УДК 513
Интернет-магазин
http://rcd.ru/shop
Интересующие Вас книги, выпускаемые нашим издательством, дешев-
дешевле и быстрее всего приобрести через наш интернет-магазин. Регистрация в
магазине позволит вам
• приобретать книги по наиболее низким ценам;
• подписаться на регулярную рассылку сообщений о книгах;
• самое быстрое приобретение новых книг до поступления их в магазин.
Добеши И.
Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотичес-
хаотическая динамика», 2001, 464 стр.
Книга представляет собой введение в курс вейвлет-анализа, имеющего
приложение в теории временных рядов, методах распознавания образов и пр.
Она является одним из лучших введений в эту область современной матема-
математики, за эту книгу Ингрид Добеши была награждена премией Лероя Стила
Американского Математического Общества.
Предназначена для студентов, аспирантов, а также будет полезна препо-
преподавателям и научным сотрудникам.
ISBN 5-93972-044-7
© Перевод на русский язык
НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001
http://rcd.ru

Содержание
Предисловие к русскому изданию 7
Введение 9
Предварительные сведения и обозначения 14
Глава 1. Что, почему и как в вейвлетах 26
1.1. Частотно-временная локализация 26
1.2. Вейвлет-преобразование: аналогии и отличия в сравнении
с оконным преобразованием Фурье 28
1.3. Различные типы вейвлет-преобразований 33
1.3.1. Непрерывные вейвлет-преобразования 33
1.3.2. Дискретное избыточное вейвлет-преобразование
(фрейм) 34
1.3.3. Ортонормированные базисы вейвлетов: кратномас-
штабный анализ 37
Примечания 44
Глава 2. Непрерывное вейвлет-преобразование 46
2.1. Функции с ограниченной шириной полосы и теорема
Шеннона 46
2.2. Множество функций с ограниченной частотной полосой,
как особый случай гильбертовых пространств с воспро-
воспроизводящим ядром 50
2.3. Ограничения на частотную и временную полосы 52
2.4. Непрерывное вейвлет-преобразование 55
2.5. Гильбертово пространство с воспроизводящим ядром, со-
соответствующее непрерывному вейвлет-преобразованию . 64
2.6. Непрерывное вейвлет-преобразование в многомерном слу-
случае 67
2.7. Параллели с непрерывным оконным преобразованием Фу-
Фурье 68
2.8. Непрерывное преобразование как инструмент для постро-
построения полезных операторов 70

Содержание 3
2.9. Непрерывное вейвлет-преобразование как математичес-
математический увеличитель: характеристика локальной регулярности 83
Примечания 89
Глава 3. Дискретные вейвлет-преобразования: фреймы . 92
3.1. Дискретизация вейвлет-преобразования 92
3.2. Общие сведения о фреймах 96
3.3. Фреймы вейвлетов 105
3.3.1. Необходимое условие: допустимость материнского
вейвлета 105
3.3.2. Достаточное условие и оценки для границ фрейма 110
3.3.3. Двойственный фрейм 114
3.3.4. Некоторые вариации базовой схемы 115
3.3.5. Примеры 119
3.4. Фреймы для оконного преобразования Фурье 128
3.4.1. Необходимое условие: достаточно высокая частот-
частотно-временная плотность 129
3.4.2. Достаточное условие и оценки для границ фрейма 130
3.4.3. Двойственный фрейм 131
3.4.4. Примеры 132
3.5. Частотно-временная локализация 136
3.6. Избыточность фреймов 148
3.7. Некоторые заключительные замечания 151
Примечания 152
Глава 4. Частотно-временная плотность и ортонормиро-
ванные базисы 159
4.1. Роль частотно-временной плотности для фреймов вейвле-
вейвлетов и оконных фреймов Фурье 159
4.2. Ортонормированные базисы 169
4.2.1. Ортонормированные базисы вейвлетов 169
4.2.2. Вновь оконное преобразование Фурье: и все-таки
«хорошие» ортонормированные базисы! 175
Примечания 183
Глава 5. Ортонормированные базисы вейвлетов и кратно-
масштабный анализ 186
5.1. Основная идея 186
5.2. Примеры 196
5.3. Ослабление некоторых условий 198

4 Содержание
5.3.1. Базисы Рисса масштабирующих функций 198
5.3.2. Использование масштабирующей функции в ка-
качестве отправной точки 200
5.4. Другие примеры: семейство Батла-Лемарье 206
5.5. Регулярность базисов ортонормированных вейвлетов . . 214
5.6. Связь со схемами субполосной фильтрации 218
Примечания 228
Глава 6. Ортонормированные базисы вейвлетов с компакт-
компактным носителем 232
6.1. Построение то 233
6.2. Связь с ортонормированными базисами вейвлетов .... 240
6.3. Необходимые и достаточные условия ортонормированности250
6.4. Примеры вейвлетов с компактными носителями, порож-
порождающих ортонормированный базис 265
6.5. Каскадный алгоритм: связь с уточняющими схемами и
схемами последовательного деления 270
Примечания 285
Глава 7. Более подробно о регулярности вейвлетов с ком-
компактными носителями 288
7.1. Методы Фурье 289
7.1.1. Методы грубой силы 289
7.1.2. Оценки убывания, полученные из инвариантных
циклов 294
7.1.3. Оценки типа Литлвуда-Пэли 302
7.2. Прямой метод 309
7.3. Вейвлеты с компактными носителями и лучшей регуляр-
регулярностью 321
7.4. Регулярность или нулевые моменты? 322
Примечания 329
Глава 8. Симметрия базисов вейвлетов с компактными но-
носителями 332
8.1. Отсутствие симметрии для ортонормированных вейвле-
вейвлетов с компактным носителем 332
8.1.1. Ближе к линейной фазе 336
8.2. Койфлеты 340
8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов .... 345
8.3.1. Точное восстановление 345

Содержание 5
8.3.2. Масштабирующие функции и вейвлеты 347
8.3.3. Регулярность и нулевые моменты 354
8.3.4. Симметрия 355
8.3.5. Биортогональные базисы, близкие ортонормиро-
ванному базису 365
Примечания 373
Глава 9. Характеристика функциональных пространств с
помощью вейвлетов 376
9.1. Вейвлеты: безусловный базис для ЬР(Ж), 1 < р < ос ... 376
9.2. Характеристика функциональных пространств с помо-
помощью вейвлетов 387
9.3. Вейвлеты для ^([0, 1]) 394
9.4. Интересный контраст между разложением по вейвлетам
и рядом Фурье 399
Примечания 401
Глава 10. Обобщения и трюки для ортонормированных ба-
базисов вейвлетов 403
10.1. Многомерные базисы вейвлетов с параметром сжатия 2 . 403
10.2. Одномерный ортогональный базис вейвлетов с целым па-
параметром сжатия больше 2 410
10.3. Базисы вейвлетов с матричными сжатиями в многомер-
многомерном случае 413
10.4. Одномерные ортонормированные базисы вейвлетов с не-
нецелыми показателями сжатия 415
10.5. Лучшее частотное разрешение: трюк с расщеплением . . 420
10.6. Базисы вейвлет-пакетов 427
10.7. Базисы вейвлетов на интервале 428
Примечания 433
Литература 437
Предметный указатель 458

Моей матери, которая привила мне стремление быть независимой.
Моему отцу, который поддерживал мой интерес к науке.

Предисловие к русскому изданию
Книга Ингрид Добеши «Десять лекций о вейвлетах» дошла до рос-
российского читателя с опозданием на 8 лет. За эти годы теория вейвлет-
базисов получила колоссальное развитие. Видимо, ни одно из направ-
направлений чистой и прикладной математики не завоевывало такой попу-
популярности за столь короткий срок. Причина этого успеха состоит в том,
что новый аппарат идеален для представления нестационарных сигна-
сигналов, чьи свойства меняются во времени или пространстве. Он давно
ожидался прикладниками. При этом стоит отметить, что вейвлеты не
подменяют собой традиционное преобразование Фурье, которое неза-
незаменимо при работе со стационарными объектами.
Словосочетание «вейвлет-революция» стало, пожалуй, самым точ-
точным для отражения процессов, происходящих в той части математики,
которая имеет отношение к представлению функций и сигналов. Число
текущих публикаций, относящихся к данной теме, не поддается учету
ввиду огромного числа приложений, где вейвлеты нашли применение.
Из последних достижений отметим лишь новый международный стан-
стандарт сжатия изображений JPEG2000 (декабрь, 2000), в котором сжатие
осуществляется при помощи разложения изображения по базису вейв-
летов.
Несмотря на это книга И. Добеши, подводящая итоги начального
этапа развития теории и написанная по горячим следам первых фун-
фундаментальных открытий, не потеряла своей актуальности. При внима-
внимательном прочтении в ней можно обнаружить (иногда в виде кратких
примечаний) основные идеи многих направлений, ставших популярны-
популярными в конце 90-х годов (например, несепарабельные вейвлеты многих пе-
переменных, мульти-вейвлеты, вейвлетные фреймы). Не случайно в 1994
году за книгу «Десять лекций о вейвлетах» Ингрид Добеши была на-
награждена премией Лероя Стила Американского Математического Об-
Общества.
Несмотря на то, что книга содержит много отступлений в сторону
приложений (прежде всего в квантовую физику и цифровую обработ-
обработку сигналов), ее можно считать математической. Хотя у математика,

8 Предисловие к русскому изданию
незнакомого с основами обработки сигналов, некоторые разделы могут
вызвать затруднения ввиду непривычной терминологии. Однако надо
отметить, что эта терминология уже прочно вошла в вейвлет-науку,
и без нее любая книга по этой тематике потеряла бы очень многое. В то
же время, книга вполне доступна и представляет несомненный интерес
для специалистов инженерных и естественно-научных специальностей,
владеющих математикой в пределах стандартного ВУЗовского курса.
Главная сложность перевода состояла в отсутствии устоявшейся
в русском языке терминологии. По этой причине в предметном ука-
указателе и по тексту приведены оригинальные версии терминов. Осо-
Особенно трудным было принятие решения о переводе самого термина
«wavelet», изначально появившегося в работах французских математи-
математиков как «ondelette». В работах российских математиков используются
слова «всплеск», «волночка». Однако в прикладных исследованиях за-
закрепился термин «вейвлет». И поскольку мы не сомневаемся, что боль-
большинство потенциальных читателей этой книги — прикладники, то было
принято решение использовать кальку «вейвлет».
При переводе были исправлены некоторые опечатки.
Библиография дополнена списком русскоязычных публикаций по
вейвлетам. Разумеется, в настоящее время самым мощным источ-
источником информации является Интернет. Для получения текущей ин-
информации о состоянии дел в вейвлет-науке (чистой и приклад-
прикладной) можно рекомендовать Вейвлет-дайджест (www.wavelet.org). На
этом сайте читатель может познакомиться с самыми последними
книгами, статьями и диссертациями, узнать о предстоящих кон-
конференциях и даже задать вопрос по интересующей его пробле-
проблеме. На сайте http://www.mathsoft.com/wavelet.html находится огром-
огромный список публикаций по теории и приложениям вейвлетов. Сайт
http://playfair.stanford.edu/~wavelab содержит обширную библиотеку
вейвлетных программ на языке Matlab, которые распространяются
бесплатно. На сайте Санкт-Петербургского семинара «Всплески и их
приложения» (www.math.spbu.ru/~dmp/) можно получить информа-
информацию о русскоязычных публикациях и о российских конференциях по
данной тематике.
Декабрь, 2000 Евгения Мищенко, Новосибирск
Александр Петухов,
Санкт-Петербург

Введение
Вейвлеты являются сравнительно новым изобретением в приклад-
прикладной математике. Это название само по себе возникло около десятилетия
тому назад (см. работы Морле, Аренса, Фуржо, Жиара [149], Морле [148],
Гроссмана и Морле [89]). За последние десять лет интерес к ним вырос
взрывообразно. Их нынешний успех обьясняется несколькими причи-
причинами. С одной стороны, концепция вейвлетов может рассматривать-
рассматриваться как синтез идей, возникших за последние двадцать или тридцать
лет в технике (субполосное кодирование), физике (когерентные состо-
состояния, группа ренормализации) и чистой математике (изучение опера-
операторов Зигмунда-Кальдерона). Вследствие своего междисциплинарного
происхождения, вейвлеты представляются привлекательными для уче-
ученых и инженеров с самыми разными научными интересами. С другой
стороны, вейвлеты являются довольно простым математическим ин-
инструментом с большим разнообразием возможностей для применения.
Они были успешно применены для анализа сигнала (звук, изображе-
изображение) (ранними ссылками являются работы Кронланда- Мартина, Морле
и Гроссмана [115], Малла [133, 134], более поздние ссылки будут даны
ниже) и в численном анализе (быстрые алгоритмы для интегральных
преобразований в работе Бейлкина, Койфмана и Рохлина [24]).
Эта книга состоит из десяти лекций, прочитанных мной во вре-
время CBMS конференции по вейвлетам, организованной в июне 1990
кафедрой математики университета Лоуэлла, Массачусетс. В соответ-
соответствии с обычным форматом таких конференций, остальные докладчики
(Батл, Бейлкин, Чуй, Коэн, Койфман, Грошениг, Ляндра, Малла, Тор-
резани, Виллски) прочли лекции по своим работам, связанным с вейв-
летами. Более того, было организовано три семинара по приложениям
в физике и обратных задачах (под руководством Де Фачио), в теории
групп и гармоническом анализе (Файхтингер) и в анализе сигнала (Вет-
терли). Аудитория состояла из исследователей, занимающихся вейвле-
тами, равно как и из математиков и других ученых, которые уже име-
имели некоторое понятие о вейвлетах, но хотели бы узнать больше. Эта,
вторая, группа представляла большую часть аудитории. Я посчитала

10 Введение
своей задачей дать этой части аудитории вводный курс по вейвлетам,
который бы послужил надежной основой для понимания новых работ,
представленных остальными лекторами и мной. По этой причине около
двух третей моих лекций состояли из «основ теории вейвлетов», а остав-
оставшаяся треть была посвящена недавней и неопубликованной работе. Та-
Такое деление также отражено и в настоящей книге. В конечном итоге,
как я считаю, книга будет полезна как курс по введению в предмет
для самостоятельного чтения либо для семинаров или как курс лек-
лекций для аспирантов. Ни одна из лекций или статей, представленных
на конференции, не была включена в книгу. В результате, эта рабо-
работа была написана скорее под влиянием моей собственной работы, чем
конференции. Во многих случаях я включила указания на ссылки для
дальнейшего чтения или детальные представления конкретных прило-
приложений, дополняющие текст. Перечислю другие опубликованные книги
по вейвлетам: Wavelets and Time Frequency Methods (Комбе, Гроссман
и Чамичан [49]), которая содержит материалы Международной Конфе-
Конференции по Вейвлетам, проведенной в Марселе, Франция, в декабре 1987
года, Ondelettes (Мейер [142]) (на французском языке, скоро ожидается
английское издание), которая содержит более расширенное математи-
математическое обьяснение, чем настоящие лекции, а также экскурс в другие
приложения, Les Ondelettes en 1989 (под редакцией Лемарье [125]),
сборник лекций, прочитанных в университете Париж XI весной 1989
года, и An Introduction to Wavelets (Чуй [31]), введение с точки зре-
зрения теории аппроксимации. Материалы Международной Конференции
по Вейвлетам, проведенной в Марселе в мае 1989 года, как ожидается,
будут скоро опубликованы (Мейер [143]). Более того, многим участни-
участникам CBMS конференции, а также исследователям, которые не смогли
участвовать в работе, было предложено написать эссе по своим рабо-
работам, связанным с вейвлетами. Результатом является сборник Wavelets
and their Applications (Рускай и другие [159]), который можно рассмат-
рассматривать как дополнение к данной книге. Другой сборник — это Wavelets:
A Tutorial in Theory and Applications (под редакцией Чуй [132]). Кро-
Кроме того, я информирована о некоторых других сборниках, готовящихся
к публикации (под редакцией Бенедетто и Фразиера и еще одного под
редакцией Барло), и книге Холшнайдера. Есть еще специальный вы-
выпуск IEEE Trans. Inform.Theory, март 1992 года; еще один готовится
к выпуску в 1992 году в Constructive Approximation Theory и еще один
в 1993, в IEEE Trans. Sign. Proc. Кроме того, некоторые недавно вышед-

Введение 11
шие книги содержат главы о вейвлетах. Например, Multirate Systems
and Filter Banks, (Вайданатан [174]), Quantum Physics, Relativity and
Complex Spacetime: Towards a New Synthesis (Кайзер [109]). Читатели,
заинтересовавшиеся данными лекциями, найдут эти книги и специаль-
специальные выпуски полезными для обьяснения многих деталей и остальных
аспектов, не достаточно полно отраженных здесь. Это тем более понят-
понятно, что рассматриваемая область по-прежнему быстро развивается.
Эта книга, более или менее, следует курсу моих лекций: каждая из
десяти глав представляет одну из десяти лекций, помещенных в том по-
порядке, в котором они читались. Первая глава представляет краткий об-
обзор различных аспектов вейвлет-преобразования. Она является наброс-
наброском большой фрески, последующие главы заполняют ее деталями. Мы
рассматриваем непрерывное вейвлет-преобразование (глава 2, с корот-
коротким обзором функций с ограниченным спектром и теоремой Шеннона),
избыточное дискретное вейвлет-преобразование (фреймы, глава 3) и об-
обсуждаем, в общих чертах, частотно-временную плотность и возмож-
возможность существования ортонормированных базисов (глава 4). Большая
часть результатов из глав 2-4 может быть сформулирована как для
оконного преобразования Фурье, так и для вейвлет-преобразования.
Поэтому оба случая рассматриваются параллельно, с указанием сход-
сходства и различия. Оставшиеся главы сфокусированы на ортонормиро-
ортонормированных базисах вейвлетов: кратномасштабный анализ и первая общая
стратегия для конструирования ортонормированных базисов вейвле-
вейвлетов (глава 5), ортонормированные базисы вейвлетов с компактными
носителями и их связь с субполосным кодированием (глава 6), стро-
строгие оценки регулярности для таких базисов (глава 7), симметрия для
вейвлет-базисов с компактным носителем (глава 8). Глава 9 показывет,
что ортонормированные базисы «хороши» для многих функциональных
пространств, где методы Фурье работают не очень хорошо. Эта глава
наиболее математическая из всех глав книги, большинство ее мате-
материалов не связаны с приложениями, обсуждаемыми в других главах,
так что она может быть пропущена читателями, не заинтересованны-
заинтересованными в этом аспекте теории вейвлетов. Я включила ее по нескольким
причинам: вид оценок, используемых в доказательстве, очень важен
в гармоническом анализе, а подобные (хотя более сложные) оценки из
доказательства ТA)-теоремы Давида и Журне послужили основанием
для приложений в численном анализе в работе Бейлкина, Койфмана
и Рохлина [24]. Более того, теорема Зигмунда-Кальдерона, обьяснен-

12 Введение
ная в этой главе, иллюстрирует, как техника использования различных
масштабов, один из прототипов вейвлетов, использовалась в гармони-
гармоническом анализе задолго до изобретения вейвлетов. Наконец, глава 10
обрисовывает несколько расширений конструкции ортонормированных
вейвлет-базисов: для многомерного случая, для параметра сжатия, не
равного двум (и даже нецелого), с возможностью лучшей частотной ло-
локализации, для случая вейвлет-базисов на конечном интервале, а не на
всей оси. Каждая глава завершается параграфом из пронумерованных
примечаний, возникающих по ходу главы. Они содержат дополнитель-
дополнительные ссылки, доказательства, замечания и прочее.
Эта книга — математическая, в ней приводится и доказывается
много теорем. Она также подразумевает наличие некоторой матема-
математической подготовки. В частности, я предполагаю, что читатель обла-
обладает некоторыми познаниями в области преобразования и рядов Фу-
Фурье. Я также использую некоторые основные теоремы из теории меры
и интегрирования (лемма Фату, теорема об интегрируемости предела
мажорируемой последовательности, теорема Фубини, они могут быть
найдены в любом хорошем учебнике по вещественному анализу). В не-
некоторых главах полезно было бы знакомство с основами теории гильбер-
гильбертовых пространств. Список основных понятий и теорем, используемых
в книге, приведен в главе «Предварительные сведения».
Читатель, обнаруживший, что он или она не знает всего этого, не
должен отчаиваться: большую часть этой книги можно понять, зная
лишь основы анализа Фурье. Более того, я постаралась придерживать-
придерживаться прозаического стиля в большинстве доказательств с риском быть
скучной для математически изощренного читателя. Поэтому, я наде-
надеюсь, книга будет интересна не математикам. По этой причине я ото-
отошла от последовательности «определение-лемма-предложение-теоре-
«определение-лемма-предложение-теорема-следствие» и старалась более опираться на интуицию, даже если
это вело к более многословному изложению. Я надеюсь, что мне удаст-
удастся разделить мое восхищение с читателями этим междисциплинарным
объектом, который появился в моей научной жизни.
Я хочу использовать возможность, чтобы выразить мою благодар-
благодарность многим людям, которые сделали проведение конференции в Ло-
Лоуэлле свершившимся фактом: организационному комитету и кафедре
математики университета Лоуэлла, в частности, профессору Кайзеру и
профессору Рускай. Успех конференции, которая неожиданно собрала
намного больше участников, чем это обычно было на такого рода конфе-

Введение 13
ренциях, обьясняется, в большей части, ее очень хорошей организацией.
Как говорит И.Джеймс A991), организатор с большим опытом работы:
«каждая конференция имеет место быть в основном благодаря усили-
усилиям одного единственного человека, который делает почти всю работу».
Таким человеком на конференции в 1990 году была Мери Бетт Рус-
кай. Я особенно благодарна ей за предложение провести конференцию,
в первую очередь, за организацию конференции таким образом, что
я была минимально загружена бумажной работой. Перед конференци-
конференцией я имела возможность апробировать большинство своих материалов,
прочтя курс лекций для аспирантов на кафедре математики в универ-
университете Мичигана, в Энн Арбор. Мой визит был совместно поддержан
Национальным научным фондом и университетом Мичигана. Я хочу
поблагодарить эти организации за их поддержку. Я хочу поблагодарить
весь факультет и студентов, которые посещали мой курс, обеспечивали
обратную связь и вносили полезные предложения. Рукопись была отпе-
отпечатана Мартиной Шарп, которой я благодарна за ее терпение, старание
и за ее замечательную работу. Без нее я бы даже не сделала попыток
написать эту работу. Я признательна Джефу Лагра за редакторские за-
замечания. Несколько человек помогли мне вычитать верстку, всем им
я очень признательна. Я особенно благодарна Паскалю Ошеру, Джерри
Кайзеру, Мин-Джун Лаю и Мартину Веттерли. Все оставшиеся ошибки,
конечно, лежат на моей совести. Я также хочу поблагодарить Джима
Дрискола и Шарон Мюррел за помощь в подготовке авторского указате-
указателя. Наконец, я хочу поблагодарить своего мужа Роберта Кальдербанка
за его поддержку. Для нашей семьи, где карьеру делают двое, иног-
иногда это означает, что он, также как и я, докажет на несколько теорем
меньше.
Университет Рутгерс и AT&T Ингрид Добеши
Bell Laboratories

Предварительные сведения и обозначения
В этой вводной главе мы зафиксируем обозначения и нормировки.
Здесь же приведем некоторые основные теоремы, которые затем будут
использованы в книге. Для тех, кто не очень хорошо знаком с гильбер-
гильбертовыми и банаховыми пространствами, помещаем очень краткий «бук-
«букварь». (Его следует использовать, в основном, как ссылку, к которой
нужно обратиться в тех случаях, когда читатель встречается с язы-
языком гильбертовых и банаховых пространств, с которым он (или она) не
знаком. В большинстве глав эти понятия не используются.)
Начнем с некоторых соглашений относительно обозначений. Для
i?l мы пишем [х\ для обозначения наибольшего целого, не превос-
превосходящего х:
\_х\ = max{n eZ;n^i).
Например, |_3/2J = 1, [—3/2J = -2, |_—2j = -2. Аналогично, \х~\ —
наименьшее целое число, большее или равное х.
Если а —>¦ 0 (или ос), то мы обозначим через 0{а) любую величину,
ограниченную некоторой постоянной, умноженной на а, и через о(а)
любую величину, которая стремится к 0 (или ос) вместе с а.
Окончание доказательства помечается значком ¦. для ясности мно-
многие замечания или примеры завершаются значком П.
Во многих доказательствах С обозначает постоянную, которая не
обязательно имеет одно и то же значение на протяжении всего доказа-
доказательства. В цепочке неравенств я часто использую С, С, С", ... или
С\, Сг, Сз, ..., чтобы избежать недоразумений.
Мы используем следующее соглашение относительно преобразова-
преобразования Фурье (в одномерном случае):
оо
= ПО = -}= I dxe-ix*f(x).
v 2тг J
(O.O.I)
Точнее, назовем о(а) любую величину, для которой о(а) —l 0, когда о -t 0
(или оо). — Прим. ред.

Предварительные сведения и обозначения 15
С такой нормировкой имеем
ll/lli2 = ll/lli2' 1/@1 ^ B?г)~ ll/llii;
где
г t 11/р
J Wlp — I \J v / * yu*yj<?i)
Обратное преобразование Фурье определяется как
(х), g(x)=g(-x). @.0.3)
Строго говоря, @.0.1), @.0.3) корректно определены, если /, соответ-
соответственно &f, являются абсолютно интегрируемыми. Для общего слу-
случая / € L2 следует определять &f с помощью предельного перехода
(см. ниже). Мы будем неявно предполагать, что соответствующий пре-
предельный переход используется во всех случаях и писать, подобающе
злоупотребляя обозначениями, формулы, подобные @.0.1) и @.0.3), да-
даже когда предельный переход лишь подразумевается.
Стандартное свойство преобразования Фурье:
отсюда
fdm2l\T(o\2
<оо «¦ / rfeier'|/(C)|2 <оо,
при этом /О = -^т/.
dx
Если функция / имеет компактный носитель, т.е. f(x) = 0 для
х < а или х > Ь, где —сю < а < Ь < сю, то ее преобразование Фурье /(?)
корректно определено для комплексных ? и
если Im? ^ 0.

16 Предварительные сведения и обозначения
Более того, если / бесконечно дифференцируема, то применив такие
же рассуждения к /О, можно получить оценку для |?|'|/(?)|- Таким
образом, для функции / из С°° с носителем [а, 6] существует констан-
константа CN такая, что аналитическое продолжение преобразования Фурье
функции / удовлетворяет неравенству
лг ( еьAт«\ если 1т?^0,
!?!)-"{ ' у ' @.0.4)
[еаAт°, если 1?^0
Обратно, любая целая функция, которая удовлетворяет оценке ви-
вида @.0.4) для всех N € N, является аналитическим продолжением пре-
преобразования Фурье функции / из С°° с носителем [а, 6]. Это утвержде-
утверждение теоремы Пэли-Винера.
Время от времени мы будем встречаться с распределениями (обоб-
(обобщенными функциями). Это линейные отображения Т из множест-
множества 5?(Щ, состоящего из функций класса С°°, убывающих быстрее, чем
любая отрицательная степень A + |nr|) JV", в С такие, что для любых тп,
ngN существуют Cn>m, для которых выполнено
для всех / € 5?(Щ. Множество всех распределений обозначается 5?'(Щ.
Любая полиномиально ограниченная функция F может быть интерпре-
интерпретирована как распределение, при этом F(f) = J dxF(x)f(x). Другим
примером является так называемая «^-функция» Дирака, <$(/) = /@).
Говорят, что распределение Т имеет носитель [а, 6], если Т(/) = 0 для
всех функций /, носитель которых имеет пустое пересечение с [а, 6].
Можно определить преобразование Фурье ,^Т или Т для распределе-
распределения Т: T(f) = T(f) (если Т — функция, то это определение совпадает
с данным ранее). Существует версия теоремы Пэли-Винера для рас-
распределений: целая функция Т(?) является аналитическим продолжени-
продолжением преобразования Фурье распределения Т в 5'(М) с носителем [а, 6]
тогда и только тогда, когда для некоторых N ? N и Cjv > 0 выполня-
выполняется неравенство
( еьAт?), если 1т О 0,
^A+ |сГ ' у '
I е ; и, если 1т? ^ 0.

Предварительные сведения и обозначения 17
Единственная мера, которую мы будем использовать, — это мера
Лебега наМиМ". Часто будем обозначать меру (Лебега) для S через \S\,
в частности, [а, 6] = b — а, где Ъ > а.
Хорошо известны теоремы из теории меры и интегрирования, ко-
которыми мы будем пользоваться:
Лемма Фату. Если fn ^ 0, fn(x) —>¦ f(x) почти всюду (т. е. мно-
множество точек, где поточечная сходимость не выполняется, имеет ле-
лебегову меру ноль), тогда
/dx f(x) ^ limsup / dx fn(x).
n—>oo J
В частности, если lim sup конечен, то f интегрируема.
(limsup последовательности определяется как
lim sup an = lim [suplcc^; k Js nil;
любая последовательность, даже не имеющая предела, например ап =
= (—1)™, имеет limsup, который может быть ос; для последовательнос-
последовательностей, имеющих предел, limsup совпадает с этим пределом.)
Теорема об интегрируемости предела мажорируемой по-
последовательности. Пусть fn{x) —>¦ f(x) почти всюду. Если \fn(x)\ ^
^ g(x) для всех п и J dx g(x) < сю, то / интегрируема и
/dxfix) = lim / dxfn(x).
Теорема Фубини. Если J dx [fdy\f(x, y)\] < oo, mo
dx dyf(x, y) = dx\ dyf(x, y)\ = dy \ dxf(x, y)\,
J J J \_J J J \_J J
т. е. возможна перемена порядка интегрирования.
В этих трех теоремах областью интегрирования может выступать
любое измеримое множество из Ж (или М2 для теоремы Фубини).
Обычное обозначение при использовании гильбертова пространст-
пространства — Ж, если только оно не имеет названия. Мы будем следовать со-
соглашению, принятому среди математиков, и использовать скалярные
произведения, линейные по первому аргументу:
, v) = Ai(mi, v) + А2(иг, v).

18 Предварительные сведения и обозначения
Как обычно, имеем
(v, и) = (и, v),
где а обозначает комплексное сопряжение а, и (и, и) ^ 0 для всех
и ? Ж. Определим норму ||и|| для и через
||и||2 = (и, и). @.0.5)
В гильбертовом пространстве ||и|| = 0 влечет и = 0, а все последова-
последовательности Коши (в смысле || ||) имеют пределы из этого же простран-
пространства. (Более точно: если ип € Ж, а \\ип — ит\\ меньше любого наперед
заданного числа при достаточно больших п, т, т. е. для любого е > 0
существует щ, зависящее от е, такое, что \\ип — ит\\ ^ е для и, т ^ щ,
то существует и ? Ж, такое, что ип стремится к и при п —>¦ сю, т.е.
Km ||и — ип\\ = 0.)
п—юс
Стандартным примером гильбертова пространства является про-
пространство Ь2(Ж), в нем
(f,g)=J dxf(x)g(x).
Здесь интегрирование берется от — ос до ос; мы часто будем опускать
пределы интегрирования, если ведем его вдоль всей вещественной оси.
Другим примером является /2(Z), множество всех суммируемых
с квадратом последовательностей комплексных чисел с целыми индек-
индексами и
оо
(с, d) = ^2 cndn.
п= — ос
Снова будем опускать пределы суммирования, если суммируем по всем
целым числам. Оба пространства Ь2(Ж) и /2(Z) имеют бесконечномер-
бесконечномерные базисы. Еще проще выглядят конечномерные гильбертовы про-
пространства, стандартным примером которых является Ск со скалярным
произведением
к
(и, v) =
для и = (и±, ... , uk), v = (vi, ... , vk) e Ск.
Гильбертовы пространства всегда имеют ортонормированные ба-
базисы, т. е. в них существуют такие семейства векторов еп € Ж, что

Предварительные сведения и обозначения 19
|И2=?|(И, е„)|2
п
для всех и ? Ж. (Мы рассматриваем только сепарабельные гильбер-
гильбертовы пространства, т.е. пространства, в которых ортонормированные
базисы являются счетными). Примерами ортонормированных базисов
могут служить функции Эрмита в L2(M), последовательности еп, опре-
определенные как (en)j = 5nj, n, j ? Z, из /2(Z) (т.е. все компоненты
кроме п-й равны нулю), или к векторов е\, ... , е\. € Cfc, определенные
как (ej)m = 5^т, 1 ^ /, т ^ fc. (Мы используем символ Кронекера <$
в его обычном значении: Sij = 1, если i = j, 0, если i ф j.)
Стандартное неравенство в гильбертовом пространстве, неравен-
неравенство Коши-Шварца
|<«, 1с>|^ИПН1, (о.о.б)
легко доказывается путем выписывания @.0.5) для подходящих линей-
линейных комбинаций v и го. В частности, для f,gE Ь2(Ж) мы имеем
и для с = (cn)nez, d = (dn)nez € /2(Z),
1/2
l
Из @.0.6) следует, что
||и|| = sup \(u, v)\ = sup \(u, v)\. @.0.7)
",II"IK1 «.l|u|| = l
Операторами на Ж являются линейные отображения из Ж в другое
гильбертово пространство, часто само Ж. Точнее, если А — некоторый
оператор на Ж, то
А(\\и\ + А2И2) = XiAui + Аг^-Иг-
Оператор непрерывен, если любое Аи — Av можно сделать сколь угод-
угодно малым, выбирая малым и — v. Точнее, для любого е > 0 должно

20 Предварительные сведения и обозначения
существовать S (зависящее от г), такое, что ||и — v\\ ^ S влечет \\Аи —
— Av\\ ^ е. Если мы возьмем v = 0, е = 1, то обнаруживаем, что для
некоторого 6 > 0 \\Au\\ ^ 1, если ||и|| ^ Ъ. Для любого w ? Ж мы
можем определить w' = tt^-ttW. Ясно, что Цго'Ц < d и, таким образом,
„ II \\w\\
\\Aw\\ = -^-г— \\Aw'\\ ^ б!!?/;!!- Если ||Лю||/||го|| (w ф 0) ограничено, то
оператор А называется ограниченным. Мы только что показали, что
любой непрерывный оператор ограничен; обратное также верно. Норма
для А определена
= sup ||Ли||/||и|| = sup ||Ли||. @.0.8)
u€#,||u||#0 ||u|| = l
Отсюда немедленно следует, что для всех и € Ж
Операторы из Ж в С называются линейными функционалами. Для
ограниченных линейных функционалов имеем теорему Рисса о пред-
представлении: для любого I: Ж —>¦ С, линейного и ограниченного, т.е.
|/(и)| ^ С\\и\\ для всех и ? Ж, существует единственный vi ? Ж,
такой, что 1{и) = (и, vi).
Оператор U из Ж\ в Жч называем изометрическим, если (Uv, Uw) =
= (и, w) для всех v, w ? Ж\, унитарным, если, более того, UЖ\ = Жч-,
т. е. каждый элемент V2 € Ж2 может быть записан как г>2 = Uv\ для
некоторого vi G Ж\. Если еп образуют ортонормированный базис в Ж\
и U — унитарный, то Uen образуют ортонормированный базис в Жч-
Обратное также верно: любой оператор, который отображает ортонор-
ортонормированный базис в другой ортонормированный базис, является уни-
унитарным.
Множество D называется плотным в Ж, если любой элемент и? Ж
может быть записан как предел последовательности ип из D. (Говорят,
что замыкание D совпадает со всем Ж. Замыкание множества S полу-
получается добавлением всех v, являющихся пределами последовательнос-
последовательностей из 5.) Если Av определены только для v G D, но мы знаем, что
||Лг;|| ^ C\\v\\ для всех v e D, @.0.9)
то мы можем расширить А на все Ж «по непрерывности». Точнее, если
и € Ж, то находим ип € D такую, что lim un = и. Тогда ип обязатель-
71—>СХЭ
но будет последовательностью Коши, и, ввиду @.0.9), такой же будет

Предварительные сведения и обозначения 21
и Аип; Аип, таким образом, имеет предел, который мы назовем Аи (он
не зависит от конкретного выбора последовательности ип).
Нам придется иметь дело и с неограниченными операторами,
т.е. А, для которых не существует конечной С такой, что ||Аи|| ^ С\\и\\
выполнено для всех и ? Ж. Известно, что обычно они определены толь-
только на плотном множестве D в Ж и не могут быть продолжены с помо-
помощью описанного трюка (поскольку не являются непрерывными). В ка-
качестве примера мы можем взять -j- в Ь2(Ж), где D = Сд°(Ж), множес-
множество бесконечно дифференцируемых функций с компактными носите-
носителями. Плотное множество, на котором оператор определен, называется
его областью определения.
Сопряженным к ограниченному оператору А из гильбертова про-
пространства Ж\ в гильбертово пространство Жъ (которое может совпа-
совпадать с Ж\) является оператор А" из Ж^ в Ж\, определенный выраже-
выражением
(и±, A*U2) = (Aui, игM
которое должно выполнятся для всех щ 6 Ж±, иг ? Ж-i- (Существо-
(Существование А* гарантировано теоремой Рисса: для фиксированного u<i мы
можем определить линейный функционал I из Ж\ с помощью 1(и{) =
= (Aui, U2). Он, очевидно, является ограниченным и соответствует
вектору v так, что (щ, v) = 1{и\). Легко проверить, что соответствие
иг —> v — линейное, оно и определяет оператор А*.) Имеем
\\А*\\ = \\А\\, ||А*А|| = ||А||2.
Если А* = А (при условии, что А отображает Ж в себя), то А назы-
называется самосопряженным. Если самосопряженный оператор А удовле-
удовлетворяет (Аи, и) ^ 0 для всех и 6 Ж, то он называется положительным
оператором. Это часто обозначается как А ^ 0. Мы будем писать А ^ В,
если А — В — положительный оператор.
Ядерными операторами называются специальные операторы такие,
что сумма 53 |(^4е„, еп)\ конечна для всех ортонормированных базисов
п
в Ж. Для таких операторов ^2(Аеп, еп) не зависит от выбранного ор-
п
тонормированного базиса; мы назовем такую сумму следом А,

22 Предварительные сведения и обозначения
Если А — положительный, то достаточно проверить является ли
еп, еп) конечной для одного ортонормированного базиса; если это
так, то А — ядерный оператор. (Это не выполняется для неположитель-
неположительных операторов!)
Спектр а (А) оператора А из Ж в себя состоит из всех Л ? С та-
таких, что А — Aid (Id обозначает тождественный оператор, Id« = «) не
имеет ограниченного обратного. В конечномерном гильбертовом про-
пространстве а (А) состоит из собственных значений А, в бесконечномер-
бесконечномерном случае а(А) содержит все собственные значения (образующие то-
точечный спектр), но часто содержит и другие Л, образующие непрерыв-
непрерывный спектр. (Например, в Ь2(Ж) умножение /(ж) на siriTra: не имеет
точечного спектра, но его непрерывным спектром является [—1, 1].)
Спектр самосопряженного оператора состоит только из вещественных
чисел; спектр положительного оператора содержит лишь неотрицатель-
неотрицательные числа. Спектральный радиус р(А) определен с помощью
p(A)=sup{|A|; \?a(A)}.
Он имеет свойство:
р(А) <: \\A\\ и р(А) = Km \\An\\1/n-
п—^оо
Самосопряженный оператор может быть диагонализован. Легче
всего это понять, если спектр состоит только из собственных значе-
значений (как в случае конечной размерности). Имеем
а(А) = {А„; п ? Щ,
с соответствующим ортонормированным семейством собственных век-
векторов
Аеп = Хпеп.
Тогда для всех и ? Ж
Аи = ^2(Аи, еп)еп = ^(и, Аеп)еп = ^А„(и, е„)е„,
что является диагонализацией А. (Спектральные теоремы позволяют
нам обобщить этот результат, если часть спектра (или весь спектр)

Предварительные сведения и обозначения 23
непрерывна, но нам это не понадобится). Если два оператора коммути-
коммутируют, т.е. АВи = В Аи для всех и ? Ж, то их можно диагонализовать
одновременно: существует ортонормированный базис такой, что
Аеп = апеп и Веп = /Зпеп.
Многие из перечисленных свойств ограниченных операторов могут
быть сформулированы для неограниченных операторов: сопряженные,
спектр, диагонализация — все это существует и для неограниченных
операторов. Необходимо, однако, быть осторожным с областями опре-
определения. Например, обобщение одновременной диагонализации комму-
коммутирующих операторов требует аккуратного определения коммутирую-
коммутирующих операторов: существуют патологические примеры, где оба А, В
определены в области D, АВ и В А имеют смысл в D, но А, В не диаго-
нализуемы одновременно (поскольку D слишком «мала», для примера
см. Рид, Саймон [191]). Точное определение коммутативности для не-
неограниченных самосопряженных операторов использует понятие соот-
соответствующих ограниченных операторов: Hi и В.^ коммутируют, если
соответствующие им унитарные эволюционные операторы коммутиру-
коммутируют. Для самосопряженного оператора Н соответствующий унитарный
эволюционный оператор Ut определен следующим образом: для любого
v € D, области определения Н (осторожно: область определения само-
самосопряженного оператора не является просто плотным множеством, на
котором определен Н), UTv — это решение v(t) в момент t = Т диффе-
дифференциального уравнения
iftv(t) = Hv(t),
с начальным условием и@) = v.
Банаховы пространства имеют много общих свойств с гильберто-
гильбертовыми, но являются более общим понятием. Они являются линейными
пространствами с нормой (которая не обязательно, а в общем случае
и вовсе не получается из скалярного произведения), полными относи-
относительно этой нормы (т. е. все последовательности Коши сходятся, см. вы-
выше). Некоторые из понятий, приведенных выше для гильбертовых про-
пространств, существуют и для банаховых пространств, например, огра-
ограниченные операторы, линейные функционалы, спектры, спектральные
радиусы. Примером банахова пространства, не являющегося гильбер-
гильбертовым, является ЬР(Ж), множество всех функций / из Ж таких, что

24 Предварительные сведения и обозначения
||/||lj> (см.@.0.2)) конечна, 1 ^ р ^ оо, р Ф 2. Другим примером слу-
служит Х°°(Ж), множество всех ограниченных функций на Ж, ||/||х°о =
= sup |У(ж)|. Двойственным пространством Е* к банахову пространст-
ву Е является множество всех ограниченных линейных функционалов
на Е\ оно также линейно, с естественной нормой (определенной как
в @.0.7)), полное относительно этой нормы: Е* само является банахо-
банаховым. В случае ^-пространств, 1 ^ р ^ оо, оказывается, что элементы
из Lg, где р и q связаны соотношением р~х + q~x = 1, определяют ли-
линейные функционалы на Lp. В самом деле, по неравенству Гельдера
dxf(x)g(x)
Н/1ЫЫ1
Li-
Оказывается, что все ограниченные линейные функционалы на Lp име-
имеют такой вид, т.е. (Lp)* = Lq. В частности, L2 двойственно само себе,
по теореме Рисса (см. выше) каждое гильбертово пространство двойст-
двойственно самому себе. Сопряженный А* к оператору А из Е\ в Е2 является
оператором из Е\ в Е^, определенным по правилу
Существуют различные типы базисов в банаховых пространствах. (Мы
снова рассмотрим только случай сепарабельных пространств, в ко-
которых базисы счетны). Элементы е„ образуют базис Шаудера, если
для всех v € Е существует единственная /л„ € С такая, что v =
N N
= lim Yl iinen (т.е. \\v — ^ /xnen|| —> 0, если N —>¦ оо). Требова-
JV->oon=1 n=1
ние единственности на iin влечет линейную независимость е„, в том
смысле, что ни один е„ не может лежать в линейной оболочке, натя-
натянутой на остальные элементы, т.е. не существует 7т таких, что еп =
N
= lim ^2 'Ут^т- Для базиса Шаудера порядок еп может быть
важным. Базис называется безусловным, если дополнительно он удов-
удовлетворяет одному из двух свойств:
— S |Мп|еп ? Е, какова бы ни была ^ ^пеп ? Е;
п п
— если Х^М"еп & Е и еп = ±1 выбрано случайным образом для
п
каждого п, то X^M»?nen ^ E.

Предварительные сведения и обозначения 25
Для безусловного базиса порядок, в котором берутся вектора базиса,
не имеет значения. Не все банаховы пространства имеют безусловные
базисы. Например, Х1(Ж) и L°°(R) их не имеют.
В гильбертовом пространстве Ж безусловный базис называется ба-
базисом Рисса. Базис Рисса может характеризоваться также и следую-
следующим эквивалентным требованием: существуют а > О, /3 < ос такие,
что
«Н«112^?)К«> еп}|Ч/з|М12, (о.о.ю)
п
для всех и € Ж. Если А — ограниченный оператор с ограниченным
обратным, то А отображает любой ортонормированный базис в базис
Рисса. Более того, все базисы Рисса могут быть получены как такие
образы ортонормированных базисов. К слову, базисы Рисса — это сле-
следующая после ортонормированных базисов хорошая вещь. Заметим, что
неравенств в @.0.10) недостаточно, чтобы гарантировать, что еп обра-
образуют базис Рисса: е„ с необходимостью должны быть линейно независи-
независимыми!

Глава 1
Что, почему и как в вейвлетах
Вейвлет-преобразование (wavelet transform) является инструмен-
инструментом, разбивающим данные, или функции, или операторы на составляю-
составляющие с разными частотами, каждая из которых затем изучается с разре-
разрешением, подходящим масштабу. Прототипы этой техники появились не-
независимо в чистой математике (формула обращения Кальдерона в рабо-
работе Кальдерона [28]), физике (когерентные состояния для (аж+&)-группы
в квантовой механике, первоначально построенные Аслаксеном и Кла-
удером в [6]; на их связь с гамильтонианом атома водорода указывает
Пол [152]), технике (КЗ фильтры Эстебана и Геланда [76], КЗ фильтры
с точным восстановлением Смита и Барнвела [166], Веттерли [178] для
цифровой обработки сигнала, вейвлеты Морле [148] для анализа сейсми-
сейсмических данных). Исследования последних пяти лет показали высокую
продуктивность синтеза этих различных подходов для всех областей.
1.1. Частотно-временная локализация
Во многих приложениях, имея заданный сигнал f(t) (сейчас мы
предполагаем, что t — непрерывная переменная), интересно знать его
частотную характеристику локально во времени. Это аналогично, на-
например, музыкальным обозначениям, которые говорят музыканту, ка-
какую ноту (= частотная информация) брать в данный момент. Обычное
преобразование Фурье
также дает представление о частотной характеристике /, но инфор-
информация, касающаяся временной локализации, скажем, пиков с высокой
частотой не может быть легко извлечена из S'f. Временная локализа-
локализация может быть получена, во-первых, с помощью окон, когда берется

1.1. Частотно-временная локализация
27
Рис. 1.1. Оконное преобразование Фурье: функция /(?) перемножается с окон-
оконной функцией g(t), и вычисляются коэффициенты произведения f{t)g(t). За-
Затем процедура повторяется для сдвигов окна g(t — to), g(t — 2io), • • •
хорошо локализованный кусок / и затем выписывается его преобразо-
преобразование Фурье:
A.1.1)
Взятие оконного преобразования Фурье является обычной техникой для
частотно-временной локализации. Для работающих с анализом сигнала,
оно более известно в дискретном варианте, когда t и ш принимают
значения t = nt0, ш = тш0, где то, п пробегают Z, а ш0, t0 > 0 —
фиксированные. Тогда A.1.1) преобразуется в
пок (f)= / (
m,n\J ) I '
f(s)g(s - nto)e~
A.1.2)
Эта процедура схематически представлена на рисунке 1.1: для фикси-
фиксированного п функционалы T™n(f) соответствуют коэффициентам Фу-
Фурье f(-)g(- — nto). Если, например, g имеет компактный носитель, ясно,
что при подходящем выборе wo коэффициентов Фурье Т°^(/) доста-
достаточно, чтобы характеризовать, а при необходимости и восстановить
f(')g(' ~ п^о)- Беря другое п, получим сдвиг «куска» на шаги, крат-
кратные to, что позволит восстановить / по T™n(f). (Мы обсудим это
позже, в главе 3, в более строгих математических терминах.) В ана-
анализе сигнала предлагалось много вариантов выбора оконной функции
g, большинство из которых имеют компактный носитель и разумную
гладкость. В физике оператор A.1.1) имеет отношение к когерентным
состояниям, ассоциированным с группой Вейля-Гейзенберга (Клаудер

28 Глава 1
и Скагерстам [111]). В этой связи очень популярным выбором является
функция Гаусса g. Во всех приложениях g предполагается хорошо скон-
сконцентрированной во времени и в пространстве. Если g и g сосредоточе-
сосредоточены возле нуля, то (Ток/)(о;, t) можно интерпретировать как, нестрого
говоря, «содержание» / в момент (и на частоте ш. Оконное преобразо-
преобразование Фурье, таким образом, дает описание / на частотно-временной
плоскости.
1.2. Вейвлет-преобразование: аналогии и отличия
в сравнении с оконным преобразованием Фурье
Вейвлет-преобразование дает сходное частотно-временное описа-
описание с некоторыми существенными отличиями. Формулы, аналогичные
A.1.1), A.1.2), выглядят следующим образом:
(Твейв/)(а, Ь) = \a\-V* jdbfWi^ir) A-2.1)
;mt-nb0). A.2.2)
В обоих случаях мы предполагаем, что ф удовлетворяет условию
Лф(Ь)=0 A.2.3)
(в главах 2 и 3 будут даны разъяснения).
Формула A.2.2) снова получается из A.2.1) в предположении, что
а, Ь принимают только дискретные значения: а = а™, Ь = пЪ^а™, т,
п пробегают значения из Z, величины ао > 1, &о > 0 — фиксиро-
фиксированные. Одно сходство вейвлет-преобразования и преобразования Фу-
Фурье очевидно: обе формулы A.1.1) и A.2.1) представляют скалярное
произведение / и семейства функций, снабженного двумя индексами,
g",t(s) = eiweg(s -t) в A.1.1) и ij;a>b(s) = |а|/2^(^^) в A.2.1). Функ-
Функции фа'ь называются «вейвлетами», функцию ф иногда называют «ма-
«материнским вейвлетом». (Заметим, что ф и g неявно подразумеваются
вещественными, хотя это ни в какой степени не является существен-
существенным. Если они не являются таковыми, следует взять комплексное со-
сопряжение в A.1.1), A.2.1)). Обычно в качестве ф берут ф(Ь) = A —
— t2) exp(—12/2), вторую производную функции Гаусса, которую часто

1.2. Вейвлет-преобразование и оконное преобразование Фурье 29
а) б)
—, е(х)
о
ц/{х)
ц/а-ьпри а<\
Ь>0
а>\
Ь<0
х
Рис. 1.2. Типичные очертания (а) функций оконного преобразования Фурье
g^'* и (б) вейвлетов фа'ь. Функции g^'* можно рассматривать как сдвиги
функции-оболочки g, «заполненной» высокочастотными осцилляциями; фа'ь
являются копиями одной и той же функции, сдвинутой и сжатой или растя-
растянутой
называют мексиканской шляпой, поскольку она напоминает мексикан-
мексиканскую шляпу в разрезе. Эта функция хорошо локализована во времени
и в пространстве и удовлетворяет A.2.3). Когда а меняет свои значе-
значения, фа'°(з) = |a|~1/2'0(s/a) меняет свою частоту: большие значения
масштабирующего параметра \а\ соответствуют малым частотам или
большому масштабу ¦0а'°; малые параметры \а\ соответствуют высо-
высоким частотам или очень мелкому масштабу фа'°. Изменение парамет-
параметра Ъ позволяет нам сместить центр временной локализации: каждая
¦0a'b(s) локализована около s = Ъ. Следовательно, A.2.1), как и A.1.1),

30 Глава 1
дает частотно-временное описание /. Различие между вейвлет-преоб-
разованием и оконным преобразованием Фурье состоит в форме анали-
анализирующих функций g* и ipa'b, которые показаны на рисунке 1.2. Все
функции g"'* состоят из одной и той же функции-оболочки g, сдвину-
сдвинутой к подходящему расположению по времени и «заполненной» высоко-
высокочастотными осцилляциями. Все g*, вне зависимости от значения и),
имеют одну ширину. Наоборот, фа'ъ имеет ширину во времени, соот-
соответствующую частоте: высокочастотные фа'ъ являются узкими, в то
время как низкочастотные фа'ь — намного шире. В результате, вейв-
лет-преобразование дает лучшую, чем оконное преобразование Фурье,
возможность рассмотреть высокочастотные явления с коротким сро-
сроком жизни такие, как, например, сингулярности в функциях или ин-
интегральных ядрах. Это проиллюстрировано рисунком 1.3, на котором
показаны оконное преобразование Фурье и вейвлет-преобразование од-
одного и того же сигнала /, заданного формулой
f(t) = sinB7ri/ii) + sinB7ri/2i) + i[&{t - h) + S(t - t2)].
На практике этот сигнал задается не таким непрерывным выражением,
а отсчетами (samples), и добавка <$-функции аппроксимируется добавле-
добавлением постоянной только в один отсчет. Тогда в этой дискретной версии
мы имеем
/(пт) = smBTrv1nT) + sin^TTi^m-) + а[6ПгП1 + ?„,„2].
Например, на рисунке 1.3а v\ = 500 Гц, U2 = 1 кГц, т = 1/8000сек (т.е.
мы имеем 8000 отсчетов в секунду), а = 1.5, Пг — п\ = 32 (что соот-
соответствует 4 миллисекундам между двумя пульсациями). Три спектро-
спектрограммы (графики модуля оконного преобразования Фурье) на рисун-
рисунке 1.36 получены с использованием обычных окон Хемминга с шириной
12.8, 6.4, 3.2 мсек, соответственно. (На этих графиках время t меняется
по горизонтали, частота — по вертикали; уровень насыщенности серо-
серого цвета указывает на значение |Ток(/)|, черным цветом отмечается
наивысшее значение). По мере возрастания ширины окна разрешение
двух чистых тонов становится лучше, в то время как различить две
пульсации становится все труднее или даже невозможно. Рисунок 1.3в
показывает модули вейвлет-преобразований /, полученных с помощью
(комплексного) вейвлета Морле ф(Ь) = Се~1 /а (е"* — е~ж а /4), а = 4.
(Чтобы облегчить проведение сравнения со спектрограммой, была вы-

1.2. Вейвлет-преобразование и оконное преобразование Фурье 31
{а)
10
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-A '
;! 'If \_
-j
lli.
¦ 'Ilk
- i.. i i i i.i
1000 2000 3000 4000 0 1000 2000 3000 4000
1000 2000 3000 4000
Рис. 1.3. (а) сигнал /(?). (б) Оконное преобразование / для трех окон различ-
различной ширины. Приведены так называемые спектрограммы: изображены лишь
|Ток(/)| (фаза не воспроизводится на графике) с использованием различных
оттенков серого цвета (при этом наибольшие значения соответствуют черно-
черному цвету, нулевые — белому, промежуточные серые оттенки пропорциональ-
пропорциональны log |Ток(/)|) на плоскости t (абсцисса) и ш (ордината), (в) Вейвлет-преоб-
Вейвлет-преобразование /. Для сравнения с (б) мы изобразили также и |Гвеив(/)|, использо-
использовав тот же метод, и ось линейной частоты (т. е. ординату, соответствующую
а), (г) Сравнение частотного разрешения между тремя спектрограммами
и вейвлет-преобразованием. Я хотела бы выразить свою благодарность Одеду
Гитза за создание этого рисунка

32 Глава 1
брана линейная частотная ось, хотя обычно для вейвлет-преобразова-
ний используют логарифмическую частотную ось). Уже видно, что два
импульса различаются лучше, чем на рисунке с окном Хемминга в 3.2
мсек (правый график на рисунке 1.36), в то время как разрешение по
частоте для двух чистых тонов сравнимо с полученным с помощью окна
Хемминга в 6.4 мсек (средний график на рисунке 1.36). Это сравнение
частотной разрешимости более ясно проиллюстрировано рисунком 1.3г:
здесь сравниваются части спектрограммы (т.е. графика |(Т0К/)(-, t)\
с фиксированным t) и модули вейвлет-преобразования (|(Твеив/)(-, Ь)|
с фиксированным Ъ). Динамический ранг (отношение между максиму-
максимумом и «впадиной» между двумя пиками) вейвлет-преобразования срав-
сравним с тем, что получен на спектрограмме с окном 6.4 мсек.
На самом деле наше ухо использует вейвлет-преобразование, ког-
когда анализирует звук, по крайней мере, на первой стадии. Колебания
амплитуды давления передаются от барабанных перепонок на мембра-
мембрану и далее распространяются по всей длине завитка внутреннего уха.
Завиток скручен в виде спирали во внутреннем ухе; представим, что
завиток распрямлен в некоторый сегмент, вместе с ним распрямлена
и мембрана. Теперь мы можем ввести координатную ось у вдоль это-
этого сегмента. Эксперименты и численное моделирование показывают,
что волны давления, которые являются чистыми тонами fw(t) = ewt,
вызывают ответное возбуждение мембраны, которая имеет такую же
частоту во времени, но оболочку по у равную Fw(t, у) = elwt<pw(y).
В первом приближении, которое оказывается достаточно хорошим для
частот ш свыше 500 Гц, зависимость <pw(y) от ш соответствует сдви-
сдвигу на logw: существует одна функция ip такая, что <pw(y) очень близко
ip(у — logo;). В самом общем случае, если f(t) = j_ / du> f(u>)elwt, то
V2tt
отклик F{t, у) дается соответствующей суперпозицией «элементарных
откликов» (response functions)
Fit, у) = -L /do;/Над У) = ~^=
V 2тг J v 2тг
Если мы введем замену параметризации, определив
$ie~x) = i2TT)-1/2ipix), Gia, t) = F(t, log a),
то получим
Gia, t) = f dt'fit')ipiait - t')),

1.3. Различные типы вейвлет-преобразований 33
что с точностью до нормировки является вейвлет-преобразованием. Па-
Параметр сжатия возникает естественным образом вследствие логариф-
логарифмического сдвига в (pw. Появление вейвлет-преобразования на первой
стадии нашего собственного биологического акустического анализа да-
дает основание предполагать, что методы акустического анализа, осно-
основанные на вейвлетах, имеют лучшие шансы привести, например, к схе-
схемам сжатия, с искажениями, невоспринимаемыми нашим ухом, чем
другие методы.
1.3. Различные типы вейвлет-преобразований
Существует много разных типов вейвлет-преобразований, все они
начинаются с формул A.2.1), A.2.2). В этих лекциях мы будем разли-
различать
А. непрерывное вейвлет-преобразование A.2.1) и
Б. дискретное вейвлет-преобразование A.2.2).
Дискретные вейвлет-преобразования мы будем далее подразделять на
Б1. системы фреймов (frames) и
Б2. ортонормированные (и другие) базисы вейвлетов.
1.3.1. Непрерывные вейвлет-преобразования
Здесь параметры сдвига и сжатия а, Ъ непрерывно меняются
вдоль Ж, с ограничением а ф 0. Вейвлет-преобразование задается фор-
формулой A.2.1), любая функция может быть восстановлена с помощью
формулы обращения («resolution of identity»)
оо оо
= c*1 f f ^
A-3.1)
— оо —оо
где фа>ь(х) = l^l/2^! ^—^— ], а {, ) обозначает скалярное произведение
в L2. Постоянная Сф зависит только от ф и дается формулой
оо
= 2tt J
A-3.2)
мы предполагаем, что Сф < оо (в противном случае A.3.1) не имеет
смысла). Если ф — функция из L1(M) (как раз такие случаи представля-

34 Глава 1
ют практический интерес), то ф является непрерывным, тогда Сф мо-
может иметь конечное значение только если ф@) = 0, т.е. J йхф{х) = 0.
Доказательство представления A.3.1) будет дано в главе 2. (Заметим,
что мы неявно предположили, что ф — вещественная функция, для
комплексной ф нам следует использовать ф вместо ф в A.2.1). В неко-
некоторых приложениях использование комплексных ф является полезным.)
Формула A.3.1) может быть рассмотрена с двух точек зрения:
A) как способ восстановления /, если известно ее вейвлет-преобразо-
вание увеиву или B) как способ записи / в виде суперпозиции вейв-
летов ¦0а>ь, коэффициенты в этой суперпозиции точно заданы через
вейвлет-преобразование /. Оба подхода приводят к интересным при-
приложениям.
Соответствие /(ж) —> (Твеив/)(а, Ъ) сопоставляет функции одной
переменной функцию от двух переменных, значения которой сильно
коррелированы (см. главу 2). Такая избыточность представления мо-
может быть использована. Прекрасным приложением является понятие
«скелетона» сигнала, извлеченное из непрерывного вейвлет-преобразо-
вания, применяемое для нелинейной фильтрации (см. Торрезани [172],
Дельпра [66]).
1.3.2. Дискретное избыточное вейвлет-преобразование
(фрейм)
В этом случае оба параметра, сжатия а и сдвига, принимают толь-
только дискретные значения. Для а мы берем целые (отрицательные и по-
положительные) степени фиксированного параметра а^ > 1, т. е. а = а™.
Как показано на рисунке 1.2, разные значения то соответствуют разной
ширине вейвлетов. Следовательно, дискретизация параметра сдвига Ъ
должна зависеть от то: узкие (высокие частоты) вейвлеты сдвигаются
малыми шагами, чтобы покрыть весь временной спектр, в то время
как более широкие (низкие частоты) вейвлеты сдвигаются большими
шагами. Поскольку ширина ф{а^тх) пропорциональна а™, мы выбира-
выбираем b = пЬ$а™, где &о > 0 — фиксированное, neZ. Соответствующие
вейвлеты с дискретными индексами выглядят как
фт,п{х) = а-т'2ф(а^т(х - пЪоа™)) = а^ф^х - пЪ0). A.3.3)
На рисунке 1.4а схематически изображена сетка центров частотно-вре-
частотно-временной локализации, соответствующая фтуП. Тогда для заданной функ-

1.3. Различные типы вейвлет-преобразований
а)
35
а0а>0
(-1,1)
(-1,0) (-1,2)
@,0) @,1) @,2)
•
•
• •
А ч A,1) A,2)
t
• • •
б)
A,0)
@,0)
•A,1)
W° @,1)
Рис. 1.4. Решетки частотно-временной локализации для вейвлет-преобразо-
вания и оконного преобразования Фурье, (а) Вейвлет-преобразование: фт> „
локализованы по времени около a™nbo- Здесь мы предположили, что \ф\ имеет
два частотных пика в а?±?о (это имеет место, например, для вейвлета, задан-
заданного функцией «мексиканская шляпа», ф(Ь) = A — ?2)е~* /2). Тогда \фт,п{0\
имеют пики в точках at ± Оо"|о, являющихся центрами частотной локали-
локализации для фт,п- (б) Оконное преобразование Фурье: gm,n локализованы по
времени около nto, по частоте — около

36 Глава 1
ции / скалярное произведение (/, фтуП) точно дает дискретное вейв-
вейвлет-преобразование, определенное формулой A.2.2) (мы снова предпо-
предполагаем, что ф — вещественная).
В дискретном случае, вообще говоря, не существует формулы об-
обращения, аналогичной A.3.1) для непрерывного случая. Восстановле-
Восстановление / из Твеив(/), если оно вообще возможно, должно, таким образом,
производиться другими методами. Естественным образом возникают
следующие вопросы:
A) Зная увеив(у); возможно ли полностью характеризовать /?
B) Возможно ли восстановить / из увеив(^) численно устойчивым
способом?
Эти вопросы касаются восстановления / по ее вейвлет-преобразова-
нию. Мы можем также рассмотреть сопряженную задачу (см. § 1.3.1)
о возможности разложения / по вейвлетам, которая приводит к двой-
двойственным вопросам:
A') Любая ли функция может быть записана в виде суперпози-
суперпозиции фт^п1
B') Существует ли численно устойчивый алгоритм для вычисления
коэффициентов такого разложения?
Глава 3 посвящена этим вопросам. Как и в непрерывном случае,
дискретное вейвлет-преобразование часто дает весьма избыточное опи-
описание исходной функции. Эта избыточность может быть использована
(например, можно вычислить вейвлет-преобразование лишь приблизи-
приблизительно, при этом восстановить / с достаточно хорошей точностью) или
ликвидирована путем удаления его несущественных значений (как сде-
сделано в работе Малла и Жонга [136] о сжатии изображения). В такой
дискретной форме вейвлет-преобразование наиболее близко (^-преобра-
(^-преобразованию Фразиера и Яверта из [82].
Выбор вейвлета ф, используемого в непрерывном вейвлет-преоб-
разовании или в семействе вейвлетов с дискретными индексами, су-
существенно ограничен требованием, чтобы Сф, определенная по форму-
формуле A.3.2), была конечной. Из практических соображений обычно ф бе-
берется хорошо сконцентрированной во временной и частотной областях,
но это, тем не менее, оставляет достаточно свободы для выбора. В сле-
следующей главе мы увидим, как, отказываясь во многом от этой свободы
выбора, мы получим ортонормированные базисы вейвлетов.

1.3. Различные типы вейвлет-преобразований 37
1.3.3. Ортонормированные базисы вейвлетов:
кратномасштабный анализ
При некотором, весьма специальном, выборе ф и а$, &о функ-
функции фтуП образуют ортонормированный базис в L2(W). В частности,
возьмем ао = 2, &о = I;2 тогда существует такая ф с хорошими свойст-
свойствами частотно-временной локализации, что семейство
фт,п(х) = 2-т12фB-тх - п) A.3.4)
образует ортонормированный базис в Ь2(Ж). (Начиная с этого места и
до главы 10, мы будем предполагать, что ао = 2.) Самым старым при-
примером функции ф, для которой фт,п, определенные формулой A.3.4),
образуют ортонормированный базис в Ь2(Ж), является функция Хаара:
ф(х) =
1, 0^ж<|,
-1, |^ж<1,
0, в остальных случаях.
Базис Хаара известен с 1910 года. Заметим, что функция Хаара не об-
обладает хорошей частотно-временной локализацией: ее преобразование
Фурье ф(?,) убывает как l^l при ? —>¦ ос. Тем не менее, здесь мы бу-
будем использовать ее для наглядных целей. Далее следует доказательст-
доказательство того, что семейство Хаара действительно образует ортонормирован-
ортонормированный базис. Это доказательство отлично от тех, что приводится в боль-
большинстве учебников. Фактически, в качестве инструмента мы будем
использовать кратномасштабный анализ (multiresohition analysis).
Для того чтобы доказать, что фтуП(х) образуют ортонормирован-
ортонормированный базис, мы должны установить, что
A) Фт,п — ортонормированы,
B) любая функция / из L2 может быть аппроксимирована с любой
точностью конечной линейной комбинацией, составленной из фт,п.
Ортонормированность устанавливается легко. Поскольку
supp {фт,п) = [2mn, 2m(n + l)], то два вейвлета одной шкалы (с одним
значением т) не перекрываются. Тогда (фт,п, фт,п') = &п,п'- Пере-
Перекрывающиеся носители возможны в случае, если два вейвлета имеют
разные размеры, как на рисунке 1.5. Однако легко проверить, что если

38
Глава 1
?\,\
Рис. 1.5. Два вейвлета Хаара. Носитель более «узкого» вейвлета полностью
содержится в интервале, на котором более «широкий» вейвлет равен посто-
постоянной
то < то', то supp (фт,п) лежит полностью внутри участка, где Vw,n; по-
постоянна (как на рисунке). Следовательно, скалярное произведение "фт,п
и Vw,n' пропорционально интегралу от самой ф, который равен нулю.
Теперь сосредоточим внимание на вопросе о том, как хорошо про-
произвольная функция может быть аппроксимирована линейными комби-
комбинациями вейвлетов Хаара. Любую / из Ь2(Ж) можно достаточно хорошо
приблизить функцией с компактным носителем, кусочно-постоянной
на отрезке [/2~J, (/ + 1J~J[ (достаточно взять носитель и j достаточ-
достаточно большими). Таким образом, мы можем ограничиться лишь таки-
такими кусочно-постоянными функциями: предположим, что / имеет носи-
носитель [—2Jl, 2Jl] и является кусочно-постоянной на [12~J°, (I + 1J~J°[,
Ji, Jo могут быть как угодно большими (см. рисунок 1.6). Обозначим
постоянное значение /° = / на [12~J°, (I + 1J~J°[ через /;°. Предста-
Представим /о в виде суммы /° = f1 + S1, где f1 — кусочно-постоянная, ап-
аппроксимирующая /° на интервале, вдвое большем, чем исходный, т.е.
/1|[fc2-Jo+1,(fc+iJ-Jo+1[ = const = /j. Значения /^ задаются усреднени-
усреднением двух соответствующих постоянных значений для /°: f? = ^(/^ +
+ f^k+i) (CM- рисунок 1.6). Функция S1 является кусочно-постоянной
с той же шириной шага, что и /°. Тогда имеем
II _ fO rl _ 1 I fO rO \
°2l — ill — Jl — о U2/ ~ J21+1)
A1 — f° f1 — 1С f° f° \ — A1
°2/+l — J21+1 Jl — 9U2/+I J21) — °2l-

1.3. Различные типы вейвлет-преобразований
о о
/ -2-
39
-2
выделение
Рис. 1.6. (а) Функция / с носителем [ — 2J~1, 2J~1], кусочно-постоянная на
[k2~J°, (к + 1J~J°[. (б) Выделение части /. На каждой паре интервалов /
заменяется усредненным значением (—> f1). Разница между / и f1 равняет-
равняется б1, линейной комбинации вейвлетов Хаара
Отсюда следует, что 51 является линейной комбинацией из функций
Хаара, масштабированных и сдвинутых:
/= —2Ji+Jo-1
Таким образом, / записана как
где Z1 того же вида, что и /°, но с шириной шага вдвое большей. Тот
же трюк можем применить и к f1 так, что
i

40 Глава 1
/о
2^+l i/o°
Рис. 1.7. Средние значения / на [0, 2Jl] и [ — 2Jl, 0] можно «размазать» по
большим интервалам [0, 2Jl+1] и [ — 2Jl+1, 0]. Разница будет линейной ком-
комбинацией очень вытянутых функций Хаара
/г имеет тот же носитель [—2Jl, 2Jl], но является кусочно-постоянной
на большем интервале [k2~Jo+2, (к + lJ~Jo+2[. Продолжаем делать это
до тех пор, пока не получим
Ji
J—J т / _, / _, cm,l4'm,l-
m=-J0 + l I
Здесь fJo+Jl состоит из двух постоянных кусков (см. рисунок 1.7),
/Jo+Jl|[O 2Ji[ = fo°+Jl равняется среднему значению / на интерва-
интервале [0, 2Jl[, и /Jo+Jl |[_2Ji,o[ = /-°i+Jl равняется среднему значению /
на [-2Jl, 0[.
Даже если мы «заполнили» весь носитель /, мы можем по-прежнему
продолжать этот трюк с усреднением: ничто не мешает нам расширить
наш горизонт с 2Jl до 2Jl+1 и записать /Ji+J2 = /Л+^+i +
где

1.3. Различные типы вейвлет-преобразований 41
(см. рисунок 1.7). Повторяя это, приходим к
Ji+K
m= — Jo + 1 /
где supp(/Jo+Jl+^) = [-2-h+K, 2-h+K] и
/Jn-\-J\-\-К \ Г) — К ?Jq~\~J\ ?Ju~\-J\~\-К I О — "¦ ?'JO~\~'Jl
\[0y2Ji+K[ — Z Jo i J \[-2Ji+K ,0[ — Z J-l
Отсюда немедленно следует, что норму
Ji+K
т= — Jo + 1 I _
_ 2~К/2 ¦ 2Jl/2 ГI f Jo+^l 2 _|_ I f Jo+Jl 21 V2
можно сделать как угодно малой, взяв достаточно большое К. Как и
было заявлено, /, таким образом, аппроксимируется с произвольной
точностью конечными линейными комбинациями вейвлетов Хаара.
В только что проведенных рассуждениях мы неявно использова-
использовали «кратномасштабный» подход: мы последовательно выписывали все
более грубые приближения к / (/J', средние значения на все больших
интервалах), на каждом шаге мы записывали разницу между прибли-
приближением с разрешением 2-у~1 и следующим, более грубым уровнем с раз-
разрешением 2-у, как линейную комбинацию ф^к- На самом деле мы ввели
цепочку пространств (Vj)j^z, представляющих уровни с последователь-
последовательным разрешением: в нашем случае Vj = {/ € Ь2(Ш); / — кусочно-
постоянные на [2^к, 2J(k + 1)[, к € Z}. Эти пространства имеют следу-
следующие свойства:
A) • • • С V2 С Vx С Vo С V-i С V-2 С • • • ;
C) feVj* /B>.) е Vo;
D) feV0 -)• f(--n) eV0 для всех п G Z.
Свойство (З) говорит о том, что все пространства являются масшта-
масштабированными версиями одного пространства («кратномасштабность»).

42 Глава 1
В примере с функцией Хаара мы обнаружили, что существует функ-
функция ф, такая что
Proj^/ = Projv./ + ?)</, Фз,к) Фз,к- A-3.5)
fcez
Красота кратномасштабного подхода заключается в том, что для любой
цепочки пространств V}, удовлетворяющей четырем вышеприведенным
свойствам и свойству
E) 3<р € Vo такая, что семейство ipo,n(x) = <р(х ~ п) образует
ортонормированный базис для Vo,
существует ф, для которой верно A.3.5). (В примере с функцией Ха-
Хаара мы можем взять <р(х) = 1, если 0 ^ х < 1, <р(х) = 0 в про-
противном случае.) Функции ф^.и автоматически образуют ортонормиро-
ортонормированный базис. Оказывается, существует много примеров таких «крат-
номасштабных цепочек», соответствующих ортонормированным бази-
базисам вейвлетов. Существует точный рецепт построения ф: поскольку
if € Vo С V-i, а функции tp-i}n(x) = л/2(рBх — п) образуют орто-
ортонормированный базис для V-i (в силу C) и E)), существует ап =
= \/2{ip, tp-iyn) такая, что tp(x) = ^2anipBx — п). Тогда достаточ-
п
но взять ф(х) = Х)(~ 1)™а-п+1 <^Bж — п). Функция <р называется мас-
п
штабирующей функцией (scaling function) кратномасштабного анализа.
Соответствие кратномасштабный анализ —> ортонормированный базис
вейвлетов будет детально объясняться в главе 5 и использоваться в по-
последующих главах. Как показано в § 5.6 (глава 5), такой кратномасштаб-
кратномасштабный подход связан также с субполосной фильтрацией.
На рисунке 1.8 приведено несколько примеров пар функций ip, ф,
соответствующих различным кратномасштабным анализам, которые
будут встречаться в последующих главах. Вейвлеты Мейера (главы 4
и 5) имеют преобразование Фурье с компактным носителем, тогда как
сами <р и ф имеют бесконечные носители. Это показано на рисунке 1.8а.
Вейвлеты Батла-Лемарье (глава 5) являются сплайнами (линейными
на рисунке 1.86, кубическими на рисунке 1.8в) с узлами в Z для <р,
в -^Ъ2 для ф. Обе функции tp и ф имеют бесконечный носитель и экспо-
экспоненциальное убывание. Численно они убывают быстрее, чем вейвлеты
Мейера (для сравнения на рисунках 1.8 а, б, в горизонтальная шкала вы-
выбрана одинаковой). Вейвлет Хаара, рисунок 1.8г, известен с 1910. Его

1.3. Различные типы вейвлет-преобразований
43
1
0
-b
0
ь
1
0
-1
-0
I
ь
и/. ¦
1
0
-1
и
—л;
1
л
'\
<р
/—
-5
5 -5
Рис. 1.8. Некоторые примеры ортонормированных базисов вейвлетов. Для
каждой из ф на этом рисунке семейство ф),к(х) = 2~^2фB~^х — к), j, fceZ,
образует ортонормированный базис в L2(R). Рисунок изображает ip (соот-
(соответствующая масштабирующая функция) и ф для различных конструкций,
которые будут рассмотрены в следующих главах, (а) Вейвлет Мейера; (б) и
(в) вейвлеты Батла-Лемарье; (г) вейвлет Хаара; (д) следующий член семей-
семейства вейвлетов с компактными носителями ъф\ (е) следующий вейвлет из
этого семейства с меньшей асимметрией

44 Глава 1
можно рассматривать как вейвлет Батла-Лемарье наименьшей сте-
степени (V'Xaap = ^бл,о)> либо как первый вейвлет семейства вейвлетов
с компактными носителями, построенного в главе 6, г/'Хаар = \Ф- Ри-
Рисунок 1.8д изображает следующий член этого семейства мф] функции
2<?> и 2ф имеют носитель ширины 3 и являются непрерывными. Для
функций jvV1 из этого семейства (построенного в § 6.4) регулярность
возрастает линейно с ростом ширины носителя (глава 7). Наконец, на
рисунке 1.8е показан другой вейвлет с компактным носителем шири-
ширины 11 и меньшей асимметрией (см. главу 8).
Примечания
1. Помимо оконного преобразования Фурье существуют и другие
техники частотно-временной локализации. Хорошо известным приме-
примером является распределение Вигнера (см., например, Боашаш [25], хоро-
хороший обзор по использованию распределения Вигнера в анализе сигнала).
Преимуществом распределения Вигнера, в отличие от оконного преоб-
преобразования Фурье или вейвлет-преобразования, является отсутствие ба-
базисной функции (reference function) (такой как оконная функция или
вейвлет), относительно которой должен интегрироваться сигнал. Недо-
Недостаток заключается в том, что сигнал входит в распределение Вигнера
квадратичным, а не линейным образом, что является причиной многих
явлений интерференции. Это может быть полезным в некоторых при-
приложениях, особенно там, например, где сигналы имеют очень короткое
время существования (один пример приведен Яансе и Кайзером в [102],
в [25] Боашаш поместил ссылки на многие другие примеры). Для случа-
случаев сигнала с большим временем существования распределение Вигнера
не столь привлекательно. Фландрин [81] показал, как абсолютные вели-
величины оконного преобразования Фурье и вейвлет-преобразования неко-
некоторой функции могут быть получены также «сглаживанием» ее распре-
распределения Вигнера, сделанного подходящим образом. Однако в процессе
теряется информация о фазе, и восстановление более не возможно.
2. Ограничение &о = 1; соответствующее A.3.4), не очень серьезно:
если A.3.4) обеспечивает ортонормированный базис, то же верно и для
Фт,п(х) = 2-™/2фB-тх - пЬо), где ф{х) = |Ь0Г1/2№^ а 60 ^ 0 —
произвольно. Выбор ао = 2 не может быть усовершенствован масштаби-
масштабированием, на самом деле од нельзя выбрать произвольным. Как показа-

1.3. Различные типы вейвлет-преобразований 45
но Ошером в [7], представленную здесь общую конструкцию ортонорми-
рованных базисов можно заставить работать при любом рациональном
выборе ад > 1, однако выбор clq = 2 является самым простым. Выбор
различных ао, конечно, соответствует различным ф. И хотя конструк-
конструктивный метод для ортонормированных базисов вейвлетов, называемый
кратномасштабным анализом, может работать, лишь если од — рацио-
рациональное, открытым является вопрос, существуют ли ортонормирован-
ные базисы вейвлетов (обязательно не связанные с кратномасштабным
анализом) с хорошей частотно-временной локализацией и иррациональ-
иррациональным ао-

Глава 2
Непрерывное вейвлет-преобразование
Образы ?2-функций под действием непрерывного вейвлет-преобра-
зования образуют гильбертово пространство с воспроизводящим ядром
(г.п.в.я.) (reproducting kernel Hilbert space). Г.п.в.я. появляются и широ-
широко используются в различных контекстах. Одним из простейших при-
примеров является пространство всех функций с ограниченной шириной
полосы, обсуждаемое в §§ 2.1 и 2.2. В § 2.3 мы вводим понятие ограни-
ограничения на частотную и временную полосы. Конечно, ни одна ненулевая
функция не может быть строго ограничена во времени (т.е. f(t) = О
для t вне [—Т, Т]) и по диапазону (/(?) = 0 для ? ф [—&, Щ), но
по-прежнему можно ввести операторы ограничения по времени и час-
частоте. Мы представляем короткий обзор замечательной работы Ландау,
Поллака, Слепьяна по этой теме. Затем мы переключаемся на непре-
непрерывное вейвлет-преобразование: формула обращения в § 2.4 (с доказа-
доказательством A.3.1)), соответствующее г.п.в.я. в §2.5. В §2.6 мы кратко
показываем, как результаты для одномерного случая из предыдущих
параграфов можно распространить на многомерные случаи. В § 2.7 мы
проводим параллель с непрерывным преобразованием Фурье. В § 2.8 мы
показываем, как из непрерывного оконного преобразования Фурье или
вейвлет-преобразования можно построить другой оператор ограниче-
ограничения по времени и частоте. И, наконец, в § 2.9 мы комментируем такое
свойство вейвлет-преобразования, как «увеличение» («zoom in»).
2.1. Функции с ограниченной шириной полосы
и теорема Шеннона
Функция / из Ь2(Ш) называется функцией с ограниченной шириной
полосы (bandlimited), если ее преобразование Фурье 3"f имеет компакт-
компактный носитель, т.е. /(?) = 0 для |?| > п. Для простоты предположим,
что п = тт. Тогда / можно представить через ряд Фурье (см. предвари-

2.1. Функции с ограниченной шириной полосы и теорема Шеннона 47
тельные сведения):
где
с —
±
— 7Г
Следовательно,
ОО
на третьем шаге мы поменяли порядок интегрирования и суммиро-
суммирования, что заведомо справедливо, если ХЛС < °° (например, если
имеется лишь конечное число ненулевых с„). Стандартными рассужде-
рассуждениями о непрерывности получаем, что окончательный результат верен
для всех функций / с ограниченной частотной полосой (bandlimited
functions) (для всех х ряд абсолютно сходится, поскольку ^2\f(n)\2 =
п
= 2ж^2\сп\2 < ос). Формула B.1.1) говорит о том, что / полностью
п
определена своими «отсчетами» («samples») f(n). Если мы снимем огра-
ограничение п = 7г и предположим, что supp / С [—Л, fi], где п — произ-
произвольное, то B.1.1) превратится в
где функция определена отсчетами fin^r), соответствующими «плот-
«плотности отсчетов» (sampling density) fi/тг = -—?——. (Через |А| мы обо-
обозначаем «размер» множества А С Ж, измеряемый мерой Лебега, в на-
нашем случае | supp /| = |[—О, fi]| = 2fi.) Плотность отсчетов обычно на-
называется плотностью Найквиста (или предельной плотностью, Nyquist
density). Разложение B.1.2) носит название теоремы Шеннона.

48
Глава 2
h 1 ^ _
Рис. 2.1. График g\
«Элементарные строительные блоки» -^—— в B.1.2) убывают
очень медленно (они не являются абсолютно интегрируемыми). «Пе-
«Перенасыщение» (oversampling) делает возможным представление / в ви-
виде комбинации функций с более быстрым убыванием. Предполо-
Предположим, что / по-прежнему пространственно-ограничена на [п, Щ (т. е.
supp / С [О, Щ), но теперь / представлена с частотой в A + А) раз
большей, чем частота Найквиста (Nyquist rate), A > 0. Тогда / можно
восстановить по /(птг/[ОA + А)]) следующим образом. Определим g\:
ЫО =
хп
(см. рис. 2.1). Так как 'gx = 1 на supp /, мы имеем
Теперь можем повторить то же построение, что и раньше. Верно сле-
следующее представление
где
отсюда
+ ЛГ imi+AW'
с„ е
П7Г
А)

2.1. Функции с ограниченной шириной полосы и теорема Шеннона 49
где
„ , , V2^ , ч 281п[а:П(Ц-Л/2)]8ш(а;ПЛ/2)
G\{x) = gx(x) = .
2S2A+A) Asr(l+A)ar
Эти G\ убывают быстрее, чем sl" . Заметим, что если А —> О, то
1 LX
G\ —> -^—-, как и ожидалось. Можно получить более быстрое убыва-
1LX
ние, выбрав g\ более гладким, но не стоит прилагать слишком много
усилий, чтобы сделать g\ очень гладким: на самом деле, G\ будет очень
быстро убывать при асимптотически больших х, но величина А накла-
накладывает ограничение на численное убывание G\. Другими словами, вы-
выбрав g~\ из С°°, получим G\, убывающее быстрее, чем любой обратный
полином
при этом постоянная Cjv(A) может быть очень большой (это связано
с величиной N-Й производной *g\ на [fi, fi(l+A)]), грубо она оценивается
через X~N.
Что происходит, если / «недонасыщена» (undersampled), т.е.
SUPP / = [—^i Щ: но известны только /(п7г/[Г2A — А)]), А > 0? Имеем
-п
1
V27T
-ПA-А)
здесь мы использовали, что егпж?/а имеют период 2а, и предполагали,
о
что А $С f (в противном случае в сумму из последнего подынтеграль-
ного выражения входило бы больше членов). Это означает, что недо-
насыщенные fin п—-1 ведут себя так же, как и взятые с часто-
V S 1у± — AJ /
той Найквиста отсчеты функции с более узкой шириной полосы, для
которой преобразование Фурье получается периодизацией («folding») /
Термин «folding», использованный автором, не совсем точно отражает суть дан-
данного преобразования спектра. — Прим. ред.

50
п
Рис. 2.2. Три слагаемых /(?), /(? + 2fi(l - А)) и /(? - 2fi(l - А)) и их сумма
(жирная линия) на отрезке |?| ^ Г2A — А)
(см. рис. 2.2). В этой версии / некоторые высокие частоты / обнаружи-
обнаруживаются в областях низких частот, лишь в области |?| $С 0A —2А) воздей-
воздействие не оказывается. Этот феномен, называемый наложением спектров
(aliasing), ясно слышится, например, для недонасыщенных акустичес-
акустических сигналов, как металлическое клацанье.
2.2. Множество функций с ограниченной частотной
полосой, как особый случай гильбертовых
пространств с воспроизводящим ядром
Для любых а, /3, —оо $С а < /3 ^ ос, множество функций
{/ е L2(R); supp / С [а, /3]}
образует замкнутое подпространство пространства Ь2(Ж), т.е. оно яв-
является подпространством, и любая последовательность Коши, состав-
составленная из элементов этого подпространства, сходится к элементу из
этого же подпространства. Вследствие унитарности преобразования
Фурье, определенного на Ь2(Ш), множество функций с ограниченной
частотной полосой
@п = {/ е L2(R); supp /С [-0, П]}
является замкнутым подпространством в Ь2(Ш). По теореме Пэли-Ви-
Пэли-Винера (см. предварительные сведения) любая функция / из 0Sq имеет

2.2 Множество функций с ограниченной частотной полосой 51
аналитическое продолжение до целой функции на С, которую мы также
обозначаем /, имеющей экспоненциальный тип. Более точно,
|/(*)K=||/||iie.
На самом деле, S$q состоит именно из таких функций из Х2(Е), для ко-
которых существует аналитическое продолжение до целой функции, удов-
удовлетворяющей оценке такого типа. Таким образом, мы можем считать
0§а гильбертовым пространством целых функций. Для / из 0Sq мы
имеем
п п
fix) = ^
-п -п
. B.2.1)
(Смена порядка интегрирования на последнем шаге допустима, если
/ € L1, т.е. если / — достаточно гладкая. Поскольку для всех х
[тг(ж — -)] sinO(a; — .) лежит в L2(K), это заключение распространя-
распространяется на все / из S§q обычным приемом, описанным в предварительных
% -г, , / ч sinf2(a: - у)
сведениях.) Вводя обозначение еЛу) = -1 —L, мы можем перепи-
тг(ж - у)
сать B.2.1) как
f(x) = (/, ех). B.2.2)
Заметим, что ех € S§q, поскольку ех(?) = Bтг)~1/2е~гж^ для |^| < О,
ех@ = 0 для |С| > О.
Формула B.2.2) типична для гильбертовых пространств с воспро-
воспроизводящим ядром (г.п.в.я.). В г.п.в.я. Ж отображение, ставящее функ-
функции / в соответствие ее значение /(ж) в точке х, есть непрерывное
отображение (это не выполняется в большинстве функциональных гиль-
гильбертовых пространств, в частности, в самом L2(K)), так что с необхо-
необходимостью существует ех ? Ж такое, что fix) = (/, ех) для всех / ? Ж
(по теореме Рисса, см. предварительные сведения). Пишется также, что
f(x) = jdyK{x,y)f{y),

52 Глава 2
где К(х, у) = ех(у) — воспроизводящее ядро (reproducing kernel). В част-
частном случае S$q существуют даже специальные хп = Щ- такие, что еХп
образуют ортонормированный базис для S$q, приводящий к формуле
Шеннона B.1.2). Такие специальные хп не обязательно существуют
в общем случае г.п.в.я. Мы встретимся с примерами других г.п.в.я.
позднее.
2.3. Ограничения на частотную и временную
полосы
Функции могут иметь ограниченными как частотную, так и вре-
временную полосы: если / имеет ограниченную частотную полосу (с про-
произвольной конечной шириной полосы), то / является ограничением на Ж
целой аналитической функции. Если бы / была ограничена также и по
времени, supp / С [-Т, Г], Т < ос, то / = 0 (нетривиальные аналити-
аналитические функции могут иметь лишь изолированные нули). Тем не менее,
многие практические ситуации соответствуют эффективному ограни-
ограничению частотной и временной полос: представим, например, что сигнал
передается (например, по телефону) так, что частоты выше п теряют-
теряются (большинство реально существующих передающих систем страдают
от ограничений именно такого рода); представим также, что сигнал
(например, разговор по телефону) имеет ограниченную длительность
во времени. Передаваемый сигнал, таким образом, эффективно ограни-
ограничен по времени и частоте. Как это может быть? И насколько хорошо
функция может быть передана таким ограниченным по времени и час-
частоте представлением? Многие исследователи работали над этими проб-
проблемами, до тех пор пока в работах Ландау, Поллака, Слепьяна [165],
[119], [120] не появилось их элегантное решение. Великолепный обзор,
с гораздо большим, чем приведено здесь, количеством деталей, сделан
Слепьяном [163].
Приведенный здесь пример (сигнал, ограниченный во времени, пе-
передается через канал с ограниченной шириной полосы) можно модели-
моделировать следующим образом: пусть Qt, Pq, операторы ортогонального
проектирования в Х2(М), определены ниже:
(Qrf)(x) =/(ж) при|ж|<г, (<2г/)(ж)=0 при|ж|>Т
при

2.3. Ограничения на частотную и временную полосы 53
Тогда сигнал, ограниченный во времени, на [—Т, Т] удовлетворяет
условию / = Qrf, а его передача по каналу с шириной полосы п дает-
дается конечным произведением Jfo/ = PnQrf (при условии, что других
искажений нет). Оператор PqQt представляет общий процесс ограниче-
ограничения по времени и частоте. То, насколько хорошо передаваемый PnQrf
приближает исходный /, измеряется величиной ||PoQr/||2/||/||2 =
= (QtPuQtL /)/||/||2.
Максимальная величина этого отношения есть наибольшее собст-
собственное значение симметричного оператора QtPqQt, в явном виде за-
заданного с помощью
(QtPuQt f)(x) =
1
/dy—г
— y)
если
< T,
-т
О, если х > Т.
B.3.1)
По счастливому обстоятельству собственные значения и собственные
функции хорошо известны: QtPqQt коммутирует с дифференциаль-
дифференциальным оператором второго порядка А,
По разным причинам собственные функции этого оператора изучались
задолго до того, как была обнаружена их связь с ограниченностью по
времени и частоте. Они называются волновыми функции вытянуто-
вытянутого сфероида, многие их свойства известны. Поскольку А и QtPqQt
перестановочны (и поскольку все собственные значения А являются
простыми), волновые функции вытянутого сфероида являются собст-
собственными функциями и для QtPqQt тоже (с другими собственными
значениями, конечно). Более того, обозначив эти функции через фп,
п ? N, и занумеровав их так, чтобы соответствующие собственные
значения ап оператора А возрастали с ростом п, имеем
= О О / -L фп Для всех п О / определена на {ж; \х\ > Т},
А„ убывает с ростом п и lim А„ = 0.
п—юо
Конечно, собственные значения А„ зависят от Т и П. Простое
масштабирование (подстановка х = Тх', у = Ту' в выражение для

54 Глава 2
О 10 20 30
Рис. 2.3. Собственные значения А„ для QtP(iQt при 2TQ/n = 25
(QtPqQt/)(ж)) показывает, что А„ на самом деле зависят лишь от
произведения Тп. Для фиксированного Тп поведение Ая с ростом п
схематически показано на рис. 2.3. Обычно А„ близки к 1 для малень-
маленьких п, ныряют к нулю вблизи порогового значения 2Г0/тг и остаются
затем близкими нулю. Более точно, для любого ? > 0 (произвольно
малого), существует константа Се такая, что
# {щ Хп^1-е}<:Щ^Се1оё(Тп),
# {щ 1 - е ^ А„ ^ е} < 2Се log(Tfi).
Это означает, что «область нырка» имеет ширину, пропорциональную
log(TO). Поскольку lim ^"^^loga; = 0, ширина «области нырка» стано-
х—юо
вится пренебрежимо малой по сравнению с 2Тп/тг при Т, п —>¦ оо. На
самом деле, B.3.2) является грубой версией того факта, что область
временного и частотного ограничения [—Г, Т] х [—п, Щ соответству-
соответствует 2Тп/тг степеням свободы, т.е. существует (с точностью до ошибки,
малой в сравнении с Тп) 2Тп/тт независимых функций (и не более),
существенно ограниченных по времени на [—Г, Г] и полосе на [—?1, Щ.
Заметим, что 2Тп/тт есть в точности площадь [—Т, Т] х [-И, Щ, де-
деленная на 2тг. Таким образом, это число равняется числу отсчетов по
времени на [—Т, Т], определенному теоремой Шеннона для функций
с ограниченной частотной полосой п. Этот эвристический способ под-
подсчета «независимых степеней свободы» был частью фольклора теории
коммуникаций задолго до того, как он был обоснован Ландау, Полла-
ком и Слепьяном. Независимо от этого физикам было известно, что об-
область в фазовом пространстве (= пространство-импульс или время-
частота, как здесь) с площадью S соответствует S/2-к «независимым
состояниям» в полуклассическом пределе (т.е., когда S много больше

2.4. Непрерывное вейвлет-преобразование 55
чем h, выражение 5/2тг соответствует системе измерений, где h = 1).
Мы расширим определение плотности Найквиста, первоначально вве-
введенное в контексте отсчетов, и будем использовать ее как предельную
частотно-временную плотность B7Г), присутствующую во всех этих
примерах.
А сейчас настало время вернуться к вейвлет-преобразованию.
В последующем изложении мы разовьем понятия непрерывного вейв-
лет-преобразования и оконного преобразования Фурье.
2.4. Непрерывное вейвлет-преобразование
На время ограничимся одномерными вейвлетами. Мы будем всегда
предполагать, что ф ? L2(R), а анализирующий вейвлет также удовле-
удовлетворяет условию допустимости, уже упомянутому в §1.3,
<°c. B.4.1)
Роль этого условия скоро станет понятной. Если ф € Ь1(Е), то
ф — непрерывно, и B.4.1) выполняется, только если ф@) = 0 или
/ йхф(х) = 0. С другой стороны, если J йхф(х) = 0, и мы накладываем
на ф несколько более сильное условие чем интегрируемость, а именно,
J dx A + |ж|)"|^(ж)| < оо для некоторого а > 0, то \ф((,)\ ^ CICI'3? где
/3 = min(a, 1), и B.4.1) выполнено. Отсюда следует, что в практически
важных случаях B.4.1) эквивалентно требованию Jdxф(x) = 0. (На
практике, мы накладываем гораздо более строгие условия убывания,
чем те, что использовались в этих рассуждениях.)
Образуем из ф двухпараметрическое семейство вейвлетов с помо-
помощью сдвигов (translations) и сжатий (dilations)
где а, Ь € Е, а ф 0 (сейчас мы используем и отрицательные, и положи-
положительные а). Нормировка выбрана так, что ||'0а'Ь|| = \\Ф\\ Для всех а, Ь.
Предположим, что \\ф\\ = 1. Непрерывное вейвлет-преобразование на
этом семействе вейвлетов определено так:
(Гвейв/)(«, 6) = (/, Фа'") =
Заметим, что |(Гвейв/)(а, Ь)\

56 Глава 2
Функция / восстанавливается по своему вейвлет-преобразованию
с помощью формулы обращения следующим образом.
Предложение 2.4.1. Для любых f,g& Ь2(Ш)
(а, b)(T°°*'g)(a, Ъ) = ВД, g). B.4.2)
— оо —оо
Доказательство.
оо оо
— оо —оо
1/2е^К')]- B-4.3)
Выражение, заключенное в первую пару скобок, представляет собой
преобразование Фурье Fa(?) = \а\г^2}{?,)ф{а?,), умноженное на B7тI/2,
затем следует выражение, которое можно рассматривать как комплекс-
комплексное сопряжение преобразования Фурье Са(С) = \а\1^2ЖО'Ф(аОу умно-
умноженное на Bл"I/2. Из унитарности пребразования Фурье следует, что
B.4.3) = 2тг/ ^ I dZFa(Z)Gj?J = 2тг/ ^ J ^/(С)Ш|^К)|2 =
= 2ж J dUiOM f ^\ФШ2 =
(замена порядка интегрирования разрешена по теореме Фубини)
= Сф (/, g)
(во втором интеграле произведена замена переменных С, = а?).
¦
Теперь понятно, почему мы требовали выполнения B.4.1): если бы
Сф была бесконечной, B.4.2) не выполнялось.
Формула B.4.2) может быть переписана так:
/ = С-1 I I М(Твейв/)(«, Ь)фа>ь, B.4.4)
— оо —оо

2.4. Непрерывное вейвлет-преобразование
57
со сходимостью интеграла в «слабом смысле», т. е. взяв скалярное про-
произведение обеих частей B.4.4) с произвольной g ? L2(R) и поменяв мес-
местами скалярное умножение и интегрирование по а, Ь в правой части,
получаем нужную формулу. Сходимость имеет место также и в следу-
следующем, более сильном смысле:
lim
Ai-yO
А2,В—юо
t-c? //
= 0.
B.4.5)
Здесь интегрируется тот единственный элемент из Ь2(Ш), для которого
скалярное произведение с g € Ь2(Ж) задается величиной
Ц da^b{T^f)^
поскольку его абсолютная величина ограничена с помощью
dadbufw \\jA,b\\ мм _ А
смысл интегралу в B.4.5) мы можем придать по лемме Рисса. Тогда
B.4.5) доказывается просто:
II
(«, Ъ)ф
а'ъ
= sup
sup
f-c.
-1
Сф1 Ц ^(Г"йв/)(о, b)(T»™»g)(a, Ъ)
или
или

58 Глава 2
sup
или
или
ft -i 1/2
По предложению 2.4.1 выражение во второй паре скобок есть \\g\\2 = 1,
выражение в первой паре скобок сходится к нулю при А\ —>¦ О, Аг,
В —>¦ оо, поскольку интеграл с бесконечными пределами интегрирова-
интегрирования сходится. Равенство B.4.5) доказано.
Формула B.4.5), показывающая, что любую / из Ь2(Ж) можно
с произвольной точностью апроксимировать суперпозицией веивлетов,
может выглядеть парадоксально: ведь интеграл от вейвлета равен ну-
нулю, тогда как же любая суперпозиция веивлетов (которая с необходи-
необходимостью имеет нулевой интеграл) может быть хорошим приближени-
приближением /, если сама / имеет ненулевой интеграл? Решение этого парадокса
лежит не в небрежности математической постановки вопроса (как это
обычно бывает с решениями парадоксов). Мы легко можем придать ему
строгость. Возьмем / € L1(E) Г\Ь2(Ш), при этом сама ф € L1(E). Легко
проверить, что
-1 Ц
С
действительно, принадлежат i1(R) (с нормой, ограниченной величиной
Ж^УНь^Шь^Шь^В^г1^ ~А21/2))> и что они имеют нулевой ин-
интеграл, в то время как сама /, функция, которую они приближают при
А\ —> 0, Аг, В —> оо, может иметь ненулевой интеграл.
Объяснение этому очевидному парадоксу в том, что B.4.5) выпол-
выполняется в Х2-смысле, но не в ^-смысле. Когда А\ —> О, А%, В —> оо,
/0*0 "С;1
становится очень плоской, очень вытянутой функцией, которая по-преж-
по-прежнему имеет интеграл, равный интегралу от /, но Х2-норму, стремящу-

2.4. Непрерывное вейвлет-преобразование 59
юся к нулю. (Это похоже на замечание, что функции gn(x) = Bп)~1
при \х\ ^ п и равные 0 в противном случае, удовлетворяют J gn = 1
для всех п, хотя gn(x) —> О для всех х и ||gw|li,2 = Bп)~1/2 —> 0 при
п —> оо, и ,§¦„ не сходятся в L1(E).)
Возможны некоторые вариации B.4.4), в которых мы ограничим-
ограничимся лишь положительными а (в противоположность использованию и
положительных, и отрицательных а в B.4.4)). Одна из возможностей
состоит в требовании, чтобы ф удовлетворяла условию допустимости,
несколько более строгому, чем B.4.1), а именно
оо О
О -оо
Равенство этих двух интегралов получается немедленно, если, напри-
например, ф является вещественной функцией, поскольку тогда ф(—!;) =
= ф(?,)- Следовательно, с этим новым Сф формула обращения превра-
превращается в
оо оо
/ = С-1 j' ^ j' db(TBe™f)(a, Ъ)фа>ь, B.4.7)
О -оо
которое понимается в том же самом слабом или более сильном смыс-
смысле, как и B.4.4). (Доказательство B.4.7) аналогично доказательст-
ву B.4.4).)
Другая возможность осуществляется, если взять вещественную
функцию / и если supp ф С [0, оо). В этом случае легко доказывается,
что
оо оо
/rt
Ц j dbRe[(TBetiBf)(a,bWa'b], B.4.8)
О -оо
Сф определена через B.4.1). (Для доказательства B.4.8) используем,
оо
что /(ж) = Bтг)-1/22Ке ('d?eixif(?), поскольку /(-?) = /(?).) Ко-
о
нечно, формула B.4.8) может быть переписана в терминах ф\ = Re^ и
¦02 = Im^i, двух вейвлетов, каждый из которых является гильбертовым
преобразованием другого. Использование комплексных вейвлетов, даже
для анализа вещественных функций, может иметь свои преимущест-
преимущества. В [115], например, Кронланд-Мартин, Морле, Гроссман используют

60 Глава 2
комплексный вейвлет ф с носителем ф С [0, ос), а вейвлет-преобразо-
вание TBe"Bf представляют через графики его модуля и фазы.
Если обе функции, / и ф, являются так называемыми «аналитичес-
«аналитическими сигналами», т.е. supp / и supp ф С [0, ос), то (Твеив/)(а, Ь) = 0,
если а < 0. Тогда B.4.4) немедленно упрощается
оо оо
/ = С f j f db(TBeUBf)(a, Ъ)фа>\ B.4.9)
0 -оо
где Сф опять определена через B.4.1). Наконец мы можем приспособить
B.4.9) для случая, когда supp ф С [0, ос), но supp / (? [0, ос). Запишем
/ = /+ +/_, где supp /+ С [0, ос), supp /_ С (-ос, 0], ф+ = ф, и введем
ф-({;) = ф(~0- Понятно, что supp ф- С (-ос, 0]. Тогда (/+, ф°2Ь) = 0
и (/_, ф°? ) = 0 для а > 0, так что после непосредственного использо-
использования B.4.9) получаем
оо оо
/ = С-11 J I db[(T*eUBf)(a, Ъ)фХЬ + (ТГйв/)(«, Ь)ф*'ь], B.4.10)
0 -оо
где (Твейв/)(«, 6) = (/+, Фа+Ь) = (/, Фа+"), (Твейв/) определено анало-
аналогично, а Сф та же, что и в B.4.1).
Еще одна важная возможность состоит в использовании разных
функций при восстановлении и разложении. Более точно, если ф\, ф^
удовлетворяют
I Х™, B-4.11)
то теми же рассуждениями, что и в предложении 2.4.1, показываем, что
^, g) = Сфиф2A, g), B-4.12)
?)- Если CVi,V>2 Ф °5 то мы можем пере-
переписать B.4.12) как
/ = Сф1ф, J ^jdb^ ^ГЬ)^'Ь. B-4.13)
Заметим, что ф\ и фг могут иметь очень разные свойства! Одна может
быть нерегулярной, другая гладкой, обе могут даже не быть допусти-
допустимыми: если ф\{?) = О(^) при ? —> 0, то возможно выполнение ^г@) ф 0.

