МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
теории автоматического
регулирования
Том I
Под редакцией
профессора Б. К. Чемоданова
Издание второе, дополненное
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших'технических
учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1977
517
М34
УДК 517(075)
В. А. Иванов, В. С. Медведев,
Б. К. Чемоданов, А. С. Ющенко
Рецензент — кафедра систем автоматического управления
Ленинградского электротехнического института
М
20203—233
----------34—77
001(01)—77
© Издательство «Высшая школа», 1977 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее, второе, издание книги состоит из двух томов;
оно не имеет существенных отличий от первого (1971 г.). Оба
тома имеют сквозную нумерацию частей, глав и параграфов. Во
втором издании первая часть книги дополнена некоторыми све-
дениями из теории Х-матриц. Рассмотрен способ приведения
матриц к канонической форме Жордана, изложен также метод
Лагранжа приведения квадратичной формы к нормальному
виду. Во второй части методы решения нелинейных дифферен-
циальных уравнений дополнены методом, основанным на пониже-
нии порядка уравнения. В третьей части приведена теорема Руше,
используемая в шестой части книги при анализе устойчивости
импульсных автоматических систем.
Изложение материала отдельных- параграфов книги улучшено
в методическом отношении
Авторы выражают глубокую благодарность всем лицам, сде-
лавшим замечания по первому изданию книги.
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Основой настоящей книги послужил одноименный трехсеме-
стровый курс лекций, читавшихся авторами в течение многих
лет в Московском высшем техническом училище им. Баумана.
Квалификация современного инженера-специалиста по авто-
матическому регулированию в значительной степени определяется
уровнем его математических знаний. Это объясняется тем, что
овладение теорией автоматического регулирования и разработан-
ными на ее основе методами проектирования автоматических
систем невозможно без знания довольно сложного математического
аппарата. Общий курс математики, изучаемый в высших техни-
ческих учебных заведениях, не в полной мере удовлетворяет
требованиям подготовки инженеров на факультетах и кафедрах,
в той или иной степени связанных с проблемами автоматического
регулирования. Студенты, усвоившие курс высшей математики
в объеме обычной программы втуза, оказываются тем не менее
недостаточно математически подготовленными к восприятию тео-
рии автоматического регулирования и, как следствие, ряда спе-
циальных дисциплин. По этой причине во многих втузах страны
в учебные планы наряду с общим курсом высшей математики
введены также и дополнительные главы. В МВТУ дополнительные
главы высшей математики изучаются в курсе «Математические
1*
3
основы теории автоматического регулирования». В нем содер-
жится математический аппарат, знание которого необходимо сту-
дентам для последующего изучения курса «Теория автоматичес-
кого регулирования». Этот аппарат изложен в предлагаемой книге.
Выбор материала, составляющего содержание книги, опреде-
ляется особенностями задач, решаемых в теории автоматического
регулирования. Среди этих задач важнейшими следует назвать
математическое описание систем автоматического регулирования
(САР), являющихся сложными активными динамическими систе-
мами с обратными связями а также их анализ и синтез. Мате-
матическими моделями непрерывных САР с сосредоточенными
параметрами являются обыкновенные дифференциальные уравне-
ния. Непрерывные САР с распределенными параметрами имеют
своими моделями дифференциальные уравнения с частными про-
изводными. Математическими моделями дискретных САР служат
разностные уравнения. Уравнения, характеризующие процессы
в САР, могут быть как линейными, так и нелинейными. В первом
случае САР относят к классу линейных, а во втором —к классу
нелинейных систем. Многие линейные системы имеют постоянные
параметры и описываются линейными дифференциальными урав-
нениями с постоянными коэффициентами. Если параметры линей-
ной системы переменны во времени, то подобная система описы-
вается линейным дифференциальным уравнением с переменными
коэффициентами.
Используемые в теории регулирования методы исследования
автоматических систем базируются на ряде разделов высшей
математики. Математическими моделями систем автоматического
регулирования в большинстве случаев являются дифференциаль-
ные или разностные уравнения, поэтому знание основных разде-
лов теории дифференциальных и разностных уравнений необхо-
димо при проектировании или исследовании САР. Некоторые
сведения о дифференциальных уравнениях известны студентам
втузов из общего курса высшей математики, однако этих сведений
недостаточно. Требуется понимание ряда специальных вопросов
теории дифференциальных и разностных уравнений. К этим воп-
росам можно отнести, например, определение условий, при кото-
рых существует единственное решение систем уравнений, имеющее
большое значение при аналитическом исследовании устойчи-
вости автоматических систем, а также при анализе поведения
систем с помощью вычислительных машин. Весьма важными
являются также вопросы, связанные с методами решения систем
линейных дифференциальных и разностных уравнений, свойствами
решений этих систем, например определение зависимости решений
от начальных условий и параметров и т. п. Большое значение
*’ Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями автомати-
ческого регулирования. Студенты МВТУ знакомы с этими понятиями из пре-
дыдущего курса «Введение в автоматику». Этой же цели может служить,
например, книга под ред. В. А. Бесекерского «Основы автоматики». М., «Ма-
шиностроение», 1967.
4
имеет изучение как способов решений нелинейных- дифференци-
альных и разностных уравнений, так и свойств самих реше-
ний.
Изучение теории дифференциальных и разностных уравнений
наиболее целесообразно производить с использованием матричной
(векторной) формы записи этих уравнений. Матричное исчисле-
ние нашло широкое применение в теории автоматического регу-
лирования благодаря присущим ему достоинствам. Матричная
форма записи уравнений автоматических систем является весьма
компактной; последнее имеет особенно существенное значение,
например, при исследовании многомерных САР, дифференциаль-
ные уравнения которых в обычной форме записи имеют громоздкий
вид. Компактность записи уравнений в матричной форме, а также
характерные приемы матричного исчисления, связанные с реше-
нием уравнений, приводят к упрощению и наглядности самого
процесса решения. Понимание основных вопросов теории диф-
ференциальных уравнений, а также необходимых элементов мат-
ричного исчисления и линейной алгебры позволяет, кроме того,
овладеть общей теорией устойчивости движения и разработанными
на основе теории методами исследования устойчивости автомати-
ческих систем.
В теории автоматического регулирования получили широкое
распространение частотные методы анализа и синтеза САР. Частот-
ные методы являются весьма удобным инструментом, пригодным
для суждения об устойчивости системы, точности ее работы,
качестве переходных процессов и т. д. С наибольшим успехом
эти методы используются при исследовании линейных систем?
однако с их помощью можно составить представление о поведении
многих нелинейных систем. Математической основой частотных
методов являются спектральные представления сигналов и свя-
занные с этими представлениями частотные характеристики системы.
В свою очередь спектральные представления непосредственно
опираются на ту часть математического анализа, в которой
рассматривается теория рядов Фурье и интеграла Фурье. Таким
образом, знание этих разделов высшей математики необходимо
для восприятия частотных методов исследования САР.
Частотные методы предусматривают анализ САР в комплексной
плоскости, например в плоскости амплитудно-фазовой частотной
характеристики системы, являющейся функцией комплексного
переменного. Аппарат теории функций комплексного переменного
широко применяется в теории автоматического регулирования.
С его помощью получены весьма удобные методы анализа и син-
теза САР, в частности частотные критерии устойчивости.
Одним из важнейших математических инструментов, применяе-
мых при исследовании САР, является операционное исчисление.
Использование методов операционного исчисления при интегри-
ровании многих типов дифференциальных, интегродифференци-
альных и разностных уравнений приводит к упрощениям процесса
решения, и поэтому операционное исчисление нашло значительное
5
применение в теории автоматического регулирования при опре-
делении процессов, происходящих в системах.
Воздействия, прикладываемые к САР, как правило, являются
случайными функциями времени. Поэтому при проектировании
САР необходимо принимать во внимание статистические свойства
этих воздействий и оценивать влияние такого рода сигналов на
динамические свойства системы. Теория вероятностей и случайных
процессов дает исследователям необходимый математический аппа-
рат. В теории автоматического регулирования этот аппарат исполь-
зуется при разработке статистических методов анализа и синтеза
САР.
В книге изложены указанные специальные разделы высшей
математики. В ней содержатся сведения лишь из наиболее важных
дополнительных, разделов высшей математики, усвоение которых
необходимо студентам, специализирующимся в области автомати-
ческого регулирования. В программе обязательного курса «Мате-
матические основы теории автоматического регулирования» нет
дополнительных разделов высшей математики, связанных с опти-
мизацией систем регулирования (элементы вариационного исчис-
ления, функционального анализа, теории оптимальных процессов),
поэтому эти разделы не получили отражения в книге.
Предлагаемая книга рассчитана на студентов втузов и инжене-
ров, избравших своей специальностью автоматическое регулирова-
ние и управление. Это определило некоторые методические особен-
ности в изложении материала. Так, доказательства теорем и рас-
смотрение различных математических методов в книге производятся
с той степенью строгости, которая делает ее доступной читателям,
имеющим математическую подготовку в объеме обычного курса
высшей математики технического вуза. Доказательства некоторых
наиболее громоздких или не очень существенных теорем опущены
и приведены лишь их формулировки и поясняющие замечания.
Приводятся примеры, позволяющие лучше овладеть изучаемым
математическим аппаратом. Всюду, где это возможно и целесо-
образно, изложение вопросов математики сопровождается рас-
смотрением соответствующих задач теории автоматического регу-
лирования. В книгу включены также параграфы (§ 15, 16, 21,
39 — 41, 46, 47, 51, 56, 58, 69), в которых показывается приме-
нение изучаемого математического аппарата при решении ряда
основных вопросов теории автоматического регулирования. Содер-
жание этих параграфов имеет иллюстративный характер.
При написании книги авторы использовали ряд пособий
и монографий. Перечень литературы приведен в конце книги.
Авторы вполне отдают себе отчет в том, что изложение мате-
матического аппарата теории автоматического регулирования
представляет собой весьма сложную задачу. Все замечания
и советы будут приняты с благодарностью.
Часть первая
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
1.	Основные понятия и определения. Прямоугольной матри-
цей А размера тхп называется таблица из т строк и п столб-
цов вида
	«11	а12	•. а1п	
л =	Я21	а22	• • ^2н	= [«//]
	~^т1	О-т2	♦ • • ®тп-	
(1)
В этой таблице первый индекс элемента означает номер строки,
а второй —номер столбца, в котором он расположен. Так, напри-
мер, элемент ац расположен в r-й строке и /-м столбце. Эле-
менты матрицы a{j (i = 1, 2, ..., т; / == 1, 2, ..., п) могут быть
действительными или комплексными числами.
В случае, когда т = п, матрица называется квадратной мат-
рицей, такая матрица имеет вид
Ьц Ь12 ... Ь1п
^21 ^22 • • • ^2п
(2)
-ЬП1 ЬП2 ... Ъпп_
Две матрицы А и В одинакового размера называются рав-
ными, если равны их соответствующие элементы. Пусть А —
= [«/>], B = [bi7]; тогда А = В, если ан — Ьи (i = l, 2, ..., т\
/=1, 2, ..., п).
Как правило, матрицы обозначают большими буквами латин
ского алфавита А, В, С и т. д.
Транспонированной матрицей АТ для матрицы А размера
тхп называется матрица размера пхт, получаемая из мат-
7
рицы А заменой ее строк столбцами, т. е. если
«11 «12 • • • а1п
Д=[Оу]=
-СУп! О-тЪ • • • О-тп-
то транспонированная матрица будет
А’=Ы =
«11 «21 ... «ml
«12 «22 • • • «m2
-«In «2п ••• «шл-
(3)
(4)
Рассмотрим алгебраические операции над матрицами.
Суммой матриц А и В одинакового размера тхп называется
третья матрица С того же размера, элементы которой равны
сумме соответствующих элементов исходных матриц А и В, т. е.
	«11 «12 •. • «1л		Ьц Ь12 •
С-Д4 В	«21 «22 ... «2л	4-	t>21 Ь22 .
	-«ml «m2 •*. ^тп-		-bmi дт2 .
«11 + ^11	«12 4~ ^12
«21 4“ ^21 «22 4" ^22
•	Ьщ ~
•	^2л
•	Ьтп _
•	. • «1П 4“ Ьщ
•	. . «2п 4” Ь2п
(5)
а2п
-G-ml 4“ bmi Um2 4- dm2 • • • Umn 4“ bmn_
Произведением матрицы А на число X (или числа Л на мат-
рицу Д) называется матрица С того же размера, что и А, эле-
менты которой равны произведению соответствующих элементов
матрицы А на число X:
С = ДХ = ЛД =
Хпц •••
Хп>21 ХИ‘22 Х«2я
(6)
- Х«гд1 Хп/Л2
... kamn_
Произведением матрицы А размера пцхпг на матрицу В
размера т2хп2 (произведение определено в случае пх — т2, т. е.
когда число столбцов множимого равно числу строк множителя)
называется такая матрица С, элементы которой определяются
по формуле
«1
си=^ aikbkj	....j = l, 2,	п2).	(7)
Л=1
8
Следовательно,
	а11	6Z12				^12	• •• Ь\п2	
с=лв=	а21	^22			^21	^22	• • • ^2«2	=
	-UmtX	Птх2 • •	arnttii-		-Ьт2\	Ьщ22	• • • Ьтгп2-	
~nt=m2 У aikbki	»t = m2 j ®lkbk2	nt ~ m2 ... у	^ikdkn2
£ = 1	k= 1	1	
nt = m2	= m2	л( = т2	
У ^kbkX	УI <^2kbk2	... s	^2kbkn2
k= 1	k= 1	fe== 1	
n1=rt?2	—tn2	nt = m2	
amtkbkl _ /г=1	У1 Utnikbk2 fr = l	... у A= 1	amtkbkn2
Пример 1. Заданы матрицы А и В: А =
5
Найти произведение этих матриц С — АВ.
Согласно равенству (8), имеем
(8)
3|, «4* 2 '].
и |з 4 2J
2 3] Г1 2 П [24-9 44-12 24-61 [11 16 81
5 1J [з 4 2 ] L54-3 104-4 54-2j“[ 8 14 7J
В ряде случаев необходимо вычислять транспонированную
матрицу от произведения двух матриц. Покажем справедливость
равенства
(АВ)Т = ВГАГ.
(9)
Пусть А = [aZ/], В = р,7]; согласно равенству (7)
- nt ~1
У, aikbkj , а в соответствии с равенством (4) .
АВ ~
(АВ)Т =
- nt
У Cljkbki
k=\
Для транспонированных матриц £?T = [fy/] и AT = [afl] анало-
«t
гично найдем ВТАТ= У bkialk.
k=\
Полученные выражения для (АВ)Т и ВГАТ доказывают спра-
ведливость равенства (9).
2.	Свойства матриц. Рассмотрим некоторые свойства матриц
относительно введенных выше операций сложения и умножения.
/. Операция сложения матриц обладает свойством коммута-
тивности, т. е.	/
А + В = В+А	(10)
2. Операция сложения матриц обладает свойством ассоциа-
тивности, т. е.
4 + (Я + С) = (Л4-Я)-1-С.	(11)
9
Из свойств 1 и 2 видно, что при суммировании конечного
числа матриц слагаемые можно писать в любом порядке, а скобки,
определяющие порядок суммирования, расставлять произвольно.
3.	Существует единственная матрица X такая, что если
прибавить ее к произвольной матрице А, то матрица А не
изменится, т. е.
А 4-Х-А.	(12)
Матрица, удовлетворяющая условию (12), является единст-
венной, и все ее элементы есть нули. Такая матрица называется
нулевой и обозначается 0, т. е.
-О 0 ... о-
0 0 ... 0
(13)
L0 0 ... 0J
4.	Для всякой матрицы А существует единственная матрица Y
такая, что сумма этих матриц равна нулевой матрице, т. е.
Д4-У-0.	(14)
Все элементы матрицы Y равны элементам матрицы А, но
имеют противоположные знаки, поэтому
	«11	<212 •	• «1п		—«11	—«12 •	• —«in ‘	
A + Y -	«21	«22 •.	• а2п	+	<221		«22 •	•	«2п	= 0.
	eimi	«m2 •	• О-тп -		- «ml	«m2 •	• eimn _	
Матрицу У обозначают —А и называют матрицей, противопо-
ложной матрице А, т. е.	-
--«11  #12 • • •	Щп
__Д ^21	«22 •••	«2п	(15)
-	^тЧ • • • О-тп -
Разностью двух матриц А — В одинакового размера назы-
вается такая матрица С, для которой справедливо равенство
ВС — А. Разность всегда существует и равна сумме 4 4-(—В).
Действительно,
В + С = В+[А + (-В)] = В + [(-В) + 4] -
= [В 4- (—В) ] 4-4 = 04-4-4,
т. е. выбранная матрица С удовлетворяет определению разности.
5.	Если а и Ь —числа, А—матрица, то справедливы соотно-
шения
а (ЬА) — (ab) А = Ь (аА).
(16)
ю
6.	Если а —число, А и В —матрицы одинакового размера, то
справедливо равенство
а (А + В) = а А + аВ.
(17)
7.	Если а и Ь — числа, А — матрица, то справедливо равенство
(а-\-Ь) А—аА-\-ЬА.
(18)
8.	Произведение единицы на любую матрицу не изменяет эту
матрицу, т. е.
ьл-л.
(19)
9.	Если а —число, А и В —матрицы размера соответственно
т1хп1 и т2хл2 (^1 = ^г)> то справедливо соотношение
а(АВ) = (аА)В.
(20)
10.	Операция умножения матриц обладает свойством ассоциа-
тивности (при умножении матриц скобки, определяющие поря-
док выполнения умножения, можно расставлять произвольно),
т. е.
Л (ВС) = (АВ) С,
(21)
где размер матриц Л, В и С равен соответственно я^х/к, /ZiXn2,
«2 X п3.
11.	Среди всех матриц размера пхп существует единствен-
ная матрица такая, что ее произведение на произвольную квад-
ратную матрицу А слева или справа не изменяет матрицу А,
т. е.
АЕ = ЕА.
(22)
Непосредственным умножением матрицы Л на матрицу Е
нетрудно проверить, что матрицей Е, удовлетворяющей равен-
ству (22), является матрица, у которой элементы, расположен-
ные на главной диагонали, равны единице, а остальные эле-
менты-нули, т. е.
-100 оо-
0 1 0 ... 0 0
(23)
Lo о о ... о 1_
Матрица Е называется единичной.
Скалярной матрицей называется такая матрица, у которой
на главной диагонали расположены одинаковые элементы,
а остальные элементы — нули. Легко заметить, принимая во вни-
мание равенство (23), что
а 0 0 ... 0~
0 а 0 ... 0
= аЕ.
(24)
Е =
L0 0 0 ... а.
п
12. Операция умножения матриц обладает свойством дист-
рибутивности относительно сложения, т. е.
(А + В)С = АСШ	(25)
С (А-\-В) = СА-\-СВ.	(26)
Из свойства 4 следует, что умножение матриц дистрибутивно
относительно вычитания, т. е.
(А - В) С = АС -ВС,	(27)
С (А —В) = СА — СВ.	(28) .
13. Числовой множитель а можно ставить при любом из мат-
ричных множителей, т. е.
а(АВ) = (ссА) /> Л (а В).	(29)
В справедливости приведенных выше свойств матриц легко
убедиться, записывая матрицы в виде таблиц и выполняя ука-
занные над ними действия.
Операция умножения матриц не обладает свойством комму-
тативности. Действительно, пусть, например, даны две матрицы
А и В:
2 1
3 2
Г 8 51 Г5 81
Тогда 4В = [18 н| ВД = [9 |4],
откуда
следует, что АВ=^ВА.
При перемножении матриц А и В надо указывать порядок
выполнения операции умножения. Например, в случае произве-
дения АВ указывается, что матрица В умножена на матрицу А
слева, а в случае’ произведения ВА — что матрица В умножена
на матрицу А справа.
Пусть имеем матрицу, состоящую из одного столбца, т. е.
размера их 1,
Ril
-
Тогда транспонированная одностолбцовая матрица будет состоять
из одной строки (имеет размер 1хп):
хт = [%1 х2 ... Хп].	(81)
Матрицу, состоящую из одного столбца или одной строки,
будем называть арифметическим вектором. Естественно, что век-
торы, как частный вид матриц, обладают всеми их свойствами.
§ 2.	ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА
1.	Инверсии и перестановки. Пусть задано п натуральных
чисел 1, 2, 3, ..., п. Меняя местами различные элементы этого
ряда, можно получить /И всевозможных комбинаций из п эле-
12
ментов. Каждая комбинация из п различных элементов, следую-
щих в определенном порядке, называется перестановкой этих п
элементов. Например, для .трех чисел 1, 2, 3 получаем 31 = 6
перестановок:
123, 132, 213, 231, 312, 321.
Случай, когда в перестановке большее число следует перед
меньшим, называется инверсией. Два числа в перестановке обра-
зуют инверсию, если большее число стоит впереди меньшего.
Так, например, в перестановке 1 3 2 —одна инверсия, а в пере-
становке 3 2 1—три инверсии.
Чтобы подсчитать число инверсий-в какой-либо перестановке,
нужно перебрать ее элементы в порядке возрастания, считая
каждый раз число элементов, расположенных перед рассматри-
ваемым и имеющих большее, чем этот элемент, значение. Сумми-
рование полученных результатов дает число инверсий. Число
инверсий в перестановке обозначается заключением этой пере-
становки в жирные квадратные скобки; так, можно записать:
[1 3 2] = 1, 13 2 1] = 3, [5 1 3 2 4[ = 5.
Если перестановка имеет четное число инверсий, то она
называется четной; если же число инверсий нечетное, то пере-
становка называется нечетной.
Операция, которая заключается в перемене местами двух
членов перестановки, называется транспозицией.
Теорема 1. Транспозиция изменяет четность перестановки.
Доказательство. Рассмотрим перестановку из п элемен-
тов: cqo^... az... а7... аи. Пусть транспозиция осуществляется
между элементами оц и ау. После транспозиции число инверсий
для элементов az и ау е элементами, стоящими левее оц, не изме-
нится. Не изменится также число инверсий для элементов, рас-
положенных правее ау. Обозначим число элементов, расположен-
ных между и ау, через т. Пусть до транспозиции из этих т
элементов р образует, a v не образует инверсию с элементом а;.
Пусть также pi элементов образует, a не образует инверсию
с ау. Очевидно, что p-|-v = p1 + v1 = m, т. е.
v — m — р, v1 = m —pi.	(1)
После транспозиции элементы, расположенные между оц и ау
и образовывавшие ранее инверсию с az или ay, не будут ее иметь,
и наоборот. Кроме того, после транспозиции, в случае если
a/<ay, добавляется инверсия между az и а7-; если же ay<az,
транспозиция ликвидирует инверсию между ними. Таким обра-
зом, после транспозиции число инверсий изменится на величину
[(p + pi)-(v + Vi)]±l.	(2)
Из выражений (2) и (1) следует, что изменение числа инвер-
сий после транспозиции равно
2(p4-pi — т)± 1,	(3)
13
т. е. изменение числа инверсий после транспозиции нечет-
но. 
2.	Определители /г-го порядка. Рассмотрим квадратную мат-
рицу размера пхп, т. е. таблицу, составленную из и2 элементов:
«11 «12 ... Clin
«21 «22 • • • «2/1
~«nl Un2 • • • О'пп -
(4)
Введем следующее определение. Определителем (детерминан-
том) п-го порядка квадратной матрицы размера пул называется
алгебраическая сумма всех возможных произведений ее элемен-
тов, взятых до одному их только по одному из каждой стрркидд
каждого столбца, причем знак каждого слагаемого "определяется
числом инверсий в перестановках, составленных из первых и
вторых индексов членов-сомножителей; если сумма числа инвер-
сий четная, то слагаемое положительно, если нечетная — отрица-
тельно.
Для определителя вводится обозначение
«11 «12 ... «1п
det А = det
«21 «22 • • • «2/г
~oni ап2 ... апп.
а11 «12 .. . «1п
«21 «22 • • • «2/1
&п1 ®п2 • • • &пп
(5)
Согласно определению, имеем
«11 «12 ••• а1п
аа.а:2.-.\а:: = s. (-Ds+'w,•••%/„.	<б)
1п
@711 @П2 ••• @ПП	“ >п
где s —число инверсий в перестановке из первых индексов
а / — число инверсий в перестановке из вторых индексов
/1/2... ]п (S = [lii2 .. ЛП], / = 1/1/2.../я]).
Покажем, что если в каком-либо слагаемом определителя
поменять местами два сомножителя, то знак этого слагаемого
не изменится. Действительно, согласно теореме 1 при транспо-
зиции двух сомножителей перестановки из первых и из вторых
индексов изменяют свою четность, а четность суммы не изме-
нится. Таким образом, последовательно переставляя пары сомно-
жителей, всегда можно первые индексы сомножителей каждого
слагаемого определителя расположить в порядке возрастания.
Знаки каждого слагаемого в этом случае не изменяются, поэтому,
*’ Ц — знак, означающий окончание доказательства какого-либо утвержде-
ния
14
не нарушая общности, выражение для определителя можно
записать в виде
<2ц <212 • • • ain
ап.а".а.ы - S	-<ч,.	<7>
'1}2 " 'п
ап1 G-ni • • • <2ЯП
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Вычислить определитель второго порядка.
Имеем
«11 «12 =(_1)0+<)а11О224.(_1)0+1а1га21 = апааг_а1гд^ф	(g)
I «21 «22 I
Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка
Имеем
«11 «12
«21 «22
«31 «32
«13
«23
— (---1)0+0 «Ц«22«33 Ч- ( I)0*2 «12«23«31 “Ь(-1)2+0 «21«32«1зЧ“
«33
-'г (— 1)°1 3 «13«22«31 + ( 1 )°+1 «12«21«33 4“ ( 1 )2+3 «23«32«11 =
= «11«22«33 + «12«23«31 Ч" «21«32«13 «13«22«31 «12«21«33 ~ «23«32«11 •
(9)
Из приведенных примеров следует, что введенное понятие
определителя /г-го порядка обобщает известное из курса высшей
математики для втузов понятие определителей второго и треть-
его порядков.
3.	Свойства определителей. Для вычисления определителей
высшего порядка простых правил не существует. Такие опреде-
лители вычисляются на основе следующих свойств.
1.	Если в определителе строки заменить столбцами, сохраняя
при этом порядок их следования, то значение определителя не
изменится. Иными словами, определители квадратной матрицы
и соответствующей ей транспонированной матрицы равны.
Рассмотрим два определителя
<2ц <212 • • • <21п
<221 ^22 • • • а2п
<2«1 <2/i2 • • • <2/i/i
а11 <221 ••• <2/il
<212 <222 ••• <2/12
<21л <2г/г • • • апп
отличающиеся друг от друга тем, что столбцы одного из них
являются одноименными (в смысле порядка следования) строками
другого. Выберем из определителя D произвольное слагаемое
(й fOi2i2...ainin', оно также будет и слагаемым определителя А,
так как в него входят элементы из каждой строки и каждого
столбца и только по одному, причем сумма инверсий в переста-
новках из первых и вторых индексов будет той же четности.
15
Таким образом, все слагаемые определителя D войдут с тем же
знаком в определитель А. Отсюда получим, что £) = Д.
Следовательно, если строки определителя обладают каким-либо
свойством, то этим же свойством обладают столбцы определителя.
Поэтому в дальнейшем все свойства будем формулировать только
для строк определителя. 
2.	Если одна из строк определителя нулевая, то определитель
равен нулю.
В самом деле, каждое слагаемое определителя представляет
собой произведение элементов, взятых из каждой строки; следо-
вательно, в него войдет и нулевой элемент, а*так кдк определи;
тель равен сумме произведений элементов, то этот определитель
равен нулю. 
3.	Если в определителе поменять местами две строки, то
по абсолютному значению определитель не изменится, а знак
определителя изменится на обратный.
Рассмотрим два определителя, у которых переставлены
строки i и k:
<7ц	012 • •	. а1п	1	аи	а±2 .. •	«1п
ап	Я/2 • •	а^	и А —	Gkl	• • •	akn
aki	642 •.	akn		ац	ai2 ...	a in
Пп1	0П2 • •	Ппп		ап\	ап2 • • •	апп
Выберем произвольное слагаемое th/ а2/2... ац... akj ...anf опре-
делителя D. Это слагаемое будет также слагаемым второго опре-
делителя А. Но так как в определителе А столбцы остались те
же самые, что и у определителя D, а две строки поменялись
местами, то перестановки из вторых индексов элементов для
обоих определителей будут одинаковой четности, а число инвер-
сий в перестановках из первых индексов будет отличаться на
единицу, т. е. изменит четность. Следовательно, все слагаемые
обоих определителей по абсолютной величине одинаковы, но
имеют противоположные знаки, т. е. А — D. И
4.	Всякий определитель, у которого две строки одинаковы,
равен нулю.
Пусть D — определитель с двумя равными строками. Поменяем
местами эти строки, тогда, с одной стороны, на основании пре-
дыдущего свойства новый определитель А== — D, с другой сто-
роны, Д = £), так как определитель не изменяется при замене
одной строки на одинаковую другую строку. Это возможно лишь
в случае, когда £> = 0. 
5.	Если элементы какой-либо строки определителя имеют
общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак
определителя.
16
Действительно, по определению, имеем
«11	<712 • • • а1п
makl mak2 ... makn
== Л (~ 1У «1/^24... makfk... anjn -
'1}2 "•
@nl O-rii • • • O-nn
= m 2 (—1/ai/a2/	...«„/
1 Al	n	ll
'1'2 In
all «12 ••• aln
akl ak2 • • akn
ani &n2 • • • ^nn
Отсюда следует, что, для того чтобы умножить определитель
на число т, достаточно умножить на это число лишь все эле-
менты какой-либо его строки или столбца.
6.	Определитель, у которого какие-либо две строки пропор-
циональны, равен нулю.
Пусть у определителя D элементы /-й строки равны элементам
i-й строки, умноженным на постоянное число т; тогда из свойств
4 и 5 непосредственно следует справедливость свойства 6. ЕЙ
7.	Если элементы некоторой i-й строки определителя являются
суммами двух слагаемых, то определитель можно разложить на
сумму двух определителей того же порядка, причем в первом
определителе в качестве элементов i-й строки будут первые сла-
гаемые, а во втором определителе в качестве элементов i-й строки
будут вторые слагаемые, остальные строки останутся такими
же, как у первоначального определителя.
Рассмотрим определитель
«11 а12 ••• ат
ап «12	• • • «In
«м ak2 ... akn
bkl~}~Ckl ^ft2 + cfe2 ••• bkn-\~Ckn
«nl «п2 • • • «пп
«nl «п2	«пп
“ S (~ 1У«1/«2/2...рА
/х/2 -• 1п
умножения и разделяя результат на две
• anj.
Выполняя операцию
суммы, найдем
<1<2 '"^П
= S (— 1У аца212.. .bk}k..	+ 2 (— iy «1/^24.
V2 ••• in
'1'й •" ’n
«11 «12 ♦ • • «Ш
<711 <712
«In
bki ь^ • • • ь^п
Ckl Ck2
ckn
‘Cklk’ • '°п1'п ~
+
«nl «n2 • • • Упп
«nl «п2 • • • «пп
17
8.	Если к какой-либо строке определителя прибавить другую
его строку, умноженную на некоторое число, то значение опре-
делителя не изменится.
Прибавим к t-й строке определителя D его /*-ю строку и
определитель, полученный после такого преобразования, обозна-
чим через Д:
Л =
#11	#12	#ln
#«i + "Wi	#12 + mak2 • •	ain + makn
#Л1	#А2	&kn
#711	#712	• • •	”nn
#11 #12 • • • #1/1
#11 #12 • • • #1/1
#11 #12 • • • #i?z
#Л1 #/г2 • • • #Ая
= D -р mDY.
#/г1 #Л2 • • • #fe/i
#Л>1 #Л2 • • • #fe/i
#nl #/12 ♦ • • #/1/г
#/il #л2 • • • #л/г
Согласно свойству 6, D1 = 0, следовательно, Д = £>. Я
Из свойства 8 следует, что если какая-нибудь строка опре-
делителя является линейной комбинацией других строк *>, то
этот определитель равен нулю.
4. Миноры и алгебраические дополнения. Рассмотрим опреде-
литель л-го порядка
#11 #12 • • • #1/1
#21 #22 •• • #2 л
#л1 #л2 • • • #лл
Выберем произвольно в этом определителе k строк и k столб-
цов (1	Из элементов, находящихся на пересечении
выбранных строк и столбцов, можно образовать определитель
k-ro порядка, который назовем минором k-ro порядка определи-
теля D. Вычеркнем затем в нашем определителе выбранные k
строк и k столбцов, тогда из остальных элементов можно обра-
зовать определитель (и — k)-ro порядка, который будем называть
дополнительным минором определителя D. Минор будем обозна-
чать М, а дополнительный минор М.
*’ Линейной, комбинацией каких-либо элементов называется сумма произ-
ведений этих элементов на произвольные постоянные числа.
18
Пример 3. Вычислить минор М и дополнительный минор М для второй и
четвертой строк и первого и третьего столбцов определителя
«11	«12	«13 «14
D —
-«21---«22' «23 «24
«31	«32 a$i «34
J041-—.......«43 «44
Выберем в определителе D вторую и четвертую строки, первый и четвер-
тый столбцы, тогда
м=
«21	«23
«41	«43
«12 014
«32	«3^

Пусть ац — некоторый элемент определителя D (очевидно, что
минор первого порядка является элементом определителя). Под
алгебраическим дополнением элемента определителя D будем пони-
мать дополнительный минор к элементу а^, взятый со знаком
(—1),+Л где i — номер выбранной строки, а /—номер столбца.
Алгебраическое дополнение обозначается Aijt т. е. А// = (—1)‘+ML
Пример 4. Вычислить алгебраическое дополнение Л21 в определителе
«п а12 Gig
= «21	а22	«23
а31	«32	а33
Используя определение алгебраического дополнения, имеем
Л1=(-1)2+1
«12 а13
«32	«33
Теорема 2. Произведение некоторого элемента определителя
atj на его алгебраическое дополнение А1}- равно алгебраической сумме
всевозможных слагаемых определителя D, в которые ац входит
в качестве общего множителя.
Доказательство. Рассмотрим алгебраическую сумму все-
возможных слагаемых определителя, имеющих ац общим множи-
телем, с теми же знаками, с которыми они входят в исходный
определитель D. Обозначим эту сумму S, тогда
5 = Z (— 1)S+Z «,7«1а«2р • • • «1-17А + 1Ц • • • апр,
где элементы последовательности ар ... р принимают значения
из ряда чисел 1 2 ... / —1 /4-1 ... п. Обозначим через t число
инверсий в перестановке из первых индексов, а через s —число
инверсий в перестановке из вторых индексов элементов слагае-
мых в сумме S:
s — [i 12 ... i — 1 i 4-1 ... п] = i — 1;
t = [/ар ... Xp ... p] = j — 1 4- [aP ... Xp ... p] = j — 14- f,
где t' — [aP ... Xp ... p].
Суммируя инверсии, найдем $4-/ = i4-/4-/'— 2, откуда
(—!')«'= (_i)U+/)+/'-2 = (—!)<•+/ (—1)<
19
Подставляя это значение в сумму S, получим
S =	(—1)* «/y«la^2|3 • • • Щ-lTfii + lii • •  ^пр ~
= (—l)f+>aZy2(—1Х'«1ап2Р ... а/_а«/+1р ... апр.
В сумме, входящей в правую часть последнего равенства, пере-
становка из первых индексов не имеет инверсии, а перестановка
из вторых индексов имеет t' инверсий, поэтому <S = (—\}iJu а^Мц =
— ацАц. И
Следующая теорема устанавливает возможность разложения
определителя по элементам строки или столбца.
Теорема 3. Любой определитель можно представить в виде
суммы произведений элементов какой-либо строки или столбца
на соответствующие алгебраические дополнения, т. е. если
а11 а12 ••• а1п
«21 ^22 • • . ^2п
ОП1 «я2 • • • @пп
то справедливы равенства
п
D = ОцАц -f-aizAi2 + .•• + ainAin = У*, сщАц,	(10)
/=i
п
D — a1jA1J-]-a2jA2jA--‘‘-]~anjAnj~ fy/Ay. (11)
i=i
Доказательство. Теорема будет доказана, если удастся
показать, что сумма (10) или (11) содержит все слагаемые опре-
делителя D, взятые с их знаком, и только эти слагаемые.
Выберем произвольное слагаемое «/y«ia«2p ... «/~ia«7+i(i ••• апР
определителя D. По доказанной выше теореме 2 оно будет вхо-
дить в произведение ацАц, притом с тем же знаком, что и в опре-
делителе D. В другое произведение aikAik (i k) это слагаемое
уже не войдет, так как в противном случае в это слагаемое
войдут два элемента из одной и той же строки, что невозможно.
Перебирая произведения а{1Ац, а^А^,	, а1пА1п, мы учтем
все члены определителя D — тем докажем возможность разложе-
ния (10) определителя D по элементам i-й строки. Аналогичным
образом доказывается справедливость формулы (11) разложения
определителя D по элементам /-го столбца. 
Величину суммы произведений элементов строки определи-
теля на алгебраические дополнения элементов другой строки
устанавливает следующая теорема.
Теорема 4. Сумма произведений элементов некоторой строки
определителя п-го порядка на алгебраические дополнения соот-
ветствующих элементов другой строки равна нулю, т. е.
^uAjiA-ai2Aj2-j~’ • • Ч~ = 0 it i—lt 2, ...» п). (12)
20
Доказательство. Рассмотрим определитель
	«и	^12 •	
	ац	ai2 •	• О-in
D —	а}1	Clj2 •	• a.j п
	ani	®n2 •	• апп
Кроме того, рассмотрим другой определитель А, который полу-
чается из определителя D заменой /-й строки на t-ю:
аП #12 • • • а1п
	ап	а12 •	• ain
	ап	ai2 .	• ain
^гЛ ^-п2 • • • апп
Согласно свойству 4 (см. § 2), определитель А —0. Обозна-
чим алгебраические дополнения элементов г-й строки определи-
теля А через By, а алгебраические дополнения элементов этой
же строки определителя D — через Ау. Разложим вспомогатель-
ный определитель А по элементам его /-й строки:
А = Qi\Bjx tZ/2B/2 + . • • + ainBjn — 0.
Но определители D и А отличаются только /-й строкой,
поэтому = Aj2 = BJ2, .Ajn = BJn. В результате можно
записать, что апА}х-\-ai2Aj2-\-•  .A-ainAjn = 0. 
Заметим, что справедливо также равенство
ci\k^uA~	ankAni — 0,	(13)
так как строки и столбцы определителя в силу свойства 1 рав-
ноправны.
5, Вычисление некоторых определителей. Методы вычисления
определителей разберем на примерах.
Вычисление определителя с помощью
понижения его порядка
Вычисление определителей порядка выше третьего следует
выполнять путем последовательного сведения этого определителя
к низшему порядку, разлагая его по элементам какой-либо
строки или столбца.
21
Пример 5. Вычислить определитель
12 0 3
12 4 1
D =
3 4 0 1
2 3 12
Разложим определитель по элементам первой строки. В соответствии с тео-
ремой 3 имеем
0=1
1	1
1 —2 3
2	2
1	1
1 Н-0 3
2	2
1	1
1 —3 3
2	2
2 4
4 0
3 1
4
0
1
2
4
3
2 4
4 0
3 1
= 1 (124-4 — 32 — 2) —2 (8 + 3 — 24—1) —3(44-36 — 32 - 6) = — 18 + 28 — 6 = 4.
Однако удобнее разложить этот определитель по элементам не первой строки,
а третьего столбца, так как третий столбец имеет два нулевых элемента. В этом
случае получим
1 2 3
1 2 1
3 4 1
= — 4(8 + 4+27 —24—12—3)-(2 + 6+12- 18-4 —2) = 4.
Вычисление определителя с помощью
приведения его к треугольному виду
Вычисление определителя упрощается, если в этом определи-
теле элементы, расположенные по одну сторону главной диаго-
нали, равны нулю. Такой определитель называется определите-
лем треугольного вида. В этом случае определитель равен произ-
ведению элементов, расположенных на главной диагонали.
Пример 6. Вычислить определитель
1+а	1	1	1
D 1 1+6 1 1
1	1	1+с	1	’
1	1	1	I+d
Согласно свойству 7, представим определитель D в виде суммы:
11	11	а 0	0	0
Л 1 1+6	1	1	1 1+6	1	1
I? =	+	.
1	1	1+с	11 I 1+с	1
1	1	1	1+d	1	1	1	1+d
В первом определителе вычтем из второй, третьей и четвертой строк первую,
а второй определитель представим опять в виде суммы:
	1	1	1	1		а	0	0	0		а	0	0	0
	0	6	0	0		1	1	1	1		0	6	0	0
D-	0	0	с	0	+	1	1	1+с	1	+	1	1	1+с	1
	0	0	0	d		1	1	1	1+d		1	1	1	14-d
22
Вынесем из второго слагаемого-определителя общий множитель
а из третьего — общий множитель первой
первой строки,
второй строк:
и
треугольного
вида,
Вычисляя полученные определители
определителе вычитая третий столбец из четвертого, получаем
а в последнем
окончательно
D — bed 4* acd Ц- abc 4- abed 4- ab
10 0 0
0 10 0
1110
1 1 1 d
= bed 4- acd 4- abc 4- abd 4- abed.
Вычисление определителей с помощью
рекуррентных соотношений
В некоторых случаях удобно производить вычисление опре-
делителей с помощью рекуррентных соотношений *). С помощью
этого метода можно, например, вычислить определитель вида
1 ах а[ ... а"-1
1 а2 а* ... а"-1
1 °"
Этот определитель называется определителем Вандермонда.
Пример 7. Вычислить определитель Вандермонда:
1
аг af ... а”-1
а2 al ... а"-1
2
п
а
а
п
*’ Рекуррентным соотношением называется формула, выражающая какую-
либо величину, зависящую от числа п, через ту же величину при меньшем
абсолютном значении п.
23
Вычтем из каждого столбца этого определителя, начиная со второго, пре-
дыдущий, умноженный на at:
10	0	...	0
,,   1 а2 °1 а2 (а2 а1) 1' • а-2	(а2 а1)
v п —
1 а —а. а„(а„ — аЛ ... а^~2 (а„—аЛ
П L П\ П 1/	И \ п 1/
Раскроем определитель Vn по элементам первой
множители строк за знак определителя:
строки и вынесем общие
О2 Qj Og (^2	^1) ‘(^2	^1)
сз °1 аз(аз а1) ••• G3 (й3 °1)
Здесь У,г—определитель Вандермонда (п—1)-го порядка с элементами о2,
а3, ..., ап. Таким же способом, как и для Vn, найдем Уп 1 = (а3 — а2) (я4— а2)...
... (ап— a2)Vn_2. Продолжая аналогичные операции, окончательно получаем
Vn~ («2 — «1)(«з — «1) ••• («Л —«1) ••• («п—«п-1). т- е. Vn — Q (ai—ak).
6.	Ранг матрицы. Обратная матрица и ее свойства. Назовем
минором k-ro порядка матрицы А определитель, составленный
из элементов произвольно выбранных ее k строк и k столбцов.
Введем понятие ранга матрицы. Если какой-либо минор
порядка г матрицы А не равен нулю, а все миноры, начиная
с минора порядка r+1, равны нулю, то число г называется
рангом матрицы (г = rang Л).
Будем считать ранг матрицы равным нулю, если все эле-
менты матрицы равны нулю. Очевидно, что ранг квадратной
матрицы, определитель которой не равен нулю, равен ее раз-
меру, т. е. г = п. При вычислении ранга матрицы определение
всех миноров (r-f-l)-ro порядкй может оказаться громоздким.
Следующая теорема устанавливает, что возможно находить
ранг матрицы, определяя не все миноры (г+ 1)-го порядка,
а лишь окаймляющие миноры порядка г+Е
Теорема 5. Если в матрице А существует минор r-го порядка,
не равный нулю, а все миноры (г + О*20 иорядка, окаймляющие
этот минор, равны нулю, то г —ранг матрицы.
Теорему примем без доказательства.
*’ Доказательство теоремы см., например: Курош А. Г. Курс высщей
алгебры. М., «Наука», 1975, с. 71—73.
24
i
j
4
I
i Для вычисления ранга матрицы удобно воспользоваться мето-
дом окаймления: сначала найти минор r-го порядка, не равный
нулю, а затем, произвольно присоединяя к нему оставшиеся
строки и столбцы, вычислить окаймляющие миноры (&4-1)-го
порядка. Затем вычислить все окаймляющие миноры (&-}-2)-го
порядка и т. д. Такие вычисления надо продолжать до тех пор,
пока не будет найден минор г-го порядка, не равный нулю,
а все окаймляющие его миноры (/4-1)-го порядка окажутся
равными нулю. Порядок г последнего минора, не равного нулю,
и будет рангом матрицы.
Пример 8. Вычислить ранг матрицы Д =	2	2
2 — 1
1	2
4 — 7..
Минор первого порядка, расположенный в левом верхнем углу матрицы А,
не равен нулю (1у=0). Окаймляющий его минор второго порядка, располо-
женный в верхнем левом углу матрицы, равен нулю:
к указанному минору первого порядка вторую строку и третий столбец мат-
рицы Д, тогда получим окаймляющий
окаймляющие миноры третьего порядка:
минор
= 0,
— 1
2
-7
= 0. Добавим
—— 3 =# 0. Вычислим
-0.
Так как имеем минор второго порядка матрицы А, не равной нулю, а все
окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы
	Г 1	1 2	— 1	
г = rang А = rang	2	2 1	2	= 2
	— 1	— 1 4	—7-	
Введем два новых понятия.
Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А
размера пхп, назовем такую матрицу Л-1 того же размера, для
которой справедливы соотношения
АА'^А^А^Е.	(14)
Матрица А, составленная из алгебраических дополнений
транспонированной матрицы Лт, называется взаимной (присоеди-
ненной) матрицей относительно Л, т. е. если
Ди • • •
• • •
&1п
О-ПП_
то Л =
• • • Ат
• • • ’^пп._
(15)
1
2
— 1
1
2
— 1
2
1
4
1
2
— 1
1 1
_ 1 —1
1 2
2 1
Л =
1 1
2 2
2
1
4

Следующая теорема устанавливает единственность обратной
матрицы.
Теорема 6. Если для данной квадратной матрицы размера
пхп существует обратная матрица, то она является единст-
венной.
25
Доказательство. Предположим, что для матрицы А
существуют две обратные матрицы А 1 и Аъ Тогда по опреде-
лению обратной матрицы имеем: АА~1 = А~1А=Е, АД1=Д1Д =
= Е. Умножив последнее равенство слева на А \ получим
Д’1 (АДО = АгЕ.
Воспользовавшись сочетательным законом умножения матриц
и определением единичной матрицы, имеем
А-1 (А АО = (Д-М) At = ЕАХ = Al = А 1Е = А \
т. е. Ai= А-1. 
Квадратная матрица называется вырожденной или особой,
если ее определитель равен нулю. В противном случае квадрат-
ная матрица называется невырожденной или неособой.
Установим теперь, при каких условиях обратная матрица
существует. Предварительно докажем теорему об определителе
произведения двух матриц.
Теорема 7. Если А и В —две квадратные матрицы размера
пхп, то определитель их произведения равен произведению опре-
делителей, т. е.
\АВ\ = \А\\В\.
(Гб)
Доказательство. Пусть даны матрицы А и В:

и произведение их АВ:
СП1
С1п
Спп.
где
п
Ctj'^ ciikbkj (i, j 1, 2,	, ri).
k=\
(17)
Рассмотрим определитель
произведения этих матриц:
| АВ | =
п	п
I	I ^Xk^kn
Л=1	А=1
п	п
| e^nk^kl • • •	4 Q-nkbkn
Л=1	k=\
Согласно свойству определителей 7, если элементы некоторой
строки определителя являются суммами, то его можно предста-
вить в виде суммы определителей. Вынося общие множители
26
строк за знак определителя, получаем сумму пп определителей:
|ЛВ|= 2
k.k„... k
Chktbktx •  • aiklbkin
®nk bk i . .. Clnk bk n
n n	n n
~	••• ankn
k.k •••
12 n
bktl
•	• • bktn
•	• • bk n
n
Переставим в определителе, стоящем под знаком суммы, строки
так, чтобы первые индексы элементов в каждом столбце шли
в порядке возрастания номеров. Тогда,-согласно свойству опре-
делителя 3, получим
I ав | = 2	(—О' «i*1«2fe2 • • • ankn
klk2 •  • kn
Ьц • • • bin
bni ••• bnn
где
t = [kik2 ... kn].
Вынося определитель
B =
bu
bnl
• • • bln
••• bnn
за знак суммы и пользуясь равенством (7), получим
\АВ\=\В\ 2 (-1)^/Ы2 ... ankn = \ В\\А\ — \ А\\В\. 
klk2 kn
Доказанную теорему можно по индукции распространить на
произведение нескольких матриц. Из теоремы, в частности, сле-
, дует, что произведение двух или нескольких матриц размера
пхп только тогда является вырожденной матрицей, когда по
крайней мере один из сомножителей — вырожденная матрица.
Перейдем к рассмотрению теоремы о существовании обратной
матрицы.
Теорема 8. Для данной квадратной матрицы А тогда и
только тогда существует обратная матрица Д1, когда эта мат-
рица невырожденная.
Доказательство. Составим матрицу А, взаимную отно-
сительно А, и найдем произведение:
AA = [btj] (i, /==1,2,
По определению операции умножения матриц имеем
by — ацАji Д- ai2Aj2 -j- ... + alnAjn.
Из равенства (10) и (12) следует, что
b = ( I А | при i = /,
"	( 0 При I /,
(18)
(19)
27
т. е.
(20)
Подобным же образом можно доказать, что ДД = |Д|Е. Так
как, по условию, | А |	0, то, умножая обе части последних
1
двух равенств на уду, имеем
т4т(дл)=д(^тЛ)=е, 14г(да)=(7^гЛ)д=е.
Полученные выражения показывают, что для невырожденной
матрицы А существует обратная матрица
Л->=|4ГЛ. 	(21)
Пусть теперь матрица Д — вырожденная, т. е. | А | = 0. Пред-
положим, что и в этом случае существует обратная матрица Д"1.
Тогда А А 1 = Е. Но |Ej^O, т. е. Е — невырожденная матрица.
Из замечания к теореме 7 следует, что последнее равенство
справедливо только тогда, когда А и А 1 — невырожденные мат-
рицы. Однако, по предположению, матрица Д— вырожденная.
Полученное противоречие доказывает, что для вырожденной мат-
рицы обратной матрицы не существует. 
При преобразованиях матриц часто приходится определять
обратную матрицу (АВ)1. Покажем справедливость равенства
(АВ)1 = В1 А1,	(22)
где А и В — квадратные матрицы размера пхп. Для этого нужно
доказать, что (ЯМ1) (АВ) = (АВ) (В М х) = Е. Пользуясь свой-
ством ассоциативности умножения матриц, имеем:
(ЯМ1) (АВ) = В1 (А'1 А) В = В гЕВ = ВЧЗ = Е,
(АВ) (В-1 А-1) = А (ВВ-1) Д1 = АЕА1 = ДД1 = Е,
т. е. равенство (22) справедливо. 
В заключение введем два новых определения. Целой положи-
тельной степенью квадратной матрицы А называется мат-
рица Ап, равная произведению п матриц А:
Ап = АА ... А.	(23)
Целой отрицательной степенью квадратной матрицы А на-
зывается матрица Ап, равная произведению п матриц, обратных
матрице Д:
А п = А ^А1 ...А1.
28
§ 3.	ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МАТРИЦАХ
1.	Функциональные матрицы. Векторная запись дифферен-
циальных уравнений. При решении ряда задач удобно ввести
матрицы, элементы которых являются функциями независимого
переменного /..(В большинстве технических задач под буквой t
понимают время.) Эти матрицы имеют вид
Л(0 =
~«н (/)
«21 (0
«12(0 ••• «ш(0 "]
«22 (0 ••• «2/1 (0
= [«у(0]
(1)
L«mi (0
«m2 (0 • • • «гм (0-
и называются функциональными матрицами.
Введенные выше операции сложения, умножения, определения
обратной матрицы для числовых матриц полностью распростра-
няются на функциональные матрицы.
Введем несколько определений.
Пределом матрицы А (0 при стремлении независимой пере-
менной t к t0 называется матрица A(t0), элементы которой есть
пределы элементов матрицы А (0 при t-^t0 (если они существуют),
т. е.
lim «ц(0 Hmai2(/) ... Итп1я(/)
lim «21(0 lim я22(0 ... lim o2n(0
lim4(0 =	t^t0	t-*t0	= pimoi/(01.(2)
'	lim (/) lim om2(0 ... lim Q-mn (0
it -►/©	t -> /q	р-д. t -*• t()	_
Производной матрицы A (0 no
называется матрица A (t) вида
	(0 dt	da12 (t) dt
	da21 (0 dt	da22 (0 dt
	dami (0	dam2 (t)
	dt	dt
независимому переменному
daln (0 dt da2n (0 dt	_ [ day (t) | L dt J*	(3)
.damn (0		
dt		
Правила дифференцирования
функциональных матриц
Для вычисления производных пользуются следующими пра-
вилами дифференцирования матриц:
/. Производная суммы матриц равна сумме производных этих
матриц, т. е.
d гл //\ 1 о dA (0 . dB (t)	/ л\
29
В самом деле, имеем
[A(t) + B (/)] =	([а„ (/)]+[бу (/)]) = 4 [ау (0 + бу (/)] =
_ Г datj (/) dbij (0 1 Г daij (Л Г dby (01 dA (t) dB (t)
~ L di di I “ L di J I di di * dT' "
2.	Постоянный числовой множитель можно выносить за знак
дифференцирования, т. е.
4(аД(0) = а^4-.	(5)
Действительно,
4 («4 (/)) = 4 (а К W1) = 4	0] =
Г d (аан (0) 1	Г	daij (0 1	Г da‘J (О1	dA (0	—
=--------- = а—-7-.— = а—у.— =а——. Я
L dt J	| dt J	[ dt J	dt
3.	Производная произведения двух матриц равна сумме произ-
ведений первой матрицы на производную от второй матрицы и
производной первой матрицы на вторую, т. е.
4(Д(/)В(/))=дй^4+-44в(о.	(6)
По правилу умножения матриц получим
п
d
dt
k = 1
г п
daik (0 л /л\
2	=
п
4(Д(/)В(0)=4 ^alh(t)bkl(t) = У
{аи (0 bkj (/)) =
г п
=
.*=1
4.	Производная обратной матрицы вычисляется по формуле
д-1 (0=- д-1 (0	Л-1 w-	Р)
По определению обратной матрицы имеем А (/) А1 (/) = Е;
дифференцируя это равенство по правилу 3 и учитывая, что
производная постоянной матрицы равна нулевой матрице, полу-
чаем
Л(/)Л-1(/) + Д(/)А“1(0 = 0. Я
В ряде задач необходимо вычислять производную от опреде-
лителя квадратной матрицы
А (О
pzn(/) ... я1л(01
(8)
нЛ1 (/) ,.. апп (t)_
30
Эта производная вычисляется по формуле
«и (О «12(0 ••• «ш(0
		«z-ii (/)	«/—12 (0 •	• «/—1л (0	
d | А (/) | dt	!l	da (/) «/+ii (0	ф2(/) .. «/+12 (0 •	• ^/л(0 • «/+1л (0	(9)
«П1(0	«и2(0 ••• «пп(0
Для доказательства формулы (9), учитывая равенство (7) § 2,
запишем
। а (о ।« S (—i)z «i/j (о «24 (о • • • «п/„ (о.
/14... 1п
Полученное равенство продифференцируем по /. Согласно пра-
вилу дифференцирования произведения, имеем
--'д'1 = 2 <-*>'d».ww  • •	w+
44 " 4l
+ S (-1У <4 (0<4« «»/,(') ... ол/„(/) + ...
44 ••• 1п
Это равенство доказывает справедливость формулы (9), так как
из него следует, что каждое слагаемое внешней суммы есть
определитель | A (t) |, у которого i-я строка заменена строкой из
ее производных. 
Интегралом от матрицы А (/) в пределах от t0 до t назы-
вается матрица вида
	= { А(т)б/т = /о	-/ \ «и (т) di 4 / $ п21 (т) di 4.	t J я12 (т) di . 4' / П22 (т) di 4	/ .. J а1п (т) di /о t .. а2п (т) di 4	• (10)
		t	t	/	
*		$ «ли (?) di _0	$ «л/2 (т) di 4	• • $ amn(i)di 4	_	

Пользуясь введенными обозначениями, можно получить ком-
пактную векторную запись дифференциальных уравнений.
31
Рассмотрим систему п линейных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений с п неизвестными:
— «11 (0 Х1 4" «12 (О Х2 4” • • • 4" а1п (0 хп 4~ Д (/),
-уг~ — а21 (0 •Vl + «22 (О Х2 4" • •• 4~ а2п (I) хп 4- /г (О ,	/1 1\
= «nl (О Х1 + ап2 (/) Х2 4~ • • • 4- апп {t) ЛГд 4"
Введем векторы х(/) = и матрицу Д(() =	pi (01	гА(/)-| •	» Т \Ч —	; _xn(/)J	L//(0_ «И (0 fl12(0 ... aln(t)~ «21 (0 «22 (О--* «2П (0
	.««I (/) an2(t)
Система уравнений (11) может быть записана в векторном виде
так:
^ = Д(/)Х+/(/).	_	(12)
Воспользовавшись определением производной матрицы, прави-
лами умножения и сложения матриц, а также условием равен-
ства матриц, нетрудно показать, что векторное равенство (12)
эквивалентно системе дифференциальных уравнений (11).
Для линейной системы дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами
*= duxi 4~ «12^2 4- • • • 4* ainxn 4- fi (О »
— «12*1 4~ «22*2 4~ ••• 4-«гЛ4-/:2 (Д,	(13)
“ ап1х1 4“ Ип2х2 4- • • • 4- annXn ~\~fn(t)
матрица из коэффициентов этой системы числовая и векторная
запись ее имеет вид
^ = Ax+f(t).	(14)
Методы исследования и способы решения дифференциальных
уравнений с помощью теории матриц рассмотрены в четвертой
главе.
32
2. Примеры векторной записи дифференциальных уравнений
автоматических систем. Векторная запись дифференциальных урав-
нений широко используется в теории автоматического регулиро-
вания,
1. Пусть звено системы автоматического регулирования опи-
сывается дифференциальным уравнением
T^ + 2lT^ + x^Kf(‘),	(15)
здесь Т и % —параметры звена; х — сигнал на выходе звена;
f (/) — сигнал на входе звена. Этому дифференциальному уравне-
нию соответствует передаточная функция
колебательного звена	-------
к	W(P)
~ 72р2+2^Тр+1 ’	6) J-------_-----
где р — символ дифференцирования.	Рис ।
В теории автоматического регулирова-
ния условно принято представлять диффе-
ренциальные уравнения графически в виде структурных схем,
где передаточная функция звена записывается в прямоугольнике,
а стрелками, входящими и выходящими из этого прямоуголь-
ника, обозначаются входной и выходной сигналы (рис. 1).
Перейдем к векторной записи вида (12) дифференциального
уравнения (15). Обозначим
dx dxi	..
х==х^ -dt--dT = x^	(17>
Получим систему двух
порядка, эквивалентных
dx2
dt
При этом матрица
дифференциальных уравнений первого
уравнению (15):
dx,
-dt^X^
р2 Х1--Х2 ~Ь f2 f (О’
(18)
О
____
у2
а векторы х и f (t) будут иметь вид
f(0 =
- о
к/(О
L т
(19)
(20)
2. На рис. 2 приведена структурная схема системы автома-
тического регулирования, рассмотренной в § 15, где передаточные
*’ Определение передаточной функции см. в § 15.
2 И- Р- Чемоданова, т. 1
33
А =
2?
т
функции W\)(P)» П (р) и Z (р) соответственно равны:
4
= р (р2+ 1,2р+ 1) (0,02р + 1) ’
(21)
/7^ = W+T’ Z(P) = 10^
Па структурной схеме кружками условно обозначена операция
алгебраического суммирования соответствующих переменных
системы, причем зачерненный сектор обозначает операцию вычи-
тания, а светлый — сложения. Переменные системы обозначены
буквами х, z, у, е, ц, а выходной сигнал g(t). Надо найти диф-
ференциальное уравнение этой системы, записанное в вектор-
ном виде.
Рис. 2
Рассматриваемой автоматической системе соответствует система
дифференциальных уравнений, записанных в операторном виде:
(0,02р4 + 1,024р3 + 1,22р2 + р) х = 4г,
у = 10р2х,
e = g — х, (22)
(0,1р-|- 1) и — (50р + 1) е>
z = y — u.
Исключая из этой системы уравнений переменные г, у, е и и,
получаем
(0,002р5 + 0,1224р4 + 5,146р3 + 41,32р2 + 201 р + 200) х =
= 200(p+l)g. (23)
Оператор р соответствует операции дифференцирования, поэтому
в обычной форме записи дифференциальное уравнение (23) имеет вид
0,002-^ + 0,1224-^ + 5,146-^ + 41,32-^ !
+ 201	+ 200х = 200	+ g . (24)
34
Введем обозначения:
L < X = Xi,			dx ~dt ~	dx} ~dt			d2x ' “ *2’ “dF	_ dx2 ~ dt	= Х3,	d3x dt3 d*x dxi	__ dx3 dt 	dx4 dt	= x4, XQ-	(25)	
(	в случг где х =	екто ie б *Г х2 Хз х4	рная заг удет име , л =		шсь дифференциального уравнения ть вид ^ = Лх + С^Ю, ’	0	10	0 0	0	10 0	0	0	1 0	0	0	0 200	201	41,32 _ 5,146 0,002	0,002	0,002	0,002					(24)	в это (2 0	" 0 0 1 0,1224 0,002 _		м 5)
Ст = 10-5 [0 0 0 1 1].
3. Векторная запись уравнений особенно удобна при иссле-
довании ристем автоматического регулирования, в которых имеется

несколько регулируемых величин, причем изменение одной из
них вызывает изменение других. Такие системы называются
системами многосвязпого регулирования. Общий вид многосвяз-
ной системы автоматического регулирования приведен на рис. 3.
Эта система состоит из объекта регулирования и регулятора.
К объекту приложены п возмущающих воздействий f±, f2,..., fn.
Задача регулирования состоит в том, чтобы обеспечить возможно
меньшее отклонение значений регулируемых координат xlf х2, ...,хп
от управляющих воздействий gi, g2, ..., gn.
Рассмотрим более подробно двухканальную систему регулиро-
вания, показанную на рис. 4. Здесь введены следующие обозна-
чения: Xi (i = 1, 2) — i-я координата объекта; gt (z = 1, 2) — упра-
2*
35
вляющее воздействие для регулируемой координаты Z-го объекта;
fi (i — 1, 2) — возмущающее воздействие по каналу г, &i = gt— xt
(/=1, 2) — отклонение координаты объекта от управляющего воз-
действия; Vi (р) — передаточная функция регулятора по каналу
i (i = 1, 2); Wi [р) — передаточная функция объекта регулирования
по каналу /(/ = 1,2); /у, (р) — передаточная функция влияния
отклонения / регулируемой координаты объекта от управляющего
воздействия на канал / (/=1, 2); ац (р) — передаточная функция
влияния регулируемой координаты / объекта на канал / (/, j = 1, 2);
P/у (Р) — передаточная функция влияния возмущения по каналу j
на канал / (/= 1, 2).
Рис. 4
Рассматриваемой двухсвязной системе автоматического регу-
лирования соответствует следующая система уравнений, запи-
санных в операторном виде:
*1 (0 = lf'1 (р) ( V, (р) Ifei (/) - Х1 (I) + Г12 (р) (& (t) - *2 (0)] —
- «12 (Р) х2 (/) + р12 (р) /2 (Z) + ₽ц (р) л (/)),	(27)
х2 (I) = W2 (р) {V2 (р) [fe2 (/) - х2 (t) + r21 (р) (g, (t) - Xj (ОД -
— a2i (р) Xi (0 4- Р21 (р) fi (0 + Р22 (р) /2 (01*
Полученную систему уравнений приведем к виду
[1 + №1 (Р) V1 (р)] *1 (/) + №1 (Р) V1 (Р) /12 (р) х2 (/) +
+ Wi (р) ai2 (р) х2 (/) = Wi (р) Vi (р) g! (/) 4-	(р) Vi (р) r12 (p)g2 (/) 4-
+ l^i (Р) Pi2 (Р) /2 (0 + W. (р)	(р) Л (/),
(28)
[1 + W2 (р) V2 (р)] х2 (/) 4- W2 (р) V2 (р) г21 (р) Х1 (/) 4-
4- W2 (р) a2i (р) хх (/) = W2 (р) V2 (р) g2 (t) 4- W2 (р) V2 (р) r21 (р) g! (t) 4-
+ W2 (p) p2i (p) fi (/) 4- W2 (p) p22 (p) f2 (/).
36
Введем обозначения:
«и (Р) = 1 + W! (р) Ki (р),	а22 (р) = 1 + W2 (р) V2 (р),
«12 (Р) = W1 (р) [ V1 (р) Г12 (р) + «12 (р)],
о21 (р) = №г (р) [ v2 (р) г21 (р) 4- «21 (р)],
Ьн (р) =	Vi (Р) Рн (р),	Ь12 (Р) = Wi (р)	р21 (р),	(29)
^2i (Р) =	W2 (р) р21 (р),	b22 (р) = W2 (р)	р22 (р),
Си (р) =	Wi (р) Vi (р),	с21 (р) = W2 (р)	Vi (р) г21 (р),
012 (Р) =	Wi (р) V! (р) г12 (р), с22 (р) = W2 (р)	V2(p).
С учетом новых обозначений система уравнений (28) примет вид
он (р) Xi (/) 4- о12 (р) х2 (0 = cu (р) gi (Z) 4- 012 (Р) £г (0 4-
4- Ьц (р) fi (/) 4~ bi2 (р) /2 (О»
о22 (р) х2 (/) 4- о21 (р) Xi (/) = с22 (р) g2 (/) 4- с21 (р) gi (t) 4-
4- ^2i (р) fi (О 4- b22 (р) f2 (Z),
или
У о/, (р) х,- (/) = 2 oz/ (р) g, (Z) 4- S Ьц (р) (Z) (t = l,2).	(31)
/=1 /=1	/ = 1
Рассмотрим матрицы
Оц (р)	«12 (р)
021 (Р) «22 (Р) J ’
Оц (р) о12 (рУ
_021 (р)	С22 (р)_
Д(р) =
и векторы
§•(0 =
С(/) =
~gi (О'
^2 (0J ’
x(t) =
В(р)=к(₽)
Х1 (/)!
_х2 (/)_
f(t)=
^12 (р)’
^22 (р) J ’
71(0'
72 (0_ ’
(32)
Используя введенные обозначения, систему уравнений (31), опи-
сывающих динамику двухсвязной системы, можно записать в век-
торном виде:
А (р) х (/) = С (р) g (Z) 4- В	(33)
В эквивалентности уравнений (33) и (31) легко убедиться,
записывая матрицы А, В, С и векторы х, g, f в развернутом
виде и выполняя указанные в векторном уравнении (33) действия.
В случае многосвязной системы с п регулируемыми коорди-
натами матричное уравнение этой системы будет аналогично урав-
нению (33), но только матрицы будут иметь размер пхп,
а векторы — размер nxl. Рассмотренная матричная запись урав-
нений, описывающих динамику многосвязной системы автомати-
37
ческого регулирования, весьма удобна, так как сокращает объем
записи и делает результаты более обозримыми, что в ряде случаев
облегчает решение задач анализа и синтеза многосвязных авто-
матических систем.
3. Свойства Х-матриц. Важным частным случаем функциональ-
ных матриц являются так называемые Х-матрицы.
Матрица, элементы которой есть многочлены от переменного X,
называется "т матрицей. Рассмотрим некоторые вопросы теории
Х-матриц.
Введем понятие элементарных матриц. Элементарной матри-
цей первого типа называется матрица Ец(а), полученная из
единичной матрицы заменой единицы в г-й строке на число а
(в общем случае комплексное), т. е.
	“1 0	0 1	0 . 0 .	. 0 . . 0 .	. 0~ . 0	
£if(a)=-	0	0	0 .	. а .	. 0	/-строка
	_0	0	0 .	. 0 .	. 1_	
[/-столбец
(34)
Обозначим Etj (i /) квадратную матрицу, у которой элемент,
расположенный в z-й строке и /-м столбце, равен единице, а все
остальные элементы — нули:
	“0	0 ...	0 ...	0"		
	0	0 ...	0 ...	0		
	0	0 ...	1 ...	0	/-строка	(35)
	0	0 ...	0 ...	0		
[/-столбец
Элементарной матрицей второго типа называется матрица вида
	“1	0 ...	0 ...	0	...		
	0	1 ...	0 ...	0	... 0		
£ + ф(Х) Eif=	0	0 ...	1 ...	Ф(Х)	... 0	/-строка,	(36)
	_0	0 ...	0 ...	0	... 1-		
[/-столбец /-столбец
где ф (X) — некоторый многочлен. Матрица второго типа полу-
чается суммированием единичной матрицы с матрицей, получае-
мой умножением функции ф (X) на матрицу Е^, элемент которой,
стоящий в i-й строке и /-м столбце, равен единице, причем i =£ j,
а все остальные элементы — нули.
38-
Теорема 1. Для элементарных матриц существуют обратные
матрицы, которые также являются элементарными.
Доказательство. Для элементарных матриц первого типа
теорема очевидна. Действительно, легко проверить, что элемен-
тарная матрица первого типа Ец (а-1) обратна матрице Ец (а).
Элементарная матрица второго типа Е — ср (X) Ец — обратная для
матрицы Е + <р (л) Ец. В самом деле,
[Е+ф(Х)£/у][£-<Р(Х)	=
= ЕЕ+ф (X) ЕцЕ — ф (X) ЕЕц — ф2 (Л) ЕцЕц = Е,
так как ЕцЕц — Q. Аналогично имеем
[Е-ф(ад[Е+ф(М^/] = £. И
Назовем элементарными преобразованиями матриц следующие
действия: умножение какой-либо строки матрицы на некоторое
число; умножение какого-либо столбца матрицы на некоторое
число; суммирование одной из строк матрицы с другой ее стро-
кой, умноженной на произвольный многочлен от Z, суммирование
одного из столбцов матрицы с другим'ее столбцом, умноженным
на произвольный многочлен от X. Эти преобразования будем
обозначать соответственно 1л, 1п, Пл, Пп.
Элементарные преобразования матриц сводятся к умножению
матриц на элементарные матрицы. В самом деле, умножим мат-
, рицу А слева на элементарную матрицу первого типа:
	"1 0	... 0 ..	(Г		«11	«12 •	• «1л		«11 «12	• • «1л	
	0 1	... 0 ..	0		«21	«22 •	• «2л		«21 «22	•	• «2л	
/-строка	0 0	... а ..	0		«,1	«,-2 .	• • «гл	—	аац aai2 .		
	_о 0	... 0 .. i-столбец	1_		_«л1	«Л2 •	• «лл_		_ап± ап2	• ^-пп _	
(37)
Таким образом, элементарное преобразование 1л над матрицей А
эквивалентно умножению матрицы А на элементарную матрицу
первого типа слева. 
Аналогично можно показать, что элементарное преобразова-
ние 1п матрицы А эквивалентно умножению матрицы А справа
на элементарную матрицу первого типа. Индексы «л» и «п»
0 названных выше преобразованиях связаны с умножением мат-
рицы А на элементарную матрицу слева или справа. Покажем
теперь, что умножение матрицы А на элементарную матрицу
второго типа слева эквивалентно элементарному преобразованию.
39
Пл над матрицей А. Выполним умножение:
(Е+ <р (А) Еч) А = А + ср (А) Е„А =
“О ... О ... (Г
о ... о о
= А + ср (А)	..............
i- строка О ... 1 ... о
а11 °12 • • • а1п
«21 ^22 • • • ^2л
ап а,2 • • • ain
а11 ° 12 • • • #1/г
«21 «22 • • • а2п
^11 @12 • • • ^-in
О ... О ... О_ _«л1	• • • апп
__dnl О-п2 • • • апп_
aji а/2 • • • а/п i-строк а
«ц
G21
О О ... О
«12
й22
О1Л
«2л
 (38)
ап 4- ср (А) «71 «/2 + <Р (А) «у-2 ... ain 4- ср (A) ajn
ani
аП2
апп
Точно так же можно показать, что умножение матрицы А справа
на элементарную матрицу второго типа эквивалентно элементар-
ному преобразованию Пп над матрицей А.
Покажем, что перемена мест двух строк матрицы А может
быть осуществлена конечным числом элементарных преобразова-
ний. В самом деле, прибавим к Ай строке матрицы А ее /-ю
строку, получим матрицу Дг; затем от /-й строки матрицы Дх
отнимем ее i-ю строку, получим матрицу Д2. К Ай строке матрицы
Л2 прибавим ее /-ю строку, получим матрицу А3. Окончательно:
/-ю строку матрицы А3 умножим на минус единицу, в резуль-
тате получим матрицу Д4, причем Д4 получается из матрицы А
переменой местами i и j ее строк.
Приведенные выше действия над матрицей А можно записать
с помощью элементарных матриц:
А,	= Е„ (-!)[£+£„] [£ - £„] [£+£„•] А.	(39)
Аналогично перемена местами двух столбцов матрицы А может
быть выполнена с помощью следующих четырех элементарных
преобразований:
В,	= А [Е+ Ео] [Е— EyZ] [Е4- Е,у] Е/7(- 1).
С элементарными матрицами связано понятие эквивалентности
матриц. Две A-матрицы А и В называются эквивалентными, если
40
от одной из них, к другой можно перейти путем конечного числа
элементарных преобразований. Эквивалентность обозначают так:
А с\эВ. Понятие эквивалентности матриц обладает свойством сим-
метрии, т. е. если матрица А эквивалентна матрице В, то и
матрица В эквивалентна матрице А. В самом деле, из условия
эквивалентности матриц А и В имеем
(40)
где Pi,..., Рп и Qlt ..., Qm — элементарные матрицы. В силу
того, что элементарные матрицы имеют обратные матрицы, кото-
рые также являются элементарными, получим В — РК---
...Pn'AQTn ...С??1, т. е. матрица В эквивалентна матрице Д.И
Аналогично доказывается и транзитивность свойства эквива-
лентцости матриц, т. е. если матрица А эквивалентна матрице
В, а матрица В эквивалентна матрице С, то матрица А экви-
валентна матрице С. Канонической матрицей называется такая
диагональная Х-матрица, у которой каждый многочлен £/(Л),
расположенный на главной диагонали, делится на предыдущий
(при этом будем полагать, что делить ноль на ноль можно), при-
чем если Ci (Z) Ф 0, то коэффициент при старшей степени Z равен
единице. Например, единичная матрица Е является канониче-
ской. Матрица
~1	0	0	0	0	0“
0	X — 1	0	0	0	0
0	0	Z-1	0	0	0
О	О	0	(Х-1)3	о	о
0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0-
также будет канонической.
Теорема 2. Всякая ^-матрица конечным числом элементарных
преобразований может быть приведена к диагональному канони-
ческому виду.
Доказательство. Пусть А — некоторая Х-матрица. Рас-
смотрим множество матриц, эквивалентных матрице А. Среди
этого множества выберем матрицу В, у которой в левом верхнем
углу расположен многочлен, имеющий наименьшую степень. Пусть
^12 • • • bin ~
о__ ^21 ^22 ••• Ь%п	(Д]\
-Ьп1 ^п2 • • • Ьпп _
Покажем, что в матрице В все элементы верхней строки делятся
на Ьп. Допустим противное: предположим, что Ь1{ не делится на
Ь1Ъ т. е. Ьц (X) = 6ц (X) q (X) Д г (к), где г(Х)=ДО и степень мно-
гочлена ,г(Х) меньше степени Ьц(Х). Матрицу В подвергнем эле-
ментарным преобразованиям: из г-го столбца вычтем первый стол-
41
бец, умноженный на q (X); в полученной матрице поменяем
местами первый и t-й столбцы. В результате получим матрицу,
эквивалентную матрице А, у которой многочлен, расположенный
в левом верхнем углу, имеет меньшую степень, чем многочлен
Ьц(Х). Полученное противоречие показывает, что все многочлены
первой строки делятся на Ьи. Аналогично можно показать, что
все многочлены первого столбца делятся на Ьп. В результате
можно записать: b1{ — qibllf b^ — qjbn (i, j = 2, 3, ..., n). Умно-
жая первый столбец на q{ и вычитая результат из t-го столбца,
получаем на месте элемента Ь1{ ноль. Аналогичные элементарные
преобразования выполним над строками. Таким образом, мат-
рица В эквивалентна Х-матрице, у которой, за исключением 6П(Х),
все элементы первой строки и первого столбца — нули, т. е.

rfeu 0 0 ... О
С22 С23 • • • С2Л
б \С
= ВЪ
Сц2 СпЪ  • • ('пп
Покажем теперь, что все элементы матрицы С делятся на
Ь1Х (X). Предположим, что С/7(Х) (t, /=1, 2, ..., п) не делится
на Ьц, t. е. су, (X) =	(X) q (X) + г (X) и степень многочлена г (X)
меньше степени многочлена blr (X) (r(X)^O). С помощью конеч-
ного числа элементарных преобразований от матрицы перей-
дем к эквивалентной ее матрице, у которой в левом верхнем
углу стоят многочлены степени меньшей, чем ЬИ(Х). Это можно
сделать, например, если прибавить к t-й строке матрицы Вг пер-
вую и вычесть из /-го столбца полученной матрицы ее первый
столбец, умноженный на </(Х), а затем поменять местами сначала
первый и /-й столбец, а потом первую и i-ю строки в получае-
мых матрицах. Но, по предположению, многочлен blt (X) есть
многочлен наименьшей степени; — получили противоречие. Таким
образом, все элементы матрицы С делятся на bu(X).
Над матрицей С = [с/у- (X)] будем проводить элементарные пре-
образования, аналогичные проводимым выше преобразованиям
над матрицей В, такие, чтобы в левом верхнем ее углу получить
многочлен наименьшей степени. При этом все элементы преоб-
разованной матрицы по-прежнему будут делиться на элемент
Ьц(Х). Прлучим, что матрица В эквивалентна матрице
Ьи 0	0 ... О ~
О с£2 0 ... О
О 0 d33 ... d3n
О 0 ^лз • • • dnn
причем все элементы матрицы D = [dtj] будут делиться на эле-
менты Ьц(Х) и с22 (X). Далее такой процесс элементарных преоб-
42
разований будем повторять над матрицей D до тех пор, пока
не получим нулевую матрицу, в которой нельзя найти многочлен
наименьшей степени, или в результате преобразований получим
окончательно матрицу размера 1x1. Таким образом, построим
диагональную матрицу К вида
К= diag [&ц С22 ^33 • • • О 0...0] или K=diag[fen с22... гпп]. (42)
Из построения следует, что матрица К имеет канонический вид,
причем от матрицы А мы перешли к матрице К путем конечного
числа элементарных преобразований, следовательно, Дес К. И
Теорема 3. Для эквивалентных, матриц А и В наибольшие
общие делители миноров k-vo порядка (/г=1, 2, ..., п) совпадают.
Доказательство. Обозначим наибольший общий делитель
миноров Л-го порядка матрицы А через а матрицы В —через
dk. Так как от матрицы А к матрице В можно перейти с по-
мощью конечного числа элементарных преобразований, то доста-
точно показать, что dk = dk при одном элементарном преобразо-
• вании. Пусть матрица А подвергается элементарному преобра-
зованию 1Л (т. е. i-я строка умножается на число аУ=0) и Mk—
минор k-ro порядка матрицы А. Обозначим Mk минор k-vo
порядка преобразований матрицы В. Возможны два случая:
а) i-я строка не проходит через минор Mk, тогда Mk = Mk и Mk
делится на dk\ б) i-строка матрицы А проходит через минор Mk,
тогда в силу свойства определителей 5 Mk = aMk и минор М/(
делится на dk, следовательно, dk — общий делитель миноров k-vo
порядка матрицы В, поэтому dk делится на dk. От матрицы В
к матрице А можно также перейти с помощью элементарного
преобразования 1Л. Повторяя дословно все рассуждения, полу-
чаем, что dk делится на dk. Учитывая, что, по определению,
коэффициенты при старших членах наибольших общих делителей
и dk равны единице, имеем dk~dk.
Пусть теперь матрица А подвергнута элементарному преоб-
разованию Пл, т. е. к ее i-й строке прибавлена /-я строка,
умноженная на многочлен ф(Х). Возможны три случая: а) в ми-
норе отсутствует i-я строка, тогда Mk — Mk и Mk делится
на dk\ б) в минор Mk входят i-я и /-я строки матрицы А, тогда
в силу свойства определителей 8 Mk = Mk и минор Mk делится
на dk; в) через минор Mk проходит i-я строка и не проходит
/-я строка матрицы А, в этом случае в силу свойства 7 опреде-
лителей имеем Л4/г = Л1л4-(р (X) Mk, где M'k — минор k-vo порядка
матрицы А, полученный из минора Mk путем замены i-й строки
на соответствующие элементы /-й строки матрицы А. Миноры М/г
*’ Диагональной матрицей называется квадратная матрица, на главной
диагонали которой стоят элементы dvd2 ... dn, а остальные элементы — нули.
Диагональная матрица обозначается следующим образом: diag [d]d2 ... dn].
43
и M'k делятся на dk, следовательно, и минор Mk делится на dk.
Во всех трех случаях dk является общим делителем миноров
Mk матрицы В и, следовательно, dk делится на dk. От матрицы
В к матрице А также можно перейти с помощью элементарного
преобразования Пл. Поэтому dk делится на dk, следовательно,
как и в предыдущем случае, dk = dk. Аналогично можно пока-
зать, что dk = dk и при элементарных преобразованиях 1п и Пп. 
Следствие. Канонический вид матрицы А единствен.
Пусть матрица А имеет канонический вид
A diagfct (Л) е2 (к) ... еп (X)].	(43)
Рассмотрим некоторый минор Л-го порядка матрицы К. Этот
минор равен либо нулю, либо произведению k диагональных
элементов матрицы К: Мк — еце^ ...eiki причем будем считать,
что А < i3 < • • • < ik- Рассмотрим произведение П = ete2 .. ek.
В силу свойства канонической матрицы К многочлен с/5(Х) де-
лится на многочлен es(X), где s<is, и, следовательно, минор
Mk делится на П. Таким образом, многочлен П есть общий
делитель миноров k-vo порядка матрицы К. Но среди миноров
6-го порядка есть и минор ЛД = П. Следовательно, наибольшим
общим* делителем миноров k-vo порядка матрицы К будет мно-
гочлен
k
4(Х)=П«<(Ч-	(44)
i = l
Допустим, что матрица А имеет ранг г, тогда все ее миноры
начиная с порядка г-[-1 равны нулю. Следовательно, dk — Q для
Из выражения (44) следует, что
(X)=^i (X),
е2 (X)
_ d2 (X)
di(X)’
d r (К
dr_s
er+i (^) = О,
ея(Х)=0.
(45)

