/
Автор: Абрамович М.И. Стародубцев М.Т.
Теги: алгебра математика высшая математика учебное пособие элементарные функции
Год: 1976
Текст
М.И. Абрамович, М.Т. Стародубцев
МАТЕМАТИКА
алгебра и элементарные функции
к
0
z
М.И. Абрамович, М.Т. Стародубцев
МАТЕМАТИКА
(алгебра и элементарные функции)
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для подготовительных отделений высших
технических учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА», 1976
A16
УДК 512(0.75)
Рецензенты.: кафедра высшей математики Ленинградского
института авиационного приборостроения
и чл.-корр, АПН СССР, проф. И. С. Бровиков.
Абрамович М. И., Стародубцев М. Т.
А16 Математика (алгебра и элементарные функции). Учеб,
пособие. М., «Высш, школа», 1976.
271 с. с ил.
Пособие представляет собой повторительный курс и состоит из двух частей.
В настоящей части изложен материал но разделу «Алгебра и элементарные функции».
Изложение подчинено развитию понятия числа и функции, что имеет важное зна-
чение для изучения высшей математики. В каждом параграфе приводятся примеры,
сопровождающиеся решениями. Включены упражнения для самостоятельной работы.
Предназначается для подготовительных отделений втузов.
60601—220
001(01)—76
288—76
512
© Издательство «Высшая школа», 1976,
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ......................................................... 5
Введение ............................................................ 6
Глава /. Числа и действия над ними (обзор развития понятия числа) 11
§ 1, Натуральные числа ............................ . . . И
§ 2. Целые числа ........................................ 17
§ 3. Рациональные числа ............................... 23
§ 4. Иррациональные числа. Множество действительных
(вещественных) чисел ...................................... 34
§ 5. Краткие сведения о приближенных вычислениях ....
§ 6. Мнимые числа, Множество комплексных чисел ..... 55
Глава II. Преобразование выражений, содержащих переменные ... 67
§ 1. Целые выражения ...................................... 67
§ 2. Дробные выражения .................................... 30
§ 3. Степени и корни ...................................... 35
§ 4. Расширение понятия степени ............................ W
Г лава III. Функции и их графики ................................
§ 1. Определение функции и понятий, связанных с ней ... 95
§ 2. Важнейшие элементарные функции ...................... 99
Глава IV. Уравнения с одной переменной ............................ Н7
§ 1. Основные понятия...................................... П?
§ 2. Алгебраическое уравнение с одной переменной ........
§ 3. Линейные уравнения с одной переменной ............... 124
§ 4. Квадратные уравнения ............................... 127
§ 5. Некоторые частные виды алгебраических уравнений
степени выше второй ...................................... 132
§ 6. Иррациональные уравнения............................. 141
Глава V. Неравенства.............................................. 150
§ 1. Основные понятия .................................... 150
§ 2. Неравенства с одной переменной. Линейные неравен-
ства .................................................... 155
§ 3. Квадратные неравенства............................... 161
§ 4. Решение неравенств с помощью выделения промежут-
ков знакопостоянства функции (метод интервалов) . . . 165
§ 5. Неравенства, содержащие переменную под знаком
модуля ................................................... 171
§ 6. Иррациональные неравенства .......................... 173
Глава VI. Системы уравнений ...................................... 177
§ I. Основные понятия .................................... 177
§ 2. Линейные системы .................................... 130
§ 3. Нелинейные системы................................... 191
Глава VII. Числовые последовательности. Пределы..................
§ 1. Числовые последовательности ......................... 202
§ 2. Начальные сведения из теории пределов................ 203
§ 3. Метод математической индукции ...................... 210
1*
3
Глава VIII. Показательная и логарифмическая функции « . . , . . . . 221
§ 1. Показательная функция .............................. 221
§ 2. Простейшие показательные уравнения и неравенства 225
§ 3« Логарифмическая функция............................. 226
§ 4. Простейшие логарифмические уравнения и неравен-
ства .................................................... 229
§ 5. Логарифмирование и потенцирование .................. 231
§ 6. Десятичные логарифмы ............................... 235
§ 7. Связь между логарифмами различных систем ........... 238
§ 8. Показательные и логарифмические уравнения и нера-
венства ................................................. 240
Глава IX. Элементы комбинаторики и биномиальная формула Нью-
тона ...................................................*... 251
§ 1. Элементы комбинаторики ........................... 251
§ 2. Биномиальная формула Ньютона ....................... 256
Ответы .......................................................... 260
Предметный указатель............................................. 265
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга (I и 11 части) представляет собой повторительный курс матема-
тики для подготовительных отделений втузов. Цель курса — углубленное
осмысливание математических понятий и закономерностей, что позволит
подготовить учащихся к восприятию новых научных фактов, с которыми
они встретятся в высшей школе. Для повторительного курса характерна
многоплановость. С одной стороны, идет последовательное повторение курса
школьной математики, с другой — повторение материала исподволь, попутно.
Например, теория неравенств излагается в гл V, но это не исключает
обращение к неравенствам в предыдущих главах. В пособии приводятся
некоторые сведения из теории множеств, что позволяет дать теоретико-мно-
жественное толкование многим математическим понятиям. В соответствии
с новой школьной программой в гл. II рассматривается извлечение корня
только в множестве неотрицательных чисел Однако, учитывая предстоящее
изучение в вузе линейных дифференциальных уравнений, извлечение корня
авторы рассматривают и в множестве комплексных чисел. Последнее исполь-
зуется при изложении теории решения алгебраических уравнений высших
степеней.
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством приме-
ров, характер которых приближен к нуждам высшей школы. Каждый пара-
граф завершается упражнениями для самостоятельной работы, снабженными
ответами. Начальные сведения из алгебры и геометрии изложены обзорно.
Как показывает опыт, знания начальных разделов легко восстанавливаются
в памяти в процессе изучения основного программного материала.
Под заголовком «Приложение» в конце второй части кратко изложена тема
«Производная и интеграл», что можно рассматривать как пропедевтику
(подготовку) к изучению математического анализа в вузе.
Авторы выражают глубокую благодарность проф Н. М Матвееву,
советами которого они пользовались.
Организационная работа, связанная с обсуждением рукописи ленин-
градской педагогической общественностью, была проделана доц. А О. Очко-
вым, который принял участие в написании параграфа «Краткие сведения о
приближенных вычислениях».
Пособие является откликом на постановление ЦК КПСС и Совета
Министров СССР от 6 сентября 1969 г. «Об организации подготовительных
отделений при высших учебных заведениях».
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
1. Множества. Элемент множества. Принадлежность. Одно из
основных понятий современной математики — понятие множества.
Являясь первоначальным, оно не поддается точному определению.
Его смысл раскрывается лишь путем описания. В повседневной
жизни мы постоянно сталкиваемся с понятием множества, пони-
мая под этим термином собрание, совокупность, коллекцию
вещей, объединенных по какому-либо признаку. Каждому ясен
смысл следующих выражений: множество студентов данной груп-
пы; множество книг, лежащих па полке; множество почтовых
марок, посвященных какому-либо событию; множество букв
в слове «Москва»; множество точек окружности; множество людей,
населяющих Землю, и т. д. Говоря о конкретном множестве, счи-
таем, что для всякого предмета верно одно и только одно из двух
утверждений: он принадлежит этому множеству в качестве его
элемента или не принадлежит. Тот факт, что элемент х принад-
лежит множеству Л, записывают так: хеЛ. Запись х<=£ А озна-
чает, что элемент х не принадлежит множеству А. Если множе-
ство А состоит из элементов ау Ьу с и dy то это записывают
так: А — [a, by су d}.
Некоторые множества имеют определенные обозначения. Напри-
мер, множество натуральных чисел обозначается буквой N.
Различают множества конечные и бесконечные. Например,
множество букв в слове «Москва» есть множество конечное,
а множество натуральных чисел является бесконечным.
Конечное множество может быть одноэлементным. Это, напри-
мер, множество корней уравнения 2х—1=0. Множество дейст-
вительных корней уравнения х2+1=0 не содержит ни одного
элемента. Такое множество называется пустым и обозначается
символом 0.
2. Подмножества. Равные множества. Объединение и пересе-
чение множеств. Пусть А и В—два множества. Если всякий
элемент множества А является элементом множества В, то мно-
жество А называется подмножеством (частью) множества В. Это
соотношение между множествами записывается так: А о В (Л есть
подмножество В или А включено в В).
Выражение В zd А читают так: В содержит А. Считают, что
пустое множество является подмножеством любого множества.
Любое множество рассматривают как подмножество самого себя.
Подмножествами множества A —{a, by с, d\ являются следующие
множества: {a, b, с}, {by су d}y {ау с}, {ау by су d}y 0 и др.
Пусть А и В —два множества. Если все элементы множества А
содержатся в множестве В и, наоборот, все элементы множества
В содержатся в множестве Ау то множества А и В называются
6
равными. Sto записывается так: А — В. Например, если А —
= {5; — 1}, а В —множество корней уравнения (х1) (аг — 5) = О,
т0 А —В. Два пустых множества считаются равными между
собой. Например, множество действительных корней уравнения
х24-2 = 0 равно множеству рациональных корней уравнения
л2-2 = 0.
Пусть А и В —два множества. Множество, состоящее из всех
элементов обоих множеств А и В и не содержащее никаких дру-
гих элементов, называется объединением множеств А и В. Это
записывается в виде Ли Например, если
А = {а, Ь, с, d} и В = {с, d> е, f, /г}, то A (J В = {a, b, с, dy е, f, А}.
Заметим, что элемент, содержащийся в каждом из множеств А
и В, входит в объединение этих множеств только один раз.
Пусть А и В —два множества. Множество, состоящее из всех
элементов, общих обоим множествам Л и В, и не содержащее
никаких других элементов, называется пересечением множеств Л
и В. Это записывают так: ЛПВ. Например, если Л = {я, by су d\
и В = {с, б/, е, k}, то Л ПВ = {с, а}. Если же Л = {a, by с, d} и
В = {е, f, k, /, т}, то Л QB = 0, т. е. пересечение двух множеств,
не имеющих общих элементов, есть пустое множество.
3. Взаимно однозначное соответствие. Пусть даны два мно-
жества: А = {ау Ьу су dy е} и В = {/??, пу ру qy г}. Естествен вопрос
о том, одинаково или нет количество элементов в данных мно-
жествах. Его можно решить непосредственным подсчетом элемен-
тов каждого из множеств. Однако можно поступить иначе и, не
считая элементы рассматриваемых множеств, расположить их так:
А а b с d е
В т п Р Q ♦ г
Теперь сразу ясно, что множества Л и В имеют одинаковое
количество элементов. Для второго способа сравнения множеств
характерно то, что для каждого элемента одного множества ука-
зывается один и только один соответствующий ему элемент дру-
гого множества и обратно. Разумеется, этот способ сравнения не
является необходимым для сравнения данных множеств. Но сила
его состоит в возможности сравнения бесконечных множеств.
Например, если Л—множество нечетных чисел, а В —множество
четных чисел, то второй способ сравнения сразу показывает, что
«количество» элементов в множествах Л и В одно и то же; для
этого стоит только расположить эти множества в виде таблицы
А 1 3 5 7 9 • • •
В 2 4 6 8 10 • • ♦ КЭ'л •
7
и считать взаимно соответствующими числа, расположенные
в каждой вертикальной колонке.
Можно привести сколько угодно примеров подобного соответст-
вия между элементами двух множеств. Такое соответствие назы-
вают взаимно однозначным.
Определение 1. Если каждому элементу множества А
можно поставить в соответствие один и только один элемент
множества В и, наоборот, каждому элементу множества В можно
поставить в соответствие один и только один элемент множества А,
то такое соответствие между множествами А и В называется
взаимно однозначным.
Определение 2. Если между множествами А и В можно
установить взаимно однозначное соответствие, то такие множе-
ства называются эквивалентными (равносильными), или имеющими
одинаковую мощность.
4. Натуральное число. Если эквивалентные множества конеч-
ные, то их называют множествами одинаковой численности (рав-
ночисленными ). Равночисленные множества составляют класс.
Например, все множества, эквивалентные множеству рук у чело-
века, образуют один класс, а все множества, эквивалентные мно-
жеству пальцев на руке, образуют другой класс и т. д. Уже
на самых ранних ступенях развития культуры возникла необхо-
димость различать численность множеств разных классов и каж-
дый народ выработал особые слова для ее обозначения.
Выражение численности класса первого из указанных
множеств характеризуется словом «два», а выражение численности
второго —• словом «пять» и т. д.
Так возникло понятие натурального числа. Каждое натураль-
ное число является характеристикой класса непустых равносиль-
ных конечных множеств. Последнее предложение показывает, что
понятие натурального числа возникло из более широкого поня-
тия-понятия множества.
5. Понятия определяемые и неопределяемые. Определить то
или инее понятие —значит разъяснить его смысл с помощью
других, более простых или введенных ранее понятий. Если,
например, некоторое понятие, скажем № 10, можно определить
с помощью предыдущих понятий, то встает вопрос, как опреде-
лить первоначальное понятие (№ 1). Таким образом, должны быть
выделены такие понятия, которые принимают за основные, перво-
начальные. Поэтому понятия разделяют на определяемые и не-
определяемые. Основными, неопределяемыми понятиями считают
те, которые легче всего осмысливаются с помощью непосредствен-
ного наблюдения окружающей действительности; они вводятся
в науку с помощью описания. К таким неопределяемым (перво-
начальным) понятиям, как уже отмечалось, относится понятие
множества. В современной математике это понятие является фунда-
ментальным. К неопределяемым относят также понятия элемента
множества, принадлежности, соответствия и многие другие. В гео-
метрии это понятия точки, прямой, плоскости и пространства.
8
Если проанализировать определение любого понятия, то можно
заметить, что это прежде всего выражение данного понятия через
другое, более широкое. Например, при определении понятия
«параллелограмм» его связывают с более широким понятием
«четырехугольник» и указывают отличительные признаки этого
нового понятия (параллельность противоположных сторон).
6. Два вида утверждений: аксиомы и теоремы. Доказать то
или иное утверждение — значит установить, что оно следует
из ранее известных утверждений. Возникает вопрос: всякое ли
верное утверждение может быть доказано? Если, например, неко-
торое утверждение доказывается с помощью предыдущих, то как
доказать первоначальное утверждение? Таким образом, должны
быть выделены верные утверждения, которые необходимо принять
без доказательства. Такие утверждения называются аксиомами.
В качестве аксиом выбирают утверждения, истинность которых
проверена долговременным опытом. Примерами аксиом служат
утверждения: через две точки можно провести только одну
прямую; через любые три точки, не лежащие па одной
прямой, можно провести плоскость и притом только одну
И т. д.
Утвеждения, которые можно доказать, называются теоре*
мами. При доказательстве теорем используют аксиомы, опреде-
ления и теоремы, ранее доказанные.
7. О требованиях к математическому рассуждению. При изло-
жении школьного курса математики не представляется возмож-
ным определить каждое понятие, не являющееся первоначальным,
и доказать каждое утверждение, не являющееся аксиомой, как
это имеет место при строго логическом построении математиче-
ской дисциплины.
В целях простоты изложения приходится использовать мно-*
гие общеизвестные понятия, которые строго не определены,
а также многие недоказанные утверждения, истинность которых
не вызывает сомнений.
Какие же требования должны быть предъявлены к рассужде-
нию в математике? Во-первых, необходимо, чтобы было раскрыто
содержание каждого понятия (либо с помощью определения, либо
через описание) и, во-вторых, чтобы было оговорено, какие и
по какой причине те или иные утверждения в процессе рассуж-
дений принимают за истинные (либо потому, что они являются
аксиомами, либо они были ранее доказаны, либо они представ-
ляются очевидными).
8. Понятие логического следования. Необходимые и достаточ-
ные условия. Рассмотрим два высказывания: число а делится
на 12 и число а делится на 3. Высказывания эти связаны так, что
из истинности первого вытекает истинность второго. Эту связь
между высказываниями записывают с помощью знака назы-
ваемого знаком логического следования. Например,
(число а делится на 12) (число а делится на 3).
9
Здесь условие «число а делится на 12» является достаточным
для того, чтобы число а делилось на 3. В то же время условие
«число а делится на 3» не является достаточным для того, чтобы
число а делилось на 12. Оно является лишь необходимым усло-
вием делимости числа а на 12, так как если число а не делится
на 3, то оно не может делиться на 12.
Вообще, если из истинности высказывания А следует истин-
ность высказывания В (т. е. Д=>В), то высказывание А назы-
вается достаточным условием для В и высказывание В — необхо-
димым условием для А.
Если между высказываниями А и В имеют место соотношения
А г=> В и В A , то высказывание В — необходимое и достаточ-
ное условие для А (а также А является необходимым и доста-
точным условием для В), Это записывают так: А о В или Во А.
Знак о есть знак логической равносильности. Отсюда сле-
дует: чтобы доказать, что условие В является необходимым и
достаточным для А, надо доказать две теоремы:
I. А => В (необходимость). II. В=>А (достаточность).
Рассмотрим, например, следующее утверждение: для того
чтобы около выпуклого четырехугольника можно было описать
окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его проти-
воположных углов была равна 180°.
Здесь идет речь о логической связи между двумя высказыва-
ниями: окружность описана около четырехугольника (Д); сумма
противоположных углов данного четырехугольника равна 180° (В).
Таким образом, доказательство нашего утверждения сводится
к доказательству двух высказываний:
Л==>В (необходимость), В=>Д (достаточность).
ГЛАВА I
ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
(ОБЗОР РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА)
§ 1. Натуральные числа
1. Арифметика — наука о числах. Наука, изучающая числа,
их свойства и действия над ними, называется арифметикой. Свой-
ства чисел проявляются лишь тогда, когда они рассматриваются
не изолированно друг от друга, а во взаимной связи. Задачи,
которые выдвигаются практикой, приводят к необходимости выпол-
нять над числами определенные операции — действия. Основными
действиями являются сложение, вычитание, умножение и деление.
Понятие числа — развивающееся. Процесс развития понятия
числа начинается с натурального числа. Рассмотрим четыре ариф-
метических действия над натуральными числами.
2. Сложение. Это действие выполняется по следующему пра-
вилу: чтобы сложить два натуральных числа а и Ь, надо найти
такое третье число, которое расположено в натуральном ряде на
b чисел правее числа а. Результат этого действия обозначается
а-\-Ь и называется суммой чисел а и Ь\ числа а и b называются
слагаемыми. Ясно, что сумма всегда существует, т. е. является
натуральным числом и имеет единственное значение. Аналогично
вводится понятие суммы трех и большего числа слагаемых.
3. Умножение. Умножить натуральное число а на натуральное
число b (большее единицы) —это значит найти сумму b слагае-
мых, каждое из которых равно а. Результат этого действия обозна-
чается охй, или а> Ь, или ab и называется произведением чисел а
и Ь. Число а называется множимым, число b — множителем.
Общее название для чисел а и b — сомножители. Произведение
натуральных чисел есть сумма:
ab = а + а + а + ... 4- а,
Ь слагаемых
поэтому можно утверждать, что произведение всегда существует,
т. е. является натуральным числом и имеет единственное значение.
При b = 1 произведение чисел а и b определяется равенством
а -1 =а.
4. Законы сложения и умножения. Для сложения и умножения
натуральных чисел справедливы следующие законы.
Переместительный закон сложения:
а + b = Ъ -|- а.
11
Сочетательный закон сложения:
(а+&) 4-с==а + (6 + с).
Закон монотонности суммы:
если а>Ь, то а-\-с> Ь -\~с,
Переместительный закон умножения:
ab = ba.
Сочетательный закон умножения:
(ab)c = a (Ьс).
Распределительный закон умножения:
(a-\-b) -с = ас-\- Ьс.
Закон монотонности произведения:
если а>Ь, то ас > Ьс.
5. Возведение в степень. При умножении нескольких сомно-
жителей может встретиться случай, когда все сомножители равны
между собой:
а-а^а ... а.
п сомножителей
Это произведение обозначается символом ап и называется n-й сте-
пенью числа а, т. е.
а11 = а-а-а ... а
п сомножителей
При п = 1 символ а11 определяется равенством
а} — а.
Число а называется основанием степени, а число п — показателем
степени.
Действие, с помощью которого находится степень по данному
основанию степени и данному показателю степени, называется
возведением в степень. Из определения следует, что в множестве
натуральных чисел степень ап всегда существует и имеет един-
ственное значение.
Сложение, умножение и возведение в степень называются
прямыми действиями. Как было показано, эти действия в мно-
жестве натуральных чисел однозначно выполнимы.
6. Вычитание. Вычесть из числа а число b — это значит найти
такое число х, что Ъ-\-х — а. Число х называется разностью
чисел а и Ь. Разность чисел а и Ь обозначается а — b, поэтому
х = а — Ь.
Число а называется уменьшаемым, а число Ь — вычитаемым. Вычи-
тание-действие, обратное сложению. Из равенства Ь-\-х — а сле-
12
дует, что a>b, так как сумма двух натуральных чисел больше
каждого из слагаемых.
Неравенство а>Ь является условием существования разности
а — b в множестве натуральных чисел. Действительно, в множе-
стве натуральных чисел выражения 10—3, 15—12, 18—17 и т. д.
имеют числовой смысл, а выражения 5—5, 3—10, 12—15 и т. д.
числового смысла не имеют. Это обстоятельство можно рассматри-
вать как побудительный мотив к расширению понятия числа,
а именно к введению нуля и отрицательных чисел.
Покажем, что если разность а — b существует, то она един-
ственна. Допустим противное, т. е. что a — b = xL и а — b = х21
где %! 7-тогда по определению разности имеем
Ь + хг — а и Ь-\-х2 ==а,
откуда Ь + х1 = Ь + х2, что противоречит закону монотонности
сложения. В самом деле, если Xj >х2, то 6 + + Если же
то & + + Таким образом, при равенство
b хг = Ь + х2 невозможно. Следовательно, нельзя допустить, что
разность имеет два различных значения, а поэтому она един-
ственна.
7. Деление. Разделить число а на число b—это значит найти
такое число х, что Ь-х — а. Число х называется частным от деле-
ния чисел а и Ь. Частное от деления чисел а и b обозначается
а : b или а/b, поэтому
х~а:Ь или х — а/Ь.
Число а называется делимым, а число b — делителем. Деление —
действие, обратнее умножению. Очевидно, что в множестве нату-
ральных чисел деление не всегда выполнимо. Действительно,
выражения 12/б, 18/7, 23/8 и т. д. в множестве натуральных чисел
не имеют смысла. Это обстоятельство можно считать побудитель-
ным мотивом к введению дробей.
Условие выполнимости деления в множестве натуральных чисел
можно сформулировать, опираясь на понятие кратности чисел.
Число а называется кратным числу Ь, если оно принадлежит
следующему множеству чисел: b, 2b, 3b, 4Ь, 5Ь, .... Отсюда
следует, что частное от деления а на b существует в множестве
натуральных чисел, если а кратно Ь. Если частное существует,
то оно единственно. Это можно доказать аналогично тому, как это
было сделано для разности.
Рассматривая арифметические действия, можно заметить суще-
ственное различие между действиями прямыми (сложение и умно-
жение) и действиями обратными (вычитание и деление). Это раз-
личие состоит в том, что прямые действия всегда выполнимы
в множестве натуральных чисел, а обратные действия ограниченно
выполнимы, т. е. выполнимы при соблюдении определенных усло-
вий. Для того чтобы обратные действия были всегда выполнимы,
надо расширить понятие числа, вводя новые числа.
13
8. Простые и составные числа. Натуральное число, отличное
от единицы, называется простым, если оно делится только на
себя и на единицу. Это числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .... Вопрос
о простых числах, о том, как они расположены в натуральном
ряде, с древних времен привлекал к себе внимание математиков.
Для того чтобы определить, является ли данное число простым,
пользуются специальными таблицами простых чисел. Закономер-
ность в распределении простых чисел среди чисел натурального
ряда не найдена.
Всякое натуральное число, отличное от единицы, не являю-
щееся простым, называется составным. Примерами составных
чисел могут служить числа 4, 10, 15, 24, ....
Как следует из сказанного, единица не относится ни к про-
стым, ни к составным числам.
9. Признаки делимости. В процессе вычислений часто возни-
кает необходимость, не производя деления, выяснить, делится ли
одно натуральное число на другое. Для этого используют мате-
матические предложения, называемые признаками делимости.
Вывод признаков делимости основан на следующих истинах:
1. Если каждое слагаемое делится на какое-нибудь число, то
и сумма делится на это же число.
2. Если только одно из слагаемых не делится на какое-нибудь
число, то и сумма не делится на это число.
3. Если хотя бы один из сомножителей делится на какое-
нибудь число, то и произведение делится на это число.
Всякое натуральное число N можно представить в виде суммы
разрядных слагаемых. Например, 72546 = 7-104 + 2 • 103 + 5 • 102 +
4-4-10 + 6, или в общем виде:
N = ап* 10л 4~an-i• 10л~14~- *• + • Ю24"• 104“•.•, (*)
где а0 —цифра единиц, —цифра десятков, а2 — цифра сотен
и т. д.
Установим последовательно признаки делимости на 2, 5, 4, 3,
9 и 10п. Рассматривая равенство (*), легко заметить, что все
разрядные слагаемые, кроме последнего, делятся на два. Значит,
делимость числа N на 2 зависит от делимости на 2 числа а^.
Отсюда следует: на 2 делятся те и только те числа, которые
оканчиваются четной цифрой или нулем.
Рассуждая аналогично, получаем: на 5 делятся те и только
те числа, которые оканчиваются цифрой 5 или нулем.
Для установления признака делимости на 4 заметим, что
в равенстве (*) все разрядные слагаемые, кроме двух последних,
обязательно-делятся на четыре. Таким образом, делимость числа W
на 4 зависит от делимости на 4 двузначного числа ^-Ю + ^о.
Отсюда следует: на 4 делятся те и только те числа, которые
оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры
выражают число, делящееся на четыре. Примерами таких чисел
являются 65 200 и 38 132.
14
Для того чтобы установить признак делимости па 3 (и на 9),
число N запишем в следующем виде:
A^==«n(10-— 1) + а„_х(10^-1— !) + ... + «! (10-1) +
4" ап + Я/1-1 + • • • +
Каждое из чисел 10n— 1, 10'1’1—1, ..., 10—1 делится на 3
(на 9) и, следовательно, делимость данного числа на 3 (на 9)
зависит только от делимости на 3 (па 9) суммы аЛ + ал-14-
+ ... + «1 + ^о, которая является суммой цифр,данного числа.
Отсюда следует: на 3 (на 9) делятся те и только те числа,
сумма цифр которых делится на 3 (на 9).
Рассматривая равенство (*) замечаем, что слагаемое апА№
делится па 10Л, а сумма остальных разрядных слагаемых на 10я
не делится, если хотя бы одна из цифр ап_ъ ..., aQ
отлична от пуля, так как эта сумма меньше, чем 10Л. Таким
образом, па 10" делятся те и только те натуральные числа, кото-
рые оканчиваются п нулями.
На основании этих признаков устанавливаются признаки
делимости па некоторые другие числа. Например, признак дели-
мости на 6 формулируется так: на 6 делятся те и только те
числа, которые делятся на 2 и на 3.
10. Разложение натуральных чисел на простые множители.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Раз-
ложить число на простые множители — это значит представить
его в виде произведения простых чисел. Например,
120 = 2-2.2.3.5; 756 = 2-2-3-3-3-7.
В теоретической арифметике доказывается, что всякое состав-
ное число можно представить в виде произведения простых мно-
жителей и что это представление единственно. Если, например,
105 = 3-5-7, то не существует никакой другой группы простых
чисел, произведение которых было бы равно 105. Поэтому гово-
рят, что составное число разложимо на простые множители един-
ственным образом.
При разложении числа на множители удобно использовать
признаки делимости.
Введем понятие наибольшего общего делителя. Возьмем числа
t 24 и 60. Найдем множества А и В делителей каждого из этих
чисел:
Д = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24},
В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}.
Теперь определим все общие делители чисел 24 и 60, т. е. пере-
сечение множеств А и В:
А ПВ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Наибольший из элементов последнего множества равен 12. Это
и есть наибольший общий делитель данных чисел [обозначается D
(24, 60)]. Таким образом, D (24, 60) = 12.
15
Определение. Наибольшим общим делителем (НОЛ) двух,
натуральных чисел называется наибольший из общих делителей
этих чисел.
Легко найти: D (72, 40) = 8, 0(70, 350) = 70 и 0(4, 9)=1.
В последнем из приведенных примеров числа имеют единственный
общий делитель, равный 1, который является и наибольшим.
Такие числа называются взаимно простыми. Вообще, числа а и Ь
взаимно простые, если их наибольший общий делитель равен 1, т. е.
если О (я, b) = 1.
Теперь введем понятие наименьшего общего кратного. Возь-
мем два числа: 12 и 20. Составим множества ?4 и В чисел, крат-
ных каждому из данных чисел:
А = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, ...},
В = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140,
Составим множество общих кратных чисел 12 и 20, т. е. пересе-
чение множеств А и В:
А(]В = {&)У 120, ...}.
Наименьший из элементов последнего множества равен 60. Это
и есть наименьшее общее кратное данных чисел [обозначается
/((12, 20)], Таким образом, К (12, 20) = 60.
Определение. Наименьшим общим кратным (НОК) двух
натуральных чисел называется наименьшее из их общих кратных.
Легко найти: К (72, 40) = 360, К (70, 350) = 350, /<(4, 9) = 36.
Как следует из последнего примера, наименьшее общее кратное
двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.
При нахождении D и К данных чисел обычно используют
разложение этих чисел на простые множители (делители). Пусть
требуется найти D и /< чисел 4620 и 2100. Разложим эти числа
на простые множители:
4620 2 2100 2
2310 2 1050 2
1155 3 525 3
385 5 175 5
77 7 35 5
11 11 7 7
1 1 1 1
ПОД представляет собой произведение всех общих простых
делителей (множителей) этих чисел, поэтому
D (4620, 2100) = 2>2‘3-5-7 = 420.
НОК представляет собой произведение, которое содержит все
простые множители как одного, так и другого числа, следова-
тельно,
К (4620; 2100) = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 11 • 5 = 4620 • 5 = 23 100.
Аналогично находят D и К трех и более чисел.
16
ю
Замечание. -Сравнивая произведение D (4620, 2100) па К (4620, 2100)
с произведением чисел 4620 и 2100, замечаем, что они равны между собой.
Действительно,
420-23 100 = (2.2.3-5.7) (2.2.3.5.5-7.11) =
= (2-2.3.5.7.11) (2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 7) = 4620 • 2100.
Вообще, можно доказать, что произведение наибольшего общего делителя двух
чисел на их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел, т. е.
D (а> Ь) • К (а, Ь) = а*
Упражнения
1. Написать все простые числа от 20 до 50.
2. Написать пятизначное число, которое делилось бы на 4 и на 9.
3. Найти D чисел: а) 360 и 504; б) 720, 216 и 396.
4. Найти Z< чисел: а) 28 и 25; б) 63, 126 и 252; в) 210, 84 и 45.
5. Произведение двух чисел равно 5292, а их НОК равно 252. Найти
НОД этих чисел.
6. Доказать, что всякое трехзначное число, написанное одинаковыми
цифрами, делится на 37.
§ 2. Целые числа
1. Введение нуля. Целые неотрицательные числа. Пусть а
и & —натуральные числа и а-\-Ъ — с. Заметим, что: 1) сумма с
больше каждого из слагаемых, т. е. О а и с>Ь:У 2) каждое
слагаемое равно разности между суммой и другим слагаемым,
т. е. Ь = с — а и а = с — Ь.
Введем новое число, называемое нулем и обозначаемое симво-
лом «0», которое обладает свойством
а-\-0 = а.
Распространяя правило нахождения слагаемого на случай,
когда одно из слагаемых есть пуль, получаем
() = а — а.
Таким образом, число 0 можно рассматривать как разность двух
равных чисел.
Присоединяя нуль к множеству натуральных чисел, получаем
новое числовое множество, называемое множеством целых неотри-
цательных чисел. Это расширенное множество записывается так:
0, 1, 2, 3, 4, ... и обозначается 7v0:
Л%={0, 1, 2, 3, 4, ..., и, ...}.
К понятию нуля можно прийти, рассматривая процесс постепен-
ного удаления элементов данного множества до образования
пустого множества, и определить нуль как число, характери-
зующее класс пустых множеств. Естественно считать 0 меньшим
единицы, поэтому, присоединяя 0 к множеству натуральных
чисел, ставим 0 слева от единицы.
17
Приведем правила выполнения действий с нулем. Их можно
записать в виде равенств:
я + 0 = а (по определению), 0 + а==я;
а — 0 = я;
<2-0 = 0, 0-6Z = 0;
0:а = 0, если
Особо остановимся на вопросе деления на нуль. Пусть дано
число а, отличное от пуля, т. е. а^О. Допустим, что частное
а: 0 существует; обозначим его через Ъ. Тогда имеем а:0 = Ь,
откуда следует, что a — 0-b или а = 0, что противоречит условию.
Значит, допущение о существовании частного а: 0 оказалось
неверным. Итак, деление на нуль невозможно. Символ «0» исполь-
зуют не только для записи разности равных чисел. Этот символ
употребляют также при записи числа по позиционной системе
счисления как цифру, указывающую на отсутствие единиц того
или иного разряда.
В заключение отметим, что в результате присоединения нуля
к множеству натуральных чисел осуществляется первое расшире-
ние понятия числа.
2. Введение отрицательных чисел. В результате введения нуля
стало возможным вычитание равных чисел. Для того чтобы было
возможным вычитание большего числа из меньшего, необходимо
дальнейшее расширение
—l—j-—х—4—х—i4——is* числового множества пу-
-y -h -9 -1 П 1 / $ 4 5 b J
тем введения новых чисел.
Рис. 1 Возьмем прямую линию,
на которой укажем направ-
ление, начальную точку О и единицу масштаба (рис. 1). Начальной
точке поставим в соответствие число 0. Точкам, расположенным
справа от начальной на расстоянии одной, двух, трех и т. д.
единиц масштаба, поставим в соответствие натуральные числа I,
2,3,..., а точкам, расположенным слева от начальной па рас-
стоянии одной, двух, трех и т. д. единиц, поставим в соответ-
ствие новые числа, обозначаемые символами —1, —2, —3, ....
Эти числа называются целыми отрицательными числами. Прямую
линию с нанесенными па ней числами называют числовой осью.
Направление оси, указанное стрелкой, называется положитель-
ным, а противоположное — отрицательным. Натуральные числа
откладываются на числовой оси от начальной точки в положи-
тельном направлении, поэтому их называют положительными
целыми числами.
Объединение множества целых неотрицательных чисел с мно-
жеством целых отрицательных чисел образует повое числовое
множество, которое называется множеством целых чисел и обозна-
чается символом Z:
Z-{...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}.
18
Каждому целому числу соответствует определенная точка па
числовой оси, но не каждой точке числовой оси соответствует
целое число. Например, любой точке, расположенной между точ-
ками, изображающими числа 2 и 3, нельзя поставить в соответ-
ствие целое число. Таким образом, между множеством точек
числовой прямой и множеством целых чисел взаимно однознач-
ного соответствия не существует.
Введем некоторые термины. Числа а и — а называют противо-
положными. Точки, соответствующие этим числам, располагаются
на числовой оси симметрично относительно пуля (рис. 2).
Примечание. Не следует считать, что запись — а является обозначе-
нием отрицательного числа, так как если а—число отрицательное, то —а —-
число положительное. Поэтому числа а и —а можно изобразить па числовой
оси иначе (рис. 3).
—J---------1_____
-а о
Рис. 2
г
а
О
Рис. 3
Модулем положительного числа и нуля называют само это
число, а модулем отрицательного числа — число, ему противопо-
ложное. Модуль числа иначе называют абсолютной величиной
числа. Модуль числа а обозначают символом \а\. Таким образом,
1—51 = 5, | 101 = 10 и | 01 = 0.
Два целых числа сравнивают согласно условию: из двух целых
чисел больше то, которое расположено на числовой оси правее
другого. Из этого условия вытекает, что всякое отрицательное
число меньше нуля (и тем более меньше всякого положительного
числа), а из двух отрицательных чисел больше то, модуль кото-
рого меньше.
Правила выполнения действий над числами можно разделить
на две группы: правила-определения и правила, выводимые из
ранее установленных математических предложений.
Правила-определения не выводятся (не доказываются). Они
возникают из практики. При введении таких правил выясняется
лишь их практическая целесообразность. Не следует смешивать
выяснение практической целесообразности правила с его логи-
ческим выводом.
Прямые действия (сложение и умножение) выполняются по
правилам-определениям, а обратные (вычитание и деление) —по
правилам, которые выводятся как следствия ранее установленных
правил и законов. Что касается выводимых правил, то наряду
с логическим доказательством всегда можно поставить вопрос об
их соответствии количественным соотношениям, которые наблю-
даются в реальной действительности.
3. Сложение. Следует различать два основных случая: 1) сла-
гаемые имеют одинаковые знаки; 2) слагаемые имеют разные
знаки.
19
П р а в и л а - о п р е д е л е н и я. Суммой двух целых чисел с оди-
наковыми знаками называется целое число того же знака, модуль
которого равен сумме модулей слагаемых.
Суммой двух целых чисел с разными знаками и различными
модулями называется число, модуль которого равен разности
модулей слагаемых, а его знак совпадает со знаком слагаемого,
имеющего больший модуль; сумма двух противоположных чисел
равна нулю, т. е.
а + (—а) = 0.
Например,
(+ 10) + (+ 15) = + 25, (- Ю) + (- 15) = - 25,
(+10) + (-15) = -5, (-10) + (+15) = +5, (+10) + (-10) = 0.
В множестве целых чисел законы сложения (переместитель-
ный, сочетательный и монотонности) остаются справедливыми.
Проверим на примерах сохранение закона монотонности суммы:
если а>Ъ, то а-\~с>Ь + с. Действительно, из неравенства —10>
> —15 следует, что
(-10) + (+12)>(-15) + (+12),
(-10) + о >(-15) + 0, (-10) + (- 2) > (-15) + (- 2).
В множестве натуральных чисел сумма всегда больше каждого
слагаемого. В множестве целых чисел сумма от этого ограниче-
ния освобождается.
Сумма двух целых чисел может быть: 1) больше каждого сла-
гаемого; 2) больше одного слагаемого и меньше другого; 3) меньше
каждого слагаемого; 4) равна одному из слагаемых. Например,
(+16) + (+5) = + 21, (+ 16) + (- 5) = +11,
(-16) +(-5) = -21, (-16) + 0 = -16.
4. Умножение. Правило-определение. Произведением
двух целых чисел называется число, модуль которого равен произ-
ведению модулей сомножителей, взятое со знаком плюс, если
множители имеют одинаковые знаки, и со знаком минус, если
у множителей знаки разные; если один из сомножителей равен
нулю, то произведение принимается равным нулю. Например,
(+4). (+7) = 28; (-4) • (-7) = 28; (-4). (+7) = -28;
(+4)Д-7) = -28; (+4).(+1) = + 4; (+ 4) • (- 1) = - 4.
Из этого правила следует:
j а • b\ = i а | •1 b
т. е. модуль произведения равен произведению модулей сомножи-
телей.
Целесообразность правила умножения целых чисел подтвер-
ждается сохранением основных законов умножения, сформулиро-
ванных для натуральных чисел, а также практическими задачами
с направленными величинами.
20
Справедливость переместительного закона умножения выте-
кает непосредственно из правил умножения, так как порядок
сомножителей при вычислении произведения целых чисел роли
не играет.
В справедливости сочетательного и распределительного зако-
нов убедимся на примерах:
(- 3) [(-5) • (+ 4)] = [(- 3) • (- 5)] (+ 4),
[(+ 6) + (-5)Н-2) = (+6).(- 2) + (-5).(-2).
Закон монотонности в множестве целых чисел выступает
в расширенной форме, а именно:
если а > b и т > 0, то ат > Ьт\
если а> b и т < 0, то ат < Ьт.
Таким образом, закон монотонности для натуральных чисел
является частным случаем закона монотонности для целых чисел.
При переходе от множества натуральных к множеству целых
чисел изменяется смысл умножения. Действительно, умножение
натурального числа а на 5 есть увеличение числа а в 5 раз,
а умножение того же числа а на —5 уже нельзя трактовать
как увеличение в несколько раз.
5. Возведение в степень (с натуральным показателем). Опре-
деление действия возведения в степень, сформулированное для
натурального основания, остается справедливым для любого
целого основания. Например,
(—3)4 = (—3)*(—3)*(—3)*(—3) = 81,
(-3)б^(_3).н 3).(_3).(-3).(_3) = _243.
Правило знаков:
а2т > О
Q^rn + 1 \
а2от+1<
при а>0 и бг < 0;
0 при а > 0;
0 при а<0.
Прямые действия (сложение, умножение и возведение в сте-
пень) в множестве целых чисел всегда однозначно выполнимы,
что непосредственно вытекает из соответствующих правил.
6. Вычитание. Определение действия вычитания, приведенное
для натуральных чисел, сохраняется и в множестве целых чисел.
Согласно этому определению, разностью целых чисел а и b назы-
вается такое целое число х, при сложении которого с числом b
получают число а. Поэтому если а — Ь = х, то х-\-Ь = а.
Выведем правило вычитания, опираясь па определение раз-
ности, правило сложения целых чисел, а также на сочетатель-
ный закон сложения. Пусть требуется найти разность целых
чисел а и Ь. Обозначим искомую разность через х и запишем:
а — Ъ — х. По определению разности,
х-\-Ь = а.
21
Прибавляя к обеим частям этого равенства — fe, получаем
x + b + (-b) = a + (-b).
Используя сочетательное свойство суммы, находим
*+lb + (- b)] = a + (-b).
Так как & + (— Z?) = 0, то
х = а + (—Ь), или а — b = a-\-(—b>).
Последнее равенство и выражает правило вычитания целых чисел,
которое формулируется так: чтобы вычесть из одного целого
числа другое, достаточно к уменьшаемому прибавить число, про-
тивоположное вычитаемому.
Отсюда следует, что вычитание целых чисел сводится к сло-
жению. Сложение в множестве целых чисел однозначно выпол-
нимо, поэтому можно сделать вывод, что в множестве целых
чисел и вычитание всегда однозначно выполнимо. Следует под-
черкнуть, что с введением отрицательных чисел стало возможным
вычитание большего числа из меньшего. Например,
( + 3)-(+5) = (+3) + (-5) = -2,
(-3) - (+ 5) = (-3) + (-5) = -8.
Разность двух натуральных чисел, если она является нату-
ральным числом, меньше уменьшаемого. Разность двух целых
чисел свободна от этого ограничения.
Рассмотрим равенство
а-Ь = а-\~(—Ь).
Выражение а — b можно рассматривать как сокращенную запись
суммы а 4- (— &). Поэтому выражение а — Ь считают суммой
чисел а и (— Ь) и называют алгебраической суммой. Аналогично,
выражение a — b-\-c — d можно рассматривать как алгебраическую
сумму чисел а, —Ь, с и —d, т. е.
а - b + с - d = а + (— Ь) + (+ с) + (— d).
7. Деление, В множестве целых чисел действие деление опре-
деляется так же, как и в множестве натуральных чисел. Выве-
дем правило деления целых чисел, опираясь па определение
частного и правило умножения целых чисел.
Пусть требуется найти частное от деления целого числа а на
целое число Ь, отличное от нуля. Обозначим искомое частное
через х и запишем:
а: Ь = х.
По определению частного Ь- х — а, из этого равенства легко видеть,
что если а и b имеют одинаковые знаки, то х положительно;
если же а и b имеют разные знаки, то частное х отрицательно.
Из этого же равенства следует, что | b | • |х| = |а откуда |х|==
==|a|:Jb|, если | а ( — число, кратное \Ь\. Таким образом, чтобы
22
разделить одно целое число на другое, отличное опг нуля, доста-
точно модуль делимого разделить на модуль делителя и получен-
ное частное взять со знаком «+», если делимое и делитель имеют
одинаковые знаки, и со знаком «—», если они имеют разные знаки',
если делимое равно нулю, то частное также равно нулю.
Из правила следует, что в множестве целых чисел частное
существует, т, е. является целым числом только тогда, когда
модуль делимого есть 0 или число, кратное модулю делителя.
Это значит, что в множестве целых чисел деление по-прежнему
ограниченно выполнимо. Это ограничение снимается при даль-
нейшем расширении числового множества, т. е. введением новых
чисел.
Упражнения
1. Вычислить:
а) (—2)34-3. (-2)2-2. (-2)-7;
б) (-1 )з - 3 • (-1 )2. (- 3) 4- 2 (-1) (- З)9- - (- 3)з.
2. На сколько р больше q, если:
а) р—15 и q =— 40; б) р = — 15 и q = — 50?
3. Доказать, что значение выражения Зх4-р5х24-8 не меняется при замене
одного значения х на другое, ему противоположное.
4. Найти частное от деления двух значений выражения 2х3 — 7х, вычис-
ленных при х = 5 и х=—5.
5. То же при х = а и при х = — а.
§ 3. Рациональные числа
1. Предварительное замечание. Математика как наука разви-
валась и продолжает развиваться под влиянием потребностей
практики, с одной стороны, и потребностей внутреннего развития
самой математики —с другой. Эти пути не противоречат друг
другу. Более того, должен быть создан аппарат, позволяющий
выполнять различные операции над абстрактными величинами,
созданы методы для решения различных задач, объединенных
общностью математического содержания;
Приступая к введению дробных чисел, укажем различные
пути их возникновения. Хорошо известно, что дроби появились
из самых насущных потребностей практики. Уже дележ добычи,
состоявшей из нескольких убитых животных, между участниками
охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу
охотников, мог привести первобытного человека к понятию
о дробном числе. Абстрагируясь от конкретных обстоятельств,
при которых появляется дробное число, введем понятие дробного
числа как символа для обозначения частного двух натуральных
чисел а и b независимо от того, является ли число а кратным b
или нет.
2. Введение дробей. Пусть требуется разделить натуральное
число т на другое натуральное число п. Как известно, резуль-
тат этого деления записывают в виде т : п или т/п. В множе-
стве натуральных чисел символ т/п имеет смысл только в том
23
случае, когда т кратно п. Условимся записывать символом т/п
результаты деления т на п при любых натуральных т и п и
даже при /л = 0.
Определение. Символ т/п, где т — целое неотрицательное
число, а п — число натуральное, называется обыкновенной дробью
(дробью) или рациональным неотрицательным числом.
Число т называется числителем дроби, а п — ее знаменателем.
Дробь т/п при п = 1 является целым неотрицательным числом т.
Это значит, что целое неотрицательное число (натуральное
число или нуль) является частным видом рационального неотри-
цательного числа.
3. Некоторые вопросы теории дробей. Равенство дробей
и основанные на нем преобразования. Две дроби
а/b и c/d называются равными, если ad = bc. Например, 14/30 =
= 21/45, так как 14-45 — 630 и 30-21 =630. Если же числитель
и знаменатель каждой дроби —числа взаимно простые, то дроби
равны между собой при условии, что у них одинаковые числи-
тели и одинаковые знаменатели.
Из определения равенства дробей вытекает основное свойство
дроби: величина дроби не изменяется при умножении или деле-
нии числителя и знаменателя на одно и то же число.
Действительно, а/b = ат/Ьт, так как
а • (Ьт) = b • (ат).
На этом свойстве основаны два главных преобразования: сокра-
щение дробей и приведение нескольких дробей к общему знаме-
нателю.
Сокращение дробей связано с понятием общего делителя и
наибольшего общего делителя двух чисел.
Пример. Сократить дробь 420/1800.
Решение. Первый способ (последовательное сокращение):
420/1800 = 42/180 = 21/90 7/30.
Второй способ (полнее сокращение). Сначала находим наибольший
общий делитель числителя и знаменателя:
420 = 2-2-3-5.7,
1800 = 2.2-2.3.3-5.5,
£7(420, 1800) = 2- 2-3-5 = 60.
Далее имеем
420/1800 = (420 : 60)/( 1800 : 60) = 7/30.
Приведение дробей к общему знаменателю связано с поня-
тием общего кратного и наименьшего общего кратного несколь-
ких чисел.
Пример 1. Имеем:
5/6 = 25/30, 7/30 = 7/30, 8/15=16/30.
Знаменатель второй дроби есть число, кратное знаменателям других дробей.
Пример 2. Имеем:
3/7 = 180/420, 5/12 = 175/420, 2/5 = 168/420.
24
Здесь знаменатели не имеют общих множителей, отличных от единицы,
т. е. являются взаимно простыми числами
Пример 3. Имеем:
11/60 = 132/720, 7/48 = 105/720, 2/45 == 32/720.
В этом примере наименьший общий знаменатель находится с помощью
разложения на простые множители знаменателей 60, 48 и 45,
Сравнение дробей. Определение. Дробь а/b счи-
тается больше дроби с/b, если а>с.
При сравнении дробей с разными знаменателями их предва-
рительно приводят к общему знаменателю, после чего сравни-
вают числители, т. е. a/b>cld, если ad>bc. Легко сравнить
дроби с равными числителями:
a/b > a/cl, если d>b.
Например, 15/31 >15/32, так как 32>31. Поэтому при сравне-
нии дробей иногда приводят их к общему числителю.
4. Сложение и умножение (прямые действия). Как уже отме-
чалось, правила выполнения прямых действий устанавливают
с помощью определений.
Определение. Суммой двух рациональных неотрицатель-
ных чисел т/п и pin называется число (т-\-р)/п.
Это определение можно записать в виде равенства:
пг/п + pin = (т -г p)lfi.
Рассматривая это равенство-определение, можно сделать вывод,
что сумма двух рациональных неотрицательных чисел всегда
существует и имеет единственное значение. Действительно, для
нахождения суммы чисел т/п и pin надо найти сумму натураль-
ных чисел т-\-р, которая всегда существует и единственна,
а затем полученное натуральное число т-\-р разделить на нату-
ральное число п, что всегда возможно по определению дроби.
Если слагаемые имеют разные знаменатели, то их предвари-
тельно приводят к общему знаменателю, а затем находят сумму
по указанному правилу-определению.
При сложении двух дробей т/п и p/q, где п Ф q, могут встре-
титься три случая:
1) если п и q — взаимно простые числа, то
/и . р _ mq-\-np
п ‘ q ~ nq ’
2) если п кратно q, т. е. n = aqy то
m р __ tn . р _ т • р ар .
п 1 q aq * q aq ’
3) если числа n и q имеют наибольший общий делитель d,
т. е. n = ad и q — bd, то
/и р _ m _р_ _ mb -г ар
п ' q ~~ ad ' bd abd
25
В множестве рациональных неотрицательных чисел сохра-
няются все приведенные ранее законы сложения.
Для примера докажем справедливость переместительного закона.
По определению суммы,
т , р т->,-Р „ Р । т р + т
--- —----- = И —I— - = -
п 1 п п-----------------------------------------------п [ п п 9
но так как т + р = р-\-т, то
т_ . р_ _ р_ т m
п ‘ п ~~ п 1 ~п*
Определение. Произведением двух рациональных неотри-
цательных чисел и у называется число
Это определение можно записать в виде равенства
т р тр
• - ——
п--------q-nq
Существование и единственность произведения чисел mln и
p/q вытекает из однозначной выполнимости умножения и деле-
ния натуральных чисел. Частные случаи:
а) при q — 1
т р тр т тр
—- • <- = —л- или — • р = —;
п 1 п • 1 п г п >
б) при п— 1
в)
т р тр
* * -**— 1 п~, »—-—» —
1 q l-q
р тр
или т • — = —;
Q Q
т п __ тп
п т пт
Два числа, произведение которых равно единице, называются
взаимно обратными. Это числа вида т/п и п/т.
Все законы умножения справедливы в множестве рациональ-
ных неотрицательных чисел. Проверим на примерах справедливость
распределительного закона.
I. Имеем:
М дЦ 2 = X 1 i I 2_-_1д_2_5-£
\ 2 * 3f 5 2 ’ 5 Н 3 ’ 5 ~ 5 15 ~ 15 “ 3 ’
иначе:
/ 1 1 \ 2 _ 3 + 2 2 5 2 1
\ 2 3 / 5 “ 6 ' 5 ” 6' ‘ 5 ~ 3 *
5
2. Вычислить произведение И ^«7.
Первый способ. Имеем
11 А 7 —§2.8 7-898-77 5
63 63’ 9 “ 9 ’•
Второй способ. Находим
Б / ^ \ Б Б
1163‘7 = (И+бз)-7==77+9=77 9-
26
Этот пример свидетельствует не только о справедливости распределительного
закона, но и о возможности использования его для упрощения вычислений.
При переходе от множества натуральных чисел к множеству
рациональных неотрицательных чисел определение произведения
и смысл умножения претерпевают существенное изменение. Срав-
ним два определения.
В множестве натуральных чисел
QC — а ~4~ (I “В . . . -p Cl.
с слагаемых
В множестве рациональных чисел
т р _ тр
п q nq *
Первое из них является частным случаем второго, так как при
п = 1 и 7=1 имеем
т р тр . . .
— • у = ~ = тр = т + т +... -j- т.
р слагаемых
Значит, второе определение не противоречит первому, а является
его обобщением. Это новое, более сложное, определение произ-
ведения отражается на толковании смысла умножения. Если
в множестве натуральных чисел умножение числа а на число с
означало увеличение числа а в с раз, то, когда множитель с
перестает быть натуральным числом, такая трактовка умножения
становится невозможной. Если, например, умножение числа 40
па 3 означает увеличение числа 40 в три раза, то умножение
числа 40 на дробь 2/5 нельзя считать увеличением числа в
несколько раз. Чтобы истолковать смысл умножения па %, заме-
тим, что это действие заменяется двумя действиями в множестве
натуральных чисел: делением числа 40 на 5 и умножением полу-
ченного частного на два. Делением на 5 находится пятая часть
ог сорока, а умножением полученного результата на 2 находится
две пятых от сорока. Таким образом, умножение 40 па 2/5 можно
трактовать как нахождение части от числа (двух пятых от сорока).
Если в множестве натуральных чисел произведение больше
или равно множимому, то в множестве рациональных чисел произ-
ведение освобождается от этого ограничения. Вообще:
ас>а> если с>1; ас—-а, если с=1;
ас < а, если с < 1; ас = 0, если с = 0.
5. Вычитание и деление (обратные действия). Определение
действия вычитания для натуральных чисел сохраняется и в мно-
жестве рациональных неотрицательных чисел.
Выведем правило вычитания. Пусть требуется найти разность
чисел т/п и р//г, где т^р. Обозначим искомую разность через х;
тогда
27
По определению разности,
Умножим обе части этого равенства на п:
Используя распределительный закон умножения, получаем
хп 4- р — т ил и хп — т — р.
Так как т^-р, то х = (т —р)//г. Таким образом,
m р т — р
п п п
Это равенство выражает известное правило вычитания дробей
с одинаковыми знаменателями. Если надо вычесть дроби с раз-
ными знаменателями, то их предварительно приводят к общему
знаменателю, а затем применяют указанное правило.
Определение действия деления для натуральных чисел также
сохраняется в множестве рациональных неотрицательных чисел.
Выведем правило деления. Пусть требуется найти частное от
деления числа т/п на число pjq.
Обозначим искомое частное через х; тогда
т р
— : - - = х.
п q
По определению частного,
р гп
— -Х = —.
Я п
Умножим обе части этого равенства на qjp:
р-.х. q _ т q
<? р ~ п ' р ‘
Используя переместительный закон умножения, получаем
Д 9 г_ 21 q • , или х = р ’ mq
ЯР п tip’
Таким образом,
т . р _ rnq
п ' Я пр’
Это равенство выражает известное правило деления дробей.
Частные случаи:
а) при q = 1
т 9 р tn • 1 п * 1 пр ’ tn . или — : р = п пг пр ’
б) при /1=1
tn р mq 1 ‘ q ~ 1 • р р , или пг: —= mq р
23
В множестве натуральных чисел деление числа а на число с
означает уменьшение числа а в с раз. Если делитель перестает
быть натуральным числом, то такая трактовка смысла деления
невозможна. Например, деление числа 120 на 3 означает умень-
шение делимого в три раза; деление 120 на 2 * * * * * В/б, в результате
которого получаем 300, уже нельзя считать уменьшением дели-
мого в несколько раз.
В множестве натуральных чисел частное меньше или равно
делимому, в множестве неотрицательных рациональных чисел это
ограничение отпадает.
Вообще:
а\с<,а, если с>1; а\с — а, если с =1;
а : с > а, если с < I.
Рассматривая правило деления
т . р _ mq
п * q пр ’
заключаем, что деление всегда выполнимо в множестве рацио-
нальных неотрицательных чисел, кроме деления на нуль.
Из равенства min — pln~(m — р)/п следует, что вычитание
выполнимо только при т^р. Это ограничение снимается введе-
нием отрицательных рациональных чисел.
6. Введение отрицательных рациональных чисел. Возьмем
числовую ось (рис. 4). Если каждый отрезок числовой оси от 0
Рис. 4
до 1, от 1 до
получим точки,
2 и т. д. разделить на
соответствующие числам
п разных
1 2 3
п’ П ' II
частей, то
п+1
п 1
Если теперь разделить также на п равных частей отрезки
от 0 до —1, от —1 до —2 ит. д., то получим точки, соответ-
ствующие новым числам. Эти новые числа обозначаются симво-
12 3 n-'-1 п-4- 2
лами-----, ----,-----, ------,------—, и называются от-
п ’ п> п ’ ’ п ' п ’
рицапгельными рациональными числами. Общий вид отрицатель-
ного рационального числа: — —где m и « — натуральные числа.
В результате присоединения рациональных отрицательных чисел
к множеству рациональных неотрицательных чисел образуется
новое числовое множество, которое называется множеством рацио-
нальных чисел и обозначается через Q. Любое число этого мно-
жества обозначается символом ajb, где а — любое целое число,
Ь — любое отличное от нуля целое число. Отсюда следует, что
все целые числа являются частным видом рациональных чисел
(при b = 1).
29
В п. 2 § 2 при рассмотрении целых чисел были даны опре-
деления противоположных чисел, модуля числа, были введены
определения понятий «больше», «меньше», а в п. 3 § 3 было вве-
дено определение равенства дробей, из которого следует основ-
ное свойство дроби. Все эти определения распространяются на
множество рациональных чисел.
7. О выполнимости действий в множестве рациональных чисел.
Правила выполнения действий над целыми числами и законы
действий сохраняются для рациональных чисел. Анализ этих
правил показывает, что все четыре арифметические действия
в множестве рациональных чисел всегда выполнимы, за исклю-
чением деления па нуль. Деление па нуль остается невозможным
и при дальнейшем расширении числового множества.
8. О соответствии между множеством точек числовой оси и
множеством рациональных чисел. Было показано, что каждому
рациональному числу соответствует на числовой оси определен-
ная точка. Отметим, что между двумя точками числовой оси,
изображающими два рациональных числа, всегда можно указать
точку, которой также соответствует рациональное число. Напри-
1 5
мер, между точками, соответствующими числам 2 и 2 имеется
точка, которая соответствует среднему арифметическому этих
чисел, т. е. числу 2-=-2-Л: 2 = 2-^. Это говорит о плотном
\ О О } U
расположении на числовой оси точек, соответствующих множе-
ству рациональных чисел. Однако, как будет показано в даль-
нейшем, эти точки не заполняют числовую ось сплошь, т. е. на
числовой оси имеются точки, которым не соответствуют рацио-
нальные числа. Следовательно, между множеством точек числовой
оси и множеством рациональных чисел взаимно однозначного
соответствия не существует.
9. Представление рационального числа десятичной дробью.
Периодическая дробь. Дробь со знаменателем 10п (п — натураль-
ное число), записанная по принципу поместного значения цифр
(без знаменателя), называется десятичной. Например,
27/104 = 0,0027; 2700/1О3 = 2,7; 27/10s = 0,000027.
Не останавливаясь на правилах действий над десятичными
дробями, рассмотрим лишь вопрос представления рационального
числа десятичной дробью, т. е. обращение обыкновенной дроби
в десятичную. Пусть p/q — несократимая дробь. Если знамена-
тель q можно представить в виде 2Ш-5Л (/п и /г —целые неотри-
цательные числа), то дробь p/q обращается в конечную десятич-
ную. Например,
3 _ 3 _ 3-52 _ 75 П7-
40 ~ 2s-5 23-53 Ю3 U’U/0
или
_L_ _L_Zi£L_H3-ooii2
625 5* “5*-2* “ IO1*
30
Если же знаменатель q в виде 2т-5л представить нельзя, то
дробь p/q в конечную десятичную дробь не обращается. Обраще-
ние обыкновенной дроби в десятичную выполняется обычно деле-
нием числителя на знаменатель. Из изложенного следует, что
процесс деления р на q конечен только в том случае, если число
q представимо в виде 2т -5я. Например, дроби 4/9, 7/12, 5/11 и
35/44 в виде конечных десятичных дробей записать нельзя. Раз-
делив числитель на знаменатель, соответственно имеем:
4/9 = 0,444...; 7/12 = 0,5833...; 5/11 =0,454545...;
35/44 = 0,79545454....
Можно доказать, что при обращении обыкновенной дроби
в десятичную в том случае, когда деление числителя на знаме-
натель не имеет конца, цифры частного с некоторого разряда
повторяются в неизменном порядке. Повторяющаяся группа цифр
называется периодом, а частное — бесконечной десятичной перио-
дической дробью. Если период начинается сразу после запятой,
то периодическая дробь называется чистой периодической дробью,
в противном случае периодическая дробь называется смешанной.
Обращение периодической дроби в обыкновенную рассматри-
вается ниже (при изучении бесконечной убывающей геометриче-
ской прогрессии). Пока ограничимся формулировкой правил и
проиллюстрируем их применения.
Правило 1. Чистая периодическая дробь равна такой обыкно-
венной дроби, у которой числитель — период, а знаменатель —
число, изображаемое цифрой 9, повторенной столько раз, сколько
цифр в периоде.
Например, 0, (7) = 7/9; 0, (35) = 35/99.
Правило 2. Смешанная периодическая дробь равна такой обык-
новенной дроби, у которой числитель — разность между числом,
стоящим до второго периода, и числом, стоящим до первого пе-
риода, а знаменатель — число, изображаемое цифрой 9, повторен-
ной столько раз, сколько цифр в периоде, со столькими нулями
на конце, сколько цифр между запятой и периодом.
Например, 0,2 (35) = (235 - 2)/990 = 233/990; 3,42 (5) = 3 +
+ (425-42)/900 = з||.
Итак, всякое рациональное число можно представить в виде
десятичной дроби конечной или бесконечной периодической, и,
обратно, всякую конечную или бесконечную периодическую деся-
тичную дробь можно представить в виде обыкновенной, т. е. в виде
рационального числа.
10. Отношения и пропорции. Отношением двух чисел а и b
называется частное от деления этих чисел. Обозначается а/b или
а:Ь (Ь^О), где а —предыдущий член отношения, Ь — последую-
щий член отношения.
Понятие отношения является более широким, чем понятие
дроби, так как, говоря об отношении, под а и b подразумевают
любые числа, а не только натуральные. Основное свойство дроби
31
распространяется па отношение: величина отношение не изменится,
если предыдущий и последующий члены отношения умножить или
разделить на одно и то же число, пг. е.
а __ат
Ь bmf
где т — любое число, отличное от нуля.
Это свойство позволяет отношение дробных чисел заменить
отношением целых. Например, 2/3 : 3/5 — 10/15 : 9/15 = 10 : 9.
Равенство двух отношений a/b = c!d называется пропорцией.
Числа а и d —крайние члены пропорции, а b и с —средние.
Умножая каждое из отношений а/b и c/d на число bd, полу-
чим ad = be, т. е. произведение крайних, членов пропорции равно
произведению средних. Из этого свойства вытекает правило нахож-
дения неизвестного члена пропорции. Например, если 20/х = 0,7/14,
то х= (20 • 14)/0,7 = 400.
11. Дополнительные сведения об отношениях и пропорциях.
Свойство ряда равных отношений. Пусть дан ряд
равных отношений
Й1 _ ^2 _ __
Н ~ ьг ~ ьп‘
Обозначая °- = р- = ... = ~ = а, получаем
bl Ьг Ьп }
<h = bxq, a., = b2q, .... an = bnq.
Теперь имеем
или
а 1Ч- в'2 -Н
bi + Ьг +
= _ ^2
Л~Ьп bi Ъ-2
bn
Это равенство выражает свойство ряда равных отношений.
Производные пропорции. Пусть дана пропорция
Легко доказать, что из пропорции (1) вытекают новые пропор-
ции, которые называются производными-.
£+^ = £+^..., (А) Д±1 = £±^...( (В)
b d v ' а с '
(С) = (D)
b а ' ’ а с ' '
a -\-b c-\-d /t?.
(Е)
Действительно, если a!b = dd, то alb± 1 =c!d± 1, откуда
(а ± b)/b — (с ± d)/d, т. е. доказана справедливость равенств (А)
и (С).
32
Разделив соответственные части равенств (А) и (1), а также
(С) и (1), получаем
а ± Ь _ с ± d
а ~~ с *
т. е. доказана справедливость равенств (В) и (D).
Если разделить соответственные части равенств (А) и (С), то
получим пропорцию (Е), которая читается так: сумма членов
первого отношения так относится к их разности, как сумма чле-
нов второго отношения относится к их разности.
Пример. Найти х из пропорции
а + х _ Ь
а — х~ с
Решение. Применяя производную пропорцию (Е), получаем
2а _ Ь + с
2х ~ F— c ’
а (Ь —с)
откуда х = , -
12. Проценты. Процентом данного числа называется его сотая
часть. Один процент от числа обозначается так: 1%. Например,
15% =0,15; 1,5% =0,015; 200% =2; 750% =7,5; р%=р/100.
Различают следующие типы задач на проценты: 1) нахождение
процента от числа; 2) нахождение числа по его проценту; 3) на-
хождение процентного отношения двух чисел.
Задача 1. Цех выпускает 180 изделий в день. На сколько
изделий увеличится выпуск продукции, если производительность
труда поднялась на 35%?
Решение. Находим
(180 • 35)/100 = 63 (изделия).
Задача 2. В результате увеличения производительности труда
на 35% цех стал выпускать в день 243 изделия. Сколько изде-
лий в день цех выпускал ранее?
Решение. Так как 243 изделия составляют 135% прежней
выработки, то искомое число равно
(243 -100)/135= 180 (изделий).
Задача 3. Цех выпускал 180 изделий; в результате техниче-
ского усовершенствования выпуск продукции увеличился до 243
изделий за то же самсе время. На сколько процентов поднялась
производительность труда?
Решение. При решении подобных задач выделяют число,
с которым сравнивают другое. Выделенное число принимают за
100%, а число процентов, соответствующее второму числу, обо-
значают буквой х. В данном случае за 100% принимаем число 180,
а число 243 —за х%, Составляем следующую схему:
число изделий число процентов
180 100
243 х
2 М. И. Абрамович, М. T. Стародубцев
33
Очевидно, что число изделий и число соответствующих им про-
центов связаны прямо пропорциональной зависимостью, поэтому
180/243= 100/%, откуда х = (243 • 100)/180 = 135.
Новая производительность труда составляет 135% прежней,
поэтому повышение производительности труда таково: 135% —
— 100% =35%.
Упражнения
1. Выполнить действия:
L\oU zzb/ J \ о / I
\ 7 ’ 2Т * Т14*
(5- 1,1409:0,3): 4,2: 12 —0,21*4)
j \ о /
2. Вычислить:
1—0,52
[2 + 0,5-(-2)]2_0,5 + (-2) •
3. Какие из следующих дробей можно обратить в конечные десятичные:
а) 7/50; б) 3/7; в) 5/12; г) 9/15; д) 3/40; е) 312/125; ж) 7/400; з) 17/36?
4. Обратить в десятичные дроби (конечные или бесконечные):
а) 5/8; б) 4/15; в) 6/11; г) 9/80; д) 13/12.
5. Следующие периодические дроби обратить в обыкновенные:
а) 0, (7); б) 0, (34); в) 1, (425); г) 2,Г(73); д) 15,12 (31).
6. Три числа относятся между собой как 3/8 :2/5 : 4/9. Найти эти числа,
если наибольшее из них больше наименьшего на 100.
7. Найти х из пропорции
(а + 2х)/(а — 2х) = т]п.
Указание. Воспользоваться производной пропорцией.
8. Грибы при сушке теряют 80% своего веса. Сколько надо взять свежих
грибов, чтобы получить 1 кг сушеных?
9. Объем строительных работ увеличен на 60%, при этом производитель-
ность труда повысилась на 25%. На сколько % надо увеличить число рабочих?
10. Число А больше числа В па 50%. На сколько процентов число В
меньше числа А?
11. Объем промышленной продукции увеличился в 8 раз. На сколько
процентов произошло увеличение?
§ 4. Иррациональные числа. Множество действительных
(вещественных) чисел
1. Понятие об иррациональном числе. Возведение в степень
с натуральным показателем в множестве рациональных чисел
всегда однозначно выполнимо, так как это действие является
частным случаем умножения. Обратная задача, когда по данной
степени и по данному показателю степени требуется найти осно-
вание степени, решается с помощью шестого арифметического
действия, называемого извлечением корня. Это действие не всегда
34
F
Йу. .
О V 2 5 ц 5
выполнимо в множестве рациональных чисел. Пусть требуется
найти положительный корень уравнения хп = а, где а>0 и п—
натуральное число (п = 2, 3, 4, ...). Корень этого уравнения за-
писывается так:
х = уга.
Примеры. 1) Если х2=16, то х = ]/16 = 4, так как 42=16;
2) если х3=125, то х — 125 = 5, так как 53= 125.
Теперь рассмотрим уравнение х2 = 2. В множестве рациональ-
ных чисел это уравнение не имеет корней, т. е. не существует
ни целого, ни дробного числа, квадрат которого равен 2. В самом
деле, 12= 1, 22 = 4, 32 = 9 и т. д., значит, нет такого целого числа,
квадрат которого равен 2. Докажем, что не существует и дроб-
ного числа, удовлетворяющего уравнению х2 = 2.
Допустим противное, т. е. что существует несократимая дробь
p/q такая, что (p/q)'2 = 2. Очевидно, что p/q больше 1 и меньше 2.
Равенство (p/q)2 —2 противоречивое, так как левая его часть,
являясь квадратом несократимой
дроби, есть дробь несократимая
и, следовательно, не может быть
равной 2. Таким образом, сде-
ланное допущение неверно, т. е.
не существует дроби, квадрат ко-
торой равен 2.
Рассмотренный пример показывает, что извлечение корня
в множестве рациональных чисел не всегда выполнимо. Символ
У 2 не имеет числового смысла в множестве рациональных чисел,
поэтому уравнение х2 = 2 в этом числовом множестве корня не
имеет.
Аналогично можно доказать, что уравнения х2 = 3, х3 = 5,
х4 = 8 и т. д. не имеют корней в множестве рациональных чисел.