2.4. Непрерывное вейвлет-преобразование 61
Здесь мы не будем использовать эту дополнительную свободу. В [97]
Чамичан использует свободу в выборе •фх, fa Для доказательства не-
некоторых очень интересных результатов (см. также §2.9). Например,
можно выбрать ip2 с компактным носителем, supp ip2 ? [~R, R], так;
что для любого х только (/, ¦0"' ), где \Ь — х\ $С \a\R, будут вносить
вклад в f(x) из формулы восстановления B.4.13). Множество {(а, Ь);
\Ь — х\ ^ \a\R} называется «конусом влияния» -г/г2 на х. Холшнайдер и
Чамичан [97] также доказывают, что при умеренных условиях на /
формула B.4.13) верна как поточечно, так и в Х2-смысле.
Предложение 2.4.2. Предположим, что ipi, Ф2 ? ^(Ж), -г/г2 диф-
дифференцируема, "ф2 6 L2(R), xijJ G Х1(М) и V>i@) = 0 = ^г(О). Если
f E L2(R) ограничена, то формула B.4.13) выполняется поточечно
в каждой точке х, где f непрерывна, т. е.
ff / db (f, №Ь)Г2' V)- B-4.14)
Доказательство.
1. Мы можем переписать правую часть B.4.14) (прежде чем взять
предел) так:
= I dyMAlyA2(x-y)f(y), B.4.15)
—00
где все перемены порядка интегрирования разрешены теоремой Фубини
(интеграл сходится абсолютно). Здесь МАг,А2 определяется как

62 Глава 2
2. Легко вычислить преобразование Фурье для Ма1,а2'-
J
B.4.16)
B.4.17)
где М(?) = B7гI/2СТ11 . I — ¦02(ffl)V'i(a)) что следует из замены
J п
переменных а —? at; в B.4.16). Поскольку a^ifl) G Ь2(Ж) и ¦0i(a) огра-
ограничена, мы имеем
|МЮ|^С( / 7^1(ffl)l2)
1/2 , . , 1/2
Вследствие B.4.11) М также ограничена, поэтому
l-'"(s)l ^ ^A + |?|) • B.4.18)
Тем самым доказывается, что М, обратное преобразование Фурье
функции М, корректно определено, ограничено и непрерывно.
3. Убывание М определяется регулярностью М. Для ? ф 0 легко
проверяется, что М дифференцируемо по ? и
Поскольку ж^г ? i1, a ^ дифференцируема, верно следующее:
dC'
?=о
Отсюда следует, что М дифференцируемо. Более того, поскольку
xijJ G L1, мы имеем

Это дает
Тогда
2.4. Непрерывное вейвлет-преобразование 63
J C"l"|^>i(?)| + IV'i(~C)ll) следовательно, -jzM 6 L2.
Г Г г
/ dx \М(х)\ ^ / dx\
J \_J
2)
ж2)
1/2
1/2
\м@\2
< (X)
влечет М б ^(К). При этом М@) = B7тI/2С^^ / ^¦:ф2{а):ф1{а) =
а\
= B7т)/2, или JdxM(x) = 1.
4. Используя B.4.17), мы можем переписать B.4.15):
Первое слагаемое стремится к f(x) при .Ai —> 0, если / ограничена и не-
непрерывна по ж, поскольку М непрерывна, интегрируема и ее интеграл
равен 1. (Это следует из теоремы об интегрируемости предела мажори-
мажорируемой последовательности.) Второе слагаемое ограничено величиной
•\f(y)\-
1/2
потому что М Е L2(№.) вследствие B.4.18). Таким образом, это слагае-
слагаемое стремится к нулю, если A-i —> ос. ¦
Замечание. В [97] Холшнайдер и Чамичан доказывают эту теорему при
несколько более общих условиях на /, фг, ф2- ?

64 Глава 2
2.5. Гильбертово пространство с воспроизводящим
ядром, соответствующее непрерывному
вейвлет-преобразованию
Как частный случай B.4.2) для / 6 Ь2(Ш) мы имеем
Сф1 II ^|(Твейв/)(а, Ъ)\2 = I dx \f{x)\2.
Другими словами, увеив является изометрией Ь2(Ш) в
CT1a~2dadb), пространство всех комплекснозначных функций F на
для которых |||^|||2 = С'1 Jj4^\F(a,b)\2 сходится. Оснащен-
(X
ное нормой ||| |||, оно является гильбертовым пространством. Об-
Образ ТвеивХ2(М) образует лишь замкнутое подпространство, а не все
Х2(М2; C^1a~2dadb). Обозначим это подпространство через Ж.
Следующие рассуждения показывают, что Ж — г.п.в.я. Для любой
F б Ж мы можем найти такую / б Ь2(Ш), что F = Твейв/. Из B.4.2)
следует, что
F(a, b) = (f, V>a'6) =
где
= С-1 И ^- К(а, 6; a', b')F(a', b'), B.5.1)
К (а, Ь; а', Ь') = (Твейв^а'ь)(а', V) = (^а''Ь', ^Ь)-
Формула B.5.1) показывает, что Ж в самом деле есть г.п.в.я., вло-
вложенное, как подпространство, в L2(M2; C^1a~2dadb). (Отсюда так-
также немедленно следует, что Ж не совпадает со всем пространством
L2(M2; C7xa~2dadb), поскольку эта формула не могла бы выполняться
на всем пространстве Х2(М2; C71a~2dadb).)
В частных случаях Ж становится гильбертовым пространством
аналитических функций. Опять ограничимся рассмотрением функ-
функций /, таких что supp / С [0, сю). Эти функции образуют замкнутое
подпространство пространства Ь2(Ш), которое мы обозначим через Н2

2.5. Гильбертово пространство с воспроизводящим ядром 65
(это один из представителей семейства пространств Харди). В качест-
качестве ф выберем, например, ф(?) = 2?е~^ при ? ^ 0, ф{?) = 0 при ? ^ О
(ф также принадлежит Н2). Тогда функции из TBellBH2 могут быть
записаны так (рассматриваем только a Js 0, см. B.4.9)):
оо
= 2a1/2 f dU(Oa^e-^b+ia^ = Bтг)а3/2СF + m),
где С аналитична в верхней полуплоскости (Imz > 0). Более того, легко
проверить, что
оо оо
/da / dba\G(b + ia)\2 = fdx\f(x)\2.
О -оо
Поэтому Твеив можно интерпретировать как изометрию из Н2 в про-
пространство Бергмана, состоящее из функций, аналитичных в верхней по-
полуплоскости, интегрируемых с квадратом по мере Im^d(Im^)d(Re^).
С другой стороны, можно доказать, что любая функция из пространст-
пространства Бергмана связана через вейвлет-преобразование, определенное через
эту специальную функцию ф, с некоторой функцией из Н2: изометрия
является отображением «на» и, таким образом, унитарным. При другом
выборе ф, таком как ф ? Я2, ф(?) = Np^e~^ при ф ^ 0, образ ТвеЙВН2
может быть сопоставлен другим пространствам Бергмана, состоящим
из функций, аналитичных в верхней полуплоскости.1
Поскольку TBeiiBL2 или твеивН2 можно сопоставить некоторое
г.п.в.я., не следует удивляться тому, что существуют дискретные се-
семейства точек (ап, Ьа) такие, что / полностью определяется значения-
значениями (Твеив/)(а„, Ьа) и может быть восстановлена по ним. В частности,
если j"BeHBJ можно отождествить с функцией из пространства Берг-
Бергмана, очевидно, что ее значения на некоторых дискретных семействах
точек полностью определяют функцию, поскольку, помимо прочего, она
является аналитической. Дела могут обстоять по-другому при восста-
восстановлении ее численно устойчивым способом: ситуация не так проста,
как в случае с полосой ограниченной ширины, когда существует спе-
специальное семейство точек хп таких, что еХп образуют ортонормиро-
ванный базис в 0Sq. Такого удобного ортонормированного базиса еаа,ъа
в наших TBellBL2 или твеивН2 нет. В следующей главе мы увидим, как
можно поступить с этой проблемой.

66 Глава 2
Наконец, прежде чем закончить этот пункт, следует заметить, что
можно рассматривать формулу B.4.4) или эквивалентную формули-
формулировку в г.п.в.я. как следствие теории представлений интегрируемых
с квадратом групп. У меня нет желания останавливаться на этом под-
подробно. Заинтересованному читателю следует справиться в ссылках, по-
помещенных в примечаниях.2 Фактически, ¦0а'ь — это результат дейст-
действия операторов U(a, b), определенных формулой
на функцию •ф. Все операторы U(a, b) являются унитарными отображе-
отображениями на Ь2(Ж) и образуют представление (ах + й)-группы:
U(a, b)U(a', Ъ') = U(aa', b + аУ).
Это групповое представление неприводимо (т. е. для любой / ф О не су-
существует нетривиальной функции g, ортогональной всем U(a, b)f. Это
эквивалентно высказыванию, что на U(a, b)f натянуто все простран-
пространство). Верен следующий результат: если U — неприводимое унитарное
представление в Ж группы Ли G с левой инвариантной мерой dfj, и если
для некоторой / из Ж
< oo, B.5.2)
G
то существует плотное множество D в Ж такое, что свойство B.5.2)
выполняется для любого элемента / из D. Более того, существует (воз-
(возможно неограниченный) оператор А, корректно определенный в D, та-
такой, что для всех / б D и всех hi,h2 6 Ж,
dn(g) (hi, U(g)f)(h2, U(g)J) = Cj(hi, h2), B.5.3)
G
где Cj= (Af, f). В случае вейвлетов левой инвариантной мерой явля-
является a~2dadb, а оператор А задается формулой
Ш)А@ = КГ7@-
Заметим, что B.5.3) — общая формула обращения!
Впоследствии мы не будем использовать эту групповую структуру,
вовлекающую вейвлет-преобразование, главным образом потому, что

2.6. Непрерывное вейвлет-преобразование в многомерном случае 67
в скором времени мы перейдем к вейвлет-семействам с дискретным
индексом, а они не соответствуют подгруппам {ах + 6)-групп.
В квантовой физике формула B.5.3) изучалась и была использо-
использована для многих различных групп G. Семейства U(g)f называются
когерентными состояниями, а само название впервые было использо-
использовано для групп Вейля-Гейзенберга (см. также следующий пункт), но
позднее распространено и на все другие группы (и даже на некото-
некоторые родственные конструкции, которые не были порождены группой).
Прекрасный обзор и подборку важных работ на эту тему можно найти
в работе Клаудера и Скагерстама [111]. Когерентные состояния, связан-
связанные с (аж + 6)-группами, которые теперь называются вейвлетами, были
впервые сконструированы Аслаксеном и Клаудером в [6].
2.6. Непрерывное вейвлет-преобразование
в многомерном случае
Существует несколько возможных расширений B.4.4) в L2(Rn),
п > 1. Одна возможность состоит в выборе вейвлета ¦ф 6 L2(Rn), име-
имеющего сферическую симметрию. Тогда его преобразование Фурье тоже
является сферически симметричной функцией
а условие допустимости превращается в
оо
Сф = Bтг)п / -r|i/(t)| < ос.
J f
О
Следуя аргументации из доказательства предложения 2.1, можно дока-
доказать, что для всех f,gE L2(Rn)
оо оо
А [ db(TBe*Bf)(a, b)(T"**g)(a, b) = C*(f, g), B.6.1)
a J
0 —oo
где, как и прежде, (Твейв/)(а, Ь) = (/, фа'Ь) и фа'ь(х) = а"п/2
а Е М+, а ф О, Ъ Е Шп. Формулу B.6.1) снова можно переписать так:
b (Твейв/)(а, Ь)Г'"- B.6.2)
0 R"

68 Глава 2
Также можно выбрать ф без сферической симметрии и ввести вра-
вращения, наряду со сдвигами и сжатиями. Например, для размерности 2
мы определим
где а > 0, b ? М2, а матрица Rg имеет вид
cos# — sin# \
sin# cos# ) '
Условие допустимости превращается в
оо 2тг
Сф = BтгJ f <t f (W\$(r cos в, г sin в) |2 < оо,
о о
а соответствующая формула обращения приобретает вид
оо 2тг
W (Твейв/) (а, Ь, б)V-"'Ь'Й-
О R2 О
Аналогичную конструкцию можно построить в пространстве размер-
размерности больше двух. Эти вейвлеты с углами вращения изучались Му-
ренци в [151] и использовались Аргулом и другими авторами в [3], [4]
для изучения фракталов.
2.7. Параллели с непрерывным оконным
преобразованием Фурье
Оконное преобразования Фурье функции / задается формулой
(Ток/)(^*) = (/,^''), B.7.1)
где ?^'*(ж) = etu>xg(x — t). Рассуждения, полностью сходные с исполь-
использованными в доказательстве предложения 2.4.1, показывают, что для
всех /i, /2 ? L2(R
>, t)(T°*f2)(w, t) =

2.7. Параллели с непрерывным оконным преобразованием Фурье 69
что можно переписать в виде:
/ = B7Г1Ы12)-1 IJ'du;dt(T°«f)D;, %-'*. B.7.2)
Условие допустимости в этом случае отсутствует: можно брать лю-
любую оконную функцию g из L2. Подходящей нормировкой для g бу-
будет \\g\\b2 = 1. (Отсутствие условия допустимости объясняется унимо-
дулярностью группы Вейля-Гейзенберга, см. рассуждения Гроссмана,
Морле и Пола в [90].)
Непрерывное оконное преобразование Фурье снова можно рассмат-
рассматривать как отображение из Ь2(Ш) в г.п.в.я. Все функции F б Т°КЬ2(Ж)
лежат в Ь2(Ш) и дополнительно удовлетворяют равенству
F(w, t) = ^ ffdajdtK(aj, t; ш', t')F(w', t'),
где K(u>, t; u>', t') = (g" ¦* , g^'*). (Здесь мы предполагаем, что ||g-|| = 1.)
И опять существует специальная g, которая сводит это г.п.в.я. к гиль-
гильбертову пространству аналитических функций: при g(x) = тг~1/4е~х I2
получаем
[|(W2 + t2) - |wt] V(o; + it), B.7.3)
где ip — целая функция. Множество всех целых функций ip, полученное
таким образом, образует гильбертово пространство Баргмана (Барг-
ман [13]).
Функции g"'1, полученные из g(x) = go(x) = ж~1/4е~х /2, часто на-
называют каноническими когерентными состояниями (см. Клаудер, Ска-
герстам [111]), а соответствующее непрерывное оконное преобразова-
преобразование Фурье — каноническим представлением когерентного состояния.
Оно имеет много красивых и полезных свойств. Одно из них, использу-
используемое в следующем пункте, мы объясним. Применив дифференциальный
оператор Н = — -^Ц + х2 — 1 к go(x), получаем, что
dx
dx2
т. е. go — это собственная функция Н с собственным значением 0. На
языке квантовой механики Н называется гармоническим осцилятор-
ным оператором Гамильтона, a g0 — его основным состоянием. (Строго
говоря, Н, на самом деле, дважды стандартный гармонический осциля-
торный гамильтониан.) Остальные собственные функции Н задаются

70 Глава 2
функциями Эрмита более высокого порядка
<рп(х) = п-^2-^(пГ1
которые удовлетворяют соотношению
B.7.4)
(Для получения B.7.4) стандартным простейшим методом следует на-
написать, что Н = А* А, где А = х + -j-, А* — его сопряжение , А* =
= х - j-, и показать, что Ag0 = О, А(А*)п = (А*)пА + 2п(А*)п~1, так
что Н<рп = апА*А(А*)пg0 = апА* 2п(А*)п~1 g0 = 2п<рп. Нормировка ап
также легко вычисляется.) Хорошо известно, что {<рп; п ? N} образуют
ортонормированный базис для Ь2(Ж). Таким образом, они составляют
«полное множество собственных функций» для Н.3
Теперь рассмотрим однопараметрические семейства ipe = e~lHs^j.
Они являются решениями уравнения
idsips = Hips B.7.5)
с начальным условием фо = ф. В очень частном случае, когда "фо(х) =
= go'\x) = тг~1/4ега;:г;ехр[-(ж - tJ/2], мы находим ф8 = e^'go"*', где
u)s = ш cos 2s — isin2s, ts = wsin2s + icos2s, a as = ^(wt — wsts) (что
легко проверяется непосредственными вычислениями). То есть, кано-
каноническое когерентное состояние, «развиваясь» под действием B.7.5),
остается каноническим когерентным состояние (с точностью до фа-
фазового множителя, который для нас не имеет значения). Обозначение
(u>s, ts) нового когерентного состояния получено из первоначального
(ш, t) простым поворотом на плоскости время-частота.
2.8. Непрерывное преобразование как инструмент
для построения полезных операторов
Формулы обращения B.4.4), B.7.2) могут быть переписаны и дру-
другим образом:
С // ^ф-{-, ^ь)фа'ь = И, B.8.1а)
M=Id, B.8.16)

2.8. Построение операторов 71
где (•, ip)ip обозначает оператор на Х2(М), сопоставляющий функ-
функции / ее образ (/, <р)<р. Этот оператор проектирования имеет ранг 1
(т.е. его квадрат и сопряжение идентичны ему самому). Формулы
B.8.1) утверждают, что «суперпозиция» с равными весами операто-
операторов проектирования ранга один, соответствующих семейству вейвле-
тов (или семейству оконных преобразований Фурье), в точности явля-
является тождественным оператором. (Как и прежде, интегралы в B.8.1)
нужно брать в слабом смысле). Что произойдет, если мы возьмем ана-
аналогичные комбинации, но придадим разные веса разным операторам
проектирования ранга 1? Если весовая функция вообще имеет смысл,
то мы прийдем к корректно определенному оператору, отличному от
тождественного. Если весовая функция ограничена, то таким же будет
и соответствующий оператор, но во многих примерах удобнее рассмат-
рассматривать неограниченные весовые функции, которые могут порождать
неограниченные операторы.4 В этом пункте мы рассмотрим несколько
интересных примеров (ограниченных и неограниченных).
Начнем со случая оконного преобразования Фурье. Перепишем
B.8.16) в обозначениях р, q (импульс, координата), более принятых
в квантовой механике, чем обозначения ш, t для плоскости частота-
время, и введем весовую функцию w(p, q):
W = ±JJdpdqw(p, q){; ?*• V'«. B.8.2)
Если w ? _L°°(M2), то W может быть неограниченным и, значит, не
везде определенным. В качестве области определения W мы можем
взять множество {/; JJdpdq\w(p, q)\2 |(/, gp'q)\2 < ос}, которое будет
плотным при разумном выборе w и g.5 Приведем два полезных при-
примера из квантовой механики: A) выбор w(p, q)=p2 приводит к W =
= -?i + CgM, где Cg = !d^2\g(O\2, B) при выборе w(p, q) = v(q) W
является мультипликативным потенциальным оператором (Wf)(x) =
= Vg{x)f(x), Vg(x) = J dqv(q)\g(x — q)\2. Читатели, знакомые с осно-
основами квантовой механики, заметят, что в обоих случаях оператор W
достаточно хорошо соответствует «квантованной версии» функции на
фазовом пространстве w(p, q) (в системе, где К = 1) с небольшим видо-
видоизменением: дополнительная константа Cg в первом случае, и подста-
подстановка v * \g\2 вместо потенциальной функции v во втором случае. На
самом деле обе формулы использовались Либом в [129] для доказатель-

72 Глава 2
ства того, что теория Томаса-Ферми, полуклассическая теория атомов
и молекул, является «асимптотически» верной (при Z —>¦ ос, т.е. для
очень тяжелых атомов). Это дает член главного порядка более слож-
сложной квантомеханической модели. В доказательстве Либа использова-
использовались вышеупомянутые примеры с тремя переменными (вместо одной):
операторами, которые он в действительности хотел рассматривать, бы-
были, конечно, -Д = -д2Х1 - д2Х2 - д2Хь и V{x) = [х\ + х\ + х2]'1!2, так
что ему нужно было выбрать подходящую g и работать с дополнитель-
дополнительной постоянной Cg и разностью между У и У* \g\2 несколько другими
методами. Заметим, что выбор функции v(g) с интегрируемой особен-
особенностью (такой, как трехмерный потенциал Кулона) всегда приводит
к Vg без особенностей: операторы вида B.8.2) не могут представлять
таких особенностей.
Существует много других приложений операторов вида B.8.2).
В чистой математике они иногда называются операторами Теплица,
и по этому предмету написаны уже тома. В квантовой оптике они так-
также называются «операторами типа Р», и, опять же, существует обшир-
обширная литература на сей предмет (см. Клаудер и Скагерстам [111]).6 Но
вернемся снова к анализу сигнала и посмотрим, как формула B.8.2) мо-
может быть использована для построения оператора частотно-временной
локализации.
Пусть S — это некоторое измеримое подмножество М2. Вернем-
Вернемся снова к частотно-временным обозначениям и определим с помощью
B.8.2) оператор Ls, соответствующий характеристической функции S,
а(ш, t) = 1, если (ш, t) ? S, 0, если (ш, t) g S:
Из формулы обращения немедленно получаем
(Lsf,f) = 7^ JJ du>dt\(f, ^'*}|2 < ^ jj'du>dt\(f, g"'*)!5
(u,t)es
С другой стороны, очевидно, (Lsf, f) Js 0. Другими словами,
0 ^ Ls ^ Id.

2.8. Построение операторов 73
Если S — ограниченное множество, то Lg — ядерный оператор
(см. предварительные сведения), поскольку для любого ортонормиро-
ванного базиса (ип)п€ц из Х2(М),
n, ип) = — II
(w,t)es
(порядок интегрирования и суммирования
можно менять по теореме Лебега)
2тг
(u,t)€S
где \S\ обозначает меру S. Следовательно, существует полное множест-
множество собственных векторов Lg с собственными значениями, убывающими
к нулю
Ап Js Ara_|_i ^ 0, lim An = 0,
п—>оо
{|у?„; neN} — ортонормированный базис в L2(W).
Такие операторы Ls имеют очень естественное толкование. Если окон-
оконная функция g достаточно хорошо локализована, сосредоточена возле
нуля и по времени, и по частоте, то (/, gw't)gw't может рассматри-
рассматриваться как «элементарная компонента» /, локализованная на частот-
частотно-временной плоскости около (ш, t). Суммируя все эти компоненты,
получаем снова /. Lsf — это сумма лишь тех компонент, для кото-
которых (ш, t) Е S. Таким образом, Lsf соответствует извлечению из /
такой информации, которая имеет отношение к области S на частот-
частотно-временной плоскости, и построению из этой локализованной инфор-
информации функции, которая «живет» только на S (или очень близко). Это
составляет суть операторов с частотно-временной локализацией, рас-
рассмотренных в § 2.3! Теперь мы можем изучать Lg для множеств S,
не обязательно являющихся прямоугольниками вида [—П, Щ х [—Г, Г].
(Заметим, однако, что даже для S = [—0, Щ х [—Т, Т] наши опера-
операторы is отличны от QtPqQt, рассмотренных в §2.3). К несчастью,
для большинства случаев S и g собственные функции и собственные
значения Ls трудно охарактеризовать, и такая конструкция является

74
Глава 2
ограничено пригодной. Однако есть один пример g и одно специальное
семейство множеств S, для которых все становится прозрачным. Возь-
Возьмем g(x) = go(x) = 7Г-1/4ехр(-ж2/2) и SR = {(ш, *); ш2 + t2 ^ В2}.
Обозначим соответствующий оператор локализации через Lr:
0,t
Эти операторы перестановочны с гамильтонианом гармонического ос-
осциллятора Н = — -У-т + х2 — 1 из §2.7, что можно легко увидеть из
dx
следующих рассуждений. Поскольку
-iHs w,t _ ia wa,ta
где as = (cot — djsts)/2 6 M, имеем
I -iHse ш,и u,t _ i r iHs ш,и u,t _ -ia-si f w-s,t-,v w,t
\e Jy 60 /60 — U ' e во /SO — e \J' во /80 )
откуда
Если мы подставим ш' = w_s, t' = t-s, то легко проверить (используя
явные выражения для ае, ws, t8, помещенные в конце § 2.7), что g^'1 =
= g^" ' = е~(ш'г -ui)/2e-lHsg^ '* . С другой стороны, область интег-
интегрирования инвариантна под действием преобразования (ш, t) —> (ш', t')
(потому что это преобразование является просто вращением в частотно-
временном пространстве!), так что
JJ
a Lr перестановочен с Н, как и было заявлено. Следовательно, су-
существует ортонормированный базис, в котором и Lr, и Н диагональны
(см. предварительные сведения). Но поскольку все собственные значе-
значения Н невырождены, существует только один базис, диагонализирую-
щий Н, а именно, функции Эрмита (см. §2.7). Следовательно, функции

2.8. Построение операторов 75
Эрмита iyjn являются собственными функциями Ьц. Собственные зна-
значения Lr могут быть вычислены из соотношения
(Существует много способов вычисления этого выражения. Один из
них, с использованием гильбертова пространства Баргмана, объясня-
объясняется в примечании 3 в конце этой главы). Тогда мы имеем
n = А„(Д)<у?„,
где
А„(Д) = (LR<pn, Vn) = ± Ц
R2/2
которая является так называемой неполной Г-функцией. По этой явной
формуле для \n(R) можно изучить ее поведение как функции от п и R.
Здесь я лишь суммирую итоги (подробности можно найти в работе До-
беши [52]). Рисунок 2.4 также изображает Xn(R) для трех различных
значений R. Для каждого R функция \n{R) монотонно убывает с рос-
ростом п. При малых п ее значения близки 1, при больших п — нулю.
Пороговое значение, вблизи которого происходит «нырок», определяет-
определяется, например, как ппор = max{n; An Js 1/2} и равняется ппор ~ R2/2.
Заметим, что это опять тгЛ2/2тг, т.е. площадь области частотно-времен-
частотно-временной локализации Sr, умноженная на частоту Найквиста, также, как
и в § 2.3. Ширина области нырка больше, чем в § 2.3. Однако
# {п; 1 - е ^ А„ ^ е} ^ CeR
(если сравнивать с логарифмической шириной из B.3.2)), но это пре-
пренебрежительно мало для больших R, если сравнивать с п„ор. Другое

76
Глава 2
Рис. 2.4. Собственные значения \n(R) для R = 3, 5 и 7
ощутимое отличие от § 2.3 состоит в том, что собственные функции <рп
в этом случае не зависят от размера области Sr (в отличие от волновых
функций вытянутого сфероида): Д-зависимость полностью сосредото-
сосредоточена в Xn(RO
Примеры, сходные с вышеприведенным, существуют и для непре-
непрерывного вейвлет-преобразования. Снова подставим функцию w(a, b),
отличную от постоянной, в интеграл из B.8.1а) и построим опера-
операторы W, отличные от тождественного оператора. Примером является
w(a, b) ~ а2 в трехмерном случае со сферически симметричной ф (фор-
(формула обращения дана формулой B.6.2), т.е.
(Wf)(x)=C-1 I ^Jdb^a*
B.8.3)
где ф@ = <р(\?\) и
ds sip(s).

2.8. Построение операторов 77
Поскольку для g(x) = \x\~2 трехмерным преобразованием Фурье
является g(^) = у/2/(л/ж\!;\) (понимаемое в смысле распределений), лег-
легко проверяется, что Wf может записать так:
B-8.4)
так что (Wf, g) представляет кулоновскую потенциальную энергию
взаимодействия двух зарядов с распределениями / и g. Эта форму-
формула использовалась, например, в работе Фефермана и де ла Лаве [79]
о релятивистской устойчивости вещества. Заметим, что (Wf, g) ста-
становится «диагональным» в представлении B.8.3) (почему, собственно,
это и оказалось полезным для работы [79]). Заметим также, что это
диагональное вейвлет-представление полностью учитывает особеннос-
особенности ядра в B.8.4): нет «вырезания» особенностей, в отличие от оконного
преобразования Фурье. Это имеет место вследствие того факта, что
вейвлеты могут учитывать размер особенностей (предельный вариант
высокочастотных особенностей с очень коротким временем существо-
существования!), в то время как оконные функции Фурье не могут (см. §1.2
или §2.9).8
Как и в случае оконного преобразования Фурье, мы можем ограни-
ограничить интегрирование в B.8.1а) подмножеством S из (а, ^-пространст-
^-пространства, определив таким образом операторы Ls частотно-временной локали-
локализации. Они определены корректно для измеримых S, и 0 ^ Ls Sj 1. Для
компактных S, не содержащих точек с а = О, Ls является ядерным опе-
оператором. В общем случае для S собственные функции и собственные
значения снова трудно охарактеризовать, но, опять же, существуют
такие •ф и S, для которых собственные функции и собственные значе-
значения Ls определяются явно. Их анализ аналогичен анализу, проведенно-
проведенному для случая оконного преобразования Фурье, но является несколько
более замысловатым. Здесь мы лишь схематично обрисуем результат.
Для полного описания следует обратиться к работе Пола [185] или До-
беши и Пола [62]. Одним из вариантов таких ф является ip(?) = 2?е~^
при ? Js 0, 0 при ? $С 0. Соответствующей формулой обращения, с кото-
которой мы и начнем (см. B.4.9)), будет
оо
О — оо

78 Глава 2
где ф+ = ф, ф-@ = Ф(~0- Рассматриваемые нами операторы Lc =
= Ls задаются с помощью формулы
т п-\ ff dadb Г/ ,а,Ь\ ,а,Ь . I ,а,Ь\ ,a,bl
J J a
(a,b)eSc
где Sc = {(a, b) 6 K+ x M; a2 + b2 + 1 ^ 2aC} и С ^ 1. В представлении
(a, 6)-пространства как верхней комплексной полуплоскости (z = Ъ +
+ га), 5с соответствуют кругам \z-iC\2 ^ С2 — 1. Роль гамильтониана
гармонического осцилятора теперь играет оператор i?, определенный
по формуле
Для такого Н имеем
где
b(t) + ia(t) = z(t) =
cost — zsmf
и z = b + га. Легко проверить, что z —> z(t) сохраняет все окружности
z—iC\2 = С2 —1, что иллюстрирует рисунок 2.5. Следовательно, if и Lc
перестановочны, значит, они диагонализируемы одновременно.9 Соб-
Собственные значения Н имеют кратность 2. Для каждого собственного
значения Еп = 3 + 2п мы можем найти две собственные функции
2)(п + 1)]-1/2^BС)е-« для ? ^ О,
и A0^)А(С) = A0п)Л(~О- Здесь L2n — полином Лагерра B — верхний
индекс, а не степень), в общем случае задаваемый формулой
rja(X) = —(
п п\
Цп
Г(п-т+1)Г(а

2.8. Построение операторов
79
Im z
Рис. 2.5. Линии потока для z(t) =
cost — zs'mt
Поскольку операторы Lc перестановочны с операцией (П/)л(^) = /(—?),
то ¦0+, ip~ будут собственными функциями и для Lc (вследствие вы-
вырожденности Н, не каждая собственная функция Н является собствен-
собственной функцией Lc]-)- Соответствующие собственные значения Lc зада-
задаются с помощью
= Аэт = (п
c + i
c
(Это означает, что Lc имеет ту же вырожденность, что и Н, так что
в этом случае каждая собственная функция Н фактически является
также и собственной функцией Lc)- Таким образом, мы можем ис-
использовать ф^ = —=(ф+ + Фп) и Фп = —!=№? ~Фп) в качестве собст-
V2 V2
венных функций, которые имеют то преимущество, что они веществен-
вещественные. Рисунок 2.6 показывает, как выглядят несколько первых ф^, ¦(/>"

80
Глава 2
-0,5
-0,5
Рис. 2.6. Графики собственных функций ф%, ф" для п = 0, 1 и 2

2.8. Построение операторов
81
I >
\
«<.
! \
\
\
\
1
- \
\
\
-
>»¦•¦»-»
\
\
t \
\ s
\
\
-»
ч
i
4
-»
4
«.
«
4
¦»——-
C=100
-
. 24
«.
*»^
16 "-,
-
ю
п
15
20
Рис. 2.7. Собственные значения \п(С) для различных значений С
(ч — для четных, н — для нечетных). График Хп{С) для различных
значений С приведен на рисунке 2.7. При достаточно больших С ве-
величины \п(С) ведут себя так, как и подобает собственным значениям
оператора частотно-временной локализации: они близки 1 для малень-
маленьких и, ЛН(С) = 1 —^, и убывают к 0 для больших, зависящих
(С + 1)
от С, значений п. Более точно, для любой 7 6 @, 1) значение и, при
котором Хп(С) пересекает j, равняется п = г\С + 0A) (С — большое)
и туB + ту)A - 2С~1)'пС = 7 или 2ту - 1пA + 2ту) = -1п7 + 0{С~х).
Отсюда
^{собственные функции; Л„(С) ^ j} =
= 2#{п; А„(С) ^ 7} = 2CF-1(-ln7) + 0A),
где F(t) = 2t- ln(l + 2t). В частности,
#{собственные функции; \п{С) ^ 1/2} = 2CF-1(ln2) + 0A). B.8.5)
Чтобы сравнить с плотнотью Найквиста, нам нужно вначале найти пло-
площадь в пространстве время-частота, соответствующую Ье- Для этого

82
а)
Рис. 2.8. (а) Множество Sc = \ (t, ш)\ t2 -\ + 1 ^ —- \ для различных
значений С. (б) Сравнение с множествами частотно-временной локализации
для оконного преобразования Фурье (круг Sr = {(t, ш); t2 +ш2 ^ Д2} слева)
и вейвлет-преобразования (справа)
вернемся к ф± . Имеем
Тогда Sc = {(a, b) ? ffi_|_ х Ж; а2 + Ь2 + 1 ^ 2аС} соответствует частот-
частотно-временному множеству
be = \(ы, t)
п>2 /2 i 9
; t + ——
4Г
ЗС
Это соответствует срезке как низкой, так и высокой частоты (см. рису-
рисунок 2.8 для сравнения этого множества частотно-временной локализа-
локализации с кругами в случае оконного преобразования Фурье).10 Площадь Sc
равна \Sc\ = 6тг(С — 1). В сочетании с B.8.4) это дает
^{собственные функции; \п(С) ^ 1/2}
\Sc\
~ ^ +О(С
-г)

2.9. Характеристика локальной регулярности 83
что отличается от плотности Найквиста! Это противоречие возникает
вследствие того, что ширина «области нырка» для Хп(С) пропорциональ-
пропорциональна С и, значит, \Sc\- В самом деле, для е > 0 имеем
^{собственные функции; e^A^l — e} =
что отличается от случая волновых функций вытянутого сфероида, где
аналог выражения в круглых скобках стремится к нулю как IS) log \S\
при \S\ —> ос, и случая оконного преобразования Фурье, где он ведет
себя как IS)/2 при \S\ —>• ос. Факт, что в данном случае ширина рай-
района нырка имеет тот же порядок, что и \Sc\, следут из неравномер-
неравномерной частотно-временной локализации ф± . Это указывет на то, что мы
должны быть осторожными, используя интуицию, основанную на со-
соображениях о времени-частоте-плотности, когда имеем дело с вейв-
летами. К этому мы еще вернемся в главе 4.
2.9. Непрерывное вейвлет-преобразование как
математический увеличитель: характеристика
локальной регулярности
Этот пункт полностью позаимствован из работы Холшнайдера и
Чамичана [97], в которой эта техника развивается, в частности, для из-
изучения свойств локальной регулярности недифференцируемой функции
Римана.
Теорема 2.9.1. Предположим, что f dx A + \х\)\ф(х)\ < оо и
ф@) = 0. Если ограниченная функция f непрерывна по Гёльдеру с пока-
показателем а, 0 $С а $С 1, т. е.
\f(x)-f(y)\^C\x-y\a,
то ее вейвлет-преобразование удовлетворяет оценке
\Твейв(а, 6)| = К/, фа'ь}\ < С'\а\а+112.
Доказательство.
Поскольку J dxxj)(x) = 0, имеем

84 Глава 2
откуда
\(Фа'ь, Л\'
^С\а\а+1'2 j dy^{y)\\y\a
Следующее утверждение является обратной теоремой.
Теорема 2.9.2. Предположим, что ф имеет компактный носи-
носитель. Предположим также, что / 6 Ь2{Ж) ограничена и непрерывна.
Если для некоторого а Е]0, 1[ вейвлет-преобразование функции / удов-
удовлетворяет оценке
I/ f .l,a,b\\ <- /^1 „ lce+1/2 In q i\
\\J ' T / ^ ' l^.y.-L)
mo / непрерывна по Гёльдеру с показателем а.
Доказательство.
1. Выберем непрерывно-дифференцируемую ф2 с компактным
носителем, для которой J* da: ^ (ж) =0. Нормируем ф2 так, чтобы
Сфг1р2 = 1. Тогда по предложению 2.4.2
f(x)=
с1Ь(/,фа'ь)фа2'ь(х).
Разобьем интеграл по а на две части:
1 и \а\ ^ 1 и назовем эти
составляющие /мм(ж) (мелкий масштаб) и fKM(x) (крупный масштаб).
2. Прежде всего заметим, что /км ограничена равномерно по х:
|Л«(аО
оо
/ ft /
f da f
J аЧ
db
-1/2
а )
I da\a\-3/2 = С <оо. B.9.2

2.9. Характеристика локальной регулярности 85
Далее, рассмотрим |/км(ж + К) - /км(ж)| при \h\ ^ 1:
ОО ОО
I \$ I М J Ф|/(У)|Х
-Ъ
h-b
х-Ъ
Так как \ip2(z + t) - f/'2(^)| ^ C\t\, а supp ф, supp ^2 С [-R, R] для
некоторого R < ос, продолжим далее оценку:
B.9.3) ^ C'\h\ J daa-4 j db j dy\f(y)\
<:
||||
\y-b\<:\a\R
?'\h\ j da\a\-3
I
Это выполняется для всех \h\ ^ 1. Отсюда, с использованием B.9.2),
делаем заключение, что |/км(а; + h) - /км(ж)| ^ C\h\ для всех h рав-
равномерно по х. Заметим, что мы даже не использовали B.9.1) в этой
оценке: /км везде регулярна.
3. Часть, соответствующая мелкому масштабу /мм, также равно-
равномерно ограничена:
J ^
da\a\-1+a = С <оо.
4. Таким образом, нам снова нужно рассмотреть только |/мм(ж +
+ h) - /мм(ж)| для маленьких h, таких, что \h\ ^ 1. Опять привлекая
\i\)i(z + t) — ф2(%)\ ^ C\t\, мы имеем

Глава 2
/мм\%)
oo
\a\<:\h\
[da [
J a2 J
*м.с
fe||L2 f da\a\-1+a^h\ f da\a\-3+a(\a\R+\h\)\ =C"\h\a.
\a\<:\h\ \h\^\a\<:i
Отсюда следует, что / непрерывна по Гельдеру с показателем а. Ш
Теоремы 2.9.1 и 2.9.2 показывают, что непрерывность некоторой
функции по Гельдеру можно характеризовать убыванием по а абсо-
абсолютной величины ее вейвлет-преобразования. (Исключением является
а = 1, когда мы не имеем полной эквивалентности.) Заметим, что для
самой ¦ф мы не предполагаем никакой регулярности: помимо условия
убывания -ф, мы привлекли только условие f с1х-ф(х) = 0. (Это условие
явно не зафиксировано в теореме 2.9.2, тем не менее, ф удовлетворяет
ему. В противном случае оценка B.9.1) не выполняется.) Дифференци-
руемость функции для высоких порядков и непрерывность по Гельдеру
корректно определенных производных высоких порядков может ана-
аналогично характеризоваться убыванием вейвлет-коэффициентов, если ¦ф
имеет больше нулевых моментов: для характеристики / 6 Сп и про-
производной f(n\ непрерывной по Гельдеру с показателем а, нам нужен
вейвлет ф такой, что / dx хт-ф(х) = 0 для т = 0, 1, ... , п. Для каждого
такого вейвлета мы имеем при а б]0, 1[
/ ? С™, все ее производные f^m\ т = 0, ... , п ограничены
и интегрируемы с квадратом, a f^n' непрерывна по Гельдеру
с показателем а
\(f, -фа'Ь)\ ^ С\а
п+112+а
равномерно по а.
И снова мы не требовали регулярности ф.
Более всего удивляет в этих характеристиках то, что в них исполь-
используется только абсолютное значение вейвлет-преобразования. Заметим,
что заключение о регулярности / также можем вывести из убывания

2.9. Характеристика локальной регулярности
87
по и) абсолютной величины ее оконного преобразования Фурье Ток(и), t),
если оконная функция g выбрана достаточно гладкой. В большинст-
большинстве случаев, однако, значение гёльдеровского показателя, вычисленное
по |Ток(о;, t)\, не будет оптимальным. Для получения правильной ха-
характеристики следует также привлечь фазу Ток(и>, t), например, через
оценки типа оценок Литлвуда-Пэли (см. работу Фразиера, Яверта, Вай-
Вайса [83]).
Вейвлет-преобразование можно также использовать для характе-
характеристики локальной регулярности. Эта информация не может быть из-
извлечена из оконного преобразования Фурье, даже с привлечением све-
сведений о фазе. Две следующие теоремы снова позаимствованы из работы
Холшнайдера и Чамичана [97].
Теорема 2.9.3. Предположим, что f dx (I + |ж|)|«/>(ж)| < оо и
J dxxj)(x) = 0. Если ограниченная функция f непрерывна по Гёльдеру
в xq с показателем а Е]0, 1[, т. е.
\f(xo+h)-f(xo)\^C\h\a,
то
К/,
Доказательство.
После сдвига мы можем предполагать, что x
J dx ф{х) = 0, мы опять имеем
\(f^a'b)\=Jdx\f(x)-
^(^) |
$:
= 0. Так как
\Ф(у)\
Теорема 2.9.4. Предположим, что ф имеет компактный носи-
носитель. Предположим также, что f € Ь2(Ш) ограничена и непрерывна.
Если для некоторого значения j > 0 и а б]0, 1[
К/, фа'Ь)\ ^ С|а|7+1/2 равномерно nob
К/^а,Ь+Ж„)КС|а|1/2
mo f непрерывна по Гёльдеру в
|log|6||
с показателем а.

Глава 2
Доказательство.
1. Доказательство начинается так же, как и доказательство теоре-
теоремы 2.9.2, три первых пункта которого повторяются без изменений с j,
исполняющей роль а в пункте 3.
2. Таким образом, мы должны только рассмотреть |/мм(жо + h) —
— /мм(жо)| ПРИ малых h. После сдвига мы можем предполагать, что
х0 = 0. Тогда
J ff
oo ,
f Ц f db I к
J a J у
— oo
oo
|log|b|
4 9!
|а|^|Л| —oo
oo /
/ ft/
db \a\a
*¦(-!)!
db \a\a
где мы предположили, что а > j. (Если а ^ j, ситуация становится
проще.) Обозначим четыре члена из правой части B.9.4) через Т\, Тг,
П и Т4.
J
4. Мы используем то, что supp ^2 С [—Д, R], чтобы получить
оценку
da а +а||й2||г1 +
da a
log |/i|

Примечания 89
5. Аналогично для достаточно маленьких h выполняется неравен-
неравенство
da
6. Наконец,
-1+a
-/
log|a|i?
f
C'\h\[l + \h\
~1+a
\h\(l + \h\~2+a)\ < C"\h\a.
Похожие теоремы могут быть доказаны для локальной регуляр-
регулярности высокого порядка. Эти теоремы оправдывают название «матема-
«математический микроскоп», даруемое вейвлет-преобразованию в некоторых
случаях. В [97] Холшнайдер и Чамичан использовали эти и другие ре-
результаты для изучения свойств дифференцируемости функции, опре-
оо
деляемой рядом Фурье ^ п~2 н'т(п2тгх), впервые изученной Риманом.
п=1
Примечания
1. Все такие пространства Бергмана в дальнейшем можно преоб-
преобразовать с помощью (стандартного) конформного отображения в гиль-
гильбертовы пространства аналитических функций на единичном круге.
2. В этом параграфе я, в основном, ссылаюсь на статьи Гроссмана,
Морле и Пола [90], [91]. На самом деле, их результаты можно обобщить
и на приводимые представления, если только они имеют циклический
вектор (Гроссман, Пол, личное общение). Это полезно для многомерного
случая, когда представления (ах + 6)-группы являются приводимыми
и в то же время цикличными.
3. Оператор Нв, полученный «транспортировкой» Н в гильбертово
пространство Баргмана с помощью унитарного отображения Ток, полу-
получается особенно простым:
+t2) -
= ехр(-|(о;2 + t2) - |
it)],

90 Глава 2
или (Hb<p)(z) = 2ztp'(z). Очевидно, что собственными функциями Нв
являются мономы un(z) = Bnn))~1l2zn. Следующие рассуждения по-
показывают, что на самом деле это функции из пространства Баргмана,
соответствующие функциям Эрмита. Легко вычислить, что
[ехр(-|(о;2 + t2) - i
(-|(о;2 + t2) - |wt)(-i)(w + it)ip{w + it),
= ехр(-|(о;2
так что ipn = Bnnl)-1/2(A*)ng0 соответствует {2nn\)-1l2{-i)nzn =
= (—i)nun(z) в пространстве Баргмана. (Мы используем нормировку
НИНаргм = ^Idx /#е-(ж2+г'2)/2|у>(а; + гу)|2,такчтосамаяо соответ-
соответствует 1, постоянной функции, в пространстве Баргмана.) В частности,
это означает, что
(<рп, ^'*> = ехр[-|(о;2 + t2) - ^t] {-i)n{2nn\)-1'2{u + it)n.
4. Не каждая неограниченная функция приводит к неограниченно-
неограниченному оператору. Некоторые ограниченные операторы могут быть пред-
представлены только таким образом, если используется неограниченная ве-
весовая функция. На самом деле, Клаудером [110] доказано, что даже неко-
некоторые ядерные операторы требуют распределений в качестве весовых
функций.
5. Для вещественных функций w требуется, чтобы W был бы са-
самосопряженным в этой области.
6. Другое приложение из квантовой механики приведено Добеши и
Клаудером в [58], где показано, как написать (математически не опреде-
определенный корректно) интеграл по траекториям для exp(-itH) как предел
интегралов Винера (когда константа диффузии в диффузионном про-
процессе стремится к сю), при условии, что Н имеет вид B.8.2) с весовой
функцией w(p, q), которая не возрастает слишком быстро при р, q —>• ос.
Аналогичная теорема может быть доказана для случая вейвлетов (До-
(Добеши, Клаудер, Пол [61]).
7. В точности те же самые рассуждения верны для операторов W
вида B.8.2), для которых w(w, t) имеет вращательную симметрию,
даже если это не характеристическая функция. Примером является
ги(и>, t) = ехр[—а(и>2+?2)], для которой Гори и Гуаттари [85] впервые по-
показали, что функции Эрмита являются собственными функциями (вне
зависимости от а. Собственные значения, конечно, зависят от а!).

Примечания 91
8. Это не совпадение, что Феферману и де ла Лаве пришлось исполь-
использовать представление вида B.8.3) для оператора B.8.4): ведь формула
Кальдерона (B.4.4) эквивалентна ей) является частью инструментария,
разработанного для изучения сингулярных интегральных операторов
(задолго до вейвлетов!), и она хорошо приспособлена для рассмотре-
рассмотрения сингулярного ядра в B.8.4). В этом частном случае B.8.4) имеет
смысл даже для недопустимых ф (Сф не участвует). В [79] в качестве ф
Феферман и де ла Лаве выбрали характеристическую функцию единич-
единичного шара (которая не является допустимой, так как имеет ненулевой
интеграл).
9. Если мы произведем дополнительное преобразование, отобразив
верхнюю полуплоскость {b + ia; a ^ 0} на единичный круг (с помо-
помощью конформного отображения), то все станет более прозрачным: тог-
тогда z —>• z(t) соответствует простому вращению относительно центра
круга, и Н, также, как и его собственные функции, задается простыми
выражениями (см. Пол [152] или Сейп [160]).
10. Существуют другие возможности выбора ^при которых этот
анализ работает. При каждом выборе множество Sc в пространстве
время-частота, соответствующее Sc из (а, ^-пространства, приобре-
приобретает различные формы. Вычисления и рисунок, иллюстрирующий это,
можно найти в работе Добеши и Пола [62].

Глава 3
Дискретные вейвлет-преобразования:
фреймы
В этой самой длинной главе книги мы обсудим различные аспек-
аспекты неортогональных дискретных вейвлет-разложений, проводя некото-
некоторые параллели с оконным преобразованием Фурье. Термин «фреймы»
(frames) из названия главы обозначает множества, вообще говоря, за-
зависимых векторов. Они, тем не менее, могут быть использованы для
написания явного разложения каждого вектора пространства. Мы обсу-
обсудим фреймы для вейвлетов вместе с фреймами для оконного преобра-
преобразования Фурье. В последнем случае этот подход можно рассматривать
как «перенасыщенный» по отношению к частоте Найквиста в частот-
частотно-временном пространстве.
Большая часть материала этой главы взята из работы Добеши [54].
Очень хорошим обзором по фреймам (и непрерывным преобразовани-
преобразованиям), содержащим несколько дополнительных оригинальных теорем, яв-
является работа Хейла и Волната [95].
3.1. Дискретизация вейвлет-преобразования
При определении вейвлет-преобразования мы рассматривали се-
семейство
где b € К, а € К+, a/Ои^ — допустимая. Для удобства при дискре-
дискретизации ограничимся только положительными значениями а, так что
условием допустимости будет
оо О
<%\?\-1Ш)\2<°°-

3.1. Дискретизация вейвлет-преобразования 93
(См. § 2.4.) Мы хотели бы ограничиться лишь дискретными значениями
а и Ь. Дискретизация параметра сжатия выглядит естественно: мы вы-
выбираем а = а™, где то 6 Z, и шаг сжатия ао ф 1 фиксирован. Для удоб-
удобства предположим, что ао > 1 (хотя это не имеет значения, поскольку
мы берем и отрицательные, и положительные степени то). Для то = О
естественной выглядит и дискретизация Ь, в качестве которой берутся
кратные (положительные и отрицательные) одного фиксированного bo
(bo > О фиксируем произвольно). При этом bo выбирается подходя-
подходящим образом так, чтобы ф(х — nbo) «покрывали» всю ось (в смысле,
уточненном ниже). Для различных значений то ширина а0 ф(а^тх)
в а™ раз больше ширины ф(х) (измеряемой, например, так: ширина
(/) = [J dxx2\f(x)\2]1^2, где предполагается, что / dxx\f(x)\2 = 0), так
что выбор b = nbo а™ гарантирует, что дискретизированные вейвле-
ты на уровне то «покрывают» ось так же, как это делают ф(х — nbo).
Итак, мы берем а = a™, b = п&оа™, где т, п пробегают Z, ао > 1,
bo > 0 — фиксированные, выбор ао, Ьо, конечно, зависит от вейвлета ф
(см. ниже). Этот выбор соответствует семейству
, / ч -т/2 , (X - пЬОаоП\ -т/2 . , -т , ч /о 1 1\
фт,п(х)=а0 ' ф[ ^—-)=% ' ф(а0 mx-nb0). C.1.1)
v °0 '
Теперь мы можем задать два вопроса:
A) В полной ли мере дискретные вейвлет-коэффициенты (/, фтуП)
характеризуют /? Или, строже говоря, можем ли мы восстановить /
численно устойчивым способом, зная (/, фт^пO.
B) Может ли любая функция / быть записана в виде суперпозиции
«элементарных строительных блоков» фт^п7.1 Можем ли мы написать
простой алгоритм нахождения коэффициентов такой суперпозиции?
На самом деле эти вопросы являются двумя сторонами одной проб-
проблемы. Ниже мы увидим, что при разумном выборе ф и подходящих ао,
bo существуют такие фтуП, что ответ на вопрос о восстановлении будет
прост:
/ =^2 if, Фт,п)Фт,п-
т, п
Следовательно, для любой g 6 Ь2(Ж)
', f) = (f, g) = /Af-, 'Фт,п)(Фт,п, g) = УМ, 'Фт„п)(Фт,п, f),

94 Глава 3
или g = ^2 {"фт,т g) Фт,т по крайней мере в слабом смысле. Это мож-
т, п
но использовать как рецепт для вычисления коэффициентов в суперпо-
суперпозиции фт,п, приводящей к g. Здесь мы в основном сосредоточимся на
первом множестве вопросов. Более подробно двойственность между A)
и B) обсуждается Грошенигом в [86].
В случае непрерывного вейвлет-преобразования немедленным от-
ответом на оба вопроса является формула обращения, по крайней мере,
если ф — допустимая. В теперешнем дискретном случае аналога такой
формулы нет,2 так что мы должны приступить к решению этой проб-
проблемы другим методом. Интересно также знать, существует ли «дис-
«дискретное условие допустимости» и как оно выглядит. Для начала при-
придадим некоторое математическое содержание вопросам из A). Ограни-
Ограничимся, в основном, функциями / 6 Ь2(Ж), хотя дискретные семейства
вейвлетов, подобно своим двоюродным родственникам с непрерывны-
непрерывными параметрами, могут быть использованы также и во многих других
функциональных пространствах. Функции могут «характеризоваться»
с помощью своих «вейвлет-коэффициентов» (/, фт,п), если верно то,
что выполнение
(Л, Фт,п) = (/г, фт,п) для всех m, n G Z влечет /i = /2,
или, эквивалентно, если
(/> Фт,п) = 0 для всех то, п ? Z =>• / = 0.
Но мы хотим большего, чем характеризуемость: мы хотим иметь воз-
возможность восстановить / численно устойчивым образом по (/, фтуП)-
Для существования такого алгоритма мы должны быть уверены в том,
что если последовательность ((/ь фт,п))т,п& близка ((/2, фт,п))т,п&,
то с необходимостью Д и /г также «близки». Чтобы уточнить это, нам
понадобятся топологии для пространства функций и пространства по-
последовательностей. Для Ь2(Ж) у нас уже имеется топология гильбертова
пространства, для пространства последовательностей мы выберем не-
некоторую аналогичную /2-топологию, в которой расстояние между по-
последовательностями с1 = (<4;Jm,K(Ez и с2 = (с271;И)т,иех измеряется
так по формуле
С2||2
-<&

3.1. Дискретизация вейвлет-преобразования 95
Этим неявно предполагается, что последовательности ((/, фт,п))т,пеж
сами принадлежат/2(Z2), т. е. что ^ |(/, фт,п)\2< оо для всех / 6 Ь2(Ж).
т, п
На практике с этим не возникает проблем. Как будет видно ниже, любой
разумный вейвлет (для ф это означает некоторое убывание по времени
и частоте и выполнение равенства / <1хф(х) = 0) с любыми а^ > 1,
bo > 0 приводит к оценке
C.1.2)
Предположим (не уточняя пока, какие ограничения накладывают-
накладываются на Vm,п, к этому мы вернемся позже), что C.1.2) выполнено.
С /2^2)-интерпретацией «близости» требование устойчивости означа-
означает, что если Yl \(fi Фт,п)\2 мало, то ||/||2 также должна быть малой.
га. п
В частности, должно существовать а < оо такое, что ^ |(/, фт,
m, n
влечет ||/|| ^ а. Теперь возьмем произвольную / € Ь2(Ж) и опреде-
ЛИМ / = [Е К/, Фт,п}\2}-1/2/. ЯСНО, ЧТО ^ | (/, Фт,п)\2 < 1, ОТКУДа
т, п
12
а. Но это означает, что
-1
2<а
или
4||/1|2<?|</»^т,п>Г C-1-3)
т, п
для некоторого А = а~х > 0. С другой стороны, если C.1.3) выполняет-
выполняется для всех /, то расстояние ||Д — Д>|| не может быть как угодно боль-
большим, если величина Yl |(/i> Фт^п) — (/2, Фт,п)\2 мала. Следовательно,
m, n
C.1.3) эквивалентно условию устойчивости. Сочетая C.1.3) и C.1.2),
мы получаем, что должны существовать такие А > 0, В < ос, что
т, п
для всех / ? Ь2(Ж). Другими словами, {фт,п\ т, п ? Z} образуют
фрейм. Обзор этого понятия мы сделаем в следующем пункте. Связь

96 Глава 3
между фреймами и численно устойчивым восстановлением по дискрет-
дискретным вейвлетам была впервые замечена Гроссманом A985, личное об-
общение).
3.2. Общие сведения о фреймах
Фреймы были введены Даффином и Шаффером [71] в контексте не-
негармонических рядов Фурье (т.е. разложений функций из ?2([0, 1]) по
комплексным экспонентам ехр(г'Лгаж), где Хп ф 2тгп). Они также фигу-
фигурировали у Юнга [188]. Приведем их определение и некоторые свойства.
Определение. Семейство функций (ipj)j?j из гильбертова про-
пространства Ж называется фреймом, если существуют такие А > О,
В < ос, что для всех / из Ж верны оценки
C-2Л)
Назовем А и В границами фрейма.
Если границы фрейма равны, А = В, то я буду называть фрейм
жестким фреймом. В жестком фрейме мы имеем для всех / € Ж
что с привлечением тождества поляризации дает3
, g) =
или
/Л — 1 х / ? \ / О О О"\
= А /Л/? Pj/Pji yS.l.l)
i
по крайней мере в слабом смысле. Формула C.2.2) весьма напоминает
разложение / по ортонормированному базису, но важно осознать, что
фреймы, даже жесткие фреймы, не являются ортонормированными ба-
базисами, что может быть проиллюстрировано следующим конечномер-
конечномерным примером.

3.2. Общие сведения о фреймах 97
Пример. Возьмем Ж = С2, ег = @, 1), е2 = (~^, -|), е3 =
^-, ~|)- (См. рис. 3.1.) Для любого v = (v1: г>2) из Ж имеем
120°
Следовательно, {ei, e2, ез } — жесткий фрейм,
который определенно не является ортонор-
мированным базисом: три вектора е\, е2, ез,
очевидно, линейно зависимы. П
Заметим, что в этом примере граница
фрейма А = ^ дает «отношение избыточ-
избыточности» (три вектора в двумерном простран- Рис- 3.1. Эти три векто-
стве). Если отношение избыточности, изме- Ра в С образуют жесткий
ренное с помощью А, равняется 1, то жест- ФРеим
кий фрейм становится ортонормированным базисом.
Предложение 3.2.1. Если (fj)jeJ — жесткий фрейм с границей
А = 1 и если \\<fj\\ = 1 для всех j 6 J, то tpj образуют ортонормирован-
ный базис.
Доказательство.
Поскольку из условия (/, tfj) = 0 для всех j ? J следует утверж-
утверждение / = 0, то Ж натянуто на tpj. Осталось проверить их ортонорми-
рованность. Для любого j & J имеем
Е
E
Поскольку \\ipj\\ = 1, то (tpj, ifj>) = 0 для всех j' ф j.
Данное высказывание справедливо лишь для жестких фреймов, все элементы
которых имеют единичную норму. Ясно, что после подходящей перенормировки
любой жесткий фрейм имеет А = 1. — Прим. ред.

98 Глава 3
Формула C.2.2) дает тривиальный способ восстановления / по(/, tpj),
если фрейм — жесткий. Вернемся к общему случаю фреймов и посмот-
посмотрим, как там обстоят дела. Для начала введем фреймовый оператор.
Определение. Если (<fj)j?j — фрейм в Ж, то фреймовым опе-
оператором F будет линейный оператор из Ж в /2(J) = {с = (
\\c\\2 = Yl \cj\2 < °°}? определенный по формуле
Из C.2.1) следует, что ||-F/||2 ^ В||/||2, т.е. F — ограниченный.
Легко вычислить F*, сопряженный к нему:
(F*c, f) = (с, Ff) = Y, cj WW) = E ci
так что
Y C-2.3)
по крайней мере в слабом смысле. (На самом деле ряд в C.2.3) сходится
по норме.4) Так как ||-F*|| = ||-F||, имеем
\\F*c\\ /
Из определения F вытекает
В терминах F условие C.2.1) может быть переписано таким образом:
Aid ^F*F ^ ВЫ. C.2.4)
В частности, это дает обратимость F*F согласно следующей элемен-
элементарной лемме.
Лемма 3.2.2. Если положительный ограниченный линейный опе-
оператор S на Ж ограничен снизу строго положительной константой а,
то S обратим, и обратный к нему S~x ограничен величиной а~х.

3.2. Общие сведения о фреймах 99
Доказательство.
1. Ran E) = {/ ? Ж; / = Sg для некоторой g 6 Ж} — замкнутое
подпространство Ж. Это означает, что любая последовательность Коши
из Ran E) имеет предел в Ran (S). Проверим, что
/га G Ran(S) и Н/п -/т||->• 0, если га, т ->• ос.
Тогда/га = SgVj и HgVi-gmll2 ^ a~1(S(gn-gm), gn-gm)) ^ a~1\\S(gn -
~ Sm)\\ \\gn — gm\\i где мы использовали a(h, h) ^ (Sh, h) в первом не-
неравенстве. Но тогда \\gn — gm\\ ^ a)!/?! — fm\\, и gn с необходимостью
образуют последовательность Коши в J^5. Эта последовательность Коши
с необходимостью имеет предел g из Ж. Ввиду непрерывности S, мы
тривиально имеем Sg = lim Sgn = lim fn, тогда lim fn € RanE).
2. Ортогональное дополнение Ran (?) — это {0}. В самом деле, если
(/, Sg) = 0 для всех g € J^5, тогда, в частности, (/, Sf) = 0, что ввиду
а11Л|2 ^ (^/? /) Дает ||Л| = 0, откуда / = 0. Это вместе с пунктом 1
дает Ran (S) = Ж. Следовательно, S — обратим: любая / 6 Ж может
быть записана как / = Sg. Определим S/ = g. Тогда
a||s-Vll2 < (ss-1/, s-1/) = (f, s-1/) 4:11/11 Iis-Vll;
откуда US/!! ^ a)!/!!, что и требовалось доказать. ¦
Таким образом, имеем ||(F*F)~1|| ^ А~1. Читатель может прове-
проверить, что на самом деле
В'1 Id ^ (F*F)-1 <: A'1 Id. C.2.5)
Действуя оператором (F*F)~1 на векторы <pj, получаем новое интерес-
интересное семейство векторов, обозначенных через <pj,
Семейство (ipj)jej также оказывается фреймом.
Предложение 3.2.3. (<fj)j?j образует фрейм с постоянными
фрейма В~х и А~х :
C-2.6)

100 Глава 3
Соответствующий фреймовый оператор F: Ж —>• 12(J), (Ff)j = (f, <pj),
удовлетворяет соотношениям F = F(F*F)~1, F*F = (F*F)~1, F*F =
= Id = F*F, и FF* = FF* является оператором ортогонального про-
проектирования из 12{J) на Ran(F) = Ran(F).
Доказательство.
1. В качестве упражнения читателю предлагается получить, что
если ограниченный оператор S имеет ограниченный обратный S~x и
S* = S, то (S~x)* = S~x. Следовательно,
откуда
К/' ^)|2 = E К(^-Р)/, Vj)? = \\F(F*F)-1f\\2 =
jej
= {{F*F)~1f, Р*Р(Р*Р)-г/} = ((F'F)-1/, f). C.2.7)
Ввиду C.2.5), получаем C.2.6); ipj образуют фрейм. Более того, из
C.2.7) получаем, что фреймовый оператор F удовлетворяет соотноше-
соотношению F*F = (F^F)-1.
2. (FiF'F)-1/); = ((F*F)-\f, tpj) = (/, Ipj) = (Ff)j, F*F =
= [^(F*^)-1]*^ {F*F)-1F*F = Id, F*F = F*F(F*F)~1 = Id.
3. JaK как F = F(F*F)-1, то Ran (F) С Ran (F). Мы также имеем
F = F(F*F), откуда Ran(F) С Ran(F). Следовательно, Ran (F) =
= Ran(F). Пусть Р будет оператором ортогонального проектирования
на Ran(F). Мы хотим доказать, что FF* = Р, а это эквивалентно
утверждениям FF*(Ff) = Ff (т.е. FF* не изменяет элементы из
Ran(F)) и FF*c = 0 для всех с, ортогональных Ran(F). Оба утверж-
утверждения легко проверить:
FF*Ff = F(F*F)~1 F*Ff = Ff
c±Ran (F) =^ (c, Ff) = 0 для всех f еЖ ^F*c = 0^ FF*c = 0.

3.2. Общие сведения о фреймах 101
Назовем (<fij)j?j фреймом, двойственным к (<fj)j?j- Легко прове-
проверить, что фреймом, двойственным к (tpj)j?j, снова будет (<fj)j?j- Мы
можем записать некоторые утверждения из предложения 3.2.3 в не-
несколько менее абстрактной форме. Утверждение F*F = Id = F*F
означает, что
?) X), Vj) <Pj- C-2.8)
Так, мы имеем формулу для восстановления / по (/, <pj)\ В то же время
мы получили средство для представления / в виде суперпозиции tpj.
Это доказывает, что два множества вопросов из § 3.1 на самом деле
«двойственны». Нам остается лишь вычислить tpj = (F*F)~X tpj, чтобы
применить C.2.8), имея заданный фрейм (ipj)jej. В скором времени
мы вернемся к этому. Для начала обратимся к вопросу, который часто
возникает в этом месте: удивляет, что фреймы, даже жесткие, в об-
общем случае не являются (ортонормированными) базисами, поскольку
обычно <fj не являются линейно независимыми. Это означает, что для
заданной / существует много различных суперпозиций tpj, каждая из
которых сходится к /. Что же ставит в особый ряд формулу из вто-
второй части C.2.8)? Следующий простой пример дает намек на то, каким
может быть ответ.
Пример. Вновь рассмотрим простой пример с рисунком 3.1. Для
любого ugC2 мы имели
3
з i=1
Так как J^ ej = 0 в этом примере, то следующие формулы также вер-
ны: з
§?>, ел-> + а]ел-, C.2.10)
где а — произвольная постоянная из С. (В этом конкретном случае
можно доказать, что C.2.10) дает все возможные суперпозиции, спра-
справедливые для произвольной 11.) В каком-то смысле C.2.9) выглядит бо-
более «экономичной», чем C.2.10), если а ф 0. Это интуитивное утверж-
утверждение можно сделать более точным следующим образом:
1>, <*>|я = §|М|Я,

102 Глава 3
тогда как
з
v, е,-) + а|2 = !|МГ + ЗН2>!|М|2, если а ф 0.
Аналогично, (/, ipj) — наиболее «экономичные» коэффициенты в разло-
разложении / по ipj.
Предложение 3.2.4. Если f = J2 cj 4>з ^ЛЯ некоторой с =
= (cj)j?j ? 12{J) и если не все Cj равны (/, ipj), то J^ \cj\2 >
> Е К/, ^-I2-
Доказательство.
1. Утверждение / = Е cj Vj эквивалентно f = F*c.
2. Запишем с = а + Ь, где а е Ran(F) = Ran(F) и b±Ra,n(F).
В частности, а±Ь, тогда ||с||2 = ||а||2 + ||&||2.
3. Поскольку а ? Ran(F), существует такая g ? Ж, что а = Fg
или с = Fg+b. Отсюда / = F*c = F*Fg+ F*b. Но &±Ran(F), так что
F*b = 0 и F*F = Id. Следовательно, f = g, откуда с = Ff + b и
?Ы2 = IN2 = \\f/у2 + ii&n2 = ? |(/, ^>|2 + ii&n2,
что строго больше, чем ^ |(/, <fij)\2, если только не выполнено Ъ = 0
и с = F/. jeJ ¦
Это предложение также может быть использовано с тем, чтобы
увидеть, что ipj играют особую роль в первой половине формулы C.2.8).
Обычно здесь мы имеем неединственность: может существовать много
других семейств (uj)jej таких, что / = ^ (/, tpj) Uj. В нашем двумер-
ном примере, рассмотренном ранее, эти семейства задаются так: Uj =
2 3
= =rtj + а, где а — произвольный вектор из С . Поскольку J^ ej = 0,
6 з=1
мы, очевидно, имеем
з зз
?(^> ei) ui = | ?(^5 ei) ei + [?(v' e
3 = 1 3=1 3=1

3.2. Общие сведения о фреймах 103
Опять, однако, эти Uj «менее экономичны», чем е,- в том смысле, что
для любой v, (v, а) ф 0,
Подобное неравенство выполняется для каждого фрейма: если / =
= Е(Л ^)«j, то Е К"л g)? > Е K?j> ?>|2 Для всех g ? Ж, как
j j j
следует из предложения 3.2.4.
Вернемся к вопросам восстановления. Если мы знаем <pj =
= (F*F)~1 <fj, то C.2.8) позволяет восстановить / по (/, tpj). Значит,
нам нужно только вычислить ipj, для чего необходимо знать оператор,
обратный к F*F. Если В и А близки, т.е. г = В/А — 1 -С 1, то C.2.4)
говорит, что F*F «близок» —^—id ; тогда (F*F)~1 «близок» Id
и (pj «близки» (pj. Более того,
J\. ~\~ -D
где R = Id - -j^ F*F, откуда -f^ Id ^ R ^ WT^ U '
О A
\\R\\ ^ — = ———. Если г мало, можно опустить оставшийся член
Rf в C.2.11). Так мы получаем формулу восстановления для / с точ-
точностью до ошибки -^—||Л| в L2. Даже если г не столь мало, мы можем
написать алгоритм для восстановления /, сходящийся экспоненциаль-
экспоненциально. Пусть R определен так же, как и выше. Тогда мы имеем
F*F= ^4^(Id -R),
откуда {F*F)~1 = -^ (Id - Д). Поскольку ||Д|| ^ |^ < 1,
oo
то ряд Y^i Rk сходится в норме и (Id — R)~x является его пределом.
k=0

104
Следовательно,
Глава 3
Ь = (F*F)
-i
А + В
k=o
Используя лишь член нулевого порядка из формулы восстановления,
мы приходим к C.2.11), где остальные члены опущены. Лучшие при-
приближения получаются, если оставлять первые N членов
А + В
JV
к=0
где
= sup
А + В
(f -
k=N+l
= \ld-RN+1]<pj,
C.2.12)
= sup
j - vf, g)
= sup
= sup К/, RN+1g)\ < \\R\\N+1
>j, g)
JV+l
что имеет экспоненциальный порядок убывания с ростом N, поскольку
^< 1. В частности, ш1? можно вычислить с помощью итеративного
г
2 + г
алгоритма
или
JV-1
N
JV
где
»
A + B
XI "i^1
mEJ
Это может выглядеть устрашающе, но в примерах, представляющих
практический интерес, где многие (<рт, <pt) являются пренебрежимо
малыми, этого не происходит. Такую же итеративную технику можно
применить непосредственно к /:
f=(F*F)-1(F*F)f= lim fN,
JV-s-oo

3.3. Фреймы вейвлетов 105
где
k=o
Теперь, после тщательного изучения вопросов, относящихся к аб-
абстрактным фреймам, вернемся к рассмотрению дискретных вейвлетов.
3.3. Фреймы вейвлетов
Мы видели в § 3.1, что для численно устойчивого алгоритма восста-
восстановления / по (/, фтгП) мы требуем, чтобы фт,п образовывали фрейм.
В §3.2 мы построили алгоритм восстановления / по (/, фт,п) в слу-
случае, когда фтуП действительно образуют фрейм. Для этого алгоритма
важным является отношение границ фрейма. Позднее в этом пункте
мы вернемся к способам вычисления, по крайней мере, оценки этого
отношения. Однако вначале покажем, что если фтуП образуют фрейм,
то ф — допустима.
3.3.1. Необходимое условие: допустимость материнского
вейвлета
Теорема 3.3.1. Если фт,п(х) = %т/2 ф(%тх - nb0), т, п&Ъ,
образуют фрейм в Ь2(Ж) с границами А, В, то
оо
bo In ao .
2тг ^
о
и
о
bolnao , j е 1,4-1 I Y/v\|2 ^ "и i"j п /, QO\
О ^ / > ^ т^\^/ \ О уО.О.А)
Z7T J Z7T
— оо
Доказательство.
1. Для любой / € L2(M.) мы имеем

106 Глава 3
Если мы запишем C.3.3) для / = щ и просуммируем полученные нера-
неравенства с весовыми коэффициентами с/ ^ 0 такими, что ^ с; ||и/||2< ос,
i
тогда мы получим
; / т,п i
В частности, если С — некоторый положительный ядерный оператор
(см. предварительные сведения), то
где щ — ортонормированы, с; ) 0 и ^ с; = ТгС > 0. Вследствие
C.3.4), для любого такого оператора мы имеем
А ТгС ^ Y,(С^™>п,фт,п)^ВТгС. C.3.5)
2. Теперь применим C.3.5) к специальному оператору С, по-
построенному с помощью непрерывного вейвлет-преобразования с дру-
другим материнским вейвлетом. Возьмем такую функцию h из L2, что
оо
supp h С [0, сю), / d^ |fo(C)|2 < оо, и определим семейство ha'b =
^—) Для a, b ? Ж, а > 0 по аналогии со сделанным во
второй главе. Если с(а, Ь) — положительная ограниченная функция, то
оператор
оо оо
С = j Ц f db{;ha>b) ha'b c(a, Ь) C.3.6)
О -оо
положителен и ограничен (см. §2.8). Если, дополнительно, с(а, Ъ) явля-
является интегрируемой по а~2 dadb, то С — ядерный оператор, и ТгС =
оо оо
= / Щ I dbc(a' b) INI2-6 Рассмотрим случай, когда с(а, Ъ) = w(\b\/a),
О -оо
если 1 ^ а ^ ао, 0 в противном случае, при этом w — положительная и

3.3. Фреймы вейвлетов 107
интегрируемая. Тогда мы имеем
ОО ЭО
C= [Щ [ db(;ha'b)ha'bw{^)
J a2 J V a /
О -оо
Оо ОО
/if Г /" 1
^ / dsw(|s|)||/i||2 =21na0 / dsw(s) ||/i||2.
1 -оо О
3. Для определенного таким образом С средний член из C.3.5) пре-
превращается в
ОО ОО , ч
^(Сфт,^ Фт,п) = X] I ~1 I dbW\~a) К^"»."' ^°'Ь)|2-
т,п т,п ^ _'^о
Но
Ьо,Ь\ =„-™/2„-1/2
(фт,п, ha>b) = а~т/2 a
J
aao
а' = а^та Ь' = атЪ
После замены переменных а' = а^та, Ь' = а^тЪ мы получаем
аот+1
™.» -™ й
ОО ОО
" \ nbo\
w'
О -оо
Возьмем w(s) = Ле А п s . Эта функция имеет только один локальный
максимум и монотонно убывает с ростом \s\. Элементарные рассужде-
рассуждения об аппроксимации интегралов (полностью эти рассуждения можно

108
Глава 3
найти в работе Добеши [54], лемма 2.2) показывают, что для таких
функций w и любых а, Р ? Ш, Р > 0
/ dtw(t) -/3wmax
— оо
или, для нашего случая,
dtw(t)
nbo
E
n
где |р(а, Ь)| ^ w@) = Л. Следовательно,
оо оо
,п, Фт,п) = ^ J %г J db\(i>, ha>b)\2 + R, C-3-7)
О -оо
где
оо оо
db\(i>, ha>b)\2 p(a,
О -оо
Ch определена формулой B.4.1). Первый член из C.3.7) можно перепи-
переписать следующим образом
оо оо
1 [ da [
W а J
О -оо
db
оо оо
0 0 0
оо
4. Для выбранной нами весовой функции w выполняется / dtw(t) =
о
= \\h\\2
= т^. Отсюда следует, что ТгС = \\h\\2 lnao- Подставляя полученные
результаты в C.3.5), находим
1
\ф@\2 + Я^ВЩ\21па0,

3.3. Фреймы вейвлетов 109
где |Д| ^ XCh \\Ф\\2- Разделив на ^- ||Ы|2 и устремив Л к нулю, полу-
оо
чаем C.3.1). Формула C.3.2) для отрицательных частот доказывается
аналогично.
Замечания
1. Формулы C.3.1), C.3.2) заведомо накладывают ограничения
оо О
на ф, а именно, f d^'1 \Ф@\2 < оо и / d^^'1 \ф(?)\2 < °о- Это
О -оо
те же ограничения, что и в непрерывном случае (см. B.4.6)).
2. При определении фт,п с дискретными обозначениями мы брали
только положительные сжатия а™ (знак то определяет, какое из двух
неравенств а™ ^ 1 или а™ ^ 1 выполнено, при этом а™ > 0 для всех то).
По этой причине формулы C.3.1), C.3.2) разделяют области с положи-
положительными и отрицательными частотами. Если допустить отрицатель-
отрицательные дискретные сжатия, то в этом условии использовалось бы только
оо
выражение / d^ j^l |^(^)|2 (что легко проверить, воспроизведя дока-
— оо
зательство, помещенное выше).
3. Если фт}П образуют жесткий фрейм (А = В), то из C.3.1),
C.3.2) следует
A =
В частности, если фтуП образуют ортонормированный базис в L2(R)
(такой как базис Хаара или другие базисы, с которыми мы встретимся),
то
Доказательство того, что базис Хаара удовлетворяет условию C.3.8),
представляется легким упражнением. Большинство рассматриваемых

110
Глава 3
нами ортонормированных базисов — вещественны, так что первое ра-
равенство из C.3.8) выполняется тривиально.
4. Другое доказательство предложения 3.3.1 приведено Чуй и Ши
в [33]. ?
В дальнейшем ф предполагается допустимой.
3.3.2. Достаточное условие и оценки для границ фрейма
Не при каждом выборе ф, ао, &о мы получаем фреймы вейвлетов,
даже если ф — допустимая. В этом пункте мы получим некоторые
достаточно общие условия на ф, uq, bo, при выполнении которых мы
в самом деле получим фрейм и оценим его границы. С этой целью нам
нужно оценить ^ |(/, фт,п)\2. Имеем
Е К/'
b-1 а-1
E
eiboa™
iez
(по теореме Планшереля для периодических функций)
m,kEZ_
В свою очередь
|Rest(/)| =
2тг v^
d? ЛО /(^
Rest (/)• C-3-9)

3.3. Фреймы вейвлетов 111
00 1/2
]
1/2
1/@ г \к<о\ \ф«с - г\
(здесь мы использовали неравенство Коши-Шварца и сделали замену
переменных ( = ? — 2тгкЬ^1а^т во втором сомножителе)
о Г 7 11/2
I1/2
^С|/(С)|2 5J 1^(асГС)| |^(асГС ~ 2тгЛ;Ьс71)| ^
„ J
-оо '"
(для оценки суммы по т использовали неравенство Коши-Шварца)
._...._... .11/2
где /3(s) = sup Y^i 1^(асГ^I |V'(ao1^ + s)l- Имея C.3.9) и C.3.10), мы
видим, что7
|
кфО
SUP

112 Глава 3
Если правые части C.3.11) и C.3.12) положительны и ограничены, то
фт,п образуют фрейм, C.3.11) дает значение нижней границы для А,
а C.3.12) — значение верхней границы для В. Для этого нам нужно,
чтобы для всех 1 ^ |?| ^ ао (остальные значения ? могут быть сведены
к указанным значениям с помощью умножения на подходящий коэффи-
коэффициент а™; исключение составляет ? = 0, которое образует множество
меры 0 и, таким образом, не учитывается),
Дополнительно функция yj |^(а™?)| |^ЧасГ? + s)l Должна иметь доста-
mEZ
точно быстрое убывание на ос. «Достаточное» во втором условии озна-
означает, что У) \в\ ~г-к) /3( —~г-к )\ сходится и сумма стремится к О
к /0 L V оо / V &о / J
при стремлении &о к 0, что гарантирует доминирование первых членов
из C.3.11), C.3.12) при достаточно малых &о- Тогда ^m,n в самом деле
образуют фрейм. Для выполнения этих условий достаточно потребо-
потребовать, чтобы
• нули ф не «вступали в заговор», т. е.
?(<СОГ^«>о (з.злз)
mEZ
для всех ? ф О,
A + |С|2)/2, где а > 0, 7 > а + I.8 C.3.14)
Такие условия убывания для -ф являются очень слабыми. На прак-
практике мы будем требовать гораздо большего! Если ф — непрерывна
и убывает на оо, то C.3.13) становится необходимым условием: если
для некоторого ?о ф 0 выполняется yj |^(fflcTCo)|2 ^ ?; то можно по-
mGZ
строить такую / ? Ь2(Ш) с нормой, равной единице, что выполняется
Bтг)~1&0 J2 К/: Фт,п)\2 ^ 2е, а А ^ 4тге/&о-9 Если е можно выбрать
как угодно малым, то конечной нижней границы фрейма не существу-
существует. (См. работу Чуй и Ши [33], где доказан более сильный результат:
А ^ -^ yj [Ф{а™0^ ^ -^0 В следующем предложении мы суммируем
"О т
все полученные результаты.

3.3. Фреймы вейвлетов 113
Предложение 3.3.2. Если ф, а0 таковы, что
оо оо
inf V Й«СОГ>0, sup V $(aZO\2<oo, C.3.15)
и если j3(s) = sup5^ |V'(aol^)| |^(acTC+ s)\ убывает, по крайней мере, со
(, m
скоростью A + |s|)~A+?), где е > 0, то существует такое (&о)пор > О,
что фтуП образуют фрейм для любого Ьо < (&о)пор- Следующие выраже-
выражения дают значения границ этого фрейма:
1/2,
I'
Условия на Р и C.3.15) выполняются, если, например, \ф((,)\ ^ С\?\а A +
+ |?|)~7, где а >0, 7> а+1-
Доказательство.
Все необходимые оценки мы уже сделали. Убывание /3 обеспечивает
существование такого (&о)пор, что
если Ьо < (&о)поР- ¦
Мораль этих технических оценок проста: если ф — «приличная»
функция (предполагается разумное убывание по времени и по час-
частоте и выполнение равенства fdxip(x) = 0), то существует целый
спектр ао, Ьо, для которых соответствующие фт,п образуют фрейм.
Поскольку наши условия на ф влекут допустимость ф в смысле гла-
главы 2, то это не удивительно для значений ao, bo, близких 1, 0, соответ-
соответственно: мы уже знаем, что формула B.4.4) верна для всех таких ф,
значит, имеет смысл ожидать, что достаточно хорошая дискретиза-
дискретизация переменных интегрирования не должна слишком испортить про-
процесс восстановления. Удивляет то, что для многих ф, представляющих

114 Глава 3
практический интерес, спектр «хороших» (ао, &о) включает значения,
достаточно далекие от A, 0). Несколько таких примеров мы рассмот-
рассмотрим ниже. Но вначале мы рассмотрим фрейм, двойственный к фрейму
вейвлетов, и обсудим некоторые вариации базовой схемы.
3.3.3. Двойственный фрейм
Как мы видели в § 3.2, двойственный фрейм определяется так:
^Zn = (F*F)-^m,n, C.3.16)
где F*Ff = ^ (/, фт^п) Фт,п- У нас есть явная формула для нахож-
m, n
дения обратного к F*F, которая сходится с экспоненциальной скорос-
оо
тью, т.е. как ^ а" с отношением сходимости а, пропорциональным
п=0
( ^ — 1). Таким образом, полезно иметь границы фрейма Аи В, близ-
близкие друг другу. Тем не менее для C.2.8) в принципе необходимо знать
бесконечное число фт,п- Ситуация не так плоха, как можно было ожи-
ожидать: если ввести обозначение
(Dmf)(x) = a-m/2f(a^mx), (Tnf)(x) = f(x - nb0),
то легко проверить, что для всех / ? Ь2(Ж)
F*FDmf = Dm F*Ff.
Следовательно, (F*F)~1 и Dm перестановочны. В частности, ipm,n =
= DmTnip, тогда
^ -1 Тп
= Dm (F*F)-1 Тпф
или
К сожалению, F*F и Тп не перестановочны, так что нам по-прежнему
необходимо вычислять бесконечно много фо,п- Практический интерес
представляют лишь функции, «живущие» на конечном числе шкал,
где F*F достаточно хорошо аппроксимируется комбинациями

3.3. Фреймы вейвлетов 115
S S (-5 Фшугг) Фт,п (см- пункт о частотно-временной локализа-
т=т0 nGZ
ции, § 3.5). Если а™1~т° — целое, N = а™1""™0, то легко проверить, что
такой усеченный F*F перестановочен с TN. Тогда остается вычислить
лишь N различных фо, п> 0 ^ тг ^ N—1. Однако во многих практических
приложениях это число по-прежнему достаточно велико. Таким обра-
образом, становится особенно выгодно работать с почти жесткими фрей-
мами, т.е. такими, для которых ? -1 < 1: мы можем ограничиться
лишь членом нулевого порядка в формуле восстановления C.2.11), избе-
избежать всех сложностей, связанных с двойственным фреймом и по-преж-
по-прежнему будем иметь высокое качество восстановления произвольной /.
С другой стороны, при специальном выборе ф, ао, &о можно получить
фрейм фтуП, не являющийся близким жесткому фрейму, для которого
все фтуП порождаются одной единственной функцией
фт,п{х) = фт,п{х) = а^т'2 ф(а^тх - п). C.3.17)
В главе 8 мы рассмотрим такой пример — некоторые биортогональные
базисы. Другим примером является ^-преобразование из работы Фра-
зиера и Яверта [82] (см. также работу Фразиера, Яверта и Вайса [83]).
Важно осознать, что фт,п и фтуП могут иметь очень разные свой-
свойства регулярности. Например, существуют фреймы, для которых са-
сама ф принадлежит С°° и убывает быстрее, чем любой обратный по-
полином, в то время как некоторые из фо,п не принадлежат LP для ма-
маленьких р (что предполагает их очень медленное убывание). Пример
Лемарье приведен Добеши во всех подробностях в [54], стр. 988-989.10
Нечто подобное может произойти, даже если все фту п порождены одной
функцией ф: существуют примеры, в которых ф ? Ск (к — произволь-
произвольно большое), а ф не является непрерывной. (Примерами такого рода
являются биортогональные базисы из главы 8, первый пример был по-
построен Чамичаном в [171].) Такое несоответствие можно исключить,
накладывая дополнительные условия на ф, ао и &о (см. Добеши [54],
§II.D.2, стр. 991-992).
3.3.4. Некоторые вариации базовой схемы
Итак, мы не ограничили значения ао ничем, кроме требования
ао > 1. Однако на практике очень удобно иметь ао = 2. Тогда пере-

116
Глава 3
со
соа
it
Рис. 3.2. Частотно-временная решетка для схемы с четырьмя голосами.
В этом случае различные голосовые вейвлеты ф1, ... , ф4 предполагаются
сдвигами одной функции ф* (х) = 2
>B"
ж). Если
(кото-
(которую мы предполагаем четной) имеет пики в окрестности ±wo, то \ф3\ сосре-
сосредоточены возле ±2~"~ >' а>о
ход от одного масштаба к другому означает удваивание или деление
пополам шага сдвига, что намного удобнее, чем использование друго-
другого uq. С другой стороны, мы только что видели, что удобно иметь дело
с фреймами, для которых В/А — 1 <§; 1. Поскольку наши оценки C.3.11),
C.3.12) для А, В дают
2тг х~~^ Л 2
А<
C.3.18)
для всех ? ф 0, тогда эти два требования означают, что сумма
^?)|2 является почти постоянной для ? ф 0, а это очень стро-

3.3. Фреймы вейвлетов 117
roe ограничение на ф, в общем случае не выполняемое. Например, мек-
мексиканская шляпа, функция ф{х) = A — ж2) е~х /2, порождает фрейм
с отношением В/А, которое близко 1 при ао ^ 21/4, но, определенно,
не при ао = 2, потому что амплитуда осциляций ^ \фBт?)\2 явля-
mGZ
ется слишком большой. Чтобы исправить это положение, не слишком
отказываясь от свободы при выборе ф и ее ширины в частотной об-
области, мы можем позаимствовать метод, использованный Гроссманом,
Кронландом-Мартином и Морле, и использовать различные «голоса»
(voices) для октавы (octave). Это подразумевает использование несколь-
нескольких различных вейвлетов, ф1, ... , фы, и рассмотрение фрейма {Фт,^
т, п Е Z, v = 1, ... , N}. Можно повторить анализ из §3.3.2 (см., на-
например, Добеши [54]), приводящий к следующим оценкам для границ
этого многоголосого фрейма:
г JV
2тг
г JV ОО
B=^\ ™V E E 1^B-0|а+Д(^)|, C-3.20)
где
JV
ВД =
= sup
Выбрав ф1, ... , фп с разбросанными поблизости центрами частотной
локализации, быстро убывающие на оо, можно получить В/А — 1 -С 1.
(См. примеры в § 3.3.5.) Частотно-временная решетка, соответствую-
соответствующая такой многоголосой схеме, слегка отличается от рисунка 1.4а. На
рисунке 3.2 приведен пример с четырьмя голосами для октавы. Для
каждого шага сжатия мы находим четыре различных уровня часто-
частоты (соответствующие четырем различным частотным локализациям
За такими системами с несколькими порождающими функциями в современной
литературе закрепились термины мультивейвлеты (базовый случай) и фреймлеты
(линейно зависимые системы). — Прим. ред.

