This is a volume in
WAVELET ANALYSIS AND ITS APPLICATIONS
Charles K. Chui, Series Editor
Texas A&M University, College Station, Texas
An Introduction to
Wavelets
Charles K. Chui
Department of Mathematics
Texas A&M University, College Station, Texas

Academic Press
San Diego • New York • Boston • London • Sydney • Tokyo • Toronto
ВВЕДЕНИЕ
ВЭЙВЛЕТЫ
Перевод с английского
Я. М. Жилейкина
Рекомендовано Научно-методическим советом по математике
Учебно-методического объединения университетов
для использования в учебном процессе для студентов вузов
по специальности «Прикладная математика»
Москва «
2001
УДК 519.6
ББК 22.193
487
Чуи Ч.
487 Введение в вэйвлеты: Пер. с англ. —М.: Мир, 2001.—
412 с., ил.
ISBN 5-03-003397-1
Учебное пособие по теории вэйвлетов — одному из активно развива-
ющихся направлений теоретической и прикладной математики, написан-
ное известным американским специалистом по вычислительной матема-
тике. Книга написана так, что от читателя требуется только знание основ
теории функций н вещественного анализа. В книге содержатся форму-
лировки и доказательства всех основных положений теории вэйвлетов,
большое внимание уделено частотно-временной обработке сигналов, да-
но много примеров, иллюстрирующих применение теории. Изложение
отличается простотой, ясностью и лаконичностью.
Для студентов высших учебных заведений, специализирующихся по
математике и инженерным наукам, —как учебное пособие, для специа-
листов, работающих в этой области, —как справочное пособие.
ББК 22.193
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проекту №00-01-14042
Редакция литературы, по математическим наукам
ISBN 5-03-003397-1 (русск.)
ISBN 0-12-174584-8 (англ.)
Copyright © 1992 by Academic Press.
АП Rights Reserved.
© перевод на русский язык,
«Мир», 2001
Предисловие
переводчика
Предлагаемая читателю книга «Введение в вэйвлеты» посвя-
щена бурно развивающейся области современной теоретиче-
ской и прикладной математики. Теория вэйвлетов, или как
их иногда называют в русской литературе — всплесков, име-
ет истоки в таких классических областях математики, как
теория функций вещественного переменного, теория ортого-
нальных рядов, преобразование Фурье и другие интегральные
преобразования, теория функций комплексного переменного,
функциональный анализ. Основные подходы и методы тео-
рии вэйвлетов базируются на результатах классиков матема-
тической науки: Ж. Фурье, А. Лебега, Н. Н. Лузина, С. Бана-
ха, Д. Гильберта, А. Н. Колмогорова, А. Зигмунда, Н. К. Ба-
ри, А. Хаара, А. Кальдерона, Дж. Литтлвуда, Р. Пэли, Д. Га-
бора, К. Шеннона, Н. Винера. Особенно следует выделить ре-
зультаты этих авторов, направленные на модернизацию и со-
вершенствование методов представления функций в виде ин-
тегралов и рядов.
Интерес к этой теме обусловлен широким применением
гармонического анализа и методов преобразования Фурье, а
также их использованием в таких науках, как теория инфор-
мации и обработка сигналов. Поэтому теория вэйвлетов и их
применения неразрывно связаны также и с развитием при-
кладных областей современной науки: цифровой обработки
6	Предисловие переводчика
сигналов и изображений, теории фильтрации и кодирования,
теории сплайнов, дискретных и быстрых преобразований.
Наиболее бурное развитие теории вэйвлетов приходится
на 80-90-е годы XX века. В этот период получены закончен-
ные теоретические результаты и разработаны эффективные
методы их практического применения. Следует отметить, что
на практике в теории фильтрации, при обработке и передаче
информации вэйвлеты фактически применялись уже в 40-
50-х годах. Один из крупнейших специалистов в области тео-
рии и применения вэйвлетов профессор С. Малла пишет: «В
основу вэйвлетов положена не какая-либо «новая блестящая
идея», а концепции, которые существовали в разнообразных
формах во многих различных областях знаний. Формализа-
ция и появление «теории вэйвлетов» есть результат совмест-
ных усилий математиков, физиков и инженеров, которые не-
зависимо развивали сходные идеи.» (Список дополнительной
литературы по вэйвлетам, [68].) Поэтому многие положения
теории вэйвлетов допускают формулировку и интерпретацию
в терминах других наук.
В настоящее время библиография по вэйвлетам насчиты-
вает несколько сот наименований, и в этой области активно
работает много ученых в разных странах мира, в том числе
и в России. Хотя, к сожалению, несмотря на огромный вклад
российских и советских ученых в функциональный анализ,
теорию ортогональных рядов и разложений и другие области
математики, российская научная общественность осталась не-
сколько в стороне от такой важной и современной области
науки как теория вэйвлетов и их применения. Предлагаемая
читателю монография, возможно, является первой книгой на
русском языке, целиком посвященной этой актуальной теме.
Важной целью ее издания является ликвидация информаци-
онного вакуума в рассматриваемой научной области.
Монография «Введение в вэйвлеты» принадлежит перу
известного американского математика, крупного специалиста
в области вэйвлетов, профессора Чарльза К.Чуи. Первона-
Предисловие переводчика
7
чальные результаты по теории вэйвлетов и ее применениям
были получены в 80-е годы представителями французской на-
учной школы. Эти результаты связаны с именами И. Мей-
ера, С. Малла, И. Добеши, Ж. Баттла, А. Коэна, Ж. Виля,
Р. Куафмана и других. Здесь интересно отметить, что выше-
перечисленные ученые — это специалисты в чистой матема-
тике, квантовой механике, инженеры-электрики и инженеры-
акустики, при этом временной диапазон получения ими основ-
ных результатов изменяется от начала века до 80-х годов. В
дальнейшем, ввиду большой научной и практической акту-
альности, вэйвлетами стали заниматься ученые других стран.
В России одним из первых обратил внимание на новое напра-
вление профессор С. Б. Стечкин; затем этой тематикой стали
заниматься его ученики, а также математики Петербурга и
Новосибирска. Наибольшее внимание теории вэйвлетов было
уделено в США. К работе в этой области было привлечено
большое количество математиков как из США, так и из дру-
гих стран. Так, профессор И. Добеши, один из ведущих спе-
циалистов в этой области, прочла цикл лекций в США, опу-
бликовала монографию «Десять лекций по вэйвлетам», кото-
рая стала классической, и сейчас работает в Принстонском
университете.
Профессор Чарльз К. Чуи — крупный специалист в обла-
сти вычислительной математики (теории сплайнов и теории
приближения функций) и теории обработки сигналов. Он воз-
главляет группу математиков, активно работающих в области
вэйвлетов и их применений. Предлагаемая читателю книга
является первым, основополагающим томом из серии «Вэй-
влеты— руководство по теории и применениям», издаваемой
в Академик Пресс под его редакцией [18]. В настоящее время
вышли в свет десять томов этой серии. Тома со 2-го по 10-й —
это сборники, содержащие статьи ведущих специалистов, по-
священные применениям и обобщениям вэйвлетов.
Отметим наиболее характерные особенности предлагаемой
читателю книги. Во-первых, это основополагающая книга по
8
Предисловие переводчика
теории вэйвлетов, которая содержит формулировки и дока-
зательства всех основных положений этой теории. Характер-
но, что в библиографиях всех книг по вэйвлетам монография
Чарльза К.Чуи всегда занимает одно из первых мест рядом
с книгами И. Мейера и И. Добеши. Во-вторых, ее отличают
простота и лаконичность изложения. Стиль книги близок к
традиционно математическому стилю. Это, по сути дела, го-
довой курс лекций для студентов высших учебных заведений,
которые специализируются по математике и инженерным на-
укам. Все определения и доказательства автор дает четко и
математически строго. Безусловно, что для более подробного
и широкого изучения вэйвлетов и их применений читателю
следует обратиться также и к другим книгам по этой тема-
тике.
Скажем несколько слов об особенностях перевода этой мо-
нографии на русский язык. Как упоминалось выше, теория
вэйвлетов находится на стыке нескольких наук. Поэтому ис-
пользуемый в книге словарь терминов отличается от терми-
нов математического и функционального анализов и носит
специфический характер. Так как английский язык во мно-
гих областях человеческой деятельности стал международ-
ным языком, то на его базе сформировался широко распро-
страненный специальный язык, который используется при
описании задач вэйвлет-анализа. Перевод с этого языка на
русский язык представляет определенные сложности, ввиду
отсутствия общепринятого однозначного перевода использу-
емых терминов. Определение значения многих терминов, ис-
пользуемых автором, дается непосредственно по тексту и не
вызывает трудностей при чтении. Для определенности при
составлении предметного указателя наряду с русскоязычным
термином в скобках приводится его английский эквивалент.
Это поможет читателю при чтении англоязычной литературы
поданной тематике. Кроме того, ниже мы даем пояснение ря-
да используемых в книге терминов.
Предисловие переводчика
9
1.	Аналоговый сигнал — analog signal; изменяющаяся
функция времени или пространства; часто представляет из-
меренную физическую величину, которая носит колеблющий-
ся характер; квадрат нормы в пространстве L2 определяет
энергию аналогового сигнала; эта функция может быть не-
прерывно или дискретно заданной, в последнем случае она
называется цифровым сигналом — digital signal.
2.	Выборка — sampling; выбор элементов некоторого мно-
жества для его изучения; линейный оператор, действующий
на непрерывный (/) или дискретный ({Д}) сигналы, резуль-
татом чего является дискретный сигнал {</?£}.
Разрежающая выборка — upsampling; линейный оператор
U такой, что <p2k = fkn </?2fc+i = 0.
Сгущающая выборка — downsampling; линейный оператор
D такой, что <рк = /Д; результат действия такого оператора
иногда называют децимацией —decimation.
3.	Двойственное — dual; может использоваться как в каче-
стве прилагательного: двойственная функция, двойственный
вэйвлет, так и в качестве существительного: построение ф и
соответствующего ему двойственного ф.
4.	Диапазон — band; область изменения аргумента функ-
ции; наиболее часто этот термин применяется при изменении
сигнала в частотной области.
Поддиапазон — subband.
Частотный диапазон — frequency band.
5.	Дискретное преобразование Фурье — discrete Fourier
transform; определение дано в §2.4: пусть {fk} G ^ — цифро-
вой сигнал, дискретное преобразование Фурье — это периоди-
ческая функция или ряд Фурье fkelkx> такое определе-
ние отличается от общепринятого: {fk} к = 0,1, ...,N — 1,
fe} = F({fk}), где cfc =	k = Q,l,...,N-1.
6.	Интерактивный режим — on-line.
7.	Каркас — frame.
10
Предисловие переводчика
8.	Малая волна —small wave; нетривиальная функция
/(f) G £2(Н) (или L1^)), удовлетворяющая условию
оо
J f(t)dt = 0.
— ОО
9.	Масштаб — scale; общепринятый термин, означающий
отношение размеров реального объекта и его модели; харак-
терные размеры области определения функции.
Масштабирующая функция — scaling function.
Масштабный параметр — scale parameter.
10.	Приближение и удаление (объекта) — zoom-in and
zoom-out (of object); часто употребляется в том смысле, что
некоторый метод «обладает свойством приближения и удале-
ния ...».
11.	Свертка — convolution; сверткой двух функций /(t) и
ОО
g(t) называется функция h(t) — f	— r)dr, а дискрет-
—ОО
ной сверткой — h(k) =	/(т)<?(^ — m)-
12.	Символ — symbol; символом последовательности {с^}
называется функция ckeikx-
13.	Сплайн — spline; определения терминов, связанных со
сплайнами, даются в главе 4; в этой книге рассматривают-
ся сплайны с эквидистантными узлами и для их обозначе-
ния в оригинале используется дополнительное прилагатель-
ное «кардинальный», которое при переводе опущено. Вы-
ражения «базисное сплайн-разложение», «базисный сплайн-
вэйвлет» означают, что для построения «разложений» и «
вэйвлетов» используются базисные сплайны (В-сплайны).
14.	Среднее — average. Среднее значение — average value.
Скользящее среднее — moving average; если задана после-
довательность {с*;} и последовательность весов {а^}, то сколь-
зящим средним называется последовательность {щ,} такая,
что Ck =	иногда автор идентифицирует сколь-
зящее среднее с дискретной сверткой: q = cf.ak-t-
Предисловие переводчика
11
15.	Фильтр — filter; линейный оператор, приводящий к из-
менению (фильтрации) как формы сигнала во временной
области, так и образа сигнала в частотной области; основное
внимание в книге уделяется частотной фильтрации сигнала,
Низкочастотный фильтр — low-pass filter; фильтр, пропус-
кающий низкочастотную составляющую сигнала.
Диапазонный фильтр — band-pass filter; фильтр, пропус-
кающий составляющую сигнала из определенного диапазона
частот.
Высокочастотный фильтр — high-pass filter; фильтр, про-
пускающий высокочастотную составляющую сигнала.
Поддиапазонный фильтр — subband filter; фильтр, пропус-
кающий составляющую сигнала из некоторого поддиапазона
основного диапазона частот.
Блок фильтров — bank of filters; набор фильтров.
Что касается обозначений, используемых автором, то они
приводятся в книге по мере изложения материала. Отметим
только, что символ := означает определение выражения, стоя-
щего слева от этого знака, {х/.} - последовательность или мно-
жество элементов Xk- Конец доказательств отмечается знач-
ком □.
Так как книга в оригинале была опубликована в 1992 г., мы
сочли целесообразным добавить дополнительный список ли-
тературы, который, не претендуя на полноту, содержит основ-
ные работы по вэйвлетам, вышедшие в последние годы.
Отметим также, что большое количество информации по
вэйвлетам может быть получено с помощью компьютерной
сети Internet. Среди этих материалов можно указать ком-
пьютерный журнал Wavelet Digest, который доступен через
Internet по адресу
http://www.wavelet.org.
Значительный интерес представляет библиотека стандарт-
ных программ по вэйвлетам и частотно-временным преобра-
12
Предисловие переводчика
зованиям WaveLab, разработанная в Станфордском Универ-
ситете США, которая входит в состав пакета MatLab и до-
ступна по адресу
http://www-stat.stanford/edu/wavelab.
В Политехнической школе (Ecole Polytechnique) во Франции
разработана и поддерживается библиотека стандартных про-
грамм Last Wave для вэйвлет-обработки сигналов и изображе-
ний, которой можно воспользоваться через Internet по адресу
http: //wave.cmap.polytechnique.fr/soft/LastWave/.
Более подробно с программным матобеспечением по вэйвле-
там можно ознакомиться в цитируемой выше монографии
С. Малла «Обзор вэйвлет-обработки сигналов» (Список до-
полнительной литературы по вэйвлетам, [68]).
В заключение я хочу выразить благодарность всем, кто
помогал мне в переводе, редактировании и выходе в свет
этой книги. Я благодарю академика Н. С. Бахвалова за по-
стоянное внимание к работе и ряд ценных советов, профессо-
ра Т. П. Лукашенко, который прочитал перевод книги и сде-
лал ряд замечаний. Хочу поблагодарить участников семина-
ра механико-математического факультета МГУ под руковод-
ством профессора В. М. Тихомирова: профессоров С. В. Ко-
нягина, В. Б. Демидовича и других. Беседа с ними мне была
полезна. Вся работа по набору книги, созданию электронно-
го макета на языке НТцХ и редактированию была выполне-
на моими коллегами из Научно-исследовательского вычисли-
тельного центра МГУ Ю. И. Осипик и Л. Г. Васильевой, кото-
рых я искренне благодарю. Я всегда получал удовлетворение
от моих контактов с автором книги профессором Чарльзом
К. Чуи и хочу выразить ему свою благодарность.
Март 2001 г.	Я. М. Жилейкин
jam@srcc.msu.su
Предисловие
к русскому изданию
Несмотря на то, что гармонический анализ продолжает быть
очень популярной и важной математической дисциплиной,
никогда не было уделено столько внимания его вычислитель-
ным аспектам, как начиная с появления «вэйвлетов» в кон-
це 1980-х годов. В действительности вычислительный гар-
монический анализ, который с недавнего времени стал ак-
тивной областью исследований, построен на базе основных
принципов математики вэйвлетов. С точки зрения примене-
ния в теоретических и инженерных науках вэйвлет-преобра-
зование привело к использованию мощного математического
набора методов локализованного частотно-временного и про-
странственно-фазового анализов многомасштабных явлений.
Эти методы пополнили аппарат современных научных иссле-
дований и стимулировали развитие инженерных приложений.
В результате вычислительный гармонический анализ можно
рассматривать как междисциплинарную область исследова-
ний.
Для освоения вычислительного гармонического анализа
в высшей степени целесообразно приобрести основополагаю-
щие знания по математике вэйвлетов. «Введение в вэйвлеты»,
переведенное на русский язык специалистом по прикладным
методам вычислительной математики, может служить чита-
телю достаточным основанием для научных исследований в
этой увлекательной междисциплинарной области. Опублико-
14
Предисловие к русскому изданию
ванная впервые издательством Академик Пресс в США в ян-
варе 1992 г., эта книга была затем переведена на японский и
китайский языки, соответственно, в 1993 и 1994 гг. Предлагае-
мое читателю русское издание, квалифицированно переведен-
ное на русский язык с небольшими изменениями профессором
Я. М. Жилейкиным, дополнено также расширенной библио-
графией по теории и применениям вэйвлетов.
Автор выражает глубокую благодарность профессору
Я. М. Жилейкину за проявленную им инициативу и весьма
своевременное завершение этого трудного и желанного про-
екта.
Июль 2000 г.,
Станфорд, Калифорния,
США.
Чарльз К. Чуи
Предисловие
Анализ Фурье — это хорошо разработанный предмет, занима-
ющий центральное место в математическом анализе и его
приложениях. Не только технические приемы этого предмета
имеют фундаментальное значение во всех разделах науки и
техники, но как интегральное преобразование Фурье, так и
ряды Фурье имеют наглядную физическую интерпретацию.
Более того, вычислительные аспекты рядов Фурье особенно
привлекательны главным образом по причине свойства орто-
гональности этих рядов и простоты их выражения с исполь-
зованием только двух функций: sina: и cos х.
В последние годы тема «вэйвлет-анализа» привлекла
большое внимание в равной мере как математиков, так и ин-
женеров. Так же, как и в анализе Фурье, вэйвлет-анализ име-
ет два существенных и важных раздела: «интегральные вэй-
влет-преобразования» и «вэйвлет-ряды».
Интегральное вэйвлет-преобразование определяется как
свертка с учетом растяжения некоторой функции V>, называ-
емой «базисным вэйвлетом», в то время как вэйвлет-ряд вы-
ражается через единственную функцию "0, называемую «7?.-
вэйвлетом» (или просто вэйвлетом) с помощью двух очень
простых операций: двоичных растяжений и целочисленных
сдвигов.
16
Предисловие
Однако в отличие от анализа Фурье интегральное вэй-
влет-преобразование с базисным вэйвлетом тесно связано
с вэйвлет-рядом, определяемым через вэйвлет ф. В самом де-
ле, если ф выбран как «двойственный» к ф, то коэффициенты
вэйвлет-ряда любой интегрируемой с квадратом функции f в
точности равны значениям интегрального вэйвлет-преобразо-
вания, вычисленным в точках, определенных двумя параме-
трами на соответствующих масштабных уровнях, характери-
зуемых двоичным растяжением.
Так как интегральное вэйвлет-преобразование функции
f одновременно локализует f и ее преобразование Фурье
f со способностью сжатия и расширения и так как суще-
ствуют алгоритмы получения последовательностей коэффи-
циентов вэйвлет-рядов в режиме реального времени, а также
восстановления / по этим коэффициентам, то перечень воз-
можных применений вэйвлет-анализа кажется бесконечным.
С другой стороны, полиномиальные сплайн-функции зани-
мают важное место среди простейших функций, используе-
мых для вычислительных и прикладных целей. Поэтому они
наиболее привлекательны для анализа и построения вэйвле-
тов.
Эта книга представляет собой вводный курс в вэйвлет-
анализ и в ней обращено особое внимание на сплайн-вэйвле-
ты и частотно-временной анализ. Краткий обзор этого ма-
териала, включающий классификацию вэйвлетов, интеграль-
ное вэйвлет-преобразование для частотно-временного анали-
за, кратномасштабный анализ, выделяющий важнейшие свой-
ства сплайнов, и вэйвлет-алгоритмы для разложения и восста-
новления функций, будет представлен в первой главе. Цель
этой главы не в получении глубоких результатов, а в созда-
нии общего впечатления о том, что является предметом вэй-
влет-анализа и какую часть его мы намерены осветить в этой
книге.
Предисловие
17
Изложение построено так, что содержит в себе все необ-
ходимые материалы. Единственное, что нужно от читателя —
это знание основ теории функций и вещественного анализа.
С этой целью предварительный материал по анализу Фурье и
теории сигналов включен в главы 2 и 3, а вводный материал
по базисным сплайнам дан в главе 4. Следует указать, однако,
что главы 3 и 4 содержат материал, являющийся неотделимой
частью вэйвлет-анализа. В частности, в главе 3 понятия «кар-
касов» и, более общее, — «двухпараметрических вэйвлетов» —
вводятся в рассуждениях о восстановлении функций по ча-
стичной информации о ее интегральном вэйвлет-преобразо-
вании в частотно-временном анализе.
«Вэйвлет-ряды» являются общей темой последних трех
глав. В главе 5 обсуждается общий подход к анали-
зу и построению масштабирующих функций и вэйвле-
тов. Сплайн-вэйвлеты, которые служат простейшими при-
мерами, изучаются в главе 6. Последняя глава посвяще-
на исследованию ортогональных вэйвлетов и вэйвлет-паке-
тов.
Эта монография в основном была написана под влия-
нием пионерских работ А. Коэна, Р. Куафмана, И. Добеши,
С. Малла и И. Мейера, так же как и моих совместных работ
с X. Л. Ши и Дж. 3. Вонгом.
При изучении этого увлекательного предмета мне были
весьма полезны беседы и переписка с многочисленными кол-
легами, которым я очень благодарен. Особенно я хотел бы
упомянуть П. Ошера, Г. Баттла, А. К.Чэна, А. Коэна, И. До-
беши, Д. Жоржа, Т. Н. Т. Гудмэна, С. Жаффара, К. Ли,
С. Малла, И. Мейера, К. А. Мичелли, Е. Каку, X. Л. Ши,
Дж.Стеклера, Дж.З. Вонга, Дж.Д. Ворда и Р. Веллса.
Среди моих друзей, кто прочитал отдельные части моей
рукописи и сделал много ценных замечаний, я особенно обя-
зан К. Ли, Е. Каку, X. Л. Ши и Н. Сивакумару. Я постоянно
получал удовольствие от помощи Робина Кэмпбелла, кото-
2-3954
18
Предисловие
рый набрал в L^TgX’e всю рукопись, Стефани Селлерс и моей
жены Маргарет, которые ее переработали и получили в виде,
готовом для опубликования.
В заключение я хочу выразить благодарность за действен-
ную помощь и дружеское участие издательскому отделу Ака-
демик Пресс и особенно Чарльзу Глэйзеру, который всегда
верил в меня.
Колледж Стэйшн,
Техас, Октябрь 1991г.
Чарльз К. Чуи
Глава 1
Обзор
В настоящее время «вэйвлеты» стали очень популярной темой
многих научных и инженерых обсуждений. Некоторые видят
в вэйвлетах новый способ представления функций, рассма-
тривают их как технику частотно-временного анализа, дру-
гие смотрят на них как на новый математический предмет.
Конечно, все они правы, так как «вэйвлеты» представляют
собой многосторонний инструмент с очень богатым математи-
ческим содержанием и огромными возможностями для при-
менения. Однако ввиду того, что предмет находится только
в процессе своего быстрого развития, еще рано составлять о
нем окончательное представление.
Цель этой книги очень скромна — книга задумана как
учебник, содержащий материалы вводного односеместрового
курса лекций для аспирантов и студентов старших курсов ма-
тематических и инженерных учебных заведений; книга напи-
сана также для всех математиков и инженеров, которые хотят
изучить предмет. Для специалистов она может служить до-
полнением к более продвинутым монографиям, таким как два
тома И. Мейера «Вэйвлеты и операторы» [21], к томам серии
«Вэйвлеты — руководство по теории и применениям» [18] и к
книге .И. Добеши «Вэйвлеты» [20].
2’
20
Глава 1. Обзор
Вэйвлет-анализ — относительно новый предмет, поэтому
подходы к изложению и организации материала в этой кни-
ге отличаются от других. Цель данной главы —дать общие
идеи о том, что такое вэйвлет-анализ и какая его часть будет
изложена в этой книге.
1.1. От анализа Фурье к вэйвлет-анализу
Обозначим через Z2(0,2тг) множество всех измеримых функ-
ций /, определенных на интервале (0,2тг) и таких, что
/•2тг
/ I f(x) I2 dx < оо.
Jo
Читатель, который не знаком с основами теории интеграла
Лебега, может считать, что f являются кусочно-непрерывны-
ми функциями. Всегда можно предположить, что функции
из £2(0, 2л) периодически продолжаемы на всю веществен-
ную ось
R := (—оо, оо),
а именно: /(ж) — f(x — 2л) для всех х. Поэтому множество
L2(0,2 л) часто называют пространством 2л-периодических
функций, интегрируемых с квадратом. Легко можно прове-
рить, что Ь2(0,2 л) — векторное пространство. Любую / из
£2(0,2л) можно представить рядом Фурье
оо
/(*) = £ (1.1.1)
ОО
где константы сп, называемые коэффициентами Фурье, опре-
деляются формулой
1 f27r
сп = тГ f{x)e~mxdx.	(1.1.2)
2л /о
Сходимость рядов в (1.1.1) в пространстве £2(0,2л) озна-
чает, что
lim
M,N—>оо
N
/(*)-	£ Спвгп-
п~—М
2
dx = 0.
1.1. От анализа Фурье к вэйвлет- анализу
21
Имеются две явные особенности разложений в ряды Фурье
(1.1.1). Первая особенность состоит в том, что f разлагается в
бесконечную сумму взаимно ортогональных компонент дп :=
с„егпх, где ортогональность означает, что
{9т,9пГ - 0 для всех т^п (1.1.3)
со скалярным произведением в (1.1.3), определенным форму-
лой:
1 /-27Г _________
{9т,9пГ - 9m(x)gn{x)dx, (1-1.4)
где черта над функцией означает операцию комплексного со-
пряжения. Условие (1.1.3) является следствием важного и
простого факта, что
wn(x) := emx, п — ...,-1,0,1,...,	(1.1.5)
образует ортонормированный (о.н.) базис в L2(0,2я).
Вторая особенность разложения в ряд Фурье (1.1.1) со-
стоит в том, что о.н. базис {w„} порождается растяжением
единственной функции
ш(т) := е’1,	(1.1.6)
так, что wn(x) = w(nx') для всех целых п. Это будет назы-
ваться в дальнейшем целочисленным растяжением.
Подводя итог, можно сказать, что каждая 2тг-периоди-
ческая, интегрируемая с квадратом функция порождает-
ся «суперпозицией» целочисленных растяжений базисной
функции го(т) = егх.
Из свойств базиса {wn} следует также, что разложение в
ряд Фурье (1.1.1) удовлетворяет так называемому равенству
Парсеваля
1 /’2,г	00
— / | f (х) |2 dx = I сп i2 •	(1-1-7)
/П	
П=г-СО
жгюя
22	Глава 1. Обзор
Пусть £2 обозначает пространство всех суммируемых с
квадратом бесконечных последовательностей; другими слова-
ми, {сп} G тогда и только тогда, когда
ОО
52 ।Сп i2< °°-
п=—оо
Отсюда, если квадратный корень величины, стоящей в ле-
вой части (1.1.7), используется в качестве «нормы» для изме-
рения функций из L2 (0,2%) и одновременно квадратный ко-
рень величины в правой части (1.1.7) используется как норма
в £2, то пространство функций Z2(0,2я) и пространство после-
довательностей I2 изомегпричны друг другу. Возвращаясь к
вышеприведенному замечанию о разложениях в ряды Фурье
(1.1.1), можно также сказать, что каждая 2я-периодическая
интегрируемая с квадратом функция представляет собой
f.2-линейную комбинацию целочисленных растяжений базис-
ной функции w(x) = егх. Мы обращаем особое внимание на
тот факт, что базисная функция
ш(т) = егх = cost 4- i sinx,
которая является синусоидальной волной, — это только одна
функция, требуемая для порождения всех 2тг-периодических
интегрируемых с квадратом функций. Для любого целого,
большого по абсолютной величине п волна wn(x) = w(nx)
имеет высокую частоту, а для малых по абсолютной вели-
чине значений п волна wn{x) имеет низкую частоту. Таким
образом, каждая функция из Ь2(0,2тг) состоит из волн раз-
личных частот.
Далее рассмотрим пространство L2(R) измеримых функ-
ций /, определенных на вещественной оси R, удовлетворяю-
щих неравенству
[ I /(ж) |2 dx < °°-
J —со
1.1. От анализа Фурье к вэйвлет-анализу	23
Ясно, что два пространства функций L2(0,2тг) и L2(R) совер-
шенно различны. В частности, каждая функция (ее локаль-
ное среднее значение) из X2(R) должна «затухать» до нуля
при х, стремящемся к ±оо, но синусоидальные (волны) функ-
ции wn(x) не принадлежат L2(R). В сущности, если мы хо-
тим использовать «волны», порождающие L2(R), то эти вол-
ны должны были бы затухать до нуля при х -> ±оо, и из
всех практических соображений это затухание должно было
бы быть очень быстрым. Так мы приходим к рассмотрению
малых волн, или вэйвлетов, для порождения Z2(R). Так же,
как и в случае L2(0,2tt), где одна функция w(x') — е1Х по-
рождает целое пространство, мы предпочитаем иметь одну
функцию для порождения всего L2 (R) и будем обозначать ее
через ф. Но если вэйвлет ф имеет очень быстрое затухание,
то как он может покрыть всю вещественную ось? Очевидным
способом является сдвиг ф вдоль R.
Пусть Z обозначает множество целых чисел:
{Z = ...,-1,0,1,...}.
Простейший способ для ф покрыть все множество R состоит
в рассмотрении всех целочисленных сдвигов ф, а именно
ф(х — к), к е Z.
Затем, так же как и в синусоидальном случае, мы должны
рассматривать волны различных частот. По разным причи-
нам, которые вскоре будут ясны читателю, мы не хотим рас-
сматривать волны единичной частоты, но скорее волны с ча-
стотами, разделенными на последовательные «октавы» (или
частотные диапазоны). Ради вычислительной эффективности
мы будем использовать для частотного разбиения целые сте-
пени 2. В результате мы рассматриваем малые волны
ф&х-к}, j,keZ.	(1.1.8)
24
Глава 1. Обзор
1.1. От анализа Фурье к вэйвлет-анализу
25
Заметим, что ^(2-7ж — к) получена, из одной «вэйвлет-функци-
и» в результате двоичного растяжения (т.е. растяжения в
2J раз) и двухпараметрического сдвига (на к/2J).
Итак, нас интересуют «вэйвлет-функции» ф, двоичные ра-
стяжения и двухпараметрические сдвиги которых достаточны
для представления любой функции из L2(R). Для простоты
давайте рассмотрим сначала ортогональный базис, порожден-
ный функцией ф. Позже в этой главе (см. §1.4) мы введем
более общие «вэйвлет-ряды».
Повсюду в этой книге мы будем использовать следующие
обозначения для скалярного произведения и нормы в про-
странстве Z2(R):
/•ОО	____
(/,!?) •’=/ f(x)g(x)dx;	(1.1.9)
J —ОО
11/112	(1.1.10)
где f,gE Z2(R). Заметим, что для любых j.k 6 Z мы имеем
f /-оо	Ч 1/2
||/(2> • -А)||2 = |	|f(2^ - j = 2-^2||/||2.
Следовательно, если функция ф G Z2(R) имеет единичную
норму, то все функции фук, определенные формулой
ф^(х) := 2^2ф(2'х - к), j,kez, (1.1.11)
также имеют единичную норму, то есть
||^Л||2 = \\Ф\\г = 1, J,KZ. (1.1.12)
В этой книге будет часто использоваться символ Кронекера
[1 для j = &,
’ 1 0 для j / к,
(1.1.13)
определенный в Z х Z.
Определение 1.1. Функция ф G L2(R) называется орто-
гональным вэйвлетом (или о.н. вэйвлетом), если семейство
{фук}> определенное формулой (1.1.11), является ортонорми-
рованным базисом в L2(R); это означает, что
(фук, Фе,т) = буе  Sk,m, j, к,е,т G Z, (1.1.14)
и любая f G Z2(R) может быть представлена как
оо
/(*) = £2 сукфук(х),	(1.1.15)
j,k=~co
где ряд (1.1.15) сходится в L2(R), а именно
lim
Ml ,?V1 ,Л/2>-№2—>со
Ni
j=—M2 k=—Mi
Простейшим примером ортогонального вэйвлета является
функция Хаара фн, определенная формулой
( 1
фн(х) := < — 1
I 0
для 0 < х <
для | < X < 1,
в других случаях.
(1.1.16)
Мы проведем краткое обсуждение свойств этой функции в
параграфах 1.5 и 1.6. Другие о.н. вэйвлеты будут изучены
более подробно в главе 7.
Ряды, представляющие функции f в (1.1.15), называют-
ся вэйвлет-рядами. Аналогично обозначению коэффициентов
Фурье в (1.1.2) вэйвлет-коэффициенты с]к определяются фор-
мулой
Cj,k = (Ф,Фук)-	(1.1.17)
Если мы определим интегральное преобразование в L2 (R)
как
(W^f)(b,a) = |а| г [ f(x)ip(^——)dx,
J-оо а
f е l2(R),
(1.1.18)
26
27
Глава 1. Обзор
то вэйвлет-коэффициенты в (1.1.15) и (1.1.17) принимают
вид
(ь 1 \
ir I
Линейное преобразование называется интегральным вэй-
влет-преобразованием относительно «базисного вэйвлета»
ф. Следовательно, (j, &)-й вэйвлет-коэффициент функции
f определяется интегральным вэйвлет-преобразованием J,
вычисленным в точке двухпараметрического сдвига Ь — к/23
с двоичным растяжением а = 2--7, где тот же о.н. вэйвлет
•ф используется для порождения вэйвлет-ряда (1.1.15) и для
определения интегрального вэйвлет-преобразования (1.1.18).
Важность интегрального вэйвлет-преобразования будет
обсуждена в следующих параграфах этой главы. Здесь мы
только отметим, что это интегральное преобразование зна-
чительно обобщает (интегральное) преобразование Фурье
определяемое формулой
/•ОО
(^,/)(у):=/	/e£2(R).	(1.1.20)
J —оо
Математическое рассмотрение этого преобразования откла-
дывается до следующей главы. Как известно, преобразова-
ние Фурье представляет собой другую важную составляю-
щую анализа Фурье. Интересно отметить, что в то время, как
две составляющие анализа Фурье, а именно ряд Фурье и пре-
образование Фурье, явно не связаны друг с другом, две со-
ответствующие составляющие вэйвлет-анализа: вэйвлет-ряд
(1.1.15) и интегральное вэйвлет-преобразование (1.1.18), тес-
но связаны друг с другом, как это описывается формулой
(1.1.19).
1.2. Интегральное вэйвлет-преобразование
1.2. Интегральное вэйвлет-преобразование
и частотно-временной анализ
Преобразование Фурье 9е, определенное в (1.1.20), не толь-
ко мощный математический инструмент, но и допускает важ-
ные физические толкования в приложениях. Например, если
функция f G L2 (R) рассматривается как аналоговый сигнал
с конечной энергией, определяемой его нормой Ц/Цг, то пре-
образование Фурье
/(ы) := (Л/)(ы)	(1.2.1)
функции / представляет собой спектр этого сигнала. В ана-
лизе сигналов аналоговые сигналы определяются во времен-
ной области, а спектральная информация об этих сигналах
дается в частотной области. Для простоты представления
будем допускать существование отрицательных частот. По-
этому в обоих случаях временной и частотной областями бу-
дет вещественная ось R. Аналогично равенству Парсеваля
для рядов Фурье, равенство Парсеваля, которое описывает
связь между функциями из L2(R) и их преобразованием Фу-
рье, дается формулой
{f,g) =	f,9€L2(R).	(1.2.2)
27Г
Здесь используется понятие скалярного произведения, опре-
деленное в (1.1.9), и, как мы увидим в следующей главе, пре-
образование Фурье Т7 отображает Z2(R) на себя. Как след-
ствие равенства (1.2.2) мы видим, что энергия аналогового
сигнала прямо пропорциональна его спектральному содержа-
нию; более точно,
||/|]2 = 1 ||/||2,	/GL2(R).	(1.2.3)
у2л
28
Глава1. Обзор 12. Интегральное вэйвлет-преобразование
29
Однако формула
/»0О
/(ш) = / e~ituf(t)dt	(1.2.4)
J—оо
преобразования Фурье в таком виде не удобна для практиче-
ских задач. Во-первых, чтобы извлечь спектральную инфор-
мацию /(ш) об аналоговом сигнале /(f) по этой формуле, сле-
дует использовать бесконечные интервалы времени: иметь ин-
формацию о прошлом и будущем сигнала, чтобы вычислить
спектр для одной частоты ш. Во-вторых, формула (1.2.4) не
отражает эволюцию частот со временем. Что действитель-
но необходимо —- это определить интервалы времени, которые
дают спектральную информацию о любой нужной частотной
области (или диапазоне частот). Кроме того, так как частота
сигнала обратно пропорциональна длительности его перио-
да, то в случае высокочастотной спектральной информации
временной интервал может быть взят относительно малым
для обеспечения нужной точности, а в случае низкочастотной
спектральной информации такой временной интервал должен
быть взят относительно большим. Другими словами, важно
иметь гибкое частотно-временное окно, которое автоматиче-
ски сжимается в окрестности высоких частотных центров и
расширяется у низких частотных центров. К счастью, инте-
гральное вэйвлет-преобразование относящееся к некото-
рому «базисному вэйвлету» ф, как это следует из формулы
(1.1.18), обладает этой способностью сжатия и растяжения.
Рассмотрим специфический случай, когда обе функции —
?/> и ее преобразование Фурье ф — имеют достаточно быстрое
затухание и могут использоваться в качестве функций-окон.
Для любой функции w из L2(R), используемой в качестве
функции-окна, можно ввести понятия его «центра» и «шири-
ны», которые определяются следующим образом.
Определение 1.2. Тождественно не равная нулю функция
w G Z/2(R) называется функцией-окном, если iw(i) также
принадлежит L2(R). Центр t* и радиус Дш функции-окна w
определяются как
1 /°°
** ;= Гй|2 / ®|w(®)|2d®	(1.2.5)
Ilwll2 J—оо
и
1 f Г°°	11//2
й—й-< / (ш — £*)2]w(rr)|2ote	,	(1.2.6)
IM|2 U-oo	)
соответственно; ширина функции-окна равняется 2ДШ.
Мы еще формально не определили «базисный вэйвлет» ф,
и отложим это до следующего параграфа. В качестве приме-
ра базисного вэйвлета может быть взят любой ортогональ-
ный вэйвлет, как это было рассмотрено в предыдущем пара-
графе. Во всяком случае, мы увидим, что любой базисный
вэйвлет, являющийся функцией-окном, должен обязательно
удовлетворять равенству
( ф{х)дх — 0,	(1.2.7)
J—со
так что его график изображает малую волну.
Предположим, что ф — базисный вэйвлет, такой что ф и
его преобразование Фурье ф являются функциями-окнами с
центрами и радиусами Д^,, Д^ , соответственно. Тогда
в первую очередь ясно, что интегральное вэйвлет-преобразо-
вание
= |а| 2 J фЦ)ф I —— J dt	(1.2.8)
аналогового сигнала /, как это определено в (1.1.18), локали-
зует сигнал во «временном окне»
[6 4" at* — а&ф, Ь + at* + аД^,],
с центром окна в b + at* и шириной, равной 2а Д^. В анали-
зе сигналов это носит название «временной локализации». С
другой стороны, если мы положим
7/(и>) := ф(ш + са*),	(1.2.9)
Глава 1. Обзор
30
то т) также функция-окно с центром в нуле и радиусом, рав-
ным Д^. Вследствие равенства Парсеваля (1.2.2) интеграль-
ное вэйвлет-преобразование (1.2.8) принимает вид


(1.2.10)
Отсюда, с точностью до множителя а - |о|~2 /2тг и линейного
сдвига по фазе егЬш, определенного величиной параметра Ь, та
же самая величина (W^/)(6, а) дает локализованную инфор-
мацию о спектре /(ш) сигнала /(4) с «частотным окном»
ш
а
1 л W* 1	'
~&л-> —।
а * а а *
центр которого находится в точке ш* /а, а ширина равна
Это называется «частотной локализацией» сигнала.
Так как выражения в правой части (1.2.8) и (1.2.10) опреде-
ляют одну и ту же функцию, мы приходим к понятию «ча-
стотно-временного окна»:
[4>+а4* —аД^,, Ь+а4* + аД^] х
(1.2.11)
для частотно-временного анализа сигналов, в котором ис-
пользуются интегральные вэйвлет-преобразования относи-
тельно базисного вэйвлета ф с описанными выше свойствами
функций-окон.
Следует сделать некоторые замечания. Во-первых, так как
в конце концов мы должны рассматривать положительные
частоты, то базисный вэйвлет ф следует выбирать так, что-
бы центр ш* функции "ф был положительным числом. На
практике это положительное число вместе с положительным
масштабным параметром а выбирается таким образом, что
w*/а является частотным центром для интересующего нас
диапазона частот
ш*
а
. Тогда отношение
1.2. Интегральное вэйвлет-преобразование
31
частотного центра к ширине диапазона частот равняется
о?7а _ со*
(1.2.12)
и не зависит от параметра а и положения частотного центра.
Эта величина называется Q-постоянной частотного анализа.
Важно, что частотно-временное окно (1.2.11) сужается (по пе-
ременной t) при больших частотных центрах ш*/а и расши-
ряется при малых частотных центрах ш*/а (см. рис. 1.2.1); в
то же время площадь частотно-временного окна остается по-
стоянной, равной	Это как раз то, что наиболее жела-
тельно при частотно-временном анализе. Более подробно на
этих особенностях вэйвлет-преобразования мы остановимся в
главе 3.
1.3. Формулы обращения
33
32	Глава 1. Обзор
1.3. Формулы обращения
и двойственные
Интегральное вэйвлет-преобразование	а) определя-
ет расположение (в терминах b + at*), «размер» (в терми-
нах параметра а) и полную величину (измеряемую значением
(W\pf)(b,а)) области изменения f с учетом способности сжа-
тия и растяжения. Эта информация крайне ценна для мно-
гих применений, таких как частотно-временной анализ. Для
примера, при сжатии информации значения (И^/)(6, а), ниже
некоторого определенного уровня, удаляются; в случае низ-
кочастотной фильтрации (W^f)(b, а) заменяется нулем для
малых значений параметра а. В любом случае (новая и мо-
дифицированная) функция / должна быть восстановлена по
значениям (W^f)(b,a). Любая формула, которая выражает f
через значение (ГК^/)(6, а), будет называться обратной фор-
мулой и функция ф — ядро, используемое в этой формуле, -
двойственным базисного вэйвлета ф. На практике функция
ф может использоваться как базисный вэйвлет только в том
случае, если обратная формула существует.
Далее мы изучим четыре различные ситуации в порядке
увеличения ограничений на область определения W^f.
(1°) Восстановление по (РК^/)(Ь,а), а,Ь е R.
Для того чтобы восстановить f по (И^/)(6, а), нам потре-
буется константа
:= Г	< оо.	(1.3.1)
J—оо 1^1
Конечность этой константы сужает класс функций ф из
£2(R), которые могут быть использованы в качестве «базис-
ных вэйвлетов» в интегральном вэйвлет-преобразовании. В
частности, если ф является функцией-окном, то она принад-
лежит пространству ^(R), то есть
/оо
|ф(ж)|(/ж < ОО,
-ОО
откуда следует, что ф — непрерывная функция в R (см. тео-
рему 2.2 в главе 2). Далее из (1.3.1) следует, что функция ф
обращается в нуль в начале координат, другими словами,
f ^(x)dx = 0.	(1.3.2)
J—оо
Поэтому график базисного вэйвлета ф представляет собой ма-
лую волну. С помощью константы С^, получаем следующую
формулу восстановления:
/(*)=— [	f(=L2(R),
Jb.2 J	I \ а J) а
(1.3.3)
где R2 = R х R. Заметим, что то же самое ядро
с точностью до знака комплексного сопряжения использу-
ется для определения обоих интегральных преобразований:
(1.1.18) и его обращения (1.3.3). Следовательно, ф можно на-
звать двойственным базисного вэйвлета ф. Конечно, нельзя
ожидать единственности этого двойственного.
(2°) Восстановление по (№ф/)(Ь, a),b € R, а > 0.
В частотно-временном анализе, как это обсуждалось в
предыдущем параграфе, мы используем положительную кон-
станту, умноженную на а-1, для представления частот. Следо-
вательно, если нас интересуют только положительные часто-
ты, то нам нужна формула восстановления, в которой инте-
грирование осуществляется по области R х (0, оо) вместо R2.
Поэтому следует теперь рассмотреть еще более узкий класс
базисных вэйвлетов ф, а именно: вэйвлеты, удовлетворяющие
равенству
г тд = г =1с, < оо, («л)
Jo W	Jo 0)	2 v
3-3954
34
Глава 1. Обзор
где определена в (1.3.1). К примеру, любая вещественная
ф, удовлетворяющая (1.3.1), может быть взята в этом случае в
качестве базисного вэйвлета. Для любой ф, удовлетворяющей
(1.3.4), мы имеем следующую формулу восстановления:
/(*) = Г\ Г6 L2(R).
Jq М—оо	\ va \	/ J О
(1.3.5)
За исключением множителя 2, это та же самая формула, что
и формула восстановления (1.3.3). Конечно, на базисный вэй-
влет ф в (1.3.5) наложены дополнительные ограничения. Так
же как и в пункте (1°), в рассматриваемой ситуации мы сно-
ва называем ф, комплексно сопряженную ф, двойственным
базисного вэйвлета ф. Здесь также нет оснований ожидать
единственности двойственного.
(3°) Восстановление по (W$f)(b,a),b € R,a = j € Z.
Сосредоточивая наше внимание на случае, когда а = 2“J,
где j пробегает все целые числа, мы можем рассматривать
частотно- временную локализацию с частотными окнами
ВГ=[2^*-2>Д^,2^* + 2>Д^],	jeZ. (1.3.6)
В частности, если центр w* окна ф выбран как	,<<о
^* = ЗА^,	0
то диапазоны частот Bj,j G Z, в (1.3.6) образуют несвяз-
ное разбиение всей частотной оси [0,оо), за исключением
концов интервалов Bj. Интегральное вэйвлет-преобразование
(1.2.8) используется для определения временных интервалов
[6 +	— 2~^ Д^, b + 2~Н* + 2_J Д^], на которых спектраль-
ное содержание сигнала /, с частотами из Вj, имеет достаточ-
но большое значение, а именно: значение | (W^f)(6, а)| лежит
выше некоторого порога.
Так как доступна только часть информации об W^f, то
базисный вэйвлет ф должен удовлетворять более сильным
35
1.3. Формулы обращения
условиям, чем (1.3.1), для получения формулы восстановле-
ния. Условие, которое мы налагаем на ip, называется условием
устойчивости и им.еет следующий вид;
ОО
Л< £ И2"М|2<5,	(1.3.7)
>=-оо
где А и В, 0 < А < В < оо — константы, не зависящие от
ш. Из формулы (1.3.7) следует, что ?/> удовлетворяет также
неравенствам
А1п2 <
Г
и Jo
ЬА(-ч>12
w
dw < В In 2,
(1.3.8)
которые означают, что Су лежит между 2А1п2 и 2В1п2. По-
дробно об этом будет говориться в § 3.4. Если ?/> удовлетво-
ряет (1.3.7), то базисный вэйвлет V’ имеет двойственное ip*,
преобразование Фурье которого задается формулой