Подобно символу |/2 в этом числовом множестве, символы р 3,
/5, ит. д. не имеют числового смысла. Эти уравнения имеют
корни в более широком числовом множестве, которое образуется
присоединением к множеству рациональных чисел множества но-
вых чисел. Смысл новых чисел раскрывается при сравнении их
с рациональными числами. Начнем сопоставление с геометриче-
ского изображения нового числа. Возьмем числовую ось (рис. 5)
и построим квадрат на отрезке 0, 1. Длина диагонали квадрата
равна положительному корню уравнения х2 = 2, т. е. числу У 2.
Отложим на числовой оси от нулевой точки отрезок, равный
длине диагонали квадрата. Конец этого отрезка —точка Л, изобра-
жающая число У 2. Как видно из рисунка, число У 2 заключено
между числами 1 и 2, т. е. 1 <]У2 <2. Число 1 называется
приближенным значением У 2 с недостатком с точностью до 1,
а число 2 —приближенным значением у 2 с избытком с той же
точностью.
35
Найдем более узкие числовые промежутки, содержащие /2,
концы которых являются рациональными числами. Введем сле-
дующее определение: две дроби р/10 и (р+1)/10, удовлетворяю-
щие двойному неравенству
(р\2^ л
\ю/ ю / »
называются приближенными значениями У А с точностью до 0,1;
при этом дробь р/10 называется приближенным значением У А
с точностью до 0,1 с недостатком, а дробь (р+1)/10 — с избыт-
ком.
Аналогично определяют приближенные значения с точностью
до 1/100, 1/1000 и т. д.
Продолжим рассмотрение числа У 2. Разделив числовой про-
межуток от 1 до 2 на 10 равных частей, получим точки, соот-
ветствующие числам 1,1; 1,2; 1,3; 1,4.... Возводя эти числа
в квадрат, находим: 1,42= 1,96<2 и 1,52 = 2,25>2. Значит,
1,4 < /2 < 1,5. Рациональные числа 1,4 и 1,5 —приближенные
значения V2 с точностью до 0,1. Разделив мысленно числовой
промежуток от 1,4 до 1,5 па 10 равных частей, получим точки,
соответствующие числам 1,41; 1,42; 1,43; ...; 1,49. Возводя эти
числа в квадрат, замечаем, что 1,412= 1,98881 <2 и 1,422 =
= 2,0164>2. Значит, 1,41 </2 < 1,42. Рациональные числа
1,41 и 1,42 являются приближенными значениями /2 с точностью
до 0,01. Продолжая процесс деления числовых промежутков
на 10 равных частей, находим:
1,414 </2 < 1,415,
1,4142 < /2 <1,4143,
Рассматривая полученные двойные неравенства, находим /2 =
= 1,4142 ... Этот бесконечный процесс приводит к непериодиче-
ской десятичной дроби, так как, по доказанному выше, число ]/ 2
не является рациональным. Аналогично можно получить:
/3 = 1,7320..., /5 = 1,7097..., /8 = 1,6813....
Выяснив на примерах смысл понятия нового числа, введем
следующее определение: число, которое можно представить в виде
Л в В5 бесконечной непериодической десятич-
।------------1------ной дроби, называется иррациональ-
।______, ным.
СВ 2. Задача о десятичном измерении
Рис. 6 отрезков. Пусть даны два отрезка: АВ
и CD (рис. 6). Условимся измерять от-
резок АВ, считая отрезок CD равным 1 (напомним, что измерить
отрезок АВ с помощью выбранной единицы длины CD — это значит
найти отношение А В к CD). Отложим CD на А В максимально воз-
можное число раз, т. е. пока не будет получен остаток ВХВ, мень-
36
ший CD. Пусть 3CD <AB <ACD\ тогда AB^3CD (с недостат-
ком)*, откуда AB/CD^3 (с точностью до 1). Чтобы получить
отношение этих отрезков с точностью до 0,1, разделим отре-
зок CD па 10 равных частей и отложим kCD па BYB столько
раз, сколько это возможно, пока не получится остаток В2В, мень-
ший CD. Пусть 3CD CD < А В < 3CD + CD; тогда АВ
a^3,4CD (с недостатком), откуда -гг]
^3,4 (с точностью до 0,1).
Чтобы получить отношение этих отрезков с точностью до 0,01,
разделим отрезок CD па 100 равных частей и отложим 0,0\CD
на В2В столько раз, сколько возможно, пока не получится оста-
ток В^В, меньший 0,01 CD (отрезок B:iB на рисунке не показан).
Пусть 3CD + у0 CD + ~ CD <АВ <3CD + ^CD + ^CD или
3,47CD <MB<3,48CD; тогда AB^3yA7CD (с недостатком),
АВ
откуда ср 3,47 (с точностью до 0,01).
При продолжении этого процесса могут встретиться следую-
щие случаи:
1) измерение отрезка АВ заканчивается на определенном шаге;
тогда отношение АВ к CD имеет вид конечной десятичной дроби,
т. е. является рациональным числом;
2) измерение отрезка АВ продолжается бесконечно, но в ре-
зультате получается отношение АВ к CD в виде бесконечной
периодической дроби, т. е. и в этом случае отношение отрез-
ков — рациональное число;
3) измерение отрезка АВ продолжается бесконечно, но в ре-
зультате получается отношение А В к CD в виде бесконечной
непериодической десятичной дроби; в этом случае отношение АВ
к CD — иррациональное число.
Таким образом, решение задачи о десятичном измерении отрез-
ков может привести к иррациональному числу.
Если отношение АВ/CD — рациональное число, то говорят, что
отрезок АВ соизмерим с отрезком CD, принятым за единицу
длины; в случае если отношение ABjCD —иррациональное число,
то отрезок А В несоизмерим с единицей длины CD. Итак, если
отрезок А В соизмерим с единицей длины, то его длина есть
число рациональное; в противном случае его длина есть число
иррациональное.
К иррациональным числам приводит также вычисление значе-
ний логарифмов и значений тригонометрических функций. Обще-
известно иррациональное число л = 3,14159 ...» являющееся отно-
шением длины окружности к диаметру.
3. Множество точек числовой оси и множество действительных
чисел. Рассмотрим все множество точек на числовой оси (рис. 7).
Возьмем произвольную точку М этого множества. Если отрезок ОМ
— знак приближенного равенства.
37
соизмерим с единицей длины, то точке 7W соответствует рацио-
нальное число, если нет, то точке /И ставится в соответствие
иррациональное число. Если точка М расположена справа от
нулевой точки, то ей соответствует положительное число (рацио-
нальное или иррациональное); если же точка расположена слева
от нулевой точки, то ей со-
____________, ,_________ ____ ответствует отрицательное
О 1 п число (рациональное или
рис 7 иррациональное).
В результате присоеди-
нения к множеству всех
рациональных чисел множества всех иррациональных чисел обра-
зуется числовое множество, называемое множеством действитель-
ных (вещественных) чисел. Его обозначают буквой R.
Теперь можно сделать важный вывод: каждой точке числовой
оси соответствует определенное действительное число, а каждому
действительному числу соответствует определенная точка числовой
оси. Соответствие между множеством всех точек числовой оси
и множеством всех действительных чисел является взаимно одно-
значным.
4. Сравнение действительных чисел. Рассмотрим три дейст-
вительных числа: а = 2,718281828 ..., р = 2,718392135 ..., у =
= 2,718281828 .... У чисел а и у совпадают целые части, а также
первые девять десятичных знаков. Если и все последующие деся-
тичные знаки одинаковы, то числа а и у считают равными между
собой. Числа аир имеют одинаковые целые части и одинаковые
первые три десятичных знака, но их четвертые десятичные знаки
различны. Число р считают большим числа а, так как четвертый
знак числа р больше соответствующего знака числа а. Правила
сравнения двух отрицательных рациональных чисел, а также двух
рациональных чисел различных знаков распространяются на
действительные числа.
5. Десятичные приближения иррационального числа. Известно,
что л = 3,14159 ...; напишем два ряда чисел:
3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ..., (1)
3,2; 3,15; 3,142; 3,1416; .... (2)
Числа ряда (1) называются десятичными приближениями числа, л
с недостатком; числа ряда (2) называют десятичными приближе-
ниями числа п с избытком. Символами ап и а£ обозначают
соответственно десятичные приближения действительного числа а
с недостатком и с избытком. Буква п показывает, что эти при-
ближения берутся с точностью до 1/10", где и=1, 2, 3, ....
6. Сложение. Пусть требуется найти сумму чисел а = ]/2 =
= 1,41421 ... и р = ]/3 = 1,73205 .... Выпишем десятичные при-
ближения чисел а и р с недостатком:
а„=1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;...,
р-=1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205;....
38
Находим:
а« + Р; = 3,1; 3,14; 3,146; 3,1462; 3,14626;....
Запишем десятичные приближения аире избытком:
aj=l,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422;...,
р£=1,8; 1,74; 1,733; 1,7321; 1,73206;...;
теперь находим
aJ+pi = 3,3; 3,16; 3,148; 3,1464; 3,14628;....
Так как a,7<a<ai и р„ < р < pi, то целесообразно определить
сумму чисел аир так:
при любом п.
Возвращаясь
«л + Рл < Я + р < Ял + Рл
к числовым значениям аир, запишем:
3,1<а+р<3,3,
3,14 < a +р <3,16,
3,146<a+p <3,148,
3,1462 < a+ р < 3,1464,
3,14626 <a+p <3,14628,
Таким образом, a +р = 3,1462 ....
7. Умножение. Пусть требуется найти произведение чисел
a = К2 и р = /3. Сначала найдем произведения а,7 • р,7 и aj • pj.
Составим таблицу:
2,38 2,4393 2,449048 2,44939440 2,4494824305
2,70 2,4708 2,452195 2,44970903 2,4495138932
Целесообразно определить произведение чисел аир так:
я„ р,> < ap < а£ • pi
при любом п. Из приведенной таблицы следует, что а • р = 2,449....
8. Вычитание. Разность двух действительных чисел определя-
ется так же, как и разность рациональных чисел.
Пусть требуется найти разность р — а, где р = КЗ и а = И 2.
В отличие от прямых действий десятичные приближения р — а
с недостатком вычисляются нахождением разности Р7 — а,7,
39
а с избытком —с помощью нахождения разности p,z —ал. Составим
следующие таблицы:
1,7 1,73 1,732 1,7320 1,73205 • • •
«л 1,5 1,42 1,415 1,4143 1,41422 9 • •
Рй - “л 0,2 0,31 0,317 0,3177 0,31783 • • •
02. 1,8 1,74 1,733 1,7321 1,73206 • • •
«л 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421 в • •
1 с а 1 -he 02. 0,4 0,33 0,319 0,3179 0,31785 • • •
Примечание. Заметим, что разности Р„~ % и р~ — а+ равны между
собой при любом п, поэтому не могут быть десятичными приближениями р~ а
соответственно с недостатком и избытком.
Теперь имеем
Рл Р ОС < P/i ^П->
из двух последних таблиц следует, что
0,2<р —а<0,4,
0,31 < р —а <0,33,
0,317 < р - а < 0,319,
0,3177 < [3 — сс < 0,3179,
0,31783 < р — а < 0,31785,
Таким образом, р — а = 0,3178.... Полученный результат можно
проверить, используя определение разности.
9. Деление. Частное двух действительных чисел определяется
так же, как и частное рациональных чисел.
Пусть требуется найти частное p/а, где р = |3 и а = ]/2.
Здесь (аналогично предыдущему) десятичные приближения р/а
с недостатком и избытком вычисляются соответственно нахожде-
нием частного Рл/а^ и рА/а„. Составим следующую таблицу:
Рлг/ СС/2 1,133 1,218 1,2240 1,22463 1,224738
Рп/сСп 1,286 1,235 1,2257 1,22480 1,224754
40
Таким образом, р/а= 1,2247.... Полученный результат также
можно проверить, используя определение частного.
В п. 7 § 3 было отмечено, что правила действий над целыми
числами распространяются па рациональные числа. Эти же пра-
вила справедливы для любых действительных чисел.
10. Замечания о выполнимости действий. Сделаем следующие
выводы:
1) Для любых двух действительных чисел всегда можно
найти, и притом однозначно, их сумму, разность, произведение
и частное (если делитель отличен от нуля).
2) Все законы арифметических действий, справедливые для
рациональных чисел, сохраняются и для действительных чисел.
3) В множестве действительных чисел извлечение корня всегда
выполнимо лишь из неотрицательных чисел.
4) Извлечение корня из отрицательного числа в множестве
действительных чисел выполнимо только при нечетном показателе
степени. Например, корень третьей степени из числа —27 равен
—3, так как (—3)3 = —27.
Извлечение корня четной степени из отрицательного числа
в этом множестве невозможно. Таким образом, возникает необ-
ходимость дальнейшего расширения понятия числа.
11. Модуль действительного числа. В п. 2 § 2 было введено
понятие модуля (абсолютной величины) целого числа. Это поня-
тие сохраняется для любого действительного числа, т. е. если
а— действительное число, то
а, если а^О,
—а, если а < 0.
При решении
соотношения:
многих задач часто используют следующие
|я«6| = |я!-1И
а _ 1 а |
Т “ГН’
\а + Ь\^\а\ + \Ь\,
| а — & I | | — \ь\.
(1)
(2)
(3)
(4)
Справедливость равенств (I) и (2) вытекает из правил умно-
жения и деления. Неравенство (3) легко доказать на основании
правил сложения (см. п. 3, § 2). Действительно, если а и b
имеют одинаковые знаки, то
|« + &| = |а| + |&|.
Например, | (-2) + (-5) | = | -21 +1 -51.
Если же а и b имеют разные знаки, то
\а + Ь
(**)
Например,. | (—5) + ( + 7) | < | —5 , +1 + 7 |.
Объединяя (*) и (**), получаем соотношение (3).
41
Докажем неравенство (4). Имеем | а | = | (а — Ь) + Ь но
| (а — Ь) + Ь | «S | а— b +| b , поэтому — &[ + |&| или |а| —
— |&| «Sifl — b |, т. е.
|fl-6|>|a|-|b|.
Теперь установим еще одно соотношение, вытекающее из (3)
и (4):
|а + Ь| = |а —(—.6)|Ss|a|-|— b\ или | a + b | S& | а I — | b\.
Объединяя последнее неравенство с неравенством (3), получаем
двойное неравенство
|а|-|&К1а + й1^И + Н-
Упражнения
1. Доказать, что У 3 не является рациональным числом.
2. Найти на числовой оси точки, соответствующие числам У 5 и V 10.
3. Даны числа: а) 0,777777...; б) 3,264; в) |Л0; г) д) tg^; е) 1g2.
Определить, какие из них —иррациональные. _
4. Сравнить иррациональные числа я и рЧО.
5. Найти приближенные значения с_ точностью до_0,01 с_недостатком и
с избытком следующих выражений: а) У 5 + У 2 ; б) У 5 — Р 2 ; в) У 5 • J 2 J
г) У31У2.
6. Всегда ли выполнимо в множестве действительных чисел извлечение
корня: а) нечетной степени; б) четной степени?
§ 5. Краткие сведения о приближенных вычислениях
1. Понятие о приближенных значениях величин (чисел). При
выяснении смысла иррациональных чисел использовались раци-
ональные числа, которые являлись десятичными приближениями
чисел иррациональных. При выполнении технических расчетов
почти всегда приходится иметь дело с приближенными данными.
Это обусловлено тем, что в основе всех расчетов лежат числа,
получаемые в результате измерений, которые всегда сопровож-
даются той или иной ошибкой. Кроме того, при вычислениях
используют таблицы, в которых приведены приближенные значе-
ния квадратных корней, логарифмов, тригонометрических функ-
ций и т. д.
Точные значения величин имеют место при подсчете предметов
(и то не всегда). Например, число жителей большого города
точно подсчитать невозможно, так как процесс изменения числа
жителей практически непрерывен.
Если над приближенными значениями величин производить
действия, как над точными, то результат содержит зачастую
лишние цифры, создающие ложное впечатление о его точности.
Поясним сказанное на примере*.
* Пример заимствован из книги: В. М. Б р а д и с. Средства и способы
элементарных вычислений. М. — Л., Изд-во Акад, педагогических наук РСФСР.
1948.
42
Музейный служитель, проработав в музее 8 лет, уверял, что
экспонируемой статуе 4008 лет, мотивируя это тем, что к началу
работы в музее ему сказали, что статуе 4000 лет. Нелепость
такого утверждения объясняется тем, что 4000 — приближенное
значение возраста вазы с ошибкой в несколько сот лет. Оно
получено в результате округления до тысяч, поэтому равенство
4000 + 8 = 4008 при столь большой погрешности первого слагае-
мого явно абсурдно. Приведенный пример показывает, что для
выполнения действий над приближенными значениями величин
должны быть разработаны особые правила.
2. Округление чисел. Если в данном точном или приближен-
ном значении величины число цифр больше, чем это необходимо
по практическим соображениям, то это число округляют. Опера-
ция округления чисел состоит в отбрасывании нескольких цифр
младших разрядов и замене их нулями; при этом последнюю
удерживаемую цифру оставляют без изменения, если первая
отбрасываемая цифра меньше 5; если она равна или больше 5,
то цифру последнего удерживаемого разряда увеличивают на
единицу. Например, 475427^475000 (с недостатком), 475867 лз
476000 (с избытком), 0,23375 гы 0,23000 (с недостатком),
0,23875 0,24000 (с избытком).
Описанный процесс округления называют округлением с по-
правкой.
Иногда возникает необходимость в округлении данного числа
и по недостатку и по избытку. Например, при изучении действий
над иррациональными числами для числа л = 3,14159... были
составлены ряды приближенных недостаточных значений: 3,1,
3,14, 3,141, ... и избыточных: 3,2, 3,15, 3,142.... Ясно, что
3,1 < л <3,2,
3,14 < л <3,15,
3,141 <л<3,142,
Эти неравенства получены в результате округления числа л
с одним, двумя, тремя и т. д. десятичными знаками как по
недостатку, так и по избытку.
3. Понятие о верхней и нижней границах приближенного
значения величины. Пусть число х, означающее значение некото-
рой величины, заключено между числами и а2, т. е.
01 <х < я2;
(1)
числа a-г и называются нижней и верхней границами числа х
и обозначаются соответственно НГх и ВГх, т. е. о1 = НГх и
= ВГх.
Двойное неравенство (1) можно теперь записать так:
НГх<х < ВГх.
(2)
Из смысла самих понятий нижней и верхней границы можно
вывести следующие правила:
НГ(х + ^) = НГх + НП/, 1
ВГ(х + г/) = ВГх + ВП/; J U
НГ (х — у) = НГх — ВГ#, )
ВГ(х —#) = ВГх —НГ#; |
НГ (х • #) = НГх • НГ#,
ВГ (х- у) = ВГх • ВГ#;
нг / х \ _НГх
П1 \у) “ W
Dr, ( х \ ВГх
•L5 1 I ) — т . р •
\У J НГу
(П)
(HI)
(IV)
Правила (I) —(IV) позволяют находить нижнюю и верхнюю
границы результата выполнения ряда действий над приближен-
ными значениями величин. Приближенные вычисления с помощью
этих правил называются вычислениями по способу границ. Эти
правила уже использовались при рассмотрении действий над
иррациональными числами.
Пример. Вычислить х по формуле
(а + Ь)с
’ d-e ’
C=2g, d=13| и е=4^.
г 3 L о 2
если а = 5 у, Ь = 2 — t
Решение. Вычислим х приближенно по способу границ. Обратим обык-
новенные дроби в десятичные с двумя десятичными знаками и составим следу-
ющую таблицу:
нг в Г нг вг
а 5,42 5,43 b 8,08 8,10
b 2,66 2,67 (а + Ь)с 19,47 19,61
с 2,41 2,42 d — e 9,48 9,50
d 13,62 13,63 X 2,04 2,07
е 4J3 4,14
13 5GG
Таким образом, 2,04 < х < 2,07. Точное значение величины х = 2 ~2з~]~'2Т7
заключено в найденных границах.
Рассмотренный пример показывает, что к приближенным
вычислениям полезно прибегать (ради простоты вычислений) и
в том случае, когда может быть получено точное значение.
44
Нижняя и верхняя границы величины
о значении самой величины.
Условились приближенным значением
полусумму ее верхней и нижней границ.
хъ (2,04 + 2,07)/2 = 2,055.
Вообще, если для величины х найдены
границы, то
х (НГх + ВГх)/2.
х дают представление
величины х считать
В последнем примере
ее нижняя и верхняя
Если обозначить (НГх +ВГх)/2 = а, то получаем х^а.
4. Понятие об абсолютной и относительной погрешности
приближенного значения величины. Определение 1. Если
число а является приближенным значением величины х, то модуль
разности между х и а называется абсолютной погрешностью
числа а и обозначается символом &а.
Согласно определению,
|х — а | = \а. (1)
Из равенства (1) имеем х —а = ±Да, откуда
x = adbAa. (2)
Заметим, что а — ка и я-j-Дя —соответственно нижняя и верх-
няя границы числа х, поэтому
а — &а <х< а-\- Да. (3)
Если число а — приближенное значение величины, а Да —его
абсолютная погрешность, то отношение Да/|а| называется отно-
сительной погрешностью числа а и обозначается д(а). Согласно
определению,
б(«) = ^- (4)
Относительную погрешность обычно выражают в %, поэтому
д(а) = (--1001 %. (5)
В большинстве случаев значение х неизвестно, поэтому равен-
ство (1) не позволяет найти абсолютную погрешность. Во многих
случаях удается найти такое число hay что \a^_ha. Число ha
называют верхней границей абсолютной погрешности числа а
и при вычислениях за \а принимают ha. Например, при измере-
нии длины листа железа (х) получено значение 105 см, причем
измерение было организовано так, что ошибка не могла прево-
сходить 1 см, т. е. верхняя граница абсолютной погрешности
равна 1 см. Она и принимается за абсолютную погрешность:
х = 105 см ± 1 см.
Покажем, что абсолютная погрешность числа а (приближен-
ного значения величины х) равна полуразности верхней и ниж-
ней границы числа х, т. е.
Д^=------2---* (6)
45
Действительно, так как а-|-Да = ВГх и а —Да = НГх, то
(а + Дя) — (а — Да) = ВГх — НГх или 2Да = ВГх —НГх, откуда
следует равенство (6).
Абсолютная погрешность, понимаемая в смысле верхней гра-
ницы, называется точностью приближения. Равенство х = а±ка
читается так: число а есть приближенное значение величины х
с точностью до \а,
5. Верные цифры приближенного значения величины (числа).
Условимся считать, что в приближенном значении величины все
цифры верные, если его абсолютная погрешность не превышает
половины единицы последнего разряда.
Приближенные значения величин будем писать так, чтобы
все их цифры были верными *. При выполнении этого условия
можно по записи приближенного значения сразу определять его
абсолютную погрешность, т. е. точность.
Пример 1. Пусть приближенные значения чисел а1 = 25, й2=138, а3 = 13,4
и а4 = 0,078 записаны согласно принятому условию; тогда их абсолютные
погрешности соответственно равны: Аа1 = 0,5; Да2 = 0,5; Да3 = 0,05 и Да4 =
=0;0С05.
Пример 2. В результате выполнения нескольких действий над приближен-
ными значениями величин получено число 2,537 с погрешностью 0,05. В этом
случае только две первые его цифры верные, остальные цифры сомнительны.
6. Значащие цифры приближенного значения величины. Зна-
чащами цифрами приближенного значения величины называются
все его цифры, кроме пулей в начале и в конце. Однако нули
в конце считаются значащими, если они являются верными.
Например, если число 250 содержит три верные цифры, то послед-
няя его цифра 0 считается значащей; если число 500 получено
в результате округления числа 536, то нули в числе 500 не
являются значащими. Если число 536 округлить до десятков
с недостатком, то получим 530; в этом числе две значащие цифры,
а верная только одна (5).
Приближенные вычисления выполняют или с определенным
числом десятичных знаков, или с определенным числом знача-
щих цифр.
7. Стандартный вид приближенного значения числа. Часто
встречаются числа, значительно большие и меньшие по сравне-
нию с единицей, запись которых требует большого числа нулей.
Например, расстояние от Солнца до Земли равно 150 000 000 км;
плотность воздуха равна 0,00129 г/см3. Эти числа можно запи-
сать иначе: 1,5-108, 1,29-10-3.
Вообще, запись положительного числа в виде я-10л или
a-10"n, где 1^а< 10 и п — натуральное число, называется
стандартной. Стандартная запись приближенного значения числа
широко используется в приближенных вычислениях.
* Это условие было введено академиком А. Н. Крыловым (см.: А. Н. К р ы-
л о в. Лекции о приближенных вычислениях. М. —Л., ГИТТЛ, 1950). Оно
получило название принцип академика Крылова.
46
8. Зависимость относительной погрешности от количества
верных цифр. Предварительно убедимся в том, что относительная
погрешность приближенного значения числа не зависит от места
запятой в числе, а зависит от числа верных цифр и от цифро-
вою состава числа. Возьмем два числа 273 и 2,73 одного и того
же цифрового состава, с одним и тем же числом верных цифр
и вычислим их относительные погрешности:
6 (273) = 0,5/273 = 5/2730, 6 (2,73) = 0,005/2,73 = 5/2730.
Итак, б (273) = б (2,73), что и требовалось доказать.
Теперь, если необходимо узнать, как зависит относительная
погрешность от количества верных цифр, то можно ограничиться
рассмотрением только целых чисел. Покажем, что если прибли-
женное значение числа имеет, например, три верные цифры, то
его относительная погрешность заключена между 0,05% и 0,5%.
Действительно, возьмем наименьшее и наибольшее целые числа
с тремя верными цифрами, т. е. 100 и 999, и вычислим их отно-
сительные погрешности:
6 (100) = ^- юо)% =0,5%, 6 (999) = (g• 100)%^0,05%.
Аналогичный расчет можно выполнить и для приближенных
чисел с другим числом верных знаков. Приведем таблицу,
в которой указана связь между числом верных цифр и его отно-
сительной погрешностью.
Число верных цифр Относительная погрешность, %
наименьшая наибольшая
1 5 50
2 0,5 5
3 0,05 0,5
4 0,005 0,05
Как следует из таблицы, увеличение числа верных цифр на
одну уменьшает относительную погрешность в 10 раз.
9. Погрешности результатов арифметических действий (над
положительными приближенными значениями величин). Ниже
используются правила I — IV, приведенные в п. 3, и формула
Да
ВГх —НГх
2
Погрешность суммы. Находим
. , ВГ(а + Ь)-НГ(а + Ь) ВГа+ВГЬ-НГа — НГд
А (а + и) — 2 — 2
= ВГа.-НГа + ВГ6-.НГ^ = Да + ;^
47
Таким образом,
A (a-\-b) = Аа’+ Aft, (1)
т. е. абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных
погрешностей слагаемых.
Покажем, что относительная погрешность суммы не превы-
шает относительной погрешности наименее точного слагаемого.
Действительно, по определению относительной погрешности,
Aft . b
ft а + Ь'
тогда
а
& (а+ Ь) Ха 4- Aft _ Ад . Aft Ад
д+ft а-\-Ь ~~ д-j-ft ' а + Ь д
Пусть а —наименее точное слагаемое, т.
получаем .
А (а + ft) Ал а
а-\-Ь ' а аА-
Ха
а
ft
а-\-Ь*
или
А (а + Ь) __ Ад
а 4- b ’ а
отсюда следует
А (д 4- ft) __ Ад
а-\-Ь ' a ’
или
(2)
что и требовалось доказать.
Погрешность разности. Имеем
Д (д _ ft) = ВГ НГ (а — Ь) == ВГд —НП — НГд +BTft
_ (ВГд- НГд) + (ВП? - НГ6) __ ВГд-НГд ВГ6-НП>
0 = Aa-|-Aft.
£
2
Следовательно,
2
А (а — Ь) = Да.+Aft, (3)
т. е. абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных
погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
Рассмотрим относительную погрешность разности. Имеем
6(a_d)=Mg.-fr) = ^+^.
v 7 а—Ь а—Ь
Этот результат свидетельствует, что если разность очень мала,
то относительная погрешность разности может оказаться очень
большой. Например, если а = 3,873 и ft = 3,871, то
X/ /ч Ад + Aft _ 0,0005-1-0,0005 _ 0,001 1
а__ь — 3,873-3,871 ~ 0,002 ^“2
Поэтому избегают выполнять вычитание приближенных значений,
близких друг другу.
Погрешность произведения. Имеем
д = ВГ (д/Q - ИГ (flft) _ ВГд • BTft — НГд - НГ/? _
= 50%.
2
2
= (а ~г~ — (« — Ад) (ft — Aft) __ 2flAft-|-2ftAfl = дд
2 2
48
Таким образом,
Д (ab) — а-АЬ-\-Ь- \а.
(4)
Большое значение для практики имеет формула для нахожде-
ния относительной погрешности произведения:
6 („6) = .,"+ ^ = «((,)+в (а),
т. е.
б(а&) = б(а) + б(£). (5)
Относительная погрешность произведения равна сумме отно-
сительных погрешностей сомножителей.
Примечание 1. Формулу (5) легко обобщить на любое число сомно-
жителей.
Примечание 2. Если один из сомножителей а —точное значение, то
Да = 0 и б(а) = 0. В этом случае формулы (4) и (5) принимают вид
Д (ab) =а- ДЬ и 6 (ab) = 6 (Ь).
Следовательно, при умножении приближенного значения Ь на точное число а
абсолютная погрешность умножается на величину а, а относительная погреш-
ность остается неизменной.
Погрешность частного. Имеем
ПГ — I — НГ \ а + Ай _ g~Afl
Л / а \ _ \ b ) \Ь)_ ь-\ь Ь-\-\Ь _abb + b\a
*\b)~ 2 “* 2 д2-(Д6)2 “
а • &Ь 4- Ь • \а . Ь2 — (Д6)2 а • ДЬ+Ь - Да Г . /ДЬ \2‘
“ б2 : Р “ ь2 ; L1 ~ \Ь/ Г
Погрешности обычно значительно меньше самих чисел, поэтому
ДЬ/Ь и тем более (ДЬ/6)2 — малые величины по сравнению с 1,
следовательно, с высокой степенью точности можно разность
1 — (ДЬ/Ь)2 принять за единицу; тогда
А / а \ Ь • \a-\-a •
ДЫ =——• (6)
Найдем относительную погрешность частного:
о / а \ b&a + a&b а _ Ь ка-\~а\Ь _ Да . ДЬ _ я/м X/М
6 Ь2 : b “ ab ~ а + b
Таким образом,
б(у) = 6(а)-|-6(&), (7)
т. е. относительная погрешность частного равна сумме относи-
тельных погрешностей делимого и делителя.
Погрешность степени с натуральным показа-
телем. Найдем относительную погрешность:
6 (ап) = б (а • а... а) = б (а) + 6 (а) +... + б (а) = п • б (а),
п раз п раз
Таким образом,
б (ап) = п- б (а) у (8)
49
т. е. относительная погрешность степени равна произведению пока-
зателя степени на относительную погрешность основания степени.
Теперь из равенства 6 (ап) = Д (ап)/ап найдем абсолютную по-
грешность степени:
Д = ап'8 (ап) = ап • п • б (а) = п • ап — = п • ап 1 Да.
Таким образом,
Д (ап) = п-ап~1- Ла. (9)
Погрешность корня. Найдем относительную погреш-
ность. Пусть = тогда a = zn. По формуле (8) имеем
б(а) = б(гЛ), или б (а) = п -б (г),
откуда
6(г) = ^,
пли
6 (7?)=^, (Ю)
т. е. относительная погрешность корня п-й степени в п раз
меньше относительной погрешности подкоренного числа.
Теперь найдем абсолютную погрешность:
/а
откуда
п/~£(п/—\ пГ~ б (а) п/~Аа Да
Д а) = у а б а) = у а • -А-2 = у а — = -
п ап п у а-7-1
Таким образом,
(11)
п у а71"1
Объединим все выведенные формулы в таблицу.
Абсолютная погрешность Номер фор- мулы Относительная погрешность 11омер фор- мулы
Суммы А (а + Ь) — Да + \Ь (1) б (я-]-£') б (а), где б (а) 5= б (Ъ) (2)
Разности А (а — Ъ) — Аа + Д6 (3) —
Произведения A (ab) — а Д6 + 6 \а (4) б (а'о) = б (а) + б (£) (5)
Частного . ! а\ b &а 4- а &Ь Ь2 (6) б(41 = б(а)+6(Ь) (7)
Степени Д (ап) = па71"1 &а (9) б (ап) = пЬ(а) (8)
Корня . (пг\ &а п у а71'1 (11) п (Ю)
50
Пример 1. Найти абсолютную погрешность х, если х=а34-63, где а =
= 3,85 и Ь = 5,6.
Решение. По формуле (1) имеем
Дх = Д(а3)4-Д (63).
По формуле (9)- находим
Дх = За2 \а + 362 Д Ъ = 3 (а2 \а 4- 62 Д Ь).
Считая, что значения а и Ъ даны с верными цифрами, получим Да = 0,005 и
Д6 = 0,05. Следовательно,
Дх = 3 (3,852.0,005-{- 5,62. о,05),
или
Дх^ 3 (14,9 • 0,0054-31,4 • 0,05);
таким образом, Дх^5.
Пример 2. Найти относительную погрешность х, если
„ 1 Л (а+Ь)с
У т + п ’
где а = 7,2; 6 = 5; с = 0,36; т = 0,25 и п = 3,08.
Решение. По формуле (10),
б(х) =ХбГ(а+?)с1
4 3 L /п4-п J
В соответствии с формулами (7) и (5)
S(*)=4[6(a + fc) + 6(c) + 6(/n + n)I. (*)
и
Далее, имеем:
6(Q) = TX^°’007: б(6)=^ = 0,1; ^=^0,014;
=0,02; 6 (п) = ^-«30,0017.
U,ZO о,ио
По формуле (2) находим: 6 (а 4-ОД и 6 (т + п) 0,02. Подставляя эти
значения в (*), получаем
0,1 + 0,0144-0,02 пп..
6 (х) = -—i~°’045’
т. е. 6 (х) % 5%,
3 а м е ч а н и е. В рассмотренных примерах при подсчете как абсолютной,
так и относительной погрешности все округления промежуточных результатов
выполнялись с таким расчетом, чтобы искомую погрешность получить с избыт-
ком. Так следует поступать всегда, так как по смыслу приближенных вычис-
лений нужно знать верхнюю границу ошибки, ибо нижняя граница ошибки
не определяет точность выполняемого расчета.
10ё Правила подсчета цифр (правила Брадиса). Ранее было
отмечено, что для выполнения действий над приближенными зна-
чениями должны быть установлены специальные правила, кото-
рые позволяют в процессе вычисления освободиться от лишних
цифр. Эти правила являются следствиями правил вычисления
погрешностей, которые были выведены в п. 9.
Приведем без доказательства правила подсчета цифр.
I. При сложении и вычитании в результате следует сохранять
столько десятичных знаков, сколько их имеет наименее точное
данное, причем менее точным данным считается то, в котором
меньше десятичных знаков.
51
II. При умножении и делении в результате следует сохранять
столько значащих цифр, сколько их имеет менее точное данное,
причем менее точным считается то число, у которого меньше зна-
чащих цифр.
III. При возведении в квадрат и куб в результате следует
сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет основание
степени.
IV. При извлечении квадратного и кубического корней в ре-
зультате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет
подкоренное число.
. При практическом применении этих правил необходимо руко-
водствоваться следующими указаниями.
1. При вычислении промежуточных результатов следует брать
на одну цифру больше, чем рекомендуют приведенные правила.
В окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается.
2. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков
(при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при
остальных действиях), чем другие, то их предварительно следует
округлить, сохраняя только одну лишнюю цифру.
3. Если данные можно брать с какой угодно точностью, то
в них сохраняют па одну цифру больше, чем это требуют пра-
вила (I —IV), для получения результата с желаемой точностью.
11. Прямая и обратная задача приближенных вычислений.
Прямая задача приближенных вычислений ставится так: вычис-
лить значение некоторой величины, заданной формулой, и найти
погрешность результата.
Пример. Вычислить объем усеченного конуса по формуле
У=Г ЯЙ (Я2 + Л/-+/-2),
О
где 7? = 18,4 см, г = 9,6 см, Л = 24,7 см, если все приближенные данные содер-
жат только верные цифры.
Решение. 1. Из условия следует, что ДЯ = Дг = Д/г = 0,05 см.
2. Так как наименее точное данное г = 9,6 см содержит две верные цифры,
то приближенное значение л следует взять с тремя верными цифрами, т. е»
3,14, поэтому Д (3,14) 0,002.
3. По формуле (5) п. 9 имеем:
61/ = 6(3,14) + дЛ+д(/?24-/?г+г2),
6 (3,14) = = 0,00064, 6 (А) = 2g = 0,0021.
Относительная погрешность суммы не превосходит относительной погрешности
наименее точного слагаемого, поэтому найдем значения 6 (Z?2), б (г2) и б (Rr)
и выберем наибольшее из них:
S (/?«) = 2^ = 2-2g =0,0055,
6 (г2) = 2— = 2 •—?«= 0,0105,
г 9,6
б (Яг) = 6 (7?) + 6 (г) = 2g + 0,0081.
52
Сщдовательно, 6 (R2-\-r2-\-Rr) 0,0105. Теперь находим
6 (V) = 0,00064J-0,0021+0,0105 = 0,01324^ 1,4%.
4. Зная относительную погрешность, с помощью таблицы, приведенной
в п. 8, устанавливаем, что полученный результат не может содержать более
двух верных цифр, так как 1,4% находится между 0,5% и 5%.
Промежуточные вычисления следует проводить с одной запасной цифрой,
т. е. с тремя цифрами.
5. Производим основные вычисления;
7^=18,4^339; Rr = 18,9 • 9,6^ 177;
г2 = 9,62 92,2; R2 + Rr + г2 608.
Таким образом,
.. 3,14-24,7-608 <,7АЛ/ .. 1Г7,
V —-------5------15/00 (см3) =15,7 (дм3).
О
Результат не может содержать более двух верных цифр, поэтому V
16 (дм3).
6. Вычислим абсолютную погрешность. Так как б(У) = ДУ/У, то ДУ =
= У-6 (У). Подставляя числовые значения V и 6 (И), получаем
ДУ =16-0,014 = 0,22 (дм3).
Окончательно имеем
У = (16^0,22) дм3.
Обратная задача приближенных вычислений формулируется
так: вычислить значение некоторой величины с заданной точ-
ностью. С какой точностью должны быть взяты значения аргу-
ментов, чтобы точность результата была не ниже заданной?
Уметь решать подобные задачи весьма важно. Так, например,
измерение может быть всегда произведено с большей или мень-
шей точностью. Недостаточная точность приводит к тому, что
результат окажется слишком «грубым», а чрезмерная точность
приводит к совершенно бесполезным затратам времени.
Как следует из рассмотренного ниже примера, обратная задача
приближенных вычислений часто бывает неопределенной и для
ее решения требуется наложить дополнительные условия на по-
грешности.
Пример. С какой точностью надо измерить сторону основания а и высоту h
правильной четырехугольной призмы, чтобы погрешность объема не превы-
шала 0,5 дм3, если а 20 см и А = 80 см?
Решение. 1. Заметим, что значения а и А являются результатом гру-
бой оценки размеров призмы (обозначено знаком ==), т. е. погрешности вели-
чин а и h неизвестны.
2. По формулам подсчета относительной погрешности имеем
б (У) = б (a2h) = 26 (а) + 6 (А).
Величину б (У) можно вычислить по формуле б(У) = ДУ/У. Здесь ДУ = 0,5 дм3
(по условию); У + 202 • 80 = 32 000 см3 = 32 дм3, следовательно,
б (У) = 0,5/32= 1/64 = 0,015625 ^0,016 (с избытком).
Неизвестные 6 (а) и б (А) связаны уравнением
26 (й) + 6(А) = 0,016.
3. В полученном уравнении содержатся две неизвестные величины. Оно
не имеет определенного решения. Необходимо подчинить неизвестные величины
дополнительному условию. Естественно сделать предположение, что величины а
53
и h измерялись с одинаковой относительной погрешностью, т. е. что 6 (А) =
= 6 (а). Тогда имеем
26 (a) J-6 (а) = 0,016 или 36 (а) = 0,016,
откуда
6 (а) = 6 (А) = 0,016 : 3 0,0054.
4. Теперь, зная относительные погрешности а и А, можно найти Да и ДА:
Да = а • 6 (а) = 20 . 0,0054 = 0,108 0,11 (см),
ДА=Л-6 (А) = 80 - 0,0054 ^0,44 (см).
Таким образом, величину а достаточно измерить с точностью до 0,1 см,
а величину Л —с точностью до 0,4 см, т. е. с точностью более высокой, чем
показали вычисления.
Упражнения
1. Округлить до тысячных долей следующие числа: а) 71,5482; б) 283,54786;
в) 0,00457.
2. Округлить до четырех значащих цифр: а) 537,28; б) 0,0064825; в) 56729;
г) 321735,46.
3. Записать в стандартном виде приближенные данные: а) 237 000; б) 12,4;
в) 0,00024.
4. Определить абсолютную и относительную погрешности приближенного
значения, зная, что все его цифры верные: а) 423; б) 42,3; в) 4,23; г) 0,423.
5. Число а— \ 258 000 содержит четыре верные цифры. Найти Да и 6 (а).
6. Число а= 12 580 000 содержит пять верных цифр. Найти Д (а) и 6 (а).
7. В результате вычисления получено число А, относительная погрешность
которого 6 известна. Используя таблицу, приведенную в п. 8, определить
количество верных в нем цифр п и записать число, сохраняя только верные
цифры (А):
ь 17,87 123,8 4,8724 0,8972
6 2.3% 0,2% 0,03% 23%
п.
Ъ
8. Составить формулу для вычисления 6 (я), если:
a) x = 0,3a2A/pQ; б) х = аЬ/(а-\-Ь),
где а и b — приближенные значения величин.
9. Используя правила подсчета цифр, вычислить:
а) л + 2/3; б) 1,21221 .„ + /7; в) /5-1,12122; г) 4-0,154276; д) /12-/5.
Результаты записать с тремя десятичными знаками.
10. Способом границ вычислить выражение
(5/17+ 2/13). 3/19
Л ” 8/27-2/15
оставляя в результате два десятичных знака.
11. Вычислить гипотенузу с прямоугольного треугольника и абсолютную
погрешность результата, если катеты соответственно равны а^=2,17 и b ^3,7.
Указание. Вычислить Дс, используя последовательно формулы (11),
(1) и (9).
12. Дана формула
л2
4
Вычислить V и ДУ, если £> = 54 и d = 8,2,
54
13. С какой точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы погреш-
ность периметра квадрата не превышала 1 см?
14. С какой точностью надо измерить сторону квадрата а, чтобы погреш-
ность площади квадрата не превысила 1 см2?
15. С какой точностью надо измерить высоту А, наибольший и наимень-
ший диаметры D и d бочки, чтобы вычислить с точностью до 2 л объем
V = -i- nh (2£>2 + Dd + 0,75d2),
10
если h === 80 cm, D = 60 cm, d == 40 cm.
§ 6. Мнимые числа. Множество комплексных чисел
L Введение мнимых чисел. Рассмотрим вопрос существования
корней уравнения ах2 = Ь, где а и &—действительные числа и
а + 0. Решение этого вопроса зависит от того, в каком число-
вом множестве отыскивают корни уравнения. В множестве рацио-
нальных чисел уравнение ах2 = Ь имеет решение только в том
случае, если b/а — квадрат рационального числа. В множестве
действительных чисел можно ослабить требование, предъявляемое
к дроби b/а, а именно: достаточно, чтобы число b/а было неот-
рицательным. Вопрос решения уравнения ах2 = Ъ при любых
действительных значениях а и b находит свое полное решение
после введения мнимых чисел.
Пусть числа а и b имеют разные знаки. Тогда дробь Ь/а
отрицательна. В этом случае для существования корней требуется
наличие таких чисел, квадраты которых являются отрицатель-
ными числами. Рассмотрим простейший случай: х2 =— 1. Назо-
вем мнимой единицей число, квадрат которого равен —1, и обо-
значим его буквой i *. Тогда имеем
i2 = — I.
Это равенство является определением мнимой единицы.
Теперь уравнение х2 = — 1 имеет корень х = I. Ниже пока-
жем, что это уравнение имеет второй корень х =— i.
2. Основные определения. Выражение а + Ы, где а и 6 —любые
действительные (вещественные) числа, a i — мнимая единица,
называется комплексным числом. Число а называется веществен-
ной частью комплексного числа, Ы — его мнимой частью, число
b — коэффициентом мнимой части. Знак плюс между а и Ы,
а также знак умножения между b и i не имеют пока привычного
смысла, так как правила действий над новыми числами еще не
установлены.
Если Ь = 0, то комплексное число а + W — действительное
(вещественное) и вместо а+ 01 пишут а. Если же при этом а = 0,
то комплексное число 04-0/ равно нулю.
Если b + 0, то комплексное число а + Ы называется мнимым',
если при этом а = 0, то комплексное число — чисто мнимое и
вместо 0 4-6/ пишут Ы.
* /—начальная буква французского слова imaginaire —мнимый.
55
Итак, действительные числа и мнимые числа — частные виды
комплексного числа. Это можно записать в виде схемы:
, действительное число при й = 0,
а~У bi^
"мнимое число при b 0.
Таким образом, множество комплексных чисел образуется
присоединением к множеству действительных чисел множества
мнимых чисел. Обозначим множество комплексных чисел бук-
вой 7<. Введем понятие модуля комплексного числа, которое
является обобщением ранее рассмотренного понятия модуля дей-
ствительного числа. Моду,гем комплексного числа а-у bi называ-
ется неотрицательное число, равное ]/a2-yb2 (обозначается
\а + Ы\). ______
Из равенства ]/Ъ2 -yb2 = | а-|- Ы ' при Ь = 0 получаем
а при а 2^0,
у а2 = а =<
( —а при а < 0.
Теперь ясно, что понятие модуля действительного числа —част-
ный вид понятия модуля комплексного числа.
3. Равенство комплексных чисел. Два комплексных числа
а-У bi и с-у di условились считать равными тогда и только тогда,
когда равны отдельно их вещественные части и коэффициенты
при мнимой единице, т. е. a~ybi = c~ydiy если а = с и b~d.
Используя это определение, решим следующую задачу. Найти х
и у из уравнения (2х + Зг/) + (х — у) i = 7 + 6/, зная, что они
вещественны.
На основании условия равенства двух комплексных чисел
имеем: 2x + 3z/ = 7 и х — у = 6, откуда х = 5 и у = — 1.
При сравнении двух действительных чисел аир возможны
два случая: а = р или а^р. В последнем случае либо а>р,
либо а<р. При сравнении двух комплексных чисел а~уЫ и
с-у di также возможны два случая: a~ybi = c~ydi или а~уЫ^-
z^c-ydi. Для неравных комплексных чисел а-У bi и с-У di (где
b и d не равны нулю одновременно *) понятия «больше» и «меньше»
не устанавливаются.
Из определения равенства комплексных чисел вытекает усло-
вие, при котором комплексное число равно 0. Пусть a-ybi — Q.
Представляя 0 в виде 0 + 0/, получаем равенство a + bi = 0-y0i,
откуда а = 0 и & = 0.
Перейдем к рассмотрению прямых действий над комплексными
числами, которые выполняются по правилам-определениям.
4. Сложение. Суммой двух комплексных чисел а~уЫ и с-У di
называется комплексное число (a-yc)-y(b-yd) i, т. е.
(а + bi) + (с + di) = (а + с) + \b + d) i.
* Если b — 0 и d = 0y то а + Ы = а и с-у di = с; в этом случае сравнение
комплексных чисел сводится к сравнению действительных чисел.
56
Пример 1. Найти сумму чисел z(=2 —3Z и г2=1+4/.
Решение. По правилу сложения комплексных чисел,
2i + z2 = (2-3/) + (l+40 = (2+l) + (-3 + 4)i=3 + t\
Пример 2. Найти сумму чисел z1 = a + 0i и г2 = 0 + 6ь
Решение. Получаем
2i + ^2 = (а + 00 + (0 + bi) = (а + 0) (0 л_ 1 — а -|- bi.
Последний пример имеет важное значение, так как он пока-
зывает, что комплексное число а-\-Ы можно рассматривать как
сумму действительного числа а и чисто мнимого числа bi. Сле-
довательно, в записи а-\-Ы знак плюс можно считать знаком
сложения.
Пример 3. Найти сумму чисел Zi = a~\~bi и z2 — а —bi.
Решение. Имеем
21 + г2 — (а bi) + (а — Ы) = (а + а) + (/? — b) i = 2а.
Два комплексных числа а-\-Ы и a —bi называются сопряжен-
ными. Заметим, что j а + bi | = ‘ а — Ы\.
5. Умножение. Произведением двух комплексных чисел а-\-Ы и
с + di называется комплексное число (ac-bd)-\-(ad-\-bc)i, т. е.
(а + bi) (с + di) = (ас — bd) + (ad + be) i.
Пример 1. Найти произведение чисел z1 = 2 — 3Z и z2=l+4i.
Решение. По правилу умножения комплексных чисел,
?iz2 = (2 - 3i) (1 + 41) = [2 • 1 — (—3) • 4] + [2 • 4 + (-3) • 1 ] i = 14 + Ы.
Пример 2. Найти произведение чисел г1 = 6 4-0«г и z2=0-|-i.
Решение. Имеем:
2i22 = (b + О/) (0 + i) = (Ь • 0 - 0 • 1) -р (Ь • 1 + 0 • 0) i = Ы.
Из решения последнего примера видно, что в записи комп-
лексного числа а-\-Ы мнимую часть bi можно рассматривать как
произведение вещественного числа b на мнимую единицу.
Пример 3. Найти произведение чисел z1 = a + ^’ и z2 — a — bi.
Решение. Имеем
ZiZ2 — (a + bi) (a — bi) — [aa — b(— Ь)]-|-[а (— b) + ba] i = a2+b2.
Итак,
(а + bi) (а — Ы) =а2 + Ь2.
Это равенство показывает, что произведение двух сопряжен-
ных комплексных чисел равно квадрату их общего модуля. Читая
последнее равенство справа налево, замечаем, что в множестве
комплексных чисел сумму квадратов двух действительных чисел а
и b можно представить в виде произведения двух сопряженных
чисел а + Ы и a —bi.
Как было отмечено ранее, сложение и умножение комплекс-
ных чисел выполняются по правилам, которые являются опреде-
лениями суммы и произведения:
(а + bi) + (с + di) = (а + с) (b + d) i,
(а + bi) (с + di) = (ас — bd) + (be + ad) i.
57
Еще раз следует подчеркнуть, что эти правила являются невы-
водимыми, поэтому постановка вопроса об их доказательстве не-
допустима.
Заметим, что сумму и произведение чисел а-\-Ы и c-\-di
можно найти по правилам сложения и умножения двучленов,
при этом следует учитывать, что i2 =—1. Это соображение всегда
используют при выполнении действий над комплексными числами.
Легко убедиться в справедливости для комплексных чисел
законов сложения и умножения (за исключением законов моно-
тонности). В множестве комплексных чисел законы монотонности
не имеют места, так как в этом множестве не установлены поня-
тия «больше» и «меньше».
6. Возведение в степень. Степени мнимой единицы.
Па определению, i2 =—1. Далее находим:
i3 = i2- i — (—1) • i = — i, i6 = i4- i2 = 1 • (—1) = —1,
= = 1).(—1)= 1, р = р.р=1.(—1) = — 1,
i* = p. j = 1. i = i, i8 = i4. i4 = 1.1 = 1 и t. д.
Докажем, что степень числа i с натуральным показателем мо-
жет иметь только четыре значения: i, —1, —г, и 1. Каждое
натуральное число п может быть представлено в одном из видов:
4/n, 4m Ц-2 и 4m+ 3, поэтому при вычислении 1п могут
встретиться только четыре случая: iim, рт+\ цт+г, Имеем:
iim = (p)"» = И = 1,
l4m+1 = jto . i = | . i =
limi-2 = Цт . /2 = J . (_]) =
ilm 13 = iim • i® = 1 • (— i) = — i.
Например, i1M = f4‘2S= 1; i282 = Д7<>+2 = _1; (-iii = /35 + i =t, (-287 =
= i4.7i + 3 = _t..
Степени комплексного числа с натуральными
показателями. Ранее было отмечено, что произведение комп-
лексных чисел можно получить по правилу умножения двучленов.
В соответствии с этим (а + &г)2, (a-J-Zu)3 и т. д. можно вычислять
по формулам сокращенного умножения:
(а -ф Ы)2 = а2 + 2abi + ЬЧ2 = (а2 — 62) + 2аЫ,
(а + bi)3 = а3 + За2Ы + ЗаЬЧ2 + ЬЧ3 = (а3 - ЗаЬ2) + (3a2b - b3) I.
Примеры.
1. (2-1)3 (2 +11 i) = (8-12t-|- 6i2-13) (2 + 110 = (2-1 It) (2 +110 = 125.
2. (l-f-i)2=l-J-2t-|-i2=l + 2i-l=2(.
3. (1 - г)ю = [(£-i)2]3 = (1 - 2/ - J)3 = (—2г)5- = — 32P == - 321.
. ( i , . /з V5 7 i , . /з VI2 /1,3/3. 9 з/з.\2
\ 2 1 1 2 , \ 2 ‘ 2 / - \ 8 + 8 1 8 8 'I ~
= (-1)2=1.
5. «16 + /1в +1’1’ + ДЗ = £15 (1 + i 4- £2 + i3) = £15 (1 -I- t - 1 - i) = 0.
74 Вычитание. Разностью двух комплексных чисел а-\-Ы и
с + di называется такое третье комплексное число, которое, будучи
сложенным с вычитаемым, дает уменьшаемое.
Выведем правило вычитания. Обозначим через x-\-yi разность
чисел а 4~ 6/и c-\-di, т. е. (а-{Ы)— (с 4- di) = х + yi. По определе-
нию разности имеем
(х 4~ yi) 4- (с 4~ di) — ci -{- bi.
Применяя правило сложения, получаем
(х -J- с) + (у 4- d) i = a -j- bi.
Пользуясь условием равенства двух комплексных чисел, имеем
( х + с = а,
( y + d = b,
откуда х — а — с и у — Ь — d.
Таким образом,
(а + bi) — (с + di) — (a — c) + (b — d) i.
8. Деление. Частным двух комплексных чисел a-{bi и с-{di
называется такое третье комплексное число, которое, будучи
умножено на делитель, дает делимое.
Выведем правило деления. Обозначим через x-\-yi частное
чисел а-{Ы и с-{di, т. е. (a-{bi): (с-|- di) = x-{yi. По определе-
нию частного,
(х + yi) (с-j-di) = a-{bi.
Применяя правило умножения, имеем
(хс — yd) 4- (ус 4- xd) i —a-{bi.
Отсюда получаем систему уравнений
( cx — dy = a,
{ \*>
I dx-{cy = b,
решая которую относительно хи//, находим:
ac~\-bd be —ad
Х ~ c24-d2 И lJ~~ с~ + <Р
при условии, что c24-d2#:0.
Таким образом,
. .... . , ... ac-\-bd , be — ad .
(а 4- bi). (с 4- di) = 4- i-
Если же с2 + ^2 = 0, то система уравнений (*) решений не имеет,
следовательно, частное от деления а-\-Ы на c + di не существует.
Из равенства c2 + d2 = 0 следует, что с —О и d — 0, поэтому
делитель c-\-di равен нулю. Значит, и в множестве комплексных
чисел деление на нуль невозможно.
59
Частное двух комплексных чисел можно найти иначе:
a + bi ___(а 4- bi) (с — di) _ [ae — b (— </)] + 4- а (— *0] I
с-\-di (с -|- di) (с — di) с2 -J- d2
_ (ас-\-bd)(be — ad) i ac+bd be —ad .
“ c2 + d2 ~ c2 + d2 *“ с2 + б/2' l*
Этот прием обычно и применяют при делении комплексных
чисел. Рассмотренные преобразования не являются выводом пра-
вила деления комплексных чисел, так так здесь используется
свойство частного об умножении делимого и делителя на одно и
то же число, которое для комплексных чисел не было установ-
лено. Однако совпадение результатов, полученных двумя различ-
ными способами, подтверждает справедливость этого свойства
в множестве комплексных чисел.
Пример 1. Найти частное от деления чисел Zi — 2 — 3/ и z2=14-4/.
Решение. На основании рассмотренного выше приема
zt_2 —3/ (2 —3Z)(1 —40 2—3/-8/—12 -10-11/ 10 11.
г2 1 + 4/"(1+40(1-4.) ~ 17 ~ 17 " 17 17U
Пример 2. Найти частное от деления чисел zt=l+i и z2=l-I.
Р е ш е и и е. Имеем
Zi_l + t_ (14- О2 = 1H-2Z—1
z2 ~ 1 — i ” (1—0 (14-0 “ 2
Пример 3. Вычислить
/1-Н\33
+ (l-Olo+(2 + 3O(2-3O+ 1
Решение. Так как -Ц-4 = it имеем
1 — I
находим:
(1 - О10 = [(1 - О2]5 = (~ 2/)5- = - 32/5 = __ 320 (2 + 30 (2 - 30 = 13,
1 i
i~i*~ ''
Окончательно имеем
z = /-32/ 4- 13-/ = 13-32/.
9. Извлечение квадратного корня. Извлечь квадратный корень
из комплексного числа г —это значит найти все комплексные
числа, квадрат которых, равен г.
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 1. Пусть требуется вычислить У I.
Р е ш е п и е. Обозначим искомый результат через x-\-yi, где
х и у — действительные числа, т. е. ]/ 4=х+^‘; тогда
(х + yi)~ = i, или (х2 — у2) + 2xz/i = /.
60
В соответствия с условием равенства комплексных чисел
х2 — z/2 = О,
2ху= 1.
Решая эту систему, учитывая, что х и I/— действительные числа,
находим два решения: х1 = г/1=1/]/ 2 и х2=у> = —1/1^2.
Таким образом,
; 1 , . 1 -J /—: 1 . 1
]/ I = + I и ]/ I =-------------------т- — I ——.
r V 2 ] / 2 \/ 2 2
Полученные результаты легко проверить возведением в квадрат.
Пример 2. Доказать, что при а>0 имеет место следующее
равенство: У — а = ± У а • i.
Доказательство. Заметим, что — а<0 (число отрица-
тельное), поэтому У — а — число мнимое. Обозначая У — а через
х-\-yi, где у 0, т. е. У — ~a — x-\-yi, получаем
х2 — у2 + 2xyi = — а,
следовательно,
х2 — у2 = — а,
2ху = 0.
Так как у заведомо отличен от нуля, то из второго уравне-
ния системы находим х = 0. Теперь первое уравнение системы
принимает вид — у2 —— а или у2 = а, откуда у — ±] а.
Итак, У — а = 0 ± У a i или У — a = ±]/ai, что и требова-
лось доказать. ____
Частный случай. При а=\ получаем ]/ —1 =± г. Это
означает, что уравнение х2—-—1 имеет два корня: = г и х2 ==
= — i (как и было отмечено в начале параграфа).
Пример 3. Решить уравнение г2 = 2 + 4/]/2.
Решение. Задача сводится к извлечению квадратного корня
из комплексного числа 2 + 4Г|/2, т. е.
z = У 2+ 4Г|Л 2.
Положим, что V 2+4iV2 = x + yi, где х и у - вещественные
числа; тогда
х2 — у2 + 2xyi = 2-|-47 У 2.
В соответствии с условием равенства двух комплексных чисел
имеем
( х2-у2 = 2,
( 2ху = 4 У 2.
61
Решая систему, учитывая, что х и у — вещественные числа, пахо-
дим:
| х = 2, ( х = — 2,
(£/=/2 11 [£/==—1'2.
Таким образом, гх = 2 + V2\i и z2 = — 2 — 2 I.
Рассмотренные примеры подтверждают, что квадратный корень
из комплексного числа имеет два значения вида аД-Ы и — a —bi.
Такие два комплексных числа называются противополож-
ными.
10. Координаты точки на прямой и на плоскости. Ранее было
выяснено (см. п. 3 § 4), что между множеством действительных
чисел (7?) и множеством точек числовой прямой существует вза-
имно однозначное соответствие. Отсюда следует, что положение
точки на числовой прямой характеризуется числом, соответствую-
щим этой точке. Число, соответствую-
щее точке, взятой на числовой оси, на-
зывается координатой этой точки.
Числовая ось называется координат-
ной осью.
Построим на плоскости две взаимно
перпендикулярные координатные оси
(рис. 8) Ох и Оу так, чтобы точка их
пересечения О была для каждой из них
общим началом. Ось Ох называется
осью абсцисс, ось Оу —осью ординат,
а их общее начало О — началом коор-
динат. Координатные оси Ох и Оу де-
четыре части, называемые квадрантами
углами (их нумерация показана на ри-
сунке), а сама плоскость называется координатной и обозна-
чается хОу.
Возьмем произвольную точку /VI плоскости хОу и проведем
MMx_L0x и ММу_\_0у. Точки /Их и Л4У называются проекциями
точки М соответственно на оси Ох и Оу. Координата точки /VIЛ.
называется абсциссой точки Л1 и обозначается х, а координата
точки Му —ординатой точки М и обозначается у. Пара чисел х
и у называется прямоугольными координатами точки М.
Тот факт, что точка М имеет координаты хну, записыва-
ется так: /И (х; у\
Таким образом, каждой точке координатной плоскости можно
поставить в соответствие пару действительных чисел, взятых
в определенном порядке (упорядоченную пару). Нетрудно видеть,
что каждой упорядоченной паре действительных чисел соответст-
вует определенная точка плоскости. Следовательно, между мно-
жеством точек координатной плоскости и множеством упорядо-
ченных пар действительных чисел устанавливается взаимно
однозначное соответствие.
лят
или
плоскость па
координатными
62
Если точка /VI взята в I квадранте, то ей соответствует пара
положительных чисел (х>0, г/>0). Если взять пару действи-
тельных чисел х>0 и i/<0, то соответствующая этой паре
точка расположена в IV квадранте.
II. Геометрическое изображение комплексных чисел. Обратим
внимание на то, что комплексное число а-\-Ы определяется парой
действительных чисел, взятых в определенном порядке (число а
считают первым, а Ь~ вторым). Такой упорядоченной паре дей-
ствительных чисел соответствует, как было показано, определен-
ная точка на координатной плоскости. Значит, каждому комп-
лексному числу а~\~Ы можно поставить в соответствие точку
М (а; Ь) плоскости (рис. 9). Справедливо и обратное утверждение:
каждой точке плоскости можно поставить в соответствие опреде-
ленное комплексное число. Следовательно, между множеством
комплексных чисел и множеством точек плоскости существует
взаимно однозначное соответствие. Действительному числу а или
а + 0 • i соответствует точка с координа-
тами (я; 0), расположенная на оси абс-
цисс. Поэтому ось абсцисс называется
действительной осью. Чисто мнимому
числу Ы или 0-\-Ы соответствует точка
с координатами (0; &), расположенная
па оси ординат, которую называют мни-
мой осью.
Напомним, что отрезок, у которого
различают начало и конец, называется
направленным отрезком или вектором.
Вектор, начало которого находится в на-
чале координат О, а конец—-в некоторой
точке Л4, называется радиусом-вектором
ется ОМ. Этот вектор вполне определяется точкой М, поэтому
его можно рассматривать как геометрическое изображение комп-
лексного числа а-\-Ы. Длина радиуса-вектора равна модулю
комплексного числа.
Таким образом, комплексное число а-\-Ы может быть
изображено точкой (а; Ь) или радиусом-вектором этой
точки.
12. Заключение. Если проанализировать правила выполнения
первых пяти действий (сложения, вычитания, умножения, деления,
возведения в степень с натуральным показателем) над комплекс-
ными числами, то можно заметить, что они сводятся к действиям
над действительными числами. Так как эти действия над дейст-
вительными числами однозначно выполнимы, то отсюда сле-
дует однозначная выполнимость их и в множестве комплексных
чисел. Действие извлечения корня в множестве комплекс-
ных чисел выполняется неоднозначно (это было показано
для квадратного корня). В дальнейшем покажем, что ко-
рень n-й степени из комплексного числа имеет п различных
значений.
9
Рис.
и обознача-
точки
63
Развитие понятия числа от натурального до комплексного и
побудительные мотивы расширения этого понятия можно пред-
ставить в виде следующей таблицы:
Исходное число- вое множество и его обозначение Побудительный мотив к расширению При сое ди и я емое множество новых чисел Расширенное числовое множество
Натуральные числа N Сделать возможным вычитание равных чисел Нуль Целые неотри- цательные числа Nq
Целые неотри- цательные числа Л'о Сделать возможным вычитание большего числа из меньшего Целые отри- цательные числа Целые числа Z
Целые числа Z Сделать всегда возможным деление Дробные числа Рациональные числа Q
Рациональные числа Q Сделать всегда возможным извлечение корня из любо- го положительного числа Иррациональ- ные числа Действитель- ные числа R
Действитель- ные числа 7? Сделать всегда возможным извлечение корня из отри- цательного числа Мнимые числа Комплексные числа К
Если цель расширения понятия числа — создание системы
чисел, в которой всегда выполнимы шесть рассмотренных дейст-
вий, то с образованием множества комплексных чисел можно
считать эту цель полностью достигнутой, а процесс развития
понятия числа завершенным.
Дальнейшее развитие математики требует создания новых,
более широких числовых систем*. Поэтому процесс развития
понятия числа нельзя считать завершенным, и это понятие оста-
ется по-прежнему развивающимся.
Упражнения
1. Если х— натуральное число, то какому числовому множеству принадле-
жат числа; а) x-f-2; б) 2х; в) х(х-'г2); г) (х3-}- !)/(*+ 1); д) (x3-j- 1)/(х2 + 1)?
2. Если х— рациональное число, отличное от 0, то 5х3 —4/x2-j-3x —2/7—
также рациональное число. Доказать это утверждение.
3. Если х—натуральное число, то какому числовому множеству принад-
лежат числа: а) х2—1; 6) х2—100?
4. Известно, что а, Ь, с и d — целые числа. Какому числовому множеству
принадлежат следующие числа: а) а-\ б) а3; в) За4; г) 5+^2; д) 2&4+1; е) 2с3’;
ж) </6?
* Например, системы гиперкомплексных чисел, изучаемой в высших раз-
делах математики.
64
5. Из чисел, указанных в предыдущей задаче, выделить те, которые при-
надлежат множеству натуральных чисел.
В упражнениях 6— 10 указать самое узкое из основных числовых мно-
жеств (Л*, Л'о, Z, Q, R и К), которому принадлежат все корни уравнения.
6. х(2х + За) = 0, где « — рациональное число.
7. 2х2 —3 = 0.
8. х(х —2) (х+|/ 3) = О
9. а) х2 —5х+6 = 0; б) х2 + 7х = 0; в) х2—4x-f-l=0; г) х2-|-9 = 0.
10. (х+1)(х2 — 4х+13) = 0.
11. Известно, что: а) всякое натуральное число является целым; б) всякое
иррациональное число является действительным. Справедливы ли обратные
утверждения?
12. Справедливо ли утверждение, что всякое действительное число явля-
ется рациональным? Справедливо ли утверждение, ему обратное?
13. Всякому целому числу соответствует определенная точка па числовой
оси. Справедливо ли обратное утверждение?
14. Всякому действительному числу соответствует определенная точка на
числовой оси. Справедливо ли обратное утверждение?
15. Существует ли взаимно однозначное соответствие между множеством
всех рациональных чисел и множеством всех точек числовой оси?
16. Существует ли взаимно однозначное соответствие между множеством
всех комплексных чисел и множеством всех точек координатной плоскости?
17. Для какого числового множества справедливо утверждение: если
alb = §, то а больше b в пять раз?
18. Какие из чисел 6, — 8, 3//4, 2-j-i, — 2-Н’ являются; а) положитель-
ными; б) отрицательными?
19. Написать числа: а) противоположные числам, указанным в предыду-
щей задаче; б) обратные им.
20. Вычислить модуль комплексного числа i).
21. Даны комплексные числа z1 = 34-2f и z2 — 2 — 3/. Найти их сумму,
разность, произведение и частное
В упражнениях 22 — 25 выполнить действия.
22 Л.
4+3» 3 + 4» »15
23 l±L.|-±zl + 6(5~il + (-5+-1
24-5/ 1 54-2/ г 29
24. Й 3+»)----_2 (8 + i / 3) + »•«.
1 -» И 3
25. ('-у^-^ + г6-»77.
26. Найти все значения корней: а) V —б) К 2/; в) — 1/2 — i}7 3/2.
27. Изобразить па координатной плоскости точки, соответствующие комп-
лексному числу 2-{-bi, придавая b последовательно значения: 0, -ь 1, ч 2,
-ь 3, zt 4, ....
На какой линии расположатся эти точки?
28. Какую линию образует множество всех точек, соответствующих комп-
лексным числам вида — 2^-tyi, если у принимает любые действительные зна-
чения?
29. Какую линию образует множество всех точек, соответствующих комп-
лексным числам вида *4-2/, если х принимает любые действительные значения?
30. То же для х— 21.
31. Проверить, что zxlz2 — zx |/ z2|.
Указание. Принять zt~a-\-bi и z2=c-rdi.
32. Что представляет собой геометрическое место точек, соответствующих
комплексному числу z, если: a) |zl = l; б) |z|=5; в) 1 г 1; г) | z : < I;
д) И 25 2; с) l/|z|bsl; ж) | 1/г|^2; з) | l/z|^-2.
33. Справедливо ли утверждение, что любое число каждого из множеств
N, Л'о, Z, Q, R является комплексным числом, т. е. принадлежит множеству /С?
3 М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев 65
г
34. При каких действительных значениях х комплексные числа х2 — 7x4-
4-9х/ и л2/4-20/—12 равны между собой?
35. Определить действительные значения х и у, если 5х4-2х/ — Зу — 3yi—
_6 —8/ = 0.
36. Вычислить сумму
2-/*-2/*+(14-/)/(1-/).
37. Найти х из условия, что выражение x2-f-i3x—i7— /*—действительное
число.
38. Найти модуль комплексного числа 2/67 —5/56.
39. При каких действительных значениях х сумма комплексных чисел
х —6/— 8 и 2х24-6/— 2 равна нулю?
40. При каком действительном значении х комплексные числа 9х2 —4— 10х/
и 8х2/84~20/7 являются сопряженными?
41. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами,
имеющее корень х = (1 — Z)/(24-2Z).
42. Дан многочлен / (х) = 4х21 —Зх204-2х7 —2х54~*4- Вычислить /(/).
43. Найти х из условия, что выражение (14-2х/)34-47—- чисто мнимое
число.
