МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
теории автоматического
регулирования
Том II
Под редакцией
профессора Б. К. Чемоданова
Издание второе, дополненное
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений

МОСКВА « ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1977
517
М 34
УДК 517 (075)
В. А. Иванов, В. С. Медведев, Б. К. Чемоданов, А. С. Ющенко
Рецензент — кафедра систем автоматического управления Ленинградского
электротехническою института
20203—266
001(01)—77
35—77
g) Издательство «Высшая школа», 1977
Часть четвертая
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
К ЗАДАЧАМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Глава XI
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 34. РЯДЫ ФУРЬЕ
1. Гармонический анализ. В теории и практике автоматического
регулирования часто встречаются процессы, которые могут рас-
сматриваться как периодические.
Функция /(0 называется периодической функцией, если при
некотором постоянном числе Т > 0 выполняется равенство
+ (1)
где Т — период функции; п — любое целое число, положительное
или отрицательное, а аргумент t принимает значения из области
определения этой функции.
Периодическая функция f (t) с периодом Т обладает свойством,
состоящим в том, что интеграл от этой функции, взятый на интер-
вале длиной Т, не. изменяется при изменении пределов интегриро-
вания при условии, что длина интервала интегрирования остается
равной Т, т. е.
а+т	ь+т
f(t)dt — $
(2)
при любых а и Ь.
Действительно, пусть, например, ОСаСТ, 0 <6 СТ, тогда
Г	Т	а-}-	К
f(t) dt = J f (/) dt+ J f(t)dt. Пусть t = x-\-T. Найдем
a	a	T
c-f-7	a	a	a
T	0	0	0
1*
8
Теперь имеем
“У f (/) di = 5 / (О di + V (0 di = \f (t) di.
а	а	О	0
/
Аналогично получим
Ь+( f(t)dt^ f(t) di.
b	0
Сравнивая правые и левые части полученных равенств, убеждаемся
в справедливости равенства (2).

Т
Рис. 89
Косинусоидальный (или синусоидальный) гармонический коле-
бательный процесс f (/) = A cos (со/ — ср) является примером про-
стейшей периодической функции (рис. 89, а). Эта функция назы-
вается гармоникой с амплитудой А, угловой частотой со и начальной
2jt
фазой ср. Нетрудно убедиться, что гармоника имеет период Т— —.
4
В самом деле,
A cos | <о \t 4-	— rpj — A cos [(«/ — <р) + 2лп] = A cos (®/ — <р),
т, е. равенство (1) выполняется.
Сложение гармоник /у (t) = Лх cos (cot — <р2), f2 (t) — А2 cos (2cot —
— <рг), fs (0 = .-4scos (Scot — <p3) с различными частотами го, 2®, 3®,
кратными наименьшей из них ®, приводит к образованию перио-
2зт	«,
дической функции с периодом Т = —, равным периоду первой
гармоники с частотой ®. Эта функция отличается от гармоник
/1 (0, h (t), h (t).
На рис. 89, б приведен график функции f (t) — cos / + у cos 2t +
+ y cos St. Каждое из слагаемых функции характеризует коси-
нусоидальное колебание, однако график функции f (t) не является
косинусоидой. Еще более будет отличаться от косинусоиды график
СО
функции f (/) = У А/, cos (kcot — ср*), представляющий собой сумму
*=1
бесконечного ряда. В результате суммирования членов ряда
получаем периодическую функцию, причем ее период совпадает
с периодом Т первой гармоники ряда. Частоты соседних гармоник
отличаются друг от друга на величину го.
В дальнейшем приращение частоты при переходе от какой-либо
гармоники с номером k к соседней гармонике с номером k +1
будем обозначать А®. Тогда частоту первой гармоники также
2л
следует обозначать А®, т. е. А® —	, где Т — период функ-
ции f (t).
С учетом вновь введенного обозначения сумму бесконечного
ряда можно записать в виде
со
f (0 = У, Ak cos (kbcot - <pft).	(3)
*=1
Общий член ряда (3) Ак cos (ЛА® — называется k-й гармоникой,
частота /г-й гармоники равна kAco, т. е. кратна частоте первой
гармоники А®.
Сделанные выше суждения об образовании периодической функ-
ции теперь подводят к следующим обратным вопросам. Всякую ли
заданную периодическую функцию f (t) можно представить в виде
суммы гармонических составляющих, т. е. произвести ее тригоно-
метрическое разложение? Если функцию f (t) возможно разложить
на гармоники, то как найти неизвестные параметры каждой из
этих гармоник? Ниже показано, что периодические функции,
принадлежащие весьма обширному классу функций, могут быть
5
представлены в виде суммы гармонических составляющих
вида (3).
Допуская существование «нулевой» гармоники Ао, функцию f (/)
с периодом Т можно записать в виде
f (/) = Ао + Ai cos (Асо/ — фл) 4- А2 cos (2Асо/ — ф2) + . • •
... = Ао + У, Ak cos (/гАсо/ — фй). (4)
*=i
Если учесть, что
Aft cos (&Асо/ —фА) = Ak cos ЛАсо/ со8ф* + AkSink Аю/sin q>k,
и ввести обозначения
Akcos(pk = ak, Ak sin фЛ = bk, Ао = -^,
то
Ak cos (feAco/ — фа) = afc cos kAa>t + bk sin ЛАю/	(5)
и функцию (4) можно записать в более удобной форме:
f(/) = -y- +	(a* cos/?Асо/sin/>Асо/).	(6)
*=1
Форма (6) записи тригонометрического разложения будет в даль-
нейшем широко использоваться.
Периодическая функция f (/), имеющая период Т, оказы-
вается разложенной по косинусам и синусам углов, кратных
углу Асо/.
2тс 2л
Если период функции f(t)T — 2n, то Асо =-=-= ^-= 1, тогда
f(t) = + 2	cos kt + bk sin kb)‘	(7)
fe—i
Пусть функция f (/) имеет период, равный 2л, и принадлежит
к классу функций, для которого разложение (7) существует.
Определим неизвестные постоянные коэффициенты разложения (7)
а0, ak, bk (6 = 1, 2, ...).
Предварительно отметим свойство семейства функций
1,	cos/, sin/, cos 2/, sin 2/, ..., cos nt, sin nt, ...,	(8)
состоящее в том, что интеграл, взятый от произведения любых
двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину 2л,
равен нулю независимо от выбора нижнего предела интегрирова-
ния—свойство ортогональности на интервале длиной 2л,
&
Действительно (с —любое действительное число),
с+2л
f cosktdt— sin.^-- |с+2л = 0, так как sin (/ес + 2л) = sinte;
J	«к
с
с4-2л
С • л cos kt к 4-2л
I sin я/я/=-------г—	=0;
J	«к
с
с4-2л	с4- 2л
cos kt • cos It dt = у J cos (k — I) t dt +
C	C
c4-2n
। +y cos {k J-1) t dt = 0	(A^=Z);
c
с+2л	с,4'2л
sin/г/ sin// dt = ~ § cos (k — I) t dt —
c	c
с+2л
— 2" § cos (k 1) t dt = 0	(k /);
c
c-f- 2л	c+	2л	c+	2л
J sin kt cos It dt — у § sin(£ — l)tdt + J,- § sin (k -J-1) t dt = 0.
c	c	c
Найдем коэффициент «0-.Предполагая, что ряд (7) является
равномерно сходящимся, проинтегрируем этот ряд почленно от
— л до + л:
f(t)dt— -y-d/4-	(й* coskt-}-bk sinfe/) dt.
—Л	—л	-лА = 1
Заменим интеграл от бесконечной суммы суммой интегралов от
отдельных слагаемых (это возможно благодаря равномерной схо-
димости ряда (7)), тогда
Л	'	со	/	л	л	\
J f (/) dt = лаоф- J1,	§ cosktdt-]-bk § sin ktdtj ~ ла0,
—Л	Л=1	'	—Л	—Л	'
так как все	интегралы под	знаком	суммы равны	нулю из-за	орто-
тональности семейства функции (8), откуда
Л
=	(9)
— Л
Определим коэффициенты ak и bk. Для этого умножим обе
части равенства (7) на cos nt, где п — целое положительное число,
7
и проинтегрируем в прежних пределах от —я до 4- л:
Л	л
( / (/) cos ntdt = § ~ cos nt dt 4-	_
— Л	—л
Л 'СО
+ У, (afe cos cos +Z)ft sincos n/)d/ =
—л£ = 1
Л	СО /	Л	Л	1
= у j cosn/dZ+ У к j' cos kt cos nt dt 4- bk sin kt cos nt dt
— Л	fe—1 ' — Л	—Л	J
Первое слагаемое правой части, а также все интегралы под знаком
суммы, кроме одного при k = n, из-за ортогональности семей-
ства (8) обращаются в ноль, т. е.
i f (0 cos nt dt = ап ( cos2 nt dt — an ^созг?;/ & = ЛОя_
— Л	—л	— Л
Следовательно,
ak=^ \ f (t) cos kt dt (й = 1, 2, 3, ...).	(10)
— Л
Аналогично умножим слева и справа ряд (7) на sin и/; после
интегрирования в тех же пределах получим
kk = ~~ У f(t)sinktdt (k = l, 2, 3,	(11)
— Л
Формулы (9) —(И) позволяют по заданной функции f(t)
с периодом 2л найти коэффициенты разложения этой функции
в тригонометрический ряд (7), называемый рядом Фурье. Коэффи-
циенты ak и bk называются коэффициентами Фурье.
Если функция f(t) четная на интервале (—л, л), то произ-
ведение f (t) cos kt представляет собой четную, а произведение
f (/) sin kt — нечетную функцию. В этом случае bk — 0 (k = 1, 2, 3,...),
а коэффициенты а0 и ak можно определять по формулам
Л
9 С
цв = 4р(/)Л,	(12)
о
' п
= | ^f(t) cos kt dt (Ы,2,3,.„).	(13)
о
Если функция f(t) нечетная на интервале (—л, л), то произ-
ведение f (t) cos kt является нечетной, а произведение f (t) sin kt —
четной функцией. Очевидно, что для такой функции f(t) коэффи-
8
циенты ао = О, afc = 0(&= 1, 2, 3, ...), а коэффициент Сможет
быть определен по формуле
bk = ~ f (t) sin&/ dt (^ = 1,2,3,...).	(14)
\	о
В формулах (9) —(11) интегрирование производится на интер-
вале (—л, л). Однако результат интегрирования не изменится,
если производить интегрирование на каком-либо другом интер-
вале длиной 2л, например на интервале (0, 2л).
Зная коэффициенты ak и bk, легко определить значения ампли-
туды и начальной фазы k-й гармоники:
Ak = Val + b‘i, <pft = arctg-^-.	(15)
Пример 1. Разложить на сумму гармонических составляющих прямоуголь-
ную волну (рис. 90), определяемую функцией
( а при
(—а при л</<2л.
Предполагая, что заданная функция допускает ее разложение в ряд Фурье,
определим коэффициенты разложения Oq, ак, hk. Так как функция f (/) нечет-
ная, то ао=О, а/г=0 (/?=!, 2, 3, ...). Определим коэффициент Ь&, применяя
формулу (14):
л
,	2 С	. , . ,, 2а , |л	2а	, , ,.
Ьь=— \ a sin kt dt—~г1—cosb/1 =	—cosbn-pl] =
й л )	nk 1	J|o	nk 1
о
0 при k четном,
4a ,
- -7- при k нечетном.
Следовательно, ряд Фурье, представляющий собой разложение прямоуголь-
ной волны на сумму бесконечного числа гармоник, в соответствии с форму-
лой (6) имеет вид
f (/) = — Г sin /+4 sin 3/+ 4 sin 5/-J- . ..1.
л I о	й

9
Амплитуда первой гармоники (рис. 90) А1 =—, ее частота Дю=1 1/с; ампли-
4 CL
туда второй гармоники равна нулю; амплитуда третьей гармоники ,43=— —
3 л
ее частота ЗДсо=3 1/с И т. д. Значения начальных фаз для всех гармоник
л
разложения (р* = -%.
f(t)
Рис. 91

Пусть функция f(t) задана на интервале (—л, л) и допускает
на этом интервале разложение в ряд Фурье. Это значит, что
тригонометрический ряд (6) с коэффициентами а0, ak, bk, опре-
деленными по формулам (9) —(11), сходится к функции /(/). При
этом функция f (t) может быть
непериодической. Разложе-
ние подобной функции в ряд
Фурье на интервале (—л, л)
означает, что функция f (/)
периодически продолжена вне
интервала (—л, л) (рис. 91)
на всю ось Ot. Функция,
получившаяся в результате
продолжения функции f (t),
будет периодической функцией с периодом 2л; на интервале (— л, л)
эта новая функция совпадает с функцией f(t). Гармоники полу-
ченной периодической функции, суммируясь в интервале (— л, л),
составляют значения заданной функции f(t).
Таким образом, в виде суммы гармонических составляющих
может быть представлена не только периодическая функция,
допускающая разложение в ряд Фурье. Ряд Фурье для неперио-
дической функции f(t), заданной в интервале (—л, л), совпадает
с рядом Фурье для функции, периодически продолженной на
всю ось Ot. Очевидно, что при изучении вопроса о сходимости
ряда Фурье для функции f (t) можно ограничиться рассмотрением
сходимости ряда Фурье, составленного для периодической функции.
Пример 2. Разложить в ряд Фурье в интервале (—- л, л) функцию f (f) =
= 1*1 (рис. 92).
Заданная функция не является периодической, поэтому разложить ее в ряд
Фурье на всей оси Ot не представляется возможным. Для разложения функции
в интервале (—л, л) продолжим ее периодически с периодом 2л вне интер-
вала (— л, л) (пунктирная ломаная линия на рис, 92).
10
Представим в виде ряда Фурье образовавшуюся периодическую функцию,
которая в интервале (— л, л) совпадает с заданной функцией. Заданная функ-
ция является четной, т. е. fe*=0, и определению подлежат коэффициенты а0
и ak. Учитывая формулы (12) и (13), найдем:
л
* 2
По=—- I	=
л J
о
л	л
2 (* .	,,	2 Г t . .. |л 1 С 1
аь=~ 1 tcosktdt=—l-r-smkt —г I sm kt at =
nJ	|o k J J
о	о
!0 при четном k,
4
— —rx- при нечетном k.
л/г2
Следовательно, в интервале (— л, л) будет разложение
л 4 / cost , созЗ/ , cos 5/\	,	, _ .
lZi=2 “ лП^ + ~35- + -бН (-Ж/<л).
Вне интервала (— л, л) сумма ряда не будет совпадать с заданной функцией.
Отметим, что в формулах (12) —(14) интегрирование произво-
дится в пределах от 0 до л, поэтому при вычислениях коэффи-
циентов а0, ak, bk нет необходимости строить график периодически
продолженной функции.
При разложении периодических функций на сумму гармоник,
необходимом при решении многих задач техники, обычно огра-
ничиваются несколькими первыми гармониками, а остальные
отбрасываются. В этом случае представление .функции с помощью
гармонических составляющих производится с точностью, завися-
щей от числа отброшенных членов тригонометрического ряда.
Приближенно представляя функцию f (t) с помощью тригономе-
трического многочлена вида
п
8 (0 = -у- +	01)8 kt + ₽* Sil1 kf>’
можно получить большую или меньшую ошибку представления в за-
висимости от способа выбора коэффициентов многочлена а0, aft, (3*.
Оценить величину ошибки наиболее удобно с помощью средней
квадратической погрешности 6„, определяемой для периодической
с периодом 2л функции f (/) равенством
Л	п	А2
= i S	У (aftcos& + Min&) dt. (16)
—Л	A—I	)
Ответ на вопрос, при каких условиях величина имеет мини-
мальное значение, дает следующая теорема:
Теорема 1. Средняя квадратическая погрешность приближен-
ного представления функции f (/) с помощью тригонометрического
И
многочлена порядка п будет наименьшей, если коэффициентами
этого многочлена являются коэффициенты Фурье функции f (t).
Доказательство. Возведем сумму членов, стоящих под
знаком фигурных скобок в равенстве (16), в квадрат и проинте-
грируем получившийся результат почленно:
Z2 (/) — 2f (/) ~ + У (aft cos kt + sin kt)
п
+ У (a* cos kt + P* sin kt)
Л=1
Л	Л	П	71
= X J ?(t)dt-^ f f(t)dt-± у ak J f(t)cosktdt+
— Л	— Л	—Л
п л	л	n л
+ ~ У pftj	+ J + 2 J cos2feZd/-|-
~л	—л	— л
пл	пл
+ 2^2 ₽* \ sin2£/d/-f-~a0 У ak j cos&dZ-f-
£ = 1	—Л	k~\	—л
n л	n n	Л
+ 2^a0 У Р/г sin£/d/+^ У У aftaz j cos kt cos It dt +
—л	ft=lZ=J —JU
k^l
n n	л
+ ^a° 22 afcPz cos kt sin It dt -|-
Й=И=1	_я
п п	л
+ ~ У У PftPz j Sin kt sin It dt.
k^BSi 1 /== 1	—JX
Рассмотрим слагаемые в правой части этого равенства. Учитывая
формулы (9) —(11), найдем, что
Л
~ ' f(t)dt = a0;
— Л
f Ю cos kt dt = ар,
7- Л
— \ f(f) sin kt dt — bk,
—-л
т. e. полученные выражения являются коэффициентами Фурье
для функции /(/). Имеем
Л	л
j cos2ktdt — n, J sin2/e/rf/ = л.
—Л	—л
Принимая во внимание свойство ортогональности семейства функ-
л
ций (8) на интервале (-^ п, л), также получим § sin kt cos It dt — 0;
— л
12
л
кроме того при k #= I j со? kt cos It dt = 0,
— Л
Л
J sin kt sin It dt — Q.
— Л
Следовательно, выражение для квадрата средней квадратиче-
ской погрешности можно записать теперь в виде
=iff2 wdt - -T - 2	+
— Л	fe = l
+4+1 i; «+₽.*)•
A = l
В правой части этого равенства прибавим и вычтем сумму
п
т+1'2 w+$:
/г-1
л	п
S PW«-T-42 М+«Н-4
—л	/г—1
+12 [(«*-^)2+(p*-w
t=i
От величин ak и 0* зависят лишь три последних неотрицатель-
ных слагаемых правой части этого равенства, поэтому наименьшее
значение величина будет иметь в том случае, когда указанные
слагаемые обратятся в ноль, т. е. при = и =	
Из доказанной теоремы можно получить соотношение, назы-
ваемое неравенством Бесселя
Л	со
Hf2(°dz^4+2 («*+/$•	а?)
— Л	А=1
Убедимся в справедливости этого соотношения. Наименьшая
величина квадрата средней квадратической погрешности есть
л	п
4=4; J Z-(0*-4-S-2(a* + b»,
— л	k— 1
поэтому при любом п имеем
± f f2(t)dt^^ + -Ly (al + bl),
— Л	k = l
так как
13
Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что суще-
ствуют интегралы, используемые при вычислениях коэффициентов
Фурье, а также что существует интеграл от квадрата функции
f (/). При выполнении этих предположений левая часть последнего
соотношения является определенным положительным числом и,
следовательно, при н->оо бесконечный ряд в правой части того же
соотношения будет сходящимся. Отсюда вытекает справедливость
неравенства Бесселя.
А. М. Ляпуновым было установлено, что для всякой функции
f (I) с интегрируемым квадратом средняя квадратическая погреш-
ность б„->0 при п-э-оо. Неравенство (17) в этом случае дает
соотношение, называемое равенством Ляпунова:
Л	со
I р2 (О dt = 4 + У Н + Ы).	(18)
—л	й=1
Следующая теорема устанавливает еще одно свойство коэффи-
циентов ряда Фурье.
Теорема 2. Коэффициенты Фурье ап, Ьп для любой непрерывной
или кусочно-непрерывной в интервале (— л, л) функции f (/) стре-
мятся к нулю при и->оо, т. е. lim ая = 0, Игл Ьп = 0.
«—♦со	«—>со
Доказательство. По условию теоремы, функция /(/)
в интервале (—л, л) непрерывна или кусочно-непрерывна
поэтому квадрат этой функции интегрируем, т. е. существует
Л
интеграл j f2 (t) dt. При этом бесконечный ряд в правой части
— Л
соотношения (17) будет сходящимся. Следовательно, общий член
этого ряда (ak-{-bk) будет стремиться к нулю при безграничном уда-
лении от начала ряда. Однако это возможно лишь при lim «„ = 0,
«—♦со
lim bn — 0. 
«—♦со
2. Сходимость ряда Фурье. Рассмотрим, какие периодические
функции f (/) могут быть разложены на гармоники, т. е. пред-
ставлены в виде ряда Фурье. Ряд Фурье
со
~ 4- (ak cos ЛАсо/ + bk sin ЛА©/)
fe=i
будет сходиться и его сумма будет равна функции f(t) лишь
в том случае, если наложить на эту функцию определенные огра-
ничивающие условия.
При решении вопроса о сходимости ряда потребуется прежде
всего интегральная формула, дающая выражение для частичной
*1 Функция f (t) называется кусочно-непрерывной в интервале (а, Ь), если
она имеет в этом интервале конечное число точек разрыва непрерывности
первого рода.
14
суммы ряда Фурье. Получим эту формулу. Пусть имеем периоди-
ческую с периодом 2л функцию f(t). Для такой функции п-я
п
частичная сумма будет sn(t) = -~ + У coskt-j-b^sinkt), при-
31	л
чем а6 = ~ § f (т) cos kr dr, Ьк — ~ j f (?) sin kr dr.
— л	— л
Подставим выражения ak и bk в формулу для s„ (t) *>:
31	n / Л
= J f(T)dT+42 (J f(Ocos^cosfcrdT+
— Л	Л = 1 Л
31	>
4- f(r) sinsinged?
— Л	1
-(-sin ktsinkr)
Л	Г	n
— f f (т) у + 2 (COS cos +
—л	L	k—i
si г n
f /(t) 4+2 cos^(t~o
' —л L fe=i
dr.
Рассмотрим сумму, стоящую в квадратных скобках. Так как
п
+ 4- У cos k (т — t) представляет собой действительную часть
/г = 1
выражения
п	п
4+2 ^^=-4+2 ^>=-4+
ft=l	6 = 0
, 1 —ejm+l> (T-Z)	I t [J _e/(n+l> <t-z>] [] _g-/<r-Z)J
"* i—eJit-h ~ ~ 2	11—e/(t-0 I*
1	]_g-/(t-Z> _[_g/n(T-Z)_gjin+ll <T-Z>
2 +	[1—cos(T — f)]2+sin2(T—t) ’
TO
4+ 2 COSA:(T —0==Re 4+ 2
k^i	L fc=i
1 —cos (t — 0+cos n (t—t)—cos (n+1) (t—t) _
2[1— cos (t—0]	~
T — t
_ cosn(r—/)—cos(n-[-l)(T —/)________7 2
~~	2 [1—cos (?—/)]	~ о . r—t
“ ~	2 sin —=—
*’ В формулах для а* и bk взята в качестве переменной интегрирования т
вместо t, так как при использовании в качестве переменной t после подста-
новки а* и Ьк в формулу для s„(/) не будет различия между переменной
интегрирования и аргументом t как независимой координатой.
15
Л
мо=4 S
Теперь частичную сумму sn(t) можно записать в виде
sin (2п+1)
----------Л- dx.
п  X — t
Йем —
Произведем в интеграле замену переменного, положив t — т — и:
1 л77< sin \ п 4- 44 и
Sn(t) = ~	f(t + u)----X--
-4-/	2sin|
Подынтегральная функция (по переменной и) является периоди-
ческой с периодом 2л, а интервал интегрирования (—n — t,
+ л — /) имеет длину 2л, поэтому величина интеграла не изме-
нится, если взять другой интервал интегрирования, например
(—л, л), имеющий длину 2л. Тогда выражение для n-й частич-
ной суммы можно представить в виде
, "	sinfn-p-^u
sn (П = ~ \f(t + и) —А----У— du.	(19)
-л	2 sin у
Полученная формула называется интегральной формулой Дирихле.
Эта формула необходима для установления условий, при кото-
рых ряд Фурье для функции f(t) будет сходящимся к этой
функции.
Пусть /(/)==! в интервале (—л, л); в этом случае а0 = 2,
ak = 0, bk = 0 (k=l, 2, ...), т. е. s„(Z) = l для любого п, и фор-
мула (19) приобретает вид
Подынтегральная функция является четной, поэтому вместо
(19) можно также записать:
Полученные равенства также будут в дальнейшем использованы.
Прежде чем переходить к установлению условий сходимости
ряда Фурье, необходимо доказать лемму.
Лемма. Если функция f(t) непрерывна или кусочно-непрерывна
в интервале (а, Ь), совпадающем с интервалом (—л, л) или
являющемся его частью, то справедливы равенства
ь	ь
lim § f (t) cos nt dt = 0, liin \f(t) sinn/d/ = 0.	(21)
n-*CO a	a
16
Доказательство. Пусть интервал (а, Ь} совпадает с ин-
тервалом (—л, л), при этом утверждение леммы следует из
доказанной выше теоремы 2.
Обратимся к случаю, когда интервал {а, Ь) является частью
интервала (—л, л). Введем в рассмотрение новую функцию
f	= 1	ПРИ а</<6-
1	(0	при b </<«4-2л.
Продолжим функцию fi (t) периодически с периодом 2л на всю
ось Ot. Учитывая равенство (2), где будем полагать Т = 2л,
Ь =— л, получим
а+2л	л
$ /1 (/) cos ntdt — $ fi (/) cos nt dt,
a	—л
jj fi (/) sin nt dt — \ fi (/) sin nt dt.
а	—л
Но из определения функции fi (t) следует, что
а+2л	Ь
§ fi (t) cos nt dt = \fr (t) cos nt dt,
a	a
a J-2л	b
i fi (/) sin nt dt = \ Д (t) sin nt dt,
a	a
поэтому
f (f) cos ntdt — jj fi (/) cos nt dt, \ f (/) sin ntdt — § ft (t) sin nt dt.
а	—Л	a	—3i
Если функция f (t) непрерывна или кусочно-непрерывна
в интервале (а, Ь), то функция fx (t) будет непрерывна или ку-
сочно-непрерывна в интервале (—л, л). Применяя теорему 2,
получим, что
lim \ fi (/) cos nt dt — 0; lim fx (t) sin ntdt = 0,
«“►«-Л	n-oo^jt
следовательно, справедливы и равенства (21). 
Обратимся теперь к теореме, устанавливающей достаточные
условия сходимости ряда Фурье.
Теорема 3. Если функция f(t) непрерывна или кусочно-непре-
рывна в интервале (— л, л), то ее ряд Фурье сходится в этом
интервале-, сумма ряда равна f(t) точках, где функция непре-
f U+ty+f (t- 0)
рывна и равна ———-—— в тех точках разрыва непрерывно-
сти, в которых существуют правая и левая производные.
Доказательство. Доказательство теоремы выполним
в два этапа. Сначала докажем, что ряд Фурье сходится и его
сумма равна f(t) в точках, где функция f (/) не только непре-
17
рывна, но и дифференцируема, а затем докажем теорему приме-
нительно к случаю, когда рассматриваются сходимость ряда и
значение его суммы в точках, где функция f(f) или непрерывна,
или имеет разрывы непрерывности первого рода.
По условию теоремы, функция f (t) кусочно-непрерывна на интер-
вале (—л, л). Периодически продолжая эту функцию вне интерва-
ла (— л, л), получим периодическую функцию, имеющую период 2л.
Пусть функция f (/) в точке t дифференцируема, т. е. суще-
ствует конечный предел lim !независимо от характера
и-»оо “
стремления приращения и к нулю.
Будет установлено, то ряд Фурье сходится к функции f(l)
и его сумма равна значению этой функции в точках I, где функ-
ция дифференцируема, если удастся показать, что при п -> оо
разность — стремится к нулю.
Умножим обе части равенства (20) на f (t) и, учитывая фор-
мулу (19), образуем разность
"	sinfn-J-i-'ju
s„(/)-f(O=i \ [Н* + «)+Н01—х—r~du.
-л	2 sin у
которую перепишем в виде
мо-Жч $ -U!±^li!L 
—л
—-------sin ( п -4- и du.
„ . и \	1 2 /
2sm 2
г>	л,	/X fV+u)—f(t)	Г И
Рассмотрим функцию <р (и) —	!--------------в интервале
2sin|
(—л, л). Так как функция f(t) имеет в точке t производную
и, кроме того, lim—-—=1, то lim <р (и) =f (/), т. е. при
"-° 2 sin у	"-°
п->0 функция <р(ы) Является ограниченной. При ы=/=0 функ-
ция <р(ц) может иметь разрывы непрерывности в тех точках,
в которых имеет разрывы непрерывности функция и). Функ-
ция f(t) является кусочно-непрерывной, поэтому функция <р(ц)
также является кусочно-непрерывной функцией на интервале
(—л, л). Применяя к функции <р(ц) доказанную выше лемму,
найдем из (21)
Л
lim \ ср (u) sin( « + udu — 0,
n-»oo V	\	^ /
—Л
откуда
„	. I , 1 \
"	Sinln + ylu
lim I tf(* + «)-f(m-^--------	=
2 sin у
18
Следовательно, lim [s„ (/) ~f(f)] = 0, т. e. ряд Фурье для функ-
п-*со
ции f (/) сходится к этой функции и сумма его равна f (/) в точ-
ках, где эта функция дифференцируема.
Пусть теперь функция f (t) в точке t непрерывна или даже
имеет разрыв непрерывности первого рода и в этой точке суще-
ствуют правая и левая производные, т, е. имеются конечные,
не равные друг другу пределы
lim	lim	^<9.-=^(/). (22)
и-,0	“	’	u-»0	u
«>0	u<0
Геометрически существование этих пределов означает, что
в точке t график функции f(t) имеет угловую точку-излом
(рис. 93, а) или разрыв непрерывности первого рода (рис. 93, б).
Если /+ (0 =/= Г— (0> то в точке t существуют правая и левая
касательные (тонкие линии на рис. 93).
Образуем разность s„ (/) — f	. Теорема будет дока-
зана, если покажем, что
lim s„(/)
za+o)+/a-o)_o
(23)
Умножим равенство (20)
а затем на /(/ —0):
слева
справа сначала на
Н/ + 0),
sin
mo)
--------du,
о • и
2sinT
sin
"+2Г я
-----— du.
о • и
2sm g
Н<+0) . : 1
2 Я
/«—0) _
2	~
о
— Л
2
и
19
Частичная сумма sn (/) ряда Фурье определяется равенством (19),
поэтому
71
lim sn (0 - ДС+9+Н<-0) = iim 1 С	о)] х
rt-*oo	n->co J
sin(n+-^«	. °	sin(n-]--l)«
X-------^dn+lim:* \	----=/-du.
9 cin —	т-юо 31 J	о U
Рассмотрим первый интеграл в правой части этого равенства.
Пусть <р (и) =	----. Функция f(t) в точке t
И	п •
2 sm 2
имеет конечную правую производную, поэтом}’ lim(p(u)—f+(f),
>0
«>0
т. е. функция <р(ц) остается ограниченной при ц->0 (ц>0).
Рассуждая таким же образом, как и выше, мы придем к выводу,
что функция <р (и) кусочно-непрерывна в интервале ^0, у). При-
31
меняя лемму, найдем, что
Вводя обозначение
Ф (и) sin f п + уj и du = 0.
' '	и	. и
2sm 2-
о
аналогичным путем получим lim \ ф (и) sin ( п + и du = 0. Сле-
п->оо	\	^ /
—71
довательно,
7t	cin ( п —I_— it
Нт | ( [/(/ + «) — /= (/ + 0)] —А--------da = 0,
я-’	2sin“-
. °	sin («+-^ и
Um	[f(t + u)-f(t-O)]-
Д	2sin|
du = 0,
т. e. равенство (23) справедливо. M
На концах интервала, т. е. при / = ±зт, сумма ряда Фурье
f (— л+О)-^-/ (л—0)
равна —-------- g - так как концы интервала, являются
для периодически продолженной (вне интервала (—зт, зт)) функ-
ции f(t) точками разрыва непрерывности, если f(—пф-О)^
^f(n-O).
Характер сходимости ряда Фурье определяет следующая
теорема:	х
Теорема 4. Ряд Фурье непрерывной или кусочно-непрерывной
функции f (/) сходится к ней абсолютно и равномерно в точках
непрерывности функции.
Теорему эту примем без доказательства
Применим теорему 3 к разложениям, рассмотренным в при-
мерах. Функция в примере 1 в точках 0, ±л, ±2л, ... имеет
разрывы непрерывности первого рода, а в других точках она
дифференцируема. Следовательно, во всех точках, в которых нет
разрыва непрерывности, ряд Фурье сходится к значениям функ-"
ции в этих точках. В точках разрыва непрерывности сумма ряда
fa+O)4-t(t—0)	„ ,
Фурье равна	i—---------, т. е. для рассматриваемой функ-
ции равна нулю.
В примере 2 функция в точках 0, ±л, ±2л непрерывна
и удовлетворяет условиям (22), т. е. имеет в этих точках левую
и правую производные. В остальных точках функция дифферен-
цируема. В соответствии с доказанной теоремой 3 ряд Фурье
для такой функции сходится и имеет во всех точках сумму,
равную значениям функции f (t).
Условия теоремы 3 являются достаточными, но не необходи-
мыми. Существуют функции, удовлетворяющие более общим
ограничениям и допускающие разложение в ряд Фурье. Напри-
мер, справедлива следующая теорема:
Теорема 5. Если функция f (/) кусочно-монотонна в интервале
(—л, л) и имеет в нем конечное число точек разрыва непрерыв-
ности, то ее ряд Фурье сходится в этом интервале-, сумма ряда
....	л л.	+	0)
равна f (/) в точках, где функция непрерывна и равна	!—-ф-----
в каждой точке разрыва непрерывности **К
Условия, указанные в теореме 5, называются условиями
Дирихле.
3. Разложение в интервале (0, л). Пусть функция f (/) задана
в интервале (0, л) и удовлетворяет в этом интервале условиям
разложения в ряд Фурье. Функцию f (/) можно продолжить
в интервале (—л, 0) как четным, так и нечетным образом
(рис. 94, а, б) и, таким образом, свести задачу о разложении
функции f(f) в ряд Фурье в интервале (0, л) к рассмотренной
выше задаче о разложении функции f(t) в ряд Фурье в интер-
вале (—л, л).
При четном продолжении функции f (t) в интервале (— л, 0)
bk — 0 (k — 1, 2, ...) и разложение имеет вид
СО
f(0 = ? + cos kt dt.	(24)
*=i
*' Доказательство теоремы см., например: Г. П. Толстов. Ряды Фурье.
Физматгиз, 1960, с. 106.
**’ Доказательство этой теоремы см., например, в кн.: Смирнов В. И.
Курс высшей математики. ГИТТД, 1967, т. 2, с. 439.
21
Коэффициенты а0 и ак определяются при этом по формулам (12)
и (13).
Если функция f(t) продолжена нечетным образом в интервал
(—л, 0), то по = О, «л = 0 (6=1, 2, 3, ...) и разложение полу-
чим в виде
f(O = SfysinW^-	(26)
*=1
Здесь коэффициент bk определяется по формуле (14). В первом
случае функция f (/) оказывается разложенной в интервале (0, л)
по косинусам, а во втором случае —по синусам. Оба ряда (24)
и (25) в интервале (0, л) имеют своей суммой заданную функ-
цию f(t), однако вне этого интервала суммы указанных рядов
различны.
Заметим, что в формулах (12) —(14) вычисление коэффициен-
тов а0, ak, bk производится в пределах от 0 до л, поэтому при
вычислениях этих коэффициентов нет необходимости производить
фактическое четное или нечетное продолжение функции f (/)
в интервал (— л, 0). Однако график функции, получающейся из
функции f(t) четным (или нечетным) продолжением в интервал
(—л, 0), а затем периодически продолжением с периодом 2л
вне интервала (—л, л) на всю ось Ot, полезен, так как он
позволяет проанализировать поведение ряда Фурье на концах
интервала (0, л).
Пусть фунВДия НО непрерывна при t = 0 и / = л. Если эта
функция раскладывается в ряд Фурье по косинусам в интервале
(0, л), то ее следует продолжить четным образом в интервал
(—л, 0). Тогда для интервала (—л, л)/(—t)=f(t), следова-
тельно, при / = 0 и / = л непрерывность продолженной функции
сохраняется, т. е. если ряд Фурье сходится в интервале (0, л),
то при t — Q и t — л ряд сходится именно к значениям функций
f(0) и {(л). Если функция f(t) раскладывается в ряд Фурье по
22
синусам, то она нечетным образом продолжается в интервал
(—л, 0). В этом случае 1? интервале (—л, 0)f(—t) =— f (t) и,
<н 1чнт, при t = 0 и / = л непрерывность продолженной функции
не сохраняется. При t = 0 и / = л сумма ряда Фурье равна
/р+0)+/(/—0), т е рЯд сходится при 1 = 0 и1=я к значениям
функций /(0) и /(л) лишь в том случае, если эти значения
равны нулю.
Пример 3. Разложить в ряд Фурье по синусам в интервале (0, л) функ-
цию f(t) = t (рис. 95).
Заданная функция, продолженная в интервал (—л 0), является нечетной,
поэтому для искомого разложения оп = 0, а^=0 (k=l, 2, 3, ...) и ряд Фурье