(1.3.9)
Формула восстановления, использующая это двойственное,
может быть определена следующим образом:
/(*) = £ Г {V/2(W^f)(b,2-^}{2^*^(x-b))}db,
j~-CQ ~°°
/eZ2(R).
Так как базисные вэйвлеты ip в этом случае имеют большое
теоретическое и прикладное значение, им дано специальное
название.
Определение 1.3. Функция ip G T2(R) называется «двухпа-
раметрическим вэйвлетам», если она удовлетворяет усло-
вию устойчивости (1.3.7) для почти всех w 6 R и некото-
рых констант А и В таких, что 0 < А < В < оо.
3"
36
Глава 1. Обзор
В главе 3 будет показано, что даже двухпараметрические
вэйвлеты в общем случае не имеют единственного двойствен-
ного. Наиболее интересными примерами двухпараметриче-
ских вэйвлетов, по всей видимости, являются так называемые
каркасы, которые будут введены в § 3.5.
(4°) Восстановление по (Wtpf)(b,a),b = — ,а = ,j,k 6 Z.
С целью создания эффективных алгоритмов для опреде-
ления интегрального вэйвлет-преобразования	о) и
для восстановления / по {W^f)(b, а) рассматривают только
дискретные выборки. Очень важно разбить частотную ось
на диапазоны частот, использующие степени 2 для масштаб-
ного параметра а, как это было сказано в (3°), гораздо бо-
лее эффективно рассматривать только модели с двухпара-
метрическими значениями b = k/27 на временной оси при
а — 2~J ,j е Z, вместо произвольных b G R. Во многих приме-
нениях при таком единообразном дискретном моделировании
мы очень мало теряем в общности задачи, и, как мы увидим
далее, математическая теория такого подхода очень привле-
кательна. Сначала заметим, что
(ь 1 \ /-оо _____________________
2^’	= J_j^2j/2^2jx ~ k»dx = <Л
(1.3.10)
где, так же как и в (1.1.11),
^л(ж) :=	- к), j,k еЪ.	(1.3.11)
Однако в общем случае мы не требуем, чтобы {V’j.fc} была
о.н. базисом в L2(R), как это было в §1.1. Действительно,
достаточно, чтобы была «устойчивым» базисом, как это
будет определено ниже.
Определение 1.4. Функция ф Е L2(R) называется Н-функ-
цией, если {ф/л}’ как это определено в (1.3.12), является ба-
зисом Рисса в Z2(R), в том смысле, что линейная оболочка
j,k € Z, плотна в Z2(R) и что существуют положи-
1.3. Формулы обращения
37
тельные константы А и В, 0 < А
ОО 00
Е Е cj^j,k
j=—co k=—oo
А || {cjtk}
< В < оо такие, что
2
< В II ||f2 (1.3.12)
2
для всех бесконечных суммируемых с квадратом последова-
тельностей то есть
00	00
II Н12:= 52 52 lcl,fc|2<°°-
j~—oo k——oo
Предположим, что ip—77.-функция. Тогда существует един-
ственный базис Рисса {ipi>k} в Z2(R), двойственный {ipjtk} в
том смысле, что
{ipj,k,ipe’m} = 6jtf6k>m, j,kernel. (1.3.13)
Отсюда любая функция / G ^2(П) имеет следующее (един-
ственное) разложение в ряд:
00
/(*) = Е	(1.3.14)
j,k~—оо
Однако, хотя коэффициенты являются значениями инте-
грального вэйвлет-преобразования функции / относительно
ip, ряд (1.3.15) не является обязательно вэйвлет-рядом. Для
того чтобы он был таковым, должна существовать некоторая
функция ip € T2(R), и двойственный базис {ipi’k} в формуле
(1.3.15) получается из ip как
(ж) —	(1.3.15)
где, как обычно, используется обозначение
ipjtk(x) ~ 2В2гР^х - k).	(1.3.16)
Если {ipjtk} — о.н. базис в L2(R), как уже обсуждалось в
(1.1.14), (1.1.15) и (1.1.17), то ясно, что (1.3.14) имеет место
38
Глава 1. Обзор
при ф?’к = 'tpj^ki или ф = ф- Однако в общем случае, как это
мы увидим в следующем параграфе, ф может не существо-
вать. Если ф так выбрано, что ф существует, то пара (ф, ф)
очень полезна для определения значений интегрального вэй-
влет-преобразования функции / 6 £2 (R) в двухпараметриче-
ских точках и для различных двоичных масштабных уровней
(или октав), а также для восстановления f по значениям ее
интегрального вэйвлет-преобразования. А именно, мы имеем:
ОО	оо
= ^2 и^Ф],к)Фз,к{х) = J2	(1-3.17)
j,k=—оо	оо
1.4. Классификация вэйвлетов
Пусть ф G L2 (R) — 7?.-функция, тогда последовательность
{V’jjfc}) определенная в (1.3.12), является базисом Рисса в
Z2(R). Первый вопрос, с которым мы сталкиваемся — проис-
ходит ли базис {фэ,к}, двойственный {ф^к}-> как это опреде-
лено в (1.3.14), от некоторой функции ф Е L2(R) согласно
формулам (1.3.16)-(1.3.17). Что самое удивительное, в общем
случае ответ отрицательный.
Например, пусть р G L2(R)—некоторый ортогональный
вэйвлет, в соответствии с определением 1.1. Для любого ком-
плексного числа z, такого что \z\ < 1, рассмотрим функцию
ф(х) := фг(х) — zy/2T)(2x).	(1-4-1)
Тогда ясно, что последовательность определенная в
(1.3.12), является базисом Рисса в L2(R). Рассмотрим теперь
двойственный базис {ф-^} относительно {ф^к}- В частности,
легко проверить, что
ОО
^°,°(х) = g Tj_efi(x)ze,
’	€=0	(1.4.2)
кф0,1(х) = 7/0,1 (ж).
1.4. Классификация вэйвлетов
39
Если может быть найдена некоторая функция ф — фг 6
Z2(R), для которой выполняются (1.3.16)—(1.3.17), то мы име-
ем
т?(ж) = %,1(ж + 1) = ^0,1(ж + 1)
= V»o,l(s + 1) = V>o,o(z)
СО
= ^0’°(я)	= ^т]-е,о(х)ге,
1=0
ИЛИ
" со
52	=°-
e=i
Так как очевидно, что последнее равенство неверно, за исклю-
чением, может быть, конечного числа значений z, где \z\ < г
и 0 < г < 1 - произвольное число, то мы заключаем, что
функции ф = фг в общем случае не существует.
Эти рассуждения обусловливают следующее определение
«вэйвлетов».
Определение 1.5. TZ-функция ф G L2(R) называется IZ-вэй-
влетом (или вэйвлетам}, если существует функция ф G
L2(R) такая, что {Ф^ь} и {V’j.fc}? как это определе-
но (1.3.12) и (1.3.17), являются двойственными базисами в
L2(R). Если ф — IZ-вэйвлет, то ф называют двойственным
вэйвлетам, соответствующим ф.
Ясно, что двойственный вэйвлет — единственный, и сам
является вэйвлетом. Если говорить более точно, то пара (ф, ф)
симметрична в смысле того, что ф также является двойствен-
ным вэйвлетом для ф. Для удобства будем просто называть ф
вэйвлетом, а ф — -гдвойственным» для ф. Как мы уже заме-
тили в параграфе 1.3, если ф — ортогональный вэйвлет, то он
является двойственным самому себе в том смысле, что ф = ф.
Важно придать особое значение тому факту, что любой
вэйвлет, ортогональный или нет, порождает разложение лю-
бой функции / G L2(R) в вэйвлет-ряд, а именно:
ОО
/(^) = 52
j,k=—со
40
Глава 1. Обзор
где каждый коэффициент Cjj есть интегральное вэйвлет-пре-
образование f относительно 1р двойственного ip, вычисленное
в точках временной шкалы
,, , (к 1\
(о, а) — —, — | .
v	’ 2-? J
Пусть ip — любой вэйвлет, и рассмотрим порожденный им
базис Рисса {ipj,k}- Для каждого j € Z обозначим через Wj
замыкание линейной оболочки {ipjtk : к 6 Z}, а именно:
Wj := dos(jo(ipj^k : к E Z).	(1.4.3)
Очевидно, что L2(R) может быть разложено в прямую сумму
подпространств Wj-.
L2(R) = Wj ~ • •+W_1+Wo+W1+  -,	(1.4.4)
jez
в том смысле, что любую / Е L2(R) можно единственным
образом представить в виде суммы
/(ж) = • • • + g~i(x) +до(х) +91(х) 4-,	(1.4.5)
где gj Е Wj для всех j Е Z. Точки над знаком суммирования и
над плюсами в (1-4.4) указывают на то, что берутся «прямые
суммы».
Если 1р ортогональный вэйвлет, то подпространства Wj из
L2 (R) — взаимно ортогональны, другими словами
(9j,9e) =0, j ±1, rp.egj EWj ug£EW£. (1.4.6)
В этом случае мы будем использовать обозначение
Wj±We, j ± I.	(1.4.7)
Соответственно прямая сумма в (1.4.4) становится ортого-
нальной суммой-.
Z2(R) = ф Wj := • • • ® W-! ® Wo Ф Ж1 ® • • •,	(1.4.8)
jez
1.4. Классификация вэйвлетов
41
где окружность вокруг знака плюс в (1.4.8) означает «орто-
гональную сумму». Разложение (1.4.8) обычно называют ор-
тогональным разложением L2(R). Это означает, что разло-
жение (1.4.5) любой / G L2(R) в виде (бесконечной) суммы
функций gj G Wj не только единственно, но и то, что ком-
поненты разложения / взаимно ортогональны, как указанно
в (1.4.6).
Таким образом, ортогональный вэйвлет порождает ор-
тогональное разложение L2(R). Однако мы использовали не
все ортогональные свойства {V’j.fc}, а именно: для каждого j
условие ортогональности {^jtk,^j,£) = &k,t не отражено в фор-
муле (1.4.8). Это означает, что существует широкий класс
вэйвлетов, которые могут быть использованы для порожде-
ния ортогональных разложений L2(R). Имеющаяся в нашем
распоряжении гибкость математического аппарата позволяет
конструировать вэйвлеты, обладающие некоторыми нужны-
ми свойствами. Наиболее важным свойством, которое может
быть выполнено для вэйвлетов ?/> с компактным носителем за
счет такой гибкости, является их «симметричность» или «ан-
тисимметричность». Подробно мы рассмотрим это в главах
5 и 6.
Определение 1.6. Вэйвлет ф в L2(R) называется полуор-
тогоналъным вэйвлетом (или п.о. вэйвлетам), если поро-
жденный им базис Рисса {ф^к} удовлетворяет равенству
(Ффк^т) =®,	j,k,£,meZ.	(1.4.9)
Очевидно, что каждый п.о. вэйвлет порождает ортого-
нальное разложение (1.4.8) Z2(R), и любой о.н. вэйвлет явля-
ется также п.о. вэйвлетом. Вэйвлет (или более точно, 1Z-
вэйвлет) ф называется неортогональным (или н.о.) вэйвле-
том, если он не является п.о. вэйвлетом. Однако, будучи 1Z-
вэйвлетом, он имеет двойственный вэйвлет ф, и пара (ф,ф)
обладает свойством биортогональности-.
{Ф],к>Ф£,гп) ~	G Z. (1.4.10)
42
Глава 1. Обзор
1.5. Кратномасштабный анализ,
сплайны и вэйвлеты
Любой вэйвлет, полуортогональный или нет, порождает раз-
ложение £2(R) в прямую сумму подпространств (1.4.4). Для
каждого j G Z будем рассматривать замкнутые подпростран-
ства
Vj = • • •+И<,-_2+Жу_1, j G Z,	(1.5.1)
в L2 (R). Ясно, что эти подпространства обладают следующи-
ми свойствами:
(1°)	 С К-1 С Vo С Vi С ...,
(2°)	closL2 ( U Vj ) = £2(R),
\jGZ /
(3°) n Vj = {0},
jez
(4°)	Vj+1 - Vj+Wj, j G Z и
(5°) /(я) G Vj <=> f(2x) G Vj+i’J G Следовательно,
в противоположность подпространствам Wj, которые удовле-
творяют соотношению
И9пи^ = {о},
подпространства Vj вложены друг в друга, как это описано в
условии (1°), и обладают тем свойством, что любая функция
f из L2(R) может быть приближена с произвольной точно-
стью ее проекциями Pjf на Vj, что следует из условия (2°). С
другой стороны, с уменьшением j проекции Pjf могут иметь
сколь угодно малую энергию, что обусловлено условием (3°).
Условиями (1°) — (3°) не описывается наиболее важное вну-
треннее свойство этих пространств, которое состоит в том, что
всё больше и больше «колебаний» Pjf убирается при j —> —оо.
В сущности, эти колебания счищаются слой за слоем в по-
рядке убывания «размеров колебаний» (более известных как
диапазоны частот) и откладываются в дополнительных под-
1.5. Кратномасштабный анализ
43
пространствах Wj, в соответствии с (4°). Ввиду условия (5°)
этот процесс может протекать очень эффективно.
Действительно, если упомянутое подпространство Vq по-
рождено единственной функцией ф G L2(R.) в смысле, что
Vo = closL2(R)(0o,A: : к G Z),	(1.5.2)
где
ф^к(х) :=2^2ф(2^х-к),	(1.5.3)
то все подпространства Vj также порождены той же функ-
цией ф (точно так же, как подпространства Wj порождены ф
согласно (1.4.3)), а именно
Vj = closL2(R)(^>fe : к G Z), j G Z. (1.5.4)
Отсюда процесс «счищения» с Vj подпространства Wj-i,
затем Wj-2,... ,Wj-j может быть выполнен достаточно эф-
фективно. Мы вернемся к этому рассуждению в следующем
параграфе.
Определение 1.7. Говорят, что функция ф G £2(R.) по-
рождает кратномасштабный анализ (КМА), если она поро-
ждает последовательность вложенных друг в друга замкну-
тых подпространств Vj, которые удовлетворяют условиям
(1°) — (3°) и (5°) в смысле (1.5-4), и {^*o,fe} образует базис
Рисса в Vq. Здесь, аналогично определению 1-4-, для того
чтобы {<^o,fe} была базисом Рисса в Vo, должны существо-
вать две константы А и В, 0 < А < В < оо, такие что
2
A||{Cfc}|& <
5 ск Фо,к
к=—оа
< яьш
(1.5.5)
для всех бесконечных суммируемых с квадратом последова-
тельностей {cfe}, то есть
оо
||{с*}||/2 = 52 icfei2 < °°-	(L5-5 6)
k=—ОО
44
Глава 1. Обзор
Если ф порождает КМА, то ф называется «масштабирую-
щей функцией».
Точное определение (КМА) будет дано в §5.1. Типичны-
ми примерами масштабирующих функций ф являются В-
сплайны m-го порядка Nm, где т — произвольное положи-
тельное целое число. Более точно, В-сплайн первого порядка
N-[ — это характеристическая функция единичного интервала
[0,1), и для т > 2 Nm определяется рекурсивно интегралом
свертки:
/•ОО	/*1
Nm(x) := / Nm-i(x—t)Ni(t)dt = / Nm-i(х-t)dt. (1.5.7)
J—oo	J О
Чтобы описать подпространство Vo, порожденное Nm, необ-
ходимо ввести следующие обозначения:
{тгп — множество всех полиномов степени не выше п.
Сп — множество всех функций / таких, что
/,	..., всюду непрерывны. Также пусть С = С°.
(1.5.8)
Подпространство Vb, порожденное Nm, состоит из всех
функций f G Ст~2 CZ2(R) таких, что на любом интервале
[fe, k +1), к G Z функция f принадлежит множеству 7rm-i, т.е.
f l[fc,fe-i)€ 7Tm_i, к е Z.
Из условия (5°) для КМА мы можем теперь определить все
другие подпространства V}, а именно
Vj = {/ е Ст~2 П £2(R) : / Ь *±1,6 к е Z}.
’ 23 >
Так как сплайны — кусочно-полиномиальные функции, то они
легко могут использоваться при вычислениях. Действитель-
но, алгоритмы для графического изображения кривых с по-
мощью сплайнов и для вычисления их полиномиальных соста-
вляющих, особенно в терминах В-сетей (или коэффициентов
Бернштейна—Безье), чрезвычайно эффективны. Сверх того,
1.5. Кратномасштабный анализ
45
так как В-сплайны имеют наименьший возможный носитель,
то применимы схемы локальной интерполяции для аппрок-
симации функций в С A L2(R) с помощью любого сплайн-
подпространства Vj. Все такие алгоритмы могут использо-
ваться в режиме реального времени. Детали будут изучены
в главе 4.
Из последовательности вложенных друг в друга сплайн-
подпространств Vj мы получаем подпространства Wj как ор-
тогональные дополнения, а именно:
vj+1 = Vj Ф Wj, j G Z.	(1.5.9)
Эти подпространства Wj взаимно ортогональны и образуют
ортогональное разложение L2(R), как это следует из (1-4.7)
и (1.4.8). Точно так же, как В-сплайн Nm является функци-
ей с наименьшим носителем, порождающей {V}}, интересно
найти функцию г/’т G Wq с наименьшим носителем, которая
порождала бы взаимно ортогональные подпространства Wj,
в смысле (1.4.3), с функциями V’m,.?,*: вместо V’J,*:, где
- к), j, keZ. (1.5.10)
Эти функции с компактным носителем, ipm, будут называться
В-вэйвлетами порядка т. В главе 6 будут выведены явные
формулы для всех г/’т и их двойственных ipm, т = 1,2,.. Ин-
тересно сравнить носители В-сплайнов и В-вэйвлетов. Под
носителем непрерывной функции f, обращающейся в нуль вне
некоторого ограниченного интервала, мы понимаем наимень-
шую замкнутую область, вне которой / тождественно равна
нулю. Стандартное обозначение - supp /. Мы увидим, что
supp Nm = [0,m],
<	(1.5.11)
> supp = [0,2m - 1]
для всех т = 1,2,.... Кроме наименьшего носителя В-вэй-
влеты V’m обладают многими другими важными свойствами.
46
Глава 1. Обзор
Здесь мы отметим только три из них. Во-первых, из (1.5.9)
следует, что каждый фт является п.о. вэйвлетом. Во-вторых,
нетрудно построить эффективные алгоритмы вычисления фт
и всех его производных. И наконец, В-вэйвлеты фт — симме-
тричны для четных т и антисимметричны для нечетных т;
это означает, что
V’m(aj) = 'Фт^'т — 1 — х) для четных т, (15 12)
,фт{х') = —фт(2т — 1 — х) для нечетных т.
Симметрия и антисимметрия вэйвлет-функций очень важны
в приложениях, связанных с анализом сигналов. Например,
эти понятия играют главную роль для устранения искажений
при восстановлении сжатой информации. Этот вопрос будет
обсуждаться в главе 5. Другие интересные свойства будут
изучены в главе 6.
1.6. Вэйвлет-разложения
и вэйвлет-восстановления
Вернемся к рассмотрению основной структуры кратномас-
штабного анализа и вэйвлетов, как это определено в (1.5.1),
где {V) } порождена некоторой масштабирующей функцией
ф G £2(R) и {W/} порождена некоторым вэйвлетом ф G
L2(R). В этом случае, ввиду условия (2°), каждая f из £2(R)
с любой желаемой точностью может быть приближена функ-
цией G Vy при некотором N € Z. Так как Vj = Vj-i+Wj-i
для любого j € Z, /jv имеет единственное разложение:
fN — fN-1 + 9N-1,
где fN-i G Vy-i и 9n-i G W^-i- Повторяя этот процесс,
имеем:
fN = 9N-1 + 9N-2 Н--Н 9N-M + /n-M,
(1.6.1)
1.6. Вэйвлет-разложения
47
где fj EVj и gj G Wj для любого j иМ выбирается так, чтобы
/jv-м была достаточно «размыта». «Разложение» в (1.6.1),
которое единственно, называется вэйвлет-разложением, и
«размытость» измеряется в терминах «колебаний» (или бо-
лее точно, частоты или числа периодов на единицу длины)
функции fiy-м- Наименее эффективный «критерий останов-
ки» состоит в требовании, чтобы ||/лг-м|| был меньше неко-
торого порога. В последующем мы обсудим алгоритмический
подход к выражению fa в виде прямой суммы его компонент
дн-1,... iQn-m и fa—M и восстановлению /дг по этим ком-
понентам.
Так как масштабирующая функция ф 6 Vq и вэйвлет
ф G Wq принадлежат Vi, a Vj. порождено </>1Дя) = 2^2ф(2х —
к), к G Z, то существуют две последовательности {рк} и
Ш е £2 такие, что
^(ж) =	(1.6.2)
fc
v»(®) = 52qk №x ~(i.6.3)
k
для всех x G R. Формулы (1.6.2) и (1.6.3) называются двух-
масштабными соотношениями масштабирующей функции и
вэйвлета, соответственно. С другой стороны, так как ф(2х)
и ф(2х — 1) принадлежат Vj и Vj = Vq+Wq, то существуют
четыре £2 последовательности, которые мы обозначаем как
{a-2fc},{b-2fe},{ai-2k} и {bi-2fe},fc G z, такие чт0
^(2х) = Ф(х ~ *0 + b-2k Ф(х - fc)],	(1.6.4)
к
ф(2х - 1) = 52tai-2fe Ф(х ~ fc) + &i-2fc Ф(х ~ fc)] (1-6.5)
к
для всех х G R. Две формулы (1.6.4) и (1.6.5) могут быть
объединены в одну:
ф(2х~1) = ^/[ае-2кФ(х-к)+Ье-2кФ(х-к)], leZ, (1.6.6)
к
48
Глава 1. Обзор
которая называется соотношением разложения для ф и гр.
Теперь мы имеем две пары последовательностей ({р*;}, {%})
и ({afc}, {&&}), которые единственны и проистекают из пред-
ставления в виде прямой суммы Vj = Vo+Wo. Эти последова-
тельности используются для определения последующих ал-
горитмов разложения и восстановления. Поэтому, {pk} и {%}
называются последовательностями восстановления, тогда как
{а^} и — последовательностью разложения.
Для того чтобы описать эти алгоритмы, сначала напо-
мним, что обе функции /) G V) и ffj 6 Wj единственным
образом представляются рядами:
к
.где с-’ = {с£} G £2
fe •
.где cP = {</{} G €2,
здесь мы умышленно опустили нормировочный коэффициент
2J/2, написав ф(%>х — к) и гр^х — к) вместо обычных ф-^ь и
V’y.fe, для того чтобы избежать ненужного умножения на у/2 в
алгоритмах. В следующих алгоритмах разложения и восста-
новления функции fj и gj представлены с помощью последо-
вательностей с-? и cP, как это определено в (1.6.7) и (1.6.8).
(а)	Алгоритм разложения
Применяя (1.6.6)-(1.6.8), имеем
с?-1 =
Як
Щ-1 -
ак
at—4k
t
^Ь^к^-
t
(1.6.9)
dv~'
dJV-2
CN~2
CN-M
&N-M
Рис. 1.6.1. Вэйвлет-разложение.
1.6. Вэйвлет-разложения
49
Заметим, что обе последовательности —cJ-1 и cP1 — по-
лучаются из cJ по схеме скользящего среднего, использующего
последовательности разложения в качестве «весов» с той осо-
бенностью, что эти скользящие средние вычисляются только
в четных точках. Это называется сгущающей выборкой. По-
этому каждая стрелка на рис.1.6.1 указывает на скользящее
среднее вместе со сгущающей выборкой.
(б)	Алгоритм восстановления
Применяя (1.6.2), (1.6.3) и (1.6.8), имеем:
4 =	+%-2£^-1]	(1.6.10)
t
&N-M
d^'
CN-M
Рис. 1.6.2. Вэйвлет-восстановление.
Здесь cJ получается из и cP-1 с помощью двух сколь-
зящих средних, использующих последовательности восстано-
вления в качестве «весов», с той особенностью, что разрежа-
ющая выборка должна быть выполнена до реализации сколь-
зящих средних. Более точно, значения с^-1 и берутся
при четных индексах т = 21 и нули —при нечетных индек-
сах т = 2£ + 1, затем выполняется (дискретная) свертка по
отношению к {рт} и {</m}.
Мы заканчиваем этот параграф несколькими замечания-
ми о двух приведенных выше алгоритмах. Во-первых, если
весовая последовательность ({а*,}, {Ь*,}, {pk} или {%}) конеч-
на, то соответствующий алгоритм скользящего среднего —
это очень простой фильтр с конечным импульсным откликом
(КИО-фильтр). Если, однако, весовая последовательность
бесконечна, то алгоритм скользящего среднего есть фильтр с
бесконечным импульсным откликом (БИО-фильтр). Как из-
вестно, БИО-фильтры могут быть использованы как филь-
4-3954
50
Глава 1. Обзор
тры с авторегрессивными скользящими средними (АРСС-
фильтры) в случае, если символ весовой последовательности
(или ее «z-преобразование») есть рациональная функция. Мы
будем называть такие весовые последовательности «АРСС-
последовательностями». Иначе, бесконечная весовая последо-
вательность должна быть усечена, чтобы привести к КИО-
фильтру. Во-вторых, если весовая последовательность состо-
ит из иррациональных чисел или чисел с длинным десятич-
ным разложением, то необходимо их округление («квантова-
ние»). Конечно, усечение и квантование влекут за собой по-
грешности, которые должны быть оценены a priori. Наконец,
так как масштабирующая функция и вэйвлет-пара (ф, ф) ис-
пользуются как «зеркальные фильтры», то симметрия (или,
по крайней мере антисимметрия) очень важна во многих при-
менениях, связанных с анализом сигналов. Например, при
восстановлении изображений по сжатой информации отсут-
ствие симметрии или антисимметрии влечет за собой суще-
ственные искажения. Как будет видно в главе 5, свойства
симметрии (ф, ф) находят свое отражение в симметрии после-
довательностей разложения и восстановления. Краткое опи-
сание методов обработки сигналов и изображений будет дано
в главе 3.
В главе 6 мы увидим, что в тех случаях, когда сплайн-вэй-
влеты фт (с минимальным носителем) используются в каче-
стве ф, последовательности восстановления конечны, а после-
довательности разложения — АРСС-последовательности. Все
эти последовательности симметричны для четных т и анти-
симметричны для нечетных т. Кроме того, выделяя общий
знаменатель членов последовательности, мы придем к после-
довательности с целочисленными членами.
С другой стороны, когда рассматриваются ортогональные
вэйвлеты ф с компактным носителем, то последовательности
разложения и восстановления конечны. Однако для непре-
рывных ф возможно отсутствие симметрии и антисимметрии,
и соответствующие последовательности разложения и восста-
1.6. Вэйвлет-разложения
51
новления должны быть подвергнуты квантованию. Детальное
обсуждение структуры и схем построения масштабирующих
функций и вэйвлетов будет дано в главе 5. В частности, в этой
главе будет изучена тесная связь между линейно-фазовой
фильтрацией и симметричными масштабирующими функци-
ями и вэйвлетами. Последние две главы посвящены соответ-
ственно полуортогональным и ортогональным вэйвлетам. Бо-
лее точно, достаточно полный анализ базисных сплайн-вэй-
влетов будет дан в главе 6, и рассуждения об ортогональных
вэйвлетах, особенно с компактным носителем, будут предста-
влены в главе 7. Также в эту главу будет включено краткое
рассмотрение ортогональных вэйвлет-пакетов, которые при-
меняются для лучшей частотно-временной локализации.
Глава 2
Анализ Фурье
Тема анализа Фурье —одна из самых старых в математиче-
ском анализе, она чрезвычайно важна как для математиков,
так и для инженеров. С практической точки зрения, когда
говорят об анализе Фурье, обычно имеют в виду (интеграль-
ное) преобразование Фурье и ряды Фурье. Преобразование
Фурье —это интеграл Фурье от некоторой функции /, опре-
деленной на вещественной оси R. Когда f представляется как
аналоговый сигнал, то ее область определения R называют
непрерывной временной областью. В этом случае преобразо-
вание Фурье f от f описывает спектральное поведение сиг-
нала /. Так как спектральная информация дается в терми-
нах частоты, область определения преобразования Фурье f,
которой также является R, называется частотной областью.
С другой стороны, ряды Фурье —это преобразование беско-
нечных последовательностей в периодические функции. Сле-
довательно, когда бесконечная последовательность предста-
вляет собой цифровой сигнал, то его область определения,
которой является множество целых чисел Z, называется дис-
кретной временной областью. В этом случае ряд Фурье так-
же описывает спектральное поведение цифрового сигнала, и
область определения ряда Фурье также вещественная ось R,
2.1. Прямое и обратное преобразования Фурье
53
которая является частотной областью. Однако, так как ряды
Фурье имеют период, равный 2я, частотная область R в этом
случае обычно идентифицируется с единичной окружностью.
Для математика такое отождествление более предпочтитель-
но, так как «дуальная группа» Z — это «группа окружно-
сти».
Важность преобразования Фурье и рядов Фурье происте-
кает не только из значительности их физической интерпрета-
ции, как при частотно-временном анализе сигналов, но так-
же из того факта, что аналитическая Фурье-техника явля-
ется весьма мощной. Так, например, при изучении вэйвлет-
анализа часто встречается формула суммирования Пуассо-
на, равенство Парсеваля для рядов и для интегралов, пре-
образование Фурье функции Гаусса, свертка функций, дель-
та-функция и т.д. Так как предполагается, что эта моно-
графия должна быть самодостаточной, то есть содержать
все нужные для изложения данные, то в этой главе будут
приведены предварительные материалы по основам анализа
Фурье.
2.1. Прямое и обратное
преобразования Фурье
В этой главе предполагается, что все функции /, определен-
ные на вещественной оси R, измеримы. Для читателя, кото-
рый не владеет основами теории Лебега, но хочет понять не-
которые основные теоремы, можно допустить, что / — кусоч-
но непрерывны, то есть можно считать, что в каждом случаи
существуют точки {х^} на R, не имеющие конечных точек
сгущения такие, что х/ < Xj+i для всех j и что f непрерывна
на каждом открытом интервале (xj,Xj+i) так же, как на бес-
конечных интервалах (—oo,minxj) и (тахт?, ос), если minxj
или maxxj существуют. Для каждого р, 1 < р < оо, обозна-
чим через LP(R) класс измеримых функций f на R таких,
54
Глава 2. Анализ Фурье
что интеграл (Лебега)
гео
/ |/(®)|pdx
J—оо
конечен. Также обозначим через £°°(R) множество почти
всюду (п.в.) ограниченных функций; такими являются функ-
ции, ограниченные всюду, кроме множества меры (Лебега)
нуль. Отсюда, наделенное «нормой»
I	дая 1<Р<оо,
| ess sup |/(т)| для р = оо,
L	—оо<х<оо
каждое 77*(R), 1 < р < оо, является пространством Банаха.
Так как в этой вводной монографии для понимания сущности
вэйвлетов и частотно-временного анализа не требуется допол-
нительных знаний о структуре пространств Банаха, читатель
должен только знать несколько элементарных свойств норм
If (R) таких, как неравенство Минковского:
||/+9||Р<||/||Р + ЫР	(2-1.1)
и неравенство Гельдера:
Il/Plli < У1Ш1р(р-1)-Ь	(2.1.2)
гдер(р—I)-1 должно быть заменено 1 прир = оо. Следствием
неравенства (2.1.2) является неравенство Шварца:
11/9111 < ||/||2||9||2.	(2.1.3)
Отсюда, ввиду (2.1.3), мы можем определить «скалярное про-
изведение»
гоо _______
{f,9}=	f(^9(x)dx, /,pGZ2(R).	(2.1.4)
J—оо
2.1. Прямое и обратное преобразования Фурье
55
Наделенное этим скалярным произведением Банахово про-
странство Ь2(Н.) становится Гильбертовым пространством.
Ясно, что
(/,/> = 11/111 /еь2(н>.	(2.1.5)
В дальнейшем в первую очередь мы сосредоточим наше
внимание на функциях из L1 (R). Как обычно (для математи-
ков), мнимая единица будет обозначаться через г. Инженеры-
электрики могут при желании во всем тексте заменить i на j.
Определение 2.1. Преобразование Фуръе функции
f G Ьг(В.) определяется как
/ОО
e-^f^dx. (2.1.6)
-оо
Некоторые основные свойства f(w) для любой f G £1(R)
объединены в следующей теореме.
Теорема 2.2. Пусть f G £1(R). Тогда ее преобразование
Фуръе f обладает следующими свойствами:
(a)	/gL°°(R), где 11/Цоо < ||/||/;
(б)	f равномерно непрерывна на R;
(в)	если производная f от f также существует и при-
надлежит £1(R), то
/'(w) —	(2.1.7)
(г)	/(ш) —> 0 при ш -> оо или —оо.
Доказательство. Утверждение (а) очевидно. Для доказа-
тельства (б) возьмем произвольное д и рассмотрим
sup |/(w + <5) —/(w)| = sup [ е~шх(е~г6х — l)f(x)dx
W	(jJ J — оо
/•оо
< / Ki<Sl - 1|I/(*W
J—оо
56
Глава 2. Анализ Фурье
Так как |е-г<?х — 1||/(ж)| < 2|/(я)| G TX(R) и |е-г<?х —1| -> 0 при
5 —> О, то по теореме Лебега о переходе к пределу под знаком
интеграла имеем, что величина, стоящая справа, стремится к
нулю при <5 —> 0.
Для доказательства (в) мы применяем стандартную тео-
рему интегрирования по частям в (2.1.6), используя тот факт,
что /(ж) —> 0 при х -> ±оо.
В завершение, утверждение (г) часто называют леммой
Римана—Лебега. Для ее доказательства заметим сначала,
что если f существует и принадлежит LX(R), то из (в) и
(а) мы имеем
при ш —> ±оо. В общем случае для любого е > 0 можно найти
функцию д такую, что д,д' € TX(R) и ||/ —	< е. Тогда из
утверждения (а) мы имеем
№)| <№)'з(ч)1 + Ж1
< II/-fllli + <е + |^(ш)|,
завершающее доказательство (г).	□
Хотя /(ш) -> 0 при ш —> ±оо для любой / G £X(R), это не
означает, что / обязательно принадлежит £X(R). Чтобы по-
строить контрпример для демонстрации этого замечания, бу-
дем использовать понятие так называемой «ступеньки Хэви-
сайда»
{1 для х > а,
0 для х < а,
(2.1.8)
где а G R.
Пример 2.3. Функция
/(ж) = е Хио(х)
2.1. Прямое и обратное преобразования Фурье	57
принадлежит L1(R), но ее преобразование Фурье
не принадлежит L^R).
Доказательство. Из равенства е~^х = cos wx — i sin шх име-
ем:	_
ОО	/-ОО
е~х cos ojxdx — i I e~x sin wxdx
Jo
1 iw _	1
1 + w2 1 + w2 1 + iw’
„ 1
которая убывает на бесконечности как — и, следовательно,
гш
не принадлежит L^R).	□
Если f принадлежит £1(R), то мы можем «восстановить»
f по /, используя «обратное преобразование Фурье», опреде-
ленное следующим образом.
Определение 2.4. Пусть f G £X(R) - преобразование Фу-
рье некоторой функции f € Z1(R). Тогда обратное преобра-
зование Фурье от f определяется как
1 Г°°
(^-1/)(х) := - / e^f^du. (2.1.9)
Поставим следующий важный вопрос: когда f может быть
восстановлена по f с использованием оператора .F-1, т. е. ко-
гда (J7-1/)^) = /(®) ? Ответ следующий: в любой точке х,
где f непрерывна. Этот ответ является содержанием следу-
ющей теоремы.
Теорема 2.5. Пусть f G I/^R) такая, что ее преобразо-
вание Фурье f также принадлежит Z1(R). Тогда
f(x) = (J^1/»	(2.1.10)
в любой точке х, где f непрерывна.
58
Глава 2. Анализ Фурье
Мы отложим доказательство этой теоремы до следующе-
го параграфа. Вместо этого мы закончим параграф выводом
формулы преобразования Фурье для «функции Гаусса».
Пример 2.6. Пусть а > 0. Тогда
(2.1.11)
В частности, преобразование Фурье функции Гаусса е
равняется у/яе~ш
Доказательство. Рассмотрим функцию
f{y} := / e~ax +X”dx, у G R.
J—оо
(2.1.12)
Дополняя до квадрата, получим
/(у)= Г е~а^
ОО
= 4=е^2/4а [°° e~x2dx
Уа J-оо
у2
4а dx
(2.1.13)
Так как обе функции: /(у), определенная (2.1.12), и функция
могут рассматриваться как целые (аналитические) функции,
равные друг другу на R, как это показано в (2.1.13), они долж-
ны совпадать на всей комплексной плоскости С. В частности,
положив у равным — iw, получим
Г°°	2
( e“iwie"ai
—оо
ш2
4а ,
9{У} =
□
2.2. Непрерывно-временная свертка
59
2.2. Непрерывно-временная свертка
и дельта-функция
Пусть fug принадлежат Z1(R). Тогда h - (непрерывно-вре-
менная) свертка функций f и д — также является функцией
из LX(R) и определена формулой
/•ОО
/г(я) = (/ * д)(х) := / f(x - y)g(y)dy.
J —оо
(2.2.1)
Ясно, что h G £1(R); действительно,
ЦЛ111 < 11/1ЫЫ11,
(2.2.2)
так как
'ОО
ОО /*оо
/	\f&-y)\\g(y)\dydx
-оо J —оо
dy
Замена переменных интегрирования в (2.2.1) дает равенство:
f*9 = 9*f, LgtL^TL).	(2.2.3)
Это означает, что оператор свертки коммутативен. Так как
f * д принадлежит L^R), мы можем снова свернуть f * д с
другой функцией и G £1(R) и рассматривать (/ *д) *и. Легко
видеть, что
(J *д)*и = f *(д*и), f,g,u G T1(R).
Следовательно, оператор свертки ассоциативен.
(2.2.4)
60
Глава 2. Анализ Фурье
Поставим следующий вопрос: существует ли некоторая
функция, назовем ее d G L^R), такая, что
/*</ = /, /GL»?	(2.2.5)
Ответ отрицательный, и это может быть показано с исполь-
зованием методов преобразования Фурье. Сначала сформу-
лируем следующее важное свойство оператора преобразова-
ния Фурье.
Теорема 2.7. Пусть fug принадлежат £1(R). Тогда
(f*g)4")=4")g(")-	(2.2.6)
Так как доказательство тривиально следует из теоремы
Фубини, то оно здесь опущено.	□
Теперь, если существует функция d G bx(R) такая, что
имеет место равенство (2.2.5), то, применяя теорему 2.7, мы
имеем
f(")d(a>) = /», /GL^R).
Это означает, что мы должны иметь d(yj) = 1, что противоре-
чит лемме Римана — Лебега и утверждению (г) теоремы 2.2.
Однако мы все-таки хотим «приблизить» d в (2.2.5), так
как даже приближение тождественности свертки (или
просто приближенная тождественность) является очень
важным инструментом в анализе Фурье.
Из предыдущих рассуждений мы видим, что первым огра-
ничением на семейство функций {ф>} С £1(R), которые по-
зволяют приблизить тождественность, есть условие
da(w) ~ 1, шб R,	(2.2.7)
где, например, а -> 0. В частности, можно пронормировать
эти функции, положив ф>(0) — 1 или, что то же самое,
( da(x)dx = 1.	(2.2.8)
J —оо
2.2. Непрерывно-временная свертка
61
Рис. 2.2.1. Функции Гаусса да,а = 1,
Отличным кандидатом для такого семейства является семей-
ство функций Гаусса
[	__ Xе"
да(х) := - ,—е	, а > 0.
2у/яа
(2.2.9)
Действительно, применяя (2.1.11) в примере 2.6 с а = 1/(4а),
мы имеем
о
да(и) = е-™ ,
(2.2.10)
которое очевидно удовлетворяет (2.2.7) и (2.2.8). Графики да
для последовательности убывающих значений а > 0 приве-
дены на рис. 2.2.1.
Заметим, что если да используется в качестве «весовой»
функции для непрерывной функции f из £1(R), то вес все
более сосредоточивается в окрестности начала координат при
а —> 0+; таким образом,
/ОО
f(z-y)ga(y)dy~f(x-O) = f(x), а->о+;
•оо
62
Глава 2. Анализ Фурье
что то же самое, что
(f*9a)(x)	а —> 0+.
Более точно, мы имеем следующую теорему.
Теорема 2.8. Пусть f 6 I<1(R). Тогда
lim (/ * за)(ж) = /(ж)	(2.2.11)
а-»0+
в любой точке х, где f непрерывна.
Доказательство. Пусть f непрерывна в точке х и г > О
произвольно заданное число. Выберем у > 0 такое, что
\f(x-y) ~f(x)\ < £
для всех у е R, |у| < гр Тогда, используя (2.2.8) с da = ga,
мы имеем
гоо
\(f*9a)(x)-f(x)\= / [f(x -у) - f(x)]ga(y)dy
J —оо
< / \f& -у} - f(x)\ga(y)dy
J-T]
+ [	|/(® - y) - f(x)\ga(y)dy
/»?	Г
ga(y)dy+ П/Ill maxga(y) + |/(ж)| / ga(y)dy
-v	J\v\>n
<£ [ ga(.y)dy + \\f\\iga(y) + \f(x}\ f giiy'jdy
J-OO
= E + ||/||1Уа(у) + |/(®)| [	91(y)dy.
J\y\>ri/Va
Так как gairj) и последнее слагаемое стремятся к нулю при
а —> 0+, то теорема доказана.	□
2.2. Непрерывно-временная свертка
63
Теперь рассмотрим С — множество непрерывных функций
из L1(R). Тогда для любого х G R каждая да может быть
рассмотрена как линейный функционал в С, определенный
формулой
ga°f(x- ) •=
Одновременно мы рассматриваем линейный функционал 6 в
С, определенный как
(2.2.12)
Тогда (2.2.11) в теореме 2.8 утверждает, что
да —6 в С, а —0+.	(2.2.13)
Так как 6 * .f = /, то 6— «тождественная свертка» и, следо-
вательно, {да} — аппроксимация тождественной свертки. На-
помним, что S не является функцией из L1(R), фактически
это вообще не функция, так как удовлетворяет равенствам
p(z) = 0 для всех х ± 0,	.
(2‘2'14)
Хотя этот линейный функционал J часто называют «дельта-
функцией», на самом деле это «обобщенная функция» или
«распределение». Как мы отметили ранее, так как 6 * / = /
для всех / G С, то мы должны определить преобразование
Фурье от 6 равным константе 1, а именно:
5(w) = 1.	(2.2.15)
В завершение этого параграфа продемонстрируем воз-
можности приближенной тождественности {да} для доказа-
тельства теоремы 2.5 из предыдущего параграфа. Сначала
установим равенство:
/°°	г00
f(x}g(x)dx = f(x)g(x)dx,	(2.2.16)
-оо	J—оо
64
Глава 2. Анализ Фурье
Заметим, что так как f и д принадлежат L°°(R), как это
показано в теореме 2.2 (а), оба интеграла в (2.2.16) конечны
вследствие неравенства Гельдера (2.1.2) при р = 1. Простое
применение теоремы Фубини приводит к равенству (2.2.16).
Доказательство Теоремы 2.5. Пусть х 6 R —фикси-
ровано, положим
1	-	2
у(у) := ^е-аУ
(2.2.17)
Тогда, применяя (2.1.11) из примера 2.6, имеем
у(у) = ~ Г
J — QQ
= — f°° e-^-^e-^dt
2л- J-oo
1 Пг	/ ч
= 7Г\~е 4а =у«(ж-у)>
2тг у а
где да определено формулой (2.2.9). Итак, из (2.2.16) и (2.2.17)
следует, что
/ОО
= / /(у)5а(« - y)dy
J—оо
/•ОО
= / Лу)у(уМу
J —оо
= [ Лу)у(уМу
J —оо
1	Г00 . л	2
= _L /	e^/(y)e-^2dy.
2% оо
(2.2.18)
Если теперь / — непрерывная функция х. то по теоре-
ме 2.8 выражение в левой части формулы (2.2.18) схо-
дится к /(ж) при а —> 0+. Поэтому, так как выраже-
2.3. Преобразование Фурье функций
65
ние в правой части (2.2.18) стремится к (Т7 1f)(z), мы
имеем
/(ж) = (Z-1f)(a;).	□
2.3.	Преобразование Фурье функций,
интегрируемых с квадратом
В этом параграфе мы вводим определение преобразования
Фурье для функций из Z2(R). Для этого нам необходимо по-
нятие « автокорреляции ».
Определение 2.9. Автокорреляционная функция от
f G L2(R) определяется как
/ОО	____
= f(s + y)f(y)dy.	(2.3.1)
J—оо
Заметим, что ввиду неравенства Шварца (2.1.3) подын-
тегральная функция в (2.3.1) принадлежит L1(R), поэтому
F(F) имеет конечное значение при любом х G R. Как следует
далее, фактически мы можем сказать немного больше.
Лемма 2.10. Пусть F — автокорреляционная функция от
f G L2(R). Тогда:
(a)	|F(®)| < ||f Ц2 для всех х Е R и
(б)	F — равномерно непрерывна на R.
Доказательство. Как указано выше, (а) является следстви-
ем неравенства Шварца
гоо	____
№)|< /	|f(ж + y)||f(y)|dy
J —00
( Г о®	> 1/2
~ \J ^^ + y)l2dyJ 11/Н2
= \\f\\i
5-3954
66
Глава 2. Анализ Фурье
Для доказательства (б) мы рассмотрим произвольное веще-
ственное число г] и снова применим неравенство Шварца
\F(x + rf) -F(z)|
= [ {f(x + r] + y)~ f(x + y)}f(y)dy
J-оо
f roo	> 1/2
~\J \f(x + y + y)-f(x + y^2dy)
( rca	'i 1/2
=	1/(17+ У) -/(y)|2dy| 11/112-
Так как / G L2(R), то по теореме Лебега интеграл внутри
фигурных скобок, который не зависит от х, стремится к нулю
при р —> 0.	□
Следующий результат позволяет распространить понятие
преобразования Фурье на функции из L2(R).
Теорема 2.11. Пусть f G L1(R) P)L2(R). Тогда преобразо-
вание Фурье f от f принадлежит L2(R) и удовлетворяет
следующему «равенству Парсеваля»:
Н/Ill = 2«	(2.3.2)
Доказательство. Так как / — непрерывная функция, стре-
мящаяся к нулю на бесконечности, что вытекает из те-
оремы 2.2, то семейство {gQ}, определенное в (2.2.10),
может быть использовано как весовая функция, так что
5а|/|2 е I/CR-)- Заметим, что
[ ga(x)\f(x)\2dx = f ga(x)f(x)f(x)dx
J—оо	оо
eix^~^ga(x)dx
dudy,
где, с точностью до множителя (2тг)-1, выражение внутри
квадратных скобок есть обратное преобразование Фурье от
да. Следовательно, по теореме 2.5 мы имеем
гое	а	гоо	гоо ___
/ ga(x)\f (z)|2dz = 2тг/ f(y) f(u)ga(y — u)dydu,
J — OO	J— oo	J— oo
2.3. Преобразование Фурье функций
67
где да определено в (2.2.9). Итак, используя понятие автокор-
реляции, введенное в (2.3.1), мы приходим к равенству
[ ga(x)\f(x)\2dx = 2тг f F(x)ga(x)dx.
J—оо	J —оо
Так как F — непрерывная функция и {</Q} —приближение
^-распределения, имеем
lim [ ga(x)\f(x)\2dx = 2ttF(0).	(2.3.3)
а—>0+ ./„оо
Теперь'по теореме Фату получаем, что / G L2(R); и так как
О < да|/12 < |/|2, теорема Лебега позволяет перейти к пределу
под знаком интеграла в (2.3.3), что дарФ
4
Г00 л	*
/	|/(®)|2<& = 2тг^(0) =;^||/|||.
J —ОО	/'
Этим завершается доказательство теоремы 2.11.	□
Как следствие из теоремы 2.11 мы видим, что преобра-
зование Фурье F может рассматриваться как ограниченнный
линейный оператор в LT(R) A L2(R) со значениями в L2(R);
таким образом
F : L^R) A L2(R)	£2(R)
и ЦТ7!! = д/2тг. Так как L^R) A T2(R) плотно в Z2(R), F мо-
жет быть распространено на все Z2(R) с сохранением нормы.
Более точно, если / G L2(R), то усеченные функции
МУ < 0
для |я| < N,
в остальных точках,
(2.3.4)
где N — 1,2,... принадлежат L1(R) A L2(R), так что
/дг G L2(R). Легко видеть, что {fiv} удовлетворяет критерию
5*
68
Глава 2. Анализ Фурье
Коши в L2(R), и ввиду полноты L2(R) существует функция
/оо € L2(R) такая, что
lim ||/у -/00II2 = 0.
N—юо
Определение 2.12. Преобразование Фуръе f функции
f 6 b2(R) определяется как предел последовательности
{fN} и обозначение
/(w) =	Мш)	(2.3.5)
/N
e~lujxf(r)dx
N
будет использоваться в смысле «предела в среднем».
Конечно, определение / для / 6 £2(R) не должно зави-
сеть от выбора Jjv € £1(R) nL2(R). Другими словами, любая
другая последовательность Коши из L1 (R) П L2 (R), которая
приближает / в L2(R), может быть использована для опре-
деления /. Но ввиду его простоты усечение /, как это сде-
лано в (2.3.4), часто используется на практике, в частности
в анализе сигналов. Заметим также, что продолжение Т из
Z1(R)nZ2(R) на Z2(R) находится в соответствии с исходным
определением Т на L1(R). Это легко проверить, используя
основы теории Лебега. Особое внимание следует уделить то-
му факту, что равенство Парсеваля (2.3.2) распространяется
на все L2(R). На самом деле несколько больше дает следую-
щая теорема.
Теорема 2.13. Для любых f,g& Z2(R) справедливо следую-
щее равенство
=	(2.3.6)
27Г
В частности, Ц/Ц2 = (2тг)~2 Ц/Ц2-
Равенство (2.3.6) также называют равенством Парсеваля.
2.3. Преобразование Фурье функций
69
Доказательство. Из вышепроведенных рассуждений следу-
ет, что
||4||2 = 27ГЦЛЦ2, h е L2(R).
Если положить h равным каждой из четырех функций
/ + 9, f - 9, f ~ig, f + ig,
то, используя формулу для скалярного произведения
д) = II/ +^112 — II/ — gill + II/ - ggllz - II/ + ^'g111 (2 3 7)
мы придем к равенству (2.3.6).	□
Напомним, что когда в определении 2.4 было введено обрат-
ное преобразование Фурье J7-1, мы должны были ограничить
область определения 77-1 пересечением LX(R) с образом Т7,
потому что Т не отображает L1(R) в L1(R). Кроме того, мы
даже не можем писать
/(*) =
если / не является непрерывной функцией в точке х. С другой
стороны, теория £2(R) гораздо более элегантна. Мы видим,
что Т7 отображает L2(R) в себя. Мы покажем, что это отобра-
жение является взаимно однозначным отображением не «в»,
а «на», так что обратное преобразование Фурье 77-1 может
быть легко определено.
Чтобы продолжить наши рассуждения, потребуются пред-
варительная лемма и обозначение.
Лемма 2.14. Пусть f,g G _L2(R). Тогда
f f(x)g(x)dx = [ f(x)g(x)dx. (2.3.8)
70
Глава 2. Анализ Фурье
Доказательство. Как показано в (2.2.16), равенство (2.3.8)
справедливо для f,gE L^R); так как L1(R) Я £2(R) плотно
в L2(R), то легко видеть, что (2.3.8) справедливо также для
/,5G£2(R).	□
Определение 2.15. Для любой f, определенной на R,
функция f~ определяется как
/-(т) := /(-х).	(2.3.9)
Мы называем f~ «отражением» f (относительно исходной
функции).
Очевидно следующее замечание.
Лемма 2.16. Пусть f G L2(R). Тогда
1(х) = (Р)(х)-, (p)(x) = (f)~(x).	(2.3.10)
Теперь мы можем установить обратимость оператора пре-
образования Фурье на Z2(R).
Теорема 2.17. Преобразование Фурье Т7 осуществляет вза-
имно однозначное отображение L2(R) на себя. Другими
словами, любой g G L2(R) соответствует одна и только
одна f G L2(R) такая, что f = g; таким образом
ф(х)‘.= (Д~1д)(х)=:д(х)	(2.3.11)
есть обратное преобразование Фурье от д.
Доказательство. Пусть д G Z2(R). Тогда ее отражение
д~, как определено в (2.3.9), также принадлежит L2(R). Сна-
чала покажем, что функция
/(я) := ^(5~)(я)	(2.3.12)
удовлетворяет равенству f = д п.в.
2.4. Ряды Фурье
71
Действительно, применяя последовательно (2.3.10), лем-
му 2.14, (2.3.12), снова (2.3.10) и равенство Парсеваля, по-
лучим
115-/112 = \\g\\22~2Re{g,f) + \\f\\22
= \\g\\l-2Re(g,(r)) + \\f\\22
= \\g\\22-2Re(g,(f)-) + \\f\\22
= \\gf2-2Re(g,r) + \\f\\22
= bill - 2Яе /g, ~g\ + ||/|||
\ Z7F j
= illslli - Лий + WII2
2тг 2tt
= -Л|И + ^-Н?Е = о,
2ТГ	2?Г
откуда / = g п.в.
Демонстрация того, что /, определенная формулой
(2.3.12), единственная функция в L2(R) такая, что / = д,
эквивалентна доказательству того факта, что / — 0 влечет
f = 0 п.в. Это является непосредственным следствием равен-
ства Парсеваля в теореме 2.13.	□
L2(R) теория преобразования Фурье, рассмотренная вы-
ше, часто носит название теории Планшереля.
2.4.	Ряды Фурье
Обратимся теперь к изучению 2тг-периодических функций.
При любом р, 1 < р < оо, будет использоваться следующее
обозначение:
||/||ьр(0,2тг) = "
2л
|/(*)W1/p
ess sup |/(х)|
0<х<2тг
ДЛЯ 1 < р < ОО,
для р = оо.
(2.4.1)
72
Глава 2. Анализ Фурье
Для любого р, Lp(0,2л) определяет банахово пространство
функций /, удовлетворяющих равенству /(х+2л) = /(ж) п.в.
на R таких, что ||/||ьр(о,2тг) < Иногда целесообразнее ис-
пользовать подпространство непрерывных функций С* [0,2 л]
пространства L00 (0,2 л) вместо всего £°°(0,2 л). Здесь * ис-
пользуется для напоминания того, что /(0) = /(2л), если
/ е С7*[0,2тг].
Неравенства Минковского, Гельдера и Шварца для ZT’(R)
в (2.1.1), (2.1.2) и (2.1.3) справедливы также для £₽(0,2л). В
частности, для р = 2 мы можем снова определить «скалярное
произведение»
1	г2~	____
^’9^ = ^ f(z)g(x)dx,
2л Jo
f ,д е Ь2(0,2тг),	(2.4.2)
где звездочка используется, чтобы отличить это скалярное
произведение от скалярного произведения в L2(R). Позже
нам понадобится также следующее обобщенное неравенство
Минковского:
(2.4.3)
здесь обобщение состоит в простой замене конечной суммы
интегралом (Лебега) в конечных пределах. Заметим также,
что в противоположность пространствам ^/(R), которые не
вложены друг в друга, мы имеем
1/(0,2л) С 1/(0,2л), р>д.
Это может быть легко проверенно с помощью неравенства
Гельдера.
Сопутствующими пространств Lp(0,2л) являются про-
странства (последовательностей) = ^P(Z) бесконечных по-
2.4. Ряды Фурье
73
следовательностей {а*,}, к G Z, которые удовлетворяют нера-
венству: |({ajb}|k₽ < оо, где
Е Ыр
fcez )
sup |afc|,
fc

для 1 < p < оо,
для р = оо.
(2.4.4)
И снова, неравенства Минковского, Гельдера и Шварца вы-
полняются для пространств последовательностей. Аналогич-
но пространствам Гильберта L2(R) и Т2(0,2тг), пространство
£2 _ ^2(2) также является пространством Гильберта со ска-
лярным произведением:
<{«fc}, {М>£2 := 22 akbk-	(2.4.5)
fceZ
Напомним, что интегральное преобразование Фурье ис-
пользуется для описания спектрального поведения анало-
гового сигнала /, имеющего конечную энергию (то есть
f Е L2(R)). Здесь мы вводим дискретное преобразование
Фуръе Т* цифрового сигнала {с*,} G для описания его спек-
трального поведения следующим образом:
(r{ck}){Xy.= ^ckeikx.	(2.4.6)
fcez
Таким образом, дискретное преобразование Фурье {ск} явля-
ется «рядом Фурье» с «коэффициентами Фурье», равными
{cfc}. Мы не обсуждаем вопрос о сходимости рядов Фурье в
(2.4.6), но для {с*,} 6 ясно, что эти ряды сходятся абсолют-
но и равномерно для всех х Е R. В общем случае, формаль-
ный ряд (2.4.6) может быть рассмотрен просто как «символ»
последовательности {с*,}.
Так как егх = cost 4- г sin я, ряд Фурье в (2.4.6) может
быть записан как
/(ж) := 22 ckelkx = у- + 22 afc cos + У? kfc s^n (2.4.7)
fc=—оо	fc=l	fc=l
74
Глава 2. Анализ Фурье
где
{ак — ск 4” С—fc,
(2.4.8)
bk = i{Ck - С-к)-
Формулы (2.4.8) могут быть легко выведены с помощью ра-
венств:
{	га: _ p-ix
sinx =	e-s
егх + е~гх
cos x =----------.
Li
Обозначение функции /(x) в (2.4.7) используется только как
обозначение ряда Фурье. Это может и не быть функцией. В
любом случае мы всегда можем рассматривать тригонометри-
ческие полиномы
N	N
(Swf)(x) := 57 скегкх = у + 57{afc cos кх + bk sin fcx},
k=-W	к=1
(2.4.9)
где N — положительное целое. Они называются частными
суммами рядов Фурье функции f.
Особую важность представляет тригонометрический мно-
гочлен степени N
Dn(x) := ^ + cosкх =	(2-4.10)
2 fc=l	2 Sin 2
который называется ядром Дирихле степени N. Заметим, что
по крайней мере формально N-я частная сумма ST/jf ряда Фу-
рье / может быть получена как «свертка» / с ядром Дирихле
степени N, а именно:
1 г2л	-г г2тг
(SNf)(x) = - f(x- t)DN(t)dt = - / f(t)DN(x - t)dt.
л Jo	Jo
(2.4.11)
2.4. Ряды Фурье
75
Конечно, интегрирование в (2.4.11) допустимо, если
f е ьг(о,27г).
С другой стороны, если f — любая функция из
Lp(0,2тг), 1 < р < оо, мы можем определить «обратное дис-
кретное преобразование» 77*-1 от f формулой:
1	/*2,г
= Q(/) ~ — / f(x)e~ikxdx. (2.4.12)
to Jo
Таким образом, 77*-1 переводит f 6 1^(0,2тг) в бесконечную
последовательность {cfc(/)},A: Е Z. Эта последовательность,
конечно, определяет ряд Фурье
^ckmeikx	(2.4.13)
fcez
и называется последовательностью «коэффициентов Фурье»
ряда Фурье. Фундаментальным является вопрос: «сходится»
ли этот ряд к исходной функции /. Обсуждение этой темы
откладывается до следующего параграфа. Сейчас мы зай-
мемся только изучением L2(0,2тг) теории.
Теорема 2.18. Пусть f Е L2(0,2ir). Тогда последователь-
ность {cfc(/)} коэффициентов Фурье функции f принадле-
жит f? и удовлетворяет неравенству Бесселя:
ОО
lcfc(/)|2 II/Нь2(0,2?г)•	(2.4.14)
fc=—оо
Доказательство. Пусть Sn(J) обозначает N-ю частную
сумму ряда Фурье (2.4.13). Тогда мы имеем
o<\\f-sNm2L4Q^
= 11/11^(0,2.)" 2^(/,5дг(/))*+||^(/)||22(0>2я).(2.4.15)
76
Глава 2. Анализ Фурье
Легко проверить, что
</,мл)* = 52 1с*(Л12	<2Л16)
k=—N
И
N
имл 112(0,2.) = £ мп\2-	(2.4.17)
k——N
Отсюда, подставив (2.4.16) и (2.4.17) в (2.4.15), мы получим
£ W(/)|2 < II/lil=(0,2„)-
k=—N
Так как это неравенство справедливо при любом N, то мы
установили (2.4.14).	□
Обратной к теореме 2.18 является следующая, так на-
зываемая теорема Рисса—Фишера.
Теорема 2.19. Пусть {q} £ I2. Тогда существует неко-
торая f Е Z2(0,2тг) такая, что является k-м коэффици-
ентом Фурье функции f. Кроме того,
ОО
52 lCfcl2 = 11/112(027г)-	(2.4.18)
к=—оо
Эта теорема утверждает, что дискретное преобразование
Фурье Т7* отображает в £2(0,2тг), и равенство (2.4.18) вы-
полняется для всех / из области значений оператора Т7* на И2.
Доказательство. Для любого положительного N рассмо-
трим тригонометрический многочлен
МЛ = £ с^кХ-	(2.4.19)
2.4. Ряды Фурье
77
Так как {с*,} принадлежит £2, последовательность
52 Iе* I2
k=—N
является последовательностью Коши вещественных чисел.
Откуда, рассматривая равенство, аналогичное (2.4.17) для
||5дг — SmIli,2(o 2w)> приходим к тому, что {Sw} является по-
следовательностью Коши в Ь2(0, 2тг). Пусть / £ £2(0,2тг) -
предел этой последовательности. Тогда, в силу неравенства
Бесселя (2.4.14), коэффициенты Фурье Ck(f) функции / удо-
влетворяют неравенству
N
52	— Cfc|2 — И/ ~	Пь2(0,2тг)‘
k=-N
Устремив N —> оо, получаем
q(/) = Cfc, к е Z.
Более того, ввиду (2.4.16) и (2.4.17), имеем
||/ - ^IIl2(0,27t) = II/llz, 2(0,2тг) ~ 2-йе(/, Удг)* + 11‘S'jv 11 ^2 (о,2тг)
= 11/11ь2(0,2тг) ~ 52 lCfc|2’
k=—N
что при N -э оо дает (2.4.18).
□
Мы обращаем особое внимание на то, что теорема 2.19
только утверждает, что равенство (2.4.18) справедливо для
всех функций / из области значений оператора дискретного
преобразования Фурье, действующего на пространство I2. То,
что (2.4.18) может быть распространено на все £2(0,2тг), явля-
ется следствием теоремы Вейерштрасса, которая утверждает,
что множество всех тригонометрических многочленов плотно
78
Глава 2. Анализ Фурье
в £2(0,2тг). Равенство (2.4.18), распространенное таким обра-
зом на все £2(0,2тг), называется равенством Парсеваля для
Ь2(0, 2тг). Простой способ установить справедливость теоремы
Вейерштрасса — это рассмотреть чезаровы средние последо-
вательности частных сумм ряда Фурье функции f G 1>2(0,2тг).
Пусть / G Ь2(0,2тг) и обозначим через Snf п-к> частную
сумму ряда Фурье (2.4.7), как она определена в (2.4.9). Тогда
N-e чезарово среднее от {Snf} дается формулой
 =
Sof + --- + SNf
N+ 1
(2.4.20)
Так как Snf есть свертка / с ядром Дирихле Dn, как это
определено в (2.4.11) (для f G Т2(0,2тг) С 1Л(0,27г)), то из
этого следует, что о-/у/ есть свертка / с так называемым ядром
Фейера. определенным формулой
Кдг(т) :=
Do{x) -I---1- DN(x)
N+ 1
1 sin2(^ia;)
2V + 1 2sin2(f)
(2.4.21) 
а именно:
1 У2”’
(^/)(х) = ~/
7Г JO
(2.4.22)
Заметим, что тригонометрический многочлен Ку отличается
от £>7у(т) тем, что Км(х) > 0 для всех х. Это свойство явля-
ется решающим при доказательстве следующего результата о
плотности тригонометрических многочленов.
Теорема 2.20. Пусть f G L2(0,2тг). Тогда
Um ||/- <W|lL2(o,27r) =0.
2.4. Ряды Фурье
79
Перед доказательством этой теоремы самое время ввести
обозначение «Ьр(0,2тг) модуля непрерывности»:
“p(fw) = sup {± /02х |/(т + h) - f (ж)|*Ма;}р
0<Л<7)
для /бЬ₽(0,2тг),
где 1 < р < оо; и если р = оо, то (2.4.23)
w(/;r?) := Шоо(/;т?) := sup max |/(т + Л) —/(а;)|
0</l<7) Х
.	для f е С* [0,2тг].
Заметим, что Т°°(0,2тг) заменено своим подпространством
(7*[0,2тг]. Отметим также, что wp(f;r]) и ш(/;т?)— неубываю-
щие функции аргумента т/ и что
Ч>(/;’7)~»0 при Г] -> 0+ для f G Lp(o, 2тг),
^(/;’у) “> О при т?-» 0+ для /еС*[0,2?г].
(2.4.24)
Вернемся теперь к доказательству теоремы 2.20.
Доказательство. Так как
Kw(x)dx = 1,
то, используя обобщенное неравенство Минковского (2.4.3) и
определение сиз(/; |t|), мы последовательно получаем, что
II/ ~ ^/|1г,2(о,27г)
( 1	1
к/ wud {/«-/<-ад
аЬ(«+л<\1 2 2 V/2
х I ---s- di dx >
V sm f ) J
1	f2" ( /singly
2ir(N + 1) Jo \ sin | J
80
Глава 2. Анализ Фурье
\f(x) - f(x — t)\2dx
1/2'
> dt
1 Г
2ДДГ + Г) J
sin№)t\2
—г-1— I ш2(/; \t\)dt
sm2 J
Пусть e > 0 — произвольное заданное число. Выберем
М > 0 так, что
”'Н/11ь2(0,27г) / ТД < £-
J М u
Так как си2(/; •) < 2||/||Ь2(0>27г) и ^(/; •) — неубывающая функ-
ция, то для (N + 1)тг > 2М имеем
„ гМ
||/ — <XNf I|l2(0,2tt) < е + X /
z Jo
siniA2 f, 2u \ .
-----	/; ЛГ , du
u /	\ N + 1 /
Мтг
<£ + -2-Ш2
2М
N + 1)
—> Е + 0,
при N —> оо. Этим завершается доказательство теоремы
2.20.	□
Используя полученный результат о плотности тригоно-
метрических многочленов в 1>2(0,2тг), мы можем установить
следующий основной результат этого параграфа.
Теорема 2.21. Дискретное преобразование Фурье Т*, опре-
деленное в (2-4-6), есть изометрический изоморфизм £2 на
Ь2(0,2тг). Другими словами, отображает £2 взаимно
2.4. Ряды Фурье
81
однозначно на Т2(0,2тг), так что имеет место равенство
Парсеваля
00	1	[*2тс
I2l^|2 = 2^/ l/(*)|2<fc,	/еЬ2(0,2тг),	(2.4.25)
fc=—оо	О
где ck = ck(f) -k-й коэффициент Фурье функции f.
Доказательство. Из теоремы 2.19 следует, что Т7* ото-
бражает £2 в Z2(0,2тг). Для доказательства того, что это —
отображение на Ь2(0,2тг), возьмем произвольную функцию
/ G Ь2(0,2тг) и обозначим через {сц,} последовательность ко-
эффициентов Фурье функции /. Тогда, в силу неравенства
Бесселя из теоремы 2.18, мы имеем
оо
У? Icfc|2 — 11/11ь2(0,27г) •
к=—оо
С другой стороны, по определению crjyf в (2.4.20) и, обраща-
ясь к Snf в (2.4.9), получаем
Ь— — ЛГ '	'
так что
||^/11ь2(0,2тг) — У? (1~ЛГ + 1') lCfc'2
k=-N 4	7
— У? 1С*:|2 — II/Вь2(0,2тг) •
k=—N
Таким образом, мы имеем
> |1^/11ь2(0,2эт)
22 1с*|2 (
> II/IIЬ2(0,2тг) ~ II/ - сгЛг/Нь2(0,27г)•
6 - 3954
82
Глава 2. Анализ Фурье
Следовательно, в результате применения теоремы 2.20 уста-
новлено равенство Парсеваля (2.4.25). Это равенство, конеч-
но, гарантирует, что преобразование Т7* взаимно однознач-
но, так как, если все коэффициенты Фурье f равны нулю, то
Н/||Л2(О,2^) = 0, или / = 0 п.в..	□
2.5.	Основы теории сходимости
и формула суммирования Пуассона
Хотя теория сходимости рядов Фурье — весьма увлекательная
тема, детальное ее изучение выходит за рамки этой книги. Мы
обсудим только два основных условия сходимости, опустив
при этом их доказательство.
Во-первых, напомним, что существует 2тг-периодическая
непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится во всех
рациональных точках. Кроме того, существует функция из
L^O, 2тг), ряд Фурье которой расходится всюду. Встает вопрос
о наложении на функцию некоторых условий, гарантирующих
сходимость ее ряда Фурье. Один из результатов о сходимости,
который требует наиболее слабых предположений и является
в то же время весьма глубоким, состоит в том, что ряд Фу-
рье любой функции f из 7^(0,2тг), где 1 < р < оо, сходит-
ся к f почти всюду. В дальнейшем нас будет интересовать
равномерная сходимость или, по крайней мере, сходимость в
некоторых специфических точках.
Следующий результат носит название условия сходимо-
сти Дини—Липшица. Здесь будет использоваться обозначение
для равномерного модуля непрерывности, введенное
в (2.4.23).
Теорема 2.22. Пусть f G С*[0,2тг] такая, что
Г“ШМ<00	(2.5.1)
Jo
2.5. Основы теории сходимости
83
для некоторого а > 0. Тогда ряд Фуръе функции f сходится
равномерно к f; таким образом
lim ||/ - Sjv/lk°o[o,2Tr] = 0.
7V—>оо	1
Например, если ш(/;т?) = О(г)а} для некоторого а > 0, то,
конечно, условие (2.5.1) выполняется.
Второе условие сходимости, которое будет установлено ни-
же, называется условием Дирихле—Жордана. Оно примени-
мо для функций, которые не осциллируют очень сильно. Та-
кие функции называют функциями с ограниченной вариаци-
ей. Хорошо известно (и не так трудно вывести это из опреде-
ления) , что любая функция с ограниченной вариацией на от-
резке [а, Ь] может быть представлена как разность двух неубы-
вающих функций. Следовательно, если / — функция с огра-
ниченной вариацией на [а, Ь], то оба односторонних предела
7(®+) •= Ит f(x + h);
<	h—>0+
/(ж~) := lim f{x - h)
k	h—
(2.5.2)
существуют в каждой точке х, а < х <Ь.
Теорема 2.23. Пусть f — 2ir-периодическая функция с огра-
ниченной вариацией на [0,2л]. Тогда ряд Фуръе функции f
сходится к (/(х+) + /(т-))/2 всюду; таким образом
lim (S„/)W = №"-)+/(*')	(2.53)
TV—юо	2
для любого х £ R. Кроме того, если f непрерывна на любом
отрезке [а, й], то ряд Фуръе функции f сходится равномерно
к f на [а, Ь].
В то время как (интегральное) преобразование Фурье, из-
ученное нами в первых трех параграфах этой главы, опре-
е*
84
Глава 2. Анализ Фурье
делено на L^R), ряды Фурье представляют только периоди-
ческие функции. Простейший способ периодизации функции
f G LP(R) состоит в рассмотрении
00
Фу(я):=	/(я + 2лЛ).	(2.5.4)
к=—оо
Первый вопрос, который здесь возникает, является ли Фу-
функцией. Как видно из следующей леммы, ответ положи-
тельный при р = 1.
Лемма 2.24. Пусть f G Z1(R). Тогда ряд, определенный фор-
мулой (2.5.4)> сходится п.в. к некоторой 2л-периодической
функции Фу. Кроме того, сходимость п.в. является абсо-
лютной, Фу € ^г(0,2л), и
1|Ф/Ь(о^) < ^П/111-	(2.5.5)
Доказательство. Абсолютная сходимость почти всюду бу-
дет установлена, если мы докажем неравенство
оо у2л
У /	|/(ж + 2irk)\dx < оо.
,Z-"' Jo
к=—оо
Но справедливость этого неравенства, вместе с неравенством
(2.5.5), непосредственно следует из простого наблюдения, что
/•2тг	00	/•2тг
/ |Фу(х)рж< У / \f(x+ 2jrk)\dx
k=—coJ0
00 z-27r(fc + l)	yoo
= 52 /	= / \f(z)\dx < oo.
k=-ooj2*k	J~°°	П
Исходя из этой леммы, мы можем рассматривать ряд Фу-
рье функции Фу (ж), а именно:
00
Фу(х) = £ ck^f)eikx,
k=—oo
2.5. Основы теории сходимости
85
где
сНф/) = ^£"е’^ф/(^
1	00	/>2тг
= 27 Е / e-bf(x + 2^)dx
/2тг(;+1)	i ~
I e~tkxf(x)dx = —f(k).
2irj
Следовательно, если ряд Фурье функции Фу (ж) сходится к
Фу, то две величины
f(x + 2л/с)	(2.5.6)
к— —оо
И
1	°°
- £ /(*)'“’	(2-5-7)
к=—оо
могут быть равны друг другу. К несчастью, так как Фу есть
только функция из Тх(0,2л), то ее ряд Фурье может всюду
расходиться. Таким образом, на Фу или / должны быть на-
ложены некоторые условия, которые бы обеспечили равенство
величин (2.5.6) и (2.5.7). Сначала мы обратимся к одному
весьма общему положению.
Теорема 2.25. Пусть / G LX(R) удовлетворяет следующим
двум условиям:
(а)	ряд (2.5.6) сходится всюду к некоторой непрерывной
функции и
(б)	ряд Фурье (2.5.7) сходится всюду.
Тогда имеет место следующая «формула суммирования
Пуассона»:
ОО	.00
£ /(а; + 2л/с) = — 2 f(k)eikx, XGR. (2.5.8)
k=—oo	fc=—oo
86
Глава 2. Анализ Фурье
В частности,
ОО	- оо
£ f(2nk) = - £ /(к).	(2.5.9)
k—— оо	/с=—оо
Перед тем как мы наложим на f некоторые достаточные
условия, гарантирующие выполнение пунктов (а) и (б), заме-
тим, что формула суммирования Пуассона (2.5.8) или (2.5.9)
может быть сформулирована в несколько ином виде. Для это-
го мы просто заметим, что если fa(x) = f(ax), где а > 0, то
}а(х) =a~1j(^). Откуда (2.5.8) и (2.5.9) принимают вид:
00	1	00 L. .
52 /(х + 2как) = —-
2тга л' а
к=—оа	к=—оо
°о	оо ,
£ /<2ТО*) - 5- Е Л-).
, '	2тга , 2—'	а
\к=—оо	fc=—оо
В частности, положив а = (2тг) \ имеем
оо	оо
Е f(x + k) = £ /(2тгА:)е^,
fc=—ОО	fc=—ОО
оо	оо
Е /(&) = Е /(2Trfc).
fc=—оо	к——оо
(2.5.10)
(2.5.11)
Перечислим теперь некоторые условия, при которых вы-
полняются пункты (а) и (б) в теореме 2.25.
Следствие 2.26. Пусть f — измеримая функция, удовле-
творяющая равенству:
f(x), f(x) =0(^1—)	(2.5.12)
для некоторого а > 1. Тогда формула суммирования Пуассо-
на (2.5.8) справедлива для всех х G R.
2.5. Основы теории сходимости
87
Заметим, что так как f удовлетворяет (2.5.12), то f обя-
зательно непрерывна, откуда следует, что оба условия (а) и
(б) выполняются.
Следствие 2.27. Пусть f Е L1(R), и предположим, что
ряд в (2.5-4) сходится всюду к непрерывной функции с огра-
ниченной вариацией на [0,2тг]. Тогда формула суммирования
Пуассона (2.5.8) справедлива для всех х Е R.
Если Фу — непрерывная функция с ограниченной вари-
ацией на [0,2тг], тогда по теореме 2.23 ее ряд Фурье, опре-
деляемый формулой (2.5.7), сходится всюду к Фу. Таким
образом, (2.5.6) и (2.5.7) равны друг другу.
В качестве важного примера можно рассмотреть любую
непрерывную функцию f с ограниченной вариацией и ком-
пактным носителем. Для такой f ряд (2.5.4) —это только ко-
нечная сумма и, следовательно, Фу — непрерывная функция
с ограниченной вариацией на [0,2тг]. В качестве типичного
примера в главе 4 будут детально изучены В-сплайны поряд-
ка не меньше второго.
Мы завершим эту главу применением формулы суммиро-
вания Пуассона к изучению преобразования Фурье автокор-
реляционной функции F (определенной формулой (2.3.1)) от
функции f Е L2(R). Это лучше подготовит нас к построению
полуортогональных вэйвлетов в главе 5. Используя обозначе-
ние для отражения /, определенного в (2.3.9), мы можем
переопределить F как
Пг)Н/*(/)’)(*)•
Откуда, применяя лемму 2.16, мы получаем
F\x) = |/«.	(2.5.13)
88
Глава 2. Анализ Фурье
Теперь, так как f принадлежит L2(R), то в силу равенства
Парсеваля этому пространству принадлежит и f. Поэтому,
F G L^R) и по лемме 2.24
Фр(ж) = £ F(x + ^k) =	1/(® + 2тгА;)|2	(2.5.14)
к=—оо	fc=—оо
сходится п.в. и Фр G 1А(0,2тг).
Для изучения ряда Фурье функции Фр наложим одно до-
полнительное условие. Потребуем, чтобы f Е L1(R). Тогда
(/)“ также принадлежит L1 (R), что имеет место и для сверт-
ки F = f * (7)~. Следовательно, по теореме 2.5, мы имеем
F(x) = (F-'F^x) = — / e'xyF(y)dy (2.5.15)
J—оо
/ 1 ~\Л
= (x-f) (-»),
\Z7F /
откуда коэффициенты Фурье функции Фр даются формулой
/ 1 -\Л
сь = сь(Фр)= -F (k)=F(—k).
г у Z7T /
Таким образом, ряд Фурье Фр может быть записан как
Фр(ж)= 52 F(-k)eikx = F(k)e~ikx. (2.5.16)
fc=—оо	к=—оо
Итак, мы имеем:
52 |/(ж + 2тг&)|2 = 52 F(k)zk п.в.,	(2.5.17)
к=—оо	к=—оо
где z = е~гх и правая часть формулы (2.5.17) называется сим-
волом последовательности {F(k)}. Если случится так, что /
2.5. Основы теории сходимости
89
имеет компактный носитель, то таким же свойством обладает
и автокорреляционная функция F; и символ {F(k)} есть по-
лином Лорана. Этот полином Лорана называют также поли-
номом Эйлера—Фробениуса, порожденным /. Следовательно,
(2.5.17) устанавливает очень важную связь между полиномом
Эйлера—Фробениуса, порожденным функцией / с компакт-
ным носителем, и неотрицательной функцией Фр в (2.5.14),
что будет способствовать изучению безусловных базисов, ор-
тогонализации и двойственности. Подробности по этим темам
будут обсуждаться в последующих главах, в частности, в гла-
ве 5.
Возвращаясь к (2.5.17) без предположения о том, что f
имеет компактный носитель, мы имеем только равенство п.в.
для f € L1(R) OL2(R). Ниже мы даем три различных набора
условий, которые обеспечивают справедливость (2.5.17) для
всех х G R.
Теорема 2.28. Пусть f Е Ь2(В) удовлетворяет одному
из следующих трех условий:
(а)	/(ж) = О(|ж|-^), Р > 1 и f(x) = О(|ж|~“), а > j, при
|ж| —> сю.
(б)	/ имеет компактный носитель и принадлежит клас-
су Lip(7) для некоторого 7 > 0, то есть
sup sup \f(x+t)—f(x)\ = O(h7), при h —> 0+. (2.5.18)
x 0<t<h
(в)	f — непрерывная функция с компактным носителем и
имеет ограниченную вариацию на этом носителе.
Отсюда следует, что
00	00 f ГОО	____ 'I
$2 |/(ж + 2тгА;)|2 = £ ) / № + tyf(y)dy е~гкх
к=—оо	к—-оо —00	'
(2.5.19)
для всех х G R.
90
Глава 2. Анализ Фурье
Заметим, что каждое из условий (а)-(в) обеспечивает, что
левая часть формулы (2.5.19) есть 2тг-периодическая функ-
ция, ряд Фурье которой дается выражением в правой части
этой формулы. Это очевидно для условия (а), но требует не-
много больше труда при доказательстве для условий (б) и (в).
Сходимость ряда Фурье в любой точке х € R для условий
(а), (б) и (в) выводится из следствия 2.26, теоремы 2.22 и
теоремы 2.23 в указанном порядке.	□
Глава 3
Вэйвлет-преобразования
и частотно-временной
анализ
Для изучения спектрального поведения аналогового сигна-
ла необходимо полное знание сигнала во временной обла-
сти, включая и будущую информацию. Вдобавок, если
сигнал меняется в малой окрестности некоторого момен-
та времени, то это влияет на весь спектр. Действитель-
но, в крайнем случае преобразование Фурье от дельта-рас-
пределения S(t — /о) с носителем в единственной точке
to есть e~ltoM, которое покрывает всю частотную область.
Следовательно, во многих приложениях, таких как ана-
лиз нестационарных сигналов и обработка сигнала в ре-
альном времени, применение одной формулы преобразова-
ния Фурье весьма неадекватно. Недостаток формулы пре-
образования Фурье в частотно-временном анализе был за-
мечен уже Д. Габором, который в своей работе 1946 го-
да ввел «функцию-окно» временной локализации g(t —
b), где параметр b используется для перемещения окна
с целью покрыть всю временную область для получения
локальной информации о преобразовании Фурье сигнала.
Фактически Габор использовал функцию Гаусса в качестве
функции окна д. Так как преобразование Фурье функции
Гаусса также является функцией Гаусса, то одновремен-
92
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
но оказывается локализованным и обратное преобразование
Фурье.
Первый параграф этой главы посвящен изучению пре-
образования Габора. Обсуждение этого так называемого
«кратковременного преобразования Фурье» (КВПФ) в об-
щем случае и принципа неопределенности, который опре-
деляет величину (размер) окна, является содержанием вто-
рого параграфа. В частности, здесь будет замечено, что
частотно-временное окно любого КВПФ определено весь-
ма жестко и, следовательно, применение этого преобразо-
вания не эффективно для детекции сигналов высокой ча-
стоты и исследования сигналов низкой частоты. Это слу-
жит причиной введения интегрального вэйвлет-преобразо-
вания (ИВП) в §3.3. Вместо того чтобы применять окна
для прямого и обратного преобразования Фурье, как это
делается в КВПФ, ИВП непосредственно выделяет часть
функции (сигнала) и ее преобразования Фурье. Это про-
исходит за счет параметра растяжения (масштабного па-
раметра), который позволяет сужать или расширять ча-
стотно-временное окно в зависимости от частоты. Обра-
щение ИВП означает восстановление сигнала по его ло-
кальной спектральной информации. Будет рассмотрена ин-
формация, полученная в результате непрерывных и дис-
кретных наблюдений. Это приводит к изучению карка-
сов и вэйвлет-рядов в последних двух параграфах этой
главы.
3.1. Преобразование Габора
93
3.1.	Преобразование Габора
Функция f из L2(R) используется для представления анало-
гового сигнала конечной энергии, и ее преобразование Фурье
/ОО
•оо

(3.1.1)
дает спектральную информацию о сигнале. Всюду в этой гла-
ве t и ш предназначены для обозначения, соответственно, вре-
менной и частотной переменных. К сожалению, одна формула
(3.1.1) не очень удобна для получения информации о спектре
/ по локальным наблюдениям сигнала /. Для этого необхо-
димо «хорошее» временное окно.
«Оптимальное» окно для временной локализации достига-
ется в результате использования некоторой гауссовой функ-
ции
9а^ = 2^ае 4а’	(ЗЛ'2)
где а > 0 фиксировано, в качестве функции-окна (см.
рис. 2.2.1). Здесь оптимальность определяется принципом не-
определенности, который будет рассмотрен в следующем па-
раграфе. Для любого фиксированного значения а > 0, пре-
образование Габора функции f б Ь2(П) определяется как
/ОО
-оо
(3.1.3)
таким образом, (^/)(а?) локализует преобразование Фурье
функции f в окрестности t = b. «Ширина» окна определяет-
ся (фиксированной) положительной константой а; это будет
обсуждено ниже. Заметим, что из формулы (2.1.11) в примере
2.6 при ш = 0 и а = (4а)-1, мы имеем
й
'Г
/•оо	гоо
I 9a(t~b)db = j ga(x)dx = 1,
—оо	«/—оо
(3.1.4)
94
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
откуда
/ (^/)(офй = /М, weR. ,
J —оо
Таким образом, множество
{Qff'-beR.}
преобразований Габора функции f точно разбивает преобра-
зование Фурье f функции f и дает о ней локальную спек-
тральную информацию. Для измерения ширины функции-
окна мы используем понятие стандартного отклонения, или
среднеквадратичной (СК) длительности, определяемой фор-
мулой
V	1 /п
1 Г Г°°	11'2
Лз“ := И?	’	(3’L5)
Заметим, так как до — четная функция, ее центр, определенный
формулой (1.2.5),равняется 0, и, следовательно, Д9а совпадает
с общим понятием «радиуса», введенным в определении 1.2.
В частности, ширина функции-окна да равняется 2 Д9о.
Теорема 3.1 Для любого а > О
Д9а = х/^.	(3.1.6)
Таким образом, ширина функции-окна да равняется
Доказательство. Положив в формуле (2.1.11) ш = 0, имеем
f е~ах dx = х/тга-1/2,	(3.1.7)
J —оо
продифференцировав это равенство по параметру а, получим
rOO	/йт
/ x2e~ax2dx = ^—a~V2.	(3.1.8)
J —ОО	2
Откуда, подставив а = (2а)-1 в формулы (3.1.7) и (3.1.8),
имеем
1Ы|2 = (8тга)~1/4	(3-1.9)

3.1. Преобразование Габора	95
и в результате
Д9а = (87га!)1/4|-^--^(2о!)3/2| =y/a.D
[ 4тга 2	J
Можно интерпретировать преобразование Габора G“f в
(3.1.3) несколько иначе, а именно: положив
G^i) “ eiuJtga(t - 6),	(3.1.10)
мы имеем
/•оо _______
(Ю(“) = (/,<?£„) = / Л«)с&Д)л.	(3.1.11)
J—оо
Другими словами, вместо рассмотрения (£“/) как локали-
зации преобразования Фурье / мы можем истолковать его
как выделение части функции (или сигнала) f с помощью
функции-окна в (3.1.10). Мы будем следовать этой точ-
ке зрения позднее при его сравнении с «интегральным вэй-
влет-преобразованием». График вещественной и мнимой ча-
стей для Ь = 0, ш = 2тг и указанных значений а приво-
дится на рис. 3.1.1-3.1.2.
Одно преимущество формулировки (3.1.11) состоит в том,
что равенство Парсеваля в формуле (2.3.6) может быть при-
менено для установления связи преобразования Габора от
функции f с преобразованием Габора от f. Действительно,
т. к.
=	(3.1.12)
которое следует из (2.2.10), мы имеем
(б?/)М = (/. G?,„) = i(/, G°,„)	(3.1.13)
’ 2тг ’
1	/*°°
:	= ~	dr)
Л	J-OO
e~ibw гоо
У	= у-7=~ /	(el^f&})gi/4a(4-u)dri
,	Т\(л J_ qq
p-ilM
= 2^(Й/4“Л(-Ь).
96
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
-3-2-10	1	2	3
Рис. 3.1.1. Re G^2„, a = 0.2925.
-2
Рис. 3.1.2.
Im Go 2itf a — 0.2300.
3.1. Преобразование Габора
97
Давайте обсудим (3.1.13) с двух различных точек зрения. Во-
первых, мы рассматриваем
/•ОО
/	- b)dt (3.1.14)
J—оо
= (/I'""') ' /
которое говорит, что с точностью до множителя y/^eibul пре-
образование Фуръе с окном от f с функцией-окном да в
окрестности t = b равняется обратному преобразованию Фу-
ръе с окном от f с функцией-окном ffi/4a в окрестности 7) = ш.
По теореме 3.1 произведение ширин этих двух окон есть
(2Д9а)(2Д91/4Д = 2.	(3.1.15)
С другой стороны, рассматривая
:=	= (j^=)	(3.1.16)
мы имеем
</,^) = (/,Я^).	(3.1.17)
Это равенство говорит о том, что информация, полученная
при рассмотрении аналогового сигнала f(t) в окрестности
t = Ь с использованием функции-окна как это опреде-
лено в (3.1.10), может быть также получена при наблюдении
спектра f(r/) сигнала в окрестности частоты г/ = ш с помо-
щью функции-окна Н^, как определено в (3.1.16). И опять
произведение ширин временного окна и частотного окна
нь,ш есть
(2AG?J(2A^J = (2A9J(2A91/4J = 2.	(3.1.18)
Декартово произведение
(3.1.19)
7 - 3954
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
98