Все диагональные элементы канонической матрицы единствен-
ным образом выражаются через наибольшие общие делители
миноров матрицы А. В силу теоремы 3 наибольшие общие дели-
тели миноров матрицы А не меняются при элементарных преоб-
разованиях, поэтому вид канонической матрицы К не зависит
от способа перехода к ней от матрицы А, т. е. каноническая
матрица для данной матрицы А единственна. 
Пример 6. Найти каноническую форму матрицы
X О
Д= X X2
-О о
X (X— 1)
о
X (X 4-1)
44
v------------------------------------------------------
Ь
к'
Определяем dlt d2 и d3 — наибольшие общие делители (НОД) миноров мат-
4 рицы А. Имеем
<ШНОД{Д X2, %(Х—1), Ш + 1), О}=ь,
4 = НОД{Х3, Х3(Х-1), V(X+ 1), X2 (X—1). 0}=Х2,
d3=M3=mi).
Из формул (45) получим: e1 = d1 — K, е2 — ~ = к,е3 = ~=к2(к-}-1), откуда
каноническая форма матрицы Л примет вид
|А О
АесК= О X
-О О
0 1
о
Х2(Х-|- 1).
В дальнейшем теория Х-матриц будет использована при изучении
методов приведения числовых матриц к каноническому виду —
жордановой форме.
4. Блочные матрицы. Матрицы, элементами которых являются
также матрицы, называются блочными или клеточными матри-
цами. Обычную числовую матрицу, объединив отдельные эле-
менты в блоки, можно записать в виде блочной матрицы. Такое
объединение можно сделать различным способом. Например,
матрицу
#11 «12 #13 «14	«15
Л —	«21 «22 #23 #24 #25
-#31 #32 #33 #34 #35-
можно представить в виде
	А-	#и #21	#12 #22	#13 #23	#14 #24	#15 #25	==	Л11	: ^12	
								Л 21	: Л 22	
		.#31	#32	i #зз	#34	#35 _				
где										
	Лц —		#11	#12	, л	12 =	#13	#14	#15	
			_#21	#22.			#23	#24	#25	
Л21 — [#31 #3г]> ^22— [#33 #34 #3б];
или, иначе,	#11 #12	#13	#14 #15		Лц	Л12 : Л13
Л =	#21 #22 #31 #32	#23 #33	#24 #25 #34 #35			
					Л 21	Л 22 ; ^23
где
Лц = [#11 #12], Л12 = #13, Л13 = [«14 #15],
Л 21
#21 #22
#31 «32
Л22 —
'#23
_#33
Л 23 —
#24 #25
#34 «35
45
Блочная матрица, на главной диагонали которой располо-
жены квадратные клетки, а остальные клетки — нули, называется
квазидиагональной. Очевидно, что квазидиагона льная матрица
квадратная. Квази диагональная матрица имеет вид
Л =	Л и	0	0	0 Д	= diag [Лц
	0	А12	0	0	
	• • .	. • •	. • •	Апп _	
	о	0 i 0			
Д12 j
Ann]'
Например, описанная в § 6 каноническая форма Жордана
имеет квазидиагональный вид.
Действия над блочными матрицами производятся формально
по тем же правилам,' что и над обычными матрицами. Если две
матрицы А и В имеют одинаковый размер и одинаковым обра-
зом разбиты на клетки, то
а + в=[л/у] + [в;7] = [л17+ад
Пусть имеем матрицу А размера mxk и матрицу В размера
kxn. Матрицу А разобьем произвольно на клетки, а матрицу В
разобьем на клетки так, чтобы их вертикальный размер в столбце
совпадал с соответствующим горизонтальным размером клеток
в строке матрицы А. Нетрудно проверить, что в этом случае
справедливо равенство
Г 1	1
ЛВ — У*; AikBkj .
k = i
В частности, если матрицы А и В диагональные и разбиты.
на блоки одинакового размера, т. е.
Л — diag [Лц ; Л22;...; Апп], В — diag [Вп ; В22 •... Вял],
то	Л В — diag [ЛцВц ; Л22/?22; • • • = АппВпп],
или	Л^—Ai-г -.\АГпГ1].
Можно проверить также, что если матрицы Лц, Л22, ..., Апп
имеют собственные значения соответственно
Ml, ^12, •••» М/г^ Ml, М2, •••» Mfe.J •••> Ml, Мг, • ••» ^nk ,
то квазидиагональная матрица
Л = diag[Лп;Л22 Д..; Апп]
имеет собственные значения
Ml, М.2, •••» Mfep Ml, М2,-, Mn2, М •••, Mil, М2, •••, Мй .
Для квазидиагональной матрицы Л также справедливо равен-
ство
det Л = det Ли det Л22... det Апп-
46
§ 4.	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.	Основные понятия и определения. Рассмотрим систему
уравнений
а11Х1 + й12^2 + • • • + а1ПХП — ^1,
#21^1 + #22^2 4"• • • 4~ а2пхп ~Ь2,	11 \
&т\.хУ 4* ^/722-^2 4“ • • • 4"^тЛ — Ьт.
Каждое из т уравнений системы (1) содержит переменные (неиз-
вестные) в первой степени. Такая система называется системой
т линейных уравнений с и неизвестными. Решением системы (1)
называется такая совокупность значений неизвестных х^ — а^,
х2-=и2, ..., хп = ап, которая при подстановке обращает все урав-
нения в тождества. Если система (1) имеет хотя бы одно реше-
ние, то она называется совместной. Если система (I) не имеет
ни одного решения, то она называется несовместной. Совместная
система линейных уравнений называется определенной, когда
она имеет только одно решение, в противном случае такая
система называется неопределенной. Две или несколько систем
линейных уравнений называются эквивалентными, если каждое
решение одной системы является решением другой системы урав-
нений или каждая из этих систем несовместна.
Элементарными преобразованиями системы уравнений (1) назы-
ваются такие преобразования, которые состоят в выполнении
следующих действий:
а)	перестановка двух уравнений;
б)	умножение обеих частей какого-либо уравнения на число,
не равное нулю;
в)	прибавление к одному из уравнений системы другого урав-
нения, умноженного на некоторое число;
г)	удаление из системы нулевого уравнения, т. е. такого
уравнения, у которого все aik и bt равны нулю.
Теорема 1. При элементарных преобразованиях система линей-
ных уравнений (1) преобразуется в ей эквивалентную.
Теорему примем без доказательства. В ее- справедливости
легко убедиться, выполнив элементарные преобразования системы
уравнений (1) и непосредственно проверяя совпадение решений
исходной и преобразованной систем уравнений.
Элементарные преобразования положены в основу одного
из методов решения системы линейных уравнений, называемого
методом Гаусса.
2.	Метод Гаусса. Пусть задана система линейных уравне-
ний (1). Будем считать, что	(в противном случае можно
произвести перестановку уравнений, при этом получим эквива-
лентную систему). Последовательно вычтем первое уравнение
из второго, третьего и т. д. уравнений, предварительно умножив
его соответственно на	Этим мы исключим Xi
°П °11	а11
из всех уравнений, начиная со второго, и получим эквивалент-
47
ную систему уравнений
#11*1 4“ #12*2 +... + ОщХп — bi
#22*2 4" • • • 4"	— Ьч,
С1т^2 4-... 4" а'тп^п — Ь'п.
Если при этом появятся нулевые уравнения, т. ё. равенства
0 = 0, их отбрасывают, поэтому можно считать, что в системе (2)
таких уравнений нет. Кроме того, может появиться одно или
несколько уравнений, где все а/у = 0, а Ь/=#0 (/=1, 2, ..., п).
Этот факт будет свидетельствовать о несовместимости системы (1).
Положим, что в системе (2) ^=#0 (в противном случае всегда
можно изменить порядок следования уравнений или перенуме-
ровать неизвестные). Умножая первое уравнение этой системы
на ..., и соответственно вычитая его из третьего,
четвертого и т. д. уравнений, получим систему уравнений, экви-
валентную системам (1) и (2):
#n*i4" #12*2 4" #1з*з 4~ • •  4" #in*n — bi,
#22*2 4~ #23*3 4- ... 4- #2П*п = ^2 »
#33*3 4- ... 4- #3п*п = Ь'з,	(3)
#тз*3 4-... 4- а"тпХп — Ь"т.
Далее действия над уравнениями системы (3) будем продол-
жать аналогично. Процесс указанных эквивалентных преобразова-
ний над системой линейных уравнений называется процессом Гаусса.
В результате преобразований возможны следующие три случая:
1.	При некотором преобразовании получаем уравнение, левая
часть которого равна нулю, а правая не равна нулю; это сви-
детельствует о несовместимости системы.
2.	Система (1) сводится к треугольному виду:
#11*1 4" #12*2 4" #13*3 4“ • • • 4" #1п*п — bi,
#22*2 4“ #23*3 4" • • • 4" #2n*n — Ь'ч,
#33*3 4"... 4" #ЗП*П = &3 »	(^)
Здесь оц#= 0, ай=#0, .... а™
3.	Система (1) преобразуется к трапецеидальному виду:
#11*1 4" #12*2 4- #13*3 4“ • • • 4" #1п*п = bi,
#22*2 4" #23*3 4- ••• 4" #2П*П = Ь'2,
#33*3 4“ • •  4“ #3л*п — Ь%,	(3)
ats~'}x 4-...4-#^~b*n = ^s'"1).
ss s' 1 sn n s •
48
Покажем, что система уравнений (4) определена.
Решим эту систему, начиная с последнего уравнения {)хп =
= b{n~l}. Имеем а(пП~п=/=0, поэтому хп = ” -тг. Подставляя по-
пп
лученное значение хп во все уравнения системы, начиная снизу,
найдем значения неизвестных xn-i, .xlt Система (1) эквива-
лентна системе (4), поэтому полученное решение также будет
единственным решением системы (1), т. е. она является опреде-
ленной.
Покажем теперь, что система, приводящаяся к трапецеидаль-
ному виду, является неопределенной. Для этого в последнем
уравнении системы (5) выразим xs через *s+1, ..., хп, подставляя
эти неизвестные в правую часть уравнения. Подставляя xsy
вычисленное из последнего уравнения, в вышестоящие уравне-
ния, последовательно найдем xs_lt xs_2, хг.
Таким образом, неизвестные xlt хг, ...» xs мы выразили
через другие (свободные) неизвестные xs+1, ..., хп. Свободным
неизвестным можно придать любые значения. В результате будем
иметь бесчисленное множество решений системы (5), т. е. в этом
случае система (5), а значит, и эквивалентная ей система (1)
неопределенны.
Полученные результаты можно сформулировать в виде сле-
дующей теоремы.
Теорема 2. Если в процессе Гаусса появится уравнение О —Ь О,
то исходная система несовместна, если она приводится к тре-
угольному виду, то эта система является определенной, а в слу-
чае приведения к трапецеидальному виду — неопределенной.
Если ввести матрицу А, составленную из коэффициентов
(1) будет соответствовать более
то системе линейных уравнений
компактное по записи векторное уравнение
Ах = Ь.	(6)
При решении системы линейных уравнений методом Гаусса
удобно записывать ее в виде матрицы, составленной из коэффи-
циентов при неизвестных
система (1) имеет вид
аг1
Й21
и свободных членов. В такой записи
Ьг
bz
а 12 • •. aln
G22 . • • ct2n
-@mi Cm2 • • • О-тп
Ьщ~
49
Матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных
системы линейных уравнений, будем-называть основной матри-
цей системы (1). Если же к основной матрице приписать справа
столбец из свободных членов, то полученную матрицу назовем
расширенной матрицей системы линейных уравнений (1).
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих метод
Гаусса.
Пример 1. Найти решение системы линейных уравнений
Xj —|— Злу -р 2л’з -|- х4 = 1,	'
2лу -J- 4лу Н- л'з— 2x4 = 4,
Злу —р Злу —р л*з — Злу —- 5,
—лу "Р лу "р 2%з — лу = — I.
Запишем эту систему в виде матрицы
“132	1 Г
2 4 1—2	4
3 3 Г —3	5
— I 1 2 —1 — 1
Умножая первую строку этой матрицы на —2, —3, 1 и складывая ее соответ-
ственно со второй, третьей и четвертой строками, получаем новую матрицу
-1	32	1 Г
0 —2 —3 —4 2
0 —6 —5	0 2’
_0	4	4	0 0..
Умножим вторую строку полученной матрицы на числа —3 и 2 и сложим
полученные результаты соответственно с третьей и четвертой ее строками, тогда
матрица примет вид
~13	2	1	1~
0 —2 —3 —4	2
0 0 4 12 —4 ’
О 0 —2 —8	4_
Умножим третью строку этой	матрицы на 1/2 и сложим с четвертой ее строкой			
	-1	3 2 0—2 3	1 —4	Г 2	
	0	0 4 _0	0 0	12 —2	—4 2_	
Полученной матрице соответствует система линейных уравнений, эквива*
лентная заданной:
Xj -р 3X2 2Xg -р Х4 = 1,
— 2х2 —Зх3— 4х4 = 2,
4л'3 -р I2X4 = — 4,
— 2х4 = 2.
Система уравнений привелась к треугольному виду Следовательно, она
является совместной и определенной. Последовательно решая уравнения системы
50
снизу вверх, получим решение:
х4 ч= — 1, х3 — 2, х2 = — 2, Xi — 4.
Выполненные в этом примере действия
удобно записать в таком виде:
Знак со здесь означает эквивалентность систем уравнений.
Пример 2. Найти решение системы линейных уравнений
Х\ "4“ Зл-2 "4“ 2л'з ~4“ х4 = 1,
2х4 -J- 4л'2 -4- х3 — 2х4 — 4,
Зх4 + Зл*2 “I- х3 ~4“ Зх4 — 5,
л 4 — Зл*2 —	“4~ -^*4 — 3 *
эквивалентные преобразования (процесс Гаусса),
Выполнив над системой
получим
"1	3	2	г		1		3		2	1	г				
2	4	1	—	2	со	0 -	-2		3	— 4	2	со			
3	3	1		3		0 -	-6		5	0	•2				
1	— 3	-3		1_		_о -	-б’		5	0	2_				
		“1	3		2	1		Г		-1	3	2	1	г	
		0	— 2		-3	— 4		2		0 -	-2	— 3	— 4	2	
	со	0	0		4	12	—	4	со	0	0	4	12	— 4	со
		_0	0		4	12	—	4,_		_0	0	0	0	0_	
	1	3	2	1		Г
со	0	— 2	— 3	— 4	2
	.0	0	1	3	— 1
Последней матрице (в ней мы отбросили нулевую строку) соответствует
Система линейных уравнений трапецеидального вида. Такая система является
совместной и неопределенной. Если перенести одно, например четвертое, неиз-
вестное в правую часть уравнений системы, получим решение:
х   л Д- Зг ) г  1 4-5х4	3 5л4
хз — U т ЛЭД» хч, — 2 » — —2—
Неизвестному х4 можно придать любые значения, поэтому система имеет бесчис-
ленное множество решений.
51
Пример 3. Найти решение системы линейных уравнений
Х| —р 3%2	^4 := 1 >
2х^ ~|“ 4^2 ~р х3 — 2x4 = 4,
3Xj -{- Зх2 ф Х3 ф ЗХ4 = 5,
%4 — Зх3 — Зх3 -ф Х4 — 2.
Имеем
-1	3	2		Г		~1	3	2	1	1“					
2	4	1	—	2	QO	0	— 2	— 3	— 4	2	оо				
3	3	1		3		0	— 6	-5	0	2					
_1	— 3	— 3		1_		_0	— 6	— 5	0	и					
				~1		3	2	1	Г		~1	3	2	1	1~
				0		2	— 3	— 4	2		0	— 2	— 3	— 4	2
			оо	0		0	4	12	— 4	ео	0	0	1	3	— 1
				_0		0	4	12	— 5_		_0	0	0	0	— 1
Система несовместна, так как из последней матрицы получаем противоречивый
результат: 0=— 1.
3. Система п линейных уравнений с п неизвестными. Рассмо-
трим систему, содержащую п линейных уравнений с п неизвест-
ными:
	Яплу -ф а12х2 + • - ^21Л1 "Ф ^22-^2 “Ф • •	-\~а1пхп — blf ~\~а2пХп —	(7)
Определитель	ап1^1 "Ф ап2^2	• • «И 6Z12	~Ф ctnnxn — b п. • • • СЦп	
	£) _ Й21	С22 ^nl @п2	•	• •	&2п э •	• • О'пп	(8)
составленный из коэффициентов при неизвестных, называется
главным определителем системы.
Следующая теорема устанавливает связь между значением
главного определителя и условием разрешимости системы линей-
ных уравнений.
Теорема 3. Если главный определитель системы п линейных
уравнений с п неизвестными не равен нулю, то система имеет
единственное решение, если же этот определитель равен нулю,
то система является либо неопределенной, либо несовместной.
Доказательство. Выполним над системой уравнений (7)
элементарные преобразования. Из свойств определителей следует,
что при таких преобразованиях главный определитель всех экви-
валентных систем не равен нулю, если он не равен нулю у исход-
ной системы, и будет равен нулю, если он равен нулю у исход-
ной системы. Аналогичным образом, если главный определитель
52
одной из эквивалентных систем окажется равным нулю, то он
равен нулю и у исходной системы.
Таким образом, если в результате элементарных преобразо-
ваний система уравнений окажется несовместной или приводится
к трапецеидальному виду, т. е. окажется неопределенной, то глав-
ный определитель, составленный из коэффициентов при неизвест-
ных в эквивалентной системе, имеет по крайней мере одну нулевую
строку. В этом случае, согласно свойству 2 (см. § 2), указанный
определитель равен нулю, т. е. равен нулю и главный опреде-
литель исходной системы уравнений. Если же в результате
элементарных преобразований система уравнений приводится
к треугольному виду, т. е. исходная система оказывается опре-
деленной (система имеет единственное решение), то главный
определитель эквивалентной системы не равен нулю, так как
в этом случае эквивалентная система не имеет нулевых строк.
Поэтому в последнем случае не равен нулю и главный опреде-
литель исходной системы уравнений. 
Система линейных уравнений, у которой все правые части равны
нулю, называется однородной. Положив в системе (7) bt = 0 (i = 1,
2,	и), получим однородную систему уравнений
аПх1 4~ #12^2 4~ • • • 4~ а1пхп = 0,
^12*1 4“ ^22-^2 4“ • • • 4" а2пХП = 0,	/П\
0/1*1 4- ап2х2 4- • • • 4- аппхп = 0,
или в векторном виде
Лх = 0.	(10)
Однородная система всегда совместна, так как всегда суще-
ствует по крайней мере одно решение
*1 = 0, х2 = 0, ...» х„ = 0	(11)
или
Х = 0.	(12)
Такое решение называется нулевым или тривиальным реше-
нием однородной системы.
Теорема 4. Однородная система п линейных, уравнений с п
неизвестными имеет ненулевые или нетривиальные решения,
когда ее определитель равен нулю.
Доказательство. Если главный определитель однородной
системы (9) не равен нулю, то согласно предыдущей теореме
система имеет единственное решение. Это решение является триви-
альным. Если же главный определитель равен нулю, то система
в соответствии с теоремой 2 может быть или несовместной, или
неопределенной. Однако система уравнений (9) несовместной
быть не может, так как существует тривиальное решение. Следо-
вательно, система (9) является неопределенной, т. е. кроме нуле-
вого существуют еще и другие решения. 
53
4. Правило Крамера. Выведем формулы, позволяющие вычис-
лить решение совместной неоднородной системы п линейных
уравнений с п неизвестными.
Пусть главный определитель системы уравнений (7) не равен
нулю, т. е.
«11	«12	• • •
«21	«22	• • •	«2тг
^0.
(13)
^П1	@п2	• • • апп
Чтобы найти решение системы (7), умножим левые и правые
части уравнений этой системы соответственно на алгебраические
дополнения Alk, А2/г, ..., Ап/г и почленно сложим указанные
уравнения:
(«цД1й -р a21A2k -р ... -р aniAnk) -р
+ («12 Ли + ct-22^2k + • • • + ап2Апь) x2 + • • •
•	• • + («1М lfe + <hkA2k + • • • + G-nk^-nk) %k + • • •
•	• • + (thnAik -p a2nA2k +... + annAnk) xn = byA^ -p 61Д2л +...-pbnA nk.
На основании теоремы 4 § 2 все слагаемые в левой части
написанного равенства, кроме 6-го, равны нулю. Поэтому, учи-
тывая теорему 3 § 2, можно записать: Dxk = £'iXlfe-P62^2fc+ • ••
•	• • + bnAnk.
Рассмотрим вспомогательный определитель Dk, полученный
из главного определителя системы D при замене его «-го столбца
столбцом из свободных членов системы уравнений (7):
«11	«12	• • •	bl	...	«1„
«21	«22	• • •	Ь2	...	«2л
«711	«п2	• • • Ьп . . . «лл
Согласно теореме 3 § 2, имеем &iXife + 62Z2fe+ ... A-bnAnk = Dk.
Следовательно, Dx/t = Dk.
Так как, по условию, 0^0, решение системы уравнений (7)
получим в виде
=	(1г = 1, 2, .... п).	(15)
Формулы (15) удобны для нахождения решения определенной
системы п линейных уравнений с п неизвестными. Эти формулы
носят название формул Крамера.
Пример 4. Найти решение системы трех уравнений с тремя неизвестными
х^ —р 2х2 ~р Зх2 = 0, 2хд — 4х2 ~р	— — 1>	-р 5х2 —|— 4хд = 2.
54
Имеем:
	1	2	3		1	0	0	
D =	2—4	2	=	2—8—4	= 4^-0.
	1	5	4		1	3	1	
	0	2	3		0	2	3	
	— 1—4	2	=	— 1—4	2	= 25,
	2	5	4		0—3	8	
	1	0	3		1	0	3	
d2=	2—1	2	=	2—1	2	= 7,
	1	2	4		5	0	8	
	1	2	0		1	2	1	
Da =	2—4—1	=	2—4—1	=—13.
	1	5	2		5—3	0	
В соответствии с формулами		0	5) найдем решение заданной	
системы уравнений:
О<	25 D2	7 D3	13
X1 ~ D	4 ’	Xs~ D	4	’ 3 D	4 '
Пример 5. Система дифференциальных уравнении, описывающих угловое
движение самолета вокруг центра масс при малых отклонениях в горизонталь-
ном полете (рис. 5), записывается в операторной форме так:
рФ 4-06 — (п22 + Р) “ = °,
(Р2 + "ззР) О 4- 06 — (пор + /гзг)а — — яв6в,
О 4-6 — а—0.
Здесь л0, «22» п32> ”в — некоторые числа, зависящие от конструктивных пара-
метров самолета, р— оператор дифференцирования, О' — угол тангажа, 6 — угол
наклона траектории, а —угол атаки, бв— угол поворота руля высоты Найти
зависимость О, 6 и а от бв
Вычислим главный определитель системы уравнений:
	р	о —(п22 4-р)		
D =	P2 + П3зР 1	0 «оР + «32 _ 1		1		Р [р2 (по 4" П22 4" п3з) Р 4" (rt32 4" Л22 4~ П3з)1	
В<	:помогательные определители		этой же системы уравнении равны:	
		0	0		 (П22 4“ р)	
Dp —		^вОв о	П()Р 4- П32	— — пв (п22 4~Р) 0в,
		0	— 1	— 1	
		р	0		 (П22 4" Р)	
dq=		Р24-«ззР — «вбв	ЯоР 4" П32	==	^в^ггОц,
		1	0	— 1	
		Р	0	0	
		Р2«ззР 0	^в^в	= Р^В^В*
		1 -1	0	
55
Воспользовавшись формулами Крамера, получим выражения для углов
тангажа, наклона траектории и атаки через угол поворота руля высоты:
ф. _ пв (п22 4~Р)g
Р [р2 4“ (П0 4“ П22 + П3з) Р 4“ (П32 4" П22ПЗз) 1
g ПВП22 g
Р [р2 + (П0 4“ П22 4~ Пэз) Р 4~ (П32 4“ Л22ПЗз)]
а —___________________________________ б ,
р2 4“ (П0 4“ ^22 4~ П3з) Р 4- (П32 4" П22^3з)
откуда получаем соответствующие передаточные функции для самолета по углу
тангажа
уу	___________ПВ (»2г4'Р)____________
Р [р2 4~ (П0 4" tt22 4- Пзз) Р 4“ (п33 4- м22°3з) ] *
по углу наклона траектории
vw (	____ ______________^В^22_______________
Р [р2 4- (по 4- п22 4" пяз) Р 4“ (fi32 4*^22^33)]’
по углу атаки
W п (р) ==--------------^2-----------------.
Р2 4- (П0 4- П22 4" П3з) Р 4- (^32 4“ П22^3з)
Передаточные функции самолета используются при синтезе и анализе системы
управления его полетом.
Глава !I
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение и основные свойства линейного пространства.
Пусть V—множество каких-либо элементов и в этом множестве
определены две операции: а) сложение элементов множества и
б) умножение элементов множества на число.
Множество V называется линейным (векторным') пространством,
если из условия, что произвольные векторы а и Ь принадлежат
множеству V, следует, что их сумма а-\-Ь и произведение произ-
вольного числа Л на вектор а также принадлежат пространству
V, т. е. если
с £ V и b е V,
а X — произвольное число, то и
a-\-b е V, /де V’:)
и для названных выше операций сложения и умножения справед-
ливы следующие свойства:
1.	Сложение векторов коммутативно, т. е.
a^-b — b^-a.	(1)
2.	Сложение векторов ассоциативно, т. е.
(а + Ь) + с — а + (Ь + с).	(2)
3.	Существует хотя бы один элемент х такой, что
а + х = а.	(3)
Такой элемент х называется нулевым и обозначается 0.
• 4. Для всякого элемента а существует хотя бы один элемент
у такой, что
а+у = 0.	(4)
Элемент у называется элементом, обратным элементу а, и
обозначается — а.
5.	Для произвольного "числа а и векторов а и b справедливо
равенство
а (« + &) = аа + ab.	(5)
6.	Для произвольных чисел а и Р и вектора а справедливо
равенство
(оф) а — а (Ра) = Р (аа).	(6)
7.	Если а и Р — произвольные числа, а — вектор, то выпол-
няется равенство.
(а + р) « = а« + р«.	(7)
*’ Обозначение а е V означает, что элемент а принадлежит множеству V.
57
8.	Умножение единицы, на вектор а не изменяет этот век-
тор, т. е.
1а = а.	(8)
Элементы линейного пространства называются векторами.
Например, множество одностолбцовых и однострочных матриц-
векторов (30) и (31) § 1 удовлетворяет всем восьми свойствам
линейного пространства и поэтому составляет линейное про-
странство.
Элементы линейного векторного пространства могут быть
любой природы, достаточно лишь, чтобы они удовлетворяли всем
свойствам линейного пространства. Частный случай линейного
пространства с одностолбцовыми (однострочными) элементами —
матрицами-векторами — называется арифметическим векторным
пространством.
2. Линейно независимые векторы. Размерность линейного
пространства. Рассмотрим линейное пространство V. Выберем
в этом пространстве систему векторов
xlt х2, ..., хт.	(9)
Назовем систему векторов (9) линейно зависимой, если суще-
ствуют такие числа ах, а2, ..., ат, из которых хотя бы одно
отлично от нуля, и справедливо равенство
С41Х1-р ОС2Х2 4“... Н-= 0.	(10)
Если же равенство (10) справедливо только тогда, когда все
ау = 0 (/ = 1, 2, ..., т), то система векторов (9) называется
линейно независимой.
Любая система, содержащая нулевой вектор, является линейно
зависимой системой. Действительно, полагая в этом случае
хт = 0 и выбирая а7- = 0 (/=1, 2, ..., т— 1), а ат^0, получим
0 • х± Ц- 0 • х2 Ц-... 4~ 0 • xm-i 4_ <%т 0 = 0,
т. е. система векторов линейно зависима.
Пример 1. Показать, что система векторов
11 ГО
о , 1
о| о
линейно независима.
1
Действительно, рассмотрим равенство
Умножая числа а1; и а3 на соответствующие векторы-столбцы и произ-
водя сложение матриц, найдем
«1
«2
0
0
_0_
58
Из определения равенства матриц получим cq —О, а2 = 0, «3 = 0, т. е.
рассматриваемая система векторов линейно независима.
Пример 2. Показать, что система
Г
з ,
векторов
1
2 ,
Д_
Г
1
1
линейно зависима.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим равенство
го
С4Х 3 -р 0-2 2 ССз
2
или
а1 ~Р °^2 “Р “3
3<%1 -р 2<Хг р 0С3
2ах + а2
0“
0
0
1 =0= 0 ,
о
О
' Это равенство выполняется
ров линейно зависима.
при аг ——1,
сс2 = 2, <Хз = —1. т. е. система векто-
Рассмотрим свойства линейно независимых векторов.
Теорема 1. Если некоторая система векторов хг, х2,...» хп
пространства V линейно независима, то всякая ее подсистема
также линейно независима.
Доказательство. Возьмем некоторую подсистему век-
торов %1, х2, ...,хг. Предположим, что она линейно зависима.
Тогда справедливо равенство aiXi + a2x2 + .. .-parXr = 0, где по
крайней мере одно число а7 не равно нулю. Дополним это
равенство суммой произведений остальных векторов системы на
нули:
CtjJCj ~р (Х,2Х2 "Р • • • ~Р OirXr ~Р Охг+х *р. . . -р ОХп — 0.
Из последнего равенства следует, что исходная система из п
векторов линейно зависима, тогда как по условию теоремы эта
система линейно независима. Полученное противоречие доказы-
вает справедливость теоремы. 
Назовем вектор у линейной комбинацией векторов Xi, х2, ...
...» хт, если его можно представить в виде
у = kxXi-\-k2x2-\-- • kmxm,	(11)
где kj (/=1, 2, ..., rri)—некоторые числа.
Теорема 2. Если система векторов хг, х2, ..., хп линейно
зависима, то по меньшей мере один из ее векторов выражается
через остальные. Обратно, если некоторый вектор системы
линейно выражается через остальные, то такая система линейно
зависима.
Доказательство. Из определения линейной зависимости
следует, что существует равенство, в котором хотя бы одно
число а,- не равняется нулю:
al^l ~Р a2«^2 “Р • • • "Р апХп = 0.	(12)
Тогда, разделив это равенство на и вводя обозначение
—	= ki, получим
Xj = kyXy -р k2X2 -р... -р kj^Xj-\ -р kj+yX-р ... -р knxn, (13)
что доказывает первую половину утверждения теоремы.
59
Рассмотрим теперь равенство
хп = k^Xi-p k2Xz~[-. • • 4~	(14)
Прибавляя теперь к правой и левой частям этого равенства
вектор —хп, получим
kiX} -р k2x2 ~Р... ~Р kn_ iXn—i — хп — 0,	(15)
где kn = — 1.
Из определения линейной зависимости векторов следует, что
полученная система векторов линейно зависима. 
Теорема 3. Пусть даны две системы векторов
Хъ .... хп>	(16)
Уи У*, .. •, yk.	(17)
Если каждый вектор системы (16) линейно ' выражается через
вектор системы (17) и n>k, то система (16) линейно зависима.
Теорему примем без доказательства
3. Базис линейного пространства. Пусть имеем систему век-
торов
Xi,.x2, .... хп.	(18)
Базисом {базой) системы векторов (18) называется такая
линейно независимая ее подсистема, через которую линейно выра-
жаются все указанные векторы.
Так, например, базисом в трехмерном арифметическом век-
торном пространстве могут быть три вектора:
	Г		’О'		’О’
€1 =	0	, е2 =	1	,	<?3 =	0
	.0.		0		_1
Рангом системы векторов хь х2, ..., хп называется наиболь-
шее число линейно независимых векторов этой системы.
Векторы базиса обладают важным свойством, устанавливаемым
следующей теоремой.
Теорема 4. Количество векторов базиса системы не зависит
от выбора базиса и равно рангу этой системы векторов.
Доказательство. Рассмотрим систему векторов (18).
Пусть Xi, х2, .... хг — какой-нибудь произвольно выбранный
базис этой системы. Выберем из системы (18) произвольную под-
систему из г -f-1 векторов:
Xiv xi2, ..., Xir+t.	(19)
По определению базиса все векторы этой подсистемы должны
выражаться через базис. Число векторов г 4-1 подсистемы (19)
больше числа векторов г базиса, поэтому на основании теоремы 3
эта подсистема векторов линейно зависима.
•’ Доказательство см., например: Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
«Наука», 1975, с. 68, 188.
60
Таким образом, в системе (18) существует г линейно незави-
симых векторов, а всякие г+1 векторов линейно зависимы,
откуда следует, что г есть ранг системы векторов (18). Следова-
тельно, число векторов базиса равно рангу системы и не зависит
(в силу произвольности рассматриваемого базиса) от выбора
базиса. Е
Покажем, что введенное выше в § 2 понятие ранга матрицы
равносильно понятию ранга системы векторов-столбцов этой
матрицы.
Рассмотрим матрицу А ранга г:
а11 ••• а1п
А =
&т1 • • • ^тп
Пусть минор г-го порядка, не равный нулю, расположен
в левом верхнем углу матрицы. Столбцы матрицы будем считать
векторами. В силу свойств определителя и определения ранга
матрицы столбцы матрицы с номерами г+1, г + 2, ..., «линейно
выражаются через первые г столбцов, которые линейно незави-
симы (в противном случае минор r-го порядка обратился бы
в ноль), т. е. ранг системы столбцов матрицы равен рангу мат-
рицы. Е
Аналогично можно показать, что ранг системы строк мат-
рицы А равен рангу матрицы. Действительно, транспонировав
матрицу А, мы получим матрицу АТ с минором r-го порядка,
не равным нулю, и со столбцами, которые равны строкам мат-
рицы А, а для столбцов сделанное утверждение доказано выше.
Понятие ранга матрицы позволяет ввести критерий разреши-
мости системы т линейных уравнений с п неизвестными. Этот
критерий устанавливает следующая теорема.
Теорема 5 (критерий Кронеккера— Капелли). Система линей-
ных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг рас-
ширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы этой
системы.
Доказательство. Сначала докажем необходимость усло-
вий теоремы.
Пусть дана совместная система линейных уравнений
^11*1 + ^12^2 + • • • + а1пХп = ^1»
#21Л1 + ^22-^2 + • • • + ^2пхп = ^2,
ат1х1 + ат2%2 + • • • + атп%п = Ьт.
В этом случае решение этой системы
0*1, %2 ===	• • • » %п ==
т. е.
У, ajkak — bj (/=1,2..т).
Л = 1
(20)
(21)
61
Записанное равенство показывает, что столбец из свободных
членов bj системы (20) есть линейная комбинация из столбцов
основной матрицы этой системы линейных уравнений, откуда
следует, что ранг расширенной матрицы совпадает с рангом
основной матрицы. Необходимость условий теоремы установлена.
Докажем теперь достаточность этих условий. Пусть ранг
расширенной матрицы системы (20) равен г —рангу основной
матрицы. Без ограничения общности рассуждений можно поло-
жить, что первые г столбцов основной матрицы линейно неза-
висимы. Согласно условию теоремы, добавление столбца из
свободных членов не изменяет ранга матрицы, поэтому этот
столбец является линейной комбинацией первых г столбцов
основной матрицы:
У ajkak = bj (/=1, 2, ..., m),	(22)
где ak — некоторые числа.
Положим теперь
лу = ах, х2 = «2, • • •, хг — ^ry Xr+i = 0, •. •, хп = 0.
Подставляя эти значения неизвестных в исходную систему
уравнений (20) и учитывая равенство (22), находим, что эти
значения являются решением системы. 
Максимальное число линейно независимых векторов линей-
ного пространства V называется размерностью этого пространства.
Если в линейном пространстве V существует конечная система,
состоящая из максимально возможного числа п линейно неза-
висимых векторов, то такое пространство называется конечно-
мерным пространством размерности п. В противном случае
это пространство' называется бесконечно-мерным. Очевидно, что
число векторов базиса равно размерности пространства.
Пусть векторы еи е2, ..., еп образуют базис «-мерного
линейного пространства; тогда любой вектор этого пространства
может быть записан в виде
=	+	+ +	(23)
где |1, S2, ..., In- числа.
Покажем, что вектор х выражается через базис единствен-
ным образом.
Допустим противное: пусть вектор х может быть выражен
через векторы базиса еще в виде
а: = Л1^1 + Л2^2 + ... + 'П^п.	(24)
Почленно вычитая из равенства (23) равенство (24), получим
(Bi — Лi) + (^2 “ 'Пг) ^2 + • • • + GU — Лп) еп — 0.	(25)
Базис является линейно независимой системой векторов, поэтому
выражение (25) справедливо при =	(/=1, 2, ..., п). 
62
Числа |2, •
в базисе е2,
образом:
будем называть координатами вектора X
, еп и записывать вектор х следующим
(26)
Рассмотрим два базиса линейного пространства Уя:
^1, 02, •••>£« И flr f2, . .., fn.
Каждый вектор второго базиса будет выражаться через линей-
ную комбинацию векторов первого базиса:
/» = т1^1 + т2^2 + .-. + т„^/г	(i=l, 2,	п).	(27)
Составим матрицу Т перехода от первого базиса ко второму из
коэффициентов системы (27):
Т11 Т12 • • • Т1и~
у __ ^21 ^22 • • • ^2п	(28)
LTnl Т„2 • • • ^пп-
Введем обозначения для базисов в виде векторов-столбцов:
Заметим, что векторы-столбцы в равенствах (29) отличны от рас-
смотренных выше векторов одностолбцовых или однострочных чис-
ловых матриц, так как ранее мы рассматривали арифметические
векторы, элементы (координаты) которых являются числами,
а в данном случае элементы векторов е и f также являются
векторами. Если для векторов типа (29) ввести операцию умно-
жения, по форме аналогичную операции умножения матриц (7)
и (8) § 1, то, учитывая соотношения (28) и (29), нетрудно убе-
диться, что выражение
f = Т'е (fr = етТ)	(30)
эквивалентно системе из п равенств (27).
Возникает вопрос, всякая ли матрица может служить матри-
цей перехода от одного базиса к другому? Ответ на этот вопрос
дает следующая теорема.
Теорема 6. Если Vn-~ п-мерное линейное пространство, ех,
₽а, ..., еп-~ какой-нибудь базис этого пространства, а некоторая
система п векторов fl, fl....fn образуется по правилу
ft —	+ т2<^2 + • •	(i = l> 2,	п),	(31)
63
то, для того чтобы система векторов j\, f2, .fn также
являлась базисом пространства Уп, необходимо и достаточно,
чтобы матрица перехода к новому базису (28) была невырожденной.
Доказательство. Рассмотрим векторы-столбцы
Транспонированные матрицы ст,ет, /т являются векторами-
строками. Векторы fi (i = l, 2, ..., п) являются элементами век-
тора f и выражаются через базис е по формуле (31).
Проверим, являются ли векторы fr, f2, ..., fn линейно неза-
висимыми. Рассмотрим равенство crj\-\-c2f2-\-.. .\-cnfn = 0. Оче-
видно, что оно эквивалентно равенству ст/=0. Заменив базис /
его значением согласно равенству (30), найдем
сТТТе = 0.
(33)
Выполнив в последнем равенстве операцию умножения, получим
[CiC2 .... сп]
Т11	Т21 .	• ^П1			
т12	Т22 •			е2	
				•	
-Ъп	Т2п •	• ^пп-		-еп-	
/ п	\	I п	х	, П	»
( У ckxlk 1^1+2 ckT2kje2 + ... + ( У скхпJеп = 0. (34)
\Л=,1	/	\А=1	/	\А=1	'
Векторы ег, е2, ..., еп образуют базис, поэтому равенство
(34) справедливо лишь тогда
У == о, У скх2к — 0, ..., У скхпк = 0,	(35)
/г=1	/е=1	fe=l
т. е. если
стГг = о	(36)
Матричное равенство (36) эквивалентно однородной системе линей-
ных уравнений
Т11С1 Ч- Т12С2 Ч~ • • • Ч~ ^1пСп — О ,
Т21С1 Ч~ Т22С2 Ч-•	0,	,Q7«
TlzA Ч~ T2nc2 + •  • + ^ппРп — 0.
Определитель этой системы уравнений есть det Гт. Согласно тео-
реме 4 § 4, в случае, если det Т— det Тт 0, система имеет
единственное тривиальное решение сх = с2 —...— сп = 0. Следова-
тельно, система векторов /1э f2, ..., fn линейно независима и
является базисом пространства У„.
64
 , Достаточность условий теоремы доказана.
W Докажем необходимость. Пусть система векторов /1,Л»
1 образует базис пространства Vn, тогда равенство rT/=O/i + ---
... + С/г/п = О возможно лишь при условии C1 — C2 = ...~Cn = Q.
1 Заменяя вектор f его выражением через базис е, получим
1 ст7те = 0. По условию теоремы, система векторов elt е2, ..., еп
I является также базисом пространства У„, поэтому последнее
= ' равенство справедливо лишь при условии стТт = 0 [см. равенство
(36)], что эквивалентно системе линейных однородных уравнений
/	(37). Эта система имеет единственное тривиальное решение при
условии det Тт = det Т =# 0. Ш
Рассмотрим n-мерное линейное пространство Vn. Выберем
в этом пространстве два базиса: е1г е2, ...» еп и flr f2> ..., fn.
Пусть Т — матрица перехода от первого базиса ко второму:
Т11 Т12 • • • Ъ.п
Т21 Т22 • .. Т2/г
-Тщ тп2 ... тяп_
Вектор хе V,; в обоих базисах представим в виде
X — £1О + %2е2 + • • • + ^пеп,
X = L + I2./2 + . . • + f/г/п.
Если ввести векторы
® то очевидны следующие равенства:
£.	f=T*e, x = l-e = ^f=l-T^e.	(40)
Ц Отсюда получим формулы для определения координат вектора
В пространства Vn при переходе к новому базису:
~	tk^ik — Ттill + ^/2^2 + • • • + ^inin (i = l» 2, ..., ti), (41)
Ш или в матричной форме записи
или | =
3 п. р. Чемодаиова, т. 1
I
в
А
(42)
65
4. Подпространство и его свойства. Линейное многообразие.
Рассмотрим некоторое линейное пространство Vn и часть векто-
ров этого пространства.
Часть векторов линейного пространства Ул называется линей-
ным подпространством L, если для любых векторов «, b е L и
любого числа а справедливы условия
a-\-b е L,
аа е L.
(43)
Теорема 7. По отношению к алгебраическим операциям, опре-
деленным во всем пространстве Vn, подпространство L также
образует пространство.
Доказательство. Проверим, удовлетворяет ли подпро-
странство L всем свойствам пространства. Так^как L является
частью всего пространства Vn, то свойства пространства 1, 2,
5 — 8 выполняются и в подпространстве L. Согласно определе-
нию линейного подпространства, вектор 0 = 0ое£; аналогично
этому, вектор —« =—\a^L. Поэтому для L выполняются и
свойства 3, 4 линейного пространства. Следовательно, все свой-
ства пространства в подпространстве L выполняются. Я
Как и для линейного пространства, для линейного подпро-
странства существует базис, определяющий его размерность.
Линейным многообразием (гиперплоскостью) И линейного про-
странства Vn называется множество элементов х, определяемых
по формуле
x^xG-\-y,
где х0 е Vn, а у — произвольный вектор подпространства L, т. е.
линейное многообразие получается смещением линейного подпро-
странства £ на вектор х0.
Размерностью линейного многообразия называется размерность
линейного подпространства L, из которого оно получено.
Например, пусть У3 — трехмерное геометрическое простран-
ство, тогда его подпространствами будут являться любые пло-
скости или прямые, проходящие через начало координат. Линей-
ными многообразиями будут плоскости пли прямые, не прохо-
дящие через начало координат. Размерность подпространства и
линейного многообразия в случае прямых равна единице, а в слу-
чае плоскостей равна двум.
§ 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ
1. Определение и основные свойства линейного преобразова-
ния. Рассмотрим линейное n-мерное пространство Vn. Пусть
задано правило, которое ставит в соответствие произвольному
вектору х пространства Vn определенный вектору этого же про-
странства. В этом случае вектор х называется прообразом, а век-
тор у —образом вектора х. Это правило называется преобразо-
CG
ванием пространства Vn или оператором, заданным в простран-
стве Vn.
Преобразования (операторы) будем условно обозначать буквами
orf,	... Например*, можно написать, что
&^х=у.	(1)
Равенство (1) читается так: преобразование (оператор) orf, при-
мененное к вектору X, ставит ему в соответствие вектор у.
Преобразование (оператор) называется линейным преобразо-
ванием (линейным оператором), если выполнены условия
(х + у) = о^х+у,	(2)
оД (Хх) — X х) ,	(3)
где X — произвольное число.
Таким образом, линейное преобразование переводит, сумму
векторов в сумму их образов, а произведение вектора на число —
в произведение образа этого вектора на это же число.
Рассмотрим n-мерное векторное пространство Vn с базисом
elt е2, ..., еп. Применим к векторам базиса линейное преобра-
зование orf, обозначив их образы соответственно /ъ /2, • • •> fn.
Пусть ам (k=\, 2, ..., п) — координаты вектора f в базисе ех,
е2, .... еп, тогда можно записать:
=/1 = 6/11^14-021^2 4" • ••4~^nl^n,
е2 —f2 — а12ех + а22е2 +  • • 4"	/4\
<2^&п —fn — ^In^l 4“	4~~  " • 4~
HJiaf—A^e, где Л = [0/7].
Разложим произвольный вектор х по векторам базиса ег,
^2, • • • > &п-
Х — £1^1 4- ^2^2 4“ • • -4“	(5)
где |1, |2,	— координаты вектора х в базисе е2, ..., еп.
К равенству (5) применим линейное преобразование . В силу
условий (2) и (3) можно записать
У = оДX =	(£1^1 4- &2е2 4“ • • • 4- ^л^п) —
— ^>1^4" ^,2^^2 4“   -4- £л<^€п — ^i/i 4- ^а/г 4- • • • 4~ £л/л- (6)
Объединяя равенства (6) и (4), получаем
у = g/Z х — £i (оцв14- о21^2 4- • • • 4- ani^n) 4“
+ ^2 (g12^1 4“ а22&2 4~ • • • + ап2еп) 4" • • •
• • • 4“ ^>п	4- @2п&2 4“ • • • 4~ ^пп^п) =
= (Gll£l 4- #12^2 + • • • 4- а1п&п) ^1 +
4" (^21^1 4" а22^>2 + • • • 4- а2п%>п) ^2 4- • • •
... 4~ (яЛ1£14- ап2^2 4" • • • 4- flnden) еп. (7)
67
3*
Координаты вектора у в базисе ег, е2, ...» еп обозначим соот-
ветственно через т|2,	т. е.
^ = ^1 + ^2 + . - + Wn.	(8)
В силу единственности координат вектора в заданном базисе из
равенств (7) и (8) имеем:
'Hl — «11£1 + <212^2 + • • • + «1я£я»
Т]2 = «21^1 + «22^2 + • • • + «2я£я>	(9)
"Ля = «я1£1 + «я2^2 + • • • + апп^,п-
В векторной форме эти соотношения запишутся в виде
или
«и ... а1п
_«Я1 • • • «ля
(10)
(11)
где под векторами х и у следует понимать арифметические век-
торы-столбцы.
Таким образом, если вектор х имеет в базисе elt е2, ..., еп
координаты £х, |2, ;	£я> а вектор у в этом же базисе —коор-
динаты Tji, т]2,	то столбец из координат вектора у полу-
чается из столбца координат вектора х по формуле (10).
Мы показали, что линейному преобразованию (линейному
оператору) оД в данном базисе можно поставить в соответствие
матрицу А — [«/у], называемую матрицей линейного преобразова-
ния. В этой матрице первый столбец состоит из координат образа
первого базисного вектора, второй —из координат образа вто-
рого базисного вектора и т. д.
Пусть теперь А — [а^] — произвольная квадратная матрица
размера пхп. В линейном пространстве Vn размерности п опре-
делим оператор формулами (10), т. е. координаты вектора
образа выразим в данном базисе elt е2, ..., еп через координаты
вектора прообраза х с помощью формул (10).
Используя свойства матриц, нетрудно проверить, что такой
оператор линеен и каждому вектору х е Vn ставит в соответ-
ствие вектор у этого же пространства.
Таким образом, формула (10) дает общий вид линейного опе-
ратора р конечно-мерном линейном пространстве. Мы устано-
вили, что между линейными преобразованиями (линейными опе-
раторами) и матрицами в линейном пространстве Vn существует
соответствие — каждому линейному преобразованию может быть
поставлена в соответствие квадратная матрица и, наоборот, каж-
дой квадратной матрице может быть поставлено в соответствие
линейное преобразование,
68
Произведением двух линейных преобразований называется по-
следовательное преобразование вектора х сначала линейным
преобразованием g£ , а затем
Покажем, что матрица произведения линейных преобразова-
ний равна произведению матриц последовательных преобразова-
ний ВА.
Действительно, пусть в некотором базисе заданы два линей-
ных преобразования пространства матрицами А и В, т. е. z =
= В(Лх). Из свойств ассоциативности произведения матриц
имеем
ъз Г41
. -Ди _
= В(Д)
11’
Лп.
где
^1 = Л
• (12)
Суммой линейных преобразований, задаваемых матрицами А
и В, называется такое линейное преобразование, которое задается
матрицей ЛЦ-В.
Рассмотрим свойства линейных преобразований.
Свойство 1. Линейное преобразование линейной комбинации
векторов равно той же линейной комбинации преобразований этих
векторов, т. е.
У1,	(13)
\i = 1 I t = l
Свойство 2. Линейным преобразованием нулевого вектора
является нулевой вектор, т. е.
^0 = 0.	(14)
Свойство 3. Линейным преобразованием противоположного
вектора —х является вектор, противоположный образу вектора х,
т. е.
оД (—х) — — оДХ.	(15)
Справедливость свойств линейного преобразования легко дока-
зать, используя указанные в § 1 свойства матриц.
Рассмотрим произвольный базис пространства Уп

и преобразуем его с помощью линейного преобразования с мат-
рицей Т=[т/?], причем det Т =#0, в новый базис
п _
69
Из равенства (30) § 5 следует, что
f= Тте.
Вектор X в старом базисе представим в виде
X = £1#1 + ^2^2 4" • • • + l/fin-
(16)
(17)
Пусть матрица А — [а^] задает линейное преобразование век-
тора х в вектор у в базисе elt е2, ..., еп. Найдем матрицу ли-
нейного преобразования вектора х в вектор у для нового базиса
fi, /2, •••> fn, который получаем с помощью матрицы перехода
к новому базису Т:
X —	ф- ^2^2 + • • • +	=11/1 +I2/2 + • • • +1п/п,	(18)
здесь ^(1 = 1,2,..., /г) — координаты вектора х в новом базисе /
у = Л1^1 +'Пг^г + • • • +	= ^li/i 4~ ^12/2 4- • • •4-т)п/п.	(19)
Из равенства (42) § 5, определяющего координаты вектора при
переходе к новому базису, получим
(20)
По определению линейного преобразования имеем
(21)
где Л— матрица линейного преобразования, заданного в базисе е.
Подставляя значения координат векторов в старом базисе из
формул (20) в формулу (21), получим
(22)
Умножая полученное равенство слева на Т1, найдем
(23)
т. е. матрица С линейного преобразования вектора х в вектор у
при новом базисе f выражается через матрицу А линейного пре-
70
образования при старом базисе е с помощью формулы
с = г-мт,
где Т— матрица перехода от старого базиса к новому.
Матрица С, определяемая равенством (24), называется мат-
рицей, подобной матрице А.
Теорема 1. Если линейное преобразование задается невырож-
подобное ему преобразование с матри-
(24)
денной матрицей А, то и
цей С—Т~1АТ также за-
[ дается невырожденной ма-
р трицей.
Доказательство.
Определитель произведе-
' ния квадратных матриц,
г согласно теореме 7 § 2,
’ равен произведению опре-
р делителей сомножителей,
к поэтому
i ici=ir-wim;
f кроме того, из определе-
L ния подобной матрицы
следует, что det Т 0.
Следовательно, если det Л 0, то и det С =# 0, т. е. С — не-
|, вырожденная матрица. И
Рассмотрим ряд примеров линейных преобразований векторов.
Пример 1. Пусть за базис двумерного геометрического пространства при-
няты единичные орты e1 = ZI, е2— j осей декартовой системы координат хОу,
а за другой базис этого же пространства выбраны единичные орты осей —
I ft—Ji системы координат XjOy^ полученной поворотом исходной системы коор-
 динат на угол а (рис. 6). Вычислить матрицу Т перехода к новому базису,
г а также матрицу С линейного преобразования в базисе Д, /2, если это линей-
Ь ное преобразование в базисе е2 задается матрицей А.
t- Из рис. 6 следует, что векторы базиса /х, /2 выражаются через векторы
г базиса elt е2 формулами
F	/1 — cos aei + sin а<?2> /г — — sin a^i + cos ав2-
I Из этих равенств следует, что матрица перехода к новому базису имеет вид
_ Г cos a sin al
Г	Т т =
j?	L— sin a cos aj
1 Согласно равенству (24), линейное преобразование в базисе flt f2 задается
Г Матрицей С, подобной матрице А:
I	С=(7,)~1ЛТ.
г Нетрудно убедиться, что (Т)^1 = 7’т, поэтому
cos a — sin al
cos aj
- an cos2 a (a12 ф- a21) sin a cos a -J- a22 sin2 a a21 cos2 a ф- -
ф- («22—«n)sin a cos a — a12 sin2 a
a12 cos2 a ф- (a22 — au) sin a cos a — a21 sin2 a a22 cos2 a — *
—(Gi2 + Ф21) sin a cos a -j- au sin2 a.
cps a sin a
— sin a cos a
а12
J |_а21 a22J |_sin а
71
Пример 2. Положение произвольной декартовой трехмерной системы коор-
динат Ox-yyyz^ с ортами ii = li, =	^1=1з относительно неподвижной системы
координат Oxyz с ортами 1 — е1г / = е2, k = e9 определяется тремя углами
Эйлера яр, О и у*1 (рис. 7, а). Вычислить матрицу, задающую переход от
ei	Pi
базиса е = е2
к базису I —
Рис. 7
Рассмотрим систему декартовых координат Oxyz с базисом е. Поворотом
этой системы координат вокруг оси Оу на угол яр перейдем к новому базису
fi
, при этом получим систему координат Ox'yz' (рис. 7, б). Из предыду-
щего примера, учитывая, что ось Оу сохраняет свое положение, т. е. /2 = е2,
а остальные орты преобразуются поворотом вокруг точки О в плоскости, перпен-
дикулярной оси Оу, следует, что матрица перехода к новому базису имеет вид
cos яр
О
sin яр
О
1
О

— sin яр
О
cos яр
*> См., например: Добронравов В. В., Никитин Н. Н., Двор-
ников А. Л. Курс теоретической механики. М., «Высшая школа», 1974,
с. 163.
72
От базиса f перейдем с помощью поворота системы координат Ox'yz' вокруг
pf
на угол 0' к системе Ох^у'г', который соответствует базис g— g2
.gs.
матрица перехода от базиса f
оси Oz'
(рис. 7,
к базису
в). Аналогично предыдущему случаю,
g имеет вид
cos О sin О’
Tgf= —sin О cos О
О О
О
О
1
Далее, выполнив поворот системы координат Ох^у'г’ вокруг оси Охг на
угол у, перейдем к системе координат	т. е. от базиса g перейдем
к базису I (рис. 7, г). Матрица перехода к новому базису имеет вид
lg~
"1
О
О
О
cosy
— sin у
О ’
sin у
cosy
Из формулы (30) § 5, определяющей переход к новому базису, имеем:
i = T]sg, g=TTgff, f—T^e.
Объединяя эти выражения, получаем
Таким образом, матрица перехода от базиса е к базису I имеет вид
* le 1 lg‘ gf1 fe
cos ф cos Д
— sin ф sin у — cos ф cos у sin ft
sin •&
COS & cos у
sin ф cos у+cos ф sin у sin О — cos О sin у
— sin ф cos O'
cos ф sin у 4- sin ф cos у sin O'
cos ф cos у — sin ф sin у sin O'
Если вектор x в старом базисе имеет координаты £2, £з> т0 в новом
базисе его координаты £1г £2, Ы согласно выражению (42) § 5, равны
1/
1г
Лз.
111
^2
hJ

Непосредственным вычислением легко убедиться, что
П,=тд'»Щ)-‘=г,е.
Рассмотренное преобразование координат широко использу-
ется, например, в системах управления летательными аппаратами.
Координаты вектора ускорения центра масс в этом случае опре-
деляются датчиками в базисе, связанном с летательным аппара-
том, а управление осуществляется в системе координат, связан-
ной с Землей. Поэтому необходимо кроме координат вектора
ускорения определять углы Эйлера ф, 4 и у, а затем с помощью
матрицы Tie осуществлять преобразование координат вектора
ускорения в базисе земной системы координат.
Пример 3. Структурная схема системы автоматического регулирования,
рассмотренная в § 3, показана на рис. 4. Будем полагать, что внешних воз-
действий к системе не приложено (вектор возмущающих воздействий нулевой).
73
В этом случае уравнение, описывающее динамику системы (33) § 3, примет
вид А (р) х (/) — С (р) g (/). Найти зависимость вектора координат объекта от
вектора управляющих воздействий.
Умножим уравнение системы слева на матрицу Л”1(р):
х(0 = Л 1 (р) С (р) g (t).
Если ввести матрицу Ф (р) — Л-1 (р) С (р), то получим х (/)= Ф (р) g (/). -
Таким образом, система автоматического регулирования задает линейное
преобразование вектора входящих воздействий g (t), описываемое матрицей
Ф (р)= Л1 (р) С (р), причем каждому значению вектора управляющих воздей-
ствий g (t) ставится в соответствие вектор координат на выходе системы х (().
Матрица ф (р) называется передаточной матрицей многосвязной системы.
Учитывая, что
1 Г «аг (Р) — «12 (р)1
' ’ ГЖ1-«21(Р)	«11 (P)J ’
имеем
ф (п) = _1_ Г ~ °12 (РЛ ГСИ (Р) С12 О3 Л
MIL— «21 (Р)	«11 (Р) J [«21 (Р) «22 (Р) I к
______________1__________________
“ «и (р) а22 (р) — 012 (р) а21 (р) Х
х Г «22 (р) «11 (Р) — «12 (Р) «21 (р)	«22 (р) «12 (Р) ~ «12 (Р) «22 (Р)1
L«11 (Р) «21 (Р) — «21 (Р) «И (Р)	«11 (Р) «22 (Р) — «21 (Р) «12 (р)_| *
2. Собственные векторы и собственные значения линейного
преобразования. В теории линейных преобразований часто исполь-
зуется понятие собственного вектора.
Ненулевой вектор х линейного пространства Vn называется
собственным вектором относительно линейного преобразования ,
если о^Х — 'Кх, где X —некоторое число. Число X называется
собственным значением (числом) собственного вектора х для
линейного преобразования orf.
Собственное значение собственного вектора х определяется
однозначно. Действительно, предположим, что собственному век-
тору х соответствуют два различных собственных значения X
и Xj. Тогда из равенства Xx^XjX следует, что (X — Х3) = О,
но, по определению, собственный вектор не равен нулю, т. е.
поэтому X = Xi.
Матрица вида
। ап X а12	... Uin
л__1 р__	^21	«^22 X ... а2п
L. апх ап2 •.. апп
называется характеристической матрицей матрицы А.
Определитель характеристической матрицы А — ХЕ называется
характеристическим многочленом матрицы А. Корни характери-
стического многочлена матрицы называются характеристическими
числами этой матрицы.
Пример 4. Найти характеристический многочлен матрицы дифференциаль-
ного уравнения автоматической системы, описанной в примере 2 § 3.
74
Имеем
	~ 0	1	0	0	0
	0	0	1	0	0
А —	0	0	0	1	0
	0	0	0	0	1
	— 200	— 201	— 41,32	— 5,146	— 0,1224
	_ 0,002	0,002	0,002	0,002	0,002 _
Характеристический — X 0 |А-ХЕ| =	° 1	0 — 200 0,002 — 200	многочлен матриц 1	0 — X	1 0	-,х 0	0 — 201 —41,32 0,002	0,002 10	0	0 — XI 0 0	ы А равен 0	0 0	0 1	0 — X	1 — 5,14g	—0,1224	- 0,002	0,002 — X 0	0	0 — 201	0 1	0	0	(	
0,002 , (-41,32)	0 —X 1	0 0	0 —X 1 — XI	0	0 0 —X	0	0	0,002 — 5,146	3 —X 1 0 3 0 —X 1 — XI 0 0 0 —X 1 о о 0 —X 0 + 0	0	0	1 200 , 200 0,002	0,002	V
1	0,002 X °’15 "Ц А 0,0	0	0	10 0	0	—X 1 — X 0	0 >24 \	0	—X 0 02 У	0	0‘ — 0	0	0	0,002 0 0 X 0 — X	
, (-41,32)	, 5,146,	/	0,1224 \
0,002	~ 0,002	\Х+ 0,002
=	(0.002Х54-0,1224Z44-5,146Х34-41,32Х24-20IX 4-200).
Теорема 2. Характеристический многочлен матрицы, задающей
линейное преобразование линейного пространства Vn, не зависит
от выбора базиса.
Доказательство. Пусть в некотором базисе линейное
преобразование задается матрицей Л, а в другом базисе это же
линейное преобразование задается матрицей В. Из формулы (24)
следует, что В^ТгАТ, причем det T^=Q. Вычислим характе-
ристический многочлен матрицы В.
Используя известные (см. § 1) свойства матриц, а также
теорему 7 § 2 об определителе произведения матриц, получаем
| В - ХЕ | = | Т 'АТ~ 1Е\ = | Т1 А Т- 1Т~1Т\ =
= | Т'АТ- Т Ч.Т\ = | Т1 (А - ХЕ) Т\ = | Т1 j | Л - ХЕ | | Т\ =
= [ Т111 Т\| Л - ХЕ| -1 ТЛТ|| Л - ХЕ! =
= | Е| | Л — ХЕ| = | Л — ХЕ|. (26)
75
Из равенства (26) следует, что характеристический многочлен
матрицы А равен характеристическому многочлену подобной ей
матрицы В. 
Рассмотрим линейное преобразование пространства V, зада-
ваемое в базисе е2, ..., еп матрицей А. Найдем собственные
векторы и соответствующие им собственные числа для этого пре-
образования.
Г 1
Пусть •
— образ некоторого вектора х — •
в этом
базисе. Согласно выражению (10) для координат вектора образа
через координаты прообраза и определению собственного вектора
получим
g11£1 Ч~ ° 12^2 Ч~ • • • Ч- — ^-£1,
й21^1 + °22^2 + • • • 4“ а2п£/г ~ ^2»
Я//1£1 + Ч" • • • +
ИЛИ
(Си — X) Ц- а12^2 + • • • + а1Лг — 0,
Й21£1 + (#22 — ^)	+ • • • + #2rt£n = 0,
^/zl^l Ч- ^712^2 4“ • • • Ч- (flnn = 0,
т. е. имеем систему п линейных однородных уравнений с п
неизвестными £2, •••» In- Главный определитель этой системы
D = | А — ХЕ I — характеристический многочлен матрицы, задающей
линейное преобразование. Собственный вектор не является нуле-
вым, поэтому по крайней мере одна из его координат не равна
нулю, следовательно, если для собственного числа X существует
собственный вектор, то однородная система (29) должна иметь
нетривиальное решение. Это может быть только тогда, когда
главный определитель системы равен нулю. Следовательно, соб-
ственное значение собственного вектора линейного преобразования
совпадает с корнем характеристического многочлена матрицы,
задающей линейное преобразование.
Из теоремы 2 следует, что собственные числа для одного
и того же линейного преобразования, задаваемого в любом
базисе, одинаковы и совпадают с характеристическими числами
матрицы, задающей линейное преобразование.
7G
<
1' Решая систему уравнений (29), если известно X, можно найти
значения координат собственного вектора £2, •••» в базисе,
I для которого матрица А задает линейное преобразование. Глав-
ный определитель этой системы равен нулю, поэтому собствен-
ный вектор определяется не однозначно, а с точностью до
постоянного множителя.
Координаты собственного векторав базисе ег, е2, ...» еп
можно вычислить, воспользовавшись равенствами (29), подстав-
ляя в них собственное значение Хг этого вектора /f(f = l, 2, ...
..., п), т. е.
(«и + X/)	4~ о12^2 + • • •+атЪп — О,
4~ (^22 — М L’2 4~ • • • 4~ a2n^,in = О,
4~ an2^i2 + • • • 4~ (апп — Ю Ъп — 0.
Из изложенного следует, что всякую квадратную матрицу,
у которой каждому собственному значению соответствует столько
линейно независимых векторов, какова кратность этого собствен-
ного значения, можно привести к диагональному виду.
3. Приведение матриц к диагональному виду. Квадратная
матрица называется диагональной, если по ее главной диагонали
расположены элементы Хх, Х2, Хя, а все остальные элементы —
нули. Диагональная матрица обозначается так:
ГХг О ...О'
О Х2 ... О = diag[Xi Х2...Х„].
(31)
J
1
0 0 ... Х„
Нетрудно видеть, что произведение двух диагональных матриц
есть также диагональная матрица, т. е.
diag[Xi Х2... XJdiag^i у2... yJ = diag[X1yl Х2у2... Х„у„]. (32)
Из выражения (31) также следует, что произведение диагональ-
ных матриц коммутативно.
Выясним, при каком базисе матрица линейного преобразова-
ния имеет диагональный вид. Ответ на этот вопрос дает следую-
щая теорема.
Теорема 3. Для того чтобы линейное преобразование прост-
ранства задавалось при некотором базисе матрицей диагонального
вида, необходимо и достаточно, чтобы базис состоял из собствен-
ных векторов этого линейного преобразования.
Доказательство. Рассмотрим некоторый базис/1, /2, ...
..., fn из собственных векторов линейного преобразования
Векторы базиса можно записать в виде
fi — 0 fi + • • • + 0 fi-1 + 1 'fi~\~®' fi+1 + • • • + 0 fn
(Z=l, 2, ..., и).
77
Иначе, в базисе f вектор ft может быть записан через коорди-
наты следующим образом:
~0~
О
1
О
t-строка.
О
Согласно определению собственного вектора имеем
t-строка (t = l, 2, ..., п).
(33)
Здесь А — матрица линейного преобразования, заданного в базисе/.
Объединяя все п уравнений (33), получаем матричное равенство
О ... о-
1 ... 0
= ае=а=
-Х1 о ... О -
о х2... о
(34)
L0
О ... 1J
L0 0 ... М
если линейное преобразо-
из собственных векторов
Равенство (34) устанавливает, что
вание задано в базисе, составленном
этого преобразования некоторой матрицей, то эта матрица имеет
диагональный вид, причем ее диагональные элементы есть соб-
ственные значения, принадлежащие векторам базиса. Достаточ-
ность условий теоремы доказана.
Докажем необходимость этих условий. Пусть в некотором
базисе fl, f2, fn линейное преобразование задается диаго-
нальной матрицей, тогда
Aft = diag Х2..
(35)
А
1
О
78
т. е.
Полученное равенство показывает, что в рассматриваемом случае
базис состоит из собственных векторов. Й
Докажем две вспомогательные теоремы, устанавливающие
условия, при которых матрица линейного преобразования при-
водится к диагональному виду.
Теорема 4. Если хь х2, ...» хп~ система собственных векто-
ров линейного преобразования пространства У„, принадлежащих
к различным собственным значениям, то эта система векторов
линейно независима.
Доказательство. Рассмотрим условие линейной незави-
симости
«1X1 + а2х2 + • • • + апхп = 0.	(36)
Применим к обеим частям равенства (36) линейное преобразо-
вание Тогда получим
«1 Xi) Т* (<з^Х2) Т~ • • • 4~	(е^Хи) = 0.	(37)
Из определения собственного вектора найдем, что
«i (^1X1) 4~ а2 (^2-^г) + • • • + ая (^я-^л) = 0»	(38)
или
Zi («1X1) т* Х2 («2X2) 4~ • • • 4~ ^я («яХ,2) = 0.
К равенству (37) опять применим это же линейное преобразо-
вание, тогда получим
XI («1X1) 4- XI («2X2) 4- • • • 4- (рспхп) = 0.	(39)
Осуществив подобные преобразования п — 1 раз, получим
систему линейных уравнений
otiXi4“ «2X2 4~ • • *4~ аяХп = 0,
Xi («1Х) 4- Х2 («2X2) 4- • • • 4- Х« (ал-^я) — 0,	(40)
VI («1X1) 4- Ха («2х2) 4-•  • 4~ Д2 (сспхп) — 0,
или в матричной форме
Г1	1	•• 1 1		' «1X1 '		г °	
Xi	Х2	••		а2х2	=	0	(41)
Lzr1	л п— 1 Ла	уП— 1 • • 'п		- ССпХп -		L 0 .	
Определитель матрицы-множимого в равенстве (41) есть опреде-
литель Вандермонда; он равен (см. § 2, пример 7)
О =	(42)
О/
79
(43)
Определитель D не обращается в ноль, так как по условию
теоремы все собственные числа различны. Так как определитель
матрицы не равен нулю, то для нее существует обратная мат-
рица; поэтому, умножая равенство (40) слева на эту обратную
матрицу, получим
- агхг ~
0С2Х2
L сспХп -
или
azxf = 0 (i=l, 2, ..., п).
Но так как, по предположению, хг — собственные векторы, то
Х/=#0, значит,
az- = 0 (z = 1, 2,	и),
т. е. рассматриваемая система векторов линейно независима. 
Из этой теоремы следует, что если все характеристические
числа линейного преобразования пространства Vn различны, то
для него существует базис из собственных векторов. Линейное
преобразование в этом базисе задается матрицей диагонального
вида (см. теорему 3).
Заметим, что часто рассматривают линейные пространства
с векторами, координаты которых представляют собой действи-
тельные числа. Такие линейные пространства называются дей-
ствительными. Но корни характеристического многочлена в общем
случае могут быть и комплексными. Для дейстительного про-
странства комплексные корни характеристического уравнения не
могут быть собственными числами. Для того чтобы в действи-
тельном линейном пространстве существовал базис из собствен-
ных векторов, необходимо, чтобы все характеристические числа
линейного преобразования этого пространства были действительны.
Теорема 5. Если Х2, .... К; —различные собственные значе-
ния линейного преобразования с кратностями соответственно
ki, k2,..., ks, где + k2 +... + ks — п, то для существования базиса
линейного пространства Vn из собственных векторов необходимо
и достаточно, чтобы каждому собственному значению соответ-
ствовало столько линейно независимых векторов, какова его крат-
ность.
Доказательство. Рассмотрим собственное значение (i =
= 1, 2, ..., s) линейного преобразования. Пусть ему соответ-
ствует максимальное число линейно независимых собственных
векторов
Хп, х12, ..., xUl (Z= 1, 2, ..., s),
равное lt. Покажем, что в этом случае векторы
Хц, ..., Xi/j, xsl, ..., xsis
линейно независимы.
80
Запишем условие линейной независимости векторов:
«пЛ11 + • • • + O^lZ^l/j 4" • • • 4” «sl-^si +... + &slsxsls — 0.	(44)
Введем обозначение
У1 ~	4“ОС/2Х/2 + • • • +	0=1» 2,	S).	(45)
Из равенства (43) получим
^1+^2 + - ..+js = 0.	(46)
Каждый из векторов yt является или нулевым, или собственным
вектором, принадлежащим собственному значению Xz. Из тео-
ремы 4 следует, что равенство (46) справедливо лишь при зна-
чении
у. = 0 (Z=l, 2,	5).	(47)
Но тогда, учитывая равенство (44), найдем что вследствие линей-
ной независимости векторов Хц, xi2, .Xis (i = l, 2, s)
«и = «12 = •.. = «i/1 =... = asi = as2 =... = asls = 0.	(48)
Таким образом, равенство (44) возможно лишь при нулевых
значениях коэффициентов az/. Отсюда следует, что векторы
-^11» •••»	•••» >^51» •••» ^Sls
линейно независимы.
Таким образом, максимальное число линейно независимых
векторов, соответствующих, всем собственным значениям, равно
сумме /1 + /2 + - • « + т. е. для существования базиса из собст-
венных векторов необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
равенство /i + Z2 + ---+G = ^, что возможно только тогда, когда
все значения li — ki. И
Квадратную матрицу А можно рассматривать как матрицу,
задающую линейное преобразование пространства Vn в некото-
ром базисе. При переходе к другому базису, согласно равенству
(24), это линейное преобразование будет задано матрицей С,
подобной матрице А, т. е.
С-Г1 Л Г,	(49)
где Т — матрица перехода к новому базису (det 7^0). Эта мат-
рица имеет вид
£11	£12 • • • £1л
'Г__	^21	^22 ”• ^2и	/гпх
*—Gzzl Sn2 ••• Ьял-
В этом случае
/1 — £11^1 + £21^2 4~ • • • 4~£ni^zi»
/2 = £12^1 + £22^2 4" • • • 4" £«2^л>
fn — £izz^i 4~ £2^2 4~ •• • 4~ £лл^л,
81
т. е. (i, /=1, 2,	/?) есть координаты векторов нового
базиса /ь f2, • • , fn, выраженного через старый базис е1т е2, ...
• • • » & П-
Если базис fl, fz, .... fs можно составить из - собственных
векторов линейного преобразования с собственными значе-
ниями Zx, Z2, ..., Xs, т. е. если выполнены условия теоремы 5,
то из теоремы 3 следует, что матрица С имеет диагональный вид
С = diag[М, Х2 ... Хл],	(52)
где каждое собственное значение берется столько раз, какова
его кратность	—
Пример 5. Привести к диагональному виду матрицу
Найдем собственные значения матрицы А:
^А-ХЕ| =
2-Х 1
О	1—X
= 2- ЗХ4-Х2,
откуда Xi= 1, Х2 = 2.
Вычисляем координаты собственных векторов линейного преобразования
задаваемого матрицей А, используя систему уравнений (30). Для Хх=1 имеем
11 + ^2 = °- Полагая свободное неизвестное |2 = —1, получаем gx=l. Следо-
вательно, собственный вектор будет
Аналогично, для Х2 при |2 = 0 получим собственный вектор
Матрица перехода к новому базису 7Т=| является матрицей, строки
которой есть координаты собственных векторов линейного преобразования,
тогда
Диагональная матрица, подобная матрице А, равна
Г1 01
C=T~lAT=I 2 Udiag [1 2].
Пример 6. Привести к диагональному виду матрицу
Г2
— 1 Г
0 1
—1 2
Найдем собственные значения матрицы А:
	2-Х —1 1	
| А—ХЕ| =	1	—X 1	- — (X— 1)2 (Х-2),
	I	—1 2—X	
82
откуда Xi=l, #i = 2, #а=1. Вычислим координаты собственных векторов. Для
Лх = 1 все три уравнения системы (30) одинаковы и имеют вид
£1 — ^2	—
или
£1 = &2 — Ь
Придавая свободным' координатам Ё,2 и £з различные значения, например
^2i = 1, £з1 = 0 и £22 = 0, £з2=1, получаем два линейно независимых вектора,
соответствующих собственному значению Xi=l:
Г
•Vu — 1
-0-
и хХ2 =
’—Г
0
- 1-
Для 7.2 = 2 система уравнений (30) имеет вид
— £2+^3 —0»
£1—2g2 4- ^з=0.
Из этой системы найдем собственный вектор при £3 = h
Из теоремы 5 следует, что диагональная матрица С, подобная матрице А,
имеет вид С —АТ = diag [1 1 2], где матрица перехода к новому базису Т
составлена из координат линейно независимых собственных векторов линейного
преобразования, задаваемого матрицей А, причем
1 О’
0 1
1 1-
Пример 7. Привести матрицу А к диагональному виду
’—1
1
- 0
А —
— 1 Г
2 0 •
— 1 0-
Вычислим собственные значения матрицы А:
| Д-А£| =
-1-Х
1
о
—1
2—7
—1
1
о =(1-Х)2(1+Х);.
—А
отсюда 7,1=1, #i = 2; Т,2 =—1, #2=1-
Найдем координаты собственных векторов линейного преобразования. Для
7,1 имеем систему уравнений
-2gi-g2 + b=0,
£1-Н2 = 0,
откуда собственный вектор

xi— —£з •
L b
83
При любых значениях Н3 все собственные векторы, соответствующие соб-
ственному значению 7t1= I, линейно зависимы и согласно теореме 5 матрица А
в данном примере не приводится к диагональному виду.
4. Каноническая форма Жордана. Как видно из последнего
примера, не всякую матрицу можно привести линейным преоб-
разованием к диагональному виду. Удобно выделить класс мат-
риц простейшего вида, к которому можно было бы привести
путем некоторых линейных преобразований любую матрицу.
Рассмотрим квадратную матрицу размера пхп, элементы
главной диагонали которой равны числу Хо» элементы aa+1(i =
— 1, 2, ..., п— 1) — единицы, а все остальные элементы — нули:
1 0 ... О
О Хо 1 ... о
о о х0... о
_о о о ...х0
Такая матрица называется клеткой Жордана порядка п, отвечаю-
щей собственному значению Хо.
Жордановой матрицей называется клеточно-диагональная
матрица, в которой на главной диагонали стоят клетки Жордана,
а все элементы вне этих клеток равны нулю.
Например, матрица
	“2 1	0 0	ООО	0	0~	
	0 2	0 0	ООО	0	0	
	0 0	2 1	ООО	0	0	
	0 0	0 2	ООО	0	0	
	0 0	0 0	3 1 0	0	0	(54)
	0 0	0 0	0 3 1	0	0	
	0 0	0 0	0 0 3	0	0	
	0 0	0 0	ООО	3	0	
	_0 0	0 0	ООО	0	1.	
является жордановой матрицей, состоящей из пяти клеток: двух
клеток второго порядка, отвечающих собственному значению 2,
клетки третьего порядка и клетки первого порядка, отвечающих
собственному значению 3, и клетки первого порядка, отвечаю-
щей собственному значению 1.
Покажем, что всякой матрице А соответствует подобная ей
жорданова матрица J, т. е. существует такая невырожденная
матрица С, что
/=СЧС.	(55)
Предварительно докажем несколько теорем.
84
Теорема 6. Пусть В —клетка Жордана порядка k, отвечаю-
щая собственному значению 2.0, тогда матрица В — 7Е имеет
каноническую форму вида
		“100 ...	0	0“		
		010...	0	0		
В-кЕжК=		001...	0	0		(56)
		000...	1	0		
		0 0 0...	о (X-ML		
Доказательство. Рассмотрим			матрицу		
	Хо-Л 1	0	0	0 “	
	0 Хо —Л	1	0	0	
	0	0	Хо — Л	0 ’	0	• (57)
	0	0	0	.. Хо — Л	1	
	0	0	0	0	Хо — х_	
Наибольший общий делитель минора треугольной матрицы В—КЕ
порядка k будет равен dk = (X— Л0)Л. Среди миноров порядка I
существует минор Л4/=1 (/= 1	1). Следовательно, dk =
= (X — Х0)/г и все dt = 1 для I = 1, ..., k — 1. По формуле 45 § 3
имеем
(А) = 1,
е2(А) = 1,
................................. (68)
en~i (X) = 1,
еп =
Поэтому на основании равенства (43) § 3 каноническая форма
матрицы В—\Е имеет вид
	1	0	0	... 0	0	“	
	0	1	0	... 0	0	
В — кЕс\з К=	0	0	1	.... 0	0	
	0	0	0	... 1	0	
	_0	0	0	... 0	(Х-М‘_	
Рассмотрим диагональную Л-матрицу diag [(рх (Л) <р2 (X)... <ря (Л)]
и положим, что многочлены <pz (X) попарно взаимно просты, т. е.
наибольший общий делитель многочленов <pf (X) и <pz (X) равен
единице, если i Ф j. Справедлива следующая теорема.
85
Теорема 7. Диагональная ^-матрица с попарно взаимно про-
стыми диагональными элементами имеет каноническую форму вида
1 0 . 0 1 .	.. 0 . 0	0 0		Ф1 (4 0	0 ф2 (4 . . .	0 0	0 " 0	
0 0 .	. 1	0	ОС'	0	0	Фп-1 (4	0	(59)
0 0 .	. 0	П 4>Д) i = 1		0	0	;..	0	ф» (4	
Доказательство. Доказательство проведем методом мате-
матической индукции. Рассмотрим вначале случай при k = 2.
Приведем матрицу
Ф1 (4 О
0
(60)
к каноническому виду. Многочлены <рх (X) и <р2 (4 взаимно просты,
поэтому наибольшие общие делители миноров первого и второго
порядков матрицы равны = 1 и d2 =	(X) <р2 (X). Согласно равен-
ствам (43) и (45) § 3, имеем
Г<Рх(4 о ] ri о
ее
о <p2(4j Lo Ф1(4Фг(4
(61)
Для случая k = 2 теорема доказана.
Предположим теперь’ что теорема справедлива для k — п— 1,
и докажем ее справедливость для k — n. По предположению,
теорема справедлива при k = 11 — 1, поэтому
Ф1 (4 0	0 ф2 (4	0 0	0 ~ 0	ОС
0	0	.. . фп—1. (X)	0	
0	0	0	фп (4-	
1	0	...	0	0	-
0	1	...	о	о
п — 1
о о ... Пч>ИМ
i= 1
(62)
_о о ... о
<р» (4_
п— 1
Из условия теоремы следует, что многочлены фп (X) и || <pz (X)
i = 1
взаимно просты, но для клетки/: k = 2 доказательство было
86
выполнено выше, поэтому имеем
<Р1 0	0	. <р2(Х) .	0 0	0 " 0		~1 0	0 ... 1 ...	0 0	0	“ 0	
0	0 .	- <Рп-1(^)	0	ОС	0	0 ...	1	0	и
0	0 .	0	<Рп (^)		0	0 ...	0	П (х) / — 1	
									(63)
В дальнейшем потребуется теорема, устанавливающая крите-
рий подобия матриц, которую приведем без доказательства*).
Теорема 8. Для того чтобы матрицы А и В были подобны,
необходимо и достаточно, чтобы их характеристические матрицы
A—'kE и В—кЕ были эквивалентны.
Теорема 9. Две жордановы матрицы Jx и J2 подобны тогда
и только тогда, когда они имеют одни и те же клетки и отли-
чаются лишь порядком следования клеток.
Доказательство. Пусть две жордановы матрицы отли-
чаются только порядком следования клеток. Тогда их характе-
ристические матрицы Л — ХЕ и J2 — ЬЕ будут отличаться только
порядком следования строк и столбцов. Меняя строки и столбцы
матрицы Л — ХЕ, -можно преобразовать ее в матрицу Л — ^Е.
Следовательно, характеристические матрицы Jx—kE и J2—"kE
эквивалентны. Тогда в силу теоремы 8 матрицы Л и J2 подобны.
Необходимость условий теоремы доказана. Докажем их доста-
точность.
Пусть жордановы матрицы Л и J2 подобны. Покажем, что
в этом случае они отличаются лишь порядком следования клеток.
Приведем характеристическую матрицу Л — ХЕ к каноническому
виду. Матрица Л жорданова, каждая ее клетка определяется
порядком и собственным значением. Пусть
qx клеток отвечает собственному значению Хъ
q2 клеток отвечает собственному значению Х2,
qt клеток отвечает собственному значению Xz.
Обозначим <7=max(<7i, q2, ..., qt). Согласно теореме 6, кано-
ническая форма каждой клетки матрицы Jx — kE имеет вид
dbag[l 1 ... 1 (1—Xt)ft], где k — порядок клетки, X/— собственное
значение, которому отвечает клетка. Таким образом, каждая
клетка в результате элементарных преобразований матрицы
71 —ХЕ приведется к каноническому виду, причем на диагонали
будут стоять либо единицы, либо члены вида (X —Xz)fe/7, где ktj——
*> Доказательство см., например: А. Г. Курош. Курс высшей алгебры.
«Наука», 1975, с. 376-
87
порядок соответствующей клетки, а \ —ее собственное значение.
Выражения (Л — Х,-)*‘/ назовем элементарными делителями матрицы
Л — КЕ. Образуем таблицу
(Х-^)*»	...	(X-Xi)*—
(Х-Х2)^«	(X —Х2)^	...	(Х-Х2)^	-б4)
.(Х-М‘п	(х-м4'2	•••	(х-м4'2-
где kn^-kiz^ ... ^kir. Путем соответствующей перестановки
строк и столбцов преобразуем диагональную матрицу так, чтоб.ы
по диагонали стояли вначале единицы, а затем клетки, образо-
ванные следующим образом: в первую клетку поместим все нееди-
ничные элементы последнего столбца таблицы, во вторую клетку—
все неединичные элементы предпоследнего столбца этой таблицы
и т. д. Всего получим q клеток. Первая клетка будет иметь вид
(k-ktfv	о	0
0	(Х-Х2)^ ..	0
0	0	
<(65)
Аналогично будут выглядеть другие клетки. Стоящие в каждой
из клеток многочлены взаимно просты, поэтому, согласно тео-
реме 7, каждая клетка с помощью элементарных преобразований
приведется к виду, в котором на главной диагонали все элементы,
кроме последнего, единицы, а последний элемент равен произве-
дению элементов соответствующего столбца таблицы (65). Пере-
ставим строки и столбцы полученной диагональной матрицы так,
чтобы вначале следовали единицы, и отличные от единицы эле-
менты следовали за ними в порядке следования клеток. В резуль-
тате получим диагональную матрицу вида
diag[1 1 ... 1 es es+1 ... еп],	(66)
где
es = (X-M)ftir (Х-Л2)^ ... (X-ZA
(67)
^(X-X^i (Х-Х2)^ ... (X-Xz)^
Эта матрица и есть канонический вид матрицы Л—-"кЕ. Действи-
тельно, получили диагональную матрицу, элементы которой есть
многочлены с коэффициентами при старших членах, равными
единице, причем каждый последующий многочлен делится на
предыдущий. При приведении матрицы Л —ХЕ к каноническому
виду были нужны собственные значения клеток Хь ..., кг и их
порядки kllt ..., ktr. Обратно, по каноническому виду матрицы
Jt-KE можно составить таблицу (64) и определить собственные
значения клеток и их порядок. Из подобия матриц J\ и Л,
88
согласно теореме 8, следует эквивалентность их характеристи-
ческих матриц. Отсюда следует, что канонический вид матриц
Д-ЛЕ и J2—-ХЕ один и тот же. Следовательно, матрицы Л и
Л совпадают с точностью до порядка следования клеток. Н
Следствие. Матрицу А всегда можно привести к жордановой
форме.
Действительно, в силу теоремы 2 § 3 характеристическую
матрицу А — ЛЕ всегда можно привести к каноническому виду.
По каноническому виду матрицы А — ЛЕ можно составить таб-
лицу (64), по которой всегда можно построить жорданову форму
матрицы А. И!
Пример 2. Задан канонический вид характеристической матрицы А
	-1	0	0	0	0
	0	1	0	0	0
	0	0	1	0	0
	0	0	0	X	0
	_0	0	0	0	Х2(Х-}-1)2_
Найти жорданову форму J матрицы Таблица (64) для нашего случая		А. имеет		вид	
А’ р	следовательно,	Г X2 [a+D2 0'0 О'		XI 1J 0	9 r
h			0;0 1:	0	0
		/=	0;0 0	0	0
			0:0 0: —	1	1
			о i о oi —	k	1	0	— 1
Справедлива следующая теорема о приведении матриц к жор-
дановой форме.
Теорема 9. Для всякой числовой матрицы А существует подоб-
ная ей жорданова матрица J, т. е. существует такая невырож-
денная матрица С, что
J C 'АС.
Доказательство. Рассмотрим характеристическую матрицу
А — ЛЕ. Найдем наибольшие общие делители ее миноров dlt
d2, ..., de и диагональные элементы ех(Х), е2(Л), ..., еп (Л) кано-
нической матрицы К(Л) по правилу (45) § 3 (/С(Х)^> А — ЛЕ).
Элементы е, имедэт вид
е1 = (Л- Xx)fen (X - Х2)'^ ... (X - Ле)^,
е2 - (X - Хх)^ (X - Л2)^ ... (X - Ле)^,
ег=(Л — Xx)feir (X - Х2)^ ... (X - Л/ег;
С
89
где ...» ^ — собственные значения матрицы, ^ — кратность
t-ro корня в t-м диагональном элементе канонической матрицы
(некоторые числа могут быть нулями). Составим таблицу:
(А-М)Аи	(Х-М)^.	. (Х-М)*1'-’
	(Х-М"22 •	. (Х-Х2)^
	(х-х,)‘« ..	. <х-хА_
В соответствии с этой таблицей составим жорданову матрицу
(клетки нулевого порядка не выписываем);
J=diag[J1]An; ... ;Л,л12; ...=	\
где — жорданова клетка, отвечающая собственному значе-
нию X/ порядка kij.
Можно показать, что матрица J— 7.Е имеет каноническую
матрицу равную канонической матрице (68), т. е. матрицы А — 7.Е
и J—KE эквивалентны. Следовательно, на основании теоремы 8
матрицы А и J подобны, т. е. J^C^AC, где С —некоторая
невырожденная матрица. Я
Матрица J составлена из клеток Жордана, отвечающих соб-
ственным значениям матрицы А. Заметим, что одному и тому же
собственному значению может соответствовать несколько клеток
Жордана различного "размера, если канонический .вид матрицы
А — КЕ имеет несколько одинаковых элементарных делителей
(возможно различной кратности).
Пользуясь теорией жордановых матриц, можно доказать сле-
дующую теорему
Теорема 10. Всякую квадратную матрицу А размера гщп
при помощи невырожденного преобразования с матрицей S можно
привести к почти диагональному виду
Ai &12 ... Ь1п
^21 ^2 • • • ^2п
- bni ЬП2 . . . ^пп --
(69)
где B ^S }AS, Xj, Z2 ..., hn — собственные числа матрицы А,
а |	| < е (при i=#/) и 8 —сколь угодно малое положительное
число.
Матрицы, записанные в жордановой форме, используются
в дальнейшем при изучении систем линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.
*’Доказательство этой теоремы см., например: Демидович Б. П.
Лекции по математической теории устойчивости. М., «Наука», 1967, с. 40.
Глава III
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 7. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение и свойства унитарного пространства. Рассмот-
рим линейное пространство Vn. Каждой паре векторов этого
пространства х и у поставим в соответствие комплексное число
(х, у) таким образом, чтобы выполнялись условия-аксиомы:
(х, у)—(у, xj,** (1)	(^х, у/) — X (х, J), (2)
где X —произвольное комплексное число,
(Xi + x2, у) = (х1, у) + (х2, у),	(3)
(х, х) > 0 при х-7=0.	(4)
Число (х, у), поставленное в соответствие паре векторов х,
у, будем называть скалярным произведением векторов х и у.
Скалярное произведение (х, х) вектора на самого себя назы-
вается скалярным квадратом вектора. Линейное пространство
в котором введено скалярное произведение, называется унитар-
ным пространством. Действительное унитарное пространство
называется евклидовым пространством.
Рассмотрим основные свойства скалярного произведения,
вытекающие из его определения.
1.	Скалярный квадрат нулевого вектора равен нулю.
Действительно,
(0, 0) = (0-0, 0)=0.(0, 0) = 0. 	(5)
2.	Множитель, стоящий перед вторым членом скалярного про-
изведения, можно выносить за знак скалярного произведения как
комплексно-сопряженное число, т. е.
(х, |ху)=й(х, у).	(6)
В самом деле,- из аксиом (1) и (2) скалярного произведения
следует
(х, цУ)=(нУ» x) = j7(j, х) = й(х, у). И
3.	Для скалярного произведения справедлив сочетательный
закон, т. е.
(xt Ji + у2) = (х, jt) + (х, у2).	(7)
Действительно, из равенств (1) и (2) следует, что
(х, У1 + у2) = (ji+ja, х) = (у^х) + (>2, X) = (X, У!) + (X, у2). И
*) Черта сверху означает комплексно-сопряженное число.
91
4.	Знак, суммы и постоянные множители можно выносить за
знак скалярного произведения, т. е.
(k	т \ k т
.S ^iXi, zEj	У})-	(8)
i=l	7=1	/ i=l/=1
Действительно, распространяя выражение (3) по индукции
на k слагаемых и используя равенство (2), получим
(k	т < k / т \
^iXi, 2 Н/У] ) = 2	JEj Н/У/р
i = 1	/ = 1	/ z = 1	\	7=1	/
Аналогичным образом из равенств (6) и (7) найдем
k	I	т	\ k	т
f Xi,	S (Xi, У]). 13
i — 1	\	7=1	/	i — 1	7 = 1
2. Длина вектора, ортогональность векторов. Пусть задано
унитарное пространство Vn. Длиной вектора X называется поло-
жительное значение квадратного корня из его скалярного квад-
рата. Длина вектора обозначается [| х ||;
W= + VW *)•	(9)
Вектор, длина которого равна единице, называется нормиро-
ванным.
Из свойств скалярного произведения следует, что длина век-
тора равна нулю тогда и только тогда, когда этот вектор нуле-
вой. Всякий ненулевой вектор можно путем умножения на неко-
торое число сделать нормированным.
Пусть, например, ||«|| ===== Z 0. Рассмотрим вектор: Ь~±-а.
Покажем, что ||£>||=1.
(Ь, Ь) = (-}- а, !- а} —	(а, а) =	= 1.
v ' \ I	I ) Р ' ’ '	(а, а}
Следовательно, || b || = + (b, Ь) = 1.
Вектор X называется вектором, ортогональным вектору у,
если скалярное произведение этих векторов равно нулю, т. е.
х±_у, если (х, j)=0*).
Ортогональность векторов обладает свойством симметрии,
т. е. если х J__y, то и .у_|_х.
Действительно, если (х, _у) = 0, то и (у, х) = (х, _у) = 0. Щ
Нулевой вектор ортогонален с любым вектором пространства.
В самом деле (0, х)==(0-0, х)=0. Обратно, если вектор X
ортогонален любому вектору пространства, то х — нулевой век-
тор. Действительно, в этом частном случае вектор ортогонален
самому себе, т. е. (х, х)=0, а это может быть только в том
случае, если х = 0. И
Знак X означает оргогинальность векторов.
92
Система векторов xn х2, .... хп унитарного пространства Vn
называется ортогональной, если каждая пара векторов этой
системы является ортогональной, т. е.
(X/, ху) = 0 при i^j (i, j=l, 2, ri) (10)
Ортогональная система векторов называется ортонормирован-
ной, если длина каждого вектора системы равна единице, т. е.
(X/, ху) = 6/7*) (г, /=1, 2, ..., п)	(11)
(1 при i = j,
(0 при 1^=].
Теорема 1. Всякая ортогональная система ненулевых векторов
является линейно независимой.
Доказательство. Пусть хх, х2, ...» хп ортогональная
система ненулевых векторов. Рассмотрим равенство
ttjXi -р ОС2Х2 -р.. .~р <хпхп — 0.
(12)
Составим скалярное произведение (0, х,-); так как нулевой век-
тор ортогонален с любым вектором, то получим
(0, х,-)=(2 «vxv, Х/)= У av(xv, Х1) = а/(Х/, xz)=0.	(13)
По условию xz=#0, поэтому (xz, xz) =/=(). Из выражения (13)
следует, что az = 0, т. е. равенство (12) возможно лишь в слу-
чае, когда все коэффициенты az = 0. Из определения линейной
независимости векторов следует, что в этом случае все векторы
системы линейно-независимы. 
Базис унитарного пространства Vn называется ортогональным,
, если он образует ортогональную систему векторов. Если базис
образует ортонормированную систему векторов, то он называется
ортонормированным.
Теорема 2. Во всяком п-мерном унитарном пространстве
существует, по крайней мере, один ортонормированный базис.
Доказательство. Пусть alt а2, ..., ап — какой-нибудь
базис унитарного «-мерного пространства. Преобразуем этот
i базис в ортонормированную систему векторов следующим обра-
зом. Положим Xi —«1, затем положим x2 = a2-\-hXi, где X —
любое число. Вектор х2 не может быть нулевым вектором, так
как в этом случае равенство a2 + AXi = 0 может быть справед-
ливо и при	что невозможно, так как векторы аг и а2
линейно независимы.
Подберем число X так, чтобы было х2 I хг. Это всегда воз-
можно; действительно, записывая условие ортогональности век-
торов, получим («2 + ^1» Х!) — (а2, х1)4-А(х1, Xi) = 0; но
б/у —символ Кронскксра.
(Xi, хф>0 и, следовательно, при Х =—
(Xj, Xi)
(хъ х2) = 0,
т. е. вектор х2 ортогонален вектору хх.
Далее строим векторы
Хз = аз -р XjXi -р Р2х2,
(14)
(15)
xj ~ ai 4~ Рт^Т4~ Р2Х2 4- • • • 4- Р/-1Х/-1.	(16)
Каковы бы ни были коэффициенты ръ р2,..., py_i (j — 2,...,n),
вектор х}-, полученный по формуле (16), не равен нулю. В самом
деле, предположим противное, т. е. пусть Xj — Uj + piXx ~р
4- р2х24-• • -4~Р/ 1Х7-1 = 0, тогда, выражая векторы хх, х2,. •., xy-i
через векторы аг, а2, ..., ttj-r, согласно равенству (16) полу-
чим «/4-a1fl!1 + a24Z2 + ..,4-a/-i<2/-i = 0 (здесь ak — некоторые ком-
бинации коэффициентов ру). Но коэффициент при Uj в последней
сумме не равен нулю. Получается, что система векторов аг,
а2, ..., О/ линейно зависима, чего не может быть, так как эта
система векторов в силу условия теоремы является подсистемой
из векторов базиса. Следовательно, лу=^0.
Покажем, что коэффициенты рь р2, ..., ру1 можно подобрать
таким образом, чтобы вектор Xj стал ортогонален всем преды-
дущим векторам хх, х2, ..., xyi. Пусть xs — один из этих век-
торов. Рассмотрим скалярное произведение (ху, xs). Подставляя
значение Xj и учитывая ортогональность векторов хх, х2,..., ху1,
получим
(Ху, Х5) = (^У4“ РЛ -р.. .-ppsXs-p.. .-р py-iX/_i, xs) =
— (ttj, Xs) ~p pi (Xi, Xs) -p... -p p$ (Xs, Xs) -p... -p Py—1 (Xy-i, xs) —
= (Oj, xs) -p ps (x5, Xs) = 0. (17)
Ho (xs, xs)>0, поэтому ps =— (aj, xs)/(xs, xs). Таким образом,
при соответствующем выборе коэффициентов в равенстве (16)
можно получить ортогональную систему векторов хг, х2, ..., хп.
Разделив каждый вектор хг (t = l, 2, ..., п) на R(xz, хг), полу-
। (i = 1,2, ...,п).
чим ортонормированную систему векторов et
По теореме 1 все эти векторы линейно независимы, т. е. обра-
зуют ортонормированный базис пространства V. И
Теорема 3. Если ег, е2, ... еп —ортонормированный базис
унитарного пространства Vn и произвольные векторы х и у этого
Rd
пространства имеют при этом базисе координаты х =
Л1
У- :
то их скалярное произведение имеет вид
% J
п
(X, у) = V
1
(18)
94
Доказательство. Используя свойство 4 скалярного про-
f- изведения и определение ортонормированного базиса, имеем
(**,	=	= S S ^]j(ei, ej)= £	(19)
Пример 1. Векторы а2, а3 базиса пространства У3 выражаются через
ортонормированный базис elf е2, е3 следующим образом: а1 — 2е1 — е2-\~е3,
а^е^+ез, а3=е1 — е2-\-2е3. Найти другой ортонормированный базис прост-
ранства.
Введем
в базисе ег,
в рассмотрение векторы-столбцы из координат векторов а1г а2, а3
С‘2> ез:
- 1
«з= —1
- 2
1
а2= 0
1-
- 2
«1= —1 >
- L
Г 21
Примем x1 = ai= —1 , x2=a2-y'kx1, при этом коэффициент X найдем из
L в
I
условия ортогональности векторов Xj и х2: Х =
(а2, Xi)	1
-----— = —и-. тогда
(Х1, хг)	2
из условия х3 1 х2, х3 1 Хх найдем
(хр Х1)
После
Положим х3 =	2цХх ф-А2х2, тогда
(а3, xj 	5 ?	(ц3, х2)
3.
тора
е2, ..
Норма матрицы. Экспоненциальная матрица. Длина век-
х, заданного в некотором ортонормированном базисе elf
., еп, называется нормой вектора. Эта норма равна