44. Выполнить действия:
5+2£_3-4£ „ /3+2» /3-2»
' 2 — 5» 4+3» h ’ 7 }/3-2» J/3+2»’
45. Доказать, что необходимым и достаточным условием того, что квадрат
комплексного числа а-\-Ы чисто мнимое число, являются соотношения
й =/= 0, 0 и =
46. Для того чтобы произведение чисел а-\-Ы и с-\-di было числом дейст-
вительным, необходимо и достаточно выполнение условия — = —, . Доказать
с а
это утверждение.
47. Вычислить выражение
/П-г/З)60 ,
\ 2 ) 1 \ 2 / *
Указание. Сначала каждую из дробей возвести в куб.
48. Вычислить выражение
//3+»\24 , /1+»\Ю
\ 2 ) -Ц! — i)
49. При каком действительном значении b выражение
————тк;--------т-тт—, or -ч является действительным числом? Найти это
(о — 2z)-—(7b — i) 4- (— 2 4- 7bi)
число.
50. То же для выражения
-3
(9Z?4-7z)-(64-/?/)4-(54-3/)2.z ‘
Y
V
I
(
а
I
V
V
ч
I
i
I
i
ГЛАВА II
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ
ПЕРЕМЕННЫЕ
§ 1. Целые выражения
I. Основные понятия. Рассмотрим выражения
3,2 1 2 1 I? *Л-у х2+у2
, -<? *У — т *У 2+ 17, —
5 J 2 > xi > х — у
Здесь буквам х и у можно придавать различные числовые
значения, поэтому их называют переменными.
Первые два выражения не содержат деление на переменные;
такие выражения называются целыми относительно переменных.
В двух последних примерах имеется деление на выражения,
содержащие переменные; такие выражения называются дробными
относительно переменных. Целые и дробные выражения назы-
ваются рациональными. Характерной особенностью дробных выра-
жений является то, что они теряют смысл при значениях пере-
менных, обращающих знаменатель в нуль. Так, выражение (х+#)/х2
не имеет смысла при х = 0, а выражение (х2 + у2)/(х — */) теряет
смысл при х = у. Целые выражения имеют смысл при любых
значениях переменных. Частными видами целых выражений яв-
ляются одночлены и многочлены.
Одночленом называется произведение нескольких сомножителей,
один из которых числовой (коэффициент), а другие— степени
с буквенными основаниями !например, -$х*у2).
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней
всех букв, входящих в этот одночлен.
Многочленом называется сумма нескольких одночленов fнапри-
мер, х2у-Xху2 + 17^.
Степенью многочлена называется наибольшая из степеней одно-
членов, образующих данный многочлен.
Введем понятие однородного многочлена. Рассмотрим много-
член 2х3Н-Зх2// —5х//2 + */3. В каждом члене этого многочлена
сумма показателей при х и у равна трем. Такие многочлены
называются однородными, причем сумма показателей степеней
букв в каждом члене называется степенью однородности. Рас-
сматриваемый многочлен является однородным многочленом третьей
степени.
Определение. Однородным многочленом п-й степени отно-
сительно х и у называется такой многочлен, у которого сумма
показателей степеней этих переменных в каждом члене равна п.
3* 67
2. Символическое обозначение и числовое значение выражения
с переменными. Выражения могут содержать одну переменную х,
две переменные х и у, три переменные х, у и z и т. д.- Для их
краткого обозначения используют символы /(х), fix,, у), f(x, у, z)
и т. д. Для символического обозначения выражений с перемен-
ными кроме приведенных символов употребляют и другие, напри-
мер Е(х), F (х, у), F (х, у, г) и т. д. Сами переменные можно
обозначать любыми буквами.
Если в данное выражение с переменными подставить вместо
переменных числа и выполнить указанные действия, то получен-
ное в результате число называется числовым значением этого
выражения.
Если выражение с переменной х обозначено символом /(х),
то его значения при х = 2, х = 3, х = 4 и т. д. обозначаются
соответственно символами /(2), /(3), /44) и т. д. Аналогично,
числовое выражение /(х, у), например при х==2 и у =— 3, обо-
значают символом /(2, —3).
Пример 1. / (х) = х3—2х + 5. Вычислить /(—2), /(0) и /(1).
Решение. Подставляя вместо х его значение, получаем:
/ (-2) = (—2)3 — 2 (—2) + 5 = —8 + 4 5 = 1,
/(0) = 03—2.0 + 5 = 5,
/(1) = 13 —2 -1+5=1—2+5=4.
Пример 2. /(х, #) = 3х2#—2xz/3 + 5x —4#+1. Вычислить /(1; 1), f (2; 1),
/НЕ 0).
Р е ш е н и е. Имеем:
/(1, 1) = 3- I2 - 1-2 - 1 • 13 + 5.1— 4. 1 + 1=3,
/(2, 1) = 3*22* 1—2*2* Р+5-2 —4* 1 + 1 = 15,
/(-1, 0) = 3(—1)2*0 — 2*(—1)*03 + 5 •(—!)—4*0+1=—4.
3. Тождество. Рассмотрим выражения Д (х, у) = 2х3 + Зху и
Д(х5 у) = x(2x + 3z/). Если вычислять значения этих выражений
при произвольных значениях переменных х и у, то каждой паре
значений х и у соответствуют одинаковые значения Д (х, у) и
/г {х, у).
Приведем другой пример. Пусть
Л(х> г/) = ++ + й- и F2 (х, у) = х-|-у + 1•
Л у Л Л
Данные выражения являются дробными. Оба они теряют смысл
при х = 0, а первое из них —при значениях х и у, равных между
ссбой.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл,
называются допустимыми значениями переменных. В рассматри-
ваемом примере допустимыми значениями переменных для обоих
выражений являются все числа, кроме х —0 и х — у. Если теперь
вычислять значения выражений Fx (х, у) и F2 (х, у) при допусти-
мых значениях х и у, то каждой паре таких значений х и у
соответствуют одинаковые значения Fr (х, у) и F.> (х, у).
Определение. Два выражения называются тождественно
равными, если их соответственные значения равны между собой;
68
равенство, в котором левая и правая части — тождественно рав-
ные выражения, называется тождеством.
Если равенство Д (х, y) = f2(x, у) —тождество, то замена выра-
жения fr (х, у) выражением f2(x, у) называется тождественным
преобразованием. Примерами тождеств могут служить следующие
равенства:
*+У=У+*
(x + y) + z^=x + (y + z)
ху ~ ух
(*У) z = x (yz)
(x-\-y)z = xz-\-yz
(переместительный закон сложения),
(сочетательный закон сложения),
(переместительный закон умножения),
(сочетательный закон умножения),
(распределительный закон умножения).
На этих законах основаны правила тождественных преобразований.
4. Подобные одночлены. Приведение многочлена к стандарт-
ному виду. Два одночлена называются подобными, если они оди-
наковы или отличаются только коэффициентами.
Рассмотрим многочлен, содержащий подобные одночлены
Зах2 + 5ах2 — 2ах2 + ах.
В соответствии с распределительным законом умножения
Зах2 + 5ах2 — 2ах2 4- ах = (3 + 5 — 2) ах2 -|- ах = бах2 + ах.
Тождественное преобразование, состоящее в объединении несколь-
ких подобных одночленов в один, называется приведением подоб-
ных членов или приведением многочлена к стандартному виду.
5. Преобразование суммы и разности многочленов. Преобразо-
вание суммы основано на правиле прибавления к данному числу
суммы нескольких слагаемых:
5 + (2 + 7-3) = 5 + 2 + 7 + (-3) = 5 + 2 + 7-3.
Например,
(За2х — 2ах + 5х3) + (4ах — х3) =
= За2х — 2ах 4- 5х3 + 4ах — х3 = За2х + 2ах 4- 4х3.
Преобразование разности основано на правиле вычитания
суммы нескольких слагаемых из данного числа:
Ю — (2 — 1 4-5) = 10 — 2 — (—1) — 5 = 10 — 24-1 — 5.
Например,
(За2х — 2ах 4- 5х3) — (4ах — х8 — 3) =
= За2х — 2ах 4- 5х3 — 4ах 4- х3 4- 3 = За2х — бах 4- 6х3 4- 3.
Преобразование суммы и разности многочленов сводится
к раскрытию скобок и приведению подобных членов.
6. Преобразование произведения. Умножение степеней
с одинаковыми основаниями. Имеем
ат • ап = (а • а... а) • (а • а... а) = amw9
т раз п раз
т. е. атап = ат+п.
69
Умножение одночлена на одночлен. Имеем
7cPbc (—2аЬ*) = 7 (—2) (а*а) (bb*) с = — 14а4№х
Здесь использованы переместительный и сочетательный законы
умножения.
Умножение многочлена на одночлен. Имеем
(5а2 — ЗЬс + с2) 2ас = 10а3с — Gabc2 + 2а&.
Выполнение этого тождественного преобразования основано
на распределительном законе умножения.
Умножение многочлена на многочлен. Имеем
(2а2 - 3£>2) (&2 + 4а2) = 2а2 (&2 + 4а2) - 3&2 02 + 4а2) =
= 2а2Ь2 + 8а4 - 3&4 - 12а2/?2 = 8а4 - 10а2/?2 - 3/А
Здесь дважды использован распределительный закон умножения.
7. Возведение одночлена в степень. Сначала рассмотрим воз-
ведение степени в степень:
п слагаемых
(ат)п == ат-ат...ат = ••• + w = атпу
п сомножителей
т. е. (aw)n = атп.
Пусть требуется возвести в степень произведение
(abc)n = (abc) (abc)... (abc).
п раз
Применяя сочетательный закон произведения, получаем
(abc) • (abc)... (abc) = abc • abc... abc.
Используя переместительный и еще раз сочетательный законы
произведения, находим
abc • abc... abc ~(a-a...a)-(b-b ...b)- (c • c... c) = anbncn.
п раз n раз n раз
Итак,
(abc)n = anbncn.
Возведение одночлена в степень выполняют с помощью этих
двух правил. Например,
(- aWj1 = (- -|-)4 (а2)4 (Ь3)1 (с4)4 = а3Ьг2с16.
8. Тождества сокращенного умножения. Треугольник Паскаля.
Применяя правила умножения многочлена на многочлен и приводя
подобные члены, получаем следующие формулы:
(х ± а)2 = х2 ± Чах + а2,
(х ± о)3 = х3± Зх2а Зха2± а3,
(х + а) (х — а) = х2 — а2,
(х а) (х2 — ах 4- а2) = х3 4- а3,
(х — а) (х2 4- ах 4- а2) = х3 — а3,
(-V 4- У + г)2 = х2 4- у2 4- г2 4- 2ху 4- 2xz 4- Чу г.
70
Рассмотрим закон возведения двучлена х-\-а в степень с нату-
ральным показателем т. Возьмем последовательные степени
(х4-а), (х4-а)2, (х4-а)3, (х4-а)4 и т. д.:
(х4-а)4 = 1х+ 1а,
(х 4- а)2 = 1х3 4- 2ха 4- 1а2,
(х 4- а)3 = lx3 4- Зх2а4- Зха2 4- 1а3.
Умножая последний многочлен на х-|-а, получаем
(х 4- а)4 = 1х4 4- 4х3а 4- 6х2а2 4- 4ха3 4- 1а4;
аналогично находим
(х + а)5 = 1х5 4- 5х4а 4-1 Ох3а2 4-10х2а3 4- 5ха4 4-1 а5
и т. д.
Для (х-\-а)т имеем:
1) число членов получаемого многочлена на единицу больше
показателя степени, в которую возводится, двучлен х-\-а, т. е.
число членов равно «4-1;
2) показатель степени переменной х последовательно убывает
от т до 0, а переменной а последовательно возрастает от 0 до т.
Таким образом, сумма показателей при х и а в каждом члене
равна т, т. е. в результате получаем однородный многочлен
степени т\
3) коэффициенты двух членов, равноотстоящих от начала и
конца, равны между собой, причем коэффициенты первого и
последнего членов равны единице;
4) расположим коэффициенты разложений (х4-а)°, (х4-а)4,
(х-|-а)2, (х-|-а)3, (х4-а)4, (х-}-а)5 и (х-}-а)6 в треугольную таб-
лицу .
1 1
1 2 1
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
\/\/\/\/\/
1 6 15 20 15 6 1
Сопоставляя коэффициенты последней строки с коэффициен-
тами предыдущей строки, легко заметить, каждый коэффициент,
кроме двух крайних, последней строки равен сумме двух ближай-
ших коэффициентов предыдущей строки (показано стрелками).
Согласно рассмотренному правилу запишем коэффициенты для
(х4-а)7, (х4-а)8 и (х4-а)9:
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
* Считаем известным, что (л' + я)°=1 при х=£ — а.
71
Эта треугольная таблица коэффициентов называется треуголь-
ником Паскаля*.
Запишем формулу для (хф-а)7:
(х ф- а)7 — х7 ф- 7х*а ф- 21х5а2 ф- 35х4а3 ф- 35х3а4 ф- 21 х2а5 ф- 7хае ф- а7.
Таким же образом легко написать формулы для (хф-а)8, (хф-а)9
и т. д.
Рассмотрены три преобразования целых выражений (сложение,
вычитание и умножение) и теперь можно сделать следующий важ-
ный вывод: какие бы целые выражения ни были взяты в качестве
компонентов, в результате обязательно получается целое выра-
жение.
Переходя к делению, следует сразу обратить внимание па тот
факт, что в результате деления одного целого выражения на
другое не всегда получается целое выражение.
9. Преобразование частного. Деление степеней с одина-
ковыми основаниями. Пусть требуется найти частное от
деления ат на atl, где т и п — натуральные числа и m>n.
Имеем
ат :ап — ат п, так как ат~п • ап = ат~п*п = ат.
Замечание. Равенство ат • ап — ап1+п справедливо при любом а без
ограничений.
Равенство ат :ап = ат~п справедливо лишь при а =4= 0 и т > п. При m —п
имеем
ат : ап_ ат? ; ат = 1, если ау=0.
Введем следующее определение: если а Ф 0, то условились
считать, что а0—1. О целесообразности этого определения сви-
детельствует уже тот факт, что равенство ат: ап — ат~п сохра-
няется и при т — п. Действительно, при т = п левая часть
равенства принимает вид ат: ат, что равно единице, правая
равна а°, т. е. единице (по определению).
Деление одночлена на одночлен. Пример. Имеем
16я5й4с2: (— 2а3&4) = — 8aV, так как (— 8п2с2) • (—2а*Ь1) — 16tz5/?4c2.
Заметим, что деление одночлена на одночлен в множестве
целых выражений выполнимо, если: 1) показатели степеней пере-
менных делимого не меньше показателей тех же переменных
делителя и 2) делитель не содержит переменных, которых пет
в делимом. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется,
то частное от деления одночленов— дробное выражение.
Деление м и о г о ч л е и а н а одночлен. Пример. Имеем
(10а3с — баЬс2 ф- 2яс3): 2ас = 5й2 — ЗЬс ф- с2.
При выполнении этого тождественного преобразования использо-
вано следующее правило: чтобы сумму разделить на какое-нибудь
число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и
полученные частные сложить.
* Паскаль (1623—1662)—французский математик и философ.
72
Деление многочлена н а м ногоч л е н. В частных слу-
чаях деление многочлена на многочлен выполняется с помощью
тождеств сокращенного деления. Эти формулы непосредственно
вытекают из тождеств сокращенного умножения. Например,
х3 — 1 2 . , f
—т=х2 + х+1;
й2_|_/,2_2ай-4с2 (а-Ь)2-4с2 „ . Ол.
. । о — " j I г> — О '-‘С»
а —Ь-\-2с а —Ь +2с
а* 4- 2а-Ь2+Ь* — 4а*Ь + _ а4 + 4а2/;2 + Ь4 - 2а2Ь2 — 4а3/; + 4аЬ* _
а2 — 2аЬ — Ь2
а2 — 2аЬ — Ь2
_ (a2-2ab-b2)2
а2 — 2аЬ — Ь2
= а2- 2аЬ - Ь2.
Установим общее правило деления многочлена на многочлен:
Рассмотрим пример. Если умножить многочлен Д (х) = 5х3 — 2х2 +
4-Зх—1 на многочлен Д (х) = Зх24-х —4, то получим многочлен
F(x) — 15х5-х4- 13х34-8х2 — 13x4-4.
Заметим, что множимое, множитель, а также произведение—
многочлены, расположенные по убывающим степеням х, причем
старший член произведения 15х5 равен старшему члену множи-
мого, умноженному на старший член множителя.
Если теперь разделить F (х) = 15х5 —х4 — 13х3 + 8х2 — 13x4-4
па Д (х) = 3х24-х —4, то очевидно, что в частном будет получен
многочлен Д (х) = 5х3 — 2х24- Зх — 1. Выполнение действия деления
записывается так:
15х5 — х4 — 13Х3 4~ 8х2 — 13х 4- 4 Зх2 4- х — 4
15х5 4- 5х4 - 20х3 5х3 - 2х2 + Зх -1
(первый остаток) —6х4 4- 7х3 + 8х2 — 1 Зх 4- 4
—6х4 — 2х3 4- 8х2
(второй остаток) 9х3 — 13x4-4 9х3 + Зх2- 12х
(третий остаток) —Зх2 - х + 4 —Зх2 - х + 4 0
Рассмотрен пример, в котором делимое и делитель —много-
члены, зависящие только от одной переменной х. Сформулируем
для этого случая правило деления многочлена на многочлен.
Чтобы разделить многочлен F (х) на многочлен f(x), надо'.
1) расположить делимое и делитель по убывающим степеням х;
2) разделить старший член делимого на старший член дели-
теля', полученный одночлен является первым членом частного;
3) первый член частного умножить на делитель, результат
вычесть из делимого; полученная разность является первым остат-
ком;
4) чтобы получить следующий член частного, надо с первым
остатком поступить так же, как поступали с делимым в п. 2 и 3.
73
Это следует продолжать до тех пор, пока не будет получен
остаток, равный нулю, или остаток, степень которого ниже сте-
пени делителя. Если остаток равен нулю, то говорят, что деление
многочлена на многочлен выполнимо в множестве целых выра-
жений.
Примечание. Если делимое и делитель —многочлены, зависящие от
нескольких переменных, то одну из них считают главной. Делимое и делитель
располагают в этом случае по убывающим степеням главной переменной.
Если при делении многочлена F (х) на многочлен f (х) полу-
чается частное Q (х) и остаток R (х), то имеет место тождество
F (x) = f(x)Q (x) + R(x),
т. е. делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс
остаток.
10. Многочлен Рп (х) и его корень. Теорема Безу. Под симво-
лом РЛ(х) подразумевают многочлен /г-й степени относительно х,
т. е. многочлен вида
aQxn + а^х”'14- а2хп'2 +... + ап,
где а0, а19 а», ..., ап — коэффициенты, которые, вообще говоря,
могут быть любыми числами, причем по^О.
Пример. Дан многочлен
Р (х) = 2х* - Зх3 + 7х2 - 10х - 16.
Найти Р (— 1).
Решение. Имеем
Р (_ 1) = 2(— 1)4 — 3 (-1)3 4-7 (-1)2- 10(—1)-16 = 24-3 + 74-10-16 = 6;
аналогично получаем:
Р(0) = —16, Р(1)=—20, Р(2) = 0.
Определение. Значение х, при котором многочлен Рп (х)
обращается в нуль, называется корнем этого многочлена.
В рассмотренном выше примере число 2 является корнем
данного многочлена. Найдем остаток от деления этого многочлена
на двучлен х — ту выполняя деление в соответствии с рассмот-
ренным выше правилом:
2х4 — Зх3 + 7х2 — 10х — 16 х — т
2х4 — 2тх3
(2m -3) х3 + 7х2-10х-16
(2m-3) х3 - (2m2 - 3m) х2
2х3 + (2m — 3) х2 + (2m2 — Зт + 7) x +
+ (2m3 — 3m2 + 7m — 10)
(2m2 - 3m + 7) x2 - lOx- 16
12"г - 3m + 7) x2 - (2m3 - 3m2 + 7m) x
(2m3 - 3m2 + 7m - 10) x - 16
tzm-3m2 + 7m - 10) x _ (2m4 - 3m3 + 7m2— 10m)
2m4 - 3m3 -J- 7m2 - 10m - 16
оегаток^павр1 остаток c данным многочленом, замечаем, что
Р н значению делимого, которое оно принимает при
74
х = т, т. е. Р (т). Этот факт не является случайным, а выражает
следующую замечательную теорему алгебры.
Теорема Безу*. Остаток от деления многочлена Р (х) на дву-
член х — а равен значению делимого при х — а.
Доказательство. Обозначим частное через Q(x), а оста-
ток — через R. Остаток R не зависит от х (не содержит х), так
как делитель (х — а) — многочлен первой степени. Делимое равно
делителю, умноженному на частное, плюс остаток, поэтому
< P(x) = (x-a)Q(x) + R.
Это равенство, являясь тождеством относительно х, справедливо
при любом значении х. Полагая х = а, получаем
Р(а) = (а — a)Q(a)-\-Ry или Р (а) = 0 • Q (a) + R,
т. е. R = P(a). Теорема доказана.
Пример. Найти остаток от деления многочлена Р (х) = 2х3 — 4х2+ Юх — 8
на каждый из двучленов: а) х — 3; б) х + 2; в) x-\-i\ г) x — i} д) х — 1.
Решение. Имеем
а) # = Р (3) = 2 • З3 —4 • З2-}-10 • 3 —8 = 40;
аналогично находим:
б) /? = Р(-2) = — 60;
в) Я = Р ( —1) = 2 • ( —f)3 —4 ( —/)2-|-10 ( —£) —8 = —4—8д;
г) /? = ?(/) = —44-81;
д) # = Р(1) = 0, т. е. х=1—корень данного многочлена.
Замечание. Интересно отметить такой факт: значения Р (i} = — 4 8Z
и Р ( —i) = — 4 — 8i являются сопряженными комплексными числами. Вообще,
если Р (х) — многочлен с действительными коэффициентами, то его значения
Р (a-\-bi) и Р (а — bi} — сопряженные комплексные числа.
Следствие из теоремы Безу. Для того чтобы много-
член Р (х) делился на х — а без остатка, необходимо и достаточно,
чтобы число а было его корнем, т. е. чтобы Р(а) = 0.
Необходимость. Известно, что многочлен Р (х) делится
па х — а.
Докажем, что Р (а) = 0.
Доказательство. По теореме Безу имеем R =Р (а); так
как, по условию, Р (х) делится на х — а, то R = 0, следовательно,
Р(й) = °. • '
Достаточность. Известно, что Р(а)==0. Докажем, что
многочлен Р (х) делится на х — а.
Доказательство. По теореме Безу, R = P(d), а по усло-
вию, Р(^) = 0, следовательно, 7? = 0. Это значит, что Р (х) делится
на х — а.
Пример 1. Определить, при каком значении k многочлен F (х) = х4 — kx3 +
+ 9х2-|-13х—10 делится без остатка на х-|-2.
Решение. Для того чтобы многочлен F (х) делился без остатка па х4-2,
необходимо и достаточно, чтобы число —2 было его корнем, т. е. должно иметь
место равенство F ( — 2) = 0 или
(-2)4 — /г ( —2)3-[-9 ( —2)2+13 (—2) —10=0,
откуда находим Л = — 2.
* Безу (1730—1785) —французский математик.
75
Пример 2. Определить, при каких значениях k и I многочлен /?(х)=х4-р
_|_/гхз бх2 + Zx — 10 делится без остатка на х‘2 + х — 2.
Решение. Так как х2+х — 2 = (хЧ-2) (х — 1), то F (х) должен делиться
на х4-2 и на х—1. Условия делимости F (х) на х + 2 и на х—1 можно выра-
зить в виде равенств F( — 2) = 0 и /?(1) = 0, которые образуют систему урав-
нений относительно k и I. Имеем:
f 16-8^ + 24-21- 10 = 0, ( 4fc-H = 15,
< или <
I l+fc + 6 + /-10 = 0, I ^ + / = 3,
откуда k = 4 и / =— 1.
Пример 3. При каких действительных значениях тип многочлен F(x) —
делится без остатка на х+Зг?
Решение. Условием делимости F(x)Ha x-f-3i является равенство
F( — 3i) = 0 или ( — 3j)3 — ( — 3Z)2 + m ( — 30 + п = О, т. с. 9-|-/г-Н27 —3m) Z = 0.
Используя условие равенства комплексных чисел, получаем: 9—|—/г=0 и 27—3m—0,
откуда т — 9 и п = —9.
11. Делимость двучлена хт ± агп на двучлен х ± а (т — нату-
ральное число). С помощью теоремы Безу легко доказать следую-
щие предложения:
1. Разность одинаковых степеней двух чисел делится на раз-
ность этих чисел. Это утверждение записывают так:
(х^ —^) • (х-й),
где знак «•» означает «делится без остатка».
Действительно, R = Р (а) = ат — ат --0.
2. Сумма одинаковых степеней двух чисел не делится на раз-
ность этих чисел, т. е.
(xm + am) не- (х — а).
Действительно, R == Р (а) = ат + агп = 2ат #= 0.
3. Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится
на сумму этих чисел, т. е.
(х2т - а2т)\(х + а).
Действительно, R = Р (— а) = (— а)2т — а2т = 0.
4. Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не де-
лится на сумму этих чисел, т. е.
(x2w+1 — a2m+1) не • (х + а).
Действительно, R = Р ( — = ( — а)2гпл 1 — a2m+1 = — 2a2m+1 =# 0.
5. Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится
на сумму этих чисел, т. е.
(x2wU 4- сгт l l) • (х + а).
Действительно, R — Р (— а) = (— a)2w+1 + a2m+1 = 0.
6. Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится
на сумму этих чисел, пг. е.
(х2т + а2т) не: (х4-а).
выя?неСТВИтельно’ 7?=^(-a) = (-«)3m + a8m = 2a2'n=#0. Итак,
по» в каких случаях хт±ап1 делится на х±а.
Теперь выясним вид частных, получаемых при делении в слу-
чаях, когда оно выполняется без остатка. Как уже было показано,
разность четных степеней двух чисел делится на разность этих
чисел и па их сумму. Найдем частные от деления xG — a6 сначала
на х — а, а затем на x-j-a. Имеем
х6 — а6 х —а
хь - ах? axi а2Лз х аЬ
ах3 — а*
ах3 — а2х*
а2х* — aG
а2х3 — а3х3
а3х3 — а?
а3х3 — а*х2
а?х2 — aG
а*х2 — с?х
аьх — aG
а?х — aG
О
Итак,
(х6 — aG): (х — а) = х5 4- ах? + а2х3 + а?х2 4- а*х + а5.
Аналогично получаем
(х6 — aG): (х Ц- а) — х3 — ах4 + а2х3 — а3х2 + а?х — а3.
Точно так же можно найти:
(х5 — а3): (х — а) = х4 4- ах3 4- а2х2 4- а3х 4- а?,
(х5 4- а5) • (х + а) = х4 — ах3 4- а2х2 — а3х 4- а?.
Отметим, что:
1) частное представляет собой однородный многочлен, распо-
ложенный по убывающим степеням переменной х и возрастающим
степеням числа а, причем степень однородности на единицу
меныпе степени делимого;
2) число членов частного равно показателю степени делимого;
3) если делитель х —а, то все члены многочлена, получаемые
в частном, имеют коэффициенты + 1; если же делитель х-\-а, то
коэффициенты 4-1 и -1 чередуются.
12. Разложение многочленов на множители. Разложить мно-
гочлен на множители— значит заменить его тождественно равным
ему произведением. Приведем примеры, иллюстрирующие три
основных способа разложения многочленов на множители.
Вынесение общего множителя за скобки:
1) 18а3/?2 — 12а4/? — 24а3/?с = 6а3/? (3/? — 2а — 4с);
2) 6а (2с - d) 4- 3/? (d - 2с) = 6а (2с - d) - 3b (2с - d) =
= 3(2c-d) (2а-/?);
3) Зр (р - q) - 5 (<? - р)2 = Зр (р - q) - 5 (р - р)2 =
= (£-</) [Зр - 5 (р - q)] = (р - q) (5q-2p).
77
Заметим, что в последнем примере использовано тождество
(<7 - р)2=(р - <7)2-
Полезно помнить более общие тождества:
(q - р)2п = (р - q)2n И (q - p)2n+1 = — (р - <?)2Л+1,
где п — натуральное число.
Группировка:
1) ху-гу — х-\-г — у-\-\=(ху—гу—у)—(х—z— l)=z/(x—z— 1)— J
— (х —z—1) = (х —z—1) (z/—1); I
2) Ьс (Ь — с) + ас (с — а) + ab (a — b) = Ьс (Ь-с)-\-ас2 — а2с ф- а2Ь—
— ab2 = bc(b — c) — (ab2 — ас2) 4- (а2Ь — а2с) —
= Ьс(Ь — с) — а (Ь2 — с2) 4- a2 (b — с) = (b — с) [Ьс — а (Ь 4- с) 4- а2] =
= (Ь — с) [(6с — ас) — (ab — а2)] = (Ь — с) [с (Ь — а) — а (Ь — а)] = |
= (Ь — с) {Ь — а) (с — а).
Применение формул сокращенного умножения:
1) 4а2с2 — (а2 + с2 — Ь2)2=[2ас+(а2+с2—Ь2)] [2ас—(а2-\-с2—Ь2)]=
=[(а 4- с)2—62] [62—(а—с)2]=(а+с+Ь) (а+с—Ь) (Ь+а—с) (Ь—а+с). i
2) а11 — 2а10-фа9— а74-2а®— а5 = а9 (а2 —2а4-1) —
- а3 (а2 - 2а 4- 1) = а5 (а - I)2 (а4 - 1) = а5 (а - I)3 (а 4- 1) (а2 4-1).
Решение различных алгебраических задач связано с разложе-
нием многочлена на множители. К ним относятся задачи на
вычисление числовых значе-
---------—---------j----------- ний выражений, исследова-
ние их знака и многие дру-
Рис. 10 гие. Пусть требуется вычис-
лить значение выражения
f(a, Ь, с) = 4а2с2 — (а2 + с2 — Ь2)2 при а=15, 6 = 112 и с=113.
Непосредственная подстановка приводит к выражению 4 152 1132—
— (1524- ИЗ2 — 1122)2, вычислить которое довольно трудно. Значи-
тельно проще можно получить результат, если данное выражение
разложить на множители:
f(a, b, с) = (а-\-с-)-Ь) (а-\-с — Ь) (Ь-\-а — с) (Ь — а-\-с) =
= 240-16-14-210 = 11289600.
Рассмотрим еще одну задачу. Исследовать знак многочлена
f (х) =х3 — х. Раскладывая на множители х3 —х, получаем
f(x) = x(x-l)(x4-l).
Теперь видно, что данный многочлен имеет только три корня:
— 1, 0 и 4-1. Изобразив эти корни на числовой оси (рис. 10),
легко установить знак данного многочлена в промежутках х< — 1;
— 1<х<0; 0<х< 1; х > 1. В самом деле:
1) если х<—1, то х<0, х—1<0 и х4-1<0, поэтому
х(х — 1) (х4- 1) <0, т. е. /(х)<0 при х<—1;
78
2) если — J < х < 0, то х < 0, х — 1 < 0, но х + 1 > 0, поэтому
f (*) > 0;
3) если 0 < х < 1, то легко установить, что /(х)<0;
4) если х> 1, то очевидно, что f(x)>0.
Результат можно записать в виде следующей таблицы:
X (-оо, - 1) (-1, 0) (0, 1) (1. +<»)
Знак f (х) — + —
Представление выражения х? — х в виде произведения позво-
лило легко решить поставленную задачу.
С разложением многочлена на множители связаны также такие
операции, как сокращение дробей и приведение нескольких дробей
к общему знаменателю.
Остановимся на вопросе выполнимости разложения многочлена
на множители. Этот вопрос следует всегда ставить конкретно,
т. е. указывать то числовое множество, в котором задача должна
быть решена. При этом необходимо иметь в виду, что многочлен
разложим на множители в данном числовом множестве, если все
коэффициенты, входящие в сомножители, а также допустимые
значения переменных принадлежат этому числовому множеству.
Пример 1. Разложить многочлен 4х4 — 9 на множители: а) в мно-
жестве рациональных чисел; б) в множестве действительных чисел;
в) в множестве комплексных чисел.
Решение: а) требуется выполнить разложение в множестве
рациональных чисел, т. е. в полученном результате коэффициенты
сомножителей должны быть рациональными числами. Поэтому
4х4 — 9 = (2х2 + 3) (2х2 —3),
где х — переменная, принимающая любое рациональное значение;
б) в полученном разложении коэффициенты сомножителей должны
быть действительными числами, поэтому
4Х1 - 9 = (2х2 + 3) (2х2 - 3) = (2х2 + 3) (У2х + /3) (/2х - /3),
где х — переменная, принимающая любое действительное значение;
в) в данном случае разложение на множители производится
в множестве комплексных чисел, следовательно, коэффициентом
может быть как действительное, так и мнимое число. Имеем
4х4 - 9 = (/2% + КЗ) (/2х - КЗ) (К2х + i КЗ) (К2х - i V 3),
где х — переменная, принимающая любое комплексное значение.
13. В ыделение полного квадрата в трехчлене ах~ Ьх-}- с.
Сначала рассмотрим примеры:
1) х2 + 6л'+ 13 = х2 + 2х-3 + 9-9+ 13 = (х + 3)2 + 4;
2) х2 —5х + 6 = х2 —2-Х-5/2 + 25/4 —25/4 + 6 = (х —5/2)2—1/4;
3) — х2 + 8х-7 = —(х2-8х + 7) = —(х2 -2-Х-4 + 16 -16 +
+ 7) = —[(х —4)2 —9] = 9 —(х —4)2;
79
4) 7 + 4х — 2х* = — 2 (х2 — 2х — 7/2) = — 2(х2 — 2х+1 — 1 —
_7/2) = —2[(х- I)2 —9/2]==9 —2(х — I)2.
Теперь выполним это преобразование в общем виде:
о , . I / 9 . bx | С \ 2 | о Ь . Ь2 Ь2 , С \
ах^ + Ьх + с = а^ + -+ = а\/ + 2х-2- + + —) =
7 . b \2 b2 — 4ш? "1 I . b \2 д2 —4ас
==аЦЛ + 4J2 —а^х-|- -2а\ й •
Рассмотренное преобразование часто используют при решении
задач.
Упражнения
1. Дан многочлен / (х) = х3 —2х2+3,2х—1,5. Вычислить: f (0); /(I);
Z(0,5); f (-3).
2, Дан многочлен f (х, у) = 2х2 — Зху2-\-5у3. Вычислить: а) /(—2; I);
б) f(0; -1); в) /(2; 0).
3. Заменить в многочлене F (х) = 4х2 — 5х 8 переменную х двучленом
а—1; полученное выражение упростить.
4. Найти частное:
а) (3x4 _ 8хз - 10x2 + 8х — 5) : (Зх2- 2х + 1);
б) (а4 + 19ab3 + a3b - 1564 - $a2b2) : (а2 + ЗаЬ — ЗЬ2).
5. Дано: а-{-Ь + с = 0. Доказать, что (а2+62+с2)2 = 2 (а4 + 64+с4).
6. Разложить па множители в множестве действительных чисел следую-
щие выражения: .
а) хв+,1; б) хб —в) х*+1; г) а4 + а2+1; д) х3 — 2х2 — 5х 4- 6; е) х5 +
+ х4 + 1. • • - . . .
7. Представить каждый из следующих трехчленов в виде (х+а)2 + /п2
или (х-|-а)2 + /и, или/и2 — (х + a)2: a) x24-4x-f-13; б) х2 — Юх + 28; в) х- —6х—7;
г) 13+12Х-Х2; д) х2 —8x4-9; е) ll-J-lOx-x2.
8. Дано: f (х) =х24-2x4-3. Доказать, что f (х) > 0 при всех действитель-
ных значениях х; найти значение х, при котором f (х) имеет наименьшее
значение.
9. Известно, что f (х) = 5 4-х — х2. Найти значение х, при котором f (х)
имеет наибольшее значение.
10. Представить в виде многочлена: a) (x-f-a)8; б) (х — а)8; в) (2x4-О7;
г) (х —2)<.
11. Дано: / (х)=х54-х44-х—1. Найти: а) /(1+0; б) /(1—0-
12. Используя теорему Безу, доказать, что многочлен х4 + 2х3—13х2—
— 14x4-24 делится на каждый’из следующих двучленов: х—1; л^+2; х —3
и х+4.
13. Найти остаток ог деления многочлена х4 + 2х3 — 13х2 — 14х + 24 на:
а) х —г, б) х+0
14. Доказать, что число 1/2 — (« К 3)/2 является корнем многочлена
/(х) = х8 4-1.
15. Исследовать знак многочлена /(х) — х3— 4х.
16. Дано выражение / (х, г/) = х2 + //2 —2х+4// + 5, где х и // — действи-
тельные числа. Найти те значения х и у, при которых оно обращается в нуль.
§ 2. Дробные выражения
1. Основные понятия. В гл. I (см. п. 2, § 3) было введено
понятие обыкновенной дроби (рационального неотрицательного
числа) как символа т/п, где т — целое неотрицательное число,
а п. — число • натуральное. Далее (см. п. 6, § 3) было введено
понятие дроби (рационального числа) как символа а/b, где а и
80
b — целые числа и b 0. Дальнейшее обобщение приводит
к дроби вида A/В, где А и В —числовые или содержащие пере-
менные выражения.
В § 1 настоящей главы была отмечена характерная особен-
ность дробного выражения, состоящая в том, что оно теряет
смысл при некоторых значениях переменных. Например, выра-
(х24-5)/(х- 3)-}-5 о ,
жение -—— теряет смысл при х = 3, х=—1 и х =
= —8/9. При остальных значениях х это выражение имеет смысл.
Сформулируем следующее определение: областью определения
выражения с одной переменной называется все множество значе-
ний этой переменнойу при которых это выражение имеет смысл.
Если числитель и знаменатель дроби —целые относительно
переменной выражения, то областью определения такой дроби
является множество всех значений этой переменной, при кото-
рых знаменатель не равен нулю.
Пример. Выражение (2х 4-3)/(х2 — 4) теряет смысл при х = 2 и х = - 2,
так как при этих значениях знаменатель обращается в нуль. Таким образом,
допустимыми значениями переменной х (или областью определения данной
дроби) являются все числа, кроме чисел 2 и — 2. Область определения в таком
случае коротко записывают так: х=/= ± 2.
2. Основное свойство дроби и его применения. В предыдущей
главе рассмотрено (см. п. 3, § 3) основное свойство дроби в мно-
жестве рациональных неотрицательных чисел, а затем (см. п. 6)
было указано, что это свойство распространяется на все мно-
жество рациональных чисел, т. е. a/b = (ma)l(mb)y где а, Ъ и т —
любые рациональные числа, причем b 0 и т 0. Основное
свойство дроби распространяется на дроби, содержащие перемен-
ные. Например:
1)
2)
3)
х2 —2x4-4
х^=2 “
х24-хг/4>г/2 _
х4-(/
а — Ь _ Ь — а
х — у у — х
(х2 — 2x4-4) (х4-2)
(х-2)(х + 2)
при х Ф ± 2;
х3 — у3 .
при х dr у,
Л у
при X у.
Основное свойство дроби применяется при сокращении дро-
бей. Например,
ах-\-ау atx+y) х-\-у , п
1) „ — = —— при а 0 и хфу\
7 ах —ау а (х — у) х — у r v ’
2) 4—тг-= *3 + 3№ + 9х27 при х=/=з.
X — о
П р и м е ч а н и е 1. При выполнении тождественных преобразований с дро-
бями не всегда указывают допустимые значения переменных, но всякий раз
следует отдавать себе отчет в том, каковы эти значения.
Примечание 2. Область допустимых значений переменной для выра-
жения, получаемого после сокращения, может оказаться более широкой, чем
для исходного выражения. Так, в примере 2 для дроби (х1 — 81)/(х — 3) ОДЗ
переменной х#=3, а для выражения х3-|-Зх24-9х4-27 ОДЗ переменной —все
множество чисел.
81
Используя основное свойство дроби, можно приводить дроби
к общему знаменателю. Например:
х+1 (х+1) (4x2+ 10x4-25)
2х —5 (2х — 5) (4х2+10х + 25) ’
х2 + 2х + 3 _ х2+2х + 3
8х3—125 “ (2х-5) (4х2+1 Ох+ 25) ‘
Здесь знаменатель второй дроби делится без остатка на зна-
менатель первой, поэтому он —простейший общий знаменатель;
~ 2х —3 _ (2х —3)(х + 2) х _ х (х+1)
х+1 “ (х+1)(х + 2) ’ х + 2 “ (х+1)(х+2)*
В данном случае знаменатели дробей не имеют общих мно-
жителей, поэтому простейшим общим знаменателе^м является их
произведение;
ох 2 - 2(х+3)
(х+1)(х-2) (х+1)(х-2)(х + 3) ’
3 _ 3(х+1)
(х-2)(х + 3) “ (х-2)(х + 3)(х+1) ’
При нахождении простейшего общего знаменателя здесь
учтено, что множитель х — 2 содержится в каждом знаменателе
данных дробей.
3. Действия над дробями с переменными. В предыдущей главе
(см. § 3) были рассмотрены четыре действия над дробями. Все
установленные при этом правила распространяются на дроби,
содержащие переменные. Остановимся на возведении дроби в сте-
пень. По определению степени с натуральным показателем,
(а \п а а а
~ J Ь~ Т;
п сомножителей
По правилу умножения дробей,
а а а ______ а- а ... а _ ап
b b ’ ” b b - b ... b Ьп *
Таким образом,
/ а \п _ ап
\ь) ~¥‘
'Рассмотрим примеры на различные действия с дробями:
2х-3 х _(2х-3)(х + 2) + х(х+1) _2х2+4х-3х-6 + х2+х
J х+1 +х+2“ (х+1)(х + 2) (х+1)(х+2)
Зх2 + 2х-6
(х+1)(х + 2) ’
х3 3x3+81 X3 3(x + 3)(x2-3x + 9) _ ' х3
} х — 3 х‘2 —9' — X —3 (X — 3)(х + 3) — X —3
3 (х2 — Зх + 9) _ х3 —Зх2+9х —27 _ х2 (х — 3) + 9 (х —3) __ (х — 3) (х2 + 9)
х — 3 ~ х — 3 — х — 3 ~ х — 3
= х2 + 9;
82
a2 b2 . c2 a2
Q\ _______________!_________________I________________________________L
' a- —ab-ac-[-be ' b2 — ab + ac — be 1 (c—a)(c — b) a (a — b) — c (a —by
b2 ______________________fl2 ._______a2 b2
"i" c(a — b) — b (a—b) 1 (c — a)(c — b)~ (a — b)(a—c) (a — b)(c — b)
c2 = a2(c—b)+b2(fl—fl)—fl2(fl—6) = fl2 (c—b)-\-ab2—b2c—ac2+be2 _
~~ (a — c) (c — b)~ (a — b)(a—c)(c—b) ~ (a — b) (fl —fl) (a — b) ~
a2 (c — b) — a (c — b) (е-т~Ь)-\-Ьс (c—b) _ a2 — a {c + b)be __ a2—ac-\-bc—ab _
(a — b)(a — c)(c — b) ~~ (a — b)(a — c) ~~ (fl — b){a — c) ~~
a (fl — c) — 6 (fl — c) _ a — b _ . .
~ (a — b) (fl — fl) ’ a — b ~ ’
______1 •—fl2____. x4~x2 ___________(1 — a) (1 -f- a)___ x (1 4- x) _
(1 + ax)2— (fl4-x)2 1 — x ””(14-flx-|-fl4-x) (1 Ц-ах — a — x) * 1— x ~
___________(l-a)(14-Q)x(14-x)____________x(l-fl)(14-a)(l+x)
[(14-x)4-fl(14-x)j [(1—x) —a (1—x)] (1 — x) (i4-x)(14-a)(l-x)2(l-fl)
x
“ (I-*)2 ;
( x____________x \ . 2x
\ x-2 x+2 ) 1 xl_x3 + 4x_8
x(x-{-2) —x(x — 2) _ 4x x2+2x—x2-|-2x. 4x
~ (x — 2)(x + 2) ' x1—2x3 |-8x—16 (x — 2) (x -j- 2) : (x—2) (x?+8) ~
4x(x—2)(x+2)fx2—2x+4) _ 9vJ а
- 4x(x—2) (x + 2) X '
Замечание. Как уже отмечалось, при выполнении преобразований
с дробями следует учитывать ограничения, определяющие, при каких значе-
ниях переменных выполненное преобразование является тождественным. Для
рассмотренных выше примеров эти ограничения таковы:
1) х=Н=—1 и х#= —2; 2) х =# ± 3; 3) а b, b ^=с, а^с\ 4) ± 1,
х =р= ± Ц 5) х=^=±2, х =А 0, если преобразование выполняется в множестве
действительных чисел. Если же оно производится в множестве комплексных
чисел, то ограничение дополняется требованием х =# 1 ± Z / 3, которое обес-
печивает, что х2 — 2x4-4 не обращается в нуль.
4. Теорема о тождественном равенстве двух многочленов и ее
применение к преобразованию дроби. Пусть числитель и знамена-
тель дроби — многочлены с одной переменной. Дробь называется
правильной, если степень числителя ниже степени знаменателя.
Например, дробь (х2 — х + 2)/(х34-2х2 —Зх+ 1) — правильная.
При изучении математики в ряде случаев возникает необхо-
димость представления правильной дроби в виде суммы несколь-
ких дробей более простого вида. Например,
3x24.4x-.23 _____1 4 2
(х — 2) (х — 3) (х4- 1) ~ х —2 х — 3 х4-1 ‘
Выполнение такого преобразования основано на теореме о тож-
дественном равенстве двух многочленов.
Теорема. Два многочлена Д (х) = 4- аус71'1 +... 4- ап и /2 (^) =
= &0х/г4-^1хг‘-1 + .. .-\-Ьп тождественно равны между собой тогда
и только тогда, когда равны коэффициенты подобных членов,
т. е. aQ = b^ al = bly ..., an = bn.
Рассмотрим применение этой теоремы к решению приведен-
3x2 4-4 v________________________________________________23
ного выше примера. Следует представить дробь (^з) ("-4-ij
83
в виде суммы трех дробей со знаменателями х — 2, х — 3 и х+1.
Подберем числа А, В и С так, чтобы имело место тождество
Зх»4-4х—23 ЛВС
(х — 2)(х — 3)(*+1) — х — 2 ' х —3 х+1 ’
или
Зх1 2-|-4х—23 _ (Л+В + С)х2+(—2Л-В-5С)х + (-ЗЛ —2В + 6С)_
(х — 2) (х—3)(x-J-l) ~ (х — 2) (х —3) (х+1)
Тождество это возможно лишь при условии
(Л + В + С) х2 + (—2Л - В - 5С) х + (—ЗЛ - 2В + 6С) =
= 3х2 + 4х-23.
Применяя теорему о тождественном равенстве двух многочленов,
получаем систему уравнений относительно Л, В и С:
Л+В-1-С = 3,
— 2Л —В —5С = 4,
. —ЗЛ-2В + 6С = —23.
Решая эту систему, находим: Л = 1, В = 4 и С = — 2. Оконча-
тельно имеем
3x2+ 4х- 23 = 1 4_________2
(х —2) (х —3) (х-f-1) — х—2 х — З х-|-1
Упражнения
1. Дапо: /(«)=——-И*+ 5). Вь|числить: ^0), [ и /(_ 3).
Л ------------------О
Л . £/ч х (х— 1)(х4-2) ~
2. При каких значениях х дробь /(х) =--ТдП----- обращается в нуль?
х- — 1
3. При каких значениях х следующие дроби теряют смысл: а) -----;
б) х—5 ’ в) (х-2) (X-4-5) ?
4. При каких значениях х следующие дроби имеют положительные значе-
ния: а) 5/х; 6) 5/х2; в) 5/(х —7); г) 5/(х2 —4); д) (х —3)/(х2+1)?
5. Доказать, что следующие дроби имеют положительные значения при
всех действительных значениях х:
х2 + 4% + 7 . 2х-х2-6
а) х2 + х-|-3 ; ' 12х —4х2—10 ;
В)
Х2-|-х + 2
X2-—х-{-2
6. Найти значения х, при которых каждая из следующих дробей имеет
наибольшее значение: а) 10/(х2+5); б) 2/(х2+4х + 7); в) 1/(х2 —х + 2).
7. Сократить дроби:
х3—х2—х4-1 # б а2 4-2а 4-2
х-’-2х34-х » } (а4-1)4- 1 ;
а2х — а(пх — х}
ап2 —а3 —2а2—а
8. Упростить следующие выражения:
а)
б)
1 b________________ЗаЬ
b4 a + bx (а-\-Ьх)'2
3a2b a3b 1
‘ (a + bx)3 ' (a-hbx)4J;
1 Г, . . ad — be / с , с2 1 \
-Г Ьх24------ X — -4-—. —— I ;
d L d \ d d c-\~dx / f
84
V 2йо Г 1_______________________________а?_________1—т .
°' [2(/n —2)6* (a2 — b2x*)m-1 2(от—1)&4 (а2—62х2)«» J'
a-j-x 2
Г 2а + 2х + 4 а2 + 2ах 4- 2а 2х 4- х2 *
9. Упростить выражение, заменяя х на (а + Ь)2/(а — Ь):
а-b (а , b\ „ , (a-|-fr)(a2-b2)
~ЫГ Х ~ IУ + У/х+-----------------------Ж>-------•
А
10. Следующие дроби представить в виде суммы дробей вида ———
(А и а —числа):
2х24-41х-91 2x4-3______
(х— 1) (л'4-3) (х — 4) ’ х (х— 1) (х4-2) '
х — 1 х2 4- х — I Зх — 1
х24-6х4-8 ; г) х®4- х2-6х ; д) х24-х-6 ’
§ 3. Степени и корни
1. Степень с натуральным показателем. В гл. I дано опреде-
ление степени с натуральным показателем, которое записывается
так:
ап=а-а-а ... а при п 2; аг = а.
п сомножителей
С помощью этого определения были выведены следующие правила:
ат • ап = ат4гП\
ат:ап = ат~п при т>п и а 0;
(abc)n = апЪпсп\
/ а \п ап
\Т)
В дальнейшем эти важные правила будут обобщены для любых
рациональных показателей.
2. Понятие о корне л-й степени. Корнем п-й степени из комп-
лексного числа z называется комплексное число, п-я степень кото-
рого равна г. Действие (операция), с помощью которого находится
корень п-й степени из данного числа, называется извлечением
корня. Извлечение корня— действие, обратное возведению в сте-
пень. Правильность его выполнения проверяют возведением
в степень.
При изложении вопроса извлечения квадратного корня из
комплексного числа было показано, что квадратный корень из
комплексного числа имеет два различных значения. В дальней-
шем покажем, что корень /г-й степени из комплексного числа
имеет п различных значений. Например, корень третьей степени
из —1 имеет три значения: —1, 1/2 + (/ ]/3)/2 и 1/2 — (Ц/3)/2,
что легко проверить, возведя каждое из этих чисел в куб.
В множестве действительных чисел понятие корня п-й степени
сужается. Во-первых, извлечение корня возможно только из
85
неотрицательных чисел и, во-вторых, в качестве результата берут
только неотрицательное число. Таким образом, в множестве
комплексных чисел операция извлечения корня неоднозначная;
в множестве действительных чисел она однозначна.
Определение. Корнем п-й степени из неотрицательного
числа а называется неотрицательное число (обозначаемое символом
]/а), п-я степень которого равна а-.
GZ а)п = а,
где n^N и п^2', a^R и а^О.
п ,----------
Символ у а, в смысле приведенного определения, называется
арифметическим корнем. Следовательно, ]/16==4 и только 4, так
как 42= 16 (при возведении в квадрат любого другого неотрица-
тельного числа нельзя получить число 16). Аналогично, j/81 = 3
и т. д. _____ ______________ _
Согласно определению имеем V (+5)2 = + 5, ]/(— 5)2 = 1-^25 =
= 4-5, но так как +5 = — (—5), то можно написать рг(—5)2 =
= — (—5). Итак, ]/(+5)2 =+5, ]/ (—5)2 = — (— 5). Вообще,
,_ ( а, если а^О,
У а2 = { п
I —а, если а<0.
Короче можно записать так: ]/а2 = |а|, поскольку
Аналогично имеем
У (a-f>)2 = {
а, если a 2s О,
— а, если «<0.
а — Ь, если а^Ь,
(a — b) — b — a, если
или короче:
у (a — b)2 — \a — b\.
Пример 1. Упростить выражение К(х+1)2+/(х—О2, если —1 <х<1.
Решение. Так как х изменяется в промежутке от — 1 до -J- 1» то х-\-1 >
> 0 и х — 1 < 0, поэтому
У(х+1)2 + /(х-1)2=х-Ь1 + (1-х) = 2.
Пример 2. Вычислить то же выражение при х<— 1.
Решение. Поскольку х<— 1, то % +1 < О и х — 1 <0. Таким образом,
V (Т+1Г2+V -(X +1)+(1 -х)=-2х.
3. Преобразование арифметических корней. Ос н о в н о е свой-
ство арифметического корня. Величина арифметического
корня (радикала) не изменится, если показатель корня и показа-
тель подкоренного выражения умножить или разделить на одно
и то же число, т, е.
Доказательство. Предварительно заметим, что из равен-
ства ап = Ьп еще не следует, что а = 6. Например, (—5)4 = (+5)4,
но —5=#=+5. Если же а и b положительны (или отрицательны),
то можно утверждать, что из равенства ап = Ьп вытекает, что
а = Ь. Это утверждение используют при доказательстве свойств
а р ифмети чес к и х ко р ней.
Теперь докажем, что / ат = у атк. Корни у ат и уат“ —
арифметические, т. е. неотрицательные. Для того чтобы убедиться
в их равенстве, достаточно проверить, что результаты возведения
их в одну и ту же степень одинаковы. Возводя оба корпя в сте-
пень /г/г, получаем
(Уа™)"* = [(Уа™)" ]k = (ат}к = amk,
("ft атк}пк = атк.
Итак, основное свойство корня доказано. На этом свойстве
основаны следующие преобразования:
1) сокращение показателя корня и показателя подкоренного
выражения на общий множитель. Например, У<Д = Уй2;
2) приведение нескольких корней к общему показателю. На-
пример, ]///г = (/ m3, Ут2 = У т*.
Извлечение корня из произведения, дроби и
степени. Справедливы равенства:
Для доказательства справедливости каждого из этих равенств
достаточно обе его части возвести в степень п и убедиться, что
полученные результаты равны. Действительно,
1) У^ = аЬс, (У~аУьУ~^ = &b)\W = abc.
Равенство (1) доказано.
- а- I r^~aX - (УдИ - д
ци ь> ь-
Справедливость равенства (2) доказана.
3) = ank, (ak)n = akn.
Равенство (3) доказано.
Три преобразования корня. Вынесение рационального
множителя из-под радикала. Рассмотрим это преобразование на
следующих примерах:
1) У16^ = Y8а3Ь* • 2а? = |/8^• /2а* = 2аЬ2 ^2а?;
2) ап + ^Зл+1 == anb2na?b = ab2 а3/?;
87
4) У (а — Ь)* с =
3) У 7 (3-]/'10)!, = 'И7 (У 10-З)'2 = (у 10-3)У7;
— с при а^Ьу
(b — djy^ с при а<Ь.
Введение множителя под радикал'.
1) 2 V 5 = • V 5 = /F75 = |Л4б;
2) _2j/5 = — ]/22V5 = — ]/20;
У 3 (а — Ь)2 при а by
— У 3(а — Ь)2 при а<Ь.
Приведение подкоренного выражения к целому виду:
¥ = 1^3;
\rVMWbtni
3) (а — Ь) У 3 =
_______
V (т — п)2
1 -3
зз
/~2пГ9а2Ь _ I
ЗаЬ2 • 9а2b ЗаЬ
|/2а (т — п)2
т — п
при т>Пу
у 2а (т — п)2
п.
Умножение и де л е н и е
Ранее были установлены правила:
У abc = у а у b У с;
Поменяв местами левые и правые
а y/“'b У с — fyabc;
при т
арифметических корней.
/2 ,-- П г— П —
у alb — у a/у Ь.
части равенств, получаем:
aty b = y^ а/Ь.
п — т
Эти равенства выражают правила умножения и деления корней
с одинаковыми показателями. При умножении и делении корней
с разными показателями их предварительно приводят к общему
показателю.
Возведение корня в степень. Справедливо равенство
т
Доказательство. Имеем:
и
/п ,—[f п j—\п\т
у а) = [(У а) \ =ат
(п --\п
\у =ат.
Рассматриваемое равенство доказано.
Извлечение корня из корня. Справедливо равенство
Действительно, возводя обе части этого равенства в степень пт,
получаем:
Уничтожение иррациональности в знаменателе
или в числителе дроби. Это преобразование выполняется
с помощью основного свойства дроби aib — (am)l(bm) (m#=0).
Приведем примеры:
1 _ yTaib
у ab2 / ab2 a2b ab
2) 14 = 14(2/34-/5) = 14(2 /3 + /5) =
'2 к'3-/5 (2/3-/5)(2/3+/5) (2 к'З)2 - (/5)2
= 2(2/3+/5);
6 6(4/9+2/124-/16)
7 2 /3 — /4 (2 /3 - /4) (4/9 + 2 /12 + /Тб)
6 (4/9+2/12 +/16) 12(2/9+/12+/2)
(2/з)3-(/4)3 = 24-4 ~
12(2/9+|/12+/2) 3(2/9+/12 + /2)
20 “ 5 ’
/1+7+/'!^ = (/Т+7+/Т^>(|/Т+^-/Г=Д) =
6х 6х (/ 1 +х — /1 — х)
(|/Т+х)2-(/Т^х)2 = l+x-1+x _
6х (|/1+х—|/1 —х) 6х ([ 1 +х — к' 1 —х)
_________2х________________1______
~ 6х (/Т+х- /Г=Д) “ 3(/r+x- |/r=jt)
Упражнения
1. Для каких значений переменной х следующие выражения имеют смысл:
а) //) = /Г^З; б)/(х) = —в)/(х) = /3^х+/х^2; г) /(х) =
___ _____ р X — 1
= р7 5 —л — Ух — 6 ?
2. Найти значения выражений:
a) f (х) =У12 — х2/Ух2+ 1 при х = /3’;
б) /(х) =/(х—3)2 + |х—1 | + 1/|х| при х = -1.
3. Упростить выражение
х — 5 г | х — 5 |
а) при х > 5; б) при х < 5.
4. При каких значениях х справедливы следующие равенства:
а) /?’=х/х2; б) /5й=х/х?.
5. Сократить показатели корня и подкоренного выражения:
а) /(3-/Т0)2; б) VС2-*)4 при Х>2.
6. Вынести множитель из-под корпя:
а) ]/з(4-/5)3; б)
St)
7. Ввести множитель под знак корня:
а) (5-/3) /5 + /3 ; б) (/Г-3) У /5+3- _
8. Указать, при каких значениях а справедливо равенство /(/а—1 —1)2 =
=
9. Упростить выражение
f (о) — | а2 — 6а 4" 9 -f- У1 — 2а -j- d“>
затем вычислить f(G), f (1), f (0), /(—2).
10. Разложить на множители: _ __
a) x-J-i/—Ух2 —у2, где x + i/>0; б) хУхв) (х—у — г) Уху? —
«— 2yz Ух .
И. Сократить дроби:
хУх —1. п а — Ь . ч ху 4- у Уу-х Ух — Уху
Ух— 1 т у а — b f х2 + 2хУу+у
12. Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби:
а) х~у ; б) х-у в)
х(/х — Vy) х(у/х—Уу) х-у у-у 2 Уху
13. Уничтожить иррациональность в числителе дроби:
3/- 3/—
т---
V ху
б)
ху
14. Упростить следующие выражения:
а)
при а < 0;
2 У а
б)
а------
а
в)
У?> , а
2 * 2 Уб
г)
д)
ЗУ а
/ т3 — 2 т2
т — 2
b'1 — <5аЬ , п
9а
- — при tn > 2.
/п-2
а
§ 4. Расширение понятия степени
Степени с целыми показателями.; Если п — натуральное
число, ю, как известно, символ ап определяется равенством
ап = а-а-а... а
v
п сомножителей
при /г^2, аг = а.
символы л°, а~п, ат/п и
С точки зрения этого определения
где гп и п —натуральные числа, смысла не имеют*. Они вво-
дятся в алгебру с помощью новых определений.
* Подразумевается, что tn не кратно п.
90
Если а^О, то под символом а° условились понимать единицу,
т. е.
а°= 1.
Примечание. Символ 0° не имеет числового значения.
Если а 0 и п — натуральное число, то под символом а~п под-
разумевают число, обратное ап, т. е.
а~П = А-
ап
2. Степени с дробными показателями. Если а^О, а т и п—
натуральные числа, то под символом ат^п подразумевают арифме-
тический корень п-степени из числа ат, т. е.
ат^п = у ат.
Если а > 0, а т и п — натуральные числа, то условились
считать, что
а-т!п = _1
ат/п
Итак, сформулированные определения дают возможность при
любом рациональном г придать смысл выражению аг\
при г = п,
при г = 0 и а Ф 0,
при г = — п и а 0,
при г = и а^О,
tn л
при г — — — и а > 0
п сомножителей
1
(т и п — натуральные числа).
3. Действия над степенями с рациональными показателями.
Как известно, для степеней с натуральными показателями имеют
место следующие правила:
ат ап = ат+п;
(ат)п = атп;
ат :ап = ат~п, где а Ф 0 и т > п;
у ап,1 = а , где а^О.
(I)
(П)
(Ш)
(IV)
О целесообразности приведенных выше определений символов
а°, а~п, атп'п и а—т^п свидетельствует тот факт, что для них
сохраняются правила (I) —(IV).
91
Докажем, например, что ari • аГг = ari + г-, если rL = tnln и г2—
— р/q, где /тг, /г, р и q — натуральные числа.
В самом деле,
. агг _ amlnap/q = — пуат9+Рп = .
tn q -|- рп
= а п(! = ат^п+= аг~ +г-,
что и требовалось доказать.
Покажем, что (ar')r* = arir^ если гх = — т/п и r2 = piq> где
/72, /г, р и q — натуральные числа. В самом деле,
(а^ = (аг^М = [J-p = V =
\уат) . Y у атР V,l}/-^np
—- ! — ! _ a—nip/nq —. a{—ni/n)-p/q ~ „г\ г 2
что и требовалось доказать.
Докажем, что ar*: ar- = аг^г\ если гх =/п и г2=/п-|-/г, где
/72 и /г —натуральные числа. Имеем
ат 1 ( \
ал : аг* = ат : атлп = = 4 = а~п = ат'{тh';) = аг^-г^
ат.п ап
что и требовалось доказать.
Таким образом, в правиле (III) ограничение /тг>/г можно не
учитывать.
Аналогично доказывается справедливость правил (I) —(IV)
и для других случаев.
Пример 1. Запишем дробь 0,0000045 в виде произведения целого числа на
степень 10. Имеем
0,0000045 = 45/10 000 000 = 45/107 = 45 10"7.
Пример 2. Вычислим следующее выражение:
[4-0,25 _ (2 у2 j-4/Зу
Замечая, что 4 1/4 = 4 0,25 и
—— = 23/2 = 2 |/~2 , находим
2-1,5
(4- М4 )2 _ [(2 у 2 )- 4/3]2 = 4"!/2 - (2 /2 )- 8/3 =
- J— f93/2\-8/3 = !___9-4 _ L_ L=-L
~У4[ 2 2 16 16-
Пример 3. Представим в виде степени следующие выражения:
а) ]/ а а~3а3/2а-3/2 = а-0’3;
О Г^^=(1_х)1/2(1_Л)-2/3=(1-хГ1/®;
у (1-х)2
в) -|//= . х2/3 . х- 1/4 =4/717712 = ?7/24 .
92
Пример 4. Запишем в виде степени с показателем х следующие выражения:
12* __ 12* 12*__/12\* /3\*.
а) 23* “ (23)* 8* “ \ 8 J “ \ 2 ) ;
48* 48* 48* /48V
- (91/2)л- “ з* \ 3 / “ Ь ;
в) З2* - 8х/3 = (32)* • (8,/3)* = 9* • 2* = (9 • 2)* = 18*.
Пример 5. Упростим выражения:
а)
Г(аз/4_^з/4) +
I.
^12&(а+^
J 10-1/2
P(a3/4)2_(63/4)2 iZ_-| 2 •/10
-[ а1/2_&1/2 ’'«’J а + г>
б)
= (a+a1/251/2 + 6-aW/2) JL = 10,
0,5 (1+х)-~1/2Н-0,5(1 — х)~1/2 _ 0,5 (1 +х)~1/2- 0,5 (1 - х)~ 1/2
1 'ПТ - | ПТ / НТ + /ПТ
2/14-х
(1-1-х)2- /ПТ
1 I л
1 /1-х-|-/1+х______1 _______I 1-х-У 1+х
2 ’ УГТ (/ПТ - V ПТ) 2 ’ /ПТ (/ нТ + /ПТ)
V 1 -т-х _ (/ 1 —х+ | 1 — х)2 + (/ 1 4-х —/1 — х)2 _
(14-х)/ ПТ 2/ПТ [(/НТ)2-(/ПТ)2]
1 = 1-I-X4-1-X4-2 /1 —х24-14-х-)- 1 -х-2 /ПТ
/ 1-х* 2/ПТ-2х
1 = 1____1 _ 1-х _ J_ . Г 1-х
/Т-х2 х/ПТ /ПТ х/ПТ”^ ' !+*'
Упражнения
1. Пусть f(x, у)^=хУ. Вычислить: a) f (3; 0); б) /(0; 3); в) f (0; 0);
г). /(2; —3); д) /(—2; —3); е) /(0; —2); ж) /(4; 3/2); з) /(27; 1/3);
и)/(-81; 1/2); к) /(3/4; 1/2); л) /(-3/4; 1/2); м) /(-3/4; -1/2).
2. Проверить справедливость правила аг,аГ1 = аг, + Гг при гг=т/п и гг =
— —Р» где т, п и р — натуральные числа. Рассмотреть два случая: in>pn
и tn <zpn.
3. Представить в виде 2Г следующие числа: а) 512; б) 0,125; в) 0,03125;
г) 1024; д) 162/3; е) I//8; ж) ^-/32./б^5.
4. Следующие дроби записать в виде произведения целого числа на сте-
пень 10: а) 0,0023; б) в) 0,0000405.
93
5. Представить в виде ат следующие выражения:
а) 152Я1/5т; б) (|<2 )m/8m/2; в) (|/Т )5m/2'n/3.
Упростить выражения:
(3 _ Х=)1/2 _ Х2 (3 _ Х2)- 1 /2 + 3
6.
(3 - х2)1/2 + х2 (3 —x2)~“1/2
(3-Х2) 1
3-х2 Г2
х 1
_____
-2а1'2^2
7.
8.
л4/3 —8а1/3/>
X \ —1/2
1-1/5
У(х-ар
Ь — 2 ) ab при а<Ь.
ГЛАВА III
ФУНКЦИИ и их графики
§ 1. Определение функции и понятий, связанных с ней
1. Числовые промежутки. Если значения переменней х —
любые действительные числа, то говорят, что переменная х задана
на всей числовой оси: —оо<х<ф-оо.
Значения переменной х могут принадлежать лишь части
числовой оси. Рассмотрим следующие, наиболее часто встреча-
ющиеся случаи.
1. Значения переменной х удовлетворяют неравенству а^х^Ь.
Эю множество значений х обозначается [а, Ь] и называется
замкнутым промежутком или отрезком;
2. Значения переменной х удовлетворяют неравенству а < х < Ь.
Такое множество значений х обозначается (а, Ь) и называется
открытым промежутком или интервалом.
Встречаются множества [я, &) и (о, Ь]. Первое из них состоит
из значений х, удовлетворяющих неравенству а^х<Ь; опреде-
лением второго служит неравенство а<х^Ь.
Множества [я, &], (а, Ь), [а, Ь), (а, Ь] называются числовыми
промежутками.
2. Функция. Примеры и определение. Понятие функции осно-
вано на понятии множества и соответствия между множествами.
Как отмечалось ранее, множества могут состоять из элементов
любой природы (предметов, понятий, людей, чисел и т. д.). Рас-
смотрим несколько примеров.
1. Пусть X = {а, Ь, с, d} — множество студентов, a Y = {т, п, р}—
множество руководителей дипломных работ. Каждому студенту
назначается определенный руководитель:
Студент а b с d
Руководитель т п Р п
Возможны также следующие варианты:
X а Ъ с d X а b с d
Y т п т п Y т Р Р п
и т. д. Каждый вариант представляет собой такое соответствие
между двумя множествами, при котором каждому элементу мно-
95
жества X соответствует определенный элемент множества Y (при
этом использование всех элементов множества Y не является
обязательным).
2. Даны два множества: Х = {—5; 4; 1/У 2; 1/2; 0, (3); л; 2,7}
и У = {0, 1}.
Пусть правило, по которому устанавливается соответствие
между X и Y, состоит в том, что каждому рациональному числу
множества X соответствует 1 множества У, а каждому ирраци-
ональному числу множества X соответствует 0 множества Y:
X -5 4 1/К2 1/2 0, (3) л 2,7
Y 1 1 0 1 1 0 1
И в этом случае каждому элементу множества X соответ-
ствует определенный элемент множества У.
Итак, рассмотрено соответствие между конечными множествами.
В следующем примере рассмотрено соответствие между бесконеч-
ными множествами.
3. Пусть Х = {1; 2; 3; ...; /г; ...} и У={1; 1/2; 1/3; ...; 1//г;...}.
Здесь каждому числу множества X ставится в соответствие обрат-
ное ему число множества У. Это соответствие между множествами
X и У можно представить парами чисел: (1, 1), (2, 1/2), (3, 1/3),...
(я, 1/п), ...
Рассмотренные примеры позволяют сформулировать опреде-
ление понятия функции: соответствие между множеством X
и множеством Y, при котором каждому элементу множества X
ставится в соответствие один и только один элемент множества
У, называется функцией.
Множество X называется областью определения функции,
а множество Y — областью ее значений. Из определения следует,
что функция задана, если: 1) задана ее область определения (X);
2) задана область ее значений (У); 3) известно правило (закон)
соответствия. Правило (закон) соответствия должно быть таким,
чтобы каждому значению, принадлежащему области определения
функции, соответствовало единственное значение области значе-
ний функции. При задании функции требование единственности
ее значения является обязательным.
Функция называется числовой, если элементы множеств X
и У —числа. В дальнейшем под словом «функция» подразуме-
вается числовая функция. Для обозначения любого элемента
множеств X и У используют, например, буквы х и у. Закон
соответствия между множествами обозначают символом f (вместо
букв х, у и f можно использовать и другие буквы). Тот факт,
что между множествами X и У установлено соответствие по
правилу f, записывают так: y = f(x). Переменную х называют
аргументом. Если правило соответствия f задается с помощью
96
знаков действий над аргументом х и некоторыми числами, то
задание функции в виде y — f(x) называется аналитическим.