118 Глава 3
ф1, ... , ф4), сдвинутые на один и тот же шаг. Такая решетка выгля-
выглядит как суперпозиция четырех различных решеток типа той, что пред-
представлена на рисунке 1.4а, по-разному вытянутых в направлении частот.
Каждая из четырех подрешеток имеет свою «плотность», что отражает-
отражается в том факте, что обычно ф" имеют разные Х2-нормы. Излюбленным
выбором Гроссмана, Кронланда-Мартина и Морле являются «дробно»
сжатые версии одного вейвлета ф:
ф»{х) = 2-^-^1» ф^-^^х).
(Заметим, что они на самом деле имеют разные ?2-нормы!) В этом слу-
N °° ^ °° ^
чае X) Е \Ф"(^т0\2 становится просто ? \фBт/N^)\2, a этот
=— оо
ряд можно легко сделать почти постоянным, выбрав достаточно боль-
большое N.
Выбор ао = 2 также позволяет модифицировать технику получения
оценок из § 3.2, что может быть полезным во многих примерах. Теперь
вернемся к оценке для Rest(J). Мы можем переписать к ? Z, к ф О
как к = 21Bк' + 1), где / ^ 0, к' Е Z, соответствие к —>¦ (I, к') является
однозначным. Если ао = 2, можно перегруппировать различные члены
и записать
Rest(/) = ^L } I dif(i)f(i + 2ir{2k'+ 1)Ъ0~12-т')х
1=0
Это дает
inf
^ m
I1/2
'>, C.3.21)
_ \ (;n \ (;n / j i
A' = -oo
,1/2'
C.3.22)

3.3. Фреймы вейвлетов
119
где
= sup
C.3.23)
Эти оценки получены Чамичаном. (Все подробности их вывода можно
найти в работе Добеши [54].) Заметим, что j3i, в отличие от /3, по-преж-
по-прежнему содержит фазы ф. В результате оценки C.3.21), C.3.22) зачас-
зачастую являются лучше, чем C.3.11), C.3.12), если ф — не положительная
функция. Если ф — положительная, то C.3.11), C.3.12) могут быть луч-
лучше. Оценки C.3.21), C.3.22) выполняются, если мы имеем только один
голос на октаву. Конечно, они могут быть распространены на многого-
многоголосый случай.
3.3.5. Примеры
А. Жесткие фреймы. Эта конструкция, впервые предложенная
Добеши, Гроссманом и Мейером в [63], приводит к семейству жестких
фреймов вейвлетов. Пусть функция и принадлежит Ск (или С00), дей-
действует из Ш. в Ш. и удовлетворяет условию
JO, если х ^ О,
1 1, если х ^ 1
(см. рис. 3.3). Примером такой функции v из (С1) является
C.3.24)
C.3.25)
Для произвольных ао > 1, &о > 0 мы определим ^±(?) по формуле
О, ? < I или ?, ^ а^1,
sin ?^(-7 tt)L l^€^aol,
L L V ц ftg — 1) / J
L2 \aol(ao — 1)/J
= [lnao]-1/2 <
cos

120
Глава 3
где I = 2?r[&o(fflo ~ -О] 1 и Ф @ = Ф+(~О- На рисунке 3.4 изображена
¦ф+ для ао = 2, &о = 1 и г/ из C.3.25). Легко проверить, что
supp
= (ад — 1)/ = 2тг/&о
где Х(о,оо) — характеристическая функция открытой полуоси @, ос),
т.е. Х(о,оо)(?) = 1) если 0 < ^ < оо, 0 — в противном случае.
О 1
Рис. 3.3. Функция v{x), определенная формулой C.3.25)
О Ал/3 8 яг/3
Рис. 3.4. Функция ф+(?) со значениями ао = 2, &о = 1

3.3. Фреймы вейвлетов
Тогда для любой / ? Ь2(Ж) имеем
121
Е к/.
ап т1ап
а„ т1
1/ЮГ
Аналогично,
КЛ VvJ|2 =
lna°
и
/
^|7(О|2- Следовательно,
{¦0т и?
' п
' ? = + или ~1 является жестким фреймом в Ь2(Ж)
с границей, равной
. Можно изменить конструкцию и получить
фрейм, состоящий из вещественных вейвлетов: ф1= Иеф+= ^[ф+ + ф~]
и ф2 = 1тф+ = -^-.[ф+ — ф~] порождают жесткий фрейм {ф^ п; т,
п ? Z, Л = 1 или 2}. Эти фреймы не являются сдвигами и сжатия-
сжатиями одной функции, что является естественным следствием расцепле-
расцепления положительных и отрицательных частот в этой конструкции. Бо-
Более серьезным возражением против применения этих фреймов является
тот факт, что их преобразования Фурье имеют компактный носитель,
и размер этого носителя относительно мал (для приемлемых uq, bo).
В результате эти вейвлеты численно убывают достаточно медленно:
даже если мы выберем v из С°° так, чтобы ¦0± убывали быстрее любо-
любого обратного полинома
значение См оказывается слишком большим, чтобы быть использован-
использованным на практике. Заметим, что в этой конструкции мы не вводим ни-
никаких ограничений на uq, Ъ$.
Б. Функция — мексиканская шляпа. Функция под названием
мексиканская шляпа является второй производной гауссиана е~х I2.

122
Глава 3
Таблица 3.1
Границы фреймов вейвлетов, полученных из функции мексиканская шляпа
ф(х) = 2/%/Зтг~1^4A — ж2) е~х
N обозначает число голосов.
Параметр сжатия ао = 2 для всех случаев,
N = 1
bo
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
А
13.091
6.546
4.364
3.223
2.001
0.325
В
14.183
7.092
4.728
3.596
3.454
4.221
В/А
1.083
1.083
1.083
1.116
1.726
12.986
n = г
Ьо
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
А
40.914
20.457
13.638
10.178
7.530
4.629
1.747
В
40.914
20.457
13.638
10.279
8.835
9.009
9.942
В/А
1.0000
1.0000
1.0000
1.010
1.173
1.947
5.691
N = 1
bo
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
А
27.273
13.673
9.091
6.768
4.834
2.609
0.517
В
27.278
13.676
9.093
6.870
6.077
6.483
7.276
В/А
1.0002
1.0002
1.0002
1.015
1.257
2.485
14.061
N = 4
Ьо
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
А
54.552
27.276
18.184
13.586
10.205
6.594
2.928
В
54.552
27.276
18.184
13.690
11.616
11.590
12.659
В/А
1.0000
1.0000
1.0000
1.007
1.138
1.758
4.324
Если мы нормируем ее так, чтобы ее Ь2-норма равнялась 1, то получим
V3
Эта функция (и ее сдвиги и сжатия) была изображена на рисунке 1.26.
Если взять один такой рисунок и представить его вращающимся отно-
относительно оси симметрии, получится нечто, похожее на мексиканскую
шляпу. Эта функция популярна в визуальном анализе (по крайней ме-
мере, в теоретической части), где она и была окрещена. В таблице 3.1
помещены границы фреймов для этой функции, вычисленные с помо-
помощью C.3.19), C.3.20) для ао = 2, различных значений Ьо и числа го-
голосов, меняющихся от 1 до 4. Как только мы берем 2 голоса или боль-

3.3. Фреймы вейвлетов 123
ше, фрейм, можно сказать, становится жестким при всех &о ^ 0.75.
Заметим, что &о = 0.75 и (ао)Эфф = \/2 — 1.41 (интуитивно соответ-
соответствующие 2 голосам на октаву) не являются малыми величинами для
мексиканской шляпы: расстояние между максимумом ф и ее нулями —
лишь 1, а ширина горба положительных частот для ф (измеряемая по
формуле [У^(е-<еэфФJШГ] , где ?,фф = jй^\ф{0\2) равна
о о
\/3/2 ~ 1.23. При фиксированном N и bo, малом настолько, что фрейм
является почти жестким, из таблицы видно, что А ~ В обратно про-
пропорциональны bo- Это подтверждает интуитивное предположение о том,
что для жестких фреймов нормированных векторов А = В измеряет
«избыточность» фрейма (см. §3.2), которая в самом деле удваивает-
удваивается, если &о уменьшается вдвое. С другой стороны, значения из таб-
таблицы показывают, что В/А возрастает драматическим образом, если
&о выбрано «слишком большим». Для каждого N последнее из приве-
приведенных значений bo является последним значением (с шагом 0.25), для
которого оценка C.3.19) величины А является положительной. Начиная
с каждого следующего bo, совокупность фт<п, возможно, уже переста-
перестает быть фреймом. Этот резкий переход с ростом bo от приемлемого
фрейма к очень сомнительному фрейму, а затем и вовсе не к фрейму
был впервые подмечен Морле A985, личное общение) и явился одной из
причин более детального математического анализа.
В. Модулированный гауссиан. Эта функция наиболее часто ис-
использовалась Кронландом-Мартином и Морле. Ее преобразованием Фу-
Фурье является сдвиг функции Гаусса, слегка видоизмененной так, что-
чтобы ^@) = 0,
-lit -Их -<р/2 -х*/г C.3.26)
Часто ?о выбирается таким, чтобы отношение наибольшего и следу-
следующего после него максимумов ф приблизительно было }-, т.е. ?о =
= тг[2/1П2]1/2 ~ 5.3364. На практике часто берется ?о = 5. Для та-
такого значения ?о второй член в C.3.26) становится столь малым, что
на практике им пренебрегают. Этот вейвлет Морле является комплекс-
комплексным, хотя в большинстве приложений, в которых он используется, учас-
участвуют лишь вещественные сигналы /. Часто (см., например, Кронланд-

124 Глава 3
Мартин, Морле и Гроссман [93]) вейвлет-преобразование вещественно-
вещественного сигнала с таким комплексным вейвлетом представлено в форме мо-
модуль-фаза, т.е. вместо Re(/, Vm,n),Im(/, фт,п) ПРИВОДЯТСЯ |(/, фт,п)\
и tg [Im(/, ¦0mjra)/Re(/, фт}п)]- Фазовый график особенно подходит
для нахождения сингулярностей (Гроссман и другие [92]). Для вещест-
вещественных / можно использовать /(—?) = /(?), чтобы вычислить границы
фрейма (это аналогично сделанному в §2.4 для вещественной /):
А ll/ll2 ^ J2 К/> V1™,™)!2 ^ B\\f\\2 Для вещественной /,
где
при этом
R =
е=+,-k^O
&(«) = I sup Y, \Ф«О + e*l>(-a™0\ IV>№ + *) + ^(-«CC - *)|-
Конечно, эти рассуждения снова могут быть обобщены на многоголо-
многоголосый случай. В таблице 3.2 приведены границы фреймов для по = 2,
нескольких значений bo и числа голосов, меняющихся от 2 до 4. На
практике количество голосов даже выше.
Г. Пример, который легко реализовать. До сих пор мы не
задавали вопроса о том, как на практике вычисляются коэффициенты
(/, фт^п). Реально / задается не как функция, а как дискретная версия.
Тогда для вычисления интеграла / dx f(x) фт,п требуются квадратур-
квадратурные формулы. Для представляющих интерес мелких масштабов (от-
(отрицательные т с большой абсолютной величиной) вычисления можно
произвести быстро, поскольку в них не участвуют много значений /.
В случае более крупных масштабов мы имеем дело с огромными ин-
интегралами, которые могут значительно замедлить вычисления вейв-
лет-преобразования любой заданной функции. Для работы в режиме

3.3. Фреймы вейвлетов
Таблица 3.2
125
Границы фреймов вейвлетов, полученных из модулированного гауссиана
ф(х) = п-1/4(е-^0Х - е-^'2)е-^'2, где ?0 = тгB/1п2I/2. Параметр сжа-
сжатия ао = 2 для всех случаев, N обозначает число голосов.
N =
bo
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
2
А
6.019
3.009
1.944
1.173
0.486
В
7.820
3.910
2.669
2.287
2.282
В/А
1.299
1.230
1.373
1.950
4.693
N =
bo
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3
А
10.295
5.147
3.366
2.188
1.175
0.320
В
10.467
5.234
3.555
3.002
2.977
3.141
В/А
1.017
1.017
1.056
1.372
2.534
9.824
bo
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
TV = 4
А
13.837
6.918
4.540
3.013
1.708
0.597
В
13.846
6.923
4.688
3.910
3.829
4.017
В/А
1.0006
1.0008
1.032
1.297
2.242
6.732
реального времени особенно хотелось бы избежать вычисления таких
длинных интегралов. Конструкция, направленная на достижение этого,
так называемый «algorithme a trous», из работы Холшнайдера и соав-
соавторов [98], использует интерполяционную технику (подробности я ре-
рекомендую найти в указанной работе). Здесь я предлагаю аналогичный
пример (хотя он не «a trous»), позаимствовав кусочек из кратномас-
штабного анализа и ортонормированных базисов (к которым мы вскоре
придем), т.е. введя дополнительную функцию <р. Главная идея состоит
в следующем: предположим, что существует функция <р такая, что
C.3.27)
C.3.28)

126
Глава 3
в каждом случае число коэффициентов, отличных от нуля, может быть
как угодно большим, но всегда конечным.11 (Такие пары <р, ф имеются
в изобилии; один пример приведен ниже. «Algorithme a trous» соответ-
соответствует специальной <р, для которой Cq = 1, остальные c-in = 0.) Эта <р
имеет интеграл, не равный нулю (а ф имеет нулевой интеграл!), и мы
нормируем ip так, чтобы / dx <р(х) = 1. Даже если <р — не вейвлет, опре-
определим (ртгП(х) = 2~ml2 ipB~mx — п). Мы взяли ао = 2, &о = 1- Ясно,
что
(f, Фт,п) =^2<1к (/, Ут,п+к)-
к
Проблема нахождения вейвлет-коэффициентов сведена к вычислению
(/, ipm^n) (их конечные комбинации дадут (/, фт,п)). С другой сторо-
стороны,
(/> <Pm,n) = —^ z2ck {f, <Pm-l,2n+k),
V2 к
тогда (/, ipm^n) могут вычисляться рекурсивно, начиная с мелких мас-
масштабов (где они легко находятся) и переходя к крупным. Все делается
с помощью простых финитных сверток.
Примером пары функций, удовлетворяющих C.3.27), C.3.28), яв-
является
ф(х) =JV[-| ф + 1) + ф) -\ф- 1)],
что соответствует
Ф) =
ф
-2 ^ х ^ -1,
2,
в противном случае.
Нормировочная константа N взята так, чтобы
= 1, N = 6
На рисунке 3.5а приведены графики ip, ф. Для сравнения на рисунке 3.56

3.3. Фреймы вейвлетов
127
помещены гауссиан и его вторая производная. Ясно, что функция ф
удовлетворяет C.3.27), где d0 = N, d±\ = —N/2, все остальные du = 0,
в то время как
откуда
ф) = ±<рBх + 2) + ±<рBх + 1) + ?
+ \ц>{2х - 1) + \ц>{2х - 2)
или с0 = j, c±i = |, с±2 = jL все остальные с^. = 0. Для такой ф, а0 = 2
и &о = 1? границами фрейма являются Л = 0.73178,1? = 1.77107, В/А =
= 2.42022. Для а0 =2,Ъ0 = 0.5 имеем А = 2.33854, В = 2.66717 и В/А =
= 1.14053 (использование &о = 0.5 означает, что рекурсивная формула,
связывающая фт,п с (рШуП и <?>m;Tl с ^>m_i,n, должна быть видоизме-
видоизменена, но это легко сделать). Здесь мы использовали только один голос.
Конечно, можно выбрать несколько различных ф"', соответствующих
различным dvh, что приведет к многоголосой схеме, близкой к жестким
фреймам.
а) 1
-2-10 1 2
-2-10 1 2
Мексиканская
шляпа
-2
О
Рис. 3.5. Пример, который легко реализовать. Графики ip, ф (а) в сравнении
с гауссианом и его второй производной (б)

128 Глава 3
Этим завершим пункт, посвященный примерам. Другие примеры
приведены Добеши в [54] (включая тот, для которого вместо C.3.11),
C.3.12) следует использовать оценки C.3.21), C.3.22)). Конечно, можно
построить много других примеров. Вейвлеты, использованные Малла и
Жонгом в работе [136], являются еще одним примером того же типа,
что приведен в последнем пункте. В качестве ф они выбрали первую
производную некоторой функции с ненулевым интегралом (так, чтобы
/ йхф(х) = О, но / йххф(х) ф 0).
3.4. Фреймы для оконного преобразования Фурье
Оконное преобразование Фурье из главы 2 тоже можно дискретизи-
ровать. Естественной дискретизацией по из, t для §?'г(х) = егшх g(x — t)
является ш = ти>о, t = nto, где и>о, to > 0 — фиксированные, а то, п
пробегают Z. Тогда получим семейство
gm,n(x)=eim"°xg(x-nt0)
с дискретными индексами. Мы снова ищем ответы на те же вопросы,
что и в случае вейвлетов. Какими нужно выбрать g, ljq, to, чтобы мож-
можно было характеризовать функцию с помощью скалярных произведений
(/) gm,n)^ В каком случае возможно восстановить функцию / численно
устойчивым методом по этим произведениям? Можно ли придумать эф-
эффективный алгоритм для записи / в виде линейной комбинации gm,n?
Ответы снова определяются теми же абстрактными рамками: численно
устойчивое восстановление / по его коэффициентам
gm, n) = Jdx f(x) e~im«°x g(x - nt0)
возможно, только если gm^n образуют фрейм, т.е. если существуют
такие А > 0, В < сю, что
f
dx\f(x)\2
Если gVn, n, образуют фрейм, то любая функция / ? Ь2(Ж) может быть
записана в виде
/= Х)^' gm,n)g^n= ^(f, g^n)gm,n, C.4.1)

3.4. Фреймы для оконного преобразования Фурье 129
гДеЯгщп — векторы из двойственного фрейма. Формула C.4.1) отвечает
на два вопроса: как восстановить / по (/, gm,n) и как записать / в виде
суперпозиции gmyn. Детальный анализ фреймов оконных функций Фу-
Фурье высвечивает некоторые особенности, не характерные для фреймов
вейвлетов, имеющие место вследствие разницы в их построении.
3.4.1. Необходимое условие: достаточно высокая
частотно-временная плотность
Рассуждения из доказательства теоремы 3.3.1 могут быть исполь-
использованы для случая оконного преобразования Фурье (с очевидной моди-
модификацией) для получения оценок
^\\2^В, C.4.2)
справедливых для любого фрейма оконных функций Фурье, с грани-
границами А, В. При этом никакие дополнительные ограничения на g не
накладываются (мы всегда предполагаем g ? L2(M)). Из C.4.2) следу-
следует, что граница любого жесткого фрейма равняется 2тг(о;о^о)~1 (если
мы выберем g с нормой, равной 1). В частности, если gm>п образуют
ортонормированный базис, то cooto = 2тг.
Отсутствие каких-либо ограничений на g в неравенствах C.4.2) по-
похоже на отсутствие условия допустимости для непрерывного оконного
преобразования Фурье (см. главу 2) и весьма отлично от требования
/^ClCl IVKOI2 < °°> накладываемого на материнский вейвлет, необ-
необходимого как для фреймов вейвлетов, так и для непрерывного вейв-
лет-преобразования. Другое отличие случая вейвлетов состоит в том,
что шаги сдвига по времени to и частоте ojq не могут быть произволь-
произвольными: не существует оконных фреймов Фурье для пар Wo, to таких, что
Wo^o > 2тг. И даже больше: если с^о > 2тг, то для любой g E Ь2(Ш) соот-
соответствует / € Ь2(М) (/ ф 0), ортогональная всем gmjn(x) = егть}°хg(x —
— nto)- В этом случае gm^n не образуют фрейма. Более того знания
скалярных произведений (/, gm,n) недостаточно, чтобы определить /.
Таким образом, мы ограничимся Woio ^ 2тг. Для того чтобы иметь
хорошую частотно-временную локализацию, мы даже должны взять
ojoto < 2тг. Заметим, что подобных ограничений не существует в слу-
случае вейвлетов! Мы вернемся к этим условиям в главе 4, где гораздо
более подробно обсудим роль частотно-временной плотности в проти-

130 Глава 3
востоянии фреймов оконных функций Фурье и вейвлет-фреймов. До той
же поры отложим и доказательство необходимости условия cooto < 2тг.
3.4.2. Достаточное условие и оценки для границ фрейма
Даже если cooto ^ 2тг, то gm,n не обязательно образуют фрейм.
Простым контрпримером является g{x) = 1 для 0 ^ х ^ 1, 0 в про-
противном случае. Тогда любая /, определенная на [1, to], ортогональ-
ортогональна всем gm,n, хотя значение loq выбрано малым. В этом примере
ess inf 2D \g{x — nto)\2 = 0. По этой причине gm n не могут быть фрей-
х п
мом. (Нечто подобное происходит в случае вейвлетов, см. § 3.3.)
Вычисления, полностью сходные с проведенными для вейвлетов,
показывают, что
где /3 определяется формулой
/3(s) = supV \ё(х ~ ntv)\ \ё(х -nto + s)\.
x
Так же, как и в случае вейвлетов, достаточно быстрое убывание g ве-
ведет к убыванию /3. Тогда, выбрав loq достаточно малым, можно сделать
второй член в правых частях C.4.3), C.4.4) произвольно малым. Если
ряд Y^, \g{x — nto)\2 ограничен, причем снизу ограничен строго положи-
п
тельной константой (нули g не «вступают в заговор»), то gm,n образуют
фрейм при достаточно малых и>о с границами, данными неравенствами
C.4.3), C.4.4). Точнее, мы имеем следующее предложение.

3.4. Фреймы для оконного преобразования Фурье 131
Предложение 3.4.1. Если g, to такие, что
оо
o<inf4 Y, \g(x ~ nto)\2 > О,
0^t°n=~O° C-4.5)
sup У~] \g(x-nto)\2 < оо,
и если f3(s) = sup J^ \g(x — nto)\ \g(x — nto + s)\ убывает по крайней
мере со скоростью A + |s|)~'1+e\ где е > 0, тогда существует такое
(^о)пор > 0, что gmn{x) = е1тШоХg(x-nto) образуют фрейм для любого
wo < (^о)пор; а правые части C.4.3), C.4.4) являются его границами.
Условия на C и C.4.5) выполняются, если, например, \g(x)\ ^ СA +
+ |ж|)~7, где 7 > 1-
Замечание. В случае оконного преобразования Фурье наблюдается сим-
симметрия под действием преобразования Фурье, отсутствующая в случае вейв-
летов. Имеем
что влечет выполнение C.4.3), C.4.4), даже если мы заменим g, шо, ?о на g,
to, Шй соответственно повсюду в правых частях (включая определение /3).
С использованием этого замечания мы можем вычислить две оценки на А
и В и взять наибольшую для А и наименьшую для В. rj
3.4.3. Двойственный фрейм
Двойственный фрейм снова определяется формулой
Ьтп^п — V / ьтп,пч
где F*F теперь определен так: (F*F)f = ^2 (f, gm,n) gm,n- B этом
m, n
случае легко проверить, что F*F перестановочен со сдвигами по ^о
и с умножениями на еш°х, т.е. если обозначить (Т/)(ж) = /(ж — to),
(Ef)(x) = еш°х/(ж), то выполняется следующее
F*FT = TF*F, F*FE = EF*F.
Следовательно, (F*F)~1 также перестановочен с Е и Г, так что

132
Глава 3
или
где g = (F*F) xg. В отличие от общего случая вейвлетов, двойствен-
двойственный фрейм всегда порожден одной функцией ~g. Это означает, что для
случая оконного преобразования Фурье не важно, чтобы фрейм был
близким жесткому фрейму: если В/А — 1 не является пренебрежимо
малой величиной, ~g вычисляется с большой точностью раз и навсегда,
и работа ведется с двумя двойственными фреймами.
3.4.4. Примеры
А. Жесткие фреймы с носителем, компактным во време-
времени или пространстве. Следующая конструкция Добеши, Гроссмана
и Мейера из [63], аналогичная примеру из §3.3.5.А, приводит к жест-
жестким оконным фреймам Фурье с произвольно высокой регулярностью
при условии u>oto < 2тг. Если supp g С — ^-, ?- , то
= ?
/gZ
iez
Здесь мы воспользовались тем, что ввиду свойств носителя g, для каж-
каждого п свой вклад вносит не более чем одно значение /.
Следовательно,
К/,
\f(x)\2 ? \g(x - nto)\2,

3.4. Фреймы для оконного преобразования Фурье 133
и фрейм является жестким тогда и только тогда, когда J^ \g(x — nto)\2 =
п
= const. Например, если woto Js тг, то мы снова можем начать с функ-
функции v из Ск или С°°, удовлетворяющей C.3.25), и определить
О в противном случае.
Тогда g принадлежит Ск или С°° (в зависимости от выбора ь>), име-
имеет компактный носитель, \\g\\ = 1, a gm,n образуют жесткий фрейм
с границей 2тг(о;о?о)~1 (как следует из C.4.2)). Если с^о < тг, то эта
конструкция может быть легко видоизменена. Эта конструкция приво-
приводит к жесткому фрейму с финитной g. Взяв ее преобразование Фурье,
мы получаем фрейм, для которого оконная функция имеет финитное
преобразование Фурье.12
Б. Гауссиан. В этом случае g(x) = тг~1/4е~ж /2. Дискретные се-
семейства оконных функций Фурье, начиная с гауссиана, широко обсуж-
обсуждались в литературе по многим причинам. Габор [84] предложил исполь-
использовать их для нужд средств связи (он предложил cooto = 2тг, однако, как
будет видно ниже, это не подходящий выбор). Ввиду значимости «кано-
«канонических когерентных состояний» в квантовой механике (см. Клаудер и
Скагерстам [111]), они представляют интерес для физиков. Связь меж-
между гауссовыми когерентными состояниями и пространствами Баргма-
на целых функций позволяет переписать результаты, касающиеся gm^n,
в терминах свойств пространства Баргмана. Используя эту связь с це-
целыми функциями, Баргман и др. в [14] и независимо от них Переломов
в [154] доказали, что Ь2(Ш) натянуто на gm^ n тогда и только тогда, когда
ojoto ^ 2тг. В [11] Бакри, Гроссман и Зак использовали другую технику
и показали, что если cooto = 2тг, то
Ш/1Г
хотя gmyn являются «полным» семейством в том смысле, что L2(M) на-
натянуто на него.13 (Мы увидим в главе 4, что это является прямым

134 Глава 3
следствием выбора cooto = 2тг и регулярности g и g.) Таким образом,
это служит примером такого семейства gm,n, для которого достаточно
знать значения (/, gm,n), чтобы характеризовать функцию / (при усло-
условии, что если (/i, gm,n) = (/2, gm,n) для всех т, п, то /i = /2). Однако
для него не существует численно устойчивой формулы восстановле-
восстановления / по (/, gm^n). В [15], [16] Бастианс построил такую двойственную
функцию 'g, что
/ = ?)</, &»,»>&»,», C-4.6)
m, n
где^т,„(ж) = etmw°xg(x — nt0), однако сходимость в C.4.6) имеет мес-
место только в очень слабом смысле (в смысле распределений см. [103],
[104]), а даже не в слабом ?2-смысле. Фактически сама 'g не принадле-
принадлежит L2(M).
Итак, случай cooto = 2тг абсолютно понятен. Что происходит, ес-
если bJoto < 2тг? В таблице 3.3 приведены значения границ фрейма А,
В и отношения В/А для различных значений с^о? вычисленные по
формулам C.4.3), C.4.4) и аналогичным формулам с использованием g.
Мы обнаруживаем, что gm^n действительно образуют фрейм, даже при
о;о^о/Bтг) = 0.95, хотя отношение В/А становится очень большим, близ-
близким «критической» плотности. Оказывается, когда ^о^о/Bтг) = 1/-/V,
N ? N, N > 1, границы фрейма могут быть также вычислены с помо-
помощью другой техники, которая дает точные значения (с точностью до
ошибки вычисления) вместо нижней и, соответственно, верхней гра-
границ для А, В.14 В таблице 3.3 эти точные значения приведены для
шоЬо/Bтт) = j и i Удивительно, насколько близкими являются наши
границы для А и В (которые, помимо прочего, получены с помощью
неравенства Коши-Шварца и, таким образом, должны быть достаточ-
достаточно грубыми) и точные значения. Подставляя эти значения вместо А
и В в аппроксимационную схему, данную в конце § 3.2, мы можем вы-
вычислить ~g для разных значений Wo, t§. На рисунке 3.6 представлены
графики g'B частном случае, когда шо = to = (А2-7ГI/2, где А принимает
значения 0.25, 0.375, 0.5, 0.75, 0.95 и 1. Функция Бастианса 'g, соот-
соответствующая А = 1 (нижний правый график на рисунке 3.6), должна
вычисляться по-другому, поскольку А = 0 при А = 1. Для маленьких А
фрейм очень близок к жесткому, а сама ~g близка g, что иллюстриру-
иллюстрируется почти гауссовым профилем ~g при А = 0.25. С ростом А фрейм
одновременно становится менее избыточным (что отражает растущий

3.4. Фреймы для оконного преобразования Фурье 135
Таблица 3.3
Значения границ фреймов А, В и отношения В/А для случая g(x) =
= тг/4 ехр(—ж2/2) и различных значений шо, to. При woto = т/2 и тг можно
вычислить точные значения с помощью преобразования Зака (см. Добеши и
Гроссман, [56])
u)Oto = тг/2
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
1
2
2
1
0
co0t0
А
.769
.500
.210
.577
.951
=
3
2
3
3
4
to
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
А
1.203
3.853
3.899
3.322
2.365
1.427
Зтг/4
В
.573
.833
.124
.776
.515
В/А
2.019
1.133
1.414
2.395
4.745
-^-точное
1.221
3.854
3.899
3.322
2.365
1.427
to
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0
1
1
1
0
В
7.091
4.147
4.101
4.679
5.664
6.772
А
.601
.519
.575
.172
.713
-° точное
7.091
4.147
4.101
4.679
5.664
6.772
OJ0t0 :
Л
^¦точное
0.601
1.540
1.600
1.178
0.713
3
2
2
2
3
В/А
5.896
1.076
1.052
1.408
2.395
4.745
= 7Г
В
.546
.482
.425
.843
.387
-^точное
3
2
2
2
3
.546
.482
.425
.843
.387
В/А
5.901
1.635
1.539
2.426
4.752
= Зтг/2
О>? = 1.97Г
. 1Бг>/Л
*° А В В/А
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
0.027
0.342
0.582
0.554
0.393
0.224
0.105
3.545
2.422
2.089
2.123
2.340
2.656
3.014
130.583
7.082
3.592
3.834
5.953
11.880
28.618
to А В В/А
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
0.031
0.082
0.092
0.081
0.055
0.031
2.921
2.074
2.021
2.077
2.218
2.432
92.935
25.412
22.004
25.668
40.455
79.558
максимум амплитуды g) и менее жестким, заставляя g все больше и
больше отклоняться от гауссиана. Поскольку и g, и g убывают быст-
быстрее, чем экспонента, легко получить, исходя из представления gB виде
сходящегося ряда (см. § 3.2), что 'gvi'g имеют также экспоненциальное

136
Глава 3
-10-5 0 5 10 -10-5 0 5 10 -10-5 0 5 10
-10-5 0 5 10 -10-5 0 5 10 -10-5 0 5 10
Рис. 3.6. Функция g двойственного фрейма для гауссиана g и шо = to =
= BтгАI/2, где А = 0.25, 0.375, 0.5, 0.75, 0.95 и 1. С ростом А функция g
все больше и больше отклоняется от гауссиана (отражая возрастание В /А),
ее амплитуда также растет (поскольку убывает А + В). При А = 1 g более не
является интегрируемой с квадратом
убывание, если А > 0. Следовательно, ]?туП имеют хорошие свойства
частотно-временной локализации для всех значений А < 1 на рисун-
рисунке 3.6. При этом поражает, как 'g стремится к патологической функции
Бастианса 'gc ростом А. При А = 1 свойства частотно-временной локали-
локализации перестают выполняться. Ряд графиков на рисунке 3.6 позволяет
выдвинуть гипотезу, впервые сформулированную Добеши и Гроссма-
Гроссманом в [56], что по крайней мере для гауссиана g семейство gmyn явля-
является фреймом, каково бы ни было значение с^о < 2тг. В [54] Добеши
показывает, что это в самом деле имеет место при ^о^о/Bтг) < 0.996.
Эта гипотеза была доказана с использованием методов целых функций
Любарски [131] и независимо Сейпом и Волстеном [161].
Конечно, существует много других возможных популярных канди-
кандидатов на роль оконной функции, но на этом мы завершим свой список
примеров и вернемся к вейвлетам.
3.5. Частотно-временная локализация
Одной из главных причин изучения вейвлет-преобразования (или
оконного преобразования Фурье) явилась возможность с их помощью
получить частотно-временную картинку с хорошими (можно надеять-
надеяться) свойствами локализации по обеим переменным. Несколько раз мы

3.5. Частотно-временная локализация 137
утверждали, что если ф сама хорошо локализована по времени и часто-
частоте, то фрейм, порожденный ф, наследует это свойство. В этом пункте
мы хотим сделать это расплывчатое заявление более четким.
Из соображений удобства предположим \ф\ и \ф\ симметричными
(это выполняется, если, например, ф — вещественна и симметрична.
Хорошим примером является функция мексиканская шляпа).16 Тогда
ф сосредоточена около 0 по времени и ±?0 по частоте (где, например,
оо оо
?0 = / dCC|V'(C)|2/[/ ^? IVKOI2])- Если ф хорошо локализована по вре-
0 О
мени и частоте, то фШг п тоже будут хорошо локализованы вокруг a™nbo
по времени и вокруг ±а^"т?о по частоте. Говоря интуитивно, тогда
(/, фтуП) представляют «информационное содержание» / в окрестнос-
окрестности времени а™п&о и частот ±а^"т?0- Если сама / «существенно локали-
локализована» на двух прямоугольниках в пространстве время-частота, что
означает для некоторых 0 < по < ^i < сю, 0 < Т < сю выполнение
оценок
/ ^A-*)||/||2, C.5.1)
^|/(Ж)|2^A-,5)||/||2, C.5.2)
где 8 — некоторое малое число, то интуитивно кажется, что для вос-
восстановления / с хорошей точностью необходимы лишь те (/, фт,п),
соответствующие т, п, для которых (a™n&o, ±ffl^mCo) лежат внутри
или близко к [—Г, Г] х [—fli, — fio] U [Г2сь ^i]- В следующей теореме
утверждается, что это и в самом деле так, и этим подтверждается на-
наше интуитивное предположение.
Теорема 3.5.1. Предположим, что фтуП(х) = аот ф(а^тх—
— пЪо) образуют фрейм с границами А, В и что выполняются оценки
\ф(х)\^СA+х2Га/2, \ф(О\^С\^A+еГ{0+у)/2 C.5.3)
для некоторых а > 1, /3>0, j > 1. Тогда для любого е > 0 существует
конечное множество Ве(по, fii; Т) С Z2 такое, что для всех / ? Ь2(Ш)

138
Глава 3
1/2
C.5.4)
Замечание.
1. Если / удовлетворяет условиям C.5.1) и C.5.2), то первые два члена
/ R
из правой части C.5.3) ограничены 28 J —г ||/||. Выбор е = S приводит к ||/ —
~ Z) {f, Фт,п)фт,п\\ = ОE).
Рис. 3.7. Множество точек вейвлет-решетки Bs(ilo, fix; Г), необходимое для
приближенного восстановления /, если / главным образом локализована на
[ — Т, Т] по времени и на [ — пг, —п0] U [п0, пг] по частоте

3.5. Частотно-временная локализация
139
2. Если е —> О, то #Be(Qo, fii; Т) —>¦ оо (см. доказательство ниже): абсо-
абсолютная точность достигается, если используется бесконечно много (/, фт,„).
а
Рисунок 3.7 схематически изображает множество Bs(Qo, ^i; T)
для одного частного значения е. Из доказательства будет видно, как
мы получили такую фигуру.
Доказательство.
1. Определим множество Ве следующим образом:
Be(?lo, fii; Т) = {(гп, п) б Z ; то ^ т ^. т\, \пЬо\ ^ пдтТ +1},
где mo, mi и ?, определенные ниже, зависят от по, fii, T и е. Точ-
Точки (а™п&о, =bffl^mCo); соответствующие (т, п) из такого множества, на
самом деле заполняют фигуру, подобную рисунку 3.7.
(т,п)еВс
= sup
= sup
sup
llftll=l
(m,
E
или тУтг
-Рпо,п1)/,фт,п)\]\(Ф^п,Гг)\
Е Е
+ |(A - От)/, фт,п)\] \(Ф^п, h)\, C.5.5)
где мы ввели (Qr/)(a;) = /(ж) для \х\ ^ Т, (Ст/)(ж) = 0 в противном
случае, и (Р^,^/)^) = /(?), еслиП0 < ICI < «ь №о,о1/)АЮ = О
в противном случае. Поскольку "фт,п образуют фрейм с границами
В~х, А~1, мы имеем
или m>mi

140 Глава 3
1/2 , ч 1/2
'(Ek^^>i2)'
| 1/2
-Л1о,П1)/11-
(потому что \\h\\ = 1). Аналогично,
I—г с л
f[ У da;|/(a;)|2J
||
Осталось проверить, что два других члена из C.5.5) могут быть огра-
ограничены С ПОМОЩЬЮ 1/Т?11-Л1ф
3. С помощью того же «приема» Коши-Шварца мы сведем остав-
оставшиеся два члена из C.5.5) к
Г Г I1/2
или m>mi
+ [ Е Е \{Ят!,Фт,п)\2\ ]• (з.5.б)
Таким образом, достаточно показать, что для подходящих niQ, mi, t
каждое из выражений в квадратных скобках меньше, чем Be2 ||/||2/4.
4. С первым членом из C.5.6) мы справимся, используя технику из
доказательства предложения 3.3.2:
o
или m>mi
m<m0
или m>mi
Е
m
Е /

3.5. Частотно-временная локализация
141
E
1/2
или m>mi
X
m<m0
или m>mi
где 0 < Л < 1 выбирается ниже. Поскольку выражение [1 + (и—sJ]~1(l +
+ s2)[l + (и + sJ] ограничено равномерно по и и s, мы имеем
N,-7/2
Подставляя эту оценку в C.5.7), находим
C.5.7) < ^'^2Х/2
m<mo
или m>mi
C.5.8)
Сумма по / сходится, если "f\ > 1, т.е. если Л > 1/7- Например, мы
можем выбрать Л = ^A + 7)- С другой стороны, для Г2о ^ \?,\ ^ ^1
получим
C.5.9)
m>mi
ra>mi

142 Глава 3
C.5.10)
Во всех этих оценках постоянные Cj, возможно, зависят от uq, bo, А, /3
и 7, но не от Г20: ^ъ тпо и "гь Подставляя эту оценку с Л = ^A + 7)
в C.5.8), приходим к
C.5.8) < С
±se*)-ln\L0\ и mo ^
G — I) ln(i?e2/4C7) — lnfii], то получаем искомое:
m<mo n?Z
или m>mi
5. Co вторым членом из C.5.6) дело обстоит проще. Имеем
\nbo\>a~mT+t \nbo\>a~mT+t
Суммирование по п разбивается на две части, п > Ъ0~1(а0~тТ + t) и
n < —bQ1(a0~mT + t). Пусть п\ будет наименьшим целым значением,
превосходящим bo~1{a^mT + t). Тогда
a~m J dx Y. \Ф(а-тх-пЪ0)\2<^
|ж|<Т b>-mT+t
nbo>ao mT+t
00
dx 2_,
— т
(так как \а0 mx-nb0\ =nb0 - а0 тх ^ (п - п\)Ь0 +t + a0 т(Т - х))
<< П \ ЛГ1 i /"+ I 7J, \2l —а ^ у-г j. — 2a
^ О9 ^[1 + (Г + /OoJ J ^L-юГ
/=0

3.5. Частотно-временная локализация 143
С суммой пои< —Ьо(адтТ + t) поступаем так же. Следовательно,
Е Е КОг/, Vm,n)|2^2(m1-m0
mo^m^mi \nbo\>a,-mT+t
что можно сделать меньше, чем Вe2\\f\\2/А, выбрав
t > [8(rai - m0 ^21/2
Этим завершается доказательство. ¦
Оценки для too, toi, t, следующие из этого доказательства, являют-
являются очень грубыми. На практике можно получить гораздо менее грубые
значения, если ф, ф убывают быстрее, чем было заявлено в теореме
(см. Добеши [54], стр. 996).
Для последующего использования оценим фВе(Н0, Hi; T) как
функцию Но, Hi, T и е. Находим
тг
т=то
а-т0 +
^
по — J-
too
С другой стороны, площадь частотно-временной области [—Т, Т] х
х ([-ill, -Но] U [fio, Hi]) равна 4T(fii - fi0). Если По -> 0 и Т, fij -> оо,
то получаем
I- ^'Г' А\' = к Сц b^(ao ~ I) еУ^\ C.5.11)
что не является независимым от е. Мы вернемся к этому в главе 4.
Теорема 3.5.1 говорит, что фрейм, образованный функцией ф, ра-
разумно убывающей по времени и по частоте, на самом деле демонстриру-
демонстрирует свойства частотно-временной локализации, по крайней мере, по отно-
отношению к частотно-временным множествам вида [—Т, Т] х ([—Н\, —Л0]и
U[f2o, Hi])- На практике интерес представляет локализация на многих

144 Глава 3
других множествах. Например, чирп-сигнал интуитивно соответству-
соответствует диагональной области (возможно, искривленной) на частотно-вре-
частотно-временной плоскости, и его восстановление могло бы быть возможным
с использованием лишь таких «/>т,„, Для которых (a™nbo, ±a^~m?o) ле-
лежит в этой или близкой к ней области. Так оно и происходит на прак-
практике (для чирпов и многих других сигналов). Труднее сформулировать
это в виде точной теоремы, в основном, потому что необходимо прий-
прийти к соглашению относительно формализации значения «локализация»
на описанном частотно-временном множестве, когда это множество не
является объединением прямоугольников, как в теореме 3.5.1. Если
мы изберем интерпретацию в терминах операторов L$, определенных
в §2.8 (т.е. / в основном локализована на S, если ||A — Ls)f\\ <?C ||/||),
то теорема является почти тривиальной, если вейвлеты из определе-
определения Ls и из фрейма имеют хорошее убывание. Для любой другой про-
процедуры частотно-временной локализации (например, с использованием
распределений Вигнера или аффинных распределений Вигнера из рабо-
работы Бертрана и Бертрана [23]), мы по-прежнему ожидаем результатов,
сходных с результатами из теоремы 3.5.1, но их доказательство будет
зависеть от выбранной процедуры локализации.
Для оконного преобразования Фурье имеет место абсолютно такая
же теорема о локализации.
Теорема 3.5.2. Предположим, что gm,n(x) = еътшох^х _ п^
образуют фрейм с границами А, В и выполняется
\ё{х)\ ^ са+х2га'2, \ш)\ < са+ега'2
для некоторого а > 1. Тогда для любого е > О существуют такие te,
u>s > 0, что для всех f E L2(R) и всех Т, О, > 0 справедливо следующее
II/-
Чирп-сигнал (от англ. «chirp» — чириканье) — сигнал с частотой, монотонно
меняющейся во времени. — Прим. ред.

3.5. Частотно-временная локализация
145
Доказательство.
1. С помощью приемов из пунктов 2, 3 доказательства теоремы
3.5.1 получим
II/-
E
neZ \тшо\>п+ше
1/2
E E \(QTf,gm,n)\2\ \, C.5.12)
где {QtI)(x) = f(x) для |ж| ^Г, Ов противном случае, и (-Pq/)a(?) =
= /(?) для |^| ^ Г2, 0 в противном случае. Теорема будет получена, если
нам удастся доказать, что два последних слагаемых в C.5.12) могут
быть ограничены величиной В1/2?||/||. Вначале сосредоточим усилия
на последнем слагаемом.
2-Е Е \(QTf,gm,n)\2^^ ЕЕ /
\nt\>T+t lei ^
/(a
a; -
x - nto)\ \g(
(x -
- nt0
) |
2тг
0J0
dx\f(x)
1/2
I dy\f(y)\2
1/2
E

146 Глава 3
\nto\^T+ts |Ж21^-1
,2-, -a/2
щ1-тОо) } a ¦ C.5.13)
Легко доказывается, что вклад для п > гох(Т + ts) в точности рав-
равняется вкладу для п < —t^1^ + ts). Мы можем ограничиться только
отрицательными п за счет множителя 2. Переопределяя у = х— ^-1 для
положительных I, мы видим, что можем ограничиться также и отри-
отрицательными /. Отсюда
C.5.13)
v 2-, -а/2
sup
C.5.14)
Однако для любых //, v > 0 имеем
1=0
(используем а2 + Ь2 ^ ^(а + ЬJ )
Следовательно,
C.5.14)

3.5. Частотно-временная локализация
147
Рис. 3.8. Множество точек решетки Ве, необходимых для приближенного вос-
восстановления с помощью оконного преобразования Фурье функции, локализо-
локализованной в основном на [ — Т, Т] по времени и [ — Q, ?1] по частоте
Пусть п\ будет наименьшим целым числом, превосходящим Т + te.
Тогда
ввиду вычислений, помещенных выше. Собирая все вместе, имеем
Е
C.5.15)
где Сз зависит от шо, to, а и С, но не от Т (или П).

148 Глава 3
3. Аналогичным образом доказывается
\(Pnf,gm,n)\2^CA(l+w2e)-a+1\\f\\2. C-5.16)
Поскольку а > 1, понятно, что при подходящем выборе te, we (не зави-
зависящих от Т или Г2!) C.5.15), C.5.16) становятся меньше, чем Be2 ||/||2/4.
Это завершает доказательство. ¦
Рисунок 3.8 схематически представляет (то, п) такие, что |тоо;о| ^
^ Г2 + ше, \nto\ ^ T + te в сравнении с частотно-временным прямоуголь-
прямоугольником [—Т, Т] х [—П, П]. Очертания «е-множества» отличаются от пред-
представленных на рисунке 3.7.
Снова вычислим число точек в расширенном множестве Ве =
= {(то, п); \пшо\ ^ ft +uje, |nt01 ^ T + tE} с площадью [-Г, Г] х [-П, П]
в пределе для больших Т, Г2:
)
В отличие от вейвлет-случая этот предел не зависит от е. В главе 4 мы
вернемся к обсуждению смысла этого факта.
3.6. Избыточность фреймов
Различные таблицы границ фреймов показывают, что фреймы
(вейвлетов или оконных функций Фурье) могут быть избыточными
(что измеряется, например, как —^—, если фрейм близок жесткому
или если все векторы фрейма нормированы). В некоторых приложени-
приложениях (например, в работе группы из Марселя — см. работы Гроссмана,
Кронланда-Мартина, Торрезани) эта избыточность желательна, пото-
потому что нужны представления, близкие непрерывному преобразованию.
Очень рано Морле заметил (личное общение, 1986), что такая избы-
избыточность также приводит к устойчивости в том смысле, что можно
позволить себе хранить вейвлет-коэффициенты (/, ipm,n) с низкой точ-
точностью (всего лишь пара битов) и по-прежнему восстанавливать / со
сравнительно высокой точностью. Интуитивно можно понимать этот
феномен следующим образом. Пусть (ipj)jej будет фреймом (не обяза-
обязательно фреймом из вейвлетов или оконных функций Фурье). Если этот

3.6. Избыточность фреймов
фрейм является ортонормированным базисом, то
149
является унитарным отображением, и образом Ж под действием F яв-
является 12(J). Если фрейм — избыточный, т.е. tpj не являются неза-
независимыми, то элементы из РЖ являются коррелированными после-
последовательностями, и РЖ = Ran (F) является подпространством /2(J),
меньшим, чем само /2(J). Чем более избыточным является фрейм, тем
«меньше» будет Ran (F). В § 3.2 показано, что в формуле восстановления
используется проекция на Ran(.F). Это можно переписать так:
/ = F* Ff
и F*c = 0, если c±Ran(F). Если (/, <pj) искажены добавлением некото-
некоторых aj к каждому из коэффициентов (например, ошибкой округления),
общее воздействие на формулу восстановления будет выражаться так:
/аппрокс = F* (Ff + а).
Поскольку F* содержит проекцию на Kan(F), компоненты последова-
последовательности а, ортогональные Ran(i^), не вносят вклада, и мы ожидаем,
что величина ||/ — /аппрокс|| будет меньше, чем ||а||. Результат тем бо-
более резко выражен, чем «меньше» Kan(F), т.е. чем более избыточным
является фрейм.
Сделаем это более ясным, используя двумерный фрейм из примера
в § 3.2 и сравнивая его с ортонормированным базисом. Определим щ =
- |и2- Тогда
= A, 0), и2 = @, 1), d = и2, е2 = -^-«1 - |«2, е3 = ^
(«1, иг) образуют ортонормированный базис С2, (ei, ег, ез) — жесткий
фрейм с границей ^. Если добавить о^-е к коэффициентам (/, uj), где
aj — независимые случайные величины с нулевым средним и диспер-
дисперсией, равной 1, тогда ожидаемая ошибка будет
= е2Е
j=i

150 Глава 3
Если добавим ctje к коэффициентам фрейма (/, ej), то найдем
.7 = 1
4.2,
2 , 2
a2 + o3 — a.ia.2 ~ 0:20:3 ~
4.2
что в полтора раза меньше, чем в ортонормированном случае!
Подобные рассуждения могут быть применены к случаю вейв-
лет-фреймов или оконных фреймов Фурье. Чтобы ограничить себя толь-
только конечным числом фт^п или gm,n, предположим, что / «существенно
локализована» на [—Т, Т] х ([—П1; — Г20] U [Г2сь fii]) (случай вейвлетов)
или [—Т, Т] х [—П, П] (случай оконного преобразования Фурье), так что
существует конечное множество ВЕ (см. §3.5), для которого
(Л
(подобное выполняется и для оконного преобразования Фурье). Предпо-
Предположим, что фрейм почти жесткий, т.е. фт,п — А~1-фт,п. Добавление
ат,п8 к каждому (/, фт,п), в предположении, что Е(аШ1„ат.,„.) =
= $тт'$ппЧ Щат,п) = 0, ПрИВОДИТ К
Е
1-2
C.6.1)
(если ||?/>m,n|| = !)• Если мы «удвоим избыточность», поделив Ьо по-
пополам, то новый фрейм снова будет почти жестким (см., например,
C.3.11), C.3.12)) с границей А', вдвое большей. С другой стороны, но-
новое «е-множество» В'е будет содержать вдвое больше элементов. Следо-
Следовательно,
т.е. удвоение избыточности ведет к уменьшению вдвое воздействия
ошибок, добавляемых к вейвлет-коэффициентам. Аналогичные рассуж-
рассуждения могут быть проведены для случая оконного случая Фурье.

3.7. Некоторые заключительные замечания 151
Рассуждения выше являются скорее эвристичными. Существуют
указания на то, что они могут быть значительно усилены: Морле за-
заметил, что на самом деле показатель превышения больше, чем показа-
показатель, получаемый с помощью этих рассуждений. Более того, Мюнх [150]
недавно показал, что для жестких оконных фреймов Фурье с А =
= Bтг)~1о;о^о = N~1, N б N, N > 1, показатель превышения в сравне-
сравнении с ортонормированным случаем на самом деле равен JV~2, a neN~x,
как следовало бы из наших рассуждений. В доказательстве использова-
использовалось, что А — целое, но трудно поверить, что тот же феномен не
существует для нецелого А. Может быть, это также выполняется для
вейвлет-фреймов! Я бросаю это как вызов читателю...
3.7. Некоторые заключительные замечания
В этой главе мы в какой-то степени изучили восстановление / по
последовательности ((/, фт,п))т,пеж, где фт}„(х) = а^т/2 ф(а^тх -
— nbo) (и вариации этого — см. § 3.3.4). Мы видели, что численно устой-
устойчивое восстановление возможно, лишь если фт,п образуют фрейм. Мы
вывели формулу восстановления в случае, когда фШуП является фрей-
фреймом. Однако можно использовать другие формулы восстановления (при
условии, что фт,п действительно образуют фрейм: необходимость это-
этого условия остается!). Завершая эту главу, обрисую подход Малла, ко-
который относится и к проблеме инвариантности смещений.
Дискретное вейвлет-преобразование, каким я описывала его в этой
главе, является весьма не инвариантным под действием смещений. Под
этим я подразумеваю, что две функции могут быть смещенными верси-
версиями друг друга, в то время как их вейвлет-коэффициенты могут очень
различаться. Это уже иллюстрировалось «гиперболической решеткой»17
на рисунке 1.4а, где ось t = 0 играет особую роль. На практике же бес-
бесконечное число масштабов не используется. Очень низкие и очень вы-
высокие частоты обрезаются: используются только то, удовлетворяющие
неравенствам т\ ^ то ^ тоо- Получившаяся обрезанная решетка теперь
является инвариантной под действием смещений на bo2m° (для просто-
простоты выбрали ао = 2). Однако, это значение является большой величиной
в сравнении с шагом дискретизации функции / по времени (в боль-
большинстве приложений / задается своими значениями в точках). Если
/i — смещение / на величину ф nbo2m°, то вейвлет-коэффициенты Д

152 Глава 3
обычно отличаются от коэффициентов /. Даже если смещение равно
nbo2m, пц ^ то ^ то0, то (/ь фт,п) = (/, фт,п-2™-™п), где то ^ то,
но такая формула не может быть написана для то > то. Для некото-
некоторых приложений (в частности, для всех приложений, связанных с «рас-
«распознаванием» /) это действительно может быть проблемой. В первом
приближении решение, предложенное Малла, состоит в следующем:
• Вычисляем все / dx f(x) фB~тх — n2~mbo) = am,n(/) (со специ-
специальной ф, такой, как в §3.3.5 Г, это можно сделать за CJVlogJV опера-
операций, при условии, что / задана N значениями). Этот список коэффи-
коэффициентов инвариантен относительно смещений / на nbo-
• На каждом уровне то оставляем только такие am>n(/), которые
являются локальными экстремумами (как функция от п). Это соответ-
соответствует прореживанию весьма избыточных am>n(/). На практике число
оставленных значений пропорционально числу первоначальных значе-
значений с коэфициентом 2~т. Это примерно то же число, что было полу-
получено ранее для не очень избыточного фрейма, но теперь выбор числа
значений адаптирован к /, а не навязывается заранее гиперболической
решеткой.
Наряду с этим рецептом разложения (описанным здесь в упрощен-
упрощенной форме) Малла предложил и алгоритм восстановления, хорошо ра-
работающий на практике (см. Малла [135]).18 В [136] Малла и Жонг рас-
распространили эту процедуру на двумерный случай для работы с обра-
образами. Один из вариантов трактовки подхода Малла состоит в том, что-
чтобы рассматривать 2~тфB~тх — п2~тЬо) как основополагающий фрейм
(заметим, что нормирующий множитель 2~т при nbo ведет к увеличе-
увеличению числа векторов фрейма на каждом то-уровне). Снова, для сущест-
существования алгоритма восстановления необходимо, чтобы это семейство
удовлетворяло условию C.1.4). Но как только это условие выполняет-
выполняется, можно предложить несколько алгоритмов восстановления. В этом
случае алгоритм Малла с экстремумами определенно является более
замысловатым, чем обычный алгоритм восстановления.
Примечания
1. Если любая / может быть записана в виде такой суперпози-
суперпозиции, то фтуП также называются «атомами», а соответствующие раз-
разложения — «атомарными разложениями». Атомарные разложения (для
многих пространств помимо Ь2(Ж)) давно изучались и использовались

Примечания
153
в гармоническом анализе: см., например, работу Койфмана и Рохбер-
га [47] об атомарных разложениях в пространствах целых функций.
2. Это верно, за исключением очень частного выбора ¦ф. Если фт,п
образуют ортонормированный базис (см. главу 4 и далее), то разложе-
разложение по этому базису дает дискретную формулу обращения.
3. С помощью тождества поляризации (/, g) восстанавливается по
\\f±gl\\f±ig\\:
</, g) = \[\\f + g\\2 + II/ " g\\2 + ill/ + tell* " ill/ " tell2]-
4. Это означает, что для любой возрастающей последовательности
(¦Ai)n€N конечных подмножеств J, стремящихся к J при стремлении п
к ос, т.е. такой, что Jn С Jm, если п ^ то, и (J Jn = J, выполняется
n€N
||F*c — Yl cjfj\\ -^ О ПРИ п -^ °°- Доказательство проводится в два
этапа:
Если «2
по, то величина
jeJni
= sup
11/11=1
1/2
стремится к 0 при по —> оо. Отсюда r\n =
тельность Коши с пределом г\ из L2(E).
• Для такого г/ и любой / б Ь2(Ж),
образует последова-
(г), /> = lim (т)п, /) = lim V Cj(ipj, f) = Vcj(^-, /) = (с, Ff).
n—>oo n—^oo ' * r *
Отсюда г/ = F*c.
5. Это доказывается следующим образом:
• <Д(/ +g),f+g)~ (Д(/ -g),f-g) = 2<Д/,
= 4Re(iZ/, g) (потому что R* = iZ);
+ II/-S-II2
2B + A

154 Глава 3
. |(Д/, g)\ = (Rf, g)WTg)l\(Rf, g)\ = (Rf, (Rf, g)g/\(Rf, g)\)
+ \\(Rf,g)g/\(Rf,g)\\\*]^l^A
• \\R\\= sup ^
11/11=1,|Ы|=1 U + A
6. Интуитивно С можно понимать как «суперпозицию» ядерных
операторов (•, ha'b)hayb ранга 1 с весами с(а, Ъ). Если с интегрируются
по a~2dadb, то индивидуальные следы (•, ha'b)ha'b (все равные 1) с ве-
весами с(а, Ъ) суммируемы, так что вся суперпозиция имеет конечный
след
TrC= f Щ Г dbc(a, Ъ).
о
Эти весьма поверхностные рассуждения можно сделать строгими с по-
помощью рассуждений об аппроксимации.
7. Здесь мы используем понятие «существенной точной нижней
грани» (обозначается ess inf), определяемое так:
ess inf fix) = inf{a; \{y; f(y) ^ all > 0},
X
где \А\ обозначает меру Лебега А С К. Разница между ess inf f(x) и
inf/(ж) состоит в требовании положительности меры: если /@) = 0,
х
f(x) = 1 для всех х ф 0, тогда inf fix) = 0, но ess inf fix) = 1, потому
X X
что / ^ 1, исключая множество меры ноль, которое «не идет в счет». На
самом деле мы могли бы быть педантичными и заменить inf или sup
на ess inf или ess sup в большинстве наших условий, не испортив их,
но обычно этого не стоит делать: на практике выражения, с которыми
мы имеем дело, являются непрерывными функциями, для которых inf
и ess inf совпадают. Для C.3.11) ситуация отличается: даже для очень
гладких ¦ф сумма ^ ^(ясГС)!2 разрывна в ? = 0, потому что гр(О) =
= 0. Для функции Хаара, например, |^>(?)| = 4Bтг)~1/2|?|~1 sin2(?/4)
и Y, IVKOI2 = B7Г)~1; если С Ф 0, 0, если ? = 0. Таким образом,
нам нужно иметь существенную точную нижнюю грань, просто точная
нижняя грань равна нулю.
8. Это условие подразумевает и ограниченность ^ \Ф{а^О\2 и
убывание /3(s):

Примечания
155
sup
<oc
= sup
sup
a{a°
-1
,|24-(T-a)/2
«2)(l
m=0
/2 .
Для первого члена можем использовать, что при |s| > 2 выполняется
+ s
s\ - 1 ^ J|i, и тогда A + |<e + «I2) < 4A + lei2); при
s| ^ 2 верны оценки A + \a,ol(,+s\2)~1 ^ 1 ^ 5A + l^l2). Следователь-
Следовательно, первый член можно ограничить с помощью С"A + |в|2)~(т~а)/2 как
только а > 0, 7 > о.. Для второго члена используем, что sup (l + j/2)[l +
+ (ж — J/J]!! + (ж + J/J] < ос, и ограничиваем сумму с помощью
25 где
_ пр0.
извольное. Поскольку 1
с помощью С""A +
О < р < 7 - а,
откуда
т=0
это выражение можно ограничить
2, если 7 > а. Таким образом, для
если р > 1.
9. Если ^ — непрерывна и убывает на сю, то X^lV'(a™C)|2 непре-
рывна по ?, за исключением ^ = 0. Таким образом, существует а такое,

156 Глава 3
что ^ |'!/'(аог?)|2 ^ 9?' если 1С ~ Со| ^ а- Для а' < а определим функ-
m€Z 2
цию / следующим образом: /(?) = Bа')/2, если |? — ?о| ^ a', /(?) = О
в противном случае. Тогда
? КЛ^п
?
Е B»') /
(для оценки интеграла использовали неравенство Коши-Шварца)
\е
Если |^>(?)| ^ СA + |С|2)~7^2; гДе 7 > 1; то эта бесконечная сумма
равномерно ограничена по ?, и мы можем выбрать а' так, чтобы вся
правая часть неравенства была ^ 2е.
10. Внимание: ошибка в примере на страницах 988-989 в [54]. В фор-
муле для (/ioo)A следует читать (/ioo)A = XI ^'V'jtb откуда заключаем,
что /ioo ^ ЬР(К) для малых р. Я хотела бы поблагодарить Чуй и Ши [33]
за указание на допущенную ошибку.
11. Это слегка отличается от кратномасштабного анализа, где
C.3.27) должно также содержать масштабирующий множитель 2:
к
12. Можно также построить жесткие фреймы, для которых ни g,
ни 'g не имеют компактный носитель. Например, можно построить
жесткий фрейм, в котором и g, и g имеют экспоненциальное убыва-
убывание. Чтобы сделать это, достаточно начать с любого оконного фрейма

Примечания 157
Фурье с оконной функцией g и определить функцию G = (F*F)~1l2g,
TjxeF*F = Y, <•, gm,n)gm,n- Тогда функции Gm,n(x) = eim^xG(x-nt0)
m, n
(с теми же ujq, to, что и для gm,n) образуют жесткий фрейм. На самом
деле,
К/, cm,n)|2 = 5] К/, (i^F)-1/2^)!2 =
m, n m,,n
/, {F*F)-1'2f) =
Точное вычисление С можно провести с помощью разложения в ряд
для (F* F)~xl2, такого же, что и ряд для (F*F)~X в §3.2. Если g-nf
имеют экспоненциальное убывание (в особенности, если g — гаусси-
ан), то полученная G и ее преобразование Фурье имеют также экспо-
экспоненциальное убывание. Подробности, графики примеров, интересные
приложения см. в работе Добеши, Джаффара и Журне [64].
13. Доказательство Бакри, Гроссмана и Зака в [11] использует пре-
преобразование Зака, которое мы вводим и используем в главе 4. Их рас-
рассуждения во всех подробностях приведены Добеши в [54]. Интересно,
что их доказательство можно продолжить и показать, что все Ь2(Ш)
по-прежнему натянуто на gmyn, если изъята одна (любая) из gm,n. Это
не выполняется, если изъяты две функции.
14. Эти точные формулы снова используют преобразование Зака.
Их вывод приведен Добеши и Гроссманом в [56], обзор также помещен
Добеши в [54].
15. В некоторых приложениях результат Бастианса трактуется
(и правильно) в том смысле, что для сохранения устойчивости долж-
должно быть «перенасыщение» (т.е. а^о < 2тг). Тем не менее, даже для
такого «перенасыщенного» режима иногда используется патологичес-
патологическая двойственная функция Бастианса (см., например, у Пора и Зееви
в [156]). Если Woio = 2тг, то gmyn можно разбить на два семейства gm,2n
и gm,,2n+i, каждое из которых может быть рассмотрено как семейство
гауссианов для оконного случая Фурье, одно из семейств порождено са-
самой g, другое — g{x — to)- Для обоих семейств можно выписать плохо
сходящееся разложение C.4.6) (не сходящееся в L2), а любую функцию
можно представить как среднее этих двух разложений. Конечно, это
верно в смысле распределений. На практике, кажется, можно получить

158 Глава 3
разумную сходимость, используя обрезанную версию бастиансовской
g (из личного общения с Зееви A989)). Однако намного лучшая частот-
частотно-временная локализация и, как я подозреваю, лучшая сходимость на
практике достигается при использовании оптимальной двойственной
функции g (соответствующей Л = 0.5 на рисунке 3.6 для этого случая).
16. Конечно, эта симметрия не обязательна.
17. На самом деле это истинная гиперболическая решетка в гипер-
гиперболической геометрии на полуплоскостях и положительной, и отрица-
отрицательной частоты.
18. Заметим, однако, что Мейер недавно доказал, что локальных эк-
экстремумов amyn(f) в вышеописанной конструкции недостаточно, что-
чтобы полностью описать /.

Глава 4
Частотно-временная плотность
и ортонормированные базисы
Эта глава естественным образом разбивается на две части. В пер-
первой части обсуждается роль частотно-временной плотности в проти-
противостоянии вейвлет-преобразований и оконных преобразований Фурье.
В частности, в случае оконных преобразований Фурье ортонормирован-
ные базисы возможны только для плотности Найквиста, но в случае
вейвлетов таких ограничений нет. Это естественным образом приво-
приводит ко второй части, в которой обсуждаются различные возможности
для ортонормированных базисов в обоих случаях.
4.1. Роль частотно-временной плотности для
фреймов вейвлетов и оконных фреймов Фурье
Начнем со случая оконных фреймов Фурье. Мы упоминали в § 3.4.1,
что семейство функций (gm,ni m, n ? Z),
gm,n(x) = eim"oxg(x-nto), D.1.1)
не может быть фреймом при любом выборе g, если uioto > 2тг. На самом
деле, при любом выборе g 6 L2(R) можно найти / 6 Ь2(Ш) такую, что
/ Ф О, но (/, gmtn) = 0 для всех то, п 6 Z. Если, например, и>о = 2тг,
to = 2, то такую функцию / легко построить: (/, gm,n) = 0 для всех то,
neZ дает
1
0= I dx e27rimxf(x)g(x - 2п) = f dx e27rimx ^ f(x + l)g(x + I - 2n),
{ J€Z
{ J€
а этого достаточно, чтобы найти / ф 0, для которой
J€Z
xg(x +1 — 2n) = 0. Теперь для 0 ^ x < 1, / ? Z определим f(x +1) =

160 Глава 4
оо оо
= (-l)lg(x-l- 1). Ясно, что / dx\f(x)\2 = / dx\g(x)\2. Тогда
— оо — оо
/ ? Ь2(Ж) и / ф 0. Однако выражение Y, f(x +l)g(x + l-2n) =
= ХХ~1)' ¦ ё(х — I — l)g(x + I — 2п) становится отрицательным после
подстановки / = 2п — V — 1 и, таким образом, равняется нулю. Подоб-
Подобная конструкция может быть использована для любой другой пары ojq,
to с произведением 4тг. Обобщение этой конструкции существует, если
ojoto > 2тг и B7r)~1wo*o — рациональное (см. Добеши [54], стр. 978).
Если о;о^оBтг)~1 больше 1 и иррационально, то мне не известна явная
конструкция для / ф 0, f±gm,n. Существование такой / было доказано
Риффелом в [157] с использованием алгебр Неймана.1 Если рассмат-
рассматриваются только «достаточно хорошие» g (т. е. g, имеющие некоторое
убывание по времени и частоте), и если мы хотим доказать, что gmyn
не могут образовать фрейм (что слабее, чем существование f±gm,n),
тогда следующие, очень элегантные, рассуждения Ландау дают желае-
мое. Если 1^I ^ C(l+x2)-"/2, \g@\ < СA+е)~а/2, и gm,n образуют
фрейм, то теорема 3.5.2 говорит нам, что функции /, «существенно ло-
локализованные» на прямоугольнике [—Т, Т] х [—П, П] частотно-времен-
частотно-временной плоскости, могут быть восстановлены с точностью до малой ошиб-
ошибки только по (/, gm,n)i Для которого |тоо;о| < fi, |nto| ^ Т. Более точно,
если / имеет полосу ширины [—П, Щ и если
ТО
(figm
В соответствии с этой формулой все такие конструкции можно запи-
записать с произвольной точностью в виде суперпозиции gVn,n, где \m\ ^
^ Wq1^ + S), \п\ ^ ^Х(Т + ё), a S зависит от заданной точности, но
не от Г2 и Т. Однако следствием работы Ландау, Поллака, Слепьяна
(см. §2.3) является факт, что пространство функций с шириной полосы
[-0, п], удовлетворяющих условию / dx\f(x)\2 ^ 711/Ц2 @ < 7 < 1)

4.1. Роль частотно-временной плотности для фреймов 161
АОТ7
7 фиксированное) содержит -= 0(log(QT)) различных ортонорми-
рованных функций (подходящих волновых функций вытянутого сфе-
сфероида). Все эти различные ортонормированные функции можно только
аппроксимировать линейными комбинациями конечного числа gm,n, ес-
если число функций gm,n превышает число ортонормированных функций,
т.е. если 2w-1UT-O(log(UT)) ^ 4wo~1^1(Q + E)(T+E) для любых п, Т.
Переходя к пределу при О, Т —> оо, получаем Bтг)~1 ^ (о^о) или
Wo^o ^ 2тг. (На самом деле это лишь набросок доказательства. Техни-
Технические детали полностью помещены в статье Ландау [118].)
Из практических соображений мы должны ограничиться строгим
неравенством wo^o < 2тг, если хотим иметь хорошую частотно-времен-
частотно-временную локализацию: в предельном случае wo^o = 2тг фреймы заведомо
имеют плохие свойства локализации по времени или по частоте (или по
времени и частоте одновременно). Это составляет содержание следую-
следующей теоремы.
Теорема 4.1.1 (Бальян —Лоу). Если функции gm,n(x) = е27ггтхх
xg(x — п) образуют фрейм для L2(M.), то либо J dxx2\g(x)\2 = оо, либо
22
Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, рассмот-
рассмотрим ее историю и добавим несколько замечаний. Первоначально тео-
теорема формулировалась для ортонормированных базисов (вместо фрей-
фреймов) независимо Вальяном [12] и Лоу [130]. Их доказательства были
очень похожими, но содержали небольшой технический пробел, кото-
который заполнили Койфман и Семмес. После этого доказательство можно
было распространить и на случай фреймов, о чем сообщает Добеши
в [54] стр. 976-977. Затем непохожее, очень элегантное доказательство
было обнаружено Батлом [18]. В [106] Добеши и Янссен обобщили его на
случай фреймов. (Именно это доказательство приводится ниже.)
Двумя хорошо известными примерами функций g, для которых
семейство e27rimxg(x — п) образует ортонормированный базис, являются
f
= \
1, 0<ж<1,
п
0 в противном случае
и g(x) = s™xX¦ В первом случае f d??2\g(?)\2 = оо, во втором —
J dxx2\g(x)\2 = оо. В [107] Йенсен, Хохолд и Юстесен показали, что

162 Глава 4
можно выбрать g с несколько лучшей частотно-временной локализаци-
локализацией: они построили такую g, что обе функции, g и g, являются интегри-
интегрируемыми (т.е. Jdx\g(x)\ < оо, /й?1Ж?I < °°)' но убывают довольно
медленно, как и предписывается теоремой 4.1.1.
Заметим, что выбор ljo = 2тг, to = 1 в нашей формулировке теоре-
теоремы 4.1.1 не является серьезным ограничением: заключение верно для
любых u>oto = 2тг. Чтобы это понять, достаточно применить унитарный
оператор (Uf)(x) = BirLOQ1I/2gBirLOQ1x). Применив U к gm,n(%) =
= eimwoxg(x - nt0), находим (Ugm,n)(x) = e27rimx(Ug)(x - n).
Для доказательства теоремы 4.1.1 используем так называемое пре-
преобразование Зака. Это преобразование определяется формулой:
(Zf)(a, t)=Y,<?*iaf(s-l). D.1.2)
Определение заведомо корректно только для тех /, у которых J^ \f(s—l)\
сходится для всех з, в частности, для |/(ж)| ^ СA + |ж|)~A+е). Однако
оказывается, что такое ограничительное толкование Z можно расши-
расширить до унитарного отображения из L2(R) в ?2([0, I]2). Один из спосо-
способов расширения состоит в следующем:
• Семейство етуП(х) = е2'кгтхе(х — и), где е(х) = 1 для 0 ^ х < 1,
е(х) = 0 в противном случае, образует ортонормированный базис
в Ь2(Ж).
• {Zem>n){s,t)= Y.(?™tl(?*im(s~l)z{s-n-l)=e2*imse-2*itn{Ze){s,t).
i
• (Ze)(s, t) = 1 почти всюду на [О, I]2.
Следовательно, Z переводит ортонормированный базис из L2(№.)
в ортонормированный базис из L2([0, 1]2), так что Z является унитар-
унитарным. Мы можем расширить образ Ь2(Ш) под действием Z до друго-
другого пространства, изоморфного L2([0, 1]2). Из D.1.2) для s, t, взятых
вне [О, I]2, находим
(Zf)(s, t + l) = (Zf)(s, t), (Zf)(s + l,t)= e2™\Zf){s, t).
Теперь определим пространство S":
?Г = {F: M2 -* С; F(s, t + 1) = F(s, t), F(s + 1, t) = e2*uF(s7 t)
l l
|j. = I dt f ds\F(s, t)\2 < oo};
о о

4.1. Роль частотно-временной плотности для фреймов 163
тогда Z устанавливает унитарное соответствие между L2(M.) и 2f'. Об-
Обратное отображение также просто: для любого Fg 2"
1
= f dtF(x, t),
если интеграл корректно определен (в противном случае мы вынужде-
вынуждены применять рассуждения о пределе).
Преобразование Зака имеет много красивых и полезных свойств.
Как обычно и случается с красивыми и полезными понятиями, оно от-
открывалось несколько раз и получало различные имена в соответствии
с областью, в которой впервые было изучено. Оно известно также как
отображение Вейля-Брезина. Утверждается даже, что Гауссу были из-
известны некоторые из его свойств. Гельфанд тоже использовал его. Зак
открыл его независимо от других и систематически изучал вначале для
приложений в физике твердого тела, затем в более широком контексте.
Интересной обзорной статьей, посвященной, в основном, приложениям
в анализе сигналов, является работа Янссена [105].
Здесь мы коснемся лишь двух из множества свойств преобразова-
преобразования Зака. Первое свойство: если gm,n(x) = e27rimxg(x — и), то
(Zgm,n){8, t) = e^imse-^itn(Zg)(s, t)
(как мы уже видели выше, в особом случае g = е). Это влечет
Y^ К/' Sm,n)\2 = Yl KZ-f' ZSm,n)\2 (ВВИДУ унитарности) =
,/,
dte-^mse^nt(Zf)(s,t)(Zg)(s,t)
m,neZ'{
1 1
= j' dsj'dt\(Zf)(s,t)\2\(Zg)(s,t)\2.
о о
Точно так же мы имеем Z(F*F)Z г = умножению на \(Zg)(s, t)\2,
определенному на ^, где F*Ff = ^2 (/, gm,n)gm,n- Второе нужное нам

164 Глава 4
свойство касается отношений между Z и операторами Q, Р, опреде-
определенными так: (Qf)(x) = xf(x), (Pf)(x) = —if'(x) (или, более точно,
(Pf)A(O = ?/(?))• Получается, что
[Z(Qf)](s, t) = s(Zf)(s, t) - A-.dt{Zf){s, t);
это означает J dxx2\f(x)\2 < oo, т.е. Qf б Ь2(Ш) тогда и только тог-
тогда, когда dt(Zf) e L2([0, I]2). Аналогично, /d^2||/(OI|2 < °° или
Pf е Ь2(Ж) тогда и только тогда, когда ds(Zf) е ?2([0, I]2). Теперь
мы готовы приступить к доказательству теоремы 4.1.1.
Доказательство теоремы 4.1.1.
1. Предположим, gm,n образуют фрейм. Поскольку
1 1
? К/, gm,n)\2 = Ids fdt\Zf(s, t)\2\Zg(s, t)\2,
0 0
a Z унитарное, то
0< A^ \Zg(s, t)\2 ^B <oo. D.1.3)
2. Векторы двойственного фрейма задаются формулой
gm,n = (F*F)-1gm,n
(см. §3.2, §3.4.3). Из того, что Z(F*F)Z~1 = умножению на \Zg\2,
следует ^
Zgm,n = \Zg\~2Zgm,n
или
(Zgm,n)(a, t) = \Zg(s, t)\-2e2*imse-2*itn(Zg)(s, t) =
a, t)] ~\ D.1.4)
лежит в ^ вследствие D.1.3). В частности, D.1.4) влечет
3. Теперь предположим, что / dxx2\g(x)\2 < oo, f d??2\g(?)\2 < oo,
т.е. Qg, Pg ? Ь2(Ж). Это приводит к противоречию, которое до-
доказывает теорему. Поскольку Qg, Pg б Ь2(Ш), мы имеем ds{Zg),
dt(Zg) e L2([0, l]2). Следовательно,
dsZg=(Zg)-2^Zg и dtZg
лежат в L2([0, I]2). Тогда Qg, PgeL2(R).

4.1. Роль частотно-временной плотности для фреймов 165
4- (g, gm,n) = (Zg, Zgm,n) =
1 1
= J ds j dt Zg(s, t)~ZgJJJ)e-2*imse2*Hn = Sm0Sn0;
о о
аналогично
(g, gm,n) = Sm0Sn0. D.1.5)
5. Поскольку Qg, Pg e L2(R), a (gm,n)m,nez, (gm,n)m,nez образуют
двойственные фреймы, имеем
(Qg, Pg) = Y,(Qe' gm,n)(gm,n,
m, n
Ho
(Qg, gm,n) = J dxxg(x)e-2*imxg(x-n) =
x)e-27rimx(x - n) g(x -n) =
(ПОТОМУ ЧТО (g, gm^n) = ётОёпО) = (g_m,_n, Qg).
Аналогично, (gm,n, Pg) = (Pg, g-m,-n)- Следовательно,
(Qg, Pg) = ^2(Pg, g-m,-n)(g-m,-n, Qg) = (Pg, Qg), D.1.6)
m, n
где последний член снова корректно определен, поскольку Pg,
Qg?L2(R).
6. Теперь мы получили противоречие: выполнение (Qg, Pg) =
= (Pg, Qg) невозможно. Для любых двух функций Д, /г, удовлетво-
удовлетворяющих \fj{x)\ < СA + ж2), 1/^@1 ^ СA + С2), мы имеем
(Qh,Ph)=
= - j dxi [xf[{x) + h{x)]h{x) = -i(fu f2) + (Pfu Qf2).
С другой стороны, поскольку Pg, Qg e L2(R), существуют gn, удов-
удовлетворяющие \gn(x)\ ^ С„A + ж2), \gn{0\ ^ CA + С2): такие что

166 Глава 4
lim gn = g, lim Pgn = Pg, lim Qgn = Qg. (Для примера возьмем
П>ОО П>ОО П>ОО
gYi = 2 (g, Hk)Hk, где if;, — функции Эрмита.) Похожая последова-
последовало _ _
тельность gn может быть построена для g. Тогда
(Pg-, Qg) = lim (Pgn, Qgn) =
n—too
= lim [{Qgn, Pgn) + i(gn, gn)] = {Qg, Pg) + i(g, g).
n—>oo
Вместе с D.1.6) это дает (g, g) = 0. Однако из D.1.5) мы имеем
(g, g) = 1. Это противоречие доказывает теорему.2 ¦
Таким образом, мы можем суммировать наши находки:
• u>oto > 2тг —> фреймов нет.
• LJoto = 2тг —> фреймы существуют, но они имеют плохую час-
частотно-временную локализацию.
• u>oto < 2тг —> возможны фреймы (даже жесткие) с великолепной
частотно-временной локализацией (см. §3.4.4А).
Это отражено на рисунке 4.1, изображающем три области на
и>о, ^-плоскости. В §3.4.1 отмечается, что ортонормированные бази-
базисы возможны только в «граничном случае» u>oto = 2тг. Ввиду те-
теоремы 4.1.1 это означает, что все ортонормированные базисы вида
{gm,n\ m, n G Ъ\ где gm,n заданы D.1.1), имеют плохую частотно-вре-
частотно-временную локализацию.
На самом деле а^о является мерой «частотно-временной плотнос-
плотности» фрейма, образованного gm,n- Мы можем, например, определить эту
«плотность» так
#{(то, п); (mujp, nt0) € \S}
A->cxd \Xb\
где S — «разумное» множество из М2 (с ненулевой мерой Лебега). Этот
предел не зависит от S и равняется (о^о)- Эта «плотность» так-
также появилась при обсуждении частотно-временной локализации в § 3.5,
см. C.5.17). Ограничение (u>oto)~1 ^ (Зтг) означает, что частотно-вре-
частотно-временная плотность фрейма должна быть, по крайней мере, предельной
плотностью Найквиста (в ее «обобщенной» форме, см. §2.3). На самом
деле теорема 4.1.1 говорит, что мы должны быть строго над предельной
плотностью, если хотим иметь хорошую частотно-временную локали-
локализацию с использованием оконных фреймов Фурье.

4.1. Роль частотно-временной плотности для фреймов
\
нет фреймов при
возможны
хорошие
167
фреймы,если
a)oto=2x: возможны лишь
фреймы с плохой частотно-
временной локализацией
Рис. 4.1. Области u>oto > 2тг, где фреймы невозможны, и u>oto < 2тг, где су-
существуют жесткие фреймы с замечательной частотно-временной локализаци-
локализацией, разделены гиперболой u>oto = 2тг, единственной областью, где возможны
ортонормированные базисы
Теперь вернемся к вейвлетам, для которых ситуация весьма от-
отличается. Оказывается, что «в чистом виде» определения частотно-вре-
частотно-временной плотности для вейвлет-разложений нет. Мы уже встречали пер-
первое указание на это при изучении операторов локализации в § 2.8: для
оконного случая Фурье число собственных значений в области перехода
становится пренебрежимо малым (в сравнении с числом собственных
значений, близких к 1), когда площадь области локализации стремится
к бесконечности, в то время как для случая вейвлетов эти два числа —
величины одного порядка. Это делает невозможным точное сравнение
с предельной плотностью.
Нечто подобное происходит с семейством дискретных вейвлетов.
При обсуждении частотно-временной локализации с помощью фрей-
фреймов в § 3.5 мы видели, что функция, существенно сосредоточенная на
[—Г, Т] х ([—Hi, —&о] х [^0; fii]) частотно-временной плоскости, мо-
может быть аппроксимирована с хорошей точностью конечным числом
вейвлетов. В отличие от оконного случая Фурье, отношение этого чис-
числа к частотно-временной площади 4T(fii — О0) зависит от желаемой
точности аппроксимации (см. C.5.11)), что делает невозможным (как
и в непрерывном случае) точное сравнение с предельной плотностью.
С другой стороны, если мы попытаемся определить аналог D.1.7) для
гиперболических решеток с рисунка 1.4а, то найдем, что

168 Глава 4
#{(то, га); (тш0, nt0) € XS}
(где S выбрано так, чтобы числитель был конечным), не стре-
стремится к какому-либо пределу при Л —>¦ оо. Для S = [-Т, Т] х
x([-2mi, -2mo]U[2mo, 2mi]) иа0 = 2, например, Д5(А) колеблется меж-
между рA - 2m»-mi-1)/(l - 2m°-mi) и 2рA - 2™o-mi-1)/(l - 2m»-mi), где
р зависит от выбранного вейвлета ф. Имеет место скорее этот феномен,
чем отсутствие внутренней частотно-временной плотности для фрейма,
что порождает проблему при подсчете числа вейвлетов, необходимых
для частотно-временной локализации. Поэтому продвинемся несколько
глубже.
Как мы заметили раньше, изначальных ограничений на значения
параметров сдвига и сжатия для фрейма вейвлетов нет: любые ао, &о
могут быть использованы для определения жесткого фрейма с хоро-
хорошей локализацией и по времени, и по частоте для ф (см. §3.3.5.А).
На самом деле из (жесткого) фрейма с параметрами дискретизации
ао, bo мы всегда можем с помощью простого сжатия составить дру-
другой (жесткий) фрейм с параметрами ао, Ь'о (ао то же), где Ь'о —
произвольное.3 Поэтому неудивительно, что мы не имеем изначальных
ограничений на ао, &о- Мы можем избавиться от этой свободы сжа-
сжатия, зафиксировав не только нормировку ф, \\ф\\ = 1, но и потребовав,
чтобы интеграл J d? |CI~1|^'(C)|2 имел заданное значение. Для вещест-
оо
венной ф мы можем, например, потребовать, чтобы / (ft; ?~1|^>(?)|2 =
о J
/^ о
d^ |^|~1|^(^)|2 = 1. Жесткий фрейм, порожденный ф, ограни-
— оо
ченной таким образом, автоматически имел бы границу А = ж
bo In ao
(см. теорему 3.3.1). Сравнение с формулой А = -Щ- для жестких окон-
ШоГо
ных фреймов Фурье наводит на мысль, что, может быть, выражение
(frolnao) могло бы играть роль частотно-временной плотности для
случая вейвлетов. Следующий пример хоронит все надежды в этом на-
направлении. В следующем пункте мы встретимся с примером вейвлета
Мейера ф, для которого преобразование Фурье ф Е Ск имеет компакт-
компактный носитель (к может быть оо, как в § 3.3.5.А; конструкции являются
связанными) и фт,п = 2~т12фB~тх — и), то, п ? Z, образуют ортонор-

4.2. Ортонормированные базисы 169
мированный базис для L2(R). Лишь для этой главы определим
фЬт,п(х)=2-т'2фB-тх-пЬ), D.1.8)
где ф — вейвлет Мейера, a b > 0 — произвольное. Рассмотрим &-зависи-
мые семейства F(b) = {ф1^ п; т, п ? Z}. При изменении b «плотность»
соответствующей решетки тоже меняется. (Заметим, что а и ф оди-
одинаковы для всех F(b)l) Если для вейвлетов выполняется какое-нибудь
представление, сходное с рисунком 4.1, ввиду того, что F(l) является
ортонормированным базисом в Х2(М), мы могли бы ожидать, что L2(№.)
не полностью натянуто на F(b), если b > 1 (векторов «недостаточно»),
и что F(b) не является линейно независимым («слишком много» век-
векторов), если b < 1. Можно даже доказать (см. теорему 2.10 в работе
Добеши [54], позже в этой главе мы тоже приведем набросок доказа-
доказательства), что для некоторого ? > 0 семейство F(b) является базисом
Рисса в Ь2(Ш) для любого b б]1 — е, 1 + е[. Этот пример убедительно
показывает, что применение «частотно-временной интуиции» не всегда
безопасно, если дело касается семейств вейвлетов.
4.2. Ортонормированные базисы
4.2.1. Ортонормированные базисы вейвлетов
Заключение из последнего параграфа кажется весьма отрицатель-
отрицательным для вейвлетов: четкого понятия частотно-временной плотности
нет. В этом параграфе мы сделаем акцент на гораздо более позитивный
аспект: существование ортонормированных базисов вейвлетов с хоро-
хорошей частотно-временной локализацией.
Исторически первым ортонормированным базисом вейвлетов был
базис Хаара, построенный задолго до того, как сформировался термин
«вейвлет». Как мы уже видели в главе 1, базисным вейвлетом является
ф(х) =
1, 0^ж<|,
-1 i < х < 1 D2Л)
О в противном случае.
В § 1.6 мы показали, что фт<п(х) = 2 т/2ф{2 тх — п) образуют орто-
нормированный базис в Ь2{Ш). Функция Хаара не является непрерыв-

170
Глава 4
ной, ее преобразование Фурье убывает лишь как |?| 1, соответствуя
плохой частотной локализации. Тогда может показаться, что этот ба-
базис не лучше, чем оконный базис Фурье
„ (т\ — p2irimx i _ \ /л п О)
где
g{x) =
в противном случае,
который тоже является ортонормированным базисом в L2(R). Однако
базис Хаара уже имеет преимущество, которого нет у данного окон-
оконного базиса Фурье. Оказывается, например, что базис Хаара является
безусловным базисом в ЬР(Ш), 1 < р < оо, а оконный базис Фурье D.2.2)
не является таковым, если р ф 2.4 К этому мы вернемся в главе 9. Для
анализа более гладких функций разрывный базис Хаара подходит плохо.
Базис Литлвуда-Пэли представляет собой ортонормированный ба-
базис вейвлетов с частотно-временными свойствами, противоположными
свойствам базиса Хаара. Для него
в противном случае
или
ф(х) = Gra;)~1(sin27ra; — sinTra;).
Легко проверить, что фт,п(х) = 2~т/21фB~тх — п) на самом деле об-
образуют ортонормированный базис в Ь2(Ж). Имеем ||^>m,n|| = 1 Для всех
то, п ? Ъ и
т, п
1
/
2тг

4.2. Ортонормированные базисы 171
Ввиду предложения 3.2.1 отсюда получаем, что {фт,п] то, n ? Z}—
ортонормированный базис в Ь2(Ш). Функция ф(х) убывает так же плохо
(ф(х) ~ И при х —у оо), как и ортонормированный оконный базис
Фурье, использованный в разложении Шеннона B.1.1); оба имеют за-
замечательную частотную локализацию, поскольку их преобразования
Фурье финитны.
За последние десять лет было построено несколько ортонормиро-
ванных базисов вейвлетов для Ь2(Ш), обладающих лучшими качествами
как базиса Хаара, так и базиса Литлвуда-Пэли: эти новые конструк-
конструкции имеют замечательные свойства локализации и по времени, и по
частоте. Первая из конструкций принадлежит Стромбергу [169]. Его
вейвлеты имеют экспоненциальное убывание и принадлежат Ск (к —
произвольное, но конечное). К сожалению, его конструкция мало за-
замечена к настоящему времени. Следующим примером является базис
Мейера, упомянутый выше ([140]), в котором ф имеет компактный но-
носитель (значит, ф ? С°°) и принадлежит Ск (к — произвольное, может
быть оо). Не зная в то время о конструкции Стромберга, на самом
деле Мейер обнаружил этот базис, пытаясь доказать эквивалент теоре-
теоремы 4.1.1 для вейвлетов, который бы показал невозможность существо-
существования этих замечательных базисов вейвлетов! Вскоре после этого Чами-
чан [171] сконструировал первый пример того, что мы будем называть
биортогональными базисами вейвлетов (см. §8.3). В следующем году
Батл [17] и Лемарье [124], использовав очень разные методы, получили
идентичные семейства ортонормированных базисов вейвлетов с экспо-
экспоненциально убывающей ф б Ск (к — произвольное, но конечное). (Батл
был вдохновлен техникой из квантовой теории поля, Лемарье использо-
использовал некоторые вычисления Чамичана.) Имея похожие свойства, вейвле-
вейвлеты Батла-Лемарье все-таки отличаются от вейвлетов Стромберга. Осе-
Осенью 1986 Малла и Мейер развили понятие «кратномасштабный анализ»,
дав удовлетворительное объяснение всем этим конструкциям и обес-
обеспечив инструмент для построения других базисов. Оставим, однако,

172
Глава 4
это для последующих глав. Прежде чем перейти к кратномасштабному
анализу, сделаем обзор конструкции базиса вейвлетов Мейера.
Конструкция \ф\ схожа с жестким фреймом из § 3.5.5А. Этот фрейм
имеет избыточность 2 (векторов вдвое «больше»). Чтобы избавиться
от этой избыточности, в конструкции Мейера скомбинированы поло-
положительные и отрицательные частоты (пары функций сведены к одной
функции). Чтобы получить ортонормированность, необходимо умелое
манипулирование с фазовыми множителями. Более точно определим ф
так
-l
)],
f
I О
в противном случае,
D.2.3)
где v — функция из С или С°°, удовлетворяющая C.3.25), т.е.
v{x) =
с дополнительным свойством
и{х)
0, если х ^ О,
1, если х ^ 1,
-х) = 1.
D.2.4)
D.2.5)
¦ф имеет ту же гладкость, что и v. На рисунке 4.2 показан вид типичных
v и \ф\. Для доказательства того, что фт,п(х) = 2~т12фB~тх — п)
образуют ортонормированный базис, мы должны лишь проверить, что
О 1 -10 -5 0 5 10
Рис. 4.2. Функции v и ф, заданные формулами D.2.3)-D.2.5)

4.2. Ортонормированные базисы 173
\\ф\\ = 1, а функции ipm,n образуют жесткий фрейм с постоянной фрей-
фрейма 1 (см. предложение 3.2.1).
Имеем
i i
2^-Jds cos2 [|!/(я)] } = ||l + I ds cos2 [!«/(*)] J.
о
} |
о о
Ho
cos2 [!„(*)] = у de cos2 [f K«)] + / ^ cos2 [| (l-^(I-s
1/2 1/2
[f K«
0 0 0
(т. k. v{s + 1/2) = 1 - i/(l/2 - s) из-за D.2.5))
1/2 1/2
= j' ds cos2 [!„(*)] + j' ds' sin2 [|^(S')] = \,
о о
откуда ||^||2 = 1.
\\Ji Vm,nl^
m, n
Чтобы оценить ^ |(/, ^>m,n)|25 используем оценки Чамичана
C.3.21), C.3.22). Вначале докажем, что /31BжBк + 1)) = 0 для всех
к Е Z, т. е. для всех С б Ш
_ C + 27rBfc + l))]=0. D.2.6)
1=0
Ввиду носителя ф, ненулевой вклад в D.2.6) возможен только лишь, ес-
если |2'С| ^ ^ и |2г(С + 2тгB/<; + 1))| ^ ^, что влечет 2'|2fc + l| ^ 8/3. Па-
Парами (/, к), удовлетворяющими этому условию, являются лишь @, 0),

174 Глава 4
(О, —1), A, 0) и A, —1). Рассмотрим к = 0 (для к = — 1 рассуждения
аналогичные). Тогда левая часть D.2.6) превращается в
ф(()ф(( + 2тг) + фB()фB( + 4тг). D.2.7)
Легко проверить, что оба члена из D.2.7) равны нулю, если ( лежит
вне интервала —^ ^ С ^ —?• Для значений ( из этого интервала
О О
( = —Щ- + Щ-а, где 0 ^ а ^ 1, и мы имеем
О О
D.2.7) = е"^2 sin [|i/(l - а)] е^+2-)/2 sin [f К
+ е~* cos [|i/(l - а)] е'«+2^ cos [|
= -cos[|«/(a)] sin[|«/(a)] +sin[|«/(a)] cos[|«/(a)] =
(с использованием D.2.5)) = 0.
Это доказывает равенство D.2.6). С другой стороны, легко проверить,
что Y, \ФBт0\2 = (Зя") Для всех С Ф 0- Тогда из C.3.21), C.3.22) еле-
т
дует, что функции фт,п образуют жесткий фрейм с границей 1. (Ана-
(Аналогичными вычислениями можно доказать, что F(b) (см. конец § 4.1)
образует базис Рисса для L2(R), если Ь близко к I.5)
Такое доказательство того, что вейвлеты Мейера образуют орто-
нормированный базис, опирается на квазичудесные сокращения, ис-
использующие взаимодействие фазы ф и специального свойства D.2.5)
функции и. Используя кратномасштабный анализ, мы будем способны
объяснить большинство этих чудес (см. следующую главу). На рисун-
рисунке 4.3 помещен график ф(х), где v{x) = ж4C5 — 84ж + 70ж2 — 20ж3) для
0 ^ х ^ 1 выбрана из С4~е. Заметим, что даже если v ? С°°, то ф
убывает быстрее любой отрицательной степени, т.е. для всех N ? N
существует такая См < °о, что
\ф{х)\^См(\ + \х\2)-м, D.2.8)
численно ф может убывать довольно медленно (т. е. величина inf {a;
|^(ж)| ^ 0.001||^||l=o для \х\ > а} может быть очень велика, что ука-
указывает на большое значение См из D.2.8)). Экспоненциально убыва-
убывающие вейвлеты Стромберга или Батла-Лемарье имеют более быстрое
численное убывание за счет ухудшения регулярности.