Ш2
W1
Рис. 3.1.3. Окно Габора.
этих двух окон называется прямоугольным частотно-времен-
ным окном. Оно часто рисуется в частотно-временной области
для того, чтобы показать, как локализуется сигнал. Ширина
2у/а временного окна называется шириной частотпно-времен-
1
ного окна, и ширина —-= частотного окна называется высотой
v0
частотно-временного окна. Изображение этого окна дано на
рис. 3.1.3. Заметим, что ширина частотно-временного окна не
меняется при рассмотрении спектра на любых частотах. То,
что это ограничивает использование преобразования Габора
для изучения сигналов очень высокой или низкой частоты,
будет обсуждено в §3.3 этой главы.
3.2. Кратковременные преобразования Фурье
99
3.2. Кратковременные
преобразования Фурье и
принцип неопределенности
Преобразование Габора — это преобразование Фурье с окном,
использующее некоторую гауссову функцию да в качестве
функции-окна. По различным причинам, таким как вычи-
слительная эффективность или удобства при выполнении,
другие функции также могут быть использованы в качестве
функций-окон. Чтобы непрерывная функция w € L2(R) была
функцией-окном, она должна удовлетворять требованию, что
tw(t) е l2(r),	(3.2.1)
откуда и |Zp/2w(t) G Z2(R). Из формулы (3.2.1), применяя
неравенство Шварца к произведению (l + |i|)-1 на (l + |t|)w(t),
получаем, что w G L1(R). Следовательно, по теореме 2.2, ее
преобразование Фурье w является непрерывной функцией.
Однако, хотя w принадлежит также £2(R), как это следует
из равенства Парсеваля, она не обязательно удовлетворя-
ет (3.2.1), и, следовательно, может и не быть (частотной)
функцией-окном. Напомним, что в предыдущем параграфе
важность функции Гаусса да определялась тем, что ее пре-
образование Фурье также является гауссовой функцией, так
что да и да могут быть использованы д ля частотно-временной
локализации.
Пример 3.2. Обе функции первого порядка: В-сплайн
М«) := {;
для 0 < t < 1,
в других точках,
(3.2.2)
и функция Хаара
{1
-1
О
для 0 < t < 1/2,
для 1/2 < t < 1,
в других точках,
(3.2.3)
100
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
как это было определено в (1.5.7) и (1.1.16), являются функ-
циями-окнами, но их преобразования Фурье М и т/ц не удо-
влетворяют (3.2.1) и, следовательно, М и V'l не могут быть
использованы для частотно-временной локализации.
Доказательство. Так как Ni и ч/ц имеют компактный носи-
тель, они, конечно, удовлетворяют (3.2.1). С другой стороны,
в силу теоремы 2.5 и теоремы 2.2(6), так как JVi и V'l не
являются непрерывными функциями, то Ni и т/ч не могут
принадлежать ZX(R). Следовательно, они не удовлетворяют
(3.2.1).	□
В общем случае для любой w G L2(R), удовлетворяющей
(3.2.1), мы определяем центр и радиус w, как в определе-
нии 1.2, формулами
1	Г00
(3-2-4’
и
1	( Г00	1
Aw := 77—и- / (t - x*)2|w(t)|2 f dt. (3.2.5)
IMI2 U-00	)
Мы используем также величину 2AW для измерения ширины
функции-окна w. В анализе сигналов, если w рассматривается
как аналоговый сигнал, то Аш называется среднеквадратич-
ной (СК) длительностью аналогового сигнала, и Д^ называ-
ется ее СК шириной диапазона, если только w также удовле-
творяет (3.2.1). Преобразование Габора (3.1.3) может быть об-
общено на любое «преобразование Фурье с окном» функции
f G Z2(R), использующее функцию w, которая удовлетворяет
(3.2.1), в качестве функции-окна, следующим образом
/ОО	______
(e-^/(Z))w(t - b)dt. (3.2.6)
-00
Откуда, положив
Wb^(t) := eiujtw(t - 5),
(3.2.7)
3.2. Кратковременные преобразования Фурье
101
мы имеем
/*ОО _________
(ад(“) = </Ж-)= / f(t)Wb^t)dt, (3.2.8)
J — оо
таким образом (<7ь/)(ш) дает локальную информацию об f во
временном окне
[ж* +Ь- Дш,ж* +Ь + ДШ].	(3.2.9)
Теперь предположим, что преобразование Фурье w функ-
ции w также удовлетворяет (3.2.1). Тогда мы можем опреде-
лить центр w* и радиус Дд функции-окна w, используя фор-
мулы, аналогичные (3.2.4) и (3.2.5). Положив
VbM =	= — e~lbr>w^ - ш),	(3.2.10)
Z7T	\ Z7T /
которая также является функцией-окном с центром в w* + ш
и радиусом, равным Дд, мы имеем по равенству Парсеваля
= (/, Wb,J = (f, Vb,u). (3.2.11)
Следовательно, (<7б/)(ш) также дает спектральную информа-
цию об f в частотном окне
[ш* 4- ш — Дш, ca* -f- ш + Дцф	(3.2.12)
В результате, выбрав некоторую w G T2(R) такую, что w и w
удовлетворяют (3.2.1), для определения преобразования Фу-
рье с окном в (3.2.6) мы имеем частотно-временное окно
[ж* + b — Дш,х* + b 4- Дш] х [ш* 4~ ш — Дд,ш* + ш + Дщ] (3.2.13)
с шириной 2ДШ (определенной шириной временного окна) и
постоянной площадью окна
4ДшДд.
(3.2.14)
102
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Снова ширина частотно-временного окна остается неиз-
менной для локализации сигналов высокой и низкой частоты.
Определение 3-3. Если w G Z2(R) выбрана так, что w
и ее преобразование Фуръе w удовлетворяют (3.2.1), то
преобразование Фуръе с окном, введенное в (3.2.6) с исполь-
зованием функции-окна w, называется «кратковременным
преобразованием Фуръе» (КВПФ).
Как было замечено ранее, так как обе функции w и w
удовлетворяют (3.2.1), они должны быть непрерывными. В
добавление к функциям Гаусса, любой В-сплайн порядка вы-
ше первого может быть использован для определения КВПФ.
Пример 3.4. Базисный В-сплайн m-го порядка
Nm(t) := Г Nm-\ (i - x)dx,	(3.2.15)
jo
где m > 2, определенный рекурсивно в (1.5.7) с N\, заданным
формулой (3.2.2), является функцией-окном, определяющим
КВПФ. Более того,
Л.М = (-—'Г =	(S2^)”. (3.2.16)
\ гш /	\ cj/2 /
Доказательство. Так как Nm есть т-кратная свертка
Ni и Ni(w) = (1 — е~ш)/ш, утверждение (3.2.16) следует из
применения теоремы 2.7. Отсюда ясно, что Nm удовлетворя-
ет (3.2.1). Очевидно, само Nm удовлетворяет (3.2.1), так как
имеет компактный носитель.	□
Для точной частотно-временной локализации выбирают
функцию-окно w так, чтобы частотно-временное окно име-
ло достаточно малую площадь 4Д„,Дд. Мы уже видели в
(3.1.18), что если w - некоторая функция Гаусса да,а > 0,
то площадь окна равняется 2. Итак, первый вопрос, на ко-
торый следует ответить: может ли быть доступна меньшая
3.2. Кратковременные преобразования Фурье
103
площадь окна. В следующей теореме, известной как «прин-
цип неопределенности», мы увидим, что невозможно найти
окно размером меньшим или равным, чем у функции Гаусса.
Теорема 3.5. Пусть w € £2(R) выбрана так, что сама w и
ее преобразование Фуръе w удовлетворяют (3.2.1). Тогда
bvAii >	(3.2.17)
it
Более того, равенство достигается тогда и только тогда,
когда
w{t) = ceiatga(t~ b),
где с ф 0, а > 0 и a, b G R.
Замечание. В инженерной литературе, если w рассматри-
вается как аналоговый сигнал с t в качестве переменной во
временной области, то область определения ее спектра вы-
ражается в терминах (переменных) частоты f = о>/2тг (в
герцах). Откуда, если мы заменим о> на 2тг/ в определении
Дд, то появится множитель 2тг. Более точно, положив
At —- Дш»
Л/ = 2^Дй’
(3.2.18)
как обычно пишут в инженерной литературе, принцип неопре-
деленности утверждает, что
Д<Д/ > Л’
4тг
(3.2.19)
где равенство имеет место тогда и только тогда, когда сигнал
w есть функция Гаусса.
Для упрощения доказательства теоремы 3.5 нам необхо-
димы следующие результаты.
104
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Лемма 3.6. Пусть f нетривиальная и почти всюду диф-
ференцируемая функция такая, что (1 + |ж|)/ и f'(x) при-
надлежат L2(R). Тогда
/оо	__ 2 г z-оо	'i Г гоо	А
xf(x)f'(x)dx < < |ге/(ге)|2с?ге Н /	|//(гг)|2с?ж
-оо	IV — ОО	) IV—ОО	)
(3.2.20)
Более того, равенство имеет место тогда и только тогда,
когда f(x) есть функция Гаусса.
Доказательство. Неравенство (3.2.20) с очевидностью вы-
текает из применения неравенства Шварца. Теперь, если в
(3.2.20) имеет место равенство, то из этого следует, что
-Rexf(x)f'(x) = \xf(x)f'(x)\ и	,	2П
\xf(x)\ = 2а|/' (т)|	1 J
для некоторой положительной константы а. (Здесь, как
мы увидим позже, другая возможность — Rexf (x')f'(ж) =
|ге/(ге)/,(ге)| отбрасывается, так как f должна принадлежать
L2(R). Тот факт, что а 0 следует из предположения, что
f — нетривиальная функция из L2(R)). Из второго тождества
в (3.2.21) мы имеем
х/(т) = 2af'(x)eie{x)
при некоторой вещественной функции 0(х). Тогда первое то-
ждество в (3.2.21) означает, что
-xf(x)f'(x) > О,
так что
-2a|/'(x)|2eieW > О,
которое в свою очередь означает, что	— — 1. Откуда мы
заключаем, что
= —2af'(x),
и так как f непрерывна, то
/(®) = се~х2^а
3.2. Кратковременные преобразования Фурье
105
при некоторой константе с / 0. Таким образом, / является
функцией Гаусса да, определенной в (2.2.9), умноженной на
постоянный множитель.	□
Прежде чем обратиться к доказательству теоремы 3.5, мы
сначала заметим, что
Rexf(xyf\x) = |ж4:1/(я)|2	(3.2.22)
и что если каждая из функций f(x), f'(x) и xf (ж) принадле-
жит £2(Я), то
lim ж|/(гс)|2 = 0.	(3.2.23)
|х|-40О
Соображение, по которому (3.2.23) имеет место, состоит в том,
что при наших предположениях мы имеем
^(t|/(t)|2) е LX(R).
Доказательство теоремы 3.5.
Предположим сначала, что центры w и w равны нулю. То-
гда, применяя теорему 2.2(b), равенство Парсеваля, (3.2.20),
(3.2.22) и (3.2.23) последовательно, мы имеем
2 = (/Хо *2 М*) 12^) (/X ^2R^) |2<И
1к|Ц||и?|||
=	№)12<М
IM2IRI2
27Г|И2
(3.2.24)
106
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Более того, по лемме 3.6 неравенство в этой формуле перехо-
дит в равенство тогда и только тогда, когда w есть функция
Гаусса.
В общем случае, если центрами w и w соответственно
являются t = bau = a, то после простой замены переменных
из вышеприведенных рассмотрений следует, что ДшДд = |
только, если
w(i) = cetat ga(t — b),
где а > 0 и с / 0.	□
Отсюда преобразование Габора, введенное в предыдущем
параграфе, есть КВПФ с наименьшим частотно-временным
окном. В приложениях следует выбирать большее окно для
получения некоторых желательных свойств преобразования.
Например, В-сплайны второго и более высокого порядка, вве-
денные в примере 3.4, повышают эффективность вычислений
и выполнения алгоритма. Наиболее важное свойство, кото-
рым не обладает преобразование Габора, это дополнительное
условие:
f ip(x)dx = 0,	(3.2.25)
J —оо
где 'ф — функция-окно. Это свойство дает нам большую сте-
пень свободы для введения параметра растяжения (или мас-
штабного параметра) с тем, чтобы сделать частотно-времен-
ное окно гибким. Локально-временное интегральное преобра-
зование с таким параметром растяжения, которое мы рассмо-
трим в следующем параграфе, будет называться интеграль-
ным вэйвлет-преобразованием (ИВП), и любая функция-окно
для определения ИВП будет называться «базисным вэйвле-
том».
Перед тем как окончить этот параграф, выведем формулу
восстановления любого сигнала с конечной энергией по зна-
чениям его КВПФ.
3.2. Кратковременные преобразования Фурье
107
Теорема 3.7. Пусть w G £2(R) выбрано так, что ||w||2 = 1,
w u w удовлетворяют (3.2.1). Пусть также Wbja>(t) опреде-
лено формулой (3.2.7). Тогда
/ОО лоо	_______
/ (/, Wb,u){g, Wb^dbdw = 2тг(/, g) (3.2.26)
-оо J —оо
для любых f,g Е £2(R).
v
Доказательство. Для любой / G L2(R), обозначим через f
v
обратное преобразование Фурье от /; таким образом, f (ж) =
^/(—х). Тогда по равенству Парсеваля и формуле (3.2.6) мы
имеем
/ (^/)(w)(^5)(w)dw = 2тг / (Qbf^^gbgy(x)dx
J —оо	J—оо
— 2тг /*	— b) g(t)w(t — b)dt
J—оо
ЛОО ______
= 2тг/ /(t)cz(t)|w(t - Ь)|2<й.
J —оо
Поэтому из предположения ||w||2 = 1 следует, что
ЛОО ЛОО
dbdw
J —оо J — оо ЛОО ЛО< J —оо J—о ЛОО = / 2тг J —оо J = ^{f,g).	(£b/)M(£b<z)(w) dbdu О [ f(t)g(t)\w(t — Ь)|2 dbdt —оо □
108
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Взяв в качестве функции д функцию Гаусса да(- — х) и
устремив а -> 0+, мы приходим к следующему утвержде-
нию.
Следствие 3.8. Пусть w удовлетворяет условиям теоре-
мы 3.7 и пусть f € L2(R). Тогда в каждой точке х, где f
непрерывна,
ч гоо гоо
=	/ [e^WK^Mx-b^db. (3.2.27)
“К J—оо J —оо
3.3. Интегральное
вэйвлет-преобразование
Мы видели, что при анализе сигнала с помощью КВПФ
частотно-временное окно остается фиксированным в том смы-
сле, что его ширина не меняется при рассмотрении любого
диапазона частот (или октавы)
[ш* + а) — Дд, ш* + а) — Дд]
с частотным центром ш* +а>. Так как частота прямо пропор-
циональна числу периодов на единицу времени, то требуется
более узкое временное окно для более точной локализации вы-
сокочастотных явлений и широкое временное окно для пол-
ного анализа низкочастотных свойств сигнала. Следователь-
но, КВПФ не подходит для анализа сигналов одновременно с
очень низкой и очень высокой частотами. С другой стороны,
интегральное вэйвлет-преобразование (ИВП), использующее
некоторый базисный вэйвлет, который будет определен ниже,
имеет гибкое частотно-временное окно, которое автоматиче-
ски сужается при рассмотрении высокочастотных явлений и
расширяется при изучении низкочастотных областей
3.3. Интегральное вэйвлет-преобразование
109
Определение 3.9. Если ip G L2(R) удовлетворяет условию
«допустимости »:
/"°° |^(w)|2
Сф~ /	^-^-dw<oo,	(3.3.1)
J-оо 1И
то ip называется «базисным вэйвлетом». Относительно ка-
ждого базисного вэйвлета ip интегральное преобразование
(ИВП) на L2(R) определяется формулой
1	ft — Ъ\
(И^/)(М:=|«П / /(t)V>----------)dt, f G L2(R),
(3.3.2)
где a,b G R u fl 0.
Замечание. Если, кроме того, обе функции ip a ip удовлетво-
ряют (3.2.1), то базисный вэйвлет ip обеспечивает частотно-
временное окно конечной площади, равной 4Д^,Д^. Более
того, из этого дополнительного предположения следует, что
^ — непрерывная функция, так что конечность в (3.3.1)
влечет ip(0) = 0, или, что эквивалентно,
f ip(t)dt = 0.	(3.3.3)
J —оо
По этой причине ip называют «вэйвлетом». Мы увидим позже
в этом параграфе, что условие допустимости (3.3.1) необхо-
димо для обращения ИВП.
Положив
V’biaW :=	’	(3-3-4)
ИВП, определенное формулой (3.3.2), может быть записано
как
(W^f)(b,a) = (f,ipb.a).	(3.3.5)
В последующих рассуждениях мы будем полагать, что обе
функции — гр и ip — удовлетворяют (3.2.1). Тогда, если центр
110
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
и радиус функции-окна ф, соответственно, равны t* и Д^, то
фь.а есть функция-окно с центром в b + at* и радиусом, рав-
ным аД^,. Следовательно, ИВП, как это определено в (3.3.5),
дает локальную информацию об аналоговом сигнале f с вре-
менным окном
[b + at* — aAi/,,b + at* +	(3.3.6)
Это окно сужается для малых значений а и расширяется для
больших а.
Рассмотрим затем
^Фь-.а^) =	/ е—( — )dt (3.3.7)
2тг	2тг J_oo \ а /
_ а|а|—
2тг
и предположим, что центр и радиус функции-окна ф равны,
соответственно, ш* и Д^. Тогда, положив
z?(w) := ф(со + со*),	(3.3.8)
мы имеем функцию-окно р с центром в нуле и радиусом, рав-
ным Д^. Теперь из (3.3.5) и (3.3.7), применяя равенство Пар-
севаля, получаем
- [ f(co)eibtjjp (а (со- —
7—оо	\ \	/ /
(И^/)(6,а) =
(3.3.9)
Откуда ясно, что функция-окно р (а — ^-)) = р(асо — со*) =
ф(асо) имеет радиус, равный -Д^;, выражение в (3.3.9) пока-
зывает, что за исключением множителя а|а|-1/2/2тг и линей-
ного сдвига по фазе егЬш, ИВП W^f также дает локальную
информацию об f с частотным окном
ш*
а
1 Л w* 1 Л
аЛ^’ а +
(3.3.10)
3.3. Интегральное вэйвлет-преобразование
111
В последующих рассуждениях предполагается, что центр ш*
функции чр положителен. Сделав так, мы можем считать
это окно диапазоном частот (или октавой) с частотным цен-
тром ш*/а и шириной полосы 2Д^/а. Важность такого ото-
ждествления состоит в том, что отношение
частотный центр _ ш*fa _ ш*	(3 3 11)
ширина диапазона 2Д^/а	2Д^
не зависит от масштабного параметра а. Следовательно, если
частотная переменная идентифицируется с постоянной вели-
чиной, умноженной на а-1, то соответствующий диапазонный
фильтр с полосой пропускания (3.3.10) обладает тем свой-
ством, что отношение частотного центра к ширине д иапазона
не зависит от расположения частотного центра. Это называ-
ется «Q-постоянной фильтрацией».
Если теперь ш*/а рассматривается как частотная перемен-
ная ш, то мы можем рассматривать плоскость t-ш как частот-
но-временную плоскость. Откуда мы имеем прямоугольное
частотно-временное окно с временным окном (3.3.6) и частот-
ным окном (3.3.10)
CU* 1 CU* 1
[b+at*—аА^,Ь+аЛ*+оА.ф]х-------Д^,---1—Д^ (3.3.12)
на t-ш плоскости с шириной 2аД^ (определенной шириной
временного окна). Следовательно, это окно автоматически су-
жается в случае высокочастотных явлений (то есть при ма-
лых а > 0) и расширяется при исследовании низкочастотных
свойств сигнала (то есть при больших а > 0). (См. рис. 1.2.1.)
Далее мы выведем формулу для восстановления любого
сигнала конечной энергии по его значениям ИВП. Для пол-
ноты мы сначала допустим отрицательное значение масштаб-
ного параметра а, затем сосредоточим наше внимание на по-
ложительных а с тем, чтобы применить ИВП для частотно-
временного анализа.
112
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Теорема 3.10. Пусть 'ф — базисный вэйвлет, определяющий
ИВПУфр. Тогда
1°° 1°° [WM в)(ЙЩЛ] ^db = C^f, g) (3.3.13)
для всех f,g Е £2(R). Более того, для любой f € £2(R) и
х € К, в которой f непрерывна,
1 гоо poo	Ja
Нх) = -—	/	[(W^f)(b,a)]^b;a(x)-^db,	(3.3.14)
J —оо J—оо	°
где г^ъ-а определяется формулой (3.3.^).
Доказательство. Применяя равенство Парсеваля и (3.3.7)
и введя обозначения
1 F(x) f(xfy(ax), (G(rc) := д(х)ф(ах), мы имеем f_ [W(b,a)^g)(b,a)]db  —	 1 /*°°	/*°°	ft	b\		 = । । /	'	/(^ (	jdt / p(s)V> |O| J—oo J —оо	\ a / J—oo a2 roo	j	( 1 = T"T /	t— / F(x)e lbxdx < — / lal J—oo ^J-oo	X^J-oo a2 ( 1	1 =	/ G(b)F(b)db 2тг|(1|	27Г J—oo	) a2	- = 57ы / 2тг|а| J-oo	(3.3.15) ( 8 - 5\ 1 	 1 ds db \ a J G(y)e-td»dy| db
где равенство Парсеваля применено снова для получения по-
следнего равенства. Откуда, подставляя (3.3.15) в выше полу-
ченное выражение, умножая на da/а2 и интегрируя по интер-
3.3. Интегральное вэйвлет-преобразование
113
валу (—оо, оо), вспомним определение C$ из формулы (3.3.1)
и получим
- /(ж)д(ж)
db}^ (3.3.16)
I а2
^М|2лп1
--:—:—da dx
Z7F
' f(x)g(x)
Иу)12  I ,
< । d/ц dx
|y|
Более того, если / непрерывна в точке х, то, используя функ-
цию Гаусса да(- — х) в качестве функции д и устремляя а к
нулю, мы приходим к равенству
=	<^о+ / / [(^WX6’ °ХУ<*(- - ж)> 'Фъа}] ^db
= ip /°°[(^/)(b,aM;a(x)^db.
J —oo J —oo	®
Это и завершает доказательство теоремы.	□
В анализе сигналов мы рассматриваем только положи-
тельные частоты ш. Следовательно, если частотная перемен-
ная ш идентифицирована с положительной константой, умно-
женной на обратную величину параметра растяжения а, в ви-
де ш = со* /а (где со* — центр чр — всегда предполагается поло-
жительным), то мы должны рассматривать только положи-
тельные значения а. Поэтому, восстанавливая / по ИВП от /,
мы можем использовать только значения (W^f)(b, а), а > 0.
В этом случае, как и следует ожидать, на базисный вэйвлет чр
должны быть наложены дополнительные ограничения. Таким
дополнительным условием является
Г _ Г	= fa < оо. (З.ЗЛ7)
Jo w Jo ш 2
8 - 3954
114
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Теорема 3.11. Пусть ip — базисный вэйвлет, удовлетворя-
ющий (3.3.17). Тогда
fOO fOO	________ i Ja
/	/ W)(M)(W^)(&,a)d& —
JO U-oo	J a
1
2 =	(3.3.18)
> £
для всех f,g € Z2(R). Более того, для любой f Е L2(R) и
х Е R, в которой f непрерывна,
/(®) =
,2’
(3.3.19)
где V’bja определяется формулой (3.3-4).
Заметим, что для того, чтобы левая часть (3.3.18) равня-
лась С(/,д) для всех f,g& L2(R), необходимо предположение
(3.3.17), а также необходимо, чтобы С = -Сф.
Доказательство теоремы 3.11.
Из предположения (3.3.17) легко следует, что

а
(3.3.20)
У
х 7^ 0.
Откуда, проводя те же преобразования, что и в (3.3.16) (с той
только разницей, что интеграл по da/а2 берется по интервалу
(0, оо) вместо (—оо, оо)), мы получаем (3.3.18). Доказатель-
ство (3.3.19) проводится так же, как и доказательство (3.3.14)
в теореме 3.10.	□
3.4. Двухпараметрические вэйвлеты
и формулы обращения
В анализе сигналов иногда необходимо разбить (положитель-
ную) ось частот на непересекающиеся частотные диапазоны
(или октавы). Для численной эффективности мы будем рас-
3.4. Двухпараметрические вэйвлеты
115
сматривать только двоичные разбиения, а именно:
оо
(0,оо)= U (2-7Д^,2-’+1Д^],	(3.4.1)
J=-OO
где > 0 — радиус преобразования Фурье ф базисного вэй-
влета ф. Здесь мы требуем также, чтобы удовлетворяла
(3.2.1). Заметим, что для любого базисного вэйвлета ф фа-
зовый сдвиг ф на а эквивалентен сдвигу ф в положительном
направлении оси со на эту же величину а; таким образом
ф°(ф) = егоЛф{б) о V’°(w) —	~ а)-	(3.4.2)
Откуда, так как Д^о = Д^, и Д^о = Д^, мы всегда без поте-
ри общности можем потребовать, чтобы центр ф был в точке
а)* = ЗД^. Поступив таким образом, мы имеем
(г - г + гЧ = (2,+Ч-.*+Ч-1 (3-«)
при условии, что
1	. г.
(3.4.4)
Частотный центр диапазона частот, описанный в (3.4.3), да-
ется формулой
/л* ЗА 7
:= — = —= 3 х 2^.	(3.4.5)
аз аз	ф
Итак, используя ш*/а в качестве частотной переменной из, где
а > 0 — параметр растяжения (или масштабный параметр),
объединение непересекающихся множеств в (3.4.1) в самом де-
ле дает разбиение (положительной) частотной области (0, оо).
В этом параграфе мы изучаем задачу восстановления
любого сигнала с ограниченной энергией / (то есть любой
8*
116
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
f G L2(R)) по его интегральному вэйвлет-преобразованию
известному только в дискретном множестве ча-
стот:
{Wj=3x2^:jGZ},
(или используя только масштабные параметры a — aj :=
1/2J, j G Z). Для разрешимости этой задачи естественно ожи-
дать от базисного вэйвлета ф удовлетворения дополнитель-
ным ограничением по сравнению с условием допустимости
(3.3.1).
Определение 3.12. Функция 'ф G £2(R) называется двух-
параметрическим вэйвлетом, если существуют две поло-
жительные константы А и В, 0 < А < В < оо такие, что
А < £ |V’(2-Jw)|2 < В, п.в. (3.4.6)
J=-oo
Условие (3.4.6) называется условием «устойчивости», на-
лагаемым на ф. Для объяснения этой терминологии восполь-
зуемся обозначением (2.3.9) для отражения функции и введем
следующее «нормированное» ИВП:
(И?/)(&) := 2^2(Ж^/) (b, 1) = 2Д/ *^Ж)(Ь). (3-4.7)
Тогда мы видим, что (3.4.6) эквивалентно соотношению
ОО
A\\f\\22< £ l|W/Hi<B||/||i, /g£2(R),	(3.4.8)
j=-0O
с теми же константами А и В. Действительно, по равенству
Парсеваля и первому равенству в (2.3.10) леммы 2.16, нера-
венства в (3.4.8) могут быть записаны как
/•ОО 00	—
а\\л\22 < / £ i/(w)^(2-mi2^ < вц/iii,
3.4. Двухпараметрические вэйвлеты
117
что эквивалентно
9(х)
1Ы|2
д е Z2(R).	(3.4.9)
2
Взяв в качестве д/ИдЦг функцию Гаусса да(- —ш) и устремив
а -» 0+, мы видим, что из (3.4.9) следует (3.4.6). Так как
очевидно, что из (3.4.6) следует (3.4.9), то эти неравенства
эквивалентны.
В дальнейшем мы увидим, что условие устойчивости на ip
означает, что любой двухпараметрический вэйвлет ip должен
быть базисным вэйвлетом.
Теорема 3.13. Пусть ip удовлетворяет условию устой-
чивости (ЗД.6). Тогда ip является базисным вэйвлетом,
удовлетворяющим неравенствам
,	Г°° IV’(w)!2	f°° И-w)l2
Aln2< /	71 duj, / m	< В In 2.	(3.4.10)
Jo ш Jo
Более того, если А и В — соответствующие параметры не-
равенств (ЗД.б), то
Мч)12
|ш|
(3.4.11)
cL> = 2А In 2.
Доказательство. Заметим сначала, что
/ ----------сил = /	------ах.
Ji oj	J2-j х
Откуда, разделив каждый член в (3.4.6) на ш и проинтегри-
ровав по интервалу (1,2), мы имеем
,	с°° IV’(w)!2
А1п2 < / л ды<В\п2.
Jo ш
118
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Подобным образом, разделив на —ш и проинтегрировав по
(—2, —1), получим
А1п2<	< ВЫ2.
Jo w
□
Условие устойчивости способствует восстановлению лю-
бой / 6 L2(R) по ее ИВП-значениям (И^/)(Ь, 2~J), j G Z.
Подход, который мы выбираем, состоит в рассмотрении дру-
гого двухпараметрического вэйвлета -ф*, который мы опреде-
ляем через его преобразование Фурье:
:=
£Г=-ооЙ2-М2’
(3.4.12)
Из вида функции ф* и из формулы (3.4.7) следует, что для
любой / G L2(R)
00 г-оо
Е / (Wf/)(b){2V(2J(x-b))}db
(3.4.13)
00	1 z-oo
= Е / (И^/)л(о;)^(2-^)е-^
/(w)^(2-Jw)^*(2-Jw)eilwdu/
dw = f(x),
где мы применили формулу hi * /12 = •^r-1(^i^2), (3.4.7),
лемму 2.16 и (3.4.12). Это приводит к следующему понятию
двухпараметрических двойственных.
Определение 3.14. Функция ф G £2(R) называ-
ется двухпараметрическим двойственным двухпараметри-
3.4. Двухпараметрические вэйвлеты
119
ческого вэйвлета 'ф, если каждая f € £2(R) может быть
представлена как
f№ = Е Г (^//)(b){2W(s-b))}<*
j^-oo7-00
(3.4.14)
Ь, V’(2J (® - b))db.
Zl'' /
Откуда в (3.4.13) мы установили следующий результат.
Теорема 3.15. Пусть 'ф — двухпараметрический вэйвлет.
Тогда функчч,ия ч/ч*, преобразование Фурье которой дается
формулой (3-4-12), является двухпараметрическим двой-
ственным ч/ч. Более того, ч/ч* есть также двухпараметри-
ческий вэйвлет и
1	00	1
g < Z W'(2-^)|2 < п.в.	(3.4.15)
J = -OO
Заметим, что двухпараметрические двойственные за-
данного двухпараметрического вэйвлета ч/ч могут быть не
единственными. Обсуждение неединственности этих функ-
ций откладывается до § 3.6. Оно будет зависеть от следующе-
го характеризующего результата.
Теорема 3.16. Пусть ч/ч — двухпараметрический вэйвлет
и ч/ч — любая функчч,ия из L2(R), которая удовлетворяет
условию
0°
ess sup |т/>(2 Js)|2 < оо;
—оо<х<оо .
j=-oo
(3.4.16)
ч/ч — двухпараметрическое двойственное ч/ч тогда и только
тогда, когда выполняется равенство
У2 V’(2 7w)V’(2 •7w) = 1 п.в.
j=-oo
(3.4.17)
120
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Доказательство. Проводя те же преобразования, что и в
(3.4.13), заметим, что гр является двухпараметрическим двой-
ственным гр тогда и только тогда, когда для любой f € b2(R)
мы имеем
оо_______________
/(ш) = 5? /(w)V’(2_-’w)V’(2--’a;) п.в.,	(3.4.18)
j=-oo
где сходимость п.в. бесконечного ряда обеспечивается пред-
положением (3.4.16) и определением двухпараметрическо-
го вэйвлета гр. Очевидно, что (3.4.17) и (3.4.18) эквива-
лентны.	□
3.5.	Каркасы
В предыдущем параграфе мы разбили (положительную)
частотную ось на непересекающиеся частотные диапазоны
j е z, выбрав параметр растяжения а рав-
ным aj := G Z, в то время как параметр сдвига мог
принимать любое значение из R. Поступив таким образом,
мы рассмотрели полудискретную информацию об ИВП для
f G L2(R), а именно
^Г)(ь,±Л, b G R, JGZ.
\ J
Для вычислительной эффективности будем брать дискрет-
ным также параметр 6, ограничив Ь дискретным множеством
точек выборки
ь
J,fceZ,	(3.5.1)
где bo > 0 фиксированная константа, называемая нормой вы-
борки. Отсюда, введя обозначение
VWjX*) :=	- kbo),	(3.5.2)
3.5. Каркасы
121
(см. (3.3.4) для определения V’&ja), будем считать значения
ИВП для любой f G L2(R) заданными формулой
(Wil>f)(bjtk, aj) = (/,jjkE’Zi.	(3.5.3)
Аналогично случаю полудискретного множества в предыду-
щем параграфе, поставим вопрос о восстановлении f G A2(R)
по ее значениям ИВП, определенным (3.5.3). Условие «устой-
чивости» для такого восстановления состоит в существовании
двух положительных констант А и В, 0 < А < В < оо, та-
ких, что
>111/112 < Е ia,Vw*)l2 < Will / е l2(R). (3.5.4)
j,kez
Другими словами, условие устойчивости, наложенное на ip,
означает требование того, чтобы ip порождала «каркас»
L2(R) с нормой выборки до-
определение 3.17. Говорят, что функция ip G A2(R) поро-
ждает каркас {ipbo\j,k} b2(R) с нормой выборки 6о > 0, если
(3.5-4) выполняется для положительных констант А и В,
которые называются границами каркаса. Если А — В, то
каркас называется жестким каркасом.
При условии устойчивости (3.5.4), то есть при условии,
что ip порождает каркас, любая функция / G Z2(R) может
быть восстановлена по значениям ее ИВП в формуле (3.5.3).
Чтобы это увидеть, рассмотрим оператор Т на L2(R), опре-
деленный как
Tf := Е </>/ € L2(R).	(3.5.5)
j.fcez
Из условия устойчивости (3.5.4) ясно, что Т — однознач-
ный ограниченный линейный оператор. Действительно, вви-
ду ограничения снизу в (3.5.4), Т отображает L2(R) на свою
область значений, и по теореме Банаха об обратном операторе
122
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
его обратный оператор Т-1 ограничен. В наших рассуждени-
ях мы можем использовать следующий простой довод. Для:
любой д = Tf, где / 6 L2(R), так как
(Tf,f)=	l</>V’bo;j,fc>|2’	(3-5.6)
j,kez
мы имеем
А||Т-М1 = ЖН1<(Г/,/)
= <9,Т-1д) < Ш|Т-М2,
таким образом
/1
или ЦТ-1 II < А-1. Следовательно, любая / G L2(R) может
быть восстановлена по ее значениям ИВП (3.5.3) с помощью
формулы
/ = Т-1Т/ := 2 (/,	(3.5.7)
j.fcez
Положив
V’bo := Т 1V’bo;j,k>	(3.5.8)
формулу восстановления (3.5.7) можно записать в виде
<J,9}= Е {/,Фьы,к}{ф1'*,д},
* f	(3-5.9)
f= E (AV’boy.fcM’
j.fcez
для всех f, g G T2(R). Мы можем назвать {ф^} двой-
ственным каркасу {V’bo;j,fc}- Одыако формулы восстановления
(3.5.7) или (3.5.9) не пригодны для использования до тех пор,
пока мы не обладаем некоторыми знаниями о двойственном-
К сожалению, в общем случае двойственное {ф3^} не может
быть порождено некоторой ф Е L2(R) таким же образом, как
{фъ0^,к} порождается ф. Мы вернемся к обсуждению этой те-
мы в следующем параграфе.
3.5. Каркасы
123
В дальнейшем мы увидим, что каркас может и не образо-
вывать линейно независимого семейства.
Пример 3.18. Пусть ^ — функция Хаара, определенная
формулой (3.2.3), и рассмотрим норму выборки Ьо =
1/3. Тогда семейство линейно зависимых функций S :=
{V’i,i/3;j,fc ' jik G Z} является каркасом L2(R).
Доказательство. Будем использовать обозначение
fl для четных j G Z,
(2 для нечетных j G Z
и представим семейство S в виде объединения трех непересе-
кающихся подсемейств:
Si =	= 2J/2V>1(2Ja; - k) : j, k G Z},
S2 = {2-7/2V>i (?jx - k + £) : j,k G Z} ,
и
S3 = {2>/2^ (2>® - k - £) : j, k G Z} .
Так как ipi — функция Хаара, то Si — это уже о.н. базис в
£2(R) (см. §1.5, а также главы 5 и 6 для более детального
рассмотрения). Следовательно, S — линейно зависимое семей-
ство. Легко также убедиться в том, что S2 и S3 являются о.н.
семействами, так что можно применить (обобщенное) нера-
венство Бесселя (см. (2.4.14), неравенство Бесселя для триго-
нометрических многочленов). Действуя последовательно, мы
имеем
II/II2 = X l(Mi;W>l2
j,kez
- У? l(/>V’i,i/3y,k)|2
= 11/111 + Ei(/,s>i2 + Xi(/,<oi2
seSs
< □
124
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Следовательно, условие устойчивости (3.5.4) слабее требо-
вания, чтобы 'ф порождала базис Рисса, которое определяется
следующим образом.
Определение 3.19. Говорят, что функция ф Е L2(R) поро-
ждает базис Рисса (или безусловный базис) {V’bo;j,fc} с нормой
выборки Ьй, если удовлетворяются следующие два условия:
(а)	линейная оболочка
{^bo-j,k j,k EZ}	(3.5.10)
плотна в L2(R) и
(б)	существуют положительные константы А и В,
0 < А < В < оо такие, что
2
АПК*}!(?> <
X? cj,fcV’bou,fc
(3.5.11)
2
для всех {cj,fc} 6 £2(Z2). Здесь А и В называются границами
Рисса для {'Фьой.ь}-
Если ф порождает базис Рисса с нормой выборки bo — 1,
то ф называют "^.-функцией (см. определение 1.4).
Замечание. Всюду в этой книге мы будем использовать
обозначение
:=	= 2J/2V’(2'?a; - к).	(3.5.12)
Это обозначение нельзя смешивать с обозначением фь-а, вве-
денным с помощью формулы (3.3.4).
Следующий результат проясняет различие между карка-
сом и базисом Рисса.
Теорема 3.20. Пусть ф G Z2(R) и Ьо > 0. Тогда следую-
щие два утверждения эквивалентны.
(а)	{'фъо-о.к} является базисом Рисса в L2(R).
3.5. Каркасы
125
(б)	{‘>Pbo;j,k} является каркасом Z2(R) и образует также
£2 -линейно независимое семейство в том смысле, что если
^сз^'Фь0-,з,к = 0 и {су,*;} G £2, то Cjtk = 0. Более того, границы
Рисса и границы каркаса совпадают.
Доказательство. Из (3.5.11) очевидно, что любой базис Рис-
са £2- линейно независим. Пусть {i/>bo;j,k} есть базис Рисса с
границами Рисса А и В, и рассмотрим «матричный опера-
тор»
м := [?£,my,fc](£,m),(j,fc)eZ2>
где элементы матрицы определяются формулой
— (‘ФЬо;£,т,'ФЬо',:),к)•	(3.5.13)
Из (3.5.11) мы имеем
-^11	11^2 — 52 ct,rnYt,m;j,kCj,k < В||{су^}||2а,
£,m,j,k
таким образом, М — положительно определенный опера-
тор. Мы обозначим оператор, обратный М, выражени-
ем
М'1 := [M€,m;J,fc](Z,m),(j,fc)eZ2,
которое означает, что выполняются оба соотноше-
ния
5 Р1рп',т,»Ут,й‘,з,к = ^t,j^m.,ki	€z Z (3.5.14)
r,s
и
1IIIlf2 — 53 ct,mM,m-,j,kCj,k <
t,mj,k
< A“1||{cyifc}||22, {cjtk}ee2.	(3.5.15)
Это позволяет нам ввести
0^,rn(a;) :=	^Р'£,тп-,з,к'ФЬа\з,к(.х}-	(3.5.16)
3,к
126
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Ясно, что ,фе'гп Е L2(R) и из (3.5.13) и (3.5.14) следует,
что
{‘Ф ’	= $1,з$т,к->	€z Z,
это значит, что {т//,гп} является базисом в L2(R), двойствен-
ным {tho-,j,k}- Более того, из (3.5.14) и (3.5.15) мы заключаем,
что
и что границы Рисса	равны В-1 и Л-1. В
частности, для любой / € L2(R) мы можем напи-
сать
/(ж) = X<f’^W4x)
3,к
И
В-1 S |(/,^о;1л)|2 < 11/112 <	(3-5-17)
j,k	j,k
Так как очевидно, что (3.5.17) эквивалентно (3.5.14), то мы
установили, что из справедливости (а) следует справедли-
вость (б).
Чтобы доказать обратное утверждение, мы должны ис-
пользовать две основные теоремы функционального анализа,
а именно: теорему Банаха—Штейнгуаза и теорему об откры-
тости отображения, которые, к несчастью, выходят за рамки
этой книги. Мы даем только очень краткое описание дока-
зательства, не приводя его подробностей. Используя (3.5.5),
видим, что если {V’boy,*;} есть каркас b2(R), то для любой
д £ L2(R) и f = Т~гд мы имеем
9(х) = ^2(f^b0;j,k)^b0-,j,k(xV
Э,к
Также из ^-независимости {фь^к} следует, что это предста-
вление единственно. Может быть также показано, что при ис-
пользовании этого «базиса» {V’bQ-j.fc} для представления функ-
3.5. Каркасы
127
ций из b2(R) ряды
У? c3,k',PbQ\j,k(.x)
},к
сходятся в b2(R) тогда и только тогда, когда последователь-
ность {cj,fc} принадлежит t2. Тогда, как это было сказано вы-
ше, теорема Банаха—Штейнгуаза и теорема об открытости
отображения позволяют сделать вывод о том, что
является базисом Рисса в L2(R).
В завершение этого параграфа покажем, что если
G T2(R) порождает каркас £2(R), то он должен быть
двухпараметрическим вэйвлетом.
Теорема 3.21. Пусть ip € L2(R) порождает каркас
{V’bo;j,fc} -^(R) с границами каркаса А и В и нормой выбор-
ки Ьо > 0. Тогда его преобразование Фурье ip удовлетворяет
неравенствам:
Ьо-4 < \ip(2-|2 < ЬоВ п.в. (3.5.18)
J=-oo
Неполное доказательство. Пусть f G Z2(R). Вводя обо-
значение
2тг
и применяя равенство Парсеваля для {f,ipb0;j,k) и ДАЯ инте-
грала в бесконечных пределах в виде циклической суммы, мы
имеем
00	9-?	00 /*оо	_____
Е КЛ*.;;Л>|2 = Е Z3 Е /
JjfcEZ	j——оо	fc=—oo 00
оо
£ /W + ^))
Л=—оо
I 2 fc2%o> И*
Х1р{ш + £т) е г dw
°° оз гт °° Л	---------
=	/ 22/(2;'(ш+^'г))’/’(^+€т)
^оо27г6°7° &
2
du.
128
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Откуда условие каркаса (или устойчивости) (3.5.4) принима-
ет вид
лц/Hi <
£=—оо
ОО	__________
/(2J(® +€r))V>(a; + Лг)
2
dx
< B\\f\\i
Пусть теперь мы имеем по j конечную сумму, например
—М < j < М, тогда для любого ш G R и достаточно малого
е > 0 выбор
f(x)
(Х[а,/3] — характеристическая функция отрезка [«,/?]), в выше-
приведенных неравенствах легко дает нам
__ч 1 2J Г2
Ьо 2е
|V>(<r)|26fa: < В
и, следовательно, неравенства в (3.5.18) могут быть получены
при стремлении £ —> 0+. К сожалению, сумма по j — беско-
нечна. Тем не менее, так как любое конечное усечение оста-
вляет неизменной верхнюю границу, то второе неравенство
в (3.5.18), естественно, имеет место. Чтобы получить первое
неравенство в (3.5.18), «хвосты» суммы по j должны быть
оценены очень аккуратно для того, чтобы были применены
предыдущие рассуждения с конечными суммами. Мы опус-
каем здесь технические детали доказательства.	□

3.6. Вэйвлет-ряды	129
3.6.	Вэйвлет-ряды
Мы продолжаем наше обсуждение частотно-временного ана-
лиза, рассматривая, так же как и в предыдущем парагра-
фе, дискретные масштабно-временные выборки ИВП. Для
упрощения наших рассуждений мы будем рассматривать
только норму выборки bo = 1 и использовать обозначения
ф^к =	как это было введено в (3.5.12). Кроме то-
го, мы сосредоточим наше внимание на ^-функциях ф в том
смысле, что {V’j.fc} является базисом Рисса в L2(R) , соглас-
но определению 3.19. Следовательно, по теоремам 3.20 и 3.21,
соответственно, {V’j.t} образует каркас пространства L2(R) и
ф является двухпараметрическим вэйвлетом. Пусть —
двойственный базис относительно базиса Рисса {фу,к}, как
это определено в (3.5.13). Когда {V’y,fc} рассматривается в
качестве каркаса Ь2(Н), мы можем считать	=
двойственным этого каркаса, согласно рассуждени-
ям в (3.5.7) - (3.5.8).
Существует два очень важных подкласса 7?.-функций,
которые составляют главную тему нашего изучения. Ими
являются полуортогональные вэйвлеты и более узкий под-
класс ортогональных вэйвлетов, которые будут определены
ниже. Для этих двух классов функций весьма легко описать
их двойственные.
Определение 3.22. Пусть ф £ L2(R) является И-функ-
цией, которая порождает согласно (3.5.12). Тогда
(а)	ф называется ортогональным вэйвлетом (или о.н.
вэйвлетом), если {ф^ь} удовлетворяет условию ортого-
нальности:
{Ф],к,Ф1,т) ~	£ Z; (3.6.1)
(б)	ф называется полуортогональным вэйвлетом (или
п.о. вэйвлетом), если {V’j,*:} удовлетворяет условию:
(’Ф^ку'Фг,™) = 0, j j,k,(meZ. (3.6.2)
9-3954
130
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Очевидно, что о.н. вэйвлет является двойственным само-
му себе в том смысле, что
j,kEi.
Чтобы определить двойственное п.о. вэйвлета, рассмотрим
сначала следующие эквивалентные определения ортогональ-
ности.
Теорема 3.23. Для любой функции ф Е L2(R) эквивалентны
следующие утверждения:
(а)	{ф(х ~ к) . k Е 1} является ортонормированным
семейством в том смысле, что
(ф(-~к),ф(--еУ) = ёк>е, к,1ЕЪ. (3.6.3)
(б)	Преобразование Фурье ф функции ф удовлетворяет ра-
венству
1 Г°°
— / e~iJ®|^(a:)|2da: = 6jfi, j Е Z. (3.6.4)
(в)	Равенство
|^(ж + 2тгА:)|2 = 1	(3.6.5)
k——OO
справедливо для почти всех х.
Доказательство. Так как |^(я)|2 принадлежит LX(R), из
леммы 2.24 следует, что бесконечный ряд
G(x) :=	|^(а;+2тгА:)|2,	(3.6.6)
k=—00
который определяет функцию G, сходится п.в. к G и что
G Е L1(0,2тг). Теперь для любого j Е Z j-й коэффициент
3.6- Вэйвлет-ряды
131
Фурье G есть
9
/ e~^xG{x)dx
Jo
00 f2’r
/ е~гэх\ф(х + 2irk)\2dx
v°°	с2дк+1)
E / «’Й1ЛЛ
/•00
00
Эти формулы устанавливают эквивалентность (б) и (в).
Эквивалентность (а) и (б) следует из непосредственного при-
менения равенства Парсеваля с j = к — а именно:
00
оо
00
□
Несколько более слабым свойством, чем свойство орто-
гональности в этой теореме, является условие Рисса (или
безусловности), которое мы рассмотрим в следующей тео-
реме.
Теорема 3.24. Для любой ф G L2(R) и констант 0 < А <
В < оо следующие два утверждения эквивалентны:
(а)	{</>(• — к) : к € Z} удовлетворяет условию Рисса с гра-
ницами Рисса А и В; это означает, что для любой {с^} G €2

ОО
СкФ(' ~ к)
к=—<х>
2
2
(3.6.7)
9’
132
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
(б)	Преобразование Фуръе ф от ф удовлетворяет неравен-
ствам
00
А < 22 \Ф(Х + 2тг/г)]2 < В п.в. (3.6.8)
к=—оо
(3.6.9)
Е скФ(-~к)
к~—оо
Доказательство. Пусть для любой последовательности
{cfc} G t2 обозначает ее символ, т. е.
C(W) := £ cke~ik“
к——00
Тогда, используя равенство Парсеваля, мы можем записать
°°	2	-1 гоо
=	/	\С(ш)ф(и)\2<1и
2я- У-оо
2	1 оо /2тг(А:-|-1)
= ~ Е /	\сш^\2^
2?Г fcZXo72^
= 7^ Е / \С(х)ф(х + 2як)\2бх.
к=—оо ‘'О
Будем использовать обозначение
$^2(®):= Е 1^(ж + 2лй)|2,
к=—оо
введенное в (2.5.4). Тогда, рассматривая
Я(Ш) = ic(w)i7iiciii>(o,2,)
и обращаясь к равенству Парсеваля (1.1.7)
1	/’2,г
IIWIIp =	= ||СЩ
(3.6.10)
(3.6.11)
получим: из (3.6.10) следует, что (3.6.7) может быть сформу-
лировано как
2тг
В.
(3.6.12)
2% /о
3.6. Вэйвлет-ряды
133
Ясно, что из (3.6.8) следует (3.6.12). Для доказательства того,
что из (3.6.12) вытекает (3.6.8), мы будем снова использовать
функцию Гаусса да(х — ш) вместо д(х) и устремим о? к 0.	□
С помощью двух доказанных выше теорем мы можем те-
перь сформулировать теорему о двойственном п.о. вэйвлета.
Теорема 3.25. Пусть ф 6 L2(R) является п.о. вэйвлетом,
определим ф с помощью преобразования Фурье
i'W ==	-------
£ \ф(ы + 2тг/г)|2
fc=—оо
(3.6.13)
14);
Тогда ф является двойственным ф в том смысле, что
{Фз,к‘,Ф(.,т} =	G Z, (3.6.14)
где
фе,т(х) := 2е/2ф(2ех - т).	(3.6.15)
Другими словами, двойственный базис	относительно
{^j,k} определяется как ф^к = ф-^к-
Доказательство. Так как ф — п.о. вэйвлет, то {V’j.fc} являет-
ся базисом Рисса в L2(R) с границами Рисса А и В. Следо-
вательно, рассматривая последовательности {с^д,} G £2(Z2),
где Cj,k = ck^j,o, {с*:} G £2 в (3.5.11), мы видим, что (3.6.7)
выполняется, если вместо ф подставить ф. По теореме 3.24
знаменатель в (3.6.13) ограничен п.в. вследствие (3.6.8). Из
этого следует, что ф, определенная формулой (3.6.13), при-
надлежит L2(R) и удовлетворяет равенству
оо
Ф(х) = 52 акФ(х — к), {ак}е£2,
к=—оо
(3.6.16)
(3.6.17)
где
1	[2* -ikx	1
ak — 9 / е оо	dx.
+ 2ttj)|2
j=-oo
134
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Так как ф — п.о. вэйвлет, то предположение (3.6.2) с исполь-
зованием обозначения (3.6.15) непосредственно приводит нас
к равенству
= 0, j 7^	j,k,£.,m G Z.
Для j = l из формулы (3.6.13) при р = к — т следует, что
к)ф(2>х — m)dx
Ф[у ~ Р)Ф(у)<1у
1 Г°°	. -
=	/	е~^ф(Ш)ф(Ш)4и>
Z7T J —оо
1
2тг
i/>(w + 2-пк}ф(ы + 2тгА:)
du
1
2тг
е гр“<1ы = 6p>q = 5к>т.
Это завершает доказательство теоремы.	□
Вышеприведенный результат указывает, как п.о. вэйвлет
переходит в о.н. вэйвлет. Действительно, положим
=
^(ш)
х 1/2’
£) \ф(ы + 2тг/г)|2 )
fc=—00	/
(3.6.18)
тогда двойственное ф^ для фг дается выражением
Ф (ш) =	--------= ^(ш);
£2 |V>-L(w + 2тгА:)|2
таким образом, ф1- = ф\ или ф1- является двойственным са-
мому себе.
3.6. Вэйвлет-ряды
135
Формула в (3.6.18) обычно называется процедурой орто-
нормализации. Однако, если ф — любая ^-функция, которая
не является п.о. вэйвлетом, эта процедура ортонормализации
не эффективна для построения о.н. вэйвлета. Действительно,
как уже говорилось в § 1.4, существуют ^-функции, кото-
рые не имеют двойственных в том смысле, что двойственный
базис относительно базиса Рисса {tpj,k} не задается
{V’j.fc} Для некоторой ф G LI 2(R), где использовано обозначе-
ние (3.6.15). Так как каждый базис Рисса является каркасом,
двойственное для каркаса может не быть порождено какой-
либо одной функцией из L2(R). Это приводит к следующему
определению вэйвлетов.
Определение 3.26. 'К.-функция ф 6 L2(R) называется
'll-вэйвлетом (или вэйвлетом), если она имеет двойствен-
ное ф G L2(R), в том смысле, что {V’j.fc} и {^Pj,k}> как это
определено в (3.5.12) и (3.6.15), удовлетворяют соотноше-
нию двойственности (3.6.14).
Так как соотношение двойственности (3.6.14) коммутатив-
но, то ф, двойственное вэйвлета ф, само является вэйвлетом
с двойственным ф. Таким образом, за исключением о.н. вэй-
влетов, которые двойственны самим себе, когда мы рассма-
триваем вэйвлеты, то всегда рассматриваем пары выйвлетов.
Если ф — вэйвлет с двойственным ф, то по определению
базиса Рисса, каждая f G T2(R) может быть записана как
/(®) = 52 с>Л^л(ж) = 52 d3,k^j,k(x).	(3.6.19)
j,fc€Z	j,fc€Z
Эти бесконечные ряды называются вэйвлет-рядами и сходят-
ся в L2(R) (см. определение 3.19). Из соотношения двойствен-
ности (3.6.14) следует, что
I	f Cj,k ~ ’ ^3,k) >
1 dj.k = {f ^j,k) •
136
Глава 3. Вэйвлет-преобразования
Поэтому мы имеем следующую схему для восстановления
сигналов конечной энергии по дискретной выборке их инте-
гральных вэйвлет-преобразований.
Теорема 3.27. Пусть ip — вэйвлет с двойственным ip. Для
любой f G L2(R) рассмотрим ее ИВП, использующее ip и ip
в качестве базисных вэйвлетов, вычисленное при значениях
м
ir
j,k Е Z, а именно:
dj,k =	= (*М) (^7,	>
\ iff iff J
P k 1\
Cj,k = (f,^j,k) =	, 2j j 
(3.6.20)
Тогда f может быть восстановлена no значениям {dj^}
или {cj’fc} с использованием одного из двух вэйвлет-рядов
(3.6.19). Более того, скалярное произведение любых двух
функций из B2(R) может быть восстановлено из аналогич-
ных дискретных выборок их ИВП с использованием форму-
лы:
{f,9)=	(3-6.21)
Сейчас мы вернемся к рассмотрению двухпараметриче-
ских двойственных для двухпараметрических вэйвлетов, вве-
денных в § 3.4. Во-первых, мы должны придать особое значе-
ние тому факту, что двухпараметрические вэйвлеты не обяза-
тельно являются вэйвлетами в смысле 7£-вэйвлетов, и двухпа-
раметрические двойственные обычно не являются двойствен-
ными для вэйвлетов.
Пусть ip — п.о. вэйвлет с границами Рисса А та В. Мы ви-
дели при доказательстве теоремы 3.25, что 1р удовлетворяет
неравенствам
Л < 52 I’/’fa + 2тг&)|2 < В п.в.
к=—оо
(3.6.22)
3.6. Вэйвлет-ряды
137
с теми же границами А и В. Когда {ф^,к} рассматривается
как каркас L2(R)jC нормой выборки bo = 1, из теорем 3.20 и
3.21 следует, что ф также удовлетворяет условию
А < У |“0(2 •?w)|2 < В п.в.
J=-oo
(3.6.23)
снова при тех же константах А и В. Неравенства (3.6.22) и
(3.6.23) дают нам возможность ввести две функции из L2(R):
ф* и i/>°, с преобразованиями Фурье
1Х-оо |^(2-М|2’
______________________
Sfc^-oo Й^ + 2тгА:)|2
(3.6.24)
Пусть фг — о.н. вэйвлет, полученный с помощью ортонорма-
лизации ф с использованием (3.6.18). Тогда ф1- является В-
функцией с границами Рисса А = В = 1. Поэтому из теорем
3.20 и 3.21 следует, что
У |V’±(2 ’w)|2 = 1 п.в.	(3.6.25)
j=—oo
Так как фф° = |V’"L|2, мы также имеем
У ^(2->w)^°(2-Ju?) = 1 п.в. (3.6.26)
j=-00
Таким образом, учитывая тот факт, что
ess sup У |V’°(2--,a:)|2 < оо,	(3.6.27)
-°°<а:<ооу=_оо
138	Глава 3. Вэйвлет-преобразования
который является следствием взаимной ортогональности
всех i/>°(2Ja:), j G Z, из теоремы 3.16 следует, что -ф° явля-
ется двухпараметрическим двойственным -ф. Поэтому, обра-
щаясь к теореме 3.15, мы заключаем, что обе функции -ф* и
ф° являются двухпараметрическими двойственными ф. Так
как два знаменателя в (3.6.24) совершенно различны, нельзя
ожидать, что эти двухпараметрические двойственные будут
одинаковыми, если только, конечно, ф не является о.н. вэй-
влетом.
Базисный сплайн-анализ
При использовании базисных вэйвлетов, таких как двухпара-
метрические вэйвлеты, двухпараметрические двойственные,
каркасы и В-вэйвлеты (которые просто называются вэйвлета-
ми), для частотно-временного анализа и других применений
следует учесть ряд важнейших моментов. Среди них разме-
ры частотно-временного окна, вычислительная сложность и
эффективность, простота в использовании, гладкость и сим-
метрия базисного вэйвлета, порядок аппроксимации. Один
из основных методов построения вэйвлетов включает в се-
бя использование В-сплайн-функций. Возможно, это самые
простые функции с малым носителем, которые наиболее эф-
фективны как при их программной, так и технической реа-
лизации. Вдобавок они обладают очень выгодным свойством,
называемым вполне положительностью, которое позволяет
контролировать пересечения нулей и очертания сплайн-кри-
вых. Эта тема будет обсуждена в главе 6, где мы даже увидим,
что вэйвлеты с минимальным носителем, которые построены
с использованием (конечной) линейной комбинации сдвигов
В-сплайнов, имеют частотно-временные окна с «почти мини-
мальными» размерами в соответствии с принципом неопре-
деленности. Эта глава посвящена изучению сплайн-функций,
140
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
при этом особое внимание будет уделяться их базисным свой-
ствам, что является решающим при вычислениях, графиче-
ском изображении, обработке дискретных данных в режиме
реального времени (или «он лайн») и при построении вэйв-
летов.
4.1. Пространства сплайнов
Когда мы говорим о «сплайнах», мы имеем в виду «полино-
миальные сплайн-функции с простыми узлами, расположен-
ными на равном расстоянии». Для удобства будем сначала
рассматривать множество Z всех целых чисел как «после-
довательность узлов». Как и в (1.5.8), 7гп обозначает сово-
купность всех алгебраических многочленов степени не вы-
ше п и Сп = Сп (R) — совокупность всех функций / таких,
что	всюду непрерывны, будем подразумевать, что
С = С° и С-1 является пространством кусочно-непрерывных
функций, как это было определено в начале § 2.1.
Определение 4.1. Для каждого положительного цело-
го т пространство Sm сплайнов порядка т с последова-
тельностью узлов Z состоит из совокупности всех функ-
ций f Е Ст~2 таких, что сужение f на любой интервал
[£, к + 1), A; G Z принадлежит таким образом,
/|[М+1) е к е Z.
Легко понять, что Si — это пространство кусочно-постоян-
ных функций. Наиболее подходящим базисом для использо-
вания является {М (ж — А) : к Е Z}, где М — характеристи-
ческая функция [0,1), определенная в (3.2.2). Чтобы задать
базис Sm,m > 2, рассмотрим сначала пространство Sm-,N, со-
стоящее из сужения функций f Е Sm на интервал [—N, 7V],
где N — положительное целое число. Другими словами, мы
4.1. Пространства сплайнов
141
можем рассматривать Sm-^- как подпространство функций
/ € Sm таких, что сужения
/|(-oo,-N+i) и /|[дг-1,оо)
функции f являются многочленами из тгто_1. Это подпро-
странство легко описать. В самом деле, для произвольной
функции / ИЗ Sm.N, ПОЛОЖИВ Pmj != /|[yj+1) G 7Гт-1, j =
—N, —N + 1,..., N — 1, мы имеем, ввиду того что f Е Cm~2,
(Pm,j ~ Pmj-1) Ь) = °’	= °,	~ 2; m > 2-
Таким образом, рассматривая «скачки» f(m~^ в узлах после-
довательности Z, а именно:
9 =Р^Г1)Ь + о)-й?-1Ь-°)	(411)
:=	+ с) -	- е)],
получаем, что прилежащие куски многочленов функции f
связаны тождеством
Pm,j(ж) =	^(ж - у)”1-1.	(4.1.2)
Откуда, если ввести обозначения
ж+ := шах(0, ж),
'	1	(4.1.3)
ж™ 1 := (Ж4.)"1 \ m > 2,
то из (4.1.2) следует, что для всех ж е [—IV, ЛГ]
ЛГ—1
/(*) =/||-лг,-ж+1)(») + £	М-1'4>
Это имеет место для любой f 6 Sm^ с константами Cj, за-
даваемыми (4.1.1). Следовательно, совокупность m + 2N — 1
функций
{1,..., хт-\ (ж + IV - I)?-1,..., (ж - N + l)^-1}	(4.1.5)
1
142
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
является базисом Sm,N- Эта совокупность состоит из одночле-
нов и усеченных степеней. Так как мы сосредоточили наше
внимание на интервале [—N,N], можно заменить одночлены
1, ...,тгп-1 в (4.1.5) усеченными степенями:
(х + N + т - I)™"1,..., (х +	(4.1.6)
Таким образом, следующая последовательность усеченных
степеней, которая порождена целочисленными сдвигами
единственной функции ж™-1, также является базисом Sm,N-
{(х - к)™~г : к = —N - т + 1, ...,N - 1}.	(4.1.7)
Этот базис более предпочтителен, чем в (4.1.5), по следующим
причинам. Во-первых, каждая функция (^)Г1 обращается
в ноль слева от j; во-вторых, все базисные функции в (4.1.7)
порождены единственной функцией ж™-1, которая не зависит
от N. Сверх того, так как
ОО
Sm — и sm,N,
w=i
то базис (4.1.7) может быть обобщен на «базис» Т бесконечно-
мерного пространства Sm простым объединением элементов в
(4.1.7); таким образом, мы имеем:
Т := {(х - к)^1 : к е Z}.	(4.1.8)
Однако следует быть более аккуратным, когда мы имеем дело
с бесконечномерными пространствами. В этой книге, так как
мы в основном имеем дело с пространством Гильберта L2(R),
мы заинтересованы в изучении сплайнов в L2(R). К несча-
стью, не существует функции из Т, которая принадлежала
бы L2(R); действительно, любая (х — к)™-1 стремится к бес-
конечности при х —> +оо. Чтобы с помощью функций из 7/V
получить пространство L2(R), мы должны убрать полиноми-
альный рост (ж — А:)™-1. Единственная операция, которая до-
4.1. Пространства сплайнов
143
пустима при работе с векторными пространствами — это взя-
тие (конечных) линейных комбинаций. Например, взятие про-
изводных недопустимо, но можно взять «разности». Так как
для уменьшения полиномиального роста эффект от разностей
тот же самый, что и при взятии производных, мы будем рас-
сматривать разности. Более точно, мы будем использовать
разности назад, определяемые рекуррентно равенствами
(Д/)(ж) := /(ж) - f(x - 1);
,	(4.1.9)
[(А”Л(^) := (Д"-1(Д/))(ж), п = 2,3,... .
Заметим, что так же, как в случае дифференциального опе-
ратора m-го порядка, разности т-го порядка от многочленов
степени меньшей или равной т — 1 равняются нулю, таким
образом
Дт/ = о, /етгт-1.	(4.1.Ю)
Это приводит к следующему определению.
Определение 4.2. Пусть М\ := N} — характеристиче-
ская функция [0,1), как это определено в (3.2.3), и пусть
для т > 2
МДж) = , ...С4’1’11)
\т L).
Из определения ясно, что Мт — линейная комбинация ба-
зисных функций из (4.1.8). Действительно, легко проверить,
что
1	771	/	\
“ (^Tlj! D~l>‘ (7)(т " kK~l- <4112>
Из (4.1.10) следует, что Мт(х) = 0 для всех х > т. Так как
Мт(х), очевидно, обращается в нуль при х < 0, мы имеем
supp Мт С [0, т].
f
144
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
В результате более аккуратного рассмотрения мы можем да-
же заключить, что
supp Мт = [0,т].	(4.1.13)
Итак, Мт принадлежит L2(R). Но является ли совокупность
В:={Мш(х-к):ке2}	(4.1.14)
целочисленных сдвигов Мт «базисом» Sm? Вернемся снова к
пространствам Smjj, которые, согласно (4.1.5) и (4.1.7), име-
ют размерность m + 2N — 1. Используя теперь свойство но-
сителя (4.1.13), каждая функция в совокупности
{Мт(х — к) : к = —N — т + 1,..., N — 1}	(4.1.15)
отлична от нуля на интервале [—N, IV] и Мт(х—к) обращается
в нуль на [—N, IV] для к < —N — т + 1 или к > N — 1. Так
как можно показать, что (4.1.15) линейно независимы, то мы
получили другой базис SmrN- Итак, аналогично (4.1.8), если
мы возьмем объединение элементов в (4.1.15) при N = 1,2,...,
мы приходим к В в (4.1.14). Одно преимущество В перед Т в
(4.1.8) состоит в том, что мы можем теперь говорить о сплайн-
рядах
/(Ж)= 52 ckMm(x — k},	(4.1.16)
к——сю
не беспокоясь об их сходимости. Действительно, для любого
фиксированного х € R, так как Мт имеет компактный носи-
тель, все члены в бесконечном ряде (4.1.16), за исключением
конечного числа, обращаются в нуль.
Как упоминалось ранее, мы главным образом заинтересо-
ваны в тех сплайнах, которые принадлежат L2(R), а именно:
Sm A£2(R). Пусть V™ обозначает их £2^)-замыкание. Та-
ким образом, V™ — наименьшее замкнутое подпространство
L2(R), которое содержит Sm П L2(R). Так как Мт имеет ком-
пактный носитель, мы видим, что В С Vp”. В следующем
параграфе мы даже покажем, что В — базис Рисса (или без-
условный базис) Vq”.
4.2. В-сплайны и их основные свойства
145
Пока мы рассматривали только сплайны с последователь-
ностью узлов Z. В более общем случае мы будем также рас-
сматривать пространства Sm сплайнов с последовательностя-
ми узлов 2~}Z,j G Z. Так как сплайн-функция с последова-
тельностью узлов 2~J1Z является также сплайн-функцией с
последовательностью узлов 2_J2Z тогда, когда д < J2, мы
имеем (бесконечную) последовательность вложенных друг в
друга подпространств
сплайнов, где := Sm. Аналогично определению VJ71 мы
введем обозначения V™ для Т2(В.)-замыкания Sm Г) А2(Не-
откуда мы имеем последовательность вложенных
• • • С V™ С Vom С Угт С • • •	(4.1.17)
замкнутых сплайн-подпространств L2(R). Будет ясно, что эта
последовательность вложенных подпространств удовлетворя-
ет соотношениям
i	|clos/,2(R) ( и Р/Ч =£2(R),
t	VeZ /	(4.1.18)
1	Cl W" = {oj.
jez
Кроме того, ясно, что если мы показали, что В является ба-
зисом Рисса Уот, то для любого j & Z совокупность
{2j/2Mm(2jx - к) -.к е Z}	(4.1.19)
также является базисом Рисса V™ с такими же границами
Рисса как, и в случае В.
4.2.	В-сплайны и их основные свойства
Вернемся к определению
{Nm-\*Ni}{x} = f Nm-i(x-t)dt, m>2, (4.2.1)
Jo
10 - 3954
146
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
В-сплайна m-го порядка, введенного в (1.5.7), где - ха-
рактеристическая функция интервала [0,1). В определении
4.2 мы положили М\ =	дальнейшем мы также уви-
дим, что Мт = Nm для всех т > 2. Поэтому Nm — базисная
сплайн-функция порядка т в Vom С Sm. Хотя определение
Мт в (4.1.11) является явным, преимущества определения
Nm в (4.2.1) таковы, что многие важные свойства Nm могут
быть легко из него выведены. Среди них — семь из приведен-
ных ниже восьми свойств .
Теорема 4.3. В-сплайн т-го порядка Nm обладает следу-
ющими свойствами:
(а)	Для любой f Е С
[ f(x)Nm(x)dx = [   [ /(^1-1----b-xmjdxi • • • dxm.
J—oo	«/0
(4.2.2)
(б)	Для любой g G Cm
/*O0	/	\
/ g^(x)Nm(x)dx = 52(-l)m-fc T W)- (4-2.3)
J~°°	fc=0	'^/e/
(в)	Nm(x) — Mm(x) для всех x.
(г)	suppNm = [0,m].
(д)	Nm(x) > 0 для всех 0 < x < m.
oo
(e)	52 Mn(^ - k) = 1 для всех x. ,
k=—oo
(ж)	N^x) = (Mm-i)(s) = Mn-ifa) - 2Vm-i(x - 1).
(з)	В-сплайны Nm и Nm-i связаны тождеством:
Nm(x) =	^„^(т - 1). (4.2.4)
т — 1	m — i
(и)	Nm симметричен относительно центра своего носи-
теля, а именно:
Nm{—+х) = Nm[—- х) , xER-
4.2. В-сплайны и их основные свойства
147
Доказательство, (а) Утверждение (4.2.2), конечно, справед-
ливо для m = 1. Предположим, что оно также справедливо
для тп — 1, тогда из определения Nm в (4.2.1) и индукционно-
го предположения мы имеем:
oo	roo
f(x)Nm{x)dx = /
Nm-i(x — t)dt > dx
ОО
В
= [ f(x)Nm-i(x-t)dx\dt
JO U-oo	J
= [ ( [ f(y + t)Nm-i(y)dy\dt
Jo W-oo	J
fl ri
о Jo Jo
fl rl
+ xm}dx\' •  dX'm-
Jo Jo
(б) Утверждение (4.2.3) следует из (4.2.2), так как в ре-
зультате прямого интегрирования
/•1 pl	тп	,	\
I 	g^m4x1+---+xm)dx1---dxrn = ^2(-l)m~k[r?}g{k).
о	k=o
(в) Зафиксируем x € R. Выберем
правая часть формулы (4.2.3)	совпадает с формулой дня
Мт(х) в (4.1.12). Так как
g<m\t) = 6(x-t),
где 6—дельта-распределение (см.(2.2.12) и (2.2.14)), левая
часть (4.2.3) равна Nm(x). Таким образом, Nm(x) = Мт(х)
для любого (фиксированного) х g R. Конечно, можно вы-
вести (в) и не используя дельта-распределение и формулу
(4.2.3), а применяя метод индукции.
10*
148
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
Утверждения (г), (д), (е) и (и) можно легко вывести по
индукции» используя определение Nm из (4.2.1).
(ж) Снова используя (4.2.1), имеем
W = Г^_1(т-^=-Ягп_1(ж-1)+Ят_1(т) = (ДЛГгп_1)(^).
Jo
(з) Для доказательства равенства в (з) мы используем
определение Мт в (4.1.11). Тем более что в (в) мы уже до-
казали, что Nm = Мт. Идея состоит в представлении х™-1
как произведения одночлена и усеченной степени, а именно:
тт-1 _	. „т-2
।	«Л/ ।	
и в последующем применении «формулы Лейбница” для раз-
ностей:
(Д"/р)(т) = £ (”) ^kf)(x)(^~kg)(x - к).	(4.2.5)
к=0	'
Это тождество для разностей может быть легко установлено
по индукции. Оно почти такое же, как формула Лейбница для
производных. Теперь, если мы положим в (4.2.5) /(а;) = х и
д(х) = х™~2 и напомним, что из (4.1.10) Д^/ = 0 для к > 2, то
Nm(x) = Мт(х) = —Д”1*?-1
J-Л
=	1-- {жД™^-2 + mA”1-1 (ж - 1)!р-2}
(т 1)!
=	{ ДД"1-1^-2 - д- (х -1)£~2]+mAm-1 (х -1)™~2}
—	Т-ЛГт—1(*р) 4"	1 (•£ 1)
т - 1	т - 1
— ~ rMn-lM + ~~ Г Nm—l(x — 1).
т — 1	т — 1
Это завершает доказательство теоремы 4.3.	□
Далее покажем, что В-сплайн-базис
В = {Nm(x — к): к е Z},	(4.2.6)
4.2. В-сплайны и их основные свойства
149
тот же самый, что и введенный в (4.1.14), является базисом-'
Рисса (или безусловным базисом) V™ в смысле (3.6.7). По
теореме 3.24 это эквивалентно доказательству существования
нижней и верхней границ А,В в (3.6.8). Из (4.2.1) мы видим,
что Nm = (Ni)m, откуда
|Мп(ч)12 =
1 _ е~гш 2т
Ш
(см.(3.2.16)). Заменяя ш на 2х + 2тгЛ, мы имеем
ОО	00	•	/ а 1 \
+ 2rt)|* - 2^ £“°	(«-П
00	-
= (sin2“I) Е {Х+Лут-
к=—оо	'
Напомним из комплексного анализа, что
?	ctgx= lim	(4.2.8)
'	ь п^<х> х + 7Гк’	v ’
к=—п
что сразу же приводит к равенству
Й - А 1	1	d2"1"1
* к“о (х + 7rfc)2rn ~~ (2m - 1)! dz2"1-1 Ctgх'	(4’2'9)
Поэтому, подставляя (4.2.9) в (4.2.7), мы получаем
J°° А	_ cin2rn т d2rn-1
Z ^ТО(2Ж + 27г*:)|2 = (2т _ П! —^^Ctgg.	(4.2.10)
1	к=—оо	'	'
Пример 4.4. Для В-сплайнов первого и второго порядков
| Ni и TV2 из (4.2.10) следует, что
I	|M(w + 27rfe)|2 = 1	(4.2.11)
Ж	k=—оо
150
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
и
ОО	1 О	\
£ |N2(W + 2тгА:)|2 = 77 + ( cos2 .	(4.2.12)
к——оо
Откуда последовательность {Л^(•—&)} ортонормирована (см.
теорему 3.23) и
1 °°
3< Е 1^2(^ + 27гА)|2 < 1,	(4.2.13)
к=—оо
где обе границы Рисса, нижняя и верхняя, выбраны наилуч-
шим образом.
Хотя формула (4.2.10)—явная и служит инструментом
для нахождения оптимальных границ Рисса, применение ал-
гебры для тригонометрических (синус и косинус) многочле-
нов является сложным при больших значениях порядков
сплайнов т. Другой подход состоит в применении теоремы
2.28 к f(x) = Nm(x). Это требует знания значений
ZOO	_______
Nm(y + k)Nm(y)dy = N2m(m + к).	(4.2.14)
-oo
Равенство в (4.2.14) — простое следствие определения (4.2.1),
в то время как значения N2m в узлах последовательности Z
могут быть легко определены рекуррентно с помощью (4.2.4)
в теореме 4.3, а именно:
N2(k) — 6k,i, к е Z и
Nn+i(k) = —Nn(k) + -—^-^lVn(fc - 1), fc = l,...,n.
n	n
(4.2.15)
Заметим, что Nn+i{k) = 0 для к < 0 или к > n + 1. Откуда,
применяя (2.5.19) в теореме 2.28, мы имеем:
оо	т— 1
Е \&т(ш + 2тгк)\2= Е N2m(m + k)e~ik“. (4.2.16)
к——оо	к=—т+1
4.2. В-сплайны и их основные свойства
151
Применение (д) и (е) из теоремы 4.3 теперь дает
\Nm(u + 2Trk)\2 <1,	(4.2.17)
fc=—оо
и граница Рисса В = 1 является здесь наименьшей.
Чтобы определить наибольшую нижнюю границу выраже-
ния в (4.2.16), мы рассмотрим так называемые многочлены
Эйлера—Фробениуса
E2m-i(z) := (2m — l)!^w-1 N2m(m + k)zk (4.2.18)
fc=—m+l
порядка 2m — 1 (или степени 2m — 2).
В главе 6 мы покажем, что все 2m — 2 корней Aj,..., А2ТО_2
многочлена E2m-i — простые, вещественные и отрицатель-
ные; более того, когда они упорядочены в порядке убывания
О > Ах > •   > А2т_2,	(4.2.19)
эти простые корни являются попарно обратными величинами,
то есть
AiA2m-2 = • • • = A^-iAjn = 1.	(4.2.20)
Следовательно, мы имеем
А =	1 ff(1 + At)->0	(4221)
|Л*|	>U'	'
Теперь из (4.2.16) и (4.2.18) можно написать
оо	.	2m—2
£ iMnfa- +	= 7^^ П - Л‘1
к=—оо	'	' к=1
=	1	и' |l~Afc^||l-Afce-^|
к	(2т-1)!П |Afc|
L	__ 1	тт 1— 2Afc cos аз + A^
f	" (2m -1)! H	’
152
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
откуда ясно, что
ОО	оо
22 |Ап(^ + 2тгА)|2 > 22 |Ап(тг + 2тг/г)|2 = Ат.
fc=-00	fc=—оо
Таким образом, мы получили следующий результат.
Теорема 4.5. Пусть для любого целого т>2 Ат — положи-
тельное число, определенное в (4-2.21). Тогда В-сплайн-базис
В в (4-2.6) является базисом Рисса VJ71 с границами Рисса
А =- Ат и В — 1. Более того, эти границы — наилучшие.
4.3.	Двухмасштабное соотношение
и интерполяционный
графически-изобразительный
алгоритм
Вернемся сначала к первому параграфу этой главы и из-
учим соотношение между любыми двумя последовательными
подпространствами из последовательности вложенных друг
в друга замкнутых подпространств L2(R) — {V™ : j € Z},
как это было рассмотрено в (4.1.17)-(4.1.19). Ввиду того что
Мт — Nm, мы можем и будем всюду использовать обозна-
чения Nm вместо Мт. Заметим, что следующий результат
после простой замены переменных становится тривиальным
следствием теоремы 4.5.
Следствие 4.6. Для любой пары целых чисел т и j, где
т > 2, семейство
Bj := {2j'2Nm(2>x -к)-, к е Z}
является базисом Рисса V™ с границами Рисса А = Ат и
В = 1. Более того, эти границы наилучшие.
4.3. Двухмасштабное соотношение
153
Заметим, что базис Bj, определенный выше, переходит в
В при j = 0, и при построении вычислительных алгорит-
мов удобно опустить нормировочную константу 2J/2 в Bj. Это
только изменяет границы Рисса на множитель 2_J. Отсюда
для любого j, так как Nm(2ix) е V™ и V™ G V^, мы имеем
из следствия 4.6, что
оо
Nm(2’x) = £ pm,kNm(2?+'x - k),	(4.3.1)
k=—oo
где {pm,k '• к G Z} — некоторая последовательность из £2.
Теперь, обозначив 23х через у и взяв преобразование Фурье от
обеих частей (4.3.1), мы получаем следующее эквивалентное
выражение для (4.3.1):
(4.3.2)
Эта формула может быть применена для определения после-
довательности {pTO,fc} в (4.3.1). Действительно, так как
МпМ —
(см.(3.2.16)), мы имеем
1 Е =
ОО
ш/2 \т
1 — е—гш/2 1
и это дает
p-m+l/m) дая 0<Л<т>
Рт,к — л п
(О в других случаях.
(4.3.3)
154
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
Следовательно, точная формулировка (4,3.1) принимает вид
m	/ \
^(T) = V2-m+1(7)-Vrn(2T-fe),	(4.3.4)
к=0	4 7
который называется двухмасштабным соотношением
для В-сплайнов порядка т.
Как уже обсуждалось в § 1.6, это двухмасштабное соот-
ношение для В-сплайнов (и в более общем случае, в (1.6.2),
для любой масштабирующей функции ф) является одним из
двух двухмасштабных соотношений, которые приводят к так
называемому алгоритму (вэйвлет-) восстановления, описыва-
емому (1.6.10) и рис. 1.6.2. (Другая формула описывает со-
отношение между вэйвлетом ф(х) и ф(2х — к), к G Z, как в
формуле (1.6.3).) Заметим, что в вэйвлет-разложении (1.6.1),
если все вэйвлет-компоненты gN-M, •••> 9n-i функции fa рав-
ны нулю, нам не нужна формула (1.6.3) для записи любой
/n-м € Рдг-м, как Для fff € Vn. Другими словами, «полови-
на» алгоритма восстановления в (1.6.10) может быть исполь-
зована для выражения любой функции /n-м на (N — М)-м
уровне разрешения (с 2N~M пикселами на единицу длины),
как и для функции на (высшем) N-м уровне разрешения
(с 2jV пикселами на единицу длины). Конечно, /n-м — fN
тождественно, но мы получаем «лучшую картину» той же
функции при высоком разрешении.
Теперь мы сосредоточим внимание на сплайнах и объеди-
ним эту процедуру с алгоритмом в (4.2.15) для вычисления в
узлах значений В-сплайнов с тем, чтобы получить очень эф-
фективный алгоритм изображения графиков любой сплайн-
функции на любом желаемом уровне разрешения точно. Да-
вайте сначала сформулируем цель этого «интерполяционного
графически-изобразительного алгоритма» более четко следу-
ющим образом.
Рассмотрим сплайн-функцию
До (®) = $2 а^т(2*>х - I)	(4.3.5)
1
4.3- Двухмасштабное соотношение
155
порядка m с последовательностью узлов 2 JOZ, где jq—лю-
бое (фиксированное) целое число. Предположим, что {ар°^}
является причинной последовательностью (известных) веще-
ственных чисел, где причинность означает, что = 0 для
всех I < £о- Целью является вычисление точно всех значений
последовательности
f к \
fjo ( оТГ ) ’ Z,
(4.3.6)
для любого заданного целого ji > jo в реальное время,
означающее, что последовательность в (4.3.6) вычисляется
для возрастающих значений к так же быстро, как может
быть записана последовательность «данных», коэффициен-
тов	для возрастающих значений L Заметим, что изо-
бражать график /(ж) эквивалентно изображению последова-
тельности /(Аг/2-71), к G Z при условии, что (фиксированное)
число ji достаточно велико. Конечно, величина ограничена
совершенством используемого оборудования.
Для каждого j > jo будем использовать обозначения
[Л(яО = ^a^N^x-e),
<	е
а* := {а^}, £ G Z.
(4.3.7)
Применяя двухмасштабное соотношение (4.3.1), мы видим,
что тождество	= fj(x) эквивалентно тождеству
2 ар+1)^(2^+1т - £) = ^a^Nm^x - £)
t	i
= S °?} 12*WMn(2j+1:r - 21 - к)
I к