Например, 1) у = х3 + 1; 2) г/ = ^Ь2; 3) у = ]/х-3; 4) у = 1^9 —х2;
5> y~v^- 6) Т> у=У^+тЬ-
В элементарной математике все функции изучают в множе-
стве действительных чисел. Это означает, что областью значений
числовой функции является множество действительных чисел (/?).
Таким образом, для задания числовой функции необходимо
задать только область определения (X) и закон соответствия (/),
поскольку для числовой функции областью значений всегда
является множество действительных чисел.
Если же числовая функция задана аналитически [в виде фор-
мулы y = f(x)] и область се определения не указана, то считают,
что эта область — множество всех действительных значений аргу-
мента, при которых выражение f (х) — действительное число.
В этом смысле надо понимать выражение «дана функция z/ = f(x)».
Так, для приведенных выше примеров области определения
функций (ООФ) таковы: 1) — оо<х< + со; 2) х 2; 3) х^3;
4) —3^х<3; 5) —3<х<3; 6) —3<х<3; 7) — 3<х<3,
или (в других обозначениях): 1) (— оо, + оо); 2) (— оо, 2) U
U (2, +оэ); 3) [3, +оо); 4) [-3,3]; 5) (-3, 3); 6) [-3, 3);
7) (—3, 3].
Введем понятие области изменения значений функции (в отли-
чие от родственного понятия области значений функции). Область
значений функции, как было отмечено выше, — множество действи-
тельных чисел (/?), а областью изменения значений функции мо-
жет быть лишь подмножество множества R. Например, для функ-
ции у = ]/х область изменения ее значений — множество всех
неотрицательных чисел, а для
[О, 3]. Для функции у = х3
область изменения значений
и область значений совпадают.
3. График функции. Пусть
функция задана правилом
соответствия y — f (х) и из-
вестна область определения
X. Выберем на плоскости
прямоугольную систему ко-
ординат хОу (рис. 11) и будем
откладывать по оси абсцисс
функции у = У 9 — х2 — множество
значения аргументах, а по оси
ординат —значения функции y = f(x)\ тогда множество всех точек,
у которых абсциссы составляют область определения функции,
а ординаты равны соответствующим значениям этой функции,
называется графиком функции y = f(x).
Так как все точки, принадлежащие области определения функ-
ции, взять невозможно, то берут некоторое конечное число точек
4 М. И. Абрамович, М. T. Стародубцев
97
этой области, соответственно получают конечное число точек на
координатной плоскости. Соединяя эти точки плавной кривой,
получают линию, которую принимают за график функции.
Таким образом, график функции —лишь воображаемый образ,
а линия, которую получают по конечному числу точек,— более
или менее точное его изображение.
4. Некоторые общие свойства функции. Монотонность.
Функция называется возрастающей в данном промежутке, если
большему значению аргумента соответствует большее значение
функции, т. е. если х2>-4, то f (*2) > f (м)• Если же при х2 >
выполняется неравенство f (х2) </ (м), то функция называется
убывающей. Функция, которая на данном промежутке только
возрастает или только убывает, называется монотонной на этом
промежутке.
Ограниченность. Функция называется ограниченной на
отрезке [а, 6], если существует такое положительное число М,
что \f(x)\^M для всех значений х, принадлежащих данному
отрезку. На рис. 12 изображен график возрастающей и ограни-
ченной функции, а на рис. 13 —убывающей и ограниченной функ-
ции.
Четность и нечетность. Пусть область определения
функции симметрична относительно начала координат; если
точка х0 принадлежит ООФ, то и точка —х0 также принадлежит
этой области. Тогда если /(— x) = f (х), то функция называется
четной, а если /(—x) — — f(x), то функция называется нечетной.
График четной функции (рис. 14) симметричен относительно оси
98
ординат, а график нечетной функции (рис. 15) симметричен отно-
сительно начала координат.
5. Корень функции. Значение аргумента х, при котором зна-
чение функции равно нулю, называется корнем функции. Напри-
мер, если функция задана выраже-
нием у — (х — 2) (х 4-3), то ее кор-
ни-значения аргумента х = 2 и
х =—3. Геометрически корень функ-
ции—это абсцисса точки пересече-
ния графика функции с осью Ох. На
рис. 16 изображен график функции,
корни которой Xi, х2 и х3. Рис. 16
§ 2. Важнейшие элементарные функции
1. Линейная функция. Функция, определяемая формулой у =
= ах-\-Ь, где х и // — переменные, а и Ь — любые действительные
числа, называется линейной. Значение этой функции — действи-
тельное число для всех действительных значений х, поэтому
областью ее определения является вся числовая ось. Рассмотрим
два частных случая.
Случай 1. Коэффициент а = 0. В этом случае у — Ь. При
любом значении х значение функции постоянно. График этой
Рис. 18
функции —прямая, параллельная оси Ох, ордината любой точки
которой равна b (рис. 17).
Случай 2. Коэффициент Ь — 0. В этом случае у = ах. Пока-
жем, что график такой функции —прямая, проходящая через
начало координат. Для простоты условимся считать а>0. Возь-
мем произвольные положительные значения аргумента хг и х2 и
вычислим соответствующие значения функции = axj и у2 — ах2.
Построим точки А1(х1-, ух) и А2 (х2; у2), которые в силу предпо-
ложений находятся в первом квадранте (рис. 18). Соединяя эти
точки с началом координат и проводя перпендикуляры AxBi и
А2В2, получаем острые углы Д410В1 = а1 и А20В2 — (Х2- Дз-
лее имеем:
frt/v — 1 _А.2В2 у2 _
tg “х ~ W ~ tga2~~ов1~х2~а
4*
99
Таким образом, tgax = tga2* Ь1о так как aL и а2 —острые углы,
то aj =a2. Равенство углов свидетельствует о том, что точка Л2
находится на прямой, проходящей через начало координат и
точку Лъ что и требовалось доказать.
Заметим, что при а>0 равенство у = ах выражает прямо про-
порциональную зависимость между х и у (а — коэффициент про-
порциональности). Например, при равномерно ускоренном дви-
жении с нулевой начальной скоростью скорость движения
пропорциональна времени. Зависимость
V у скорости от времени выражается равен-
/ ством v = at, где у — скорость, а — уско-
/ Y=at рение и / — время. Графически эта зави-
/ симость выражается прямой, проходящей
___. через начало координат, причем следует
t брать ту часть прямой, которая располо-
жена в первом квадранте (рис. 19).
Рис- 19 В равенстве у = ах величина а харак-
теризует угол наклона прямой (графика
функции) к оси Ох и называется угловым коэффициентом. Как
было показано, при а>0 этот угол острый. Нетрудно устано-
вить, что при а<0 этот угол тупой.
Отметим два важных случая: а= 1 иа = -1. В первом из них
имеем у~х и графиком функции является биссектриса первого
и третьего координатных углов. Во втором случае получаем у =
= —х, график —биссектриса второго и четвертого координатных
углов.
Теперь рассмотрим общий случай: у = ах + Ь. При одном и
TOxM же же значении х значения функций у = ах-{-Ь и у = ах
отличаются на величину Ь, причем значения первой больше соот-
ветствующих значений второй при &>0 и меньше при /;<0..
Таким образом, чтобы построить график функции у = ах-\-Ь,
нужно график функции у = ах переместить вверх параллельно
самому себе на величину Ь, если &>0 (рис. 20), или вниз, если
&<0 (рис. 21). Величина b называется начальной ординатой.
Итак, график функции у = ах-\-Ь — прямая линия, параллель-
ная графику функции у = ах и проходящая через точку (0; 6).
Для построения графика линейной функции достаточно найти
две точки, принадлежащие этому графику, и провести через эти
100
точки прямую. Построим, например, график функции у = — 2л'4-3.
Придадим аргументу х значения 0 и 2; получаем точки А (0; 3)
и В (2; —1). Прямая, проходящая через эти точки, является
графиком функции (рис. 22).
функция у = ах-\-Ь (а # 0) имеет единственный корень х =*
= — b/а. Действительно, а (— b/a) 4- b = 0. Корень функции (число
— b/а) делит числовую ось (рис. 23)
на два промежутка (—оо, — b/d) и
(—b/а, +оо). Покажем, что в каждом
из них линейная функция имеет один
и тот же знак. В самом деле, у =
= ах-\-Ь = а (х 4- b/d), Возможны еле-
дующие случаи.
а
Рис. 22
Рис. 23
Случай 1. Коэффициент а>0. Имеем:
если х< — Ыа, то х4-&/а<0 и y = a(x-\-b!a) <0;
если — b/а, то х+Ь/а>0 и у = а (х + Ь/а) > 0.
Случай 2. Коэффициент а < 0; тогда
если х< — Ыа, то х + Ь/а<0 и у = а(х-\-Ь/а)>0;
если х> — Ь/а, то х-\-Ь/а>0 и у = а (х-\-Ь/а) <0.
Полученные результаты представим в виде таблицы:
(— оо, — Ь/а)
(х меньше корпя)
(— Ь/а, 4- со)
(х больше нория)
а > О,
а<0
Промежутки значений аргумента (—оо, —Ь/а) и (-— b/а, +оо)
называются промежутками знакопостоянства линейной функции.
У и
ь_
а
Рис. 24
Рис. 25
Функция у = ах-\-Ь при а>0с возрастанием аргумента от
— оо до -|-оо также возрастает от — оо до 4-°° (рис. 24), а при
а<0 она убывает от 4-оэ до — оо (рис. 25).
101
В заключение отметим, что запись у = ах-\-Ь объединяет беско-
нечное множество линейных функций. Определенные значения
углового коэффициента а и начальной ординаты b позволяют выде-
лить из этого множества одну конкретную линейную функцию.
Величины а и b называют параметрами линейной функции. Вообще,
параметрами называются такие величины, значения которых вы-
деляют из данного множества определенный его элемент.
2. Квадратичная функция. Функция, определяемая формулой
у = ах2-{-Ьх + с, где х и // — переменные, а параметры а, b нс —
любые действительные числа, причем а^О, называется квадра-
тичной. Значение этой функции— действительное число для всех
действительных значений х, поэтому область ее определения —
вся числовая ось.
Рассмотрим простейший случай. Построим график функции
у = х2.
Составим таблицу:
• • • СО 1 I to —1 0 1 2 3 • • •
У 4 • « 9 4 1 0 1 4 9 • • •
Построив точки (—3; 9), (—2; 4), (—1; 1) (0; 0), (1; 1) (2; 4),
(3; 9) и соединив их плавной кривой, получим график этой функ-
ции (рис. 26).
Теперь рассмотрим функцию у = ах2. Построим графики этой
функции при а = ±2 и я = ±1/2 и выясним, как влияют знак
коэффициента а и его абсолютная величина на расположение
графика и его форму. Соответствующие значения аргумента и
функции запишем в таблицу^
• • • —2 —1 0 1 2 ...
• • • 8 2 0 2 8 ...
• • • 2 1 2 0 1 2 2 ...
у = — 2х2 • • • ь-8 —2 0 —2 -8 ...
• • • —2 1 2 0 1 2 —2 ...
Все четыре графика изображены на рис. 27. Кривая, являю-
щаяся графиком функции у = ах\ называется параболой. Из рас-
смотрения полученных кривых можно сделать следующие выводы:
1) знак коэффициента а определяет направление ветвей пара-
болы: при а>*0 ветви направлены вверх, при а <0 — вниз;
102
2) абсолютная величина
параболы: чем больше
параболы.
Отметим следующие свойства
функции у —ах2.
1. Функция имеет единст-
венный корень х = 0.
2. Если а>0, то при воз-
растании аргумента от — со до О
коэффициента а определяет крутизну
абсолютная величина а, тем круче ветви
Рис. 27
Рис. 26
функция у = ах2 монотонно убывает от 4- со до 0, а при увели-
чении х от 0 до + со — монотонно возрастает от 0 до +оо. Запи-
шем это свойство в виде таблиц:
X — со ... 0 0 ...-{-со
У При я<0 + со ... 0 0 ...-{-со
X — со ... 0 0 ... + оэ
У со ... 0 0 ... =» со
Промежутки (—со, 0) и (0, + со), в которых функция или
только убывает, или только возрастает, являются промежут-
ками монотонности.
3. Функция— четная, так как а(—х)2 = ах2. Ее график сим-
метричен относительно оси ординат.
4. При х = 0 функция принимает значение z/ = 0. При а>0
это значение наименьшее, а при а < 0 — наибольшее.
103
Для параболы у— ах2 (рис. 27) ось Оу является осью симмет-
рии. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется
вершиной параболы,.
Рассмотрим общий случай, т. е. функцию у = ах2 -\-bx-\-c.
Преобразуем это уравнение. Выделяя в правой части полный
квадрат, получаем
0==а
' , , 4ш?—62
X + +-4Г-
График функции— уже рассмотренная парабола у = ах2, но опа
иначе расположена относительно координатных осей. Чтобы дока-
зать это, решим следующую вспомогательную задачу. Некоторая
точка М имеет координаты (х; у). Начало координат 0(0; 0)
перенесено в точку Oi(p; q), направление координатных осей
сохранено (рис. 28). Обозначая через хг и уг координаты точки М
в новой системе координат (ХхО^), найдем связь между старыми
и новыми координатами точки.
На основании рис. 28 легко установить следующие равенства:
x = xi + p и y = yl + q.
Эти формулы называются формулами преобразования координат
* при параллельном переносе осей.
Вернемся к уравнению
У = а
( I V I 4ас — Ь2
' 4а
и построим график этой функции. Перепишем уравнение в виде
(*)
/ Ь 4ас — Ь2\
и перенесем начало координат в точку ( ——1, сохраняя
направление осей. Формулы преобразования координат в этом
случае таковы:
Ь , 4ас—h2
х = хг-^ и у = у1 + -ч—
104
Подставляя в уравнение (*) вместо х и у их выражения через
новые координаты хх и уъ получаем
„ . 4ас — b2 4ac—b2 f b , Ъ \2
У1 + 4а 4а ~a\Xl~2a^~ 2а) ’
или окончательно у1 = ах21.
Графиком функции уг — ах2 в новой системе координат является
парабола с вершиной в новом начале координат, а ось симметрии
параболы совпадает с новой осью ординат (рис. 29). Заметим,
что преобразование координат упрощает уравнение, что и позво-
ляет построить график функции. Итак, доказано, что график
функции у = ах14- Ьх 4- с — парабола.
Таким образом, чтобы построить график функции у = ах2-\-
-\-bx-\-c, необходимо:
1. Привести уравнение к виду
y — q — a(x — p)2,
где р =— Ь/(2а) и q== (4ас — Ь2)/(4а).
2. Используя формулы преобразования координат х — Хх + р
и У = У1 + ц, получить уравнение Ух = ах\.
3. В системе координат хОу построить точку Ох (р; q) и через
нее провести оси О^ЦОх и (Ку-^Оу (сохраняя направления),
которые образуют вспомогательную систему координат.
4. В системе х^у^ построить параболу = которая и
является графиком функции у =
= ах2-4-Ьх + с.
Пример. Построить график функции
t/ = 2x2 — 4х — 2,5.
Решение 1. Преобразуем данное
уравнение:
!/ = 2(х2 — 2х) — 2,5 = 2(х2 —2х-ь 1) —2 —2,5,
т. е.
1/+4,5 = 2 (х—I)2.
2. Имеем: х = хх+1 и y = yt — 4,5;
& = 2х2.
3. В системе координат хОу строим точ-
ку Qt(h —4,5) и вспомогательную систему
координат хгОху1 (рис. 30).
4. В системе xfi^y^ строим параболу r/i = 2x?, которая и является графи-»
ком функции // = 2x2— 4х — 2,5.
График функции необходим для того, чтобы придать нагляд-
ность многообразию свойств изучаемой функции. С построения
графика обычно начинают изучение функции. На следующем
этапе находят значение функции по заданному значению аргу-
мента, значение аргумента, соответствующее данному значению
функции, корни функции, наибольшее и наименьшее значения и
выявляют другие свойства функции.
Например, рассматривая график функции y = 2xi — 4х — 2,5
(рис. 30), можно отметить следующие ее свойства:
105
1) Функция имеет наименьшее значение у = —4,5 при х=1,
наибольшего значения она не имеет.
2) Функция имеет два корня: хг =—1/2 и х2 = 5/2, что легко
проверить аналитически.
3) В промежутке — 1/2<х<5/2 значения функции отрица-
тельны, а в промежутках —оо<х<—1/2 и 5/2<х< + оо —
положительны:
X (-со, —1/2) (-1/2, 5/2) (5/2, 4- со)
У 4- —
Промежутки (—оо, —1/2), (—1/2, 5/2) и (5/2, +оо) —проме-
жутки знакопостоянства.
4) При увеличении х от — оо до 1 функция убывает от 4-со
до —4,5; при увеличении х от 1 до функция возрастает
от —4,5 до 4-оо:
X (—СО, 1) (1, +оо)
У + оо... — 4,5 — 4,5 ... -|- оо
Промежутки (—оо, 1) и (1, +оо) являются промежутками
монотонности.
3. Функция вида<у = ^- (k 0). Область определения этой
функции — множество действительных чисел, кроме х = 0. При
k>Q и х>0 эта функция выражает обратно пропорциональную
зависимость между х и у. Построим график этой функции при
£ = 6. Составим таблицу:
X • • • -6 —3 —2 —1 —2/3 -1/2 0 1/2 2/3 1 2 3 6 • • •
У • • • —1 —2 —3 -6 —9 —12 —— 12 9 6 3 2 1 • • •
Графиком функции у = ^ является кривая, называемая гипер-
болой. Отметим основные свойства этой функции (рис. 31).
1) Функция корней не имеет.
2) Промежутки знакопостоянства:
X (—оо, 0) (°, 4-00)
у=Ч» 4-
106
3) Функция г/= 6/х —нечетная. График ее симметричен отно-
сительно начала координат.
4) При увеличении х от —оо до 0 функция монотонно убы-
вает от 0 до —оо, а при увеличении х от 0 до -фсо она моно-
тонно убывает от -фоо до 0:
0)
X
(0, +гс)
у = Ь/х
0... — со
+ оо... 0
Из таблицы видно, что при х, стремящемся к плюс бесконеч-
ности (х->Н-со), и при х, стремящемся к минус бесконечности
(х — оо), значения функции у = 6/х становятся как угодно малыми
по абсолютной величине *. Геометрически это означает, что
гипербола приближается к оси абсцисс, не пересекая и не касаясь
ее. При таком взаимном расположении кривой и прямой говорят,
что прямая является асимптотой кривой или что кривая асимп-
тотически приближается к прямой. Следовательно, ось абсцисс
является асимптотой (горизонтальной) гиперболы у = &!х или
гипербола асимптотически приближается к оси абсцисс. Наличие
асимптоты — особое свойство кривой. Ось ординат также является
асимптотой (вертикальной) гиперболы г/ = 6/х.
Заметим, что при х = 0 функция y — Q/x не существует. Если же
х приближается к нулю, то значения функции по абсолютной
величине становятся как угодно большими. Иначе говоря, если
х->0, оставаясь отрицательным, то у-^ — оо, аеслих->0, будучи
положительным, то г/-> + оо.
Значение х = 0 для функции у — 6/х называется точкой разрыва.
Построив график функции y = k/x при k =— 6 (рис. 32), легко
установить свойства функции аналогично тому, как это было
сделано для функции у = 6/х.
* В гл. VII смысл символических записей к->4-со и х-э-—со будет
уточнен.
107
4. Примеры построения графиков функций. Выше были под-
робно изучены функции у = ах-\-Ь, у = ах2 + Ьх-фс, y = k/x и
построены их графики. На основании полученных графиков уста-
навливались свойства рассматриваемой функции. На практике
часто сначала изучают аналитическое задание функции и выявляют
наиболее характерные ее свойства, которые затем используют для
построения графика функции. Рассмотрим ряд примеров.
Пример 1. Построить график функции f/ = x4.
Область определения этой функции — множество всех действи-
тельных чисел (вся числовая ось). Показатель степени при х — чет-
ный, следовательно, график симметричен относительно оси ординат,
так как любым двум противоположным значениям аргумента
соответствуют одинаковые значения функции, т. е. данная функ-
ция является четной. Из четности функции следует, что достаточно
построить сначала ее график для неотрицательных значений х,
т. е. для хэ=0, а затем учесть, что график симметричен относи-
тельно оси Оу. Составим таблицу:
X 0 1/2 1 3/2 ... +со
У 0 1 16 1 5В ... 4"ОЭ
График функции y = xi изображен на рис. 33.
Пример 2. Построить график функции у = |х|. Областью опре-
деления этой функции является вся числовая ось. Функция является
четной, поскольку 1х| = ( — х|. Аналогично предыдущему заклю-
чаем, что график должен быть симметричен относительно оси Оу.
При'х 5s 0 имеем у = х, т. е. графиком является луч, исходящий
из начала координат и делящий первый координатный угол пополам.
График функции 1/ = |х| изображен на рис. 34.
Пример 3. Построить график функции у = х3.
Область определения этой функции — вся числовая ось. Функ-
ция нечетная, так как (—х)3 =— х3. Достаточно построить гра-
108
фик для х^=0, а затем учесть его симметричность относительно
начала координат. Составим таблицу:
X 0 1 2 1 3 2 • • • + оо
У 0 1 8 1 оо со, со • • • 4-00
График функции у = х3 изображен на рис. 35.
Пример 4. Построить график функции =
Областью определения этой функции является вся числовая
ось, кроме точки л = 0. При х>0 имеем |х| = х, т. е. г/=1; при
х < 0 имеем | x j = — х, следователь-
У но, z/ = — 1. Итак,
1 при х>0,
у= —1 при х<0,
у=х3 у не существует при х = 0.
График функции у = -^- изображен
X
на рис. 36.
Рис. 35 Рис. 36
Примечание. Точки (0; 1) и (0; —1) графику функции не принадлежат
(это отмечено на рис. 36 светлыми кружочками).
В курсе высшей математики рассматривается функция
1 при х>0,
У = < 0
при х = 0,
при х < 0,
которую символически обозначают так: // = sign х (читается: сигнум х). Если
к множеству точек, образующих график функции у = \х\/х, присоединить точку
(0; 0), то получим график функции у —sign х.
Пример 5. Построить график функции у = ]/х.
Область определения этой функции —все множество неотри-
цательных чисел, т. е. х^О. Составим таблицу:
X 0 1/4 1 2 4- 9 16 • • • 4-СО
У 0 1/2 1 /2 2 3 4 • • • 4-00
109
График функции изображен на рис. 37.
Пример 6. Построить график функции У = ~2-
Область определе.ния этой функции — множество действитель-
ных чисел, кроме х = 0, а область изменения значений функции —
множество всех положительных чисел. Функция является четной,
поэтому ее график симметричен относительно оси Оу. Составим
таблицу:
X 0 1/2 I 2 3 • • • + <х>
9 » 1^ 4 1 1/4 1/9 • • • ^0
График функции г/ = — приведен на рис. 38. Он состоит из
двух ветвей. Одна из них расположена в первом квадранте (для
х>0), а другая —во втором квадранте (для х<0). Оси коорди-
нат являются асимптотами кривой. Точка х = 0 —точка разрыва.
Примечание. В примерах 1, 3, 5, 6 были рассмотрены функции вида
у = хг, где г —рациональное число. Такие функции называются степенными.
Пример 7. Построить график функции г/ = У 9 —х2.
Эта функция уже рассматривалась (см. § 1, п. 2). Как было
выяснено, область ее существования — множество значений х,
удовлетворяющих неравенству —3^х=с3. Функция принимает
наибольшее значение г/ = 3 при х = 0 и наименьшее у = 0 при
х = ±3, т. е. область ее изменения определяется неравенством
О у 3. Функция является четной. Составим таблицу:
X 0 1 /5^2,3 3
У 3 2,8 2 0
График функции у = ]/9 — х2 изображен на рис. 39.
Рассмотрим полуокружность радиуса г = 3 с центром в начале
координат (рис. 40). Возьмем на этой полуокружности точку М
110
с координатами х и у. Легко видеть, что —3sgxsg3 и 0^у=сЗ.
Из треугольника OM.N следует, что х и у связаны соотношением
г/ = У9 — х2. Теперь ясно, что график функции z/ = ]/9 — х2, изо-
браженный на рис. 39, представляет собой полуокружность.
Пример 8. Построить график функции у = х2 —2х.
В п. 2 был изложен способ построения графика квадратичной
функции. Однако построение графика этой функции можно зна-
чительно упростить. Замечая, что ось симметрии параболы делит
пополам отрезок оси абсцисс, заключенный между корнями, можно
по корням определить положение оси симметрии параболы. Вер-
шина параболы лежит на ее оси, поэтому легко найти абсциссу
вершины. Зная абсциссу вершины параболы, находим ее ординату
как значение у, соответствующее найденной абсциссе. По корням
квадратичной функции и по положению вершины соответствующей
ей параболы легко построить график.
Функция z/ = x2 —2х имеет корни хх = 0 и х2 = 2. Ось пара-
болы проходит через середину отрезка [0, 2], следовательно,
абсцисса вершины параболы равна 1. Ордината вершины у —
= I2 —2-1=—1. Итак, строим параболу, являющуюся графиком
функции # = х2 —2х по трем точкам: (0; 0) (1; —1) и (2; 0)
(рис. 41).
Пример 9, Построить график функции
у = | х2 — 2х |.
Сначала построим график функции у — хг — 2х (см. предыду-
щий пример). Чтобы от графика этой функции перейти к графику
Ш
функции у = \х2 — 2х|, достаточно часть графика, расположенную
под осью абсцисс (па рис. 42 эта часть изображена пунктиром),
заменить кривой, симметричной ей относительно оси Ох.
Пример 10. Построить график функции у = | х + 2 | + |х — 11.
Областью определения этой функции служит вся числовая
ось. Замечаем, что все значения функции положительны. Разобьем
числовую ось на три про-
___________, , , , межутка (как показано на
- оо -2 7 + °° рис. 43).
Рис. 43
[—2,1]. Если —оо<х<—2,
поэтому | х+21 = — (х + 2) и | х -
У = — (х + 2)-(х — 1) или у =
==. — 2х—1.
Если —2=^x--sc 1, то х + 2 сэО,
а х — 1 -С 0, поэтому | х + 2| =
= х + 2 и |х—11 = —(х—1).
Следовательно, у — х +2—(х— 1)
или z/ = 3.
Если 1 <х<+со,тох+2>0
их—1>0, поэтому |х + 2| =
= х + 2и|х—1 = х — 1, следо-
вательно, # = х + 2 + х— 1 или
Рассмотрим функцию
на интервалах (—со, —2),
(1, + оо) и на отрезке
то х + 2<0 и х —1 < 0,
11 = — (х — 1). Следовательно,
г/ = 2х+ 1.
Итак,
—2х — 1, если — оо < х < — 2,
3 , если —2-Сх-сс 1,
2х+1, если 1<х< + оо.
График функции г/ = |х + 2| + |х—11 изображен на рис. 44.
Пример 11. Построить график функции у =----р.
g
Покажем, что графики заданной функции и функции z/ = —
имеют одинаковую форму и отличаются лишь расположением отно-
сительно осей координат. Воспользуемся формулами преобразова-
ния координат при параллельном переносе осей: х==хг + р и
у = Ух-\-Ч, где р и </ —координаты нового начала. Перенесем
начало координат в точку О1(1; 0), т. е. считаем, что р=1 и
о = 0 (рис. 45). Тогда получим х = хх+1 и у = уг. Уравнение
6
у =----т- относительно новой системы координат принимает вид
6 О
У1 =——7 или ух =—. В системе ХхО^ строим гиперболу
Л j । 1 1 '^*1
6 1 Ж 6 TZ
f/i== —, которая и является графиком функции у— -р. Кривая
А £ А 1 *
имеет две асимптоты: ось абсцисс и прямую, параллельную оси
112
ординат, все точки которой имеют абсциссу х=1. Точка 1
является точкой разрыва функции у = ——р.
Л 1
0
Пример 12. Построить график функции # = —-х. Построим
вспомогательную систему координат ХуОуУу (рис. 46) с началом
в точке Оу (—2; 0). Формулы преобразования координат таковы:
6
х = Ху — 2 и у — Уу. В новой системе координат уравнение у = —^го
Рис. 45 Рис. 46
0
имеет вид z/i = —. Как и в предыдущем примере, строим в новой
* 6
системе гиперболу z/x =—, которая и является графиком данной
xi
функции.
График функции рекомендуется строить в следующем порядке.
1) Установить область определения функции (это позволяет
выяснить «протяженность» графика вдоль оси Ох и наличие точек
разрыва).
2) Установить область изменения значений функции (это дает
возможность выяснить «протяженность» графика вдоль оси Оу).
3) Выяснить вопрос о четности или нечетности функции. Если
функция четная, то ее график симметричен относительно оси Оу,
если же она нечетная, то график функции симметричен относи-
тельно начала координат.
4) Найти корни функции, т. е. решить уравнение /(х) = 0.
Корни функции определяют точки пересечения графика функции
с осью Ох.
5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции, а также
промежутки монотонности.
6) Найти значение функции y = f(x) при х = 0. Этим опреде-
ляется точка пересечения графика функции с осью Оу.
113
7) Определить поведение функции в окрестности точек разрыва
и на бесконечности (таким образом решается вопрос о наличии
вертикальных и горизонтальных асимптот графика функции).
Рассмотрим еще два примера построения графика функции.
Пример 13. Построить график функции у= 1+д,2.
1) Областью существования функции является множество дей-
ствительных чисел, так как дробь имеет определенное
значение при любом действительном значении х. Геометрически
это означает, что график простирается влево и вправо неограни-
ченно, т. е. —со<х<4-со.
2) При х = 0 значение функции y = -^Q = 1; при любых дру-
гих значениях х значения функции положительны и меньше 1,
Рис. 48
т. е. 0< 1. Геометрически это означает, что все точки гра-
фика находятся в полосе, ограниченной осью Ох и прямой у=\.
3) Функция является четной, так как = •
График функции симметричен относительно оси ординат, сле-
довательно, можно рассматривать только случай х>0.
4) Функция корней не имеет, так как дробь не °бра‘
щается в нуль ни при каком значении х. -
5) В п. 2 уже было отмечено, что при х = 0 функция дости-
гает своего наибольшего значения. При увеличении х от 0 до
+ со знаменатель возрастает, поэтому дробь у—убывает.
6) График функции пересекает ось ординат в точке (0; 1).
7) При неограниченном возрастании х знаменатель 14-х2 уве-
личивается неограниченно, следовательно, дробь -р, , оставаясь
положительной, приближается к нулю. Таким образом, ось абсцисс
является асимптотой графика функции. Составим таблицу:
я 0 1& 1 2 3 7 ... + со
У 1 0,8 0,5 0,2 0,1 0,02 ...->0
Для положительной полуоси график функции изображен на
рис. 47.
114
оси Оу,
которая
Учитывая, что график симметричен относительно
строим график данной функции полностью (рис. 48).
Пример 14. Построить график функции у = —
является частным видом дробно линейной функции У =
Исследуем эту функцию.
1) Областью определения является вся числовая ось, кроме
точки х = — 2, т. е. -со<х<-2 и — 2 < х < + оо.
2) Запишем данную функцию в виде
2(х + 2) + 1
У Y 9
О I 1
, или у = 2-\—г-
J 1 У _1_
Теперь, рассматривая промежутки изменения аргумента (— оо, — 2)
и (—2, 4-°°)> легко установить область изменения значений
функции:
X (—оо, —2) ( — 2, +со)
У (2, —со) (+°о, 2)
Действительно, при х-> —оо дробь —rs-*0, а сумма 2 +
X -j-z
+ jjT2 (значение функции у) приближается к 2; если х-> —2,
оставаясь меньше числа —2, то знаменатель х + 2 приближается
к нулю, оставаясь отрицательным числом, поэтому 7775-* — оо,
а сумма 2 + 7/75 также стре-
мится к —оо. Аналогично, если
х-> —2, оставаясь больше —2,
чениефункции приближается к 2.
3) Функция не является ни
четной, ни нечетной.
4) Функция имеет единствен-
ный корень х =— 5/2.
5) Из таблицы, приведенной
в п. 2, видно, что функция убы-
вает как в интервале (— со, —2),
так и в интервале (—2, +оо).
Следовательно, функция наибольшего и наименьшего значений
не имеет.
6) При х = 0 имеем у = 2,5. График пересекает ось Оу в точке
(0; 2,5). * .
7) Точка х = — 2 является точкой разрыва. Поведение функ-
ции около этой точки можно установить на основании таблицы,
приведенной в п. 2. Из этой же таблицы следует, что график
115
функции имеет две асимптоты: вертикальную х =— 2 и горизон-
тальную у —2. Составим таблицу:
X -6 — 4 -3 -2,5 -2,25 -2 — 1,76 -1 0 2 • • «
У 1,75 1,5 1 0 — 2 — 6 3 2,5 2,25 • • •
2x -I- 5
График функции у =—4^- изображен на рис. 49.
X . Л
Упражнения
1. Найти область существования следующих функций: а) у = х — 4; б) у ==
= —7>' в) У = У~,> г) У = д) г/=1/4-х2; е) г/=—L=; ж)р=
х + 4 х24-4 х2 — 4 1/4—х2
= }/гх2-4.
2. Найти область изменения значений функций: а) у=х2\ б) # = ;
.____ Х“Т 4
В) y=V 4— х2.
3. Построить графики функции у = ах-\-Ь, если параметры а и b таковы:
а 2 2 — 2 — 2 0 5 0,5
b 5 —5 -5 5 5 • 0 -2
4. Построить график функции у = ах2-{-Ьх-\-су если параметры а, Ь и с
заданы тройками чисел: а) (1/2; 0; 1); б) (—1/2; 0; —1); в) (1/2; 0; —2);
г) (-1/2; 0; 2); д) (1; 4; 4); е) (-1; 4; -4); ж) (2; -8; 6); з) (-2; -8; -6);
и) (1/3; -2/3; 3); к) (-2; 12; -19).
5. Построить графики следующих функций: а) г/=|/х2; б) у = У4— х2;
В) 2/= у*2~2 ' г) ^ = 1*4-11 + |*-11; д) У
е) y-Уз’ ж) у =
х —1 *
ГЛАВА IV
УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ !• Основные понятия
1. Определение уравнения. Корень уравнения. Область допусти-
мых значений. Определение. Равенство, содержащее перемен-
ную, называется уравнением, если необходимо найти значения
переменной, при которых оно является верным.
Уравнение с одной переменной в общем виде записывается
так:
Л(Х)=/2(Х).
Значение переменной, при котором уравнение обращается в вер-
ное равенство, называется корнем уравнения. Если а— корень
уравнения Л (х) =/2 (х), то равенство (a) =f2 (а) является вер-
ным. Легко проверить, что числа 2 и 3 —корни уравнения
2х2— 12х-|-3 = х2 —7х —3.
Множество значений переменной х, при которых имеют смысл
выражения Л (х) и /2(х), называется областью допустимых значе-
ний переменной (ОДЗ) или областью определения уравнения.
Пример. Пусть дано уравнение
/25-х2 = ^±3 + 10.
Левая часть этого уравнения имеет смысл, если х принадлежит
множеству [ — 5, 5]; правая часть имеет смысл при х 5. Пере-
сечение этих множеств — множество [ — 5, 5), которое и является
ОДЗ переменной или областью’ определения уравнения. Корень
уравнения должен обязательно принадлежать области определе-
ния уравнения. Корень рассматриваемого уравнения —число 4,
которое принадлежит множеству [ — 5, 5). Рассмотрим еще ряд
примеров:
1) Корнем уравнения 2x4-3 = х-|-8 является х==5.
2) Корни уравнения х(х4-2)(х—1) = 0—числа хх = 0, х2 =
= —2 И А'з= 1.
3) Нетрудно убедиться, что любое число служит корнем урав-
нения (х+ I)2 — х* = 2х+ 1.
4) Рассмотрим уравнение 2(х-|-3) = 2х —7. Очевидно, что
функции 2(х-|-3) и 2х —7 ни при каком значении х не имеют
одинаковых значений, т. е. уравнение не имеет корней.
117
Решить уравнение —значит найти все множество его корней.
Это множество может оказаться пустым (см. пример 4).
2. Понятие о равносильности уравнений. Из определения урав-
нения следует, что оно является частным видом более общего
понятия — понятия равенства. Равенства обладают следующими
очевидными свойствами, которые часто используют при доказатель-
ствах различных математических утверждений.
Свойство 1. Равенство не нарушится, если к обеим его
частям прибавить (отнять) одно и то же число.
Свойство 2. Равенство не нарушится, если обе его части
умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число.
Попытаемся распространить эти свойства на уравнения. Рас-
смотрим пример: уравнение 2(х + 3) = 3%+4 имеет единственный
корень х = 2. Прибавляя к обеим частям этого уравнения двучлен
х — 2, получаем новое уравнение
2(х + 3) + (х-2) = Зх-|-4 + (х-2),
которое также имеет единственный корень х = 2. Казалось бы,
что ничего не изменится, если к обеим частям уравнения вместо
двучлена х — 2 прибавить дробь 1/(х —2), однако значение х = 2
уже не является корнем нового уравнения
2 (х + 3) + -—р = Зх -}- 4 g,
так как при х = 2 обе его части не имеют смысла.
Умножим обе его части уравнения 2 (х3) = Зх + 4 на х — 1.
Уравнение
2(х + 3)(х- 1) = (3% + 4) (х- 1)
имеет, как легко убедиться, два корня: х = 2 и х=1.
Таким образом, свойства числовых равенств нельзя безогово-
рочно переносить на уравнения. В процессе решения уравнений
часто приходится к обеим его частям прибавлять или обе его
части умножать на одно и то же выражение, содержащее пере-
менную. При этом всякий раз необходимо выяснить, не измени-
лось ли множество корней.
Определение. Два уравнения называются равносильными
(эквивалентными) в данном числовом множестве, если всякий
корень первого уравнения является корнем второго и, наоборот,
всякий корень второго является корнем первого. Уравнения назы-
ваются равносильными и в том случае, если они не имеют корней.
Пример 1. Уравнения (х —3)(х —5) = 0 и х (х—3) (х —5) = 0 равносильны
в множестве натуральных чисел, так как в этом множестве каждое из них
имеет только корни х = 3 и х=5. Эти уравнения, однако, не- равносильны
в более широком числовом множестве, например в множестве целых неотрица-
тельных чисел (7V0), так как в этом множестве второе из уравнений имеет
корень х = 0, не являющийся корнем первого уравнения.
Пример 2. Уравнения (х—-3) (х + 5) (2х—1) (х2 —2) = С и (х —3)(х + 5)Х
X (2х—1) —0 равносильны в множестве рациональных чисел, так как в этом
множестве их корни совпадают, но в множестве действительных чисел они не
118
равносильны, поскольку в этом множестве первое уравнение имеет корни
х = ] 2 и х ——У 2, не являющиеся корнями второго уравнения.
Пример 3. Уравнения х* — х = 20 и (х +4) (х—5) = 0 равносильны, так кан
числа 5 и —4 —корни обоих уравнений; других корней ни одно из этих урав-:
нений не имеет.
Пример 4. Уравнения (х2 — 2) (х2 + 4) = 0 и х2 —2 = 0 равносильны в мно-
жестве действительных чисел и не равносильны в множестве комплексных
чисел, так как в последнем множестве первое из уравнений имеет корни 21 и
— 2г, не являющиеся корнями второго уравнения.
Пример 5. Уравнения х2+5 = 0 и 2х2 + 7 = 0 равносильны в множестве
действительных чисел (оба они не имеют действительных корней).
3. Теоремы о равносильности уравнений и следствия из них.
Теорема 1, Если к обеим частям уравнения
fi(x)=f2(x) (1)
прибавить одно и то же выражение f3(x), имеющее смысл при
всех допустимых значениях переменной х, то новое уравнение
Л W +/з W =/2 (х) +/3 (х) (2)
равносильно данному.
Доказательство. Согласно определению равносильности
уравнений следует доказать, что всякий корень уравнения (1)
является корнем уравнения (2), и наоборот.
Пусть х = а — любой корень уравнения (1). Тогда имеем
Л(«)=/2(«).'
Прибавляя к обеим частям этого равенства /8(а), получаем
fi (и) + /з («) = /2 (й) + /з (а).
Сравнивая последнее равенство с уравнением (2), заключаем, что
х = а — корень уравнения (2).
Пусть х = Ь — любой корень уравнения (2). Тогда имеем
fi(b) + f3(b) = f2(b)+f3(b).
Отнимая от обеих частей этого равенства число f3(b), получаем
fi(b)=f2(b).
Сопоставляя последнее равенство с уравнением (I), заключаем,
что х — Ь — корень уравнения (1). Итак, уравнения (1) и (2) рав-
носильны.
Следствие. Любое слагаемое можно переносить из одной-
части уравнения в другую, .поменяв знак слагаемого на противо-
положный.
Доказательство. Пусть дано уравнение
ДМ=/2(х)-/8(х).
Прибавляя к обеим частям этого уравнения выражение Д8(х),
получаем
fl (х) +f3 (х) = f2 (х) - f3 (х) + f3 (х),
или
Д(х)+/:з(х)=/2(х),
т- е. уравнение, равносильное данному.
119
Теорема 2. Если обе части уравнения
fl(x)=f2(x) (1)
умножить или разделить на одно и то же число т, не равное
нулю, то новое уравнение
mfi (х) = т/2 (х) (2)
равносильно данному.
Доказательство. Пусть х = а — любой корень уравне-
ния (1). Тогда имеем равенство
умножая обе части которого на число т, получаем
mf\ (a) = mf2(a).
Сравнивая последнее равенство с уравнением (2), заключаем, что
х = а — корень этого уравнения.
Пусть х = Ь — любой корень уравнения (2); тогда
= (&).
Разделив обе части этого равенства на число т, получаем
Сопоставляя последнее равенство с уравнением (1), заключаем,
что х = Ь — корень этого уравнения. Итак, любой корень уравне-
ния (1) является корнем уравнения (2), и наоборот. Таким обра-
зом, уравнения (1) и (2) равносильны.
Следствие 1. Если знаки всех членов уравнения изменить
на противоположные, то полученное уравнение равносильно данному.
Следствие 2. Если обе части уравнения привести к общему
знаменателю, не содержащему переменную, а затем обе части
умножить на этот знаменатель, то полученное уравнение равно-
сильно данному.
Пример. Приводя обе части уравнения
2(х-4) 3х+13 3 (2х — 3)
3 + 8 5
к общему знаменателю, равному 120, а затем умножая на него обе части урав*
нения, получаем
2 (х —4) ♦ 40 + (3%+13) • 15 = 3 (2х—3) • 24 —7 . 120,
или
80х - 320+45х +195 = 144х -216-840.
На основании следствия из теоремы 1 имеем
80х + 45х -144х=320 -195 - 216 - 840,
или — 19х = — 931. Применяя теорему 2, находим х = 49.
Решение данного уравнения состояло в последовательном применении тео-
рем о равносильности и следствий из них, поэтому равносильность не нару-
шена. Следовательно, значение х = 49 — корень данного уравнения.
120
Теорема 2 гарантирует сохранение равносильности при умно-
жении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля
число.
Сложнее обстоит дело в том случае, когда приходится обе
части уравнения умножать или делить на выражение, содержащее
переменную. Например, если обе части уравнения х — 5=1 умно-
жить на выражение х — 3, то получим уравнение (х — 5)(х — 3) =
= х — 3, которое не равносильно данному, так как первое урав-
нение имеет единственный корень х = 6, а второе уравнение
имеет два корня: х —6 и х = 3. Корень х — 3 последнего урав-
нения называется посторонним относительно данного уравнения.
Если обе части уравнения (х —5) (х — 3) = х — 3 разделить на
х — 3, то имеем уравнение х —5—1, которое не равносильно пер-
вому, поскольку в результате деления потерян корень. Таким
образом, если обе части уравнения умножить (разделить) на одно
и то же выражение, содержащее переменную, то может полу-
читься уравнение, не равносильное данному. При умножении обеих
частей уравнения на целое выражение, содержащее переменную,
могут появиться посторонние корни, а при делении — произойти
потеря корней.
Рассмотрим дробные уравнения, т. е. содержащие переменную
в знаменателе. Пусть дано уравнение
х 2х—3 х —3
х —2“ (х —2)2 ” (х —2)2;*
ОДЗ переменной определяется условием х Ф 2. Приводя к общему
знаменателю’обе части уравнения, получаем
(х-2)2 ~ (х-2)2 ’
Умножая обе части уравнения (2) на (х —2)2, имеем
х2-4х + 3 = х-3. (3)
При переходе от (2) к (3) произошло расширение ОДЗ перемен-
ной х, так как для уравнения (3) ограничение х 2 снимается.
Это уравнение можно записать в виде
х2 - 5х 4- 6 = 0, или (х — 2) (х — 3) = 0. (4)
Уравнение (4) не равносильно уравнению (1), поскольку корень
х = 2 не является корнем уравнения (1). Второй корень уравне-
ния (4) х = 3 является корнем уравнения (1), в чем легко убе-
диться.
Не следует считать, что в результате перехода от дробного
уравнения к уравнению, не содержащему переменную в знамена-
теле, обязательно появляются посторонние корни. Например, при
переходе от уравнения
(х — 3) (х — 5) _ х — 3
(х-2)2 “ (х-2)2
121
к уравнению (х — 3) (х — 5) = х — 3 равносильность не нарушается.
Здесь х==3 и х = 6 —корни каждого из уравнений, причем ника-
ких других корней ни одно из них не имеет.
Из изложенного следует, что так как при решении дробного
уравнения может быть нарушена равносильность, то корни урав-
нения, полученного в результате преобразований, должны быть
проверены подстановкой в исходное уравнение.
Упражнения
1. Найти общую часть областей определения выражений:
а) А(*)=т-Ц> и = 6) Л(х) = /х^2 и (х) =/х-|-2.
2. Найти область определения следующих уравнений:
а) -Ц = 3+ДД; б) /х^5 = х-7; в) 2х-3 = 5-х.
3. Выяснить, равносильны ли уравнения:
а) 2х —3 = 5 —х и х2-Д 2х —3 = х2 —х-Д 5;
б) 2х —3 = 6 —х и 2х — 3-}—— 6 —х-Д. *
' х —3 х — Зу
в) 2х —3 = 6 —х и 2х — З-ДуЧ — х = 6 —х-ДУ1 — я,
г) 6 —х —х2 = 0 и х2-Дх —6 = 0;
д) х2 —5х-Дб = 0 и (х —2) (х —3) = 0;
е) (х-3)(х-2) = 0 и (*~2)2(*~3U0.
Л £
4. При каком значении с уравнение 5х2-Д4х-Дс = 0 имеет корень: а) х =
= 0; б) х = —2?
5. Решить уравнение х2 — 5х = (х —2)2 —х —4.
6. Записать условие, при котором х — а является корнем уравнения
fi(x) + f2 (х) = 5/3 (х).
§ 2. Алгебраическое уравнение с одной переменной
1. Основная теорема алгебры. Как было отмечено, всякое
уравнение с одной переменной имеет вид
fi (х) = h (х).
Если выражения ft (х) и /2 (х) являются многочленами, то
уравнение (х) — f2 (х) называется алгебраическим.
Рассмотрим уравнения:
х3 + 5х2 + 6х = 2х+4; ^^^=2x4-4;
V х(х2 +5х + 6) = 2х 4- 4.
Из этих уравнений только первое — алгебраическое, другие алгеб-
раическими не являются (второе —дробное, а третье —иррацио-
нальное). Не нарушая равносильности, первое уравнение можно
представить в виде х34-5х24-4х —4 = 0. Левая часть этого урав-
нения представляет собой многочлен третьей степени, располо-
женный по убывающим степеням буквы х, а правая равна нулю.
Всякое алгебраическое уравнение можно привести к виду
aQxn + atxn^ + а2хп~2 +... + ап = 0. (1)
122
Если ао=/=0, то степень многочлена, стоящего в левой части этого
уравнения, равна п. Уравнение (1) при условии, что ао=#0,
называется алгебраическим уравнением п-й степени. В теории
алгебраических уравнений важное значение имеет следующая
теорема.
Теорема. Всякое алгебраическое уравнение п-й степени (п Ф 0)
имеет хотя бы один корень (действительный или мнимый).
Эта теорема доказывается в курсе высшей алгебры. Впервые
она была доказана великим немецким математиком Гауссом
(1777- 1855).
2. Число корней алгебраического уравнения. Докажем, что
всякое алгебраическое уравнение п-й степени имеет в множестве
комп.сексных чисел п и только п корней.
Согласно теореме Гаусса уравнение (1) имеет хотя бы один
корень. Обозначим его через хх. На основании следствия из
теоремы Безу заключаем, что многочлен в левой части уравне-
ния (1) делится на х — хг. Обозначим этот многочлен через Рл(х).
Заметим, что частное от деления Рп(х) на х — хг является много-
членом степени п—Г, обозначим его через Рп^(х). Теперь имеем
Р„(х) = (х-хх)Рл_х(х).
Многочлен P„-i( х) также имеет хотя бы один корень, который
обозначим через х2. Рассуждая аналогично, приходим к равенству
Pn-i (х) = (х — х2) Рл_2 (х).
Продолжая рассуждения, получаем:
Рл_2 (х) = (х - х3) Рп-з (х),
Рп-з (х) = (х - х4) Рл_4 (х),
Р2 (х) = (х-хя_х) Рх(х).
Старший коэффициент частных Рл_х(х), Рл_2(х), ..., Рх (х) равен
старшему коэффициенту делимого, т, е. а0. Поэтому многочлен
первой степени Рг (х) можно записать так:
Рх (х) = аох + Ъ = а0 (х +
\ aoJ
Обозначая — b/aQ = хп, получаем
Pi (х) = а0(х-хл).
Легко видеть, что
Рл (х) = (х - хх) (х - х2)... (х - хл_х) Рх (х) =
= (х-хх) (х —х2)... (х —хл_х) (X —Хл)Оо,
или
Рп (х) = aQ (х - Xi) (х - х2) (х — х3)... (х — х^) (х - хп).
Теперь уравнение (1) запишем в виде
о0(х-х1)(х-х2)... (х-хл_1)(х-хд) = 0. (!')
123
Корнями этого уравнения являются следующие п чисел: хъ
х2, ...» хл-ь хп. Следует иметь в виду, что среди этих корней могут
оказаться равные. В этом случае каждый из равных корней
считают столько раз, сколько он повторяется. Допустим, что
уравнение (1) имеет еще один корень хпл.ъ отличный от найден-
ных. Подставляя в левую часть уравнения (Г) хл+1 вместо х,
получаем
^0 С^л+1 -^1) Х2) • • • C^zz+l ^л-1) (^л+1 %п)*
Это произведение не равно нулю, так как ни один из его сомно-
жителей не равен нулю. Следовательно, сделанное допущение
неверно, а это значит, что уравнение (1) имеет п и только п
корней.
Из доказанного следует, что уравнение первой степени имеет
только один корень, квадратное уравнение— два корня, кубиче-
ское—три корня и т. д. Этот замечательный результат является
одним из следствий теоремы Гаусса — основной теоремы алгебры.
Как уже было отмечено, теорема справедлива в множестве комп-
лексных чисел, так как в множестве действительных чисел число
корней алгебраического уравнения /г-й степени может быть
и меньше п. Например, в множестве действительных чисел урав-
нение четвертой степени х1 — 16 = 0 имеет лишь два корня: 2 и — 2,
а уравнение х4 + 16 = 0 вовсе корней не имеет. Следует обратить
внимание па то, что в теореме Гаусса, кроме условия ао¥=0, не
накладывается никаких ограничений на коэффициенты уравнения,
т. е. alf a2t ..., arl могут быть любыми комплексными числами.
Упражнения
1. Составить алгебраическое уравнение, имеющее следующие корни:
a) xL = l, х2=—1, хд = 5; б) Xj = 3, х2 —— 3, х3 = 0; в)хх=1, х2 = 1,
х3=—2; г) х1 = х2 = х3 = 0.
2. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени по данным
корням:
а) = 1, х2 == 2j zt i\ б) хг = х2 = 2j х3>^ == 3.
§ 3. Линейные уравнения с одной переменной
1. Определение. Если функции Д(х) и f2(x) являются линей-
ными, то уравнение f1(x)=f2(x) называется линейным уравнением
с одной переменной, В общем виде это уравнение записывается так:
ax-]~b = a1x-\-b1. (1)
Не нарушая равносильности, уравнение (1) можно привести
к виду
(а — aL) х = ЬХ — Ь. (2)
Обозначая а — = Д и — Ь = В, получаем
Лх = В.
(3)
124
Если А Ф 0, то уравнение (3) называется уравнением первой сте-
пени, если же А = 0, то уравнение (3) принимает вид
0-х = В (4)
и его называют уравнением нулевой степени.
Уравнения первой степени и уравнения нулевой степени
являются частными видами линейного уравнения.
При решении линейного уравнения Ах = В следует рассматри-
вать следующие случаи:
1. Если А=£0, то х = В/А, т. е. уравнение первой степени
имеет единственный корень.
2. Если Л=0, то имеем
0-х = В.
В этом случае при В ^0 уравнение корней не имеет; при В = 0
уравнение принимает вид 0-х = 0 и удовлетворяется любым зна-
значением х является
чением х.
2. Графическое решение линейного уравнения. Рассмотрим
графическое решение уравнения Ах = В, которое равносильно
уравнению Ах — В = 0. Левая часть этого уравнения явля-
ется линейной функцией, поэтому его графическое решение
сводится к построению графика функции у = Лх — В и нахождению
значения х, при котором z/= 0. Таким
абсцисса общей точки оси Ох и построен-
ного графика функции.
Пример 1. Решить уравнение 2x4-5 = 0.
Решение. Построим график функции
£/ = 2x4-5 (рис. 50), используя таблицу
X 0 2
У 5 9
Затем находим абсциссу точки пересечения
графика с осью Ох: х = —2,5.
Пример 2. Решить уравнение 2х — 1 =2x4-2.
Решение. Данное уравнение представим в
0-х —3 = 0. Построим график
У
виде (2 — 2) х — 3 = 0 или
функции у = 0-х— 3, т. е. у =—3 (рис. 51).
Очевидно, что ось Ох и график функции
общих точек не имеют, т. е. уравнение
корней не имеет.
У
Рис. 51
Рис. 52
Пример 3. Решить уравнение 2x4-3 = 2 (x-j- 1)4- 1.
Решение. Представляем уравнение в виде 0«х = 0. Построим график
функции г/ = 0-х, т. е. г/ = 0 (рис. 52). Так как график функции у = 0 совпа-
125
дает с осью Ох, то абсцисса любой точки этой оси является корнем данного
уравнения.
3. Дробные уравнения, сводящиеся к линейным, К решению
линейного уравнения сводится решение некоторых дробных урав-
нений. Заметим, что дробь равна нулю при тех значениях х,
/ 2
при которых /х (х) = 0, a f2 (х) 0.
Решим уравнение
12х24-30х— 21 Зх—7 6x4-5
16х2—9 “ 3^4х + 4х + 3" W
Область допустимых значений этого уравнения х#=±3/4.
В результате элементарных преобразований получаем
Qy__97
(2)
Найдем значения х, при которых числитель обращается в нуль.
Для этого решим линейное уравнение 9х —27 = 0. Имеем х = 3.
Так как при х = 3 знаменатель 16х2 —9 не обращается в нуль,
то найденное значение х —корень уравнения (2). При переходе
от уравнения (1) к уравнению (2) равносильность не была нару-
шена, поэтому корень уравнения (2) является также корнем
уравнения (1).
В отличие от алгебраического, не всякое дробное уравнение
имеет корень. Например, уравнение 1/(х —2) = 0 не имеет корня,
так как не существует такого значения х, при котором дробь
1/(х —2) обратилась бы в нуль.
Рассмотрим еще один пример. Уравнение
- , 1 5-х
б Н---Т “ -----А
‘ х —4 х —4
также не имеет корней. Чтобы в этом убедиться, приведем это
уравнение к виду - = 0. Теперь очевидно, что не существует
такого значения х, при котором обращался в нуль числитель,
а знаменатель был бы отличен от нуля, т. е. последнее уравнение
корня не имеет. Следовательно, и данное уравнение также не имеет
корня, поскольку эти уравнения равносильны.
Упражнения
1. Решить уравнения, указав допустимые значения параметров:
а) Зх — 5т = т2 — 2х; б) 40x4-13m == + 15х; в) 40х4-12т = }/Гт —2+35х.
2. При каких значениях параметра а уравнение 4 (х — а) = ах + Ь имеет
единственное решение? Сколько корней имеет это уравнение при а = 4?
3. При каких значениях параметра а решение уравнения Зх4-9 = а(а — х)
единственно? Сколько корней имеет это уравнение при а — — 3?
4. Переднее колесо повозки имеет окружность т метров, а заднее — п мет-
ров. На каком расстоянии переднее колесо сделает на 10 оборотов больше?
5. В трапеции ABCD известны основания ВС —a, AD — 8 и одна из боко-
вых сторон АВ —с. На сколько надо продолжить сторону АВ, чтобы она
пересеклась с продолжением стороны CD?
126
§ 4. Квадратные уравнения
1. Вывод общей формулы корней. Дискриминант. Алгебраическое
уравнение вида ах2 + Ьх ф- с = 0, где а=#0, называется квадратным.
Пии изучении квадратных уравнений условимся считать, что ОДЗ
переменной % —все множество комплексных чисел. Коэффициенты
а, b и с условимся считать действительными числами. Пусть дано
уравнение ах2 + Ьх + с = 0 (п=#0). Это уравнение равносильно
уравнению
^ + ^ + ^ = 0’
Выделяя полный квадрат, получаем
Далее имеем:
откуда
или окончательно
— b ± — 4ас
Х™---------Та
(D
(2)
Выражение Ь2 — 4ас называется дискриминантом квадратного
уравнения и обозначается буквой D:
b2 — 4ac = D.
Теперь формулу (1) можно записать так:
„ -Ь±/5
Х1-2 ~ Та '
Если О>0, то YD является действительным числом, так как
.. n -b + \rD
у D — арифметический корень. В этом случае корни =-----------
и х2 — ~b~^D _действительные и различные числа.
Если 0 = 0, то ]/0 = 0. В этом случае корни = ~g^~°
и л-2 = ~ ~ 0 — действительные и равные числа, т. е. х1 = х2 =
ь
;— — —— _
2а _
Если D<0, то ]/£) —чисто мнимое число» В этом случае
у + \D I ___________— 6 —• tУ ! О |
Х1“- 2а И Х* 2а
Числа Xi и х2 — мнимые (комплексные сопряженные).
127
2. Частные виды квадратного уравнения. Если в квадратном
уравнении ах2-\-Ьх + с = () коэффициенты b и с отличны от нуля,
то оно называется полным квадратным уравнением. Если а=\,
то квадратное уравнение имеет вид
х2 + р% + <7 = 0 (3)
и называется приведенным.
Применяя к этому уравнению формулу (1), получаем
х = — ]/?-<?• (4)
При b = 2k квадратное, уравнение принимает вид
ax2 + 2kx-\-c = 0. (5)
В соответствии с формулой (1)
Если в уравнении ах2 + Ьх + с = 0 коэффициент с = 0 или b = О,
или Ь = 0 и с = 0, то оно принимает соответственно вид:
ях2 + Ьх = 0, (7)
ах2 + с = 0, (8)
ох2 = 0. (9)
Уравнения (7) —(9) называются неполными квадратными урав-
нениями. Корни этих уравнений могут быть найдены по формуле (1).
Однако неполные квадратные уравнения можно решать значительно
проще. Пусть ах2 + &х = 0. Это уравнение можно представить
в виде х(ах-\-Ь) = 0. Очевидно, что корнями этого уравнения
являются числа х = 0 и х2==— Ь/а.
Пусть___ох2 + с = 0. Очевидно, что хх == + V — с/а и х2 =
=— ]/ — с/а. Если коэффициенты аис имеют разные знаки, то
подкоренное выражение — da положительно, следовательно, корни
Xi и х2 — действительные и противоположные числа; если жеаис
имеют одинаковый знак, то—с/а<0, поэтому хг и х2 —чисто
мнимые противоположные числа.
Пусть ах2 = 0. Это уравнение можно рассматривать как част-
ный вид уравнения ах2 + с = 0 при с = 0. Поэтому имеем:
Xi = + К— 0/а = КО =0 и х2 = — К — 0/а = КО = 0.
3. Теорема Виета *. Запишем формулу (1) в виде двух равенств:
v — b Н-К/?2 — 4ас -b — Vb- — 4ac
1--------2~----- и х2 =------Та-----.
* Франсуа Виет (1540—1603)—французский математик.
128
Можно установить следующие важные соотношения:
, + VЬ2 — 4ас . — b~Vb2 — 4ac 2Ь Ь
Х1 -г х-2 — Ya I 2а ~ ~ 2а Т ’
— Ь + Уь2— 4ас —b—V'b2 — 4ac
- ~ 25 25“
4й2 4а2 - 452 - У’
Итак,
Х1 + х2 = —у и xtx2 = ~.
Эти соотношения и выражают теорему Виета. Используя форму
лу (4), аналогично получаем:
*1 + *2 = — Р и xtx2 = q.
4. Исследование корней полного квадратного уравнения по его
дискриминанту и коэффициентам. Исследовать квадратное урав-
нение ах2 + Ьх4- с = 0 — это значит, не решая его, установить,
какому числовому множеству принадлежат его корни; если ока-
жется, что корни действительные, то требуется выяснить знаки
корней, и если корпи имеют разные знаки, то определить, какой
корень имеет большую абсолютную величину.
При исследовании воспользуемся понятием дискриминанта и
теоремой Виета.
Случай 1. Дискриминант D>Q. Корни уравнения действи-
тельные и различные.
1. Если с/а>0, то ххх2>0. Следовательно, знаки корней хг
и х2 одинаковы. Теперь рассмотрим две возможности:
а) — Ь!а>0. Тогда Xi + x2>0; значит, хг>0 и х2>0;
б) — b/а < 0. Тогда х± + х2 < 0; значит, хх < 0 и х2 < 0.
2. Если с/а<0, то х1х2<0. Корни хг и х2 имеют разные
знаки: хх>0 и х2<0:
а) — Ь/а> 0. Тогда хг-|-*2>0, следовательно, положительный
корень имеет больший модуль, т. е. |xi|>|x2i;
6)-Wa<0. Тогда %i + x2 < 0; таким образом, отрицательный
корень имеет больший модуль, т. е. ix2|>>ixi|.
Случай 2. Дискриминант D — 0. Корни уравнения действи-
тельные равные: х1==х2 =— 6/2а:
а) — b/a > 0. Тогда хг -\-х2 > 0 — корпи положительные;
б) — b/а < 0. Тогда х± + х2 < 0 — корни отрицательные.
Случай 3. Дискриминант О <0. Корни уравнения мнимые
(сопряженные комплексные числа). В этом случае вопрос о зна-
ках не возникает, так как мнимое число не может быть пи поло-
жительным, ни отрицательным.
5. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Выражение ах2-\-Ьх-]-с называется квадратным трехчленом относи-
тельно переменной х. Корпи этого квадратного трехчлена являются
корнями квадратного уравнения ах2-]'Ьх-[-с = 0. Обозначим корни
5 М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев
129
через хг и х2. На основании теоремы Виета Xj4-x2 =—и
XiX2 — ~, откуда Ь = — а(хг-\-хг} и с = аххх2. Теперь имеем
ах2 + Ьх + с = ах2 — а (хг + х2) х 4- аххх2 =
= ах2 — ахтх — ах2х + ахгх2 = ах(х— хД — ах2 (х — xj =
— а (х — хД (х —х2).
Итак,
tzx2 + &x-j-c = a (х —хх) (х—х2).
Легко видеть, что полученный результат является частным слу-
чаем представления многочлена n-й степени в виде произведения:
о0хл + а^-1 + ... 4-ап-1Х + ап = а0 (х — xj (х — х2) ... (х — хп).
Действительно, при п = 2
аох2 4- «1Х4-а2 = а0(х — хД (х — хД.
Если квадратный трехчлен имеет вид х2 рх-\- q, то получаем
х2 + рх4-^ = (х-х1) (х-хД.
6. Составление квадратного уравнения по его корням. Составим
квадратное уравнение, если его корни х2 = 5 и х2 =— 6. Запишем
это уравнение в виде
(х — 5) [х — (—6)] = 0, или х2 + х — 30 = 0.
Составим уравнение, корни которого Xi = 5 и х.2 =—1/3:
(х - 5) [х - (-1/3)] = 0, (х - 5) (х 4-1/3} = 0,
х2 — 14х/3 — 5/3 = 0 или Зх2 — 14х — 5 = 0.
Пусть требуется составить квадратное уравнение с веществен-
ными коэффициентами, если один из его корней xx = 2 4-7t. При
изучении квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
было установлено, что его мнимые корни являются сопряжен-
ными комплексными числами. Следовательно, если x1 = 2-|-7i, то
х2 = 2 —7/. Уравнение можно записать в виде
[х - (2 4-7i)] [х - (2 - 7/)] = 0, или [(х —2) —7Z][(x —2)4-7i] = 0,
откуда
(х —2)2 —(7i)2 = 0;
возводя в квадрат, имеем
х2-4x4-4-(—49) = 0,
или окончательно
х2 — 4х 53 = 0.
Если отказаться от условия, что коэффициенты а, Ъ и с—дей-
ствительные числа, то задача составления квадратного уравнения
по одному из его корней Xi = 24-7i становится неопределенней,
130
так как в качестве второго корня можно принять любое ком-
плексное число.
В заключение отметим, что некоторые положения теории квад-
ратных уравнений с действительными коэффициентами утрачивают
силу, если хотя бы один из коэффициентов а, b и с не является
действительным числом. Например, при исследовании корней
квадратного уравнения по дискриминанту вывод о том, что при
D корни уравнения комплексные сопряженные, становится
неверным. Действительно, дискриминант уравнения
х2-(2 + 0^ + 3 + г==0
D = — 9, т. е. D<0, а его корни и х2 = 14-2/ не
являются комплексными сопряженными числами.
Также отметим, что задача исследования корней квадратного
уравнения с комплексными коэффициентами по его дискриминанту
ставится иначе, чем в теории квадратных уравнений с действи-
тельными коэффициентами. Здесь возможны следующие случаи:
1) D = 0 и 2) D Ф 0. В первом случае можно утверждать, что
корни равны между собой, а во втором случае —различны.
Формула нахождения корней квадратного уравнения в мно-
жестве комплексных чисел имеет вид
_ —b+Vb^-^ac
Х1’2-------25 •
В этом случае символ У Ь2 — ^ас не является арифметическим
корнем, поскольку корень n-й степени из комплексного числа
имеет п различных значений; в частности, ]/Ь2 — 4ас имеет два
значения.
Пример. Решить уравнение
X2__(2 + 3t)x + (—2 + 49=0.
Решение. Имеем
2 + 31 + /(2 + 3i)2-4 (—24-40 2+3i + /3-4i
xi,2--------------2 “ 2 •
Найдем оба значения — 4i. Легко видеть, что 3—-4i = 4 —4i —1 =4 —4i +
+ ^=-(2 —О2, поэтому
K3=4f = /(2- 02= ± (2- 0-
Окончательно получаем:
2 + 3t-+ (2 Q = 2+. 2+3t--(2-Q = 2t
Упражнения
1. При каких значениях параметра а уравнение (а2 — а — 2) х2 + 2х + 5 = 0
является уравнением первой степени?
2. Какие ограничения следует наложить на параметр а, чтобы уравнение
(2а2 — За — 2) х2 + (а2 + Ча + 2) х + 5 — 0 было квадратным?
5*
131
3. Дано уравнение
а(2х2+Зх + 5) + р (%2 —5х+ 1) = 0,
где а и 0 —любые числа, отличные от нуля. Установить, при каком соотно-
шении между аир уравнение является:
а) квадратным; б) неполным квадратным вида ах2-}-Ьх = 0; в) неполным
квадратным вида ах2А~с = 0?
4. При каком соотношении между аир уравнение
а (3x2 _ 2х 1) + Р (5x2 _ х + 5) = 0:
а) является квадратным и имеет корень, равный 0; б) имеет своими кор-
нями противоположные числа?
5. Доказать теорему. Если х1-(-х2 =— р и xtx2 = q, то и х2—корни
уравнения х2+рх -|- q = 0 *.
Указание. Выразить х2 из первого равенства и подставить во второе.
6. Составить квадратное уравнение, если х1 = х2 = 2/3.
7. Проверить, что каждое из следующих уравнений имеет равные корни:
а) х2 —20х-1-100 = 0; б) 4х2-|-4х+1=0; в) 4х2- 12х-|-9 = 0; г) 9х2-6х +
—г~ I = 0.
8. Доказать, что если левая часть уравнения ах2-{-Ьх-\-с=0 — полный
квадрат, то оно имеет равные корни.
9. При каких значениях а уравнение х2-|-8х-)-а = 0 имеет равные корни?
10. Убедиться, что следующие уравнения имеют действительные корни, и,
не решая уравнения, определить знаки корней:
а) х24- 12х + 35 = 0; б) х2- 12х + 35 = 0; в) х2 - 20х - 300 = 0; г) х2 4-
+ 20х — 300 = 0.
11. Разложить на линейные множители следующие выражения:
а) х2—1; е) х2 + 5х — 6;
б) х2+1; ж) — х2+7х—12;
в) х2 —3; з) 2х24-9х —5;
г) х2 + 3; и) 5 —9х — 2х2;
д) х2 —5х —6; к) х2+(а+4) х —(2а2+а—3).
12. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами,
если:
a) хЬ2=±5; б) Х] = 0, х2 = 4; в) x1 = 2i\ г) х,=5 — 41.
13. Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами,
если:
a) Xj = 2 — Кб; б) х1 = ]/г3; в) х1=44-р<15.
14. Составить квадратное уравнение, если
a) Xi = 2 + 3i и х2=1—Зг; б) x1 = 5+10t, х2 = 2 —4i.
15. Бригада рабочих должна изготовить 8000 деталей к определенному
сроку. Делая в день на 50 деталей больше, чем полагалось по плану, бригада
закончила работу на 8 дней раньше. За сколько дней должны быть изготовлены
детали по плану?
16. Два туриста выезжают одновременно из городов А и В навстречу друг
другу. Первый проезжает в час на два километра больше второго и приезжает
в город В на час раньше, чем второй в А. Расстояние между городами равно
40 км. Какова скорость каждого туриста?
§ 5. Некоторые частные виды алгебраических уравнений
степени выше второй
1. Разложение левой части уравнения на множители. Кратные
корни. В элементарной математике алгебраические уравнения сте-
пени выше второй в общем виде не рассматриваются. Такие урав-
нения называются уравнениями высших степеней и являются
предметом изучения высшей алгебры.
* Теорема является обратной теореме Виета.