4.2. Ортонормированные базисы
175
1 ¦
-1
Л
-5
Рис. 4.3. Вейвлет Мейера ф(х) для v(x) = ж4C5 - 84ж + 70ж2 - 20ж3)
Что касается ортонормированных базисов, по-видимому, здесь
вейвлеты подходят больше, чем оконные функции Фурье: существуют
конструкции, в которых обе функции ф и ф имеют быстрое убывание,
что полностью противоречит теореме 4.1.1, которая не позволяет хоро-
хорошо убывать одновременно g и g, если g — оконная функция, приводящая
к ортонормированному базису. Если бы я писала эту главу три года на-
назад, возможно, на этом бы я остановилась. Но ситуация не так проста:
за последние несколько лет оконное преобразование Фурье преподнесло
несколько сюрпризов, которые мы кратко обсудим в оставшейся части
этой главы.
4.2.2. Вновь оконное преобразование Фурье: и все-таки
«хорошие» ортонормированные базисы!
Одним из способов, с помощью которого можно было бы попы-
попытаться обобщить оконную конструкцию Фурье и обойти теорему 4.1.1,
является рассмотрение семейств gm,n(x), не порожденных точной час-
частотно-временной решеткой. Это дает возможность маленького маневра:
в [26] Бургейн сконструировал такой ортонормированный базис (gj)jej
для Ь2(Ш), что
f
dx{x-XiJ\gi{x)\2^C,
D-2.9)
равномерно по j e J, где Xj = j dxx\gj(x)\2, ^- = J d?,?,\gj(?,)\2. (За-
(Заметим, что базисы вейвлетов не удовлетворяют такой равномерной

176 Глава 4
оценке.6) Отказ от решеточной структуры, таким образом, допуска-
допускает лучшую локализацию, чем это разрешено теоремой Бальяна-Лоу.
Однако Стегер (личное общение, 1986) доказал, что даже небольшое
улучшение свойств локализации D.2.9) невозможно: Ь2(Ж) не допускает
ортонормированного базиса (gj)jej, удовлетворяющего неравенствам
Jdx(x-XjJ^\gj{x)\2 <: С, J
D-2Л°)
равномерным по j, если е > 0. Поэтому данный подход не может при-
привести к хорошей частотно-временной локализации. Существует другой
способ, с помощью которого мы можем попробовать отойти от реше-
решеточной схемы D.1.1). Заметим, что в D.2.9), D.2.10) «частотно-времен-
«частотно-временная локализация» означает свойства сильного убывания gm,m (gm,n)A
по мере удаления от средних величин хт,п, ?m,n- Это соответствует
картинке, на которой и gm,n, и (gm,n)A имеют существенно один пик.
Вилсон ([186]) предложил вместо этого конструировать ортонормиро-
ванные базисы gm,n типа
gm,n(x)=fm(x-n), то € N, п ? Z, D.2.11)
где fm имеет два пика, расположенных возле Щ- и — Щ-,
D-2.12)
где <р+, (р^ сосредоточены около 0. Это полностью меняет картину.
В [186] Вилсон привел численные свидетельства существования такого
ортонормированного базиса с равномерным экспоненциальным убыва-
убыванием fm и <р+, (р^. В своей численной конструкции он далее «оптими-
«оптимизирует» локализацию, требуя
|то-то'| =
если то — то
> 1 или если
In - га'
> 1.
Салливан и другие [170] представляют рассуждения, объясняющие и су-
существование базиса Вилсона, и его экспоненциальное убывание. В обеих

4.2. Ортонормированные базисы 177
работах присутствует бесконечно много функций у>^, которые стремят-
стремятся к предельной функции <р^ при стремлении m к се.
Мораль конструкции Вилсона в том, что такие ортонормированные
базисы с хорошей фазовой и пространственной локализацией возмож-
возможны, по-видимому, если используются бимодальные функции такие, как
в D.2.13).
Заметим, что многие из наших вейвлет-конструкций, как фрей-
фреймы, так и ортонормированные базисы, встречавшиеся ранее, имеют
эти два пика по частоте (один для ? > О, другой для ? < 0). В случае
фреймов или непрерывного вейвлет-преобразования две области час-
частот могут быть отделены (соответствуя функциям с одним пиком по
частоте, см. §3.3.5.А или B.4.9)), но для ортонормированных базисов
это не кажется справедливым. Позднее мы увидим, что два частот-
частотных пика ф не обязательно симметричны: существует даже пример,
где ||^>||~2 / d? \ф((,)\2 — как УГ0ДН0 малая (но строго положительная)
величина. Однако не существует примера достаточно хорошо локализо-
локализованных функций ф±, имеющих supp (^±) С Ш*1 и таких, что семейство
{Фт,п^ т, п Е Z, е = + или —} образует ортонормированный базис
в Ь2(Ш), соответствующий базису вейвлетов с только одним «пиком»
по частоте. (Точно так же не существует примера достаточно гладкой
функции г/ = ф+ такой, что 2т/2 ехр Bтп 2т п?) г/Bт?), то, п 6 Z, яв-
являются ортонормированным базисом в L2(№,+ ).) Представляется (пока
бездоказательно), что таких базисов не существует.7
Вернемся все-таки к базисам Вилсона. Если отказаться от ограни-
ограничения D.2.13) (если fm, y>j^ имеют экспоненциальное убывание, то эти
величины убывают экспоненциально быстро по |то — т'\, \п — п'\), то
предпосылки Вилсона D.2.11), D.2.12) могут быть значительно упро-
упрощены.
В [64] Добеши, Джафар и Журне предложили конструкцию, в кото-
которой используется только одна функция <р. Точнее, в этой конструкции
определены
gm,n(x)=fm(x-n), га е i\{0}, «eZ, D.2.14)
где
М

178 Глава 4
D.2.15)
? - 4тг) - <р(? + 4тг)]е«/2 и т. д. ...
или J2l+a@ = "^ [<P(Z - 27Г/) + (-1)Z+V(C + 2тг/)]е-«/2,
V2
где I ? N, а = 0 или 1, случай / = О, а = О исключен. Результатом
появления этих фазовых множителей и смены знаков будет
Л (ж) =?(ж),
+ f
V 2
Если перенумеровать gv«,n в D.2.14), определив Gm,n, то 6 N, п 6 Z по
формулам
«0,га = g"l,ra
то
G0,n{x) =ф(х-п), D.2.16)
и для всех / > О
I- { „\ f cos27r/a;, если 1 + п четное,
G,,n{x) = V2<p(x - Ц) { D.2.17)
\ А/ [_ sinzTr/x, если / + п нечетное.
Эта конструкция (как и другие, упомянутые ниже) показывает, что
ключ к получению хорошей частотно-временной локализации (у> мо-
может быть выбрана так, что tp, ф имеют экспоненциальное убывание)
и ортонормированности в рамках оконного подхода Фурье — это ис-
использование синусов и косинусов (взятых попеременно в надлежащем
порядке) вместо комплексных экспонент.
Вернемся к D.2.14), D.2.15) и покажем, что эта конструкция может
привести к ортонормированному базису. Как обычно, нам нужно лишь
оо
проверить, что ||gm,n|| = 1 и X) 2 1С1) gm,n)\2 = \\h\\2- Мы немедленно
m=l п&Ч

4.2. Ортонормированные базисы 179
имеем ||gi,n|| = ||/i|| = |И| и для то > 1
||&»,ПЦ2 = ||/™|Г = ||/2/+<г||2 = (то = 21 + а, I > 0)
4[21И12
(для простоты предполагаем, что ip — вещественная). Тогда ||gVn,n|| = 1
для всех то, и, если
/ d?y>(?) у>(? + 4тг/) = ею. D.2.18)
С другой стороны,
оо оо .
т=1 nGN я? — 1 ""и
Это равняется \\h\\2, если
m=l
После простых манипуляций приходим к равенству
оо
2жк) +
т=1
\ Е
+ \ E()V(C - 2тг/М? + 2тгг + 2тгЛг)[1 - (-1)*]. D.2.20)
Если к = 2к' + 1, то оно сводится к выражению
E(-1)W - 27г/М? + 2тг(/ + 2к' + 1)), D.2.21)
равному нулю, поскольку подстановка /' = — (/ + 2к' + 1) переводит
D.2.21) в то же значение с отрицательным знаком. Если к = 2к', то
D.2.19) сводится к
2тг/ + 4тгк') = Bw)~1Sk'o- D.2.22)

180 Глава 4
Тогда {gm,n; m ? N\{0}, n ? Z} образуют ортонормированный базис,
если <р — вещественная функция, удовлетворяющая D.2.18) и D.2.22).
Заметим, что, интегрируя D.2.22) по ? от 0 до 2тг, автоматически прихо-
приходим к D.2.18), так что в действительности нужно удовлетворить един-
единственное условие D.2.22). Как оказывается, это легко сделать: напри-
например, мы можем взять supp ip С [—2тг, 2тг], так что D.2.22) удовлетворя-
удовлетворяется автоматически для к1 ф 0, и нам нужно лишь проверить равенство
S ?"(? + 2тг/J = Bтг)~1. Это верно, если, например,
ZTT) ' COS TjI
. О в противном случае,
где v из D.2.4). Если v из С°°, то fm убывают быстрее, чем любая
отрицательная степень, но, как и для базиса Мейера, численное убы-
убывание может быть медленным. Более быстрое убывание для fm можно
получить с помощью <р, носитель которой не компактен. Для построе-
построения такой tp, удовлетворяющей D.2.22), мы снова можем использовать
преобразование Зака, нормированное так, что
(Zh)(a, t) = DтгI/2 V e27ritlhDir{s - /)).
' ' j
Нормированное таким образом Z вновь действует унитарно из Х2(М)
в L2([0, 1]2). Нетрудно проверить, что D.2.22) эквивалентно
\(Z<p)(8,t)\a + \(Z<p)(8+±,t)\2=2. D.2.23)
(Все подробности приведены в работе Добеши, Джафара и Журне [64].)
Это приводит к следующей технике конструирования <р.
• Выберем любое h при условии, что
0 < а < \Zh(s, t)\2 + \Zh(s + |, t)\2 < fi < oo. D.2.24)
• Определим ip так:
Z<p{8, t) = V2 ^^ -. D.2.25)
t)\2 + \Zh(s+\,t)\2]

4.2. Ортонормированные базисы
181
1 ¦
-1
1
и
Ш)
1 г ^
If
-4
-2
Рис. 4.4. Функции (риф, соответствующие D.2.25), где h(x) =
= 7Г-1/4ехр(-ж2/2)
Если huh убывают экспоненциально, то, оказывается, <р также убыва-
убывает экспоненциально. На рисунке 4.4 показан график (риф, когда h —
гауссиан. (Гауссианы на самом деле удовлетворяют D.2.24).) Интерес-
Интересно, что D.2.23) в точности эквивалентно требованию, чтобы функции
фт,п(х) = е2™тхф(х-^) или, что то же самое, </>™,п@ = е™*^ - т),
где т, п Е Z, образовывали жесткий фрейм (с избыточностью, необ-
необходимо равной 2) в Ь2(Ж). Конструкция D.2.25) может быть интерпре-
интерпретирована как переход от общего фрейма, порожденного h, к жесткому
фрейму с применением (F*F)~1/2 (см. примечание 11 после главы 3
или работу Добеши, Джафара, Журне [64]). Такой базис Вилсона мож-
можно рассматривать как результат разумного «пропалывания» (жесткого)
фрейма, в котором элементов «вдвое больше».
Возможны многочисленные вариации этой схемы Вилсона. Лаенг
([116]) сконструировал расширение предложенной ранее схемы, в кото-

182 Глава 4
ром не нужна такая регулярность по частоте. Ошер ([8]) переформули-
переформулировал всю конструкцию: начиная непосредственно с D.2.16), D.2.17),
он вывел все результаты без использования преобразования Фурье и по-
построил различные примеры. В частности, он получил примеры, в кото-
которых, если использовать D.2.17), «окно» ф имеет компактный носитель,
что очень полезно для приложений. Эти примеры тоже можно рассмат-
рассматривать как результат «прополки» жестких фреймов с избыточностью,
равной 2, полученных выбором u>oto = т в § 3.4.4.А.
Другие оконные базисы Фурье, использующие косинусы и синусы
вместо комплексных экспонент и приводящие к хорошей частотно-вре-
частотно-временной локализации, были обнаружены Малваром ([138]) и Койфманом
и Мейером ([45]). В работе Малвара снова используются чередующиеся
косинусы и синусы. Он описал приложения своей конструкции к ко-
кодированию речи. «Базис локализованных синусов» Койфмана и Мейера
начинается с разбиения Ж на интервалы
ж= U К' aJ+iL
где a,j < a,j+\ и lim a,j = ±oo. Затем они строят оконные функции Wj,
локализованные около этих Ij = [a,j, Oy+i] и слегка перекрывающиеся
на соседних интервалах,
О ^ Wj(x) ^ 1,
Wj(x) = 1 ДЛЯ CLj + Sj ^ X $С dj+1 — ?j + l)
О ДЛЯ X ^ (lj — Ej ИЛИ X ^ CLj+\ + ?j+l,
здесь предполагается, что ей удовлетворяют условию a,j + Ej ^ aj+i —
— ?j+i для всех j. Более того, требуется, чтобы Wj и Wj-i дополняли
друг друга около ц: Wj(x) = Wj-iBaj — х) и w?(x) + wj_1(x) = 1, если
х — a,j\ ^ ?j. (Все это достигается с помощью гладкой Wj\ например,
/ \ • Г тг (х — аз + ?з М i i ^ i \
можно взять v)j(x) = sin irv[ ^ ) для \х — аЛ ^ ?,¦ и Wj(x) =
\х - ai+i\ ^ ?j+b где v удовлетворя-
удовлетворяет D.2.4) и D.2.5).) Койфман и Мейер ([45]) доказали, что семейство
{v,j,k; j, к б Z}, где
И, h\X) = 1 / Wi\X) Sin 7Г fc + тт ,
J'fcv ; yaj+i-aj зк ' I V 2j aj+1- dj]'

Примечания 183
образует ортонормированный базис в Ь2(Ж), состоящий из функций
с компактным носителем, быстро убывающих по частоте. Этот базис
дополнительно имеет очень интересное свойство: если для любого j Е Ъ
мы определим Pj, ортогональный проектор на пространство, натянутое
на {uj^; к 6 Z} («фактически» Pj является проекцией на [a,j, a,j+i]), то
Pj + Pj+i в точности является оператором проектирования Pj, относя-
относящимся К [dj, CLj+2]. Мы МОГЛИ бы ПОЛуЧИТЬ ЭТО, ВЫбрОСИВ ТОЧКУ CLj+\ ИЗ
нашей «нарезки» Ж (т.е. если бы начали с последовательности И/., а* =
= а,}, для к $С j, Ъ,}. = aft+i для к ^ j' + l). Это свойство дает возможность
разбивать и перегруппировывать интервалы по желанию в зависимос-
зависимости от имеющегося в виду приложения. Очень хорошее обсуждение этой
конструкции, содержащее все детали, проведено Ошером, Вайсом и Ви-
керхаузером в [10].
Таким образом, для ортонормированных оконных базисов Фурье
имеется даже больше, чем это ожидалось лишь несколько лет назад.
Однако ни один из этих базисов не является безусловным базисом для
ЬР(Ж), если р ф 2. Это один пункт, где базисы вейвлетов имеют пре-
преимущество: они оказались безусловными базисами для гораздо боль-
большего семейства пространств, чем даже эти «хорошие» оконные базисы
Фурье. К этому мы вернемся в главе 9.
Примечания
1. В доказательстве Риффела не строится явное выражение для /,
ортогональной всем gm,n- Это является вызовом читателю: найти
(простую) конструкцию f-Lgmyn для всех т, п, произвольных и>о, t0,
где Ljoto > 2тг.
2. Для ортонормированных базисов доказательство будет намного
проще. В этом случае нам не нужно заботиться о преобразовании За-
ка, которое было введено лишь для доказательства того, что если Qg,
Pg E L2, то Qg, Pg E L2 тоже. Для ортонормированных базисов мы
можем начать прямо с пункта 5, установив (Qg, Pg) = (Pg, Qg), что
невозможно по пункту 6. Это и есть оригинальное элегантное доказа-
доказательство Батла из [18].
3. Если функции фт,п{х) = <Цт V)(ao"™a' ~ п^о) образуют (жест-
(жесткий) фрейм, то же верно и для функций ¦(/># п(х) = aQ m'
- пЪ'о), где ф*(х) = (Ьо/

184 Глава 4
4. Следующий пример иллюстрирует это, показывая, что комп-
комплексные экспоненты ехрBтгтж) не образуют безусловного базиса для
Lp([0, 1]), если р ф 2. Можно показать (см. работу Зигмунда [189]), что
n=2
|аз|—s-0
С\х
-3/4
Е-/4^
n=2
C|loga;| < Сх
-2
В обоих случаях х = 0 является наихудшей особенностью, а интегри-
интегрируемость степеней этих функций на [0, 1] определяется их поведением
возле 0. Первая функция принадлежит Lp для р < |, вторая — нет,
О
даже если модули их коэффициентов Фурье совпадают. Это означает,
что функции Bжтх) не образуют безусловный базис для L4/3([0, 1]).
Базис Хаара для интервала [0, 1] состоит из {ip} U {tpm,n; m, n E Z,
т ^ 0, 0 ^ п ^ 2lml — 1}, где <р(х) = 1 на [0, 1]. Этот базис ортонормиро-
ван в Ь2([0, 1]) и является безусловным для Ьр([0, 1]), если 1 < р < сю.
5. Следующие рассуждения являются наброском доказательства
того, что семейство F(b) = {«/>^ п; т, п б Z}, ¦i/^ n определены фор-
формулой D.1.8), образует базис Рисса (т.е. линейно независимый фрейм)
для Ь2(Ж), если Ъ близко 1. Прежде всего, мы по-прежнему можем ис-
использовать C.3.21), C.3.22) для нахождения оценок границ фрейма. Для
Ъ ф 1 выполняется [3iBirBk + 1)/Ь) ф 0, но если Ъ < 2, то только к = 0,
±1, ±2 приводят к ненулевому /3i. При вычислении D.2.6) (где Bк+ 1)
заменено на Bк + 1)/Ь) лишь конечное число / вносит вклад, так что это
выражение тоже непрерывно по Ъ. Следовательно, «остатки» из C.3.21),
C.3.22) — непрерывны по Ь тоже. Так как C.3.21) = C.3.22) = 1, если
Ь = 1, то А > 0, В < сю для Ь из окрестности 1. Осталось доказать, что
V>m,n независимы. С этой целью построим оператор S(b)
Ясно, что 5г(&)«/'т,п = Фт,п- Для Доказательства независимости ф^ п
достаточно доказать, что ||<S(b)/|| ^ С||/|| равномерно по / б Ь2(Ж) для
некоторого С > 0. Но
т, п, т , п
(т, п)ф{т , п)

Примечания
185
Используя, что для \Bjk\ =
j,k
мы получаем
]фк
1/2
B
jk
Зфк
к
Зфк
т',п>
(т',n')jt(m, п)
т',п'
(т ,п')ф{О,п)
- D-2.26)
Ввиду свойств носителя ф, лишь т! = 0, ±1 дают вклад в эту сумму.
Если то' = 0 или —1, то любой выбор п дает тот же результат; если то' =
= 1, то сумма может иметь одно из возможных значений в зависимости
от четности п. С другой стороны, используя убывание |V>(a;)| ^ CjvA +
+ \x?)~N функции ф, легко проверить, что ряд ? \(Фо,п, фЬт\п')\
сходится и непрерывен по Ь для т' = 0, ±1. Следовательно, множи-
множитель ||/||2 в правой части D.2.26) непрерывен по Ъ. Поскольку он равен 1
для 6 = 1, для 6 из окрестности 1 этот множитель больше 1.
6. Они удовлетворяют оценкам
ёх(х-2тпJ\фт,п(х)\2^22тС,
1
}-2я
7. Уже после первого издания этой книги Ошер получил доказа-
доказательство, которое готовится к печати в Comptes Rendus de l'Academie
Scientifique, Paris под названием «II n'existe pas de bases d'ondelettes
regulieres dans l'espace de Hardy Н2(Ж)». Более точно, он доказал, что
для?? е С1 невозможно иметь \r](O\ + W(O\ ^ СA + \ф~а, где а > 1/2.

Глава 5
Ортонормированные базисы вейвлетов
и кратномасштабный анализ
Первые конструкции гладких ортонормированных базисов вейвле-
вейвлетов выглядели чудом, что иллюстрируется доказательством из §4.2.А
того, что вейвлеты Мейера образуют ортонормированный базис. Си-
Ситуация изменилась с появлением понятия кратномасштабного анализа,
сформулированного осенью 1986 Малла и Мейером. Кратномасштабный
анализ обеспечивает естественную базу для понимания базисов вейвле-
вейвлетов и для построения новых примеров. История формулирования поня-
понятия кратномасштабного анализа является прекрасным примером того,
как приложения стимулируют теоретические изыскания. Малла впер-
впервые услышал о базисах Мейера, работая над анализом изображений,
в котором идея изучения изображений одновременно для разных мас-
масштабов и сравнения результатов была популярна многие годы (см., на-
например, работы Виткина ([187]), Барта и Аделсона ([27])). Это подвигло
его к рассмотрению ортонормированных базисов вейвлетов как инстру-
инструмента для математического описания «приращения информации», необ-
необходимого для перехода от грубого приближения к приближению более
высокого разрешения. Такое понимание выкристаллизовалось в концеп-
концепцию кратномасштабного анализа (Малла [132], Мейер [141]).
5.1. Основная идея
Кратномасштабный анализ состоит из последовательности про-
пространств аппроксимации Vj. Более точно, замкнутые подпространст-
подпространства Vj удовлетворяют включениям1
... С V2 С Vx С Vo С V-i С V-2 С ... , E.1.1)
где
j — L [Щ, [оЛ. Z)
П Vj = {0}. E.1.3)

5.1. Основная идея 187
Если через Pj обозначить оператор ортогонального проектирования
на Vj, то E.1.2) гарантирует, что Km Psf = / для всех / ? Ь2(Ж). Су-
j-У — оо
ществует много цепочек пространств, удовлетворяющих E.1.1)-E.1.3),
которые не имеют отношения к «кратномасштабности». Кратномас-
штабность является следствием дополнительного требования
feVj&f{2>-)ev0. E-1.4)
Все эти пространства являются масштабированными версиями цен-
центрального пространства V}. Примером пространств Vj, удовлетворяю-
удовлетворяющих E.1.1)-E.1.4), является
V» = {/ 6 Ь2(Ж): Vfc e Z : / = const}.
[Vk2i(k+1)[
Этот пример мы будем называть кратномасштабным анализом Хаара.
(Он связан с базисом Хаара; см. ниже или главу 1.) На рисунке 5.1
показано, как могут выглядеть проекции некоторой функции / на про-
пространства Хаара Vo, V_i. Этот пример также выявляет другое свойство,
которое мы требуем от кратномасштабного анализа: инвариантность Vo
по отношению к сдвигам на целые числа:
/ е Vo => /(• - п) б Vo для всех п 6 Z. E.1.5)
Вместе с E.1.4) это влечет /(• — 2Jn) ? Vj для всех n?Z, если / ? Vj.
Наконец, мы требуем, чтобы существовала <р Е Vo такая, что
{<Ро,п1 п ? Щ является ортонормированным базисом в Vo, E.1.6)
где для всех j, п б Z ^„(ж) = 2~И2(рB~:>х — п). Вместе E.1.6) и
E.1.4) приводят к тому, что {<pjt„; п ? Z} — ортонормированный ба-
базис в Vj для всех j ? Ъ. Это последнее требование E.1.6) выглядит
несколько более «надуманным», чем остальные. Ниже мы увидим, что
оно может быть значительно ослаблено. В вышеприведенном приме-
примере возможным выбором для <р является характеристическая функция
на [0,1]: <р(х) = 1, если 0 ^ х ^ 1, <р(х) = 0 в противном случае. Мы час-
часто будем называть <р «масштабирующей функцией» кратномасштабного
анализа.2
Основной принцип кратномасштабного анализа таков: для любого
набора замкнутых подпространств, удовлетворяющего E.1.1)-E.1.6),

188
Глава 5
Pro]" /
Рис. 5.1. Функция / и ее проекции на V-i и Vo
существует такой ортонормированный базис вейвлетов {xpj^u'-, h к (z
для L2(M), где ipj,k{x) = 2~j/2^B~jx - к), что для всех / из Ь2(Ж)
E.1.7)
(Pj —ортогональное проектирование на Vj.) Более того, вейвлет ф мож-
можно сконструировать в явном виде. Посмотрим, как это делается.
Для каждого j E Ъ определим Wj как ортогональное дополнение Vj
в Vj-i. Имеем
Vj_1 = Vj®Wj E.1.8)
Vj., если j ф j'. E.1.9)
(Если j > j', например, то Wj С Vj.-LWj..) Следовательно, для j < J
j-j-i
Vj=Vj
E.1.10)
k=o

5.1. Основная идея 189
в котором все подпространства ортогональны. Ввиду E.1.2) и E.1.3)
это влечет
i2W=0Wj, E.1.11)
jez
что означает разложение Ь2(Ж) на взаимно ортогональные подпростран-
подпространства. Более того, пространства Wj наследуют от Vj свойство масшта-
масштабирования E.1.4):
f?Wj& f{V-) ? Wo. E.1.12)
Формула E.1.7) эквивалентна высказыванию, что для фиксированно-
фиксированного j семейство {ipjyu\ к ?Ъ\ образует ортонормированный базис в Wj.
Имея E.1.11), E.1.2), E.1.3), мы автоматически получаем, что весь на-
набор {xl)jtk'i hk ?Ъ\ является ортонормированным базисом для L2(M).
С другой стороны, E.1.12) гарантирует, что если {фо,н\ к ? Ъ\ — орто-
ортонормированный базис в Wo, то {V>j,fc; к ? Z} будет ортонормированным
базисом в Wj для любого j ? Z. Так, наша задача сводится к нахожде-
нахождению такой ф G Wo, что функции ф(- — к) образуют ортонормированный
базис в И^о-
Чтобы построить ф, выпишем некоторые интересные свойства <р
и Wo.
1. Поскольку <р ? Vo С Vj-i, a y_i,n — это ортонормированный
базис в V-i, мы имеем
?> = $^ hn ?>-!,„, E.1.13)
п
где
К = (ip, р_1)П) и ^|Л„|2 = 1. E.1.14)
nez
Мы можем переписать E.1.13) в виде
#с)=>/2$^Лп?>Bа;-п) E.1.15)
либо
4 E.1.16)
сходимость в любой из сумм берется в Ь2-смысле. Формула E.1.16)
может быть переписана как
E-1-17)

190 Глава 5
где
Равенство в E.1.17) выполняется поточечно почти всюду. Как сле-
следует из E.1.14), too — 2тг-периодическая функция, принадлежащая
L2([0, 2тг]).
2. Ортонормальность <р(- — к) приводит к специальным свойствам
для т0. Мы имеем
,о= [dx<p{x)<p{x-k)= [
J J
2тг
откуда
^ 2 1 E.1.19)
i
Подстановка E.1.17) дает при С = ?/2
Разбивая суммирование по четным и нечетным /, используя периодич-
периодичность т0 и еЩе Раз применяя E.1.19), приходим к равенству
|то(С)Г + |"Ю(С + тг)|2 =1 п. в. E.1.20)
3. Теперь охарактеризуем пространство И^о- Включение / б И^о
эквивалентно одновременным включениям / б V-i и fUVo- Так как
/ б V-i, имеем
f =
где /„ = (/, <р-1,п)- Отсюда
# \ Е **/2 E-1-21)
здесь

5.1. Основная идея 191
nif — 2тг-периодическая функция из Ь2([0, 2тг]), сходимость в E.1.22)
выполняется поточечно п. в. Ограничение /_LVo влечет /_1_у>0)*. Для
всех к, т.е.
/
или
2тг
откуда
^/(С+2тг/)^ + 27г/) = 0, E.1.23)
ряды из E.1.23) сходятся абсолютно в Ь1([—тг, тг]). Подставляя E.1.17) и
E.1.21), перегруппируя суммы для четных и нечетных I (что разрешено
делать ввиду абсолютной сходимости), используя E.1.19), приходим к
ТО/(С)О(С) + тЖ + 7Г) ™о(С + тг) = 0 п. в. E.1.24)
Поскольку то (С) и гпо(С + 7Г) не обращаются в ноль одновременно на
множестве ненулевой меры (ввиду E.1.20)), то существует такая 2тг-пе-
риодическая функция А(?), что
E.1.25)
=0п.в. E.1.26)
Последнему уравнению можно придать форму
* E-1-27)
где v — 2тг-периодическая. Подставляя E.1.27) и E.1.25) в E.1.21), име-
имеем
№ = е*'2 то(ф + пН?Ш/2), E.1.28)
где v — 2тг-периодическая.
4. Общий вид E.1.28) преобразования Фурье для / б Wo предпола-
предполагает, что мы берем
E-1.29)

192 Глава 5
в качестве кандидата на роль нашего вейвлета. Выпуская из виду во-
вопросы сходимости, можно переписать E.1.28) как
или
к
Так что ф(-—п) является хорошим кандидатом на роль базиса в Wo- Нам
нужно проверить, что фо,н на самом деле формируют ортонормирован-
ный базис для Wo- Прежде всего, свойства то и ф гарантируют, что
E.1.29) действительно определяет Ь2-функцию, которая ? V-i и 1У0
(ввиду вышеприведенного анализа), так что ф Е Wo- Легко проверить
ортонормированность ф0, &:
2тг
J ахф(х)ф(х-к) = J ^е^\ф(^)\2 = J
Теперь
E.1.19))
= B7Г)-1 п. в. (ввиду E.1.20)).
Откуда j dx ¦ф(х) ф{х — к) = S^o- Для проверки того, что ipo,k действи-
действительно служит базисом для Wo, достаточно показать, что любая / б И^о
может быть записана как
где Y, |7п|2 < сю, или
п
Ш E-1.30)

5.1. Основная идея 193
где 7 — 2тг-периодическая функция и ? L2([0, 2тг]). Вернемся снова
к E.1.28). Имеем /(?) = «/(?) ^(?), где /d? |гу(^)|2 = 2 / d( |A(C)|2. Вви-
0 О
ду E.1.22) получим
о
С другой стороны, ввиду E.1.25),
2тг 2тг
о
Г[|т(^ + тг)|2
= / d? |А(ОГ[|то(? + т)Г + K(?)f ] (используем E.1.26))
О
7Г
= d?\\(?)\2 (используем E.1.20)).
о
Тогда / d?|^(?)|2 = 2тг||/||2 < сю, / имеет вид E.1.30), где j — 2тг-пе-
о
риодическая функция, интегрируемая с квадратом.
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 5.1.1. Если цепочка замкнутых подпространств (Vj)jez
из Ь2(Ж) удовлетворяет условиям E.1.1)-E.1.6), то существует та-
такой ортонормированный базис вейвлетов {ф],к] j, к ? ^} для Ь2(Ж),
что
Pj-г = Pj + ^(-, ф],н)Фз,к- E.1.31)
к
Одним из возможных вариантов построения ф является

194 Глава 5
(то определена с помощью E.1.18), E.1.14)), или, что эквивалентно,
Л
ф(х) = V2 ^(-l)" /i-B-i VBx ~ п)
E-1.32)
(последний ряд сходится в L2-смысле).
Заметим, что ф однозначно не определяется цепочкой кратномас-
штабного анализа и требованием E.1.31): если ф удовлетворяет E.1.31),
то это будет выполняться и для любой ф# вида
Ф*(О=Р(ОШ), E-1-33)
где р — 2тг-периодическая и |р(?)| = 1 п. в.3 В частности, мы можем
выбрать /?(?) = /?о е1тр, где т б Z, |ро| = 1) что соответствует измене-
изменению по фазе и сдвигу на т для ф. Мы используем эту свободу, чтобы
вместо E.1.32) определить
ф= > ?¦„?>_!,„, где gn = (-1)" /i-n+i E.1.34)
n
ИЛИ
ft, = (-l)n/i_n+i+2iv E.1.35)
для подходящего выбора N ? Ъ. Конечно, мы можем взять более
общую р в E.1.33), но обычно мы будем придерживаться E.1.34)
или E.1.35).4
Хотя каждый ортонормированный базис вейвлетов, представляю-
представляющий практический интерес и известный к настоящему времени, свя-
связан с некоторым кратномасштабным анализом, можно сконструировать
«патологическую» ф такую, что ф^\.(х) = 2~И2 фB~Ы — к) образуют
ортонормированный базис в Ь2(Ж), который не выводится из кратно-
масштабного анализа. Следующий пример (Журне) позаимствован из
работы Малла [132]. Определим
в противном случае.

5.1. Основная идея 195
Немедленно получаем ||V>j,fc|| = \\Ф\\ = 1- Более того, 2тг ^ |^B-??)|2 =
з
= 1 п. в. Согласно критерию Чамичана C.3.21)-C.3.22), ф3\к тоже об-
образуют жесткий фрейм с постоянной фрейма, равной 1, при условии,
что
E
+ 27rBfc + 1))) = 0 п. в. E.1.37)
1=0
Легко проверить, что supp ф П [supp ф + Bк + 1Jтг2'] имеет меру ноль
для всех I ^ 0, к б Z, так что E.1.37) на самом деле выполняется. Тогда
из предложения 3.2.1 следует, что ф},к образуют ортонормированный
базис для Ь2(Ж).
Если ф связана с каким-нибудь кратномасштабным анализом, то
E.1.29) и E.1.17) выполняются для соответствующей масштабирую-
масштабирующей функции <р (возможно с дополнительной /?(?), |р(?)| = 1 п. в., из
формулы для ф — см. E.1.33)). Из E.1.20) следует, что тогда
Ш)\2 + Ш)? = \Ш1Щ2, E-1-38)
что влечет для ^ ф 0
С помощью E.1.36) легко проверить, что
/ B7Г)/2, если 0 ^ |СК ^ или тг ^ |?| < ^ или 2тг ^ |^| ^ Щ<,
\<РЮ\={ 7 7 7
^0 в противном случае.
Если бы существовала то, для которой E.1.17) выполнялось для так
определенной <р, мы бы имели |то(?)| = 1 Для 0 ^ |^| ^ 4тг/7. В си-
силу периодичности |?по(?)| = 1 и для 2тг ^ ^ ^ 18тг/7 тоже; откуда
т0 (^) 11 ф(?) | = Bтг)/2 для 2тг ^ f ^ 16тг/7, хотя | ^B^) | = 0 на этом ин-
интервале. Это противоречие доказывает, что такой ортонормированный
базис вейвлетов не порождается кратномасштабным анализом. Заме-
Заметим, что ф имеет очень плохое убывание. Является открытым вопрос,
существует ли «патология» подобного сорта, если потребовать некото-
некоторой гладкости от ф (или убывания от ф).5 Для последующего исполь-
использования заметим, что в терминах hn уравнение E.1.20) может быть

196 Глава 5
переписано так:
^2 hn hn+2k = h,o- E.1.39)
(Это легко получается после явного написания рядов Фурье для
5.2. Примеры
Посмотрим, что для кратномасштабного анализа Хаара дает E.1.34).
В этом случае <р(х) = 1 для 0 ^ х < 1, 0 в противном случае. Тогда
hn = V2 [ dx ip(x) <рBх -п) = <
\ 1/л/2, если п = 0, 1,
О в противном случае.
Следовательно, ф = ^=iy9_lj0 ^=<y?-i,i или
л/2 ' л/2
ф(х) =
1, если 0 ^ х < =,
—1, если ^ ^ х < 1,
О в противном случае.
Мы получили базис Хаара, что не удивительно: в § 1.6 мы уже видели,
что этот базис вейвлетов связан с кратномасштабным базисом Хаара.
Базис Мейера тоже хорошо вписывается в эту схему. Чтобы понять
это, определим <р с помощью
B7Г)/2, |?| < 2тг/3,
27Г/3 ^ |?| ^ 47Г/3,
О в противном случае,
где v — гладкая функция, удовлетворяющая D.2.4) и D.2.5). График ф
приведен на рисунке 5.2. Простым следствием D.2.5) является равен-
равенство ^2 \ф(^ + 2ттк)\2 = B7Г), что эквивалентно ортонормированности
fcez
ip(--k), к б Z (см. § 5.2). Определим Vq как замкнутое подпространство,

5.2. Примеры
197
B/г)
-1/2
-4я-/3 -2я-/3 0 2я-/3 4я-/3
Рис. 5.2. Масштабирующая функция ip для базиса Мейера, где v(x) = ж4C5 —
— 84ж + 70ж — 20ж )
натянутое на это ортонормированное множество. Аналогично опреде-
определим Vj как замкнутое пространство, натянутое на tpj,k> к б Z. Vj удов-
удовлетворяет E.1.1) тогда и только тогда, когда <р ? V-i, т.е. когда сущест-
существует такая 2тг-периодическая функция тоо, интегрируемая с квадратом
на [0, 2тг], что
= mo(t/2)tp(t/2).
В этом частном случае т0 можно легко построить по самой ф: т0 (О =
= л/2тг 53 0B(? + 2тг/)). Она 2тг-периодична, принадлежит L2([0, 2тг]) и
J€Z
(так как [supp ф(-/2)] и [supp ф(- + 4ж1)] не перекрываются, если / ф 0)
(так как л/2тгф(?/2) = 1 для / е supp ^).
Проверку того, что Vj также удовлетворяет свойствам E.1.2), E.1.3),
я оставляю читателю в качестве (легкого) упражнения (E.1.4) и E.1.5)
выполняются тривиально, см. также §5.3.2). Теперь применим E.1.29)
для нахождения ф:
2тг)
- 2тг)]

198
Глава 5
B/г)
-1/2
-1/2 .
-1/2
О
-8/г/З -4/г/З О 4/г/З 8/г/З
Рис. 5.3. Графики для (р((, + 2тг) + ^(^ — 2тг) и (р(^/2) кратномасштабного
анализа Мейера; их произведением является |V>(?)| (см- также рис. 4.2.)
(для всех остальных / носители двух множителей не перекрываются).
Легко проверить (см. также рис. 5.3), что это эквивалентно D.2.3). Фа-
Фазовый множитель е*^/2, который был необходим для «чудесных сокра-
сокращений» в § 4.2, появляется здесь естественным образом как следствие
общего анализа из §5.1.
Перед обсуждением других примеров нам нужно ослабить усло-
условие E.1.6).
5.3. Ослабление некоторых условий
5.3.1. Базисы Рисса масштабирующих функций
Ортонормированность <р(- — к) в E.1.6) может быть ослаблена:
нам нужно лишь, чтобы <р(- — к) образовывали базис Рисса. Следую-
Следующие рассуждения показывают, как построить ортонормированный ба-
базис <у9#(- — к) для Vq, имея базис Рисса {ip(- — к); к ? Ъ\ в Vq. Функции

5.3. Ослабление некоторых условий
199
<р(- — к) являются базисом Рисса в Vq тогда и только тогда, когда Vq
натянуто на них и для любой (ck)kez ? 12{1>)
ск ip(- - к)
E.3.1)
где А > О, В < сю не зависят от с& (см. предварительные сведения).
Но
2тг
2тг
1 /"
так что E.3.1) эквивалентно
0< (гтг)-1^^ ^
<ооп.в.
E.3.2)
Поэтому можем определить lyj* e L2(M) с помощью
/2
E-3.3)
Ясно, что ^2 |^*(^ + 2тг/)|2 = B7т) п. в. Это означает, что tp^(- — к)
i
являются ортонормированными. С другой стороны, пространство Vo, ,
натянутое на tp^(- — к), определяется формулой
v0* = if; f = Е/*?>*(• - "), (ftUez e /2(Z)| =
= {/;/ = *yi?*; ^ — 2тг-периодическая,гу е L2([0,2tt])} =

200 Глава 5
= v\(p, v\ — 2тг-периодическая, v\ ? L2([0, 2тг])}
(используем E.3.2) и E.3.3))
= Vo (так как <р(- — п) — базис Рисса в Vo).
5.3.2. Использование масштабирующей функции в качестве
отправной точки
Как описано в § 5.1, кратномасштабный анализ состоит из цепочки
пространств (Vj)jgz и специальной функции <р Е Vo, для которых вы-
выполняются E.1.1)-E.1.6) (причем E.1.6) может быть ослаблено, как
в §5.3.1). Конструкцию также можно начать с выбора подходящей
масштабирующей функции (scaling function) ip: Vo можно построить
из <р(- — к), а затем образовать и все другие V}. Эта стратегия во-
воплощается во многих примерах. Более точно, мы выбираем <р, чтобы
выполнялось соотношение
Y,n), E.3.4)
П
где ЕЫ2 < оо, и
^ 2 ^/3<оо. E.3.5)
Затем определяем V} как замкнутые подпространства, натянутые на
ipjtk, к е Z,rnetpjtk(x) = 2~i/2 tpB-ix-k). Условия E.3.4) и E.3.5) яв-
являются необходимыми и достаточными для того, чтобы {<fj,k; к Е Ъ\
являлись базисом Рисса для каждого V}, а V} удовлетворяли «свойству
цепочки» E.1.1). Следовательно, V} удовлетворяет E.1.1), E.1.4), E.1.5)
и E.1.6). Чтобы удостовериться, что мы имеем кратномасштабный ана-
анализ, нужно проверить, выполняются ли E.1.2) и E.1.3). Это является
целью двух следующих предложений.
Предложение 5.3.1. Допустим, что <р ? L2(M) удовлетворяет
E.3.5). Определим V} = Span{^j;fc; к € Ъ\. Тогда f| V} = {0}.

5.3. Ослабление некоторых условий 201
Доказательство.
1. В силу E.3.5) <y?o,fc образуют базис Рисса для Vq. В частности,
они образуют фрейм для Vo, т.е. существуют такие А > 0, В < ос, что
для всех / е Vo
Л|1Л|2^ЕК-/^од}|2^НЛ|2 E.3.6)
fcez
(см. предварительные сведения). Vj и tpj^ являются образами Vo и <po,k
под действием унитарного отображения (Djf)(x) = 2~^2 fB~^x), сле-
следовательно, для всех f & Vj
с теми же А, В, что и в E.3.6).
2. Теперь возьмем / € |"| Vj. Пусть е > 0 будет произвольно ма-
jez
лым.Существует такая непрерывная / с компактным носителем, что
||/~/IU2 ^ ?- Если обозначить через Pj ортогональный проектор на Vj,
то
откуда ^
для всех j € Z. E.3.8)
,1/2
з. ||Р,-Л1^л-1/2|? к/, v,..fc)p| и
1 2
ft
J
' выбрано так, чтобы отрезок [—R, R]
содержал компактный носитель /)
J dx\<pB-*x-k)\
У dy\v(y)\2,
E.3.9)

202 Глава 5
здесь Snj = (J [к — 2~iR, к + 2~iR\, a j предполагается большим на-
настолько, чтобы выполнялось 2~J_R ^ i
4. Мы можем переписать E.3.9) в виде
Х)К/, fj,k)\2 < 2ДЦ/Ц1» J dylxMHv)?, E-3.10)
где Xj — характеристическая функция Srj, т.е. Xj(y) = 1; ес~
ли у € Sfl,j, Х?(у) = 0' если 2/ ^ ^я,,?- Для 2/ ^ ^ мы, очевидно, имеем
Xj(j/) —>¦ 0 при j —>¦ сю. Тогда из теоремы об интегрируемости предела
следует, что E.3.10) стремится к 0 при j —у ос. В частности, сущест-
существует такое j, что E.3.9) ^ е1 А. Совмещая это и E.3.8), находим, что
Ц/11 ^ 2е. Поскольку изначально е было произвольно малым, / = 0. ¦
Этим доказывается, что E.1.3) выполнено. Для E.1.2) мы вводим
дополнительное предположение, что ф ограничена и J dx <р(х) ф 0.
Предложение 5.3.2. Допустим, что <р € Х2(М) удовлетворя-
удовлетворяет E.3.5) и, дополнительно, ф(?) ограничена для всех ? и непрерывна
в окрестности ? = 0, причем ф@) ф 0. Пусть Vj определены выше.
Тогда (J V,- = Ь2(Ж).
Доказательство.
1. Мы снова используем E.3.7), где А, В не зависят от j.
2. Возьмем / € ( (J Vj)±. Зафиксируем произвольно малое е > 0.
Существует функция / из С°° с компактным носителем такая, что
II/ ~ /||i2 ^ ?- Следовательно, для всех J = — j € Z выполняется
\\P-jf\\ = \\Pj\\ = \\Pj(f- /)|| (так как Pjf = 0) < е. E.3.11)
С другой стороны, в силу E.3.7),
"~ /, <p-j,k)\2. E.3.12)
3. С помощью обычных манипуляций (см. главу 3) мы получаем
v-J,u)\2 =
= 2^ [dt\ip{2-Jt)\2 \f\2+R, E.3.13)

5.3. Ослабление некоторых условий 203
где
/ d? 1/@1 I/(? + 2J 2тг/)| |^B-
<
Так как / из С00, мы можем найти такую С, что
|/@К СA + |?|2Г3/2- E.3.14)
Следовательно,
I2)
+ ^2 z2^-7)-1/2 / dc (i + ICI2)
(дважды используем, что sup A + 2/2)[1 + (ж —2/J]~1[1 + (ж+2/J]~1< сю)
^C~J. E.3.15)
4. Собирая E.3.12), E.3.13), E.3.14) и E.3.15) вместе, находим
< ^2 + С'2-7- E.3.16)
Так как <р(?) равномерно ограничена и непрерывна в ? = 0, левая часть
из E.3.16) сходится к 2тг|^@)|2||Л||2 (по теореме об интегрируемости
предела) при J —>¦ ос. Следовательно,
IU*
E.3.17)
здесь С не зависит от е. Неравенство E.3.17) в сочетании с ||J—/| \L2 ^ e
дает
Величина е выбрана произвольно малой, значит, / = 0.

204 Глава 5
Замечание.
1. Если на f наложены несколько более сильные условия, то предложе-
предложения 5.3.1 и 5.3.2 могут быть доказаны при помощи простых оценок. В ра-
работе Мичелли [145], например, эти же заключения выведены при условии,
что if — непрерывная и удовлетворяет неравенству |уз(ж)| ^ СA + la;!)"^,
^2 f(x ~ 0 = const ф 0, что влечет и if ? L1, и J dx if(x) ф 0.
2. Дополнительное условие непрерывности ф в 0 из предложения 5.3.2 не
является необходимым. Ниже приводим пример кратномасштабного анализа,
для которого масштабирующая функция не является абсолютно интегриру-
интегрируемой. Пусть VjM, ifM, фм являются, соответственно, пространствами крат-
кратномасштабного анализа, масштабирующей функцией и вейвлетом для базиса
вейвлетов Мейера, при этом v 6 С°° (см. § 5.2). Пусть Н является преобра-
преобразованием Гильберта, (#/)л(?) = /(?), если ? ^ 0, (#/)Л(?) = -/(?), если
? < 0. Определим V} = HVjM, if = HipM. Так как преобразование Гильбер-
Гильберта является унитарным и перестановочно с масштабированием и сдвигами
(по ж), V} по-прежнему образуют кратномасштабный анализ, а функции ipo,k
формируют ортонормированный базис в Vb- Но ip не является непрерывной
в 0. Поскольку 0 ^ supp('0M), функция ф = (Нфм)А принадлежит С°° и
имеет компактный носитель, то сама ф принадлежит С°° и быстро убывает.
Таким образом, это является примером очень гладкого хорошо убывающего
вейвлета, порожденного кратномасштабным анализом с плохо убывающей ip.6
Заметим, что ipM и if удовлетворяют E.1.17) с одинаковой то. Это показы-
вет, что с„ из E.3.4) или, эквивалентно, то не определяют if единственным
образом и что убывание с„ при |п| —> оо не гарантирует убывания f.7
3. Если if ограничена и непрерывна в 0, то условие ^@) ф 0 необходимо
в предложении 5.3.2. Это можно рассматривать следующим образом. Возьмем
/ G ?2(R), f фО, при этом supp /С [-R, R], R<oo. Если |J Vj = ?2(R), то
/ = lim P-jf. Ho
J—?OO
\\P-jf\\2 ^ A-^K/, f-j,u)\2 ^ A
k
как и в E.3.13). Поскольку ip — непрерывна, первый член стремится
к Л 2тг|^@)|2 ||/||2 при J —> оо по теореме об интегрируемости предела.
Второй член может быть ограничен в точности, как и в E.3.15), так что он
стремится к нулю при J —>¦ оо. Следовательно,
II/H2 = lim \\P-jf\\2 ^ 2тгА-1
3—»оо
II/H ф 0, отсюда ?@) ^ 0.

5.3. Ослабление некоторых условий 205
4. Можно использовать рассуждения из пунктов 3 и 4 для доказательства
оценки |^@)|2 ^ В/27Г. В самом деле, имеем
вц/112 ^ B\\p_jf\\2 ^ J2 К/' ^-^I2 = 27Г [*? I^B"JOI21/(C)|2 + R,
где |Д| можно ограничить величиной C2~J для хороших /. Другой член стре-
стремится к 2тг|?>@)|2||/||2 (см. 4). Вместе с замечанием 3 это влечет А/2п ^
|2 ^ В/2п. В частности, если ipo,k ортонормированы, то А = В и
= B7Г)-1/2.
5. Условия <р ? L°°, ^@) ф 0 (^ непрерывна в 0) подразумевают опреде-
определенные ограничения и на с„. Уравнение E.3.4) может быть переписано так:
Ф(С)=то(ф)ф(С/2), E.3.18)
где гио(С) = q Sc" em^- В частности, ?>@) = гио@) ^@), что дает гио@) = 1
го
(так как ^@) ф 0) или
^с„=2. E.3.19)
п
Более того, E.3.18) подразумевает, что то — непрерывна за исключением,
может быть, нулей (р. В частности, то непрерывна в ? = 0. Если
^ С(\ + ICI) > то непрерывность (р влечет и непрерывность Х^
i
+ 2тг/)|2, так что ф& (определенная в §5.3.1) также является непрерывной.
Следовательно, пг*(^) = ^*B^)/^*(^) удовлетворяет равенству т*@) = 1.
Поскольку |пг*(?)|2 + |"г*(С + 7Г)|2 = 1> Т0 т*GГ) = 0. Это дает тоGг) = 0
(т*(О = motf) [Е |?« + 2тг/)|2]1/2 • [Е |^BС + 2тг/)|2] /2) или
i i
5>«(-1Г=0- E-3-20)
п
Это, вместе с^с„=2, влечет ЕС2™ = 1 = Ec2n+i, что согласуется с усло-
п п п
вием допустимости для ф.8 Заметим также, что Ес2п = 1 = Ec2n+i эквива-
тг п
лентно условию Мичелли из [145] Е р(х ~ 0 = const ^ 0, если |у(ж)| ^ СA +
г
+ |ж|)~1~е, a ip — непрерывная.9 П
Все это предполагает следующую стратегию при построении новых
ортонормированных базисов вейвлетов:
• Выбираем ip так, чтобы
A) <р и ф имели разумное убывание,
B) выполнялись E.3.4) и E.3.5),

206 Глава 5
(тогда в силу предложений 5.3.1, 5.3.2 Vj образуют кратномасштабный
анализ).
• Если необходимо, выполняем «ортонормировочный трюк»
,-1/2
Наконец, ф{?) = е^'2 т*(?/2 + тг) ф*{^2), где то#(?) =
1/2 Г 1/2
или, эквивалентно,
5.4. Другие примеры: семейство Батла-Лемарье
Вейвлеты Батла-Лемарье связаны с цепочками кратномасштабно-
го анализа, состоящими из пространств функций-сплайнов. В каждом
случае в качестве изначальной масштабирующей функции мы берем
_В-сплайн с узлами в целых числах. Выбирая в качестве <р кусочно-по-
кусочно-постоянный сплайн
f I, o<:x<:i,
fix) = \ „
10 в противном случае,
мы придем к базису Хаара.
Следующим примером является кусочно-линейный сплайн
fl-И, (Ка;<1,
10 в противном случае,
изображенный на рисунке 5.4а. Функция <р удовлетворяет уравнению
ф) = \^{2х + 1) + <р{2х) + \р{2х - 1);
см. рисунок 5.46. Его преобразованием Фурье является функция

5.4. Другие примеры: семейство Батла - Лемаръе
207
причем
+ 2тг/)|2 = § +
+ |cos?=|(l+2cos2<e/2).10
Оба условия E.3.4) и E.3.5) выпол-
выполнены, <р € X1 и J dx <р(х) = 1^0.
Значит, Vj образуют кратномасштаб-
ный анализ (состоящий из кусочно-ли-
кусочно-линейных функций с узлами в 2^Ъ). По-
Поскольку <р не ортогональна своим сдви-
сдвигам, нам нужно применить ортогонали-
зационный трюк E.3.3)
4 sin2
ляется (численное) нахождение коэф-
коэффициентов Фурье [1 + 2 cos2 /
о
<р(х)
<рBх)
В отличие от самой ip, носитель tp# не
является компактным; ее график при-
приведен на рисунке 5.5а. Наиболее легкой „
процедурой получения графика iyj# яв-
4 Кусочно-линейный
в_сплайн ^ удовлетворяющий
уравнению tp(x) = -tpBx
+ ipBx) + \ipBx - 1)
1) +
для представления ip#(x) = ^
ляется функция
x — и). Соответствующей гщ яв-
а ф дается с помощью формулы
+ 2cos2?/2J
sin2
1 + 2 sin2 g/4 I
A + 2 cos2 ?/2) A + 2 cos2 f/4) J
1/2

208
Глава 5
О
Рис. 5.5. Масштабирующая функция ip и вейвлет ф для линейного сплайна
в конструкции Батла - Лемарье
Мы вновь вычисляем коэффициенты Фурье dn для [A — sin2?/4)(l +
cos2
+ cos2 ^/4)~1]1/2 и записываем
Эта функция изображена на рисунке 5.56.
В следующем примере <р является кусочно-квадратичным В-сплай-
ном,
ip{x) =
в противном случае,
\(х-2J,

5.4. Другие примеры: семейство Батла - Лемарье
209
-1 О
1,0
0,5
0
¦
P,2
0,
75рBх)
0,75рBл:-1)
/\p,25<pBx-l)
-1
Рис. 5.6. Квадратичный В-сплайн ip, сдвинутый так, чтобы его узлами были
целые значения. Он удовлетворяет условию ip(x) = —ip{2x + 1) + jipBx) +
Теперь <р удовлетворяет соотноше-
соотноше- 2)
как представлено на рисунке 5.
нию
4>{х) = \
(см. рис. 5.66). Мы имеем
причем
+ 2тг/)|2 = g + Щ cos? + ^
= А +
Снова выполняются условия E.3.4) и E.3.5), ip& Ьг,и J dx <p{x) ф 0.
Функции ip(--k) не ортонормированы, и нам необходимо применить ор-

210
Глава 5
-4 -2
-1-
-5
V
Л
? ¦
Г -
о
Рис. 5.7. Масштабирующая функция ip и вейвлет ф для квадратичного сплай-
сплайна в конструкции Батла - Лемарье
тогонализационный трюк E.3.3) для нахождения iyj# и то*, прежде чем
мы сможем построить ф. Графики ф# и ф приведены на рисунке 5.7.
В общем случае, <р является _В-сплайном степени N,
где Ж = 0, если N — нечетное, Ж = 1, если iV — четное. Эта функция <р
удовлетворяет требованию J dx <р{х) = 1 и
tp(x) =
четное,
2-2М-1
2M+2
3=0
нечетное.

5.4. Другие примеры: семейство Батла - Лемаръе 211
Явные формулы для ^ \ф(? + 2тг/)|2 для произвольных N могут быть
i
найдены, например, у Чуй в [30]. Во всех случаях if удовлетворяет усло-
условиям E.3.4), E.3.5). Для четных N она симметрична относительно х =
= ?, для нечетных N — относительно х = 0. Во всех случаях, кроме
N = 0, <р(- — к) не являются ортонормированными, поэтому необходимо
проводить процедуру ортогонализации E.3.3). В результате supp iyj# =
= К = supp ф для всех вейвлетов Батла-Лемарье. «Ортонормирован-
ная» iyj# имеет ту же ось симметрии, что и <р. Ось симметрии для ф
всегда проходит через х = ^. (Для четных N функция ф антисим-
антисимметрична относительно этой оси, для нечетных N она симметрична.)
Хотя носители iyj* и ф «вытягиваются» вдоль всей прямой, эти функ-
функции по-прежнему имеют очень хорошее (экспоненциальное) убывание.
Чтобы доказать это, нам нужно следующее предложение.
Предложение 5.4.1. Предположим, что <р имеет экспоненциаль-
экспоненциальное убывание, \<р{х)\ ^ Ce~J\x\, и для некоторого а ^ j (а > 0)
sup |(е'3»л(ОКСA + |С|)-1-е. E.4.1)
Y11^|(? + 2тг/)|2
Предположим также, что 0 < а ^ Y11^|(? + 2тг/)|2. Определим ф# с по-
Г ^ 1-V2
мощью <р&(?) = ф 2тг^ |^(^ + 2тг/)|2 . Тогда tp# тоже имеет экс-
I i \
поненциалъное убывание.
Доказательство.
1. Оценка |<у?(ж)| ^ Се~а1ш1 предполагает, что ф(?) имеет аналити-
аналитическое продолжение в полосе | Im^| < а и ф(- + г^) € Ь2(Ш) для всех
|?г| < а- То же верно и для ф(?) = Тр(—?).
2. Для фиксированного ^2 определим 2
- г^2)- Тогда
( \1/2/ \1/2
)|^2F+21г01<(Е1^+^+2т0|2) ( Ц ^ )
2тг/)|2 < ^

212 Глава 5
+2[/ dx е2Ьх \р(х)\2У ''*U dx е2Ьх х2 \у(х)\2~^ ^ < ос.
(Мы использовали оценки ^2\f(x + 2тг/)| ^ Bтг)~1 J dx\f(x)\ +
+ J dx |/'(ж)|.п) Следовательно, ряд ^2 F^2(^i + 2тт1) сходится абсолют-
абсолютно, если | Im §21 < 7- Сходные оценки вместе с теоремой об интегри-
интегрируемости предела показывают, что функция J^ F$2 (?i + 2тг/) является
I
аналитической при ? = ?i + г^2 в полосе | Im?| < j.
3. Функция G(?) = Y^i \Ф{? + 2тг/)|2 имеет аналитическое продол-
i
жение в полосу |Im?| < 7- Поскольку G — периодична с периодом 2тг
и G R ^ а > 0, то существует а, возможно, меньше, чем j, такое, что
ReG(^) ^ а/2 при | Im^| < а. Следовательно, G~1/2 может быть опреде-
определена как аналитическая функция в полосе | Im?| < а. Это означает, что
ф# = G~xl2 ф имеет продолжение до равномерно ограниченной функ-
функции в полосе | Im?| < a.
4. С другой стороны, E.4.1) влечет
I ? |\ — 1 — Е
для |^21 ^ о.. Следовательно, на множестве |Im?| < min(a,a) функция
ф# — аналитическая и ограниченная:
Следовательно,
л
\<р#{х)\= Kmil-xrvAj .
-л
R
= lim Bтг)-1/2
-л
Ь Ь
+ f dse-iilRe-sxip#(-R + is)- f dse^R e~sx ip#(R + is) <
о о
^ С е~^2Х для |^21 < min(S, a).

5.4. Другие примеры: семейство Батла - Лемаръе 213
Следствие 5.4.2. Все вейвлеты Батла-Лемаръе и соответству-
соответствующие масштабирующие функции ф# имеют экспоненциальное убыва-
убывание.
Доказательство.
1. Если N, степень _В-сплайна <р, равняется нулю, то это слу-
случай Хаара и доказывать нечего. Возьмем N > 1. Тогда \(р(?)\ =
откуда
2. Условие |<у?(ж)| ^ Се~71ш1 удовлетворяется тривиально для произ-
произвольно большого 7- Более того, для любого а > О мы можем построить
такую fp{x), О ^ |/ЗК а, что fp e У(К), sup sup 1A + 1^1)^
= С'м < оо для всех М е N и /а (ж) = е'3"' на supp (^). Тогда
dc a + к-^ir^a+ 1^-^-4
^ С"A + ICI)"^ для достаточно больших М
и E.4.1) тоже выполняется для достаточно больших а.
3. Следовательно, iyj# имеет экспоненциальное убывание, и ско-
скорость убывания полностью определяется ближайшим к вещественной
[Л 1
S *?(? + 2т/)^(—? — 2тг/) .
г J
4. Поскольку iyj# убывает экспоненциально, |у>#(ж)| ^ С#е~7#1ш1,
мы имеем \h*\ ^ V2 J dx \ip*(x)\ \ip*Bх-п)\ ^ Се#1п1/2 (используем
ж + а\ + \х — а\ ^ 2 тах(|ж|, |а|)). Следовательно,
\ф(х)\ ^ V2J2 \h-n+i\ |?>#Bж - п)К
п
< pye-7#"/2 е-Т#|2ж-п|
Замечание. Конструкция вейвлетов Батла - Лемарье, предложенная
Батлом, отличается от приведенной здесь конструкции. Его анализ был вдох-
вдохновлен техникой из теории квантового поля (см., например, хорошо читаемый
обзор Батла [20]). ?

214 Глава 5
Итак, среди «более гладких» примеров имеем
• Вейвлет Мейера, принадлежащий С°° и убывающий быстрее лю-
любой отрицательной степени (но не экспоненциально быстро);
• Вейвлеты Батла-Лемарье, которые могут принадлежать Ск (т.е.
N ;> к + 1) с конечным к и иметь экспоненциальное убывание (скорость
убывания убывает с ростом к).
В следующей части мы увидим, что ортонормированные вейвле-
вейвлеты не могут содержать лучшее из обоих миров: они не могут принад-
принадлежать С°° и иметь экспоненциальное убывание. (Заметим, что фрей-
фреймы вейвлетов не страдают подобным ограничением: примером является
функция мексиканская шляпа.)
5.5. Регулярность базисов ортонормированных
вейвлетов
Для базисов вейвлетов (ортонормированных или нет — см. главу 8)
существует взаимосвязь между регулярностью ф и кратностью нуля
функции ф в точке ? = 0. Это является следствием следующей теоре-
теоремы (которая для последующего удобства сформулирована и доказана
с большей общностью, чем требуется здесь).
Теорема 5.5.1. Предположим, что f,f — две функции, не тож-
тождественные константы, такие, что
где fj,k{x) = 2~j/2 f{2~jx - к), jj,k{x) = 2~j/2 j{2~jx - к). Предполо-
Предположим, что выполняется оценка \f{x)\ ^ C(l + |ж|)~а, где а > т + 1,
f € Ст, a /W ограничены для I ^ то. Тогда
I
dxxlf(x) = 0 для I = 0,1, ... , то. E.5.1)
Доказательство.
1. Идея доказательства очень проста. Выберем такие j, k, j', к',
чтобы fj^k была достаточно растянутой, a fj^k' — очень сконцентри-
сконцентрированной. (Лишь для наглядности предположим, что / имеет компакт-
компактный носитель.) На таком крошечном носителе supp fj>,k' срезку /j,*,

5.5. Регулярность базисов ортонормированных вейвлетов 215
«видимую глазами» fj',k', можно заменить ее рядом Тейлора, в кото-
котором берутся^ все корректно определенные члены. Однако, поскольку
/ dx fj,k(z)fj',k'{z) = 0, то интеграл от произведения / и полинома
степени то равен нулю. Затем мы можем менять положение /уд», за-
задаваемое к'. Для каждого положения рассуждения можно повторить,
что приведет к целому семейству полиномов степени то, имеющих ну-
нулевой интеграл после умножения на /. Это дает требуемое условие на
моменты. Теперь сделаем рассуждения более строгими.
2. Докажем E.5.1) индукцией по /. Следующие рассуждения рабо-
работают и ^для начального шага, и для шага индукции. Предположим, что
J dx xnf(x) = О для п € N, п < I. (Если Z = 0, то предположение не де-
делается вообще.) Поскольку /^ — непрерывны (/ ^ то), а диадические
(dyadic) рациональные числа вида 2~^к (j, к € Z) составляют плотное
множество в М, существуют такие J, К, что f^>B~JК) ф 0. (В про-
противном случае f"> = 0. Тогда либо / = const (для случаев / = 0, 1),
что не верно, либо / — полином степени 1 — 1^1 (для случаев / ^ 2)
и, значит, / — неограниченная функция, что тоже не верно.) Далее,
для любого е > 0 существует такое S > 0, что
f(x) - ^(n!) f^B-JK)(x - 2~JK)n
n=0
<s\x-2
если
x — 2~JK\ ^ 8. Теперь возьмем j > J, j > 0. Тогда
0 = [ dx f(x) fBix - 2i~JK) =
i Г ^
= ^(n!)-1/(n)B-JJ?Q / dx{x-2-JK)nf{2Jx-2J-JK) +
n=0 '
+ I dx \f(x) - ^(n!) f(n){2-JK){x - 2-JK)Aj{2Jx - 2J-JK).
J L n=o -I
E.5.2)
Так как J dxxnf(x) = 0 для n < l, то первое слагаемое равняется
(г!) /(/) B-J^J-(/+1^ [ dx xl f(x). E.5.3)

216 Глава 5
Используя ограниченность f^n\ второе слагаемое можно ограничить
с помощью
J dy\y\l\fBiy)\+C J
\y\<s
24
Г dtt\l+t)-a + 2C'C f dt(l + t)\l + 2H)~a
S
C2 2-ja6~a(l + 6)l+1, E.5.4)
в первом слагаемом мы заменили верхнюю границу интегрирования
на ос, в во втором слагаемом использовали оценки A + 2Н)~1 ^
^ 1 + 5 A +*) ^ 2-j^-j^-{\ + t)'1, выполняемые для t > S. Заме-
1 + 2^E о
тим, что Ci, Сг зависят лишь от С, а и /, но не от е, S и j. Комбинируя
E.5.2), E.5.3) и E.5.4), приходим к оценке
f
dxxlf{x)
Здесь е можно выбрать произвольно малым, и для соответствующего 5
можно подобрать достаточно большое j, чтобы второе слагаемое тоже
стало малым. Следовательно, J dxx¦ f(x) = 0. ¦
Примененная к базисам ортонормированных вейвлетов, эта теоре-
теорема дает следующее следствие:
Следствие 5.5.2. Если функции ф^^{х) = 2~J/2 ф{2~*х — к) обра-
образуют ортонормированное множество в Ь2(Ш), при этом \ф(х)\ ^ СA +
+ \х\)~т~1~е, ф е Ст(Ш) ифЮ ограничены npul ^ то, тс> / dxx1 ф(х) =
= 0 для I = 0, 1, ... , то.
Доказательство.
Следует немедленно из теоремы 5.5.1, в которой положено f = f = ф.
Замечание.
1. Другие доказательства можно найти у Мейера в [142], у Батла в [19].
В отличие от представленного, оба доказательства работают с преобразова-
преобразованием Фурье. Подобные связи нулевых моментов и регулярности составляют

5.5. Регулярность базисов ортонормированных вейвлетов 217
часть «народной мудрости» среди специалистов, работающих с теорией Зиг-
Зигмунда—Кальдерона, предшествовавшей вейвлетам.
2. Заметим, что для доказательства следствия 5.5.2 или теоремы 5.5.1
мы не использовали ни кратномасштабный анализ, ни даже того, что функции
ф},к образуют базис: единственным свойством, имеющим значение, являет-
является ортонормированность. В доказательстве Батла (вдохновившем и настоя-
настоящее доказательство) тоже используется лишь ортонормированность. В дока-
доказательстве Мейера целиком используется конструкция кратномасштабного
анализа.
Следствие 5.5.3. Предположим, что функции ф^ь ортонормиро-
ваны. Тогда ф не может иметь экспоненциальное убывание, принадле-
принадлежать С°° и иметь ограниченными все производные при условии, что ф
не является тождественным нулем.
Доказательство.
1. Если ф € С°°, а производные ограничены, то по теореме 5.5.1
J Aхх1ф(х) = 0 для всех I € N. Откуда —{ ф
= О для всех I €
2. Если ф имеет экспоненциальное убывание, то ф аналитична в не-
= 0, выполнен-
которой полосе |Im?| < А. Вместе с условием —{ ф
ным для всех I ? N, это дает ф = 0. ¦
В этом и состоит компромис, о котором было заявлено в конце
последней части: нам нужно выбирать между экспоненциальным (или
более быстрым) убыванием по времени либо по частоте. Мы не можем
иметь одновременно то и другое. На практике убывание по х предпо-
предпочтительнее, чем убывание по ?.
Последним следствием теоремы 5.5.1 является следующее разложе-
разложение на множители.
Следствие 5.5.4. Предположим, что функции ф^и образуют ор-
тонормированный базис вейвлетов, связанный с кратномасштабным
анализом, как описано в §5.1. Если \ip(x)\, \ф(х)\ ^ СA + \х\)~т~1~Е
и ф € Ст, а ф^ ограничены для I ^ т, то то, определенная с помо-
помощью E.1.18), E.1.14), разлагается на множители
f,-i(.\ т + 1
^) (8 E-5-5)
где !? — 2тг -периодическая функция из ? Ст.

218 Глава 5
Доказательство.
1. В силу следствия 5.5.2 -^- ф = О для / ^ то.
2. С другой стороны, ф(?) = е~1^12 тоо(?/2 + тг) ф(?/2). Поскольку
обе функции ф, ф принадлежат Ст, и ^@) ф 0 (см. замечание 3 в конце
§ 5.3.2), это означает, что тоо в точке ? = тг дифференцируема то раз и
= 0 для / ^ то.
3. Отсюда тоо имеет ноль порядка то + 1 в ? = тг, или
Так как то0 е Ст, то if e Cm тоже.
5.6. Связь со схемами субполосной фильтрации
Кратномасштабный анализ естественным образом приводит к ие-
иерархической и быстрой схеме вычисления вейвлет-коэффициентов дан-
данной функции. Допустим, что мы уже вычислили (или имеем заданны-
заданными) скалярные произведения / и <pj,k Для некоторого заданного мелко-
мелкого масштаба.12 Произведя масштабирование наших «единиц» измерения
(или масштабируя /), мы можем предполагать, что номер этого уровня
равен j = 0. Тогда легко вычислить (/, <fj,k) Для 3 ^ 1- Прежде всего,
имеем (см. E.1.34))
где gn = (ф, <у?-1,„) = (-l)nh-n+1. Следовательно,
j+1x -2к-п) =
^2 ^2Pj-l,n(x). E.6.1)
п п
Отсюда
(/, Ф\,к) = ^2g^2k(f, Ц>0,п),

5.6. Связь со схемами субполосной фильтрации 219
т.е. скалярные произведения (/, ф\,и) получены с помощью свертки
последовательностей ((/, <y?o,n))nez и (g_n)nez с последующим сохра-
сохранением лишь четных компонент. Аналогично, имеем соотношения
(f,i>j,k) = '52g^2k(f,4>j-i,n}, E.6.2)
которые можно использовать для вычисления (/, фj,k)t прибегнув
к той же операции (свертка с g, уменьшение вдвое числа членов), зная
(/, ipj-itk)- Но в силу E.1.15) мы получаем
<pjlk(x) = 2->t2tpB->x-k) = ^ftn-2lW-i,tW, E.6.3)
п
откуда
{ft 4>j,k) =^К-2к (/, <Pj-i,k)- E.6.4)
n
Дальнейшая процедура становится ясной: начав с (/, <ро,п), вычисляем
(/, ф\уи) по формуле E.6.2) и (/, <pitk) по формуле E.6.4). Затем вновь
можем применить E.6.2), E.6.4), чтобы вычислить (/, ф2,к), {ft <P2,k)
по (/, ipi,n)t и так далее... На каждом шаге мы вычисляем не толь-
только вейвлет-коэффициенты (/, ф^и) на соответствующем j-м уровне, но
также и (/, <pj,k) Для того же j'-ro уровня, что используется при вычис-
вычислении вейвлет-коэффициентов на следующем уровне.
Весь процесс можно рассматривать как вычисление последователь-
последовательных приближений / и разности между «информацией» на двух последо-
последовательных уровнях. С этой точки зрения мы начинаем с самого мелко-
мелкомасштабного приближения к /, /° = Ро/ (напомним, что Pj — ортого-
ортогональный проектор на V}; через Qj обозначим ортогональный проектор
на Wj) и разложим f е Vo = Vx © Wx на f = f1 + б1, где f1 = Pxf =
= Pi/ — следующее более грубое приближение / в кратномасштабном
анализе, а б1 = /° — J1 = Qif° = Qif — «потери» при переходе /° —у f1.
В каждом из пространств Vj, Wj мы имеем ортонормированные базисы
(<Pj,k)kez> {Фз,к)к& соответственно, так что
Формулы E.6.2), E.6.4) выражают воздействие преобразования
(^o,n)nez —> (<Pi,ni V'i,n)nez в Vq на коэффициенты ортогонального ба-

220
G \G \G
d1 ^ d2 " dA
Рис. 5.8. Схематическое представление E.6.5)
зиса:
E.6.5)
Вводя обозначения а = (an)nez, a = (aT^)neZ и (ЛЬ)* = XI а2к-п Ьп, это
можно переписать в виде
с1=Нс°, d1=Gc°.
Более грубое приближение J1 € V\ = V2 Ф И^г снова можно разложить
в J1 = /2 + <52, Р е У2, <52 е W2, где
f =
d2=Gc
=Gc\
Мы опять имеем
с2=Нс\
Схематически это представлено на рисунке 5.8.
На практике мы останавливаемся после конечного числа уров-
уровней. Это означает, что мы переписали информацию ((/, y>o,n))n€Z =
= с0 через d1, d2, d3, ... , dJ и конечное грубое приближение с3,
т.е. ((/, ipj,k))kez,j=i,...,J и ((/> <y?J,fc))fcez- Поскольку все сделанное
является последовательностью преобразований ортогональных базисов,
обратная операция задается сопряженными матрицами. Точнее
'1 = Р
= ? 4
откуда
4т1 =
»-2* 4
E.6.6)
(используем E.6.1), E.6.3)).

5.6. Связь со схемами субполосной фильтрации
221
-к/2
Рис. 5.9. Низкочастотный фильтр (непрерывная линия) и высокочастотный
фильтр (разрывная линия)
В цифровой обработке сигнала члены E.6.5) и E.6.6) являются
шагами анализа и синтеза в схеме субполосной фильтрации (subband
filtering scheme) с точным восстановлением. В двухканальной схеме
субполосной фильтрации берется свертка входящей последовательности
(с° )пеж с Двумя фильтрами, низкочастотным (low-pass filter) и высоко-
высокочастотным (high-pass filter). Затем две полученные последовательности
прореживаются, т. е. удерживаются лишь четные (или нечетные) ком-
компоненты. Именно это происходит в E.6.5). Для читателей, незнакомых
с терминологией «фильтрации», кратко поясню, что это значит. Любая
интегрируемая с квадратом последовательность (cn)nez может быть
интерпретирована как последовательность отсчетов 7(и) функции 7
с полосой ограниченной ширины, для которой 7 С [—тг, тг] (см. главу 2),
sin тг(а; — п)
7Г(Ж — П)
ИЛИ
(ж) = X)С
7@ =
2тг
Операция фильтрации соответствует перемножению 7 и 2тг-периодичес-
кой функции, например,
E.6.7)
n€Z
Результатом является другая функция а * 7 c полосой ограниченной

222
ширины,
или
Глава 5
(а *
(а *
siii7r(a: — n)
тг(ж — n)
Фильтр называется низкочастотным, если ск|[_тг, тг] в основном концент-
концентрируется на отрезке [—тг/2, тг/2], высокочастотным, если a|[_WiW] в ос-
основном концентрируется на множестве {^; тг/2 ^ |?| ^ тг} (см. рису-
рисунок 5.9). «Идеальными» фильтрами являются Sh(?) = 1, если |^| < тг/2,
ац(О = 0, если тг/2 < |^| < тг, и ав@ = 0, если |^| < тг/2, ав@ = 1,
если тг/2 < |?| < тг, соответственно. Последовательность ап (из E.6.7))
задается формулами
( 1
2
О
(-1)'
1)тг
при п = О,
при и = 2fc, fc ^ О,
при и = 2fc + 1;
при п = О,
при и = 2fc, fc ^ О,
при п = 2fc + 1.
После применения идеального низкочастотного фильтра к 'у, по-
получается функция с полосой ограниченной ширины и носителем
supp С [—тг/2, тг/2]. Такая функция полностью определяется своими
значениями на 2Z, и мы имеем (см. B.1.2))
(-1)
А+1
* 7) И =
smfrQc - 2n)/2]
тг(ж - 2и)/2
Аналогично, результатом применения идеального низкочастотного
фильтра к 7 является сдвинутая по частоте версия функции с полосой

5.6. Связь со схемами субполосной фильтрации 223
ограниченной ширины и носителем supp С [—тг/2, тг/2]. Такая функция
снова полностью определяется своими значениями на 2Z,
(«н * 7H*0 = I
Е/х-^ r \ sinfTrfa; — 2и)/21 r г , „ , п
Е a2.-m cm -lA__^i {2 со8ИЖ - 2п)/2] - 1}.
Поскольку достаточно иметь компоненты с четными индексами сверт-
свертки aJJ, aj^ с с;., чтобы полностью характеризовать ан *7 и «в *7? имеет
смысл после свертки оставить только их. Это является главной причи-
причиной прореживания с фактором 2 в субполосной фильтрации, также на-
называемого «децимацией» (downsampling). Восстановление первоначаль-
первоначальной ст по двум последовательностям, полученным после фильтрации и
прореживания
E.6.8)
не представляет сложности:
ст = i(m) = (аи * 7)(™) + ("в * 7)(т) (т- к- ан + ав = 1)
Отделяя четные и нечетные т, находим
Ст + Ст, С2т+1 =
2(—II
_^ /
Это можно также переписать так:
Ст = 2 $>т-2п<? + -2»^). E.6.9)
п
Последнюю операцию можно рассматривать как результат
• разбавления обеих сн и с^ нулями (т. е. построения новых по-
последовательностей с нечетными нулевыми компонентами и с четными
компонентами, заданными последовательными cJJ, с0,);

224
Глава 5
а0
а[
21
21
2t
а0
а1
Рис. 5.10. Схематическое представление этапов разложения и восстановления
(отделенных вертикальной разрывной линией) в схеме субполосной фильтра-
фильтрации. Каждая буква (а0, а1, .. .) в квадратике представляет свертку с соот-
соответствующей последовательностью; 2 I отвечает уменьшению выборки зна-
значений вдвое (остаются лишь четные компоненты), 2 f — увеличению вы-
выборки вдвое (разбавление нулями). В «идеальном» случае а0 = ан, а1 = ав,
а0 = 2а11 и а1 = 2ав. Конечный результат идентичен входному значению
с = с
• свертки этих разбавленных (upsampled) последовательностей
с фильтрами ан, ав соответственно;
• сложения двух результатов.
Схематически E.6.8) и E.6.9) можно представить рисунком 5.10.
Коэффициенты фильтров ан, а% для идеальных фильтров ая, ав
убывают слишком медленно, чтобы быть использованными. На прак-
практике предпочтение отдается схеме с рисунка 5.10, для которой коэф-
коэффициенты фильтров а0, а1, й°, а1 убывают быстрее. Это можно полу-
получить лишь если соответствующие 2тг-периодические функции а0, а1,
й°, а1 являются более гладкими, чем ан, ав. Это означает, что мо-
может появиться наложение спектров: \а°\, |ск11 выглядят «округленны-
«округленными» версиями ая, ав (как на рисунке 5.9), т.е. их носители больше,
чем [—тг/2, тг/2] и {?; тг/2 ^ |^| ^ тг} соответственно. Следователь-
Следовательно, а0 * 7: а1 * 7 не являются истинно ограничеными по (частотной)
полосе с максимальной частотой тг/2, и представление их выборкой
значений, как это было сделано, приводит к наложению спектров, что
объяснялось в §2.1. Это должно быть исправлено на этапе восстанов-
восстановления: а0, а1 должны соответствовать а0 и а1 для того, чтобы избе-
избежать наложения спектров, возникшего после разложения. Но даже та-
такое «соответствие» возможно лишь если а0 и а1 уже соответствуют друг
другу каким-либо образом. Чтобы найти подходящие условия на эти

5.6. Связь со схемами субполосной фильтрации 225
фильтры, удобно использовать «z-обозначения», в которых последова-
последова2~2 ап%п.
тельность (ап)пех представляется формальным рядом a(z) = 2~2
Если z = е~г^ на единичном круге, то это ничто другое, как ряд Фурье.
В некоторых случаях удобно использовать zeC вместо \z\ = 1. Этап
разложения в схеме субполосной фильтрации на рисунке 5.10 можно
записать так:
cV) = \[a°{z)c{z) + ao{-z)c{-z)],c\z2)= \[a\z)c{z) + a\-z)c{-z)].
Здесь a°(z)c(z) — ^-обозначение для свертки а0 и с; =j[b(z) + b(—z)] рав-
равняется формальной последовательности 2~2t>2nZ2n, т.е. b(z), из которой
изъяты все нечетные компоненты.
Этап восстановления представляется как
где d>(z2) — ^-обозначение для удвоенной выборки cJ (куда были по-
помещены нули: d>(z2) = ~Y^cnz2n)- Общий эффект таков:
E.6.10)
В этом выражении второй член содержит эффекты наложения спектров:
c(—z) соответствует сдвинутому на тг ряду Фурье ^сгае~т^. Именно
п
этого следует ожидать от наложения спектров, поскольку выборка взя-
взята с частотой, вдвое меньшей частоты Найквиста (Nyquist rate). Таким
образом, чтобы избавиться от наложения спектров, нам нужно иметь
a°(z)a°(-z) + a1(z)a1(-z) = 0. E.6.11)
Первые схемы субполосного кодирования без наложения спектров вос-
восходят к работе Эстебана и Геланда [76]. В их работе, как и в большинст-
большинстве схем, которые будут рассмотрены в этих заметках, последователь-
последовательности являются вещественными. Они выбрали
а1 (г) = a°(-z), a°(z) = a°(z), a\z) = -a°(-z), E.6.12)

226 Глава 5
при этом E.6.11) на самом деле выполняется, а E.6.10) упрощается до
выражения
~c(z) = \[a°{zf - ao(-zf}c(z).
Если а0 — симметричная, а°_п = а°п, то а1(^) = X^a?ie~m^ — «зерка-
п
ло» а° по отношению к «полуполосному» значению ? = тг/2 вследствие
того, что а1(?) = ^2 а°п{—1)гае~™^ = а°(тг — ?). Таким образом, фильт-
п
ры, выбранные в соответствии с E.6.12), называются «квадратурными
зеркальными фильтрами» (КЗФ, quadrature mirror filters). На практике
работают с КИХ-фильтрами (КИХ, finite impulse response, = конечная
импульсная характеристика; это означает, что лишь конечное число ап
является ненулевыми). К сожалению, не существует КИХ-фильтра а0,
для которого a°(zJ — а°(—zJ = 2, так что Ъне может быть идентичным
с в этой схеме. Тем не менее, можно найти а0, для которого a°(zJ —
— a°(—zJ близко 2, так что значение схемы на выходе близко значе-
значению на входе. К настоящему времени существует обширная литература
по конструированию различных КЗФ, см. номера IEEE Trans. Acoust.
Speech Signal Process, за последние 15 лет. Также существует много об-
обобщений с разделением больше, чем на 2 полосы (ОКЗФ — обобщенный
КЗФ, generalized quadrature mirror filters).
Минтцер ([147]), Смит и Барнвел ([166]), Веттерли ([178]) предло-
предложили схему, отличающуюся от E.6.12):
a1(z)=z-1a°(-z-1), a°(z) = a°(z-1), аг{г) = а1^) = za°(-z).
E.6.13)
Легко проверить, что E.6.11) снова выполняется, а E.6.10) превраща-
превращается в
c(z) = \[a°{z)a°{z-1) + a°(-z)a°(-z-1)}c(z).
Для z = е1^ и вещественных а° выражение в квадратных скобках пре-
превращается в |[|а°(е-^)|2 + |а°(-е-^)|2] = |[|а°(С)|2 +1«°(^+тг)|2]. Среди
множества КИХ-фильтров существуют а0, для которых оно равняет-
равняется 1. Значит, мы получаем точное восстановление по схеме субполос-
субполосной фильтрации. Смит и Барнвел ([166]) назвали фильтры, выбранные
в соответствии с E.6.13I3, сопряженными квадратурными фильтра-
фильтрами (СКФ, conjugate quadrature filters), но этот термин не стал столь же
популярен, как КЗФ.

5.6. Связь со схемами субполосной фильтрации
227
h -— 2\ —с'*— 2\
Рис. 5.11. Схема субполосной фильтрации для одного шага «разложение +
восстановление» в кратномасштабном анализе
И последнее замечание, прежде чем мы вновь вернемся к вейвле-
там. В целом, субполосная фильтрация используется, конечно, не прос-
просто для разложения и восстановления: простой телеграф вместо схемы
на рис. 5.10 был бы более эффективен и дешев. Целью игры является
сжатие или обработка между этапами разложения и восстановления.
Во многих приложениях (анализ изображений, например) сжатие после
субполосной фильтрации более осуществимо, чем в отсутствии фильт-
фильтрации. Восстановление после применения таких схем сжатия (кванто-
(квантование) не идеально14, однако существует надежда, что с помощью спе-
специально сконструированных фильтров искажение вследствие квантова-
квантования можно сделать малым, при этом достигнув значительного коэффи-
коэффициента сжатия. Мы вернемся к этому (хотя и вкратце) в следующей
главе.
И опять об ортонормированных базисах вейвлетов. Формулы
E.6.5), E.6.6) имеют в точности ту же структуру, что и E.6.8), E.6.9),
соответственно. Переход от одного уровня в кратномасштабном анали-
анализе к следующему более грубому приближению и соответствующему
уровню вейвлетов и, затем, обратный переход могут быть представ-
представлены диаграммой, сходной с рисунком 5.11. Здесь (h)n = h-n, (g)n =
= g-n (см. выше). Если предположить hn вещественными и принять
в рассмотрение, что gn = (—l)nh-n+i, то мы можем отождествить ри-
рисунок 5.11 и рисунок 5.10, выбрав
a\z) = giz-1) = -z-xh{-z), a^z) = g(z) = -zh(-z~x).
С точностью до тривиальной замены знаков в а1 и а1, это соответ-
соответствует E.6.13). Это означает, что каждый ортонормированный базис

228 Глава 5
вейвлетов, связанный с кратномасштабным анализом, дает начало па-
паре СКФ, т. е. схеме субполосной фильтрации с точным восстановлением.
Обратное не верно: при построении ортонормированного базиса мы обя-
обязательно имеем а°A) = ^hn = 21/2 (см. замечание 5 в конце §5.3.2),
п
однако существуют СКФ, для которых а°A) близко 21/2, при этом точ-
точное равенство не достигается. Более того, все рассмотренные нами при-
примеры ортонормированных базисов соответствуют у># с бесконечным
носителем и, значит, последовательностям hn с бесконечным числом
ненулевых членов. В приложениях КИХ-фильтры более предпочтитель-
предпочтительны. Возможно ли построить ортонормированные базисы вейвлетов, со-
соответствующие конечным фильтрам? Что для этих фильтров означает
соответствие, например, регулярным вейвлетам? Как можно использо-
использовать вейвлеты в контексте фильтрации? Все это составляет вопросы,
адресованные следующей главе.
Примечания
1. Здесь мною выбран тот же порядок вложения (чем больше от-
отрицательный индекс, тем больше пространство), что и в цепочке про-
пространств Соболева. Такой порядок естественно следует из обозначения
неортогональных вейвлетов, введенного Гроссманом и Морле. Однако
это не является общепринятым: Мейер в [142] использует обратный по-
порядок, скорее в соответствии с установленной в гармоническом ана-
анализе практикой. Бейлкин, Койфман и Рохлин ([24]) считают порядок,
представленный здесь, более практичным для приложений в численном
анализе.
2. В отличие, например, от Мейера ([142]), здесь мы заранее не
накладываем требование регулярности на tp.
3. Уравнение E.1.33) характеризует все возможные ф#. Это следу-
следует из леммы 8.1.1 главы 8.
4. Если <р имеет компактный носитель, и нам хотелось бы иметь
компактный носитель и для ф, то E.1.35) — это единственно возмож-
возможный выбор.
5. Считается, что для непрерывной ф такого «патологического» при-
примера нет. Еще одно упражнение для читателя!
На последних стадиях подготовки этой книги я узнала, что Лемарье
([126]) доказал, что если функция ф (непрерывная или нет) имеет ком-

Примечания 229
пактный носитель, то она автоматически связана с кратномасштабным
анализом. Это решает проблему для одного очень важного специального
случая.
6. Заметим, что существует такая у># € Vq, что функции у>* к об-
образуют ортонормированный базис для Vq и <р# € L1(K), в отличие от (р.
Достаточно взять ^*(?) = А(?) ^(?), где А — 2тг-периодическая и А(?) =
= sign(?)-e8^/2 для |?| ^ тг. Такая <J?# снова является функцией Шварца.
Аналогичный трюк с преобразованием Гильберта можно применить и
к другим кратномасштабным анализам, таким, как случай Батла-Ле-
марье или КМА с ф, имеющей компактный носитель, из следующей
главы.
7. Если мы требуем непрерывности ф в ? = 0, то то действительно
определяет ф единственным образом.
8. Из того, что ф непрерывна и ф@) ф О, мы имеем то@) = 1 и
непрерывность то в ? = 0. Следовательно, гщ непрерывна в ? = 0.
Поскольку \гщ (?)|2 + \т*(? + тг)|2 = 1, то |то*| непрерывна в ? = тт.
Тогда IVKOI = lmo(^/2 + ж)\ |^(^/2)| непрерывна в ? = 0, поскольку ф
должна быть допустимой. Это влечет mf (тг) = 0, откуда то(ж) = 0.
Так получен другой вывод E.3.20).
9. Доказательство. Докажем, что Х^с2я = 1 = Sc2ra+i •
— /) = const ф 0, если |у(ж)| ^ СA + |аз|) х е и у> непрерывна.
^> Определим /(ж) = Х)у(ж ~ 0- Условия на tp гарантируют, что /
I
корректно определена и непрерывна. Имеем
m j
Тогда / непрерывна, имеет период 1 и
f{x) = fBx) = ... = fBnx) = ...
Следовательно, / — постоянная.
<^= Равенство ^^(ж — /) = с влечет фBтгп) = 8поBж)~1/2 с. Но
Ш) = та{ф) ф(ф); отсюда
0 = <?BтгBп + 1)) = то(пBп + 1))ф(тгBп + 1)) = то(п)ф(пBп + 1)).

230 Глава 5
Если то(п) ф 0, то равенство ф(пBп + 1)) = 0 должно выполняться для
всех neZ, что противоречит 2~2 |^GГ + 2тги)|2 > 0. Отсюда то(тг) = 0
или Y^c2n = 1 = Ec2n+i- ¦
10. Коэффициенты Фурье для ?) \Ф(€ + 2тг/)|2 можно легко вычис-
i
лить следующим образом:
Для В-сплайна <р это легко вычисляется; явная формула приведена Чуй
в [30].
у
11. Доказательство. f(y) = f(x) + / dz f'(z)
X
^> при 0 $J у ^ 2тг
2тг ж
2тг f(y+2irl) = I dx f(x+2irl)+ fdx f dz f(z+2irl)- fdx f dz f'(z+2irl)
0 Ox У У
2тг(/+1) 2тг(/+1)
dx\f(x)\+ I dz\f(z)\
^dx\f{x)\ + fdx\f{x)\. ¦
I
12. Если / задана своими отсчетами, т.е. мы знаем только f(n), то
скалярные произведения (/, <^о,п) можно вычислить с помощью опера-
операции свертки (или фильтрации), предполагая вначале, что / ? Vq (компо-
(компоненты /, ортогональные Vo, не могут быть восстановлены). Мы имеем
/ = S(/> <Ро,к)<Ро,кш, отсюда /(и) = Y,(fi <Po,k)p(n ~ к). Тогда

Примечания 231
т.е. (f,(po,k) являются коэффициентами Фурье E2 f(n) е~гп^)х
п
)e~imi)~1. Следовательно, (/, <?>0,й) = Ea*-n f(n), где
2тг
13. Для удобства они выбрали a'(z) = z2N~1a°(—z~1), 'aP(z) =
= z2Na°(z~1), а1 (г) = za°(-z) вместо E.6.13), где N € Ъ подобрано
так, чтобы все а>, Ъ? были полиномами по z (отрицательные степени
отсутствуют). Тогда получается Z{z) = z2N c{z).
14. Такие рассуждения используются фанами КЗФ типа фильтров
Эстебана-Геланда: это не дает точного восстановления с самого начала,
но отклонение от точного восстановления можно сделать малым в срав-
сравнении с искажениями, наведенными квантованием.

Глава 6
Ортонормированные базисы веивлетов
с компактным носителем
Как результат ортогонализации E.3.3), все примеры ортонормиро-
ванных базисов веивлетов в предыдущей главе, за исключением базиса
Хаара, состояли из функций с бесконечным носителем. Чтобы постро-
построить ортонормированные примеры, в которых ф имеет компактный но-
носитель, стоит начать с функции т0 (или, что то же, со схемы субпо-
субполосной фильтрации — см. §5.6), а не с функции (р или пространств Vj.
В §6.1 мы показываем, как построить такую то, что выполняются
E.1.20) и E.5.5) для некоторого N > 0 (необходимое условие, чтобы
иметь определенную регулярность ф). Однако не каждая такая то свя-
связана с ортонормированным базисом веивлетов, что обсуждается в §§ 6.2
и 6.3. Главные результаты этих двух частей суммированы в теоре-
теореме 6.3.6 в конце § 6.3. Параграф 6.4 содержит примеры веивлетов с ком-
компактными носителями, порождающих ортонормированные базисы. По-
Полученные таким образом ортонормированные базисы веивлетов, вооб-
вообще говоря, нельзя записать в аналитической форме. Их график можно
вычислить с произвольной точностью с помощью алгоритма, который
я называю «каскадным алгоритмом» (cascade algorithm), который фак-
фактически является «уточняющей схемой» (refinement schemes), принятой
в компьютерном дизайне. Все это обсуждается в § 6.5.
Большая часть материала восходит к работе Добеши ([53]) 1988
года. С тех пор для большинства результатов были найдены лучшие,
более простые или более общие доказательства, и я отдаю предпочте-
предпочтение этому новому видению вещей. Эти различные подходы позаимст-
позаимствованы, в основном, у Малла ([132]), Коэна ([35]), Лоутона ([121], [122]),
Мейера ([142]) и Коэна, Добеши, Фово ([41]). Связь с масштабирующим
уравнением (refinement equation) обсуждается Кавареттой, Даменом и
Мичелли в [29], Дин и Левиным [73], а также в более ранних работах
этих авторов (см. §6.5).

6.1. Построение то 233
6.1. Построение т0
В этой главе нас в основном интересует построение вейвлетов ф
с компактными носителями. Самым легким способом обеспечить ком-
компактный носитель для вейвлета ф является выбор масштабирующей
функции <р с компактным носителем (в ортогонализованной версии).
Тогда из определения hn
hn = у/2 / dx (р(х) <рBх — п)
следует, что лишь конечное число hn не равняется нулю, так что ф
сводится к конечной линейной комбинации функций с компактными
носителями (см. E.1.34)) и, таким образом, автоматически сама име-
имеет компактный носитель. Выбирая (р и ф с компактными носителями,
получаем то преимущество, что в соответствующей схеме субполосной
фильтрации (см. § 5.6) используются только КИХ-фильтры.
Для ip с компактным носителем 2тг-периодическая функция то
превращается в тригонометрический полином. Как показано в главе 5
(см. E.1.20)), ортонормированность <ро,п влечет выполнение равенства
|mo(O|2 + K(? + ir)|2 = l, F.1.1)
«почти всюду» здесь опущено, поскольку то обязательно является не-
непрерывной, значит, F.1.1) выполняется для всех ?, если это верно п. в.
Нас также интересует, как сделать ф и ip достаточно регулярными.
В силу следствия 5.5.4 это означает, что то должна быть вида
N
то(О = A+26 ' ) &(?), F.1.2)
где N ^ 1 и SB — тригонометрический полином. Заметим, что даже
без ограничений на регулярность нам нужно разложение F.1.2), где N
по крайней мере равно I.1 Совмещая F.1.1) и F.1.2), получаем, что мы
ищем полином по cos^
Мо(О = \то(О\2, F.1.3)

234 Глава 6
удовлетворяющий уравнению
Мо(О + Мо(? + тг) = 1 F.1.4)
(|) F.1.5)
где L(?) = \!?(?)\2 также полином по cos?. Для наших целей удобно
переписать L(?) в виде полинома по sin2 ?/2 = A — cos?)/2,
F.1.6)
В терминах Р уравнение F.1.4) становится условием
A - y)N Р(у) + yN РA - у) = 1, F.1.7)
которое должно выполняться для всех у ? [О, 1], а значит, для всех
у ?Ш. Для разрешения F.1.7) относительно Р воспользуемся теоремой
Безу.2
Теорема 6.1.1. Еслирх, р2 — два полинома степени п\, п2 соот-
соответственно, без общих нулей, то существуют единственные полиномы
qi, q2 степени п2 —\,п\ — \, соответственно, такие, что
p1(x)q1(x) +p2(x)q2(x) = 1. F.1.8)
Доказательство.
1. Сначала докажем существование, а несколько позже и единст-
единственность. Мы можем предположить, что п\ ^ п^ (перенумеровав при
необходимости). Так как deg(p2) ^ deg(pi), мы можем найти такие по-
полиномы а2(х), Ь2(х), что deg (а2) = deg (pi)-deg(p2), deg(b2) < deg(p2),
и
Pi(x) = a2(x)p2(x) + Ь2{х).
2. Аналогично мы можем найти такие аз(х), Ьз(х), что deg (аз) =
= deg(p2) -deg(b2), degF3) < deg(&2), и
Pi{x) = a3(x) Ь2{х) + bs(x).