к
= 12	> Mn(2j+1x - £).
t
Откуда, так как совокупность Nm(2j+1x — £), £ G Z, является
базисом Рисса VJ^r, тождество /j+1(rz;) = fj(x) в точности
156
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
описывается формулой
а?+1) = £Рт/-2^\ ^Z,	(4.3.8)
к
где а-’ = {afc ^} и aJ+1 =	— это последовательности ко-
эффициентов fj(x) и fj+i(x) в (4.3.7), соответственно. Теперь
по последовательности а71 = мы по-прежнему должны
вычислить значения fj0 (к/2-71), к G Z. Это возможно в резуль-
тате свертки последовательности а71 с последовательностью
{Nm(k)}, к е Z. Напомним, что значения Nm{k) могут быть
вычислены с помощью алгоритма в (4.2.15). Действительно,
для любого к G Z мы имеем
Л» Ш = Е	(*'£;- 0	<4-3-9)
\ / ^	\ /
= ^2ai^Nm(k -£) =
t	i
где
wm>fc:=^(A), AeZ.	(4.3.10)
Отметим, что обе формулы (4.3.8) и (4.3.9) используют толь-
ко формулу скользящего среднего (СС), за исключением то-
го, что последовательность а3 в (4.3.8) нуждается в разрежа-
ющей выборке. Это означает, что нулевое значение должно
быть поставлено между любыми двумя последовательными
значениями последовательности а3. Для большей точности
положим
а> = {а^}, t е Z с
< а$ := аф и	(4.3.11)
,S®+1:=0, *€Z.
Тогда формула (4.3.8) становится формулой СС:
«?+1) =	I е Z. (4.3.12)
к
4,3. Двухмасштабное соотношение
157
Подведем итог вышеприведенным рассуждениям следующим
образом.
Алгоритм 4.7 (Интерполяционный графически-изобрази-
тельный алгоритм).
Пусть fj0 — сплайн-функция с причинной последователь-
ностью коэффициентов
а^ = {аро): £ = £0Д0 + 1,
как в формуле (4.3.5). Выберем некоторое д > jo- Тогда для
j —	~ 1 вычислим
(1°) а7, используя (4.3.11), и
(2°) а7+1, используя (1°) и (4.3.12).
В завершение вычислим
(3°) {Ло(^т) : к е Z}, используя (4.3.9) и (2°) для j =
ji — 1. (Перескакивая (1°) и (2°), если Д = jo-)
Этот алгоритм может быть описан следующим схематиче-
ским рисунком, где f означает разрежающую выборку с при-
менением (4.3.11), \ означает СС с весовой последовательно-
стью и -> означает СС с весовой последовательностью
{wm,fc}. Так как весовые последовательности {pTO,fc} и {wmjk}
очень простые, симметричные, конечные последовательности
с целыми членами, умноженными, соответственно, на 2~m+1
и l/(m — 1)!, то реализация этих алгоритмов на самом деле
очень проста.
a-70	aJo+1	а-71 7
t \ T \--- ,T \
a-70	a-7o+1	a-71 1	a-71	{/JO(fc/2-71)}
Рис. 4.3.1. Интерполяционное графическое изображение.
Пример 4.8. Для графического изображения кривой, зада-
ваемой кубическим сплайном
/о (ж) = 52 aiN^x -	(4.3.13)
г=о
158
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
на уровне разрешения в 1024 пикселей на единицу длины без
каких-либо ошибок, мы используем m = 4, jo = 0,	=
а/, 31 ~ Ю (так как 2го = 1024) в алгоритме 4.7. Кроме то-
го, последовательности весов {p4,k} и {w4,fc} могут быть лег-
ко вычислены по формулам (4.3.3) и (4.2.15). Отличные от
нуля значения членов этих последовательностей даются фор-
мулами:
,	.	(1 4 6 4 1]	.. „
{P4,o,...,P4>4} = |g,g,g,g,g|	(4-3.14)
и
(14 1]
{iy4)i,W4>2,W4,3} = 5 ё’ё Г •	(4.3.15)
О О J
(Заметим, что сумма членов последовательности {P4,k} равна
2 вместо 1, так как к последовательности данных {а®} долж-
на быть применена разрежающая выборка. Конечно, сумма
членов другой весовой последовательности {w4)fc} равна 1.)
Применяя (4.3.12) и (4.3.9) в (2°) и (3°) в алгоритме 4.7, об-
щие знаменатели 8 и 6 в (4.3.14) и (4.3.15), соответственно,
следует опустить для того, чтобы выполнять операции над
целыми числами. Конечно, при выходе из программы резуль-
тат должен быть разделен на
8>i-Jo х 6 = 810 х 6 = 3 х 231.
Симметрия последовательностей (4.3.14) и (4.3.15) должна
быть также использована при реализации алгоритма, чтобы
сэкономить время работы процессора.
4.4.	Представления с помощью В-сети
и вычисление сплайнов
Интерполяционный графически-изобразительный алгоритм,
описанный в предыдущем параграфе, может быть применен
также для точного определения всех полиномиальных частей
сплайн-функции. Для этого требуется одна дополнительная
4.4. Представления с помощью В-сети
159
операция типа обращения матриц. В этом параграфе мы вво-
дим более прямую схему для вычисления этих аналитических
выражений, используя представление для многочленов Берн-
штейна. Значения коэффициентов Бернштейна (больше из-
вестных как «В-сети») не меняются от положения и длины
интервала, на котором определен многочлен. Это очень важ-
ная особенность при работе со сплайн-функциями, так как
часто необходимо сдвигать ряды В-сплайнов и масштабиро-
вать их для получения различных уровней разрешения.
Пусть п — любое неотрицательное целое число. Заметим
сначала, что совокупность многочленов
< := 0(1 “ х^кх^ 0 <	(4-4.1)
является базисом пространства многочленов лп. Этот базис
используется для определения n-й степени полиномиального
оператора Бернштейна:
п
М
к—о
Если / —непрерывная функция на интервале [0,1], то ясно,
что Bnf интерполирует / в конечных точках интервала, а
именно:
1(в„Л (1) = /(1).
Однако, в общем случае Bnf не интерполирует / во внутрен-
1 п — 1	„
них точках -------- интервала. Вместо этого график no-
ri п
линомиальной кривой у = (Bnf)(x) лежит на выпуклой обо-
лочке множества
{(М")):к=о",п}' <4'4'4)
Более точно, это множество «контролирует» график у =
(Вп/)(я;). Мы не намерены углубляться в детали в этом на-
(4.4.2)
160
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
правлении, но хотим только указать на то, что «очертани-
е» графика у = (Bnf)(x) управляется «контролирующей се-
тью» (4.4.4), которая в свою очередь управляется графиком
у — f(x). В частности, мы имеем:
(а)	если f > 0 на [0,1], то Bnf > 0 на [0,1];
(б)	если f t на [0,1], то Bnf | на [0,1] и
(в)	если f выгнута вверх на [0,1], то Bnf выгнута вверх
на [0,1].
Две главные причины, по которым имеют место (а)-(в), со-
стоят в том, что
(1°	) Bnf — линейный положительный оператор, который
сохраняет все линейные многочлены в том смысле, что
Bnf = f, f € 7Г1 и
(2°	) «Декартово правило знаков» применяется к одно-
членному базису {1, х,..., хп} на интервале (0, оо).
В общем случае полиномиальный оператор Бернштейна
(4.4.2) может быть заменен некоторым многочленом Берн-
штейна
п
Рп(Х) = ^ат	(4.4.5)
к=0
с последовательностью коэффициентов
а" := {о£ : к = 0, ...,п)	(4.4.6)
без потери каких-либо хороших геометрических свойств Bnf,
просто рассмотрением f как кусочно-линейного (или сплайна
второго порядка) интерполянта
/а«(ж) = d£N2(nx - к + 1)	(4.4.7)
к=о
исходных данных в (4.4.6) в точках {к/n}. График у = /а«(ж)
(или, для простоты, сама последовательность коэффициентов
4.4. Представления с помощью В-сети
161
а" = {а£}) называется представлением В-сетью многочлена
Бернштейна Рп в (4.4.5).
В дальнейшем мы будем использовать операции
дак-=ак+1-^к и
1 fc-i
аак ------Г
к п + 1	3
j=0
(4.4.8)
для дифференцирования и интегрирования многочленов
Бернштейна. Здесь и всюду в дальнейшем пустая сумма все-
гда означает нуль.
Теорема 4.9. Пусть для каждого п G Z, п > 0 Рп — мно-
гочлен Бернштейна п-й степени с В-сетью а”, как это
определено в (4-4-5) и (4-4-5)- Тогда производная Рп дается
формулой
Р-п(х) ^(пда^Дх),	(4.4.9)
fc=0
и если Р^+1(ж) = Рп(х), то интеграл от Рп дается формулой
ГХ	п+1
/ Pn(t)dt = 5>£+1 + аак)фк+г(х) - a%+1.	(4.4.10)
Jo	к=0
Доказательство. Используя обозначения
Ф-^1 := 0 и ф”-' := 0,
мы имеем из (4.4.1)
~ к)х + ~ - ®)"-fc-1®fc-1
~п 1~(П,	(1—х)|(1—x)n~h~lxk~l
К)	^Ф^х) - ФГЧт)}
-3954
Й
162
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
для к = 0, Откуда
п
- «-1«}
к=0
п	n—1
= х п<°‘+1 - “М-1 w = £("0ОМ'’(*)-
fc=0	fc=o
Это доказывает (4.4.9). Применяя эту формулу к Pn+i и ис-
пользуя предположение Р^+1 = Рп, мы имеем
.. к—1
«о+1 + -^-гЕ°7 = °"+1-
° п +14-? 3 к
3=0
Отсюда утверждение (4.4.10) следует из интегральной фор-
мулы
Г Pn(t)dt = Pn+i(z) - Pn+1(0) = Pn+i(s) - Oq+1’ (4.4.11)
Jo
что и завершает доказательство теоремы.	□
Мы обратимся теперь к изучению представления 5-сетью
5-сплайна т-го порядка Nm. Напомним, что Nm состоит из т
нетривиальных кусочных многочленов степени т—1, которые
мы определим формулой
Pm—i,k -=	|[fc_к = l,...,m.	(4.4.12)
Заметим также, что сужением Nm(x — 1) на тот же интервал
[& —1, к) является многочлен Pm-itk-i(x)- Итак, если мы пред-
положим, что а”1-1^) = {а™-1(А:)}, 0 < t < т — 1 обозначает
5-сеть Pm-iyk, то сужение Nm(x) — Nm(x — 1) на интервал
[к — 1,к) дается многочленом Бернштейна
т— 1
р^Ю-р^^ (т)=2 {°F-1 (^Г1	(z-fc+i).
е=о
(4.4.13)
4.4. Представления с помощью В-сети
163
Поэтому, применяя тождество в (ж) теоремы 4.3 или эквива-
лентное ему
P'm,k(x) =	- Pm-i,k-i(x), хе[к-1,к), (4.4.14)
мы имеем
{а^-1 (к) - а™-1 (к - l)}^-1 (х - к + 1) =
£=0
, т	'
ах „
U=o
Теперь, если мы проинтегрируем обе части тождества по ин-
тервалу [0, х], применим (4.4.11) и (4.4.10), то мы получим сле-
дующее соотношение между В-сетями Nm и Nm±i, а именно:
а™(к) = а™(к) + alctf-Xk) - а™~\к - 1)}	(4.4.15)
= °”(ч + EW’w -	- *))
7П z—' J	>
j=0
f. = 0, Для т > 2, так как Nm непрерывна, мы даже
имеем а™ (к) = Рт,к(к — 1) = Pm,k-i(k — 1) = а™(А: — 1). Таким
образом, мы вывели следующую схему вычисления В-сетей
для всех кусочных многочленов Nm для любого целого т > 2.
Алгоритм 4.10. (Алгоритм построения В-сети для
В-сплайна.)
Пусть т > 2 — некоторое целое число и пусть
Pm-l,k(x) = Nm\[k-i,k)(x) = 52	- к + !)>
£=°	(4.4.16)
к = 1,..., т. Положим также
a"i~1(0)=0 и ajl_1(m + 1) = 0, j - 0,... ,m — 1 (4.4.17)
и рассмотрим начальные условия
aJ(l) = O, a|(l) = 1 = aj(2),	aj(2) = 0.	(4.4.18)
и*
164
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
Вычислим (1°) и (2°), приведенные ниже, используя (4.4.17) и
(4.4.18) для т = 2, и затем повторим тот же процесс, исполь-
зуя (4.4.17) и предыдущий результат для т = 3,4,..., где
(1°)
для j = 0,... ,т — 1 и к = 1,...,т + 1 и
1
(2-) ог(ч = <>™(^-1) + -ЕдГ1(*:)
для £ = 0, ...,т и к = 1,..., т + 1.
Схематический рисунок для алгоритма 4.10 изображен на
рис. 4.4.1, где условие (4.4.17) используется на каждом шаге
для вычисления значений bj(k).
b1®,...^1®	b2(l),...,b2(4)	bm-2(l),...,bm-2(m)
7	\	7	7	\
а1®,а1©	а2(1),..,а2(3)	am~2(l),...,am-2(rn-1) а"1-1^),...^-1^
Рис. 4.4.1. Вычисление В-сетей для 7Ут.
Пример 4.11. В-сети для квадратичных (т = 3), кубиче-
ских (т = 4), четвертого порядка (т — 5) В-спл айнов да-
ются ниже.
(а)	Для т = 3, а2(1),... ,а2(3)
11 fl 2 11 f 1 л
°’°’2 J ’ [2’2’2 J ’ 1 2’°’°
(б)	Для т = 4, а3(1),..., а3(4)
0,0,0, i
о
1 2 4 4
6’ 6’ 6’ 6
4 4 2 11 Г1 л n п
r’ r f ’ 1 К’0’0’0
66661 [6
4.4. Представления с помощью В-сети
165
(в)	Для m = 5, а4(1),... ,а4(5)
о о о о 11 / 1 2 4 8 111 Г11 14 16 14 111
’ ’ ’U’24J’(24’24’24’24’24/’(24’24’24’24’24/’
11 8 4 2 1'1/1	1
24’ 24’ 24’ 24’ 24/ ’ 1 24’0’0’0’0/ ’
Если известны В-сети для то легко определить В-
сети для любой сплайн-функции /у, как это показано в (4.3.7).
В результате замены переменных мы можем сосредоточить
внимание на сплайн-функциях
/о(®) — 2 'cjNm(x j)
j
(4.4.19)
с последовательностью узлов Z. Пусть к G Z и рассмотрим
сужение
m— 1
/o|[fc-i,fc)(ж) ~ 22	- к + 1)	(4.4.20)
е=о
функции /о на интервал [к—1, к). Применяя (4.4.16) и (4.4.19),
мы также имеем
fo\[k-i,k)(x) =	— j)|[fc-i,fc)(aO	(4.4.21)
j
j
=	w-^-fc+i).
j t
Поэтому приравнивание (4.4.20) и (4.4.21) дает
к
de(k) = am-tfk—jjcj, I — 0,... ,т-1 и к € Z, (4.4.22)
j=k—т
166
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
так как а™-1 (А: — j) = 0 для j > к или j < к — т. Подве-
дем итог предыдущим рассуждениям, констатируя, что для
любого фиксированного к € Z и £ = 0,..., m — 1 формула
скользящего среднего (СС) в (4.4.22) с последовательностью
весов
{а™-1 О’) -j = O,...,Tn}
(значения которых могут быть вычислены в результате при-
менения алгоритма 4.10 и даются в примере 4.11 для т =
3,4,5) может быть использована для вычисления В-сети
d(k) = {d0(A:), • • •,	(&)}
при сужении на интервал [А; — 1,к) сплайн-ряда /о с последо-
вательностью коэффициентов {су}-
4.5. Построение
сплайн-аппроксимационных формул
Мы начнем, выписав полезную формулу для преобразования
Фурье, которая может быть легко проверена путем взятия j-й
производной от обеих частей формулы (2.1.6), а именно:
(WWW) =	j = 0,1,...,	(4.5.1)
где использовано обозначение
&д(х) :=д^\х).	(4.5.2)
Применение этой формулы к одночлену, умноженному на
В-сплайн т-го порядка Nm и на сдвиг его отражения на
некоторое х € R, дает
Г е~^[(х -	= (х - iDyNm(u) (4.5.3)
J—00
4.5. Сплайн-аппроксимационные формулы
167
и
оо
(4.5.4)
J —OO
= e~ixu eiu,t[(a: - t)jNm(t)]dt
^e-ixu((x-iDyNm^-^.
С другой стороны, из формулы
/1
Nm^)=	)
\ гы /
ясно, что Nm удовлетворяет равенствам
Mn(0) = 1,
(4.5.5)
к(£>^т)(2тгЛ:) =0, j = 0, ...,m —1, 0 k е Z.
Так как (4.5.3) и (4.5.4) совпадают друг с другом при ы = О,
применение (4.5.5) к этим двум формулам дает:
/•оо
( e-i2nkt^x_tyNm^dt
—ОО
= f e~z2vkt[t^Nm(x—t)]dt,0 < j < m — l,k E Zhi E R.
J — CQ
(4.5.6)
Как следствие (4.5.6) нижеприведенный результат может
быть легко выведен с помощью варианта формулы суммиро-
вания Пуассона (2.5.11).
Теорема 4.12. Пусть т > 1 — любое целое число. Тогда
^2 Р(^)Мп(ж - к) - ^2 Nm(k)p(x -к), рЕ тгт_1. (4.5.7)
k=—оо	fc=0
168
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
Тождество в (4.5.7) говорит, что если последовательность ко-
эффициентов {cfe} ряда В-сплайнов порядка т является по-
линомиальной последовательностью степени т — 1 в том
смысле, что Ck - p(k) для некоторого р € 7Гт-1> то сплайн-
функция сама является многочленом из тгт-1. Мы замечаем,
что нижнее значение индекса в правой части (4.5.7) может
быть заменено на 1 для т > 2.
Отвлечемся на некоторое время от этих рассуждений и
рассмотрим следующую проблему «сплайн-интерполяции»,
использующей «центрированные» В-сплайны Nm(x + у), а
именно: для любой «допустимой» последовательности данных
{fj} найдем {cfc} —решения уравнений
оо
j е z.
(4.5.8)
Здесь понятие допустимости {fj} означает, что она может
иметь не более чем полиномиальный рост. Используя сим-
вольное обозначение
Nm(z) = ^Nm(k + у)
, С(г):=£«г‘,
F(*) <=ЕлА
(4.5.9)
мы можем записать (4.5.8), по крайней мере формально, как
CNm = F.	(4.5.10)
Заметим, что Nm — симметричный многочлен Лорана. Также
заметим, что, как следствие теоремы 4.3 (е), многочлен по
степеням косинусов
D{u) := D(z) :=1 — Nm(z), z = e~iu,
(4.5.11)
4.5. Сплайн-аппроксимационные формулы
169
неотрицателен для всех ш. Введение D позволяет нам пере-
писать (4.5.10) как
С = —^F.	(4.5.12)
1	— D
Итак, по крайней мере формально, мы имеем
С = (1 + Р + 52 + ---)К	(4.5.13)
(Мы заметим здесь без доказательства, что так как мы име-
ем 0 <	< 1, то «ряд Неймана» в (4.5.13) действительно
сходится. Более подробно мы обсудим это в §4.6.) Так или
иначе, формальное выражение в (4.5.13) побуждает нас рас-
смотреть конечные последовательности Лд, = {А^}, опреде-
ленные формулой:
Afe(z) := XTzj - 1 + ^ + • • • + Pfe. (4.5.14)
з
Каждая из этих последовательностей по очереди определя-
ет оператор свертки на последовательности данных {/?}, а
именно:
(Л**{/;})(Ф=ЕА^-	(4.5.15)
з
символ которого равняется AfcF.
Теперь предположим, что последовательность данных
{fj} получена в результате измерения некоторой непрерыв-
ной функции /; так что fj = f(j). Тогда, чтобы упростить
обозначение в (4.5.15), удобнее записать
(W)(£) := (Л, * ШШ) = L А^./О).	(4.5.16)
з
Эта последовательность определяет линейный сплайн-опера-
тор
оо
(Qkf)W := 52 (AkM)Nm (х + ™ - £) , fee, (4.5.17)
1=—оо
170
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
который отображает С = C(R) на пространство сплай-
нов Sm. Мы должны обратить особое внимание на то, что так
как Л.к = {А^} — конечная последовательность, то каждый
(Ajb/)(£) зависит только от значений / (j) в окрестности j = £,
и эта окрестность не зависит от £. Другими словами, Qk~
ограниченный, линейный, локальный сплайн-оператор, опре-
деленный на С. Важность Qk состоит в том, что он сохраняет
все многочлены в 7rm-i для любого достаточно большого к.
Точнее, мы имеем следующий результат.
Теорема 4.13. Пусть т > 1 — любое целое число. Тогда для
любого к > и линейного оператора Qk, определенного в
(4-5.17), справедливо равенство
(QkP)(x) =р(х), pEirm-i-	(4.5.18)
Доказательство. Пусть р Е Так как {А^} —конеч-
ная последовательность, Л^р - полиномиальная последова-
тельность степени т — 1. Более точно, (Afcp)(£) = ?(£), где
q — многочлен
?(я) = 52 Х^Р(х ~ »•
з
Кроме того, для каждого j Е Z, мы имеем
{QkP)(j) = ^^kP)^Nm	(4.5.19)
в результате использования символьных обозначений из
(4.5.14) и (4.5.11) следует, что
®5) = ДЙАГт	(4.5.20)
= (\ + D + --- + DkyPNrn
= (1 + D + • • • + Dk)NmP
= (l + P + --- + Pfe)(l-D)P
= (i - bk+1)p,
4.5. Сплайн-аппроксимационные формулы
171
где Р —символ {p(j)}. Теперь напомним из (4.5.11) и (4.5.9),
что D есть символ последовательности {dj}, где
3 е Z,
(4.5.21)
и pfc+i
есть символ (к + 1)-кратной свертки {dj}. Так как
Nm (у + ^) = Nm для всех I € Z, мы имеем
G^MpOW) = 52^-XO
з
= (\-Nm (у)) pG) - Nm - 1) (p(£ + 1) +p(£ - 1))
_r /m rmi\ / / rmi\ Л
-----(2 ~ Ы ) (” (' + [у]) + Р (' " [у]))
[тп/2]
= - 52Nm ~+я ~2р^ + р(£ ~ (4-5-22)
J=1
где [ж] обозначает наибольшее целое, не превосходящее х, и ис-
v-л жг /т д
52 \ 2+ •?)
пользуется свойство
= 1. Важность формулы
(4.5.22) состоит в том, что свертка {</?} с {p(j)} записывает-
ся как (конечная) линейная комбинация центральных конеч-
ных разностей второго порядка p(j). Следовательно, Dk+1P —
символ (конечной) линейной комбинации разностей 2(/г + 1)-
го порядка {р(})}, таким образом, для любого р 6 7rm_i, мы
имеем
Dfe+1P = 0,
4Ы
(4.5.23)
Подставив (4.5.23) в (4.5.20), мы получим
772___3
(QfcP)W =pW, l € z, к > —-—, p G Лт-],. (4.5.24)
4Ы
Следовательно, так как Л^р в (4.5.19) является полиноми-
альной последовательностью степени т — 1, из теоремы 4.12
172
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
следует, что (Qfcp)Cr) является многочленом из тгт_] . Отсюда
(4.5.18) сразу же следует из (4.5.24).	□
Пример 4.14. Для т = 4 можно взять к = 1. Тогда ли-
нейный локальный кубический сплайн-оператор Qi дается
формулой
ОО -
(Qi/)(*) = L g(-/(^ + l)+8/W-/(^-l)n4(^ + 2-£).
1=—оо
(4.5.25)
По теореме 4.13 мы имеем
(Qip)(ac) = р(х), р(ж) = 1, х, х2, х3.
Доказательство. Из (4.5.14) и (4.5.11) следует, что Ai = 2 —
JV4, таким образом
Aj1} = 2<5.,-0-W4(2 + j).
2	1
Так как Л^(2) = -, АД1) = А^(3) = - и = 0 для всех
3	6
других целых £, мы имеем из (4.5.16)
(Лт/)(£) = £	/(;) = -|/(£+1)+(2 -	/(£)-1/(€-1).
j	4	7
Это дает (4.5.25).	□
Операторы Qk называются «квази-интерполяционными»
операторами. В более общем случае мы будем применять
нижеприведенное определение. Повсюду в последующих рас-
суждениях будет рассматриваться пространство
C'b(R) = {/ е C(R) : sup |/(х)|<оо}.	(4.5.26)
—оо<х<оо
4.5. Сплайн-аппроксимационные формулы
173
Определение 4.15. Ограниченный линейный оператор Q,
который отображает C(,(R) в сплайн-пространство Sm, на-
зывается квази-интерполяционным оператором, если, с од-
ной стороны, он сохраняет все тгт-1 в том смысле, что
(Qp)(x) = р(х) для всех р € и, с другой стороны, он
локален в том смысле, что существует такое компактное
множество J, что для любых f ЕС их ЕВ.	зави-
сит только от f(y), где у принадлежит
J + х := {у + х : у G J}.	(4.5.27)
Замечание. В вышеприведенном определении, где Q явля-
ется линейным ограниченным оператором на C(,(R), подра-
зумевается, что рассматриваются только данные — значения
функций. При работе с данными, состоящими из значений
некоторых производных, мы должны рассматривать ограни-
ченный линейный оператор Q в соответствующем подклассе
гладких функций, таком, как некоторое «пространство Собо-
лева».
В теореме 4.13 мы имели дело с последовательностью ква-
зи-интерполяционных операторов Qk, локальные носители ко-
торых J увеличиваются с ростом к. Мы укажем, не оста-
навливаясь на деталях, что {Q*} действительно сходится к
сплайн-интерполяционному оператору Qoo, который опреде-
ляется единственным образом интерполяционным свойством:
(0оо/-/)Ю = 0, £eZ,	(4.5.28)
для любой f Е С (см. рассуждения в следующем парагра-
фе о базисной сплайн-интерполяции). Смысл изучения квази-
интерполяционных операторов состоит в том, что они при-
водят к простым и вычислительно эффективным схемам по-
строения базисных сплайн-приближений с наивысшим поряд-
ком аппроксимации, а именно: достигается порядок т, ко-
гда используются сплайны т-ro порядка. Сверх того, локаль-
ная структура квази-интерполяционных операторов делает
174
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
их удобными для использования в режиме реального време-
ни (или «он лайн»).
Чтобы увидеть, как используется квази-интерполяцион-
ный оператор для получения оптимального порядка аппрок-
симации, мы просто пересчитаем В-сплайны с «нулевого
уровня разрешения» (т.е. х = к, к G Z) на «j-й уровень разре-
шения» (т.е. х = Ат/2-7, к G Z). В пространстве L2(R) это озна-
чает, что мы обрабатываем дискретные данные в сплайн-про-
странстве V™ с высоким разрешением, где период выборки
может быть таким же малым, как h — 2_J. В общем случае мы
можем рассматривать любой малый масштабный параметр
h > 0 и измерять порядок аппроксимации как т-ю степень
h, т.е. O(hm)-, это означает, что погрешность приближения
ограничена константой, умноженной на hm при h -> 0+, ко-
гда данные выборки представляют достаточно гладкую функ-
цию. Будем использовать обозначение
{sMx)~f(~x\	(4.5.29)
для описания процесса масштабирования. Тогда любой квази-
интерполяционный оператор Q, как описано в определении
4.15, порождает аппроксимационную формулу, состоящую из
масштабирования и квази-интерполяции, именно:
Qh:=shoQosh-1.	(4.5.30)
Теорема 4.16. Предположим, что Q - квази-интерполяци-
онный оператор из C(,(R) в Sm, К — некоторое компактное
множество в R и Q — любое открытое множество, содер-
жащее К. Тогда для любой f G C^R) A Cm(Q) существует
положительная константа С, зависящая только от f и К,
такая, что
max \(Qhf — /)(т)| < Chm	(4.5.31)
х&К
для всех достаточно малых h > 0.
4.5. Сплайн-аппроксимационные формулы
175
Доказательство. Из определения Q легко видеть, что Qhp =
р для всех р € 7гто_1 и ||Qh|j = IIQH, h > 0. Пусть
р := т + max Ы
X&J
и предположим, что
maxKQ'1/ - /)(х)| = \{Qhf - /)(ж0)|, х0 G К,
хек
так что
max|(Q'7-/)(z)l = max \(Qhf - /)(ж)|.
хек	|i-®о|<Лр
Тогда, ввиду локального характера Q и Nm, мы имеем
тах|(3Л/ ~/)(х)| = max |(Qh(/ - р) + (р - /))(ж)|
х£К	\x—XQ\<.hp
< max \f(x) — р(х)|(1 Ч-IIQH),
ь	|х—Жо|<лр
где р —некоторый многочлен из 7rm_i. Заметив, что / G
Cm(Q) и Q —открытое множество, содержащее т0 € К, и вы-
бирая многочлен Тейлора степени т — 1 для / в точке xq в
качестве многочлена р в вышеприведенной оценке, мы полу-
чим (4.5.31) с
пт
C=^Tsup|/('»)(1:)|,
т- хеп°
где П° —некоторое открытое множество, содержащее К та-
кое, что замыкание Q0 лежит в Q.	□
Чтобы дать более общую схему построения квази-интер-
поляционной формулы, вернемся к теореме 4.13, где Qk, опре-
деленное в (4.5.17), дается сверткой конечной последователь-
ности Л*, = {А*} с последовательностью данных {fj}. Пусть
к фиксировано, и рассмотрим линейный ограниченный функ-
ционал А*, определенный на С формулой
А*/ := (АЛ/)(0) = £а^
j
176
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
Для любого фиксированного t G Z, если /(•+€) рассматрива-
ется как функция переменной, представленной в виде точки,
ясно, что
Л*/(-+^) = (Afe/)(£) = 5>Jfe)/(£-Д.
з
Таким образом, квази-интерполяционная формула (4.5.17)
определена единственным линейным функционалом А* на С,
именно:
(Q*/)(z) = L А*/(- + [х + у - £) .	(4.5.32)
1
Для обобщения этой формулы посмотрим, можем ли мы
использовать семейство линейных ограниченных функциона-
лов А^, (. € Z, на С для замены А*, например, мы постараемся
заменить А*/(- + £) на А^/(- + £) в (4.5.32). Таким образом, ин-
тересно изучить условия, накладываемые на семейство {А^},
при которых линейный сплайн-оператор Q°, определенный
формулой
(Q°n^) = '£tXef(- + £)Nm[x + ^-^	(4.5.33)
является квази-интерполяционным оператором. Чтобы Q°
был ограниченным оператором, достаточно предположить,
что нормы ||AZ|| этих линейных функционалов удовлетворя-
ют неравенству
т+з
sup Е па'и < оо.	(4.5.34)
Например, если {А^} — конечное семейство, то (4.5.34), без
сомнения, выполняется. С другой стороны, гораздо труднее
продемонстрировать локальную природу для общего операто-
ра Q0. Так как для приложений представляют интерес только
4.5. Сплайн-аппроксимационные формулы
177
инвариантные относительно сдвигов ограниченные линейные
функционалы, то мы будем рассматривать только вида
А€/(- + £) = 52с^/(£-Д	(4.5.35)
3
в которых {с^- }, £ е Z —конечные последовательности.
Отсюда, если объединение носителей этих последовательно-
стей — конечное множество, то Q° также обладает локальны-
ми свойствами. Также ясно, что этими свойствами обладает
любое конечное семейство {А^}. Наконец, как достигается по-
линомиальное воспроизведение оператором Q0? Очень про-
стым предположением о А^ для обеспечения этого свойства
является требование, чтобы каждое А^ удовлетворяло равен-
ству
Х£р = Х*р, р е тгт-г.	(4.5.36)
Заметим, что (4.5.35) может быть заменено более общей фор-
мулой, включающей производные информационных данных
в том случае, если мы хотим рассматривать линейные огра-
ниченные операторы Q° на соответствующем пространстве
дифференцируемых функций. Мы окончим этот параграф
рассмотрением примера, демонстрирующего эффективность
степени свободы, достигнутой возможностью использовать
более чем одно Xе.
Пример 4.17. Заметим, что любой квази-интерполяционный
оператор Qk в (4.5.17) требует информационные данные об
/(£) для всех £ G Z. Мы уже определили кубический сплайн-
оператор Qi в примере 4.14, где
1	О	1
а*/ = -т/(1) + 5/(0)--/(-1).
ООО
Выведем кубический квази-интерполяционный оператор Q°,
который требует только информационных данных /(2£),
£ € Z.
12-3954
178
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
Решение. Мы рассматриваем два линейных ограниченных
функционала Ае и Ао, определенных формулами
X/ :=£4г)/(2»,
* X (я	(4.5.37)
<	3
Затем, положив
Л2г := Ае и А2£-1 := Ао, £ € Z,
мы имеем
A2V(- + 2£)=J241)/(2> + 2£),
< ол 1	(4.5.38)
А2^-1/(-+ 2€ - 1) = 5242)/(2J + 2€).
<	з
Следовательно, требуемыми значениями / в квази-интерпо-
ляционной формуле
(Q°F)(x) = ^2Xkf(- + k)N4(x + 2 —к}	(4.5.39)
к
Y/cff(2j + 2£)
з
N4(x-2t + 2)
242)/(2j + 2£)
з
N4(x-2t + 3)
являются только /(2£), f. G Z. Для определения {cj1^} и {cj2^}
мы применяем (4.5.36). Сначала мы должны вычислить Х*рп,
гДе Pn(x) = xn, п = 0,..., 3. Эти значения равняются
(А*р0,...,А*рз)=	О
4.6. Сплайн-интерполяционные формулы
179
Отсюда, чтобы удовлетворить (4.5.36), мы должны решить
две системы линейных уравнений:
£2^’= О,
= о
3
£(2j + l)cJ2)=0,
£(2, + l)-=f - = п.
(4.5.40)
(4.5.41)
Конечно, здесь нет единственного решения, но решения
(4.5.40) и (4.5.41) с наименьшими носителями даются фор-
мулами:
(1) _ 26. (1) _ (1) _ 1 (1) _ -	£=£—101
со — пл ’ -1 — С1 ~ ох ’	— и Для 4 ±’U’±’
(4.5.42)
и
с!?=г> = ^ 42)=^ = -^; 42)=о АЛ» ^-2,-1,0,1.
J. A	J.<W	/	ч
Это и есть коэффициенты в (4.5.39).
□
4.6. Построение
сплайн-интерполяционных формул
Общая схема для построения аппроксимационных формул,
введенная в предыдущем параграфе, не дает возможности по-
лучить сплайн-функции, которые в общем случае интерполи-
руют заданные дискретные данные. При построении сплайн-
интерполяционного оператора также очень важно, чтобы этот
оператор воспроизводил многочлены, по крайней мере до не-
которой нужной степени. Это требование не только помогает
12-
180
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
в достижении требуемого порядка аппроксимации, но также
является критическим при сохранении определенных очерта-
ний заданных значений. В конце концов, чтобы проинтерпо-
лировать множество постоянных данных, надо использовать
(горизонтальную) прямую линию.
Мы, во-первых, коротко обсудим проблему базисной
сплайн-интерполяции, поставленную в (4.5.8), и укажем, что
если бы даже наивысший порядок аппроксимации достигался
в этом случае, то соответствующий сплайн-интерполяцион-
ный оператор не мог бы быть локальным. Это ограничивает
их применение во многих инженерных проблемах таких, как
интерполяция в режиме реального времени (или «он лайн»).
Главной целью этого параграфа является рассмотрение кон-
структивной схемы получения квази-интерполяционных опе-
раторов, которые имеют дополнительные интерполяционные
свойства.
Центром наших дискуссий является построение так назы-
ваемых фундаментальных сплайнов, которые интерполируют
данные {<5у,о}. Обладая фундаментальным сплайном, интер-
поляционный оператор может быть легко получен путем ис-
пользования любой последовательности данных в качестве по-
следовательности коэффициентов сплайн-рядов, образован-
ных целочисленными сдвигами фундаментальных сплайнов.
Давайте сначала исследуем проблему базисной сплайн-ин-
терполяции, поставленную в (4.5.8), для последовательности
данных Решив бесконечную систему
ОО
Е	+ =Sj,o, jez, (4.6.1)
fc=—оо
для {4m)}, мы имеем «фундаментальную сплайн-функцию»
ОО
Lm(x) = Е (х + ? ' к) ’	(4-6-2)
х 2	/
«= — ОО
4.6. Сплайн-интерполяционные формулы
181
которая обладает интерполяционными свойствами
Lm(j) = ^,о,	(4-6.3)
как это дается формулой (4.6.1). В отличие от В-сплайна Nm,
который имеет компактный носитель, мы увидим, что после-
довательность коэффициентов {с^} не является конечной
при любом m > 3, так что фундаментальный сплайн Lm не
обращается тождественно в нуль вне некоторого компактного
множества. Следовательно, если он применяется для интер-
поляции последовательности данных {/?}, где fj = f(j) для
некоторой / G С, то надо быть аккуратным в вопросе о схо-
димости бесконечных сплайн-рядов
ОО
:= f(k)Lm(x — k).	(4.6.4)
k=—оо
К счастью, как мы увидим немного позже, {с™} убывают до
нуля экспоненциально быстро при к —> ±оо. Это значит, что
фундаментальная сплайн-функция Lm(a;) также стремится к
нулю с той же скоростью при х —> ±оо. Так, если {/(А:)} имеет
не более чем полиномиальный рост, то сплайн-ряды в (4.6.4),
конечно, сходятся в любой точке х G R и, ввиду интерполя-
ционных свойств (4.6.3), мы имеем
GW-/)(j)=0, jeZ.	(4.6.5)
Таким образом, интерполяционный сплайн-оператор Jm за-
дает сплайн-функцию Jmf, которая интерполирует функцию
данных f в каждой точке х = j, j € Z.
Для изучения фундаментальных сплайн-функций Lm (я)
мы должны вернуться к системе (4.6.1) линейных уравне-
ний, коэффициенты которой даются значениями В-сплайнов
Nm (у + к). Так же как в (4.5.9), мы рассматриваем символ
Nm{z) = ^Nm(^ + k) zk
182
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
и замечаем, что этот симметричный многочлен Лорана мо-
жет быть легко преобразован в алгебраический многочлен с
целыми коэффициентами путем рассмотрения
Em^(z) := (т -	(4.6.6)
где, как и раньше, [ж] обозначает наибольшее целое, не пре-
восходящее х. Это понятие обобщает определение многочле-
нов Эйлера—Фробениуса через В-сплайны четного поряд-
ка. (См. (4.2.18) и следующие две главы для более подроб-
ного и общего рассмотрения.) Наиболее важным свойством
многочлена Эйлера—Фробениуса Ет-\ в (4.6.6) является для
нас то, что он не обращается в нуль на единичной окружно-
сти |z| = 1 (см. теорему 5.10 в следующей главе как более
общий результат). Отсюда следует, что Nm(z) 0 для всех
z = е~гш, ш G R. Теперь, как и в (4.5.10), система линейных
уравнений (4.6.1) может быть записана в виде
где Cm(z) — символ {с^}. Используя элементарные дроби,
легко видеть, что последовательность {с^71^} экспоненциально
убывает при к —> ±оо, и скорость убывания определяется мо-
дулем корня Em^i в круге |z| < 1, ближайшего к единичной
окружности |z| = 1.
Применяя формулу суммирования Пуассона (2.5.8), мы
можем также написать
00
йп(*) = Е (Яг(- +j))(w + 27Tfc), z = e~iu, (4.6.8)
fc=—00
где Nm (• + у) обозначает преобразование Фурье Nm (ж + у),
которое в (4.6.8) вычисляется в точках ш + 2л к. Отсюда, бе-
ря преобразование Фурье от обеих частей (4.6.2) и применяя
4.6. Сплайн-интерполяционные формулы
183
(4.6.7) и (4.6.8), мы получаем две формулы для (преобразова-
ния Фурье) фундаментальной сплайн-функции, а именно:
(4.6.9)
Каждая из этих двух формул может быть использована для
вычисления Lm(x).
Пример 4.18. Определим кубический фундаментальный
сплайн Li{x).
Решение. Применяя рекуррентный алгоритм, описанный в
(4.2.15), получим, что отличныеот нуля значения N^fk), к € Z,
равняются
f 1 4 11
№(1)Л4(2)^4(3)}
( 6 6 6 )
как это уже было замечено в (4.3.15). Отсюда соответствую-
щий многочлен Эйлера—Фробениуса дается формулой
Ез(г) = 1 + 4я + z2 — (z + 2 — ч/3)(я + 2 + \/3).
Следовательно, мы имеем
~	.	(4 - l)!z>~i)/2]	62
E3(z)	“ (z + 2- y/3)(z + 2 + y/3)	'6‘
___________6__________ / -2 + д/З _ —2 — ч/З
~ (-2 + ч/З) - (-2 - ч/З) V + 2 - y/3 ~ z + 2 + у/з)
= ч/З [ £(-2 + УЗ)”4-^-"-1 + J2(-2 - Уз)-"я" ]
\п=0	п=0	/
= УЗ (-2 + Уз)Н^,
п=—оо
184
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
так что последовательность {с^} определяется формулой
44) = (~1)*Уз(2 - л/з)[*[, к е Z.	(4.6.11)
Это дает нам кубический фундаментальный сплайн
L4(x) =	(—1)*л/з(2— x/3)|fc^4(® + 2- к).	(4.6.12)
к=—оо
Заметим, что скорость убывания Ъ4(х) равняется
О((2 - x/3)lxi) при х —> ±оо	(4.6.13)
ввиду того, что supp A^4(- + 2 — к) = [к — 2, к + 2].	□
Что касается вычисления сплайн-интерполянта Jmf в
(4.6.4), вместо того чтобы вычислять его непосредственно,
представляется более эффективным приблизить Jmf с помо-
щью Qkf для больших значений к, где Qk — квази-интерпо-
ляционный оператор, введенный в (4.5.17). Чтобы проанали-
зировать результирующую погрешность, вернемся сначала к
(4.5.11) и (4.5.21) и рассмотрим выражение
к№}»♦№}.)(<)! =
к
2тг
(1 - 2Vm(e-^))fce^dw
где
rm = 1 — minivm(e"to).	(4.6.15)
Следовательно, повторяя рассуждения в (4.5.20), мы имеем
для каждого I € Z и р € 7rm-i:
\{Qkf -	=
= !Ш/-р))(€)-(/-р)(£)|
= I({<*?•} * - у *	-p(j)})(^)l
fc+i
<r^+1nwc|/(J) -p(j)|.
4.6. Сплайн-интерполяционные формулы
185
Это дает
\(Qkf - Jmf№)\ <	l e z, (4.6.16)
где
dist^oo(/,7rm_1) := min max |/(fc)-p(fc)|.
pe^m-i fcez
Пример 4.19. Оценим разность между (Qk/)(^) и (J4/)(^),
t G Z, кубической сплайн-интерполяцией (то есть m = 4).
Решение. Легко видеть, что
ДГ4(е~‘ш) = e^+4 + e = 2+cosw
6	3
и это дает
. ( 2 + cos ш \	2
г4 = 1 - mm I----------- = -.
w \	3	1	3
Отсюда, ввиду (4.6.16), мы имеем
/о\fc+1
\(Qkf - J4/)WI < Ь dist^oo(/,тгз), £ е Z. (4.6.17)
Если, например, {/(&)}— ограниченная последовательность,
то учитывая, что dist^oo (/, лз) < distfoo(/, ло), из (4.6.17) сле-
дует неравенство
1 /2\fc+1
sup|(Qfc/ - J4/)WI < (sup/(£) + inf/(€))- -	. □
£ez	lez «ez * \o/
Заменяя Jmf квази-интерполянтом Qkf, мы в общем слу-
чае не имеем точной интерполяции, хотя хорошая оценка и
дается в (4.6.16). Однако одним из главных соображений, ко-
торое заставляет выбрать Q^f для Jmf, является локальная
природа квази-интерполяционного оператора, которая дает
186
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
возможность использовать его для приложений в режиме ре-
ального времени. Если мы настаиваем на точной интерпо-
ляции, то существует один путь построить локальную ин-
терполяционную формулу, который состоит в использовании
сплайн-пространства на мелкой сетке, такого как Sm для не-
которого j > 0, вместо Sm (гДе Sm — пространство сплайнов
т-го порядка, узлами которого является последовательность
2~7Z, как это обсуждалось в §4.1). Например ясно, что при
интерполяции последовательности данных {/(j) : j 6 Z} с
5т := наименьшее целое, ограниченное снизу величиной log2m — 1,
(4.6.18)
сплайн-функция
Ст(х} ~ Nm(m/2)Nm (2^Ж + Т)	(4-6Л9)
удовлетворяет требованию
U(j) = Sjto, j е z.	(4.6.20)
Отсюда сплайн-оператор
(Rmf)(x) :=	f(k)£m(x-k)	(4.6.21)
fc=—оо
является одновременно локальным и интерполяционным. К
сожалению, Rmf — очень плохое представление /, так как да-
же постоянная функция им не воспроизводится. Например,
когда мы используем кубический сплайн, мы имеем 64 = 1 и
3
Ш = М2х + 2},
(4.6.22)
так что для функции /(я) = 1, х G R мы имеем (J?4/) (|) =
|#4(3) + |#4(1) = Ь но не 1.
4.6. Сплайн-интерполяционные формулы
187
Мы теперь имеем два локальных метода: метод постро-
ения квази-интерполяционных операторов Q, как это было
рассмотрено в предыдущем параграфе, и локальную интер-
поляционную формулу (4.6.21). Первый метод воспроизводит
все многочлены в соответствующем сплайн-пространстве и,
следовательно, обеспечивает оптимальный порядок аппрок-
симации (см. теорему 4.16), в то время как второй метод да-
ет интерполяционный сплайн. Для построения ограниченного
линейного локального оператора Р, который бы обладал по-
линомиалыю-воспроизводящими свойствами Q и интерполя-
ционным свойством Лщ, мы рассматриваем следующую «сме-
шанную» операцию:
Р := Rm + Q - RmQ-	(4.6.23)
Так как Q и Rm — ограниченные линейные операторы в С, то
таким же является и Р. Теперь, для любого х € R и р 6 7rm_i
ввиду того, что (<2р)(ж) — р(х), мы имеем
(Рр)(ж) = (Ятр)(ж) + (Qp)(®) - (RmQp)(x)
=	+р(я) - (Rmp)(x) = р(х),
так что Р также сохраняет все 7rm_i. С другой стороны, для
любой f € С и j € Z, так как (Rmf)(j) ~ f мы имеем
Ш = UW)0) + (Q/)(j) - (Pm(Q/))G)
= /(» + (Q/)(j) - (Q/)0) = /0)-
Следовательно, мы доказали, что действительно Р — квази-
интерполяционный оператор, который является интерполя-
ционным на множестве Z. Должны быть рассмотрены еще
два важных момента. Во-первых, так как мы заинтересованы
в интерполяции данных f(j), j 6 Z, то локальный оператор
Р должен зависеть только от этого множества данных и не от
чего больше. Это, конечно, верно для Rm в (4.6.21), но квази-
интерполяционный оператор Q также должен обладать эти-
ми свойством. К счастью, общая формулировка Qa в (4.5.33)
188
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
с наложением условия (4.5.36) на определяемые линейные
функционалы, как было введено в предыдущем параграфе,
может быть применена для изменения множества данных.
Во-вторых, так как множество Rm — это сплайн-простран-
ство S^1, мы должны также ограничить множество Q = Q°
множеством S^1. Таким образом, мы установили следующий
результат.
Теорема 4.20. Пусть Q° - квази-интерполяционный опера-
тор из Cft(R) в S^1 в смысле последовательностей данных
fti), j zz, f € Cft(R). Тогда оператор Р, определенный в
(4-6.23), с Rm, заданным формулой (4-6.21), также явля-
ется квази-интерполяционным оператором на Сь(&) со
значениями в Sfy в смысле последовательностей данных
КП, 3 € Z, и обладает дополнительным свойством
(Pf-f№) = o,
Конечно, квази-интерполяционный оператор Р может
быть «масштабирован», что приведет нас к операторам
Ph := Sh о Р о sh-i, h > 0,	(4.6.24)
выбором h = а (при любой фиксированной положительной
константе а и большом положительном целом у), рассмотре-
нию другой последовательности данных
/(2-Ja€), t € Z,	(4.6.25)
и к достижению оптимального порядка аппроксимации О(/гт)
(см. теорему 4.16). Мы кончаем эту главу рассмотрением
примера кубического интерполяционного сплайна и квази-
интерполяционных операторов.
Пример 4.21. Построим локальный кубический сплайн-
интерполяционный оператор Р±, который зависит только от
множества данных КП, j G Z и сохраняет все кубические
многочлены.
4.6. Сплайн-интерполяционные формулы
189
Решение. Масштабируя квази-интерполяционный оператор
Q° в (4.5.39) примера 4.17 на 1/2, мы получаем квази-интер-
поляционную формулу
=52s ЕсГ/0’ + £)р4(2х-2^+2) (4.6.26)
г з	J
+ 52 E с?}м+£) N^2x -21+3)>
t
„ з
которая воспроизводит все лз, где {cj1^} и {с^} даются фор-
мулами (4.5.42) и (4.5.43). Откуда, применяя (4.6.23) с Q =
и Rm — Т?4 и используя формулы (4.6.21) и (4.6.22), мы имеем
(Р4°/)(*) = 52 |/(*)^4(2х + 2 - 2к) + (Q°4f)(x)	(4.6.27)
к
~52И Y,^f{j + e}N^2k-2t+2)
fc I зЛ
+ 52 cj2) f (j + £) Ni (2к - 2£+3)	(2s + 2 - 2fc)
з,1	J
= Е Е^^ M(2s + 2 - (2£-1))
f- з
+521 |/(fc)~E^cj2)^C7+*)+/(j+*+1)) *
к (	3
xN4(2x+2-2k) =Е E4V(") k<(2*+2-«),
l
п
190
Глава 4. Базисный сплайн-анализ
где
29
24
7
24
1
8
1
12
1
48
0
Для
для
Для
Для
Для
для других п.
п = О
п = ±1
п = ±2
п = ±3
п — ±4
(4.6.28)
44) :
Заметим, что для определения 5-сплайн ряда
(Р4°/)(®) =	+ 2 - £),	(4.6.29)
I
мы просто можем применить формулу СС
€+4
тг(/) = 52 W€-n/(n)’
п=€-4
(4.6.30)
где {/(п)} получена из последовательности данных {/(п)} в
результате разрежающей выборки, а именно: /(2п) = /(п) и
f(2n + 1) = 0, n € Z. (См. (4.3.11).)	□
Глава 5
Масштабирующие
функции и вэйвлеты
Любой 7^-вэйвлет (или просто вэйвлет) дает возможность раз-
ложить пространство Гильберта Z2(R) в прямую сумму за-
мкнутых подпространств Wj, j G Z в том смысле, что каждое
подпространство Wj является замыканием в b2(R) линейной
оболочки совокупности функций
= 2j^(2jx — к), к G Z.
Поэтому соответствующие подпространства
Vj := ... +Wj_2+Wj^, j G Z,
образуют вложенную последовательность подпространств
L2(R), объединение которых плотно в b2(R) и пересечение
которых является множеством {0}, состоящим из одного ну-
левого элемента.
Это наблюдение приводит к последующему введению очень
полезной техники построения вэйвлета и соответствующего
ему двойственного Vs а именно: исследованию существования
и изучению структуры некоторой масштабирующей функции
ф, которая порождает пространства Vj, j G Z таким же обра-
192
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
зом, как ф порождает пространства Wj, j G Z. В частности,
совокупность функций
ф(х — к), к € Z,
образует базис Рисса (или безусловный базис) Vo и ф поро-
ждает кратномасштабный анализ (КМА) {V,} в L2(R). Так
как ф G Vo С Vi, то существует единственная последова-
тельность {рп} G £2, которая связывает ф(х) с функциями
ф(2х — к), к G Z; и структура ф определяется структурой
этой «двухмасштабной последовательности» {рп}. Например,
конечная двухмасштабная последовательность характеризу-
ет масштабирующую функцию ф с компактным носителем.
Ввиду этого соображения ф имеет наименьший носитель, если
длина этой последовательности является самой короткой.
Мы увидим, что существует много свободы в выборе со-
ответствующего вэйвлета ф и его двойственного ф, поэто-
му другой целью этой главы является исследование струк-
туры дополнительных пространств Wj (в смысле, что Vj+i =
Vj+Wj, j G Z) и соответствующих «двухмасштабных после-
довательностей», связывающих Wj с Vj+i, что описывает эту
свободу. Обладая полным знанием того, в чем состоит эта сво-
бода, можно построить вэйвлет ф и его двойственное ф, удо-
влетворяющие некоторым особенностям. Этими особенностя-
ми, представляющими специальный интерес, в частности, для
инженеров, являются: разложение пространства Z2(R) в ор-
тогональную сумму подпространств Wj, ортонормированный
базис в L2(R), порожденный ф, конечные последовательно-
сти восстановления и разложения как результат компактно-
сти носителя ф и ф и симметрия или анти-симметрия фиф.
В добавление к изучению этих особенностей мы будем также
изучать связь между симметричными вэйвлетами и линейно-
фазовой фильтрацией.
5.1. Кратномасштабный анализ
193
5.1.	Кратномасштабный анализ
Если должен быть построен некоторый вэйвлет ip G L2(R),
целесообразно изучить структуру порожденного им разложе-
ния I/2(R). Обычно ipjtk — 2^2ip(2:>x — к) и
Wj := closL2(R)(V>jifc : к € Z).	(5.1.1)
Тогда это семейство подпространств b2(R) дает разложение
L2(R) в прямую сумму в том смысле, что каждая f Е L2(R)
имеет единственное разложение
f(x) = ... + g-i(x) + g0(x) + gi(x) + ...,	(5.1.2)
где gj G Wj для всех j G Z, и мы будем это описывать с
помощью формулы
£2(R) = 52 wj := ...+VE_i+Wo+Wi+...	(5.1.3)
jez
(см. (1.4.3)-(1.4.5)). Будучи в Wj, ^-компонента f имеет един-
ственное представление в виде вэйвлет-ряда, последователь-
ность коэффициентов которого дает локализованную спек-
тральную информацию об f в j-й октаве (или частотном диаг
пазоне) в терминах интегрального вэйвлет-преобразования f
с 1/1 — двойственным ip в качестве базисного вэйвлета (см. те-
орему 3.27). Мы вернемся к этой теме в § 5.4. Используя раз-
ложение Z2(R) в (5.1.3), мы имеем также последовательность
вложенных друг в друга замкнутых подпространств Vj, j 6 Z
из L2(R), определенных формулой
Vj ~ ...-i-Wj-^+Wj-!.	(5.1.4)
Обобщим свойства {V)}, которые являются простым след-
ствием (5.1.1), (5.1.3) и (5.1.4), в следующей лемме (см. § 1.5).
13 - 3954
194
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Лемма 5.1. Подпространства Vj, определенные в (5.1.4),
удовлетворяют следующим условиям:
(1°) ... С V_1 С Vo С Vx С ...;
(2°) cloSLi^jeZVj)=L2(R)-
(3°) njeZVj = {0};
(4°) vj+1 = Vj+Wj, jez и
(5°) f(x)e Vj^f(2x)e Vj+1, jez.
Теперь предположим, что существует такая функция
ф € Vo, что
{фф — к): к € Z}	(5.1.5)
является базисом Рисса Vo с границами Рисса А и В
(см. (3.6.7)). Тогда, положив
Фз,к(х) := 2^2ф(2?х - к),	(5.1.6)
из формул (5.1.4), (5.1.1) и вышеприведенного условия (5°)
следует, что для каждого j € Z семейство
{Фз,к : к G Z}
также является базисом Рисса Vj с теми же самыми грани-
цами Рисса А и В. Как следствие, подпространства Vj также
обладают свойством: (6°) /(ж) G Vj <=> f(x + ^) g Vj, j € Z.
Мы видим, что для построения вэйвлета ф мы все вре-
мя приходим к заключению о существовании вложенных
последовательностей {Vj} подпространств L2(R), удовлетво-
ряющих условиям (1°)-(5°). Итак, эти свойства могут быть
рассмотрены как необходимые условия для существования
вэйвлета ф. Техника, которую мы будем изучать, в первую
очередь, состоит в построении так называемой масштабиру-
ющей функции ф G L2(R), которая «порождает» последо-
вательность замкнутых подпространств £2(R) (которые мы
также будем называть Vj, подразумевая, что эти подпростран-
ства больше не определяются (5.1.4) с помощью некоторой ф,
5.1. Кратномасштабный анализ
195
существование которой еще предстоит исследовать). Дадим
следующее, более точное определение.
Определение 5.2. Функция ф € L2(R) называется мас-
штабирующей функцией, если подпространства Vj из L2(R),
определенные формулой
Vj := closL2^^jk : k € Z), j € Z, (5.1.7)
(где использовано обозначение (5.1.6)) удовлетворяют усло-
виям (1°), (2°), (5°) и (6°), установленным выше в этом па-
раграфе, и если {</>(• — к) : к € Z} является базисом Рисса
Vo- Мы также говорим, что масштабирующая функция ф
порождает кратномасштабный анализ {Vj} пространства
Z2(R).
Замечание. Если ф Е L2(R) — масштабирующая функция,
которая порождает КМА {Vj} пространства £2(R), то по-
следовательность вложенных подпространств {V)} из КМА с
необходимостью удовлетворяет условию (3°). Доказательство
этого факта требует некоторого труда и не будет здесь обсу-
ждаться. (См. (7.2.29) в доказательстве леммы 7.13 главы 7).
Кроме того, всегда можно ввести дополняющие подпростран-
ства Wj, как в (4°). Однако мы будем всегда предполагать,
что эти подпространства выбраны «соответствующим обра-
зом» для всех j Е Z. Например, если Wo-LVb, то мы требуем,
чтобы Wj-LVj, j Е Z. В общем случае, если Wo порождено
некоторым ф в смысле (5.1.1) для j = 0, то мы предпола-
гаем, что все другие подпространства Wj порождены анало-
гичным образом тем же ф. В итоге мы будем предполагать
выполнение всех условий (1°)-(6°) для любого КМА {V)}
пространства L2(R).
Если ф порождает КМА, то так как ф Е Vo принадлежит
также Vi и так как : k Е Z} является базисом Рис-
са Vi, существует единственная ^-последовательность {р^},
13*
196
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
которая описывает двухмасштабное соотношение
оо
</>(ж) = 52 Рм№х ~	(5.1.8)
k=—оо
для масштабирующей функции ф. (См. (4.3.1) и (4.3.3)-(4.3.4)
о двухмасштабном соотношении для базисного В-сплайна т-
го порядка.) Эта последовательность называется двухмас-
штабной последовательностью для ф. В соответствие с этой
/^-последовательностью введем обозначение
1	00
P(z) = РДз) := - 52 ?***’	(5.1.9)
k=—oo
которое тем отличается от обозначения символа в (4.5.9), что
здесь при определении Р используется нормирующая кон-
станта |. Эта нормировка упрощает следующую формулиров-
ку в терминах преобразования Фурье:
ф{ш) = Р^ф(~\ z = e-^,	(5.1.10)
\ /
тождества (5.1.8). Мы будем называть Р = Рф двухмасштаб-
ным символом масштабирующей функции ф.
Для того чтобы иметь возможность вывести некоторые
желательные свойства масштабирующей функции ф про-
странства L2(R), и позже — соответствующего вэйвлета ф и
двойственного вэйвлета ф, мы сделаем следующие предполо-
жения о ф и его двухмасштабной последовательности:
(41)	^GL^R);
(42)	52 Ф(х ~ к) — ]> п-в4
к=—оо
(43)	{Рк} € I1.
Предположение (42) называется свойством «разбиения ёди-
ницы» для ф. Это стандартная (хотя и не необходимая) ги-
потеза для вывода свойства плотности подпространств Vj в
5.1. Кратномасштабный анализ
197
(2°). (См. доказательство теоремы 4.16.) Заметим, что любой
В-сплайн удовлетворяет (А2). Предположение (А1) означает,
что ф - непрерывная функция в R, как это гарантировано те-
оремой 2.2 (б). Из следствия 2.27 и формулы суммирования
Пуассона в (2.5.11) вытекает, что (А2) является результатом
следующих условий на ф:
0(0) = 1,
-
0(2тгА:) =0, 0 к Е Z.
(См. (4.5.5) для описания с более качественной стороны В-
сплайнов m-го порядка.) В общем случае, так как ф порождает
базис Рисса Vq, то из (5.1.8) и нормировки 0(0) = 1, (А2) уже
имеет место. В заключение предположение (ИЗ) гарантирует,
что Р = Рф есть непрерывная функция на единичной окруж-
ности \z\ = 1. Это очень слабое предположение; и в приме-
нениях нас будут интересовать конечные последовательности
так, что соответствующие Р = Рф будут многочленами Ло-
рана. Добавочное предположение будет сделано в следующем
параграфе.
Из непрерывности Р = Рф при |z| = 1, первого условия в
(5.1.11), применяя (5.1.10), мы имеем
=	=	(5.1.12)
£
к
С другой стороны, из предположения, что {0(- — к) : к Е Z}
является базисом Рисса Vo, и из второго условия в (5.1.11)
следует, что P(z) удовлетворяет также равенству
P(-1)=41>1)'‘W = 0.	(5-1.13)
£
к
Действительно, по теореме 3.24 и из непрерывности ф мы
имеем
^2 \Ф(Х + 2тг/г) |2 > А > 0, х Е R,
к
198
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
так что ф((2ко + 1)тг) / 0 для некоторого к0 € Z; и, следова-
тельно, вычисление обеих частей (5.1.10) при ш = 2(2&о + 1)тг
дает (5.1.13). Конечно, утверждением, эквивалентным (5.1.12)
и (5.1.13), является
= 1-	(5.1.14)
к	к
Мы замечаем, что при повторном применении (5.1.10) дру-
гим следствием непрерывности ф и условия </>(0) = 1 является
утверждение, что при п —> оо
(п	\
JJp(e--/2^p^	(5.1.15)
fc=l	/
оо
-э ПР(е-"/2'), w€R,
к=1
в каждой точке при условии сходимости бесконечного про-
изведения. Мы вернемся к доказательству этой сходимости
после рассмотрения следующего примера.
Пример 5.3. Для В-сплайна m-го порядка .Ут мы имеем
(-1	.	\ m
-у-	(5.1.16)
(см. (4.3.3)), так что
п	п
IJp(e--/2‘) = JJ
fc=l
1 + е~ш/2к
2
тп
1 _ е~гш/2к \ m
1 - e-^/2fc J
1 _ e~iu/2k~1 \ m
J _ Q—w/2k J
5.1. Кратномасштабный анализ
199
1 / 1 - e~iw 1 - е-"/2	1 - е-^/2" 1 \m
2mn \ 1 - е“гш/2 ' 1 - e-w/22	1 — e-«w/2n J
1 ( 1 — e-iw \m	/”1 — е~*ш’'\ТП
2™" \ 1 - e-‘w/2n J	I iw J
при n —> oo, и этот предел соответствует определению Nm(w)
в (3.2.16).
Ввиду предыдущего сплайн-примера мы сосредоточим на-
ше внимание на двухмасштабных уравнениях с управляющи-
ми последовательностями {р^}, заданными формулой
(5.1.17)
где N — некоторое положительное целое, S(l) = 1 и S(z) — до-
статочно гладкая функция на единичной окружности |z| = 1.
Точнее, мы рассматриваем следующее определение.
Определение 5.4. Ряд Лорана P(z) вида (5.1.17) назы-
вается «допустимым двухмасштабным символом», если S
является непрерывной функцией на единичной окружности,
удовлетворяющей условиям:
(а) 5(1) = 1 и
(б) L°°(0,2л)-модуль непрерывности 3(е~гш) как функ-
ции со, в соответствии с формулой (2.4-83), имеет порядок
О(ра) для некоторого а, 0 < а < 1, при р —> 0+.
Для любого допустимого двухмасштабного символа Р с
множителем S, как в (5.1.17), рассмотрим границы Bj —
Bj(S} и bj = bj(S), определенные формулами
Bj = By(S) := sup П 5(e-“/2fc)
k=l
bj = bj(S) := -log2By =  1 In By.
(5.1.18)
j	J log 2

200
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Мы имеем следующий результат о сходимости бесконечного
произведения.
Теорема 5.5. Пусть Р — допустимый двухмасштабный
символ вида (5.1.17). Тогда бесконечное произведение
ОО
(5.1.19)
fc=i
сходится в каждой точке к некоторой функции д. Более то-
го, для любого положительного целого по существует поло-
жительная константа Спо такая, что предельная функция
g удовлетворяет неравенству
Ш1<Сп0(1 + МГ*+Ч w G R,
(5.1.20)
где ЬПо определено в (5.1.18). В частности, если существу-
ет некоторое по такое, что bno < N — то существует
функция ф G Z2(R) такая, что ф = g, <^(0) = 1, и ф удовле-
творяет двухмасштабному соотношению (5.1.10).
Доказательство. Для любого фиксированного ш, так как
5(1) = 1 и L°°(0,2тг), модуль непрерывности Б(е~гш) есть
величина порядка O(?7Q),0 < а < 1, мы имеем
fc->oo.
Отсюда, так как J2(|w|“/2fca) < оо и
К	(К
П |5(е-“/2‘)| = exp £log|l - (1 - S(e~^2‘))|
fe=l
I \fc=l 2
(5.1.21)
5.1- Кратномасштабный анализ
201
следует, что бесконечное произведение
оо
к=1
сходится. Поэтому, ввиду примера 5.3, бесконечное произве-
дение в (5.1.19) сходится для любого w.
Для получения оценки (5.1.20) мы сначала заметим, снова
из примера 5.3, что
sin — \N
—М	< С"(1 +	(5.1.22)
Си / Z /
Затем, любому фиксированному ш соответствует единствен-
ное п € Z такое, что 2n-1 < 1 + |ш| < 2П. Итак, с одной
стороны, так как |w/2fc | < 1 для всех к > п, вышеприведенная
оценка дает
ОО
-iu/2k
fc=n+l
где С" зависит от ш. Отсюда, с Сш := С"С"', мы заключаем,
используя (5.1.22), что
IsM < С"'(1 + М)"" П |S(e-“/2*)|.	(5.1.23)
fc=l
С другой стороны, используя (5.1.18), мы имеем для лю-
бого положительного целого по и для всех больших п > 0
П|5(е-^)|=	(5.1.24)
к-1
по	2по	п
П |S(e-‘u'/2*)|	|5(е-"/2')| ... П l<S(e-iu,/2*)|
fc=i	fc=no+l	fc=[^]no+i
[nJ
Г*1 DLnoJ s' гэп/по
— ^no^o — ^nQ-^no '
202
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Так как
п - 1 < log2(l + |ш|) < п,
то
в^по <	= c"'(i + М)4-
Отсюда при Спо = С'"С^Спо утверждение в (5.1.20) является
следствием (5.1.22) и (5.1.24).
Если ЬПо < N — j, то из (5.1.20) мы видим, что д G L2(R);
и ввиду Т2(К.)-изометрии преобразования Фурье, установлен-
ной в теореме 2.17, мы имеем д = ф для некоторой ф G P2(R).
Сверх того, ясно из оценок (5.1.21) и (5.1.22), что ф G С, так
что ф(0) = 5(0) = Р(1) = 1, и
Р(е~™/2)ф	= P(e~iw/2)	Р(е-“/2,г+1)
fc=l
Это завершает доказательство теоремы.
Заметим, что вышеприведенная теорема не дает никакой
информации о гладкости ф и о том, порождает ли она или
нет базис Рисса Vq- Действительно, не накладывая дополни-
тельных условий на двухмасштабный символ Р, очень трудно
сделать заключение относительно того, порождает ли мас-
штабирующая функция ф базис Рисса Уо- Обсуждение этой
проблемы откладывается до главы 7, где требуется, чтобы
{ф(- — к) •. к 6 Z} было ортонормированным семейством.
Ниже нас будет интересовать только гладкость масштабиру-
ющей функции ф.
5.1. Кратномасштабный анализ
203
Теорема 5.6. В предположениях теоремы 5.5, если
b := inf{bj : j > 1}	(5.1.25)
удовлетворяет неравенству b < N — 1, то предельная функ-
ция g в (5.1.19) принадлежит L2(R) Г) L^R), и функция
ф G L2(R), удовлетворяющая равенству ф ~ д, как это уста-
новлено в теореме 5.5, принадлежит С® (R), где /3 — наи-
большее целое, строго меньшее, чем N — Ъ — 1. Более того,
для любого а > 0 такого, что 0 < (3 + a<N — b — 1, ф^
удовлетворяет равенству:
sup sup \ф@(х + h) — ф@(х)\ ~ О(г]а), у —> 0+.
Определение 5.7. Класс всех функций f Е С = C(R), удо-
влетворяющих равенству
sup sup\f(x + h) - f(x)\ = O(»jQ), г) —> 0+,	(5.1.26)
0<h<ri xeR
где 0 < a < 1, обозначается Lip а; и класс функций
f E Cm = Cm(R), где m — положительное целое такое, что
y(”i) g jjp a, q < a < 1, будет обозначаться как Lipm a.
Доказательство теоремы 5.6. Выберем положительное
целое по такое, что
0 < Б + « < N - bno - 1.
Заметим, что по определению /3 мы имеем 0 < а < 1, и, ввиду
(5.1.20) в теореме 5.5 мы видим, что
(1 + \ш\)?\ф^\ < Cno(l + |a?|)~1-a.	(5.1.27)
В результате теорема Лебега о сходимости позволяет нам про-
дифференцировать под знаком интеграла формулу
1	Г°° .	.
Ф(х) = 2^J
204
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
[3 раз, откуда ф G С® и
ф^\х} = J- [°° {wfeixu^<jj)dw.	(5.1.28)
J—оо
Теперь из оценки
_е^| < min(2, |/ю>|)
<	< 2|/г|“(1 + |о<,
вместе с (5.1.27) и (5.1.28) следует, что
\ф^(х + h)- фЮ(х)\<— Г° \шР\е*х+»“ - егхш\\ф(ш)\du
2л J-oo
<cj^- Г (1 + \u\^+a-N+b°du,
J—сю
где интеграл конечен, так как /3 + а — N + Ьо < — 1. Следова-
тельно, мы доказали, что ф G Lip^3 а.	□
5.2.	Масштабирующие функции
с конечными двухмасштабными
соотношениями
В этом параграфе мы ограничиваем наше внимание двух-
масштабными соотношениями (5.1.8), описанными конечны-
ми суммами. Очень важным следствием такого ограничения
является тот факт, что соответствующие масштабирующие
функции с необходимостью имеют компактные носители. По-
этому, как мы увидим в этом параграфе, графически-изобра-
зительный алгоритм для В-сплайнов в параграфе 4.3 также
может быть применен для рисования графика любого при-
чинного ряда
/(х) = £а£ф(х-£),	(5.2.1)
t
5.2. Масштабирующие функции
205
где ф — любая из таких масштабирующих функций, в реаль-
ном времени. Мы также будем изучать класс всех масштаби-
рующих функций с конечными двухмасштабными соотноше-
ниями, которые порождают тот же кратномасштабный ана-
лиз, и исследовать функции с наименьшим носителем. Это
важно при показе базисной структуры исследуемого КМ А,
и масштабирующие функции с наименьшим носителем будут
инструментом для построения вэйвлетов, обладающих таким
же свойством. Будет ясно, что масштабирующие функции ф
с наименьшим носителем и соответствующие им вэйвлеты ф
имеют самые короткие последовательности восстановления,
используемые в алгоритмах вэйвлет-восстановления. (Более
подробно см. § 5.4.)
Пусть ф — масштабирующая функция, описываемая двух-
масштабным соотношением
Ф(х) = ^РФ<№х-к), Ро’Р^ф^О- (5-2.2)
/с—0
Когда не возникает возможных недоразумений, мы будем
опускать индексы ф внизу и вверху, а именно:
Мы замечаем, что, изменяя индекс в рк, любое конечное
двухмасштабное соотношение может быть записано в виде
(5.2.2). Конечно, масштабирующая функция также должна
быть сдвинута соответствующим образом.
Остановимся сначала на случаях = 0,1 в (5.2.2).
(а)	Для Nф = Q мы имеем, учитывая (5.1.12):
ф(х) = 2ф(2х),
так что двухмасштабный символ есть P(z) = 1, и бесконечное
произведение в (5.1.19) есть g(w) = 1 для всех ш. Итак, если
д = ф, то ф должна быть дельта-распределением.
206
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
(б)	Для Уф = 1, используя (5.1.14), мы имеем:
ф(х) — ф(2х) + ф(2х — 1),
то же самое двухмасштабное соотношение, что и для В-сплай-
на первого порядка Ni в (4.3.4). Итак, ф = У±.
Поэтому мы всегда будем предполагать, что Уф > 2. В
последующем будет введена итерационная процедура для по-
строения масштабирующих функций ф. Для этой цели мы бу-
дем иметь дело только со всюду непрерывными масштабиру-
ющими функциями. Можно показать, что при этом добавоч-
ном предположении двухмасштабное соотношение для Уф = 2
должно иметь вид
Ф(х) = ^(2ж) + Ф(2х - 1) + ^(2ж - 2),	(5.2.4)
которое совпадает с двухмасштабными соотношениями для
В-сплайна N25 как в (4.3.4) при тп = 2, и, следовательно,
ф = У%. Для Уф > 3, однако в главе 7 мы будем иметь не-
которые очень интересные разновидности. Например, когда
Уф = 3, мы, конечно, будем иметь квадратичный В-сплайн
W3 с двухмасштабным соотношением
13	3	1
2V3(^) = /з(М + ^з(2т - 1) + -N3(2® - 2) + /з (2т - 3).
(5.2.5)
Однако существует другая альтернатива, а именно: масшта-
бирующая функция Добеши ф&, определенная соотношением
Фз (*) = ~~т~Фз№с) +	(2х - 1)	(5.2.6)
+ ?~^-ф?(2х - 2) + Ц^(2х - 3).
Более подробно ф® будет рассмотрена в главе 7. Здесь мы
только укажем две важные особенности двухмасштабной по-
5.2. Масштабирующие функции
207
следовательности в (5.2.6). Во-первых, как требует (5.1.14),
мы имеем
Ро + Р2 =
<
+Рз =
(5.2.7)
и, во-вторых,
1 Ж Ч
=	(5.2.8)
которое удовлетворяет условию допустимости в определе-
нии 5.4 с N = 2 и S(z) —тригонометрическим многочленом
по ы таким, что 5(0) = 1.
Чтобы лучше понять свойства масштабирующей функции
ф, мы рассмотрим рекуррентную схему
Фп(х) = ^РкФп-1(2х - к), п = 1,2,...	(5.2.9)
к
для некоторой подходящей начальной функции фо. Рас-
сматривая трактовку (5.2.9) в виде преобразования Фурье
(см. (5.1.10)) и повторяя тот же процесс, что и в (5.1.15), мы
имеем
^(о,) = Р(е--/2Ж_1
(5.2.10)
208
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Следовательно, если Р — допустимый двухмасштабный сим-
вол и если преобразование Фурье фо начальной функции фо —
непрерывная функция, при ш = 0 удовлетворяющая равен-
ству 0о(О) = 1, то по теореме 5.5 левая и правая части (5.2.10)
сходятся при любом ш G R, и
lim фп(ы) = д{ш),
п—>оо
где д — бесконечное произведение из (5.1.19). Кроме того,
если двухмасштабный символ Р удовлетворяет неравенству
b < N — 1, где Ь и N даны, соответственно, в (5.1.25) и (5.1.17),
то по теоремам 5.5 и 5.6 мы имеем д = ф, где ф G L1(R)nL2(R)
принадлежит Lip^o, 0 < о < 1 и наибольшее целое, удо-
влетворяющее неравенствам Q</3 + a<N — Ь — 1 (см. опре-
деление 5.7). Поэтому при этих условиях масштабирующая
функция ф может быть получена как предел фп в рекуррент-
ной схеме (5.2.9). Ниже мы дадим набросок доказательства
этого утверждения. Ввиду вышеприведенных рассуждений в
случаях (а) и (б) мы видим, что для двухмасштабной после-
довательности, по крайней мере, с тремя отличными от нуля
членами В-сплайн второго порядка 7V2, будучи непрерывной
сплайн-функцией наименьшего порядка, обеспечивает хоро-
ший выбор начальной функции в (5.2.9) для получения мас-
штабирующей функции ф. Так что мы рекомендуем следую-
щую рекуррентную схему:
ф(х) = lim фп(х), где
п—>оо
А
* Фп(х) = р^Фп-1(х-к), п = 1,2,..., и (5.2.11)
к=0
>Фо(х) = N2(x).
В сущности, при выполнении вышеприведенных предполо-
жений о двухмасштабном символе Р эта рекуррентная схема
равномерно сходится.
209
5.2. Масштабирующие функции
Набросок доказательства. Пусть е >	0. Так как
ф € L1(R), мы имеем
I |0(ш)|с?ш < Е
р|>Л1
для всех достаточно больших значений М > 0 и
для фиксированного значения М. С другой стороны, так как
Фп(ш) =
Р(е
2
е-й»/2"
мы имеем, применяя ту же оценку, что и в (5.1.24),