132
Однако многие частные виды уравнений высших степеней можно
решить без специальной теории. Наиболее распространенный прием
решения таких уравнений — разложение па множители левой части
уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
х3 —4х? —х-|-4 = 0.
Решение. Раскладывая па множители левую часть уравнения,
получаем
• (x_4) (х-Ь 1) (х— 1) = 0.
Корнями этого уравнения являются значения х, которые обращают
в нуль любой из сомножителей. Таким образом, данное уравне-
ние распадается на три уравнения: х —4 = 0, х+1 = 0 и х—1=0.
Решив каждое из них, найдем все корни данного уравнения:
Xi = 4, х2 = — 1 и х3= 1.
Пример 2. Найти корни уравнения
х4+х3-12х2 = 0.
Решение. Это алгебраическое уравнение четвертой степени,
следовательно, оно имеет четыре корня. Уравнение распадается
на два уравнения второй степени: х2 = 0 и х24-х—12 = 0. Решая
эти уравнения, получаем: х4 = 0, х2 = 0, х3 = 3 и х4 =— 4 (корень,
равный 0, повторяется два раза).
Пример 3. Решить уравнение
х4 — Зх3 + Зх2 — х = 0.
Решение. Вынося за скобку общий множитель, имеем
х(х3 —3х2 + 3х—1) = 0, или х(х—1)3 = 0.
Последнее уравнение распадается на два уравнения: (х— 1)3 = 0
и х = 0. Первое из них можно записать в виде (х—1)(х—1)Х
Х(х—1) = 0. Очевидно, что хх=1, х2=1 и х3=1.
Таким образом, данное уравнение имеет четыре корня: х4 =?
= х2 = Хз=1 и х4 = 0 (корень, равный 1, повторяется три раза).
Повторяющиеся корни уравнения называются кратными.
Определение. Число а называется корнем кратности k
уравнения /(х) = 0, если f(x) делится на (х — а),г и не делится на
(х — a)ft+1.
Если k = 2, то корень называется двойным или двукратным.
Рассматривая снова уравнение х4 — Зх3 + Зх2 — х = 0 или равно-
сильное ему уравнение х(х—1)8 = 0, замечаем, что левая его
часть делится на (х— I)3 и не делится на (х— I)4, поэтому корень
х=1 является трехкратным.
Ранее было установлено (как следствие основной теоремы
алгебры), что уравнение n-й степени имеет п и только п корней.
При этом предполагалось, что каждый корень считается столько
раз, какова его кратность. К уравнениям высших степеней, решае-
мых элементарными приемами, относятся также биквадратные
уравнения, двучленные, трехчленные и некоторые другие.
133
2. Биквадратные уравнения. Алгебраическое уравнение вида
ах4 + Ьх2 4- с = 0, где а =/= 0, называется биквадратным. Как и при
изучении теории квадратных уравнений, условимся считать, что
ОДЗ переменной х является все множество комплексных чисел,
а коэффициенты а, b и с — принадлежащими множеству действи-
тельных чисел.
Выведем общую формулу для нахождения корней биквадрат-
ного уравнения.
Рассмотрим уравнение axi + bx2-{-c = 0. Пусть x2 = z; тогда
х4 = г2. Получаем квадратное уравнение относительно г:
az2 4- bz + с = 0.
По известной формуле,
— Ь ± Кб2—4ас 2 — б ± V'b2 — 4ac
/ ZZZX ' - -— — ИЛИ X = — —
откуда
Очевидно, что
(1)
(2)
(3)
видно, что Al и х2> а также х3 и ,г4 —противо-
поэтому
*1 + *2 + *з + *4 = о. (4)
что
хгх2х3х4=^с/а. (5)
(5) выражают свойства корней биквадратного
Из этих формул
положные числа,
Легко убедиться,
Равенства (4) и
уравнения.
Рассматривая формулу (1), замечаем, что если Ь2 — 4яс<0,
то ]/ Ь2 — Ьас — чисто мнимое число, следовательно, все четыре
корня биквадратного уравнения мнимые. Чтобы представить эти
корни в виде комплексного числа m + ni, требуется извлечение
квадратного корня из мнимого числа.
Решим уравнение 16х4 + 4х2+1 = 0. По формуле (1) имеем
д/ —4 ± V— 48 _ _ь дГ—4 ± 4/3Z _ д/~ I УЗ .
г 32 ~ У 32 । 8 8 1
Для окончательного вычисления корней необходимо извлечь
1 Уз 1 Уз
квадратный корень из чисел — у + у-/ и — у —у-А Однако
этого можно избежать, если разложить на множители левую часть
данного биквадратного уравнения:
16х4 4- 4х2 4- 1 = 16.x44- 8х2 4-1 - 4х2 = (4х2 4- I)2 - 4х2 =
= (4х2 4- 1 4- 2х) (4х2 4-1 - 2х).
134
данное уравнение можно заменить следующим, ему равно-
:ильным уравнением
(4х2 + 2х + 1) (4х2 - 2х + 1) = О,
которое распадается на два уравнения:
1) 4х24-2х4- 1=0;
-l±/3i .
х-----4 —.
1 , /3 ..
xi — — д + ’дд1’
1 Кз.
х2 — 4 4
2) 4х2 —2x4-1 = 0;
у _ 1 ± .
Х 4 ’’
1 . Уз. I Уз.
хз = 4" 4- -4- G х4 — у — 4~ 1
3. Двучленные уравнения. Алгебраическое уравнение вида
ах” 4*'° — 0, где а # О и b Ф 0, называется двучленным уравнением.
ОДЗ переменной х — все множество комплексных чисел.
Рассмотрим двучленное уравнение с действительными коэффи-
циентами. Уравнение ахп 4-6 = 0 равносильно уравнению хп 4- - = 0.
Введем вспомогательную
переменную, полагая х
— арифметический
корень. После подстановки получаем
а
Рассмотрим два случая:
1) -->0. Тогда
' а
Ь ^Ь
а ~ а 9
поэтому
А2*4-А = 0, или zn4-1 = 0.
а а
2) - < 0. Тогда
' а
I— =
1 а
поэтому
ь_
а 9
или гп — 1 =0.
Двучленные уравнения вида гя±1=0 называются простей-
шими. Рассмотрим простейшие двучленные уравнения третьей,
четвертой и шестой степени:
I. и = 3
г3 4-1 = 0;
(z4- 1) (г2 —г4- 1) = 0;
г1-----1 > г2,з — ~2 — 2
г3-1 = 0;
(г-1)(г24-г4-1)=0;
2i = 1, 22,з — 2 2
135
II . n = 4
г4 * +1 = 0;
(г2+1)2-2г2 = 0;
(z2 + 1 + V2z) (г2+1 -/2 г)=0;
2 — 2
_ -ЕЗч-Е?;
гз.4— 2 — 2 г'
III.
г64-1=0;
(г2+1)(г4-г2+1) = 0;
г2 4-1 = 0; zli2 = ztt;
г4 —г2 4- 1 = 6;
(г24-1)2-(/Зг)2 = 0;
(г2 + /3г +1) (г2-/3г+ 1)=0;
/з . 1 .
гз>4 = _—±yi;
г4-1=0;
(г2+1)(г2-1) = 0;
(z + i) (г-i) (г+ 1) (г — 1) = 0;
21,2 =± 1; г3,4 = ±«.
п = 6
г6-1=0;
(2з+1)(2з_1)=0;
(г+1)(г-1)(г24-г + 1)х
Х(г2-г+1) = 0;
гх = — 1; г2= 1;
1 . /3 .
z34 = -y±-g-t;
Z5,G — — ~2~ 1 •
Корни уравнения axn + b = Q получаются из равенства х —
пГ~ь~"
s= у ~ - г подстановкой вместо z корней соответствующего про-
стейшего двучленного уравнения.
Пример. Решить уравнение 2хб_|_5 = 0.
Решение. Имеем
Полагая х
г,
5
х* + -2=0.
получаем
5 . 5
2 г 2
2e_|_ =q или гб+1=0.
26-1-1=0 были найдены выше:
Корни уравнения
-л. 1 • 1 . г
± z5t(} = ± I. Следовательно, xlt2=±
1 .
± 2г
; *о,б
. . /з
± Ч 2з,4 = —
2 /'
4. Трехчленные уравнения. Алгебраическое уравнение вида
ax2rl + bx,l-\-c = 0, где п 2, а ф 0, b 0 и с 0, называется трех-
членным уравнением. При п~2 трехчленное уравнение является
биквадратным.
Полагая = получаем az2-|-bz4-c = 0, откуда находим два
значения г\ и г2.
136
Теперь трехчленное уравнение распадается па два двучленных-
xn^z1 и xn = z2. Решая эти уравнения, находим все 2п корней
трехчленного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
х*—17х4+16 = 0.
Решение. Обозначая x4 = z, получаем z2—17г+16 = 0, откуда находим:
zx=l и г2 = 16 или х4=1; х4=16. Решая эти двучленные уравнения, находим:
х12=±1; x3,4=±G x5tG=±2; х7,8==±2«.
С помощью этого приема решаются уравнения вида
Л [f (x)F+B[f (х)р + С=0.
Заметим, что это уравнение при f (х) =х — трехчленное.
Пример 2. Решить уравнение
//*-2б//5-27=0.
Решение. ОДЗ х^О. Обозначая х^& = г, где z^O, получаем
z2-26z —27 = 0,
откуда Zt=— 1 (это значение г не входит в ОДЗ) и г3 = 27.
Теперь решим уравнение х3/б = 27. Легко видеть, что х3 = 27г или х3 =
= З15, следовательно, х = 243.
Пример 3. Решить уравнение
(х2 - бх)2 + 10 (х2 - 5х) + 24 = 0.
Решение. Обозначая х2 — 5х = г, получаем уравнение г2--
+ Юг+ 24 = 0, решая которое находим: Zi = —6 и г2 = —4.
Возвращаясь к переменной х, имеем:
х2 — 5х = — 6;
х2 —5х+6 = 0;
х2 = 2 и х2 = 3.
х2 — 5х = — 4;
х2 — 5х + 4 = 0;
х3= 1 и х4 = 4.
5. Симметричные уравнения четвертой степени. Так называются
уравнения вида
ах* + Ьх2 + сх2 + Ьх + а = 0 (а 0).
Решение таких уравнений рассмотрим на примерах.
Пример 1. Решить уравнение
бх4 + 5х3 - 38х2 + 5х + 6 = 0.
Решение. Так как х = 0 не является корнем данного урав-
нения, то, разделив обе его части на х2, получаем уравнение,
равносильное исходному:
6^ + 5х-38+| + + = 0,
или
6 (х2 + ^') + 5 + —38 = 0.
Пусть ,г += г‘> тогда
X
х2 + Т = (х2 + 2 + Л-)-2 = (х + 1у-2 = г2-2.
•v \ A* J \ Л J
137
Теперь имеем
или
6 (г2-2)4-5г-38 = 0,
6z24-5z —50 = 0,
откуда гх = —10/3 и z2 = 5/2.
Для нахождения корней данного уравнения надо решить сле-
дующие два уравнения:
х4-1/х=—10/3;
Зх2 + 10х 4-3 = 0;
хх = — 3, х2 = — 1/3.
х 1/х — 5/2;
2х2-5х + 2 = 0;
х3 = 2, Ха =1/2.
Пример 2. Решить уравнение
бх4 + 7Х3 - Збх2 - 7х + 6 = 0.
I«
Решение. Это уравнение решается аналогично предыдущему.
Имеем
6х2 + 7х-36-у + -^- = 0,
ИЛИ
6(х2+^) + 7(х~т)-36=0-
Пусть х—l/x = z; тогда
А'2+^- = (х2“2+^) + 2==(х_т)2+2 = г2+2;
6(z2 + 2) + 7z-36 = 0;
6za4-7z —24 = 0;
Zi = 3/2, z2 = —8/3.
Теперь имеем два уравнения относительно х:
х— 1/х = 3/2;
2х2 — Зх — 2 = 0;
Xi = 2, х2 = — 1/2.
х — 1/х = — 8/3;
Зх2 + 8х-3 = 0;
х3 = 1/3, х4 = — 3.
6. Уравнения, решаемые подбором корня с последующим пони-
жением степени. Схема Горнера. Теорема. Если алгебраическое
уравнение с целыми коэффициентами
аохп+а^-14- а2х"“2 4- • • • 4- 4- ап = 0
имеет целый корень, то он является делителем свободного члена.
Доказательство. Пусть х = q — целый корень данного
уравнения; тогда имеем верное равенство
по?" 4- + ОД"'2 4- • • • 4- 4- ап = 0,
или
аоЧп 4- arf1'14- a2qn~2 4-... 4- an-i<7 = —ап.
138
Представляя левую часть равенства в виде произведения,
получаем
q Ып~1 + a4qn ~2 + a2qn~3 + ... + ап.г) = — ап.
Разделив обе части равенства на q, имеем
+ а^~2 + а^~3 +... + an^ = — anJq.
Очевидно, что левая часть этого равенства — целое число, поэтому
и правая его часть также целое число, т. е. ап делится на q,
что и требовалось доказать.
Пример. Решить уравнение
х4 - 2х3 - 13х2 + 14х + 24 = 0.
Решение. Согласно доказанной теореме целый корень этого
уравнения следует искать среди делителей свободного члена 24,
т. е. среди следующих чисел: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12,
±24.
Обозначая через f (х) левую часть данного уравнения, по-
лучаем:
f (1) = Р-2-13- 13 -12+ 14 - I +24 =#=0,
f (-1) = (-1)4 - 2 • (-1)3 - 13 • (-1)2 + 14 • (-1) + 24 = 0.
Таким образом, х =— 1 —корень данного уравнения.
Оставляя пока в стороне вопрос об остальных его корнях,
заметим, что согласно следствию из теоремы Безу левая часть урав-
нения делится без остатка на х-j-l, причем частное является
многочленом третьей степени. Это частное можно найти или не-
посредственным делением, или с помощью так называемой схемы
Горнера. Рассмотрим эту схему на следующем примере.
Пусть требуется разделить многочлен четвертой степени аох4±
+ +о2х2-р <23х + а4 на двучлен х — т. Частное имеет вид
^ + М2 + М + ^з.
где Ьо, Ьъ Ь2 и &3 — коэффициенты, которые требуется определить.
Теперь можно записать:
а0х4 + <+3 + +2 + а3х ± а4 = (х — т) (b0x3 + Ь4х2 + Ь2х + Ь3),
или
а0х4 + охх3 -J- а2х2 + а3х + а4 —
= Ьох* + Ь4х3 + Ь2х2 + Ь3х — т'о0х3 — mb4x2 — mb2x — mb3.
Объединяя в правой части последнего равенства члены, содержа-
щие одинаковые степени х, получаем
ОоХ4 + а4х3 + а2х2 ± а3х + а4 =
= Ь3х^ + (&! — /7zt»0) х3 + (&2 — mbx) х2 4- (b3 — tnb2) х — mb3.
139
Применяя теорему о тождественном равенстве двух многочле-
нов (см. гл. II, § 2), имеем:
Ьо = Оо, Ьо ~ ао<
b1 — mb0 = a1, b1 = a1 + mb0,
b2 — mbi = а2, Ь.2 = о2 + mblt
b3 — mb2 = а3, или £>з = йз + tnb2.
Составим следующую таблицу:
т «0 а3
^0 = ^0 ~г b2 = a2-\-mbi Ь3 = Яд “Г ^^2 —•
Возвращаясь к рассматриваемому уравнению, находим част-
ное, получаемое в результате деления многочлена х4 — 2х3 — 1 Зх2 +
+ 14х + 24 на х+1. Для нахождения коэффициентов частного
составим схему Горнера:
1 —2 — 13 14 24
— 1 fc0=l ^ = -2 + + (-!) 1 = -3 ^^=-.13 + + (-!“) • (—3) =—10 Лз=14 + + (-!)• (—10) = 24 —’
Теперь имеем
(х4 - 2х3 - 13х2 + 14х + 24): (х+1) = х3 - Зх2 - 10х + 24.
Найдем корни уравнения
х4-2х3-13х2+14х + 24 = 0. (*)
Запишем его в виде
(х + 1) (х3 - Зх2 - 10х + 24) = 0.
Это уравнение распадается на два уравнения, одно из которых
(х+1=0) имеет корень хх = —1. Остальные корни определим,
решая уравнение
х3 —Зх2—10х + 24 = 0. (**)
Применяя теорему о целых корнях алгебраического уравне-
ния, находим х2 = 2. Используя еще раз схему Горнера, находим:
1 —3 —ю 24
2 ^о=1 ^ = (-3)42.1=-! 6, =—Ю-1-2. (—1) =—12 —•
Таким образом,
х3- Зх2 - 10х + 24 = (х - 2) (х4- х- 12).
140
Теперь уравнение (**) можно записать в виде
(х-2) (х2-х- 12) — О.
Два других корня уравнения (*) находим, решая уравнение
х2 —х—12 = 0. Таким образом, х3 = — 3 и х4 = 4.
Окончательно имеем: а\=1, х2 = 2, х3 = —3 и х4 = 4.
7. О решении алгебраических уравнений в радикалах. Для ре-
шения квадратных уравнений вида ах2 + Ьх±с = 0 была выведена
формула
_ — Ь± Уь^—4ас
Х 2а
выражающая корни уравнения через его коэффициенты с по-
мощью радикалов.
Для уравнений третьей и четвертой степени также имеются
формулы, выражающие с помощью радикалов неизвестное через
коэффициенты. Однако уравнения степени выше четвертой в общем
виде в радикалах неразрешимы. Это было доказано французским
математиком Галуа (1811 —1832), а также норвежским математи-
ком Абелем (1802—1829).
Упражнения
1. Следующие уравнения решить в множестве действительных чисел:
а) х3-1-7 = 0; б) х6 + *4 + х2 = 0; в) х3 —Зх —2 = 0.
2. Найти все корни следующих уравнений:
а) х3-|-6 = 7х; б) х3-|-2х2—2х-|-3 = 0; в) x5-J-x4 + 6x3 = 0.
3. Написать общий вид уравнения шестой степени, которое имеет трех-
кратный корень, равный нулю.
4. Найти наибольшее значение п, при котором многочлен х54-7х44- 16x9 4-
+ 8х2 — 16х —16 делится на (х + 2)Л.
5. Следующие уравнения решить в множестве комплексных чисел:
а) 6х«-х2— 15 = 0; б) 2хв + 3=0; в) (14-t) х2= 1 + г ;
г) 2г»+хЗ—11х24-х+2 = 0; д) х^-Тх3-]-14х®—7х+1 =0,
6. Следующие уравнения решить подбором корня с последующим пониже-
нием степени:
а) х3 —4х2 —4х—5 = 0; б) х3 + 8ха+ lox-j- 18 = 0;
в) х44-2х3—13х2—14x4-24 = 0; г) х4-2х3-8х24-19х-6 = 0.
7. Следующие уравнения решить путем введения вспомогательной пере-
менной:
а) (х2 4-5х)2 - 2 (х2 4-5х) - 24 = 0; б) (х24-* + 1) (х24-х-|-2) — 12 = 0;
х—1\2 /х—1\2 __ 40
х / *\х —- 2/ “ 9 ’
Указание. Левую часть уравнения (в) привести к общему знамена*
телю, затем ввести обозначение х2 — 2x = z.
§ 6. Иррациональные уравнения
1. Определение. Область допустимых значений. Иррациональ-
ным называется уравнение, содержащее переменную под знаком
радикала.
При решении алгебраических уравнений на ОДЗ переменной
никаких ограничений не накладывается. Для дробных уравнений
141
ОДЗ определяется требованием, чтобы знаменатели, содержащие
переменную, были отличны от нуля. При решении иррациональ-
ных уравнений необходимо устанавливать ОДЗ, исходя из усло-
вия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть
арифметическими, т. е. подкоренные выражения и значения самих
корней должны быть неотрицательными. Следует иметь в виду,
что иррациональные уравнения решают в множестве действитель-
ных чисел.
Пример 1. Найти ОДЗ уравнения
Ух— 10-|- У3 —х —5.
Решение. ОДЗ определяется системой неравенств
( х — 10 0, ( х^ 10,
(3-х^О, ИЛИ(х^З.
Эта система несовместна, поэтому ОДЗ переменной представляет собой
пустое множество, следовательно, уравнение корней не имеет.
Пример 2. Определить ОДЗ уравнения
Ух — 3 + У 10 —х = 5.
Решение. ОДЗ определяется системой неравенств
( X — 3 0, f X 3,
< л л или <
I 10 —х^О, Ix^lOj
откуда З^х^Ю.
' Пример 3. Найти ОДЗ уравнения
/2x2+7 - /х^5 = 3.
Решение. Так как 2х2 + 7 неотрицательно при любом х, то ОДЗ опре-
деляется неравенством х2 —5^0.
2. О возможности нарушения равносильности при возведении
обеих частей уравнения в квадрат. Покажем, что если обе части
уравнения
/(х) = ф(х) (1)
возвести в квадрат, то уравнение
[fw]2 = [<pwr (2)
может быть не равносильно данному.
Представим уравнение (2) в виде
[/(х)Г-[<р(х)]2 = о,
или
[Ц*)-ф(х)][/М+фМ] = о.
(3)
Это уравнение распадается на два уравнения, одним из которых
является уравнение (1): f (х) — ср (л-) = 0 и f (х) + <р (х) = 0, или
f W = Ф W
f(x) = —Ф(х).
и
(4)
142
Возможны два случая.
1) Уравнение (4) не имеет корней, отличных от корней урав-
нения (1). В этом случае равносильность не нарушается, т. е.
уравнения (1) и (2) равносильны.
2) Уравнение (4) имеет корни, отличные от корней уравне-
ния (1). В этом случае уравнения (1) и (2) не равносильны.
Уравнение (4) по отношению к уравнению (1) называется до-
полнительным. Таким образом, если дополнительное уравнение
f(x) = — <р(х) имеет корни, отличные от корней уравнения f (х) =
= ф(х), то уравнения f(x) = q>(x) и [/(х)]2 = [<р (х)]2 не равно-
сильны.
Доказанное утверждение остается справедливым в случаях воз-
ведения обеих частей уравнения в любую четную степень *.
Пример 1. Пусть дано уравнение Кх2 + 4= рЛ2х2 4-3. Так как [^х2— 4 >0
и V 2х2 4- 3 >0 при любом значении х, то дополнительное уравнение
|Лх2 + 4 = — V2х2+3 корней не имеет, поэтому данное уравнение и уравне-
ние (Их2 + 4)2 = (/2х2 + З)2 равносильны._
Пример 2. Пусть дано уравнение У х + 44=х + 2. Дополнительное урав-
нение }/Гх + 44 = —(х + 2) может иметь своим корнем значение х, при котором
обе его части неотрицательны и равны. Это х — —8, в чем легко убедиться.
Но х = —8 не является корнем данного уравнения, следовательно, уравнения
)/"х + 44 = х + 2 и (/х + 44)2 = (х4-2)2 не равносильны.
3. Примеры решения иррациональных уравнений. Не будем
считать обязательным начинать решение иррационального урав-
нения с нахождения ОДЗ переменной, гак как в некоторых слу-
чаях ее установление достаточно трудоемко. В тех случаях, когда
ОДЗ не установлена, все найденные значения переменной следует
проверить, подставляя их в данное уравнение. Если ОДЗ найдена,
то проверяют только значения, принадлежащие этой области. Рас-
смотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить уравнение
2 /х2- 2х — 2,75 = х - 2. (*)
Решение. Возводя в квадрат обе части уравнения (*), после
упрощения получаем
Зх2 — 4х — 15 = 0,
откуда Xi = 3 и х2 = —5/3. Оба корня надо проверить. Подставляя
х = 3 в уравнение (#), имеем
2УЗ2-2-3-2,75= 2]/0Д5= 1, 3-2=1.
Таким образом, х = 3 —корень данного уравнения.
При х = — 5/3 левая часть уравнения (*) положительна, а пра-
вая—отрицательна, поэтому число х=—5/3 — посторонний корень.
* В множестве R при возведении обеих частей уравнения в степень с не-
четным показателем равносильность не нарушается.
143
Пример 2. Решить уравнение
ГЗх + 1+К9-х = -7|=. (*)
Р е in е н и е. ОДЗ определяется условием —1/3 =+ х < 9 *.
Далее имеем
]/(Зл + 1) (9 - х) 9 - х = 6.
Уединяя радикал, получаем
]/(Зл'+ 1) (9 — х) — х— 3.
Возводя в квадрат обе части этого уравнения, имеем
№ — 8х = 0, (**)
откуда %! = 0 и х2 = 8.
Корни уравнения («*) принадлежат ОДЗ переменной уравне-
ния (*). При решении уравнения (*) могла быть нарушена равно-
сильность, поэтому проверим, являются ли корни уравнения (**)
корнями уравнения (*). При х = 0 имеем
/Г0 + 1 + /9^0=1+3 = 4, -JL=- = 4 = 2.
Так как 4=# 2, то число 0 не является корнем уравнения (*),
т. е. xt = 0 — посторонний корень.
При х = 8 имеем
/ДТТТ + /9^8 = 5+1-6, —^ = 4 = 6.
Так как при х = 8 значение левой части уравнения совпадает со
значением правой части, то х = 8 — корень данного уравнения.
Пример 3. Решить уравнение
1'37+5+. (*)
} 10 — х
Решение. Имеем
f Зл'4-5^0, х^—5/3,
{ или
( 10 —0, х < 10,
т. е. —5/3^х<10. Далее имеем
]/(Зх + 5)(10-х) + 10 - х = 15.
После преобразования получаем
4х2- 15х —25 = 0, (**)
* Условие 9 — х = 0 исключаем, так как в правой части уравнения (1)
выражение У 9 — х входит в знаменатель.
144
откуда xL =—5/4, х2 = 5. Корни уравнения (**) принадлежат ОДЗ
неизвестного уравнения (*). Делая проверку, убеждаемся, что
числа —5/4 и 5 —корни уравнения (*).
Пример 4. Решить уравнение
/9^ = /3^+• Ю
Решение. Имеем
( 9 — 5x^0, (x«s 1,8,
{ „ „ или <
I 3 —х>0, (х<3,
т. е. х^г 1,8. В результате преобразований получаем уравнение
2х2 —Зх —27 = 0,
откуда Xj = —3 и х2 = 4,5. Число 4,5 не принадлежит ОДЗ пере-
менной уравнения (*), поэтому х, = 4,5 для уравнения (^ — по-
сторонний корень. Проверяя, убеждаемся, что х =—3 —корень
данного уравнения.
Пример 5. Решить уравнение
V 4+XJ/36T72 = х Д 2. (*)
Решение. ОДЗ переменной определяется условием
4+х]/364-х2^0.
Возводя в квадрат обе части уравнения (*), получаем
4 + х ]/36 + х2 — х2 + 4х -р 4,
откуда
х2 4- 4х — х У 36 4-х2 = 0,
или
х (х 4- 4 — У364-х2) = 0. ($0
Уравнение (**) распадается на два:
х = 0 и х 4- 4 — У36 4- X2 = 0.
Последнее уравнение запишем в виде
х 4- 4 = ]/36 4-х2,
откуда х = 2,5. Проверка показывает, что хх = 0 и х2 = 2,5 — корни
данного уравнения.
Пример 6. Решить уравнение
Уз+х , Уз + х
+ —Г-
64
— 3 ух.
145
Решение. ОДЗ х > 0. Имеем
или
У 3 4~х
У*
5 /о”i- I 1 I 1 \ 64 5 /—
/3+х(у + -) = у1/%,
уз+х х+З _ 64
У~х ' Зх ~ 3 ’
^4—= 64, или
Возводя обе части последнего уравнения в пятую степень,
получаем
/х + 3\« /х4-3\в
—— = 646, или —!— = 230.
\х \ х /
В области действительных чисел выражение имеет два
значения, т. е.
^ = 25 и = —26,
откуда х1 = 3/31, х2 = —1/11. Только значение хг принадлежит
ОДЗ данного уравнения. Проверкой устанавливаем, что х = 3/31 —
корень данного уравнения.
Пример 7. Решить уравнение
(х - З)2 4- Зх - 22 = -3x4-7. (*)
Решение. Замечая, что (х — З)2 4- Зх — 22 = х2 — 6х 4- 9 4- Зх—
— 22 — (х2 — 3x4-7) — 20, уравнение (*) перепишем в виде
(х2 - Зх 4- 7) - 20 = ]/х2 —Зх-|-7. (**)
Обозначим ]/х2 — 3x4-7 = г; так как ]/х2 — Зх 4- 7 — арифмети-
ческий корень, то zSaO. Теперь имеем
г2 — 20 = z, или z2 — г — 20 = 0,
откуда zx = 5 и г2 = —4; корень z2 = —4 не принадлежит ОДЗ,
установленной для г.
Теперь найдем х. Имеем
У х2 — Зх 4- 7 = 5;
возводя обе части равенства в квадрат, получаем
х2 —3x4-7 = 25, или х2 —Зх—18 = 0,
откуда хх = 6 и х2 =—3. Проверкой убеждаемся, что хх = 6 и
х2 = —3 —корни данного уравнения.
Пример 8. Решить уравнение
146
Решение. Запишем уравнение (*) в виде
3 — х3_ЛЗ — х, х—1 2
х-1У х—1
X — 1
3 — х “ х — Г
X
Обозначим
— х
~l~z'
~—- = —, где г > 0. Имеем
3 —х z '
3—* _ 7з
х-1-г’
Так как
2
3-х __ 2 + (1-х)
Х—1 X— 1
3-х
ИЛИ ---7 — -—г
х —1 х—1
то имеем
2
г3 = .
х—1
откуда
2
х-1
Таким образом, уравнение (**) принимает вид
23-г + у = з3+1,
£
ЧТ л и
г3-г«-г 4-1=0; г4 (г - 1) - (г - 1) = 0;
(г-1)(г4-1) = 0; (гЧ- 1) (г— 1)г (г2 +1) = 0.
В области действительных чисел это уравнение имеет два раз-
личных корня: г=1 и г — — 1. Но так как г>0, то решаем
уравнение
тТ^т=1-
откуда находим х = 2.
Проверкой устанавливаем, что этот корень является корнем
данного уравнения.
Пример 9. Решить уравнение
12-^-х^ + У х2-^ = 0.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде
V <•>
Умножая обе части уравнения на разность этих же радикалов,
получаем
откуда
147
Вычитая из равенства (*) равенство (**), имеем
2 1Л2-^- = х2 —А|-+1.
Обозначая j/x2 —-^f- = z (zSsO), получим квадратное уравнение
г2 —2г 4-1 = 0, откуда г=1. Теперь имеем
возводя обе части равенства в квадрат, получаем
x2--J|=l, или х4 —х2—12 = 0.
Иррациональные уравнения рассматриваются в множестве дей-
ствительных чисел, поэтому хх = 2 и х2==—2. Убеждаемся, что
*1 = 2 и хг =— 2 —корни данного уравнения.
Пример 10. Решить уравнение
У л “г 45 — -j/”х— 16=1.
Решение. ОДЗ х^16. Возведем обе части данного уравне-
ния в куб, используя формулу
(а — Ь)3 = а3 — Z?3 — ЗаЬ (а — Ь).
Имеем
(х+45) -(х- 16)-3/х+15• ? X-16(|<х + 45 - |/х- 1б) = 1.
Далее,
61-3 V х2 + 29х - 720 -1 = 1, или -|/х2 4- 29х - 720 = 20,
откуда хх = 80 и х2 = —109. Значение х3 = —109 не принадлежит
области определения данного уравнения. Проверкой устанавли-
ваем, что х = 80 —корень данного уравнения.
На основании решения рассмотренных примеров можно сде-
лать вывод, что основным методом решения иррационального
уравнения является возведение обеих его частей в степень для
освобождения от радикалов и приведения данного уравнения
к алгебраическому. В простейших случаях возведение в степень
выполняется сразу, в более сложных случаях — после некоторых
преобразований. Полученные корни алгебраического уравнения
должны быть сопоставлены с ОДЗ переменной данного иррацио-
нального уравнения. Корни, не принадлежащие этой области,
отбрасывают, остальные корни следует проверить подстановкой
в исходное уравнение.
Упражнения
1. Доказать, что следующие уравнения не имеют корней:
а) Ух —54-0,6 = 0; в) ]/х=1 + Ух + 2+ /х — 3 = 0;
б) = г) ^±= = 0.
] 48
2. Доказать, что следующие уравнения равносильны:
а) / 2х — 1 = И х-|-4 и 2х —1=х-{-4;
б) V Зх2—12=У 2х2+4 и 3x2— 12 = 2х2-|--4.
3. Решить следующие уравнения:
а) К*2 + 3=х + 2; г) /х4-4 = у х + 2;
б) )/*2-9=х+2; д) /х + 4=^х + 2.
в) /х«—16=х-4.
4. Решить следующие уравнения:
а) х+Ух2+х-1=2; г) 1 -2 /х^Л = 2х;
б) 2-f-]/r9xa+2x-3=3x; д) х —/3 (7 — 2х) =3;
в) 5+ Кх2 + 4 = х.
5. Решить следующие уравнения:
а) Ух+1 —j/x—1 = 1; г) VxH-l + K*4-5=6;
б)/7^3-]/х^6=1; д) Vх + 2 + ^х^4 = 2 Их + К
в) Их = 3 + ]/Г^6=1; е) /5^+7—/Зх+Т=/х+3-
6. Решить следующие уравнения:]
е) 3x3+15x4-2Кх^ + 5х+1=2;
з) V 1 + ^х + j/1 - V' х = 2.
ГЛАВА V
НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Основные понятия
1. О сравнении действительных чисел. При сравнении двух
действительных чисел а и b возможны три случая: а равно b
(а = Ь), а больше b (а>Ь) и а меньше b (a<Zb). Известно, что:
если а — Ь, то а — Ь = О;
если а>&, то а — Ь>Ь;
если a<zb, то а — Ь<.0-
Справедливы и обратные предложения, которые легко доказать
методом от противного:
если а — Ь = 0, то а = Ь;
если а —Ь>0, то а>&;
если а — Ь<0, то а<.Ь.
2. Равносильные утверждения, При рассмотрении понятий
необходимых и достаточных условий была введена запись А о В,
которая означала, что из утверждения А следует утверждение В
и, наоборот, из В следует А. Утверждения А и В, между кото-
рыми стоит знак <$, называют равносильными.
Используя знак равносильности двух утверждений, запишем
следующие, часто встречающиеся в дальнейшем положения:
а = Ь<эа- Ь = 0,
а>Ь оа — Ь>^,
a<Zb о а — Ь <0.
(D
(П)
(Ш)
3. Определение неравенства. Строгие и нестрогие неравенства.
Символическая запись, в которой два числа или два выражения,
содержащие переменные, соединены знаком «больше» или «меньше»
(> или <), называется неравенством. Например, 10 >8, а2-\-1 >
> 0, л < 4. Теория неравенств строится в множестве действитель-
ных чисел, так как понятия «больше» и «меньше» имеют смысл
только для чисел этого множества. Если требуется записать, что
число а не меньше числа Ь, то пишут: а ^Ь; если же надо
записать, что число а не больше числа Ь, то пишут: а^Ь.
Неравенства вида b или а «С b называются нестроги.ми в отли-
чие от строгих неравенств а>Ь или a<Zb.
Два неравенства вида а > b и о d или а < b и с < d назы-
ваются неравенствами одинакового смысла. Два неравенства вида
a>bu c<zd называются неравенствами противоположного смысла.
4. Общие свойства числовых неравенств. Неравенство обе
части которого представляют собой выражения, составленные из
чисел, изображенных цифрами, называется числовым-, к числовым
150
относятся также неравенства, содержащие буквы, под которыми
подразумевают определенные числа. Например, 2 + 10 • 2 > 5 —
— 2-3 и л 4- 7 > 10 — числовые неравенства.
Прежде чем перейти к рассмотрению свойств числовых нера-
венств, захметим, что понятия «больше» и «меньше» всегда взаи-
мосвязаны. Если установлено, что число а больше числа Ь, то
тем самым установлено, что число b меньше числа а. Таким
образом, если а>Ь, то
Свойство 1. Если а>Ь и b > с, то а>с.
Доказательство. На основании (II) числа а — Ь и Ь — с
положительные. Сумма этих чисел —также число положительное,
т. е. (а — Ь) + (Ь — с) > 0, откуда а — с>0, следовательно, а>с.
Примечание. Это свойство называют свойством транзитивности
неравенств.
Свойство 2. Если a>bt то а-\-т>Ь-\-т> где т —любое
действительное число.
Доказательство. Из условия а > b следует, что а — Ь > 0.
Очевидно, что а — Ь-\-т — т>0, или (а+/п) —(& + /п)>0. Таким
образом, а-\-т>Ь--т.
Следствие. Если а-\-Ь>с, то а>с — Ь.
Доказательство. На основании свойства 2 имеем а 4- b 4-
+ (— &)>с + (— Ь) или а>с — Ъ, что и требовалось доказать.
Итак, любое слагаемое из одной части неравенства можно пере-
нести в другую с противоположным знаком.
Свойство 3. Если а>Ь и то am>bm. Если a>b
и т<0, то ат<Ьт.
Доказательство. Из условия а>Ь следует, что а — Ь —
число положительное. Если т — также положительное число, то
(а — Ь)т>0, или ат — Ьт>0, откуда ат>Ьт', если же число
т — отрицательное, то произведение (а — Ь) т<0, или ат — Ьт<®,
откуда ат<Ьт.
Примечание. Деление на число т, отличное от нуля, можно рассмат*
ривать как умножение на число 1/т, поэтому имеем:
если а > b и т > 0, то а/т > Ыт\
если а > b и т < 0, то aim < b/m.
Свойство 4. Если а>Ь и с> d, то a~\-c>b-\-d.
Доказательство. Из условия следует: а — b и с — d
— положительные числа, поэтому их сумма также число положи-
тельное, т. е.
(a — b) + (c — d)>0 или (а 4-с) — (b-\-d) >0,
откуда a-\-Ob -\-d.
Свойство 5. Если а>Ь и c<.d, то a — c>b — d.
Доказательство. В соответствии с условием имеем:
а — Ь>0 и d — с>0. На основании свойства 4 получаем
{a — b)-\-(d — с) > 0 или (а — с) — (b — d)>0,
откуда a — c>b — d.
151
Свойство 6. Если а>Ь>Ъ и c>d>Q, то ac>bd.
Доказательство. Так как а>Ь и О0, то ас>Ьс,
а так как c>d и &>0, то bc>bd. Из неравенств ас>Ьс и
bc>bd в силу свойства транзитивности имеем ac>bd.
Свойство 7. Если а>Ь^0 и п —натуральное число, то
ап >* Ьп.
Доказательство. Справедливость этого свойства непо-
средственно вытекает из свойства 6. В самом деле, если
то а2>У2; если а2>/?2, то а3>й3. Повторяя это рассуждение
п— 1 раз, получаем, что ап>Ьп.
Свойство 8. Если а>Ь^0 и п —число натуральное, то
пг— п
у a>yb.
Доказательство проведем способом от противного. Допустим,
что у Ь\ тогда по свойству 7 имеем
а}п или а^Ь,
что противоречит условию. Значит, сделанное допущение неверно,
следовательно, \/Г~а > */ &.
Свойство 9. Если а и Ь — числа одного знака и а>Ь, то
1/а < \/Ь.
Доказательство. Достаточно убедиться, что \/а — 1/Ь < 0.
Имеем
1/а — l/b = (b — a)/db.
Числитель Ь — а — число отрицательное, так как Ь<а, а знаме-
натель ab — число положительное, поскольку а и b имеют одина-
ковый знак. Следовательно, дробь (b — a')lab отрицательная. Таким
образом, 1/а— 1/&<0, откуда 1/а<1/6.
Примечание. В гл. I при изучении натуральных чисел было отме-
чено, что для суммы и произведения имеют место законы, выражаемые нера-
венствами:
если а>Ь, то а-\-о Ь-\-с,
если а > Ь, то ас > Ьс.
Первый из них называется законом монотонности суммы, а второй— законом
монотонности произведения. Рассмотренные свойства числовых неравенств
являются выражением законов монотонности результатов арифметических дей-
ствий для множества действительных чисел. Так, второе и четвертое свойства
выражают закон монотонности суммы, третье и шестое свойства— закон моно-
тонности произведения, седьмое свойство —закон монотонности степени, а вось-
мое свойство —закон монотонности арифметического корня.
5. Неравенства, содержащие переменные. Неравенство, содер-
жащее переменные, называется тождественным, если оно спра-
ведливо при любых значениях этих переменных. Например,
неравенство а2 + 62+10>0 является тождественным, так как
оно справедливо при любых значениях а и Ь. К тождественным
неравенствам относятся и такие, которые справедливы при любых
значениях входящих в них букв, ограниченных наперед задан-
ными условиями. Например, неравенство (а-г Ь)2 > о2 + Ь2 при
ab > 0 — тождественное неравенство.
152
Если для неравенства с одной переменной f (х) > ср (х) необ-
ходимо установить, при каких значениях переменной х оно спра-
ведливо, то говорят, что надо решить данное неравенство. Зна-
чение х, при котором неравенство [ (х) > ср (х) справедливо, назы-
вается его решением. Под решением неравенства подразумевают
либо одно значение переменной, удовлетворяющее неравенству,
либо все множество таких значений. Это множество может быть
бесконечным, конечным и даже пустым.
Пример 1. Решением неравенства Зх > 45 является множество всех дей-
ствительных чисел, которые больше 15, т. е. х> 15. Ясно, что это множество
является бесконечным. ____ _______
Пример 2. Решение неравенства р х — 1 +У 1 — х>> 0 —единственное число:
х=1, т. е. множество решений конечно, оно содержит только один элемент.
Пример 3. Неравенство (х —2)2<0 не имеет решения, т. е. множество
решений этого неравенства пустое.
Решить неравенство — это значит найти множество всех его
решений.
6. Некоторые приемы доказательства тождественных неравенств*
1. Рассмотрение разности между левой и правой
частями.
Пример 1, Доказать, что (a-\-b)/2>Vab при а>0, й>0
и а Ф Ь.
Доказательство. Покажем, что разность между левой и
правой частями положительна. Действительно,
(а 4- й)/2 — = + & — 2У" аб)/2 = (]/а — У &)2/2.
Очевидно, что дробь (Уа — Уb)2/2 положительна. Доказано, что
(а + b)/2 — Vab > 0. Отсюда следует, что данное неравенство
справедливо.
Замечание. Выражение (а-|-Ь)/2 называется средним арифметическим
чисел а и Ь\ выражение У ab называется средним геометрическим этих чисел.
Как было показано, среднее арифметическое двух неравных положитель-
ных чисел больше их среднего геометрического. При а = Ь имеем:
(а + &)/2==(а4-а)/2 = а и ]/~аЬ — ]/^а-а — а, т. е. (aJ-b)/2 = Vab.
Объединяя последнее равенство с доказанным неравенством, получаем
нестрогое неравенство (а-\-Ь)/2 УаЬ.
Пример 2. Доказать, что 2а/( 1 + а2) < 1 при a=£l.
Доказательство. Также рассмотрим разность между левой
и правой частями неравенства:
2а 1 2а— 1— а* _ а2 — 2^+1 _ (а— I)2
1-4-а2 1 + а2 “ 1+а2 “ 1 +а2 *
Очевидно, что —(а — 1)2/(1 + а2) < 0 при а^=1. Отсюда следует,
что данное неравенство справедливо.
2. Использование известных неравенств.
Пример 1. Доказать, что
а/& + Ыа 2 при а > 0 и b > 0.
153
Доказательство. Среднее арифметическое двух поло-
жительных чисел больше или равно их среднего геометрическо-
го, поэтому
(а/b + Ь/а)/2 V (а/b) (Ь/а).
Умножая обе части последнего неравенства на 2 и принимая во
внимание, что У(а/b) (Ь/а) — 1, получаем а/Ь + Ь/а^2.
Пример 2, Доказать, что
(а + b)/c + (b + с)/а -J- (а 4* с)/Ь 6,
где а, Ь и с — положительные числа.
Доказательство. Используя доказанное выше неравен-
ство, имеем:
а/с-\-с/а'^ 2, Ь/с-\-с/Ь^2, Ь/а + а/Ь^2.
Складывая почленно эти три неравенства, получаем
а/с + с/а + b/с -\-с/Ь-\-Ь/а-\- а/b 6,
или
(а/с 4- Ь/с) 4- (Ь/а 4- с/а) 4- (с/Ь 4- а/b) 2* 6,
т. е.
(а 4- Ь)/с 4- (Ь 4- с)/а 4- (с 4- а)/Ь 2» 6.
Пример 3. Доказать, что (а 4- Ь) (Ь 4- с) (с 4- а) > 8я£с при а>0,
Ь>0, с>0 и а^=Ь.
Доказательство. Известно, что
(а-\-Ь)/2~>УаЬ, так как a^=b, (Ь-\-с)/2^У Ьс,
(а 4- с)/2 2» У ас.
Перемножая почленно эти неравенства, получаем
[(а 4- Ь) (Ь 4- с) (а 4- с)]/8 > У а2Ь2с2.
Так как а>0, Ь>0 и с>0, то ]/а2Ь2с2 = abc. Поэтому имеем
((а + Ь) (Ь + с) (а + с)]/8> abc,
или
(а 4- Ь) (Ь 4- с) (а-\-с)/> 8аЬс.
Пример 4. Доказать, что если а, Ь и с —действительные числа,
то а2 + b2 с2^= ab ас-{- Ьс.
Доказательство. Очевидно, что
(а - Ь)2 4- (а - с)2 4- (Ь - с)2 > 0.
Отсюда следует
а2 - 2аЬ 4- Ь2 4- а2 - 2ас 4- с2 4- Ь2 - 2Ьс 4- с2 0,
или
2 (а2 4- Ь2 4- с2) ^2 (ab 4- ас 4- Ьс),
т. е.
а2 4- Ь2 4- с2 ab 4- ас 4- Ьс.
154
Упражнения
1. При каком условии следующие нестрогие неравенства: а) (а—1)2 +
+ (Ь— 2)2^0; б) (а — 3)2+62^0; в) (а + 2)2+(Ь-|-3)2^0 —являются стро-
гими?
2. Сравнить пары чисел: а) 47 и 85; б) 97 и 274; в) [’4 и у 5.
3. Дано: a<b + c, Ь<с-{-а, с<а±Ь, где а > 0, 6>0 и с>0.
Доказать, что а2-]-Ь2 + с2 < 2 (ab -\-Ъс+ас).
4. Доказать, что a2/b-\-b2la > a-\-b, если а> 0, b >0 и а Ь.
5. Пусть а и b — неравные положительные числа. Доказать, что
> аьЬаЬь.
Указание. Рассмотреть разность между левой и правой частями.
6. Если а и b — катеты, а с —гипотенуза треугольника, то с? > а3-[-Ь3.
Доказать это утверждение.
7. Доказать, что для трех неотрицательных чисел a, b и с имеет место
следующее неравенство:
(а +1) (b + 1) (а-]-с) (Ь +с) 16а6с.
8. Доказать, что если а > 0, b > 0 и а Ь, то имеет место неравенство
1/а+ 1/6 < ^аЬ‘
9. Доказать, что (a2 + 2)/j/a2+ 1 ^2.
10. Доказать, что (1 +ab)2/(a-\-b)2 < 1, если а > 1 и 0<£<1.
И. Известно, что а > 0, b > 0, с > 0. Доказать справедливость неравенства
а-\-Ь-\-с^ УаЬ-гУас + У Ьс.
§ 2. Неравенства с одной переменной.
Линейные неравенства
1. Равносильность неравенств. В предыдущем параграфе были
рассмотрены свойства числовых неравенств. Возникает вопрос
о возможности распространения этих свойств на неравенства,
содержащие переменные, которые требуется решить. При изучении
уравнений было показано, что свойства числовых равенств безо-
говорочно переносить на уравнения нельзя. Аналогично нельзя
считать безоговорочно справедливыми свойства числовых нера-
венств для неравенств, содержащих переменные. Например, нера-
венство 2х>3 имеет решение х = 2, а если к обеим его частям
прибавить выражение 1/(х —2), то полученное неравенство
2x+J=2>3+r^2
не является справедливым при х = 2, так как обе его части при
этом значении х не имеют смысла.
Условия, при которых свойства числовых неравенств справед-
ливы для неравенств, содержащих переменные, рассматриваются
в теории равносильности неравенств.
Определение. Два неравенства, содержащие переменную,
называются равносильными, если всякое решение первого является
решением второго и, наоборот, всякое решение второго является
решением первого.
155
Неравенства, не имеющие решений, также называются равно-
сильными. Например, неравенства х2+1<0 и (х —3)2<0 рав-
носильны, так как множество решений каждого из них является
пустым.
Теорема 1. Если к обеим частям неравенства
fi(x)>fa(x) (1)
прибавить одно и то же выражение /3(х), имеющее смысл при
всех допустимых значениях переменной, то новое неравенство
fiM + f3(x)>f2(x)+f3(x) (2)
равносильно данному.
Доказательство. 1. Пусть х = а — любое решение нера-
венства (1); тогда имеет место числовое неравенство Д (а) (а).
Прибавляя к обеим частям этого неравенства число f3(a), полу-
чаем fi(a)+f3(a)>f2{d)+f3(a). Сравнивая последнее числовое
неравенство с неравенством (2), заключаем, что х = а —его реше-
ние.
2. Пусть теперь х = Ь — любое решение неравенства (2); тогда
имеем числовое неравенство fi(b)+f3(jj)>f2(b)+f3(b). Отнимая
от обеих частей этого неравенства число f3(b), получаем нера-
венство Д (Ь) > Д (Ь), сравнивая которое с неравенством (1) заклю-
чаем, что х = Ь — его решение. Итак, показано, что любое реше-
ние неравенства (1) является решением неравенства (2) и, наоборот,
любое решение неравенства (2) является решением неравенства (1).
Таким образом, согласно определению равносильности, неравен-
ства (2) и (1) равносильны.
Следствие. Не нарушая равносильности, можно любое сла-
гаемое переносить из одной части неравенства в другую с проти-
воположным знаком.
Теорема 2. Если обе части неравенства
fl (х) > f2 (х)
умножить на одно и то же положительное число т, то новое
неравенство
mfi W > W
равносильно данному.
Теорема 3. Если обе части неравенства
fl (х) > h (х)
умножить на одно и то же отрицательное число т, то получим
новое неравенство противоположного смысла
mfi (x)<mf2(x),
равносильное данному.
Доказательства теорем 2 и 3 аналогичны доказательству тео-
ремы 1.
Примечание. Теоремы 2 и 3 не гарантируют сохранения равносиль-
ности при умножении обеих частей неравенства на множитель, содержащий
переменную. Такой факт имел место при изучении уравнении.
156
Правила для решения неравенств более строгие, чем для уравнений. Если
при умножении обеих частей уравнения на одно и то же число или выраже-
ние можно не обращать внимание на знак множителя, то при умножении
обеих частей неравенств на число или выражение это недопустимо.
2. Решение линейных неравенств с одной переменной. Опре-
деление. Неравенство, обе части которого являются линейными
функциями относительно переменной, называется линейным.
В общем виде линейное неравенство записывается так:
kx +1 > тх -|- п. (1)
На основании следствия из теоремы 1 получаем
(k — т) х> п — 1.
Обозначая А — т = а и п — 1 = Ь, имеем
ах>Ь. (2)
Если а 0, то неравенство (2) называется неравенством пер-
вой степени. Таким образом, всякое неравенство первой степени
является частным видом линейного неравенства.
При а = 0 неравенство (2) принимает вид
0-х >6. (3)
Неравенство (3) линейное, но оно не является неравенством пер-
вой степени.
Решение неравенства вида ах>Ь.
1) Если а>0, то по теореме 2 имеем х>Ь!а.
2) Если а < 0, то в соответствии с теоремой 3 получаем
х < Ь/а.
3) Если а = 0, то 0-х>6. Имеем: а) при Ь^О неравенство
решений не имеет; б) при b < 0 решением неравенства является
все множество действительных чисел.
Пример 1. Решить неравенство
(х /3- 1)2-(х+ 1)2 > (2х — 1) (х+Кз).
Решение. Имеем
Зх2—2 УЗ х +1 —х2 —2х — 1 > 2x4-2/Зх-х-УЗ,
или
(4/3+1)х<|<3,
откуда х < (12 — V3)/47.
Пример 2. Решить неравенство
5 (1 — 2х) 5 Зх-1
6 + 8 > 12
Решение. Получаем
20(1—2х)+15 2 (Зх-1)-24.2х
24 > 24 *
Умножая обе части неравенства на положительное число 24, имеем
20 (1 - 2х) + 15 > 2 (Зх - 1) - 48х,
откуда х > —18,5.
157
Пример 3. Решить относительно х неравенство
mx4-l >2(х — 1).
Решение. В это неравенство кроме переменной х входит параметр т>
Допустимыми значениями параметра /и, как и для х, является все множество
действительных чисел. В результате несложных преобразований получаем не-
равенство (т — 2)х><—3, равносильное данному. Далее имеем:
если /л —2>0, т. е. т > 2, то
х>—3/(т —2), или х>3/(2—/п);
если tn — 2<0, т. е. т < 2, то
х < —3/(т — 2), или х < 3/(2 — т);
если т — 2, то неравенство принимает видО*х>—3. Здесь х —любое
действительное число.
3. Решение системы двух линейных неравенств с одной пере-
менной. Если даны два линейных неравенства k-Lx 4-> тхх + nt
и k2x + l2>tn2x + n2 и требуется найти все те значения х, при
которых удовлетворяется каждое из данных неравенств, то гово-
рят, что эти неравенства образуют систему
( Й1х+/1>/721Л,+ п1,
( k%X -j- ^2 > ^2-^ 4” ^2*
Для того чтобы решить систему неравенств, надо определить
множество решений каждого из них, а затем найти пересечение
этих множеств.
Пример 1. Решить систему
( 5х —3 > 14-х,
I 3 — 18х<4х —30.
Решение. Решая каждое неравенство отдельно, получаем
( х> 1,
I х > 1,5.
Пересечением этих множеств 'является множество х> 1,5, которое и есть ре-
шение данной системы (рис. 53).
. .. Z _ . ZZ
/ у
Рис. 53 Рис. 54
Пример 2. Решить систему
( 2х > 4х + 6,
t 4x4-3 < 2x4-1.
Решение. Решая каждое из неравенств, находим
J х<—3,
1х<—1.
Система имеет решение х < —3 (рис. 54).
158
Пример 3. Решить систему
Решение. Имеем
4x4-7 >2x4-13,
Зх —8 <2x4-1*
Решением системы является множество значений х, определяемое двойным не-
равенством 3 < х < 9 (рис. 55).
О J 9
Рис. 55
Рис. 56
Пример 4. Решить систему
2(х-3)-1 <5,
Зх/8— 7>х/12.
Решение. Находим
х<6,
я > 24.
Эти неравенства общих решений не имеют (рис. 56), так как нет чисел, кото-
рые были бы одновременно больше 24 и меньше 6. Пересечение полученных
множеств решений является пустым множеством. В таких случаях говорят,
что данная система несовместна.
Теперь рассмотрим решение системы двух линейных неравенств
в общем виде. Пусть требуется решить систему неравенств
feix4-/i>^i-v4-77i,
^2^ *4” ^2 ^2 я + ^2 •
При решении каждого из неравенств возможны следующие
случаи.
Случай 1. j х>р,
I > Pi-
Если p>Pi, то система имеет решение х>р.
Случай 2. х < р,
*<Pi-
Если p<Pi, то решение системы таково: х<р.
Случай 3. ( х>р>
%>Р,
x<Pi.
^2222ь1_
р Л
Рис. 57
Рис. 58
Если p<pi, то решение системы имеет вид p<x<pi (рис. 57);
если р> pi, то система несовместна (рис. 58).
159
Решение неравенства вида (ах + b) (сх + d) > 0 сводится к ре-
шению двух линейных систем:
( ax + b>0, (ах + &<0,
< и <
( сх + d > 0 ( сх + d < 0.
К решению этих же систем приводится решение неравенств вида
(ах + b)/(cx + d) > 0.
4. Применение неравенств к решению уравнений с парамет-
рами. Применение неравенств к решению уравнений с парамет-
рами рассмотрим на примерах.
Пример 1. Решить уравнение (2а + 1) х = 3а + (а —-2)х и найти
значения параметра а, при которых корень этого уравнения —
число положительное.
Решение. Заменим данное уравнение ему равносильным:
(а-\-3) х = 3а.
Если а + 3 = 0, т. е. а =— 3, то уравнение принимает вид
О’Х = — 9. Очевидно, что это уравнение корней не имеет. Если
же я + Зу=0, т. е. а=£ — 3, то х = 3а/(а + 3).
Теперь найдем, при каких значениях а корень уравнения
является числом положительным. Для этого решим неравенство
За/(а + 3) > 0. Дробь 3а/(а + 3) положительна, если ее числитель
и знаменатель имеют одинаковые знаки; таким образом, решение
неравенства За/(а + 3)>0 сводится к решению двух систем:
f За>0, ( Зя<0,
< и <
( а + 3 Д> 0 | а + 3 0.
Решая первую систему, получаем а>0. Решением второй яв-
ляется а< — 3. Итак, х~3а /(а-\-3) при аф- 3. При а>0 и
при а< —3 корень уравнения положителен.
Пример 2. Найти значения параметра а, при которых урав-
нение
а (2а + 3) % + а2 = а2х + За
имеет единственный отрицательный корень.
Решение. Данное уравнение равносильно следующему:
а(а-\-3) х = (3 — а) а.
Если а (^ + 3)+= 0, т. е. а+=0 и я+= —3, то уравнение имеет
единственный корень х = (3 —я)/(3 + а); х<0, если (3 —я)/(3 + я)<
<0. Решение этого неравенства сводится к решению следующих
систем:
Г 3 — гг > 0, f 3 — < 0,
1 3 -\-а < 0 1 3 + а>0.
Решая эти системы, получаем: п< —3, а>3. Итак, данное
уравнение имеет единственное отрицательное решение при а<^ — 3,
а также при а>3.
1G0
Упражнения
1. Решить неравенства:
а) ’ — (2 —Зл')/15 < л'Ч-З/б;
б) х-(х — 1)/2 > (х-3)/4 — (х — 2)/3;
в) 5 (7/24 - х/3) > х/4 - (1 + 24х)/12;
г) (х4- 1) 2х > (2х — 5) х.
2. Следующие неравенства решить относительно х:
а) 2тх— 1 < т — 2х; б) 2m — х > 1 +тх; в) 2x4-13 > ах 4-17.
3. Решить системы неравенств:
a) J 5х-4>24-х, в) ( 2 (х—1) <6,
I 1/3 — Зх < 2х/3 — 7; I Зх/8-7 > х/12;
б) Г 6х —7<5х —1, г) ( 3x4-2 >х-2,
I 8х —4>Зх-[-6; < х+15>6-2х,
[ х- 14 < 5x4- 14.
4. Найти значения а, при которых следующие дроби положительны:
а) (2а — 3)/(3а —2); б) (За —8)/(5 —а); в) (2 — За)/(2а 4-7;.
5. Найти значения а, при которых следующие дроби отрицательны:
а) (8 — За)/(7а — 2); б) (5а 4-8)/(За — 7); в) (За-7)/(2-5а).
6. Решить неравенства:
а) (2х4-3)/(1 —х)> 5; б) (2х4-3)/(х4~ 1) > 2; в) (Зх —7)/(2 —5х) > — I.
§ 3. Квадратные неравенства
1. Определение. Теоремы о знаке квадратичной функции. Нера-
венство вида ах2-\-Ьх-\-с>0 или ах2 + Ьх~гС <0, где а^=0, назы-
вается квадратным. Решить неравенство ax2 + bx + O0 — значит
найти значения х, при которых функция у = ах2-\-Ьх-\-с имеет
положительные значения. Аналогично выясняется смысл решения
неравенства ях24-Ьх4-с<0- Решение квадратных неравенств свя-
зано с нахождением промежутков знакопостоянства квадратичной
функции. В гл. III было показано, что промежутки знакопостоян-
ства функции у = ах2 + Ьх4- с легко находятся с помощью ее гра-
фика. Приведем аналитическое решение этого вопроса.
Теорема 1. Если корни квадратичной функции у = ах2 + Ьх-\~с
действительные и различные, то для значений х, принадлежащих
промежутку между корнями, знак функции противоположен знаку
коэффициента а, а для значений х вне этого промежутка знак
функции совпадает со зна-
ком коэффициента а. ______________________________________
Доказательство. хг
Пусть Xi и х2 — корни функ-
ции у = ах2 -\-Ъх + с, при- Рис. 59
чем хх<х2 (рис. 59). Тогда
имеем у=а \х — хх) (х — х2). Если значение х заключено между х{ и х2,
т. е. Xi < х < х2, то х — Xj > 0, а х — х2 < 0; тогда (х — хх) (х — х2) <
< 0. Следовательно, у — а (х — хх) (х — х2) — положительное число
при «<0и отрицательное — при а>0, т. е. знак у противопо-
ложен знаку а.
Если xCXjl, т, е. —со <х<хх, то х — хг <0 и х — х2 <0;
в этом случае (х — хх) (х —х2) > 0. Следовательно, у = а(х — хх)х
х(х —х2) является положительным числом при а>0и отрица-
тельным при а<0, т. е. знак у совпадает со знаком а.
6 М. И. Абрамович, М, Т» Стародубцев
161
Если же х2<*< + с°, то х —х«2>0 и х —лт>0; тогда
(х — Xi) (х — х2) > 0. Следовательно, у = а (х — xY) (х — х2) — положи-
тельное число при а>0 и отрицательное при я<0, т. е. знак у
совпадает со знаком а. Теорема доказана.
Полученные результаты для функции у = ах2 4- Ьх-\-с, корни
которой Xi и х2 действительны и различны, можно представить
в виде следующей таблицы:
(—со, х,)
(Xt, Xi)
(хг, +со)
Знак у
Противоположен
знаку коэффициента а
усмотреть из
Совпадает со знаком
коэффициента а
графика функции
Совпадает со зна-
ком коэффициента а
Эти результаты легко
X
Пример 1. Найти промежутки зпакопостоянства функции
# = х2 —2х — 15.
Решение. Корнями данной функции являются числа хг ——3 и х2 — 5.
Так как а — 1 > 0, то
X (—со, —3) (-3, 5) (5, +°о)
Знак у 4” — 4”
Пример 2. Найти промежутки зпакопостоянства функции
у = —2х2 — 7х + 4.
Решение. Корнями данной функции являются числа хх =—4 и х2=1/2.
Так как а ——2<0, то
X (—со, —4) (-4, 1/2) (1/2, +оо)
Знак у 4- —
Теорема 2. Если корни квадратичной функции у — ах2 -\-bx-\-c
действительные равные, то при всех значениях х, кроме значения,
равного корню xt=x2 = — b/2af знак функции совпадает со знаком
коэффициента а.
162
Доказательство. В этом случае имеем
у = ах2 + Ьх + с = а (х — хД2.
Так как при хфхх выражение (х — Х].)2>0, то знак у совпадает
со знаком коэффициента а. Теорема доказана. Графическая ил-
люстрация приведена на рис. 62 и 63.
Пример. Дана функция у = —х'2-\-4х — 4. Ее корни х1==х2 = 2. Имеем:
(/ = —(х —2)2. Отсюда следует, что у < 0 при всех значениях х, “кроме х = 2.
Теорема 3. Если квадратичная функция у = ах2 -\-bx-\-c дей-
ствительных корней не имеет, то для всех без исключения зна-
чений х знак у совпадает со знаком коэффициента а.
Доказательство. Данная функция действительных корней
не имеет, поэтому в множестве действительных чисел выражение
ах2-\-Ьх + с па множители разложить нельзя. Выполним следую-
щее преобразование:
у = ах2 -р Ьх-\- с = а \ х2 + ~ х + —j =
с /;2 1 Г/ . b \2 । 4ас—Ь-
а 4а-_ а _\ 1 2а/ ~ 4а2
Из условия теоремы следует, что дискриминант квадратного трех-
члена D — Ь2 — 4яс<0, поэтому (4ас — 62)/4а2 > 0. Выражение
(х-\-Ь/2а)2 при любом х неотрицательно, следовательно, выражение
Рис. 64 Рис. 65
в квадратных скобках положительно. Отсюда делаем вывод, что знак
у совпадает со знаком коэффициента а при любом значении х. Теоре-
ма доказана. Графическая иллюстрация приведена на рис. 64 и 65.
6*
163
Пусть, например, дана функция //== 2л2-]-5х + 12. Вычислим
дискриминант трехчлена 2х2 +5x4-12:
О = 52 —4-2-12<0.
Так как D<0, то функция действительных корней не имеет.
Поскольку а = 2>0, то г/>0 при всех значениях х.
2. Решение квадратных неравенств.. При решении неравенств
вида ах24“Ь* + £>0 или ях24-Ьх + с<0 возможны три случая:
1) D = b2 — 4ac>Q (корни действительные и различные); реше-
ние неравенства находится на основании теоремы 1;
2) D~b2 — 4^ = 0 (корни действительные и равные); при реше-
нии неравенства используют теорему 2;
3) /5 —Ь2 — 4ас<0 (действительных корней нет); решение нера-
венства основано на теореме 3.
Пример L Решить неравенство
10х2-29х4-10>0.
Решение. Находим дискриминант: D = (—29)2 —4 • 10 ♦ 10 = 441; D > 0,
поэтому корни действительны и различны: xt = 2/5 и х2 = 5/2. Так как я =
= 10>0, то на основании теоремы 1 заключаем, что функция г/=10х2 —
— 29x4-10 принимает положительные значения при всех значениях х вне про-
межутка, ограниченного значениями х{ и х2, т. е. при х < 2/5 и при х > 5/2.
Пример 2. Решить неравенство
— 9х24-24х4-20> 0.
Решение. Данное неравенство равносильно неравенству
9х2 — 24х — 20 < 0.
Дискриминант £) = (—24)2— 4-9.(—20)= 1296>С; далее находим: х, =
= —2/3 и х2 = 10/3.
Поскольку а — 9 > 0, то по теореме I имеем — 2/3 <х < 10/3.
Пример 3. Решить неравенство
4х2~ 12х 4-9 <0.
Решение. Вычислим дискриминант: £> = (—12)2 —4.4 • 9 = 0. Так как
7 = 4>0, то согласно теореме 2 данное неравенство решений не имеет.
Пример 4. Решить неравенство
5х24-6%4-10 > 0.
Решение. Имеем D = 62 —4 • 5 • 10 < 0; функция 5х2 4-6%+10 действи-
тельных корней не имеет. Так как а = 5>0, то на основании теоремы 3 функ-
ция 5х24~6х4“10 при всех значениях х положительна, т, е. неравенство спра-
ведливо при любом действительном х,
Упражнения
1. Решить следующие неравенства:
а) х2 — 4х > 0; д) х2 < 3;
б) х24~4х>0; е) 4х2>9;
в) х2 —4 > 0; ж) х2 < 9х;
г) х2 4- 4 > 0; з) X2 > —5.
2. Решить следующие неравенства:
а) х24-2х-3>0; д) х2-6х4-9>0;
б) х2 —х—6<0; с) 4х2 —4х-]-1 <0;
в) х24-х4~5>0; ж) х — х2 — 6 > 0;
г) х2 —х4-5<0; з) (х2 —х —2) (х2-рх4-2) > 0.
164
§ 4. Решение неравенств с помощью выделения промежутков
знакопостоянства функции (метод интервалов)
1. О промежутках знакопостоянства линейной функции. Вопрос
о промежутках знакопостоянства линейной функции рассмотрен
в §2 гл. III, где было выяснено, что функция у = ах + Ь при
а 0 сохраняет знак в промежутках (— оо, — b/а) и (— Ь/а,
+ оо). Это свойство линейной функции можно записать в виде
таблицы:
а > 0 X (—со, —Ь/а) (—Ь/а, 4-00)
У — -1-
<2 < 0 X (—со, —bf а) (—/-'/«, 4-со)
У —
2. О промежутках знакопостоянства квадратичной функции.
Промежутки знакопостоянства квадратичной функции у = ах2-\-
+ Ьх + с определяются теоремами, доказанными в предыдущем
параграфе. Результаты исследования можно свести в следующую
таблицу.
Корни хг и х2— действительные различные (xi<Zx2y.
а > 0 X (—СО, *1) (хп х2) {х2, 4-00)
У + — 4“
а < 0 X (—со, Л'О (/,, х.,) (х2, 4-00)
У — —
Корни действительные равные (х1 = х2 =— bfcaY
а > 0 X (—со, — Ь/2а) (— Ь/2а, 4-оо)
У —J- -L-
а<0 X (—со, — Ь/2а) (—b!<2.ai -р со)
У —
165
Действительных корней нет.:
а > 0 X (—СО, +оо) а < 0 X (—со, Н-со)
У “1* У —
Покажем, как применяется это свойство линейной и квадра-
тичной функции при решении неравенств и систем неравенств.
Пример 1. Решить неравенство
(Зх- 1) (4 -х) (2х +З)2 <0.
Решение. Левая часть этого неравенства представляет собой
произведение функций Зх—1, 4 —х и (2х4-3)2, корпи которых
соответственно равны 1/3, 4 и —3/2. Промежутки зпакопосто-
янства функции Зх—1 таковы: (—сю, 1/3) и (1/3, 4-сю). В пер-
вом из пих функция имеет отрицательные значения, а во втором —
положительные. Промежутки знакопостоянства функции 4 —х
таковы: (— со, 4) и (4, 4- оо). В первом из них функция имеет
положительные значения, а во втором — отрицательные.
Функция (2x4-З)2 положительна при всех значениях х (на
всей числовой оси), кроме х —— 3/2.
Располагая корни 1/3, 4 и —3/2 в возрастающем порядке,
составим таблицу знаков:
Функции Числовые промежутки
(~ со, - 3/2) (-3/2, 1/3) (1/3, 4) (4, +со)
Зх— 1 — —
4-х ~Р -р —•
(2/ + ЗР “Ь
(Зх—1) (4 —х) (2х-)-3)г —- —
Последняя строка таблицы дает ответ на поставленный вопрос,
т. е. (Зх— 1) (4 — х) (2х4~3)2<0 при х<—3/2, при —3/2<
<х< 1/3, а также при х>4.
Пример 2. Решить неравенство
(2-х) (%+5)
х + 3
0.
1G6
Решение. Корни функций 2 — х, х + 5 и л* + 3 соответственно
равны: х = 2, х =—5 и х =—3. Составим таблицу знаков:
Функции Числовые промежутки
(-оо, -5) (-5, -3) (-3, 2) (2, -boos
2 — х й —
x-f-5 — +
x-j-3 —— — “1“
(2-х) (х + 5) х -}- 3 — —
В последней строке таблицы содержится ответ: х < — 5
и —3<х<2.