6.1. Построение то 235
Повторяем эту процедуру, при этом Ъп-\ играет роль р2 в последнем
уравнении, а Ьп — роль Ъч,
bn-i(x) = an+1(x) bn(x) + bn+i(x).
Поскольку deg (bn) строго убывает, процесс должен остановиться на
некотором шаге, что возможно, лишь если bjv+i = 0 для некоторого N,
где bN ф О,
bN-i(x) = aN+1(x) bN(x).
3. Поскольку
fojV-2 = 0>N bjv-l + bjV;
то bjv является делителем и для &jv-2 тоже. По индукции Ь^ является
делителем и для всех предыдущих Ъп и р2, тогда Ь;у — делитель для
Р\ и р2- Поскольку рх и р2 не имеют общих нулей, то Ъм — константа,
отличная от нуля.
4. Итак, мы получаем
fojV bjV-2 OJV bjv-l bjV-2 ajv(bjV-3 fljV-l bjv-г)
= A + aN o,jv-i)bjv-2 - (in bN-з и т. д.
По индукции
где ajv, l = —ajv? &n, 1 = 1; aiv,fc+i = ajv,fc ~ aN,к a>N-k, dN,k+i = a>N,k-
Снова по индукции имеем, что deg (ajv, к) = deg (bjv-A-i) — deg(bjv-i),
deg(aN,k) = deg(bjv-/?) - deg(bjv-i)- Для к = N -1 находим
= dN,N-lP2
где deg(ajv,jv-i) = deg(pi) -deg(bjv-i) < deg(pi), deg(ajv,jv-i) =
= deg(p2) — deg(bjv-i) < deg(p2)- (Мы использовали то, что
deg(fojv-i) ^ 1; если бы deg(bjy-i) равнялась 0, то Ь;у равнялось бы 0.)
Следовательно, qi = ajv,iv-i/bjv5 <h = fliv,iv-i/bjv — решения F.1.8),
удовлетворяющие требуемым ограничениям на степени.
5. Осталось установить единственность. Допустим, что }1,}2и §i,
(J2 — две пары решений F.1.8), для обеих выполнены ограничения на
степень. Тогда
Pi (9l - §l) +P2(<l2 ~ Ъ) = 0-

236 Глава 6
Поскольку pi, p2 не имеют общих нулей, каждый ноль р2 является
нулем qi — q\ кратности, по крайней мере, не меньшей. Неравенство
q1 ф q\ означает, что deg (qi — q\) Js deg (р2), а это невозможно, посколь-
поскольку deg(^i), deg (q~i) < degfa)- Отсюда qi = q\. Из этого немедленно
следует, что q2 = q2. Ш
Замечание.
1. Для дальнейшего удобства (глава 8) мы сформулировали теорему Безу
в более общем виде, чем это необходимо в данной главе. На самом деле ее
утверждение выполняется даже при более общих условиях: для pi и р2, име-
имеющих общие нули, F.1.8) по-прежнему разрешимо, если его правая часть де-
делится на наибольший общий делитель (и.о.д.) pi, p2. Доказательство остается
таким же, теперь лишь fejv является н.о.д. pi, рг, а не константой. Доказатель-
Доказательство представляет нечто иное, как построение н.о.д. по алгоритму Евклида.
Он работает и во многих других областях, помимо полиномов.
2. Из конструкциир\, р2 ясно, что если р\ и р2 имеют лишь рациональные
коэффициенты, такими же будут и коэффициенты qi и д2. Это используется
в главе 8. ?
Теперь применим этот результат к имеющейся проблеме, т. е.
к уравнению F.1.7). В силу теоремы 6.1.1 существуют единственные
полиномы qi, q2 степени ^ N — 1 такие, что
l. F.1.9)
Подставляя 1 — у вместо у в F.1.9), приходим к соотношению
A - y)N q2(l - у) + yN Ql(l - у) = 1;
при этом единственность q±, q2 дает q2(y) = qi(l — у)- Следовательно,
Р(у) = qi(y) — решение F.1.7). В этом случае мы можем найти qi
в явном виде, даже не используя алгоритм Евклида:
qi(y) = A -»)-" [l - yN qi(i - у)] = x; (N+^ ~г) ук+°(yN)>
где мы выписали в явном виде первые N членов разложения Тейлора
для A — y)~N- Так как deg(^i) ^ N — 1, q\ совпадает со своим разло-
разложением Тейлора, оборванным после iV-ro члена, или
^ (N + k-l
fc=0

6.1. Построение то 237
Этим дается явное решение F.1.7). (К счастью, при у ? [О, 1] оно поло-
положительное, а значит, является хорошим кандидатом на роль |^(^)|2.)
Это единственное решение, имеющее самую низкую степень, мы обо-
обозначим через Pjv-3 Однако существует много решений более высоких
степеней. Для каждого такого решения мы имеем
A - y)N[P(y) - PN(y)} + yN[P(l -y)-PN(l- у)} = 0.
Отсюда получаем, что Р — Рдг делится на yN,
P(y)-PN(y) = yNP(y).
Более того, ^ ^
Р(у) + РA - у) = 0,
т.е. Р — антисимметричен по отношению к ^ Все наши открытия
соберем в
Предложение 6.1.2. Тригонометрический полином т0 вида
mo(fl=
удовлетворяет F.1.1) тогда и только тогда, когда L(?) = |i?(?)|2 мо-
может быть записан в форме
где
N(l) F.1.11)
k=0
R — нечетный полином, выбранный так, чтобы Р(у) ^ 0 для у € [0, 1].
Это предложение полностью характеризует |тоо(С)|2- Для наших
целей нам необходима все-таки то, а не |то|2- Как же мы «извлечем
квадратный корень» из L? Здесь нам на помощь приходит лемма Рисса
(см. Пойа, Сеге [155]).

238 Глава 6
Лемма 6.1.3. Пусть А будет положительным тригонометричес-
тригонометрическим полиномом, инвариантным под действием подстановки ? н->- — ^,
т. е. А обязательно имеет вид
м
А(?) = ^^ ат cosm?, где ат € Ж.
т=0
Тогда существует тригонометрический полином В степени М, т. е.
м
В(?) = У^ bm elm^, где Ьт € К,
т=0
такой, что \В(?)\2 = А(?).
Доказательство.
1. Мы можем записать А(?) = pa(cos^), где ра — полином степе-
степени М с вещественными коэффициентами. Этот полином можно разло-
разложить на множители
м
Ра(с) = о. _^_|Дс — Cj),
где Cj, нули ра, появляются либо комплексными парами Cj, Cj, либо
поодиночке в вещественном виде. Мы также можем написать
где Ра — полином степени 2М. Для \z\ = 1 мы имеем
м ± м
F.1.13)
3 = 1 3 = 1
таким образом, полиномы в левой и правой части совпадают на всей
плоскости С.
2. Если Cj — вещественный, то корнями - — CjZ + -z2 являют-
являются cj ± л/с| — 1. При \cj\ ^ 1 это два вещественных нуля (вырожда-
(вырождающихся, если Cj = ±1) вида r-j, rj1. При \cj\ < 1 два корня явля-
являются комплексно сопряженными, равными 1 по абсолютной величине,

6.1. Построение то
239
т. е. вида ela>, е га'. Поскольку \cj\ < 1, такие нули соответствуют «фи-
«физическим» нулям А (т.е. значениям ?, для которых А(?) = 0). Чтобы
не прийти к противоречию с А ;> 0, эти нули должны иметь четную
кратность.
3. Если Cj — не вещественный корень, то мы рассматриваем его
вместе с су. = Cj. Полином ( ^ — Cjz+ \z2\ ( ^ — CjZ+ =;Z2 J имеет четыре
нуля Cj ± л/с? — 1 и Cj ± J~ej — 1. Легко проверяется, что все четыре
нуля различны и образуют четверку zj, zj1, ~Zj, 1J1.
4. Таким образом, мы имеем
Pa(z) = l
- Zj)(z - Zj)(z - zj
- zj1
f
f[(
z -
f[(z - r,)(z - r,
где перегруппированы три различных вида нулей.
5. Для z = е~*? на единичном круге мы имеем
= \zo
~1 \е~^ - zo\2.
Следовательно,
= \А@\ =
= \\\ы
П
k=l
- e
= \B(Z)\2,
где
if
k=i
1/2
п<
к=1
cos ak
J=l

240 Глава 6
очевидно является тригонометрическим полиномом степени М с ве-
вещественными коэффициентами. ¦
Замечание.
1. Это доказательство является конструктивным. В нем используется
разложение полинома степени М на множители, что, однако, должно делать-
делаться численным образом и может привести к проблемам, если М велико и неко-
некоторые из нулей близки друг другу. Заметим, что в отличие от других проце-
процедур, в которых на множители раскладывается непосредственно Рд, полином
степени 2М, в этом доказательстве нам нужно раскладывать на множители
полином всего лишь степени М.
2. В технической литературе эта процедура «извлечения квадратного
корня» также называется спектральной факторизацией.
3. Полином В — не единственный! Например, для нечетного М поли-
D М -1
ном Ра может иметь —-— четверок комплексных нулей и одну пару ве-
вещественных нулей. В каждой четверке мы можем выбирать, оставить ли в В
пару zj, ~Zj, или же zj1, г. В каждой паре мы можем выбрать либо п, ли-
либо Г;. Так получаем уже 2<-м+1^2 различных вариантов для В. Кроме того,
мы всегда можем умножить В на е^, п — произвольное из Z. ?
Предложение 6.1.2 и лемма 6.1.3 говорят о том, как построить все
возможные полиномы то, удовлетворяющие F.1.1) и F.1.2). До сих пор,
однако, не ясно, приводит ли какой-нибудь из таких полиномов то к ор-
тонормированному базису вейвлетов. На самом деле некоторые из них
не обладают этим свойством. Это будет обсуждаться в двух следующих
параграфах. Те читатели, которые хотели бы пропустить технические
детали, могут найти главные результаты, сведенные в теорему 6.3.6
в конце § 6.3.
6.2. Связь с ортонормированными базисами
вейвлетов
Мы начнем с вывода формулы для кандидата на роль масштабиру-
масштабирующей функции (р. Как только это будет сделано, мы проверим, когда
этот кандидат на самом деле определяет кратномасштабныи анализ.
Если тригонометрический полином т0 связан с кратномасштаб-
ным анализом, как это описано в §5.1, а соответствующая масштаби-
масштабирующая функция <р принадлежит Ьг(Ж), то для всех ?

6.2. Связь с ортонормированными базисами вейвлетов 241
(См. E.1.17). Непрерывность ф и тоо позволяет нам опустить «п. в.».)
Более того, из замечания 3, следующего после предложения 5.3.2, мы
знаем, что обязательно выполняется ф@) ф О, откуда тоо(О) = 1. В си-
силу F.1.1) это в свою очередь влечет тоо(тг) = 0. Следовательно, для всех
к е Ъ,к фО,
фBкж) = фB21Bт + 1)тг) (для некоторых / ^ 0, то € Ъ)
'1-jBto + 1)тгI тоо(Bто + 1)тг) ф(Bт + 1)тг) =
= тоо(тг)^(Bто + 1Oг) = 0.
Поскольку ^ |^(^ + 2тг/)|2 = Bтг)~1 (см. E.1.19)), это фиксирует нор-
I
мировку ср: \<р@)\ = B7Г)/2 или \fdx<p(x)\ = 1. Удобно так выбрать
фазу <р, чтобы J dx<p(x) = 1. Принимая все это во внимание, из F.2.1)
получаем, что
оо
^) = Bтг)-1/2П™0B-^). F.2.2)
Такое бесконечное произведение имеет смысл: так как J^ \hn\ \n\ < оо,
п
тоо(О) = 1, тоо(^) = 2/2 ^ hn е~гп? удовлетворяет неравенству
^ \hn\ | sin</2|
п
откуда
Тогда бесконечное произведение в правой части F.2.2) сходится абсо-
абсолютно и равномерно на компактных множествах.4
Все это применяется в общем случае как только tp ? L1, a hn
имеет достаточное убывание. В рассматриваемом случае тоо — три-
тригонометрический полином (лишь конечное число hn отлично от нуля),
и мы ищем <р с компактным носителем. Вместе с очевидным ограни-
ограничением (р ? L2, компактность носителя для tp означает, что ip ? L1,
значит, вышеприведенные рассуждения применимы. Тогда F.2.2) —

242
Глава 6
единственно возможный кандидат (с точностью до постоянного фазо-
фазового множителя) на роль масштабирующей функции, соответствующий
тригонометрическому полиному тоо, построенному в §6.1. Теперь нам
надо проверить, что <р удовлетворяет некоторым основным требова-
требованиям на масштабирующую функцию. Прежде всего, ip интегрируема
с квадратом:
Лемма 6.2.1 (Малла [132]). Если 2тг-периодическая функция
°°
тоо удовлетворяет F.1.1), а произведение Bж)~х'2 П moB~J?) сходит-
ся п. в., то его предел
Доказательство.
1. Определим Д
j
принадлежит Ь2(Ж), и \\<р\\ь2 ^ 1-
?) = B7т)/2 Гft "ioB-
Х[—к, тг](С) = 1) если \(\ ^ 7Г, 0 в противном случае. Тогда fk
чечно п. в.
2. Более того,
где
ф пото-
пото2"-
j di\fk{0\2 = BЖ)-1 f
2k+1* к
= B7т) / d? ТТ |тооB~;'^)|2 (в силу 2тг-периодичности тоо)
i=1
= B7Г)
-1
3. Следовательно, для всех к
(в СИЛУ
= НЛ-il
Поэтому, по лемме Фату,
к^юо

6.2. Связь с ортонормированными базисами вейвлетов
243
Далее, поскольку тоо — тригонометрический полином, следующая
лемма, позаимствованная из работы Делорье и Дюбука [67], доказывает,
что tp имеет компактный носитель.
N¦2 N-2
Лемма 6.2.2. Если Г(?) = ? lne~ini, где ? 7™ = 1, то
оо ^ n=JVi n=N!
Yl rB~J'?) — это целая функция экспоненциального типа. В частнос-
ти, она является преобразованием Фурье распределения с носителем,
принадлежащим [JVi, JV2].
Доказательство.
По теореме Пэли-Винера для распределений достаточно доказать,
оо
что Y[ rB~J'^) является целой функцией экспоненциального типа, удов-
летворяющей оценкам
C2(l-
Мз exp(JV2
Для
для
0
с некоторыми С\, Ci-, Mi, M2. Мы докажем лишь первую оценку, вторая
оценка полностью ей аналогична. Определим
Тогда
п=0
и нам нужно доказать лишь полиномиальную оценку для
при 1т? ^ 0. При 1т С ^ 0 мы имеем
FiB
и=0
|7n+iVl|miii(l,n|C|)^Cmiii(l,|C|).
п=0

244
Выберем произвольное ?, Im?
оо оо
nriB"j^)
^№ +
Глава 6
" ^ 0. Если
с
С2--*]^]
i
1, то
Если |?| ^ 1, то существует такое jo ^ 0, что 2JO ^ |^| < 2JO+1 и
•С) ехр[1пA + С) In|?|/ln2] ^ A + C)ec\t
ec
F.2.4)
Комбинируя F.2.3) для |?| ^ 1 и F.2.4) для |?| ^ 1, устанавливаем
необходимую полиномиальную оценку. ¦
Продолжим далее. Всего этого недостаточно, тем не менее, что-
чтобы определить настоящую масштабирующую функцию. Контрприме-
Контрпримером является
тоЮ =
1 +
Эта функция удовлетворяет F.1.1), причем тоо@) = 1. Подставляя ее
в F.2.2), приходим к5
или
в противном случае.
Такая масштабирующая функция не «хороша»: функции ipojn(x)=ip(x—n)
не являются ортонормированными, хотя тоо удовлетворяет F.1.1).
Можно взглянуть на это по-другому, заметив, что E.1.19) не выпол-
выполняется:
| + | cos
| cos

6.2. Связь с ортонормированными базисами вейвлетов 245
Это означает, что ^ |<5?(?+2тг/)|2 = 0 для ? = 4р, и тогда не выполняется
i 6
даже E.3.2): ipo,n не являются даже базисом Рисса для натянутого на
них пространства.6
Чтобы избежать неудач подобного сорта, мы должны наложить до-
дополнительные условия на too, гарантирующие, что <р порождает истин-
истинный кратномасштабный анализ. Эти условия дают
_ F.2.5)
i
для всех ?. Как только выполняется F.2.5), работает и все прочее: про-
пространства Vj = Span{y>j>n; ngZ} образуют кратномасштабный анализ
(см. § 5.3.2), в каждом Vj функции {<Pj,n)nez образуют ортонормирован-
ный базис. Определим ф с помощью
- п), F.2.6)
которая автоматически имеет компактный носитель, поскольку его
имеет tp и лишь конечное число hn отлично от нуля. Тогда семейство
(ipj,k)j,kez образует ортонормированный базис для Ь2(Ж) из вейвлетов
с конечными носителями.
Прежде чем приступить к условиям на тоо, которые гарантируют
выполнение F.2.5), сделаем интересное замечание. Даже если условие
F.2.5) не выполнено, функция ф, определенная с помощью F.2.6), все
же порождает жесткий фрейм, что доказано Лоутоном в [121].
Предложение 6.2.3. Пусть тоо — тригонометрический полином,
удовлетворяющий F.1.1) и тоо(О) = 1. Пусть также ip, ф являются
функциями из 1? с компактными носителями, определенными с помо-
помощью F.2.2), F.2.6). Как обычно, определим i/>j,k(x) = 2~j/2 i/>B-jx-k).
Тогда для всех f e L2 (Ж)
? К/, ^,*>Г = 11/1Г.
j,kez
т. е. (ipj,kl j, к ? Ъ) образуют жесткий фрейм для Ь2(Ш).
Доказательство.
1. Во-первых, напомним, что F.1.1) можно переписать так:
22^тЬ,т+2к = 5k,0 F.2.7)
т
(см. E.1.39)).

246 Глава 6
2. Выберем из С°° функцию / с компактным носителем. Тогда
Z) К/' <Pi,k)\2 сходится для всех j:
dy\V{y-k)\\ F.2.8)
к у?2~з supp(/)
Выберем К так, чтобы пересечение 2 •7supp(/)n[2 J supp (/)+&] было
пустым, если к ^ К. Тогда
dy\v{y-k)\2 =
J supp(/)
К-1 . К-1
/
(потому что для любого / множества
B~J supp (/) +1 + mK)mez не перекрываются)
Аналогично, ряд ^ |(/, ф],к)\2 сходится для всех j.
к
3. Поскольку ip = ^2hn ip-i,ni Ф = S(~l)" h-n+i <P-i,ni мы имеем
hn-2k hm-2k + (-1)"+™ h-n+1+2k h-m+1+2k] X
к т,п
x(/, ?>-i,n>(?>_ilOT, />• F.2.9)
Легко проверить, что правая часть F.2.9) абсолютно суммируема (ис-
(используем, что лишь конечное число hn не равняется нулю), тогда мы
можем поменять порядок суммирования.

6.2. Связь с ортонормированными базисами вейвлетов 247
4. Если п, то — четные, п = 2г, то = 2s, мы имеем
h-2r+2k+l h-2s+2k+l] =
к I
(подставляем к = s + r — I)
2r-ph2S-p = Sr,s = дщт (в силу F.2.7)).
p
Аналогично, если п, т — нечетные, п = 2г + 1, т = 2s + 1, тогда
r+l-2k Il2s+l-2k + h-2r+2k h-2s+2k] = &r, s =
к
5. Если п = 2r и т = 2s + 1, то
2_JJl2r-2k h2s+l-2k + h-2r+2k+l h-2s+2k] =
= 2
к I
(подставляем к = s + г — I) = 0 = Sn,m.
6. Отсюда получаем
к
для всех то, п. Следовательно,
?[|сл <ро,н)\2 + к/, Фо,к)\2] = Y, к/» v-i>m>r-
Продолжая, имеем
j
Е Ек/'^д>г = Ек/^-^^I2-Ек/'^^I2- F-2л°)
j=-J+lfcGZ к к
7. Оценки, сходные с оценками из пунктов 3 и 4 доказательст-
доказательства предложения 5.3.1, показывают, что для выбранной непрерывной /

248 Глава 6
с компактным носителем верна оценка ^ |(/, <?"./, а) |2 ^ ?¦, гДе ? — про-
к
извольно малое, если J достаточно велико (J зависит от / и е). Анало-
Аналогично, оценка из пункта 3 доказательства предложения 5.3.2 приводит к
El
к
/, <p-j,k)\2 =2* J dt\<pB-Jt)\2\№\2 +R, F.2.11)
где \R\ ^ е, если J достаточно велико. Поскольку ф непрерывна в ? = О
и ф@) = B7Г)/2, первое слагаемое в правой части F.2.11) сходится
к /сЙ;|/(С)|2 ПРИ J ~^ °° (по теореме об интегрируемости предела:
\ф@\ ^ B7Г)/2 для всех ?, поскольку |тоо| ^ 1 в силу F.1.1)). Сочетая
все это с F.2.10), мы имеем
? К/, ФзЛ2 = 11/1Г
j,fcGZ
для всех функций / из С°°, имеющих компактный носитель. Поскольку
они образуют плотное множество в L2, результат переносится на все
Ь2(Ш) обычными рассуждениями о плотных множествах. ¦
Не накладывая каких-либо дополнительных условий на то, мы уже
имеем жесткий фрейм с постоянной, равной единице. Согласно предло-
предложению 3.2.1, этот фрейм является ортонормированным базисом тогда
и только тогда, когда \\ф\\ = 1 (используем, что ||^,*|| = \\Ф\\ Для всех
j, к € Z), или, что эквивалентно, если j dxф(х) ф(х — к) = Sk,o Для
всех к ? Z.7 В свою очередь это условие эквивалентно ^ \ф(^ + 2ж1)\2 =
i
= B7т)-1. Используя |^(О| = |гао(С/2+тг)||^/2)| (следствие F.2.6)),
его можно переписать в виде:
|то(?/2 + тг)|2 а{Ц2) + |гао(С/2)|2 а{Ц2 + тг) = 1, F.2.12)
где а(() = 2тг J^ \ip(( + 2тг/)|2. Это эквивалентно
i
1™о(С)Г [«(С + тг) - 1] + |гао(С + тг)|2 [а@ - 1] = 0. F.2.13)
Мы имеем гао(С) = -4= X) ^™ е~™с, где /г^ ^ О Ф ^n2, тогда |тоо(С)|2
Л/2 п=Л»!
является полиномом по cos С степени N2 — Ni. С другой стороны,

6.2. Связь с ортонормированными базисами вейвлетов 249
"(С) = Е«;е"ЯС, где щ = B7т) / d?e"« |^)|2 = B7т) Jdx<p(x)x
Х(р(х — /) = 0, если / ;> N2 — Ni, поскольку supp ip С [JVi, JV2]. Следо-
Следовательно, а(С) — 1 является полиномом по cos С степени N2 — N\ — 1.
Однако в силу F.2.13) a(Q — 1 становится нулем, как только |тоо(С)|2
превращается в нуль (|тоо(С)|2 и |тоо(С + т)|2 не имеют общих нулей),
тогда этот полином имеет по крайней мере (N2 — JVi) нулей (с учетом
кратности). Так как степень его равна N2 — Ni — 1, он должен тож-
тождественно равняться нулю, т.е. а(?) = 1 или ^ \(р(? + 2тг/)|2 = Bтг)~1.
Это является другим методом получения того, что условие F.2.5) не-
необходимо и достаточно, чтобы ф^и образовывали ортонормированный
базис.
В неортонормированном примере, который мы рассмотрели выше,
то{?) = ^A + е~31^), и F.2.6) для ф приводит к функции
ф(х) =
-3, 2^^o,
О в противном случае.
В этом случае ф на самом деле не нормирована, \\ф\\ = 3 112. Если мы
определим ф = Ц^Ц^, то функции Фэ,к становятся нормированны-
нормированными и образуют жесткий фрейм с константой 3: «избыточность» этого
каркаса равняется 3. Это перестает удивлять, как только мы поймем,
что семейство ('ipj,k)j,kez можно рассматривать как объединение трех
сдвинутых копий «вытянутого» базиса Хаара:
/ г» / Хаар
Vj,3k = Aj Wj,k '
= (D3 ф*™р){х - 1/3),
= (?>3 Ф1Г)(х ~ 2/3),
Вернемся, однако, к условию F.2.5),

250 Глава 6
или его эквиваленту
dx(p(x)(p(x - п) = <$nio. F.2.14)
Было разработано несколько стратегий, относящихся к условиям на тоо,
которые обеспечивают выполнение F.2.5) или F.2.14). В большинстве
из этих стратегий доказывается, что усеченные функции fk, введен-
введенные в доказательстве леммы 6.2.1 (или некоторые другие усеченные
семейства) сходятся к (р не только поточечно, но также и в Ь2(Ж). По-
Поскольку нетрудно показать, что для каждого фиксированного к функ-
функции {fk(- — п); п ? Z} являются ортонормированными, такая /^-сходи-
/^-сходимость автоматически влечет F.2.14). Условиями на то, достаточными
для обеспечения такой Ь2-сходимости, являются, например,
• inf |mo(?)| >0 (Малла [132]) F.2.15)
или
где
sup |i?(?)| ^ 2N~1/2 (Добеши [53]). F.2.16)
С
Ни одно из этих условий не является необходимым, однако оба охва-
охватывают много интересных примеров. Лучшие, чем F.2.16), оценки \??\
приводят к регулярности для tp и ф. К этому мы вернемся в главе 7.
Позже были найдены необходимые и достаточные условия на тоо- Под-
Подробно мы обсудим это в следующем пункте.
6.3. Необходимые и достаточные условия
ортонормированности
Первое необходимое и достаточное условие на тоо, гарантирующее
?2-сходимость fu, было обнаружено Коэном [35]. Условие Коэна исполь-
использует структуру множества нулей тоо- Перед изложением его результата
удобно ввести новое понятие.
Определение. Компактное множество К называется конгруэнт-
конгруэнтным [-7Г, тг] по модулю 2тг, если
1. \К\ =2тг.
2. Для всех ? из [—тг, тг] существует такое / € Z, что ? + 2тг/ € К.

6.3. Необходимые и достаточные условия ортонормированности 251
-Ц-я 3 3
/4 0 4^ 1.*
1 1 1
t -Ъп -1я -я к я 5 я 7
-ЩЯ   Г 4*
РИС. 6.1. К = [-y^-lf71"] L
является компактным множеством, конгруэнтным [ — тг, тг] по модулю 2тг.
Его можно рассматривать как результат вырезания кусков [ — тг/2, — тг/4] и
[5тг/8, Зтг/4] из [ — тг, тг] и сдвига первого из них вправо на 2тг, а второго —
влево на 4тг
Обычно подобное компактное множество К, конгруэнтное [—тг, тг],
можно рассматривать как результат работы типа «разрежь и склей» на
множестве [—тг, тг]. Пример приведен на рисунке 6.1. Теперь мы готовы
сформулировать и доказать теорему Коэна.
Теорема 6.3.1 (Коэн [35]). Предположим, что то являет-
является тригонометрическим полиномом, удовлетворяющим F.1.1), причем
тоо(О) = \, <р определена с помощью F.2.2). Тогда следующие утвержде-
утверждения эквивалентны:
1.
dx <р(х) <р(х - п) = Snfi- F.3.1)
2. Существует такое компактное множество К, конгруэнтное
[—тг, тг] по модулю 2тг, содержащее некоторую окрестность 0, что
inf inf |moB-*?)| >0. F.3.2)
Замечание. Условие F.3.2) может выглядеть несколько техническим
и трудным для практической проверки. Напомним, однако, что К является
компактным и, таким образом, ограниченным: К С [-R, R]. В силу непре-
непрерывности то и условия то@) = 1 равномерно для всех |?| ^ R выполняется
неравенство |moB~fc?)| > -, если fc больше некоторого fco. Это означает сведе-
сведение F.3.2) к требованию, чтобы fco функций то(?/2), то(^/4), ... , moB~fc°?)
не имели нулей на К, или, что эквивалентно, то не имела нулей на К/2,
К/4, ... , 2~k° К. А это уже более доступно!
Доказательство теоремы 6.3.1.
1. Начнем с доказательства A) =>• B).

252 Глава 6
Предположим, что выполнено F.3.1) или, эквивалентно,
i
+ 2тг/)|2 = B7т). Тогда для всех ? € [—тг, тг] существует такое 1^ € N,
что
\ф{- + 2тг/)|2
Поскольку (р является непрерывной, конечная сумма
также непрерывна. Тогда для каждого ? из [—тг, тг] существует такая
окрестность {(; \( — ?| ^ Щ}, что для всех ? из этой окрестности
Поскольку [—тг, тг] является компактным, существует конечное подмно-
подмножество набора интервалов {?; |С — ?| ^ Щ}, которое по-прежнему
покрывает [—тг, тг]. Возьмем /о в качестве максимума 1^, связанных
с этим конечным покрытием. Тогда для всех ( € [—тг, тг] выполняется
неравенство
? 2^(8тг)-1. F.3.3)
2. Следовательно, для каждого ^ ? [—тг, тг] существует такое / меж-
между —/о и Iq, что \ф(? + 2тг/)| ^ [8тгB/о + l)]^2 = С. Теперь определим
множества 5/, —/о ^ ' ^ ^о- Положим
[-тг, тг];
С},
и для /
SkUS0);
Множества 5/, —/о ^ ' ^ ^о? образуют разбиение [—тг, тг]. Поскольку
|<5?@)| = Bтг)-1/2 > С, а (р — непрерывна, Sq содержит окрестность 0.
Теперь определим
h
К=
l=-h

6.3. Необходимые и достаточные условия ортонормированности 253
Ясно, что К является компактным и конгруэнтным [—тг, тг] по моду-
модулю 2тг. В силу построения верно, что \ф(?)\ ^ С на К, а К содержит
окрестность 0.
3. Далее мы увидим, что К удовлетворяет F.3.2). Как указывается
в замечании, предшествующем доказательству, нам нужно лишь про-
проверить, что inf |moB~fc?)| > 0 для конечного числа к, 1 ^ к ^ ко- Для
? ? К значение
№)\ = (ft l™oB-fcC)|) l^B-fc4)l F-3.4)
4
= (ft l
отделено от нуля снизу. Поскольку функция \(р\ также ограничена, пер-
первый множитель в правой части F.3.4) не имеет нулей на компактном
множестве К. Являясь конечным произведением непрерывных функ-
функций, это выражение само является непрерывным при условии, что
ко
Л\тоB-кО\ Ж >0 дяя^еК.
k=i
Таким образом, в силу неравенства |тоо| ^ 1 мы имеем для любого к,
1 ^ к ^ ко,
ко
к' = 1
Это доказывает, что F.3.2) выполняется, и завершает доказательство
A) => B).
4. Теперь докажем обратное: B) => A).
Г к ¦ 1
Определим /xfc(?) = Bтг)/2 П ™оB"Ч) \ХкB~к0> гДе Хк явля-
b=i J
ется характеристической функцией К, т.е. хк@ = 1, если ? ? К,
0 в противном случае. Поскольку К содержит окрестность нуля, рьи^-ф
поточечно при к —>¦ оо.
5. По сделанному предположению \тоB~к^)\ ^ С > 0 для fc ^ 1 и
I; ? К. С другой стороны для любого ? мы имеем |то(?)— гао(О)| ^ С'|?|-
Отсюда |тоо(?)| ^ 1 — С"|?|. Поскольку if ограничено, мы можем найти
такое ко, что 2~fcC"|?| < ^, если ? ? К и к ^ ко. Таким образом,

254 Глава 6
используя 1 — х ^ е~2х для 0 ^ х ^ }-, находим, что для ? € К
к0 оо
к=ко + 1
схэ
к=1
к=ко
Это можно перефразировать следующим образом:
Хк@ 4: №)\/С".
Отсюда
к
Ы?)\ = B7Г)-1/2 Д \тоB-^)\хкB-кО ^
= С" > 0.
F.3.5)
Мы можем применить теорему об интегрируемости предела мажори-
мажорируемой последовательности и получить, что ///. —>¦ (р в L2.
6. Конгруэнтность if и [—тг, 7г] по модулю 2тг означает, что для
любой 2тг-периодической функции / имеем
7Г
/ с??/(?) = /
2т
= /
. В частности,
/
d(Y[\moBl()\2e-in2k< =
1=0
ЛС)\2 =
'=1

6.3. Необходимые и достаточные условия ортонормированности 255
= B7Г)-1 2к I d(e-in2k< [ft |™оBгС)Г] [|то(С)Г + \ЫС + тг)Г] =
о /=1
} k-i
= BтгГ12к d(e-in2k<Y[\m0Bl()\2 =
'=1
о
2тг
= Bтг)-12А-1 /
о
'=о
Поскольку
о
это влечет /d? |//fc(C)|2 е~™4 = Sn,0 для всех А;. Тогда
[<%\<р{$\2е-**= lim [ \цк{?)\2 е-**
(поскольку //fc —>¦ <J? поточечно и выполнено F.3.5)) = <5п,о?
что эквивалентно F.2.5), а следовательно, и F.3.1). ¦
Замечание. «Усеченные» функции /j,k не совпадают с Д, введенными
в доказательстве леммы 6.2.1, однако последующие рассуждения показывают,
что ?2-сходимость /_ik предполагает ?2-сходимость Д. Прежде всего, К со-
содержит окрестность 0, К D [—а, а] для некоторого а, 0 < а < тг. Определим
/г
i/fc = Bтт)/2 П moB"JC)x[-a,Q]B"fcC)- Поскольку Х[-а,а] ^ Хх, применим
те же рассуждения, что и в случае /Lt&, и тогда Vk —> ^ в L2. Следователь-
Следовательно, ll/it/г — г/&||х,2 —>¦ 0 при к —> схэ. Используя конгруэнтность К и [—тг, тг] по
модулю 2тг, видим, что \\цк - vk\\L2 = ||Д - i/fcll^. Тогда ||Д - ф\\ьъ ^ ||Д -
- vh\\L2 + \\vk - ф\\Ь2 ->¦ 0 при fc -»¦ оо. g
Заметим, что если условие Малла F.2.15) выполнено, то мы можем
просто взять К = [—тг, тг]. Тогда условие Коэна очевидным образом
выполняется, и фо}П на самом деле ортонормированы. В следующем
следствии дается другой пример того, как применять условие Коэна.

256 Глава 6
Следствие 6.3.2 (Коэн [35]). Предположим, что тоо являет-
является тригонометрическим полиномом, удовлетворяющим F.1.1), причем
тоо(О) = 1, а функция ip определена с помощью F.2.2). Если тоо не имеет
нулей на [—тг/З, тг/З], то <ро,п являются ортонормированными.
Доказательство.
Нам нужно лишь построить подходящее компактное множество К.
Поскольку тоо может иметь нули среди тг/З < |?| ^ тг/2, множество К =
= [—тг, тг] больше не является хорошим выбором. Но мы можем начать
именно с него и «вырезать нули». Более точно, предположим, что нули
тоо на интервале тг/З < |?| ^ тг/2 обозначены через ?+ < ... < ?+ •
(Их число обязательно конечно, поскольку тоо — это тригонометричес-
тригонометрический полином.) Аналогично обозначим через ?j^ < ... < ?j~ нули тоо
на интервале —тг/2 ^ |?| < —тг/З. Для каждого / выберем 1^, пересе-
пересечение [—тг, тг] и некоторого малого открытого интервала, содержаще-
содержащего ^ , достаточно малыми, чтобы они не перекрывали друг друга или
[—тг/З, тг/З] и выполнялось неравенство |тоо|7± < ^. (Если ?+ = тг/2,
то 1~1 будет вида ]тг/2 — е, тг/2].) Определим К, вырезав интервалы 27;
из [—тг, тг] и добавив их снова, уже сдвинутыми влево или вправо на 2тг:
и
7=1 ' \=1 ' >
U | (J B7+ - 2тг)} U | U B7Г + 2тг)|. F.3.6)
(См. рис. 6.2.)
Теперь проверим, имеет ли тоо нули на множествах К/2, К/4,
Запишем К в виде Kq U К\, где Ко — это [—тг, тг] с вырезанными 27; ,
а К\ — оставшаяся часть. По построению тоо не имеет нулей на Kq/2.
С другой стороны,
/=i
Поскольку |тоо(^)| ^ 1/2 для ? € 7^, а тоо удовлетворяет F.1.1),
для ? € 7;± выполняется неравенство |toq(? ± тг)| ^ л/3/2, значит,

6.3. Необходимые и достаточные условия ортонормированности 257
a) nil'
К
Рис. 6.2. На рисунке предполагается, что то имеет лишь один ноль на ин-
интервале тг/3 < |С| < тг/2, а именно, ?+ = ||. Выберем J+ = ] ||, Щ [.
Отсюда 2/+ = уу, ~п?~ • ^ соответствии с F.3.6) в качестве компактного
множества К выступает [-^, -^] U [-тг, Щ] U [^, тг]
too не имеет нулей и на К\/2. Для всех n ^ 2 следующие рассуж-
рассуждения показывают, что 2~пК С [—тг/3, тг/3], и тоо не имеет нулей
на 2~пК. Этим доказывается, что К удовлетворяет F.3.2). По построе-
построению «самый левый» кусочек К имеет вид 2/+ — 2тг, «самый правый» —
2/f + 2тг. Но /+ С [тг/3, 7г/2], и отсюда 2/+ - 2тг С [-4f; ~А- То4"
но так же 2Jf + 2тг С [тг, ^]. Тогда ^ С [-^, ^] и 2"™^ С
С [-2-и+2тг/3, 2-™+27г/3]. ¦
Следствие 6.3.2 является оптимальным в следующем смысле: не-
невозможно найти такое а < \, чтобы отсутствие нулей тоо на [—атг, аж\
гарантировало ортонормированность <?>о,п- (Это иллюстрируется контр-
контрпримером тоо(^) = -кA + е~31^), который обсуждался ранее.) Точ-
Точки ? = ±^ играют особую роль по следующей причине: равенство
о
Тоо(±тг1 = 0 предполагает <р{-?- +2кж) = 0 для всех к € Z, что про-
противоречит F.2.5). Это можно проверить следующим образом. Возьмем
некоторое к ? N (с отрицательными к поступаем аналогично). Тогда к
п
имеет двоичное представление к = J^ ?j2J, где ej = 0 или 1. Мы мо-
жем добавить пару нулей в начало к = епеп-\ ...?\?§ и предполагать

258 Глава 6
?п = ?n-i = 0- Если к — четное, к = 21, тогда
(pi^f + 2&тг) = mo (| + 2/тг) ^(| + 2/тг) = 0 (так как то0 (|) = 0).
Таким образом, нам надо лишь проверить, что происходит, если к явля-
является нечетным, к = 21 +1 или ео = 1 • В этом случае Щ- + 2кж = Щ- + 4/тг,
о о
И
ф{^ + 2ктг) = тоо (^) тоо (^ + /тг) (р(^- + /тг).
Если / является нечетным, т.е. е\ = 1, то тоо Dг- +/тг) = тоо (^г) =
= тоо(~?) = 0. Следовательно, далее нам нужно исследовать лишь
случай с ?i = 0 или нечетным /. Мы можем продолжить это, показывая,
что лишь те к, для которых двоичное представление, заканчивающееся
на 010101... 01, не приводит автоматически к <р(^г + 2ктт) = 0. Но
если мы вернемся достаточно далеко назад, мы встретим епе-\ = 00,
что на самом деле дает ф( Щ- + 2ктг) = 0.
Во всех этих рассуждениях используется факт, что множество
нулей то0 содержит ||>-|} = |у, ~з/ +7Г|тО(Ц2тг) и что
I ч ' —ч~^" I является инвариантным циклом под действием операции
? н-^ 2?modB7r), отображающей [—тг, тг] в себя. В своей диссертации
Коэн [36] доказывает, что корнем проблемы являются такие инвари-
инвариантные циклы.
Теорема 6.3.3. Предположим, что тоо является тригонометри-
тригонометрическим полиномом, удовлетворяющим F.1.1), тоо@) = 1, а <р определена
при помощи F.2.2). Тогда условия A) и B) из теоремы 6.3.1 эквива-
эквивалентны следующему утверждению
3. Не существует такого нетривиального цикла {?i, ... , ?„} из
[—тг, тг] для операции ? н->- 2?тос1BтгO что |mo(?j)| = 1 для всех j =
= 1, ... , п.
Замечание.
1. Ввиду F.1.1) равенство |то(?,)| = 1, конечно, эквивалентно \nio(^j +
+ 7Г)|=О.
2. Нетривиальный означает отличный от {0}, который всегда является
инвариантным циклом.
3. В вышеприведенном примере ^i = -?-, ^2 = —;?. ?
о о

6.3. Необходимые и достаточные условия ортонормированности 259
Для доказательства данной теоремы и связанных с ней результатов
следует обратиться к работе Коэна [36]. На самом деле одна из двух им-
импликаций доказывается на шестом шаге доказательства теоремы 6.3.5,
приведенной ниже.
Совсем другой подход к выводу условий на тоо, которые гаранти-
гарантируют F.2.5), был предложен Лоутоном в [121]. Предположим, что тоо
имеет вид
N
т. е. hn = О для п < О или п > N. Полином тоо всегда можно привести
к этой форме умножением на elNl^, соответствующем сдвигу <р на JVi.
Определим сц = / dx <р(х) <р(х - I). Поскольку supp <р С [О, N], сц = О,
если \l\ ^ N, и мы можем перегруппировать нетривиальные a/, \l\ < N,
в B7V — 1)-мерный вектор (a_jy+i5 ... , ао, ... , ajy-i). Так как (р(х) =
= л/2 ^ hn (pBx — п), сц удовлетворяют уравнению
п
N _ ,¦
сц = 2 yj hn hm / dx (pBx — n) tpBx — 21 — то) =
n,m=0 ''
N JV-1 , JV
^2 hnhma,2i+m-n= ^2 \y2,hnhk-2i+n\ аи- F.3.8)
n,m=0 k= '
Следовательно, если мы определим матрицу А размерности B7V — 1) х
х B7V — 1) по формуле
N
Aik = Y,hnhk-2i+n, -N + l<^l,k^N-l, F.3.9)
п=0
где hm = 0, если то < 0 или то > N, то
Аа = а, F.3.10)
т.е. а является собственным вектором А для собственного значения 1.
Заметим, что 1 всегда является собственным значением А: если мы
определим fi с помощью fi = @, ... , 0, 1, 0, ... , 0) A в середине) или
A = Si,0, то

260 Глава 6
в силу F.2.7), т.е. Afi = fi. Если собственное значение 1 для А является
простым, то вектор а должен быть кратным /3, т. е. J dx <р{х) <р(х — I) =
= 7*^,0 Для некоторого 7 € С. Это влечет ^ \(р{?, + 2жк)\2 = Bтг)~17-
к
Поскольку |<5?Bтг?;)| = 0 для к ф 0 (см. начало § 6.2) и ф@) = Bтг)^1/2 по
определению, то 7 = 1? f dx <р(х) <р(х — I) = S^o. Так мы имеем очень
простое достаточное условие ортонормированности <^о,п-
Теорема 6.3.4 (Лоутон [121]). Предположим, что то является
тригонометрическим полиномом вида F.3.7), удовлетворяющим F.1.1),
тоо(О) = 1, а <р определена с помощью F.2.2). Если собственное значе-
значение 1 BJV — 1) х B7V — 1)-мерной матрицы А, определенной с помощью
F.3.9), является простым, то ро,п образуют ортонормированную сис-
систему.
Ортонормированность у>о,п может не иметь места, лишь если ха-
характеристическое уравнение для А имеет кратный корень 1. Это озна-
означает, что среди всех возможных выборов hn, п = 0, ... , N (N —
фиксированное), «плохие» возможности (ведущие к неортонормирован-
ным <?>о,п) образуют очень «тощее» множество. (Это утверждение более
точно сформулировано Лоутоном в [121].) Для N = 3, например, един-
единственным неортонормированным выбором (с точностью до фазового
множителя) является ho = /13 = 1/2, h\ = hi = 0.
Условие Лоутона можно рассмотреть в терминах тригонометричес-
тригонометрических полиномов. Определим, как и прежде, Мо(?) = |тоо(^)|2 и введем
следующий оператор Pq, действующий на 2тг-периодических функци-
функциях /.
(Ро/Ш) = М0(ф) /(С/2) + М0(С/2 + тг) /(С/2 + тг).
Ясно, что постоянный полином 1 инвариантен под действием Ро в силу
F.1.1). Записывая все в терминах коэффициентов Фурье, мы имеем
откуда

6.3. Необходимые и достаточные условия ортонормированности 261
^п hn-k f2l-k = 2_^ ( /_^i hn hn-2l+m \ fm-
m ^ n '
или
(Pof)l = 2_^
Формула F.3.8) содержит то же самое выражение! (Мы не предполага-
предполагали, что fm = 0 для \т\ > N, так что выражение не совсем то же.) Следо-
Следовательно, условие Лоутона удовлетворяется, если мы знаем, что единст-
единственными тригонометрическими полиномами, инвариантными под дей-
действием Ро, являются постоянные.
Изначально непонятно, является ли условие Лоутона достаточным
или нет: допустимо, чтобы для собственного значения 1 матрица А
имела собственный вектор, отличный от /3, и при этом, тем не менее,
а равнялось /3. Однако весной 1990 года Коэн и Лоутон независимо друг
от друга доказали, что их условия эквивалентны (обобщение можно
найти в работе Коэна, Добеши, Фово [41] в виде теоремы 4.3; см. также
работу Лоутона [122]), откуда следует достаточность условия Лоутона.
Теорема 6.3.5. Предположим, что то является тригонометри-
тригонометрическим полиномом, для которого выполнено F.1.1) и Тоо@) = 1. Если
существует компактное множество К, конгруэнтное [—тг, тг] по моду-
модулю 2ж, содержащее окрестность 0, для которого inf inf |moB~fc?)| > 0,
то единственными тригонометрическими полиномами, инвариантны-
инвариантными под действием Ро, являются постоянные.
Замечание. Если мы обозначим через (Л) изначальное условие Лоуто-
Лоутона, через (К) — условие Коэна, через (Р) — условие Лоутона, переписанное
в терминах Ро, через (О) — ортонормированность ipo,n, то мы уже знаем,
что
(Р) => (Л) => (О) => (К).
Достаточно доказать (К) => (Р), чтобы установить эквивалентность всех че-
четырех УСЛОВИЙ. |-|
Доказательство теоремы 6.3.5.
1. Мы докажем, что существование непостоянного тригонометри-
тригонометрического полинома /, инвариантного под действием Ро, противоречит су-
существованию компактного множества К со всеми необходимыми свой-
свойствами. Предположим, что / и есть такой полином. Определим /i(?) =
= f(O ~min/(C); /2(О = ~f(O +max/@- Поскольку / отличен от по-
постоянной, по крайней мере для одного из /i, /2 выполняется fj(O) ф 0.

262 Глава 6
Возьмем j, для которого fj(O) ф О, и определим /0 = fj. Тогда /о
неотрицателен, /о@) ф О, /о имеет по крайней мере один нуль, и /о
инвариантен под действием Pq.
2. Далее мы используем множество нулей /о, которое, как оказы-
оказывается, имеет очень специальную структуру. Если /о (С) = 0 для 0 ф
ф С 6 [0, 2тг[, то
О = /о(С) = (РоШ) = М0(ф) /о(С/2) + М0(С/2 + тг) /о(С/2 + тг).
Здесь Мо, /о — неотрицательны, и М0(С/2), Мо(С/2 + тг) не могут од-
одновременно обращаться в нуль ввиду F.1.1). Тогда либо /о(С/2), либо
/о (С/2 +тг) = 0. Следовательно, взяв один нуль 0 ф Ci ? [0, 2тг[ полино-
полинома /о, мы можем сопоставить ему цепь нулей С2, • • • , С& • • • из [0; 2тг[
со свойством, что Cj+i равняется Ц- либо Ц- + тг, или, что эквивалент-
но, Cj = t?j+i, где г является преобразованием С ^ 2CmodB7r), кото-
которое отображает [0, 2тг[ в себя. Являясь тригонометрическим полиномом,
/о имеет конечное число нулей. Тогда эта цепь не может продолжать-
продолжаться до бесконечности. Заметим, что цепь имеет по крайней мере два
элемента. Так, из С2 = Ci следовало бы Ci = 0. Пусть г будет первым
индексом, для которого возникает повторение, т.е. Сг = С* Для неко-
некоторого к < г. Тогда обязательно к = 1, поскольку к > 1 привело бы
к Ci = т/?~1С/г = тА~1Сг = Cr-A+ъ гДе 1 < г — к + 1, значит, г не может
быть первым индексом повтора. Следовательно, мы имеем цикл нулей
Ci, ... , Cr-i и rCj+i = Cj Для j = 1, ... , г - 2, a r?i = ?г-1- Заметим,
что r?'~1Cj = Cj Для каждого нуля из цикла.
3. Если цикл нулей исчерпывает множество нулей, отличных от 0,
мы можем найти 0 ф d ф Cj, j = 1, • • • , г — 1, для которого /o(Ci) = 0.
Его снова можно взять в качестве начала цепи нулей (д, Сг? • • • > Сг>
Каждый элемент этой новой цепи обязательно отличается от всех ??,
так как Q = ?? привело бы к d = т'^ = т'^-, т.е. d равнялось
бы некоторому Са- Рассуждая как и выше, приходим к тому, что (д об-
образует цикл нулей /, инвариантный под действием г и не связанный
с первым циклом. Мы можем продолжать построение таких циклов до
той поры, пока конечное множество нулей /о не будет исчерпано. Тогда
множество нулей /о состоит из объединения конечных циклов, инвари-
инвариантов т.
4. Теперь заметим, что если /о(С) = 0, то обязательно /о(С + 7Г) Ф 0.
В самом деле, так как тС = т(С+тг), то С и С+тг принадлежали бы одному

6.3. Необходимые и достаточные условия ортонормированности 263
циклу нулей, если /0 (?) = 0 = /о (? + тг). Если этот цикл имеет длину п,
то отсюда следовало бы, что ? = т"( = г™^ = т*1?"^ + тг) = ? + тг,
а это невозможно.
5. Наконец, отметим, что если /о (С) = 0, то Мо(? + тг) = 0. В самом
деле, для любого ? такого, что /о(?) = 0, т? тоже является нулем /о,
а следовательно,
0 =
тг)
Из того, что fo(O = 0 и /о (С + 7Г) 7^ 0? имеем Мо(? + тг) = 0; отсюда
Тоо(? + 7г) = 0. Таким образом, существование /0 предполагает сущест-
существование циклического множества ?i, ... , ?„ для г, где ^+i = t?j, j =
= 1, ... , п — 1, ?i = г?„, так что too(?j + тг) = 0 для всех j. Поскольку
/о@) т^ 0, мы имеем ?j ф 0.
6. Теперь покажем, почему эти нули ?j + тг для то несовместимы
с существованием К. Поскольку t^j = ^+i, т?„ = ?i и, в частнос-
частности, ?j = t"?j, мы имеем ?j = 2tts;j, где ж^- б [0, 1[ имеют следующие
двоичные представления:
х\ = A\d,2 ¦ ¦ ¦ dnd\... dnd\... dn ... (dj = 0 или 1)
x2 = .d2 ¦ ¦ ¦ dndi ... dndi... dn ...
xn =
-dnd\... dnd\... dn .
Поскольку ?i ф 0, не все из dj являются нулевыми. Лишь в этом пункте
положим d = 1 — d для d = 0 или 1. Тогда ?j + тг = 2тгг/у по модулю 2тг,
где yj задается с помощью
... dndi... dndi... dn ...
2/2 =
yn =
-dnd\... dndi.. .dn-
Мы имеем moBnyj) = 0, j = 1, ... , п. Предположим, что существует
компактное множество К со всеми требуемыми свойствами. Тогда су-
существовало бы целое /, бинарное разложение которого имело бы такое
количество цифр, не превосходящее заранее заданного числа L (L за-
зависит только от размера К), что 2тгг/ = 2ttBj/i +1) обладало свойством

264 Глава 6
moBw2~ky) ф 0 для всех к ^ 0. Мы имеем
y = eL... е2е± .d2d3 ... dndx... dndx ...dn...,
где ej = 1 или О для j = 1, ... , L. Мы можем переписать это так:
У = еь+п ¦ ¦ ¦ еь+г^ь ¦ ¦ ¦ е2ех .d2d3 ¦ ¦ ¦ dndx • ¦ ¦ dndx... dn ...,
где ej = 1 или 0 для j = 1, ... , L и ej = 0, если j > L. Значения
2~ку получены сдвигом десятичной точки влево. Поскольку то являет-
является 2тг-периодическим, лишь «хвост», т.е. часть разложения 2~ку вправо
от десятичной точки, определяет, обращается ли тоBтт2~ку) в нуль
или нет. Если ех = dx, то у/2 имело бы ту же десятичную часть, что
и г/i, откуда тооBтгг//2) = 0. Поскольку тоBжу/2) ф 0, мы имеем ех =
= dx. Аналогично заключаем, что е2 = dn, ез = dn-\ и т.д. Следова-
Следовательно, еь+i, ¦¦¦ , еь+п тоже последовательно равны с?/., d^-i, ... , d\,
dn, ... , dk+i для некоторого к ? {1, 2, ... , п}. Так как dj не все равны
нулю, в то время как еь+г = ... = еь+п = 0; это приводит к противо-
противоречию. Доказательство завершено. ¦
Теоремой 6.3.5 мы заканчиваем обсуждение необходимых и доста-
достаточных условий для Too- Следующая теорема суммирует главные ре-
результаты §§6.2 и 6.3.
Теорема 6.3.6. Предположим, что то — тригонометрический
полином, для которого |тоо(?)|2 + |тоо(?+7Г)|2 = 1 итоо(О) = 1. Определим
ip, ф с помощью формул
Тогда tp, ф — это функции из L2 с компактным носителем, удовлетво-
удовлетворяющие уравнениям
ip(x) = \/2 V hn ipBx - п),
х — п)

6.4. Примеры вейвлетов с компактными носителями 265
где hn определены с помощью то через mo(?) = -^=^2hne~ln^. Более
л/2 п
того, семейство if>jtk(x) = 2~J/2 фB~^х — к), j, к ? Ъ, образует жест-
жесткий фрейм для Ь2(Ж) с постоянной, равной 1. Этот жесткий фрейм
является ортонормированным базисом тогда и только тогда, когда то
удовлетворяет одному из эквивалентных условий:
• Существует компактное множество К, конгруэнтное [—тг, тг] по
модулю 2тг, содержащее окрестность 0, такое, что
inf inf |raoB-*OI > О.
• Не существует нетривиального цикла {?i, ... , ^„} в [О, 2тг[, ин-
инвариантного под действием т: ? н-» 2^modB7r), такого, что mo(^j +
+ тг) = 0 с?ля всех j = 1, ... , п.
• Собственное значение 1 матрицы А размерности [2(N2— JVi) —1] х
x[2GV2 — ^Vi) — 1]> определенной с помощью
Aik = J2 hn hk-2i+n, ~(N2 - JVi) + 1 < l, к < GV2 - TVi) + 1
n=JV!
(здесь предполагаем, что hn = О для N2 < n < N\), является простым.
С точки зрения субполосной фильтрации, эта теорема говорит
о том, что при условии, что высокочастотный фильтр имеет нулевой
коэффициент передачи постоянного тока (тоо(тг) = 0, откуда тоо(О) = 1
при подходящем выборе фазы), мы «почти всегда» имеем соответству-
соответствующий ортонормированный базис. Соответствие не выполняется лишь
«от случая к случаю», что иллюстрируется последними двумя необхо-
необходимыми и достаточными условиями. На практике предпочитают рабо-
работать с двумя фильтрами, из которых низкочастотный фильтр не имеет
нулей в полосе |?| $С тг/2, что является достаточным требованием для
обеспечения ортонормированности базиса f/'j,A- А теперь пришло время
рассмотреть несколько примеров!
6.4. Примеры вейвлетов с компактными
носителями, порождающих
ортонормированный базис
Все примеры, приведенные в этой части, получены с помощью спек-
спектральной факторизации F.1.11) для различных N и R. За исключением

266 Глава 6
базиса Хаара, мы не имеем явных формул для <р(х), ф(х). В следующей
части мы объясним, как получены графики для <р, ф.
Первое семейство примеров, построенное Добеши в [53], соответ-
соответствует R = 0 в F.1.11). При спектральной факторизации, необходи-
необходимой для извлечения i?(?) из L(?) = Pjy(sin2 ?/2), мы систематически
удерживаем нули в пределах единичного круга. Для каждого N соот-
соответствующий полином дгтоо имеет 27V ненулевых коэффициентов. Мы
можем выбрать фазу дгтоо; чтобы
2JV-1
v2 n=0
В таблице 6.1 помещены ^hn для N от 2 до 10. Для ускоренного при-
применения имеет смысл сделать факторизацию F.1.10) явной: фильтр !?
намного короче, чем too (N позиций вместо 27V), а фильтры ^— бо-
более легки в применении. В таблице 6.2 помещены коэффициенты ??(?)
для N от 2 до 10. На рисунке 6.3 представлены графики соответству-
соответствующих jv??; ыф Для N = 2, 3, 5, 7 и 9. Обе м<Р и мф имеют носитель
ширины 2N — 1; их регулярность очевидно возрастает с ростом N. На
самом деле можно доказать (см. главу 7), что для больших N функ-
функции N(p, Nxj) ? CmJV, где /х ~ 0.2.
Систематическое удержание нулей в пределах единичного круга
в процедуре спектральной факторизации означает выбор фильтра с «ми-
«минимальной фазой» too среди всех возможных при фиксированном |тоо|2.
Это соответствует очень заметной асимметрии функций (риф, что по-
показано на рисунке 6.3. Другой выбор может привести к меньшей не-
несимметричности ip, ф, хотя, как мы увидим в главе 8, полная симмет-
симметрия ip, ф не достижима (исключением является базис Хаара) в рамках
базисов вейвлетов с компактными носителями. В таблице 6.3 приво-
приводятся hn с «наименьшей асимметрией» <р, ф для N от 4 до 10, соответ-
соответствующие тому же |тоо|2, что и в таблице 6.1 с другим квадратным
корнем too- В главе 8 мы вернемся к тому, как определяется «наименее
асимметричный квадратный корень». На рисунке 6.4 показаны соот-
соответствующие функции (риф.
На рисунке 6.5 приведены графики |тоо| как функции от ? для вы-
вышеприведенных примеров при N = 2, 6 и 10. Эти графики показыва-
показывают, что субполосные фильтры для таких ортонормированных базисов

6.4. Примеры вейвлетов с компактными носителями
267
Таблица 6.1. Коэффициенты фильтра (низкочастотный фильтр) для вейвле-
вейвлетов с компактными носителями, имеющих экстремальную фазу и наиболь-
наибольшее число нулевых моментов, совместимое с шириной носителя. Величины
jv/in нормированы так, чтобы J^ jv/*n = л/2.
N = 2
N = 3
N = 4
N = 5
iV = 6
N = 7
п
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
в
8
9
0
1
3
4
5
в
8
9
10
11
0
1
2
3
4
5
в
8
9
10
11
12
13
0.482962913144Б341
0.8365163037378077
0.2241438680420134
-0.1294095225512803
0.3326705529500825
0.8068915093110924
0.4598775021184914
-0.1350110200102546
-0.0854412738820287
0.0352262918857095
0.2303778133088964
0.6308807679398587
—0.0279837694168599
-0.1870348117180831
0.0308413818355607
0.0328830116668852
-0.0105974017850690
0.1601023979741928
0.6038292697971895
0.7243085284377726
0.1384281459013203
-0.2422948870663823
—0.0322448695846381
0.0775714938400459
—0.0062414902127983
-0.0125807519990820
0.0033357252854738
0.1115407433501095
0.4946238903984533
0.7511339080210959
0.3152503517091982
-0.2262646939654400
-0.1297668675672625
0.0975016055873225
0.0275228655303053
-0.0315820393174862
0.0005538422011614
0.0047772575109455
—0.0010773010853085
0.0778520540850037
0.3965393194818912
0.7291320908461957
0.4697822874051889
-0.1439060039285212
—0.2240361849938412
0.0713092192668272
0.0806126091510774
-0.0380299369360104
—0.0165745416306655
0.0125509985560986
0.0004295779729214
-0.0018016407040473
0.0003537137999745
N = 8
N = 9
N = 10
п
0
1
2
3
4
5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1в
17
18
19
0.0544158422431072
0.3128715909143166
0.6756307362973195
0.5853546836452159
—0.0158291052563823
-0.2840155429615824
0.1287474266204893
-0.0173693010018090
-0.0440882539307971
0.0139810279174001
0.0087460940474065
-0.0048703529934520
—0.0003917403733770
0.0006754494064506
—0.0001174767841248
0.0380779473638778
0.2438346746125858
0.6048231236900955
0.6572880780512736
0.1331973858249883
-0.2932737832791663
-0.0968407832229492
0.1485407493381256
0.0307256814793385
—0.0676328290613279
0.0002509471148340
0.0223616621236798
-0.0047232047577518
-0.0042815036824635
0.0018476468830563
0.0002303857635232
—0.0002519631889427
0.0000393473203163
0.0266700579005473
0.1881768000776347
0.5272011889315757
0.6884590394534363
0.2811723436605715
—0.2498464243271598
-0.1959462743772862
0.1273693403357541
0.0930573646035547
-0.0713941471663501
—0.0294575368218399
0.0332126740593612
0.0036065535669870
-0.0107331754833007
0.0013953517470688
0.0019924052951925
-0.0006858566949564
-0.0001164668551285
0.0000935886703202
—0.0000132642028945
в самом деле очень пологие около 0 и тг, но очень «округлые» в районе
перехода около тг/2. Фильтры можно сделать «круче» в таком районе
перехода с помощью подходящего выбора R в F.1.11). На рисунке 6.6
показан график |тоо|, соответствующий N = 2 и R степени 3, выбран-

268
Глава 6
Таблица 6.2. Коэффициенты /„ для
N = 2 до 10. Яор-
мировка:
/„ = л/2-
iV = 2
N = 3
N = 4
iV = 5
N = 6
N = 7
1.93185165258
-0.517638090205
2.6613644236
-1.52896119631
0.281810335086
3.68604501294
-1.30663492292
1.20436190091
-0.169558428561
5.12327673517
-6.29384704236
3.41434077007
-0.936300109646
0.106743209135
7.13860757441
-1.1757164609
8.04775526289
-3.24691364198
0.719428097459
-0.0689472694597
9.96506292288
-18.9984075665
17.0514392132
-9.03858510919
2.93696631047
-0.547537574895
0.0452753663967
N = 8
N = 9
N = 10
13.9304556142
-31.3485176398
33.6968524121
—22.07104076339
0.38930245651
-2.56627196249
0.413507501939
-0.0300740567359
19.4959090503
-50.6198280511
63.3951659783
— 49.3675482281
25.8600363319
— 9.24491588775
2.18556614566
-0.310317604756
0.0201458280019
27.3101392901
— 80.408349622
114.98124563
— 103.671381722
64.3509475067
— 28.2911921431
8.74937688138
-1.82464995075
0.231660236047
-0.013582543784
ному так, чтобы функция |тоо(?)|2 имела нуль в ? = 7тг/9 (= 140°). Это
очень близко «реалистичному» фильтру субполосного кодирования. Со-
Соответствующая «наименее асимметричная» функция (р изображена на
рисунке 6.7. Она менее гладка, чем 4<?> (которая имеет ту же ширину
носителя, но соответствует N = 4 и R = 0), однако оказывается бо-
более гладкой, чем 2f (для которой то имеет нуль той же кратности,
т. е. 2, в ? = 7г). В главе 7 мы обсудим регулярность и пологость бо-
более детально. Величины hn, соответствующие рисунку 6.7, приведены
в таблице 6.4.
Все эти примеры соответствуют вещественным hn, (f и ф, т. е. сим-
симметричным относительно ? = 0 функциям \{р\ и \ф\. Возможно также
построить (комплексные) примеры, в которых \(р\, \ф\ в большей сте-
степени сосредоточены на ? > 0, а не на ? < 0. Для иллюстрации возь-
возьмем too из предыдущего примера со свойством тоо(±^) = 1 и опреде-
определим то*(?) = тоо(С—(г)- Очевидно, то* удовлетворяет F.1.1), т.к. это
выполняется для то0, и то*@) = 1. Тогда мы можем построить <р#(?) =
= П ™>fB-i?), ф#@ = е-^/2то#(?/2 + тг)?#(?/2). Они являются

6.4. Примеры вейвлетов с компактными носителями
269
Таблица 6.3. Коэффициенты низкочастотного фильтра для «наименее асим-
асимметричных» вейвлетов с компактными носителями, имеющих максимальное
число нулевых моментов, N = 4 до 10. Здесь приведены значения см,п =
= y/2hN,n\ Y,cn,n = 2.
N = 4
N = 5
N = 6
iV = 7
iV = 8
n
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0
1
2
3
4
cN,n
-0.107148901418
-0.041910965125
0.703739068656
1.136658243408
0.421234534204
-0.140317624179
-0.017824701442
0.045570345896
0.038654T95955
0.041746864422
-0.055344186117
0.281990696854
1.023052966894
0.896581648380
0.023478923136
-0.247951362613
-0.029842499869
0.027632152958
0.021784700327
0.004936612372
-0.166863215412
-0.068323121587
0.694457972958
1.113892T83926
0.477904371333
-0.102724969862
-0.029783751299
0.063250562660
0.002499922093
-0.011031867509
0.003792658534
-0.001481225915
-0.017870431651
0.043155452582
0.096014767936
-0.070078291222
0.024665659489
0.758162601964
1.095782709814
0.408183939725
-0.198056706807
-0.152463871896
0.005671342686
0.014521394762
0.002672793393
-0.000428394300
-0.021145686528
0.005386388754
0.069490465911
N = 8
N = 9
N = 10
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
cN,n
—0.038493521263
-0.073462508761
0.515398670374
1.099106630537
0.680745347190
—0.086653615406
-0.202648655286
0.010758611751
0.044823623042
-0.000766690896
-0.004783458512
0.001512487309
—0.000669141509
-0.014515578553
0.012528896242
0.087791251554
-0.025786445930
—0.270893783503
0.049882830959
0.873048407349
1.015259790832
0.337658923602
— 0.077172161097
0.000825140929
0.042744433602
-0.016303351226
—0.018769396836
0.000876502539
0.001981193736
0.0010890170447
0.000135245020
—0.012220642630
-0.002072363923
0.064950924579
0.016418869426
—0.225558972234
—0.100240215031
0.667071338154
1.088251530500
0.542813011213
—0.050256540092
-0.045240772218
0.070703567550
0.008152816799
-0.028786231926
—0.001137535314
0.006495728375
0.000080661204
-0.000649589896
функциями из L2 с компактными носителями, а ф*k, j, к б Z, образу-
образуют жесткий фрейм для Ь2(Ж) в силу предложения 6.2.3. Более того, по-
поскольку нулями too на [—тг, тг] являются лишь ? =
, ±тг, то то*(?) =
*(
= 0 лишь для ? = ±тг, — ^ или — "тр Следовательно, |то*(?)| ^ С > О
для |?| ^ ^, а «/>*А образуют ортонормированный базис вейвлетов в си-

270 Глава 6
Таблица 6.4. Коэффициенты низкочастотного фильтра, соответствующие
масштабирующей функции на рис. 6.7.
п
0
1
2
3
4
5
6
7
hn
-0.0802861503271
-0.0243085969067
0.362806341592
0.550576616156
0.229036357075
-0.0644368523121
-0.0115565483406
0.0381688330633
лу следствия 6.3.2. Рисунок 6.8 изображает \mf{
оо О
Ясно, что / d?, |«/>*(?)|2 много больше, чем / dt; \Ф^@\2- Заметим, что
О -оо
часть «/>*(?) с отрицательными частотами более приближена к началу,
чем часть с положительными частотами, как требуется в необходимом
оо О
dS, Ш~1\Ф^(О\2 = I dt; |CI~1|'i/'*(C)|2 (см- §3.4). В [35] Коэн
J
О -оо
указал на существование такой «асимметричной» ф. На самом деле для
любого е > 0 можно найти такой ортонормированный базис вейвлетов,
о
/
что / rfCIV DI <?-
— оо
6.5. Каскадный алгоритм: связь с уточняющими
схемами и схемами последовательного деления
Как можно ожидать от рисунков из § 6.4, не существует аналити-
аналитических формул для построенных здесь <р(х), ф{х) с компактными но-
носителями (исключение составляет случай Хаара). Тем не менее, если <р
непрерывна, для заданного х мы можем вычислить <р(х) с какой угод-
угодно точностью. У нас имеется также быстрый алгоритм для построения
графика ip.8 Посмотрим, как он работает.

6.5. Каскадный алгоритм
271
-4 -2 О
1
О
-1
л
!
И '"'
1
-5
1
0
1
Л
—Л)
1
г—
10 15
-5
О
Рис. 6.3. Графики масштабирующих функций ^tp и вейвлетов мф для вейв-
летов с компактными носителями, имеющих максимальное число нулевых
моментов для данной ширины носителя, и экстремальной фазой, N = 2, 3, 5,
7 и 9

272
1
0
1
N=6 ?
-
-
10
-5
-0,5
0
Рис. 6.4. Графики масштабирующей функции tp и вейвлетов ф для «наиме-
«наименее асимметричных» вейвлетов с компактными носителями, имеющих мак-
максимальное число нулевых моментов, N = 4, 6, 8 и 10

6.5. Каскадный алгоритм
273
Рис. 6.5. Функция |то(?)| для N = 2, 6 и 10, соответствующая фильтрам из
таблицы 6.1 или 6.3
Прежде всего, так как <р имеет компактный носитель и <р б Х1(Ж),
причем / dxip(x) = 1, мы имеем
Предложение 6.5.1. Если f — непрерывная функция на Ж, то
для всех ж ? Ж
lim У [ dy f(x + у) ^(?yj = f(x). F.5.1)
Если f — равномерно непрерывна, то такая поточечная сходимость
является и равномерной. Если f — непрерывна по Гёльдеру с показате-

274
Глава 6
О
Рис. 6.6. График |то(?)| для фильтра с 8 отводами, соответствующий N = 2
и тоGтг/9) = О
Рис. 6.7. «Наименее асимметричные» масштабирующая функция ip и вейвлет
ф, соответствующие |гио| с рис. 6.6
лем а,

6.5. Каскадный алгоритм 275
то имеем экспоненциальную сходимость по j :
j dy
\f(x) - V j dy f(x + у) tfVy)\ < С 2~ia. F.5.2)
Доказательство.
Все утверждения следуют из факта, что 2^ipB:>-) является «при-
«приблизительно» ^-функцией при j, стремящимся к сю. Более точно,
f(x) - V J dyf(x + у) ^Biy)| = \У j dy [f(x) - f(x +
\f(x)-f(x+u)\
(предполагается, что supp (f С [-R, R])- Если / — непрерывна, то вы-
выражение можно сделать произвольно малым, выбрав j достаточно боль-
большим. Если / — равномерно непрерывна, то выбор j не зависит от х,
и сходимость является равномерной. Если / непрерывна по Гёльдеру,
то F.5.2) получается немедленно. ¦
Теперь предположим, что сама <р является непрерывной или даже
непрерывной по Гёльдеру с показателем а. (В следующей главе мы рас-
рассмотрим много способов вычисления показателя для ip.) Возьмем любое
диадическое рациональное х, х = 2~JК. Тогда предложение 6.5.1 гово-
говорит о том, что
ф) = lim 2j f dyip{2-JK + y)ipBiy) =
j-юо J
= lim 23/2 / dz(p(z)(fi_j 23-jk(z) = lim 2j/2((p, (P-j^-'k)-
Более того, для j, больших некоторого jo,
\ipB-JK) - 2^, <p_jt2i-JK)\ < C2~ia, F.5.3)
где С, jo зависят от J или К. Если 2^~JК — целое, что автоматичес-
автоматически выполняется, если j ^ J, то скалярные произведения (<р, <P-j}2>-jk)
легко вычисляются. В предположении, что ipo,n ортонормированы (это
можно проверить с помощью одного из необходимых и достаточных

276
Глава 6
1,0
Bя)'
0
-6я- -4л- -2я- 0 2я- 4л- 6 я-
Рис. 6.8. Графики |то|, |?>| и |^!>| для ортонормированного базиса вейвлетов,
где ф концентрируется в основном в области положительных частот
условий для too, данных в теореме 6.3.5), <р является единственной
функцией /, характеризующейся с помощью
kez.
F.5.4)
F.5.5)
Мы можем использовать это в качестве входных данных для алгоритма
восстановления субполосной фильтрации, связанного с тоо (см. §5.6).
Более детально: мы начинаем с низкочастотной последовательности
с° = So,n и высокочастотной последовательности d?n = 0 и «запуска-

6.5. Каскадный алгоритм 277
ем машину», чтобы получить
5>»-2*с*- F-5.6)
Затем используем d~x = О, чтобы после очередного запуска получить
c^ = "?hm.2nc-\ F.5.7)
п
и т.д. На каждом шаге c~J равняются (<р, <p_jtn). Вместе с F.5.3) это
означает, что мы имеем экспоненциально сходящийся алгоритм для
вычисления значений tp в диадических рациональных точках. Мы мо-
можем проинтерполировать эти значения и, таким образом, получить
последовательность функций r/j, аппроксимирующих ip.9 Мы можем,
например, определить гр^(х) как кусочно-постоянную на интервалах
[2-j(n - 1/2), 2-j(n + 1/2)[, n?Z, функцию, такую, что Щ{2~^к) =
= 2^2(ip, ip-j^k). Другой возможностью является r/j(ж), кусочно-линей-
кусочно-линейная на [2~jn, 2~Цп + 1)], п ? Ж, такая, что 7/]B"J'fc) = 2j/2((p, <p~j,k)-
Для обоих случаев имеем следующее предложение.
Предложение 6.5.2. Если ip непрерывна по Гёлъдеру с показате-
показателем а, то существуют такие С > 0 и jo 6 N, что при j ^ jo
\\<p-VOj\\L°°^C2-at, Н^-^Н^^Сг-Ч F.5.8)
Доказательство.
Возьмем любое ж ? Ж. Для некоторого j выберем п так, чтобы
2~*п ^ х < 2~э(п + 1). По определению rfj{x), е = 0 или 1, обязательно
является выпуклой линейной комбинацией функций 2^2((р, (p_jjn) и
^, tp-j^n+i). С другой стороны, если j больше некоторого jo, то
То же верно, если мы заменим п на п + 1. Следовательно, подобная
оценка верна для любой выпуклой комбинации, или \<р(х) — rfj{x)\ ^
^ С2~:>а. Здесь С можно выбрать не зависящей от х, так что выпол-
выполняется F.5.8). ¦

278 Глава 6
Тогда нашим быстрым алгоритмом для вычисления приближенных
значений <р(х) с произвольно высокой точностью является следующее:
1. Начинаем с последовательности ... О ... 010... 0..., представля-
представляющей 1]п(п), ngZ.
2. Вычисляем rjj B~Jn), ngZ, «запуская машину», как это делает-
делается в F.5.7). На каждом шаге такого каскада вычисляется вдвое больше
значений: значения в «четных точках» 2~^{2к) вычисляются по значе-
значениям на предыдущем шаге:
F.5.9)
i
значения в «нечетных точках» 2~:>Bк + 1) вычисляются в первый раз:
F.5.10)
Формулы F.5.9) и F.5.10) можно рассматривать как свертку.
3. Интерполируем rjjB~:>n) (кусочно-постоянным образом, если е =
= 0, кусочно-линейным, если е = 1) для получения т/|(ж) в недиадичес-
КИХ X.
В работе Добеши и Лагариса [59] этот алгоритм был назван каскад-
каскадным алгоритмом, при этом они выбрали е = 1. В [53] Добеши выбрала
е = О.10 Все графики для <р,физ§ 6.4 и более поздних глав на самом деле
являются графиками t]j, где j = 7 или 8. При данном разрешении этих
рисунков разница между <р и цj незаметна. Особенно привлекательным
свойством каскадного алгоритма является возможность рассмотреть
«в увеличительное стекло» отдельные особенности ip. Предположим, что
мы уже вычислили все т/|B~5п), но хотели бы рассмотреть с лучшим
разрешением увеличенное изображение ip на интервале |^, ^ с цент-
центром в 1. Мы могли бы сделать это, вычислив все i]jB~Jn) для очень
большого J, а затем изобразив rfj{x) лишь на очень маленьком инте-
интересующем нас интервале, соответствующем 2J~4 ¦ 15 ^ п ^ 2J~4 ¦ 17.
Но нам не нужно этого делать: ввиду «локального» характера F.5.9),
F.5.10) достаточно сделать намного меньше вычислений. Предположим
hn = 0 для п < 0, п > 3. При вычислении r)jB~Jn) используются лишь
те rjj_1B~J+1k), для которых (п — 3)/2 ^ k ^ п/2. При их вычислении,
в свою очередь, используется лишь rfj_2B~J+2l), где (к — 3)/2 $С / ^ к/2

6.5. Каскадный алгоритм 279
или п/4 — 3/2 — 3/4 ^ / ^ п/4. Возвращаясь назад к j = J — 4, мы ви-
видим, что для вычисления т/| на yjL ^ нам нужны лишь т/§B~5то) для
28 ^ то ^ 34. Таким образом, мы можем начать каскад с последователь-
последовательности ... О ... 010 ... 0 ..., пройти пять шагов, выбрать семь значений
7/| B~5то), 28 ^ то ^ 34, использовать лишь их в качестве входных зна-
значений нового каскада с четырьмя шагами и закончить рисунком т/| на
\Ш, ттг • Для больших увеличений на даже еще меньших интервалах
просто повторяем процесс. Графики в главе 7 были вычислены таким
образом.11
В рассуждениях, приводящих к каскадному алгоритму, неявно ис-
использовалась ортонормированность ф^к или, что то же (см. §§6.2, 6.3),
ортонормированность (fio,n- Мы характеризовали ip как единственную
функцию, удовлетворяющую F.5.4), F.5.5). Каскадный алгоритм мож-
можно рассматривать и по-другому, без акцента на ортонормированность,
как частный случай стационарной схемы последовательного деления
(subdivision scheme) или уточняющей схемы (refinement scheme).
Уточняющие схемы используются в компьютерной графике для
построения кривых или поверхностей, проходящих через дискретное,
часто довольно разреженное множество точек или вблизи него. Пре-
Прекрасным обзором является работа Каваретты, Дамена и Мичелли [29].
В этом коротком обсуждении мы ограничимся одномерными схемами
последовательного деления.12 Предположим, что мы хотим, чтобы кри-
кривая у = f(x) принимала заданные значения fin) = /„. Можно просто
построить кусочно-линейный график, проходящий через точки (п, /„).
Для всех п на этом графике выполняется соотношение
\f{n) + \f{n + l), F.5.11)
что является быстрым методом вычисления / в полуцелых точках. Зна-
Значения / в четвертинках вычисляются аналогично,
и так далее для Z/4+ Z/8, Это дает быстрый алгоритм для вычис-
вычисления / во всех диадических рациональных точках. При выборе интер-
интерполяции, более гладкой, чем интерполяция кусочно-линейными сплай-
сплайнами (квадратичными, кубическими или даже сплайнами более высо-
высокого порядка), формулы для вычисления fB~:>n + 2~J~1) no fB~:>k),

280 Глава 6
аналогичные F.5.9), F.5.10), содержали бы бесконечное число членов.
Можно выбрать более гладкую, в сравнении с линейными сплайнами,
аппроксимацию с интерполяционными формулами типа
Д2"'п + 2-i-1) = J>* Д2-> - к)), F.5.13)
к
содержащими конечное число ненулевых аи- Полученные кривые боль-
больше не являются сплайнами, например
[/B(n - 1))
+ Д2-> + 2))] + ±[fB-*n) + Д2"> + 1))]. F.5.14)
Этот пример был подробно изучен Дюбуком в [70], Дин, Грегори, Ле-
Левиным в [74] и обобщен, например, Делорье и Дюбуком в [67], Дин и
Левиным в [73]. Он приводит к / почти из С2. (Подробнее о методах
определения регулярности / говорится в главе 7.) Формула F.5.14) опи-
описывает интерполяционную уточняющую схему, в которой на каждом
шаге вычисления значения, найденные ранее, не изменяются, и лишь
значения в промежуточных точках подлежат вычислению. Можно так-
также рассмотреть схемы, в которых значения, определенные на преды-
предыдущем шаге, в дальнейшем «уточняются», соответствуя более общей
уточняющей схеме типа
'к)- F-5-15)
Формула F.5.15) на самом деле соответствует двум схемам свертки
(с двумя масками, если использовать терминологию литературы об
уточнении):
/i+iB-'n) = 5>2(n-*) fj{2-ik) F.5.16)
к
(уточнение уже вычисленных величин) и
tf-'k) F.5.17)
(вычисление значений в новых промежуточных точках). В разумной
уточняющей схеме при стремлении j к сю функции fj сходятся к не-
непрерывной (или более гладкой; см. главу 7) функции f^. Заметим, что

6.5. Каскадный алгоритм 281
F.5.15) определяет fj лишь на дискретном множестве 2~^Ъ. Точным
утверждением «сходимости» fj к непрерывной функции f^ является
j sup \f^B-m2-4) - f^+jB-m-4)\] = 0, F.5.18)
lim
где верхний индекс А обозначает начальные данные, /^(п) = А„. Го-
Говорят, что уточняющая схема сходится, если F.5.18) выполняется для
всех А € 1°°(Ъ); см. Каваретта, Дамен, Мичелли [29]. (Можно также
переформулировать F.5.18), вводя непрерывные функции fj, интерпо-
интерполирующие fjB~:>k); см. ниже.) Если u>2k = ?fc,o> общая уточняющая
схема является интерполяционной схемой, приводящей к fj+iB~:>n) =
= /;B-'п).
В обоих случаях для общей уточняющей схемы или более ограничи-
ограничительной интерполяционной схемы легко видеть, что линейность проце-
процедуры предполагает определение предельной функции f^ (которую мы
предполагаем непрерывной13) с помощью
foo(x) = J2 Л(n)F(x-n), F.5.19)
п
где F = Foo является «фундаментальным решением», полученным по
той же уточняющей схеме из начальных данных Fo(n) = <$„,о Для неко-
некоторого специального функционального уравнения. Для получения этого
уравнения мы вначале введем функции fj{x), интерполирующие дис-
дискретные fjB~ik):
2-*к)и,B*х - к), F.5.20)
где и> является «разумной»14 функцией, для которой и>(п) = 5Пуо. Две
очевидные возможности для нее: ш(х) = 1 при — -т ^ ж < т, 0 в про-
противном случае, или ш(х) = 1 — \х\ при \х\ ^ 1, 0 в противном случае.
(Это соответствует двум возможностям в вышеприведенном представ-
представлении каскадного алгоритма.) Требование сходимости F.5.18) можно
переписать в виде ||/^ — /^Ili00 ~^ 0 при j —i сю. Для нахождения
фундаментального решения F^ начнем с F0(x) = и>(х). Две следующие

282 Глава 6
аппроксимирующие функции F\, F2 удовлетворяют соотношениям
F^x) = ^JF1{n/2)u)Bx-n) (в силу F.5.20))
nwBx — п) (используем F.5.15) и F0(n) = <5П,О)
= ^wnF0Bx-n), F.5.21)
П
F2 (ж) = ^ F2 (п/4) а; Dж - п) =
п
= yj wn-2k F\(k/2) шD:Х — п) (используем F.5.15))
п,к
= ^2wk^2wicoD:X-2k-l) (так как F^k/2) = Wk) = ^2wk F1Bx-k).
к I к
При этом предполагается, что похожая формула должна выполняться
для всех Fj, т.е.
Fj{x) = Y.WkFj-tfx - к). F.5.22)
к
Индукцией показывается, что это и в самом деле выполняется:
п,к
^ 1 - п) =
n,k,l
I m, n
Y Y jl 1 - 24 -r) =
Bx - 1) - г) (в силу F.5.15))
iFjBx - l) (в силу F.5.20)).

6.5. Каскадный алгоритм 283
Так как F = F^ = lim Fj, то из F.5.22) следует, что для фундамен-
j—юо
тального решения F выполняется уравнение
-k). F.5.23)
Теперь понятно, какое место занимают наши масштабирующие функ-
функции <р и каскадный алгоритм в уточняющих схемах: с одной стороны,
<р удовлетворяет уравнению вида F.5.23) (в основном, как следствие
требования кратномасштабности Vo С V-i), а с другой стороны, каскад-
каскадный алгоритм в точности соответствует F.5.15), F.5.20). Ортонорми-
рованность в отмеченных рамках кратномасштабности несколько об-
облегчала нашу жизнь при доказательстве предложения 6.5.2, но похожие
результаты могут быть доказаны для уточняющих схем и без привле-
привлечения ортонормированности F(x — п). Приведем некоторые основные
результаты для уточняющих схем.
• Если уточняющая схема F.5.15) сходится, то ^ и>2п= X) W2n+i=l,
п п
и соответствующее функциональное уравнение F.5.23) допускает един-
единственное непрерывное решение с компактным носителем (с точностью
до нормировки).
• Если F.5.23) допускает непрерывное решение F с компактным
носителем и если F(x — п) независимы (т.е. отображение /°°(Z) Э Аи
н->- ^2 \п F(x — п) является взаимно однозначным15), то алгоритм после-
последовательного деления сходится.
Для доказательства этого и многих других результатов мы реко-
рекомендуем работу Каваретты, Дамена, Мичелли [29] и цитируемую там
литературу. Заметим, что условие Yl W2n = Yl W2n+i = 1 в точности
п п
соответствует требованиям то@) = 1, то(тг) = 0.
В каком-то смысле конструкции масштабирующих функций и
вейвлетов с компактными носителями можно рассматривать как част-
частные случаи уточняющих схем. Однако, как мне кажется, есть разница
в акцентах. Общая уточняющая схема связана с кратномасштабными
пространствами Vj, порожденными FB~^x — п), но обычно в них со-
совсем не уделяется внимания пространствам, дополняющим V} до V?-i.
Уточнение последовательности данных точек за j шагов соответству-
соответствует нахождению функции из V-j. Ее проекция на Vo, заданная двойст-
двойственной уточняющей схемой (обычно проекция не ортонормированная),

284 Глава 6
соответствует заданной последовательности. В V-j много таких функ-
функций, соответствующих одной и той же последовательности данных, но
уточняющая схема выбирает «минимальную». Изучение остальных не
минимальных решений из V-j не представляет интереса, как и то, чем
они отличаются от единственного уточняющего решения. И это являет-
является естественным: в уточняющих схемах предполагается построение бо-
более «сложных» структур по более простым (они переходят из Vo в V-j).
В противоположность этому, в вейвлет-анализе произвольный элемент
из V-j раскладывается по элементам из Vo и его дополнения. Абсолют-
Абсолютно необходимо подчеркнуть важность всех дополнений Wi = Vj_i в Vj
и существования быстрых алгоритмов для вычисления коэффициентов
в этих пространствах. Именно здесь появляются вейвлеты, для кото-
которых, как правило, нет аналогов в общих уточняющих схемах.
Существует другая удивительная связь между базисами орто-
нормированных вейвлетов с компактными носителями и уточняющи-
уточняющими схемами: маски, связанные с ортонормированным базисом вейв-
вейвлетов, всегда являются «квадратными корнями» маски некоторой ин-
интерполяционной схемы. Более точно, определим Мо(?) = |то(?)|2 =
= sEwBe"'^] T-e- wn = Y^^khk+n- Тогда wn являются коэффици-
п к
ентами маски для интерполяционной уточняющей схемы, поскольку
W2n = ^2,hk hk+2n = <^n,o (CM- E.1.39)). В частности, как замечено Шен-
к
сой в [162], интерполяционные уточняющие схемы, полученные выбо-
выбором R = О в F.1.11), являются так называемыми интерполяционными
схемами Лагранжа, подробно изученными Делорье и Дюбуком в [67],16
примером которых является F.5.14).
Заметим, что (за исключением случая Хаара) конечный ортонор-
мированный вейвлет-фильтр т0 не может быть также и интерполяци-
интерполяционным фильтром: ортонормированность предполагает |«го(?)|2 + |то(? +
+ 7г)|2 = 1, в то время как условие интерполяции эквивалентно hin =
= — 5п,0 или то(?) + т,о(? + тг) = 1. Если выполняются оба условия,
¦ F.5.24)
Допустим, что hn = О для п < JVi, п > N2, и h^ / 0 / Л.дг2- Тогда
F.5.24) уже предполагает, что либо JVi = 0, либо 7V2 = 0. Пусть JVi = О

Примечания 285
(случай N2 = О аналогичен); N2 обязательно нечетное, N2 = 2L + 1.
Возьмем к = 2L в F.5.24). Тогда
/to /12L + hi h2L+i =
Поскольку ho = 2/2 и /i2L+i 7^ 0, то /ii = 0. Аналогично к = 2L — 2
приводит к
h0 /12L-2 + /11 /12L-1 + /12 /12L + hz /12L+1 = -p h2L-2,
v2
что вместе с /ii = 0, /12™ = 2~1/2<$П;0 приводит к /13 = 0. В конечном
итоге лишь ho и /i2L+i являются ненулевыми, и оба равняются 1/\/2,
так что маска является «вытянутой» маской Хаара. Тогда ортонорми-
рованность ipo,n дает X = 0 или то (О = ?A + е~г^), т.е. базис Хаара.
Если убрать ограничение, что т0 является тригонометрическим поли-
полиномом, т.е. что <р, ф могут иметь носителем всю вещественную ось,
то условия то(?) + т0 (? + тг) = 1 и |то(^)|2 + |то(^ + тг)|2 = 1 могут
выполняться одновременно для нетривиального то0- Примеры можно
найти у Евангелисты в [77] или у Лемарье, Малгуйреса в [127].
Примечания
1. Функция <р б Ь2(Ш) с компактным носителем автоматически
принадлежит Х1(М). Тогда из замечания 5 в конце §5.3 следует, что
то@) = 1, то(тг) = 0, т.е. то имеет в точке тг нуль кратности по
крайней мере 1.
2. В работе Добеши [53] решения Р для F.1.7) находятся с исполь-
использованием двух лемм из комбинаторики. На данный, более естественный
подход с использованием теоремы Везу мне указал И. Мейер.
3. Эта формула для Рдг получена Херманом в [96], где были постро-
построены максимально плоские фильтры (однако без каких-либо хороших
схем восстановления).
4. Сходимость также выполняется и для бесконечного числа нену-
ненулевых hn, если они убывают достаточно быстро, так что $^|/in| A +
+ \п\)Е < сю для некоторого е > 0. В этом случае | sinnC| ^)
приводит к подобной оценке.

286 Глава 6
5. Здесь мы используем классическую формулу
оо
sin ж _ тт „n4/9-j- \
Используя соотношение sin 2a = 2 cos a sin а, легко написать
J J ~:~ /о — ?'+1 ™\
11 cosB"'-
fJi 2 smB~эХ) 2J sinB-Ja;)
что стремится к sl^x при J —> сю. В [108] Кац приписывает эту форму-
формулу Виету и использует ее как отправную точку для восхитительного
трактата по статистической независимости.
6. Это верно в общем, если то удовлетворяет F.1.1), а <р, опреде-
определенная с помощью F.2.2), порождает неортонормированное семейство
сдвигов tpo,ni тогда обязательно выполняется ^ \ф(^ + 2тг/)|2 = 0 для
i
некоторого ?. (См. Коэн [36].)
7. Условие J йхф(х) ф(х — к) = 5k, о может выглядеть сильнее, чем
||^|| = 1, но т.к. ipjtk образуют жесткий фрейм с постоянной, равной 1,
эти условия по предложению 3.2.1 эквивалентны.
8. Поскольку ф(х) является конечной линейной комбинацией сдви-
сдвигов <рBх), быстрые алгоритмы для изображений <р также ведут к быст-
быстрым изображениям ф. При изложении этой части мы ограничивались
лишь рассмотрением <р.
9. Если <р не непрерывна, то щ по-прежнему сходятся к <р в L2
(см. §6.3). Более того, они сходятся к <р поточечно в каждой точке, где
<р непрерывна.
10. Выбор е = 1 использовался в доказательстве предложения 3.3
из работы Добеши [53], так как Щ, в отличие от ffj, являются абсо-
абсолютно интегрируемыми. На самом деле, в работе Добеши [53] вначале
доказывается сходимость r]j к <р (с привлечением некоторых техничес-
технических условий), а затем из этой сходимости выводится ортонормирован-
НОСТЬ ^?о, Ji-
Jill. Заметим, что существует много других процедур получе-
получения графиков вейвлетов. Вместо уточняющего каскада можно на-
начать с <р(п), а затем вычислить <рB~:>к) непосредственно из <р(х) =
= y/2^2hn<pBx — п). (На самом деле, если <р не является непрерыв-
п
ной, каскадный алгоритм может расходиться, в то время как такое

Примечания 287
непосредственное использование масштабирующего уравнения с подхо-
подходящим выбором <р(п) по-прежнему сходится. Я хотела поблагодарить
Вима Свелденса за это замечание.) Такое непосредственное вычисление
можно провести с помощью древовидной процедуры. В рамках динами-
динамических систем Бергер и Ванг развили другой подход, который приводит
к более быстрым графикам без использования дерева (см. работу Бер-
Бергера [22]). Свойство «увеличительного стекла» при этом теряется.
12. Многие эксперты по уточняющим схемам находят многомер-
многомерный случай гораздо более интересным.
13. Это не является самым общим случаем! Мы лишь предполо-
предположили, что для таких W}. существует непрерывный предел. Это влечет
14. Например, в этом месте была бы «разумной» любая ш с ком-
компактным носителем, имеющая ограниченную вариацию.
15. Следующая вытянутая функция Хаара показывает, что F(x — п)
могут не быть независимыми. Возьмем и>о = и>2 = 1, все остальные
wn = 0. Тогда (с точностью до нормировки) решением F.5.23) будет
F(x) = 1 для 0 ^ х < 2, 0 в противном случае. Тогда /°°-последователь-
ность А, определенная с помощью А„ = (—1)™, приводит к ^\nF(x —
п
— п) = 0 п. в.
16. Это не совпадение. Если зафиксировать длину симметричного
фильтра Мо = |то|2; то выбор R = 0 означает делимость Мо с помощью
A +cos^) с наибольшей из возможных кратностей, совместимых с его
длиной и ограничением Мо(?) + M0(t; + тг) = 1. С другой стороны, уточ-
уточняющие схемы Лагранжа порядка 2N— 1 являются интерполяционными
схемами с самой короткой длиной, точно воспроизводящими все поли-
полиномы порядка 2N — 1 (или ниже) по их целым значениям. В терминах
фильтра W(?) = =г ^2wne'n? это означает, что
п
+ W(? + тг) = 1 (интерполяционный фильтр: и>2п = <$п,о)
(см. Каваретта, Дамен, Мичелли [29] или главу 8). Два требования вмес-
вместе означают, что W(? + n) имеет нуль порядка 2N в ? = 0, т. е. W(? + n)
делится на A — cos^)^. Следовательно, W(?) делится на A + cos^)^.
Отсюда W = Мо.

Глава 7
Более подробно о регулярности вейвлетов
с компактными носителями
Регулярность вейвлетов Мейера или Батла-Лемарье легко оце-
оценить: вейвлет Мейера имеет компактное преобразование Фурье, так что
он принадлежит С°°, вейвлеты Батла-Лемарье являются сплайнами,
более точно, кусочно-постоянными полиномами степени к, имеющими
(к — 1) непрерывную производную в узлах. Регулярность ортонорми-
рованных вейвлетов с компактными носителями определить труднее.
Обычно они имеют нецелый показатель Гёльдера, более того, в некото-
некоторых точках они более регулярны, чем в других, что иллюстрируется
рисунком 6.3. В этой главе представлен разработанный в течение не-
нескольких последних лет инструментарий для изучения регулярности
таких вейвлетов. Все способы опираются на тот факт, что
-п), G.0.1)
где лишь конечное число с„ не равняются нулю. Тогда вейвлет ф, как
конечная комбинация <рBх), наследует те же свойства регулярности.
Следовательно, предложенные в этой главе методы относятся не толь-
только к вейвлетам. Они также применяются в схемах последовательного
деления (см. § 6.5). На самом деле некоторые из обсуждаемых здесь ме-
методов были разработаны для схем последовательного деления, а не для
вейвлетов.
Способы разбиваются на две группы: доказывающие убывание пре-
преобразования Фурье ф и работающие непосредственно с <р. Мы проил-
проиллюстрируем работу каждого метода, применяя его к семейству приме-
примеров jyiyj, построенных в § 6.4. Оказывается, методы, базирующиеся на
использовании преобразования Фурье (коротко, методы Фурье), боль-
больше подходят для асимптотических оценок (регулярность растет с рос-
ростом N в наших примерах). Второй метод дает более точные локальные
оценки, но часто более труден в применении.

7.1. Методы Фурье 289
Ссылки для результатов из этой главы: Добеши [53], Коэн [36] для
§7.1.1; Коэн [36], Коэн и Конзе [37] для §7.1.2; Коэн и Добеши [38] для
§ 7.1.3; Добеши и Лагарис [59], [60], Мичелли и Праутч [146], Дин и Левин
[73], Риуль [158] для § 7.2; Добеши [53] для § 7.3.
7.1. Методы Фурье
Преобразование Фурье уравнения G.0.1) задается формулой
G.1.1)
где гпо(С) = \Ylicne~m^ является тригонометрическим полиномом.
Как мы уже много раз видели, G.1.1) приводит к произведению
оо
Bтг)-1/2ДтоB-^), G.1.2)
где, как обычно, предполагается, что то@) = 1 и J dx <p(x) = 1. Более
того, можно разложить то на множители
G-1.3)
где !? — тоже тригонометрический полином, и прийти к соотношению
П ^B~J0- G-1.4)
Первый метод основывается на непосредственной оценке роста беско-
бесконечного произведения f?B~^) при |?| —> сю.
7.1.1. Методы грубой силы
Для а = п + /3, п 6 N, 0^/3<1, через Са определим множес-
множество п раз непрерывно дифференцируемых функций /, у которых п-п
производная /(") непрерывна по Гёльдеру с показателем /3, т.е.
\f{n){x) - f{n)(x + t)\ ^ C\tf для всех ж, t.

290 Глава 7
Легко проверить хорошо известный факт: если выполняется
/
то / б Са. В частности, если |/(?)| <; СA + ICI)"", то / б Са. Сле-
схэ
довательно, если рост JJ i?B~J'?) из G.1.4) при |?| —> сю можно конт-
ролировать, то множитель (A — e~l?)/i?)N гарантирует гладкость <р.
Лемма 7.1.1. Если q = sup
Доказательство.
1. Поскольку то@) = 1, if @) = 1, то
тельно,
< г^"", mo ^ 6 Са.
1 + С|?|. Следова-
Следоваsup
sup
2. Возьмем любое ^ при условии, что
J ^ 1, что 2-7 ^ |?| < 2J. Тогда
схэ
П
С"
1. Существует такое
gJ • ec
C" A
Следовательно, |?(?)| ^ C" A + |^|-«-i-e) и
Следующая лемма показывает, как получить лучшую оценку, ис-
использовав несколько !?.
Лемма 7.1.2. Определим
Qj = SUp
G.1.5)
X = inf X,-.
X = lim X,-; если X<7V-l-a, то ш е Са.
j-s-схэ J

7.1. Методы Фурье 291
Доказательство.
1. Возьмем J2 > j\. Тогда j2 = nji + г, где 0 ^ г < ji и
Следовательно,
n log о,-. + г log
2log2
с hi к-
2. Для любого е > О существует такое jo, что <Ж = inf Ж3- > Ж$а —?¦
з
Тогда для j ^ jo мы имеем Ж^ ^ ,Ж + е + С jo/j > Ж + е. Поскольку
З-юс
е выбиралось произвольным, Ж = lim Жл.
3. Если Ж < N -1-а, то Ж1 < N-1-a для некоторого / е N. Мы
можем повторить рассуждения из доказательства леммы 7.1.1, приме-
применяя их к произведению
3=1 3=0
1-1
в котором f?i{^) = П !?B~3t;), a 21 играет роль двойки в лемме 7.1.1.
з=о
Это дает оценку \(р(?)\ ^ СA + |?|)~JV+Jf;' Sj СA + ICI)"", отку-
откуда ц> 6 Са. ¦
Следующая лемма показывает, что в большинстве случаев мы не
можем получить лучшего, используя метод грубой силы.
Лемма 7.1.3. Существует такая последовательность F)/евъ что
A + 161)""*
3 = 1
Доказательство.
1. В силу теоремы 6.3.1 ортонормированность <р(- — п) предпола-
предполагает существование такого компактного множества К, конгруэнтно-
конгруэнтного [—тг, тг] по модулю 2тг, что \ф(()\ ^ С > 0 для ? € К. Поскольку К
конгруэнтно [—тг, тг], a i?j имеет период 2/+1тг, мы получаем
«й = sup |^@| = sup

292
Глава 7
т.е. существует такое Q ? 21К, что |if/((/)| = <д. Так как К — ком-
компактное множество, 2~l Q ? К являются равномерно ограниченными.
Таким образом, мы имеем
для 0 < С".
2. Более того, поскольку
мы имеем оценку
G.1.7)
= |cos?/2| ^ 1, для всех ? Е 21К
3=1+1 3=1+1
Собирая все вместе, мы находим, что для
= 2Q
3=1
В силу G.1.7)
П
= C2lXl.
A +
Поскольку Ж = mi Жи это выражение строго ограничено снизу поло-
положительной константой. ¦
Теперь вернемся к семейству jqip, построенному в § 6.4, и увидим,
как используются эти оценки. Мы имеем
V 2 )
где
JV-1
n=0
N-l+n\ ,_._
n
Начнем с установления некоторых элементарных свойств Pjy.

7.1. Методы Фурье 293
N~1 /N — 1 + п\
Лемма 7.1.4. Полином Рдг(ж) = X) ( х" удовлетво-
п=0 \ П /
следующим свойствам:
О^х^у^ x-N+1PN(x) > y-N+1PN(y), G.1.8)
О ^ ж ^ 1 =^ Рлг(ж) ^ 2N~1 max(l, 2x)N~1. G.1.9)
Доказательство.
1. Если 0 ^ ж $С у, то
ЛГ-1
п=О
>y77V-1
n=O ^
2. Напомним (см. §6.1), что Рдг — решение уравнения
T-N РлгП Т-\ -I- ( Т^ Рлг^! — 1
Ju 1 N У*- — Ж1 "Г l-i- — XI l^\tbf — J..
После подстановки ж = - получаем, что Pjy(l/2) = 2JV~1. Для ж ^ -
мы имеем Рлг(ж) ^ PN(^j = 2N~1, поскольку PN возрастает. Для
ж ^ ^ применение G.1.8) приводит к Рлг(ж) ^ xN~12N~1P^l-\ =
= 2N-1Bx)N~1. Этим доказывается G.1.9). ¦
Теперь легко применить леммы 7.1.1 и 7.1.2. Мы имеем
sup |i?jv(OI = /^ ( ) <
« Ln=0 ч 7 J
Ilz} /лт_1., „\ I1/2
Лемма 7.1.1 позволяет заключить, что ^(р являются непрерывными.
Графики на рисунке 6.3 показывают, что н<р имеют возрастающую сте-
степень регулярности с ростом N, а это, очевидно, не оптимально! Исполь-
Используя №j для j > 1, немедленно приходим к более точным результатам.

294 Глава 7
Например, мы имеем
q2 = snp\^N@^B0\ = sup [PN(y)PNDy(l -у))}1'2
(так как sin2 ? = 4 sin2 ?/2 A — sin2 ?/2)). Если у ^ 1/2 или у ^ ^ +
(что предполагает 4уA — у) ^ ^), то [Pjy(y) PjvDy(l — у))] i
в силу G.1.9). В оставшемся интервале ^ + ^- ^ у ^ ^ мы имеем
ч JV-1
(так как у2A — у) ^ ^ для 0 ^ у ^ 1). Следовательно, дг ^
и Х2 < GV - 1) [2 - f ^Щ . Асимптотически для
L 4 log 2 J
больших N это дает jv?> G СдЛГ, где М = 4 "j~^j — 1 — 0.1887. Несколько
улучшенная оценка может быть получена, если оценить q± вместо q2.
Тогда получается fj, ~ 0.1936.
Заметим, что У = j является неподвижной точкой для отобра-
отображения у н-)- 4уA — у), тогда q^ ^ [РнC/4)]к для любого к приводит
к нижней границе на Ж и верхней границе на регулярность <р. В тер-
терминах ? значение у = sin2 | = 4 соответствует ? = 4г- Мы уже видели
2 4 6
ранее, что значения ±4г играют особую роль, поскольку < 4?, —о~^" г
является инвариантным циклом для умножения на 2 по модулю 2тг.
В следующей части мы увидим, как эти инвариантные циклы могут
быть использованы при выводе оценок убывания для ф.
7.1.2. Оценки убывания, полученные из инвариантных
циклов
Из значений !? на инвариантном цикле возникают нижние грани-
границы убывания ф.
Лемма 7.1.5. Если {?о, ?i, ... , ?m-i} С [—тг, тг] — какой-нибудь
нетривиальный инвариантный цикл (т.е. ?о ф 0) для отображения

7.1. Методы Фурье
тС = 2? (по модулю 2тг), где Ст =
тогда для всех к ? N
-ъ т = 1, .
295
•• ,N-1, тСм-i = Со,
__ м-1
где Ж = Y, l°g|-^(Cm)|/(Mlog2), и С > 0 не зависит от к.
т=0
Доказательство.
1. Для начала заметим, что существует такая С\ > 0, что для всех
fee N
\8тBкМС0)\^Сг. G.1.10)
В самом деле, 2кМ ?0 = Со (mod27r). Поэтому G.1.10) выполняется, если
Со 7^ 0 или ±7Г- Мы уже знаем, что Со 7^ 0. Если Со = ±тг, то ^ =
= 0 (mod Bтг)), и тогда Со = 2M~1Ci = 0 (mod Bтг)), что невозможно.
2. Теперь
JV
,kM-j
Со)
j=0
Так как f? является тригонометрическим полиномом и if @) = 1, су-
существует такая Сг, что |if(C)| ^ 1 — С2 |CI ^ е~2Сз^1 для достаточно
малых |^|. Тогда для достаточно большого г
j=rM
Отсюда
j=rM
ехр[-2-'-м+2 С2 |Со|
«<>1 =
х B
г=о
Сь 2^Мк A + 12*^6,1
С A +

296
Глава 7
Мы можем применить это к примеру из конца предыдущей части:
-N+Ж
лемма 7.1.5 влечет оценку
= log
Jz?
Dr-).$?(
<2"т)И(
1 +
2тг
3
, где Ж =
log 2. Если !? имеет вещественные коэффици-
коэффициенты (как в случае большинства приложений, представляющих практи-
практический интерес), то Z?\ — Щ~)\= ~М 4г) и •% = 1°8 -М ^~) /I°g2-
Следующими короткими инвариантными циклами являются < -?-, -?-,
ко о
— Щ-, ~%^f: \ Щ-1 Щ~1 ~Щ~\ ИТ-Д- Каждый из них дает верхнюю оцен-
5 5JL7 7 7 )
ку показателя убывания для ср.
В некоторых случаях можно доказать, что одна из верхних гра-
границ для а становится и нижней тоже. Но вначале докажем следующую
лемму.
Лемма 7.1.6. Предположим, что [—тг, тг] = D\ U D2 U ... U Dm и
существует такое q > 0, что
К
Тогда \ф(?)\ ^ СA+
Доказательство.
1. Оценим
П
, где Ж = Iogg/log2.
для некоторого большого, но пока произ-
произвольного j. Поскольку ( = 2 ¦у
мы имеем
€ Dm для некоторого т ? {1, ... , М},
/=о
J=m
Такой же трюк можно применять далее к 2т(^ до тех пор, пока продол-
продолжение не станет невозможным. На этой стадии мы имеем
п
п
Ч)

7.1. Методы Фурье
297
где число оставшихся if-множителей не превышает М—\ (т. е. г^М—1).
Отсюда
?
9i
<7i определено с помощью G.1.5). Следовательно, привлекая определение
G.1.6), имеем
и Ж = lim Ж; ^ log ql log2. Теперь оценка для ф следует из лем-
з—>°°
мы 7.1.2. ¦
В частности, получается следующая лемма.
Лемма 7.1.7. Предположим, что
G.1.11)
C(l + |?|) м+ж} где Ж = logifDr-) /Iog2, и такое
убывание является оптимальным.
Доказательство непосредственно следует из лемм 7.1.5 и 7.1.6. ¦
Конечно, лемма 7.1.7 применима лишь к очень частным if. В боль-
большинстве случаев условия G.1.11) не будут выполняться: существуют
даже такие if, для которых if ( =^- J =0. Подобные оптимальные оценки
могут быть выведены после применения леммы 7.1.6 с использованием
других инвариантных циклов при разбиении [—тг, тг]. Вернемся к наше-
нашему «обычному» примеру ^<р. В этом случае Коэн и Конзе [37] доказали,
что ifjv(C) на самом деле удовлетворяет G.1.11).
1, полином Pn(v) =
Лемма 7.1.8. Для всех N е N, N
п
п=0
уп удовлетворяет условиям
G.1.12)
G.1.13)

298 Глава 7
Начнем, однако, с доказательства другого свойства.
Лемма 7.1.9.
G.1.14)
Доказательство.
1.
N-l /»T .. \ JV-2
" = N [fl,+1 W - (») x~-(»_-/) «»"'] . ,7.1.15)
2.
N г- , ч ,
лх) = i + 2^ I n )~( n-i
n=\ L ч 7 ч
) [
n=l ч ' ч '
= PN(x) + (^NN Л xN(l - 2x). G.1.16)
3. Объединение G.1.15) и G.1.16) дает
A - x) P'N(x) = N
JV~1 (N - 1 + n\ /27V - l\
Поскольку Pjv(l) = XI ( ) = I at 1' П0ЛУчаем G.1.14).
(
„=o V n
Теперь приступим к доказательству леммы 7.1.8.
Доказательство леммы 7.1.8.
1. Поскольку Pjv(y) возрастает на интервале [0, 1], нам нужно лишь
доказать G.1.13).

7.1. Методы Фурье 299
2. Определим f(y) = Рдг(у)-PjvDy(l — у))- Применяя лемму 7.1.9,
приходим к выражению
где
gfo) = PN (у) Pn Dj/A - у)) Fу - 5) - у1"-1 Bу -1) PN (I) Pjy Dj/(l - у)) +
+ 4A - у)[4уA - у)}"-1 PNA) PN(y). G.1.17)
3. Поскольку 4уA — у) ^ у для у #s 3/4, мы можем применить
G.1.8), чтобы получить
Pn(v) y~N+1 < [4j,(l - y)]~N+1 PNDy(l - у))
или
[4A - у)]»-1 PN(y)
Подставляя это в G.1.17), приходим к неравенству
g(y) < Fу - 5) РдгD1,A - у)) [PN(y) - у14-1 РдгA)].
Величина в квадратных скобках равняется ^{l—y)P'N(y) ^ 0 для у ^ 1,
тогда g-(y) ^ 0 при j ^ у ^ §• Следовательно, Pn(v) PjvDj/A — у))
возрастает на интервале Мг, | , что доказывает G.1.13) для у ^ I-
4. При ^ ^ у ^ 1 мы следуем другой стратегии. Поскольку Pn(v) ^
/4я\ЛГ~1 /ч\
^ I -^ j Pn[ j J ввиду леммы 7.1.4, достаточно доказать, что
G.1.18)
НоРдгD1/A-1/)) < [1-41/A-1/)]-^ = Bу-1)-2ЛГ (потому что A - ж)лгх
хРлг(ж) = l-aj^PjvCl-a;) ^ 1) и
4^. G.1.19)

300 Глава 7
Здесь мы снова использовали лемму 7.1.4 и оценку
N
Таким образом, для доказательства G.1.18) достаточно показать
Поскольку Bу — 1)~2 и уBу — 1)~2 убывают на интервале ML 1 , до-
достаточно проверить, что G.1.20) выполняется для у = |, т.е. что
(I)
""'<
9\/]V
Это верно для N ^ 13.
5. Осталось доказать G.1.13) для |^у^1и1^7У^12. Сделаем
это за два шага: у ^ у0 = —-.— и у ^ у0- Для у ^ —-^— выполняется
— у) ^ ^, откуда, снова по лемме 7.1.4,
PN(Ay(l - у))
Аналогично, Pjv(y) ^ (-|) ^A)' так чт0
^, Численно
о 4 J
проверяется, что G.1.21) в самом деле меньше, чем -Рлп4) Для
N < 12.

7.1. Методы Фурье
301
6. Если
ty I /Ту
Bу - 1)~2N и
РдгDуA - y))PN(v)
1, мы используем оценки РдгDуA — у))
JV-1
, чтобы вывести
1 JV-1
_1)-2[_L]J
^2NPN(y0). G.1.22)
Для последнего неравенства используется, что обе функции Bу — 1)~2
и уBу — 1)~2 убывают на интервале [у0, 1]. Численно проверяется, что
G.1.22) меньше, чем
для 5 ^ TV ^ 12.
7. Осталось доказать G.1.13) для 1 ^ N ^ 4 и
2+
У ^ 1- При
2
/о\2
таких малых значениях 7V полином Pjv(y) -fjvDy(l—у))—Pjv( f ) имеет
степень не более, чем 9, и его корни легко вычисляются (численным
По ]
способом). Получается, что ни один из них не лежит в интервале Иг, 1 .
Это завершает доказательство, потому что G.1.13) выполняется при у =
= 1.
Из лемм 7.1.8 и 7.1.7 мы получаем точное асимптотическое убыва-
убывание
G.1.23)
Для нескольких первых значений N это превращается в утвержде-
утверждение лпу? € Са~е со следующими оценками для а:
N
2
3
4
5
6
7
8
9
10
а
0.339
0.636
0.913
1.177
1.432
1.682
1.927
2.168
2.406

302 Глава 7
Мы также можем использовать лемму 7.1.7 для оценки гладкос-
гладкости jyip при N —>• ос. Поскольку
3
(для верхней оценки используется лемма 7.1.4, для нижней — 7.1.9),
в предположении, что ^ip € См асимптотически для больших N, при
этом [I, = 1 — ~ 0.2075.1 На самом деле не нужно использовать
лемму 7.1.8 в полную силу, чтобы доказать этот асимптотический ре-
результат: достаточно доказать, что
PN(y)^C3N-1 приу^|, G.1.24)
PJV(y)PjvDy(l-y))^C232(JV-1) при|^у^1, G.1.25)
где С не зависит от N. Тогда асимптотический результат немедлен-
немедленно следует из леммы 7.1.6. Оценка G.1.24) — это непосредственное
следствие неравенства Рлг(у) Sj Pjv(t) Sj З^ при у ^ 4- Оценка
\4 / 4
G.1.25) легко получается из леммы 7.1.4 следующим образом. Если
т ^ У ^ —i^—! то Pjv(y) PjvDy(l — у)) ^ Dу)ЛГ~1A6уA — у))^ =
= [64у2A — y)]N~1 ^ з2^^, потому что у2A —у) убывает на интервале
[|, l]. Если 2+^ < у < 1, то Piv(y)PjvDy(l-y)) ^ Dy)JV-1PJV(|) =
= (8у)м~г < з2^). Это значительно более простое рассуждение о точ-
точном асимптотическом убывании ф проведено Волкмером в [183], кото-
который получил его независимо от Коэна и Конзе.
7.1.3. Оценки типа Литлвуда-Пэли
В этой части мы приводим L1- и ?2-оценки для A + |С|)а?> вмес-
вместо оценок поточечного убывания для самой ф. Основной идеей яв-
является обычная техника Литлвуда-Пэли: преобразование Фурье на-
нашей функции разбивается на диадические куски (т. е. приблизитель-
приблизительно 2W $С |?| ^ 2-у+1С) и интеграл оценивается на каждом из кусков.

7.1. Методы Фурье 303
Если J d
_l_ ^ 2J'"AJ] < ос для a < — log A/log 2, и <p ? Ca. Для получения оценок
такой природы мы используем особую структуру ф как бесконечного
произведения moB~J'?). Оператор Ро, определенный в §6.3, будет ос-
основным инструментом при выводе оценок.
Для начала ограничимся положительными тригонометрическими
полиномами Мо(?). (Позднее возьмем Мо(?) = |то(?)|2> чтобы рас-
распространить наши результаты на неположительные то-) Как и в §6.3,
определим оператор Ро, действующий на 2тг-периодических функциях
по правилу
Этот оператор изучался Конзе и Ружи, и некоторые результаты этой
части взяты из их работ [51], [50]. Схожие идеи развивались Эйролой
в [75] и Вильемосом в [182]. Первая полезная лемма такова.
Лемма 7.1.10. Для всех т > 0 и всех 2тг-периодических функций /
Я" 2™7Г т
ЦоB-'О- G.1.26)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
1. По индукции. Для т = 1
тг/2
= 2
-ж/2
Зтг/2
= 2 I dCMo(Of(O =
-¦к/2 -2я

304 Глава 7
2. Предположим, что равенство G.1.26) выполнено для т = п. Тог-
Тогда оно верно для т = п + 1:
-2™тг
п
тг/2
1 / ^[ПМОB^)][МО(С)/(С)+МО(С+7Г)/(С+7Г)] =
-тг/2 j=1
Зтг/2
-/2
Поскольку Mo — положительный тригонометрический полином,
его можно записать в виде
J J
j=-J з=о
Тогда находим, что BJ + 1)-мерное векторное пространство тригоно-
тригонометрических полиномов, определенное с помощью
J
j=-J
является инвариантом для Ро- Действие Ро в Vj можно представить как
матрицу порядка BJ + 1) х BJ + 1), которую тоже обозначим через Ро,
(Р0)ы = 2о2*_/, -J^k,l^J, G.1.27)
принимая, что аг = 0, если \г\ > J. Для Мо вида
, 2ЛГ
G.1.28)

7.1. Методы Фурье 305
где L — тригонометрический полином, такой, что L(w) ф 0, матрица Ро
имеет очень специальные спектральные свойства.
Лемма 7.1.11. Величины 1, -,..., 2~2К+1 являются собствен-
собственными значениями для Ро. Векторные строки ей = (jk)j=-j,...,j, к =
= 0, ... , 2К — 1, образуют подпространство — левый инвариант Ро.
Более точно,
= 2~Ае/? + линейная комбинация еп, п < к.
Доказательство.
1. Факторизация G.1.28) эквивалентна тому, что
j
^2 ajjk(-l)j = 0 для fc = 0, ..., 2^-1. G.1.29)
i=-J
Более того, Мо@) = 1, отсюда X)a2j = ? a2j+i = \- Это означает,
что сумма каждого столбца в матрице G.1.27) равняется 1. Тогда е0
является левым собственным вектором Ро с собственным значением 1.
2. Для 0 < к $С 2К — 1 определим gu = еиРо, т. е.
(gk)m =
3
Для четного т, т = 21,
Ш« = 2 X)(j + l)ka2j = 2-^
Для нечетного m, m = 2/ + 1,
= 2 X)(j + / + l)*o2i+i =
3
? 1Г
m
Отсюда
ekPo = gk= 2-*+i
m=0

306 Глава 7
где
Ат = Y, ^jBj)m = ? a2j+1Bj + 1)т
з з
в силу G.1.29).
Следствием леммы 7.1.11 является то, что все пространства
J
G Vj; 2, jnfj = 0 Для п = 0, ... , к
5=-J
где 1 ^ к ^ 2К, будут правым инвариантом для Ро. Главным резуль-
результатом этой части является следующая
Теорема 7.1.12. Пусть А обозначает собственное значение
PoL с наибольшим абсолютным значением. Определим F, а с по-
мощью формул
оо
F(O = B7Г)-1/2 Д MOB~JO, a = - log |A|/ Iog2.
Если |А| < 1, то F е Са~е для всех е > 0.
Доказательство.
1. Определим /(?) = A— cos ^)к. Так как -^-rf = 0 для k ^ 2K—1,
f € Е2к-
2. Спектральный радиус р(Ро Е ) равняется |А|. Так как для лю-
любого S > 0 существует такая постоянная С > 0, что ||АП|| :
для всех п € N, имеем
С(\\\ + S)m. G.1.30)
3. С другой стороны, /(?) ^ 1 для -Ц- ^ |?| ^ тт. Вместе с огра-
ниченностью произведения Ц MoB~J^) при |?| ^ тг (что, как обычно,

7.1. Методы Фурье 307
выводится из |Мо(?)| ^ 1 + С1^), это влечет
г
= С j dti (Р0"/)Ю
(используем лемму 7.1.10) ^ С"(|Л| + J)n.
В силу рассуждения из начала этой части F ? Са~е. Ш
На самом деле можно доказать несколько более сильный результат.
Если продолжить определение Сп {п — целое) и включить в него все
функции, для которых (п — 1)-я производная лежит в классе Зигмунда
^ = {/; 1/(ж + У) + f(x -У)~ 2/(жI ^ С\у\ для всех х, у},
то верно и то, что F € Са, если Ро Е — диагональная (т.е. в этом
случае мы можем опустить е). Более того, и оценка гладкости, и оценка
F € Са~е для всех ? > 0 из теоремы 7.1.12 являются оптимальными,
если F не имеет нулей на [—тг, тг]. Для доказательства см. теорему 2.7
из работы Коэна и Добеши [38].
Замечание. Такой же результат можно получить с помощью эквива-
эквивалентной техники, в которой используется оператор Р^, определенный так
же, как и Ро, где множитель Мо(^) заменен на L(^) из G.1.28). В этом
случае мы определяем \L = р(Ро') и факторизуем F(?) = [2(8ш^/2)/^]2А: х
хBтг)~1/2 П ЬB~^), чтобы получить
7Г
С 2~2пК I' di [(Роь)п1Ш) < C2-2nK(\L + е)п,
так что F G Са~Б, где а = 2К —г-2—. Преимуществом такого метода явля-
Iog2
ется то, что мы непосредственно начинаем с меньшей матрицы Р^, и тогда

308 Глава 7
вычисление спектрального радиуса становится проще. Эти два метода пол-
полностью эквивалентны, что показывается следующими рассуждениями. Если
fi — собственное значение Ро с собственной функцией /м G ?W, то /м можно
переписать так:
Заменяя Мо(^) его факторизацией в выражении
/*/„(?) = Мо (|) U (|) + Мо (| + тг) U (| + тг),
Г • 2 С 2%~\N
после деления на sin -~ cos -^ мы получаем
так что собственные значения Р$ в точности даются соотношениями ць =
= 22КМ. П
В общем случае, то не будет положительным. (На самом деле
в рамках ортонормированных базисов вейвлетов то никогда не быва-
бывает положительным, за исключением базиса Хаара, см. работу Янссе-
на [106].) Однако мы можем определить Мо = |«го|2. Та же техника
приводит к оценке
где \L — спектральный радиус Pfr, a L(?) = |Jz?(?)|2. Отсюда
если a+f- < N-\—p—. Следовательно, ю € Ca e для a ^ N -\ p ^.2
2 2 log 2 2 log 2 2
Для специального вида ^<р из § 6.4 и нескольких первых значений N
получаются следующие а:

7.2. Прямой метод
309
N
2
3
4
5
6
7
8
9
10
а
0.5
0.915
1.275
1.596
1.888
2.158
2.415
2.661
2.902
Эти результаты намного лучше, чем значения, полученные из поточеч-
поточечного убывания ф (см. §7.1.2). Размер матрицы Р? возрастает с рос-
ростом N (линейно), и я не знаю другого метода установления асимпто-
асимптотики спектрального радиуса при N —>• ос. Для асимптотических оценок
лучшим методом является поточечное убывание ф.
7.2. Прямой метод
Результаты о гладкости, полученные в конце § 7.1.3 для х<р с ма-
малыми значениями N, по-прежнему не оптимальны. Более того, методы
Фурье могут дать лишь информацию о глобальном показателе Гельдера,
в то время как из рисунка 6.3 ясно, что %<р в некоторых точках более
гладкая, чем в других. На самом деле мы увидим, что существует це-
целая иерархия (фрактальных) множеств, в которых 2<Р имеет различные
показатели Гельдера, меняющиеся от 0.55 до 1. Результаты, подобные
этим, можно получить прямыми методами, не привлекая ф. Из сообра-
соображений простоты я объясню структуру для общего случая, но в деталях
применю метод лишь к 2<у?, а затем сформулирую общие теоремы о гло-
глобальной и локальной регулярности без доказательства. Доказательства
можно найти в работах Добеши и Лагариса [59], [60]. Подобные резуль-
результаты о глобальной регулярности были также доказаны Мичелли и Пра-
утчем в [146] в рамках схем последовательного деления, независимо от
Добеши и Лагариса (на самом деле, даже раньше).
Метод полностью независим от теории вейвлетов. Отправной точ-
точкой является уравнение
к
G.2.1)
fc=0

310 Глава 7
К
где ^2 с/г = 2. Нас интересует .^-решение F с компактным носителем,
k=o
которое, если оно существует, определено однозначно3 (с точностью
до нормировки). Поскольку F € L1, преобразование F непрерывно и
G.2.1) влечет
Г }
/
dxF{x)
if
где m(^) = ^ S cfc e~lA^- Тогда лемма 6.2.2 говорит о том, что supp F =
= [0, К]. Уравнение G.2.1) можно рассматривать как уравнение непо-
неподвижной точки. Для функций g с носителями на [0, К] определим Tg
по формуле
к
Тогда F — решение G.2.1), если ТF = F. Мы попытаемся найти эту
неподвижную точку обычным методом: найдем подходящую F0,4 опре-
определим Fj = T^Fq и докажем, что последовательность Fj имеет предел.
Для определения Fo вначале заметим, что G.2.1) накладывает огра-
ограничения на значения F(n), п ? Z, если F — непрерывна. Поскольку
supp F = [0, К], нам нужно лишь определить F(k), 1 ^ к $С К — 1,
остальные F(n) равняются нулю. Подстановка х = к, 1 ^ к ^ К — 1,
в G.2.1) приводит к системе из К — 1 линейных уравнений для К — 1
неизвестных F(k). Систему уравнений можно также понимать как тре-
требование, чтобы вектор (F(l), ... , F(K — 1)) был собственным вектором
с собственным значением 1 для матрицы размерности (К — 1) х [К — 1),
полученной из си- Оказывается, что по модулю некоторых технических
условий (см. ниже) эта матрица на самом деле имеет 1 своим прос-
простым собственным значением, так что (F(l), ... , F(K — 1)) можно за-
зафиксировать с точностью до некоторой общей постоянной умножения.
К-1
Предположим, что мы это сделали. Можно доказать, что J^ F(k) ф 0.
fc=i
к-\
Тогда мы можем выбрать нормировку, чтобы Yl F(k) = 1. (Все это
будет иллюстрироваться примерами ниже.) Теперь определим F0(x),

7.2. Прямой метод 311
кусочно-линейную функцию, которая в целых числах в точности при-
принимает значения F(k), т.е.
F0(x) =F(k)(k + l-x)+F(k + l)(x-k) для к ^ х ^ к + 1. G.2.2)
Последовательное применение Т определяет Fj = TJF0, т.е.
к
Fj+1(x) = (TFj)(x) = Y, <* FjBx - к). G.2.3)
k=0
Отсюда с легкостью следует, что Fj являются кусочно-линейными с уз-
узлами 2~Jn € [О, К], п ? N. Для обсуждения предела Fj при j —>• сю и
изучения регулярности этого предела удобнее придать G.2.3) другую
форму.
Ключевой идеей станет одновременное изучение Fj(x), Fj(x +1),...
Fjix + К — 1) для х ? [0, 1]. Мы определим5 Vjix) ? ШК с помощью
[vj(x)]k=Fj(x + k-l), k = l,...,K, же [0,1]. G.2.4)
Для 0 $С х ^ ^ формула G.2.3) и включение supp iT,- С [0, if] предпола-
предполагают, что Fj+i(x), Fj+i(x + l), ... , Fj+i(x + К — 1) являются линейны-
линейными комбинациями FjBx), FjBx + 1), • • • , FjBx + K — 1). Более точно,
в терминах Vj(x)
vj+1(x) = То VjBx) для 0 < х < |, G.2.5)
где То является матрицей порядка К х К, определенной с помощью
№))„„ = c2m-n-i, 1^т,п^#, G.2.6)
где предполагается С& = 0 для к < 0 или к > К. Точно так же
u,+i(a:) =Ti^-Bx-l) для|^ж^1, G.2.7)
где
(Ti)mn = c2m-n, \<:m,n<:K. G.2.8)
Оба уравнения G.2.5), G.2.7) выполняются для х = ^: в силу особой
структуры Го, Ti и и,- (в частности, (T0)mn = (Ti)mn+i, [^@)]„ =
= [vj(l)]n для п = 2, ... , К), эти два уравнения идентичны при х = -.

312 Глава 7
Мы можем объединить G.2.5) и G.2.7) в одно векторное уравнение сле-
следующим образом. Каждое х ? [О, 1] можно представить двоичной по-
последовательностью
где dn(x) = 1 или 0 для всех п. Строго говоря, существует два воз-
возможных представления для каждого диадического рационального х,
т.е. каждого х вида к2~:>: мы можем заменить последнюю цифру 1,
за которой следуют все нули, на цифру 0, за которой следуют все еди-
единицы. Это не вызовет проблем, но для ясности мы будем различать две
эти последовательности с помощью индекса: d?(x) для последователь-
последовательности с нулями на конце (разложение «сверху», т. е. разложение, которое
будет начинаться теми же J — 1 цифрами, что и х + 2~J при J —>• оо),
d~(x) для последовательности, заканчивающейся единицами (разложе-
(разложение «снизу»). Например,
^Г(|) = 0, d
Две области определения 0^ж<^и^<ж^1 для G.2.5) и G.2.7)
полностью характеризуются с помощью d±(x): d\(x) = 0, если х < ^;
1, если х > jz.
Для каждой двоичной последовательности d = (rfn)neN\{o} мы так~
же определим ее правый сдвиг rd с помощью
(rd)n = dn+1, n = 1, 2, ....
Тогда понятно, что rd(x) = dBx), если 0 ^ х < ^, rd(x) = dBx — 1),
если ^ < х $С 1. (Для х = ^ мы имеем две возможности rd+ ( ^ ) = d@),
rd~ ( ^) = d(l).) Хотя г в действительности определяется на двоичных
последовательностях, мы несколько испортим обозначения и напишем
тх = у, а не rd{x) = d{y). С таким новым обозначением мы перепишем
G.2.5), G.2.7) как одно уравнение
vj+1(x)=Tdl{x)Vj(Tx). G.2.9)

7.2. Прямой метод 313
Если пределом Vj является v, то такая вектор-функция v будет непо-
неподвижной точкой линейного оператора Т, определенного с помощью
(Tw){x)=Tdl(x)w(Tx);
Т действует на все вектор-функции w: [0, 1] —>• Шк, удовлетворяющие
требованиям
M0)]i=0, [w(l)]K = O, [w@)]k = [tu(l)]*_i, k = 2,...,N. G.2.10)
(Результатом этих условий является однозначное определение Tw
в диадических рациональных точках: два разложения приводят к од-
одному результату.)
Что же мы приобрели после такой перегруппировки уравнений?
Прежде всего, из G.2.9) следует, что
Vj (ж) = Tdl {x) Td2 {х) ¦ ¦ ¦ Td. {х) v0 {т3 х),
откуда
Vj(x) - vJ+,(x) = Tdl(x) ¦ •¦Там [vo(tjx) - vi(tjx)}. G.2.11)
Другими словами, информация о спектральных свойствах произведе-
произведений Т^-матриц позволяет нам контролировать разницу Vj —Vj+i, тогда
мы можем доказать сходимость Vj —>• v и вывести гладкость v. Ну
а теперь обратимся к примерам.
Для функции 2<Р формула G.2.1) превращается в
з
2lp(x) = Y,Ck2<pBx-k), G.2.12)
k=0
где
со -
Заметим,
и
1 + V3
4 '
что
3
Cl
со
+ V3
4 '
+ С2 =
2с2 =
3
С2
Cl + Сз =
ci+3c3.
-V3
4 '
1
сз -
1
- V
4
'3
G.2.
G.2.
13)
14)

314 Глава 7
з
И то, и другое является следствием делимости т0(?) = ^ ?
на A + е~1^J. Значения 2<у?A), г?>B) определяются из систем
с2
Ввиду G.2.13) сумма значений в столбцах М равняется 1. Этим доказы-
доказывается, что A, 1) является левым собственным вектором М с простым
собственным значением 1. Правый собственный вектор для того же соб-
собственного значения не ортогонален A, 1), а это означает, что его можно
нормировать и сделать сумму его элементов равной 1. Тогда в качестве
2<у?A), 2?>B) выбираем
2'
Матрицы То, Ti размерности 3x3 задаются формулами
В силу G.2.13) То и Ti имеют общий левый собственный вектор е\ =
= A, 1, 1) с собственным значением 1. Более того, для всех х € [0, 1]
ei • vo(x) = ei • [A - ж)г;о@) +
= A - x)[2ip(l) + 2^B)] + x[2y(l) + 2^B)] (используем G.2.2)) = 1.
Следовательно, для всех х ? [0, 1] и всех j ? N
ei • гл,- (ж) = ei • Tdl (ж) • • • Td. {x) v0 {т3 х) =
= ei • vq{t3x) (так как eiT^ = e\ для d = 0, 1) = 1.
Отсюда Vo(y) — vi(y) e Ei = {w; e± • w = Wi + w2 + W3 = 0}, это
пространство ортогонально е\. Ввиду G.2.11) нам нужно лишь изучить
произведения Х^-матриц, ограниченных на Е\, чтобы контролировать
сходимость Vj. Однако верно даже большее! Положим е2 = A, 2, 3).
Тогда G.2.14) влечет
= |е2 + aoei, e2Ti = |e2 + aiex, G.2.15)

7.2. Прямой метод 315
где а0 = со + 2c2 - g = -^—> "i = ci + 2c3 - | = ~4 ¦ Если мы
определим е° = e2 - 2a0 ei, тогда G.2.15) превратится в
e°T0 = |e° и е\Т1 = \е\-\е1, или e\Td=\e%-\dex.
С другой стороны,
е° • «„(ж) = A - х) е°2 • «„(О) + ж е° • «0A) = -ж;
следовательно,
e°2-Vj{x) = el-Ta^Vj-xirx) = -^(х) + ^е\-Vj-xijx) =
3 3
= -^2 2-mdm(x)+2-ie°rv0(Tjx) = - ? 2~m dm(x)-2^ rjx = -x.
m=l m=l
Отсюда e§ • [vq(x) — vi(x)] = 0. Это означает, что для контроля Vj — Vj+i
нам нужно лишь изучить произведения Т^-матриц, ограниченных на
пространстве Е2, натянутом на е\ и е°. Но так как это простой при-
пример, Ei будет одномерным, а Т^|? представляет просто умножение
на некоторую постоянную, а именно третье собственное значение Т^,
равное —-^— для То и —-^— для Т\. Следовательно,
Vj{x)-Vi+t(x)\\<\±^\ \^^Г С, G.2.16)
1-л/З ^
где использовалась равномерная ограниченность V[. Так как
G.2.16) влечет
где а = |log((l + л/3)/4)|/ Iog2 = 0.550. Следовательно, vj имеют пре-
пределом непрерывную функцию v, поскольку непрерывными являются
все Vj, а сходимость выполняется равномерно. Более того, v автомати-
автоматически удовлетворяет G.2.10), поскольку это выполняется для всех Vj,
так что она может быть «развернута» в непрерывную функцию F

316 Глава 7
на [0, 3]. Эта функция решает G.2.1), при этом %<р = F, и может быть
равномерно приближена с помощью кусочно-линейных сплайнов Fj с уз-
узлами в к2~\
\\2<p-Fj\\L~^C2-°'>. G.2.17)
Из стандартной теории сплайнов следует (см., например, работу Шу-
мейкера [190]O, что %<р непрерывна по Гёльдеру с показателем а =
= 0.550. Заметим, что это лучше, чем наилучший результат из § 7.1
(в конце §7.1.3 мы получили а = 0.5 — е). Такой показатель Гельдера
оптимален: из G.2.12) мы получаем
откуда
Но этот матричный метод может сделать нечто большее, чем определе-
определение оптимального показателя Гельдера. Так как v(x) = Tej1(a.)i)(ra;), для
достаточно малого t такого, что х и х +1 имеют j одинаковых первых
цифр в двоичных разложениях, мы имеем
v{x) - v(x + t)= TdlX ¦ --ТМх) [v(rjx) - v(tj(x + *))].
Это можно исследовать точно так же, как и Vj(x) — Vj+i(x), и найти
ei • [v(x) - v(x + t)] = 0, e° • [v(x) - v(x + t)} = t.
Для остатка имеют значение лишь Тд\Е , и мы получаем
\v(x) - v(x + t)\\
1-л/З
Е dn(x)
l
G.2.18)
1 3
где t — порядка 2~К С обозначением tj{x) = i 2 dn(x) неравенство
п=\
G.2.18) можно переписать в виде
x»j, G.2.19)
где /3 = log |A — л/3)/A + л/3I1/ log2. Предположим, что г,-(ж) стре-
стремится к пределу г(х) при j —>• оо. Если г(х) < —-^- = 0.2368, то

7.2. Прямой метод
317
второй член из G.2.19) доминирует над первым, тогда v, а отсюда и %<р,
непрерывна по Гёльдеру с показателем а + jir{x). Если г(х) > —-^-,
то первый член порядка 2~i доминирует, и 2<Р является липшицие-
вой. На самом деле можно даже доказать, что 2<Р дифференцируема
в этих точках, образующих множество полной меры. Это устанавлива-
устанавливает целую иерархию фрактальных множеств (множеств, на которых г(х)
имеет заданное значение), на которых %<р имеет различные показатели
Гёльдера. А как обстоят дела в диадических рациональных точках? Что
же, здесь вы можете определить г±(х) в зависимости от того, приходи-
приходите ли вы «сверху» (что связано с d+(x)) или «снизу» (d~(x)); r+(x) = О,
г-(х) = 1. Как следствие, в диадических рациональных точках х функ-
функция 2<Р дифференцируема слева, но имеет показатель Гёльдера 0.550,
если приближаться к х справа. Это иллюстрируется рисунком 7.1, на
котором показаны увеличения 2<Р, указывающие на характерные пики
с обрезанными сторонами даже при очень хорошем разрешении.
0,03
2,48 2,49 2,5 2,51 2,52 2,4998 2,5 2,5002
Рис. 7.1. Функция 2<р{х) и два последовательных увеличения около х = 2.5

318 Глава 7
В этом примере мы имеем два «правила сумм» G.2.13), G.2.14), от-
отражающие делимость mo(C) = h ? ck e~lk^ на (A + е~1^)/2J. В общем
к
случае то делится на ((l+e~!^)/2)JV, и мы имеем N правил сумм. Одна-
Однако подпространство Ejy может иметь размерность больше, чем 1, а это
усложняет оценки. Общая теорема о глобальной регулярности форму-
формулируется следующим образом.
Теорема 7.2.1. Предположим, что с&, к = О, ... , К, удовлетво-
к
ряют ^ cj = 2 и
k=Q
К
^(-1)А к1 ск = 0 при 1 = 0, 1, ... ,L. G.2.20)
k=o
Для каждого т = 1, ... , L +1 определим Ет как подпространство RN,
ортогональное Um = Span{ei, ... , ет}, где ej = AJ'~1,2J'~1, ... , N^1).
Предположим, что существуют такие 1/2 $С Л < 1, 0 ^ / ^ L (I E N)
и С > 0, что для всех двоичных последовательностей (dj)j^ и всех
т е N
Tdl
<:C\m2~ml. G.2.21)
am El+1
Тогда
1. существует нетривиальное L1 -решение F для масштабирующе-
масштабирующего уравнения G.2.1), связанное с сп,
2. это решение F является I раз непрерывно дифференцируемым, и
3. если А > lj, то 1-я производная F^ является непрерывной
по Гёльдеру с показателем, равным по меньшей мере |1пА|/1п2; ес-
если А = =;, то F^ почти липшициева: она удовлетворяет неравенству
\Fil)(x + t)-Fil)(x)\ <; C\t\ \ln\t\\.
Замечание. Ограничение \ ^ - означает лишь то, что мы берем наи-
наибольшее возможное целое I $J L, для которого выполняется G.2.21), в котором
А < 1. Если I = L, то обязательно А ^ ^ (см. [60]); если I < Ьи А< т, то
мы могли бы заменить I на I + 1 и А на 2А, и G.2.21) выполнялось бы для
большего целого /. ?

7.2. Прямой метод
319
1,2865
1,2864
1,2863
1,2862
1,2861
,98 ,99 1 1,01 1,02
,9998
1,0002
Рис. 7.2. Функция з<р(х) и последовательные увеличения около х = 1
Подобная общая теорема может быть сформулирована для локаль-
локальных флуктуации регулярности, показанных на примере с 2<Р- Более точ-
точное утверждение, детали и доказательство помещены в работах Добеши
и Лагариса [60], [59].
В применении к м<Р эти методы приводят к следующим оптималь-
оптимальным показателям Гёльдера:
N
2
3
4
0
1
1
а
.5500
.0878
.6179
Они, очевидно, лучше полученных в § 7.1.3. Более того, к своему удив-
удивлению мы видим, что з<р непрерывно дифференцируема, хотя ее график
как будто имеет «пик» в х = 1. Увеличения показывают, что это впечат-
впечатление обманчиво: истинный максимум лежит несколько правее х = 1,
и на самом деле везде имеется гладкость (см. рисунок 7.2). Произвол-

320
Глава 7
Рис. 7.3. Производная з<р{х)
ная з<р непрерывна, но имеет очень маленький показатель Гельдера, что
иллюстрирует рисунок 7.3.
К сожалению, матричные методы слишком сложны, чтобы приме-
применять их к большим примерам. Другой, более поздний «прямой метод»
был развит Дин и Левиным в [73] и Риулем в [158]. Примененный к jqip
для N = 2, 3, 4, он воспроизводит полученные выше значения а. Вслед-
Вследствие своей меньшей вычислительной трудности, он также справляет-
справляется с большими значениями N, давая результат лучше, чем полученный
в §7.1.3 (см. [158]).
Замечание.
1. Отметим схожесть матриц То, Т± и Ро из §7.1.3 (см. G.1.27))! Да-
Даже спектральный анализ со вложенными инвариантными подпространства-
подпространствами тот же. Это указывает на то, что результат теоремы 7.1.12 в самом деле
оптимален: если А — спектральный радиус Ро I =Т\ , то
тогда А из G.2.21) по меньшей мере равняется А2г, а показатель Гельдера не
превосходит 1 + | log A|/ log 2 ^ | log A|/ log 2. Разница между двумя подходами
в том, что настоящий метод также дает оптимальные оценки, если Мо(?) не
положителен, в отличие от метода из §7.1.3.
2. Условие G.2.21) предполагает, что нужно проверить бесконечно много
условий на То, Ti, прежде чем применить теорему 7.2.1. К счастью, G.2.21)
можно свести к эквивалентным условиям, которые можно проверить на ком-
компьютере за конечное время. Детали изложены Добеши и Лагарисом в [60].

7.3. Вейвлеты с компактными носителями и лучшей регулярностью321
3. На практике необязательно нужно работать с To,JTi и ограничивать
их действие на Е2к- Можно прямо определить матрицы То, Ti, соответству-
соответствующие коэффициентам то(^)/(A + е~г^)/2)к. Оказывается, что оценки на
\\Tdl ¦¦¦Tdm\E II эквивалентны оценкам на ||Tdl ¦ ¦ ¦fdm\\-2~Lm (см. [60], §5).
Матрицы Td намного меньше, чем Tj ((N — К) х (N — К) вместо N х N).O
Поскольку этот метод работает для любой функции, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению вида G.2.1), мы можем применить его к базовым
функциям из схем последовательного деления. Для интерполяционной
функции Лагранжа, соответствующей F.5.14), детальный анализ пока-
показывает, что F «почти» принадлежит С2: она лежит в С1, a F' удовле-
удовлетворяет неравенству
\F'(x)-F'(x + t)\^C\t\\\og\t\.
Первоначально это было получено Дюбуком в [70]. Но наши матрич-
матричные методы могут делать больше! С их помощью можно доказать, что
F' почти всюду дифференцируема, и даже вычислить F" там, где она
корректно определена. С деталями можно ознакомиться в [60].
7.3. Вейвлеты с компактными носителями
и лучшей регулярностью
Из следствия 5.5.2 получается, что ортонормированный базис вейв-
вейвлетов может состоять из CN~X вейвлетов, лишь если базисный вейв-
лет ф имеет N нулевых моментов. (Мы неявно предполагаем, что ф
возникает из кратномасштабного анализа, а <р, ф имеют достаточное
убывание. Оба условия тривиально выполняются для базисов вейвлетов
с компактными носителями, построенных в главе 6.) Такова была наша
мотивация при построении jv<?, которая привела к нф с N нулевыми
моментами. Однако асимптотические результаты из § 7.1.2 показыва-
показывают, что jv<?, мф € СдЛГ, где /I ~ 0.2. Это означает, что 80% нулевых
моментов являются «лишними», т. е. та же регулярность могла быть
получена всего лишь с N/5 нулевыми моментами.
Нечто подобное происходит для малых значений N. Например,
2<р непрерывна, но не принадлежит С1, з<? из С1, но не из С2, и даже
при этом 2<?, ъ<-р имеют, соответственно, два и три нулевых момента.
Значит, в каждом из двух случаев мы можем «пожертвовать» одним
нулевым моментом и использовать дополнительную степень свободы

322 Глава 7
для получения ip с лучшим, чем у 2<р или 3ip, показателем Гёльдера
и с той же шириной носителя. Это эквивалентно замене |тоо(?)|2 =
= (со82|)%№(8т2|) на |тоЮ|2 = (cos2 |) ^ [Pjv-i (sin2 |) +
+ си sin2 ^1 cos Л (см. F.1.11)) и выбору а для улучшения регуляр-
регулярности (р. Примеры для N = 2, 3 показаны на рисунках 7.4 и 7.5. Соот-
Соответствующие hn имеют следующие значения:
-1
N = 3 ho = 0.37432841633/ уД
/ii = 0.109093396059/v^
/i2 = 0.786941229301/лЛ
h3 = -0.146269859213/v^
hi = -0.161269645631/^
h5 = 0.0553358986263/V5.
Эти примеры соответствуют такому выбору а, что max pfTo^ j,
минимизирован, тогда собственные значения То, Т\ стано-
станоJ
вятся кратными.8 Можно доказать, что показатель Гёльдера этих двух
функций не меньше 0.5864, 1.40198 соответственно и не больше 0.60017,
1.4176. Возможно, последние два значения являются истинными пока-
показателями Гёльдера. Детали можно найти у Добеши в [55].
7.4. Регулярность или нулевые моменты?
Примеры из предыдущего параграфа показывают, что при фикси-
фиксированной ширине носителя <р, ф, или, эквивалентно, при фиксированной
длине фильтров в соответствующей схеме субполосного кодирования,
выбор hn, приводящий к максимальной регулярности, отличается от

7.4. Регулярность или нулевые моменты?
323
наиболее
регулярное <р
при N=2
Рис. 7.4. Масштабирующая функция <р(х) для конструкции наиболее регуляр-
регулярного вейвлета с шириной носителя 3
-0,5
наиболее
регулярное <р .
при N=3
0
Рис. 7.5. Масштабирующая функция <р{х) для конструкции наиболее регуляр-
регулярного вейвлета с шириной носителя 5
выбора, приводящего к максимальному числу N нулевых моментов ф.
Тогда возникает вопрос: что более важно, нулевые моменты или ре-
регулярность? Ответ зависит от приложения и не всегда ясен. Бейлкин,
Койфман и Рохлин в [24] использовали ортонормированные вейвлеты
с компактными носителями для сжатия больших матриц, т.е. для при-
приведения их к разреженному виду. С деталями этого приложения чи-
читатель может ознакомиться в первоисточнике или главе, написанной
Бейлкиным, из [159]. Одной из причин, заставивших их метод рабо-
работать, является число нулевых моментов. Предположим, что вы хотите
разложить функцию на вейвлеты (строго говоря, матрицы следует мо-
моделировать функцией от двух переменных, но для иллюстрации доста-

324 Глава 7
точно и проще рассматривать одну переменную). Вы вычисляете все
вейвлет-коэффициенты (F, ф^к) и Для сжатия всей этой информации
отбрасываете все коэффициенты меньше некоторого порогового значе-
значения е. Посмотрим, что это означает для некоторого мелкого масштаба:
j = —J, при этом J ? N и J — «большое». Если F из CL~1, а ф имеет
L нулевых моментов, то для х вблизи 2~3к имеем
F{x) = F{2~Jk) + F'B~Jk)(x - 2~Jk) +
fc)(a; " 2"Jfc)i + (x ~ 2~Jk)LR{x),
где R ограничена. Если это умножить на фB]х — к) и проинтегриро-
проинтегрировать, то первые L слагаемых не дают вклада, потому что J йхх1ф(х) =
= 0, I = 0, ... , L — 1. Следовательно,
\{F, ф-з,к)\ = I dx (х - 2~Jk)L R(x) 2J/2 ф{23х - к)
C2-j(l-i/:
Для больших J эта величина является пренебрежимо малой, если толь-
только значение R вблизи к 2~J не будет очень большим. Тогда после срав-
сравнения с пороговым значением мы оставим вейвлет-коэффициенты на
мелких масштабах лишь вблизи сингулярностей F или ее производных.
Эффект будет более существенным, если L, число нулевых моментов ф,
велико.9 Заметим, что регулярность ф не играет никакой роли в этих
рассуждениях. Похоже, что в приложениях, подобных рассмотренным
Бейлкиным, Койфманом и Рохлиным в [24], число нулевых моментов
гораздо более важно, чем регулярность ф.
Для других приложений регулярность может быть более значи-
значима. Предположим, вы хотите сжать информацию, содержащуюся в из-
изображении. Вновь вы разлагаете на вейвлеты (двумерные вейвлеты,
т. е. связанные с кратномасштабным анализом, полученным с помощью
тензорного произведения) и отбрасываете все маленькие коэффициен-
коэффициенты. (Я излагаю достаточно примитивную процедуру. На практике точ-
точность коэффициентов выбирается разной для разных коэффициентов
в соответствии с правилами квантования.) Вы окончательно приходите

7.4. Регулярность или нулевые моменты? 325
к представлению вида
где S — лишь (малое) подмножество всех возможных значений, вы-
выбранных для функции /. Сделанные ошибки будут состоять из сово-
совокупности выброшенных ipj,k- Если они являются очень нерегулярны-
нерегулярными объектами, то разница между I и I может быть более ощутимая,
чем в случае гладкой ф. Эти рассуждения весьма не строги, но они
предполагают, по крайней мере, что требуется некоторая регулярность.
Несколько первых экспериментов, проведенных Антонини и соавтора-
соавторами [2], видимо, подтверждают это, но для убедительного ответа нужно
большее количество экспериментов.
Правила сумм G.2.20), эквивалентные делимости тоо(?) на A +
+ e~l^)L+1, имеют другое интересное следствие. В подробно изученном
примере 2<? мы видели, что G.2.13) и G.2.14) предполагают, что
е\ ¦ v(x) = 1, ej • v(x) = —х
(мы доказали результат для vj, тогда он верен и для v = Km vj), или,
j-юо
в терминах <р,
ip(x) + ip(x + 1) + ip(x + 2) = 1,
A - 2а0) ip(x) + B - 2а0) <р(х + 1) + C - 2а0) ср(х + 2) = -х
для всех х € [0, 1]. Поскольку supp (р = [0, 3], легко проверяется, что
для всех у € Ж получаем
Все полиномы степени меньшей или равной 1 могут быть записаны в ви-
виде линейных комбинаций (р(х — п). Что-то похожее происходит и в об-
общем случае: условия G.2.20) гарантируют, что все полиномы степени
меньшей или равной L могут быть образованы линейными комбинаци-
комбинациями (р(х — п). (См. работы Фикса и Стренга [80] и Каваретты, Дамена и
Мичелли [29].) Это снова можно использовать для объяснения, почему
условия -^-гтоо = 0, I = 0, ... , L, применяются в схемах субполос-
ной фильтрации. В идеале хочется, чтобы низкочастотный канал пос-
после фильтрации содержал все медленно меняющиеся характеристики,

326 Глава 7
а с помощью другого канала находились лишь истинные «высокочас-
«высокочастотные» характеристики. Полиномы низкой степени являются сущест-
существенно медленно меняющимися особенностями, и правила сумм G.2.20)
гарантируют, что они (или их ограничения на большой интервал для
того, чтобы остаться в Ь2(Ж): здесь мы не обращаем внимания на крае-
краевые эффекты) принадлежат каждому Vj, т.е. полностью задаются низ-
низкочастотным каналом.
При разработке КИХ-фильтров для субполосного кодирования чис-
числу нулевых моментов тоо не обязательно уделять много внимания,
что отражается в «плоскости» фильтра около ? = тт.10 Следовательно,
уже другое рассуждение показывает, что в приложениях с каскадны-
каскадными фильтрами, тем не менее, важно иметь по крайней мере несколько
нулевых моментов. Предположим, к некоторому сигналу мы последо-
последовательно трижды применим низкочастотную фильтрацию + децима-
децимацию. Если первоначальный сигнал назовем /°, а преобразование Фурье
j@ = S/n e~™^? T0 результатом одного шага действия «фильтрация
п
+ децимация» будет последовательность /^, где f1^) = Yl fn е~гп^ вы-
п
числяется по формуле
Второй член можно рассматривать как результат перекрытия частот
в силу недостаточной частоты выбора значений в f1. Аналогичным об-
образом, три подобные операции приводят к формуле
Р{0 = 2~3/2[/°(!)тоо(!)тоо(!)тоо(!) +7«сложенных» членов].
G.4.2)
Следовательно, произведение mo(?)moB?)moD?) играет важную роль.
Рисунок 7.6 показывает, как это произведение выглядит для идеального
низкочастотного фильтра, тоо(?) = 1 для |?| ^ тг/2, 0 для тг/2 ^ |?| $С тт.
Если низкочастотный фильтр не идеален, то он немного «протечет» в об-
область высоких частот тг/2 ^ |?| ^ тт. Тогда важно погасить эту протеч-
протечку, особенно если фильтры каскадные; она влияет на «периодизирован-
ные» члены из G.4.1) и может привести к видимому или слышимо-
слышимому искажению, как только вводится квантование и идеальное восста-
восстановление больше не достижимо. В идеальном случае, изображенном на

7.4. Регулярность или нулевые моменты?
327
я/1
ж/4 ж/2 Зж/4 n
О ж/4 ж/2 Зж/4 ж
О
т/4 ж/2 Зж/4
Рис. 7.6. Графики mo(?), wioB?), moD?) и их произведение для идеального
низкочастотного фильтра
рисунке 7.6, «горб» тооB^) для ? € [Зтг/4, тг] исчезает в произведении
тоо(?)тооB?)тооD?), потому что то(?) = 0 на этом интервале. То же
происходит для дополнительных «горбов» тооD?) и приводит к выпол-
выполнению соотношений тоо(?)тооB?)тооD?) = 1, если ? € [0, тг/8[, = О,
если ? €]тг/8, тг]. В неидеальном случае подобный эффект достигается
в предположении, что тоо имеет ноль разумной кратности в ? = тг, из-за
чего исчезает максимум тооB?) в цепочке фильтров. Этот феномен про-
продемонстрирован на рисунке 7.7, где вейвлет-фильтр сравнивается с не-
вейвлетным фильтром идеального восстановления. На рисунке 7.7а мы
видим графики |то(?)| Для ДВУХ ортонормированных фильтров идеаль-
идеального восстановления (т.е. |тоо(?)|2 + lmo(? + к)\2 = 1), каждый с во-
восемью отводами. Фильтр слева соответствует примеру, построенному
в § 6.4, с двумя нулевыми моментами (т. е. тоо имеет нуль кратности 2

328
Глава 7
o(|)l
Зя-/4
Я-/2 Зя-/4
Рис. 7.7. Сравнение трех цепочек для двух низкочастотных 8-отводных
фильтров со свойством идеального восстановления: (а) графики |то(?)|,
(б) графики |mo(?)moB?)moD?)|, (в) увеличения (б) на тг/2 ^ ? ^ тг
в ^ = 7г) и дополнительным нулем в ^ = 7тг/9. Фильтр справа не явля-
является вейвлет-фильтром, поскольку тоо(тг) ф 0, и тогда тоо(О) ^ 1. Он
построен скорее в соответствии с обычными представлениями, с помо-
помощью концепции «равной пульсации». В этом случае расположение уз-
узлов выбирается так, чтобы амплитуда двух лепестков была такой же,
как и амплитуда одного лепестка в вейвлет-фильтре слева. При этом
пропускная полоса берется настолько узкой, насколько это возможно
для такого ограничения. Итоговый фильтр будет несколько круче, чем
вейвлет-фильтр (его первый нуль расположен в ? = 0.76тг, вместо 0.78тг
для примера с вейвлетом) и более походит на идеальный фильтр. (Ко-
(Конечно, они оба достаточно далеки от идеального случая, но вспомним,
что мы использовали лишь восемь отводов!) На рисунке 7.76 изобра-
изображены произведения |тоо(?)тооB?)тооD?)| для двух этих примеров, а на

Примечания 329
рисунке 7.7в — их увеличения в области тг/2 ^ ? ^ тг. Ясно, что во вто-
втором (не вейвлет) случае протечка в область высоких частот более су-
существенна, чем в случае вейвлетов. Это верно и в Х2-смысле, и в смыс-
смысле амплитуды (наивысший пик справа примерно на 3 децибелла выше,
чем пик слева). Этот эффект может стать еще более заметным, когда
рассматриваются большие фильтры.11
Примечания
1. Между прочим, это доказывает, что утверждение в замечании 3
на стр. 983 в [53] неверно. Я сделала ошибку при получении численного
значения ц из доказательства Мейера.
2. Это именно то, что было сделано в приложении [53]. Остерегай-
Остерегайтесь, однако, опечаток в приложении.
3. Если убрать ограничение, что F — функция из L1 с компактным
носителем, то возможно существование многих других решений. С дру-
другой стороны, если мы будем на этом настаивать, то обязательно выпол-
к
няется соотношение ^ с^ = 2m+1 для некоторого т ? N, и F будет то-й
fc=0
производной решения из L1 с компактным носителем для уравнения,
полученного заменой си на 2~тси- Общность не теряется при ограниче-
ограничении ^ си = 2. Доказательство можно посмотреть у Добеши и Лагариса
в [59].
4. Во всех примерах, которые мы будем рассматривать, на самом
деле не обязательно выбирать специфическую Fq, построенную ниже:
алгоритм работал бы для любой Fq с интегралом, равным единице.
5. Мы неявно предполагаем, что с& — вещественные. Все остается
по-прежнему для комплексных с^, но тогда v(x) ? Ск.
6. В этом частном случае, наделяя Е\ нормой | \(а, —а — Ь, Ь)||| =
= а2 + Ъ2 (эквивалентной обычной евклидовой норме на Е\), нахо-
находим, что sup | |Tou| / |и| ~ 0.728, sup |||Tiu| / |и|| ~ 0.859, тогда
ЕЕ ЕЕ
\\\vj+1(x) - vj(x)\\\ < А''|||«1(ж) - vo(x)\\\, где А = 0.859 в силу G.2.11).
Немедленно получаем,
l *"\ / "v """V /I ^l4-
что равномерно ограничено по ж и j.

330 Глава 7
7. Следующие рассуждения тоже дают прямое доказательство.
Предположим, что 2~(J+1) ^ у — х ^ 2~К Тогда существует такое / € N,
что верно лишь одно из двух: (/ — 1J"'' ^ х ^ у ^ I2~i либо (/ —
— 1J~J ^ ж ^ /2~J ^ у ^ (/ + 1J~J. Мы обсудим лишь второй случай;
первый с ним схож. Мы имеем:
1/0*0 - f(y)\ < \f(x) - fj(x)\ + \fj{x) - ?(/2-')| +
\ tf J \ / tf J \ /I \ & J \'У / rf J \ /I
в силу G.2.17). Вследствие выбора /, существует такое к € N, что х' =
= х — к и l'2~i = 12~:> — к лежат в [0, 1]. Более того, мы можем выбрать
двоичные разложения для х' и 1'2~:>, в которых первые j цифр сов-
совпадают (выбираем разложение, оканчивающееся единицами для 1'2~*
и нулями для ж', если х' — диадическое). Следовательно,
= ||^di(a!') • • -Tdjix1) [vo{tjx') - vo(t3A'2 3))]\\^.C2 аз,
где использовали оценку Т^ •••Tdm\E ^ C2~aj, ограниченность vq
и принадлежность vq(u) —vq{u') ? Е\ для всех и, и'. Аналогично можно
оценить \fj(y) — fj(l2~:>)\. Все вместе это приводит к оценке
которая доказывает непрерывность по Гельдеру с показателем а.
8. Здесь исправлена ошибка, допущенная в первом издании, где
для N = 2 в качестве показателя Гёльдера было задано слишком
большое значение. Я благодарна Вильемосу и Хейлу за то, что ука-
указали на эту ошибку. Между прочим, случай N = 2 является приме-
примером, в котором наилучшее из возможных А из G.2.21) строго больше,
чем max^Toj^J, p^Ti^J]. В этом случае p(T0\Ei) = p{Ti\Ei) = |
и ^(ТоТР)}1/13 ~ 1.09946... > 1.
о
9. Конечно, в работе Бейлкина, Койфмана и Рохлина [24] содержит-
содержится намного больше! Для большого класса матриц оказывается, что после
преобразования с использованием ортонормированного базиса вейвле-
тов плотные матрицы размерности N х N сводятся к разреженным

Примечания 331
структурам, содержащим лишь O(N) элементов, превосходящих по-
порог е. Общая Х2-ошибка, полученная отбрасыванием всех элементов,
меньших, чем е, оказывается О(е), что является гораздо более глубо-
глубоким результатом, чем объясняемое здесь «сжатие». Это в сущности ГA)
теорема Давида и Журне, при доказательстве которой используется
«тяжелая» аналитика.
10. Последующие рассуждения также выполняются для биортого-
нального случая (глава 8), где плоскость |тоо| в? = 0и? = тг необяза-
необязательно одинакова. Важна именно кратность нуля в ? = тг.
11. В [43] Коэн и Джонстон построили фильтры, которые оптими-
оптимизируют критерии, являющиеся смесью обычных представлений и по-
пожеланий, вытекающих из теории вейвлетов.

Глава 8
Симметрия базисов вейвлетов
с компактными носителями
Все рассмотренные нами до сих пор примеры ортонормированных
базисов вейвлетов с компактными носителями, являются заметно не-
несимметричными, в отличие от встречавшихся ранее вейвлет-базисов
с бесконечными носителями, например, базисов Мейера и Батла-Ле-
марье. В этой главе мы обсудим, почему возникает такая асимметрия,
что можно с этим сделать и можно ли что-либо с этим сделать.
8.1. Отсутствие симметрии для ортонормированных
вейвлетов с компактным носителем
В главе 5 мы уже видели, что кратномасштабный анализ не опре-
определяет ip, ¦ф однозначно. Это снова подтверждается следующей леммой.
Лемма 8.1.1. Если семейство функций fn{x) = f{x — n) и gn(x) =
= g(x — п), п € Ъ, образуют ортонормированные базисы в одном и
том же подпространстве Е в Ь2(Ж), то существует 2тг-периодичес-
2тг-периодическая функция а(?), |а(?)| = 1, для которой g\?) = <*(?)/(?).
Доказательство.
1. Поскольку функции fn представляют ортонормированный базис
для Е Э g, то g = Y, an fn и Y, \ап\2 = \\g\\2 = 1. Следовательно,
п
2. Как показано в главе 5, ортонормированность /(• — п) эквива-
эквивалентна условию ? |/(? — 2тгто)|2 = Bтг)~1 п. в. Аналогично получаем,
т
что Yl \g(€ ~ 2тгто)|2 = Bтг)~1. Следовательно, |а(^)| = 1. ¦
т
Однако мы также имеем и такую лемму.

8.1. Отсутствие симметрии 333
Лемма 8.1.2. Если (an)nez является конечной последовательнос-
последовательностью (в которой число ненулевых элементов велико, но конечно) и если
а(?)| = 1? то ап = ct$n,n0 для некоторого щ ? Ъ.
Доказательство.
1. Поскольку |а(?)|2 = 1, имеем
5^а„а^7 = й,о- (8.1.1)
п
2. Определим щ, п2 так, чтобы аП1 фО ф аП2 и ап = 0, если п < щ
или п > п2.
3. В силу (8.1.1) заключаем, что Y^anan+n.2-ni = 5п.2-пи0- Но по
п
определению п\, п^ сумма состоит из единственного члена аП1 ~а^, не-
ненулевого по определению. Отсюда щ = пъ- ¦
Из этих двух лемм следует, что ip, ф с компактными носителя-
носителями являются единственными для данного кратномасштабного анализа,
с точностью до сдвига.
Следствие 8.1.3. Если обе функции f, g имеют компактные но-
носители, а семейства fn = /(• — п), gn = g(- — п), п ? Ъ образуют два
ортонормированных базиса для одного и того же пространства Е, то
g(x) = af(x — щ) для некоторых а € С, \а\ = 1, щ € Z.
Доказательство.
По лемме 8.1.1 мы имеем g(?) = a(Of(O> гДе ап= J dxg(x)f(x — п).
Поскольку /, g имеют компактный носитель, то лишь конечное число
ап ф 0. Следовательно, по лемме 8.1.2 получаем, что а(?) = ае~гп°^,
откуда g(x) = af(x - п0). ¦
В частности, если (pi, ip2 имеют компактные носители и являются
«ортонормированными»1 масштабирующими функциями для одного и
того же кратномасштабного анализа, то (pi является сдвигом (pi: кон-
константа а обязательно равняется 1, поскольку принято, что J dx(p2(x) =
= 1 = Jdx(pi(x) (см. главу 5). Этот результат о единственности можно
использовать для доказательства того, что за исключением базиса Ха-
ара все вещественные ортонормированные базисы вейвлетов, имеющие
компактный носитель, будут несимметричными.
Теорема 8.1.4. Предположим, что ip игр, масштабирующая функ-
функция и вейвлет в некотором кратномасштабном анализе, имеют ком-
компактные носители и являются вещественными. Если ф имеет ось сим-
симметрии или антисимметрии, то ф является функцией Хаара.

334 Глава 8
Доказательство.
1. Мы всегда можем сдвинуть ip, чтобы выполнялось hn =
= / dx (p(x)(p(x — п) = 0 для п < О, ho ф 0. Поскольку ip — вещест-
вещественная, то такими же будут и hn. Пусть N будет наибольшим индек-
индексом, для которого коэффициент hn не равен нулю: h;y ф 0, hn = 0 для
п > N. Тогда N — нечетное, потому что предположение о четности N,
N = 2щ, вместе с равенством
/ ^hn hn+2i = Si, о
п
привело бы к противоречию, если положить I = щ.
2. Так как hn = 0 для п < 0, п > N, supp tp = [0, N] по лемме 6.2.2.2
Тогда обычное определение E.1.34) дает supp ф = [—щ, по + 1], гдепо =
N — 1 1
= —-—. Таким образом, ось симметрии обязательно проходит через ^,
и мы имеем фA — х) = ф(х) или фA — х) = —ф(х).
3. Следовательно,
что означает инвариантность пространств Wj под действием отобра-
отображения х н-^ —х. Поскольку Vj = ф Wk, то Vj также инвариантны.
k>j
4. Теперь определим <р(х) = <p(N — х). Тогда функции <р(- — п) обра-
образуют ортонормированный базис в Vo (потому что Vq инвариантно под
действием х н->- —ж), J dx<p(x) = J dx<p(x) = 1 и supp <p = supp <p. Из
следствия 8.1.3 получаем, что <р = <р, т.е. <p(N — х) = <р(х). Следова-
Следовательно,
hn = V2dx (р(х) ipBx -п) = V2 dx ip(N - х) ip(N - 2х - п) =
JN + n)=hN-n. (8.1.2)
5. С другой стороны,
, 0 =
п
(для второго слагаемого используем (8.1.2))
= 2

8.1. Отсутствие симметрии 335
В силу леммы 8.1.2 это приводит к выполнению him = $т,тоа Для не~
которых too € Ж, \а\ = 2/2. Поскольку мы предполагали ho ф 0, это
означает him = <$т,ос*. В силу (8.1.2) имеем /ijv = ho = а, и в общем
случае /i2m+i = а^т,п0- Нормировка 5^/г„ = л/2 (см. главу 5) фикси-
фиксирует значение а: а = —.
V2
6. Тогда мы имеем h2m = -^= Sm,o, h2m+i = -7= Sm,n0 или mo(f) =
V2 V2
1A + e-iNt) Следовательно ф(?) = Bтг)-1
= 1A + e-iNt). Следовательно, ф(?) = Bтг)-1(A - e~iNt)/iN?) или
tp(x) = iV для 0 ^ х ^ N, <р(х) = 0 в противном случае. Если N = 1,
то это в точности дает базис Хаара. Если N > 1, то <р(- — п) не будут
ортонормированными, что противоречит предположениям теоремы.
Замечание.
1. Отсутствие симметричных или антисимметричных вещественных
вейвлетов с компактными носителями не станет сюрпризом для читателей,
знакомых с субполосным кодированием: Смит и Барнвел в [166] уже отме-
отмечали, что симметрия не совместима со свойством точного восстановления
в субполосной фильтрации. Единственным новым результатом теоремы 8.1.4
является обязательная симметричность hn при условии, что ф симметрична,
но в любом случае справедливость этого результата интуитивно ясна.
2. Если снять ограничение на вещественность ip, то симметрия стано-
становится возможной, даже если ip имеет компактный носитель (Лоутон, личное
общение, 1990). ?
Таким образом, асимметрия всех примеров, изображенных на ри-
рисунках в § 6.4, не устранима. Но почему это должно нас волновать? Сим-
Симметрия хороша, но не можем ли мы обойтись без нее? В некоторых при-
приложениях она действительно вообще не важна. В приложениях из чис-
численного анализа из работы Бейлкина, Койфмана и Рохлина [24], напри-
например, очень хорошо работают весьма асимметричные вейвлеты. В дру-
других приложениях асимметрия может стать неприятностью. Например,
при кодировании изображения ошибки квантования часто бывают наи-
наиболее заметными у краев изображения. Таково свойство нашей зри-
зрительной системы, что мы терпимы скорее к симметричным ошибкам,
чем к асимметричным. Другими словами, меньшая асимметрия при-
привела бы к большей сжимаемости при одинаковой ошибке восприятия.3
Более того, симметричные фильтры облегчают работу с краями изобра-
изображения (см. также главу 10); это является другой причиной того, почему

336 Глава 8
в литературе о субполосном кодировании предпочитают симметрию.
В следующих параграфах обсуждается, что мы можем предпринять,
чтобы сделать ортонормированные вейвлеты менее асимметричными,
или как получить симметрию, отказавшись от ортонормированности.
8.1.1. Ближе к линейной фазе
Симметричные фильтры часто называются фильтрами с линейной
фазой. Если фильтр не симметричен, то его отклонение от симметрии
характеризуется тем, насколько его фаза отличается от линейной функ-
функции. Более точно, фильтр с коэффициентами ап называется фильтром
с линейной фазой, если фаза функции а(^) =^ап е~т^ является линей-
п
ной функцией от ?, т. е. если для некоторого / ? Ъ
Это означает, что ап симметричны относительно I, ап = a<ii-n- Заме-
Заметим, что в соответствии с этим определением, фильтр Хаара тоо(?) =
= A + е~*?)/2 не является фильтром с линейной фазой, хотя коэффици-
коэффициенты фильтра очевидно симметричны. Причина в том, что /i*aap сим-
симметричны относительно =¦ ^ Z, в этом случае
т Г е
Ш° \-e~ii/2\mo(O\, если тг ^ ? ^ 2тг.
Фаза разрывна в тг, где |тоо| = 0. Если мы расширим определение фильт-
фильтра с линейной фазой, включив также фильтры, у которых фаза а(?) —
кусочно-линейная с постоянным угловым коэффициентом и разрывна
лишь в нулях |а(?)|, то фильтры с симметрией, как у фильтра Хаа-
Хаара, тоже будут содержаться в определении. Идея превращения фильтра
в фильтр, «близкий» симметричному, заключается в некотором фокусе
с его фазой с целью сделать ее «почти» линейной. Применим это к «обыч-
«обычной» конструкции jv<?; jvV'? данной в § 6.4. В этом случае мы имеем
коэффициенты whn определены извлечением «квадратных корней» Pjv
с помощью спектральной факторизации. Обычно это означает, во-пер-
во-первых, представление полинома L(z), определенного с помощью L(e^) =
= Pjv(sin2?/2), в виде произведения (z-zi)(z-~zi){z-zf1)(z-г,) или

8.1. Отсутствие симметрии 337
(z — ri)(z — Г;), где zi, ri, соответственно, комплексные и вещественные
корни L и, во-вторых, выбор одной пары {zi, z~i} из каждой четверки
комплексных корней и одного значения г; из каждой пары веществен-
вещественных корней. С точностью до нормировки тоо равняется
Тогда фазу дгтоо можно вычислить по фазе каждой из составляющих.
Поскольку
? e^
cos щ + R? e
соответствующими вкладами фаз являются
= arctg
A + Rf) cos ? - 2Л, cos a;
Выберем арктангенс так, чтобы Ф/ была непрерывной на [0, 2тг] и
Фг@) = 0. На примере базиса Хаара видно, что это может не быть
«истинной» фазой: мы отутюжили возможные разрывы. Однако, чтобы
увидеть, насколько фаза линейна, такая утюжка есть в точности то,
что мы хотим сделать. Более того, нам хотелось бы выделить лишь
нелинейную часть Ф/. Тогда мы определим
*/(?) = МО - 4ф/(^)-
В §6.4 при построении jv<? мы систематически выбираем все zi, r\ с аб-
абсолютным значением, меньшим 1. Это так называемый выбор «экстре-
«экстремальной фазы», который приводит к общей фазе ФОбщ(?) = ?Фг(?)>
I
являющейся очень нелинейной (см. рисунок 8.1). Чтобы выбрать то,

338
Глава 8
максимально приближенным к линейной фазе, мы должны выбрать ну-
нули, чтобы Фобщ(С) было как можно ближе к нулю. На практике сущест-
существует 2LJV/2J возможностей. Это число можно уменьшить вдвое: для каж-
каждой возможности выбор всех других нулей приводит к комплексному
сопряжению too (с точностью до сдвига фазы) и, таким образом, к зер-
зеркальному образу (р. Для N = 2 или 3 фактически существует лишь
одна пара (рм, «Ду. Для N ^ 4 можно сравнивать 2LJV/2J~1 различных
графиков ФОбщ; чтобы выбрать наиболее близкий к линейной фазе. Чис-
Чистый эффект перехода от zi, z~i к zf1, г, будет более значителен, если
Ri близко к 1, а щ близко к 0 или тг. На рисунке 8.1 мы показываем
графики Фобщ(С) Для N = 4, 6, 8, 10 одновременно для первоначальной
конструкции из § 6.4 и случая с самой плоской ФОбЩ- Между прочим, во
всех случаях первоначальная конструкция соответствует менее плос-
плоской ФОбщ; т.е. наиболее асимметричной <р. «Наименее асимметричные»
(риф, относящиеся к возможно более плоской ФОбЩ; изображены на ри-
рисунке 6.4 для N = 2, 6, 8, 10. Соответствующие коэффициенты фильтра
приведены в таблице 6.3 для всех N от 4 до 10.
'2.Я
Рис. 8.1. Нелинейная часть ФОбЩ(С) фазы гио(^) для N = 4, 6, 8 и 10 при
выборе экстремальной фазы (наибольшая амплитуда) и при «ближайшем к
линейной фазе» выборе (самая плоская кривая)

8.1. Отсутствие симметрии 339
Замечание.
1. При обсуждении мы ограничились случаем, когда то и \5?|2 задают-
задаются, соответственно, формулами F.1.10) и F.1.12). Это означает, что на ри-
рисунке 6.4 изображена функция ip наименее асимметричная среди функций,
имеющих носитель ширины 2N — 1, для которых функция^ имеет N нулевых
моментов. (Это минимальная ширина для N нулевых моментов.) Если для <р
допускается больший носитель, то ее можно сделать более симметричной.
Эти более широкие решения соответствуют выбору R ф 0 в F.1.11). Функ-
Функции ip из следующей части, к примеру, более симметричны, чем показанные
на рисунке 6.4, но они имеют носитель большей ширины.
2. Можно получить даже больше симметрии, если несколько отойти от
«стандартной» схемы кратномасштабного анализа, объясненного в главе 5.
Предположим, что hn — это коэффициенты, относящиеся к «стандартному»
кратномасштабному анализу и соответствующему ортонормированному ба-
базису (с компактным носителем или без него). Определим функции ip1, (p2, ф1,
ф2 с помощью
ф\х) = -j= ^(-l)"ftn_! ^Bх - п).
Вычисления, сходные с проведенными в главе 5, показывают, что функции
1^,»(аО = 2-^ф1B-^х - к), фЪ+1ук(х) = 2-з-1'2ф2{2-21-1х - к) (j, к G Z)
образуют ортонормированный базис в L2(R). Поскольку данная выше рекур-
рекурсия соответствует
ФЧО = mo(C/2)mo(C/4)mo(C/8)mo(C/16) =
то можно ожидать, что фаза ф1 ближе к линейной фазе, чем фаза
= П moB Jt;). Заметим также, что фг{?) = фг^), i>2{?) = i>i(?); откуда
ip2(x) = ipi(-x), фг(х) = ф\(—х). На
ленные по пп для N = 2, т.е. ho =
ip2(x) = ipi(-x), фг(х) = ф\(—х). На рисунке 8.2 показаны ipi, фх, вычис-
\/3 . г + лД , З-л/З
2^2 2^2 2^2
. (В отличие от предыдущей конструкции такое «переключение»

340
Глава 8
-0,5
Рис. 8.2. Масштабирующая функция ipi и вейвлет ф\, полученные после при-
применения «трюка с переключением» к вейвлет-фильтру с 4 отводами из § 6.4
порождает разницу даже для N = 2.) Для «наименее асимметричных» hn из
таблицы 6.3 такая техника приводит к несколько «улучшенной» <р, но, кажет-
кажется, мало действует на ф. ?
8.2. Койфлеты
В § 7.4 мы увидели одно преимущество большого числа нуле-
нулевых моментов для ф: это приводит к лучшей сжимаемости, пото-
потому что вейвлет-коэффициенты функции для мелких масштабов бу-
будут преимущественно нулевыми там, где функция гладкая. Поскольку
/ dxip(x) = 1, подобного не может произойти для (/, <pj,k)- По-прежне-
По-прежнему, если J dx х1 (р{х) = 0 для / = 1, ... , L, то мы можем применить те
же рассуждения о разложении в ряд Тейлора и вывести заключение,
что для больших J имеем (/, <p-j^) — 2JI2 fB~Jk), при этом ошибка
будет пренебрежимо мала, если / гладкая. Это означает, что мы име-

8.2. Койфлеты 341
ем особенно простое квадратурное правило для перехода от выборки,
представляющей /, к коэффициентам мелкого масштаба (/, ip-j^). По
этой причине Р. Койфман предположил весной 1989 года, что внимания
заслуживает ортонормированный базис вейвлетов, в котором нулевые
моменты имеет не только функция ф, но также и iyj.4 В этой части я
кратко обрисую, как это можно сделать, детали приведены в работе
Добеши [55]. Поскольку вопрос о таких базисах впервые был поставлен
Койфманом (имея ввиду их применение в алгоритме Бейлкина, Койф-
мана, Рохлина), я назвала полученные вейвлеты «койфлетами».
Целью является нахождение таких ф, <р, что
<1хх1ф{х)=0, 1 = 0, ... , L-1 (8.2.1)
5.2.2)
fdxip(x) = l, I dxxltp(x) =0, 1 = 1, ... ,L-1;
тогда L называется порядком койфлета. Мы уже знаем, как выразить
(8.2.1) в терминах то- Это эквивалентно
L (8-2.3)
Чему соответствует (8.2.2)? Это требование эквивалентно условию
А.
= 0,1 = 1, ... , L — 1. Проверим, что означает ф'@) = 0 для т0-
Поскольку ф(?) = то(?/2) ф(?/2), мы имеем
2 2
откуда
Ф'@) = \
Ф'@) = \ т'0BпГ1/2 + \ 040)
или
то@) = B
Следовательно, fdxxip(x) = 0 эквивалентно т'0@) = 0. Точно так же
видно, что (8.2.2) эквивалентно ( —{ф ) = 0, / = 1, ... , L — 1,
или
Шо(?) = l + (l-e-^)L^(O, (8.2.4)

342 Глава 8
где 5? — тригонометрический полином. В дополнение к (8.2.3) и (8.2.4)
полином то, конечно, удовлетворяет и условию |тоо(С)|2 + 1то(С+7Г)|2 =
= 1. Ограничимся четным L (легчайшим случаем, хотя случай нечет-
нечетного L не намного сложнее), L = 2К. Тогда (8.2.3), (8.2.4) подразумева-
подразумевают, что мы должны найти два тригонометрических полинома 2Р\, ?P<i
с условием
cos2^ S»i(?) = l+ sin2^ &2{Z). (8.2.5)
*} FC
Но мы уже знаем, каков общий вид таких 2?\, 2?2' (8.2.5) — это нечто
иное, как уравнение Безу, уже решенное в § 6.1. В частности, 2?\ имеет
вид
=х:1
ft=0
К |
где / — произвольный тригонометрический полином. Осталось разло-
разложить / в то(?) = A + e~l^JK?^i(?), чтобы выполнялось |то(С)|2 +
2К-1
+ lTOo(C + 71")J = 1- Имея /(?) = ^2 fne~mZ, в [54] я показала, как
п=0
свести такое разложение к решению системы из К квадратных уравне-
уравнений для К неизвестных. Эвристические рассуждения приводят к тому,
что при больших К эта система будет иметь решение. Явные решения
получены численным образом для К = 1, ... , 5. На рисунке 8.3 поме-
помещены графики вычисленных <р, ф, а соответствующие коэффициенты
приведены в таблице 8.1. Из рисунка ясно, что <р, ф более симметрич-
симметричны, чем jyiyJ, л» из §6-4 и даже чем <р, ф из §8.1, но, конечно, за это
пришлось заплатить: койфлет с 2К нулевыми моментами обычно имеет
ширину носителя 6К — 1 (для сравнения у 2К<Р она равна АК — 1).
2К-1
Замечание. /(^) = X) /« е~ является не единственно возможным
представлением, но для него проще провести вычисления. В [55] я проверила
другие представления для маленьких значений К {К = 1, 2, 3). Оказывается,
что самые гладкие койфлеты (по крайней мере для столь малых значений К)

8.2. Койфлеты
343
-4-2 0 2
Рис. 8.3. Койфлеты ф и соответствующие им масштабирующие функции ip
для N = 2, 4, 6, 8 и 10. Ширина носителя для ip и ф во всех случаях равна
3L-1

344
Глава 8
Таблица 8.1. Коэффициенты койфлетов порядка L = 2К, К = 1, ... , 5.
{Приведенные коэффициенты нормированы так, чтобы их сумма равнялась 1;
они равны 2~1/2hn).
К = 1
К = 2
К = 3
К = 4
п
-2
-1
0
1
2
3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Л„/-/2
-0.051429728471
0.238929728471
0.602859456942
0.272140543058
-0.051429972847
-0.011070271529
0.011587596739
-0.029320137980
-0.047639590310
0.273021046535
0.574682393857
0.294867193696
-0.054085607092
-0.042026480461
0.016744410163
0.003967883613
-0.001289203356
-0.000509505399
-0.002682418671
0.005503126709
0.016583560479
-0.046507764479
-0.043220763560
0.286503335274
0.561285256870
0.302983571773
-0.050770140775
-0.058196250762
0.024434094321
0.011229240962
-0.006369601011
-0.001820458916
0.000790205101
0.000329665174
-0.000050192775
-0.000024465734
0.000630961046
-0.001152224852
-0.005194524026
0.011362459244
0.018867235378
0.057464234429
-0.039652648517
-0.293667390895
К = 4
К = 5
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Л„/л/2
0.553126452562
0.307157326198
-0.047112738865
-0.068038127051
0.027813640153
0.017735837438
-0.010756318517
-0.004001012886
0.002652665946
0.000895594529
-0.000416500571
-0.000183829769
0.000044080354
0.000022082857
-0.000002304942
-0.000001262175
-0.0001499638
0.0002535612
0.0015402457
-0.0029411108
-0.0071637819
0.0165520664
0.0199178043
-0.0649972628
-0.0368000736
0.2980923235
0.5475054294
0.3097068490
-0.0438660508
-0.0746522389
0.0291958795
0.0231107770
-0.0139736879
-0.0064800900
0.0047830014
0.0017206547
-0.0011758222
-0.0004512270
0.0002137298
0.0000993776
-0.0000292321
-0.0000150720
0.0000026408
0.0000014593
-0.0000001184
-0.0000000673

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов 345
не будут самыми симметричными. Для К = 1, к примеру, существует (очень
симметричный) койфлет с показателем Гёльдера 1.191814, тогда как койфлет
порядка 2 на рисунке 8.3 не принадлежит С1. Оба они имеют носитель ши-
ширины 5. Подобное увеличение гладкости можно получить и для К = 2, 3.
Графики, коэффициенты и дополнительные детали приведены в работе Добе-
ши [54]. ?
8.3. Симметричные биортогональные базисы
вейвлетов
Ранее упоминалось, что специалистам по субполосному кодирова-
кодированию хорошо известна несовместимость симметрии и точного восста-
восстановления, если при разложении и восстановлении используются одни и
те же КИХ-фильтры. Как только опускается последнее требование, сим-
симметрия становится достижимой. Это означает, что блочная диаграмма
на рисунке 5.11 заменяется рисунком 8.4. Естественно, возникает не-
несколько вопросов: что обозначает рисунок 8.4 в терминах кратномас-
штабного анализа? Для чего использованы с? и сР? (В главе 5 они бы-
были коэффициентами ортогонального проектирования.) Есть ли соответ-
соответствующий базис вейвлетов? Насколько он отличается от построенных
ранее базисов? Ответ таков, что при выполнении определенных техни-
технических условий на фильтры, такая схема соответствует двум двойст-
двойственным базисам вейвлетов, относящимся к двум различным кратно-
масштабным цепочкам. В этой части мы увидим, как это доказыва-
доказывается, и приведем несколько семейств (симметричных!) вейвлетов. За
исключением уточненных рассуждений Коэна и Добеши из [38], все ре-
результаты помещены в работе Коэна, Добеши и Фово [41]. Много анало-
аналогичных примеров получено независимым образом в работе Веттерли и
Херли [179], где видение проблемы представлено с точки зрения «дизай-
«дизайна фильтров».
8.3.1. Точное восстановление
Поскольку теперь у нас четыре фильтра вместо двух, мы должны
записать E.6.5), E.6.6) так:

346
Глава 8
h
-*-
21
2t
-*-
h
g
-~-
2|
2t
—
Рис. 8.4. Схема субполосной фильтрации с точным восстановлением, при ко-
которой фильтр восстановления отличается от фильтра разложения
-2п 4+gi^ndl].
В z-обозначениях, введенных в § 5.6, это можно переписать в виде
c°(z) = \ \h(z)h(z)+g(z)g(z)} c\z) + \ \h(z)h(-z)+giz)g(-z)} c°(-z).
Следовательно, мы требуем
h(z)h(z)+g(z)g(z) = 2, (8.3.1)
h(z)h(-z)+g(z)g(-z)=O, (8.3.2)
где h, g, h, g предполагаются полиномами, потому что мы использу-
используем лишь КИХ-фильтры. (Для простоты термин «полином» используется
в несколько более широком смысле, чем обычно: допустимы отрица-
отрицала
тельные степени. Другими словами, функции J^ an zn в таком по-
n=-N1
нимании являются полиномами.) Из (8.3.1) следует, что hngHe имеют
общих нулей. Тогда (8.3.2) влечет
g(z) = h(-z)p(z), h(z) = -g{-z)p(z)
S.3.3)
для некоторого полинома р. Подстановка в (8.3.1) приводит к соотно-
соотношению
p(z)[h(-z)g(z)-h(z)g(-z)] = 2.
Единственными полиномами, делящими постоянные, являются одно-
одночлены. Отсюда
p(z) = azk

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов 347
для некоторых а ? С, к ? Z, и (8.3.3) превращается в
g(z) = azkh(-z), g(z) = -a-1(-l)kzkh(-z), (8.3.4)
а и fc могут быть любыми. Мы же возьмем а = 1, к = 1, чтобы сделать
уравнения (8.3.4) для g и g-симметричными. Подстановкой в (8.3.1) мы
получаем
h(z)h(z)+h(-z)h(-z)=2. (8.3.5)
В терминах коэффициентов фильтров мы имеем
$3ft»ft»+2fc=fo,o> (8-3-6)
?» = (-1)"+1Л-п+1, gn = (-1)"+1/1-„+1, (8.3.7)
где все коэффициенты неявно предполагаются вещественными. Эти
уравнения являются очевидным обобщением E.1.39), E.1.34).
8.3.2. Масштабирующие функции и вейвлеты
Имея две пары фильтров, мы также имеем две пары вида «масшта-
«масштабирующая функция + вейвлет»: <р, ф и <р, ф. Они определены с помощью
формул
Ш) = ЫФ) Ф(Ф), Ш = ЫФШФ), (8-3-8)
№ = тЛФ) Ф(Ф), Ф@ = ЫФШФ), (8-3.9)
где т0(С) = -^ ХЖе~"^, mi(C) = -J^ Sgn e~"^; m0, тг определены
аналогично. Заметим, что (8.3.7) влечет
mi(O =е-*«то(е + тг), пц® = е~* то(С + тг). (8.3.10)
В главе 3 мы видели, что для образования вейвлет-базиса Рисса функ-
функции ф и ф должны удовлетворять ф = 0 = V'(O). Тогда обязательным
условием будет выполнение равенств mi@) = 0 = mi@). В терминах
полиномов h(z), h(z) это эквивалентно равенству h(—1) = 0 = ft(—1).
Подстановка в (8.3.5) приводит к h(l)h(l) = 2 или

348 Глава 8
Значит, мы можем нормализовать huh, чтобы J^ hn = \[2 =
п п
Следовательно, то@) = 1 = fho@), и (8.3.8) можно решить, определив
оо
ф@ = B7Г)-1/2 Д тоB--»'О,
Рассуждениями, аналогичными приведенным в главе 6, показывается,
что эти бесконечные произведения равномерно сходятся на компакт-
компактных множествах, функции <р и ф имеют компактный носитель, а его
ширина задается длиной фильтра. Будучи конечной комбинацией (риф,
пара ф и ф тоже имеет компактный носитель. Этого ни в коей мере не-
недостаточно, чтобы гарантировать, что семейства ф^к = 2~^2 фB~:>х —
— к) и ф],к будут двойственными вейвлет-базисами Рисса. На самом
деле даже в ортогональном случае (равенство фильтров восстановле-
восстановления и разложения) ф, возможно, не образует ортонормированный базис
(см. §6.2, §6.3). В этом неортогональном случае нам нужно быть еще
более внимательными. Суммируем различные шаги в рассуждении, до-
доказывающем, что у нас двойственный базис вейвлетов (с определенны-
определенными ограничениями).
Прежде всего, если ip, ф ? Ь2(Ж) (что нам тоже нужно доказать!
См. ниже), то можно определить ограниченные операторы Tj с помо-
помощью
где, как обычно,5
щ,к = 2-i'2 <pB-ix - к), ф^к = 2~j/2 ФBЧх - к).
Следствием определений (8.3.8), (8.3.9) будет
Вместе со свойствами коэффициентов фильтра из § 8.1 это влечет (мож-
(можно легко проверить подстановкой)
' ?>О,к)(Фо,к, g) = ^2[(f, Vl,n)(<Pl,n, g) + (f, ф1,п)(Ф1,п, g)]-

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов 349
Тот же фокус применим к другим значениям j. Вместе все тождества
приводят к соотношению
j
= ?(/, <p-j-i,k)(<?-j-i,k, g) - ?(/, <pj,k)(fij,k, g).
к к
Рассуждения, в точности совпадающие с использованными в главе 5
при получении оценок E.3.9), E.3.13), показывают, соответственно, что
{Tjf, g) -»¦ 0, {T-jf, g) -»¦ (/, g) при J -^ oo. Следовательно,
j
lim V V(/, ^j,i)(i>j,i, g) = (/, g) (8.3.11)
•J —^oo
или, в слабом смысле,
/ = lim
J—юс
j=-J I
Этого недостаточно для установления того, что ф],1, ф^г образуют двой-
двойственные базисы Рисса. Причина этому лежит в том, что ф^\ или ф^х
могут не образовывать фрейм. В этом случае сходимость в (8.3.11) мог-
могла бы решающим образом зависеть от порядка суммирования. Чтобы
избежать этого, нам нужно потребовать, чтобы
3,к з,к
сходились для всех / ? Ь2(Ж), или, эквивалентно, выполнялись оценки
?22 ?^212 (8.3.12)
3, к 3, к
Если оценки имеют место, то из (8.3.11) следует6
j, к 3, к

350 Глава 8
и мы автоматически получаем фреймы. Но даже тогда ф^и-, "Фз,к могут
быть просто (избыточными) двойственными фреймами, но не двойст-
двойственными базисами Рисса. Эта избыточность убирается требованием
(V^b Ф]',к') = si,f sk,k>, (8.3.13)
которое, в точности как в ортонормированном случае (см. §6.2), экви-
эквивалентно (и это можно доказать) условию
(<Ро,к, <Ро,к') = 5k,k>- (8.3.14)
Если условия (8.3.12) и (8.3.14) выполнены (в скором времени мы
к ним вернемся), то мы на самом деле имеем две цепочки кратномас-
штабного анализа
• • • С У2 С Fi С Vo С У_1 С V-2 С • • • ,
• • • С У2 С Fi С Vo С У-1 С V-2 С • • • ,
где Vo = Span{iy9o,fc; к € Z}, Vo = Span{^0,*; к € Z}. Пространства
j^^}.; к € Z}, Wj = Spanl^-^^; к € Z} вновь дополняют Vj,
соответственно Vj, до V}_i, соответственно Vj-i, но они не являются
ортогональными дополнениями: обычно угол7 между Vj, Wj или Vj, Wj
меньше 90°. По этой причине для этого случая нужно доказать (8.3.12),
в то время как для ортонормированного случая это выполнялось авто-
автоматически. Можно взглянуть на ситуацию по-другому. Ввиду неорто-
неортогональности мы имеем
где а < 1, /3 > 1 (в ортогональном случае имеет место равенство,
и а = /3 = 1). В отличие от ортонормированного случая, мы не мо-
можем развернуть эти неравенства, чтобы доказать, что ф],к образуют
базис Рисса: это привело бы к взрывообразному росту констант. Таким
образом, мы должны придерживаться другой стратегии. Заметим, что
(8.3.13) влечет WjA-Vj, Wj-LVj. Две кратномасштабные иерархии и по-
последовательности дополняющих их пространств связаны друг с другом

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов 351
наподобие гигантской застежки-молнии, и это позволяет нам контро-
контролировать выражения типа ^ |(/, ф],к)\2-
з,к
Вернемся к условиям (8.3.12) и (8.3.14). Мы уже видели, как
в § 6.3 для простейшего ортогонального случая рассматривались усло-
условия (8.3.14). Здесь по существу наша стратегия будет той же. Снова
определим оператор Ро, действующий на 2тг-периодических функциях:
второй оператор Pq определен аналогично. В терминах коэффициентов
Фурье для / действие Ро дается с помощью
(Pof)k = 2_j [ 2-j hm hm+l-2k I fh
I \ m '
Нас в основном будут интересовать инвариантные тригонометрические
полиномы для Ро. Это означает, что мы можем ограничить свое внима-
внимание B(ЛГ2— 7Vi)+l)-MepHbiM подпространством функций /, для которых
// = 0, если I > N2 — Ni (предположим, что hn = 0, если п < Ni или
п > N2), на нем Ро представлен матрицей. Теоремы 6.3.1 и 6.3.4 имеют
следующий аналог.
Теорема 8.3.1. Следующие утверждения эквивалентны:
1. if, if e Ь2(Ж) и (ifO,k, <fo,i) = 8k,i-
2. Существуют строго положительные инвариантные для Ро, Ро
полиномы /о, /о- Также существует такое компактное множество К,
конгруэнтное [—тг, тг] по модулю 2тг, что
3. Существуют строго положительные инвариантные для Ро, Ро
полиномы /о, /о- С точностью до нормировки лишь они являются ин-
инвариантами для Ро, Ро-
Доказательство очень сходно с доказательством из главы 6, хотя
и несколько сложнее. В §6.3 функции /о, /о были просто константами.
Здесь они по существу задаются формулами /о(С) = S \Ф(? + 2тг/)|2,

352 Глава 8
/о(?) = ^2\ф(?, + 2тт1)\2. Подробности того, как приспособить доказа-
I
тельство из § 6.3 к настоящему случаю, приведены Добеши, Коэном и
Фово в [41].
Тогда условие (8.3.14) просто означает проверку того, что две мат-
матрицы имеют простое собственное значение 1 и что элементы соответ-
соответствующих собственных векторов определяют строго положительный
тригонометрический полином. (Заметим, что если тригонометричес-
тригонометрический полином принимает отрицательные значения, то <р ? L2(R). Это
имеет место для некоторых четверок фильтров с точным восстановле-
восстановлением.) Условие (8.3.12) представляет нечто, не принятое во внимание
в ортогональном случае. Оказывается, что это условие выполнено, лишь
если какое-либо из трех условий теоремы 8.3.1 имеет место. Доказа-
Доказательство этого удивительного факта состоит из следующих шагов:8
• Во-первых, показывается, что существование собственного зна-
значения Л для Ро при условии, что |Л| ^ 1, Л ф 1, противоречило бы ин-
интегрируемости с квадратом функции <р. Из теоремы 8.3.1 следует, что
все остальные собственные значения Ро имеют абсолютное значение,
меньшее, чем 1, если собственное значение 1 — простое, а соответ-
соответствующий собственный вектор соответствует строго положительному
полиному. В доказательстве этого шага используется лемма 7.1.10.
• Из того, что то(тг) = 0 = то(тг), мы, очевидно, имеем М0(тг) =
= |то(тг)|2 = 0 = |то(тг)|2 = Mq(it). В главе 7 мы видели, что суммы
элементов столбцов в матрице, представляющей Ро, всегда равны 1.
Поэтому вектор-строка соответствующей размерности, у которого все
элементы равны 1, является левым собственным вектором Ро с соб-
собственным значением 1. Следовательно, р, спектральный радиус Ро\Е ,
где Е± = 1 /; ^ /„ = 0 >, строго меньше 1. Затем используем при-
надлежность /(?) = 1 — cos? множеству Ei, чтобы доказать (оцен-
(оценки аналогичны приведенным в доказательстве теоремы 7.1.12), что
• С помощью неравенства Гёльдера имеем J d?, \ф@\2^г~^ < °° Для
достаточно малого 5. Это можно использовать при доказательстве «дис-
«дискретной» версии, т.е. выполнения ^ |^(? + -irm)\2A~s ) ^ С < оо для
те
всех ? 6 М, снова для достаточно малого S'. В силу ограниченности mi

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов 353
функция ф удовлетворяет подобной оценке
Y, |^(С + 2тгт)|2A-а/) ^С<оо. (8.3.15)
mGZ
• С другой стороны, можно также доказать, что
sup V|^B^)|2E' <oo. (8.3.16)
Поскольку ф — целая, ^@) = 0, \ф(?)\ ^ С\?\ для достаточно малых |?|,
о
о Л
ряд ^2 \ф{^С)\25 равномерно ограничен для |?| $С 2тг, и в (8.3.16) нам
j= — OQ
нужно сконцентрироваться лишь на j ^ 0. Но
J
Второй множитель конечен ввиду того, что ф принадлежит L2(M) и
имеет компактный носитель, первый множитель ограничен величи-
величиной CAJ, где |Л| < 1, что показано выше. Это доказывает оценку (8.3.16),
эквивалентную оценке
• Наконец, сочетание формулы Пуассона и неравенства Коши-
Шварца приводит к оценке
.:к/,^,*>гч27г
к
Из (8.3.15) и (8.3.16) следует, что

354 Глава 8
Детали, относящиеся к этому рассуждению, можно найти у Коэ-
на и Добеши в [38]. Чтобы на самом деле обеспечить получение двух
двойственных вейвлет-базисов Рисса, нам нужно^лишь проверить, что
1 является простым собственным значением Ро, Ро, а соответствующие
тригонометрические полиномы строго положительны.
8.3.3. Регулярность и нулевые моменты
Если семейства ф^н, "Ф},к образуют двойственные базисы Рис-
Рисса (вейвлетов с компактными носителями, поскольку мы работаем
с КИХ-фильтрами), то можно применить теорему 5.5.1, чтобы свя-
связать нулевые моменты одной функции с регулярностью другой: если
ф € Ст, то автоматически / dxх1 ф{х) = 0, / = 0, ... , т.9 Это экви-
эквивалентно условию -^- ф = О для / = 0, ... , то. Формулы (8.3.9) и
?=o
¦0@) = 1 влекут выполнение условий -^Ц- т\
= 0 для / = 0, ... , то.
?=о
Отсюда в силу (8.3.10) полином то делится на (A + е~г^)/2)т. Для по-
получения регулярной функции ф нам нужно построить пары фильтров
то, то, где тоо(С) имеет кратный ноль в ? = ж.
Заметим, что ничто не препятствует^проявлению весьма различ-
различных свойств регулярности функций фиф, что иллюстрируется ниже-
нижеприведенными примерами. Если ф намного регулярнее ф, что отвечает
большему чем для ф количеству нулевых моментов для ф, тогда две
одинаково верные формулы
(8-3.18)
имеют очень разные толкования (Чамичан [171]). На практике формула
(8.3.17) более употребима, чем (8.3.18): с одной стороны большое число
нулевых моментов ф приводит к «потенциально лучшей сжимаемости»
в областях, где / — достаточно гладкая (см. §7.4); с другой стороны
«простейшие строительные блоки» ф3\н более гладки. В работе [2] Ан-
тонини и соавторы провели следующий эксперимент с биортогональ-
ными вейвлетами: одна и та же пара фильтров использовалась дважды,

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов 355
во второй раз фильтр разложения и фильтр восстановления поменялись
ролями. Случай, соответствующий (8.3.17), после квантования дал го-
гораздо более лучшие результаты, чем (8.3.18). Мы уже упоминали в § 7.4,
что остается неясным, какой из факторов является^золее важным: боль-
большое число нулевых моментов ф или регулярность ф. Возможно, они оба
важны.
8.3.4. Симметрия
Преимущество биортогональных базисов над ортонормированными
состоит в симметричности обоих полиномов то, то- Если фильтр, соот-
соответствующий то, имеет нечетное число отводов (taps) и симметричен,
т.е. тоо(—?,) = e2lA^mo(?), то то можно записать так:
т0 (О =e-iktp0(cos0, (8.3.19)
где ро — полином. Следовательно, то можно выбрать в таком же виде
fho(O = e-ikip0(cos0, (8.3.20)
где ро — любой полином, удовлетворяющий соотношению
Ро(х)Щх)+Ро(-х)ро(-х) = 1. (8.3.21)
Тогда мы действительно имеем
то@ fho(O +то(С + тг) то(? + тг) = 1, (8.3.22)
то же, что и в (8.3.5). Полиномы ро, решения (8.3.21), могут быть най-
найдены, лишь если Ро(х) и Ро(—х) не имеют общих нулей. Если это так,
то всегда существуют точные решения по теореме Безу (см. §6.1). За-
Заметим, что это существенно облегчает построение биортогональных ба-
базисов в сравнении с ортонормированным случаем: нам нужно лишь ре-
решить линейные уравнения, чтобы найти ро, удовлетворяющий (8.3.21)
для фиксированного ро, вместо проведения спектральной факториза-
факторизации, необходимой в §6.1.
Если фильтр, соответствующий то, имеет четное число отводов
и симметричен (как, например, фильтр Хаара), то то удовлетворяет
соотношению то(—?,) = e2lk^+l^mo{?,)- Отсюда
то (О = е-<*-*'2 cos | p0 (cos ?). (8.3.23)

356 Глава 8
Тогда можно снова выбрать то того же типа
ЫО = е-'А«-'«/2 cos |p0(cosC), (8.3.24)
уравнение (8.3.22) превратится в уравнение
cos2 2Po(cos?)po(cosf) +sin2 ^Po{~ cos?)pQ(- cos?) = 1,
это означает, что ро является решением существующей задачи Безу
pf(x)Po(x) +pf (-x)po(-x) = 1,
Примеры.
Все приведенные здесь примеры имеют и симметрию, и некоторую
регулярность. Тригонометрические полиномы то и то будут иметь
вид (8.3.19), (8.3.20) или (8.3.23), (8.3.24), в которых p0(cos?), pQ{cos?)
делятся на A + е~г^I для некоторого / > 0. Поскольку мы имеем дело
с полиномами от cos?, значение / автоматически будет четным; A +
_1_ е-*4J = 4е~!^ cos2 | = 2е~*^A + cos?). Следовательно, мы ищем то,
то вида
cos^) q0 (cos ?),
если число отводов четное (мы предположили, что к = 0, т.е. что hn,
hn симметричны относительно 0), или вида
, 21+1
если число отводов нечетное (снова взяли к = 0, что соответствует
hi-n = hn, hi-n = hn). В обоих случаях подстановка в (8.3.22) дает
in^J q0(-cos?)q0(-cos?) = I,
(8.3.25)

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов 357
где L = 1 + 1 в первом случае, L = I + / + 1 во втором случае. Если опре-
определим <7o(cos?)(/o(cos?) = Р(sin2 | J, то (8.3.25) сводится к уравнению
{1 - x)L Р{х) + xL Р{1 - х) = 1, (8.3.26)
уже встречавшемуся в §6.1. Все решения (8.3.26) даются формулой
т=0
где R — нечетный полином (см. предложение 6.1.2). Теперь приведем
три семейства примеров, полученных при различном выборе R и раз-
различных разложениях Р на до и (fo-
Пример сплайнов. Здесь мы берем R = 0 и q = 1. Следовательно,
mo(?) = (cosf)^, N = 21, или то(?) = e-^(cos?/2)^, N = 21 + 1. Тогда
|у? — это _В-сплайн с центром в 0, соответственно ±. В первом случае
мы имеем для N = 21
{ т
"*«•«) =(сов г) 22 { т J(sm г) '
0 ч '
m=0
во втором случае для N = 21 + 1
(О=е ^ (cos-j ^1 1
т=0 ч 7
то(О=е ^ (cos-j ^1 1 ш
т=0
В обоих случаях мы свободно выбираем / при условии, что собственное
значение 1 для Pq простое, а его собственный вектор соответствует
строго положительному тригонометрическому полиному (см. §8.4.2).
Результатом будет семейство биортогональных базисов, в которых ф —
сплайн с компактным носителем. Для каждого заранее заданного поряд-
порядка этого сплайна (т. е. фиксированного /) существует бесконечно мно-
много /, соответствующих различным ф (с растущей шириной носителя)
и различным ф с возрастающим числом нулевых моментов. Заметим,
что ф полностью определяется лишь одним N, хотя то, а значит и <р
одновременно, зависит от N и N. Мы изобразили графики функций ^ф,

358 Глава 8
N jv^' N n^ и N n^ для нескольких первых значений N, N на рисун-
рисунках 8.5-8.7 (на рисунке 8.5 N = 1, на рисунке 8.6 N = 2, на рисунке 8.7
N = 3). Соответствующие фильтры приведены в таблице 8.2. Во всех
этих случаях выполнены условия, полученные в §8.4.2. Неожиданной
особенностью рисунков 8.5-8.7 явилось то, что, начиная с некоторого
момента, форма ^ мф не меняется с ростом N (при фиксированном N).
Видно, что «морщинистость» соответствующих ^ N<p и ^ мф сглажи-
сглаживается с ростом N.
Функции 1}%ф и 1узф впервые были построены Чамичаном в [171]
как пример пары двойственных вейвлет-базисов с очень разными свой-
свойствами регулярности. Здесь они представляют первый неортонорми-
рованный пример из описанного семейства (N = 1 = N дает базис
Хаара). Как и в ортонормированном случае, в этих примерах обе ф
и ф могуг_ иметь произвольно высокую регулярность. Будучи сплай-
сплайном, jy ыф является кусочным полиномом порядка N — 1, принадле-
принадлежащим CN~2 в узловых точках. Регулярность ^ мф можно оценить
с помощью любой техники из главы 7. Асимптотически для больших N
находим, что ^ мф е Ст, если N > 4.1657V + 5.165(т + 1). Эти при-
примеры сплайнов имеют несколько замечательных особенностей. Первое,
все коэффициенты фильтра — диадические рациональные. Поскольку
деление на 2 производится на компьютере очень быстро, это делает
их весьма подходящими для быстрых вычислений. Другим привлека-
привлекательным свойством являются точные и явные выражения для функций
jj кф{х) во всех х, в отличие от ранее встреченных ортонормирован-
ных вейвлетов с компактными носителями.11 Их недостатком является
ощутимая разница в длине то и то (см. таблицу 8.2), которая находит
отражение в очень различающейся ширине носителей <р и ф. Определя-
Определяясь обеими too и то, вейвлеты фиф всегда имеют ширину носителя,
задаваемую средним значением длин фильтров тоо, то минус 1. Боль-
Большая разница в длинах фильтров то, то может быть неприятностью
для таких приложений, как анализ изображений.
Примеры с менее несоразмерными длинами фильтров.
Даже если мы по-прежнему возьмем R = 0, можно найти то
и тоо с близкими длинами фильтров, выбрав подходящее разложение
Pi sin2 |) на <7o(cos?) и go (cos ?). Для фиксированного / + / существует

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов
359
-0,5
-0,5 о 0,5 1 1,5
1
0
-1
¦ 1,3 У
-¦
-
—
>-
-
1
0
-1
- »r
|—1
-
-
-
p—
-
-1 О
-2-10123
2 3-4-2024
Рис. 8.5. Примеры сплайнов для N = 1, N = 3 и 5. Для N = 1 (рисунок не при-
приводится) получается базис Хаара. Имеем supp ip = [ — N + 1, N], supp ф =
~ Г ЛГ-1 N + U 1,-iv 1,лг
= supp V = 5—, —^—
1,JV VI I J

360
Глава 8
-2-10123
-1
Рис. 8.6. Примеры сплайнов для N = 2, N = 2, 4, 6 и 8. Здесь supp ip =
~ Г N N 1 2> -^
= [ — ЛГ, JV], supp V> = supp ф = —-S-, -R- + 1 • Как всегда, графики 93, ф — это
2, N 2, N VII \
на самом деле приближенные графики, полученные каскадным алгоритмом
с 8 или 9 итерациями10

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов
361
1 ¦
-3-2-101234 -4-2 0 2 4
-5
1
О
-1
-4-2 0 2 4
Рис. 8.6. Продолжение
ограниченное число разложений. Один из методов их нахождения — это
использование в очередной раз спектральной факторизации. Мы опре-
определяем все нули Р (вещественные и пары комплексно-сопряженных ну-
нулей), чтобы записать этот полином в виде произведения вещественных
2,8 У
If

362
Глава 8
3,5.
-5
2 .
1-
o-
-1-
-2-
3,5 У
и
-2 -1
-2
Рис. 8.7. Примеры сплайнов для N = 3, N = 3, 5, 7 и 9. Для JV = 1 (ри-
(рисунок не приводится) з,1<р не интегрируется с квадратом. Здесь supp <p =
3, JV
N + l iV + 3
. ФуНКЦИИ 3,3^3 И 3,3^1
= [- JV, N + 1], supp V = supp ф = - ,
3, JV 3, JV L ^ Z
— это примеры того, что каскадный алгоритм может расходиться, тогда как
прямой алгоритм по-прежнему сходится (см. замечание 11 в конце главы 6)

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов
1
0,5
0
-0,5
-1
363
-2
2
1
О
-1
-5
1
0,5
0
-0,5
-1
. 3,i? /
—л/
-
¦
V
3J<P
—nJ
д
If—
-5
2
-1
-5
з,9 <»
Рис. 8.7. Продолжение
полиномов первого и второго порядков
h h
р(т\ — л ТТ('Т — т Л TTfr2 — 9Rp r-r
10

364
Глава 8
Таблица 8.2. Вид fjUio, ц Nfno для нескольких первых значений N, N, здесь
z = е~г^. Соответствующие коэффициенты фильтров fjhk, fj Nhu получены
умножением коэффициентов при zh функций ^ Nrho на V% соответствен-
соответственно. Заметим, что ^ Nmo всегда симметричны, для очень длинных ^ Nmo
мы приводим лишь половину коэффициентов (остальные выводятся с исполь-
использованием симметрии).
N
1
2
j(z-1+2 + z)
N
1
3
5
2
4
6
8
16 ' 16 + 2 + 2 + 16 16
3 3 11 11 1 г
256Z ~ 256Z ~ 128Z + 128Z + 2 + 2 +
+ l28z ~ I28Z ~ 256Z + 256Z
-|z + iz + ! + iz-8z2
3 _4 3 _3 1 _2 19 _i 45 19
128Z 64Z 8Z + 64Z + 64 + 64Z
IZ2 JLZ3 , 3 4
8 64 + 128
5 _e . 5 _5 , 17 _4 39 _3 123 _2 .
1024" '512" +512" 512" 1024z +
81 _i 175 81 123 2
+ 256" + 256 256" 1024z "'
25C5z"8 - 70z - 300z"e + 67Oz + 1228z~4 - 3126z
-3796z + 10718Z + 22050 + 1071Sz - 3796z2 . . .)
Перегруппировка этих множителей приводит ко всем возможным qo
и q0. В таблице 8.3 даны коэффициенты toq, toq для трех примеров

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов
Таблица 8.2. Продолжение
365
JV
3
N«10
^(z^+S + Sz + z2)
о
JV
1
3
5
7
9
JV,N™0
1 -1 3 3 1 2
~V +4 + 4z-4z
64 64 64 +64 + 64 64
-AZ3,_3_Z4
64 + 64
_J^z-b . !5_ 4 1Q_ _ _97_ _ _13_ г
512 +512 +512 512 256 +
175 175 13 2
256 256Z 256Z '"
2-14C5z~7 - 105г - 195г~Б + 865z~4 + 336z~3-
-3489z - 307z-1 + 11025 + 11025z . . .)
2-17(-63z"9 + 189z-8 + 469z~7 - 1911z-
-1308г"Б + 9188z~4 + 1140z - 29676z~2 +
+ 190Z + 87318 + 87318z . . .)
такого типа при / + ! = 4 и 5. (Заметим, что / + / = 4 — наименьшее
значение, для которого возможно нетривиальное разложение такого ти-
типа с вещественными qo, %.) Для 1 + 1 = 4 разложение единственно, для
1 + 1 = 5 таких возможностей две. В обоих случаях мы выбрали /, /,
чтобы разница длин для то, то была по возможности меньшей. Со-
Соответствующие вейвлеты и масштабирующие функции приведены на
рисунках 8.8 и 8.9. Во всех случаях выполняются условия из §8.4.2.
8.3.5. Биортогональные базисы, близкие
ортонормированному базису
Первый пример такого семейства был предложен М.Барло. Его ис-
исследовательская группа, работающая в области анализа зрения, испы-
испытывала фильтры из §6А, 6Б для кодирования изображений (см. работу
Антонини и соавторов [2]). Заметив популярность пирамидальной схе-
схемы Лапласа (Барт и Аделсон [27]), Барло заинтересовался, можно ли по-

366
-0,5
-4 -2
-2
0
Рис. 8.8. Функции <р, <р, ф, ф, соответствующие случаю N = 4 = N из табли-
таблицы 8.3
строить двойственную систему веивлетов, используя пирамидальный
фильтр Лапласа типа тоо или тоо- Эти фильтры явно задаются с помо-
помощью формулы
-ae~2ii
@.5 + 2а)
(8.3.27)
Для а = —1/16 рассмотрение сводится к сплайновому фильтру
описанному выше в «примерах сплайнов» В приложениях, связанных
с визуализацией, выбор а = 0.05 особенно популярен: хотя соответ-
соответствующая <р и имеет меньшую регулярность, чем 4<р, это, по-видимому,
приводит к лучшим, с точки зрения зрительного восприятия, резуль-
результатам. Следуя предложению Барло, мы выбираем а = 0.05 в (8.3.27)
или
т0(О =0.6 + 0.5cos?-0.1cos2?= (cos |) (l + f sin2 |). (8.3.28)
Кандидаты на роль то, двойственного такому то, должны удовлетво-
удовлетворять равенству

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов
а) 2г
367
1
0
-1
V
-
1/
-4-2024 -4-2024
-4-2 0 2 4-4-2024
0
-0
1
,5
0
5
"Л
—л г—
-4 -2
-4 -2
-4 -2
Рис. 8.9. Функции ip, ip, ф, ф, соответствующие случаю N = 5 = N из табли-
таблицы 8.3
Как показано в §8.4.4, полином тоо можно выбрать симметричным
(поскольку симметричен то). Мы также выбираем то, делящийся на

368
Глава 8
Таблица 8.3. Коэффициенты то, то для трех случаев «вариаций сплайнов»
с фильтрами схожей длины для I + I = 4 и 5 (см. текст). Для каждого
фильтра нам также известна кратность множителя (cos ^/2) (обозначены
через N, N). Как и в таблице 8.2 умножение этих значений на \/2 дает
коэффициенты фильтров hn, hn.
N,N
N = 4
N = 4
N = 5
7V = 5
7V = 5
7V = 5
n
0
1,-1
2, -2
3, -3
4,-4
0
1,-1
2, -2
3, -3
4, -4
5, -5
0
1, -1
2, -2
3, -3
4, -4
5, -5
коэффициент
e~lnS- в too
0.557543526229
0.295635881557
-0.028771763114
-0.045635881557
0
0.636046869922
0.337150822568
-0.066117805605
-0.096666153049
-0.001905629356
0.009515330511
0.382638624101
0.242786343133
0.043244142922
0.000197904543
0.015436545027
0.007015752324
коэффициент
e~ln? в too
0.602949018236
0.266864118443
-0.078223266529
-0.016864118443
0.026748757411
0.520897409718
0.244379838485
-0.038511714155
0.005620161515
0.028063009296
0
0.938348578330
0.333745161515
-0.257235611210
-0.083745161515
0.038061322045
0
(cos^/2J (тогда соответствующие ф, ф имеют по два нулевых момен-
момента). Другими словами,
тоо(С) = (cos|Jp(sin|),
A - хJ (l + |ж) Р(х) + х2 (| - |ж) РA - х) = 1.
где
По теореме 6.1.1 в силу симметричности этого уравнения относитель-
относительно замены х на 1 — х, оно имеет единственное решение Р порядка 2,
которое, как легко находится, имеет вид

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов
2г
369
-2-1 О 1
-2-1 О 1
Рис. 8.10. Графики <р, ф, <р, ф для биортогональной пары, построенной по
низкочастотному фильтру Барта-Аделсона
Таблица 8.4. Коэффициенты фильтров для (то)варт, двойственного ему
фильтра (то)варт, вычисленных в этой части, и очень близкого фильт-
фильтра (то)койфлет, соответствующего ортонормированному базису койфлетов
{см. коэффициенты для К = 1 в таблице 8.1).
п
-3
-2
-1
0
1
2
3
(тоо)Барт
0
-0.05
0.25
0.6
0.25
-.05
0
(гао)Барт
-0.010714285714
-0.053517428571
0.260714285714
0.607142857143
0.260714285714
-0.053571428571
-0.010714285714
(Тоо)койфлет
0
-0.051429728471
0.238929728471
0.602859456942
0.272140543058
-0.051429972847
-0.011070271529
Так приходим к выражению
Too (?) = (cos я ] f 1 + -к sin2 т> — wf sin4 о ) =
(8.3.29)
280е ' 56е
J73_ -a , 17 J73;«_ _3_P2i? 3_
280
'+^7 +
28+ 280
56
280
(8.3.30)

370 Глава 8
Можно проверить, что и (8.3.28), и (8.3.29) удовлетворяют всем усло-
условиям из §8.4.2. Следовательно, полиномы тоо и тоо на самом деле соот-
соответствуют паре биортогональных базисов вейвлетов. На рисунке 8.10
показаны графики соответствующих <р, <р, ф и ф. Все четыре функции
непрерывны, но не дифференцируемы. Очень удивительно, как похожи
!р и <р или фиф. Первопричиной этого является схожесть тоо и тоо,
которая не следует немедленно из (8.3.27) и (8.3.30), но становится
очевидной после сравнения явных численных значений коэффициен-
коэффициентов фильтров из таблицы 8.4. На самом деле оба фильтра очень близки
(обязательно несимметричному) фильтру, соответствующему одному
из ортонормированных койфлетов (см. §8.3), которые мы снова приво-
приводим для сравнения в третьей колонке таблицы 8.4. Эта схожесть тоо
и ортонормированного вейвлет-фильтра объясняет, почему двойствен-
двойственный к тоо фильтр тоо так схож с самим тоо. Первое применение этих
биортогональных базисов, связанных с пирамидой Лапласа, для анализа
изображений описано у Антонини и соавторов в [2].
Предложение М. Барло привело к случайному открытию того, что
фильтр Барта очень близок ортонормированному вейвлет-фильтру. (Ин-
(Интересно, будет ли фильтр Барта при этом столь же эффективным в при-
приложениях?) Этот пример предполагает, что другие биортогональные ба-
базисы с симметричными фильтрами и рациональными коэффициентами
фильтров, вероятно, могут быть построены с помощью аппроксимации
и «симметризации» существующих ортонормированных вейвлет-фильт-
ров и вычисления соответствующего двойственного фильтра. Коэффи-
Коэффициенты койфлета из § 8.3 получены методом, который естественным
образом привел к фильтрам, близким к симметричным. Поэтому естес-
естественно ожидать, что симметричные биортогональные фильтры, близкие
ортонормированному базису, фактически будут близки этим базисам
койфлетов. Тогда из проведенного в § 8.3 анализа следует, что
ТУ' 1
В частности, для нижеприведенных примеров мы выбрали
ТОо(С) = (cosС/2) 2_^ \ и I (sm
и затем следовали данной процедуре:

8.3. Симметричные биортогоналъные базисы вейвлетов 371
1. Находим такое а, чтобы интеграл \ I d?[l — |тоо(С)|2 ~~
7г
|2] был минимальным (ноль в нижеприведенных примерах). Этот
критерий оптимизации, конечно, можно заменить другими критерия-
критериями (например, минимизировать сумму квадратов всех коэффициентов
Фурье выражения 1 — |тоо(С)|2 ~~ 1тоо(С + 7Г)|2 вместо лишь одного ко-
коэффициента е!'? при / = 0). Для случаев К = 1, 2, 3 значениями для а
будут 0.861001748086, 3.328450120793,13.113494845221 соответственно.
2. Заменим это (иррациональное) «оптимальное» значение для а
близким значением, выраженным в виде простой дроби.12 Для наших
примеров мы взяли а = 0.8 = 4/5 в случае К = 1, а = 3.2 = 16/5 для
К = 2 и а = 13 для К = 3. Для if = 1 это сводится затем к вышепри-
вышеприведенному примеру.
3. Поскольку теперь полином тоо зафиксирован, мы можем вычис-
вычислить Too- Если мы потребуем от тоо делимости на (cos^/2Jif, то можем
записать, что
га„(?) = (cos?/2JifPK((sin?/2J), (8.3.31)
где Рк — полином степени 2>К — 1. Рассуждения Добеши из [34] пока-
показывают, что
k=0
Таким образом, К из 2>К коэффициентов Рк определены. Остальные
можно легко вычислить. Для К = 2 и 3 мы находим
Р2(х) = 1 + 2х + Цх2 + 8х3 - Щ^х4 + Щ§х\ (8.3.32)
Р3(х) = 1 + Зх + 6х2 + 7х3 + ЗОж4 + 42ж5 - 17й2п1_5.16а;6 +
OU (о
, 1921766 7 648908 я ,я ч ,,,
+ 6075 Х 6075 Ж • У*'6'66)
В таблице 8.5 помещены явные численные значения коэффициентов
фильтров для too, too и ближайшего койфлета при К = 2 и 3. Мы при-
привели графики ip, ip, ip и ф для обоих случаев на рисунке 8.11. Следует

372
Глава 8
-0,5
-0,5
-4 -2
-0,5
-0,5
Рис. 8.11. Графики (р, ф, (р, ф, соответствующие таблице 8.5
заметить, что вычисление биортогональных фильтров то, fho c помо-
помощью вышеприведенной процедуры намного проще, чем вычисление ор-
тонормированного койфлет-фильтра, проведенное Добеши в [54]! Это ил-

8.3. Симметричные биортогональные базисы вейвлетов
373
Таблица 8.5. Численные значения фильтров то, то для биортогональных ба-
базисов, близких койфлетам для случаев К = 2 и 3 (см. текст). В третьей
колонке помещены коэффициенты ортонормированного фильтра койфлетов,
которому очень близки то и то. Чтобы облегчить сравнение, мы представи-
представили все коэффициенты в десятичной системе. На самом деле коэффициенты
то и то рациональны.
К
2
3
п
0
±1
±2
±3
±4
±5
±6
±7
0
±1
±2
±3
±4
±5
±6
±7
±8
±9
±10
±11
коэффициенты
то
0.575
0.28125
-0.05
-0.03125
0.0125
0
0
0
0.5634765625
0.29296875
-0.047607421875
-0.048828125
0.01904296875
0.005859375
-0.003173828125
0
0
0
0
0
коэффициенты
то
0.575291895604
0.286392513736
-0.052305116758
-0.039723557692
0.015925480769
0.003837568681
-0.001266311813
-0.000506524725
0.560116167736
0.296144908701
-0.047005100329
-0.055220135661
0.021983637555
0.010536373594
-0.005725661541
-0.001774953991
0.000736056355
0.000339274308
-0.000047015908
-0.000025466950
коэффициенты(я10)пойфлет
п < 0
п > 0
0.574682393857
0.273021046535
-0.047639590310
-0.029320137980
0.011587596739
0
0
0
0.294867193696
-0.054085607092
-0.042026480461
0.016744410163
0.003967883613
-0.001289203356
-0.000509505399
0.561285256870
0.286503335274
-0.043220763560
-0.046507764479
0.016583560479
0.005503126709
-0.002682418671
0
0
0
0
0
0.302983571773
-0.050770140755
-0.058196250762
0.024434094321
0.011229240962
-0.006369601011
-0.001820458916
0.000790205101
0.000329665174
-0.000050192775
-0.000024465734
люстрирует большую гибкость конструкции биортогональных базисов
вейвлетов по сравнению с ортонормированными базисами вейвлетов.
Примечания
1. В том смысле, что функции tpi(- - п), как и ip2(- - п), ортонор-
мированы.
2. Строго говоря, лемма 6.2.2 доказывает лишь, что supp <р С [О, N].
Недавняя работа Лемарье и Малгуйреса [128] показывает, что supp <p —
непременно интервал, который в этом случае должен иметь вид [О, N].
3. Тем не менее, для кодирования изображений и видео AWARE,
Inc. использует асимметричные фильтры из § 6.4 и получает превосход-
превосходные результаты. Заметим также, что трудно количественно описать ве-
величину ошибки, видимую глазом. Наиболее часто употребляемая норма
для измерения «расстояния» — это /2-норма, но в большей степени по-
потому что с ней легко работать, а не по каким-то другим причинам. Все

374 Глава 8
эксперты сходятся на том, что /2-норма — не очень хороший выбор, но,
насколько я знаю, согласия относительно лучшего кандидата нет.
4. Функции jyip из §6.4 не обладают этим свойством. Гра-
График |лг?>(СI является очень плоским в окрестности ? = О, показывая,
что -^rljvvl = О ДЛЯ I = 1, --- , ^V, однако для фазы n$@ это не
выполняется.
5. Доказать ограниченность оператора То просто: если supp <р =
= [-Nu N2], то
N2-k
2 /
dx f(x)ip(x - к)
(по неравенству Коши-Шварца);
откуда
N2-k
Аналогично доказывается ограниченность всех Tj.
6. Мы имеем
J— — J I
/' ^'г)|2) (Е
7. Угол между двумя подпространствами определяется как мини-
минимальный угол между элементами
угол (Е, F) = inf cos ' •"'
€Ef€F \

8.3. Симметричные биортогоналъные базисы вейвлетов 375
8. В доказательстве Коэна, Добеши и Фово из [41] для вывода
(8.3.15) и (8.3.16) на ф накладывается гораздо более сильное условие
убывания, а именно \ф{?)\ ^ C(l+ ICI)^2 (которое, как известно, не
выполняется даже для некоторых ортонормированных случаев). При-
Приведенный здесь набросок рассуждений взят из работы Коэна и Добе-
Добеши [38].
9. Производные ф^1\ I = 0, ... , то, автоматически ограничены, по-
потому что ф имеет компактный носитель.
10. Для случая N = 2 = N замечен любопытный феномен. Являясь
элементом L2([—2, 2]) (а отсюда и L1([—2, 2])), функция 2,2<Р на самом
деле имеет сингулярность в каждой диадической рациональной точке.
Тогда настоящий график 2,2?> (или 2,2V1) должен состоять из черных
прямоугольников (поскольку наши линии имеют некоторую толщину).
Но, тем не менее, на рисунке 8.6 дано приближение из L2 или L1, хотя
и не из L°°. Я бы хотела поблагодарить Вима Свелденса за указание на
это.
11. Ошер в [7] и Чуй и Ванг в [34] привели другую конструкцию
неортонормированных базисов вейвлетов. В ней один из двух вейвлетов
(например, ф) — это сплайн с компактным носителем, везде определен-
определенный точно и в явном виде. В отличие от нашей ситуации, в такой кон-
конструкции пространства Wj будут ортонормированы и Wj = Wj. В ре-
результате двойственный вейвлет ф имеет бесконечный носитель (ком-
(компактность носителей обеих ф, ф может достигаться лишь при отказе от
ортонормированности Wj) и экспоненциальное убывание. Соответству-
Соответствующий кратномасштабный анализ будет таким же, как и в случае вейв-
вейвлетов Батла-Лемарье. Вейвлет ф выбираем ортогональным В-сплайну
нужного порядка и всем его целым сдвигам. Тогда ф задается с помо-
помощью соотношения ф(?) = ф(?)/ ?) \ф(? + 2жк)\2\.
1 к J
12. Выбор рационального а приводит к полиномам too, Too с рацио-
рациональными коэффициентами. Заметим, что изначальные иррациональ-
иррациональные значения а не являются «священными»: сменив критерий в пунк-
пункте 1, придем к несколько другим значениям а.

Глава 9
Характеристика функциональных
пространств с помощью вейвлетов
В этой главе мы покажем, что ортонормированные базисы, обсуж-
обсуждаемые нами в последних четырех главах, представляются также хоро-
хорошими (т.е. безусловными) базисами для многих других пространств,
помимо L2, и превосходят в этом отношении базис Фурье. Почти весь
материал этой главы позаимствован из работы Мейера [142]. Однако
здесь он представлен (как я полагаю) более прозаически, доступнее
для читателей, менее изощренных в математической софистике. В § 9.1
я начинаю с обзора классической теоремы из чистого гармонического
анализа о разложении Кальдерона-Зигмунда. Ее также можно найти
во многих учебниках (например, у Стейна в [167]). Здесь я помести-
поместила детальное доказательство, чтобы проиллюстрировать технику ис-
использования различных (диадических) масштабов, практиковавшую-
практиковавшуюся в гармоническом анализе задолго до того, как появились вейвлеты.
Это вместе с некоторыми другими классическими теоремами доказы-
доказывает, что вейвлеты являются безусловным базисом для Lp, 1 < р < сю.
В § 9.2 с помощью вейвлетов характеризуются другие функциональные
пространства (доказательства не приведены). Коротко обсуждается вы-
выделение сингулярностей с помощью ортогонального базиса вейвлетов.
В § 9.3 речь пойдет о разложении /^-функций с помощью вейвлетов. По
причине отсутствия безусловного базиса в L1, вейвлеты не могут сде-
сделать невозможного, но они все же справляются с задачей лучше, чем
разложение Фурье. Наконец, § 9.4 указывает на интересное различие
между разложением по вейвлетам и разложением Фурье.
9.1. Вейвлеты: безусловный базис для LP(R),
1 < р < оо
Начнем с доказательства теоремы о разложении Кальдерона-Зиг-
мунда.

9.1. Вейвлеты: безусловный базис для LP(R), 1 < р < оо 377
Теорема 9.1.1. Предположим, что f — положительная функция
из L1(R). Зафиксируем а > 0. Тогда Ж можно разложить следующим
образом:
1. R = Gl)B, где GnB = 0.
2. Яа «хорошем» множестве G имеем fix) ^ а п. в.
3. «Плохое» множество В можно записать в виде
В = М Qj,, где Q/, — неперекрывающиеся интервалы,
\Qk\~1 / dx f(x) ^ 2а для всех к ? К
ken
и а
Qt
Доказательство.
1. Выберем L = 2', чтобы 2~l I dx f(x) ^ а. Следовательно,
к
(к+1)Ь
L~x I dx f(x) ^ а для всех к ? Z. Так определяется первое раз-
kh
биение Ж.
2. В этом первом разбиении возьмем интервал Q = [kL, (к + 1)L[.
Разобьем его на две половинки: [kL, (k+^)L[ и [(k+^)L, (k+l)L[. Возь-
Возь^)L[ и [(k+^)
мем любую из них, назовем Q' и вычислим Iq* = IQ'I / dx f(x). Если
Q'
Iqi > а, то поместим Q' в мешок с интервалами, составляющими В.
На самом деле мы имеем
а < IQ. ^ IQT11 dx f(x) = 2IQI1 dx f{x) < 2a.
Q Q
Если Iqi < а, то продолжаем (деление пополам и т. д.), если необходимо,
до бесконечности. То же самое делаем с другой половиной Q и другими
интервалами [kL, (k+l)L[. В конце мы имеем мешок со счетным числом
«плохих» интервалов, все они удовлетворяют уравнению, помещенному
в начале этой страницы. Их объединение назовем В, а дополняющее
множество — G.

378 Глава 9
3. В силу построения В мы находим, что для любого х ^ В
существует бесконечная последовательность все меньших и меньших
интервалов Qi, Q2, Q3, ¦¦¦ таких, что х ? Qn для каждого п и
\Qn\~1 / dyf{y) ^ а. На самом деле \Qj\ = ||Qj_i| для каждого j
и Qj С Qj-i- Поскольку Qn «сжимаются» до х, то
/
dy f(y) —>¦ f(x) почти наверняка.
Поскольку левая часть ^ а по построению, fix) ^ а п. в. в G. ¦
Заметим, что выбор L = 21 автоматически предполагает все интер-
интервалы из этого доказательства диадическими, т.е. вида [k2~i, [k-\-lJ~i[
для некоторых к, j 6 Z.
Теперь определим операторы Кальдерона-Зигмунда и докажем
классическое свойство.
Определение.1 Оператором Кальдерона-Зигмунда Т на К явля-
является интегральный оператор
(Tf)(x) = JdyK(x,y)f(y), (9.1.1)
ядро которого удовлетворяет неравенствам
№, у)\ < |^р (9.1.2)
1-tfOc, у) + |-#(ж, у) ^ —?-2, (9.1.3)
а сам оператор ограничен на Ь2(Ж).
Теорема 9.1.2. Оператор Кальдерона - Зигмунда также ограни-
ограничен при действии из L1(IR) в Ь1Л(Ж).
Пространство Ь?Л(Ж) в этой теореме определено следующим обра-
образом.
Определение. / ? 2^Л(Ж), если существует такая С > 0, что для
всех а > О
{Ж; |/(ж)|^а}|^§. (9.1.4)
Точная нижняя грань всех С, для которых выполняется (9.1.4) (для
всех а > 0), иногда называют Ц/Ць1 -2

9.1. Вейвлеты: безусловный базис для LP(R), 1 < р < оо
379
Примеры.
1. Если / € Ь1(Ж), то (9.1.4) выполняется автоматически. На самом
деле, если Sa = {х; \f(x)\ ^ а}, то
a-\Sa\^Jdx\f(x)\^Jdx\f(x)\ =
откуда
~г
а}\ = Ц. Однако
2. /(ж) = l^l лежит в L\a, поскольку \{х;
f(x) = la;!"'3 не принадлежит L\a, если /3 > 1.
Название L\K оправдывается этими примерами: L\a расширяет L1
и содержит функции /, для которых J |/| «просто» не конечен из-за
логарифмических особенностей в первообразной |/|.
Теперь мы готовы доказать теорему.
Доказательство теоремы 9.1.2.
1. Мы хотим оценить \{х; \Tf(x)\ ^ а}\. Начнем с разложения
Кальдерона-Зигмунда для К и функции |/| с порогом а. Теперь опре-
определим
f(x), если х б G,
\Qk\~1 / dy f(y), если х 6 внутренности Qk,
Qk
О, если х б G,
f{x) - \Qk\~1 / dyf(y), если ж € внутренности Qk.
Qk
Тогда /(ж) = g(x) + b(x) п. в., откуда Т/ = Tg1 + ТЬ. Следовательно,
\Tf(x)\ ^ а возможно лишь, если выполняется неравенство |Т#(ж)| ^
^ а/2 или |ТЬ(ж)| ^ а/2 (или оба одновременно). Следовательно,
Ъ(х) =
\{х; \Tf(x)\ 2 а}\
\{х; \ТЪ(
х)\ > f
- (9-1.5)
Таким образом, теорема будет доказана, если каждый из членов в пра-
вой части (9.1.5) ограничен числом ^-Ц/Ць1-

380
Глава 9
2. Мы имеем
< jdx\Tg{x)\2 = \\Tg\\\i < C\\g\\2L2, (9.1.6)
R
потому что Т — ограниченный оператор на L2. Более того,
Ш\Ъ = I dx\g(x)\2 + I dx\g(x)\2 ^
а
f
J
- fdyf(y)
k J
G Qk
(используем определение g и |/(ж)| ^ а на G)
Qk
(используем \Qk\~1 / dy\f(y)\ ^ 2а)
Qk
^2aJdx\f(x)\=2a\\f\\Li.
Совмещая это с (9.1.6), получаем
х;
\{
(9.1.7)
3. Теперь сосредоточимся на изучении Ь. Для каждого к мы опре-
определим теперь новые интервалы Q*f,, «вытянув» Q^: Ql имеет тот же
центр ук, что и Qk, а длину вдвое больше. Затем определим В* ={jQ*k
к
и G* = Ж\В*. Теперь
\В'\ ^ ? \Qt\ = 2 ? 10*1 ^ I Е / dx
(потому что \Qu\~1 I dx \f(x)\ 2 a) < ||

9.1. Вейвлеты: безусловный базис для LP(R), 1 < р < оо
381
тогда
\{х ? Я*; \ТЬ(х)\ 2 § }| ^ \В*\ 4: Ill/Ik- (9.1.8)
4. Осталось оценить |{ж ? G*; \Tb(x)\ ^ |
. Мы имеем
dx\Tb{x)\4 j dx\Tb{x)\.
(9.1.9)
5. Для оценки последнего интеграла мы разделим различные вкла-
вклады в Ь. Определим bk(x) с помощью
Ьк(х) =
О, если х ф Qk,
(х) — / dy f(y), если х ? внутренности Qk-
\Qk\ J
Тогда b(x) = ^2bk п. в., поскольку Qk не перекрываются. Следователь-
к
но, Т6= Y,Th и
ft
f dx\Tbk{x
dx\Tbk(x)\ =
dx\jdyK(x,y)bk(y)
dx\Jdy[K(x,y)-K(x,yk)]bk(y)
4
(ук — это центр Qk] мы можем вставить этот
дополнительный член, потому что / dybk(y) = 0)
^Y, / dxjdy\K(x,y)-K(x,yk)\\bk(y)\. (9.1.10)

382 Глава 9
Разницу К(х, у) —К(х, ук) можно оценить, используя оценку для част-
частной производной д2К по второй переменной:
j dx\K(x,y)-K(x,yk)\ ^
1
/г
dx / dt \д2К(х, yk + t(y - yk))\ -\y-yk\4:
R\Q'k 0
1
^ J dxJdtC\y-yk\\(x-yk)-t(y-yk)\-2 =
(здесь мы пишем Qk = [yk - Rk, yk + Rk[,
= R\
Rl\u-tv\2
\u\>2 0
(после подстановки х = yk + Rku,
y = yk+ Rkv, где |u| ^ 2, \v\ ^ 1)
^ С' (не зависящей от к).
Подстановка в (9.1.10) дает
Qk
k Qk
J2 I
<2C'\ I dy\f(y)\^2C'\\j\\Li,
к
что вместе с (9.1.7), (9.1.8) и (9.1.9) доказывает теорему. ¦
Зная, что Т — отображение из L2 в L2 и из L1 в Ь\л, мы можем
распространить Т на другие ^-пространства с использованием интер-
интерполяционной теоремы Марцинкевича.

9.1. Вейвлеты: безусловный базис для LP(R), 1 < р < оо 383
Теорема 9.1.3. Если оператор Т удовлетворяет неравенствам
t^C2\\f\\LP2, (9.1.12)
где qi <: Pl, q2 <: р2, то для \ = ± + ^, \ = ± + ^=Л 0 < t < 1,
существует такая константа К, зависящая от р\, qi, p2, q2 и t, что
\\Tf\\L^K\\f\\LP.
Здесь ?сл обозначает пространство функций /, для которых конеч-
конечна величина
||Л|х?л = [inf{C; \{x; \f{x)\ ^ а}\ ^ Сa~q для всех а > О}]1/".
Эта теорема примечательна тем, что, требуя лишь слабые оценки
для двух крайних значений, она, тем не менее, дает оценки на L'-нор-
мы (не Lin) и для промежуточных значений д.3 Доказательство этой
теоремы выходит за пределы данной главы. Доказательство более об-
общей версии можно найти у Стейна и Вайса в [168]. Из интерполяцион-
интерполяционной теоремы Марцинкевича следует, что ограниченности отображения
L1 —>• Ь\л, доказанной в теореме 9.1.2, достаточно для выведения огра-
ограниченности отображения Lp —>• Lp для 1 < р < ос.
Теорема 9.1.4. Если интегральный оператор Т с ядром К удов-
удовлетворяет (9.1.2) и (9.1.3) и ограничен при действии из Ь2(Ж) в Ь2(Ш),
то Т продолжается до ограниченного оператора из ЬР(Ж) в ЬР(Ж) для
всех р, 1 < р < сю.
Доказательство.
1. В теореме 9.1.2 доказывается, что Т ограниченно действует из L1
в Ь\л. По теореме Марцинкевича Т продолжается до ограниченного опе-
оператора, действующего из Lp в Lp для 1 < р ^ 2. ^
2. Для значений 2 ^ р < ос мы используем оператор Г, сопряжен-
сопряженный к Г, определенный по формуле:
J dx (ff) (х) ф) = J dx f(x) (Tg)(x).

384 Глава 9
Ему соответствует ядро К(х, у) = К(х, у), которое также удовлетво-
удовлетворяет условиям (9.1.2) и (9.1.3). На L2(R) этот оператор в точности явля-
является сопряженным в Ь2-смысле оператором Т*, поэтому он ограничен.
Из теоремы 9.1.2 следует, что Т ограниченно действует из L1 в L\R,
и отсюда по теореме 9.1.3 он ограниченно действует из Lp в Lp для
1 < р ^ 2. Поскольку для 4+^ = 1 оператор Т: Lp —>• Lp является со-
сопряженным кГ:1М Lq, то Т ограничен для 2 ^ q < ос. Более точно
для читателей, не знакомых с сопряжением на банаховых пространст-
пространствах:
= sup \[dx(Tf)(x)gW)
= sup \ dx dyf(y)K(x,y)g(x) = sup \ dyf(y)(Tg)(y)
g€L" U J g€L" U
\\g\\LP=l \\g\\LP=l
\\g\\LP=l
(Строго говоря, смена порядка интегрирования в третьем равенстве не
разрешена для всех /, g, но мы можем ограничиться плотным подпро-
подпространством, в котором таких проблем нет.) ¦
Теперь можем применить этот результат для доказательства то-
того, что если ф имеет некоторое убывание и некоторую регулярность
и если t})j,k(x) = 2~312фB~^х — к) образуют ортонормированный базис
для L2(M), то ф3\к также снабжают пространство ЬР(Ж), 1 < р < ос
безусловными базисами. Поэтому нам нужно доказать (см. предвари-
предварительные сведения), что
для любого выбора и^-д = ±1, если известно, что
3,к
Мы будем предполагать, что ф непрерывно дифференцируема и обе
функции -фиф' убывают быстрее, чем A + (ж)):
\ф(х)\, ИаОКСи + МГ1-6- (9-1.13)

9.1. Вейвлеты: безусловный базис для LP(R), 1 < р < оо 385
Тогда ф е Lp для 1 < р < оо тл f =Y^^j,k^i,к влечет Cjik = Jdx f(x)x
хф],к(х) вследствие ортонормированности ф^ь. Так мы хотим пока-
показать, что при любом выборе о^-д = ±1 оператор Тш, определенный фор-
формулой
3,к
является ограниченным оператором из Lp в Lp. Мы уже знаем, что Тш
ограниченно действует из L2 в L2, поскольку
Kf\\h =
j, ft
= Е
i,ft
тогда ^-ограниченность будет следовать из теоремы 9.1.3, если мы
сможем доказать, что Тш — это интегральный оператор с ядром, удов-
удовлетворяющим (9.1.2), (9.1.3). Это составляет утверждение следующей
леммы.
Лемма 9.1.5. Выберем ш^к = ±1 и определим К(х, у) =
= 2 wj,ft i)j,k(x)i)j,k(y)- Тогда существует такая С < ос, что
\К{х, у)\
С
\x~y\
Доказательство.
1.
С
\х~у\2
\к(х,
С Y^ 2"j(! + \2~Jx ~
+ \2~jy ~
силу (9.1.13)).
Найдем jo 6 Z, чтобы выполнялись условия 2-7'0 ^ \x — y\ ^ 2J'0+1. Разо-
Разобьем суммирование по j на две части: j < jo и j ^ jo-

386 Глава 9
2. Из того, что сумма 5^A+ \а — к\)~1~еA + \Ь — к\)~1~е равномерно
к
ограничена для всех значений а, б,4 мы имеем
—j ^ п о—.?'о+1 ^ 4G
j=jo к
3=30
х -у\
3. Часть доказательства для j < jo немного сложнее.
j= — oo к
j=-jo+l
Найдем ко € Z, чтобы выполнялось fc0
I = к — к0- Тогда
- fc| = 2
1-^. (9.1.14)
ко + 1, и положим
аналогично,
2+\2*у-к\
у-х
Следовательно, для а = 2J ——— выполняется неравенство
2
\а-
\-l-e 5

9.2. Характеристика пространств с помощью вейвлетов 387
так что
(9.1.14) <:С
«С С V 2j'~jo (l + 2j'~jo \ 2jo) S (потому что \x-y\~2 2jo+1)
Л1 — Л
jl=l
Следовательно, \K(x, y)\ ^ C\x — y\~x¦
4. Чтобы оценить дхК, дуК, напишем
\8хК(х, y)K^2-^'B-^
^С^2 2i [A + |2"jx - fc|)(l + \2~iy - k\)] -
и, придерживаясь той же техники, без труда получаем
\дхк(х, У)\, \дук(х, У)\ ^ с\х - у\~2. я
Из рассуждений, предшествовавших лемме, следует, что мы дока-
доказали теорему.
Теорема 9.1.6. Если ф из С1 и \ф(х)\, \ф'(х)\ ^ СA + (ж!),
и если ipjtk(x) = 2~il2ipB~ix — к) образуют ортонормированный базис
для L2(R), то {i>j,k', j, к € Z} также образуют безусловный базис для
всех Lp-пространств, 1 < р < ос.
9.2. Характеристика функциональных пространств
с помощью вейвлетов
Поскольку ф],к образуют безусловный базис в ЬР(Ж), функции
/ € ЬР(Ж) характеризуются с использованием лишь абсолютных зна-
значений коэффициентов / в разложении по вейвлетам. Другими словами,

388 Глава 9
для данной / мы можем определить, будет ли / 6 Lp, лишь взгля-
взглянув на |(/, r})j,k)\- Дадим точную формулировку критерия, снова для
1 < р < ос:
1/2
1/2
Доказательство того, что это и в самом деле эквивалентные характе-
характеристики, есть у Мейера в [142].
Точно так же вейвлеты обеспечивают безусловные базисы и харак-
характеристики для многих других функциональных пространств. Некото-
Некоторые из них, без доказательства, мы помещаем здесь.
Пространства Соболева W(M). Пространства Соболева опреде-
определены следующим образом:
W(R) = {f; J dx(l + \Z\2y\f(?)\2 < оо].
С помощью вейвлетов мы можем характеризовать их так:
/ е ws(R) & ? К/, ^-,*>|2A + 2js) < оо.
Пространства Гёльдера CS(M). Для 0 < s < 1 мы определим
С'(Щ = if G L-(K); sup 1/(Ж + ,^-/(жI < ос}.
1 xh |ft| J
x,h
Для s = n + s', 0 < s' < 1, мы определим
? L (Щ n G (
Для целых значений s подходящими пространствами в этой цепоч-
цепочке будут не традиционные Сп-пространства (состоящие из функций,

9.2. Характеристика пространств с помощью вейвлетов 389
п раз непрерывно дифференцируемых) и даже не пространства Липши-
Липшица, а несколько более широкие пространства, определенные формулой
Л* = класс Зигмунда =
= {/ е L~(R) n СЧЩ; sup !/(* + *)+ /(*-*)-2/(*)| < i
L x,h \h\ >
занимающее место С1 (IK), и
аи ) ?
Л* - i J
(К);
Для такой цепочки пространств Гёльдера имеется следующая характе-
характеристика:
Локально интегрируемая / лежит в С" (Ж) (я — не целое) или Л™
(я = п — целое) тогда и только тогда, когда существует такая посто-
постоянная С < ос, что
К/, <Po,k)\ ^ С для всех fee Z,
|(/, ф-э,к)\ ^ C2~i{s+1l2) для всех j ^ 0, к € Ъ.
Здесь неявно предполагается, что ф 6 С, где г > s.
Доказательства и другие примеры приводит Мейер в [142]. Среди
помещенных здесь примеров лишь пространства Соболева можно пол-
полностью характеризовать (с необходимыми и достаточными условиями)
с помощью преобразования Фурье.
Условия (9.2.1) характеризуют глобальную регулярность. Локаль-
Локальную регулярность также можно изучить с помощью коэффициентов
в ортонормированном базисе вейвлетов. Наиболее общая теорема, при-
принадлежащая Джаффару [100], такова. Для простоты предполагаем на-
наличие компактного носителя и принадлежность С1 для ф (для более
общих ф формулировка слегка отличается).
Теорема 9.2.1. Если / непрерывна по Гёльдеру в точке хо с по-
показателем а, 0 < а < 1, т.е.
\f(x)-f(xo)\^C\x-xo\a, (9.2.2)
то
тах[|(/, фч,„)\ distfo, supp фЧ,к)~а] =о{2 B+a)j) (9.2.3)

390 Глава 9
для j —^ ос. Обратно, если выполняется (9.2.3) и известно, что / из С6
для некоторого е > 0, то
\f(x) - f(xo)\ 4 С\х - хо\а log ?—-. (9.2.4)
\х - хо\
Здесь мы не имеем строгой эквивалентности между (9.2.3) и
(9.2.2). На самом деле оценка (9.2.4) оптимальна, так же, как и условие
/ € Се: если / лишь непрерывна или если опущен логарифм в (9.2.4), то
можно найти контрпример (Джаффар [100]). Неэквивалентность (9.2.2)
и (9.2.3) может вызываться существованием менее регулярных точек
вблизи хо или чрезмерными осцилляциями f(x) около xq (см., напри-
например, работу Малла и Хванга [137]). Если мы слегка видоизменим усло-
условие (9.2.3), то эти проблемы исчезают. Более точно (снова для ф 6 С1,
имеющих компактный носитель) мы имеем следующее.
Теорема 9.2.2. Для е > 0 определим
S(xo, j', s) = {k € Z; supp {ф^} *)П]жо — s, хо + г[ф 0}.
Если для некоторого г > 0 и некоторого а, 0 < а < 1,
( -i(-+a)\
max \(f, гЬ—i k)\ = О 2 ' 2 '), (9.2.5)
то f — непрерывна по Гёльдеру в хо с показателем а.
Доказательство.
1. Выберем любое х из ]хо —?, Хо + е[. Поскольку либо i>j,k(x) Ф 0,
либо ф],и{хо) ф 0 влечет к ? S(xq, j; e), мы имеем
f(x) - f(x0) =
j keS(xo,j;e)
Следовательно,
keS(xo,j;e)

9.2. Характеристика пространств с помощью вейвлетов 391
2. Функция ф имеет компактный носитель. Тогда число к, для ко-
которого фзУи{х) Ф О ИЛИ i)j,k(%o) Ф 0, ограничено равномерно по j вели-
величиной 2| supp ф\. Следовательно,
TO,k\x) ~ 4>i,k\xo)\ Ss ^2 max \tpjtk{x) — tyj,k\xo)\ ^
keS{x0, j;e)
^ C2 2~J'2 max \фB~:'х — к) — фB~^хо — k)\.
ft
Из того, что ф ограничена и принадлежит С1, следует оценка
\фB~^х — к) — ibB~^xn — к)\ < Сч min(l 2~^ а; — жп|)
3. Теперь выберем jo, чтобы выполнялись неравенства 2JO ^ \х —
-жоК 2J0+1- ТогДа
Г А
Lj=-oo
^^4[^ Т ^ |J- "^01J ^ '-'5 |»t- •t'O • щ
Замечание.
1. Конечно, похожие теоремы можно доказать для Са-пространств,
где а > 1.
2. Если а = 1 (или более общий случай а 6 N), то самый последний
шаг доказательства больше не работает, потому что второй ряд не сходится.
Можно устранить эту расходимость, использовав |(/, ф^,к)\ ^ С для j ^ О,
но сумма по j от jo < 0 до 0 по-прежнему приведет к члену в \х — хо\ |ln \x —
— хо\\- Вот почему нужно быть более осмотрительным с целыми а и почему
используется класс Зигмунда.
3. Теоремы 9.2.1 и 9.2.2 верны также и для ф с бесконечным носителем,
если ф и ф' имеют хорошее убывание на бесконечности (Джаффар [100]).
Компактность носителя ф облегчает получение оценок. П
Локальная регулярность, таким образом, может изучаться с помо-
помощью вейвлет-коэффициентов. Однако следует остерегаться того, что на
практике для надежного определения а из (9.2.5) могут понадобиться
очень большие значения j. Это иллюстрируется следующим примером.
Возьмем
' 2е-\х~а\ если х ^ а- 1,
f(x - а) = { е~'ж~а', если а -
е~(ж~а)[(ж-а- IJ + 1], если ж ^ а + 1;

392
Глава 9
-1
О
1
Рис. 9.1. Функция из С°°, за исключением х = — 1, О и 1, где, соответственно,
/, /' и /" непрерывны
эта функция изображена на рисунке 9.1 (для а = 0). Она имеет показа-
показатель Гёльдера 0, 1, 2 в х = а — 1, а, а + 1, соответственно, и принадле-
принадлежит С°° в остальных точках. Тогда для каждой из трех точек хо = а—1,
а или а+1 можно вычислить А,- = max{|(/, ^_j;ft)|; a?o ? supp ф-j^} и
изобразить log Aj/ log 2. Если а = 0, то эти графики образуют прямые
линии с наклоном 1/2, 3/2 и 5/2 с достаточно хорошей точностью, при-
приводящей к хорошим оценкам на а. Разложение по ортонормированным
вейвлетам не инвариантно по отношению к сдвигам, и диадические ра-
рациональные точки, в особенности 0, играют очень специальную роль
по отношению к диадической сетке {2~J'fc; j, к € Z} центров локализа-
локализации нашего вейвлет-базиса. Выбор различных значений а иллюстриру-
иллюстрирует это: для а = 1/128 мы имеем очень разные (/, ^j,ft), по-прежнему,
однако, образующие приемлемую линию на графиках log Aj/ log 2 с хо-
хорошей оценкой для а; для иррациональных а линии становятся менее
впечатляющими, а определение а, соответственно, менее точным. Все
это отражено на рисунке 9.2, изображающем графики log Aj/log 2 как
функции от j для хо = а — 1, а, а + 1 и трех вариантов а = 0,1/128
и л/2 — 11/8 (мы вычитаем 11/8, чтобы получить а близким нулю для
удобства программирования). Чтобы получить рисунок, вычислялись
величины |(/, rl)-j^k)\ для подходящих значений к и j в пределах от 3
до 10. (Заметим, что для самой / это означает представление с разреше-
разрешением 2~17 для получения подходящей точности для j = 10 интегралов.)
Для а = 0 восемь точек прекрасно выстраиваются в линию, а оценка
для а+ ^ получена с точностью выше, чем 1.5% для всех трех локализа-
ций. Для а = 1/128 точки при более грубом разрешении не так хорошо

9.2. Характеристика пространств с помощью вейвлетов
393
3
2
1
0
-1
<м 0
/log
¦<" -о
Ы)
о
-10
"Ч^ наклон=-0,50522
- ^v. a=0
i i i i
."^ч^^ наклон=-1,49477
^ч а=0
1 1 1 1
[=-0,50596
а=1/128
СЧ
ьл
о
\^
о
2
0
-2
-4
-6
-8
_
"ч. наклон
\^
-
1 1
=-1,50367
а=1/128
1 Т
4
3
2
1
0
о
-5
-10
а= л/2-1,375
наклон=-2,44146
а=л/2-1,375
10
10
Рис. 9.2. Оценки экспоненты Гельдера для /(ж — а) (см. рисунок 9.1) в а — 1
(вверху), а (в центре), а + 1 (внизу), вычисленные как log Aj/ log 2 для раз-
различных значений а. (Этот рисунок предоставлен М. Ницше, которую я бы
хотела поблагодарить за помощь.)

394 Глава 9
образуют линию, но если а+ =г оцениваются лишь по четырем лучшим
точкам разрешения, то оценки по-прежнему остаются в пределах 2%.
Для иррационального а = л/2 — 11/8 нет выравнивания в точке разрыва
в а — 1 (возможно даже необходимы более мелкие масштабы), и оценка
для а+ =г в а, где / — липшициева, отличается примерно на 13% (доста-
(достаточно интересно то, что убрав точку масштаба 10, можно было бы полу-
получить лучшую оценку); в а + 1, где /' — липшициева, оценка находится
в пределах 2.5%. Это показывает, что для определения локальной ре-
регулярности функции более полезно использовать очень избыточные се-
семейства вейвлетов, где эта неинвариантность по сдвигам менее заметна
(дискретный случай) или отсутствует (непрерывный случай). (См. ра-
работы Холшнайдера и Чамичана [97], Малла и Хванга [137].) Другой при-
причиной использования очень избыточных семейств вейвлетов при харак-
характеристике локальной регулярности является то, что тогда лишь число
нулевых моментов ф ограничивает максимальную регулярность, кото-
которую можно характеризовать; регулярность ф не играет роли (см. § 2.9).
Если используются ортонормированные базисы, то мы с необходимос-
необходимостью ограничены регулярностью самой ф, что иллюстрируется выбором
f = ф. При таком выборе мы на самом деле имеем (/, ф-^,к) = 0 для
всех j > 0 и всех к. Следовательно, имея ортонормированный базис, мы
можем характеризовать регулярность лишь до Сг~е, если ф € С*1.
9.3. Вейвлеты для ?х([0, 1])
Поскольку в /^-пространствах нет безусловных базисов, не смогут
его обеспечить и вейвлеты. Тем не менее, они все же превосходят ана-
анализ Фурье в некотором смысле. Мы покажем это, сравнивая разложения
Ь1([0, 1])-функций по вейвлетам и в ряды Фурье. Но вначале мы введем
«периодизованные вейвлеты» («periodized wavelets»).
Для данного кратномасштабного анализа с масштабирующей функ-
функцией <р и вейвлетом ф, имеющих разумное убывание (скажем, |<у?(ж)|,
|^(ж)| ^ СA + [а?!)), мы определим
.*(ж+о
V3nep = Span{tpjl- k?Z}, W™p = Span{ф™%; к е Щ.

9.3. Вейвлеты для Ьг([0, 1]) 395
Поскольку Y1 ф{х + 0 = 1>6 мы имеем <у?"е?(ж) = 2~^2 '
Y1 ф{х + 0 = 1> мы имеем <у?
V"ep
— к + 2~Н) = 2^2 для j ^ 0, так что все V"ep для j ^ О представ-
представляют идентичные одномерные пространства, содержащие лишь посто-
постоянные функции. Аналогично, поскольку ^2ф(х + 1/2) = О,7 мы имеем
i
Wjep = {0} для j ^ 1. Таким образом, мы ограничиваем свое вни-
внимание пространствами V"ep, W"ep, где j ^> 0. Очевидно, свойство V"ep,
Wjep С VP наследуется от непериодизованных пространств. Более то-
того, Wjep по-прежнему ортогонально пространству V"ep, потому что
1
dx ^B~Jx + 2~Jl - k)
I' + l
2b1 / dy №my + 2|j|(/ - /') - k) (p{2\i\y - к') (так как j ^ 0)
7-6Z
Следовательно, в непериодизованном случае V^l\ = V"ep Ф Wjep. Все
пространства V"ep, W"ep — конечномерные: так как ^ne^+m2iji = fTk
для т ? Z, то же верно и для фпер, оба У.пер и Wnep натянуты на 2lJl
функций, полученных для к = 0, 1, ... , 2^1 — 1. Более того, эти 2lJl
аны. Например, в пространстве Wjep
— 1 мы имеем
функций ортонормированы. Например, в пространстве Wjep для 0 ^ к,
7-6Z
Таким образом, мы получаем цепочку кратномасштабных пространств
т/пер f- т/пер т/пер
1/0 С !/_! С V_2 С ...
с последовательными ортогональными дополнениями М^опер (для Уопер
до V^^p), W"11,... и ортонормированные базисы {tpj,k', к = 0, ..., 2lJl —1}

396
Глава 9
в У/ер, {ф^к; к = 0, ... , 2^1 - 1} в W"ep. Поскольку \J V"ep =
je-fi
= L2([0, 1]) (это снова следует из соответствующего непериодизован-
ного варианта), функции из {^о} U {ф™1\ -j ? N, к = О, ... , 2^ - 1}
образуют ортонормированный базис в Ь2([0, 1]). Переобозначим этот
базис:
Мх) = 1 = <рпое;о(х),
x) = Ф™?н{х) = g2i(x - k2~>) для 0 ^ к <: V - 1
Этот базис имеет следующее замечательное свойство.
Теорема 9.3.1. Если / — непрерывная периодическая функция
с периодом 1, то существует такая ап ? С, что
N
f ~
п=0
->• 0 при N ->• оо.
(9.3.1)
Доказательство.
1. Поскольку gn — ортонормированные, мы с необходимостью име-
имеем ап = (/, gn). Определим Sn с помощью формулы
N-1
SNf= ^2(f, gn)gn-
п=0
На первом шаге докажем равномерную ограниченность Sn, т.е. оценку
||?w/|U~^C||/||ioo, (9-3.2)
где С не зависит от / или N.

9.3. Вейвлеты для Ьх([0, 1]) 397
2. Если N = 2-у, то S2j = Proj v-»p, откуда
ft=O
где
Kj(x, у) =
k=0
Следовательно,
l
sup /
;e[o,i] J
о
Теперь
sup / dy\Kj(x, y)\ ^
x€[0,l]J
^ sup dy Y $
00 2' 3 ' — 1
^ sup / dy
— oo
2
^ С sup
1
ft=0 Z62
Ж ft=0 /6Z ж meZ
и равномерная ограниченность имеет место, если |<у?(ж)| ^ СA +
:!). Этим устанавливается (9.3.2) для N = 2К
3. Если N = 2J + то, 0 ^ то ^ V - 1, то
(SNf)(x) = (S»f)(x) +
k=0

398 Глава 9
Оценки, в точности такие же, как в пункте 2, показывают, что Ь°°-нор-
ма второй суммы тоже ограничена величиной СЦ/Ц^оо равномерно по j,
что доказывает (9.3.2) для всех N.
4. Теперь возьмем f е Е = (J Vnep. Тогда / е VT/ Для неко-
J6-N
торого J > 0 и </, V™/lfc> = 0 для j' ^ J, т.е. (/, gl) = 0 для I ^ 2J.
Следовательно, / = SnJ, если N ^ 2J, и (9.3.1) очевидно выполняется.
Поскольку Е плотно в С(Т), пространстве непрерывных периодических
функций, наделенном нормой || Цоо, теорема доказана. ¦
В силу сопряженности мы получаем аналогичную теорему для
LH[0, ID-
Теорема 9.3.2. Если f е ^([0, 1]), то
N
f ~ ^2if, gn)gn
п=0
О при N —>• сю.
L1
Доказательство.
L1([0, 1]) содержится в сопряженном к С(Т) пространстве, т.е.
II/IIli = sup{|(/, g)\;g— непрерывная, с периодом 1, ||g-||i~ ^ !}• Это
немедленно приводит к оценке
= sup{|(SW/, g}\; g— непрерывная, с периодом 1, \\g\\b°° ^ 1} =
= sup{|(/, SNg)\; g— непрерывная, с периодом 1, \\g\\L™ ^ 1} ^
(9.3.3)
(в силу равномерной оценки (9.3.2) и |(/, /i)| ^ Ц/Цх1 Ц^Ць00)-
Поскольку Е = (J V"ep тоже плотно в Ь1([0, 1]), равномерной оцен-
J'6-N
ки (9.3.3) достаточно для доказательства теоремы. ¦
Примечательность теорем 9.3.1 и 9.3.2 в том, что такое свойство не
выполняется для рядов Фурье: например, для получения равномерной
сходимости ряда Фурье для / к самой / необходимо потребовать больше
условий, чем просто непрерывность (например, / € С1).
Заметим, что порядок gn важен для теорем 9.3.1 и 9.3.2: мы имеем
базис Шаудера, а не безусловный базис!

9.4. Контраст между разложением по вейвлетам и рядом Фурье 399
9.4. Интересный контраст между разложением по
вейвлетам и рядом Фурье
Примечательность этого контраста заключается в различном по-
поведении «полного» разложения в сравнении с «лакунарным» для двух
методов разложения: по вейвлетам и в ряд Фурье. Начнем с простой
леммы, позаимствованной, как и весь пункт, у Мейера из [142].
Лемма 9.4.1. Предположим, что / — это функция на [0, 1],
дифференцируемая в хо €]0, 1[. Пусть gm будет введенным ранее ор-
тонормированным базисом для L2([0, 1]), и пусть соответствующий
вейвлет ф удовлетворяет условию Jdxx^(x) = 0. Тогда ат из / =
gm, в котором т ограничено множеством т = V' + к, где
оо
= Е
т=0
|2 ik — хо\ ^ 2 J', удовлетворяют ат = о(т 3/2) при т —>• сю.
Доказательство.
1. Для простоты предположим, что ф имеет компактный носи-
носитель supp ф С [-L, L]. Для достаточно больших j это означает, что
г}>™?к(х) = ip-j^k(x), если \2~ik — хо\ ^ 1~К (И вновь это не является
решающим фактором. Если функция ф не имеет компактного носителя,
необходимо лишь быть несколько более внимательным при проведении
данных ниже оценок.8)
2. Для т = 2}' + к, ат = J dx f(x)%j)-j>k{x). Здесь
supp фч,к С [2~>(к - L), 2~>(к + L)] С
С [х0 - 2~j(L + 1), х0 + 2~j(L + 1)] (так как \2~jk - хо\ ^ 2~j),
откуда
Г
J -j, к x
I dx [f{x) - f(x0) ~(x- x0)f'(x0)]2i/2 ф(Ух - к) =
oBj/2 2~2j) (используем f{x) - f(x0) - {x - xo)f'{xo) = o{x - x0)
и делаем замену переменных у = 23(х — Xq))
= оB~3:>/2) = о(то/2) (потому что 2j ^ m ^ 2j+1). _

400 Глава 9
Отсюда следствие:
Следствие 9.4.2. Если для всех то имеем Ci то~3/2 ^ \ат\ ^
оо
^ С2то~3/2, где С\ > 0, С2 < оо, то Y, amgm принадлежит Са для
т=0
всех а < 1, но нигде не дифференцируется.
Доказательство немедленно следует из теоремы 9.2.2 и лем-
леммы 9.4.1. ¦
Теперь построим функцию очень специального вида. Возьмем
о-т = &2i+k = Рз> не зависящие от к. Тогда
оо оо 2»-1 оо 2->-1
Е«™ sm = Е & Е &'+* = Е & Е Е2j/2 №jx+vi-k) =
т=0 j=0 к=0 j=0 к=0 1е%
= Е ^ & Е М*х - т)
j=0 m j=0
где F(x) = ^2Ф(х — то) — периодическая функция. Мы имеем
где
1
В частном случае ф = ^мейер (см. главы 4 и 5) supp ф = {?,; Щ- ^ |^| ^ Щ-
о о
так что 1рBтгп) ф 0, лишь если п = ±1. Более того, ф(—2тг) = фBтт)
Следовательно, F(x) = A cosBttx) и
т=0 j=0
«Полный» вейвлет-ряд слева имеет лакунарное разложение Фурье! Если
сейчас выбрать /3j, чтобы выполнялись неравенства С\ 2~J ^ 2^2 f3j ^
^ Сг 2~;/, то, применяя следствие 9.4.2,9 можно заключить, что функ-
функция нигде не дифференцируема. Для данного случая, на самом деле, это
является хорошо известным результатом о лакунарном ряде Фурье: ряд
оо оо
5^ jj cos(Xjx), в котором ^2 \ij\ < оо, но ¦jjXj -f> 0, определяет непре-
з=о j=o
рывную нигде не дифференцируемую функцию.

Примечания 401
С другой стороны, если мы возьмем функцию с локализованной
особенностью, которая, тем не менее, всюду принадлежит С°°, напри-
например, /(ж) = |sin7ra;|~a, где 0 < а < 1, то ее вейвлет-разложение будет
более или менее лакунарным (все коэффициенты очень быстро убы-
убывают при —j —> ос, за исключением тех, для которых 2~lJlfc близко
к особенности), в то время как ряд Фурье является «полным»: /„ =
= Jan~1+a + О(п~3+а), где 7« ф 0. Наличие особенности влияет на все
коэффициенты Фурье.
Примечания
1. Существует много различных определений операторов Кальде-
рона-Зигмунда. Обсуждение различных определений и их эволюции
проводится в начале монографии Мейера [142], том П. Заметим, что
на диагонали х = у оценки неограничены. В общем случае К име-
имеет особенность на диагонали. Строго говоря, нам следует быть более
внимательными к тому, что происходит на диагонали. Одним из спо-
способов удостовериться, что все определено корректно, является требо-
требование ограниченности Т при действии из @ в @' (@ — это множест-
множество всех функций из С°° с компактным носителем, @' — сопряженное
к нему пространство обобщенных функций) и выполнения (Т/)(ж) =
= JdyK(x, y)f(y), если х ^ supp /. Следовательно, К не полностью
определяет Г: оператор {Тг^(х) = (Tf)(x)+m(x)f(x), где m e Ь°°(Ж),
имеет то же интегральное ядро (см. [142], том II, где это обсуждается
ясно и пространно).
2. Заметим, что || • ||^1 является (очень удобным) злоупотреб-
злоупотреблением обозначения. Видно, например, что в силу \х — I) + \х +
+ 1
~х
L1
(ж — l)!!^ + ||(ж + l)!!^, неравенство треугольника
не выполняется, тогда || • ||ь1л не является «истинной» нормой.
3. Если опустить определение «слабый», то теорема будет хорошо
известной теоремой Рисса-Торина. В этом случае К = С\С\~г и огра-
ограничение qi ^ pi, q2 ^ P2 не обязательно.
4. ^A + \а- Ц)-1-"^ + \Ъ- Ц)-1'8 ^ ^A + \а- ЦУ1-" <:
к к
оо
^ sup yVl + la'-fcl)-1 ^2V(l + /)-1-e <oo.

402 Глава 9
5. Без ограничения общности мы можем предположить, что а ^ 0.
Найдем такое к, что к ^ а ^ к + 1. Тогда
/=-оо
оо
1=0
\-l-e
6. В примечании 9 главы 5 мы видели, что ^2<р(х + I) = const.
оо
Поскольку / dxif(x) = 1, эта постоянная обязательно равняется 1.
— оо
7.
5>(Ж + //2) =
/ I п
= yj(—l)m+1/imipBx + к) (к = I — п, т = —п + 1)
/г, т
= О (ПОТОМУ ЧТО 2_,^12т = / у ^2m+l)-
8. К настоящему моменту читатель видел столько примеров оценок
такого типа, что доказательство леммы 9.4.1 для ф с хорошим убывани-
убыванием, но без компактного носителя, я оставляю в качестве упражнения.
9. Да, вейвлет Мейера не имеет компактного носителя, а в доказа-
доказательстве леммы 9.4.1 используется компактность носителя ф. См., од-
однако, примечание 8 выше.

Глава 10
Обобщения и трюки для
ортонормированных базисов вейвлетов
Эта глава состоит из обобщений и расширений ранее приведенных
конструкций. Они не рассматриваются так же детально, как это дела-
делалось в предыдущих главах. Некоторые из тем по-прежнему находятся
в развитии, и я предполагаю, что любое подробное описание через два
года будет выглядеть совсем по-другому. Сюда включены многомерные
вейвлеты с параметром сжатия, равным 2, определенные с помощью
тензорного произведения кратномасштабных анализов или с помощью
несепарабельных схем; ортонормированные базисы с параметром сжа-
сжатия, отличным от 2, целым или нецелым; «трюк с расщеплением» для
лучшей частотной разрешимости (фактически, просто частный случай
«вейвлет-пакетов» Койфмана и Мейера); базисы вейвлетов на интервале.
10.1. Многомерные базисы вейвлетов с параметром
сжатия 2
Для простоты рассмотрим лишь двумерный случай, для более высо-
высоких размерностей ситуация аналогична. Одним из простейших способов
построения ортонормированного базиса для L2(M2), при наличии орто-
нормированного базиса вейвлетов ^-,а(ж) = 2~J/2 фB~^х — к) в Ь2(Ж),
является взятие тензорного произведения функций, порожденных дву-
двумя одномерными базисами:
Фh, кг; h, *2 (Ж1> Ж2 ) = Фп, кг {х\ ) Фп, *2 (Ж2 ) •
Полученные функции и в самом деле будут вейвлетами, a {^j1,k1;j2,k2]
j\t J2) ki, &2 € 2} — ортонормированным базисом в Ь2(Ж2). В этом
базисе сжатие происходит раздельно по переменным х\ и жг.
Существует и другая конструкция, представляющая интерес для
многих приложений, в которой сжатия в полученном ортонормиро-
ванном базисе вейвлетов контролируют обе переменные одновременно.

404 Глава 10
В этой конструкции вместо произведения соответствующих базисов
вейвлетов рассматривается тензорное произведение двух одномерных
кратномасштабных анализов. Более точно, определим пространства Vj,
Vo = Vo ® Vo = Span {F(x, y) = f(x)g(y); f,ge Vo},
F eVj^FBj;2j-) e Vo.
Тогда Vj образуют цепочку в L2(M2) вида
... С V2 С Vi С Vo С V_i С V_2 С ...
с условием, что
Поскольку <р(- — п), и? Z, образуют ортонормированный базис для Vo,
функции-произведения
Ф0;т,п2(ж, У) = <р(х - ГЦ) <р(х - П2), ГЦ, П2 ? Ъ,
образуют ортонормированный базис в Vo, образованный Ж2-сдвигами
единственной функции Ф. Аналогично,
фл;т,п2(ж,2/) = Щ,П1 (х) <pj,n2(у) = 2~^B~Jx-n1,2~Jy-n2), пх,П2 ? Ъ,
образуют ортонормированный базис в Vj. Как и в одномерном случае,
для каждого j e Z мы определим пространства Wj, ортогональные
дополнения Vj до Vj_i. Имеем
V,-.! = Vj-г ® Vj-! = (Vj Ф Wj) ® {Vj © Wj) =
= Vj ® Vj Ф [(Wj (8) Vj) Ф (Vj (g> Wj) Ф (Wj ® Wj)] = Vj Ф MVj.
Следовательно, Wj состоит из трех частей с ортонормированны-
ми базисами, заданными с помощью ipjy ni (x) <pj^ П2 (у) (для Wj ® Vj),
(Pj,n1(x)^j,n2(y) (для Vj ®Wj) и tl>j,ni(x)i)j,n2(y) (для Wj ® Wj). Так
мы приходим к определению трех вейвлетов
Фг(ж, у) = (р

10.1. Многомерные базисы вейвлетов с параметром сжатия 2 405
Рис. 10.1. Схематическое представление повторяющейся низко- и высокочас-
высокочастотной фильтрации по строкам и столбцам при разложении по двумерным
вейвлетам
(г, в, д обозначают «горизонтальный», «вертикальный» и «диагональ-
«диагональный», соответственно, см. ниже). Тогда
{*j;ni,n2; пь П2 € Z, А = г, в или д}
будет ортонормированным базисом в Wj, a
{*?„; j ? Z, n ? Z2, А = г, в или д}
будет ортонормированным базисом в 0
= L2(
Если в этой конструкции первоначально одномерные (риф имеют
компактный носитель, то, очевидно, это справедливо для Ф и ФА. Бо-
Более того, как это объяснялось в § 5.6, интерпретация разложения по та-
такому ортонормированному базису вейвлетов с компактным носителем
в терминах субполосной фильтрации приводит к двумерной ситуации.
Фильтрацию можно произвести по строкам или по столбцам двумерно-
двумерного массива, соответствующим, например, горизонтальному или верти-
вертикальному направлениям на картинке. Для размерности 2 рисунок 5.8
превращается в схематическое представление на рисунке 10.1. Величи-
Величины d1'А в точности соответствуют коэффициентам вейвлетов (F, ФА. п),
где F = ^спФо;п- Горизонтальные края объектов изображения прояв-
п
ляются в d1'1", вертикальные — в d1'", диагональные — в й1)Д, что
иллюстрируется помещенным ниже примером, который оправдывает
употребление индексов г, в, д. Заметим, что если изначально изобра-
изображение (с0) задано массивом N х N, то (оставляя в стороне краевые

406
Глава 10
с2
d2-"
d
d'2-r
,B
d'-r
d^
оригинал
разложение в два слоя
Рис. 10.2. Схематическое представление визуализации двумерного вейв-
лет-преобразования с рисунка 10.3
эффекты, см. также § 10.6) каждый массив d1>A состоит из ^- х Ц- эле-
элементов и, таким образом, может быть представлен изображением, в ко-
котором величина коэффициентов соответствует оттенку серого цвета, по
размеру в четыре раза меньшим, чем изначальный. Всю схему можно
представить так, как это сделано на рисунке 10.2. Конечно, можно рас-
раскладывать с2 и далее, если желательно иметь больше слоев разрешения.
На рисунке 10.3 приведена схема разложения с трехслойным разреше-
разрешением для конкретного изображения.
Все это относится к двумерным схемам, имеющим структуру тен-
тензорного произведения. Можно также рассмотреть случай, в котором все
начинается с двумерного кратномасштабного анализа (в котором Vj
удовлетворяют всем очевидным обобщениям E.1.1)-E.1.6)), где Vo не
является тензорным произведением двух одномерных пространств Vo-1
Некоторые (но не все!) конструкции, сделанные в одномерном случае,
можно повторить и для этой ситуации. Более точно, кратномасштаб-
ная структура Vj предполагает, что соответствующая масштабирую-
масштабирующая функция Ф удовлетворяет уравнению
, у) =
-т,2у- п2)
A0.1.1)
для некоторой последовательности (/in)nez2- В силу ортонормирован-
ности Фо;п Для тригонометрического полинома
НигО
A0.1.2)

10.1. Многомерные базисы вейвлетов с параметром сжатия 2 407
Рис. 10.3. Изображение и его трехслойное вейвлет-разложение. Ясно видно,
что вейвлет-коэффициенты <Р'В, <Р'Г, <Р'Д подчеркивают, соответственно,
вертикальные, горизонтальные и диагональные края предметов на картин-
картинке. Здесь с3 дается со слишком большой выдержкой, чтобы сделать детали
из d?'x более заметными. Я хотела бы поблагодарить М. Барло за предостав-
предоставленную картинку

408 Глава 10
выполняется равенство
К(С <)Г + К(? + *Г, С)|2 + К(?, С + 7Г)|2 + К(? + 7Г, С + 7Г)|2 = 1.
A0.1.3)
Чтобы построить ортонормированный базис вейвлетов, соответствую-
соответствующий этому кратномасштабному анализу, нужно найти такие три вейв-
лета Ф1, Ф2, Ф3 из V_i, ортогональные Vo, чтобы три пространства,
натянутые на их соответствующие целые сдвиги, были ортогональны-
ортогональными. Более того, ФА(- —п) должны также быть ортонормированными для
каждого фиксированного А. Это влечет
*Aoe, о = т
где mi, m,2, raz выбраны так, чтобы матрица
, С)
+ тг, С) т3(? + тг
, С + тг)
7г, С + ^)
A0.1.4)
являлась унитарной. Анализ, приводящий к этому условию, полностью
сходен с анализом для одномерного случая из §5.1 (см. Мейер [142],
§111.4).2
Заметим, что число вейвлетов, подлежащих нахождению, опреде-
определяется с помощью небольшой хитрости. Например, для двумерного слу-
случая Vo порождается сдвигами одной функции Ф(ж, у) относительно Z2.
Пространство V_i порождается сдвигами ФBж, 2у) относительно ^Z2
или, что то же, Z2-cflBHraMH четырех функций ФBж, 2у), ФBж — 1, 2у),
ФBж, 2у — 1), ФBж — 1, 2у — 1). Таким образом, V_i «в четыре раза
больше», чем Vo. С другой стороны, каждое из пространств Wq порож-
порождается Z2-^BHraMH единственной функции Ф-^а:, у) и, следовательно,
является «одного размера» с Vo- Отсюда получаем, что необходимы три
(= четыре минус один) пространства Wq (и три вейвлета Ф-7), чтобы
дополнить Vo до V_i. Это правило, может быть, звучит как «объясне-
«объяснение на пальцах», но мы можем перефразировать (и доказать) его в более
математической форме: число вейвлетов равняется числу различных
смежных классов (отличных от самого Z2) подгруппы Z2 в группе \
2

10.1. Многомерные базисы вейвлетов с параметром сжатия 2 409
В общем n-мерном случае по тому же правилу получаем, что не-
необходимо определять 2™ — 1 различных функций nij. Они должны быть
такими, чтобы 2™ х 2™-мерная матрица
Ur, s(?l? • • • 1 Си) = mr-l(?l + Si 7Г, ... , ?n + snft) A0.1.5)
являлась унитарной; в ней г = 1, ... , 2™ и s = (si, ... , sn) ? {0, I}™.3
На самом деле унитарность для A0.1.4) или A0.1.5) требуется
для хитроумного баланса: mi, m2, mz находятся такими, чтобы пер-
первая строка A0.1.4) имела единичную норму, что выглядит достаточ-
достаточно безобидно. Но одновременно нам нужна ортогональность с другими
строками и между ними, в то время как они являются сдвигами (по ?
или 0 первой строки. На практике бывает трудно разобраться с этими
соотношениями между строками. Полезно для начала распутать их, что
можно сделать через так называемое полифазное разложение (polyphase
decomposition). Напишем, например,
2™о(?, 0 = «о,оB?, 20 + e-*mo,iB?, 20 +
mi,ji J = 0, ... , 3, определяются точно так же по mi, I = 1, ... , 3.
Легко проверить, что A0.1.3) эквивалентно условию
|mo,oB?, 20|2 + |mo,iB?, 20|2 + |то,2B?, 20|2 + |то,зB?, 20|2 = 1.
Аналогично, все другие условия, обеспечивающие унитарность A0.1.4),
могут быть переписаны в терминах niij. Находим, что необходимым
и достаточным условием унитарности A0.1.4) является унитарность
полифазной матрицы
™<),о(?>0 i,o(?, 0 m2,o(C)C) "»з,о(С, 0
mo,i(?, 0 mi,i(?, 0 m2,i(?, 0 m3,i(?, 0
Для размерности п точно так же определяется
?™/2m (t, f \ — \^ p-*(»iCiH Нв„?„) т (¦
6 '"rVsl? ••• 1 sra/ — / _, e lnr, s\
s?{0,l}"

410 Глава 10
и унитарность U эквивалентна унитарности полифазной матрицы U,
определенной с помощью соотношений
UtA&> •¦• Лп) = m,._i,B(?i, • • • , in). (Ю.1.7)
Таким образом, конструкция сводится к вопросу: можно ли для за-
заданного т0 (из A0.1.1), A0.1.2)) найти тщ, ... , m2«-i, чтобы A0.1.6)
была унитарной? В двумерном случае, при условии, что то(?, () —
вещественный тригонометрический полином, можно даже обойтись
без полифазной матрицы: легко проверить, что выбор mi(?, () =
+ тг, С + я") делает A0.1.4) унитарной. Если то — не вещественный, то
ситуация намного сложнее. На первый взгляд задача кажется даже не
выполнимой в общей n-мерной ситуации, когда A0.1.7) становится мат-
матрицей порядка 2™ х 2й: помимо прочего, нам нужно найти единичные
векторы, зависящие непрерывным образом от ?» (а именно, со второ-
второго по последний столбцы A0.1.7)), ортогональные единичному вектору
(первому столбцу A0.1.7)), т.е. касательные к единичной сфере. Однако
хорошо известно, что «сферу причесать невозможно», т. е. не сущест-
существует непрерывного не обращающегося нигде в ноль векторного поля,
касательного к единичной сфере за исключением вещественных раз-
размерностей 2, 4 или 8. Первый столбец из A0.1.7) не описывает сферу
полностью. На самом деле являясь непрерывной функцией п перемен-
переменных (?i, ... , ?„) в 2™-мерном пространстве, 2™ > п, он лишь описы-
описывает компактное множество меры ноль. Это спасает положение и де-
делает возможным построение mi, ... , тгп-i, что показывает Грошениг
в [86], см. также § III.6 в [142]. Доказательство Грошенига не являет-
является конструктивным; другое, конструктивное доказательство приводит
Виал в [181]. К сожалению, эти конструкции не могут обеспечить ком-
компактности носителя Ф-7: даже если то — тригонометрический полином
(с конечным числом ha ^ 0), nij не обязательно будут такими же.
10.2. Одномерный ортогональный базис вейвлетов
с целым параметром сжатия больше 2
В целях наглядности выберем 3 в качестве параметра сжатия.
Кратномасштабный анализ для параметра сжатия 3 определяется точ-
точно также, как и для 2, т.е. по формулам E.1.1)-E.1.6), и лишь E.1.4)
заменяется на

10.2. Одномерный базис с целым параметром сжатия больше 2 411
Мы можем использовать тот же трюк, что и прежде: Vo образуется
целочисленными сдвигами одной функции, т.е. ip(x-n), в то время как
V-i образуется с помощью (рCх — п) или, эквивалентно, целочисленны-
целочисленными сдвигами трех функций <?>Cж), <?>Cж — 1) и ipCx — 2). Пространст-
Пространство V-i «втрое больше», чем Vo; необходимы два пространства «того же
размера», что и Vo, чтобы дополнить Vo и образовать V_i: нам будут
нужны два пространства Wq, W2 и два вейвлета ф1 и ф2.
Снова введем mo, mi, тг по формулам
= Ы
Требование ортонормированности семейства {ifo,n, Фо „, Фо га! п
где y>jin теперь определены как
(i/)j n определяются аналогично), вновь дает несколько условий орто-
ортонормированности на т/, что можно суммировать в требование, чтобы
матрица
fmo(O mi (?) пг2(?) \
A0.2.1)
\ V. о / \ о / V 3//
была унитарной. Его снова можно переформулировать в терминах по-
полифазной матрицы, убирая зависимость строк. Функции mo, mi, тг,
для которых A0.2.1) и в самом деле унитарна, были построены в яв-
явном виде в публикациях по обработке акустического речевого сигнала
(см., например, Вайданатан [173]). Снова, как и в главе 6, возникает
вопрос, действительно ли эти фильтры соответствуют функциям <р, ф1
и ф2 из L2, образуют ли ф^ к ортонормированный базис и какова регу-
регулярность всех этих функций. Из главы 3 мы знаем, что ф1 и ф2 обя-
обязательно должны иметь нулевой интеграл, что соответствует условию
mi@) = 0 = тг@). Из того, что первая строка для всех ? должна иметь
норму, равную 1, следует, что то(О) = 1 (условие, необходимое в лю-
оо
бом случае для сходимости бесконечного произведения Y[ rnoC~'7?),

412 Глава 10
которое определяет (р{?)). Первый столбец A0.2.1) тоже должен иметь
единичную норму для всех ?, и тогда то@) = 1 влечет тоDг-) =
^1, т.е. то (С) делится на —^ ^ . Если, более того,
желательна какая-нибудь гладкость ф1, ф2, то потребуются дополни-
дополнительные нулевые моменты ф1, ф2, и в точности теми же рассуждения-
рассуждениями, что и раньше, приходим к делимости то(?) на (A+е~г^ + е~2г^)/2>)ь,
если ф1, ф2 € Сь~г. Так, следует искать то вида то(?) = (A + е~г^ +
+e-2it)/3)N%@, чтобы выполнялось |то(?)|2+ то(С+^)|2+ ™о(С+
4 М2
+ Щ-)\ = 1. Если то — тригонометрический полином, это означает,
что L = \^?\2 снова является решением проблемы Безу. Решения ми-
минимальной степени приводят к функциям (р с произвольно высокой ре-
регулярностью, однако показатель регулярности возрастает лишь лога-
логарифмически по N (Л.Вильемос, частное общение).4 Как только будет
зафиксировано то, требуется определить nil и т^- Это можно сделать
по схеме, объясненной Вайданатаном и соавторами в [176]. Согласно
этой схеме матрица A0.2.1) (точнее, ее эквивалент в z-обозначениях)
записывается как произведение похожих матриц, элементами которых
являются полиномы, степени намного меньшей, в котором лишь не-
несколько параметров определяют каждую матрицу-сомножитель.5 При
условии, что первый столбец произведения таких матриц задается за-
заранее фиксированным то, значения этих параметров также фиксиру-
фиксируются, и nil, m,2 можно извлечь из произведения матриц.6
Если снять требование компактности носителя, то возможны и
другие конструкции. В работе Ошера [7] можно найти примеры функ-
функций <р и ф1 из С°° с быстрым убыванием (и бесконечным носителем).
И последнее замечание относительно параметра сжатия 3. Мы виде-
видели, что функция то обязательно должна делиться на A + е~^+е~2г^)/3.
Это выражение не обращается в ноль при ? = тг (в отличие от выраже-
выражения A + е~г^)/2 для случая с параметром 2). Однако, если мы хотим
трактовать то как низкочастотный фильтр, то неплохо было бы иметь
тоо(тг) = 0. Чтобы гарантировать это, нам нужно выполнение ^?(п) = 0,
что означает использование чего-то другого, вместо решения уравнения
Безу для \^?\2 наименьшей степени.
Подобные конструкции можно построить для больших целых па-
параметров сжатия. Для не простых а подходящие т; могут быть обра-

10.3. Базисы вейвлетов с матричными сжатиями 413
зованы из конструкций для сомножителей а, хотя не все возможные
решения для а можно получить подобным образом. Для а = 4, напри-
например, можно начать со схемы для параметра 2 и фильтров то и т\ и
определить фильтры rho, fh\, %, т% (по-прежнему ортонормирован-
ные; знак ~ пишется, чтобы отличить их от фильтров с параметром 2)
с помощью
то = mo(?)m
(В качестве упражнения читателю предлагается доказать, что это в са-
самом деле приводит к ортонормированному базису. Легко проверить,
что 4x4 аналог матрицы A0.2.1) унитарен.) Заметим, что функция <р
одинакова для параметра 4 и параметра 2! К этому мы вернемся в § 10.5.
10.3. Базисы вейвлетов с матричными сжатиями
в многомерном случае
Здесь обобщаются § 10.1 и § 10.2: кратномасштабные пространства
будут подпространствами L2(E.n), а базовым сжатием — матрица D
с целочисленными элементами (так что DZ™ С Z"), все собственные
значения которой по абсолютной величине превосходят 1 (тогда мы
в самом деле производим сжатия во всех направлениях). Число вейвле-
вейвлетов вновь определяется числом смежных классов для ОЪп. Вновь вво-
вводятся то, mi, • • •, и условия ортонормированности опять можно сфор-
сформулировать как требование унитарности матрицы, построенной из то,
mi, ¦ ¦ ¦ ¦ Анализ таких случаев матричного сжатия несколько труднее,
чем в одномерном случае с параметром 2, и, в зависимости от выбора
матрицы, появляется несколько сюрпризов. Одним из таких сюрпризов
будет то, что обобщение базиса Хаара (т.е. выбор то, в котором все
ненулевые коэффициенты равны между собой) во многих случаях при-
приводит к функции <р, являющейся характеристической функцией некото-
некоторого самоподобного множества с фрактальной границей, разбивающей
плоскость. В двумерном случае, где, например, D = (* ~1), обнаружи-
обнаруживается, что <р может быть характеристической функцией множества
в виде сдвоенного дракона (twin dragon set), как показано Грошенигом
и Мадичем в [88] и Лоутоном и Резниковым в [123]. Заметим, что такие
фрактальные рисунки могут возникнуть даже для D = 2Id, если то

414 Глава 10
выбирается «не каноническим» образом (например, то(?,, () = тA +
+ е~!^ -|-е-!(?+С) _|_е-*(€+2С))) в случае двух переменных (см. Грошениг,
Мадич [88]). Для более сложных то (коэффициенты не равны между
собой) проблемой становится контроль регулярности. Нулевые момен-
моменты i/)j не приводят к факторизации то в случае многих переменных
(поскольку для факторизации полинома от многих переменных недо-
недостаточно знать его нули), и приходится прибегать к другим трюкам,
чтобы контролировать убывание ф.
Особенно интересный случай задается «решеткой с шахматной
структурой» (quincunx lattice), т.е. DZ2 = {(т, п); т + п ? 2Z} для
размерности два. В этом случае существует лишь один смежный класс,
а значит, и один вейвлет, который необходимо построить, тогда вы-
выбор mi столь же очевиден, как это было с параметром сжатия 2 в одно-
одномерном случае. Условия на то, mi сводятся к требованию унитарности
матрицы порядка 2x2
, С) ™*i {?, С)
, С + тг) тх(? + тг, С, + тг)
Удобно выбрать
mi (?, С) = е"^то(С + ?г, < + тг).
Заметим, что любой ортонормированный базис с параметром сжатия 2
в одномерном случае порождает пару претендентов на роль то, т\ для
шахматной схемы: достаточно взять то(?, () = чщ(^) (где чщ — это
одномерный фильтр).7 Однако D можно выбрать различными спосо-
способами. Два варианта, D\ = (^ ~1) и D^ = (J _\), подробно изучены
Коэном и Добеши в [40], Ковачевич и Веттерли в [113]. Один и тот же
выбор то приводит к весьма различающимся базисам вейвлетов для
двух этих матриц. В частности, если фильтр то находится с помо-
помощью объясненного выше механизма среди «стандартных» одномерных
вейвлет-фильтров дт^о из § 6.4, то получаемые <р имеют возрастаю-
возрастающую регулярность (показатель регулярности пропорционален N), если
выбрана ?>2- В то же время выбор Di приводит к <р, которые в луч-
лучшем случае являются непрерывными вне зависимости от N. Выбор
других Di может привести к уже другим семействам с отличающи-
отличающимися свойствами регулярности. Можно, конечно, построить два орто-
ортогональных базиса вместо одного ортонормированного базиса (см. §8.3).

10.4. Одномерные базисы с нецелыми показателями сжатия 415
Несколько возможностей выбора D\, D2 изучены в [40] и [113]. В этом
биортогональном случае снова можно получить фильтры из одномер-
одномерных конструкций. Если начать с пары симметричных биортогональ-
биортогональных фильтров в одномерном случае, для которого все фильтры являют-
являются полиномами по cos?, то достаточно заменить cos? на ^ (cos ? + cos ()
в каждом фильтре, чтобы получить пары симметричных биортогональ-
биортогональных фильтров для случая с шахматной структурой.8 В силу симметрии
этих примеров матрицы D\ и ?>2 приводят к тем же функциям ср, <р.
Снова получается, что возможно построение биортогональных базисов
с произвольно высокой регулярностью (см. Коэн, Добеши [40]). Слу-
Случай с шахматной структурой представляет интерес при обработке из-
изображений потому, что различные направления рассматриваются бо-
более однородно, чем в случае раздельной (с использованием тензорного
произведения) двумерной схемы: вместо двух излюбленных направле-
направлений (горизонтального и вертикального) схемы с шахматной структу-
структурой рассматривают направления по горизонтали, вертикали и диагона-
диагонали как равноправные, не внося при этом избыточности. Первые схемы
субполосной фильтрации с шахматной структурой без искажений, но и
без точного восстановления (которое к тому времени не было получено
даже в одномерном случае), приведены Веттерли в [177]. В работе Фо-
во [78] содержатся описания ортогональных и биортогональных схем и
их связь с базисами вейвлетов. Веттерли, Ковачевич и ле Галл в [180]
обсуждают схемы фильтрации с шахматной структурой для идеально-
идеального восстановления в приложениях для цифрового телевидения. В работе
Антонини, Барло, Матью [1] применение биортогональных схем с шах-
шахматной структурой в сочетании с векторным квантованием дает заме-
замечательные результаты при сжатии изображений.
10.4. Одномерные ортонормированные базисы
вейвлетов с нецелыми показателями сжатия
Итак, для одномерного случая мы обсудили ситуацию с целыми
показателями сжатия ^ 2.9 Однако нецелые показатели сжатия тоже
возможны. В рамках кратномасштабного анализа показатель сжатия
должен быть рациональным10 (доказательство дается Ошером в [7]).
Дж. Давид в 1985 году уже указывал на то, что конструкция вейвле-
k + 1
тов Мейера может обобщаться на случай параметра сжатия а = , ,

416 Глава 10
где к ? N, к ^ 1. В [7] Ошер поместил конструкции для произвольных
рациональных а (см. также работу этого автора в [159]). На примере
о
а = ^ покажем, как следует изменить схему с параметром 2. Сно-
Снова начинаем с кратномасштабного анализа, определенного с помощью
E.1.1)-E.1.6), где в качестве параметра сжатия берется | вместо 2.
Снова имеем ip 6 Vo С V_i = Span < ip( ^ ¦ —n) >, и тогда
(Причина, по которой появляется индекс 0, вскоре станет ясной.) Сле-
Следовательно,
ф - 21) = Л 5>°П^(§Ж - 3/ - п) = J\ Y,hn-zi
П П
A0.4.1)
а ортонормированность <?>(• — 21) влечет
С другой стороны, <?>(• — 1) также лежит в Vo и может быть записана
в виде (другой) линейной комбинации функций ср( | ж — п\,
A0.4.3)
Тогда ортонормированность (р(х — 21 — 1) и ортогональность (р(х — 21 — 1)
по отношению к (р(х — 2) влечет
(Ю.4.4)
Все это означает, что на самом деле у нас две mo-функции
ТПп

10.4. Одномерные базисы с нецелыми показателями сжатия 417
А что с функцией mi? Снова определим для j 6 Z пространство Wj,
ортогональное дополнение V) до V}_i. Заметим, что V-i образуется с по-
помощью (р( | х — п\ или, эквивалентно, четными целыми сдвигами трех
функций,а именно
I6Z,
соответствующих п = 31, п = 31 + 1 и п = 31 + 2. Пространство Vo
порождается 2Z-^BHraMH йег/х функций ср(х — 21) и ср(х — 2/ — 1),
I ? Z. Следовательно, дополнение Wo порождается 2Z-cflBHraMH един-
единственной функции,
= Span{^;(- — 2n); n G Z}. («И^о вдвое меньше,
чем Уо-») Тогда мы ожидаем ортонормированный базис вида 'ф^и{х) =
= (|) ^( ( §) ж ~ 2fcl, j, fceZ. Эта функция ^ тоже может быть
записана в виде линейной комбинации функций cpl^x — п),
и ортонормированность ф(х — 2п) плюс ортогональность по отношению
к ip(x — 2п), ip(x — 2п — 1) дает
^gngn-31 =
A0.4.6)
A0.4.7)
Если определить mi(^) = w| X^SWe m^, то условия A0.4.2), A0.4.4)-
V 6 n
A0.4.7) становятся эквивалентными условию унитарности матрицы
A0.4.6
\
'/
Эта матрица выглядит идентичной A0.2.1), но это сходство обманчи-
обманчиво: в A0.4.8) первые два столбца заданы низкочастотными фильтрами,

418 Глава 10
потому что они оба относятся к масштабирующей функции (р (т[]@) =
= 1 = mJ@)), в то время как второй столбец из A0.2.1) соответствует
высокочастотному фильтру. Такие mJ0, m\ на самом деле могут быть
сконструированы (подробности и графики даны Ошером в [7]). Заме-
Заметим, что m,Q и /rig тесно связаны. Преобразованиями Фурье для A0.4.1)
и A0.4.3) являются
?(*) = то (§?)?(§ ?), ?(C)e-i?=m?(§C)?(§C), (Ю.4.9)
откуда
что должно выполняться для почти всех С. Если ф — непрерывная, то
следующие рассуждения показывают, что ф на некоторых интервалах
обращается в ноль. Поскольку ф@) = B7т)/2, существует такое а, что
для \С\ ^ а имеем \ф(()\ ^ Bтг)~1/2/2. Следовательно, для \(\ ^ а
или
Из того, что mjj, mj также 2тг-периодические, получаем т,ц(( + 2тг) =
= 0 = mJ(C + 2тг) для |С| ^ а. Следовательно, ф(^( + Зтг) = 0 для
|С| ^ а. В частности, это указывает на то, что ip не может иметь ком-
компактный носитель (компактность носителя ср означает, что ф — целая,
а нетривиальные целые функции могут иметь лишь изолированные ну-
нули).
Тем не менее, схемы субполосной фильтрации с КИХ-фильтрами и
о
с рациональными параметрами сжатия, в частности, |, были предло-
предложены и построены Ковачевич и Веттерли в [113]. Основная идея проста:
начав с с0, можно произвести разложение на три поддиапазона по схе-
схеме из § 10.2, а затем перегруппировать два диапазона с наименьшими
частотами с помощью фильтра восстановления с параметром сжатия 2.
Результатом этой операции является с1, в то время как третий диапа-
диапазон с наивысшими частотами после первого разложения обозначим d1.
Соответствующая блочная диаграмма приводится на рисунке 10.4. Ес-
Если все фильтры являются КИХ-фильтрами, то и схема в целом будет
КИХ-схемой. Но разве мы только что не доказали, что не существует

10.4. Одномерные базисы с нецелыми показателями сжатия 419
h
g2
31
31
31
2t
2t
h#
g*
Рис. 10.4. Блочная диаграмма, соответствующая субполосной фильтрации с
о
показателем сжатия ^ (см. [113])
Рис. 10.5. Модуль |ioV>(C)l для К"Ф: определенной в §6.4
кратномасштабного анализа с параметром сжатия | и КИХ-фильтра-
ми? Решением этого парадокса является то, что блочная диаграмма
не соответствует описанной ранее конструкции. Детальный анализ ри-
рисунка 10.4 показывает, что в этой схеме используются две различные
функции (р1 и <р2, и Vo порождается функциями у1 (ж — 2п), <р2(х — 2п),
п ? Z. Рассуждения, доказывающие, что (р не может иметь компакт-
компактный носитель, здесь неприменимы, и (р1, (р2 на самом деле могут иметь
компактный носитель. Теперь аналогом A0.4.9) является уравнение,
связывающее двумерные векторы (^(^),^2(^)) и
Однако теперь сложно понять, как сформулировать условия на фильт-
фильтры, которые дали бы регулярность ip1, (p2.
Можно задаться вопросом, какова причина появления этих дроб-
дробных показателей сжатия. Причиной является более отчетливая частот-
частотная локализация, которую они могут обеспечить. Если показатель ежа-

420 Глава 10
тия равен 2, то ф, в основном, локализована между тг и 2тг, что ил-
иллюстрируется рисунком 10.5 для преобразования Фурье «типичной» ф.
В некоторых приложениях полезно иметь базис вейвлетов с шириной
диапазона уже, чем одна октава (octave), и базисы вейвлетов с дроб-
дробным показателем являются одним из возможных ответов. Другой ответ
дается Коэном и Добеши в [39] и описывается в следующей части.
10.5. Лучшее частотное разрешение: трюк
с расщеплением
Предположим, что hn, gn — коэффициенты фильтров, связанных
с ортонормированным базисом вейвлетов, где показатель сжатия ра-
равен 2, т.е.
и выполняется
Тогда мы имеем следующую лемму.
Лемма 10.5.1. Возьмем некоторую функцию / (не обязательно
как-либо связанную с вейвлетами) с условием, что /(• — п), п € Ъ, —
ортонормированы. Определим
F!(x) = Y, hn f(x ~ n), F2{x) = Y^gn f(x ~ n)-
n n
Тогда {Fi(- — 2k), Fz(- — 2k); fceZ} — это ортонормированный базис
для Е = Span{/(--n); ne Z}.
Доказательство.
1. Jdxf(x) f(x -n) = 5Пу0, тогда
или ^|/(С + 2тгО|2 = Bтг)-1п.в. A0.5.2)
i
2.
^2^ V (Ю.5.3)

10.5. Лучшее частотное разрешение: трюк с расщеплением 421
Следовательно,
X) \Fi(Z + тгОГ = ? [\Fi(Z + 27rfc)|2 + \ЩС + тг + 2тг*)|2] =
I k
= 2 B7Г)-1 [|mo(?)|2 + |то(? + тг)|2] (используем A0.5.2) и A0.5.3))
= тг ввиду A0.5.1).
Это влечет
J dxF1{x)F1(x-2k) = J
Ортонормальность ^(ж —2fc) доказывается аналогично с использовани-
использованием соотношения -Рг(С) = л/2е~^ "го(^ + тг
3. Точно так же
dxF1(x)F2(x-2h)= I di W Fi (С + тг/) F2(С + тг/I eifc« A0.5.4)
о '
о
и
-Tr + 2Trfc)F2(C + Tr-
= 2 BТГ) [mo(?)mo(? + тг)е*« + тоо(? + Tr)mo(C)ei(^+7r)] = 0,
что доказывает ортогональность F\(x — 2к) и F2(x — 2к).
4. Наконец, Е целиком натягивается на -Р\(- — 2к), F2(- — 2k), потому
что
f(x) = ^2[h2iF1(x + 2l)+g2iF2(x + 2l)} A0.5.5)
и
/(ж-1) = ^[/i2j+iFi(x-l-2Z)-|-g2j+iF2(a;-l-20]. A0.5.6)
i

422
Глава 10
1,0
0,5
0
\
I
I
I
f A
i
i
i
i /
\ j
n
1
/ \
1 i
1 1
1 I
\J\u u
г
i
i
i
\
i
о
2л-
\я
6л-
Рис. 10.6. Графики |юшо(?)| и |io»fii(?)| для jvmo, определенной в §6.4
На самом деле мы имеем
@
@ =
что доказывает A0.5.5). Аналогично,
что доказывает A0.5.6). ¦
Лемма 10.5.1 и есть «трюк с расщеплением»: в ней показано,
что фильтры вейвлетов можно использовать для расщепления на две
части любого пространства, натянутого на ортонормированные функ-
функции /(ж — п). Поскольку mo, mi «живут» в разных диапазонах частот
(см. рисунок 10.6), трюк с расщеплением соответствует разрезанию но-
носителя / на части и распределению частей попеременно между F\ и i<2.
Мы можем применить трюк с расщеплением к пространству Wq
с шириной диапазона (примерно) в одну октаву, натянутому на ф(- — к),
в случае одномерного кратномасштабного анализа с показателем ежа-

10.5. Лучшее частотное разрешение: трюк с расщеплением 423
а) , ро ,
[
б) г
.' г^2
Рис. 10.7. Схематическое представление расщепления Vo (более или менее
соответствующего ширине диапазона тг) на Wi, W2 и Vb (а) либо Wl, Wf,
Wi, Wi и V2 (б)
тия 2. Определим
где hn, gn не обязательно те же коэффициенты фильтров, что исполь-
использовались при построении самой ф. Тогда
Wo = Span{ф(- -к); к ? Z} =
= Span{V>1(--20; /?Z}®Span{V'2(--2/); / ?%}=Wo1 ^Wq2.
Поскольку Wj представляют собой сдвинутые копии Wo, мы можем
построить соответствующие ортонормированные базисы для каждого
пространства Wj, а их объединение снова будет базисом для Ь2(Ж) =
= ф Wj. Определим теперь
ф)у1(х) = 2-И2 ф1B~:>х - 21), ф]у1(х) = 2-И2 ф2B-*х - 21).
Множество {ф1 I, ф2 f, j,l ? Z} образует ортонормированный базис
в Ь2(Ш). Поскольку ф1, ф2 получены расщеплением ф, каждая из ф±, фч
имеет лучшую частотную локализацию, чем сама ф (ценой чего явля-
являются большие носители в ж-пространстве!). Расщепление пространства
частот, соответствующего, с одной стороны, Wj, с другой стороны, Wj,
Wj, схематически представлено на рисунке 10.7. Заметим, что частота
по-прежнему обрабатывается логарифмически, даже для ф^ к, ф2 к.
По построению ф1^) = ^2то(С)^(С), ф2@ = ^Дпц^фЦ). Сле-
Следовательно, |VI(^)|2 +|VJ(C)|2 = 2|V'(^)|2, как показано на рисунке 10.8,

424
Глава 10
Рис. 10.8. Графики
IV"
? IV" @1 с низкочастотным фильтром ю™о(?), опре-
определенным в §6.4. Штрихованная линия представляет график \/2|V>(C)l
который также показывает, что ф1, ф2 ив самом деле «расщепляют» ф
на две части, соответствующие ее «низкочастотной и высокочастотной
половинам».
Вычисление коэффициентов функции по ф1- к, ф2- к снова можно
провести с помощью схемы субполосной фильтрации, в которую до-
добавлен один дополнительный шаг расщепления на низкие и высокие
частоты после «стандартной» высокочастотной фильтрации. Схематич-
Схематично это представлено на рисунке 10.9. Заметим, что схема с показателем
сжатия 4, предложенная в конце § 10.2 (полученная из схемы с показа-
показателем 2) тоже содержит эти функции ф1, ф2. (Вейвлетами в этой схеме
являются ф(х), первоначальный вейвлет для показателя 2, и у/2 ф1Bх),
\/2ф2Bх), где ф1, ф2 определены выше.)
При работе с многомерным кратномасштабным анализом, происхо-
происходящим из тензорного произведения, трюк с расщеплением может при-
применяться избирательно. На рисунке 10.10 показано, как можно, напри-
например, используя трюк с расщеплением в двумерном случае, получить

10.5. Лучшее частотное разрешение: трюк с расщеплением
425
Рис. 10.9. Схематическое представление различных операций фильтрации
при работе с «расщепленными» вейвлетами
Рис. 10.10. Локализация на частотной плоскости, полученная при помощи раз-
различных двумерных кратномасштабных схем (см. текст)
ортонормированный базис вейвлетов с лучшим угловым разрешени-
разрешением на частотной плоскости, чем «стандартный» базис вейвлетов. Рису-
Рисунок 10.10а изображает конструкцию из § 10.1 на частотной плоскости:
маленький центральный квадрат соответствует (скажем) Vq. Добавляя

426 Глава 10
к нему два вертикальных прямоугольника, соответствующих Wg =
= Wq ® Vo, два горизонтальных прямоугольника для WfJ = Vo ® Wq
и четыре угловых квадрата для Wg = Wo ® Wo, приходим к боль-
большему квадрату, представляющему V_i. Затем структура повторяет-
повторяется и получается квадрат V_2- Угловое разрешение на плоскости Фурье
в этой схеме не очень хорошее, что видно из рисунке. Следующий рису-
рисунок 10.106 показывает, как выглядит подобная двумерная конструкция,
если начать с одномерного кратномасштабного анализа с показателем 4,
приведенного в конце § 10.2. В этом случае одномерная схема уже име-
имеет три вейвлета, тогда двумерная схема, полученная из произведения,
завершается 2 х 3 + З2 = 15 вейвлетами. На рисунке 10.106 представ-
представлен один шаг (с показателем 4) шкалы кратных масштабов в сравне-
сравнении с двумя шагами (с показателем 2), т.е. двумя последовательны-
последовательными операциями на рисунке 10.10а. Центральная часть обеих картинок
идентична. Единственным различием между двумя картинками явля-
является то, что внешняя часть рисунка 10.10а разбивается на много кус-
кусков при переходе к рисунку 10.106, в то время как внутренняя часть
остается нетронутой. В терминах леммы о трюке с расщеплением это
соответствует «расщеплению одного уровня из двух», как указано вы-
выше. Результатом является хорошее угловое разрешение для некоторых
вейвлетов (соответствующих внешнему слою на рисунке 10.106) и пло-
плохое для других (соответствующих прямоугольникам, расположенным
ближе к центру на рисунке 10.106).
Рисунок 10.10b снова представляет ту же картинку с двумя уров-
уровнями кратномасштабного анализа с показателем сжатия 2, при этом
тензорное произведение берется для двух вейвлетов с шириной диапа-
диапазона в ;г октавы, построенных в этом пункте, вместо вейвлета ф с шири-
шириной диапазона в одну октаву. Масштабирующая функция остается той
же, но вейвлетов теперь будет 2 х 2 + 22 = 8 (в отличие от 3 на рисун-
рисунке 10.10а и 15 на рисунке 10.106). Рисунок Ю.Юв можно получить из
рисунка 10.10а расщеплением каждого слоя (внутреннего и внешнего)
на половинки, разрезая их по вертикали и горизонтали. Этим улучша-
улучшается угловое разрешение в квадратах по углам (соответствующих W^
на рисунке 10.10а), но ничего не меняется для углового разрешения пря-
прямоугольников (соответствующих WJ или W| на рисунке 2а), которые
расщеплены лучше на внешнем слое рисунка 10.106. Лучшее угловое
разрешение достигается при отказе от структуры с тензорным произ-

10.6. Базисы вейвлет-пакетов 427
ведением простым разрезанием каждого из пространств W^ с рисун-
рисунка 10.10а по вертикали и/или по горизонтали с применением «трюка
с расщеплением» по х и/или по у до тех пор, пока желаемое разрешение
не будет получено. Пример приведен на рисунке 10.10г. Он по-прежнему
соответствует ортонормированному базису и быстрому алгоритму раз-
разбиения и восстановления функции, хотя и в несколько более сложном
виде. Если же требуется еще лучшее угловое разрешение, можно повто-
повторять трюк с расщеплением там, где требуется, и столько раз, сколько
требуется.
10.6. Базисы вейвлет-пакетов
Вейвлеты для лучшего разрешения из предыдущего пункта факти-
фактически являются лишь частным случаем очень красивой конструкции
Койфмана и Мейера, названной вейвлет-пакеты (wavelet packet). В на-
настоящем пункте дается лишь их краткое описание. Детали можно найти
у Койфмана, Мейера, Викерхаузера в [46]; приложения для акустичес-
акустических сигналов и изображений даются в работах Викерхаузера [186], [185].
Начнем с «обычного» кратномасштабного анализа с показателем
сжатия 2 и рассмотрим пространства V}, Wj лишь для j ^ 0. Разби-
Разбиение
соответствует расщеплению по частотам, схематически представленно-
представленному на рисунке 10.7а. Эвристически W-\ «вдвое больше», чем Уо и Wo
(которые имеют «одинаковые размеры»), W-2 — «вчетверо больше» и
так далее. Можно представить расщепление всех их с помощью извест-
известного трюка на пространства одного размера: W-\ делится один раз,
W-2 делится дважды и так далее. Это соответствует определению мно-
множества функций ipi. El t...: Е|, где I обозначает исходное пространство W-i
(и число расщеплений для данного пространства), a Ej = 0 или 1 обо-
обозначает выбор то или nil при j-м расщеплении. В явном виде

428 Глава 10
Ясно, что все фц еь... е; (ж) являются линейными комбинациями фB1х —
— к), и лемма о трюке с расщеплением (примененная / раз) доказывает,
что {V1/;ei,...,,e((—п); ei, ... , ei = 0 или 1, n ? Z}являетсяортонорми-
рованным базисом для Span {¦0B' • —к); к ? Z} = PF_;. Следовательно,
{ф1;е1,...,Е1(--п); / € N, n € Z, ?i, ... , ег = 0 или 1}и{р(--п); n ? Z}
является ортонормированным базисом в L2(R). Заметим, что этот ба-
базис соответствует целочисленным сдвигам функций с более или менее
одинаковой частотной локализацией (в полосах с шириной примерно тг,
начиная с |?| $С тг для <?>(• —п), тг $С |?| ^ 2тг для ф(- — п), ... ).п Это очень
похоже на оконное преобразование Фурье и базисы Вилсона из §4.2Б,
в то время как вычисления с помощью схем фильтрации производятся
так же просто, как и для базисов вейвлетов.
Конечно, существует много решений, занимающих промежуточное
место между вейвлетами с одной стороны и базисом вейвлет-пакета,
описанным выше: некоторые из пространств W-i можно расщеплять не
так часто, другие или некоторые из подпространств такого пространст-
пространства можно расщеплять на большее количество частей. При каждом таком
выборе приходим к ортонормированному базису; более того, существу-
существуют эффективные алгоритмы (базирующиеся на вычислениях «энтропии
функции» для различных видов расщепления) для определения того, ка-
какой из вариантов, выбранный из целой библиотеки, является наиболее
эффективным для данного сигнала (см. Койфман, Викерхаузер [48]).
10.7. Базисы вейвлетов на интервале
Все одномерные конструкции вейвлетов, которые мы обсудили
прежде, приводят к базисам для Ь2{Ш). Во многих приложениях интерес
представляет лишь часть вещественной оси: вычисления в численном
анализе обычно проводятся на интервале, изображения сосредоточены
в прямоугольниках, многие системы анализа звука делят его на части.
Во всех этих случаях используется разложение функций /, определен-
определенных на интервале, скажем, [0, 1]. Конечно, можно решиться на примене-
применение обычных базисов вейвлетов для анализа /, полагая функцию равной
нулю вне [0, 1], но это порождает искусственные «скачки» на краях, от-
отраженные в значениях коэффициентов вейвлетов.12 Кроме того, это не
эффективно с точки зрения вычислений. Таким образом, полезными
были бы вейвлеты, приспособленные к «жизни на интервале».

10.7. Базисы вейвлетов на интервале 429
Одним из способов достижения этого является использование пе-
риодизованных вейвлетов, описанных в §9.3. Это эффективно при про-
проведении вычислений, однако их использование означает анализ пери-
одизованной функции /, определенной как f(x) = f(x — [х\) (где \_х\
обозначает наибольшее целое, не превышающее х) с помощью обычных
(непериодизованных) вейвлетов. И хотя / уже периодична, мы снова
получаем «скачок» на границах 0, 1, что проявится в коэффициентах
вейвлетов при очень мелких масштабах возле 0 и 1.
Существует другое решение, в котором нет такого неудобства,
предложенное Мейером в [143] и основывающееся на ортонормирован-
ных базисах вейвлетов с компактными носителями. В этой конструк-
конструкции вейвлеты с носителем, содержащимся в [0, 1], не включающем 0
или 1, остаются такими, какие они есть, но это семейство дополняется
на краях специально приспособленными функциями. Для иллюстрации
того, как работает эта идея, возьмем луч вместо интервала. Это упро-
упрощение позволит нам работать лишь с одной границей и игнорировать
изменения, внесенные для крупных масштабов, где необходимо рабо-
работать с обеими границами [0, 1]. Определим
луч/ |>i,fc(aO, если х > 0,
10 в противном случае;
V;y4 = Span{^ч; fee Z}.
Пространство V^y4 также можно рассматривать как пространство всех
функций из Vj, ограниченных на [0, сю). Если мы предположим, что пер-
первоначальная масштабирующая функция <р имеет носитель [0, 2N — 1],
то 1рлу?(х) = 0, если к $С —2N + 1. Тогда мы рассматриваем лишь <?>лу^,
для которых к > —2N + 1. Все они, за исключением 2N — 2 функ-
функций, не подвергаются процедуре ограничения ip"Vk(x) = fj,k(x), ес-
если к ^ 0. Следовательно, эти функции по-прежнему ортонормированы.
2N — 2 функций Ч>Уь, к = —1, ... , —BN — 1), не зависят друг от друга
и от <fij,k, к ^ 0. Теперь определим Wjy4 как ортогональное дополнение
V*y4 до V?**. Если для удобства мы сдвинем ф так, чтобы ее носи-
носитель тоже лежал в [0, 2N — 1], то V'j'T (ограничение ^д на [0, сю)),
очевидно, принадлежат Wjy4, если к ^ 0, поскольку они ортогональ-
ортогональны всем <PjVk и лежат в V^-i- Что известно о ф*у?, для которых к =
= -1, ... , -BN - 2)? (Если к еще меньше, к ^ -2N + 1, то ф*Ук = °0

430 Глава 10
Оказывается (см. Мейер [143]), что ф"у?, к = -N, -(ЛГ+1), ... , -BN-
— 2), лежат в У^уч, т.е. они ортогональны Wjy4. Остальные ф^ук, к =
= —1, ... , — (N - 1), дают вклад в Wjy4. На самом деле мы получаем,
что семейство
ВД; к 2 -BJV - 2)} U {ф]у*; k>-(N- 1)}
является (неортогональным) базисом для V^i^1.13 Для ортонормализа-
ции этого базиса проводятся следующие шаги:
A) Ортонормализуются ^у^, к = —1, ... , — BiV - 2). Полученные
функции (рк, к = —1, ... , -BN-2), автоматически ортогональны <?>o,fc,
fc Js 0, а вместе они обеспечивают ортогональный базис для Уолуч. Если
мы определим
&•,*(*) = 2-^2 $кB-*х), з ? Z, fc = -1, ... , -BJV - 2),
то {(fij,k; к ^ 0} U {^j,*; fc = —1, ... , — BiV - 2)} является ортонорми-
рованным базисом для V?y4 при любом j € Z.
B) Проектируем ^™у^, fc = —1, ... , -(N - 1), на Wgy4, определяя
2JV-2
i # i луч \ л / / луч ~ \ ~
П=<Фо!к ~ Z. №0*k><Pl)<Pl-
1=0
C) Ортонормируем щ. Полученные ф^, к = —1, ... , — (N — 1),
вместе с фдУ?, к > 0, обеспечивают ортонормированный базис
для \?$уч. Мы снова можем определить
ф,,к(х) = 2-'/2 ^B-^ж), j e Z, к = -1, ... , -(N - 1),
тогда {ф],к\ к = —1, ... , —{N — l)}U{V>j,/?; fe > 0} будет ортонормиро-
ванным базисом для W^y4. Объединение всех этих базисов (j пробегает
все значения из Z) дает базис для ?2([0, сю)).
Полученные базисы являются не только ортонормированными ба-
базисами для ?2([0, сю)), но обеспечивают также и безусловные базисы
для пространств Гёльдера, определенных на луче, т. е. даже со свойства-
свойствами регулярности в 0 они обходятся «правильно», и т. д. (доказательства
можно посмотреть у Мейера в [143]). Чтобы все это применить на прак-
практике, необходимо дополнительно вычислить коэффициенты фильтра на
границах, соответствующие расширению фо,к, к = —1, ... , —(N — 1),
<Ро,к, к = -1, ... , -B7V-2), в терминах ip-i,i, I = -1, ... , -B7V-2),
и tp-ij, 1 = 0,..., 4N — 5. Это можно вычислить из первоначальных hi;

10.7. Базисы вейвлетов на интервале 431
таблицы приведены Коэном, Добеши и Виалом в [42], в этой же работе
также помещена альтернатива конструкции Мейера, использующая не-
несколько дополнительных функций на краях (всего N вместо 2N — 2),
в которой, по-прежнему, свойства регулярности трактуются правиль-
правильно, даже на краях.
И еще одно, последнее замечание относительно базисов вейвлетов
на интервале. В анализе изображений обычным приемом при рассмот-
рассмотрении краевых эффектов является продолжение изображения за грани-
границу с помощью отражения: такое продолжение уничтожает разрывность,
возникающую после периодизации или продолжения нулем (хотя произ-
производная по-прежнему будет испытывать разрыв). Хорошо известно, что
это означает минимизацию краевых эффектов и отсутствие необходи-
необходимости вводить дополнительные коэффициенты (при работе с граница-
границами) при условии, что используются симметричные фильтры. С исполь-
использованием данного трюка базисы биортогональных вейвлетов на [0, 1]
можно получить, затратив гораздо меньше усилий, чем это было у Мей-
Мейера в [143] или Коэна, Добеши и Виала в [42] при получении базиса
ортонормированных вейвлетов на интервале.
Если / — функция, определенная на Ж, то мы можем определить
функцию на [0, 1], «сгибая» ее график в 0 и 1. Первый перегиб в 0 озна-
означает замену f(x) на fix) +/(—х). Перегибая назад два хвоста (один —
от первоначальной /, другой — от перегиба над отрицательной час-
частью), выходящие за 1, приходим к f(x) + f{—x) + /B — х) + f{x + 2).
Продолжая перегибать описанным образом, в конце концов мы получим
Для дальнейшего удобства заметим, что
1
14
J dx Г(х) g^(xj = J dx f(x) g^(xj. A0.7.2)
О -оо
Теперь возьмем два вейвлета ф, ф, которые образуют базисы биор-
биортогональных вейвлетов в Ь2(Ш), и соответствующие масштабирующие
функции ip, ф, их конструкция приведена в § 8.3. Предположим также,
что ip, ip — симметричны относительно jr, ip(l — х) = tp(x), ip(l — х) =
= ip(x), и что ф, ф антисимметричны относительно =, фA — х) = —ф(х),

432 Глава 10
¦0A — х) = —ф{х). (Примеры приводились в §8.3.) Применим технику
«сгибания» к ф^ь и ф^ь,'-
%к(х) = 2~j/2 Y^ ФB~:>х - 2
iez
2~j/2 ^ ф{2~^+11 - 2~jx -k) = 2~j/2 ^ ф{2~^х - 2~j+1l - k) -
- 2~j/2 Y, фB-*х - 2~j+1l + 1 + k), A0.7.3)
lez
ф"к определяются аналогично. Свое внимание ограничим лишь j ^ 0
или j = —J, где J ^> 0, для которых A0.7.2) можно переписать так:
lez
Определим также ffki Щгк- Поскольку <р(х) = ip(l — x), <р(х) =
мы находим
lez
Очевидно, ip"j k+2j+im = vlrj к для m ^ ^' так что нам НУЖНО лишь
рассмотреть значения к = 0, ... , 2J+1 — 1. Более того, <p"j 2j+i_k_1 =
= ^Ij к- Это означает, что мы можем ограничиться лишь к =
= 0, ... , 2J — 1. Похожие рассуждения показывают, что нужно рас-
рассмотреть лишь ip^fj к для к = 0, ... , 2J — 1. Примечательно, что <?>lrj к
и ?>lrj к,, где 0 ^ к, к' ^ 2J — 1, все еще биортогональны на [0, 1]. Для
доказательства этого используем A0.7.1):
-J'fc' &-J,k'+2J+1l) + {<P-J,k, <P-J,2J+1l-k')] =
iez
= Y^k'k'+2J+1' + sk,2'+u-k') = fa,k' (Ю.7.4)
iez
(так как 0 ^ к, к' ^ 2J - 1).

Примечания 433
Помимо прочего, эта биортогональность подразумевает, что все ipcZj к,
к = 0, ..., 2J — 1, независимы и обеспечивают базис в V"j={f"'; /еУ-j}.
(То же верно для <?>lrj k.) Еще мы можем определить пространства WZrj,
WZTj как W"j = {/сг; / ? W_j}. Очевидно, WZTj натянуто на V>!!j k,
к = О, ... , 2J — 1. Более того, вычислениями, аналогичными A0.7.4),
показываем, что
о
1
доказывая, что Wfj-LVfj, a ip^j к, 0 ^ к i^ 2J — 1, — независимы. От-
Отсюда следует, что «согнутые» структуры наследуют все свойства (вло-
(вложение пространств, биортогональность, свойства базиса, ...) своих не-
несогнутых оригиналов. Коэффициенты фильтра, соответствующие этим
согнутым биортогональным базисам, получены подобным^образом, сги-
сгибанием на краях, соответствующих х = 0, 1. Если ф, ф, <р, <р имеют
компактные носители, то будут задействованы лишь те коэффициенты
фильтров, что находятся в окрестности краев. Примеры приведены Ко-
эном, Добеши, Виалом в [42]. Поскольку анализ / на [0, 1] с помощью
таких согнутых биортогональных вейвлетов означает продолжение / на
всю ось R с помощью отражений и анализ этого продолжения с исполь-
использованием первоначальных биортогональных вейвлетов, мы не можем,
однако, надеяться, что характеристика пространств Гельдера на [0, 1]
с помощью этой техники будет превосходить показатель Гельдера, рав-
равный 1. Это является прогрессом по сравнению с тем, что получается
с помощью периодизованных вейвлетов, но оказывается менее эффек-
эффективным, если сравнивать с ортонормированными базисами вейвлетов
на [0, 1]. Детали можно найти у Коэна, Добеши, Виала в [42].
Примечания
1. Один из примеров состоит в следующем. Пусть Г будет гексаго-
гексагональной решеткой, Г = {riiei + П2&1\ п\, п^ € Z}, где е\ = A, 0), е^ =
= A/2, \/3/2). Г определяет разбиение Ш? на равносторонние треуголь-

434 Глава 10
ники. Определим Vo как пространство непрерывных функций из L2(E),
кусочно-аффинных на этих треугольниках. Ортонормированный базис
для этого кратномасштабного анализа построен Джаффаром в [99]. Би-
ортогональные базисы вейвлетов с компактными носителями при такой
гексагональной симметрии построены Коэном и Шленкером в [44].
2. Одномерные условия из § 5.1 могут быть облечены в матрич-
матричную форму: в этом случае ф(?) = т\ (?/2) ф(?/2) и условия
+ тг) mi(? + тг) = 0 гарантируют ортонормированность {ipo,n', n ? Z},
{Фо,п1 п ? Z} и ортогональность этих двух множеств векторов, со-
соответственно. Но эти условия эквивалентны требованию унитарности
( \
матрицы
3. Если вместо элементов {0, 1}™ предпочтительнее индексировать
элементы U с номерами 1, ... , 2™, можно перенумеровать s € {0, 1}™,
определяя а = 1 + f) s^'1 ? {1, ... , 2"}.
4. К настоящему времени я не знаю ни одной явной схемы, кото-
которая обеспечивает бесконечному семейству то с параметром сжатия 3
регулярность, растущую пропорционально ширине носителя фильтра.
5. То же можно сделать для параметра сжатия 2, для которых мат-
матрицы сжатия будут еще проще. Основная идея заключается в том, что
если |то(?)|2 + |то(? + ?г)|2 = 1, то для любых j ? Ж, п ? Z функция
mf(?) = A+72)/2 [mo(?)+7e"iBn+1)e mo(? + тг)] будет удовлетворять
„ „ 2ЛГ+1 .
и условию |то(?)|2 + |то(? + тг)|2 = 1. Если то(?) = XI а„е~*п«, то
п=0
2ЛГ+3
удобно выбрать n = iV + 1, что приводит к т*(?) = ^ а*е~1™^. Все
п=0
это можно переписать в матричной форме
\-7
Вся операция увеличивает степень то вдвое. Более того, можно дока-
доказать (Вайданатан, Хоанг [175]), что любой тригонометрический поли-

Примечания 435
ном то, удовлетворяющий условию |то(?)|2 + |«го(С + 7Г)|2 = 1> мо"
жет быть получен действием произведений таких 7-матриц на фильт-
фильтры с двумя отводами. В нашей конструкции из § 6.4 он не сохраняет
делимость то на A + е~1^): предположение делимости конечного то
на A + е~1^) приводит к существенно нелинейным ограничениям на
параметры jj. Преимущество же этого метода заключается в легкости
использования фильтров (непосредственным образом используются 7j)
и в том, что ошибки округления jj не портят свойства точного восста-
восстановления.
В любом случае сходная матричная техника может быть использо-
использована для более чем двух каналов (Доганата, Вайданатан, Нгуен [69]) или
с более практичными матричными множителями (Вайданатан и соав-
соавторы [176]). Эта техника матричной факторизации восходят к работе
Белевича [21] по теории цепей.
6. Этот метод определения mi, m^ был показан мне Лоутоном и
Гопинатом при личном общении A990).
7. Однако такой одномерный фильтр не был бы полезен для прак-
практических целей!
8. Это отмечалось многими авторами. Наиболее старой ссылкой
является, видимо, работа МакКлелана [173]. Можно также заменить од-
одномерный cos? на (acos^ + A — a)cosC)/2 для произвольного а ? Ж.
Однако представляется, что преимущества отказа от симметричного
выбора а = =7 не велики.
9. Можно аргументировать, что некоторые из многомерных схем,
обсуждаемые в § 10.3, соответствуют нецелым сжатиям. Например, для
размерности 2 матрицы Di = (J _\) и Di = (* "*) удовлетворяют
Ds = 16 Id, так что одно сжатие можно рассматривать как сжатие
в л/2 раз (в сочетании с вращением и/или отражением).
10. Если рассматривать и ортонормированные базисы вейвлетов,
получаемые не из кратномасштабного анализа, то неизвестно, допусти-
допустимы или нет иррациональные параметры сжатия.
11. Для больших I функции Фце1,...,е1 сосредоточены не так хоро-
хорошо, как предполагает эта дискуссия (см. Койфман, Мейер, Викерхау-
зер [46]). Это заметно уже на рисунке 10.8, где ф1, ф1 имеют «боковые
горбы».
12. В анализе изображение / часто продолжается за пределы гра-
границ изображения с помощью отражения. Это продолжение непрерывно,

436 Глава 10
но производная все еще имеет «скачок». Мы вернемся к этому в кон-
конце §10.7.
13. Некоторые из этих утверждений являются весьма нетривиаль-
нетривиальными! Значительная часть книги Мейера [143] посвящена их доказа-
доказательству. Более простые доказательства недавно были найдены Лема-
рье и Малгуйресом [127].
14. Имеем
1 1
dxfCT(x)gCT(x) = 5
о '.
f(x + 2l)gBl' -x) + /B/ - x)g(x + 21') + fBl - x)g{2l> - x)} =
21+1 21+1
J ^ j dxf(x)gBn-x)
21 21
'-y) + Y, J dyf(y)g(y + 2n>) =
l<n'2l-l
oo oo oo
= dxf(x)^2g(x + 2m)+ dxf(x)^2gBm-x)= / dx f{x)

Литература
[1] Антонини, Барло, Мэтью. М. Antonini, M. Barlaud, and P. Mathieu
A991), Image coding using lattice vector quantization of wavelet
coefficients, Proc. IEEE Internat. Conf. Acoust. Signal Speech Pro-
Process., pp. 2273-2276.
[2] Антонини, Барло, Мэтью, Добеши. М. Antonini, M. Barlaud,
P. Mathieu, and I. Daubechies A992), Image coding using wavelet
transforms, IEEE Trans. Image Process., 1. pp. 205-220.
[3] Аргул, Арнеодо, Элезгарай, Грассо, Муренци. F. Argoul, A. Ar-
neodo, J.Elezgaray, G.Grasseau, and R. Murenzi A989), Wavelet
transform of two-dimensional fractal aggregates, Phys. Lett. A, 135,
pp. 327-336.
[4] Аргул, Арнеодо, Грассо, Гань, Хопфингер, Фриш. F. Argoul, А. Аг-
neodo, G.Grasseau, Y. Gagne, E. J.Hopfinger, and U. Frisch A989),
Wavelet analysis of turbulence reveals the multifractal nature of the
Richardson cascade, Nature, 338, pp. 51-53.
[5] Арнеодо, Аргул, Элезгарай, Грассо. A. Arneodo, F. Argoul, J.Elez-
J.Elezgaray, and G.Grasseau A988), Wavelet transform analysis of frac-
fractals: Application to nonequilibrium phase transitions, in Nonlinear
Dynamics, G. Turchetti, ed., World Scientific, Singapore, p. 130.
[6] Аслаксен, Клаудер. E. W. Aslaksen and J. R. Klauder A968), Unitary
representations of the affine group, J. Math. Phys., 9, pp. 206-211;
see also Continuous representation theory using the affine group, J.
Math. Phys., 10 A969), pp. 2267-2275.
[7] Ошер. P. Auscher A989), Ondelettes fractales et applications, Ph. D.
Thesis, Universite Paris, Dauphine, Paris, France.
[8] — A990), Symmetry properties for Wilson bases and new examples
with compact support, preprint, Universite de Rennes, France,
in Wavelets: Mathematics and Applications, J.Benedetto and
M.Frazier, eds., CRC Press, to appear.

438 Литература
[9] — A992), Wavelet bases for L2(R), with rational dilation factor, in
Ruskai et al. A992), pp. 439-452.
[10] Ошер, Вайс, Викерхаузер. P.Auscher, G.Weiss, and M.V. Wicker-
hauser A992), Local sine and cosine bases of Coifman and Meyer and
the construction of smooth wavelets, in Chui A992b).
[11] Бакри, Гроссман, Зак. H.Bacry, A.Grossmann, and J. Zak A975),
Proof of the completeness of lattice states in the kq-representation,
Phys. Rev., B12, pp. 1118-1120.
[12] Бальян. R. Balian A981), Un principe d'incertitude fort en theorie
du signal ou en mecanique quantique, C. R. Acad. Sci. Paris, 292,
Serie 2.
[13] Баргман. V. Bargmann A961), On a Hilbert space of analytic functi-
functions and an associated integral transform, I, Comm. Pure Appl. Math,
14, pp. 187-214.
[14] Баргман, Бутера, Жирарделло, Клаудер. V. Bargmann, P. Butera,
L. Girardello, and J.R. Klauder A971), On the completeness of cohe-
coherent states, Rep. Math. Phys., 2, pp. 221-228.
[15] Бастианс. М. J.Bastiaans A980), Gabor's signal expansion and deg-
degrees of freedom of a signal, Proc. IEEE, 68, pp. 538-539.
[16] — A981), A sampling theorem for the complex spectrogram and
Gabor's expansion of a signal in Gaussian elementary signals, Optical
Engrg., 20, pp. 594-598.
[17] Батл. G. Battle A987), A block spin construction of ondelettes. Part
I: Lemarie functions, Comm. Math. Phys., 110, pp. 601-615.
[18] — A988), Heisenberg proof of the Balian-Low theorem, Lett. Math.
Phys., 15, pp. 175-177.
[19] — A989), Phase space localization theorem for ondelettes, J. Math.
Phys., 30, pp. 2195-2196.
[20] — A992), Wavelets, a renormalization group point of view, in Ruskai
et al. A992), pp. 323-350.
[21] Белевич. V. Belevitch A968), Classical Network Synthesis, Holden
Day, San Francisco.
[22] Бергер. М. A.Berger A992), Random affine iterated function sys-
systems: Curve generation and wavelets, SIAM Review, 34, pp. 361-385.

Литература 439
[23] Бертран Дж., Бертран П. J.Bertrand and P.Bertrand A989),
Time-frequency representations of broad-band signals, pp. 164-171 in
Combes, Grossmann, and Tchamitchian A989).
[24] Бейлкин, Койфман, Рохлин. G. Beylkin, R. Coifman, and V. Rokhlin
A991), Fast wavelet transforms and numerical algorithms, Comm.
Pure Appl. Math., 44, pp. 141-183.
[25] Боашаш. B.Boashash A990), Time-frequency signal analysis, in
Advances in Spectrum Analysis and Array Processing, S. Haykin, ed.,
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, pp. 418-517.
[26] Бургейн. J.Bourgain A988), A remark on the uncertainty principle
for Hilbertian basis, J. Funct. Anal., 79, pp. 136-143.
[27] Барт, Аделсон. Р. Burt and E. Adelson A983), The Laplacian pyra-
pyramid as a compact image code, IEEE Trans. Comm., 31, pp. 482-540.
[28] Кальдерон. А. Р. Calderon A964), Intermediate spaces and interpo-
interpolation, the complex method, Stud. Math., 24, pp. 113-190.
[29] Каваретта, Дамен, Мичелли. A. S. Cavaretta, W.Dahmen, and
C.Micchelli A991), Stationary subdivision, Mem. Amer. Math. Soc,
93, pp. 1-186.
[30] Чуй. C.K.Chui A992), On cardinal spline wavelets, in Ruskai et al.
A992), pp. 419-438.
[31] — A992b), An Introduction to Wavelets, Academic Press, New York.
[32] — A992c), (ed.), Wavelets: A Tutorial in Theory and Applications,
Academic Press, New York.
[33] Чуй, Ши. C.K.Chui and X.Shi A993), Inequalities of Littlewood-
Paley type for frames and wavelets, SIAM J. Math. Anal., 24, pp.
263-277.
[34] Чуй, Ванг. С. К. Chui and J. Z. Wang A991), A cardinal spline appro-
approach to wavelets, Proc. Amer. Math. Soc, 113, pp. 785-793, and On
compactly supported spline wavelets and a duality principle, Trans.
Amer. Math. Soc, to appear.
[35] Коэн. A. Cohen A990), Ondelettes, analyses multiresolutions etfiltres
miroir en quadrature, Ann. Inst. H. Poincare, Anal, non lineaire, 7,
pp. 439-159.

440 Литература
[36] — A990b), Ondelettes, analyses multiresolutions et traitement nu-
merique du signal, Ph.D. Thesis, Universite Paris, Dauphine.
[37] Коэн, Конзе. A.Cohen and J.P. Conze A992), Regularite des bases
d'ondelettes et mesures ergodiques, Rev. Math. Iberoamer., 8, pp.
351-366.
[38] Коэн, Добеши. A.Cohen and I.Daubechies A992), A stability crite-
criterion for biorthogonal wavelet bases and their related subband coding
schemes, Duke Math. J., 68, pp. 313-335.
[39] — A993a), Orthonormal bases of compactly supported wavelets III:
Better frequency localization, SIAM J. Math. Anal., 24, pp. 520-527.
[40] — A993b), Non-separable bidimensional wavelet bases, Rev. Math.
Iberoamer., 9, pp. 51-137.
[41] Коэн, Добеши, Фово. A.Cohen, I.Daubechies, and J.C.Feauveau
A992), Biorthogonal bases of compactly supported wavelets, Comm.
Pure Appl. Math., 45, pp. 485-500.
[42] Коэн, Добеши, Виал. A.Cohen, I.Daubechies, and P.Vial A993),
Wavelets and fast wavelet transform on the interval, Applied and
Computational Harmonic Analysis, to appear.
[43] Коэн, Джонстон. A.Cohen and J.Johnston A992), Joint optimi-
optimization of wavelet and impulse response constraints for biorthogonal
filter pairs with exact reconstruction, AT&T Bell Laboratories,
unpublished.
[44] Коэн, Шленкер. A.Cohen and J. M. Schlenker A993), Compactly
supported wavelets with hexagonal symmetry, Constr. Approx., 9, pp.
209-236.
[45] Койфман, Мейер. R. R. Coifman and Y. Meyer A991), Remarques sur
Vanalyse de Fourier a fenetre, C. R. Acad. Sci. Paris I, 312, pp.
259-261.
[46] Койфман, Мейер, Викерхаузер. R. Coifman, Y.Meyer, and
M. V. Wickerhauser A992), Wavelet analysis and signal processing,
in Ruskai et al. A992), pp. 153-178; and Size properties of wavelet
packets, in Ruskai et al. A992), pp. 453-470.
[47] Койфман, Рохберг. R. R. Coifman and R. Rochberg A980), Repre-
Representation theorems for holomorphic and harmonic functions in Lp,
Asterisque, 77, pp. 11-66.

Литература 441
[48] Койфман, Викерхаузер. R. Coifman and M. V. Wickerhauser A992),
Entropy-based algorithms for best basis selection, IEEE Trans. Inform.
Theory, 38, pp. 713-718.
[49] Комбе, Гроссман, Чамичан. J.M. Combes, A. Grossmann, and
Ph. Tchamitchian A989), eds., Wavelets-Time-Frequency Methods
and Phase Space, Proceedings of the Int. Conf., Marseille, Dec. 1987,
Springer-Verlag, Berlin.
[50] Конзе. J.P. Conze A991), Sur le calcul de la norme de Sobolev des
fonctions d'echelles, preprint, Dept. of Math., Universite de Rennes,
France.
[51] Конзе, Ружи. J.P. Conze and A.Raugi A990), Fonction harmonique
pour un ope.rate.ur de transition et application, Bull. Soc. Math.
Prance, 118, pp. 273-310.
[52] Добеши. I. Daubechies A988), Time-frequency localization operators:
a geometric phase space approach, IEEE Trans. Inform. Theory, 34,
pp. 605-612.
[53] — A988b), Orthonormal bases of compactly supported wavelets,
Comm. Pure Appl. Math., 41, pp. 909-996.
[54] — A990), The wavelet transform, time-frequency localization and
signal analysis, IEEE Trans. Inform. Theory, 36, pp. 961-1005.
[55] — A993), Orthonormal bases of compactly supported wavelets II.
Variations on a theme, SIAM J. Math. Anal., 24, pp. 499-519.
[56] Добеши, Гроссман. I. Daubechies and A. Grossmann A988), Frames
of entire functions in the Bargmann space, Comm. Pure Appl. Math.,
41, pp. 151-164.
[57] Добеши, Янссен. I. Daubechies and A. J.E.M. Janssen A993), Two
theorems on lattice expansions, IEEE Trans. Inform. Theory, 39, pp.
3-6.
[58] Добеши, Клаудер. I. Daubechies and J.Klauder A985), Quantum
mechanical path integrals with Wiener measures for alt polynomial
Hamiltonians II, J. Math. Phys., 26, pp. 2239-2256.
[59] Добеши, Лагарис. I.Daubechies and J.Lagarias A991), Two-scale
difference equations I. Existence and global regularity of solutions,
SIAM J. Math. Anal., 22, pp. 1388-1410.

442 Литература
[60] — A992), Two-scale difference equations II. Local regularity, infinite
products of matrices and fractals, SIAM J. Math. Anal., 23, pp.
1031-1079.
[61] Добеши, Пол. I.Daubechies and T.Paul A987), Wavelets — some
applications, in Proceedings of the International Conference on
Mathematical Physics, M. Mebkkout and R. Seneor, eds., World
Scientific, Singapore, pp. 6T5—6
[62] — A988), Time-frequency localization operators: A geometric phase
space approach II. The use of dilations and translations, Inverse
Prob., 4, pp. 661-680.
[63] Добеши, Гроссман, Мейер. I. Daubechies, A. Grossmann, and
Y.Meyer A986), Painless nonorthogonal expansions, J. Math. Phys.,
27, pp. 1271-1283.
[64] Добеши, Джаффар, Журне. I. Daubechies, S. Jaffard, and J.L. Jour-
ne A991), A simple Wilson orthonormal basis with exponential decay,
SIAM J. Math. Anal., 22, pp. 554-572.
[65] Добеши, Клаудер, Пол. I. Daubechies, J. Klauder, and T. Paul A987),
Wiener measures for path integrals with affine kinematic variables, J.
Math. Phys., 28, pp. 85-102.
[66] Дельпра, Эскюди, Гиллемайн, Кронланд- Мартин, Чамичан.
N.Delprat, B.Escudie, P. Guillemain, R. Kronland-Martinet,
Ph.Tchamitchian, and B.Torresani A992), Asymptotic wavelet and
Gabor analysis: extraction of instantaneous frequencies, IEEE Trans.
Inform. Theory, 38, pp. 644-664.
[67] Делорье, Дюбук. G. Deslauriers and S.Dubuc A987), Interpolation
dyadique, in Fractals, dimensions поп entieres et applications,
G. Cherbit, ed., Masson, Paris, pp. 44-55.
[68] — A989), Symmetric iterative interpolation, Constr. Approx., 5, pp.
49-68.
[69] Доганата, Вайданатан, Нгуен. Z.Doganata, P. P. Vaidyanathan, and
T.Q.Nguyen A988), General synthesis procedures for FIR lossless
transfer matrices, for perfect reconstruction multirate filter bank
applications, IEEE Trans. Acoust. Signal Speech Process., 36, pp.
1561-1574.

Литература 443
[70] Дюбук. S.Dubuc A986), Interpolation through an iterative scheme,
J. Math. Anal Appl 114, pp. 185-204.
[71] Даффин, Шаффер. R.J.Duffin and A.C.Schaeffer A952), A class
of nonharmonic Fourier series, Trans Amer. Math. Soc, 72, pp.
341-366.
[72] Дютилле. Р. Dutilleux A989), An implementation of the «algorithme
a trous» to compute the wavelet transform, pp. 298-304 in Combes,
Grossmann, and Tchamitchian A989).
[73] Дин, Левин. N. Dyn and D. Levin A990), Interpolating subdivision
schemes for the generation of curves and surfaces, in Multivariate
Interpolation and Approximation, W. Haussman and K. Jeller, eds.,
Birkhauser, Basel, pp. 91-106.
[74] Дин, Грегори, Левин. N.Dyn, A.Gregory, and D.Levin A987), A
4-point interpolator]) subdivision scheme for curve design, Comput.
Aided Geom. Des., 4, pp. 257-268.
[75] Эйрола. T.Eirola A992), Sobolev characterization of solutions of
dilation equations, SIAM J. Math. Anal., 23, pp. 1015-1030.
[76] Эстебан, Геланд. D.Esteban and C.Galand A977), Application
of quadrature mirror filters to split-band voice coding schemes,
Proc. IEEE Int. Conf. Acoust. Signal Speech Process., Hartford,
Connecticut, pp. 191-195.
[77] Евангелиста. G. Evangelista A992), Wavelet transforms and wave
digital filters, pp. 396-407 in Meyer A992b).
[78] Фово. J.C.Feauveau A990), Analyse multiresolution par ondelettes
поп orthogonales et banes de filtres nuvaeriqu.es, Ph. D. Thesis,
Universite de Paris Sud, Paris, France.
[79] Фефферман, де ла Лаве. C.Fefferman and R. de la Llave A986),
Relativistic stability of matter, Rev. Math. Iberoamer., 2, pp. 119-213.
[80] Фикс, Стренг. G.Fix and G.Strang A969), Fourier analysis of the
finite element method in Ritz-Galerkin theory, Stud. Appl. Math.,
48, pp. 265-273.
[81] Фландрин. Р. Flandrin A989), Some aspects of поп-stationary signal
processing with emphasis on time-frequency and time-scale methods,
in Wavelets, J. M. Combes, A. Grossmann, and Ph. Tchamitchian,
eds., Springer-Verlag, Berlin, pp. 68-98.

444 Литература
[82] Фразиер, Яверт. M.Frazier and В. Jawerth A988), The ^-transform
and applications to distribution spaces, in Function Spaces and
Application, M. Cwikel et al., eds., Lecture Notes in Mathematics
1302, Springer-Verlag, Berlin, pp. 233-246; see also A discrete
transform and decompositions of distribution spaces, J. Funct. Anal.,
93 A990), pp. 34-170.
[83] Фразиер, Яверт, Вайс. M.Frazier, В.Jawerth, and G.Weiss A991),
Littlewood-Paley theory and the study of function spaces, CBMS
— Conference Lecture Notes 79, American Mathematical Society,
Providence, RI.
[84] Габор. D.Gabor A946), Theory of communication, J. Inst. Electr.
Engrg., London, 93 (III), pp. 429-457.
[85] Гори, Гуаттари. F. Gori and G.Guattari A985), Signal restoration
for linear systems with weighted inputs. Singular value analysis for
two cases of low-pass filtering, Inverse Probl, 1, pp. 67-85.
[86] Грошениг. G.K. Grochenig A991), Describing functions: atomic
decompositions versus frames, Monatsh. Math., 112, pp. 1-42.
[87] Грошениг. К. Grochenig A987), Analyse multi-echelle et bases
d'ondelettes, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 305, Serie I, pp.
13-17.
[88] Грошениг, Мадич. К. Grochenig and W. R. Madych A992), Multire-
solution analysis, Haar bases and self-similar tilings W1, IEEE Trans.
Inform. Theory, 38, pp. 556-568.
[89] Гроссман, Морле. A. Grossmann and J.Morlet A984), Decomposi-
Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant
shape, SIAM J. Math. Anal., 15, pp. 723-736.
[90] Гроссман, Морле, Пол. A. Grossmann, J. Morlet, and T. Paul A985),
Transforms associated to square integrable group representations, I.
General results, J. Math. Phys., 27, pp. 2473-2479.
[91] — A986), Transforms associated to square integrable group represen-
representations, II. Examples, Ann. Inst. H.Poincare, 45, pp. 293-309.
[92] Гроссман, Холшнайдер, Кронланд-Мартин, Морле. A. Grossmann,
М. Holschneider, R. Kronland- Martinet, and J.Morlet A987),
Detection of abrupt changes in sound signals with the help of
wavelet transforms, in Inverse Problems: An Interdisciplinary Study;

Литература 445
Advances in Electronics and Electron Physics, Supplement 19,
Academic Press, New York, pp. 298-306.
[93] Гроссман, Кронланд-Мартин. A. Grossmann, R. Kronland-Marti-
Kronland-Martinet, and J.Morlet A989), Reading and understanding continuous
wavelet transforms, in Wavelets, J. M. Combes, A. Grossmann, and
Ph. Tchamitchian, eds., Springer-Verlag, Berlin, pp. 2-20.
[94] Xaap. A.Haar A910), Zur Theorie der orthogonalen Funktio-
nen-Systeme, Math. Ann., 69, pp. 331-371.
[95] Хейл, Волнат. С. Heil and D. Walnut A989), Continuous and discrete
wavelet transforms, SIAM Rev., 31, pp. 628-666.
[96] Херман. O.Herrmann A971), On the approximation problem in
nonrecursive digital filter design, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18,
pp. 411-413.
[97] Холшнайдер, Чамичан. М. Holschneider and Ph. Tchamitchian
A990), Regularite locale de la fonction «non-differentiable» de
Riemann, pp. 102-124 in Lemarie A990).
[98] Холшнайдер, Кронланд-Мартин, Морле, Чамичан. М. Holschnei-
Holschneider, R. Kronland -Martinet, J.Morlet, and Ph. Tchamitchian A989),
A real-time algorithm for signal analysis with the help of the wavelet
transform, pp. 286—297 in Combes, Grossmann, and Tchamitchian
A989).
[99] Джаффар. S.Jaffard A989), Construction et proprietes des bases
d'ondelettes. Remarques sur la controlabilite exacte, Ph. D. Thesis,
Ecole Poly technique, Palaiseau, France.
[100] — A989b), Exposants de Holder en des points donnes et coefficients
d'ondelettes, С R. Acad. Sci. Paris, 308, Serie 1, pp. 79-81.
[101] Джеймс. I.M.James A991), Organizing a conference, Math. Intelli-
Intelligencer, 13, pp. 49-51.
[102] Яансе, Кайзер. С. Р. Janse and A. Kaiser A983), Time-frequency dist-
distributions of loud-speakers: the application of the Wigner distribution,
J. Audio Engrg. Soc, 37, pp. 198-223.
[103] Янссен. A. J. E. M. Janssen A981), Gator representation of generali-
generalized functions, J. Math. Appl., 80, pp. 377-394.
[104] — A984), Gabor representation and Wigner disfrifcufion of signals,
Proc. IEEE, pp. 41.B.2.1-41.B.2.4.

446 Литература
[105] — A988), The Zak transform: a signal transform for sampled
time-continuous signals, Phillips J. Res., 43, pp. 23-69.
[106] — A992), The Smith-Barnwell condition and non-negative scaling
functions, IEEE Trans. Inform. Theory, 38, pp. 884-885.
[107] Йенсен, Хохолд, Юстенсен. H.E.Jensen, T.Hoholdt, and J.Justen-
sen A988), Double series representation of bounded signals, IEEE
Trans. Inform. Theory, 34, pp. 613-624.
[108] Кац. М.Кас A959), Statistical independence in probability, analysis
and number theory, no. 12 in the Carus mathematical monographs,
Mathematical Association of America.
[109] Кайзер. G.Kaiser A990), Quantum Physics, Relativity and Complex
Spacetime: Towards a New Synthesis, North-Holland, Amsterdam.
[110] Клаудер. J.R.Klauder A966), Improved version of the optical
equivalence theorem, Phys. Rev. Lett., 16, pp. 534-536; this topic is
also discussed in Chapter 8 of J.R.Klauder and E. C.G. Sudarshan
A968).
[Ill] Клаудер, Скагерстам. J.R.Klauder and B.-S. Skagerstam A985),
Coherent States, World Scientific, Singapore.
[112] Клаудер, Сударшан. J.R.Klauder and E. С G. Sudarshan A968),
Fundamentals of Quantum Optics, W. A. Benjamin, New York.
[113] Ковачевич, Веттерли. J.Kovacevic and M.Vetterli A993), Perfect
reconstruction filter banks with rational sampling rates, IEEE Trans.
Signal Process., 41, pp. 2047-2066.
[114] — A992), Nonseparable multidimensional perfect reconstruction filter
banks and wavelet bases for W1, IEEE Trans. Inform. Theory, 38, pp.
533-555.
[115] Кронланд-Мартин, Морле, Гроссман. R.Kronland-Martinet,
J.Morlet, and A. Grossmann A987), Analysis of sound patterns
through wavelet transforms, Internat. J. Pattern Recognition and
Artificial Intelligence. 1, pp. 273-301.
[116] Лаенг. E.Laeng A990), Nouvelles bases orthonormees de L2, C. R.
Acad. Sci. Paris, 311, Serie 1, pp. 677-680.
[117] Ландау. Н. Landau A967), Necessary density conditions for sampling
and interpolation of certain entire functions, Acta Math., 117, pp.
37-52.

Литература 447
[118] — A993), On the density of phase space functions, IEEE Trans.
Inform. Theory, 39. pp. 1152-1156.
[119] Ландау, Поллак. H.J.Landau and H. O.Pollak A961), Prolate
spheroidal wave functions, Fourier analysis and uncertainty, II, Bell
Systems Tech. J., 40, pp. 65-84.
[120] — A962), Prolate spheroidal wave functions, Fourier analysis and
uncertainty, III, Bell Systems Tech. J., 41, pp. 1295-1336.
[121] Лоутон. W. Lawton A990), Tight frames of compactly supported
wavelets, J. Math. Phys., 31, pp. 1898-1901.
[122] — A991), Necessary and sufficient conditions for constructing ortho-
normal wavelet bases, J. Math. Phys., 32, pp. 57-61.
[123] Лоутон. W. M. Lawton and H. L. Resnikoff A991), Multidimensional
wavelet bases, submitted to SIAM J. Math. Anal.
[124] Лемарье. Р. G.Lemarie A988), Une nouvelle base d'ondelettes de
L2{Rn), J. de Math. Pures et Appl., 67, pp. 227-236.
[125] — A990), ed., Les ondelettes en 1989, Lecture Notes in Mathematics
no. 1438, Springer-Verlag, Berlin.
[126] — A991), La propriete de support minimal dans les analyses multi-
resolution, Comptes Rendus de l'Acad. Sci. Paris, 312, pp. 773-776.
[127] Лемарье, Малгуйрес. Р.G.Lemarie and G.Malgouyres A992), in
Meyer A992b).
[128] — A991), Support des functions de base dans une analyse multireso-
lution, Comptes Rendus de l'Acad. Sci. Paris I, 313, pp. 377-380.
[129] Либ. Е. Lieb A981), Thomas-Fermi theory and related theories of
atoms and molecules, Rev. Mod. Phys., 53, pp. 603-641.
[130] Лоу. F. Low A985), Complete sets of wave packets, in A Passion
for Physics — Essays in Honor of Geoffrey Chew, World Scientific,
Singapore, pp. 17-22.
[131] Любарски. Yu.Lybarskii A992), Frames in the Bargmann space
of entire functions, in Entire and subharmonic functions, Vol. 11
of the series Advances in Soviet Mathematics, B.Ya. Levin, ed.,
Springer-Verlag, Berlin, pp. 167-180.
[132] Малла. S. Mallat A989), Multiresolution approximation and wavelets,
Trans. Amer. Math. Soc, 315, pp. 69-88.

448 Литература
[133] — A989b), A theory for multiresolution signal decomposition: the
wavelet representation, IEEE Trans. PAMI, 11, pp. 674-693.
[134] — A989c), Multifrequency channel decompositions of images and
wavelet models, IEEE Trans. Acoust. Signal Speech Process., 37, pp.
2091-2110.
[135] — A991), Zero-crossings of a wavelet transform, IEEE Trans. Inform.
Theory, 37, pp. 1019-1033.
[136] Малла, Жонг. S.Mallat and S. Zhong A992), Characterization of
signals from multiscale edges, Computer Science Tech. Report, New
York University, IEEE Trans. PAMI, to appear.
[137] Малла, Хванг. S.Mallat and W.L.Hwang A992), Singularity
detection and processing with wavelets, IEEE Trans. Inform. Theory,
38, pp. 617-643.
[138] Малвар. Н. Malvar A990), Lapped transforms for efficient
transform/subband coding, IEEE Trans. Acoust. Signal Speech
Process., 38, pp. 969-978.
[139] МакКлелан. J.McClellan A973), The design of two-dimensional
filters by transformations, in Seventh Annual Princeton Conference
on ISS, Princeton University Press, Princeton, NJ, pp. 247-251.
[140] Мейер. Y.Meyer A985), Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et
algebres d'operateurs, Seminaire Bourbaki, 1985-1986, no. 662.
[141] — A986), Ondelettes, functions splines et analyses graduees, Lectures
given at the University of Torino, Italy.
[142] — A990), Ondelettes et operateurs, I: Ondelettes, II: Operateurs de
Calderon-Zygmund, III: Operateurs multilineaires, Hermann, Paris.
An English translation will be published by the Cambridge University
Press in 1992.
[143] — A992), Ondelettes sur Vintervalle, Rev. Math. Iberoamer., 7, pp.
115-133.
[144] — A992b) (ed.), Wavelets and applications, Proceedings of the
International Conference on Wavelets, May 1989, Marseille, France;
Masson, Paris.
[145] Мичелли. С. A.Micchelli A991), Using the refinement equation for
the construction of pre-wavelets, Numer. Algorithms, 1, pp. 75-116.

Литература 449
[146] Мичелли, Праутч. С. A. Micchelli and H. Prautzsch A989), Uniform
refinement of curves, Linear Algebra Appl., 114/115, pp. 841-870.
[147] Минтцер. F. Mintzer A985), Filters for distortion-free two-band
multirate filter banks, IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process.,
33, pp. 626-630.
[148] Морле. J.Morlet A983), Sampling theory and wave propagation, in
NATO ASI Series, Vol. 1, Issues in Acoustic signal/Image processing
and recognition, С. Н. Chen, ed., Springer-Verlag, Berlin, pp. 233-261
[149] Морле, Арене, Форже, Жиар. J.Morlet, G.Arens, I. Fourgeau, and
D. Giard A982), Wave propagation and sampling theory, Geophysics,
47, pp. 203-236.
[150] Мюнх. J. Munch A992), Noise reduction in tight Weyl-Heisenberg
frames, IEEE Trans. Inform. Theory, 38, pp. 608-616.
[151] Муренци. R. Murenzi A989), Wavelet transforms associated to
the n-dimensional Euclidean group with dilations: signals in more
than one dimension, in Wavelets, J. M. Combes, A. Grossmann, and
Ph. Tchamitchian, eds., Springer-Verlag, Berlin, pp. 239-246; see also
Ondelettes multidimensionelles et application a I'analyse d'images,
Ph. D. Thesis A990), Universite Catholique de Louvain, Belgium.
[152] Пол. T.Paul A985), Ondelettes et mecanique quantique, Ph. D.
Thesis, Universite de Marseille, France; see also Paul and Seip A992).
[153] Пол, Сейп. T.Paul and K.Seip A992), Wavelets and quantum
mechanics, in Ruskai et al. A992), pp. 303-322.
[154] Переломов. А. М. Perelomov A971), On the completeness of a system
of coherent states, Teor. Mat. Fiz., 6, pp. 213-224.
[155] Пойа, Сегё. G.Polya and G.Szego A971), Aufgaben und Lehrsdtze
aus der Analysis, Vol. II, Springer-Verlag, Berlin.
[156] Пора, Зееви. M.Porat and Y. Y. Zeevi A988), The generalized Gabor
scheme of image representation in biological and machine vision,
IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., 10, pp. 452-468.
[157] Риффел. M.Rieffel A981), Von Neumann algebras associated with
pairs of lattices in Lie groups, Math. Ann., 257, pp. 403-413.
[158] Риул. O.Rioul A992), Simple regularity criteria for subdivision
schemes, SIAM J. Math. Anal., 23, pp. 1544-1576.

450 Литература
[159] Рускай, Бейлкин, Койфман, Добеши, Малла, Мейер, Рафа-
эл. M.B.Ruslai, G.Beylkin, R. Coifman, I. Daubechies, S.Mallat,
Y.Meyer, and L.Raphael A992), eds., Wavelets and their Applicati-
Applications, Jones and Bartlett, Boston.
[160] Сейп. K.Seip A991), Reproducing formulas and double orthogonality
in Bargmann and Bergman spaces, SIAM J. Math. Anal., 22, pp.
856-876.
[161] Сейп, Волстен. K.Seip and R.Wallsten A990), Sampling and
interpolation in the Bargmann-Fock space, preprint, Mittag-Leffler
Institute.
[162] Шенса. M.J.Shensa A991), The discrete wavelet transform: wedding
the «a trous» and Mallat's algorithms, preprint, Naval Ocean Systems
Center, San Diego, IEEE Trans. Signal Process., to appear.
[163] Слепьян. D.Slepian A976), On bandwidth, Proc. LHEE, 84, pp.
292-300.
[164] — A983), Some comments on Fourier analysis, uncertainty and
modeling, SIAM Rev., 25, pp. 379-393.
[165] Слепьян, Поллак. D.Slepian and H. O.POLLAK A961), Prolate
spheroidal wave functions, Fourier analysis and uncertainty, I, Bell
Systems Tech. J., 40, pp. 43-64.
[166] Смит, Барнвел. M. J. Т. Smith and T.P.Barnwell III A986), Exact
reconstruction techniques for tree-structured subband coders, IEEE
Trans. Acoust. Signal Speech Process., 34, pp. 434-441; the basic
results were already presented at the IEEE Internal. Conf. Acoust.
Signal Speech Process., March 1984, San Diego.
[167] Стейн. Е. Stein A970), Singular integrals and differentiability
properties of functions, Princeton University Press.
[168] Стейн, Вайс. Е.Stein and G.Weiss A971), Introduction to Fourier
Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, Princeton.
[169] Стромберг. J. О. Stromberg A982), A modified Franklin system and
higher order spline systems on W1 as unconditional bases for Hardy
spaces, Conf. in honor of A. Zygmund, Vol. II, W. Beckner et al., ed.,
Wads-worth math, series, pp. 475-493,
[170] Салливан, Pep, Вилкинс, Вилсон. D.J.Sullivan, J.J.Rehr,
J.W. Wilkins, and K.G.Wilson A987), Phase space wannier

Литература 451
functions in electronic structure calculations, preprint, Cornell
University.
[171] Чамичан. Ph. Tchamitchian A987), Biorthogonalite et theorie des
operateurs, Rev. Math. Iberoamer., 3, pp. 163-189.
[172] Торрезани. B.Torresani A991), Wavelet analysis of asymptotic
signals: Ridge and skeleton of the transform, in Meyer A992b); see
also Tchamitchian and Torresani's paper in Ruskai et al. A992), pp.
123-152.
[173] Вайданатан. Р. Р. Vaidyanathan A987), Theory and design of
M-channel maximally decimated quadrature mirror filters with
arbitrary M, having the perfect reconstruction property, IEEE Trans.
Acoust. Signal Speech Process., 35, pp. 476-492.
[174] — A992), Multirate Systems and Filter Banks, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, NJ.
[175] Вайданатан, Хоанг. Р.Р.Vaidyanathan and P.-Q.Hoang A988),
Lattice structures for optimal design and robust implementation of
two-channel perfect-reconstruction QMF banks, IEEE Trans. Acoust.
Signal Speech Process., 36, pp. 81-94.
[176] Вайданатан, Нгуен, Доганата, Сарамаки. Р. P. Vaidyanathan,
T.Q.Nguyen, Z.Doganata, and T. Saramaki A989), Improved
technique for design of perfect reconstruction FIR QMF banks with
lossless polyphase matrices, IEEE Trans. Acoust. Signal Speech
Process., 37, pp. 1042-1056.
[177] Веттерли. М. Vetterli A984), Multidimensional subband coding: some
theory and algorithms, Signal Process., 6, pp. 97-112.
[178] — A986), Filter banks allowing perfect reconstruction, Signal
Process., 10, pp. 219-244; these results were already presented
as Splitting a signal into subsampled channels allowing perfect
reconstruction, IASTED Conf. on Applied Signal Processing and
Digital Filters, June 1985, Paris.
[179] Веттерли, Херли. М. Vetterli and C.Herley A992), Wavelets and
filter banks: Theory and design, IEEE Trans. Signal Process., 40, pp.
2207-2232.

452 Литература
[180] Веттерли, Ковачевич, ЛеГаль. М. Vetterli, J.Kovacevic, and
D.LeGall A990), Perfect reconstruction filter banks for HDTV
representation and coding, Image Comm., 2, pp. 349-364.
[181] Виал. P. Vial A992), Construction de bases orthonormales de W1,
preprint, Centre de Physique Theorique, CNRS, Luminy-Marseille,
France.
[182] Вильемос. L.F.Villemoes A992), Energy moments in time and
frequency for two-scale difference equation solutions and wavelets,
SIAM J. Math. Anal, 23, pp. 1519-1543.
[183] Волкнер. Н. Volkner A992), On the regularity of wavelets, IEEE
Trans. Inform. Theory, 38, pp. 872-876.
[184] Викерхаузер. М.V.Wickerhauser A990), Picture compression by
best-basis sub-band coding, preprint, Yale University.
[185] — A992), Acoustic signal processing with wavelet packets, in Chui
A992c), pp. 679-700.
[186] Вилсон. K.G.Wilson A987), Generalized Wannier Functions,
preprint, Cornell University.
[187] Виткин. A.Witkin A983), Scale space filtering, in Proc. Internat.
Joint Conf. Artificial Intelligence.
[188] Юнг. R. M. Young A980), An Introduction to Nonharmonic Fourier
Series, Academic Press, New York.
[189] Зигмунд. A. Zygmund A968), Trigonometric Series, 2nd ed.,
Cambridge University Press, Cambridge.
[190] Шумейкер. L. Schumaker A981), Spline functions: basic theory,
Wiley-Interscience, New York.
[191] Рид, Саймон. M.Reed and B.Simon A972), Methods of modern
mathematical physics, Academic Press, New York — London. Рус-
Русское издание: М.Рид, Б. Саймон A977), Методы современной ма-
математической физики, Мир, Москва.
Русскоязычная литература
[192] И. Антониу, К. Густафсон. Всплески Хаара и дифференциальные
уравнения. // Дифф. уравн. 1998. Т. 34. №6. С. 832-834.

Литература 453
[193] Н. М. Астафьева. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры при-
применения I/ Успехи физических наук. 1998. Т. 166. №11. С.
1145-1170.
[194] — . Вейвлет-преобразования. Основные свойства и примеры при-
применения. М.: ИКИ РАН. 1994. № 1891. 56 с.
[195] В. И.Бердышев, Л.В.Петрак. Аппроксимация функций. Сжатие
численной информации. Приложения. Екатеринбург, 1999. Глава I,
раздел 12. Всплески. С.127-150.
[196] М.З.Берколайко, И.Я.Новиков. Базисы всплесков в пространст-
пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости // Докл.
РАН. 1992. Т. 323. С. 615-618.
[197] — Базисы всплесков и линейные операторы в анизотропных про-
пространствах Лизоркина - Трибеля // Доклады РАН. 1995. Т. 340.
№5. С. 583-586.
[198] — Базисы всплесков и линейные операторы в анизотропных про-
пространствах Лизоркина-Трибеля // Труды МИРАН. 1995. Т. 210.
С. 5-30.
[199] — Безусловные базисы в пространствах функций анизотропной
гладкости // Труды МИРАН. 1993. Т. 204. С.35-51.
[200] — О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носите-
носителем I/ Доклады РАН. 1992. Т. 326. №6. С. 935-938.
[201] — О бесконечно гладких почти-всплесках с компактным носите-
носителем I/ Матем. заметки. 1994. Т. 55. №3. С. 3-12.
[202] — Образы всплесков при действии операторов свертки // Матем.
заметки. 1994. Т. 55. №5. С. 13-24.
[203] П. П.Вайдьянатхан. Цифровые фильтры, блоки фильтров и поли-
полифазные цепи с многочастотной дискретизацией. Методический
обзор I/ ТИИЭР. 1990. №3. С. 77-120.
[204] В.И.Воробьев, В.Г.Грибунин. Теория и практика вейвлет-преоб-
вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-во ВУС, 1999. 208 с.
[205] С. В.Головань. О безусловной и абсолютной сходимости рядов в
системах всплесков. // Вестник Москов. Унив., серия математика
и механика. 1996. №2. С. 89-92.

454 Литература
[206] М.А.Давыдова. Решение типа всплеска и критический случай
ступеньки для сингулярно возмущенного уравнения 2-го порядка.
I/ ЖВММФ. 1999. Т. 39. №8. С. 1305-1316.
[207] В. Л. Дольников, Н.А.Стрелков. Оптимальные вейвлеты. // Изв.
Тульского Гос. Унив., серия математика, механика, информатика.
1997. Т. 4. №5. С. 62-66.
[208] В. А. Желудев. О вейвлетах на базе периодических сплайнов //
Докл. РАН. 1994. №1. С. 9-13.
[209] — О цифровой обработке сигналов при помощи сплайн-вейвлетов
и вейвлет-пакетов. // ДАН. 1997. Т. 355. №5. С. 592-596.
[210] В.Л.Завадский. Аппроксимация функций нескольких переменных
с ограниченной смешанной производной посредством вейвлетов.
Препринт ИМ НАНБ. 1997. № 1/529.
[211] — Нелинейная аппроксимация функций нескольких переменных
с ограниченной смешанной производной посредством вейвлетов.
Препринт ИМ АНБ. Минск. 1997. №15 E38). С. 13.
[212] — Непараметрическое оценивание функций из пространств Бе-
Бесова с использованием вейвлетных базисов. Автореферат диссер-
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математи-
физико-математических наук.
[213] — Непараметрическое оценивание функций из пространств Бесо-
Бесова с использованием вейвлетных базисов. Диссертация на соиска-
соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.
[214] — Фильтрация сигналов посредством скрытой марковской модели
для вейвлетно-фрактального разложения / Компьютерный анализ
данных и моделирование. Сборник научных статей V Междуна-
Международной конференции. Минск.
[215] В.Л.Завадский, Е.И.Блинова. Непараметрическое оценивание
над 1р-эллипсоидами в 1Г. // Вести НАНБ. 1998. №2.
[216] Кноте Карстен, Разработка и исследование быстрых параметри-
параметрически перестраиваемых ортогональных преобразований в базисах
«wavelet»-функций. Автореферат диссертации на соискание ученой
степени кандидата технических наук.
[217] Б.С.Кашин, А. А. Саакян. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999.
[Глава 7. Введение в теорию всплесков. С.244-296.]

Литература 455
[218] В. А.Кирушев. Быстрый алгоритм сжатия изображений // Вест-
Вестник молодых ученых. Прикл. матем. и механика. 1997. № 1. С.
4-10.
[219] В. А.Кирушев, В.Н. Малоземов, А.Б.Певный. Вейвлетное разло-
разложение пространства дискретных периодических сплайнов // Элек-
Электронный архив препринтов СПбМО. Препринт №1999-20.
[220] «Компьютерра», 1998. № 8 B36) от 2 марта 1998 г. (Ряд статей по
вейвлетной тематике.)
[221] В.Ф.Кравченко, В. А.Рвачев. «Wavelet»-системы и их применение
в обработке сигналов // Зарубежная радиоэлектроника. 1996. №4.
С. 3-20.
[222] В.Ф.Кравченко, В. А.Рвачев, В. И.Пустовойт. Ортонормирован-
ные системы типа wavelet на основе атомарных функций. // ДАН.
1996. Т. 351. №1. С. 16-18.
[223] — Алгоритм построения wavelet-систем для обработки сигналов.
I/ ДАН. 1996. Т. 346. №1. С. 31-32.
[224] Р.А.Лоренц, А. А.Саакян. О подпространствах, порожденных
всплеск-системами. // Мат. заметки. 1998. Т. 63. №2. С. 299-302.
[225] Т. П. Лукашенко. Всплески на топологических группах // ДАН.
1993. Т. 332. №1. С. 15-17.
[226] В.Н. Малоземов, С. М. Машарский. Обобщенные вейвлетные бази-
базисы, связанные с дискретным преобразованием Виленкина-Крес-
тенсона // Электронный архив препринтов СПбМО. Препринт
№1999-21.
[227] — Сравнительное изучение двух вейвлетных базисов // Проблемы
передачи информации. 2000. Т. 36. Вып. 2. С. 27-37.
[228] — Хааровские спектры дискретных сверток // Ж. вычисл. мат.
и матем. физ. 2000. Т. 40. №6. С. 954-960.
[229] В. Н. Малоземов, А. Б. Певный, А. А. Третьяков. Быстрое вейвлет-
вейвлетное преобразование дискретных периодических сигналов и изобра-
изображений I/ Проблемы передачи инф. 1998. Т. 34. Вып. 2. С. 77-85.
[230] В.Н. Малоземов, А.А.Третьяков. Алгоритм Кули-Тъюки и дис-
дискретное преобразование Хаара // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1998.
Вып. 3 (№15). С. 31-34.

456 Литература
[231] — Новый подход к алгоритму Кули-Тъюки // Вестник СПбГУ.
Сер. 1. 1997. Вып. 3 (№15). С. 57-60.
[232] — Секционирование, ортогональность и перестановки // Вестник
СПбГУ. Сер. 1. 1999. Вып. 1 (№1). С. 16-21.
[233] С. М. Машарский. Свертка и корреляция дискретных сигналов в
базисах Хаара-Крестенсона // Электронный архив препринтов
СПбМО. Препринт №2000-09.
[234] — Автореверсные спектры Хаара-Крестенсона // Электронный
архив препринтов СПбМО. Препринт №2000-11.
[235] И.Я.Новиков. Онделетты И.Мейера — оптимальный базис в
С@, 1) // Матем. заметки. 1992. Т. 52. №5. С. 88-92.
[236] И.Я.Новиков, С.Б.Стечкин. Основные конструкции всплесков //
Фундаментальная и прикладная математика. 1997. Т. 3. №4. С.
999-1028.
[237] — Основы теории всплесков // Успехи математических наук.
1998. Т. 53. №6 C24). С. 53-128.
[238] Л.В.Новиков. Адаптивный вейвлет-анализ сигналов // Научное
приборостроение. 1999. Т. 9. №2.
[239] — Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. СПб.:
Изд-во ООО «МОДУС+», 1999. 152 с.
[240] — Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Научное
приборостроение. 2000. Т. 10. №3. С. 57-64.
[241] А. П. Петухов. Биортогоналъные базисы всплесков с рациональны-
рациональными масками и их приложения // Труды СПб Мат. Об. 7 A999). С.
168-193.
[242] — Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ,
1999. 132 с.
[243] — Кратномасштабный анализ и всплеск-разложения пространств
периодических распределений // Доклады РАН. 1997. Т. 356. №2.
С. 303-306.
[244] — Периодические всплески // Математический сборник. 1997. Т.
188. №10. С. 69-94.
[245] — Периодические дискретные всплески // Алгебра и Анализ. 1996.
Т. 8. №3. С. 151-183.

Литература 457
[246] М.А. Скопина. О нормах полиномов по системам периодических
всплесков в пространствах Lp // Матем. заметки. 1996. Т. 59.
№5. С. 780-783.
[247] — Ортогональные полиномиальные базисы Шаудера в С[—1, 1] с
оптимальным ростом степеней // Матем. сборник. В печати.
[248] И. Р. Стаховский. Вейвлетный анализ временных сейсмических ря-
рядов. I/ ДАН. 1996. Т. 350. №3. С. 393-396.
[249] Н. А. Стрелков. Универсально оптимальные всплески. // Матем.
Сборник. 1997. Т. 188. №1. С. 147-160.
[250] Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных. Всплески в пространствах гармо-
гармонических функций. I/ Изв. РАН, серия математика. 2000. Т. 64.
№1. С. 145-174.
[251] Н. Н. Харатишвили. Пирамидальное кодирование. М.: Мысль, 1997.
160 с.

Предметный указатель
378
Algorithme a trous 125
Алгоритм Евклида (Euclid's
algorithm) 236
Атомарное разложение (atomic de-
decomposition) 152
Базис Вилсона (Wilson basis) 176
— Литлвуда-Пэли (Littlewood-
Paley basis) 170, 171
— Xaapa (Haar basis) 169, 171, 333
— локализованных синусов (loca-
(localized sine basis) 182
Базисы Рисса (Riesz bases) 349
— вейвлетов на интервале (wave-
(wavelet bases on an interval) 428
Безусловный базис (unconditional
bases) 376
Биортогональные базисы вейвле-
вейвлетов (biorthogonal wavelet bases)
345
Вейвлет Батла-Лемарье (Battle-
Lemarie wavelet) 206
— Мейера (Meyer wavelet) 168
— Морле (Morlet wavelet) 123
Вейвлет-пакеты (wavelet packets)
427
Вейвлеты с компактными носите-
носителями (compactly supported
wavelets) 232
Волновые функции вытянутого
сфероида (prolate spheroidal
wave functions) 53
Высокочастотный фильтр
(high-pass filter) 221
Гильбертово пространство с вос-
воспроизводящим ядром (reprodu-
(reproducing kernel Hilbert space) 46, 50,
51
Голоса (voices) 117
Границы фрейма (frame bounds)
96, 110
Двойственный фрейм (dual frame)
101, 114, 131
Жесткий фрейм (tight frame) 96,
245
Избыточность (redundancy) 97
Интерполяционная теорема Мар-
цинкевича (Marcinkiewicz inter-
interpolation theorem) 383
— уточняющая схема (interpolati-
(interpolation refinement scheme) 280
КЗФ (QMF) 226
КИХ (FIR) 226
Канонические когерентные состо-
состояния (canonical coherent states)
69

Предметный указатель
459
Каскадный алгоритм (cascade
algorithm) 232, 278
Квадратурный зеркальный фильтр
(quadrature mirror filter) 226
Класс Зигмунда (Zigmund class)
389
Когерентные состояния (coherent
states) 67
Койфлет (coiflet) 341, 370, 372
Конгруэнтный (congruent) 250
Конечная импульсная характерис-
характеристика (finite impulse response)
226
Кратномасштабный анализ (multi-
resolution analysis) 125, 171, 186
— анализ Хаара (Haar multiresolu-
tion analysis) 187, 196
Лемма Рисса (Riesz lemma) 237
Линейная фаза (linear phase) 336
Маски (masks) 280
Масштабирующая функция
(scaling function) 187, 200
Матричные сжатия (matrix
dilations) 413
Мексиканская шляпа (Mexican
hat) 121
Многомерные базисы вейвлетов
(multidimensional wavelet bases)
403
Наложение спектров (aliasing) 50
Непрерывное вейвлет-преобра-
зование (continuous wavelet
transform) 46, 55
— оконное преобразование Фурье
(continuous windowed Fourier
transform) 46
Нецелые показатели сжатия
(noninteger dilation factors) 415
Низкочастотный фильтр (low-pass
filter) 221
Ограничение на частотную и вре-
временную полосы (band and time
limiting) 46, 52
Оконное преобразование Фурье
(windowed Fourier transform)
128
Оператор Кальдерона-Зигмунда
(Calderon- Zigmund operator)
378
Отображение Вейля-Брезина
(Weil-Brezin map) 163
Периодизованные вейвлеты
(periodized wavelets) 394
Пирамидальная схема Лапласа
(Laplasian pyramid) 366
Плотность Найквиста (Nyquist
density) 47, 55, 159, 166, 167
Полифазное разложение (polyphase
decomposition) 409
Представление интегрируемых
с квадратом групп (square
integrable group representation)
66
Преобразование Зака (Zak
transform) 162, 163, 180, 183
Пространства Гельдера (Holder
spaces) 388
— Соболева (Sobolev spaces) 388
— функций-сплайнов (spline
function spaces) 206

460
Предметный указатель
Разложение Кальдерона-Зиг-
Кальдерона-Зигмунда (Calderon-Zigmund
decomposition) 376, 379
Решетка с шахматной структурой
(quincunx lattice) 414
СКФ (CQF) 226
Симметрия (symmetry) 332, 355
Сопряженные квадратурные
фильтры (conjugate quadrature
filters) 226
Спектральная факторизация
(spectral factorization) 240, 336
Субполосная фильтрация (subband
filtering scheme) 221
Схемы последовательного деления
(subdivision schemes) 270, 279
Теорема Безу (Bezout's theorem)
234, 355
— Пэли-Виннера (Paley-Winer
theorem) 243
— Шеннона (Shannon's theorem)
47, 54
Трюк с расщеплением (splitting
trick) 420
Угловое разрешение (angular
resolution) 426
Условие допустимости (admissabi-
lity condition) 55, 59
Уточняющие схемы (refinement
schemes) 232, 270, 279
Формула обращения (resolution of
the identity) 56, 59, 68, 70
Фрейм (frame) 96, 349
Фреймовый оператор (frame
operator) 98
Функциональные пространства
(functional spaces) 376, 388
Функция с ограниченной шириной
полосы (bandlimited function)
46
Характеристика функциональных
пространств с помощью вейвле-
тов (characterization of function
spaces) 387
Целый параметр сжатия (integer
dilation factor) 410
Частота Найквиста (Nyquist rate)
225
Частотно-временная локализация
(time-frequency localization) 73,
136, 161, 166
— плотность (time-frequency
density) 129, 159, 166
Шахматная структура (quincunx)
415

Ингрид Добеши
Десять лекций по вейвлетам
Технический редактор А. В. Широбоков
Дизайнер М. В. Ботя
Компьютерный набор О. А. Андреева
Компьютерная верстка С. В. Высоцкий
Корректор М. А. Ложкина
Подписано в печать 29.03.01. Формат 60 х 841/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 27,9. Уч. изд. л. 28,31.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага газетная.
Тираж 1500 экз. Заказ №
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@uni.udm.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вятка».
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.