где Q < г] < N — Ь~ 1 и М достаточно велико. Окончательно,
периодичность
P(e-iw/2fc)
fc=i
может быть использована для получения формулы
sin(g?/2n+1) X
2-п-1ш + Агтг/
2
dw->0,
и равномерная сходимость следует из того, что |</>п(х)—</>(ж)| <
2^ll0n ~ 0||z,i(R)-	□
Как следствие процесса (5.2.11) мы видим, что ф имеет
компактный носитель, и, в сущности, мы можем найти ее но-
ситель точно при условии, что ф непрерывна. Интересно за-
метить, что на самом деле supp фп монотонно возрастает с
14-3954
210
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
ростом п. Более точно, в результате простых вычислений мы
имеем
' supp Фо = [0,2],
supp ф1 = [0,1(2 + /ад] = [о,	,
' supp ф2 = [0,1	+ ^)] = [О, 2±eijia] , (5-2.12)
supp фп
2+(2n-I)^
и отсюда, так как > 2,
supp фп С [0,7V^], п = 1,2.
а из (5.2.11) и (5.2.12) следует, что
supp ф = [0, ЛГф].
(5.2.13)
Знание того, что носителем ф является [0,7V^>], согласно
(5.2.13), оказывает огромную помощь при вычислении ф(х),
по крайней мере во всех двоичных точках х = к/23, где
j, к Е Z. Это очевидно, если мы обратимся к двухмасштабно-
му соотношению (5.2.2). Действительно, если известны значе-
ния <Д1),...,ф^ф — 1), то, так как ф(к) = 0 для всех к < О
или к > Мф, соотношения
единственным образом определяют все значения ф(х) при
х — к/2^, j,k Е Z.
Для определения значений ф(к), к Е Z мы снова исполь-
зуем двухмасштабное соотношение (5.2.2) с целыми х. Таким
5.2. Масштабирующие функции
211
образом, в матричном обозначении мы имеем
m = Mm,	(5.2.14)
где m — вектор-столбец
m:=^(l),...,<^-l)f	(5.2.15)
и М — матрица размерности (Л^ — 1) х (7V^ — 1)
(5-2.16)
где j — индекс строки, а к — индекс столбца. Напоминая, что
ф порождает разбиение единицы (см. (А2) в §5.1), мы можем
определить значения ф(к), к G Z, просто находя собственный
вектор m в (5.2.14), соответствующий собственному значению
1 и удовлетворяющий условию нормировки
ф(Г) + ... + ф(Ыф-1) = 1.	(5.2.17)
Пример 5.8. Определим значения ф^(к),к G Z, где двухмас-
штабное соотношение для ф^ дается формулой (5.2.6).
Решение. Из (5.2.6) мы имеем Ыф = 3, и матрица М в
(5.2.16) принимает вид
	ф Р\	ф Pq	_ 1	’ з + у/з 1 + Тз'	
м =	ф L Рз	ф Р2 J	~ 4	(со 1 со (со 1	(5.2.18)
Легко видеть, что пространство решений (5.2.14) состоит из
векторов
m = а[1 + л/З 1 — V/3]r, a ER.
тт 1
Итак, из условия нормировки мы имеем a = - и
ad(2) =
(5.2.19)
□
14-
212
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Вычислив значения ф(к), к G Z, легко вычислить
(ь \
, j,keZ.	(5.2.20)
Zr J
Действительно, интерполяционный графически-изобрази-
тельный алгоритм (см. алгоритм 4.7) может быть применен
без изменения для вычисления любого причинного ряда
оо
=	(5-2.21)
1=0
за реальное время при любом фиксированное jo G Z в точках
х = к/271 для любого к Е Z и Д > у^^Отсюда, чтобы вычи-
слить </>(fc/2J1) в (5.2.20), мы просто применим этот алгоритм
при jo = 0 и af} = 6gto- Конечно, надо положить
• Р",Л = П’	(5.2.22)
Ф(к)
в алгоритме 4.7 для вычисления (или рисования графика) fj0
в (5.2.21).
Теперь мы обращаемся к изучению класса Ф всех масшта-
бирующих функций ф с конечными двухмасштабными соотно-
шениями, которые порождают тот же самый КМА {Vj} про-
странства Z/2(R). Снова без потери общности мы можем пред-
положить, что двухмасштабное соотношение для любой ф 6 Ф
берется в виде (5.2.2), и, следовательно, по (5.2.13), носителем
ф в точности является интервал [0,1V^]. Итак, ф* G Ф имеет
наименьший носитель тогда и только тогда, когда
Afy. <^, фЕ Ф.
(5.2.23)
В соответствии с каждой ф Е Ф будем рассматривать авто-
корреляционную функцию
/•ОО	_____
^ф(х) := / Ф& + у)ф(у}<1у,	(5.2.24)
J—оо
5.2. Масштабирующие функции
213
введенную в определении 2.9, и символ последовательности
{Рф(к)}, а именно:
Еф(г):=^Рф(к)гк.	(5.2.25)
fcez
Очевидно, что Еф удовлетворяет соотношениям
Рф(-х) = Fa(s), х G R,
v	(5.2.26)
supp Рф С [-Пф,Мф],
откуда следует, что Еф является многочленом Лорана. Пусть
кф обозначает одностороннюю степень Еф, то есть кф — наи-
большее целое, для которого Рф(кф) 0. Тогда
П0(г) := г^Еф(г)	(5.2.27)
есть (алгебраический) многочлен от z степени ‘Ркф, и обрат-
ный многочлен для Пф дается формулой
П;(г):=г2**Пф0У	(5.2.28)
Ввиду первого свойства в (5.2.26) ясно, что
Пф(г) = Пф(,х) при всех z.	(5.2.29)
Мы называем Пф обобщенным многочленом Эйлера—Фробе-
ниуса и Еф — обобщенным многочленом Эйлера—Фробениуса
Лорана относительно ф. (Напомним, что умножение на кон-
станту нормировки используется для перехода к целым коэф-
фициентам в обычных многочленах Эйлера—Фробениуса для
В-сплайнов в (4.2.18) и в более общем случае (4.6.6).)
Мы нуждаемся в следующем определении.
Определение 5.9. Пусть zq — нуль (корень) алгебраическо-
го многочлена p{z). Мы называем zq симметричным нулем
214
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
(симметричным корнем) p(z), если (a) z$ 0 и (б) р(—zq) =
p(zv) = О.
Следующая теорема касается масштабирующих функций
ф с конечными двухмасштабными последовательностями; на-
помним, что Рф(г) обозначает двухмасштабный символ ф.
Теорема 5.10. Пусть ф Е Ф — некоторая масштабирующия
функция, определяемая (5.2.2). Тогда
(а)	обе функции Еф{Ф) и Щ(г:) не обращаются в нуль
при |z| = 1;
(б)	для всех ш Е R
ОО
Еф(е~™) = \ф(ш + 2тгА;)|2;	(5.2.30)
к=—оо
(в)	для всех ш Е R
l^(e~iw/2)|2^(e-iw/2)+|P0(-e-“/2)|2E0(-e-^2) = Еф(е~^-
(5.2.31)
(г)	для всех комплексных чисел z
p0(z)p;(z)n^)+(-i)^-^p0(-z)p;(-z)n0((5432)
= ^0-^П0(^2) и
(д)	Рф не имеет симметричных нулей, лежащих на
окруж-
ности |z| = 1.
Доказательство. Тождество в (5.2.30) следует из фор-
мулы суммирования Пуассона (2.5.19). Откуда, применяя те-
орему 3.24, так как {ф(- — к) : к Е Z}—базис Рисса Vo, мы
имеем Еф(е~гш) 0 для всех ы Е R. В частности, утвержде-
ние (а) следует из (5.2.27). Для вывода (5.2.31) мы начнем
с (5.2.30) и, применяя формулировку преобразования Фурье
5.2. Масштабирующие функции
215
двухмасштабного соотношения (5.2.2), получим
ш + 2тгк
2
= |РДе~^2)|2
/	2
~ ( ш + 4тг к \
Ф\~Т~)
ш + 2тг(2А: И- 1)
2
2
= |Р^(е-“/2)|2^(е-“/2) + |РД-е-“/2)|2^(е-^2).
Это устанавливает (в). Для доказательства (г) мы обра-
щаемся к формулам
P^z) = z-^РДг) и Еф(г) = z~k*X^z)
при |z| = 1 и проверяем, что (5.2.31) эквивалентно (5.2.32)
для z = е-гш/2. Теперь, так как обе части (5.2.32) являются
целыми функциями (будучи алгебраическими многочленами
от z), то они должны быть тождественно равны при всех z.
В заключение, если zq / 0 — симметричный нуль Рф, то из
(5.2.32) мы имеем II^(z2) = 0, так что |zq| 1 из утвержде-
ния (а).	□
Теперь мы готовы охарактеризовать те ф 6 Ф, которые
имеют наименьший носитель.
Теорема 5.11. Масштабирующая функция ф* 6 Ф имеет
наименьший носитель тогда и только тогда, когда ее двух-
масштабный символ Рф* не имеет симметричных нулей.
Доказательство. Пусть задана произвольная ф* 6 Ф, и
рассмотрим факторизацию ее двухмасштабного символа Рф*
в виде
Рф*(г) — тф*(г')пф*(г2),	(5.2.33)
где гпф* и Пф* — многочлены, удовлетворяющие условиям
Гтф.(1) = Пф*(1) = 1
1пф*(0)^0	(5.2.34)
не имеет симметричных нулей.
216
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Напомним, что supp</>* = [O,1V^«] и N<j>* = degP^- (здесь и в
дальнейшем degP означает степень многочлена P(z)). Также
заметим, что из (5.2.33) и (5.2.34) следует, что Рф» не имеет
симметричных нулей тогда и только тогда, когда
deg Пф* = 0.
Теперь по теореме 5.10 (д), так как Рф. не имеет симметрич-
ных нулей, которые лежат на окружности |z| = 1, многочлен
п,ф* не имеет нулей на этой окружности, так что — анали-
тическая функция на окружности |z| = 1 и имеет разложение
Лорана
Определим функцию ф** € Vo:
ф**(х}= ^2 гпф*(х - п).	(5.2.35)
п=—ОО
Тогда, используя обозначение z = мы можем сформу-
лировать (5.2.35) как
(5-2-36)
ИЛИ
<^) = Пф-(-4Гф-	(5-2.37)
Теперь, применяя оба эти равенства—(5.2.36) и (5.2.37)—и
используя двухмасштабное соотношение для ф*, мы получим
^тф,(г)пф.(г2)ф* (50
= тф*(г)^*(^) = тф. (г)пф< (z)<^**
___1_
Пф* (z
2/
5.2. Масштабирующие функции
217
Это показывает, что ф** G Ф и ее двухмасштабный символ
дается формулой
Рф-^z) = m^(z)n0.(2)-
Итак, ввиду (5.2.33), мы имеем
degP^- = degrn^. H-degn^.
< deg + 2deg Пф-
= deg Рф-
Отсюда, если ф* имеет наименьший носитель, то должны
выполняться следующие условия: degP^.* = degP^* или
degn^* = 0, или, что эквивалентно, Рф- не имеет симметрич-
ных нулей.
Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что
ф* G Ф и что Рф- не имеет симметричных нулей. Тогда, ввиду
(5.2.13), для того чтобы доказать, что ф* имеет наименьший
носитель, достаточно показать, что
degP0>degP0.	(5.2.38)
для любой ф Е Ф. Так как ф* G Ф, мы можем записать, что
для некоторой последовательности {sn} G I2
ф(х) = 8пф*(х — п).	(5.2.39)
п= — оо
Формулировка (5.2.39) в терминах преобразования Фурье
имеет вид:
р(ш) = С(г2)ф*(ш),
£ snzn, z = e--/2.	(5-2’40)
\	71 —— ОО
Вычисляя дискретное преобразование Фурье от обеих частей
(5.2.39), мы видим, что C(z) является рациональной функци-
ей, которая есть отношение (многочленов) символов {ф(к)} и
218
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
{ф*(к)}. Кроме этого, так как из (5.2.40) следует, что
ip/„2\i2 _
,C(Z )! - B^Pj’
мы видим, применяя теорему 5.10 (а), что рациональная
функция C(z) не имеет нулей и полюсов на окружности
|г:| = 1. Теперь давайте напишем
!хф
= 52 ф(п)гп =
П	(5-2.41)
X^*(n)zn = 52 ф*(п)гп = ^-(z)d(z),
п	п=0
где d, дф, — такие многочлены , что <ty>(0)	0,	(0)	0
и дф-,дф» не имеют общих нулей. Тогда из двухмасштабных
соотношений для ф и ф*, а также из (5.2.40) следует, что для
z = е~^/2
ф(ш) = Рф(г)ф (^) = С^)Рф(г)ф*
= С(г)Рф(г)-±-Л(Ш)
Ру- {z)
ОД г, ,
откуда
p*(z) = wp*'(z)'	(5'w)
С другой стороны, из (5.2.41) и нашего предыдущего замеча-
ния относительно C'(z) мы имеем
С(Р)
(5.2.43)
дф(22)дф>(z)
Чф^)ЧфЛ^)
5.2. Масштабирующие функции
219
Так как и уф. (z2) взаимно просты и Рф(г) в (5.2.42) —
многочлен, мы можем заключить, что многочлен уф. (г)Рф. (z)
делится на уф.(г2), так что
Уф-(г)Рф.(г) = t(z^.(z2),	(5.2.44)
где г(z) — некоторый многочлен.
Предположим, что degq^» > 1, и пусть {zi,..., zp} - нули
Уф*. Так как уф. (0) =4 0, то z\,..., zp 0. Кроме этого, так как
( }
C(z) = х = -^Д-,	(5.2.45)
£<^*(тг)гп	уф* (z)
п
где уф и уф. взаимно просты и C(z) не имеет нулей и полю-
сов па окружности ]z\ = 1, мы замечаем, что ни один из
Zj,j = 1,...,р не лежит на |z| = 1. Отсюда существует не-
которое jo, 1 < jo < Р такое, что ни одно значение ±z'o ква-
дратного корня от Zj0 не принадлежит множеству {zi,..., zp}.
Таким образом, несмотря на то, что каждый из одночленов
(z — z'o) и (z + z'o) не является делителем Уф.(г), их произве-
дение (z-z'P^z + z'j^ = (z2 —Zj0) — делитель Уф*(г2). Поэтому
из (5.2.44) следует, что (z2 — zJO) является делителем Рф.(г).
Так как z}(,	0, то Рф. теперь имеет симметричный корень,
а это противоречит нашему предположению. Откуда Уф. дол-
жен быть константой. Следовательно, мы имеем из (5.2.42) и
(5.2.43), что
ад =
а это значит, что Рф > deg Рф..	□
В нашем доказательстве теоремы 5.11 мы вывели несколь-
ко полезных свойств любой ф £ Ф, два из которых приводятся
в следующей теореме.
220
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Теорема 5.12. Для любых фз,ф2 6 Ф символ C{z) последо-
вательности {sn}, связывающей ф\ и ф2 в том смысле, что
оо
<МТ) = 3пФДх-п),
п=—оо
есть рациональная функция, которая не имеет нулей и по-
люсов на единичной окружности |z| = 1. Кроме этого, если
ф1 Е Ф имеет наименьший носитель, то C(z) — многочлен;
таким образом, любая ф2 Е Ф есть линейная комбинация
целочисленных сдвигов ф> Е Ф с наименьшим носителем.
В частности, ф\ Е Ф с наименьшим носителем — един-
ственна.
Доказательство. Первое утверждение было доказано рань-
ше. Если ф1 имеет наименьший носитель, то по предыдущей
теореме двухмасштабный символ Рфг функции ф± не имеет
симметричных корней. Поэтому из вышеприведенных рассу-
ждений мы замечаем, что Цф1 — константа, другими словами,
— 901(0) / 0; итак, ввиду (5.2.45) с ф* = фз, C(z) явля-
ется многочленом, и это устанавливает второе утверждение
теоремы. В заключение предположим, что обе функции ф\ и
</>2 имеют наименьшие носители. Тогда по определению Ф и
по формуле (5.2.13) мы имеем
supp</>! = supp</>2 = [О, Кфх]
И	р
ф2(х) = ^с^фДх-Д; Ср^О. (5.2.46)
j=o
Предположим, что р > 1. Тогда для х Е [Мф1 +р — 1,	+ р]
мы имеем
р
0= ф2 (ж) =	= СрФ^-РУ
з=е>
Так как ф1 не равна тождественно нулю на [IV^j — 1, то
это справедливо и для фД- — р) на + р — 1,+ р]. Сле-
довательно, ср = 0, что находится в противоречии с (5.2.46);
5.3. Разложение £2(R) в прямую сумму
221
а это значит, что
Ф1 (х) = Соф1(х).
То есть Со = 1 есть следствие равенств 02(О) = $i(0) = 1.	□
Закончим этот параграф следующим примером.
Пример 5.13. Для любого положительного целого т В-
сплайн m-го порядка Nm является масштабирующей функ-
цией, которая порождает КМА {V™ : j G Z} пространства
L2(R), как это определено в §4.1. Двухмасштабное соотноше-
ние для Nm дается формулой (4.3.4), и границами Рисса для
Nm являются А — Ат и В = 1, где Ат определена в (4.2.21).
Пусть Фт обозначает класс всех ф Е Уогп с компактными но-
сителями, которые порождают тот же самый КМА {Vj"1}. То-
гда, так как двухмасштабным символом Рут для Nm являет-
ся многочлен (1 + z)m/2m, который не имеет симметричных
нулей, то Nm - единственная функция в Фт, имеющая наи-
меньший носитель.
Не вдаваясь в подробности, заметим, что Nm — единствен-
ная функция класса Фт, хотя в общем случае количество эле-
ментов Ф может быть бесконечным.
5.3. Разложение L2(R) в прямую сумму
В последнем параграфе мы только рассмотрели масштаби-
рующие функции с конечными двухмасштабными последо-
вательностями. Для развития более общей теории мы допу-
стим, что двухмасштабные последовательности принадлежат
t1 (см. предположение (АЗ) в §5.1), так что соответствую-
щие двухмасштабные символы принадлежат так называемо-
му классу Винера.
Определение 5.14. Говорят, что ряд Лорана принадлежит
классу Винера W, если последовательность его коэффициен-
тов принадлежит I1.
222	Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Так как дискретная свертка двух /^-последовательностей
снова является последовательностью из t1, то ясно, что W
образует алгебру. Истина состоит в том, что ГУ даже больше
чем алгебра, как это видно из следующей хорошо известной
теоремы Н. Винера.
Теорема 5.15. Пусть f 6 W и предположим, что
f(z) 0 для всех z на единичной окружности |г| = 1. То-
гда у также принадлежит W: у G W.
Доказательство этой теоремы, к несчастью, выходит за
рамки этой книги. Читатель, который не хочет пользовать-
ся этой теоремой, вполне может ограничиться рассмотрением
подкласса рядов Лорана рациональных функций, которые не
имеют полюсов на окружности = 1, так как интересующие
нас ряды Лорана являются конечными или, по крайней мере,
имеют экспоненциальное убывание.
Пусть ^ — масштабирующая функция, двухмасштабный
символ которой
.	00
Рф(*) = 9 Е	(5-ЗЛ)
к~-оо
принадлежит W. Напомним, что Рф управляет связью Vq С
У) в том смысле, что
ф(х) — ^ркф(2х - к)	(5.3.2)
к
и ф «порождает» Vq. Рассмотрим теперь любую другую ^-по-
следовательность {щ,} и ее «символ»
1	00
Q(z) = 2 Е	(б.з.з)
к~—оо
(который делится пополам так же, как и символ Р). Тогда Q
тоже принадлежит ГУ и определяет функцию
ф(х) := УкФ(2.х - к)	(5.3.4)
к
5.3. Разложение L2(R) в прямую сумму
223
из Vi  Эта функция также порождает замкнутое подпростран-
ство Wo таким же образом, как ф порождает Vo, а именно:
Wo := closL2{R)(i/>(- — к) : к G Z).	(5.3.5)
Аналогично тому, как это делает
Р := Рф	(5.3.6)
символ Q управляет связью Wo С V) в том смысле, что вы-
полняются (5.3.4) и (5.3.5).
Конечно, связь между двумя подпространствами Vo и Wo
из Vi должна зависеть от связи между двумя символами Р и
Q. Наша главная задача при построении вэйвлетов состоит, по
крайней мере, в том, чтобы убедиться, что Vq и Wq являются
дополняющими подпространствами Vi в том смысле, что
Vo П Wo = {0} и Ц = Vo + wo. (5.3.7)
Как и в (1.4.4), два свойства в (5.3.7) вместе объединяются
в высказывание, что V) является прямой суммой Vq и Wq, и
обозначение
Ц = Vo+Wo	(5.3.8)
используется вместо (5.3.7). В последующем мы увидим, что
матрица
Г P(z)	Q(z)
MPtQ{z)-.= у	уу	(5.3.9)
|Р(-2) Q(—z) J
играет существенную роль при характеристике (5.3.8). Поэто-
му мы должны рассмотреть детерминант
&p,q(z) .== det MPjQ(z)	(5.3.10)
матрицы (5.3.9). Так как Р и Q принадлежат W и W —алге-
бра, то мы имеем также, что
€ W.
224
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Кроме этого, если Др1(^(г)	0 при \z\ — 1, то по теореме 5.15
мы также имеем
1
eW.
Итак, при условии Др,<2 / 0 при |z| = 1 обе функции
' G(z) :=
Я(г) :=
Q(~z)
^P,q(z)’
&p,q(z)
(5.3.11)
принадлежат классу Винера W. Соображение, по которому
рассматриваются функции G и Я в (5.3.11), состоит в том, что
матрица Mq и, транспонированная к Mg,h, является обрат-
ной для MptQ, а именно:
MP>Q(z)MT„(z) =	10’ 0 1	5
MP,Q(z) =	10’ ° 1	, kl = i
(5.3.12)
Первое тождество в (5.3.12) эквивалентно двум тождествам
P{z)G(z)+Q{z)H(z) = \,
P(z)G(—z) + Q(z)H(—z) = 0, |г| = 1,
(5.3.13)
в то время как второе тождество в (5.3.12) эквивалентно сле-
дующему набору из четырех тождеств
' P(z)G(z) + P(-z)G(-z) = 1,
P(z)H(z) + P(-z)H(-z) = О,
G(z)Q(z) + G(—z)Q(—z) = 0,
,<?(г)Я(г) + Q(—z)H(—z) = 1, |z| = 1.
(5.3.14)
5.3. Разложение L2(R) в прямую сумму
225
Для разложения L2(R) мы не нуждаемся в тождествах
(5.3.14). Однако этот набор тождеств будет решающим при
нашем обсуждении «двойственности» в следующем пара-
графе.
Так как G,H € W, мы можем записать
1
G(z) = 2 Е 9п^п,
(5.3.15)
= 2 Е
'	п=—оо
гДе {<7n}) {М € I1 всякий раз, когда Др,д(г) 0 на единич-
ной окружности. Теперь мы готовы сформулировать следую-
щий результат о разложении в прямую сумму.
Теорема 5.16. Необходимое и достаточное условие разло-
жимости в прямую сумму (5.3.8) состоит в том, что (не-
прерывная) функция &p.q нигде не обращается в нуль на еди-
ничной окружности |г| = 1. Кроме того, если &p,q / 0 для
всех точек единичной окружности |z| — 1, то семейство
{ф(- — к) : к G Z}, определенное через Q(z) согласно (5.3.4),
является базисом Рисса Жо, и «соотношение разложения»
ф(2х - I) = | ^2 {92к-^Ф{х -к) + h2k-£i/>(x - k)}, I G Z,
п="°°	(5.3.16)
справедливо для всех х G R.
Доказательство в одном направлении. Мы рассмотрим
только наиболее важную часть доказательства. Будем пред-
полагать, что Др1<з(г) 0 для всех z, удовлетворяющих ра-
венству |z| = 1. Как следствие, все рассматриваемые последо-
вательности принадлежат £г, поэтому не стоит беспокоиться
при изменении порядка суммирования.
15 - 3954
226
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Заметим, что в качестве эквивалентной формулировке
(5.3.13) можно взять тождества
>(*)№) + С(-г)) + (?(г)(Я(г) + Я(-г)) = 1,
>(*)№) - G(-z)) + С(г)(Я(г) - Я(-г)) = 1, |г| = 1,
(5.3.17)
которые, ввиду (5.3.15), могут быть записаны как
f P(z) £	£ h2kz2k = 1,
|	+ Q{z)^h‘2k^1zik^ = 1, |z| = l.
I fc	k	(5.3.18)
Поэтому, положив z = е-гш/2 и умножая тождества в (5.3.18),
соответственно, на </> (^) и (^), мы имеем
( Ф (?) = 52 (s^z2kР^)ф (f) + h2kz2kQ(zyj) (f)} ,
J	k
V (?) e-“/2=22 {92k-\z2kP{z}^ (^) + h2k-\z2kQ{z)^> (f)} ,
I	k
которые эквивалентны
ф (f) = 52 (92k z~k +h<ik z2k$(^)),
^(^)e-!w/2 = J2(g2fc-i^2fc^(w) + /i2fc-i^2A:^(w)),
<	k
где использована формулировка преобразования Фурье
(5.3.2) и (5.3.4). Следовательно, взяв обратное преобразова-
ние Фурье от обеих частей в (5.3.19), мы имеем
2ф(2аг) = 23(^2*: Ф(х -k) + h2k ф(х - /г)),
2ф(2аг - 1) =	Ф(х - k) + h2k-i^(x - &)) (
,	к
Ясно, что (5.3.20) эквивалентно (5.3.16). Как следствие: так
как {f7fc} и {^fc} принадлежат Р и так как
Vi = c1osL2(r)(0(2  -к) : к G Z),
5.3. Разложение £2(R) в прямую сумму
227
мы теперь показали, что Vi С Vo + Wo, так что
Vi = VQ + Wo-
Чтобы доказать, что это прямая сумма, мы рассмотрим
52 а/г0(т — к) + 52	— к) = 0,	(5.3.21)
к	к
где {afc} и {bk} принадлежат £2. Тогда, применяя двухмас-
штабные соотношения (5.3.2) и (5.3.4), мы получаем
52152ак ре~2к + 1>2Ьк qi~2k I ^2х ~ = °’
I \ к	к	/
так что
52 ак РС-2к + 52 %-2fc = 0; £ G Z, (5.3.22)
к	к
ссылаясь на тот факт, что {</>(2 —£) : £ € Z} является базисом
Рисса Vi. Теперь, взяв символы (или «^-преобразования») от
обеих частей (5.3.22), мы имеем
A(z2)P{z) + B(z2)Q(z) = 0,	(5.3.23)
где А и В обозначают, соответственно, символы {а^} и {6*,}.
Итак, если также заменить z на —г, то, используя (5.3.23), мы
приходим к линейным уравнениям
>(z)A(z2) + Q{z}B{z2} = 0,
\p(-z)A(z2) + Q(—z}B}z2') = 0
с двумя неизвестными A(z2) и B(z2), где матрицей коэффици-
ентов является Mp,q(z), неособенная при всех z на единичной
окружности |г| = 1. Отсюда, A(z2) и B(z2) должны равняться
нулю, и ^-последовательности {а*,} и {6*,} в (5.3.21) должны
быть тривиальными. Это доказывает, что Vq П Wo = {0}.
15-
228
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Для доказательства того, что {ip(- — к) : к Е Z} является
базисом Рисса Wq, мы будем использовать теорему 3.24. В
частности, так как {ф(- — к) : к Е Z} — базис Рисса Vq, мы
имеем
О < А <^\ф(ш + 2тгк)\2 < В < <х, wGR. (5.3.24)
к
Из (5.3.4), сформулированной в терминах преобразования
Фурье, следует, что
52|#л + 27гА;)|2 =	|(2(e“'2(^+wfc))| |^(^+7rfc)|
к	к
= iqwi222 М?+27гА01
к
+ IQ(-^)!2J2|Xi+ 7r + 2jrfc)l ’
к
где z = е-гш/2, так что применение (5.3.24) дает
+ iq(-o < Е +27г/с)|2 <5-3-25)
к
<в{|е(д|2 + |е(-д|2}.
Так как Q Е W и он непрерывен на окружности |г| = 1, мы
имеем
В1 := 2 max |Q(z)| < оо.	(5.3.26)
|z|=l
С другой стороны, ввиду того что
ДР,<Д) = det 1 Д’ Д’ 1/0, М = 1,
мы видим, что обе функции СДг) и Q(—z) не могут обращать-
ся в нуль при одном z на единичной окружности и, следова-
тельно, снова из непрерывности Q на окружности |г| = 1, мы
имеем
Л' := min(|Q(z)|2 + |С(-г)|2) > 0.	(5.3.27)
|z|=l
IT
5.3. Разложение L2(R) в прямую сумму	229
Поэтому из (5.3.25), (5.3.26) и (5.3.27) следует, что
АА’ < J2|V>(w + 27rA;)|2 < ВВ', и> G R, (5.3.28)
к
или {-ф(- — к) : к Е Z} является базисом Рисса Wq.	□
Мы теперь должны немного остановиться и прокоммен-
тировать разложение Z2(R) в свете теоремы 5.16.
Замечание 5.17. Пусть ^.p,Q / О для всех z единичной
окружности, определим
Wj := closL2(R)(V>(2J'  -к) : кЕ Z), j Е Z. (5.3.29)
Тогда, ввиду определения Vj, j Е Z и утверждения
Vj = Vq+VPq в теореме 5.16, мы имеем
Vj+l = Vj+Wj j Е Z.	(5.3.30)
Отсюда, так как {V)} — КМ A Z2(R), следует, что семейство
{Wj} образует разложение Z,2(R) в прямую сумму, а именно:
Z2(R) = ...+W-1+W0+....	(5.3.31)
Кроме того, соотношение разложения (5.3.16) приводит нас
к алгоритму разложения, писанному (1.6.9) с а*, =
и bk — h-k, и пара двухмасштабных соотношений (5.3.2)
и (5.3.4) — к алгоритму восстановления, описанному форму-
лой (1.6.10). (Вывод этих подробностей относительно алго-
ритмов разложения и восстановления будет дан в следующем
параграфе.) Однако из самого скромного предположения, что
Др ^	0 при |z| = 1, невозможно сделать никаких заключе-
ний для частотно-временного анализа.
(а)	Из (5.3.3) следует, что
/ ip(x)dx = Qk [ ф(2х — k)dx (5.3.32)
'-°0	fc=-oo
1	00
= 2 Е 9^(0) = Q(1).
к=—оо
230
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Как обычно, пусть
:=	— к).
Тогда теорема 5.16 говорит, что для каждого j G Z семейство
{^j,k : k е Z} является базисом Рисса Wj. Однако все семей-
ство : j, к € Z} не обязательно является базисом Рисса
L2(R). Действительно, как показано в главе 3, для функции
ф, которая порождает базис Рисса в jL2(R) такой, что ф — не-
прерывна, ее интеграл по (—оо, оо) должен быть равен нулю,
и, ввиду (5.3.32), необходимым условием является
Q(l)=0.	(5.3.33)
(б)	Даже если -ф будет порождать базис Рисса L2(R),
•ф может и не быть вэйвлетом (или, более точно, 71-
вэйвлетом), так как должен быть еще исследован вопрос о
существовании двойственного ф для -ф. (См. определение 1.5
и пример в (1.4.1) 7^-функции, которая не имеет двойствен-
ного.) Напомним, что в любом представлении в виде ряда
/(ж) = 22 с7к 'Ффк&Ъ f G L2(R)>
требуется двойственное -ф функции ф для извлечения частот-
но-временной информации об f из значений коэффициентов
cj fc (см. §1.4 и теорему 3.27).
5.4. Вэйвлеты и их двойственные
Мы продолжим наши рассуждения о разложении L2(R), и
распространим наши усилия с тем, чтобы убедиться, что эти
разложения являются вэйвлет-разложениями. Как указано
в замечании 5.17, для этого функция ф, управляемая рядом
5.4. Вэйвлеты и их двойственные
231
Лорана Q G W, согласно (5.3.4), должна быть вэйвлетом с
некоторым двойственным вэйвлетом tp. В частности, Q дол-
жен удовлетворять (5.3.33). Напомним, что двухмасштабный
символ Р = Рф Е W также должен удовлетворять условиям
(5.1.12) и (5.1.13). Отсюда Р и Q с необходимостью удовле-
творяют условиям
Р(1) = 1 И Р(-1) = 0,
Q(l) = 0.
(5.4.1)
Пусть G и Н — ряды Лорана, определенные формулой
(5.3.11). Тогда мы имеем G, Н Е W и четыре ряда Лорана
P,Q,G,H удовлетворяют тождествам в (5.3.13). Поэтому из
этих тождеств и из (5.4.1) вытекает, что G также должен удо-
влетворять условиям
G*(l) = 1 и G*(—1) = 0,	(5.4.2)
где обозначение
G*(z) :=G(7) = G H = 1,	(5.4.3)
используется для наших ближайших представлений. Сходство
между Р и G*, как это отмечено в (5.4.1) и (5.4.2), наводит
на мысль, что
00
G*(z) = 2 Е	\z\ = 1,	(5.4.4)
п=~ 00
(см. (5.3.15)) также должен быть выбран как двухмасштабный
символ некоторой масштабирующей функции, которая поро-
ждает по возможности отличный КМА пространства L2(R).
Это побуждает к следующей стратегии построения вэй-
влетов и их двойственных. Мы начнем с двух допустимых
двухмасштабных символов Р — Рф и G* = G^ таких, что обе
232
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
функции
ф{ш) = П Р(е~^2*) и
А:=1
z	оо	,
= П G*(e-iw/2 )
k=l
(5.4.5)
принадлежат i2(R) (см. определение 5.4 и теорему 5.5). Кро-
ме этого, мы требуем, чтобы ф порождала КМА {V}} и ф по-
рождала КМА {Г}} пространства L2(R). Тогда, согласно те-
ореме 5.16, выбор двух произвольных рядов Лорана Q и Н,
удовлетворяющих неравенствам
Др,ц(г) 0 0 и Ag;h(z) 0, \z\ — 1,	(5.4.6)
даст в результате два совершенно не связанных разложения
L2(R) в прямую сумму. Ввиду рассуждений предыдущего па-
раграфа мы будем использовать первое тождество в (5.3.14),
чтобы установить связь между этими двумя разложениями.
Определение 5.18. Говорят, что двухмасштабные сим-
волы Р = Рф и G* -- G^ «двойственные» друг другу, если они
удовлетворяют тождеству
P(z)G(z) + P(—z)G(—z) = 1, |г| = 1,	(5.4.7)
(см. (5.4.3) для установления связи между G* и G).
Следовательно, если два ряда Лорана Q и Н выбраны так,
что две неособенные матрицы MPiq(z) и Mq H(z) обратны
друг другу на окружности |z| = 1, так что
MP>Q(z)M^H(z) = Mq,h(z)Mp>q(z) =
1
О
О
1
то, ввиду (5.3.14) и эквивалентности частей
(см. также (5.3.12)), мы имеем
P(0 H(z)+P(-z)H(-z-) =0,
G(z) Q(z) + G(—z) Q(-z) = 0,
Q(z) H(z) + Q(—z) H(—z) = 1,
, И = 1,
(5.4.8)
этого тождества
(5.4.9)
H = 1.
5.4. Вэйвлеты и их двойственные
233
Конечно, (5.4.8) также эквивалентно
(P(z)G(z)+Q(z)H(z) = l,
(5.4.10)
P(-z)G(z) + Q(-z)H(z) =0, |г| = 1,
(см. (5.3.13)). В этом отношении мы имеем следующую тео-
рему.
Теорема 5.19. Пусть Р u G*, согласно определению
5.18, — двойственные двухмасштабные символы. Тогда ряды
Лорана Q и Н из W удовлетворяют (5.4-8) тогда и только
тогда, когда они выбраны из класса:
Q(z) = z^G(~z)K(z2) и H(z) = zP{-z)K-\z2},
<
где К е УУ, с K(z) 0 при jzj = 1.
(5.4.11)
Доказательство. Легко проверить, что любая пара Q и Н из
(5.4.11) удовлетворяет (5.4.8). Чтобы доказать обратное, мы
будем использовать эквивалентность (5.4.8) и (5.4.10). Итак,
применяя правило Крамера, мы можем выразить G и Н через
Р n Q, а именно:
" ни=та' И=1 (М12)
(см. (5.3.11)), где Ap,q(z) = P(z)Q(~z) - P(-z)Q(z) / 0 при
|z| = 1. Так как Дрд(г) = —&p,q(—z), мы можем опреде-
лить
K(z?) := zApjQ(-^), |z| = 1,	(5.4.13)
так что К € УУ по теореме 5.15 и K(z) / 0 при |z| = 1. Теперь
(5.4.11) следует из (5.4.12) и (5.4.13).	□
234
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Заметим, что по (5.4.2) и по первому тождеству в (5.4.9)
пара (G*,H*) удовлетворяет условию
'G*(l) = l и G*(-l) = 0,
\я*(1) = 0,
(5.4.14)
которое является тем же самым набором условий, что и в
(5.4.1) для пары (Р, Q). Кроме этого, в нашей стратегии по-
строения вэйвлетов и двойственных вэйвлетов с помощью Q и
Н из класса, описываемого формулой (5.4.11), двухмасштаб-
ные символы Р = Рф и G* = G^ играют ту же ведущую роль.
Следовательно, две пары (Р, Q) и (G*,P*) являются взаимо-
заменяемыми. Это называется принципом двойственности и
будет обсуждаться позже в этом параграфе весьма подробно.
Поэтому важно изучить во всех деталях два допустимых
двухмасштабных символа Р и G*. Согласно определению 5.4,
мы можем записать
'	/14- \ N
Р^=[^Г) ЭД’
|сг'Ь) = (1у^)%),
(5.4.15)
1*1 = 1,
где N и N — положительные целые, 5’(1) = <S(1) = 1 и
L°° (0, 2тг)-модули непрерывности функций 5'(е~гш) и 5'(е-гш)
имеют, соответственно, порядок О(??в) и О(7/а), где 0 < а,
а < В дальнейшем мы будем требовать, чтобы множители
S и S в (5.4.15), сверх того, удовлетворяли неравенствам
В := max|2|=1 |ЭД| < 2N 2,
В := тах|2|=1 |ЭД| <2^1,
(5.4.16)
и будем использовать стандартное обозначения ха для ха-
рактеристической функции множества А.
5-4. Вэйвлеты и их двойственные
235
Лемма 5.20. Пусть Р u G* — допустимые двухмасшгпабные
символы из (5.4-15), которые удовлетворяют (5-4.16). Тогда
lim
п—*оо J
— ОС
Ч-2-,,2.к|МП^(е"“/25<Ае~'“/2‘) (5.4.17)
- JI P(e-iw/2fc)G(e-iw/2fc) = 0.
k=l
Доказательство. Так как многие из требуемых оценок по-
хожи на оценки, полученные при доказательстве теоремы 5.5,
мы не будем на них останавливаться. Сначала покажем, что
fc=i
для некоторого у > 0. Получение этой оценки достаточно про-
сто. Действительно, для любого положительного целого по и
всех ш таких, что 2"° < |lu|/tt < 2no+1, из первого предполо-
жения в (5.4.16) следует, что
"°	/II
П З(е~^2к) < Вп° < Cl ( 1 +
\ 7Г
log2 В
к=1
<С{(1 + Н)10®25 < с](1 +
для некоторого ту > 0. Кроме того, для любого К > по мы
имеем из условия допустимости
И S(e~iu/2k) = П |1 + (S'Ce-^2*) - 1)1
fc=n04-l
к=«о+1
К
П 1 + 0 Sr <С2.
fc=no + l

236
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Следовательно,
S-(e-^/2fc) <CiC2(l + |cu|)N-b4i
так что
оо
J[p(e-^/2fc)
fc=l
< с
со j z
<С(1 + Н)-Ь41.
Так как такая же оценка с некоторым 772 > 0 справедлива и
для G, то мы получаем (5.4.18) с ту = 771 + 772-
Далее мы покажем, что существуют такие С > 0 и 77 > О,
что для любого достаточно большого положительного целого
п и |о>| < 2"7Г, мы имеем
fc=l
(5.4.19)

Чтобы получить (5.4.19), мы применим те же аргументы, что
и выше, для |ш| < 2п7г:
J]>(e--/2fc)
fc=l
2 sin(u>/2)
2n+1 sin(w/2n+1)
JJS(e-M2fc)
fc=i
<c(i + M)-bni,
2
где используются неравенства — |u>| < |sinw| < при усло-
7Г
7Г
вии, что < —. Такая же оценка может быть получена и
для G.
Мы теперь перейдем к доказательству (5.4.17). Сначала
заметим, что ввиду (5.4.18) функция
оо
JJp(e-^/2fc)G'(e-^/2fc)
fc=l
5.4. Вэйвлеты и их двойственные
237
принадлежит L1 (R). Пусть е > 0 — произвольно заданное чи-
сло. Возьмем М > 0 таким, что
[	(1 + М)-1-2"^ < е.
J |ш|>М
Тогда разобьем интеграл в (5.4.17) на сумму двух интегралов.
В интеграле по области |w| < М подынтегральная функция
равномерно стремится к нулю, а интеграл по области |о>| > М
мы ограничиваем суммой двух интегралов, один из которых
может быть оценен по формуле (5.4.18), в то время как другой
по формуле (5.4.19). Это завершает доказательство леммы. □
Напомним, что два двухмасштабных символа Р и G* при-
водят нас к двум масштабирующим функциям ф и ф, как в
(5.4.5). Хотя фиф могут порождать два различных КМА
пространства L2(R), они еще могут быть связаны в следую-
щем смысле.
Определение 5.21. Масштабирующие функции фиф, по-
рождающие, возможно, различные КМА {V)} и {V)} соот-
ветственно, пространства Z,2(R), называются «двойствен-
ными масштабирующими функциями», если они удовлетво-
ряют условию
<КХ - j)<Kx - k)dx = djtk, jykEZ.
J —00
(5.4.20)
Далее мы определим соотношение между двойственными мас-
штабирующими функциями и допустимыми двухмасштабны-
ми символами, которые двойственны друг другу.
Теорема 5.22. Пусть Р = Рф и G* — G*^ — два допустимых
двухмасштабных символа, как определено в (5-4-15). Пусть
также фиф — две соответствующие масштабирующие
функции, преобразования Фурье которых даются формулой
(5.4.5). Если фиф — двойственные масштабирующие функ-
238
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
ции согласно определению 5.21, mo Р и G* двойственны друг
другу в смысле (5.4-1). Обратно, если Р и G* двойственны
друг другу и удовлетворяют (5.4-16), то фиф — двойствен-
ные масштабирующие функции.
Доказательство. Пусть ф и ф — двойственные масштаби-
рующие функции. Тогда для каждого п G Z мы имеем
00	1 f2lt(k+l) ---
= £ - / ф^ф^е^бш
1 Р27Г / С*0	----------\
— / I 22	+ 2тгк)ф(ш + 27Г&) ) ein“dcu,
О \А:=-оо	/
так что
(5.4.21)
Отсюда, положив z = е ш!'г и применяя (5.4.21), мы получаем
*п,о = ^~ Г Р№(г)ф (£) ф (^e^du,
2тт J_oo	\2/	\2/
1 Г2,г Г	/
=sZ £ р(г)С(М
к и
(л)	\
9 +27г/с)
£	/
ф +27Г^)
+ Р(—z)G(—z)<£^+7rT27rfc^ ф(^-+7г+2тгА;) em>jjdw
1 f2,r
= 2^ /0	+ Р(-^(-^]ет^,
5.4. Вэйвлеты и их двойственные
239
&
I
j так что ввиду непрерывности Р и G на окружности |z| = 1
? мы имеем
'	P(z)G(z) + P(—z)G(—z) = 1, |z| = 1.
Таким образом, Рф и G^ двойственны друг другу.
Чтобы доказать обратное утверждение, мы зафиксируем
j G Z и рассмотрим для любого положительного целого п
1	/-2п7Г / п	\
1п-.= 7Г П Р(е-“/2 )С(е-^/2 ) e^dut. (5.4.22)
2% vA=1	J
Затем с помощью замены переменных х = 2 пш мы имеем
1п = 2п±- Г (fj P(e-i2n~kx)G(e~i2n~kx) ] eij2nxdx
27Г V=i	/
= 2”^- Г I П ^e“i2n~fcl)G(e-i2n~fclfj (5.4.23)
27Г	V=1	/
х (P(e-iI)G(e-ia:) + P(-e~ix)G(-e-ix)]eij2nxdx.
Теперь, привлекая двойственность Р и G* и совершая замену
переменных у = 2х. мы получаем
1п = 2"-1^- [2* (П P(e-i2n~k~ly)G{e'i2n~k~ly}\ eij2n~lydy
27Г	V=1	/
(5.4.24)
= 2й-1— Г (П P(e-i2(n~1^ky)G(e-i2(n~l^ky') \ eij2n~lydy.
2к \Li	J
Отсюда, сравнивая (5.4.24) и (5.4.23), мы имеем In — In-i - Так
как это справедливо для любых целых положительных п, то
Jn - J„_! =   • = Jo = Г eij“dw = 6jfi. (5.4.25)
240
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Окончательно, применяя лемму 5.20, результат формулы
(5.4.25) дает
1 Г°° -	=—
{Ф,Ф(- - j)) = J Ф^)^
	1	fOO ( 00	\ = ~ /	( П Р(е“гш/2 )G(e~“/2 ) e^du 2я	\fc=i	/
	= Inn In — 7q 6j q. n—>oo
Это завершает доказательство теоремы.	□
Давайте теперь выберем любые Q и Н из класса функций
в (5.4.11). По теореме 5.19 матрицы Мру) и Mg*,h* обратимы
на окружности |г| = 1 и, следовательно, применима теоре-
ма 5.16. В частности, рассматривая функции
	p(x) := ^2^ф(2т - fc), < ~	.	(5.4.26) V>(rr) := 22h-k4>(2x- k), I	k
где	Q(*) := <	1 k _	(5.4.27) #*(*) £
(см. (5.4.3) для аналогичного обозначения G*) и, положив
	lfe:=2>/2V(2y -*),
так же как
<	'Wj := closL2(R)(^ : k G Z), -	—	(5.4.29) Wj := closL2(R) (^j>k ! k G Z),
5.4. Вэйвлеты и их двойственные
241
мы имеем
Vj+1 = Vj + Wj,
yj+1 = Vj + Wj, jez.
Здесь, как обычно,
Vj	: к G Z),
Vj := closL2(R)(0>;A: : к G Z),
где
:=У/2ф&--k),
J>j,k :=2^2ф^.-к)
(5.4.30)
(5.4.31)
(5.4.32)
с ф и ф — масштабирующими функциями, двухмасштабными
символами которых, соответственно, являются Р и G*.
Далее мы покажем, что если допустимые двухмасштабные
символы Р и G* двойственны друг другу в том смысле, что
удовлетворяется тождество
P(z)G(z) + P(—z)G(—z) — 1, |Д = 1,
то {V’j,*:} и {V’j.fc} не только двойственны друг другу, но они
также обладают свойством ортогональности.
Теорема 5.23. Пусть Р = Рл u G* = G*2- два до-
v	Ф
пустимых двухмасштабных символа, которые удовлетво-
ряют (5-4-16) и двойственны друг другу. Тогда для любых
Q,H G W, выбранных из класса (5-4-11), функции ф, ф,ф иф,
определенные формулами (5-4-5) и (5-4-26), удовлетворяют
равенствам
(ФдктФ^т) — 6j,t,6k,m-) j,k,f.,m. G Z	(5.4.33)
16-3954
242
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
и	~
(Ф],к	= °,
таким образом Vj±Wj и Vj-LWj для всех j Е Z.
(5.4.34)
Доказательство. Сначала рассмотрим случай j — I в
(5.4.33). В этом случае из третьего равенства в (5.4.9) и из
(5.4.21), снова используя обозначение z = е~гш/2, мы имеем
(5.4.35)

хф + тЯ) <Ц- + 7г£
e-I(fc-m)Wdw
2тг
£
1 соо
+ Q(—г)Я(-г)^> ^+тг+2тг£^ ф —+тг+2тЯ)

1 Л27Г
— / [(?(г)Я(г) + (2(-г)Я(-г)]е-^-^^
^7Г Jo
1 г2?г
2^/о	'
Обращаясь к общему случаю, мы видим, применяя первые
два равенства в (5.4.9), что те же преобразования, что были
проведены выше, дают также (5.4.34), так что
VjLWj и Vj±Wj, j G Z.
(5.4.36)
5.4. Вэйвлеты и их двойственные
243
Отсюда, если j < £, то
Фрк G Wj с Vj+1 с Ve,
и по первому утверждению в (5.4.36) мы имеем
, Фе,т) = 0, к, m Е Z.
Для j > £ могут быть сделаны такие же заключения с ис-
пользованием второго утверждения в (5.4.36). Это завершает
доказательство теоремы.	□
Как следствие биортогонального свойства (5.4.33), оба
семейства {V’yfc} и {ipj,k} £2-линейно независимы. Кроме
того, так как
L2(R) =	+ИЛ-1+ IK0+IK1 + •••	(5.4.37)
= ••• +1У_1 + ТКо + И:?1+ ••• ,
оба семейства {ipj,k} и — базисы L2(R). В сущности,
из условий теоремы 5.23 следует, что оба семейства {ipj,k} и
{ipj,k} являются также каркасами L2(R). Мы не собираемся
давать доказательство этого факта, так как не имеем в своем
распоряжении достаточно простых методов. Применяя тео-
рему 3.20, мы можем теперь заключить, что {ipj,k} и {Фрк}
действительно базисы Рисса L2(R). Таким образом, мы име-
ем следующий результат.
Теорема 5.24. Из условий теоремы 5.23 следует, что две
функции ip Е Wq и -ф Е Wq — вэйвлеты, двойственные друг
другу.
Следовательно, в соответствии с теоремой 3.27 каждая
функция f Е L2(R) имеет два (единственных) представления
в виде вэйвлет-рядов:
7(®) = ^{f,^j,k)^j,k(x},
<	~	(5.4.38)
/7) =
<	j,k
16-
244
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
где коэффициенты — это значения ИВП функции f относи-
тельно базисных вэйвлетов ф и ф соответственно, вычислен-
ные в масштабно-временных точках
(b, а) =	—т, —г
v ’ 1	у2^ 23)
(см. §1.4 и теорему 3.27).
Поэтому очень важно получить эффективные алгоритмы
для нахождения этих значений ИВП от f и для восстановле-
ния f по этим значениям ИВП. Оказывается, что двухмас-
штабные последовательности {</_„} и {/г_п} (двухмасштабные
символы которых G* = G*^ и Н* даются формулами (5.4.4) и
(5.4.27)) могут быть использованы для получения ИВП зна-
чений	Эта вычислительная схема, называемая алго-
ритмом разложения, есть следствие соотношения разложе-
ния (5.3.16) в теореме 5.16. С другой стороны, двухмасштаб-
ные последовательности {рп} и {gn}. (двухмасштабные симво-
лы которых Р = Рф и Q даются формулами (5.3.1) и (5.3.3))
могут быть использованы для восстановления f по ее ИВП
значениям (/, V’j,*;)- Эта вычислительная схема, называемая
алгоритмом восстановления, есть следствие двухмасштаб-
ных соотношений (5.3.2) и (5.3.4). Если мы хотим использо-
вать ф вместо ф в качестве базисного вэйвлета, то двухмас-
штабные последовательности {р„} и {gn} используются в ал-
горитме разложения, в то время как двухмасштабные после-
довательности {g_n} и {h-n} — в алгоритме восстановления.
Другими словами, роли пар
({5-п},{^-п}) и ({Pn},{gn})
меняются в целях разложения или восстановления, если ИВП
информация
(	/ к 1 \	1
1^) 77’77 :	(5-4.39)
5.4. Вэйвлеты и их двойственные
245
заменяется ИВП информацией
(	/ к 1 \	1
I	\	J	I
Это называется принципом двойственности в вэйвлет-разло-
жении-восстановлении. В результате нет необходимости опи-
сывать обе ситуации.
Из этого следует, что мы будем обсуждать только ИВП
в (5.4.39), использующее гр как базисный вэйвлет. Пусть для
любой f € L2(R) fN - некоторая проекция f на Vn для фик-
сированного N Е Z. Заметим, что эта проекция не обязатель-
но должна быть Ь2(В.) ортогональной проекцией. Мы можем
рассматривать Vn как пространство выборки и fx как дан-
ные (или измерения) f в Vn- Так как
Vw = Wn-\ + Vn-i
(5.4.40)
= ••• = Wjy-i-f- + ТУдг-м+V/v-M
для любого положительного целого М, то /n имеет един-
ственное разложение:
}n{x) = gN-i(x)+gN-2(x)+-  -+9N-M(x)+fN-M(x), (5.4.41)
где
9j(x)EWj, j = N -	- 1,
<	(5.4.42)
Jn-m(x) e Vn-m-
Давайте запишем
л (л = 524 -k)EVj, с
*	к	(5.4.43)
с> := {4), к Е Z
246
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
'9j(.x) = Z,dk'lP(.‘2jx ~ с
<	к	(5.4.44)
. cP :=	к G Z.
Тогда разложение в (5.4.41) единственным образом определя-
ется последовательностями с-7 и (Р в (5.4.43) и (5.4.44). Важно
отметить, что
/ ь 1 \
4 = (^Л)(^.^].
(5.4.45)
— это значения ИВП функции fr, использующего ф в каче-
стве базисного вэйвлета. Заметим также, что разложение в
(5.4.41) зависит от данных. В схемах вэйвлет-разложения и
вэйвлет-восстановления, которые будут рассмотрены ниже,
мы будем использовать цифровые представления с-7, cP для
fj(x) и gj(x) соответственно.
Для упрощения наших рассуждений (и чтобы избежать
возможной путаницы) мы введем обозначения
_ 1
ап ’—
Ьп — ^h-n-
(5.4.46)
где {<?_„} и {/г_п} — двухмасштабные последовательности, со-
ответствующие двухмасштабным символам G* = G*^ и Л*, со-
ответственно (см. (5.4.4) и (5.4.27)). Отсюда соотношение раз-
ложения (5.3.16) в теореме 5.16 теперь принимает вид
ф(2х-£) = {ае^2кФ(х - к) +Ье_2к'Ф(х ~ к)}, t € Z.
к= — оо
(5.4.47)
Теперь давайте построим алгоритмы разложения и восстано-
вления, приведенные в (1.6.9) и (1.6.10) в главе 1.
5.4. Вэйвлеты и их двойственные
247
(а) Алгоритм разложения
4 1 = 52^-2*^,
dfc-1 =
. е
(5.4.48)
^N-l	dN-2
dN-M
с"”1
CN-M
Доказательство. Применяя соотношение разложения
(5.4.47), мы имеем
^{<Н-2к </>(2J 1х - к) + Ь^2к гх - к)}
- к
</>(2-7 1х — к)
Следовательно, из разложения fj(x) = J+ gj_i(a>), где
fj~i(x) и ду-Цж) заданы так же, как в (5.4.43) и (5.4.44), но
с заменой j на j — 1, вытекает, что
a^-2fc
4 -	1 " </>(2J lx — к)
^(2-7 lx — к) = О,
так что (5.4.48) следует, если учесть ^-линейную независи-
мость	 к Е Z} и {-ipj-i’k : к е 7} и тот факт, что
Vj4nWj_i={0}.	’	□
248
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
(б) Алгоритм восстановления
t
(5.4.49)
&N-M	&N-M+1
d^1
CN-M
CN-M+1
сЛ'-1
c

Доказательство. Применяя двухмасштабные соотношения
(5.3.2) и (5.3.4), мы имеем
+ gj_i(x)=^[4 Х ф(23 1x-£) + dji Xi[)(2j гх - ^)]
I
4 1 22 pk ф(2^х -21 — к}
к
+	22 Qk Ф(?х -21-к)
к
=2252^ 1Pk-2i + 4 1 дк-21)Ф(23X - к)
I к
=22* ^2\Рк-2£ 4 x+qk^d3e Х]>ф(23х—к).
к t
Так как fj~\(x)+gj-]\x) = fj(x), то мы получим (5.4.49), ссы-
лаясь на формулу представления fj(x) (5.4.43) и /2-линейную
независимость {фук : к Е Z}.	□
Заметим, что оба алгоритма — алгоритм разложения и
алгоритм восстановления — используют схему скользящего
среднего (СС) с той особенностью, что для разложения тре-
буется «сгущающая выборка», а для восстановления — «раз-
режающая выборка ». При сгущающей выборке мы просто
сохраняем каждый второй член последовательности на вы-
ходе. Более точно, в (5.4.48) сохраняются только члены с
5.5. Линейно-фазовая фильтрация
249
четными индексами и (четные) индексы последовательности
на выходе делятся пополам. При разрежающей выборке пе-
ред применением схемы СС между каждыми двумя членами
последовательностей на входе ставится нуль. Более точно, в
(5.4.49) индексы последовательностей на входе {с^-1} и {с^-1}
умножаются на 2, и на место членов с нечетными индексами
ставятся нули; таким образом, получается новая последова-
тельность на входе (см. (4.3.11), алгоритм 4.7 в главе 4).
5.5. Линейно-фазовая фильтрация
Масштабирующие функции и вэйвлеты могут рассматри-
ваться как фильтрующие функции. Если пространство L2 (R.)
представляет пространство всех аналоговых сигналов с ко-
нечной энергией и {Vj} образует КМА в L2(R), то выборка
аналогового сигнала f € L2(R) осуществляется в виде ап-
проксимации (которая может быть или не быть интерполяци-
ей) из некоторого пространства выборки Vjv, где N должно
быть выбрано достаточно большим, чтобы избежать непол-
ноценной выборки. Особое значение следует придать тому,
что если даже применяется процедура цифровой выборки,
то сигнал /дг G Vn еще является аналоговым сигналом, хо-
тя /дг имеет представление в виде ряда по масштабирующей
функции, как это описано в формуле (5.4.43), где последова-
тельность коэффициентов cN = {с^} определена в терминах
цифровых выборок. Например, если пространство сплайнов
т-го порядка V™ с последовательностью узлов 2-jVZ ис-
пользуется в качестве пространства выборки Vn, то после-
довательность коэффициентов cN может быть получена с
помощью процедуры конечного скользящего среднего и даст
нам квазиинтерполянт или интерполянт fx функции /, как
это было изучено в §4.5 и §4.6. В любом случае аналоговая
модель /дг € Vjy функции f может быть разложена как в
(5.4.41), где для каждого j = N — М,..., N — 1 gj(x) дает
локализованную частотно-временную информацию об fpj в
250
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
j-й октаве (или частотном диапазоне). Важность такого ме-
тода блока фильтров состоит в том, что детали сигнала /м
рассортировываются и хранятся в различных подпростран-
ствах Wj пространства Vn для лучшего анализа. Например,
при сжатии информации простым переходом к каждой октаве
мы можем достичь существенной экономии. Что мы действи-
тельно под этим понимаем — это то, что после стирания ин-
формации очень малой величины в каждом подпространстве
Wj, гораздо меньше информации должно быть сохранено или
передано, и при этом алгоритм восстановления, примененный
позже, даст хорошее приближение исходного сигнала. Конеч-
но, существует много и других важных применений такого
рода. Однако, так как каждая компонента gj должна вносить
изменения, мы не будем иметь совершенного восстановления
функции, поэтому особое внимание следует уделять возмож-
ным искажениям сигнала. Восстановленный сигнал —это не
что иное, как вэйвлет-ряд, который в свою очередь означает,
что он является результатом линейной фильтрации. Поэтому
можно избежать искажений, если фильтр имеет линейную
или, по крайней мере, обобщенную линейную фазу.
Определение 5.25. Пусть f Е L2(R). Тогда говорят, что
f имеет «линейную фазу», если ее преобразование Фурье
удовлетворяет равенству
/(W) = ±|/(W)|e-ia" п.в.,	(5.5.1)
где а — некоторая вещественная константа и знак + или —
не зависит от ш. Также говорят, что f имеет «обобщенную
линейную фазу», если
/(ш) = F^e-^+V п.в.,	(5.5.2)
где F(w) — вещественная функция, а и b — вещественные
константы. Константа а в (5.5.1) и (5.5.2) называется
фазой f.
^mG^) —
5.5. Линейно-фазовая фильтрация	251
Пример 5.26. Преобразование Фурье В-сплайна m-го по-
рядка дается формулой
sin((j/2)\OT imu/2
w/2 J
 отсюда Nm имеет линейную фазу при четных m и обобщен-
ную линейную фазу при всех тп. Фаза Nm равняется ш/2.
§
5 Определение 5.27. Пусть {an} Е Р и А(е — его дис-
кретное преобразование Фуръе (или ряд Фуръе). Тогда гово-
рят, что {ап} имеет «линейную фазу», если
•д'
J	А(е-^) = ±|А(е_*а’)|е-*"ои’, шеф (5.5.3)
1
где по Е |Z и знаки + или — не зависят от и). Также гово-
s, рят, что {ап} имеет «обобщенную линейную фазу», если
|	Л(е“'(ш) = В(ш)е-^ПОШ+Ь\ wGR (5.5.4)
У для некоторой вещественной функции F(a>), по Е |Z и
b Е R. Значение по в формулах (5.5.3) и (5.5-4) называ-
' ется фазой имвола {ап}.
Давайте сначала дадим характеристику функциям и по-
следовательностям с обобщенными линейными фазами.
Лемма 5.28.
(а)	Функция f Е B2(R) имеет обобщенную линейную фа-
зу в смысле формулы (5.5.2), где а,Ь Е R, тогда и только
тогда, когда eibf(x) является «кососимметричной» относи-
тельно а в том смысле, что
егЬф(а + х) = etbf(a — ж), х Е R- (5.5.5)
(б)	Последовательность {an} € I1 имеет обобщенную
линейную фазу в смысле формулы (5.5.4), где по Е |Z и b Е R

252
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
тогда и только тогда, когда {е’ьап} является «кососимме-
тричной» относительно по в том смысле, что
егЬап = eiba2no-n, п & Z.	(5.5.6)
Доказательство, (а) Предположим, что f € 7>2(R) удовле-
творяет (5.5.2). Тогда
/(ж) = ~	Р(ш)е-^+ь^хш(1ш
J— ОО
или, что эквивалентно,
1	Г°°
eibf(a -х) = — F(w)e~ix“du.
27Г J-OO
(5.5.7)
Так как F(w) — вещественная, утверждение (5.5.5) получится
в результате приравнивания (5.5.7) своему комплексно-сопря-
женному значению.
Обратно, если справедливо (5.5.5), то, взяв преобразо-
вание Фурье от обеих частей (5.5.5), получим
/00 _________
ei6/(w)eiaa; = e~ib /	/(a - х)е~^хдх
J —00
/00 _______________ _________-_______
/(a — х)ешхдх = elb f (уэ)егаш.
•00
Отсюда эта величина — вещественная, и мы получаем (5.5.2),
взяв эту вещественную функцию в качестве F(w).
(б) Предположим, что {an} С удовлетворяет (5.5.4). То-
гда мы имеем
ег(п0ш+6)л(е-гш) =	=	= e-i(noa/+b)X(e-iw)
или, что эквивалентно,
ег2пошегЬЛ(е““) = eibA(e~^).	(5.5.8)
5.5. Линейно-фазовая фильтрация
253
Следовательно, утверждение (5.5.6) следует из сравнения ко-
эффициентов при егпш в (5.5.8).
Обратно, если выполняется (5.5.6), то мы имеем (5.5.8), и
поэтому
ег(пош+Ь)л^-гШ) = ei(now+b) A(e-iw)?
и мы обозначаем это вещественное выражение через F(w).
Это дает (5.5.4).	□
Замечание. Обозначение «кососимметричности» в (5.5.5)
и (5.5.6) не очень удовлетворительно ввиду необходимости
использования комплексной сопряженности. Однако, когда
f(x) — вещественная, ясно, что для выполнения (5.5.5) е*26
также должно быть вещественным, или b = ^тгА;, где k G Z.
Таким образом, (5.5.5) принимает вид
(1°)	/(« + х) = f(a — х), х € R (симметрия)
или
(2°) f(a + x) = — f(a — х), х Е R (антисимметрия).
Конечно, аналогичное заключение может быть сделано и
для вещественных Iх последовательностей.
Теорема 5.29.
(а)	Вещественная функция f G L2(R) имеет обобщенную
линейную фазу тогда и только тогда, когда она является
симметричной или антисимметричной (относительно
фазы f).
(б)	Вещественная последовательность {an} € I1 имеет
обобщенную линейную фазу тогда и только тогда, когда она
является симметричной или антисимметричной (относи-
тельно фазы символа {ап}/
254
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Характеристика линейной фазы намного сложнее. Одна-
ко, ввиду предшествующих рассуждений (см., в частности,
замечание), мы будем рассматривать только вещественные
функции и последовательности. Так как фазовое свойство
двухмасштабной последовательности непосредственно влия-
ет на фазовое свойство соответствующей масштабирующей
функции, мы даем следующую характеристику линейно-фа-
зовых последовательностей.
Лемма 5.30. Вещественная Iх-последовательность {ап}
с символом А(е-гш) имеет линейную фазу тогда и только
тогда, когда существует некоторое no G |Z такое, что
А(е~гш)е1П°ш — вещественная четная функция, не имеющая
смены знака.
Легко доказать этот результат. Однако, если последо-
вательность конечна, то можно сказать несколько больше.
Лемма 5.31. Вещественная конечная последовательность
{ап} с носителем [О, N] имеет линейную фазу тогда и толь-
ко тогда, когда выполняются следующие условия:
(а)	адг_п = ап, п € Z и
(б)	символ
N
= 52anzn
п=0
имеет на единичной окружности только нули четного по-
рядка.
Доказательство. По лемме 5.30 вещественная конечная
последовательность {an}, п = 0,..., N имеет линейную фазу
тогда и только тогда, когда существует некоторое по 6 |Z
такое, что функция
F(w) := A(e-iu)einou
5.5. Линейно-фазовая фильтрация
255
— вещественная, четная и не имеет смены знака. С другой
стороны ясно, что равенство P(w) = F(—w) эквивалентно
N
^an einu = A(eitJ) = е’2п°шЛ(егш)
п=0
N	2по
= ^апе^п°~п^ =	£ й2яо_пе“,
п=0	n=2no-N
что в свою очередь эквивалентно равенствам по = и
ам-п = ап для всех п Е Z. Конечно, вещественная функ-
ция P(w) не имеет смены знака тогда и только тогда, когда ее
вещественные нули (если такие имеются) имеют четный по-
рядок; это, в свою очередь, эквивалентно утверждению, что
A(z) имеет только нули четного порядка на единичной окруж-
ности.	□
Теперь мы обратимся к изучению фазовых свойств мас-
штабирующих функций.
Теорема 5.32. Пусть ф масштабирующая функция с двух-
масштабной последовательностью {pn} € Пусть также
Р — Рф обозначает двухмасштабный символ ф. Тогда
(а)	ф имеет обобщенную линейную фазу тогда и только
тогда, когда
P(z) = z“2n°P(z), |z| = 1	(5.5.9)
для некоторого tiq Е |Z, и
(б)	ф имеет линейную фазу тогда и только тогда, ко-
гда
Р(е~™) = |Р(е-^)|е-’П0Ш,	(5.5.10)
где по Е |Z.
Доказательство. Если ф имеет обобщенную линейную фазу,
то по определению 5.25 мы имеем
ф(ш) = Р(ш)е~^аш+^ п.в.
256
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
для некоторой вещественной функции P(w) и некоторых
a, b G R. Отсюда, ф(ш) — Г[ы)ег(аш+Ь) и поэтому
РСе-^/2) =	= ciau^2
_ ^iau> Ф(.^) _ giawp/g—гш/2\
<^(W/2)
для почти всех w 6 R. Это значит, что
1
п0 := a G -Z
Ai
и выполняется (5.5.9). Если, кроме того, ф имеет линейную
фазу, то по определению 5.25 мы имеем b — 0, и P(w) не
меняет знака. Следовательно,
pfe-^/21) —
Ф^/2)
= е
—iaui/2 Р(^}
— е~гаы/2
^(w/2)
_ g-inol
что совпадает с (5.5.10).
Обратно, если выполняется (5.5.9), то мы имеем
00
= П
fc=l
(5.5.11)
оо
= < [рк^)
> е"г2пош


Отсюда функция
P(w) := einoa;0(w)
5.5. Линейно-фазовая фильтрация
257
вещественна и, так как
ф(ы) = F^)e~inou,
ф имеет обобщенную линейную фазу. Если предполагается
справедливость гипотезы (5.5.10), то мы имеем
ОО
(5.5.12)
fc=l

=|^(w)|e-inoW,
так что ф имеет линейную фазу.	□
Замечание. Как следует из леммы 5.28 (а) и из вышепри-
веденного рассуждения, для того чтобы масштабирующая
функция ф имела обобщенную линейную фазу, необходимо
и достаточно, чтобы ф была «кососимметричной» функцией
относительно некоторого по 6 |Z в том смысле, что
ф(по + х) = ф(по ~ х) п-в.	(5.5.13)
Действительно, чтобы ф имела обобщенную фазу, должно
быть выполнено (5.5.9) и, следовательно, (5.5.11), так что
<^(w) = F(aj)e~2n°“ для некоторой вещественной функции
F(w) и некоторого по € |Z. Следовательно, (5.5.13) следует
из леммы 5.28 (а). Обратное утверждение тривиально. □
Если двухмасштабная последовательность {р*,} —веще-
ственна и конечна, то, применяя теорему 5.32 и лемму 5.31,
мы можем сказать несколько больше, как в следующей тео-
реме.
Теорема 5.33. Пусть ф — вещественная масштабирующая
функция, двухмасштабная последовательность {рп} кото-
рой является конечной вещественной последовательностью
с носителем [0,7V]. Тогда
17-3954
258
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
(а)	ф имеет линейную обобщенную фазу тогда и только
тогда, когда рм-п == рп для всех п € Z и
(б)	ф имеет линейную фазу тогда и только тогда, когда
PN-n = Рп для всех п, и все нули двухмасштабного символа
Рф на единичной окружности, если такие имеются, имеют
четную кратность.
При исследовании фазовых свойств вэйвлетов следует
использовать знания об их двухмасштабном символе Q. На-
пример, если масштабирующая функция ф имеет обобщен-
ную линейную фазу, то из двухмасштабного соотношения
ф(Ф) = (2(е~гш/2)ф(щ) и определений 5.25 и 5.27 следует, что
ф также имеет обобщенную линейную фазу при условии, что
последовательность {qk} имеет обобщенную линейную фазу;
аналогичные заключения могут быть сделаны и относительно
свойств линейной фазы. Конечно, больше может быть сказа-
но при более тщательном анализе, как и при изучении ф.
Пример 5.34. Рассмотрим В-сплайн первого порядка N\ и
соответствующий ему вэйвлет Хаара ф1(х) = фн(х) := ^(2ж)
— Ni(2x — 1) (см. (1.5.7), (1.1.16) и пример 3.2). Из примера
5.26 мы видим, что N± имеет обобщенную линейную фазу.
Так как двухмасштабным символом Q для ф\ является
Q(z) = ^(1 — z) = (sin	(5.5.14)
где z = e~iu/2, мы также видим, что
V’i(w) = Q(z)M	(5.5.15)
\ Z /	Uj / 4
имеет обобщенную линейную фазу, но не имеет линейной
фазы.
Заметим, что вэйвлет Хаара ф\ = фц является орто-
гональным вэйвлетом с компактным носителем (см. (1.1.16)).
5.5. Линейно-фазовая фильтрация
259
Из следующего результата мы можем заключить, что tpi явля-
ется единственным о.н. вэйвлетом с компактным носителем,
таким, что соответствующая ему масштабирующая функция
имеет линейную обобщенную фазу. (Соотношение между о.н.
вэйвлетом ф и соответствующей ему о.н. масштабирующей
функцией ф в общем случае будет обсуждено в следующем
параграфе, а также в главе 7.)
Теорема 5.35. Пусть ф — масштабирующая функция, упра-
вляемая конечным двухмасштабным соотношением
N
ф(х) = ^Pk <М2х - Po,Pn Ф 0,	(5.5.16)
fc=0
как в (5.2.2) с N — Пф и pk = р(’(- Предположим, что
{</>(• — к) : к Е. Z} является ортонормированным семей-
ством, которое осуществляет разбиение единицы, и ф явля-
ется кососимметричной в том смысле, что
ф(а + х) = ф(а — х), х G. R	(5.5.17)
для некоторого а € R (см. (5.5.5) в лемме 5.28). Тогда ф
должна быть В-сплайном первого порядка.
Доказательство. Как обычно, пусть
и z — е гш/2. Тогда (5.5.16) эквивалентно
ф(ш) = Р(г)ф , wGR.	(5.5.18)
С другой стороны, предположение (5.5.17) эквивалентно
ф(и))егаш — ф(ш)егаш, R.	(5.5.19)
17*
260
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Следовательно, из (5.5.18) и (5.5.19) мы имеем
рн = Ж =	=г2ар(ц
для \z\ = 1. Так как P(z) — многочлен степени N с отличными
от нуля коэффициентами при старшей и нулевой степенях, то
следует, что 2 а = N и
P(z) = z~NP(z), \z\ = 1.	(5.5.20)
Давайте теперь рассмотрим гипотезу о том, что {</>(• — к) :
к G Z} — ортонормированное семейство. По теореме 3.23 это
предложение эквивалентно тому, что
52 |<^(w + 27tA;)2| = 1,	(5.5.21)
к=—оо
так что применение (5.5.18) дает
|F« + |P(-< = 1, |z| = l. .	(5.5.22)
Итак, подставляя (5.5.20) в (5.5.22), мы имеем
(P(z))2 + (-l)7V(P(-z))2 = zN, |z| = l. (5.5.23)
Напомним из § 5.2 этой главы: необходимым условием того,
чтобы ф была функцией является N > 0. Следовательно, из
(5.5.23) и предположения рдг 0 мы видим, что N должно
быть нечетным целым числом. Теперь, положив
^е(г) =
1 к	(5.5.24)
po(z) =
к
мы можем написать
P(z) = Pe(z2) + zP0(z2),	(5.5.25)
5.5. Линейно-фазовая фильтрация
261
и (5.5.22) дает
|Ре« + |Р0(< =	|z| = 1.	(5.5.26)
Отсюда, применяя (5.5.20) и (5.5.25), мы получаем
Ре(?) + zP0(z2) = P(z) = zNP\z)
= zN[Pe^) + zP0^)]
= zNP^) + zN-lPj^), |z| = l.
Так как N нечетно, то приравнивание четных и нечетных ча-
стей дает
<'Pe(z2) = Z7V-1^2),
' P0{z2) = zN~vP^), |z| = 1,
так что
|Pe(z)|2 = |P0(z)|2, \z\ = 1.
Применение этого тождества к (5.5.26) позволяет сделать вы-
вод, что
|Pe(z)|2 = |P0(z)|2 =	|z| = 1.	(5.5.27)
Это возможно только тогда, когда Ре и Ро являются одночле-
нами или
P(z) = ^(ро + PN zN), N — нечетное.
(Чтобы проверить справедливость этого утверждения, можно
просто перемножить многочлены в (5.5.27) и сравнить коэф-
фициенты при одинаковых степенях z.) Так как {</>( — к) :
к G Z} осуществляет разбиение единицы, мы имеем Р(1) = 1
и Р(—1) = 0 (см. (5.1.12) и (5.1.13)), так что
х 1 + ^
z) =
2
262
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
и, отсюда,
оо
= п
fc=l
1 - e-^N
iwN
(см. пример 5.3). Следовательно, ввиду (4.2.9) мы получаем
4 sin2	~	1
fc	k^— 00
sin2(w7V/2)
№ sin2(w/2)
(5.5.28)
Теперь из (5.5.21) следует, что N = 1. Таким образом,
Рф(г) — P(z) = (1 + z)/2, или ф есть В-сплайн первого
порядка IVi (см. § 5.2).	□
Замечание. Хотя мы предположили в (5.5.17), что ф только
косо-симметрична, мы показали, что она вещественна и по-
этому просто симметрична. Теорема 5.35 говорит о том, что
любая масштабирующая функция ф с компактным носителем,
которая порождает разбиение единицы и ортонормированное
семейство {ф(- — к) : к 6 Z}, может иметь обобщенную
линейную фазу только в том случае, если она почти всюду
равняется характеристической функции интервала [к, к + 1)
для некоторого целого к.
5.6. Вэйвлеты с компактным носителем
Целью этого параграфа является исследование структуры
вэйвлетов с компактным носителем. Ввиду необходимости в
линейно-фазовой фильтрации при анализе сигналов, как это
было рассмотрено в предыдущем параграфе, нас особо ин-
тересуют кососимметричные вэйвлеты. (Напомним из § 5.5,
5.6. Вэйвлеты с компактным носителем
263
что для любой вещественной функции /, ег6/(а:) — кососим-
метрична для некоторого 6 6 R тогда и только тогда, ко-
гда / симметрична или антисимметрична.) Следуя стратегии
построения вэйвлетов, развитой в § 5.5, мы рассмотрим пару
допустимых двухмасштабных символов Р — Рф и G* = G*-,
которые двойственны друг другу в том смысле, что
P(z)G(z) + P(-z)G(-z) = 1, \z\ = 1,	(5.6.1)
где G*(z) — G(z), |z| = 1 (см.определение J5.18, (5.4.3) и
(5.4.4)). Тогда вэйвлет ф и его двойственное ф имеют двух-
масштабные символы в том смысле, что
V(w) = Q(e--/2)^(^),
5(W) = P*(e--/2)J(^)>
(5.6.2)
где H*(z) = P(z), |z| = 1, a Q и H произвольным образом,
но обязательно выбраны из класса, определенного в (5.4.11),
а именно:
'Q(z) = z~1G(-z)K(z2),
' H(z) = zP(-z)K-\z2), (z| = 1,
(5.6.3)
где К принадлежит классу Винера W с K(z) 0 при |z£= 1.
Напомним также, что подпространства {Vy}, {И7}}, {Vj} и
{ТУ?}, порожденные, соответственно, ф, ф, ф и ф, удовлетво-
ряют соотношениям
' с V-i с Vo с Vi с
.	(5.6.4)
lh+1 = Vj + Wj, jez,
'•••CVLiCVbCViC---
vy+i = VG + ^, jez,
(5.6.5)
264
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
и
^Vj±Wj, jez,
\Vj±Wj, jez.
Кроме того, пары (Ф,Ф) и (ф,ф)—двойственные пары в том
смысле, что
'{(ф-	<К- ~т)} = sk,m, k,meZ, (5 6 7)
^t,m) =	i ]ук,£, ТП e Z.
Подробнее это обсуждалось в § 5.4.
Давайте изучим сначала структуру полуортогональных
(п.о.) вэйвлетов и, в частности, ортогональных (о.н.) вэйвле-
тов (см. определение 3.22). Из теоремы 3.25 ясно, что подпро-
странства Wj и Wj, j е Z, порожденные любым п.о.. вэй-
влетом ф и его двойственным ф, тождественны, а именно:
Wj = Wj для всех j е Z. Следовательно, из (5.1.4) мы так-
же имеем Vj — Vj для всех j е Z, так что масштабирую-
щая функция ф и ее двойственное ф порождают тот же са-
мый КМА. Действительно, возвращаясь назад к доказатель-
ству теоремы 5.22 (см. (5.4.21)), мы видим, что (единственное)
двойственное ф для ф дается формулой
Л") = «,	.	(5.6.8)
52 |ф(ш + 2тгА;)|2
к=—оо
(см. (3.6.13) для двойственных п.о. вэйвлетов). Теперь сосре-
доточим наше внимание на масштабирующих функциях ф с
конечными двухмасштабными последовательностями {рп} , а
именно:
0(х) =	-n), Po,PN^O,
п=0
где рп = pt. и N = Ыф, как было определено в § 5.2. Напомним
из (5.2.24), (5.2.25) и (5.2.30), что обобщенный многочлен Эй-
5.6. Вэйвлеты с компактным носителем
265
лера—Фробениуса Лорана относительно ф
В(г)=Еф(г) := 52 ( / Ф(к + у) Ф(у))(5.6.9)
fc=-ooU-°°	J
оо
\ I2
+ 2тгк)
к=—оо
где z — е гш/2, не имеет нулей и полюсов на окружности
|г| = 1. Поэтому из (5.6.8) следует, что

(5.6.10)
и, соответственно, двойственное ф масштабирующей функции
ф с компактным носителем не имеет компактного носителя,
если E{z) не является положительной константой, даже если
имеет экспоненциальное убывание. (Конечно, п.о. вэйвлет ф
относительно ф еще может иметь конечный носитель.) Снача-
ла мы должны найти двухмасштабный символ G* = G*- для
ф. Это может быть легко сделано, применяя (5.6.10) и двух-
масштабное соотношение для ф:
«“> =	= вр)
= B^^U) '
так что
°’(2> = Ж?)р(г)’ * = е~^
(5.6.11)
Легко также проверить, что для этого G* соотношение двой-
ственности (5.6.1) эквивалентно тождеству (5.2.31) для обоб-
щенных многочленов Эйлера—Фробениуса Лорана. Теперь по
266
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
теореме 5.19 и (5.6.11) двухмасштабный символ Q для любого
вэйвлета ф относительно масштабирующей функции ф дается
формулой
Q(z) = ^1G(-z)K(z2)	(5.6.12)
= z 1
E(—z)P(—z)
E(z2)
K(z2),
где К € W c K(z) 0 при |z| = 1 (cm. (5.6.3)). Таким образом,
у нас есть некоторая свобода в выборе ф. В частности, вэй-
влет ф с наименьшим носителем получен выбором допусти-
мого К € W (K(z)	0 при |z| = 1) так, что Q(z) — многочлен
наименьшей степени. Мы не собираемся продолжать более по-
дробное рассмотрение этого вопроса в общей постановке, но
только отметим, что результаты теорем 5.11 и 5.12 относи-
тельно двухмасштабных символов масштабирующих функций
с минимальным носителем были бы полезны для нашего из-
учения. Подробное исследование масштабирующих функций,
которые являются В-сплайнами, будет дано в § 6.2.
Так как Е — многочлен Лорана, который не имеет нулей и
полюсов на окружности |z| — 1, мы можем выбрать в (5.6.12)
K(z) = — zE(z) так, что двухмасштабные символы Q и Н* для
п.о. вэйвлета ф с компактным носителем и, соответственно,
для его двойственного ф даются формулами
Q(z) =
Я(*) =
—z£?(—z)P(—г),
г ад-
(5.6.13)
(См. (5.6.3). Соображение в пользу такого выбора К вместо
простого К = Е состоит в том, что его нормировка соот-
ветствует определению функции Хаара.) Заметим, что если
Е не постоянен, то двойственный вэйвлет ф также не име-
ет компактного носителя, хотя и экспоненциально убывает.
Одно, преимущество в выборе Q в (5.6.13) состоит в том,
5.6. Вэйвлеты с компактным носителем
267
что очень легко определить, имеет или нет вэйвлет ф обоб-
щенную линейную фазу. Действительно, так как конечная
последовательность коэффициентов многочлена Лорана E(z}
кососимметрична (см. (5.2.26) или (5.6.9)), ясно, что последо-
вательность коэффициентов многочлена Q(z) в (5.6.13) также
кососимметрична при условии, что двухмасштабная последо-
вательность {рп} обладает этим свойством. Кроме того, ввиду
(5.6.11) и (5.6.13), такое же заключение справедливо для G*
и Н\ В частности, для вещественных последовательностей,
применяя теоремы 5.32 (а) и 5.33, мы имеем следующий ре-
зультат.
Теорема 5.36. Пусть {рп} — конечная, симметричная, ве-
щественная двухмасштабная последовательность масшта-
бирующей функции ф. Также пусть ф,ф и ф — п.о. вэйвлет,
двойственная масштабирующая функция и двойственный
вэйвлет с двухмасштабными символами Q, G* и Н* соот-
ветственно, как это дается формулами (5.6.13) и (5.6.11).
Тогда ф и соответствующий ей п.о. вэйвлет ф имеют ком-
пактные носители, фиф имеют экспоненциальное убыва-
ние, и все функции ф, ф, ф и ф имеют обобщенные линейные
фазы.
Давайте рассмотрим ортогональные (о.н.) вэйвлеты ф, от-
носящиеся к масштабирующим функциям ф с компактным
носителем. Основной подход состоит в построении ортонор-
мированной (о.н.) ф в том смысле, что
{</>(• -к) : к е Z}
является ортонормированным семейством. Для такой ф из
(5.6.9) следует, что обобщенный многочлен Эйлера—Фробени-
уса E(z) постоянен и равен 1. Поэтому из (5.6.13) мы имеем
268
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Следовательно, если двухмасштабное соотношение для ф да-
ется формулой
ф(х) = ^рп ф(2х - п), р0, pN О,
п=0
то двухмасштабное соотношение для о.н. вэйвлета ф имеет
вид
1
^)= £ (-^р^ф&х-п).	(5.6.14)
n=—N+l
Заметим, что так как последовательности коэффициентов
{Рп} и {(—l)npi-n} для ф и ф имеют одинаковые фазовые
свойства, то можно ожидать, ввиду теоремы 5.35, что о.н.
вэйвлеты с компактным носителем также могут не иметь
обобщенных линейных фаз. Переформулируем теорему 5.35
следующим образом.
Теорема 5.37. Пусть ф — о.н. вэйвлет с компактным носи-
телем, определенный формулой (5.6.14), соответствующая
которому о.н. масштабирующая функция ф порождает раз-
биение единицы. Предположим, что ф кососимметрична в
смысле (5.5.17). Тогда ф должна быть функцией Хаара фц.
Поэтому, для того чтобы непрерывная вэйвлет-функция
ф с компактным носителем имела обобщенную линейную
фазу, представляются возможными две альтернативы. Пер-
вая — мы можем остановиться на полуортогональности. Это,
конечно, дает результаты при условии, что мы готовы согла-
ситься на двойственные, которые имеют экспоненциальное
убывание. В последующем мы полностью откажемся от ор-
тогональности и будем рассматривать ф и ф с компактными
носителями и обобщенными линейными фазами. Следуя стра-
тегии, сформулированной в § 5.4, мы начнем с двух допусти-
мых двухмасштабных (полиномиальных) символов Р = Рф
5.6. Вэйвлеты с компактным носителем
269
и G* = G*^, которые двойственны друг другу. (Чтобы Q и
Н* также были многочленами Лорана, достаточно выбрать
одночлен К.)
Напомним из теоремы 5.32, что ф имеет обобщенную ли-
нейную фазу тогда и только тогда, когда ее двухмасштабный
символ Р удовлетворяет условию
Р(г) = zmP(z), |z| = 1,	(5.6.15)
для некоторого целого m (см. (5.5.9) с m = 2п0, «о G |Z).
Для того чтобы иметь возможность построить двойствен-
ное ф для ф с компактным носителем, которое также имеет
обобщенную линейную фазу, мы должны использовать до-
пустимый двухмасштабный символ для ф, который также
удовлетворяет (5.6.15) для некоторого целого значения т. В
этом направлении мы имеем следующий результат.
Теорема 5.38. Пусть Р = Рф u G* = G*^ — допустимые
двухмасштабные символы — многочлены Лорана, двойствен-
ные друг другу и такие, что Р удовлетворяет (5.6.15). Тогда
G1(z):=|{G(z)+z--G*(h)}	(5.6.16)
удовлетворяет тому же соотношению двойственности
P(z)Gi(z) + P(—z)Gi(—z) = 1, |z| = 1,	(5.6.17)
что и G(z) и, кроме этого,
Gi(z) = z~mG^z), |z| = 1,	(5.6.18)
или, что эквивалентно,
Gl(z) = zmG((z), |z| = 1.	(5.6.19)
270
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Доказательство. Ясно, что Gi удовлетворяет (5.6.18). Дей-
ствительно, для |z| = 1 мы имеем
guZ) = ад = |ад + гтад}
Ll
= ±{G*(z) + zmG(z)} = ±{G(z) + z-mG\z)}zm
Li	Li
= zmGx{z'} = гтСД^).
Чтобы проверить (5.6.17), мы просто применим (5.6.15) и
(5.6.1) и получим
F(^)G1(^)+F(-z)G1(-^)
= hp(z)[G(z)+z-™ G*(z)]+P(-z)[G(-z)+(—z)~m G'(-z)]}
Li
= 1{[F(^)G(z)+F(-z)G(-z)]+[F(HG*(z)+F(^)G*(-z)]}
Li
= |{[F(z)G(z) +F(-z)G(-z)] + (F(z)G(z) + F(-z)G(-z)]}
Li
= 1(1 + 1) = !, H = l.
Li
Это завершает доказательство теоремы.	□
В дальнейшем мы будем рассматривать только конеч-
ные вещественные двухмасштабные последовательности. Для
таких последовательностей свойство (5.6.15) обобщенной ли-
нейной фазы принимает вид
р(е-^) = e-^p(e^), щ е R. (5.6.20)
Лемма 5.39. Пусть Р — многочлен Лорана с вещественны-
ми коэффициентами, который удовлетворяет (5.6.20) для
некоторого m G Z. Тогда существует другой многочлен Pi
5.6. Вэйвлеты с компактным носителем
271
(зависящий от т) с вещественными коэффициентами та-
кой, что
Р(е~™) =
е imw/2Pi(cosu>)
е-гтш/2 (CQS w)
для четных т,
для нечетных т.
(5.6.21)
Доказательство. Из предположения (5.6.20) мы видим,
что егтш/2р(е"гш) есть четная функция ш. Таким образом,
если т — четное целое, то егтш/2Р(е~гш) — 2тт-периодическая
функция, и поэтому - вещественный многочлен от cosw. Это
дает (5.6.21) для четных т. С другой стороны, если т —
нечетное целое, то, положив в (5.6.20) w = -тг, мы имеем
Р(—1) = —Р(—1), так что Р(—1) = 0. Итак, мы можем на-
писать	,	.
/ 1 J- z\
р& =	р°^	(5-6.22)
для некоторого многочлена Ро(г) с вещественными коэффи-
циентами. Подстановка (5.6.22) в (5.6.20) дает
Р0(е-^) = е-<т-^шР0(е™).
Теперь, так как т — 1 четное, мы имеем
р0(е-^) = e^^-^P^cosw) (5.6.23)
для некоторого многочлена Pi с вещественными коэффици-
ентами. Отсюда, подставляя (5.6.23) в (5.6.22), мы получим
(5.6.21) для нечетных т.	□
В добавление к результату леммы 5.39 мы напомним, что
как двухмасштабный символ Р может быть записан в виде
/1 -I- V
Р^)= ЗД,	(5.6.24)
где Pi — многочлен Лорана с вещественными коэффициента-
ми, удовлетворяющий условиям
Р2(1) = 1 и Р2(-1) 0,	(5.6.25)
и I — некоторое положительное целое число.
272
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Лемма 5.40. Пусть Р — многочлен Лорана с веществен-
ными коэффициентами, который удовлетворяет (5.6.20) и
(5.6.24)~(5.6.25). Тогда (т — 1) должно быть четным целым
числом, и
Р(е~*ш) = е~гт^2 (cos S(cosw),
(5.6.26)
где S — многочлен с вещественными коэффициентами та-
кой, что
S(l) = 1 и 5(-1) 0.	(5.6.27)
Доказательство. Из (5.6.24) мы имеем
Р(е“^) = е-^/2 (cos Р2(е~ш).	(5.6.28)
Отсюда, ввиду (5.6.20), мы получаем
Р2(е~“) = е-1^-^Р2(е“).	(5.6.29)
Покажем сначала, что (m—£) — четное целое число. Предполо-
жим противное, что (т — £) — нечетное. Тогда, как и раньше,
применяя (5.6.29) с ш = тг, мы видим, что Pz^—l) = 0. Это
противоречит (5.6.25). Теперь, так как (т — £) — четное, мы
можем применить лемму 5.39 и записать
р2(е-^) = e-’(m-^/25(cosw)	(5.6.30)
для некоторого многочлена S с вещественными коэффициен-
тами. Утверждение (5.6.26) получается в результате подста-
новки (5.6.30) в (5.6.28). Кроме того, ввиду (5.6.25) ясно, что
многочлен S в (5.6.30) удовлетворяет (5.6.27).	□
5.6. Вэйвлеты с компактным носителем
273
Из леммы 5.40 мы видим, что любой двухмасштабный
многочлен (Лорана), символ с вещественными коэффициен-
тами и обобщенной линейной фазой (то есть удовлетворяю-
щей (5.6.20)), имеет вид представления (5.6.26), где S — мно-
гочлен с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий
(5.6.27). Согласно теореме 5.38 и лемме 5.40 мы будем искать
двойственный символ G*(z) = G(z), |z| = 1 вида
С(е~ш) = eimuJ/2 (cos S(cosuj),	(5.6.31)
где S — вещественный многочлен, удовлетворяющий усло-
вию S(l) = 1 и t — некоторое положительное целое такое, что
ДГ:= (£ + £)/2
— также положительное целое. Применяя (5.6.26) и (5.6.31),
перепишем тождество двойственности в (5.6.1)
/	(jj \ 2N	~	~
(cos —J S'(cosw)S'(cosw) + (sin — ) S(— cosw)S(— COSO?) = 1.
(5.6.32)
Положив x = sin2(u>/2), мы имеем cosoi = 1 — 2т. Отсюда,
если мы определим
R(x) := S(1 - 2t)S(1 - 2х),
то (5.6.32) запишется в виде
(1 - x)N R(x) + xnR(1 - ж) = 1.	(5.6.33)
Итак, наша задача теперь состоит в том, чтобы определить
вещественный многочлен R(х).
По алгоритму Евклида существует два многочлена А и В
таких, что
xnA(x) + (1 — x)NB(x) = 1.	(5.6.34)
18 - 3954
274
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
Давайте запишем
А(ж) = С(т)(1 — xf + АДж),
где degAi < N — 1, и положим
ВДт) — В(х) + С'(т)хЛ.
Так как
^{С(т)(1 - x)N + АДт)} + (1 - x)NB(x) = 1,
мы имеем
xN АДт) = 1 — (1 — x)NBi(x).
Это значит, что также и degBj < N — 1 . Таким образом,
существуют многочлены Ai и В± такие, что
(xNA1(x) + (1 - x)NB{(х) = 1,
V V 7	(5.6.35)
deg Ai < N — 1 и deg Bi < N — 1.
Многочлены А Дж) и Bi(rr) в (5.6.35)—единственные. Дей-
ствительно, если существует другое решение — пара (Ai,Bi),
то разность (А — Ai,B — BJ удовлетворяет тождеству
^(АДж) - АДт)) + (1 - x)N(B(x) - ВД.т)) = О,
где deg (Ai — АД, deg (Bi - ВД < N — 1 и,
следовательно, Ai — Ai = 0 и Bi — Bi = 0 из того фак-
та, что xN и (1 — x)N не имеют общих делителей. Те-
перь поменяем местами х и (1 — х) в (5.6.35); единствен-
ность Ai и Bi означает, что АДа;) = ВД1 — ж). Таким обра-
зом, действительно существует единственный алгебраический
многочлен Rq с deg Bq < N — 1, который является реше-
нием (5.6.33). Чтобы определить Во, мы умножим почлен-
но (5.6.33) на (1 — х)~* и разложим результат по х, что
5.6. Вэйвлеты с компактным носителем
275
дает
Ло(х) = (1 - ^{1 - xN 7?о(1 - х)}
v—\	+ fc — 1\ l. , d n т-> /1 м
= У, I	sfe{l -xnR0 1 -х)}
' \ к J
k-Q х	7
хк + 7?о(ж),
Так как 7?о(ж) состоит из степеней х порядка N и выше, в то
время как /?-о(.т) и конечная сумма по к являются полиномами
степени < N — 1, то мы имеем R$(x) = 0 или
ЛГ-1
/с=0
W + fc-l\ к
к )
(5.6.36)
Это -«частное решение» (5.6.33). Общее решение должно
быть суммой Rq(x) и члена, который делится на xN. Будем
называть этот член xNT(x). Так как эта функция является ре-
шением «однородного уравнения» (1 заменена на 0 в (5.6.33)),
то Т удовлетворяет соотношению Т(1 — ж) = —Т(х). Таким
образом, положив
мы имеем
W -= г(^).
у := 1 — 2х = cosш,

(5.6.37)
(5.6.38)
где 7q(—у) = — Туку). Возвращаясь теперь к (5.6.32), мы при-
ходим к общему выражению для S(y)S(y) — S’(cos w)S(cosw),
18-
276
Глава 5. Масштабирующие функции и вэйвлеты
а именно:
{N-1 / лг . z 1\/1	\ N /1	\ N
=	+ )(Чг) +(М ™
fc=O '	/ \	/	\	/
Т0(-у) = —Т0(у).
(5.6.39)
Мы заканчиваем эту главу, записав кососимметричный
двухмасштабный полиномиальный символ G* двойственного
(с компактным носителем) для В-сплайна /-го порядка.
Пример 5.41. Кососимметричный двухмасштабный символ
Gj, двойственный
Pt(z) =
дается выражением G*-(z) = Gtjdz) ПРИ \z\ ~ > гДе
Geg (е ш) — (cos j) S(cos w) = егЫ/2 (cos
c N (£ + /)/2. Это получено в результате применения
(5.6.39) и (5.6.26) с S = 1и т = е.	□
Глава 6
Базисные сплайн-вэйвлеты
Самые общие основы для изучения масштабирующих функ-
ций и вэйвлетов вместе с их двойственными были установле-
ны в предыдущей главе. Одним из главных составляющих в
этом подходе является понятие кратномасштабного анализа
(КМА), которое не только играет существенную роль в схемах
построения, но и необходимо для формулировки алгоритмов
вэйвлет-разложения и вэйвлет-восстановления. Например, в
таких приложениях, как анализ сигнала в режиме реального
времени, сигнал конечной энергии (то есть функция из £2(7?))
должен быть спроецирован на некоторое пространство выбор-
ки Vn, принадлежащее последовательности вложенных про-
странств {V)}, которые составляют КМА перед тем, как он
может быть разбит на вэйвлет-компоненты с помощью алго-
ритма разложения. Учитывая все вышесказанное, последова-
тельность {Vj}, j € Z сплайн-пространств произвольного по-
рядка т — очень привлекательный КМА пространства £2(R),
в котором методы конечных элементов и сплайн-методы мо-
гут быть применены для построения проекционных операто-
ров. (Если нас удовлетворяет аппроксимация в реальном вре-
мени оптимального порядка, то легко применимы квазиин-
терполяционные и интерполяционные алгоритмы, разобран-
278
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
ные в §4.5 и §4.6.) Кроме того, как это было изучено в §4.2-
§ 4.4, структура сплайнов очень простая и обладает многими
удобными свойствами. Это позволяет выбрать их в качестве
первого кандидата для (непараметрического) моделирования
таких произвольных функций, как сигналы.
Цель этой главы состоит в определении вэйвлетов в тер-
минах В-сплайнов и изучении структуры этих сплайн-вэйвле-
тов. Особое значение будет придаваться полуортогональным
(п.о.) сплайн-вэйвлетам, так как их явное выражение облегча-
ет не только наше изучение их характерных свойств, но также
их программное и техническое внедрение.
6.1. Интерполяционные
сплайн-вэйвлеты
Единственным до сих пор хорошо нам известным вэйвлетом,
по крайней мере в явном виде, является вэйвлет Хаара ipi =
ipH- С одной стороны, сопутствующая ему масштабирующая
функция — В-сплайн первого порядка Ni, а именно
'фн(х') = М(2т) -М(2гс- 1),	(6.1.1)
с другой стороны, интересно отметить, что связан с про-
изводной базисного сплайна второго порядка N2 в том смы-
сле, что
^нЮ = М>(2х).	(6.1.2)
Интересно выяснить, до какой степени можно обобщить за-
мечание в (6.1.2). Чтобы ответить на этот вопрос, сначала за-
метим, что В-сплайн второго порядка можно рассматривать,
как фундаментальный сплайн, введенный в §4.6. Действи-
тельно, фундаментальная сплайн-функция L%, определенная
согласно (4.6.2)-(4.6.3), дается формулой
В2(*) =	+ 1).
6.1. Интерполяционные сплайн-вэйвлеты
279
Следовательно, эквивалентная форма утверждения (6.1.12)
имеет вид
ФнИ = L'2(2x-1).	(6.1.3)
Если мы продолжим эту точку зрения, то сможем полу-
чить сплайн-вэйвлеты произвольного порядка. Более точно,
пусть {V™} — КМА пространства L2(R), порожденный В-
сплайном m-го порядка, как это было введено в §4.1, и
пусть {W™},} G Z обозначает последовательность вэйвлет-
пространств, являющихся ортогональными дополнениями в
смысле
v;^ = v™ © wg", j g z,	(6.1.4)
где следует напомнить, что окружность вокруг знака плюс
обозначает ортогональное суммирование (см. (1.4.8) и (1.5.9)).
В последующем для каждого положительного целого т Lm
означает фундаментальную сплайн-функцию т-го порядка,
введенную в (4.6.2)-(4.6.3).
Теорема 6.1. Пусть т — любое положительное целое; опре-
делим
фЦт = 1^(2х-1},	(6.1.5)
где L‘2m — фундаментальный сплайн 2т-го порядка. Тогда
•фцт порождает (еэйвлет)-пространстеа W™, j G Z e том
смысле, что
w^ = dosL2^^hm^x-k)-. kez), jez. (6.1.6)
Доказательство. Проверим сначала, что ipi,m принадлежит
Wq1. Для каждого п G Z, применяя последовательное ин-
тегрирование по частям и замечая, что т-я производная от
В-сплайна т-ro порядка 7Vm есть линейная комбинация цело-
280
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
численных сдвигов дельта-распределения, мы имеем
{Nm(- -п),^Дт) - Nm(x-n)L^(2x-l)dx
J —оо
/ j \т гоо
= 4^-	- п№
= Е (7) /” Ы2х ~1){(I
так как	€ Z. Следовательно, V’z.m € W™.
Затем будем исследовать двухмасштабное соотношение
для •фцт относительно Nm(2x — к), к € Z. Таким образом, нас
интересует изучение ^-последовательности {%}, для которой
ОО
^,т(х) = 1,£\2х-1) = £ qkNm(2x — к).	(6.1.7)
fc=—оо
Сохраняя те же обозначения, что и в (4.6.2), мы запишем
L2m(x) = c^m}N2m(x + rn-k). (6.1.8)
к=—оо
С другой стороны, повторно применяя тождество (ж) в тео-
реме 4.3 для В-сплайна, имеем
N™ = (AAfc^Cr)	(6.1.9)
т	/ \
\ Л )
6.1. Интерполяционные сплайн-вэйвлеты
281
где Д обозначает оператор разности назад, введенный в
(4.1.9). Далее, из (6.1.5), (6.1.8) и (6.1.9) мы получаем
00
V’/.m = 4S(2гс - !) = 22 c(km)N2m(2x -1+m-k)
к=—оо
ОО	771	, к
= 22 42’п)22(-1)ъ)ЛГт(2а:"1+т“А:~£)
00
П——ОО
т	z ч
9п:= £(-1)Ч7)стЙ-1-г	(6.1.10)
<=0	' '
Двухмасштабный символ Q, соответствующий двухмасштаб-
ной последовательности {д*,} в (6.1.7), как это дается форму-
лой (6.1.10), равняется
- ОО / 771	✓ \	\
ои = 5 Е	«->-< «" (61 И)
п=—оо М=0	' '	/
т+1	00
= ^-(1-гГ £
п=—ОО
где из (6.1.8) и интерполяционного свойства 1>2т(^) = ^г,о сле-
дует, что
1
Е 42т)«” = ктл <6112)
с
m—1
Fm(Z) ~ ENm(Z) = N2m(m + k)zk (6.1.13)
k~—m+l
00 f roo	1
= 22 1 / Nm(k + x)Nm(x)dx \zk,
fc=-oo U~°°	J
обобщенным многочленом Эйлера—Фробениуса Лорана отно-
сительно В-сплайна m-го порядка Nm (см. (4.2.14), (5.2.24) и
282
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
(5.2.25)). В теории сплайнов, где очень желательны алгебра-
ические многочлены с целыми коэффициентами, многочлены
Эйлера—Фробениуса (2m — 1)-го порядка определяются, как
в (4.2.18), формулой
E2m_i(z) := (2m — l)!zm-1Fm(z).
Тогда, подставляя (6.1.12) в (6.1.11), мы получим формулу
для двухмасштабного символа Q, а именно
z—m+l	]
= —~-(1-гГ—(6.1.14)
^m\z)
Заметим, что, согласно теореме 5.10(a), Fm нигде па единич-
ной окружности не обращается в нуль.
Теперь, так как двухмасштабный символ для Nm дается
формулой
("1 I \ 772
-Л2 ’
А /
(см. (4.3.3)), мы можем вычислить определитель Ap,Q, опи-
санный в (5.3.9) и (5.3.10), следующим образом.
л ( \ _ л Д p(z) <Э(г)
Ap,q(^) - det
(6.1.15)
(-z)~m+1(l + z)2m z"m+1(l-z)2m
2-+iFm(-z)	2-+iFm(z)
2™-1 Г №))2 _ CP(-<'
_Пт( z) nm(z) _
pm-l z^-m(z2)	_ / О')"1-1 Z-Fmtz2)
nm(-z)nm(z) [	> Fm(-z}Fm(zy
где мы применили тождество (5.2.32) из теоремы 5.10 с
Мф = т,кф = т-1, Щ = nm(z) = zm-1FTO(z) и = Рф = Р.
Так как Fm нигде не обращается в нуль на окружности |z| = 1,
мы показали, что
Ap,q(z) / 0, Н = 1.
6.1. Интерполяционные сплайн-вэйвлеты
283
Итак, обращение к теореме 5.16 показывает, что мы действи-
тельно доказали теорему 6.1.	□
Ввиду полученного результата давайте рассмотрим под-
пространство
У?т’° := {s 6 V2m : s(k) = 0, к G Z} (6.1.16)
сплайнов порядка 2m с последовательностью узлов -Z, обра-
щающихся в нуль во всех целых точках. Ясно, что функция
2т^2т^Х

(6.1.17)
принадлежит V2"1’0, как и все се целочисленные сдвиги. Фак-
тически мы имеем следующий результат.
Теорема 6.2. Для каждого т семейство
{Ф2т(- - к) : к G Z}	(6.1.18)
есть базис Рисса V2"1’0.
Доказательство. Чтобы показать, что линейная оболоч-
ка семейства (6.1.18) плотна в V2m’°, выберем произвольным
образом G G И2т’°. Тогда, применяя теорему 4.3 (б), мы
имеем
Г G^m\x)Nm(x - t)dx = V(-l)ra-fc f7^1 G(k + £) = 0
(6.1.19)
для всех I 6 Z. Следовательно, так как ясно, что G^m>> принад-
лежит УД, (6.1.19) показывает, что G^ ортогональна под-
пространству УД пространства УД, и, следовательно, при-
надлежит №Д. По теореме 6.1 мы имеем
G(m\x) = ^2 апф1,т(х - п)
п=—оо
284
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
для некоторой последовательности {an} Е £2. Заметим также,
что из определения (6.1.17) для Ф2т мы имеем
Ф^)(х)=^,т(х),	(6.1.20)
так что
х Е R,
где Dm обозначает оператор дифференцирования m-го поряд-
ка, введенный в (4.5.2). Так как У2"1’0 состоит только из функ-
ций L2(R), обращающихся в нуль на Z, мы имеем
G(x) = J"} an^2m(x-n), {an} е £2.
п = —ОО
Чтобы показать, что базис (6.1.18) — безусловный (или базис
Рисса), мы просто замечаем, что, так как
Ф2т(а>) = 2~m~1L2m (£) е--/2
= 2-тп-1е<т-1)ш/2 | VcJ.2m)e“ifcw/2 ) N2m (-},
\ к	)	\2/
из (4.2.16) и (6.1.12) следует
V' liT/ (, ,	- о—2m—2 J ^2m(^)	F2m(-z) 1
Л» “	l®¥+(Wr
(6.1.21)
где z = е~гш/2 и
F2m{z) = EN2Jz) = -(4rn1_1)i^2w~1^m-i(2;)	(6.1.22)
c	многочленом Эйлера—Фробениуса порядка 4m — 1
(или степени 4m — 2). Отсюда применение теоремы 5.10 (а)
завершает доказательство.	□
6.2. Сплайн-вэйвлеты с компактным носителем	285
а Как следствие теорем 6.1 и 6.2 мы имеем следующий
результат.
Теорема 6.3. Для любого целого положительного т диф-
ференциальный оператор т-го порядка Dm взаимно од-
нозначно отображает сплайн-пространство у^т>°
вэйвлет-пространство И7™. Кроме того, базис Рисса
{^2m(‘ — k) : k G Z} пространства у^т’° соответству-
ет базису Рисса {^/,т(’ — к) : к G Z} пространства
через соотношение фцт —
6.2. Сплайн-вэйвлеты
с компактным носителем
Интерполяционные вэйвлеты фцт, введенные в (6.1.5), экс-
поненциально убывают, но не имеют компактного носителя.
Однако из результатов главы 5 (см. §5.6) мы уже знаем, что
полуортогональные (п.о.) вэйвлеты с компактным носителем
всегда существуют при условии, что двухмасштабная после-
довательность для соответствующей масштабирующей функ-
ции ф конечна. Действительно, если Р = Рф означает, как
обычно, двухмасштабный символ ф, то, рассматривая двой-
ственное ф для ф, принадлежащее тому же пространству Vo,
что и ф, получим, что двухмасштабный символ G* = G*^ для
ф, где G*(z) — G(z) при \z\ = 1, дается формулой
G(z) =	|г| = 1,	(6.2.1)
-М2 )
где Еф — обобщенный многочлен Эйлера—Фробениуса Лора-
на относительно ф (см.(5.6.11)). В результате двухмасштаб-
286
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
ный символ Q любого п.о. вэйвлета гр, соответствующего ф,
имеет вид
Q(z) = z^G(~z)K(z2)	(6.2.2)
=	|z| = 1
для любого К с Wc K(z) 0 при |z| = 1 (см. (5.6.12)), так
что простым выбором K(z) = — гЕффг) мы получим двухмас-
штабный многочлен-символ для п.о. вэйвлета гр с компактным
носителем. В случае сплайнов из теоремы 5.19 следуют, что
общий вид двухмасштабных символов для класса всех воз-
можных п.о. выйвлетов относительно Nm дается формулой
<Q(z) = -z2(^)	E2m~l(~z^	(6.2.3)
KGW, c K(z) ^0 на |z| = 1,
где E2m-i — многочлен Эйлера—Фробениуса Лорана поряд-
ка (2m — 1) (или степени 2m — 2), как определено в (4.2.18).
Итак, чтобы обеспечить компактность носителя вэйвлета гр,
ряд Лорана К в (6.2.3) должен быть выбран так, чтобы Q
был многочленом. Теперь, так как E2m-i не обращается в
нуль при |z| = 1, единственный способ понизить порядок мно-
гочлена (1 — г)т£?2т-1(—z) состоит в наличии у E2m-i(z2)
общих нулей с £?2т-1(—z), хотя в то же самое время после
сокращения общего множителя оставшийся сомножитель от
£2т-1(г2) должен зависеть от z2, чтобы сократиться с E(z2)
в (6.2.3). Это невозможно, так как E2m-i(z) не имеет симме-
тричных нулей и на самом деле, как мы увидим в § 6.4, все
нули E2m-i(z) отрицательны (см. также (4.2.18) и (4.2.19)).
Следовательно, для того чтобы Q в (6.2.3) был двухмасштаб-
ным символом п.о. базисного сплайн-вэйвлета гр с наимень-
шим носителем, необходимо и достаточно, чтобы
K(z) =c0znoE2m-yz),
(6.2.4)
6.2. Сплайн-вэйвлеты с компактным носителем
287
где со — некоторая отличная от нуля константа и по -- неко-
торое целое число. Другими словами, с точностью до умно-
жения на отличную от нуля константу и до некоторого цело-
численного сдвига, п.о. вэйвлет с минимальным компактным
носителем, соответствующий В-сплайну m-го порядка Nm,—
единственный и определен формулами
'Фтп^') := Е?п-^т(2т К)
п
2m—2
QmW =	Е N2m(k + l)(-z)k,
п	k=0
(6.2.5)
где мы выбрали в (6.2.4) cq = —[(2m — 1)!](-1) и no = 1
для того, чтобы иметь qo 0 и qn = 0 при п < 0. Ввиду то-
го факта, что аналогично ,ZVm также, имеет наименьшый
носитель, мы будем для удобства называть фт В-вэйвлетом
т-го порядка. Так как Qm в (6.2.5) есть произведение двух
полиномиальных символов, то последовательность {<?„} есть
свертка двух последовательностей коэффициентов многочле-
нов. Таким образом
= 2„t_!	^(n+l^), n = 0,... ,3m —2. (6.2.6)
£=о ' '
Подведем итог полученных результатов в следующей теореме.
Теорема 6.4. Пусть т — любое положительное целое чи-
сло. Пусть также Nm — В-сплайн т-го порядка и фт —
В-вэйвлет, определенный в (6.2.5), с коэффициентами, за-
данными (6.2.6). Тогда
{фт(--к)-. keZ}	(6.2.7)
есть базис Рисса Wq. Кроме того, гфт имеет компактный
носитель с
supp?/;m = [0,2m — 1].	(6.2.8)
288
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Это — «единственный» вэйвлет в Wq, имеющий наимень-
ший носитель в том смысле, что если р G И4) порождает
И^о так же, как и фт, и носителем р является интервал
с длиной, не превосходящей 2т — 1, то р(х) = софт(х — по)
при некоторой константе eg 0 и по Е Z.
Теперь мы обратимся к двойственному фт для фт. По фор-
муле (5.4.11) двухмасштабный символ Н* для ф относительно
ф дается формулой H(z) = zP(—z)fc“1(z2), где H(z) = H*(z)
при | z | = 1. Отсюда, ввиду соотношения двойственности для
ф и ф (см.(5.6.10)), мы имеем для z = е~ш/2-.
W =	(£) =	JV„ (2).
\2/	\2/
Поэтому, если мы захотим связать двойственный вэйвлет фт
с интерполяционным вэйвлетом фцт, введенным в §6.1, то,
используя двухмасштабный символ Q(z) в (6.1.14) с Fm(z) =
E^m(z) (см.(6.1.13)), мы получим
= Я*(г)	г)т)
= {zp(-z)K~4z^)-^^^j,m(W)
г"1 (l-j)m 2zm~1 ~ , Л
~ 2mK(z2) (1- zynV1’”1^'
= (_1)т2-т+12-г_1_^т(й,).
Напомним, что в нашей нормировке фт в (6.2.5) мы выбрали
со = —[(2m — I)!]-1 и ng = 1 для K(z) в (6.2.4). Это дает
Lm =-	- 1)1]г-4	1	ф,,т^
= (е-2-9>
6.2. Сплайн-вэйвлеты с компактным носителем
289
где Fm — обратная величина символа последовательности
коэффициентов {с^2пг^} в определении фундаментального
сплайна Z,2m (6.1.8). Отсюда, замечая, что в (6.2.9) z2 = е~гш,
мы имеем
_	(_i\m+l 00
фт(х) =..2т_г 52 Ск )'Ф1,т(х + т + 1-к').	(6.2.10)
fc=—оо
Мы заканчиваем этот параграф обсуждением фазовых
свойств и исследованием частотно-временных окон В-вэйвле-
та
фт и его двойственного 'фт. Сначала заметим, что В-сплайн
Nm и фундаментальный сплайн Lam симметричны при любом
m (см. теорему 4.3 (и)). Отсюда последовательность {cj.2m^}
также симметрична. Таким образом, из определения t/7 >т мы
видим, что V’/.m должен быть симметричным для четных т
и антисимметричным для нечетных т, и ввиду (6.2.10) такое
же заключение справедливо для чрт. Так как ясно, что по-
следовательность {qn} симметрична для четных порядков т
и антисимметрична для нечетных порядков т, из (6.2.6) мы
можем сделать такое же заключение для В-вэйвлета <фт.
Теорема 6.5. Все вэйвлеты фт, ipm, и ipitm симметричны
для четных т и антисимметричны для нечетных т. Сле-
довательно, все они имеют обобщенные линейные фазы.
Особенно интересны графики В-вэйвлетов ipm. При т > 3
четного порядка почти точно совпадают с
BeCr“>w(£) = (coswt)^a(i — b)	(6.2.11)
и фт нечетного порядка —с
= (smwf)#a(£ - b)	(6.2.12)
при некоторых значениях а, Ь, ш, где да есть функция Гаусса с
параметром а (см. (3.1.10)). На рис. 6.2.1 и 6.2.2 показаны гра-
фики т/>4 и фз, соответственно. Заметим сходство между этими
19 - 3954
290
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты

О	7
Рис. 6.2.1. Кубический сплайн-вэйвлет ^4-
О	5
Рис. 6.2.2. Квадратичный сплайн-вэйвлет V’s-
графиками и графиками соответствующих функций Гаусса на
рис. 3.1.1 и 3.1.2. На рис. 6.2.3 и 6.2.4 даются кривые погреш-
ностей.
Напомним из главы 3, что, когда вэйвлет гр используется
в качестве базисного вэйвлета в ИВП, площадь окна равняет-
6.2. Сплайн-вэйвлеты с компактным носителем	291
Рис. 6.2.3.	- 7?еб'^5,2т|2в dB, a = 0.2925.
Рис. 6.2.4. |V>3 — /mGS^pB dB, a — 0.2300.
ся 4Д^,Д^, и чем меньше величина Д^Д~, тем вэйвлет луч-
ше для применения в частотно-временной локализации. Так
как функция Гаусса д/у не может быть использована в каче-
стве базисного вэйвлета, то по принципу неопределенности
19-
292
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Таблица 6.1. Значения А^тД^ .
П1	Произведения Д^т и Д^
2	0.971715
3	0.535070
4	0.504839
5	0.500929
6	0.500367
для любого базисного вэйвлета Д^Д^ > |. В таблице 6.2.1
мы даем значения Д^Д^ для m = 2, 3,4, 5,6. Заметим, как
близки к оптимальному эти значения для В-вэйвлетов при
больших значениях т.
6.3.	Вычисление базисных
сплайн-вэйвлетов
Этот параграф посвящен обсуждению некоторых вычисли-
тельных схем для базисных сплайн-вэйвлетов с компактным
носителем (или В-вэйвлетов) фт в формулах (6.2.5)-(6.2.6).
В § 5.2 был предложен метод вычисления любой масштабиру-
ющей функции с компактным носителем. Он состоит из двух
главных шагов: первый шаг — нахождение собственного век-
тора [</>(1),..., ф(Уф - 1)]г матрицы	1 < j,k < Мф - 1,
соответствующего собственному числу А = 1 и удовлетворя-
ющего условию нормировки ф(1) + •• + ф(Мф — 1) — 1, в то
время как второй шаг —это применение интерполяционного
графически-изобразительного алгоритма, описанного в §4.3
с jo = 0,	= 5до, wm,fc = Ф(&) и с заменой рт^ на р^. Этот
метод дает значения
Ф\к + ^]> kez, e =	-i (6.3.1)
\ Zr /
6.3. Вычисление сплайн-вэйвлетов
293
для любого желаемого положительного целого j. Теперь из
двухмасштабного соотношения
= 52 <&Ф(2х - к)
к
для вэйвлета ф мы можем легко построить следующую схему
вычисления ф в двоичных точках, а именно:
Ф (
* V
n G
п + J = Е Я2п—кФ
( I \
Z, £ = 0,... ,2J — 1 и ф1к + ^\ из (6.3.1).
(6.3.2)
Заметим, что снова эта схема состоит из вычисления скользя-
щих средних с разрежающей выборкой.
Обратим внимание на то, что если значения и из-
вестны точно, то вычислительный алгоритм, описанный вы-
ше, дает точные значения ф в двоичных точках. Напомним
из (4.3.3) и (6.2.6), что для базисных сплайнов порядка m
ф
Pk ~ Pm,к — *
m+i m
\к
О
О < к < т,
для других к
(6.3.3)
и
к
т
Ят,к — Як — *
2т~1
£=0
О
для других к,
(6.3.4)
где значения ./V2m(^)5 к 6 Z могут быть вычислены с помо-
щью рекуррентной схемы
'N2(k) — 6k, 1, к 6 Z и
< Nn+1(k) = -Nn(k) + П--к +--Nn(k - 1),	(6.3.5)
n	n
.где k = l,...,na n = 2,...,2m — 1,
294
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
рассмотренной ранее в (4.2.15). Отметим, что процедура в
(6.3.5) более эффективна, чем нахождение собственных век-
торов матриц	l<j,k<m-ln [p2m,2j-k], 1 < j, к <
2т — 1, соответствующих собственному числу А = 1, как это
было описано выше в (5.2.14)-(5.2.17).
Вычислительные преимущества В-сплайнов перед други-
ми масштабирующими функциями — это больше, чем только
преимущества рекуррентной схемы в (6.3.5). Первая цель это-
го параграфа — это введение треугольного алгоритма Паска-
ля (ТАП) для прямого вычисления двухмасштабных после-
довательностей {qm,k}, к 6 Z, т = 1, 2,.... Как мы увидим,
этот алгоритм дает возможность получить не только двухмас-
штабые последовательности, но также и последовательности
коэффициентов {q^ fc} для представления в виде рядов по В-
сплайнам r-х производных
3m—2+г
Е Qrm,kNm-r(2x - к) (6.3.6)
fc=o
В-вэйвлетов с компактными носителями m-го порядка грт.
Структура этого ТАП будет рассмотрена в § 6.6 вместе с обсу-
ждением «вполне положительности», «полной осцилляции»,
и «пересечения нулей». С этой целью мы описываем ТАП до
некоторой степени в более общем виде.
В дальнейшем мы будем использовать обозначение
Z+= {0,1,2,...}	(6.3.7)
для множества неотрицательных целых чисел, и так же, как
в (4.5.9), A(z) будет обозначать символ последовательности
{an} G £2. Чтобы облегчить изложение этого метода, нам бу-
дет нужно также обозначение
Cn {{ak} : ак — 0 для к < 0 или к > п, и ащапТ^О},
(6.3.8)
6.3. Вычисление сплайн-вэйвлетов
295
для любого n G Z+. Отсюда n £ Z+ образует разбиение
на взаимно непересекающиеся множества семейства
£ := £2 П (J £п	(6.3.9)
п=0
класса всех причинных ^-последовательностей. Кроме того,
пусть т означает оператор сдвига в I2, определенный фор-
мулой
(та)п+1 := an, nEZ а = {an} £ £2.	(6.3.10)
Определение 6.6. Треугольный алгоритм Паскаля (ТАП)
есть отображение Р : Z+ —> £, которое может быть опре-
делено следующим образом:
'Р(О) = {^о} и
< (p(n + 'i))j=L(n,j)(p(n))j + R(n,j-i)(p(n))j-1,jez,nez+,
где £(п,0) ^0 и i?(n,n) ф 0.
(6.3.11)
Определение 6.7. ТАПР, описанный в (6.3.11), называется
линейным треугольным алгоритмам Паскаля (ЛТАП), если
L(n, •) и R(n, •) оба являют,ся линейными (по второй «пере-
менной»), а именно:
L(n,j) = kL(n)j + bL(n),
R(n, j) - kR(n)(n - j) + bR(ri), j £Z
при некоторых кь(п), kR(n), Ьь(п) и bR(n).
Замечание. Для любого ТАП Р ясно, что
P(n) 6 £.п, пЕ Z+.	(6.3.13)
Если, кроме того, Р есть ЛТАП, то необходимо, чтобы
Ьь(п)/0 и bR(n) 0, n £ Z+,	(6.3.14)
так как bi(n) = L(n,ty 7^ 0 и bR(n) = R(n,n) 7^ 0.
296
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Ввиду начального условия Р(0) = {^,о} в (6.3.11), ТАП
может быть реализован как «дерево-алгоритм» вычисления
последовательностей
sn :=Р(п) е£п, п = 1,2,....
Более точно, если интерпретировать конфигурацию на
рис. 6.3.1 как
’ u = ati + Ы%
<U — bt2 И
u = atI соответственно,
(6.3.15)
то дерево конфигурации ТАП может быть описано рис. 6.3.2,
где мы использовали обозначение
Ln,к := Ь(п, к), Rntk := R(n, к), s* = (sn)fc.
Пример 6.8. Рассмотрим ЛТАП Р(>, определенный значени-
ями
L(n,j) = R(n,j) = 1, n G Z+, jeZ (6.3.16)
(таким образом, k^{n) = &д(п) = 0 и Ьъ(п) = Ья(п) = 1). То-
гда треугольник Паскаля на рис. 6.3.2 есть хорошо известный
алгоритм вычисления последовательности биномиальных ко-
эффициентов
О—
n G Z+.
(6.3.17)
Пример 6.9. Рассмотрим ЛТАП Ре, определенный значени-
ями
( L(n,j) = j + 1 и
(Д(п, j) = (п - j) + 1
(6.3.18)
(таким образом, к^(п) — кц(п) = Ьь(п) = Ья(п) = 1). Тогда
треугольник Паскаля на рис. 6.3.2 может быть использован
6.3. Вычисление сплайн-вэйвлетов
297
Рис. 6.3.1. Элементы ТАП
Рис. 6.3.2. Треугольник Паскаля
298
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Таблица 6.1. Модифицированные многочлены Эйлера—Фробе-
ниуса
n	En (2)
1	1
2	1+z
3	l+4z+z2
4	l+llz+llz2+z3
5	l+26z+66z2+26z3+z4
6	1+57z+302z2+302z3+57z2+z5
7	l+120z+1191z2+2416z3+U91z4+120z5+ze
8	l+247z+4293z2+15619z3+15619z4+4293z5+247z6+z7
9	1+502z+14608z2+88234z3+156190z4+88234z3+14608z6+502z7+zs
для вычисления последовательности коэффициентов модифи-
цированных многочленов Эйлера—Фробениуса Еп порядка п
(или степени n — 1) (см. замечание после этого примера), опре-
деленных формулой
п—1
En(z) := n! ^Nn+i(j + l)zj	(6.3.19)
1=0
в том смысле, что
Pe(n-l) = {n!7Vn+1(j + l)}"-01 п = 1.2,....	(6.3.20)
Это есть следствие рекуррентной схемы (4.2.15) или (6.3.5)
для В-сплайнов. Можно показать, что этот ЛТАП дает
W„+1O +1) = Д £(-!)' (" + ’) (J +1 -
 17=0	' V '
В частности, мы приводим первые девять модифицированных
многочленов Эйлера—Фробениуса в таблице 6.3.1.
Замечание. Напомним из (4.6.6), что многочлены Эйлера-
Фробениуса m-го порядка определяются формулой
Em(z) = Nm+i	zk+m?2.
fcez '	'
6.3. Вычисление сплайн-вэйвлетов
299
Отсюда для нечетных m мы имеем
В2п-1 (г) = (2п - 1)! 22 ^2n(^ + E)zk+n'1
kez
2n — 2
= (2n —1)! 22 N2n(k + l)zk,
к=0
что совпадает с (4.2.18). Однако для четных m коэффициен-
ты Em(z) больше не являются значениями В-сплайна Nm+i
в целых точках, и поэтому рекуррентная схема в (4.2.15)
или (6.3.5) не применима. Ввиду этого вычислительного со-
ображения в (6.3.19) вводятся модифицированные многочле-
ны Эйлера—Фробениуса En(z). Мы видели, что E2m-i(z) =
E2m-i(z). В других применениях использовать E2m(z) невы-
годно, так как интерполяция сплайнами нечетного порядка (и
с последовательностью узлов Z) «неустойчива» в узлах Z (на-
пример, матрица коэффициентов необратима). Это следует из
таблицы 6.3.1 с учетом того, что
Ди-1) = 0, тп = 1,2,....
Другое соображение для введения Е2т состоит в том, что,
имея ввиду рекуррентную схему (6.3.5) для В-сплайнов в це-
лых точках, существует прекрасная взаимосвязь между Еп и
En+i, а именно:
En+i(z) — (l+nz')En(z)+z(l-z)E^(z), n = l,2,.... (6.3.21)
Доказательство (6.3.21) получается в результате прямого при-
менения (6.3.5). Это тождество будет использовано в §6.5.
Мы обратимся теперь к формулировке ТАП для двухмас-
штабных последовательностей {qm>k} в (6.3.4) для В-сплайнов
m-го порядка i/>m. Как отмечалось ранее, при вычислении
{qm,k}> этот же самый ТАП может быть применен для полу-
чения последовательностей коэффициентов рядов по
В-сплайиам для производных r-го порядка	от ipm,
300
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
г = 0,— 1. Для того чтобы избежать перемен знака,
введем обозначения
1Й1 = (-0‘й
.^т,к :=	— ( —
(6.3.22)
Мы имеем следующий результат.
Теорема 6.10. Пусть для каждого положительного целого
т Рт — ЛТАП с
_ J j + 1 для 0 < п < 2т — 2,
— 1 1 для п > 2т — 2
(6.3.23)
и
(n — j) + 1 для 0 < п < 2тп, — 2,
1 для п > 2т — 2.
(6.3.24)
Тогда
(Pm(3m - 2 + r))fc = (2т - l)!2m-’-1g^fc,
(6.3.25)
для Г = 0, ... ,771 — 1.
Замечание. Отметим, что в (6.3.23) и (6.3.24)
в ЛТАП Ьь(п) = Ьд(п) = 1 для всех п 6 Z+ и
мы имеем
fer(ns_fe = Р Для 0 <п< 2т —2,
HL(n) - KR{n) <Q дая n>2m-2.
Доказательство. Будем снова использовать обозначения
sn := Pm(n),
:= (snh,
Sn(z) :=
з
(6.3.26)
6.3. Вычисление сплайн-вэйвлетов
301
Тогда ввиду (6.3.23) и (6.3.24), применяя последовательно ре-
зультаты примеров 6.9 и 6.8, мы имеем
сп/ х _ (En+i(z)	для 0 < n < 2m — 2
° W XE2m_1(z)(l + z)n-2"l+2 для n>2m — 2.
(Заметим, что E2m-i — Eim-i-) Отсюда символ s3m~2+r да-
ется формулой
^m-2+r(z) = B2m_1(z)(l + z)m+r, г = 0,...,7П-1. (6.3.27)
С другой стороны, применяя тождество (ж) в теореме 4.3,
мы имеем
= 2r E(-l/Q)Qmt-t-	(6.3.28)
Поэтому, так как символ (который равняется удвоен-
ному двухмасштабному символу Q для В-вэйвлета -фт отно-
сительно масштабирующей функции 7Vm) есть
2<?т(г) = 2—+1 —1— E2m-^-z){l - z)m
[ !и л 1 •
(см. (6.2.5)), из (6.3.28) следует, что символ равняется
2~т+Г+1 (2^Ij!F2m-1(“z)(1 “ Z)m+r' (6-3’29)
Итак, если мы умножим на (2m — l)!2m-r_1 выражение в
(6.3.29) и заменим — z на 2, то мы получим символ В3т-2+г в
(6.3.27) для Рт(3т—2+г). Таким образом, мы действительно
вывели (6.3.25).	□
Так как В-вэйвлет является сплайном m-го порядка, то
его (т — 1)-я производная есть кусочно-постоянная функция
4? со скачками в точках j/2, j = 0,..., 4m — 2. Отсюда,
чтобы получить i/jm, мы могли бы просто проинтегрировать
302
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
эту кусочно-постоянную функцию (m — 1) раз. В общем слу-
чае, чтобы получить любые В-вэйвлет ряды
д(ж) = ^2	- j),	(6.3.30)
3
можно проинтегрировать кусочно-постоянную функцию
3
Конечно, если инженер предпочитает работать с импульсным
рядом (т.е. рядом из дельта-функций), то он или она могут
использовать ряд
3
который нуждается в дополнительном интегрировании.
Теорема 6.11. Пусть для каждого целого положитель-
ного т
Рт(4т - 3) = sim~3 = {Sj4m-3}g73,
и пусть Х[о 1) обозначает характеристическую функцию ин-
тервала [0, |). Тогда В-вэйвлет т-го порядка фт дается фор-
мулой
-	4m—3
= (2^1)! S	<6.3.31)
СХ	СХ1	СХт — 2	/	у\
X J dx\ j dx2 ... J Х[0,1) ^m-1 - zj dxm_\.
Другой способ вычисления В-вэйвлета фгп (и любого
В-вэйвлет-ряда д(х), как в (6.3.30)), состоит в вычислении
представления В-сетью каждой из полиномиальных частей.
Это дает значения фт(х) не только в двоичных точках
х = п 3- ^/2ф как это дается общей вычислительной схемой
(6.3.2), но также и в любой точке х 6 R. Эффективное вы-
числение может быть выполнено просто взятием скользяще-
6.4. Многочлены Эйлера.—Фробениуса
303
го среднего последовательности Pm(3m — 2) с последователь-
ностью В-сети В-сплайна m-го порядка lVm(2a;), полученной
применением В-сплайн-В-сеть алгоритма в § 4.4. (См. пример
4.11 для В-сетей квадратичного, кубического и четвертой сте-
пени В-сплайнов.)
6.4. Многочлены Эйлера—Фробениуса
Мы видим, что многочлены Эйлера—Фробениуса Em(z)
играют очень важную роль в сплайн-интерполяции (см. § 4.6 и
§ 6.1), в построении и анализе базисных сплайн-вэйвлетов (см.
§ 6.1-§ 6.3). В этом параграфе мы будем детально исследовать
эти многочлены, уделяя особое внимание структуре их ну-
лей. Эти структуры были уже использованы в (4.2.18)-(4.2.21)
для определения точных нижних границ Рисса для 7Ут и бу-
дут снова играть важную роль в следующем параграфе при
анализе погрешности сплайн-вэйвлет разложения. Ввиду того
что свойства многочленов Эйлера—Фробениуса Ет четных и
нечетных порядков одинаковы и выводы этих свойств очень
похожи, то для того, чтобы не повторять аналогичные рассу-
ждения, мы будем рассматривать только многочлены нечет-
ного порядка еще и потому, что многочлены четного порядка
не используются в нашем изучении сплайн-вэйвлетов.
Аналогично (4.6.8), применяя формулы суммирования
Пуассона (2.5.8), многочлен	Эйлера—Фробениуса
с z = е~ш может быть записан как
2m—2
E2m-i(z) := (2т - 1)! £ N2m(k + l)zk	(6.4.1)
= (2m-l)!eiw^lV2m(w + 27rA;)
к
= (2m- i)!e-<(^-1)^ (2sin£)2m V ----------
\	2 /	(to + 2тг&)
fc=-oo v	'
304
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
(см. (3.2.16)). Определяя
/	w\n+2	1
en(w) := (2sin-) $2 (w + 27Tfc)’l+2’	(бА2)
k=—00
из (6.4.1) получим, что
е2те-2М = —-г-т+1Е2т_!(г)	(6.4.3)
(2m — 1)!
-	52 N2m{m + k')zk
fc=—m+1
m—1
— N2m (m) + 2 52 -^2m (m + fc) cos fcw.
fc=l
Как следует из (6.4.1) и (6.4.3), en(w) полностью характери-
зуется рекуррентным соотношением
f en+i (w) = (cos |) en (w) - (sin f ) en (w) >	/бАЛ\
( e0(w) = 1.	' ' '
Другое определение еп дается формулой
/	U)\n~№ (—	м /U)\
en(w)=(sin-)	2_(D n+1ctg)(-),	(6.4.5)
которое следует из (4.2.9) и где D — оператор дифференциро-
вания. Ввиду свойств формул (6.4.4) и (6.4.5), удобно ввести
новую переменную
х ~ cos	(6.4.6)
так что (6.4.4) принимает вид
(Un+1(x) = xUn(x) + ^-U^(x),
I U0(x) = 1,
6.4. Многочлены Эйлера—Фробениуса
305
где
(6.4.8)
Замечание. Из (6.4.7) очень легко вычислить Un, п G Z+-
Например, мы имеем
Ц\(х) = х,
U2(x) = U1+2x2),
О
U3(x) = |(2т + т3),
О
(74(ж) = -^(2 + 11х2 + 2х4).
15
Из этого замечания вытекает, что по крайней мере
для 0 < п < 4, Un(x) — многочлен точно степени п с положи-
тельным коэффициентом при старшей степени. Более того,
(7n(l) = 1 и Un — четная функция при четных п и нечетная
функция при нечетных п. То, что эти свойства выполняются
для всех n G Z+, может быть установлено методом мате-
матической индукции. На самом деле можно сделать также
следующие интересные заключения о нулях Un.
Лемма 6.12. Для каждого п € Z+, Un(x) есть многочлен
точно степени п, состоящий только из четных степеней,
если п четно, и только из нечетных степеней, если п не-
четно, такой что Un^ > 0 и Un(l) = 1- Кроме того, все
нули Un ~ простые и чисто мнимые.
Доказательство. Мы приведем только доказательство по-
следнего утверждения. Кроме того, так как легче рассматри-
вать вещественные нули, мы будем изучать
ип(х) = ^Un(ix), п е Z+	(6.4.9)
20 - 3954
306
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
вместо Un. Достаточно показать, что все нули un простые и
вещественные. Из (6.4.7) мы также имеем
'	1 + ж2
(6410)
w U0(x) = 1,
и, следовательно, легко показать, что un — четный при четном
п и нечетный при нечетном п. Кроме того, из (6.4.9) следу-
ет, что
это означает, что коэффициент при старшей степени un также
положительный. Теперь мы применим индукцию.
(а)	Предположим, что U2k имеет только простые и веще-
ственные корни. Тогда, так как u-2k — четная функция, то 0
не может быть его нулем, и все корни разбиваются на симме-
тричные пары, где
о < < •   <
Далее, и'2к не может обращаться в ноль в этих корнях, и, дей-
ствительно, последовательность
{«2*(—€*),   • , w'2fc(-6), г/2Л;(€1), • •  Xfc(Cfc)}
должна иметь (строго) чередующиеся знаки. Следовательно,
так как (6.4.10) утверждает, что
1 + £2
U2A:+1(±Cj) =	—yU2fe(±^),
ll ”f" X
то последовательность
{^2fc+l(~&:)>  •  , W2fc+1(—£l),«2fc+l(6), •   ,«2fc+l(Cfc)}
(6.4.11)
также должна иметь строго чередующиеся знаки. Будучи не-
четной функцией, U2fc+1 должен обращаться в нуль при £ = О,
6.4. Многочлены Эйлера—Фробениуса
307
и из чередования знаков в (6.4.11) он имеет по крайней мере
один нуль между £,• и £j+i, j = 1,    ,к — 1. Итак, «2^+1
имеет по крайней мере 2{к — 1) + 1 = 2к — 1 нулей в открытом
интервале (—£*, С*)- Теперь из того факта, что н2к имеет поло-
жительный коэффициент при старшей степени, следует, что
и2*(£*) > 0 (так как Ск ~~ наибольший нуль). Следовательно,
снова из (6.4.10) мы имеем
1 у2
«2*4-1 (С*) = -~~~ги'2к^к) < 0.
11 “Г 1
Поскольку коэффициент при старшей степени ДгМ! также
положительный, «2*4-1 должен иметь по крайней мере один
нуль справа от и, будучи нечетным, он также имеет один
нуль мелева от —Это показывает, что «2*+1 имеет 2к + 1
простых вещественных нулей.
(б)	Предположим, что «2*+1 имеет простые вещественные
нули ±r]j и 0, где 0 < щ <••<% . Тогда с помощью
такого же рассуждения, что и в (а), мы можем сделать за-
ключение, что «2*4-2 имеет нули на каждом из интервалов
(0,?71),., (%-1,%),(т?*, оо). Отсюда, будучи четным, «2*4-2
имеет 2к + 2 простых вещественных нулей.	□
Применяя лемму 6.12, мы можем сделать вывод из сопо-
ставления Un с еп:
f	к
e2k(^) = U2k(^) = ckX\(x2 + a21), 0<ai<---<ak, ск>0,
* >=1 *
62*4-1 Ы =	(ж) = dkx П (ж2 + /3?), 0</31 <---</3fc,4>0.
7=1
(6.4.12)
Затем мы должны связать мнимые нули Un с нулями мно-
гочленов Эйлера—Фробениуса. Так как z = е~ш и имеет место
20-
308
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
соотношение (6.4.6), то для любого a > 0
— |{z + (2 +4a2) +z
= ^-{z2 + (2 + 4a2)z + 1}
г”1
= — (z-ai)(z-a2),
где
—(2 + 4a2) ± x/(2 + 4a2)2 - 4
ai,a2 =-------------------------
= - (1 + 2a2) ±2а\Л + а2.
Итак, взяв
ai = —(1 + 2a2) — 2ay/l + a2,
мы имеем
a2 = — и — 1 < a2 < 0.
ai
Отсюда мы заключаем, что для любого a > 0
( (х2 + a2) = ^(z - 7) (z - i) ,
где — 1 < 7 < 0.
Чтобы применить этот результат к (6.4.12), положим
Xj — —(1 + 2a2) + 2a j 1 + a2.
Тогда ясно, что —1 < Aj < 0 и
/ \	1 —к	\ \ । I
e2fc(w) = cfc-rz
>=1 V 3
(6.4.13)
(6.4.14)
где z = е гш. Подставив (6.4.14) в (6.4.3), мы приходим к сле-
дующему результату.
6.5. Анализ погрешности
309
Теорема 6.13. Пусть т — любое целое положительное чи-
сло. Тогда многочлен Эйлера—Фробениуса Е2т-\ порядка
2т — 1 (или степени 2т — 2) может быть записан как
2m—2
Е2т—— ££	~	(6.4.15)
где
^т,2т—2 < ^т,2т—3 < . . . < Am>m < —1 < Amim— 1 < . . . < Атд < О
(6.4.16)
и
Ат,1Ат>2т—2 = • • • = ^т,т-1\п,т = 1-	(6.4.17)
6.5. Анализ погрешности
сплайн-вэйвлет-разложения
В § 6.2, когда были введены в (6.2.5) сплайн-вэйвлеты (или В-
вэйвлеты) с компактным носителем ipm, нормировочные па-
раметры со и по для K(z) в (6.2.4) были выбраны так:
со = —7----— и по = 1- Следовательно, символы G(z) и
(2m — 1)!
H(z) в (5.3.15), которые соответствуют соотношению разло-
жения (5.3.16) в теореме 5.16, даются формулами
/1 —I— ?\т
п	\ ^	/
H(z) = ^hnzn = -z-1
п	\	/
^2m—l(z)
E2m-l(z2y
т (2m-1)!
J^2m-l(z2)
(6.5.1)
(см. (6.2.1) и (5.4.11)). Теперь давайте напомним из (5.4.46),
что последовательности для алгоритма разложения (5.4.48)
выбраны следующим образом:
«П — ^5—п>
= 2^—п-
(6.5.2)
310
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Итак, для сплайн-вэйвлетов, которые не являются функци-
ями Хаара (т.е. m > 2), «весовые» последовательности {ап}
и {Ьп}—это бесконечные последовательности, и они должны
быть усечены, чтобы применить (конечную) схему скользя-
щего среднего в (5.4.48).
Замечание. Весовые последовательности для алгоритма вос-
становления (5.4.49) - конечные последовательности
= 2-m+1(’"), п = 0,...,т,
\	m
Qn = (-l)n2—+1 £ (7)2V2m(n +1- ^),n = 0,..., 3m—2,
(	е=о
(6.5.3)
которые могут быть легко вычислены для любого порядка m
с использованием линейных ТАП, как это было обсуждено в
§ 6.8 и § 6.9. Кроме этого, так как G(z) hHIz] рациональные
функции, можно придумать рекуррентный алгоритм для раз-
ложения без усечения. Однако мы не будем обсуждать здесь
этот подход.
Заметим, что единственный множитель в (6.5.1), кото-
рый приводит к бесконечным весовым последовательностям
разложения {ап} и {Ьп} в (6.5.1)-(6.5.2), есть l/.&2m-i (z2).
Мы проанализируем «погрешности», которые возникают в ре-
зультате усечения этого множителя.
Начнем с рассмотрения фундаментального сплайна 2т-го
порядка
с»
Lim{x) = ^knN2m{x + m - k),	(6.5.4)
k = — OQ
который уже обсуждался в параграфах §4.6 и §6.1
(см.(6.1.8)). Напомним из (6.1.12) и (6.1.13), что символ после-
довательности коэффициентов в (6.5.4) есть обратная
6.5. Анализ погрешности
311
величина обобщенного многочлена Эйлера—Фробениуса Ло-
рана Fm := Exm, а именно:
ОО
02m
n - 1 _ (2w - 1)!z"'
П—-ОО	Em(z) E2m-l(z)
, (6.5.5)
где T?2m-i — многочлен Эйлера—Фробениуса порядка 2m — 1
(или степени 2m — 2), изученный в предыдущем параграфе.
Итак, усечение l/Ezm-x (z2) эквивалентно усечению ряда по
5-сплайнам представления (6.5.4) фундаментального сплайна
Z/2m- Для удобства давайте объединим множитель (2m — 1)!
г (2m) ->
С {Cn j, положив
— ОСП
__________c(2m)
(2m — 1)! n
(6.5.6)
так что (6.5.5) становится
zm— 1
E'lrri— 1 (^)
(6.5.7)
Теперь мы усечем этот ряд Лорана, вводя для целого поло-
жительного N
N
T*(z)-.= anzn.	(6.5.8)
n= — N
Подставляя (6.5.7) и (6.5.8) в выражения (6.5.1) для G и Н.
мы получим
GN(z) = ^9N,nzn = (^)m z~2m+1E2m_l(z)T^(z2);
n
<
En(z) = ^hN,nzn := -(2m- 1)! (^)mz~2m^T^(z2).
<	n
(6.5.9)
Конечные «усеченные» последовательности разложения —
это
— 9N,—ni
bN,n = h.N^n.
(6.5.10)
312
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Из (6.5.9) ясно, что носители усеченных последовательностей
даются формулами
supp {a./v;n} = [—2N — т + 1,2N + 2т — 1] П Z,
(6.5.11)
supp {Ьк>п} = [—2N + т — 1,2N + 2т +1] Г) Z.
Когда конечные последовательности {а/у)П} и {6дг)П} ис-
пользуются вместо истинных последовательностей {ап} и
{6П} в качестве весов в алгоритме разложения (5.4.48), то в
результатах будет некоторое различие. Чтобы измерить эту
погрешность, мы просто сравним точное восстановление по
усеченным компонентам разложения с истинной последова-
тельностью конечной энергии. Точнее, пусть
'fj(z) ~ Е cj'.NmtZ’x - к)
<	к
. с7 = {4}
(6.5.12)
— некоторый В-сплайн-ряд в V™. Последовательность с-7 —
последовательность конечной энергии представления сигнала
fj. Если fj разложен
fj — fNj-i + 9N,j-i>	(6.5.13)
где fNj—i € и gN,j-i G с использованием (конеч-
ного) алгоритма разложения
— Ea-V/-2fc4’
•-1 £
I
(6.5.14)
то мы сравним точное восстановление по его компонентам
разложения
f	Z,
*
:= {d3Nk}, к G Z,
6.5. Анализ погрешности
313
то есть cjy = {c^J, к G Z, где
^N,k ~	+ <lk-2ed?Ntg],
t
(6.5.15)
с истинной последовательностью с3, где рь и даются в
(6.5.3). В метрике погрешность усечения —это величина
4"*М := Eld-4/
<eez
(6.5.16)
Так как В-сплайн Nm порождает базис Рисса пространства
Vq71, то погрешность в (6.5.16) эквивалентна величине
4т)(Л):=НЛ-/^-||2,	(6.5.17)
где
:=	- к),	(6.5.18)
к
с {сдгfc}, заданной формулой (6.5.15).
Для анализа погрешности нам требуется следующее вы-
ражение для коэффициентов разложения фундаментальных
сплайнов в В-сплайн-ряды.
Лемма 6.14. Пусть j = 1,... ,2m — 2 — нули мно-
гочлена Эйлера—Фробениуса (2т — 1)-го порядка	как
в теореме 6.13. Тогда коэффициенты ряда Лорана в (6.5.7)
даются формулой
(пг)
aj = од
(6.5.19)
для всех j G Z.
Доказательство. Чтобы установить (6.5.19), нам требует-
ся тождество (6.3.21) для модифицированных многочленов
314
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Эйлера- Фробениуса Еп, определенных в (6.3.19). Напомним,
что
E'2m~ 1 (г) = -®2m—1 (г), ТП. — 1,2,...,
но для всех m E2rn Еэт- Теперь из (6.3.21) и (6.4.17) мы
имеем
— Xmj(l
' BUA-y = -4-(l -	(6'5'20)
-	Am,j
Из простого наблюдения, что
®2m(Am,j) = A^r1E2m(A-;j),
и из (6.5.20) следует
^m-i(Ai) = -^+4E'2m^(Xmtj).	(6.5.21)
Прибегая к разложению на элементарные дроби и использо-
ванию последовательно соотношений (6.5.21) и (6.4.17) , мы
получим
m_l	2m—2	дт—1
z______ _	_________Ат,з_________
E2m-l(z) j=1 (z ~~ Amj)-E'2m-l(Am,j)
(6.5.22)
\7П — 2
^)	E'2m_-l (Amj)(l — Xmjz) <
xm—2	oo
A™,j	\|n| n
^т-ДАт,)^^
Это устанавливает (6.5.19).
Замечание. Положив
т— 1
aj = a(T} = IZ ^т)АтЛ> j 6 Z
fe=l
(6.5.23)
6.5. Анализ погрешности	315
в (6.5.19) и применяя (6.3.21), мы имеем
дт—2
t*”‘) = Р "А 1 =	(6.5.24)
где E-im — модифицированный многочлен Эйлера—Фробени-
уса порядка 2m. Таким образом, формула (6.5.24) облегчает
вычисление к^ и, следовательно, в (6.5.23), так как Ezm
легко вычисляется (см. ЛТАП в примере 6.9 и (6.3.21)).
Для получения оценки величины погрешности в (6.5.16),
напомним обозначение
Fm(z) = —-—(6.5.25)
(2т -1)! zm~x ’	v 1
введенное в (6.1.13), и определим
m—1	х -27V—2	2N+2 Л
R^(z)^(2rn-l)\Fm(z^k\mU Z + Z_ ЛА^1.
, I1 Am,jz 1 Am,jz J
j -1	4	’J	-j >
(6.5.26)
Мы имеем следующие результаты.
Теорема 6.15. Для любого положительного целого т и
любой с G £2
4т) <тах|С(г)|||с||£2.	(6.5.27)
|г|=1
Теорема 6.16. Для любого целого положительного т суще-
ствует целое положительное -число No = No(m) такое, что
тах|7?^(г)| = 2(2т - 1)!
И=1
(6.5.28)
для всех N > No. Кроме того, No (т) может быть выбрано
равным нулю для т = 2,3,4.
316
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Как результат двух приведенных выше теорем, учитывая,
что члены под знаком суммы в (6.5.28) для 2 < m < 4 имеют
чередующиеся знаки и по модулю монотонно убывают, мы
приходим к следующему утверждению.
Следствие 6.17. Для m = 2,3,4 и любого целого поло-
жительного N
^(с) <	||с||г2,	(6.5.29)
где	( )
crjm) := 2(2т - 1)!т-^7--	(6.5.30)
Доказательство теоремы 6.15. Пусть с = с7 и сдг = cJN со-
гласно (6.5.12) и (6.5.15); обозначим, соответственно, их сим-
волы С и Cn- Тогда из (6.5.14), (6.5.15) и (6.5.9) мы имеем
CN(z) = {P(z)Gn(z) + Q(z)Hn(z)}C(z) ~	(6.5.31)
+ {P(z)GN(—z) + Q(z)HN(—z)}C(—z),
где P и Q — двухмасштабные символы В-сплайна т-ro поряд-
ка Nm и В-вэйвлета соответственно. Отсюда, применяя
тождество (5.3.13), мы имеем
C(z) - CN\G(z) - Gn (г)] + Q(z) [H(z) —HN ®]}C(z)
+ {P(z)[G(—z) — GN(—z)] ~
4- Q(z)[H(—z) - HN(-z)]}C(-z).	(6.5.32)
С другой стороны, из (6.5.7), (6.5.8), (6.5.23), (6.5.25), (6.5.26)
следует, что
R”(z) = 1 - (2m - l)lFm(z2)T^(z2),	(6.5.33)
и тождество в теореме 5.10 (г) принимает вид
(1 + z)2mE2m^(z) - (1 -z)2mE2m-i(—z) = 22mzE2m^z2).
(6.5.34)
6.5. Анализ погрешности
317
Поэтому, применяя (6.5.33) и (6.5.34), величину в (6.5.32)
можно упростить следующим образом:
С(г)-Слг(г) = ^^1{[(14-г)2^2гп_1(г)-(1-г)2^т_1(-г)]
-\£+z)m^-z)mE2m_x(-z)	(6.5.35)
-(l-z)m(l+z)mE2m_1(-z)]
Х .(2m-l)!Fm(^)-I^(z2\
{z2) {(2m-1} !т- (*2)} б(г)
=R%(z)C(z).
Теперь утверждение (6.5.27) следует из (6.5.35) с помощью
равенства Парсеваля (2.4.18).	□
Доказательство теоремы 6.16. Вводя обозначение
Fm,j(z) ; —
________F’m(z)________
(•г + |) - (Amj + д^-)
и замечая, что
®'2m-l(^m,j) =	— ^m,fc);
мы имеем из (6.5.24)
(т\ =	— l)!7?m>j(Amj) ( Xmtj — -
kj	\	Am,j)
(6.5.36)
(6.5.37)
318
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Затем подстановка (6.5.37) в (6.5.26) дает
у.1	_______________!_
j=l	~ д~) (z2 +	—
х [(г2ЛГ + z~™) - А-;/г2ЛГ+2 + z~2N~2)]
m-1 р / 2\ АЛГ+1
\Z )	\(J2N ,	-27V \
F IX Л \ .___________1 L'*	’	'
._. * m,j \^m,i) Am.i	\
J —1	J J 'J Лт,3
-а-;7(^+2+^2ЛГ-2)].
(6.5.38)
С другой стороны, положив z = е гш/2, выражение Fmj , опре-
деленное в (6.5.36), может быть записано как
т— 2
FmJ(z2) =	bmJ,ecos(6.5.39)
£=0
Отсюда формула (6.5.38) принимает вид
т— 1т— 2	\N+lk
_о V _____________ т’Э m,j’e
J = 1 £=0 ^m,j(Am,j)(AmJ ^ )
х cos £w cos Nee + ———- cos(7V + l)w
I Am j I
(6.5.40)
Так как 0 < |Am>i| < • < |Am>m_j| < 1, ясно, что
(6.5.42)
Но так как Fmj(z) —симметричный многочлен Лорана
только с отрицательными нулями, то коэффициенты Ьт^е в
(6.5.39) должны быть строго положительны. Итак, из (6.5.41)
6.5. Анализ погрешности
319
I и (6.5.42) следует, что
I	цт	1	frm,j,dA>n,j|JV
|	лг-»оо	Fmj(Xmj)(Xmtj — д^—)
|	_ bm,m—l,l	> Q
t	Fm m-i(Am m_i) (Am m_ 1	д “)
[ для £ = 0,..., m — 2, и поэтому существует целое Nq = No(m)
такое, что для всех N > Nq