Рис. 95
определяется формулой (25). Учитывая равенство (14), найдем коэффициент bk,
выполнив интегрирование по частям:
,	2 Г, • utM 2 teas kt k="	1 f .
Ъъ = — 1 Ism kt at ——--т—	+ T- 1 cos kt at =
л J	л k < = o J
о	L	о
2 Г лсозЛл . 1 . ..1<=п1 п созАл _ (—I)*-1	_
= —-------г---F -тг sin kt\ i=— 2 ———=2 '—-f--- ,(£= 1, 2,
л L k k2 k=oj k	k

В соответствии с теоремой 3 ряд Фурье при 0^/<л для функции f (t)=t
будет
f(t)
п Г . . sin 2t .	.
2 Ism/----g----h —+
, (—I)*-1 sin/г/
3ft t
Рис 96
~зл -гп -л
k
При/=л сумма ряда обращается
в ноль.
Пример 4. Разложить в ряд
Фурье по косинусам в интер-
вале (0, л) функцию f(/)=/2
(рис. 96).
Продолжая заданную функцию
четным образом в интервал (— л, 0),
а затем периодически продолжая
...	... I с 1
получим график функции, изображенный на рис. 96.
периодом 2л вне интервала (— л, л),
23
Для искомого разложения Ь^—0 (й=1, 2, ...)• По формулам (12) и (13)
найдем:
2л8
3
2 С	4 С	4	(___1)*
яь = — I Pcosktdt —----------- \ t sin kt dt=~c- со5йл=4 -—
л J	л/г J	fe2	fe2
о	о
В соответствии с теоремой 3 при OsgZsgn для функции f(t)=t2 имеем раз-
ложение
л2 ,(	, cos 2/ ,	, (—l)fecosW\
----------------------)•
4. Функции с периодом Т. Результаты разложения на сумму
гармонических составляющих функции f(t), имеющей период 2л,
распространим на периодические функции с периодом, отличным
оз 2л. Разложим в тригонометрический ряд функцию f (t) с перио-
2л	пТ
дом Т. Введем новую переменную = Так как = то
(т т \
—2". -у), тогда,
очевидно, функция gfq) определяется в интервале (—л, л)
переменной гр
Из условия периодичности функции f (/) имеем f (t -ф пТ) =
= f(q. Следовательно,
g (Л + 2ли) = f ((Т]+22”П)Г) = Л(£ +'пТ) = f (0 = g (л).
т. е. функция g (т]) периодическая с периодом 2л. К функции
£(т]) применима формула (7) разложения периодической функции
с периодом 2л в ряд Фурье, т. е. справедливо равенство
СО
£(л) = зг +• 2 (G*cosfo] + MinM,
А=1
Л	зт
где «о = ~ j £(лИл. = J g(л) cos fa]dt] (k = 1, 2,...), bk =
3t	***“ 3T
= ~ £(л)8ЙП&Л^Л (^=1. 2, ...).
— Л.
Переходя в этих формулах к старой переменной /, получим
СО
+ 2 (flftCos^TJ+fcASin/eT	<26)
Л=1 '
24
где, учитывая, что = — dt,
Т/2
= 4 j f^dt’	(27)
-7/2
Т/2
ak = ~ J f(t)cosk^tdt (6=1,2,...),	(28)
— 7/2
7/2
*л = 4 j f(t)$mk~tdl (6=1,2,...).	(29)
— Т/2
Интегрирование в этих формулах может быть произведено и
по другому интервалу длиной Т, например, по интервалу
(0, Т).
В отличие от разложения (7) с помощью формулы (26) раз-
ложение функции f(t) производится по косинусам и синусам
углов, кратных не t, a 2rd/T.
Так как разложение (26) является следствием разложения (7),
то теорема (3) об условиях сходимости ряда Фурье остается
справедливой и для интервала (—Т/2, Т/2). Ряд Фурье для
функции f (/), заданной в интервале (—Т/2, Т/2), имеет вид (26),
а коэффициенты а0, ak, bk определяются по формулам (27) —(29).
Если функция /(/) четная, то
7/2
«0 = 4 $ f(t)dt,
о
«А = 4 $ f(t)cosk~-tdt' (6=1, 2, ...),
- о
6Л = 0	(6=1,2,...).
Для нечетной функции./(/) соответственно
йл = 4 \ f (t) sink —t dt,
о
(30)
(31)
(32)
ak==0	(6 = 0, 1, 2, ...).
Функция f (t) в интервале (0, Т/2) может быть разложена по
косинусам или по синусам так же, как и при разложении по
косинусам или по синусам функции f(t) в интервале (0, л).
25
Пример 5. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию /(/), заданную
вхинтервале (О, Т]2), следующим образом:
t (O^t^T/4),
(T/4<t^T/2).
Продолжим функцию f(t) нечетным образом в интервале (—Т/2, 0), а за-
тем периодически с периодом Т продолжим график полученной функции на всю
ось Ot (рис. 97). В соответствии с теоремой 3 ряд Фурье сходится для всех
значений аргумента и имеет своей суммой значения функции f (/). Так как
продолженная функция является нечетной, то с* = 0 (Л = 0, 1 2, ...). Коэф-
фициент bk найдем в соответствии с формулой (32):
Т/4
..... ,2л,,,	4 С
f(f) sin йу t dt = -? \
• , 2л , ,,
sin k ? t dt,
2л ,
или полагая Т|=~/,
It
2	0
T С	T C
= —2 ’ *1 s*n	\ (л—T]) sin ArjdT).
о	it
2
Интегрируя по частям, найдем
. _ T
bk~ л2
' it/2
г] cosfet] |н=л/2 т	С	Т	(л—T])cosfo]	|ч=л
k |ц = 0	' l&k	J	C0S л2 k	|т) = л/2~"
0
Т С . . 2Т . nk
-хг- \ cos fcn ansin -х-
л% J 11 л2й2 2
(Л=1, 2,
2
Следовательно, ряд будет иметь вид
2Т{ . 2л ,	1 . 6л ,	1 . Юл

L
2
26
5.	Комплексная форма ряда Фурье. Запишем тригонометри-
ческий ряд (6) в комплексной форме. Используя формулы Эйлера
(см. § 25)
ei hat ig— jhat	ei hat _ fi— jh at
cos Am/ =----, sin Дсо/ =---------,
z	z/
получим
gjk hat I e— jk hat	eik hat_e~ Ik hat
ak cos k Aat 4- bk sin k Aat = ak-%--h bk------2/-----.
или, вводя обозначения cfe —
ak cos k (hat bk s in k of — ckeik Дв/ 4- ik Дв/. (33)
Обозначив c0 = ~, получим для функции f (/), заданной в ин-
(т т \
— у, Ряд ФУРье в комплексной форме:
f(t) = 2 che'k^.	(34)
k =— со
Здесь, как и выше, Ай = — представляет собой частоту первой
гармоники разложения функции в ряд Фурье, или, что одно и
то же, приращение частоты при переходе от гармоники с номе-
ром k к гармонике с номером k 4- 1. Величины ck являются комп-
лексными коэффициентами разложения функции f (t) в ряд (34).
Функция е/ЙДв/ называется комплексной гармоникой.
Если ряд (6) сходится к функции f (t), то к той же функции
сходится и ряд (34). Так как 2ck = ak — jbk, то, принимая во вни-
мание формулу (27) § 25 и равенство (15), найдем
2ck =	’аГС 8 = Ake~(35)
Величину Ck~2ck называют комплексной амплитудой k-й гар-
моники. Очевидно, что амплитуда Л-й гармоники Л* = 2|с*|.
Формулу (34) иногда удобнее записывать в виде *
со
= ~ 2 ^(/АЛ«)А^д“',	(36)
k — — со
где
F(jk^^n	(37)
— относительная комплексная амплитуда k-fi гармоники,
27
Получим формулу для определения неизвестных коэффициен-
тов в разложении (34). Принимая во внимание равенства (28) и
(29), имеем
Т/2	Т/2
cft =	А. { f(t) caskAatdt — j^ \ f (t) sink Aco/dt =
z	/ J	1 J
—Г/2	— T/2
T12
1 C	Ди/ , g—/А Ди/	ejk Kat е—/АДиЛ
= T	------2----------j------27------\dt’
— T/2
Из последнего равенства получим
Т 2
ck=~ J f (t)e~ik^ai dt.	(38)
—T/2
Учитывая равенство (37), найдем выражение для F(jkA<i)):
Т/2
F (jk = \f(t) е~ ik Ди/ dt.
— Т/2
(39)
Если разложение функции f (t) на сумму гармонических со-
ставляющих производится в интервале (—л, л), то формула (34)
заменится следующей:
оо
но= 2 c^kt>	(4°)
k =— QO
где
= S f'^ktdt (*=°. ±4’ ±2, •••)•	(41)
— Л
В формулах (34) и (40) суммирование производится как по
положительным, так и по отрицательным значениям k; таким
образом, комплексная форма ряда Фурье допускает существова-
ние и положительных и отрицательных частот со = йДсо. Однако
после суммирования комплексных слагаемых останутся только
вещественные величины, так как комплексные коэффициенты ck
и c_ft являются сопряженными.
6. Понятие о спектрах. Введем определение. Совокупности
коэффициентов ak, bf, (Л=1, 2, ...) разложения периодической
функции f (t) в ряд Фурье называются частотными спектрами
этой функции.
28
Из формул (13) и (14) видно, что ak = ak(k), bk = bk(k), если
функция / (/) имеет период 2л. Если же период функции равен Т,
то ak — ak (Мм), bk — bk (А Дсо). Здесь частота первой гармоники
До = —. Следовательно, спектры являются функциями, завися-
щими от номера гармоники k как независимой переменной. Гра-
фически частотные спектры удобно изображать в виде отрезков
длины ak, bk, проведенных перпендикулярно оси, на которую
наносятся значения k или Дсо&. Так как k=\, 2, ..., то оче-
видно, что частотные спектры имеют дискретный (разрывный)
характер. Расстояние между отдельными линиями спектра в общем
случае равно Дсо. Если период функции f(t) равен 2л, то рас-
стояние между линиями равно единице.
Совокупность комплексных чисел С* = 2с*, определяемая для
функции f (t) с периодом Т формулой (38), а для функции f (t)
с периодом 2л —формулой (41), называется комплексным ампли-
тудным частотным спектром-, совокупности (15) величин Ak =
= Ak(kA(n) и cpfe = (k Дсо) (Л=1, 2, ...) называются соответст-
венно амплитудным и фазовым частотными спектрами периоди-
ческой функции f(t).
Для четной функции f (t) bk = 0, а для нечетной функции
ц* = 0. Следовательно, амплитудный и фазовый частотные спектры
четной периодической функции ==| cpft = O, а для нечетной
периодической функции Ak= |fefc|, = Спектры Ak и также
удобно графически изображать в виде отдельных линий.
В п. 5 отмечалось, что число k может принимать как поло-
жительные, так и отрицательные значения, поэтому графики спект-
ров Ak и имеют смысл и при положительных, и при отрица-
тельных частотах со = £Дсо. Из равенства (35) имеем
Лй==2|с*|, <р* = —argcft = arctg^L
Отсюда получим, что Л+,*| =	<р+,*।	т. е. ампли-
тудный частотный спектр является четно-симметричной, а фазо-
вый частотный спектр — нечетно-симметричной функцией частоты со.
Таким образом, при определении спектров можно не строить
тогда, когда в этом нет необходимости, графики спектров при
± k Дсо, а достаточно изобразить лишь половину спектра при
k Дсо > 0.
Пример 6. Определить частотные спектры периодической функции
( л при Oscfsgn,
I — а при л < t < 2л.
Заданная функция имеет значения коэффициентов разложения ее в ряд
Фурье (см. пример I): 6* = 0 при k четном,	ПРИ k нечетном; аЛ = 0.
Так как функция f(t) является нечетной, то амплитудный частотный спектр
29
f
Ak=bk, а фазовый частотный спектр <р*=-^-. На рис. 98, о, б изображены
линии частотных спектров ЬА = ЛА и ср^.
Пример 7. Найти частотные спектры периодической последователь-
ности импульсов высотой Ли, длительностью ти и периодом Т (рис» 99)
Функция
Ли при
/Ю =
О при
Рис. 99
характеризующая заданную после-
довательность импульсов, яв-
ляется функцией четной, поэтому
Ь* = 0. Найдем значения коэффициентов aft:
и
2
2 с
cask &<s>t dt— — \
Ап cos k t dt—
И
A L. 2Я 4 M 2^И • X. 2jl J 2
Au cask t at ——£ sin я	1
/	3T К	1	10
2A,, . km,.
~Hk~sln~-
„	. 2n	2ЛИ . £Дсот„	, n .
Так как Aw=y, то ак=-^-sm—(fe = 0, 1, 2,.,.); имеем
„	2Л<. AgjTj k АеуГц А-,. Аот^ 2Л„Тц
lim ak=0, lim ak = lim —-	cos= и	.
*-»«>	i-0 x-o л 2	2	я	T
На рис. 100, а изображены линии частотного спектра (k Aw), а на
рис. 100, б—линии амплитудного частотного спектра ЛА = |а^ Так как функ-
ция /(<) четная, то фазовый частотный спектр ф* = 0,
30
Ряд Фурье для рассматриваемой
записать в комплексной форме так:
последовательности импульсов можно
СО
k =— со
со
у 1 Sin А(0Ти e’k&eit
п k 2
k —— оо
Отметим, что между периодическими функциями и их частот-
ными спектрами существует взаимно-однозначное соответствие:
периодическая функция f(t) полностью определяет ее частотные
спектры, и, наоборот, зная частотные спектры, можно указать,
какой периодической функции они принадлежат. Благодаря этому
соответствию в ряде задач техники оказывается удобным опера-
ции над периодическими процессами заменять операциями над
частотными спектрами, характеризующими эти процессы. Спектры
полностью информируют о том, какого рода колебания имеют
место в данном процессе, какова его структура.
Предположим, например, что функция f (/) характеризует собой
ток, протекающий в электрической цепи, активное сопротивление
которой равно 1 ому. Найдем среднюю мощность, выделяемую
током в этой цепи за время	выразив ее через коэф-
фициенты разложения функции f(f) в ряд Фурье. Так как f2(t)
является мгновенной мощностью, выделяемой током в момент
времени t, то средняя мощность будет
т
Pcp^~^f3(t)dt.	(42)
о
Для определения Рср используем равенство Ляпунова (18),
которое для интервала 0 < t < Т имеет вид
Т	оо
| f/2(O^=f + 2и+^)’
О
(43)
31
причем а0, ak, bk могут быть определены в соответствии с ра-
венствами (27)—(29). Тогда
ОО
= f+4 2И + ^)’	(44)
6=1
или, учитывая равенство (15),
со
^ = ^ + 4 2/11.	(45)
Л= I
Правая часть этого равенства дает представление о распре-
делении составляющих средней мощности по гармоникам разло-
жения функции f (0 в интервале (О, Т) в ряд Фурье. Следова-
тельно, средняя мощность тока, а в общем случае сигнала f(t),
равна сумме средних значений мощностей всех частотных ком-
понент.
Совокупность значений Л* (k — Q, 1,2,...) может быть названа
энергетическим спектром периодической функции f(t). График
энергетического спектра также состоит из отдельных линий, длина
которых зависит от номера k гармоник разложения функции f (/)
в ряд Фурье. Из выражения (45) следует, что в образовании
энергетического спектра участвуют лишь амплитуды Ak гармоник
и не участвуют начальные фазы <pft.
§ 35. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
1. Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье. Для
разложения функции f (/) в ряд Фурье* на всей оси Ot необхо-
димо, чтобы эта функция была периодической. При представле-
нии функции, заданной в некотором интервале (—Т/2, Т/2), в виде
ряда Фурье функция периодически продолжается с периодом Т
за пределы интервала (— Т/2, Т/2). В этом случае получающаяся
периодическая функция представляется в виде бесконечной суммы
гармонических составляющих — гармоник. Установим, как будет
изменяться разложение периодической функции на сумму гармо-
ник, если период Т функции увеличивать, устремляя его к беско-
нечности.
Пусть дана непериодическая функция f (t), удовлетворяющая
в интервале (—Т/2, Т/2) условиям Дирихле, т. е. разложение
функции в ряд Фурье в этом интервале возможно. В точках ин-
тервала, где функция f (t) непрерывна, она может быть представ-
лена в виде ряда Фурье
ОО
/(0=-| 2 [ahcosk2~t + bksink^ t),	(1)
/i = l '
32
'причем коэффициенты разложения здесь
2 72
«о = у f (i) dx,	(2)
~Т/2
Т/2
ak = ^	/ (т) cos Лт dt	(Л=1, 2, ...),	(3)
—7/2
= У	f (т) sinkтdi	(Л== 1, 2, ...).	(4)
— 7/2
Предположим также, что заданная функция удовлетворяет на
всей оси Ot условию абсолютной интегрируемости, т. е. интеграл
$ [/(Z) [ d/ = Af <оо	(5)
— СО
существует.
Подставим в ряд (1) выражения для коэффициентов а0, ak, bk:
f(t) = Y J /(т)йт+у 2 J /(t)[cos^^/cos^2?-t+
— 7/2	Л=1 —7/2
7/2
-(-sin A / sin Л у т1 с/т = у J f(i)dt-}-
-772
co 7/2
+ у j f (t) COS A® (^ ~ T) di. (6)
k= 1—7/2
Оценим модуль первого слагаемого правой части равенства (6)
при 71—>со. Так как
7/2	7/2	оз
| р(т)Л J |f(T)'|dT<l J |Нт)|</т=4м,
— 7/2	— 7/2	— со
то первое слагаемее правой части стремится к нулю.
При Т->оо частота первой гармоники разложения функции
f(t) в ряд Фурье Aw = y->0. Однако величина Aw является при-
2 n/р. Чемоданова Б. К„ т, 2
33
ращением частоты при переходе п совокупности частот гармоник
1 Дю, 2 Дю, 3 Дю, ... от одной частоты к соседней. При Т -> оо
приращение частоты становится величиной бесконечно малой, и
в этом случае приращение Дю можно отождествить с дифферен-
циалом Лю.
Обозначим через ю частоту А-й гармоники, т. е. положим
ю — А Дю. Под знаком суммы бесконечного ряда в правой части
равенства (6) величина ю принимает дискретные значения; если
же 7->оо, то частота ю сделается непрерывной ветичиной.
В этом случае
.	2
lim
Т-»<х> 1
со Г/2
k=\ —TI2
cos АДю (t — т) dt —
со Г/2
= lim — У Дю I f (т) cos k Дю (t — т) dt =
/г=1	—Т/2
Следовательно, для непериодической функции f (t), удовлет-
воряющей указанным выше условиям, справедливо равенство
f (/) = ~ Лю f (т) cos ю (t — г) dt.	(7)
О —со
Равенство (7) имеет место для тех значений независимой пере-
менной t, для которых функция f(t) является непрерывной.
В точках разрыва непрерывности функции f (t) в интервале
(у 'Г \	f	(t 0)
—2 ’ Т/ сУмма членов ряда Фурье (1) равна 	v -
(см. § 34). Можно показать [4], что в точках разрыва непрерыв-
ности, правая часть выражения (7) будет определяться равенством
1 L Сг/ч и ч	О)
— I Лю I f (т) cos ю (t — т) dt —  л--'—--L,
0	— со
(8)
Интеграл в правой части равенства (7) называется интегра-
лом Фурье.
•> Более строгое доказательство предельного перехода см., например:
Будак Б. М., .Фомин С В Кратные интегралы и ряды. Физматгиз, 1967,
с 511.
34
Получим выражение для интеграла Фурье в виде, несколько
отличном от (7). Учитывая формулу для косинуса разности,
найдем
СО	со
1 da i f (т) cos со (t — т) dx =
b	—оо
СО / СО	\
= f I / (т) cos сот dx | cosco/ da -ф
О \—оо	/
СО / CO	V
ф- ~ J I J f (т) sin сот dx j sin со/ Ао.
О \—со	/
Введем обозначения:
тогда
СЮ
U (со) == $ f (т) cos сот dx
—со
. СО
V (со) = f (т) sin сот dx
—СО
(а>^0),
(со^О),
f (I) — ~ [47 (со) cos со/ + V (со) sin со/] Ао.
о
(9)
(Ю)
(Н)
Сравнивая разложения (11) и (1), а также формулы (9) и (10)
соответственно с формулами (3) и (4), можно установить опре-
деленную аналогию между рядом и интегралом Фурье. В обоих
случаях функция /(/) раскладывается на сумму гармонических
составляющих. Однако в ряде Фурье суммирование произво-
дится по индексу k, принимающему дискретные значения k —
— 1, 2, ...» вследствие чего смежные гармоники ряда имеют
частоты, отличающиеся друг от друга на величину Лео. В интег-
рале Фурье в отличие от ряда Фурье производится интегриро-
вание по непрерывной переменной со. Коэффициенты ряда Фурье
ak = ak (&Дсо), bk — bk (k Дсо) есть функции дискретной перемен-
ной k, являющейся номером гармоники в разложении. Функ-
ции U (со) и V (со) напоминают коэффициенты Фурье, однако
эти функции зависят от переменной со, изменяющейся не диск-
ретно, а непрерывно. Следовательно, частоты смежных гармоник
в представлении функции f (/) в виде интеграла Фурье непре-
рывно переходят одна в другую, т. е. отличаются на величину
бесконечно малую.
Рассмотрим частные случаи разложения (11). Пусть функция
f (t) — четная. Тогда, как следует из (9) и (10),
U (со) — 2 f (т) cos сот dx, V(co) = O,	(12)
о
2*
35
В этом случае функция f(t) может быть представлена в виде
интеграла Фурье по формуле
f(t) — U (со) cos at da,	(13)
о
I
где U (со) определяется первым равенством (12).
Пусть теперь /(/) —нечетная функция. Для такой функции
t/(co)=O, V (со) = 2 f (т) sin сот dx	(14)
b
и интеграл Фурье
f (t)~-~ V (со) sin at da.	(15)
о
Формула (11) и ее частные случаи — формулы (13), (15)—
характеризуют разложение непериодической функции f (t) на сумму
гармонических составляющих с частотами со, непрерывно изме-
няющимися от 0 до оо.
Заметим, что если функция f (t) задана лишь в интервале
(О, оо), то формула (13) продолжает эту функцию четным обра-
зом, а формула (15) — нечетным образом на всю ось Ot. При
t>0 обе формулы дают один и тот же результат.
Введем обозначения:
О (ш) =	§ f (т) cos сот dx,	(16)
о
V (“) = ]/ 4	sin (от d"1’	(I7)
о
тогда вместо формул (13) и (15) соответственно получим:
jF(/) = J/ ~ \ О (со) cos at da,	(18)
с
—	V(со) sin со/dco.	(19)
о
Функции О (со) и V (со) называются соответственно косинус-пре-
образованием и синус-преобразованием Фурье.
Из формул (16) и (18) видно, что V (со) определяется по задан-
ной функции f (t) точно так же, как определяется f(t) по задан-
ной функции U (со). То же самое можно сказать и в отношении
функций f (t) и V (со). Другими словами, функции f (/) и 0 (со)
36
взаимно являются косинус-преобразованиями, а функции f(t) и
V (а) взаимно являются синус-преобразованиями. Равенство (16)
(или (17)) можно рассматривать как интегральное уравнение,
если задана функция U (со) (или V (со)), а определению подлежит
функция f(t). Формула (18) (или (19)) дает решение этого урав-
нения.
Пример 1. Задана функция
(а>0, Z=sO)
/<о.
Определить косинус и синус-преобразования для этой функции.
По формулам (16) и (17) найдем:
_________________________со	__
Р (“) = 1/ — ( е~а< cos wt dt — 1/ —	& 
У л J	у	л а2-]-©2 ’
о
__ со	—
V (со) == 1/ — С e~at sin сот dx = 1 / — —v г •
у л J	у л а2 4-со2
о
Функция [ (f) — e~at интегрируема в интервале (0, со), поэтому справедливы и
взаимные отношения:
со	со
2а (* cosco^ ,	..	2 f <а sin at ,	m
— I —« da=e at /=э0, — \ —г——r da=e al (/2=0),
n J a24-co2	' nJ a2 фен2
о	о
2. Комплексная форма интеграла Фурье. Покажем, что инте-
грал Фурье для функции /(/) может быть записан в комплекс-
ной форме
СО	со
= J	$ f(t)e^^dx.	(20)
—оо	—оо
В самом деле, используя формулу Эйлера
(ЛГ) _ cos ф	j sjn ы у _ T)f
найдем
СО /	СО	к
f |	\ f (т) cos со (Z — т) dt) do) +
\	е)	J
—СО \—СО	/
СО / СО	.
+4г" I \ f s’n ® —т) ।
—со \—со	/
Выражения, стоящие в круглых скобках в первом и во втором
слагаемых правой части, являются соответственно четной и нечет-
ной функциями относительно переменной со, поэтому
СО , СО	с
§ I f (т) sin и (/ — т) dr ] den = 0.
—СО со	/
37
Заметим, что здесь рассматривается главное значение *> несоб-
ственного внешнего интеграла, т. е. полагаем
lim J I $ / (т) sin со (/— т) А | = jj М / (т) sin o(t — т) dxj do;
COj—►СО__ф1 —QQ	У	—CO \—co	/
итак,
co , co	.
f (/) = — f ( Г f (t) cos to (t — t) dx ] do.
J I J
0 \—co	/
(21)
Сравнивая формулы (21) и (7), видим, что они полностью
совпадают друг с другом. Следовательно, интеграл Фурье для
функции f (t) может быть представлен в комплексной форме (20).
Так как t не зависит от т, то множитель е?™ можно вынести
из-под знака внутреннего интеграла в формуле (20), тогда
со	со
f(t) = ~ J e>&t do \ f (т) dx.
—оо	—оо
Величина интеграла не зависит от наименования переменной
интегрирования, поэтому, возвращаясь к старой переменной t,
т. е. заменяя х на t, получим формулу для интеграла Фурье
в следующем виде:
J e^do | f(t)e^‘dt.	(22)
—co	—co
Комплексная форма интеграла Фурье (22) имеет своим аналогом
комплексную форму ряда Фурье (34) (см. § 34). Здесь роль коэф-
фициентной комплексной функции ck выполняет внутренний
интеграл, который обозначим F(jo}, т. е.
F(/®) = $ f (t) e~’at dt;	(23)
следовательно,
f(O = -gp J F(/to)e^d®.
(24)
ь
*> Может оказаться, что предел lim \f(f)dt не
а-^со Ja
b~>CQ
стремятся к своим пределам независимо друг
со
( f (/) dt расходится. Но при этом может существовать предел lim ( /(t) dt,
-оо	-а
от
существует, если а и b
друга, т. е. интеграл
а
который называется главным значением несобственного интеграла \ f (t) dt
—оо
Ниже все несобственные интегралы рассматриваются в смысле их главных
значений.
38
Функция F (/со) называется преобразованием Фурье функ-
ции f (t) *'. Как показано ниже, эта функция характеризует
спектральный состав функции /(/) и может быть названа также
спектральной плотностью или спектральной характеристикой
функции /(/) **\
Формула (24) определяет значение функции f (t) в точках,
где эта функция непрерывна. В точках разрыва непрерывности
получим, учитывая равенство (8), что
— J F(ja)e^da^f^f(t~Q\	(25)
Формулу (24) можно представить в несколько ином виде. Имеем
СЮ
/ (0 =	(/“)eiat + F (—ja) е-^] da;
о
так как слагаемые под знаком квадратных скобок являются
сопряженными величинами, то
f (t) = -i- Re у F (/co) eiu,/ da.	(26)
В этой формуле интегрирование производится лишь по положи*
тельным значениям со.
Получим формулу преобразования Фурье в ином виде, для
чего равенство (23) перепишем следующим образом, используя
формулу Эйлера;
F (ja) = f (/) (cos со/ — / sin со/) da.	(27)
-СО
Учитывая обозначения (9) и (10), будем иметь
Г (/со) = 7/(со) — /V (со),
где
V (со) = — Im F (ja), U (с») = Re F (ja).
Из (9) и (10) видно, что функция U (со) является четной,
а V (со) — нечетной относительно переменной со.
Функцию F (ja) можно записать в виде .
F(ja) = \F(ja)\e^<a\	(28)
где	______________
| F (ja) | = V'lF (со) ф V2 (со)	(29)
*> Преобразованием Фурье называется также процесс определения функ-
ции F (/со) с помощью формулы (23).
**> Полагаем, что аргумент t имеет размерность времени, в этом случае
аргумент со имеет размерность частоты.
39
*— модуль преобразования Фурье — является функцией четной,
а его аргумент
<р (со) = arg F (/со) = — arctg	(30)
•—функция, нечетная относительно со. Так как U (со) — | F (/со) | х
X cos ср (со), V (со) — | F (]ы) | sin ср (со), то вместо формулы интеграла
Фурье (И) можно использовать формулу
f(/) = -^	IР (/®) | cos [со/ — ср (со)] «со.	(31)
о
Сравним преобразование Фурье F (/со) с относительной комп*
лексной амплитудой k-й гармоники F (jk Дсо), определяемой
Т/2
равенством (39) § 34; F (jk До) = f (t)e~ik^ai dt. В пределе при
—Т/2
Т -> оо (т. е. при Дсо -> 0) правая часть этого равенства совпа-
дает с правой частью равенства (23), т. е., учитывая формулы
(ЗЬ) и (37) § 34, найдем
F(j&)) = lim Е(/7,Дсо) = lim	lim
Т->оэ	Т->со	Г —оо
Функция F (jk Дсо) дает при фиксированном k значение отно-
сительной комплексной амплитуды k-й гармоники разложения
периодической функции в ряд Фурье. Если k принимает значе-
ния 0, 1, 2, ..., то F (ik Дсо) будет принимать дискретный ряд
значений F (/0), F (j Дсо), F (/2 Дсо), .... Функция F (/со) характе-
ризует закон изменения относительных комплексных амплитуд
разложения непериодической функции на сумму гармоник. Так
как частота со принимает непрерывный ряд значений, то график
функции | F (ja>) | состоит не из отдельных (дискретных) точек,
а является непрерывной кривой.
Для случая непериодической функции, т. е. при Т-^-оо,
частотный интервал между смежными гармониками Дсо->О, сле-
довательно, интеграл (24) дает разложение, представляющее
собой сумму бесконечно большого числа гармоник, амплитуды
которых бесконечно малы, а частоты смежных гармоник отли-
чаются друг от друга бесконечно мало. Комплексная бесконечно
малая амплитуда каждой гармоники, как следует из инте-
грала (24), будет
dC — ~-F (/со) dco.	(32)
Итак, если с помощью ряда Фурье можно периодическую
функцию разложить на сумму бесконечного числа гармоник
с частотами, принимающими дискретные значения, то интеграл
Фурье позволяет непериодическую функцию представить в виде
40
бесконечного числа гармоник, частоты которых образуют непре-
рывную последовательность.
Амплитуда А каждой из гармоник в разложении с помощью
интеграла Фурье непериодической функции f (/) является вели-
чиной бесконечно малой, поэтому изобразить графически ампли-
тудный частотный спектр такой функции не представляется воз-
можным. Для того чтобы можно было использовать спектраль-
ные представления и для анализа непериодических процессов,
при построении графика амплитудного частотного спектра по
оси ординат откладывают не амплитудное значение гармоники А,
а значение относительной амплитуды, равной л-^-. Если подоб-
ное построение выполнить для случая, когда функция f(t) явля-
ется периодической с периодом Т, то вместо графика амплитуд-
ного спектра Ak получится график | F (jkАсо) | == л—средней
плотности амплитуды, т. е. график, характеризующий значение
амплитуды, приходящейся на единицу длины данного интервала
частот. В пределе при Т-э-оо функция F (jkhto) превращается
в спектральную плотность F (уы) непериодической функции f(t),
которая, как следует из (27), с точностью до постоянного мно-
жителя л представляет собой отношение бесконечно малого при-
ращения комплексной амплитуды, имеющее место при бесконечно
малом приращении частоты, к указанному приращению частоты,
т. е.
(33)
Аргумент спектральной плотности
зует начальную фазу гармоник
функции f (0, а функция ~ | F(ja) |
является относительной амплиту-
дой этих гармоник.
Пример 2. Определить частотные
свойства одиночного импульса высотой <4И
и длительностью ти (рис. 101).
Функция, характеризующая этот им-
пульс,
и
при — ти/2 / sS ти/2,
при (> тн/2 и ( <—ти/2.
arg F (/со) = ср (со) характери-
разложения непериодической
Прежде всего попытаемся получить график амплитудного частотного спектра
заданного импульса. Из примера 7 § 34 видно, что для периодической после-
довательности такого рода импульсов с периодом Т
, г.	АсоТу	л 1 о \
bfg = 0, аь— . sm —— (k — 0, 1, 2, ...),
41
где Дсо = -у-частотный интервал между смежными гармониками. Запишем
выражение для аь в виде
тиАи Л sm k Дсоти/2
at, =  11 и Дсо--------
л
k Дсртп/2
Последовательность импульсов (см.
импульсом. Расстояние между линиями
ния амплитуд гармоник разложения
рис. 99) при Т -> со заменится одним
спектра Дсо->О при Т -> со, а значе-
Ит Ай = lim |вй| = lim —~-н - Дсо
Т -> оо	Т -> со	Дсо -> 0
. k Дсоти
s,n——
k Дсотп
2
_ тиЛи lim Д(й
л Дсо-» О
k Дсот.,
sm
lim —г-т—------
д<о-»о k Дсоти
2
= 0.
Амплитуды гармонических составляющих разложения заданного импульса
в ряд Фурье являются величинами бесконечно малыми, поэтому графически
невозможно изобразить амплитудный частотный спектр заданного импульса
в виде отрезков линий, параллельных оси ординат, как это наблюдается для
периодической последовательности импульсов (см. рис. 100, б).
Построим теперь с рафик функции | F (jk Дсо) |, т. е. график средней плот-
ности амплитуд гармоник разложения периодической последовательности
импульсов (см. рис. 99) в ряд Фурье. Так как F (jk Дсп) = л,	—
то, учитывая, что в рассматриваемом случае бд=О, найдем
| F (jk Дсо)
_ I fife I л _ I fe Асоти I
Дсо Дсой |	2
При fe = 0, 1, 2, ... функция | F (jk Дсо) | принимает дискретный ряд значений
| F (/Дсо) |, | F (j • 2Дсо) |, .... Эти значения будем обозначать, как и при гра-
фическом изображении частотных спектров, в виде вертикальных отрезков
соответствующей длины. Через концы отрезков проходит огибающая | F (/со) |,
представляющая собой зависимость не от дискретного аргумента k, а от непре-
рывной частоты со. Для со > 0 огибающая изображена на рис. 102, а пунктир-
ной линией.
Величина площадей заштрихованных прямоугольников с точностью до мно-
жителя эт равна соответствующим коэффициентам сй (k — 0, 1, 2, ...) разложе-
ния периодической последовательности импульсов в ряд Фурье. Нетрудно ви-
деть, что в отличие от огибающей для частотного спектра ай кривая | F (j(t>) |
не зависит от уменьшения (увеличения) частотного интервала Дсо, происходя-
щего при увеличении (уменьшении) периода Т последовательности импульсов.
2зт
При увеличении, например; периода Т в два раза расстояние Лсо = у- между
вертикальными линиями в два раза уменьшится (рис. 102, б), при этом вид
огибающей | F (/со) | не изменится. При Т -> со частотный интервал Дсо сде-
лается величиной бесконечно малой (рис. 102, в), однако относительные ампли-
туды остаются неизменными. Кривая | F (/со) | проходит через концы вертикаль-
ных отрезков, бесконечно близко расположенных один к другому. Вся область
под кривой оказывается заполненной этими отрезками. Функция | F (/со) |
является модулем спектральной плотности рассматриваемого одиночного импульса
(см. рис. 101), т. е. F (/со) =	sin , которая в данном примере является
42
действительной функцией. В общем случае спектральная плотность есть функ-
ция комплексная.
Отметим, что часто функцию F (/со) называют, используя тер-
минологию спектрального анализа периодических функций, условно
комплексным амплитудным ча-
стотным спектром непериоди-
ческой функции f (/), а функ-
цию | F (/со) I — амплитудным
частотным спектром этой функ-
ции. Такая терминология может
привести к неудобству, если
приходится сравнивать спект-
ральные представления для пе-
риодических и непериодических
функций. Следует еще раз под-
черкнуть, что амплитудный
частотный спектр Л* периоди-
ческой функции характеризует
распределение амплитуд гармо-
ник разложения по часто-
там этих гармоник, а модуль
|F(/co)| спектральной плотно-
сти непериодической функции
характеризует распределение
относительных амплитуд гар-
моник разложения. Однако тер-
мин «спектральная плотность»
также не является вполне удач-
ным, поскольку его использо-
вание тоже может привести
к недоразумениям, так как по-
добная терминология исполь-
зуется в теории случайных про-
цессов для обозначения распре-
деления мощности флюктуаций
стационарного случайного про-
цесса по спектру частот. Ниже,
в § 66, указанное распреде-
ление мощности называется
«спектральной плотностью мощ-
ности» (или просто спектраль-
ной плотностью). Поскольку
применительно к случайным
процессам название «спектраль-
ная плотность» является обще-
употребительным, то мы в даль-
нейшем будем избегать называть
плотностью, оставляя за этой функцией название «спектраль-
ная характеристика».


ха.
'Л.
Z3.
а)
Л
_____StiL-J_I s ______
Ии
Ao)

Ла7
I


—ИЗ	Зж ИШ
'Дсо
Рис. 102
б?
функцию
F (/со) спектральной
Глава XII
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 36. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
1. Прямое и обратное преобразования. Выше, в § 35, отме-
чено, что преобразованию Фурье могут быть подвергнуты функ-
ции f (t), удовлетворяющие условиям Дирихле и являющиеся
абсолютно интегрируемыми на всей оси Ot.
Из формулы (23) § 35
СО
F(/o) = \ f (t) e~’at dt
— 00
(1)
видно, что преобразование Фурье состоит в умножении функ-
ции f (/) на множитель e~,at и интегрировании произведения в пре-
делах от —оо до-J-оо. Символически формулу (1) будем записы-
вать в виде	/
^{f(/)} = F(/o).	(2)
Интеграл в правой части равенства (1), как и выше, пони-
СО
маем в смысле главного значения, т. е. ( f (t)e~tat dt=
I	-co
т
=?= lim J f(f)e-i<s,tdt.
T ~+ea _y
Равенство (1) устанавливает связь между функцией / (/), аргу-
ментом которой служит время t, и ей соответствующей комплекс-
ной функцией F (jw), имеющей в качестве аргумента частоту о.
Пример 1. Найти спектральную характеристику функции f(t)==e~“PI,
причем а > 0—действительное число
Заданная функция на всей оси Ot кусочно-непрерывна и абсолютно инте-
грируема, вследствие чего она преобразуема по Фурье. Имеем
f	e~(a+i^tdt+ J
Ж-_______1	g- <CH Уй) t I00 I 1 gtCC+jCO) t 1°	_
a4-/0	о	a—/<o	l—oo a34-co2 ’
Покажем, что интеграл (1) сходится абсолютно и равномерно
относительно о. Действительно, получим следующую оценку,
учитывая равенство ^5) § 35:
СО
$ [(tje^dl
— со
ОО	03
= J \f(t)\dt=M.
— СО	— 00
44
co
Так как интеграл § |/(/) e~,at | dt сходится, то интеграл (1) схо-
— со
днтся абсолютно, а так как | f (t)	] — | f (t) | и интеграл
СО
| f (t) | dt сходится, то в соответствии с признаком равномер-
ной сходимости несобственных интегралов интеграл (1) сходится
равномерно относительно <о.
Формула интеграла Фурье
СО
/(0 = ^- J F(/fi>)^d®	(3)
— СО
позволяет по известной функции F (ja) определить ей соответ-
ствующую функцию f(t); на этом основании формулу (3) (или
формулу (26) § 35) называют обратным преобразованием Фурье.
Символически это преобразование можно записать в виде
^{FO)} =/(/).
(4)
Интеграл в правой части равенства (3) также следует рас-
сматривать в смысле главного значения, т. е.
\ F (/со) eJat da = lim jj F (/со) eJ'at da.
-•co *	co,-»oo — (B1
Нетрудно показать, что
сходится, то интеграл в
равномерно относительно
со
если интеграл Jj F (ja) da абсолютно
— со
правой части равенства (3) сходится
t. В самом деле, справедлива оценка
J F (ja) eJ'at da
CO	co
«С |F (ja) e’at | da = $ IF (ja) | da.
— co	— co
co
Так как интеграл J \F(ja)\da, по условию, сходится, то ин-
— со
теграл (3) сходится равномерно относительно t.
В ряде задач автоматического регулирования функция f (t)
характеризует процесс, имеющий место лишь начиная с некото-
рого момента времени f, который можно принять за нулевой.
В этом случае /(/) = 0 при /<0 и формула (1) принимает вид
F(j<F) = \ f(t)e~Jaldt,
о
или символически
dF{f(t)}=F(ja) (t>0).
(5)
(6)
45
Интеграл в правой части формулы (5) следует определять
с помощью предельной операции
оо	Т
5 f(t)e~j6stdt= lim \ f(t)e-’^dt,
<1	г -»ет е
е-»+ о
где е->4-0 означает правый предельный переход. В дальнейшем,
операция предельного перехода будет предполагаться выполненной.
Преобразование, определяемое формулой (5), называется пря-
мым односторонним преобразованием Фурье.
Обратное преобразование Фурье, соответствующее прямому
одностороннему преобразованию, остается двусторонним по пере-
менной со и дается равенством
СО
= i J F(/co)^dco (Z>0),
— со
где Е(/со) определяется формулой (5), или символически
а>о)-
(7)
(8)
При Z = 0 значение правой части равенства (7), как это сле-
дует из равенства (26) § 35, равно *- lim f (t)\ при / <0 / (Z) = 0.
z /->+о
Если функция F(/co) удовлетворяет условию леммы Жордана
(см. § 32), тр в формуле (7) интеграл
ОО	п
\ F (/со) eJ'a‘ da == 2л/ 2 Res F (/со) е** |и =	(/ > 0),
- со	1
где со* —особые точки функции F (ja), расположенные в верхней
полуплоскости плоскости со. В этом случае
f (0 = / s Res F (ja) е^‘ |и =
А = 1
а>о).
(9)
Очевидно, что одностороннему преобразованию Фурье могут
быть подвергнуты те функции f (t), которые в любом интервале,
заключенном в пределах 0«С/-<оо, удовлетворяют условиям
СО
Дирихле, и интеграл J | / (/) | dt существует.
о
Пример 2. Найти спектральную характеристику функции
/(о=Г'а/ при t>0,
( 0 при t <. О, причем а > 0.
46
Данная функция удовлетворяет условиям применимости преобразования
Фурье. Из формулы (5) получим
то
F =	dt=-----1— е-<а+Л» 11°° —
u ' J	а-[-/со jo а+/(!)’
о
т. е.
((>0).
1	' а + /со
Пример 3. Найти функцию f (/) при t^O, если спектральная характери-
стика ЭТОЙ фуНКЦИИ A (/CO) =	у())-
Функция С (до)=4--—!— имеет в верхней полуплоскости единственную
1 <о + “
1
, а
особую точку (0 = 101 = j-=/a.
Следовательно,, принимая во внимание формулу (9), получаем
/(/) = /Res 4-—1	= lim (со— /а)-—?-r-eJat = ё~°*	(/> 0);
'	1	|<о = <о1	и-+/а	'<0—/а
при /<0 /(/)~0; при /=0 /(/)= !- lim e~at—
/—>4-0	&
2. Спектральные характеристики суммы, производной и инте-
грала. Рассмотрим основные теоремы, относящиеся к преобразо-
ванию Фурье.
Теорема 1. Если функции fi(t),	fn(t) преобразуемы
по Фурье и их спектральными характеристиками являются соот-
ветственно Fi(jbi), F^fja), ..., Fn (/со) и если Х2, ...,	—
величины, не зависящие от t и со, то справедливы следующие ра-
венства:
( п	1 п
Z who = £ wm/®). (io)
Vk=l	/ k~ 1
( п	1 п
2 KFh (/со) = W* (0-	(11)
' k = l
Доказательство. По формуле (1) найдем
( п	А оо п
{S hfk (о} = J S wft (о dt.
Чг ~ 1	/	— со k = 1
Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, а множитель,
не зависящий от переменной интегрирования, можно выносить
за знак интеграла, то
/ п	А п оо	п
& I] W/г (0| = Ц К \ fk (0 е^‘	KFU
47
Аналогично получим, используя формулу (3),
{п	А	оо п
J У, 9^Fk(ja)etal da~
fe = l	J	— со k~ 1
п	со	п
= 2 i J Fk (/<->) Jco =	"
* = 1 —co	A = 1
Эта теооема устанавливает линейность преобразования Фурье,
т. е. показывает, что линейной комбинации функций соответ-
ствует линейная комбинация спектральных характеристик этих
функций.
Пример 4. Найти спектральную характеристику функции
( е^Л-е-^ при />0
I при /<0 (К>0’ ₽>0)-
Принимая во внимание доказанную теорему и результат примера 2, найдем
? {е- аЧе-₽/}	{е^}+^ {е-₽С} =-L- + J- (t > 0).
Теорема 2. Если функция f (t) и ее производная f: (/) преобра-
зуемы по Фуоье и f (I) имеет спектральную характеристику F (/со),
то спектральная характеристика производной
<^{Г(0} = >А(/со).	(12)
Доказательство. Преобразование по Фурье производной
СО
определяется равенством <У {f' (/)} = § f' (I) e~ib>t dt. Проинтегри-
— co
руем правую часть этого выражения по частям, тогда
со
^{Г(О}=/(Ое-^|“ю + /со $ f(t)e~^dt.
— со
Так как функция f (t) преобразуема по Фурье, то
lim f(t) = Q, откуда f (t)e~iat l+“ = 0.
Замечая, что J f (t) e~it!,tdt — F(ju>), найдем {f (/)} = /coF (/co). 
— co
Используя n-кратное интегрирование по частям, можно пока-
зать, что спектральная характеристика абсолютно интегрируемой
в интервале (—-оэ, со) производной (/) определяется равенством
^{f(«)(0} = (/®)"F(/<o),	(13)
если lim f(ft)(0=0 (k = 0, 1, 2, ..., п— 1).
►^ео
48
Легко убедиться, что при одностороннем преобразовании
Фурье спектральная характеристика производной
cF{/'(^)}=/«F(/a))-/(+0),	(14)
где / (+ 0) = lim (/).
<—+о
Теорема 3, Если функция f (t) преобразуема по Фурье и
СО
F (/<о) — ее спектральная характеристика и если f (t) dt = 0,
— со
t
то спектральная характеристика интеграла. J f (т) dx
Доказательство. Найдем преобразование по Фурье инте-
{ t	\ CQ ! t	\
грала еГ <	/ (т) dx? = $ I § f (т) dx | е“/и/ dt. Проинтегрируем
интеграл в правой части этого равенства по частям. Тогда
(/Л	/	оо	со
( f(T)dr} = -i^ \f(x)dx +1 f f(t)e-wdt.
— co	>	—CO	— CO	—CO
co
Так как по условию теоремы f(t)dx = O (это справедливо,
— со
например, для нечетной функции f (/)), то первое слагаемое пра-
вой части обращается в ноль и мы имеем

' t	оо
р (т) dx = ± р (0 е^ dt — j^F (ja). 
*— СО	— со
Теорему можно распространить и на интегралы кратности п.
со	со
Если ... J f(t)(dt)n = O, то справедливо равенство
— со — со
ft	t
р • 	/ (т) (dx)n
— со — со
• F (]<£>).
(16)
При одностороннем преобразовании Фурье находится спект-
t
ральная характеристика интеграла \ f (т) di. Нетрудно убедиться,
о
со
что если справедливо равенство jj f (т) dx = 0, то
о

(17)
49
Из последних двух теорем видно, что спектральная характе-
ристика производной может’ быть получена умножением, а спект-
ральная характеристика интеграла— делением спектральной ха-
рактеристики функции f (t) на /со.
3. Спектральная характеристика смещенной функции. Смеще-
ние спектральной характеристики. Сжатие и растяжение функции^
Пусть задана функция f (t — а), которая отличается от функции
f (0 тем, что первая смещена (запаздывает) по отношению ко вто-
рой на время а (рис. 103, а, б). Спектральная характеристика
смещенной функции f(t — a) может быть определена с помощью
следующей теоремы.
Рис. 103
Теорема 4. Если функция f (t) преобразуема по Фурье и F (/со) —»
ее спектральная характеристика, то спектральная характери-
стика смещенной функции fit —а), где а — положительное число,
есть
{f (t— a)}—e~,aaF (jca).	(18)
Доказательство. При доказательстве теоремы исполь-
зуем равенство F (/со) = $ f (т) е^>'аХ dx. Введем новую переменную
— оо
/ = т4-о; тогда
F(/co) = f f (t-a)e-^^ dt.
— co
Умножим это равенство слева и справа на e~taa (а считаем не за-
висящим от t):
e-i^F f f (t — a) e~l<ai dt.
— co
Ho
$ f(t —a) er>at dt = eF {f (t — cz)},
— co
поэтому {fit —a)} = e~iwlF (/co). 
50
Заменяя а на—а, получим спектральную характеристику функ-
ции f(t + a), «опережающей» функцию f (t):
{/ (/ + а)} = е^аР (](£>).	(19)
Пример 5. Найти спектральную характеристику смещенного импульса высо-
той и длительностью ти (рис. 104).
Заданный импульс
А: при
/10=	т Чт
0 при	и
Функция /х(0 является запаздывающей на время ти по отношению к функции
f (t), рассмотренной в примере § 35. Следовательно, ее спектральная харак-
теристика определяется формулой (18), где нужно положить д=ти. Так как
спектральная характеристика несмещенной функ-
ции (см. пример 7 § 35)
г? z • \	• СОТ,,
F(/<o) =-^яп-^-,
то
Теорема 5. Если функция f (/) преобра-
зуема по Фурье и F (jа)—ее спектральная
характеристика, то
,^{e-/«7(/)} = F(/(<o + c)),	(20)
где а —любое вещественное неотрицатель-
ное число.
Доказательство. Используя формулу преобразования
Фурье F (/со) = § f (/) e/blt dt, найдем
cF" (/)} = f f (t) e~^a+a)t dt = F (/(co + a)). 
—oo
Заменив а на — а, получим еще одну формулу:
^{e^f(t)} = F (/(со -а)).	(21)
Пример 6.
стику, равную
Определить, какая функция имеет спектральную характери-
----гт—;—г. где а > 0—вещественное число.
а-Н (<!)+«)’
Обозначим ———'—:—г
а-Р/ (<о-рс)
через F(j(a-]-a)). Несмещенная спектральная
характеристика F (jo)
1
а-р/со
, как видно из примера 1, соответствует функции
е при t > 0,
0 при t < 0.
51
Тогда, учитывая формулу (20), получим, что спектральной характеристике
F (j (со -р а)) соответствует функция
( е1~а^а> * при t > 0,
fi Ц) — \ „	. „
( 0 при t<0.
Пусть задана функция f (t) и ее спектральная характеристика
есть F(/co). Разделим аргумент функции t на некоторое положи-
тельное число а, независимое от t и со. Графики функций
относительно переменной t отличаются друг от друга при раз-
личных значениях а. На рис. 105 а, б, в приведены, например,
/ f \	— 0,5 —	t
графики функций	— e	“cosin;-- для значений а = 0,5; 1;
2. Если а>1, то график функции растянут вдоль оси Ot
относительно графика функции У которой а=1. Если же
а<1, то график будет, наоборот, сжат.
Следующая теорема устанавливает, как изменяется спектраль-
ная характеристика функции f (/) в результате растяжения (сжа-
тия) графика этой функции вдоль оси времени.
Теорема 6. Если функция f(f) преобразуема по Фурье, F (/со)—
ее спектральная характеристика и а — положительное веществен-
ное число, то справедливо равенство
(22)
Доказательство. Используя в формуле преобразования
Фурье вместо обозначения переменной со обозначение w, получим
52
co
F (jw) = $ f (t) e~/wX dt. Умножим и разделим т на fl и введем
—ОО
.	W
новые переменнее t — ta и со = —, тогда
оо	.та	оо
—со	—со
или
со
1 с ) e~,at & ~ aF 
—СО
Из формулы (22) видно, что при растяжении (сжатии) в а раз
графика функции f (/) вдоль оси времени график модуля спект-
ральной характеристики | F (/со) |, во-первых, сжимается (растя-
гивается) вдоль оси частот в а раз и, во-вторых, увеличиваются
(уменьшаются) в а раз его значения. Следовательно, чем короче
импульс, тем шире график модуля его спектральной характери-
стики. В § 37 показано, что бесконечно короткий импульс имеет
бесконечно широкий график модуля | F (/со) |.
4. Теорема Парсеваля. Следующая теорема позволяет сделать
вывод о распределении энергии по гармоникам непериодического
сигнала.
Теорема 7. Если функции fr (t) и f2 (0 преобразуемы по Фурье
и их спектральные характеристики есть соответственно Ft (/<в)
оо	со
и F2 (/со), причем интегралы , F\ (/со) dco, । р2 (/со) do сходятся
—со	—со
абсолютно, то справедливо равенство
СО	со
$ /1 (О /2 (0 dt = ±	Fr (/со) F2 (- /со) dco. (23)
— оо	—со
Доказательство. Для функции /х(0 напишем представ-
СО
ление в виде интеграла Фурье: /i(0 = 27t § Fi (/со) dco. Обе
— со
части этого равенства умножим на /2(0 и проинтегрируем по t
в пределах от —• оо до + оо, тогда
ОО	СО	Г- ОО
fl(0f2(t)dt = ~ jj f2(t) J ^(/coj^dco
— CO	— CO	|_— CO
dt.
CO
Так как по условию теоремы интеграл \ Fx (/со) dco сходится
—СО
оо
абсолютно, то интеграл $	(/со) е^‘ da сходится равномерно
—ОО
53
относительно t (см. п. 1 § 36). В этом случае в правой части
последнего равенства можно
переменить порядок интегрирования:
со	со
$ fi(t)M)dt = ± J Л(«)
— со	—оо
Г- оо
f2(t)e^dt
— со
dco.
Так как справедливо равенство
ОО
$ f2(t)e>at dt = F2(— ju),
то получим
со	оо
j fi (0 /г (О dt = J Fl (j<t)Fi (— ja) da. 
— co	—CO
Утверждение, записываемое в виде равес ства (23), носит на-
звание теоремы Парсевал:-, Теорема позволяет находить интеграл
в бесконечных пределах от произведения двух функций, опери-
руя лишь со спектральными характеристиками этих функций.
Если характеризует, например, мгновенное значение напря-
жения, a f2 (/) — мгновенное значение тока в электрической цепи,
то произведение fi (/) /2 (/) есть мгновенная мощность, а интеграл
СО
jj fi (О А (0 dt — энергия. Таким образом, зная спектральные ха-
—со
рактеристики /ц (ja) и F2 (Ja) соответственно напряжения и тока,
можно с помощью формулы (23) вычислить энергию выделяемую
током за время — со < t < со.
Получим формулу (23) в несколько ином виде. Пусть
(/и) = | Fi (Ja) |	(и), F2 (— ja) = | F2 (— /®) | е^‘ “>,
где
«Pi (со) = arg Л (ja), <р2 (— со) = arg F2 (— /со);
тогда
Fi (/«) F2 (— /со) = | Fi (/со) 11Л (/со) | [cos cpi (со) ф- / sin срА (со)] х
x[cos ср2 (со) — /sinср2 (со)],
гак как модуль | F2 (/со) | является четной, а аргумент ср2 (со) — не-
четной функцией относительно переменной со,. Отсюда следует,
что
ОО	со
Л ( А (/«) F, (- /со) da = J- ( I Fl (ja) |1F2 (ja) | X
— co	— 00
X [cos cpi (co) cqs cp2 (co) f- sin cpj. (co) sin cp2 (co)] da ф-
co
+ o- C IFiOJlIFaG^ltsincp^coJcoscpaCcoJ-coscpjHsincpgtco^dco.
— oo
54
Второе слагаемое в правой части этого равенства обращается
в ноль, так как под знаком интеграла находится нечетная функ-
ция относительно со. Подынтегральная функция под знаком пер-
вого интеграла, наоборот, четная. Следовательно,
со
2^ J А (/ю) F2(— ju>)da =
— СО
СО
= ~ j I Fl (]а) 11 ^2 О) | COS [<P1 (co) - cp2 (co)] dco
и формулу (23) можно записать в вещественной форме:
со (	со
J fl (0 f2 (О dt = ~ J I л (/со) 11 л (/со) I cos [<рх (со) - <р2 (со)] dco. (24)
— со	О
Если положить fi (t) = f2 (t) = f (t), то F1(/co) = E2(/co) = E(/co)
и соотношение (24) превращается в равенство, называемое фор-
мулой Парсеваля,
ОО	00
J f2(/)d/ = lJiE(/co)j2dco.	(25)
—оо	О
Применительно к задачам электрических цепей f (/) можно
рассматривать как функцию, характеризующую изменение тока.
со
Тогда интеграл $ Л (0 dt является энергией, выделяемой током
—со
за время — оо •< t < оо в цепи с единичным сопротивлением.
Формула (25) в некотором смысле аналогична формуле (45) § 34,
определяющей среднюю мощность сигнала. Величина — | F (ja>) |2 da>
является энергией, выделяемой гармониками функции f (t), частоты
которых расположены в полосе частот da>, содержащей частоту со.
Функция ' F (/со) |, как показано ранее, характеризует отно-
сительные амплитуды гармоник представления функции f (/) в виде
интеграла Фурье. Функция | F (/со) |2 характеризует распределение
энергии по частотам этих гармоник и может быть названа энер-
гетической спектральной характеристикой непериодической функ-
ции f(/).’
5. Умножение спектральных характеристик. Спектральная ха-
рактеристика произведения двух функций. Пусть заданы две функ-
ции fi (0 и /2 (/), определенные в интервале —• оо < t < со. Вве-
дем новую функцию
ОО
f(0=	(26)
—ОФ
55
которую назовем сверткой функций Д (/) и Д (О- Символически
свертка f (/) обозначается
/(О = Д(О*Д(Д	(27)
и читается так: функция (/), свернутая с функцией f2 (/).
Для получения свертки следует, как видно из (26), в функ-
циях Д (t) и f2 (/) заменить переменную t на т; затем в функции
/1 (т) аргумент т заменить на — т; сместить функцию Д (— т) на
величину t, т. е. образовать функцию Д (Z — т); перемножить функ-
ции Д(/ —т) и Д(т), а затем проинтегрировать получившееся
произведение в интервале (— со •< т < со). Совокупность этих
операций называется свертыванием функций Д (/) и Д (Д-
Основные свойства свертки функций
1.	Свертывание обладает свойством коммутативности, т. е.
(28)
Доказательство. Требуется показать, что
ОО	со
$ Д(^ —-г)Д(т) dT= J Д (t - -г) Д (т) dx.
—оо	—оо
Сделаем в первом интеграле подстановку / —т = т], тогда
оо	—оо	оо
$ Д(* —т)Д(т)<Д = — $ Д (т])Д(^-'11) *1= $ Д^-^Д (л) *1>
—оо	00	—со
следовательно, равенство (28) справедливо. S
< Свойство коммутативности свертки имеет своим аналогом свой-
ство коммутативности умножения двух чисел а и Ь, в силу кото-
рого ab — ba.
Если имеются три числа а, b и с, то операция умножения
этих чисел обладает, как известно, свойством ассоциативности,
т. е. (ab) с — а (Ьс). Аналогичное свойство имеет и операция свер-
тывания.
2.	Свертывание обладает свойством ассоциативности, т. е.
[Д (Д * Д (Д] * Д (Д = Д (О * [Д (Д * h (Д1,	(29)
Доказательство. Положим
СО	оо
J Д(^-ДА(ДЛ=йг(Д. $ Д(/-ДД(Д4т=Л(Д-
— оо	—со
Свойство (29) будет доказано, если удастся установить спра-
ведливость равенства
со	оо
$ &(/ —ДДСД = J Д (t — т) h (т) dt.	(30)
56
Ё правую часть очевидного равенства
$ gV-т)Д(т)dx =	$ Л(/~Т-'Г1)Д(|1)Л1 fs^d-c
—со	—col—оо
введем новую переменную у = т) + т, тогда
$ g (t— t) 1з(?) dx — $	Д(^-т)Д(т-т)б/у Д(т)(/т =
= $ А(^-Т) $ ДСу-^ДД) <Д с/у= $ fi(i-y)h(y)dy.
Так как значение интеграла не зависит от наименования пе-
ременной интегрирования, то правая часть этого равенства совпа-
дает с правой частью равенства (30). 
3.	Свертывание обладает свойством дистрибутивности отно-
сительно сложения, т. е.
h (0 * [ft (/)+Д (0] = fi (0 * ft (0+Д (0 * f3 (0.	(31)
Доказательство. Имеем
ОО
$ Л(^-т)[/2(т) + /з(т)]с/т =
— со
, ОО	СО
= $ Д(/-т)Д(т) с/т+ 5 Д (t - т) Д (т) dx.
—со	—оо
Следовательно, равенство (31) справедливо. Я
Дистрибутивность свертки является аналогом дистрибутивно-
сти произведения чисел, т. е. а (Ь ф- с) — ab ф- ас.
Таким образом, свертка имеет те же свойства, что и произ-
ведение чисел.
Если функции Д (/) = 0 при t < 0, Д (0 = 0 при t < 0, то
Д Д) = 0 при т < 0, Д (— т) = 0 при т>0 и Д (/-т) = 0 при x>t.
В этом случае свертка функций Д (/) и Д (/) определяется равен-
ством
t
f(t) = \fi{t-x)fAx)dx.	(32)
о
Символическая запись (27) операции свертывания при этом
не изменяется.
Следующая теорема позволяет найти спектральную характе-
ристику свертки двух функций.
Теорема 8. Если функции и f2(t) преобразуемы по Фурье
и их спектральные характеристики есть соответственно Ei(/®)
м F2 (ja»), то спектральная характеристика свертки определяется
равенством
( Г Д (/ - Т) Д (г) Ц = F, (/(О) F8 (».	(33)
I— сэ	J
57
Доказательство. По условию теоремы, функции Д (/) и
со
Д (О преобразуемы по Фурье; поэтому интеграл f(t) = § fi(t — т)Х
—оо
X Д (г) dt также преобразуем по Фурье. Найдем спектральную
характеристику еЛп/(0}- Имеем в соответствии с равенством (1)
<&’ J Д (t — т) Д (т) г/т1 = $	( Д (t — т) Д (т) dt er>at dt =
= J Д 5 f1 и ~г) dx-
—co	L*“9°
Введем новую переменную t- -т== т), тогда
& Н fl (t -1) f2 (т) dxl = \ Д (t) J Д (I]) e-i^dx\ e->'m dt.
Так как по условию теоремы
J fi (^)e-'“Mr)==Fi(/<o),
5 fi Д) е->ах dt = F2 (ja),
TO
/ oo	\
I S fi^ — ^fi^dt^Fia^Fidoa). 
l—OO	)
Из доказанной теоремы, как следствие, получим, что обратное
преобразование Фурье произведения /Д (/и) 7Д (До) спектральных
характеристик определяется равенством
ОО
^-ч{Л(/®)Д2(/а))} = J fi(i — t)f2(t)dt.
—со
(34)
Если Д (/) Цё 0 при t < 0 и Д (Д = 0 при t < 0, то формулы
(33) и (34) соответственно приобретают вид
и
К Д (^ - т) Д (т) dxl = Fi (ja) Ft (ja)
lo	J
t
{F, (ja) F. (ja)i = J Д (t - т) Д (t) dt.
о
(35)
(36)
Докажем теперь теорему, позволяющую определять спектраль-
ную характеристику произведения двух функций.
Теорема 9. Если функции fi (t) и f2 (t) преобразуемы по Фурье
и их спектральные характеристики есть соответственно Fi(ja)
5b
и F2(/co), то спектральная. характеристика произведения fiCOAG)
дается равенством
ОО
{Л (О h (0} = i J А (/ <“ - ^)) 0^) dw. (37)
—со
Доказательство. По теореме Парсеваля имеем
оо	оо
J	=	| fy<jw)G(— jw} dw;
—со	—CO
здесь G (jw) — $ g(t) e~’wt dt.
Пусть функция g(f) определена в виде g (/) = h (t) e~’wt. Тогда
в соответствии с равенством (20) имеем G(ny) = F1(/(ny-J-co)), сле-
довательно,
2~	F2(jw)G(— jw)dw — ^ F2(jw)F[(j (со -w))dw,
—со	•—оо
ИЛИ
оо	со
$ f№g(t)dt = $ МО МО	ЮЛ (ОН
—оо	—ср
= i J F1У _ dw- и
—co
Интеграл в правой части равенства (37) является сверткой спект-
ральных характеристик РЛ (/со) и F2 (/ю).
Из последних двух теорем следует, что спектральная харак-
теристика свертки равна произведению спектральных характери-
стик Fi (/co) F-i (/со) свертываемых функций, а свертка спектраль-
ных характеристик соответствует произведению функций (t) f2 (/).
§ 37. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
1. Единичная ступенчатая функция. Дельта-функция. В § 16
в качестве воздействия, прикладываемого к автоматической  си-
стеме, рассматривалось воздействие вида
( 0 при /СО,
пг, 1>0. т
Функция 1 (/) называется единичной ступенчатой функцией,
а функция
{0 при t < т,
1	(2)
1 рри />т
Б0
— смещенной единичной ступенчатой функцией (рис. 106, а, б).
Из представления (1) следует, что единичная ступенчатая функ-
ция имеет при 1 — 0 разрыв непрерывности первого рода, причем
значение функции в точке разрыва не определено. Однако еди-
ничным ступенчатым функциям в ряде случаев приписывают при
/ = 0 вполне определенные значения; наиболее часто встречаются
функции следующего вида:
1(0 =	1 1 2	при при	t> t =	o,	
				o,	(3)
	0	при	t<	0,	
	' 1	при		0,	
1(0 =	, 0	при	t<	0,	(4)
	г 1	при	t>	0,	
1(0 =<	L о	при		0.	(5) i
Выбор того или иного значения единичной ступенчатой функ-					
ции при t — О связан с особенностями решаемой задачи. Напри-
мер, представление (3) (рис. 107, а) удобно в том случае, когда
Рис. 107
рассматривают функцию 1 (О как предел при Л -> оо последова-
тельности непрерывных функций
f(t, Z) =| +arctg 7/,	(6)
60
где X является параметром (рис. 107, б), т. е. 1(/)= lim f(t, %),
к оо
При этом следует принимать во внимание лишь главные значе-
ния многозначной функции (6), т. е. значения, принадлежащие
интервалу —arctg 7/ < Последовательность непрерывных
функций
f(t, ^) = 7ТЧ7	(7)
14-е м
при Х->оо также имеет своим пределом функцию (3). Если
в качестве последовательности непрерывных функций принять
последовательность
/(/, Z) = a-e'w (0<а<1),	(8)
то предел этой последовательности
lim f (t, ty —
Z —>оо
1 при
0 при
/>0,
КО.
При t — 0 предел последовательности (8) равен а, т. е. значение
функции 1 (/) при t = 0 может быть любым, принадлежащим ин-
тервалу 0 <а < 1.
Таким образом, различные аппроксимирующие последователь-
ности непрерывных функций приводят к различным значениям
функции 1(/) при t = 0.
К категории особых функций относится дельта-функция Ди-
рака, называемая также импульсивной функцией первого порядка.
Дельта-функцйя определяется равенством
причем
0 при t #=0,
оо при t = 0,
\ 6(/)d/ = l.
(9)
(Ю)
6(0 =
Условия (9) и (10) оказываются несовместимыми, если рас-
сматривать их с позиций классического математического анализа,
и поэтому дельта-функция не является «функцией» в обычном
смысле. Однако в классе обобщенных функций *) дельта-функция
занимает равноправное место.
Дельта-функция обычно рассматривается как предел последо-
вательностей дельта-образных гладких (имеющих производные
*) См., например: Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные
функции и действия над ними. Физматгиз, 1958, а также РозеифельдА.С.,
Я хинсон Б. И. Переходные процессы и обобщенные функции. «Наука»,
1966.
61
любого порядка) функций. Например, последовательность функций
/е(Л А)= я(1+х2^>	О1)
являющихся производными по t (рис. 108, а) от гладких функ-
ций последовательности (6), является дельта-образной последова-
тельностью, так как lim fc (/, Z) = 6(Z). В самом деле, при
имеем lim \ая>- = 0, при / = 0 lim ,,	lim Д =
^соя(1+^	Г	Х-»оо я(1+Х2/2)	я
= оо, причем
ОО
V . Д2-2 dt = - arctg>-/1” =---Гу — -yYI == 1.
,1 1 X2/2 л л ь	I— от	я|_2	\	2 / J
— оо
Следовательно, функция, определяемая как предел последо-
вательности функций (11) при Х->оо, является дельта-функцией,
т. е. последовательность (11) представляет собой дельта-образную
последовательность. При таком определении дельта-функции она
является четной функцией.
Нетрудно убедиться, что производные по t от последователь-
ностей гладких функций (7) и (8) также являются дельта-образ-
ными последовательностями.
Дельта-функция может аппроксимироваться и разрывными
функциями. Например, последовательность функций
k(t,	'	(12)
характеризующих импульсы высотой — и длительностью а
(рис. 108, б), при а->0 сходится к дельта-функции, т. е.
б (/) = lim (/, а) — lim-1	.
с-»0	я-»0	а
62
Смещенная дельта-функция Ь(1 — х) определяется равенством
„ ,	(0 при / =# т,
д(/-т =1	(13)
( оо при t — т,
при этом
f 6(/-T)d/==l.	(14)
— со
Функцию 6(/ —т) следует понимать как предел при Х->-оо
смещенных дельта-образных последовательностей, например после-
довательностей гладкие функций вида
f6(Z —т, X) = Л[1 + х2^-т)2] ’
т. е.
6 (t — т) — lim (/ — т, X).
Z->co	(
Выше было отмечено, что гладкие дельта-образные последо-
вательности образуются в результате дифференцирования после-
довательностей гладких функций, сходящихся к единичной сту-
пенчатой функции; поэтому дельта-функцию б(/ — т) можно счи-
тать производной по t от единичной ступенчатой функции 1 (/ — т),
т. е.
6(/-т)=1'(/-т).	(16)
Таким образом, понятие дельта-функции оказывается плодо-
творным при распространении операции дифференцирования на
разрывные функции.
Если выполнить дифференцирование по t дельта-образной
последовательности, то получим последовательность, сходящуюся
к производной от дельта-функции. Например, дифференцируя
выражение (15), получим последовательность
K(t — 1 X)--------2Х8 (t—т)
'6 (I т, л; —	п[1 +Х2 (,_т)2]2.
Тогда производная от дельта-функции по аргументу t будет
6' (/ — т) = lim /е (/ — т, X).
Х-*оо
На рис. 109 приведены графики функций f'e(t — x, X) для раз-
личных значений параметра X при т = 0.
Первую производную от дельта-функции называют также
импульсивной функцией второго порядка.
Производная порядка п от дельта-функции
6п(/-т) = Ит f«(/-T, X)	(17)
X—>оо
может быть названа импульсивной функцией (/i-f- 1)-го порядка.
63
Рассмотрим важное свойство дельта-функции. Пусть функция
/(/) непрерывна и ограничена в интервале — сю</<оо, тогда
справедливо равенство
ОО
$ Г(0б(/-т)Л=/(т).	(18)
— со
Действительно, подынтегральная функция согласно равенству
(13) равна нулю при t^x, поэтому
f f(t)&(t-x)dt=] f(t)8(t-x)dt.
— со	Т—£
Здесь е> 0 —произвольно малая величина. При / = т функция
.. .	f (t) имеет значение f (т) и
 ’W*/	может быть вынесена за знак
Рис. 109
зываемое «фильтрующее^,.
интеграла при интегрировании
в бесконечно малой окрестности
точки i — x, тогда получим
f f (t)b(t — x)dt =
— co
т + е
= /(т) \ б(/-т)Л =
Т—Е
= f (т) § б (t — т) dx = f (т),
— со
следовательно, соотношение (18)
является справедливым. Это
соотношение определяет так на-
«выхватывающее» свойство дельта-
функции.
Пусть	(/); тогда вместо равенства (18) получим
ОО
5 g'(/)6(/-T)d/ = g'(T).
Проинтегрируем интеграл в левой части равенства по частям:
©о	оо °°
$ ё' (06(/-T)d/ = g(06(^-T)|_oo- $ g(t)6' (t-x)dt=*
а- ©о	— СО
со
=— J g(t)8' (t-x)dt,
— оо
так как произведение g(/)6(/ — т) обращается в ноль при t =*
оо
s=±co. Следовательно, — \ g(0 б' (I — т) dt~g' (т) или, сме-
— OQ
нив наименование функции g (/) на f (/), найдем, что
СО
5 f(t)b'(t-i)dt^ —ГЮ.	(19)
— оо'
Аналогичным ооразом можно показать справедливость соот-
ношения
СО
5 f (0 (t — i)dt = (—1)” /(") (т),	(20)
— со
если функция f(t) имеет непрерывные производные до n-го по-
рядка в интервале — оо<;/<;со.
Определим теперь спектральные характеристики, единичной
ступенчатой функции. Единичная ступенчатая функция 1 (/) не
удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, и поэтому
преобразование Фурье для такой функции не существует. Однако,
используя понятие дельта-функции, можно построить спектраль-
ную характеристику и для функции 1 (/). Покажем, что ее
спектральная характеристика определяется равенством
^{1(0} = ^0<о) = -^+л6((о).
(21)
Подставляя F (ja) в формулу (24) § 36 обратного преобразования
Фурье и учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, полу-
чаем
СО	оо
f(O=i S (4r+"8<“»)£'"‘'“=i S ^‘'“+4- (22»
— оо	— со
Учитывая лемму Жордана и основанные на этой лемме способы
вычисления несобственных интегралов (см. § 32), найдем, что
со	оо
р eJat	С	г.
I	da = /л при t > 0 и \ da — — /л при г < 0.
— со	— 00
Следовательно,
и
/(0= 2^/-’Я + 4=1 ПРИ Z>°
/(0=^-1 ^/ji)+4==0 п₽и /<0-
Таким образом, обратное преобразование Фурье функции
F(ja) приводит к единичной ступенчатой функции, и поэтому
правая часть равенства (21) является спектральной характери-
стикой функции 1 (/).
3 n/р. Чемоданова Б. К„ т 2
65
Отметим, что, отделяя в выражении (22) действительные и
мнимые части, получим представление единичной ступенчатой
функции в виде интеграла Фурье:
ОО
j ^*>+4-	<23>
— оо
Для смещенной единичной ступенчатой функции (2) найдем,
учитывая равенство (21) и теорему 4 § 36, следую-
щую спектральную характери-
4Д/М1	стику:
_________1	^{i а-т)}=д (/«)=
Определим спектральную ха-
Рис. НО	рактеристику дельта-функции (9).
Получим, принимая во внима-
ние фильтрующее свойство дельта-функции, что
СО
^{6(/)}=Д(/ю)= $ б(0е-м<й=1.	(25)
— 00
Спектральная характеристика смещенной дельта-функции будет
°F {6 (/ - т)} = F (ja) = е >т.	(26)
Из последних двух равенств видно, что модуль спектральной
характеристики дельта-функции ^(/ю)| равен единице (рис. ПО).
Найдем спектральную характеристику суммы двух дельта-
функций 6(/—т) и 6(/ф-т) (рис. 111, а):
Л {6 (t — т)ф-6 U + t)} — F =	[б (t — т)ф-6 (tф-т)]e~’atdt =
= е iat ф- eJat = 2 cos ют,
66
т. е. в этом случае спектральной характеристикой является коси-
нусоида (рис. Ill, б).
Следует заметить, что полученные соотнон'ения имеют чисто
формальный характер, так как дельта-функция не является
обычной функцией. Строгое обоснование этих формул может быть
дано лишь с привлечением теории обобщенных функций, поскольку
дельта-функция может рассматриваться как один из примеров
обобщенных функций.
2. Гармонические колебания. Пусть задана косинусоидальная
функция
f(0 = A1cosco1Z	(27)
с амплитудой Лх и частотой сор Амплитудный спектр этой функ-
ции состоит из двух отрезков высотой Л1 при частотах со = zt со1;
для других значений частоты и значения амплитудного спектра
равны нулю (рис. 112, о).
Косинусоида не удовлетворяет условию абсолютной интегри-
руемости на интервале (—сю, оо), поэтому формула
F(/co) = Г f dt
— со
не может быть непосредственно использована для определения
спектральной характеристики функции (27). Однако введенное
выше понятие дельта-функции позволяет расширить область при-
менимости этой формулы и, в частности, определить спектраль-
ную характеристику периодической функции.
Покажем, что спектральная характеристика косинусоиды будет
F (/со) = nAj [б (и — о>1) ф- б (® + ®i)].	(28)
Для этого подставим в формулу (26) § 36 обратного преобразо-
вания Фурье
f (О = {А (/со)} = Re t F (/co) da	(29)
3*
67
выражение (28):
f (/) = Re л/16 (и — сох) ejv>t d(n = Ai Re е^.
о
Здесь мы использовали свойство (18) дельта-функции, причем
точка © = «>! расположена внутри интервала (0, оо), а 6 (й+й)) =
= 0 при (о>О. Следовательно, с учетом формулы Эйлера найдем
f (/) = Ах Re [cos c^t 4- j sin co^] — Ai cos (0i/,
т. e. обратное преобразование Фурье спектральной характери-
стики (28) дает косинусоиду (27). Итак, показали, что
sF"1 {лАх [6 ((О — (Ох) 6 ((0 + (Ox)]} — Ai COS COiZ, (30)
и, как следствие, получаем, что спектральная характеристика
косинусоиды (рис. 112,6)
aF {Al COS (01/} = F (/(О) = лА1 [6 ((0 — (01) 4- 6 (<о 4* (Oj)j.	(31)
Равенство (28) может быть доказано также с помощью пре-
дельного перехода. Найдем предварительно спектральную харак-
теристику произведения e-A|Z|Aicos(0i/, где X > 0 — некоторый
параметр:
sF О Aicos (ох/} — F (/и, X) = $ g-M*! Ai cos (0i/e_/MZ dt.
— co
Множитель	обеспечивает сходимость интеграла в интер-
вале (—оо, оо); имеем
У7 (/со, 7) = \ e~X|/l AiCOS(Oi/e~'a< d/ =
— со
со	оо
= Ai $ cos (01/cos (о/ dt — jAr $ cos(Oi/sin(o/d/ =
— 00	— со
со
— 2А! \ e-w cos ®1/ cos (о/ dt.
о
В этом равенстве мы приняли во внимание, что произведение
е-хц| cos (01/cos (о/ является четной, а произведение cos(Oi/x
X sin (о/— нечетной функцией относительно аргумента /. Так как
COS (01/ COS (i)t — -^ [cos ((o‘i — (о) 4- cos ((01 4- (0)],
то спектральная характеристика
F (ja, Z) = Ai [cos ((ox — (o) 14- cos ((ot 4- ®) /] dt =
о
— Л [.. . Л__________I____________1
1 [X24-((O-(O1)2 T- X24-((i>4-o1)2]•
68
Найдем теперь интеграл:
ОО	оо
SC Г X	XI
F (/со, %) с/со =	Л1 [ Х2+((0_(0.)2 + Х2+((о+(О1)2 J =
— со	— оо
= Л1 [arctg^^ + arctg^-l: J = 2лА,.
После предельного перехода получим:
lim F(/co, %) = оо, lim F (ja, X) = oo,
Z->0	л-*о
OJ=Wi	CO =— Ml	'4
oo
lim F (/co, %) = 0 при соу=±соъ lim F (/co, X) dco = 2лА,.
A.-0	'
Сравнивая полученные выражения со свойствами дельта-функ-
ции (12) и (13), найдем, что при %->0 спектральная характе-
ристика F (ja, X) имеет характер суммы двух смещенных дельта-
функций, т. е. lim F (ja, Z) = F (/co) — л Аx [6 (co — cox) 4- 6 (co -}- cox)l.
\ ’	К—> 0
Следовательно, равенство (28) является справедливым.
Пусть теперь задана периодическая функция
f (0 = У Л* cos kajt.	(32)
k = i
Ее спектральная характеристика
& I У cos = У {Л* cos ^coj/} =
U=i	J *=1
= л У Л* [6 (со - Агсох) -Ь 6 (со + Лсох)], (33)
fe = i
т. е. равна сумме дельта-функций, смещенных по оси со на вели-
чину ± kaT
Спектральная характеристика синусоиды
f (0 = Лх sin сох(	(34)
есть
F (/со) =	[6 (со - сох) - 6 (со 4- сох)],	(35)
ее модуль
| F (ja) | = Л хэт [б (со — сох) — б (со 4- сох)J,	(36)
Ь9
Спектральная характеристика периодической функции
СО
f (0 = У	sin k&it	(37)
k = i
определяется равенством
СО
F(/®) = 7 J (® ~*®i) — б (со + A>W1)].	(38)
1 Л=1
§ 38. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ
Введем понятие текущей спектральной характеристики, кото-
рую определим следующим образом:
t
= * (1)
о
Текущая спектральная характеристика позволяет со спектраль-
ной точки зрения описать свойства и историю развития реально
существующего и наблюдаемого физического процесса. В самом
деле, если функция f (t) характеризует некоторый процесс, начи-
нающийся в известный момент времени, который можно принять
за нулевой, то в формуле преобразования Фурье F (jan) —
со
= Ji f(0 e~jal & необходимо положить f(t) = O при — оо < t <_ О,
— оо
другими словами, следует перенести нижний предел интегриро-
вания из — оо в 0. Вид функции f (t) может быть точно уста-
новлен лишь в интервале наблюдения (0, /), поэтому интегриро-
вание надо производить в пределах от 0 до t, а не от 0 до оо,
так. как после окончания наблюдения за процессом вид функции
f (/) в общем неизвестен. Подобные соображения приводят к фор-
муле (1).
Из формулы (1) видно, что текущая спектральная характе-
ристика зависит не только от частоты со, но и от времени окон-
чания наблюдения t. Значение времени t может соответствовать
также моменту окончания самого физического процесса. Факт
зависимости /7 (со) как от со, так и от t позволяет наглядно
устанавливать связь между изменением во времени физического
процесса и ему соответствующим изменением характера раз-
ложения этого процесса на сумму гармонических составля-
ющих.
Пример. Определить текущую спектральную характеристику синусоиды
f (0=Ai siij Wit
70
t
Имеем Ft (j<a) = J 4j sin cot/ e~Jat dt. Проинтегрируем правую часть этого
6
равенства по частям; тогда
Ft (/со] ==A^W ~ cos atj |* — /Aj
— f e № cos <i>tt dt=
<ot J	•
0
t
- At—e~Jat coscoj/4-——iAt — t e~Jat cos &tt dt ==
(Ox	<0i	o>x J	1
Lo
— e~/al sin a>Lt I
«1	[i
= — Af — e Ja/ cos (Ott+—— iAt ~
<0j	(Ox 1	«!
t
+/--
<01
e iat sin coj/ dt = — AiB'i®1
COS Q>tf , At _
(Ox <01
—ial sin Wi/4-
At sin a>tt е ’Jat dt,
о
0
откуда
Ax sin <0x/ e Jat dt=-----------
1	,	<o2
e'
cosox/4-/
и искомая текущая спектральная характеристика
fz(/co)=Ai
<01
а>1—<о2
1 _ е-/<о/
(2)
Обозначим через п число полупериодов синусоиды, считая их с момента
возникновения процесса, и рассмотрим Ft (со) для дискретных моментов вре-
. Т п	2л	-г  п
мени г=л-п-==п— причем Т=----------период синусоиды Так как sinлл=0
COj	(Oj
при n=0, 1, 2, ... , то для дискретных моментов времени вместо (2) получим

—/лл —
1)ле °*
(3)

Найдем модуль текущей спектральной характеристики:
1^(/<о)|=А
<°i
1
11	1)" {cos tot—j sin со/] | =
cos со/]2 + sin2 со/
А
©1
1
У 2—2 (— 1)« cos со/.
71
„ • х
Известно, что sm -% =
1 —COSX
2
х
, СОЭу =
cos х
2
, поэтому
1Л(/«)1 = -77~| «1
wi I
. л со
sm п -х- —
2 (0А
(4)
1
если п—четное, и
И/(/со)
(5)
если п—нечетное.
При значение |F^(/co)| становится неопределенным Раскроем неоп-
ределенность по правилу Лопиталя. Если п — четное, то
...	п (О I
ЗТ I COS ЗТ л I 
2(0! |	2 (ot |
24^
lim | Ft (/co) |= lim —
to-*(Dx	(!)->(!)! W1
1
n
2(0!
. л n . t . Т
~A1 2^~~А1~2~А1П Т'
Аналогично для n—нечетного:
2 A
lim |Fz(/co)| = lim —1
co—*-<o,	co—<0j
п . п
Л -т;---- — sm Л
2со,
п со л Т
-п ---- =/11П -г- .
2 coj	4
Следовательно, модуль текущей спектральной характеристики | Ff (/со) j
при со=со! возрастает при увеличении
Рис. 113
Ft (/со) можно сделать суждения о
числа полупериодов п по линейному
закону. На рис. 113 приведено рельеф-
ное изображение модуля | Ft (/со) |
для различных значений п и поло-
жительных со. Из рисунка видно,
что с увеличением числа п все более
увеличивается максимум модуля спект-
ральной характеристики на частоте
При п==со периодичность функ-
ции f (/) проявляется наиболее пол-
но; В этом случае график | Ft (/со) |
представляет собой смещенную дельта-
функцию ----------1J- При и=1 не-
достаточно признаков, свидетельствую-
щих о возможной периодичность функ-
ции f (/), следствием этого является от-
сутствие на графике | Ft (/со) | максиму-
мов, в том числе и на частоте со “(Ох.
Таким образом, по характеру те-
кущей спектральной характеристики
нии времени t.
поведении функции /(/) при измене-
Рассмотрим еще один вид спектральной характеристики, зави-
сящей от времени, —мгновенную спектральную характеристику,
которую определим с помощью формулы
л (/СО, /) = J f(t)e^dt (Т>0).	(6)
t-T
72
В этой формуле интегрирование производится в отличие от фор-
мулы (1) не во всем интервале наблюдения за процессом (0, t),
а лишь начиная с момента времени t — T. Этот момент времени
предшествует текущему моменту времени t и удален от него на
время Т. Необходимость введения понятия мгновенной спект-
ральной характеристики связана с целесообразностью иметь
спектральную характеристику, которая отражала бы не всю исто-
рию процесса f (t) начиная с момента его возникновения, а учи-
тывала бы лишь свойства этого процесса во временном интервале,
непосредственно примыкающем к данному моменту наблюдения за
процессом. Так как значение Т может быть выбрано сколь угодно
малым, то мгновенная спектральная характеристика позволяет
выявить особенности процесса в данный момент времени t.
Найдем связь между спектральными характеристиками Ft
и FT(ja, t). Формулу (6) перепишем в виде
t	t—T
FtU^, = (t)e~'atdt — J
о	0
Правая часть этого равенства представляет собой разность двух
текущих спектральных характеристик для функции f(t). Обозна-
чим эту разность через AFtfJu), тогда FT(](a, t)~AFt(j(n), или
Т — Т •
Если выбрано значение Т достаточно малым, то будет спра-
ведлива приближенная формула
Ft№, t)^Td-^p.	(7)
Глава XIII
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 39. СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИС1ЕМАХ.
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
1. Преобразование линейной системой гармонического входного
сигнала. Определение про"есса регулирования. Рассмотрим линей-
ную автоматическую систему, описываемую дифференциальным
уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:
{аорп+ацр-1 +... -ф ап _ гр + ап) х (t) =
= (bopm + b1pm^1... + bn-ip + bm)g(t). (1)
Здесь х = х (t) — регулируемая величина; g = g (t) — управляющее
воздействие, приложенное к системе; р — ~ — оператор дифферен-
цирования. Используя обозначения
O(p) = «0P" + aiP" 1+ -- + «п-1Р + а„, |
М (р) = bopm + D!pm- 1 + ... + bm-1p + bm, )
уравнение (1) удобно записать сокращенно в виде
D (р) x(f) — М (р) g (f).	(3)
Передаточная функция автоматической системы (см. § 15) по
отношению к управляющему воздействию g(t) есть
<4>
Пусть воздействие g (t) = sin aj и требуется определить
изменение x(t) в установившемся процессе.
Заметим, что в результате приложения воздействия в системе
возникает переходный процесс, который с течением времени стре-
мится к нулю, так как система предполагается устойчивой. Харак-
тер протекания переходного процесса мы рассматривать не будем
и предположим, что в интервале наблюдения ( —оо, оо) за уста-
новившимся процессом переходная составляющая отклонения
регулируемой величины пренебрежимо мала. Подобный подход
позволяет считать воздействие g(t) заданным на всей оси времени
(не рассматривается начальный момент приложения к системе
управляющего воздействия) и использовать полученное в § 37
выражение (35) для спектральной характеристики синусоиды.
Для определения характера изменения x(f) в установившемся
процессе преобразуем обе части уравнения (1) по Фурье, при
этом используем теорему 2 § 36. Имея в виду, что
ОО	со
$ g{t)e-^dt, ^ {%(/)} = 5 x(t)e-^dt,
— со	—СО
74
получаем
[«О (/со)" + G1 (/со)"-1 +... 4- ап_^<а + а„] {х (/)} =
= [^o(/co)m + &j (/cor-c+.-. + ^.x/co + ^J^fgr (/)}. (5)
Введем обозначение
(J) (;6-л _ & Iх (б)  feo (/м)т~М1 (/м)т1Ч~- . + ^т_1 (/со) + Ьт
и '	^{g(t)} a0(ja)n+al(Ja)n-i+...+an_l(Ja)-l-an ’
а также заметим, что в соответствии с формулой (35) § 37
& {g (0} = & {A sin “10 =	[6 (СО — COi) — 6 (со 4- СО!)].
Тогда спектральная характеристика вынужденных колебаний
регулируемой величины определится из выражения (6) в виде
{х (/)} = Ф (/со)	[6 (СО - COj) - 6 (со 4- СО!)].	(7)
Из этого выражения видно, что спектральная характеристика
сигнала на выходе системы в общем случае не совпадает со
спектральной характеристикой сигнала на ее выходе. Функцио-
нальный множитель Ф (/со) учитывает изменение спектральной
характеристики при прохождении воздействия g(/) через линей-
ную динамическую систему.
Представим комплексную функцию Ф (/со) в показательной
форме
ф(/со) = |Ф(/со)|е/аггФ(/“)	(8)
и найдем х(/) по формуле обратного преобразования Фурье:
ОО
х(0=^ J {х (/)}
-—СО
оо
= 2S J ф(/со)^[д(со-с01)-6(со4-с01)]е/и^со.
— ОО
Используя фильтрующее свойство дельта-функции, будем
иметь с учетом равенства (8) следующее выражение для уста-
новившегося процесса х(/) на выходе системы:
х(0 = [Iф ОО I	—
— | Ф (— /С01) | g/агвФ (-/“О е~/и*4-
Так как справедливы равенства (см. § 35)
IФ (- /“i) | = | Ф (/col) |, arg Ф (- /col) = — arg Ф (/coj),
то получим
х (/) =	1 ф (Jaj) | {e/I<e»*+arg®j<oi)] _g— /I<olc+arg®(/<o1)]| _
2/
= Л IФ (/С01) I sin [С01Г 4- arg Ф (jcoi)]. (9)
75
Отсюда следует, что в установившемся режиме реакция x(t)
линейной автоматической системы на синусоидальное воздействие
является также синусоидой. Угловые частоты входного и выхо-
дного сигналов совпадают. Амплитуда синусоиды на выходе системы
равна AilO^co!)!, а ее начальная фаза равна arg<D(/co1).
Если на вход линейной системы поступает периодическое
ОО
воздействие в виде f(i)— У, /4* sin AcdjZ, то, используя принцип
суперпозиции, справедливый для линейной системы, найдем, что
в этом случае вынужденное установившееся движение системы
определяется равенством
©О
х (0 = 2] IФ (/со) I sin [kаф + arg Ф (/co)],	(10)
fe=i
причем величине co здесь следует придавать дискретные значения,
т. е. полагать, что со = игй.
Зная частотные спектры сигнала на входе системы, можно
легко определить частотные спектры сигнала на выходе системы.
Если, например, известен амплитудный частотный спектр Ak
входного сигнала g(t), то очевидно, что амплитудный частотный
спектр выходного сигнала есть Ak | Ф (folk) |.
В рассматриваемых выражениях функция Ф (/со) характери-
зует динамические свойства самой автоматической системы и не зави-
сит от характера приложенных к системе воздействий. Она легко
может быть получена из передаточной функции системы (4); для
этого следует в передаточной функции заменить р на /со.
Функция Ф (/со) от непрерывного аргумента со называется
амплитудно-фазовой частотной характеристикой системы по
отношению к управляющему воздействию g(t), приложенному
к системе. Проводя параллель с терминологией электрических
цепей, функцию Ф (/со) можно также назвать комплексной прово-
димостью. (адмитанцем) системы. В этом случае функция
1
Ф(/со)
называется комплексным сопротивлением (импеданцем) системы.
Исходя из формулы (6), амплитудно-фазовая характеристика
может быть определена так же, как отношение спектральной
характеристики сигнала на выходе системы к спектральной харак-
теристике сигнала на ее входе. Модуль амплитудно-фазовой частот-
ной характеристики | Ф (/со) | характеризует изменение амплитуды
гармонического сигнала при прохождении последнего через си-
стему, а аргумент ее —фазовый сдвиг сигнала. Функция ] Ф (/со) |
получила название амплитудно-частотной характеристики,
а функция arg Ф (/со) — фазо-частотной характеристики системы.
Пример 1. Определить частотные характеристики линейной автоматической
системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка
(^+2gTp+l)x(0=^(/).	(11)
Здесь Т — постоянная времени системы, £—коэффициент относительного зату-
хания, k—коэффициент усиления системы.
76
ImVfJb))
По формуле (4) найдем амплитудно-фазовую частотную характеристику,
соответствующую уравнению (11):
k
Ф = 7’2(/с>)2-|-2£7' /со + 1 •	(12)
Изображающий вектор амплитудно-фазовой характеристики при изменении со
от 0 до со описывает своим концом кривую (рис. 114). Каждой точке на этой
кривой ставится в соответствие вполне определенное значение частоты ы. Имея
такую характеристику, легко определить с учетом формулы (9) значения амп-
литуды и начальной фазы вы-
нужденных колебаний к (t) на
выходе системы при нали-
чии на ее входе гармоническо-
го управляющего воздействия
g (0 = Аг sin (рис. 115).
Амплитудно-частотная характе-
ристика имеет вид
|Ф(/со)| =
_ I _________k_________ =
~|7’2(/co)2 + 2g7'>+l
= r ..k . 	, (13)
а фазо-частотная характеристика
определяется равенством
_ .	,	2^7" со
arg®(;co) = -arctg—
Рис. 114
(14)
Найдем максимальное значение | Ф (/<o)J, для чего определим минимум под-
коренного выражения в знаменателе правой части равенства (13). Имеем
-- [(1 — Т2<о2)2+4E27’2co!J = 2(1— Т2со2) ( _ 27'2ы) + 8g2T2co;
uCO
приравняв правую часть этого равенства нулю.
падает с собственной частотой сос колебаний
найдем 7’ao)2-f-2j2—1=0. Сле-
довательно, экстремум (легко
показать, что это максимум)
амплитудно-частотной харак-
теристики будет существовать
при частоте
(15|
При этом значении частоты
модуль изображающего век-
тора амплитудно-фазовой ха-
рактеристики имеет наиболь-
шее значение (см. рис. 114).
При частота <оэ сов-
системы, т. е.
\	СОэ = СОс=у.	(16)
А
Подставив значение в равенство (13), найдем максимальное значение ампли-
тудно-частотной характеристики:
I Ф (/») imax =--/...	(17)
1 v ' ‘max 2| j/1____ga •
V
77
Чем меньше значение %, тем больше величина |Ф(/со)|. При Е->-0
|Ф(;<о)| -►оо. На рис. 116 а, б изображены графики функции |Ф(/со)| и
№11

Рис. 116
arg (Ф/со) для различных зна-
чений |. Эти графики удобны
при анализе изменения ампли-
туды и сдвига фазы гармони-
ческого сигнала при его про-
хождении через линейную
автоматическую систему, опи-
сываемую уравнением (11).
В идеальной автоматической
системе должно выполняться
равенство х (t) однако
в реальной системе оно не
выполняется. При малых
значениях угловой частоты со
гармонического управляюще-
го воздействия g (t) значения
| Ф (/со) | близки к единице,
а фазовые сдвиги arg Ф (/со)
незначительно отличаются от
нуля (рис. 116); поэтому для
малых значений со можно
приближенно считать сигна-
лы х (t) и g (t) равными
Друг другу. При частоте
со=соэ амплитуда регулируе-
мой величины А |Ф (/соэ) |
имеет максимальное значе-
ние; при этом фазовый сдвиг
arg Ф (/со8) гармонического сигнала на выходе системы по отношению к гармо-
ническому сигналу на ее входе близок или равен 90°. При со > со8 амплитудно-
частотная характеристика быстро уменьшается, а фазовый сдвиг увеличивается.
78
В этом случае амплитуда регулируемой величины становится меньше амплитуды
управляющего воздействия. Автоматическая система не успевает отрабатывать
гармонический входной сигнал, изменяющийся с большой частотой.
Пусть воздействие g (t), приложенное к автоматической системе,
представляет собой комплексную гармонику с частотой ©j (см.
п. 5 § 34), т. е. g(/) = e’ait. Реакция системы на подобное воз-
действие в установившемся режиме определяется равенством
ОО
х (/) = Ф (/©) & {e/m,z} elat-d(d. Или, используя формулу Эйлера
— со
и учитывая формулы (30) и (35) § 37, получаем
ОО
= J Ф(/®){я[6(®-©1)-|-е(® + ©1)]+л[6(©-©1)-
— оо
—S(® + <dx)]}	= § Ф (/co) 6 (и — ©1) eiai с!м.
— оо
Интеграл в правой части этого равенства найдем, используя
фильтрующее свойство дельта-функции. Тогда искомое значение
х(1) определится выражением
х(0 = Ф(7с01)е'<Ч	(18)
Следовательно, для того чтобы получить в комплексной форме
установившуюся составляющую реакции системы на воздействие
в виде комплексной гармоники с частотой необходимо зна-
чение амплитудно-фазовой частотной характеристики системы
Ф(7®1) умножить на eie>,t.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика Ф(/ю) может
быть использована не только для анализа установившихся колеба-
ний на выходе автоматической системы, но и для определения
процесса регулирования в целом. В последнем случае момент
времени t0 приложения к системе управляющего воздействия
удобно считать нулевым моментом времени и воспользоваться
формулами одностороннего преобразования Фурье. Определив
спектральную характеристику & {g (/)} и найдя спектральную
характеристику регулируемой величины по формуле
^{х(0} = Ф(/«)^{я(0}.	Л (19)
изменение регулируемой величины х(() после приложения воздей-
ствия g{t) находим с использованием формулы (9) § 36.
Пример 2. Определить характер изменения регулируемой величины х (/)
в автоматической системе, описываемой дифференциальным уравнением (11),
если управляющее воздействие g(t) имеет вид:
n J e~at при t>0 (« > °>-
° g(Z)=10	при/<0;
2)^(0= ЦО-
79
Начальные условия системы—нулевые. Для первого вида управляющего воз-
действия g(f) спектральная характеристика (см пример л ) 36) S' {§(0} =
1	V
=	и спектральная характеристика регулируемой величины с учетом
1	k
формулы (12) eF {a: (Z)} =- — — .	+ р Правая часть этого выра-
жения, очевидно, удовлетворяет условию леммы Жордана, жатому для нахож-
дения х (t) можно воспользоваты я формулой (9) § 36:
* (0==/ 2 ReS (а+/®)рт(/со)2+2&Г®+1]	(/> 0)-
<v=l
Здесь соособые точки спектральной характеристики 3? {*(/)), расположен-
ные в верхней полуплоскости.
Особые точки названной спектральной характеристики есть
©! = /•«, «2 = у V1—Е2 + /“, Щз = — у V1— Е2 + /у.
Все они расположены в верхней полуплоскости, поэтому
80
Окончательно получим
t > 0; при / < 0 х (t) = 0.
Для второго вида управляющего воздействия g (t) = 1 (/) найдем изменение
регулируемой координаты х (f), выполнив в последнем равенстве предельный
переход при а->0 Тогда при />0 получим
_1
х (t)—k 1— е т
при / sj 0 х (/) = 0.
cos /1 -Е2 /+^== sin Т	*
2. Связь между частотными и временными характеристиками
линейной системы. Пусть имеется предварительно невозбужден-
ная (с нулевыми начальными условиями) линейная автоматическая
система (рис. 117), причем ее амплитудно-фазовая частотная
характеристика по отношению к упра-
вляющему воздействию есть Ф(/®).
Предположим, что в момент вре-
мени / = 0 на вход системы подано
управляющее воздействие в виде дель-
та-функции, т. е. g (0 = 6(0- Реакция
х (0 системы на это воздействие назы-
ад
K(t)
№)
Рис. 117
вается импульсной переходной функцией и обычно обозначается k (0
(см. § 16). Импульсная переходная функция является одной из
временных характеристик автоматической системы. Так как
<Л {6 (/)} = !, то в соответствии с формулой (19) найдем, что
спектральная характеристика импульсной переходной функции
системы есть

GF{A:(O}=0(/<o)-l,
или, учитывая, что k(t) = O при f<0, получаем
о
(20)
Следовательно, амплитудно-фазовая частотная характеристика
системы является спектральной характеристикой импульсной
переходной функции. Справедлива также формула обратного пре-
образования Фурье
ОО
'М0=^ Ф(/<о)е]'агd(o (/>0).	(21)
— оо
Реакция x{t) системы на воздействие в зидс единичной сту-
пенчатой функции 1 (/) называется переходной функцией системы
81
и обозначается h(t). Используя формулы (21) § 37 и (19), найдем
спектральную характеристику переходной функции *>:
& {h (0} = Ф (/®)	+ лб (со)]	(22)
ИЛИ
оо
Ф (/<о) [1 + лб (CD)] = J h (/) dt,	(23)
о
так как h (/) = 0 при t <Z 0.
Переходная функция является временной характеристикой
системы; она может быть определена с помощью обратного пре-
образования Фурье:
СО
Ф(/®)[Д- + лб(®)]е/“^®	(/>0).	(24)
—оо
Из теоремы 2 § 36 известно, что умножению спектральной харак-
теристики на /со соответствует операция дифференцирования во
временной плоскости, поэтому
ОО
1 Ф(/®)[1 + л/®б(<о)]еХ(/(о =
—со
= 2 ~ Ф (/со) d®~ «об (со) Ф (j&) etat da>.
—СО	—со
Используя фильтрующее свойство дельта-функции, получим при
ф (/0) =/= оо, что второе слагаемое равно нулю, откуда найдем
СО
<25)
—со
Сравнивая выражения (21) и (25), получим равенство
(26)
т. е. импульсная лереходная функция является производной
по времени от переходной функции.
Пусть теперь на вход автоматической системы в момент вре-
мени 1 — 0 поступает управляющее воздействие g(t) общего вида.
Найдем реакцию x(t) системы на это воздействие. Для этого
воспользуемся теоремой 8 § 36 о свертывании функций в вещест-
*’ Наличие дельта-функции в правой части равенства (22) свидетельствует
о том, что переходная функция, так же как и единичная ступенчатая функция,
преобразуема по Фурье лишь условно (см. § 37).
82
венной области. Принимая во внимание равенство (36) § Зб и
равенство (19), получим
t
x(f) — ^k (t — т)^(т) dx.
о
(27)
Формула (27) является временным аналогом формулы (19), харак-
теризующей спектральные (частотные) соотношения в автомати-
ческой системе. Интеграл в правой части называется интегралом
Дюамеля. В § 17 соотношение, аналогичное соотношению (27),
было получено с помощью фор-
мулы Коши.
Рассмотрим детальнее роль
импульсной переходной функ-
ции k(t — т). Управляющее воз-
действие g(t), поступающее в
автоматическую систему, можно
аппроксимировать ступенчатой
ломаной с бесконечно большим
числом ступеней и бесконеч-
но малым шагом каждой сту-
пени (рис. 118, а). Тогда воз-
буждение системы воздействием
g (t) сводится к возбуждению
системы непрерывной серией
импульсов величиной g(x)dx.
Реакция системы на единичный
импульс в виде дельта-функции,
приложенной к системе в мо-
мент времени / = т, известна —
эта импульсная переходная
функция k (t — т). Очевидно, что
реакция системы на импульс
величиной g (т) dx, приложенные
мен и / = т, есть k(t — т) g (т) dx
купность импульсов, т. е. на
определяется равенством (27), т. е. состоит из суммы реакций
на каждый импульс в отдельности. Пусть t является моментом
наблюдения за реакцией системы x(t), разность t—x — интерва-
лом времени (рис. 118, б) между моментом приложения к системе
импульса g (т) dx и рассматриваемым (текущим) моментом времени
t > т. Функция /г (/ — т) будет определять, таким образом, степень
участия импульсов, приложенных к системе до рассматриваемого
момента времени в образовании значения x(t) реакции системы
в текущий' момент времени t. Влияние импульсов, предшествую-
щих моменту времени t, на значение величины х (/) зависит от
характера импульсной переходной функции k(t— т). Из рис. 118, б,
например, видно, что импульс g (т) dx проявляет себя в момент
времени t более существенно, если импульсная переходная функ-
к системе в тот же момент вре-
Реакция системы на всю сово-
управляющее воздействие g(t),
83
ция имеет вид й2 (/ —т). Если же эта функция имеет вид k^t— т),
то влияние импульса будет проявляться слабее. Следовательно,
импульсная переходная функция как бы «взвешивает» роль каж-
дого импульса, приложенного к системе в момент времени t = x,
в образовании реакции системы в рассматриваемый момент вре-
мени t > т. По этой причине часто импульсную переходную
ф) нкцию называют также весовой функцией.
Наряду с формулой (20) можно, принимая во внимание тео-
рему 6 § 36, установить еще одно соответствие между импульс-
ной переходной функцией k (t) и амплитудно-фазовой частотной
характеристикой Ф(/со):
аФ | k dt,
о
(28)
где а — положительная постоянная, не зависящая от t и со.
Отсюда следует, что если функцию k (/) растягивать (сжимать)
вдоль оси времени t, то соответствующая ей амплитудно-частотная
характеристика IФ (/со) | будет сжиматься (растягиваться) вдоль
оси частот со.
Пример 3. Определить амплитудно-фазовую и амплитудно-частотную харак-.
теристики линейной си< темы, если весовая функция этой системы k
По формуле (20), используя фильтрующее свойство дельта-функции, имеем
со
ф (/©)=( feS (0 ё~№ dt=k.
Отсюда видно, что годограф амплитудно-фазовой частотней характеристики
системы представляет собой точку на действительной оси плоскости Ф (/со)
(рис 119, з), а амплитудно-частотая/характеристика Ф(/й) является прямой,
параллельной оси частот (рис 119, б). Весовой функции k (t) в виде беско-
нечно короткого импульса соответствует бесконечно широкая частотная харак-
теристика | Ф (/й) |=/г.
84
§ 40. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. Критерий Михайлова. В § 18 было показано, что для
устойчивости линейной автоматической системы требуется, чтобы
все корни характеристического многочлена этой системы
£> (А) = аД" 4*G Ап 1 -f-ап	(1)
были отрицательными, если они вещественны, и имели бы отри-
цательные вещественные части, если они комплексные.
В общем случае непосредственное вычисление корней харак-
теристического многочлена порядка выше четвертого для анализа
устойчивости представляет собой весьма трудоемкую задачу, хотя
и решаемую с применением методов
приближенных вычислений. Для ис-
пользования в практике проектиро-
вания автоматических систем более
удобны способы, не требующие не-
посредственного вычисления корней
и позволяющие судить о характере
корней характеристического много-
члена по некоторым косвенным приз-
накам. Разработаны правила, уста-
навливающие необходимые и доста-
точные условия, которые следует
наложить на систему, чтобы корни
ее характеристического многочлена
были бы отрицательными или имели
бы отрицательные вещественные ча-
сти. Эти правила называются кри-
териями устойчивости системы. В
браический критерий устойчивости.
§ 18 был получен алге-
Разработаны критерии устойчивости, базирующиеся на частот-
ных представлениях. Сначала рассмотрим критерий Михайлова.
Этот критерий предусматривает использование частотного годо-
графа Z) (/со), который может быть получен из характеристиче-
ского многочлена системы D(X), если положить Х = /(о.
Применяя принцип аргумента (см. § 33), найдем условия,
при выполнении которых характеристический многочлен (1) не
имеет корней (нулей) в правой полуплоскости плоскости незави-
симой переменной Х = а4-/И- Для этой цели на плоскости обра-
зуем замкнутый контур (рис. 120), состоящий из полуокруж-
ности Ср радиуса R и отрезка [— jR, /7?] мнимой оси 1р. Если
устремить /? к бесконечности, то замкнутый контур />. будет
охватывать всю правую полуплоскость плоскости X, и если при
этом в правой полуплоскости характеристический многочлен D (л)
имеет корни, то эти корни окажутся внутри замкнутого контура.
В соответствии с принципом аргумента число полных оборо-
тов изображающего вектора на плоскости D(X) вокруг начала
85
координат, имеющее место при полном обходе изображающей
точкой X контура /Л, определяется равенством
k = N.	(2)
Здесь N — число нулей многочлена D (Z) внутри замкнутого кон-
тура /?. (рис. 120), причем на мнимой оси многочлен D(k) нулей
не имеет. Если при отображении контура 1К на плоскость Ь(Х)
при	окажется, что число оборотов k изображающего век-
тора на плоскости D (к) равно нулю, то, как следствие, в правой
полуплоскости плоскости Z нет нулей многочлена D (Z), т. е.
автоматическая система является устойчивой
Обозначим через А/. arg D (X) приращение аргумента много-
члена D (Z) при полном обходе изображающей точкой к контура I,.
против часовой стрелки. Очевидно, что
&iK arg D (Z) — 2nN	(3)
или
А/д arg D (Z) + АСд arg D (X) = 2л N.	(4)
Первое и второе слагаемые в левой' части этого равенства
характеризуют приращение аргумента при движении изобража-
ющей точки к по отрезку [+ jR, — jR] и полуокружности Сд
соответственно.
Обратимся к равенству (1). Имеем
Aes argD (Ч _	argo^" (1 + J1 +..,++ J1) -
-AcsargJ.« + A<:ffarg0o(14g4+...+2£!-IJ=r + JrJ-
Пусть | Z | = 7? -> со; тогда
и приращение аргумента
^^rge.(l+j4+.-+“v‘₽ + Sp)-*0-
Но Асд arg кп — пп, поэтому справедливо также равенство
lim Асд arg£> (X) = лп.	(5)
Таким образом, для определения приращения аргумента мно-
гочлена D(k), когда изображающая точка к движется по полу-
окружности CR бесконечно большого радиуса, достаточно пока-
затель степени многочлена умножить на число л.
Для определения приращения аргумента А/д arg D (к) при
/?->-оо необходимо найти образ мнимой оси плоскости к на
плоскости D(k). Подставив в выражение (1) X —/со и изменяя со
86
от -фоо ДО —оо, на плоскости D(j(o) получим кривую —образ
мнимой оси плоскости Л. Используя эту кривую, можно опреде-
лить приращение аргумента AzRargD(X) при	Если ока-
жется, что
lim A/n arg£)(X) =— лп,	(6)
А->оо
ТО
lim Az. argD(X) = lim Az„ arg£>(X)-f- lim AC/? arg£)(X) =
>oo	R—*co	R-+co
= — лп + nn — 0	(7)
и в соответствии с равенством (3) N = 0, т. е. в этом случае
многочлен Р(Х) не имеет нулей в правой полуплоскости плос-
кости %.
Кривая, получаемая на плоскости D(k) в результате отобра-
жения на эту плоскость мнимой оси плоскости X, является сим-
метричной относительно действительной оси, так как и
£>(—/со) являются сопряженными функциями; поэтому можно
производить отображение на плоскость £>(Х) не всей мнимой оси
Х = /со, а лишь ее положительной части. Если справедливо равен-
ство (6), то при изменении со от -ф оо до 0, т. е. при движении
по положительной части мнимой оси Х = /со сверху вниз, полу-
чим приращение аргумента
lim А/„ arg D (X) = — ~ n.	(8)
/?->co K	2
Если движение происходит по положительной части мнимой
оси X = /со снизу вверх, т. е. если изменять значения со от нуля
до ф- со, то вместо равенства (8) найдем
lim kiR arg D (X) = ~ n.	(9)
Z?—oo *	z
Таким образом, равенство (8) или (9) устанавливает условия,
при выполнении которых характеристический многочлен автома-
тической системы не имеет корней в правой полуплоскости, т. е.
система является устойчивой.
Найденные условия имеют простую геометрическую интерпре-
тацию. Представим характеристический многочлен (1) в виде
D (X) - а0 (X - Хх) (X - Х2)... (X - Х„),	(10)
где Xz (i = l, 2, ..., п) — корни многочлена, которые в общем
случае могут быть расположены как в левой, так и в правой
полуплоскости плоскости корней X (рис. 121). Полагая Х = /со,
будем иметь
D (/со) = а0 (ja - Хх) (/со - Х2)... (/со - Х„).	(11)
Каждому множителю (/со — X/) можно поставить в соответствие
вектор, начало которого находится в точке Х(, а конец располо-
87
жен на мнимой оси в точке /о. При изменении со от нуля до со
приращение аргумента A arg (/© — X,) равно (или —^-),
0<<й<со	z
если корень вещественный и расположен в левой (правой)
полуплоскости (рис. 121). Если X, и Х<+1 — сопряженные комп-
лексные корни, то сумма A arg (/со — Z/)-)-A arg (ja> — Xf+1)
O^ciXoo	0<C(j)<oo
будет равна л (или —л), если эти корни расположены в левой
(правой) полуплоскости (рис. 121).
Пусть в правой части плоскости К многочлен £>(Х) имеет I
корней. Тогда в левой части он имеет п — 1 корней. В этом слу-
чае получим, что прираще-
ние аргумента
A arg D (/со) =
0^б)<оэ
= (n-/)f.y/ J =
= (n-2/)-J. (12)
Автоматическая система
является устойчивой, если
в правой полуплоскости кор-
ней нет, т. е. / = 0. Следова-
тельно, для устойчивости си-
стемы необходимо выполне-
ние равенства
A arg £>(/со) = п^-. (13)
0^й><оо	Z
Это условие не отличается от условия устойчивости (9).
Полученное условие устойчивости системы можно сформули-
ровать в виде следующего правила, получившего название кри-
терия Михайлова.
Правило. Автоматическая система будет устойчива, если
при возрастании © от нуля до со вектор повернется на
угол у п, где п — степень характеристического многочлена D (X),
или, что то же самое, если характеристическая кривая при изме-
нении со от нуля до оо обходит, начиная с положительной дей-
ствительной полуоси, последовательно в положительном направ-
лении и квадрантов.
Кривая, которую опишет своим концом вектор D (/со) при
изменении со от нуля до оо, называется частотным годографом
Михайлова. Из равенства (4) § 39 и равенства (1) следует, что
D (ja) является знаменателем амплитудно-фазовой частотной харак-
теристики системы.
Пример 1. Определить, является ли устойчивой автоматическая система,
если ее характеристический многочлен есть
D (Х)=0,414  10 6Х5+0.388 • 10“3Х4 + 3,47 • 10“2Х3-|-1,83Х2 + 58Л-J-380
88
Заменим в данном многочлене X на /со и выделим вещественную и мнимую
части: D (/со) = 77 (со) 4-/V (<о). В рассматриваемом случае
U (со) = 0,388  10 V — 1,83со2+380,
V (со) = 0,414 • 10~®<о5—3,47  Ю'^+бвсо.
Кривая, вычер ченная концом вектора D (/со) при изменении со от нуля до
бесконечности, изображена на рис. 122 (длины векторов отложены в логариф-
мическом масштабе). Каждой точке кривой поставлено в соответствие опреде-
ленное значение частоты со.
Частотный годограф начинается на положительной части действительной
оси (при <о=0 U (со) = 380, V (со) = 0) и обходит последовательно в положи-
тельном направлении пять квандрантов. В соответствии с критерием Михай-
лова автоматическая система является устойчивой.
2. Критерий Найквиста. Этот критерий позволяет судить об
устойчивости автоматической системы по виду ее амплитудно-
фазовой характеристики в
 W	разомкнутом состоянии.
Рис. 122
Рис. 123
В соответствии с формулой (82) § 15 передаточная функция
замкнутой автоматической системы (рис. 123) может быть выра-
жена через передаточную функцию W (р) разомкнутой системы
®W-плИй Пус1Ь
ЙО
где М. (р) и Q (р) — многочлены от р, причем степень многочлена
М. (р) меньше степени многочлена Q (р).
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид
где
Ф(р) =
м (р)
_ М(р)
D(p) ’
(15)
D(p)=Q(p) + M(p).
(16)
Многочлен D (X) является характеристическим
замкнутой, а многочлен Q (X) — характеристическим
разомкнутой автоматической системы; очевидно, что
многочленов равны. Образуем сумму
1 + W (/®) = 1
। м (/«) D Цы)
‘г<2(7ю) “ <2(/<о) ’
многочленом
многочленом
степени этих
(17)
89
Из критерия Михайлова следует, что замкнутая автоматиче-
ская система будет устойчивой, если приращение аргумента
A arg О (/«)=« —, где « — степень характеристического много-
0^(й<со
члена О(Х); при этом условии характеристический многочлен
£)(Л) не имеет корней в правой полуплоскости плоскости X.
Е разомкнутом состоянии автоматическая система в общем слу-
чае может быть неустойчивой, т. е. характеристический много-
член Q (А) может иметь корни в правой полуплоскости (полагаем,
что на мнимой оси многочлен Q(X) корней не имеет). Если число
таких корней равно /, то, имея в виду формулу (12), найдем
приращение аргумента:
A arg Q(/co) = (n-2/)y.
О оо
Следовательно, приращение аргумента суммы (17) будет
A arg [ 1 + W (/со)] = A arg D (/со) — A arg Q (/со) =
0^со<оо	0^со<оо	0^м<со
= пу-(п-2/)|=/л.
(18)
Используя равенство (18), можно судить об устойчивости
автоматической системы по характеру годографа вектора 1 ф-
ф- W Цы) при изменении со от нуля до со. Действительно, если
в разомкнутом состоянии автоматическая система устойчива
(/ = 0) и годограф вектора Гф-И7 (/со) не охватывает начало коор-
динат (рис. 124, а), то
A arg [1 ф- W (/со)] = 0,
0sgw<oo
т. е. автоматическая система в замкнутом состоянии устойчива.
Если система в разомкнутом состоянии неустойчива, причем ее
характеристический многочлен имеет I корней в правой части
90

плоскости X, и если годограф вектора 1 + W (/®) охватывает
/
в положительном направлении начало координат у раз, то
Д arg [ 1 + W (/со)] = /л,
0^сХоож
т. е. автоматическая система будет устойчивой в замкнутом
состоянии.
Полученное условие устойчивости системы легко распростра-
нить на плоскость амплитудно-фазовой частотной характеристики
разомкнутой системы W Годограф вектора W (/©), являю-
щийся отображением положительной части мнимой оси плоскости
корней X на плоскость W (X), получается из годографа вектора
1-|-№(/«>), если вектор 1 + W (До) сложить с —1. Началу коор-
динат на плоскости 1 W (/со) соответствует точка (—1, /0) на
плоскости W (/со) (рис. 124, б).
Если годограф вектора 1 + W (/со) при изменении со от 0 до оо
охватывает (не охватывает) начало координат, то при этом
годограф вектора W охватывает (не охватывает) точку с коор-
динатами (—1, /0).
Таким образом, мы приходим к следующему правилу — кри-
терию устойчивости Найквиста.
Правило. Автоматическая система, устойчивая в разомкну-
том состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если
амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой
системы W (/<») не охватывает точку (—1, /0). Если система
в разомкнутом состоянии неустойчива и ее характеристический
многочлен имеет I корней в правой полуплоскости, то для устой-
чивости автоматической системы в замкнутом состоянии необхо-
димо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика
1F (/ю) охватывала точку (—1, /0) в положительном направлении
1/2 раз.
Выше мы предполагали, что характеристический многочлен
Q(Z) не имеет корней на мнимой оси плоскости X. Подобное
предположение позволило обойти затруднение, связанное с тем,
что значение аргумента argQ(Z/) является неопределенным, если
Хг является корнем многочлена Q(X), расположенным на мнимой
оси**. Однако известны системы с консервативными или интег-
рирующими звеньями, у которых передаточная функция W (р)
имеет полюсы на мнимой оси. Наиболее распространен случай,
при котором W (р) имеет полюс в начале координат (автомати-
ческие системы с астатизмом первого порядка), соответствующий
подобной передаточной функции характеристический многочлен
Q(Z) имеет корень в начале координат плоскости Z, т. е. при
Х = 0.
Распространим критерий устойчивости Найквиста на автома-
тические системы, содержащие интегрирующие звенья. Пусть
*’ При Q(X/)=O. Напомним, что ноль является комплексным числом,
не имеющим определенного значения аргумента
91
многочлен Q(X) имеет при Х = 0 корень v-й кратности; тогда
этот многочлен можно представить в виде
O(X)=VQ1(A),	(19)
где <?! (X) — многочлен, не имеющий корней в начале координат
плоскости X.
Будем, как и выше, полагать X = /ол, если со изменяется
в пределах 0 < со < со. Однако при со 0 положим X = реЛ>.
Здесь р —> О и ср изменяется в пределах О^ср^у. Геометрически
это означает, что на плоскости X начало координат, в котором
значение аргумента argQ(X) неопределенно, обходится по дуге
бесконечно малого радиуса (рис. 125). С помощью такого приема
удается устранить неопределенность аргумента argQ(Z), так как
в каждой точке дуги значение аргу-
мента определено.
Для суждения об устойчивости
автоматической системы следует по-
строить амплитудно-фазовую частот-
ную характеристику разомкнутой си-
стемы. Эта характеристика в данном
случае является образом положитель-
ной части мнимой оси Х = /со плоскости
корней, дополненной дугой (рис. 125)
бесконечно малого радиуса. При изме-
нении Л вдоль положительной части
мнимой оси амплитудно-фазовая ха-
рактеристика разомкнутой системы определяется равенством
При изменении X вдоль дуги бесконечно малого радиуса р имеем
W (X) = ъ = Д е'^._
' XvQx(X) Pve^v р
(21)
,	М(%)
где k = lim 77-7Д-.
k->o viW
Из равенства (21) можно сделать вывод, что когда изобра-
жающая точка на плоскости X обходит в положительном направ-
лении дугу бесконечно малого радиуса, ей соответствующая изоб-
ражающая точка на плоскости W (>.) двигается в отрицательном
направлении по дуге бесконечно большого радиуса. При этом
приращению аргумента Д arg = соответствует приращение
аргумента Д arg W (X) = — v Следовательно, для получения
годографа, с помощью которого можно судить об устойчивости
автоматической системы, имеющей интегрирующие звенья, необхо-
92
димо, во-первых, построить амплитудно-фазовую частотную харак-
теристику разомкнутой системы (20) и, во-вторых, дополнить эту
характеристику дугой бесконечно большого радиуса с централь-
ным углом, равным —Vy. На рис. 126, а, б пунктиром пока-
заны дуги для систем, содержащих соответственно одно и два
интегрирующих звена (системы первого и второго порядков аста-
тизма).
Используя таким образом полученный частотный годограф,
можно с помощью критерия Найквиста исследовать устойчивость
автоматических систем с интегрирующими звеньями. Если точка
(—1, /0) расположена вне
годографа, то система,
устойчивая в разомкнутом
состоянии, будет устойчи-
ва и в замкнутом виде.
Для устойчивости систе-
мы, неустойчивой в разомк-
нутом состоянии и имею-
щей I корней в правой
полуплоскости, необходи-
мо и достаточно, чтобы го-
дограф охватывал в поло-
жительном направлении
точку (—1, /0) ~ раз.
Пример 2. Исследовать с по-
мощью критерия Найквиста
устойчивость системы автомати-
ч некого регулирования, рассмот-
ренной в § 15.
Структурная схема этой си-
стемы изображена на рис. 2.
Система имёет две петли обрат-
ной связи, поэтому необхо-
димб прежде всего выполнить
Передаточные функции элементов, входящих в состав внутреннего контура,
равны W'o (р)=р + } t2p + 1) (0,02р +1) ’ Z 102р’ П0ЭТ0МУ передаточная
функция разомкнутого внутреннего контура имеет вид
40р
WB.K(p) W0(p)Z(p) ^2+1г2р+Ц(0,02р+1)-
Положив р ==)(£> и изменяя <в от нуля до бесконечности, можно получить
годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутого внутрен-
него контура (/ю). Этот годограф изображен на рис. 127, а. Указанный
гоДограф не охватывает точку (—1, /0), поэтому внутренний контур систему
устойчив.
Исследуем теперь устойчивость системы автоматического регулирования
в целом. Передаточная функция системы с разомкнутой главной связью есть
117„ (п)
W (р) = П (р) p-fiy Д 7	. Передаточная функция последовательного кор-
1 щ о (РМ \Р>
S3
реагирующего устройства П (р) —
50 (р+1)
0,1р+1 ’
поэтому
Г(р)
200 (р +1)
р [(р2 + 1,2р +1) (0,02р + 1) + 40р] (0, Ip + 1) •
Положпв р—ja, получим амплитудно-фазовую характеристику 117 (/<т>) разомк-
нутой системы. Годограф этой ха-
,1m Wg к (jh))	рактеристики изображен на рис.
127, б. Так как годограф не охва-
тывает точку (—1, /0), то в соот-
ветствии с критерием Найквиста
система является устойчивой.
Рис. 127
параметры которых — амплитуда
§ 41. ПРИБЛИЖЕННОЕ ИССЛЕ-
ДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
РЕЖИМОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
1. Гармоническая линеа-
ризация нелинейностей. Гар-
моническое представление
сигналов может быть поло-
жено в основу приближен-
ного метода исследования
периодических режимов в не-
линейных автоматических
системах. Наличие в системе
одного или нескольких не-
линейных звеньев при опре-
деленных условиях приводит
к появлению в системе пре-
дельных циклов (см. § 14),
и частота — могут быть прибли-
женно определены путем гармонической линеаризации нелиней-
ности.
Предположим, что в структурной схеме автоматической
системы, к которой не приложены внешние воздействия, выде-
лены линейная и нелинейная
части (рис. 128). Линейная часть
системы представляет собой со-
вокупность определенным обра-
зом взаимосвязанных линейных
звеньев системы. Эта часть опи-
сывается линейным дифферен-
Рис. 128
циальным уравнением с постоян-
ными коэффициентами. Нелинейная часть системы является сово-
купностью определенным образом взаимосвязанных нелинейных
звеньев. В частном случае это может быть, например, одно звено
с нелинейной статической характеристикой. Нелинейная часть
описывается нелинейным дифференциальным уравнением. Для
ряда простых нелинейных звеньев уравнение динамики сводится
к уравнению статики, имеющему нелинейный алгебраический
характер. В дифференциальном или алгебраическом уравнении
нелинейной части всегда имеется нелинейность, т. е. по крайней
мере одна нелинейная функция, обусловливающая нелинейный
характер динамических явлений в автоматической системе. Нели-
нейные функции могут иметь различный характер. При исследо-
вании автоматических систем, например, часто встречаются урав-
нения нелинейных частей, в которых под знак одной или
нескольких нелинейных функций входит только одна входная
координата xt (и ее производные) или только одни выходная
координата х2 (и ее производные) нелинейной части системы.
Такие уравнения имеют вид
x2=f(x1), x2^f(xu Xi), x2=f1(x1)+f2(x1),	(1)
f (x2, X2) = Xi, fi(X2, Л'г) 4“f2 (Л'2) =Xj.
В более сложных случаях под знак нелинейной функции входят
обе координаты хх и х2, например в уравнениях вида
f2 (л'2, х'2) = fi (x'i), /з (х2) +f2 (х2) = /х (Л'х),
f (х2, х2, %х) = 0, /2 (х2) -|-/х (Х2, xi) = 0.
Рассмотрим основную идею гармонической линеаризации
нелинейностей. Пусть уравнение линейной части автоматической
системы будет
^л(р)л-1(0 = -Л4л(р)х2(/),	(3)
где £)л (р) и Мл (р) — операторные многочлены вида (2) § 39,
а уравнение нелинейной части, например, задано в виде
x2=f(xlt %х).	(4)
Предположим, что в системе (рис. 128) возник периодический
режим (предельный цикл), т. е. при отсутствии внешних воздейст-
вий существуют собственные периодические колебания нелинейной
автоматической системы. Изменения выходной координаты линей-
ной части будем считать подчиняющимися синусоидальному
закону
xt (i) — A sin (at	(5)
с амплитудой А и частотой со. В действительности периодические
колебания на выходе линейной части не являются синусоидаль-
ными. Однако, как отмечено ниже, форма этих колебаний во
многих случаях близка к синусоиде.
Синусоидальные колебания хг, пройдя через нелинейную часть
системы, существенно изменяют свою форму. Периодические
колебания на выходе нелинейной части х2 всегда несинусоидаль-
ные, вид этих колебаний зависит от характера нелинейностей
нелинейной части системы. На рис. 129 показано, например,
95
прохождение синусоидального сигнала лх через нелинейное звено
релейного типа с идеальной статической характеристикой. Частота
периодических колебаний на выходе этого звена совпадает
с частотой со колебаний на его входе. Прямоугольная форма
колебаний на выходе существенно отличается от синусоидальных
колебаний на входе звена. Выполнив разложение функции х2 (О
в ряд Фурье, можно представить прямоугольные периодические
колебания в виде суммы гармонических составляющих (рис. 129)
различной частоты. Каждая из составляющих воздействует на
линейную часть автоматической системы. Однако линейная часть
системы, как правило, является «фильтром низких частот». Ее
,	. । I М„ (/со) I
амплитудно-частотная характеристика |	(/со) | —	, 1 удов-
I Т/д (/СО) |
летворяет соотношениям
- I I 'Ч I Мл (/Аср) I _______по А
|ол(/со)|^|/?л(/Асо) |	°’ " Ь
причем
I М„ (/Асо) I п ,
пл;', ; -»0 при &->оо.
I D„ (/Асо) |	1
Это означает, что высшие гармоники (применительно к рис. 129
третья, пятая и т. д.) сигнала на выходе нелинейной части прой-
дут через линейную часть, будучи значительно уменьшенными
по амплитуде. Кроме того, следует учесть, что амплитудные
значения гармоник разложения тем меньше, чем больше номер
гармоники. Эти обстоятельства позволяют сделать вывод, что
96
в образовании сигнала на выходе линейной части основную роль
играет первая гармоника сигнала, поступающего на вход линей-
ной части системы.
Таким образом, несмотря на то что нелинейная часть автома-
тической системы «генерирует» гармоники, можно рассматривать
в качестве сигнала на выходе нелинейной части лишь первую
гармонику и пренебрегать участием высших гармоник в форми-
ровании сигнала на выходе, линейной части. В этом случае
в качестве выходного сигнала линейной части можно рассматри-
вать синусоидальный сигнал (5).
Такой взгляд на процессы, происходящие в нелинейной авто-
матической системе, позволяет гармонически линеаризовать урав-
нения нелинейной части системы. Выполним гармоническую
линеаризацию уравнения (4), которое после подстановки (5)
получим в виде
x2 = f(X sin at, Аа cos at).	(6)
Разложим функцию х2 (t) в ряд Фурье:
со
х2 = + У (°л cos kat + bk sin kat).	(7)
Л = 1
Введя новую переменную и — at, определим, учитывая формулы
(9) —(11) § 34, коэффициенты разложения а0, ak, bk:
2л
а0 = ~ f (A sin Лео cos и) du,
о
2л
а* = ~ J / (Л sin и, Л со cos и) cos ku du,
о
2л
bk = § ! (Л sin и, A a cos и) sin ku du
о
(fe=l, 2, 3, ...);
следовательно,
2л
х2===2^ J/(Л sin w, Лео cos и) du +
о
со «~2л
4- — У v f(A sin и, Аа cos и) cos kudu cos kat +
lo
2Л
+ f И sin u> -Aocos u) sin ku du sin kat
0
(8)
(9)
(10)
(11)
Предположим, что периодические колебания х2 (t) имеют сим-
метрический характер, т. е. в разложении (11) нет постоянной
4 n/р. Чемодавова Б. К.,, т. 2
97
Составляющей. Кроме того, пренебрежем в этом разложении в соот-
ветствии с приведенными выше соображениями второй, третьей
и другими высшими гармониками. Тогда вместо равенства (11)
приближенно получим
2л
х2 — j f (Л sin и, Лю cos «) cos и du cos at +
о •
2л
4- — f f(A sin и, Лео cos и) sin и du sin at. (12)
л J
Учитывая, что sinco/ = -‘, cos at = ~, и введя обозначения
/1	/10)
2л
q (Л, со) = J f (Л sin и, Аа cos и) sin и du, (13)
о
2л
q' (Л, со) f (Л sin и, Лео cos и) cos и du, (14)
получаем приближенную запись сигнала на выходе нелинейной
части системы
х2 = ^(Л, co)xi + ?-^-^Xi.	(15)
При постоянных значениях амплитуды Л и частоты со синусои-
дального сигнала на входе нелинейной части коэффициенты
гармонической линеаризации q (А, со) и q' (А, со) имеют постоян-
ные значения, определяемые формулами (13) и (14).
Уравнение (15) представляет собой гармонически линеаризован-
ное уравнение нелинейной части автоматической системы. Дру-
гими словами, нелинейное уравнение (6) при гармонической линеа-
ризации заменяется линейным уравнением (15), коэффициенты
которого q и q' зависят от значений параметров Л и-со синусои-
дального сигнала хх.
Если выходная координата х2 нелинейной части системы
не зависит от величины производной Д входной координаты,
т. е. имеется нелинейность
Х2 = /(*1),	(16)
то гармонически линеаризованное уравнение нелинейной части
имеет вид
+	(17)
В этом случае коэффициенты гармонической линеаризации не зави-
сят от частоты со синусоидального сигнала на входе нелинейной
98
части и определяются равенствами
2п
<7 (Л) =	§ f (Л sin и) sin и du,
о
2л	А
(Л) = f (Л sin «) cos и du.
о
(18)
(19)
К уравнениям вида (16) могут быть отнесены, например, урав-
нения нелинейных звеньев, статические характеристики которых
имеют петлю гистерезиса (рис. 130, а, в). На рис. 130, а изобра-
жена характеристика нелинейного звена релейного типа с петлей
гистерезиса. Наличие петли гистерезиса приводит к неоднознач-
ной зависимости х2 от при этом значение х2 зависит не от вели-
чины, а от знака производной х\. Применительно к характери-
стике на рис. 130, а при Л>0 рабочей является правая ветвь
характеристики, а при Л <0 —левая ветвь характеристики. Вто-
рое слагаемое в правой части уравнения (17) учитывает указан-
ную зависимость х2 от знака производной хъ Если статическая
характеристика нелинейной части является однозначной, т. е.
без петли гистерезиса (рис. 130, б), то х2 не зависит ни от вели-
чины, ни от знака производной В этом случае гармонически
линеаризованное уравнение нелинейной части имеет вид
x2 = q(A)xlt	(20)
где q(A) определяется равенством (18). Коэффициент q' (Л) для
таких нелинейностей равен нулю.
Пример 1. Определить коэффициенты гармонической линеаризации для
нелинейного звена релейного типа (рис. 130, а).
При подаче на вход релейного звена синусоидального сигнала х^=>А since/
(рис. 131, а) на его выходе возникает сигнал, характер которого (рис. 131, б)
легко определить, рассматривая совместно рис. 130, а и рис. 131, а Если А >
>Ь, переключение реле происходит при значениях и, равных иц и2, «з, щ
поэтому, принимая во внимание формулу (18), будем иметь
= ^(со9щ—соза2).
2с
По формуле (19) аналогично получим q' (Д)= = — (sin Uj —sin us). Так как
• й	. mb	Ь .
«i=arcsin -д-, tta= л—aresin-д-, sin и,, sin и2 = т.Ь[А,
cos ui=J/1 — b2/A2, cos иг «= — /1—
4*
99
то искомые коэффициенты гармонической линеаризации определяются равен-
ствами
q (Л)=-^ (У 1 -Ь2/Л2+1<1 —m2b2/A2), q' (А)=—2сЬ/лА2 (I — т), (А > 6).
ЯЛ
Рассмотрим частные случаи.
а) Релейное звено имеет идеальную статическую характеристику
(см. рис. 129). В этом случае Ь=0 и, следовательно, q (А) = 4с/лА, q'(А)=0.
Гармонически линеаризованное уравнение (17)
такого звена будет
звеном, коэффициент усиления которого обратно пропорционален амплитуде А
синусоидального сигнала xt.
б) Релейное звено имеет зону нечувствительности, но петля гистерезиса
4С Г qz
отсутствует (см. рис. 130, б). Полагая т=1, найдем ц(Л)=^- Д/ 1—
q' (Л)=0 (А > Ь). Гармонически линеаризованное уравнение этого звена имеет
вид
4с -ж Г. Ь2 ..
Х2~лА У 1 Л2*1 (Л>6)-
в) Релейное звено с петлей гистерезиса (см. рис. 130, в). Для такого звена
4сЬ
q' (Л)=----j- (Л>Ь). В этом случае
m== 1, поэтому q (А) = Д |
1--^-
Д2»
1QQ
гармонически линеаризованное уравнение есть
4с - Г. b2 4cb 1 .
Хг У 1 ~Д2 Х1 ~ лА2 ы Ч'
Наличие в правой части этого уравнения производной хг со знаком минус
свидетельствует об отставании по фазе сигнала на выходе нелинейного звена
по отношению к сигналу на его входе. Введение в правую часть линеаризован-
ного уравнения отрицательной производной позволяет учесть влияние петли
гистерезиса статической характеристики нелинейного звена на его выходной
сигнал.
Мы рассмотрели гармоническую линеаризацию нелинейности,
когда аргументом нелинейной функции является входная коорди-
ната нелинейной части Если уравнение нелинейной части
имеет под знаком нелинейной функции выходную координату х2»
то методика линеаризации не изменяется, однако следует полагать,
что синусоидальным является выходной сигнал нелинейной части
x2 = /4sinco/.	(21)
Для нелинейного уравнения, например, вида
f (х2, х2) = Xi	(22)
получим гармонически линеаризованное уравнение
 (^’ й)) х2 4- q (Л, со) х2 = Xi.	(23)
При этом коэффициенты гармонической линеаризации q и q'-
определяются по формулам (13) и (14), где А и со обозначают
амплитуду и частоту выходного сигнала х2.
В случаях, когда под знаком нелинейных функций находятся
и входная и выходная координаты (см. уравнения (2)), методика
гармонической линеаризации имеет некоторые особенности.
Пусть, например, нелинейное уравнение имеет вид
fz(x2, x2)=fi(xi).	(24)
Полагаем, что
х2 — А2 sin со/, хх== Ai sin (со/-}-ср),	(25)
т. е. рассматриваем сигналы на входе и выходе нелинейной части
имеющими разные амплитуды Ai и А2, а фазовый сдвиг этих
сигналов считаем равным ср.
Поочередно гармонически линеаризуем нелинейности f2 (х2, х2)
и fi(x). Имеем f2(x2, х2) = д2(А2, со)х2+х2; здесь коэффи-
циенты и <?2 в соответствии с формулами (13) и (14) равны:
2П
q2(A2t 0)) = -^ Musina, А2(д cos и) sin и du,	(26)
о
2л
0 (Да. га) = /а Иг sin U, Д2со cos и) COS и du, (27)
2 9
101
Положив в (25) iz = со? 4* <Р» найдем /т (хА — qx (Л J xr 4- —— jfb где
2л
Mi) = J fi (A sin и) sin и du,	(28)
о
2л
q{ (А) —	) fi 0i sin и) cos и du.	(29)
1 о
Следовательно, гармонически линеаризованное уравнение (24)
имеет вид
^2 02, 01) x24-^^-^Л=дх(Л1) *1+^ А- (30)
Амплитуды Ал и А2 синусоидальных сигналов на входе и
выходе нелинейной части, как следует из уравнения линейной
части (3), связаны между собой функциональной зависимостью
А1 = А2| 1Гл(/со)|, з фазовый сдвиг <р = arg №л (/со).
2. Определение параметров предельных циклов. Амплитуда и
частота собственных периодических колебаний нелинейной авто-
матической системы в общем случае* являются неизвестными и
подлежат определению.
Рассмотрим некоторые способы приближенного определения
параметров - предельных циклов, в основу которых положена
идея гармонической линеаризации нелинейностей. Пусть урав-
нение нелинейной части системы имеет вид (4) >'2=/(xt, хх),
тогда ему соответствует гармонически линеаризованное уравне-
ние (15). Подставив х2 из (15) в уравнение линейной части (3),
получим линейное дифференциальное уравнение замкнутой автома-
тической системы:
{Ол(р)4-ЛМр)[9(А, ffl) + ?^-^p]}x1 = o, (31)
коэффициенты которого зависят от коэффициентов гармонической
линеаризации q(A, со) и q’ (А, со). При постоянных значениях
А и со уравнение (31) является линейным дифференциальным
уравнением с постоянными коэффициентами. Этому уравнению
соответствует характеристический многочлен
П(Х) = ОЛ(М4-МЛ(Х)[9(А, со)4-^-^а].	(32)
Наличие в линейной автоматической системе собственных
периодических колебаний с амплитудой А — Ап и частотой со — со„,
т. е. колебаний вида
Xi = Ап sin соп?,	(33)
означает, что характеристический многочлен D (Z) имеет на мнимой
оси пару корней X = ±/соп, т. е. автоматическая система нахо-
дится на границе устойчивости.
102
Из Критерия Михайлова следует, что система будет находиться
на границе устойчивости, если годограф D(/co) проходит через
начало координат (рис. 132). При этом отметка ш на кривой D (ja),
соответствующая началу координат, является частотой собствен
ных периодических колебаний системы, т. е. 10 = 10,,. Отсюда
вытекает следующий способ определения амплитуды Ап и часто-
ты соп собственных периодических колебаний. Подставим в харак-
теристический многочлен D (X) л — ja и выделим вещественную
и мнимую части. Из равенства (32) видно, что вещественная
и мнимая части зависят от параметров А и ®, т, е.
D (ja) —U (Л, со) -\-jV (Л, о).
(34)
Потребуем, чтобы годограф D (ja) проходил через начало коор-
динат; при этом, положив Л = Лп, а = ап, получим систему
уравнений
(7(ЛП, <оп) = О, У(Л„, %) = 0,
(35)
из которой можно аналитически
определить амплитуду Л„ и ча-
стоту соп собственных периоди-
ческих колебаний. В соответ-
ствии с основной идеей гармо-
нической линеаризации таким
образом найденные значения
Лп и <оп могут рассматриваться
как параметры предельного
цикла нелинейной автоматиче-
ской системы.
Рассмотрим еще один из способов определения значений Лп
и юп, основывающийся на использовании критерия Найквиста.
Пусть, как и выше, гармонически линеаризованное уравнение
нелинейной части системы имеет вид (15). Тогда можно определить
приближенную передаточную функцию
WAP-, <0, Л) = q(Л, со)	р,
(36)
а сделав подстановку р = /со, найти приближенную амплитудно-
фазовую характеристику нелинейной части
^н(/ю> А) — д(А, a)A-jq'(A, а).
(37)
Эта характеристика зависит как от частоты ш, так и от ампли-
туды А гармонического сигнала на входе нелинейной части
автоматической системы.
В соответствии с критерием Найквиста линеаризованная авто-
матическая система будет находиться на границе устойчивости,
если амплитудно-фазовая характеристика (по первой гармонике)
ЮЗ
разомкнутой системы проходит через точку (—1, /0). Следова-
тельно, при выполнении равенства
^(/<о)=и7л(»Ги0Ч Л) = —1
(38)
в системе возникают собственные периодические колебания
с амплитудой и частотой, равными тем значениям Ап и соп, при
которых амплитудно-фазовая характеристика W (jco) проходит
через точку (—1, /0). Условие (38) является приближенным
условием возникновения в
нелинейной автоматической
системе предельных циклов.
Введем обозначение
1
Рис. 133
Л1н(/ю, Л) — ц7н(/(0> А),
(39)
тогда условие (38) запишется
в виде
№л(/соп) = — Мн(/соп, Лп).
(40)
Здесь левая часть равенства
зависит от частоты со = <оп,
а правая зависит от частоты
со = соп и от амплитуды
Л = ЛП. Однако во многих
практически важных случаях
правая часть равенства (39) зависит только от амплитуды, при
этом условие (40) будет иметь вид
^л(/соп) = -Ми(Лп).	(41)
Для определения неизвестных значений Лп и соп необходимо
решить уравнение (40); решение наиболее удобно производить
графически. Особенно просто определяются графическим путем
значения Лп и соп, еслй условие появления в системе предельных
циклов имеет вид (41). В этом случае на комплексной плоскости
следует построить кривые 1ГЛ (/со) и —Л4Н(Л), придавая со и Л
значения от 0 до оо (рис. 133). Если кривые IF., (/со) и —МН(Л)
пересекаются, то это означает, что в автоматической системе
существует предельный цикл. Наличие нескольких точек пересе-
чения свидетельствует о существовании нескольких предельных
циклов. Частота предельного цикла равна значению отметки
частоты со = соп на кривой 1Е„(/со), а амплитуда равна значению
отметки амплитуды Л = ЛП на кривой— Л4„ (Л) в точке пересече-
ния этих двух кривых.
При графическом решении уравнения (40) приходится строить
па плоскости IF,, (/со) семейство кривых Л4„ (/со, Л), изменяя Л
от 0 до со и фиксируя для каждой кривой значение частоты со
104
как параметра. При этом искомые значения Ап и соп определяются
как соответствующие отметки точки пересечения кривой
стой кривой из семейства —/Ии (/'со, Л), у которой значение
параметра со совпадает со значением отметки со на кривой №л (/со)
в точке их пересечения.
Пример 2. Определить параметры Лп и соп предельных циклов в автомати-
ческой системе (см. рис. 128), нелинейная часть которой представляет собой
идеальное релейное звено (см. рис. 129), а линейная часть является последо-
вательным соединением интегрирующего и колебательного звеньев с передаточ-
ной функцией Гл(р)= p(T2p2+2£rp_ill)>
причем k= 100 1/с, 7=0,6 с, |=0,4.
Решение этой задачи проведем двумя способами, рассмотренными выше.
В примере 1 было установлено, что гармонически линеаризованное уравнение
идеального релейного звена
4с
есть х2—^хг. Уравнение ли-
нейной части системы имеет вид
р (7 V + 2£7р +1) хг=- kx2.
Исключив из этих уравнений
какую-либо координату, напри-
мер х2, найдем характеристиче-
ский многочлен автоматической
системы D (X):
Р(Х) =
4с
= 72Х«4-2^7Хг+Л+Л—г.
Рис. 134.
Делая в этом многочлене под-
становку 1=/со, отделяя веще-
ственную и мнимую части и
приравнивая их нулю, полу-
чаем систему уравнений для определения неизвестных значении Ап и соп:
П(Лп, соп) =—2|7соп-{-£—=0, V (Лп, соп) =— 72соц+соп =0.
Из трех решений второго уравнения этой системы соп = О, <йп= 1/7, соп=~— 1/7
лишь значение соп = 1/7 может соответствовать частоте физически возможного
предельного цикла. При соп = 1/7 из первого уравнения найдем Лп = 2йс7/л§.
Так как параметры А и со имеют действительные и положительные значения,
то в рассматриваемой автоматической системе существует предельный цикл
„ Л„ 2kT 2.100-0,6 пгс
с относительной амплитудой —= —=- =-------—=95,5 и частотой соп =
-Т“-®-'-671л
Выполним теперь решение этой задачи графически. На рис. 134 построена
амплитудно-фазовая характеристика №л (jo), а также характеристика — Л1И (Л) =
А
= — \lq(A)=—nA/Ас для различных значений относительной амплитуды —.
Так как кривые Wл (/со) и —/Ин (Л) пересекаются, то в автоматической системе
существует предельный цикл. Отметка точки пересечения на кривой —Л1Н (Л)
А А
равна значению относительной амплитуды предельного цикла, -— = —" = 95,5,
а отметка точки пересечения на кривой W„(ко) равна частоте предельного
цикла со=соп=1,67 1/с.
105
3. Устойчивость предельных циклов. После того как в авто-
матической системе установлено наличие предельных циклов,
необходимо исследовать их на устойчивость. В гл. V было отме-
чено, что в нелинейной системе могут существовать как неустой-
чивые, так и устойчивые предельные циклы. Во втором случае
предельные циклы являются автоколебаниями, т. е. представляют
собой устойчивые собственные периодические колебания нелинейной
системы. Неустойчивые предельные циклы не являются отражением
физически существующего и реально наблюдаемого периодического
колебательного процесса в системе и в большинстве случаев харак-
теризуют границу устойчивости автоматической системы в малом.
Ниже рассмотрены два
устойчивости
способа
циклов
предельных
приближенного исследования
нелинейных систем. В основу
этих способов положена, как
и ранее, идея гармонической
линеаризации нелинейностей.
Первый способ удо-
бен при аналитическом ана-
лизе устойчивости предель-
ных циклов и требует зна-
ния вещественной й мнимой
частей U (А, со), V (Д, со)
годографа Михайлова (34).
Рассмотрим сущность этого
способа. Предположим, что
в системе возник предельный
цикл с амплитудой А = Дп и
частотой со = (йп. Как пока-
зано в п. 2, годограф D (/со)
при изменении со от 0 до оо
проходит при наличии пре-
координат (см. рис. 132), причем
цикла через начало
кривой значения А = Ап = const и в начале координат
дельного
для всей
отметка со — соп.
Дадим амплитуде предельного цикла приращение АД, т. е.
положим Д = ДП4-АД. При этом первоначальное положение
годографа Z? (/со) изменится (на рис. 135 новое положение кривой
D (/со) показано лишь в окрестности начала координат). Пусть
при АД>0 кривая D(/co) занимает положение /, а при АД<0—
положение 2. В соответствии с критерием Михайлова положение
кривой 1 относится к устойчивой системе, а положение 2 —
к неустойчивой. Это означает, что в первом случае амплитуда
колебаний уменьшается до значения А = ДП, а во втором — увели-
чивается до значения А — Дп. В обоих случаях приращение АД
стремится к нулю, т. е. предельный цикл является устойчивым.
Если при АД<0 кривая занимает положение /, а при АД>0—
положение 2, то в первом случае амплитуда колебаний уменьшается
до нуля, а во втором — увеличивается до бесконечности, т. е. АД
не стремится к нулю и предельный цикл является неустойчивым.
106
Следовательно, для того чтобы предельный цикл был устой-
чивым, т. е. представлял собой автоколебания, необходимо, чтобы
при АЛ > 0 годограф Михайлова занимал положение /, а при
АЛ > 0 — положение 2. Другими словами, если вектор г, харак-
теризующий перемещение точки 0 кривой Z> (/со) при изменении Л,
расположен при АЛ > 0 справа по отношению к наблюдателю,
смотрящему вдоль вектора Z, касательного к кривой в точке О
(рис. 135), а при АЛ<0 вектор г расположен слева, то предель-
ный цикл будет устойчивым. Дадим этому необходимому условию
математическое описание.
Определим модуль векторного произведения векторов г и I:
\r X /1 = г/sin (г/) =
urvr
UiVt
— UrVi U/Vrf
где u„ vr и uh Vi — проекции соответственно векторов г и Z на
оси U и V; г и / — модули этих векторов. Следовательно,
sin (/*Z) — ^l-~UlVr .	(42)
Если годограф Михайлова при Л = Лпф-АЛ занимает
положение 1, то угол (rZ) является положительным, так как вра-
щение вектора г для кратчайшего совмещения с вектором I
происходит против часовой стрелки. В этом случае
urvt — utvr > 0.	(43)
Если годограф D (/со) при Л = Лп + АЛ занимает положение 2,
то угол (rZ) будет отрицательным, поскольку вращение вектора г
для кратчайшего совмещения с вектором Z должно быть по часо-
вой стрелке. При этом
urVi — Uivr <0.	,	(44)
Дадим параметры Л = Лп и со — соп соответственно малые при-
ращения АЛ и Асо. Тогда проекции векторов г и Z на оси U и V
можно приближенно записать в виде
<46>
Индекс «п» здесь означает, что соответствующие частные произ-
водные находятся при значениях Л = Лп, со == соп.
Пусть Асо > 0, т. е. вектор Z направлен по касательной к кривой
Михайлова в сторону возрастания параметра со. При АЛ > 0
получим, подставляя (45) и (46) в (43),
(Ш \ л л ! ov \ л / 9U \ л I дУ \ л .	„
АЛ -я— Асо — -=— Асо -5-т- ДЛ>0.
\ оА ]п \ Осо /а \ дсо /п \ оА Ju
107
При АЛ < 0 аналогично найдем	,
/ dU \ >./dV\ .	/ dU \ . (dV\ . .	„
hrr ДЛ К— Асо — я— Дсо -ад- АА<0.
\ дА Jn \да /п \да Jn \ дА )п
Разделив первое неравенство на положительную величину ДА Дсо,
а второе неравенство — на отрицательную величину ДА Дсо
и изменив при этом во втором неравенстве его смысл, получим
в обоих случаях
Ж Ж _(»Д Ж >0	(47)
^(о/п\вл;пи-
Неравенство (47) устанавливает необходимое условие устой-
чивости предельного цикла. Это условие имеет аналитический
характер; функции U = U(A, со) и V = V(A, со) легко опреде-
ляются по виду характеристического многочлена (34).
Пример 3. Исследовать аналитически устойчивость предельного цикла
автоматической системы, рассмотренной в примере 2.
Из примера 2 получим:
4г
и (А, со)=— 2g 7'со2+/г	V (А, со) =— ТЧо3+со,
ЛД
откуда
(dU_\  I	<	(6V\	472^2 ,п|	_ О
дА )п лЛ2 I 2kcT “ kn ’ А бсо /п ( ЗГ со +1) |	1	2.
Л=^!~	“=7
(Д=-Н
<0= J.
Следовательно, учитывая условие (47), получаем
т. е. предельный цикл с параметрами An = 2kcT/n£,, со,, = 1/7’ устойчив.
Второй способ позволяет производить приближенное гра-
фическое исследование устойчивости предельных циклов и основан
на использовании критерия Найквиста. В п. 2 было отмечено,
что при выполнении равенства (38) в автоматической системе
возникает по крайней мере один предельный цикл с амплитудой Ап
и частотой соп. При значениях А = Ап и со = соп амплитудно-
фазовая характеристика разомкнутой системы W (/со) проходит
через точку (— 1, /0). Как и прежде, дадим амплитуде предель-
ного цикла Ап приращение ДА, т. е. полагаем А = АП + АА. При
этом характеристика W (/со) сместится так, что она будет или не
будет охватывать точку (—1, /0). Если при ДА > 0 характери-
стика W не охватывает, а при ДА < 0 охватывает указанную
точку, то в соответствии с критерием Найквиста в первом случае
амплитуда колебаний уменьшается до значения А=А„, а во
втором увеличивается до того же значения А = АП. В обоих
случаях приращение ДА стремится к нулю, т, е. предельный
108
цикл является устойчивым. Если при АД > О характеристика
W (/со) охватывает, а при АД<0 не охватывает точку (—1,/0),
то предельный цикл, как-легко убедиться, применив критерий
Найквиста, будет неустойчивым.
Определение параметров предельных циклов ранее производи-
лось на основе условия (40) без построения амплитудно-фазовой
характеристики W (/со), но
с использованием характери-
стик IF, (/со) и Мк (jut, Л), по-
этому целесообразно отмеченное
выше условие устойчивости пре-
дельных циклов переформули-
ровать применительно к этим
функциям. Охват характеристи-
кой W (/со) при АД < 0 точки
(— 1, /0) соответствует охвату
характеристикой IF,, (/со) точки
на кривой — Мк (Д), для кото-
рой АД<0 (точка Д2 на рис.
133). Если W (/со) при АД>0
не охватывает точку (— 1, /0),
то IF_, (/со) не охватывает точ-
ку на кривой —/Ин (Д), для
которой АД>0 (точка А, на рис.
того чтобы предельный цикл с амплитудой
133). Следовательно, для
Дп и частотой соп был
устойчив, необходимо выполнение условия: изображающая точка
при перемещении по кривой — /Ин (Д) в направлении возрастания А
должна подходить к точке пересечения кривых IF„ (/со) и — /И„ (Д)
изнутри амплитудно-фазовой характеристики IF„ (/со). На рис. 136
изображены характеристики lF„(/co) и—/ИН(Д), пересекающиеся
в двух точках; при этом в системе существуют два предельных
цикла с параметрами ДП1, соп, и ДП2, соП2. Из условия устойчивости
ясно, что лишь предельный цикл с амплитудой ДП2 и частотой соПг
является устойчивым, т. е. представляет собой автоколебания.
Часть пятая
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ АНАЛИЗА
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава XIV
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 42. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
1. Основные понятия. В настоящее время под операционным
исчислением понимается совокупность методов прикладного мате-
матического анализа, позволяющих экономными и непосредственно
ведущими к цели средствами получать решения линейных диф-
ференциальных уравнений, а также разностных и некоторых
типов интегральных уравнений [7].
Операционное исчисление нашло широкое применение в тео-
рии автоматического регулирования, где с его помощью произ-
водится анализ переходных и установившихся процессов в авто-
матических системах. Сущность операционного метода заклю-
чается в следующем. Пусть задана некоторая функция f [I) дей-
ствительной переменной t, причем такая, что для нее существует
преобразование Лапласа (^-преобразование)
оо
о
т. е. интеграл в правой части этого равенства является сходя-
щимся. Используя ^-преобразование, можно каждой преобра-
зуемой по Лапласу функции f (I) (такие функции составляют
класс функций, называемых «.оригиналами») поставить в соответ-
ствие функцию F ($) комплексной переменной s (при этом функ-
ция F (s) называется «изображением» функции /(/)). Преобразо-
вание Лапласа обладает рядом замечательных свойств. Напри-
мер, дифференцированию оригинала /(/) по переменной t соот-
ветствует операция умножения F (s) на комплексную переменную s,
а интегрированию оригинала f(t) соответствует операция деле-
ния F (s) на s. Таким образом, операции дифференцирования и
интегрирования оригинала заменяются в пространстве изображе-
ний более простыми операциями алгебры — соответственно умно-
жением и делением изображения F (s) на s. Это позволяет диф-
110
ференциальное уравнение, записанное относительно искомой
функции /(/), заменить в пространстве изображений на алгеб-
раическое уравнение относительно изображения F (s) = Х [/ (/)].
Решив это алгебраическое уравнение и найдя F (s), мы получим
изображение решения исходного дифференциального уравнения.
Для определения самого решения можно воспользоваться обрат-
ным преобразованием Лапласа (^^-преобразованием),
устанавливающим связь между изображением F (s) и ему соот-
ветствующим оригиналом f(t):
c+i<x>
f(t) t=X-i[F (s)]=^ J F(s)estds, />0,
с—/co
где c = Res,
Во многих случаях при нахождении решения f (/) можно
избежать непосредственного вычисления этого интеграла, вос-
пользовавшись таблицей соответствий «оригинал — изображение»
(см. таблицу оригиналов и изображений, с. 139; более подробная
таблица приведена в [6]), а также рассмотренными в настоящей
главе способами определения оригинала по соответствующему
изображению.
Метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений
с помощью операционного исчисления сводится, таким образом,
к следующей наглядной схеме:
Пространство
оригиналов
Уравнение относительно
f (/) и начальные усло-
вия
Искомая
функция
НО
^-преобразование
^-преобра-
зование
Пространство
изображений
Алгебраическое
уравнение отно-
сительно изобра-
жения F (s)
----- Изображе-
ние F (s)
Ниже рассмотрены основные свойства преобразования Лап-
ласа, показано применение операционного исчисления для реше-
ния линейных дифференциальных и интегродифференциальных
уравнений, а также рассмотрены некоторые приложения опера-
ционного метода к анализу автоматических систем.
2. Интеграл .Лапласа Аналитичность изображения. Рассмот-
рим функцию f(t) вещественной переменной I, при этом будем
предполагать выполненными следующие условия:
111
I)	Функция f (/) непрерывна для всех значений /ЗэО. Непре-
рывность может быть нарушена лишь в отдельных точках,
являющихся точками разрыва непрерывности первого рода, при-
чем число этих точек должно быть конечным на любом интер-
вале ограниченной длины.
2)	Функция — Q для значений /<0.
3)	Функция f (t) имеет ограниченный порядок возрастания,
т. е. можно указать такие постоянные числа М >0 и со>0,
при которых выполняется неравенство f(t) <.Мес°* (/>0). Число
с0 является показателем роста функции f (i). Функция f (/),
удовлетворяющая условиям 1—3, называется оригиналом. Мно-
гие функции, встречающиеся при описании процессов в авто-
матических системах, являются оригиналами. Например, ориги-
налами будут функции 1 (/), A sin со/1 (Z), A cos со/1 (/), tnl (t)
(n = 0, 1, 2, ...), eatl (t),	(cc>0) и ряд других. Наличие
в этих функциях множителя —единичной ступенчатой функции
1 (0 — обеспечивает выполнение второго условия, т. е. обращение
функции /(/) в ноль при /<0. С физической точки зрения это
условие является вполне естественным. Действительно, в авто-
матических системах обычно представляют интерес процессы,
начинающиеся с некоторого момента времени. Например, если
функция f(t) характеризует отклонение регулируемой величины,
происходящее при приложении к системе в момент t = t0 воз-
мущающего воздействия, то очевидно, что при /</(| /(/) = 0,
так как реакция на возмущение не может возникнуть ранее
момента времени приложения к системе самого возмущения. Этот
момент времени может быть принят за нулевой момент, т. е.
можно полагать, что /о = О; тогда при /<0 получим /(0 = 0.
Условие 2 поэтому, естественно, учитывает начальные условия,
в которых находится автоматическая система и не является
обременительным с математической точки зрения. Как правило,
условия 1 и 3 также выполняются для большинства функций / (0,
характеризующих процессы в автоматических системах.
Если хотя бы одно из условий 1 — 3 не выполняется, то
функция / (0 не будет являться оригиналом. Согласно условию 1
оригинал / (I) не может обращаться в бесконечность при
<оо, поэтому не является оригиналами функции tgcor.
Не является оригиналом также функция е‘\ поскольку для этой
функции не выполнено условие 3: функция е‘2 при (—>оо воз-
растает быстрее, чем возрастает функция
Функция F (s) комплексного переменного s = с + /ю, опреде-
ляемая равенством
ОО
F(s)=	(1)
о
называется изображением функции f(t) по Лапласу. Интеграл
в правой части равенства (1) называется интегралом Лапласа.
42
о
Этот несобственный интеграл, по определению, равен
со	Т
e~st dt = lim \ f (t) e~st dt,	(2)
T-*co "
e-» + 0
причем e->4-0 ознанает правый предельный переход.
С помощью интеграла Лапласа устанавливается соответ-
ствие между функцией f(t) и ее изображением F(s). Процесс
получения изображения F (s) по заданной функции f (t) назы-
вается преобразованием Лапласа. Как видно из (1), это преобра-
зование состоит в умножении f(t) на e~st и интегрировании по
t получившегося произведения в пределах от 0 до оо. Символи-
чески преобразование Лапласа записывается в виде
X If (O1 = F(S).	(3)
Если функции f (t) соответствует изображение F (s), то это соот-
ветствие часто записывают следующим образом:
f(f)^F(s) или f(O=F(s).
Интеграл Лапласа будет сходящимся, если существует пре-
дел в правой части равенства (2).
Установим, для каких функций f (/) существует интеграл (1);
другими словами —какие функции f(t) преобразуемы по Лап-
ласу? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:
Теорема 1. Если функция f (t) является оригиналом, то эта
функция преобразуема по Лапласу и ее изображение F (s) опре-
делено в полуплоскости Re s > с0, где с0 — показатель роста
функции f (t).
Доказательство. Утверждение теоремы будет доказано,
если окажется возможным показать, что интеграл в правой
части равенства (1) сходится в части плоскости комплексного
переменного s, для которой Res>c0.
Учитывая условие 3 существования оригинала, получаем
опенку
$ f (t) е~si dt
о
< | f (t) || e-st | dt < MeCei | e~st | dt-,
о	о
но | e~st | =	| — e~ct, поэтому
(4)
Так как M<oo, то при с>с0 (c = Res) интеграл Лапласа схо-
дится.
Следовательно, функция /(/), являющаяся оригиналом, преоб-
разуема по Лапласу и ее изображение F (s) определено в части
плоскости комплексного переменного s, находящейся правее пря-
113
мой, параллельной мнимой оси и проходящей от нее на расстоя-
нии с0 (заштрихованная полуплоскость на рис. 137). 
Из доказательства теоремы следует, что существует интеграл
СО
\ | f | dt, т. e. интеграл Лапласа при Res>c0 является не
о
только сходящимся, но и абсолютно сходящимся интегралом.
На этом основании число с0 называют абсциссой абсолютной схо-
димости интеграла (1). Ее можно определить как нижнюю грань
ОО
совокупности чисел с, для которой интеграл	=
о
Рис. 137
Отметим еще одно свойство
справедливо равенство
= \\f (t)\e~ce dt сходится*).
о
Покажем теперь, что инте-
грал Лапласа при Res>c0
сходится равномерно. Имеем
| f (t) e~st | <ZМе-(с~с°} ‘ при t 0
и при значениях s, для кото-
рых Res>c0 и, кроме того,
СО
интеграл \Ме~(с~с«}‘ dt, как по-
о
казано выше, сходится; поэтому
в соответствии с признаком
равномерной сходимости несобст-
венных интегралов**) интеграл
Лапласа сходится равномерно
относительно s при Res>c0.
изображения F (s), вытекающее
из теоремы 1. Из неравенства (4) получим, что при стремлении
Res = c к 4-со модуль интеграла Лапласа стремится к нулю.
Следовательно, если функция F(s) является изображением, то
lim F(s)~O.
Res=c->oo
(5)
Следующая теорема устанавливает свойство изображения F (s).
Теорема 2. Изображение F (s) оригинала f (t) в полуплоскости,
для которой Re s > с0, где с0 — показатель роста оригинала,
является аналитической функцией.
Доказательство. В соответствии с теоремой Морера
(см. § 27) изображение F (s) будет аналитической функцией
в полуплоскости Res>c0, если, во-первых, в этой полуплоско-
сти функция F (s) непрерывна и, во-вторых, ее интеграл вдоль
*’ При таком определении следует допустить существование и отрицатель-
ных значений с0.
**’ См., например: Фихтенгольц Г М Курс дифференциального И
интегрального исчисления, т. II Физматгиз, 1962, о. 689.
114
любой замкнутой кривой, расположенной в этой полуплоскости,
равен нулю.
Непрерывность F(s) при Res>c0 вытекает из доказанной
выше равномерной сходимости интеграла Лапласа в указанной
полуплоскости относительно параметра s.
Проинтегрируем функцию F ($) по какому-либо произвольному
замкнутому контуру I, расположенному в полуплоскости Res>c0:
J F (s) ds — J H f (/) rst dt\ ds.
i Mo J
Интеграл Лапласа при Res>c0 сходится равномерно, в этом
случае, как известно *\ можно изменить порядок интегрирова-
ния в правой части написанного равенства:
। F (s) ds— (t) e~st ds|dt.
Подынтегральная функция во внутреннем интеграле является
функцией аналитической, поэтому в соответствии с теоремой
Коши внутренний интеграл равен нулю. Следовательно, выпол-
нено и второе условие теоремы Морера. 
Приведем примеры нахождения изображений.
Пример 1. Найти изображение единичной ступенчатой функции
(см. рис 106, а)
Р «рк ОО,
I 0 при t < Л.
Учитывая р шенство (1), при Res>0 имеем
СО	оо
X [ 1 (/)] = р (0 е sl at = | e~st dt== e-st/s = 1/s.
Следовательно, справедливо соответствие
1(0 «г 1/s, или	I !(/)]= 1/s	(6)
Абсцисса абсолютной сводимости для функции 1 (/) со=0. Изображение 1/s
при s=0 имеет особую точку—полюс. При Res^O интеграл Лапласа, вообще
г 'воря, расходится, поэтому изображение определено в полуплоскости, для
которой Re s > 0, в этой полуплоскости оно является аналитической функцией.
Пример 2. Найти изображение функции f(i)=eatl (/), где а—действитель-
ное или комплексное число (на рис. 138 изображена усеченная экспонента при
действительном а<0).
Имеем [еа/1 (/)] = (еа/1 (г) e~stdt— Je~,s~a>/dt. При Re (s—a)> 0,
о
т. e. при Re s > Re a,
CO
f e-<S-U)t
0
0
e-(s-a>/ |оэ J
s—q;	о s—a
*’ См., например: Фихтенгольц Г. M. Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т II. Физматгиз, 1962, с. 718.
115
Получили соответствие еа<1 (/) 4--------, или
<5Йеа/1 (01=7^.
(7)
Для рассматриваемой функции абсцисса абсолютной сходимости c0=Rea.
При Re s > Re а изображение  всюду определено и является аналити-
ческой функцией.
Наличие у функции eall (t) в последнем примере множителя
1 (i) обеспечивает выполнение условия 2 существования ориги-
нала. В дальнейшем будем
полагать это условие выпол-
ненным и при записи функ-
ций, подлежащих преобразо-
ванию по Лапласу, опускать
множитель 1 (t). Например,
соответствие (7) будем кратко
записывать следующим обра-
зом:
<5? [eaZ]
1
s—a *
При этом будем подразумевать, что
функция
= | 0
преобразовывалась по Лапласу
при t > 0,
при /<0.
Пример 3. Найти изображение функции f (t) = t.
Интегрируя по частям, получаем при Res>0
со	со
[(]= f te~st dt = —te~s</s 1°°+ — ( e-s/dZ = -e-^/s2
о	о
следовательно, t 1/s2, или [/] = 1/s2.
Повторным интегрированием по частям легко показать, что
loo 1
|о ~' s2 ’
X [/«] = n!/s«+i,
(8)
где п^О—целое число.
Интеграл вида (1) определяет одностороннее преобразование
Лапласа. В некоторых случаях в теории автоматического регули-
рования используется двустороннее преобразование Лапласа,
которое задается равенством
СО
F(s) = f(t)e-stdt,
— оо
(9)
причем здесь	при t <0.
116
Для существования изображения (9) необходимо, чтобы интег-
ОО	*
рал § \f(t)\e~ctdt был сходящимся. Этому требованию неудов-
— оо
летворяют многие функции, например функции f (t) = const,
f (t) = A sin (£>t, f (/) = A cos at и др.; поэтому применение двусто-
роннего преобразования Лапласа в теории автоматического регу-
лирования является ограниченным.
В дальнейшем под преобразованием Лапласа будем понимать
именно одностороннее преобразование (1).
3. Формула обращения. Для перехода от изображения F (s)
к ему' соответствующему оригиналу f (/) необходимо выполнить
обратное преобразование Лапласа. В следующей теореме опреде-
ляется аналитическое выражение оригинала через изображение.
Теорема 3. Оригинал f (t) в точках непрерывности определяется
равенством
c+irn
J F(s)e*^>	(Ю)
с— /со
где F (s) — изображение по Лапласу оригинала f (t), а интеграл
в правой части этого равенства понимается в смысле главного
значения, т. е.
с+/со	с-f /о
$ F (s) est ds = lim J F(s) est ds,
c—j<x>	а-ко c_ja
и берется вдоль прямой, параллельной мнимой оси и расположен-
ной в полуплоскости Res>cc.
Доказательство. Теорема будет доказана, если окажется
возможным показать, что
с+/<о
lim -5-7- I
«-.со 2л/ J .
с—/со
F (s) es/ ds = f (t).
Принимая во внимание равенство (1), найдем
w S F(s}eStds
с—jo
1
2л/
f(i:)e~sXdx est ds.
Интеграл Лапласа, как показано выше, сходится при Res = c>c0
равномерно относительно параметра s, поэтому в правой части
этого равенства можно изменить порядок интегрирования, при
этом получим
с+/<»	СО	c + ja
j F(s)estds = ~^ f (x)dx j es('~x) ds.
c—jcn	о	c—/co
117
Так как
cz+/to
f es Ц-т) fig ___J_ esd-x) lc+/6> _
J	t  T	|C —/CO
C—/G)
__	1 [C(c+j<s>) (t-x)_e<c-j<s>) U-t)] — 2/ec (/~T) sin ™ V~ T)
то имеем
c+/<0	co
4т- f F^dsB Cf(T)ec(/-T) sin“(<~T)dT.
£ч! It	it J	I ~~~ L
C — JCD	0
Введем новую переменную т — t — g, кроме того, положим
f (t) e~ct — tf (t), тогда
c+ja	oo
f F(s)e“ds = ±e« b(^+0e-^o	=
c—jb)	— t
co
1 Cf f	[. । n \ sin ii .
== — e* I w / + — ------- on,
Л J	\ CO / T) 1
— co/
где я = w£, или
e+/co	oo
~ J F(s)e^^=l^ J [ф^4-г)_ф(/)]Ы^ +
с—/ш	—со/
oo
+	<I1)
—co/
Рассмотрим пределы каждого из интегралов в правой части
ОО
равенства (11) при ы->со. Как известно, di] — л, поэтому
— ОО
ОО
liin|/(O f ™^Ldi] = f(t).	(12)
Интеграл в первом слагаемом правой части равенства (11) пред-
ставим в виде суммы трех интегралов:
со	—(dot
1 [t(/+-J-)-(p(o|!yl^= J [t(z+^)-7.(o}
— со/	—со/
Q	co
+ | [*₽(/+^)-T(/)]^di|+| |™'/ + ^)-ф(О|-^^т).
—co0f	Я
Функция f (t) является оригиналом, поэтому функция ф (t)
в интервале (0, оо) ограничена. Все три интеграла в правой
118
части последнего равенства являются сходящимися, т. е. можно
подобрать постоянные значения ш0 и Q настолько большими,
что модули интегралов по интервалам (—<of, —со</) (где <о>юо
произвольно) и (Q, оо) будут меньше всякого наперед заданного
и сколь угодно малого положительного числа е. Далее, значе-
ния t характеризуют собой точки непрерывности функции f(t),
т. е. при фиксированном г] имеем lim <р U-)-'--)== <р (£); поэтому
га->со \ w /
при (о —> оо модуль интеграла по интервалу (—coof, Q) стремится
к нулю. Следовательно,
lim ieCt +	^] = °.
(0->оэ	J L \ w /	J 'l
— со/
Из равенства (11) окончательно найдем
lim-X F(s)^(ds=f(t). 
и-»со	О.
с— /и
Формула (10) называется формулой обращения. С ее помощью
устанавливается связь между изображением F(s) и ему соответ-
ствующим оригиналом f (t). Процесс получения оригинала по
заданному изображению F (s) представляет собой обратное преоб-
разование Лапласа. Это преобразование состоит в умножении F (s)
на est, интегрировании по s получившегося произведения вдоль
прямой, параллельной мнимой оси, и делении интеграла на 2л/.
Символически обратное преобразование Лапласа записывают
в виде
^-1[/7(s)]=H0 (*>0).	(13)
Условие t > 0 учитывает то обстоятельство, что оригинал f (t) == 0
при t <0 (см. § 41),
Следует подчеркнуть, что формула (10) определяет оригинал
только в точках его непрерывности. Однако оригинал f(t) может
иметь точки разрыва непрерывности первого рода. Методом, ана-
логичным использованному при доказательстве теоремы 3, можно
показать, что в точках t разрыва непрерывности оригинала имеем
jin?a J /ч«и'^=4[н*+о)-ш-о)].	(14)
с— /<1>
Следовательно, формула обращения определяет оригинал f(t)
по изображению F(s) с точностью до значений в точках разрыва
непрерывности. Оригиналу всегда соответствует единственное
изображение, которое может быть определено по формуле (1),
так как значения оригинала в точках разрыва непрерывности
не изменяют вида изображения. Однако одному и тому же изо-
бражению можно поставить в соответствие множество оригиналов,
значения которых отличаются друг от друга лишь в точках раз-
119
рыва непрерывности. Если оригинал f(t) является дифференци-
руемой функцией всюду в интервале 0</<;оо, то оригинал
по заданному изображению определяется однозначно.
Следующая теорема устанавливает достаточные условия, при
выполнении которых функция F (s) является изображением.
Теорема 4. Если функция F (s) аналитична в полуплоскости
Re s > с0, стремится к нулю при | s | -> оо в любой полуплоскости
Re s с > Со равномерно относительно args и интеграл
с+/со
$ F (s) ds абсолютно сходится, то F (s) является изображением
с— jco
функции
c+ico
f F(s)eslds.
C-r- j<x>
Данную теорему примем без доказательства *>.
Из теоремы 4 ясно, что не все функции F (s) комплексного
переменного s могут быть изображениями. В частности, не являются
изображениями периодические функции, например, вида eas,
coss, sins, несмотря на то что эти функции являются аналити-
ческими во всей плоскости s.
4. Связь преобразований Фурье и Лапласа. Формула (1) пря-
мого преобразования Лапласа может рассматриваться как резуль-
тат определенным образом построенного обобщения односторон-
него преобразования Фурье. Пусть, например, функция f (t)
удовлетворяет условиям Дирихле в интервале О t < оо, причем
f (/) = 0 при t <Z 0.
Как известно (см. § 35), преобразование Фурье может быть
оо
применено к функциям f (/), для которых интеграл § | f (/) | dt
о
существует (условие абсолютной интегрируемости). Этому усло-
вию не удовлетворяют многие функции, используемые при ана-
лизе процессов в автоматических системах, например функции
!(/), i4sin<oZ, A cos <at, eat (при действительном а>0), t и др.
Для того чтобы иметь возможность подобную функцию f (0 пре-
образовать по Фурье, предварительно ее надо умножить на мно-
житель erct, где вещественное число с>с0 выбрано таким обра-
зом, чтобы интеграл
\ \f(t)\e-ctdi	(15)
• о
был сходящимся. Значение с0 для каждой функции f (t) является
вполне определенным. Используя формулу прямого односторон-
*’ Доказательство теоремы см., например, в кн.. Лаврентьев М. А.
и Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. «Наука»,
1965, с. 496
120
Cd
него преобразования Фурье F (/<о) = $ / (/) e~lat dt, будем преобрй-
о
зовывать по Фурье не функцию f (/), а функцию f(t)e~ct, удов-
летворяющую условиям применения этого преобразования:
F (с, /<о) = J f(t) e~cte~>at dt.	(16)
о
Введя новую комплексную переменную s = c + /<o, получаем
F (s) = jj f (/) e~st dt. Это выражение представляет собой формулу (1)
о
прямого преобразования Лапласа.
Таким образом, преобразование Лапласа является результа-
том распространения преобразования Фурье на функции, кото-
рые, удовлетворяя условиям Дирихле в интервале 0^/<оо,
не удовлетворяют в этом интервале условию абсолютной инте-
грируемости.
В гл. XII функция F(/w) частоты со названа спектральной
характеристикой функции f (/). Аналогичным образом функция
• F (s) комплексной переменной s является спектральной характе-
ристикой убывающей функции времени f(t)ect.
Рассмотрим теперь формулу обратного преобразования Фурье
(см. § 36)
оо/оо	\
f(t)=^ J efMI je~iatdt
— co '0	'
Заменив в левой и правой частях этого равенства f (t) на f(t) e ct,
СО / со	\
получим f (t) e~ct — 2- e’ai I (t)e~cte !'atdt\dm. Учитывая, что
— co '0	'
С 4-/со
s = c + /со, d<ss — ds/j, найдем fit) — j F(s)estds. Это равен-
с—/со
ство, как видно из (9), является формулой обратного преобра-
зования Лапласа.
Таким образом, обратное преобразование Лапласа может рас-
сматриваться как развитие обратного преобразования Фурье.
В гл. XI было отмечено, что представление функции в виде
интеграла Фурье соответствует представлению функции в виде
суммы бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми
амплитудами, причем частоты гармоник отличаются друг от друга
бесконечно мало. Аналогично этому, представление функции [ (/)
в виде интеграла (10) соответствует представлению этой функции
в виде бесконечно большого числа бесконечно малых составляю-
щих, являющихся колебаниями с бесконечно малыми амплиту-
дами, затухающими по экспоненциальному закону.
121
§ 43. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
1. Линейность преобразования. Приведем теорему, используе-
мую при установлении соответствий «оригинал —изображение».
Теорема 1. Если функции	..., fn(t) являются ори-
гиналами и их изображения есть соответственно Fi (s), F2 (s),   
.... Fn (s) и если Z2,	-величины, независящие omtus,
то справедливы равенства
( п	1	п
X	(1)
U-1	' Л—1
who.	(2)
'л —1	> k = l
Доказательство этой "-еоремы совпадает с доказательством
теоремы 1 § 36.
Пример 1. Найтч изображения по Лапласу функций since/, cosw/,
e~at sin wt, e~ai cos ot, где a>0— вещественное число.
Определим изображение по Лапласу sin ы/ Принимая во внимание тео-
рему 1, получаем
--------] = \Х - X [е gty.
Учитывая соответствие (7) § 42, найдем далее
1 / 1	1 \	1	2/ы
X [sm	-----t-т- = st •	—г»
2/ \s—/о	s-f-jco/ 2j s2-|-oj2
t. e.
^lsin“4=jqb.	(3)
Аналогично будем иметь
^[cos^uA-	(4)
Определим теперь изображение по Лапласу е~°^ sin со/:
X [е~а/ sin со/] =*X
Принимая во внимание соответствие (7) § 42, получаем
X {е~^ sin со/] = 1 (_!_______-__________________
I J 2/\s + a —/со	s + cc + /co/	2/(« + а)2+со2’
т. е.
^[e-^sin^l=(5T^T^.	(5)
Аналогично найдем
2. Дифференцирование и интегрирование оригинала. Следую-
щие теоремы устанавливают два важных свойства преобразования
Лапласа,
---{X [е‘-“+/“Д-X [е- <“+Д»Д}.
ч J
122
Теорема 2. Если функция f (Л и ее производная f (/) являются
оригиналами и F (s) есть изображение оригинала f (/), то спра-
ведливо равенство
^[r(O]==sF(s)-f(+O),	(7)
где**/(+О)= lim f(t).	>
<-+о
Доказательство. Изображение по Лапласу производной
f (t), как следует из равенств (1) и (2) § 42, есть
со	Т
X [f (/)] = f f (t) est dt = 1 im	(0 e~st dt.
0	F-co ''
S-	+ 0®
Проинтегрируем интеграл в правой части этого равенства по
частям:
т
<^[Г(0] = Hm f (t) e~st Г 4- s lim \f(f)e-stdt.
T-*<x>	1 Г—oo i
e—+0	e-*+0
T ак как f (t) является оригиналом, то его модуль | / (/) I < Мес"'
при t>0, поэтому |/ (t)e~st | <zMdc«-cyt, когда Res = c>c0, т. е.
lim f(7')es7=0. Кроме того, найдем lim f(e)fs8 = /(4-0). Учи-
Т ~»оо	е-*4~0
т
тывая, что согласно равенствам (1) и (2) § 42 lim f(t)e stdt —
Т-*оо “
е-» + 08
— F (s), получаем
<^[Г (0] = sF(s) —/=(+ 0). 
Если положить начальное значение f(4-0) = 0, то из фор-
мулы (7) получим X [/’ (i)] = sF(s), т. е. операции дифференциро-
вания оригинала соответствует операция умножения изображе-
ния этого оригинала на комплексное число s.
Если производные высших порядков f(2) (/), /(3) (/), ..., f(n} (t)
являются оригиналами, то справедливы равенства
[f™ (/)] = s2F (s) - f (+0) J - f (+0),
X	(0] = s3F (s) - f (+0) s2 - f (+0) s- f <2> (+0),
(8)
X [/(«) (/)] = snF (s) - £ fx-V (4-0).
k l
*> Ранее отмечалось, что /(4-0)= lim f(t), т. e. значение функции f(t)
t-^+o
при стремлении аргумента t к нулю берется справа. Следует отличать «значе-
ния функции в точке» от предельного значения функции при приближении
к этой точке. Например, для единичной ступени' гой функции 1 (О всегда
lim	в то время как значение 1 (/) при t— 0 не определено и может
о
быть принято (в зависимости от аппроксимирующей последовательности функ-
ций— см. § 37) равг ам 0 1 или любому дробному числу, заключенному в интер-
вале (0, 1).
123
Теорема 3. Если функция f (I) является оригиналом, причем
t
F (s) — его изображение, то интеграл J f (t) dt также является ори-
о
гиналом и справедливо равенство
=	+	(9)
где
ЛЧО = (О Л = j / (Т) Л+/-1 (+0),
о
причем f-1 (ДО) — постоянная величина.
Доказательство. Прежде всего покажем, что интеграл
(t) dt является оригиналом. Условия 1 и 2 существования ори-
о
гинала, очевидно, для этого интеграла выполняются, так как они
выполняются для функции f (/). Проверим выполнение условия 3.
Имеем оценку
t	t
^[\f(t)\dt<z[ Me<°‘ dt = ~ (e°J - 1) CM^.
J	J	co
о	0
t
^f(t)dt
о
Следовательно, условие
Убедимся теперь в
изображение интеграла
3 также выполняется.
справедливости равенства (9). Найдем
(т)гД:
tt
(т) dt = $ I \ f (т) dr) еst dt= lim
о J о \o '	s
Интегрируя по частям, получаем
f (t) dr I e-f dt.
<o /
т
е-»4-0е
t
erst $ / (T) dr
о
т
+ lim — С f(t)e~stdt.
Z-юо s J
e-»+0	8
Так как
<Af1e(c°-c,z (Z>0, Res = c>c0), то предел
первого слагаемого правой части равен нулю. Для второго сла-
гаемого правой части найдем, согласно равенствам (1)и(2) § 42,
т
hm — f f(t)e~stdt= — F (s); следовательно,
т -юз 4 a	s
e-»4-0	8
f (t) dr] = 7F (s).
J
(10)
124
Теперь, учитывая свойство линейности преобразования Лап-
ласа, имеем
<£[$/(/) <#] = .£ \f(T)dz
L0
Таккак<5ф (4-0)] = <5? [/(4-0) 1 (0]=^~-^, то окончательно полу-
чим
^[Г(О]=Ф + ™^. 	(И)
Если положить f-1(4-0) = 0, то из теоремы найдем, что опера-
ции интегрирования оригинала соответствует операция деления
изображения этого оригинала на комплексное число s.
Распространим теорему на интегралы высших порядков. Пусть
/(~л) (/) = J ... \f(t) (dt)k, тогда
^[/-!(0]=^+q±«)+C3±a,
(0]_ф+СШ+ ЕП+°>+Г"<+0)
(12)
n
4=1
3. Смещение в области оригиналов и в области изображений.
Изменение масштаба. Рассмотренные ниже теоремы позволяют
образовывать новые соответствия «оригинал — изображение».
Теорема 4. Если функция f (t) является оригиналом и F (s) —
его изображение, то изображение смещенного оригинала f (t — а),
где а —положительное число, определяется равенством
Z[f(t-a)\==e-asF(s).	(13)
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству
теоремы 4 § 36. Следует лишь иметь в виду, что f (t — а) = 0 при
t<a, так как оригинал f(Z) = O при /<0.
При обратном преобразовании Лапласа справедливо равенство
^•[е-«4)]-(	(14)
( f (t) при t > а.
Пример 2. Найти изображение смещенного оригинала (/—а)2 (рис. 139).
По формуле (13), учитывая равенство (8) § 42, имеем
X 1(*-а)2]Р2](15)
125
Пример 3. Определить изображение функции f (/)=» А [1 (0 + 1 (I—т) 4-
4- 1 (t—2т)4-...], характеризующей бесконечный ступенчатый ход (рис. 140).
Имеем
^[/(О]«Л5?[1(О1+Л^[1((-т)|+Л^[1(^-2т)1+...«
A	I	А	I „-2« А	I	1	А	/1СЧ
<=---’reTS---г 2X5---(16)
s s	s s	1—е з*
Воспользовавшись теоремой (4),
для определения изображений ку-
сочно-непрерывных оригиналов
общею вида Предположим, что
получим формулу, удобную
kf(t)
Рис. 139
Рис. 140
требуется определить изображение F(s) оригинала f(t) (рис. 141),
определяемого равенством
' 0
W) = g(f)
. 0
при
ПРИ
при />/2-
(17)
Изображение функции g(t) обозначим G(s). Найдем изображение
смещенной функции £(/ + т). Пусть это изображение есть GT(s),
тогда в соответствии с формулой (15) получим:
^[e-^Gh(s)] =
0
+	=g(t)
при
при
t>tlt
^-»[е-^(«)] =
0
g(t + h-iz)^g{t)
при
при
t <Ztz,

Вычитая из первого равенства второе, будем иметь, учитывая
равенство (17)
(S)] -Jg-i [е- st»Gti (s>]=f (i).
Следовательно, изображение кусочно-непрерывной функции
f(t) определяется выражением
F (s) = & s^Ctt (s)—e"s<sGz, (s)
(18)
126
Пример 4. Найти изображение оригинала f (/),
at+b
at2^-b
О
при
при
при

t 'С ^2>
<Z t3t
t ^3»
график которого изображен на рис. 142.
Пусть f (t) = (t)+f2 (/), где
Ы0={
aZ-f-fc при l<t2l
О при t > /а,
fa(O=
при
при
при
t < 4<
^2 би
t> is
и
О
o/g4“^
О
Определим изображение функции воспользовавшись формулой (18).
Для этой функции g (/-}-т) = я (/ + ?) + &, следовательно,
G-c (s)=X la (t+т) + b] = a/s2+ат/s+b/s.
Так как т=(х==0 и т = /2, то Gti(s)~a/s2-\-b/s, Gti(s)=‘a/s2-{-o.tils-}-bls.
По формуле (18) найдем
X [fl (01=-^- + ~-+e~St‘ (a/s2+at2/s + b/s)’
Определим теперь изображение функции f2(<):
X lf2Wl=X l(af2+b)(l	(t-t3m = (af2+b) -g--S-e~/3S
Просуммировав [fx (/)] и X [/2 (01> изображение функции f (t) получим
в виде
X If (01 = -7 [v + b+e-st’(±+2at2+2b)-e^ (o(2+b)l.
о a	у S
Пример 5 Определить изображение функции (рис. 143)
sin u>t при
со ’
0 при />—.
(О
127
Имеем: g(i‘) = sin bit, ^=0, t2 = n/a, т e
Gtl (s)=X [sinat]^—^-,
Gta (s)=^[sin “ (< + -^)]=«^ К sin ®0=- ^J^T-
По формуле (18) найдем
F (S) = -2V~+ e~	S -2 Г-Г - -TT~2 G +e~ “ ) •
S2+©2	s2 + co2	S2 + <B2 '	/
Формула (18) позволяет построить изображение периодической
функции. Пусть (р (/) —периодическая функция с периодом Т,
пусть, кроме того, функция f (/) совпадает с функцией ф (/)
в интервале (0, Т) и равна нулю вне этого интервала. Изобра-
формула (18), причем
жение F (s) функции f (0 определяет
в этом случае 4 = 0, t2 = T, т. е.
Gt, (s) = X [<р (0] = Ф (s), G/2 (s) = X [q> (/ + Т)] = Ф ($),
так как из условия периодичности ф (/) = ф (/-}-71). Подставляя
выражении Gt, (s) и C/£(s) в формулу (18), найдем изображение
Ф(э) периодической функции ф (/):
Ф(5)=-^Г-	(19)
1 —е
зх
Пример 6. Найти изображение периодической с периодом — функции
(рис. 144):
<р (0= | sin bit | =
sin bit при 0 < t < -- ,
л , 2л
Sin bit при - <t<--------------------.
r CO	<0
Изображение F (s) функции
/(0 =
sin bit
0
при 0 < t < —,
при /> —,
128
совпадающей с функцией <р (/) в интервале (О, Т) и равной нулю вйе этого
интервала, было определено в примере 5. Подставляя F (s) из указанного
примера в формулу (19)- получаем искомое изображение
s2+co2
1+е “
Л
---- S
1-е “
Теорема 5, Если функция f (г) является оригиналом и F (s) —
его изображение и если а —любое комплексное число, то справед-
ливо равенство
Х[е“ф (I)] —F (s — a).	(20)
Доказательство теоремы совпадает с доказательством
теоремы 5 § 36.
Из этой теоремы следует, что умножение оригинала на экспо-
ненциальную функцию приводит к смещению особых точек и
нулей его изображения.
Заметим, что если соответствие X [f (/)] = F (s) справедливо
в полуплоскости Res = c>c0, то соответствие (20) имеет смысл
при Re(s + a)>c0, т. е. при Re s > с0 — Re а.
Пример 7. Найти изображение функций е at cos e>t, е at sin to/. Учитывая
s	to
равенства X [cos со/] =	, X [sin co/] = ^+ю2
из теоремы 5 получим, что
[<rQ/costo/]- (s+c^+w2 >
(21)
Пример 8. Определить изображение функции e altn.
По формуле (8) § 42 имели X К"]—-^у,'поэтому, принимая во внимание
равенство (20), найдем, что
Теорема 6. Если функция f(t) является оригиналом и F (s)—•
его изображение и если а — вещественное положительное число, то
справедливо равенство
(24)
Доказател! ствс этой теоремы не отличается от доказательства
теоремы 6 § 36.
Формула (24) характеризует изменение изображения оригинала,
если в оригинале изменяется масштаб аргумента.
Пример 9. Найти изоб >аженне функции sin aat (а > 0)
Учитывая теорему 6, из равенства X [sin со/]=--^-г- получаем, что
X [sin асо/] —	‘
Б п/р. Чеыоданова Б. К,, т. 2
129
4. Умножение в комплексной и действительной областях. Рас-
смотренные ниже теоремы позволяют находить оригинал, соответ-
ствующий произведению изображений, а также определять изоб-
ражение произведения оригиналов.
Теорема 7. Если функции Д(/) и f2(t) являются оригиналами
и их изображения есть соответственно (з) и F2 (s), то спра-
ведливо равенство
t

1) /2 СО dt =Ег (з) F2 (s).
-О
(25)
Доказательство этой теоремы в общем совпадает с доказа-
тельством теоремы 8 § 36. Однако необходимо установить, что
t
интеграл свертки — т)/2(т)d% является оригиналом, т. е.
о
преобразует по Лапласу. Покажем это.
Условия 1 и 2 существования оригинала применительно
к свертке, очевидно, выполняются. Убедимся в выполнении усло-
вия 3. Выберем числа М и с0 такие, что [ (t) | < Мес°‘ и | /2 (/)  <
<Mec»z. Тогда получим оценку
t
$ fl (t — т) fz (т) dt
о
/
J —т) dt
О
= МЧес°‘,

т, е.
\fl{t-^fi^)dt
о

где е —сколь угодно малое положительное число. Таким образом,
условие 3 также выполняется и сьертка является оригиналом.
С точки зрения обратного преобразования Лапласа вместо
формулы (25) получим
^-1[F1(S)F2(s)]=$/1(Z-T)f2(T)dt- (/>0).	(26)
о
Правая часть этого равенства представляет собой оригинал, соог-
ве гствующий изображению в виде произведения F\ (s) F2 (s).
Пример 10. Найти оригинал /(/), изображение которого F (s) = s2/(s2+1)2.
Представим заданное изображение в виде произведения сомножителей
F1(s)=14T и F2(s)==K 1 • Так как •s^[^4n]=cos *’ то п0 ф°РмУле (26)
найдем искомый оригинал
t
[с2 "1	(*
(s2+'i)a j = J cos (Z—т) cost Дт=
о
t	t
= cos/ cos8TdT-}-sin t ( sin тcostйт= у (/cost 4-sin 0 (<>0).
о	0
130
Теорема 8. Если функции (/) и /2 (I) являются оригиналами
и Fi(s), F2(s) — соответственно их изображения, то произведение
fi (f) fi (!) также является оригиналом и справедливо равенство
С* 4-/со
% [А (OAtf»^ J Fi(s~w)F2(w)dw, (27)
с* — /со
где
c*+jco	с* + fa>t
f Fx (s — щ) F2 (®) dw = lim J Fl(s — w) F2 (w) dw;
C*—/co	W?x->00 c* —
с* — вещественное число, удовлетворяющее неравенству с2 < с* <
<Zc — Ci, причем Ci и с2 — абсциссы абсолютной сходимости
функций А(/) и f2 (t) соответственно; с —Res, кроме того,
тах(сь с2, сг4-С2)<с.
Доказательство. Функции Д(/) и /2(/) являются ориги-
налами, поэтому, очевидно, условия 1 и 2 существования оригина-
лов удовлетворяются и для произведения А(0А(0- Условие 3
также выполняется, так как при max(clt с2, ci-f-c2)<c
fi(t) f2(t) < Mect.
Следовательно, произведение Д (/) /2 (/) является оригиналом.
Найдем изображение функции А(0А(0- Имеем
^[A(OA(O]=jA(OA(O^dt
о
<•
Заменим в правой части этого равенства f2(t) по формуле обра-
щения:
С* 4- / СО	*
J F2(w)e/Wdw (с*>с2),
с*—/оо
тогда
СО	£*4-/00
[А (О А (0] = -^ j А (О J И e№’e-s/ dw dt.
О	с* ~/со
Благодаря равномерной сходимости внутреннего интеграла
относительно параметра t можно изменить порядок интегрирова-
ния; в этом случае будем иметь
С* 4- / СО
[А (0 h (01 =2НГ J
С* — ]СЯ
dw.

б*
131
co
Но справедливо равенство $ fa (/) е~di — F1(s — w)
о
Re(s — w) = c — Re т. e. при Rea><c—Ci, поэтому
c*+/co
J F1(s — w)F2(w)dw.
c*—/co
при
Таким образом, получили формулу (27).
Выполнение условия с2<.с* <Lc — q обеспечивает интегриро-
вание по прямой, параллельной мнимой оси и расположенной
в полосе (заштрихованная полоса на рис 145), где подынтеграль-
ная функция Fi (s — w) F2 (w) является аналитической. Дёйстви-
тельно, функция F2 (w) аналитична при Re w > с2, а функция
Fi (s — и) является аналитической
при Re w < с — сг. Отсюда ясно, что
произведение 'F2 (®) Fi ($ — w) будет
аналитической функцией при с2 <
<с* <с — сх. 
Интеграл в равенстве (27) пред-
ставляет собой свертку функций
F] (s) и F2 (s). Таким образом, умно-
жение оригиналов соответствует опе-
рации свертывания изображений
этбх оригиналов.
С* -4-/ОО
Интеграл § Ft (s — w) F2 (w) dw
c*— /co
является несобственным интегралом
и может быть вычислен с помощью вы-
четов (см. § 32). