ip i
(dw
\da
w
r
I
dip
da
Mp - -D22(Kp + vaxa) - M2T,

§ 4.7. JC оценке напряжений в осесимметрично нагретых оболочках 185
где
Egh
1 - vavp
n E«h3 - n Efih*
11 \2{\uvY 22
NXT = BnTN(aaa + vpapp); N2t - B22TN(app + vaaaOl)\
0,5Л
-0,5ft
12 12
—DnTM{(Xaa + vpa.pp); М2т = -^D22TM(app + vaaaa);
0,5ft
-0,5ft
Обратные зависимости деформаций от усилий и моментов
будут такими:
_ Na + Nit vp Np
Na+NXT_
;
B22{1 - vavp) \-vavp Bn ;
G.4)
_ Ma + Myr vp Mp + М2т
?>(l -vavp) \-vavp D22
Mp + Mzr ,
D22{l-vavp) l-vavp Dn
Построение частного решения. Уравнения равновесия элемен-
элемента ненагруженной оболочки в случае осесимметричной задачи [124]
записываются таким образом:
dMa (Ma-Mp) .
Qa = -г— + — sm<p;
da г
dNa Na- Np . dtp ,7 -ч
-j— + s-sm>p + Qa~- = 0; G-5)
da r da
da r da
где Qa — перерезывающая сила.

186 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
В первом приближении будем полагать, что моменты Ма и Мр
определяются только их температурными составляющими, т. е.
Ма « — Mix, М/з « —М2т- Тогда из системы G.5) найдем, сле-
[Ю],
dMir Mzr - Mit 2
Q= gip~cfo r g W
daz da
М2т - Mir /\ i?2
1-7Г
da
Здесь i?i, i?2 — радиусы кривизны срединной поверхности.
Вводя перемещения вдоль оси z оболочки (гив направлении
радиуса г поперечного сечения цт по формулам
и = ?z cos ip — т]т sin tp; w = ?z sin ip + r]r cos ip G.6)
и используя соотношения G.4), получим
f 1
+ N2t va
^ + NlT)
1 - vavp 1 B22
где с — произвольная постоянная интегрирования.
По найденным значениям ?z и г)т с помощью соотношений G.6)
определим значения ииш. Этим и заканчивается в первом при-
приближении расчет перемещений точек срединной поверхности от
воздействия нагрева.
Зная и и w, можно определить величины ка, хр. Тогда по
формулам G.3) находятся новые значения моментов Ма, Мр, и
из уравнений равновесия G.5) определяются усилия NQ, Np no
которым можно найти новые значения ^z,r}T. Таким образом опре-
определится второе приближение, которое будет отличаться от первого
слагаемым с малым множителем h3. Поэтому при малой толщине
оболочки для величин u uw можно ограничиться первым прибли-
приближением [10].

§ 4.7. К оценке налряжении в осесимметрично нагретых оболочках 187
Поскольку в решении G.7) присутствует только одна посто-
постоянная интегрирования, то в месте закрепления оболочки можно
удовлетворить лишь одному граничному условию. Для получения
решения с достаточным числом постоянных надо к полученному
частному решению добавить решение однородных уравнений (при
T/v = Тм = 0). В случае осесимметричной задачи им будет реше-
решение, соответствующее краевому эффекту.
Построение решения типа краевого эффекта. Согласно [10] для
оболочек из ортотропного материала приближенными уравнени-
уравнениями краевого эффекта будут
п = 0; G.8)
Здесь п, w — соответственно тангенциальное и радиальное пе-
перемещения срединной поверхности оболочки в области краевого
эффекта. При этом величину i?2 следует считать постоянной и
равной радиусу кривизны Bq в сечении, где производится закреп-
закрепление.
Решение, задаваемое уравнениями G.8), G.9), может оказаться
недостаточно точным лишь в случае весьма пологих оболочек вра-
вращения, когда расстояние от вершины а = 0 (или от верхнего торца
a = ai) до торца a = ao (где производится закрепление) мало по
I ^
сравнению с величиной тг\/КЩ\ ~ргп—~ Г- В работе [83]
у ЗЬрA - vavp)
показано, что величина зоны распространения краевого эффекта
такова:
для ортотропной оболочки
для изотропной оболочки
4
Ri V 3A - ^2
Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось условие a ^> S.
Решение уравнения G.9) будет следующим:
w = (ci cos Xa + с2 sin Aa) е~~Аа + (c3 cos Xa + Ci sin Xa) eAa. G.10)

188 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Отбрасывая бесконечно возрастающую часть, имеем w =
= (ci cosAa + C2sinAa)e~AQ. Здесь везде А =
ci и С2 — постоянные интегрирования.
Общее же решение, удовлетворяющее условиям закрепления
оболочки, будет иметь следующий вид: w = w* + w, u = u*, где
w*, u* — частные решения температурной задачи, определяемые
на основании формул G.7), G.6). Значения постоянных инте-
интегрирования с, с\ и С2 вычисляются для нужного вида граничных
условий.
Пример определения температурных напряжений в сфериче-
сферической оболочке. Рассмотрим оболочку вращения в виде полусферы.
Для нее i?i = i?2 = R, угол <р изменяется от 0 до тг/2, а величина
a — от 0 до тгД/2. Удобнее вместо величины а, отсчитываемой от
полюса, ввести величину х = irR/2 — a, которая связана с углом (р
соотношением х = (pR и начало отсчета которой находится в се-
сечении, где произведено закрепление. Такая замена переменной
не изменяет дифференциального уравнения, а решение для w(x)
приобретает вид w(x) = (ci cos Xx + сг sin \х) е~**, т. е. совпадает
с решением G.10).
Рассмотрим три варианта закрепления оболочки: жесткое за-
защемление, шарнирное опирание, свободное шарнирное опирание.
Температурное поле принимается осе симметричным, т. е. ап-
аппроксимируется функциональной зависимостью температуры сре-
срединной поверхности только от величины х. Примем, что темпера-
температура изменяется по толщине оболочки по линейному закону
1 + Q
Пусть температура срединной поверхности
ТН + -^ВН гр ¦ ^Х . гр
—г- = Тонш— +Та,
а градиент температуры по толщине оболочки
Здесь То, Ta, eg — заданные постоянные.
Для простоты ограничимся рассмотрением оболочки из квази-
квазиизотропного материала, у которого характеристики не зависят от
температуры, т. е. ?? = Щ = Е; va = vp = v\ aQQ = арр = а*.

§ 4.7. К оценке напряжений в осесимметрично нагретых оболочках 189
В случае постоянного перепада температур по толщине обо-
оболочки усилия NQ, Np в первом приближении равны нулю. Тогда
для перемещений ?z, rjT из G.7) получим
г)т « -дг;
COSip \ i?2
Принимая во внимание G.2), учитывая, что i?i = i?2 = R
и обозначая частные решения как и*, w*, имеем и* = с cos <р,
w* = с sin ip — gR.
Поскольку для всех трех случаев закрепления и = 0 при
(р = 0, то
и* = с = 0, w* = -gR. G.11)
Таким образом, общее решение для радиального перемещения бу-
будет следующим:
w = w + w* = (ci cos Хх + С2 sin Хх) е~Хх - gR. G-12)
Граничные условия при жестком защемлении
dw
-0 = 0; — = 0;
при шарнирном опирании
при свободном шарнирном опирании (ползун)
Окончательное выражение для величины w запишется так:
в случае жесткого края
Г Г IT 1
w = Ra* < Ta(cos Хх + sin Хх) + -—— sin Аж х
^ [ XttR J
\— / 2ж
хе~Хх - Tosin—-+Ta
¦кК
)}¦•

190 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
в случае шарнирного опирания
w = Ra* Ta (cos As) е~А* - (т0 sin ^ + Та J +
(O
в случае свободного шарнирного опирания
(sin *х + cos *х) ~ , м^ч cos *х
Grit)dAiJ
xe "*-
Если известны перемещения и и w, то, определив по формулам
G.2) eQQ, едо, ха, хр, найдем и напряжения ааа, &рр, используя
соотношения G.1).
Перерезывающая сила Qa, возникающая в зоне действия кра-
краевого эффекта, может быть определена по формуле
о --о Eh?
а вызываемые ею максимальные касательные напряжения — из
выражения
max \aQZ\ = -
1 Eh2 d3w
8 1 - v2 dx3 '
Результаты вычислений величин w, <тасп арр, aQZ для точек
на внешней и внутренней поверхностях оболочки (z = ±h/2) при
шарнирном, свободном шарнирном опирании и жестком защем-
защемлении представлены на рис. 4.21-4.24 для R = 800 мм, h = 7 мм,
То = 1773 К, Та = 973 К, Е = 1,6 • 104МПа, v = 0,3 и а* =
= 3 • 10~8 К. Видно, что уже на расстоянии х и 200 мм, что со-
соответствует длине зоны краевого эффекта, влияние вида заделки
на результаты становится несущественным и величины прогибов
и напряжений выходят на уровень, определяемый частным реше-
решением для прогибов G.11).

§ 4.7. К оценке напряжений в осесимметричяо нагретых оболочках 191
О 100 200 х, мм
-1,5
W, ММ
Рис. 4.21. Прогибы полусферической оболочки при шарнирном опирании контура
A), жестком защемлении B) и свободном шарнирном опирании C)
X, ММ
-2 -
-4L
Рис. 4.22. Распределение максимальных касательных напряжений по меридиану
при шарнирном опирании контура A), жестком защемлении B) и свободном
шарнирном опирании C)
о™, МПа
X, ММ
-80
-120
-160 L
Рис. 4.23. Распределение нормальных мембранных напряжений по меридиану
при шарнирном опирании контура A), жестком защемлении B), свободном шар-
шарнирном опирании C): z = 0,5Л; z — —0,5Л

192 Гл.4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Можно также отметить, что температурные мембранные напря-
напряжения сравнимы с температурными изгибными напряжениями
для всех трех случаев закрепления оболочки, поэтому ее напря-
напряженно-деформированное состояние следует определять, используя
только моментную теорию.
В заключение следует сказать о том, что приближенное реше-
решение G.12) для перемещений сферической оболочки в зоне краевого
а„„, МПа
-20
X, ММ
-60
-80 й
Рис. 4.24. Распределение нормальных кольцевых напряжений по меридиану при
шарнирном опирании контура A), жестком защемлении B), свободном шарнир-
шарнирном опирании C): z = 0,5Л; — z = — 0,5Л
эффекта практически совпадает с соответствующими точными ре-
решениями для перемещений соосной ей полубесконечной цилин-
цилиндрической оболочки, что, по-видимому, связано с малым измене-
изменением величины Ri в области действия краевого эффекта.
§ 4.8. Влияние термоциклирования
на предельные нагрузки углеродных оболочек
Результаты исследования образцов из КМ на углеродной основе
[95] свидетельствуют о том, что термоциклирование оказывает за-
заметное влияние на их деформативность. Например, после 9 ци-
циклов нагрева значение одного из модулей Юнга силицированного
материала образцов, вырезанных вдоль основы, уменьшилось по-
почти в 10 раз. Авторы работы [95] объясняют это явление влиянием
температурных напряжений, возникающих при каждом цикле на-
нагревания из-за различия в коэффициентах линейного температур-
температурного расширения углеродного и карбидокремниевого компонентов.
В связи с этим оценка влияния термоциклирования на характери-

§ 4.8. Влияние термоциклирования на предельные нагрузки 193
стики деформативности и прочности конструкций, выполненных
из таких материалов, весьма важна.
Предельные нагрузки замкнутой в вершине конической обо-
оболочки. Для определения величины критического внешнего да-
давления д замкнутой в вершине конической ортотропной оболочки
использовали формулу C.11) гл. 2, в которой согласно формуле
C.10) гл. 2
с(йф) — функция, определяемая поверхностью выпучивания;
{—1 для защемленной оболочки,
-F + i/a) м ,
— для шарнирно опертой оболочки.
О + 1/2
Пусть мерой влияния термоциклирования на несущую способ-
способность будет отношение q/qo, где qo — критическое давление до
термоциклирования; q — критическое давление после iV-ro цикла
термоциклирования. В общем случае оно приводит к изменению
геометрических размеров оболочки и характеристик упругости ма-
материалов.
Тогда
д _ с(аф) (Ej/Щ)*'* Е* (h/lf2 A - W'*
«о с(а°ф) (E2o/Ewf/4 Ew (ho/loM/2 A " К'
Индекс «0» соответствует исходным характеристикам.
При малом изменении длины образующей оболочки и пренебре-
пренебрежении влиянием термоциклирования на коэффициенты Пуассона
формула (8.1) примет вид
q _(E2/E20fE (h\
90 {E*/El0K/4E^ Uo/
Расчеты проводились для оболочек, выполненных из двух ти-
типов материала на углеродной основе: несилицированного (состав А)
и силицированного (состав Б), армированных углеродными во-
волокнами, свитыми в жгуты. Монослои материала располагали со
смещением на 30° друг относительно друга. Как следует из работы
[95], характеристики материала определяли на образцах, вырезан-
вырезанных из плит. В качестве связующего этих плит использовалась
фенольная смола. После прессования плиты пиролизовали, затем
пироуплотняли углеродом из газовой фазы. Часть образцов про-
пропитывали жидким карбидом кремния (состав Б).
14 Зак. 130

194 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотроаных оболочек вращения
Нагрев образцов проводился со скоростью 1,67 К/с в печи элек-
электросопротивления в среде воздуха Т — 1173 К. Количество циклов
нагрева для одного и того же образца N — 9—10. После каждого
цикла динамическим методом на остывшем образце определялся
Рис. 4.25. Влияние термоциклирования на модули упругости и изменение отно-
относительной толщины стеики из КМ составов А (а) и Б (б)
модуль Юнга. Результаты этих экспериментов представлены гра-
графически на рис. 4.25. Там же приведено и изменение относитель-
относительной толщины стенки образца h/h0.
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Рис. 4.26. Зависимость относительного критического давления для замкнутой
в вершине конической оболочки из КМ от количества циклов нагревания:
состав А; состав Б
Результаты расчетов по формуле (8.2) даны на рис. 4.26. Как
видно из графиков, с увеличением числа циклов нагрева величина
критического давления оболочки снижается, причем более резко у
силицированных оболочек, и достигает q = O,O5go при N = 9.
8 Л'

§ 4.8. Влияние термоциклировамия на предельные нагрузки 195
Предельные нагрузки полусферической оболочки. При опреде-
определении величины критического внешнего давления полусфериче-
полусферической оболочки использовалось разрешающее уравнение устойчи-
устойчивости
LiL2W =
- ^-Lx AW.
Здесь L\ и L2 — операторы, определяемые по формуле A.17) гл. 2;
\dx' dy
ЛИ.
dy2'
Drr —
г = 1, 2; ?>33 =
12
Полагая W — W* sinax sin/Зу, получаем
^A(am,/3n)]|
?2Li(am,/3n)JJ '
q mi" ^Л[А(ат,/Зп)
Здесь ат = m/R; /3n = n/i?; m, n — целочисленные параметры
волнообразования.
0,8
0,6
0,4
0,2
0
i i i i
8
Рис. 4.27. Зависимость относительного критического давления для полусфери-
полусферической оболочки из КМ от количества циклов нагревания: G" = 4 ¦ 103 МПа,
i/i = 0,1; — состав А; состав Б
В случае образования квадратных вмятин m = n, а
= D
n
2(Г>зз
D22; c2 =
Е*
Е*
14*

196 Гл. 4. Предельные нагрузки ортотропных оболочек вращения
Зависимость q/qo для оболочек из несилицированного (сос-
(состав А) и силицированного (состав Б) материалов, полученных с
помощью формулы (8.3), приведены на рис. 4.27. Как видно из
графиков, с увеличением числа циклов нагрева величина крити-
критического давления ортотропной сферической оболочки снижается.
Предельные нагрузки цилиндрической панели. Для оценки
влияния термоциклирования на относительное значение критиче-
критического внешнего давления q/qo ортотропной цилиндрической пане-
панели в случае регулярного волнообразования при условии (тпп/1J <
< (п7г/Ь*J, где / — длина панели, Ь* — длина дуги, можно вос-
воспользоваться формулой (8.2) и результатами расчета, приведен-
приведенными на рис. 4.26. Отсюда следует, что величина критического
внешнего давления ортотропной цилиндрической панели падает
от цикла к циклу.
* *
*
Результаты расчетов показывают, что термоциклирование мо-
может оказать существенное влияние на величину относительного
внешнего критического давления оболочечных конструкций и за-
зависит от числа циклов, вида циклограмм, технологии и структуры
материала, а также от механизма потери устойчивости.

Глава 5
УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧБЕ
ПРИ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЯХ
Рассмотрены задачи выбора оптимальной намотки тонкостен-
тонкостенных цилиндрических оболочек, теряющих устойчивость при кру-
кручении, при нормальном равномерно распределенном давлении, при
осевом сжатии, при совместном действии осевого сжатия и да-
давления и при совместном действии кручения и внешнего давле-
давления. Получены расчетные формулы для определения критических
усилий в оболочках, изготовленных различными видами намотки,
исходя из разрешающего дифференциального уравнения устойчи-
устойчивости слоистой цилиндрической оболочки для общего случая ани-
анизотропии материала, когда его оси не совпадают с главными лини-
линиями кривизны оболочки. Изучены виды намотки: прямая, косая,
перекрестная, изотропная. Проведено сравнение с результатами,
полученными по приближенным формулам.
Сформулирована задача поиска оптимальных параметров не-
неравномерно нагретых по толщине многослойных цилиндрических
оболочек как задача нелинейного программирования с физически-
физическими, структурными и геометрическими ограничениями. Для тон-
тонкостенных крупногабаритных оболочек в случае, когда активным
является ограничение по устойчивости, оценено влияние схемы
армирования на критические параметры нагрузки и волнообразо-
волнообразования.
Представленные результаты исследования при нормальной и
повышенной температурах являются дальнейшим развитием мо-
моделей расчета устойчивости многослойных оболочечных конструк-
конструкций В.И.Королева [72] и С.А.Амбарцумяна [6], что отличает их
от результатов, изложенных в книгах [5,11,29,39,91].
§ 5.1. Основные предположения.
Характеристики упругости монослоя и пакета
Характеристики упругости слоистой композитной оболочки,
изготовленной непрерывной намоткой, в основном определяются
характеристиками упругости монослоев и их взаимным располо-

198 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
жением. Будем предполагать, что монослои являются ортотроп-
ными и однородными, а их характеристики упругости — извест-
известными. Главными направлениями упругости монослоя будем
называть направления основы и утка, понимая под основой напра-
направление с большим модулем упругости [72]. Влиянием межслоевых
сдвигов пренебрежем.
Для определения оптимальной намотки цилиндрической обо-
оболочки необходимо знать характеристики упругости каждого мо-
монослоя в произвольной системе координат. Они определяются
четырьмя независимыми параметрами: модулями упругости в на-
направлении основы и утка Е\, Е2, модулем сдвига G и одним из
коэффициентов Пуассона v\, V2, которые связаны соотношением
E E
Пусть направления основы и утка совпадают с осями 1 и 2 пря-
прямоугольной системы координат (рис. 5.1). Тогда характеристики
ч
ч
ч
ч
ч
ч
Рис. 5.1. Система координат для рассмотрения упругих констант монослоя
упругости материала Cjj, а^ в произвольной системе координат,
повернутой относительно главной на угол <р, определяются соотно-
соотношениями [78]
сц = Ei cos4 <p + 2Ез sin2 <p cos2 <p + E2 sin4 ip;
С12 = E1V2 + (Е\ + 1^2 — 2Е3) sin2 <p cos2 <p;
С22 = Ei sin4 <p + 2Е3 sin2 <р cos2 ip + E2 cos4 <p;
с66 = G + (Ei +E2- 2E3)sin2<pcos2y>; A.1)
Cj6 = - (Е2 sin2 ip — Е\ cos2 у + ?^3 cos2 y>) sin 2<p;
C26 = „ (^2 cos2 <p — E\ sin2 ip — E3 cos2 y>) sin 2<p;
cos4 w /1 2i^i \ . о о sin4 ip
an = — h — - —- snr ipcos* ip +
(г-ж;81
+ ( 1 sm ^cosv +

§ 5.1. Характеристики упругости монослоя и пакета 199
+ Ui 1 + U2
sin4 ф ( \ Ъ>\ \ . о 9 cos4 <p
~ЁГ + [ Ж)sin va" *+~р
°22 = ~ЁГ + [с ~ Ж)sin
(Нг+тгI11
°16=
G
sin2 <p cos2 <p 1 A 2^>x
[cos2 w sin2 w 1/1 2i/i \ „ 1 . л
где для краткости полагалось, что
E = ; Е
Ei ; Е2
1 — V\l>2 I —
Заметим, что при изменении знака угла <р характеристики
упругости ai6, O26, С].б, с2б, в отличие от остальных, изменяют
знак.
Характеристики упругости пакета можно определить экспери-
экспериментально или теоретически, если известны характеристики упру-
упругости составляющих слоев, по формулам [102]
_ C12C66 - C16C26. _ E^
C22C66 — C26 -^i
Здесь
A = СЦС22С66 -
Cjj — жесткость пакета;
вк — относительное количество слоев Л-го типа;
c\j — жесткость fc-го элементарного слоя в осях оболочки (см.
соотношения A.1)).

200 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
§ 5.2. Виды намоток
Рассмотрим с позиций теории упругости особенности некото-
некоторых видов намотки [72].
Косая однозаходная намотка. Направления основы и утка всех
слоев совпадают. Материал оболочки будет ортотропным, но глав-
главные оси анизотропии составят углы <р и ж/2 — <р с ее главными
Рис. 5.2. Схема косой однозаходной намотки
линиями кривизны соответственно (рис. 5.2). При этом все коэф-
коэффициенты Cjk и ajk будут присутствовать в соотношениях упруго-
упругости. Если <р = 0 или <р — 7г/2, то имеем прямую намотку.
Косая перекрестная намотка. В этом случае чередующиеся
слои составят угол ±<р с образующей оболочки (рис. 5.3). При
Рис. 5.3. Схема косой перекрестной намотки
достаточно большом числе слоев оболочка будет иметь ортотроп-
ную структуру, главные оси анизотропии материала совпадут с ее
главными линиями кривизны, а следовательно, ai6 = агв = Ci6 =

§ 5.3. Основные уравнения для расчета 201
= С26 = 0. При малом числе разориентированных слоев (не более
восьми [72]) будем иметь весьма сложную структуру оболочки.
Изотропная намотка. Каждые п слоев наматываются пооче-
поочередно с интервалом угла 2тг/п, т.е. каждый слой наматывается
под углом щ = к2тг/п (к = 1, 2...). Такая намотка обеспечивает
структуру оболочки, близкую к изотропной.
В самом деле, упругие постоянные в этом случае принимают
вид _
сп = 022 = 1(^ + ^2) + ^;
3/1 1 \ 1/1 21/
а11 = а22 = - ^_ + _J + - ^_ _ __
с12 = ~E\vx + (#1 +Ё2- 2Ё3)/8;
+
Ci6 = C26 = ai6 = «26 = 0.
Легко видеть, что выполняются соотношения
Сц = С22 = С\2 + 2сбв; Оц = О22 = «12 + Г°66)
а это является признаком изотропии материала [78]. Наименьшее
число чередующихся слоев, обеспечивающих изотропную струк-
структуру, п = 3, при этом (pi = 60°, (f2 = 120°, <pz = 180°.
§ 5.3. Основные уравнения для расчета
Будем исходить из уравнений технической теории многослой-
многослойных круговых цилиндрических оболочек средней длины /, пред-
представленных в форме уравнений смешанного метода [6] относи-
относительно функции прогиба w(x, у) и функции напряжений f(x, у)
(рассматриваем оболочку, нагруженную лишь нормально прило-
приложенной поверхностной нагрузкой Z(x, у)):
d\ d(d ±
)L
' dy)W °
13 Зак. 130

202 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
где для линейных операторов Li имеем
2[(Dl2-D°n) + 2(D66-D°60)]
d_ d_\ _
dx' dy) ~
+
&
ж, у — координаты на внутренней поверхности оболочки.
Для жесткостей1) и других коэффициентов, характеризующих
упругие свойства оболочки из N слоев, имеем следующие предста-
представления:
-О?! = fcnrfn + ^12^21 +
¦E>66 =
D°2 = kndl2 + ki2d
I>i6 = kndi6 + ki2d26 + k^d^ = ki6dn + k26d2\
•^26 = ^12^16 + ^22^26 + ^26^66 = ^16^12 + ^26^22 + ^66^62;
d22 — -^12^12 + ^22^22 +
') Обозначения жесткостей соответствуют принятым в работе [6].

§ 5.3. Основные уравнения для расчета 203
Ах2к22
d2i = Ai2ku + A22kx2
^26 = -^12^16 + -^22^26 + -^26^66;
^62 = ^16^12 + ^26^22 + ^66^265
An = (C22C66 ~ Сгб^Г1; ^16 = (Cl2C26 -
^22 = (СЦС66 - Сн;)^1; A26 = (C12C16 -
Ql = (Cllc22 -
Здесь Dij, Dfj — обычные и приведенные жесткости изгиба и
кручения соответственно, коэффициенты d^ происходят от жест-
костей растяжения-сжатия и сдвига Су и жесткостей взаимного
влияния kij. Они определяются по формулам (начальная поверх-
поверхность совпадает с внутренней)
Da = \Е<,-
N N
s=l
1 N
где 6S — расстояние от внутренней поверхности оболочки до верх-
верхней поверхности 5-го слоя, ориентированного под углом <ps отно-
относительно образующей; с^ определяются по формулам A.1).
Полагая, что основное напряженное состояние оболочки до по-
потери устойчивости является безмоментным, имеем для фиктивной
поверхностной нагрузки выражение
arc ay
где Ny, N$, N12 — компоненты мембранных усилий, действую-
действующих на оболочку до выпучивания, причем iVJ3, iVj > 0 при растя-
растяжении.
13*

204 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
Систему C.1) можно свести к одному разрешающему уравне-
уравнению восьмого порядка относительно го:
Тогда задача устойчивости многослойной цилиндрической обо-
оболочки (панели) описывается уравнением C.3) с учетом C.2) и со-
соответствующих граничных условий (под w понимается теперь про-
прогиб в момент выпучивания).
Необходимо отметить, что для исследования устойчивости ци-
цилиндрических оболочек (панелей), полученных косой однозаход-
ной, перекрестной и изотропной намотками, можно пользоваться
уравнением [72]
дадр
где линейные операторы четвертого порядка
д4
да3 д/3
д4 ~ д4
д д
д4 о д4 д4
- O66J А +
Dij = Cijh3/12; а = x/R, C = y/R — безразмерные координаты
на срединной поверхности.
Уравнение C.4) следует из C.3), если начальная поверхность
совпадает со срединной; для операторов справедливы равенства
V4 = Lf, V4 = L$, Ld3 = 0,

§ 5.4. Устойчивость при кручении 205
§ 5.4. Устойчивость при кручении, при изгибе
поперечной силой оболочек, полученных косой,
перекрестной и изотропной намотками
Обратимся теперь к случаю кручения оболочки парами Мк,
приложенными по торцам (см. рис. 2.5). Здесь основное состо-
состояние определяется касательными усилиями, для тонкой оболочки
их можно считать равными:
^ ^ = ^° = 0. D.1)
Уравнение устойчивости C.4) принимает вид
да4
* (?•!)» D2)
Будем считать, что края оболочки закреплены и закрепление
носит характер либо шарнирного опирания, либо заделки. Обычно
[43] считается возможным удовлетворить не всем граничным усло-
условиям, а только следующим:
w = 0 при а = ±r-rr. D.3)
2rl
Это допущение используется и здесь.
Выпучивание оболочки при кручении сопровождается образо-
образованием регулярно расположенных по окружности винтообразных
волн, наклоненных к образующей. Рассмотрим влияние вида ап-
аппроксимации формы выпучивания на критические сдвигающие
усилия.
Если принять выражение для прогиба в виде
w = y^^4iSin(Aja — n/?), D.4)
где
Л2-Л1 = ^ (т = 1,2,...); D.5)
Ai, \ — некоторые постоянные величины, то тогда и только тогда
удовлетворяются условия D.3).

206 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
Подставляя выражение для радиального прогиба D.4) в урав-
уравнение устойчивости D.2) и принимая во внимание D.1), получим
- (i = l,2). D.6)
Приближенное аналитическое решение можно построить для
случая, когда выполняются условия п2 ^> X2 (г = 1, 2) при пере-
перекрестной и изотропной намотках, а при косой однозаходной на-
С22 ^ , 0,11 .. Л
мотке п ^> Aj и п ^> Aj.
4сбб 2а16
Следуя [43], найдем
Аналогичный результат получен в [76].
Рассмотрим еще один вариант аппроксимации, при котором
выражение для винтообразных волн задается в виде
\ . irRa
lsin—-—,
\ . irRa .
hnplsin—-—, D.8)
где А — некоторая постоянная; m, n — целые числа. Оно удо-
удовлетворяет условиям равенства нулю прогиба на обоих краях обо-
оболочки. Кроме того, w = 0 еще и в узловых точках, определенных
из уравнения
Ш7г—-—Ь п@ = jn, j = 0, 1, 2, ...
В дальнейшем удобно представлять функцию прогиба D.8) как
А г
w = — I cos {ц\а + пр) — cos (дго: + п/?)|,
2
где //1,2 = (m ^ l)nR/l.
Подставив ее в уравнение устойчивости D.2), получим
2
t-i
где
d = Vo(Mi, n)V4(/Xj, n) + R2hn\; wt = cos {ma + nC).

§ 5.4. Устойчивость при кручении
207
Приравнивая к нулю коэффициенты при w\ и гиг, получим два
уравнения
N° (i 12)
, n)
D.9)
которые должны давать одно и то же значение N®2-
Можно использовать для нахождения N®2 следующий графи-
графический прием [134]. Задаваясь числом волн п и отношением R/1
и подставляя их в уравнение D.9), строим кривые Nf2 = N®2(м),
аналогичные представленным на рис. 5.4. Эти кривые одинаковы
Рис. 5.4. К определению критических сдвигающих усилий при кручении обо-
оболочки
по форме (так как величины щ и /хг в D.9) взаимозаменяемы), но
смещены одна относительно другой вдоль оси абсцисс на величину
1*1-1*2 =
2nR
I '
D.10)
Ордината точки М пересечения кривых дает критическое зна-
значение N®2 при принятых условиях. Задаваясь далее различными
значениями п, ищем минимальную величину Ni2Kp, определяю-
определяющую верхнее критическое усилие.

208 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
Укажем также на решение задачи, получаемое по методу Буб-
нова-Галеркина. Согласно процедуре метода имеем
l/rR2r(n )
/ / \ Е (-1) [« ~ 2<Д2/^4(№, n)]wi \ х
о о "=* J
x (wi — W2)dadj3 = 0.
Выполняя интегрирование и принимая во внимание соотноше-
соотношение D.10), а также то, что
г
1_
:7Гд'
7я 7 2
о о
i/n. 2ъ
11
7Г I
WiW2dadf3 = sin(/z2 - ji\)rr = 0,
о о
найдем
дгО _ Ур(М1, п)У4(мь п) + Ур(М2, п)У4(/Х2, ")
D.11)
В случае потери устойчивости при изгибе оболочки поперечной
силой Q на конце получим Q = airD\iR~l, где а удовлетворяет
соотношению G.5) гл. 2, в котором
У4(АЬ -п)У4(Аь -г
, -n) ' ° 5ц
§ 5.5. Устойчивость при осевом сжатии,
внешнем давлении и изгибе поперечной силой
многослойных оболочек
Рассмотрим оболочку средней длины. Ввиду того что величина
ее критической нагрузки слабо зависит от граничных условий,
можно выбрать приближенное решение в случае, когда на нее дей-
действуют осевые сжимающие усилия и равномерное давление (см.
рис. 2.18), в форме [72]
+ ) E.1)

§ 5.5. Устойчивость при осевом сжатии, внешнем давлении 209
где А — некоторая постоянная величина. Отметим, что выраже-
выражение E.1) приближенно удовлетворяет граничным условиям шар-
шарнирного опирания в достаточно большом числе точек ny/R = ктг
(Л = 1,2,...).
Подставляя выражение E.1) в уравнение C.3), получим фор-
формулу для определения критических параметров нагрузки много-
многослойных оболочек:
1 —U- = -N^-N^, E.2)
\ L%( /3)
где a = mn/l, /3 = n/R.
Аналогичным путем с использованием уравнения C.4) можно
найти формулу для определения критических параметров нагруз-
нагрузки оболочек, полученных косой, перекрестной и изотропной на-
намотками:
V$(A, n)V4(A, n)+R2h\A = i?2V4(A, n)(-N?\2-N$
E.3)
где А = aR.
В случае действия равномерного внешнего давления N® =
= N?2 = 0; N2° = -qR.
Подставляя эти выражения для усилий в формулу E.3), по-
получим
U^] E-4)
Критическое давление по этой формуле определяется миними-
минимизацией правой части относительно целочисленных параметров т
и п, причем п = 2, 3, 4, ... Приближенное аналитическое ре-
решение можно получить для случая, когда выполняются условия
п2 ^> Л2 при перекрестной и изотропной намотках, а при косой
однозаходной намотке п > Аи -—п ~3> А. Следуя [42],
4c26 2ai6
найдем
/i_ / 1 \ 3/4 j,2 Гп 1
E.5)
причем гпщ, = 1, а критическое число волн в окружном направ-
направлении
"кр =

210 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
Приведем также формулу, полученную в [72] для оболочки, из-
изготовленной перекрестной намоткой с четным числом чередую-
чередующихся слоев:
где
2п2 + D
D22nA;
- ^1^26 т ^26 -
; « =
c162M-lL2 ~ , C26 2M - 1 l2 JV
Здесь JV — количество монослоев.
В случае действия только осевого сжатия JV° = —Nx, N$ =
= N12 = 0. Подставив эти выражения в формулу E.3), получим
соотношение для определения критического сжимающего усилия
Минимум выражения E.7) может быть определен численным ме-
методом с помощью ЭВМ. Отметим, что в работе [72] приведено при-
приближенное аналитическое решение для сжимающего усилия в
предположении А2 <?С п2.
Если усилия N® и JV^ связаны между собой зависимостью
^ = х^? (случай простого нагружения), то критическое ежи-

§ 5.6. Устойчивость при действии кручения и норм, давления 211
мающее усилие Nqc = — N® определяется из уравнения
1 Г_4„ > R2h\A 1 1
содержащего три параметра: х, А и п. Для каждого заданного
значения параметра нагрузки ус минимум выражения E.8) также
находится с помощью ЭВМ.
В случае потери устойчивости при изгибе многослойной обо-
оболочки поперечной силой Q на конце, следуя процедуре алгоритма,
описанного в §2.7, найдем Q = airDuRT1, где а удовлетворяет
соотношению G.5) гл. 2, в котором
[L?-D°(\j, -n)L$(\u -n) + (LJjXi, -n) + А?Д-1J]
i, -n)
D-D0 _
§ 5.6. Устойчивость при совместном действии кручения
и нормального давления оболочек, полученных косой,
перекрестной и изотропной намотками
Считая края оболочки опирающимися на жесткие шпангоуты
и учитывая из граничных условий лишь равенство нулю радиаль-
радиального прогиба на ее концах, принимаем выражение прогиба, как и
при одном кручении, в виде D.4).
Подставляя выражение для прогиба D.4) в уравнение устойчи-
устойчивости C.4) и полагая JVf = О, N2 = —xN^, получаем
где х — параметр нагрузки.
Для определения критического сдвигающего усилия может
быть применен графический способ [134].
Отметим, что в работе [42] рассматривается устойчивость ор-
тотропных оболочек при совместном действии кручения и нор-
нормального давления. Считается, что оси ортотропии материала со-
совпадают с координатными. Решение получено для случая, когда
X2 <?С п2. Представляет интерес получение решения из полного
уравнения F.1) при условии D.5). Обсуждение этого решения
приведено ниже.

212 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
§ 5.7. Анализ результатов расчета
на устойчивость оболочек, полученных косой,
перекрестной и изотропной намотками
Ниже анализируются результаты расчета шести типов оболочек
с монослоями на полимерной и металлической матрицах, упругие
характеристики которых представлены в табл. 5.1.
Таблица 5.1. Характеристики упругости ЕМ цилиндрических оболочек
Материал
Стеклопластик
СВАМ
Углепластик
Боропластик
Бороалюминий
Боромагний
Ei ¦ 10", МПа
2,33
3,46
8,50
9,50
12,50
10,60
Е2 ¦ Ю-4, МПа
1,90
3,43
8,50
9,50
12,30
10,60
VI
0,11
0,15
0,20
0,25
0,23
0,27
СМ0~\ МПа
0,39
0,84
0,70
0,70
3,15
1,90
Устойчивость при кручении. В этом случае получить без упро-
упрощений замкнутые формулы для критического сдвигающего уси-
усилия не удается. Поэтому для каждого заданного угла ср это усилие
находилось численным методом с помощью программ на языке
ФОРТРАН. Одна из них приведена в [60]. Ниже представлены
алгоритмы определения критических сдвигающих усилий.
Для нахождения минимума сдвигающего усилия, определяе-
определяемого выражением D.6), был предложен итерационный процесс.
Параметр Aj для заданных целочисленных значений тип вычи-
вычислялся из условия
( ^)>0. G.1)
Чтобы удовлетворить G.1), задавали начальное значение А^ и
проверяли его. Если оно не выполнялось, то переходили к следу-
следующему значению А[ и т. д. За минимальную величину критиче-
критического усилия принимали
\
После нахождения N*? для заданных тип определялось его ми-
минимальное значение для данного угла ср путем перебора по всем
m и п, т. е.

§ 5.7. Анализ результатов расчета на устойчивость оболочек 213
Указанная процедура затем повторялась для следующего угла.
Отметим, что в работе [76] в предположении A* «n2 (t = 1, 2)
было получено для m = 1 А* = 0,68 • 2nR/l, причем это значение
одинаково для любого материала. Как показали расчеты, параметр
А* зависит от типа материала монослоя (табл. 5.2).
Таблица 5.2. Значения параметра AJ, характеризующего форму выпучивания
оболочки при кручении
Матери-
Материал слоя
Стекло-
Стеклопластик
СВАМ
Угле-
Углепластик
Изо-
троп-
тропная на-
намотка
1,55
1,50
1,21
Намотка
Однозаходная
Перекрестная
Однозаходная
Перекрестная
Однозаходная
Перекрестная
Угол
0
1,78
1,78
1,73
1,73
1,76
1,76
10°
1,69
1,61
1,67
1,72
1,60
1,51
20°
1,50
1,33
1,53
1,44
1,28
1,62
30°
1,50
1,18
1,39
1,31
1,02
1,25
40°
1,25
1,18
1,31
1,23
0,87
1,28
50°
1,29
1,51
1,31
1,33
0,87
0,94
60°
1,46
1,52
1,39
1,45
1,02
1,15
70°
1,70
1,77
1,54
1,59
1,28
1,40
80°
1,24
1,99
1,68
1,71
1,60
1,64
90°
1,31
1,31
1,74
1,74
1,76
1,76
Минимум сдвигающего усилия, определяемый по формуле
D.9), вычислялся в таком порядке. Следуя работе [134], для за-
заданного значения п находили хорду (см. рис. 5.4), параллельную
оси абсцисс /л, которую вкладывали в кривую N12 = iV^Gu), при-
причем значение m определяли из условия JV^/xi) — Л^/хг) ^ 0.
За минимальное значение усилия, соответствующее заданному п,
принимали величину
12
После перебора по всем значениям п находили минимальное кри-
критическое усилие, соответствующее тому или иному углу намотки,
т.е. N*? — minJV^f. Критическое значение сдвигающего уси-
усилия, определяемое формулой D.11), вычисляли путем перебора по
параметрам тип для фиксированного угла ip.
На рис. 5.5 и 5.6 представлены результаты расчета для угле-
и стеклопластиковой оболочек. Кривая 1 соответствует расчету
по приближенной формуле D.7), кривая 2 получена на основе
минимизации выражения D.6), кривая 3 — D.9), кривая 4 —
D.11), прямая 5 соответствует изотропной намотке (минимизация
выражения D.6)). Видно, что имеется расхождение между резуль-
результатами расчета по приближенной формуле D.7) и результатами
численной минимизации и что использовать формулу D.7) для

214 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
V* 10,Н/мм
2,4
2,0
1,6
1,2
0,8 -
0,4
0
/
т
1
Углепластик /
ш /
^\\ 3 /
\ \\//!
Стеклопластик
.2 ,3 /
i i i i i
30°
60° Ф
Рис. 5.5. Влияние угла косой однозаходной намотки на критические сдвигающие
усилия для оболочки с R/h = 100, l/R = 2, Л = 1,5 мм
|J 10,Н/мм
2,4
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
V/
_
>-
1
Углепластик /
ш /
Стеклопластик
2 У3
4 Ч5
i i i i i
30°
60°
Рис. 5.6. Влияние угла косой перекрестной намотки на критические сдвигающие
усилия для оболочки с R/h = 100, l/R = 2, h = 1,5 мм

§ 5.7. Анализ результатов расчета на устойчивость оболочек 215
определения оптимальной намотки оболочек «средней» длины не-
нельзя. Это расхождение объясняется тем, что количество волн п
может быть только целым числом, а приближенная формула явля-
является результатом дифференцирования N12 no n в предположении,
что оно меняется непрерывно. Однако при малых числах волн
это может привести к заметному расхождению в критических уси-
усилиях. Кроме того, в расчетную формулу D.7) не входит модуль
сдвига материала.
Результаты, соответствующие минимизации выражений D.6)
и D.11), близки. Более точным следует признать решение, когда
ЛГ* ¦ 1(Г2, Н/мм
2,2 г
1,8
1,4
1,0
2,8
2,4
2,0
0,8 -
0,4
Боропластик
Бороалюминий
Боромагний
СВАМ
О
30°
60°
Рис. 5.7. Влияние угла намотки на критические сдвигающие усилия для оболочек
из боропластика, бороалюминия, боромагния и СВАМа
критическое усилие для заданного угла намотки находится путем
минимизации по четырем параметрам волнообразования m, n, Ai,
\%. Поэтому расчеты для оболочек из других материалов проводи-
проводились путем минимизации выражения D.6).

216 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
На рис. 5.7 представлены результаты расчета оболочек из бо-
ропластика, бороалюминия, боромагния и стеклопластика СВАМ.
Сплошная кривая соответствует косой однозаходной намотке,
пунктирная — перекрестной, а прямая —- изотропной. Сопоста-
Сопоставление кривых на рис. 5.5-5.7 позволяет сделать такие выводы:
а) наиболее устойчивые оболочки при кручении могут быть по-
получены косой однонаправленной намоткой под углом (роат = 30°;
б) оптимальные оболочки, изготовленные косой перекрестной
намоткой, имеют большие значения критического сдвигающего
усилия, чем оболочки, полученные изотропной и прямой намот-
намотками.
Отметим, что форма волнообразования в каждом случае нагру-
жения весьма существенно зависит от характера анизотропии КМ,
поэтому упрощения в отношении порядка величин следует делать
с большой осторожностью. Приведенные здесь результаты под-
подтверждают это. Расчеты проводились для оболочек с R = 150 мм,
/ = 2R, h = 1,5 мм. С увеличением относительной длины оболо-
оболочек из высокомодульных материалов 1/R расхождение между ре-
результатами расчета по формуле D.7) и результатами численной
минимизации уменьшается. На рис. 5.8 представлено изменение
1,7
1,3
0,9
0,.'
10 IIR
Рис. 5.8. Изменение отношения Ni2/N^2 от относительной длины 1/R для обо-
оболочек из угле- и стеклопластика: ip = 0 A); —30° B); 30° C)
отношения критического усилия iV, определенного по формуле
D.7), к критическому усилию Nf2, определенному по формуле
D.6), для углов 0, —30°, 30° в случае косой перекрестной намотки.
Устойчивость при внешнем давлении. На рис. 5.9 предста-
представлены результаты расчета оптимальных углов намотки для ше-
шести значений упругих констант монослоя (см. табл. 5.1) оболо-
оболочек с R/h — 100, l/R = 2, h = 1,5 мм при внешнем давлении.
Кривая 1 получена при использовании приближенной формулы
E.5) для косых однозаходной и перекрестной намоток, кривая 2

§ 5.7. Анализ результатов расчета на устойчивость оболочек 217
соответствует оболочкам, изготовленным косой однозаходной на-
намоткой (минимизация выражения E.4)), кривая 3— оболочкам,
изготовленным косой перекрестной намоткой (минимизация вы-
выражения E.4)) и, наконец, кривая 4 — оболочкам, полученным
2, кПа
6 -
Углепластик
Стеклопластик
Рис. 5.9. Влияние угла намотки на критическое внешнее давление для оболочек
из различных КМ
косой перекрестной намоткой (минимизация выражения E.6) с
учетом влияния взаимных эффектов, таких как растяжение-
кручение срединной поверхности и др., N = 2). Прямая 5 ха-
характеризует оболочки, изготовленные изотропной намоткой.
Потеря устойчивости оболочки сопровождалась образованием
одной полуволны в осевом направлении.
Для углов намотки, близких к 0 или 90°, результаты, вычи-
вычисленные по приближенной формуле E.5), хорошо согласуются с
результатами, получаемыми численной минимизацией выражений

218 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
E.4) и E.6). Выбор того или иного вида намотки определяется
упругими константами материала монослоя и геометрическими
размерами оболочек. Так, например, для коротких оболочек с
1/R = 2 косая однозаходная намотка позволяет снять наиболее
высокие критические давления для всех материалов, кроме сте-
стеклопластика, при этом </?опт ~ 15°. Максимум для оболочек из
материала СВАМ более пологий, чем для оболочек из других ма-
материалов. Это объясняется тем, что намотка создает такую анизо-
анизотропию слоистого КМ, которая нарушает симметричный характер
волнообразования и заставляет ее выпучиваться с образованием
волн при более высоком давлении.
Для стеклопластиковых оболочек с 1/R = 2 (рис. 5.9) выгодна
косая перекрестная намотка (<?Wr ^ 85°), прямая намотка вос-
воспринимает чуть меньшее давление, для оболочек с 1/R — 6 имеет
смысл прямая намотка под углом <р = 90°, и, наконец, для оболо-
оболочек с I/R = 8 — косая однозаходная намотка (<?Wr ~ 15°). Для
углепластиковых оболочек с 1/R — 4—6 </?опт = 15°.
Для оболочек, состоящих из двух разноориентированных
слоев, учет эффектов взаимного влияния приводит к снижению
критического давления (см., например, на рис. 5.9 кривые 3 и 4)i
причем это является существенным для высокомодульных мате-
материалов.
Изотропная оболочка воспринимает, как правило, меньшие
давления, чем оболочка, изготовленная косой однозаходной на-
намоткой.
Углепластиковые оболочки с косой однозаходной намоткой с
Е\/Е2 = 0,5 имеют большее значение максимального критиче-
критического давления, чем оболочки, у которых монослои с Е1/Е2 = 2.
Таким образом, ориентировка наполнителя относительно коорди-
координатных осей оболочки имеет существенное значение.
Устойчивость при осевом сжатии. Критические усилия нахо-
находили численно, исходя из формулы E.7). Анализ результатов рас-
расчета оболочек из шести типов материалов монослоев (см. табл. 5.1)
с геометрическими размерами варианта I (R/h = 100, / = 2R,
h = 1,5 мм) и варианта II (R/h = 200, I = 2R, h = 0,75 мм)
позволяет сделать следующие выводы:
1) при косой однозаходной намотке оболочка является равно-
устойчивой относительно угла намотки;
2) значения критического сжимающего усилия при изотроп-
изотропной намотке выше, чем при оптимальных углах однозаходной и
перекрестной намоток;
3) перекрестная намотка позволяет получить большие крити-
критические усилия, чем однозаходная.

§ 5.7. Анализ результатов расчета на устойчивость оболочек 219
Для оболочек с 1/R = 2, h/R = 10~2, h = 1,5 мм, изгото-
изготовленных прямой намоткой под углом <р = 0, имеет место хорошее
совпадение результатов численной минимизации выражения E.7)
с результатами, полученными в гл. 2. Для 1/R ф 2 это совпадение
нарушается (табл. 5.3).
Таблица 5.3. Критические сжимающие напряжения,
вычисленные по формулам E.11а) гл. 2 и E.7), МПа
Материал
Стеклопластик
Бороалюминий
Углепластик
R/h
200
100
200
100
200
100
Решение
Точное
19,9
80,2
107,1
431,5
55,9
224,5
Приближенное
39,4
78,8
207,8
415,7
107,8
215,5
Укажем, что при определении критических сжимающих уси-
усилий принимались во внимание как осесимметричная, так и не-
осесимметричная формы потери устойчивости.
Рис. 5.10. Влияние угла намотки на критические сжимающие усилия в случае
совместного действия осевого сжатия и внешнего давления для оболочек вари-
варианта I из угле- и стеклопластика: х = 0 A); 0,2 B); 0,4 E); 0,6 D); 0,8 E);
1,0 F)
В качестве примера на рис. 5.10 (х = 0) приведены резуль-
результаты расчета стеклопластиковой (а) и углепластиковой (б) оболо-

220 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
чек варианта I (сплошная кривая соответствует косой однозаход-
ной намотке, пунктирная — перекрестной, сплошная прямая —
изотропной).
Известно [72], что упругие свойства КМ в основном опреде-
определяются упругими характеристиками и ориентацией наполнителя.
Модули упругости в главных направлениях анизотропии зависят
от числа нитей в этих направлениях. Следовательно, при задан-
заданной суммарной плотности монослоя по основе и утку сумма мо-
модулей упругости в главных направлениях анизотропии Е\ + Щ
остается почти постоянной. Исходя из этого и с целью исследо-
исследования влияния модуля сдвига монослоев были выбраны данные,
представленные в табл. 5.4. Результаты расчета по определению
критического сжимающего усилия N^ для всех рассматриваемых
намоток представлены на рис. 5.11.
Таблица 5.4. Варианты характеристик упругости монослоев
Характеристики
упругости
Ei ¦ 10-", МПа
Ei ¦ Ю-4, МПа
G ¦ 10~4, МПа
VI
I
1,5
3,0
0,1
0,1
0,2
II
1,5
3,0
0,3
0,1
0,2
Варианты
IV
1,5
3,0
0,5
ОД
0,2
VI
1,5
3,0
0,6
од
0,2
VII
4,0
0,5
0,3
0,8
ОД
VIII
2,25
2,25
0,3
0,2
0,2
Как и следовало ожидать, косая перекрестная намотка весьма
незначительно повышает критическое усилие цилиндрической
оболочки. Это объясняется тем [72] , что наиболее оптимальное
соотношение модулей упругости в осевом и кольцевом направле-
направлениях и модуля сдвига, которое должно было бы привести к су-
существенному увеличению критического усилия, сопровождается
возрастанием степени свободы, выражающимся в возможности по-
появления косых форм потери устойчивости, что снижает критиче-
критическое усилие.
Отметим, что проведение расчетов с целью получения рекомен-
рекомендаций на самые различные случаи соотношений характеристик
упругости монослоев и геометрических размеров вряд ли целе-
целесообразно. По-видимому, более разумно проводить расчеты для
заданных геометрических размеров и ограниченного числа мате-
материалов монослоев, из которых необходимо выбрать наиболее опти-
оптимальный.

§ 5.7. Анализ результатов расчета на устойчивость оболочек 221
Зависимость критического сжимающего усилия цилиндриче-
цилиндрической оболочки оптимальной структуры, изготовленной косой одно-
заходной, косой перекрестной и изотропной намотками, от модуля
NZ. Ю, Н/мм
18
14
10
о
30°
60°
Рис. 5.11. Влияние угла намотки на критические сжимающие усилия оболочек
из монослоев, соответствующих вариантам табл. 5.4
сдвига монослоя представлена в табл. 5.5. Там же приведены зна-
значения критического усилия для оболочки, изготовленной прямой
намоткой.
Таблица 5.5. Влияние модуля сдвига монослоя
на критические сжимающие усилия
Модуль сдвига
G-КГ4, МПа
Намотка
Однозаходная
Перекрестная
Прямая
Изотропная
0,1
Усилие,
Н/мм
66,3
83,5
61,2
91,0
Угол
50°
70°
90°
0,3
Усилие,
Н/мм
111,3
129,0
105,9
134,9
Угол
50°
70°
90°
0,5
Усилие,
Н/мм
140,7
153,4
136,3
156,0
Угол
50°
70°
90°
0,7
Усилие,
Н/мм
163,6
176,5
161,2
170,1
Угол
50°
70°
90°
Результаты расчета показывают, что оптимальная структура
сплошной цилиндрической оболочки, работающей в условиях осе-
осевого сжатия, получается при изотропной намотке (рис. 5.11) либо

222 Гл. 5- Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
при непрерывной косой перекрестной намотке равнопрочными мо-
монослоями под углом <р = ±20° (кривые II и VII). В [72] этот угол
ср = ±45°. Заметим, что использование неравномодульных мо-
монослоев, например с анизотропией Е\/Е2 = 0,5, весьма незначи-
незначительно снижает критическую нагрузку оболочки. При более резко
выраженной анизотропии снижение критического усилия проис-
происходит интенсивнее.
Устойчивость при совместном действии осевого сжатия и внеш-
внешнего давления. В этом случае исходным для определения кри-
критического сжимающего усилия оболочек варианта I являлось
выражение E.8). Его минимизацию проводили при фиксирован-
фиксированном параметре нагрузки к = N^/N® по целочисленным параме-
параметрам тип. Параметр нагрузки к изменяли в диапазоне от 0
до 1 с шагом 0,2. При этом принимали во внимание как осесим-
метричную, так и неосесимметричную формы потери устойчи-
устойчивости.
Анализ результатов расчета показал, что в этом случае наблю-
наблюдается иная картина, чем в случае одного сжатия. Об этом сви-
свидетельствуют кривые, приведенные на рис. 5.10 для угле- и сте-
стеклопластиков ой оболочек (соответствие кривой намотке то же, что
и в случае осевого сжатия). Косая перекрестная намотка позволяет
снять большие критические усилия на оболочках, чем изотропная,
прямая и косая однозаходная. Оптимальный угол для материа-
материалов с равными значениями модулей нормальной упругости близок
к 15°. Характер максимума пологий. Для стеклопластиковых обо-
оболочек оптимальный угол лежит в диапазоне 60—75°.
Внешнее давление приводит к снижению критического осевого
усилия.
Совместное действие осевого сжатия и внутреннего давления.
Критические сжимающие усилия в этом случае для оболочек
варианта I определялись так же, как и в предыдущем случае. Па-
Параметр нагрузки к изменялся в пределах от —1,0 до —0,2 с ша-
шагом 0,2.
Анализ результатов расчета показал, что здесь наблюдается
иная картина, чем в предыдущем случае, о чем свидетельствуют
кривые рис. 5.12 для угле- и стеклопластиковых оболочек (соот-
(соответствие кривых намотке сохраняется прежним). Прежде всего,
внутреннее гидростатическое давление оказывает поддерживаю-
поддерживающее влияние. Прямая намотка позволяет снять при к = —0,4—1,0
критические усилия большие, чем изотропная намотка. Наибо-
Наиболее устойчивые оболочки могут быть получены косой однозаход-
ной намоткой. Оптимальный угол зависит от геометрических
размеров оболочки, упругих постоянных материала монослоев

§ 5.7. Анализ результатов расчета на устойчивость оболочек 223
Рис. 5.12. Влияние угла намотки на критические сжимающие усилия в случае
совместного действия осевого сжатия и внутреннего давления для оболочек из
угле- и стеклопластика: х= -0,2 A); -0,4 B); -0,6 C); -0,8 D); -1,0 E)
и параметра нагрузки. Так, например, для углепластиковых
оболочек <ропт = 72—80°, причем большие значения угла соот-
соответствуют бблыпим по модулю значениям х.
Устойчивость при совместном действии кручения и внешнего
давления. Здесь, как и в случае совместного действия осевого сжа-
сжатия и давления, необходимо для фиксированного значения параме-
параметра нагрузки ус = N^/Nn ^ 0 провести минимизацию выражений
F.1) по параметрам т, п, Ах, Аг, где Ах и Аг связаны соотно-
соотношением Аг — Ах = 2nmR/l. Процедура нахождения критического
сжимающего усилия та же, что и для случая одного кручения.
На рис. 5.13 в качестве примера приведены результаты опреде-
определения критических усилий для угле- и стеклопластиковой оболо-
оболочек варианта I (соответствие кривых намотке прежнее). Параметр
нагрузки ус изменяли в пределах от 0,2 до 1,0 с шагом 0,2. Видно,
что наиболее устойчивые углепластиковые оболочки могут быть
получены косой однозаходной намоткой под углом <ропт = 20° (для
всего диапазона изменения параметра нагрузки). Значения кри-
критических сдвигающих усилий при изотропной намотке близки к
значениям усилий, вычисленным для оптимальных углов пере-
перекрестной намотки.
Наиболее устойчивые стеклопластиковые оболочки при всех к
могут быть получены также косой однозаходной намоткой под

224 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
углом <ропт = 20°, а при я = 0,4—1,0 — еще и прямой намот-
намоткой под углом <^опт — 90°. Значения критических сдвигающих
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
• Ю'1, Н/мм
W|f • 10~2, Н/мм
30
24
Углепластик
12
Стеклопластик
30°
60°
30°
60°
Рис. 5.13. Влияние угла намотки на критические сдвигающие усилия в случае
совместного действия кручения и внешнего давления для оболочек из угле- и
стеклопластика: х = 0,2 A); 0,4 B); 0,6 C); 0,8 D); 1,0 E)
усилий при изотропной намотке меньше, чем при оптимальных
углах перекрестной намотки для всего диапазона значений к.
§ 5.8. Влияние схем армирования на устойчивость
неравномерно нагретых по толщине оболочек
Композитный материал в конструкции — многослойный мате-
материал с различной ориентацией слоев. Характеристики упругости
и прочности монослоя зависят от угла ориентации и температуры.
Поэтому значение нагрузки, воспринимаемой конструкцией, бу-
будет определяться не только схемами армирования, но и темпера-
температурным полем. Изучим совместное влияние схем армирования и
неравномерного нагрева по толщине стенки на устойчивость ци-
цилиндрических оболочек при осевом сжатии, внешнем давлении и
совместном их действии.
Постановка задачи. Нахождение оптимальной (рациональной)
схемы укладки слоев в нагреваемом пакете может быть осуще-
осуществлено с помощью методов оптимального проектирования кон-
конструкций. Ряд задач по оптимальному проектированию оболочеч-

§ 5.8. Влияние схем армирования на устойчивость оболочек 225
ных конструкций из КМ при комнатной температуре рассмотрен
в [11,105,118]. Более общая постановка задачи выбора схемы
укладки слоев в стенках оболочек состоит в следующем. За целе-
целевую функцию принимается масса оболочки М(х) = 2nRlhp. Здесь
х = x.(ipi, h, R), i = 1, 2, ..., щ щ — угол ориентации г-го слоя.
В качестве физических ограничений, например для продольно
сжатой цилиндрической оболочки заданной длины, могут быть
приняты следующие:
Здесь Р — заданная нагрузка; Р» — критическая нагрузка, со-
соответствующая местному выпучиванию при осесимметричной и
неосесимметричной форме; Рс — критическая нагрузка, соответ-
соответствующая местному выпучиванию оболочки как стержня; Pr —
нагрузка, соответствующая разрушению материала при сжатии.
Геометрические ограничения:
Структурные ограничения:
F5+i(x) = 1 - -2i- ^ 0;
fi max
) = 1 - -^i- < 0 (z = l, 2,
Здесь ipi max и ifi min — максимально и минимально возможные
значения угла укладки г-го монослоя. В связи с тем что расчетные
нагрузки являются функциями характеристик упругости и прочно-
прочности материала, которые, в свою очередь, являются функциями тем-
температуры Т, вводится ограничение .Рб+2п(х) = 1 — T(x)/Tmax ^ 0.
Здесь Ттах — максимально допустимая температура, при которой
сохраняются характеристики прочности и упругости материала, в
частности, Ткр (см. гл. 1). К физическим ограничениям можно
добавить ограничение по прогибам или по удлинениям, например
^7+2п(х) = 1 - W(x)/Wmax ^ 0, где Wmax — максимально допу-
допустимый прогиб.
Таким образом, задача заключается в поиске минимума целе-
целевой функции, зависящей от п + 2 неизвестных при наличии 7+2п
ограничений. Решение этой многоэкстремальной задачи в общем
случае является трудоемким даже для современных ЭВМ.
16 Зак. 130

226 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
Ограничения для цилиндрической оболочки по прочности и
устойчивости. Величины Pr и Рс для изотермических состояний
Б1* L ТэЗ
определяются по формулам Рц = 2тгRho- в (Т); Рс = 7г3———.
Здесь а_в(Г) — предел прочности материала оболочки вдоль обра-
образующей при температуре Г. В случае нестационарных состояний
для оболочек, имеющих распределение температур по толщине
T(z), Pr определяется по формуле (9.2) гл. 2, а
R+h
Рс= " "
R-h
ti+ti
тг3Г2 I El(z)z3dz.
Для анализа местной потери устойчивости могут быть ис-
использованы технические теории пологих ортотропных или мно-
многослойных цилиндрических оболочек [18,62]. В первом случае
критические параметры нагрузок можно найти из характеристи-
характеристического уравнения, например E.2) гл. 2, а для приближенного ана-
анализа воспользоваться аналитическими выражениями E.3), E.11),
E.14) гл. 2, вытекающими из этого уравнения.
Расчет температурных полей в стенке может быть выполнен
методом конечных разностей по неявной схеме.
При расчете на устойчивость многослойной цилиндрической
оболочки из слоев с различной ориентацией следует исходить из
уравнений технической теории Амбарцумяна [6]. Предположим,
что модули упругости и сдвига монослоя линейно зависят от тем-
температуры, распределение температур по толщине слоя линейное,
а коэффициенты Пуассона не зависят от температуры. Тогда для
расчета могут быть использованы уравнения, приведенные в ра-
работе [62], при условии, что коэффициенты жесткостей k
определяются по формулам
s=l
s=l ¦¦
где 8S — расстояние между наружной поверхностью s-го слоя и
внутренней поверхностью оболочки; afk, /3fk — коэффициенты

§ 5.8. Влияние схем армирования на устойчивость оболочек 227
упругости s-ro слоя из ортотропного материала, у которого глав-
главные направления повернуты на угол <ps относительно исходной
системы координат. Они находятся по формулам
«11 — "и cos4 Ч>* + 2(«12 + 2абб) sin2 4>s cos2 <ps + Щ2 sin4 fs',
«22 = «11 s'n4 <Ps + 2(«12 + 2а6б) sin2 <Ps cos2 <Ps + «22 cos4 Vs!
aj2 = 5J2 + [5fi + «22 - 2Ei2 + 2«бб)] sin2 <Ps cos2 tps;
<4б ¦ 566 + [«11 + 522 - 2(«12 + 2«6б)] sin2 4>a COS2 <fis;
«16 = ~2 [522 sin2 4>s"«и cos2 ys +Ef2 +25^6) cos 2<ps] sin2</?s;
«26 = ~5 [2 cos2 Ve -«ii sin2 4>s ~ («12 +2«бб) cos 2(Ps] sin 2ys;
(8.1)
где
+
, i i
«ii = т , . . ; ai2 =
Ts — температура наружной поверхности слоя; Ts_i — темпера-
температура внутренней поверхности слоя.
Коэффициенты /ЗД. имеют вид, аналогичный формулам (8.1), в
которых вместо asik приняты fi?k:
Для определения критических параметров нагрузки и волно-
волнообразования в обоих случаях составлены программы на языке
ФОРТРАН.
Влияние схем армирования на устойчивость нагретых обо-
ободочек. Существенными для поиска оптимальных решений явля-
являются параметры оптимизации по структуре стенки. В общем
случае эта задача неразрешима, так как число структур может
быть весьма велико. В связи с этим рассмотрим многослойные
цилиндрические оболочки со следующими схемами армирования:
16*

228 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических оболочек
[90/0/ ± y>/90/0/(±y>J]s, где tp - 0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70;
80; 90°. Пусть h = Змм, R = 400 мм, / = 1200 мм. В первом при-
приближении изменение модулей упругости монослоя 25J и G* при
температуре примем линейным. Если известны их значения при
двух уровнях температуры Т\ и Т2 , то коэффициенты в соотно-
соотношениях B.3) гл. 2 примут вид
Е{{Т2) -
Е\{Т2) -
—^г
сз =
х)
Ti\ d3 =
G*(r2)-G*(rx)
Для оболочек из углепластика значения характеристик упруго-
упругости при температурах 293 и 493 К приведены в табл. 5.6.
Таблица 5.6. Характеристики упругости углепластика
т, к
293
443
El • 10~4, МПа
13,5
11,0
G* ¦ Ю-4, МПа
0,450
0,225
•
0,28
0,25
*
0,1040
0,0068
Отметим, что наиболее активным ограничением для оболочек
с выбранными геометрическими размерами является ограничение
по устойчивости. В качестве примера рассмотрим оболочки, под-
подвергаемые воздействию осевого сжатия и внешнего давления, а
также нестационарного нагрева. Изменение критических пара-
параметров нагрузок для неравномерно нагретых по толщине оболо-
оболочек в зависимости от угла ориентации ip приведено на рис. 5.14,
а изменение температур наружной и внутренней поверхностей по
времени — на рис. 5.15. Коэффициент температуропроводности
принимался равным 45,1 • 10~8 м2/с, а коэффициент теплопровод-
теплопроводности — 0,175В/м-К. Числитель в дробях на рис. 5.14а,в ука-
указывает на число полуволн в продольном направлении, а знаме-
знаменатель — на число волн в окружном направлении. Штриховая
кривая соответствует расчету по формулам E.8а), E.11а) гл. 2, в
которых
„ 1 „ 1 _ 1
а 12
= ; v2 = — v\\ \<Нк\ =
(i, к = 1, 2, 3).

§ 5.8. Влияние схем армирования на устойчивость оболочек 229
Анализ результатов расчета, представленных на рис. 5.14а, по-
показывает, что в случае осевого сжатия зависимости критических
нагрузок от угла <р во всем интервале изменения по времени имеют
30°
60°
60°
30(
60°
Рис. 5.14. Зависимость крити-
критической нагрузки от угла ориента-
ориентации при осевом сжатии (а), при
внешнем давлении F) и при со-
совместном их действии (в): q =
= ЗбкПа; т = 0 A); 14с B);
28с C); 35с D)
экстремальный характер. Экстремум-максимум находится при
ip* — 50°. При сохранении упругих свойств материала значение
(р* для данной схемы армирования не изменяется. Значение </>*,
полученное из формул гл. 2, мало отличается от указанного. В то
же время отношение максимальной критической нагрузки к ми-
минимальной находится в пределах 2-6.
В случае внешнего давления (см. рис. 5.146) зависимость кри-
критического давления от угла ip имеет более сложный характер.
Наибольшие и наименьшие значения qKp при т = 0 и 14 с вы-
вычисляются при углах ip = 0 и 90°. С возрастанием температуры
значение (р* смещается и находится в окрестности 80°. Отношение
максимального критического давления к минимальному лежит в
пределах 1,3-2,2.

230 Гл. 5. Устойчивость многослойных цилиндрических ободочек
В случае совместного действия осевого сжатия и внешнего да-
давления зависимость критического напряжения от угла ip также
имеет многоэкстремальный характер. При этом наибольшие зна-
значения находятся при ipu ~ 22° и у>2* — 60°. С ростом температуры
Г, К. г
300
Рис. 5.15. Изменение температур наружной и внутренней поверхностей углепла-
стиковой оболочки по времени
значения этих углов практически не изменяются. Отношение мак-
максимального критического напряжения к минимальному находится
в пределах 1,5-10.

Часть 2
Экспериментальные основы прочности
и устойчивости композитных оболочек
при силовых и тепловых воздействиях
Глава б
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ
НАГРУЗОК НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ
ПО ТОЛЩИНЕ ОРТОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Приведены результаты экспериментального исследования по-
поведения и особенностей разрушения продольно сжатых ортотроп-
ных цилиндрических стеклопластиковых оболочек с различными
геометрическими размерами при изотермических состояниях и
нестационарных режимах нагрева, сведения о фактической проч-
прочности оболочек и о характеристиках ее разброса, закономерности
изменения предельных нагрузок оболочек при тепловых воздей-
воздействиях и результаты проверки методов их расчета.
§ 6.1. Конструкция оболочек, технология
и методика испытаний
Конструкция и технология. Максимальные геометрические раз-
размеры испытываемых гладких цилиндрических оболочек (рис. 6.1)
таковы: dBH = 800 мм, h = 4,8 мм, I — 800 мм. Материал обо-
оболочек в исходном состоянии — лента толщиной 0,25 мм, собран-
собранная из стеклонитей (ГОСТ 8325-61, марка НС-170/2), покрытых
связующим. Его основные компоненты: смола Р-2 (резольная фе-
нолформальдегидная), анилин, клей БФ-4 и стеарат цинка. Со-
Состав смолы: фенол синтетический — 140 частей, окись магния —
3 части, спирт этиловый — 35 частей. Содержание связующего в
материале — 30%, влаги и летучих фракций — 3,6-3,9%.
Выбор материала обусловлен его высокими прочностными ха-
характеристиками при повышенных температурах, малой теплопро-
теплопроводностью, хорошей технологичностью и сравнительно низкой
стоимостью.
Первую серию оболочек изготавливали методом продольно-по-
продольно-поперечной намотки (ППН). Схема расположения слоев наполнителя
по толщине — [0/90г]пг (п = 2, 3, 4, 5, 6). Перед намоткой тан-

232
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
генциальных слоев ленту нагревали горячим воздухом до темпера-
температуры Г = 340 К. Продольные слои нагревались затем от тангенци-
тангенциальных. Натяжение ленты 150-200 Н/см. Режим термообработки:
А
) rf>H
1
I
1
Рис. 6.1. Схема цилиндрической оболочки
1) Гс = 353 К, т = 3600 с; 2) Гс = 373 К, т = 3600 с; 3) Гс = 393 К,
г = 3600 с; 4) Тс = 423 К, т = 21600 с. Здесь Тс — температура
среды в термошкафу, т — время выдержки.
Вторую серию оболочек изготавливали методом ППН с после-
последующим прессованием. Режимы термообработки и прессования:
1) нагревание пресс-формы до температуры Г = 353 К; 2) нагре-
нагревание пресс-формы с оболочкой до температуры Г = 423 К при
давлении р = 100 МПа; 3) выдержка при температуре Г = 423 К и
давлении р = 500 МПа в течение 5400 с; 4) охлаждение.
Методика испытаний. Оболочки подвергали воздействию осе-
осевой сжимающей нагрузки, равномерно распределенной по контуру,
на установке, реализующей центральный способ нагружения [12].
Ее принципиальная схема приведена на рис. 6.2. Установка со-
содержит сварную станину 1, которая одновременно служит и си-
силовой рамой. Нагрузка, создаваемая силовозбудителями 2, через
рычаг 3 и тягу 4 передается на верхнюю опору 5 и оболочку 6.
Между станиной и нижней опорой 7 располагается силоизмери-
тельное кольцо 8 с наклеенными на нем 24 тензорезисторами.
Этот способ позволил осуществить практически безмоментное
нагружение, а применение гибкой тяги вместо шарового шарнира

§ 6.1. Конструкция оболочек, технология и методика испытаний 233
упростило конструкцию установки. Перед испытаниями оболочку
приторцовывали, добиваясь, чтобы зазор между торцами и опор-
опорными плитами не превышал 0,03 мм, и предварительно обжимали
до нагрузки 2 • 104—5 • 104 Н. Равно-
Равномерность распределения нагрузки
в окружном направлении проверяли
с помощью тензорезисторов К-25,
которые клеем «192» приклеивали
к наружной и внутренней поверх-
поверхностям стенки в осевом и окружном
направлениях у нижнего и верхне-
верхнего оснований.
Перемещения при Г = Го из-
измерялись с помощью визуальных и
дистанционных датчиков с ходом
10 мм, а относительные деформа-
деформации — с помощью тензорезисторов
К-25, расположенных на обеих по-
поверхностях стенки.
Тепловые режимы воспроизво-
воспроизводили с помощью радиационных
цилиндрических нагревателей с
трубчатыми излучателями 9 из жа-
жаропрочной стали ВЖ-98. Число и
шаг излучателей выбирали из усло-
условий обеспечения достаточной рав-
равномерности плотности теплового
потока по наружной поверхности
оболочки. Вдоль образующих были
установлены два кольцевых пере-
передвижных рефлектора, с помощью
которых обеспечивалась равномер-
равномерность температуры по длине обо-
оболочки. С этой же целью наружную
поверхность ее покрывали водной
эмульсией мела. При высоких тем-
температурах в случае воспламенения
летучих фракций для гашения пла-
пламени вокруг оболочки создавался подвижный пограничный слой
инертного газа (аргона). Все эти мероприятия привели к тому,
что неравномерность распределения температур по поверхности
стенки в рабочей части оболочки не превышала 5%.
Второй вариант установки, предназначенный для испытаний
оболочек большего диаметра, отличался тем, что нижней опорой
служила сварная станина, а нагрузку измеряли стержневым дина-
15 Зак. 130
Рис. 6.2. Схема установки для ис-
испытаний цилиндрических оболо-
оболочек на осевое сжатие

234 Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
мометром, находящимся в одной цепи с силовозбудителями. Обо-
Оболочки здесь нагревали через рубашку из кремнеземистой ткани и
подвижный слой инертного газа.
Температуру стенки измеряли безосновными термодатчиками,
чувствительные элементы которых (микротермопары) изготавли-
изготавливали из проволоки хромель-алюмель диаметром d = 0,05 мм.
Микроэлектроды приклеивали к наружной поверхности клеем
ВТК-2, а к внутренней — клеем ВС-10. При тарировке установ-
установки на одну из оболочек каждой серии наклеивали 36 термопар,
по показаниям которых определяли поле температур и добива-
добивались его равномерности распределения на нагреваемой поверх-
поверхности.
Осевые перемещения при Г > Го измерялись с помощью охла-
охлаждаемых датчиков перемещений, расположенных внутри оболочки
и прикрепленных к ее утолщенным торцам.
В процессе испытаний при Г = Го нагружение велось ступе-
ступенями с интервалом нагрузки ДР = 0,1Рр до Р = 0,7Рр. Здесь
Рр — расчетная нагрузка. При этом регистрировались показа-
показания датчиков перемещений и тензорезисторов. Дальнейшее на-
нагружение велось непрерывно с постоянной скоростью деформации
du/dr = 41 • 10~3мм/с вплоть до начала разрушения. Эти ис-
испытания позволили определить разрушающую нагрузку Pq, раз-
разрушающие напряжения сто, модуль упругости Е\ и коэффициент
Пуассона v\.
Оболочки, предназначенные для испытаний при повышенных
температурах, вначале при Г = Го нагружали ступенями до Р =
= О,7Ро, а затем разгружали до Р = 0. Измеренные перемещения
и деформации использовались для определения модуля Е\ и коэф-
коэффициента V\.
Испытания оболочек при равномерном нагреве проводили в
следующем порядке. Оболочку нагревали до температуры Г и
нагружали ступенями до Р = 0,3—О,5Ро, а затем разгружали до
Р = 1 • ДО4 Н. Потом переходили к следующему уровню темпера-
температур и снова оболочку нагружали с последующей разгрузкой. Из-
Измеренные при этом перемещения использовались для определения
модуля Е\. Время перехода от одного уровня температур к другому
выбиралось из условий, обеспечивающих возможно меньший пере-
перепад температуры между стенкой и утолщенными торцами, а также
между наружной и внутренней поверхностями, оно не превышало
220 с. Выдержка при температуре, необходимая для нагружения и
измерения перемещений, составляла 180 с.
Оболочки, предназначенные для испытаний при нестационар-
нестационарных режимах нагрева, нагружали до Р = крРо. Значения чи-
чисел кр задавали в долях от значений Ро, полученных при Г = Го.
При разных уровнях нагрузки и режимах нагрева определяли

§ 6.2. Результаты исследования
235
долговечность конструкции — время, в течение которого она со-
сопротивлялась воздействию осевой нагрузки при данном режиме
нагрева.
§ 6.2. Результаты исследования
Предельные нагрузки при комнатной температуре. На основа-
основании анализа результатов испытаний оболочек обеих серий A45 ^
^ R ^ 400мм; 1,9 < Л < 4,8мм; 40 < R/h < 118) был сделан
вывод о существовании трех областей значений R/h с различ-
различным характером разрушения их стенок. Первая соответствовала
значениям R/h > 55. В ней происходило местное выпучива-
выпучивание стенок, сопровождавшееся хлопком. На рис. 6.3 представлены
кадр 9 кадр 10 кадр 11 кадр 12
Рис. 6.3. Кадры киносъемки процесса выпучивания цилиндрической оболочки
кадры киносъемки процесса выпучивания оболочки с R/h = 100.
На кадре 2, который снят через 1/144 с после начала выпучивания,
зафиксирован момент образования волн. Круглые вмятины свиде-
15*

236 Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
тельствуют о потере устойчивости стенки. Дальнейшее развитие
деформаций показано на кадрах 3-5, которые сняты через 2/144,
6/144 и 9/144 с соответственно после начала выпучивания. С тече-
течением времени вмятины из круглых превращались в ромбовидные.
На гребнях, разделяющих области выпучивания, видны отслоения
снаружи, а во впадинах — трещина, вытянутая в окружном напра-
направлении. Процесс сопровождался уменьшением количества вмятин
и резким снижением нагрузки (Р = 0,4—0,5Ркр). После снятия
нагрузки оболочка стремилась вернуться к начальной форме. На
кадрах 6-12 показано постепенное распрямление стенок.
Киносъемка процесса разрушения восьми оболочек позволила
установить, что промежуток между началом выпучивания и по-
появлением трещин не превышал 0,007 с.
кадр 1
кадр 4
кадр 7
кадр 10
кадр 2
кадр 5
кадр 8
кадр 11
кадрЗ
кадр 6
кадр 9
кадр 12
Рис. 6.4. Кадры киносъемки процесса выпучивания цилиндрической оболочки с
поверхностной трещиной
Отметим, что при визуальном наблюдении за поведением обо-
оболочки в закритическом состоянии обнаруживалась лишь конечная

§ 6.2. Результаты исследования
стадия процесса волнообразования. Как правило, в этот момент
на поверхности стенок виднелись ромбовидные вмятины и выпу-
чины. После снятия нагрузки можно было наблюдать остаточные
явления: расслоения на гребнях и трещины в окружном напра-
направлении.
Несколько иной характер разрушения имел место при нагру-
жении оболочек с поверхностными дефектами. Процесс волнообра-
волнообразования здесь более длительный и плавный. На рис. 6.4 предста-
представлены кадры киносъемки оболочки, у которой имелась небольшая
поверхностная трещина. Разрушение сопровождалось сильным
потрескиванием без хлопка. С увеличением нагрузки на поверхно-
поверхности появлялись вмятины ромбовидной формы, расслоения в рай-
районе гребней и трещины в окружном направлении. Были случаи,
при которых процесс волнообразования занимал 0,091 с. Крити-
Критические напряжения таких оболочек оказывались ниже на 20-30%,
чем напряжения «идеальных» оболочек.
Вторая область соответствовала значениям R/h< 45. Разруше-
Разрушение происходило в плоскостях действия касательных напряжений,
наклонных к образующим. В окружном направлении возникали
Рис. 6.5. Форма разрушения оболочки с соотношением R/h < 45 при комнатной
температуре
трещины, сопровождаемые резким сильным звуком. В боль-
большинстве случаев они образовывались в средней части оболочек
(рис. 6.5), а в некоторых случаях — у заделки.

238 Гл. 6, Закономерности изменения предельных нагрузок
Третья область — переходная. Она соответствовала значе-
значениям 45 ^ R/h ^ 55. Промежуток времени между началом
Рис. 6.6. Форма разрушения оболочки с соотношением 45 ^ R/h ^ 55 при
комнатной температуре
выпучивания и образованием окружных трещин был более корот-
коротким. В прибрежных зонах трещины часть материала расслаива-
расслаивалась и выкрашивалась (рис. 6.6).
Отметим, что оболочки разрушались в упругой области. Диа-
Диаграммы сжатия a — е были линейными вплоть до начала разруше-
разрушения. Величина деформации перед началом вьшучивания не пре-
превышала 0,75%.
Разрушающие напряжения, полученные при испытаниях 31
оболочки, приведены на рис. 6.7. Эмпирический закон изменения
0кр = f{R/h) по аналогии с аналитическими формулами, полу-
полученными в работах [14,24], был выбран в виде гиперболы
B.1)
Коэффициент пропорциональности к, при котором она наилуч-
наилучшим образом согласуется с экспериментом, определяли с помощью

§ 6.2. Результаты исследования
239
метода наименьших квадратов. Результаты испытаний предста-
представляли в логарифмических координатах [lgcr, \g(R/h)]. Эмпири-
Эмпирическую формулу_ выбирали в виде ya = ~axa + 6, где у„ = lgcr;
xa = \gR/h; a, b — опытные коэффициенты.
Результаты вычислений таковы: средние квадратичные пог-
погрешности измерений переменной уа оу = 0,0535, углового коэф-
коэффициента a aa = 0,105 и начальной координаты Ь о^ = 0,211,
120 Rlh
Рис. 6.7. Зависимость критических напряжений цилиндрических оболочек от
соотношения R/h при комнатной температуре: расчет по формуле B.1),
эмпирическая кривая, • — эксперимент
относительная погрешность коэффициента a aa = 13%. Довери-
Доверительную границу определяли по формуле Ду^ = ±taoy, где ta —
доверительная вероятность. При надежности Pt = 95% и числе
измерений п = 24, согласно таблицам Стьюдента, ta = 2,064. Сле-
Следовательно, Ауа = 0,1104.
При статистической обработке остальных результатов вычи-
вычислялись средние арифметические значения измеряемых величин
хср, средние квадратичные ошибки отдельных измерений ёгх, ква-
квадратичные ошибки средних арифметических ста, коэффициент ва-
вариации V. Окончательный результат измерений полагали А =
= <?а + хСр, а предельные отклонения — равными Зах. В табл. 6.1
приведены результаты обработки при определении коэффициента
ка, модуля Ei и коэффициента и\.
Если принять во внимание средние значения ка = 0,356,
Ei = 2,32 • 104 МПа и Е? = 2 • 104 МПа (по результатам испы-
испытаний дуговых образцов, вырезанных из оболочек), то значение
коэффициента к, входящего в формулу B.1), будет равно 745.

240
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
Таблица 6.1. Результаты статистической обработки
при определении безразмерного параметра напряжений,
модуля упругости Е\, коэффициента Пуассоио 1>\
Опреде-
Определяемая
величина
К
?i,MIIa
VX
п
24
25
14
Жср
0,356
2,32 ¦ 104
0,136
Ох
0,0345
0,143
0,029
(Та
0,007
0,0286
0,0063
V, %
9,7
6,2
17,5
Границы
0,3043 <
2,1 • 104 <
0,1003 <
отклонений
к<
VI <
С 0,4078
С 2,5 • 104
С 0,2017
Отметим, что формула B.1) справедлива для определения кри-
критических напряжений при осесимметричной форме потери устой-
устойчивости ортотропной оболочки. Правомерность применения ее к
0,40
0,35
0,30
0,25
II J
40
80
120 R/h
Рис. 6.8. Зависимость безразмерного параметра напряжений от соотношения
R/h
неосесимметричной форме волнообразования, которая имела ме-
место при данных испытаниях, подтверждается тем, что коэффици-
коэффициент ka включает в этом случае характеристики сдвига.
?,10"\ МПа
з
40
50
60
R/h
Рис. 6.9. Зависимость модуля нормальной упругости материала оболочек от со-
соотношения R/h при комнатной температуре

§ 6.2. Результаты исследования
241
Экспериментальные значения кс = f(R/h) приведены на
рис. 6.8, а модуля Е\ — на рис. 6.9.
Предельные нагрузки равномерно нагретых оболочек. Пре-
Предельные нагрузки при изотермических состояниях определялись
на 10 оболочках, изготовленных методом ППН с последующим
прессованием. Их геометрические размеры таковы: / = 550 мм;
dBH = 287 мм; h = 2,5 мм; 1\ = 10 мм; /2 = 40 мм; hi = 5 мм.
Здесь li, hi — длина и толщина цилиндрической части утолще-
утолщений в районе торцов; ^ — длина конической части утолщений.
Оболочки нагружали осевой сжимающей силой до значений
Р = Ркр при следующих температурах стенки: Т\ = 323 К; Тг =
= 373 Щ Т3 = 423 К; Т4 = 473 К; Т5 = 523 К. Контроль за нагре-
нагреванием осуществляли по температурам Тн и Твн.
При достижении критической нагрузки происходило местное
выпучивание стенок, сопровождавшееся хлопком. В этот момент
на поверхности появлялись хорошо заметные вмятины, слегка вы-
вытянутые в окружном направлении и
аналогичные вмятинам при комнат-
комнатной температуре. Число вмятин, а
также такие явления, как расслоение
поверхностных слоев в районе греб-
гребней, возникновение трещин во впа-
впадинах, стремление оболочек после
снятия нагрузки вернуться в началь-
начальное положение, были одинаковы при
температурах Т = 323-473 К. Стен-
Стенки оболочек, нагретых до темпера-
температуры Т = 523 К, после снятия на-
нагрузки и остывания сохраняли следы
волнообразования в момент выпучи-
выпучивания, причем без видимых отслое-
отслоений поверхностных слоев в районе
гребней (рис. 6.10). Однако при ос-
осмотре поперечных сечений в местах
разрушения оболочек наблюдалось
расслоение стенок. Граница, разде-
разделяющая области различного поведе-
поведения оболочек, находилась в интерва-
интервале температур Т = 473-523 К. С воз-
возрастанием температуры значение
¦Ркр уменьшалось и стремилось к
нулю.
Результаты измерений осевых перемещений при температу-
температурах, меньших 473 К, свидетельствуют о близких к линейным
диаграммам сжатия Р — е вплоть до начала разрушения. Переме-
Рис. 6.10. Форма разрушения
оболочки, нагретой до темпе-
температуры Т = 523 К

242
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
щения при разгрузке достаточно хорошо совпадали с перемещени-
перемещениями при нагрузке, указывая на малую ширину петли гистерезиса
между ними. Они использовались для построения зависимости
К
0,75
0,50
о-
293 323 373 423 473 Г, К
Рис. 6.11. Зависимость относительного модуля нормальной упругости материала
оболочек от температуры
Е\)Е\ = Ф(Г) (рис. 6.11). Видно, что с возрастанием темпера-
температуры значение модуля Е\ уменьшается. Осевые деформации пе-
перед началом выпучивания екр с увеличением температуры также
уменьшаются (рис. 6.12).
V
0,4
0,2
<
i
»
[ •
5 ' .
i i i
0,75
0,50
0,25
- \
: \.
—
\
:\.
293 333 373 413 453 493 Г, К
0 0,2 0,4 0,6
в
Рис. 6.12. Зависимость относительных критических деформаций оболочки от
температуры
Рис. 6.13. Зависимость относительных критических напряжений оболочек пер-
первой серии от температуры

§ 6.2. Результаты исследования
243
Значение Гкр определяли следующим образом. На основа-
основании результатов испытаний, представленных в безразмерных
величинах на рис. 6.13, закон зависимости относительной кри-
критической нагрузки от относительной температуры принимали в
виде параболы
B.2)
Значения коэффициентов ai = —0,706 йог = —0,755 находили
методом наименьших квадратов. Точку пересечения параболы с
осью абсцисс принимали за относительную критическую темпера-
температуру. Численное ее значение определяется положительным корнем
уравнения B.2):
T —
-*кр
'кр
_ -о! ± у/а\ - 4а2 =
Го
_ 0,706у/0,7062+4-0,755
" -2 • 0,755 - °'775-
Отсюда Гкр = ГоA + 6»кр) = 293A + 0,755) = 520 К.
Сопоставление закономерностей изменения критических де-
деформаций, осевого модуля упругости и напряжений указывает на
то, что практически для всех уровней температур сохранялась
связь <7кр = .Е*?Кр, с ростом температуры изменение модуля упру-
упругости Е\ менее резкое, чем изменение критических напряжений.
В табл. 6.2 приведены результаты статистической обработки
величин E\jE\ и екр/екро. Из нее видно, что при приближении к
критической температуре наблюдается увеличение коэффициента
вариации рассматриваемых величин.
Таблица 6.2. Результаты статистической оброботки
при определении относительных модулей нормальной упругости
н относительных критических напряжений
Определяемая
величина
El
Ei
gKp
<7кр0
т, к
323
373
423
473
373
473
п
4
6
4
3
3
4
^ср
0,902
0,886
0,817
0,715
0,712
0,247
ах
0,047
0,024
0,016
0,087
0,028
0,085
V,%
5,2
2,7
2,0
12,1
3,9
34,3

244 Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
Предельные нагрузки оболочек в нестационарном и неоднород-
неоднородном температурном поле. Были исследованы предельные нагрузки
оболочек обеих серий. Величины h и R и соотношение R/h варьи-
варьировали в следующих пределах: 2 < h < 4,7мм; 143 < R < 250 мм;
40 < R/h < 125. Величину равномерно распределенной по тор-
торцам оболочек осевой сжимающей силы Р в процессе одного испы-
испытания поддерживали постоянной вплоть до начала разрушения.
Рис. 6.14. Форма разрушения оболочек с R/h < 50 при высоких уровнях на-
нагрузки и больших скоростях нагрева
Диапазон значений этой силы при испытаниях всех оболочек соот-
соответствовал диапазону значений нормальных напряжений в стенке
8,7 ^ о < 118МПа.
Управление нагревом велось при температуре Гн, изменяю-
изменяющейся в ходе каждого испытания линейно или по заданному за-
закону с течением времени. Диапазон изменения скоростей нагрева
был следующим: 1,25 ^ Ь ^ 12,8 К/с.

§ 6.2. Результаты исследования 245
Разрушение оболочек с соотношением R/h < 50 происходило
по-разному. При высоких уровнях нагрузки и больших скоростях
нагрева оболочки разрушались от сдвига (рис. 6.14). С уменьше-
уменьшением уровней нагрузки и скоростей нагрева, т. е. при более вы-
высоких значениях температуры, наблюдалось выпучивание стенок.
В момент хлопка на поверхности появлялись вмятины, аналогич-
аналогичные вмятинам при изотермических состояниях. В тех случаях,
когда температура Гвн не превышала 480 К, после снятия нагрузки
и охлаждения вмятины исчезали, а если Гвн была выше 480 К, то
Рис. 6.15. Форма разрушения оболочек с R/h < 50 при температуре внутренней
поверхности Твн > 480 К
вмятины сохранялись (рис. 6.15). Это указывает на то, что раз-
разрушение происходило в упругой и неупругой областях. Границей,
разделяющей эти области при монотонном возрастании темпера-
температуры Гн, являлось значение температуры Гвн = 480 К.
Разрушение оболочек с соотношением R/h > 50 всегда начи-
начиналось с выпучивания стенок. Иногда наблюдалось выламывание
материала в районе образования волны (рис. 6.16). При осмотре
поперечных сечений в местах разрушения оболочек обнаружива-
обнаруживалось отслоение снаружи, что указывало на существование послой-
послойной потери устойчивости. Это явление происходило при темпера-
температуре слоев, близкой к критической.
На рис. 6.17 представлены закономерности изменения с тече-
течением времени значений предельных напряжений оболочек с оди-
одинаковыми толщинами стенок при равных для этих толщин скоро-
скоростях нагрева и разных уровнях нагрузок. Они близки к линейным
и могут быть выражены уравнением прямой сгкр =сгкР()A — т/ткр).

246
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
Рис. 6.16. Форма разрушения нагретых оболочек с соотношением R/h > 50
ст, МПа
150 \
25
50
75
100 т, с
Рис. 6.17. Закономерности изменения с течением времени значеннй предельных
напряжений оболочек: 1 — h = 4,2 мм, b = 2,7К/с; 2— h = 4,4 мм, b = 8,6 К/с;
3—h = 2,05мм, Ь = 11 К/с

§ 6.2. Результаты исследования
247
За критическую принимали температуру Гвн в момент пересе-
пересечения прямой с осью абсцисс.
Построение обобщенной характеристики. При планировании
эксперимента была предусмотрена возможность получения обоб-
обобщенной характеристики оболочек первой серии Кр = -Kp(Fo/FoKp)
при линейном законе изменения относительной температуры 9И.
С этой целью проводились дополнительные испытания оболочек
при числах 0,24 ^ Pd ^ 5,2. Величину b при этом изменяли
0,8
0,4
о
0,4
0,8
Рис. 6.18. Обобщенная характеристика оболочек первой серии при линейном
законе изменения относительной температуры наружной поверхности
от 2,12 до 11,9 К/с, a h — от 1,9 до 4,7 мм. Значения Кр варьи-
варьировались от 0,15 до 0,79, что соответствовало уровням напряже-
напряжений от 11,2 до 72,5 МПа. Результаты испытаний представлены
на рис. 6.18. Видно, что зависимость Кр = Kp(Fo/FoKp) близка
к линейной функции от числа Fo/FoKp и может быть выражена
уравнением прямой Кр = 1 — Fo/FoKp.
Результаты статистической обработки числа Fo/FoKp при Кр =
= 0,5 и числе измерений п = 10 таковы: среднее арифметическое
значение х^ = 0,444; средняя квадратичная ошибка отдельного
измерения ах = 0,058, квадратичная ошибка среднего арифмети-
арифметического аа = 0,0184; коэффициент вариации V = 13%.
Экспериментальные точки зависимости FoKp = <p(Pd) пока-
показаны на рис. 6.19. Там же изображены вычисленные по формуле
C.15) гл. 1 кривые — изотермы, соответствующие различным зна-
значениям температуры Гвн. Статистическая обработка результатов
измерений показала следующее. При объеме выборки п = 25
хср = 0,705; ах - 0,041; аа = 0,0082; V = 5,8%. Как видно,
экспериментальные точки располагаются в окрестности кривой,

248
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
соответствующей значению Твн = 500 К, которая в первом при-
приближении может быть принята за Гкр.
Pd
О 2 4 ?Ощ>
Рис. 6.19. Связь между критическими числами Фурье и числами Предводителева
при линейном законе изменения температуры наружной поверхности оболочек
первой серии: Гвн = 453 К A), 500 К B), 553 К C), о — эксперимент
По результатам испытаний оболочек при комнатной и повы-
повышенной температурах построена номограмма (рис. 6.20), кото-
которая может быть использована для расчета предельных нагрузок
Рис. 6.20. Номограмма для расчета предельных нагрузок оболочек
оболочек из стеклопластика на фенолформальдегидном связующем
при линейном законе изменения температуры Гн. Она состоит из
трех отдельных графиков, координатные оси которых совмещены.
В третьем квадранте представлена зависимость Pd = <p(b), в че-
четвертом — Pd = V>(FoKp). Первый квадрант служит для определе-
определения значений Кр.

§ 6.3. Обсуждение данных эксперимента и расчета 249
§ 6.3. Обсуждение данных эксперимента и расчета
Сравнение результатов испытаний при комнатной температуре
и расчета. Экспериментальные данные сопоставляли с теоретиче-
теоретическими, полученными по формулам гл. 2 для критических напря-
напряжений при равномерном поле температур по толщине стенки. Это
сопоставление показало, что все расчетные величины, определя-
определяющие устойчивость стеклопластиковой цилиндрической оболочки
при осевом сжатии, достаточно хорошо согласуются с результатами
эксперимента. Например, коэффициент устойчивости, вычислен-
вычисленный по формуле
kff = min(ks, ka),
где в случае осесимметричного выпучивания
8"
и в случае неосесимметричного выпучивания
равен 0,375, отличаясь примерно на 4% от экспериментального
значения для оболочек из материала со следующими характери-
характеристиками при нормальной температуре: Е\ — 2,32 • 104 МПа, Е2 =
= 2,00 • 104МПа, G = 0,39 • 104МПа, vx = 0,142, v2 = 0,121.
Кривая критических напряжений, вычисленная для ряда значе-
значений R/h, близка к эмпирической кривой (см. рис. 6.7). Напри-
Например, критическая сила, при которой оболочка толщиной h = 4,5 мм
теряла устойчивость, Ркр = 1,03 МН. В момент потери устойчи-
устойчивости в окружном направлении насчитывалось 7-8 волн. Расчеты
критических нагрузок и числа волн в окружном направлении по
формулам
6A-
By/Ei
дали Ркр ~ 1,01 МН и п = 7. Как видно, сходимость результатов
расчета и эксперимента вполне удовлетворительная.

250
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
Сравнение результатов испытаний равномерно нагретых обо-
оболочек и расчета. С целью выяснения возможностей использования
формул теории ортотропных оболочек для расчета критических
нагрузок при изотермических состояниях было проведено сопо-
сопоставление результатов расчета по формулам гл. 2. При расчетах
принимали, что коэффициенты Пуассона не зависят от темпера-
температуры, а их отношение v\/v2 = const. Значение модуля Е2 исходя
из условий ортотропности при изотермических состояниях опре-
определяли как
Ь2 = —Ьх. {6.1)
С учетом того, что зависимость модуля Е\ от температуры
близка к линейной (см. рис. 6.11), выражение C.1) представля-
представлялось как Е2 = {v2jv\){c\ + с2Т), где v2 = 0,124; V\ = 0,142;
с\ = 35950 МПа; с2 = —43МПа/К. Значение v2 определялось при
растяжении дуговых образцов, вырезанных из оболочек, а значе-
значение v\ — при нагружении оболочек осевой сжимающей силой.
Значение модуля G получали после обработки данных, при-
приведенных в работе [23]. Построенная в полулогарифмических
G*, МПа
4000 г
3000
2000
1000
290 370 450 Г, К
Рис.. 6.21. Зависимость модуля сдвига материала оболочек от температуры
координатах зависимость модуля сдвига от температуры является
линейной, а в декартовых может быть представлена экспонентой
(рис. 6.21)
С-с3ехр(с4Г), C.2)
где сз = 12750 МПа; с\ = —0,0451 МПа/К. Отметим, что входящие
в выражение C.2) параметры определяли методом наименьших
квадратов. Результаты расчета относительных критических на-
нагрузок приведены на рис. 6.22 (штрихпунктирная линия). Видно,
что эти формулы, полученные для монолитного ортотропного ма-
материала, справедливы при равномерном нагреве рассматриваемых

§ 6.3. Обсуждение данных эксперимента и расчета
251
оболочек лишь до температуры 420 К (в « 0,4). При превыше-
превышении этой температуры нарушается монолитность материала из-за
к„
0,8
0,4
0
0,4
0,8
е
Рис. 6.22. Зависимость относительных предельных нагрузок оболочек от отно-
относительной температуры
низкой прочности связующего и начинают проявляться реоном-
ные свойства данного материала, что делает указанные формулы
неприемлемыми.
Определение влияния сжимающих напряжений в районе утол-
утолщений на предельные нагрузки. В процессе нагрева оболочки имел
место перепад температур между стенкой и утолщениями на тор-
торцах. Осевые сжимающие напряжения, возникающие при нагреве
в зоне сопряжения нагретой стенки с менее нагретыми утолще-
утолщениями на торцах, у тонкостенных оболочек могут вызвать ее
выпучивание в этой зоне (см. гл. 4), а у толстых — разруше-
разрушение материала. Кроме того, они могут оказать влияние на вели-
величину критических напряжений в случае осевого сжатия оболочки
[19,20].
Была проведена оценка величины критического перепада тем-
температуры между стенкой (обшивкой) и утолщениями на торцах,
вызывающего выпучивание в зоне сопряжения. При этом исполь-
использовали формулу D.2.12I). Отметим, что численное значение
коэффициента kt, входящего в эту формулу, соответствующие ми-
минимальному перепаду, для материала, из которого изготовлена
оболочка, с учетом моментности докритического состояния соста-
составляет 4,65, а без учета — 4,77.
') Формула B.12) гл. 4.

252
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
Зависимость критического перепада температуры от отноше-
отношения R/h защемленных оболочек на фенолформальдегидном свя-
связующем, полученная с помощью указанной формулы, приведена
Рис. 6.23. Зависимость критического перепада температуры от соотношения R/h
оболочек
на рис. 6.23. Видно, что с уменьшением отношения R/h значе-
значения АТкр возрастают. Например, для оболочек с R/h = 1250
ДГкр = 150 К, а для R/h = 250 АГкр = 750 К. Скорость нагрева
в процессе испытаний не превышала 0,3 К/с, а перепад темпера-
температур между внутренними поверхностями утолщений и стенки равен
кв
0,8
0,4
0
290 330 370 410 450 490 530^, К
Рис. 6.24. Влияние окружных сжимающих усилий на несущую способность обо-
оболочек: R/h = 58 A), 250 B), 500 C), 750 Ц), 1000 E), 1250 (б)
40 К. Следовательно, при указанных скоростях нагрева критиче-
критический перепад температур недостижим.
При исследовании влияния окружных сжимающих напряже-
напряжений на несущую способность оболочек в случае осевого сжатия
полагали, что равновесие оболочки будет устойчивым, если вы-

§ 6.3. Обсуждение данных эксперимента и расчета 253
полняются следующие условия:
ДГ >0. C.3)
¦*кр *-*-1кр ¦гкр
Следовательно, несущая способность оболочки может быть
приближенно определена в соответствии с условием C.3) как
Р/Ркр + Д2"уДГкр = 1. Удобнее это выражение представить в
виде КР = KPl A - АГ/АГКр), где КР = Р/Ркр; KPl = PKp/PKPo.
Влияние окружных сжимающих усилий на несущую способ-
способность защемленных оболочек из стеклопластика на фенолформаль-
дегидном связующем с различным соотношением R/h наглядно
представлено на рис. 6.24, где сплошной линией показаны предель-
предельные нагрузки равномерно нагретых оболочек, а пунктирными — с
температурой утолщений 293 К. Как видно, для толстых оболочек
(R/h = 58) это влияние незначительно и им можно пренебречь.
Сравнение результатов расчета и испытаний при нестационар-
нестационарном нагреве. Экспериментальные данные при различных скоро-
скоростях нагрева сопоставлялись с результатами расчета по форму-
формулам теории ортотропных оболочек [57]. Расчет проводился при
тех же допущениях и значениях упругих характеристик, кото-
которые принимались при вычислении предельных нагрузок равно-
равномерно нагретых оболочек. Расчетные и экспериментальные зна-
значения критических напряжений для испытанных оболочек
приведены в табл. 6.3. Там же указаны их геометрические раз-
размеры, уровни предельных нагрузок, скорости нагрева наружной
поверхности, продолжительности нагрева и температура наружной
поверхности в моменты, предшествующие разрушению. Для части
оболочек с Rcp = 145 мм, h — 3,2 мм, / = 550 мм и RcP = 248 мм,
h = 4,3 мм, / = 800 мм на рис. 6.25а, б представлены зависимости
критических напряжений от температуры Гн (продолжительности
нагрева т) при нагреве их со скоростью Ь = 5 К/с, а для оболочек
с Rcp = 249 мм, h = 2 мм, / = 800 мм на рис. 6.25в — при на-
нагреве со скоростью Ь = ПК/с. Как видно из табл. 6.3 и рис. 6.25,
экспериментальные точки находятся вблизи расчетных значений
при температуре Гн < 480 К.
С увеличением температуры Тн экспериментальные значения
отклоняются от значений, рассчитанных по формулам E.8), E.11)
гл. 2 (кривая 1). Это объясняется тем, что при высоких Гн часть
материала стенки расслаивается и в ней возникают пластичес-
пластические деформации — эффекты, которые не учитываются этими
формулами. Экспериментальные данные лучше согласуются с кри-
кривой 2, полученной с учетом изменения толщины несущего слоя
(критическая температура принята равной 503К). Это указывает

254
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
на то, что методика расчета, имеющая в виду изменение толщины
несущего слоя в процессе нагрева, может быть использована при
анализе устойчивости тонкостенных элементов конструкций из
КМ, находящихся в условиях интенсивного высокотемпературного
нагрева. Отметим, что результаты расчета критических напряже-
напряжений по этой методике близки к результатам, полученным на основе
модели В. В. Болотина [22] (кривая 3 на рис. 6.25в).
Таблица 6.3. Расчетные и экспериментальные значения
критических напряжений оболочек при нестационарных режимах нагрева
Но-
Номер
се-
серии
I
II
h,
мм
3,40
3,40
3,57
3,57
3,57
2,39
2,39
2,39
2,52
2,52
2,52
2,33
2,26
4,70
4,50
2,20
2,00
2,00
2,00
2,04
4,40
4,20
R,
мм
145,2
145,2
145,3
145,3
145,3
144,7
144,7
144,7
144,8
144,8
144,8
144,7
144,6
247,7
247,8
248,0
249,0
249,0
249,0
249,0
247,8
247,9
1,
мм
550
550
550
550
550
550
550
550
550
550
550
550
550
800
800
800
800
800
800
800
800
800
Ъ, К/с
3,80
3,86
9,40
3,50
3,50
27,80
7,18
8,55
7,00
5,00
9,60
3,80
6,70
11,00
7,95
6,50
10,40
12,80
10,70
2,64
2,48
2,68
г, с
53,0
54,0
22,5
60,0
62,0
20,0
28,5
28,5
19,5
20,5
13,9
30,0
14,2
22,0
30,0
16,0
14,5
14,0
13,0
36,0
64,0
75,0
¦Рразр,
кН
300
300
300
300
260
181
100
140
196
220
205
130
150
540
520
133
145
133
119
136
505
292
R
h
42,75
42,75
41,70
41,70
41,70
60,50
60,50
60,50
57,30
57,30
57,30
61,95
63,82
52,70
55,00
113,10
124,50
124,50
124,50
122,10
56,20
58,90
1
R
3,78
3,78
3,78
3,78
7,78
3,81
3,81
3,81
3,80
3,80
3,80
3,81
3,81
3,24
3,24
3,21
3,21
3,21
3,21
3,21
3,24
3,23
тя,
К
394
501
505
508
510
449
498
537
430
400
426
407
398
535
501
397
444
472
432
338
452
494
Экс-
пери-
перимент
МПа
96,8
96,8
91,7
91,7
79,8
83,2
45,9
64,4
85,3
96,1
89,6
62,4
74,8
74,0
74,1
38,7
46,8
42,5
38,1
42,8
75,2
44,7
Расчет
,»
МПа
116,1
114,5
128,0
128,0
118,5
94,5
81,4
73,5
102,0
109,2
96,9
91,7
101,0
94,1
90,5
54,7
46,4
42,6
47,6
60,0
96,9
86,5
—••
МПа
180,0
180,0
188,0
188,0
188,0
126,5
126,5
126,5
133,0
133,0
133,5
128,0
120,0
145,0
139,0
68,0
62,8
62,8
61,8
62,9
135,7
129,0
Окр
ахр
0,832
0,846
0,746
0,746
0,674
0,878
0,565
0,876
0,835
0,879
0,928
0,681
0,741
0,786
0,819
0,708
1,009
0,997
0,800
0,714
0,778
0,516
Укажем также, что несколько лучшие результаты при Гн >
> 480 К по сравнению с результатами по формулам E.8), E.11)
гл. 2 могут быть получены с помощью формулы E.13) гл. 2 (кри-
(кривая 4 на рис. 6.25),
Оценка влияния нагрева на предельные нагрузки оболочек мо-
может быть произведена путем сравнения приведенных в табл. 6.3
критических напряжений <?** при комнатной температуре с кри-
критическими напряжениями ст** при повышенных температурах, по-
полученных с помощью формул гл. 2 соответственно.

§ 6.3. Обсуждение данных эксперимента и расчета
255
Анализ результатов расчета и эксперимента указал на необ-
необходимость определения областей применения формул E.8), E.11)
гл. 2. Известно, что выпучивание стенок оболочек начинается при
а_-ю-\мпа
293
393
593
г,,, к.
293
Рис. 6.25. Значения критических напряжений оболочек при нестационарных
режимах нагревания: а) ДсР = 145 мм, h — 3,2 мм, / = 550 мм, Ъ — 5 К/с;
6) Rcp = 248 мм, h = 4,3 мм, / = 800 мм, Ъ - 5 К/с; в) Яср = 249 мм, h = 2 мм,
/ = 800мм, Ъ = 11 К/с (т. для Г„ = Гкр = 503К); расчет, • — экспери-
эксперимент
определенных для каждого материала значениях Ri/hi (например,
для оболочек из стеклопластика на фенолформальдегидном свя-

256 Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
зующем — при Ri/hi > 50. При R/h > Ri/hi разрушение оболочек
всегда сопровождается выпучиванием стенки.
Нагрев стенки приводит к снижению исходных значений жест-
костей оболочки, что условно может быть принято эквивалентным
уменьшению толщины и, следовательно, увеличению отношения
R/h. Поэтому толстые оболочки, которые не выпучиваются при
комнатной температуре, могут выпучиваться при нагреве. Это
произойдет в том случае, если отношение R/h нагретой оболочки
превзойдет значение Ri/hi. Следовательно, нижняя граница при-
применимости формул E.8), E.11) гл. 2 может быть выражена с уче-
учетом соотношений B.8) гл. 2 следующим образом:
Erh < Е*ГК; Gh < G*hi;
Elh?
П <~ r'"\
'rr
При определении верхней границы применимости формул E.8),
E.11) гл. 2 будем исходить из того, что жесткости стенки не-
неравномерно нагретой оболочки не должны быть меньше жестко-
стей стенки оболочки, равномерно нагретой до температуры Тр —
температуры, при которой еще справедливы формулы E.8), E.11)
гл. 2:
Erh ^ Eyho; Gh ^ G*ho;
Д.- > ^—-;
^ 12A-i/ii/0)'
Удобнее границы применимости формул E.8), E.11) гл. 2 вы-
выражать в температурах тепловоспринимающей поверхности Т? и
Тд, представляющих наибольшее или наименьшее значение из
ряда температур, определяемых неравенствами C.7) или C.8) гл. 2
соответственно.
В качестве примера определим границы применимости фор-
формул E.8), E.11) гл. 2 для оболочек с толщиной стенки ho = 3,2 мм
и R = 145 мм при нагреве ее наружной поверхности со скоро-
скоростью b = 5 К/с. Видно, что у этой оболочки R/h = 45,3 < 50.
Следовательно, при комнатной температуре она выпучиваться не
будет. Нижнюю границу найдем из неравенств C.4), полагая
hi — Ri/50 = 145/50 = 2,9мм. Из полученного ряда темпера-
температур наибольшее значение имеет температура, определяемая жест-
жесткостью D\\ и равная 418 К. Верхнюю границу вычислим из не-
неравенств C.4), полагая Гр = 480 К. Наименьшее значение будет
иметь температура, определяемая жесткостью ?)ц и равная 483 К.

§ 6.3. Обсуждение данных эксперимента и расчета 257
Следовательно, формулы E.8), E.11) гл. 2 могут быть исполь-
использованы для оболочек с /io — 3,2 мм, R = 145 мм, нагреваемых со
скоростью 6 = 5 К/с в диапазоне температур наружной поверхно-
поверхности 418 < Гн <483К.
Для оценки влияния поперечных сдвигов на критические на-
напряжения продольного сжатия был сделан расчет равномерно на-
нагретой цилиндрической оболочки из того же материала. При этом
использовали уравнение [6]
a2mbn %
4]^^, C.5)
где
I 2 L
A = 1 + j^@556ц + 044622) + 044055^F11622 -
EH
I —
B22 = ^j ; Вбб = G12 = G*; B\2 = V2B11;
«44 = 7^-; a55 = —-; щ = В11В22 - B22,
^23 ^13
причем полагали, что G\3 = G23 = G*.
Путем численной минимизации выражения C.5) было полу-
получено, что при температурах Гн, близких к критической, величина
критической сжимающей силы снижается на 1%. По-видимому,
у неравномерно нагретых оболочек влияние поперечных сдвигов
будет сказываться еще меньше.
В случае режима нагрева, отличного от линейного, например
такого, когда температура наружной поверхности изменяется по
закону
Г 293 +8,6т, если 0<т<50с,
н \ 723-8(т-50), если т > 50с, [ '
имеет место вполне удовлетворительное совпадение данных экс-
эксперимента и расчета относительных критических напряжений без
18 Зак. 130

258
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
учета изменения толщины несущего слоя при Ти < 503 К для сте-
клопластиковых оболочек с ho = 4,5 мм, R = 247 мм, I = 800 мм
г, к
650
- t,o
450
250 и
- 0,5
0
15
30
45
60
т, с
Рис. 6.26. Изменение относительных критических нагрузок оболочек при
кусочно-линейном законе изменения температуры наружной поверхности Тн:
метод замены температурных полей, классическая теория,
— • — ¦ классическая теория с учетом изменения толщины несущего слоя,
• — эксперимент
(рис. 6.26). При Тн > 503 К расчетные данные расходятся с экспе-
экспериментальными. Это указывает на необходимость учета данного
явления.
На рис. 6.27 приведены результаты расчета критических на-
напряжений стеклопластиковой оболочки с ho = 3,2 мм, R = 143 мм,
«V мпа
200 г
40
Рис. 6.27. Изменение критических напряжений цилиндрических оболочек при
сложном законе нагревания наружной поверхности

§ 6.4. Эксперим. проверка метода замены температурных полей 259
I = 550 мм при более сложном законе изменения температуры Тн,
не превышающей Гкр. Видно, что результаты расчета по класси-
классической теории (кривая 1) и теории Флюгге (кривая 2) практически
совпадают.
§ 6.4. Экспериментальная проверка метода замены
температурных полей
Полученная в § 6.2 обобщенная характеристика использовалась
для расчета предельных нагрузок в случае осевого сжатия оболочек
с толщиной стенки h = 4,4 мм, температура наружной поверхно-
поверхности которой изменялась с течением времени по закону C.14). Рас-
Расчет велся с помощью метода замены температурных полей. В каче-
качестве вспомогательных были использованы поля, полученные при
линейном законе изменения температуры Гн. Значения чисел Pd
и Fo этих полей находились с помощью точечного квадратичного
аппроксимирования действительных полей температур. Затем по
номограмме (см. рис. 6.20) определялись числа Кр. При выборе
вспомогательных полей в диапазоне чисел Fo, соответствующих
моментам времени 50 < т < 75 с, удовлетворялись требования
D.13) и D.14) гл. 1.
Изменение температур Тн и Гвн и расчетная кривая для Кр
приведены на рис. 6.26. Результаты расчета были сопоставлены с
экспериментальными точками. Как видно из рис. 6.26, получено
удовлетворительное согласование расчета с экспериментом. На-
Например, при уровне нагрузки, соответствующем числу Кр = 0,24,
относительная погрешность определения «долговечности» при за-
заданном режиме нагрева достигает 10%, а относительная погреш-
погрешность определения предельных нагрузок — 18%.
§ 6.5. Экспериментальная проверка метода
определяющей температуры
Экспериментальную проверку применения метода определяю-
определяющей температуры при расчете предельных нагрузок неравномерно
нагретых элементов конструкций проводили на оболочках второй
серии (I = 500мм, Лвн = 143мм, h = 2-4мм). В процессе
проверки были использованы результаты испытании оболочек при
изотермических состояниях и в условиях неоднородного и неста-
нестационарного поля температур.
Результаты расчетов с помощью метода определяющей темпе-
температуры предельных сжимающих нагрузок оболочек при линейном
законе изменения температуры наружной поверхности приведены
на рис. 6.28. Сплошными линиями обозначены две расчетные кри-
кривые Кр = KP(Fo, Pd) при числах Pd = 0,92 и Fo = 1,2. Там же
18*

260
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
представлены экспериментальные точки, полученные при скоро-
скоростях нагрева наружной поверхности оболочек, соответствующих
0,8
0,4
Pd = 0,92
1,15
0
0,4
0,8
1,2 Fo
Рис. 6.28. Сопоставление результатов расчета относительных предельных на-
нагрузок оболочек в диапазоне чисел Pd = 0,92—1,2 с результатами эксперимента:
метод определяющей температуры, классическая теория орто-
тропных оболочек, теория многослойных оболочек, • — эксперимент
числам 0,92 ^ Pd < 1,2. Расчет вели по формуле B.2) с учетом
формул F.21) и C.4) гл. 1. При ви > вкр за определяющую прини-
принимали среднюю интегральную температуру, а формула B.2) имела
следующий вид:
кРт = -
Чкр
о
Здесь
Фг = 0,05^ + (Р°~°'5)екр + (Fo - 0,5J +
exp (-
п=1
a2Pd ф2
COS ЦпС,кр —
Sin
Sin
»кр
ф2 = Fo - 0,5 1 - ^
n=l

§6.5. Эксперим. проверка метода определяющей температуры 261
При расчетах было учтено то, что с ростом температуры часть
наружных слоев исчерпывала несущую способность. За границу
несущей зоны принималась относительная координата ?кр, соот-
соответствующая относительной критической температуре 0кр. Зна-
Значение ?кр начиная с моментов времени, соответствующих чис-
числам Fo = 0Kp/Pd, определялось из трансцендентного уравнения
C.4) гл. 1.
При нахождении приближенного значения корня этого уравне-
уравнения ограничивались первым членом суммы ряда, входящего в его
правую часть. Раскладывая косинус в ряд по аргументу
L ^ ^ (-1)ПЫ*РJП
2! ' 4! 2п!
сохраняя три первых члена разложения и подставляя их в C.4)
гл. 1, получали биквадратное уравнение
e + ) 5 e ,2 ,
+ Fn05+ е = О
+ Pd ' ц\ '
положительный действительный корень которого представляли
как
Чкр —
I 1/2 ^ -, 1/2
Сравнение результатов расчета и эксперимента указывает на
их удовлетворительное совпадение.
Из сопоставления линий рис. 6.28 и 6.29 видно, что ближе к
экспериментальным точкам расположена кривая, полученная ме-
методом определяющей температуры. В области малых чисел Fo
кривые расположены друг возле друга. С возрастанием чисел Fo
они расходятся. Например, при Fo = 1 расхождение между кри-
кривыми, полученными методом определяющей температуры и клас-
классическим методом, достигает 30%. Упругое решение теории много-
многослойных оболочек Болотина занимает промежуточное положение.
Расхождение с методом определяющей температуры не превышает

262
Гл. 6. Закономерности изменения предельных нагрузок
25%. Учет реономных явлений и разложения связующего в те-
теории многослойных оболочек, а также учет изменения толщины
0,8
0,4
Pd = 1,15
Упругое решение
L учетом реоиом-
ных явлений и
разложения свя-
связующего
С учетом Г,
0
0,4
0,8
1,2 Fo
Рис. 6.29. Результаты расчета относительных предельных нагрузок оболочек
при числе Pd = 1,15: метод определяющей температуры,
классическая теория ортотропных оболочек, — ¦ — • теория многослойных
оболочек Болотина [22]
несущей зоны в классической теории значительно снижает вели-
величину критической силы и приближает ее к величине, получаемой
методом определяющей температуры.

Глава 7
ВЛИЯНИЕ СХЕМ АРМИРОВАНИЯ
НА ДЕФОРМАТИВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ
ПРОДОЛЬНО СЖАТЫХ СЛАБОКОНИЧЕСКИХ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
ПРИ ИЗОТЕРМИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЯХ
Изложены результаты экспериментального исследования ха-
характеристик прочности и жесткости слабоконических и цилин-
цилиндрических оболочек из высокопрочных и высокомодульных КМ
на полимерной матрице. Значительное внимание уделено иссле-
исследованию влияния ориентации стеклотканевого наполнителя на
характеристики прочности и упругости, а также на критические
напряжения гладкой круговой цилиндрической оболочки, воспри-
воспринимающей осевые сжимающие усилия. Характеристики проч-
прочности и жесткости определены непосредственно на оболочках.
Приведены результаты сравнения экспериментальных данных с
[>асчетными, полученными по формулам теорий анизотропных тел
9] и ортотропных (одно- и многослойных) оболочек [24]. Дано
краткое описание характера разрушения оболочек из различных
материалов при нормальной и повышенной температурах.
§ 7.1. Предельные нагрузки стеклопластиковых оболочек,
изготовленных комбинированной намоткой
Программа исследования. Математическая постановка задач
оптимального проектирования оболочечных конструкций из КМ
сформулирована в гл. 4. Нахождение оптимальных значений целе-
целевой функции экспериментальным путем при наличии нескольких
параметров оптимизации — задача весьма трудоемкая и тре-
требующая большого количества образцов. Поэтому при данном
исследовании был выбран один, наиболее важный, параметр опти-
оптимизации — угол ориентации наполнителя </?. Планирование экс-
эксперимента велось из условий получения необходимой информации
о поведении функций Ро{ф) для толстостенных и PKp(ip) для тон-
тонкостенных оболочек в диапазоне углов 0 ^ </? ^ 90°.
Для предварительного анализа критических напряжений ис-
использовали дифференциальное уравнение устойчивости слоистой

264
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
цилиндрической оболочки, стенка которой состоит из одинаково
ориентированных ортотропных слоев с осями, не совпадающими
с координатными, C.4) гл. 5. При этом использовали формулу,
полученную для случая, когда оболочка образована косой одноза-
ходной намоткой:
/сц ¦
сткр = mm «/ _ _
Вычисление критических напряжений по ней сводится к нахо-
нахождению минимума подкоренного выражения правой части отно-
относительно параметра ц = п/Х для заданного угла </?. Максимальное
значение сгкр определяет значение угла ip и оптимальную струк-
структуру стенки оболочки. Отметим, что в формуле A.1) с^ и ац
(г, j = 1, 2, 3) — коэффициенты упругости и податливости ма-
материала оболочки, выражения для которых даны в гл. 5.
Расчеты показали, что в зависимости от значений характери-
характеристик упругости материала кривые акр(ф) могут иметь один или
несколько экстремумов. Кроме того, на выбор оптимального угла
0 330
Рис%7.1. Конструкции толстостенных цилиндрических (о), конических E) и
тонкостенных цилиндрических (в) оболочек
намотки оказывает влияние характер изменения кривой <т_ь (</?).
В связи с этим значительное внимание было уделено разработке
методики и определению характеристик упругости и прочности
материала непосредственно на оболочках [15,16].

§7.1. Предельные нагрузки стеклопластиковых оболочек 265
Исследовались гладкие круговые цилиндрические оболочки
(рис. 7.1), изготовленные методом «мокрой» комбинированной на-
намотки с последующим вакуумным формованием. Наполнитель —
стеклоткань ТС 8/3-250 и стекложгут ЖС 24/10. Связующее —
эпоксидная композиция ЭДТ 10П. Содержание связующего в тка-
ткани — 30-32%, летучих фракций — 4-6%. Схема намотки: после-
последовательное чередование двух слоев ткани и одного слоя жгута,
т.е. [^2/90ж]пг.
Было изготовлено 7 вариантов оболочек (по 3 оболочки в каж-
каждом) с углами ориентации стеклоткани 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90°,
толщиной стенки h = 4,8 мм, R = 100 мм, I = 290 мм, предна-
предназначенных для исследования прочности, и столько же вариантов
оболочек с аналогичными углами tp, h = 1,43 мм, R = 160 мм,
I = 420 мм для исследования устойчивости. Под углом ориентации
наполнителя </? подразумевался угол между проекциями направле-
направлений основы и линии действия силы на плоскость, параллельную
продольной оси. Края оболочек утолщали на длине 60-80 мм для
предотвращения их смятия при сжатии. Непараллельность торцов
после механической обработки меньше 0,03 мм.
Кроме того, были исследованы конические оболочки — 4 вари-
варианта с углом конусности а = 20° и толщиной стенки h — 4,8 мм
(рис. 7.16). У этих оболочек угол ip не являлся постоянным по
периметру. Его приращение Aip определялось углом а и количе-
180 sin a „
ством заготовок стеклоткани п в слое Atp = ± . Данные
п
оболочки предназначались для исследования прочности.
Методика испытаний. Исследование прочности цилиндриче-
цилиндрических и конических оболочек проводили на универсальной электро-
электромеханической машине, погрешность силоизмерительной системы
которой не превышала 1%. Передачу нагрузки на торцы оболо-
оболочек осуществляли через плиты, шарнирно закрепленные на не-
неподвижном нижнем основании и на подвижной верхней траверсе
машины.
Оболочки, предназначенные для исследования устойчивости,
предварительно последовательно нагружались осевой силой Р,
внутренним давлением р и крутящими моментами Мк. Нагру-
жение силой Р осуществлялось на универсальной испытательной
машине ЦД-20.
Полученные при нагружении осевой сжимающей силой компо-
компоненты тензора деформаций ец , ?22 использовались для нахожде-
нахождения значений Е\ и v\ по формулам
Ех = ff;  = -—, A-2)
cos -
17 Зак. 130

266
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
где R — радиус срединной поверхности в среднем сечении. Для
цилиндрических оболочек a = 0.
Внутреннее давление создавали с помощью установки, схема
которой представлена на рис. 7.2. В качестве рабочего тела исполь-
использовали воздух, который поступал из газгольдера 1 через стабили-
стабилизатор давления 2 в полость между цилиндрической оправкой уста-
установки 3 и стенкой оболочки 4- К торцевым поверхностям оправки
Рис. 7.2. Схема установки для нагружения оболочек внутренним давлением
с помощью стержня 5 прижимали крышки 6, 7. В фасонный коль-
кольцевой паз на торцах оправки и крышки укладывали герметичную
резиновую трубку 8, в которую с помощью вентиля 9 подавали воз-
воздух. При расширении трубка прижимала уплотнительное резино-
резиновое кольцо прямоугольного сечения 10 к внутренней поверхности
стенки оболочки. Давление в полости и в трубке регулировали
стабилизаторами 2, 9, а измеряли образцовыми манометрами 11.
Такая конструкция установки позволила исключить осевую на-
нагрузку и создать в стенке только окружные растягивающие уси-
усилия. Регулирование давления в трубке уменьшило влияние крае-
краевого эффекта в районе торцов. Компоненты тензора деформаций,
полученные при этих испытаниях, использовались для определе-
определения значений Е2 и V2 по формулам
PR
?11
?22
A.3)
Модуль сдвига G определяли с помощью деформаций сдвига
612) полученных при нагружении оболочек крутящими моментами,

§7.1. Предельные нагрузки стеклопластиковых оболочек 267
прикладываемыми к их торцам. Это нагружение осуществляли
на испытательной машине горизонтального типа с механическим
приводом. Крутящий момент от машины передавали через флан-
фланцы, установленные в ее захватах и скрепленные болтами с утол-
утолщенными краями оболочек. При этом использовали выражение
47гД2(-е11-е22+2е45)' ^ ' ;
В формулах A.2)—A.4) ец, ?22, ?45 — относительные деформа-
деформации соответственно вдоль образующей, в кольцевом направлении
и под углом 45° к образующей, измеряемые при каждом виде ис-
испытаний.
После определения этих характеристик оболочки нагружались
осевой сжимающей силой вплоть до разрушения или выпучива-
выпучивания стенки. Проводились измерения относительных деформаций,
нагрузки, вычислялось число волн в окружном и продольном на-
направлениях. Из разрушенных оболочек вырезались образцы для
контрольных измерений углов ориентации основы и жгута.
Относительные деформации измеряли с помощью тензорези-
сторов К-25, ориентированных в разных направлениях на поверх-
поверхностях стенки, а общие — с помощью визуальных индикаторов
часового типа.
Каждая оболочка испытывалась трижды на каждый случай на-
гружения. Существенной разницы между показаниями датчиков
при нагрузке и разгрузке не обнаружено.
Статистическая обработка результатов измерений деформаций
проводилась на ЭВМ. Средние арифметические значения коэффи-
коэффициентов вариации были получены в случае осевого сжатия [V\ =
= 5%), при нагружении внутренним давлением (V^ = 3,5%), при
нагружении крутящими моментами (Уз = 16%).
Результаты испытаний и их анализ. На изменение характе-
характеристик упругости и прочности материала основное влияние ока-
оказывала стеклоткань, ориентация которой у каждого варианта обо-
оболочек была различной. Это влияние выражалось в том, что с
изменением угла ip от 0 до 90° значения Е\ вначале убывали при-
примерно до ip = 45—60° (рис. 7.3), а затем возрастали. Аналогич-
Аналогичным было поведение модуля ?2. При </? = 45° коэффициент и\
возрастал примерно втрое, щ. — вчетверо. Модуль G резко увели-
увеличивался (при ip = 45° — в три раза). Его максимальное значение
Gmax и 104 МПа.
Значения модуля Е\, полученные при испытаниях оболочек с
толщиной стенки h = 1,43 мм, меньше значений аналогичного
17*

268
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
модуля материала оболочек с h = 4,8 мм. При ip = 0 эта разница
достигала 18%. Величины коэффициентов Пуассона примерно оди-
одинаковы.
Разрушение толстостенных оболочек происходило в плоскостях
действия касательных напряжений, наклонных к образующим
5,-КГ4, МП
2,0( -
1,5
1,0
?2-1<Г4,МПа
2,5'
1,5
G1(T3, МПа
7,5
2,5
0,3
0,1
0,4
I •
0
30°
60°
ф
Рис. 7.3. Зависимости характеристик упругости материала тонкостенных оболо-
оболочек от ориентации наполнителя: • — эксперимент, — расчет по формулам
теории упругости ортотропного тела
(рис. 7.4а). Максимальные разрушающие напряжения получены
при сжатии оболочек с ip = 0 (рис. 7.5). Эти напряжения у цилин-
цилиндрических оболочек сг-ь max = 285 МПа, у конических — o"-6max —

§ 7.1. Предельные нагрузки стеклопластиковых оболочек 269
= 230 МПа. С увеличением угла ip значения <т_(, вначале убы-
убывали, а затем возрастали. Минимальные значения напряжений
при разрушении цилиндрических оболочек <т_ьтш = 145 МПа со-
соответствовали углу ip = 45°.
Результаты экспериментального исследования характеристик
упругости и прочности были сопоставлены с зависимостями те-
теории упругого ортотропного тела [9], согласно которой для рас-
расчета ортотропных пластин необходимы четыре упругие постоян-
постоянные, определяемые опытным путем: модули упругости Е\ и Е®,
a 6
Рис. 7.4. Формы разрушения толстостенной (о) и тонкостенной (б) цилиндри-
цилиндрических оболочек
модуль сдвига G0 и коэффициент Пуассона и\. Вместо модуля
сдвига можно использовать модуль упругости Ef5. Индексами «О»,
«45», «90» будем обозначать параметры при ip = 0. 45, 90° соответ-
соответственно. Если эти постоянные известны, то поведение функций
), <т_(,(<^) определяется по формулам
V
?;\ A cos4 ip + 2В cos2 ip + sin4 ip
Ao- cos4 ip + 2B sin2 ip cos2 ip + sin4 ip'
1 A cos4 ip + 2B sin2 ip cos2 tp + sin2 ip

270
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
Здесь
T90
'-6
1 — А Е^
Для построения приведенных на рис. 7.5 расчетных кривых 1,
3, 4 в качестве характеристик упругости использовали значения
параметров Е®, Ef5, E^, у\, полученных при сжатии цилиндри-
цилиндрических оболочек. Вместо пределов прочности при построении
0,6
0,4
0,8
0,4
30°
60°
Рис. 7.5. Зависимости характеристик упругости и прочности материала толсто-
толстостенных цилиндрических и конических оболочек от ориентации наполнителя
этих кривых подставляли значения разрушающих напряжений
оболочек Стд, cjg5, a^0. Светлыми точками рис. 7.5 обозначены
результаты испытаний цилиндрических оболочек, темными — ко-
конических, сплошными линиями — расчетные кривые для цилин-
цилиндрических оболочек, а пунктирными — экспериментальные кри-
кривые для конических оболочек.

§7.1. Предельные нагрузки стеклопластиковых оболочек 271
Сопоставление результатов указывает на их удовлетворитель-
удовлетворительное совпадение. Значения относительных предельных напряже-
напряжений конических оболочек расположены выше значений относи-
относительных предельных напряжений цилиндрических оболочек. На
них сказывается неравномерность ориентации наполнителя.
Отметим, что при расчете зависимости A.5) можно использо-
использовать согласно [9] значение 2Bff = 4(стэ°/сгэ) — A + \а). Результаты
вычислений по этой формуле приведены на рис. 7.5 (кривая 2).
Эта кривая находится ближе к экспериментальным значениям.
При достижении критических нагрузок у тонких оболочек про-
происходило выпучивание стенок (см. рис. 7.46), которое сопро-
сопровождалось хлопком. На их поверхности появлялись в два или три
ряда ромбовидные вмятины, вытянутые в окружном направлении.
Число полуволн в окружном направлении 6-7, а в продольном 3-4.
После снятия нагрузки волны исчезали. Выпучивание стенок на-
начиналось в упругой области. Величина относительной деформации
в продольном направлении в момент, предшествующий выпучива-
выпучиванию, не превышала 0,5%.
Результаты экспериментального исследования критических на-
напряжений приведены на рис. 7.6. Как видно из расположения экс-
экспериментальных точек, для оболочек рассматриваемой геометрии
Рис. 7.6. Зависимость критических напряжений тонкостенных цилиндрических
оболочек от ориентации наполнителя
с характеристиками упругости, представленными на рис. 7.3, из-
изменение ориентации основы почти не оказывает влияния на вели-
величину сгкр. Ее зависимость от угла ip может быть выражена урав-
уравнением прямой oKp(ip) = const.
На рис. 7.6 сплошной линией показана кривая, полученная с
помощью формулы A.1) после подстановки в нее эксперименталь-
экспериментальных значений характеристик упругости и минимизации по пара-
параметру fj,. Видно, что при углах ip = 15 и 75° эксперименталь-
экспериментальные точки находятся вблизи расчетной кривой, однако при других

272 Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
значениях угла имеется расхождение, которое иногда достигает
25%. При расчете критических напряжений по этой же формуле
без минимизации по параметру д после подстановки измеренных
при эксперименте чисел пит получается кривая, качественно
приближающаяся к экспериментальным точкам, однако ее значе-
значения превышают экспериментальные примерно на 30% при всех
углах ip.
Вид кривой 2 (пунктирная линия), полученной из характери-
характеристического уравнения устойчивости (формула E.7) гл. 5) мини-
минимизацией по параметрам волнообразования пит, близок к виду,
установленному экспериментальным путем.
Дальнейший анализ показал, что вид кривой crKp(ip) сущест-
существенно зависит от соотношений между характеристиками упруго-
упругости ткани и жгута. Кривые 3-5 (штрихпунктирные линии) опре-
определены с помощью алгоритма расчета критических напряжений
многослойных оболочек, изложенного в §5.5, для трех вариан-
вариантов характеристик упругости жгутового слоя (Е\ = 2 • 103 МПа,
Е2 = 2 • 104 МПа, G = 5 ¦ 103 МПа, их = 0,01 — для кривой 3;
Ei = 4 • 103 МПа, Е2 = 4 • 104 МПа, G = 5 • 103 МПа, vx = 0,01 —
для кривой 4; Ех = 5 • 103 МПа, Е2 = 5 • 104 МПа, G = 5 • 103 МПа,
v\ — 0,01 — для кривой 5) и одинаковых характеристик слоев
ткани (Ех = 2,34 • 104 МПа, Е2 = 2 • 104 МПа, G = 0,35 • 104 МПа,
v\ = 0,1). Видно, что с возрастанием модуля упругости жгута у
кривой aKp(ip) появляется максимум, который вычисляется при
</? та 35-40°.
Предположим, что закономерности изменения критических на-
напряжений конструктивно и технологически подобных оболочек с
разными R/h при различных углах <р аналогичны полученным
экспериментально для R/h = 113. Если ряд прямых сгкр((р, R/h)
совместить с графиком рис. 7.5, полагая, что кривая 2 на нем
эквивалентна пределу прочности материала оболочек при сжатии,
то получим следующую картину (рис. 7.7). До места касания од-
одной из них с минимальным значением предела прочности <7-6min
угол (р может быть любым и его выбор определяется технологиче-
технологическими или экономическими моментами. Величина соотношения
R/h, ограничивающая область произвольных значении ip, может
быть найдена из условия
<ткр ^ а_6 A.6)
после подстановки в него значений акр из формулы B.1) гл. 6:
R к„у/ЁЩ

§ 7.2. Предельные нагрузки разноориентированных оболочек 273
При меньших значениях соотношения R/h прямые пересекают
кривую сг-6 в двух точках, соответствующих разным значениям
угла (р. Область, в которой происходит это пересечение, простира-
простирается от значений сг-&тт до сг_бтах. Назовем ее переходной. Она
а, МПаг
0 30° 60°
Рис. 7.7. Предел прочности при сжатии и критические напряжения
характеризуется тем, что в ней существуют ограничения на выбор
угла (р, которые накладываются точками пересечения, где реали-
реализуется условие A.6). Поэтому при выборе угла (р нужно брать его
значения, лежащие слева от первой точки пересечения или справа
от второй.
Для соотношений R/h, при которых реализуются близкие к
максимальному значения предела о~-ь, угол (р должен быть равен
нулю. В этом случае наиболее рациональной является продольно-
поперечная укладка наполнителя.
§ 7.2. Предельные нагрузки разноориентированных
намоточных оболочек
Ниже изложены результаты исследования эффективности при-
применения ряда КМ в тонкостенных конструкциях оболочечного типа
и дана оценка влияния различных схем армирования на их пре-
предельные нагрузки. Было испытано около 150 цилиндрических кру-
круговых оболочек «средней» длины с одинарной и трехслойной кон-
конструкциями стенок. Под одинарной понимали стенку, состоящую
из пакета разноориентированных монослоев из высокопрочных
или высокомодульных материалов, в том числе и из разнородных.

274
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
Трехслойная конструкция состояла из двух одинарных стенок и
низкомодульного заполнителя между ними. Одинарные стенки
изготавливались из КМ на основе эпоксидных связующих типа
ЭФ32-301, ЭДТ-10П и др. В качестве наполнителей использо-
использовались стеклянные ткани, жгуты, нити с различными схемами
армирования. Заполнителем были соты из фольги АМГ-6Т, раз-
разреженная стеклоткань РССТ (р = 0,36 • 103кг/м3), пенопласт
ПУ101Т, армированный продольными или поперечными планками
из стеклопластика ВПС-1.
Кроме того, были испытаны 44 конические оболочки оди-
одинарной и трехслойной конструкций, выполненные из стекло-,
органо- и углеэпоксидных КМ с различными вариантами схем ар-
армирования. Оболочки имели длину 720 мм, диаметр меньшего
основания 525 мм, диаметр большего основания 645 мм, угол ко-
конусности 2а = 10°. Относительную толщину изменяли в диапа-
диапазоне R/h = 50—150. Варианты схем армирования приведены в
табл. 7.1. В качестве связующего использовали эпоксидную смолу
ЭДТ-10. Исходные характеристики упругости и прочности даны в
табл. 7.2.
Таблица 7.1. Варианты схем армирования конических оболочек
Материал
(наполни-
(наполнитель).
Стекло-
Стеклопластик
(лента на
основе ни-
нити ВМПС)
О])гано-
п лас тик
(лента на
основе
волокон
СВМ)
Углеплас-
Углепластик (лента
на основе
жгута
ВМН-4)
Конструкция
стенки
Одинарная
Трехслойная
Одинарная
Одинарная
Трехслойная
Номер
вари-
варианта
I
II
III
I
II
III
IV
I
II
III
IV
V
VI
Схема армирования
[5/90/ - 5/90/5/90/ - 5/90/5/90/ - 5/90/5]т
[5/90/ - 5/90/5/ ± 45/5/90/ - /5/90/5/90]т
[5/90/ - 5/ ± 45/90/5/90/ =F 45/ - 5/90/5]т
[5/90/ - 5/90/5/90/ - 5/90/5/90/ - 5/90/5]т
[±35/90] 2т
[±35/90]3т
[±35/90]вт
[±35/90]9т
[5/90/ - 5]2S
[±35/90] 2s
[±45]4S
[±10/45]2s
[10/90 - 10/90/10/90/ - 10]s
[±10/90] 25
[5/90/ - 5/90/5/90/ - 5/90/5/90/ - 5/90/5]т

§ 7.2. Предельные нагрузки разноориентированных оболочек 275
Таблица 7.2. Исходные характеристики прочности
и упругости монослоев материалов
Материал
Стеклопластик
Органопластик
Углепластик
Ei ¦ Ю-4,
МПа
7,00
6,84
14,50
Е2 • ИГ4,
МПа
0,350
0,585
0,700
G10,
МПа
0,500
0,205
0,350
0,25
0,27
0,27
0-ьо,
МПа
700
270
400
0-Ь9О,
МПа
30
100
80
п,
МПа
40
25
30
Оболочки изготавливались намоткой на станке ВНС-1М. На-
Намотка продольных слоев @ и ±5°) и слоев с ориентацией ±45° осу-
осуществлялась лентой шириной 20 мм, а кольцевых (90°) — 10мм.
Зазоры между кромками соседних лент, образующих продольные
слои, и их взаимный перехлест составляли не более 0,5 мм у
большего основания оболочки и 3-4 мм у меньшего. Скорость
вращения оправки при намотке 2-4 об/мин, а натяжение ленты
80-100 Н. Торцы оболочек усиливали путем намотки на длине
70 мм пяти дополнительных окружных слоев.
Трехслойные оболочки состояли из двух отдельно изготовлен-
изготовленных одинарных стенок разного диаметра и пенопластового запол-
заполнителя толщиной 13-14 мм, который получали путем вспенива-
вспенивания исходных компонентов в кольцевом зазоре между ними. Для
обеспечения связи между стенками и пенопластом их поверхности
перед вспениванием покрывали клеем ВК-9. У торцов промежу-
промежуток между стенками на длине 40 мм заполняли смесью цемента
с клеем Л4. После изготовления торцы оболочек подрезали путем
обточки.
Методика испытаний. С целью определения характеристик
упругости материала одинарные оболочки нагружали раздельно
осевой сжимающей силой, крутящими моментами и внутренним
давлением [45].
Осевую нагрузку прикладывали на испытательной машине с
гидравлическим приводом. Нагрузку на оболочку от машины пе-
передавали через плоские плиты с шаровыми опорами. Внутреннее
давление создавалось резиновым мешком, который помещали в
оболочку, в него подавалась вода под давлением до 0,5 МПа. Торцы
оболочки при этом были закрыты плитами. Осевую нагрузку, дей-
действующую на плиты, воспринимали упоры. Так как плиты не
были скреплены с оболочкой, то осевая нагрузка на оболочку не
передавалась. При испытаниях на кручение на торцы надевали
фланцы, которые через штифты передавали крутящий момент на
оболочку. Один из фланцев жестко крепили к основанию, а к дру-
другому двумя гидравлическими силовозбудителями прикладывали
пару сил.

276
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
В процессе испытаний измеряли действующую на оболочку
нагрузку, а также относительные деформации. Измерение относи-
относительных деформаций осуществляли проволочными тензорезисто-
рами типа 2ПКБ-10-100 с базой 10 мм, которые наклеивали на
внешнюю поверхность оболочки в восьми точках ее среднего се-
сечения. В каждой точке помещали розетки из четырех тензоре-
зисторов, ориентированных вдоль образующей, перпендикулярно
к ней и под углом ±45°. У трехслойных оболочек тензорези-
сторы были установлены также к на
внутренней поверхности. Их показа-
показания регистрировались электронными
измерителями деформаций.
После определения характеристик
упругости оболочки нагружали осевой
сжимающей силой вплоть до разруше-
разрушения или потери устойчивости. При
этом регистрировали нагрузку в мо-
момент разрушения, его характер, а
также снимали диаграмму «нагрузка-
сближение торцов».
Для получения фактических дан-
данных о модуле сдвига пенопластового
заполнителя из трехслойных оболо-
оболочек вырезали пластинки размерами
90 х 50 х 10 мм3, из которых изготавли-
изготавливали образцы согласно чертежу, пред-
представленному на рис. 7.8. Там же пока-
показана схема его нагружения. Образец
выполнен из жестких стальных пла-
пластин 1 и 2 и вклеенных между ними
двух пенопластовых пластин 3, модуль
сдвига которых подлежит определе-
определению. Ножки пластин 1 при испыта-
испытаниях опирались на плиту, а к торцу
пластины 2 прикладывалась сжимающая нагрузка. Взаимный
сдвиг пластин 1 и 2, вызванный этой нагрузкой, измеряли с по-
помощью индикатора перемещений с ценой деления 0,001 мм.
Характеристики упругости материала оболочек определяли сле-
следующим образом: •
а) полученные при нагружении осевой сжимающей силой ком-
компоненты тензора деформаций использовали для нахождения зна-
значений модуля упругости Е\ и коэффициента Пуассона v\ по фор-
формулам A.2);
б) по результатам испытаний на внутреннее давление q с по-
помощью уже известных значений характеристик упругости Е\ и и\
Рис. 7.8. Образец для опре-
определения модуля сдвига пено-
пенопластового заполнителя

§ 7.2. Предельные нагрузки разноориентированных оболочек 277
определяли модуль упругости ??2:
qR_^ .
:osa)) cos a'
в) по результатам испытаний на кручение моментом Мк вычи-
вычисляли модуль сдвига G, привлекая для этого формулу A.4).
Средняя величина модуля упругости Е\ наружного и внутрен-
внутреннего одинарных слоев трехслойных оболочек определялась исходя
из результатов испытаний на осевое сжатие силой Р по формуле
р
гр
XVI —
тгД(/гн + /iB)(?n + ?22) cos a'
а среднее значение коэффициента Пуассона — по выражениям
Н?п9 и ?99
 - IS"> v\~ Ti"'
?11 ?11
где /г — толщина одинарного слоя, индекс «н» относится к наруж-
наружному, а «в» — к внутреннему одинарным слоям.
Модуль сдвига пенопластового заполнителя вычисляли по фор-
формуле [2] G3 = , Г л i здесь a, b, h3 — длина, ширина и толщина
BаоД3)
пенопластового заполнителя; А3 — взаимное перемещение сталь-
стальных пластин 1 и 2 (рис. 7.8).
Отметим, что часть оболочек нагружали осевой сжимающей си-
силой на универсальной электромеханической машине, погрешность
силоизмерительной системы которой не превышает ±1%.
Обсуждение результатов испытаний. Анализ результатов ис-
испытаний 150 цилиндрических оболочек «средней» длины из сте-
стеклопластика указывает на существование двух основных факто-
факторов, способствующих исчерпанию их несущей способности, —
выпучивание стенок и разрушение материала от сдвига. Выпу-
Выпучивание при осевом сжатии наблюдалось у оболочек с тонкими
стенками (R/h > 40—50), как правило, оно сопровождалось хлоп-
хлопком. На поверхности оболочек появлялись ромбовидные вмятины
и гребни, геометрические размеры которых зависели от значений
компонентов тензора упругих постоянных. После снятия нагрузки
волны исчезали. Однако в большинстве случаев наблюдались оста-
остаточные явления — трещины в окружном направлении и отслоение
наружных слоев материала в районе гребней волн. Описываемый
характер разрушения имел место у оболочек на связующем ФФ,

278
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
ЭФ и др. Окружные трещины и расслоения в районе гребней
волн — виды разрушения, не встречающиеся у металлических
оболочек.
При испытаниях оболочек на связующем ЭФ 32-301 было уста-
установлено, что с возрастанием осевой сжимающей нагрузки число
ромбовидных вмятин увеличивается. После снятия нагрузки обо-
оболочки стремились вернуться в исходное состояние. При повтор-
повторных нагружениях снова появлялись ромбовидные вмятины. На
рис. 7.9 представлены кадры киносъемки процесса волнообра-
волнообразования оболочки № 1, изготовленной методом ППН из ткани
кадр 1
кадр 5
кадр 2
кадр 3
кадр 4
кадр 6
кадр 7
кадр 8
Рис. 7.9. Процесс волнообразования у стеклопластиковых оболочек на связую-
связующем ЭФ 32-301
ТС 8/3-250 и нити № 10 на связующем ЭФ 32-301, при десятом ци-
цикле нагружения. Длина оболочки I = 740 мм, внутренний диаметр
dBH = 640 мм, толщина стенки h = 2,48 мм. Нагружение вели не-
непрерывно со скорость-ю V = 10 мм/с. На кадре 2, который снят
через 6,1с после начала выпучивания, видны небольшие волны
с левой стороны оболочки в среднем сечении. Дальнейший про-
процесс волнообразования показан на остальных кадрах, последова-
последовательно отснятых через 7,3 с. На поверхности оболочки отчетливо
видны ромбовидные вмятины, вытянутые в окружном направле-
направлении. Длина полуволны в окружном направлении 180 мм, вдоль

§ 7.2. Предельные нагрузки разноориентированных оболочек 279
образующей 100 мм. Число полуволн в окружном направлении 12,
а вдоль образующей 6. После снятия нагрузки оболочка возвраща-
возвращалась в исходное состояние. Зависимости критической нагрузки
и нагрузки, которую воспринимает оболочка в закритическом со-
состоянии, от числа циклов нагружения N приведены на рис. 7.10.
Там же представлены аналогичные зависимости для оболочки № 2,
9 N
Рис. 7.10. Критические напряжения оболочек № 1 и 2 при повторных нагруже-
ниях: верхние, нижние
которая имеет такие же размеры и изготовлена по такой же тех-
технологии, при нагружении ее со скоростью 2,5 мм/с. Видно, что
остаточные явления, возникающие при выпучивании стенок и не
обнаруживаемые при визуальном осмотре, снижают величину кри-
критической нагрузки.
Разрушение оболочек с толстыми стенками сопровождалось
сильным резким звуком. На поверхности оболочек возникали
окружные трещины, в некоторых случаях их образование сопро-
сопровождалось выкрашиванием материала. Максимальные разрушаю-
разрушающие напряжения получены для оболочек на связующем ЭДТ-10П:
сг_(, = 270 МПа.
Значительно снижают разрушающие напряжения повреждения
при механической обработке утолщенных торцов, резкие переходы
в утолщенной части, создающие концентрацию напряжений, нару-
нарушение режима термообработки в районе торцов и др. Эти дефекты
уменьшали предельные нагрузки на 40-60%.
Характерным разрушением коротких оболочек с металличе-
металлическими шпангоутами было образование окружных трещин в зоне,
прилегающей к заделке.
Характеристики упругости материалов, которые получены по
результатам испытаний стекло-, органо- и углепластиковых
конических оболочек, значения разрушающих напряжений и
нагрузок при продольном сжатии представлены в табл. 7.3-7.5
[45, 53].

Таблица 7-3. Механические характеристики, результаты испытаний и расчета стеклопластиковых одинарных оболочек
Вариант
намотки
±5x90
G:6)
±5 х90
G:6)
±5 х ±45 х 90
F:2:5)
±5 х ±45 х 90
E:4:4)
Номер
оболочки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
Л,
мм
2,12
2,59
2,45
2,60
2,51
3,08
3,55
3,95
2,30
2,28
3,21
2,92
3,08
3,43
я,
мм
283,3
286,4
285,2
283,9
283,8
284,4
283,2
283,4
283,2
282,7
289,4
289,1
281,9
281,6
Я,-1(Г4,
МПа
C,89)
3,65
3,37
3,20
4,42
4,28
3,60
2,89
2,65
C,89)
3,41
3,74
C,66)
3,40
3,78
C,42)
3,34
3,39
Е210'\
МПа
C,43)
2,84
3,40
3,40
3,80
3,66
2,84
3,74
3,71
C,43)
2,82
3,32
C,21)
2,65
2,86
B,96)
2,65
2,39
G-10,
МПа
@,521)
0,49
0,55
0,35
0,485
0,610
0,462
0,535
0,519
@,521)
0,340
0,321
@,716)
0,740
0,827
@,914)
0,504
0,680
@,032)
0,171
0,140
0,126
0,147
0,139
0,139
0,076
0,141
@,032)
0,106
0,134
@,094)
0,288
0,272
@,166)
0,225
0,216
Рэ-Ю-5,
Н
—
5,1
4,7
5,5
5,4
6,6
8,5
3,12
3,64
6,0
6,33
5,2
6,15
МПа
—
110,0
107,0
118,0
120,0
120,0
—
120,0
76,0
89,0
104,0
121,0
94,0
104,0
И
МПа
—
104
94
ИЗ
119
114
160
165
72
75
156
155
119
153
/ти
Mlfa
60,5
73,8
69,9
74,0
71,5
87,8
101,0
112,3
65,5
65,0
122,1
112,2
102,9
114,6
А
МПа
83,8
103,1
96,8
102,6
99,0
121,8
140,0
156,0
90,9
90,2
159,0
144,6
142,2
158,6
А,
МПа
205,9
205,9
205,9
205,9
205,9
205,9
205,9
205,9
205,9
205,9
233,4
233,4
230,7
230,7

Таблица 7.4. Механические характеристики, результаты испытаний и расчета органоплаетиковых одинарных оболочек
(вариант намотки ±35 х 90 B:1))
Номер
оболочки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ft, мм
2,02
2,30
1,62
1,40
3,30
3,10
2,31
1,41
1,31
2,05
6,08
8,99
R, мм
280,0
283,0
282,5
282,5
285,5
283,5
281,5
284,0
283,4
283,8
280,8
282,2
JSi-10-",
МПа
1,82
1,59
1,72
1,95
1,55
1,58
1,65
1,72
1,88
1,08
1,96
1,57
B,09)
Ег ¦ 10~4,
МПа
1,69
1,88
2,48
2,00
2,30
2,38
1,39
3,38
1,86
2,24
3,36
2,71
B,65)
G-10-",
МПа
0,705
0,830
0,820
0,800
0,840
0,810
0,987
0,759
1,130
0,646
0,962
1,000
A,14)
v\
0,450
0,370
0,280
0,300
0,270
0,280
0,310
0,271
0,327
0,266
0,327
0,263
@,349)
Р3 ¦ 10~5,
н
1,68
1,80
0,90
0,70
5,16
4,46
2,45
1,00
0,76
1,00
13,70
20,00
МПа
47,2
43,8
31,3
28,2
87,0
81,0
60,0
39,9
32,5
27,4
127,8
125,8
И
МПа
62,0
72,5
52,9
43,0
97,4
106,4
68,5
41,6
50,6
49,7
260,0
314,0
МПа
76,4
86,1
60,8
52,5
122,5
115,0
87,1
52,7
49,0
76,5
229,4
337,5
МШ1
93,3
106,8
70,7
61,4
160,8
151,6
116,0
61,7
58,1
103,6
320,0
451,2
ао
МПа
102,1

Таблица 7Л
Вариант
намотки
[5/90/-5]2s
[±45]4S
[10/90/-10/
90/10/90/-10]s
[±10/90]2s
[±10/45]2s
[35/90]2s
>. Механические
Номер
оболочки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
/г, мм
3,62
2,66
3,35
2,88
2,64
3,04
3,25
3,14
3,34
3,22
3,01
3,17
3,07
3,03
характеристики,
R, мм
282,5
282,7
281,3
282,5
283,1
282,3
282,6
282,7
282,2
282,5
283,1
282,5
282,5
282,5
Si-КГ4,
МПа
G,28)
4,75
7,75
6,52
7,45
7,75
A,29)
1,04
G,96)
6,90
0,16)
6,20
(9,04)
8,00
D,09)
4,00
3,63
3,98
3,92
3,67
результаты испытаний и расчета
S2-UT4,
МПа
G,48)
3,97
5,30
5,10
4,95
5,00
A,29)
1,04
F,50)
5,80
E,20)
4,85
A,05)
1,82
E,30)
2,96
3,33
3,96
3,46
3,53
G-10,
МПа
@,389)
0,216
0,304
0,295
0,275
0,265
C,720)
3,850
@,564)
0,695
@,600)
0,555
A,01)
1,50
B,28)
3,03
2,24
3,72
3,07
1,97
@,03)
0,01
0,03
0,02
0,01
0,04
@,84)
0,79
@,06)
0,04
@,09)
0,12
@,71)
0,63
@,34)
0,79
0,47
0,43
0,47
0,44
Рэ-10-5,
Н
6,42
4,46
6,58
5,60
4,22
3,34
7,70
5,96
5,40
9,50
9,20
11,30
11,80
11,30
утлеплаетиковых
<Тэ,
МПа
113
106
125
124
101
72
151
122
104
188
202
226
263
236
ТКР!
МПа
71
76
91
71
71
336
133
134
198
375
235
287
257
250
МПа
127
93
118
101
93
271
141
118
138
274
256
271
262
259
одинарных
ТКР!
МПа
178
131
165
140
128
140
184
172
194
305
282
380
291
286
МПа
205
205
205
205
205
59
260
226
246
163
163
163
163
163
оболочек
<Тэ
<
0,635
0,809
0,758
0,885
0,790
0,514
0,821
0,709
0,536
0,616
0,716
0,753
0,904
0,825
°°-ь
0,551
0,517
0,610
0,605
0,493
1,220
0,581
0,540
0,423
1,153
1,239
1,387
1,613
1,448

§ 7.2. Предельные нагрузки разноориентированяых оболочек 283
Утрата несущей способности стеклопластиковых одинарных
оболочек наступала вследствие потери устойчивости конструкции,
которая происходила «хлопком» с образованием ромбовидных
вмятин. Как правило, появлялись два неполных ряда вмятин
(рис. 7.11). Первый ряд располагался посередине оболочки, а вто-
второй — в зоне, примыкающей к большему основанию. После хлопка
Рис. 7.11. Одинарные стеклопластиковые конические оболочки после разру-
разрушения
нагрузка резко падала, причем уровень «послекритической» на-
нагрузки был небольшим. За критическую нагрузку принимали
наибольшее ее значение в момент, предшествующий выпучива-
выпучиванию. После снятия «послекритической» нагрузки оболочки почти
полностью восстанавливали первоначальную форму, однако в зоне
образования вмятин оставались явно выраженные следы расслое-
расслоения стеклопластика.
Несколько иным явилось волнообразование на оболочке № 13.
Здесь вмятины вдоль образующей были гораздо меньших разме-
размеров, а сама зона волнообразования совпала с зоной начала под-
подмотки стеклоткани для утолщения торца оболочки у ее большего

284
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
основания. По-видимому, такой характер волнообразования свя-
связан с дефектами структуры оболочки в этой зоне.
При испытании оболочки № 7 произошло расслоение верхнего
торца.
Утрата несущей способности органопластиковых конических
оболочек происходила также вследствие потери устойчивости с
образованием ромбовидных вмятин (кроме относительно толстых
оболочек № 11, 12, где имело место разрушение стенки в рабочей
зоне).
В отличие от стекло- и органопластиковых конических кон-
конструкций углепластиковые одинарные оболочки в основном раз-
разрушались без видимых следов волнообразования с появлением
кольцевой наклонной трещины. Лишь на относительно тонких обо-
оболочках № 2,4,8 отмечалось начало образования гребней и вмятин
от потери устойчивости. Этот факт (разрушение углепластиковых
Рис. 7.12. Общий вид трехслойных стеклопластиковых (а) и углепластико-
углепластиковых (б) оболочек и формы их разрушения
оболочек без характерной картины выпучивания) объясняется бо-
более высокими характеристиками жесткости и повышенной хруп-
хрупкостью углепластика по сравнению с органо- и стеклопластиком.

Таблица 7.6. Механические характеристики, результаты расчета и испытаний трехслойных оболочек
Материал
несущих
слоев
Стекло-
Стеклопластик
Угле-
Углепластик
Номер
обо-
оболочки
1
2
3
4
Масса
обо-
оболочки,
КГ
17,1
17,2
13,1
12,6
Толщина, мм
наруж-
наружного
слоя
3,26
3,29
3,60
3,25
внутрен-
внутреннего
слоя
3,33
3,29
3,21
3,07
за-
полни-
полнителя
13
13
14
13
R,
мм
295,0
295,0
295,0
295,0
??i-10-4,
МПа
3,34
C,89)
3,39
7,50
G,42)
8,96
Е2-10-\
МПа
C,43)
G,62)
G-UT4,
МПа
@,521)
@,396)
V\
наруж-
наружный
0,113
внут-
рен-
ренний
0,103
0,0316)
0,129
0,109
0,031)
МПа
40,0
40,0
43,0
33,5
Рэ,
кН
2808
2300
2560
2370
МПа
240
А,
МПа
B05,9)
194
203
B08,8)
202
•¦кр,
КЙ
2963
2581
7091
6006

286 Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
Результаты испытаний двух стеклопластиковых и двух угле-
пластиковых трехслойных конструкций приведены в табл. 7.6.
Стеклопластиковая оболочка № 1 разрушилась от потери устой-
устойчивости с образованием в зоне большего основания одного ряда
волн, вытянутых в окружном направлении. Оболочка № 2 разру-
разрушилась от появления наклонной трещины на внешнем одинарном
слое. Обе углепластиковые оболочки после потери несущей способ-
способности имели кольцевую трещину в зоне нижнего основания. Ана-
Аналогичная трещина была на внутреннем слое, но располагалась она
вблизи меньшего основания. После разрезки всех оболочек вдоль
образующей было обнаружено отслоение заполнителя в зоне разру-
разрушения. Общий вид этих оболочек, а также характер разрушения
показаны на рис. 7.12.
Отметим, что для всех испытанных оболочек диаграммы «на-
«напряжение-деформации» были линейны вплоть до начала разруше-
разрушения, за исключением углепластиковых оболочек с перекрестным
армированием.
Сравнение с расчетом. Экспериментальные данные по харак-
характеристикам упругости, прочности и устойчивости сопоставляли с
расчетными. Для их вычисления были составлены программы на
алгоритмическом языке ФОРТРАН [62].
Характеристики упругости пакета одинарных оболочек опре-
определяли по формулам E.1.2), используя при этом характеристики
монослоя, представленные в табл. 7.2.
Предел прочности пакета на сжатие сг°ь (вдоль образующей)
вычислялся исходя из следующих допущений [79, 35]:
1) монослои расположены симметрично относительно средин-
срединной поверхности;
2) состояние оболочки безмоментное;
3) за разрушение оболочки принято разрушение хотя бы од-
одного монослоя согласно критерию Тзая-Хилла.
Критические напряжения одинарных оболочек были опреде-
определены исходя из экспериментальных или теоретических значений
характеристик пакета. При этом использовали формулы, справед-
справедливые для ортотропной оболочки радиуса R и учитывающие осо-
особенности строения стенки через интегральные характеристики.
Отметим, что замена слабоконической усеченной оболочки цилин-
цилиндрической приводит-при расчетах к погрешности примерно 7%.
Чтобы полностью учесть влияние строения пакета (располо-
(расположение слоя по толщине и его ориентация, фактор несимметрии
разноориентированных слоев относительно срединной поверхно-
поверхности) на критические напряжения (нагрузки) и параметры вол-
волнообразования одинарных оболочек, была использована модель
С. А. Амбарцумяна [62, 6]. Критические напряжения а^р определя-

§ 7.2. Предельные нагрузки разноориентированных оболочек 287
лись исходя из характеристического уравнения устойчивости E.2)
гл. 5, которое для случая осевого сжатия представлялось в виде
= mm
m, n
где
B-1)
+ 4(?>ie - Z>?e)c
(am, A,) =
= (am, A») =
4(D26 -
- D°66)]a2mp2n
+ (D22 - D
+ 2(Al2
+ Bd26 - d6i)a3m/3n +
am = nml;
—
(формулы для D{j, D^, Aij, dij (i, j' = 1, 2, 6) приведены в гл. 5).
Критическую нагрузку, при которой трехслойная коническая
оболочка с жестким заполнителем теряет устойчивость, находили
по формуле
Ркр = min
Здесь A = mn/zo; zq = lnE2/5i); Si (i = 1, 2) — расстоя-
расстояние по образующей от вершины до меньшего и большего осно-
оснований усеченного конуса; выражения для а\, а2, сц, b\, b2, b^, с\,
с3, с5, db d3, d5, gu g2, g3, g4, g5 приведены в [94]; m —

288 Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
число полуволн в продольном направлении; п — число волн в
окружном направлении.
Результаты расчетов представлены в табл. 7.3-7.6 *). В них
(т"р — критическое напряжение, найденное по экспериментально
определенным характеристикам упругости стенки оболочки, а
сг" — по теоретическим значениям.
Из табл. 7.3, 7.4 видно, что для стеклопластиковых и органо-
стеклопластиковых оболочек результаты эксперимента удовле-
удовлетворительно согласуются с результатами расчета критических
напряжений по модели Амбарцумяна. Если исходить из экспе-
экспериментально определенных характеристик упругости пакета, то
расчет по производной формулы E.11) гл. 2 также дает вполне
удовлетворительные результаты.
Для стеклопластиковых оболочек наименьшие значения крити-
критических напряжений (теоретические и экспериментальные) оказа-
оказались у оболочек, изготовленных методом ППН (вариант I). Теоре-
Теоретически ожидаемое увеличение несущей способности оболочек за
счет введения слоев намотки ±45° к образующей не подтвердилось.
Из сопоставления результатов испытаний трехслойных оболо-
оболочек с расчетом (см. табл. 7.6) следует, что разрушающие напря-
напряжения для стеклопластиковых оболочек близки к критическим, а
для углепластиковых — к пределу прочности материала стенки.
Углепластиковые оболочки обладают большей удельной нагрузкой,
чем стеклопластиковые.
Средние значения параметра аэ/а^р, характеризующего отно-
отношение экспериментальной критической нагрузки к расчетной, со-
составили 0,51; 0,93 и 0,73 для органо-, стекло- и углепластиковых
оболочек соответственно. Коэффициенты вариации при этом были
равны 0,151; 0,210 и 0,165.
Оценим величину коэффициента безопасности /, который не-
необходимо вводить в расчет при создании конструкций, аналогич-
аналогичных испытанным оболочкам. Следуя методу, описанному в [47], в
соответствии с которым случайные свойства оболочек сведены к па-
параметру нагрузки, принятому в виде отношения опытной нагрузки
к расчетной (сгэ/а^р или сгэ/сг%), будем иметь / = A — Vpx)~l, где
х — квантиль надежности; /3 = Ф(ж) — надежность; Ф(х) — функ-
функция Лапласа; Vp — коэффициент вариации параметра нагрузки.
Тогда при полученных коэффициентах вариации для безопасной
эксплуатации конструкции расчетная нагрузка должна быть уве-
увеличена в 1,73 раза для стеклопластиковых, в 1,43 — для органо-
пластиковых и в 1,48 — для углепластиковых оболочек (/3 = 0,95).
Х)В этих таблицах в круглых скобках приведены теоретические значения
характеристик.

§ 7.2. Предельные нагрузки разноориентированных оболочек 289
Обсуждение экспериментальных данных работы [129]. Основ-
Основное внимание уделено отработке технологии изготовления цилин-
цилиндрических оболочек из углепластика, изучению ее влияния на
характеристики упругости, прочности и устойчивости, а также
отработке метода учета эффективности начальных несовершенств
по результатам испытаний модельных оболочек.
Оболочки изготавливали из препрега КМУ-4л. Ленту толщи-
толщиной 0,2 мм и шириной 20 мм наматывали при разном натяже-
натяжении (Р = 50,200,400 Н) на титановую оправку. На намотанную
оболочку укладывали металлическую цулагу, которую прикреп-
прикрепляли стеклолентой на основе нити ВМПС, пропитанной связую-
связующим ЭДТ-10, шириной 10 мм, натяжением Р = 500—550 Н. После
этого заготовку ставили в печь и подвергали термообработке.
Геометрические размеры оболочек, схемы армирования и уси-
усилия натяжения ленты при намотке представлены в табл. 7.7.
Нагружение оболочек осевой сжимающей силой осуществля-
осуществлялось на испытательной машине П-125 через плиты и шаровую
опору, с помощью которой центрировалась нагрузка. Осевые де-
деформации измерялись четырьмя индикаторами часового типа с
ценой деления 0,005 мм, установленными с равномерным шагом
по окружности оболочек, и тензорезисторами, наклеенными на
внутренней и наружной поверхностях оболочки. Было испытано
14 оболочек. Закрепление краев оболочек соответствовало шарнир-
шарнирному опиранию.
Результаты испытаний также представлены в табл. 7.7. Обо-
Оболочки 2-7, 9, 12 теряли устойчивость в средней части «хлопком»
по не о се симметричной форме с образованием ромбовидных вмя-
вмятин размером 50 х 100 мм. Эти оболочки после снятия нагрузки
«выхлопывали», т. е. волны исчезали без видимых следов разруше-
разрушения и оболочки принимали первоначальную форму. Их испыты-
испытывали повторно. При этом критические напряжения практически не
изменялись. Оболочки 13, 14 теряли устойчивость с образованием
одной вмятины в средней части. При нагружении после шлифова-
шлифования торцов потеря устойчивости этих оболочек происходила только
с образованием одной вмятины на том же месте. Оболочки 1, 8,
10, 11 разрушались без заметного выпучивания с резким выхло-
выхлопом, образованием кольцевых трещин и расслоением материала.
В работе отмечается, что даже для одного варианта схемы ар-
армирования (оболочки 1-6) разброс критических нагрузок соста-
составляет около 40% D0 • Ю3—67 • 103Н). Это объясняется отличием
свойств материалов после изготовления, разной толщиной оболо-
оболочек, наличием остаточных напряжений, зависящих от натяжения
при намотке и режима термообработки, начальными несовершен-
несовершенствами.
20 3ак. 130

Таблица 7.7. Результаты испытаний и расчета угленластиковых оболочек
Номер
оболочки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Схема армирования
[90/02/90/0/90]г
[90/02/90/0/90]т
[90/02/90/0/90]г
[90/02/90/0/90]г
[90/02/90/0/90]г
[90/02/90/0/90]г
[90/02/90/0/90]г
[90/0/90/0/90]г
[90/02/90/02/90]г
[90/ ± 45/90/ ± 45/90]г
[90/ ± 60/90/ ± 60/90]г
[0/(±45J/0]т
[0/ ± 45/90/ ± 45/0]т
[0/ ± 45/0/ ± 45/0]т
Р,
Н
200
200
200
50
200
400
200
200
200
200
200
200
200
200
я,
мм
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,80
1,10
1,10
1,10
0,75
0,67
0,89
R
Н
174
174
174
174
174
174
174
197
142
142
142
208
234
174
мм
230
230
230
230
230
230
230
230
229
230
232
218
225
225
Рэ-Ю-4,
Н
4,13
4,00
5,15
5,70
6,38
5,75
5,05
4,13
8,40
10,38
11,88
4,00
1,12
2,75
МПа
47,0
45,0
65,0
64,0
71,5
65,0
57,0
52,5
77,5
95,5
110,0
54,0
18,0
34,0
Si-ИГ4,
МПа
7,4-9,9
7,4-9,9
7,4-9,9
7,3-9,6
7,3-9,6
7,3-9,6
7,3-9,6
7,3-9,8
9,3
7,2
4,3
5,9
Я2-10-4,
МПа
7,8-9,1
7,8-9,1
7,8-9,1
7,8-9,1
7,8-9,1
7,8-9,1
7,8-9,1
7,8-9,1
10,6
12,1
11,70
V\
0,03
0,05
0,03
Скр,
МПа
80,61
80,61
80,61
80,61
80,61
80,61
80,55
71,28
102,20
134,70
152,00
81,10
63,10
83,29
_и
«Vpi
МПа
59,6
59,6
59,6
59,6
59,6
59,6
59,6
52,5
72,8
150,9
142,5
110,7
87,5
46,8
(Тэ
<7кр
0,583
0,558
0,805
0,794
0,886
0,806
0,710
0,738
0,758
0,710
0,723
0,660
0,284
0,408
<Тэ
(Tip
0,790
0,790
1,089
1,075
1,200
1,090
0,958
1,000
1,065
0,634
0,772
0,488
0,203
0,925

§ 7.2. Предельные нагрузки разноориентировалных оболочек 291
Анализ результатов испытаний оболочек 4-6, изготовленных
намоткой с различным натяжением, показал, что усилие натяже-
натяжения Р = 200 Н соответствует большей критической нагрузке по
сравнению с Р = 50 и 400 Н.
Для оболочек с параметрами 1/R = 1,2—1,6, R/h = 140—230
оптимальной схемой армирования является [90/±60/90/±60/90]:г,
а с увеличением отношения R/h критическая нагрузка сущест-
существенно снижается, что объясняется наличием начальных несовер-
несовершенств, влияние которых для тонких оболочек значительнее.
В табл. 7.7 приведены результаты расчета критических напря-
напряжений сг^р, <т"р, полученные по модели С. А. Амбарцумяна [62] и
по формулам гл. 2. За исходные значения характеристик упру-
упругости монослоя были взяты следующие: Е\ = 13,5 • 104 МПа;
Е2 = 0,5-104 МПа; G = 0,45-104 МПа; vx = 0,28. Экспериментально
определенные критические напряжения удовлетворительно согла-
согласуются с расчетными. Среднее значение параметра o-^ja^ ха-
характеризующего отношение разрушающего напряжения к крити-
критическому, рассчитанному по модели С. А. Амбарцумяна, составило
0,705, а рассчитанному по формулам гл. 2 — 0,911. Указанные
формулы приводят к завышенным результатам для некоторых обо-
оболочек.
Из табл. 7.7 видно, что имеет место значительный разброс раз-
разрушающих нагрузок (напряжений). Коэффициент вариации пара-
параметра сгэ/(т^р оказался равным 24%. Это связано, по-видимому, с
различием в толщине оболочек, наличием начальных прогибов.
Разная средняя толщина объясняется применением при намотке
углеродной ленты неодинаковой толщины.
Величина коэффициента безопасности / для рассматриваемых
конструкций в соответствии с [47] равна 1,89 (/? = 0,95).
Обсуждение экспериментальных данных, содержащихся в
работах [131-133]. Сопоставим экспериментальные данные по
критическим нагрузкам при осевом сжатии стекло- и боропласти-
ковых цилиндрических оболочек, содержащиеся в указанных ра-
работах, с результатами расчета по алгоритму, представленному в
гл. 5. Шесть стеклопластиковых оболочек имели укладку слоев
[±</?], стенки других шести оболочек были составлены из четырех
спиральных слоев (с) и четырех окружных (н), т.е. имели схему
[±(/?/90]4т> [132]. Геометрические размеры оболочек, объемные со-
содержания волокон Vf, связующего Vr, объем пустот Vv, схемы ар-
армирования, результаты расчета и эксперимента представлены в
табл. 7.8. Расчет выполнен для материала со следующими харак-
характеристиками: Ei = 4,82 • 104 МПа; Е2 = 1,77 • 104 МПа; vx = 0,283;
G = 4,89 • 103 МПа.
20*

292
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
Таблица 7.8. Результаты испытаний и расчета стеклоплаетиковых
цилиндрических оболочек с JR = 381 мм и { = 762 мм
Тип
н + с
н + с
н + с
н + с
н + с
н + с
н
н
н
н
н
н
15
15
30
30
45
45
15
15
30
30
45
45
Н, мм
2,020
2,405
1,832
1,920
1,830
1,770
2,394
2,470
1,942
1,788
1,700
1,680
NA —
кр) мм
1439
2042
1389
1445
1225
1147
2024
2155
1337
1129
894
882
ш\
7
6
2
2
1
1
7
6
13
14
16
16
"А
12
И
9
9
6
6
11
И
2
2
1
1
кр> мм
992
1406
630
594
754
707
1255
1243
675
597
596
538
TV3
ДГА
0,689
0,689
0,454
0,390
0,615
0,617
0,620
0,577
0,505
0,529
0,667
0,610
vf
53,8
55,1
47,8
47,2
53,1
55,0
45,9
54,5
43,0
51,9
57,2
52,7
Vr
42,1
40,2
50,4
50,3
43,6
41,4
50,4
41,6
48,6
44,1
36,3
41,1
vv
4Д
4,7
1,8
2,5
3,3
3,6
3,7
3,9
8,4
4,0
6,5
6,2
* Индекс «А» при числах т, п отвечает модели С. А. Амбарцумяна.
Четыре многослойные оболочки с различными схемами арми-
армирования были полностью выполнены из эпоксидного боропластика
(Ei = 2,21 • 105 МПа, Е2 = 2,00 • Ю5 МПа, щ = 0,25, G = 5,00 х
х103 МПа), а четыре другие — с применением титанового сплава
(Е = 11,0 • 104МПа; и = 0,31) [133]. Геометрические размеры
оболочек, схемы армирования, результаты расчета и эксперимента
даны в табл. 7.9.
Из табл. 7.8 и 7.9 следует, что экспериментальные значения
осевого усилия Щр составляют 0,390-0,712 от расчетных N?p по
формуле B.1). Для длинных оболочек критическое усилие N^p,
вычисленное на основе уравнений Флюгге, лучше согласуется с
экспериментальным значением.
В работе [131] приведены результаты экспериментального ис-
исследования двухслойных стеклоплаетиковых цилиндрических обо-
оболочек сй= 127 мм, R/1 = 0,25, у которых окружные слои явля-
являются наружными,.а спиральные под утлом <р — внутренними.
Теоретические результаты оказываются близкими к результатам
эксперимента (табл. 7.10). При этом ориентировались на следую-
следующие значения характеристик упругости: для волокна Еа = 7,24 х
х104МПа, va - 0,20; для связующего Ем = 3,45 • 103 МПа, vu =
= 0,35. Другие характеристики монослоя рассчитывались по фор-
формулам работы [117].

Таблица 7.9. Результаты испытаний и расчета углепластиковых ободочек
Схема армирования
[±45/05/90/ ± 45/90/Os/ ± 45]г
[±45/05/90/ ± 45/90/Os/ ± 45]г
[±45/04/902/04/±45]г
[±45/04/902/04/±45]г
[±45/0i5/0,66Ti]r
[±45/015/0,66Ti]r
[±45/07/0,66Ti]r
[±45/04/0,66Ti]r
h
MM
464,3
464,3
426,7
426,7
381,0
381,0
381,0
381,0
D,
MM
92,7
92,7
93,2
93,2
97,8
97,0
97,3
97,3
D
H
39,8
39,8
51,4
51,4
37,6
52,1
67,3
67,3
V,,
%
100
100
100
100
75,3
64,3
54,6
54,6
N3
JYKpi
H/mm
2593
2455
1753
2026
3640
2236
1557
1459
nKpj
H/mm
5059
5059
3030
3030
6152
3216
2186
2186
N3
NA
0,513
0,485
0,579
0,669
0,592
0,695
0,712
0,667
m"A
9
9
8
8
8
17
2
2
n\
5
5
5
5
5
4
4
4
NF
H/mm
3228
3228
2010
2040
4440
2298
1593
1593
N3
NF
пкр
0,803
0,761
0,860
0,994
0,820
0,972
0,973
0,914
ТПр
1
1
1
1
1
1
1
1
rip
3
3
3
3
3
3
3
3
* Индексы А и F при числах т, п отвечают моделям Амбарцумяна и Флюгге.

294
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
Таблица 7.10. Результаты испытаний и расчета
двухслойных стеклопластиковых оболочеи
ч>
19,1
34,7
47,2
Число слоев намотки
Спиральных
4
4
6
Окружных
6
4
2
н,
мм
1,40
0,66
1,40
Нагрузка, кН
Разруша-
Разрушающая Рэ
106,8
137,9
99,5
Теорети-
Теоретическая Ркр
199,6
157,1
163,6
Параметры
волнообра-
волнообразования
тп
17
2
2
п
9
5
5
Рэ
Ркр
0,669
0,876
0,609
§ 7.3. Влияние нагрева на предельные нагрузки
разно ориентированных намоточных оболочек
Методика исследования углепластиковых оболочек. Экспери-
Экспериментальному исследованию подвергались 27 цилиндрических обо-
оболочек из углепластика КМУ-1лм с укладкой слоев типа [0/90 ±45],
изготовленных на пятикоординатном станке с программным
управлением методом намотки на металлическую оправку пропи-
пропитанной связующим углеленты с последующим автоклавным фор-
формованием. Для предохранения от смятия при воздействии сжи-
сжимающей нагрузки торцы оболочек были усилены окантовкой из
стеклоткани Т-10. Различаясь схемой армирования, толщиной
стенки (h = 2,9—5,07 мм), длиной (/ = 720 и 1325 мм), обо-
оболочки имели примерно одинаковый средний диаметр — 790 мм.
Геометрические параметры, а также варианты схемы армирова-
армирования, результаты испытаний и расчета оболочек приведены в
табл. 7.11.
Испытания проходили на универсальной электромеханической
машине, погрешность силоизмерительной системы которой не
превышает ±1% (см. гл. 6). Для обеспечения равномерности
приложения сжимающих усилий по контуру перед испытаниями
проводили обтяжку и центрирование оболочек относительно оси
нагружения. Критерием здесь являлась равномерность продоль-
продольных деформаций по периметру оболочки, измеренных с помощью
тензорезисторов ДК-10. Нагревали оболочки радиационным элек-
электронагревателем. Температуру наружной поверхности измеряли с
помощью 24 хромель-алюмелевых термопар на пленке лака ВЛ-6
и двух потенциометров КСП4.

§ 7.3. Влияние нагрева на предельные нагрузки
295
Таблица 7.11. Результаты испытаний и расчета
разиоориентированных намоточных углепластиковых оболочек
Вари-
Вариант
I
II
III
IV
V
Схема
армирования
[90/02/90/
±45/90/0]s
[90/02/90/ ± 45/
90/03/901/2]s
[90/0з/90/(±45J/
90/0/01/2]s
[90/03/90/(±45J/
0/90/03/2]s
[(90/02J/90/
(±45J/0/90/03/2]s
Номер
F\f\n
лочки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
S,
мм
2,90
3,50
3,40
3,80
3,70
3,40
3,70
3,30
3,45
3,25
3,30
3,45
3,89
4,09
3,82
4,09
4,69
4,64
5,07
5,07
5,07
5,07
d,
мм
788
792
688
800
794
788
812
792
790
794
790
796
808
764
802
788
786
786
788
788
790
788
1,
мм
1320
1322
1320
1320
1320
1320
1320
1325
1325
1325
718
718
720
720
1325
1325
1326
1326
1315
710
1315
710
т,
К
393
293
393
443
443
443
443
443
443
443
443
443
293
373
443
443
373
443
373
373
443
443
Я,,
мн
0,675
1,15
1,14
0,92
1,20
1,082
0,888
0,438
0,578
0,86
1,0
0,763
1,55
1,74
0,575
0,94
2,26
1,25
2,43
1,68
1,755
2,04
МПа
93,9
132,0
155,2
96,2
130,0
128,7
94,0
53,4
67,5
106,0
122,0
88,5
156,8
177,2
59,7
92,8
195,0
109,0
193,5
133,9
139,6
162,5
МПа
139,9
183,5
153,1
146,8
142,7
131,0
143,0
127,0
133,0
125,0
127,0
133,0
254,0
226,7
185,9
195,6
262,8
233,9
278,3
278,3
239,6
239,2
МПа
104,4
133,7
111,4
106,8
103,8
95,2
103,8
92,4
96,5
90,9
92,4
96,5
194,4
174,0
148,1
150,7
192,4
164,4
197,9
197,9
170,1
170,1
т-ъо
МПа
210,1
—
250,1
213,3
203,6
213,3
213,3
213,3
213,3
213,3
213,3
213,3
291,3
244,0
190,3
190,3
265,2
207,2
266,1
266,1
208,1
208,1
Исследование влияния концентраторов напряжений на несу-
несущую способность при совместном воздействии сжатия и нагре-
нагрева проводилось на оболочках с укладкой слоев варианта IV (см.
табл. 7.11), имеющих средний диаметр 796 мм, длину 790 мм, тол-
толщину 4,6 мм. Концентраторами напряжений служили сквозные
дефекты в виде круглых отверстий диаметром 40 мм и ориентиро-
ориентированных нормально к образующей прорезей длиной 60 мм. Чтобы
исключить взаимное влияние, дефекты были расположены диаме-
диаметрально противоположно и разнесены по образующей на расстоя-
расстояние 125 мм друг от друга. При температурах Т = 293, 373, 443 К
было испытано по одной оболочке. Из технологических припус-
припусков этих оболочек были изготовлены образцы-свидетели двух ти-
типов (рис. 7.13): гладкие (для определения предела прочности угле-
углепластика при сжатии) и со сквозной прорезью (для определения

296
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
характеристик трещиностойкости). Испытания проводили на ги-
гидравлической машине ЦДМ-ЮПу, оборудованной электрическим
динамометром. Для предотвращения общей потери устойчивости
при сжатии образцы помещали между алюминиевыми обкладками
У
у
Стеклотексто-
литовые
накладки
w j > 7^j v J ч
180
Я
00
II
сЗ
*
Рис. 7.13. Гладкие образцы-свидетели (а) для испытания на прочность и
образцы-свидетели с прорезью (б) для испытаний на трещино стойкость
с прямоугольными вырезами, стягиваемыми винтами. Среднюю
часть образцов нагревали малогабаритным устройством, состоя-
состоящим из четырех кварцевых ламп и стального кожуха-экрана. Тем-
Температуру измеряли двумя хромель-алюмелевыми термопарами,
одну из которых помещали на поверхности, а другую — на глубине
1-1,5 мм.
Обсуждение результатов испытаний углепластиковых оболочек.
Нагружение осевой сжимающей силой оболочек без концентрато-
концентраторов напряжений осуществляли ступенями АР = 0,1 МН вплоть до
момента разрушения, которое для всех рассмотренных схем арми-
армирования и условий испытания носило катастрофический характер
и происходило «хлопком» с образованием в рабочей части коль-
кольцевой наклонной трещины. При осмотре разрушенных оболочек
не было обнаружено явных признаков волнообразования от потери
устойчивости, что, по-видимому, связано с чрезвычайной хрупко-
хрупкостью углепластика. .Из табл. 7.11, где представлены результаты
испытаний оболочек (значения разрушающих нагрузок Рэ и соот-
соответственно им напряжения <тэ), следует, что при одинаковой длине
оболочек нагрев до Т = 443 К снижает их несущую способность по
сравнению с нормальными условиями (Т = 293 К) и умеренным
нагревом (Т = 373 К) в зависимости от варианта в среднем в 1,4-
1,8 раза. Следует указать на повышенный разброс полученных

§ 7.3. Влияние нагрева на предельные нагрузки
297
для углепластиковых оболочек с одинаковыми геометрическими
размерами и схемой армирования значений Рэ, который характе-
характеризуется коэффициентом вариации Vp. Например, для испытан-
испытанных при Т = 443 К оболочек варианта II Vp = 27%, что в два-три
раза больше, чем для аналогичных металлических конструкций.
Это, в частности, может быть объяснено наличием скрытых техно-
технологических дефектов, которые приводят к значительному сниже-
снижению несущей способности оболочек, а также наличием остаточных
напряжений, зависящих от натяжения углеленты при намотке и
режима термообработки при формовании.
Расчетная оценка несущей способности оболочек без концен-
концентраторов напряжений выполнена как по устойчивости, так и по
прочности с помощью методов, изложенных в § 7.2. При этом в
качестве характеристик прочности и упругости монослоя углепла-
углепластика КМУ-1лм были приняты характеристики, приведенные в
табл. 7.12 для двух уровней температур. Результаты расчета пред-
представлены в табл. 7.11.
Таблица 7.12. Характеристики прочности и упругости монослоя
углепластика КМУ-1лм
Г, К
293
443
Ei ¦ 10,
МПа
13,5
11,0
Е2 ¦ Ю-4,
МПа
0,5
0,3
G10,
МПа
0,450
0,225
0,28
0,25
МПа
850
600
МПа
600
400
_90
МПа
35
20
_90
МПа
80
40
П,
МПа
60
40
На рис. 7.14 для рассмотренных условий испытаний показаны
средние значения отношений (сг^р/аэ), (сг^р/аэ), (а^_ю/аэ), харак-
характеризующих точность используемых методов расчета. Для каж-
каждого уровня температуры на графике имеются три точки: первая
(светлый треугольник) — результат сравнения расчета на устойчи-
устойчивость по формулам гл. 2 с экспериментом (сг?р/<7э); вторая (темный
треугольник) — результат сравнения расчета на устойчивость по
формуле B.1) с экспериментом (сг^р/сгэ); третья (кружок) — ре-
результат сравнения расчета на прочность по методикам [35, 79] с
экспериментом @до/<7э). Анализ результатов расчета и экспери-
эксперимента показывает, что разрушение оболочек обусловлено потерей
устойчивости при достижении критических напряжений. Прове-
Проведенная через точки, соответствующие значениям а^р/аэ, огибаю-
огибающая (штриховая линия) дает расчетные (нижние) оценки несущей
способности оболочек. Отклонение штриховой линии от сплош-
сплошной характеризует величину расхождения расчета с результатами
19 Зак. 130

298
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
испытаний. Из рис. 7.14 следует, что при анализе несущей спо-
способности углепластиковых оболочек без концентраторов напряже-
напряжений в условиях воздействия повышенных температур предпочти-
предпочтительным является использование ортотропной модели, поскольку
0
2
—
0
^
0
^
* ¦ ¦—^
1 1
0
^
—-а
293
373
Г, К.
Рис. 7.14. Результаты сравнения расчета оболочек на прочность и устойчивость
с экспериментом
результаты расчетов, проведенных на ее основе, в целом удовлетво-
удовлетворительно согласуются с экспериментом. Наиболее близкое совпа-
совпадение результатов расчета и эксперимента наблюдается при Т =
= 373 К.
В качестве расчетной модели разрушения оболочки с концен-
концентраторами напряжений была принята двухпараметрическая мо-
модель механики разрушения композитов со сквозными дефектами
[120, 138], в соответствии с которой характеристиками трещино-
стойкости при сжатии являются критическое значение коэффи-
коэффициента интенсивности напряжений /с_/с и поправка на зону рас-
растрескивания в вершине прорези а_/. Величину характеристик
трещиностойкости для каждого уровня температуры Tj опреде-
определяли на основании предела прочности гладких образцов-свидете-
образцов-свидетелей a*_b и остаточной прочности образцов с прорезью а*, используя
уравнения, записанные аналогично приведенным в [121, 138] вы-
выражениям:
Здесь / — полудлина прорези в образце-свидетеле; /B//B5)) —
коэффициент, учитывающий влияние конечной ширины образца
2В [137].
На рис. 7.15 представлены средние значения отношений, ха-
характеризующих снижение прочности и трещиностойкости мате-

§ 7.3. Влияние нагрева на предельные нагрузки
299
риала оболочек при воздействии температуры по сравнению с нор-
нормальными условиями. Уменьшение прочности адгезионной связи
между волокном и матрицей при умеренном нагреве (Т = 373 К)
293
Рис. 7.15. Влияние температуры на относительные параметры прочности и тре-
щиностойкости: о — <т1(,/<т-ь, А — fcl/c/fc-/c, А — a"-i/a-i
способствует увеличению степени растрескивания матрицы в вер-
вершине прорези, поэтому значения поправки на зону растрескива-
растрескивания возросли в 1,17 раза по сравнению с нормальными услови-
условиями. Это в некоторой степени компенсирует влияние снижения
при той же температуре в 1,32 раза предела прочности углепла-
углепластика на значение K-jc, которое, в свою очередь, снижается в
1,2 раза. Нагрев до Г = 443 К приводит к более существенному
уменьшению трещиностойкости углепластика. По сравнению с
нормальными условиями значение K-jc снижается вдвое пропор-
пропорционально уменьшению предела прочности. Величина поправки
на зону растрескивания изменяется при этом незначительно.
Несмотря на то что размер отверстия в полтора раза меньше
длины прорези, разрушение оболочек с концентраторами напря-
напряжений как при нормальной, так и при повышенной температурах
было вызвано развитием кольцевых трещин от боковых кромок
отверстия. Для объяснения этого факта рассмотрим особенности
разрушения углепластиковых оболочек при сжатии. В них в рай-
районе боковых кромок отверстия происходила местная потеря устой-
устойчивости обшивки в направлении действия сжимающих усилий.
Она вызывала там увеличение локальных напряжений, иниции-
инициирующих появление трещин при меньших нагрузках по сравнению
с концом прорези, где из-за отсутствия протяженных в направле-
направлении сжатия свободных кромок местной потери устойчивости не
происходит. Характер и последовательность разрушения оболочек
зависит от температуры испытаний. При Т = 443 К, когда значи-
значительное «размягчение» матрицы способствует увеличению области
19*

300
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативяость
местной потери устойчивости обшивки, после страгивания тре-
трещин от боковых кромок отверстия происходило катастрофическое
разрушение оболочки, сопровождаемое резким звуком и падением
нагрузки. При Т = 293, 373 К область местной потери устойчиво-
устойчивости имеет меньшие размеры, поэтому, миновав ее, развивающиеся
от кромки отверстия трещины останавливались. Разрушение обо-
оболочек в этих условиях происходило после увеличения сжимающей
нагрузки.
Из рис. 7.16, на котором представлены данные эксперимента,
а также их сопоставление с результатами расчета, следует, что по
сс, МПа
200
100
0
10
20
30
40 2Я=2?,
мм
Рис. 7.16. Результаты сравнения расчетных и экспериментальных данных оста-
остаточной прочности оболочек с концентраторами напряжений: расчет; ^ —
Т = 293 К, кривая 1; о — Т = 373 К, кривая 2; 0 — Т = 443 К, кривая 3
сравнению с нормальными условиями остаточная прочность обо-
оболочек меньше при Т = 373 К в 1,12 раза, а при Т = 443 К —
в 2,3 раза. Сравнение полученных данных с результатами, при-
приведенными в табл. 7.11, показывает, что наличие концентраторов
напряжений при повышенной температуре снижает несущую спо-
способность углепластиковых оболочек в 1,8-2 раза.
В соответствии с работой [120] для расчетного определения
остаточной прочности оболочек с концентраторами напряжений
использовали уравнение
где (Gm + Gb) — коэффициент, учитывающий влияние кривизны
оболочки [136].
Расчетные значения остаточной прочности удовлетворительно
согласуются с экспериментальными данными для всех рассмотрен-
рассмотренных условий испытаний. Полученные результаты показывают, что
для анализа несущей способности углепластиковых оболочек с кон-
концентраторами напряжений при совместном воздействии сжатия

§ 7.3. Влияние нагрева на предельные нагрузки 301
и нагрева может быть использована двухпараметрическая модель
механики разрушения композитов. При этом характеристики тре-
щиностойкости углепластика определяют по результатам испыта-
испытаний маломасштабных образцов-свидетелей, характер разрушения
которых должен соответствовать характеру разрушения композита
в конструкции.
Приведенные выше результаты экспериментально-теоретичес-
экспериментально-теоретических исследований указывают на необходимость учета при проек-
проектировании особенностей хрупкого разрушения углепластиков и их
чрезвычайно высокой чувствительности к концентраторам напря-
напряжений как при нормальной, так и при повышенной температурах.
Обсуждение экспериментальных данных работы [46]. В этой
работе исследуется влияние повышенных температур на крити-
критические нагрузки при осевом сжатии изготовленных методом «мо-
«мокрой» комбинированной намотки цилиндрических оболочек из сте-
стеклопластика на эпоксидно-фенольном связующем и стеклонитей
НС 150/2. Объемное содержание связующего около 40%. Схема ар-
армирования— [0/90/0]пу. Диаметр оболочек 140мм, длина 140 мм,
толщина стенки 0,45 мм. Испытания проводили на универсаль-
универсальной испытательной машине RS-2, обеспечивающей постоянство
скорости нагружения и электронную запись диаграмм «нагрузка-
перемещение активной траверсы» с помощью индуктивных дат-
датчиков.
Нагружение осуществлялось через шаровые опоры и нагрузоч-
нагрузочные плиты, в которых для центрирования оболочки по отношению
к оси приложения нагрузки были сделаны посадочные пазы (вы-
(выточки) сечением 4x5 мм. В пазах во избежание смятия торцов обо-
оболочки заливались связующим холодного отверждения. Как пока-
показали тарировочные испытания, установка оболочек в посадочных
пазах и использование шаровых опор обеспечивали равномерность
передачи осевой нагрузки на ее торцы.
Нагревали оболочки в термокамере машины RS-2. Поддержа-
Поддержание температурного режима и контроль за ним осуществляли с
помощью копель-хромелевой термопары, которая касалась наруж-
наружной поверхности оболочки в ее средней части. Тарировочные ис-
испытания показали, что после 30-минутного нагрева при заданном
температурном режиме перепад температур вдоль образующей обо-
оболочки в ее средней части и возле краев не превышал 2 К и что
колебания температуры при установившемся режиме составляли
±1К.
Порядок испытания оболочек заключался в следующем. Уста-
Установленную в машине оболочку прогревали в течение 30 мин. Затем
ее нагружали до потери несущей способности, которая сопровожда-
сопровождалась хлопком с образованием вмятин и падением нагрузки. После

302
Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативяость
хлопка машину переключали на разгрузку. Разгрузка сопровожда-
сопровождалась или обратным «выхлопом», или медленным восстановлением
первоначальной формы в зависимости от температуры испытаний.
Скорость нагружения и разгрузки оболочек поддерживалась посто-
постоянной и составляла 500МПа/мин.
Характерные диаграммы «нагрузка-перемещение торцов» для
оболочек при различных температурах показаны на рис. 7.17,
о
1
2 Д/4210, мм
Рис. 7.17. Характерные диаграммы «нагрузка-перемещение торцов» стеклопла-
стиковых оболочек при различных температурах
где кривая 1 соответствует температуре 293 К, 2 — 323 К, 3 —
337,5 К, 4 — 348 К. Зависимость критических нагрузок от темпера-
температуры представлена на рис. 7.18 (кривая 1 — верхние критические
нагрузки, а кривая 2 — нижние). Под нижней критической на-
нагрузкой, следуя [37], понимали минимальную нагрузку перед
обратным выхлопом. При каждом температурном режиме было
испытано не менее пяти оболочек.
Из результатов испытаний следует, что характер деформирова-
деформирования не зависит в докритическом состоянии (при нагружении) от
температуры, а падение верхней и нижней критической нагрузок,
по-видимому, обусловлено влиянием температуры на характери-

§ 7.3. Влияние нагрева на предельные нагрузки
303
стики упругости материала. Для выяснения этого влияния были
проведены испытания макрообразцов идентичного стеклопластика.
Призматические образцы, вырезанные из пластин, изготовленных
20 -
10 -
0 25 50 75 Г, "С
Рис. 7.18. Зависимость критических напряжений оболочек от температуры
методом намотки на металлическую оправку с последующим от-
отверждением под прессом при удельном давлении 100МПа, испы-
испытывали при ступенчатом нагружении в термокамере машины RS-2
в тех же температурных условиях, что и оболочки. Деформации
измеряли проволочными тензодатчиками сопротивления, причем
Е*Л(Г*, МПа; G*10, МПа; v*10"'
50
75 Т, °С
Рис. 7.19. Зависимость характеристик упругости материала стеклопластиковых
оболочек от температуры
для устранения температурных эффектов компенсационные тен-
зодатчики, наклеенные на аналогичные образцы, также помещали
в термокамеру.

304 Гл. 7. Влияние схем армирования на деформативность
Зависимость характеристик упругости, определенных как сред-
среднее арифметическое из испытаний пяти образцов, от температуры
представлена на рис. 7.19, где кривая 1 — изменение модуля упру-
упругости Е*, 2 — модуля упругости Е%, 3 и 4 — коэффициентов
Пуассона и* и v\ соответственно, 5 — модуля сдвига G*, который
В1*
вычисляли по формуле G* = ——45 . Здесь Е\ь и v\b — харак-
41 + и\ь)
теристики упругости, определенные на образцах с расположением
армирующих элементов под углом 45° к оси приложения нагрузки.
Экспериментально полученные значения верхних критичес-
критических напряжений сравнивались с результатами расчета на основе
линеаризованных уравнений устойчивости оболочек при безмо-
ментном докритическом состоянии (см. гл. 2). Результаты вы-
вычислений по формулам гл. 2 с учетом изменения характеристик
упругости от температуры (рис. 7.19) показаны штриховой ли-
линией на рис. 7.18. Видно, что расчет качественно подтверждает
экспериментально установленную зависимость верхних критиче-
критических напряжений от температуры.

Глава 8
ЗАЕ0Н0МБРН0СТИ ИЗМЕНЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ
НАГРУЗОК ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ СИЛОВЫХ И ТЕПЛОВЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Излагаются результаты экспериментального исследования за-
закономерностей изменения предельных нагрузок при комнатной и
повышенной температурах оболочек в случае кручения [23], одно- и
много секционных оболочечных конструкций в случае поперечного
изгиба [114], цилиндрических панелей при растяжении в двух на-
направлениях со сдвигом [15], замкнутых в вершине оболочек враще-
вращения при неравномерном внешнем давлении [84], цилиндрических
и плоских панелей при продольном сжатии. Значительное внима-
внимание уделено описанию методики испытаний, оценке точности вос-
воспроизведения нагрузок и температурных полей при испытаниях,
сопоставлению экспериментальных данных с расчетными.
§ 8.1. Предельные нагрузки тонкостенных
стеклоплаетиковых оболочек при кручении
Конструкция стенок, материалы и технологический процесс
получения 44 оболочек на фенолформальдегидном связующем, под-
подвергавшихся в процессе испытаний нагружению по торцам крутя-
крутящими моментами при комнатной и повышенной температурах, а
также значения характеристик упругости и методика их опреде-
определения представлены в гл. 6. Испытываемые оболочки отличались
геометрическими размерами. Длина оболочек варианта I 306 мм,
а варианта II 550 мм. Значения h и R даны в табл. 8.1.
Методика исследования. Схема установки для испытаний при-
приведена на рис. 8.1. Утолщенные торцы горизонтально расположен-
расположенной оболочки вставляли в пазы силовых колец, одно из которых
A) болтами крепили к плите 2 на станине 3. Второе кольцо D)
служило для крепления рычажной системы 5, с помощью кото-
которой воспроизводили нагрузку. Крепление оболочки к кольцам осу-
осуществлялось с помощью болтового и клеевого соединений. Для
устранения влияния на несущую способность оболочек попереч-
поперечных нагрузок, создаваемых весом кольца 4, плиты 6 и рычажной

306
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
Таблица 8.1. Результаты испытаний и расчета оболочек на кручение
h,
мм
R,
мм
Ь,
К/с
т,
с
т,
МПа
Крутящий момент, кНм
По фор-
формуле
E.33)
гл.2
По формуле E.27) гл. 2
G* = с3+
+d3T
Испытания при комнатной температуре
G* =
Щ
MS
2,77
5,89
2,50
2,50
2,33
2,36
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,23
2,15
2,31
2,36
2,15
2,21
2,26
2,36
2,15
44,7
46,3
45,7
45,7
144,7
144,7
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
144,6
144,6
144,7
144,7
144,6
144,6
144,6
144,7
144,6
293
293
293
293
293
293
46,7
42,5
54,5
52,5
32,0
31,0
1,63
3,37
1,79
1,72
9,81
9,68
Испытания при равномерном нагреве
340
349
340
338
401
408
398
453
468
466
519
509
510
339
388
474
498
509
543
556
382
346
29,2 0,94
0,88
1,24
1,12
0,80
0,82
0,72
0,42
0,50
0,41
0,39
0,40
0,40
4,84
5,50
2,86
3,96
3,30
3,19
2,75
5,39
5,50
28,0
38,6
34,8
25,0
25,5
22,2
13,0
25,6
12,6
12Д
12,4
13,3
16,5
19,4
9,4
12,7
11,7
11,0
9,3
17,7
19,5
12,08
10,03
9,52
9,33
7,32
6,98
7,01
12,53
10,97
8,71
7,13
6,14
5,80
4,50
3,92
3,75
8,78
7,94
8,67
6,99
8,21
5,96
4,71
4,42
4,41
8,62
7,89
0,557
0,788
0,461
0,665
0,700
0,721
0,624
0,625
0,697
Испытания при нестационарном нагреве
I
II
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,50
2,5
2,5
2,5
2,2
2,2
2,7
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
45,3
45,8
45,8
45,8
45,8
45,3
45,3
144,6
144,6
144,9
4,5
2,3
4,8
4,8
1,8
2,5
4,1
2,5
2,3
2,4
2,5
2,5
3,2
3,2
1,9
37,5
55,0
35,0
36,0
90,0
60,0
25,0
37,5
93,0
102,0
112,0
33,0
69,0
64,0
97,0
462
419
461
466
455
443
396
387
507
538
551
376
514
498
473
26,8
24,8
24,8
24,8
24,8
24,8
36,5
35,4
15,2
15,2
16,5
37,3
13,4
13,5
13,5
0,86
0,80
0,80
0,80
0,80
0,80
1,20
1,16
0,50
0,50
0,50
1,20
3,89
3,21
4,80
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
8,42
8,24
10,94
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
5,45
5,43
6,11
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
5,50
5,44
6,80
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0,706
0,591
0,706

§ 8.1. Предельные нагрузки тонкостенных оболочек
307
системы, в силовом кольце 4 устанавливали центровочное приспо-
приспособление, состоящее из фланца с подшипником 7 и жестко укреп-
укрепленного на стойке 8 вала 9. Нагрузку измеряли стержневыми A0)
Рис. 8.1. Установка для испытаний на кручение нагреваемых оболочек
и пружинными A1) динамометрами. Нагревали оболочку радиа-
радиационным нагревателем с трубчатыми излучателями 12 из фольги
Х20Н80. Угловые перемещения измеряли дистанционными инди-
индикаторами 13, а относительные деформации — тензорезисторами
К-25. Методика измерения температур аналогична изложенной в
гл. 6. Связями между оболочками и индикаторами служили нити
из инвара, тепло- и электроизолированные в зоне нагрева.
При отработке режима нагревания на одну из оболочек наклеи-
наклеивали 40 термопар, по которым контролировались температуры Тн и
Твн, и добивались того, чтобы отклонение от средней температуры
не превышало 5%. Это достигалось с помощью подвижных отра-
отражателей, установленных над концами нагревателей, и смещения
излучателей относительно нейтральной оси. Перед испытаниями
при Т = То проводили обтяжку оболочек до нагрузки Мк ~ 0,5МКо.
Нагружение до разрушения вели со скоростью 867 Н • м/мин.
Исследование в условиях равномерного нагрева проводилось в
следующем порядке. После обтяжки и нагружения до Мк — 0,1 МКо

308
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
оболочку разгружали, затем нагревали до температуры Тн. Кон-
Контроль за нагреванием осуществляли по температурам Тн и Твн.
При AT = ТН — Твн < 10 К оболочки нагружали до разрушения.
Порядок проведения испытаний в условиях нестационарного
нагрева был таким. После обтяжки оболочки нагружали крутя-
крутящим моментом MKi, а затем нагревали до разрушения, поддержи-
поддерживая постоянной величину MKj. Управление нагреванием вели по
температуре Т„, которую изменяли линейно с течением времени.
При разных уровнях нагрузки и темпах нагрева определяли дол-
долговечность оболочек — время до разрушения.
Результаты испытаний. Разрушение оболочек при Т — То было
различным. У образцов варианта I возникали трещины, напра-
направленные вдоль осевой линии или под небольшим углом к ней
Рис. 8.2. Форма разрушения оболочек вариантов I (а) и II (б) при комнатной
температуре
(а = 5—15°, рис. 8.2,-а). Иногда угол достигал значения a = 45°,
но при этом во многих местах появлялись трещины, параллель-
параллельные осевой линии.
При нагружении оболочек варианта II происходило выпучива-
выпучивание стенок с сильным резким звуком. На поверхности появлялись
вмятины, расположенные под углом /3 = 45° к осевой линии. Про-
Процесс выпучивания сопровождался расслоением стенки и выкраши-

§ 8.1. Предельные нагрузки тонкостенных оболочек
309
ванием части материала (рис. 8.26). После снятия нагрузки обо-
оболочки стремились вернуться к начальному состоянию. Основные
результаты испытаний (разрушающие или критические нагрузки
М?, разрушающие или критические касательные напряжения г|у)
приведены в табл. 8.1.
На рис. 8.3 представлены диаграммы деформирования «на-
«напряжение — угол закручивания» при комнатной и повышенной
температурах. Установлено, что при комнатной температуре они
V МПа
30
20
10
0,025 0,050 0,075 ср, рад
0,025
б
ф, рад
Рис. 8.3. Изменение углов закручивания торцевых сечений оболочек вариантов
I (а) и II (б): а — при Т = 293К A), ЗЗЗК B), 403К C), 468К D), 503К E);
5— при Т = 293К {1), 339К B), 348К E), 388К D), 508К E), 543К F),
553К G)
состоят из двух ярко выраженных прямолинейных участков, ха-
характеризуемых модулями сдвига G\2 — 3670—5560 МПа и G12 =
= 1910—2420МПа. Особенно отчетливо это видно для оболочек
варианта I. При повышенных температурах диаграммы носят не-
нелинейный характер, что, по-видимому, связано с особенностями
деформирования связующего и нарушением адгезионных связей
между компонентами материала.
При изотермических состояниях в диапазоне температур Т =
= 339 -j- 556 К было испытано 13 оболочек варианта I и 9 оболо-
оболочек варианта И. Характер их разрушения аналогичен характеру
разрушения при Т — Tq. С повышением температуры значения

310 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
предельных моментов уменьшались. Зависимость относительных
предельных касательных напряжений Кт от относительной тем-
температуры в для оболочек варианта I может быть выражена кусочно-
линейной функцией
Кт =
1,00 - 0,216"; О<0<О,16;
0,82 - 0,970; 0,16 < 0 < 0,57;
0,34-0,130; О,57<0<О,9О.
A.1)
Здесь т%у — разрушающие касательные напряжения при Г > Го.
Зависимость A.1) показана сплошной линией на рис. 8.4. Там же
светлыми кружками обозначены относительные разрушающие на-
напряжения оболочек варианта I, а темными — варианта П. Видно,
Рис. 8.4. Зависимость относительных предельных касательных напряжений от
относительной температуры
что экспериментальные точки, полученные при испытаниях обо-
оболочек варианта II, достаточно близко лежат возле кривой. Это
указывает на то, что, несмотря на различный характер разруше-
разрушения оболочек, изменение их относительной несущей способности
с ростом температуры подчинялось одному закону.
При нестационарном нагреве было испытано 12 оболочек ва-
варианта I и три оболочки варианта II. Их наружную поверхность
нагревали со скоростью b = 1,8—4,8 К/с. Максимальная темпера-
температура поверхности не превышала 538 К, а время нагрева — 112 с.
С увеличением нагрузки и скоростей нагрева долговечность кон-
конструкции уменьшалась. Характер разрушения аналогичен харак-
характеру разрушения при изотермических состояниях. Большинство
оболочек после снятия нагрузки возвращалось в исходное состоя-
состояние, за исключением тех, у которых Гвн > 473 К. В этом случае

§8.1. Предельные нагрузки тонкостенных оболочек ЗИ
на стенке сохранялись складки (рис. 8.5). Скорости и продол-
продолжительность нагрева наружной поверхности, ее температура в
Рис. 8.5. Форма разрушения оболочек при Гвн > 473 К
момент времени, предшествующий разрушению, а также значе-
значения предельных крутящих моментов и разрушающих касатель-
касательных напряжений даны в табл. 8.1.
Сопоставление с расчетом. Значения критических крутящих
моментов для оболочек, потерявших устойчивость, вычисленных
по алгоритму гл. 2, приведены в табл. 8.1. Видно, что для тон-
тонкостенных оболочек при комнатной температуре имеет место хо-
хорошее совпадение результатов расчета по формуле E.27) гл. 2 с
экспериментальными данными. Для оболочек, испытанных при
изотермических состояниях, отклонение экспериментальных зна-
значений критических моментов от расчетных по формуле E.27) гл. 2
для двух законов изменения модуля сдвига от температуры (ли-
(линейного и экспоненциального, см. гл. 2 и 6) составляет около 50%.
То же самое наблюдается и для трех оболочек варианта II, ис-
испытанных при нестационарном нагреве. Указанное отклонение,
по-видимому, связано с тем, что при высоких значениях темпера-
температуры тепловоспринимающей поверхности часть материала стенки
подвержена расслоению, в ней возникают пластические деформа-
деформации. Кроме того, при высоких температурах могут проявляться и
реологические свойства материала.
Расчет по приближенной формуле E.31) гл. 2 дает завышенные
значения крутящего момента.

312
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
§ 8.2. Предельные нагрузки одно- и много секционных
об о л очечных конструкций при поперечном изгибе
Конструкция односекционных оболочек и методика их испыта-
испытаний. Конструкция стенок, материалы и технологический процесс
получения 14 оболочек на фенолформальдегидном связующем, под-
подвергавшихся в процессе испытаний нагружению поперечной силой
на конце при комнатной и повышенной температурах, а также
значения характеристик упругости и методика их определения
представлены в гл. 6. Геометрические размеры оболочек: длина
800 мм, внутренний диаметр 500 мм; толщина стенки 4 мм.
Для создания поперечного изгиба и обеспечения требуемого те-
теплового режима использовали установку, показанную на рис. 8.6
Рис. 8.6. Установка для испытаний оболочек при нагружении поперечной силой
[114]. Она состояла из опоры 1, на которую вертикально устана-
устанавливали оболочку 2, стойки 6 для крепления силовозбудителя 5.
К оболочке крепили два жестких стальных шпангоута, один из ко-
которых использовался для ее консольного закрепления, а другой —
для приложения поперечной нагрузки. В одной цепи с гидрав-
гидравлическим силовозбудителем устанавливали дистанционный C) и
визуальный D) динамометры. Показания дистанционного дина-
динамометра регистрировали потенциометром типа ЭПП-09. Воспроиз-
Воспроизведение требуемого теплового режима обеспечивалось с помощью
радиационного нагревателя 7 с трубчатыми излучателями из жа-
жаропрочной стали. Получаемая при этом неравномерность темпера-
температуры поверхности по периметру не превышала 5%.
При комнатной температуре были испытаны четыре обо-
оболочки. Испытания проводили в три этапа: 1) обтяжка при нагрузке

§ 8.2. Предельные нагрузки оболочечных конструкций 313
Q = 40 кН с последующей разгрузкой; 2) нагружение ступенями
AQ = 10 кН до нагрузки Q = 70 кН; 3) непрерывное нагружение
от нагрузки Q = 70 кН до разрушения.
При нестационарном нагреве было испытано 10 оболочек. Сна-
Сначала их нагружали ступенями AQ = 10 кН до заданного уровня
E0, 70 или 90 кН), затем температуру наружной поверхности из-
изменяли по линейному закону во времени вплоть до начала разру-
разрушения, скорость изменения температуры для различных оболочек
варьировали в пределах 0,75-4 К/с. После отработки режимов на-
нагрева измерение температуры в осевом и окружном направлениях
осуществлялось в 7 точках с помощью хромель-алюмелевых тер-
термопар с диаметром электродов 0,05 мм, их показания регистриро-
регистрировались потенциометрами типа ЭПП-09. Электроды приклеивались
к поверхностям оболочки клеем ВС-10.
Общие деформации измеряли в 10 точках с помощью индика-
индикаторов (дистанционных или визуальных) с ходами 10 и 50 мм, а
относительные деформации при комнатной температуре — тен-
зорезисторами К-25, которые приклеивали клеем «192» к наруж-
наружной поверхности оболочек в осевом, окружном направлениях и под
углом ±45° к продольной оси.
Обсуждение результатов испытаний оболочек. Полученные ре-
результаты сравнивали с результатами испытаний оболочек из алю-
миниево-магниевого сплава АМг-ЗП, одинаковых по массе со
стеклопластиковыми, но имеющих другую толщину стенки. На
рис. 8.7 для трех уровней нагрузки при комнатной температуре
/мм
3
2
1
400
600 х, мм
Рис. 8.7. Упругие линии консольных стеклопластиковых оболочек и оболочек из
сплава АМг-ЗП: Q = 90 кН A), 70 кН B), 50кН C)
сплошными кривыми обозначены упругие линии стеклопластико-
стеклопластиковых оболочек, а пунктирными — оболочек из сплава АМг-ЗП [114].
Видно, что прогибы металлической оболочки значительно мень-
меньше прогибов стеклопластиковой при одних и тех же уровнях
нагрузки.

314 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
Отметим, что распределение относительных осевых деформа-
деформаций ?i по периметру оболочек в соответствии с балочной теорией
Рис. 8.8. Распределение относительных осевых деформаций по периметру сте-
клопластиковой оболочки при Q = 60 кН: • — эксперимент, х/1 = 0,625, кри-
кривая 1, х — х/1 = 0,375, кривая 2
должно изменяться по .закону синуса (рис. 8.8 и 8.9), а угло-
угловых ?2 — по закону косинуса (рис. 8.10). Эти закономерности
Рис. 8.9. Распределение относительных осевых деформаций для х/1 — 0,625 по
периметру оболочки из сплава АМг-ЗП: • — эксперимент, теоретическая
кривая для Q = 60 кН
подтверждают результаты тензометрии в сечениях х/1 = 0,625
и 0,375, приведенные на рисунках.

§ 8.2. Предельные нагрузки оболочечных конструкций
315
Разрушение оболочек при комнатной температуре было различ-
различным. Оболочки из АМг-ЗП разрушались вблизи заделки в зоне
-600 L
Рис. 8.10. Распределение относительных угловых деформаций по периметру сте-
клопластиковой оболочки при Q = 60 кН: • — эксперимент для xjl — 0,625,
х — х/1 = 0,375, теоретическая кривая
действия максимальных сжимающих напряжений (рис. 8.11), а
стеклопластиковые оболочки — по площадкам, образующим угол
Рис. 8.11. Форма разрушения оболочки из сплава АМг-ЗП при комнатной темпе-
температуре
Рис. 8.12. Форма разрушения стеклопластиковой оболочки при комнатной тем-
температуре

316
Гл.8. Закономерности изменения предельных нагрузок
40-50° к образующей (рис. 8.12). Разрушение происходило при
нагрузках Q3 = 130—165 кН.
На рис. 8.13 представлены результаты измерений температур
стеклопластиковой и металлической оболочек, а также их проги-
прогибов в точках, отстоящих на расстоянии 700 мм от заделки, при на-
нагревании со скоростью b = 1,5 К/с и постоянном уровне нагрузки
W, мм Т, К
423
373
323
- 273
о
50
100 т, с
10
8
6
4
2
б 0
-473
'423
373
.323
-273
100
150 х, с
Рис. 8.13. Изменение температур наружной и внутренней поверхностей и проги-
прогибов стеклопластиковой оболочки (а) и оболочки из сплава АМг-ЗП E) по времени
Q = 70 кН. Видно, что характер изменения прогибов оболочек раз-
различен. При нагревании стеклопластиковых оболочек наблюдалось
плавное монотонное нарастание деформаций вплоть до начала раз-
разрушения, а при нагревании металлической оболочки — катастро-
катастрофическое их нарастание перед разрушением.
На рис. 8.14 и 8.15 представлены оболочки после разрушения.
Видно, что у металлической оболочки оно происходило от потери
устойчивости стенки в сжатой зоне на расстоянии 150-200 мм от

§ 8.2. Предельные нагрузки оболочечных конструкций
317
Рис. 8.14. Форма разрушения нагретой стеклопластиковой оболочки
Рис. 8.15. Форма разрушения нагретой оболочки из сплава АМг-ЗП
заделки, а у стеклопластиковой — в зоне совместного действия
нормальных и касательных напряжений, т. е. начало разрушения
смещалось на угол 45-50° в сторону максимальных касательных
напряжений.
Таблица 8.2. Основные результаты испытаний консольных оболочек
при нагружении поперечной силой
Материал
Стеклопластик
АМг-ЗП
h, мм
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
2,5
2,5
2,5
Q,kH
50
50
50
70
70
70
70
70
70
90
50
70
90
6, К/с
0,75
1,50
1,50
1,50
1,50
3,00
3,60
4,00
4,00
1,50
1,50
1,50
1,50
Гэ, С
260
150
130
120
125
65
78
65
90
83
190
165
150
W3, мм
6,2
10,0
6,8
13,8
8,5
10,3
9,2
8,5
9,8
12,0
Основные результаты испытаний при нестационарном нагреве
представлены в табл. 8.2. В ней тэ — время до разрушения при

318 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
фиксированном уровне поперечной силы Q, W3 — прогиб перед
началом разрушения в точке, отстоящей на расстоянии 700 мм
1,5 К/с
60
80 т* т,с
Рис. 8.16. Изменение параметра критической поперечной силы по времени:
h = 4 мм, R = 250 к«. I = 800 мм
от заделки. Кроме того, на рис. 8.16 приведено изменение кри-
критического параметра поперечной силы a* ~ QR/-kD\x по вре-
времени для стеклопластиковых оболочек, нагреваемых со скоростью
b = 1,5 — 4,0 К/с. Сплошные кривые соответствуют расчету по ка-

§ 8.2. Предельные нагрузки оболочечных конструкций
319
сательным усилиям B.7.8), а пунктирные — по их амплитудным
значениям. Расчет выполнен с помощью программы на языке
ФОРТРАН. Точками показаны результаты эксперимента. Заме-
Заметим, что для рассматриваемых оболочек имеет место достаточно
хорошее согласование результатов расчета и эксперимента. Ука-
Указанные кривые пересекаются в момент времени т*. Для т < т*
оценка критической поперечной силы по G.8) гл. 2 является завы-
завышенной, а для т > т* — заниженной.
Многосекционные оболочечные конструкции и методика их ис-
испытаний. Испытывались пятисекционные замкнутые оболочечные
конструкции, прямоугольные в плане и с переменной толщиной
по длине (рис. 8.17), а также вырезанные из них двухсекционные
С ~^ 1
||
и
II
1 II
1 И
II
1 II
1 II
1 ||
II
и
II
и
II
II
II
! И
II
||
. II
И 1
II 1
II 1
II 1
ii I
И 1
И 1
И 1
II 1
II 1
II 1
И 1
И 1
II 1
II 1
II 1
1 11
И И 1
II II 1
II 1
II
1
1 1
1 •
1 1
1
370
Вид по А | А
3
L296»
(—я. ^А( \\( \
A Jl J
ж 222 \ 148 р| 74"^
1,5
Рис. 8.17. Пятисекционная оболочечная конструкция
элементы. На первом этапе определялись предельные нагрузки
элементов при температуре Г = Го- На втором этапе исследо-
исследовались температурные поля при изменении температуры Т„ по

320 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
линейному закону с течением времени. На третьем этапе нахо-
находились предельные нагрузки при одинаковых режимах нагрева
различных элементов. Количество испытываемых двухсекцион-
двухсекционных элементов и режимы нагрева выбирали из условий, обеспе-
обеспечивающих возможность построения обобщенной характеристики
Кр — Kp(Fo/Fo ), с помощью которой затем определяли
предельные нагрузки пятисекционных элементов при нестацио-
нестационарных режимах нагрева. Критическую температуру находили
при испытаниях равномерно нагретых двухсекционных эле-
элементов.
Исследование проводили на 44 элементах, выполненных на
основе фенолформальдегидного, эпоксифенольного или совмещен-
совмещенного эпоксикремнийорганического связующего. Наполнителем
служили ленты толщиной 0,25-0,3 мм и шириной 10-15 мм, со-
собранные из нитей НС-150-2 на основе алюмоборосиликатного
стекла.
Технологический процесс изготовления пятисекционных отсе-
отсеков сводился к следующему. На профилированные знаки-оправ-
знаки-оправки наматывали последовательно чередующимися продольными и
поперечными слоями ленту. Натяжение ее при намотке попереч-
поперечных слоев 250Н/см, а продольных — 150Н/см. С целью улуч-
улучшения адгезии между слоями ленту изготавливали из матов,
уложенных в пакеты с заданной анизотропией механических
характеристик. Утолщения между поперечными стенками и об-
обшивкой изготавливали методом формования в отдельном приспо-
приспособлении. Знаки-оправки с лентами, обшивки и утолщения укла-
укладывали в пресс-форму. Режим прессования определялся типом
связующего. Описываемый технологический процесс в современ-
современном представлении соответствует технологическому процессу из-
изготовления интегральных конструкций.
Схема установки для испытаний этих конструкций предста-
представлена на рис. 8.18. Конструкции нагружали равными сосредото-
сосредоточенными силами, сводимыми к одной равнодействующей с помо-
помощью рычажных систем, находящихся вне зоны нагрева. Нагрузку
к ним прикладывали с помощью накладок с шарнирными голов-
головками и тяг, тепло- и электроизолированных в зоне нагрева фар-
фарфоровыми трубками. Нагрев конструкций осуществлялся плос-
плоскими радиационными нагревателями с трубчатыми излучателями
из стали ЭИ868. С целью сохранения в процессе деформации рав-
равномерной плотности теплового потока на нагреваемых поверхно-
поверхностях один конец верхнего и нижнего нагревателей шарнирно кре-
крепили к плите, а второй подвешивали к рычажной системе. При
нагружении они следовали за испытываемым изделием, сохраняя
равными по вертикали зазоры между излучателями и его поверх-
поверхностями.

§ 8.2. Предельные нагрузки оболочечных конструкций 321
Исследование температурных полей проводили на пятисек-
ционном отсеке из стеклопластика на фенолформальдегидном
связующем и на двухсекционных элементах из стеклопластика
Рис. 8.18. Схема установки для испытаний многосекционных оболочечных кон-
конструкций: 1 — станина; 2 — силовозбудитель; 3 — стержневой динамометр;
4 — визуальный динамометр; 5 — тяга; 6 — радиационный излучатель; 7 —
испытываемая конструкция; 8 — индикаторы; 9 — кронштейн; 10 — балка
крепежная
на эпоксикремнийорганическом связующем. Количество и место
установки термопар выбирали из условий получения наибольшей
22 Зак. 130

322 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
информации о распределении температур в сечениях конструкции.
На каждом элементе устанавливали по 22 термопары.
Управление нагреванием велось по шести контрольным термо-
термопарам, установленным в центральной части элемента на наруж-
наружных поверхностях обшивки между стенками. Их температуру из-
изменяли по линейному закону с течением времени при скоростях
Ь\ = ЗК/с и &2 = 6 К/с. Продолжительность нагревания не пре-
превышала 90 с, а Тнтах = 800 К.
Исследование при нестационарных режимах нагрева проводи-
проводилось в следующем порядке. Каждый элемент нагружали ступенями
до нагрузки Р = 0,15—О,75Ро) а затем нагревали с постоянной
скоростью изменения температуры Тн, причем b = 0,5—6,0 К/с.
Уровень нагрузки поддерживался постоянным вплоть до начала
разрушения. Схема приложения нагрузки аналогична схеме при
испытаниях в случае изотермических состояний.
Обсуждение результатов испытаний многосекционных оболо-
чечных интегральных конструкций. Разрушение элементов при
комнатной температуре носило различный характер. Если в эле-
элементах на эпоксифенольном связующем расслаивалась и выпучи-
выпучивалась обшивка в сжатой зоне (рис. 8.19), то в элементах на фенол-
формальдегидном связующем происходило хрупкое выламывание
Рис. 8.19. Форма разрушения при комнатной температуре элементов на эпокси-
эпоксифенольном связующем •
по контуру заделки при небольших нагрузках (рис. 8.20). Это ука-
указывает на высокую чувствительность его к концентрациям напря-
напряжений, порождаемых заделкой. Характер разрушения элементов
на эпоксикремнийорганическом связующем аналогичен характеру
разрушения на эпоксифенольном связующем.

§ 8.2. Предельные нагрузки оболочечных конструкций 323
Соотношение между значением разрушающей нагрузки пяти-
секционного элемента и средним арифметическим значением
разрушающих нагрузок двухсекционных элементов на фенолфор-
мальдегидном связующем соответствовало соотношению между ко-
количествами секций этих элементов. Аналогичное соотношение
Рис. 8.20. Форма разрушения при комнатной температуре элементов на фенол-
формальдегидном связующем
для элементов на эпоксифенольном связующем на 8% ниже. Эти
результаты указывают на возможность вычисления предельных
нагрузок пятисекционных элементов ло предельным нагрузкам
двухсекционных.
Изменение температуры не оказало влияния на характер раз-
разрушения. Наибольшую прочность при Г = 473 К имели элементы
из стеклопластика на фенолформальдегидном связующем, наи-
наименьшую — на эпоксифенольном. Среднее арифметическое зна-
значение относительной предельной нагрузки при этой температуре
для стеклопластика на фенолформальдегидном связующем Кр —
= 0,805, на эпоксикремнийорганическом — 0,21, а на эпоксифе-
эпоксифенольном — 0,113.
Результаты исследования температурных полей показали, что
распределение температуры при нестационарных режимах нагре-
нагрева по поверхности равномерное, за исключением краев, где тем-
температура обшивки несколько ниже, чем в центре. Неравномер-
Неравномерность при этом составляла менее 1%. Стоки тепла в районе стенок
при данных геометрических соотношениях практически не ока-
оказали влияния на распределение температур. Следовательно, обо-
лочечную конструкцию можно рассматривать как пластину с оди-
одинаковой температурой поверхности. Основываясь на результатах

324
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
исследования, в дальнейшем при испытаниях контролировали в
основном температуру обшивки между стенками.
Разрушение элементов при нестационарных режимах нагрева
было многоочаговым и различного характера. Элементы на эпок-
сифенольном и эпоксикремнийорганическом связующих в боль-
большинстве случаев разрушались в сжатой зоне. В обшивке на
Рис. 8.21. Форма разрушения элементов при нестационарных режимах нагрева
на эпоксифенольном (о) и эпоксикремнийорганическом (б) связующих
расстоянии 16-20 мм от бортовой хорды образовывалась попереч-
поперечная, иногда зигзагообразная складка (рис. 8.21). Часто наблюда-
наблюдались отслоения обшивки от стенок, расслоение обшивки, а также

§ 8.2. Предельные нагрузки оболочечных конструкций
325
трещины на боковых и средних стенках. В некоторых случаях по-
появлялись трещины в продольном направлении как в сжатой, так
и в растянутой зонах обшивки. При высоких температурах имело
место вспучивание наружных слоев обшивки. У элементов из сте-
стеклопластика на фенолформальдегидном связующем к описанным
выше явлениям присоединялось хрупкое выламывание по контуру
в растянутой зоне обшивки.
Изменение предельных нагрузок элементов с течением вре-
времени при нагревании наружной поверхности их обшивок со скоро-
скоростью 6 = 6 К/с приведено на рис. 8.22. Наиболее резко с возраста-
возрастанием температуры изменялись предельные нагрузки элементов на
эпоксидном связующем.
Анализ результатов испытаний показывает, что на выбор типа
стеклопластиков в случае проектирования конструкций, подверга-
подвергающихся нестационарному нагреву, большое влияние при прочих
р1(Г3,Н
т,с
Рис. 8.22. Изменение предельных нагрузок элементов при нагревании наружной
поверхности со скоростью Ь = 6 К/с: • — стеклопластик на эпоксифенольном свя-
связующем, ^ — на фенолформальдегидном, о — на эпоксикремнийорганическом
равных условиях оказывает характер изменения нагрузки и про-
продолжительность нагрева т. Например, при т < 45 с и больших
начальных нагрузках следует отдавать предпочтение стеклопла-
стеклопластику на эпоксифенольном связующем, а при т > 45 с и малых
начальных нагрузках — на фенолформальдегидном. На рис. 8.23
приведена кривая Кр = Kp(Fo/FoKp) для элементов на эпоксифе-
эпоксифенольном связующем. За критическую температуру, основываясь

326
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
на результатах испытаний при изотермических состояниях, при-
принимали температуру Гкр = 500 К, а за критическое время при
определении чисел Фурье — время, соответствующее тому мо-
моменту, когда на внутренней поверхности обшивки (h = 3,5 мм)
устанавливалась температура, равная критической. Коэффициент
температуропроводности считали равным 0,2 • 10~6 м2/с.
Темными кружочками на рис. 8.23 обозначены значения чи-
чисел Кр для двухсекционных элементов, полученные при темпах
Рис. 8.23. Зависимость относительных предельных нагрузок от относительных
чисел Фурье для элементов на зпоксифенольном связующем
нагрева, соответствующих числам Pd = 1,25; 0,627; 0,104. Там
же светлыми кружочками показаны результаты испытаний пяти-
секционных элементов при Pd = 0,836. Как видно из поведения
кривой Kp(Fo/Fo ), относительная предельная нагрузка с уве-
увеличением отношения Fo/Fo уменьшается, причем до значения
Fo/Fo = 0,5 плавно, а затем резко. Отметим, что в данном слу-
случае наблюдается удовлетворительное совпадение результатов ис-
испытаний двух- и пятисекционных элементов. Это объясняется
тем, что условия, в которых находились эти элементы (условия
теплообмена, крепление к опорам, распределение нагрузок по по-
поверхности), были одинаковыми.
Анализ результатов исследования закономерностей изменения
предельных нагрузок многосекционных оболочечных интеграль-
интегральных конструкций указывает на возможность их построения на
едином стеклянном наполнителе, но с различными матрицами.
Расположение матриц и границ их раздела будет определяться
уровнями температур и нагрузок в различных частях конструк-

§ 8.3. К методике исследования предельных нагрузок 327
ции в процессе эксплуатации. Так, при высоких уровнях темпера-
температур в концевой части и высоких значениях изгибающих моментов
в корневой части фенолформальдегидное связующее следует рас-
располагать в концевой, а эпоксифенольное — в корневой части.
§ 8.3. Е методике исследования предельных
нагрузок цилиндрических панелей при
растяжении в двух направлениях со сдвигом
Одним из отрицательных качеств КМ на полимерной матрице
со слоистой и волокнистой структурой является низкое сопроти-
сопротивление сдвигу. Для ряда конструкций, в том числе и оболочечных,
выполненных из этих материалов и находящихся в условиях плос-
плоского напряженного состояния, касательные напряжения, несмотря
на их малость по сравнению с нормальными растягивающими или
сжимающими напряжениями, могут оказать существенное влия-
влияние на несущую способность. В качестве примера рассмотрим па-
панель из углепластика с ориентацией слоев [0/90/0]пг и пределами
их прочности при растяжении вдоль волокон аьо = 600 МПа, при
растяжении поперек волокон аьдо — 80 МПа, при сдвиге в плос-
плоскости армирования ть = 15 МПа, нагружаемую растягивающими
усилиями вдоль оси 1 со сдвигом. Ось 1 направлена вдоль волокон
с ориентацией 0°, а ось 2 перпендикулярна ей. Если для оценки не-
несущей способности панели воспользоваться критерием прочности
Тзая
2 2 2 2
аЬ0 аЬ0 аЬ90 ТЬ
и условием, что она исчерпывается при разрушении хотя бы одного
слоя, то в случае, когда т^ = 0,025G]., несущая способность панели
будет меньше на 33% по сравнению с несущей способностью при
растяжении вдоль оси 1. Здесь т\ъ — касательные напряжения;
а\ — нормальные напряжения при растяжении вдоль оси 1; oi =
= 0 — нормальные напряжения при растяжении вдоль оси 2.
Отметим, что оценка несущей способности композитных кон-
конструкций, находящихся в условиях плоского напряженного состо-
состояния, только по сдвигу будет заниженной и приведет к резкому
увеличению их массы.
Несущая способность композитных конструкций существенно
зависит от прочности в местах соединений, которая, в свою оче-
очередь, зависит от схемы ориентации наполнителя и конструктив-
конструктивного оформления соединения. В связи с этим значительный
интерес представляет разработка методов экспериментального
исследования, которые одновременно с исследованием несущей

328
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
способности конструкций при плоском напряженном состоянии
позволяли бы изучить и прочность соединений [14].
Метод исследования. Основным отличием рассматриваемого
ниже метода исследования от существующих, используемых при
изучении прочности в случае плоского напряженного состояния
[25, 68] и при сдвиге [57], является то, что с целью более точного и
одновременного воспроизведения мембранных нормальных и ка-
касательных напряжений конструкции, а также реального напря-
напряженного состояния в местах соединений к ней дискретно под углом
прикладываются равнодействующие нормальных и касательных
усилий.
Реализация метода в случае, когда цилиндрическая панель од-
одновременно нагружается сдвигающими и растягивающими усили-
усилиями, возможна на установке, конструктивная схема которой при-
приведена на рис. 8.24. Как видно из этого рисунка, испытываемая
Вид Л
Рис. 8.24. Схема устанбвки для растяжения в двух направлениях со сдвигом
цилиндрических панелей
панель 1 устанавливается на жесткую опору 2 со сферическим
шарниром 3 между ней и валом с винтовой нарезкой 4 в рабо-
рабочем пространстве испытательной машины. Вал с винтовой нарез-
нарезкой крепится к жесткой станине 5. Сферический шарнир и вал

§ 8.3. К методике исследования предельных нагрузок
329
позволяют сообщать опоре угловые и продольные перемещения.
Нагрузка на панель передается от испытательной машины через
захваты 6, выполненные из набора рычагов и тяг. Объединяющие
рычаги захватов с помощью хвостовиков 7 шарнирно крепятся
к траверсам машины 8. Число
тяг, примыкающих к кромкам
панели и шарнирно с ней соеди-
соединенных, определяется количест-
количеством отверстий в местах соедине-
соединений, а углы между направлени-
направлениями тяг и кромками панелей а\
и а2 находятся из условий, обес-
обеспечивающих заданное распреде-
распределение усилий по кромкам. Для
вычисления сил, действующих
на элементы рычажных систем,
контур панели разбивается на п
участков, середины которых со-
совпадают с центрами отверстий. Распределенные усилия qi, q2, q\2
(рис. 8.25), действующие i-x участках, заменяются сосредоточен-
сосредоточенными силами R1, имеющими нормальные компоненты Р^ и каса-
касательные Р*, причем на кромке, параллельной оси 1, Р^2 = a\q2;
Р\2 = a\q\2, а на кромке, направленной вдоль оси 2, Р\х = a2q\;
^ri = a2<Zi2- Здесь а\, а\ — длины участков. Тогда
в" ¦--
2 Яг
1
Рис. 8.25. Нагрузки, действующие
на кромки панели
Гт2 х rl
Отметим, что угол а\ находится в плоскости, касательной к кром-
кромке, параллельной оси 1, & аг2 — в плоскости, проходящей через
касательную в середине г-го участка.
Точки приложения равнодействующих сил на кромках панели
находятся с помощью теоремы Вариньона, а их направления —
по формулам для сходящейся системы сил. Контроль за изме-
измерением нагрузок осуществляется с помощью силоизмерительной
системы испытательной машины. Геометрические размеры ис-
испытываемых панелей определяются в основном рабочим простран-
пространством испытательной машины, в котором должны располагаться
панель и рычажные системы. При испытаниях плоских панелей
необходимость в опоре 2 отпадает.
При воспроизведении температурных полей в рассматриваемой
конструкции в рабочем пространстве испытательной машины или
вне его могут быть установлены радиационные или другие нагре-
нагревательные устройства.
21 Зак 130

330
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
Точность воспроизведения нагрузок на этой установке зависит
от многих факторов, в том числе от формы испытываемой панели
(плоская или криволинейная), от величины отклонения равнодей-
равнодействующей от заданного направления, от распределения нагрузок в
звеньях рычажных систем захватов и т. д.
Для выяснения влияния на точность воспроизведения нагру-
нагрузок величины отклонения равнодействующей от заданного на-
направления и эксцентриситета приложения нагрузок рассмотрим
Рис. 8.26. К оценке погрешностей воспроизведения нагрузок при испытаниях
криволинейной панели
условия безмоментного состояния криволинейной панели, нагру-
нагружаемой усилиями, представленными на рис. 8.26.
Изгибающий момент в произвольном сечении вдоль дуги, ха-
характеризуемом углом ip, может быть представлен при tp ^ щ в
виде
M(q) =
. C.1)
Здесь Pi = Pcos/?; Р2 = Psin/?; Р = flPnV Р — Угол> на
который отклонена сила от направления касательной; е — эксцен-
эксцентриситет приложения силы Р.
Очевидно, что панель будет находиться в безмоментном состо-
состоянии, когда Рг = 0; Pi = qR; щ = 0; е = 0.
При угле /? = 0 основной вклад в погрешность вносит слагае-
слагаемое, связанное с эксцентриситетом. Для оценки этой погрешности
рассмотрим случай, когда <ро = 0; Pi = qR. Тогда модуль отноше-
отношения изгибных напряжений сти к мембранным стм будет таким:
Pie/W
Pi/F
6|е|
h
C.2)
где W, F — момент сопротивления и площадь продольного сече-
сечения панели (рассматриваются панели постоянной толщины пря-

§ 8.3. К методике исследования предельных нагрузок
331
моугольного сечения с однородной структурой). Формула C.2)
может быть использована для оценки погрешностей и при испы-
испытаниях плоских панелей.
При е = 0 из условия равновесия панели найдем
-Р2 cos у« + Pi sin у«
sin(y*-y0)
C.3)
где у* — угол, соответствующий центральному сечению панели.
Подставляя C.3) в уравнение C.1), получим
М(у>„) =
- Р\A - cos y*)
+ R
—Pi cos y« + Pi sin y»
sin(y* -y0)
(cos у о — cosy»).
В этом случае модуль отношения изгибных напряжений <ти к мем-
мембранным <тм запишется так:
Ои
Ом
—
мы
Pi
F
что при у?о = 0 дает
0m
C.4)
Предельное значение этого отношения получим, полагая в формуле
C.4) у» = a%/2R и устремляя i? к бесконечности:
au ~ 2 h Pi'
При испытаниях плоских панелей угол /3 равен нулю в связи с
устойчивым положением системы.
Погрешность распределения нагрузок в звеньях рычажной си-
системы зависит от жесткости испытываемой панели, от точности
соблюдения линейных и угловых размеров ее звеньев при изгото-
изготовлении и монтаже, от чистоты поверхностей сопрягаемых деталей
и т.д. Методика определения погрешностей воспроизведения на-
нагрузок с помощью рычажных систем и рекомендации по их сни-
снижению подробно изложены в монографии [113].
Обсуждение результатов исследования. Для оценки рассма-
рассматриваемых погрешностей была изготовлена установка, на которой
проводили испытания плоских и криволинейных панелей с разме-

332
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
рами в плане 580 х 410 мм (рис. 8.27). При испытаниях воспроиз-
воспроизводили равномерно распределенные по кромкам панелей нагрузки,
при этом qn/qi = 0,14, a qi/q2 = 0,22.
Контроль за распределением нагрузок в звеньях «обезвешен-
ной» рычажной системы осуществлялся с помощью предвари-
предварительно протарированных тяг, на две противоположные поверхно-
поверхности которых были наклеены тензорезисторы К-25. Испытания
Рис. 8.27. Установка для испытаний панелей
проводились на испытательной машине, силоизмерительная си-
система которой обеспечивала точность измерения нагрузки в пре-
пределах ±1%.
При испытаниях измеряли относительные деформации в не-
нескольких сечениях панели с помощью тензорезисторов К-25, на-
наклеенных в виде розеток на ее поверхность. При составлении
схемы расстановки тензорезисторов учитывали влияние отверстий

§ 8.3. К методике исследования предельных нагрузок
333
на напряженное состояние, поэтому их располагали на расстоянии
не менее пяти диаметров от края отверстия.
Характеристики упругости материала определялись при растя-
растяжении или сжатии панелей в одном направлении или на образцах,
вырезанных из панелей. Растяжение панелей осуществлялось на
данной установке с рычажной системой, позволяющей нагружать
ее равномерно распределенными по кромке нормальными усили-
усилиями. Значение модуля сдвига материала в плоскости панели нахо-
7"i о
дили по формуле Gi2 = ~ ;—; г- Здесь т\2 — qn/Ы ?i —
2ец - (ei + еш)
показания тензорезисторов, ориентированных вдоль оси 1; ец —
вдоль оси 2; еш — под углом 45° к оси 1 (угол отсчитывается
против часовой стрелки). Компоненты тензора напряжений при
плоском напряженном состоянии панели находили по формулам
(ei
cr2
где ?i = ei; e2 = ец.
Анализ результатов испытаний позволил установить следую-
следующее. Распределение нагрузок по кромкам панелей, осуществляе-
осуществляемое с помощью рычажных систем устройства, удовлетворитель-
4,1
,0
Рис. 8.28. Распределение относительных нагрузок в звеньях рычажной системы:
q — заданная интенсивность нагрузки, q3 — полученная экспериментально,
расчет, эксперимент
ное. В качестве примера на рис. 8.28 приведены расчетные и экспе-
экспериментальные значения нагрузок. Видно, что расхождение между
ними не превышает 6%.
Разница между расчетными и экспериментально полученными
значениями напряжений сдвига в плоских панелях составила
около 2%. Разброс относительных удлинений срединной поверх-

334
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
ности плоской панели вдоль осей 1 и 2, полученный с помощью
наклеенных на ее внешние поверхности тензорезисторов, не пре-
превышал 5%. Влияние эксцентриситета приложения одинаково как
для плоских, так и для криволинейных панелей. Например, при
толщине стенки криволинейной панели h = Змм и возможном
эксцентриситете е = 0,5 мм в соответствии с формулой C.2) будем
иметь
6-0,5
= 1.
Видно, что даже при малом эксцентриситете A6,62% от тол-
толщины стенки) в панели возникают изгибные напряжения одного
порядка с мембранными. Отсюда следует, что при проектировании
панелей нужно избегать несимметричных утолщений в местах со-
соединений.
При углах /?, отличных от нуля, нарушаются условия существо-
существования безмоментного состояния криволинейных панелей, вслед-
вследствие чего в них возникают изгибные напряжения. Например,
Р2
если взять угол /3 = arctg — = arctgO,Ol = 0,01, то для панели с
R = 1000мм, h = Змм,
получим
l
= 0,2 в соответствии с формулой C.4)
6 • 1000 • 0,01B sin 0,2 - tg 0,2)
= 3,9.
С увеличением радиуса кривизны панелей изгибные напряжения
будут уменьшаться. Например, для панелей с достаточно боль-
большим радиусом (R —> оо) и шириной п2 = 410 мм их значения,
вычисленные по формуле C.4), будут таковы:
3 410 • 0,01
= 2,05.
Видно, что отклонение равнодействующей от заданного напра-
направления оказывает заметное влияние на точность воспроизводимого
напряженного состояния. Поэтому при монтаже установки необ-
необходимо стремиться к уменьшению угла /?, строго выдерживая за-
заданные размеры. Влияние сил трения между опорой и панелью на
распределение нагрузок невелико. Погрешность за их счет имеет
порядок /»<?>*, где /* — коэффициент трения. При ц>„ = 0,2 и
/» =0,1 она составляет 2%.

§ 8.4. Предельные нагрузки цилиндрических и плоских панелей 335
Проведенный на разработанной установке цикл исследований
предельных нагрузок плоских и цилиндрических углепластико-
вых и металлических панелей показал, что в большинстве случаев
они разрушались в зоне соединений. При этом довести панели
до разрушения в регулярных сечениях, находящихся в условиях
плоского напряженного состояния, не удавалось.
§ 8.4. Предельные нагрузки цилиндрических
и плоских панелей при продольном сжатии
Конструкция цилиндрических панелей и методика их испы-
испытаний. Испытаниям подвергали 7 цилиндрических панелей (Z =
= 970 мм, b = 920 мм, R = 460 мм), выполненных из многослой-
многослойного углепластика и подкрепленных дюралевыми шпангоутами и
стрингерами по продольным кромкам. Каждая панель имела окан-
окантованный вырез, расположенный в верхней части симметрично
относительно ее продольной оси. Радиус выреза г = 46—92 мм.
Основные сведения о материалах, толщинах и схемах армирова-
армирования даны в табл. 8.3. Для предохранения от смятия при нагруже-
нии осевой сжимающей силой торцы панелей утолщали стеклопла-
стеклопластиком Т-10. В конструкции панелей были предусмотрены стяжки
для имитации закрепления их в изделии.
Таблица 8.3. Основные сведения о материалах панелей
п результатах испытаний
Номер
панели
1
2
3
4
5
6
7
Материал
ЕМУ-1л
КМУ-1л
КМУ-4л
КМУ-4л
КМУ-4э
КМУ-4э
КМУ-4э
К
мм
3,70
3,70
3,70
3,70
3,70
3,72
4,35
Схема армирования
[90/0/ ± 45/@/90J/
0/ ± 45/02/]s
»
»
»
»
»
[90/02/ ± 45/0/90/0/
±45/90/0/ ± 45/]s
т,
К
293
413
293
413
413
413
413
Р»
МН
0,595
0,820
0,761
0,600
0,505
0,723
0,935
МПа
120
152
155
122
102
147
163
<т-ьо,
МПа
328
259
360
269
350
350
350
МПа
170
145
175
147
125
129
153
<7кр.
МПа
203
166
203
166
174
175
205
Испытания панелей проводили на универсальной испыта-
испытательной машине в соответствии с методикой, наложенной в гл. 6.
Нагревали панели радиационным нагревателем, состоящим из де-
десяти трубчатых нихромовых излучателей диаметром 10 мм. Из-
Измерение общих деформаций при комнатной температуре осуще-
осуществляли визуальными индикаторами часового типа второго класса

336 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
точности с ходом штока 25 мм, а относительных деформаций —
тензорезисторами ДК-21. Управление нагреванием вели по темпе-
температуре обшивки.
При тепловых испытаниях нижняя часть панелей изолирова-
изолировалась стеклотканью для уменьшения тепловых потерь в плиты ис-
испытательной машины.
Порядок проведения испытаний был следующим. При ком-
комнатной температуре проводили обтяжку панелей до нагрузки Р =
= 0,24 МН. После этого панель нагружали ступенями АР =
= 0,06 МН. На каждой ступени измеряли общие и относительные
деформации. После снятия нагрузки наружную поверхность па-
панели нагревали в течение 15 мин до Т = 413 К и выдерживали при
этой температуре 10 мин. Неравномерность поля температур в это
время на поверхности панели не превышала 3%. Затем панель
нагружали до разрушения.
Панели, предназначенные для испытаний при комнатной тем-
температуре, нагружались до разрушения после обтяжки.
Отметим, что равнодействующая осевых сил при испытаниях
панелей проходила через центр тяжести ее сечения.
Обсуждение результатов испытаний цилиндрических панелей.
Основные результаты испытаний (Т — температура испытаний,
Рэ — разрушающая сжимающая нагрузка, аэ — разрушающие
сжимающие напряжения) приведены в табл. 8.3.
Разрушение панелей сопровождалось хлопком с образованием
трещины в кольцевом направлении в рабочей зоне (рис. 8.29).
Рис. 8.29. Форма разрушения цилиндрических углепластиковых панелей
Наблюдалось также волнообразование на крышке металлического
лючка (в месте выреза) и потеря устойчивости стрингера. Харак-
Характер разрушения углепластика хрупкий.

§ 8.4. Предельные нагрузки цилиндрических и плоских панелей 337
Для анализа результатов испытаний был проведен расчет на
прочность и устойчивость панелей. Принятые при этом исход-
исходные характеристики упругости и прочности монослоев приведены
в табл. 8.4. Расчет аналогичных характеристик для многослой-
многослойного композитного пакета обшивки панели со схемами армирова-
армирования, указанными в табл. 8.3, выполнен по методике [102]. Так,
для обшивки из КМУ-1л характеристики упругости и прочности
имели следующие значения: при Т = 293 К Е\ = 7,0 • 104 МПа,
Е2 = 5,6 • 104 МПа, Gi2 = 1,39 • 104 МПа, vx = 0,1, сг_ьо = 328 МПа,
ст_Ь9о = 200 МПа, ть = ПО МПа; при Т = 413 К Ех = 6,0 • 104 МПа,
Е2 = 4,4-104 МПа, G12 = 0,97-104 МПа, щ = 0,11, <г_м = 259МПа,
<7_Ь9о = 150 МПа, ть = 94 МПа.
Таблица 8.4. Характеристики упругости н прочности углепластиков
Мате-
Материал
КМУ-1л
КМУ-4л
КМУ-4э
'i\
К
293
413
293
413
293
413
Характеристики
р 1п-4
МПа
12,00
10,00
13,50
11,50
11,20
10,28
МПа
0,600
0,480
0,500
0,340
0,935
0,636
G-10,
МПа
0,280
0,210
0,450
0,270
0,650
0,272
иг
0,220
0,190
0,280
0,256
0,265
0,242
МПа
650,0
520,0
850,0
650,0
900,0
807,8
МПа
25,0
20,0
35,0
23,0
24,0
15,8
п,
МПа
25,0
18,0
60,0
48,0
30,0
13,4
0-60,
МПа
350,0
280,0
600,0
480,0
1000,0
880,0
0-690,
МПа
100,0
80,0
80,0
56,0
96,0
97,0
Критические напряжения сжатия обшивок панелей определяли
исходя из теоретических характеристик упругости пакета. При
этом использовались формулы, справедливые для цилиндричес-
цилиндрической ортотропной оболочки и учитывающие особенности строе-
строения обшивки через интегральные характеристики. Результаты
расчета критических и предельных напряжений (<тКр) °"-ь)
приведены в табл. 8.3. В ней для сравнения даны и критичес-
критические напряжения продольно сжатой шарнирно опертой цилиндри-
цилиндрической панели <т^р, определенные на основе технической тео-
теории многослойных оболочек [6]. Отношение сг^р/акр составляет
1,14-1,39.
Величины о"кр/о"э Для всех испытанных панелей представлены
на рис. 8.30. Из него видно, что данные расчета удовлетвори-
удовлетворительно согласуются с экспериментом. Из анализа теоретических

338 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
и экспериментальных данных следует, что все панели исчерпали
несущую способность от достижения критических напряжений,
12 3 4 5 6 7
Номера панелей
Рис. 8.30. Величины отношений расчетных критических и экспериментальиых
разрушающих напряжений панели
имея при этом уровень разрушающих напряжений в 1,70-3,44 раза
ниже предела прочности материала при сжатии.
Конструкция плоских панелей и методика их испытаний.
Общий вид плоских панелей представлен на рис. 8.31, а их
Рис. 8.31. Общий вид плоских стеклопластиковых панелей
схематический чертеж — на рис. 8.32. При изготовлении пане-
панелей слои стеклоткани, пропитанной связующим ЭФ32-301, укла-

§ 8.4. Предельные нагрузки цилиндрических и плоских панелей 339
дывали на поверхность плоской с фасонными пазами оправки
вдоль стрингеров. Затем производили продольную намотку стрин-
стрингеров стеклонитью НС 75/8 с последующей укладкой наружных
слоев обшивки. Термообработку панелей осуществляли совместно
с оправкой и опрессовочными плитами.
Обобщенная характеристика определялась на двух сериях па-
панелей шириной 700 мм. Длина панелей первой серии 1\ — 700 мм,
а второй — h — 510 мм. Для предохранения панелей от смятия
200x7=1400
Обшивка
Рис. 8.32. Схематический чертеж панелей
при нагружении сжимающими силами их торцы были усилены
со стороны обшивки пластинками из АМг-6 B,52 х 40 х 660мм).
Методика нагружения, нагревания и измерений аналогична мето-
методике испытаний цилиндрических панелей. Вначале определяются
предельные нагрузки Ро при Г = То, а затем в условиях односто-
одностороннего нагрева — долговечность панелей при уровнях нагрузки
Р = 0,2—О,9Ро- Предварительно панель нагружают осевой сжима-
сжимающей силой со скоростью V — 50кН/мин, а затем нагревают со
стороны обшивки, температуру наружной поверхности которой из-
изменяют по линейному закону со скоростью 6 = 2 К/с. В процессе
нагрева уровень нагрузки поддерживается постоянным вплоть до
начала разрушения. Управление нагреванием ведется по показа-
показаниям контрольных термопар, установленных на нагреваемой по-
поверхности.
С целью выбора покрытия для устранения неравномерности
поглощательной способности поверхности панели были проведены
предварительные испытания пластин из стеклопластика на связу-
связующем ЭФ32-301. Результаты испытаний показали, что покрытие
из лака ФГ-9 и угольной сажи не оказывает влияния на прочность
пластин, не растрескивается и не воспламеняется в диапазоне тем-
температур от 290 до 530 К. Это покрытие и было нанесено на поверх-
поверхность панелей.
На двух панелях проводилось подробное исследование темпе-
температурных полей. С этой целью были установлены на внутренней
и наружной их поверхностях в различных сечениях до 50 термо-

340
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
пар. В результате оказалось, что у рассматриваемой конструкции
при нагреве поверхности со скоростью Ъ = 2 К/с существует пе-
перепад температур между обшивкой и стрингерами. Как видно из
573
473
373
/К
V т = 200с
100
40
Рис. 8.33. Распределение температур на наружной поверхности панели
рис. 8.33, этот перепад при г = 120 с достигал 80 К, что составляло
около 20% от температуры Тн в контрольном сечении. При испы-
испытании наблюдалась некоторая неравномерность поля температур
298 К
423
478
493
Рис. 8.34. Температурное поле стрингера
за счет конвективных потоков. При г = 120 с она достигала 30 К,
это примерно 13%. Температурное поле стрингера при г = 120 с
показано на рис. 8.34.
Обсуждение результатов испытаний плоских панелей. Резуль-
Результаты испытаний панелей при комнатной температуре представле-
представлены в табл. 8.5. При расчете разрушающих напряжений сгразр, при-
приведенных в таблице, за площадь поперечного сечения принимали

§ 8.4. Предельные нагрузки цилиндрических и плоских панелей 341
сумму площадей обшивки и стрингеров. Максимальное разрушаю-
разрушающее напряжение, полученное при испытаниях, достигало 160 МПа.
В табл. 8.6 даны результаты статистической обработки определяе-
определяемых значений предельных нагрузок. Видно, что длина панелей в
рассматриваемом случае не оказала влияния на средние арифме-
арифметические значения предельных нагрузок.
Таблица 8.5. Результаты испытаний панелей при комнатной температуре
1,
мм
700
700
700
700
700
700
700
700
510
510
510
510
510
F,
мм
3470
3470
3470
3470
3470
3470
3470
3470
3470
3470
3470
3470
3470
Рразр,
кН
540
357
507
567
440
384
500
365
477
535
490
527
375
Траэр,
МПа
155
160
144
158
115
101
145
105
865
101
130
145
101
Е-ИГ4,
МПа
3,06
3,55
3,3
3,68
2,83
3,46
3,72
2,92
3,1
3,12
3,27
3,23
3,14
Характер разрушения
Расслоение обшивки,
отрыв стрингеров
»
))
п
»
Выпучивание стрингеров
»
Расслоение обшивки,
отрыв стрингеров
»
я
»
Отрыв стрингеров
Таблица 8.6. Результаты статистической обработки значений
предельных нагрузок панелей в кН
/, мм
700
510
Жср
48200
48100
<Тх
7780
6000
V, %
16,1
12,5
Границы отклонений
36550 < Р < 59850
39100 < Р < 57100
Установлено, что сближение торцов панелей подчиняется ли-
линейному закону вплоть до начала резкого падения нагрузки. В ка-
качестве примера на рис. 8.35 приведено распределение относитель-

342
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
ных деформаций по ширине панели в сечении А—А, а на рис. 8.36
изображены диаграммы Р — е в различных точках этого сече-
сечения. Как видно из рисунков, при нагрузке Р = 50 кН, что соста-
составляет О,13Ро> обшивка выпучивается и расслаивается, а диаграмма
Р — е для стрингеров остается линейной вплоть до начала резкого
падения нагрузки. При Р = 100—150кН @,21—О,ЗРо) на пане-
панелях возникали хорошо заметные вмятины и выпучины. Затем с
I
1
/>=50кН
Рис. 8.35. Распределение относительных деформаций по ширине панели: о —
верхняя поверхность, б — нижняя
возрастанием нагрузки происходило расслоение обшивки и раз-
разрыв облицовочных слоев в месте перехода от полки к стенке
стрингеров. Разрушение сопровождалось резким сильным зву-
звуком. Разрушенная панель после снятия нагрузки показана на
рис. 8.37.

§ 8.4. Предельные нагрузки цилиндрических и плоских панелей 343
ЛкН
200
100
Обшивка
Стрингер
100
200 б-105 Е-105 200 100
Р, кН
200
100
Я, кН
200
100
Обшивка
Обшивка
Р, кН
200
100
100 200Е-105 е-105 200 100
Рис. 8.36. Диаграммы Р — е в различных точках сечения панели
Рис. 8.37. Форма разрушения панели при комнатной температуре

344 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
Изменение с течением времени относительных предельных
нагрузок панелей при осевом сжатии в условиях одностороннего
0,6
0,2
0
80
160 т,с
Рис. 8.38. Изменение относительных предельных нагрузок панелей в условиях
одностороннего нестационарного нагрева: • — первая серия, о — вторая серия
нестационарного нагрева приведено на рис. 8.38. Отметим, что
резкое снижение нагрузок наблюдалось в интервале температур
Гн = 450-520 К.
Рис. 8.39. Форма разрушения нагретой панели
Разрушенная панель показана на рис. 8.39. Выпучивание об-
обшивки при воспроизводимых уровнях нагрузки наступало до на-
нагревания. В процессе нагревания происходило расслоение обшив-

§ 8.4. Предельные нагрузки цилиндрических и плоских панелей 345
ки, что способствовало потере устойчивости стрингеров в сторону
минимального момента инерции. Одним из характерных видов
разрушения, который наблюдался и при комнатной температуре,
являлся разрыв облицовочных слоев в месте перехода от полки к
стенке стрингера.
Результаты испытаний панелей были использованы для рас-
расчета предельных нагрузок цилиндрической подкрепленной оболоч-
оболочки (Д, = 3000 мм, / = 1400 мм, рис. 8.40), изготовленной из ше-
шести соединенных двухрядным заклепочным швом аналогичных
Рис. 8.40. Цилиндрическая подкрепленная оболочка
по конструкции панелей (ширина b = 1615 мм, толщина обшивки
h = 1,7 мм, число стрингеров Т-образной формы п — 8, шаг
между стрингерами 200 мм). Поперечный набор оболочки состоял
из четырех шпангоутов, два из которых, торцевых, были выпол-
выполнены из стеклопластика на связующем ЭФ32-301, а два других,
промежуточных, — из сплава Д16АТ. Соединение обшивки с тор-
торцевыми шпангоутами осуществлялось с помощью фитингов из сте-
стеклопластика на связующем ЭФ32-301, а соединение промежуточ-
промежуточных шпангоутов с обшивкой — металлическими фитингами из
сплава АК8-2. Фитинги заклепками крепились к шпангоутам и к
обшивке.
Расчет предельных нагрузок оболочки вели с помощью метода
замены температурных полей. При этом использовали обобщен-
обобщенную характеристику, полученную на панелях, которые при боль-

346 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
ших радиусах кривизны можно считать геометрически и конст-
конструктивно-технологически подобными образцам рассматриваемой
оболочки. В качестве расчетных были приняты сечения типа I-I
(см. рис. 8.32) с толщиной стенки h = 1,7мм. Критической для
этих сечений считалась температура Ткр = 514 К, полученная экс-
экспериментальным путем. Отметим, что выбор расчетного сечения
обусловлен условиями эксплуатации изделия. Полагали, что если
обшивка исчерпает несущую способность, то в условиях эксплуа-
эксплуатации оболочка перестанет выполнять свое назначение.
Экспериментальная зависимость предельных нагрузок от тем-
температуры Тн при линейном законе ее изменения с течением вре-
времени в расчетных сечениях приведена на рис. 8.41. Кривая хо-
хорошо аппроксимируется функцией Кр = ехр [ — (oFo/Fo J], где
0,8
0,6
о
0,4
0,8 Fo/Fo4
Рис. 8.41. Зависимость относительных предельных нагрузок панели от относи-
относительных чисел Фурье: о — эксперимент; аппроксимирующая функция
a = 0,65. Характерными точками кривой являются (Кр = 1,
Fo/FoKp = 0) и (Кр = a, Fo/FoKp = 1). В отличие от гладких у
подкрепленных оболочек значение Кр при Fo/Fo = 1 не равно
Р,кН
3200
2400
1600
800
0
(
-
-
/ • i
i
) 20
/
0
40
Р
\
У-
1 1
20 40
i i
60 80
1
60
i
100
/-
eHW"
,
80 t,c
i
120 т,с
е
0,56
0,42
0,28
0,14
0
Рис. 8.42. Режимы нагревания и нагружения цилиндрической оболочи, заданные
программой испытаний: расчет

§ 8.4. Предельные нагрузки цилиндрических и плоских панелей 347
нулю. Это означает, что, несмотря на то что несущая способность
в расчетных сечениях исчерпана, конструкция в целом может вос-
воспринимать значительные осевые нагрузки.
Исходные данные по нагрузкам и температурам для расчета
представлены на рис. 8.42. В соответствии с расчетом при нагру-
жении и нагревании в указанных на рисунке режимах относи-
относительная предельная нагрузка при г = 100 с должна быть равной
0,89.
Достоверность результатов расчета определяли эксперимен-
экспериментальным путем при испытаниях цилиндрической оболочки на
установке, изображенной на рис. 8.43. При испытаниях исполь-
использовали центральный способ нагружения с помощью гидравличе-
гидравлического силовозбудителя и двух конических опор. Величина осевой
"V
L
J
Рис. 8.43. Схема установки для испытаний цилиндрической оболочки: 1 —
силовозбудитель; 2 — тяга; 3 — опорный конус; 4 — оболочка; 5 — стенка
камеры; 6 — динамометр; 7 — радиационный излучатель
сжимающей силы в процессе нагрева была постоянной и равной
2700 кН. Оболочку нагревали со стороны обшивки радиационными
излучателями. Управление вели по температуре Тн обшивки в ме-
местах, которые наиболее удалены от силового набора, по программе,
приведенной на рис. 8.42.
В процессе испытаний измерялись нагрузка, температуры на-
наружной и внутренней поверхностей, а также общие и относитель-
относительные деформации. Осевая нагрузка вычислялась с помощью сило-
измерительного кольца, на внутренней поверхности которого были
наклеены тензорезисторы. Методика измерений температур и
деформаций была аналогична применяемой при испытаниях па-
панелей.

48 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
Рис. 8.44. Форма разрушения цилиндрической оболочки при нагреве
Рис. 8.45. Форма выпучивания стрингеров оболочки при нагреве

§ 8.4. Предельные нагрузки цилиндрических и плоских панелей 349
С целью определения равномерности передачи усилий от на-
нагружающего устройства на оболочку были измерены относитель-
относительные деформации в двух торцевых и среднем сечениях. Резуль-
Результаты показали, что разброс в показаниях тензорезисторов равен
23%. Попытки устранить эту неравномерность введением в зазоры
между нагружающими плитами и торцевыми сечениями оболочки
прокладок из наждачной бумаги не увенчались успехом, поэтому
испытания проводили с некоторой неравномерностью приложения
нагрузки при комнатной температуре, полагая, что при нагреве
неравномерность уменьшится.
В процессе испытаний под влиянием температуры на обшивке
происходил процесс волнообразования. В некоторых местах вну-
внутренние ее слои вспучивались, что способствовало выпучиванию
стрингеров в сторону минимального момента инерции, т. е. часть
стрингеров работала как полоски. Оболочка разрушилась при г =
= 100 с. В момент разрушения, которое сопровождалось резким
звуком, в средней части оболочки образовалась складка. После
снятия нагрузки при осмотре были обнаружены местные разру-
разрушения — разрыв облицовочных слоев в сочленениях полок стрин-
стрингеров со стенками, а также расслоение волокон в стрингерах
(рис. 8.44 и 8.45). В некоторых местах произошло разрушение
заклепочного шва двух смежных панелей.
Результаты расчета и эксперимента представлены на рис. 8.46.
Из него следует, что относительная погрешность определения
80
т, с
Рис. 8.46.
— результаты расчета, результаты испытаний цилин-
цилиндрической оболочки
предельной нагрузки оболочки при принятых допущениях не пре-
превышает 20%. Значительное влияние на величину погрешности
оказала неравномерность распределения по торцам осевых сжи-
сжимающих усилий.

350 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
§ 8.5. Методика определения предельных нагрузок
замкнутых в вершине оболочек вращения
при неравномерном внешнем давлении и нагреве
В конструктивном отношении отдельные агрегаты многих уст-
устройств представляют собой осесимметричные замкнутые в вер-
вершине оболочки вращения, достаточно близкие по форме к кони-
коническим или оживальным. Их стенки условно можно разбить на
несколько групп.
К первой группе отнесем многослойные стенки с регулярной
структурой наполнителя. Характерные признаки — однородность
свойств компонентов вдоль образующей и по толщине, одинако-
одинаковые объемные содержания и углы ориентации наполнителя в мо-
монослоях.
Во вторую группу включим многослойные стенки с нерегу-
нерегулярной структурой наполнителя. Характерные признаки — не-
нерегулярность физико-механических характеристик и структурных
параметров наполнителя. Это достигается компоновкой систе-
системы армирующих наполнителей с различными характеристиками
(стеклянные + органические, стеклянные + борные, органичес-
органические + углеродные и т.д.), ориентацией слоев, изменением числа
монослоев и т. д.
В третью группу войдут несимметричные многослойные стен-
стенки с легким заполнителем (рис. 8.47а). Материал наружного па-
пакета слоев этой стенки (регулярной или нерегулярной структуры)
Рис. 8.47. Структура стенок многослойных оболочек
выбирается из условий, обеспечивающих механическую прочность
и термостойкость конструкции. Материал внутреннего пакета или
слоя имеет меньшую плотность по сравнению с наружным. Ши-
Широко применяются пенопласты, ткани типа гардинной сетки или
кисеи, пропитанные связующим, слоистые пластики, отформован-
отформованные в виде гофрированных листов или сотовых конструкций,
металлические соты, микросферы и др. Компоновка материалов
стенки определяется рядом специальных требований (радиопро-
(радиопрозрачность, радиопоглощаемость и др.).

§ 8.5. Методика определения предельных нагрузок 351
К четвертой группе отнесем симметричные многослойные
стенки с легким заполнителем. Условно они могут быть пред-
представлены трехслойными с тонкими (рис. 8.476) или толстыми
(рис. 8.47в) пакетами слоев, пятислойными (рис. 8.47г), семи-
слойными (рис. 8.47<Э), пятислойными с толстыми пакетами слоев
(рис. 8.47е) и слоями из тканей и сот (рис. 8А7ж).
На наружную и внутреннюю поверхности стенок наносятся за-
защитные покрытия, состоящие из нескольких слоев грунта и эма-
эмалей. Толщины многослойных стенок с регулярной или нерегуляр-
нерегулярной структурой могут достигать 12 мм, а толщины симметричных
многослойных стенок с легким заполнителем — 25 мм.
Отметим, что структура стенок после изготовления является
чрезвычайно неоднородной из-за наличия в материале хаотиче-
хаотически расположенных сквозных, тупиковых и закрытых пор, наплы-
наплывов связующего, непроклеев и т.д. Исследования показали, что
объем пор, например, в пятислойной стенке с одинарными сло-
слоями из стеклопластика и заполнителем из ткани гардинного пле-
плетения достигает 25% по отношению к ее полному объему. Неод-
Неоднородность может привести к различной степени герметичности
участков.
Неметаллическая часть агрегата может крепиться к металличе-
металлическому торцевому шпангоуту с помощью клеевых, точечных меха-
механических или комбинированных соединений. Длина неметалли-
неметаллической части оболочки может достигать 4 м, а наружный диаметр
основания — 1,5 м.
Внешние нагрузки. В процессе эксплуатации неметаллические
части оболочек испытьшают воздействие неравномерного внешнего
давления и нагревания. Поперечные Qx, Qy и осевая N силы,
изгибающие моменты Мх, Му в каждом сечении оболочек опреде-
определяются разностью давлений на их нижние (рн.н) и верхние (рн.в)
поверхности и инерционными силами. Кроме того, на оболочки
действуют нагрузки, возникающие из-за разности давлений на
поверхности и внутри данных оболочек, а также из-за разности
давлений на поверхностях и во внутренних замкнутых объемах и
порах стенок. Величины давлений рн.н и рн.в, а также плотности
теплового потока q обусловлены в основном условиями эксплуата-
эксплуатации и являются функциями координат поверхности и времени.
Значение давления внутри оболочки рвн зависит от коэффи-
коэффициента газопроницаемости стенки, от условий герметизации ее и
примыкающих к ней соседних агрегатов изделий, а также в ряде
случаев от функционирования систем, обеспечивающих заданное
изменение величины рвн в процессе эксплуатации изделий. Вели-
Величина давления в закрытых порах зависит от значений начального
давления, начальной и текущей температур.

352 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
Во многих случаях давление внутри негерметичных оболочек
находится в диапазоне рн.н > рви > рн.в- Однако у герметичных
оболочек или при задаваемом в процессе эксплуатации законе из-
изменения давления рви может быть, чторн.н < Рви > Рн.в- Давление
в закрытых порах совместно с температурными напряжениями
может вызвать местные разрушения материала.
В ряде случаев силы лобового сопротивления невелики и вы-
вызываемые ими напряжения незначительны по сравнению с на-
напряжениями от поперечных сил. Если к внутренней поверхности
оболочки крепятся какие-либо грузы, то при неустановившихся
режимах в процессе эксплуатации могут возникать значительные
осевые силы.
В большинстве случаев температура на нижней поверхности
оболочек выше, чем на верхней, а температура у ее вершины
также выше, чем в торцевой части. Рост температуры вызы-
вызывает значительное снижение характеристик упругости и прочно-
прочности. Из-за разности значений коэффициентов линейного темпе-
температурного расширения материалов слоев стенки и значительных
перепадов температур по толщине, обусловленных низкими по
сравнению с металлами значениями коэффициентов теплопровод-
теплопроводности, в оболочке возникают температурные напряжения. Кроме
того, вблизи шпангоута из-за разности значений коэффициентов
линейного температурного расширения материалов оболочки и
шпангоута возникают температурные напряжения, которые сов-
совместно с напряжениями от изгибающих моментов и перерезыва-
перерезывающих сил оказывают влияние на несущую способность оболочки.
На степень достоверности определения несущей способности обо-
оболочки расчетным путем оказывают также влияние значительный
разброс характеристик упругости и прочности материалов и слу-
случайные (трудно контролируемые) отклонения от принятых техно-
технологических процессов изготовления оболочек.
Способы и средства испытаний. Способы воспроизведения на-
нагрузок должны с возможно большей точностью обеспечивать вы-
выполнение заданного распределения давления по координатам и по
времени, не искажать температурное поле в испытываемой кон-
конструкции, не изменять ее прочность и жесткость, не препятство-
препятствовать деформации конструкции при испытании, давать возмож-
возможность управления нагружением по заданным программам. Эти
способы могут состоять из временных и постоянных частей.
К временным относятся средства, которые используются на уста-
установке при испытаниях конкретного типа оболочек (устройства для
приложения давления, рычажные системы, кроме универсальных
рычагов, устройства для крепления торцевой части оболочки и
др.). К постоянным относятся средства, которые могут использо-
использоваться при испытаниях нескольких типов оболочек (нагружающие

§ 8.5. Методика определения предельных нагрузок
353
устройства — силовозбудители, универсальные рычаги, маслона-
сосные станции, термовакуумные камеры или термобарокамеры,
средства управления нагружением и др.).
Средства воспроизведения полей температур должны с воз-
возможно большей точностью обеспечивать выполнение заданного
распределения температур по координатам и по времени, позво-
позволять вести наблюдения за поведением испытываемой конструк-
конструкции, давать возможность ее нагружения. Они также могут состо-
состоять из временных и постоянных частей. К временным относятся
нагревательные устройства, а к постоянным — системы энерго-
энергоснабжения и средства управления нагреванием. При выборе
постоянных средств в ряде случаев можно пользоваться рекомен-
рекомендациями, приведенными в монографии [113]. Этот выбор в зна-
значительной степени определяется способом воспроизведения при
испытаниях нагрузок. Рассмотрим два таких способа [1, 84].
При первом из них испытания проводятся в термовакуумной
камере 1 (рис. 8.48). Оболочка ?консольно крепится к жестко уста-
установленной в ней раме 3. Неравномерно распределенная по поверх-
поверхности оболочки нагрузка раскладывается на осесимметричную и
Рис. 8.48. Схема установки для испытаний оболочек в термовакуумной камере
неосесимметричную составляющие. Осесимметричная составля-
составляющая принимается кусочно-постоянной по длине, а внутренняя
полость оболочки с помощью герметичных диафрагм 4 делится
на несколько несвязанных полостей, каждая из которых соответ-
24 Зак. 130

354
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
ствует участку с постоянной осесимметричной нагрузкой и нагру-
нагружается автономно с помощью вакуумных насосов 5 перепадом да-
давления между ее наружной и внутренней поверхностями. При этом
давление на наружную поверхность оболочки считаем постоянным
и равным давлению в термовакуумной камере, в которой прово-
проводятся испытания.
Поперечная нагрузка, обусловленная неосесимметричной сос-
составляющей перепада давлений, заменяется системой п сосредото-
сосредоточенных сил Qi (i = 1, 2, ..., п), удовлетворяющих условию
Qi+i ~ Qi
г=1
100 < 10%.
Эти силы воспроизводятся с помощью набора ленточных хому-
хомутов 6, рычажных систем 7 и силовозбудителей 8. Геометриче-
Геометрические размеры хомутов (ширина и толщина) должны выбираться
из условий их прочности, минимального затенения нагреваемой
поверхности и минимального давления на поверхность испытыва-
испытываемой конструкции, а значения коэффициентов запаса прочности
материала хомутов &i, коэффициента затенения поверхности к2
и коэффициента &з, характеризующего удельное давление на по-
поверхность под хомутом, — из следующих неравенств:
i-1
чоб
^0,25;
15кПа.
Здесь оь — предел прочности материала хомута при растя-
растяжении; [о] — допускаемое напряжение; FXi — площадь боковой
поверхности оболочки под хомутом, Fo6 — площадь боковой по-
поверхности оболочки, Qi — поперечная нагрузка на г-й хомут.
Для уменьшения искажения температурного поля поверхности
оболочки хомуты должны изготавливаться из материала с более
высокими значениями коэффициента температуропроводности и
иметь большие коэффициенты черноты, чем материалы поверх-
поверхностных слоев. Например, при нагружении оболочки с поверх-
поверхностными слоями из ВФТ-С могут быть использованы хомуты из
сплава на никелевой основе ЭИ628 с покрытием КО-811. Для рав-
равномерного прилегания и нагружения поверхность каждого хомута
должна быть совмещена с поверхностью оболочки, что достига-
достигается предварительным раскроем материала хомутов с помощью

§ 8.5. Методика определения предельных нагрузок 355
шаблонов, изготовленных, например, из плотной бумаги. Каж-
Каждый шаблон представляет собой развертку части поверхности обо-
оболочки под хомутом (сегмент усеченного конуса). Для предотвра-
предотвращения сползания хомуты должны быть скреплены между собой и
с рамой.
Жесткости диафрагм выбираются исходя из общего расчета
оболочки со шпангоутами на прочность и устойчивость. Давле-
Давление в г-м гибком шланге, который прокладывается между внутрен-
внутренней поверхностью оболочки и торцевой поверхностью диафрагмы
с целью ее герметизации, не должно превышать более чем на
5-10% давление в г-й внутренней полости оболочки. Это способ-
способствует снижению влияния жесткости диафрагм на жесткость и
прочность оболочки. В заданном положении диафрагмы удержи-
удерживаются с помощью штанги. Их можно исключить лишь при сла-
слабом изменении осесимметричной составляющей давления вдоль
образующей оболочки. В этом случае наружная и внутренняя ее
поверхности нагружаются постоянной по длине осесимметричной
составляющей давления, величина которой выбирается из усло-
условий обеспечения некоторого запаса прочности в наиболее опас-
опасных сечениях оболочки. К таким сечениям при докритическом
напряженно-деформированном состоянии как в случае неравно-
неравномерного, так и в случае равномерного нагружения внешним да-
давлением относится корневое сечение. При потере устойчивости
оно находится на расстоянии х ^ //3 от заделки.
Выбор сечения, перепад давлений в котором обеспечивает запас
прочности, можно сделать исходя из предположений, что оболочка
условно состоит из нескольких расположенных вдоль образующей
не связанных между собой круговых конических колец или шар-
нирно соединенных конических отсеков. Значение перепада да-
давлений в этих случаях Ар = рн - рвн определяется из условия
максимума произведения
Г АрВ? для колец,
L ApR ' для отсеков.
Здесь R — средний радиус кольца или отсека.
Величина Ар, которая имеет большие значения, чем е опасных
сечениях, и воспроизводится при испытаниях. При этом сечения
оболочки, расположенные ближе к ее вершине, недогружаются, а
остальные перегружаются. Если при этих испытаниях не про-
произойдет разрушение, то можно считать, что оболочка выдерживает
расчетные нагрузки и имеет запас прочности в опасных сечениях.
Более жестким условием для выбора постоянной осесимме-
осесимметричной составляющей является равенство грузовых площадей
23 Зак. 130

356 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
(равенство площадей эпюр перепадов давлений при равномерном
и неравномерном их распределении вдоль образующей оболочки).
Нагревание наружной поверхности при этом способе испыта-
испытаний может осуществляться с помощью радиационных нагревате-
нагревателей открытого или закрытого типов 9 (рис. 8.48) с кварцевыми
лампами, например КГ-220-1000 с гибкими выводами. Эти на-
нагреватели должны проектироваться под конкретный тип оболочки
и в какой-то степени повторять ее обводы. Тепловой расчет на-
нагревателя можно вести в соответствии с методикой, изложенной
в работе [113]. Расположение кварцевых ламп должно обеспечить
приложение нагрузки к поверхности с помощью хомутов. Каркас
нагревателя следует изготавливать из жестких стальных элемен-
элементов и консольно крепить к раме. Кварцевые лампы нужно уста-
устанавливать с некоторым перекрытием (до 25 мм), исключающим
неравномерность нагревания за счет законцовок, где температура
ниже рабочей температуры ламп.
При втором способе [1] испытания проводятся в термобарока-
термобарокамере 1 (рис. 8.49). Оболочка 2 консольно крепится к жесткой
раме 3. Неравномерно распределенное по поверхности внешнее
А-А
А 4
Рис. 8.49. Схема установки для испытаний оболочек в термобарокамере
давление заменяется осесимметричной составляющей, которая
прикладывается к ее наружной поверхности, и системой местных
распределенных нагрузок, прикладываемых к внутренней поверх-
поверхности. Для этих целей поверхность оболочки разбивается на ряд
сегментов. В пределах каждого г-го сегмента создается перепад
давлений между обеими поверхностями оболочки. Давление на
наружную поверхность создается с помощью термобарокамеры, а
на внутреннюю — с помощью контактирующей с ней эластичной
камеры 4, расположенной на жестком основании г-й ячейки сер-
сердечника 5. Этот сердечник располагается внутри оболочки и также
консольно крепится к раме.

§ 8.5. Методика определения предельных нагрузок 357
Отметим, что при этом способе испытаний воспроизводятся
не абсолютные значения давления на наружную и внутреннюю
поверхности оболочки, а перепады давлений, такие, что Api =
= Pm ~ Рвт = Рк — Pyi- Здесь рк — давление в камере; pyi —
давление в г-й эластичной камере. Следовательно, излагаемый спо-
способ может применяться в тех случаях, когда температурное поле в
стенке оболочки и ее несущая способность слабо зависят от абсо-
абсолютной величины давления на ее поверхность.
Величина давления в камере определяется максимальным зна-
значением давления на наружную поверхность г-го сечения, т. е. рк =
= suppH, и, следовательно, воспринимается при испытаниях ос-
(Х,У)
тальными сегментами. Давление в эластичных камерах pyi =
= рк — Api при испытаниях создается автономно.
При проектировании эластичных камер из термостойких ма-
марок резины и сердечника следует учитывать, что перемещение
вершины оболочки при неравномерном нагружении и нагревании
может составлять 2% от ее длины. В связи с этим их конструк-
конструкции должны обеспечить возможность свободного перемещения вер-
вершины оболочки. В камерах необходимо предусматривать штуцеры
для отвода и подвода сжатого воздуха, а также гермовыводы от
датчиков давления. Все трубопроводы, шланги и провода могут
располагаться внутри сердечника. Эластичные камеры должны
находиться в гнездах сердечника, окаймленных жесткими стен-
стенками.
Методика нагревания при этом способе аналогична методике
первого способа.
Второй способ имеет ряд преимуществ, так как поверхность
оболочки свободна от ленточных хомутов. Это позволяет более
точно воспроизводить заданное распределение температур на по-
поверхности и вести наблюдение за поведением испытываемой кон-
конструкции, система нагревания 6 (рис. 8.49) здесь не связана с
системой нагружения. Кроме того, при этом способе количество
нагружаемых сегментов может быть большим, что позволяет бо-
более точно воспроизвести эпюру перепадов давлений.
Измерения при испытаниях. При испытаниях на прочность
оболочек определяются параметры, характеризующие внешние
воздействия на них, а также тепловое, напряженное и деформи-
деформированное их состояния. Лаборатории, в которых проводятся эти
испытания, должны быть оборудованы информационно-измери-
информационно-измерительными системами, удовлетворяющими требованиям, изложен-
изложенным в работе [113]. При испытаниях в камерах измеряются да-
давления в них, во внутренних полостях оболочки и во внутренних
слоях ее стенки, а также поперечная нагрузка, температура на-
23*

358 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
ружной и внутренней поверхностей, относительные деформации и
перемещения.
Для регистрации давления можно использовать малогабарит-
малогабаритные датчики анероидного типа МДД-Те. Перепады давлений
между внутренними полостями, оболочки можно измерять с по-
помощью комплекса ИК6Д6Т, устанавливаемого на диафрагмах, а
внутристеночные давления — с помощью трех- или четырехто-
четырехточечных коллекторов-отборников с шагом 20-30 мм и диаметром
3-4 мм, которые располагаются в стенке на глубине 3-5 мм и со-
соединены с малогабаритными датчиками давления.
Поперечная нагрузка может измеряться с помощью стержне-
стержневых динамометров типа ДДР, погрешность которых не превышает
±2%.
Температуру поверхностей оболочки можно определять с помо-
помощью микротермопар ХА диаметром 0,05 мм, например на стекло-
шифоне, приклеенных клеем ПИР-3. Для уменьшения влияния
различий в коэффициентах черноты наружной поверхности обо-
оболочки на микротермопары следует нанести лакокрасочное покры-
покрытие, аналогичное по составу и цвету покрытию поверхности обо-
оболочки, предварительно убедившись, что оно не оказывает влияния
на достоверность показаний микротермопар.
Выбор количества измеряемых точек и термопар зависит от чи-
числа зон нагрева и требуемой информации о температурных полях
оболочки. В точках ее наружной поверхности, по которым ведется
управление нагревом, можно устанавливать по три или четыре
термопары (управляющие, резервные и контрольные). К ним до-
добавляются термопары, измеряющие температуру поверхностей в
трех или четырех поперечных, а также и продольных сечениях
оболочки, в зоне шпангоута и т. д. Общее количество термопар,
например при 9 зонах нагрева, может достигать 150.
Показания датчиков давления и микротермопар могут реги-
регистрироваться информационно-измерительными системами или
потенциометрами КСП4.
Измерение перемещений осуществляется с помощью датчиков
перемещений типа ДП. В качестве связи между оболочкой и по-
полом камеры можно использовать проволоку из инвара. Датчики и
проволока должны быть теплоизолированы.
Измерение относительных деформаций при комнатной темпе-
температуре, например оболочек из материала ВФТ-С, можно проводить
с помощью тензорезисторов ЗСПК, приклеиваемых к поверхности
клеем ПИР-2. Относительные деформации должны измеряться в
трех или четырех продольных и поперечных сечениях оболочек,
в зонах крепления и др. Количество рассматриваемых точек при
этом достигает 80.

§ 8.5. Методика определения предельных нагрузок
359
Управление нагружением и нагреванием. Управление нагру-
жением и нагреванием может осуществляться с помощью различ-
различных автоматизированных систем, которые должны обеспечивать
регулирование необходимого количества зон нагревания и нагру-
жения. Для примера на рис. 8.50 приведена блок-схема АСУ ТП
- Динам ом ет|
БК —I
РНТО
Коммутатор
каналов
ААН-1
нагружения
АЦП
СГ
ААН-1
нагрева
СГ
ЭВМ
Рис. 8.50. Блок-схема АСУ ТП «Надежность»
«Надежность» [52], которую применяли при первом способе ис-
испытаний. В целях регулирования использовали два аналоговых
автомата ААН-1 (один для нагревания, один для нагружения).
Автоматы ААН-1 управляли гидроагрегатами (ГА) нагружения и
регуляторами напряжения тиристоров РНТО. Программу регули-
регулирования задавали с помощью ЭВМ через сегмент-генераторы (СГ).
Сигнал от динамометра и сигналы от управляющих микротермо-
микротермопар через нормирующие преобразователи автоматов ААН-1, ком-
коммутатор каналов и аналого-цифровой преобразователь АЦП посту-
поступали в ЭВМ. Для компенсации влияния холодных спаев термопар
использовали блок компенсации (БК). Погрешность измерения и
выдачи программ АСУ (без погрешности датчиков) 1%.

360
Гл.8. Закономерности изменения предельных нагрузок
Оценка качества воспроизводимых программ при испытаниях.
Качество испытаний оболочек определяется погрешностями функ-
функционирования и надежностью систем нагревания, нагружения,
управления и измерений. На ряд их показателей оказывает влия-
влияние неоднородность структуры и свойств материалов конструкции
оболочки. В первом приближении общую оценку качества можно
проводить путем сопоставления задаваемых и получаемых при ис-
испытаниях режимов нагревания и нагружения различных участков
конструкции, а также путем статистической обработки результа-
результатов измерений температур в точках, находящихся в условиях од-
однородного поля температур. При этом определяются для каждого
или для характерных моментов времени (моментов, соответствую-
соответствующих экстремальным значениям и точкам перегиба кривых Тн(т),
Q(t), р(т), а также моментов, предшествующих разрушению обо-
оболочки, и др.) относительные погрешности воспроизводимых тем-
температур Тэ, поперечных нагрузок Q3 и давлений рэ, т.е.
6Т =
Г-Т.,
¦100%; SQ =
Q-Q3
Q
•100%; Sp =
Р-Рэ
P
•100%,
рассогласование по времени программ в характерные моменты
времени или для всего диапазона, т. е.
6т =
т-тэ
¦ 100%,
коэффициенты вариации показаний п термопар, находящихся в
условиях однородного поля температур в характерные моменты
времени, т. е.
V = ^ • 100%
,
где
1 n
тэ — V^
г=1
Tf — среднее арифметическое значение;
Sn =
l
среднеквадратичное откло-
" - 1 itl
нение;
Ti — показание г-й термопары.
Установлено, что рассеивание показаний микротермопар под-
подчиняется нормальному закону распределения, а среднеквадратич-
среднеквадратичное отклонение температур наружной поверхности состоит из двух

§ 8.5. Методика определения предельных нагрузок
361
составляющих: Sn = SCT + SAVlH, где SCT — среднеквадратичное
отклонение при постоянных уровнях температуры Т? ср (статиче-
(статическая составляющая); SAKH — среднеквадратичное отклонение при
переменных значениях температуры Т„ (динамическая соста-
составляющая).
Значение SCT является функцией температуры и определяется
в основном погрешностями системы измерений, системы нагре-
нагревания и неоднородностями свойств материала нагреваемой кон-
конструкции. Значение SmH определяется динамическими харак-
характеристиками системы управления нагреванием, инерционностью
нагревательных устройств и системы измерения, плотностью те-
тепловых потоков и др.
Значения Sn(r) зависят от характера изменения кривых Ти(т).
Минимальные ее значения находятся на участках кривых Тн(т),
где dTH/dT -+ О или dTH/dT = 0. В этих случаях Sn -» 5"ст. За-
Зависимость Sct(^h) может быть определена предварительно непо-
непосредственно на испытываемой оболочке. Максимальные значения
Sn находятся вблизи точек перегиба кривых Ти(т). В этих слу-
случаях Sn —> SCT + SAIiH. Эти закономерности изменения величин
5"п должны учитываться при составлении программы испытаний
оболочек и при оценке качества испытаний.
Пример испытаний оболочки в вакуумной камере. Рассмотрим
в качестве примера определение предельной нагрузки оживаль-
ной оболочки, стенка которой выполнена из наружной, средней и
внутренней обшивок (материал ВФТ-С) и двух слоев гардинного
плетения из облегченного стеклотекстолита. Воспроизводимые
кн е р, ki
гЮОг
20
о
-0,8
- 50
Разрушение
т:
г
Л...Г
I
О 500 1000 т, с
Рис. 8.51. Программы нагревания и нагружения оболочки
программы нагревания и нагружения представлены на рис. 8.51.
Распределение о се симметричной составляющей нагрузки в этом

362 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
случае было таково, что для ее воспроизведения было достаточно с
помощью одной диафрагмы разделить внутреннюю полость на две
несвязанные — переднюю и корневую, причем давление в корне-
корневой полости было равным давлению в камере.
Для воспроизведения поперечной нагрузки, обусловленной не-
о се симметричной составляющей, оболочку консольно крепили к
раме и нагружали с помощью 17 ленточных стальных хомутов
шириной 100 мм, рычажных систем и гидравлических силовоз-
будителей. При такой замене перерезывающая сила в корневом
сечении совпадает с заданным значением, а изгибающий момент
отличается от заданного не более чем на 0,6%. Максимальное при-
приращение перерезывающей силы составляет 9% от значения пере-
перерезывающей силы в корневом сечении. Отметим, что осевая со-
составляющая, возникающая из-за конусности оболочки, частично
воспроизводится при нагружении с помощью хомутов. Влиянием
контактных давлений под хомутами на характер распределения
давления пренебрегали.
Распределение температур по поверхности оболочки принимали
равномерным, а характер изменения по времени представлен на
рис. 8.51. Поле температур воспроизводили с помощью кониче-
конического радиационного нагревателя с кварцевыми лампами КГ-220-
1000-1, который крепили к раме. Нагреватель был разделен на
9 зон независимого управления.
При испытаниях определяли поперечную нагрузку Q, давление
в камере рк, давление в передней полости оболочки рВН1, темпера-
температуру внутренней поверхности Твн в 24 и наружной Тн в 30 точках,
а также перемещение вершины оболочки.
Поперечную нагрузку измеряли стержневым динамометром
ДДР-5 (погрешность 2%), а давление в камере — образцовым ма-
новакууметром ВО класса точности 0,4 и малогабаритными темпе-
ратуростойкими датчиками давления МДД-Те-0-0,5 анероидного
типа. Перепад между давлениями в передней и корневой поло-
полостях фиксировали с помощью измерительного комплекса давления
ИК6Д6Т, установленного на диафрагме.
Температуру поверхностей измеряли микротермопарами ХА
0 0,05 мм. В ряде точек наружной поверхности оболочки, по кото-
которым велось управление нагревом, устанавливали три термопары
(контрольную, управляющую и резервную). Все термопары на
наружной поверхности покрывали лаком, аналогичным по составу
покрытию оболочки.
Показания динамометров, датчиков давления и температуры
регистрировали потенциометрами КСП4 класса точности 0,5.
Управление нагружением и нагреванием осуществлялось с по-
помощью автоматизированной системы АСУ ТП «Надежность».

§ 8.5. Методика определения предельных нагрузок 363
Разрушение оболочки произошло в передней полости на 1440 с
при Гн = 535 ± 12 К, Гвн = 419 ± 4 К, Q = 11,2 кН, давлении в
передней полости рВщ = ЮкПа, давлении в камере и в корневой
полости рн = Рвн2 = 70кПа и сопровождалось сильным резким
звуком. При визуальном осмотре после остывания оболочки были
обнаружены остаточные явления — четыре продольные неосесим-
метричные вмятины от вершины оболочки до места установки
диафрагмы, продольные трещины и незначительные расслоения
Рис. 8.52. Форма разрушения нагретой оживальной оболочки от неравномерного
внешнего давления
материала в районе гребней, смещение вершины оболочки отно-
относительно его продольной оси, поперечная складка в сжатой зоне
(рис. 8.52).
Вид разрушения (неосесимметричная форма потери устойчи-
устойчивости с нерегулярными волнами) свидетельствует о том, что раз-
разрушение оболочки вызвано в основном о се симметричной составля-
составляющей перепада давлений в передней полости.
Результаты эксперимента сравнивались с расчетом. Критиче-
Критическое внешнее давление определялось из уравнений устойчивости
(см. гл. 2), полученных для конической ортотропной оболочки,
неоднородной по толщине. В случае слоистой оболочки формулы
для жестокостей имеют вид
G =

364 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
D12 = ^
|) («f - e?-i
5
= я2
i=l
где относительное смещение нейтральной поверхности от сре-
срединной
?0 _ _ 1 1 г=1 Х
В этих формулах:
& = Si/H — относительное расстояние от внутренней поверх-
поверхности до г-го слоя; Si — абсолютное расстояние;
5
Я = ?} hi — толщина пакета; hi — толщина г-го слоя;
i=i
щ , Е$\ G(*\ i/[ , i^2 — модули упругости и коэффициенты
Пуассона г-го слоя; v\, V2 — коэффициенты Пуассона (приведен-
(приведенные), определяемые как
^ = !=ТЗ . /?=1,2, 7 = 2,1.
Здесь Е* /Q. — ^i ^ ) — эффективный модуль г-го слоя.

§ 8.5. Методика определения предельных нагрузок 365
При расчете полагали, что характеристики упругости матери-
материала в пределах слоев не меняются, а модули упругости всех слоев
примерно одного порядка. В этом случае межслоевые сдвиги неве-
невелики, и их влиянием можно пренебречь.
Для определения критического внешнего давления использо-
использовали метод Бубнова-Галеркина, который применяли к исходным
уравнениям задачи. Прогиб и функцию усилий задавали в виде
C.16) гл. 2. Алгоритм нахождения критического внешнего да-
давления и параметров волнообразования был запрограммирован на
языке ФОРТРАН.
Значения критического перепада давления для передней части
оболочки при комнатной температуре в случае шарнирного опи-
рания Аркр = 198 кПа, а в случае защемления Аркр = 152 кПа
при п = 4. Для нагретой оболочки в момент разрушения при
шарнирном опирании Аркр = 135,5 кПа, а в случае защемления
Аркр = 108,6 кПа. Это указывает на то, что с ростом темпера-
температуры значения Аркр уменьшаются за счет изменения модулей
упругости материала несущих слоев. Сопоставление теоретиче-
теоретического и экспериментального значений критического перепада да-
давлений свидетельствует о том, что экспериментально полученный
перепад значительно меньше теоретического, т. е. Ар^р/ Аркр =
= 60/108,6 = 0,552.
Несовпадение этих значений объясняется тем, что при расчете
не учтена несимметричная составляющая перепада давлений, а
также отсутствием точных данных по характеристикам упруго-
упругости материалов стенки и их изменением от температуры. Кроме
того, в расчете принималось выражение, описывающее регуляр-
регулярное волнообразование. Однако в действительности оно не было
регулярным. Отметим, что при расчете принималось во внима-
внимание совпадение осей ортотропии материала слоев стенки оболочки
с координатными линиями (вдоль образующей и в кольцевом на-
направлении). Однако при визуальном осмотре оболочки было обна-
обнаружено отклонение основы и утка от направления осей координат,
что может внести значительные погрешности в расчет. Это ука-
указывает на необходимость тщательного контроля за выполнением
заданной схемы ориентации волокон в слоях материала при из-
изготовлении оболочки, что приведет к увеличению жесткостей ее
стенки, а следовательно, и к увеличению критического перепада
давлений.
Проведению испытаний оболочки предшествовал ряд исследо-
исследований, направленных на уменьшение погрешностей воспроизве-
воспроизведения нагрузок и температур. Значительное внимание при этом
уделялось уменыпению погрешностей рассогласования по времени
между заданными и выполняемыми программами нагревания и

366
Гл.8. Закономерности изменения предельных нагрузок
нагружения, снижению погрешностей измерения температур в
условиях низких давлений и уменьшению невязки между задан-
заданными и воспроизводимыми полями температур.
В результате этих исследований относительная погрешность
рассогласования по времени между заданной и воспроизводимой
программами нагревания была снижена с 6,4% до 1,0%, а между
аналогичными программами нагружения была практически све-
сведена к нулю. Установлено, что отсутствие покрытия на микро-
микротермопарах приводит к завышению температуры поверхности обо-
оболочки до 10%, а нанесение на ленточные хомуты покрытия с
высокой поглощательной способностью и использование в зоне
стыковки конических модулей кварцевых ламп ленточных экра-
экранов приводит к выравниванию заданного и воспроизводимого по-
полей температур.
Регулярность структуры стенки и однородность воспроизводи-
воспроизводимого в условиях вакуума на поверхности оболочки поля температур
позволили провести статистическую обработку результатов изме-
измерений температур и определить характеристики разброса опыт-
опытных данных. Обработку проводили по показаниям контрольных
Диафрагма
2 1
1000
т, с
Рис. 8.53. Изменение показателей качества нагревания оболочки при воспроиз-
воспроизведении Гн(т)
микротермопар, расположенных на наружной поверхности стенки
оболочки и регистрируемых потенциометрами КСП4. При этом
число измеряемых точек достигало 30. Кроме того, на вероят-

§ 8.6. К вопросу о регламентировании нагрузок 367
ностной бумаге графическим способом проверяли гипотезу нор-
нормального распределения отклонений показаний микротермопар от
среднего значения, которая подтвердилась.
На рис. 8.53 представлены зависимости #"ср(т), Sn(r) и V(r).
Анализ поведения кривой Sn(r) указывает на то, что она имеет
два ярко выраженных максимума и один минимум, значения ко-
которых зависят от скорости изменения температуры наружной по-
поверхности. Экстремальные значения достигались вблизи точек пе-
перегиба кривой #н.ср(т)- Первый максимум Sn = 10,9 К находился
при т = 300 с, второй Sn — 8,0 К — при т — 1340 с, минимум
Sn = 4,5 К определялся при т = 950 с. Кривая V{r) также имеет
два ярко выраженных максимума и один минимум. В момент,
предшествующий разрушению, его значение было равным 2,9%.
Отметим, что полученный при испытаниях интервал предель-
предельных отклонений температур не превышает ±3^, что отвечает
надежности более 95%.
Представленные выше значения Sn и V получены для объема
выборки N = 30, т. е. при расчете этих величин учитывали сово-
совокупность показаний всех микротермопар, расположенных на на-
наружной поверхности оболочки. Значения Sn и V показаний микро-
микротермопар, которые расположены в сечениях 1-1, 2-2, 3-3 оболочки
(рис. 8.53), в момент, предшествующий разрушению, приведены
ниже (при N = 10):
1-1: Sn = 8,7K, F-
2-2: 5„ = 4>5К>7 = ,;
3-3: Sn = 5,9 К, V = 2,26%.
Имеющиеся различия среднеквадратичных отклонений и ко-
коэффициентов вариации по длине незначительны, что указывает на
высокое качество воспроизведения температурных полей.
§ 8.6. К вопросу о регламентировании нагрузок
и температурных полей при испытаниях углеродных
элементов конструкций
Для ряда оболочечных конструкций энергетических устройств,
тепловые режимы которых в процессе эксплуатации характери-
характеризуются интенсивным теплообменом на поверхности, высокими
скоростями изменения температуры во времени и большими гра-
градиентами температуры (до 1500К по длине), а силовые — не-
неравномерно распределенным по поверхности внешним давлением,
основными конструкционными материалами являются КМ на
углеродной основе (типа «углерод-углерод»). Воспроизведение
внешних воздействий при лабораторных испытаниях их на проч-

368 Гл.8. Закономерности изменения предельных нагрузок
ность связано с рядом трудностей, возникающих в основном из-за
отсутствия установок, позволяющих полностью смоделировать
физические процессы нагревания и нагружения конструкций.
В настоящее время они могут быть приближенно воспроизведены с
помощью радиационного способа нагревания и механического на-
нагружения поверхности системой элементарных сосредоточенных
сил. При этом используется различное испытательное оборудова-
оборудование, которое может оказать влияние на точность внешних воздей-
воздействий. Ниже предпринята попытка оценить это влияние с позиций
вероятностно-статистических и аналитических методов.
Оценка влияния погрешностей систем нагружения на выбор
коэффициента безопасности. Основным критерием при оценке на-
надежности конструкции с позиций вероятностно-статистических
методов является величина вероятности разрушения C или об-
обратная к ней величина C = 1 — /3, называемая надежностью.
Величина f3 непосредственно связана с коэффициентом безопас-
безопасности /, который определяется обычно как отношение расчетных
нагрузок Pq к медиане распределения эксплуатационных нагрузок
Рое: / = Рор/Рое-
Значение 0 может быть получено при наличии функций плот-
плотности вероятности несущих способностей конструкций fp(x) и
максимальных эксплуатационных нагрузок fe(x). Если функция
распределения несущих способностей не зависит от времени экс-
эксплуатации, то вероятность разрушения может быть определена
следующим образом:
00 00
/3=J fe(x) Fp(x) dx = 1 - J fp(x) Fe(x) dx, F.1)
—oo —oo
где Fp(x) и Fe(x) — функции распределения разрушающих и экс-
эксплуатационных нагрузок.
В простейшем случае, когда рассматривается одна деталь,
обладающая несущей способностью Рор под действием одной
внешней нагрузки Р$ (величины Pq и Рое являются случайными
величинами с нормальными законами распределения), можно
определить функцию распределения разности z = Pq — Pq и по
ней — вероятность "разрушения с помощью следующего выра-
выражения:
Pl-Pl
F.2)