Am j
m— 1
:= 2 V_______________________
J=i -^"ij(Amj)(Amj — д^~)
(6.5.43)
для £ = 0,..., m — 2. Как следствие, мы видим, что для всех
N > Nq многочлен по косинусам 7?^(г), который может быть
записан в виде
1	т~ 2
I КтИ = (-1)N+1 52 VC+1) cosNw + 7^ cos(.y + l)w} cos£w
(	£—0
j имеет положительные коэффициенты (исключая множитель
f (—1)(N+1)) и удовлетворяет равенству
Т	max|<(z)| = |fl£(l)|, N > No.	(6.5.44)
|z|=l
т—1	\N+1
Am,j
1 ~ ^m,j
ЕФ’
Поэтому, так как Fm(l) =	— 1, из (6.5.44) и (6.5.26)
следует, что
тахК(г)| = |^(1)| = 2(2т-1)!
|z| = l
(6.5.45)
для всех N > Nq. Заметим, что (6.5.45) совпадает с (6.5.28),
так как члены последовательности {А^Ф1} имеют один знак.
Для т = 2 ясно, что (6.5.45) выполняется для всех N > 0,
и немного больше работы требуется для доказательства то-
го, что (6.5.28) также выполняется для всех N > 0, когда
т = 3 и т = 4.	□
320
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Мы заканчиваем этот параграф упоминанием, что для по-
грешности усечения линейных и кубических сплайн-вэйвле-
тов справедлива следующая оценка сверху:
/42)(с) < 2.7320509 х (0.26795) "+1 ||c||£2;	g
/J?(с) < 7.8373747 x (0.5352805^+1 ||c||£2.	’
Эти грубые оценки получены в результате применения
следствия 6.17. Лучшие оценки, особенно для малых N и m =
2,3,4, могут быть получены в результате применения (6.5.28).
6.6. Вполне положительность,
полная осцилляция и
пересечения нулей
Как упоминалось в главе 4, В-сплайны обладают особым
свойством, называемым «вполне положительностью». Это
свойство является ключевой составляющей частью, которая
ярко показывает, что В-сплайн-ряды
52cfc-Wm(----к)	(6.6.1)
к
— это единственный наиболее подходящий инструмент, при-
меняемый в целях «сглаживания». В этом параграфе мы по-
кажем, что соответствующий В-вэйвлет обладает свой-
ством, которое в некотором смысле противоположно вполне
положительности. В то время как В-сплайн-ряды «сглажива-
ют» любые «неровные» данные, В-вэйвлет-ряды
- fc)	(6.6.2)
«выделяют» («детектируют») такие данные. Важная разница
между этими двумя рядами состоит в том, что ряды (6.6.1)
никогда не осциллируют сильнее, чем их последовательность
Т"
6.6. Вполне положительность
321
коэффициентов {с/Д, в то время как ряды (6.6.2) осцилли-
руют сильнее, чем {«/*,}. Мы будем говорить, что обла-
дает особым свойством, называемым «полной осцилляцией»,
которое противоположно свойству вполне положительности
сопутствующего ему Nm.
Определение 6.18.
(а)	Матрица М (конечная или бесконечная) называется
«вполне положительной» (ВП), если любой минор М конеч-
ной размерности имеет неотрицательный определитель.
(б)	Функция, двух переменных F(x,y) называется
ВП-ядром, если матрица [F(xj, ук)], где {xj} и {yk}—-воз-
растающие последовательности чисел, произвольно выбран-
ные из области определения F, есть ВП-матрица.
(в)	Последовательность {ап}, п — 0,1,(конечная
или бесконечная), с ао / 0, называется ВП-последователь-
ностъю, или Пойя-частотной (ПЧ) последовательностью,
если теплицева матрица [а_j+t] при условии, что а_1 =
а_2 —  • • = 0, есть ВП-матрица.
В случае В-сплайна Nm мы будем рассматривать Nm (х — к)
как функцию двух переменных х 6 R и к G Z. Следователь-
но, говоря, что Nm есть ВП-ядро, мы имеем в виду, что для
любого положительного п и любых последовательностей {xj}
и {^} с
Ху < • • • < хп, Xj G R,
^1 < •  • <	€ Z
выполняется неравенство
det^m(x-4)] >0.	(6.6.4)
Доказательство этого важного факта о В-сплайнах не вклю-
чено в эту книгу, но мы покажем, что, как следствие (6.6.4),
последовательность
{^2m(j + l)}> J =0,1,- -	(6.6.5)
21 - 3954
I
322
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
есть ПЧ-последовательность. В самом деле, беря х3; = j + 1 и
Ik — k, где j,k е Z_|_, мы видим, что матрица, транспониро-
ванная матрице [Nzmfaj — 4b)] = [N?m(j + 1 — k)], совпадает
с верхней треугольной теплицевой матрицей, первой строкой
которой является (6.6.5). Интересно отметить, что символ по-
следовательности (6.6.5) есть умноженный на 1/(2т —1)! мно-
гочлен Эйлера—Фробениуса и может быть записан в виде
оо	1	2m—2
£N^j + 1)2’ =	П <г + IW) <6М>
>0	ч 1=1
с Xm,j <0, j = I,--- ,2m — 2 (см. (6.4.16)). Этот резуль-
тат следующим образом может быть распространен на любую
ВП-последовательность.
Лемма 6.19. Пусть {<ЪЬ 3 G Z+) — последовательность
из £2, удовлетворяющая условию ао 0. Тогда {а^} есть
ПЧ-последовательность в том и только том случае, если
ее символ может быть записан как
<х	00 1 ।
£^-*’'1177??	(6'6'7)
7=0	7=1 1 P^Z
где 7, (Xj,0j > 0 и
ОО
+&) < °°-
7=1
Пример 6.20. Рассмотрим двухмасштабную последователь-
ность {qk} В-вэйвлета m-го порядка как она дана в (6.2.6).
В более общем виде, для каждого г --- 0, • • • , т — 1 рассмо-
трим последовательность	которая управляет его г-ми
производными как это определено формулой (6.3.6). В
(г)
(6.3.29) было показано, что символ есть
3m—24-г	q—m+r+1
к	к=0	'	'
6.6. Вполне положительность
323
и, следовательно, к = 0, • • • , 3m — 2 + г, имеет череду-
ющиеся знаки, и символ {9^}, q^k := (-l)fe£J* =
равняется
._. , . , o-m+r+l
11 + -)"‘+r.
что является многочленом только с отрицательными нулями.
Отсюда, по лемме 6.19, есть ПЧ-последовательность. □
Напомним из теоремы 6.10, что может быть вычисле-
на применяя ЛТАП. В общем случае мы имеем следующий
результат.
Теорема 6.21. Пусть Р — ЛТАП, определенный формулой
(6.3.12) с кь(п), кщ(п) > 0 и Ьъ(п), Ъц(п) > 0 для всех п G Z+.
Тогда каждый Р(п) есть ПЧ-последовательность.
Важной характерной чертой ПЧ-последовательностей и
ВП-ядер в общем случае является их так называемое «умень-
шающее вариацию» свойство. Это есть «сглаживающий» эф-
фект в том смысле, что «колебания», такие как изменения
знака последовательности или функции, постепенно умень-
шаются, когда они «фильтруются» путем свертки с ПЧ-по-
следовательностями или интегрируются с ВП-ядрами.
Определение 6.22. Число сильных (или настоящих) пе-
ремен знака конечной последовательности а вещественных
чисел, обозначенное как ^(а), есть число перемен знака а,
после того как вычеркнуты все нулевые значения последо-
вательности. Число совместных сильных и слабых перемен
знака этой последовательности а, обозначенное как 5+(а),
есть число перемен знака, когда каждое (внутреннее) ну-
левое значение последовательности считается за две пере-
мены знака. (Примечание: Когда рассматривается конечная
последовательность, первое и последнее значения последова-
тельности предполагаются не равными нулю.) Число силь-
21*
324
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
ных перемен знака непрерывной функции f с supp f = [а, 6]
определяется как
s-(f)
= sup{S~({/(x0), • • • ,/(хп)}):а <xG<-• -<хп< b,neZ+},
(6.6.8)
и число совместных сильных и слабых перемен знака той
же самой функции f определяется как
S+(f)
= swp{S+({f(x0),  • • ,/(жп)}):а <х0<---<хп< b,nEZ+}.
(6.6.9)
Замечание. При рассмотрении числа S+(f) нас интересуют
только те /, носители которых не содержат нетривиальных
интервалов, на которых f = 0; таким образом, мы предпола-
гаем Zc(f) — supp /, где
Zc(f) = clos{x : f(x) ± 0}.	(6.6.10)
В противном случае число S+(f) должно быть рассмотрено
на каждой составляющей носителя /.
С помощью ВП-свойства может быть установлено следу-
ющее уменьшающее вариацию свойство В-сплайнов.
Теорема 6.23. Пусть m > 2 — целое положительное чи-
сло. Тогда
S~ (^akNm(--k)\ <S-({ak}l ао,ап^О. (6.6.11)
\fc=0	/
Что касается соответствующих В-вэйвлетов мы уви-
дим, что вместо возможного уменьшения числа перемен зна-
ков В-вэйвлет-ряды всегда колеблются более часто, чем их
6.6. Вполне положительность
325
последовательность коэффициентов. Это свойство полной
осцилляции 'фт, которое противоположно ВП-свойству Nm,
делает t/’m полезными в применениях по локализации и изме-
рению таких нерегулярностей, как особенности функций.
Теорема 6.24. Пусть т > 2 и do,dn / 0. Тогда
(п	\
dktpm(- — к) j > n + 3m — 2 > S~({dk}) + 3m — 2.
k=o	/
(6.6.12)
Если нули вэйвлет-рядов также считать за перемену зна-
ка, то можно ожидать завышенную нижнюю границу этой
величины. В этом направлении мы имеем следующий резуль-
тат, справедливый для линейных В-вэйвлет-рядов.
Теорема 6.25. Пусть do, dn ф 0. Тогда
(n	\
>2n + 4-S-({4}).
fc=0	/
(6.6.13)
Более того, если носитель этого В-вэйвлет-ряда — интер-
вал и если Sl-({dfc}) — 0, то
S+ l^dkW- - к) \ =2п + 4.
\fc=0	/
(6.6.14)
Замечание. Результат в формуле (6.6.14) оправдывает тер-
мин «полная осцилляция».
Доказательство теоремы 6.24. Напомним из теоремы
6.3 §6.1, что (вэйвлет)-пространство W™ может быть ото-
ждествлено с кратномасштабным подпространством yfm’Q
пространства V^m через дифференциальный оператор т-го
порядка Dm.
326
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Однако вместо того, чтобы рассматривать здесь соотно-
шение Wi.m — Dmip2m, давайте введем сплайн 2т-го порядка
1	2m—2
*2m =	Е	+ 1)-^2т(2ж - j),	(6.6.15)
j=0
который принадлежит Легко проверить, что
{Ф^(--^): keZ}
есть базис Рисса Vj2™’0. Более того, аналогично соотно-
шению Dm'J'2m = ‘Фцт, мы также имеем
D^2m = Фт-
Действительно, m-кратное применение (ж) в теореме 4.3 дает
- 2т —2
j=0
- 2т —2	т	/ \
= Е (-W2ra(j + i)£(-i)fc(7)^™(2a;->-fc)
j=0	fc=0	'
3m —2 / /	т / \	\
= Е £^Е 7
Z—> I jm 1 z—> \ ft /	/
г=0 \	к=0 4 7	/
Зтп—2
= Е QlNm^X-e') = ^га(х).
е=о
*
Отсюда, мы можем использовать Ф^т вместо Фзт
в теореме 6.3. Рассмотрим теперь сплайн-ряд
п
G{x) = ^d^rn^-k).
к=0
Так как d0 ,dn 0 и зпррФ^п = [0,2m — 1], мы видим, что
supp G = [0,n + 2m — 1].	(6.6.16)
6.6. Вполне положительность
327
Таким образом, из факта, что
G(fc) = 0, fcGZ,
* (?W(0) =GW(n + 2m-l) = 0, £ = 0,... ,2тп - 2 (6’6’17)
следует, что существует семейство точек {х^ }, j = 1,..., п +
2m + 1-2и1=1,...,ш, удовлетворяющих неравенствам
'0 <£?) < 1 <х^ < 2 <  < n + 2m — 2 <x^Km , <n + 2m — 1
0<T(2)<T(1)<r(2)<T(1)<---<r(1)	<T(2)	<n+2m-1
U X1 '•7'1 X2 ^-a'2	' Xn-l :2rii -l '-Xn+:2rn '- 'b T ЛГ'1
<^J:2	^^2	^xn+3m-^xn+3m-2^,l,t£'{l 1
(6.6.18)
такое, что G^ имеет (сильную) перемену знака в каждой точ-
ке j = 1,... ,n + 2m + t — 2. В частности,
п
G^\x} = ^Mx-k}
fc=0
имеет (сильную) перемену знака в каждой точке
Доказательство теоремы 6.25. Чтобы вычислить наиболее
точно S+, нам требуется результат из теории ВП-матриц, а
именно: если А —любая рх (п + 1) ВП-матрица с р > п, то
S (Av) < min(n, S (v)) = S (v)
(6.6.19)
для любого вещественного (n + 1)-мерного вектора v. Этот
факт, по сути дела, является ключевым моментом для уста-
новления теоремы 6.23. Вдобавок, если v = (т>о, ..., vn) и
v := (vo, —Vi, V2, ..., ( — 1)" vn), то легко проверить, что
*S'+(v) + S (v) > 71.
(6.6.20)
328
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
Чтобы доказать (6.6.13), нам нужна матрица
ф2 (1^+2
(6.6.21)
1
12
6
10 1
6	6
1 10
6
1
1
6
10
6
1
Легко также проверить, что (2п+5) х (п+1) матрица А являет-
ся ВП-матрицей. Отсюда, применяя (6.6.19) и (6.6.20) к век-
тору V = (vo,...,v2n+4) С
п
vj '= 12 dk
fc=0
мы имеем
S+(v) >2n + 4-S~(v) >2n + 4-S-({dfc}).
Это устанавливает (6.6.13).
Затем, используя двухмасштабное соотношение для 'ф? от-
носительно IV2, В-вэйвлет-ряд ^dk^hi'—k) может быть запи-
сан как В-сплайн-ряд по N2(2  —к). Так как носителем этого
ряда является интервал, мы имеем, применяя вдобавок
результат о ВП В-сплайнов,
S+	-k)j < 2n + 4.
\fc=o	/
(6.6.22)
Итак, (6.6.14) следуетиз (6.6.13) и (6.6.22) при S ({dfc}) = 0. □
6.6. Вполне положительность
329
В применениях очень важно оценить осцилляции В-вэйв-
лет-ряда. Например, распределение нулей диапазона про-
пускания частотно-ограниченного сигнала, определяемого
«скоростью Найквиста», может быть полностью установлено
по его изолированным нулям (называемым «пересечением ну-
лей») в случае выполнения некоторых условий. Однако, когда
В-вэйвлет-ряд интерпретируется как сигнал из некоторого
диапазона, он не должен иметь ограниченный диапазон, так
как он отличается от целых функций экспоненциального ти-
па. Тем не менее, когда используются линейные В-вэй влеты,
мы имеем еще и следующую теорему. Аналогичные результа-
ты для В-вэйвлетов более высоких порядков не приводятся в
этой книге.
Теорема 6.26. Пусть
f/(z) = Е djip2(x-j),
J	J=o
д(%) = Е cjiMx-f)
I	J=o
— два линейных сплайн-вэйвлет-ряда с Zc(f) = Zc(g) —
[0,n + 3], таких что S~(c) = 0 и g имеет только простые
нули. Тогда, если fug имеют одни и те же нули, то f
должна быть константой, умноженной на д.
Доказательство. Из наших предположений мы имеем
dodn 0 и СоСп 0. Выберем с так, что с0 = cdo- Тогда
п
(9 ~ cf)(x) =	- cdJ)'ip2(x - j).
j=i
Предположим, что разность д — cf не равна тождественно
нулю. Тогда без потери общности мы можем предположить,
что Zc(g — cf) = [l,n + 3]. Так как (д — cf) G Vf2, то по так
называемой теореме Будана— Фурье число нулей Z(g — cf) с
330
Глава 6. Базисные сплайн-вэйвлеты
учетом их кратности функции д — cf в открытом интервале
(1,п + 3) не превосходит 2п + 2, то есть
Z(g — cf) <2п + 2.	(6.6.23)
С другой стороны, так как д на (0,1] есть константа, умножен-
ная на i/>2, то она имеет на (0,1] один простой ноль. Поэтому,
из теоремы 6.25 следует, что
8+(д)\(1,п+з) = 8+ (д) 1(0,п+з) - 1 > 2тг + 4 - S“(c) - 1 = 2п + 3.
(6.6.24)
Более того, так как д имеет только простые нули и f имеет
те же нули, что и д, мы имеем
< Z(g - cf)-	(6.6.25)
Поэтому из (6.6.23)-(6.6.25) мы получаем
2п + 3 < 5+(^)|(11П+з) < Z(sr)|(i,n+3) < Z(g - cf) < 2n + 2,
что абсурдно. Это и завершает доказательство теоремы. □
Глава 7
Ортогональные вэйвлеты
и вэйвлет-пакеты
Из очевидных соображений ортонормированные (о.н.) бази-
сы — наиболее желательные базисы в гильбертовом простран-
стве. В частности, если о.н. базис в L2(R) порожден некото-
рой 7^-функцией то, будучи двойственной самой себе, ф
уже является вэйвлетом. Более того, двухмасштабная после-
довательность {<?п} функции ф относительно масштабирую-
щей функции ф получается из двухмасштабной последова-
тельности {рп} функции ф простым взятием комплексного
сопряженного с последующим чередованием знаков и измене-
нием направления на противоположное с единичным сдвигом.
Например, как в (5.6.14), мы можем положить
Qn — ( 1) Р — п + 1-
Другими словами, по существу только одна двухмасштабная
последовательность управляет вместе кратномасштабным
анализом (КМА) и соответствующим ему вэйвлет-разложе-
нием. Что наиболее интересно — это то, что после применения
комбинации {рп} и {qn} для получения двухмасштабных соот-
ношений с ф, вэйвлет-пространства Wn могут допускать даль-
нейшие ортогональные разложения. Семейства новых ортого-
нальных базисных функций, полученные таким образом, на-
332
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэнвлет-пакеты
зываются вэйвлет-пакетпами. Эта глава посвящается анализу
и построению о.н. вэйвлетов и их вэйвлет-пакетов. В частно-
сти, будет обсуждаться построение о.н. вэйвлетов с компакт-
ными носителями.
7.1. Примеры ортогональных вэйвлетов
Основная структура вэйвлетов и их двойственных была из-
учена в § 5.4, где предлагаемая стратегия состояла в том, что
все начиналось с двух допустимых двухмасштабных символов
Р = Рж и G* = G*-, двойственных друг другу. Для построения
Ф
о.н. вэйвлетов, как мы видели в § 5.6, ф также с необходимо-
стью должна быть двойственной самой себе, так что G* = Р
и соотношение двойственности (5.4.7) принимает вид
|Р« + |Р(-< = 1, |Д = 1.	(7.1.1)
Кроме того, по теореме 5.19 основное определение двухмас-
штабного символа Q для о.н. вэйвлета ф относительно мас-
штабирующей функции ф дается через
сог2"0-1^^), И = 1,	(7.1.2)
где со = ±1 и по — произвольное целое число. Чтобы быть
совместимым с выбором в (5.6.13) и (5.6.14), положим со = —1
и no = 1, так что
Q(z) = -zP(=^), |z| = 1.	(7.1.3)
Следовательно, чтобы построить о.н. вэйвлет ф, мы должны
исследовать двухмасштабные соотношения
, ф(ш) = Р(е--/2)ф(^),
(7-1.4)
7.1. Примеры ортогональных вэйвлетов
333
Конечно, если ф или Р известно, то ф и, следовательно, ф
определяются с помощью применения второго соотношения в
(7.1.4) с использованием (7.1.3).
Пример 7.1. Пусть тп — любое положительное целое число, и
Nm обозначает В-сплайн m-го порядка. Тогда по теореме 3.23
(см. также (3.6.18)) масштабирующая функция фт, преобра-
зование Фурье которой дается формулой
^т(^)	__
: I	\1/2 ~
E^m(u; + 27rfc)p
. к	/
p-imw/2 ( sinoj/2\m
6	\ ш/2 )
(Fm(e--))i/2
(7.1.5)
есть о.н. масштабирующая функция в том смысле, что
{Фт(' — к) : к G Z) является о.н. базисом пространства Vom.
Здесь Fm — обобщенный многочлен Эйлера—Фробениуса Ло-
рана относительно как это определено в (6.1.13), и струк-
тура Fm обсуждалась в § 6.4 (см. (6.1.13) и теорему 6.13). Как
следствие, применяя (7.1.3)-(7.1.5), преобразование Фурье ф
о.н. вэйвлета ф, который порождает {WJ71} дается формулой
где z = е гш/2. При т = 1 легко видеть, что о.н. вэйвлет ф,
заданный (7.1.6), есть не что иное как функция Хаара фн- □
Конечно, если мы уже имеем п.о. вэйвлет, то процеду-
ра ортонормализации, сформулированная в (3.6.18), легко
дает о.н. вэйвлет.
334
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Пример 7.2. Пусть ф — один из п.о. сплайн-вэйвлетов
фцт, Фт или фт, т > 1, введенных в предыдущей главе.
Тогда преобразование Фурье которой дается формулой
(3.6.18), есть о.н. вэйвлет. Для ф = фрт , фт или фт резуль-
таты, полученные в главе 6, легко могут быть применены для
определения рядов Лорана
52	+ 2тг/г)|2.
к
(См. (6.1.11)-(6.1.13), (6.2.5) и (6.2.9).)
В общем случае, так как мы ничего не знаем о масштаби-
рующей функции ф или ее двухмасштабном символе Р = Рф.
мы должны очень постараться, чтобы прийти к одному из
них. Напомним, что наша стратегия состоит в построении
В, и следующие два параграфа будут посвящены усилиям
в этом направлении. В конце этого параграфа мы приводим
пример, в котором вместо Р первым построено ф.
Пример 7.3. Пусть 0 < е < тг/З, 0<A<1<B<OO
и N — произвольное положительное целое число. Выберем
некоторую функцию fj G C/V(R), которая удовлетворяет сле-
дующим условиям:
'suppj) = [—тг — е ,тг + е];
<	т)(а>) = 1 для |а>| < 7Г - е и	(7.1.7)
А < ^3 |ц(ш + 2тгА;)|2 < В, ш 6 R.
-	к
Тогда мы можем ввести функцию ф, преобразование Фурье
которой дается формулой
Ф&) ~ л----------~--------П72-	(7Х8)
(Е [??(ш + 27гА:)|2 )
\ к	/
Ясно, что ф удовлетворяет условию
supp Ф = [—7Г — Е , 7Г + е]	(7.1.9)
7.1. Примеры ортогональных вэйвлетов
335
Ж и что функция Р, определенная на единичной окружности
}	оо
I	Р(е--)=	ф(2и, + 47гМ,	(7.1.10)
|	fc=—оо
<	принадлежит CN. Отсюда, интегрируя ряд Фурье
S	оо
	Л«):=Р(е-“) = 2 Е	(7.1.11)
П=— ОО
, по частям N раз, мы получаем
f	1 f2ir	i / .• \ N г2тг
-	Рп = ~	embJdw = - ( -	/	ein“du,
i	"Jo	к \nj Jo
j так что
I	Pn = O(|n|-7V), |n| -> oo.	(7.1.12)
| В частности, мы имеем {рп} € £2. Затем, рассматривая два
I отдельных случая, мы покажем, что
|	<£M=P(e-iw/2)<^), U6R.	(7.1.13)
(а)	Предположим, что ш supp ф. Тогда мы имеем
Р(е-^/2) = 22<хш+4тгм,
fc/O
так что или ф = 0, или иначе Р(е~гш/2) = 0. Таким обра-
зом, в этом случае обе части (7.1.13) равны нулю.
(б)	Предположим, что ш € supp^. Тогда мы можем
сделать следующие два заключения. Во-первых, так как
О < е < тг/З, то для всех неравных нулю к следует, что
р + 2тгАт) = 0, так что ф (^) = р (^) /-q (^) = 1. Во-вторых,
мы имеем Р(е-гш/2) = ф(ш). Поэтому обе части (7.1.13) рав-
ны ф(и>).
336
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Из определения ф(ы) в (7.1.8) мы уже знаем, что
{</>( - к) : к G Z}	(7.1.14)
является о.н. семейством (см. теорему 3.23) и что
(<£(0) = 1,
<	\	(7.1.15)
[Dn ф(2тгк) = 0. 0 ф к G Z, п G Z+.
Ввиду формулы суммирования Пуассона (см. (2.5.11)) это
значит, что (7.1.14) обладает свойством разбиения единицы,
а именно:
ф(х - к) = 1, х € R.	(7.1.16)
к=—оо
Следовательно, чтобы сделать вывод о том, что ф порождает
КМА {In} пространства L2(R), остается проверить, что для
любой f G £2(R)
ИЗД) -/||2	0, п->оо,	(7.1.17)
где Pn(f) обозначает L2(R) проекцию f на Vn. С этой целью
нам нужно знать скорость убывания ф. Это легко, так как
TV-кратное интегрирование по частям дает
[ ф^\ш) etxa,dw = (—ix)N f ф(ш) егхшс!ш = 2тг(—ix)N ф(х)
J —оо	J —оо
из чего следует
Л*) = 0 (гп^) 	Р-1Л8>
Теперь, используя ядро
ОО
•К(я,у)= 52 Ф(х ~ к)Ф(У ~ к)>	(7.1.19)
к=—оо
мы можем представить проекцию Pn(f) от f как
/*оо
(Рп/)(х) = 2п / K(2nx,2ny)f(y)dy.
J—оо
7.1. Примеры ортогональных вэйвлетов
337
Так как (7.1.16) означает, что
/оо
К(х, y)dy = 1, х G R,
•оо
то мы можем сделать вывод, что
||Рп/-/||2 = 2"
/С(2"-,2ПУ)[/(У)-/(>У
(7.1.20)
K(2n-,y)[f{2~ny)-f{-)]dy
<С
Г°°	1
Lw.yi'™-»* 2.
где была использована оценка
К(<Х,У>) ~ 1 + |т-у|*’
(7.1.21)
которая следует из (7.1.18). Применяя обобщенное неравен-
ство Минковского (которое является Z2(R) аналогом (2.4.3)
и может быть легко выведено с использованием (2.1.1)), мы
получаем из (7.1.20)
\\Pnf-f\\2 <с Г т-Т-туНЯ- - 2-ny) - /(-)||2 dy. (7.1.22)
J—СО 1 + |У|
Остальная часть доказательства проводится стандартным
образом и состоит из разбиения интеграла на две части. Сна-
чала для любого е > 0 выберем такое большое М > 0, что
4>м	*£-
Затем, так как / 6 Z2(R), мы имеем для |у| < М
||/(--2-"у)-/(-)||2^0	(7.1.23)
равномерно при п —> оо. Это устанавливает (7.1.17).	□
22 - 3954
338
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
7.2. Идентификация ортогональных
двухмасштабных символов
Техническая проблема построения масштабирующих функ-
ций и вэйвлетов состоит в идентификации допустимых двух-
масштабных символов Р = Рф (см. определение 5.4; напо-
мним, что наша общая стратегия - это начать с пары двой-
ственных двухмасштабных символов Рф и Gp. После сплайн-
вэйвлетов, изученных в главе 6, и трех примеров, касающих-
ся о.н. вэйвлетов, обсужденных в предыдущем параграфе, ка-
жется нет другой доступной процедуры построения ф как бес-
конечного произведения
оо
ЛШ) = ПЛе-“/2*).	(7-2.1)
fc=l
Хотя некоторые условия, наложенные на предельные функ-
ции таких бесконечных произведений, были определены в те-
оремах 5.5 и 5.6, эти условия прямо не касаются двухмас-
штабных символов Р и не обеспечивают всех требований на
ф, необходимых для порождения КМА. Этот параграф по-
священ изучению рядов Лорана Р € W, которые являются
двухмасштабным символом некоторой ф. Так как полная ха-
рактеристика Р не представляется возможной, мы будем удо-
влетворены достаточным условием, которое может быть легко
применено. Это является продолжением наших усилий, нача-
тых леммой 5.20. Здесь отличие состоит в том, что особое
внимание уделяется ф, которые являются о. н. масштабирую-
щими функциями, поэтому мы имеем в виду, что ф не только
порождает КМА пространства L? (R), но также удовлетворя-
ет требованию
(</>(•-»,</>(• -k)) = 6j>k, j,keZ. (7.2.2)
Давайте сначала напомним из (5.1.12) и (7.1.1) необходи-
мые условия, которым должен удовлетворять двухмасштаб-
ный символ Р некоторой масштабирующей функции ф.
7.2. Идентификация ортогональных символов
339
Лемма 7.4. Пусть Р — ряд Лорана в классе Винера W. Если
Р — двухмасштабный символ некоторой масштабирующей
функции ф, которая является о.н. в смысле (7.2.2), то Р
должен удовлетворять равенствам
Р(1) = 1 и	(7.2.3)
|P(z)|2 + |P(-z)|2 = 1, |z| = l. (7.2.4)
Поэтому, ввиду (7.2.3), мы, как в (5.1.17), заинтересованы
в тех Р из W, которые могут быть выражены как
= .;Еи-г‘ = (Ц^Гэд,
{	k	х z /	(7.2.5)
I где N — некоторое положительное целое число и
peW удовлетворяет условию S(l) = 1.
Для любого S в (7.2.5) мы можем написать
S(z) = ^28к^к,
<	к	(7.2.6)
В := max |5(г)|.
Целью этого параграфа является установление удобно-
го условия для множителя S, который бы обеспечил, что Р
является двухмасштабным символом некоторой о.н. масшта-
бирующей функции.
Теорема 7.5. Пусть Р £ W удовлетворяет (7.2.4) и (7.2.5)
для некоторого N > 1, так что
J2|sfe||fc|£ < оо	(7.2.7)
к
для некоторого е > 0 и
В < 2n~\	(7.2.8)
где используется обозначение из (7.2.6). Тогда бесконечное
произведение
оо
д(ш):=1[Р(е-^2к)	(7.2.9)
fc=l
22*

340
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
сходится к g Е C(R) П LJ(R) A L2(R) всюду. Более того,
функция ф Е L2(R) с ф = g есть о.н. масштабирующая
функция, которая порождает КМА в L2(R).
Доказательство этой теоремы будет зависеть от после-
довательности лемм.
Лемма 7.6. В предположениях (1.2.1) и (1.2.5) для не-
которого N > 1 бесконечное произведение в (1.2.9) сходится
всюду к непрерывной функции д.
Замечание. Эта лемма отличается от теоремы 5.5 тем, что
в ней предположение накладывается на S вместо конечного
произведения в (5.1.18).
Доказательство. Из (7.2.7) и соотношения (7.2.5) легко
видеть, что {pfc} также удовлетворяет неравенству
£>fc| |Af < оо;	(7.2.10)
k
и из (7.2.10) следует, что для любого h > 0
|Р(е-г(^)) _ Р(е--)| < | £ Ini |e-a/t - 1|
k
< | 52^*1 min(2,|fc|/i)
к
fc
(Здесь без потери общности мы рассматриваем 0 < е < 1.)
Отсюда, поскольку Р(е-гш) есть функция от ш , то Р(е~ш')
принадлежит классу Lip s (см. определение 5.7). Более того,
из тех же выкладок, какие были проведены в (5.1.21), и вы-
шеприведенного заключения (при условии, что S заменено на
Р и а на е) мы можем сделать вывод, что бесконечное про-
изведение в (7.2.9) сходится. Чтобы доказать непрерывность
7.2. Идентификация ортогональных символов
341
предельной функции g при любом шо, предположим сначала,
что </(а>о) 7^ 0. При этом предположении мы имеем
?(<*>) - 0<<*>о) = ff(^o){ffM/Wo) - 1}
= exp
f>[l - (1 - Р(е-^2*)/Р(е-“°/2''))]
.fc=i
= ff(^o)< exp
= o(l),
co —> O?Q.
С другой стороны, если g(coo) = 0, то так как Р(1) = 1, то
существует достаточно большое целое ко, зависящее от coq,
такое, что предельная функция
оо
9(и,) = П Г(е-"/2‘)
/с—/со
удовлетворяет неравенству g (шо) 0. Проведенные выше пре-
образования показывают, что g непрерывна в точке о>о, так
что
ко — 1
5(ш)=д(ш0) П^ш/2‘)
fc=l
также непрерывна в этой точке.
Лемма 7.7. В предположениях (7.2.8) и (7.2.5) для неко-
торого N > 1 предельная функция д(со) в (7.2.9) удовлетво-
ряет неравенству
/ 1 \
IffMI <С . , ,	, шей
\ 1 -г са /
(7.2.11)
для некоторого у > 0.
Доказательство. Вернемся к определению bj в (5.1.18). Вви-
ду (7.2.8) мы имеем
bi = log2 Bi = log2 В < N - 1.
342
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Итак, выбрав no = 1 в теореме 5.5, заключение в (5.1.20) те-
оремы 5.5 дает (7.2.11) с
г) := N — bi — 1.	□
Замечание. Остановимся на минуту, чтобы обобщить уже
доказанное и дать основные принципы оставшейся части до-
казательства теоремы 7.5.
(а)	Как следствие лемм 7.6 и 7.7 заключаем, что беско-
нечное произведение в (7.2.9) сходится к некоторой функции
р G C(R) CL^R) nL2(R),
которой и будет называться это бесконечное произведение.
Отсюда по теореме 2.17 существует единственная ф G L2(R),
преобразование Фурье которой ф есть это бесконечное произ-
ведение. Следовательно, ф удовлетворяет равенствам:
ф(ш) = Р(е гш/2)ф или
* Ф(х) = Y,Pk<№c - к).
Таким образом, мы можем ввести
ф^к(х) = 2^2ф(Ух- к), j,keZ	(7.2.13)
Vj = closb2(R) (0J>fc : к el).	(7.2.14)
Из (7.2.12) ясно, что {V)} —это последовательность вложен-
ных замкнутых подпространств Z2(R), и чтобы доказать, что
это-—КМА в L2(R), мы должны показать, что объединение
Vj плотно в A2(R) и что ф порождает базис Рисса РЬ-
(б)	Сначала мы докажем, что ф порождает о.н. базис Vq.
Чтобы доказать плотность объединения Vj, .7 € Z, мы долж-
ны в наших рассуждениях следовать подходу, обсужденному
7.2. Идентификация ортогональных символов
343
в главах 1 и 3 при построении о.н. вэйвлет-базиса простран-
ства £2(R). Это будет означать не только
closL2(R) I (J vJ = £2(R),	(7.2.15)
\J6Z /
но также и
П Vj = {0}.	(7.2.16)
jez
(См. лемму 5.1.) Из исследований § 5.6 мы знаем, что хорошим
кандидатом на о.н. вэйвлет является
Ф(х) .- ^Ф(2х - к),	(7.2.17)
fcez
где
qk := (-l)*p_fc+1.	(7.2.18)
Так же, как обычно, мы положим
^,к(ж) =2^2V>(2^-fc), j.itGZ.	(7.2.19)
Тогда доказательство теоремы 7.5 будет завершено, если мы
сможем показать, что семейство
{V’j.fc  j,k е Z}	(7.2.20)
является базисом £2(R).
Для доказательства того факта, что ф порождает о.н. ба-
зис (и,следовательно, базис Рисса) Vq, мы напомним из тео-
ремы 3.23, что это эквивалентно доказательству того, что
1 Г°°
— J егЛЖН2^ = ^,о, 16Z.	(7.2.21)
Лемма 7.8. В предположениях теоремы 7.5 бесконечное
произведение g — ф удовлетворяет (7.2.21).
344
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Доказательство. Доказательство этой леммы подобно
доказательству в одном направлении теоремы 5.22. Действи-
тельно, положив
мы имеем
1 Г°°	1 г2пя / п	\
In := Ln eijU [9n^2d“ = 2тг Л2П7Г (П 1Ле-1ш/2,1)|2 j e^dw,
которое совпадает с (5.4.22), где G заменено на Р. Следова-
тельно, из (5.4.25) мы получаем
/п “ f |ffn(w)|2dw = 5Ло, j Е Z; (7.2.23)
и, снова применяя лемму 5.20, мы имеем
1	Г°°
— / ег]ш \ф(ш)\2дш = lim In = Sj>0
27Г J—оо	п~>о°
для всех j G Z.	□
Для того чтобы показать, что семейство (7.2.20) является
о.н. базисом L2(R), полезно знать свойства последовательно-
стей {pt} и {%}, связь которых дается формулой (7.2.18).
Лемма 7.9. Пусть {р&} и {%} определяются (7.2.5) и
(7.2.18), где Р удовлетворяет (7.2.3) и (7.2.4). Тогда эти
две последовательности имеют следующие свойства:
(a)	Y,Pk = 2;
fc
(б)	2tPk—2т — ^t,m‘i
к
(в)	£?fc-2Z%-2m = 2^>ш;
к
7.2. Идентификация ортогональных символов
345
(г)	ЩРк-21Чк-2т = 0 U
к
(д)	Ц{Р1-2кРт-2к + <11-2к Фп-2к} = %&1,т
к
для всех £, m G Z.
Доказательство. Утверждение (а) эквивалентно (7.2.3),
утверждение (б) — (7.2.4) и, ввиду (7.2.18), (в) есть очевид-
ное следствие (б). Интересно видеть, что свойство «ортого-
нальности» (г) может быть легко выведено простой заменой
индексов. Действительно, мы имеем
’Y^Pk-2lQk-2m = ^2(-l)fcPfc-2ZP-fc+2m+l
к	к
~ ^2(-l)J+1 P—j+2m+lPj—2i~-'^Pk-2tq.k-2m-
3	к
Окончательно для проверки (д) мы видим после применения
(7.2.18) для замены q на р, что две суммы в (д) просто обра-
зуют разбиение суммы в (б) на одну сумму по нечетным ин-
дексам и вторую сумму по четным индексам.	□
Как следствие тождества (д) в вышеприведенной лемме,
мы имеем следующий результат.
Лемма 7.10. Для всех х G R
2ф(2х - т) ~ ^{рт-2к Ф(х - к) + qm-2k Ф{х -к)}, т G Z.
к	(7.2.24)
Доказательство. Получается в результате применения
(7.2.12), (7.2.17) и (д) в лемме 7.9.	□
В дальнейшем будет полезна следующая формула разло-
жения.
Лемма 7.11. Для каждой f G ZL2(R)
Е1</;<Ы12 = £{!</,^-i,fe)!2 + |(/,^-ilfc)l2}, з € Z.
346
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Доказательство. Получается в результате применения лем-
мы 7.10, свойств (б), (в) и (г) в лемме 7.9.	□
В добавление к их прекрасным свойствам «разложени-
я», установленным в леммах 7.10 и 7.11, два семейства №j,k}
и обладают, как ожидалось, следующими свойствами
ортогональности.
Лемма 7.12. В предположениях теоремы 7.5 два семейства
и удовлетворяют следующим равенствам:
(а)	(Ф),к, Ф1,1) = &k,t, j,k,i Е Z;
(б)	№j,k, Фз,1) =0, j,k,i G Z и
(в)	(tpj.k'. — ^j,t^k,rni j>k,£,m Е Z.
Доказательство. Утверждение (а) следует из леммы 7.8
в результате применения теоремы 3.23 и изменения масшта-
ба. Чтобы проверить (б), мы просто применим (а), (7.2.12),
(7.2.17) и лемму 7.9 (г). Такой же вывод, с тем исключением,
что применяется (в) леммы 7.9 вместо (г), дает утверждение
(в) для случая, когда j = £. Для j / £, пусть j > £, мы
замечаем из (7.2.17), что фе>Тп Е Ve+i- Так как Ve+i С Vj и
ортогональна Vj по (б), мы видим, что ортогональна
Фе,т-	□
Следовательно, {V’j.fc} является о.н. семейством в L2(R).
Как было упомянуто в предыдущем замечании, наш подход
к доказательству плотности объединения Vj в L2(R) состоит
в проверке того факта, что это семейство является о.н. бази-
сом L2(R). Стандартная процедура в гармоническом анали-
зе —это вывод «равенства Парсеваля» для {V'j.fc}- Это и будет
установлено в следующей лемме. Заметим сначала, что любое
о.н. семейство удовлетворяет «неравенству Бесселя». Доказа-
тельство этого простого факта тождественно доказательству
неравенства Бесселя для (тригонометрических) рядов Фурье
(см. теорему 2.18).
7.2. Идентификация ортогональных символов
347
Лемма 7.13. В предположениях теоремы 7.5. о.н. семей-
ство {ф^к}, j,k € Z, определенное формулами (7.2.17)-
(7.2.19), удовлетворяет следующему «равенству Парсева-
ля»:
Е 1(/,^л>12 = II/II2, f е	(7.2.26)
j,fcez
Доказательство. Пусть Cq° обозначает класс всех беско-
нечно дифференцируемых функций с компактным носителем.
Мы установим сначала (7.2.26) для всех f G Cq°. Как было
упомянуто выше, так как {<t>j.k  к Е Z} есть о.н. семейство
для каждого j, мы имеем «неравенство Бесселя»:
ЕКЛ^)12^П/112<то’ ''eZ-
kez
Теперь для любой пары положительных целых чисел L и М,
суммируя обе части (7.2.25) в лемме 7.11 по j — —L + 1,... ,М
и сокращая общие члены, мы имеем
М-1 оо	оо
j——L к=—оо	к~—<х>
(7.2.27)
Давайте сначала рассмотрим второй член в правой части
(7.2.27). Так как f Е Cq°, то существует некоторое К > О
такое, что supp f С [—К, К]. Теперь по неравенству Шварца
мы имеем
< |2-£ Г \ф(2~ьх- к) 12<Й Ц/Ill
I J-K	)
Г К/И	1
< /	>	Н/Н2,
J-K[2L	I
348
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
так что
оо
Е < и/и?
\Ф(у)\2Лу
(7.2.28)
к=—оо
для всех достаточно больших L, где
BL := U № - *72L> к + ^/2L]-
fcez
Так как ф G L2(R) и мера Bl П [—N, 2V] стремится к нулю при
L, стремящемся к бесконечности для любого N > 0, неравен-
ство в (7.2.28) дает
ОО
lim |(/,</>-ьл)12 = 0.	(7.2.29)
к=—оо
(Результат в (7.2.29) означает, что AV) — {0}; см. замеча-
ние, сделанное после утверждения определения 5.2.) Итак, из
(7.2.27) мы имеем
М — 1 оо	оо
£ 52 К/’^л)|2= £ \{/,Фм,*)|2, /есо°°. (7.2.30)
j=—оок=—оо	к=—оо
Для оценки величины в правой части (7.2.30) заметим сна-
чала, применяя равенство Парсеваля для преобразования Фу-
рье и ряда Фурье, что
2
к	V ' к
•2тг °°
(7.2.31)
(2^)2 £
О т=—оо
ш + 2тг7л) е1кшйы
2
2
qM г2тг °°^	~	_____________ 2
=-— /	£ f (2м(ш + 2тгт)) ф(ш + 2тгт) dw
Jп
W т—
О
тп=—оо
7.2. Идентификация ортогональных символов
349
2% J°
х ф(ш + 2тгт) ф(ш + 2тг£)^ dw
= —- / <	/(2м(ш + 2тгп)) /(2мш) ф(ш + 2тт) ф(ш) >с!ш
2% J-°° < п=—оо	J
00	1 /*ОО __ _________________________
= У — /	/^)/(ш + 2я£2м)ф(2~мш + 2п£>)ф(2-мш)Фд
£=-оо	‘'-0°
= ^~ Г \Ф(2-м^\2\/^Ад + Пм,
J — ОО
где Rm определяется как сумма по значениям I / 0. Теперь,
из (7.2.4) и определения ф как бесконечного произведения
р(е~ш/2к), мы имеем
|^(w)| < 1, W€R.
(7.2.32)
Отсюда следует, что
1 Г°°
\Rm\ < У — /	|/(а>)/(“> + 2я£2м)|dcu.	(7.2.33)
2Я У-00
Рассмотрим
FM(u) |/(u; + 27r£2M)|.
(7.2.34)
Так как / G Сд°, ясно, что {Fm(w)} - равномерно ограниче-
на на R и равномерно сходится к нулю на любом компакт-
ном множестве при М стремящемся к бесконечности. Отсю-
да, учитывая что f G L^R), легко видеть, что Rm —> 0 при
М —> +оо.
Теперь мы возвращаемся к (7.2.31). Сначала напомним,
что из лемм 7.6 и 7.7 следует, что ф — g — непрерывная функ-
ция. Кроме этого, из (7.2.3) и (7.2.9) мы имеем ф(0) = 1. Рас-
350
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
суждая стандартным образом, мы можем сделать вывод, что
lim
M—t+oo
W2"M Ш)|2 |/(u.)|2 <Ь> = -L||/||2 = Ц/ll2.
Z7T
(7.2.35)
Поэтому, полагая, что Rm —> 0 и справедливы заключения
(7.2.35), (7.2.31) и (7.2.30), мы имеем
52	=	(7.2.36)
j,fcez
Чтобы распространить (7.2.36) на все L2(R), мы исполь-
зуем тот факт, что Cq° плотно в L2 (R). Это означает, что для
любой f G L2(R) и произвольного £ > 0 существует некото-
рая /о € <>0° такая, что ||/ — /о||г < £• Отсюда, по неравенству
Бесселя
11{(/ - /о, V’j,fc)}llz2 < II/ ~ /0II2 < £,
откуда
I Н{</,	- ||{(/о,	< ||{(/ - /о, Ф3,к}}\\р < 8.
(7.2.37)
Так как мы также имеем
I II/H2 - II/0II2I < ||/ -/о||2 < е, (7.2.38)
то получаем (7.2.26) из (7.2.36)-(7.2.38).	□
Теперь легко доказать теорему 7.5.
Доказательство теоремы 7.5. Установив равенство Пар-
севаля (7.2.26) в лемме 7.13, мы теперь используем стандарт-
ный метод для показа того, что о.н. семейство {ipj,k} (см. лем-
му 7.12 (в)) есть о.н. базис L2(R). Действительно, для любой
/ G £2(R) и любой конечной последовательности {cjjt} мы
имеем
II/ -E^^lli = \\fWl~2Re	+£Ы2.
7.3. Построение ортогональных вэйвлетов
351
Следовательно, положив с^к = Для и |А:| <7V и
устремляя N к бесконечности, мы имеем
j,*:
где речь идет о сходимости в L2(R). Таким образом, мы дока-
зали, что ф есть о.н. вэйвлет. Следовательно, применяя лем-
му 5.1, мы получаем (7.2.15), так что (^-масштабирующая
функция.	□
7.3. Построение ортогональных вэйвлетов
с компактным носителем
Ввиду соотношения между двухмасштабными последователь-
ностями {pfc} и {<?&}, приведенного в формуле (7.2.18), для по-
строения о.н. вэйвлета ф достаточно построить соответству-
ющую ему масштабирующую функцию ф. Целью этого пара-
графа является описание общей процедуры построения о.н.
масштабирующих функций и вэйвлетов с компактным носи-
телем. Для простоты мы рассматриваем только веществен-
но-значные последовательности {рк}- Согласно теореме 7.5 и
(5.2.13), все, что нам нужно —это идентифицировать такие
многочлены Лорана S(z), соответствующие некоторому за-
данному положительному целому числу N, что выполнены
условия (7.2.4)-(7.2.8).
Более точно, пусть N — положительное целое число, и рас-
смотрим	n
P(z)=0~^] S(z),	(7.3.1)
где S(z) —многочлен Лорана, удовлетворяющий условию
S(l) = 1. Так как любой конечный ряд Лорана уже удовле-
творяет (7.2.7), то достаточно идентифицировать такие S, ко-
торые удовлетворяют (7.2.4) и
В :=max|5(z)| <2N~l.	(7.3.2)
|z| = l
352
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Для представления условия (7.2.4), налагаемого на P(z), в
такой форме, которая прямо определяет й'(г), мы заметим,
что так как S'(z) — многочлен Лорана с вещественными ко-
эффициентами, то |iS'(e~IU’)|2 есть многочлен по косинусам, и,
следовательно, мы можем написать
|5(е-гш)|2 = 7?(cosw),
(7.3.3)
где R — некоторый (алгебраический) многочлен с веществен-
ными коэффициентами. Как в (5.6.37), замена переменных
1 — cos (V . <>
х = —-	= jin
R(x) = -R(cosw) = Д(1 — 2x)
(7.3.4)
переводит условие (7.2.4) в
что эквивалентно
(1 -x)nR(x) + xnR(1 -х) = 1.	(7.3.5)
Согласно (5.6.33) и (5.6.38), общее решение (7.3.5) дается фор-
мулой
<	= Ё (N +k ~ 9^ +	(7.3.6)
fc=0 v	7
где Т — многочлен, такой что Т(1 — х) = — Т(х).
Подведем итог вышеприведенным результатам в следующей
лемме, где
2
7.3. Построение ортогональных вэйвлетов
353
Лемма 7.14. Пусть S — некоторый многочлен Лорана
который удовлетворяет обоим условиям (7.3.2) и
(7.3.7)
для некоторого нечетного многочлена Tq. Тогда многочлен
Лорана
(Ц^) 5(*) = “Е»Л (7.3.8)
'	'	к
где S'(l) выбирается равным 1, есть двухмасштабный сим-
вол некоторой о.н. масштабирующей функции ф с компакт-
ным носителем, которая порождает КМА пространства
£2(R). Соответственно
ф(х) := 52(-l)fcp_fc+1 ф(2х - к) (7.3.9)
к
является о.н. вэйвлетом с компактным носителем.
Замечание. Если S удовлетворяет (7.3.7), то, положив ы — О,
мы имеем ^(l)]2 = 1. Итак, выбор S, удовлетворяющего усло-
вию S'(l) = 1, легко выполняется. Семейство всех нечетных
многочленов Тфх), |ге| < |, в (7.3.7) дает нам некоторую
свободу в построении о.н. масштабирующей функции. Если
выбор То = 0 не нарушает (7.3.2), то соответствующая мас-
штабирующая функция имеет наименьший носитель среди
всех функций, определяемых формулой (7.3.7). Ниже мы
увидим, что действительно условие в (7.3.2) удовлетворяется
выбором То = 0.
Нам нужно следующее тождество.
23 - 3954
354
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Лемма 7.15. Для всех k,n Е Z+
fc
n + k + 1
к
(7.3.10)
Доказательство. Эта лемма легко доказывается повторным
применением тождества
п + j + 1
3
Действительно, мы имеем
Следующий результат есть следствие леммы 7.14.
Теорема 7.16. Пусть N — любое целое положительное чи-
сло и S(z) — любой многочлен Лорана с вещественными ко-
эффициентами, удовлетворяющий тождеству
(7.3.11)
и такой, что 5(1) = 1. Тогда многочлен Лорана в (7.3.8)
есть двухмасштабный символ о.н. масштабирующей функ-
ции ф с компактным носителем и ф, определенная формулой
(7.3.9), — о.н. вэйвлет с компактным носителем.
7.3. Построение ортогональных вэйвлетов
355
Доказательство. Применяя (7.3.10) с п = к = N — 1, мы
имеем
так что В <2n 1 и (7.3.2) выполнено.
Таким образом, единственная техническая проблема при
построении о.н. вэйвлетов с компактным носителем — это ре-
шение (7.3.11) для S(z). Следующий результат, известный как
лемма Рисса, гарантирует нам, что S(z') всегда существует.
Мы дадим «конструктивное» доказательство этого результа-
та с тем, чтобы показать, как может быть получен S(z').
Теорема 7.17. Пусть ао, • • , on G R с aj>f / 0 такие, что
N
А(ш) := — + йк cos кш > 0, w Е R.
к=1
Тогда существует многочлен
N
B(z) = ^bkZk
к=0
(7.3.12)
(7.3.13)
с вещественными коэффициентами и точной степени N, ко-
торый удовлетворяет равенству
|B(z)|2 = 4(w), z = е~*ш.	(7.3.14)
23*
356
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Доказательство. Рассмотрим алгебраический многочлен
1 N
Pa{z) = - 52 a|fc|^+fc.	(7.3.15)
соответствующий многочлену по косинусам А(о>). Ясно, что
Ра удовлетворяет равенствам
PA(z) = znA(cv), z = e~iu	(7.3.16)
И
PA(z) — z2N РА zee. (7.3.17)
Теперь из предположения a/v О мы видим, что РА(0) / О,
и из (7.3.17) следует, что все нули РА разбиваются на пары
взаимно обратных чисел. В частности, каждый нуль на еди-
ничной окружности должен иметь четную кратность. Более
того, так как коэффициенты РА — вещественны, то все ком-
плексные нули РА также разбиваются на сопряженные пары.
Таким образом, РА может быть записан как
(7.3.18)
х
п«-
1=1
*!)(«-*; ^(Z-Zj2) >,
Zj)(z
где п,... ,гк G R\{0}, zi,...,zj G C\R и K + 2J = N. (Здесь
знак \ означает вычитание множеств.) Поэтому, ввиду того
факта, что
\(Z-Zj)(z-Zj Т)| = \Zj\ ^Z-Zj]2,
(7.3.19)
7.3. Построение ортогональных вэйвлетов
357
мы имеем, применяя (7.3.12), (7.3.16), (7.3.18) и (7.3.19),
Л(И) = И(о>)| = |Рл(г)|
= 5ЫП1’>11П!*>Г2
fc=l j=l
X
К	J	2
IB* - IB* ~ z^z ~
к=1
где z = е ш. Итак, многочлен
1
В(г) .= (1|а„| fl КЧПМ'2)2
\ Jb=l >=1	/
х (п<г - г*) П<г
1л=1	J=1
zj)(z ZB г
(7.3.20)
имеет точную степень К + 2J = N и удовлетворяет (7.3.14). □
Замечание. Заметим, что многочлен B(z') не единствен-
ный, так как при определении В (г) мы можем выбрать лю-
бой корень из каждой пары взаимно обратных нулей Pa(z).
Применяя теоремы 7.15 или 7.16, необходимо нормировать
B(z) так, чтобы было S(l) = 1. В следующем примере мы
выберем такие нули, которые не лежат в открытом единич-
ном круге, и отметим, что нормировочная константа должна
быть равна —1.
Пример 7.18. Применяя теоремы 7.16 и 7.17 с N = 1, мы
имеем
4(w) = |S'(e_“l')|2 = 1 + 2sin2 (^0 = | — cosw,
так что ненулевые коэффициенты в (7.3.12)—это ао = 4 и
a\ = —1. Теперь из (7.3.15) мы получаем
PA(z) = |{-1 + 4г - z2} = -Вг - (2 - г/3))(г - (2 + n/3)).
358
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Если мы выберем нуль вне единичного круга, то, применяя
(7.3.20), мы имеем
ЭД = — B(z)
-4 .-4.(2-(2+УЗ»
УМ+х/З
(7.3.21)
— —/='^2 — '/3(z — (2 + л/З))
= - |{(^3- Ф - (а/З + 1)}.
£
Поэтому вместе с множителем S(z) в (7.3.21) двухмасштаб-
ный символ дается выражением
/ 1 -L г\ 2
p(z) = s(z)
(7.3.22)
= |(1+г)2((1-^3)г + (1 + ^3))
О
Масштабирующая функция с двухмасштабным символом,
заданным формулой (7.3.22), называется масштабирующей
функцией Добеши ф% (см. (5.2.6)).	□
Чтобы облегчить наши рассуждения, введем следующее
обозначение.
Определение 7.19. Пусть для каждого целого 7V > 2
S'jv(z) обозначает решение B(z), данное формулой (7.3.20),
уравнения (7.3.11), определенное выбором из каждой пары
взаимно обратных нулей Pa(z) нуля, имеющего наибольший
модуль, и нормированное так, что В(1) = 1. Тогда масшта-
бирующая функция с двухмасштабным символом
(1 + zV Я М
I -у— ) -ЭЛГ^)
будет обозначаться и будет называться масштабиру-
ющей функцией Добеши порядка N + 1.
7.3. Построение ортогональных вэйвлетов
359
Сейчас мы будем изучать порядок гладкости о.н. вэйвле-
тов с компактными носителями Добеши фД и соответствую-
щих им масштабирующих функций ф^.
Определение 7.20. Пусть 7 > 0. Говорят, что функция
f Е T2(R) принадлежит классу С7, если ее преобразование
Фурье f удовлетворяет неравенству
гоо
I |/(w)|(l + |w|)7cL> < оо.
—сю
(7.3.23)
Далее мы сравним класс (77 с классом Lipma, где т =
[7] — наибольшее целое, не превосходящее 7 и а = 7 — т
(см. определение 5.7). Для удобства мы положим
LipmO := C'm(R).
(7.3.24)
Лемма 7.21. Для любого 7 > 0
С7 С Lipma
(7.3.25)
с т — [7] и а = 7 — т.
Доказательство, (а) Предположим 7 = 1. Тогда для ка-
ждого h > 0 мы имеем
°° f(uj){e<x+h^ - eix“}du. (7.3.26)
-сю
Так как	.......
< и	(7.3.27)
/(т + Л)-/(т)	1	Г
h	2irh
/Г
мы можем, применяя теорему сходимости Лебега, получить
/'(*) = Л Г (i^fa)eix“du, f ЕС.
j —OQ
Теперь, так как w/(w) G T1(R), мы имеем /' Е C(R).
(б) Если 7  положительное целое число, то (7.3.25) может
быть доказано по индукции.
360
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
(в) Пусть а = 7 — [7] > 0. Тогда для f 6 С1 из (б) следует,
что / G Cm(R), где т — [7]. Аналогично (7.3.26) и (7.3.27)
мы имеем
\f^(x + h)-f^m\x)\ <± Г kP|/(a;)|min(|M,
27Г J-0O
< Iff Г и|Ш.
7-00
А это значит, что ft™) G Lip а или f G Lipma.	□
Теперь мы готовы доказать следующую теорему.
Теорема 7.22. Существует некоторое положительное чи-
сло А такое, что ф®+1, ф^+г е LipfAm^am, ат Am — [Ат]
для всех целых т > 2.
Доказательство. Для S = Sm обозначим величину в (7.3.11)
через Тт. Тогда мы имеем при у = sin2 (j)
В2 := max|Sm(e-^)5m(e-iw/2)|
w£R
I / .	/  qWXI1/2
= max \Tm (sin - ) Tm W -
w€R I X 2 /	\	4/1
= max |Tm(4y(l-y))Tm(y)|1/2.
0<?/<1
Заметим сначала, что
max Tm(y) < 22<m-1)
0<з/<1
и что
т—1
ТМ < 52 2т+к~х ук < 2т~г т шах(1, (2у)т).
к=0
Отсюда для 0 < у < | мы имеем
Тт(у) Тт(4у(1 - у)) < т2т~122(т^ = т2^т~1\
7.3. Построение ортогональных вэйвлетов
361
Также для у > |(2 + л/2) или 4у(1 — у) < | мы имеем
Tm(y)Tm(4y(l - у)) < 22<m-x) m2m-x =т23(™-1).
Окончательно для | < у < | (2 + \/2) мы имеем
Tm(y) Дп(4у(1 - у)) < m2 24т~2 ( max [4у2(1 - у)]™
Эта оценка дает
D s' л2т—1
±>2 S m
Таким образом, из (5.1.20) в теореме 5.5 следует, что
|$т+1(^)| —
ОО
ПР„(е~гш/27)
1=1
<<7(l + |W|)[lnm’m 1П
(а^з)]/21п2
Может быть доказано, что показатель степени в этой формуле
меньше, чем —1 при m > 16. Для m < 16 можно оценить
/2т — 1\11//2
Вг := max |5т(егш)| =
0>€R	т у
что непосредственно дает
< С(1 +
при некотором у > 0. Теперь обращение к лемме 7.21 завер-
шает доказательство теоремы.	□
Замечание^ Пусть am — «наибольшее» число, для которо-
го ф^+1 € Cam. Тогда мы имеем
CY	1
lim — = 1 - - logo 3 = 0.2075.	(7.3.28)
m-эоо щ	2
Доказательство этого результата выходит за рамки этой
книги.
362
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
7.4.	Ортогональные вэйвлет-пакеты
В то время как двухмасштабная последовательность {pk} о.н.
масштабирующей функции ф содержит всю информацию о ф,
последовательность {щ}, определенная формулой
4k =
полностью характеризует соответствующий о.н. вэйвлет ф. В
дальнейшем мы будем использовать обозначения:
'ро(ж) := ф(х),
(7-4.1)
,М1(Ж) = Ф(%),
И
{1 ____________________
Р„(г) :=РЫ = -£Р|1Л
к
Р!(г) := <?И =	=
fc	fc
(7.4.2)
Отсюда двухмасштабные соотношения для масштабирующей
функции ф и соответствующего ей вэйвлета ф даются фор-
мулами
Мо(ж) = ^Рк ро(2ж - &),
< А	ч	(7.4.3)
М1(ж) =	- к),
.	k
или, что эквивалентно,
МоН = Ро(е	,
\ А '
Ml И = Pi(e“liJ/2) Мо(^) •
(7.4.4)
Это новое обозначение предназначено для облегчения введе-
ния следующего семейства функций, называемого вэйвлет-
пакетоми. Эти функции позволяют создать о.н. базисы, ко-
торые могут быть использованы для улучшения применения
вэйвлетов при частотно-временной локализации.
7.4. Ортогональные вэйвлет-пакеты
363
Определение 7.23. Функции цп, n = М или + 1 £ —
0,1,..., определенные формулами
М2<(ж) = 52 Pk W (2х ~ к),
к
М2€+1(^) = /2 Як W (2ж - к),
<	fc
(7.4.5)
называются «вэйвлет-пакетами» относительно о.н. мас-
штабирующей функции ро = ф.
Таким образом, семейство {рп} есть обобщение о.н. вэй-
влета pi = ф. Для описания pn, п € Z+ через их преобразо-
вания Фурье нам потребуются двоичные разложения п G Z+,
а именно:
ОО
п = 53£>2>-1, ej6{0, 1}.	(7.4.6)
Заметим, что (7.4.6) всегда представляет собой конечную сум-
му и что такое разложение единственно. Действительно, если
2«о-1 < п < 2S°, то мы имеем п = 2S°-1 + тц, где 2S1-1 <
ni < 2S1 и si < so; тогда, итерируя эту процедуру, мы по-
лучим п = 2S°-1 + 2S1-1 +    + 2Sfc-1, где 1 < s^ < •  • < so.
Таким образом, sj = 1 для j = Sfc,..., sq и ej = 0 для других
значений j.
Теорема 7.24. Пусть п — любое неотрицательное целое
число, и пусть двоичное разложение п дается формулой
(7.4-6). Тогда преобразование Фуръе вэйвлет-пакета рп ба-
ется выражением
оо
Дп(ш)-ПРЕДе--/2'), wGR. (7-4-7)
fc=i
Доказательство. Выражения в форме преобразований Фу-
рье, эквивалентные двухмасщтабным соотношениям (7.4.5)
364
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
для вэйвлет-пакетов, даются формулами
M2£(w)=Po(e--/2)w(^),
M2€+i(w) = A(e--/2)w (*).
(7.4.8)
Ввиду (7.4.4) мы можем провести доказательство (7.4.7), при-
меняя индукцию по n = или п = 2£ + 1. Предположим, что
(7.4.7) выполняется для всех п таких, что 0 < п < 2S°, и рас-
смотрим 2So < п < 2So+1. Из вышепроведенных рассуждений
мы имеем
f1 для j = so + 1
(О для j > so 4-1,
так что
и
Пусть, как обычно, [ж] обозначает наибольшее целое, не пре-
восходящее ж, и заметим что
„ Гпт
П = 2 - +£1‘
L Z J
(7.4.9)
Поэтому из (7.4.8) мы имеем
Мп(ц>) = РЕ1 (е-^2)м[п/2] (^) -	(7.4.10)
С другой стороны, так как
П]
2J
SQ
= £9+12>-><2»,
j=l
7.4. Ортогональные вэйвлет-пакеты
365
из индукционного предположения следует, что
оо
J=1
Поэтому, объединяя (7.4.10) и (7.4.11), мы получим (7.4.7). □
Далее мы докажем, что вэйвлет-пакеты сохраняют свой-
ство ортогональности о.н. масштабирующей функции ц0 = ф.
Теорема 7.25. Пусть ф — любая о.н. масштабирующая
функция и {цп} ~ семейство соответствующих ей вэйвлет-
пакетов. Тогда для каждого n G Z
(Мп(- - j), Mn(- - k)) = <5j-)fc, j, к El.	(7.4.12)
Доказательство. Так как цо ~ ф удовлетворяет (7.4.12), то
можно провести доказательство (7.4.12) по индукции. Пред-
положим, что (7.4.12) выполняется для всех п, где 0 < n < 2S°,
и рассмотрим 2S° < n < 2So+1. Тогда, так же как при доказа-
тельстве теоремы 7.24, применяя (7.4.8) и (7.4.9), мы имеем
(Мп(- - У), Мп(- - к)}
j ЛОО
= х- /	\pM\2e<k-»“du>
^/l J—оо 1	Г°° 1	°°,	r4ir(€+l) 27Г С=-оо 1	/»4тг = — / Jo	'2)|2 Д[п/2] 1	\ Л / 1 |р61(е--/2)|2 М[п/2](^)|2егм^ и(е-1ш/2)|2	+2^)| t=—оо
366	Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Следовательно, из индукционного предположения и теоре-
мы 3.23 мы имеем
(Мп(‘ “ j), Мп(- ~ к))
=	/’4’re^-j>|pE1(e-^/2)i2rfw
2тг Jo
1 Г2’1'	<	>
= 7Г /	{l^ (с-’^2)!2 + l-Fei (—е~гш/2)| f
Z7T Jo	1	J
1
= ± = <^к,
2тг Jo
где применено одно из следующих двух тождеств
Г|Р« + |Р(-< = 1,
IIQ« + |Q(-< = 1, |z| = 1,
(см. (7.2.4) и (7.1.3)).	□
Свойство ортогональности о.н. масштабирующей функ-
ции до — Ф к соответствующему ей вэйвлету Д1 = ф распро-
страняется также на вэйвлет-пакеты, как это утверждается в
следующей теореме.
Теорема 7.26. Пусть ф— любая о.н. масштабирую-
щая функция и {дп} — соответствующие ей вэйвлет-паке-
ты. Тогда
— j)? М2Лц(’— &)) = О, j, fceZ, t Е Z+.	(7.4.14)
Доказательство. Перед тем как продолжить, выпишем сна-
чала тождество
P0(z)P&) + P0(~z}P^z) = P(z)Q(z) + P(-z)Q(^j = О, M = 1,
(7.4.15)
которое эквивалентно тождеству (г) в лемме 7.9. Отсюда, при-
меняя (7.4.8), (7.4.15) и теоремы 7.25 и 3.23, мы получаем для
7.5. Ортогональное разложение вэйвлет-рядов
367
всех j, к 6 Z и £ G Z+
{рыф-з}, М2^+1(--М)
=	[	M2f(w)M2^+i(w)e^fc--’^dw
J—оо
1	/*00 ,	z,,4 .9
e^-^dw
-оо 1	' л
4тг (	00
+ 2тгт
v m=—оо '
•4%	____

о
г2к
e^-^dw
Z7r Jo
= 0,
где z = е
□
7.5. Ортогональное разложение
вэйвлет-рядов
Пусть {дп}— семейство вэйвлет-пакетов, соответствующих
некоторой масштабирующей функции до = Ф- Для каждого
п Е Z+ рассмотрим семейство подпространств
Д" := closL2(R) (2^/2 дп(2^ --к): кЕ Z), j Е Z, пЕ Z+,
(7.5.1)
(7.5.2)
порожденных {дп}- Напомним, что
= jgz,
jEZ,
где {V)} —это КМА пространства L2(R), порожденный
до — Ф и {Wj;} — последовательность ортогональных допол-
няющих (вэйвлет-) подпространств, порожденных вэйвлетом
368
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
= ф. Тогда ортогональное разложение
Vj+1 = V3®Wp j&Z
может быть записано как
Uf+l = U° ф U}, j е Z.	(7.5.3)
В следующей теореме мы увидим, что это ортогональное раз-
ложение может быть обобщенно с п = 0 на любое п 6 Z+.
Теорема 7.27. Пусть п — любое неотрицательное целое чи-
сло. Тогда
U?+l = U]n Ф U]n+\ j Е Z.	(7.5.4)
Доказательство. Из (7.4.5) в определении 7.23 ясно, что
Ufn и Ujn+i — подпространства . Кроме этого, по теоре-
ме 7.26 мы видим, что эти два подпространства ортогональны
друг другу. Поэтому достаточно показать, что
1 г—л
рп (2з+1 х - т) = -	{Рт—2к Р2п (27 х - к) + qm-2k M2n+1 (2Jх - к)}
к	(7.5.5)
выполняется при всех т Е Z.
Для этого мы применим (7.4.5) к правой части (7.5.5) и
упростим выражение, используя тождество (д) в лемме 7.9:
|	M2n(2J3? - к) + qm~2k Р2п+1 (27ж - к)}
к 1
= 5 ' 5 ^{Pm—2kPi + Qm—2к	® 2/с
1 к I
I __v
= q 5^5 ^{Pm—2kPt—2k 4” Qm—2к Qt—2к}Рп{‘^^ х ^)
fc t
=	^2	\\Pt-2k Рт—2к "Г Qt—2k Qm—2fc]^Mn(2^^ x ^)
= ^2 Mn(2j+1x - t) = pn^j+1x - m).
t
Это завершает доказательство теоремы.	□
II
f 7.5. Ортогональное разложение вэйвлет-рядов	369
Важность о.н. вэйвлета ф состоит в том, что он порождает
базис {ipjjc}, j, к £ Z пространства Z2(R) таким образом, что
для каждого j G Z подсемейство {tfj,k  к 6 Z} не только о.н.
базис
Wj = с1о8£2(к)(^л : к Е Z),
но и временное окно для извлечения локальной информации
(как по ее величине, так и по расположению) внутри j-ro ча-
стотного диапазона (или j-й октавы)
^=(2>+Ч'2,Ч2д©	(7.5.6)
где Д^ — СК ширина диапазона вэйвлета (см. § 3.2 и § 3.4, в ]
частности (3.4.1)-(3.4.5)). Заметим, что ширина диапазона ча- 1
стот Hj возрастает для высоких значений частоты. Сейчас мы !
увидим, что вэйвлет-пакеты обладают способностью разбие- 1
I ния высокочастотных октав, что дает возможность получить 1
 лучшую частотную локализацию.	1
• Теорема 7.28. Для каждого j = 1,2,...	1
,	^ = qL2®rjL2©uJL2©t^2,	1
TT7	— 1	(7.5.7) I
;	Wj = U]_k®U]_f®---®U]_k \	I
i
Кроме того, для каждого m = 0, ... , 2 -1, fc = 1, ... ,J u I
j — 1,2,... семейство	j
fez} (7.5.8)	'
является ортонормированным базисом Uj^_'km.
Замечание. При использовании &-го ортогонального разло-
жения в (7.5.7) j-й диапазон частот Hj, кроме того, разбива-
ется на 2fc поддиапазонов :
Н*’т, m = 0,..., 2fc — 1.	(7-5.9)
24 - 3954
i	J
370
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-пакеты
Конечно, о.н. базис в (7.5.8) пространства Uj^m обеспечи-
Як ,771
j , И
объединение семейства
{Hk’m : m = 0,...,2к - 1}
представляет весь диапазон частот Hj.
Доказательство. Доказательство (7.5.7) — это простое по-
вторение применения (7.5.4) в теореме 7.27, положив n = 1
и учитывая что Uj = Wj. То, что семейство в (7.5.8) — о.н.
базис -это следствие (7.5.1) и (7.4.12) в теореме 7.25. □
Замечание. Ввиду формулы разложения (7.5.5) разложе-
ние любого вэйвлет-ряда
9j(x) = ^2<^(27ж-п) = £<М1(^-п)	(7.5.10)
П	71
в ортогональную сумму с членами из вэйвлет-пакетов
9у,к,т(х) = Е ^+m^~kx - n), m = 0,..., 2k - 1
n	(7.5.11)
(для любого фиксированного значения fc, 1 < к < j) может
быть определено как дерево, где каждая ветвь дерева имеет
два ответвления. Тот же алгоритм разложения, что дается
формулой (5.4.48) с
1.
an —
*	(	i	(7-5.12)
— 2<]п — 2	l)nP-n+i>
может быть использован для разложения каждой ветви. Ко-
нечно, этот дерево-алгоритм разложения должен быть заду-
ман как адаптивный; в частности, если некоторые вэйвлет-
компоненты не так существенны как другие, то они долж-
ны быть реализованы с меньшим количеством ветвей путем
7.5. Ортогональное разложение вэйвлет-рядов
371
j выбора меньших значений к. Для восстановления дерево-ал-
| горитм должен быть обратим путем применения алгоритма
’ восстановления (5.4.49) с весовыми последовательностями рп
I и qn = (-1)”р_„+1.
j Для «наилучшего» ортогонального разложения каждое к
I выбирается по возможности наибольшим; таким образом, ис-
| пользуется последняя формула в (7.5.7).
; Следствие 7.29. Для каждого j = 0,1,2,...
;	L2(R)	=	• (7-5.13)
}	jez
:	Конечно, семейство
I	рД- - к) : j = • • • ,-1,0; п = 2,3,... и к е Z}
является о.н. базисом пространства L2(R).
(7.5.14)
Приложение
Чтобы иметь возможность применить алгоритмы вэйвлет-
разложения и вэйвлет-восстановления, как это описано в
(5.4.48) и (5.4.49), нам необходимы последовательности весов
{afc}, {6fc}, {pk} и {%}. Кроме того, последовательности вос-
становления (или двухмасштабные последовательности) {pk}
и {Qk} могут быть использованы для изображения масштаби-
рующей функции ф и вэйвлета ф (см.(5.2.11), (5.2.14)-(5.2.17)
и (5.3.4)). Ниже мы рассматриваем 5-сплайны ф = Nm и
В-вэйвлеты ф = фт порядка т. Напомним, что их двухмас-
штабные последовательности
Pk = Pm,k->
Qk = Qm.k,
приведенные в (6.3.3)—(6.3.4), особенно просты и их последо-
вательности разложения
bk = bm,k
могут быть вычислены с использованием (6.5.1)-(6.5.2). Так
как эти последовательности симметричны, достаточно вычи-
слить половину значений. Более точно мы имеем
— 0“rn,m—ki
bm,k =	2—fc
(П.1)
Приложение
373
Таблица П.1. Последовательности сплайн-вэйвлет-разложения.
	m = 2		т = 4	
к	«к	^к + 1	а«:+1	6&+4
1	0.683012701892	0.866025403784	0.893162856314	-1-475394519892-
2	0.316987298108	-0.316987298108	0.400680825467	0.468422596633”
3	-0.116025403784	-0.232050807569	-0.282211870811	0.742097698477
4	-0.084936490539	0.084936490539	-0.232924626134	-0.345770890775
5	0.031088913246	0.062177826491	0.129083571218	-0.389745580800
6	0.022758664048	-0.022758664047	0.126457446356	0.196794277304
7	-0.008330249198	-0.016660498395	-0.066420837387	0.207690838380
8	-0.006098165652	0.006098165652	-0.067903608499	-0.106775803373
9	0.002232083545	0.004464167091	0.035226101674	-0.111058440711
10	0.001633998562	-0.001633998561	0.036373586989	0.057330952254
11	-0.000598084983	-0.001196169967	-0.018815686621	0.059433388390
12	-0.000437828595	0.000437828595	-0.019473269356	-0.030709700871
13	0.000160256388	0.000320512777	0.010066747520	-0.031811811318
14	0.000117315818	-0.000117315818	0.010424052187	0.016440944687
15	-0.000042940569	-0.000085881139	-0.005387929819	0.017028029466
16	-0.000031434679	0.000031434678	-0.005579839208	-0.008800839839
17	0.000011505891	0.000023011782	0.002883979478	-0.009114745138
18	0.000008422897	-0.000008422897	0.002986784625	0.004710957034
19	-0.000003082990	-0.000006165980	-0.001543728719	0.004878941541
20	-0.000002256905	0.0000022569054	-0.001598768083	-0.002521687975
21	0.000000826079	0.0000016521587	0.000826326663	-0.002611601542
Таблица П.2. Последовательности восстановле-
ния (двухмасштабные последовательности).
	т = 2		т = 4	
к	Pk	Qk+i	Pk+i	Qk+4
1	2 2	20 4!	6 8	24264 8!
2	1 2	_12 4!	4 8	18482 8!
3		2 4!	1 8	7904 8!
4				1677 8!
5				124 8!
6				1 8!
374
Приложение
и.
I Рт,к = Pm,m—ki	(yj 2)
= Qrn.,3m—2—к
для всех к 6 Z. На практике, особенно при сплайн-интерпо-
ляции, наиболее часто используются линейные и кубические
сплайны. Поэтому в таблицах П.1 и П.2 мы даем значения
О/с = ^m,ki Ьк ~ bm,k И р^ = Рт,к> Qk = Qm,k ДЛЯ ТП — 2 И 4.
Напомним, что для получения второй «половины» последо-
вательностей следует обратиться к формулам (П.1) и (П.2).
Замечания
Глава 1.
Стандартная ссылка на тригонометрические ряды — это
Зигмунд [9]. Другие книги по рядам Фурье, которые были
нам полезны при подготовке глав 1 и 2, — это Бари [1], Хель-
сон [5], Катцнельсон [6], Штейн и Вайсс [7].
Простейший ортогональный вэйвлет — это функция Ха-
ара, изученная А.Хааром в [55]. Понятие интегрального
вэйвлет-преобразования (ИВП), (И^,/)(Ь,а) впервые было
введено Гроссманом и Морле [54], хотя техника, которая осно-
вана на использовании сдвигов и растяжений, восходит к
Кальдерону [30] при его изучении сингулярных интеграль-
ных операторов. Базисный вэйвлет, используемый для опре-
деления ИВП, в литературе о вэйвлетах называется так-
же “материнским вэйвлетом”. Формула для восстановле-
ния любой f Е Z2(R) по ее ИВП	a), a, b Е R
может быть найдена в [54].
На важность полудискретного ИВП	а), где b Е R
и а = 2~J , j Е Z при сжатии изображения впервые было обра-
щено внимание С.Малла, и понятие двухпараметрического
вэйвлета было также введено Малла в его совместной работе
с В.Л.Хвонгом [60] и с С.Зонгом [61, 62]. Условие устойчиво-
сти для двухпараметрических вэйвлетов, изученное Малла и
Хвонгом [60], может рассматриваться как обобщение тожде-
ства Литтлвуда—Пэли. Неравенства такого типа для карка-
376
Замечания
сов и вэйвлетов были изучены Добеши [50], Чуи и Ши [37], и,
в частности, такое тождество было использовано Чуи и Ши
[38] для характеристики вэйвлетов.
Основная ссылка по обработке сигналов — это Оппенгейм
и Шэйфер [25], математический анализ этого предмета дан
Чуи и Ченом [24]. Другие ссылки на некоторые специальные,
но близкие темы по обработке сигналов и изображений, — это
Ауслендер, Кайл ат и Миттер [22] и Розенфельд [26].
То что 7£-функция не всегда 7£-вэйвлет (или вэйвлет), бы-
ло уже замечено И.Мейером в первом томе [21] и с некото-
рыми подробностями обсуждено Добеши в [50], где были ис-
пользованы результаты Чамичьяна [68, 69]. Доказательство в
этой главе было дано Чуи и Ши в [37], следуя идеям Добеши
и Мейера.
Понятие кратномасштабного анализа (КМА) было впер-
вые введено Мейером [63] и Малла [58] и в дальнейшем раз-
вито Малла в [57, 59]. Также Малла [57-59] были построе-
ны алгоритмы вэйвлет-разложения и вэйвлет-восстановления,
использующие пространства КМА. Представление этих алго-
ритмов в этой главе следует [40, 43] таким образом, что кон-
станта нормировки \/2 включена в базисные функции для об-
легчения их выполнения. Заметим некоторое сходство КМА
и алгоритма пирамиды Лапласа, принадлежащего Барту и
Адельсону [29].
Наиболее обстоятельная работа по сплайнам принадлежит
Шёнбегру [14], который и развил эту тему. Мейер [63] и Ле-
марье [56] заметили, что пространства сплайнов приводят к
КМА, хотя специалисты в теории приближений также рас-
сматривали схемы подразбиения пространств. (См. Чуи [11]
и ссылки в этой работе.) Соответствующий 5-сплайну т-го
порядка Nm 5-вэйвлет m-го порядка 4>m был введен Чуи
и Вонгом [43]. Двойственное фт вэйвлета -фт было также по-
строено в [43] с точки зрения m-й производной сдвинутого и
масштабированного фундаментального сплайна порядка 2m,
введенного Чуи и Вонгом в [40].
Замечания
377
Алгоритм предиктор-корректор может быть использован
для реализации БИО-фильтра и АРСС-фильтра с полюса-
ми, лежащими оба внутри или вне единичной окружности.
Такие алгоритмы могут быть оптимизированы путем их объ-
единения с шумовыми процессами (см. Чуи и Чен [23]). Эта
процедура может быть применена к разложениям по сплайн-
вэйвлетам без усечения.
Глава 2.
Имеется обширная и хорошая литература о преобразова-
нии Фурье. Наиболее полезными для нас при подготовке гла-
вы 2 были книги Гольдберг [4] и Титчмарш [8].
Так как функции из ZP(R) или IT* (О,2л) рассматриваются
как “эквивалентные классы” функций, то мы допускаем из-
менение функций на множестве меры нуль. В частности, в
утверждениях о поточечной сходимости мы всегда имеем в
виду сходимость к некоторому представителю рассматривае-
мого класса эквивалентных функций.
К тому же книги [1, 5, 6, 7, 9] по гармоническому ана-
лизу представляют собой хороший источник для дополни-
тельного чтения. Этот предмет имеет очень богатую исто-
рию. Мы даем здесь только очень краткое обсуждение во-
проса о поточечной сходимости. Еще в 1876 году Дю-Буа-
Реймон показал существование 2л-периодической непрерыв-
ной функции, ряд Фурье которой расходится в некоторой
точке. Из этого результата нетрудно доказать существова-
ние 2л-периодической непрерывной функции, ряд Фурье ко-
торой расходится на плотном подмножестве вещественной
оси R. В 1923 году Колмогоров доказал, что ряд Фурье не-
которой функции f G 2Д(0,27г) может расходиться почти
всюду. Через три года он (совместно с Зигмундом) развил
этот результат и доказал существование / 6 Z1^, 2л) с
расходящимся всюду рядом Фурье. С другой стороны,
Карлесон в 1966 году доказал, что если f € Z2(0,2л),
то ее ряд Фурье сходится почти всюду. Этот глубокий ре-
378
Замечания
зультат был распространен Хантом в 1967 году на любую
f е ЪР(0,2тг), р > 1.
Довольно широкое обсуждение формулы суммирования
Пуассона дается в этой главе по той причине, что несколько
вариантов этой формулы используются на протяжении всей
книги.
Глава 3.
Преобразование Фурье с помощью окон впервые было вве-
дено Габором [53], использующим функцию Гаусса в качестве
функции-окна. Вот почему это также называется преобра-
зованием Габора. В инженерной литературе такое примене-
ние окон, которое не ограничивается использованием функ-
ции Гаусса, называется также кратковременным преобразо-
ванием Фурье (КВПФ). Мы отсылаем читателей к работам
Добеши [20, 50], Малла [57], отдельным главам в книгах
[16, 17, 18, 19] и к перечню ссылок в них. Читатель от-
сылается также к тем же источникам за материалом, со-
держащим использование среднего квадратичного отклоне-
ния для определения радиуса и, отсюда, ширины функции-
окна, а также для обсуждения принципа неопределенности.
Как было отмечено ранее, когда мы имеем дело с функ-
цией из LP(R), мы, по сути дела, имеем в виду предста-
вителя класса эквивалентных функций, который совпада-
ет с этой функцией всюду, кроме множества меры нуль.
В частности, мы всегда используем непрерывные функции-
окна всякий раз, когда это возможно. Читатель также от-
сылается к работе Шампеньи [2] для дальнейших обсужде-
ний и ссылок на литературу из области гармонического ана-
лиза.
Как упоминалось в замечаниях для главы 1, ИВП бы-
ло введено Гроссманом и Морле [54], где было определено
условие допустимости (3.3.1) на базисные вэйвлеты (назы-
ваемые также материнскими вэйвлетами). Большая полез-
ность полудискретных ИВП была доказана в работе Малла
Замечания
379
по сжатию изображения сначала с использованием пересе-
чения нулей, а затем используя максимум вэйвлета (или ло-
кальный экстремум) для ИВП на двухпараметрических мас-
штабных уровнях. Это можно найти также в работах Мал-
ла и Зонга [61, 62] и Малла и Хвонга [60]. В этом напра-
влении условие устойчивости (3.4.6) играет решающую роль
в формуле обращения (3.4.14), введенной Малла и Хвонгом
[60]. Характеристика двухпараметрических двойственных, ис-
пользующая тождество Литтлвуда—Пэли, дана в работе Чуи
и Ши [38].
Понятие каркасов было введено Даффином и Шэйфе-
ром [51] ис некоторыми подробностями изучено Добеши [20,
50]. Пример 3.18 также принадлежит Добеши. Принцип вну-
треннего отображения, использованный в наших рассужде-
ниях об ограниченности обратного отображения, порожден-
ного каркасом, является стандартным в теории операторов
(см. т. 1, стр. 57, Данфорд и Шварц [3]). Свойство устойчиво-
сти (3.5.18) каркаса было выведено Чуи и Ши [37]. Заметим
также, что Фрэйзер и Яаверт [52] использовали растяжение и
сдвиги в их работе по «^-преобразованиям.
Полуортогональные вэйвлеты были введены независимо
Ошером [27] и Чуи и Вонгом [40, 41, 43], хотя полуортогональ-
ные базисные сплайн-вэйлеты были впервые построены Чуи
и Вонгом в работах [40, 43]. Процедура ортонормализации
(3.6.18) принадлежит Швейнлеру и Вигнеру [66] и поэтому
называется о.н. процедурой Швейнлера—Вигнера.
Глава 4.
Сплайн-анализ — установившийся предмет. В случае
одномерной теории читатель отсылается к де Бору [10],
Нюрнбергеру [13], Шёнбергу [14], Шумакеру [15] и к Чуи
[11] — для многомерного исследования. Сплайн-функция
с эквидистантными (простыми) узлами называется просто
сплайном, и для дальнейшего изучения читатель отсылает-
380
Замечания
ся к Шёнбергу [14, 65]. В частности, структура многочленов
Эйлера—Фробениуса оформлена в [14, 65].
Графически изобразительный алгоритм (алгоритм 4.7),
введенный в § 4.3, представляет собой итерацию стандартной
схемы подразбиения. Он представлен здесь для того, что-
бы побудить нас к введению алгоритма (вэйвлет-) восста-
новления в главе 5. 5-сплайн — В-сетевой алгоритм (ал-
горитм 4.10) есть одномерная версия бокс-сплайн графиче-
ски изобразительного алгоритма, развитого в работе Чуи и
Лая [36].
Понятие квазиинтерполяции принадлежит де Бору и Фик-
су (см. де Бор [10] и Шумакер [15]). Подход, связанный с
рядами Неймана, был впервые предложен Чуи и Даймон-
дом в работе [35], где была доказана теорема 4.13. Пред-
ставленная в этой книге характеристика квазиинтерполян-
тов (см. (4.5.35)-(4.5.36)) была дана Чуи и Даймондом [33].
Теория интерполяции базисными сплайнами была развита
Шёнбергом (см. Шёнберг [14, 65]). Построение локальной ин-
терполяционной формулы, представленное в § 4.6 с помощью
“булевских сумм”для полностью локального и квазиинтерпо-
ляционного операторов, было введено Чуи и Даймондом в ра-
боте [34]. Подробное изучение этой темы дано у Чуи [32] и в
более общем виде в работе Чуи [31].
Глава 5.
Понятие кратномасштабного анализа было впервые введе-
но Мейером [63] и Малла [58], а затем развито Малла в [57, 59].
теоремы 5.5 и 5.6 принадлежат Коэну [44]. Результат о вели-
чине носителя масштабирующей функции, выраженной через
длину ее двухмасштабной последовательности, принадлежит
Добеши [49], и масштабирующая функция в (5.2.6) была так-
же дана в [49]. Характеристика масштабирующих функций
с наименьшим носителем, использующая отсутствие симме-
тричных нулей, была дана Чуи и Вонгом [41], где было вве-
дено понятие обобщенных многочленов Эйлера—Фробениуса
Замечания
381
(Лорана) и были изучены их свойства такие же, как в теоре-
ме 5.10. Тот факт, что 5-сплайн m-го порядка — единствен-
ная функция, которая порождает КМА {V™} и имеет конеч-
ную двухмасштабную последовательность, был также дока-
зан в [41]. Представление разложения в прямую сумму в §5.3
представляется новым, а подход в § 5.4 есть обобщение работы
Коэна, Добеши и Фово [46]. В частности, является новым кри-
терий (5.4.11) в теореме 5.19. Принцип двойственности для
сплайн-вэйвлетов, и в более общем случае для полуортого-
нальных вэйвлетов, был введен Чуи и Вонгом, соответствен-
но, в работах [43] и [41]; неортогональный (биортогональный)
вариант также может быть найден у Коэна, Добеши и Фо-
во [46].
Как упоминалось ранее, алгоритмы вэйвлет-разложения
и вэйвлет-восстановления были построены Малла в [58]. Фор-
мулировки в этой книге следуют работам [40, 43]. Важность
линейной фазы при фильтрации и связь между линейной
фазой и симметрией хорошо известны в инженерной лите-
ратуре (см. Оппенгейм и Шэйфер [25]). Наше обсуждение в
§5.5 и §5.6 является расширением результатов Чуи и Вон-
га [41].
Общее решение (5.6.39) для соотношения двойственности
(5.6.17) было дано Добеши [49] в случае ортонормированного
множества и в работе Коэна, Добеши и Фово [46] в общем
случае. Вэйвлеты с компактными носителями, двойственные
которых также имеют компактные носители и линейную фа-
зу, были также построены Коэном, Добеши и Фово в [46].
Подход с точки зрения набора фильтров был рассмотрен
Веттерли и Херли [70].
Глава 6.
Интерполяционные сплайн-вэйвлеты, данные в теоре-
ме 6.1, принадлежат Чуи и Вонгу [40], и сопоставление под-
пространств КМА у]2”1,0 из Vim с вэйвлет-пространствами
W™ было проведено в работе Чуи и Вонга [39]. Базисные
382
Замечания
сплайн-вэйвлеты (или В-вэйвлеты), данные в (6.2.5), вместе
с их двойственными (6.2.10) были введены Чуи и Вонгом в
[43]. Однако представление в §6.2 совсем другое, так как оно
использует более общий результат, теорему 5.19 из главы 5.
Треугольный алгоритм Паскаля (ТАП) для вычисления
В-вэйвлетов и их производных был введен в работе Чуи и
Вонга [42].
Представление свойств многочленов Эйлера—Фробениуса
соответствует работе Шёнберга [65], в то время как мате-
риалы по анализу погрешности сплайн-вэйвлет-разложения
взяты из работы Чуи и Вонга [42]. Наиболее исчерпыва-
ющая ссылка на вполне положительность — это Карлин
[12], и дополнительные сведения о Пойа-частотных (ПЧ) по-
следовательностях могут быть найдены у Шёнберга [14].
Теорема 6.21 о некоторых линейных ТАП, приводящих к ПЧ-
последовательностям, была доказана Чуи и Вонгом [39], где
впервые было введено понятие полной осцилляции и исследо-
вана ее связь с пересечением нулей.
Глава 7.
Первый нетривиальный вэйвлет был построен Стрёмбер-
гом [67] с использованием сплайн-функций. Вэйвлеты Мейе-
ра [64], как это показано в примере 7.3, — это о.н. вэйвле-
ты с преобразованием Фурье, имеющим компактный носи-
тель. Ортонормированные (о.н.) сплайн-вэйвлеты, данные в
примере 7.1, часто называют вэйвлетами Баттла—Лемарье,
так как они были построены независимо Баттлом [28] и
Лемарье [56] с использованием различных методов. Одна-
ко ни один из этих вэйвлетов не имеет компактного но-
сителя. Основываясь на структуре КМА, Добеши [49] бы-
ла первой, кто построил о.н. вэйвлеты с компактными но-
сителями. Ее построение было основано на идентифика-
ции о.н. масштабирующих функций, как это обсуждалось
в § 7.2, хотя представление здесь несколько отличается от
работы [49]. Построение вэйвлетов Добеши зависит так-
Замечания	383
же от леммы Рисса, как установлено в теореме 7.17. Те-
орема 7.22 была также доказана Добеши [49], в то время
как результат в (7.3.28) был установлен Коэном и Добеши
в [45].
Вэйвлет-пакеты, называемые также Куафманом и Мейер-
ом “волновыми пакетами”, были введены Куафманом, Мейер-
ом, Куэйком и Викерхаузером в [47]. Для дальнейшей инфор-
мации мы отсылаем читателя к работе Куафмана, Мейера и
Викерхаузера [48].
1
Список литературы
Книги
Анализ Фуръе и теория операторов
1.	Bari N. К. A Treatise on Trigonometric Series,
Macmillan, 1964. [Впервые опубликована на русском
языке: Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.:
Физматгиз, 1961.]
2.	Champeney D. С. A Handbook of Fourier Theorems,
Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
3.	Dunford N. and Schwartz J. Linear Operators,
Interscience, New York, 1958. [Имеется перевод: Дан-
форд H., Шварц Дж. Т. Линейные операторы, в двух
томах. М.: ИЛ, 1962.]
4.	Goldberg R. R. Fourier Transforms, Cambridge
University Press, 1965.
5.	Helson H. Harmonic Analysis, The Wadsworth &
Brooks/
Cole Mathematics Series,	Addison-Wesley,	1983,
reprinted by Wadsworth, 1991.
6.	Katznelson Y. An Introduction to Harmonic Analysis,
John Wiley and Sons, 1968, reprinted by Dover, New
York, 1976.
7.	Stein E. M. and Weiss G. Introduction to Fourier
Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University
Press, 1971. [Имеется перевод: Стейн И., Вейс Г. Вве-
Список литературы
385
дение в гармонический анализ на евклидовых про-
странствах. М.: Мир, 1974.]
8.	Titchmarsh Е. С. Introduction to the Theory of Fourier
Integrals (Second Edition), Oxford University Press,
1948. [Имеется перевод с 1-го издания: Титчмарш Е.
Введение в теорию интегралов Фурье. М.: ГИТТЛ,
1948.]
9.	ZygmundA., Trigonometric Series (Second Edition), in
two volumes, Cambridge University Press, 1959. [Имеет-
ся перевод: Зигмунд А. Тригонометрические ряды, в
двух томах. М.: Мир, 1965.]
Сплайн-анализ
10.	de Boor С., A Practical Guide to Splines, Applied
Mathematical Sciences, Vol. 27, Springer-Verlag, 1978.
[Имеется перевод: де Бор К. Практическое руковод-
ство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985.]
11.	Chui С. К. Multivariate Splines, CBMS-NSF Series in
Applied Math. #54, SIAM Publ., Philadelphia, 1988.
12.	Karlin S. Total Positivity, Stanford University Press,
Stanford, CA, 1968.
13.	Niirnberger G- Approximation by Spline Functions,
Springer-Verlag, New York, 1989.
14.	Schoenberg I. J. Cardinal Spline Interpolation, CBMS-
NSF Series in Applied Math. #12, SIAM Publ.,
Philadelphia, 1973.
15.	Schumaker L. L. Spline Functions: Basic Theory, Wiley-
Interscience, New York, 1981.
Вэйвлет-теория и применения
16.	Beylkin G., CoifmanR., Daubechies I., Mallat S.,
Meyer Y., Raphael L., and Ruskai B. (eds.), Wavelets
and Their Applications, Jones and Bartlett, Cambridge,
MA, 1992.
25 - 3954
386
Список литературы
17.	Chui С. К. (ed.), Approximation Theory and Functional
Analysis, Academic Press, Boston, 1991.
18.	Chui С. K., (ed.), Wavelets: A Tutorial in Theory and
Applications, Academic Press, Boston, 1992.
19.	Combes J. M., Grossmann A., and Tchamitchian P.
(eds.), Wavelets: Time-Frequency Methods and Phase
Space, Springer-Verlag, New York, 1989; Second Edition,
1991.
20.	Daubechies I. Wavelets, CBMS-NSF Series in Appl.
Math., SIAM Publ., Philadelphia, 1992.
21.	Meyer Y. Ondelettes et Operateurs, in two volumes,
Hermann, Paris, 1990.
Обработка сигналов и изображений
22.	AuslanderL., KailathT., and Mitter S. (eds.), Signal
Processing I: Signal Processing Theory, The IMA
Volumes in Mathematics and Its Applications #22,
Springer-Verlag, New York, 1990.
23.	Chui С. K. and Chen G. Kalman Filtering with Real-
Time Applications, Springer Series in Information
Sciences #17, Springer-Verlag, New York, 1987; Second
Edition 1991.
24.	Chui С. K. and Chen G. Signal Processing and Systems
Theory — Selected Topics, Springer Series in Information
Sciences #26, Springer-Verlag, New York, 1991.
25.	Oppenheim A. V. and Schafer R. W. Discrete-Time
Signal Processing, Prentice Hall Signal Proc. Series,
Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.
26.	Rosenfeld A. (ed.), Multiresolution Image Processing and
Analysis, Springer Series in Information Sciences #12,
Springer-Verlag, New York, 1984.
Список литературы
387
Статьи
27.	Auscher Р. Ondettes fractales et applications, These de
Doctorat, University Paris-Dauphine, 1989.
28.	Battle G. A block spin construction of ondelettes, Part.
I: Lemarie functions, Comm. Math. Phys. 110 (1987),
601615.
29.	Burt P. J. and Adelson E. H. The Laplacian pyramid as
a compact image code, IEEE Trans. Comm. 31 (1983),
482-540.
30.	Calderon A. P. Intermediate spaces and interpolation, the
complex method, Stadia Math. 24 (1964), 113-190.
31.	Chui С. K. Construction and applications of interpolation
formulas, in Multivariate Approximation and
Interpolation, Haussmann W. and Jetter K. (eds.), ISNM
Series Math., Birkhauser Verlag, Basel, 1990, 11-23.
32.	Chui С. K. Vertex splines and their applications to
interpolation of discrete data, in Computation of Curves
and Surfaces, Dahmen W., Gasca M., and Micchelli C. A.
(eds.), Kluwer Academic Publishers, 1990, 137-181.
33.	Chui С. K. and Diamond H. A characterization
of multivariate quasiinterpolation formulas and
applications, Numer. Math. 57 (1990), 105-121.
j	34. Chui С. K. and Diamond H. A general framework for
j	local interpolation, Numer. Math.	58	(1991),	569-
|	581.
|	35. Chui С. K. and Diamond H., A natural formulation of
I	quasi-interpolation by	multivariate	splines, Proc. Amer.
?	Math. Soc. 99 (1987),	643-646.
(	36. Chui С. K. and Lai M. J. Computation of box splines and
(	B-splines on triangulations of nonuniform rectangular
\	partitions, Approx. Th. and Its Appl. 3 (1987),
?	37-62.
j a,
388
Список литературы
37.	Chui С. К. and Shi X. L. Inequalities of Littlewood-Paley
type for frames and wavelets, CAT Report #249, Texas
A&M University, 1991.
38.	Chui С. K. and Shi X. L. On a Littlewood-Paley identity
and characterization of wavelets, CAT Report #250,
Texas A&M University, 1991.
39.	Chui С. K. and Wang J. Z. An analysis of cardinal spline-
wavelets, CAT Report #231, Texas A&M University,
1990.
40.	Chui С. K. and Wang J. Z. A cardinal spline approach to
wavelets, Proc. Amer. Math. Soc., 1991, to appear.
41.	Chui С. K. and Wang J. Z. A general framework of
compactly supported splines and wavelets, CAT Report
#219, Texas A&M University, 1990.
42.	Chui С. K. and Wang J. Z. Computational and
algorithmic aspects of cardinal spline-wavelets, CAT
Report #235, Texas A&M University, 1990.
43.	Chui С. K. and Wang J. Z. On compactly supported
spline wavelets and a duality principle, Trans. Amer.
Math. Soc., 1991, to appear.
44.	Cohen A., Ondelettes. Analyses multiresolutions et
traitement numerique du signal, Doctoral Thesis, Univ.
Paris-Dauphine, 1990.
45.	Cohen A. and Daubechies I. Nonseparable bidimensional
wavelet bases, AT&T Bell Laboratories, 1991,
preprint.
46.	Cohen A., Daubechies L, and Feauveau J. C. Bi-
orthogonal bases of compactly supported wavelets,
Comm. Pure and Appl. Math., 1991, to appear.
47.	Coifman R., Meyer Y., Quake S., and Wickerhauser M. V.,
Signal processing and compression with wave packets, in
Список литературы
389
Proceedings of the Conference on Wavelets, Marseilles
Spring 1989.
48.	Coifman R., Meyer Y., and Wickerhauser M. V. Wavelet
analysis and signal processing, 1991, preprint.
49.	Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported
wavelets, Comm. Pure and Appl. Math. 41 (1988), 909-
996.
50.	Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency
localization and signal analysis, IEEE Trans. Inform.
Theory 36 (1990), 961-1005.
51.	Duffin R. J. and Schaeffer A. C. A class of nonharmonic
Fourier series, Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952), 341-
366.
52.	Frazier M. and Jawerth B. Decomposition of Besov
spaces, Indiana University Math. J. 34 (1985), 777-
799.
53.	Gabor D. Theory of communication, J. IEE (London) 93
(1946), 429-457.
54.	Grossmann A. and Morlet J. Decomposition of Hardy
functions into square integrable wavelets of constant
shape, SIAM J. Math. Anal. 15 (1984), 723-736.
55.	Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme,
Math. Ann. 69 (1910), 331-371.
56.	Lemarie P. G. Ondelettes a localisation exponentielles,
J. Math. Pure et Appl. 67 (1988), 227-236.
57.	Mallat S. A theory of multiresolution signal
decomposition: the wavelet representation, IEEE Trans.
Pattern Anal. Machine Intell. 11 (1989), 674-693.
58.	Mallat S. Multiresolution representation and wavelets,
Ph. D. Thesis, University of Pennsylvania, Philadelphia,
PA, 1988.
390
Список литературы
59.	Mallat S. Multiresolution approximations and wavelet
orthonormal bases of £2(R), Trans. Amer. Math. Soc.
315 (1989), 69-87.
60.	Mallat S. and Hwang W. L. Singularity detection and
processing with wavelets, 1991, preprint.
61.	Mallat S. and Zhong S. Reconstruction of functions from
the wavelet transform local maxima, 1990, preprint.
62.	Mallat S. and Zhong S. Wavelet transform maxima and
multiscale edges, in Wavelets and Their Applications,
Beylkin G., Coifman R., Daubechies L, Mallat S.,
Meyer Y., Raphael L., and Ruskai B. (eds.), Jones and
Bartlett, Cambridge, MA, 1991.
63.	Meyer Y. Ondelettes et fonctions splines, Seminaire EDP.
Ecole Polytechnique, Paris, December 1986.
64.	Meyer Y. Principe d’incertitude, bases Hilbertiennes et
algebres d’operateurs, Seminaire Bourbaki 662 (1985-
1986).
65.	Schoenberg I. J. Contributions to the problem of
approximation of equidistant data by analytic functions,
Quart. Appl. Math. 4 (1946), 45-99, 112-141.
66.	Schweinler H. C. and Wigner E. P. Orthogonalization
methods, J. Math. Phys. 11 (1970), 1693-1694.
67.	Stromberg J. O. A modified Franklin system and
higher order spline systems on R” as unconditional
bases for Hardy spaces, in Proc. Conf, in Honor of
Antoni Zygmund, Vol. II, Beckner W., Calderon A. P.,
Fefferman R., and Jones P. W. (eds.), Wadsworth, NY,
1981, 475-493.
68.	Tchamitchian Ph. Biorthogonalite et theorie des
operateurs, Rev. Math. Iberoamericana, to appear.
Список литературы
391
69.	Tchamitchian Ph. Calcul symbolique sur les operateurs
de Calderon- Zygmund et bases inconditionnelles de
L2(R"), C. R. Acad. Sc. Paris 303 (1986), 215-218.
70.	Vetterli M. and Herley C. Wavelets and filter banks:
theory and design, IEEE ASSP, 1992, to appear.
Хотя вэйвлет-анализ — относительно новый предмет, уже
существует обширная литература, посвященная его теории и
применениям, а также некоторым связанным с ним областям.
Приведенный список литературы отражает только те обла-
сти, которые затронуты в этой книге и обсуждаются в За-
мечаниях. Гораздо более обширная библиография включена
во второй том книг этой серии «Вэйвлеты — руководство по
теории и применениям».
Список дополнительной
литературы по вэйвлетам
1.	Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и
примеры применения. Успехи физических наук. 1998.
Т. 166. N. 11. с. 1145-1170.
2.	Астафьева Н. М. Вейвлет-преобразования. Основные
свойства и примеры применения. М.: ИКИ РАН, 1994.
N. 1891. 56 с.
3.	Бердышев В. И., Петрак Л. В. Аппроксимация функ-
ций. Сжатие численной информации. Приложения.
Екатеринбург, 1999, с. 127-150.
4.	Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Базисы всплесков в
пространствах дифференцируемых функций анизо-
тропной гладкости. Докл. РАН, 1992, Т. 323, N 4,
с. 615-618.
5.	Берколайко М. 3., Новиков И. Я. Базисы всплесков и
линейные операторы в анизотропных пространствах
Лизоркина—Трибеля. Докл. РАН, 1995, т. 340, N 5,
с. 583-586.
6.	Берколайко М. 3., Новиков И. Я. О бесконечно глад-
ких почти-всплесках с компактным носителем. Матем.
заметки, 1994, Т. 55, N 3, с. 3-12.
7.	Берколайко М. 3., Новиков И. Я., Образы всплесков
при действии операторов свертки. Матем. заметки,
1994, Т. 55, N 5, с. 13-24.
Список дополнительной литературы по вэйвлетам
393
8.	Вайдьянатхан П. П. Цифровые фильтры, блоки филь-
тров и полифазные цепи с многочастотной дискре-
тизацией. Методический обзор. ТИИЭР, 1990, N. 3
с. 77-120.
9.	Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и практика
вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-во ВУС, 1999.
10.	Желудев В. А. О вейвлетах на базе периодических
сплайнов. Докл. РАН, 1994, N 1, с. 9-13.
11.	Завадский В. Л. Аппроксимация функций нескольких
переменных с ограниченной смешанной производной
посредством вейвлетов. Препринт ИМ НАНБ, 1997,
N 1/529.
12.	Завадский В. Л. Нелинейная аппроксимация функ-
ций нескольких переменных с ограниченной смешан-
ной производной посредством вейвлетов. Препринт
ИМ НАНБ, 1997, N 15 (538).
13.	Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.:
АФЦ, 1999 с. 244-296.
14.	Кирушев В. А. Быстрый алгоритм сжатия изображе-
ний. Вестник молодых ученых. Прикл. матем. и меха-
ника, 1997, N 1, с. 4-10.
15.	Кравченко В. Ф., Рвачев В. A. «Wavelet»-системы и
их применение в обработке сигналов. Зарубежная ра-
диоэлектроника, 1996, N. 4, с. 3-20.
16.	Кравченко В. Ф., Рвачев В. А., Пустовойт В. И. Орто-
нормированные системы типа «wavelet» на основе ато-
марных функций. Докл. РАН, 1996, N 1, с. 16-18.
17.	Лукашенко Т. П. Всплески на топологических груп-
пах. ДАН, 1993, т. 332, N 1, с. 15-17.
18.	Лукашенко Т. П. О свойствах систем разложения, по-
добных ортогональным. Изв. РАН, серия матем., 1998,
т. 62, N 5, с. 187-206.
394
Список дополнительной литературы по вэйвлетам
19.	Малоземов В. П., Мишарский С. М. Сравнительное
изучение двух вейвлетных базисов. Проблемы переда-
чи информации, 2000, т. 36, вып. 2, с. 27-37.
20.	Малоземов В. Н., Мишарский С. М. Хааровские спек-
тры дискретных сверток. Ж. вычисл. мат. и матем.
физ., 2000, т. 40, N 6, с. 954-960.
21.	Малоземов В. Н., Певный А. Б., Третьяков А. А. Бы-
строе вейвлетное преобразование дискретных перио-
дических сигналов и изображений. Проблемы переда-
чи инф., 1998, т. 34, Вып. 2, с. 77-85.
22.	Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Алгоритм
Кули-Тьюки и дискретное преобразование Хаа-
ра. Вестник СПбГУ, сер. 1, 1998, вып. 3 (N 15),
с. 31-34.
23.	Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Новый подход к ал-
горитму Кули-Тьюки. Вестник СПбГУ, сер. 1, 1997,
вып. 3 (N 15), с. 57-60.
24.	Малоземов В. Н., Третьяков А. А. Секционирование,
ортогональность и перестановки. Вестник СПбГУ,
сер. 1, 1999, вып. 1 (N 1), с. 16-21.
25.	Новиков И. Я. Онделетты И. Мейера —оптимальный
базис в С(0,1). Матем. заметки, 1992, т. 52, N 5,
с. 88-92.
26.	Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основные конструкции
всплесков. Фундаментальная и прикладная математи-
ка, 1997, т. 3, N 4, с. 999-1028.
27.	Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории вспле-
сков. Успехи математических наук, 1998, т. 53,
N 6 (324), с. 53-128.
28.	Новиков Л. В. Основы вейвлет-анализа сигналов.
Учебное пособие. СПб.: Изд-во ООО «МОДУС+»,
1999.
Список дополнительной литературы по вэйвлетам
395
29.	Новиков Л. В. Спектральный анализ сигналов в ба-
зисе вейвлетов. Научное приборостроение, 2000 т 10
N 3, с. 57-64.
30.	Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков.
СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.
31.	Петухов А. П. Кратномасштабный анализ и всплеск-
разложения пространств периодических распределе-
ний. Доклады РАН, 1997, т. 356, N 2, с. 303-306.
32.	Петухов А. П. Периодические всплески. Математиче-
ский сборник, 1997, т. 188, N 10, с. 69-94.
33.	Петухов А. П. Периодические дискретные всплески.
Алгебра и анализ, 1996, т. 8, N 3, с. 151-183.
34.	Скопина М. А. О нормах полиномов по системам пе-
риодических всплесков в пространствах Lp. Матем. за-
метки, 1996. т. 59, N 5, с. 780-783.
35.	Харатишвили Н. Н. Пирамидальное кодирование. М.:
Мысль, 1997.
36.	Aboufadel Е., Schlicker S., Discovering wavelets, J.Wiley
& Sons Inc., 1999.
37.	Alpert B., Wavelets and other bases for fast numerical
linear algebra, in Chui C., ed., Wavelets: A Tutorial in
Theory and Applications, Academic Press, New York,
1992, p. 181-216.
38.	Amaratunga K., and Williams J., Wavelet-Galerkin
solutions for one-dimensional partial differential
equations, International J. Num. Methods in Eng. 37
(1994), p. 2703-2716.
39.	Auscher R., Solution of two problems on wavelets,
J. Geometric Analysis 5 (1995), p. 181-236.
40.	Auscher R., Weiss G., and Wickerhauser M., Local sine
and cosine bases of Coifman and Meyer and the
construction of smooth wavelets, in Chui C., ed.,
396
Список дополнительной литературы по вэйвлетам
Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications,
Academic Press, New York, 1992, p. 237-256.
41.	Benedetto J., and Frazier M., eds., Wavelets:
Mathematics and Applications. CRC Press, Boca Raton,
Fla., 1993.
42.	Benedetto J., and Teolis A., A wavelet auditory model
and data compression. Appl. Comp. Harm. Anal.
1 (1993), p. 3-28.
43.	Beylkin G., On wavelet-based algorithms for solving
differential equations, in Benedetto J. and Frazier M.,
eds., Wavelets: Mathematics and Applications, CRC
Press, Boca Raton, Fla., 1993, p. 449-466.
44.	Beylkin G., Coifman R., and Rokhlin V., Fast wavelet
transforms and numerical algorithms, Comm. Pure Appl.
Math. 44 (1991), p. 141-183.
45.	Beylkin G., Coifman R., and Rokhiin V., Wavelets in
numerical analysis, in Ruskai M. at al., eds., Wavelets
and Their Applications, Jones and Bartlett, Boston, 1992,
p.181-210.
46.	Brislawn C., Fingerprints go digital, Notices of the Amer.
Math. Soc. 42 (1995), p. 1278-1283.
47.	Burke-Hubbard B., The World According to Wavelets,
A. K. Peters, Wellesley, Mass., 1996.
48.	Cohen A., Biorthogonal wavelets, in ChuiC., ed.,
Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications,
Academic Press, New York, 1992, p. 23-152.
49.	Cohen A., Daubechies I., and VialP., Multiresolution
analysis, wavelets and fast algorithms on an interval,
Appl. Comp. Harm. Anal. 1 (1993), p. 54-81.
50.	Coifman R., and Meyer Y., Remarques sur 1’analyse de
Fourier a fenetre, C. R. Acad. Sci., ser 1 4312 (1991),
p. 259-261.
Список дополнительной литературы по вэйвлетам
397
51.	Dahlke S. and Weinreich I., Wavelet-Galerkin methods:
An adapted biorthogonal wavelet basis, Constr. Approx.
9 (1993), p. 237-262.
52.	Daubechies L, Ten Lectures on Wavelets, CBMS-NSF
Reg. Conf. Series in Appl. Math. 61, Soc. Ind, Appl.
Math., Philadelphia, 1992.
53.	Daubechies L, Jaffard S., and Journe J.-L., A simple
Wilson orthonormal basis with exponential decay,
SIAM J. Math. Anal. 22 (1991), p. 554-572.
54.	Donoho D., Interpolating wavelet transforms,
Department of Statistics, Stanford University, 1992,
preprint.
55.	Donoho D., and Johnstone I., Ideal spatial adaptation via
wavelet shrinkage, Biometrika 81(1994), p. 425-455.
56.	Folland G., Fourier Analysis and Its Applications, Wads-
worth and Brooks/Cole, Belmont, CA, 1992.
57.	Frazier M., and Kumar A., An introduction to the ortho-
normal wavelet transform on discrete sets, in Benedetto J.
and Frazier M., eds., Wavelets: Mathematics and Appli-
cations, CRC Press, Boca Raton, FL, 1993, p. 51-95.
58.	Frazier M., An introduction to wavelets through linear
algebra, Springer, 1999.
59.	Geronimo J., Hardin D., and Massopust P., Fractal
functions and wavelet expansions based on several scaling
functions, J. Approx. Theory 78 (1994), p. 373-401.
60.	Hernandez E., and Weiss G., A First Course on Wavelets,
CRC Press, Boca Raton, FL, 1996.
61.	Hilton M., Jawerth B., and Sengupta A., Compressing
still and moving images with wavelets, Multimedia
Systems 2(1994), p. 218-227.
98
Список дополнительной литературы по вэйвлетам
62.	Jaffard S., Wavelet methods for the fast resolution of
elliptic problems, SIAM J. Numer. Anal. 29 (1992),
p. 965-986.
63.	Jawerth B., and Sweldens W., An overview of wavelet
based multiresolution analyses, SIAM Review 36 (1994),
p. 377-412.
64.	Jawerth B., and Sweldens W., Wavelet multiresolution
analyses adapted for the fast solution of boundary
value ordinary differential equations, in Melson N.,
Manteuffel T., and McCormick S., eds., Sixth Copper
Mountain Conference on Multigrid Methods, NASA
Conference Publication 3224 (1993), p. 259-273.
65.	Kaiser G., A Friendly Guide to Wavelets, Birkhauser,
Boston, 1995.
66.	Koornwinder T., ed., Wavelets: an elementary treatment
of theory and applications, Series in Approximations and
Decompositions 1. World Scientific, Singapore, 1993.
67.	Lu J., Healy D., and Weaver J., Contrast enhancement
of medical images using multiscale edge representation,
Optical Engineering 33 (1994), p. 2151-2161.
68.	Mallat S., A Wavelet Tour of Signal Processing, Sec. Ed.,
Academic Press, 1999.
69.	Massopust P., Fractal Functions, Fractal Surfaces, and
Wavelets, Academic Press, San Diego, CA, 1994.
70.	Meyer Y., Ondelettes sur 1’intervalle, Rev. Mat. Ibero-
americana 7 (1992), p. 115-133.
71.	Meyer Y., Wavelets, Vibrations and Scalings, Amer.
Math. Soc., Providence, Rl, 1997.
72.	Meyer Y., and Roques, S., eds., Progress in Wavelet
Analysis and Applications: Proceedings of the
International Conference «Wavelets and Applications»
Список дополнительной литературы по вэйвлетам
399
(Toulouse, France-June 1992), Editions Frontieres,
Gif-sur-Yvette, France, 1993.
73.	Ogden R. T., Essential Wavelets for Statistical
Applications and Data Analysis, Birkhauser, Boston,
1996.
74.	Paul T., and Seip K., Wavelets and quantum mechanics,
in Ruskai M. et al., Wavelets and Their Applications,
Jones and Bartlett, Boston, 1992, p. 302-322.
75.	Proakis J., and Manolakis D., Digital Signal Processing,
3rd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996.
76.	QianS., and Weiss J., Wavelets and the numerical
solution of partial differential equations, J. Comp. Phys.
106 (1993), p. 155-175.
77.	Richardson W. Jr., Longbotham H., and Gokhman D.,
Multiscale wavelet analysis of mammograms, in Meyer Y.
and Roques S., eds., Progress in Wavelet Analysis and
Applications: Proceedings of the International Conference
«Wavelets and Applications» (Toulouse, France, June
1992), Editions Frontieres, Gif-sur-Yvette, France, 1993,
p.599-608.
78.	Rioul O., and Vetterli M., Wavelets and signal processing,
IEEE Signal Proc. Mag. (1991), p. 14-38.
79.	Royden H., Real Analysis, 3rd ed., Macmillan, New York,
1988.
80.	Rudin W., Real and Complex Analysis, 3rd ed.,
McGraw-Hill, New York, 1987. .
81.	Ruskai M., Beylkin G., Coifnian R., Daubechies I.,
Mallat S., Meyer Y., and Raphael L., eds., Wavelets
and Their Applications, Jones and Bartlett, Boston,
1992.
82.	Schumaker L., and Webb G., eds., Recent Advances in
Wavelet Analysis, Academic Press, New York, 1993.
400
Список дополнительной литературы по вэйвлетам
83.	Skopina М. A., Multiresolution analysis of periodic
functions, East J. on Approx., v. 3 (1997),
p. 203-224.
84.	StollnitzE., De Rose A., and SalesinD., Wavelets
For Computer Graphics; Theory and Applications,
Morgan-Kaufmann, San Francisco, 1996.
85.	Strang G., and Fix G., An Analysis of the Finite Element
Method, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1973.
[Имеется русский перевод: Стренг Г., Фикс Дж. Тео-
рия метода конечных элементов.: М.: Мир, 1977.]
86.	Strichartz R., How to make wavelets, Amer. Math.
Monthly 100 (1993), p. 539-556.
87.	Sweldens W., and Piessens R., Quadrature formulae and
asymptotic error expansions for wavelet approximations
of smooth functions, SIAM J. Numer. Anal. 31 (1994),
p. 1240-1264.
88.	TeolisA., Computational Signal Processing with
Wavelets, Birkhauser, Boston, 1998.
89.	Vetterli M., and Herley'C., Wavelets and filter banks:
theory and design, IEEE Trans. Acoust. Speech Signal
Process. 40 (1992), p. 2207-2232.
90.	Wickerhauser M., Acoustic signal compression with
wavelet packets, in Chui C., ed., Wavelets: A Tutorial
in Theory and Applications, Academic Press, New York,
1992, p. 679-700.
91.	Wickerhauser M., Adapted Wavelet Analysis from
Theory to Software, Peters A. K., Wellesley, MA,
1994.
92.	Wojtaszczyk P, A Mathematical Introduction to
Wavelets, Cambridge University Press, Cambridge,
1997.
Список дополнительной литературы по вэйвлетам	401
93.	Xu J.-C., and ShannW.-C., Galerkin-wavelet methods
for two-point boundary value problems, Numer. Math.
63 (1992), p. 123-142.
94.	Zheludev V. A., Periodic splines and wavelets.
Mathematical Analysis, Wavelets and Signal Processing
(Cairo, 1994), Contemporary Math., v. 190 (1995),
p.339-354.
Предметный указатель
В-вэйвлет (В-wavelet) 45,
287, 292, 328
В-сети, алгоритм
построения (B-nets,
algorithm cardinal) 163,
302
В-сеть (В-net) 159, 161-163,
302, 269
В-сплайн (B-spline) 44,
145-152, 154, 158-166,
168, 251, 320, 324
Q-постоянная
(Q-constant) 31
77-вэйвлет (77-wavelet) 39,
135, 139
77-функция (77-function) 36,
39, 124, 129, 135 112, 114,
200, 295
A
Автокорреляционная
функция (autocorrelation
function) 65, 212
Алгебра (algebra) 221
Алгоритм восстановления
(algorithm reconstruction)
49, 154, 229, 244, 247,
248, 371
- разложения
(decomposition) 48, 229,
244, 247, 370
Аналоговый сигнал (analog
signal) 27-29, 52, 91, 93,
110, 229
Ассоциативность
(associativity) 59
Банаха пространство
(Banach space) 54, 72
Банаха—Штейнгауза
теорема
(Banach—Steinhaus
theorem) 126
Бернштейна многочлен
(Bernstein polynomial)
159-161
Предметный указатель
403
- полиномиальный оператор
(polynomial operator) 159,
160
Бесселя неравенство (Bessel
inequality) 75, 123
Биортогональность
(bi-orthogonality) 41
В
Вейерштрасса теорема
(Weierstrass theorem)
77
Винера класс ( Wiener class)
221, 224, 263, 339
- теорема (theorem) 222
Вполне положительная
матрица (ВП-матрица)
(TP matrix) 321, 327
— последовательность
(ВП-последовательность)
(TP sequence) 321,
322
- положительное ядро
(ВП-ядро) (TP kernel)
321, 323
-	положительность
(positivity (ТР)) 139, 320,
321, 328
Временная локализация
(time localization) 91, 93,
370
-	область (domain) 27, 52,
91
Выборка разрежающая
(upsampling) 49, 156, 248,
293
-	сгущающая
(downsampling) 49,
248
-	, норма (sampling rate)
120
Вэйвлет (wavelet) 23
-	базисный (basic) 26. 35,
106, 109, 117
-	двухпараметрический
(dyadic) 35, 116-119, 129,
136
-	ортогональный
(orthogonal) 25, 38, 39,
41, 129, 137, 258, 264,
332-337, 351-361
-	полуортогональный (п.о.)
(semi-orthogonal (s.o.))
41, 129, 264, 285
Вэйвлет-коэффициент
(wavelet coefficient)
25
Вэйвлет-пакет (wavelet
packet) 332, 362-367
Вэйвлет-разложение
(wavelet decomposition)
47, 231
Вэйвлет-ряд (wavelet series)
25, 26, 37, 135, 243, 320,
329
Габора окно (Gabor window)
98
- преобразование (transform)
93-100, 106
26*
404
Предметный указатель
Гаусса функция (Gaussian
function) 58, 289, 290
Гёльдера неравенство
(Holder inequality) 54, 64,
72, 73
Гильберта пространство
(Hilbert space) 55, 73, 142,
191, 331
Группа окружности (circle
group) 53
Двоичное разбиение (binary
partition) 115
-	разложение
(decomposition) 363
-	растяжение (dilation) 24,
26
Двойственный (dual) 32 37,
39, 129, 130
Двухмасштабная
после довател ь ность
(two-scale sequence) 196,
254-257
Двухмасштабное
соотношение (two-scale
relation) 47, 154, 196,
204-221, 259, 280, 332,
362
Двухпараметрический
двойственный (dyadic
dual) 118, 119, 138
-	сдвиг (dyadic translation)
24, 26
Дельта-функция (delta
function) 63
Дерево-алгоритм
разложения (tree
decomposition algorithm)
370
Диапазон частот (frequency
band) 23, 28, 30, 42, 108,
369, 370
Дини— Липшица условие
сходимости
(Dini—Lipschitz test of
convergence) 82
Дирихле ядро (Dirichlet
kernel) 74, 78
Дирихле—Жордана условие
(Dirichlet—Jordan test) 83
Дифференциальный
оператор (differential
operator) 143, 285,
325
E
Единичная частота
(single-frequency) 23
3
Замыкание (closure) 40, 144,
175, 191
И
Изометрия (isometry) 22, 80,
202
Импульсный отклик
(impulse response) 49
-	ряд (train) 302
Интегральное вэйвлет-
преобразование (ИВП)
Предметный указатель
405
(integral wavelet
transform (IWT)) 26-31,
106, 108-114
Интерполяционный
графически-
изобразительный
алгоритм (interpolatory
graphical display
algorithm) 157, 158, 212,
292
К
Каркас (frame) 36,
120-128
Квази-интерполяционная
формула
(quasi-interpolation
formula) 176, 178, 189
Квази-интерполяционный
оператор
(quasi-interpolation
operator) 172-178, 187,
188
Квантование (quantization)
50
Коммутативность
(commutability) 59
Компактный носитель
(compactly supported) 41,
50, 262-276, 285-289,
351-358
Конечная энергия (finite
energy) 27, 73, 107, 136,
312
Кратномасштабный анализ
(КМА) (multiresolution
analysis (MRA)) 43, 44,
193-204, 340
Кронекера символ (Kronecker
symbol) 24
Лейбница формула (Leibniz
rule) 148
Линейная фаза (linear
phase) 250-258
— обобщенная (generalized)
250-262, 267, 270
Линейный функционал
(linear functional) 63
— ограниченный (bounded)
176
Лорана полином (Laurent
polynomial) 89, 168, 213,
222, 353, 354
- ряд (series) 199, 313, 334,
339
Малая волна (small wave)
23, 29, 33
Масштабирующая функция
(scaling function) 44, 191,
194, 204-221, 255, 257,
259, 264-268, 294, 333,
338, 340, 353, 354, 365,
366
— двойственная (dual)
267
— Добеши (Daubechies) 206,
358
406
Предметный указатель
Матричный оператор
(matrix operator) 125
Минковского неравенство
(Minkowski inequality) 54,
72, 73
— обобщенное (generalized)
72
Модуль непрерывности
(modulus of continuity)
79, 199, 200, 234
Н
Найквиста скорость
(Nyquist rate) 329
Неймана ряд (Neumann
series) 169
Носитель (supported) 45,
215, 220, 254, 312, 325,
353, 354
Обратная формула (inverse
formula) 32
Обратный многочлен
(reciprocal polynomial)
213
Ограниченный линейный
оператор (bounded linear
operator) 67, 121, 173
— локальный
сплайн-оператор (local
spline operator) 170
Ортогональная сумма
(orthogonal sum) 40,
370
Ортогональное разложение
(orthogonal
decomposition) 41,
367-370
Ортонормализации
процедура
(orthonormalization
procedure) 135, 333
Ортонормированное
семейство (orthonormal
family) 130, 259, 260
Ортонормированный базис
(orthonormal basis) 25,
369
Отражение (reflection) 70,
166
Парсеваля равенство
(Parseval identity) 21, 27,
66, 68, 78, 81, 346,
347
Планшереля теория
(Plancherel theory) 71
Полная осцилляция
(complete oscillation) 321,
325
Принцип двойственности
(duality principle) 234,
245
Пространство выборки
(sample space) 245, 249,
277
Прямая сумма (direct sum)
40, 42, 48, 193, 223,
225
Предметный указатель
407
Пуассона формула
суммирования (Poisson
summator formula) 53, 85,
87
Р
Разность назад (backward
difference) 143
Рекуррентная схема
(recursive scheme) 207,
293
Римана—Лебега лемма
(Riemann—Lebesyue
lemma) 56, 60
Рисса базис (Riesz basis)
36 43, 124 -127, 152, 195,
225, 283-285, 287
-	границы (bounds) 145,
150-152
-	лемма (lemma) 355
-	условие (condition) 131
Рисса - Фишера теорема
(Riesz—Fischer theorem)
76
С
Свертка (convolution) 44, 49,
59, 63, 74, 78, 169,
222
Символ (symbol) 73, 88, 132,
169, 181, 196, 217, 221,
222, 251, 276
Симметричный нуль
(symmetric zero) 213
Синусоидальная волна
(sinusoidal wave) 22
Скалярное произведение
(inner product) 21, 24, 27,
54, 69, 72, 136
Соотношение разложения
(decomposition relation)
48, 225, 246, 247, 309
Спектр (spectrum) 27, 28, 30,
91, 93, 97
Спектральная информация
(spectral information) 27,
28, 52, 93, 94, 101,
193
Сплайн-кривая (spline curve)
139
Суперпозиция
(superposition) 21
Схема скользящего среднего
(moving average scheme)
49, 156, 166, 248
Теорема об открытости
отображения (open
mapping theorem)
126
Тёплицева матрица (Toeplitz
matrix) 321
Треугольный алгоритм
Паскаля (ТАП) (Pascal
triangular algorithm
(РТА)) 294-296
----линейный (ЛТАП)
(linear (LPTA)) 295, 296,
198, 300, 323
408
Предметный указатель
У
Устойчивости условие
(stability condition) 35,
116, 118, 121, 124
Фату теорема (Fatou’s
theorem) 67
Фейера ядро (Fejer kernel)
78
Фубини теорема (Fubini
theorem) 60, 64
Фундаментальная базисная
сплайн-функция
(fundamental cardinal
spline function) 180, 183,
184, 279
Фундаментальный сплайн
(fundamental
spline) 180
Функция с ограниченной
вариацией (function of
bounded variation) 83
Функция-окно (window
function) 28-30, 91, 93,
95, 97, 100-102, 106
Фурье коэффициенты
(Fourier coefficients) 20,
75 , 76, 81, 88, 130
- ряд (series) 20-22,
71-85
Фуръе преобразование
(Fourier transform) 26-29,
35, 53-58, 65-71, 73, 91,
93, 101, 127, 130, 132,
133, 137, 166, 250, 251,
359
— дискретное (discrete) 73,
76, 80, 251
— кратковременное
(КВПФ) (short-time) 102,
106
—	обратное (inverse) 57, 66,
70
Хаара вэйвлет (Haar
wavelet) 258, 278
-	функция (function) 25, 99,
123
Хэвисайда ступенька
(Heaviside unit step)
56
Целочисленное растяжение
(integral dilation) 21
Целочисленный сдвиг
(integral shift) 23
Цифровой сигнал (digital
signal) 52, 73
Частная сумма (partial sum)
74, 75, 78
Частотная локализация
(frequency-localization)
30
-	область (domain) 27,
52
Частотно-временной анализ
(time-frequency analysis)
19, 30, 32, 91, 111, 129,
139, 229
Предметный указатель
409
----, локализация
(localization) 34, 99, 100,
102
----, окно (window) 30, 31,
98, 102, 109, Ш
Частотное окно (frequency
window) 30, 97, 101,
110
Частотный центр
(center-frequency) 28, 30,
108, 111, 115
Чезарово среднее (Cesa.ro
mean) 78
Ш
Шварца неравенство
{Schwarz inequality) 54,
72, 73, 99
Эйлера—Фробениуса
полином
{Euler—Frobenius
polynomial) 89,
151, 182, 183, 213,
282, 284, 298, 299,
303-309, 311, 314,
315, 322
----обобщенный
(generalized) 267
Эйлера—Фробениуса Лорана
полином
{Euler—Frobenius Laurent
polynomial) 213, 281,
286
------обобщенный
(generalized) 264, 265,
333
Оглавление
Предисловие переводчика ............................ 5
Предисловие к русскому изданию .................... 13
Предисловие ....................................... 15
Глава 1. Обзор .................................. 19
1.1.	От анализа Фурье к вэйвлет-анализу ...... 20
1.2.	Интегральное вэйвлет-преобразование и час-
тотно-временной анализ ....................... 26
1.3.	Формулы обращения и двойственные .......... 32
1.4.	Классификация вэйвлетов ................... 38
1.5.	Кратномасштабный анализ, сплайны и вэй-
влеты ........................................ 42
1.6.	Вэйвлет-разложения и вэйвлет-восстановления 46
Глава 2. Анализ Фурье ...........................   52
2.1.	Прямое и обратное преобразования	Фурье ....	53
2.2.	Непрерывно-временная свертка и дельта-
функция ...................................... 59
2.3.	Преобразование Фурье функций, интегрируе-
мых с квадратом .............................  65
2.4.	Ряды Фурье ................................ 71
2.5.	Основы теории сходимости и формула сумми-
рования Пуассона ............................. 82
Оглавление
411
Глава 3. Вэйвлет-преобразования и частотно-
временной анализ ............................ 91
3.1.	Преобразование Габора...................... 93
3.2.	Кратковременные преобразования Фурье и
принцип неопределенности .................... 99
3.3.	Интегральное вэйвлет-преобразование .... 108
3.4.	Двухпараметрические вэйвлеты и формулы
обращения .................................. 114
3.5.	Каркасы .................................. 120
3.6.	Вэйвлет-ряды ............................. 129
Глава 4. Базисный сплайн-анализ .................. 139
4.1.	Пространства сплайнов .................... 140
4.2.	В-сплайны и их основные свойства ......... 145
4.3.	Двухмасштабное соотношение и интерполяци-
онный графически-изобразительпый алгоритм 152
4.4.	Представления с помощью В-сети и вычисление
сплайнов ................................... 158
4.5.	Построение сплайн-аппроксимационных фор-
мул ........................................ 166
4.6.	Построение сплайн-интерполяционных формул 179
Глава 5. Масштабирующие функции и вэй-
влеты ...................................... 191
5.1.	Кратномасштабный анализ .................. 193
5.2.	Масштабирующие функции с конечными двух-
масштабными соотношениями .................. 204
5.3.	Разложение £2(R.) Ь прямую сумму ......... 221
5.4.	Вэйвлеты и их двойственные ............... 230
5.5.	Линейно-фазовая фильтрация ............... 249
5.6.	Вэйвлеты с компактным носителем .......... 262
Глава	6. Базисные сплайн-вэйвлеты ............... 277
6.1.	Интерполяционные сплайн-вэйвлеты ......... 278
6.2.	Сплайн-вэйвлеты с компактным носителем .•	285
6.3.	Вычисление базисных сплайн-вэйвлетов ..... 292
412
Оглавление
6.4.	Многочлены Эйлера—Фробениуса ......... 303
6.5.	Анализ погрешности сплайн-вэйвлет-разложе-
ния ....................................... 309
6.6.	Вполне положительность, полная осцилляция и
пересечения нулей ......................... 320
Глава 7. Ортогональные вэйвлеты и вэйвлет-
пакеты .................................... 331
7.1.	Примеры ортогональных вэйвлетов ...... 332
7.2.	Идентификация ортогональных двухмасштаб-
ных символов .............................. 338
7.3.	Построение ортогональных вэйвлетов с ком-
пактным носителем ......................... 351
7.4.	Ортогональные вэйвлет-пакеты ......... 362
7.5.	Ортогональное разложение	вэйвлет-рядов. 367
Приложение .................................. 372
Замечания ................................... 375
Список литературы ........................... 384
Список дополнительной литературы по вэйвле-
там ....................................... 392
Предметный указатель ........................ 402
Учебное издание
Чарльз К. Чуи
Введение в вэйвлеты
Зав. редакцией академик В. И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ведущий редактор Ю. И. Осипик
Художник И. И. Куликова
Художественный редактор Н. В. Зотова
Технический редактор О. Г. Лапко
Корректор Е. Н. Клитина
Оригинал-макет подготовлен
Ю. И. Осипик и Л. Г. Васильевой в пакете OTj?X2£
с использованием семейства шрифтов Computer Modern
с кириллическим расширением LH
Лицензия ЛР № 010174 от 20.05.97 г.
Подписано к печати 08.05.2001 г. Формат 60 х 90/16.
Печать офсетная. Объем 13,00 бум. л.
Усл.-печ. л. 26,00. Уч.-изд. л. 19,82.
Изд. № 1/9731. Тираж 5000 экз. Заказ 3954.
Издательство «Мир»
Министерства РФ по делам печати,
телерадиовещания и средств массовых коммуникаций
107996, ГСП-6, Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Диапозитивы изготовлены
в издательстве «Мир»
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Можайский полиграфический комбинат»
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.