Пример 3, Решить неравенство
х2 —х—12
х2 + 2х— 15
Решение. Корни числителя х — — 3 и х = 4; корпи знаме-
нателя х =—5 и х = 3. Используя теорему о знаке квадратичной
функции в случае, когда корни действительные и различные,
составим таблицу знаков:
Функции Числовые промежутки
(—со/ —5) (-5, -3) (-3, 3) (3, 4) (4, Ч-оо)
х2—х —12 "Т — —
х2+2х—15 + — —
СЧ 22 1 । 7$. * X —• — —
Таким образом, х <Z—5; —3<%<3; х>4.
Рассмотренный метод решения неравенств с помощью выделе-
ния промежутков знакопостоянства называют методом интерва-
лов. При использовании этого метода на практике в таблице
знаков сохраняют только последнюю строку. Например, при
решении неравенства
(2_х) (х + 5) п
х-рз
1G7
рассмотренного выше, определяют корни линейных двучленов
и разбивают числовую ось на интервалы (—оо, —5), (—5, —3),
(—3, 2) и (2, 4-оо). В каждом из этих интервалов определяют
знак функции # = [(2 —х) (х + 5)]/(*+3) и записывают результат
в виде
X (—СО, —5) (-5, -3) (-з, 2) (2, 4- сх?)
У —
Отсюда: х < -^-5 и —3 < х < 2.
Пример 4. Решить систему неравенств
Зх2 > 2х, (*)
х2 < 2, (**)
. 1/(4х— 1) < 1/4. (ф**)
Решение. Сначала решим неравенство (*), получаем: х<0,
х>2/3. Аналогично, решая неравенство (**), находим — ]/2 <
<х<]/2. Неравенство (**•=.) после преобразований принимает
вид
(5 —4х)/(4х — 1)<0.
Решая его, получаем: х< 1/4, х>5/4. Составим таблицу реше-
ний неравенств (*), (**) и (<=**) и найдем те числовые проме-
жутки, в которых одновременно удовлетворяются все три нера-
венства. Эти числовые промежутки (в таблице они заштрихованы)
и являются искомыми решениями системы:
Таким образом, — ]/"2<х<0; 5/4 <х<фЛ2-
Пример 5. Определить, для каких значений т неравенство
(т — 2) х2 + 2 (2m — 3) х + 5т — 6 > О
удовлетворяется при любом значении х.
168
ч Решение. Данное неравенство удовлетворяется при любом х,
если дискриминант квадратного трехчлена в левой части данного
неравенства отрицателен, а коэффициент при х2 положителен.
Исходя из этих соображений, составим относительно параметра т
систему неравенств
( (2m — З)2 — (т — 2) (5т — 6) < О,
| т — 2 > 0.
После преобразований система (*) принимает вид
т2 — 4т 4-3 > 0,
т —2> 0.
(**)
Функция т2 —4т 4-3 имеет своими корнями числа тх = 1
и т2 = 3, а функция т —2 —число т = 2.
Составим таблицу знаков этих функций и найдем числовые
промежутки, в которых выполняются оба неравенства системы.
Эти промежутки и являются решениями системы:
Функции Числовые промежутки
(—со, 1) (1. 2) (2, 3) (3. -г сс)
/и2 — 4т 4-3 4- — — 4"
т —2 — — + I
Решение системы
Окончательно находим т>3.
Пример 6. Найти область определения функции
у = '|/л2 — Зх 4- 2 4- 1___~ •
Решение. Для нахождения области определения данной
функции необходимо решить систему неравенств
х2-3х 4-2^0,
3 4-2х-х2>0.
(*)
(**)
Функция х2 —3x4-2 имеет корни 1 и 2, а корни функции
34-2х — х2 равны —1 и 3.
Составим таблицу знаков этих функций. Числовые проме-
жутки, в которых неравенства (*) и (*%) удовлетворяются одно-
169
временно» являясь решением системы, образуют искомую область
определения данной функции:
Числовые промежутки
Функции (—оо, —1) (-Ц о (1, 2) (2, 3) (3, +оо)
х«—3*4-2 4- 4- — 4” 4-
3 + 2* —*2 — 4~ 4— 4-’ .—
Область определе- ния данной функции
Заметим, что неравенство (*) системы является нестрогим.
Корни трехчлена к2 — 3*4-2, т. е. числа 1 и 2, удовлетворяют
каждому неравенству системы, поэтому их следует включить
в промежутки решений этой системы. Таким образом, область
определения данной функции такова: —1<х^1 и 2^х<3,
или хе (—1; 1] U[2, 3).
Упражнения
1. Решить неравенства:
а) (2*4-1) (Зх — 5) (4 — х) > 0;
в)
б) х(х2 — 4) (4х2 — 9) < 0;
х(1 —2х) (3x4-2)
4х24-9
>0.
2.
а)
Решить неравенства:
5х2+13х —6
7х2 + 9
<0;
х24-х-2^ ’
*24-5x4-4
х2 —5x4-6 ’
Зх—х2 —24
4х2 —9 > :
в) (х2 + 5х 4- 4) (х2 — 5х -|- 6) 0;
. х2 —х —42
Ж) (х+2)«
х2 — х-|-1
х2—x-f-2
3. Решить систему
х24-2х>0,
х2—4 >0,
3/(5х— 1) < 1/5.
4. При каких значениях т удовлетворяются при всяком действительном
значении х следующие неравенства:
а) (2/п — 1) х2 — (2/?z 4- 1) х 4- (2/n + 1) > 0;
б) (m — 1)х2 + (4/п — 3)х4- 5/тг —3 <0?
5. При каких значениях т следующие уравнения имею! вещественные и
различные корни:
а) х2 4- Зтх — 3/n (1 — Злтг) == 0;
б) (т4- 1) х2 — 2х + 2т = = 1?
170
6. Найти область определения функции
^ = ]/х24-х — 564-
1
[ 544~3х — х2
§ 5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
1. Неравенства вида | ax-}-b | <Zc и | ах 4- b с. Пусть,
например, модуль переменной х меньше 3. Это значит, что число
х меньше 3, но больше —3, т. е. оно заключено в промежутке
от —3 до 3 (рис. 66). Этот факт можно символически записать
двумя способами:
|х|<3 (1) -J о + 3
и
— 3<х<3. (2) Рис. 6G
Неравенство (1) и двойное неравенство (2) равносильны, причем
двойное неравенство можно считать решением неравенства (1).
Вообще, если | х | < ау где а — положительное число, то реше-
ние этого неравенства записывается в виде двойного неравенства
— a<Zx<a. Это соображение используют при решении неравен-
ств вида |ях4-^1<£> где £>0 (при неравенство решений
не имеет).
Пример 1. Решить неравенство
|2х —3| <4.
Решение. Данное неравенство заменим равносильным ему двойным
неравенством
— 4<2х—3<4.
Прибавляя к каждому из чисел — 4, 2х —3 и 4 число 3, получаем
— 44-3 < 2х — 34-3 < 4 4-3, т. е. — 1<2х<7,
откуда находим — 1/2 < х < 7/2.
Пример 2. Решить неравенство
| 5 —8х | < 11.
Решение. Замечая, что | 5 — 8х | = | Зх — 5 |, данное неравенство запишем
в виде
18х —5 | < 11.
Далее имеем:
- II <8х —5<11; — 6<8х<16; — 3/4 <х <2.
Теперь рассмотрим неравенства вида |«х + &|>с, где с>0.
Пусть, например, модуль переменной |х|>3. Последнее означает,
что число х больше 3 или
+3 Это можно записать в
Рис. 67 виде | х | > 3 или х > 3,
а также х < — 3.
Вообще, если |х;>я, где а —положительное число, то х>ау
а также х< —а —решения данного неравенства. Это положение
используют при решении неравенств вида |ах4-b | >с, гдес>0.
171
При с<0 неравенство |ax-f-&|>c справедливо при любом дей-
ствительном значении х. При с = 0 это неравенство справедливо
при всяком х, кроме х =— Ь/а.
Пример 1. Решить неравенство
| 2х —3 | > 4.
Решение. Решениями этого неравенства являются все решения каждого
из следующих двух неравенств: 2х —3>4 и 2х — 3<— 4. Решая первое из
неравенств, получаем х > 3,5;
VSSSSSSSSSSSSS/ЙяЯЯШШШШШ^ШГ УШ
в результате решения второго
неравенства находим х< —0,5.
Решение данного неравен-
ства образуют два множества
5
Рис. 68
значений х: х > 3,5 и х < — 0,5,
е. все числа, большие 3,5, а также все числа, меньшие —0,5 (рис, 68).
Пример 2. Решить неравенство
। 2х—3 | > — 4.
Решение. Очевидно, что любое действительное число является решением
этого неравенства, т. е. — со<х<-{-оо.
Пример 3. Решить неравенство
|2х-3[>0.
Решение. Любое действительное число, кроме х = 3/2 (корня функции
2х —3), является решением этого неравенства, т. е. — оэ<х<3/2 и 3/2 <
<х<Н-со
В заключение сделаем ряд выводов:
1) неравенство |ах+^|<£, где с>0, равносильно двойному
неравенству -с<ах-}-Ь <с> последнее, в свою очередь, равно-
сильно системе неравенств
ах -р Ь <С с,
<
ах-\-Ь > — с.
Следовательно, решением данного неравенства является пересече-
ние множеств решений неравенств ах-\-Ь <с и ax-rb> — с\
2) неравенство \ax-\-b |>с, где с>0, равносильно совокуп-
ности двух неравенств: ах-\-Ь >с и ах-^Ь < — с. Таким образом,
решением данного неравенства является объединение множества
решений одного из них с множеством решений другого.
В отличие от системы неравенств совокупность неравенств
записывается так:
ах 4- b > с,
ах + b < — с.
Упражнения
1.
а)
б)
в)
Решить следующие неравенства:
]3x-f-l|<4; г)|4х —5|<0;
2х— 1 < 3; д) /(2х-1)« < 3.
5х — 3 | < 7;
172
2. Решить неравенства:
а) 12x4-1 |> 5; в) /(2х-3)2>5;
б)|5х-4|>6; г) К9-24x4-16x2 >8.
§ 6. Иррациональные неравенства
Определение иррациональных неравенств. Предварительные
замечания. Иррациональным называется неравенство, содержащее
переменную под знаком радикала.
При решении таких неравенств следует помнить определение
корня п-й степени в множестве действительных чисел, согласно
которому все подкоренные выражения, а также сами корни есть
числа неотрицательные. В п. 4 § 1 было доказано, что если а>
>Ь^0у то ап>Ь'\н обратно: если а>0, Ь^О и ап>Ьп. то
а>Ь. На основании этих свойств числовых неравенств легко
доказать, что неравенства
(х} (О
и
f (*) > Ф (X) (2)
равносильны [при условии, что /(х)>0 и ср (х) 5?=0].
Действительно, пусть х = а — решение неравенства (1); тогда
верно неравенство
? f («) > ? Ф («) • (О
На основании свойства числовых неравенств заключаем, что
верно неравенство
/(й)>Ф(а). (1")
Сравнивая неравенства (1") и (2), замечаем, что х — а — решение
неравенства (2). Пусть теперь х = Ь — решение неравенства (2);
тогда верно неравенство
/0)>ф(«’). (2')
Числа f (й) и ср (Ь) неотрицательные, поэтому справедливо нера-
венство
7Ж > ?ф>)- (2")
Сравнивая неравенства (2") и (1), делаем вывод, что х = Ь —
решение неравенства (1), что и требовалось доказать.
Принимая во внимание определение корпя в множестве дей-
ствительных чисел и доказанное утверждение, заключаем, что
решение неравенства / f (х) > У ф(х) сводится к решению систе-
мы неравенств
Ф(х)^0,
, /(•*)><₽(*).
173
В некоторых простых случаях нет необходимости переходить
от иррационального неравенства к системе неравенств, достаточно
лишь опираться па понятие корня.
Пример 1. Решить неравенство
/
/2х —7< — 1.
Решение. По определению, ]/ 2х — 7 — число неотрицатель-
ное, следовательно, это неравенство решений не имеет, т. е.
леф.
Пример 2. Решить неравенство
ft х + 2< —5.
Решение. В этом случае неравенство также не имеет реше-
ний: ге ф.
Пример 3. Решить неравенство
/2х + 1>-8.
Решение. Это неравенство выполняется при любом значении
х, при котором существует /2хф-1, т. е. при 2х-|-1^0 или
xSs-1/2.
Пример 4. Решить неравенство
/2х2 + 1 >-3.
Решение. Неравенство справедливо при любом значении х,
так как 2х2 4- 1 всегда положительно, т. е. — со<х<;-|-с>о.
Пример 5, Решить неравенство
Решение. Решение этого неравенства сводится к решению
системы
( x-5ss0, ( xSs5,
< г- ° „„о5^х<86.
(х —5<34 (х<86
Пример 6, Решить неравенство
/Зх - 10>/б-х.
Решение. Решение этого неравенства сводится к решению
системы
Г Зх- 10^0,
j 6 — х >0, о
[ Зх — 10 >6— х
Пример 7, Решить неравенство
(х- 12) ]/х-3<0.
174
Решение. Легко видеть, что решение этого неравенства сво
дится к решению системы
х — 3^0, J 3,
х — 12 <0 х<12
«Зй=х< 12.
Пример 8. Решить неравенство
(х + 2) /х-5<0.
Р е ш е н и е. Имеем
х-5^0, х-^5,
о
х + 2<0 (х< —2.
Эта система решений не имеет, поэтому теф.
Пример 9. Решить неравенство
Ух2 +9 > 4 — х.
Решение. Выражение ]/х2+9 существует при любом зна-
чении х и является положительным числом; выражение 4 —х
может быть как отрицательным, так и неотрицательным числом,
поэтому надо рассмотреть следующие два случая:
если 4 —х<0, т. е. х>4, то неравенство удовлетворяется,
так как всякое положительное число больше всякого отрицатель-
ного числа;
если 4 —x^sO, то решение данного неравенства сводится
к системе неравенств
( Зх+ 19 0,
1 „ (*) и
( х + 3<0 v ’
. ’ « ’ о7/8<х<4.
1х2 + 9>(4-х)2 (х>7/8
Объединяя два множества решений 7/8<х^4 их>4, получим
7/8<х<-{-со.
Пример 10. Решить неравенство
У3х+ 19>х-{-3.
Решение. Решение этого неравенства сводится к решению
двух систем:
1 Зх+19>0,
х+ 3>0, (**)
[ Зх+ 19 > (х + 3)2.
Решая систему (*), получаем —19/3 sgx< — 3. Решая систему
(**), находим — 3^х<2. Объединяя множества этих решений,
окончательно имеем — 19/3^х<2.
Пример 11. Решить неравенство
У(х + 2) (х-5) <8 -х.
Решение. Данное неравенство имеет решение только в том
случае, когда 8 —х>0, так как левая часть неотрицательна.
175
Таким образом, задача сводится к решению системы неравенств
Имеем:
(х + 2) (х —5)2s0,
8 — х >0,
(х + 2) (х —5) < (8-х)2.
х==с —2, х^5
х<8
х<5^
[решение неравенства (*)];
[решение неравенства (**)];
[решение неравенства ( )].
Составим таблицу решений неравенств (*), (**) и (**«) и най-
дем числовые промежутки, в которых одновременно выполняются
все три неравенства данной системы. Эти числовые промежутки
являются решениями данного иррационального неравенства:
Примечание. Числа -2 и 5 следует включить в множество решений
данного неравенства, так как они являются решениями неравенства (=?•) и слу-
жат решениями неравенств (**) и (***).
Упражнения
Решить неравенства:
1) Тх—2<1;
2) Г
3) (х+1)>0;
4) х К1 — X* < 0;
5) |^x2+4>2-x:
6) Vx-г+'9 <х-1-1;
7) Ух (х-2) <х- 1;
8) )/2х + 5>х+1.
ГЛАВА VI
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Основные понятия
1. Одно уравнение с несколькими переменными. Пусть дано
уравнение с двумя переменными: 2х2 — 5г/= 3. Придавая одной
из переменных, например х, произвольные значения, можно для
каждого данного значения х вычислить соответствующее значе-
ние у. Например, при х=1 получаем # = (2-12 —3)/5 или у—
— —1/5. Пара чисел х=1, # = —1/5 при подстановке в данное
уравнение обращает его в верное числовое равенство. Такая пара
чисел называется решением данного уравнения. Очевидно, что
рассматриваемое уравнение имеет бесконечное множество решений.
Данное уравнение можно записать иначе:
2х2 —5# —3 = 0.
Левая его часть представляет собой многочлен относительно х
и у.
Всякое уравнение с двумя переменными можно записать в виде
Ж «/)=0.
Напомним, что символом f(a,b) обозначается то значение выра-
жения f(x,y), которое оно принимает при х = а и у = Ь.
Определение. Пара чисел х = а и у = Ь называется реше-
нием уравнения f (х, у) = 0, если f (а, Ь) = 0.
Покажем, что пара чисел х = 2 и #=1 является решением
уравнения 2х2 —5# —3 = 0. В этом случае f (х, у) = 2х2 — 5у — 3.
Имеем
/(2, 1) = 2- 22- 5-1-3 = 8-5- 3 = 0.
Таким образом, пара чисел (2, 1) —решение данного уравнения.
Тройка чисел х = а, =Ь и z = c называется решением уравне-
ния с тремя переменными f (х, #, г) = 0, если f (а, Ьу с) = 0.
Покажем, что тройка чисел х = 2, у== — 3 и г =— 6 —реше-
ние уравнения х2 -|- у2 г2 = 49.- Имеем f (х, #, г) = х2 + у2 + г2 — 49.
Вычисляя /(2, — 3, —6), получаем
/(2, -3, -6) = 22 + (-3)2 + (-6)2-49 = 4 + 9-|-36-49 = 0.
Итак, тройка чисел (2, —3, —6) является решением данного
уравнения.
Множество решений уравнения с несколькими переменными
может быть бесконечным, конечным и пустым.
Пример 1. Уравнение 2х—у — 3 имеет бесконечное множество решений:
| х = 1, ( х —0, ( х = 2,
I lf/=—з, ИТ. д.
177
Вообще,
Г х = /,
t y = 2t — 3,
где / — любое число.
Пример 2. Уравнение х2 + у*-\-z2 = 0, рассматриваемое в множестве действи-
тельных чисел, имеет единственное решение:
г х = 0,
] «/ = 0,
I 2 = 0.
Пример 3. Уравнение |х| + |#1 + 121 =—3 не имеет решений ни в каком
числовом множестве.
2. Понятие о системе уравнений. Если даны уравнения (х, //) =
— 0 и f2(x, у) = 0 и требуется найти общее решение этих уравне-
ний, то такая пара уравнений называется системой двух уравне-
ний с двумя переменными.
Система двух уравнений с двумя переменными в общем виде
записывается так:
(Л (*.!/)=о. п
I /2 U, У) = 0-
Всякое общее решение этих уравнений является решением си-
стемы (1).
Если х = а и у = b — решение системы (1), то
А (а, Ь) = 0,
А (а, Ь) = 0.
Вопрос о числе решений системы рассмотрим на примерах.
Пример 1. Система
( 2х— у = 3,
I 4х — 2г/ = 6
имеет бесконечное множество решений.
В самом деле, всякое решение первого уравнения является
решением второго, но так как первое уравнение имеет бесконеч-
ное множество решений, то рассматриваемая система имеет также
бесконечное множество решений. Такую систему называют неопре-
деленной.
Пример 2. Система
Г x2 + t/2 = 25,
I (х-4)2 + (У~3)2 = 0
имеет единственное решение.
В самом деле, второе уравнение удовлетворяется только при
х — 4 и у = 3, а так как эта пара чисел удовлетворяет первому
уравнению, то она является единственным решением системы.
178
Пример 3. Система
р2 + */2=1,
у2 = х — 2
в множестве действительных чисел не имеет решения.
В самом деле, из первого уравнения следует, что т. е.
— 1 из второго уравнения находим х^2, так как в про-
тивном случае //2<0. Условия —и х^2 противоре-
чивы, поэтому система решений не имеет.
Система, не имеющая решений, называется несовместной. Вся-
кая система, имеющая хотя бы одно решение, называется совмест-
ной. В частности, неопределенная система является совместной.
3. Равносильность систем. Определение. Две системы урав-
нений называются равносильными (эквивалентными) в данном число-
вом множестве, если все решения первой являются решениями второй,
и, наоборот, все решения второй являются решениями первой.
Две системы, не имеющие решений в данном числовом множе-
стве, также называются равносильными.
Решение системы уравнений состоит в последовательной замене
данной системы другой системой. При этом следует избегать таких
преобразований, в результате которых нарушается равносильность.
В случае, если все же приходится выполнять преобразования,
в результате которых либо появляются посторонние решения,
либо происходит их потеря, необходимо исключать посторонние
решения и восстанавливать потерянные.
Пусть дана система
J х + у = 34,
I /I ~Vy = 2.
Возводя в квадрат обе части второго уравнения, получим новую
систему
J х -}~У = 34,
| х + у-2У"ху = 4.
Пара чисел х = 9, у = 25 является решением последней системы,
но не является решением первоначальной системы. Таким обра-
зом, возведение в квадрат обеих частей уравнения системы при-
водит к повой системе, которая может оказаться не равносиль-
ной исходной.
Рассмотрим основные преобразования, в результате которых
равносильность системы не нарушается.
1) Любое из уравнений системы можно заменить равносильным
ему уравнением. Например, система
(А (*, у) = о,
I h (х, у) = /3 (х, у)
равносильна системе
Л (*, У) = 0,
fz(x, y)-f3(x, */) = 0.
179
2) Любое уравнение системы можно заменить уравнением,
полученным сложением соответственных, частей данных уравне-
ний. Так, например, система уравнений
( А (х, у) = о,
I А (X, у) = о
равносильна системе
f fi(x, у) = 0,
\fi(x, у) + ^(х, у)=*0.
3) Если из одного уравнения системы
Л(х, i/)==0,
f-Ax, у)]--= О
можно выразить переменную {например, у) однозначно через дру-
гую: у = <р (х), то система
равносильна данной.
/Ж <р(х)] = 0
§ 2. Линейные системы
1. Определение линейного уравнения с несколькими перемен-
ными. Уравнение вида
ах + by + С2 +... + nit = А,
где х, у, г, t — переменные, а коэффициенты a, b, с, ..., пц А —
заданные числа, называется линейным.
Частными видами этого уравнения являются уравнения
ах-\-by —с и ax + by + cz — d.
2. Определение линейной системы двух уравнений с двумя
переменными. Как известно, в общем виде система двух уравне-
ний с двумя переменными записывается так:
fi(x, У) = Ъ,
f-i (х, у)—0.
Если каждое из уравнений системы является линейным, то
система принимает вид
( Я1Х + bYy = сь
1 а2х 4- b2y с2
и называется линейной системой двух уравнений с двумя пере-
менными.
3. Графический способ решения. Рассмотрим примеры.
180
Пример 1. Пусть требуется решить систему
2х —г/=1,
хН-г/ = 5.
Р е ш е и и е. Эта система равносильна системе
z/ = 2x —1,
У = — х-1-5.
Построим графики линейных функций г/ = 2х —1 и у —— л' + 5
(рис. 69). Имеем:
X 0 3 X 0 3
»=2х-1 -1 5 У=—«4-5 г- □ 2
Из рисунка видно, что графики пересекаются в точке М, коор-
динаты которой х = 2 и г/ = 3. Точка М принадлежит каждому
из графиков, поэтому ее координаты удовлетворяют каждому
из уравнений у — 2х — 1 и «/ =— х + 5. Отсюда следует, что реше-
нием данной системы служит пара чисел
х — 2,
У=Л.
Так как построенные прямые имеют только одну общую точку,
то найденное решение является единственным.
Определение. Л инейная система, имеющая единственное
решение, называется определенной.
Пример 2. Решить систему
*+ f/ = 5,
2х + 2 г/= 3.
Решение. Система равносильна системе
У — ~ *4-5,
У = — х-1-3/2.
181
Построим графики линейных функций // —— х + 5 и у =
= — х + 3/2 (рис. 70). Имеем:
X 0 3 X 0 3
у = —х-\~5 5 2 У = — *4-3/2 3/2 — 3/2
Как следует из рисунка, графики параллельны, т. е. не имеют
общих точек. Таким образом, данная система решений не имеет.
Это можно было заметить сразу, так как равенства х-\-у = 5 и
2x + 2z/ = 3 противоречивы.
Определение. Линейная система, не имеющая решений,
называется несовместной.
Пример 3. Решить систему
* + # = 5,
\ 2x-p2z/= 10.
Решение. Эта система равносильна системе
у == — х + 5,
У = — *4-5.
Графики функций сливаются, т. е. имеют бесконечное множе-
ство общих точек (рис. 71). Отсюда следует, что данная систе-
ма имеет бесконечное множество реше-
ний.
Определение. Линейная система,
имеющая бесконечное множество решений,
называется неопределенной.
4. Решение линейных систем с помо-
щью определителей. Рассмотрим систему
уравнений
а2х-\-Ь2у — с2.
Исключим из этой системы переменную у. Для этого умножим
на Ь2 обе части первого уравнения и на —bi — обе части второго
(считаем bL 0 и Ь2#0)- Полученная система
( a1b2x-{-blb2y = clb2.
( —• а2Ьгх — bxb2y = — с2Ь1
равносильна данной. Сложим оба уравнения системы:
(л А — a2bi) х = С]Ь2 — c2bv (1)
Аналогично имеем (считая, что о^Ои а2 # 0)
(«Х&2 - а2Ь^ у = aic2 - а^. (2)
182
Каждая из разностей — ^ib2 — c2bi и ад, —#2^1 называ-
ется определителем второго порядка и записывается так:
яА — a2&i =
а2 Ь2 ’
Cl lh
с 2 Ь2
0\С2 — а2с^ —
ai ci
а2 с2
^1^2 — ^2^1 —
Первый из определителей составлен из коэффициентов при
переменных. Его называют определителем системы и обозначают Д.
О
с2 Ь2
Определитель
получается из определителя Д в резуль-
тате замены столбца из коэффициентов при х столбцом свободных
членов и обозначается Дх.
«1
а2 с2
Определитель
получается из определителя Д путем
замены столбца из коэффициентов при у столбцом свободных
членов и обозначается Ду.
Таким образом,
Д
с2
\ =
<4 Ьх
и2 Ь2
— 0^2 — a2bi,
bi
b2
= С1Ь2~С2Ь1, ку =
а1 С1
а2 с2
= aYc2 - а1с1.
Используя символы Д, &х и Д^, уравнения (1) и (2) запишем
соответственно в виде
Д-х = Дх, (1')
Д^ = Д</. (2х)
Эти два уравнения образуют систему
Д * X = Дд-,
Д у ” Д#»
которая относительно данной называется выводной.
Если Д=#0, то выводная система, а следовательно и данная,
имеет единственное решение:
х = ДЛ/Д и у = Д!//Д.
Эти формулы называют формулами Крамера
Пример. Решить систему
4х + 1у = 23,
6х — 2// = —28.
* Крамер (1704— 1752)— швейцарский математик
183
Решение. Имеем:
х = 150/—50 = —3; у = —250/— 50 = 5.
5. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя
переменными, Исследовать систему
а2х 4- Ь2у = с.2
значит установить, при каких соотношениях между коэффици-
ентами (считаем их отличными от нуля) система имеет единствен-
ное решение, не имеет решения, имеет бесконечное множество
решений. Возможность каждого из этих случаев была показана
в п. 3, где рассматривался графический способ решения систем.
Теперь выясним, какое соотношение между коэффициентами
системы соответствует каждому из этих трех случаев.
I. Если Д#=0, то система (1) имеет единственное решение;
х и у находятся по формулам х = Дх/Д и у — \у!\. Таким обра-
зом, соотношение Д =0= 0 или ахЬ2 — агЬ2 Ф 0 является условием
определенности системы. Это условие можно записать иначе:
«1&2 ¥= a2bt или аг/а2 =Д Ьг/Ь2.
Итак, система (1) является определенной, т. е. имеет един-
ственное решение, если коэффициенты при переменных не про-
порциональны. Например, система
Зх — 5у — 10,
2х + Ту — —14
имеет единственное решение, так как
3 —5
2 7
= 21 —(—10) = 31 =0=0.
(К этому же выводу приходим, исходя из того, что 3/2=0= —5/7.)
Решение системы
| х — 0,
| у = —2
легко найти по формулам х==ДА./Д и
184
II. Если Д~0 и Дх^0, то по формуле х = Дх/Д нельзя
вычислить значение х, так как деление на нуль невозможно.
В этом случае система (1) несовместна. Действительно, выражение
Д —0, или aib2 — a2bl = 0i можно записать иначе: a1/a2 = bi/b2i
а из выражения Дх#=0, или cLb2 - с2Ьг Ф 0, следует, что Ьг]Ь2Ф
~^(\/с2 (при с2¥=0)- Отсюда имеем
tfi/a2 = bjb2 Ci/C2.
Пусть aja2 = Ьг/Ь2 — q\ тогда aL = a2q и b^b2q, а поскольку
cjc2^qy то cx=±c2q. Теперь система (1) принимает вид
Ч- b2qy = сг, а2х + Ь2у =- cjq,
г ИЛИ
й2х + Ь2у = с2> а2х + Ь2 у = с2.
Следовательно, в рассматриваемом случае система решений
не имеет, так как всякое решение первого уравнения не является
решением второго. Итак, система (1) является несовместной, т. е.
не имеет ни одного решения, если коэффициенты при переменных
пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам.
Примечание. Легко показать, что из соотношений и
Cib2 — c2bx=^0 следует, что — агсх #= 0. Для этого достаточно воспользо-
ваться соотношением
В самом деле, из условия a1/a2^=cL/c2 следует, что aLc2 ф a2cY, или йхс2 —*
—- a2Ci 0, т. е. 0. Например, система
Г 3x + 7f/ = 5,
I 9x4-214/= 14
несовместна, т. е. не имеет ни одного решения, так как
(К этому же выводу приходим на основании того, что 3/9 = 7,21 =£5/14.)
III. Если Д = 0 и Д¥ = 0, т. е. ахЬ2 — a.2bt = 0 и c1b2 — c2b1 = Q,
то формулу х = Дх/Д также нельзя использовать для нахождения
значения х. Покажем, что в этом случае система (I) имеет бес-
конечное множество решений, т. е. является неопределенной.
Действительно, из равенств йА — а2Ьг = 0 и сгЬ2 — с2Ь1 — 0 сле-
дует, что
Й1/Й-2 ~ ^1/^2 ” С\/С2.
Полагая «г/а2 = Ьг1Ь2 — с^с2 — q, получаем:
ci — C2<J- Система (1) принимает вид
аг = a2q, bx = b2q
ЩХ + b2qy == c2q,
а2х + b2y = с2.
Она равносильна системе
а2х-\-Ь2у = с2,
а2х -|- Ь2у = с2.
185
Теперь ясно, что всякое решение одного уравнения системы
является решением другого, т. е. всякое решение одного из них —
решение самой системы. Но так как уравнение а2х-\~Ь2у = с2
имеет бесконечное множество решений, то и эта система, а также
равносильная ей система (1) имеют бесконечное множество реше-
ний, т. е. являются неопределенными.
Итак, система (1) является неопределенной, т. е. имеет беско-
нечное множество решений, если коэффициенты при переменных
пропорциональны между собой и пропорциональны свободным
членам. Например, система
Зх-г 7//= 5,
9х + 21у = 15
неопределенная, т. е. имеет бесконечное множество решений, так
как
Д =
3 7
9 21
= 0 и Дх =
5 7
15 21
= 0.
(Этот же вывод можно сделать вследствие того, что 3/9 = 7/21 =
= 5/15.)
Пример 1. Определить, при каких значениях т система
( 3*+ 7^ = 20,
I тх-{- 14г/ = 15
имеет единственное решение.
Решение. Данная система имеет единственное решение, если т/3
Ф 14/7, т. е. tn 6.
Пример 2. Определить, при каком значении т система
тх — бу = 9,
2х — Зу = 15
несовместна.
Р е ш е н и е. Так как — 6/— 3 9/15, то данная система несовместна,
если т/2 = —6/—3, т. е. при т = 4.
Пример 3. Определить, при каком значении т система
тх + бу = 8,
5х -|-Зг/ = 4
имеет бесконечное множество решений.
Решение, Так как 6/3 = 8/4, то данная система имеет бесконечное мно-
жество решений, если /п/5 —6/3, т е. при tn — 10.
Пример 4. Решить и исследовать систему уравнений
/ тх+ у —tn2,
I х-\-ту—1.
Решение. 1) Находим Д, Дх и Дг/:
т 1
1 т
Д =
= т2 — \ = (т — 1) (т+ 1);
ДЛ =
т2 1
1 т
= т?~ 1 =(/п— 1) (m2+m+l);
— т — т2 — т (1 — tri).
186
2) Если Д Ф 0, т. е. (in — 1) (т-\- 1) =£ О или пг ф ± 1, то данная система
является определенной, т. е. имеет единственное решение:
_ Дх _ (m— 1) (m2 + m + 1) __ т2 + ^ + 1
Д (/«—!)(/«+1) “ /«4-1 ’
Д^ т(\ — т) пг
lJ = ~X = (т-1) (/«+!) = ~ т+1 '
Т. с.
Г X = (m24-m4- 1)/(/«4- 1),
I У = — т!(т 4-1).
3) Если /« = 1, то Д = 0. В этом случае система принимает вид
f *+// = Ь
I х4-//=1.
Очевидно, что система имеет бесконечное множество решений:
I у —— /+1,
где / — любое число.
4) Если т = —1, то Д = 0. В этом случае система принимает вид
/ — х4-//=1,
I х—у=1;
так как —1/1 = 1/—1 #= 1/1, то система несовместна (не имеет решений).
6. Линейные системы с тремя переменными. В общем виде
система трех линейных уравнений с тремя переменными запи-
сывается так:
’ ^ + Ь1// + с1г = б/1, (I)
a2x + b^ + c2z = d2f • (2)
б?3х4- + = d3. (3)
Всякое общее решение трех уравнений, образующих систему,
называется решением системы. Система трех линейных уравнений
с тремя переменными может иметь единственное решение, беско-
нечное множество решений и не иметь ни одного решения.
Так, например, система
( 3x4-2// + z = 4,
j 2х + 3// =8,
| г + 2 = —1
имеет единственное решение: х — 1, у = 2 и г =— 3. Действи-
тельно, из третьего уравнения следует, что переменная z может
иметь единственное значение, а именно г =—3. Теперь получаем
Зх + 2// = 7,
2x4-3//= 8.
Эта система имеет единственное решение, так как се определи-
тель отличен от нуля. Следовательно, и данная система также
имеет единственное решение.
187
Рассмотрим другой
пример. Система
Зх -|- 2z/ 2 = 4,
6х + 4//+ 2z = 8,
9х-\-6у-\-Зг = 12
имеет бесконечное множество решений, поскольку всякое реше-
ние первого уравнения является решением системы.
Наконец, система
Зх 4- 2г/ 4“ 3z = 4,
5х — z/4-2z=10,
6x4-4^/ + 6z = 7
не имеет решений. В самом деле, заменяя третье уравнение ему
равносильным уравнением 3x + 2y + 3z = 3,5 и сравнивая его
с первым уравнением системы, видим, что эти два уравнения не
имеют общего решения. Из этого следует, что и данная система
не имеет решения.
Изложим один из наиболее часто встречающихся приемов
решения системы (1) —(3). Исключая из (1) и (2), а затем из (2)
и (3) переменную г, получаем
Г a1x + b1y+c1z = d1, (Г)
+ = рь (2')
[ т2х + пгу =р2. (3')
Исключая из (2') и (3') переменную у, имеем
М -HiZ = dlt (1")
niiX + nty =Р1, (2")
qx = r. (3")
Последняя система равносильна каждой из предыдущих. Ее назы-
вают треугольной системой. Значение переменной х находим из
(3"), У — из (2"), а z —из (1").
Решим, например, систему
Г 2х + Зу — г = 5,
х+ у + 2г = 7,
[ 2х — у 4- г = 1.
2
1
В соответствии с описанным выше способом решения после-
довательно получаем:
( 2х-|-3# —г = 5, Г 2x4-3// —г = 5,
4x4-2// =6, или 2x4- У =3,
I 5х-|-7// =17, .5x4-7// =17,
Г 2x4-3// —г —5,
1 2x4- У =3,
I 9х =4.
188
Теперь имеем:
х = 9 > У ~ 3 — 2х = 3 — 2 * -д = 2 -д-,
2 = 2х + Згу-5 = 2-4 + 3-^-5=^г^-20.
Решение системы таково: х = 4/9, # = 19/9, г = 20/9.
Приведем несколько примеров решения линейных систем
с тремя переменными.
Пример 1. Решить систему
х4-2#+ г = 4,
< Зх — Ъу + Зг = 1,
2х + 3г/ — 2=0.
Способом подстановки приведем данную систему к треуголь-
Решение,
пой. Имеем;
/ г = 4 — х—~ 2у,
• Зх —- 5у + 3 (4 — х — 2у) = I,
I 2х + Зг/ — (4 — х — 2у) = 0,
т. е.
Г !/=h
j x = (4-5z/)/3,
I г = 4 — X — 2уу
Z 2 = 4 — х — 2yt
или •' — 11// = —11,
I 3x + 5z/= 4,
Г У=^
или •! х = —1/3,
I 2 = 7/3.
Окончательно получаем: х =—1/3, у—\, 2 = 7/3.
Пример 2. Решить систему
Решение. Исключим х из
9r-U //
— 2х
-6г = —32,
5у— г=10,
из последних
= 5,
X +32=16,
5//— 2=10.
первых двух уравнений. Получаем:
У -Ь,
г/-С>2 = — 27,
5//— г=10
двух уравнений, имеем:
2х-'гу =5,
29г —145, или
у =(г+10)/5,
или
Исключая у
/ 2х-(- у
] -5у + 30г=135,
I 5у— г=10,
Пример 3. Решить систему
х
. “2 Г-
Зх —2// + г = 3
Х=1,
У—3,
г —5.
-У-* г~1
— 5
Решение. Равенство (х+1)/2 = (г/ —2)/1 = (г—1)/—1 содержит два неза-
висимых уравнения, поэтому данная система является системой трех уравне-
ний с тремя переменными. Такие системы легко решаются введением вспомо-
гательной переменной. Положим
х+1 _ у-2 г-1
2 1 -1
189
Теперь выразим через I переменные х, у и г. Имеем: х = 2/—1, у — /4-2
z =—/+И Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы
получаем
3(2/-l)-2(/4-2) + (-/+D==3,
или 3/ = 9, откуда / = 3. Окончательно: х = 5, // = 5, г = —2.
Пример 4. Решить систему
( х —2// —3z = 0,
I хф- у+ z=l.
Решение. Эта система состоит из двух уравнений с тремя переменными.
Выразим хи// через г. Для этого данную систему представим в виде
J х —2// = 3z,
I * + //=1—2
Отсюда x = (z-|-2)/3 и // = (1—4z)/3, где г —произвольное число. Придавая z
произвольные значения и вычисляя х и у по найденным формулам, получим
решения данной системы:
х = 2/3 и //=1/3 при г = 0;
х=1 и // =— 1 при г=1;
х = 7 и // = — 25 при г=19.
Таким образом, получены следующие решения: (2/3, 1/3, 0); (I, —1, 1) и
(7, -25, 19).
В общем виде решение системы можно записать так: г = /, х = (/4-2)/3,
// = (1—40/3, где /—любое число.
Пример 5. Найти формулы, с помощью которых можно получить все
решения системы
J Зх + 2// —2z = 0,
I 5x4-3// + z = 0.
Решение. Левые части этих уравнений являются однородными много-
членами первой степени относительно переменных х, у и г, а правые части
равны нулю. Эти уравнения называются линейными однородными, они обра-
зуют систему, которая называется однородной. Перепишем систему в виде
( 3x + 2// = 2z,
I 5х + 3//=—г,
откуда х ——8г и //=13z.
'Все решения этой системы можно записать в виде: х = —8/, у—13/ и
z=/, где t — произвольное число.
Если / = 0, то х = 0. // = 0 и г = 0. Полученное решение (0, 0, 0) назы-
вается нулевым. Его можно найти сразу, без предварительных вычислений.
Наличие* нулевого решения является характерной особенностью однородной
системы.
Упражнения
1. Решить и исследовать систему
( тх + у — т3,
I x + m//=l.
2. При каких значениях k система
Г Зх — 6// = 1,
I 5х —/«?// = 2
имеет отрицательное решение, т. е. х < 0 и у < 0?
190
3. Решить и исследовать систему
J За/х — 2/ у = 1,
I а/х —1/3^ = 2/3.
4. Решить систему
х + У~\~ 2 = 6,
- х + 2г/ + Зг=10,
. 2x-]-3i/ — 4г = 8.
5. Решить систему
J 2х + Зу — z=158,
I (х + 2)/2 = (г/-1)/5 = (г + 3)/7.
6. Дана система двух уравнений с тремя переменными
Г х+ y + z = 2,
t 2х — Зу — 2 = 0.
С помощью каких формул можно получить сколько угодно решений этой
системы?
7. Дана система двух однородных уравнений с тремя переменными
Г х — 5г/4-22 = 0,
t х-\-Зу — 4г = 0.
Найти формулы, с помощью которых можно получить сколько угодно
решений этой системы.
8. Решить систему
*+y-\-z =14,
x~Vy -]-/= 10,
z/4-2 + /= 15,
х 4-2 + /=12,
9. Решить следующую систему:
( |X-1 |-Ыу-5| = 1,
I У =5 + [х— 11.
10. Куплено т килограммов муки двух сортов на k руб. Один килограмм
муки первого сорта стоит а руб., а второго — b руб. Сколько было куплено
муки каждого сорта?
§ 3. Нелинейные системы
1. Основные понятия. Степень уравнения с несколь-
кими переменными. Рассмотрим уравнение
2х2г/ + Зг/2-4л'у + х-2у+1 =0. (1)
Левая часть этого уравнения— многочлен третьей степени отно-
сительно х и у (см. гл. II, § 1), поэтому данное уравнение назы-
вают алгебраическим уравнением третьей степени относительно х
и у. Вообще, степенью уравнения с несколькими переменными,
левая часть которого— многочлен, а правая равна нулю, назы-
вается степень этого многочлена. Так, например, ху = 6 — урав-
нение второй степени; х2 —у 4-5 = 0 —уравнение второй степени;
x34-5x2i/4-7x//2 — 2z/3 = 0 —уравнение третьей степени.
191
Однородное уравнение. Левая часть последнего
уравнения — однородный многочлен. Это уравнение называется
однородным уравнением третьей степени. Вообще, уравнение
F(x, у) = 0 называется однородным, если левая его часть —одно-
родный многочлен относительно х и у.
Общий вид уравнения второй степени с двумя
пере м е и н ы м и. Большое значение имеют уравнения второй
степени с двумя переменными:
ах24- Ьху 4- су2 4- dx 4- еу 4- k — 0.
Первые три слагаемых —члены второй степени (второго измере-
ния), два следующих слагаемых — члены первой степени (первого
измерения), слагаемое k называется свободным членом (членом
пулевого измерения).
Определение нелинейной системы. Система урав-
нений
( Fi (х, у) = 0,
1 ^2 (х, у) = 0
называется нелинейной, если хотя бы одно из ее уравнений является
нелинейным.
Приведем несколько примеров.
1. Система уравнений
/ x24-z/2 = 41,
( х +Z/ =9
является простейшей нелинейной системой (первое уравнение вто-
рой степени, а второе —первой степени). В общем виде простей-
шая нелинейная система записывается так:
’ ах2 4- Ьху 4- су2 ~j~ dx 4- еу 4- k = 0,
тх +пу =р.
2. Система уравнений
х34-^3 = 9,
. * 4~У = 3
— также нелинейная система (состоит из уравнения третьей сте-
пени и уравнения первой степени).
3. Система уравнений
J х + У = 13»
I /х + У^ = 5
—нелинейная система (первое уравнение— линейное, а второе —
иррациональное). Заметим, что второе уравнение не является
алгебраическим, поэтому о его степени говорить нельзя.
192
2. Решение нелинейных систем. Рассмотрим основные методы
решения нелинейных систем.
1) Системы, содержащие одно уравнение второй степени и
одно— первой (простейшие системы).
Пример. Решить систему
2х2 — ху + Зу2 — 7х — 12// + 1 — О,
X- у = —1.
Решение. Из второго уравнения имеем х = у—I. Данная
система равносильна системе
f х = у- 1,
2(//— 1)‘^ — (//— 1)// + 3//2 —7(//— 1) — 12//+ 1 =0
(переход к этой системе называют подстановкой). Упрощая, полу-
чаем
х =у-1,
2z/2-llr/ + 5 = 0.
Решая второе уравнение, находим: Уг = 5 и у2=1/2. Далее, х£ —
= //i—1=5 — 1 = 4, х2^у2 — 1 = 1/2 — I — —1/2.
Система имеет два решения:
X 4 —1/2
У 5 1/2
Прежде чем рассматривать решение более сложных систем,
заметим, что их • тем или иным способом приводят к одной или
нескольким простейшим.
2) Системы, приводящиеся к простейшим путем алгебраиче-
ского сложения.
Пример. Решить систему
2х- у-ху= 14,
х + 2у + ху = — 7.
Решение. Складывая соответственные части уравнений,
получаем простейшую систему, равносильную данной:
2х — у — ху = 14,
Зх + // =7.
Решая эту систему способом подстановки, находим
X 3 - —7/3 .
У —2 14
7 М- И. Абрамович. М. Т. Стародубцев
•193
3) Системы, одно из уравнений которых имеет вид
(ax-\-b) (cy + d) = (d.
Пример. Решить систему
( х2Зху + 2у2 = 42,
I (х-5)(</ + 4) =0.
Решение. Второе уравнение распадается на два уравнения:
х —5 = 0 и z/ + 4 = 0, поэтому данная система распадается на
две простейшие:
f X2 + Зху + 2у2 = 42, х2 + Зху + 2у2 = 42,
( х — 5 и = 0 */ + 4 = 0.
Система имеет четыре решения:
X 5 5 6+/46 6-/46
У 1 — 17/2 —4 »—4
4) Системы, приводящиеся к системе вида
(ax + b) (cx+d) = 0,
f(x, у) =0,
которая распадается на следующие две системы:
( ax + b = 0, cx + d = 0,
I f (х, у) = О / (х, z/) = 0.
Пример. Решить систему
( x2 + z/3+x4-z/= 18,
I x2-/ + x-z/ = 6.
Решение. Складывая почленно уравнения системы и упро-
щая, получаем х2 + х — 12 = 0, или (х + 4) (х —3) = 0. Теперь дан-
ная система распадается па две простейшие:
( х + 4 =0, ( х — 3 =0,
( x2 + / + x + z/= 18 ( х2- ^У2 + *+У = 18,
решая которые, имеем
X —4 —4 3 3
У 2 ₽-3 2 —3
194
5) Системы, одно уравнение которых однородное.
Пример8 Решить систему
х2-2ху-3у2 =0,
х2 — ху — 2х — 3z/ = 6.
Решение. Рассматривая первое уравнение, являющееся
однородным, как квадратное относительно х с коэффициентами 1,
— 2у и —Зу2, выразим его корни через у:
x-y±V у2 + 3у2 = у±2у,
откуда х = 3у и х =— у. Теперь первое уравнение можно запи-
сать так:
(х-Зг/) (х+#) = 0.
Данная система принимает вид
(x-3z/) (х+#) = 0,
х2 — ху — 2х — Зу = 6
и распадается на две простейшие системы:
f х-Зг/ = 0, | х + у =0,
( х2 — ху — 2х — Зу = 6 И (х2 ~ ХУ ~ 2х — Зу = 6.
В результате получаем четыре решения:
X 6 — 3/2 —2 3/2
У 2 -1/2 2 — 3/2
6) Системы, состоящие из уравнений, левые части которых
являются однородными многочленами второй степени, а правые
части — свободные члены. Эту систему в общем виде можно запи-
сать так:
а1х2 + Ь1ху + с1у2 = М1,
а2х2 4- Ь2ху + с2у2 =М2.
Решение системы можно свести к системе только что рассмотренной.
Пример, Решить систему
Зх2 — ху 4г/2 = 14,
2х2 — ху + 2у2 = 8.
Решение. Умножая обе части первого уравнения на —4,
второго —на 7, а затем складывая почленно, получаем
2х2 - Зху - 2у2 = 0.
7*
195
Теперь данную систему можно заменить ей равносильной:
1 2х2 - Зхг/- 2г/а = О, или 1 (х-2г/)(2х4-г/) = 0,
| 2х2 — x//4-2z/2 = 8 ( 2х2 —хг/4-2г/2 = 8.
Последняя система распадается на две простейшие:
( х — 2у =0, ( 2x4-г/ =0,
| 2х2 — ху + 2у2 = 8 И ( 2х2 — ху 4- 2z/2 = 8.
В результате получаем четыре решения:
X 2 —2 /б/З -/6/3
У 1 — 1 — 2/6/3 2/6/3
7) Системы вида
J OiX2 4- bjxy 4-с2у2 4- diX 4~ е2у 4~ / = 0,
I а2х2 4- Ь2ху 4- с2у2 4- d2x 4- е2у 4- k2 = 0.
Частные виды таких систем были рассмотрены в п. 2 —6.
В общем случае подобные системы решают так:
а) способом алгебраического сложения исключают член, содер-
жащий х2 (или у2);
б) из полученного уравнения выражают х через у (или у
через х);
в) решение продолжают способом подстановки.
Рассмотренный способ в общем случае может привести к урав-
нению четвертой степени, решить которое элементарными сред-
ствами можно лишь в частных случаях.
Пример 1. Решить систему
( 6х24- ху — у2 — Зх —4г/—15 = 0,
I 3x2-4xt/4-p2-15x4-7t/4-18 = 0.
Решение. Складывая почленно оба уравнения, имеем
9х2 — Зху— 18x4-3z/4~ 3 = 0,
или Зх2 — ху — 6x4-у 4- 1 = 0, откуда
</ = (Зх2-6х-|-1)/(х-1) (х=#=1).
Система (*) равносильна системе
р = (Зх2-6х4-1)/(х-1),
( 6х2 4- ху — у2 — Зх — 4г/ — 15 = 0.
В результате подстановки получаем
1 х2 —5х 4-6 = 0,
( z/ = (3x2-6.r+l)/(x-l), ИЛИ
р = 2, (х = 3,
U = (3x2-6x4-l)/(x-l) И I у=(3х2-6х4-1)/(х-1).
196
Окончательно имеем:
5
Заметим, что при х=1 уравнения системы противоречивы.
Пример 2. Решить систему
J х24-3х//—18 = 0,
(4z/2+ ху- 7 = 0.
Решение. Выражая из второго уравнения х через у, имеем
x=(7-4z/2)/// (//=#0).
Подставляя в первое уравнение значение х, получаем биквадрат-
ное уравнение
4yi - 53z/2 + 49 = 0.
Теперь данную систему можно заменить равносильной:
| 4//1 - 53г/2 + 49 = 0,
I х = (7 - 4г/2)///.
Окончательно получим:
X 3 —3 —12 12
У 1 —1 3,5 —3,5
Легко видеть, что при у — 0 уравнения системы противоречивы.
8) Системы, решаемые методом введения вспомогательных
переменных. Решение таких систем рассмотрим на следующих
примерах.
Пример 1. Решить систему
' х+У I х—5
. х—у^х+у 2 ’
х2 + у2 = 20.
Решение. Замечая, что дроби (х4-у)/(х — у) и (х—у)/(х4гУ)
взаимно обратные, положим (х-\-у)/(х — у) = 2; тогда (х—{/)/(х4~У)=
— 1/2. Первое уравнение принимает вид г 4- 1/г = 5/2, или
2г2 —52 4-2 = 0, откуда гх = 2 и га=1/2.
Система (*) распадается на следующие две системы:
г х+у = 1_
х-у ’ и J х—у 2 *
х24-//2 = 20 I х2 4- У2 = 20,
197
каждую из которых можно привести к простейшей:
х — Зу = 0, ( х + Зу = О,
х2 4- у2 =. 20 И ( х2 + у2 = 20.
Окончательно имеем:
X 3/2 - 3/2 — 3/2 3/2
У -/г- /Г -J/Y
Пример 2, Решить систему
1 /"%х—2у _!_]/” 2х — о
. V 2х 1 V Зх-2у ’
. х2-8 = 2х(2г/-3).
Решение. Положим ]/(Зх — 2г/)/2х — г, где г > 0; тогда
У 2х/(3х —2у) = 1/г. Первое уравнение принимает вид
?4-1/г = 2 или г2 —2г+1=0,
откуда г = 1. __________ ___________________________
Из равенства ]/(Зх — 2у)/2х = г получаем: / (Зх —2г/)/2х = 1,
откуда х = 2г/.
Теперь систему (*) можно заменить системой
J х = 2г/,
( х2 —8 = 2х (2г/-3).
Окончательно получаем:
х 2 4
2
У
Пример 3, Решить систему
х2 + г/2-хг/ = 61,
х+у-Уху = 7.
(* *)
Решение. ОДЗ переменных определяется неравенством хг/2==0.
Положим х + г/ = г и Vxy = t (/^0); тогда, представляя первое
уравнение в виде (х 4-г/)2 — Зхг/= 61, получаем вспомогательную
систему
z2-3/2 = 61,
г — t =7.
198
Решая эту систему, находим:
г 13 8
t 6 1
Теперь система (*) распадается на две простейшие:
X { Х 4 ±У = 13, * xz/ = 36 9 { ( % + // = 8, 1 ху=\. 4 +/Тб 4-/15
У 9 4 4-/15 4 + /15
Пример 4. Решить систему
( х2/у2 + у2/х2 + х/у 4- у/х = 112/9,
I х + у = 4.
Решение. Полагая х/у-]~y/x = z, имеем x2/y2 + y2/x2 = z2 — 2.
Теперь первое из уравнений системы (❖) принимает вид
а2 + г — 130/9 = 0.
Его корнями являются г1=10/3 и z2 = —13/3.
Система (*) распадается на две:
( х/у + у/х = Ю/З, и Г х/у + у/х = — 13/3,
| % + у = 4 ( х + у = Ь.
Окончательно имеем:
X 1 3 (14-2/133)/7 (14 + 2/133)/7
У 3 1 (14+2 /133)/7 (14-2 /133)/7
Замечание. Системы, рассмотренные в примерах 3 — 4, не изменяются
при замене х на у и у на х. Такие системы называются симметричными.
. ( х = а,
Они обладают следующим свойством: если система имеет решение < то
I У = Ь,
( х = Ь,
она имеет также решение к
I У = а.
Остановимся еще на нескольких примерах.
Пример 5. Решить в области действительных чисел систему
( х3- z/3=19,
12 2 а №
( х2у — ху2 = 6.
199
Решение. Умножая на — 3 обе части второго уравнения,
получим
— Зх2// + Зх//2 = — 18.
Складывая почленно это уравнение с первым уравнением системы
(*), имеем (х — //)3=1. Систему (*) надо решить в области дейст-
вительных чисел, поэтому х — у — 1. Представляя второе уравнение
системы (*) в виде х//(х —//) = 6 и учитывая, что х —//=1, нахо-
дим ху = 6.
Теперь систему (*) можно привести к простейшей:
1 х — у = 1,
I ху = 6.
Окончательно получаем:
х 3 —2
//2—3
Пример 6. Решить систему
( х3-//3= 19(х-//),
[х3 + //3= 7(х + у).
Решение. Данная система равносильна системе
( (х-у) (х2 + х// + //2- 19) = 0,
I (х +//) (х2 - х//+//2 - 7) = 0,
которая распадается на следующие четыре системы:
х — z/ = 0, ( X — у = 0,
х+у = 0, ( х2-х// + ^2-7 = 0,
| х2 4-х// + у2— 19 = 0, | х24-х//4-//2— 19 = 0,
| х + у =0, | х2 —Х//4-//2— 7 = 0.
Решение таких систем трудностей не представляет.
Пример 7. Найти три положительных числа х, у и z, удовлет-
воряющих системе уравнений
ху = 6,
xz— 10,
. уг = 15.
Решение. Перемножая почленно данные уравнения, получаем
x2//2z2 = 900. Так как х>0, у>0 и z>0, то x//z = 30. Теперь
имеем
х = (x//z)/(//z) = 30/15 = 2.
200
Аналогично находим:
у — (xyz)/(xz) = 30/10 = 3,z = (xyz)/(xy) - 30/6 = 5.
Пример 8. Решить систему
f/2/(^H-2) = 4,
2зх/(г + х) = 3,
Зху/(х+у) = 5.
Решение. Представим данную систему в виде
’ (y + z)/yz= 1/4,
(2 4-х)/гх = 2/3, или
(х+у)/ху = 3/5,
l/z+ 1/у= 1/4,
1/х 4-1/2 = 2/3,
1/у + 1/х = 3/5.
Складывая почленно уравнения последней системы, имеем
2/x4*2/z/ +2/2 = 91/60, или 1/х + 1/«/+1/г = 91/120.
Сопоставляя это уравнение с уравнением 1/г+!/«/= 1/4, получаем
1/х = 61/120, откуда х= 120/61. Аналогично находим: у = 120/11
и 2 = 120/19.
В заключение отметим, что важнейшим приемом решения
нелинейных систем является приведение данной системы к одной
или к нескольким простейшим, которые легко решаются подста-
новкой. В приведенных выше примерах были рассмотрены различные
приемы получения простейших систем. Из этих приемов можно
выделить следующие: сложение уравнений системы, разложение
на множители левой части уравнения (если правая равна нулю)
и, наконец, введение вспомогательной переменной.
Упражнения
Решить следующие системы:
[ №-|-2ху—4(/2—5х + 4 = 0,
*' I х-у=2.
2 f ху-х+у=7,
1 xy-j-x —у—13.
Г 2х2 —3x//+5j/=5,
’ I (х—2)(у—1)=0,
гх2—9=0,
4. 1
( 2x2-[-3xy—5z/2-j-2x—4г/—14=0.
g [ 4х — 4у — ху=0,
t 2x2-f-2y2—5xy=0.
б г 3x24-2x1/+ //2 = 2,
‘ t х2+2х//+5//2=4.
7 Г 2х2+27ху+6//2—6х—21//+4=0,
( 2х2 — Эху — Зу2 —бх + 6// + 4 =0.
8 Г V5х/(х—у)— К(х—у)/5х =21/10,
I x//+x+j/=11.
g ( x2+z/2+x£=2l,
I х + у— Уху=3.
0 J х2///2 + у2/х2—х/у+у/х = 11/4,
I х-|-г/=3.
j ( х2/у+у*/х = 189
I *+//=12.
2 f (x*+W+l) = 10,
I (х+у) (ху— 1) =3.
Указание. В упр. 12 предварительно доказать тождество (х2+1) (у2+1) =
= (х+у)2 + (ху — 1 )2.
13. Сумма цифр трехзначного числа равна 11, сумма квадратов цифр этого
числа 45. Если от искомого числа отнять 198, то получится число, записанное
теми же цифрами в обратном порядке. Найти это число.
14. Площадь прямоугольника равна 112 см2. Сумма площадей квадратов,
построенных на смежных сторонах прямоугольника, равна 260 см2. Найти стороны
прямоугольника.
ГЛАВА VII
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛЫ
§ 1. Числовые последовательности
1. Основные понятия. Пусть дан натуральный ряд чисел 1,2,
3, ..., п—1, п, .... Если в этом ряде заменить каждое нату-
ральное число п некоторым числом ип, следуя какому-либо закону,
то получаемый новый ряд чисел
^1» ^‘2у ^Зу у ^п-1у ^пу • • • у
называется числовой последовательностью. Число ип называется
общим членом числовой последовательности. Например,
2, 4, 6,..., 2л, ...; 1, 3, 5, ..., 2л —1, ...;
1, 4, 9, ..., и2, ...; х/з,
V2, х/4, %, 1, -х/8, %,
— числовые последовательности.
Последовательность может быть задана формулой un = f(ri},
где п принимает значения 1, 2, 3, ..., л, .... В этом смысле
говорят, что / (/г)— функция, заданная на множестве натуральных
чисел. С помощью формулы un = f(n) можно написать сколько
угодно членов рассматриваемой последовательности.
Пример. Написать несколько первых членов числовой последовательности,
если ип = (п— 1)/(и+1).
Решение. Заменяя п натуральными числами 1, 2, 3, 4, 5, ..., получим:
О, 1/3, 2/4, 3/5, 4/6, ....
Последовательность называется ограниченной, если существует
такое положительное число /И, что для всех п выполняется нера-
венство \ип\^М. Если же такого числа М. не существует, то
последовательность называется неограниченной. Так, например,
последовательности, приведенные выше, общие члены которых
ип = 2п, иг1 = 2п—1 и ип = п2, являются неограниченными. После-
довательность ип= 1/п — ограниченная, причем за М можно при-
нять любое положительное число, не меньшее единицы. То же
можно сказать и о последовательности ип = (— 1/3)"-1. Последо-
вательность «л=1/2* также ограниченная, причем в качестве М
может быть взято любое положительное число, не меньшее х/2.
Иногда последовательности задают формулами, которые определяют
правило вычисления любого члена по известным предыдущим чле-
нам. Такие формулы называются рекуррентными или возвратными.
Пример 1. Написать несколько первых членов последовательности, задан-
ной рекуррентной формулой мл+2 = «л+1 + мл, если щ — \ и и2 = 3.
Решение. Вычислим н3, и4, иь, и6> ....Получаем: а3 = «2 + и1=3+1 =4,
ui = «з+ ^2 = 4 + 3 = 7, иь = + и3 = 7 -р 4 = 11, «б = и5 -р = 11 -р 7 = 18 и т. д.
202
Таким образом, имеем;
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ....
Пример 2. То же для последовательности, заданной формулой «/г+1 = 2«п+ 1,
если ^ = 3.
Решение. Вычисляя по формуле «2, w3, м4, и5,..., получаем: 7, 15, 31,63»... <
Таким образом, имеем: 3, 7, 15, 31, 63, ....
Последовательности, заданные рекуррентными формулами, также
называют рекуррентными или возвратными.
2. Арифметическая прогрессия. Определение. Арифмети-
ческой прогрессией называется числовая последовательность, каждый
член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сло-
женному с постоянным для этой последовательности числом d,
называемым разностью прогрессии. Арифметическую прогрессию
записывают в виде
~~ а^у а2, ..., а^у (ik+ъ ....
Определение можно записать в виде рекуррентного соотношения
afe = aft_i + d, где 6 = 2, 3, 4, ....
Пример 1. Написать несколько первых членов прогрессии, если ai = 5
и d = 3.
Решение. По формуле + d находим: а2 = аг + d = 5 + 3 — 8, а3 —
=a2 + d = 8-|-3 = ll,a4 = a3 + d= 11 + 3= 14 ит.д.Теперь имеем:-5-5,8,11,14.
Пример 2. То же, если at = 25 и d =—8.
Решение. С помощью той же формулы определяем:
a2 = a1 + d = 25 —8= 17, a3 = a2~pd = 17 —8 = 9,
а4 = а3-|_d = 9 — 8= 1, а5 —a4+d = 1 — 8= —7.
Таким образом, -5-25, 17, 9, 1, —7, ....
При d > 0 арифметическая прогрессия называется возрастающей,
а при d < 0 — убывающей. Случай d = 0 не рассматривается.
Из определения арифметической прогрессии вытекает следую-
щее важное свойство: любой член арифметической прогрессии, кроме
первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним
членов, т. е.
п ___ak-l +
ak=z-----2----’
где k = 2, 3, 4, ....
В самом деле,
ak-i + ^M _ (^-^) + (^ + ^) _ 7ak
2 — 2 ~ 2
Выведем основные формулы.
Формула общего члена. По определению,
Щ = +
#з = а2 +
Щ == 4"
an-i — d,
ап = an-i + d.
203
Складывая п — 1 равенств, получаем
02 + й3 + + • • • + 0/1-1 + 0Л = 01 + + + • • • + ^п~2 + й/1-1+ — 1) d.
Отнимая от обеих частей последнего равенства сумму 02 + 0з +
+ 04 + «* • + ^п-тч имеем
0Л = 01 + (п — 1) (1.
т. е. любой член арифметической прогрессии равен первому члену,
сложенному с произведением разности прогрессии на число членов,
предшествующих определяемому.
Формула суммы. Вывод формулы для вычисления суммы п
первых членов арифметической прогрессии основан на следующем
свойстве: сумма двух членов, равноотстоящих от начала и конца
арифметической прогрессии с конечным числом членов
01» 02» 03» • • * » Un—1»
равна сумме ее крайних членов.
Докажем это свойство. Предварительно заметим, что если
в прогрессии п членов, то сумма номеров двух членов, равноот-
стоящих от начала и конца, равна п+1. Исходя из этого &-й
от конца член прогрессии имеет номер п+1—Л, т. е. п — £+1.
Теперь найдем сумму ak + an-k+i. Имеем:
ak^a^d(k- 1),
an-k+i = a1 + d(n-k).
Складывая почленно эти равенства, получим
а^ + = 2tZi + d (k — 1 + п — k) = 2^i + d (п — 1),
или
ak + Un-k+l = 0i + 0i + d (n — 1).
Так как a1-\-d(n— 1) = ял, то
ak + ^n-k+l = 0i +
Теперь легко вывести формулу суммы. Пусть дана арифмети-
ческая прогрессия ~>аъ а^ ..., 0Л-х» 0Л, .... Обозначая сумму п
первых ее членов через S„, запишем два равенства:
$п = 01 + 02 + 03 + . . . + 0/2-2 + 0/1-1 + 0/1»
= ап + an-i + ап-2 +.. • + 0з + 02 + 01*
Складывая почленно, получаем
25л = (й! + ап) + (02 + 0/1-1) + (0з + 0/1—2) +.. • +
' • •• ' • ' + (0л-2 + 0з) + (0Л-1 + 02) + (fln + 01).
Суммы, заключенные в скобках, равны между собой, а так как
число этих сумм равно и, то
2S„ = (й!4-ап) п, откуда Sn = -'2°" п.
Замечание 1. Формулы
<’4=ai + d(n—1) и п
4М
204
содержат пять различных величин. Если любые три из них заданы, то осталь-
ные две можно найти, используя приведенные формулы.
Замечание 2. Из приведенных формул легко получить следующую
формулу:
2ai + d(n-l)
— х п.
Пример 1. Найти сумму первых ста нечетных чисел.
Решение. Воспользуемся формулой
2a1-|-d (п — 1)
2
п.
Здесь ах=1, d = 2 и п=100, следовательно,
S100= 2-1+2(100-1)_ 100= 1002= 10 000
С помощью этой же формулы легко доказать, что сумма первых п нечетных
чисел равна /г2. Действительно, в этом случае ах=1, d — 2 и
о 2-1 + 2(п-1) .
Sn= ----—у-------- « =
Пример 2. Найти сумму 20 членов арифметической прогрессии, если аг +
+ Л] 9 = 78.
Решение. Имеем
S2O = ^±^.2O,
но так как ах+020=^2 +0^ = 78, то
S20=~ 20 = 780.
3. Геометрическая прогрессия. Определение. Геометриче-
ской прогрессией называется числовая последовательность, первый
член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со вто-
рого, равен предыдущему члену, умноженному на постоянное для
этой последовательности число, отличное от нуля и называемое
знаменателем прогрессии.
Геометрическая прогрессия записывается так:
ТГ U-^ U%, U3, . . . , Ufcf ....
Приведенное определение можно записать в виде рекуррентного
соотношения
uk =
где q — знаменатель прогрессии, £ = 2, 3, 4, ....
Пример 1. Записать несколько первых членов геометрической прогрессии,,
если Ui = 2 и q — 3.
Решение. По формуле uk = находим:
и2 = ^ = 2'3 = 6, «3 = и2<7 = 6-3=18, u4 = u3?= 18-3 = 54 и т. д.
Таким образом, имеем: -Н-2, 8, 18, 54, ....
Пример 2. То же при и!=16 и q—\/2.
Решение. Аналогично получаем:
-н-16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4,
205
При | q . > 1 прогрессия называется возрастающей, а при
М < 1 — убывающей. Значения д==±1 из рассмотрения исклю-
чаются.
Приведем основные свойства геометрической прогрессии.
Свойство 1. Если все члены геометрической прогрессии поло-
жительны, то любой ее член, начиная со второго, равен среднему
геометрическому двух соседних с ним членов, т. е. если
— Щ, Щ, . •», ^/г-1» и^, U^iy • ••> Un-1>
то
В самом деле, _______
V «л-1«л+1 = j/'-y = «Л.
Свойство 2. Произведение двух членов, равноотстоящих от
начала и конца геометрической прогрессии с конечным числом чле-
нов щ, и2, и3, ..., ип_ъ ип, равно произведению крайних членов.
Действительно,
«а • «я-й+1 = «1 • qk~l •«! • qn~k = и1-и1- q*-k+k-i = „1ЫлФ
Выведем основные формулы.
Формула общего члена. По определению,
w2 = «1^,
u3 = u2q,
и^ = u3q,
O-n-i — Un-2q,
Щг = ^п-1У'
Перемножая эти п — 1 равенств, получим
^2 * ^3 ’ ^4 • • • ^/г-1 ‘ — Щ. ’ Щ * ^3 • • • 2 ‘ ^п-1УП
Разделив обе части равенства на произведение и2 • и3 • ... un_lt
имеем
т. е. любой член геометрической прогрессии равен первому члену,
умноженному на знаменатель прогрессии в степени, показатель
которой равен числу членов, предшествующих определяемому.
Формула сум м ы. Рассмотрим геометрическую прогрессию
.. U2i U$, ..., ип, ....
Обозначим через сумму п первых членов прогрессии; тогда
Sn = щ + и2 4- и3 + ... ф- un-i 4- ип,
Snq = Uiq u2q 4- u3q 4“ • • • 4” ^п-1Ч 4“
206
Вычитая почленно второе равенство из первого и учитывая, что
Uiq = u2. u2q = u3, u3q = u^ ип_^ = ип,
получаем
откуда
Sn(l — q) = u1 — unq,
c __ Ц1 unQ u e _________ unq ui
1 1— q n q — 1
ип = и Sn = - содержат пять
и Sn. Если любые три из них известны, то
Замечание 1. Формулы
различных величин: ип, q, гг
другие можно найти с помощью этих формул.
Замечание 2. Из формул для ип и Sn легко получить следующую
формулу:
с 1— Qn о Чп~1
1—^ > или =
Пример 1. Доказать, что любой член прогрессии +- 1, 3, 9, 27, ... на
единицу больше удвоенной суммы предшествующих членов.
Р ё ш е н и е.'Надо показать, что = 25^+1. Имеем
_ qk-i _ 1
Sft-i-Mi q_l .
Здесь ux=l и ^ = 3, поэтому
ЗЛ-1—1 3*'1-!
3fc“l — 1
2Sft_, + 1=2 —- - * + 1 = 3*-i = 1 • 3*-i = «6.
А—
Пример 2. Знаменатель геометрической прогрессии равен (1 + V5)/2. Дока-
зать, что каждый член этой прогрессии, начиная со второго, равен разности
двух соседних с ним членов.
Решение. Возьмем три последовательных члена этой прогрессии: uk,
1+К5 /1+/5? D
Uk —4г— и uk —4>-------I • Рассмотрим разность
М + /5 Y
Uk ---о-- — Uk == Uk
6 + 2 ]^5 —4
------4-----=
Задача решена.
Пример 3. Найти три числа, образующие геометрическую прогрессию, зная,
что сумма их равна 62, а сумма их квадратов 2604.
Решение В соответствии с условием
j Wj + «2 + u3 = 62, Г th (!+<? +Q2) = 62,
( uf +us + ^ = 2604, ИЛИ I и*(1+<72+ <?') = 2604.
Разлагая на множители выражение 1 +?2 + <?4 и исключая их из уравнений
системы, получаем квадратное уравнение относительно q. В результате имеем
два решения: 1) 2, 10 и 50; 2) 50, 10 и 2.
Пример 4. Три числа, сумма которых равна 124, являются тремя последо-
вательными членами геометрической прогрессии и одновременно 3, 13 и 15-м
членами арифметической прогрессии. Найти эти числа.
Решение. По условию, ux = a3, w2 = a13, и3 = л15 или ux = czi + 2cZ, и2 =
= ax+12d, w3 = a1+14rf. Кроме того, «1 + м2 + «з= 124 или 3ax + 28d = 124.
По свойству геометрической прогрессии, ul = UiUs, или
(a1+12t/)2 = (a1 + 2d) (ах + 14с/).
207
Упрощая это уравнение, получаем 2at + 29t/-=0. Теперь имеем систему
( 29^ + 2а1 = 0,
I 28^ + 3^ = 124,
решая которую находим: at— 116 и d — — 8. Легко определить, что o^lOO,
«2 = 20 и «з = 4.
Упражнения
1. Доказать, что последовательность с общим членом ап = 2п — 5 является
арифметической прогрессией. Найти 3.20.
2. Три числа представляют собой последовательные члены арифметической
прогрессии. Сумма их равна 33, а произведение равно 1287. Найти эти числа
3. Четыре положительных числа являются последовательными членами
арифметической прогрессии. Разность прогрессии равна 2, а произведение этих
чисел равно 19 305. Найти эти числа.
4. Доказатьчто последовательность, общий член которой an = 3‘2n,—
геометрическая прогрессия. Определить 310.
5. Найти три последовательных члена геометрической прогрессии, зная,
что их сумма равна 70, а произведение равно 8000,
6. Если из четырех неизвестных чисел, составляющих арифметическую
прогрессию, вычесть соответственно 2, 7, 9 и 5, то получатся числа, которые
образуют геометрическую прогрессию. Найти члены арифметической прогрессии
7. Вычислить сумму первых 12 членов арифметической прогрессии, первый
член которой равен —3, а произведение третьего и седьмого членов равно 24.
8. Определить значения х, при которых последовательность /х—1,
Кбх — 1, У 12x4-1 является арифметической прогрессией.
9. При каких значениях а последовательность l + sina, sin2 а, 1+sin За
является арифметическое прогрессией?
10. Вывести формулу суммы п первых членов последовательности, общий
член которой ап = 12 — 0,Зп.
11. Сумма п первых членов некоторой последовательности определяется
формулой <S„ = n2/2 —З/i. Записать формулу общего члена этой последователь-
ности и доказать, что это арифметическая прогрессия.
12. Даны две арифметические прогрессии: 4-17, 21, 25, ... и16, 21,
26, ..., у которых имеются одинаковые члены.
Найти сумму 60 таких членов.
13. Вычислить сумму первых десяти членов геометрической прогрессии,
первый член которой равен 3, а разность между девятым и пятым членами
равна 36.
14. При каких значениях р последовательность cos(p — л/3), cos (р —7л/12),
cos (Р + л/6) является геометрической прогрессией?
15. Сумма п первых членов некоторой последовательности определяется
формулой 5Л = 3я—1. Записать формулу общего члена этой последовательности
и доказать, что она является геометрической прогрессией.
§ 2. Начальные сведения из теории пределов
1. Понятие о пределе числовой последовательности. Рассмотрим
следующие примеры.
Пример 1. Запишем несколько членов числовой последователь-
ности, общий член которой задан формулой ия = (2п—1)/2л. При-
давая п значения 1, 2, 3, находим:
и1 = (2-1)/2=1/2, «2 = (22- 1)/28 = 3/4,
и3 = (23 - 1)/23 = 7/8, «4 = (24 - 1)/24 = 15/16, ....
208
Изооразим члены этой последовательности точками на число-
вой оси (рис. 72). Общий член ип данной последовательности
с увеличением номера п возрастает, приближаясь к единице, при
этом разность 1 — ип приближается к пулю (становясь по абсо-
лютной величине сколь угод-
но малой). В самом деле, ,
1 — uL= 1 — 1/2= 1/2, 7 5/У/
1 - щ = 1 _ 3/4 = 1 /4, ~ $-----«Д*-------
1-«з=1-7/8= 1/8, 4=
l-«4= 1-15/16= 1/16,
1 _ = 1 _ (2« - 1 )/2« = 1/2». Рис' 72
Так, например, уже при п = 20 разность 1 — ип равна 1/1 048 576
(т. е. меньше 0,000001); при дальнейшем увеличении п она стре-
мится к нулю.
Пример 2. Пусть ип = (2п2+ 1)М2. Придавая п значения 1, 2,
3, ..., имеем:
иг = (2.124-1)/12 = 3, п2 = (2-22+ 1)/23 = 9/4,
и3 = (2 • 32+ 1)/32 = 19/9, и4= (2 • 42 + 1)/43 = 33/16, ....
Изображая на числовой оси члены этой последовательности
(рис. 73), замечаем, что ип с увеличением номера п убывает,
7 5
:------------------------------------- 1—
f/Л U2 U.
Рис. 73
приближаясь к двум. При этом абсолютная величина разности
|2 — ип\ приближается к нулю. Действительно,
|2-«1! = |2-3| = 1,
|2-ы2| = |2-9/4| = 1/4,
|2-«3| = |2-19/9| = 1/9,
|2-ы4[ = ! 2-33/16| = 1/16,
12 — ип | = 12 — (2п2 4- 1)/н21 = 1~ 1/«21 = 1/п2.
В этом случае также легко убедиться, что модуль разности
|2 —ыя| при достаточно большом п может стать сколь угодно
малым, т. е. |2 —«„[-> 0.
Пример 3. Составим последовательность значений величины
внутреннего угла правильного n-угольника (« = 3, 4, 5, 6, ...).
Общий член этой последовательности определяется формулой
180° (п — 2) 1Qno
«„ =-----V---или «я=180
и
8 М. И. Абрамович, М,. Т. Стародубцев
360°
209
Теперь имеем:
и3 =180° — 360с/3 = 180° — 120° = 60°,
щ == 180е - 360°/4 = 180° - 90° = 90°,
иь = 180°-36075= 180°-72°= 108°,
иС) = 180°-36076= 180°-60°= 120°,
uJ0= 180е - -360710 = =180°- -36° =144°,
и1г= 180°- -360712 = =180°- -30°= 150°,
и45= 180°- - 360745 = • = 180°- -8°= 172°,
«fio =180°- - 360760 = = 180е- -6° =174°,
«120= 180° — 3607120 = 180° — 3° = 177°, ....
При дальнейшем увеличении п величина внутреннего угла,
возрастая, приближается к 180° (что подтверждается и геометриче-
скими соображениями). Разность 180° — ип = 180°—(180°—3607л) =
= 3607л приближается к нулю (становится по абсолютной вели-
чине сколь угодно малой).
В каждом из рассмотренных примеров общий член последова-
тельности ил при возрастании номера п приближается к некото-
рому постоянному числу: в первом случае ип приближается
к единице, во втором —к двум, в третьем —к 180°. Зто прибли-
жение характеризуется тем, что модуль разности между постоян-
ным числом и ип становится сколь угодно малым, т. е. при неко-
тором значении п может сделаться и при дальнейшем увеличении п
оставаться меньше сколько угодно малого положительного числа.
Такое постоянное число называется пределом рассматриваемой
последовательности.
Определение. Постоянное число I называется пределом
числовой последовательности ип, если модуль разности \1 — ип\
может при некотором значении п сделаться и при дальнейшем
увеличении п оставаться меньше сколь угодно малого положитель-
ного числа.
Тот факт, что последовательность ип имеет своим пределом
число /, записывается так: Птмд = / или ип—>1. Не следует счи-
тать, что всякая последовательность имеет предел. Приведем при-
меры последовательностей, не имеющих предела.
1. Последовательность 1, 5, 9, 13, 17, ... представляет собой
возрастающую арифметическую прогрессию, разность которой
равна четырем, а общий член определяется формулой аЛ=1-|-
+ 4 (/г — 1), или ап = 4/t — 3. Очевидно, что общий член этой последо-
вательности при возрастании п может быть больше любого сколь
угодно большого положительного числа, т. е. ип не приближается
ни к какому постоянному числу. Таким образом, рассматриваемая
последовательность предела не имеет.
210
2. Последовательность 1, 5, 25, 125, 625, ... является возра-
стающей геометрической прогрессией, знаменатель которой равен 5,
а общий член определяется формулой ил=1-5/^1, или ип = бп~'.
Очевидно, что и эта последовательность предела не имеет, так
как ее общий член' при неограниченном возрастании /г может
превзойти любое сколь угодно большое положительное число.
3. Общий член последовательности 1, — 1, 1, —1, 1, —1,...
определяется формулой ип—(—l)"41. Изображая члены этой после-
довательности на числовой оси (рис. 74), видим, что не сущест-
-/ 0 1
-X- 1 Л-
ь *
/б
Рис. 74
вует такого постоянного числа, к которому бы приближались члены
рассматриваемой последовательности при возрастании п. Значит,
и эта последовательность предела не имеет.
2. Монотонные последовательности. Признак существования
предела. Арифметические прогрессии с положительной разностью,
а также геометрические прогрессии со знаменателем, большим
единицы, являются примерами возрастающих последовательностей.
Вообще, последовательность щ, и2, и3, ..., uk_ly uk, uA+1, ...
называется возрастающей, если каждый ее член больше преды-
дущего, т. е. «/hi > *4 ПРИ всех k.
Арифметические прогрессии, разность которых отрицательна,
а также геометрические прогрессии с положительным знаменате-
лем, меньшим единицы, — убывающие последовательности. После-
довательность щ, u2t u3i ..., «*, «Л+1, ... называется убы-
вающей, если каждый ее член меньше предыдущего, т. е. <
О* при всех k.
Последовательности возрастающие и убывающие называются
монотонными *. Рассмотрим последовательности
1,7, 1,97, 1,997, 1,9997, ... (1)
и
5,3 5,03, 5,003, 5,0003, .... (2)
Обе эти последовательности монотонные. Все члены последова-
тельности (1) меньше двух, а все члены последовательности (2)
больше пяти.
Возрастающая числовая последовательность называется огра-
ниченной сверху, если все ее члены остаются меньшими некото-
рого числа /И, т. е. если «*</И при всех k. Последователь-
ность (^ — возрастающая и ограниченная сверху. Очевидно, что
она имеет предел, равный двум.
* В высшей математике понятие монотонной
щается. Последовательности, в которых 5= «*
также считают монотонными.
последовательности обоб-
или Uk+i^Uk при всех k,
8*
211
Убывающая числовая последовательность называется ограни-
ченной снизу, если все ее члены остаются большими некоторого
числа /И, т. е. если uk>M при всех /г. Последовательность (2) —
убывающая и ограниченная снизу. Очевидно, что она имеет пре-
дел, равный 5.
Приведем без доказательства признак существования предела
монотонной последовательности: если последовательность является
возрастающей и ограниченной сверху или убывающей и ограничен-
ной снизу, то она имеет предел,
3. Понятие о бесконечно большой и бесконечно малой вели-
чине. Основные теоремы о пределах. При изучении свойств функ-
ции использовались символы 4~оо и —оо. Например, тот факт,
что область определения функции у = ах-\-Ь — все множество
действительных чисел, записывался так: —оо<х<Н-со. Точный
смысл символов —со и 4-со раскрывается с помощью следующих
определений.
Определение 1. Говорят, что переменная величина хп
стремится к плюс бесконечности (хЛ-> + оо), если все ее значения,
начиная с некоторого номера п, удовлетворяют неравенству хп > М,
где М—-сколь угодно большое наперед заданное положительное
число.
Например, хл = п2 стремится к плюс бесконечности, так как
все значения хпу начиная с некоторого номера п, больше любого
наперед заданного положительного числа М. В самом деле, взяв
М = 10 000, легко убедиться, что хл> 10 000, т. е. п2 > 10 000,
начиная с п = 101.
Определение 2. Говорят, что переменная величина хп
стремится к минус бесконечности (хЛ-> —ос), если все ее значе-
ния, начиная с некоторого номера п, удовлетворяют неравенству
хп< — М, где М —наперед заданное сколь угодно большое поло-
жительное число.
Например, хп =—п2 стремится к минус бесконечности, так
как все значения хп, начиная с некоторого номера л, удовлетво-
ряют неравенству хл< —Л1, где /И—наперед заданное сколь
угодно большое .положительное число. Действительно, взяв
М = 1 000 000, убеждаемся, что хп<— 1 000 000, т. е. —п2 <
<— 1 000 000 или п2> 1000 000, начиная с п =1001.
Определение 3. Переменная величина хп называется беско-
нечно большой (хя->оо), если все ее значения, начиная с некото-
рого номера п, удовлетворяют неравенству |хя|>/И, где М —
сколь угодно большое положительное число (наперед заданное).
Переменные, стремящиеся к плюс бесконечности и минус
бесконечности, являются бесконечно большими величинами. Но
среди бесконечно больших величин имеются такие, которые
не стремятся ни к +со, ни к — оо. Примером может служить
переменная хл = (—10)*. В самом деле, переменная хп принимает
следующие значения: —10, 100, —1000, 10 000, .... Ясно, что,
начиная с некоторого номера, |хп|>/И, где М— сколь угодно
большое положительное число (наперед заданное),
212
Выше были рассмотрены переменные величины п2, —п2 и
(—10)я. Характер их изменения можно записать так: Iimn2 =
— 4-00, lim (—л2) = —со, lim (—10)'г = оо. Однако следует иметь
в виду, что величины /г2, —п2 и (—10)" предела не имеют, так
как символы 4-°°, “°0 и оо не являются числами.
Замечание. Ранее была введена запись НтиЛ=/, при этом подразу-
мевалось, что переменная п пробегает последовательность значении 1, 2, 3,
4,.... Чтобы подчеркнуть характер изменения переменной п, пишут
lim ип = 1.
Установим понятие бесконечно малой величины. Предвари-
тельно сделаем важное замечание: общий член ил последователь-
ности u2, w3, «4, ..., ип, ... рассматривают как переменную
величину, принимающую указанную последовательность значений.
Если эта последовательность имеет предел, то его называют пре-
делом переменной ип.
Следует обратить внимание на то, что понятие переменной
величины является весьма широким; общий член последователь-
ности—лишь частный вид переменной величины.
Определение. Бесконечно малой называется переменная
величина, пределом которой является нуль.
Если ^ — бесконечно малая величина, то ПтаЛ = 0, или
а„->0. Приведем примеры бесконечно малых величин.
1. Величина центрального угла правильного n-угольпика опре-
деляется формулой ал = 3607п. При неограниченном увеличении
числа сторон многоугольника а„->0, т. е. является величиной
бесконечно малой.
2. Пусть общий член последовательности задан формулой
ип = 2 — З/Ю". Рассмотрим разность между пределом этой после-
довательности, равным 2, и переменной ип:
2-^ = 2-(2-3/107 = 3/10\
При неограниченном увеличении числа п дробь 3/1071 стремится
к пулю, т. е. является величиной бесконечно малой. Вообще,
разность между пределом переменной и самой переменной — вели-
чина бесконечно малая.
Приведем без доказательства основные теоремы о пределах.
Теорема 1. Если переменная величина хп имеет предел, то он
единственный.
Теорема 2. Если хп = а, где а —постоянная величина, то
limxn = a,
т. е. предел постоянного числа равен этому числу.
Теорема 3. Если переменные хп и уп имеют пределы, то
lim (хп zlz уп) = lim хп ± lim уп,
т. е. предел алгебраической суммы двух переменных, имеющих
пределы, равен алгебраической сумме их пределов.
213
Теорема 4. Если переменные хп и уп имеют пределы, то
lim (хяг/л) = lim xjim уп,
т. е. предел произведения переменных, имеющих пределы, равен
произведению их пределов.
Следствие. Если хп = а, где а —постоянная величина, то
Iim (ауп) — limalimуп = а I im г/Л,
in. е. постоянный множитель можно выносить за знак, предела.
Теорема 5. Если переменные хп и уп имеют пределы, причем
КтУп^Ъ, то
.. хп lim х.,
Уп limj/л
т. е. предел частного двух переменных, имеющих пределы, равен
пределу делимого, деленному на предел делителя, если последний
не равен нулю.
4. Сумма убывающей геометрической прогрессии. Пусть дана
геометрическая прогрессия и2, и3, ..., где Эта
прогрессия является убывающей. Сумму ее первых п членов
вычисляют по формуле
е _ Щ - ипв И7ТН о .. 1-7*
।> ИЛИ — U\ ।.
При изменении числа членов п величина Sn становится перемен-
ной. Найдем предел этой переменной величины. Заметим, что
при неограниченном возрастании п величина 7п->0, так как
| <71 < 1. Например, при 7=1/3 и при /г=1, 2, 3, 4, 5, ... имеем
последовательность 1/3, 1/32, 1/33, 1/34, 1/35,..., 1/3'’... Очевидно,
что предел этой последовательности равен нулю. Итак, lim q'k — С).
Теперь на основании теоремы о пределах найдем lim Sn.
п -> 4- со
Дробь ах/(1 — q) — величина постоянная, поэтому ее можно вы-
нести за знак предела:
lim Sn= lim р/Д—— = Д- lim (1 — qn) =
п-+-\-(Х> /i-*4-ooL 1 У J * б/ л-*Ч-оо
-/ lim 1— lim qn
У П->-гСО
\—q 1 — q
Таким образом,
lim S„~
n-*4-co
1-/
Предел, к которому стремится сумма первых п членов убы-
вающей геометрической прогрессии при неограниченном возраста-
нии п, называется суммой (S) убывающей геометрической прогрес-
сии'. lim S,: = S. Итак,
п -> -|- СО
5 = 7-^,
1-у’
214
т. е, сумма убывающей геометрической прогрессии равна ее пер-
вому члену, деленному на разность между единицей и знаменате-
лем этой прогрессии.
3 а м с ч а н и е. Понятие суммы —одно из первоначальных понятий ариф-
метики. Оно имеет смысл, если число слагаемых конечно (определенно). В са-
мом деле, нельзя говорить о сумме щ +...Ч-...» г^е нет послед-
него слагаемого.
В результате введения понятия суммы членов убывающей
геометрической прогрессии понятие суммы расширилось па случай
Здесь имеется в виду не сумма
бесконечного числа слагаемых,
в обычном понимании этого
слова, а предел суммы п пер-
вых членов. Рассмотрим ряд
примеров.
Пример 1. Имеем
1 4- _L _L _L _!_ = 1 = 2
1 2 Н 4 1 *“ 1-1/2 Z’
Пример 2. Находим
1 . L । J__ __ 1 — 2/3
2 4 1 —(—1/2) '
Рис. 75
, г2=а;(Ь /3), г,=а/(18 /3),....
ла2/12 ла2 • 9 _ Зла2
‘ - 1 — 1/9 - ТГТ ” “32" ‘
Пример 3 В правильный тре-
угольник со стороной а вписана пос-
ледовательность кругов (рис. 75). Най-
ти сумму * площадей этих кругов.
Решение. Легко видеть, что г\ = а/(2 }^3)
Имеем
а2 , а2, а2
Я 12 + я 108 + я 972 +
5. Обращение периодических дробей в обыкновенные. В гл. I
были сформулированы правила обращения периодических дробей
в обыкновенные. Там же отмечалось, что при выводе этих пра-
вил используется формула суммы бесконечно убывающей геомет-
рической прогрессии. Рассмотрим на примерах, как выводятся
эти правила.
Представим чистую периодическую дробь 0, (43) в виде
0. (43) - 0,434343 « + _’3_ + ,
т. е. в виде суммы бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, у которой щ = 43/100 и q =1/100. Теперь имеем
П4Ч- - 43/100 - 43
\-q~ 1-1/100 ““99’
Итак, 0, (43) = 43/99. Последнее равенство выражает правило обра-
♦ Число кругов бесконечно, поэтому «сумма?? понимается здесь в расши-
ренном смысле.
215
щения чистой периодической дроби в обыкновенную, которое в общем
виде можно записать так:
U, ((2 | СС^Су, . . . Gn) ggg Q ,
п цифр
где запись ... а* означает /г-значное число с цифрами
^1» ^2» • • • , ^П‘
Пусть дана смешанная периодическая дробь 0,3(45):
0,3 (45) = 0,3454545 ... = ^ + | + f, + +....
Периодическая дробь 0,3(45) равна дроби 3/10, сложенной с сум-
мой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой
и1 = 45/103 и q— 1/102. Имеем
0 3/451 3 1 45/103 3 । 45 3 , 45
0,6(40) — -10-|- 1/10<2 — IOH- i000_10 — j0 т 990
3.994-45 _ 3* (100-1)4-45 345-3
990 “ 990 ” 990 ‘
Итак, 0,3 (45) = (345 - 3)/990.
Полученное равенство выражает правило обращения смешанной
периодической дроби в обыкновенную, которое в общем виде можно
записать так:
n п п /и h fa \ aia2 *• • amb\b2b^ ... bk — ara2 • a k
u, aY щ ... am урхОгОъ ... ok) —-------ттлбn in-------------.
Упражнения
1. Вычислить сумму 1 — x 4'X2 — x34-->.» где 'х;<1.
2. Для каких значений х справедливо равенство
3. Найти х из следующих уравнений:
а) (1331/27)^1 = 0,(27); б) (19/165)^’1=0,1(15); в) (8,25)^ = 0,1 (21).
§ 3. Метод математической индукции
1. Пример Эйлера. Рассмотрим известный пример, принадле-
жащий Леонарду Эйлеру*. Вычислим значения трехчлена /г2 +
+ п. 4-41, где п — натуральное число. Ясно, что при этом полу-
чаются натуральные числа. Составим таблицу:
п 1 2 3 4 5 6 7 8
п24- п 4- 41 43 47 53 61 71 83 97 113
Леонард Эйлер (1707—1783)— великий математик, член Петесбургской
Академии наук»
216
Заметим, что все полученные натуральные числа являются
простыми. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что и дальше
будут получаться простые числа? Продолжим таблицу:
п 9 10 11 12 13 14 15
л2+п + 41 131 151 173 197 223 251 281
Убеждаемся, что все вновь полученные натуральные числа —
простые. Напрашивается вывод, что при любом натуральном п
значение трехчлена + п + 41 —простое число. Можно ли сейчас
быть уверенным, что этот вывод является истинным? Нет, такой
уверенности быть не может, так как общий вывод сделан на осно-
вании частных наблюдений. В самом деле, придавая п значения
16, 17, 18, 19, ..., 38, 39, будем получать простые числа, однако
при п — 40 имеем число 1681, которое равно произведению 41 • 41,
т. е. является составным. Таким образом, заключение, основан-
ное на частных наблюдениях, ненадежно.
2. Неполная и полная индукция. Метод рассуждения, в кото-
ром заключения делаются от частного утверждения к общему,
называется индуктивным или индукцией. При этом если утверж-
дение распространяется на случаи, не подвергшиеся наблюдению,
то индукция называется неполной. Рассмотренный пример пока-
зывает, что заключения, основанные на неполной индукции, мо-
гут оказаться ошибочными.
Индукция называется полной, если рассуждения, на основании
которых сделан вывод, охватывают все возможные случаи. В основу
метода, называемого методом математической индукции, положен
принцип: утверждение справедливо для всякого натурального п,
если',
1) оно справедливо для м=1;
2) из предположения, о справедливости утверждения для n = k
следует его справедливость для п = k + 1.
Пример 1. Методом математической индукции доказать спра-
ведливость формулы для вычисления общего члена арифметиче-
ской прогрессии
an = a1-\-d(n — I).
Доказательство. 1) При п=\ формула верна, так как
a1 = a1 + d (1 — 1), т. е. аг = аг.
2) Допустим, что формула верна при некотором n = k, т. е.
ak = a1 + d(k — 1), и покажем, что при переходе от & к &-|- 1 фор-
мула остается верной, т. е.
ak±l = a1 + d[(k+ 1) — Г], или aku = a1 + dk.
В самом деле, по определению, ам = afi + d, а по допущению,
(Л — 1). Следовательно,
a^i^a1 + d(k—l) + d, или ak+1 = ax + dk.
217
3) Далее рассуждаем так: в п. 1 показана справедливость фор-
мулы для п=1; в силу п. 2 формула верна для /г=1 + 1, т. е.
для п = 2. Так как она верна для п = 2, то опять на основании
п. 2 формула верна для п = 2+ 1, т. е. для /г==3. Продолжая
рассуждения, приходим к заключению, что формула верна для
любого натурального п.
Аналогично можно доказать справедливость формулы для вы-
числения общего члена геометрической прогрессии.
Пример 2. Доказать, что формула
12 22 + З2 ] /г2 = п (2м-|~ 1)
справедлива для любого натурального л.
Доказательство. 1) При п = 1 левая часть формулы равна
12=1, а правая часть такова: [1 • (1 + 1) • (2 • 1 + 1)]/6 = 1. Таким
образом, формула верна при /2=1.
2) Теперь предположим, что формула верна для некоторого
значения /г = Л, т. е. что справедливо равенство
l2 + 22 + 32 + ... + ^ = fe(^+1)6(2fe+1)’
Докажем, что при этом предположении формула верна для п =
= /г+1, т. е. покажем, что верна формула
12+22+з2+<>1+^+(^ + 1)г = (^1)^-Н)+!1[2(^1) + П1
В самом деле,
I2 + 22 + З2 +... + k2 + (k + I)2 = fe(fe + !)J2fe + !) Ц- (k + I)2 =
*(&+l)(2fe+l)-|-6(ft+l)2 (/г4-1)(2й2+А+6* + 6)
— 6 ~ 6
(ft+l)(2/<2 + 7* + 6) (Z;4-i)(* + 2)(2« + 3)
~ 6 ~ 6
(fe+Df(A-|-l)+l| [2(fe+ 1)4-1)
— 6
На основании п. 1 и 2 в силу принципа, на котором основан
метод математической индукции, заключаем, что формула верна
для любого /г.
Пример 3. Доказать, что формула
l3 + 23-|-33-|-... + n3=4n2 (п-Ь1)2
справедлива для любого натурального п.
Доказательство. 1) При п=1 имеем: левая часть ра-
венства Р=1; его правая часть равна ~ I2 • (1 ф- I)2 = 1.
2) Допустим, что формула справедлива при n = k, т. е.
1з + 22 + 33 + ... + ^ = -’ /;2(/?+l)2,
218
и докажем, что эта формула верна при = т. е. что спра-
ведливо равенство
13 + 23 + 33 + .,. + fe8_1_(&+i)3 = ^(&+1)2[(A+i)+ij2<
В самом деле,
13 + 23 + 33 +...+F + (Л + 1)3 = | (/г + 1)2 (/г + 1)3 =
= 1 (А + I)2 [/г2 + 4(k+ 1)] = 1 (/г + Ч2 (* + 2)2 =
= 4(/г+1)2[(*+1)+1]2.
На основании п. 1 и 2 заключаем, что формула верна для
любого п.
Этот метод используют и при доказательстве неравенств.
Пример 4. Доказать, что
(a + b)n<2n(an + bn),
(1)
где а>0 и Ь>0, п — любое натуральное число.
Доказательство. 1) При п=\ неравенство принимает
вид а -\-Ь <2 (а-\-Ь). Справедливость этого неравенства очевидна,
так как
2) Допустим, что справедливо неравенство
(а + Ь)к <_ 2к (а'1 -[- Ьк),
(2)
и докажем, что в этом случае имеет место неравенство
(а + Ь)м < 2Й+Х (ам 4- 6Й+1). (3)
В самом деле, умножая обе части неравенства (2) на положи-
тельное число а-\-Ь, получаем
(й4-6)М1<2й(ай + 6й)(а4-&). (4)
Остается показать, что правая часть неравенства (4) меньше или
равна правой части неравенства (3). Рассмотрим разность:
2Й+1 (ам 4- Ьм) - 2й (ай 4- Ьк) (а+Ь) =
= 2й (2ай+х4- 2&ft+1 - ак 11 - b’!+i - a,!b - abk) =
— 2й (ам 4- bk+1 — a'lb — abk) =
= 2й [ай (a - b) - bk (a - b)] = 2й (a - b) (a'1 - b'1).
Если a = b, то правые части неравенств (3) и (4) равны между
собой. Если же а^Ь, то произведение 2й (ак — Ьк) (а — Ь) положи-
тельно при а>Ь и при а<&. Следовательно,
2й (ай + Ьк) (а + b)^ 2й+’(ай+14- йй+1). (5)
Сопоставляя (4) и (5), заключаем, что верно неравенство (3).
В силу принципа, на котором основан метод математической
индукции, исходное неравенство справедливо.
219
Упражнения
1. Доказать, что
Г2 + Зг+52+• • + (2п — 1 )2=” ~ - 1),
О
где л —любое натуральное число.
2. Показать, что для любого натурального числа справедливо равенство:
а) 1.2+2.3+.. + («+!) О + 2)= (»+1) (» + 2) (п + 3) .
б) _1 j !____I__!—l _1_______!________ _____
; 1-5т5-9 ' 9-13^1 (4/г — 3) (4п + I) 4п+Г
3. Доказать, что при любом натуральном п>1 выполняется неравенство
4. Доказать, что (1+а)/г > 1+«а, где со—1, сс¥=О; и —натуральное
число, большее единицы.
5. Доказать, что д3-|-11я делится на 6, где п — любое натуральное число.
ГЛАВА VIII
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 1. Показательная функция
1. Понятие о степени положительного числа с иррациональ-
ным показателем. В гл. II было расширено понятие степени. Па
основании понятия степени с натуральным показателем были вве-
дены понятия степени с нулевым, целым отрицательным, дробным
положительным и дробным отрицательным показателями (т. е.
установлено понятие степени числа с любым рациональным пока-
зателем).
Теперь установим понятие степени числа с иррациональным
показателем. Выясним, какой смысл следует придавать степени
положительного числа а с положительным иррациональным пока-
зателем х. Пусть а = 5 и х = У 2. Требуется выяснить смысл сим-
вола 5^. Как известно, иррациональное число /2 можно выра-
зить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби:
/2=1,41421....
Запишем два ряда чисел:
1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, ... (1)
и
2, 1,5, 1,42, 1,416, 1,4143, ... . (2)
Числа ряда (1) являются десятичными приближениями ]/2с не-
достатком, а числа ряда (2)—десятичными приближениями /2
с избытком, т. е.
1 < /2 <2,
1,4</2<1,5,
1,41 </2 < 1,42,
1,414<]/2< 1,415,
1,4142<]/г2< 1,4143, ....
Теперь рассмотрим следующие ряды:
51, 5м, 51>41, 51-414, 514142, ...; (3)
52, 51’5, 51-42, 51-415, 51-4143, .... (4)
Числа ряда (3) возрастают, а числа ряда (4) — убывают по мере
удаления от начала. Докажем, например, что 51’41 < 51-114. Дейст-
вительно,
51,41 _ 51410/1000 _ 51410.
51,414 _ 51414/юоо __10 51414.
Первый из этих корней меньше второго, поэтому 51-41 < 51414.
221
Естественно считать, что символ 5^2 означает число, большее
каждого из чисел ряда (3) и меньшее каждого из чисел ряда (4), т. е.
51 < 5^ < 52,
51,4 <- 5У2 < 51,5>
51,41 < 5/2 <51.42,
51,414 < 5/2 < 51,415,
gl,4142 < 5/2 <9 51,4143
Можно доказать, что существует единственное число, удовлет-
воряющее всем этим неравенствам. Это число и принимают за
степень числа 5 с иррациональным показателем ]/2. Аналогичное
рассуждение можно провести для любого числа а > 1 с любым
положительным иррациональным показателем х>0.
Обозначая через хй и хй соответственно приближенные значе-
ния иррационального показателя х с недостатком и с избытком,
получаем
а*п <ах <Zo,Xa (при а>1 и х>0). (5)
Если 0<а<1 и х>0, то имеем неравенство
ах“ <ах< а*7'. (6)
Неравенства (5) и (6) показывают, какой смысл вкладывается
в понятие степени положительного числа с положительным ирра-
циональным показателем.
Распространяя определение степени с отрицательным рацио-
нальным показателем, на степень с отрицательным иррациональ-
ным показателем, получаем
а~х = \/ах.
где п>0 и х>0. (Заметим, что Iх =1 при любом действитель-
ном х.)
Ранее было введено понятие степени числа а > 0 с любым
рациональным показателем. Теперь выяснен смысл понятия сте-
пени положительного числа с любым иррациональным показателем.
Таким образом, выражение ах имеет смысл при а > 0 для любого
действительного показателя х. Степень отрицательного числа
с иррациональным показателем в множестве действительных чисел
не рассматривается.
Действия над степенями с действительными показателями вы-
полняются по тем же правилам, что и для степеней с рациональ-
ными показателями. Например,
5/з. 52-/3 = 5/3+2-/3 = 52 = 25;
51+/3 : 5/3 = 514-/з-/з __ 5;
(5/9/12 = 5в = 15 625;
6/з. ез-/5 _ 53 + /5; 5/5 (2/з)/з = б3 - 5» + 23 == 99;
6/5; 3/5 = 2/5.
222
2. Показательная функция и ее свойства. Функция вида у—ах,
где а — постоянное, отличное от единицы, положительное число,
называется показательной. Областью ее определения является все
множество действительных чисел, так как выражение ах при
а>0 имеет смысл при всех действительных значениях х. Уста-
новим свойства показательной функции.
Свойство 1. Функция у == ах принимает только положи-
тельные значения.
Для доказательства справедливости этого утверждения рас-
смотрим четыре случая:
1) х—натуральное число или нуль. Если х=1, то ах = а' ==
— а > 0; если х — п, где п <= N и п^= 2, то
при х = 0
ах = ап = а • а • а... а > 0;
п раз
ах = aQ — 1 > 0;
2) если х = т/п. где т и п — натуральные числа, то ах =
= ат/п>0 по определению степени с положительным рациональ-
ным показателем;
3) х — иррациональное положительное число. По определению
степени с иррациональным положительным показателем,
а*п < ах < аХп при а>1,
ах" < ах < ах,г при 0 < а < 1,
где хй и Хп — рациональные положительные числа. На основании
п. 2/Л>0и йх*>0. Так как ах заключено между двумя по-
ложительными числами, то оно также число положительное;
4) х — действительное отрицательное число. Пусть % = — Л где
/>0. Тогда имеем ах — а~*=^ 1Д?>0, так как а'>0 на основа-
нии п. 1—3.
Итак, ах>0 при любом действительном значении х. Это свой-
ство имеет место как при а>1, так и при 0<а<1.
Свойство 2. При а>1 имеем ах>\, если х>0,и ах<Д,
если х<0; при а<\ имеем если х>0, и ах>1, если
х<0.
Докажем это свойство для а>1. Рассмотрим следующие
случаи:
1) если х = п (п — натуральное число), то
ах = ап = а - а • а.. .а> 1;
п сомножи-
телей
2) если х = т/п (т и п — натуральные числа), то
ах = ат{п = у/Гат
п ,-п г— Пу--
По доказанному выше, ат>\\ тогда У ат>у 1, т. е. у ат^>1.
следовательно, ах> 1;
3) х —иррациональное положительное число. По определению
степени с положительным иррациональным показателем при а>\
имеем
х~
ап <ах<а %
па основании п.2 аА’л>1, поэтому и подавно ах>1.
Итак, доказано, что для а> 1 при х> 0 значения функции ах> 1;
4) х —любое действительное отрицательное число. Пусть х =
где Z>0; тогда = l/a^C 1, так как, по доказан-
ному выше, 1. Аналогично это
свойство доказывается для а<1.
Свойство 3. При а > I
функция у = ах монотонно возра-
стает. а при а < 1 ~ монотонно
убывает.
Докажем это свойство для
а > 1. Возьмем два значения аргу-
мента Xi и х2, причем ха>хР
Докажем, что ах*>ах'.
Исследуем разность
ах* — ах* — ах* (aXi~x' — 1).
Имеем: аХ1>0 (на основании свойства 1); х2—лд>0, так как
х2>хх, aXz~Xl > 1 (на основании свойства 2), следовательно,
ах*~х* — 1 > 0. Произведение ах' (ах*~х* — 1) > 0, т. е. ах* — ах' Z> 0;
таким образом, ах*>ах'. что и требовалось доказать. Аналогично
доказывается это свойство для а<. 1.
3. График функции у = ах. Построим графики функций у = 2х
и у = (^\х по точкам. Для этого составим таблицу:
X ...—3 —2 — 1 -1/2 0 1/2 1 2 3 • • •
у — ^-х ... 1/8 1/4 1/2 1/К2 1 /2 2 4 8 • • •
у=<№¥ ...8 4 2 /2 1 1/К2 1/2 1/4 1/8 • • 4
(1
-к- изображены на рис. 76;
/
они подтверждают справедливость рассмотренных свойств пока-
зательной функции. Кроме того, легко заметить, что при возра-
стании х от —со до + со значения функции у = 2х возрастают
(1 \А'
yj убывают от + со до 0.
эти выводы справедливы для любых а> 1 и
224
Таким образом, при любом положительном а областью изме-
нения значений функции у = ах является все множество действи-
тельных положительных чисел, т. е. 0<z/< + cc.
§ 2. Простейшие показательные уравнения
и неравенства
1. Показательные уравнения. Уравнение, содержащее пере-
менную только в показателе степени, называется показательным.
Например, 2А' = 8, 3*+1 + 3* — 12 — показательные уравнения. Реше-
ние показательных уравнений основано на следующей теореме.
Теорема. Если две степени положительного числа, отличного
от единицы, равны, то равны и их показатели, т. е. если ат = ап,
где а > 0 и а #= 1, то т = п.
Доказательство. Допустим, что т Ф п. Тогда или т>п,
или т<п. Если т>п, то на основании свойства 3 показатель-
ной функции ат>ап при а>\ или ат<ап при а<1, т. е.
ат=^ап, что противоречит условию. Таким образом, сделанное
допущение неверно. Аналогично можно доказать, что допущение
т<п также неверно. Остается одна возможность: т~п.
Простейшее показательное уравнение имеет вид
ах — Ь.
На основании свойства (1) показательной функции а*>0,
поэтому уравнение ах~Ь имеет корень только при Ь>0.
Решим следующие уравнения.
1. 2* = 64.
Решение. Так как 64 = 26, то 2* = 2С, откуда х=6.
2. 3*=1/81.
Решена е. Поскольку 1/81 = 3-4, то 3* = 3~4, откуда х ——4.
2. Показательные неравенства. Неравенство, содержащее пере-
менную только в показателе степени, называется показательным.
Решение показательных неравенств основано па следующем
утверждении: если ах'>ах*, то ат>х2 при а>\ и х1<^х2 при
а<1, которое обратно предложению, выражающему свойство
монотонности показательной функции. Его легко доказать мето-
дом от противного.
Пример 1. Решить неравенство
3х2~4х> 243.
Решение. Так как 243 = 3\ то 3х2-4х>35. Это неравенство равно-
сильно неравенству х2 — 4х > 5, или х2 — 4х —5>0. Решая последнее нера-
венство, находим: х <—1 и х > 5.
Пример 2. Решить неравенство
(1/2)2х2“5х> 1/8.
Решение. Поскольку 1/8 = (1/2)3, то (1/2)2х2~5х > (1/2)3. Это неравен-
ство равносильно неравенству 2х2 —5х<3, или 2х2 —5х —3<0. Решая послед-
нее неравенство, имеем —1/2<х<3
225
Упражнения
1. Найти область определения следующих функций:
а) б) г/=(2/3)’<*4 в) у = 2/5<*—1>в-
2. Сравнить с единицей степени:
а) л0’3; б) л1'*; в) л-0*3; г) (л/4)0’3; д) (л/4)ьз; е) (л/4)-°’3,
3. Какая из степеней больше:
а) (КЗ)0’6 или (/3)4
б) (1//з)0>® или (1//з)0’®5;
в) (/2)2’3 или (1//2)2’3?
4. Решить уравнения:
а) (^..9л-у=з2х+в; в) 2х 5х = 0,01;
б) 2*2 • 4х = 256; г) /2*./3*=216.
5, Решить следующие неравенства:
а)5’*-*>0; в)31х1<27;
б) < 1; г) (l/2)xS—Sx—20 < 1.
§ 3. Логарифмическая функция
1. Определение логарифма и основное логарифмическое тожде-
ство. Рассмотрим показательное уравнение
ax = N,
где а —основание степени; N — степень; переменная х — показа-
тель степени.
Требуется по данной степени и данному основанию степени найти
показатель степени, т. е. корень данного уравнения. Решим это
уравнение графически. Для этого построим график функции у — ах
и у — N (рис. 77), а затем найдем абсциссу их общей точки. Оче-
видно, что при У>0 это уравнение имеет единственный корень,
который обозначается так: logaAf,
Ч / _ */ ) т- е- * = lognAf. По определению
/Ч~а (о^) КОрПЯ уравнения имеем тождество
a[0S“N = N, (1)
О х" которое выражает определение ло-
гарифма.
Рис. 77 Определение. Логарифмом
данного числа N по данному осно-
ванию а называется показатель степени, в которую надо возвести
основание а. чтобы получить число N.
К понятию логарифма мы пришли, рассматривая уравнение
ax = N, где а>0, и М>0. Этими неравенствами опреде-
ляются допустимые значения а и W в (1).
Равенство (1) называется основным логарифмическим тождест-
вом. Подчеркнем, что по определению логарифма из равенства
226
ax = N следует равенство x = logaN; обратно: из равенства х =
= logaN вытекает равенство п* = ДД
Действие, с помощью которого находится показатель степени
по данной степени и данному основанию степени, называется ло-
гарифмированием. Таким образом, уравнение ax = N решается
л о г а р и фми р ов а нием.
Пример 1. Вычислить логарифм 32 по основанию 2.
Решение. Пусть log232=x. По определению логарифма, 2* = 32, пли
2А* = 25, откуда х = 5. Итак, log2 32=5.
Пример 2. Даны три числа: 3, 04 и 4. Записать с помощью трех различ-
ных действий связь между этими числами.
Решение. Имеем:
43 — 64 (с помощью возведения в степень);
^64 = 4 (с помощью извлечения корня);
log4 64 = 3 (с помощью логарифмирования).
Пример 3. Найти а, если loga 729 = 3.
Решение. На основании определения логарифма имеем а3 = 729, откуда
а = /729 = 9.
Пример 4. Найти N, если logG Л'=—3.
Решение. Используя определение логарифма, получаем
Д/ = 6“3= 1/63= 1/216.
Пример 5. Вычислить 491о?’5.
Решение. Имеем
(49)10-7 5 = (72)’0"7 5 = (710*7 5)3 = 53= 25.
lOg43—
Пример 6. Вычислить 32
Решение. Находим
з21ог.З-±Юг23 = з21ог43; 32А 1022 3 = y°S‘3 . (2Д^3 =
5 £ А 1
— (zpogi 3) 2 . (21о£г 3) 2 _ £ 2 . з*2' = 32 = 9
2. Логарифмическая функция и ее свойства. Функция вида
y = logax, где <2>0 и я=#1, называется логарифмической.
Равенство r/=logax выражает ту же зависимость между х и
что и равенства ау = х и х = ау, Так как а^>0 (на основании
свойства 1 показательной функции), то из равенства ау~х сле-
дует, что х>0. Таким образом, областью определения логариф-
мической функции является все множество положительных чисел*
Связь показательной и логарифмической функций иллюстри-
рует следующая таблица:
X У
у = ах показатель степени степень
X 2 II 11 & степень показатель степени
227
Показательная функция характеризует изменение степени в за-
висимости от изменения показателя степени, а логарифмическая
функция — изменение показателя степени в зависимости от измене-
ния степени. Поэтому эти функции называют взаимно обратными *.
На основании свойств показательной функции установим свой-
ства логарифмической функции.
Свойство 1. Функция y = \ogax может принимать любые
действительные значения'.
— оо <Су < + со.
Действительно, в равенстве х = ау показатель у — любое дейст-
вительное число (на основании свойства показательной функции),
значит, рассматриваемое свойство справедливо.
С в о й ст в о 2. Логарифм единицы при любом основании равен нулю.
Действительно, из равенства х=ау следует, что при у —О
x = aQ = l, т. е. при х=1 у = 0. Это означает, что функция у =
— iog^x имеет единственный корень х= 1.
Таким образом, loga 1 = 0.
Свойство 3. Логарифм самого основания равен единице.
В самом деле, logaa—1, так как а1 = а.
Первые три свойства имеют место как при а> 1, так и при
0<а<1. При установлении дальнейших свойств эти два случая
будем различать.
Свойство 4. При функция y = \ogax монотонно воз-
растает, а при а < 1 — монотонно убывает.
Возьмем два положительных значения аргумента x2>xL. Со-
гласно основному логарифмическому тождеству x2 = alog«^ и =
= Так как х2>лу, то а''*^ >
В силу свойства монотонности показательной функции имеем
logrtx2 > IogriA'1, если а>1, и logax2 < log^^, если а< 1, что и
требовалось доказать.
Свойство 5. При а> 1 значения функции y=\ogax отри-
цательны, если 0<х<1, и положительны, если х> 1; при а<\
значения функции положительны, если 0<х<б1, и отрица-
тельны, если х> 1.
Докажем справедливость этого свойства. Корень х=1 разби-
вает область определения функции i/^log^x па два промежутка:
0<х<1 и 1<л'<-Вос. Определим знаки логарифмической
функции в этих промежутках:
а> 1
1) из неравенства х<1 на
основании свойства монотонности
имеем
logax<logal или log«x<0;
2) из неравенства х > 1 сле-
дует, что
logax> loga 1 или logax>0.
a<Z 1
1) из неравенства x<Z 1 в соот-
ветствии со свойством монотон-
ности имеем
loga X > loga 1 или loga X > 0;
2) из неравенства х с 1 сле-
дует, что
lOga 1 ИЛИ logaX<0.
* Взаимно обратные функции подробно рассмотрены в гл. X.
228
3. График функции у = log® х. Построим по точкам графики
логарифмических функций у = log2x и = logi/2x. Составим таблицу:
X • • 9 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 • • •
У = bg2 * » ♦ • —3 —2 —1 0 1 2 3 • • •
!) = iog1/2 х • 4 • 3 2 1 0 — 1 —2 —3 • • •
Графики этих функций, изо-
браженные на рис. 78, подтверж-
дают справедливость приведен-
ных свойств логарифмической
функции. Легко заметить, что
при возрастании х от 0 до + оо
функция i/=logax при а>\ воз-
растает от — оо до + со, а
при а < 1 убывает от фоо до
— оо.
Упражнения
1. Вычислить: 1
а) 25,О?6 3; г) 64 3 8 ;
б) (0,25)3 Iogs3+
в- 7 ’0X49 5 t 51og26 9; (’_L\ l0g* 3.98,О^5,97’0^4
д) —-----------------I-------
2log,5 ,521^3-2
2. Указать область определения следующих функций:
a) f/ = log2(x-|-3); в)
б) У== Jog12 <2х—5): г)
3. Определить знак выражений:
a) log1/a 5 • logI/s 7;
б) log., 7-1;
в) log0,з 15—logo,з 14; °7’ 5 2
5 5
Д) bgA.-- — log*у.
V=1Og.V~2
^=logv(6 —%).
Iog53»log154
i 14 . 7 >
§ 4. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства
1. Логарифмические уравнения. Уравнение, содержащее пере-
менную только под знаком логарифма, называется логарифмическим.
Решение логарифмических уравнений основано на следующей
теореме.
229
Теорема. Если loga = IogaW2, то Ni — N2-
Ее можно доказать методом от противного, опираясь тга свойство
монотонности логарифмической функции.
Используя эту теорему, решим несколько уравнений.
Пример 1. Решить уравнение
log3 (2х - 5) = log3 (* + 4).
Решение. Имеем 2х —5 = х + 4, откуда х = 9.
Проверка. Действительно,
logs (2*9 — 5) = log313 и log3 (9 4- 4) = log3 13.
Итак, х = 9 является корнем данного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение log0t5 (л2 — Зх — 2) = log0>5 (2%4- 4).
Решение. Имеем
х2 — Зх — 2 = 2% 4-4, или х2 — Зх — 6 = 0,
откуда %! = — 1 и х2 = 6.
Нетрудно проверить, что %1 = —1 и х2 = б —корни данного
уравнения.
Пример 3. Решить уравнение log2 (х2 — х — 2) = log2 (,?4- 1).
Решение. Имеем
2х2 — х — 2 = %4-1» или х2 — 2х — 3 = 0,
откуда получаем: х = 3 и х — —1. Проверкой устанавливаем, что
х = 3 удовлетворяет данному уравнению, а х = — 1 корнем урав-
нения не является, так как при этом значении переменной выра-
жения log2 (х2 — х — 2) и log2(%4-l) теряют смысл. Итак, х = 3—
единственный корень данного уравнения.
К логарифмическим относят также уравнения, содержащие
переменную в основании логарифма, например logx64 = 3. Это
уравнение решают на основании определения логарифма. Его
корень х = 4.
2. Логарифмические неравенства. Неравенство, содержащее
переменную только под знакОхМ логарифма, называется логарифми-
ческим.
Решение логарифмических неравенств основано па следующем
свойстве: если logaxT > logrtx2, то xt>x2 при cz> 1 и х±<х2
при a <i 1.
Это утверждение является обратным утверждению, выражаю-
щему свойство монотонности логарифмической функции. Оно легко
доказывается методом от противного.
Пример 1. Решить неравенство
log3x>4.
Решение. ОДЗ переменной л>0. Поскольку 4 = log381, то
имеем
logs Л- > logs 81,
а так как основание логарифма больше 1, то х>81.
230
в
1
i
I
I
t
I
I
Пример 2. Решить неравенство !og0i2 x > 2.
Решение. ОДЗ переменной х>0. Имеем 2 — log0,2 0,04, сле-
довательно,
logo,2 х > log0>2 0,04;
поскольку основание логарифма меньше 1, то х<0,04. Сопостав-
ляя это неравенство с ОДЗ, получим 0 < х <_ 0,04.
Упражнения
1. Решить уравнения:
a) log3 log2 logs (2 — х) = 0; в; log3 (х — 5)2 = Iog3 [4 • (Зх — 20)];
6) log^.i(xa-|-5x-]-22)=3; logQ х2
> logQ(8x-7)
2. Решить следующие неравенства:
a) logj (* + 1) >2; в) log5 (2х-|-3) > log. (*+15).
б) log1/4(x-{-l)>2;
§ 5. Логарифмирование и потенцирование
L Теоремы о логарифмировании. При доказательстве теорем
используют основное логарифмическое тождество
W = a,og*" (I)
и равенство
loga ак = k, (2)
справедливость которого вытекает из определения логарифма.
Теорема 1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов
сомножителей, т. е.
loga(AW) = loga N, + IogaAV.
Доказательство. На основании тождества (1) имеем
loga (AW:) = loga (alog° Л'1 • a‘°3« "*).
Применяя правило умножения степеней одного и того же осно-
вания, получим
10ga (Л?1Л?2) = 10ga (a’°S° "1 + ,02« "О-
В соответствии с тождеством (2)
10ga (^Л) = 10ge N1 + lOga ^2.
что и требовалось доказать.
Теорему можно обобщить для любого числа сомножителей.
Теорема 2. Логарифм частного равен логарифму делимого минус
логарифм делителя, т. е.
loga - J? = 1 Л/1 “ 1о2«
* Напомним, что допустимые значения Л'1? и а определяются усло^
виями; Ад >0, Л'2 > 0, а > 0 и a^l,
231
Доказательство. Действительно,
. '°ол
•Oga—= 10ga “1Б7 TP = 1°gaU:°ga*V1~,O’aA,2) = 10gaAr1--)oga ДЛ>.
М2 а ~а 2 2
Теорема 3. Логарифм степени равен произведению показателя
степени на логарифм числа, возвышаемого в степень, т, е.
log0 Nk = k • loga N.
Доказательство. В самом деле,
loge Nk = log„ (a‘°"« N )k == log* (a4 l0’« Л') = /г Iog„ У.
Теорема 4. Логарифм корня равен логарифму подкоренного числа,
деленному на показатель корня, т. е,
loga = I logn N.
Доказательство. Действительно,
log„(777=loga№A=.’.i0go^,
Пример 1. Найти logx*,
Решение. Находим
7m3 1^3 (т — л) р
если X —------~
6 (т — п)2
log х = log [7m3 V3 (т — п) р] — log [6 (т — /г)2] = log 7 + 3 log т +
+ у [log 3 + log (m — п) + log р\ - log 6 — 2 log (rn - п) = log 7 +
+ 3 log т + у log 3 + у log (т ~ п) + у log р - log 2 - log 3 —
— 2 log (m — n) = log 7 + 3 log m — ~ log 3 — log (m ~ n) +
+ y log p-log 2.
Пример 2. Используя теоремы о логарифмах, упростить выра-
жение
- _ 4 log m + log 4
log /л3 + log 2 — log /n *
Решение. Имеем
л = 4 l°gm + 2 log2_2 (2 logm +log2) n
3 log m + log 2 — log tn 2 log m + log 2
Пример 3. Упростить следующие выражения:
ni 1Qg 8 . Jog °>125 . 1Qg8i . log 0,04
log 4 ’ log 256 ’ log/3’ Г' log 5
* Для простоты записи вместо ioga х пишут logx.
232
Решение. Имеем:
log 8 __ log 23_ __ 3 log 2 _ _3_ t
а) 'Tog’4 log22 “ 2 log 2 2 ’
log 0,125 _ log 2~3 _ —3 log 2 _ _ _3 #
log 256 “ log 2» 8 log 2 8 *
7 log УЗ logS1/2 1 1/2
2 ё
log 0,04 __ ]og5~2 _ —2 log 5
Г' log 5 ~~ log 5 ”’ log 5
Пример 4. Найти log3 (%5), если logx = a.
Решение. Получаем
log3 (x5) = [log (x5)]3 = (5 log x)3 = (5a)3 = 125a3.
Пример 5. Прологарифмировать выражение 2/3
Решение. Здесь требуется выразить логарифм данного выра-
жения через логарифмы чисел, из которых оно составлено:
108 <»-„) - 'OS “ - 'OS 1Л’/3 У» <”» -И-
2 3
= log d — 2 log а — v log b — log c — 2 log (m — n).
О тг
Пример 6. Закончить логарифмирование:
log х = log (m2 Уn2) — log (rn + n) — 2 log m.
Решение. Имеем
2 2
log x — 2 log m -|- -s-log n — log (яг + n) — 2 logm = log n — log (m + n).
2. Потенцирование, Если равенства, выражающие правила лога-
рифмирования, переписать, поменяв местами их части, то получим
новые равенства, которые называют правилами потенцирования'.
Правила логарифмирования Правила потенцирования
1 • 1 oga (Л?1Л'2) = logrt A'i + loga Л', logo A?l + 10g« iV2= loga (Л'Л)
2. loga = loga -Vi - loga logu Л\ - loga A?2 = 10ga Щ
3 loga N*=>k loga N k loga N = loga Nk
4 loga k/N = 1 loga N /V 1 k r- -- log0 -v = l°g0 /'V К
233
Первые два правила читают так: сумма логарифмов равна лога-
рифму произведения; разность логарифмов равна логарифму част-
ного.
Пример 1. Записать короче, используя правила потенцирова-
ния, следующее выражение:
3 log т + 2 log п — — logp.
о
Решение. Имеем
3 log т + 2 log п — | log р = log т3 4 log п2 — log yfp =
= log (/и3п2) — log = log .
V P
Пример 2. Найти x из равенства
log ,r = log т - 2 log п -log p 4- log q.
Решение. Получаем
log x = log yGm — log n2 — log y^p2 + log q =
= log - log (/i2^p2) = log -¥'n<L ,
n2 у p2
откуда
___ у mq
X~ n? y+p*
Пример 3. Определить x из равенства
log x = —log (p + q).
Решение. Находим logx = log (p4- qY1, откуда
* = (P + <7)-1 =
j__
p+q '
Упражнения
1. Упростить следующие выражения, используя правила логарифмирования:
log тп. log2
2 log т + 2 log п ’ В) log/х. log(x2) *
logs 27 4 log (4?) .
log Vpq 4 log, 8 ’
Упростить выражения, используя правила потенцирования:
2 log п —3 log 7;
9
log (m2 — n2) — у log (m 4 n) 4 у log •
НаГпи x из следующих неравенств:
log х = —log р —log б/;
i 3 Г
!°gx=4-
a)
6)
2.
a)
6)
3.
a)
6)
3 "12
loga —2 logc —log(a —log (а-p) — — log/?,
о о
2
3
234
§ 6. Десятичные логарифмы
1, Определение десятичных логарифмов. Их свойства. Логарифм,
вычисленный по основанию 10, называется десятичным. Десятич-
ный логарифм числа N обозначается так: lg N.
Свойство 1. Десятичный логарифм числа 10", где п — нату-
ральное число, равен п, т. е. 1g 10" = п (что очевидно). В частности,
1g 10=1, 1g 100 = 2, lg 1000 = 3 и т. д.
Свойство 2. Десятичный логарифм числа 10"", где п — нату-
ральное число, равен — п, т. е. lg 10" =— п (что также очевидно).
В частности, lg 0,1 =—1, Ig0,01 —— 2, lg0,001= — 3 и т. д.
Свойство 3. Если натуральное число N не является степенью
числа 10 с натуральным показателем, то lg 2V — число иррацио-
нальное.
Докажем это свойство на следующем примере. Пусть N = 135.
Допустим противное, т. е. что 1g 135 = г, где г — рациональное
число. Ясно, что г>0. Пусть г = т/п, где т и п —натуральные
числа; тогда имеем
1g 135 = т!п, или 10'"/" =135.
Возводя обе части последнего равенства в степень п, получаем
10"*= 135". Это равенство противоречивое, так как 10"' —число»
изображаемое единицей с нулями, а 135" —число, оканчивающееся
цифрой 5. Таким образом, допущение, что 1g 135 — рациональное
число, неверно, т. е. 1g 135 —иррациональное число.
Разработаны методы вычисления логарифмов. Таблица деся-
тичных логарифмов впервые была составлена английским мате-
матиком Бриггом (1556 — 1620).
Иррациональные логарифмы вычисляют приближенно с опре-
деленной точностью. Например, 1g 200 = 2,30103 с точностью до
0,00001. Целая часть приближенного значения логарифма назы-
вается его характеристикой, а дробная часть — мантиссой.
Свойство 4. Характеристика логарифма всякого числа,
большего единицы, на единицу меньше числа цифр, стоящих до
запятой.
Доказательство. Положим
= abc ... f, офу ....
Пусть до запятой содержится п цифр; тогда имеем
10"-1 <N< 10",
откуда п — 1 < lg N < п, т. е.
lg .V = (/г — 1) ф-дробная часть.
В частности, 1g5,8 = 0, ...; 1g58,75 = 1, ...; lg587,5 = 2, ...
и т. д. (где многоточие заменяет дробную часть).
Свойство 5. Если число умножить на 10", где п — нату-
ральное число, то его логарифм увеличится на п единиц. Дейст-
вительно,
lg (А/ • 10") = lg N ф- lg 10" = lg N + n.
235
Например, зная, что lg2 = 0,3010, имеем: lg20= 1,3010,
1g 200 = 2,3010, lg2000 = 3,3010 и т. д.
Свойство 6. Если число разделить на 10", где гг —нату-
ральное число, то его логарифм уменьшится на гг единиц. Дейст-
вительно,
lg^-=ig'V-lglO« = lgA’-rt.
Например, зная, что 1g3 = 0,4771, находим 1g 0,3; 1g0,03 и
1g 0,003:
IgO,3 = 0,4771 - 1, lg0,03 = 0,4771 -2 и 1g0,003 = 0,4771 — 3.
Эти разности можно записать короче: 1,4771, 2,4771 и 3,4771.
Таким образом, 1g0,3 = 1,4771, IgO,03 = 2,4771 и 1g 0,003 = 3,4771.
Следствие. От умножения (деления) числа па 10" мантисса
логарифма не изменяется, а характеристика увеличивается (умень-
шается) на п единиц.
Свойство 7. Характеристика логарифма правильной деся-
тичной дроби содержит столько отрицательных единиц, сколько
нулей слева до первой значащей цифры, считая нуль до запятой',
при этом мантисса всегда положительна.
Доказательство. Пусть
7V = O,OO...O7, .
т нулей
Тогда имеем
0,000 ... 01 < 0,000 ... 07< 0,000 ... 01,
т нулей т нулей т — 1 нулей
откуда после логарифмирования получим
lg 10-'"< 1g0,000 ... 07< 1g 10-('"-x)
т нулей
ИЛИ
— т < 1g 0,000 ... 07 < — (m — 1),
т нулей
откуда
1g0,000 ... 07 = (—m) + положительная правильная дробь.
т нулей мантисса
2. Вычисления с помощью таблиц десятичных логарифмов *,
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Вычислить 0,05678.
Решение. Обозначим д/~0,05678 = АЛ, найдем lg N:
lg,у = !g °’г5678 = 'Муя = -5+3'7542 = — I 4-0,7508 = 1,7508,
О 5 О
N = 0,5633.
* Рекомендуется пользоваться таблицами В, аЧ. Брадиса,
236
Пример 2. Вычислить N — “у' 100.
Решение. Находим
= Т =0’0200’
М= 1,047.
Пример 3. Вычислить
Решение. Имеем:
N = 23,47
6,0033
0,005915
lgN = 1g 23,47 +4 lg 6,003 - 1 lg 0,005915;
lg 23,47 = 1,3705;
4 lg 6,003 = 3'°^778-4- = —4— = 0,5838;
- lg 0,005915= ~3;7720 = 212280 = 0,5570;
lg.V = 2,5113;
У = 324,5.
Пример 4. Вычислить
и _ 1 / // "W 2,392^’25
Л V I 0,09844* 0,89782 *
Решение. Логарифм числа N сразу вычислить нельзя, так
как подкоренное выражение не логарифмируется. Необходимо,
вести вычисление по частям:
1) пусть Л\ = ]/ N2 = 2о389978~2 ' тогда/7 = ^A7X —
2) вычислим Л\:
lg Afx = 41g 1,785 — 41g 0,09844;
11g 1,785 = ^ = 0,1258;
3, лпполл 3-2,9932 3-1,0068 3,0204 л „ГС1
- т lg 0,09844 =----------------------= -—— = 0,7551;
]g ,-Vj = 0,8809;
Л'^7,602;
3) вычислим N2:
lg ^2 = 4 2’392 ~ 2 °’8978;
4 lg 2,392 = 9'0,3788 = = 0,8523;
- 2 lg 0,8978 = — 2 • 1,9532 = 2 • 0,0468 = 0,0936;
lg N2 = 0,9459;
^^8,828;
4) имеем:
W = 7,602 - 8,828 = — /Т226; - N = 7T226;
lg(_ДГ) = ]Ц22£ = 2^5. = 0,0177; -N^ 1,042. 1,042.
О Э
237
Упражнения
(. Зная, что 1g 3 = 0,4771 и 1g 5 = 0,6990, найти 1g >/ 0,225.
2. Зная, что 1g 7 = 0,8451, вычислить lg j/^9.
3. Вычислить с помощью таблиц:
a) ; б) V2,166 - ^4919?
У 2,743
§ 7. Связь между логарифмами различных систем
1. Предварительные замечания. Системой логарифмов при осно-
вании а называется все множество логарифмов натуральных чисел
от 1 до N, вычисленных по этому основанию.
Наиболее употребительными являются системы десятичных
логарифмов (а = 10), а также натуральных. Натуральными назы-
ваются логарифмы, основание которых — иррациональное число,
обозначаемое буквой е (г = 2,71828 ...). Это иррациональное число,
как и число л, имеет большое значение в математике.
Натуральный логарифм числа N обозначается символом In Л/,
т. е. log.?/V = ln/V.
2. Основная формула и ее следствия. Установим связь между
системой логарифмов по основанию а и системой логарифмов по
основанию Ь. Пусть известен logaN; найдем log^/V, Запишем
тождество:
Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, полу-
чаем
logs N loga b = loga N,
откуда
(1)
Равенство (1), называемое основной формулой, выражает следую-
щее правило: чтобы найти логарифм некоторого числа по новому
основанию, надо логарифм того же числа по старому основанию
разделить на логарифм нового основания по старому основанию.
Равенство (1) можно записать так:
Дробь l/loga& называется модулем перехода от системы логариф-
мов по основанию а к системе логарифмов по основанию Ь.
Пример 1. Пусть а=10 и Ь= 100. В этом случае модуль перехода от
системы логарифмов по основанию 10 к системе логарифмов по основанию 100
равен l/logJO 100, т. е. 1/2. Таким образом, чтобы составить таблицу логариф-
мов по основанию 100, надо десятичные логарифмы разделить на 2. В част-
ности,
log100 2 = 0,3010/2 = 0,1505.
238
Пример 2. Пусть а=10 и Ь = е = 2,718 ... . Модуль переходу ст десятичной
системы к натуральной равен 1/lge:
В частности,
1/lg е = 1/lg 2,718 1/0,4343 2,303.
In 2 2,303.1g 2 2,303 • 0,3010 0,6932.
Из формулы (1) можно получить важные следствия:
а) полагая /У = а, получаем
106*a==kj^j> или Iogz?a* Io&^=1;
б) при b — ak имеем
l0g^ = -₽ ИЛИ
в) заменяя в равенстве (3) N на /Vfe, находим
т. е.
logafe 1ogaW.
(2)
(3)
0)
Равенство (4) выражает следующее важное свойство логарифмов: величина
логарифма не изменится, если основание логарифма и логарифмируемое число
возвести в одну и ту же степень.
Пример 3. Найти х из уравнения
1 og2 х + logs * + log32 X = 4,6.
Решение. Так как log8 х= log2 xl/3== 1og2x и log32 х = log2 х1/0 =
о
= — Iog2 х, то имеем:
о
10g2 X +у log2 X4-у 1 Og2 № 4 Д
23 . . .
— log2x = 4,6,
, 4,6-15
1о&*=—23“»
log2x = 3,
откуда х = 23 —8.
Проверка» Имеем
10g2 8 -1- !ogs 8 + log33 8 = 3 + 1 + log2 8>/5 = 4 + log, 23's = 4 + A = 41 = 4,6.
О о
Упражнения
1. Найти модуль перехода от системы логарифмов с основанием 5 к системе
логарифмов с основанием 25.
2. Зная, что log16iV=p, найти: a) log2 Д'; б) log4/V; в) log8 ДА
3. Дано log9tfz = a, найти log3/n.
4. Известно, что log142 = a; найти log49 16.
5. Пусть log54 = a и log53 = d; найти log^ 12.
239
§ 8. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства
1. Вводные замечания. В § 2 и 4 были приведены определения
показательных и логарифмических уравнений и рассмотрены про-
стейшие примеры. Приступая к систематизации методов решения
таких уравнений, сделаем ряд замечаний.
1) Показательное уравнение вида а?1<х) = of2(х), где а>0 и
равносильно уравнению f\ (х) — f2 (х). Такое показательное
уравнение условимся называть простейшим,
2) Логарифмическое уравнение вида
loga [A W] = ioga [/2 (%)] (1)
равносильно уравнению
fi W = h (х) (2)
Д(х)>0
определяет ОДЗ переменной
/2 w > О
при условии, что /у(х)>0 и /3(х)>0. Такое логарифмическое
уравнение также будем называть простейшим.
3) Система неравенств
х уравнения (1), поэтому корни уравнения (2) обязательно должны
удовлетворять этим неравенствам.
При решении показательных и логарифмических уравнений
более сложного вида их приводят к простейшим с помощью тож-
дественных преобразований. При этом следует иметь в виду, что
в процессе преобразований может изменяться область определения
уравнения, что иногда приводит к нарушению равносильности.
Так, например, при переходе от уравнения lgx2 = 4 к урав-
нению 21gx = 4 теряется корень х = —100, а при обратном пере-
ходе приобретается лишний корень. Лишние корни всегда можно
обнаружить подстановкой в исходное уравнение. Труднее восста-
новить потерянные корни. Поэтому, выполняя преобразования,
надо следить, чтобы корни не терялись.
Цель решения всякого уравнения — нахождение множества
всех его корней. Для достижения этой цели часто бывает полезно
предварительно установить ОДЗ переменной. Однако не следует
считать нахождение ОДЗ обязательным элементом решения вся-
кого уравнения. Пусть, например, требуется решить уравнение
!ogA._2 (х3 Зх2 — 2х — 96) = 3.
Не устанавливая ОДЗ, сразу получаем
(х - 2)« = х3 + Зх2 - 2х - 96,
или
9х2—14х —88 = 0, откуда Xj = 4, х3 =— 22/7.
Проверка показывает, что хх = 4 —корень данного уравнения,
а х2 = — 22/7 ему не удовлетворяет, так как при этом значении
основание логарифма х —2<0, что недопустимо.
210
Попытка найти ОДЗ переменной х приводит к системе нера
венств
' х3 + Зх2 — 2х — 96 > О,
• х — 2>0,
. х -2 #= 1,
решить которую не просто.
В заключение отметим, что для проверки правильности реше-
ния данного уравнения применяют следующие способы:
1) подстановку найденных значений переменной в исходное
уравнение;
2) сопоставление найденных значений с областью определения
уравнения;
3) обзор проведенного решения с точки зрения правильности
выполненных вычислений и сохранения равносильности при
выполнении преобразований (обзорная проверка).
Проверка первым способом, на первый взгляд, достаточно
полная, однако па самом деле она, позволяя выявить лишние
корни, не дает возможности обнаружить потерянные. Потерянные
корни можно найти только при исследовании решения. Таким
образом, сочетание первого и третьего способов (комбинированная
проверка) наиболее надежно.
Второй способ проверки сразу дает возможность отбросить
(как посторонние корни) те значения переменной, которые не
принадлежат ОДЗ.
Следует отметить, что в некоторых случаях бывает трудно
выполнить проверку подстановкой; трудности могут возникнуть
и при установлении ОДЗ. Таким образом, нельзя указать уни-
версальный способ проверки. Выбор должен определяться особен-
ностями каждого конкретного уравнения.
В рассмотренных ниже примерах основное внимание уделено
методам решения. Проверка корней подстановкой выполняется
лишь в отдельных случаях.