§ 8.6. К вопросу о регламентировании нагрузок 369
где
Ф — интеграл вероятности;
/ = P^/Pq — коэффициент безопасности;
Ро, Ро — средние арифметические значения несущей способ-
способности конструкции и эксплуатационных нагрузок;
0р? 0е — средние квадратичные отклонения;
Vp = CTp/Pg — коэффициент вариации несущей способности
конструкции;
V3 = 0е/Р<) — коэффициент вариации эксплуатационных на-
нагрузок.
Как следует из формул F.1) и F.2), существует явная за-
зависимость между вероятностью разрушения /3, коэффициентом
безопасности /, коэффициентом вариации несущей способности
конструкции Vp и коэффициентом вариации эксплуатационных
нагрузок V3- В работе [115], например, приведены графики для
определения коэффициента /3 при известных значениях коэффи-
коэффициентов f,Vp uV3, построенные с помощью формулы F.1).
Иногда в расчетах, основанных на гипотезе о нормальности
всех параметров, пользуются гауссовским уровнем надежности 7>
связанным с показателем надежности /3 зависимостью
здесь U — случайная величина.
Графики для перевода с одного уровня надежности на другой
представлены в работе [28]. Связь между гауссовским уровнем на-
надежности 7 и вероятностными характеристиками определяющих
параметров получаются в виде
7 = . f~1 ¦ F.3)
/*p + К2
К
При этом отношение / = Pq/Pq принимается за условный коэф-
коэффициент безопасности, который не является случайной величиной.
Тогда в процессе решения формулы F.3) относительно / получа-
получается
\Л - (* -

370 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
Отметим, что коэффициент безопасности вводится с целью
учета отклонений, которые в статической прочности условно раз-
разбиваются на пять групп [100, 107]:
1) отклонения, вызванные погрешностями или неопределенно-
неопределенностями в нагрузках;
2) неточности расчетных методов на прочность;
3) отклонения в прочностных свойствах материалов;
4) отклонения, вызванные износом в процессе срока службы;
5) технологические отклонения при производстве и сборке.
Как следует из этого перечня, при выборе значений коэффици-
коэффициента безопасности погрешность экспериментального оборудования
не учитывается.
Предположим, что средние квадратичные отклонения несущей
способности конструкций <7Р зависят от средних квадратичных
0,08
- 0,18-
0,04
- 0,14-
0L 0,10
0,8
Рис. 8.54. Зависимость коэффициентов вариации несущей способности конструк-
конструкции и системы нагружения от значений коэффициента к
отклонений прочностных свойств конструкции стс и системы на-
нагружения <7„, а те, в свою очередь, являются независимыми вели-
величинами. Тогда на основании правила накопления ошибок
о\ = о\ + a2
или
V2 = V2 + V2
vp vc • vui
F.5)

§ 8.6. К вопросу о регламентировании нагрузок
371
где Vc = oc/Pq — коэффициент вариации прочностных свойств
конструкции; Vu = au/P0 — коэффициент вариации системы на-
гружения.
Представим, что
Vu = kVc, 0 < А: < 1.
F.6)
Подставляя выражение F.6) в формулу F.5), найдем Vp =
= VcVl + к2.
Зависимости Vp и Vu от значений коэффициента к при Vc =
= 0,15 приведены на рис. 8.54. Как следует из этого рисунка, при
к = 0 Vp = Vc, а с увеличением к значения Vp возрастают, при-
причем при к = 1 Vu = Vc- На рис. 8.55 представлено приращение
20-
15
10
0
0,025 0,050 0,075
0,1
Рис. 8.55. Приращение коэффициента вариации несущей способности конструк-
конструкции при изменении значений коэффициента вариации системы нагружения
величины коэффициента Vp в связи с изменением значения ко-
коэффициента Vu, из которого видно, что изменение коэффициента
вариации системы нагружения оказывает значительное влияние
на коэффициент вариации несущей способности. Например, при
A %
u , p
Для оценки влияния коэффициентов вариации Vp и Vu на ко-
коэффициент безопасности / воспользуемся формулой F.4). Резуль-
Результаты расчета представлены на рис. 8.56. Отметим, что необхо-
необходимые для расчета значения /3, /3, 7 и К были заимствованы из

372
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
работ [28, 100, 107, 115]. В работе [115] указывается, что для за-
задания уровня вероятности разрушения конструкции каких-либо
нормативных документов не существует. В каждом конкретном
случае следует исходить из сравнительного анализа его значений
для изделии из обычных материалов, для которых уже установи-
установилась практика проектирования. Уровни вероятности разрушения
12
1,
о
0,04
Рис. 8.56. Влияние коэффициентов вариации несущей способности конструкции
на величину коэффициента безопасности (/? = 0,0005; 7 = 3,5; V3 = 0,08)
Рис. 8.57. Приращение коэффициента безопасности при изменении значений
коэффициента вариации системы нагружеиия
должны быть одинаковы для изделий из различных материалов.
На их величину оказьшают влияние следующие факторы:
— тип и назначение изделия;
— престиж;
— технические последствия разрушения конструкции;
— учет возможных ошибок в испытаниях, анализе, методике
установления и распределения надежности.
Основываясь на данных литературы, примем в наших расче-
расчетах вероятность разрушения /3 = 0,0005, тогда надежность кон-
конструкции /3 = 1- 0,0005 = 0,9995. В соответствии с [28] гаус-
совский уровень надежности 7 — 3,5. Коэффициент вариации

__ § 8.6. К вопросу о регламентировании нагрузок 373
эксплуатационных нагрузок V,, как следует из работы [100], для
самолетных конструкций может приниматься равным 0,08. По-
Поскольку других сведений об этой величине в указанных выше ис-
источниках нет, остановимся на ней и в наших расчетах.
Как видно из рис. 8.56, зависимость коэффициента безопасно-
безопасности / от коэффициента вариации несущей способности Vp является
нелинейной.
Отметим, что КМ имеют большие но сравнению с металлами
разбросы значений механических характеристик. Коэффициенты
вариации несущей способности конструкций из этих материалов
определяются либо экспериментальным путем, либо теоретически
на основании результатов испытаний образцов материалов. На-
Например, для самолетных конструкций из обычных материалов они
значительно превышают коэффициенты вариации, полученные на
образцах, и составляют 0,06-0,12. Для КМ на углеродной основе
их значения могут достигать 0,15-0,20. Возьмем нижний предел
Vp = 0,15. В этом случае в соответствии с графиком рис. 8.56
/ = 2,2.
Если величина Vp задана на основе теоретических расчетов и
в нее не входят погрешности нагружения, то очевидно, что при
испытаниях конструкций ее значения будут изменяться. С воз-
возрастанием Vu будет изменяться и коэффициент безопасности. На
рис. 8.57 показано приращение коэффициента безопасности Д/ в
зависимости от величины Vu. За начальные значения приняты
/ = 2,2, Vp = 0,15. Как следует из этого рисунка, приращение ко-
коэффициента безопасности является нелинейной функцией коэффи-
коэффициента вариации системы нагружения. Например, при Vu = 0,05
коэффициент безопасности изменит свою величину на 5,5%. Это
означает, что расчетная нагрузка также возрастет на 5,5%. Сле-
Следовательно, при испытаниях надо стараться уменьшить погреш-
погрешности системы нагружения. Однако предел, к которому нужно
стремиться, должен быть задан нормами прочности, поскольку по-
погрешности системы нагружения оказывают влияние не только на
величину коэффициента безопасности, но и на величину вероят-
вероятности разрушения конструкции.
Оценка влияния погрешностей системы нагревания на напря-
напряженно-деформированное состояние конструкции. Характерной
особенностью КМ на углеродной основе является слабая зависи-
зависимость характеристик упругости и прочности от температуры в пре-
пределах 290-1920 К. Это объясняется тем, что углеродное волокно
сохраняет присущую ему прочность вплоть до температуры суб-
сублимации C200 К) и имеет высокую прочность сцепления с коксом
связующего, образующегося под влиянием высокотемпературной
обработки.
25 Зак. 130

374
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
Большие градиенты температур по поверхности элементов кон-
конструкции из КМ на углеродной основе вызывают в них темпера-
температурные напряжения, точный расчет которых может быть выпол-
выполнен численными методами, например методом конечного элемента.
Однако для предварительного суждения о порядке этих величин и
о влиянии на них погрешностей воспроизведения температурных
полей при теплопрочностных испытаниях можно воспользоваться
аналитическими решениями задач, например решением задачи
у
Рис. 8.58. Характер распределения температуры (а) по длине оболочки (б)
для цилиндрической или сферической оболочки с закрепленным
или шарнирно опертым краем при неравномерном по длине рас-
распределении температуры.
Зададим закон изменения перепада температуры по длине обо-
оболочки в виде
T(x,z) = Tcpsmr]x + Ts+TT-T3, F.7)
где
х — текущая координата, отсчитываемая от заделанного края
оболочки;
z — координата, отсчитываемая от срединной поверхности обо-
оболочки в направлении внутренней нормали;
(ДТ + ДТ2)/2; ДГх = Ti - Ts; ДТ2 = Т2- Ts;
температура внутренней и внешней поверхностей обо-
оболочки у свободного края соответственно;
Ts — температура срединной поверхности оболочки у опоры;
TT = [(Tl-T2)/h]z;
Тэ — температура заделки;
г] — некоторая константа, характеризующая изменяемость
поля температур.
Смысл используемых параметров поясняет рис. 8.58.
Тср =
T

§ 8.6. К вопросу о регламентировании нагрузок 375
В случае защемления ортотропной оболочки радиуса R про-
прогиб W будет следующим:
в случае шарнирного опирания
e~Xx ^
W = a2R IT/ cosXxe~Xx - 4Л4^ 4Тсрsinrfx ~ Ts] >
а в случае свободного шарнирного опирания
W = -a2R
Здесь «2 — коэффициент линейного расширения в окружном на-
направлении; г;(г) = Т3 + ТТ-ТЭ; А = ^hE2/{ADuR2); Eu E2,
Dn, zq вычисляются по формулам гл. 2.
Отметим, что А характеризует изменяемость напряженного со-
состояния.
Изгибные температурные напряжения определяются следую-
следующими выражениями:
I
/г2 da:2 '
'"=±Л"  *" F.9)
3Dnd3W
z=o 2 h dx3
Здесь ст", (jy — нормальные напряжения вдоль образующей и в
окружном направлении соответственно; т"г — касательные напря-
напряжения.
Применим указанные формулы к оболочкам из трансверсально-
изотропного материала с модулем упругости Е\ = Е2 = Е —
= 6,3 • 104МПа и коэффициентом Пуассона vi = и2 = v — 0,1.
В этом случае изгибные напряжения в заделке, как следует из
25*

376
Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
формул F.8), F.9), при не зависящих от температуры характе-
характеристиках материала вычисляются таким образом:
тахст
1=0
z=-0,5h
tcp
0,25x3 J '
F.10)
Вдали от заделки имеем
ст„
x=l
-ax
1/x + 0,25x3 JTcp'
F.11)
Мембранные напряжения в заделке в соответствии с законом
Гука могут быть представлены в виде
1=0
а вдали от заделки — в виде
olE
1-v
Т@, г),
F.12)
x=l 1-й-
F.13)
Оценим влияние второго слагаемого в скобках формулы F.10).
Для длинных оболочек с / > 10/*, где /* = 2,5vRh — длина зоны
краевого эффекта, оно будет не более A/20)Тср (х ~ 0,05), а для
коротких оболочек с / < /* — не менее A/2)Тср (х ~ 0,5).
Сопоставляя первое слагаемое в скобках со вторым при одина-
одинаковых температурах у краев длинных и коротких оболочек, най-
найдем, что второе слагаемое для длинных оболочек несущественно,
а для коротких его следует учитывать.
Рассмотрим случай, когда То = 1273 К, Тх = 1823 К, Т2 =
= 1923 К, Тз = 273 К. Подставив эти значения в формулы F.10),
F.12), получим вблизи заделки для длинных оболочек
тахст;
i=0
= 354МПа,
а для коротких
тахст
1=0
= 430МПа.

§ 8.6. К вопросу о регламентировании нагрузок
377
Мембранные напряжения вблизи заделки
= -221 МПа.
Суммарные температурные напряжения в заделке будут та-
такими:
ох s=0 = 133 МПа.
z=-0,5h
Для длинных оболочек в случае защемления
1=0
х=1
= 246 • 1(Г2 МПа,
а для коротких
х=1
= 24,5 МПа.
Мембранные напряжения вдали от заделки для длинных обо-
оболочек
х=1 =311 МПа.
z=-O,bh
Полученные напряжения являются максимально возможными.
В реальных условиях температура заделки Т3 > 273 К, элементы
соединений нагреваются, и обеспечивается свобода перемещений
точек крепления. Поэтому температурные напряжения будут зна-
значительно ниже. Вероятно, что реальные граничные условия зай-
займут промежуточное положение между шарнирным опиранием и
защемлением. Отметим, что формулы, аналогичные приведен-
приведенным выше, могут быть получены и для шарнирного опирания.
В этом случае, как следует из гл. 4, уровень нормальных напря-
напряжений вблизи опоры снижается примерно в три раза и остается
наибольшим. В случае свободного шарнира напряжения в заделке
незначительны. Независимо от вида граничных условий напряже-
напряжения вдали от заделки не превосходят уровня напряжений, опреде-
определяемых по формуле F.13).
Оценим с помощью формул F.7), F.10)—F.13) влияние тем-
температуры заделки Т3 на изгибные и мембранные напряжения в
консольно-защемленной оболочке. Пусть Т3 = Ts = 1273 К, Т\ =
= 1823 К, Т2 = 1923 К. Тогда для длинных оболочек
1=0
= 26,5 МПа; 6%
х=1
= 24,6 МПа;
1=0
= 0;
х=1
= -149 МПа;

378
Гл.8. Закономерности изменения предельных нагрузок
для коротких оболочек
= 115 МПа;
1=0
х=1
= 24,6 МПа;
х=0
= 0;
х=1
= -14,9 МПа.
Сравнение этих результатов с полученными ранее для случая
Г3 = 273 К показывает, что температура Тэ существенно влияет
на величину изгибных напряжений вблизи заделки и на вели-
величину мембранных напряжений как вблизи, так и вдали от нее.
С возрастанием Т3 эти напряжения уменьшаются, причем более
резко у заделки. Отсюда следует, что при теплопрочностных ис-
испытаниях нужно стремиться к более точному воспроизведению
температурных полей у заделки. Недогрев этого места ведет к по-
повышению температурных изгибных и мембранных напряжений,
а перегрев — к снижению.
Точное воспроизведение температурных полей при теплопроч-
теплопрочностных испытаниях агрегатов из КМ на углеродной основе ч;—
задача весьма сложная. Это связано с воспроизведением темпе-
температурных полей по зонам и с независимым управлением нагре-
нагревом в них. В силу конструктивных особенностей нагревательных
Рис. 8.59. Изменение перепада температур (а) по длине оболочки (б):
линейное, синусоидальное, — • — • границы флуктуации при синусо-
синусоидальном изменении
устройств (при рассмотрении модульного принципа их построе-
построения) возможны участки на конструкции, где температура будет

§ 8.6. К вопросу о регламентировании нагрузок
379
отклоняться от заданной по программе. Представляет значитель-
значительный интерес оценка влияния этих отклонений на температурные
напряжения. Для этих целей зададим перепад температуры по
длине оболочки в виде
Т(х, z) = Ть sinщ + Ts + Гт - Тэ
Тсру,
где Ть — амплитуда отклонений температуры (рис. 8.59).
В этом случае прогиб оболочки, защемленной на краю, будет
таким:
1 + 0,25x4'
изгибные напряжения в заделке для длинных оболочек —
х=0
а вдали от заделки —-
у/хЕ
x=i
¦.ах
Мембранные напряжения вблизи заделки определяются фор-
формулой F.12), а вдали от нее — выражением
x=l
х [тр.
х
+ т; +
. FД4)
Сопоставим результаты расчета изгибных и мембранных на-
напряжений для двух случаев, когда перепад температуры по длине
оболочки выражается уравнением прямой (Ть = 0) и уравнением
синусоиды {Ть = 50К). Пусть Тэ = 1273 К, Гх = 1823 К, Г2 =
= 1923 К, к — 7г/B0/), начальные и конечные температуры в обоих
случаях совпадают. Тогда для прямой
=20,4МПа,
z=-h/2

380 Гл. 8. Закономерности изменения предельных нагрузок
для синусоиды
a
х=0 ~20,4МПа.
z=-h/2
Отсюда следует, что погрешность воспроизведения температур,
равная 3,3% у свободного края и 5% у заделки, не оказывает вли-
влияния на изгибные температурные напряжения.
Расчеты, выполненные с помощью формулы F.14), показы-
показывают, что для прямой
a
х=1 =134МПа,
z=/i/2
для синусоиды
t=l =133МПа.
z=h/2
Это означает, что отклонения в температуре от 3,3 до 5% приводят
к ошибке в мембранных напряжениях, равной 0,75%.
Отметим, что значительное влияние на температурные напря-
напряжения оказывают погрешности в температуре одного знака по всей
длине оболочки (перегрев или недогрев). Рассмотрим случай пере-
перегрева на 9% у свободного края конструкции, температурное поле
которой определяется уравнением F.7). При Т3 = 1273К мем-
мембранные напряжения у свободного края оболочки в случае точ-
точного воспроизведения по закону F.7), как следует из приведен-
приведенных выше расчетов, о"*) ^ = —149МПа. В случае перегрева
(Г2 = 1823 + 165 = 1980 К) сг^\х=[ = -184МПа. Отсюда следует,
что погрешность в воспроизведении температуры (перегрев на 9%)
ведет к погрешности в мембранных напряжениях на 23,5%.
Итак, при теплопрочностных испытаниях элементов конструк-
конструкций из КМ на углеродной основе (в том числе и оболочечных)
нужно стремиться к более точному воспроизведению температур-
температурных полей у заделки. Недогрев этого места ведет к повышению
температурных изгибных и мембранных напряжений, а пере-
перегрев — к снижению. При выборе числа зон с автономным уп-
управлением следует руководствоваться следующими правилами:
а) симметричные отклонения температуры от заданной C,3-5%)
приводят к незначительным ошибкам в мембранных напряжениях
(до 0,75%); б) погрешности одного знака в воспроизведении тем-
температуры по длине конструкции (перегрев или недогрев) ведут к
значительным погрешностям в мембранных напряжениях.

СПИСОЕ ЛИТЕРАТУРЫ
1. А. с. 456187(СССР). Способ испытаний па прочность полой тонкостен-
тонкостенной конструкции / А. Н. Баранов, Л. Г. Белозеров, С. О. Джанхотов.—Опубл.
в БИ, 1975. № 1.
2. Александров А.Я., Бородин М.Я., Павлов В.В. Конструкции с за-
заполнителями из пенопласта.—М.: Оборонгиз, 1972.
3. Алексеев К.П., Саченков А.В. Исследование устойчивости усеченных
конических оболочек при осевом сжатии.—В кн.: Теория пластин и оболо-
оболочек /Сб. аспирантских работ.—Казань: Изд-во КГУ, 1972, вып. П.
4. АлумяэН.А.К определению критической нагрузки замкнутой в вершине
конической оболочки вращения, находящейся под действием внешнего да-
давления / Труды Таллинского политехи, ин-та. 1955. Сер. А. № 65.
5. АлфутовН.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных
пластин и оболочек из композиционных материалов.—М.: Машинострое-
Машиностроение, 1984.
6. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек.—М.: Физматгиз,
1961.
7. Ашкенази Б.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материа-
материалов.—Л.: Машиностроение, 1972.
8. Бадрухин Ю.И., Кабанов В. В. Влияние нагрева на устойчивость обо-
оболочек /Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1969. № 3.
9. Балабух Л.И., Марченко В.М. Устойчивость тонкостенной оболочки,
нагруженной местными усилиями /Сб. работ по прочности авиационных
конструкций.—М.: БНИ ЦАГИ, 1958.
10. Балабух Л. И. Температурные напряжения в оболочках вращения.—
Там же.
11. Баничук Н.В., Рикардс Р.Б. Оптимизация элементов конструкций из
композиционных материалов.—М.: Машиностроение, 1988.
12. Баранов А.Н., Морозов М.А. Экспериментальное исследование крити-
критической деформации цилиндрической оболочки в условиях ползучести / Изв.
АН СССР. Механика твердого тела. 1971. № 1.
13. Белозеров Л.Г. Метод исследования несущей способности стеклопласти-
ковых оболочек /Труды ЦАГИ. 1971, вып. 1353.
14. Белозеров Л.Г., Джанхотов CO., Киреев В. А. К методике исследо-
исследования несущей способности панелей при растяжении в двух направлениях
со сдвигом / Механика полимеров. 1974. № 6.
15. Белозеров Л.Г., Джанхотов CO., Наумов И.М. Критические на-
напряжения сжатых цилиндрических оболочек из ортотропных слоев с раз-
различной ориентацией / Механика полимеров. 1973. № 4.

382 Список литературы
16. Белозеров Л.Г., Наумов И. М. Исследование анизотропии свойств сте-
клопластиковых оболочек /Механика полимеров. 1969. № 5.
17. Белозеров Л.Г., Киреев В.А. Влияние нагрева на устойчивость
стеклопластиковых оболочек при осевом сжатии /Механика полимеров.
1972. № 5.
18. Белозеров Л.Г., Киреев В.А. Устойчивость при нестационарном на-
нагреве сжатых в осевом направлении цилиндрических оболочек из компози-
композиционных материалов /Механика полимеров. 1973. N1 3.
19. Белозеров Л. Г., Киреев В. А. Оценка несущей способности при осевом
сжатии нагретых цилиндрических оболочек с торцевыми шпангоутами.—
В кн.: Проектирование, расчет и испытания конструкций из композицион-
композиционных материалов.—М.: Изд. ЦАГИ, 1974, вып. III.
20. Белозеров Л.Г., Киреев В. А. Расчет критических напряжений равно-
равномерно нагретых по толщине сжатых в осевом направлении гладких оболочек
из композиционных материалов.—В кн.: Проектирование, расчет и испыта-
испытания конструкций из композиционных материалов.—М.: Изд. ЦАГИ, 1975,
вып. ГУ.
21. Белозеров Л.Г., Киреев В. А. К определению несущей способности кон-
конструкций из композиционных материалов при интенсивном поверхностном
нагреве / Механика полимеров. 1977. № 3.
22. Белозеров Л.Г., Киреев В.А., Мишулин И.Б. Устойчивость мно-
многослойных цилиндрических оболочек в нестационарном температурном
поле //Ученые записки ЦАГИ. 1977. Т. VIII, № 1.
23. Велозеров Л.Г., Пискарева Л.Е. Предельные нагрузки тонкостен-
тонкостенных стеклопластиковых цилиндров при кручении /Механика полимеров.
1970. № 3.
24. Белозеров Л.Г., Рубина А.Л. Устойчивость стеклопластиковых оболо-
оболочек при осевом сжатии /Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1, № 1.
25. Белянкин Ф.П., Яценко В.Ф., Марголин Г.Г. Прочность и дефор-
мативность стеклопластиков при двухосном сжатии.—Киев: Наукова думка,
1971.
26. Березин И.С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2.—М.: Физмат-
гиз, 1962.
27. Виргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения.—М.: Оборонгиз,
1961.
28. Болотин В. В. Методы теории вероятностей и теории надежности в рас-
расчетах сооружений. 2-е изд.—М.: Стройиздат, 1981.
29. Болотин В. В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструк-
конструкций.—М.: Машиностроение, 1980.
30. Болотина К.С. Механические и теплофизические характеристики слои-
слоистого материала /Изв. вузов. Машиностроение. 1966. № 12.
31. Буштырков А.А. Устойчивость стеклопластиковых цилиндрических
оболочек под внешним давлением / Механика полимеров. 1967. № 6.
32. Ванин Г. А., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Ф. Устойчивость оболочек
из армированных материалов.—Киев: Наукова думка, 1978.
33. Ван Фо Фы Г.А. Теплопроводность армированных сред /Механика по-
полимеров. 1968. № 4.

Список литературы 383
34. Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов.—Киев: Наукова
думка, 1971.
35. Викарио А., Толанд Р. Критерии прочности и анализ разрушения кон-
конструкций из композиционных материалов.—В кн: Композиционные матери-
материалы. Анализ и проектирование конструкций. Т. 7.—М.: Машиностроение,
1978.
36. Влияние пористости, содержания и свойств компонентов на тепло-
теплопроводность стеклопластиков /Г.Е. Вишневский, Р.И. Жукова,
О.Ф. Шленский, А.Ю. Скляров /Пластические массы. 1970. Xs 11.
37. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем.—М.: Наука, 1967.
38. Вольмир А.С, Пономарев А.Т. Поведение цилиндрических оболочек
из композиционных материалов при неравномерном нагреве / Механика по-
полимеров. 1971. № 2.
39. Гайдачук В.Е., Карпов Я. С. Композиционные материалы в конструк-
конструкциях летательных аппаратов.—ХАИ, 1986.
40. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.—М.: Наука,
1978.
41. Гухман А. А. Введение в теорию подобия.—М.: Высшая школа, 1963.
42. Даревский В.М. Устойчивость цилиндрической оболочки при одновре-
одновременном действии крутящих моментов и нормального давления /Изв. АН
СССР. Отд. техн. н. 1957. № 11.
43. Даревский В.М., Кукуджанов С.Н. Устойчивость цилиндрической
ортотропной оболочки при кручении и нормальном давлении.—В кн.: Проч-
Прочность цилиндрических оболочек /Под ред. В.М. Даревского.—М.: Оборон-
гиз, 1959. № 29.
44. Демидович Б.П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.—
М.: Физматгиз, 1963.
45. Джанхотов CO., Киреев В.А., Кулагин Н. Т. Экспериментальное и
теоретическое исследование несущей способности продольно сжатых слабо-
слабоконических оболочек из композитных материалов / Механика композитных
материалов. 1980. № 6.
46. Емельянов Р.Ф., Семенюк Н.П. Влияние температуры на устойчи-
устойчивость продольно сжатых цилиндрических оболочек из стеклопластика.—
В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций.—Киев: Наукова
думка, 1973, вып. 13.
47. Ершов Н.П. Некоторые прикладные задачи статистической динамики обо-
оболочек из волокнистых композитов /Механика полимеров. 1972. JV» 4.
48. Иванов В.В. Об устойчивости тонких замкнутых цилиндрических оболо-
оболочек, изготовленных из стеклопластика / Строительная механика и расчет
сооружений. 1965. № 3.
49. Иванов О.Н. Локальная устойчивость ортотропной цилиндрической обо-
оболочки, частично заполненной упругим заполнителем, находящейся под
внешним давлением /Механика полимеров. 1971. № 3.
50. Иванов О.Н., Мысык Д. А., Протасов В. Д. Исследование устойчиво-
устойчивости трехслойных стеклопластиковых оболочек при осевом сжатии / Труды
МИХМ. 1973. № 47.
51. Исаханов Г.В. Прочность неметаллических материалов при неравномер-
неравномерном нагреве.—Киев: Наукова думка, 1971.

384 Список литературы
52. Испытательная техника: Справочник /Под ред. В.В.Клюева.—М.: Маши-
Машиностроение, 1982, кн. 2.
53. Исследование несущей способности и эффективности тонкостенных обо-
оболочек из эпоксидных композиционных материалов /СО. Джанхотов,
В.А. Киреев, Ю.Ф. Крашаков и др. /Ученые записки ЦАГИ. 1982.
Т. XIII, № 4.
54. Карасев А.В., Малютин И. С. Устойчивость стеклопластиковой цилин-
цилиндрической оболочки с упругим заполнителем при кручении / Механика по-
полимеров. 1970. № 6.
55. Каримбаев Т.Д. Основные соотношения механики двухкомпонент-
ной среды и способы определения их параметров / Труды ЦИАМ. 1985,
вып. 1119.
56. Карманов В.Г. Математическое программирование.—М.: Наука, 1975.
57. Кинцис Т.Я., Розе А.В., Жигун И. Г. Методы статических испытаний
армированных пластиков /Под ред. Ю. М. Тарнопольского.—Рига: Зинатне,
1972.
58. Киреев В.А. Некоторые задачи упругой устойчивости конических оболо-
оболочек из композиционного материала при нестационарном нагреве /Труды
ЦАГИ. 1973, вып. 1440.
59. Киреев В. А.Устойчивость при нагреве цилиндрической оболочки из орто-
тропного материала, подкрепленной по торцам холодными шпангоутами.—
Там же.
60. Киреев В. А. Расчет критических усилий и параметров волнообразования
при кручении гладких цилиндрических оболочек из композиционных мате-
материалов, полученных непрерывной намоткой.—В кн.: Проектирование, рас-
расчет и испытания конструкций из композиционных материалов: Руководя-
Руководящие технические материалы.—М.: Изд. ЦАГИ, 1978, вып. VI.
61. Киреев В.А. Алгоритмы и программа расчета на устойчивость при осе-
осевом сжатии заполненных и незаполненных неравномерно нагретых по тол-
толщине цилиндрических оболочек из композиционных материалов.—В кн.:
Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных ма-
материалов: Руководящие технические материалы.—М.: Изд. ЦАГИ, 1981,
вып. VIII.
62. Киреев В. А. Алгоритм и программа расчета на устойчивость многослой-
многослойных цилиндрических оболочек из композиционных материалов при осевом
сжатии, внешнем давлении и их совместном действии. — Там же.
63. Киреев В.А. Об определении предельных нагрузок продольно сжатых
(растянутых) цилиндрических оболочек из композиционных материалов в
условиях нестационарного нагрева.—В кн.: Проектирование, расчет и ис-
испытания конструкций из композиционных материалов: Руководящие тех-
технические материалы.—М.: Изд. ЦАГИ, 1989, вып. XI.
64. Киреев В. А., Мажорин Ю.С. Устойчивость при нестационарном на-
нагреве и изгибе поперечной силой цилиндрических оболочек из композици-
композиционных материалов /Механика полимеров. 1978. № 4.
65. Киреев В.А., Толстобров Е.П. Анализ напряженно-деформированно-
напряженно-деформированного состояния трехслойных сотовых панелей из композиционных материалов
при поперечном изгибе /Труды ЦАГИ. 1977, вып. 1872.
66. Коз а ров М. Устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек при
температурных воздействиях /Инженерный журнал. 1963. Т. III, № 3.

Список литературы 385
67. Композиционные материалы волокнистого строения /Под ред. И.Н.Фран-
цевича и Д. М. Карпиноса.—Киев: Наукова думка, 1970.
68. Конструкционные полимеры. Методы экспериментального исследования.
Т. 1. / Огибалов П.М. и др.—Изд-во Моск. ун-та, 1972.
69. Корбут Б. А. Устойчивость цилиндрической оболочки с упругим заполни-
заполнителем при действии нагрузок и температуры.—В кн.: Проблемы устойчиво-
устойчивости в строительной механике.—М.: Стройиздат, 1965.
70. Корбут Б. А. Устойчивость сферической оболочки с упругим заполнителем
при действии давления и температуры / Изв. вузов. Авиационная техника.
1965. № 4.
71. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.—М.: Наука, 1973.
72. Королев В.И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армиро-
армированных пластиков.—М.: Машиностроение, 1965.
73. Критериальная оценка разупрочнения стеклопластиков при нестационар-
нестационарном нагреве /М.Г.Лозинский, Г.Е.Вишневский, Н.А.Малахов,
В.А.Смирнов /Машиноведение. 1966. № 6.
74. Кудинов А.Н. Уравнения термоупругости и термоустойчивости нелиней-
нелинейной теории пологих оболочек /Ученые записки Томского университета.
1967. № 68.
75. Кудинов А. Н. Устойчивость конструктивно-ортотропной цилиндрической
оболочки при нагружении несимметричным внешним давлением и изги-
изгибом. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек.—Казань: КГУ.
1973, вып. X.
76. К у к у д ж а н о в С. Н. Устойчивость цилиндрической ортотропной обо-
оболочки при внешнем поперечном давлении с осевым растяже-
растяжением и при кручении.—В кн.: Прочность цилиндрических оболочек: Ин-т
им. П.И.Баранова.—М.: Оборонгиз, 1959, № 29.
77. Куршин Л. М. Об устойчивости при нагреве цилиндрической оболочки
с холодными диафрагмами.—В кн.: Тепловые напряжения в элементах
конструкций.—Киев: Изд-во АН УССР, 1963, вып. 3.
78. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.—М.: Гостехиздат, 1947.
79. Лукошевичус Р.С, Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Минимизация
массы цилиндрических оболочек из композитного материала с упругим за-
заполнителем при комбинированном нагружении, работающих на прочность
и устойчивость / Механика полимеров. 1976. № 2.
80. Лыков А.В. Тепло- и массообмен в процессах сушки.—М.-Л.: Госэнерго-
издат, 1956.
81. Лыков А.В. Теория теплопроводности.—М.: Высшая школа, 1967.
82. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление жест-
жестких полимерных материалов.—Рига: Зинатне, 1967.
83. Марченко В. М. Температурные поля и напряжения в конструкции лета-
летательных аппаратов.—М.: Машиностроение, 1965.
84. Методика теплопрочностных испытаний радиопрозрачных оболочек
/Л.Г. Белозеров, В.А. Киреев, В.Г. Крейнин, В.В. Пивова-
Пивоваров.—В кн.: Проектирование, расчет и испытания конструкций из компо-
композиционных материалов: Руководящие технические материалы.—М.: Изд.
ЦАГИ, 1989, вып. XI.

386 Список литературы
85. Микишева В. И. О влиянии упругого заполнителя на форму потери устой-
устойчивости и величину критической нагрузки цилиндрических оболочек из сте-
стеклопластика при осевом сжатии /Механика полимеров. 1971. № 5.
86. Михеев М.А. Основы теплопередачи.—М.: Госэнергоиздат, 1959.
87. Муштари X. М., Галимов К. 3. Нелинейная теория тонких оболочек.—
Еазань: Таткнигоиздат, 1957.
88. Мяченков В. И., Пахомова Л. А. Локальная устойчивость цилиндри-
цилиндрических оболочек при нагреве /Изв. АН СССР. Механика твердого тела.
1968. № 2.
89. Назаров Г.И., Сушкин В.В., Дмитриевская Л.В. Конструкцион-
Конструкционные пластмассы.—М.: Машиностроение, 1973.
90. Новацкий В. Теория упругости.—М.: Мир, 1975.
91. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное арми-
армирование оболочек вращения из композиционных материалов.—М.: Маши-
Машиностроение, 1977.
92. Огибалов П.М., Грибанов В.Ф. Термоустойчивость пластин и оболо-
оболочек.—Изд-во Моск. ун-та, 1968.
93. Оделевский В. И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных си-
систем /Журнал технической физики. 1951. Т. 21, вып. 6.
94. Определение критических сил для ортотропных конических оболочек с за-
заполнителем при осевом сжатии и равномерном внешнем давлении.—В кн.:
Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных ма-
материалов: Руководящие технические материалы.—М.: Изд. ЦАГИ, 1976,
вып. V.
95. Писаренко Г.С., Скворцова Н.В. Влияние повторных циклов нагрева
на модуль упругости материалов на углеродной основе /Механика компо-
композитных материалов. 1981. № 2.
96. Пластинки и оболочки из стеклопластиков /В. А. Бажанов, И.И. Голь-
денблат, В.А. Копнов, А.Д.Поспелов и др.—М.: Высшая школа,
1970.
97. Пластики конструкционного назначения (реактопласты) / Под ред. Е.Б. Тро-
стянской.—М.: Химия, 1974.
98. Подстригач Я.С. Температурное поле в стенках постоянной толщины
при асимптотическом тепловом режиме.—В кн.: Температурные напряже-
напряжения в тонкостенных конструкциях.—Киев: Изд. АН УССР, 1959.
99. Прочность материалов при высоких температурах/Г.С. Писаренко,
В.И. Руденко, Г.Н. Третьяченко, В.Т.Трощенко.—Киев: Нау-
кова думка, 1966.
100. Прочность самолета / А.И. Макаревский, Н.Н. Корчемкин,
Т. А. Француз, В. М. Чижов.—М.: Машиностроение, 1975.
101. Прочность. Устойчивость. Колебания: Справочник в трех томах. Т. 3. /Под
общей ред. И. А.Биргера и Я. Г. Пановко.—М.: Машиностроение, 1968.
102. Проектирование, расчет и испытания конструкций из композиционных
материалов.—М.: Изд. ЦАГИ, 1973, вып. I.
103. Рабинович А. Л. Введение в механику армированных полимеров.—М.:
Наука, 1970.
104. Расчет конструкций на тепловые воздействия / Л.В. Бажанов,
И.И. Гольденблат, Н.А. Николаенко, A.M. Синюков.—М.: Ма-
Машиностроение, 1969.

Список литературы 387
105. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композитных
материалов.—Рига: Зинатне, 1974.
106. Рубина А. Л. Устойчивость стеклопластиковых конических оболочек при
равномерном внешнем давлении и при кручении /Труды ЦАГИ. 1969,
вып. 1143.
107. Селихов А.Ф., Чижов В.М. Вероятностные методы в расчетах прочно-
прочности самолета.—М.: Машиностроение, 1987.
108. Сердюков В. В. Об устойчивости цилиндрической оболочки при изгибе
поперечной силой / Труды МАИ. 1968, вып. 180.
109. Синицын Е.Н. Устойчивость упругих и вязкоудругих цилиндрических
оболочек из армированного материала.—В кн.: Труды VII Всесоюзной кон-
конференции по теории оболочек и пластинок (Днепропетровск, 1969).—М.:
Наука, 1970.
ПО. Снеддон И. Преобразования Фурье.—М.: ИЛ, 1955.
111. Смыков В.И. Устойчивость осесимметрично нагретых стеклопластико-
стеклопластиковых оболочек, скрепленных с упругим заполнителем, при различных видах
нагружения: Дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук.—МИХМ,
1975.
112. Статика и динамика оболочечных конструкций /А.В. Кармишин,
В. А. Лясковец, В.В. Мяченков, А.Н.Фролов.—М.: Машинострое-
Машиностроение, 1975.
113. Статические испытания на прочность сверхзвуковых самоле-
самолетов /А.Н.Баранов, Л. Г. Белозеров, Ю.С.Ильин, В. Ф. Кутьи-
нов.—М.: Машиностроение, 1974.
114. Стеклопластиковые конструкции при сжатии и поперечном изгибе
/Л.Г. Белозеров, Ю.С. Мажорин, Г.П. Удальцова и др. /Труды
ЦАГИ. 1970, вып. 1182.
115. Стюарт А. В. Определение коэффициента безопасности конструкций из
композиционных материалов.—В кн.: Проектирование, расчет и испытания
конструкций из композиционных материалов: Руководящие технические
материалы.—М.: Изд. ЦАГИ, 1976, вып. V.
116. Сухииин С.Н., Микишева В.И., Смыков В.И. Экспериментально-
теоретическое исследование устойчивости оболочек с заполнителем при осе-
осевом сжатии / Механика полимеров. 1978. № 3.
117. Сухииии В.П., Киреев В.А. Методика расчета теплофизических ха-
характеристик плоских элементов конструкций из композиционных материа-
материалов.—В кн.: Проектирование, расчет и испытания конструкций из компо-
композиционных материалов: Руководящие технические материалы.—М.: Изд.
ЦАГИ, 1981, вып. VIII.
118. Тетере Г. А., Рикардс Р.Б., Нарусберг В.Л. Оптимизация оболочек
из слоистых композитов.—Рига: Зинатне, 1978.
119. Трапезин Н.И. Об устойчивости тонкостенной конической оболочки
кругового сечения при нагрузках, осесимметричных относительно ее оси
/Труды МАИ. 1952. № 17.
120. Трунин Ю.П., Ушаков А.Е. Некоторые вопросы оценки и обеспечения
эксплуатационной живучести конструкций планера самолета, выполненных
из композиционных материалов.—В кн.: Проектирование, расчет и испы-
испытания конструкций из композиционных материалов: Руководящие техни-
технические материалы.—М.: Изд. ЦАГИ, 1984, вып. X.

388 Список литературы
121. Ушаков А.Е., Киреев В.А. Определение несущей способности сжатых
углепластиковых оболочек при отсутствии и наличии концентраторов на-
напряжений в условиях воздействия повышенной температуры /Механика
композитных материалов. 1988. № 2.
122. Флюгге В. Статика и динамика оболочек.—М.: Госстройиздат, 1961.
123. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.—М.: Мир,
1973.
124. Черных К. Ф. Общий случай деформации оболочек вращения.—В кн.:
Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в трех томах. Т. 1.—М.:
Машиностроение, 1968.
125. Чудновский А.Ф. Теплофизические характеристики дисперсных мате-
материалов.—М.: Физматгиз, 1962.
126. Шаповалов Л.А. Подобие и моделирование в задачах прочности, устойчи-
устойчивости и разрушения элементов конструкций.—М.: Машиностроение, 1969.
127. Шленский О.Ф. Тепловые свойства стеклопластиков.—М.: Химия, 1973.
128. Эйгенсон Л. С. Моделирование.—М.: Советская книга, 1952.
129. Экспериментальное исследование несущей способности оболочек из ком-
композиционного материала при осевом сжатии /В.Т. Щербаков, В.М. Му-
Муратов, Р.Г. Нафиков, В.А. Литицкая /Механика композитных ма-
материалов. 1981. № 1.
130. Юдин В.М. Распространение тепла в стеклопластиках /Труды ЦАГИ.
1970, вып. 1267.
131. Boresi A.P., Langhaar H.L., Miller R.E. Buckling of axially-com-
pessed bilayered fiber-reinforced elastic cylindrical shell.—In: Developments
in Theoretical and Applied Mechanics: Second Southeastern Conference on
Theoretical and Applied Mechanics, held at Atlantic Georgia (March 5-6,
1964). — Oxford and oth. Proc, 1965.
132. Cord M. F. The sensitivity of buckling of axially compressed fiber-reinforced
cylindrical shells to small geometric inperfections.—NASA TM X-61914, 1969.
133. Carri R. L. Buckling behavior of composite cylinders subjected to compres-
sive loading.—Washington: NASA CR-132264, 1973.
134. Schwerin E. Die Torsionstabilitat des diinnwandigen Rohres /Z. angew.
Math, und Mech. 1925. Bd. 5, № 3.
135. Seide P., Weingarten V.I. Buckling of circular rings and long cylinders
enclosing an elastic material under uniform external pressure / ARS Journal.
1962. V. 32, Ш 5.
136. Sih G. С Handbook of stress intensity factors.—Bethlehem, Pa, 1973.
137. Toda H., Paris P. S., Irwin G. R. The stress analysis of crack handbook.
Del research corporation.—Hellertown, Pa, 1983.
138. Waddoup-s M.E., Eisenmann I.R., Kaminski B.E. Macroscopic
fracture mechanics of advanced composite materials /J. Composite Mate-
Materials. 1971. V. 5, W 10.