п

(20)
95
и называется евклидовой нормой вектора. В ряде случаев приме-
няют еще норму вектора вида
(21)
Понятие нормы вектора обобщается для матриц. Нормой мат-
рицы А размера тхп называется сумма модулей ее элементов:
т п
М!=2 2 IM
1 = 1 /' = I
(22)
Норма матрицы обладает следующими свойствами.
1.	Числовой множитель с можно выносить за знак нормы, т. е.
(23)
2.	Норма суммы матриц не больше суммы норм этих мат-
риц, т. е.
||Л + ^К1|Л||+||В||.
(24)
3.	Норма произведения матриц не больше произведения норм
этих матриц, т. е.
||ЛВ||^М1!ИИ.
(25)
Докажем, например, справедливость последнего свойства нормы
матрицы. Пусть матрицы А и В имеют размер соответственно
mjXfti и т2хп2 (П1_ = т2), тогда
п2
Hi = т2
|лв|= 2 2 S «.А/«2 2 2 1«»цг>*/1=
1=1/=]	Л=1
1И1х= S 1^1.
М1НИМЦ.
mi «2	«1 = т2
Л = 1
Сумма произведений положительных чисел меньше или равна
произведению сумм этих чисел, т. е. при ak^>Q, bk>0
^akbk^^ak^bk,
поэтому
tli = "h
|Дв|< 2 2 1а«1 2 ISI
» = i v=i j-i
П?2 п2
nt
<2 2IM 2 2l^l=MIII|BII-
6=11=1	6 = 0/=!
Рассмотрим функциональную матрицу А (/), тогда для нормы
интеграла от матрицы А (/) имеем следующее свойство.
96
4. Норма интеграла от функциональной матрицы не больше
интеграла от нормы этой матрицы, т. е.
ь
$ А (/) dt
а
WII*.
а
(26)
Действительно,
ь
$ A (t) dt
ь
ь
J аИ (/) dt
а
т п b
i= 1 /= 1 а
b т п	' ' b
=5 2 2 |а„(/)|л=5||Л(/)|л. 
a i = 1 / — 1	а
Понятие нормы
ричные ряды.
Суммой ряда
матрицы дает возможность рассмотреть мат-
со
S=S Ak
Л=0
(27)
называется такая матрица, элементы которой являются суммами
рядов, составленных из соответствующих элементов матриц Л*.
Определим экспоненциальную матрицу еА для данной квад-
ратной матрицы размера пхи как сумму ряда
ОО
^ = £+4 + .4 + -=2 7Г-	<28)
Ряд (28) сходится, так как из равенства (25) следует, что
||Ak|| =с||Л ||fe для всех ^0 и каждый из п2 рядов, составленных
из соответствующих элементов матриц Ak, мажорируется рядом
II А IIй
с общим членом 	, и согласно признаку Вейерштрасса *>
ОО
ряды	• ••> и) сходятся. Для экспоненциальных
/г = 0
матриц справедливо соотношение
ев ел + в ,	^9)
где Л и В квадратные матрицы размера пхп, причем эти мат-
рицы коммутативны относительно операции умножения, т. е.
АВ — ВА. В самом деле,
ОО	ОО	ОО ОО
_ у	у	= у у
е с k\ l\ Li Ь kill •
fe = 0	Z = 0	/г = 0/=0
*> См., например: Фихтенгольц Г. М. Основы математического ана-
лиза, т. II., «Наука», 1968, с. 74.
4. п. р. Чемоданова, т, 1
97
Выполнив замену переменной суммирования l = m — k, получим
л в_ У У &kBm~k _ V 1 V mlAkBm~k
е е	Z Z kl(tn—k)l ~ Z nil Z kl(tn—k)l
m = 0/? = 0	tn—0 k — Q
00
= у (Л+Д)'" =ел + в
ml	*
т = О
При выводе этой формулы мы воспользовались формулой бинома
Ньютона, которая, как нетрудно убедиться, справедлива для
матриц, коммутативных относительно операции умножения.
Рассмотрим экспоненциальную матрицу eAt, где / — некоторое
действительное переменное. Для производной экспоненциальной
матрицы справедлива формула
~(eAt) = AeAt = eAi А.	(30)
В самом деле, имеем
~-(eAi)~ lim ~ (еА(И -w — eAt) = lim eAt (еА^ — Е)—
at д/->о	д/-»о
А. r 1 ! „ , МА , А/2 А2 .
= * д'1 ™0 дИ£ + ПГ + -2Г-+• -~Е) = А.
По аналогии с обычным понятием логарифма введем понятие
логарифма от матрицы. Матрица В называется натуральным
логарифмом матрицы А, если справедливо равенство ев~А, т. е.
£> = 1пД, если ев—А.	(31)
4. Неравенство Коши — Буняковского. Найдем соотношение
между скалярными произведениями векторов х и у.
Теорема 4. Какова бы ни была пара векторов х и у п-мер-
ного унитарного пространства Vn, всегда справедливо неравенство
|(х, J)|2^(x, x)(j, у),	(32)
причем, знак равенства имеет место тогда и только тогда,
когда векторы х и у пропорциональны или один из них нулевой.
Неравенство (32) носит название неравенства Коши — Буня-
ковского.
Доказательство. Если вектор у — 0, то рассматриваемое
неравенство очевидно. Положим у 0.
Рассмотрим скалярный квадрат (х— бу, х — бу)^О, где б —
произвольное комплексное число. Раскрывая скалярное произ-
ведение, на основании аксиом (2), (3), (4) и свойств 3, 4 ска-
лярного произведения получим
(х — бу, х — бу) = (х, х) — б(х, у)~ б (у, х) + бб(у, у)==
= (х, х) — б(х, у) — б(х, _у) + АЛ(.у, _у)^0.	(33)
*’ Два вектора называются пропорциональными (коллинеарными), если
один из них выражается через другой с помощью умножения его на некото-
рое число.
98
I	—
т* Так как последнее неравенство справедливо для любого X, то,
«ц.	(х v)
| в частности, оно справедливо при X — * ' Подставляя это
/ значение X в неравенство (33), будем иметь
(х’ х)-----(Гу) (Гу) +' (ГуНГу) 38°’	()
откуда
I (AT, j)!2^(x, х)(у, у).	(35)
Предположим, что векторы х и у не пропорциональны, тогда
Ху=£х и х — Ху^=0. В этом случае скалярный квадрат (х — Ху,
х — Ху) > 0, и в выражении (32) имеем строгое неравенство.
Если х и у пропорциональны, т. е. х = Ху, то скалярное про-
изведение (х — Ху, х — Ху) = О ив этом случае выражение (32)
становится равенством. 
Докажем теперь, что справедливо неравенство
ll*+j||«kl+hll.	(36)
Для этого вычислим скалярный квадрат ||x+j||2:
IIх + УII2 = (х +	х + j) = (х, х) + (х, у) + (У, х) +
+ (j, j)=||x||2 + (x, у) +(х?У) + Ы12.	(37)
Так как модуль суммы меньше или равен сумме модулей, то
найдем
1||х+у|Р|«|||х|Р1+1(^ jOI + l£7y)l+IWl- (38)
Но так как квадрат длины вектора есть действительная положи-
тельная величина, а модули комплексно-сопряженных чисел
равны, то получим
||x+j>p<|x|2 + 2|(x, J)|+kl2.	(39)
Из неравенства Коши — Буняковского следует, что
|(x, >)|*S||x|lbll.	(40)
поэтому
k+>la«klP+2|x|||j|+l>l2 = (kl+m)J.	(41)
Извлекая корень из обеих частей последнего равенства, убеж-
даемся в справедливости соотношения (36). 
Введем еще одно определение. Расстоянием между двумя век-
торами х и у унитарного пространства называется число р (х, у) =
= 11* “J II-
Нетрудно убедиться, что расстояние между векторами обладает
следующими свойствами:
1, Расстояние между двумя различными векторами есть поло-
жительная величина, а расстояние между одним и тем же век-
тором равно нулю, т. е.
р(х, х)=0, р(х, ,у)>0 при х^-у,	(42)
4*
99
2. Расстояние между двумя векторами не зависит от того,
в каком порядке берутся эти векторы, т. е.
р(х, j) = p(y, х).	(43)
3. Расстояние между двумя векторами не превышает сумм
расстояний каждого из этих векторов до произвольного третьего
вектора, т. е.
р (х, у) < р (х, z) + р (Z, у),	(44)
где z — произвольный вектор.
Свойства 1 и 2 вытекают из свойств скалярного произведения.
Докажем свойство 3. Из определения расстояния между векто-
рами, используя неравенство (37), имеем:
р(х, j) = lx-j|=||(x-z) + (z->)l<|x-z|| + ||z->|| =
= р(х, z)+.p(z, >). 
5. Симметричные и ортогональные преобразования. Восполь-
зовавшись свойствами унитарного пространства, рассмотрим неко-
торые специальные классы линейных преобразований.
Квадратная матрица А = [а^] размера пхп, где ац — некото-
рые комплексные числа, называется эрмитовой, если ее элементы
подчиняются условию ац — йц, т. е. эрмитова матрица —это такая
матрица, которая не изменится, если ее транспонировать и заме-
нить элементы комплексно-сопряженными числами. Транспониро-
вание матрицы А и замена элементов матрицы АТ на комплексно-
сопряженные приводят к матрице, которую обозначим А*, тогда
для эрмитовой матрицы имеем
Л* = Д.
Эрмитова матрица с действительными элементами называется
симметричной. Для симметричной матрицы АТ — А.
Рассмотрим линейное преобразование унитарного простран-
ства, задаваемое при некотором ортонормированном базисе эрми-
товой матрицей А. Такое преобразование называется симмет-
ричным.
Теорема 5. Если при некотором ортонормированном базисе
et, е2, еп унитарного пространства Vn задано симметрич-
ное преобразование ох?, то справедливо равенство
(oxZx, у) — {х, о^у),
(45)
где х, у — произвольные векторы пространства Vn.
Доказательство. Выражая векторы х и у через базис,
получим
x=S^,	(46)
1~\	/=ч
100
Рассмотрим образы этих векторов о^х и о^у. Принимая во
внимание линейность преобразования, найдем:
о^х =	( У == У £/
\i^i I i~i
(n	\ I n
5^/1=
/=i	) V=i
откуда, учитывая равенство (8), получим:
у) = IS I, (e^e,). £	= 2 S	«/), (47)
\i=il	/=1	/	1 = 1 7==1	'
(х, ^у) = (^ fai, 2 (<^ЧЙ = S S	<48)
\(±=1	/ = 1	/	1 = 17=1
учитывая равенство 11 § 6, полагая, что в базисе et преобразо-
вание задается эрмитовой матрицей А, вычислим образы век-
торов et и ef.
f?i — <71/^1 + 0-21^2 4~ • • • 4* ani^ni	(50)
o^Cj = <71ув14~ ^2/^2 + • ••A'anj^n:>	(51)
учитывая условие ортонормированности системы векторов ег,
^г. ...» имеем
ej) = aJh	(52)
(Ci, Q.^ej) —tty.	(53)
Для эрмитовой матрицы — поэтому из формул (47), (48),
(52) и (53) следует, что
(е^Х, у)= У У lif]jaji-=(x, Q^y\ 
t=i7=1
Отметим теперь ряд свойств собственных векторов и собствен-
ных значений эрмитовой матрицы. Эти свойства устанавливаются
в рассмотренных ниже теоремах.
Теорема 6. Все характеристические числа эрмитовой матрицы
действительны.
Доказательство. Рассмотрим унитарное пространство Уя,
размерность которого совпадает с размером пхп эрмитовой мат-
101
рицы А. Матрица А при ортонормированием базисе elt е2,...» еп
будет задавать симметричное преобразование. Пусть X — харак-
теристическое число матрицы А. Унитарное пространство комп-
лексное, поэтому X есть собственное значение линейного преоб-
разования.
Пусть © — собственный вектор этого собственного значения,
следовательно, справедливо равенство
©) —(X©, ©} = X (©, ©).	(54)
С другой стороны, ввиду симметричности преобразования имеем
©) = (©, е /©) ~ (®, Х©) = Х(®, ©).	(55)
Из равенств (54) и (55) следует, что Х = Х, а это может быть
только тогда, когда X— действительное число. 
Из доказанной теоремы следует, что симметричное преобра-
зование евклидова пространства имеет по меньшей мере один
собственный вектор, так как характеристические числа такого
преобразования все действительны.
В дальнейшем будем рассматривать только евклидовы про-
странства.
Теорема 7. Если ©i и —собственные векторы симметрич-
ного преобразования, принадлежащие к различным собственным
значениям Хх и Х2, то они ортогональны.
Доказательство. Составим скалярное произведение:
(©^©1, ©2) = (Х1©1, ®2)=М(®1, ®2),
здесь — симметричное преобразование. Ввиду симметричности
преобразования имеем
(©^©1, ©2) = (©1, ©^'©2) = (®1, Х2©2) = Х2(©Ъ ©).
Сравнивая два последних равенства, можно записать, что
Xi(©i, ©2) = X2(©i, ©2) и (Хх —Х2)(©х, ©2) = 0.
По условию теоремы Хх #= Х2, поэтому Хх — Х2 =/= 0 и (®ъ ©2) = 0. От-
сюда следует, что векторы ©х и ©2 ортогональны. 
Приведем без доказательства теорему о существовании
матрицы симметричного преобразования диагонального вида.
Теорема 8. Пусть А—матрица симметричного преобразования
пространства Уп при некотором ортонормированном базисе.
Тогда существует ортонормированный базис пространства Уп из
собственных векторов матрицы А, при котором это симметрич-
ное преобразование задается диагональной матрицей
diag[Xx Х2 ... Х„],	(56)
где В~ Т~ХАТ\ Т — матрица перехода к новому базису, aXf(i=l,
2, ..., п) — собственные значения матрицы А.
*> Доказательство см., например: Окунев Л. Я. Высшая алгебра. М.,
«Просвещение», 1966, с. 309.
102
Введем определения.
Матрица, у которой транспонированная матрица равна обрат-
ной, т. е.
7‘ = Т~1	(57)
называется ортогональной.
Если линейное преобразование евклидова пространства
Vn при ортонормированием базисе еъ е2, ..., еп задается орто-
гональной матрицей, то такое преобразование называется орто-
гональным.
Теорема 9. При ортогональном преобразовании евклидова прост-
ранства скалярное произведение любой пары векторов не изме-
нится, т. е.
(х, у) =	х,^у).	(58)
Пусть Т= [Tf/] — ортогональная матрица, задающая ортого-
нальное преобразование при ортонормированием базисе еъ е2,
• • • >- ^П'
Доказательство. Выражая векторы х и у через базис,
получаем
* = S у = У,
1=1	/=1
Найдем скалярное произведение векторов х и у. С учетом
равенства (8), (18), (11) получим
(х, У) = IS liCu У 11/^ = 2 У (*/> ej) == 2 W (59)
v=i	/=i	]	i = i
Скалярное произведение (7’х, Ту) равно
(<ГХ, <^y) = t% ь (Те,), 2 ’1/ (Tej)\ » У V	4Tej).
\i — 1	j — 1	/ i = 1 j — 1
(60)
Вычислим скалярное ^произведение (е^~elf е/р Аналогично
равенству (50) имеем
&/) — I У j ==
\А = 1	tn = 1	/
=	~ У (61)
k = 1 tn = 1	k = 1
n	'
В выражении (61) сумма У xikxjk равна элементу, располо-
женному в i-й строке и /-м столбце матрицы произведения ТТ^.
По условию теоремы матрица Г—ортогональная, т. е. Тт^=Т г и
ТТ'^Е, поэтому для ортогональной матрицы справедливы
103
равенства:
следовательно,
У т//гтА = 0 при i #= /,
a=i
У TZfeT/fe= у |T/fe|2= 1;
Л=1	Л=1
(еГх, <^у) = У
(62)
(63)
(64)
Сравнивая выражения (64) и (59), получаем (х, у) = (о7х, <&у). 
Из теоремы следует, что при ортогональном преобразовании
длина любого вектора пространства не изменяется. Действительно,
положив в равенстве (58) у — х, получим (х, х) = (<^х, <&х),
откуда || ат Ц «= || Тлт [|.
§ 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
1. Определение и основные свойства квадратичной формы.
Рассмотрим n-мерное унитарное пространство Vn. Пусть
X е — произвольный вектор этого пространства, а
...,	— координаты вектора х в некотором базисе.
Квадратичной формой f (х, х) называется функция вектора х,
которая представляет собой однородный многочлен второй сте-
пени относительно координат этого вектора, т. е.
п п
/(х, х)=£	(1)
/ = 1 / = 1
где atj — коэффициенты (действительные или комплексные)
В сумме (1) всегда можно положить ац = а{и т. е. представить
(1) в симметричном виде. В самом деле, пусть Оц=/=ац. Рассмот-
рим сумму двух слагаемых
= (aij +	+ bij^i,	(2)
где bzy =--g---•
Коэффициенты by и bjt равны, т. e. левая часть равенства (1)
с неравными коэффициентами всегда может быть преобразована
к симметричному виду. Например, пусть f(x, х) = |z + ^2 + 2^2li-
Суммируя второе и третье слагаемое в правой части этого равенства
и деля сумму пополам, получим симметричный вид квадратич-
ной формы: f (х, х) = ^ + -|-^2 + -|-^1.
•> В дальнейшем рассматриваются квадратичные формы лишь с действи-
тельными коэффициентами.
104
Матрица
«11 «12 • . . «1л
«21 «22 ••• «2л
(3)
L«ni «л2 • • • «ли-,
составленная из коэффициентов квадратичной формы, называется
матрицей квадратичной формы.
Матрица квадратичной формы всегда симметричная, т. е.
aij — ajt, или А = АТ.
Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы, В
частности, если матрица А невырожденная (deti4=#0), то ранг
квадратичной формы равен п. Такая квадратичная форма назы-
вается невырожденной.
Всяк>*ю квадратичную форму можно записать в матричном
виде:
f(x, х) = хТАх.	(4)
где хТ— транспонированный вектор-столбец х (хт — [£ц £2 ••• £з])-
Действительно, согласно правилу умножения матриц имеем:
«11 «12 •  • а1п

- п	п	п	-
। @k1^>k ^У; «/<’2^2 • • •	,
k=\	A=l	fe=l
- «л2 «л2 • • • Unn, -
ХтДх =
- n	n	n	-
У ^k2^>k • •  ^kt^>k
_fe=l	k=-.l	k=\
£2
«
-In-
ti n
— zEj
tn= 1 k= 1
где I/ (i = l, 2, n) — координаты вектора x в некотором
базисе.
п п
Квадратичная форма f (х, х) — 2 У, afefej может быть запи-
i=i/=1
сана также в виде скалярного произведения
п п
f(x, х)= У у aijhlj = хт Ах = (х, Ах), (б)
1=1/=1
где А — Ат матрица квадратичной формы.
Действительно, полагая, что А есть также матрица некото-
рого линейного преобразования, заданного в ортонормированном
базисе, из равенства (19) § 7 имеем
(х, Ах) =

У aijl] = У Ь У aijlj — У У 
_/= 1 J/ i = 1	/ = I i = 1 / = 1
105
Выясним, как изменяется матрица квадратичной формы при
переходе к новому базису.
Теорема 1. При переходе к другому базису пространства Vn
матрица квадратичной формы А изменяется по закону
В=СТАС,
(6)
где С — матрица перехода к новому базису.
Доказательство. Согласно формуле, определяющей коор-
динаты вектора при переходе к новому базису (42) § 5, имеем
rbi
Ili-
na
(7)
или в матричной форме
х = Су,
(8)
= с


здесь у~ тот же вектор х, но записанный в координатах при ”
новом базисе. Подставив выражение (9) в (4), получим
f (х, х) = хТ Ах = (Су)Т А (Су) =угСгАСу,
или, если
СТДС = В,
(9)
(ГО)
f(x, x) = f(y, y)=yrBy.
(Н)
Для того чтобы матрица В была матрицей квадратичной формы,
необходимо, чтобы она была симметричной. Покажем симметрич-
ность этой матрицы. Имеем ВТ = (СТДСТ) = (ДСТ) С == СТДТС; но
так как ДТ = Д (в силу симметричности матрицы квадратичной
формы), то и В=ВТ, т. е. В —симметричная матрица. 
Из теоремы следует, что при переходе к новому базису, мат-
рица квадратичной формы изменяется по правилу (10).
2. Канонический вид квадратичной формы. Выясним простей-
ший вид квадратичной формы, который можно получить путем
рационального выбора базиса. Введем новое определение. Если
матрица квадратичной формы имеет диагональный вид, т. е.
Д = (11аб[11 Х2 ... 7.J,
(12)
то соответствующая ей квадратичная форма
f х) =
(13)
называется квадратичной формой, приведенной к каноническому
виду.
Покажем, что всякую квадратичную форму можно привести
к каноническому виду.
п п
Теорема 2. Квадратичная форма f (х, х) = У, У с по-
i = 1 j = 1
мощью линейного преобразования с ортогональной матрицей С
п
может быть приведена к каноническому виду f (х, х) = У
z= 1
Доказательство. В евклидовом пространстве Vn рассмот-
рим матрицу А квадратичной формы как матрицу симметричного
преобразовавия при том же ортонормированном базисе, в кото-
ром задана квадратичная форма. Из теоремы 8 § 7 следует, что
существует такая ортогональная матрица С того же размера,
что и матрица Д, которой соответствует матрица В~СТАС диа-
гонального вида, т. е.
B = CTAC = diag[l1 Х2 ... XJ,	(14)
где Xi, Х2, ...,	—.собственные значения матрицы А.
Перейдем от старого базиса к новому, причем в качестве
матрицы перехода к новому базису выберем матрицу С. Тогда,
обозначив вектор квадратичной формы в новых координатах через
у, согласно равенству (42) § 5 найдем х — Су, х'Т — (Су)Т =
= утСт, откуда
хтАх= (уС)т А (Су) =утСтАСу =угВу. (15)
Составляя выражение для квадратичной формы, исходя из матрицы
В, получим ее канонический вид
(16)
fe=l
Следующая теорема показывает, что число слагаемых в ра-
венстве (16) определяется рангом матрицы А исходной квадра-
тичной формы.
Теорема 3. Если квадратичная форма f(x,x) с матрицей А при
переходе к некоторому базису приведена к виду (16), то число не
равных нулю членов в выражении (16) равно г—рангу исходной
квадратичной формы.
Доказательство. Составим матрицу В квадратичной
формы канонического вида. В выражении (16) отсутствуют члены,
содержащие произведения разных координат, поэтому матрица
этой квадратичной формы имеет диагональный вид
£? = diag[Хг Л2 ... Х„].	(17)
Допустим, что число не равных нулю коэффициентов Л/ равно
т. Пусть для определенности Ф О, Х2 ф 0, ..., гпт 0, Лт+1 —
= О, ....	= 0, тогда
£? = diag[Xi л2 ...	0 ... 0].	(18)
107
В левом верхнем углу матрицы В расположен минор m-го порядка
а все миноры матрицы В более высокого порядка равны нулю,
поэтому rangj5 = m. С другой стороны, на основании предыду-
щей теоремы В = СТАС. Матрица С является матрицей перехода
к новому базису, а матрицу А можно рассматривать, как систему
арифметических векторов-столбцов. Линейно независимые столбцы
являются базисом этой системы. Число векторов базиса равно
рангу матрицы А.
При переходе к новому базису, определяемому матрицей С,
число векторов базиса не меняется. Поэтому ранг матрицы СТА
равен рангу матрицы А. Аналогично, rang Ст AC = rang СТА=
= rangA = m. Следовательно, m = r. Д
Пример 1. Привести квадратичную форму f(x, х)=3^ + 4^2+^ к кано-
ническому виду.
Матрица А заданной квадратичной формы равна
3 2 0
2 0 0
0 0 1
Найдем собственные значения матрицы 4:
	3—X 2	0	
| А-Х£| =	2	-X 0	= (1 —X) (X2—ЗХ—4)
	0	0	1—X	
откуда Xi = 1, Х2 — 4, Х3 — — 1.		
Матрица В квадратичной формы в соответствии с теоремой 2 имеет кано-
нический вид
	’1	0	0
В == СтДС =	0	4	0
	0	0	-1
и в новом базисе квадратичная форма равна /(х, х) == + 4i]|— Че-
Матрицу перехода С найдем, воспользовавшись теоремой 3 § 6. Для этого,
вычислим собственные векторы матрицы А. Аналогично тому, как было сделано
в примере 3 § 5, получим:
2Ei+2^2 = 0
а)	для - 1	= 0	= 0,	= 1,	= [0 0 1];
__t । 2? __0
б)дляХ2 = 4	;1-Г “	^ = 2,^ = 0,	=	1 0J;
=•₽ ofee = и>
108
6)	для^ = -\ = -1, & = 2, g3==0, xj==[-l 20].
Строками матрицы Ст будут нормированные собственные векторы матрицы Af
т. е.
- о	о г
2	1 О
Кб /б
1	2
—	 — О
/б Кб •
и согласно равенству (8)
гВл
у= «12 MQ1 Ь
Пз’ Чз
ПГ
= СТ
rtri
Ь =
-1з-
£з
_1_E+_LE
Кбё1+ Кб fea
у=ъ+-ру
3.	Положительно определенные" квадратичные формы. Рассмот-
рим класс квадратичных форм, широко используемый при анализе
устойчивости автоматических систем.
п п
Действительная квадратичная форма f(x, х) = У, У|
1=1/=1
п переменных (координат) называется положительно опре-
деленной, когда она принимает строго положительное значе-
ние при всякой ненулевой системе действительных значений
переменных. Если же эта квадратичная форма принимает строго
отрицательные значения при любой ненулевой системе действи-
тельных значений переменных, то она называется отрицательно
определенной. В остальных случаях квадратичная форма назы-
вается неопределенной. Можно показать, что при любом невырож-
денном линейном преобразовании матрицы квадратичной формы
(т. е. при переходе к новому базису) положительно определен-
ная квадратичная форма остается положительно определенной,
а отрицательно определенная остается отрицательно определен-
ной*).
При исследовании устойчивости автоматических систем необ-
ходимо определить, является ли заданная квадратичная форма
положительно определенной. Определять собственные значения
матрицы квадратичной формы бывает затруднительно, так как
приходится решать характеристическое уравнение высокого по-
рядка. Существует критерий, который позволяет выяснить, яв-
ляется ли квадратичная форма положительно определенной,
не вычисляя собственных значений матрицы квадратичной формы.
Следующая теорема позволяет выявить, является ли исследуе-
*’ См., например: Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., «Наука»,
1975* с. 181.
109
Мая квадратичная форма положительно определенной. Предвари-
тельно примем два определения.
Диагональным минором матрицы А называется минор, диаго-
нальные элементы которого являются диагональными элементами
матрицы А.
Главным диагональным минором матрицы А порядка k назы-
вается минор, составленный из первых k строк и k столбцов
матрицы А.
Теорема 4 (критерий Сильвестра), Квадратичная форма
f(x, х)=£ S
1=1 / = 1
положительно определена тогда и только тогда, когда все глав-
ные диагональные миноры ее матрицы А = [я1у] строго положи-
тельны.
Теорему примем без доказательства *>.
Пример 2. Исследовать, является ли квадратичная форма с матрицей
А ==
12 2
2 0 3
2 3 2
положительно определенной.
Главные диагональные миноры матрицы А равны Дх — I > 0, Д2 — 0 — 4 <0,
т. е. квадратичная форма с матрицей А не является положительно определен-
ной.
Пример 3. Исследовать, является ли квадратичная форма, заданная
матрицей
Г4 1 3‘
1 2 0
3 0 3
положительно определенной.
Имеем Дг — 4 > 0, Д2 = 8 — 1 — 7, Да = 4 - 6 — 1 • 3 + 3 (—6) = 3 > 0, поэто-
му, согласно критерию Сильвестра, в этом случае квадратичная форма поло-
жительно определенная.
Пример 4. Исследовать, является ли квадратичная форма f'(х, х) =
——	отрицательно определенной.
Рассмотрим квадратичную форму — f (х, х) —	—2^2-|-2^|, ее матрица
имеет вид
— 1
2
Главные диагональные миноры матрицы А равны Дг = 1 >> 0, Д2 = 2 — 1 = 1 > 0.
Таким образом, квадратичная форма —f(x, х) является положительно опре-
деленной, а следовательно квадратичная форма f (х, х) является отрицательно
определенной.
4.	Метод Лагранжа. Рассмотрим удобный для практики метод
приведения квадратичной формы к каноническому виду.
975*’См.^1 например: Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., «Наука»,
НО
Пусть дана квадратичная форма
f(x, х) = 2 2 а^ = х-Ах.	(20)
i=i/=i
Предположим сначала, что «u = «22 = ... = «w = 0. Для опреде-
ленности положим, что а12=^0. -
Выполним преобразование:
£1 = Л1~Л2,
£2 = Л1 + Л2,
£з = Лз,	I21)
£n — Лл”
Матрица преобразования (21) неособенная, поэтому числа Л/
являются координатами вектора х в некотором новом базисе.
Квадратичная форма принимает вид
2«i2£i£2 = 2^12 (л i - Лг) Ob + Лг) = 2«i2Hi - 2ar^t
В результате преобразования в квадратичной форме появились
квадраты координат с отличными от нуля коэффициентами.
Предположим теперь, что а1Г ={= 0. Соберем все члены, содер-
жащие gp
«n£i + 2tZi2£i£2 +... + 2ain|i^„.
Выделив здесь полный квадрат, представим это выражение в виде
~— (йц£1 + «12^2 + • • • + «1л£п)2 + • • • ,
а11
где вторым многоточием обозначены члены, не содержащие
Сделаем новое преобразование переменных:
Т)1 = «11£1 + «12^2 + • • • + °1п£и = Л1,
£г = 112,	(22)
• • • •
£« = Ля-
Так как «и + 0, матрица этого преобразования также невырож-
денная, поэтому числа Ль Лг, .Ли являются координатами
вектора х в новом базисе. Подставляя вместо & их выражения
через Ль найдем Нх, х) = —— л! + А (х, х). Здесь f (х, х) —
ап
квадратичная форма, содержащая только Лг, Лз, •••» Лл.
Один квадрат выделен. К форме А (х, х) можно также при-
менить указанные выше преобразования, в результате выделится
еще один квадрат и т. д.
После применения конечного числа линейных преобразований
придем к тому, что квадратичная форма f (х, х) в новом базисе
111
будет записана в виде суммы квадратов новых координат пере-
менного вектора х с некоторыми коэффициентами, т. е. будет
приведена к каноническому виду.
Пример 5. Привести к каноническому виду квадратичную форму ?
f (х, х)—£1^2++Ы;з-
Выполнив преобразование = г]х — т]2, ^2 = Ч1+г12> |з= Чз. получим f (х, х)~
— 41 — Ч2 + 2т]1Т]3. Теперь запишем 41 + 2ЧГЧз = (41 + Чз)2 — Чз-
Положим |1=Сг)1 + Чз)2- Ь = Ч2> £з=Чз- тогда f (х, х) = ^ — Ц — Ц:
Матрицы перехода равны:	•
—	Г1 —1 °1 1	1	0 0 0 1-	II 1 м и	г1 0 h 0 1 0 0 0 и
следовательно,
	rl 0 —11		rl —1 — Ь
С2—	0 1	0	, С—С1С2 —	1 I —1
	-0 0	1-		„0 0	1-
Часть вторая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава IV
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 9. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
1. Дифференциальные уравнения. Геометрическая интерпре-
тация решения. Уравнения, которые, кроме неизвестных функ-
ций одного или нескольких переменных, содержат также их
производные, называются дифференциальными. Дифференциаль-
ные уравнения называются обыкновенными, если неизвестные
функции являются функциями одного переменного, в противном
случае дифференциальные уравнения называются уравнениями
в частных производных. В дальнейшем мы будем рассматривать
только обыкновенные дифференциальные уравнения. Независи-
мую переменную будем понимать как время, так как дифферен-
циальные уравнения рассматриваются нами применительно к авто-
матическим системам, а переменные, описывающие их поведение,
являются функциями времени.
Соотношение вида
F (t, х, х', ..., х(л)) = 0,	(1)
которое связывает переменную t, неизвестную функцию х и ее
производные до порядка п включительно, называется дифферен-
циальным уравнением n-го порядка. Решением уравнения (1)
называется функция х —£(/), определенная на некотором интер-
вале Аэ/, которая, будучи поставлена в'уравнение (1), обра-
щает его в тождество на всем интервале А. Соотношение (1)
можно рассматривать как функцию, определяющую неявно про-
изводную м-го порядка хм. При определенных условиях его
можно решить относительно х(л):
x(n) — f(t, х, х', ..., х(л-1)).	(2)
К дифференциальным уравнениям приводятся многие задачи
физики и техники. В качестве примера рассмотрим контур RC,
** См.: Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. П.М.,
«Наука», 1968, с. 187.
113
изображенный на рис. 8. На этом рисунке R — активное сопро-
тивление, С —емкость. Если обозначить через UBK (/) и
соответственно входное и выходное напряжения, а через i (/) —
ток в контуре, то на основании второго закона Кирхгофа урав-
нения, описывающие изменение во времени этих величин, будут
иметь вид
t	t
UBX (О = Я +	(т) dx, С/вЫХ (/) = J i (т) dx.
о	0
Если продифференцировать второе уравнение по t, определить
значение тока i (t) и подставить это значение в первое уравне-
ние, то получится дифференциальное уравнение
ст du’^ +	(0=и„ (I}.	(3)
Уравнение (3) является дифференциальным уравнением первого
порядка; оно связывает входную и выходную величины кон-
тура RC. Зная входную величину, можно, решив уравнение,
определить выходную величину как функцию времени.
Рис. 8
Если в выражении (2) положить п— 1, то получим уравне-
ние первого порядка, разрешенное относительно производной:
=	х).	(4)
Решения такого уравнения можно изобразить на плоскости t, х
в виде некоторого семейства кривых.
Рассмотрим плоскость /, х, и пусть функция /(/, х) опреде-
лена и непрерывна в некоторой области G этой плоскости. Пусть
х = £(/) —решение уравнения (4). Тогда | (/) является непрерыв-
ной и непрерывно дифференцируемой функцией t в области G.
На плоскости t, х решению x — %(t) будет соответствовать непре-
рывная кривая, называемая интегральной кривой. В каждой
точке области G функция f (t, х) задает некоторое направление;
в области G функция /(/, х) определяет поле направлений
(рис. 9). В этом случае задачу решения уравнения (4) можно
геометрически интерпретировать следующим образом: требуется
найти все кривые, касательные к которым в каждой точке сов-
падают с направлением поля.
114
Функция x — С} называется общим решением уравнения
(4) в области G, если путем соответствующего выбора постоян-
ной можно получить любую интегральную кривую, находящуюся
в области G.
2. Нормальная система дифференциальных уравнений. В диф-
ференциальные уравнения вида (1) может входить п неизвестных
функций	хп, Тогда системой дифференциальных уравне-
ний будет совокупность соотношений
Fi{t, xlt x'lf ..., 4m,), x2, *2, •••> Л'П2\ • ••»
Xn> Xn’ •••’ 4^ = °	(Z=1’ 2’ •••’ n)-	<5)
Предположим, что эту систему можно разрешить относительно
старших производных х^, ..., х^п\ В этом случае получим
систему уравнений:
4т,) =/,(/,	....	......х,......	(в)
(i = l, 2....п)
Система (6) называется канонической системой дифференциаль-
ных уравнений.
Вводя новые неизвестные функции, можно привести систему (6)
к системе уравнений первого порядка. Пусть
Х^ == Хцг Х1 = Xi2t •••>	•••» Хп — Xni,
х' — х	х^^ = х
лп лп2*	лп	Лптп
Тогда система уравнений (6) запишется в виде
1 = Х[%,
X'i2 = X/3,
Хц, ..., Х1ГП1, ..., Xni, ..., Xnm^	(7)
(/=1, 2,	n).
Система (6) привелась к системе N уравнений первого порядка,
причем N — т1-\-тг-\-...-\~тп.
В дальнейшем будем рассматривать систему из п уравнений
первого порядка в виде
x'i = fi(t, xlf ...» хп) (i = l, 2.ri)	(8)
Система (8) называется нормальной системой дифференциаль-
‘ ных уравнений. Систему (8) будем записывать в векторной форме.
Для этого введем вектор-функции
	^Г		Г fl (С	Xlt	• •» xn)
X =	х2	.	/(/. Х) =	f2(t,	Xlt	• •» xn)
	~хп-		-М,	Xlt	• • > xn) _
115
Тогда система (8) может быть представлена в виде
X).	(9)
Решением системы (8) на интервале Л называется совокуп-
ность п функций — определенных на интервале А и
таких, что подстановка их в систему (8) обращает каждое урав-
нение этой системы в тождество на всем интервале А.
Если вектор-функция f не зависит явно от времени t, т. е.
система дифференциальных уравнений (9) имеет вид
>=/(х).	(10)
то эта система уравнений называется автономной (стационарной).
Важнейшей задачей в теории дифференциальных уравнений
является задача Коши. Начальной задачей, или задачей Коши,
для системы (8) называется следующая задача. Найти решение
= МО (i = 1, 2,..., п) си-
стемы дифференциальных
уравнений (8), определенное
на некотором интервале А,
содержащем точку /0, и удов-
летворяющее условиям
(^о) ~ XiQ
(i = l, 2, ..., п), (11)
причем t0, xi0 (t=l, 2,
n) — заранее заданные числа.
Значения t0, xl0 (i = 1,
2, ..., п) называются началь-
ными значениями для реше-
ния МО, •••> £л(0> а условия (11) — начальными условиями. Ес-
ли ввести в рассмотрение /г +1-мерное пространство с коорди-
натами t, хг, ..., хп, то совокупность п функций Xi — & (/) будет
представлять линию в этом пространстве. Начальные значения
/0, *io> •••, хп0 представляют собой точку в (п-\- 1)-мерном про-
странстве.
Таким образом, задача Коши состоит в нахождении интег-
ральной кривой, проходящей через заданную точку в («-{-^-мер-
ном пространстве. Для случая п= 1 интегральная кривая изобра-
жена на рис. 10.
В тех случаях, когда требуется подчеркнуть зависимость
решения МО i — 1, 2, ..., п от начальных значений t0, х10, ...
• • •, Хло, мы будем решение записывать в виде & (t, t0, xi0)
(i = l, 2, ..., п).
Пример 1. Дифференциальное уравнение имеет вид х'—х2-, задано началь-
ное условие х (0) = 1. Найти решение уравнения, удовлетворяющее заданному
начальному условию.
116
Разделив уравнение на х2 (при делении может быть потеряно решение
х — 0, но это решение не удовлетворяет начальному условию), получим урав-
нение с разделяющимися переменными dx/x^ — dt. Интегрируя это уравнение,
найдем решение:
1
c+t ’
1 1 ,
— = г4-с, или	х=—
X
Учитывая начальное условие, определим постоянную интегрирования: с = — 1.
Решение, удовлетворяющее заданному начальному условию, будет х — —-.
Интервалом Д является любой интервал (а, 0), где 0<1.
График решения приведен на рис. 11.
Пример 2. Найти решение уравнения х' — 2Ух, если задано начальное
условие х(1) = 0.
Из уравнения непосредственно следует, что х = 0 является одним из его
решений, причем это решение удовлетворяет начальному условию. Разделив
дифференциальное уравнение на 2 Ух, получим уравнение с разделяющимися
переменными: dx/2yx=dt. После интегрирования найдем Ух -=t-\-c. При
/=1 х—0, поэтому постоянная интегрирования с——1. Следовательно, иско-
мое решение x=(t—I)2, т. е. его график является параболой с вершиной,
смещенной в точку (1, 0). Заметим, что решением служит лишь правая ветвь
параболы (рис. 12), так как в исходном уравнении рассматривается только
положительное значение Ух и поэтому х’ > 0.
В рассмотренном примере правая часть уравнения определена
и непрерывна при х^О. На полуплоскости (/, х) есть точки,
например точка (1, 0), через которые проходит более одного
решения. Такие точки называются точками неединственности
решения. Из примера 2 видно, что требование непрерывности
правой части уравнения f(t, х) недостаточно для обеспечения
единственности решения.
§ 10. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
1, Теорема существования и единственности решения для од**
ного уравнения. Рассмотрим теорему, устанавливающую сущест-
вование и единственность решения задачи Коши для уравнения
%).	со
117
Будем говорить, что функция f(t,x) удовлетворяет условию
Липшица по х в замкнутой области G, если для всякой пары
точек (/, Xi), (t, х2)^0 справедливо неравенство
\f(t, xJ-Ht, x2)KL|xi-x2|,	(2)
где L = const — постоянная Липшица.
Заметим, что условие Липшица является более сильным, чем
условие непрерывности функции f (/, х) по х. Из непрерывности
функции f (/, х) по х не следует выполнение условия Липшица,
однако, как показывает следующая теорема, если функция / (/, х)
удовлетворяет условию Липшица по х, то она непрерывна отно-
сительно х.
Теорема 1. Если функция f (t, х) непрерывна по t в области G
и удовлетворяет в этой области условию Липшица по перемен-
ной х, то она непрерывна по совокупности переменных t, х.
Доказательство. Составим полное приращение функции
f(t, х):
/(/-фД/, x-\-kx) — f(t, x) — [f	х + Дх) — f(t, х-{-Дх)] +
+ [/(/, хAx') — f (t, х)].
Из условия Липшица следует, что выполняется неравенство
\f(t, хф-Дх)— f(t, х) |^£|Дх|.
Для любого числа е>0 можно так выбрать Дх, чтобы вы-
полнялось неравенство L | Дх | < у. Зафиксируем приращение Дх.
Тогда в силу непрерывности функции f (t, х) по t можно указать
такое число 6 >0, что при | Д/| < 6 будет справедливо неравенство
\f (t + M, х-ф Дх) — f (/, х-фДх)|<-|
и, следовательно,
|/(/-|-Д/, х-фДх) — f (/, х) | < е. 
Перейдем к рассмотрению теоремы о существовании и един-
ственности решения начальной задачи Коши.
Теорема 2. Пусть функция f(t, х) задана на замкнутой об-
ласти G, непрерывна в ней по t и удовлетворяет условию Лип-
шица по х. Тогда можно указать такой интервал Д на оси I,
содержащий точку t0, на котором существует и притом един-
ственное решение х=£(/) уравнения (1), удовлетворяющее началь-
ному условию
Ш =	(3)
Доказательство. Предположим, что задача Коши имеет
решение, т. е. существует такая функция x — ^(t), которая обра-
щает уравнение (1) в тождество £'(0 ==/(/, £(/)). Проинтегри-
руем это тождество с учетом начального условия:
= +	(4)
to
118
Таким образом, всякое решение задачи Коши g (/) удовлет-
воряет интегральному уравнению (4). Обратно —всякое непре-
рывное решение интегрального уравнения (4) удовлетворяет
уравнению (1) и начальному условию (3). В самом деле, диф-
ференцируя равенство (4), получим исходное уравнение
г (/)=/(;, g (О).
Положив в равенстве (4) / = /0, найдем %(t0)=x0, т. е. начальное
условие (3) удовлетворяется.
Таким образом, интегральное уравнение (4) эквивалентно
дифференциальному уравнению (1) и начальным условиям (3).
Из доказанной выше теоремы 1 следует, что функция f (t, х)
является непрерывной функцией по совокупности аргументов t, х.
Известно*’, что функция
f(t, х), непрерывная в замкну-
той области G, будет в ней ог-
раничена, т. е. существует та-
кое действительное числоЛ4>>0,
что \f(t,x)\^M для всех
Будем определять решение
интегрального уравнения (4) ме-
тодом последовательных прибли-
жений. Проведем через точку О
с координатами /0, х0 (рис. 13)
Рис. 13
две прямые —одну с угловым
коэффициентом Ц-М, а другую —с угловым коэффициентом — М
(прямые BD и Л С). На оси t возьмем некоторый отрезок [а, 6],
содержащий точку /0, такой, что вертикальные прямые t = a и
t = b отсекают треугольники АО В и DOC, принадлежащие об-
ласти G. В качестве нулевого приближения решения уравнения (4)
возьмем произвольную непрерывную функцию g0 (О, график кото-
рой принадлежит области G (в частности, можно принять g0 (О =
= а'о). Подставим в правую часть уравнения (4) вместо g(/)
функцию g0 (/) и введем обозначение
= +	g0(/))dt
to
Очевидно, что функция gx (/) определена для t е [а, 6], непре-
рывна и gi(/o) = *o.
Легко показать, что график функции gi(/) не выходит из
заштрихованной области. Действительно, имеем
|^i(0If (Л £o(0)l^<W-?o|,
to
*’ См., например: Фихтенгольц Г. М. Основы математического ана-
лиза, т. I. М., «Наука», 1968, с. 133.
119
т. е. график функции (/) расположен в области, ограниченной
прямыми АС и BD.
Функция (/) является первым приближением решения
уравнения (4).
В качестве второго приближения решения примем
t
to
Функция %2(f) определена на отрезке [а, Ь] и справедлива сле-
дующая оценка: | Ё-2 (О — хо I |1 — t0 |. Процесс построения
приближений решения можно продолжить. Для /г-го приближе-
ния получим
t
=	+ $ fit, ln-i(t))dt,
to
причем | £„(/) —	\t — /о!, т. e. ив этом случае график п-го
приближения решения не выходит из заштрихованной области
(см. рис. 13). Таким образом, получили определенную на отрезке
[я, Ь] последовательность функций {£„ (/)}.
Покажем теперь, что эта последовательность сходится, т. е.
существует предел
Нт (0 = ^(0	(5)
п —>оо
и предельная функция l-(t) является искомым решением урав-
нения (4). Последовательность {£л (0} сходится на отрезке [a, Ь]
равномерно Действительно, если перейти от этой последова-
тельности к ряду
=	+	••• +& Ю-Ь-» (01.
то (/) есть частичная сумма ряда
ОО
(6)
*’ Последовательность функций {£ге (/)} называется равномерно сходящейся
к функции £ (I), если для любого 8 > 0 найдется такое число N, зависящее
от 8, что для всех будет справедливо неравенство |£я(/)—£(t) | <е
для всех t е [а, &].
ОО
Функциональный ряд У (f) называется равномерно сходящимся, если
п— 1
равномерно сходится последовательность его частичных сумм. Для оценки рав-
номерной сходимости функционального ряда применяется признак Вей-
ОО
ерштрасса: если существует такой числовой ряд У] сп, что | %п (t) | < сп
/1=1
для t е [а, 6], и числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится
равномерно на данном отрезке.
120
Покажем, что ряд (6) сходится равномерно. Функция (/)
является непрерывной функцией на отрезке [я, 6] и поэтому
она ограничена на этом отрезке, т. е. |£1(/)|<:с. Аналогично
получим, что | |2 (0 | <с, тогда | £2 (/) - Bi (О I I£2 (О I + IBi (О I <2с и
IЬ (0 - Ь WI = S [/ (*. Ь О) - f (С ii W)] dt
« $|/(/, l2(t))-f(t, h(t))\dt.
to
Функции (О и £1 (0 принадлежат области G, поэтому к раз-
ности под знаком интеграла в правой части применимо неравен-
ство Липшица:
|Ь>Ю-М01«*-
to
где m — L(b — а).
Аналогично получим:
«С 2cL (b — a) — 2ст,

\f(t, Ь «)-/(<. l2(t))\dt <
t
to
C 2cmL (b — a) — 2cm2.
Выполняя подобные оценки далее, найдем

$ IUiW-WOI*
to
2c mn 2.
Таким образом, все члены функционального ряда (6) мажо-
рируются членами числового ряда
с-ф2сф-2стЦ-2cm2 + ... 4-2ст"Ц- ...
Этот ряд представляет собой сумму членов геометрической про-
грессии со знаменателем прогрессии т и, следовательно, будет
сходиться при |т|<1.
Если выбрать отрезок [а, Ь] таким образом, чтобы т —
— L(b — a)<Zl, то в силу признака Вейерштрасса функциональ-
ный ряд (6),t а следовательно, и последовательность (/)} будут
сходиться равномерно на отрезке [а, 6].
Из математического анализа известно, что предельная функ-
ция равномерно сходящейся последовательности непрерывных
функций есть функция непрерывная. Поэтому функция g (t)
непрерывна.
Покажем теперь, что (/) удовлетворяет интегральному урав-
нению (4). Напишем n-е приближение решения
Ь.О = ^о + и(Л Ui(0)d«	(7)
to
121
и Перейдем к пределу при п-+оо. Так как график функции £(/)
принадлежит заштрихованной области (см, рис. 13), то имеет
смысл интеграл / (/, £ (/)) dt.
to
Оценим разность
$ f(t, Ш /(/, ?„_!(/)) dt
A)	to
t
SI мп -м-нои dt
to
В силу равномерной сходимости последовательности функций
g„(/) к функции
• о
при п->оо; следовательно,
t	t
lim J fit,	f(t, l(t)) dt.
n->oo t	z
*0	l0
Перейдя к пределу в равенстве (7) при и->оо, получим, что
£ (/) = х0 4- J f (t, % (t)) dt, t. e. функция g (/) является непрерывным
to
решением уравнения (4). Существование решения уравнения (4)
доказано.
Докажем единственность полученного решения. Доказатель-
ство проведем методом от противного. Предположим, что на
отрезке [а, Ь] существует два решения Ц/) и ф (/) интегрального
уравнения (4). Оценим разность:

Пил мо)-/(л’КО)] л
to
!МО)-f(‘. ’КО)!dt
to
S Н(О-Ч>(О|Л
to
L max | £ (/) — ф (/)
[a. b]
откуда
max | E, (/) — ф (/) | L (b — a) max Щ/) — ф (/) |.
[a, b]	[a, ft]
(b-a),
(8)
Ho L (b — a) < 1, поэтому неравенство (8) возможно тогда и
только тогда, когда |(/)si])(/), т. е. решение уравнения (4)
единственно.
Таким образом, если функция f (t, х) непрерывна в замкну-
той области G и удовлетворяет в этой области условию Лип-
шица по х, то существует единственное решение уравнения (1),
принимающее при t~t0 значение х0. 
Сделаем следующие замечания к доказанной теореме,
122
решение gi(Z) уравнения (1) с началь-
Рис. 14
1. Из теоремы следует, что последовательное приближение
решения уравнения (1) сходится к единственному пределу, не
зависящему от выбора нулевого приближения £0(/).
2. Решение £(/) уравнения (1), полученное последовательным
приближением, было определено на отрезке [а, 6]. Покажем, что
его можно продолжить и за пределы этого отрезка.
Пусть | (6) = %1, причем точка (b, хг) е G и является внут-
ренней точкой области й. Тогда методом последовательных при-
ближений можем получить
ным условием: gi(6) = *i
на отрезке Дх, содержа-
щем точку Ь. Функции
11 (О и I (/) при t = b рав-
ны. Из теоремы 2 следует,
что эти функции должны
совпадать на общей части
отрезков [«, 6] и Д1 (рис.
14), т. е. gi(0 = U0 на
пересечении отрезков [а, 6]
и Д1. Но функция ^(t)
определена на отрезке [bf
6J, не принадлежащем
[а, 6] и поэтому можно
рассматривать функцию
как продолжение решения | (/) на отрезок [6, 6Х]. Анало-
гичным образом обозначим (61) = х2- Если точка (blt х2)еС,
можно построить продолжение решения на некоторый отрезок
[61, 62] и так далее. Такое же построение можно проделать
в сторону убывания значений t. С помощью указанных продол-
жений можно сколь угодно близко подойти к границе области G.
3. Требование выполнения условия Липшица не обязательно
для существования решения уравнения (1). Существуют другие
методы доказательства существования решения при предположе-
нии лишь непрерывности функции f (/, х). Но для единственности
решения требуется выполнение условий Липшица.
Покажем, что правая часть уравнения х' = 2]/х, рассмотрен-
ного в примере 2 § 9, не удовлетворяет условию Липшица
в интервале (0, со). Действительно, пусть /(/, х) — 2)/х, тогда,
если условие Липшица удовлетворяется, то должно выполняться
неравенство
|/(/,	х,)\<£.Ь\Х1-ъ\, т. е.	<1,
I	1
df (t,. х)	1	л
и частная производная	—- = -у=- должна быть ограни-
„ D	df (t. х)	1
ченнои. В рассматриваемом примере	—- — —т. е.
дх	ух
д^’ *>->• со при х -> 0. Следовательно, условие Липшица не удовлет-
123
воряется, и поэтому уравнение не имеет единственного решения,
несмотря на непрерывность его правой части.
4. Если в области й функция f(t, х) имеет
частную производную по х, т. е.
\д[_
| дх
где
ограниченную
N — некоторое
постоянное число, то во всей этой области выполняется условие
Липшица. В самом деле, оценим модуль \f(t, xj — ftf, х2) | для
любой пары точек (/, хх), (/, х2У е G. По формуле Лагранжа
имеем:
!/(/, Xi)-f(t, x2)\ = \f'x(t, х) (х1-х2)|<Л/|х1-х2|,
здесь	Таким образом, условие Липшица выполняется,
и постоянная Липшица L = N.
Но класс функций, удовлетворяющих условию Липшица,
шире, чем класс функций, имеющих ограниченные частные про-
изводные по х. Например, в уравнении х' = |х| имеем: f (/, х) =
= |х|. При х = 0 частная производная - не существует.
Но модуль
I/(Л А)-/(Л х2) | = | |хг|-|х2| |^!%1 -х2|,
т. е. здесь условие Липшица выполняется и постоянная L = 1.
2. Теорема существования и единственности решения для нор-
мальной системы уравнений. Пусть имеется нормальная система
дифференциальных уравнений
xi=fi(t, Xi, ..., xn) (i = l, 2, ..., и),	(9)
или в векторной форме
£=/('• *)•	(10)
Общим решением системы (9) в области G называется сово-
купность п функций
Х/ = ^-(/, С1, ..., сп) (t = l, 2, ..., «),
из которой путем выбора произвольных постоянных clt с2, ...» сп
можно получить любое решение, принадлежащее области G.
Будем говорить, что функция f (t, xlf ..., хп) удовлетворяет
условию Липшица в области G по переменным хь ..., х„, если
существует такое постоянное число L>0, что для любой пары
точек (/, Xi, ..., хп) и (/, хх, ..., хп), принадлежащих G, выпол-
няется неравенство
п
\f(t, хъ ..., Xn)-f(t, хъ ..., x„)|<L 2 1^-^Г (И)
i— 1
Выше в § 9 была сформулирована задача Коши для нормаль-
ной системы уравнений. Приведем без доказательства теорему
124
существования и единственности решения задачи Коши для нор-
мальной системы уравнений .
Теорема 3. Пусть задана нормальная система уравнений (9),
причем функции fi (t, xlt ..., хп) непрерывны по t и удовлетво-
ряют условию Липшица по xlf ..., хп в некоторой области й.
Тогда существует и притом единственное решение
(i = U 2, ..., п)
системы (9), удовлетворяющее начальным условиям
Ык)~х* (i=l, 2, ..., п),	(12)
определенное на некотором отрезке А, содержащем точку t0.
Сделаем два замечания: 1. Теорема утверждает существование
единственного решения на отрезке А, содержащем точку t0. Спо-
собом, аналогичным изложенному в замечании 2 к теореме 2,
это решение может быть продолжено за пределы отрезка А вплоть
до границы области G.
2.	Если функция f (/, хх, ...» хп) имеет ограниченные частные
производные по xt в выпуклой **) области G, то эта функция
удовлетворяет условию Липшица. Действительно, по формуле
Лагранжа имеем:
-/(/, хъ Xn)—f(t, ^1, хп) =
tl
= 2	*1 + е	••• > *п + 6 (хп— хпУ) __
i=l	dxi
где	1. Точка (/, х14-0(х1 — Xj), хп + 6(хп — хп)) при-
надлежит отрезку, соединяющему точки (/, хп хп) и (/, хх,...
..., х„). В силу выпуклости области G эта точка принадлежит
указанной области G, поэтому частные производные ограничены.
Следовательно, справедливо соотношение
\f(t, л-1,	Xt....£ |х< —S,|, (13)
i=l
т. e. условие Липшица удовлетворяется.
3.	Ломаная Эйлера и е-приближенное решение. Рассмотрим
систему уравнений (9)
= хъ ..., хп) (/=1, 2, ..., п),
причем будем полагать, что эта система удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности.
Совокупность п функций |i(/),	!„(/) называется е-при-
ближенным решением системы (9) на отрезке А, если каждая из
*	’ Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы суще-
ствования и единственности для уравнения x' = f(t, х) — см., например: Пон-
трягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения., «Наука», 1974.
*	*’ Область G < называется выпуклой, если вместе с любой парой точек
в этой области ей принадлежит отрезок, соединяющий эти точки.
125
этих функций непрерывна, имеет кусочно-непрерывную прризвод-
ную и
|g-/((л & и, I» (/))!<« (<=1.2. •••.«)
во всех точках /еА, кроме точек разрыва непрерывности этой
производной.
Пусть задана начальная точка (t0, х10, ..., хп0) и пусть функ-
ции fi(t, х19 ..., хп) непрерывны по t в области G и удовлетво-
ряют в этой области
условию Липшица по
переменным xlf xz, ...
..., хп. Можно пока-
зать, что в этом случае
Рис. 15
бого е>0 найдется такое 6 > О,
функции	xlt ...
..., хп) будут непре-
рывны по совокупно-
сти переменных t, х19 ...
..., хп в области G. Из
непрерывности функций
fi (t, х19 ..., хп) в_замк-
~t~ нутой области G сле-
дует их равномерная
непрерывность Та-
ким образом, для лю-
зависящее только от е, что
при
|/—/|<6, |xz —й|<6 (1 = 1, 2, п)
будет справедливо неравенство
хп ..., xn)-fi(t, хъ Яя)|<е (t = l, 2,	n).	(14)
Построим 8-приближенное решение системы (9). Для этого
разобьем область G на кубы со сторонами, меньшими 6 (для
случая п=1 построение проведено на рис. 15, в этом случае
область разбивается на квадраты). Из точки (/0, х10, • ••» хл0)
проведем, прямую
X/= Х/0 + ft (Аь х10, • ••, xn0) (t h) (i = 1» 2, ..., п).	(15)
Эту прямую продолжим до пересечения с одной из сторон
соответствующего куба. Обозначим точку пересечения (/ь Хц,...
..., хп1). Из этой точки проведем прямую
X/ = Х/j +ft(ft, Хц, ...» Xni) (i /i) (i = l, 2,	п),
которую продолжим до пересечения с одной из сторон куба;
обозначим точку пересечения (ft, х12, .... х„2), через эту точку
♦	> См., например: Фихтенгольц Г. М. Основы математического ана-
лиза, т. 1.2 «Наука», 1968, с. 240,
126
проводим новую прямую
^ = ^2 + Л(/2, *12,	л:я2) (/-f2) (t = l, 2, п)
и так далее.
В результате указанных действий получим ломаную xL (/)
(i = 1, 2,	п), называемую ломаной Эйлера. Эта ломаная пред-
ставляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. Лома-
ную Эйлера мы можем продолжить до границы области й.
Покажем, что ломаная Эйлера является 8-приближенным
решением системы уравнений (9). Очевидно, что функция (/)
имеет кусочно-непрерывную производную, в любой неугловой
точке ломаной
(/) = fi (tkt Xlk> • • • , Xnk) 0" = 1 , 2, . .. , n),
где /е[Д, /А+1]. Так как
fitt*, xlk, ..., xnk) = fi(tt £1(0,	M0) +
+ш, xlk,..., x^-fdt, mo,mo),
a
\h(tk, xlk, ...,	h(t), .... £„(0)l<e
в силу выбора способа разбиения области й, то справедливо
неравенство
МО. .... U0)l<X	(16)
Таким образом, построенная ломаная Эйлера является 8-прибли-
женным решением системы (9).
Пусть теперь совокупность п функций (0} и {ф,Д)} есть
соответственно 8Г , и 82-приближенные решения системы (9).
Дадим оценку разности этих решений. Оценка может быть про-
изведена с использованием следующей леммы.
Лемма. Если {£/ (0} — ^-приближенное решение, а {ф; (0} — е2-
приближенное решение системы (9), то справедливо неравенство
2 IM0-M0l<«fonLi'“Zo1 +^Ц^(£?"М*-л>)_1)	(17)
i=l
при условии, что | & (tQ) — ф,- (t0) |	6 для всех i = 1, 2, ..., п.
Доказательство. Так как {£г- (0} — егприближенное реше-
ние на отрезке Д, то на этом отрезке функции МО удовлетво-
ряют системе уравнений
мо=м*, ено,.... еионмо a=i, 2,..., п),
где I 6/ (t) |	81 на отрезке Д.
Аналогично, функции {ф, (/)} удовлетворяют системе уравнений
ФН0 = /Н<. ФИО. ФИО) + М0 (‘ = 1, 2,	п),
где 11]/ (/) |	82 на отрезке Д.
127
Проинтегрируем обе части написанных равенств:
I, (t) = Ь (fo) + ^fi(t.b(t).I» W) dt + 5 6, («) dt(i = 1, 2, . . . , п)
to	to
Аналогично получим
t	t
Ф» (0 = Ф/ (М + $ ft (t, ФИО, • • •. Ф« (0) dt+$ Л/ (0
to	to
(i==l, 2, .п).
Оценим по абсолютной величине разность ^ (/) — ФД0:
t
t
to
Ш)-^, №).....................4»	(t))]dt
to
(« = 1, 2, ...» п).
Применим к последнему неравенству условие Липшица. Для
случая />/0 получим
t
(0~Ф/ (01
6 + Ч S 1ЬЮ —Ч’/(0|]^+<е1Ч-е2)(/ — #«,). (18)
Просуммируем неравенство (18) по всем индексам I:
S 1М0-Ф/(01<^+«М [ 21&(0-Ф/ (о iU+
to
4-п (ei4-e2) (/~/0)? (19)
введем обозначение
п
to U = 1
и перепишем неравенство (19) в виде
R' (/) tib -J- nLR (t) -ф-n (ej e2) (t — to),
или
R' (0 — nLR (/)	nb + n (ex4- e2) (/ —10).
Умножим обе части последнего неравенства на e-nL(z~Zo),
тогда
~ [/? (/)	< nde~nL^^ 4- «(Ег 4-е2) (t -10) e-nL^-^.
Интегрируя это соотношение в пределах от /0 ДО R будем иметь:
R (t) e-nL^~^ ~ R\to) -С - f- е~ '^t~to) 4-
128
to
+ Г -4s <Z- to^-nL(t~u - М^'*М'~'’’ +^:
отсюда найдем
R W « -r + r e"L^- ^4^ (‘- W -	+
L> О	£.<	11£-*
+8j±^<'-4 <20»
Теперь внесем полученную оценку (20) в неравенство (19),
тогда
2 I (0 “ Ф/ (0 к «6 - /16 + nbenL^~^ - (8i + 82) (/	—
i=l
а+а + £1+£1 e«L v-tit + п (е, + е2) (/ - <0) =
= п6вп£ * - 4-	- (enL (' - 'о) - 1)
что доказывает лемму для случая t > t0.
Аналогично доказывается неравенство (17) для случая /<С/0. 
Рассмотрим следствие, вытекающее из данной леммы. Пусть
(/) (i = l, 2, ..., и) —точное решение системы (9), удовлетво-
ряющее начальным условиям (12). Обозначим через ф/ (/) (I —
— 1, 2, ...» п) е-приближенное решение системы (9) для тех же
начальных условий. Тогда, применив неравенство (17) (6 = 0,
так как начальные условия одинаковые), получим неравенство
п
i — 1
(21)
Из (21) следует, что если \t — то
п
2 1ЬЮ-^Ю1^г(е"'-'‘-1) = Ле.
f=l
enLh__ ।
где k = —j-—. Таким образом, при е->0 решение ip/ (0 О’ =
= 1, 2, ..., п) равномерно сходится к решению ^(Z) (t=l, 2,...
...» п) и ломаная Эйлера, исходящая из точки (/0, £t-(/0))> равно-
мерно сходится к точному решению. Неравенство (21) дает
оценку погрешности при замене точного решения е-прибли-
женным.
Полученные неравенства мы используем для выяснения важ-
ной зависимости решений дифференциальных уравнений от
начальных условий и параметров уравнений.
0 и. р. Чемоданова, т. 1
129
4.	Непрерывная зависимость решений от начальных условий
и параметров. Опираясь на лемму, приведенную в п. 3, докажем
теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных
уравнений от начальных условий и параметров уравнений. Вна-
чале рассмотрим теорему о непрерывной зависимости решений
от начальных условий.
Теорема 4. Пусть задана нормальная система дифференциаль-
ных уравнений (9), причем функции ft(t, xlt ..., хп) непрерывны
по t и удовлетворяют условию Липшица по xlt ..., хп в некото-
рой области G.
Пусть далее*) x~1(t, tQ, х0) — решение этой системы, удов-
летворяющее начальным условиям (12). Положим, что это реше-
ние определено на отрезке \t — /0|гС/г. Тогда для любого е>>0
существует такое д(е, h)^>0, что другое решение х = |(/, /0, х0),
удовлетворяющее начальным условиям
1(A), А), -^о)==-^о,
где ||х0 —будет определено на том же отрезке
11 ~ КI ’С h и удовлетворяет неравенству
U(A t0, x0)-t(/, /о, Хо)||<е.
Доказательство. Пусть задано число е>0. Положим,
что решение, проходящее через точку (/0, х0), определено на
интервале \t — t0\^h1^h. Для заданного е>0 примем 6 =
_	8
nenLh
Предположим, что || х0 —Хо||<6. Тогда, применив к реше-
ниям %(t, t0, Хо) и |(/, to, х0) неравенство (17), получим
А>,	tQ, хо)\\<п-^е^-^^е.	(22)
По условию теоремы решение | (t, /0, х0) определено на
отрезке \t — /0|=С^. Решение |(/, t0, х0) также определено на
этом отрезке; в противном случае на интервале \t — /0|sC/i
нашлась бы некоторая точка tlf в которой неравенство (22) не
выполняется. 
Рассмотрим теперь непрерывную зависимость решения системы
дифференциальных уравнений от параметров. Пусть имеется
система уравнений
= х,.........х„, |>1...и»)	(< = 1.2...п).	(23)_
Здесь (рх, ..., рА) = р. — вещественные параметры, а функции
fi (t, х, р) определены и непрерывны по совокупности перемен-
ных t, Xi, ...» хп, рх, ..., ps в некоторой области G ц-4-s-J-l-
Здесь х —£(/, t0, Хо) —вектор решения системы дифференциальных
уравнений; х0—вектор начальных условии.
**1 Понятие о норме вектора см. с. 95.
130
мерного пространства и удовлетворяют условию Липшица по
переменным хъ ..., хп с постоянной L. Пусть далее х = | (I, pi')—
решение этой системы при значении параметров pi — pi', удовлет-
воряющее начальным условиям | (/0, pi') = х0 и определенное на
отрезке | t~t01
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 5. Пусть | (/, pi") — решение системы (23) при зна-
чении параметров pi = pi", удовлетворяющее начальным условиям:
I (4, рх") — хо- Тогда для любого е ;> О, существует такое
б (е, А) > 0, что если справедливо неравенство || pi' — pi" || < 6, то реше-
ние |(/, pi") определено на интервале \ t — tG\^h и удовлетворяет
неравенству
|||(/, рх')-|(/, рх")|<е.	(24)
Доказательство. Так как |(/, рГ) есть решение системы
(23), то
=	?1(/, ц'), .... £„(/,	ц<)	((-=1, 2,	п),
или и> = /,-(/, II')...........£„(t, ц'), |l') +
-Hdt, МЛ рх'), ...»	&'), рх") —
-ИИ, рх'), ...»	рх'), рх") (25)
(1 = 1, 2, ..., п).
В силу непрерывности функций Д- по pi, для любого е>0
можно указать б (е, й)>>0 такое, что для pi' и pi", удовлетворяю-
щих неравенству ||pi' — pi"|| < б, будет справедливо неравенство
h(t, g'), •••>	pi'), pi')-
-Л(/, ^(t, pi'), ..., In (tt pi'), pi")|<ei (26)
(i = 1, 2, ..., n),
где ex = —Lh —-. Перепишем тождества (25) с учетом неравен-
ств (26):
h(t, Ю......l„(t, Ю, Ю|<*.
(i= 1, 2, ..., и).
Из полученных неравенств следует, что | (/, pi') является gr
приближенным решением для системы (23) при значении пара-
метра pi=pi". Оценим норму |||(/, pi') —1(/, pi")||. Используя
неравенство (17) и учитывая, ^ito начальные условия для обоих
решений совпадают, получаем
Н(/, pi')-|(/, pi")H|-(e^^-^)-l)<E. 
Доказанные теоремы о непрерывной зависимости решений от
начальных условий и параметров имеют принципиальное значе-
б*	131
ние. Параметры дифференциальных уравнений систем автомати-
ческого регулирования (САР) задаются с некоторыми погрешно-
стями. На основании доказанных выше теорем можно утверж-
дать, что если погрешность в определении параметров дифферен-
циальных уравнений САР незначительна, то решения этих
уравнений с достаточной достоверностью описывают происходящие
в САР процессы.
§ 11.	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.	Нормальная линейная система дифференциальных уравне-
ний. Линейной системой дифференциальных уравнений называется
такая система уравнений, в которую неизвестные функции и их
производные могут входить только в первой степени.
Нормальная линейная система дифференциальных уравнений
имеет вид	; '	 /
п
(1 = 1,2....n).	(1)
Й=1
Введем в рассмотрение векторные функции
и матрицу А (/) =
(t) ... а1п (/)-
(О • • • @пп (0_
Тогда систему (1) можно переписать в векторной форме
= А (/)х+/(/).
(2)
Проверим, выполняются ли условия теоремы существования
и единственности решения для системы (1). Положим, что aik(t)
и 0 (/) — непрерывные функции на интервале (с, Ь). Тогда правые
части уравнений (1) будут непрерывны в бесконечной области G,
определяемой неравенствами a<Zt<b, — ооСх^Соо (Л = 1,
2, ..., п). Частные производные по xk от правых частей урав-
нений (1)
г п
Из непрерывности функций alk (/) следует, что \aik(f)\<N,
где А —некоторое постоянное число, если t е [аъ Ьг]с:(а, Ь).
Бесконечная полоса G является выпуклой областью, поэтому
ограниченность частных производных в этой области влечет за
собой выполнение условий Липшица. Следовательно, теорема
существования и единственности справедлива для линейной
системы на любом отрезке [яг, Ьг] с (а, Ь], где (а, Ь) —интервал,
на котором функции aik (/) и fi (/) непрерывны.
132
2.	Общее решение линейной однородной системы. Система (1)
называется однородной, если /Д/) = 0 (г = 1, 2,	п). Однород-
ная система в векторной форме запишется в виде
я у
-~-Л(/)х.	(3)
Изучим некоторые свойства решений линейной однородной
системы, для чего рассмотрим следующую теорему.
Теорема 1. Совокупность S всех решений {£(/)} системы (3)
образует линейное пространство размерности п.
Доказательство. Пусть	и |2 (О е S. Непо-
средственной подстановкой в систему (3) нетрудно убедиться,
что сумма Cili (/) + C2I2 (/) также является решением системы (3),
т.е. Cili (/) + C2I2 (О 5. Из определения линейного пространства
(см. § 5) следует, что совокупность решений S образует линей-
ное пространство.
Покажем, что в этом пространстве существует п и только п
линейно независимых элементов, т. е. п линейно независимых
решений |i(0, |г(0> •	1п(0- В качестве начальных условий
возьмем векторы — единичные орты:
ММ -[1 0 0 ... 0] = ^,
|2(/о)=[О 1 0 ... 0] = е2,
|л(/о) = [0 0 О ...
По теореме существования и единственности этим начальным
условиям соответствуют п решений, определенных на интервале
(а, Ь).. Пусть эти решения будут |i(Z), ...|я(0. Покажем, что
они линейно независимы.
Допустим противное, т.е. что эти решения линейно зависимы.
В этом случае существуют (см. § 5) постоянные clt с2 ..., сп,
причем не все равные нулю, такие что ***
^11(0 + ^12 (04-..- + <А(0^° Для teE(a, b).
п
Введем обозначение: |(/) = У, cfa (/); по доказанному выше
i=i
|(Z) е S. В точке /0 имеем:
С1|1 (М + C2I2 (А)) 4“ • • • 4” Сп1)П (^о) — 0,
или
Ci^i -'г с2е2 4- • • • 4- спеп — 0,
что невозможно в силу линейной независимости единичных ортов.
Следовательно, рассматриваемые решения линейно независимы.
Докажем теперь, что полученные п линейно независимые
решений образуют базис линейного пространства S, т.е. любой
элемент этого пространства g (/) представим в виде
| (/) = fill (/) 4- C2I2 (0 4- • • • 4"	(0,
причем постоянные clt cs, ...» сп определяются однозначно.
133
Пусть рассматриваемое решение | (/) удовлетворяет началь-
ному условию |(/о)=хо. Вектор х0 принадлежит арифметичес-
кому векторному пространству (см. § 5), поэтому он разлагается
единственным образом по векторам базиса этого пространства:
л*о =	+ с2в2 +...+
Рассмотрим решение | (/) =	(/) + с2|2 (0 4- • • • 4~ ся|я (0;~ здесь
| (/) ее S. При t —10 в силу выбора постоянных съ с2,...,сп j (t0) =
== Xo — ^(to). Тогда из теоремы существования и единственности
следует, что |(/) = |(/) при t ее [и, &]. Поэтому решение |(/_)
представляется единственным образом:
| (/) = С1|г (/) + с2|2 (/) + ... + с£п (t). 	(4)
Таким образом, мы показали, что любое решение системы (3)
может быть записано в виде (4). Поэтому выражение (4) назы-
вается общим решением системы (3). Напишем это решение
в развернутом виде. Пусть
1(0 =
[Ъ (01
Ъ (0
In (0-1
тогда общее решение системы (3) будет иметь вид
11 (0 = с11и (0 4~ с2^>21 (0 4- • • •+с«1п1 (0 ,
1г (0 = с1112 (0 4” сг|г2 (0 4- • • • 4- СП^П2 (/),
|я (0 = Cilin (0 4~ с2^>2п (0 4- • • • 4- сп^пп (0-
Любая система из п линейно независимых решений системы (3),
образующая базис пространства S, называется фундаментальной
системой решений.
Отметим, что если имеется некоторая фундаментальная система
решений |1(0, •••, 1п(0 однородной системы (3), то система
решений |i(0, •••» 1«(0> которая образуется с помощью соотно-
шения
[|1(0...|»(0] = В1(/)..4»(0]С>
где С —некоторая невырожденная матрица, также является фун-
даментальной системой решений системы (3).
3.	Определитель Вронского. Формула Лиувилля. Пусть имеется
некоторая система из п векторных функций:
Vn (0
%12 (/)
-Х}.п (0-
^22 (0
(О'
~*п1 (0“
Хп.2 (t)
~%пп (t)-
• • • ,	(0 -
134
Тогда определителем Вронского, или вронскианом, называется
определитель, составленный из компонент этих векторных функ-
ций. Таким образом, определитель Вронского имеет вид
	хи (/)	^21 (t) •	• ^nl (t)	
W(t)^	х12 (/)	Х22 (t) •	• ^п2 (t)	(6)
	%1п (t)	^2п (t) •	• ^пп (t)	
Рассмотрим некоторые свойства определителя Вронского.
Теорема 2. Если система векторных функций xr(t), ..., xn(t)
линейно зависима, то определитель Вронского W (/) = 0.
Доказательство. Так как система функций линейно зави-
сима, то существуют постоянные сг, с2, ..., сп, причем не все
равные нулю, такие, что с^ (/) + с2х2 (/)+... + спхп (t) s0 для
любого t <= (а, Ь). Пусть, например, сг #= 0, тогда Xi = — — х2 (/) —
— —х3	~ хп (t), т- е. первый столбец определителя W (t)
Cl	Q
является линейной комбинацией остальных столбцов. Из свой-
ства 8 определителей (см. § 2) следует, что такой определитель
равен нулю. 
Теорема 3. Пусть вектор-функции |х(/), ...»	(/) представ-
ляют собой п решений системы (3). Тогда, если определитель
Вронского W (/) для этих решений обращается в ноль в какой-
нибудь точке /()б=[а, &], то W (/) тождественно равен нулю на
всем отрезке [<з, Ь].
Доказательство. Рассмотрим систему из п алгебраических
уравнений с п неизвестными ах, а2, •••»
а1|1 (4)	<*2^2 (to) + • • • + ап§п (t0) — 0.	(7)
Это линейная однородная система уравнений, причем по условию
теоремы определитель системы W (to) = 0. Из теоремы 4 § 4 сле-
дует, что в этом случае система (7) имеет, по крайней мере,
одно нетривиальное решение
ах = aj, а2 — а2, ..., ап = а„ ( У (а)’)2 о\
V=i	•"/
Рассмотрим решение однородной системы (3):
| (/) = aj|x (t) +	(t) +... +	(/).
Это решение при / = /0 в соответствии с (7) обращается в ноль,
т. е. |(/о) — 0, а поэтому благодаря единственности решения
системы (3) получим
1(0^0,
или
(t) + «&> (0 + ... +	(t) 0,
135
т. е, решения h(t), £2(0» •••> tn (О системы уравнений (3) ли-
нейно зависимы. Из предыдущей теоремы следует, что при этом
№(/) = 0. Я
Рассмотрим вектор-функции хг =
7 1
_oj
Г°1 о
и х2 = ^aJ. Определитель
Вронского для этих функций
№(хъ х2) =
t О
О /2

При t ~ О W (0) = 0, но W (/) =£ 0. Отсюда следует, что данные
вектор-функции хх (/) и х2 (/) не могут быть решениями системы
уравнений вида (3) с непрерывными коэффициентами, определен-
ными на интервале, содержащем точку t — 0.
Значение определителя Вронского в произвольной точке t
можно вычислить с помощью рассмотренной ниже зависимости,
называемой формулой Лиувилля.
Теорема 4. Пусть (/), |2 (/),...,	(Z) — п решений системы (3).
Тогда между значениями определителя Вронского W (/) в точках t0
и t существует следующая зависимость'.
t
J Sp А (т) dx
W(t) = W(t0)e‘°	,	(8)
п
где Sp A (t) = «ц (/) + а22 (0 4- • • •+апп (0 — У аи (0
i= 1
— след матрицы А (/) *>.
Формула (8) носит название формулы Лиувилля.
Доказательство. Применим правило дифференцирования
определителей (см. равенство (9) § 3):
	=		Vn (o...	(o tl2 (0?22 (/)...	(/)		+
+	tu (/) t21 112 (0 ^22	tin (ОЬп (0 (/)... tnl (0 7) ...tn2(0	• • • tnn (i) + • • • +	EuOJnW-.U W UWl22(0...L2(0
	(0	(0			
Так как |х(/), |2 (0 •••»	(/) —решения системы (3), то спра-
ведливы равенства:
о, к. ад=у; С1& w......
1=1	1=1
п	п
tin — У, (0> • • • » trtn (/) = У । eini^ni (/),
i=l	t=l
*’ Sp —начальные буквы немецкого слова «Spun —след.
130
Таким образом,
dw (о _
dt ~
S Ci/Ь/ (о s «i&i w • 7—1	i—\		•	। ^1/bi (0 t = l . b2 (/)	+
112 W	Ьг (i) •		
bn(0	U(0 ••	L40	
U (О
п
У «2/bf (О
bi (t)
У a^i (t) ... У a2fcni (/)
lm(t) hn(i) ... t>nn(t)
hi(t)	bi(0	...	bi(0
b2(0	b2(0	...	b2(0
+ •• • + ..............................................
n	n	n
^У ^ш'Ьг (0	। O-ni^2i (t) ‘ ' '	1 ^nl^ni (0
t=l	i=l	i=l
Учитывая, что определитель с
равен нулю, имеем
^iibi #iibi (0 • •  flubi (0
Ь2(0 122(/)	...UW
dV (Q __
dt
пропорциональными строками
51Л0Ь»(0 ...UW
UW ... U(0
I #22^12 (0 а22^>22 (0 • • • а22^>п2 (0
+...+
bn(0 bn(0 ... U(0
bl (0
> b2(0-
bi (0
b2 (/)
... bi(0
... b2(0
@ПП<Э1П (0 &-ПП^2П (/) ...
^nn^nn (0
Вынесем общий множитель всех элементов строки за знак опре-
делителя:
^^ = (аи+«й+...+а„„) U7(/) = Sp A (t)W(t).	(9)
Разделяя переменные в равенстве (9) и интегрируя, получим
искомую зависимость
| Sp Л(т) dx
W(l)^W (/о)
137
4.	Линейная неоднородная система. Метод вариации произволь-
ных постоянных. Рассмотрим линейную неоднородную систему
уравнений (2)
соответствующая ей однородная система (3)
dx й ...
Пусть х = ф(/) и х = <р(/) —два решения системы (2). Тогда
разность
= t (0-<₽(/)
представляет собой решение однородной системы (3). Действи-
тельно,
- ^Г=Л (О М> (О 4-/(0 - Л (0 <р (0 -/(0 =
= 4(0[Ч>(0-Ч’(0]=Л (ОКО-
Если х —!(/) — решение однородной системы (3), a x — q>(t)—
решение системы (2), то х = | (/) +ср (/) —представляет собой
решение системы (2). В самом деле,
£ =	4-	=Л (0 КО 4- Л (0 ч> (0 +f (I) =
= А (0 11 (/) + ф (0] 4-/ (0 = а (I) X 4-/ (0.
Способ определения общего решения линейной системы (2)
устанавливает следующая теорема.
Теорема 5. Общее решение системы (2) имеет вид
x(0=j>M04-4>(0.	(Ю)
i=l
где Ct —произвольные постоянные’, (t = 1, 2, ..., п)—фунда-
ментальная система решений системы (3); ср (/) — произвольное
решение системы (2).
Доказательство. Зададим произвольные начальные условия
Хю
X (/о) = Хо =
%2О
-Л71О-
(Н)
Как показано выше, функция х(/), определяемая формулой (10),
является решением системы (2). Покажем, что можно так подо-
брать постоянные ch чтобы это решение удовлетворяло началь-
ным условиям (11). Запишем решение (10) по компонентам при
t = t0:
п
х1ю — У) c^ik (/о) -ф (р/, (/о) (k — 1, 2.п).
i=\
138
Если Xko — <Рл (/о), т0 в силу теоремы единственности х (/) ^ <р (/),
т. е. решение, удовлетворяющее начальным условиям (11), полу-
чается из (10) при сг = 0 (г = 1, 2,	п).
Пусть теперь х/г0 ¥= <Pfe (^о)- Для определения постоянных q
(i= 1, 2, ..., п) в этом случае имеем алгебраическую систему
линейных уравнений
^cilik(to) = xko — 4>k(to)	(k=l, 2, ..., п).	(12)
i=i
Определитель этой системы уравнений есть определитель Врон-
ского W (/о). Так как система решений (/) (t = l, 2, ..., п)
фундаментальная, то определитель Вронского W (/о)¥=О. Следо-
вательно, система уравнений (12) имеет единственное решение,
обозначим его с? (i = l, 2, ..., и).
Решение
х(0 = 1Ж(0+Ч>(0	(13)
t=l
удовлетворяет начальным условиям (11) и в силу теоремы
единственности других решений с теми же начальными усло-
виями быть не может. 
Таким образом, если известна фундаментальная система ре-
шений однородной системы уравнений (3), то нахождение общего
решения системы уравнений (2) сводится к нахождению какого-
либо частного решения этой системы.
Частное решение системы (2) может быть найдено методом
вариации произвольных постоянных. Рассмотрим этот метод.
Пусть |i(Z), |2 (t), •••» In(/) —фундаментальная система решений
системы (3). Частное решение неоднородной системы (2) будем
искать в виде
ж=Ч>0 = s С, (01,(0,	(14)
i =1
полагая, что q являются не постоянными, а некоторыми функ-
। циями t. Подставим решение (14) в систему (2):
i	£ с‘ W <0 + S ci (0 й (0 Л (/) £ с, (t) & (t) +/(/). (15)
i=l	t=l	i=l
!Так как вектор-функции |z(/) являются решениями однородной
системы (3), то
j 2слО1-(о=2ч(ол(/)|/(о = л(/) хмоыо,
I	t-=i	i=i	i=i
поэтому тождество (15) можно переписать в виде
j	(16)
t	139
i
Выражение (16) представляет собой систему линейных алгебрай-
ческих уравнений относительно c't (/) (Z=l, 2, ..., ri). Определи-
тель системы уравнений (16) есть определитель Вронского для
фундаментальной системы решений. Он отличен от нуля, поэтому
система (16) имеет единственное решение c'i (/) = ФД/) (i — 1, 2,...
п).
Интегрируем полученные равенства:
G (/) = J Ф/(/) d/;	(17)
с учетом (17) искомое частное решение имеет вид
(18)
1 = 1
В соответствии с формулой (10) общее решение неоднородной
системы (2) будет
х И = S (0 + Z ь (0 $ W *•
i=l	i=l
5.	Формула Коши. При помощи формулы Коши можно выра-
зить решение линейной неоднородной системы дифференциальных
уравнений через некоторую фундаментальную систему решений
соответствующей однородной линейной системы.
Рассмотрим неоднородную линейную систему дифференциаль-
ных уравнений (2), записанную в векторном виде
^ = Д(0л+Г(0.
Соответствующая ей однородная линейная система имеет вид (3):
^ = 4(0х.
Пусть	(0 — фундаментальная система решений системы
уравнений (3). Образуем матрицу Xi(t), столбцы которой являются
этими решениями
T11W Ь1(0 ••• UW
_ £12 (0 £22 (0 ... £«2 (Z)
-£ш(0 W) £™(0-
Определитель матрицы Хх(/) представляет собой определитель
Вронского. Он отличен от нуля для всех t е [а, Ь]. Следовательно,
существует обратная матрица Лр1 (/) при каждом	&],
Составим матрицу
Х(/,	(19)
Столбцы этой матрицы также образуют фундаментальную систему
решений - системы уравнений (3). Отметим, что	Zo) =
140
— Xi (/0) XV (t0) = E. Назовем матрицу X(t, t0) фундаментальной
матрицей системы (3). Нетрудно проверить, что фундаментальная
матрица X (I, /0) удовлетворяет матричному уравнению
В самом деле,-
dX(t, t0) _ dxt (0	,,. _ plx (/) d%2 (t) din (/)-]
dt ~~dTAx	HF" “FFf1
= №(/) Д|2 (t) ... Aln(/)]XV (t0) = АХг (t) XV (to) - A-X(t, to).
Решение |(/) системы уравнений (3), удовлетворяющее начальным
условиям l (to)=xo, можно записать в виде
l(t) = X(t, tQ)Xo.	(20)
Действительно, выполнение начальных условий для решения сле-
дует из равенства | (/0) = X (t0, t0) х0 = Ех0 = х0.
Кроме того,
<520 = Хо = л (/) % (/, /„) х„ = А (/) | (/).
Таким образом, мы показали, что | (7) = X(t, to) х0 является реше-
нием системы (3), удовлетворяющим начальным условиям |(/0) =
= Х-о.
Для определения решения неоднородной системы уравнений
(2) сделаем замену неизвестных функций. Положим
х==Х(/, to)у,	(21)
тогда
=	/о)^ = Д t„)y+X(f,	=
= A(t)X(t, i0)y+f{t},
откуда
^ = Х-1(Л ад/W-	(22)
Найдем решение x — x(t) неоднородной системы уравнений (2),
удовлетворяющее начальным условиям x(to)=xo. Из формулы
(21) следует, что
У (to) — X 1 (t0, to) Xq — Xq,	(23)
Решим систему уравнений (22) при начальных условиях (23):
У (t) = Хо + $ X х (т, t0)f (т) dx.
to
Подставляя найденное значение у (t) в (21) и учитывая, что
X(t, to)X-x(x, to) = X(t, т), будем иметь
t
x(t)=-X (/, to) Хо + $ X (/, x)f (т) dx.	(24)
to
141
Формула (24) позволяет найти решение х (/) неоднородной системы
уравнений (2), удовлетворяющее заданным начальным условиям
х(/0) = х0, если известна фундаментальная матрица X (/, /0)
однородной системы (3).
Следует отметить, что если матрица А постоянная, т. е. рас-
сматриваемая система дифференциальных уравнений является
системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами
= +/(/),
то решение х (t) этой системы, удовлетворяющее начальным усло-
виям х = Xq, запишется в виде
t
x(t)=X(t)XoA-\ X(t-x)f(x)(h,	(25)
to
где X (t) — матрица, столбцы которой состоят из фундаменталь-
ной системы решений однородной системы уравнений ~ = Ах,
причем X (/о) = Е.
Таким образом, X (/) — фундаментальная матрица и может
быть найдена по формуле (19). Формулы (24) и (25) носят назва-
ние формул Коши.
Если А — постоянная матрица размера пхп, то справедливо
матричное равенство
^.(^й-^)) = Лелй-Ч	(26)
Это равенство легко проверяется путем почленного дифференци-
рования матричного ряда
СО
о
Из равенства (26) следует, что матрица еА^~/о) является реше-
нием матричного уравнения
Решение	удовлетворяет начальным условиям X(t0) — E.
В силу единственности решения получаем следующее выражение
для фундаментальной матрицы однородной системы с постоян-
ными коэффициентами:
X(t)=,eA^-^.	(27)
Структура матрицы eAt рассматривается ниже в § 12.
6. Линейное уравнение /i-го порядка. Линейное уравнение п-го
порядка имеет вид
а0(/)	+о, (0 х'- » + ... + а„ (/) х=f (/),	(28)
142
где a0(t), .... «„(/) —непрерывные функции для t <= (а, Ь), приг-
нем а0 (f)	0. Соответствующее этому уравнению однородное урав-
нение имеет вид
«о (0 х(п} + «1 (0 х(п~+ ... -\-an(f) х = 0.	(29)
Уравнения (28) и (29) путем введения новых вспомогательных
функций
Xi==xt x2==xft ...» хп = х(п~1)	(30)
можно свести соответственно к системам уравнений
dx{ _ dt ~ dx2 	 dt	*2,	
		(31)
dxn = dt И rfxj __ dt ~ dxj. __ dt	ап v	Щ v 	Л] — ... — Л„ ~Г" 	 а0	«о	g0 -^2,	(32)
dx,t __ dt или в векторной форме	ап v _	v Л-1	• • •	Л/»« Go	G0	ч4?
g =	и ^ = А(/)х,
где
4(0 =	~ 0 0	1 0	0 .. 1 ..	. o . 0	, f(0 =	- 0 _ 0		- xt- x2
	0	0	0 ..	. 1		0		
	G/г	Gn-1	G/г —2	G1		/(0		- ^n-
	_ Go	Go	Go	Go_		_ G0 _		
Системы (31) и (32) являются частными случаями линейных систем,
рассмотренных выше.
Рассмотрим однородную систему уравнений (32). Зададим
начальные условия
£l(U = *0i ^2 (^о) ~-^0» • • • »	(А)) = 4	(33)
143
В силу теоремы единственности система (32) имеет решение
МО-1
1(0 =
МО
(0 -
удовлетворяющее заданным начальным условиям (33) и определен-
ное на интервале (а, Ь). Исключая из системы (32) последова-
тельно неизвестные переменные х2» •••> хп, получим, что первая
компонента (/) решения системы (32) представляет собой реше-
ние уравнения (29). Таким образом, существует и притом един-
ственное решение уравнения (29), определенное на интервале
(а, Ь) и удовлетворяющее начальным условиям х0, х'о, ..., ХоП—1).
Все сказанное выше справедливо также, и применительно к урав-
нению (28).
Так как. уравнение (29) сводится к линейной однородной
системе (32), то решения уравнения (29) обладают всеми свой-
ствами решений линейных однородных систем, а именно:
1.	Множество решений уравнения (29) образует n-мерное линей-
ное пространство.
2.	Всякая система из п линейно независимых решений (/),
£2(0, •••»	(0 является фундаментальной системой и общим
решением уравнения (29) будет
(34)
i=l
3.	Если функции (/), ..., есть решения уравнения (29),
то определитель Вронского
«40 =	11 (0	Ь (0	. & (0	& (0	.. &(0
	й'-'Чо й"-1’©	
для этого уравнения либо тождественно равен нулю, либо не обра-
щается в ноль ни в одной точке интервала (а, Ь).
4.	Формула Лиувилля для уравнения (29) имеет вид
- {
J а0(т)
W (0 - W (/о) е **	.	_	(35)
Неоднородное линейное уравнение (28) сводится к линейной
системе (31), поэтому его общее решение такое:
*0= 1; <*ю+ч>(о.	(36)
<=1
144
где £i(/), £2 (0» •••> £и(0 — фундаментальная система решений
уравнения (29); q (i== 1, 2,	^ — произвольные постоянные,
а ср (/) —частное решение уравнения (28).
Для нахождения частного решения ср (/) уравнения (28) можно
использовать метод вариации произвольных постоянных. При
этом система алгебраических уравнений для нахождения cl (t)
имеет следующий вид:
H'(0£i(0+^(0^(0+... +c'n(t)ln(t) = Q,
ci (t) g (o+4 (о й (о + • •• +4 (0 & (o =0,	(37)
4 (0 s!"'”(0 +4 (0 Й"-1’ (0 + • • • +4 (0	(0 =H0-
Определитель этой системы есть определитель Вронского для
линейно независимой системы решений £i(/),	£«(/), поэтому
W (/) Ф 0, и система (37) имеет единственное решение. Интегри-
руя полученные значения для с\ (f), найдем q (/) и тогда искомое
решение
ч>(0= s с, (t) 1,(1).
i—1
Как и для системы линейных уравнений, для неоднородного
линейного дифференциального уравнения (28) справедлива фор-
мула Коши. Пусть £1 (/), ..., £и (/) — фундаментальная система
решений уравнения (29). Составим решение x = xr(t, т) уравне-
ния (29), удовлетворяющее начальным условиям
х1 (т, т) = х[ (т, т) — ... — х/"~2) (т, т) = 0,	(т, т) = 1: (38)
*1 (Л *) = У! С (т) £z (/),
i = l
где Ci (т) определяются из системы уравнений
ci£i (т)+ ... +си£п(т) = 0,
Ct£i СО • • • 4“ ^п£п (О — 0,	(39)
... +с„Й"~|,(т) = 1.
Определитель этой системы представляет собой определитель
Вронского фундаментальной системы решений £i(/), ..., £„ (/) и
поэтому не равен нулю. Система (39) имеем единственное реше-
ние сх(т), ..., с„(т). Следовательно, решение xt(t, т) определяется
единственным образом.
Решение x(t) уравнения (28), удовлетворяющее начальным
условиям
х (/о) = (Q 4, • • •, х(п ‘n (k) =-- х(о ~ °,	(40)
145
дается формулой Коши
t
х ({) = (? (t) + $ (t т) F СО dr,
6>
(41)
где <р (/) —решение уравнения (29), удовлетворяющее начальным
условиям (40).
Пример 1. Найти общее решение линейного однородного уравнения вто-
рого порядка
2/	2
(1 — Р)х"—2/х'4-2х = 0, или х" —-т^х'^-----zX — 0.
'	1 —г 1 — г
На интервале (—1, 1) коэффициенты и являются непрерыв-
ными функциями. Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что х =
= t является решением уравнения. Найдем второе решение, линейно независи-
мое с первым. Для этого воспользуемся формулой Лиувилля (8)
W(t) =
x^(t) х2(0
<(0 *2(О
С 2т .
В нашем случае xt = t, тогда
t x2(t)
1 х'2 (t)
_rp-ln|lc ,
1 —/2'
Раскрывая определитель, получим уравнение для нахождения x2(t):
tx2
откуда
х2 С dt
~t = С \ F
с	/х2\' с
*2 —Г=72’ или С77 “ /2(1 —Z2)’
dt t с , с
__ +с1==_ _ + —
Тогда в соответствии с формулой (25) общее решение заданного уравнения
будет иметь вид
X = CrXx (t)-\-c2x2 (0 = Ci/ + c2	1 +у In I h .
Пример 2. С помощью формулы Коши найти решение x(t) уравнения
(1—— 2tx' -}-2x—f (t), удовлетворяющее начальным условиям
х(/0) = х0, х' (/0) = *1-	(42)
В предыдущем примере было получено общее решение соответствующего
, .	/ j  t - I 1 -|- 11 \
однородного уравнения х=ск+с2 — 'ту 1п | И•
Решение jq (t, т) однородного уравнения, удовлетворяющее начальным усло-
виям
xl (т, т) — 0, х{ (т, т) = 1,	(43)
 имеет вид
Xi (Л т)=(1—т)(1—у In	“|)^+т(1-т2)
(44)
146
Решение <р(/) однородного уравнения, удовлетворяющее начальным усло-
виям (42), будет
—2~” 1п j'—| +— (1 — 4>)	1— 1 jj Х°~Ь
+ (1-ф (1 -1 In 1|)/ + /о(1 - tl) (^-In |1±2|-1^Х1.
Теперь запишем искомое решение с помощью формулы Коши:
* (о=Г(-Ц^ln I	к'») f-<i -z") (^In I гЧ I-'У1*о+
+[о-*?» (i -у,п 1|) '+<» (1 -ф (4-1п 11~71-')]*.+
+ § [о-т)(1-~ In |l±l|)/+r(l —r=) (g !n I 1— l) I/<т)ат.
6>
7. Понижение порядка линейной однородной системы дифферен-
циальных уравнений. Выше в п. 4 было показано, что для реше-
dx
ния линейной неоднородной системы уравнений (2)	= А (/) х +
+/(/) требуется найти фундаментальную систему решений линей-
ной однородной системы (3) — = A (t)x. Общих методов нахождения
решения однородной системы (3) с переменными коэффициентами
не существует. Однако, если известны г линейно-независимых
решений <pi(0,	<рг(0 системы (3) (г<и), то порядок системы
может быть понижен на г.
Покажем, что это справедливо для случая г—1. Пусть х =
Фи (01
= <Pi (0 =
— решение системы (3). Будем искать реше-
Ф1« (0_
ние системы (3) в виде
X = Пф! (О +^,
(45)
где « — неизвестная функция; ^ — неизвестная вектор-функция,
относительно которой будем предполагать, что ее первая компо-
нента равна нулю, т. е.
Г 0 п
Подставив выражение (45) в систему уравнений (3), получим
ч>» (О+«	Z = Л W («ЧР1 (О +Л (46)
Учитывая, что <pi (/) — решение системы (3), будем иметь
^Ф1(0 + ^ = Л(/)^.	(47)
147
Запишем систему (47) по координатам, выделив первое уравнение:
п
^Фп(0 =
6 = 2
(48)
, п
~di “ 2 a‘k (t} Ук - S'f1' W (' = 2. 3, ..., n).
fc = 2
Находя ~ из первого уравнения системы (48) и подставляя
в последующие уравнения, получаем для компонент z/z вектора у
следующую систему уравнений:
п
^1=^ Ы1)Уь (< = 2,3..........п),	(49)
fe=2
где
^ = ^(Z)-^^«lft(Z).
(50)
Система уравнений (49) имеет порядок, равный (и—1). Таким
образом, если известно одно решение системы (3), то ее порядок
понижается на единицу.
Покажем, что если известна фундаментальная система реше-
ний системы (49), то фундаментальная система решений системы (3)
задается с помощью формулы (45). Действительно, пусть yt =
- 0 л
Ф/2 (Z)
= ф( (Z) =
(г = 2, ..., и) —линейно независимые решения
системы
ния
1ф/„ (Z)
(49)	. Определив функции u2(t), un(t) из соотноше-
п
 Ч>11 W = У «1» (0 W (< = 2.........................п),	(51)
k — 2
получим для системы /3) п линейно независимых решений:
11(0 = Ф1Ю
Ь (Z) - «/ (/) ф! (Z) +Ф/ (Z) (г = 2, ..., п).	(52)
Установим линейную независимость решений (52). Для этого
составим определитель Вронского для этой системы решений
11(0»

<pn (Z) и2 (Z) <рц (Z)	...	ип	(Z)	<рц	(Z)
Ф12 (0 U2 (0 Ф12 (Z) + Ф22 (Z)	...	Un (Z) ф12 (Z) + фл2	(Z)	_
(Z) и2 (Z) (P1„ (Z) + ф2н (Z)	...	ип (Z) <pln (Z) +	(Z)
= <Р11 (Z)	(Z),
148
ip22 (0 • • • Ф/й (О
— определитель Вронского для
(0 • • • (О
системы решений 4г (0> •••» 'ФмСО-
В силу линейной независимости этих решений (/) =^= 0 на
интервале (а, Ь). Следовательно, и Ц7(/)^0 на этом интервале,
что доказывает линейную независимость решений (52).
Пример 3. Найти общее решение системы линейных уравнений
— xt cos214- х2 (sin tcos — 0>
/Jy
~^~xi (1 + sin t cos /)+*2 sin2t.
(53)
Эта система имеет частное решение
хп = — sin t,
л12 = cos t,
т. е. <Рд (t) =
sin f
cos t
Для определения
= «Ф1(О+У где
нения
второго частного решения сделаем замену переменных: х —
ИГО 1
, у —	1. Искомая функция у2 находится из урав-
>1
«==[sta!'+S7<9ta'cos'-1’]»
(54)
вместо которого, разделив переменные, получим — = (1 —cig t) dt. Решением
Уъ
этого уравнения является
У2 = -Н.	(55)
sin t
Функция u(t) является
Решив это уравнение, получим
du 1
решением уравнения — = — (sin/cos/— 1)-^у
е* cos t
sin t
(56)
Второе решение системы (53), линейно независимое с первым, будет
Ф2(0 = и(0ф1(0+3' (0>
(57)
где Wi (П = ;
и =
где V (0 =	• Подставив значение и (/) и уг (f) в равенство (57), получим
Иг (0J
<f'2 (0 =
cos t
ef sin t
(58)
Общим решением системы (53) будет
(59)
149
(0+С2ф2 (0.
§ 12.	ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1.	Нормальная линейная однородная система уравнений
с постоянными коэффициентами. В векторной форме однородная
линейная система уравнений имеет вид
% = Ах- (1)
... а1п
Здесь А —
— квадратная матрица коэффициентов
уравнений
_«Zll ••• ^пп_
Xi
х =
-матрица-столбец (вектор) из неизвестных функций.
_^П _
В общем случае матрицу А (см. § 6) можно с помощью невы-
рожденного преобразования привести к жордановой форме, т. е.
существует такая невырожденная матрица C(detC=^=O), что
C~1AC = J. Здесь J— жорданова форма матрицы А. Для приве-
дения матрицы А к жордановой форме сделаем замену неизвест-
ных функций. Положим
х = Су,
(2)
где С —некоторая невырожденная матрица; тогда
^- = АСу, или с| = ЛСу.	(3)
Умножая обе части равенства (3) слева на С-1, получим
^ = C-MCy = /y.	(4)
Жорданова матрица J=
состоит из клеток Ah
о ‘К_
имеющих следующую структуру:
~XZ 1
О К
о о
О ... О’
1 ... о
Zz ... О ’
о оо ... xz_
где ^ — характеристическое число матрицы А,
150
Обозначим размерности клеток соответственно elt е2, ..., ец.
Тогда систему уравнений (4) можно записать в развернутом виде
— ^1У1 + У 2
ф2 —
„ dt
^1У2 + Уз
dyet-1
dt
dyei =
dt
Уе!
(5)
^лУвх
dyei+1 —
dt
^2^/ei+l + Уех+2
Каждой клетке жордановой матрицы J соответствует под-
система дифференциальных уравнений. Первая подсистема
системы (5) содержит в! уравнений, в которые входят только
первые ех неизвестных и не входят неизвестные из других под-
систем. (Эта подсистема выделена в выражении (5) пунктирными
линиями.) И вообще, в любую из подсистем системы (5) не вхо-
дят неизвестные из других подсистем, поэтому каждую под-
систему можно решать независимо от других.
Чтобы решить первую подсистему, сделаем замену перемен-
ных
= уг = е^2г, ... z/C1 = c^ei.	(6)
Тогда получим первую подсистему в виде
^1	dz2	dzet-l	dzet п
dt~~Z2’ dt~Zs> dt ~~Ze^ dt ~°-
(7)
Подсистема (7) легко решается, если начинать решение с послед-
него уравнения. Действительно, интегрируя с конца, получим
%ei — 1 — Cei _ 1 -ф CClt
..................................... (8)
tei—‘
21 = Cl + с2/ +... + cei	ijj
Переходя по формуле (6) к переменным yit получаем решение
первой подсистемы в виде
/	fi.~ 1 \
«/1 = ^1 + ^/ + ... + ^
/	fCx — 2 \
^2 = ^2 + c3Z + ... + cei^=2jj^4	(9)
IJe^Ce^d,
151
При интегрировании появились произвольные постоянные сь
с2, ...» сС1, число которых равно ег. Решение остальных подсистем
записывается аналогично. Напишем решение для последней под-
системы:
/ .е — 1 \
I	I	/I 1	। A t
Уп—еФ! = Gi —е +1 + Cn — е,, + 2? + • • • + у 21 n't / e ,l >
H	\ F*	И	v'pl *)' /
/	2 \ к t
Уп-е^+2 = (^-^+2 + ..	U ’	(9')
A t
yn = cne и ,
здесь cn-e 4-i, •cn — также произвольные постоянные.
Совокупность решений подсистем образует решение системьТ
дифференциальных уравнений (5). Это решение зависит от п
постоянных Ci, с2, • • •,
Выберем п раз произвольные постоянные следующим образом:
первый раз — 1, с2 — 0,	, с{~0, ..., сп~0,
второй раз сг = 0, с2=1, С/ —0, сп — О,
i-й раз fi = 0, с2 = 0, ..., Ct — 1, ..., сп. = О
(Ю)
n-й раз Ci = 0, с2 = 0, q = 0,	с„=1
Каждому набору произвольных постоянных соответствует
определенное решение системы уравнений (5). Решения, соответ-
ствующие указанной выше совокупности произвольных постоян-
ных, будут иметь вид
- ^,-1
(G-l)l
/С1-2
(^2)!
0
(П)
eV
Покажем, что эти и решений (11) образуют фундаментальную
систему решений для системы (4). Для этого достаточно пока-
'52
Зать, что определитель Вронского W (/) системы решений (11)
отличен от нуля при некотором значении t~to, например при
4 = 0. Определитель Вронского для системы решений (11) имеет
вид
/61—i
eKit teKii ...	__ i)j
U e	—2)!e
(e2~ 1)!
(12)
0	.
0	0
0
или
4 = 1
Нетрудно видеть, что W (0) = 1, т. е. определитель Вронского
в одной точке отличен от нуля. Следовательно, построенная
система решений (11) образует фундаментальную систему.
Формулы (9) дают общее решение системы (4). Действительно,
общее решение системы (4) есть
^=2ед(0.	(13)
1=1
В развернутом виде это выражение совпадает с выражением (9).
Покажем, что если (/) (1 = 1, 2, ..., /г) — некоторые линейно
независимые решения системы (4), то вектор-функции xt (/)
(t = l, 2, ...» п), связанные с решениями У( (/) соотношением
xi(/) = Cyi(Z),	(14)
являются решениями системы (1), притом также линейно неза-
висимыми. Здесь матрица С —матрица линейного преобразова-
ния (2). Действительно, так как yt (/) есть решение системы
уравнений (4), то	С 1 АС у t (t); но Xi(t) — Cyt(t), поэтому
откуда
(4 = 1,2....л).
1БЗ
Таким образом, X/(/) = Cyz (/) —решение системы (1).
Линейная независимость решений хх(/), .хп (/) вытекает
из следующей леммы.
Лемма. Если п векторных функций Xi(t),.... xn(t) линейно
независимы, а уt = BXi — некоторое невырожденное линейное пре-
образование, то векторные функции y^lt), ..., уп (/) будут также
линейно независимы (и наоборот).
Доказательство. Предположим, что векторные функции
Ji, •••» Уп линейно зависимые, т. е. существуют постоянные
с2, ...» сп, причем не все равные нулю, такие, что	+ с2у2 +...
... + СдУп^0. Но _уг = Bxt, поэтому
п
В (С1Х1 4- с2х2 4“... 4~ спхп) = 0, или CjXj О,
z=i
что невозможно в силу линейной независимости функций xlf ...
Таким образом, если известна матрица С, с помощью которой
приводится к жордановой форме матрица А и известно решение (9)
системы (4), то общее решение системы (1) находится с помощью
равенства (14). Обычно при решении систем вида (1) не зани-
маются приведением матрицы А к жордановой форме, а посту-
пают следующим образом: вначале определяют характеристические
числа матрицы Л, а затем, учитывая, что решение системы (4)
имеет вид (9) и связано с решением системы (1) соотношением (14),
ищут решение системы (1) в виде
X/(0 =2 Л/(0 eV а =1,2.........../г),	(15)
/=1
где многочлен Ру(1) имеет степень не выше с,— 1. Коэффициенты
многочленов Рц(1) можно определить методом неопределенных
коэффициентов.
2.	Фундаментальная матрица однородной системы. Фундамен-
тальная матрица линейной однородной системы уравнений с по-
стоянными коэффициентами имеет вид
X(t) = eA
Выявим структуру экспоненциальной матрицы	Пусть
матрица А приведена к жордановой форме, т. е. имеет вид
о
154
где клетка At соответствующая
характеристическому числу Х;,
	1	0 .	. 0~
	0 к	1 .	о
Ai =	0 0		. 0
	_0 0	0 .	.А-_
есть квадратная матрица размера
Рассмотрим частный случаи, когда /о = О. Тогда X(t) — eAt—
является фундаментальной матрицей решений системы (1), причем
Х(0) = Е. Нетрудно показать, что
_ о Ш
Действительно, равенство (16) непосредственно следует из
правила умножения матриц, если считать клетки Лъ А2, .... Л(1
элементами матрицы Л. С учетом равенства (16) можно написать:
eAt
. О л.
о

Таким образом, если матрица А имеет жорданову форму, то
О
(17)
155
Фундаментальная система решений Y (/) для случая, когда
матрица А приведена к жордановой форме, дается формулами (11),
причем эта фундаментальная система решений удовлетворяет
начальным условиям (10), т. е. У (0) — Е. В силу единственности
решения задачи Коши эта фундаментальная система решений
должна совпадать с ем. Отсюда следует, что
(18)
3.	Нормальная линейная неоднородная система уравнений с по-
стоянными коэффициентами. Линейная неоднородная система урав-
нений с постоянными коэффициентами в векторной форме может
быть записана следующим образом:
+	(19)
Частное решение этой системы для произвольной векторной функ-
ции/^) можно найти методом вариации произвольной постоянной.
Если компоненты векторной функции/(/) имеют специальный
вид, а именно
/.(/) = с^/Р,	(20)
где Ci и а могут быть и комплексными числами, а Р — целое
неотрицательное число, то частное решение может быть найдено
изложенным ниже способом.
Приведем матрицу А к жордановой форме. Для этого, как и
ранее, сделаем замену переменной: Х — Су, причем матрица
преобразования С выбрана такой, чтобы С~гАС = J, где J— жор-
данова форма матрицы А.
Тогда система уравнений (19) примет вид
=	+	(21)
Здесь С-1 — числовая матрица. Произведение С-1/(0 представляет
собой вектор-столбец. Введем обозначение: С"1/^)— f(t) и пусть
	ГЛШ			Сц .	. с1п~	
/ю=	I	(22)	С-! =		• . .	(23)
	LfnW-l			-Cnl •	• ^пп-	
Тогда получим, что
ft (0 == S CikCktatfi =
156
где
	п Ct — 5 j CtkCk- _	(24) k= i
Запишем систему (21) в скалярном виде
y = ^i + i/2 +	;	|	\с[еа(№
dy2 _ dy 0	•	*	•	$ dyei dt	М2 + */з +	§	{	; c^eutfi • M.J4-	-	\	! c'eieatft 	............	jj	I	j	- . (25)
dyei+1 _ dt	\ ^yet+l + Уег\2 + :	: Cci+ieatfl
dyn __ dt	i	^Уп 3“ i cneatfi
Рассмотрим отдельно первую подсистему системы (25), соответ-
ствующую клетке Th с собственным значением
Сделаем	— ^1Уу + Уч 4~	(\eatt$ +	(26) в подсистеме (26) замену переменных, положив yi^z^d (/=1,2,...,^).
Тогда подсистема (26) примет вид
	= z2 + c[e(a-Xt) ^Р, (27)
dzet
dt

При интегрировании подсистемы (27) следует различать два
случая в зависимости от того, равны значения а и или нет.
Рассмотрим эти случаи,
157
I. Пусть ay=Xx. Интегрируя уравнения системы (27) после-
довательно, начиная с последнего, получаем
г,==Л^(/)е(а“М)/	(i=l, 2, ..., ех),	(28)
где М? (/) —многочлены по t степени не выше р. Отсюда следует,
что, yt — МF(/)eat (i— 1, 2,et). Если для всех корней харак-
теристического уравнения |Л—ХЕ| = 0 справедливо, что
то все компоненты решения (i — 1, 2, ..., п) будут иметь вид
у. =	(/) eai. Неизвестные функции и х{ связаны соотношением
х = Су, поэтому частное решение системы (19) можно записать
следующим образом:
xt =	(!)«“'	(1 = 1.2....п),	(29)
/г= 1
и
где М? (/) = У, cikMk (/) (i — l,2, ..., п) — многочлены по t степени
А=1
не выше (3.
Коэффициенты многочленов (/) можно определить методом
неопределенных коэффициентов путем сравнения коэффициентов
при одинаковых степенях t после подстановки в уравнения (19)
значений xt из выражения (29) и сокращения полученных выра-
жений на eat.
II. Пусть теперь = Тогда подсистема (27) запишется
в виде
~/Г = +
"dT==23 + c2Z₽,	/30)
Интегрируя последовательно, начиная с последнего, уравне-
ния (30), получаем = Mp+1“z (/) /₽ (Z = 1, 2,..., cx), где М-1+1"7 (/) -
многочлен от t степени не выше ех+1 — i. Тогда
Й=МГ“"'(1)ЛВ	(1 = 1.2.е,).
Аналогичный вид имеет решение yt (/) для тех подсистем,
которые соответствуют клеткам A/f, собственные значения кото-
рых удовлетворяют равенству = а. Следовательно, система (19)
будет иметь частное решение
x. = M?4e(/)eaZ (Z=l, 2, ..., п),	(31)
где Л^+<? (/) —многочлены от t степени не выше р + е, а е — наи-
высший показатель степени у элементарных делителей матрицы
А — ХЕ, соответствующих собственному значению а.
158
Коэффициенты многочленов М;+е находятся, как и выше, путем
приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях t после
подстановки решения (31) в уравнения (19) и сокращения на eat.
Пример 1. Решить систему уравнений
1t=x-y'	<32>
Найдем корни характеристического уравнения |Д—АЕ[ = 0:
4^1 хН—	3 —0, откуда Zt==—1, Л2 = 3.
Первое решение системы уравнений (32), соответствующее характеристиче-
скому корню = — 1, ищем в соответствии с формулой (15) в виде х1 = о1е-/,
z/1 = a2e"z. Для определения и а2 подставим это решение в систему (32) и
сократим обе части полученных равенств на Получим систему из двух
уравнений для определения коэффициентов at и а2.
2а!—а2 = 0, —4Щ 4-2а2 — 0.
Определитель полученной линейной однородной системы алгебраических урав-
нений равен нулю, поэтому система имеет нетривиальное решение: а2—с1г
(^=0/2. Следовательно, первое решение исходного уравнения:
=	% у!^сге
Второе решение системы уравнений, соответствующее корню Х2 = 3, опре-
делим аналогичным путем. Решение ищем в виде x2 = flie3lf, y2 — a2e3t.
Имеем следующую систему уравнений для определения постоянных щ и п2:
— 2а2 — о2 = 0, —4tzr — 2с2 —0.
Решая эту систему получаем, п2 = с2, а'1 = — с2/2; тогда
~-ез/, t/2 = c2e3Z.
Общее решение системы (32) будет иметь вид
е-'1 —-у е3/, у=сгеч-\-с2^.
Пример 2. Решить систему уравнений
д- = 3!'-21'	(33)
Определим корни характеристического уравнения
1—А	II
|А-ЛЕ| =	— Х2—4Х 4-5 = 0;
--Z о — Л I
^1>2 ~ 2 i /.
Первое решение ищем в сответствии с формулой (15) в виде Х1=о1е(2+л^
i/1 = a2e(2V)^. После подстановки ху и щ в систему уравнений (33) и сокращения
обеих частей полученных равенств на e(2+-/>z получим систему алгебраических
уравнений для определения коэффициентов аг и а2:
(—1—/)^14-«2=0, —2а1-|-(1—/)ц2=0.
Решая эту систему, найдем:
а2=q 4- }с2, аг=	у .
159
таким образом,
Ж1==(£l±£l+у ) ef2+7)/, yi s= (<?1+/?2) е(2+/> <
Так как Х2 —Xj, то второе решение будет сопряженным к первому; это
решение
Общее решение заданной системы уравнений имеет вид
С1Ч~С2 
c2~cl \ e(2+i) t I I Cl + C2 _
2 Г M 2
C2£i^(2+;)Z==
— e2i [(ci + C>) cos t + (pi — c2) sin И >
y = e2t [2cL cos t — 2c2 sin fl.
Пример 3. Решить систему уравнений
dx .	dy , п	dz	, с
~=x+2y-z, -^. = х-у+2г.	(34)
Определим корни характеристического уравнения системы (34):
4-Х — 1	-1
1	2-Х	-1
1 -I 2-Х
—-0;	Х| — 2, Х2 —Х3 = 3,
Первое решение системы (34), соответствующее характеристическому корню
Хх = 2, ищем в виде
х^ — а^, y1 — a2e2f, Zi~a3e2t,	(35)
После подстановки значений xlt ylt zt в систему (34) и сокращения обеих частей
полученных равенств на е2/ получим следующую систему линейных алгебраи-
ческих уравнений для определения коэффициентов а1г а2, а3:
2at — a2~~as=-- 0, щ— а3 = 0, щ— аа = 0.
Решая эту систему, будем иметь
n3 = Ci, а^а^с^, a2=a3=cv	(36)
Найдем теперь решение, соответствующее характеристическому корню Х2 = Х3 = 3.
Согласно формуле (15), решение ищем в виде
х2 = (о14-ЬД)ез/, y2~(a2-]~b2t) e3t, z2 — {a3-\-b3t)^1.	(37)
Для определения коэффициентов cq и bt (i = l, 2, 3) подставим выражение (37)
в систему (34) и сократим полученные равенства на e3t:
+ 3 («1 -j- bit) — 4 (aj bit) — (а2 4“ b2t) — (а3 4- b3t),
^2 + 3 (о2 4~ b2t) = [fli 4~ b^) 4~ 2 (а2 4- b2t) — (а3 4" b3t),
b3 4~ 3 («3 4- b3t) — (oj 4~ b^) — (a2 4- b2t) 4~ 2 (a3 4- b3t).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в этих равенствах,
получаем следующие системы уравнений для определения коэффициентов щ V
bi (i=l, 2, 3):
bi—b2 — b3 = 0 j	bi — Oi 4~ ci2 4" ct3—0	'j
bi—~ b2 — b3~0 ?,	(38)	b2—a14~ ct2 4~ ci3 — 0	?.	(39)
bi — b2 — b3^t) J	b3 — Qi a2 a3=0	J
160
Из системы (39) следует, что bl=b2=b3. Из системы (38) найдем bi = b2 — b3 = t).
Тогда решение системы (39) будет
о2=с2, аз —сз» й1=^2_Ь£’з«
С учетом найденных значений коэффициентов общее решение системы (34) запи-
шется в виде
х=с1е2/4-(с2Ч-Сз) е3!"> «/—c1e2Z 4-c2e3Z> z—Cje^-j-dge3*,
Пример 4. Решить систему уравнений
~ = 2х + г/+2^,	= х+2у-3е^.	(40)
Вначале найдем общее решение однородной системы:
W = x+2o-	<41)
Корни характеристического уравнения этой системы:
2~Х	1	=Х2-4К + 3 = 0; 7,1 = 3, Х2=1.
1	4--Д
Тогда имеем:
х1 = о1ез/ ) —п.-|-<72 —0, )
ч, (	n Hi = g2=q;
^1 = о2е3\ J	at — o2 = 0 J
X2 = (Ij£^ ) О1фЙ2:=0, ) Gi = C2>
У2 — O‘2p'1 J O14~O2 = 0, J 0-2 ~
Таким образом, общее решение однородной системы (41) имеет вид
х=<\ез1 с2$, у=.
Найдем частное решение неоднородной системы (40). Так как Л.= 1 является
корнем характеристического уравнения, то частное решение в соответствии
с формулой (31) ищем в виде
х = (г?! 4~ b^t) -J-dy?^, у =^(ci<2-\-b2t)	d2e^.	(42)
Подставляя (42) в систему уравнений (40), получаем:
(«г + bi + bit) е* + 4^ = (2qi 4. 2bit) ef + 2dle^t4-(a2 + b2t) e* 4-	+2e't
(cz2 + b2 + b2t) + 4d2e'l/ = (a.1 J- b^) ef 4- dy^ 4- (2o2 4- 2b2t) f*4-2d2e4^—3e4\
или
cij -j- bi bit = 2t/j -p 2b-j~o2 ~b ^b2t ~p2, 2di — d2 = 0,
«2 + b2 + b2t = ai + bit + 2a2+2b2t, 2d2 — ф-3=0.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем системы
уравнений для определения неизвестных коэффициентов at, а2, blf b2, dt, d2:
at + <T2 — bi = — 2,
bi-\-b2 = 0,	2di — d2 = 0,
— b2'-==^Gf d-i 2d >2 — 3,
bi 4" b2 — 0,
Решая эти системы, найдем:
di — — 1, d2 = —2, at~ — 1, 02 = 0, ^ = 1, 62 = —I,
Тогда общее решение неоднородной системы будет иметь вид
х=CiC3t 4- с2е( — (1 — 0 ef—с4^
у = cte3t — Сч^ — /ez — 2e4f,
6 п. р. Чемоданова, т. 1
161
4. Линейное уравнение п-го порядка с постоянными коэффи-
циентами. Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоян-
ными коэффициентами имеет вид
aQxl,:} + ахх^п~^ . + апх = О,	а0 Ф 0,	(43)
где п0, «1, • ••> «« — постоянные числа, в общем случае комплекс-
ные. Путем введения новых неизвестных функций
хх — х, х2 — х', ... , хп — х(п 1)
это уравнение сводится к системе уравнений
причем матрица	dy- = Ах dt	' "	0	1	0 ... 0	0	1. ....	0 " 0	(44)
А==	0	0	0	... 	 ап   an-l   ап-2 _	До	а0	По	1 _ _£1_ а» _	•
Характеристическая матрица для системы (44) имеет вид — X	1	0	...	0 0	—X	1	....	0 0	0	—X	...	0			
А-Х£ =	0	0	0	... О п	ап 1	^п~ч	1 «1	• •	(45) X
«0	«(,	G„ Определитель этой матрицы		й0	
det [А — Х£] = (а0№ ф- ах№14-...-}- «„)		(-1)-	= М(Х).	(46)
Вычеркивая первый столбец и последнюю строку			матрицы (45),
мы получим матрицу, определитель которой равен единице.			
Таким образом,	наибольший общий делитель миноров (п — 1)		
порядка матрицы А — Х£ dn_x = 1. Поэтому м валентна матрице: г! 0 ... 0 - ли? 0 1 ...	0		атрица А —Х£ экви-	
L0 0 ... М(к)]
Отсюда следует, что если многочлен М (X) имеет корень Хг- крат-
ности В/, то матрица (45) имеет элементарный делитель (X —Х,)5
и никаких других элементарных делителей, которые представ-
162
лялись бы некоторой степенью (X — Xz), матрица (45) не имеет**.
Поэтому, согласно формуле (9), корню Zz кратности cz будут
соответствовать cz решений вида
(с0 "4“ ^1/ + с2^2 4“ • • • 4“	) & i •
В качестве линейно-независимых решений, соответствующих
корням характеристического уравнения А1т Х2, ..., можно
взять решения
х1 = е^,	=	хЕ1 = р*~1ё^, xCl + i==cKst, ..., хп =
- xeV. (47)
Действительно нетрудно убедиться, что определитель Врон-
ского, составленный для этих решений при / = 0, W (0) =
= п (е. ~ 1)1^0.
I = I
Если все коэффициенты cik уравнения (43) действительны, то
каждому комплексному корню характеристического уравнения
= ak + /Р/е соответствует сопряженный с ним корень Х/г = ak — j$k,
причем той же кратности. Тогда каждому решению уравнения (43)
Xi = treKk( = treak( (cos [ЗД Ц- / sin $kt)	(48)
соответствует решение
х2 = Xi = tretkt = 1ге^ (cos 0Д — / sin |ЗД)	(48')
того же уравнения. Поэтому уравнению (43) будут удовлетво-
рять действительные функции
хг = *i+*2 = treakf cos x2 = *1~*2- = treak( sin $kt. (49)
Пусть мы имеем n линейно-независимых решений уравне-
ния (43) xlf х2, ..., хп, причем xt и х2 определяются выраже-
ниями (48). Тогда п других решений xlt х2, х3, ..., хп являются
также линейно-независимыми. Действительно, матрица перехода
от первой системы решений ко второй имеет вид
" 1 2	1 2	0 .	. 0
1 2j~	1 ~ “2/	0 .	. 0
0	0	1 .	. 0
_ 0	0	0 .	• • 1_
Ее определитель не равен нулю, следовательно, п решений xlt
х2, х3, ..., хп линейно-независимы. Таким образом, в том слу-
*' Об элементарных делителях матрицы см. § 6.
6*
163
чае, если коэффициенты уравнения (43) действительны, можно
получить п действительных линейно-независимых решений.
Для линейного неоднородного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами
аохм +апх = f (t)	(50)
решение x(t), удовлетворяющее начальным условиям
x(l0)=x0, x'(t0) = x',.х(п~,}	(t0) = x(„n~'\	(51)
может быть получено с помощью формулы Коши
t
x(t) = cp (/) + J Xi (t — т) / (?) dr,	(52)
to
где ср (/) —решение однородного уравнения (43), удовлетворяющее
начальным условиям (51); лу (/) — решение уравнения (43), удов-
летворяющее начальным условиям
Х1(0)-л-I (0) = ...	(0)^0, х\п~" (0) = 1.	(53)
Формула (52) позволяет по известному решению однородного
уравнения (43) получить любое решение неоднородного уравне-
ния при произвольной правой части /(/). Если правая часть f (/)
уравнения (50) имеет вид
=	 (54)
то частное решение может быть найдено методом неопределенных
коэффициентов.
Если число а является корнем характеристического уравне-
ния Л4(Х) = 0 кратности v, где М (Л) определяется выражением
(46), то частное решение следует искать в виде
x(t) = M^v(i)eatt	(55)
где. Afp+V (/) — многочлен по t с неизвестными коэффициентами
степени не выше p + v.
Пусть многочлен Мp+v (/) имеет вид
ЛР+- (/) = Ьо + bxt +... + b^\
Корню характеристического уравнения Z = a соответствует v
линейно-независимых решений однородного уравнения (43) вида
(Co + qZ + .-. + Cv-^-1)^.	(56)
Выше было показано, что разность между решением неодно-
родной системы линейных дифференциальных уравнений и реше-
нием соответствующей ей однородной системы является также
решением неоднородной системы линейных дифференциальных
уравнений. Это справедливо и для линейного неоднородного,
дифференциального уравнения порядка п.
В выражении (56) можно произвольные постоянные cz считать
равными коэффициентам при одинаковых степенях t многочлена
164
Mp+V(/). Поэтому, вычитая из решения (55) решение вида (56)
однородного уравнения, получим частное решение неоднородного
линейного дифференциального уравнения /г-го порядка
X (0 =	(/) tvea(,	'	(57)
где (/) — многочлен от t с неизвестными коэффициентами
степени не выше (3. Коэффициенты многочлена (/) можно
определить путем подстановки выражения (57) в уравнение (50)
и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях t
в выражении, полученном после сокращения обеих частей равен-
ства на eat. Если правая часть уравнения (50) f (/) имеет вид,
отличный от (54), то частное решение может быть найдено мето-
дом вариации произвольных постоянных.
Пример 5. Решить однородное линейное дифференциальное уравнение
х"~ 2х'-[-х—0.	(58)
Найдем корни характеристического уравнения X2 — 2X-J-1 = 0:
= 1.
В соответствии с равенствами (47) общее решение заданного уравнения есть
х—	-\-c2te(.
Пример 6. Найти решение неоднородного дифференциального уравнения
х" — 8х' ~р 20х — &eil sin 2t.	(59)
Найдем прежде всего .общее решение соответствующего однородного урав-
нения х" — 8х'~р20х —0. Корни характеристического уравнения Р2— 8X-J-20 = 0
имеют значения Aj, 2 — 4 ± 2/.
В соответствии с формулами (49) общее решение однородного уравнения
будет
xzx^qe'4+27) /_|_С2е(4-2л /_ eit (Ci cos 2f-l~c2 sin 2t).
Так как sin 2t—------------------, a 4 ± 2/ является корнем характеристи-
ческого уравнения, то частное решение неоднородного уравнения в соответст-
вии с формулой (57) имеет вид
х (/) — t (aY -р b^) sin 2t ~р t (а2 -р b2t)	cos 2t.
Коэффициенты щ, bv а2, b2 можно определить, подставив х в уравнение (59),
сократив на elt и приравняв коэффициенты у выражений вида tk sin 2t и
f*cos2/. Общее решение неоднородного уравнения получим в виде
х— cos 2t -р с2 sin 2t) -р х (t).
Пример 7. Решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение
х" — 2х' -р х — e{/t.	(60)
Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравне-
ния получено выше (пример 5): х — с^-^с^е1.
Так как правая часть уравнения е1Ц отлична от вида, определяемого фор-
мулой (54), то частное решение находим методом вариации произвольных
постоянных. Согласно формуле (37) §11, для определения произвольных и с2
имеем систему
с\ + cvfe< = сле' + с2 (te' + е<) —
165
Решив эту систему уравнений по правилу Крамера (см, § 4), получим:
	0 d Т	td td 4- d		- 1		 W	d 0 / d e t	e* f	1
С1 —	d	Id	^t	1 >	e2i	t ’
	d	td -j~ef				
тогда
С1==----	^2 = In | / |-|~С2-
Общее решение уравнения (60) согласно формуле (36) § II будет иметь вид
х — (— t 4- q) d ф- (in | 11-J-c2)	— Cjd 4- c2td 4- td (In |t\ — 1).
5. Линейная система дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами удобно записывать в символы-
dx
ческой (операторной) форме. Введем обозначение —	= рх; здесь
символ р является оператором дифференцирования. Тогда &-я
производная от х может быть записана в виде
d^x j,	.л । \
7тГ = Рх-	(61)
t	'
С помощью введенного символа р интеграл \ х dt можно запи-
ло
i
С	1 гг
сать следующим образом: \ х (I) dt = —- х. Действительно, заме-
ло
нив производную символом дифференцирования, получим тож-
дество
d
dt
t
to
x (t) dt
Г 1 1
= p — x , t. e.
LP J
x(t) = x(t).
Операция дифференцирования является линейной операцией,
т. е. если имеются две функции x(t) и у (/) и постоянное число а,
то справедливы равенства р (х4- у) = рх 4- РУ, р (ах) = арх.
Пусть Д (р) — а(,рп 4~ aip^14~. •. + ап — некоторый многочлен
от р степени п. Дифференциальное уравнение (43) с учетом вве-
денных обозначений можно записать так:
L (р) х = 0.	(62)
Многочлен L (р) можно понимать как дифференциальный опера-
тор, который ставит в соответствие функции х (t) линейную
комбинацию производных этой функции до n-го порядка, т. е.
L (р) х =	+... + апх.
Оператор L (р) является линейным, т. е. для функций х (t)
и у (t) и постоянного числа а справедливы равенства
L (р) (х (t) ф- у (/)) = L (р) х (t) +L(p) у (t), L (р) (ах (t)) = aL (р) х (t).
166
Пусть Lx (р) и L2 (р) два дифференциальных оператора; тогда
справедливы следующие свойства:
1) [L1(p) + L2(p)]x(t)^L1(p)x(t) + Li(p)x(t)-t
2)	Li(p)(L2(p)x(t))^L1(p)L2(p)x(t).	'	( '
Линейная система дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами в операторной форме имеет вид
У Llk(p)xk = O (« = 1, 2,	/г),	(64)
/г = 1
где Lik (р) — многочлены от р с постоянными коэффициентами.
Обозначим tnk — наивысший порядок производной функции xk
в системе (64), тогда порядок системы (64) N = тх-[- т2-\-тп.
В дальнейшем будем предполагать, что определитель системы (64)
не равен тождественно нулю,
	Lu (р) .	• ^1п (р)	
D(p) =	Lnl(p) .	• . Lnn (р)	^0.
Пример 8. Записать систему уравнений
х" -ру"+х-f-у = 0, х' -}~2у"-[-у'-f-x—O
в операторной форме.
(Р2 4 1) х + (р2 + 1) у = 0, (р 4-1) х + (2р3 4- р) у = 0.
(65)
Определитель D (р) этой системы
Щр) =
р24-1
Р4-!
р24-1
2р2 + Р
= 2р44-р2—1 =£0,
а порядок M = /72j 4- т2 — 24-2 — 4.
Покажем, что степень многочлена D (р) не превосходит поря-
док системы N. В самом деле, степень каждого многочлена Lik (р)
не превосходит числа tnk. Таким образом, Lik (р) =а1крпь ,
где многоточием обозначены члены, содержащие более низкие
степени р, причем некоторые a/k могут быть равны пулю.
Определитель D (р) системы (64) имеет вид
Тц(р) ... Ti«(p)
D(p) =
Т/li (р) .. • Lnn (р)
«upmi+...«12p"/24-
«21pW1+...«22p"l24-
alnp'n'l + ...
а2прт,г + -
= pN\ 4
апхР 14“...^//2Р 24'.......^nnpnin4-• • •
где А есть определитель матрицы А— [ар].
1G7
Если A =/= 0, то степень многочлена D (р) равна N. Если
А = О, то степень многочлена D (р) меньше N. В случае когда
определитель А ^0, система (64) называется нормализуемой.
В этом случае систему (64) можно разрешить относительно стар-
ших производных pmkxk и, следовательно, привести к нормаль-
ному виду.
Покажем, что система (64) может быть сведена в некотором
смысле к одному дифференциальному уравнению, а именно, если
система функций x* = ^(0 (&=1, 2, ..., п) является решением
системы уравнений (64); то каждая функция £/г (/) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
D(p)x = 0.	(66)
Действительно, так как xk — (/) (k=l, 2, ..., п) есть реше-
ние системы (64), то справедливо тождество
2ЬНр)Ь(0^о (< = 1,2........п).
k= 1
Умножим обе части каждого из этих тождеств на алгебраическое
дополнение Ау (р) элемента Ьц (р) в определителе D (р) и про-
п	/ п	\
суммируем по I: У, Ач (р) ( У Lik (р) £Л(/)]^0. Переменим поря-
i=l	\/г= 1	/
п / п	\
док суммирования: У I У A{J (р) • Lik (р) (t)) = 0.
k = i v = i	/
Так как сумма произведений элементов какой-либо строки
определителя на их алгебраические дополнения равна определи-
телю, а сумма произведений элементов какой-либо строки опре-
делителя на алгебраические дополнения элементов другой строки
равна нулю, то
У (р)	(р) =	(р),
t= 1
где обозначает символ Кропекера,
П, если j = k,
}k (0, если / k.
Таким образом, во внешней сумме останется только одно сла-
гаемое, соответствующее индексу k — j. Окончательно имеем:
D(p)M0 = 0 (/=1, 2, ..., п).
Мы показали, что любая компонента (/) решения системы (64)
удовлетворяет уравнению (66). Не следует, однако, полагать,
что взяв п произвольных решений £1(0» •••» L (0 уравнения (66),
можно получить решение системы уравнений (64).
Рассмотрим задачу о нахождении общего решения системы
уравнений (64). Пусть Х2, ..., ^ — различные корни харак-
168
теристического уравнения Z)(X) = O, a klf k2, ..., k^ — их крат-
ности, причем ^i + ^2 + -• • + ^|1=:	В этом случае фундамен-
тальную систему решений уравнения (66) образуют функции
е 1, te 1 , ..., t 1 е 1 (t = 1, 2, ..., pi),
и общее решение уравнения (66) будет
в (ki~}	\
*=2 2	Л'.
i = 1 \ / == о	/
(67)
Как показано выше, любая компонента xk = (/) решения
системы (64) является решением уравнения (66), а следовательно,
имеет вид (67), т. е.
в [ki~l \
Ь(0= 2 2	(*=i.2,.... ну.
i= 1 \/=0	/
Остается выяснить, при каких соотношениях между произ-
вольными постоянными с^. написанная система функций (t)
представляет собой решение системы (64). Прежде чем перейти
к определению этих соотношений, покажем с помощью следую-
щей деммы, что структура решения системы (64) может быть
упрощена. Лемма приводится без доказательства.
в /ki~~ 1	\
Лемма. Если функции £А (0 ~ 2 I JEj (& = 1, 2,..., и)
i = 1 \ j = о /.
являются решением системы (64), то функции
Й (О = 2 с1>1' и' (‘ = 1.2.........ц) (68)
\/ = о	/
также являются решениями системы (64).
Система (64) является нормализуемой, следовательно, суще-
ствует фундаментальная система решений. Из приведенной леммы
следует, что фундаментальную систему решений нужно искать
в классе функций
/г/-1
xk = S	2’ •••’ ")•	(69)
/=о
Для определения соотношений между произвольными постоян-
ными с* следует подставить решение (69) в систему уравнений
(64) и сократить полученные выражения на е'^ • Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях /, получим систему
линейных алгебраических уравнений для определения произволь-
ных постоянных с*.. Эту операцию нужно проделать для всех
корней X/ (г == 1, 2,..., р) характеристического уравнения £>(Х) = 0.
Пример 9. Найти общее решение системы уравнений
+	=	x'+2j/" + z/'-1-2x = 0.	(70)
169
Запишем систему (80) в операторной форме:
(р2+1)* + (р2+1)</ = 0,	(р + 2)х + (2р2 + р)у = 0;
определитель
следовательно, система (70) нормализуема.
Определитель заданной системы
|р24~1 р2-{-1 I
D(p) =	— (р2+1) (2р2 —2).
|р4~2 2р24~р|.
Корни характеристического уравнения D (Z,) = 0
Xi j, Z2 — — /, Х.з = 1, Х4 = — 1.
Найдем решения системы (70), соответствующие различным корням харак-
теристического уравнения. Рассмотрим при этом четыре случая:
1)	Хг = / В соответствии с формулой (69) решение ищем в виде
%! — a^ei1, yL = a2eJ'.	(71)
Подставим это выражение в систему уравнений (70) и сократим полученные
равенства на eil. Будем иметь следующие уравнения для определения коэф-
фициентов аг и а2:
0 - Cj ф- 0 • п2 — 0,	(2 -f- /) аг 4- ( 2 4- /) с2—0.
Определитель этой системы равен нулю, следовательно, система будет неопре-
деленной. Ее решение есть, например, а1=2— j, a2 — 2-[-j. Тогда решение
системы (70), соответствующее корню М-/ характеристического уравнения
D(}.) = 0, будет
х1 = (2—j)eJ>	y1={2 + i)eJt.
2)	Л2==— /. Решение системы (70) ищем в виде
х2 = а^е~ Р,	у2 = а2ё~ J*.
Постоянные аг и а2 определяются из уравнения а1(—/4"2)4~(—2 — j) а2 =0.
Имеем а1 = 2 4-/, а2 = 2 — j, откуда решением системы (70), соответствующим
корню Х2 =—j характеристического уравнения D (Х) = 0, будет
*2 = (2 4- /) e~if,	у2 = (2 — j) e~Jf.
Решения i/х и х2, гу2 системы (70) запишем в действительной области.
Для этогО в качестве решений возьмем
2
Л'1“1Х2	~ У14"^2	„ « Хх-г-Х2 ~ _ Ух — У2
У! =---2--- И Л'2~—2/------’ y2~~2j~
Матрица перехода от решений yL и х2, у2 к решениям и х2, у2
Т =
П/2
4/2/
1/2 1
- 1/2/J
имеет определитель, отличный от нуля. Матрица Т — невырожденная, следова-
тельно, решения pj и х2, у2 линейно независимы. Таким образом, корням
Kx = j и А2 = —/ Характеристического уравнения соответствуют решения
Xj — 2 cos 14- sin t и x2 = 2 sin t — cos t
у j =-- 2 cos t - sin t y2 = 2 sin 14- cos t.
3)	Д.( -^1. Решение системы (70) ищем в виде
х3 = а1е<,	Уз = С№*‘
170
Подставив это выражение в систему (70) и сократив на е', получим для опре-
деления постоянных аг и а2 уравнение 2ау ф- 2а2 = 0. Его решение, например,
щ = 1, а2 = — 1, тогда
=	Уз^—е1.
4.	Х4 —— 1. Решение системы (70), соответствующее этому корню характе-
ристического уравнения, ищём в виде
х4 = а1е_/, у4 = п2еЧ
Постоянные аг и а2 определяются из уравнения 2а1ф-2п2 —0. Его решение
Gj = 1, а2 — — 1, тогда
х4=е'г,	t/4 = —еЧ
Покажем	что найденные		решения образуют фундаментальную систему
решений. Дл W (t) =	я этого состав х4 х2 х3 х4 У1 Уг Уз Уь	1М	эпределитель Вронского: 2 cos 1 ф- sin t 2 sin t — cos t e* e~l 2 cost— sin/ 2 sin/ + cos/ —e1 —e~l
Вычислим оп	Xj Х2 X;, Х[ У1 у'з Уз у'1 ределитель Вр W (0) =	ЭНС1	— 2 sin /ф-cos/ 2 cos/ф-sin/ ef —e~l — 2 sin / — cos / 2 cos / — sin / — e er1 <ого при / — 0: 2—1	1	1 2	1—1—1 = 32ф=0. 12	1—1 12—1	1
Таким образом, найденная система решений линейно независима и, следова-
тельно, образует фундаментальную систему решений.
Общее решение системы (70):
x=cl(2 cos t ф- sin /) ф-с2 (2 sin t — cos t) ф- c3e( c4e“z,
у—ct (2 cos t — sin t) ф- c2 (2 sin t ф- cos t) — c3ef—с^е~(.
§ 13. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.	Метод последовательных приближений. С помощью метода
последовательных приближений можно получить решение задачи
Коши для любого дифференциального уравнения (линейного или
нелинейного) или для системы уравнений, удовлетворяющих
условиям теоремы существования и единственности. Суть метода
поясним на примере решения дифференциального уравнения
первого порядка
4	(1)
Пусть требуется найти решение x==^(t) уравнения (1), удов-
летворяющее начальному условию
£ (/о) = хо-	(2)
В § 10 было показано, что дифференциальное уравнение (I)
с начальном условием (2) эквивалентно интегральному уравнению
КО = *о + $ f (b I (х)) dx.	(3)
171
При решении уравнения (1) методом последовательных при-
ближений в качестве нулевого приближения £0 (0 выбирается
любая удобная функция (например, to(0 = xo) и подставляется
вместо £ (/) в правую часть уравнения (3). Находится первое
приближение решения уравнения (1) в виде
Si(0 = -«o+S/№(T))rfr.	(4)
to
Затем в правую часть уравнения (3) вместо £ (/) подставляется
функция ^(/), определенная по формуле (4). В результате интег-
рирования получаемся второе приближение решения £2 (Ф п-е
приближение решения определится выражением
Ь.(0 = Хо+$/(т,	(5)
to
Выше в § 10 показано, что л-е приближение %п (/) при п-*6о
будет стремиться *к £(/) —решению уравнения (1). Аналогично
находится решение x = системы дифференциальных уравнений
= xt, .... х„) (1 = 1, 2, .... п),	(6)
удовлетворяющее начальным условиям
Ы*о) = *и (* = Ь 2,	п).	(7)
Пример 1. С помощью метода последовательных приближений найти реше-
ние системы уравнений
' f	f =3У-2х,	(8)
удовлетворяющее начальным условиям
х(0) = 1,	у(0)=0.	(9)
Интегральные уравнения, эквивалентные системе (8) и начальным усло-
виям (9), будут иметь вид
t	t
x=l+J[x(T)-f-i/(T)]dT, y = J[3y (т) — 2x(t)]Jt.	(10)
о	о
Возьмем в качестве нулевого приближения решения х0=1, Уо = О; тогда пер-
вым приближением решения будет
t	t
Xt (0= 1 + 5^т—1у, (/) = §—2т/т ——2t’i
о	о
второе приближение решения:
t
С
^(0=1+\ (1+т-2т)с?т=1+(-^-,
о
t
у2 (/) = § (— 6т—2—2т) dt — — l2t—4l2;
о
172
третье приближение решения:
t
*з(0 = 1+J (1+т-~22 -2т--4т2^т=1+/—22-4/3’
о
t
y3(t)= J (— 6т — 12т2—2 — 2т+т2)(/т = — 21 — 4/2-
о
Точное решение системы (8), удовлетворяющее начальным условиям (9),
будет (см. пример 2 в § 12)
x—e^(cost — sin 0, у — —2e2f sin t.	(11)
Нетрудно видеть, что третье приближение представляет собой с точностью
до t3 разложение в ряд Тейлора решения (II) в окрестности точки / = 0.
Чем больше членов разложения взять, тем выше точность приближения к точ-
ному решению. Решение получается в виде бесконечного ряда.
К недостаткам метода последовательных приближений сле-
дует отнести: 1. Может оказаться, что при вычислении какого-
либо приближения нельзя вычислить соответствующий интеграл.
2.	Скорость сходимости последовательности {£„ (/)} к решению
£ (/) может быть невысокой и для достижения требуемой точности
приближения потребуется вычислить большое число членов после-
довательности.
3.	Решение почти всегда получается в виде бесконечного ряда,
и поэтому в том случае, когда нельзя вычислить сумму этого
ряда, свойства решения трудно обозримы.
Из-за перечисленных недостатков метод последовательных
приближений имеет ограниченное применение.
- 2. Метод ломаных Эйлера. Способ решения дифференциальных
уравнений с помощью метода ломаных Эйлера рассмотрим на
примере решения уравнения первого порядка **
X).
Найдем решение % — £(/) уравнения (1), удовлетворяющее
начальному условию (2):
В (Л>) = Лд*
По-прежнему считаем, что уравнение (1) удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности. Построим е-приближен-
ное решение уравнения (1), которое при 8-э-О будет стремиться
к искомому точному решению. Для этого, используя результаты,
полученные в § 10, построим на плоскости /, х 6-сеть, такую,
что для заданного е>>0 при \t — /|<6 и |х — х|<6 справед-
ливо неравенство | f (/, %) — f (t, лг)|<е.
*’ Решение систем дифференциальных уравнений с помощью метода лома-
ных рассмотрено, например, вкн.: Э. Камке. Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям. «Наука», 1971.
173
Из точки (t0, х0) проведем прямую
х — x0 = f(t0,x0) (t — to)	(12)
до пересечения с одной из сторон соответствующего квадрата
(см. рис. 15). Точку пересечения обозначим (/ъ лд) и из нее
проведем прямую
х — Хг = f (tlt Xi) (t — Zi)	(13)
и так далее. При этом получается некоторая ломаная, которая
аппроксимирует искомую интегральную кривую. В § 10 было
показано, что выбирая соответствующим образом величину шага 6,
можно с любой степенью точности приблизить построенную лома-
ную к точному решению.
Пример 2. Найти решение x = t,(t) уравнения
Л=-СО8/-	(|4)
удовлетворяющее начальному условию
£(0)-1.	(15)
Решение x=1-(f) будем искать на отрезке [0,1] с точностью 8 = 0,1.
Таблица 1
t	o,o	0,1	0,2	0,3	0.4
КО	1,0	0,9	0,810	0,741	0,670
/(/, КО)	—1,0	—0,896	—0,795	—0,707	—0,616
— СО8 t	—1,0	—0,995	—0,986	—0,955	—0,921
— sin t	0,0	—0,01	—0,198	—0,295	—0,389
£i(0	1,0	0,905	0,819	0,744	0,677
				Продоля	<ение табл. 1
t	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
КО	0,608	0,555	0,509	0,470	0,437
f(t, KO)	—0,532	—0,460	-0,390	—0,329	—0,270
— cos/	—0,877	—0,825	—0,765	—0,700	—0,620
— sin t	—0,479	—0,565	—0,644	—0,717	—0,783
£i(0	0,619	0,574	0,525	0,488	0,457
Для этого необходимо выбрать 6-сеть с шагом 6 = 0,1. Необходимые данные
для построения е-приближеиного решения указаны в табл. 1. Построение реше-
ния приведено на рис. 16.
Точное решение x = £i(0 заданного уравнения, удовлетворяющее началь-
ному условию (15), будет
£1W==e-sin<.	(16)
На рис. IG это решение изображено штриховой линией.
174
3.	Решение уравнений с помощью степенных рядов. Если
правые части системы уравнений (6)
=	......(<•=!, 2............п)
разлагаются в степенной ряд
то решение системы уравне-
ний (6) может быть найдено
в виде степенных рядов с
неопределенными коэффици-
ентами. Приравнивая коэф-
фициенты при соответствую-
щих степенях t, можно вы-
числить коэффициенты этих
рядов.
Способ решения уравне-
ний с помощью степенных
рядов рассмотрим на приме-
ре решения уравнения пер-
вого порядка (1)
>=нь *)
в окрестности точки (/0, х10,..., хл0),
Пусть функция f (I, х) разлагается в степенной ряд в прямо-
угольнике —/0| <я^соо, | х —	1 < Ь^оо
со
f(t, х) = V	•	(17)
i, i.~o
Решение х = уравнения (1) ищем в виде ряда
СО
/г-= 1
(18)
Коэффициенты Ьк вычисляются путем приравнивания коэффи-
циентов при одинаковых степенях / —/0 в левой и правой частях
равенства
со	/СО	\ /	оо
2 auft-Q' J] b„(t-t^ = 2	(19)
Л/=0 '	\/г = 1	/ Л-1
Этот метод применим и для решения дифференциального
уравнения /г-го порядка.
Пример 3. Рассмотрим процесс решения уравнения
d2x
dt*

(20)
Это уравнение есть частный случай уравнения Бесселя, встречающегося в ма-
тематической физике.
175
Будем искать нетривиальное решение %=£(/) этого урав нения в виде ряда
но= 2 b><tk-	(21)
л = о
Положим, что £(0) = Ьо, тогда
«ю- 2 ы‘+1= 2	\
k=0	k=2
- (22)
fc=l
co
fe=2
Подставив выражения (22) в уравнение (20), получим тождество
*х + 2 (&ft_2+W/fe’1-0,	(23)
/г = 2
из которого следует, что bt — 0, Й)/( + 6/г_2 = 0 (/г = 2, 3, ...)- По индукции
получим, что все коэффициенты с нечетными номерами равны нулю:
*2/-1 = 0 (/=1,2,...),	(24)
а коэффициенты bk с четными номерами определяются из рекуррентного соот-
ношения Ь.д=~ -щ2-Ь21_2 (/=1,2, ...):
&2Z = (-1)Z-^2^6o (/=1, 2, ...).	(25)
Таким образом, окончательно решение уравнения (20) является степен-
ным рядом
5(О=Е(О)[|+2(-1)'^^гУ	(26)
\ Z — 1	/
Легко проверить, что ряд (26) сходится при любых значениях /.
4.	Метод понижения порядка. Вначале введем некоторые опре-
деления. Общим решением системы уравнений
=	....х„) (( = 1, 2, .... п)	(6)
в некоторой области G называется совокупность и функций
xz = <jpz(/, Сь сп} (7=1,2,..., п),	(27)
из которой путем выбора- произвольных постоянных сх, ..., сп
можно получить любое решение, принадлежащее области G.
Разрешая соотношение (27) относительно произвольных постоян-
ных cL, ... , сп, получим п уравнений вида
Ф1(Л xlf , xn) = clt
xlf .... , хп) — сп.	(28)
176
Совокупность равенств (28) называется общим интегралом си-
стемы (6), а каждое из этих равенств — первым интегралом этой
системы. Первый интеграл можно определить также как соотно-
шение, содержащее в левой части независимое переменное и
искомые функции и принимающее постоянное значение, если
вместо искомых функций подставить какое-либо решение си-
стемы (6).
Если известен первый интеграл, то порядок системы может
быть понижен на единицу. Действительно, пусть ф (t, xlf ...
..., хп) =. с— первый интеграл системы (6). Выражая из него
одну из неизвестных функций xk через i, остальные неизвестные
функции хъ , хкЛ, xk+1, .... хп и произвольную постоянную с:
Х/(, = ф(/, Хг, .... хк1, Л'Л11, ... , хп, с)
и подставляя это выражение вместо xk в исходную систему
уравнений, получаем систему из п—\ уравнения с п — 1 неиз-
вестными функциями. Таким образом, порядок системы уравне-
ний оказывается пониженным на единицу. Аналогично, если
известны г независимых первых интегралов, то порядок системы
понижается на г единиц.
Пример 4. В теоретической механике встречается система уравнений
Д~- = (В-С)!/г, B^(C-A)xz, С-^ = (А-В)ху, (29)
которая описывает движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Здесь
Л>В>С>0— заданные постоянные (главные моменты инерции твердого
тела), а х, у, г —составляющие вектора мгновенной скорости. Найдем решение
этой системы методом понижения порядка.
К	Умножая уравнения (29) соответственно на х, у и z и складывая эти урав-
нения, получаем	*
. dx , „ dy , „ dz _
Ax ~dt + By ~dt + Cz ~dt' ” ° •	(30)
Интегрируя выражение (30), получаем один первый интеграл системы (29)
Ах2 -j- By2 -j- Cz2 — in2,	(31)
где т — произвольная постоянная. Умножая уравнения (29) соответственно
на Ах, By, Cz и складывая, найдем
I	ЛЧ %- + В'-у dX + С-г М - 0,	(32)
i откуда получим еще один первый интеграл системы (29)
:	А2х2ЩВ2у2ЩС2г2 = п2,	(33)
где « — произвольная постоянная.
Воспользуемся полученными интегралами для понижения порядка системы
уравнений (29) до первого. Решая соотношения (31) и (33) относительно х2 и у2,
найдем
х2 — аг2 -|- а, у2= — fiz2 -|- b,	(34)
где
С (В — С) о С (А -С)	п2 — Вт2	. Ат2—п2
“ Д(Д —ВГ>0’ В(Л-В) > 0, а^'А~(А~В)’ Ь~ В(А~В) ‘
177
Подставляя значения х и у в третье уравнение системы (29), найдем
V"^ + a)(~^+b) .	(35)
Получили уравнение с разделяющимися переменными, которое легко решается.
В этом примере мы находим интегралы путем умножения уравнений си-
стемы (29) на такие выражения, чтобы при последующем сложении в левой
части получилась полная производная по t, а правая часть обращалась в ноль.
Приравнивая соответствующие первообразные функции постоянным, получаем
первые интегралы.
5.	Метод фазовой плоскости. Метод фазовой плоскости яв-
ляется графическим методом решения дифференциальных урав-
нений. Он отличается своей наглядностью и возможностью полу-
чения решений для любых начальных условий. К недостаткам
метода фазовой плоскости следует отнести то обстоятельство,
что метод применим только для решения уравнений второго
порядка либо для системы двух дифференциальных уравнений
первого порядка, причем правые части системы уравнений не
должны явно зависеть от t (система должна быть автономной).
Более подробно вопрос построения фазовых траекторий си-
стемы дифференциальных уравнений рассмотрен в следующем
параграфе.
6.	Метод гармонической линеаризации. Метод гармонической
линеаризации применяется для приближенного определения па-
раметров периодического решения нелинейного дифференциаль-
ного уравнения. С помощью метода гармонической линеаризации
можно выяснить существование периодического решения нели-
нейного дифференциального уравнения, а также определить
параметры этого решения и исследовать его устойчивость.
Условие применения метода гармонической линеаризации и
сам метод описаны в гл. XIII.
Кроме изложенных методов решения нелинейных дифферен-
циальных уравнений, в настоящее время широко распространены
различные вычислительные методы решения уравнений на ана-
логовых и цифровых вычислительных машинах. В настоящей
книге эти вопросы не рассматриваются
§ 14.	ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
1.	Фазовые пространства автономных систем. Рассмотрим
автономную систему дифференциальных уравнений в нормальной
форме
=	.....х„) (1 = 1, 2, .... л).	(1)
Правые части Д (хт, ..., хл) уравнений системы (1) являются
функциями переменных ... , хп и не зависят от времени /.
*’ Методы решения дифференциальных уравнений па аналоговых вычисли-
тельных машинах рассмотрены в кн.: Лс.вин Л. Методы решения техниче-
ских задач с использованием аналоговых вычислительных машин. «Мир», 1966.
178
Полагаем, что функции fi (xlf ..., хп) определены и непрерывны
вместе со своими частными производными первого порядка в вы-
пуклой области G пространства размерности п, координатами
которого являются переменные лу, ... , хп. Из нашего предпо-
ложения следует, что система (1) удовлетворяет условиям тео-
ремы существования и единственности решения (теорема 1 § 10).
Решения автономной системы уравнений* обладают важным
свойством, состоящим в том, что если имеется некоторое реше-
ние системы (1) Xi~^i(t) (t = l, 2, ..., /г), то выражение Xi —
— L- (/) = Ь (t + с) (i=l, 2, ..., п), где с — const, есть также
решение этой системы.
Действительно, так как £,•(/) (/ = 1, 2, ..., и) есть решение
системы (1), то справедливы тождества
.....Ы0) (< = 1,2.......п).
Заменив в этих тождествах t на /фс, получим
^£±£>-sf,&(Z + c).......+	(i=l, 2.....и).
U ~r
Ho	= dt ~ ' dt ’’ П0ЭТ0МУ справедливо тождество
= (^(/),	|/г(/)) (i = l, 2,	n), т. e. функции =
=-£/(/) (i==l. 2, ..., n) являются решением системы (1).
Дадим геометрическую интерпретацию решений автономной
системы (1). Эта интерпретация будет отличаться от геометри-
ческой интерпретации решений, указанной в § 9. Пусть
=	(Z=l, 2, п)	(2)
— некоторое решение системы (1). Рассмотрим /г-мерное прост-
ранство с координатами лу,	и поставим в соответствие
этому решению движение точки в n-мерном пространстве, зада-
ваемое уравнениями (2). При непрерывном изменении времени t
в диапазоне — оо оо точка опишет в соответствии с урав-
нениями (2) некоторую кривую —траекторию, называемую фазо-
вой траекторией. Точка, которая перемещается по фазовой
траектории в соответствии с уравнениями (2), называется изо-
бражающей точкой, а пространство размерности п, в котором
геометрически интерпретируются решения системы (1) в виде
фазовых траекторий, называется фазовым пространством.
Нетрудно показать, что фазовые траектории, соответствующие
различным решениям системы (1), не.могут пересекаться. Однако
различным решением этой системы может соответствовать одна
и та же фазовая траектория; другими словами, фазовые траек-
тории для различных решений системы (1) могут совпадать.
Покажем, что если фазовые траектории для различных реше-
ний системы (1) имеют хотя бы одну общую точку, то они сов-
падают. В самом деле, пусть
х, = ф, (/) (4 = 1, 2, ... , п)	(3)
179
есть некоторое другое решение системы (1) и пусть траектории,
соответствующие решениям (2) и (3), имеют общую точку, т. е.
M'i)=W2) 0=1, 2, .... п).	(4)
Рассмотрим решение системы (1)
=	=	+	0 = 1,-2, .... п),	(5)
где c — tx —12. Решение (5) имеет в момент времени /2 согласно
равенствам (4) одинаковые начальные условия с решением (3):
I/(Д) =	+ с) = £/(Д 4~ Д— Д) = £, (Д) = Ф« (Д) 0=1, 2, ..., п)
и поэтому в силу теоремы единственности решения (3) и (5)
совпадают друг с другом, т. е.
фДД^О + с) 0 = 1, 2, ..., п).	(6)
Из тождеств (6) следует, что для обоих решений (2) и (3) изо-
бражающая точка описывает в фазовом пространстве одну и
ту же траекторию, но для первого решения эта точка отстает
по траектории на время с.
Таким образом, решение автономной системы дифференциаль-
ных уравнений (1) можно интерпретировать как процесс движе-
ния изображающей точки по фазовой траектории, причем фазо-
вые траектории для различных решений системы (1) либо не
пересекаются, либо совпадают.
Ранее, в § 9 решения системы дифференциальных уравнений
рассматривались как некоторые кривые—интегральные кривые
в п4-1-мерном пространстве с координатами t, х1г ... , хп. Каж-
дому решению в той области пространства, в которой выпол-
няются условия теоремы существования и единственности реше-
ния, соответствовала единственная интегральная кривая. Фазовые
траектории можно рассматривать, как проекции интегральных
кривых в п ф-1 -мерном пространстве на «-мерное, пространство
Хх, х2, ... , хп, причем проекции различных интегральных кри-
вых либо не пересекаются, либо совпадают.
Для случая «==2 интегральные кривые и их проекции при-
ведены на рис. 17, на котором показано, что двум решениям
| (/) и Ю)=10+ с), отличающимся сдвигом по времени, соот-
ветствуют разные интегральные кривые, но одна фазовая траек-
тория.
Можно дать геометрическую интерпретацию не только реше-
ниям, но и самой системе уравнений (1). Для этого каждой
точке (х10, ... , х„0) — х0 области G фазового пространства поста-
вим в соответствие вектор f(x0) с координатами Д (х0), ... , Д (х0),
выходящий из этой точки. Система (1) будет задавать в области G
векторное поле. Пусть л; 0) — решение системы (1), удовлет-
воряющее начальным условиям (/0) = х/0 0=1, 2, ..., «).
Этому решению соответствует фазовая траектория, выходящая
в момент времени /0 из точки х0. Тогда вектор f(x0) представ-
ши
ляет собой, как это следует из тождества
—д-Ц ^Л(-Чо, ... , Хпо) (t = 1, 2, ..., п),
вектор скорости движения изображающей точки по траектории
в момент времени 10.
Вектор f(x0) носит название вектора фазовой скорости.
В фазовом пространстве существует три вида фазовых траек-
торий 1. Фазовые траектории, которые соответствуют реше-
ниям системы (1) вида
Ч(0=Ф (« = 1, 2, .... п).	(7)
В этом случае изображающая точка в фазовом пространстве
при изменении t не перемещается, а стоит на месте; фазовая
траектория для решения (7) называется состоянием равновесия.
2.	Фазовые траектории, для которых решение системы (1)
является периодическим, т. е. существует такое действительное
число Г>-0, что выполняется условие
(/ = 1, 2, ..., п).	(8)
В данном случае фазовая траектория будет замкнутой и на-
зывается циклом, минимальное из чисел Т, удовлетворяющих
условию (8), носит название периода цикла. Чтобы траектория
не вырождалась в точку, требуется существование таких значе-
ний / = тг и / = т2, удовлетворяющих условию |Т1 — т2\<.Т,
чтобы хотя- бы для одного i было справедливо неравенство
(Т1) # & (тг).
Состояния равновесия и никлы являются самопересекающи-
мися фазовыми траекториями. Действительно, если фазовая тра-
ектория представляет собой состояние равновесия, то соотно-
шение
li (П) = Ь (т2) (« = 1, 2, ..., п)
*’ См., например: Понтрягин Л. G. Обыкновенные дифференциальные
уравнения., «Наука», 1974, с 105.
181
справедливо для любых тх и т2. Это же соотношение справед-
ливо и для цикла, если тг и т2 удовлетворяют условию
I —- т21 •— kT (/г = I, 2, ...).
3.	Фазовые траектории без самопересечений, которые соот-
ветствуют решениям =	(/ = 1, 2, п) системы (1),
обладающим тем свойством, что не существует значений Tj и т2,
удовлетворяющих условию (tJ ~ (т2) (7=1, 2,	п).
Через каждую точку фазового пространства проходит фазовая
траектория, которая соответствует некоторому решению си-
стемы (1). Все фазовое пространство оказывается заполненным
не пересекающимися друг с другом фазовыми траекториями.
Среди этих траекторий особое место занимают самопересекаю-
щиеся фазовые траектории, к которым относятся состояния
равновесия и циклы.
Следующая теорема указывает на связь состояний равновесия
с фазовыми скоростями.
Теорема 1. Для того чтобы точка а = (alt , ап) была
состоянием равновесия, необходимо и достаточно, чтобы вектор
фазовой скорости f(xt, ... , хп) в этой точке обратился в ноль.
Доказательство. Вначале докажем достаточность усло-
вий теоремы. Пусть в точке (аь ... , «„) вектор фазовой скорости
обращается в ноль, т. е. ft (alf ...,-а,г) = 0 (7 = 1, 2, ..., п).
Тогда система (1) имеет решение ^i — ai (t = l, 2, ... , п), соот-
ветствующее состоянию равновесия. В самом деле, при подста-
новке ^i — ai (7=1, 2, ..., и) в систему (1) получим тождество
-^-==А(«Ь •••, Фг) (7 = 1, 2, ..., п),
так как производная от постоянной величины равна нулю,
a fi(aj_, ... , «„) = 0 (i = 1, 2, ... , п) по условию.
Достаточность условий теоремы доказана.
Докажем теперь необходимость условий теоремы. Пусть си-
стема (1) имеет решение вида (7), т.е точка («х, ..., ап) яв-
ляется состоянием равновесия. Подставив решение (7) в систему (1),
получим равенство
.....а„) = -^-=0 (1 = 1,2...  п).
Вектор фазовой скорости f(xlt ..., хп) в точке (аг, ..., ап)
обращается в ноль. Н
Из теоремы следует, что состояния равновесия являются
решениями системы уравнений
fiifli, ..., ал) = 0 (7 = 1,2,..., п).	(9)
2. Фазовые траектории автономных систем второго порядка.
Рассмотрим построение фазовых траекторий для автономной
системы уравнений
^=мх1,Х2),	(Ю)
182
Функции Д (Xi, x2) и f2 (лу, x2) полагаем аналитическими во всей
плоскости х2. Для системы уравнений (10) фазовое прост-
ранство представляет собой фазовую плоскость. Точки, харак-
теризующие состояния равновесия, являются решениями системы
уравнений
fi(xi, х2) = 0, Д (хъ х2) 0.	(11)
В общем случае система (11) может иметь не одно, а не-
сколько решений. Пусть хг==аг, x2 = «2 —одно из решений си-
стемы (11). Исследуем характер фазовых траекторий в окрест-
ности этого состояния равновесия. Для этого с помощью замены
неизвестных функций xl = ai-\-zl, x2~a2--\-z2, перенесем начало
координат в точку (aL, а2) и разложим функции ft (xlt х2) и
Д (*ь х2) в ряд Тейлора^ в окрестности точки (alf а2):
X2)=fl(a1, «2) + ^-|(01	+	^Zj. + FJz,, z2),
аг)+|ДО1.О!)г> +	+	z2).
Здесь через F{ (zlt z2) и F2 (zlt z2) обозначены все члены разло-
жения степени выше первой относительно zlf z2. Так как фазо-
вые траектории рассматриваются в окрестности начала коорди-
нат плоскости z2, то Zi и z2 малы и членами Д (zb z2) и
F2 (zx, z2) разложения (12) можно пренебречь. Обозначив частные
производные через
-a 3l\ -a
'дхк |(й1. а2)	дх2 |(а„ й2) “ 6/12 ’ дх, |(йь й2) "“21’ дх2 |(й1, й2)	“22
и учитывая (11), получим линейную однородную систему с по-
стоянными коэффициентами:
'^Г“«11г1~|-«1222,	— «21Z1 4“ U22Z2 ,	(13)
которая описывает фазовые траектории в окрестности состояния
равновесия и называется системой уравнений первого прибли-
жения.
Запишем систему (13) в векторной форме:
(14)
где
А_ «и «12	z__ Ч
«21 «22..	.^2
Если определитель det Д ДО, то система (14) имеет единствен-
ное состояние равновесия — точку (0, 0).
Исключим время t из системы (13), разделив второе уравне-
ние системы на первое. Получим дифференциальное уравнение
первого порядка
. .. (/21г1 ~l~ a22Z2	П5)
Чц21 -р ^12^2
183
В уравнении (15) полагаем zx — независимой переменной; z2—
неизвестной функцией. Правая часть уравнения (15) f (zL, z2) —
a21Zl Ф-
_	определена, непрерывна и имеет непрерывную част-
allZl + a12Z2
ную производную по z2 всюду на' плоскости Zj, г2, за исключе-
нием Прямой «nZi ф- H12Z2 — 0.
Разделив первое уравнение системы (13) на второе, получим
дифференциальное уравнение первого порядка — ?11^~f'<712Z2
н	н	1 dz2 a21Zj+a22z2 ’
правая часть которого определена, непрерывна и имеет непре-
рывную частную производную по zL всюду на плоскости zlt z2,
за исключением прямой a21z1-\-a22z2 = 0.
Таким образом, условия теоремы существования и единствен-
ности для уравнения (15) выполняются* всюду, за исключением
общих точек прямых anZ! ф- cz12z2 = 0 и #2iZi ф- a22z2 = 0. Если
det Л т^О, то эти прямые имеют единственную общую точку
Zj = 0, z2 = 0.
Правая часть уравнения (15) f(zlt z2) = -^1-^~-2^2- не. имеет
предела при Zx-^-О и z2->0. Действительно, если точка (zlt z2)
стремится к точке (0, 0), оставаясь на прямой a12z2-\-a22z2 — 0,
то lim f (zlt z2) = 0. Если точка (zj, z2) стремится к точке (0, 0)
Zi -*о
z2 -»о
по прямой ф-«12z2 = 0, то функция f (zlt z2) не определена,
но вблизи этой прямой она может принимать сколь угодно боль-
шие значения. При стремлении точки (zlf z2) к точке (0, 0) по
другим прямым функция f(zlt z2) имеет другие предельные зна-
чения. В окрестности точки (0, 0) функция /(zlt z2) определена.
Точка (0, 0) называется изолированной особой точкой для функ-
ции /(zx, z2).
В точке (0, 0) нарушаются условия теоремы существования
и единственности решения для уравнения (15). Отметим, что
в остальных точках прямой ф-z12z2 = 0 единственность реше-
ния имеет место, т. е. через все точки этой прямой, за исклю-
чением особой точки (0, 0), проходит единственная интегральная
кривая уравнения (15), причем касательные к интегральным кри-
вым в точках пересечения с прямой anZi ф- a12z2 — 0 параллельны
оси z2.
Если перейти от системы (10) к уравнению
_ /г (*1> Х2) __ f	„ \	/1р\
- ТЗъ.'ъ) -'{Х1-Хг)- 	(16)
то особые точки уравнения (16) на плоскости	х2 совпадут
с -состояниями равновесия системы уравнений (10). В особой
точке нарушаются условия теоремы существования и единствен-
ности для уравнения (16). Через особую точку проходит бесчис-
ленное множество интегральных кривых уравнения (16), причем
касательные к интегральным кривым в особой точке не имеют
определенного направления. Значения тангенсов углов, образо-
184
ванных касательными к интегральным кривым в особой точке
и положительным направлением оси х\ совпадают с предельными
значениями функции f (xlt х2) при	и х2-+а2. Но предель-
ное значение функции f (xL, х2) при стремлении точки (хь х2)
к точке (аь а2) зависит от способа этого стремления, причем
множество предельных значений образует всю числовую ось.
Отметим также, что интегральные кривые уравнения (16)
состоят из отдельных фазовых траекторий системы уравнений (10).
Для упрощения построения фазовых траекторий системы (14)
приведем с помощью замены неизвестных функций Z — Cy мат-
рицу А к жордановой форме. Получим систему уравнений
=	(17)
где J— жопданова форма матрицы A,
Li/г J
Исследуем различные случаи, которые могут иметь место в зави-
симости от вида матрицы J.
Случай 1. Характеристические числа матрицы А и Х2—
действительные, различные и одного знака (Хх^з^О). В этом
случае система (17) примет вид
> =	> =	-	(18)
Система (18) не изменится при замене уг на —уъ у2 на —у2 и
одновременно г/х на —yt и у2 на —у2. Поэтому фазовые траек-
тории этой системы расположены симметрично относительно осей
у± и у2. Следовательно, можно ограничиваться вычерчиванием
фазовых траекторий только в первом квадранте плоскости ylt у2^
Решив систему (18), получим
У1 = cie>lt, у 2 = c2elzt.	(19)
Здесь CiS&O и	так как рассматриваются фазовые траек-
тории в первом квадранте. Если положить —0, a с2т^0, то
y1[t)=Q и у2 (/) — c2eKit, т. е. получим уравнение полуоси Оу2.
Если положить с2 —0, a Сх#=О, то yi~c^it, у2 — ®—уравнение
полуоси Оук. Таким образом, полуоси yt и у2 являются фазо-
выми траекториями.
Пусть оба корпя и Х2 отрицательны, например, А2<Дх<0;
тогда
у2 = с2	[f/x (Of ,
ci
или
У* су^, где Х2 Ai > 1,	(20)
т. е. фазовые траектории представляют собой параболы по-
рядка Хз/Хх (рис. 18).
Характеристические числа матрицы А отрицательны, поэтому,
как следует из (19), lim r/x = 0, limf/2 = 0. Изображающая точка
t —»со	t—»оо
185
стремится к началу координат. В этом случае особая точка (0, 0)
называется особой точкой типа устойчивый узел.
Вычислим значение при ^->-0, т. е. вычислим угловые
еУ1
коэффициенты касательных к фазовым траекториям в начале
координат на плоскости уг, у2:
lim ~~ = lim	—тг = Нт —4т' = Нт --- е^—=
^->0 dyt	У! (0-0 t.^wCleKit	с}
Таким образом, фазовые траектории входят в начало коор-
динат, касаясь оси Оух (см. рис. 18),
Пусть теперь характеристические числа положительны, напри-
мер 0<Xi<X2, Очевидно, что при этом фазовые траектории
по-прежнему удовлетворяют уравнению (20), т. е. являю гея пара-
болами (рис. 19). Так как
lim
f/i-* о
У-ЛО
уЛО
lim -2 е(Кг —М* = 0,
то фазовые траектории в начале координат касаются оси Оу,,.
Как следует из формулы (19), lim уг (/) = со, lim у^ — со, т. е.
/->сп	t —► со
изображающая точка удаляется от начала координат. В этом
случае особая точка (0, 0) называется особой точкой типа не-
устойчивый узел.
Случай 2. Характеристические числа матрицы /
0
° К
ковы, т. е. 2ц и матрица
J имеет вид J=
одина-
Тогда
систему можно записать так:

(21)
Решением системы (21) будет:
У! — с^'1, у 2 = сгё^.
186
Аналогично предыдущему, можно показать, что полуоси О/л
и Оу* являются фазовыми траекториями. Исключив i из решений,
Со
получим у2— — у 1, т. е. уравнение прямых, проходящих через
ci
начало координат.
Фазовые траектории симметричны относительно осей коорди-
нат, поэтому рассмотрим фазовые траектории только в первом
квадранте. Если Xi<;0, то изображающая точка при >оо
приближается к началу координат, если >> 0, то удаляется от
начала координат (рис. 20, а, б).
Рис. 20
Особая точка (0, 0) в этом случае называется устойчивым
декрипшческим узлом, если ^«сО, и неустойчивым, если Лх>0.
Случай 3. Характеристические числа матрицы А одинаковы,
т. е. Л1 = Л2, и матрица J имеет вид
1
0 Ч
Систему (17) в этом случае можно записать следующим образом:
<22>
Решение системы (22) будет
Ул = С’Ф -1 О) , У г;	.	(23)
Система уравнений (22) нс изменится при одновременной
замене tp на —уг и у2 на —у*, поэтому фазовые траектории будут
симметричны относительно начала координат. Таким образом,
достаточно изучить поведение фазовых траекторий только в верх-
ней полуплоскости (при С1'".-0) плоскости //!, у2. В нижней полу-
плоскости фазовые траектории изображаются, исходя из условия
симметрии их относительно начала координат.
Положительная и отрицательная полуоси Oyt являются фазо-
выми траекториями. Действительно, положив в (23) ti = 0, с2 Ф 0,
187
получим решение yi — c2eKlt, у? — ®. Фазовая траектория, соответ-
ствующая этому решению, представляет собой при с2>>0 поло-
жительную полуось Оуъ а при с2<0 — отрицательную полуось Оуъ
Если положить с2 = 0, то из (23) получим, решение
г/i — с^ек**, х2 = с^1 .
При / == О фазовая траектория, соответствующая этому реше-
нию, проходит через точку (0, щ)
Пусть Хх<0. Из формулы (23) следует, что при этом lim y^t) = О,
Z-»oo
lim y2 (t) = 0. Изображающая точка по любой из фазовых траек-
t —♦ 00
торий стремится к началу координат. Фазовые траектории при
Лх<0 изображены на рис. 21, а. Особая точка (0, 0) называется
в этом случае устойчивым вырожденным узлом.
Если Хх>0, то изображающая точка удаляется от начала
координат при /~>оо, и в этом случае особая точка (0, 0) назы-
вается неустойчивым вырожденным узлом. Фазовые траектории
при Ах > О изображены на рис. 21,6,
Случай 4. Характеристические числа матрицы А Хх и
действительные и разных знаков (например, Хх<;0, Z2>>0).
Система (17) в этом случае запишется в виде (18)
> = Л2Й.
Фазовые траектории системы (18) симметричны относительно
осей координат, поэтому рассмотрим фазовые траектории системы
только в первом квадранте. Решение системы (18) имеет вид (19)
y1 = c1e^t, у2 = с2е^,
причем произвольные постоянные сх^0, с^О, так как рассматри-
ваются фазовые траектории только в первом квадранте. Если
взять с2^0, 61 = 0, то получим уравнение положительной полу-
188
оси Оу2. Если взять с2 = 0,	то получим уравнение поло-
жительной полуоси O^/i. Следовательно, положительные полуоси
Оух и Оу2 являются фазо-
выми траекториями. При
t -> оо ух -> 0, а у2 -> оо.
Пусть теперь су О,
с2 =# О, тогда
у2 = с2?2' =
= c2(ew)^A* =cy\iJKl.
Так как Л-г/^сО, то фа-
зовые траектории пред-
ставляют собой кривые
гиперболического типа
(рис. 22). Начало коорди-
нат является особой точ-
кой, называемой седлом.
Случай 5. Характе-
ристические числа матри-
цы A Xj и Х2 — комплексно-сопряженные, Хх = а ф- /р, Х2 = а — /р.
При этом матрица J имеет вид
.	а + /Р	0
[ 0 « — /₽_*
Система (17) запишется следующим образом:
%- = (а + /Р)#ь -^ = (а-/Р)^2;	(24)
ее решение:
Уг = c1e(a+-zP) z = creat (cos pz ф- j sin pz),
y2 = c2e(a/₽)(= c2eat (cos pz — j sin pz).	(25)
Найдем решение системы в действительной области. Для этого
рассмотрим решение
п _ #i+Уч	а _ У1—Уч	/осч
У1-—2—’ '2	2/ '	С26)
Матрица перехода от решения (25) к решению (26)
1-1
~2~
1
2/ J
— невырожденная, так как ее определитель не равен нулю.
Следовательно, общее решение системы (24) такое:
= caz (cj cos pz-c2sin PZ), i/a = eaz(c1sinpz + 6i2cospz), (27)
189
где	—Li-—, с2 — —кЛ2- -- новые произвольные постоянные.
Решение (27) можно переписать в виде
у г = У cj + еа' cos (р/ + 6), z/2=-]/q + qcaZsin (р/ф-б), (28)
С1
е1 е2
где cos 6= ,	, sin б —
Запишем уравнение фазовых траекторий (28) в полярных
координатах. Пусть г и ср — полярные координаты изображающей
точки на фазовой траектории. Тогда
Г (/) = Уyl + sl = У^ГУс1 еа‘,
tg ср (/) = tg (р/ + б) или <р (/) = Р^ + бф-Ьг.
<р (/) — 6 — kn
(29)
(30)
Из (29) и (30) следует, что г (t} —У Cf + е р = се Р
Таким образом, в полярных
координатах уравнение фа-
зовых траекторий будет
г(1)^сЛ^п.	(31)
Уравнение (31) представляет
собой уравнение логарифми-
ческой спирали. Особая точ-
ка (0, 0) при а<0 называет-
ся особой точкой типа устой-
чивый фокус и при а >> 0 —
особой точкой типа неустой-
чивый фокус. Фазовые траек-
тории для устойчивого и не-
устойчивого фокуса изобра-
жены на рис. 23, а, б.
Случай 6. Характери-
стические числа матрицы A Zj
и Х2 мнимые, /Р, Х2 = —/р.
В
У?
а)
№
И
Рис. 23
6)
этом случае
Г/Р
.0 -/PJ
система уравнений (17)
примет вид
(32)
матрица
О 1
Общее решение системы (32). будет
Уг = сУ& = Ci (cos р/ + / sin р/),
у2 = с2е = с2 (cos р/ — / sin р/).
(33)
190
Перейдя к решениям в действительной области по формуле (26)
и записав уравнение траекторий в полярных координатах, получим:
r(t) = c.	(34)
Уравнение (34) является уравнением окружности, поэтому фазо-
вые траектории представляют собой семейство концентрических
окружностей (рис. 24). В этом случае особая точка (0, 0) назы-
вается особой точкой типа
центр.
Динамические системы,
имеющие особую точку типа
центр, называются консерватив-
ными .
Пример 1. Построить фазовые
траектории системы уравнений
rfx „ dy
—тг — У — 3*> -— х — Зщ
dt	dt
(35)
Характеристическое уравнение си-
стемы (35) есть
= Х24~6Х 4-8=0;
I — 3—X 1
|	1	— 3-Х
его корни: Хх =—4, Х2 =— 2. Так как корни Хх и Х2 действительны и отри-
цательны, то начало координат плоскости х, у является особой точкой типа
устойчивый узел. Для того чтобы построить фазовые траектории системы, опре-
делим обе прямые, проходящие через начало координат и являющиеся фазовыми
траекториями. Уравнение этих прямых y — kx. Для определения углового коэф-
фициента k исключим время t из системы (35) и в полученное уравнение
du	х—Зу	,
— =-------подставим г/ = «х:
dx	у — Зх
fe— > откуда Л’2= 1, ^=1, /г2 = — 1.
Следовательно, уравнения прямых у = х и у —— х.
Для выяснения картины фазовых траекторий построим изоклины вдоль
прямой t/ = x/2. Тангенс угла наклона изоклины будет у' = 1/5. Поле направ-
лений, соответствующее этой изоклине, изображено на рис. 25. 11а этом же
рисунке изображены фазовые траектории системы (35).
Пример 2. Построить фазовые траектории системы уравнений
= 4х - - 3//, df- = 2х - Зу.	(36)
dt	dt
X2 — X —6 = 0;
Характеристическое уравнение системы (36) имеет вид
I 4-Х	—3
2	—3-Х
его корни: Xj = 3, Х2 =—2.
Начало координат является особой точкой типа «седло». Найдем
y — kx, проходящие через начало координат и являющиеся фазовыми
коэффициента k исключим время из уравнений (36)
dy 2х — Зу
eix ~ ~4х—3~ г,(,Дставим У=*х, тогда
риями. Для определения
и в полученное уравнение
прямые
траекто-
/г = 4—57" > или ЗА:2 — 77г ф-2 = 0; /гх —2, k2—
4 —3/г	3
191
Таким образом, прямолинейные фазовые траектории задаются уравнениями
о	х
У=2х, У=-^.
Для определения направления движения по фазовым траекториям найдем ком-
поненты вектора фазовой скорости в точке (1, 2): х—-—2, у=-—4. По асимп-
тоте у — Чх изображающая точка стремится к началу координат. Фазовые
траектории изображены на рис. 26.
Пример 3. Построить фазовые траектории системы уравнений
dx dx п
-,г-=У> ^- = У-~2х-
df у dt у
Характеристическое уравнение системы (37)
I -X 1
1—2 1-Z
= Z2 - Л+2=0,
(37)
192
его корни Л1>2 —-g-± I/ ], поэтому начало координат является неустой-
чивым фокусом.
Определим компоненты вектора фазовой скорости в точке (1, 0); имеем
х—0, у — —2. Фазовые траектории системы (37) изображены на рис. 27.
В случае линейной системы дифференциальных уравнений
характер особой точки определяет движение системы при любых
отклонениях от состояния равновесия. Для нелинейной системы
уравнений характер особой точки определяет поведение фазовых
траекторий лишь в некоторой малой окрестности особой точки,
где справедлива система уравнений первого приближения. При
рассмотрении поведения фазовых траекторий нелинейных систем
на всей фазовой плоскости весьма важную роль играют особые
траектории. Имеется три типа особых траекторий:
1.	Особые точки (состояния равновесия). Различные типы
особых точек рассмотрены выше.
2.	Изолированные замкнутые траектории. Изо-
лированность замкнутой траектории означает, что в достаточно
малой ее окрестности нет других замкнутых траекторий. Изо-
лированные замкнутые траектории называются предельными цик-
лами.
В случае консервативных систем вся фазовая плотность за-
полнена замкнутыми траекториями, но ни одна из них не является
изолированной, так как в любой ее окрестности существует дру-
гая замкнутая траектория. Замкнутым траекториям на фазовой
плоскости соответствуют периодические движения системы. Пре-
дельный цикл называется устойчивым, если существует такая
g-окрестность этого цикла, что все фазовые траектории, начи-
нающиеся в Е-окрестности, асимптотически при/—>4-00 прибли-
жаются к предельному циклу. Если в любой, сколь угодно малой
окрестности предельного цикла существует хотя бы одна фазо-
вая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при
/->4-оо, то предельный цикл называется неустойчивым. Устой-
чивым предельным циклам в системах автоматического регули-
рования соответствуют автоколебания. Характерная черта авто-
колебаний — локальная независимость их параметров от начальных
условий.
3.	Сепаратрисы. Сепаратрисы разделяют фазовую пло-
скость на области с фазовыми траекториями различных -типов.
В окрестности особой точки типа «седло» сепаратрисы являются
асимптотами и называются поэтому также «усами седел».
Особые траектории разбивают фазовую плоскость на ряд
областей. Характер движения в каждой из этих областей не-
трудно определить, если известен характер особых точек и опре-
делена устойчивость предельных циклов. Таким образом, можно
получить качественную картину всевозможных движений дина-
мической системы.
Для облегчения построения фазовых траекторий в некоторых
случаях оказывается, как показано в примере 1, удобным по-
7 и. р. Чемоданова, т. 1	193
строить семейство изоклин. Изоклины задаются уравнением
= с и определяют в каждой точке наклон касательной к фазо-
вой траектории (см. § 9).
Пример 4. Построить фазовые траектории системы дифференциальных
уравнений
g = -z(l+x»)-2i,, f=x+!Z.	(38)
Особые точки системы (38) являются решениями алгебраической системы
уравнений
х3 4- х + 2«/ = 0, x-|-t/ = 0.	(39)
Решениями системы (39) являются
хЛ==0, й=0; ха=1, t/a = — 1;
х3----1, у3 ------ 1.
Исследуем характеры получен-
ных особых точек.
1) Особая точка (0, 0). В
этом случае система уравнений
первого приближения будет
dx	о dy
— х—2у,
dt	v dt
(40)
Характеристическое уравнение
для системы (40) имеет вид
бую точку (1, —1). Тогда система уравнений
и т] запишется в виде
не
g = -U£2 + 3£ + 4)-2n,
Корни этого уравнения Х1>2 =
= ± /.
Таким образом, особая точ-
ка [0, 0] является особой точ-
кой типа «центр».
2) Особая точка (1, —1). С
помощью замены переменных
£ = х—1,	=	перене-
сем начало координат в осо-
(38) относительно переменных |
1',М+ч.	(41)
Система первого приближения для системы уравнений (41)
л='+ч>	<42»
ее характеристическое уравнение
—4-Х —2
1	1 —X
= Х2 + ЗХ-2 = 0,
17
,	3
Корни которого Ль 2 — 2
Таким образом2 особая точка (1, —1) является особой точкой типа «седло».
194
3) Особая точка (—1, 1). Перенесем начало координат в особую точку,
для чего сделаем замену переменных: g =	r\ = y— 1. Система (38) пере-
пишется следующим образом:
f=-Ua-35+4)-ai,	(43)
Система первого приближения для системы (43) имеет вид
г“-45-2».	<44>
Система (44) совпадает с системой (42), поэтому особая точка (—1, 1) также
представляет собой особую точку типа «седло».
Для построения фазовых траекторий системы (38) определим асимптоты
в окрестности особых точек (1, —1) и (—1, 1). Уравнение асимптот
Подставив его в уравнение, полученное делением второго уравнения си-
стемы (42) на первое:
будем иметь
1-Н
-4£-2п ’
(45)
— __4__2^, 9	г 1—
-5-/17	.	-5+/17
откуда	, /?2=----.
„	. .	dy ,
Уравнение изоклины, для которой коэффициент наклона
</=-у(х2 + 2).
На рис. 28 изоклина изображена штриховой линией, особые точки (0, 0),
(1, —1) и (—1, 1) на рисунке обозначены буквами А, В и С.
Для определения направления движения изображающей точки по фазовым
траекториям найдем компоненты вектора фазовой скорости в точке D пересе-
чения асимптоты, проходящей через точку В с угловым коэффициентом klt и
оси Ох. Уравнение асимптоты yA-l=ki(x—1). Точка D имеет координаты
1 _|_ь
х—....* у—0. Компоненты вектора фазовой скорости в точке D:
fti ’
«х L \ «1 У J	«х
Фазовые траектории системы (38) изображены на рис. 28.
7*
Глава V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 15. МЕТОДИКА СОСТАВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Общие замечания. Системы автоматического регулирования
разнообразны по своему назначению и конструктивному испол-
нению. Поведение САР может описываться обыкновенными диф-
ференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями
в частных производных, разностными уравнениями и т. д. Рас-
смотрим методику составления уравнений для непрерывных САР
с сосредоточенными параметрами, поведение которых описыва-
ется обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Любая система автоматического регулирования представляет
совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом эле-
ментов, соединенных между собой связями. Первым этапом при
составлении дифференциальных уравнений систем автоматиче-
ского регулирования является разделение системы на отдельные
элементы и составление дифференциальных уравнений этих эле-
ментов. Дифференциальные уравнения элементов и уравнения
связей между отдельными элементами описывают процесс в системе
регулирования, т. е. изменение по времени всех координат системы.
Зная уравнения элементов и уравнения связей, можно составить
структурную схему САР.
Структурная схема САР характеризует геометрию системы,
т. е. показывает, из каких элементов состоит САР и как эти
элементы связаны между собой. На структурной схеме указывают
пути распространения сигналов в системе. Состояние системы
автоматического регулирования, а также каждого входящего
в нее элемента характеризуется некоторым числом независимых
переменных. Этими переменными могут быть как электрические
величины (ток, напряжение и т. д.), так и механические (ско-
рость, угол поворота, перемещение и т. д.). Обычно, чтобы харак-
теризовать состояние системы или ее элемента, выбирают одну
обобщенную координату на входе системы или элемента и одну —
на выходе. Будем обозначать входную величину g(t), а выход-
ную x(t). В ряде случаев такое представление невозможно, так
как система или ее элемент могут иметь несколько входных
и выходных величин. В многомерных системах можно рассмат-
ривать векторные входную и выходную величины с размерно-
стями, совпадающими соответственно с числом входных и выход-
ных величин САР.
2. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений
элементов систем. При составлении дифференциальных уравнений
систем автоматического регулирования основной задачей явля-
ется составление дифференциальных уравнений отдельных эле-
ментов системы. Уравнения отдельных элементов составляются
196
на основе тех физических законов, которые характеризуют пове-
дение элемента. Это могут быть законы механики, электротех-
ники, теплотехники, оптики и т. д.
Уравнения, описывающие поведение элементов, могут быть
алгебраическими и интегральными, но чаще всего эти уравнения
являются дифференциальными уравнениями. При составлении
дифференциальных уравнений элементов САР следует стремиться
возможно точнее описать поведение данного элемента. Однако
сложность получаемых при этом уравнений затрудняет исследо-
вание свойств их решений. Поэтому при составлении уравнений
необходимо стремиться к разумному компромиссу между возможно
более полным описанием поведения элемента и возможностью
обозрения и исследования полученных уравнений.
В установившемся состоянии зависимость выходной величины
элемента от входной задается статической характеристикой
элемента. Как правило, статические характеристики элементов
нелинейны. Статические характеристики могут быть получены
из дифференциальных уравнений элементов.
Пусть дифференциальное уравнение, описывающее поведение
элемента, имеет вид
F(x", х', х, g)=0.	(1)
Тогда статическая характеристика этого элемента задается урав-
нением в неявной форме
F(0, 0, х, g) = 0,	(2)
т. е. для ее получения в уравнении (1) следует положить z — const
и g = const.
Если динамика элемента описывается линейным дифферен-
циальным уравнением, то этот элемент называется линейным,
если дифференциальное уравнение нелинейно, то элемент назы-
вается нелинейным. Из-за нелинейности статических характери-
стик уравнения элементов САР в большинстве случаев являются
нелинейными.
Для упрощения анализа, когда это возможно, приближенно
заменяют нелинейные дифференциальные уравнения такими линей-
ными уравнениями, решения которых с достаточной степенью
точности совпадают с решениями нелинейных уравнений. Этот
процесс замены нелинейного дифференциального уравнения линей-
ным называется линеаризацией. Обычно линеаризация нелиней-
ного уравнения производится относительно некоторого устано-
вившегося состояния элемента системы.
Если дифференциальное уравнение элемента нелинейно из-за
нелинейности его статической характеристики, то линеаризация
уравнения сводится к замене нелинейной характеристики эле-
мента x = (p(g) некоторой линейной функцией x = ag-\-b. Анали-
тически эта замена производится с помощью разложения в ряд
Тейлора функции x = cp(g) в окрестности точки, соответствующей
установившемуся состоянию и отбрасывания всех членов, содер-
197
вующеи установившемуся
жащих отклонение Ag входной величины элемента в степени
выше первой. Геометрически это означает замену кривой x — <p(g)
касательной, проведенной к кривой в точке (х0, g0), соответст-
состоянию работы элемента (рис. 29).
В других случаях линеаризация про-
изводится путем проведения секущей,
мало отклоняющейся от функции х —
= (р (g) в требуемом диапозоне измене-
ния входной величины элемента.
Назовем нелинейные статические ха-
рактеристики, линеаризуемые в требуе-
мом диапазоне изменения входной ве-
личины указанным выше способом, не-
существенно нелинейными характери-
стиками. Наряду с линеаризуемыми
характеристиками имеются такие ха-
рактеристики, которые не поддаются
такой линеаризации. К ним относятся,
например, характеристики, не разлагаемые в ряд Тейлора в ок-
рестности точки установившегося состояния. Такие характери-
стики будем называть существенно нелинейными.
На рис. 30 изображена статическая характеристика электри-
ческого двигателя постоянного тока независимого возбуждения;
входной координатой g здесь служит напряжение £/вх, подавае-
мое в цепь якоря, а выходной координатой х является скорость
вращения ротора двигателя со. В
широком диапазоне изменения g
указанная статическая характе-
ристика должна рассматриваться
как нелинейная, однако при ма-
лых значениях g характеристика
может быть заменена на линей-
ную.
На рис. 31 изображены ста-
тические характеристики некото-
рых существенно нелинейных эле-
ментов САР: а—идеальный ре-
лейный элемент, б — релейный эле-
мент с зоной нечувствительности, в—релейный элемент с петлей
гистерезиса, г — механическая передача с зазором (люфтом).
Аппроксимация такого рода разрывных характеристик пря-
мой линией с постоянным углом наклона может привести
к существенному искажению представлений о процессах, проис-
ходящих в системе.
Рассмотрим подробнее процесс линеаризации нелинейного
уравнения элемента с помощью ряда Тейлора. Пусть поведение
элемента описывается нелинейным дифференциальным уравне-
нием (1). Тогда установившееся состояние элемента характери-
зуется уравнением (2). Пусть g0 и — значения установившегося
198
состояния. Тогда координаты g и х можно записать в виде х —
— х0 + Дх, У = £о + Ду» где Ag иАх — отклонения координату
и х от установившегося состояния. Уравнение (1) в отклонениях
имеет вид
F(Ax", Ax', х0 + Ах, Уо + Ау)=О.	(3)
Разложим левую часть уравнения (3) в ряд Тейлора относи-
тельно точки установившегося состояния (0, 0, х0, у0):
F(0, 0, х0 go) + (^^)0 ^х" + (дх')о &Х' +
4-6^) /\х+(~\ Ау+... = 0.	(4)
1 \ дх Jo \dg jo 6	' ’
В левой части равенства (4) не выписаны члены, содержащие
отклонения Ду и Ах и их производные в степени выше первой.
Частные производные в левой части уравнения (4) представляют
собой некоторые числа, величины которых зависят от вида функ-
ции F(x", х', х, у) и значений координат у0 и х0.
Считая отклонения Ау, Ах от установившегося состояния,
а также их производные по времени малыми и полагая, что
функция F (х", х', х, у) достаточно гладкая по всем аргументам
в окрестности точки, соответствующей установившемуся состо-
янию, отбросим в уравнении (4) все члены, которые содержат
отклонения Ау и Ах, а также их производные в степени выше
первой. Полученное уравнение
&х" + (^\ Ax' + (r) Ax + f^j Ду-0	(5)
\dx"jo \дх jo \дхJo \dgjo &	' 1
199
является линейным дифференциальным уравнением с постоян-
ными коэффициентами 4^^,	\dg)0 и пРеДставляет
собой результат линеаризации уравнения (1).
Очевидно, что необходимым условием линеаризации' является
возможность разложения в ряд Тейлора функции F (x"t x't х, g)
в окрестности точки, соответствующей установившемуся состо-
янию. Линеаризованное уравнение (5) приближенно заменяет
нелинейное уравнение (1) лишь в некоторой малой окрестности
точки (0, 0, x0, g0). Величина этой окрестности зависит от глад-
кости функции F (х", х', х, g) в этой точке, т. е. от величин
производных порядка выше первого этой функции в точке
(О, 0, х0, go). Как правило, с помощью уравнения (5) можно
исследовать поведение элемента САР лишь при малых отклоне-
ниях входной и выходной координаты от установившегося состо-
яния.
Обычно при записи линеаризованного уравнения в левой
части оставляют лишь члены, содержащие отклонение выходной
координаты, а все остальные члены переносят в правую часть.
С учетом этого уравнение (5) можно переписать в виде
п0 А/' -ф ах Ах' + а2 Ах — kg.
(6)
Здесь приняты следующие обозначения:
ldF\ ~idF\ JdF\ к— >dF\
Й2~"Ыо’ bl~~ \dg)G'
Процесс линеаризации уравнения (1) может быть геометри-
чески интерпретирован следующим образом. В пространстве
переменных х", х', х, g уравнение (1) задает некоторую поверх-
ность. Переход от уравнения (1) к линейному уравнению (5)
означает замену поверхности некоторой касательной плоскостью,
проведенной к поверхности в точке, соответствующей устано-
вившемуся состоянию. Естественно, что ошибка при такой
замене тем меньше, чем меньше отличаются друг от друга точки
поверхности и точки плоскости. Это справедливо лишь в неко-
торой малой окрестности установившегося состояния.
Возможна также иная линеаризация уравнения (1), которая
состоит в замене поверхности, задаваемой уравнением (1), неко-
торой секущей плоскостью, уравнение которой имеет вид
di &х" + о2 Ах' 4~ аз Ах 4- «4 Ag — 0.	(7)
Коэффициенты cit выбираются так, чтобы получить хорошее
приближение секущей плоскости к поверхности не только
в окрестности установившегося состояния, но и в некоторой
области возможных режимов работы элемента.
Пользуясь изложенной методикой, получим дифференциаль-
ные уравнения некоторых элементов систем автоматического
регулирования, которые допускают линеаризацию.
200
Пример 1. Составить дифференциальное уравнение двигателя постоянного
тока независимого возбуждения (рис. 32) и произвести его линеаризацию.
В соответствии со вторым законом Ньютона для вращательного движения
уравнение моментов на валу двигателя
т da> ,,	,.
Мд Мс,	(8)
где to—угловая скорость вращения вала двигателя; J—момент инерции вра-
щающихся частей, приведенный к валу; Мд — вращающий момент; Мс — момент
сопротивления на валу двигателя.
Пусть Мд — Мд (<о, и), а Мс = Мс(<о, /), т. с. вращающий момент Мд
зависит от угловой скорости го и напряжения и, приложенного к якорю,
а момент сопротивления Мс зависит от угловой скорости со и времени t. Эти
зависимости обычно задаются аналитически или в виде графиков и опреде-
ляются типом двигателя, характером нагрузки и т. д. Типичные механические
характеристики электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения,
показывающие зависимость Мд от со, приведены па рис. 33. На этом же
рисунке показана характеристика Мс. Вращающий момент Мд и момент сопро-
тивления Мс являются нелинейными функциями скорости вращения вала со.
Поэтому уравнение (8) будет нелинейным дифференциальным уравнением.
Для линеаризации уравнения (8) перейдем к уравнению в отклонениях от
установившегося режима. Параметры установившегося состояния находятся из
графиков, приведенных на рис. 33, если положить
Мд0—Мс0.	(9)
Пусть эти параметры имеют значения «0, //0.
Разложим нелинейные функции Л4Д — /Ид (to, и) и Мс = Мс (со, f) в ряд
Тейлора в окрестности точки (о((, н0):
/ дМ \	/	\
М,=М№+ —А Ли + U-1 АИ+Л,,
у с/ш / о	ULI ] 0
— Л1СО-|-
ЫдЛо+ЛМс (0+*2’
где 7Ид0=/Ид (гоо, «о)! А7ИС (0 учитывает зависимость момента сопротивления
Л1С от времени /; ky и кг содержат члены порядка малости выше первого
относительно приращений Ato и Ап.
Подставим полученные выражения в уравнение (8). и отбросим члены,
содержащие отклонение в степени выше первой:
/<ЭЛ1д\	/дЛ4с \
(."аГД	д“~ЛЛ1с (0.
201
Теперь, перенеся в левую часть равенства члены, содержащие Дев, получим
линеаризованное дифференциальное уравнение двигателя в отклонениях от
состояния равновесия, выраженных в абсолютных единицах:
dco
7/7 4"
dt
/дмЛ
^)о]д<о = -ДМс(0+(^оДц.
(10)
Все члены этого уравнения имеют размерность момента. При исследова-
нии систем автоматического регулирования желательно получить уравнение
в относительных единицах с безразмерными коэффициентами или с коэффи-
циентами, имеющими размерность времени в степени, равной порядку произ-
водной, при которой стоит коэффициент.
Для приведения уравнения (10) к уравнению в. относительных единицах
с безразмерными коэффициентами разделим вначале обе части уравнения (10)
на номинальное значение момента Л4Н:
J da) 1 Г7дЛ4с\	/дМД 1	1 1 /дМ„\
- • —77 -J- ~i~r~ I I д- I —	I ~~д-) I Д<Й ~-i7~ ДЛ4С (0 4”
Мн dt Мн L\ дсо /0	\ ды /оJ	Мн Л4Н \ ди /0
Перейдем в полученном уравнении к относительным единицам. Выберем
некоторые постоянные значения для всех переменных, входящих в уравнение.
Для угловой скорости примем ее номинальное значение сон, для управляющего
напряжения « — максимальное значение umax. Теперь умножим и разделим
каждый член уравнения на соответствующую постоянную величину:
JcoH Ло	сон /дМс\	/дМя\ *1 Дю
Мнсон dt	Мн _\ да /0	\ да /0J «н
-м-АЛ1с(0
“max	Д«
мн ди )0 итаД
Вводя обозначения
До Д/z (дМс\ ®н /<ЭЛ4л\ сон
ДМс(0	JcoH мтях/<?Л1д\
-M7\~dir)0-ky
и учитывая, что
Лв _ d(Aco) дМ = д(ЬМ)
dt ~~ dt ’ да д(Д<в) ’
найдем
✓7 у
Г	4- (хс—хд) х=— f (0 4-М (0-
Обозначив хс— Хд — kc, окончательно получим
И V
Т^+М=-/(04-М(0-
(П)
В .уравнении (11) функция f (/) характеризует возмущающее воздействие,
приложенное к двигателю, g(t)— управляющее воздействие, а х представляет
собой выходную координату. Коэффициент Т имеет размерность времени (с)
и называется постоянной времени двигателя Отношение -г- характеризует
«С
зависимость между изменением выходной координаты х и управляющего
воздействия g (t) в установившемся режиме и называется коэффициентом уси-
ления.
Пример 2. Составить дифференциальное уравнение электромашинного уси-
лителя, работающего на исполнительный двигатель постоянного тока с неза-
висимым возбуждением. Принципиальная схема включения электромашинного
усилителя (ЭМУ) и двигателя постоянного тока с независимым возбуждением
приведена на рис. 34; на этой схеме приняты обозначения: ПД —приводной
двигатель электромашинного усилителя, ИД—исполнительный двигатель,
202
ОВ —обмотка возбуждения исполнительного двигателя, КО —компенсационная
обмотка ЭМУ, — реостат, шунтирующий компенсационную обмотку, ОУ —
обмотка управления.
Электромашинный усилитель представляет собой электрическую машину
постоянного тока. В пазах статора ЭМУ расположены обмотка управления
и компенсационная обмотка. Ротор ЭМУ приводится во вращение приводным
двигателем. В качестве приводного дви-
гателя, как правило, используется
асинхронный трехфазный двигатель. В
ЭМУ нераздельного исполнения привод-
ной двигатель собран в одном корпу-
се с генератором. На коллекторе ро-
тора ЭМУ установлены две пары ще-
ток—на продольной оси и на попереч-
ной, Щетки на поперечной оси замкнуты
накоротко.
При подаче напряжения иу на об-
мотку управления ЭМУ возникает маг-
нитный поток Фу обмотки управления.
Магнитный поток невелик и пропор-
ционален току /у в обмотке управ-
ления, Так как ротор ЭМУ вращает-
ся с постоянной скоростью, то в его
обмотке наводится под влиянием потока
Рис. 35
управления э. д. с. Еъ которая также невелика по величине. Но поперечные
щетки ЭМУ замкнуты накоротко, и поэтому ток в поперечной цепи /„,
несмотря на незначительную величину э. д. с., будет значительным. Этот ток
вызывает большой магнитный поток Фи, направленный по поперечной оси.
Поток Фп наводит в обмотке ротора электродвижущую силу Е2, которая сни-
мается щетками, расположенными по продольной оси. Поток Фа, создаваемый
током нагрузки /а, направлен против потока Фу обмотки управления. Для
компенсации этого потока в продольной цепи расположена компенсационная
обмотка. Величина Фк0, а следовательно, и степень компенсации регулируются
с помощью реостата Rlu.
Зависимость э. д. с. холостого хода £х.х от тока в обмотке управления /у
^х. X—/(/у)
203
называется характеристикой холостого хода ЭМУ. Характеристика холостого
хода имеет вид, изображенный на рис. 35. Эта характеристика холостого хода
ЭМУ может быть принята линейной до тех значений /у, при которых насту-
пает насыщение магнитной системы усилителя.
Напишем дифференциальное уравнение электромашинного усилителя при
его работе совместно с двигателем постоянного тока независимого возбуждения.
Для простоты положим, что ЭМУ работает в режиме полной компенсации.
Уравнения напряжений для управляющей, поперечной и продольной цепей
будут соответственно:
dlv
ыу = ^улу+^у dt	>	(1^)
d/n
^1=^пгп + ^п	(13)
Л/а + ^а +	(И)
К этим уравнениям следует добавить уравнение моментов на валу двигателя
(15)
причем Мд=км/а.
В соотношениях (12) —(14) приняты обозначения: /у, /„, /а, гу, гп, га,
Ly, Ln, La — токи, сопротивления и индуктивности соответственно цепи управ-
ления, поперечной цепи и цепи якорей ЭМУ —ИД; со —скорость вращения
вала двигателя; J — момент инерции вращающихся частей, приведенный к валу
двигателя; кы — коэффициент пропорциональности между противо-э. д. с. дви-
гателя и скоростью вращения его вала; /^ — коэффициент пропорциональности
между вращающим моментом двигателя и током в якорной цепи.
Перейдем к уравнениям в отклонениях относительно установившегося
состояния. Положив в уравнениях (12) —(15) производные равными нулю,
получим систему уравнений, описывающих установившееся состояние агрегата
ЭМУ-ИД:
^уо— lyoryi ^20-/2(^110)»	(16)
^io = AuZn» Л4до —Л4со>
^20 “ 1 аЪГа +	дО ~^л/аО-
^10-/1 (^ уо)-
Пусть ыу0, /у0, /п0, Е10, Е20, /а(), (Оо» Л4с0, Л4д0—некоторое решение системы
(16) Полагая, что
пу — ну0-ф Ану, со —соо-|-Асо,
/ =/ П + А/ , М.^М п + ЬМ ,
у уО Г у’ А до । д’
^п —^по + А/п, Л4С —Л4с0 +АЛ4С,
^а = Дю +А^а,
перейдем от уравнений (12) —(15) к уравнениям в отклонениях от установив-
шегося состояния:
d(А/у)
А/Су = А/у гу + Ly	,
Ei — Е10 — А/пгп 4- Ln	,
£2- £20 = A/ara + La	Aw,	(17)
. ..	. .. , , d (Асо)
ДМд = ДЛ1с-р J
dt
АЛ4 д — /ем А/а.
204
Для линеаризации уравнений (17) разложим функции £'1 = f1(/y) и Ё2 =
= /г(^п) в РЯД Тейлора соответственно в точках /у0 и /п0.
Графики функций Д (/у) и Д (7П) имеют вид, аналогичный изображенному
на рис. 35. Линеаризуя эти функции, будем иметь
fi (^у) —^10 + ^1 А/у» Д (ДО — ^20+^2 АДв	(18)
где и /г2 —угловые коэффициенты касательных, "проведенных к кривым £j
и Е2 в начале координат.
Учитывая равенства (18) и исключая из системы уравнений (17) промежу-
точные переменные Д/у, Д/п, АЛ4Д, получим линеаризованное дифференциаль-
ное уравнение ЭМУ —ИД в отклонениях от установившегося состояния:
Т.Т.Т,Т„	+ (ТмТаТу + Т.Т,„Т„ + 7 мГуТ„)	+
+ (ëÄ+Т„Ту + 7'„Т,. + '/’у7-„)^+(7’„ + 7’у + Т„)^.+Лю=
= к, Ли,-к,[т,Т,Т„^-^+(ТуТа+Т,Т„ + ТаТ„) +
+(Г,+!'.+Ч^£-+ЛИе]. (19)
_	m faJ
В уравнении приняты обозначения: /м=-—-----механическая постоянная вре-
Ау	A[i
мени двигателя; Ту=----постоянная времени цепи управления; Тп — ~---
Гу	L	Г"
постоянная времени поперечной цепи; Тя — —-----постоянная времени якор-
гя
k k
ных цепей ЭМУ— ИД; ky ———.— — передаточный коэффициент (коэффициент
Г уГ Il'A)
-	г
усиления) ЭМУ по управляющему воздействию; к/~т-т---передаточный коэф-
фициент ЭМУ по возмущающему воздействию.
Отметим, что линейное уравнение (19) справедливо не только при малых
отклонениях от установившегося состояния, айв достаточно широком диапа-
зоне изменения входной координаты иу, соответствующем работе ЭМУ без насы-
щения магнитной системы. Это следует из способа линеаризации характеристик
£'1==Д(/у) и Е2 = [2(/и). Касательные, которыми при линеаризации были заме-
нены нелинейные характеристики £'i = /i(/y) и E2 — f2(In), мало отличаются
от этих характеристик в достаточно широком диапазоне изменения напряжения
Дпу (рис. 35).
Постоянная времени поперечной цепи мала по сравнению с другими посто-
янными времени и ею можно пренебречь. В этом случае уравнение (19) при-
мет вид
Т«7’,Ту^-+(Т„Та+ Т„Т,)	(Т„+Ту)^+дш =
= Му -Т/1Т,Т„	+ Та) + ДЛ1с].	(20)
Пример 3. Составить дифференциальное уравнение асинхронного двухфаз-
ного двигателя. Линеаризацию дифференциального уравнения выполнить с по-
мощью замены нелинейной механической характеристики двигателя секущей.
Асинхронный двухфазный двигатель представляет собой электрическую
машину переменного тока и широко применяется в системах автоматического
регулирования. В пазах статора двигателя располагаются две обмотки таким
образом, чтобы их магнитные оси были взаимно перпендикулярными. Одна
обмотка подключается к источнику переменного тока с постоянным напряже-
нием и называется обмоткой возбуждения (ОВ), другая обмотка подключается
205
к источнику переменного тока  с изменяющимся напряжением и называется
обмоткой управления (ОУ)-. Обычно обмотка управления подключается к вы-
ходу электронного или магнитного усилителя. Ротор двигателя представляет
собой полый тонкостенный металлический стакан. Схема асинхронного двух-
фазного двигателя изображена на рис. 36. Емкость С служит для создания
сдвига по фазе в 90° между напряжением в обмотке возбуждения ив и обмотке
управления иу. Этот сдвиг фазы необходим для создания вращающего магнит-
ного поля.
Уравнение моментов на валу асинхронного двухфазного двигателя такое:
+	(21)
где Л4д = Л4д(иу, w) — вращающий момент на валу двигателя, Л4С —момент
сопротивления, J — момент инерции вращающихся частей, приведенный к валу
двигателя.
Механические характеристики двигателя, приведенные на рис. 37, явля-
ются нелинейными. Линеаризацию характеристик произведем путем замены их
параллельными секущими, уравнение секущих
Л/д=УИд0—^со,	(22)
где ki — коэффициент, зависящий от вида механической характеристики. Учи-
тывая, что
=	(23)
и подставив в формулу (21) выражения (22) и (23), получим
, du , ,	,	..
J -f-	— k%Uy — /И с
или
TMd^- + o)=kyUy~kfMCi	(24)
где ky=^, kf=^, Гм=^-
Уравнение (24) представляет собой линеаризованное уравнение асинхрон-
ного двухфазного двигателя.
В том случае, когда элемент системы автоматического регу-
лирования преставляет собой динамическую систему с конечным
числом степеней свободы, которая обладает запасом кинетической
энергии, его движение может быть описано системой дифферен-
циальных уравнений Лагранжа второго рода.
206
Пусть xlf ..., хп — обобщенные координаты динамической
системы. Обозначим через Т кинетическую энергию системы.
Тогда система дифференциальных уравнений Лагранжа второго
рода запишется в виде
d Ж
dt \dx'i
±	(t = l, 2, .... м),
dt \дхс / dxi
где Qi — обобщенные силы.
В общем случае обобщенные силы	'
(25)
о A j	(JXI
(26)
где П — потенциальная энергия динамической системы; /?—функ-
ция рассеяния энергии; Д- (/) — внешние силы, приложенные
к динамической системе.
Кинетическая энергия Т представляет собой квадратичную
положительно определенную форму от обобщенных скоростей
Т==^ S mUx'iX'i'
i. /=1
(27)
Потенциальная энергия II является некоторой функцией обоб-
щенных координат системы. Функция рассеяния или диссипатив-
ная функция R характеризует собой скорость рассеяния энергии
в системе и зависит от обобщенных скоростей. Обобщенные дис-
сипативные силы
(28)
можно определить по формуле
I х'{ I
QR.^-k/f ДОЦ!
‘	Xi
(29)
где функция fix',) — 1—в случае сухого трения и f(x[) — х\ —
в случае вязкого трепня.
Из формулы (29) следует, что диссипативная сила направлена
противоположно вектору скорости х\ и равна либо постоянной
величине в случае сухого трения, либо пропорциональна скоро-
сти x'i в случае вязкого трения. Диссипативная функция в соот-
ветствии с формулами (28) и (29) принимает вид
R = £ kt\ f, (и) da.
Z=1 о
(30)
Уравнения Лагранжа второго рода в общем случае представ-
ляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений
*’ См., например: Добронравов В. В. и др. Курс теоретической меха-
ники. «Высшая школа», 1974, с. 365.
207
второго порядка. Линеаризация этих уравнений может быть про-
изведена с помощью разложения в ряд Тейлора.
Пример 4. Вывести дифференциальное уравнение центробежного маятника,
который применяется в качестве чувствительного элемента в некоторых систе-
Рис. 38
мах автоматического регули-
рования. Схема маятника
изображена на рис. 38. Вход-
ной величиной является уг-
ловая скорость со, а выход-
ной величиной — перемеще-
ние х платформы. При уве-
личении скорости вращения
шары под действием центро-
бежной силы расходятся и
перемещают платформу. На
платформу воздействуют так-
же сила упругости пружи-
ны, силы демпфирования и
силы инерции.
Введем обозначения: с —
коэффициент жесткости пру-
жины, /? —коэффициент вяз-
кого трения; т — масса ша-
ра; М — масса частей, уча-
ствующих в поступательном
движении вдоль оси Ох- (£> —
угловая скорость вала; f0 —
сила предварительного под-
жатия пружины.
Для составления диф-
ференциального уравнения
центробежного маятника ис-
пользуем уравнение Лагран-
жа второго рода (25). В
качестве обобщенной коорди-
наты Xi выберем выходную координату— перемещение платформы х. Найдем
выражение для кинетической энергии Т, потенциальной энергии П и дисси-
пативной функции R центробежного маятника. Из рис. 38 видно, что
р — г-Н sin се, х—2а (1 —cos а).
Кинетическая энергия системы Т —Т1-|-7'2-|-7з, где —кинетическая
энергия во вращательном движении вокруг оси Ох, Т2 — кинетическая энергия
шаров во вращательном движении вокруг точек А и А', Т3— кинетическая
энергия масс в поступательном движении вдоль оси Ох. Имеем:
7\ =	= ma)2 (г + / sin а)2 = mco2	х (^а~х)
2ml2 (а')2	т^2 (х')2 у М (х')2
g ~ х(Ьа~х) ’ 3~	2
Потенциальная энергия маятника П — Пх+П2+П3, где ^ — потенциальная
энергия масс, движущихся параллельно оси Ох-, П2 —потенциальная энергия
шаров; П3—потенциальная энергия пружины. Для рассматриваемого случая
имеем:
n^Mgx, П2=2щ^(1-со8а) = ^-, П3 = /0х+^.	(32)
Найдем обобщенную диссипативную силу Q^. Благодаря наличию демпфера
сила сухого трения мала по сравнению с силой вязкого трения и ею можно
208
пренебречь. Согласно формуле (29) будем иметь
п SR , ,
~-—-kx.
К дх'
(33)
Вычислим значения отдельных слагаемых, входящих в уравнение Лаг-
ранжа (25):
дТ 2ml2x’ ...
s-y — —г-.------ф- Мх ,
дх х (4а — х)
дТ ma2l(2a—x) Г I .г—---------------~| 2ml (х')2 (2а—х)
дх а У х(4а — х) 2а	J	х2 (4а—х)2
d / дТ \__	„ 2ml2 (х')2 (4а — 2х) 2ml2x"
dt \дх') Х х2(4а —х)2	‘ х(4а —х)’
дП .. , mgl , . ,
-&-=Mg+—+/»+«.
Подставим полученные выражения в уравнение Лагранжа второго рода (25),
тогда
.. „ 2ml2 (х')2 (4а— 2х) 2ml2x"	ты21 (2а — х) Г I	г—-------1	,
/Их-------------------L . ---------_ — 3--------II / j-у х (4а — х) 4-
х2 (4а — х)2	х(4а—х)	арх (4а — х) L	2а	J
2ml2 (х')2 (2а — х)	.. mgl ,	, ,
— о7т—~ = —Mg--------------$----fo—cx—kx',
х2(4а —х)2	s	а	'
или
.. 2ml2 I 2ml2 (2а — х)	, ,
М Н—т.-----г --------------- (х')2 + kx' + сх —
х(4а — х) j х2 (4а х)2
ml (2а — х) Г I
---—77=7?=-— I г -р	|
а V х (4а — х) |	2а
Введем следующие обозначения:
. . .	...	2m/2
fi (х) = М Н—--------
'	х (4а — х)
,, . .	2ml (2а — х)
при г = 0
, .	. ml (2а — х) Г , / 1А—т-л------Л „
fs (х, со) =    -1 г 4 х (4а — х) со2;
Кх(4а—х) j 2а	|
ml2 (2а — х)
1Лх, <*)—^	^2.
(34)
а
(35)
(36)
С учетом принятых обозначений уравнение центробежного маятника запишется
в виде
fi (х) х" — /2 (х) (х')2 + kx' + cx — f3(x,bi) = — f0 — Mg—	.	(37)
Уравнение (37) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение.
Состояние равновесия (х0, соо) является решением уравнения
cxn — f3(xn, <о0)=- — fo-Mg—^-.	(38)
Рассмотрим малые колебания маятника относительно состояния равновесия
(х0, соо).
Положим
х —х04-Ах, со — соо-ф Дсо.	(39)
209
Разложим функции /д(х), fz(x), 1з(х< ®) в РЯД Тейлора в окрестности сосаоя-
ния равновесия (х0, w0):
A W=А (*о) + ^ |о Ax-f- F1 (&х),
h (x)^h |о Дх+ ^2 (Ах),
/з(х> ®) = /з(хо> Wo)4~~^r |о^Л ^ Э(|3) |0	+ (A*’ Aw)’ (40)
где функции Р\ (Ах), Fz (Ах), F3 (Ах, Aw) имеют более высокий порядок мало-
сти по сравнению с Ах и Aw. Учитывая, что х' = Ах' и х" = Ах", и принимая
во внимание выражения (38), (39), (40), уравнение (37) можно переписать
в виде
fi (х0) Ax" + fe Ax'-j-^c —	1 ^Ах = ~~| Aw-J-Ei (Ах, Ax', Ах", Aw),
где функция
(Ах, Ax', Ах", Aw) = /:'s(Ax, Aw)-]-p2 (Ах) (Ах')2~р
+ ф-1 Ах (Ах')2 + Д> (х0) (Ax')2 - f j (Ах) Ах" - ф- | Ах Ах"
ах |о	ах |о
имеет более высокий порядок малости но сравнению с Ах, Ax', Ах", Aw. Отбра-
сывая функцию F4(Ax, Ax', Ах", Aw), получим линеаризованное уравнение
колебаний маятника относительно состояния равновесия (х0, w0)
Л (х0) Ах"+k Ах' + (с -	|о) Ьх =	|о Aw,	(41)
где
, . .	...	2m/2
/1 (хр) — Л4 -—------
7	х0(4а —х0)’
d/з I _ _ Г 4а2г И	/доч
дх |0 ~ а I	з + 2а ’	( }
I (х0(4а—х0))2
dh = 2mf(2a-Xj,) Г +£^-Tj-— -^1
ды о а И х0 (4а—х0) |	2а	J
3. Операторы элементов систем автоматического регулирова-
ния. Передаточные функции. Операторный способ записи диффе-
ренциальных уравнений (см. § 12) широко используется в тео-
рии автоматического регулирования. В операторной форме линей-
ное дифференциальное уравнение (6) запишется в виде
£(р)Дх = Л4(р)Д£,	(43)
где D (р) = а0р2 -4- сцр + а2; М(р) = Ь!. В общем случае D (р) и
М (р) являются некоторыми многочленами от р с действительными
коэффициентами.
Назовем многочлен £>(р) в уравнении (43) собственным опе-
ратором элемента, а многочлен М (р) — входным оператором.
Название «собственный оператор» обусловлено тем, что много-
член D (р) характеризует собственное движение элемента, т. е.
его движение при отсутствии внешних возмущающих и управ-
ляющих воздействий.
210
Введем понятие передаточной функции элемента САР. Отно-
шение входного оператора М (р) к собственному оператору D (р)
назовем передаточной функцией W (р) элемента САР, описывае-
мого -линейным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами
^ (₽) = £$ («)
Совершенно аналогично можно ввести понятие входного и
собственного оператора, а также передаточной функции для си-
стем автоматического регулирования, описываемых линейными
дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Пример 5. Найти передаточные функции электромашинного усилителя,
работающего совместно с исполнительным двигателем постоянного тока неза-
висимого возбуждения.
Согласно уравнению (20), собственный оператор ЭМУ—ИД
О(р) = ГмТяТурЧ (ТмТа+Тм7у)р2 +
+(Ты+т\) р +1	«р2++ О (Тур + 0-
Входной оператор для управляющего воздействия иу
М (p)-=ky.
Входной оператор для возмущающего воздействия Мс
б (р) = — kf [ТуТар2 —f-(Т'у —f-Т’д,) р-р 1] — — (Тур4-1) (Т^р-р 1).
Передаточная функция агрегата ЭМУ—ИД по отношению к управляющему
воздействию представляет собой отношение входного оператора М (р) управ-
ляющего воздействия к собственному оператору D (р), т. е.
&у
W (Р) = (ТмТар2 + ТмР+1)(ТуР+1) >	(45)
а передаточная функция по отношению к возмущающему воздействию V (р)
представляет собой отношение входного оператора С (р) возмущающего воздей-
ствия к собственному оператору D (р), т. е.
	kf(TyP + D(TaP+i)
W	(7W + ТмР+1) (Тур + 1) •
Некоторые свойства передаточных функций
1. Передаточная функция параллельного соединения элементов
равна сумме передаточных функций этих элементов.
Доказательство этого свойства проведем для случая парал-
лельного соединения двух элементов (рис. 39). По индукции
доказательство можно распространить на случай произвольного
числа элементов.
Пусть передаточные функции первого и второго элементов
W7! (р) =	, ^2 (р) = П.2'(р) • Сравнения первого и второго эле-
ментов в операторной форме будут иметь вид
£>i(p)Pi=AMP)*,	(47)
D2(p) у2 = М2(р)х.	(48)
211
Применим к обеим частям уравнения (47) оператор Л2(р),
а к обеим частям уравнения (48) оператор Dr (р). В силу свой-
ства 2 операторов (см. § 12, п. 5) получим
D2 (р) Di (р) pi = D2 (р) Мг (р) х, Di (р) Л2 (р) у2 = Di (р) М2 (р) х.
Сложим обе части полученных уравнений и применим свой-
ство 1 операторов (ем. § 12, п. 5):
D2 (р) Di (р) (рх + р2) = [Г>2 (p)Mi (р) +Di (р) М2 (р)] х,
тогда
W7 (п\ _ d2 (р) Mi (p) + £>i (р) М2 (р) _ М! (р) М2 (р)
w -	Di (р) Д (р)	~ ДЛр) + D2 (р) -
= Wi(p) + W2(p) (49)
— передаточная функция параллельного соединения элементов
равна сумме передаточных функций этих элементов.
Рис. 39
Рис. 40
2. Передаточная функция последовательного соединения эле-
ментов равна произведению передаточных функций этих элементов.
Для случая двух элементов (рис. 40) будем иметь
W(p)^Wi(p)W2(p).	(50)
Доказательство этого свойства производится аналогично пре-
дыдущему и опирается на свойство 2 операторов.
В общем случае передаточные функции линейных систем авто-
матического регулирования с постоянными параметрами представ-
ляют собой дробно-рациональные функции от р, причем, как
правило, степень числителя меньше или равна степени знаме-
нателя.
По виду передаточной функции легко написать дифферен-
циальное уравнение, описывающее поведение САР.
Не следует путать символ дифференцирования р с комплекс-
ной переменной s, имеющей место в преобразовании Лапласа
(см. § 42). В отличие от преобразования Лапласа операторный
способ, сокращая запись дифференциальных уравнений, не дает
никаких способов для их решения.
4. Классификация звеньев. В теории автоматического регу-
лирования принята классификация элементов в зависимости
от вида их операторов или передаточных функций, т. е. в конеч-
ном итоге в зависимости от вида дифференциального уравнения,
описывающего поведение элемента. Элементы САР, классифици-
212
рованные по виду дифференциального уравнения, называются
типовыми звеньями систем автоматического регулирования.
Рассмотрим эту классификацию. Пусть D (pl и М (р) являются
многочленами от р с действительными коэффициентами степени
соответственно пит:
D (р) = аорп + CiP"-1 +... + ап, М(р) — Ьорт + Ь^-1 +... -ф Ьт.
Эти многочлены можно представить в виде
D (р)==а0(р — К1) (р-Л2) ... (р-Л„),
М (р) = (Р - Vi) (Р - Тг) ••• (Р - Ут),
= 1,2,..., и) —корни многочлена D (р), ау/Д# — 1,2,..., т)—
корни многочлена М (р).
Известно, что если среди корней многочленов D (р) и М (р)
имеются комплексные корни, например ^k = ak-\- то сопря-
женное к нему число =	—также является корнем мно-
гочлена, причем той же кратности.
Преобразуя сомножители многочленов D (р) и М (р), соответ-
ствующие действительным корням, к виду
р-^/г=-Л(Лр+1), р-Т/-= ~ (Т/Р4-1),
1 k	ч
„ 1 1
где 7/г =—	= а сомножители, соответствующие ком-
У/
плексным корням, к виду
(р - М (р - М = р» - 2a„p + at + PI = J (Tip* + ^кТ„р +1);
(p — ?/) (p — Tz) = 4 (tzP3 + 2^т,р + 1),
T/
где	= «,. + /₽„. Y, = a, + /P„ П = -ф==, ?t = -—
Tf —  —7Г-, ^Z = — - z  , и полагая, что многочлен D (р)
И az + Р/	|/ ai + Р/
имеет v нулевых корней, уравнение (43) можно переписать сле-
дующим образом:

ч
S
Pv П (Пр+1)- п (Пр2 + 2?„Пр+1) Ах =
. fe=l	Л=|
= k п (х‘Р+о П (x'ip2++!)	(51)
L	1=1	J
где
213
Элемент, описываемый уравнением (51), имеет передаточную
функцию
<7	?
k II	П (t/P2+2^zV + 1)
W (р) =----.	(52)
Pv П (V+1) П (П₽а+2£Л₽+')
k=l	fe=l
В передаточную функцию (52) входят шесть различных видов
сомножителей:
k, Tip + \, т/р2 + 2^т/р + 1,
1 1 1
Р ? kP +1	/чр2 4- 2%kT kp +1
поэтому любой элемент можно рассматривать в общем случае
как последовательное соединение шести различных типов про-
стейших структурных звеньев. Эти простейшие звенья называются
типовыми звеньями САР Их передаточные функции входят
в виде сомножителей в передаточную функцию (52). Рассмотрим
типовые звенья САР.
Апериодическое звено описывается дифференциальным
уравнением
(Tp+\)x^kg.	(53)
Его собственный оператор D (р) — Тр ф- 1; входной оператор
М(р) = 6. Передаточная функция апериодического звена
= <54>
Коэффициент k называется передаточным коэффициентом
(коэффициентом усиления) звена,' Т — является постоянной времени.
Колебательное звено описывается дифференциальным
уравнением
(Т2р2 + 2^р+1)х = Л§.	(55)
Передаточная функция колебательного звена выражается так:
h
= Т2р24-2£Тр4- 1 ’	(56)
где k — передаточный коэффициент; Т — постоянная времени;
£ —относительный коэффициент затухания (0<^-<1).
Интегрирующее звено описывается уравнением
рх — kg.	(57)
Его передаточная функция
ь
W(p)=~.	(58)
*> См., например: «Техническая кибернетика», под редакцией Солодов-
никова В. В., кн. 1. «Машиностроение», 1967, с. 270—294.
214
Усилительное звено описывается не дифференциаль-
ным уравнением, а алгебраическим:
х —	'	(59)
т. е. передаточная функция усилительного звена
W(p) = k.	(60)
Дифференцирующее звено первого порядка
имеет уравнение
x = k(xp+l)g,	(61)
где т — постоянная времени звена; k — передаточный коэффициент.
Передаточная функция дифференцирующего звена первого
порядка имеет вид
№(р) = 6(тр + 1).	(62)
Дифференцирующее звено второго порядка
Уравнение дифференцирующего звена второго порядка
x ^k (х2р2 -ф 2£тр +1) g.	(63)
Передаточная функция этого звена
Щр)^(т2р2 + 2£тр + 1), 0<£<1,	(64)
где k — передаточный коэффициент звена; т — постоянная времени.
5. Составление дифференциальных уравнений систем автома-
тического регулирования. После того как получены и, если воз-
можно, линеаризованы уравнения отдельных элементов системы
регулирования, переходят к составлению дифференциального
уравнения системы. Совокупность дифференциальных уравнений
элементов системы и уравнений связей описывает поведение си-
стемы автоматического регулирования в целом. При исследова-
нии САР обычно представляет интерес поведение выходной коор-
динаты системы, а не выходных координат всех элементов. Поэтому
от системы уравнений путем исключения промежуточных пере-
менных переходят к одному уравнению. Это уравнение содержит
только выходную координату системы, а также внешние воздей-
ствия. Зная внешние воздействия, приложенные к системе, и
решив дифференциальное уравнение, описывающее поведение си-
стемы, можно определить реакцию САР на эти воздействия.
Рассмотрим процесс составления дифференциального уравнения
следящей системы с электромашинным усилителем и исполни-
тельным двигателем постоянного тока. Эта система в данной
книге во многих случаях рассматривается в качестве иллюстра-
тивного примера, поэтому опишем изображенную на рис. 41 схему
более подробно. На схеме объект регулирования условно пока-
зан в виде вращающегося маховика, жестко соединенного с вы-
ходным валом редуктора. Механические связи на схеме обозначены
в виде двух параллельных, рядом расположенных линий. В такой
215
системе сигнал ошибки вырабатывается с помощью двух синусно-
косинусных поворотных трансформаторов (СКПТ), работающих
в трансформаторном режиме. Один СКПТ —датчик D связан
с задающей осью, управляющее воздействие представляет собой
угол поворота этой оси; другой СКПТ — приемник Пр связан
с исполнительной осью, т. е. с объектом регулирования. Сигнал
Рис. 41
пропорциональный ошибке системы, поступает на вход фазочув-
ствительного выпрямителя ФЧВ, преобразуется в последователь-
ном корректирующем устройстве П, усиливается усилителем по-
стоянного тока УПТ и подается на вход (на обмотки управления)
электромашинного усилителя ЭМУ; ротор ЭМУ приводится во вра-
щение приводным двигателем ПД; ЭМУ управляет исполнитель-
' ным двигателем ИД, который через редуктор вращает исполни-
Рис. 42
тельную ось и одновременно принимающий СКПТ. В схеме имеется
местная отрицательная связь по току якоря исполнительного
двигателя. Сигнал этой обратной связи снимается в виде напря-
жения с сопротивления Rct включенного в цепь якоря, и посту-
пает на вход УПТ. Местная обратная связь по току якоря ИД
совместно с последовательным корректирующим устройством П
обеспечивают САР требуемые динамические свойства (в ряде
систем в цепь местной обратной связи включается такое парал-
лельное корректирующее устройство). Корректирующие устрой-
ства обычно выполняются в виде ДС-контуров. Объект регу-
216
Рис. 43
лирования в САР с-требуемой точностью воспроизводит движение
задающей оси, т. е. регулируемая величина — угловое положение
объекта «следит» за изменениями управляющего воздействия.
Весьма характерным видом возмущающего воздействия f (/), при-
кладываемого к системе, является возмущающий момент, дейст-
вующий на объект регулирования. Этот
момент может возникать из-за многих
факторов, например вследствие трения
в передаче между двигателем и объек-
том, ветровой нагрузки, неуравнове-
шенности вращающихся масс и т. п.
Структурная схема рассматривае-
мой следящей системы содержит сле-
дующие элементы (рис. 42). Чувстви-
тельный элемент /, вырабатывающий
сигнал иъ пропорциональный ошибке
системы. В следящей системе ошибка е представляет собой раз-
ность между управляющим воздействием g и выходной координа-
той системы х. Чувствительным элементом в рассматриваемой си-
стеме являются два синусно-косинусных поворотных трансфор-
матора. Напряжение, снимаемое с трансформатора-приемника
Hi = ^хе.	(65)
Фазочувствительный выпрямитель и последовательное коррек-
тирующее устройство 2, предназначенное для преобразования
сигнала ошибки с целью улучшения динамических свойств си-
стемы. Оно представляет собой /?С-коытур (рис. 43), описывае-
мый дифференциальным уравнением вида
др dti2 I	/ / dt-t] I
T1 ~dt~ +	+ W1 j ,
(66)
причем

Выходной каскад электронного усилителя 3, на вход которого
поступает разность напряжений н2 —п4, где и2~ напряжение на
выходе последовательного корректирующего устройства; ц4 — на-
пряжение местной отрицательной обратной связи. Полагая, что
выходной каскад является безынерционным, его уравнение можно
записать в виде
w3 = Z?3(z/2 —н4).	(67)
Электромашинный усилитель и исполнительный двигатель по-
стоянного тока независимого возбуждения 4. Уравнение электро-
машинного усилителя, работающего совместно с двигателем по-
стоянного тока, получено выше в примере 2. Если рассматри-
вать в качестве выходной величины угол поворота вала двигателя ад,
217
то уравнение системы ЭМУ—ИД примет вид
d4a„	d3a„	d2a„ da„
T.TaTs	+ T.Ty)	+(?’„ + 7,)	=
= kyu3 - kt [гуТ„	4- (T, + T„)	+ «ф (68)
Редуктор 5, через который исполнительный двигатель связан
с объектом регулирования. Уравнение редуктора:	/
<Хд = ipX,	(69)
Элемент 6, отражающий наличие в системе обратной связи
по току. Обратная связь по току служит для коррекции дина-
мических свойств системы и сигнал на ее выходе представляет
собой напряжение, пропорциональное току в цепи якорей
ЭМУ—ИД. Это напряжение снимается с сопротивления Rc, вклю-
ченного в цепь якорей ЭМУ—ИД. Напряжение, снимаемое с со-
противления Rc, есть
th = RJa,	(70)
где 1а — ток цепи якорей ЭМУ—ИД.
Пренебрегая моментом сопротивления Л4С, из формулы (15)
имеем
d?a„
(71)
тогда
d2a„
(72)
где ^5 = -г“-
о
Уравнение (72) представляет собой уравнение обратной связи.
Совокупность уравнений (65)—(69), (72) совместно с уравне-
нием ошибки
е = £-х	(73)
.описывает поведение следящей системы. Исключив промежуточ-
ные переменные е, ult u2t и3, м4, «д из уравнений (65)—(69), (72),
(73), получим дифференциальное уравнение следящей системы
в операторной форме:
[(Тм7\(р2 + Тир + 1) (Тур + 1) (Лр_+ О Р + kyk3k5 (7\р Д 1) р2 Д
ДЛ (т4рД 1)]х = ^(т1рД 1)£ —
- k1} (Тур Д 1) (Тар + 1) (7\р + 1) мс, (74)
kyk2k3ky	kt
где k = —-----, klf == —.
ip	»р
Еслй разомкнуть главную обратную связь, то поведение та-
кой разомкнутой системы описывается системой уравнений
(65)—(69), (72), причем в уравнении (65) следует положить е = g.
Исключив промежуточные переменные из уравнений (65)—(69),
218
(72), получим уравнение разомкнутой системы, записанное в опе-
раторной форме:
[(Тм V + тмр +1) (тур +1) (Т1Р + 1) р+kyk^p2 (Т1Р +1)] х=
= k (т1Р+	(ТуР+1) (ТаР+ 1) (Т1Р+ 1)Я.	(75)
Из уравнений (74) и (75) следует, что собственный оператор
замкнутой системы есть
D (р) = (ТМТ^ + Тмр+1)(7ур4-1)(71р+1)р +
+ ^y/?3^5 (Tip-\-1) p2-\-k (турф-1),	(76)
а собственный оператор разомкнутой системы —
Q (р) = (7\ТаР2 ф- Тмр + 1) (Тур + 1) (Т1Р +1)р +
+ ^в(7’1р+1)р2.	(77)
Входные операторы по управляющему и возмущающему воздей-
ствию разомкнутых систем совпадают с соответствующими вход-
ными операторами замкнутых систем и имеют следующий вид:
входной оператор по управляющему воздействию
Л1 (р) =£ (т^р-Ь 1);	(78)
входной оператор по возмущающему воздействию
с (Р) = - klf (Тур + 1) (Тфрф-1) (7фр +1).	(79)
Назовем передаточной функцией разомкнутой системы авто-
матического регулирования по отношению к управляющему воз-
действию отношение входного оператора по управляющему воз-
действию к собственному оператору разомкнутой системы, т. е.
<8°)
Передаточной функцией разомкнутой системы по отношению
к возмущающему воздействию назовем отношение входного опе-
ратора по возмущающему воздействию С (р) к собственному опе-
ратору разомкнутой системы, т. е.
(81)
Аналогично определим передаточные функции замкнутой си-
стемы по отношении!) к управляющему воздействию Ф (р) и
по отношению к возмущающему воздействию Y (р). Так как опе-
ратор D (р) = Q (р) ф-Л4 (р), то
(Т)	_М (Р)_ М (р)	ф / \(Р)	/оп\
Q(p)+M(p) ’ ИЛИ	1ф№(р)‘
Аналогично, Y (р) =	~	,
или
Y ~1+W(P) •
219
Формулы (82) и (83) устанавливают связь между передаточ-
ными функциями разомкнутых и замкнутых автоматических систем.
Уравнение (74) перепишем в виде
(о0р5 + Ojp4 + а2р3 + а3р2 + а4р + аб) х =
— ФоР Н- ^i) S 4" (^оР3 4" ^iP2 + ^аР + ^з) Л4С, (84)
a0 = TKTaTyTlt
аг = ТмТаТу + Т^ТаТг 4- TMTyTL,
^2 = ТкТа 4- ТыТу 4- ТыТг 4- ТУТ, 4- kyk3k3Tj,
аз = 7'м4-7'у4-Л4- kyk3k^,
а4 = 1 Ptj,
a5 = k,	(85)
dG = -klfTaTyT„
di = — k±f (TyTa 4- TyT± 4“ TnT 1),
^2 — — ^i/ (Ty 4- Ta 4~ Ti),
d3 —— ky,
b0 = kxlf
bi = k.
Если обозначить передаточную функцию чувствительного эле-
мента и последовательного корректирующего устройства через
II (р) —	0 , передаточную функцию элемента, отражаю-
щего наличие в системе обратной связи по току, через Z (р) —
= ipk5p2, а передаточную функцию электромашинного усилителя
с исполнительным двигателем так:
W° ~ р (Т^аР2 + Тмр+1) (ТуР+1) ф ’
то структурную схему рассматриваемой следящей системы можно
привести к виду, изображенному на рис. 2.
§ 16. ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Дифференциальные уравнения систем автоматического ре-
гулирования. Рассмотрим структуру дифференциальных уравне-
ний систем автоматического регулирования. Система автоматиче-
ского регулирования состоит в общем случае из объекта регу-
лирования и регулятора (рис. 44). Состояние объекта регулиро-
вания характеризуется координатами xlt ..., хп. Вектор х =
Х1
называется вектором состояния объекта регулирования.
Регулятор в общем случае также представляет собой динамиче-
220
скую систему, характеризуемую т координатами ylf ..., ут, или
вектором у —
У1
Ут
Координаты ylt ..., ут являются выходными координатами
регулятора и одновременно входными координатами объекта регу-
лирования. Они называются регулирующими воздействиями,
Рис. 44
а вектор у — вектором регулирования. Объект регулирования
может находиться под влиянием возмущающих воздействий
/1(0» •••» Таким образом, общее уравнение объекта регу-
лирования можно записать в виде
х;, .... xs. X'.........х„, Х'п, ....
=Ч(г/,. у,.....г/!'1’. у.г У,..Ут’ У'п......Утт\
f, т...../Г*’ (о. (о...........д (о. д (/).......ю) (1)
(/-1. 2.....п).
Обычно регулятор является системой направленного действия,
т. е. объект регулирования воздействует на регулятор только
через обратную связь и элемент сравнения. Поэтому координаты
объекта регулирования (i=l, 2, ..., и) не входят в уравне-
ния регулятора. Внешними воздействиями для регулятора являются
управляющие воздействия ...,gn(f). Кроме этого, к регу-
лятору могут быть приложены возмущающие воздействия «,(/),
называемые помехами. Регулятор описывается совокупностью
уравнений
У/(У,. У',, .... </,(Ч У,. У*.Ут- У'т’ £'"’) =
=£/(ei.е;......e!s,)..............е;..	• 4s'*))+n/(0 (2)
(/=!» 2, ..., и),
(3)
причем уравнения (3) называются обычно уравнениями ошибки.
Уравнения (1) —(3) описывают поведение «-мерной системы авто-
матического регулирования и являются ее математической моделью.
221
Для одномерной системы автоматического регулирования
(рис. 45) входные и выходные координаты регулятора и объекта
регулирования являются скалярными величинами. В уравнения
одномерной САР входят:
Рис. 45
1) уравнение объекта регулирования
Х(х, хг, .... x^) = F(y, у', ..., у^, f(t), .... fv)(/));	(4)
2) уравнение регулятора с записанным отдельно уравнением
ошибки
у (У, У’, .... |Л’) = Е(е, s'...е<”) + п(0.	(5)
e = g —х	(6)
Если разрешить уравнения (4) и (5) относительно старшей
производной и ввести новые переменные
х =	х'^=х2, ... x(k~1} = xk, y^y-L, ... У(г~1} =yr, (7)
то уравнения (4) и (5) можно заменить нормальной системой
уравнений первого порядка:
dx,
~~dT==X2>
dxk-i
~dT-Xk>
^- = Xi(xx,...» xk,ylt ...,y[+1, t),
dt ~^2’
(8)
dt Уг'
...» xs, ylt ..., yr, t).
Наличие в уравнениях (4), (5), (6) функций времени f (/),
g(t), п (/) учитывается явной зависимостью правых частей системы
(8) от времени.
Система дифференциальных уравнений (8) удобна при иссле-
довании устойчивости системы регулирования. Иногда бывает
222
возможно исключить промежуточные переменные у и е Из урав-
нений (4) — (6). Тогда поведение системы регулирования будет
описываться дифференциальным уравнением
Фх(х, х',	Xм) —
= g’ (.1)..........g{m>(t).	fit), f(t)...(9)
в котором полагаем помеху п (/) — 0.
Дифференциальное уравнение (9) может быть линейным и
нелинейным. Если САР описывается линейными дифференциаль-
ными уравнениями, то такая система называется линейной, если
дифференциальные уравнения, описывающие поведение СДР,
нелинейны, то система регулирования называется нелинейной.
Как правило дифференциальные уравнения САР нелинейны, но
во многих случаях нелинейные уравнения можно линеаризовать.
К нелинейным системам автоматического регулирования относят
только такие САР, уравнения которых не могут быть линеари-
зованы; это —системы, содержащие существенно нелинейные эле-
менты. Следует отметить, что в некоторых случаях нелинейные
элементы вводятся специально для улучшения динамических
свойств САР.
Если параметры САР не изменяются с течением времени, то
САР называется стационарной, Стационарные линейные САР
характеризуются линейными дифференциальными уравнениями
с постоянными коэффициентами. Некоторые нестационарные линей-
ные САР, описываемые линейными дифференциальными уравне-
ниями с переменными коэффициентами, например уравнёниями
с периодическими коэффициентами, можно привести к стационар-
ным линейным САР.
2. Процессы в линейных системах. Поведение одномерной линеа-
ризованной системы автоматического регулирования описывается
линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэф-
фициентами, которое может быть записано в виде
D(p)x = M(p)g(t)-\-C{p)f(t),	(10)
где D (р), М (р), С (р) — некоторые многочлены от р степени соот-
ветственно п, т, I (обычно п>т, п>1); х — выходная коорди-
ната системы; g (t) — управляющее воздействие; /(^ — возмущаю-
щее воздействие.
Если линеаризованная система автоматического регулирова-
ния является многомерной, то ее поведение описывается системой
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами, которая в векторной форме имеет вид
D(p)x = M (р) g(t) + C (p)f(t),	(11)
Dn (p)...Dln (р)
где Z)(p)==
— полиноминальная матрица раз-
\_Dnl(p)...Dnn(p)]
мера пхп; (р) — многочлен от р с постоянными коэффициентами;
223
Л4и(р) ... М1т(р)"
Х1
х — = — вектор состояния САР; /И (р) — . •	•	—
Л4Я1(р) ... М.пт (р)
полиноминальная матрица размера nxrn; Мц (р) — многочлен от р
Г Si (0 '
Мп1(Р) • • • Мпт (Р).
с постоянными коэффициентами; g (/) =
щий) •
— вектор управляю-
щих воздействий; С (р)=
Ят (0 .
С1/(р)'
•	— полиноминальная мат-
Сп1 (р) ...Сп1(р)\
рица размера nxl; Ci} (р) — многочлен от р с постоянными коэф-
фициентами; /(/) — •
— вектор возмущающих воздействий.
Если задать компоненты А (/) (i — 1, 2, ..., /) вектора возму-
щающих воздействий /(/) и компоненты g, (t) (/—1, 2, tri)
вектора управляющих воздействий £"(/), то система уравнений (11)
будет представлять собой линейную неоднородную систему диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Ана-
логично, при заданных f (t) и g(t) уравнение (10) представляет
собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами. Как было показано в § 12, общее
решение неоднородной системы (11) может быть представлено
в виде
х = хп (/) + Ху (/),
(12)
где хп (/) — общее решение однородной системы
Z)(p)x = 0,	(13)
ху (t) — частное решение неоднородной системы (11).
Аналогично общее решение неоднородного уравнения (10):
x^xn(t)+xy(t),	(14)
где хп (/) — общее решение однородного уравнения
£>(р)х = 0,	(15)
ху (/)—• частное решение неоднородного уравнения (10).
В § 12 была получена общая формула решения однородного
дифференциального уравнения (15) в виде
в /**“’	\ \ ,
= S S	(16)
С = 1 \ Л = о / .
где X/ (Z= 1, 2,	, р) — корни уравнения D(Z) = 0; kt (Z = 1,
2, ..., р) — их кратности, ckl — произвольные постоянные. Если
система уравнений (13) нормализуема (см. § 12), то аналогичную
структуру имеют компоненты ее решения.
224
Учитывая равенства (14) и (16), общее решение уравнения
(10) примет вид
Ц (ki~ 1	\
* =	+	p’’''+МО-	(17)
Для получения ^решения %(/), описывающего процесс регулиро-
вания в линейной САР при заданном управляющем и возмущаю-
щем воздействии,, необходимо определить произвольные постоян-
ные cki, используя для этой цели заданные начальные условия.
Определив произвольные постоянные, получим выражение для
процесса регулирования. Отметим, что однородная система урав-
нений (13) и однородное уравнение (15) описывают свободное
движение системы автоматического регулирования, т. е. движе-
ние при отсутствии управляющего и возмущающего воздействий.
Поэтому составляющая хп (/) решения называется свободной состав-
ляющей (переходным процессом). Составляющая ху (/) решения
называется вынужденной составляющей (установившимся процес-
сом). Вынужденная составляющая определяется внешними воз-
действиями, приложенными к системе.
Функционально переходный процесс хп (t) не зависит от внеш-
них воздействий, и его характер определяется свойствами самой
САР. Однако так как произвольные постоянные cki определяются
из равенства (17), которое содержит слагаемое ху(1), существенно
зависящее от внешнего воздействия, то значения коэффициентов
cki зависят от внешних воздействий, прикладываемых к системе.
Рассмотрим подробнее этот вопрос для линейной системы авто-
матического регулирования, описываемой уравнением (10), пола-
гая, что все корни характеристического уравнения D (X) — 0 про-
стые. В этом случае общее решение будет
i = 1
Определим процесс регулирования, удовлетворяющий началь-
ным условиям
X (/0) = xlt х' (^ = х2, ..., х^-^ (/0) = хп.
Для определения произвольных постоянных q имеем линейную
алгебраическую систему уравнений
с^е 1#0 -р с2^2 0 + • • • ~Р спе^п*й = Xi — ху (£0),
Сук±е 10 -р с2К2е 2 0 -р... -р Сп'Кпв nt() — х2 — ху (/0),	0 8^
с^ ~	+ с2К ~ W +... -р сДГ Wo = Хп -	1Ш
Главный определитель системы уравнений (18)
I	п
1	to У
D — П (Vy* 1 = 1 =£0,
1	/ < i п 8
\
8 п. р, Чемоданова, т. 1
225
поэтому система имеет единственное решение
п
с‘= Ъ 2	0 = 1. 2.....п),
fe = l
где Aki — алгебраическое дополнение элемента dki = ^i опре-
делителя D.
Таким образом, процесс регулирования
п	п	п	п
х&)=~ 22XkAki~i 22 х^~п Ам
t=i	fe=i	f=i	fe=i
(19)
или
X (0 хпс (0 -J- Хпв (0 -J- (0 >
п п
где Л'пс (0 = -р	xkAki — свободная составляющая, япв(0 =
/ = 1	л =	1
п	/г
= — ТУ 2	2	х<*	°	^«	—	собственная	сопровождающая.
t=i	а=1
Из выражения (19) следует, что собственная сопровождающая
зависит от xy(t), т. е. в конечном счете от внешних воздействий,
приложенных к системе.
Назовем линейную систему автоматического регулирования
устойчивой, если свободное движение системы с течением времени
затухает т. е.
lim ||хп(0| = О.	(20)
t —> со
Из формулы (16) следует, что для устойчивости одномерной
САР необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристиче-
ского уравнения £)(Х) = 0 лежали в левой полуплоскости, т. е.
чтобы выполнялось условие
ReXz<0 (i=l, 2, ..., и).	(21)
Для устойчивости многомерной системы автоматического регу-
лирования требуется, чтобы корни характеристического уравне-
ния detD(X)=0 также лежали в левой полуплоскости плоскости
корней. Если справедливо равенство lim ||хп (0 || = оо, то система
/ со
автоматического регулирования называется неустойчивой.
Для устойчивой линейной системы автоматического регулиро-
вания процесс регулирования с течением времени стремится
к установившемуся процессу, или, что то же самое, установив-
шееся значение процесса регулирования совпадает с установив-
шимся процессом.
*’ Данное определение устойчивости не является строгим, Более строгое
определение устойчивости дано в шестой главе.
226
Положим в уравнении (10) возмущающее воздействие f(t) = 0,
тогда это уравнение примет вид
D{p)x — M (p)g(t).	(22)
Правая часть уравнения (22) может представлять собой сумму
нескольких слагаемых:
D (Р) х = У Mt (р) gi (t).	(23)
t = i
Тогда частное решение ху (/) уравнения (23) складывается из суммы
слагаемых xyi (t), т. е.
Ху (0 = Xyi (t),
i= 1
причем каждое слагаемое xyl (t) является частным решением
уравнения
D(p) x = Mi(p)gi(t).	(24)
В этом состоит принцип суперпозиции, который указы-
вает на возможность определения частного решения дифферен-
циального уравнения как сумму частных решений, соответствую-
щих прикладываемым к системе воздействиям; причем, определяя
частное решение, соответствующее какому-либо воздействию,
остальные воздействия можно считать равными нулю.
Если вычислять переходный процесс в системе по однород-
ному уравнению D(p)x = 0, то заданные начальные условия
х0 = х(/0), ....	л'(/г"1) (/0) должны быть пересчитаны на сле-
дующие значения: хОп = х0 — ху (/), ...,	=	—%у -1) (/0),
где ху (/) — частное решение уравнения (19) с правой частью.
Таким образом, при исследовании переходного процесса в САР
необходимо учитывать внешние воздействия, хотя, как было
отмечено выше, функционально вид переходного процесса не
зависит от внешних воздействий.
В теории автоматического регулирования исследуются пере-
ходные и установившиеся процессы в системах при некоторых
типовых управляющих воздействиях. К ним относятся: 1) единич-
ное ступенчатое воздействие
’	10, если / С 0,
£(0 = 1 (0 = 1 . п
( 1, если / > 0;
2)	гармоническое воздействие g (t) = Ао sin (ооЛ /^=0;
3)	воздействие в виде дельта-функции (импульсной функции)
( 0, t -7^= 0,
g (/)=£(/), причем б (0 = |	, а (0 dt = 1, если точка 0
vx'>»	> а
ь
принадлежит интервалу («, Ь), и (/) dt = 0, если начало коор-
а
ди пат не принадлежит интервалу (а, б);
. 8*	227
4)	воздействие вида
,А fao+ ^ +••• + £.А ^>0,
gW=| о	, /<0,
где go, gi •••, gr — постоянные числа.
Одной из основных характеристик САР является переходная
функция h (t), которая представляет собой решение уравнения (19)
при единичном ступенчатом воздействии и нулевых начальных
условиях. Переходной процесс хп (/) представляет собой разность
между h(t) п /цоо). Качество переходного процесса в САР харак-
теризуется (рис. 46) 1) перере-

Рис. 46
гулированием
ftmax — h (со)
° = й (со)	100 %;
2) временем переходного про-
цесса Т, под которым понимают
время, начиная с которого вы-
полняется неравенство
|А (/)-/i(oo)j<A,
где А некоторая заранее за-
данная величина.
Напишем дифференциальное уравнение САР относительно
ошибки системы. Уравнение ошибки
s = g — х.	(25)
Исключив х из уравнения (19), получим:
D(p)z==[D(p)-M(p)]g(t).	(26)
Решение уравнения (26) при данном управляющем воздейст-
вии
8 = еп(0 + еу(/),	(27)
где еп (/) —переходная составляющая ошибки, которая представ-
ляет собой решение однородного уравнения
£>(р)е = 0,	_	(28)
еу (/) — установившаяся составляющая ошибки, представляющая
собой частное решение неоднородного уравнения (26).
Вычислим установившуюся составляющую ошибки САР для
управляющего воздействия в виде
fgo+giH---- + gA />о,
г(Мо	. /<0.
Пусть коэффициенты многочленов D (р) и М (р) удовлетворяют
условию
= (t = 0,1,2, ..., V-1),
^n-v bm-v	(29)
228
Системы автоматического регулирования, для которых выпол-
няется условие (29), называются системами, имеющими v-й поря-
док астатизма. САР, имеющие нулевой порядок астатизма (v = 0),
называются статическими системами.
Правую часть уравнения (26), учитывая условие (29), можно
записать в виде
Pv [(aw_v - bm_v) + (otn-v-i - VvJ Р + • • • +	(0-	(30)
Установившаяся составляющая ошибки еу (/) будет иметь различ-
ное значение в зависимости от соотношения между степенью г
многочлена g(t) и порядком v-астатизма САР:
1.	Пусть r<v. Тогда правая часть уравнения (26) имеет вид
pv [(nn_v — bmv) +... + аорп v] g (t) = 0 и неоднородное уравнение
(26) перейдет в однородное уравнение (28). В этом случае уста-
новившаяся составляющая ошибки равна нулю
8у(/)=0.
2.	Пусть г— v. В этом случае правая часть уравнения (26)
имеет вид pv [(a«_v - bm~v) +. • • + g (0 = («п-v - bm~v) r!g„
а частное решение 8y (/) неоднородного уравнения (26) будет таково:
е (/) = (an-v-bm-v)f\gr _	(3j )
ап
В этом случае установившаяся составляющая ошибки явля-
ется постоянной величиной, прямо пропорциональной разности
(ал..у — bm-v) и коэффициенту gr и обратно пропорциональной коэф-
фициенту ап.
3.	Пусть r>v. Правая часть уравнения (26) согласно фор-
муле (30) в этом случае представляет собой некоторый многочлен
от t степени r — v. Коэффициент при старшем члене будет иметь
г\
значение р gr (an-v — bm,v) 0. Установившаяся ошибка
также является некоторым многочленом от*/ степени r — v.
Таким образом, если r>v, то установившаяся ошибка с тече-
нием времени неограниченно возрастает, т. е. Птеу(/) = сю.
t —>со
В практике обычно встречаются системы регулирования нуле-
вого порядка астатизма (статические САР), первого и второго
порядка астатизма. В соответствии с изложенным выше для ста-
1 тпческих систем установившаяся ошибка отлична от нуля при
управляющем воздействии вида g (t) = g0-1 (/). Для системы пер-
j вого порядка астатизма установившаяся ошибка равна нулю при
входном воздействии g (/) = g0  1 (/) и является постоянной вели-
чиной при входном воздействии, изменяющемся с постоянной ско-
i ростью, т. е. при g(f) = (go + giO • 1(0- Системы второго порядка
астатизма имеют нулевую установившуюся ошибку при постоянном
входном воздействии g(t)=g0-1 (/) и при воздействии, изменяю-
•	щемся с постоянной скоростью g (/) == (g0 + grt) -1 (/). Для таких си-
i	стем установившаяся ошибка постоянна и отлична от нуля для вход-
| ного воздействия, изменяющегося с постоянным ускорением, т. е.
f	229
i
при воздействии вида
g(0 = feo + g^ + ^2)-l (О-
Многие линейные САР имеют довольно сложные структурные
схемы и описываются линейными дифференциальными уравнени-
ями высоких порядков. Однако аналитическое исследование этих
систем не встречает принципиальных трудностей, хотя и связано
с громоздкими выкладками, вызванными, в частности, необходи-
мостью приближенного определения корней характеристических
уравнений высоких степеней.
Анализ линейных САР с переменными параметрами связан с
решением линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты
которых изменяются во времени. Решение линейных дифферен-
циальных уравнений с переменными коэффициентами является
значительно более трудной задачей, чем решение уравнений с
постоянными коэффициентами. В отдельных случаях уравнение
с переменными коэффициентами может быть приведено к уравне-
нию с постоянными коэффициентами.
Независимо от вида и порядка линейного дифференциального
уравнения структура его решения всегда одна и та же — это реше-
ние содержит две части: общее решение соответствующего одно-
родного уравнения и частное решение неоднородного уравнения.
Поэтому в линейных САР возможно раздельное определение пере-
ходных и установившихся составляющих процесса регулирования.
К линейным САР применим принцип суперпозиции. Физически
это означает, что если к системе приложено несколько воздейст-
вий, то суммарный эффект от этих воздействий может быть опре-
делен как сумма эффектов от каждого из воздействий.
3. Линейные дифференциальные уравнения, правая часть кото-
рых содержит производные от разрывной функции. При анализе
линейных систем автоматического регулирования возникает необ-
ходимость находить решение линейных дифференциальных урав-
нений, правая часть которых содержит производные от разрывной
функции. Например, для определения переходной функции САР,
которая описывается уравнением (19) D (р) х = М (р) g (/), тре-
буется найти решение этого уравнения при g(t)~l(f). Единич-
ная функция 1 (/) имеет разрыв первого рода при t = Q, поэтому
правая часть уравнения (19) содержит производные от разрывной
функции. Рассмотрим решение уравнения (19), полагая, что
функция g (/) имеет разрыв непрерывности первого рода при t — О,
причем производные слева и справа от точки разрыва существуют.
Значения
0) (6 = 0, 1, ...» m-1), x(k)(— 0) (6 = 0, 1, ..., n-1)
называются левыми начальными значениями, а
^(+0) (6 = 0, 1, .... т-1), х^(+0) (6 = 0, 1,	п-1)
— правыми начальными значениями,
230
В уравнении (19) полагаем, что nZ>tn. Решением x(t) урав-
нения (19) называется такая функция, которая при подстановке
в уравнение обращает его в тождество для всех значений t, при
которых функция g (t) и ее производные до порядка т непре-
рывны. В тех точках, где функция g(t) терпит разрыв, тожде-
ства должны иметь место слева и справа от точки разрыва.
Рассмотрим решение уравнения (19). Для решения сведем это
уравнение с помощью замены переменных к системе уравнений,
правые части которых не содержат производных от разрывной
функции g(t). При этом вводятся обозначения:
= р = 0, 1, ..., п — т— 1),
i — (п — tn)
х{п = Уп-1+ у ct_kgW(f) (i = ti-m, ..., n-1), (32)
А = 0
откуда
yi=yi+i (i = l, 2, ..., n-m-1),
y'i = yi+i + cig(t) (i — n — m, n— 1).
Найдем производную y'n. Продифференцировав равенство (32) для
случая i = п— 1, получим
т
Уп = хм — У Cn^kg^ (t).	(34)
k = i
Из уравнения (19) имеем
п — 1	т
i = 0	=о
Подставим это выражение в уравнение (34):
п — 1	т	т
2 г 2	У (35)
4 = 0	/г = 0	Ъ = 1
В равенство (35) подставим Д') из соотношений (32):
п — 1	п — 1	i — (п — т)
Уп = — ~~ У ап-,У1\л-^- У «п-z У	+
Uq	U(j JhJ
4=0	i=z n — hi	k = 0
tn	m
-+ 2 w - 2 c-^(36)
k = 0	k = 1
Выберем постоянные (* = 1, 2, ..., tn) так, чтобы правая
часть равенства (36) не содержала производные функции g(t).
Учитывая, что
п— 1	I — (п — т)	т—1	п— 1
2 a^t 2	(0 = 2	(/) S а„чс,.к, (37)
i = n — m	k — Q	k = 0	i = n—m \-k
231
перепишем равенство (36) в виде
п — 1	т — 1	п — 1
2 VC(-‘+
i = О	Л = О	i = n — т-\- k
т	т
+ 2	W - У cn_kgw (/). (38)
k = 0	/? = 1
Приравнивая нулю коэффициенты при g(w) (/), g' (t), получим
следующие соотношения для определения неизвестных с„_т,...
• • • , Сп~1‘
п — 1
c„-m=-X	У ^-c,_b (k = l, 2........т-1),
а0	.eeJ ио
1 = п — т-\- k
(39)
Если учесть выражения (39), то производная у'п запишется в виде
п — 1
Уп = - У ^-yi+1 + cng(t),	(40)
>< Со
1 = 0
где
с"=-^- "1 ^с‘- <41>
I — п—т
Уравнения (33), (40) составляют систему дифференциальных
уравнений, которая эквивалентна уравнению (19). Запишем эту
систему в векторной форме
%- = Ay+cg(t),	(42)
где
	“0		1	0 ..	. 0 "		~0	 о	
Д =	0	ап	0 ОЯ-1	1 .. аП-2	. 0		Сп — т	;	(43)
		Со	а0		а0._		. Сп	
причем коэффициенты сп_т, ..., сп определяются из соотношений
(39), (41). Система уравнений (42) представляет собой на каждом
из интервалов непрерывности функции g(t) линейную неоднород-
ную систему дифференциальных уравнений. Решение таких систем
было рассмотрено в §. 12.
Отметим, что в рассматриваемом случае решение системы
уравнений (42) будет непрерывной вектор-функцией и в точках
разрыва функции g(t), так как правые части уравнений не
содержат производной от разрывных функций.
232
Пусть у = у (/) — решение системы (42), удовлетворяющее
начальным условиям
4/z+i(0) = ^(-0) (4 = 0, 1, .... n-m-1),
^ + i(0) = x(z) (— 0)—
I — (п — т)
— У, Q-feg(ft)(—0) (i = n-m,..., ti- 1).
£ = 0
Тогда первая компонента уг (/) вектор-функции у (I) представляет
собой решение x(t) уравнения (19). Из соотношений (32) следует,
что это решение непрерывно и имеет непрерывные производные
до порядка п — т — 1 включительно. Производные более высоких по-
рядков имеют разрывы в точках разрыва функции£(/); левые началь-
ные условия x(z) (—0) (4 = 0, 1, ..., и—1) задаются при реше-
нии задачи; правые начальные условия %О) (ф- 0) определяются
согласно формуле (32) из соотношений
х(/) (-р 0) =	(—0) (4 = 0, 1, ..., п — т — 1),	(45)
х(0 (+ 0) = 4//+1 (0)4-	У O-*g(ft)(4~0) (4 = n-m, ..., п-1).
/е = 0
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения
х" -\-2х' х = g' (t)	(46)
при заданных начальных условиях
х(— 0) —х'(— 0) = 0.	(47)
Пусть g (f) — единичная ступенчатая функция, т. е. ^(/)=1 при t > 0;
g(-0) = 0, g(4-0)=l.
Решение уравнения определим для t е [0, оо]. Коэффициенты уравнения
(46) имеют следующие значения; а0=1, а{ — 2, а2—1, Ьо— 1,ф1 = 0. Опреде-
лим по формулам (39), (41) значения коэффициентов сх и с2: 4^=1, с2 — —2.
Уравнение (46) согласно формулам (42), (43) эквивалентно системе уравнений
-^- = ^4-^(0.	^-^~y1-2y2-2g(t).	(48)
По формуле (44) определим начальные условия, которым должно удовлетво-
рять решение уравнения (46):
^1(0) = 0,	ya(0) = -c1g(-0) = 0.	(49)
Найдем общее решение системы (48). Это решение состоит из общего реше-
f ния соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной
t системы (18). Общее решение однородной системы
->=-Л-2№	(5°)
имеет вид
I	4/i = (q4-c2/)e-z,	4/2 = (— Ci + Qi — c2t)e-(.
. Частное решение системы (48) ищем, полагая, что g (/)=!. Это решение 4/1 = 0,
у2 — — 1. Тогда общее решение системы (48) будет
I	yi = (Q4-c20^Z»	= Q4-^2—1.
I	233
1
Решение системы уравнений (48), удовлетворяющее начальным условиям (49),
есть
=	t/2 = (l—	1.
Тогда решение уравнения (46) при t > 0 будет
х — teх' = (1—/) ё~{ — l-f-g(O-	(51)
Правые начальные условия: х (ф- 0) = х (— 0) = 0, х' (Ц- 0) = у2 (0) ф-
+ cig (ф- 0) = 1. Графики функций х (t) и х' (t) приведены на рис. 47.
4. Импульсная переходная функция. Напишем для неоднород-
ного линейного дифференциального уравнения (22) формулу,
аналогичную формуле Коши (см. § 12). Решение этого уравне-
ния, удовлетворяющее начальным условиям
х (0) = х0,	(0) =	• • •,	(0) = л^п-i, (52)
имеет вид
t
х (t) = (Z) + Jx (/ — т)£-(т) du,	(53)
о
где <р(/) —решение однородного уравнения D (р) х = 0 (15), удов-
летворяющее начальным условиям (52); х (t) — решение однород-
ного уравнения (15), удовлетворяющее начальным условиям
х(0) = т]о, (0)	• ••, x(n-1) (0) =T]n-i-	(54)
Постоянные t]z (t = 0, 1, 2, ...» /г —1) определяются из соотно-
шений
Я(Л114~ ^ГПо = Ьт п-12,
^оЦп-1 + • • • +
причем = 0, если г<0.
Формула (53) легко проверяется непосредственной подстанов-
кой в уравнение (19). Следует отметить, что процесс регулиро-
вания в САР рассматривается, как правило, при	При
234
этом полагается, что при /<:0 к системе не приложены ни
управляющее воздействие g(t), ни возмущающее воздействие f (/)
и выходная координата х вместе со своими производными до
(п — 1)-го порядка при t-zO равна нулю. В этом случае началь-
ные условия (33) будут нулевыми и решение <р (/) уравнения (15)
тождественно равно нулю. Тогда формула (53) перепишется
в виде
t
х (t) = ^х (t — х) g (т) dx.	(56)
о
Введем в рассмотрение функцию k(t), определенную при
— оо</<оо, следующим образом:
( х (/), t О,
О, «О.	.	<57>
Тогда формула (56) примет вид
СП	t
х (/) = J k (t — т) g (т) dx = J k (т) g(t — x) dx. (58)
0	—co
Функция k (t) называется импульсной переходной (весовой)
функцией системы автоматического регулирования. С ее помощью
можно вычислить процесс регулирования в САР при подаче на
вход системы произвольного воздействия g(t). Учитывая, что
управляющее воздействие приложено к системе в момент t = 0,
т. е.	z
(О,	/<0,
g(0=Lw. <>о	<59)
формулу (58) можно записать следующим образом:
х (t) = J k (t — т) g (х) dx = J k (x) g(t — x) dx. (60)
Выясним физическую природу импульсной переходной функ-
ции. Для этого определим процесс регулирования в САР при
управляющем воздействии типа дельта-функции, т. е. положим
£ (/) = <5 (/). Учитывая фильтрующее свойство дельта-функции
(см. § 37)
J Нт) S (t— х) dx — f (f),	(61)
получаем
оо
х (t) = § k (х) Ь (t — х) dx = k (t).
(62)
Таким образом, импульсная переходная функция САР пред-
ставляет собой реакцию системы на входное воздействие типа
235
дельта-функции. Этим объясняется ее название «импульсная
переходная функция».
Пример 2. Произвести анализ дифференциального уравнения линеаризо-
ванной следящей системы с электромашинным усилителем (рис. 41).
Уравнение системы было получено в § 15 [см. уравнение (84)], оно имеет
вид
(«оР5 + «1Р4 + «2Р3 + а3р2 + а4р 4- а6) х=-
= (boP + b1)g + (dop* + d1P2 + d2p4- d3) Mc.	(63)
Коэффициенты уравнения задаются соотношениями (85) § 15. Из этих соотноше-
ний следует, что «5 = й1=/г. Таким образом, следящая система с ЭМУ имеет
.первый порядок астатизма по отношению к управляющему воздействию.
Определим устойчивость САР и импульсную переходную функцию системы
при следующих значениях параметров системы:
/г = 200 1/с; /гу/г3Р5 = 40; Ту=0,02 с; Та = 0,83 с;
Ум =1,2 с; 7\ = 0,1 с; T!=l,0 с.
С помощью соотношений (85) § 15 вычислим для указанных значений
параметров системы коэффициенты уравнения (63): «о = О,ОО2, «г = 0,1224,
02 = 5,146, «3 = 41,32, «4 = 201, «Б = 200, 60 —200, ^ = 200. Корни характери-
стического уравнения
0,002Х5 4- 0,12242? 4- 5,14624 4- 41,322? 4- 201X 4- 200 = 0	(64)
имеют следующие значения:
2^=—1,28, %2 = —3,754-/4,88, Х3 = —3,75 —/4,88,
Х4 = —26,24-/37,13, Х5 = —26,2 —/37,13;	(65)
все корни лежат в левой полуплоскости, т. е. удовлетворяют необходимому и
достаточному условию (18) устойчивости системы автоматического регулирова-
ния. Таким образом, при выбранных значениях параметров система регулиро-
вания с ЭМУ является устойчивой.
Определим импульсную переходную функцию следящей системы с ЭМУ.
Для этого найдем частное решение однородного уравнения
(«0р5 4- «tp4 4- «2р3 4- «Зр2 4-	+ «.->) х=0,	(66)
причем согласно равенству (55) начальные условия для этого решения опре-
деляются из системы уравнений
аох (0) = 0,
«ох' (0) 4- «хх (0) = 0,
аох" (0) -f- агх' (0) -}- а2х (0) = 0,	(67)
«ох'" (0) 4-агх" (0) 4-«2х/ (0)4-а3х (0) = Ьо.
aoxIV (0) -[- а^х"' (0)4-«2х" (0)4-«3х' (0)4-«4х (0) = ^.
Решением этой системы будут значения
х(0) = 0, х'(0) = 0, х"(0) = 0, х'" (0) = -^ = 100 000,
«о
х1 v (0) =	= — 6 020 000.	(68)
ао
Найдем решение однородного уравнения (66), удовлетворяющее начальным
условиям (68). Общее решение уравнения (46) имеет вид
X (t) =	4- c2eKit 4- с3№4-	4- с^.	(69)
236
Для определения произвольных постоянных clf с2, с3, с4, с5, учитывая началь-
ные условия (68), получаем систему уравнений
С1 4~ с2 + с3 4~ с4 + СЬ — 0.
^1С1+ Х2С2 4“ XgCg 4“ Х4С4 4- ХБСБ = 0 >
XjCj4~ XfC2 4~ ^Зс3 4- Х|С4 4- Х^ОБ — О,
(70)
ЦС14-Цс2 4- Цс3+Цс4 4- Х5ч=х"' (0),
МС1 4- ^2С2 4“ Х|Сд 4- МС4 4- Х5С5 = X1 v (0).
Определитель системы (70) есть определитель Вандермонда. Корни характери-
стического уравнения (64) различны, поэтому этот определитель отличен от
нуля и система уравнений (70) имеет единственное решение. Найдем это реше-
ние, используя правило Крамера (см. § 4, п. 4):
Ai
Д , C2 =
Определитель системы
Аг
Д’
г	г—г—Дб
Сз~~ A’ Ci~ Д’ Сб“ Д*
(71)
К
К
х?
X?
Вычислим определители
0
0
0
x"'(0)
xlv (0)
1
Хг
Ц :
Xi :
Аг, i
1
Хг
Xi
Xi
Xi
1
х3 ,
42 1
Л3 ,
М :
Ц :
А2,
1
! Хд
Ц
5 Ч
1
x4
12 '
Л<4 ।
Xf :
X| :
Ag,
1
X4
Xi
; Xi
Xi
1
ХБ
Х|
xi
Xi
Л4 и А5:
1
ХБ
Xi
Xi
ц
(X/ X/).
= —x'" (0) Aj4-xiv (0) At,
(72)
XJ
(Xi-X/). 2 X/,
/=2
(73)
Ai
II
(X/ Ху).
(74)
Аналогично имеем
Д2 = х'" (0) A2-xIV (0) Ja, A3 = —x"z (0) Ag + %IV (0) Г3,
A4 = x'" (0) A4 - x1 v (0) Д4, Аб = - x'" (0) ДБ + x1 V (0) Д5,
Б
aa= п S (A:=2’ 3« 4«5)’
/ = 1	i,
(75)
где
(76)
А =
Ai =
П (ft=2’3’4- 5);	(77>
1
237
Согласно формулам (71) — (77), найдем:
г	5
^=-5---------JFIV (О)-Г'(О) У Л,-
П(^--м) ।	' = 2
' = 2
(78)
1
^4— 5
п
i—1
t‘+4
5
xIV (0)-х"'(0) Z/
/=1
1
С5— 4
П
( = 1
4
xIV (0)-%"' (0) 2
/=1
Подставив в равенства (78) значения из (65) и значения х'" (0) и xIV (0)
из (68) получим:
q = _ 0,47, с2 = —0,42—/5,59, c3 = —0,42 + /5,59,
с4 = —0,6424-/0,328, с5 = —0,642-/0,328
Подставив найденные значения произвольных постоянных q (г== 1, 2, 3, 4, 5)
в формулу (69), получим импульсную переходную функцию следящей системы
с ЭМУ:
k(t) = — 0,47g-1’28/-|-е-3’75/ (—0,84 cos 4,88/+11,18 sin 4,88/) +
4_е-2б,2/ (j 285 cos 37,13/ —0,656 sin 37,13/),	(79)
/^0, k (/) —0, / <0.
С помощью найденной импульсной переходной функции системы можно
легко определить реакцию САР на единичное ступенчатое воздействие. Пусть
</(/)=!(/) = {
1, если
0, если
/>0,
/ < 0.
Тогда выходная координата системы определяется с помощью формулы (38),
где следует положить g(t—т)—1 (/—т),
i	i
h (/) = k (т) di — j [— 0.47g—1,28т4-е-"3’751 (— 0,84 cos 4,88т4-11,18 sin 4,88т) +
о	о
4_е-2б,2т (1 285 cos з7>13т —0,656 sin 37,13т)] di= 1 4-0,375е_1*28' —
—g~3-75/ (1,37 cos 4,88/+ 1,3 sin 4,88/) +
+е-2б,2/	0 005 cos 37,13^+0,035 sin 37,13/.) (80)
238
5. Особенности процессов в нелинейных системах. Анализ
дифс] еренциальных уравнений нелинейных систем автоматического
регулирования значительно сложнее, чем анализ уравнений линей-
ных САР. В § 13 рассмотрены некоторые методы решений нели-
нейных дифференциальных уравнений. Решения нелинейных диф-
ференциальных уравнений не имеют той характерной структуры,
которая свойственна решениям линейных уравнений. К этим
уравнениям неприменим принцип суперпозиции, поэтому отдель-
ные частные решения суммировать нельзя. Невозможно указать
общие методы, пригодные для решения таких уравнений, функ-
циональный вид решения существенно зависит от вида правой
части уравнения и начальных условий. Из этого следует, что
нельзя построить общее решение нелинейного дифференциального
уравнения, описывающего процессы в САР, из которого можно
было бы получить решение уравнения при конкретно заданных
начальных условиях и определенных воздействиях, приложенных
к системе. Решение нелинейных уравнений обычно производится
приближенными методами или с помощью вычислительных
устройств, причем выбор того или иного способа определяется
конкретными условиями задачи.
Если поведение нелинейной САР описывается уравнением (9),
то при постоянных входном воздействии £•(/)= go 1 (/) и возму-
щающем воздействии = уравнение (9) принимает вид
Ф^х, х', ..., л^) = ФИ&), о, ..., О, /о, 0,	0).	(81)
Каждое решение х (/) этого уравнения определяет процесс регу-
лирования в САР. Под установившимся процессом в нелинейной
САР понимают решение ху (/) уравнения (81), обладающее неко-
торыми специфическими стационарными свойствами. Это могут
быть либо состояние равновесия, либо колебательный установив-
шийся процесс с постоянными амплитудой и частотой. Состояния
равновесия определяются из уравнения
Ф1(ху, 0, ..., 0) = Ф2(^о, 0, ..., 0, /0, 0, .... 0).	(82)
Уравнение (82) может иметь, не одно, а множество решений.
В соответствии с этим в САР возможны либо несколько состоя-
ний равновесия, либо целая область состояний равновесия.
Если установившийся процесс имеет постоянное значение
ху(/) = х0, то для получения уравнения переходного процесса
следует подставить х (Z) = хуН -х„ (/) в уравнение (81) и вычесть
из уравнения (81) уравнение (82):
Ф1(ху + х„,	.... ^)-Ф1(ху> 0-----0) = 0.	(83)
Если в нелинейной системе наблюдается установившийся
колебательный процесс хк (/) с постоянной составляющей хс, то
он определяется уравнением
Ф1(х« + хс, .... ^)=Ф3(&, о........0,	0....0),	(84)
239
причем постоянная составляющая хс удовлетворяет уравнению (82).
Вычитая (82) из (84), можно получить уравнение для определе-
ния установившегося колебательного процесса:
®i(-vK + xc, ...^_ф,(Хс> о.......0) = 0.	(85)
Из сравнения уравнений (83) и (85) видно, что установив-
шийся колебательный процесс можно рассматривать, как частное
решение уравнения переходного процесса.
В линейных САР, не находящихся на границе устойчивости,
периодический процесс возможен лишь при наличии внешнего
периодического воздействия. В нелинейных САР, напротив, воз-
„	можен устойчивый пе-
риодический процесс
----при отсутствии внеш-
них периодических воз-
действий. Такой процесс
\	называется автоколеба-
/ / /	\ \	тельным процессом. Па-
III 'ff/'\	\ раметры автоколебаний
III ((((	) ) rl । г* I > (амплитуда и частота)
I \ \ vl \у/ / / /1 не зависят от пачаль-
\ \	/ j ных условий. В случае
\	/ нескольких периодиче-
/ ских движений эта не-
зависимость имеет ло-
’	-----——кальный характер.
Укажем особенности
Рис. 48	переходных процессов
в линейных и нели-
нейных САР. Характер переходных процессов в линейных си-
стемах связан со значениями корней характеристических урав-
нений систем и функционально не зависит от начальных условий.
В нелинейных системах картина иная. Здесь функционально вид
переходных процессов может существенно зависеть от начальных
условий. В зависимости от начальных условий переходный про-
цесс в нелинейных системах может быть монотонным или колеба-
тельным, сходящимся или расходящимся. Существенным отличием
колебательных переходных процессов в нелинейных системах
является также зависимость частоты колебаний от амплитуды.
В линейных системах переходный процесс затухает до нуля или
расходится до бесконечности в зависимости от того, имеют ли
корни характеристического уравнения системы отрицательные или
положительные вещественные части. В первом случае линейная
САР является устойчивой, а во втором — неустойчивой. Суждение
об устойчивости такой системы никак не связано с начальными
условиями.
В нелинейных системах, как отмечалось выше, возможны
несколько установившихся состояний; поэтому анализ устойчи-
240
вости нелинейной системы представляет собой рассмотрение устой-
чивости каждого установившегося состояния. Нелинейная САР
при одних отклонениях регулируемой величины от какого-либо
установившегося состояния
других отклонениях —
неустойчивой, поэтому
при исследовании ус-
тойчивости системы не-
обходимо принимать во
внимание начальные ус-
ловия. Исследование
устойчивости установив-
шихся состояний в не-
линейной системе поз-
может оказаться устойчивой, а при
воляет выявить, какие
из этих состояний мо-
гут реально существо-
вать в системе. Если
переходный процесс в
нелинейной САР зату-
хает при начальных
условиях, удовлетво-
ряющих неравенству
||х (4) ||< а, и расхо-
дится при начальных
условия х || X (/0) И > а,
то говорят, что нели-
нейная САР устойчива
«в малом» и неустойчи-
ва «в большом».
На рис. 48 изобра-
жены фазовые траекто-
рии нелинейной САР,
имеющей три возмож-
ных установившихся со-
стояния: 1) состояние
равновесия (%, у) — (О,
0); 2) колебания с ам-
плитудой аг; 3) коле-
бания с амплитудой а2. Колебательный процесс с амплитудой
неустойчив. Колебательный процесс с амплитудой а2 — устойчив,
т. е. представляет собой автоколебания; В зависимости от началь-
ных условий в системе отклонения регулируемой координаты САР
будут либо затухать до Нуля (система устойчива «в малом»),
либо отклонения регулируемой координаты САР будут стремиться
к колебаниям с амплитудой а2 (система неустойчива «в большом»).
Пример 3. Произвести анализ нелинейной системы автоматического регули-
рования. Структурная схема системы приведена на рис. 49, а. Характеристика
нелинейного элемента изобоажена на рис. 49, б. Уравнение нелинейного эле-
241
мента имеет вид
и = «о sign е.	(86)
Пусть линейная часть системы автоматического регулирования описывается
линейным дифференциальным уравнением
z/2 г	dx
ЛЛ + (Т2 - 7\)	- X = kou.	(87)
Уравнение ошибки системы
e=g—х.	(88)
Совокупность уравнений (86) —(88) описывает поведение нелинейной системы
регулирования в целом. Исключив из уравнений (86) — (88) переменные е и и,
получим .нелинейное дифференциальное уравнение
d^x'	dx
Л^2-^-+	—-x=tasign(g-x).	(89)
dx
Введем обозначения х — хъ	и перейдем от уравнения (89) к нор-
мальной системе дифференциальных уравнений:
dx2 1	Т2 — Т j
~dT =	X2 + '7\77S,gn	*i)-	(90)
Рассмотрим поведение нелинейной САР при управляющем воздействии g = g0 =
— const (/	0), причем полагаем, что справедливо неравенство
OCg0<-k0u0.	(91)
Состояния равновесия нелинейной САР определяются нз системы уравнений
х2 = 0,
Xi —	х2 +	sign (g0 - Xi) = 0,	(92)
решениями которой являются
X] = —^oHq, Х2 = 0 И Xi = A?q£Zq, х2==0л
Кроме этого, при значении Xj=g0 система (92) будет неопределенной Если
положить sign 0 — , то система уравнений, имеет помимо указанных выше
решений также решение хх —g0, х2 = 0.
Исследуем характер движения нелинейной САР в окрестности точек состоя-
ний равновесия А (— k„tin, 0) и В (kouo, 0) (рис. 49, в). Для исследования
состояния равновесия А (—kouo, 0) сделаем замену переменных:
£ — Xj	Т) = х2,
тогда система уравнений (90) примет вид
dt	Л] _	1 «. Т2 — Тг
"dt ~П’	dt Т\Т2 TiT2 П’
242
(93)
(94)
Найдем корни Х2 характеристического уравнения
— X	1
_____...............?а , Л-Л________£__ _
Т\Т2 Т\Т2 Л	1\Т2 Л Т\Т2 ~
Т2'	Тг’
Корни Xi и Z2 действительные и различных знаков, поэтому (см. § 14) в точке
А (—/гоио, 0) имеем особую точку типа «седло». Решение, соответствующее
*
характеристическому числу Zj, имеет вид Е1 = ср? Тг , г)1==с2е Тз .
Найдем связь между постоянными q и с2. Для этого подставим Ех и т)х
t
„ /ПЛ.	т? получим:
в систему уравнении (94) и после сокращения на е 2
01	с2	сг Т2 — 7\
7?- = о2,	== — ——--------—-—с2, откуда Ci = c2T2.
1 2	1 2	1	2	‘ I1 2
Решение, соответствующее характеристическому числу Х2> будет ^2=с3е'“//Г1,
т]2 = с4е— ^7', причем постоянные с3 и с4 связаны между собой соотношением
Оз — — с47'1.
Общее решение системы (94) получим в виде
1 = с1Т2е(/т,!—c2Tie~^T\ x\=Ciet/Ti -}-c2e~t,Ti.	(95)
Найдем прямолинейные фазовые траектории, которые являются асимптотами
в окрестности особой точки типа «седло». Их уравнение
WE	(96)
Исключим время t из системы уравнений (94), поделив второе уравнение системы
на первое Получим дифференциальное уравнение
t » т2-тг
_________1^1.	(97)
dl,	1]	'
Для определения k подставим значение т] из уравнения (96) в уравнение (97):
_1_____
__ Т\Т2 Т\Т2
k
откуда
t,2 i ^2 — Т'1 г, ।	.	1	,	1
7 И 2	' I1 2	J 2	j 1
Следовательно, уравнения асимптот, проходящих через точку Л(—kouo, 0),
имеют вид
*2 — (xi 4*^owo)> х2 = —— (Xi -f-A’oWo).	(98)
1 2	1 1
Изучим характер движения нелинейной САР в окрестности особой точки
В (kouo, 0). Для этого сделаем замену переменных:
Е = х( — /гоно, г] = х2	(99)
Тогда система уравнений (90) запишется в виде
1 £
dt dt ТХТ2 s ТгТ2 1
(100)
243
Система уравнений (100) совпадает с системой (94), поэтому все результаты
анализа системы уравнений (94) применимы к системе уравнений (100), т. е.
особая точка В (kQua, 0) также является особой точкой типа «седло», причем
прямолинейные фазовые траектории имеют уравнения
=	— k0U0), Х2 = — у-(Х! — kollo).	(101)
Следует отметить, что система уравнений (94) справедлива в полуплоскости
*1<£о> а система уравнений (100) —в полуплоскости Xj > g0. На прямой
x1 = g0 происходит переключение релейного элемента. В соответствии с этим
фазовые траектории системы имеют вид, изображенный на рис. 49, в. Заштри-
хованная область является областью устойчивости, так как все фазовые траек-
тории, .которые начинаются внутри этой области, с течением времени стремятся
к точке (g0, 0), т. е. система регулирования отрабатывает поступающее на вход
воздействие g — g0.
Глава VI
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 17.	ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
1.	Устойчивость в смысле Ляпунова. Под устойчивостью си-
стемы автоматического регулирования обычно понимают свойство
системы возвращаться к первоначальному состоянию после пре-
кращения действия внешнего возмущения. Требование устойчивости
является одним из основных требований, предъявляемых к системе
автоматического регулирования, и определяет, как правило, работо-
способность системы. Полагая, что система автоматического регу-
лирования описывается системой обыкновенных дифференциальных
уравнений, рассмотрим устойчивость решений дифференциальных
уравнений. Пусть поведение системы автоматического регулиро-
вания описывается системой обыкновенных дифференциальных
уравнений
=	.... x„)(i = l, 2.п),	(1)
где =	2,	/г) — переменные, характеризующие состояние
системы.
В векторном виде систему (1) можно записать следующим
образом:
(2)
В уравнении (2) приняты обозначения
Если система уравнений (1) является автономной, то урав-
нение (2) примет вид
“-=/(*)•	(3)
* Введем в рассмотрение (п ф- 1)-мерное пространство Еп+1, коор-
L. динатами которого являются t, xlt хп. Будем рассматривать
г только такие системы, правые части которых непрерывны по всем
? аргументам и имеют непрерывные частные производные по зави-
 •	симым переменным х1у ..., хп в некоторой выпуклой области G
«	пространства Еп+1. В этом случае выполняются условия теоремы
|	существования и единственности, т. е. для любых начальных
значений t0, х10, ..., хп0 существует, и притом единственное,
>	решение
|	= Ь (t, xi0) (i = 1, 2, ti),	(4)
i	245
i
удовлетворяющее начальным условиям
& (to, лг/о) = xi0 (/ = 1,2,...,/?).	(5)
Потребуем бесконечной продолжаемости решения (4), т. е. будем
считать функции £t- (/) определенными для /0СЛ<Л^, причем t0
можем считать равным —сю.
Рассмотрим некоторое решение системы (2) xt = gz (/) (/ ==
= 1, 2,..., п), определенное на интервале |70, оо), причем
Вг (to) ~ Х/д.
Введем определения. Решение ^ (/)(/ = 1, 2, ..., п) называется
устойчивым по Ляпунову при /->оо, если для любого е>0 суще-
ствует такое 6>>0, зависящее от е и /0, что любое решение
Xi = (t) (/’ = 1, 2, ..., п), для которого при t = tQ выполняется
неравенство | <pz (/0) — (Zo) К 6, удовлетворяет неравенству <р;- (/) —
— Ь (t)! < 8 ПРИ 4 t ' < °° Для всех i = 1, 2, ..., п.
Геометрически это означает, что все решения, которые при
/ = /0 начинаются в б-окрестностн точки (х10, ..., лгя0), никогда
не покинут 8-трубку решения |(/) (рис. 50).
Решение ^(/)(/ = 1, 2, ..., п) называется неустойчивым, если
существует 8>0 такое, что для любого 6>0 найдется такой
момент времени / = /ъ что для некоторого значения i = k и t = tx
будет выполняться неравенство | <pfe (/J — (/j) j 8, несмотря на
то что | <р(- (Zo) — (t^ j < 6 для всех i = 1, 2, ..., n.
Решение (t) (/=1, 2, ..., ri) называется асимптотически
устойчивым, если: 1) решение £z (/) (/=1, 2, ..., п) устойчиво
по Ляпунову при /—>оо; 2) существует такое число Я>0, что
для любого решения <р,-(/) (/ = 1, 2, ..., п), удовлетворяющего
при t = t0 неравенству | <р,- (/0) — (tQ) |< Н (/=1, 2, ..., /?),
будет справедливо равенство lim  (pt- (t) — £z (/) i = 0.
t -»oo
Если H = то динамическая система называется устойчивой
в целом.
2.	Устойчивость тривиального решения. Покажем, что иссле-
дование устойчивости любого решения системы (1) можно свести
к исследованию устойчивости тривиального решения xz(/)=0.
246
Пусть *z = £,(/) (z = 1, 2, п) — некоторое решение си-
стемы (1).
Введем новые переменные
yi = Xi - (/) (i = 1, 2, ... , п);	(6)
тогда
= л+МО.............+	МО.  • МО).
т. е.
= У^ ••• » Уп) (z = 1, 2, ... , /г),	(7)
где
gi(t, yi, , yn)=fi(E «/1+^(0» •••» i/n+Bn(0)-
-h(t, h(t), ...»Лп(0).
Очевидно, что gf (t, 0, 0, ... , 0) = О, т. е. система . (7) будет
иметь тривиальное решение //,(/) = (). Система (7) носит назва-
ние системы уравнений возмущенного движения.
Рассмотрим два пространства: пространство Ех решений си-
стемы (1) и пространство Е(/ решений системы (7) (рис. 51, а, б).
Согласно формуле (6), каждой интегральной кривой простран-
ства Ех соответствует некоторая интегральная кривая простран-
ства Еу. Интегральной кривой *,• = £,(/) (z = l, 2, ..., fl) соот-
ветствует интегральная кривая //Д/)=0.
Если решение х,-= ^(/) устойчиво в пространстве Ех, то
решение z/z(/) = 0 устойчиво в пространстве Еу, и наоборот.
Поэтому вместо исследования устойчивости решения =
системы (1) можно исследовать устойчивость тривиального реше-
ния системы (7).
Тривиальное решение z/,(/) = 0 будет устойчивым по Ляпу-
нову, если для любого е>() существует такое 6>0, зависящее
от 8 и /0, что для любого решения ^ = %(/)> удовлетворяющего
247
при t —10 неравенству |	(t0) | < 6, выполняется неравенство
I трг (/) I <2 е при /0^/<оо для всех /=1, 2, п.
В тех случаях, когда параметры систем автоматического ре-
гулирования’ не изменяются с течением времени, их поведение
описывается автономной системой дифференциальных уравнений
вида (3). Особое значение в этом случае имеет устойчивость
состояний равновесия. Состояния равновесия определяются кор-
нями уравнений
A(*i,	= О (i = 1, 2, ... , /г).
(8)
Уравнения (8) являются уравнениями статики системы автома-
тического регулирования.
Пусть («!, а?, ..., ап) — некоторое решение системы (8).
С помощью замены переменных У1 = х1 — а1, ... ,^я = хп — ап
исследование устойчивости состояния равновесия можно свести
к исследованию устойчивости тривиального решения. В фазовом
пространстве системы эта замена соответствует переносу начала
координат в точку состояния равновесия (oj, ..., а„).
В дальнейшем будем изучать в основном устойчивость со-
стояний равновесия автоматических систем.
§ 18.	УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
1.	Устойчивость однородной системы. Рассмотрим линейную
систему дифференциальных уравнений
«л (О + • • • +	(0 хп ф- fi (t) (z = 1, 2, ... , и),	(1)
где ацЦ), fi (0 — непрерывные функции в полуинтервале
[Ь С t < оо).
В векторной форме систему (1) можно записать следующим
образом:
-^ = Л(0хф-/(0,
(2)
где
Г%1
Г«и (0 ... aln (t)
х =  , А (0 =
Pni (0 • • • апп (0
Однородная система, соответствующая системе (2), имеет вид
^- = Л(0х.
(3)
Эта система имеет тривиальное решение х(/) = 0. Устойчивость
произвольного решения связывает с устойчивостью тривиального
решения следующая теорема:
Теорема 1. Любое решение однородной системы линейных диф-
ференциальных уравнений устойчиво тогда и только тогда, когда
устойчиво ее тривиальное решение.
248
Доказательство. Докажем сначала достаточность усло-
вия теоремы. Пусть тривиальное решение x(t)^=0 устойчиво.
Это означает, что для любого 8 > 0 существует 6 > 0 такое, что
для любого решения X = £,(?), удовлетворяющего при / —/0 нера-
венству || | (/0) || <2 6, будет справедливо неравенство || | (/) || -< 8
для всех значений t^tQ.
Пусть х = ф (/) — произвольное решение. Докажем его устой-
чивость. Обозначим через х = <р (/) другое произвольное решение,
удовлетворяющее при t = t0 условию
II Ф ('о) - ф (/о) || < б.	(4)
Из свойств решений однородной системы (см. § 11) следует, что
разность ф (/) — ср (/) = |(/) также будет решением системы (3),
причем при t = t0 норма этого -решения меньше 6. Тогда в силу
устойчивости тривиального решения получим неравенство
II Ф (0 — Ф (0 II < е при > Аь что означает устойчивость решения
х = ф(/). Достаточность условия теоремы доказана.
Выполним доказательство необходимости условия теоремы.
Пусть решение х = ф (/) устойчиво. Покажем, что тогда будет
устойчиво тривиальное решение. Устойчивость решения означает,
что для произвольного решения <[>(/), удовлетворяющего при
t = t0 неравенству | ф (/0) — (/0) || •< 6, будет справедливо нера-
венство || ф (/) — (/) | < 8 при t t0.
Пусть х = |(/) — решение системы (3), удовлетворяющее усло-
вию || | (/0) || < Запишем это решение в виде | (/) = [ j (/) + ф (/)] —
— ф(/). Сумма решений |(/) + ф(/) представляет собой также
решение системы (3), причем при t = t0 справедливо неравенство
II [ь (0 + Ф (0] ~ Ф (0II < 6. Тогда из устойчивости решения ф (/)
следует, что при будет выполняться неравенство
l[S(/)+4(/)]-’l>WII = l|i(01<e,	(5)
что и означает устойчивость тривиального решения. Этим дока-
зана необходимость условия теоремы. Я
Из теоремы следует, что в линейной однородной системе
с непрерывными коэффициентами из устойчивости хотя бы одного
решения вытекает устойчивость всех остальных решений, и об-
ратно, если неустойчиво хотя бы одно решение, то все осталь-
ные решения также неустойчивы.
Однородная линейная система дифференциальных уравнений,
все решения которой устойчивы, называется устойчивой систе-
мой, если все решения этой системы неустойчивы — неустойчивой
системой.
Следующая теорема, которую мы приведем без доказательства,
связывает устойчивость линейной однородной системы с ограни-
ченностью ее решений.	'
Теорема 2. Линейная однородная система дифференциальных
уравнений устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее
решение ограничено для t^tQ,
249
Линейная однородная система дифференциальных уравнений
называется асимптотически устойчивой, если каждое ее решение
асимптотически устойчиво.
Приведем без доказательства теорему об асимптотической
устойчивости однородной системы.
Теорема 3. Линейная однородная система дифференциальных
уравнений асимптотически устойчива тогда и только тогда,
когда асимптотически устойчиво ее тривиальное решение.
Из теоремы 3 следует, что:
1) асимптотически устойчивая линейная однородная система
устойчива в целом; 2) если в линейной однородной системе асим-
птотически устойчиво хотя бы одно решение, то все остальные
решения также асимптотически устойчивы.
2.	Устойчивость неоднородной системы. Следующая теорема
устанавливает связь устойчивости решений неоднородной линей-
ной системы дифференциальных уравнений с устойчивостью
решений однородной линейной системы.
Теорема 4. Линейная неоднородная система дифференциальных
уравнений устойчива (асимптотически устойчива) тогда и только
тогда, когда устойчива (асимптотически устойчива) соответст-
вующая однородная система уравнений.
Доказательство. Докажем достаточность условий тео-
ремы. Пусть однородная система (3) устойчива. Покажем, что
в этом случае будет устойчива и неоднородная система (2), т. е.
будет устойчиво ее лк^бое решение.
Пусть х = ф (О — некоторое решение системы (2). Исследуем
его устойчивость. Рассмотрим норму разности || ф (0 — ф (О II» гДе
Ф (/) — некоторое другое решение системы (2) с начальным усло-
вием ф(/0), удовлетворяющим неравенству
II Ф (/о) - ф (/о) II < 6.	(6)
Разность двух решений ф (t) — <р (t) неоднородной системы (2)
является решением однородной системы (3). По условию теоремы,
однородная система (3) устойчива, т. е. если выполнено нера-
венство (6), то для всех t^t0 справедливо неравенство || ф (/)—
— Ф (О II < е» чт0 и означает устойчивость решения х = ф> (?) неод-
нородной системы уравнений.
Необходимость условий теоремы доказывается аналогично. 
3.	Устойчивость линейных систем с постоянными коэффици-
ентами. Рассмотрим устойчивость линейной однородной системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Иг
^=Ах,	(7)
где
ai ... а1п
Л- .........
— квадратная матрица постоянных коэффи-
циентов;
_arii ... апп
— вектор-столбец неизвестных функций.
250
Пусть	— различные корни характеристического
уравнения det (А — ХЕ) =0, a elf ... , ек — максимальные показа-
тели степени элементарных делителей, соответствующих этим
корням. В § 12 было показано, что решение системы (7) в этом
случае имеет вид
k
х-^Р,цЩ',	(8)
i= 1
причем Pt (/) — вектор-столбец, элементами которого являются
многочлены от /; степень этих многочленов не превышает — 1.
Устойчивость линейной однородной системы с постоянными
коэффициентами определяется следующей теоремой:
Теорема 5. Для устойчивости линейной однородной системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического урав-
нения системы имели неположительные вещественные части, при-
чем элементарные делители, соответствующие корням характе-
ристического уравнения с нулевой вещественной частью, были бы
простыми.
Доказательство. Докажем достаточность условий тео-
ремы. Для доказательства разобьем корни характеристического
уравнения на две категории:
а)	корни, лежащие в левой полуплоскости,
Тда = сцп 4~ /Pm, Ro Хт — сст 0	(/72 — 1, 2, ... , р);
б)	корни, лежащие на мнимой оси,
=	(« = 1, 2, ... , v).
Тогда решение (8) можно записать в виде (см. § 12)
х = £ Р,„ (Г) А”' + £ е№п' с„.	(9)
т = 1	п = 1
Так как lim |е%т*\ Рт (/) = 0 и |e/₽«z| = l, то решение (9) будет
t —>00
ограничено при всех /0 и, следовательно, в силу теоремы (2)
устойчиво.
Необходимость условий теоремы легко доказывается способом
от противного. 
Из теоремы следует, что линейная система с постоянными
коэффициентами будет устойчивой и в случае кратных корней
характеристического уравнения, лежащих на мнимой оси пло-
скости X, только этим корням должны соответствовать простые
элементарные делители, т. е. соответствующая клетка Жордана
должна состоять из одного элемента.
Рассмотрим устойчивость линейного дифференциального урав-
нения /2-го порядка с постоянными коэффициентами. Как было
показано в § 12, в том случае, когда характеристическое урав-
нение
+	1 -ф ... 4-^ = 0	(10)
251
1
имеет корень X/ кратности eh характеристическая матрица имеет
элементарный делитель (X — ХДе» и никаких других элементар-
ных целителей, которые представлялись бы степенью (X—Xz),
не имеет. Отсюда следует, что для линейного дифференциаль-
ного уравнения порядка п теорема (5) может быть переформу-
лирована в виде следующей теоремы:
Теорема 6. Для устойчивости линейного дифференциального
уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами необхо-
димо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения
имели неположительные вещественные части, причем корни с ну-
левой вещественной частью должны быть простыми.
При исследовании линейных систем автоматического регули-
рования особый интерес представляет случай асимптотической
устойчивости. Асимптотическая устойчивость линейной системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
определяется следующей теоремой:
Теорема 7. Для асимптотической устойчивости линейной си-
стемы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами необходимо и достаточно, чтобы вещественные части кор-
ней характеристического уравнения были отрицательны, т. е.
характеристические числа матрицы А должны располагаться
в левой полуплоскости.
Доказательство. Докажем достаточность утверждения
теоремы. Пусть Хь ..., Xft—корни характеристического урав-
нения
det (Д-ХЕ) = 0,
elt е2, ..., ek — кратности этих корней.
По условию теоремы, ReX;<0 (/=1, 2, ..., k). Каждое
решение системы (7) может быть записано в виде
k
х = Р, (0 е'ч‘ >
i= 1
где Pi (t) — полиномиальные вектор-столбцы, причем максималь-
ная степень полиномов, входящих в РД1), не превосходит et — 1.
k
Пусть = + /ръ тогда х = У ea'ze/₽»z Pt (t). В силу отри-
i= 1
цательности действительных частей характеристических чисел
az<0 и х->0 при t-+oo. Так как это справедливо для любого
решения, то система уравнений с постоянными коэффициентами
будет устойчива асимптотически. Достаточность условий теоремы
доказана.
Необходимость условий теоремы доказывается способом от
противного. 
Из доказанной теоремы следует, что для суждения об устой-
чивости системы дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами следует знать, как располагаются корни харак-
теристического уравнения на комплексной плоскости. Характер
252
расположения корней характеристического уравнения на этой
плоскости можно определить, не решая самого уравнения, с по-
мощью критерия Гурвица, рассмотренного ниже.
4.	Критерий Гурвица. Рассмотрим полином
=	+	... +ап (л>1).	(11)
Будем	полагать, что	щ	(i = 0,	1, 2, ..., п) — действительные
числа,	причем с0>0.	В	общем	случае корни полинома Р (X)
могут быть комплексными	числами и полином Р (X) может рас-
сматриваться как функция комплексного переменного Х = а4-/Р.
Такой полином назовем стандартным. Стандартный полином
называется полиномом Гурвица или гурвицевым полиномом, если
действительные части всех его корней отрицательны, т. е. все
корни расположены в левой полуплоскости:
ReX/<0 (t = l, 2, ..., п).	(12)
Необходимое (но не достаточное) условие для того, чтобы
стандартный полином был полиномом Гурвица, устанавливается
следующей теоремой:
Теорема 8. Если стандартный полином есть полином Гурвица,
то все его коэффициенты положительны.
Доказательство. Пусть комплексные корни полинома (11)
есть Xw = —	+ j$m (m=l, 2, ..., p, am>-0), причем их
кратности соответственно равны <?2, ... , е^. Но для полинома
с действительными коэффициентами каждому комплексному корню
соответствует сопряженный корень, причем той же кратности.
Таким образом, числа Хт = — ат — j$m (т=\, 2, ..., р) также
будут корнями полинома Р (X) с кратностями elf ...,
Пусть действительные корни полинома будут Х„ =— уп
(п=1, 2, ..., v),	и их кратности соответственно равны еп.
Тогда полином Р (X) можно разложить на линейные множители,
т. е. записать в виде
Ц.	Ц	V
р (ty = Оо П ~ /МЁт П (X + ат + /рт) ет П (х + b)=
т — 1	m = 1	n = 1
Ц	V
= ^о (X2 2атХ-|- а;п 4- Рт) т || (^4~ ?«)*”•
т = 1	п = 1
Из написанного разложения следует, что коэффициенты а{ поли-
нома Р (X) положительны. 
Заметим, что для полиномов первой и второй степени ука-
занное в условии теоремы необходимое условие является также
и достаточным. Для полиномов третьей и выше степеней это
условие уже не будет достаточным.
’ Получим достаточные условия для того, чтобы стандартный
полином был полиномом Гурвица. Для этого рассмотрим сначала
некоторые вспомогательные построения и леммы. Пусть имеется
стандартный полином Гурвица Р (X) = а0№ + <71Х" '1-|- ... 4-ая.
253
Построим полином Р* (X) следующим образом:
р* (X) = (—1)" Р (—X) = п0Хл — йхХ^ф- ... +(-1)«а„.	(13)
Все корни полинома Р (X) расположены в левой полуплоскости,
поэтому полином Р* (X) имеет все корни в правой полуплоскости.
Пусть с >> 0 — некоторое положительное число. Полином
Q (X) = (Х-^с) Р (X) ф-ХР* (X)	(14)
называется полиномом, присоединенным к полиному Р (к). Сте-
пень полинома Q (X) на единицу выше, чем степень Р(к).
Приведем без доказательства две леммы, устанавливающие
свойства присоединенных полиномов.
Лемма 1. Для каждого полинома Гурвица его присоединенные
полиномы также являются стандартными полиномами Гурвица.
Лемма 2. Каждый стандартный полином Гурвица степени
выше первой является присоединенным для некоторого стандарт-
ного полинома Гурвица более низкой степени.
Если полином Q (X) = Л0Xrt+1 +ЛА” ф- ... ф- Ап+1 — стандартный
полином Гурвица степени /гф-1, то стандартный полином Гур-
вица Р (X) степени п, для которого полином Q (X) является при-
соединенным, определяется выражением
/,(4=^[(c-MQW+M2*(4].	(15)
где с = 2Л1М0>0.
Из приведенных лемм следует, что для любого стандартного
полинома Гурвица Р (X) степени п можно построить как стан-
дартный полином Гурвица Q (X)* степени пф-1, который будет
присоединенным к полиному Р(Х), так и стандартный полином
Гурвица R (X) степени /2—1, для которого полином Р (X) будет
присоединенным. Построение полиномов проводится согласно
равенствам (14) и (15).
Построим пространство полиномов Гурвица // = {Р(Х)}. Это
пространство представляет собой объединение пространств Нп,
соответствующих полиномам Гурвица различных степеней. Сог-
ласно леммам 1 и 2, если полином Р (X) е Нп, то присоединен-
ный к нему полином Q (^) *== Ял+1, и обратно, если Р (X) е Нп,
то существует такой полином R (X) ^Нп-±, для которого полином
Р (X) является присоединенным.
Перейдем к получению необходимых и достаточных условий
отрицательности вещественных частей корней алгебраического
уравнения. Пусть Р (X) = о0Х/гф-О1Х”_1ф-.. .ф-оя — некоторый мно-
гочлен, причем Uj — действительные коэффициенты и пс>>0. Обра-
зуем матрицу размера пхп:
а0 0 ... О ~
Пз а2 аг ... О
аь а^ а3 ... О
(16)
ООО ... ап
254
Эта матрица строится следующим образом: по главной диаго-
нали откладываются коэффициенты аг,' а2, ..., ап. Вправо по
строке от этих элементов расположены коэффициенты с убыва-
ющими номерами, влево —с возрастающими. При этом пола-
гается пг = 0, если z<0 или i >>п. Такая матрица М называется
матрицей Гурвица. Главные диагональные миноры этой матрицы
будут иметь вид
Л1 = аг,
Л2 —
<71 а0
as а2
(17)
— а-п Ля.1.
Следующая теорема Гурвица устанавливает критерий отрица-
тельности вещественных частей корней полинома Р(Х).
Теорема 9. Для того чтобы стандартный полином Р (X) был
полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы все главные
диагональные миноры его матрицы Гурвица были положитель-
ными, т. е.
ДЛ>0 (k = 1, 2, ..., п).	(18)
Условия (18) называются условиями Гурвица.
Доказательство. Докажем сначала необходимость усло-
вий теоремы. Пусть Р (X) е Нп. Покажем, что при этом условия
Гурвица выполняются, т. е. главные диагональные миноры
матрицы Гурвица положительны.
Доказательство проведем методом математической индукции.
Для п = 1 условия Гурвица выполнены. Действительно, рассмот-
рим полином Р (X) = о,оХф-а1. Так как Р(/.)еД, то его корень
Хх —— - <0, но <7()У>0, следовательно, а1^>0. Главный диаго-
нальный минор матрицы Гурвица в этом случае Д^пу; тогда
Д1 >• 0, что и доказывает наше утверждение.
Допустим теперь, что условия (18) выполняются для всех
полиномов Гурвица до степени п включительно. Покажем, что
эти условия будут выполняться и для полиномов Гурвица Q (X)
степени /гф-1. Рассмотрим полипом ф(1)е//яц, Согласно
лемме 2, найдется такой полином Гурвица Р (X) степени п, по
отношению к которому полином Q (X) будет присоединенным.
Следовательно,
<Ж=фЦ + с)Р(Х) + ХР*(Х)],
причем здесь с — 2у >> 0.
Определим связь между коэффициентами полиномов Q (X)
и Р(Х). Если
Р(Х) = п0Х« + о1Х«-1 + ... + щг, a Q (X) = Д0^+1ф- ЛДл + ... + Anvl,
то
Д0 = (70, /11 = У<70, Д2=Т«1+«2, Дз = уо2, Д4 = Т«зф-«4, ...
255
и вообще
A2k — Т#2/г-1 Ф- G2fe, A2k 1 — YG2fe-2-
Напишем главный диагональный минор порядка /гф-1 матрицы
Гурвица для		полинома						
	Al	Ао	0	... 0		W	а0	0	
	Аз	Аъ	А.	... 0		T«2	Ф- «2 Y«o	
Hft+i —	As	А^	Аз	... 0	=		уа3 + «4	Т«2	=
	A^k+i	А^и	А 2 k	1 ... Afai			T^2fe-1 Ф“ a2k Ya2k~2 • •  = Yk'Yk"a0^k.	(	19)
Здесь k' — число нечетных столбцов, k" — число четных столбцов,
Afc —главный диагональный минор Л-го порядка матрицы Гур-
вица полинома Р(Х). Таким образом,
£>ft+i =	Л*.	(20)
Согласно сделанному предположению, условия (18) выпол-
няются для полиномов Гурвица Р (X) порядка п, тогда из фор-
мулы (20) следует, что
Dft+i>0 (6=1, 2, ..., п).
Непосредственной проверкой убеждаемся, что D± > 0. Пред-
положив необходимость условий теоремы для полиномов степени п,
мы доказали необходимость этих условий для полиномов степени
пф-1. Ранее была доказана необходимость условий теоремы для
полиномов первой степени. По индукции отсюда следует необ-
ходимость условий для полиномов произвольной степени. Необ-
ходимость условий теоремы доказана.
Докажем достаточность условий теоремы. Предположим, что
условия (18) выполнены, т. е. главные диагональные миноры
положительны: А/г>>0 (k— 1, 2, ..., ri). Докажем, что полином
Р (X) является полиномом Гурвица, т. е. Р (X) е Нп. Доказа-
тельство, как и выше, проведем методом математической индук-
ции. Рассмотрим сначала случай п—\. Пусть Р (Л) = а0Кф-аъ
причем <70>0. По сделанному предположению, А1 = п1>>0.
Тогда корень уравнения Р(к) = 0 Хх =— — <0. Следовательно,
полином Р (X) е ЛД.
Предположим теперь, что выполнение условий (18) для всех
полиномов Р (к) степени п достаточно для того, чтобы эти поли-
номы были полиномами Гурвица. Покажем, что эти условия
достаточны для того, чтобы полином Q (X) степени пф-1 был
также полиномом Гурвица.
Рассмотрим полином Q(X) степени п ф- 1:
Q (X) = Я0Х"+1 ф- Л1Х" ф-... ф- An+i.
256
Положим, что условия (18) для полинома Q (X) выполнены, т. е.
все главные диагональные миноры Dk+l (k = 0, 1, ..., ri) матрицы
Гурвица для полинома Q (X) удовлетворяют условию П/г+1>> О,
Представим Q (Л) в виде Q (X) = у [(Х-ф 2у) Р (X) -J-XP* (X)], причем
2у>0, т. е. полином Q (X) является
Р(Х). Между главными минора-
ми матрицы Гурвица полинома
Р (X) и полинома Q (X) сущест-
вует связь, выражаемая формулой
(20): Dkyl = <70уЛ’+1 ДЛ. Так как
Dk+1 > 0, то из (20) следует, что
и А/г>-0. Таким образом, для
полинома Р (X) выполнены уело- _
вия (18). По предположению, до-
статочность условий теоремы спра-
ведлива для полиномов степени, и.
Следовательно, полином Р (Р) е Нп
является полиномом Гурвица.
Тогда в силу леммы 1 и по-
лином Q (X), как присоединен-
присоединенным к полиному
Рис. 52
ный к Р(Х), также является по-
линомом Гурвица. По индукции отсюда следует достаточность
условий теоремы для полиномов произвольной степени. 
Рассмотрим некоторые примеры применения доказанной
теоремы.
Пример 1. Определить условия отрицательности вещественных корней
полинома второй степени Р2 (Х) = а0Х2-|-П1Х + с2> «о>О-
Матрица Гурвица в этом случае будет иметь вид
М-
Ее главные диагональные миноры Ах = ах и Д2==ахО2- Таким образом, поло-
жительность коэффициентов уравнения а± > 0 и а2 > 0 является необходимым
и достаточным условием, чтобы полином Р2 (X) был полиномом Гурвица.
Пример 2. Определить условия отрицательности вещественных частей
корней полинома третьей степени Р3 (X) —п0Х34-О1Х24-п2Х-|-(г3, а0>0.
Матрица Гурвица для полинома Р3 (X)
«х а0 0
М— а3 а2 аг
0 0 а3
Условия Гурвица для этого случая имеют вид
Дх = ах > 0, Д2
ai
«з
«2
= aLa2 — сца3 >0, Д3 == а3Д2 > 0.
Кроме условия положительности коэффициентов (необходимого условия) для
того, чтобы полином Р3(Х) был полиномом Гурвица, требуется выполнение
неравенства а2 >	.
9 п. р. Чемоданова, т. 1
257
Пример 3. Исследовать устойчивость решений линейной однородной
системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
f/x , dy . о dz .
= --х + аг/,	— y-]-Rz,	г-{-ах.
dt	dt J 1 dt
Характеристическое уравнение этой системы
— 1—X а О
О — 1-Х р
а 0	— 1
= 0, или Х3ф-ЗХ2-фЗХф-(1 “а2Р)— 0.
Матрица Гурвица-имеет вид
1 —а2Р
0

1	о -
3	3
0 1 — а2Р
Определители Гурвица: Д1 = 3>0, Д2 = 9— (1—сс2р), Д3 — Д2 (1 — а2Р). Таким
образом, для положительности главных диагональных миноров матрицы Гур-
8
вица требуется, чтобы параметр Р удовлетворял неравенствам — -g,
Р < На рис. 52 изображена область устойчивости решений в плоскости пара-
метров а, р.
§ 19.	ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
Второй, или прямой, метод Ляпунова позволяет исследовать
устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений,
не производя решения самих уравнений. В дальнейшем мы
будем исследовать устойчивость тривиального решения автоном-
ных систем дифференциальных уравнейий, т. е. систем уравне-
ний вида

где
f(*) =
Jn (х1г
7i (xi,...,
(1)
(2)
При этом предполагаем, что функции fi (xlt ..., хп) (f=l, 2, ...
..., п) имеют непрерывные частные производные по всем аргу-
ментам в некоторой выпуклой области G: || х || Н «-мерного
пространства. В этом случае в области G система уравнений (1)
удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности
решения (см. § 10). Прежде чем приступить к рассмотрению
устойчивости тривиального решения системы (1), введем некото-
рые новые понятия.
1.	Знакоопределенные и знакопостоянные функции. Рассмот-
рим функции V (хъ ..., хп), определенные и непрерывные
в области G: |jx[! С Я и обладающие в этой области непрерыв-
ными частными производными по переменным хх, ..., хп.
258
Функция V (х) называется знакоположительной (знакоотрица-
тсльной) в указанной области G, если для любого
V(x)=>0(|/(x)=c0).
Функция V (х) называется определенно положительной (опре-
деленно отрицательной) в той же области G, если для любого
х <= G имеем F (х) Уэ О (I/ (х) =С 0), причем V (х) = 0 тогда
и только тогда, когда х = 0.
Функции V (х) первого типа называются знакопостоянными,
второго типа — знакоопределенными.
Например, функция V (х) = (xi + *2)2 является знакоположи-
тельной, так как множество нулей этой функции представляет
прямую Xt = — х2, т. е. функция
= — х2. Функция V (х) = х1 + 2x-i
деленной, так как V (х) = 0 толь-
ко при	и х2 = 0, а при
остальных значениях и х2 функ-
ция V (х) > 0. Для этих функций
значение Н может быть взято
сколь угодно большим.
Функция V (х) = х1 -ф 2x1 — Ха
также является положительно оп-
ределенной, но значение Н при
этом будет достаточно малым, а
именно должно выполняться не-
равенство х2 < 2.
В общем случае выявление
V (х) = 0 вдоль прямой =
является положительно опре-
Рис. 53
знакоопределенности или знако-
постоянства функции V (х) представляет собой сложную задачу.
Достаточно просто определяется знакоопределенность в том слу-
чае, если функция V (х) представляет собой квадратичную
форму. Пусть функция V (х) является квадратичной формой, т. е.
п
V (х) = 2 atjXiXj.
i, 7=1
(3)
Функция V (х) является определенно положительной (опреде-
ленно отрицательной), если положительно определена (отрица-
тельно определена) квадратичная форма (3). В § 8 приведен
критерий положительной определенности квадратичной формы
(критерий Сильвестра), который устанавливает, что квадратич-
ная форма (3) является положительно определенной тогда
и только тогда, когда все главные диагональные миноры ее
матрицы строго положительны.
Дадим знакоопределенной функции V (х) геометрическую
интерпретацию. Для простоты рассмотрим функцию двух пере-
менных V (xlf х2). На плоскости хъ х2 линия V (х1г х2) = с, где
с —некоторое число, представляет собой замкнутую кривую,
содержащую внутри себя начало координат. При с = 0 кривая
V (xlt х2) = с стягивается в начало координат (рис. 53).
9*
259
Пусть | (/) —некоторое решение системы (1), удовлетворяющее
начальным условиям |(/0) = X.
Полной производной по времени t функции V (х) в силу
системы (1) называется функция	V (| (/))	, или, учи-
тывая формулу полной производной,
dV _ V? дУ dXi _ V dV f .
dt	dxt dt	dxi '1	’ Хп‘
i — 1	i = 1
(4)
Из формулы (4) следует, что производная в силу системы (1)
не зависит от выбранного решения |(/), а является функцией
точки х.
~	.	Г дУ дУ дУ 1 л 17
Если ввести обозначение -------ч—. ..-^— = grad V, то выра-
I C/Xg ОХц J
жение (4) можно переписать в виде
— = (grad V, f(x)).
(5)
Формула (5) показывает, что производная в силу системы (1)
представляет собой скалярное произведение вектора grad V на
вектор фазовой скорости f(x). Если рассматривать в п-мерном
пространстве поверхность V(x) = c, то при -^->0 фазовые
траектории системы (1) пересекают эту поверхность в сторону
возрастания функции V (х), а при < 0 — в сторону убывания
(рис. 53).
Положительно определенные функции V (х), производные
которых в силу системы (1) являются отрицательно определен-
ными или знакоотрицательными, называются функциями Ляпу-
нова.
Перейдем к рассмотрению теорем Ляпунова об устойчи-
вости и неустойчивости тривиального решения автономной системы
дифференциальных уравнений (1).
2.	Теорема Ляпунова об устойчивости. Условия устойчивости
тривиального решения системы (1) определяются следующей тео-
ремой:
Теорема 1. Если для системы уравнений (/) существует поло-
жительно определенная функция V (х), производная которой в силу
системы (/) знакоотрицательна, то тривиальное решение х (/) = 0
системы (/) устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. При доказательстве теоремы будем исхо-
дить из определения устойчивости тривиального решения. Возьмем
произвольное число 8>0 и рассмотрим множество значений х,
удовлетворяющих соотношению (|х||^= 8.
260
Обозначим
inf V(x)=a>0*>.	(6)
II x II = e
Так как V (0) = 0, то из непрерывности функции V (х) следует, что
можно указать такую 6-окрестность начала координат в «-мерном
пространстве хх...хп, что V (х) < а, если
|| х || <6.	(7)
Рассмотрим некоторое решение |(/) системы (1), удовлетво-
ряющее начальному условию ||| (/0) || <; 6. Функция V (| (/)) будет
невозрастающей функцией t вдоль этого решения, так как про-
изводная в силу системы (1) неположительна. Следовательно,
для любых f>t0 выполняется неравенство
VW<Wo))<«.	(8)
Покажем, что для любых t^>t0 справедливо неравенство
И WI <8.	(9)
Действительно, пусть для некоторого момента времени >> t0
выполняется равенство || | (/х) || = е; тогда
inf V<x) = a,	(10)
II х II = е
что противоречит неравенству (8). 
Отметим, что из доказательства теоремы следует способ опре-
деления по заданному 8>>0 такого числа 6>»0, что || | (/) |] < е,
если при /= t0 справедливо неравенство |) | (to) ||< 6. Для этого
по заданному числу в >> 0 определяют a = inf V (х) и затем
||х|| = е
выбирают д>0 так, чтобы 1/(|(/0))<а для всех |(/0), удовле-
творяющих условию (I | (t0) || < 6.
3.	Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Усло-
вия асимптотической устойчивости тривиального решения уста-
навливает вторая теорема Ляпунова.
Теорема 2. Пусть для системы дифференциальных уравнений (1)
существует положительно определенная функция V (х), производ-
ная которой в силу системы (1) отрицательно определенна.
Тогда тривиальное решение х (t)	0 системы (1) асимптотически
устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. Асимптотическая устойчивость тривиаль-
ного решения означает, что: 1) тривиальное решение х(/) ^0 устой-
чиво; 2) если в начальный момент времени /0 некоторое решение | (t)
удовлетворяет неравенству ||£ (/0) ||<//, то lim [||(0|| = 0- Таким
/->4-00
*’ inf V (х)—точная нижняя грань функции V (х) по всем х, удовле-
IIXII == е
творяющим условию ||х||=е. Понятие о точной нижней грани см., например:
Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. 1 «Наука»,
1968, с. 25.
261
образом, для доказательства асимптотической устойчивости три-
виального решения системы (1) требуется показать устойчивость
этого решения и, кроме того, нужно показать, что lim |||(/)[| = 0
°°
для всякого решения |(/), удовлетворяющего при / = 4 неравен-
ству || | (t0) || < Н.
Устойчивость тривиального решения х (/) ^0 следует из дока-
занной выше теоремы.
Рассмотрим произвольное нетривиальное решение | (/) си-
стемы (1),.удовлетворяющее при / = неравенству |||(/0)(| <Н,
и покажем, что lim ||| (/) || = 0. Для этого изучим поведение функ-
ции V (х) вдоль этого решения. Так как производная функции
V (х) в силу системы (1) -^-<0, то Функция V (£(/)) монотонно
убывает вдоль решения | (/) при возрастании t. Эта функция
ограничена снизу, так как по условию теоремы V (х)	0. Всякая
монотонно убывающая, ограниченная снизу функция имеет пре-
дел Следовательно, существует предел
lim V (| (/)) —	0.
t ~+ оо
(11)
Докажем, что а = 0. Доказательство проведем методом от про-
тивного. Пусть а>0, тогда |||(/) ||^ |3 >0 для всех Дей-
ствительно, если бы существовала последовательность значений
{4}-> + оэ такая, что |Ц (4) ||->0 при &->оо, то V (| (4))-> 0 при
А->оо. Это противоречит утверждению, что а>>0. В силу отри-
dV
нательной определенности производной из условия |||(/)||2=s
2=s0>»O следует, что
dt
— у <0,
(12)
где у >> 0 — некоторое действительное число; тогда
t
dt^-7((-(„).	(13)
to
Из неравенства (13) получим
VO))^V(|(/0))-v(/-4).
(14)
При достаточно большом t будет справедливо неравенство
V (| (/)) < 0, что противоречит условию положительной опреде-
ленности функции V (х). Следовательно,
lim V (|(/)) = 0.	(15)
Z—>• оо
*’ См.; Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. 1,
«Наука», 1968, с. 97.
262
Докажем, что lim (| | (/) || = 0. Пусть существует последова-
/--> + оо
тельность {4}->4-оо такая, что
lim И (МН = 6 >0.
k—KX>
Тогда lim V (| (М) =£ 0, что противоречит равенству (15). Следо-
ft—> со
вательно, |||(/)||->0 при /->4“°°, что и доказывает теорему. 
4.	Теорема Ляпунова о неустойчивости. Докажем теорему
о неустойчивости тривиального решения системы (1).
Теорема 3. Если для системы уравнений (/) существует непре-
рывная функция V (х), удовлетворяющая условию V (0) = 0, произ-
водная которой в силу системы (/) знакоопределенная, причем
в любой окрестности начала координат имеются точки, в кото-
рых знак функции V (х) совпадает со знаком ее производной, то
тривиальное решение системы неустойчиво в смысле Ляпунова.
Доказательство. Пусть множество точек х, удовлетво-
ряющих неравенству ||х||< Н, является областью знакоопреде-
йу
ленности производной функции V (х) в силу системы (1).
Покажем, что как бы ни было мало число 6>0, в этом случае
всегда имеется решение | (/) системы (1), обладающее следующим
свойством: найдется такой момент времени при котором будет
справедливо неравенство |[| (/а) || е, несмотря на то, что в началь-
ный момент времени / = /0 выполнялось неравенство |,| |(/0) ||<6.
Это и будет означать неустойчивость тривиального решения.
Выберем е = Н. Для определенности положим >> 0. Выберем
।	начальную точку | (/0) так, чтобы V (| (/0)) > 0. По условию тео-
1	ремы такой выбор | (t0) всегда возможен. Рассмотрим теперь
| решение | (/), удовлетворяющее выбранному начальному условию.
। Так как производная -^->>0 вдоль решения |(/), то функция
I V (|(/)) возрастает вдоль этого решения. Следовательно,
1	И(|(0)^Р(Ю при />/0.	(16)
1 Из неравенства (16) получим, что решение |(/) не приближается
4 к началу координат, т. е.
1	Н(0|3=<»>0.	(17)
з	dV
f Так как ---------определенно положительная функция, то в об-
I ласти ос || х ||йС Н производная удовлетворяет неравенству
!	о
J Покажем, что найдется такой момент времени tlt для которого
|] I (li) || Н. Действительно, пусть для всех значений t [/0, со)
справедливо неравенство || | (t) || < Н. Но
Г'	t
I	as)
4	to
т
1 .	263
Из формулы (18) следует, что функция V (|(/)) неограниченно
возрастает при 7->оо. Получили противоречие, так как из нера-
венства || | (/)(| < Н следует ограниченность V (| (/)) для любых t. 
§ 20.	ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО УРАВНЕНИЯМ
ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
1.	Уравнения первого приближения. Пусть поведение системы
автоматического регулирования описывается системой дифферен-
циальных уравнений
^-=/(Х).	(1)
Пусть, кроме того, /(0) = 0, т. е. начало координат х — 0 является
состоянием равновесия. Как было показано выше, исследование
устойчивости любого состояния равновесия можно свести к этому
случаю с помощью соответствующей замены переменных.
Будем полагать, что функции Д- (хъ ..., хп) (i — 1, 2, ..., п)
имеют непрерывные частные производные в некоторой области
|| х ||<77. Разложим функции (xlt ..., хп), являющиеся компо-
нентами вектор-функции/(х), в ряд Тейлора в окрестности начала
координат:
п
fi (*1, ..., хп) = 2 ад + ф/ (*Ь Хп) (i = 1, 2, ..., п),	(2)
/=1
где аи — -^-
4 - dxf
о, а функции (лу, .... хп)
содержат члены раз-
ложения порядка малости выше первого относительно перемен-
ных xlf ..., хп и поэтому
lim
11*11-* о
(fi (Xj, ... , Хп) _
IWI
(3)
С учетом равенств (2) систему (1) можно переписать в виде
= Дх + <р(х),
(4)
где Л = [фу] — числовая матрица, а <р (х) — вектор-столбец, удо-
влетворяющий условию
Система линейных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами
^=Ах	(6)
называется системой первого приближения для системы урав-
нений (4), а значит, и для системы (1).
Следует отметить, что представление функции fi (хг ..., хп)
в виде (2) может быть получено, вообще говоря, не только с по-
264
мощью разложения в ряд Тейлора. Существенно при этом, чтобы
нелинейный член ср/(д, хл) удовлетворял условию (3).
2.	Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому прибли-
жению. Покажем, что в ряде случаев об устойчивости тривиаль-
ного решения системы (1) можно судить по уравнениям первого
приближения.
Теорема 1. Тривиальное решение системы (4) асимптотически
устойчиво по Ляпунову, если все корни характеристического урав-
нения матрицы А системы (4) имеют отрицательные веществен-
ные части, т. е. ReX;<cO (t = 1, 2, ..., п).
Доказательство. Будем исследовать устойчивость три-
виального решения системы уравнений (4). Сделаем линейное
преобразование х=Ту, причем матрица Т этого преобразования
полагается невырожденной (det Г#=0). Тогда система (4) примет вид
ТО= АТу+Ч(Ту), или ^-=Т^АТу+Т-^(Ту). (7)
Согласно теореме 7 § 6 матрицу Т можно выбрать таким обра-
зом, чтобы матрица А привелась к почти диагональному виду, т. е.
Т~\А Т= diag	А.л] + С, где |] С |] < е. Обозначим
Ч>(у)='Г-1ц>(Ту);	(8)
тогда систему уравнений (7) можно переписать в виде
ddt =(diaglXb +	+	(9)
Покажем, что нелинейная часть ф(_у) удовлетворяет условию (5),
т. е.
(Ю)
lim - = 0.
Ну II-о	Ы
Действительно	-11	1111<рII _ IIФ (7» 11. Но со.
действительно,	Ы1|7>|]	||Ту|| ’ по со
гласно равенству (5)	ПРИ	И П0ЭТ0МУ равен-
ство (10) справедливо.
Для доказательства устойчивости тривиального решения по-
' У1 1
= Уг,
строим функцию V(j) = у* у, где .у =	•
.Уп .
п
Таким образом, V (у) — У, | у{ |2 — положительно определенная
i = 1
функция.
*’ Под матрицей Л* понимается матрица, полученная из матрицы Л путем
ее транспонирования и замены всех элементов на сопряженные. Если все
элементы матрицы Л—действительные, то А* — Ат (см. § 7, п. б).
265
(11)
Вычислим полную производную по времени функции V (у)
в силу системы уравнений (9). Имеем
dV * dy . dy*
ST-У ^ + ~аГУ-
Введем обозначение diag[Z2,	Х„] = Л; тогда
^=_у*(Л« + С*) + тЦ(^).	(12)
Умножим обе части системы уравнений (9) на у*, обе части
системы уравнений! (12) на у и полученные значения сложим:
=j*(A + A*)j+j* (С + С*)_у + [_у*ф Су) + Ф*(_у)у|.
(13)
По условию ReA,t —а/<0 (t = l, 2, .... ri), поэтому
Л + Л* — 2 diag [at, ..., ап]
и
п	П
у* (A + A*)j = 2 2 Уму^Ъ 2 а/1 & I2 - 2aV, (14)
i = 1	I = 1
где — а = max а/.
i
Оценим по норме второе слагаемое в выражении (13):
\\у* (С + С*)у )| ^|]Г 11 {IIСII + II С* ||} h II < 2еУ, (15)
,	,	1
П	\	2
Полагаем норму эвклидовой, т. е. ||j|| —I | l)i |2	, тогда V =
u = 1	/
=||j[j2. Оценим по норме третье слагаемое в равенстве (13); получим
II>*'!> (у)+Су)у I< Ь* IIIIу 11	+ j
^-|Ь1|г«2еУ,	(16)
если j; удовлетворяет условию ||j || < h. Действительно, из условия
(5) следует, что для любого е>»0 можно указать такое число
h > 0, что справедливо неравенство 	< е как только ||у [| <; h.
Из неравенств (14)—(16) следует, что
^-=<2П(— а + 2е),
dt	'	1	'
(17)
а v	,
т. е. производная — отрицательно определенная функция в неко-
торой окрестности начала координат.
Таким образом, построена положительно определенная функ-
ция V (у), производная от которой в силу системы (7) отрица-
тельно определена. Согласно теореме 2§ 19 тривиальное решение
системы (7) устойчиво асимптотически, а следовательно, асимпто-
тически устойчиво и тривиальное решение системы (4). 
Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения
матрицы А имеется хотя бы один, корень с положительной веще-
ственной частью, то тривиальное решение системы (4) неустойчиво.
266
Теорему приведем без доказательства. Доказательство данной
теоремы аналогично доказательству предыдущей
В том случае когда среди корней характеристического урав-
нения имеются нулевые или чисто мнимые корни, нельзя судить
об устойчивости тривиального решения системы (4) по уравнениям
первого приближения. В этом случае, называемом критическим,
устойчивость или неустойчивость тривиального решения зависит
от нелинейной части <р(х). Путем соответствующего выбора <р (х)
можно сделать решение либо устойчивым, либо неустойчивым.
Подробный разбор различных критических случаев приведен
в книгах [9], [Ю].
Пример 1. Исследовать устойчивость тривиального решения системы урав-
нений
dx . dy	,	,1О.
+	=х-у-\-ху.	(18)
Система первого приближения для системы (18) имеет вид
dx , dy
~df=x+y' dt=x-y-	(l9>
Корни характеристического уравнения
= X2 —2 = 0	(20)
системы (19): X^j/2, X2 = — V2. Один корень Xi = |r2 лежит в правой полу-
плоскости. Из теоремы (2) следует, что тривиальное решение системы (18)
неустойчиво.
Пример 2. Исследовать устойчивость тривиального решения системы урав-
нений
dx -	dy „	,О1.
— „l-x-cosy,	(21)
Разложив cos у в ряд Маклорена, получим систему первого приближения
в виде
I! — X 1	|
1	— 1— X
Найдем корни характеристического уравнения системы (22):
1— X	0 I
= (Х+1)2 = 0; Х1 = Х2 = -1.
0	—1 —Х|
Корни лежат в левой полуплоскости, следовательно, тривиальное решение
системы (21) устойчиво.
§ 21. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ
ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА
1.	Уравнения нелинейных систем. Состояния равновесия.
Рассмотрим анализ устойчивости состояния равновесия некото-
рого класса нелинейных систем автоматического регулирования
*> См., например: Демидович Б. П. Лекции по математической теории
устойчивости. «Наука», 1967, с. 62.
267
с помощью второго метода Ляпунова. Полагаем, что нелинейная
система автоматического регулирования состоит из линейного
объекта регулирования и нелинейного регулятора. Поведение
объекта регулирования описывается линейной системой диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая
в векторной записи имеет вид

(1)
Г *11
где х — •
— вектор координат, характеризующих состояние
объекта регулирования (вектор состояния объекта регулирова-
ния); у — скалярная координата, характеризующая воздействие
регулятора на объект регулирования (регулирующее воздействие).
Матрица А полагается невырожденной (det А Ф 0).
Регулятор имеет в своем составе сервомеханизм, уравнение
которого
С1^+ад = /(е),
и чувствительный элемент, формирующий сигнал ошибки
е — стх — гу,
(2)
(3)
где rT = [ci, с2, ...» сп] — вектор постоянных коэффициентов; г —
скалярный параметр об-
Рис. 54
ратной связи.
Относительно нелиней-
ной функции f (е) будем
полагать, что
/(0) = 0, е/(е)>0,
если е =£ 0.
Функция f (е) предпола-
гается непрерывной при
е =# 0, а в точке е = 0 до-
пускается разрыв непре-
рывности первого рода. Данный класс нелинейных функций f (е)
охватывает статические характеристики значительного числа не-
линейных элементов, встречающихся в практике автоматического
регулирования.
Структурная схема нелинейной САР, описываемой совокуп-
ностью уравнений (1), (2), (3), приведена на рис. 54. Отметим,
что достаточно широкий класс нелинейных систем автоматического
регулирования имеет структурные схемы, аналогичные представ-
ленной на рис. 54.
Введем следующую классификацию рассматриваемых нелиней-
ных систем регулирования в зависимости от характера корней
характеристического уравнения матрицы А. Система автомати-
268
ческого регулирования будет 1) собственно устойчива, если все
корни характеристического уравнения det (Л — Х£) = 0 имеют
отрицательные вещественные части, т. е.
ReX/<0 (i=l, 2,	и);
2) нейтральна по координатам хъ х2, ...» xk, если Re —
= Re Х2 =... = Re Xk = 0, а остальные корни характеристического
уравнения имеют отрицательные вещественные части;
3) собственно неустойчива, если хотя бы один корень харак-
теристического уравнения имеет положительную вещественную
часть.
Рассмотрим случай, когда корни характеристического урав-
нения det (Л — ХЕ) — 0 простые и удовлетворяют условию
Re/./С 0 (t = l, 2,	п),
т. е. нелинейная САР собственно устойчива или нейтральна по
одной координате
Определим состояния равновесия, которые могут быть в нели-
нейной САР, описываемой уравнениями (1) —(3). Эти состояния
равновесия представляют собой решения системы линейных алгеб-
раических уравнений
Ах -\-by- 0, a2y = f(E), сТх — гу = Е.
(4)
Для определения состояний равновесия рассмотрим вспомога-
тельную систему уравнений
Лх + &4/==0, сТх — гу = г.
(5)
Предположим, что определитель системы (5) не равен нулю,
а11 й12 • • • а1п bi
П‘21 ^22 ’ • • Ь2
=# о.
(6)
@п1 О-пЧ • • • ®пп Ьп
С1 С2 ... сп	—г
В этом случае система (5) имеет единственное решение; опреде-
лим его по правилу Крамера:
х/{ — Ake (k = 1, 2, ...» п), у — Be,
(7)
*’ Собственно неустойчивые нелинейные САР рассмотрен^! в кн. Л е -
тов А М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. Физматгиз, 1962.
269
где
аЦ ••• ^1/г 1	••• а1п
Л I	1 \k 4-/г+1	^nk+1 • • • О-пп Ьп
к^с >	an ... aln bt ~
О;1 . . . Qnn Ьп
Г1 ••• Сп С
С11 •. Gin
Gnl ••• СПп
tin ... ain bi
ani . • • ann bn
Cl ... cn -r
Если 672 = 0, то из второго уравнения системы (4) следует,
что 8 = 0 и согласно равенствам (7) получаем
%/г = 0 (&=1, 2, ..., п) и г/ = 0.
Таким образом, система дифференциальных уравнений (1) —
(3) имеет единственное состояние равновесия с координатами
xk = 0, у = 0.	(8)
Если п2 ф 0, то система уравнений (4) может иметь, вообще
говоря, несколько решений. Действительно, с учетом равенств
(7) второе уравнение системы (4) можно переписать следующим
образом:
Bn28 = f(s).	(9)
Это уравнение может иметь различные решения в зависимости
от знака величины Вп2 и формы кривой /(е). Если Вп2<0, то
уравнение (9) имеет единственное решение 8 = 0 и система урав-
нений (4) имеет решение (8). Если Ва2>0, то уравнение (9)
может иметь несколько решений. Обозначим их 8Х, ..., е,„; тогда
и система уравнений (4) имеет т решений, определенных равен-
ствами
xki = AkEi (k = 1, 2, ..., и), yi — Bsi (i = l, 2, ..., m).	(10)
Таким образом, в зависимости от вида нелинейной функции
f (е) и значений а2 и В в системе автоматического регулирования
возможны следующие виды состояний равновесия:
1.	Единственное состояние равновесия, определяемое выраже-
нием (8).
270
2.	Конечное число состояний равновесия, определяемых выра-
жением (10).
В дальнейшем будем рассматривать устойчивость тривиального
решения (8). Как показано в § 17, исследование устойчивости
любого из состояний равновесия (10) может быть сведено к этому
случаю.
Для упрощения дальнейших выкладок положим в уравнении
(2) ^=1, а2 = 0. Тогда движение нелинейной САР будет описы-
ваться системой уравнений
=	+	^==/(е), е = £-х-г».	(11)
Согласно изложенному выше система уравнений (11) имеет
единственное состояние равновесия с координатами ^ = 0, £/ = 0.
2.	Приведение уравнений движения к канонической форме.
Исследование устойчивости тривиального решения системы (11)
удобно проводить, когда уравнения приведены к канонической
форме. Канонической формой уравнений (11) назовем такой их
вид, когда матрица А приведена к жордановой форме. В § 6
было показано, что для любой числовой матрицы А существует
такая невырожденная матрица Т, что TXAT=J, где /—жор-
данова форма матрицы А.
Сделаем в системе (11) замену переменных
х Ти (det7=#0).	(12)
Тогда система уравнений (11) примет вид
T^^ATu + by,	г = с'Ти-гу,
или
^^Ju + byj,	e^u-ry,	(13)
где = Т 'Ь, с} = стТ.
Система уравнений (13) упрощается, если выполнить еще раз
*	замену переменных, положив
।	zju\bxy, E = cfu — гу.	(14)
;	Тогда вместо системы уравнений	(13) получим следующую
-	систему:
1	^=/z+^(e), £=r’z-r/(s).	(15)
I
I	Система уравнений (15) является канонической формой урав-
)	нений движения.
}	Заметим, что корни характеристического уравнения матрицы
X	А предполагались простыми, поэтому жорданова форма матрицы
£ А будет диагональной, т. е. J diag А.
Для того чтобы состоянию равновесия (х1{ — 0, у ^0) системы
5 уравнений (11) соответствовало единственное состояние равнове-
! .	271
I
сия (27. = О, е = О) системы уравнений (15), требуется, чтобы опре-
делитель системы (14) был отличен от нуля, т. е. чтобы выпол-
J b
ет -
нялось неравенство
— г
=/= 0, которое можно свести к виду
г + c'J-'by ф 0.
Учитывая, что
/-1 = (Г-1ДГ)-1 = Г-1Д-1Г, by = T'b, = ГТ,
неравенство (16) можно записать следующим образом:
(16)
г + ^Д-^^О.
(17)
3.	Достаточные условия устойчивости состояния равновесия.
Исследуем устойчивость тривиального решения системы уравне-
ний (15), приведенной к канонической форме. Для исследования
устойчивости построим функцию Ляпунова специального вида,
предложенную А. И. Лурье С помощью этой функции найдем
условия, накладываемые на параметры регулятора, при выпол-
нении которых тривиальное решение системы (15), а следова-
тельно, и тривиальное решение системы (11) асимптотически
устойчиво.
Сначала рассмотрим случай, когда все корни характеристи-
ческого уравнения det (А — КЕ) = 0 простые и лежат в левой
полуплоскости, Re Ху < 0 (i = 1, 2, ..., и) (система автоматиче-
ского регулирования собственно устойчива). Функцию Ляпунова '
будем искать в виде
V (z, е) = zrBz + \ f (е) ds.
(18)
Для того чтобы функция V (z, е) была определенно положитель-
ной, требуется, чтобы первое слагаемое в правой части этого
равенства представляло собой положительно определенную квад-
ратичную форму. В этом случае первое слагаемое будет строго
положительно для всех Z, удовлетворяющих условию |1г||У=0.
Второе слагаемое в правой части равенства (18) в силу условий,
накладываемых на функцию /(е), будет также строго положи-
тельно для всех 8, удовлетворяющих условию | е |	0.
Таким образом, функция V (z, б), определяемая выражением
(18), будет определенно положительной, если квадратичная форма
zTBz — положительно определена.
Составим полную производную по времени t функции V (z, е)
в силу системы (15):
+	=	BJ) 2 - г? (г) +
+ /= (8) (b^Bz-hz^Bby) +/ (8) c?z
*’ См.: Л у р ь е А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматиче-
ского регулирования. Гостехиздат, М.., 1951.
272
Учитывая, что матрица В квадратичной формы является симмет-
рической, т. е. ВТ = В, получим
&[Bz + zTBbt = b'Bz + (ВЬху z = 2 (Bbtf z.
Введем в рассмотрение матрицу
С = — (J'B + BJ).	(19)
Матрица С является симметрической. Действительно,
Ст = — (JTB + Bjy = — (ВЧ+ JrBT) = — (ВJ-}- JTB) = с.
Таким образом, полная производная функции V (z, е) в силу
системы (18) может быть записана в виде
~ = - гтСг - г/г (е) + 2f (е) (Bb, +1 с,)’ г.	(20)
Из выражения (20) следует, что полная производная по времени
t от функции V (Z, е) в силу системы (15) является квадратичной
формой относительно переменных zlt ..., zn, f(e). Выясним связь
между матрицей В и определяемой формулой (19) матрицей С.
Покажем, что если характеристические числа матрицы А
удовлетворяют условию Ау-фА/^О (t, / = 1, 2, ..., п), то по
заданной симметрической матрице С однозначно определяется
некоторая симметрическая матрица В. Действительно, так как
матрица J = diag А, то соотношение (19) можно переписать в виде
Q/ = —(Mzy + Mo) (l’« /=1’ 2>	«)>
откуда
6'> = -5С^7-	<21>
что и доказывает наше утверждение.
Отметим, что в рассматриваемом случае условие А/ф-Ау^О
(z, /—1, 2, ..., п) для матрицы А выполняется, так как по
предположению характеристические числа матрицы А удовлетво-
ряют условию ReA/CO. При выводе условий отрицательной
dV (z в)
определенности производной ——- потребуется следующая тео-
рема, которую приведем без доказательства *>.
Теорема 1. Пусть матрица А устойчива, т. е. ее характери-
стические числа лежат в левой полуплоскости. Тогда, если С —
матрица некоторой положительно определенной квадратичной
формы, то определенная по формуле (21) матрица В также явля-
ется матрицей положительно определенной квадратичной формы.
Получим условия, накладываемые на параметры системы регу-
лирования для того, чтобы функция V (Z, е) была функцией
Ляпунова.
♦’ Доказательство теоремы см. например: Барбаш ин Е. А. Функции
Ляпунова. «Наука», 1970.
273
Возьмем некоторую матрицу С положительно определенной
квадратичной формы (например, С = Е) и обозначим через В
матрицу, определяемую с помощью равенств (21). В силу сфор-
мулированной выше .теоремы матрица В будет также матрицей
некоторой положительно определенной квадратичной формы.
В этом случае, как указано выше, функция V (z, е) является поло-
жительно определенной. Для того чтобы функция V (z, е) была
функцией Ляпунова, требуется, чтобы ее производная всилу
системы (15) была отрицательно определенной функцией, или, что
одно и тоже, функция — ~была положительно определенной.
Как указывалось выше, функция —Е~ является квадратич-
ной формой относительно переменных гь ..., zn и f(e).
Для положительной определенности функции — —е- требу-
ется, согласно критерию Сильвестра, положительность всех глав-
ных диагональных миноров матрицы квадратичной формы.
Так как матрица С является матрицей положительно опреде-
ленной квадратичной формы, то первые п неравенств критерия
Сильвестра выполняются и остается последнее неравенство
С
1
2 С1
0.
(22)
Условие (22) является необходимым и достаточным условием отри-
цательнои определенности производной —Если разложить
определитель в левой части неравенства (22) по элементам послед-
ней строки и последнего столбца, то условие (22) можно пере-
писать в виде
г L> В&1-|-“гу CiJ C J	(23)
Если параметры регулятора удовлетворяют неравенству (23), то
существует положительно определенная функция V (z, е), произ-
водная от которой в силу системы уравнений (15) отрицательно
определена. Согласно теореме 2 об асимптотической устойчивости
состояние равновесия (zk = 0, е = 0) системы (15) будет асимптоти-
чески устойчиво. При выполнении неравенства (17), которое мы
перепишем в виде
г#=-стЛ-1&,	(24)
это будет означать асимптотическую устойчивость тривиального
решения (xft = 0, у — 0) системы уравнений (11).
Таким образом, неравенства (23) и (24) являются достаточ-
ными условиями асимптотической устойчивости состояния равно-
весия системы (11).
274
Перейдем теперь к построению функции Ляпунова для случая,
когда характеристическое уравнение матрицы А имеет один нулевой
корень. Остальные корни полагаем простыми и расположенными
в левой полуплоскости (нелинейная САР нейтральна по одной
координате).
Выделим компоненту zx вектор-функции z, соответствующую
пулевому корню характеристического уравнения матрицы А, т. е.
\z 1
представим вектор Z в виде z =	. 1огда система уравнении
L^iJ
(15)	запишется в виде
f = 72+fif(e),	(25)
В системе уравнений (25) приняты следующие обозначения: z —
— и—1-мерная вектор-функция; J — диагональная матрица по-
рядка (n— 1) (и — 1); и сг — п — 1 -мерные вектор-столбцы; Ьо и
с0 —скалярные величины.
В силу сказанного выше все характеристические числа мат-
рицы J лежат в левой полуплоскости. Функцию Ляпунова для
этого случая будем искать в виде
V (z, гъ е) = a?j-±fzTBz ф- (е) de
I b
(26)
В фигурных скобках стоит выражение, которое применяется
в качестве функции Ляпунова в предыдущем случае, когда все
корни характеристического уравнения матрицы А лежат в левой
полуплоскости. Если квадратичная форма zTBz является поло-
жительно определенной и а >> 0, то функция V (z, zlf е) будет
положительно определенной функцией в пространстве (г,	е).
Вычислим полную производную по времени t функции V (z,
е) в силу системы (25):
dV g) -	(в) +	Bz + ZTB g + f (е) £ =
= {-i’Cz + 2/(E)(BZ>1+ р1)тг-г/2(е)} + 2г1(а60 + |)Не).
(27)
К выражению в фигурных скобках применимы все рассужде-
ния предыдущего случая, когда все корни характеристического
уравнения матрицы А лежат в левой полуплоскости. Для того
чтобы выражение в фигурных скобках представляло собой отри-
цательно определенную квадратичную форму, необходимо и доста-
точно выполнение неравенства
г ^>[ВЬг -|- g Cij С	с^.
(28)
275
Если boco < 0, то можно подобрать такое положительное а, чтобы
выполнялось равенство ab0-\-~ — 0. Тогда производная
будет знакоотрицательной функцией. Действительно, если ab0 +
। со л dV (z, z,, е) _ Л	Л _ , . , Л dV (z, z<, е) Л
+ у = о, то ——<о при f(e)=/=O и —v ъ < = О
при г = 0, /(е) = 0 и ?1=7^0.
Таким образом, если параметры регулятора удовлетворяют
неравенству (28) и условию Z?oco <; 0, то существует положительно
определенная функция V (z, гъ е), производная которой в силу
системы (15) знакоотрицательна. Согласно теореме 1 об устойчи-
вости тривиальное решение (zk = 0, 8 — 0) системы (15) будет
устойчиво. При выполнении неравенства (24) это означает устой-
чивость тривиального решения (х1; = 0), у — 0) системы уравне-
ний (11).
Пример 1. Выполнить анализ устойчивости системы автоматического управ-
ления продольным движением летательного аппарата. Структурная схема
системы управления приведена на рис. 55 и состоит из следующих элементов *’:
объект регулирования, передаточная функция которого по углу тангажа
-	(29)
Р(Р24-Щр + аа)’	V '
причем щ>>0, и22>0, а1>0, а2>0 и af > 4а2; автопилот релейного типа,
описываемый дифференциальным уравнением в операторной форме
Р!/=/(е).	(30)
чувствительный элемент, уравнение которого имеет вид
e=g—clx—c2px—гу.
(31)
*) См.: Боднер В. А., Козлов М. С. Стабилизация летательных аппа-
ратов и автопилоты. Оборонгиз, 1961.
276
Дифференциальное уравнение объекта регулирования
dax , d2x , dx dy .
dF+aid^ + a2dt^nbdt^ ПьП^'
(32)
Если ввести новые переменные
dx d2x
х'=х> х2=^, х3^-пьу
(33)
и положить входное воздействие g — О, то свободное движение системы управ-
ления будет описываться системой уравнений
+	^ = /(е), е = стх—гу,	(34)
где
причем = Ь3 = пь («22 — ai)-
Для упрощения дальнейших выкладок сделаем замену переменных:
и = Ах-}-Ьу, е=стх—гу.	(35)
Тогда система уравнений (34) примет вид
^=Д« + &Н8), ^ = Гтй-г/(е).	(36)
Система уравнений (34) имеет единственное состояние равновесия (х=0,
у=0), следовательно, и система (36) имеет единственное состояние равновесия
(« = 0, 8 = 0). Выполним анализ устойчивости этого состояния равновесия.
Приведем систему (36) к канонической форме, для чего сделаем замену пере-
менных:
к = Тг,	(37)
где
1_____________1 1 ~
Aj (Xj— Х2) Х2 (Xj— Х2) XjX2
%i	Х2
“1 Х2 Xj — Х2
Обратной к матрице Т будет матрица
г 0	— Х2	1-1
Т"1= О	— Xj	1
I XjX2 — (Xj -f- X2) i-
(39)
, Vai — 4tz2 , ai	Vai — 4a2
В выражениях (з8) и (39) Xx=—g-4-----------2------ и X2=---g----------------
корни характеристического уравнения det M— XE) = 0. Кроме этих корней
характеристическое уравнение имеет корень Л3=О. Выполнив замену перемен-
ных (37), будем иметь
^ = diag[X!, X20]2 + T-W(e), ^ = ст7>-г/(е).
(40)
277
Систему уравнений (40) запишем по координатам:
^=^ + 67 (е),
dz	de	(41)
=X2z2 + b',f (е),	= c[zt + c'2z2+c'z3 — rf (e),
где
b[ — b3 k2b2, b'2 — b3 — ^ib2, b's = b3— (^i-b^2)62>	(42)
»___ gl~l~^-lc2 	__Cl + ^2f2 	, _ Cj
’ л'~ MV*
Функцию Ляпунова выберем в виде
е
V (Z1, z2, z3, е) =	4- m2z?2 + tn3z-s + J f (e) de.	(43)
о
Производная функции V (z, e) в силу системы (41) будет
z/V (z, e)
-у-	— 2m1z1 [Mzi + b'f (e)] 4- 2m2z2 [X2z24~b',f (e)] 4~
4-2//г3г36.7 (е) + / (e) [ф, +c',z2 + c'z3-rf (e)],
или
— ^==2,niKizi + 2/«2^; — c/2 (e) +	4 c[) zLf (e) +
4- (2tn2b2 4~ c2) z2f (e) 4- (2m3b's 4- c'A) z3f (e).	(44)
Выберем tn3 так, чтобы выполнялось равенство 2m3b'3-,f-c3==Q, т. е.
26'	2а2 (Ь3 4~ О1&2)	2а2П/}п22 1
так как, по условию, а2>0, П/?>0, п22 > 0, то т3>0, если q > 0. Коэф-
фициенты mj и т2 примем равными:
m>=~i>0’'"г=-яЬ>0'	<46)
Если tj > 0, а коэффициенты mlt т^, т3 удовлетворяют равенствам (45),
(46), то функция V (г, е) является положительно определенной. Для того
чтобы производная в силу системы (41) представляла собой отрицательно опре-
деленную квадратичную форму по переменным г1? z2, f (е), согласно критерию
Сильвестра необходимо и достаточно выполнение неравенства
(Ь2 Д2 , !Ь{ Д2
г>\К~Сг)+\Ул~с')-	(47)
Таким образом, если выбрать коэффициенты г, сг и с2 в цепи обратной
связи так, чтобы удовлетворялось неравенство (47), то в силу теоремы Ляпу-
нова об устойчивости система управления продольным движением летательного
аппарата будет устойчивой.
Часть третья
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава VII
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 22.	КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
1.	Комплексные числа; их геометрическая интерпретация.
Комплексным числом называется выражение вида
z = a-]-jb,	(1)
где a — Re г — действительная часть комплексного числа; b =
= Im z —мнимая часть. Под символом / понимается ]/—1.
Из определения следует, что /2 =—1, /3 =— /, /4=1 и вообще
=	jiki3==:_j (k = 0, 1, 2, ...).
Множество действительных чисел является подмножеством
множества комплексных чисел, получаемым при /7 = 0. Полагают,
ЧТо z = 0, если <1 = 0 и Ь = 0.
Два комплексных числа z1 — a1-\-jb1 и z^ — a^A-jb^ равны
между собой, если а1 = <22,	= т. е. если равны соответ-
ственно их действительные и мнимые части.
Комплексное ‘число z называется сопряженным к числу z =
~a-\-jb, если z — a — jb, т. е. z отличается от z только знаком
мнимой части.
Между множеством комплексных чисел и множеством точек
плоскости — плоскости Гаусса можно установить взаимно одно-
значное соответствие. Для этого по оси абсцисс, откладывается
действительная часть комплексного числа, а по оси ординат —
мнимая. Тогда каждому комплексному числу будет соответство-
вать точка на плоскости и каждой точке на плоскости — ком-
плексное число.
Комплексные числа можно изображать и в виде векторов
на плоскости. Действительные числа располагаются па действи-
тельной оси Ох, на мнимой оси Оу располагаются мнимые числа
(рис. 56).
2.	Модуль и аргумент комплексного числа. Положение точки М
на плоскости можно определить в полярной системе координат
279
углом наклона вектора ОМ и его длиной. Поставим в соответст-
вие то’Чке М комплексное число z (рис. 57).
Расстояние от начала координат до точки М называется моду-
лем комплексного числа z\ mod z — | z j = г.
Рис. 56	Рис. 57
Аргументом комплексного числа z называется угол, образован-
ный радиусом-вектором точки М с положительным направлением
действительной оси, Arg z = <p.
Если z — aA-jb, то
| z | = г =	+ Ь*,	(2)
Argz — <р + 2kn — arctg~ + 2/гл (k — О, ±1,±2, ...).	(3)
Модуль комплексного числа есть положительное число, отлич-
ное от нуля, если z Ф 0. Аргумент комплексного числа, отличного
от нуля,— функция неоднозначная. Главное значение аргумента
заключено в пределах
0 -С arg z < 2эт.
Если z = 0, то |z|=0, а значение argz — неопределенно.
Комплексное число можно записать в тригонометрической
форме. Так как я = г cos ср, 5 = r sin ср, то
z = r (cos <р + /sin <р).	(4)
Отметим, что | z | — | z | и arg 2 = — arg г.
3.	Сложение, вычитание, умножение и деление. Пусть =
= + и z2 = n2 + /52-комплексные числа. Определим опера-
ции сложения и вычитания следующим образом:
2i±z2 = (a1±a2) + /(&i±&2),	(5)
т. е. при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются
(вычитаются) отдельно их действительные и мнимые части.
Геометрически сложение и вычитание комплексных чисел
сводится к сложению и вычитанию соответствующих векторов
(рис. 58).
Умножение комплексных чисел определим по правилу умно-
жения многочленов: если z1 = a14-/&i, г2==а2 + /^2» то
ZiZ2 = (а± -j- /61) (а2 -f- /Т?2) = (аха2 — byb2) 4- / (ajb2 4- ^2^1) •	(6)
280
Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются обыч-
ным алгебраическим законам:
1. ‘ . ..
ством
Сложение и умножение комплексных чисел обладают свой -
коммутативности, т. е.
21Ч-22 = 22-|~ 21J	2i22 = 222i. .
2.
Сложение и умножение
ассоциативному закону, т. е.
(г1 + ^2) + 2з = г1 + (г2 + гз) 5
(?122) 23 = 2! (2223).
3. Сложение и умножение
связаны дистрибутивным за-
коном, т. е.
(21 + 22) 2з = 2123 -J- 2223.
Введем операцию деления
комплексных чисел. Част-
ным от деления комплексно-
го числа 2i = tzi + jth на ком-
плексное число 22 = а2 -f- jb2
называется число z3 = a3-\-jb3
то деление всегда определено,
соотношение
комплексных чисел подчиняются
Рис. 58
такое, что 2322 = Zi. Покажем, что
если z2 ф О,
Запишем
22 = (а -|- jb) (а — jb) — а2 + Ь2 0.
Если 2=# 0, то 22 —а2 + ^2>0. Определим частное от деления
z1 — a1 + jb1 на z2 = a2-[- jb2. Имеем
____ cij + jbj __ (Qi 4~ jbj) (flg jb2) _ 01^2 ~F bjb2  • a2bi ctjb2
3 22	o2-\-jb2	(q2 + jbd (Q2—jb2)
Рассмотрим умножение и деление комплексных чисел, задан-
ных в тригонометрической форме. Пусть
21 = гг (cos ср! + j sin <Pi), 22 = r2 (cos <р2 + j sin <p2),
тогда произведение комплексных чисел 2Х и г2, заданных в триго-
нометрической форме, будет
?iz2 = Г]Г2 [(cos epi cos (р2 — sin (pi sin (р2) +
+ / (sin (pj cos (р2 + cos (pi sin <p2)] —
== Г1Г2 [cos (<P1 + (p2) + / sin ((Pl + (p2)]. (8)
Из выражения (8) следует, что модуль произведения комплексных
чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент
произведения равен сумме аргументов сомножителей, т. е,
I гх221 = 12111 z21, arg (2iZ2) = arg 2i + arg г2.	(9)
281
Рассмотрим деление комплексных чисел, заданных в триго-
нометрической форме
= Г1 (совфг4-| sin фл) _ р (cos фл 4- / sin фг) (cos <р2 — / sin <р2)
z2 r2(cos(p2+/sin ф2) г2 (cos ф2 4~ / sin ф2) (cos ф2—у sin ф2)
= ~ [(cos cos ф2 + sin фл sin ф2) + / (sin ф± cos ф2 — cos фх sin ф2]) =
= “-[COS (фл-ф2)+/8Ш (фл-ф2)].	(10)
'2
Из выражения (10) следует, что модуль частного комплексных
чисел равен отношению модулей делимого и делителя, а аргу-
мент частного равен разности аргументов делимого и делителя,
т. е.
I Zi I	I Zi I	Zi	..,.
Г	arg= arg ?л - arg z2.	11)
I Z2 I I Z2 I	Z2
4. Возведение в степень и извлечение корня. Возведение ком-
плексного числа z в целую положительную степень п можно
производить с помощью формулы бинома Ньютона
zn =(« + //?)",	(12)
Если распространить формулу (8) на случай п одинаковых сомно-
жителей z — r (cos ф + / sin ф), то
zn — rn (cos пф + / sin цф).	(13)
Следовательно, чтобы возвести комплексное число z в целую
положительную степень, нужно возвести в эту степень его мо-
дуль, а аргумент умножить на показатель степени.
Пример 1. Выразить косинус и синус кратного угла лф через косинус и
синус угла ф.
Согласно формуле (13), имеем
(cos ф + j sin ф)” = cos лф ф- / sin лф.
Отсюда, используя формулу бинома Ньютона, получим
cos лф = со8” ф — С2 cos”-2 ф sin2 ф4~С4 cos”-4 ф sin4 ф—...
sin шр—С1п cos”-1 ф sin ф — С3 cos”-3 ф sin3 ф4- • • •	(14)
Рассмотрим операцию извлечения корня из комплексного
п —
числа. Положим 1^=1 z, если wn = z. Возникает вопрос, воз-
можно ли в области комплексных чисел извлечение корня
ц-й степени и сколько различных значений корня при этом по-
лучается? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:
Теорема 1. Из всякого комплексного числа г #=0 м.ожно извлечь
корень п-й степени, причем получается всего п различных значений.
Доказательство. Запишем w и z в тригонометрической
форме:
w = р (cos ф4- j sin ip), z — r (cos фф-/ sin ф).
Тогда согласно формуле (13)
р" (cos /?ф 4- / sin /гф) = г (cos ф ф- / sin ф).
282
Два комплексных числа, записанных в тригонометрической
форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули,
а аргументы отличаются на число, кратное 2л, т. е.
р'1 = г, пф = <р2/гл (k = 0, zfz 1, ± 2, ...).	(15)
„	V .	ф + 2/гл
Отсюда следует, что р = у г, ф = 1~у1—> т- е-
п ,—	п,— /
W = у Z — У г (cos
ф4-2/?л , . . ф4-2Ал
------k 1 S1I1 -------
п 1 3 п
(16)
Остается выяснить, сколько
корень n-й степени. Если
различных значений будет иметь
давать индексу k значения
О, 1,..., п — 1, то получим п различных значений корня, так
как аргументы этих значений будут- отличаться не на число,
кратное 2л.
Покажем, что различных значений будет не более, чем п.
Пусть k — m^n. Разделив т на /г, получим т = qn-\- р, где
«/ — частное, а остаток р удовлетворяет неравенству 0 -С р sC п — 1,
тогда
<р+2»ш =	ф+гп^+р) =	/ф+2лр + 2 \ cos /Ф±2лр\ .
п	п	\ П 1	\ П J
Аналогично имеем:
. фф-2тл  фф-2лр
п " п ‘
Следовательно, wm — wp, т. е. значение корня для k — m, где
т^п, совпадает со значением корня для k — p, причем 0 р-
-С п — 1. 
Дадим геометрическую интерпретацию полученному резуль-
тату. Обозначим п значений корня через ш0,	..., w„ А. Все
значения корня имеют одинаковый модуль, а их аргументы отли-
283
чаются последовательно на —, причем arg&y0 = — • Следова-
тельно, если изображать различные п значений корня векторами
на комплексной плоскости, имеющими начало в начале коорди-
нат, то концы векторов будут находиться в вершинах правиль-
ного n-угольника, имеющего центр в начале координат, радиус
„	„ ПГ~
описаннои окружности, равный у г, причем вектор, проведен-
„	<р
ныи в одну из его вершин, расположен под углом к действи-
тельной оси (рис. 59).
Пример 2. Вычислить
Модуль ]7|=1, а аргумент arg 7=ту» поэтому f/^/ =cos-----------1-
ту + 2kn
+ /'sin--к---	(6 = 0, 1, 2), или
О
л ... л /З , . 1
ш0=cos -g + / sm -g = -g-+/ 2-,
л , . / 5 КЗ, .1
twi=cos g- л-Н sm g-n=---
3	3
ny2 = cos-g- л + 7 sin — л= — 7-
Расположение корней на комплексной плоскости показано на рис. 60.
§ 23. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Последовательность комплексных чисел. Бесконечно удален-
ная точка. Распространим основные понятия математического
анализа на случай, когда независимая переменная является
комплексной величиной. Одним из главнейших понятий является
понятие предела, в частности предела числовой последователь-
ности. Последовательностью комплексных чисел называется неогра-
ниченное перенумерованйое множество комплексных чисел zx,
z2, • ••» ?«, ... и обозначается так: {zn}. Последовательность ком-
плексных чисел называется ограниченной, если существует такое
действительное число М>0, что для всех п справедливо нера-
венство | zn | в противном случае последовательность назы-
вается неограниченной.
Комплексное число а называется пределом числовой последо-
вательности {zn}, если для любого числа е>>0 можно указать
такой номер N, зависящий от е, что для всех п> N будет
выполняться неравенство j zn — а | < е.
Последовательность {?„}, имеющая предел а, называется сходя-
щейся к числу а.
Комплексное число zn = an-[-jbn характеризуется парой дей-
ствительных чисел ап и bft, поэтому последовательности комп-
284
лексных чисел {zn} соответствуют две последовательности {ап}
и {Ьп} действительных чисел.
Для сходимости последовательности {г„} необходимо и доста-
точно, чтобы сходились последовательности действительных чисел
{«„} и {Ьп}. Сходимость последовательности {zn} определяется
критерием Коши
Для сходимости последовательности {zn} необходимо и доста-
точно, чтобы для любого числа е >» 0 существовал такой номер N (е),
что \zn — zn + m I < е для nz> N (e) и любого числа т>~0.
Множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющее
неравенству \z — z0|<Ce, называется ^.-окрестностью точки z0.
Введем понятие бесконечно удаленной точки. Пусть имеется неог-
раниченно возрастающая последовательность комплексных чисел
{zn}, т. е. такая последовательность, что для любого числа R >> О
найдется такой номер N (R), что для всех n>N(R) справедливо
неравенство |zn|>>7?. Будем полагать, что эта последовательность
{zn} сходится к бесконечному комплексному числу г = оо. Геомет-
рически это означает, что точки последовательности {z„} с воз-
растанием их номера располагаются на комплексной плоскости
вне концентрических кругов с центром в начале координат,
радиусы которых могут быть сколь угодно большими. Комплексная
плоскость с присоединенной бесконечно удаленной точкой назы-
вается расширенной комплексной плоскостью. Заметим, что после-
довательность стремится к со независимо от направления
на расширенной комплексной плоскости.
Для бесконечно удаленной точки понятие действительной
и мнимой части, а также аргумента, не определены. Если име-
ется неограниченно возрастающая последовательность {?„}, то
последовательность | сходится к нулю, поэтому естественно по-
дожить — = 0 и -q- = oo. Кроме того, полагают для любого
числа а=^=0, что
.	со	а	г.
aztoo = oo, а-со —со, — = оо, — = 0.
’	’а	’со
Выражения ooztoo, 0-оо, ~ считаются неопределенными.
Чтобы получить геометрическое изображение числа оо, представ-
ляют комплексные числа точками на сфере (рис. 61). Для этого
надо описать сферу единичного радиуса с центром в точке О
комплексной плоскости. Прямая, проходящая через точку О
перпендикулярно к комплексной плоскости, называется осью
сферы, а точки пересечения оси со сферой Р и S — соответственно
северным и южным полюсом.
Будем соединять точки N сферы лучами с северным полюсом Р
и отмечать точки пересечения этих лучей с комплексной пло-
скостью (точка М на рис. 61). Таким образом, мы можем
спроектировать все точки сферы, за исключением точки Р, на
плоскость. Такая проекция называется стереографической проек-
285
цией. С помощью проекции можно каждую точку сферы (кроме Р)
рассматривать как изображение соответствующей точки плоскости,
а следовательно, как изображение комплексного числа, соответ-
ствующего этой точке плоскости.
Если взять бесконечно возрастающую последовательность комп-
лексных чисел {z„}, то образы этих чисел на сфере будут стре-
миться к северному полюсу Р. Поэтому естественно рассматри-
вать точку Р как изображение на сфере бесконечно удаленной
точки. Изображением начала координат на сфере является южный
полюс S. Расширенной комплексной плоскости соответствует вся
сфера. Конечной комплексной плоскости соответствует сфера,
из которой исключена точка Р.
2. Множества точек на плоскости. Введем ряд понятий, необ-
ходимых в дальнейшем. Точка z называется внутренней точкой
множества Е точек комплексной плоскости, если существует
е-окрестность точки z, целиком принадлежащая множеству Е.
Множество Е называется областью, если оно обладает следую-
I
щими свойствами: 1) каждая
точка множества Е является
внутренней точкой;
2) любые две точки, при-
надлежащие множеству Е, мож-
но соединить ломаной, состоя-
щей из точек множества Е. Это
свойство называется свойством
связности области.
Множество точек | z | < 1
представляет собой область.
Примером области является так-
же е-окрестность точки z0. Мно-
жество точек | z | sC 1 не являет -
точки этого множества являются
1, | z —- 2 ] < 1 также не яв-
все
ся областью, так как не
внутренними. Множество точек | z |
ляется областью, так как не обладает свойством связности.
Области в дальнейшем будем обозначать буквой G. Граничной
точкой области G называется точка, которая сама не принадлежит
области G, но любая е-окрестность которой содержит точки G.
Например, точка z == 1 является граничной точкой области | z | < 1.
Совокупность всех граничных точек назовем границей области G.
Область G с присоединенной границейназывается замкнутой
областью. Замкнутую область обозначим G. В дальнейшем будем
полагать, что граница области состоит из конечного числа
кусочно-гладких кривых. Некоторые кривые могут вырождаться
в точки.
Число связных частей, на которые разбивается граница, назы-
вается порядком связности области. На рис. 62 изображена
четырехсвязная область; граница области состоит из четырех
кусочно-гладких кривых, три из которых замкнутые, и точ-
ки.
286
Пусть имеется односвязная область G с границей I. Выберем
какую-либо точку на границе и начиная с нее будем обходить
область. Положительным направ-
лением обхода называется такое
направление, при котором обхо-
димая область остается слева (рис.
63). Область G называется огра-
ниченной, если она лежит внутри
некоторого круга конечного ра-
диуса.
3. Функции комплексного пере-
менного. Понятие функции комп-
лексного переменного вводится
аналогично понятию функции дей-
ствительного переменного. На множестве Е комплексной плос-
кости задана функция комплексного переменного г, если задано
правило, по которому каждому значению г множества Е ставится
в соответствие одно или несколько комплексных чисел w. Симво-
лически это соответствие запи-
сывается в виде w = f(z). Мно-
жество Е называется множест-
вом определения функции f (z).
Мы будем рассматривать слу-
чаи, когда множество определе-
ния Ефункции f (z) представляет
собой область, либо замкнутую
область. Функция f (z) назы-
вается однозначной, если каж-
дому значению г ее Е соответст-
вует только одно комплексное
рис 63	число w; если каждому значе-
нию z соответствует несколько
значений ш, то функция f (z)
называется многозначной. Множество комплексных чисел w, соот-
ветствующее всем z е £, называется множеством, значений функ-
ции f(z).
Комплексное число w = u-\-jv характеризуется парой действи-
тельных чисел и и v, поэтому задание функции f (г) комплексного
переменного г = равносильно заданию двух функций и и v
двух действительных переменных х и у, т. е.
w(z) = u(x, y) + jv(x, у).
(1)
Функции и (х, у} и v (х, у) определены в области G плоскости
действительных переменных х и у, соответствующей этой же
области плоскости комплексного переменного г, и называются
соответственно действительной и мнимой частью функции
Геометрически задание, функции w = f(z) означает, что уста-
новлен закон, по которому каждой точке области G комплексной
плоскости z ставится в соответствие некоторая точка области бц
287
комплексной плоскости w. Таким образом, функция w = f(z)
отображает область G плоскости z на область Gx плоскости w
(рис. 64).
Можно установить и обратное соответствие — каждой точке
w е Gi ставится в соответствие одна или несколько точек z
области G. Это означает, что в области Gx задана функция комп-
лексного переменного w, z = cp(w).
Функция ф (ш) называется обратной по отношению w = f(z).
Функция w — f(z) называется однолистной в области G, если,
различным значениям z в этой области соответствуют различные
значения функции w. Очевидно, что функция, обратная к одно-
листной функции, будет однозначной.
Рассмотрим функцию w = az, где а — некоторое комплексное
число. Обозначим |а| = &, arga = <p. Тогда согласно правилу умно
жения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме,
отображение плоскости z на плоскость w сводится е растяжению
всех векторов плоскости г в Л раз и к повороту их на угол <р.
Если на плоскости z задан круг единичного радиуса с центром
в начале координат, то его отображение с помощью функции
w = az будет представлять на плоскости w круг радиуса k с цент-
ром в начале координат, повернутый на угол <р. Заштрихованный
сектор при отображении поворачивается на угол <р, центральный
угол сектора остается неизменным (рис. 65).
Введем понятие предела функции комплексного переменного.
Пусть функция w~f(z) определена и однозначна в некоторой
области G плоскости г. Рассмотрим некоторую последовательность
чисел {zn}, сходящуюся к точке г0 и соответствующую ей после-
довательность {f (zn)} значений функции f (z).
Если последовательность {f (zn)} сходится к одному и тому же
пределу w0, т. е. lim f(z„) = ay0, причем предел w0 не зависит от
п —► со
выбранной последовательности {zn}, то существует предел функции
f (г) в точке z0, т. е.
lim f(z) = w0.	(2)
г -* г0
Можно дать и другое определение предела функции f(z)
в точке z0.
288
Функция w — f(z) имеет предел w0 в точке z0, если для любого
числа е >>0 можно указать такое число б >» 0 (зависящее от е и z0),
что из неравенства | z — z0 | •< б следует неравенство I f (z) — w0 I «< е
или, иными словами, образы точек, лежащих в ^-окрестности
точки Zjq, расположены в ъ-окрестности точки wQ.
Функция w — f (z) = u (х, y)-\-jv(x, у), поэтому из существо-
вания предела функции /(г) в точке г0 = х0 + jyn следует сущест-
вование пределов
lim и (х, у)=~-и0, lim v (х, z) — v(h	(3)
х -» х0	х ->• Хп
У У«	У -* Уч
п р ичем wQ — и0 + /ц0.
Из формул (3) следует, что предел функции комплексного
переменного сводится к пределу функций двух действительных
переменных. Поэтому для предела (2) функций комплексного пере-
менного справедливы все свойства пределов функций действи-
тельных переменных
Дадим определение непрерывности функции f (z) в точке г0.
Функция f (z) называется непрерывной в точке z0, если для
любого е>>0 можно указать такое б>0 (зависящее от е и г0),
что при выполнении неравенства | z — z01 < б будет выполняться
неравенство \f(z) — [ (z{)) j < е.
Можно дать другое определение непрерывности функции f(z)
в точке z0, эквивалентное первому.
Функция f (z) называется непрерывной в точке zQ, если для
любой последовательности {zn}, сходящейся к точке z0, соответ-
ствующая последовательность значений функции {f (zn)} сходится
к точке f (z0).
Функция называется непрерывной в области G, если она непре-
рывна в каждой точке этой области. Из определения пепрерыв-
*’ См., например: Фихтенгольц Г. М. Основы математического
анализа, т I, «Наука», 1968, с. 88.
10 в. р. Чемоданова, г. 1
289
ности функции f(z) = w(x, г/) + /ц(%, у) следует, что если действи-
тельная и(х, у) и мнимая v(x, у) части функции /(г) есть
непрерывные функции аргументов х и у, то функция f (z) непре-
рывна.
Для непрерывных функций комплексного переменного спра-
ведливы все свойства непрерывных функций действительного
переменного.
1.	Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная.
2.	Произведение двух непрерывных функций есть функция
непрерывная.
3.	Пусть функция Wi — fx (z) отображает множество Е пло-
скости z на множество Ех плоскости wx, а функция w2 — Д (&'i) —
— множество £1 плоскости wx на множество Е2 плоскости w2.
Тогда, если функции А (г) и f2(w1) непрерывны, то сложная
функция Д [A (z)] ~f (z), отображающая множество Е на мно-
жество Е2, также непрерывна.
4.	Модуль непрерывной функции достигает в замкнутой огра-
ниченной области своего наибольшего и наименьшего значения.
5.	Функция, непрерывная в замкнутой области, равномерно
непрерывна в этой области.
Функция f (z) называется равномерно-непрерывной в области G,
если для любого е >> 0 существует такое число б > О, зависящее
только от е, что для любых двух точек zx и г2, принадлежащих
области G из неравенства |г2 — zx | < 6, следует неравенство
\f^2)-f (zx) | < е.
Пример 1. Определить, является ли непрерывной функция w = z2.
Имеем w = г2 — (х 4- jy)2 х2—у2 4- j2xy, следовательно,
tz(x, у) = х2—у2, v(x, у) = 2ху.
Функции и (х, у) и v (х, у) — непрерывные функции аргументов х и у,
поэтому функция f(z) = z2 непрерывна при любых z.
§ 24. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1.	Производная функции комплексного переменного. Пусть
функция f (z) определена и непрерывна в некоторой области G.
Рассмотрим две точки z и z-|-Az, принадлежащие области G, и
/ (z-j-Az)—/ (г) Аш
составим отношение ——!=
Az	AZ
Назовем производной функции w = f(z) в точке z предел отно-
шения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю, т. е.
f (г) = lim = lim	(1)
' ' ' Лг-.0Лг Дг—»0	4*	' '
Для существования производной в точке требуется, чтобы этот
предел существовал и не зависел от способа стремления Аг
к нулю.
290
Функция f (z) называется аналитической (регулярной) в обла-
сти G, если в каждой точке z этой области функция определена,
непрерывна и существует производная этой функции.
Введенное определение производной от функции комплексного
переменного совпадает с определением производной функции
действительного переменного, поэтому все правила дифференци-
рования функций действительного переменного справедливы и
для функций комплексного переменного. Эти правила следующие:
1.	Производная суммы двух функций равна сумме производных
этих функций, т. е.	(*) + £'(?)•
2.	Производная произведения двух функций равна произве-
дению производной от первой функции на вторую плюс произ-
ведение первой функции на производную от второй, т. е.
[f (*) g (и)]' = f (z) g (z) 4- f (z) g' (z).
3.	Производная дроби представляет собой дробь. Числитель
этой дроби равен разности между произведением производной
числителя на знаменатель и произведением числителя и произ-
водной знаменателя. Знаменатель производной равен квадрату
знаменателя, т. е.
|7(z) Т = f' (z)g(z)—f(z)g' (г)
h(z)|	g2(z)
4.	Пусть имеется функция wl = [1(z), где zeG, и функция
= (^i)» где ®ieGb причем функция Д (z) отображает
область G в область Съ Пусть Д (z0) ==	и Д (^ю) = ^20 и
существуют производные (z0) и Д(и>10). Тогда производная от
сложной функции
{МА (?)l}^0 = M^o)-A (*<.).
5.	Пусть имеется функция w — f(z), где zeG, которая вза-
имооднозначно отображает область G плоскости z на некоторую
область Gx плоскости w. Тогда, если обратная функция z = <р (ш)
непрерывна в точке ^() = /:(z0) и существует производная f' (zc),
существует и производная обратной функции, причем [<р (u^)]' —
2. Условия Коши — Римана. Дадим необходимые и достаточ-
ные условия существования производной функции f(z) = w4-/u
в точке z = z0, т. е. условия аналитичности функции f (г).
Теорема 1. Для того, чтобы функция f (z) = иД- jv, определен-
ная в некоторой окрестности точки z0, имела производную в этой
точке, необходимо и достаточно, чтобы 1) функции и(х, у) и
v (х, у) были дифференцируемы в точке z = z0 по х и у, 2) в точке
z = Zo выполнялись условия Коши —- Римана
ди dv ди  dv	,д,
дх ду И ду	дх'	' *
Доказательство. Сначала докажем необходимость усло-
вий Коши —Римана. Положим, что функция f (z) имеет произ-
ю*
291
водную в точке z — z0, т. е. существует предел
Г (?<>) = lim Afa+M.-ZW	(3)
Az-»0	Лг
Этот предел не зависит от способа стремления Az к нулю. Поло-
жим Az = Ax, тогда
[и (х0~рДх, у0) + /^ (х0-рЛх, у0)| —[(м(х0, yo)+jv(xo, у0)]
Дх
f'(z„)= lim
Ax —О
= цт 1» (хо + Ах, у0) — и (х0, у0)] + / [у (хр + Дх, у0) — V (х0, у0)]
Дх—>о	Ах
_ ди , .dv
~ дх* дх’
Пусть теперь Az = /А#, тогда
[ы(*о. Уо+Ау) + /У(хо, Уо+Лу)1 —fn(x0, y0) + /tz(x(„ у0)]
/Ау
Г (z0) = lim
Af/—O
Нт У<>+Ау) —ux0, yoll-H'IWo, уи4-Ду) —и (х0, у(,)|
Д{/-о	/A.V
— 1 I • ^v\ • ди
j \dy ‘ I ду)	ду I ду'
(4)
(5)
Так как предел (3) не зависит от способа стремления Аг
к нулю, то, приравнивая действительные и мнимые части выра-
жений (4) и (5), получаем
ди dv dv  ди
дх ду И дх	ду'
Необходимость условий теоремы доказана.
Докажем достаточность условий Коши —Римана. Положим,
что функции и (х, у) и v (%, у) дифференцируемы по х и у и
удовлетворяют условиям Коши —Римана. Покажем, что в этом
случае производная функции f' (г) в точке z = z0 существует.
Из дифференцируемости функций и (х, у) и v (х, у) следует, что
Ану = Аи + /До = А% + |“ Аг/ + / Ах + А^ + о (Az),
где о (Az) — бесконечно-малая более высокого порядка малости,
чем Az.
Рассмотрим отношение д—:
ди ди . , .fdv . , dv . \
Aw _________ дх Х~^~ду У + !\дх Х^ду ^) о (Дг)
Дг	.Дх-р/Ду	•
В силу условий Коши —Римана
ди . dv . , . (dv . , ди . \
.	-< Дх —у- Ду -р / ч- Ах -р Ду |	.
Дну дх дх \дх дх ) у о (Дг)
Дг	Дх + /Ду	' Дг
^(Дх+/Ау)+/^(Дх+/ад о(Дг)
Дх-р/Ау	' Дг ‘
292
Перейдем к пределу при Az->0: lim д- = + /i д~ = w' (z0),
т. е. предел существует и не зависит от способа стремления Az
к нулю. д Таким образом, установлена достаточность условий
Коши — Римана.
Используя условия Коши — Римана, можем написать:
. ди	,	.dv	ди	.ди	dv	.ди	dv	, .dv
f	(^) ==: л	1 "1	—‘ д —	1 т ’	—	"1-/	:= Н-F 1 л~ •	(®)
'	' ’ дх	1	1 дх	дх	1 ду	ду	1 ду	ду	1 дх	' '
Приведем без доказательства*’ условия Коши —Римана для
функции f(z), когда z задано в тригонометрической форме. Пусть
f (z)=f [г (cos ср-I-/ s i п ср)] = w (r, cp)+p(r, ср).
Для существования производной в точке z0 = r0 (cos ср0 Д- jsin ср0)
необходимо и достаточно, чтобы:
1) функции и (г, ср) и v(r, ср) были дифференцируемы по г
и ср;
2) выполнялись в точке z0 условия Коши — Римана в следу-
ющем виде:
ди  1 dv dv   1 ди	,~
дг г <Э<р ’ дг	г д(р’	' '
Пример 1. Определить аналитичность функции
/ (?) -= г- = х2 — у2 -|- /2x1/.
Действительная и мнимая части этой функции: и (х, у) — х2~у2, v(x,y) =
= ‘2ху. Функции и и v дифференцируемы по х и у; их частные производные:
ди dv _ du о dv о
. — 2х,	=2х, , — — 2у, -~ — 2у.
дх ду ду	дх
Таким образом, условия Коши — Римана выполняются для всех точек комп-
лексной плоскости z. Следовательно, функция f(z) — z2 аналитична всюду на
комплексной плоскости
Пример 2. Определить аналитичность функции f (z) =! z j = r.
Для этой функции и (г, (p) — r, v (г, ср) = О. Вычислим частные производные:
1, ^=0. Условия Коши — Римана (7) не выполняются, следовательно,
дг дер
функция f(z)=z' нс является аналитической.
3. Гармонические функции. Многие задачи, встречающиеся
в технике, приводят к уравнению в частных производных
д2и . д2и	* /л
j о + -> , — 0, или А// = 0.
дх2 1 ду2 ’
Это уравнение называется уравнением Лапласа-, А — оператор
Лапласа.
Введем определение. Гармонической функцией и (%, у) двух
переменных х и у называется функция, имеющая непрерывные
*’ Доказательство см., например: Марку шевич А. И. Краткий курс
теории аналитических функций. «Наука», 1966, с. 39.
293
частные производные до второго порядка .включительно и удов-
летворяющая уравнению Лапласа. Примером гармонической функ-
ции является функция и (х, у) = In | z | = ~ In (х2 Ц-У2). Действи-
тельно,
д2и у2 — х2 д2и	х2 — у2	fiu . (fiu ~
дх2 ~ (х2+у2)2’ ду2 ~ (х2 + у2)2 ’ П0ЭТ0МУ дх2 + ду2 °-
Функция v (х, у) называется сопряженной гармонической функ-
цией по отношению к гармонической функции и (х, у), если
функция v (х, у) — гармоническая функция и вместе с и (х, у)
она удовлетворяет уравнениям Коши —Римана.
Теорема 2. Вещественная и мнимая части и (х, у), v (х, у)
аналитической функции f (z) являются гармоническими сопряжен-
ными функциями от х и у.
Доказательство. При доказательстве теоремы будем
предполагать, что вещественная и мнимая части и (х, у) и v (х, у)
аналитической функции обладают непрерывными частными про-
изводными второго порядка по х и у. Существование непрерыв-
ных частных производных второго порядка у функций и (х, у)
и v (х, у) будет доказано позднее.
Покажем, что функции и (х, у) и v (х, у) удовлетворяют урав-
нению Лапласа, предполагая, что они обладают непрерывными
частными производными второго порядка. Напишем уравнения
iz	гл	ди dv ди dv ,,
Коши — Римана ~ ду' ду~ ~ дх' Дифференцируем первое урав-
д2и . д2и „
нение по х, а второе —по у, после сложения получим	=0.
Аналогично получим равенство ^2 + ^2 —0. S3
Зная гармоническую функцию и (х, у), можно найти сопря-
женную к ней гармоническую функцию v (х, у) с точностью до
постоянного множителя. Действительно, рассмотрим криволиней-
*	2
ный интеграл dx + dr/= v (z) — v (z0), где z и z0 — некоторые
Zo
o	dv dv
точки на плоскости x, у. Заменим и учитывая условия
Коши — Римана, получим:
г
v (г) - V (г0) = dx +dy.	(8)
Zo
Под знаком интеграла стоит полный дифференциал. Действи-
тельно, из математического анализа известно, что для того, чтобы
подынтегральное выражение представляло собой полный диффе-
д2и д2и
ренциал, требуется выполнение равенства —
Это равенство выполняется, так как и (х, у), по предположе-
нию, — гармоническая функция. В равенстве (8) v (г0) — постоян-
294
ная величина, зависящая от положения точки г0; таким образом,
v(z) = J -d^dx.^-d~dy^c.	(9)
?о
Формула (9) позволяет по известной действительной части
и (х, у) аналитической функции f (z) определить с точностью до
постоянного множителя ее мнимую часть v (х, у).
Аналогично может быть получена формула
г
и (z) = С dx — dy 4- с;
' ' j ду дх v 1 ’
Zo
(10)
с помощью которой можно определить по известной мнимой
части v (х, у) аналитической функции ее действительную часть
п(х, у).
Таким образом, формулы (9) и (10) позволяют определить
аналитическую функцию f (z) по одной из ее компонент.
Пример 3. Задана функция и (х, у)—х2— у2. Найти аналитическую функ-
цию /(г), вещественная часть которой и (х, у) — х2— у2.
Покажем, что и (х, у) — гармоническая функция. Действительно, имеем
дРи d2U пол	г.	\ п
_1_	=2 — 2 = 0, т. е. заданная функция является гармонической. Вос-
дх2 ду2
пользовавшись формулой (9), определим мнимую часть аналитической функ-
ции /'(z):
г
и {X, у) =
2
2у Jx-|-2x dy = 2xy~[-c.
Zo
Искомая аналитическая функция f (z) имеет вид
f (z) = х' — у2 + / (2хт/ + с) = г'- + jc.
4. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
Положим, что функция /(г) аналитична в области G, причем
f' (г0) ф 0. Пусть образом кривой /21 на плоскости г будет кри-
вая lWl на плоскости w (рис. 66). Пусть точки М. и М.г на пло-
скости z соответствуют значениям z = z0 и z = z04-Az, а точки
N и на плоскости w соответствуют значениям w = w0 и w =
= г^о + Д&у; тогда значения углов будут: а = arg Az, р = arg Any.
Следовательно,
ДИ»	.	АО
arg д- = arg /xw — arg Az = р —- a.
Если положить Az -> 0, то точка Мк будет стремиться к точке М,
а точка Ах —к точке А. Секущие MMi и ААХ в пределе зани-
мают положения касательных и
Hm arg ^ = argf (г0)=ф1-(Р1.	(11)
д2_,0 &Z
Из выражения (11), следует, что аргумент производной функ-
ции f' (г) в точке z0 представляет собой угол поворота касатель-
295
ной к кривой lZi в точке г0 при отображении этой кривой на
плоскость w с помощью функции f(z). В этом состоит геометри-
ческий смысл аргумента производной f' (z).
Если рассмотреть другую кривую /2г, проходящую через
точку М, то можно записать равенство arg/'(z0) =ф2 — <р2»
или, принимая во внимание (11)
Ф2 “Ф1=ф2-<Р1.
(12)
Таким образом, если взять на плоскости z две кривые /2) и
1г,. и обозначить их образы на плоскости w соответственно lWj
и lW2, то при отображении с помощью аналитической функции f (z)
углы между кривыми сохраняются при условии, что f (zo)#=0.
Рис. 66
Выясним теперь геометрический смысл модуля производной
г, , ч о	Доу	|Aw| I Ao?! 7VJV
f (z). Рассмотрим модуль отношения ; имеем - ==±г-т—, = уф-.-..
' ' ’	1	-	\z ’	| Az I i Аг' TWpW
При Az->0 получим:	i
lim I lim (*»)!•	(13)
Az-+0 I I |Дг—>0 az|
Из равенства (13) видно, что модуль производной характеризует
растяжение (модуль производной равен коэффициенту растяжения) *
бесконечно-малых векторов, выходящих из точки г0 при отобра-	1
жении с помощью функции w = f(z). Это растяжение не зависит	|
от направления бесконечно-малого вектора, т. е. растяжение I
будет одинаково по всем направлениям.	I
Из геометрических свойств аргумента и модуля аналитической 1
функции следует, что отображение с помощью аналитической >
функции в окрестности одной точки будет подобным, или кон- ।
формным (сохраняющим форму).	|
§ 25. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Линейная и дробно-линейная функции. Линейной функцией
комплексного переменного z называется функция вида
f(z) = az + ^,	(1)
296
где а и b — комплексные числа. Производная линейной функции
f (z) = а. При отображении с помощью этой функции в каждой
точке z бесконечно-малый вектор растягивается в |ц| раз и пово-
рачивается на угол а — arg а.
Рассмотрим более подробно отображение, совершаемое линей-
ной функцией. Пусть имеем функцию
f (z) = - а | z.	(2)
С помощью этой функции осуществляется преобразование подо-
бия с коэффициентом | а |, т. е. при отображении на плоскость w
arg z не изменяется, а длина вектора возрастает в раз.
Пусть теперь
f (2) = z (cos аф-/ sin а).	(3)
Эта функция осуществляет поворот вектора г на угол а, остав-
ляя модуль ! z | неизменным. Функция
f (z) = az = I a i (cos a + / sin a) z,	(4)
где a = arg а, осуществляет последовательно поворот вектора z.
на угол а и растяжение этого вектора в  а  раз, т. е. произво-
дит как преобразование (2), так и преобразование (3).
При отображении с помощью функции
Ш^г + Ь	(5)
осуществляется сдвиг всех векторов плоскости z на постоянный
вектор Ь.
Таким образом, при отображении с помощью функции / (?) =
= az -|- b осуществляется последовательно поворот и растяжение
векторов плоскости z, а также их сдвиг на вектор Ь. Преобра-
зование (1) имеет две неподвижные точки (при а Ф 0 и аф 1):
1) бесконечно удаленная точка, которая с помощью отображе
ння (1) переходит в бесконечно удаленную точку плоскости w\
2) конечная неподвижная точка zlt которая при отображении
остается на месте, т. е. / (zx) = zx. Эта точка определится из
уравнения z = nz4-b, решение которого гг==у^у . Если <2=1, то
точка z = oo будет двойной неподвижной точкой, так как точка
Zj уходит в бесконечность. Если а = 0, то f (z) = b, и в этом
случае будет одна неподвижная точка, в которую отображается
вся плоскость z.
Дробно-линейной функцией называется функция вида
/(z)=4^±l	(6)
причем I с J 4-1 d IФ 0. Дробно-линейная функция определена всюду,
кроме точки z = — d/c. Производная дробно-линейной функции
297
Если выполнено условие ad — be =у=0, то производная
во всей комплексной плоскости. Если ad — bc = Q, то ad = bc,
или ~-= и функция / (z) принимает вид f (z) =	= X.
Следовательно, если функция f (z) const, то отображение (6)
конформно всюду на конечной комплексной плоскости z, за исклю-
чением точки z = —В дальнейшем будем полагать, что ad —
— be Ф 0.
Преобразование /(z) = l/z переводит бесконечно удаленную
точку z = оо плоскости z в нуль. Поэтому полагаем, что кривые
1\ и I'i (рис. 67), уходящие в бесконечность, образуют угол а
в бесконечно удаленной точке, если при преобразовании
образы Ц и Z.J этих кривых на плоскости Шх образуют угол а
в точке 0.
Покажем, что дробно-линейная функция сохраняет углы и
1 cz —I— d
в точке z —— d'c. Функция /у (z) =	отображает точку
z = — у плоскости г в точку ш1 = 0 плоскости wr. Чтобы сохра-
нялись углы между кривыми, проходящими через точку z =— d/c,
требуется, чтобы производная функции (z) в этой точке была
, ,	cb — ad I	. Л
отлична от нуля, т. е. fi(z)=-,—г
J	' 1 ' ’ (az + b)2 г = — d/c
Таким образом, углы с вершиной в точке z —— die при ото-
бражении с помощью дробно-линейной функции сохраняются.
Точка z =— d/c называется полюсом функции f (z) и обладает
тем свойством, что lim f(z) = oo. Бесконечно удаленная точка
плоскости z с помощью функции f (z) переходит в точку W — — .
Функция z — ф(ьу), обратная к функции (6),
Z — (р (щ) = —
dw— b
cw—a
(8)
298
также является дробно-линейной. Точка является полюсом
функции z^q>(w). В силу доказанного выше отображение
с помощью функции (8) сохраняет углы и в точке —.
Таким образом, дробно-линейная функция взаимно однозначно
отображает расширенную комплексную плоскость на себя с сохра-
нением углов между кривыми во всех точках расширенной комп-
лексной плоскости, т. е. дробно-линейное преобразование конформно
j всюду на плоскости z.
; Найдем неподвижные точки дробно-линейного преобразования.
J Неподвижные точки определяются из уравнения f (z) = z, кото-
< рое с учетом формулы (6) примет вид
z =	или cz2 ф- z (d — а) — b = 0;
4 корни этого уравнения равны
§ г_______________________________________________
a — d -t га2 — 2ad-\-d2-\-4bc
; Из формулы (9) следует, что дробно-линейное преобразование
i имеет не более двух неподвижных точек. Если (a —d)2-|-4bc —0,
то имеем двойную неподвижную точку.
Следующая теорема устанавливает, что не может быть двух
отличных друг ог друга дробно-линейных функций, значения
I которых совпадают в трех различных точках. Теорему приведем
без доказательства.
> Теорема 1. Если две дробно-линейные функции совпадают
i в трех различных точках, то они тождественны.
Из приведённой теоремы следует, что всякая дробно-линей-
1 ная функция определяется своими значениями в трех различных
точках.
Рассмотрим подробнее это свойство дробно-линейной функции,
i Пусть даны на плоскости z точки zx, z2, z3 и на плоскости w
> точки Wi, ш2, ку3. Покажем, что всегда существует дробно-линей-
£ ное преобразование w(z), такое, что оно переводит точки zt, z2, z3
5 в ТОЧКИ 1О2, ЬУ3.
г Положим сначала, что все точки конечные, и найдем преоб-
Г разование (г) такое, что (zi) = 0, £x(z2) =	£1(гз)-= 1. В общем
В случае дробно-линейная функция имеет вид

az-j-b
cz -j— d
Из условия (Zi) — 0 найдем: azx + b — 0, откуда b — — az{. Учи-
тывая условие ^1(z2)=oo, получаем cz2-\-d = 0, т. е. d — cz2.
Подставим найденные значения b и d в преобразование (z):
а
с

Z-— г1
г —z2 ‘
299
Отношение — найдем из условия Si (^з) = П
< a z%— Zi	а <	— Zj
1 =-----f--l откуда — = 1: —-------—.
c z3 — z2	J c z3 — г2
Окончательно Si (г) запишется в виде
=	(10)
Z — Zo ?з — z2
Аналогично преобразование
(И)
“ ' ’	W — W2 w3—w2		' '
переводит точки одь w2, w3 плоскости w соответственно в точки 0,
сю и 1 ПЛОСКОСТИ Sa-
Тогда преобразование w = ср2 (Si (z)), где ср2 (г) — функция,
обратная к функции S2 (г), переводит точки zlt z2, z3 в точки
ш2, w3. Это преобразование запишется в виде S2 (^) = Si (z)>
или
z—zt . z3 — zl _ w — wt tt>3 — Ц>!	, J 2'
Z — Z2 ‘ Z3 — Z2 W — W2  w3 — w2 ’	' '
Формула (12) соответствует случаю, когда все точки г, и
конечные.
Пусть теперь одна из точек, например точка zlt совпадает
с бесконечностью. Тогда, переписав Si (z) в виде
Si (z) =
-—1
___
Z — Z2
£з__1
. 21___
’ Z3 — z2
и устремив Zi к бесконечности, получим Si (z) —	Преоб-
разование Si (z) = S2 (^) в этом случае будет иметь вид
1 . 1	_w —	. w3— w-f	,.q.
Z — Z2 ‘ Z3 — Z2 W— W2 ‘ O?3—‘	'
Из изложенного следует общее правило построения дробно-
линейной функции, отображающей заданные точки zx, z2, z3 пло-
скости z в точки Шх, w2, w3 плоскости w: если какие-либо точки
Zi или Wi совпадают с бесконечностью, то в уравнении (12) сле-
дует члены, в которые входят zt или w-t, заменить единицей.
Следующая теорема устанавливает круговое свойство дробно-
линейной функции.
Теорема 2. При дробно-линейном преобразовании w =
окружности и прямые расширенной комплексной плоскости z пере-
ходят в окружности и прямые расширенной комплексной плоско-
сти w. При этом окружности и прямые на плоскости z," прохо-
дящие через полюс z — — переходят на плоскости w в прямые,
а все остальные окружности и прямые на плоскости z — в окруж-
ности плоскости w.
300
I' Доказательство. Общее уравнение окружности на пло-
скости г имеет вид
Л (x2 + z/2) + 2Bx + 2Q/-|-D-0;	(14)
в частном случае, при А = 0, оно будет общим уравнением прямой.
Преобразуем уравнение (14), полагая, что Л^О:
я Г/ 2 . 2В . В2 \ . I 2 . 2С , С2 \] В2 С2 г,
i л[г+—+	= +-4-d’
:	ИЛИ
I	/ . В\2	/	С\2	b2+&-AD л п /1Г-.
(/ + Aj -Ц// + д ) =——, Л^О. (15)
Чтобы уравнение (15) было уравнением окружности, необходимо
I и достаточно, чтобы Ау=0 и В2 Ц-С2 — AD >> 0. Если Л=0 и
Г В24-С2>>0, то уравнение (14) представляет собой уравнение
* прямой.
»	Запишем общее уравнение окружности в комплексной форме.
Так как х =	у — то уравнение (14) можно записать
в виде
Azz-Y Ez + EzA-D — 0,	(16)
£ где E = В + /С.
Ь. Условия, при которых уравнение (16) является уравнением
I	окружности, такие:
Л^О, ЕЕ —Л£>>0.	(17)
а. Здесь Л и D — вещественные числа. Если
i	Л =0 и Е^О,	(18)
то уравнение (16) является уравнением прямой.
\ Пусть теперь w — —— некоторая дробно-линеиная функция.
Полагаем, что с^=0, так как в противном случае дробно-липей-
I - на я функция сведется к линейной, для которой справедливость
ly, кругового свойства была показана выше. Перепишем функцию w
у- в виде
В	а . 1 bc — ad
к.	w= -4-------—j-.	(19)
Ц	с ' с cz-}~d	v ’
Ж Из равенства (19) следует, что преобразование с помощью функ-
ции w представляет собой последовательность трех преобразо-
ваний:
1) линейного преобразования Zx = cz -\-d;
•	2) преобразования z2 = ~, где е — -Ьс~~^ ;
3) линейного преобразования w = —\-z2.
Преобразования 1) и 3) обладают круговым свойством. Сле-
довательно, для того чтобы преобразование с помощью дробно-
линейной функции w (z) обладало этим свойством, достаточно
301
IJ
показать, что преобразование 2) обладает круговым свойством.
Для этого рассмотрим преобразование
ay=l/z.	(20)
На плоскости w образы окружностей, задаваемых уравнением
(16), определяются уравнением
Durw + Ew 4- Ew + А — 0,	(21)
которое получится, если в уравнение (16) подставить z = — из
выражения (20).
Уравнение (21) также представляет собой уравнение окруж-
ности или прямой. Исследуем это уравнение.
1. Пусть D^O. Это означает, что исходная кривая на пло-
скости г не проходит через начало координат. Пусть при этом
исходная кривая — окружность, т. е. выполнены условия (1_7).
Тогда для уравнения (21) выполняются условия D#=0, ЕЕ —
— AD>0, т. е. уравнение (21) представляет собой уравнение
окружности.
Таким образом, всякая окружность на плоскости z, не про-
ходящая через начало координат, переходит при отображении на
плоскость w с помощью функции (20) в окружность.
Пусть теперь для уравнения (21) выполнены условия (18), т. е.
исходная кривая на плоскости г —прямая. В этом случае для
уравнения (21) будут справедливы условия ЕЕ — DA — ЕЕ >> 0,
Е>т^0, т. е. уравнение (21) является уравнением окружности на
плоскости w, проходящей через начало координат.
Таким образом, прямые на плоскости г, не проходящие через
1
начало координат, переходят при отображении w = -- в окруж-
ности, проходящие через начало координат плоскости w.
2. Пусть D = 0. Уравнение (21) в этом случае принимает вид
+	+ Л = 0.	(22)
Если исходная кривая на плоскости z была окружность, т. е.
выполнялись условия А=£0, EE — ADz>0, то уравнение (22)
будет уравнением прямой на плоскости w, не проходящей через
начало координат. Если исходная кривая — прямая, т. е. Е 0,
А = 0, то уравнение (22) будет уравнением прямой, проходящей
через начало координат.
Таким образом, окружности на плоскости г, проходящие через
начало координат, переходят в прямые на плоскости щ, не про-
ходящие через начало координат, а прямые на плоскости г, про-
ходящие через начало координат, переходят в прямые на пло-
скости w, также проходящие через начало координат. Дробно-
„	,	, . az-\-b	d
линейная функция w (z) =~ —имеет полюсом точку z = — с ,
поэтому все сказанное выше для точки z~Q следует отнести
d _
к точке z =— -. 
302
2. Показательная и логарифмическая функции. Рассмотрим
показательную функцию ег = ехрг. Покажем, что
ez — ех (cos у ф- j sin у).	(23)
В формулах разложения в ряд Маклорена функций
Г II ! X2 .	. ХП .
е =1+х+-2Г + ... + -^ + ...,
х3 . л-3	. ,	1.„ х2«+1	,
S1HX —X -3! + 51	...ф-( 1) (2„_|_1)| +•••»
у2 г4	Г2Л
cosx== 1 —-21- ф- 4f —• •• + (—+ - ••
положим показатель степени мнимым. Тогда имеем:
-Г1-У	Ъ/Гсо ф3 I Ф6 1
“L 21 + 4! ••| + /|Ф~ зГ+ 5! —
т. е. в квадратных скобках получено разложение в ряд соответ-
ственно cos ф и sin ср, следовательно,
= cos ф + / sin ф.	(24)
Формула (24) называется формулой Эйлера. Учитывая эту фор-
мулу, получаем ег — еХЛ™ = ех (cos у ф- j sin у). Из формулы (23)
следует, что
modez = e*, Argez = уЭ~ k = 0, ± 1, ...	(25)
С помощью формулы Эйлера можно получить выражения тригоно-
метрических функций через показательную:
е/Ф_|_е-/Ф	.	е/<р_е-/Ф
cos ф =----, sin ф =---------2)— 	(26)
Учитывая формулу (4) § 22, а также используя формулу Эй-
лера, получим показательную форму комплексного числа:
z — re№,	(27)
где г —модуль, а ф —аргумент комплексного числа.
Функция f (z) = ez является аналитической функцией на всей
комплексной плоскости. Действительно, если ez = и(х,у)-\- jv (%, у),
то и (х, у) — ех cos у, v(x, y) = exsiny. Проверим для функции ег
выполнение условий Коши —Римана. Имеем:
ди „	dv v	ди „ . dv v .	/r,o.
-^- = excost/, = ex cos y, — —eswy, -^-еЧту, (28)
Из равенств (28) следует, что условия Коши —Римана выполня-
ются на всей комплексной плоскости, т. е. ег является функцией,
аналитической на всей плоскости г.
Вычислим производную показательной функции:
.	, ди dv „	, . .. . г
= дх + 1~дх е COS У +ie sin У •
(29)
303
Производная отлична от нуля во всей комплексной плоскости, т. е.
функция ег осуществляет конформное преобразование во всей пло-
скости Z.
Поставим задачу о нахождении функции, обратной к показа-
тельной, т. е. функции w = f(z), удовлетворяющей соотношению
z = ew.	(30)
Эта обратная функция называется логарифмической функцией и
обозначается следующим образом: w = Ln z.
Пусть w = u-\- jv, a z = re^. Тогда равенство (30) означает,
что г — еп, ф — »4-2&л, т. е.
п —Injz], y = argz + 2&n (k = 0, ±1, ±2, ...).
Отсюда получим, что логарифмическая функция определяется
равенством
w = Ln z = In | г | + / (argz + 2br) (& = 0, ±1, ±2).	(31)
Отметим, что логарифмическая функция — многозначная.
Изучим геометрические свойства отображения с помощью по-
казательной функции. Функция ez является периодической функ-
цией с периодом, равным мнимой величине 2л/. Действительно,
имеем
ег+2л7 _еЛ:+/(1/+2л) =eA[cos (г/ф-2л) 4-/ sin (у-|-2л)] =
= ех (cos// + / sin у) ~=ez.
Отсюда следует, что две точки zv и г2 плоскости г, действитель-
ные части которых совпадают, а мнимые отличаются на число,
кратное 2л, отображаются в одну точку плоскости w. Таким
образом, функция w = ez — однозначная, но неоднолистная. Обрат-
ная к этой функции функция w = Ln г —бесконечно-значная. Ввиду
периодичности функции w = ez достаточно рассмотреть отображе-
ние полосы плоскости z:	Im г-<а4-2л, например полосы
0 -<1тг<2л. В этой полосе функция w = ez будет однолистной.
Если точки zr и.г2 принадлежат указанной полосе, то | Im zx—
— Im г21 < 2л и, следовательно eZi Ф ег\
Рассмотрим, отображение прямой у = с. Функция w = e-v(cosc +
+ / sine) при постоянном с характеризует на плоскости w прямую,
выходящую из начала координат под углом с к оси абсцисс.
Действительно, так как и = ех cos с, v = ех sin с, то v = и tg с; по-
лучили уравнение прямой на плоскости w, проходящей через
начало координат под углом с к оси абсцисс и.
При изменении х в пределах — оо <; х < оэ модуль j w | изме-
няется в пределах 0 < | w | < оо. Полосу CiC Im z <Zc2 на пло-
скости z, показательная функция ez переводит на плоскости w
в сектор, для которого q < arg w <Z c2 (рис. 68).
Рассмотрим теперь отображение отрезка прямой на плоскости
z: х = Х, 0 С у <Z 2л. Будем иметь w = ек (cos у ф- / sin у); на пло-
скости w образом этого отрезка будет окружность с радиусом
304
и с центром в начале координат. Действительно,
н = ехсо8Г/, г?sin//.
Исключив у из этих равенств, получим н24-о2 — (е^)2, т. е.
имеем уравнение окружности с центром в начале координат и
с радиусом
Полуполосу —оо<х=сО;	'2л плоскости z показа-
тельная функция ez отображает на внутренность единичного
круга плоскости пу, а полуполосу 0<%<;оо; О у <Z 2л — на
внешность единичного круга (рис. 69).
Рис. 69
3. Степенная функция. Степенная функция имеет вид w = zn,
где п — целое положительное число.
Если z — г (cos ф-J-/sin ср), то w = гл (cos шр-J-j sin пер). Для
этой функции
и — rn cos «ф, v~rn sin шр.
Проверим выполнение условий Коши —Римана (7) § 24 для
степенной функции:
ди „ 1	dv	1 •	„
— = пгп~г COS Пф,	Sin Пф,
ди	„ . dv
—— =3 — nrn Sin Шр, -ч— => ПГп COS Пф,
dq>	г’ dtp	4
fl н. р. Чемоданова, т.^1
305
т. е.
ди   i dv dv _	1 ди
dr	г дер ’ dr	г дер
Следовательно, для степенной функции условия Коши — Римана
выполняются на всей комплексной плоскости z. Поэтому функ-
ция w — zn является аналитической на всей плоскости г.
Производная степенной функции
w' (z) — nzn~l.
(32)
При z 0 w' (г) 5^ 0, т. е. отображение с помощью степенной
функции является всюду конформным, за исключением точки
2 = 0.
Рассмотрим отображение, осуществляемое степенной функцией
(рис. 70). Луч argг = a, OsC|zj<oo на плоскости z отобра-
жается в луч arg w = па, 0 sC | w | < оо на плоскости w, В точке
2 = 0 конформность отображения нарушается, так как w' (г)=0
Рис, 70
при 2 = 0. Это нарушение конформности в точке 2 = 0 состоит
в том, что угол между двумя любыми лучами, выходящими
из начала координат, при отображении возрастает в п раз. Если
2л
повернуть луч на плоскости z на угол —то луч на плоскости w
2'ix
повернется на угол 2л. Сектор 0^arg2<-~ отобразится на всю
плоскость w.
Таким образом, угол 0<iargz<-—- является областью одно-
листности степенной функции. Окружности |г|=с на плоскости z
переходят при отображении с помощью функции zn в окруж-
ности | w | = сп на плоскости w.
Введем понятие степени комплексного числа г с произволь-
ным показателем. Пусть z — произвольное, отличное от нуля
комплексное число. Тогда, если п — целое положительное число, то
zn = | z |n [cos (п arg г) +/ sin (п arg г)].
Если — рациональное число, причем дробь — несо-
р р
кратима, то гг = г*? = | z р
- arg 2 Ц- / sin
306
Пусть теперь а — иррациональное число. Тогда существует
последовательность рациональных чисел I—при п->оо,
I Qn J
Положим
za— lim zqn — [ z |a [cos (a arg г) + / sin (a arg z)].	(33),
n->co
Мы получаем одно значение степени za, если а —целое число;
q различных значений, если а —рациональное число, представ-
ленное в виде a = , и бесконечное множество значений, если
а —иррациональное число.
Для определения степени с любым комплексным показателем
представим формулу (33) в виде
га = | г |a [cos (a arg г) + /sin (a arg г)] — еа1п |z| +zaArgz =ехр (а Ln г).
Это выражение имеет смысл и Для комплексных а. Поэтому
положим для любого комплексного а
za — exp (а Ln z).	(34)
Пример 1. Вычислить 14
Согласно формуле (34), имеем
17==ехр (/Ln 1) —схр (/2Лл/)=с'2Лл (/г —О, ± 1, ±2,...).
Пример 2. Вычислить /4
Имеем
Г / л	\ 1	—5<4/г+ 1)
/7= схр (/ Ln /) — охр /Ij-\-2knj \ = е 2	(& = 0, ± 1, J 2, ...).
4. Тригонометрические функции. Определим тригонометриче-
ские функции комплексного аргумента z следующим образом:
cosz
е^г-\-е iz
2
e2z—е iz
Sin Z —---------
2/
(35)
Из формул (35) следует, что cos z и sin z — периодические функ-
ции с периодом 2л.
Определим действительные и мнимые части, а также модули
функций sin z и cosz:
elz-\-e~}z е-у^}х^су-]х	с-у (соях Д- jsin х)-^еУ (cos х—j sin х)
COS Z = g =	g	—	g	~
еУ’+е'У . . еУ—е~У	,	. .	,
= cos x—--------J s,n x —2---~ cqs xch y — / sinxsh y\ (36)
аналогично получим sinz = sinxch# + /cosxshy.
Таким образом,
Re cos z — cos xch y, Im cos z — — sin л- sb //,
Re sin z — sin x ch y, Im sin z = cos x sii y.
11 *
307
Модули | cos z | и | sin г | определяются равенствами
| cos z | = (cos x ch y)2 Jr (sin x sh у)2 — У ch2 у — sin2 x,
j sin z | = У (sin x ch y}2(cos xsh y)2 — ]/sh2 у + sin2 %.
Для тригонометрических функций комплексного переменного
справедливы все формулы тригонометрических функций действи-
тельного переменного. Так, например, справедливы следующие
формулы:
. 9 ,	9	/е^—е-^\2 ,	।	е2/г_.2-ре-“2^ ,
81Г12 2 ~Т COS2 2 =ц-2/-) +(^ 2-------) =-----------------Ь
+ ^±^L=l, (37)
т. е. получено основное тригонометрическое тождество;
e/(zi + *2)_ i(Zi + z2)
s in (Zi 4- z2) =-------------------=
C/Z, f Clz^e~^ \	,-2i	\ Jzd e~^\
\	2	)	\	2 J4' \	2	)~
__ p~ /22 1____L±____
\	2
2/
= sin Zj cos z2 + cos Zi sin z2;
аналогично можно получить cos (zx + z2) = cos zt cos z2 — sin zY sin z2.
Отображения, производимые тригонометрическими функциями,
в настоящей книге не рассматриваются.
I
ij’i	Глава VIII
J	ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
Г	ПЕРЕМЕННОГО
§ 26.	ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1.	Понятие об интеграле функции комплексного переменного.
Пусть дана функция комплексного переменного w — f(z), непре-
рывная в области G плоскости г, и пусть задана кривая АВ,
целиком находящаяся в области G (рис. 71). Разобьем кривую
чи
АВ на п частей и составим сумму вида У / (^) Дг/?, где Дгй —
/г=1
= zk — zk-i\ С* — произвольная точка на дуге (zk-i, zk). Обозна-
чим Ага=тах|ДгА| и рассмотрим предел
k
Нш	jf(z)dz,	(1)
« ~Д0 k = i
n
Если этот предел'существует и не зависит от способа разбиения
кривой АВ на части и от выбора точек то он называется
интегралом от функции f (z) вдоль кривой А В.
Теорема 1. Если кривая АВ — кусочно-гладкая, а функция f (z) —
кусочно-непрерывная и ограниченная, то интеграл \ f (z) dz суще-
АВ
ствует.
Доказательство. Пусть f (z) = и (х, у) + jv (%, у) и
zf{ = xk + jyk, xk — xk^ = ^xk, ufck, i\k) = uk,
£k = b+fr]k, yk-yk~l = ^yk, Vfck,
тогда
У f (Cft) (zk - Zk 1) = У (Wft &Xk - Vk tyk) + / У («/e &yk + Vk \xh).
k=\	/e-=l	k=\
Переходя к пределу в обеих частях равенства при п->оо так,
что maxAxfe->0 и max Ayk -> 0, получим
k	k
$ f (z)dz — $ и (x, у) dx — v (x, у) dy + / $ v (x> У) dx-\-u (x, y) dy.
AB	Mi	Am
(2)
Криволинейные интегралы, стоящйе в правой части равен-
ства (2), существуют. Действительно, из кусочной непрерывности
и ограниченности функции f (г) следует кусочная непрерывность
и ограниченность ее действительной и (х, у) и мнимой v (х, у)
ЗОЭ
частей. Кусочно-гладкая дуга АВ является спрямляемой. Таким
образом, выполняются условия существования криволинейного
Рис. 71
интеграла второго рода
Следовательно, существует
и интеграл \ f (z) dz. И
АВ
Формула (2) дает спо-
соб вычисления интеграла
(1) через криволинейные
интегралы функций дейст-
вительного переменного.
Кроме того, из формулы
(2) следует, что интеграл
функции комплексного пе-
ременного имеет свойства,
аналогичные свойствам
криволинейного интеграла второго рода. Укажем эти свойства.
1. При изменении направления интегрирования знак интеграла
меняется на обратный, т. е.
J f (z)dz =— J f (z) dz.
AB	BA
(3)
2.	Если кривую AB разбить на части, то интеграл по кри-
вой АВ равен сумме интегралов по отдельным частям, т. е.
J f (z) dz = £ f (z) dz + f (z) dz.	(4)
'acb	ac	cb
3.	Для любых постоянных чисел kr и k2 справедливо равен-
ство
£ Pi/i (г) + k2f2 (z)] dz = kr jj Д (z) dz + k2 J f2 (z) dz.
AB	AB	AB
(5)
Произведем оценку интеграла по модулю. Пусть М. — max | f (z)j
и s —длина кривой АВ, тогда
5
АВ
< $ \m\\dz\^Ms.
лв
(6)
Доказательство этого
интеграла. В самом деле,
соотношения следует из определения
£	£ |ЛгЦ (7)
k=\	/г—1	/г=1
*’ См. например: Фихтенгольц Г. М. Основы математического ана-
лиза, т. II. «Наука», 1968, с. 221.
310
п
Сумма У, | Azft | представляет собой длину ломаной, вписанной
в кривую АВ. Переходя к пределу в неравенстве (7) при /1->оои
max ДгЛ->0, получим неравенство^). В частности, имеем \dz | ==
Лв
== s, т. е. интеграл представляет собой длину кривой АВ.
2. Интегральная теорема Коши. Пусть G — односвязная область
на плоскости z и / — замкнутая спрямляемая кривая, целиком
лежащая в области G. Тогда справедлива следующая интеграль-
ная теорема Коши.
Теорема 2. Если функция f (z) аналитична в области G, то
интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, т. е.
§ f (z) dz — 0.
i
(8)
Доказательство. Для упрощения доказательства введем
дополнительное предположение о непрерывности производной
f (г) *). Используем равенство
f (z) dz — ^u (х, у'} dx — v (х, у) dy j v (х, у) dx ф- и (х, у) dy.
i	i	i
Покажем, что криволинейные интегралы второго рода ^udx —
i
— vdy и \vdx-\-udy по замкнутому контуру равны нулю. Дей-
i
ствительно для равенства нулю криволинейных интегралов вто-
рого рода требуется, чтобы: 1) функции и (х, у) и v (х, у) имели
непрерывные частные производные в области G;
2) всюду в области G выполнялись равенства
ди _	dv dv   ди
ду	дх ’ ду	дх '	' '
Первое условие выполняется в силу предположения о непрерыв-
ности производной [' (z). Равенства (9) совпадают с условиями
Коши —Римана и выполняются всюду в области G, так как
функция f (г) по условию теоремы аналитична в этой области.
Таким образом, криволинейные интегралы
\ и dx — v dy =---- 0 и v dx-\~ и dy = 0,
/	i
а следовательно, J f (z) dz = 0. №1
i
*’ Доказательство теоремы без предположения о непрерывности производ-
ной f' (z) можно найти, например, в кп.: Маркушсвич А. И. Краткий
курс теории аналитических функций. «Наука», 1966, с. 147.
311
Следствие. Пусть дана односвязная область G и две спрям-
ляемые кривые /1 и 12, целиком лежащие в G и имеющие общие
концы А и В. Тогда для любой аналитической в области G функ-
ции f (z) справедливо равенство
$ f (?) dz = J f (z) dz,
h	Ц
т. е. если f (z) — аналитична в односвязной области G, то интег-
рал по кривой I <= G, соединяющей точки А и В, зависит только
от расположения точек А и В на плоскости z и не зависит от
вида кривой.
Если z и z0 — некоторые точки области G, причем точка z0
Z
фиксирована, то интеграл § f (£) dt, можно рассматривать как
го
функцию верхнего предела z, ибо интеграл имеет одно и то же
значение для любой кривой,
соединяющей точки z и z0 и
расположенной в области^ G.
Основываясь на интеграль-
ной теореме Коши, докажем
ряд теорем, аналогичных тео-
ремам в теории интеграла функ-
ций действительного перемен-
ного.
Теорема 3. Если функция f (z)
определена и непрерывна в одно-
связной области G и интеграл
от этой функции по любой замк-
нутой кривой I, лежащей целиком в области G, равен нулю, то
функция F (z) = J f (£) dt,, где z, z0 е G, причем точка z0 фикси-
Zfl
рована, является аналитической в области G и F' (z) ~f(z).
Доказательство-. Точка z-ф-Аг находится в некоторой
окрестности точки z (рис. 72), причем окрестность принадлежит
области G. Учитывая, что интеграл по замкнутому контуру равен
нулю, и используя свойство 2 интеграла, можем записать:
Г z + Az	г
Zfl	zo
F(z+^z)~F(z)
&Z
Д_
Az
2 + Az
2
Интегрируя по прямой, соединяющей точки z-f-Az и z, будем
иметь
z+Az
i $ /(*)«=/(*).
312
Оценим модуль разности:
F(z-[-hz)—F (г)
\z ~~
ш\
. 1
Аг
"г+ Аг	г-[-Аг
UQdt- jj f(z)dz
- z	г
z-j-Az
<Дт l[H9-Hz)]|!^l«r^ max \f(Q ~f (z)\ |Лг| -•=
I az I J	I az I gf=[z + Az, z] -
= max ]f (Q-f (z)\.
[z-p- Az, z]
Так как функция f (z) непрерывна в области G, то для любого
числа е>0 можно указать такое число 6 (е)>»0, что если j \z I <6,
то шах |/(£) —/(г) в. Таким образом, когда |Лг|<6, то
£e[z-|- Az, z]
I F (z Аг) — F (г)	<• , , I -
выполняется неравенство —-—- —/Дг) <e- Но опреде-
лению предела функции это означает, что
lim Г(г+Дг)~Г(г) = Р'(г)=Цг). 
Az-*0	Л2
Введем определение. Пусть дана некоторая область G и за-
дана функция f(z), аналитическая в этой области. Тогда функ-
ция F (?) называется первообразной от функции f(z), если
F' {z) — f \z). Из доказанной теоремы следует, что интеграл с пе-
ременным верхним пределом является первообразной от функ-
ции f (z).
Тесрема 4. Две первообразные от одной и той же функции
f (?) отличаются друг от друга на постоянную величину.
Доказательство. Пусть функции Fr (?) и Р2 (г) — перво-
образные от функции f(z). Рассмотрим функцию Ф (г) — F\ (?)—
— Т2(г). Имеем:
Ф' (г) = F{ (?) -	(г) = f (г) - f (?) = 0.
Если
Ф (z) = «(x, y) + jv(x, у),
то
Ф' (?) = их (х, у) -|- jvx (х, у) = v'y (х, у) — ju'y (х, у) = 0,
следовательно,
и'х(х, y) = vx(x, y) = v'y(x, у) = и'у(х, у)=0;
откуда
« (х, у) = Ci, ц (л-, у) = Со, или Ф (?) — Ci + /с2 = с. 
Из доказанной теоремы следует, что если функция F (г) — не-
которая первообразная от аналитической функции f (г), то спра-
ведлива формула
J /(О^=.Е(?1)-Е(го),	(10)
г0
313
аналогичная формуле Ньютона—Лейбница для функции действи-
тельного переменного. В самом деле, согласно теореме 3 функ-
ция Fr (г) = $ f (£) dt, является первообразной, а так как две
2о
первообразные отличаются друг от друга только на постоянную
величину, то
2
$/(9d? = F(z) + c.	(11)
Полагая в равенстве (11) z = z0, найдем с = —F (г0); следовательно,
2
d^~F (z) — F (zQ).
«о
Если принять в этом равенстве z = zt, то получим формулу (10).
Для неодносвязной области интегральная теорема Коши в об'
щем случае не верна. Покажем это на примере. Пусть задана
функция f (г) —у в области G, определяемой неравенством
1 < I г | < 2. Эта функция аналитична в указанной области, но
интеграл вдоль окружности I (рис. 73) не равен нулю. Действи-
тельно, имеем
2л
С/^*Лр = 2	0
J г У
I о
-У
Рис. 73
целиком принадлежит
Получили, что в двухсвязной области G интеграл по замкнутому
контуру от аналитической функции
не равен нулю. Интегральная тео-
рема Коши в этом случае не выпол-
няется.
Распространим интегральную тео-
рему Коши на многосвязную область.
Пусть G — многосвязная область и
I — спрямляемый контур, целиком ле-
жащий в G. Пусть имеются контуры
li, /г, •  -Лп, лежащие внутри контура
/. Контуры lk принадлежат области
G и не пересекаются (рис. 74). Об-
ласть Q, ограниченная снаружи кон-
туром I, а изнутри контурами lk,
области G. Совокупность контуров /, llf
1п назовем составным спрямляемым контуром Г. Зададим на
контуре Г направление обхода —обход считается положитель-
ным, если обходимая область Q остается слева.
Теорема 5. Пусть функция f (г) аналитична в многосвязной
области G. Тогда интеграл по любому составному спрямляемому
контуру Г, лежащему в области G, равен нулю.
314
Доказательство. Соединим контуры Z с Zx, ZL с Z2 и т.д.
спрямляемыми дугами ух, уа, ... так, чтобы эти дуги не имели
самопересечений и взаимных
пересечений (рис. 74). Тогда
область, получаемая из об-
ласти й с помощью разрезов
вдоль дуг уь ..., уп, будет
односвязной, ограниченной
контуром L, состоящим из
дуг 1'1, yf, l'i, .... Уп, 1п,
уп, ..., 11, Z; здесь ZJ и Ц —
дуги, на которые распадает-
ся контур Zi при разрезе по
дугам уь у2 и т.д.; у^ и
уГ —верхняя и нижняя гра-
ницы разреза вдоль дуги ух
Рис. 74
и т. д.
В силу теоремы Коши для односвязной области интеграл от
функции f (г) вдоль контура L равен нулю, поэтому
J f (г) dz + У (z) dz + ...+ J / (z) dz +
Yi’	li	Уп
+ $ f (г) dz + J f (z) dz +... + \f (z) dz = 0.
Устремим к нулю ширину всех разрезов. Тогда
§ f (z) dz~ — J f (z) dz,
У/t	Ук
следовательно,
S/(z)dz + ...+Jf(z)d2 + J/(z)dz = 0. И
**	ln	1
§ 27 ФОРМУЛА КОШИ.
1. Формула Коши. Теорема о среднем. Получим важную
в теории функций комплексного переменного формулу Коши.
Теорема 1. Пусть задана функция f (z), аналитическая в много-
связной области G, и задан составной или простой контур I,
ограничивающий некоторую область йсзО (рис. 75). Тогда для
любой внутренней точки z, принадлежащей области й, справед-
лива формула Коши
2л) j ^7•	(I)
i
Доказательство. Удалим из области Й круг радиуса г
с центром в точке г. В полученной области Й* числитель и зна-
менатель подынтегральной функции аналитичны относительно
315
причем знаменатель нигде не обращается в ноль. Следовательно,
подынтегральная функция аналитична в области й*. По теореме
Коши для многосвязной об-
ласти имеем '
Рис. 75
(.ЭД'м=01
1	1г
где 1Г — окружность радиуса
г, причем черточка означает,
что окружность обходится по
часовой стрелке.
Учитывая свойство (1) ин-
теграла, получим
/КМ
' С”Z J £ — 2
I	L
На окружности
d£ = jre^ dq>; тогда
lr справедливо равенство £ — г = ге^, т. е.
J С f /Ю С irej(p (}(i = f (z\
3 £— z	2 лj J re№
Из формул (2) и (3) следует, что
2л/ J t,— z ' v '	2л/ J С — z ®
I	I
Г
Оценим по модулю правую часть равенства (4):
(3)
(4)
_1 С	АГ
2nj 3	\-г ’
2" max | f (£) - f (z) | y- = max I f (£) - f (z)
ZJl i	r i
Так как функция f (z)
max \f (£) — f (z) | ->- 0. Ho
i
непрерывна в области й, то при г->0
левая часть равенства (4) от г не зави-
сит, поэтому
1 С/К)
2л/ 3 £ — 2
I
/(г), а
Формула Коши устанавливает одно из важнейших свойств
аналитической функции. Из формулы следует, что, зная значе-
ние аналитической функции f (г) на контуре /, можно вычислить
ее значение в любой точке области й, ограниченной этим кон-
туром. Если, в частности, задать контур / в виде окружности
радиуса R с центром в точке г, то £ —г = и формула (1)
примет вид
2л
Hz) = 2L р(г+Яе'Л*Р.	(5)
б
316
или
CR
Формула (5) называется формулой среднего значения и показы-
вает, что значение аналитической
равно среднему арифметиче-
скому ее значений на окруж-
ности.
2. Интегралы, зависящие
от параметра. Пусть функция
/(?, £) является функцией двух
комплексных переменных z и £,
причем эта функция определе-
на и однозначна для значений
переменного z, принадлежащих
области G, и для значений пе-
ременного £, принадлежащих
функции f (г) в центре круга
нУ
кусочно-гладкой кривой / (рис.
76). Взаимное расположение области G и кривой / может быть
произвольным. Рассмотрим интеграл
P(z, Qd£.
(6)
Если функция f (z, £) непрерывна по z и кусочно-непрерывна
и ограничена по £ для любых значений z е G и £ е I, то этот
интеграл существует и определяет некоторую функцию г:
F(z) = \f(z, £)</£.
/
Следующие теоремы, рассматривающие свойства интеграла»
зависящего от параметра, приведем без доказательства.
Теорема 2. Если функция f (z, £) является непрерывной функ-
цией _деух комплексных переменных z и £ для любых значений
z (=G и £ е /, то интеграл (6) будет непрерывной функцией
переменного z в области G, т. е. справедливо равенство
lim Ц(г, С)«=Ц(г«, ?)«.	(7)
Z-»Z0 I	-	/
Теорема 3. Пусть f(z, £) при любом значении £ е I является
аналитической функцией z в области G и, кроме того, функция
df
f (z, £) и ее производная по z являются непрерывными функ-
циями двух комплексных переменных z и £ для любых значений
z^G и ZeeI. Тогда функция F(z) = ^f (z, £) dt, является анали-
i
тической функцией z в области G, причем производная F' (?)
может быть вычислена с помощью дифференцирования под знаком
317
интеграла, т. е.
Г(г)=Д
(8)
Приведенные теоремы могут быть доказаны с помощью сведе-
ния интеграла (6) к интегралам, зависящим от параметра, для
функций действительных переменных и использования свойств
этих интегралов *>.
3. Производные высших порядков. Покажем, что если функ-
ция f (z) является аналитической в области G, то она имеет
в этой области производные сколь угодно высокого порядка.
Теорема 4. Если функция f (z) аналитична в области G и
непрерывна в замкнутой области G, то она обладает в каждой
точке области G производными всех порядков, причем п-я произ-
водная задается формулой
рп) i?\ _ С f (С)
1	2л/J (£-z)«41’
(9)
где I — граница области G, проходимая в положительном направ-
лении.
Доказательство. Проведем доказательство методом мате-
матической индукции. Сначала покажем, что формула (9) спра-
ведлива при /г=1. Пусть точка z е G. Так как функция f (z)
аналитична в области G и непрерывна в области G, то, поль-
зуясь определением производной и формулой Коши, получим
£» / \ к Z(z+Ae)—/(z)	1 ..
f W = lim LLJL A. = jlm
Az —0	Az —0
i It—z—Az
/

lim \_______lAA.... nr
2л/д2-0 J C-z-Az)(£-2)
Подынтегральная функция _z_	является непрерывной
функцией переменных Az и £, если z е G, a 'Q е /. Переходя
к пределу под знаком интеграла, будем иметь
f' (?) = — ( - dt
1 W 2nj J т—г)2^’
i
Для п = 1 формула (9) доказана.
Предположим, что формула (9) справедлива для производной
k-ro порядка и покажем, что она будет справедлива для произ-
*’ Свойства интегралов, зависящих от параметра, для функций действи-
тельных переменных см., например, в кн.: Фихтенгольц Г. М. Основы
математического анализа, т. II. «Наука», 1968, с. 296, 297, 298.
318
CQ-z — Аг)й+1 (£ —г)*+1
k\ ..	1
?7- li m
^nl Az -»0 A
^ — z)k+i
водной порядка &-]-l. Имеем
^>(?)=lim /".m-/" (Аг)
Az—>0
Л1 ..
= x- • llm
2я/ д2_„о
•(£ - 11 - [(С; - Z- (^ + 1) (^ -	Аг + О (Az)]) f
(^_z_A2)ft+l(^_2)A-+l
Подынтегральная функция является непрерывной функцией пере-
менных Дг и £. Поэтому в силу теоремы 2 можем перейти к пре-
делу под знаком интеграла: /(/г+1) (г) —
Таким образом, предположив справедливость формулы (9)
для n — k, мы доказали ее справедливость для /г = #4-1. Выше
была доказана формула (9) для случая п=1. Отсюда следует,
что формула (9) будет справедлива для любого п. И
Из формулы (9) получим неравенства Коши. Введем обозна-
чения: М — шах (г) |; ^ — расстояние от точки г до границы
/
области G и s —длина границы I области G. Оценивая по модулю
обе части равенства (9), получим
1 С
i ' К-г)"'
_ nlMs
^2nR^'

(10)
(11)
Выражение (10) является неравенством Коши.
Если функция [ (г) аналитична в круге радиуса R, то, прини-
мая в качестве области G круг с радиусом R, получим для
точки г, лежащей в центре круга,
I f(«) I n\M2nR _ riM_
I / и; I 2л/?и+1 ~ Rn ’
Неравенство (И) представляет собой неравенство Коши для кру-
говой области.
4. Теорема Морера. Используя теорему 4 о существовании
производной любого порядка у аналитической функции, докажем
теорему, обратную основной теореме Коши.
Теорема 5. Если функция f (г) непрерывна в односвязной об-
ласти G и интеграл от этой функции по любому замкнутому
контуру I, целиком принадлежащему области G, равен нулю,
то функция f (г) аналитична в области G.
Доказательство. Выше (см. § 26, теорема 3) было показано,
Z
что при выполнении условий теоремы интеграл F (г) = [ (£) dt,
фиксированном г() является аналитической функцией г, при-
F' (z) = f (г). В силу предыдущей теоремы существует и вто-
производная функции Е(г): F" (z)—R (z). Таким образом,
при
чем
рая
функция f (г) аналитична области G. 
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§ 28.	ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
1.	Числовые комплексные ряды. Числовым комплексным рядом
называется выражение
со
S 2«’	(1)
п— 1
где zn = ап 4- jbn — комплексные числа. Сумма SN — Zi + ...+z/v =
N
— 2 2ri называется частичной суммой ряда.
п — 1
Ряд (1) называется сходящимся, если существует предел после-
довательности его частичных сумм:
lim SN = S,	(2)
N —>оо
при этом S называется суммой ряда.
Рассмотрим ряды, составленные из вещественных и мнимых
частей ап и Ьп комплексных чисел zn:
оо	оо
У, ап	и	У Ьп.
п-i _	п=1
(3)
тогда, когда сходятся ряды (3),
ОО
то S — У zn = <Si -J- jS%.
п—1
Ряд (1) сходится тогда и только
ОО	оо
причем, если У ап = Slf У bn — S2,
п—1	/1=1
Приведем без доказательства критерий Коши сходимости
ряда (1).
Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для
любого е>»0 существовало такое целое положительное число N,
зависящее от 8, что для всех п^> N и для любого целого числа т
п~\-т
выполнялось неравенство У zk
k~n-\-1
Ряды (3) являются обычными числовыми рядами и для иссле-
дования сходимости этих рядов можно применять все известные
8.
из математического анализа признаки сходимости числовых рядов.
Приведем некоторые из признаков сходимости знакоположи-
тельных рядов. Пусть имеется знакоположительный ряд
ОО
У С1п
n=i
(<з„>0).
(4)
Тогда справедливы следующие
признаки сходимости ряда (4):
*г Доказательство критерия Коши см., например, в кн.: Фихтен-
гольц Г. М. Основы математического анализа, т. II. «Наука», 1968, с. 29.
320
1.	Признак Д а л а м бер а. Если lim = q, то при q<Z 1
П-*со ап
ряд (4) сходится, при q > 1 — ряд расходится.
2.	Признак Коши. Если lim = q, то при q <У 1
ряд (4) сходится, при	ряд расходится.
3.	Признак Раабе. Если limn(—----------1)==р, то при
п —♦ оо \ йп+1 /
р>1 ряд (4) сходится, при 1—расходится.
Если сходится ряд, составленный из модулей | zn |, т. е.
ОО
У | I < оо,	(5)
п= 1
то ряд (1) называется абсолютно сходящимся.
Исследовать сходимость ряда (5) можно с помощью любого,
приведенного выше признака сходимости числовых рядов. Связь
между сходимостью ряда и его абсолютной сходимостью устанав-
ливает следующая теорема:
Теорема 1. Если ряд (1) сходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство. Из сходимости ряда (5) согласно крите-
рию Коши следует, что для любого еД>0 и целого положитель-
ного т существует такое целое положительное число У, что
п -J- т	п -|- т
сумма У аЛ|<С8, для всех n>N. Но У zk
k = п 1	,	k = п +1
п 4- т
< У ! I < 8,
k = п 1
поэтому согласно критерию Коши ряд (1) сходится. Н
2. Функциональные ряды. Пусть в области G определена
бесконечная последовательность функций {fn (г)} комплексного
переменного. Функциональным рядом, называется выражение вида
со
S f" <?)	(6)
п — 1
Функциональный ряд (6) сходится в области G, если числовой
ряд, получающийся из ряда (6) при любом фиксированном z
из области G, сходится.
Введем понятие равномерной сходимости последовательности
функций {Д(г)}. Последовательность функций {/„(г)} называется
равномерно сходящейся к функции f (z) в области G, если для
любого е>0 найдется такое целое положительное число N, зави-
сящее от е, что при /? у> W для всех z из области G будет
выполняться неравенство | [ (г) — flt (z) |<6.
Равномерно сходящиеся последовательности функций {/„ (г))
комплексного переменного z обладают свойствами, аналогичными
свойствам равномерно сходящихся последовательностей функций
действительного переменного. Укажем эти свойства:
321
1.	Предел f (z) равномерно сходящейся в области G последова-
тельности непрерывных функций {fn (г)} является непрерывной
функцией в этой области.
2.	Если последовательность непрерывных функций {fn (г)} на
кривой I равномерно сходится к f (z), то справедливо предельное
соотношение
lim \ fn (г) dz = § lim fn (z) dz = ^f (z) dz.
n-^ca i	'' i n-+ oo	i
С понятием равномерной сходимости последовательностей функ-
ций {fn (г)} тесно связано понятие равномерной сходимости ряда.
СО
Функциональный ряд У fn (z) называется равномерно сходящимся
п= 1
в области G, если равномерно сходится в этой области после-
довательность {£„} его частичных сумм. Из указанных выше
свойств равномерно сходящихся последовательностей следует,
что сумма равномерно сходящегося ряда есть функция непрерыв-
ная в области G и равномерно сходящийся ряд можно интегри-
ровать почленно.
Для функций комплексного переменного справедлив следую-
щий признак равномерной сходимости функционального ряда.
Признак Вейерштрасса. Если функциональный ряд (6)
п= 1
мажорируется в области G некоторым сходящимся числовым рядом
СО
У ап с положительными членами ап > 0, т. е. всюду в области G
п = 1
справедливо неравенство \fn(z)\<Zan, то он сходится равномерно.
Доказательство этого признака равномерной сходимости функ-
ционального ряда не отличается от доказательства аналогичного
признака для функций действительного переменного.
3.	Теорема Вейерштрасса. Сумма ряда, составленного из ана-
литических функций, не всегда будет функцией аналитической.
Следующая теорема показывает, при каких условиях сумма ряда
является функцией аналитической.
Теорема 2. Пусть ряд fn (z), составленный из функций f (z),
п= 1
аналитических в области G, равномерно сходится в каждой
замкнутой области й, лежащей в области G. Тогда сумма ряда
является функцией, аналитической в области G.
Доказательство. В п. 2 было показано, что сумма f (z) =
оо
== ^fn (?) равномерно сходящегося ряда есть функция, непрерыв-
п— 1
ная в области G.
322
Пусть I ~ произвольный замкнутый контур, содержащий внутри
себя область П. По условию теоремы функции fn(z) являются
аналитическими в области G. В силу теоремы Коши имеем
§ fn (z) dz = 0. В п. 2 отмечено также, что равномерно сходя-
i
щийся ряд можно почленно интегрировать. Выполним почленное
оо
интегрирование ряда^ Д (Д и, учитывая формулу Коши, будем
П = 1
иметь
со с
\f(z)dz = 2 J fn (г) dz. = 0.
I	n = 1
Таким образом, f (г) — непрерывная функция в области G
и интеграл от нее по любому замкнутому контуру равен нулю.
Согласно теоремы 5 § 27 функция f (г) в этом случае является
аналитической функцией в области G. И
§ 29.	СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1.	Теорема Коши — Адамара. Степенной ряд
У а,г (г — г0)п,
гг = О
О)
где «„ — некоторые комплексные числа, является простейшим
примером функционального ряда. Такой ряд может сходиться
при одних значениях z и расходиться при других. Область
сходимости степенного ряда выясняет следующая теорема:
Теорема 1. Степенной ряд ап (z — z0)n сходится абсолютно
п — 0
в каждой точке круга | z — z01 сходится равномерно в каждом
круге | 2 — г01	и расходится в области |z —г0|>>/?, где
_ 1 *)
lim 'УКП
п со
(2)
Доказательство. Пусть z1 — произвольная точка круга
со
|г —20|<;Д. Покажем, что ряд У | ап 1| z — z01" сходится в точке
п =0
г = 21. Так как lim /1 ап | — „ , то для любого 8>0 можно
указать такое целое положительное число IV, зависящее от е,
*) Число А называется верхним пределом последовательности действительных
чисел {о„} А = lim ап, если для любого е > 0 можно указать такой но-
п —> со	п —> со
мер N (е), что ап < Д-|-е при всех /i> N и, кроме того, существует последова-
тельность {«„Д, которая сходится к А при k-rco.
323
что для всех значений п > N будет справедливо неравенство
V	+е- Тогда ^|«rt||zl-zo|n=y/'|€z„||z1-zo|<1^^4-
+ e|zx — z0|. Выберем е так, чтобы выполнялось неравенство
/I ----
v I ап И ?! — Zo I < <7 < 1 Для всех п > N. Переходя к пределу,
получаем
lim ап 11 Zx — z0 \п< q < 1.
п-> со
оо
Из признака Коши следует, что числовой ряд У |ая! 1^1 —го|”
п = 0
сходится. В силу произвольности выбора точки zx это означает,
что степенной ряд (1) сходится абсолютно в круге |z — z0\<zR.
Докажем теперь равномерную сходимость степенного ряда
в круге |z —z0|^7?1</?. В этом круге степенной ряд (1) мажо-
рируется СХОДЯЩИМСЯ ЧИСЛОВЫМ рядом У |	|т. е.
П — 0
|czn||z-zofl<|£zn|/?",	(3)
и поэтому в силу критерия Вейерштрасса ряд (1) сходится рав-
номерно.
Исследуем сходимость степенного ряда в области \z — z0|>>/?.
Выберем точку zx такую, что \z1 — z0\z>R. Так как lim/’fa7| =
П—>оо
1	Г >
= то существует последовательность {пД—>оо такая, что
lim -jZ | ank I =	т. е. для любого е>0 существует такое целое
k —► оо
nk----------------------------------------------------|
положительное число N, зависящее от е, что / j ank j >	6
при nkZ> N. Тогда, если выбрать е таким, чтобы выполнялось
неравенство ——е| zx —z01 —	1, то для последователь-
ности {пД оказывается справедливым соотношение
| ank (Zi - z0)n* | > (у ~	12i - z0 \nk =	- e | zt - z0 |p =
= qn,i -> co при tik -> co.
CO
Общий член числового ряда У ап (zr — z0)n по последователь-
п = 0
ности {/?л} стремится по модулю к бесконечности. Таким обра-
зом, не выполняется необходимое условие сходимости числового
ОО
ряда У ап (zi — zQ)n. Следовательно, степенной ряд (1) расхо-
п ~ 0
дится в области I z — z0 | > /?. Ш
2.	Теорема Абеля. Из теоремы Коши —Адамара вытекает сле-
дующая теорема Абеля;
324
co
Теорема 2. Если степенной ряд У, an(z — z^n сходится в точ-
п — 0
ке z — Zi=^= z0, то он сходится абсолютно в круге | z — z01 <С
< | ?i--го I» причем в каждом круге радиуса *< | zt —- z01 он
сходится равномерно.
Доказательство. Действительно, из сходимости ряда
в точке zlt следует, что радиус сходимости степенного ряда R
| Zi — z01. Тогда утверждения теоремы Абеля являются следствием
теоремы Коши — А дамара. №
Заметим, что согласно теореме Вейерштрасса сумма степенного
ряда в круге сходимости является аналитической функцией.’
3.	Ряды Тейлора. Обобщим на случай функций комплексного
переменного известную из математического анализа формулу ряда
Тейлора.
Пусть функция f (z) является аналитической в области G. В этой
области задан замкнутый контур Z, ограничивающий область Q.
Пусть точка £ принадлежит контуру Z, а точка z является неко-
торой точкой области Q. Возьмем произвольную точку а, принад-
лежащую также области Q. Составим отношение
1 _ 1
£—z ~ —а '
J
z — a
К,~а
Учитывая формулу суммы геометрической прогрессии
1 _ zrZZ 1 1
1 -|- q -|- <72 +... + qn = ——,
или
1	ntl и
•^=1 + ? + ... + ?" + ^,
указанное отношение
’ 1 ___1_
1-2 “£-0-
можно переписать' в виде
. । z — a	.	1	(z — a\nA l'
1 +^_а +* • • + ~~ z — a \^—а)
£ —а
Умножив обе части последнего равенства на~/(£) и проинтегри-
ровав полученное выражение по £ вдоль замкнутого контура I,
получим, учитывая формулы (1) и (9) § 27:
/ (г)=/ (а) -|- Ф (г - а) +...+(г - а)" + К„,	(5)
где
(2-д)«Н Г
"	2л/	.) К-2)(£-а)и+1’	(6)
/
Если остаток при /г->оо, то формула (5) переходит в фор-
мулу ряда Тейлора для функции / (z):
СО
/(2) = £Т^ми.,	(7)
я = (1
325
Y (г1~аГ
Z /?;г
П = 0	1
Следующая теорема Коши указывает на возможность разложе-
ния функции f(z) в ряд Тейлора.
Теорема 3. Функция f (z) представима своим рядом Тейлора
в любом круге | z — а | <7? с центром в точке а, в котором она ана-
литична. Во всякой замкнутой области, принадлежащей этому
кругу, ряд Тейлора сходится равномерно.
Доказательство. Для доказательства сходимости ряда
Тейлора (7) выберем произвольную точку внутри круга | z — а | <
< R и построим окружность радиуса 7Д < R так, чтобы точка zx
лежала внутри этой окружности. Очевидно, что |гг — a\<iRi.
Если £ —произвольная точка на окружности | г — а | — Rr, то ряд
1	_	1_______1	=	1 V (Z1~Q)W	/т
t,— a — а	Ъ —	^ — а)п ’	’
< Ь сходится равномерно по £, так как мажорируется
сходящимся числовым рядом
Умножим обе части ряда (8) на ~f (z) и проинтегрируем по-
членно вдоль окружности \z-a\~Rx. Согласно формулам (1)
оо
и (9) § 27 будем иметь f	= У^~(г1 — а)п. Так как zx—
п = 0
произвольная точка круга \z — a\<ZR, то ряд Тейлора сходится
к функции f (z) всюду внутри круга | z — а | < R.
Докажем теперь равномерную сходимость ряда Тейлора в лю-
бой замкнутой области, принадлежащей кругу |z — a\<ZR. В каче-
стве такой замкнутой области выберем круг j z — а | kRXt где
k — фиксированное число, удовлетворяющее неравенству 0<Л’<; 1,
a Rr<zR. Этот замкнутый круг лежит внутри круга |z — a\<zR.
Для доказательства равномерной сходимости ряда Тейлора (7)
требуется показать, что остаток Rn в разложении
Л = 0
стремится к нулю при п->оо равномерно относительно г.
Произведем оценку остатка Rn ряда по модулю. Так как
функция f (z) аналитична в круге радиуса R, то она ограничена
по модулю в замкнутом круге \z — a\^kRif т. е. | f (г) | < М,
Оценим модуль разности: |£ — z | ^ | £ — а\ — | z — <21 7Д — kRx =
= 7?!(!—&)• Тогда в соответствии с формулой (6) получим:
। п । __ (z-a)n+l Г /(£)d£	_ .
|*"1	2л/ J (£-z)(£-a)«+i ==
/гп + 1/?” + 1	/И • 2л/?. kn+l
------1------------L— —________
2л /? (1—/г)/?«+‘	1—/г
326
Так как /?<1, то	при п->оо, причем оценка остатка
ряда не зависит от z. Следовательно, ряд Тейлора сходится и
притом равномерно в любом круге |z —	SS
'	Следующая теорема устанавливает связь между степенным
' рядом и рядом Тейлора.
I; Теорема 4. Пусть функция f (z) представляет собой сумму
°°
степенного ряда, т. е. / (z) = J] an(z — a)n. Тогда ряд Тейлора
п = 0
i для функции f (z) совпадает с этим степенным рядом.
Доказательство. Пусть в некотором круге | г — а | < R
сходимости степенного ряда его сумма
со
Ш = £ an(z — a)n.	(9)
n=0
Тогда в силу теоремы 2 § 28 функция f (z) является аналити-
ческой функцией в этом круге.
Положим в выражении (9) z — a, получим a0 = f(a). Диффе-
ренцируем ряд (9) почленно, полагая каждый раз z — a:
f (а) = аъ f" (а) = 2а<>, ..., /(л) (а) = п\ап, ....
/(Л) (а)
Отсюда следует, что	и ряд (9) является рядом Тей-
лора функции /(z). Н
Эта теорема устанавливает единственность разложения функ-
ции f (z) в ряд Тейлора. Из теоремы также следует, что радиус
сходимости степенного ряда (9) совпадает с расстоянием от
точки а до ближайшей точки, в которой нарушается аналитич-
ность функции f(z).
Ниже указаны разложения в ряд Тейлора некоторых функ-
ций в окрестности точки z = 0:
оо
^=ч-^2т+-=2^
п = 0
оо
coS2=i-<+-:;-...=2(gr(-D”.
:0	. со»
Z3 2б	VI Z2n+1 , . .
sinz —z 3J- Н51	---21 (2«-Н)1 ( ) ’
п=0
ОО
ln(l	+ з - ...= 2
"	„__ 1
327
§ 30. РЯДЫ ЛОРАНА
В предыдущем параграфе рассматривалось разложение в ряд
Тейлора функций, являющихся аналитическими в некотором круге
У	радиуса R. Но иногда приходится
рассматривать области и другого
z/z/z/Tz	вида. Например, если функция
f (z) является аналитической всю-
	д ухУ	ДУ, кроме точки z — a, то обла-
л7________________щ	стью аналитичности	функции мо-
НЖОз)	1и	жет слУжить кольцо	г <Z | г — a j <С
4	WW	/А	</?-
яд	Пусть функция f (z) анали-
тична в кольце г <_ | z — а | < R
______^^777^/(рис. 77). Выберем произволь-
1\____~~	~ х ные. числа г' и R', удовлетворяю-
рис# 77	щие неравенствам г < г' < R' <ZR,
и число k, причем 0<&<1,
и рассмотрим кольцевую область Гд \z — a\^kRr. В этом
кольце функция f (z) аналитична. По формуле Коши для двух-
связного контура имеем
I,
1г
(1)
Здесь /i и /2 — окружности на плоскости z, определяемые равен-
ствами \z — a\ = R' и \z — а\ — г', причем интегрирование вдоль
этих окружностей производится против часовой стрелки; z —
произвольная внутренняя точка кольца.
Рассмотрим первый интеграл в выражении (1). Если £—
некоторая точка окружности /ь то справедливо соотношение
z— а
£ —«
kR'
~ТГ
k<\.
Т-Г	1
Поэтому дробь у-- в первом интеграле можно представить по
формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:
1 _ 1 1
£ — 2 “ £ —а	,	z — a~
£-«
1_
£—а
г —а । । (2— °)” ।
+ ’ ’ ’ + (£-а)'1 + ‘
(2)
причем ряд в правой части последнего равенства сходится рав-
номерно, так как его можно промажорировать геометрической
прогрессией со знаменателем /г<1. Умножим обе части выра-
жения (2) на f (£) (при этом равномерная сходимость ряда
не нарушается) и проинтегрируем почленно полученное равенство
328
ПО окружности 11.
со
А (2) = J = 2 ап “
It	п=0
здесь
а'1~~ 2л/ J & — а)п^	^tl °’ 1’ 2>
it
(3)
(4)
Отметим, что в отличие от ряда Тейлора коэффициенты ап в ра-
/<«> (а)
венстве (3) нельзя представить в виде all=='L-~~L, так как функ-
ция f(z), вообще говоря, не аналитична в точке z — a.
Рассмотрим второй интеграл в формуле (1). Так как интег-
рирование ведется по окружности /2, то справедливо нера-
венство
| z~~TF j С V- = По формуле суммы бесконечной геометри-
ческой прогрессии получим
1 __	1______L___ =____1 fi । ^~~а ।	। ^-a)n I 1
£ — z	z — a t~a	z — a[ * z — a	(z — a)n * * ‘' J *
z — a
(5)
Подставим выражение (5) во второй интеграл равенства (1)
и выполним почленное интегрирование по окружности /2:
СО
2^7-2 a^{z-a)tl, (6)
/2	П -= 1
здесь
a-„=2^jf(9a-a)'“dS («=1, 2, 3, ...).	. (7)
t
.Формула (6) представляет собой разложение в степенной ряд
функции f2(z) по отрицательным степеням (z — a). Заменим в фор-
мулах (6) и (7) индекс— л, где п принимает значения 1, 2, 3, ...
индексом п, принимающим значения —1, —2, —3, .... Тогда,
объединив разложения (3) и (6), получим:
f А) = fi (z) + A (z) = V an(z- о)п.
П — со
(8)
Согласно интегральной теореме Коши для многосвязной области
(см. § 26) окружности Zj и /2 можно заменить любой окруж-
ностью I с центром в точке а и радиусом р, причем г<р<;7?.
Поэтому формулы (4) и (7) можно записать в виде одной фор-
мулы
ttn = 2л/ J (£—(и == О, _L 1, J_ 2, ...),	(9)
329
Полученное разложение (8) называется разложением в ряд
Лорана функции f (z) в окрестности точки а. Ряд (3) называется
правильной частью ряда Лорана, ряд (6) — главной частью ряда
Лорана.
Таким образом, справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Пусть функция f (z) аналитична в кольце г <z
<|z — а |</?. Тогда она разлагается в этом кольце в ряд
СО
Лорана f(z) = У, an(z — а)п, причем разложение единственно.
П —— СО	«
Коэффициенты разложения определяются по формуле
йп = 2лГ (t~a)re+1 (п = О, d_ 1, ± 2) ...,
I
где I — окружность, для которой | z — а | = р, причем удовлетво-
ряется неравенство r<Zp<cR. Полученный ряд сходится равно-
мерно в каждой замкнутой области, принадлежащей целиком
данному кольцу.
Докажем единственность разложения функции f (z) в ряд
Лорана^ Пусть в кольце r<|z — a\<.R функция f (z) разла-
гается в ряд Лорана двумя способами:
ОО	со
/(•?) = У an(z — a)n и = У bn(z-a)n.
п = — оо	п = — оо
Поскольку оба ряда сходятся равномерно в любой замкнутой
области, принадлежащей кольцу r<Z | z — а | < R, то, умножив
„ 1 1
обе части первого ряда на	и проинтегрировав по
окружности I, для которой |z —а| —р, причем r<Zp<.R, полу-
чим
ОО
I	' п — — со	I
тт \	Г 0» n^k,
Но \ (t, — a)n~k~1 dt,	поэтому
i	| 2л/, n = k,
j (£-a)*+1 d^ak (^ = 0»	±2, ...).
Проделав аналогичные операции со вторым рядом, получим,
что
b L С НО dr
i
т. е. ak~bk, и разложение в ряд Лорана единственно.
Заметим, что если функция f (г) аналитична в круге 1 z — а | <.R,
то ап^0 для п ——1, —2, ..., и ряд Лорана функции / (z)
переходит в ее ряд Тейлора. 
330
о
Пример 1. Разложить в ряд Лорана функцию f(t) =
| z — 1 | < 1 с центром в точке z = 1.
1
(г-1)(г-2)
Данную функцию представим в виде f (z) =-----------------—j-
в кольце
Так как
|г —1|<1, то по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии
имеем
Z-1	1—(Z—1) ~	Z-1 i (2
п = 0
Главная часть ряда Лорана функции f (г) есть Д(г) =—- — j  , aero пра-
вильная часть
/2(г) = - 2 Вп-
п= О
§ 31.	ОСОБЫЕ ТОЧКИ
1.	Классификация особых точек. Введем некоторые определе-
ния. Точка z = а называется изолированной особой точкой функ-
ции f (z), если в области 0< | z — а| <_R функция f (z) является
аналитической, а в точке z — a аналитичность функции f (z) нару-
шается. Например, функция f(?) = sin-|- имеет в точке ? = 0
изолированную особую точку, так как в точке z — 0 функция
f(z) = siny не определена, но в любой окрестности этой точки
эта функция является аналитической. Для функции f(z) ——Ц-
sin - -
г
точка z — Q не является изолированной особой точкой, так как
в точках =	(& = ±1, ±2, ...) функция f (?) обращается
в оо, а точка ? = 0 является предельной точкой для последова-
тельности {?Д, т. е. нельзя указать такую окрестность точки
z = 0, в которой функция f (?) была бы аналитической. В даль-
нейшем будем рассматривать только изолированные особые точки.
В основу классификации изолированных особых точек может
быть положено поведение функции f (?) в окрестности этих точек,
либо вид разложения функции f (?) в ряд Лорана в окрестности
особых точек. Дадим классификацию изолированных особых точек
в зависимости от поведения функции f (z) в их окрестности.
1.	Изолированная особая точка ? = а называется устранимой
особой точкой, если существует конечный предел lim /(?) = Д =#оо.
z —> а
2.	Назовем изолированную особую точку z — a полюсом, если
limf(z) = cxo, т. е. модуль функции f (?) неограниченно возрастает
z-+a
при г-+а.
3.	Изолированная особая точка ? = а называется существенно
особой точкой, если не существует lim/(z).
г -> а
331
Между типом изолированной особой точки и видом разложе-
ния в ряд Лорана функции f (z) в окрестности этой точки суще-
ствует тесная связь. Прежде чем установить эту связь, получим
неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана.
Пусть в кольце r<Z\z — a\<.R функция f (z) разлагается
СО
в ряд Лорана f (z) = an(z-a)n, где ап = J
п —— оо	I
а контур I является окружностью | z — a. j ~ р (г <. р <. R).
Обозначим максимум модуля функции f (z) на окружности I
max \f (г) j — М (р), тогда будет справедливо неравенство
\г — а\ = р
=	=	±1, ±2,	(1)
7
2. Разложение в ряд «Лорана в окрестности особых точек.
Связь типа особой точки с видом разложения в ряд Лорана функ-
ции f (г) в окрестности этой точки устанавливают следующие
теоремы:
Теорема 1. Для того чтобы особая точка z = a была устра-
нимой особой точкой для функции /(z), аналитичной в кольце
0<| z — а. I <Д, необходимо и достаточно, чтобы разложение
в ряд Лорана, этой функции в указанном, кольце не содержало
главной части.
Доказательство. Докажем вначале достаточность усло-
вий теоремы. Пусть ряд Лорана функции f (z) не содержит глав-
ОО
ной части, т. е. f (г) — 2 an(z — a)n. Тогда lim f (z) = п.о. По оп-
п=о
ределению точка z = a. в этом случае является устранимой особой
точкой.
Докажем теперь необходимость условий теоремы. Пусть суще-
ствует lim/(z) = причем А^со. Тогда функция f (z) ограни-
г~*а
чека в окрестности точки z — a, т. е. | f \z) | < М для всех z,
удовлетворяющих неравенству \z — п|^р. Учитывая неравенства
(1), имеем | ап j = Мр~". Так как величина р может быть
выбрана сколь угодно малой, то все коэффициенты разложения
функции f (z) в ряд Лорана с отрицательными индексами п равны
нулю и ряд Лорана не содержит главной части. Этим доказы-
вается необходимость условий теоремы.
Если положить f (rz) = lirn/ (z) = n0, то функция f (z) будет
z-> а
аналитической в круге j z — <7 | <С р с центром в точке а, так как
во всем круге она представима сходящимся степенным рядом.
Отсюда следует название «устранимая» особая точка. Устранимая
особая точка называется также правильной точкой функции /(z).
Прежде чем рассматривать разложение функции f (z) в ряд
Лорана в окрестности полюса, введем некоторые определения.
332
Точка z — a называется нулем порядка, k (k — целое положитель-
ное число) функции g(z), если эта функция может быть пред-
ставлена в виде g (z) = (z — d)k ср (z), причем ср (а)	0. Если функ-
ция g (z)^0, то ее разложение в ряд Тейлора в окрестности
точки а имеет коэффициенты, не все равные нулю. Номер млад-
шего, отличного от нуля коэффициента совпадает с порядком
нуля функции g (z) в точке z — a, т. е.
g (z) = ak (z — a)k 4- ak+1 (z - a)k+1 +...	(2)
Заметим, что порядок нуля функции g(z) в точке z = a совпа-
дает с порядком младшей, отличной от нуля производной функ-
ции g(z) в точке z — a. Функция <p(z) является аналитической
в окрестности точки z = a и отлична от нуля в этой точке.
Из определения особой точки-полюса следует, что если функ-
ция f (z) имеет полюс в точке z = a, то функция g(z) — ~~ ана-
литична в окрестности точки z — a и Iimg(z) = 0, т. е. функция
z -* а
g(z) имеет ноль в точке z = a. Справедливо и обратное, если
точка z — a. является нулем функции g (z), то функция f(z)==——
имеет в этой точке полюс. Будем называть порядком полюса
z — a функции f (?) порядок нуля z = a функции g (z)
/ \2)
Теорема 2. Для того чтобы точка z — a была полюсом порядка k
функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы ее разложение
в ряд Лорана, в окрестности точки z — a. имело вид
СО
<^>г+- + ^+ 2	О)
п = 0
или, что то же самое, функция f (z) могла быть записана в виде
f (?) —	’ г&е функция <р(г) аналитична, в окрестности точки
z — a и (р (<?.) =# 0.
Доказательство. Сначала докажем необходимость усло-
вий теоремы. Пусть точка z — a является полюсом порядка k
функции /(?). Согласно изложенному выше, для функции g (z) =
— точка z — а будет нулем порядка k. Таким образом, функ-
цию g (z) можно записать в виде g (?) = (? — а),г <p (z), где <p (z) —
аналитическая функция в окрестности точки z — a, причем ср (а) -=Д
5^ 0. Тогда
“ (z — а)* ’	(г) ‘
Функция Ф (г) является аналитической функцией в окре-
стности точки z — a, | z —- tz j *< р. Поэтому функция ф (z) разла-
гается в этой окрестности в ряд Тейлора
Ф (г) = « -л + «-ю 1 & - а) -1-... 4- ай (z - a)k +...,
ззз
причем —	Подставив это выражение для яр (г) в фор-
мулу (4), получим
СО
=	= ст+-+г^+ 2
И —О
Таким образом, необходимость условий теоремы доказана.
Докажем достаточность условий теоремы. Пусть в окрестности
точки z — a функция f (z) разлагается в ряд Лорана с конечным
числом членов в главной части, т. е.
СО
Н^ = тД^+- + Д^ + 2 «»(*-«)".
и = 0
Тогда функция ф (г) = (z — a)k f (z) = a_k + a_fe+i (г — a) + ... пред-
ставима в виде ряда Тейлора в окрестности точки z — a, т. е.
функция ф (z) аналитична в круге \z — «|<р, причем яр (а) —
= a_k 0. Следовательно, функция
е (г) = Ж “	= (г “ а)"41 (г)’
где ср (а) — —0, имеет в точке z — a ноль /г-го порядка. По
й/г
доказанному выше в этом случае функция f (z) имеет в точке
z = a полюс порядка /г, что и доказывает достаточность условий
теоремы. 8$
Вид разложения функции / (z) в окрестности существенно
особой точки устанавливает следующая теорема:
Теорема 3. Для того чтобы функция f (г) имела, в точке z — a
существенно особую точку, необходимо и достаточно, чтобы глав-
ная часть разложения в ряд Лорана, функции f (z) в окрестности
этой, точки содержала бесконечное число членов.
Доказательство теоремы легко проводится методом от про-
тивного.
Введем понятие предельного значения функции f(z).
Число А называется предельным значением функции f (z)
в точке z — a, если существует последовательность комплексных
чисел {zn}, сходящаяся к точке а, такая, что соответствующая
последовательность значений функции {f (z„)} сходится к точке А.
Приведем без доказательства теорему которая характери-
зует поведение функции f(z) в окрестности существенно особой
точки.
Теорема 4. Множество предельных значений функции f (г) в ее
существенно особой точке есть вся расширенная комплексная пло-
скость.
*> Доказательство теоремы см., например, в кн.. Марку шевич Л. И
Краткий курс теории аналитических функций. «Наука», 1966, с. 234.
334
|__COS2 2
Пример 1. Определить характер особых точек функции f(z) = —-%----,
Эта функция имеет в начале координат г = 0 устранимую особую точку.
1 — cos
Действительно, учитывая, что 1—cos3z =---------, и используя разложение
в ряд Тейлора функции cos 2г:
о .	(2г)2 , (2г)4
cos 22 = 1-^ + ^--...,
будем иметь
,	1 — cos2 2
lim -----s-----— ит
z -> 0	2	z -» 0
(2г)2	(2г)<
2! 1 4!
2г2
= 1.
По определению, точка г = 0 является устранимой особой точкой функ-
., „	1 —cos2 г
ЦИИ /(г)
г2
Пример 2. Определить характер особых точек функции / (2) =	 .
Функция g-(2) = туу = ег + 1 имеет в точках 2/г = (2/г-|-1) л/ (/г = 0, ± I, ...)
нули первого порядка. В самом деле, решая уравнение ег-р1=0, будем иметь
= (2А?-j-1) л/ (k = 0, ±1, ±2, ...). Кроме того, g' (zk)=ek =—1#=0.
Таким образом, функция g(z) имеет в точках гл = (2Л-|-1) л/
(/г=0, ± 1, ±2, ...) нули первого порядка, следовательно, функция f (г) =*
= —i-y имеет в этих точках полюсы первого порядка.
Пример 3. Определить характер особой точки г = 0 функции /(г)=тег2.
Разложение в ряд Лорана этой функции в окрестности точки 2 = 0 имеет
z2
вид e
7 =j—2уг. Из написанного разложения видно, что главная часть
П 0
ряда Лорана имеет бесконечное число членов. Следовательно, функция [ (г) --
~ ezi имеет в точке 2 = 0 существенно особую точку.
Покажем, что для любого наперед заданного числа А можно указать та-
кую последовательность {г/?}~>0, что lim е k = А. Действительно, пусть
k—> со
последовательность {z/J->0 при k-^co и
гк =	; тогда
К Ln А -|- 2/гл/
lim
— lim eLn А + 2/<'л^ = А.
/< ->• СО
Рассмотрим случай бесконечно удаленной точки. Пусть функ-
ция f (г) аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки.
С помощью замены переменной £ = -• проведем бесконечно уда-
ленную точку в начало координат. Характер особенности функ-
ции f (г) в бесконечно удаленной точке определяется характером
особенности функции	й в окрестности начала коорди-
335
нат. Пусть разложение в ряд Лорана функций <р(£) =
в окрестности начала координат имеет вид
ОО
<р(9 = S	(5)
— со
Тогда функция f (z) разлагается в ряд:
ОО
Ш = 2 «»!•
И =— 00
(6)
со
В этом случае функция Л (г) ==	~~ — правильная часть ряда
п — О
Лорана функции f (z) в окрестности бесконечно удаленной точки,
ОО
а функция /2 (г) — JyJ a^nzn — главная часть ряда Лорана,
п — I
Таким образом, бесконечно удаленную точку по виду разло-
жения в ряд Лорана функции f (z) в окрестности этой точки
можно классифицировать следующим образом:
1.	Бесконечно удаленная точка — правильная, если ряд Лорана
не содержит членов с положительными степенями z.
2.	Бесконечно удаленная точка является полюсом порядка, k,
если ряд Лорана содержит член с г в степени	но не
содержит членов с z в более высокой степени.
3.	Бесконечно удаленная точка является существенно особой,
если ряд Лорана содержит бесконечное число членов с положи-
тельными степенями х.
Пример 4. Определить особенности следующих функций в бесконечно уда-
ленной точке:
1
а)	для функции f(z) = ~ бесконечно удаленная точка является правиль-
ной точкой;
б)	функция /(г) —г2 имеет бесконечно удаленную точку полюсом второго
порядка;
в)	для функции f(z)~ez бесконечно удаленная точка является сущест-
венно особой точкой.
Глава X
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
§ 32. ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ
1. Понятие о вычете. Общая формула определения вычета от-
носительно полюса. Введем определение. Вычетом функции f (z)
в изолированной особой точке z = a(a=£ оо) называется число
(z) dz, где I — достаточно малая окружность | z — а | = р,
i
такая, что в круге | z — а | р нет других особых точек, кроме
точки z = a. В этом случае величина вычета не зависит от вели-
чины радиуса р.
Обозначается вычет функции f (z) в точке z — а следующим
образом: Res/(z) |г„а, *> или Выч/(г)|2_а. Из формулы (9) § 30
для коэффициентов ряда Лорана при п = 1 следует, что
Resf(z) |г_а = а_1,	(1)
т. е. вычет функции f (z) в изолированной особой точке z — а
равен коэффициенту при (z — a) в минус первой степени в раз-
ложении функции f (z) в ряд Лорана в окрестности точки z — a.
Если особая точка z = а — устранимая, то вычет в ней равен нулю.
Данное определение вычета относится к конечной изолированной
особой точке z = а оо.
Дадим теперь определение вычета в бесконечно удаленной
точке. Пусть в окрестности бесконечно удаленной точки функция
f (z) разлагается в ряд Лорана
СО
/(г)= 2 anzn.	(2)
П =— оо
Тогда вычет в бесконечно удаленной точке z = oo определяется
формулой Res f (z) |2 = оэ = ~ f(z) dz, где I — окружность доста-
Т
точно большого радиуса, обход которой производится по часовой
стрелке (бесконечно удаленная точка должна оставаться слева).
Проинтегрировав почленно ряд (2) по контуру Z (в силу рав-
номерной сходимости ряда (2) это всегда возможно), получим
(СО	\
2 a^l<fe = -^-2n/ = -a.1. (3)
П —— СО	/
Из формулы (3) следует, что
Res/(z) |г=зсо = —(4)
Таким образом, вычет в бесконечно удаленной точке может
быть отличен от нуля, когда z — оо — правильная точка. Напри-
•» Начальные буквы французского слова «residu» — вычет.
12 п. р. Чемоданова, т. 1
337
мер, функция f(z) = — не имеет особенности в бесконечно уда-
ленной точке, но Res f (г) |2=оэ — —1.
Получим формулу для определения вычета функции f (z) отно-
сительно полюса. Пусть функция f (z) имеет в точке z — a полюс
порядка /г. Тогда ее разложение в ряд Лорана в окрестности
СО
точки z = a имеет вид f (г) =	+ • • • +	an(z~a)n-
п = О
Умножим обе части последнего равенства на (z — a}k и продиффе-
ренцируем полученное выражение k—\ раз:
[(2 — c)fe f (г)]	i\I I V (n+k)\ ,	,„+1
•---• = Я-1 (£ - 1) I + 2i ап п! <2 ~	•
п = 0
Перейдя к пределу в обеих частях равенства при z-+at будем
иметь
a^ = Resf(z)\. = а = ——- lim —— [(г - a)kf (z)].	(5)
(л— 1)1 г-»а dz" 1
Если k—1 (полюс первого порядка), то
Res f (z) \г_а = lim f (z) (z-a).	(6)
z-> a
Если при этом функция /(z) представляет собой отношение
двух функций Р (z) и Q (z), аналитических в окрестности точки
Р (z)
г = а, т. е. /(г)=-А_1 причем Р(а)=£0, и функция Q (z) имеет
Ч \2)
в точке г —а нуль первого порядка, то
Resf(Z)|z_a=lta^ = ^.
z— а
(7)
Пример 1. Определить вычет функции f(z) = tgz
Эта функция имеет полюсы первого порядка
(/г = О, ±1, ...). Определим вычет функции в полюсе
найдем
sin г
cos г'
в точках zk — -y--\-kn
JT
z0 = -g-. По формуле (7)
. л
I	sin Т
п-—?=-’•
1 z° - ~2	— sin у
Пример 2. Определить вычет функции /(z)=—1— в особой точке z—j.
2 х5—[— 1
В точке z = j эта функция имеет полюс первого порядка. Вычет функции
f(z) в этом полюсе
338
zin
Пример 3. Определить вычет функции Цг)=-тг~1—wT	(я — натуральное
(1 -р z)n
число) в особой точке г =—1.
В точке z =—1 эта функция имеет
в полюсе z ——1
полюс порядка п. Вычет функции [ (г)
1
(и-1)1
dzn~l
(_ 1)п41 (2п)!
(п— 1)1(п+ 1)!’
2. Теорема о вычетах. С помощью вычетов можно значительно
облегчить вычисление интегралов от функций комплексного пере-
менного. Следующая теорема
показывает, что вычисление
интегралов можно свести к
вычислению вычетов подын-
тегральных функций относи-
тельно их особых точек.
Теорема 1. Пусть I —
спрямляемый замкнутый кон-
тур и G — область, ограни-
ченная этим контуром. Пусть
далее функция f (г) является
аналитической функцией в об-
ласти G за исключением конечного числа изолированных особых
точек а1г а2, ..., ап. Тогда
Res/(г) |2__i =
г
\ f (г) dz = 2л/ 2 Res f (г) \г==а^
i	k= 1
(8)
Доказательство. Окружим каждую особую точку z — ak
окружностью /Л, имеющей радиус р/г столь малый, что все эти
окружности не пересекаются между собой и лежат в области G
(рис. 78).
Рассмотрим область Gb полученную из области G с помощью
удаления кругов lk. В области Gr функция f (г) будет аналитична.
Согласно интегральной теореме Коши для многосвязной области
имеем
p(z)d?+£ $/(z)<fe = 0.	(9)
Здесь окружности lk проходятся по часовой стрелке. Изменив
направление обхода и пользуясь определением вычета, получим
J f (г) dz = 2л/ 2 Res f (z) |2 =ak. 
i	fe = i
Пользуясь понятием вычета в бесконечно удаленной точке,
можно доказать следующую теорему:
Теорема 2. Пусть функция f (г) имеет в расширенной комп-
лексной плоскости лишь конечное число изолированных особых точек
...» «л- Тогда сумма вычетов функции f(z) относительно этих
12’
339
точек, а также относительно бесконечно удаленной точки равна
нулю.
Доказательство. Рассмотрим окружность l:\z\-R
с центром в начале координат, имеющую настолько большой ра-
диус R, чтобы на самой окружности и вне ее не было особых
точек функции /(z), за исключением может быть бесконечно уда-
ленной точки г = оо. Тогда
$/ (z) dz-\-\f(z) dz = O.	(10)
i	Г
Здесь Z — окружность | z | = R, проходимая в отрицательном направ-
лении. Но
Р (г) dz = 2л/ 2 Res f(z)\zs.a	(11)
I	/г= 1
а
$/ (г) dz — 2nj Res/ (z) |2==00.	(12)
i
• Подставив (И) и (12) в (10), получим:
У Res/(z)|2=Oft + Res/(z) |2==оэ=0. 	(13)
/?= 1
3. Применение вычетов для вычисления несобственных интегра-
лов. Прежде чем перейти к вопросам применения вычетов для
вычисления некоторых несобственных интегралов, докажем две
леммы.
Лемма 1. Если функция f (г) непрерывна в окрестности беско-
нечно-удаленной точки z~ca и zf (z) -> 0 равномерно относительно
argz при z->oo*\ то интеграл $ / (z) dz по любой дуге CR
CR
окружности | z | = R стремится к нулю при R-><x>.
Доказательство. Введем обозначение М = max | zf (z) I.
CR
Равномерность стремления к нулю функции zf (z) относительно
аргумента означает, что М->0 при	Оценим по модулю
интеграл J / (z) dz:
CR
f zf(z) — dz	max ] z/(z) | ^-s^ZVl2л.
v z	cp	K
Cr	r
Здесь s —длина дуги CR.
§ / (г) dz
cr
Произведение zf (г) стремится к нулю равномерно относительно аргу-
мента z при г~>оо, если для любой неограниченно возрастающей последова-
тельности точек {гл} справедливо равенство lim znf(zn)—Q.
n-tw
340
Так как lim max | zf (г) | — 0, то
Д->со С R
lim \f(z)dz = O, 	(14)
R^cr
Очевидно, что дуга CR может быть всей окружностью. С по-
мощью доказанной леммы можно вычислить несобственные интег-
ОО
ралы вида J f (х) dx, подынтегральная функция f (х) которых
— со
удовлетворяет условию
Пшл/(х)=0	(15)
х—>со
и имеет конечное число изолированных особых точек. Условие
(15), в частности, выполняется, если f (х) является дробно-раци-
ональной функцией и степень числителя по крайней мере на две
единицы меньше степени знаменателя.
ОО
Для вычисления интеграла § f (х) dx перейдем от действитель-
—оо
кого переменного х к комплексному переменному г и рассмотрим
интеграл ^f(z)dz, где / — замкнутый контур, состоящий из полу-
i
окружности CR радиуса /?, лежащей в верхней полуплоскости,
и отрезка [—R, R] действительной оси (рис. 79). Радиус R
выбираем столь большим, чтобы все особые точки функции f (г),
лежащие в верхней полуплоскости, попали внутрь области, огра-
ниченной контуром /.
Согласно свойству 2 интеграла от функции комплексного
R
переменного имеем $ f (г) dz — § f (z) dz ф- § f (x) dx. С другой сто-
/	cR	—R
роны, в силу теоремы о вычетах
$ f (z) dz = 2л/ У Res f (z)
i	k-=\
z=ak
где 6Zi, ..., an — особые точки функции f(z), лежащие в верхней
полуплоскости. Таким образом,
J f(z)dz-\- J f (х) dx = 2nj У Res/(z) .	(16)
CR	—R	k—l	z^ak
Перейдем в равенстве (16) к пределу при	Из дока-
занной леммы следует, что lim \ f(z)dz = O и равенство (16)
примет вид
Г f (х) dx = 2л/ У Res / (г)	,	(17)
-оо	Л-1
241
Аналогично можно показать, что
со	п
5 f (x)dx = — 2 л/ 2 Res f (г)
— со	Л = 1
z = ak
где Ой —особые точки функции /(г), расположенные в нижней
полуплоскости. Для этого необходимо рассмотреть интеграл
где контур Г состоит из отрезка [—7?, /?] действитель-
г
ной оси и полуокружности С/?, расположенной в нижней полу-
плоскости плоскости z (рис. 80).
„	.	С dx
Пример 4. Вычислить интеграл ф j~jn •
— оо
Подынтегральная функция -j- — имеет в верхней полуплоскости одну
(X 1)
особую точку z — j—полюс n-го порядка. Согласно формуле (17), имеем
ОО
С	о •	1 I
J (x2-H)«“ Л/Ке8 (z24-l)nl*=/‘
Вычислим вычет функции
(5) имеем
ReS(z2-H)«
(Z2Zpf)n в точке г~1- В соответствии с формулой
(z-/)n р-n
Окончательно найдем
|2=/ (и—1)1 2-/1(г2-|-1)"1
=-----!---11m [(г4- /)-п1(п-1> _”(»+!)••• (2 ft—2) •
(и —1)1 z^i^1’ J	(n— 1)! 22"-1	1
dx (2п — 2)\ л
(х2+1)“ == [(ft—1)!]а *
С помощью леммы 1 можно вычислять интегралы по мнимой
оси. Вычисление такого интеграла рассмотрено в следующем
примере.
342
Пример 5. Вычислить интеграл
ОО
= 1 С Sn (j®)
п 2л J hn (jw) hn (— /со)
— СО
с/со,
(18)
где
ёп(У) = Ьоу^+Ь1У^+ ... +Ьп_ь,
(19)
hn (У) = ЩУп Аг а1Уп х + ... +ап,
(20)
причем все нули многочлена hn (у) лежат в
левой полуплоскости Предполагается также,
что все нули многочлена hn (у) — простые*1.
Заменим в (18) /со на у:
Jn=~ \ ,	---vdy (21)
2л/ J hn (у) hn (— у)
— /оо
Здесь интегрирование ведется вдоль мнимой оси
плоскости г (рис. 81).
Рассмотрим интеграл по замкнутому кон-
туру 7, состоящему из отрезка мнимой оси
[—7?, R] и дуги окружности Сд, радиуса 7? с
центром в начале координат. Согласно теоре-
ме о вычетах, имеем
, п iR
JL С gn(z) _ _i_ С gn (у) j .
2л/ .) hn (z) hn (— z)	2 л/ J hn(y)hn(— у)
I	—i R
_L — £ ---ig. Czj-dz — У Res - g” I	/22)
2л/ j hn(z)hn(-z) LWShn(Z}hn(-z)^k‘
cR	k = \
Вычеты здесь берутся по всем полюсам подынтегральной функции, распо-
ложенным в левой полуплоскости, т е. по нулям многочлена hn (г). Если устре-
мить радиус окружности 7? к бесконечности, то в силу леммы 1 интеграл
по дуге С„ будет стремиться к нулю и
/со	п
Д h АтА!—УRes ь <J •	(23>
2л/ J hn (t/) hn (— у) у Zj hn(z)hn(—z)\z=2k
— /со	Z?= 1
Пусть уг, у2, уп — корпи многочлена hn(y). Тогда
п	П
hn(y)=a0 Д (у—yk), /in(—y) = a0 Д (—y—yk).
/г = 1	fe=l
Разложим подынтегральную функцию
gn(y)
bn (у) hn ( у)
на простые дроби:
gn (У) V А (_________________________1_____________1_\
hn (У) Ьп (— у)	к\У~Ук У А-У kJ
/г = 1
(24)
*’ Интегралы такого типа встречаются при определении средне-квадрати-
ческой ошибки систем автоматического регулирования, находящихся под слу-
чайными воздействиями.
343
Так как Ak есть вычет функции -—---------V в полюсе yk, то
,	"п \У) "п ( У)
Jn= 2 Ak.
fe=l
Определим коэффициенты А& Перепишем равенство (24) в виде
g»to)= 2 Ak\y=ykhn{~y}+
fe = l
hn (~У)
— У~Ук
hn(y)]'
(25)
(26)
Произведя деление, получаем:
(У) ___
У — Ук ~
п
Brkyn~rt
г = \
hn(—y) _
— У—Ук
п
2 Wl~rBrky'l-r.
г=1
Коэффициенты Вгь в общем случае при фиксированном г различны для различ-
ных значений k. Исключение составляют коэффициенты Z?tx.=tz0.
т-r	hn (у) hn (— у)
Принимая во внимание полученные выражения для  и ————,
будем иметь
п п
^khn(-y)+^^~{hn(y)= J 2
s = 0 г = 1
+ 2 2 asBrk(- l)n~ry2n-s-r^2 2 2 a2m-rBrk(~^n+ry2n-2m, (27)
s=0r=l	_	m=lr=l
причем a2m_r=0, если 2m—r>n и 2m—r <0.
Учитывая (19) и (27), выражение (26) можно записать в виде
£п(У) = Z Ьт-1У2п~2т-
т = \
п п 2т
k— 1	/п«= 1 r = 1
n	n 2m
=2(-ir 2 y2n~2m 2 Ak 2 (~ 'УЪт-гВгк- (28)
/71=1	k = \	Г=1
Приравнивая в равенстве (28) коэффициенты при одинаковых степенях у,
получаем
п 2т
Ak 2 «2/п-г(-1ГВгА = (-1)«^ (т=1, 2, .... п).	(29)
k — l	Г=1
Переменим порядок суммирования:
2т	п
("=!, 2. ... «) ,	(30)
r=l	k=l
и обозначим
п
У AkBrk (r=Jt 2Х п).	(31)
344
п
При г=1, учитывая, что В1/г = а0 для всех k, будем иметь сх = У] ЛЛ = /П.
fe = i
С учетом (31) выражение (30) примет вид
2т
2	1г Д,г (m=i-2........">	<з2>
Г=1
Получили систему из п алгебраических уравнений относительно неизвестных
сг, с2, сп. Решая ее по правилу Крамера, получаем значение искомого
интеграла
(_!)»+! 2УЯ
2п0 Dn ’
где
аг а0 ... 0
а3 а2 ... 0
О 0 ... ап
(33)
— определитель системы (32).
Определитель Nn получается из определителя Dn с помощью замены первого
столбца на столбец
Нетрудно видеть, что определитель Dn есть старший определитель Гурвица
для многочлена hn (у). Так как все корни многочлена hn (у) содержатся в левой
полуплоскости, то Dn #= 0 и система (32) имеет единственное решение. Следова-
тельно, интеграл Jn всегда опре-
деляется, причем единственным об-
разом.
Формула (33) справедлива и в
случае, когда многочлен hn {у)
имеет кратные нули*
Для вычисления несобст-
венных интегралов широкое
применение находит так на-
зываемая лемма Жордана. С
ее помощью, в частности,
можно вычислить интегра-
лы, которые не берутся с
помощью леммы 1. Рассмот-
рим'1 лемму Жордана.
Лемма 2. Пусть функция
Рис. 82
f (z) аналитична в полупло-
скости Im z ^а, за исключением
конечного числа изолированных
особых точек, и равномерно относительно arg г стремится к
нулю при | z | -> со на последовательности дуг окружностей 1п
|z \ = Rn, 1т2 5=бг. Тогда для любого числа Х>0
lim ? f (z) ejKz dz = 0.
R^co ln
(34)
345
Доказательство. Рассмотрим случай, когда о<0
(рис. 82). Произведем оценку интеграла J f (z) e]'Kz dz по раз-
I
личным участкам дуги 1п. Введем обозначения: Мп— max | f (z)
= arcsin. Условие равномерности стремления f (z) к нулю
означает, что Мп->0 при	На дуге АВ имеем \е'Кг\ —
— ё~Ку е~а\ тогда
| § f (г) е^г dz | Мпе аК anRn.
"ав
(35)
Учитывая, что anRn = -~^- и а„->0 при 7?и->оо, получаем
ЫП СХд
lim anRn — a. Из неравенства (35) следует, что I \ f (г) dz |->0
—>со	I
П	АВ
при
Оценка, аналогичная неравенству (35), справедлива и для
интеграла по дуге DE. Следовательно, и этот интеграл стремится
к нулю при Rn-+cc>. Произведем оценку интеграла вдоль
дуги BCD. Воспользуемся неравенством
•	4
Sin	— Ср,
(36)
справедливым при 0 ср ~ (рис. 83). Получим
J f (z) efKz dz
BCD
< $	sl"”d<p =
BCD	0
«ГС	«ГС
2	Т - 2ХКП
= 2Л1Л	d<r<2Al„/?„	’d<p = ^-(l -<?-«»).
J	, J	Л	z
(37)
Из выражения (37) следует, что интеграл по дуге BCD стремится
к нулю при /?/г“>оо. Лемма для случая сг<0 доказана.
Если а^О, то доказательство леммы следует из неравен-
ства (37). 
Лемму можно сформулировать и на случай, когда X < 0,
а именно: если на некоторой последовательности дуг ln:\z\ = Rn,
Imz^a (а — фиксированное число) функция f (z) стремится
к нулю равномерно относительно argz при Rn->oo, то для
любого числа Х<0 справедливо равенство
lim J f (z) ejKz dz — 0.
346
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству
леммы для случая, когда Х>»0.
При исследовании линейных систем автоматического регули-
рования широко используется преобразование Лапласа (см.
гл. XIV). Преобразование Лапласа состоит в переходе от функ-
ций действительного переменного t, называемых оригиналами,
к функциям комплексного переменного s = c + /(o, называемых
изображениями. Переход осуществляется с помощью равенства
F(S) = ^/(Z) e~stdt.
о
(38).
Если известна функция F (s), то соответствующую ей функ-
цию f (/) можно вычислить с помощью так называемой формулы
обращения (см. § 42).
с-}- /со
/(0=2^ ( F(s)e°‘ds.	(39)
с—/со
Формула (39) предполагает вычисление интегралов по прямой,
-параллельной мнимой оси. С помощью некоторого изменения
леммы Жордана вычисление таких интегралов можно произво-
дить с помощью вычетов.
Сделаем в равенстве (34) замену переменной, положив /г — s.
Эта замена соответствует повороту комплексной плоскости z па
90° в положительном направлении. На плоскости комплексного
переменного s последовательность дуг плоскости z (см. рис. 82)
перейдет в последовательность дуг ln-\s\ — Rn, Res<Za (рис. 84),
и лемма Жордана для этого случая может быть сформулирована
следующим образом:
Если функция F (s) стремится к нулю при Rn->oo равномерно
относительно args, то для любого справедливо равенство
lim \ F (s) est ds = 0.
— i
n n
(40)
347
Для /<0 лемма справедлива при тех же условиях для после-
довательности дуг 1'п : | s j = Rn, Re s >» а (а — фиксированное число).
Рассмотрим примеры вычисления некоторых несобственных
интегралов с помощью леммы Жордана.
Пример 6. Вычислить интеграл
х sin ах
х2-|-62
dx
(41)
(а и b -- действительные числа).
Пусть сначала а > 0. Для вычисления интеграла /
С zeiaz
от функции комплексного переменного z: \
z
действительной
рассмотрим интеграл
Контур I изображен
оси [—R, /?] и дуги
на рис. 85, а. Он состоит из отрезка
окружности Сд радиуса R. Радиус R выбирается таким, чтобы точка jb лежала
в области, ограниченной контуром I. Согласно теореме о вычетах, имеем
Szeiaz j » • г,	I	.	.
z2 + b2 dZ - 2jV ReS Z2 62 |z = jb -	’
HO
R
Szejaz	C xeJax ( £ Zejaz
Z2-\-b2 J X2 + &2 dX+ J 22-|_fc2 dZ-
— R	cR
При R —> оо второй интеграл в правой части предыдущего равенства согласно
лемме Жордана стремится к нулю. В пределе получим
dx=nje ab.
Используя формулу Эйлера, будем и-меть
ОО	ОЭ
С	х cos ах	.	,	.	С	х sin ах	,	.	.
\	~ 2 ।	и*	dx+J	\	—? । г,? •	dx=ine	ab.
J	х2-|-Ь2	J	х2-ф-Л2
348
Приравняем отдельно действительные и мнимые части последнего равенства;
С' х cos ах ,	_ С х sin ах , _nh
X 2 i Д2 ^Х = 0	\	’
j х2 + Ьг ’ J х2 + ь2
— оо	—-со
Так как функция f(x) — ——четная, то
со	со
С	х sin ах	,	п	С	х sin ах	,
\	~2~i Та"^ —2	\	a i’m	dx
j	x24~fc2	J	x2-\-b2
— co	0
Окончательно при a > 0 имеем
C x sin ax , л
\ 2  7,2 dx==~vre ab-	(42
J x2 b2 2	4
о
p zeiaz
Если a < 0, то рассматривается интеграл \ ^2_|1"^Г ^г' Контур l' изображен
I’
на рис. 85, б.
Согласно теореме о вычетах, будем иметь
Р ypiaz	yoiaz I
\ 2 । ь2~ dz — — 2nj Res 2	2	= — njeab.
J z24~62	z2 + b2 \z——jb
Знак минус учитывает, что обход области, ограниченной контуром произ-
водится в отрицательном направлению Так как
R
zeiaz С xeiax f zefaz
z2 + b2 dZ~ J x2-±b2 dX+ J z2 + b2
-R	C
и согласно лемме Жордана при R —* со
С zeiaz л	С xeiax	.
Cr	-°0
После преобразований, аналогичных тем, которые были проведены для случая
а > 0, получим
ОО
С х sin ах , л .	_.о.
J ^+F-‘te=-<43>
Объединив выражения (42) и (43) в одно, окончательно будем иметь
СО
С х sin ах , л — I at I -
J x2 + fc2 dx = y е ।	1 sign а.	(44)
б
Пример 7. Вычислить интеграл
1 С
2л/	s2~t~a2 ds*
349
Интеграл берется вдоль прямой Ci : Res = c0> О, проходимой снизу вверх,
причем с0 выбрано так, что все особые точки подынтегральной функции рас-
положены слева от прямой Сх.
Для вычисления интеграла при t > 0 рассмотрим интеграл по замкнутому
контуру /:
1 Г sest
~2пГ '
I
Контур I состоит из дуги CR радиуса R и отрезка прямой Cj:Res = c0,
| Im s | P (рис. 86, а). Радиус R выбирается достаточно большим, чтобы все
особые точки подынтегральной функции попали внутрь области, ограниченной
контуром I. Согласно теореме о вычетах, будем иметь
п
1 f sest , V „ sest eJ'at , e~iat
-к-. \	? ds — 7 Res -j-j—= —5—-----------x— = cos at,
2л/ j s2-|-a2 АшА	^ф-а2	2'2
1	fe=i
HO
,	co + 7P
1	C sest	1	C sest 4	(	1	C sest
2nj	j s2H-n2	S~~ 2л/	j	s2+a2 S 2л/	J	s2 + n2	S’
t	Q — /Р	Cr
При R -> co p -> 00 и второй интеграл в правой части равенства согласно
лемме Жордана стремится к нулю. Поэтому для случая t > 0 получим
ds = cos at.	(46)
1 С sest
2л/ j s2-|-a2
Учитывая, что подынтегральная функция аналитична в полуплоскости Re s >
будем иметь
с0
1 С
2л/ J
г
sest
s2-\-a2
ds = 0.
Контур Г изображен на рис. 86, б и состоит из отрезка прямой Сх и дуги C'R
При R со с учетом леммы Жордана получим для случая t < О
1 С	п
0*	\ п | п ds — 0 •
2л/ J s2 + a2
Ct
^47)
350
Из соотношений (46) и (47) имеем
1 Г sest ,  ( cos cd, если t > О,
2л/ j s2-j-a2 о,	если t <0.
Пример 8. Вычислить интеграл
со
С eilx
1 = \ Г__ Jx.	(48)
— со
Пусть сначала t > 0. Для вычисления интеграла / рассмотрим интеграл
функции комплексного переменного г
С eJtz ,
у ----dz.
J 2
/
Контур I состоит из полуокружности C# радиуса R, полуокружности Сг ра-
диуса г и отрезков [—R, —г] и [г, /?] вещественной оси (рис. 87, а).
Согласно теореме о вычетах,
Учитывая свойство 2 интеграла, имеем
С eJtx
K^—dx. (49)
I	CR	— R	Cr	г
Рассмотрим	отдельные	слагаемые, входящие	в правую	часть	равенства (49).
Используя разложение в ряд Тейлора, получим
гл=о
(jtz)k dz .
В силу леммы Жордана
О при R
Перейдя в равенстве
Cr
(49) к пределу при /?->со,
О, получим
351
Аналогично определяется значение интеграла при t < 0. При этом рас-
сматривается \ —-dz, причем контур Г состоит из полуокружности ради-
Г
уса R, полуокружности С г радиуса г и отрезков [—R, —г] и (г, 7?] вещест-
венной оси (рис. 87, 6).
Выполнив действия, аналогичные рассмотренным выше, получим
со
Р
1	dx — — jn (t С 0);
—со
окончательно имеем
со
Р ejtx
1 — dx — jn sign t.	(50)
— co
§ 33.	ПРИНЦИП ПРИРАЩЕНИЯ АРГУМЕНТА
1.	«Логарифмический вычет. Пусть задана функция f(z), ана-
литическая всюду в области G, за исключением конечного числа
изолированных особых точек. Полагаем, что все особые точки
являются полюсами и, кроме того, граница / области G не
содержит ни нулей, ни полюсов функции f(z).
Рассмотрим логарифмическую производную функции f (z)
A(2) = ^[lnZW] = /7f
и назовем логарифмическим вычетом функции f (z) в точке z — а
вычет в этой’точке ее логарифмической производной h(z). Оче-
видно, что особыми точками функции h (z) будут как полюсы,
так и нули функции f (z). Поэтому имеет смысл говорить о лога-
рифмическом вычете не только в полюсе, но и в нуле функ-
ции f(z).
Пусть функция f(z) имеет в точке z — a ноль порядка k,
т. е.
f (z) = (z — a)kcp(z)t где ф(а)=#0.	(1)
Тогда производная f' (z) = k(z — d}k~x <p (z) + (z — a)k <p' (z)
и логарифмическая производная
Г (г) = fe L <P' (?)	/ПЧ
f (z)  z — a ' (p (г) ’	' '
Так как нули аналитической функции изолированы, то в до-
статочно малом круге |z —ц|<р функция является анали-
тической и может быть разложена в окрестности точки z = a
СО
в ряд Тейлора; разложение имеет вид^-~ =	an(z — а)п. Учи-
п = 0
тывая это равенство, получаем:
72 = 0
352
Формула (3) представляет разложение в ряд Лорана функции
в окрестности точки z = a. Из этой формулы следует, что
, f (?)
точка г = а является полюсом первого порядка функции
причем вычет в точке z = a равен k.
Пусть теперь функция f (z) имеет в точке z — a полюс по-
рядка р. Тогда функция g(z) — -j^ имеет в точке z = a ноль
порядка р; но
/г[1п/(г)] = -^[1Пё(г)].
По доказанному функция [lng(z)] имеет в точке z = a полюс
первого порядка, причем вычет этой функции в полюсе z — a
равен р. Следовательно, функция ~~ имеет в точке z = a полюс
/ (2/
первого порядка и ее вычет в этом полюсе равен — р.
Таким образом, в нулях и полюсах функции f (z) ее логариф-
мическая производная имеет полюсы первого порядка, причем
в нуле функции f (z) логарифмический вычет равен порядку
нуля, а в полюсе функции f (z) логарифмический вычет равен
взятому со знаком минус порядку полюса.
Рассмотрим интеграл ~ J у—у- dz. Относительно функции f (z)
полагаем по-прежнему, что она аналитична в области G, за
исключением конечного числа полюсов z — ak (6=1, 2, ..., /),
имеющих кратности pk. Предполагаем также, что функция /(z)
имеет в области G конечное число нулей z — br (г=1, 2, ..., т)
с кратностями пг и граница I области Q не имеет ни нулей, ни
полюсов функции f(z).
Применяя теорему о вычетах, можем написать:
I	k	*
m	I
— N — P, где N= £ nr, P = 2 pk- (4)
r=l	ft = l
2.	Принцип приращения аргумента. В § 25 было показано,
что Ln f (z) = In I f (z) I + /Arg/ (z). ’
Тогда
2л/ j (z) dz 2nj J rf(Ln/ (z)) —
i	t
= ^.fdln|/(z)|+ * p[/Argf(Z)]. (5)
J	z
Если / — замкнутый контур, то первый интеграл в равенстве (5)
обратится в ноль, так как в результате обхода контура / модуль
353
функции ]/(г)| не получает приращения. Второй интеграл в том
случае, если точка &у = 0 лежит внутри контура, описываемого
концом вектора w = f(z) на плоскости w, когда конец вектора z
проходит по контуру Z, может быть отличен от нуля.
Будем полагать, что функция f (г) однозначна в области G,
ограниченной контуром Z, аналитична в замкнутой области G за
исключением конечного числа полюсов, которые находятся внутри
области G и не обращается в ноль на контуре I. Тогда прира-
щение аргумента функции f(z) кратно 2зт, т. е. вектор w = f(z)
совершит целое число оборотов, когда конец вектора z проходит
по контуру Z. Обозначим через Aarg/(z) приращение аргумента
функции f (г), когда конец вектора z обходит по контуру Z об-
ласть G. Из формул (4) и (5) получим
т	I
S Пг~2 =	= argf(z),	(6)
r=l	k=\
т. е. разность между числом нулей функции f (z) внутри области G
и числом ее полюсов в этой области (с учетом их кратности)
равна количеству оборотов вектора
w = f(z) вокруг начала координат,
когда точка z однократно пробегает
контур Z в положительном направ-
лении.
Это предложение и составляет
суть принципа приращения аргумен-
та. Следует подчеркнуть, что контур
Z не должен содержать ни нулей,
ни полюсов функции f(z), ибо в
противном случае приращение аргу-
мента функции f (z) становится не-
определенным. Из принципа приращения аргумента следует, что
если функция f (г) аналитична в области G и отлична от нуля на
границе Z этой области, то число нулей функции внутри области G
равно’ числу оборотов вектора w = f (г) при однократном обходе
точкой z контура Z. Так как в этом случае Р = 0, то
2^-Л arg/(г) = 2V.
(7)
3.	Теорема Руше. При исследовании систем автоматического
регулирования часто приходится решать вопрос о расположении
корней характеристического уравнения системы на комплексной
плоскости корней. При этом оказывается полезной следующая
теорема Руше.
Теорема 1. Если функция f (г) аналитична в замкнутой об-
ласти G, ограниченной контуром I, и функция <р (г) также ана-
литична в замкнутой области G и на контуре I удовлетворяет
условию
Мг)\<\!(?) I,
(8)
354
то функции f (г) и f (?) 4- tp (z) имеют внутри области G одина-
ковое число нулей.
Доказательство. Из условия (8) следует, что па кон-
туре I | f (г) | =# 0. Кроме того, I f (z) + <р (z) |	|1 / (?) | - | ср (г) 11 > 0.
Таким образом, функции f (z) и f (z) 4- <р (г) удовлетворяют
условиям следствия п. 2 настоящего параграфа.
Рассмотрим arg (z) 4- <р (z)] = arg f (?) 4- arg 4- Теорема
будет доказана, если показать, что приращение аргумента
Aarg[l+^] = 0.
Согласно условию (8),	когДа конец вектора z пробе-
гает по контуру / на плоскости ?. Следовательно, перемещение
точки	при обходе точкой ? контура I будет прохо-
дить по замкнутой кривой Г на плоскости w, расположенной
внутри окружности С с центром в точке и радиусом, рав-
ным единице (рис. 88). Замкнутая кривая V не содержит внутри
себя начало координат, следовательно, Aargfl +	= Тогда
A arg [f (z) 4- <р (z)] = A arg f (?)
и из формулы (7) следует, что число нулей функции f (?) равно
числу нулей функции f (?) 4- ф (?). И
Пример 1. В качестве примера применения теоремы Руше докажем основ-
ную теорему алгебры о том, что каждый полином степени п
«oZ” + giZ«_1+	(яо=#О)
имеет п корней.
Положим /(z) = aozn, ф(z) = (z1z«~14-a2zn_24“--- + Gn- Тогда на окружности
с центром в начале координат и с достаточно большим радиусом выполняется
неравенство | f (г) | > |ф(г) |. По теореме Руше, функции f (г) = aozn и f (z)4- ф(г) =
— a(!z'14-щг"-14- • • • 4-ап имеют в области, ограниченной этой окружностью,
одинаковое число корней. Но функция f{z) = aozn имеет корень г = 0п-й крат-
ности. Следовательно, и функция /(г)-рф(г) имеет в этой области п корней.
ЛИТЕРАТУРА
К первой части
1.	Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. «Наука», 1971.
2.	К у р о ш А. Г. Курс высшей алгебры. «Наука», 1975.
3.	Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. «Наука», 1975,
4.	Окунев Л. Я. Высшая алгебра. «Просвещение», 1966.
5.	Рублев А. Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии.
«Высшая школа», 1972.
Ко второй части
1.	Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. «Наука», 1970.
2.	Веллман ,Р. Теория устойчивости решений дифференциальных урав-
нений. ИЛ, 1954.
3.	Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.
«Наука», 1967.
4.	К а м к е. Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравне-
ниям. «Наука», 1971.
5.	Коддингтон Э. А. и Левинсон Н. Теория обыкновенных диф-
ференциальных уравнений. ИЛ, 1958.
6.	Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. «Наука», 1966.
7.	Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференци-
альных уравнений. «Наука», 1964.
8.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
«Наука», 1974.
9.	Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Физматгиз,
1959.
10.	Техническая кибернетика. Под редакцией Солодовникова В. В. книги
I и II. «Машиностроение», 1967.
К третьей части
1.	Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. «Наука», 1973.
2.	Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций.
«Наука», 1966.
3,	Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного перемен-
ного. «Наука», 1967.
4.	Свешников. А. Г. и Тихонов А. Н. Теория функций комплекс-
ной переменной. «Наука», 1974.
5.	Фукс Б. А. и Шабат Б. В. Функции комплексного переменного
и некоторые их приложения. «Наука», 1964.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно сходящийся ряд 321
Автоколебательный процесс 240
Автономная система дифференциаль-
ных уравнений 116, 178, 179
--------, фазовые траектории 179
Алгебраическое дополнение 19
Аналитическая функция 291
-----, примеры 293, 295
Апериодическое звено 214
Аргумент комплексного числа 280
— производной функции 295
Арифметический вектор 12
Арифметическое векторное простран-
ство 58
Асимптотически устойчивая линейная
система дифференциальных
уравнений 250, 252
Базис системы векторов 60
--------, теорема 63
Бесконечно-мерное пространство 62
Бесконечно-удаленная точка 285, 3351
--------, классификация 336
--------, примеры 286, 336
Блочные матрицы 45
Вектор фазовой скорости 181
Векторная запись дифференциальных
уравнений 33—37, 115
Векторное пространство 57
Верхний предел последовательности
323
Взаимная матрица 25
Виды фазовых траекторий 181, 182
Внутренняя точка множества 286
Вронскиан — см. определитель Врон-
ского
Входной оператор 210
Вынужденная составляющая 225
Вырожденная матрица 26
Вычет функции 337
Вычет функции в бесконечно удален-
ной точке 337
-----логарифмический 352
-----, примеры 338, 339
-----, теоремы 339
Гармоническая функция 293
Гиперплоскость 66
Главный определитель системы 52
Граничная точка области 286
Детерминант квадратной матрицы 14
Диагональная матрица 43, 77
-----, примеры 82—84
-----, теорема 86
Дифференциальные уравнения 113
-----, задача Коши 116, 118
-----, методы решений’171, 173, 175,
176, 178
-----, примеры решения 159—161,
169—171, 172, 174, 176, 177
—----, символическая запись 166
-----n-го порядка 113
Дифференциальный оператор 166
Дифференцирующее звено 215
Длина вектора 92
Дополнительный минор 18
Достаточные условия асимптотической
устойчивости 274
Дробно-линейная функция 297
--------, теоремы 299, 300
Евклидова норма вектора 96
Евклидово пространство 91
Единичная матрица 11
Жорданова матрица 84
-----, теорема 87
357
Замкнутая область 286
Знакоопределенная функция 259
Знакопостоянная функция 259
Изображающая точка 179, 180
Изолированная особая точка 184, 331
Изолированные замкнутые траектории
193
Импульсная переходная функция 235
Инверсия 13
Интеграл от матрицы 31
— функции вдоль кривой 309
Интегральная кривая 114
— теорема Коши 311
Интегрирующее звено 214
Каноническая матрица 41
— система дифференциальных урав-
нений 115
Канонический вид квадратичной фор-
мы 106
Квадратичная форма 104
Квадратичная форма, канонический
вид 106
----невырожденная 105
---- неопределенная 109
---- отрицательно определенная 109
----положительно определенная
109
----, приведение к каноническому
виду 111
----, примеры 108, НО, 112
----, теоремы 107, НО
Квадратная матрица 7, 77, 100
----, целая положительная степень
28
----, — отрицательная степень 28
----, теоремы 25—27
Клетка Жордана 84
----, теорема 85
Клеточные матрицы 45
Колебательное звено 214
Коллинеарные векторы 98
Комплексная плоскость 285
Комплексное число 279
----, действия с числами 280—284
----, тригонометрическая форма 280
Консервативные системы 191
Конечно-мерное пространство размер-
ности п 62
Конформное отображение 296
Коэффициент усиления 202, 214
Критерий Гурвица 257, 258
—	Коши 320
—	Кронеккера — Капелли 61
—	Сильвестра НО
Лемма Жордана 345, 347
----, пример 348, 351
—	о сходимости интеграла к нулю 340
Линеаризация 197
—, пример 201
Линейная комбинация векторов 59
---- элементов 18
— независимость решений 154
— система алгебраических уравнений
47
----дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами
166
-------------------, лемма 169
-------------------, пример 169—
171
—	функция 296
Линейное многообразие 66
—	дифференциальное уравнение в
операторной форме 210
—	подпространство 66
— преобразование 67
----, свойства 69
----, теоремы 71, 77, 80
— дифференциальное уравнение п-го
порядка 142, 143
Линейное дифференциальное уравне-
ние n-го порядка, примеры 146,
147
-------------с постоянными коэф-
фициентами 162
--------— — — — —, примеры
165, 166
----------------с разрывной пра-
вой частью 230
— пространство 57
Линейно зависимая система векторов
58—60
— независимая система векторов 58
-----------, свойства 59
-----------, теорема 79
Линейный оператор 67
— элемент 197
Логарифмическая функция 304
Логарифмический вычет 352
Ломаная Эйлера 127, 129
Х-Матрица 38
----, теорема о приведении к ка-
ноническому виду 41
----, эквивалентность 40
Матрица Гурвица 255
— квадратичной формы 105, 106
—	линейного преобразования 68
Метод Гаусса 47—49
---, примеры 50—52
—	вариации произвольных постоянных
139
—	гармонической линеаризации 178
—	Лагранжа ПО
—	ломаных Эйлера 173
—	Ляпунова прямой 258
—	понижения порядка 176
358
Метод последовательных приближений
171— решения с помощью степенных
рядов 175
—	фазовой плоскости 178
Минор матрицы 24
—	определителя 18
Множество значений функции 287
—	определения функции 287
Модуль комплексного числа 280
—	производной функции 296
Многозначная функция 287
Натуральный логарифм матрицы 98
Начальные значения 116, 230
—	условия 116
Невырожденная квадратичная форма
105
—	матрица 26
Нелинейный элемент 197
Неопределенная квадратичная форма
109
— система линейных уравнений 47
------- —, теорема 52
Небсобая матрица 26
Непрерывность функции 289, 290
Неравенство Коши—Буняковского 98
Несовместная система линейных алгеб-
раических уравнений 47
---, теорема 52
Несущественно нелинейная характе-
ристика 198
Неустойчивая система 226, 249
Неустойчивый предельный цикл 193
— узел 186, 187
---вырожденный 188
--- декритический 187
—	фокус 190
Норма вектора 95
—	матрицы 96
Нормальная система дифференциаль-
ных уравнений 115
— линейная система дифференциаль-
ных уравнений 132, 138
-------------г общее решение 138
-------------, понижение порядка
147
-------------, с постоянными коэф-
фициентами 150, 156
-------------, фундаментальная
матрица 154
Нормированный вектор 92
Нулевое решение 53
Область 286
— ограниченная 287
Обратная матрица 25
---, теорема 27
Образ вектора 66
Общее решение системы дифферен-
циальных уравнений 124, 134,
176
----- уравнения 115
Общий интеграл системы дифферен-
циальных уравнений 177
Обыкновенные дифференциальные
уравнения 113
Однозначная функция 287
Однородная система линейных алгеб-
раических уравнений 53
-------дифференциальных уравне-
ний 133
Оператор 67
— дифференцирования 166
Операторная форма записи уравне-
ний 166, 167
Определенная система линейных алгеб-
раических уравнений 47
Определитель Вандермонда 23
— Вронского 135, 136, 144, 148,
153, 171
—, вычисление с помощью понижения
его порядка 21
—,---------приведения к треуголь-
ному виду 22
Определитель, вычисление с помощью
рекуррентных соотношений 23
— квадратной матрицы 14
—	матрицы треугольного вида 22
Ортогональная матрица 103
—	система векторов 92
Ортогональное преобразование 103
Ортогональный базис 93
— вектор 92
----, теорема 102
Ортонормированная система векторов
92
Ортонормированный базис 93
----, примеры 95
----, теоремы 94, 100
Основная матрица системы 50
Особая матрица 26
— точка 184, 193, 331—333
----, неустойчивый узел 186
----,------вырожденный 188
----,------декритический 187
----,	— фокус 190
----,	примеры 335
----,	седло 189
----,	устойчивый узел 186—188
-----,-----вырожденный 187
----,------декритический 187
----,	— фокус 190
----,	центр 191
Особые точки 193
— траектории 193
Отображение функции 296
Отрицательно определенная
тичная форма 109
квадра-
359
Первый интеграл 177
Передаточная функция 211
Передаточный коэффициент 214
Перестановка 13
Переходная функция 228
--- импульсная 235
Подобное отображение 296
Показательная функция 303
Полином Гурвица 253
— присоединенный 254
Полная производная по времени 260
Положительно определенная квадра-
тичная форма 109	•
Полюс 298, 331, 336
Порядок связности области 286
Последовательность комплексных чи-
сел 284
— функций равномерно сходящаяся
321, 322
Постоянная времени двигателя 202
Правило Крамера 54
Правильная бесконечно удаленная точ-
ка 336
Предел функциональной матрицы 29
— числовой последовательности 284
— функции 288, 289
Предельный цикл 193
Преобразование пространства 67
--- линейное 67
--- ортогональное 103
--- симметричное 100
Признак Вейерштрасса 97, 120, 322
—	Даламбера 321
—	Коши 321
—	Раабе 321
Принцип приращения аргумента 354
—	суперпозиции 227
Произведение двух линейных преоб-
разований 69
— матриц 8
Производная матрицы 29
— функции 290
Прообраз вектора 66
Пропорциональные векторы 98
Противоположная матрица 10
Прямоугольная матрица 7
Равномерно сходящаяся последователь-
ность 120, 321, 322
— сходящийся ряд 120, 322
Размерность линейного многообразия
66
—	пространства 62
Разность матриц 10
Ранг квадратичной формы 105
—	матрицы 24, 61
—	системы векторов 60
Расстояние между векторами 99
Растяжение векторов 296
Расширенная матрица системы 50
Регулярная функция 291
Рекуррентное соотношение 23
Решение асимптотически устойчивое
246
—	дифференциального уравнения 113
—	неустойчивое 246
— системы алгебраических линейных
уравнений 47
----дифференциальных уравнений
116
—устойчивое по Ляпунову 246
Ряд Лорана 329, 330—332, 336
----, главная часть 330, 336
----, правильная часть 330, 336
— Тейлора 325
----, теорема 326
Системы автоматического регулирова-
ния 196, 268
--------, дифференциальные уравне-
ния 220
--------,-----, составление 215
--------,-----, —, пример 215—220
--------нелинейные 239
-----------, примеры 241—244, 276—
278
-------- статические 229
Системы автоматического регулирова-
ния стационарные 223
--------v-ro порядка астатизма 229
Свободная составляющая 225
Свойства линейного пространства 57,
58
—	матриц 9—11
—	определителей 15
Связность области 286
Седло 189
Сепаратрисы 193
Символ Кронеккера 93, 168
Символическая форма записи уравне-
ний 166
Симметричная матрица 100
Симметричное преобразование 100
Система векторов 58
— линейных алгебраических уравне-
ний 47
----------- однородная 52
— уравнений возмущенного движе-
ния 247
—,— первого приближения 183, 264
—	устойчивая в целом 246
Скалярная матрица 11
Скалярный квадрат вектора 91
Собственный вектор 74
----, теорема 102
—	оператор элемента 210
Совместная система линейных алгеб-
раических уравнений 47
360
Сопряженная гармоническая функция
294
Состояние равновесия 181, 182
— —, достаточные условия асимпто-
тической устойчивости 274
Стандартный полином 253
Статическая характеристика элемен-
та 197
Стационарная система дифференциаль-
ных уравнений 116
Степенная функция 305
Стереографическая проекция 285
Сумма линейных преобразований 69
—	матриц 8
—	матричного ряда 97
Существенно нелинейная характерис-
тика 198
—	особая точка 331, 334, 336
Сходящийся ряд 320
Теорема Абеля 255
—	Вейерштрасса 322
—	Гурвица 255
—	Коши 326
----интегральная 311
—	Коши — Адамара 323
—	Кронеккера — Капелли 61
—	Ляпунова об устойчивости 260
-----------по линейному приближе-
нию 265, 266
—Ляпунова об асимптотической устой-
чивости 261
---- о неустойчивости 263
— Морера 319
— о квадратичной форме 107
---- матрице квадратичной формы
106
----непрерывной зависимости реше-
ний от начальных условий и па-
раметров 130, 131
---- ортогональном преобразовании
103
---- подобии матриц 87
----свойствах определителя Врон-
ского 135, 136
----существовании и единственнос-
ти решения задачи Коши 118,
125
---- транспозиции 13
— Руше 354, 355
Типовые звенья автоматических сис-
тем 213
Точка бесконечно-удаленная 285
— внутренняя множества 286
Точки неединственности решения 117
— особые 193
Транспозиция 13
Транспонированная матрица 7
Тривиальное решение 53, 246
----устойчивое по Ляпунову 247
Тригонометрическая форма комплекс-
ного числа 280
Тригонометрические функции 307
Унитарное пространство 91
Уравнение Лапласа 293
Усилительное звено 215
Условие Липшица 118, 123, 124
Условия Гурвица 255
— Коши — Римана 291
Устойчивая система 226
Устойчивость линейной системы 248
-----неоднородной системы 250
-----системы с постоянными коэф-
фициентами 250, 251
Устойчивый предельный цикл 193
— узел 186
-----вырожденный 188
-----декритический 187
— фокус 190
Устранимая особая точка 331
Фазовая траектория 179
-----, построение 185—195
Фазовое пространство 179
Форма Жордана 84
-----, пример 89
-----, теорема 89
Формула Коши 142, 146, 164, 315
— Крамера 54
-----, пример 56
— Лиувилля 136, 144, 146
— Эйлера 303
Фундаментальная система решений 134
Функция аналитическая 291
—, действительная и мнимая части
287
—	, знакоопределенная, знакопостоян-
ная 259
—	логарифмическая 304
—	, множество определения 287
—	обратная 288
—	однолистная 288
—	показательная 303
—	равномерно-непрерывная 290
—	степенная 305
Функциональная матрица 29, 30
Функциональный ряд 321
Характеристика холостого хода 204
Характеристическая матрица 74
Характеристический многочлен 74
-----, теорема 75
Характеристическое число матрицы 74
-----, теорема 101
361
Центр 191
Цикл 181, 193
Четная перестановка 13
Числовой комплексный ряд 320
Эквивалентные матрицы 40
-----, канонический вид 44
-----, теорема 43
Эквивалентные системы линейных ал-
гебраических уравнений 47
Экспоненциальная матрица 97
Элементарные матрицы 38, 39
— преобразования системы линейных
алгебраических уравнений 47
Эрмитова матрица 100, 101
g-окрестность точки 285
е-приближенное решение системы 125
127
-----------, лемма 127
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................................................... 3
Предисловие к первому изданию .	................................ 3
Часть первая
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Глава I
Матрицы и линейные уравнения
§ 1. Числовые матрицы и действия над ними................................ 7
1. Основные понятия и определения (7). 2. Свойства матриц (9)
§ 2. Определители и их свойства......................................... 12
1. Инверсии и перестановки (12). 2. Определители n-го порядка (14).
3.	Свойства определителей (15), 4. Миноры и алгебраические дополне-
ния (18). 5. Вычисление некоторых определителей (21). 6. Ранг матрицы.
Обратная матрица и ее свойства (24).
§ 3.	Понятие о функциональных матрицах................................. 29
1.	Функциональные матрицы. Векторная запись дифференциальных урав-
нений (29). 2. Примеры векторной записи дифференциальных уравнений
автоматических систем (33). 3. Свойства Х-матриц (38). 4. Блочные матрицы
(45).
§ 4.	Системы линейных уравнений........................................ 47
1.	Основные понятия и определения (47). 2. Метод Гаусса (47). 3. Система
п линейных уравнений с п неизвестными (52). 4. Правило Крамера (54).
Глава II
Линейные пространства. Линейные преобразования
§ 5.	Линейные пространства.......................................... 67
1.	Определение и основные свойства линейного пространства (57). 2. Ли-
нейно независимые векторы. Размерность линейного пространства (58).
3.	Базис линейного пространства (60). 4. Подпространство и его свойства.
Линейное многообразие (66).
§ 6.	Линейные преобразования линейных пространств .................. 66
1.	Определение и основные свойства линейного преобразования (66).
2.	Собственные векторы и собственные значения линейного преобразова-
ния (74). 3. Приведение матриц к диагональному виду (77). 4. Каноническая
форма Жордана (84).
Глава III
Евклидовы пространства и квадратичные формы
§ 7.	Евклидовы и унитарные пространства............................... 91
1.	Определение и свойства унитарного пространства (91). 2. Длина вектора,
ортогональность векторов (92). 3. Норма матрицы. Экспоненциальная
матрица (95). 4. Неравенство Коши — Буняковского (98). 5. Симметричные
и ортогональные преобразования (100).
§ 8.	Квадратичные формы.............................................. 104
1. Определение и основные свойства квадратичной формы (104). 2. Канони-
ческий вид квадратичной формы (106). 3. Положительно определенные
квадратичные формы (109). 4. Метод Лагранжа (ПО).
363
Часть вторая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-
УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава IV
Элементы теории дифференциальных уравнений
§ 9.	Общие сведения о дифференциальных уравнениях................ 113
1.	Дифференциальные уравнения. Геометрическая интерпретация реше-
ния (ИЗ). 2. Нормальная система дифференциальных уравнений (115).
§ 10.	Теорема существования и единственности...................... 117
1.	Теорема существования и единственности решения для одного уравне-
ния (117). 2. Теорема существования и единственности решения для нор-
мальной системы уравнений (124). 3. Ломаная Эйлера и е-приближенное
решение (125). 4. Непрерывная зависимость решений от начальных усло-
вий и параметров (130).
§ 11.	Линейные дифференциальные уравнения......................... 132
1.	Нормальная линейная система дифференциальных уравнений (132).
2.	Общее решение линейной однородной системы (133). 3. Определитель
Вронского. Формула Лиувилля (134). 4. Линейная неоднородная система.
Метод вариации произвольных постоянных (138). 5. Формула Коши (140).
6.	Линейное уравнение n-го порядка (142). 7. Понижение порядка линей-
ной однородной системы дифференциальных уравнений (147).
§ 12.	Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффи-
циентами ......................................................... 150
1.	Нормальная линейная однородная система уравнений с постоянными
коэффициентами (150). 2. Фундаментальная матрица однородной сис-
темы (154). 3. Нормальная линейная неоднородная система уравнений
с постоянными коэффициентами (156). 4. Линейное уравнение n-го порядка
с постоянными коэффициентами (162). 5. Линейная система дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами (166).
§ 13.	Некоторые методы решения нелинейных дифференциальных урав-
нений ............................................................ 171
1.	Метод последовательных приближений (171). 2. Метод ломаных
Эйлера (173). 3. Решение уравнений с помощью степенных рядов (175).
4.	Метод понижения порядка (176). 5. Метод фазовой плоскости (178).
6.	Метод гармонической линеаризации (178)
§ 14.	Фазовые траектории автономных систем........................ 178
1.	Фазовые пространства автономных систем (178). 2. Фазовые траектории
автономных систем второго порядка (182).
Г л а в а V
Дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования
§ 15.	Методика составления дифференциальных уравнений систем авто-
матического регулирования......................................... 196
1.	Общие замечания (196). 2. Составление и линеаризация дифференци-
альных уравнений элементов систем (196). 3. Операторы элементов систем
автоматического регулирования. Передаточные функции (210). 4. Класси-
фикация звеньев (212). 5. Составление дифференциальных уравнений сис-
тем автоматического регулирования (215).
§ 16.	Процессы в системах автоматического регулирования........... 220
1.	Дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования (220).
2.	Процессы в линейных системах (223). 3. Линейные дифференциальные
уравнения, правая часть которых содержит производные от разрывной
функции (230). 4. Импульсная переходная функция (234). 5. Особенности
процессов в нелинейных системах (239).
Глава VI
Устойчивость систем автоматического регулирования
§ 17.	Понятие устойчивости движения............................... 245
1.	Устойчивость в смысле Ляпунова (245). 2. Устойчивость тривиального
решения (246),
364
§ 18.	Устойчивость линейных систем............................... 248
1.	Устойчивость однородной системы (248). 2. Устойчивость неоднородной
системы (250). 3. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффи-
циентами (250). 4. Критерий Гурвица (253).
§ 19.	Второй метод Ляпунова ..................................... 258
1.	Знакоопределенные и знакопостоянные функции (258). 2. Теорема
Ляпунова об устойчивости (260). 3. Теорема Ляпунова об асимптоматиче-
ской устойчивости (261). 4. Теорема Ляпунова о неустойчивости (263).
§ 20.	Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения 264
1. Уравнения первого приближения (264). 2. Теоремы Ляпунова об устой-
чивости по первому приближению (265).
§ 21.	Исследование устойчивости нелинейных систем автоматического
регулирования с помощью второго метода Ляпунова.................. 267
1.	Уравнения нелинейных систем. Состояния равновесия (267). 2. Приве-
дение уравнений движения к канонической форме (271). 3. Достаточные
условия устойчивости состояния равновесия (272).
Часть третья
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава VII
Функции комплексного переменного
§ 22.	Комплексные числа и действия над ними........................  279
1.	Комплексные числа; их геометрическая интерпретация (279). 2. Модуль
и аргумент комплексного числа (279). 3. Сложение, -вычитание, умножение
и деление (280). 4. Возведение в степень и извлечение корня (282).
§ 23.	Понятие о функции комплексного переменного.................... 284
1.	Последовательность комплексных чисел. Бесконечно удаленная точка
(284). 2. Множества точек на плоскости (286). 3. Функции комплексного
переменного (287).
§ 24.	Дифференцирование функций комплексного переменного............ 290
1.	Производная функции комплексного переменного (290). 2. Условия
Коши — Римана (291). 3. Гармонические функции (293). 4. Геометрический
смысл аргумента и модуля производной (295).
§ 25.	Элементарные функции комплексного переменного................. 296
1.	Линейная и дробно-линейная функция (296). 2. Показательная и логариф-
мическая функции (303). 3. Степенная функция (305). 4. Тригонометри-
ческие функции (307).
Глава VIII
Интегрирование функций комплексного переменного
§ 26.	Интеграл функции комплексного переменного..................... 309
1.	Понятие об интеграле функции комплексного переменного (309). 2. Интег-
ральная теорема Коши (311).
§ 27.	Формула Коши ................................................. 315
1.	Формула Коши. Теорема о среднем (315). 2. Интегралы, зависящие от
параметра (317). 3. Производные высших порядков (318). 4. Теорема
Морера (319).
Глава IX
Функциональные ряды
§ 28.	Числовые и функциональные ряды................................ 320
1.	Числовые комплексные ряды (320). 2. Функциональные ряды (321).
3.	Теорема Вейерштрасса (322).
§ 29.	Степенные ряды................................................ 323
1.	Теорема Коши — Адамара (323). 2. Теорема Абеля (324). 3. Ряды Тей-
лора (325).
§ 30.	Ряды Лорана .................................................  328
§31.	Особые точки ................................................  331
1.	Классификация особых точек (331). 2. Разложение в ряд Лорана в окрест-
ности особых точек (332).
365
Глава X
Теория вычетов
§ 32. Теорема о вычетах..........................................  ,	337
1. Понятие о вычете. Общая формула определения вычета относительно
полюса (337). 2. Теорема о вычетах (339). 3. Применение вычетов для вычис-
ления несобственных интегралов (340).
§ 33. Принцип приращения аргумента .................................. 352
1. Логарифмический вычет (352). 2. Принцип приращения аргумента (353).
3. Теорема Руше (354).
Литература.........................................................   356
Предметный указатель...............................................   357
Математические основы теории автоматического ре-
М34 гулирования, т. I. Изд. 2-е, доп. Под ред. Б. К. Че-
моданова. Учеб, пособие для втузов. М., «Высш,
школа», 1977.
366 с. с ил.
На обороте тит. л. авт.: В. А. Иванов, В. С. Медведев,
Б. К. Чемоданов, А. С. Ющенко.
В книге приведены необходимые сведения из матричного исчисления
и линейной алгебры. Большое внимание уделено теории дифференциаль-
ных уравнений, описывающих процессы в ряде автоматических систем, а
также элементам теории функций комплексного переменного. Изложение
вопросов математики сопровождается рассмотрением основных задач теории
автоматического регулирования.
Предназначается для лиц, специализирующихся в области автомати-
ческого регулирования.
м
20203—233
001(01)—77
517