В тех случаях, когда область определения уравнения уста-
новлена, найденные значения переменной сопоставляются с этой
областью для исключения посторонних корней. Остальные значе-
ния переменной должны быть проверены подстановкой.
2. Приемы решения показательных уравнений. Рассмотрим
некоторые приемы решения показательных уравнений.
1) Уравнивание оснований степеней.
Пример 1. Решить уравнение
161Л = 2<
Решение. Это уравнение можно представить в виде 2А/Х = 2Х.
Оно равносильно уравнению 4/х = х, или х2 = 4, откуда Xi = 2 и
х2 = — 2.
Пример 2. Решить уравнение
7х = 2х.
9 М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев
241
Решение. Разделив обе части уравнения на 2х, получаем
7Х/2Х=1 или (7/2)х = (7/2)°,
откуда х = 0.
Пример 3. Решить уравнение
Qx _|_ б-v+i = 2Л 4- 2Х+1 + 2Х+2.
Решение. Раскладывая на множители, получаем
6х (1 + 6) = 2х (1Н-2 + 22), или 6х = 2*.
Далее имеем:
6Х/2Х=1; (6/2)х = 1; 3х = 3°,
откуда х = 0.
Пример 4. Решить уравнение
(б/б)*"1 (4/5)х = 16/45.
Решение. Находим:
(5/6)х(5/6)"1 (4/5)х= 16/45; (5/6-4/5)х = (16-5)/(45-6);
(2/3)х = 8/27; (2/3)х = (2/3)3,
откуда х = 3.
2) Показательные уравнения, решаемые лога-
рифмированием.
Пример 1. Решить уравнение
2х-2 = 3х.
Решение. Применяя правило логарифмирования степени,
получаем:
(х — 2) lg2 = x 1g 3; xlg2 —2 lg2 = x lg3;
x(lg2-lg3) = 21g2,
откуда x = 2 lg 2/(lg 2 — lg 3).
Пример 2. Решить уравнение
7^-i t yx-i7^-3 5*-2
Решение. Имеем:
7*-з(72_|_7+ i) = 5.v-3(52 + 5+i); 57.7.V-3 = 3i ,5x-s;
(7/5)x-3 = 31/57; (x — 3) lg 1,4 = lg 31 — lg 57;
x = 3+'g3|1~l4g57^l,19.
3) Введение вспомогательной переменной.
Пример 1. Решить уравнение
0,2-52/х4-5-5/х = 250.
Решение. ОДЗ x2s0. Пусть 5^х — г, где z>0 (на основа-
нии свойства 1 показательной функции); тогда 52lZx =(5,/х) =z2.
Далее,
0,2г2 + 5г = 250; г2 < 25г - 1250 = 0,
242
откуда Zi = 25 и z2 =—50. Так как z2 не принадлежит ОДЗ,
то надо решить только одно уравнение относительно х:
5^-* = 25, или Ух = 2, откуда х = 4.
Найденное значение х принадлежит ОДЗ; легко убедиться, что
х = 4 — корень уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
2х+2_2а-*- 15 = 0.
Решение. Имеем
22-2Л-22/2*= 15.
Полагая 2х = z, где z>0, получаем
4z-4/z=15; 4z2 —15z —4 = 0,
откуда Zj = 4 и z2 = —1/4 (не принадлежит ОДЗ). Теперь имеем
2-v = 4, или 2* = 22, откуда х = 2.
3. Приемы решения логарифмических уравнений. Рассмотрим
приемы решения логарифмических уравнений.
1) Уравнения, решаемые на основании опреде-
ления логарифма.
Пример 1. Решить уравнение
log1_x(2x2-f-x+l) = 2.
Решение. По определению логарифма,
(1 — х)2 = 2х2 + х +1, или х2ф-Зх = 0,
откуда Xi = 0, х2 = — 3. Значение Х! = 0 не является корнем дан-
ного уравнения, так как при этом основание логарифма равно
единице, что недопустимо. Подстановкой убеждаемся, что х2 —
— —3 —корень данного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
logs 10g2 10g4 X = 0.
Решение. Запишем данное уравнение в виде
log3 [loga (log4x)] = 0.
На основании определения логарифма получаем
loga (logi х) = 3°, или log, (log4 х) = Г, logtx = 2,
откуда х = 42, или х=16.
Проверка. Имеем
log3 [log2 (log416)] = log3 [Iog2 2] = logs 1 = 0.
2) Уравнения, решаемые потенцированием.
Пример 1. Решить уравнение
lg(x»-5x»+19) _о
1g (х - 2)
243
9*
Решение. ОДЗ определяется условиями
' х3-5х24- 19 > О,
х>2
х 3.
Теперь имеем:
]g(Л3 _ 5х2 + 19) = з lg _ 2);
1g (х3- 5х24- 19) = 1g (х- 2)3;
х3 — 5х2 4-19 = х3 — 6х2 + 12х — 8;
х2- 12х + 27 = 0;
Xi = 3 не принадлежит ОДЗ, х2 = 9 —корень данного уравнения,
в чем легко убедиться.
3) Введение вспомогательной переменной.
Пример 1, Решить уравнение
—L____1___-__= 1
5— Igx 14- 1gх
Решение. После упрощения уравнение принимает вид
lg2x-51gx4-6 = 0.
Полагая lgx = z/, получим у2 — 5у 4- 6 = 0, откуда гл = 2, у2 = 3;
1) lgx = 2, Х!=100; 2) logx = 3, х2 = 1000. Подстановкой легко
установить, что найденные значения х —корни данного уравнения.
Пример 2, Решить уравнение
1g2 х3— 10 lgx + 1 =0.
Решение. ОДЗ х>0. Замечая, что
1g2 х3 = (lg х3)2 = (3 lg х)2 = 9 lg2 х,
получаем
9 lg2x— 10 lg х4- 1 =0*
Полагая lgx = z, имеем
9z2- 10г 4-1=0,
откуда гх==1, z2=1/9; 1) lgx=l,x=10; 2) lgx=l/9, x= 10,/9.
4) Уравнения, в котор ых содержатся логарифмы
с р а з л и ч н ы м и основаниями.
Пример 1. Решить уравнение
loga v 3 = 1 Ogx2 3.
Решение. ОДЗ неизвестного определяется условиями
Используя соотношение logZ)a = l/logfl b, получаем
log3 (Зх) = 1 og3 х2, или Зх — х2.
244
откуда %i = 0 (не принадлежит ОДЗ), Л2 = 3 —корень данного
уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
3 1о^х х + °’5 1о§х//5 х = 2*
Решение. ОДЗ параметра а и переменной х определяется
неравенствами: а>0; х>0; а2х#=1; х/Уа=/=\. Используя соот-
ношение log* а = l/loga&, получаем:
Полагая
Iog.v£ = z,
имеем
2 —г
откуда находим: zx=l и г2 = 3/4.
Далее имеем: 1) logxa=l, xt^=a\ 2) Iogx^ = --j-; х===а4/3.
Исследуем теперь полученные значения х\ числа xY = a и х2 ==
= а4/3 могут быть корнями уравнения при я>0, если а2х#=1
и х/]/~а=/=1. Это значит, что надо исключить те значения пара-
метра а, при которых: а) а2х=1 и б) х!У а=\.
а) Если а2х== 1, то:
при х = а имеем
а2 • а = 1,
откуда а = 1;
при х = а имеем
alV а — 1,
откуда а=Г,
при х = а4/3 имеем
а2 • а4/3 = I,
откуда 1;
б) Если х/Уа = 1, то:
при х = а4/3 имеем
а^/УЪ= 1,
откуда а= 1.
Таким образом, найденные значения х —корни данного уравне-
ния, если «У=1ий>0(в чем можно убедиться проверкой).
5) Логарифмические уравнения, решаемые лога-
рифмированием обеих частей уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
Х31а’х 3 lgx =100|/10.
245
Решение. Логарифмируя обе части уравнения, получим
(31g3x-| Igx)lgx = lgl00 + 41gl0;
91g4x —21g2x —7 = 0.
Дальнейший ход решения ясен.
Пример 2. Решить уравнение
x'ogK-(l-z)=9>
Решение. ОДЗ определяется условиями
т. е. 0<х< 1.
Так как
то
' х>0,
*¥= П
1 — х>0,
log/i(l-x) = log^(l-x)2,
х'огх<1-^ = 9>
Используя основное логарифмическое тождество, можно записать:
(1—х)2 = 9, откуда %i = —2 и х2 = 4. Полученные значения х не
принадлежат ОДЗ. В процессе решения корни не могли быть
потеряны, поэтому данное уравнение корней не имеет.
4. Системы показательных и логарифмических уравнений. Рас-
смотрим решение систем показательных и логарифмических урав-
нений.
Пример 1. Решить систем}' уравнений
3^ + 3^= 12,
5-¥+а = 125.
Решение. Данная система равносильна системе
3* + 3»= 12,
х ~\-у = 3,
Решая первое уравнение, находим: хх = 2 их2=1. Решениями
данной системы служат пары чисел;
( Xi =2, [ Хг = 1,
11/1 = 1 11/2 = 2.
Пример 2. Решить систему уравнений
| у** -2л-15 =
U+l/ = 7.
246
Решение. Эта система равносильна системе
( (7-х)*‘-2*-15=1,
| г/==7-х.
Рассмотрим первое уравнение этой системы. Его корнями слу-
жат те значения х, при которых выполняется одно из следую-
щих условий: а) 7 —х= 1; б) х2 —2х—15 = 0, 7 —х=^0.
Теперь решение данной системы сводится к решению двух
систем:
г 7 —х = 1, [ х2 —2х — 15 = 0,
\ ~ и < _
[х/ = 7 — х9 (у = 7-х.
Решениями данной системы служат пары чисел:
( Xj = 6, ( Х-2 — 5, J х3 = — 3,
1^1=1. l!/2 = 2 И [г/3==10.
Пример 3. Решить систему уравнений
( lg(x-//)-21g2= 1-lg(x + r/),
( Igx —Ig3 = lg7-Igy.
Решение. ОДЗ определяется неравенством x>z/>0. Пред-
ставим систему в виде
( 1g (*-«/) +1g (* + «/) = 1 + 2 lg2,
( lgx +lg# = lg 7 +lg 3;
| 1g (+ - y2) = 1g 40, ( x2-y2 = 40,
I lg(xi/) = lg21; 1^ = 21.
Последняя система легко решается подстановкой. Запишем ее
решения в виде таблицы:
X 7 —7 со «**• 1 со
У 3 со 1 -7( 7i
Только первое из четырех решений принадлежит ОДЗ пере-
менных, поэтому решениями заданной системы являются х — 7
и # = 3.
5. Показательные н логарифмические неравенства. В § 2 и 4
были приведены определения показательных и логарифмических
неравенств и сформулированы положения, на которых основано
решение таких неравенств. Напомним эти правила:
1) При а> 1 неравенства а^х)>аМх} и fi(x)>f2W равно-
сильны;
2) при 0<а<1 неравенства и рав-
носильны;
247
3) при а > 1 неравенства loga [A (х)] > 1 oga [f2 (х)] и (z) >
>А(х) равносильны, если f1(x)>^ и А(х)>0, т. е. при а> 1
решение неравенства loga [А (х)] > loga [А (х)] сводится к решению
системы неравенств
[ А(х)>/а (х),
А « > о,
I A W > О;
4) при О < а < 1 неравенства loga [А (х)] > log3 [А (х)] и j\ (х) <
<А(х) равносильны, если Д(х)>0 и А(х)>0> w. е. при О<
< а < 1 решение неравенства loga [А ^х)] > loga [А (х)] сводится
к решению системы неравенств
' А(х)<А(х).
А(х)>0,
/г (х) > О.
Пример 1. Решить неравенство
3%2-3jf дх-з
Решение. Данное неравенство запишем в виде
З*г-Зх > 32*~6, или х2 —Зх>2х —6, или х2 —5х4~6>0.
Из последнего неравенства находим два множества решений дан-
ного неравенства: х<2 и х>3.
Пример 2. Решить неравенство
25*-16<(0,2)*2+2x.
Решение. Так как 25 = 52 = (0,2)-2, то имеем
[(0,2)-2]*-1в<(0,2)*2+2*;
или
(0,2)32-2л<(0,2Д2+2л; 32 - 2х > х2 + 2х;
х2 + 4х-32<0,
откуда —8<х<4.
Пример 3. Решить неравенство
logs (х2 — 4х 4-3) < 1.
Решение. Данное неравенство можно записать в виде
logs (X2- 4x4-3) < logs 8.
Решение этого неравенства сводится к решению системы нера-
венств
J х2 — 4х4-3>0, J х2 — 4х4-3>0,
4х2-4х + 3<8, ИЛИ (х2 —4х —5<0.
Решим последнюю систему с помощью таблицы промежутков зна-
копостоянства. Корнями трехчлена х2 — 4% + 3 являются числа
248
Xj = 1 и x2 = 3, корнями трехчлена х2 — 4х — 5 — значения х1 = — 1
и х2 = 5. Составим таблицу:
(—со. — 1) (-1» 1) (1. 3) (3, 5) (5, Ч-со)
х2-4*4-3 + 4~ — 4- +
х го 1 Дь. X 1 сл + — — — 4-
Решениями системы являются числовые промежутки, в кото-
рых трехчлен х2 — 4x4-3 положителен, а трехчлен х2 —-4х — 5
отрицателен. Окончательно имеем: —1<х<1 и 3<х<5.
Пример 4. Решить неравенство
log.v(x + 2)>2.
Решение. Данное неравенство запишем в виде
logx (х + 2)> logA-x2.
Решение неравенства сводится к решению двух систем неравенств:
' х> 1, Г 0<х< 1,
• х4-2>0, (*) и х4-2>0, (**)
х + 2 > х2 I х + 2 < х2.
Решим систему (*), заменяя ее равносильной системой
( х> 1,
1 х2 — х — 2 <0.
Второе неравенство этой системы имеет своим решением промежу-
ток от —1 до 2, значит, решение системы (*)— промежуток от I
до 2, т. е. 1 <х<2.
Заменим систему (**) равносильной системой
0<х<1,
х2 —х —2>0.
(#**)
Решением второго неравенства является множество, представляю-
щее собой объединение множеств х>2 и х<—1. Таким образом,
система (***), следовательно, и система (**) решений не имеют.
Итак, решение системы (*) является решением данного лога-
рифмического неравенства»
Упражнения
Решить следующие уравнения:
1) 52 (Л'-1 > = >/25^; 2) 36-^2 — оух . 2*+8;
3) 5*12 = 8; 4) 2х 24-8*/3~1 — 4°’5х-2== 10;
249
Ч&Г-(1Г=(0’зг1; 7) 2X4-2’X = 9) 4* + 3/2 + 9х = 6*+1; 11) log5 log4 log, (х2 — 8х4-72) = 0; 13) 2 1g /7=lg(x24-27)- - 0,5 lg(x24-6x4-9); 15) Igl8-xlg3=lg(3x-7)j 17) logs (x 4-20) logx 1^5= 1; 19) (0,l)lg(20-2x) = 2; 21) (6-/35)л4-(64-/35)^=142; 4-lOJ,/-- (x*—x) , . 23) x2 = 3log*4; 25) /x„2)lg2(x—2) + lg(x_“2)^—12 _ = 1021g(x-2)e Решить системы уравнений: /9\х /27\1-х ]g 125 Ц 4 ) ( 8 ) “ )g 25 ’ 8) 5х 4-125 = 30.5X/2; 10) 3./8Т-10./9=— 7l°2*'9; 12) log5_x (2x2—5x-(-31) = 2; 14) log4 (x4-2)4-log4 (10—x) = 24* + log4 x; 16) lg2x34-lgx2 = 40; 18) log4 x-J-logy-x —log^ x = 7; ' 4 20) x102**3-1032*+3 = —; 22) 4 lg у 7 = 2-5 /1^7; 24) х12'л+1-(’+3=1012Л;
... I T 1§*+ ^^У — ^(4-Ух)=0,
26) Z z z
l (25/7)^-125.5^=0;
27) J X~V^+~y = 2 /3,
1 (х+у).2^-*=3.
Решить неравенства:
6х—з
28)3 х < f/ 272-v-i; 29) (х2—6х — 6)*“3 < 1.
Указание. Решение этого неравенства сводится к решению двух систем:
( X 2 — 6x — 6> 1, |x-3<0 И * о 1 л v г •° о 1 о л ►—
30) (*2_8х+ 13)*-» < 1; 31) ]/ 10g3 7-7 < 1J
32) 1g (х22х 4-2) > 1; 33) )ogx_x (2х-3) > 0.
ГЛАВА IX
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И БИНОМИАЛЬНАЯ
ФОРМУЛА НЬЮТОНА*
§ 1. Элементы комбинаторики
1. Вводные замечания. В разделе математики, который назы-
вается «Элементы комбинаторики», решаются некоторые задачи,
связанные с рассмотрением конечных множеств и составлением
различных комбинаций из элементов таких множеств. Сформули-
руем три задачи.
Задача 1. Между тремя лицами, избранными в профком, надо
распределить три различные должности. Сколькими способами
может быть проведено это распределение?
Задача 2. Группа студентов, состоящая из 30 человек, выби-
рает трех делегатов на конференцию. Сколькими способами могут
быть проведены эти выборы?
Задача 3. Группа студентов, состоящая из 30 человек, выбирает
старосту, комсорга и профорга. Сколькими способами могут быть
проведены эти выборы?
Эти задачи можно решить с помощью формул, которые ниже
будут выведены. Формулы комбинаторики имеют большое значе-
ние в теории вероятностей и во многих разделах прикладной
математики.
2. Перестановки. Решим первую задачу. Обозначим должности
числами 1, 2 и 3, а избранные лица —буквами а, b и с. Возмож-
ные комбинации распределения должностей представятся так:
1 КЗ 3 1 2 3
а ь с b С а
а с b с а b
b а с с b а
Легко- видеть, что в таблице приведены все возможные ком-
бинации (их оказалось 6). Поставленная задача решена. При
решении задачи было упорядочено множество трех элементов а,
b и с шестью способами. Упорядочение состояло в закреплении
за каждым элементом определенного номера.
* Исаак Ньютон (1642—1727)— гениальный английский физик и математик.
251
Вообще, упорядочить поэлементное множество — это значит
выбрать какой-либо элемент в качестве первого, затем какой-либо
другой элемент —в качестве второго, и т. д. Наконец, последний
элемент —в качестве /г-го.
Определение. Совокупность всех способов упорядочения
п-элементного множества называется перестановками из п элемен-
тов, а каждый отдельный способ называется перестановкой.
Число перестановок из п элементов обозначается символом
Рп. Если данное множество состоит из одного элемента, то воз-
можна лишь единственная перестановка (имеется один элемент
и один помер), т. е. Р1=1, Если данное множество состоит из
двух элементов {а, Ь}, то возможны две перестановки: ab и Ьа.
Таким образом, Л2 = 2 или Р2==Ь2. Если данное множество
состоит из трех элементов {a, Ь, с}, то, как было показано, при
решении задачи 1, число перестановок равно шести. Значит,
ZJ3 = 6, или Р3=1*2*3. Теперь составим все возможные переста-
новки из 4 элементов {a, b, с, d}. Для этого к каждой переста-
новке из элементов а, b и с присоединим элемент d, закрепляя
за ним поочередно номера один, два, три и четыре. Например,
взяв перестановку abc, получим таблицу:
J 2 3 4 1 2 3 4
d а b С а b d С
а d h С а Ь с d
Аналогичные таблицы можно составить, взяв последовательно
остальные пять перестановок: acb, bac, bca, cab и cba. Таким
образом, Р4 = 4 • 6 = 4 • Р3 = 1 • 2• 3 • 4.
Методом математической индукции докажем, что
Prt= I-2-З...П.
(1)
Как было показано выше, эта формула справедлива при п=1
(а также при п = 2, п = 3 и м = 4). Допустим, что опа справед-
лива для n = k, т. е. Р/{ = 1 -2‘3...й. Теперь покажем, что при
этом допущении формула верна для n = k-]-\, т. е.
Р,+1=Ь2.3..^(А+1).
Действительно, чтобы получить все перестановки из &-J- 1 элемен-
тов, надо к каждой перестановке из k прежних элементов присо-
единить новый элемент, который может быть поставлен на 1, 2,
3, ..., /е-е, наконец на (/? + 1)-е место. Таким образом, каждая пере-
становка из k элементов порождает новых перестановок.
Поэтому общее число перестановок из £-|-1 элементов равно
(& + 1), т. е.
= ЛД/? + 1) = 1 • 2 • 3... k (/? + 1).
252
Оба требования принципа математической индукции выполнены,
потому формула (1) верна для любого п.
Произведение l-2-З...п обозначается символом п\ (читается:
п факториал).
Итак,
Рп=т. (2)
Пример 1. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3,
4, 5 так, чтобы ни одна цифра не повторялась?
Решение. Искомое количество пятизначных чисел равно числу переста-
новок из пяти элементов:
Р6=1.2.3*4.5=120.
Пример 2. Сколько пятизначных чисел, кратных пяти, можно составить из
этих же цифр при условии, что в числе повторяющихся цифр нет?
Решение. Если составить всевозможные перестановки из элементов 1,
2, 3 и 4 и к каждой из них на последнее место приписать цифру 5, то полу-
чим все числа, кратные 5, составленные из данных цифр. Количество таких
чисел равно
Р4 ==41 = 24.
3. Сочетания. Определение. Пусть имеется множество,
состоящее из т элементов. Все его подмножества, содержащие
п элементов из данных т элементов, называются сочетаниями из
т элементов по п элементов.
Число сочетаний из т элементов по п элементов обозначается
символом Ст. При выводе формулы для Ст следует считать, что
натуральное число т больше натурального числа п.
Известно, что число перестановок из т элементов равно т\.
Предположим, что из данного множества составлены все подмно-
жества по п элементов, число которых равно С'Д. Возьмем одно
такое подмножество, содержащее п элементов; тогда из остав-
шихся элементов данного множества выделится его подмножество,
содержащее т — п элементов. Сделаем все возможные перестановки
как в одном, так и в другом подмножестве. Число этих переста-
новок соответственно равно п\ и (пг — п)\. С помощью этих пере-
становок образуем перестановки, состоящие из т элементов, при-
чем такие, что первые п мест занимают перестановки первого
типа, а последние т — п мест —перестановки второго типа. Число
таких m-элементных перестановок равно п\(т — п)\, а всего таких
перестановок можно получить в Ст раз больше, т. е. п\ (т-nV. Ст
перестановок. Ясно, что таким способом получены все возможные
перестановки из т элементов (их число равно ml). Имеем равен-
ство
п\ (т — п)\ Ст — т\,
откуда
Используя эту формулу, решим задачу 2 (п. 1). Заметим, что
каждый способ выбора трех делегатов из 30 человек представ-
253
ляет собой сочетание из 30 элементов по три; число
собов равно
_ 301 __ 30! __ 28 • 29.30
Сзо“ 31 (30-3)1 31271“’ ’ ° ° — 4U0U.
таких спо-
1-2-3
Рассмотрим свойства сочетаний.
Свойство 1. Имеет место соотношение
Спт^С^ (2)
Доказательство. Вычислим С"", заменяя п в формуле
(1) па т — п:
^п-п _________т\________tn\
tn “ (т — п)\ [т — (т — п)]1 ““ (tn — п)\ п\ *
Легко видеть, что
Сп г<т — п
т — 9
т. е. равенство (3) справедливо.
Свойство 2. Справедлива формула
Ст — 1 + Ст _\ = Ст» (3)
Доказательство. Вычислим сумму C^_i
гп ( __ (т — 1)! , (т—1)!
/п“] + п\ (т-\-п)\ + (п-\)\(т-п)\ ““
______(/и —1)1__/1 , 1 \ _ (т—1)! т
(п— 1)! (т — п — 1)1 \ п т — п) ~ (п — 1)! (т — п — 1)! п (т — п)
= — Гп
п\(т — п)\
Итак, Cm-i + СЦ^\ =Cmf что и требовалось доказать.
Представим выражение для Ст в другом виде:
т п\ (m — ri)\ п\ 1 • 2 • 3... (т — п)
__ 1 2> 3... (/п —и) (т — п-\-\)(т — п~\-2)...т
п\ 1 • 2 • 3... (т — п)
После сокращения дроби имеем
л _ (т — п~\-1) (т — и+ 2)... т
или
Например,
,п _ т(т—1) (т — 2)... (т — п+\)
т~ 1-2.3...П
Г27 30-29.28
46 = 4о = -р, 9.3- = 40о0.
(4)
Примечание. Формула (1) теряет смысл при п — т и при n — tn— 1.
Действительно, при п = т она принимает вид
Ст = т[ сп — ml______L
/71цт_/п)1 61 ’
254
Символ 0! нельзя осмыслить по определению т\ = 1 • 2 • 3 ... tn, так как это
определение имеет смысл при т^2. Значит, символ О' требует особого опре-
деления. Поскольку С^ = 1, то целесообразно считать, что 0! = 1. При п = т — 1
формула (1) принимает вид
rn-i т\ __ m
m (m-l).’l! 1Г
По формуле (2), С™ 1=С{гп — т, поэтому m = tn/\\.
Символ 11, так же как и 01, требует особого определения. Последнее
равенство показывает, что целесообразно считать I! равным 1, т. е. 11 = 1.
После введения определений 01=1 и 11 = 1 формула (1) имеет смысл при
п — т и п=т— 1. Формула (2) теряет смысл при n = tn, так как в этом слу-
чае С^ = С^. Символ С™ означает число сочетаний из т элементов по т (оно
fit ''I
равно 1). Определим символ Ст. Целесообразно считать, что Ст=1. Теперь
формула (2) имеет смысл при n = m и даже при п = 0. Заметим, что равенство
Ст = 1 можно истолковать так: число пустых подмножеств т-элементпого
множества равно 1.
4. Размещения. Определение. Пусть из множества, содер-
жащего т элементов, составлены все сочетания по п элементов.
Если в каждом сочетании произвести все перестановки, то все
множество образовавшихся комбинаций называется размещениями
из т элементов по п. Число размещений из т элементов по п
обозначается символом Ат.
Из определения следует, что число размещений из т элемен-
тов по п больше соответствующего числа сочетаний в п\ раз.
Таким образом,
АПт = С^п\.
Так как Спт = то
Л'” — т‘— (1)
Лт ~ (zn-n)l’ 1 ’
или после сокращения
Am — tn(jn— 1) (tn —2)...(т — п + 1). (2)
Рассмотрим частный случай формулы (2), когда п = т. Имеем
Ат = т(т— 1) (т —2) ...(m —m-p 1).
Замечая, что т — = получим
Ат = 1 • 2 • 3... т — ml = Рт.
Следовательно, число размещений из т элементов по т равно
числу перестановок из т элементов, т. е. перестановки есть раз-
мещения из т элементов по т.
Теперь решим задачу 3 (п. 1). Множество всех комбинаций,
которые возможны при выборе трех лиц из 30 человек на три
различные должности, являются размещениями из 30 элементов
по три:
Лз0 = 30 • 29 • 28 = 24360.
255
Упражнения
1.
выражения:
» ' /11
Z120
а) Р;„_2 = Д1; б) Д^^Д^-Ы^}
3. Найти ОДЗ переменной:
а)/(х) = А?_7; б)/(х) = /\_5; B)f(x)=C^'5.
4. Решить уравнение относительно х:
а)
2.
Вычислить следующие
Р 20 .
Доказать
Д7 рп
б)
С* А'2
1в
тождества:
а) - f*"5------= 240;
A'l “И Зр
З х-п
•х-Ь 1 гх _А*рСп
Л + 4 *+3~ 48п ’
5. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 25, можно
составить с помощью цифр 2, 3, 4, 5, 6 и 7, чтобы одна и та же цифра
не повторялась?
6 Сколько различных парных сумм можно составить из чисел 60, 25, 38.
22, 30 и 21?
7. Сколькими способами можно из 52 карт извлечь шесть карт, среди
которых три и только три короля?
8. Построить график следующих функций:
а) У=С\\ б) у=С?.
§ 2. Биномиальная формула Ньютона
1. Вывод биномиальной формулы и ее свойства. В § I гл. II
при изучении формул сокращенного умножения были рассмотрены
правила возведения двучлена в степень с натуральным показа-
телем и приведены формулы для (%4-й)т при т—\, 2, 3, ....
Теперь выведем общую формулу для (х-\-а)т, используя метод
математической индукции и некоторые формулы комбинаторики.
Имеем:
(х-\-а)1 = х-\-а,
(х + а)2 == х2 + 2ах + л2,
(х + а)3 = х3 + Зях2 + За2х + л3.
Перепишем эти формулы, учитывая, что С/= С}=1; С| = С^1;
Ci = 2; Сз = Сз=1; Сз = Сз = 3. Получаем
(х + я)1 = CJx + CJa,
(х + о,)2 = С?х2 4- С\их С|й2,
(X + а)3 = Qx3 + С^ах2 + С|а2х+С^а3.
Допустим теперь, что для (х + «)/г справедливо соотношение
(x + af = C^ + cW-1+C^2xft_2+ ... +Ckk-'ak~lx + Clak. (1)
Покажем, что формула для (х + а)*4’1 подчиняется этому же закону.
25G
Умножая па х-\-а обе части равенства (I), получаем
(х + а)к +1 = СУ +1 + C[axk + Cla2xk ~1 + ... + СкГ' a ~lx2 +
+ Скакх + daxk + Cl а2хк “1 + • . • + Ckk~2ak~lx2 +
+ С* хакх-[- Скак + 1,
ИЛИ
(xW + 1=C^ft + 4(Cl + CH^4(Cl + C0aV-, + ... +
+ (dr1 + СГ2) ак-1х2 + (Скк + Ck~') акх + С^ +'.
Принимая во внимание, что Ск = Ск+1 и С£ = С*1’, и исполь-
зуя формулу Cm-14-CX-’i =Спт, имеем
(x+a)ft+,=C?+1/+’ + cUi^ + Ci+ia2xfe_4 ... +
+ Ckk + \а~ хх2 + d + ^х + Ckk ф \ак +1,
т. е. формула для (х + а)м подчиняется тому же закону, что и
формула для (x4-6z)fe. В силу основного принципа математической
индукции закономерность, определяемая формулой (1), верна для
любого натурального показателя т:
/ 1 ~\fn К'10 ./П I Л11 1 I Г*2 z>2om”“2 I I
(х-|-п) — Стх + Стах -7-СтС1 х j •.. “г
+ Ст а х+Ста .
Коэффициенты On, С1т, С2т,... называются биномиальными
коэффициентами, а правая часть последней формулы — разложе-
нием бинома.
Биномиальные коэффициенты двух членов, равноотстоящих
от начала и конца разложения, равны между собой, т. е.
С nt _____ I
— С щ — 1,
C'n ~ 1 — Г1 —
т — — iih
rm — 2 1)
^•пг — | 2 »
,tn^k Ш(П1— 1)(/н — 2)... (/п —/еН-1)
tn — ^т. — 1.9.^ ь
Общий член разложения бинома (х4-а)т обозначается симво-
лом ТЛ+1, где й = 0, 1, 2, 3,..., т. При 6 = 0 получаем Т/г.1 =
= 7\ —первый член разложения, при k — m имеем Tk^ = Tmvl^
последний член разложения.
Общий член разложения определяется формулой
—k
-< k 4-1 — X
257
При k = 0, 1, 2,..,, т—1, т соответственно получаем:
Т^Сйтайх'п-° = хт,
Т7 = С}пах'п~х = тахт~\
т im-i т(т—\) 2 т-1
Т3 = Стах = -У т,--а2х 2
1-2
Т _ pn-lm—lm-m+l _ т-\
1 tn — « л — пШ X,
T _ rm nrn v'?l “ m r,m
•* tn -f- I — ^rnU — Cl .
Теперь формулу для (x-\-a)m можно записать в виде
(х + а)т = хт + max'"-1 + т{,п 1} а2хт~2 + ... +
1 *
. т (tn — 1){т — 2)... (т — £-Р1) , , .
+--------- 1.2-З.Л--------~ ах + • • • + та^х + ат. (2)
Это равенство и называется биномиальной формулой Ньютона.
В заключение отметим некоторые свойства разложения бинома
(х + а)т.
1) Заменяя в формуле (1) а на —а, получим
(х - а)т = хт- tnax”1-1 + "1("‘2 ° a2x"’-2 - ...
... + (-!)* »<т-1)у-2>...(,-»+1) + ...+(_!}V.
(3)
2) Полагая в формуле (1) х = а=1, имеем
। т(т — I) . , т(т— 1) (tn — 2)...(tn — /?+1)
т “ ~ Г-2“" + ‘ +----------------1*2-3...£-----------
+ ... + т -р 1,
т. е. сумма всех биномиальных коэффициентов разложения (x+#)OT
равна 2^.
3) Используя формулу общего члена, запишем выражение для
т т (т - 1) (т - 2)... (т - £ -[- 1) - /г _ tim-ii
1 Л т 1 1 • 2 • 3 .. £ u Л — mU X ,
т _ m(zn—1)(« —2).,.(m —fe+l)(m —/г) л/г+1..ст-*+1
I k 2 — о—ъ---/_ /।—г;-------ах —
1 -2-3...£(£-|-1)
rk т — k &-н 1
- _|_ । а х
Таким образом, для нахождения биномиального коэффициента
следующего члена разложения надо коэффициент данного члена
умножить на показатель переменной х в этом члене и разделить
на число членов, предшествующих определяемому.
253
Упражнения
1. Написать разложение биномов:
(±уг+ «Г. б|
\а2 у а / ’
/ 1 —\rt
2. Написать четвертый член разложения, г2 -|-у г ) , если сумма всех
биномиальных коэффициентов этого разложения равна 2048.
3. Найти х, если пятый член разложения бинома /—\ ра-
\ К*2 J
вен 1 260 000.
4. Найти рациональный член в разложении бинома
Ответы
Глава I
§ 1
1. 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47. 3. а) 72; б) 36. 4. а) 700; б) 252; в) 1260. 5. 21.
§ 2
1. а) 1; б) 17. 2. а) 55; б) 35. 4. —1. 5. —1.
§ 3
25
1. а) 2-=-; б) 300. 2. -0,5. 3. а), г), д), е), ж). 4. а) 0,625; б) 0,2(6);
<4—, /
.) О, <«); г) 0.1125; д) 1.08 (3,. 5. а) 1; 6) g; ,) ! §; г) 2^; д) 15^?.
6. 540; 57G и 640. 7. [а (т — п)]/[2 (т+л)]. 8. 5 кг. 9. На 28%. 10. На 33-^-%.
11. На 700%.
§ 4
3. в); г); д). 4. л < /10. 5. а) 3,65 и 3,66; б) 0,82 и 0,83; в) 3,16 и 3,17;
г) 1,58 и 1,59. 6. а) всегда; б) только из неотрицательного числа.
§ 5
1. а) 71,548; б) 283,548; в) 0,005. 2. а) 537,3; б) 0,006483; в) 56730;
г) 321700. 3. а) 2,37- 101 * * * 5 * 7; б) 1,24* 10; в) 2,4* 10“4. 4. Абсолютные погрешности
равны: а) 0,5; б) 0,05; в) 0,005; г) 0,0005; относительная погрешность одна
и та ясе 0,12%. 5. 500 и 4%. 6. 500 и 0,4%. 7. .ч = 2; 3;. 4; 1; Ъ = 18; 124;
4,872; 0,9. 8. а) 6 (х)=26 (а)4-6 (5) + ± 6 (с); б) 6 (х)<2б(а)+б ((>), если
6 (а) 6 (Ь), и 6 (х) 6 (а) -|-26 (/;), если 6(d) ^6 (а). 9. а) 3,808; б) 3,858;
в) 1,115; г) 0,617; д) 7,746. 10. 0,42 </V < 0,44. 11. 4,3 ± 0,05. 12. 9300 ± 205.
13. С точностью до 0,25 см. 14. С точностью до 1/2а. 15. С точностью до 0,2 см.
§6
1. а); б); в; г) /V; д) Q. 3. a) yV0; б) Z. 4. Z. 5. 2^+1 и 5 + J2. 6. Q.
7. Иррациональных чисел. 8. R. 9. а) Л-; б) Z; в) иррациональных чисел;
г) мнимых чисел. 10. К. 11. а) и б) — нет. 12. Первое несправедливо; обрат-
ное справедливо. 13. Нет. 14. Да. 15. Нет. 16. Да. 17. Для множества поло-
жительных чисел. 18. а) 6; б) —8. 19. а) —6, 8, —3Z/4, —2 — i, 2 — i; б) 1/6,
— 1/8, —4//3, 0,4 —0,2/, —0,4—0,2/. 20. 1. 21. 5-i, j+5f, 12 — 5/, i. 22. 0,4.
23. 1. 24. —9 + <(1-/3). 25. —2+10/. 26. a) ± (/2/2-V 2//2); 6) ± (1+0;
в) ± (1/2 —i J/3/2). 27. Bee 9 точек расположатся па прямой с постоянной
абсциссой, равной 2, т. е. на прямой х = 2. 28. Прямую х =—2, 29. Прямую
с постоянной ординатой у = 2. 30. Прямую f/ =—2. 32. а) Окружность единич-
ного радиуса с центром в начале координат; в) круг единичного радиуса
с центром в начале координат; г) внутренняя часть круга, указанного в п. в);
260
д) координатная плоскость, из которой вырезан круг, радиус которого равен 2,
с центром в начале координат; е) круг радиуса r = 1 с центром в начале
координат, причем из этого круга удален центр (круг проколот). 33. Да,
справедливо. 34. 4. 35. (—2/3, —28/9) 36. 0. 37. 1. 38. /29. 39. 2 и —5/2.
40. —2. 41. 4х24~1=0. 42. —2. 43. ±2. 44. а) 1; б) 8/3//7. 47. 2. 48. 0-
49. 1/2, —8/9. 50. —1; 1/3.
Глава II
I.f(0) = —1,5; f (1) = 0,7; f (0,5)=—0,275; f 3) = — 56,1. 2. a) f (-2, 1) =
==19; 6) f(0, —1)=—5; в) f (2, 0) = 8. 3. F (a-l) = 4a2 — 13a+ 17. 4. a) x2—
— 2x - 5; 6) a2 - 2ab + 3/A 6. a) (x2 +1) (x2 + /3x_+ 1) (x2 - /3xJ- 1); б) (x - a) X
X(x + a) (x2+ ax-[-a2) (x2 —nx4-a2); в) (x24-/2x4-1) (x2 —/2x4-1); г) (a24~
4-«4-1) (a2-a4-l); д) (x-l)(x4-2) (x-3); e) (x24-x+1)(x3-x+1). 7. а) (х-Ь
4-2)2 + 9; 6) (x-5)24-3; в) (x-3)2-16; г) 49-(x-6)2; д) (x-4)2-7;
e) 36 —(x —5)2. 8. При x = — 1 функция f (x) имеет наименьшее значение,
равное двум. 9. При х= 1/2 функция f (х) имеет наибольшее значение, равное
21/4. 10. а) х8 4- Зх7а+28x6a2 + 56х5а3 4~ 70х4о4 4- 56х3а5 4- 28x2ac -|- 8ха7 4- а8;
в) 128х7 4- 448х« 4- 672х* 4- ббОх4 4- 280х3 + 84х2 4-14х 4-1. 11. а) —8 - 3/; б) —8 4-
+ 3/. 13. а) 38— 16/; б) 384-16/. 15.
X (—00. —2) (-2, 0) (0. 2) (2, 4-
fix'! —— 4“ — 4-
16. / (1, —2) = 0.
§2
1- Н0) = з1 f(D = 3, Ц4)=18, f(-3)=5/3. 2. f(0)=0, f(l)=0 и
О
f (—2) = 0. 3. а) при х= 1; б) при х = 5 и в) при х = 2 и х =— 5. 4. а) х > 0;
б) х Ф 0; в) х > 7; г) | х | > 2; д) х > 3. 5. Указание. В каждом квадрат-
ном трехчлене выделить полный квадрат. 6. а) х = 0; б) х = —2; в) х=1/2.
7. а) 1/[х(х4-1)1; б) l/[a(a4-2)J; в) — х/(«4-п4-1). 8. a) x3/(a4W;
б) (x2(a4-6x))/(c4-dx); в) x3/[(a2-62x2)m]; г) (a4-x-2)/[2 (а4-х)]. 9. 0.
Ю. а) 4/(х-1)4-5/(х-4)-7Дх + 3); б) -3/2х4-5/[3 (х-1)] - 1/[6 (x-f-2)J;
в) 5/[2(х4-4)]-3/[2(х + 2)]; г) 1/6x4- 1/[2(х-2)]4-1/[3(х4-3)]; д) 2/(х4-3) +
4- 1/(х — 2).
§3
1. а) х$г.3; б) х> 1; в) 2^х^3; г) функция не существует ни при каком
значении х. 2. а) 3/2; б) 7. 3. а) (2х —5)/(х —5); б) (5 —2х)/(х —5). 4. а) и б)
при х^0. 5. а) //10-3; б) /х-2. 6. а) (4-/5) -/З; б) (/2-1)/7.
7. а) V 22 (5- /3); б)-/4 (3—/5). 8. ls£as£2. 9. f(a) = |a-3| + ! 1-п|;
f(6) = 8;_f(l) = 2; /0) = 4 и f(~2) = (/_ 10. а) /7+И/х+у- V Х-у)‘,
б) (/x-J-j/y) (х —/ху+у); В) /хуг(/х+/у+/г) (/х—/у—/ г).
11. а) х+\^х_+1; б) у/\а — Ь)г/_т; в)_ (у—/х)/(х + /у). 12. а) (/х-|-/у)/х;
6) (/х2+/ху+/уг)/х; в) [(/х—/у) (х — /ху+у)]/(х—у)_13. а)_(х—у)/[(х +
+ у)(/х2+/ху+/уг)]; б) (х-у)/[ху(/хЗ-/х2у+/ху2-/у»)]; В) (X-
—У)' ["т ху ( /хот-1 +')/' х"‘~2у + VхП!-3у24-... +/у"1-1)]• 14. а) 1/(х/а+Ух)’,
б) /а; в) /У; г) 2/в', д) 2///П —2.
261
§4
1. a) 1; б) 0; г) 1/8; д) -1/8; ж) 8; з) +3; к) /з/2; в), е), и), л), м)
не существуют. 3. а) 29, 2~3; в) 2—5; г) 210; д) 287'3; е) 2~3/5; ж) 2— *.
4. а) 23 - 10~4; б) 7- 10~7; в) 405. 10-7. 5. а) 45'”; б) (2-7>'6)m; в) (4//2)'”.
6. 2/3—х1 2. 7. /х—а. 8. /&—/а.
Глава III
§ 1 и 2
в) 0^г/^2. 4. Графиком каждой из этих функций является парабола с вер-
шиной в точке: а) (0; 1); б) (0; —1); в) (0 ------ - -
ж) (2; —2); з) (-2; 2); и) (1; 8/3); к) (3; •
/п m X Z А Л - Г о " — "“2); Г) (°; 2); Д) <-2; °); е) <2; °);
(2; -2); з) (-2; 2); и) (1; 8/3); к) (3; -1).
Глава IV
§ 1
1. а) х =/= ± 2 или — со < х < — 2, —2 < х < 2 и 2 < х <-|-со; б) х >= 2,
2. а) х ± 1; б) х^5; в) вся числовая ось 3. а), г) и д) —равносильны;
б), в) и е) —не равносильны. 4. а) с = 0; б) с = —12. 5. х —любое число
6- fi («) + /2 (a) = 5f3 («).
§2
1. а) х3 — 5х2 — х + 5 = 0;
2. а) х44-х3 — х2-|-х — 2 = 0; б)
б) х3—-9х = 0; в) х3-Зх-}-2 = 0;
х4-4хз_5х2+36х-36 = 0
г) х3 = 0.
§3
1. a) x = (m2+5m)/5, где tn —любое число; б) х= (V7n—13т)/25, где
zh^O; в) х= (/zzi —2—12т)/5, где т^2. 2. При д#=4 уравнение имеет
единственное решение, при а = 4 и 6у= —16 уравнение корней не имеет, при
а = 4 и Ь = — 16 оно удовлетворяется любым значением х. 3. При —3—
единственное решение, при а = — 3 любое число является корнем уравнения.
4. 10тп/(п — т), где zi>z?z>0. 5. ас/(8—а), где 0<а<8 и с>0 или
8с/(а —8), если а>8 и с>0.
§4
1. При д= 2 и а — — 1. 2. При а 2 и а =?^ — 1/2. 3. а) если 2а + р =/= 0;
б) если 5а + ₽ = 0; ау=0; в) если За — 5р = 0, а#=0. 4. а) За + 5р=#0и
а-}-5₽ = 0; б) За4-5(Зу=0 и 2а + р = 0. 6. 9х2—12х + 4 = 0. 9. а=16. 10. а) Оба
отрицательные: 6) оба положительные; в) корни разных знаков, положитель-
ный корень имеет большой модуль; г) корни разных знаков, отрицательный
корень имеет большой модуль. 11. а) (х+1)(*—1); б) (x-|-i) (х — i); в) (х 4-
+ /з)(х —/3); г) (х + г/з) (х—г/з); д) (х-|-1)(х — 6); е) (х— l)(x-f-6);
ж) (х—4)(3— х); з) (х-|-5)(2х—1); и) (х+5)(1—2х); к) (х — а+ 1) (x+2a-j-3).
12. а) х2 —25=0; б) х2—4х = 0; в) х2 + 4=0; г) х2—10х-|-41 =0. 13. а) х2 —
— 4х-1=0; б) х2-3=0; в) х2-8х+1=0. 14. а) х2-3х +11-3i = 0;
б) х2—(7-|-б/) х-|-50 = 0. 15. 40 дней. 16. 10 и 8 км/ч.
262
§ 5
1. а) _ |/‘7; 6) xlt2 = 0; в) —1; —1; 2. 2. a) 1; 2; —3; 6) —3; 1/2 ± i /3/2;
в) *1,2,3 = °. *4,г, = — 1/2 ± i /23/2. 3. аох«+а1х5 4-агх4 + a3*s = 0, гдеа0 0.
4. n = 4. 5. a ± /б/З и ± i /3/2; б) х = /3/2г, где z находится из уравнения
г°+ 1 =0; в) rt (/3/2+ 0,5/); f) 2; 1/2; (—3 + /б)/2; д) (3 + /б)/2 и 2 ± /з?
6. а) 5 и —1/2 ± I /3/2; б) —6 и —1 ± //2; в)_ 1; —2; 3; —4; г) 2^—3;
(3 ± /5)/2. 7. а) ± 1;—4; —6; 6)1;— 2;—1/2 ± / /19/2; в) 3; —1; (11 ±/55)/11,
§ 6
3. а) —1/4; б) нет корней; в) 4; г) 0 и —3; д) 0; —4. 4. а) 1; б) нет кор-
ней; в) нет корней; г) —3/4; д) 2 КЗ. 5. а) 5/4; б) 7; в) нет корней; г) 55/9;
д) нет корней; с) —1/11. б. а) 5/3; б) 81; в) 25/16; г) 0 и 2; д) — 2; е) 0 и
—5; ж) ± 4; з) 0.
Глава V
1. а) а=/=1 или Ь=#2; б) а=#3 или b У= 0; в) —2 или Ь=£ — 3.
2. а) 4? < 84; б) 91 > 27*; в) /4 > /5.
§ 2
1. а) х > 1/3; б) х> —1; в) х>—18,5; г) х > 0. 2. а) х < 1/2 при
т > — 1; х> 1/2 при т <— 1; нет решений при т = — 1; б) х < (2m — l)/(m + 1)
при m>—1; х > (2/п—l)/(m+1) при m<—1; нет решений при /п = —1;
в) х>4/(2 — а) при а <2; х<4/(2 — а) при а > 2; нет решений при а = 2.
3. а) х > 2; б) 2<х<6; в) нет решений; г) х> —2. 4. а) а > 3/2 и а < 2/3;
б) 8/3 <а <5; в) —7/2 < а < 2/3. 5. а) а <2/7 и а > 8/3; б) —1,6<а<7/3;
в) а >7/3 и а < 2/5. 6. а) 2/7 <х < 1; б) х> —1; в) х > 2/5; х<—2,5.
§ 3
1. а) х <0 и х> 4; б) х>0 и х < — 4; в) |х | > 2 или х < —2 и х > 2
г) х—любое число; д) — }/*3 < х < 1^3; е) х < —3/2 и х > 3/2; ж) 0 < х < 9;
з) х —любое число. 2. а) х< —3 и х> 1; б) —2<х<3; в) х —любое число;
г) пет решений; д) х —любое число, отличное от 3; е) нет решений; ж) нет
решений; з) х > 2 и х < — 1
1. а) х< — 1/2 и 5/3 <х <4; б) х< —2; — 3/2 < х < 0; 3/2 <х < 2;
в) х < — 2/3; 0 < х < 1/2. 2. а) —3 < х < 0,4; б) х > 3; — 1 < х < 2; — со <
<х< —4; в) х^З; —1^х^2; — оэ<х^ —4; г) нет решений; д)х< —2
и х>1; е) —3/2 < х < 3/2; ж) — 6<х< —2; —2<х<7. 3. х< —2 и
х > 3,2. 4. а) т > 5/6; б) т < 1/2$ 5. а) 0 < т < 4/9; б) —3/2 < т < 0;
т1. 6. 7^х <9.
§5
1. а) —5/3 <х < 1; б) —1<х<2; в) — 0,8 <х <2; г) нет решений;
д) —1 <х<2, 2. а) х>2 и х < — 3; б) х>2 и х < —0,4; в) х>4 и х<—1;
г) х> 11/4; х < — 5/4.
263
§ 6
1. 2<х <3. 2. 1/2-gx <1. 3. х> 1. 4. — 1 <х<0. 5. х> 0. 6. х > 4.
7. х^2. 8. —2,5<х<2.
Глава VI
§2
1. х = тг+\ и у = —т при т-=£ ± 1; x = t и y—\—t при т=1; х = / и
У = t — 1 при т = — 1, где Z — любое число. 2. 10</г<12. 3. х = а и у=\>
если а Ф 0; если а=0, то решений нет 4. (3; 2; 1). 5. (24; 66; 88). 6. х =
— (6—2/)/5, {/ = (4 —3/)/5, г = /, где / — любое число. 7. х = 7/; г/ = 3/ и z —4/,
где / — любое число. 8. (2; 5; 7; 3). 9. (1,5; 5,5) и (0,5; 5,5). 10. (bm — k)/(b — а)
и (/e — am)/(b — а), где т>0 и 1) 6>а>0 и btn> k> ат или 2) а>Ь>0
и ат > k > bm.
§3
ч -13-1
31-----10
. 5. (0; 0), (4; 2) и (-2;
1. (4; 2) и (3; 1). 2. (б£ 2) и (-2; —5). 3. (2; 3), (0; 1) и (3/2; 1). 4. (3; 2),
(3; -1)
—4). 6. (1; —1), (—1; 1), (3//41; 5//41) и (—3/41, — 5/ST). 7. (1; 0), (2; 0),
(1; —1) и (1/2; 1). 8. (5; 1) и (-!!;_ —Н/5). 9. (1; 4) и (4; 1). 10. (2; 1),
(-3; 6), Г 3 (5-/17); 4 (/17-3)”
ГЗ
3
|(5 + Г17); -1(з+/17) .
11. (4; 8) и (8; 4). 12. (±2; 1), (1; ±2), (0; -3), (-3; 0) и
1 _ . /15
2 + ‘“2“
и
2
2
. /15
2~2
. 13. 452. 14. 14 и 8 см.
Глава VII
§ 1
1. 320. 2. 9; 11; 13. 3. 9; 11; 13 и 15. 4. S10 = 6138. 5. 10; 20; 40. 6. а, = 5
и d=8. 7. 129 и —69. 8. 10 и 2. 9. (2*+ 1) и (—1)*+1 ~ +nfe, где k —любое
целое число. 10. 0,15п(79 — п). 11. п —3,5. 12. 36 669. 13. 93(1 ±/2).
14. л/4 + лЛ и —л/12 + л/г. 15. 2«Зл~г.
§ 2
1. 1/(х-|-1). 2. — 1 <х < 1. 3. а) —4/3; б) 1; в) 1.
Глава V111
§ 1 и 2
1. а) ху=1; б) х^7; в) — оо <х <-|-со. 2. а), б) и е)—больше единицы;
в); г) и д) — меньше единицы. 3. в) (/2)1 2’3 > (1//2)2,3. 4. а) —1 и 3; 6) 2
и —4; в) —2; г) 6. 5, а) х —любое действительное число; б) —2<х<5;
в) —3 < х < 3; г) х < —2 и х > 10.
§3
1. а) 9; 6) 1/2916; в) 3/5; г) 9; д) 3200/27. 2. а) х>—3; б) 2,5<х<3 и
3 <х <-{-со; в) 2 < х < 3 и 3 <х <4-со; г) 0 <х < 1 и 1 <х <6. 3. а),
б) и г) — больше нуля; в) меньше нуля; д) меньше нуля при х> 1 и больше
нуля при 0 < х < 1,
264
§ 4
1. a) —23; б) 3; в) 7 и 15; г) 7. 2. а) х> 15; б) —1<х<—15/16;
в) х> 12.
§ 5
1. а) 1/6; б) 2; в) 0,54. 2. a) log
п в3> + *)9/2°
б) 10g c3/2 (a_fc)3/462/3 •
т ; б) log[(m + n) У т — п]. 3. a; l/pq;
§ 6
1. —0,2159. 2. 0,5634. 3. а) 6811; б) 0.
§ 7
1. 1/2. 2. а) 4р; б) 2р; в) 4р/3. 3. 2а. 4. 2а/(1-а). 5. (а+6)/2.
§ 8
1. 3. 2. 4. 3. lg 0,32/lg 5. 4. 5. 5. —2. 6. 2. 7. ± 1. 8. 2 и 4. 9. г—4—т
lOgfc — *
О
и ---------т. 10. 2. 11. 9 и —1. 12. —3 и —2. 13. 2 и 1. 14. 2. 15. 2. 16. 100
log2 3— 1
и 10—20/9. 17. 5. 18. 16. 19. 9у. 20. 1; 1/2 и 16. 21. ± 2 22. 104 и /Тб.
23. 2. 24. 1; 0,1 и 0,01. 25. 102, 3 и 2+ 10~Л 26. (1; 9) и (4; 1). 27. (7; 5).
28. 0<х <0,5 и х>3. 29. х<-1; 3+/15<х <7. 30. х < 2. 31. 6/5 <
<х 4/3. 32. х < — 4 и х>2. 33. х>2 и 1,5 <х <2.
Глава IX
§ 1
1. а) 4845; б) 25920; в) 256. 3. а) х —натуральное число, не меньшее 10; б)
х —натуральное число, не меньшее 5; в) х — натуральное число, не меньшее 15.
4. а) И; б) 3. 5. 48. 6. 15. 7. 69184. 8. Графики функций состоят из отдель-
ных точек
а)
X 0 1 2 3 4 5
У 1 5 10 10 5 1
б)
X 0 1 2 3 4 5 6
У 1 6 15 20 15 6 1
5 2
1. Средний член разложения 20/а/а3; б) средние члены разложения
10 (х-1) и 10 (1-х) /х-1. 2. 165г14. 3. 100 и 0,1. 4. 6С^.
265
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель 141
Абсолютная величина 19, 41
— погрешность 45
----- корня 50
-----произведения 48, 49
----- разности 48
----- степени 50
-----суммы 47, 48
----- частного 49
Абсцисса 62
Аксиома 9
Алгебраическая сумма 22
Алгебраическое уравнение 122—124,
191
Аналитический способ задания функ-
ции 96, 97
Аргумент 96
Арифметика 11
Арифметическая прогрессия 203
-----, свойства 203, 204
Арифметический корень 86
-----, свойства 86—89
Асимптота 107
Безу 75
Безу теорема 75
Бесконечная десятичная дробь 31
-------- непериодическая 36
-------- периодическая 31
-----------смешанная 31
----------- чистая 31
Бесконечно большая величина 212
— малая величина 213
Бесконечное множество 6
Биквадратное уравнение 134
Биномиальная формула 258
Бинома разложение 257, 258
Биномиальные коэффициенты 257, 258
Брадиса правила 51, 52
Бригг 235
Взаимно обратные функции 228
— однозначное соответствие 8, 38
— простые числа 16
Вектор 63
Верные цифры 46
Верхняя граница абсолютной погреш-
ности 45
----- числа 43, 44
266
Вершина параболы 104
Вещественная часть комплексного чис-
ла 55
Виет 128
Виета теорема 128, 129
Возведение в степень 12, 21
-------- комплексного числа 58
--------обеих частей уравнения 142,
143
-------- одночлена 70
Возрастающая последовательность 211
— прогрессия 203, 206
— функция 98
Выделение полного квадрата 79, 80
Вынесение общего множителя за скоб-
ки 77
Вычитаемое 12
Вычитание действительных чисел 39,
40
— комплексных чисел 58, 59
— многочленов 69
— натуральных чисел 12
— рациональных чисел 27, 28
— целых чисел 21, 22
Галуа 141
Гаусс 123
Гаусса теорема 123
Геометрическая прогрессия 205
-----, свойства 206
Гипербола 106
Горнера схема 139, 140
График функции 97, 98
-----, общая схема построения 113,
114
-----, примеры построения 108—116
См. также по названиям функций
Графическое решение системы двух
линейных уравнений с двумя пере-
менными 181, 182
Группировка 78
Двукратный корень 133
Двучленное уравнение 135, 136
Действительная ось 63
Действительные числа 38
-----, геометрическое изображение 38
-----, действия 38—41
-----, модуль 41, 42
— —, сравнение 38
Деление действительных чисел 40
— комплексных чисел 59, 60
— многочленов и одночленов 72—74
— натуральных чисел 13
— рациональных чисел 28, 29
— целых чисел 22, 23
Делимое 13
Делимость двучлена хт ± ат па дву-
член xzb а 76, 77
Делитель 13
Десятичная дробь 30
Десятичные логарифмы 235
•----, вычисления с помощью таблиц
236, 237
-----, свойства 235, 236
— приближения иррационального чис-
ла 38
Дискриминант 127
Допустимые значения переменных 68
Достаточное условие 10
Дробное выражение 67
— уравнение 126
Дробь 24
Закон монотонности произведения 12,
21, 152
-----суммы 12, 152
— переместительный для сложения И,
20
--------умножения 12, 21
— распределительный для умножения
12, 21
— сочетательный для сложения 12, 20
--------умножения 12, 21
Замкнутый промежуток 95
Знаменатель 24
— геометрической прогрессии 205
Знак включения множеств gz, zd 6
— грубой оценки = 53
— деления без остатка • 76
— логического следования zz> 9
— логической равносильности о 10
— модуля | | 19
— объединения множеств U 7
— пересечения множеств П 7
— предела lim 210
— приближенного равенства as 37
— принадлежности элемента мно-
жеству е 6
— пустого множества 0 6
Значащие цифры 46
Извлечение корня 35
-----квадратного из комплексного
числа 60—62
Интервал 95
Иррациональные неравенства 173
-----, примеры решения 174—176
— уравнения 141 — 143
-----, примеры решения 143—148
г— числа 34—37
Квадрант 62
Квадратичная функция 102—105,
161-166
Квадратнее неравенство 161
-----, решение 164
— уравнение 127
-----, исследование корней 129
----- неполное 128
----- приведенное 128
-----доставление по его корням 130,131
Квадратный трехчлен 129, 130
Конечное множество 6
Комплексные числа 55
-----, геометрическое изображение 63
-----, действия 56—62
-----, модуль 56
-----, основные определения 55
-----, равенство 56
Координата точки 62
Координатная ось 62
— плоскость 62
Корень из комплексного числа 85
— многочлена 74
— функции 99
Крамер 183
Крамера формулы 183
Кратное 13
Кратный корень 133
Крылова принцип 46
Линейная система двух уравнений
с двумя переменными 180—187
-------------------, графическое
решение 181, 182
-------------------, исследование
184—186
-------------------у решение с по-
мощью определителей 182—184
-----трех уравнений с тремя пере-
менными 187—190
— функция 99—102, 165
Линейное неравенство 157
— уравнение с несколькими перемен-
ными 180
-------- одной переменной 124, 125
Логарифм 226
Логарифмирование 227
—, правила 231—234
Логарифмическая функция 227
-----, свойства 228
Логарифмическое неравенство 230,
248, 249
— уравнение 229, 230, 240, 241, 243—♦
246
Мантисса 235
Метод интервалов 167
— математической индукции 217
Мнимая единица 55
— ось 63
— часть комплексного числа 55
267
Мнимое число 55
Многочлен 67, 74
—, действия 69, 70, 72, 73
—, основные понятия 67
— , приведение к стандартному виду 69
— , разложение на множители 77—79
Множество 6
— действительных чисел 38
— комплексных чисел 56
— натуральных чисел 13
— , основные понятия 6—8
— рациональных чисел 29
— целых чисел 18
-----неотрицательных чисел 17
Множимое 11
Множитель 11
Модуль 19, 41
— комплексного числа 56
— перехода от одного основания ло-
гарифмов к другому 238
Монотонная последовательность 211
— функция 152
Наибольший общий делитель 16
Наименьшее общее кратное 16
Направленный отрезок 63
Натуральные логарифмы 238
— числа 11
-----, действия 11—13
-----, законы сложения и умножения
11, 12
-----, разложение на простые мно-
жители 15
Начало координат 62
Начальная ордината 100
Нелинейная система уравнений 192
--------, методы решения 193—201
Необходимое условие 10
Неограниченная последовательность
202
Неопределенная система 178, 182
Неопределяемое понятие 8
Неполная индукция 217
Неполные квадратные уравнения 128
Неравенства 150
—, доказательство 152—154
— квадратные 161, 164
— линейные 157
— логарифмические 230, 248, 249
— нестрогие 150
— одинакового смысла 150
— показательные 225, 247—249
— противоположного смысла 150
— равносильные 155, 156
—, решение с помощью метода интер-
валов 165—170
, содержащие знак модуля 171, 172
— строгие 150
— тождественные 152
— числовые 150—152
Несовместная система 179, 182
Несоизмеримые отрезки 37
Нечетная функция 98, 99
Нижняя граница числа 43, 44
Нуль 17
Ньютон 251
Ньютона биномиальная формула 258
Область изменения значений функции
97
— значений функции 96
— определения выражения 81
----- уравнения 117
-----функции 96
Обратные действия 13
Обращение периодической дроби в обы-
кновенную 31, 215, 216
Общий член последовательности 202
-----разложения бинома 257
Объединение множеств 7
Ограниченная последовательность 202,
211, 212
— функция 98
Однородное уравнение 192
Однородный многочлен 67
Одночлен 67
Одноэлементное множество 6
Округление с поправкой 43
Определенная система 181
Определитель 183
Определяемое понятие 8
Ордината 62
Основание степени 12
Основная теорема алгебры 123
Основное логарифмическое тождество
226
— свойство арифметического корня
86, 87
----- дроби 24, 81
Ось абсцисс 62
— ординат 62
Открытый промежуток 95
Относительная погрешность 45
-----, зависимость от количества вер-
ных цифр 47
----- корня 50
----- произведения 49
-----степени 50
----- суммы 48
----- частного 49
Отношение 31
Отрезок 95
Отрицательное направление 18
Парабола 102
Параметр 102
Паскаль 72
Паскаля треугольник 71, 72
Переменная 67
263
Пересечение множеств 7
Перестановки 252, 253
Период дроби 31
Погрешность, см. Абсолютная погреш-
ность, Относительная погреш-
ность г
Подмножество 6
Подобные одночлены 69
Подстановка 193
Показатель степени 12
Показательная функция 223
-----, свойства 223—225
Показательное неравенство 225, 247—•
249
— уравнение 225, 240—243
Полная индукция 217
Положительное направление 18
11оследовательность 202
— возрастающая 211
— неограниченная 202
— монотонная 211
— ограниченная 202
----- сверху 211
----- снизу 212
— , предел 218-
— рекуррентная 203
— убывающая 211
Посторонний корень 121
Потенцирование 233
Правильная дробь 83
Предел переменной 213
— последовательности 210
Представление рационального числа
в виде десятичной дроби 30, 31
Приближенное значение корня 35, 36
Приближенные вычисления 42—54
• , абсолютная и относительная по-
грешности 45, 46
•----, верные и значащие цифры ве-
личины 43, 44
-----, верхняя и нижняя границы
приближенного значения величины
43, 44
-----, округление 43
-----, погрешности результатов ариф-
метических действий 47—50
•----, правила подсчета цифр 51, 52
-----, прямая и обратная задача 52,
53
-----, стандартный вид приближен-
ного значения числа 46
Приведение дробей к общему знамена-
телю 25
— подобных членов 69
Признаки делимости 14, 15
Прогрессия арифметическая 203—205
— геометрическая 205—207
Проекции точки 62
Произведение 11, 20, 26, 39, 40, 57,
69, 70
Производная пропорция 32
Промежутки знакопостоянства 101,
165/ 166
— монотонности 103
Пропорция 32
Простое число 14
Противоположные комплексные числа
62
— числа 19
Процент 33
Прямоугольные координаты 62
Прямые действия 12
Пустое множество 6
Равенство действительных чисел 38
— дробей 24
— комплексных чисел 56
— множеств 6
Равносильные множества 8
— неравенства 155, 156
— системы уравнений 179
— уравнения 118
— утверждения 150
Равночисленные множества 8
Радиус-вектор 63
Разложение на множители квадратного
трехчлена 130
--------многочлена 77—79
-----простые множители натураль-
ного числа 15
Размещения 255
Разность 12, 21, 39, 58, 69
— арифметической прогрессии 203
Рациональное выражение 67
Рациональные числа 29
— —, геометрическое изображение 29
-----, действия 25—30
-----неотрицательные 24
-----отрицательные 29
-----, представление в виде десятич-
ной дроби 30, 31
Рекуррентная последовательность 203
— формула 202
Решение неравенства 153
— системы уравнений 178
— уравнения с несколькими перемен-
ными 177
Симметричное уравнение 137
Система двух линейных неравенств
с одной переменной 158—160
-----уравнений с двумя переменными
178—180, см. также Линейная
система, Нелинейная система
— показательных и логарифмических
уравнений 246, 247
Слагаемое 11
Сложение действительных чисел 38, 39
— комплексных чисел 56, 57
— многочленов 69
269
Сложение натуральных чисел 11
— рациональных чисел 25
— целых чисел 20
Совместная система 179
Соизмеримые отрезки 37
Сокращение дробей 24
Сомножитель 11
Сопряженные комплексные числа 57
Составное число 14
Сочетания 253
— , свойства 254, 255
Сравнение действительных чисел 38,
150
— дробей 25
— целых чисел 19
Среднее арифметическое 153
— геометрическое 153
Стандартная запись приближенного
значения числа 46
Степенная функция ПО
Степень натурального числа 12
— многочлена 67
— однородности 67
— одночлена 67
— с дробным показателем 91, 92
-----иррациональным показателем
221, 222
-----целым показателем 90, 91
— уравнения 123
— — с несколькими переменными 191
Сумма 11, 20, 25, 38, 39, 57, 69
— убывающей геометрической про-
грессии 214, 215
Теорема 9
— Безу 75
— Виета 128, 129
— Гаусса 123
— о тождественном равенстве двух
многочленов 83
----- целом корне алгебраического
уравнения с целыми коэффициент
тами 138, 139
Теоремы о знаке квадратичной функ-
ции 161—163
-----правилах логарифмирования 231,
232
----- пределах 213, 214
----- равносильности неравенств 156
-------- уравнений 119, 120
Тождества сокращенного умножения
70, 71
Тождественное преобразование 69
— равенство 69
-----двух многочленов 83
Тождество 69
Точка разрыва 107
Точность приближения 46
Треугольная система 188
Трехчленное уравнение 136, 137
Убывающая последовательность 211
— прогрессия 203, 206
— функция 98
Угловой коэффициент 100
Уменьшаемое 12
Умножение действительных чисел 39
— комплексных чисел 57, 58
— многочленов и одночленов 69, 70
— натуральных чисел 11
— рациональных чисел 26
— целых чисел 20
У порядоченная пара чисел 62
Упорядоченное л-элементное мно-
жество 252
Уравнение 117
— алгебраическое 122—124, 191
— биквадратное 134
— двучленное 135, 136
— дробное 126
— иррациональное 141—143
— квадратное 127—131
— линейное 124, 125, 180
— логарифмическое 229, 230, 240, 241,
243—246
—, основные понятия 117—122
— показательное 225, 240—243
— симметричное 137
— трехчленное 136, 137
Факториал 253
Формула Ньютона биномиальная 258
— общего члена арифметической про-
грессии 204
-------- геометрической прогрессии
206
— перехода от одного основания лога-
рифмов к другому 238
— суммы убывающей геометрической
прогрессии 214
-----членов арифметической прогрес-
сии 204, 205
-------- геометрической прогрессии
207
Формулы для абсолютной и относитель-
ной погрешностей 50
— корней квадратного уравнения 127,
128
— Крамера 183
— преобразования координат при па-
раллельном переносе осей 104
Функция 96
— вида у = klx 106, 107
— возрастающая 98
— квадратичная 102—105, 161 — 166
— линейная 99—102, 165
— логарифмическая 227—229
— нечетная 98
— ограниченная 98
— показательная 223—225
— 1 построение графиков 108—116
270
Функция степенная ПО — убывающая 98 — четная 98 Частное 13, 22, 28, 40, 59, 72, 73 Четная функция 98, 99 Числа, см. соотв. названия Числитель 24 Число корней алгебраического урав-
Характеристика 235 нения 122 Числовая ось 18 — последовательность, см. Последо- вательность
Целое выражение 67 Целые числа 18 , геометрическое изображение 18 , действия 19—23 неотрицательные 18 , модуль 19 отрицательные 18 противоположные 19 Числовое значение выражения 68 Числовой промежуток 95 Чисто мнимое число 55 Эйлер 216 Эйлера пример 216, 217 Эквивалентные множества 8
Абрамович Михаил Ильич
Стародубцев Михаил Тихонович
МАТЕМАТИКА
(алгебра и элементарные функции)
Редактор Ж. И. Яковлева. Художник В. И. Понома-
ренко. Художественный редактор В. И. Пономаренко.
Технический редактор Э. М. Чижевский. Корректор
Г. И. Кострикова
Сдано в набор 18/XI 1-75 г. Поди, к печати 29/1 П-76 г. Формат
60X90716. Бум. тип. № 1. Объем 17 печ. л. Усл. п. л. 17. Уч.-
изд. л. 15,54. Изд. № ФМ-572а. Тираж 280 000 экз. Цена 44 коп.
Зак. № 343
План выпуска литературы издательства
«Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1976 г. Позиция № 288
Москва, K.-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство «Высшая школа»
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производст-
венно-техническое объединение «Печатный Двор» им. А. М. Горь-
кого Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26.
44 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ВЫСШАЯ ШКОЛА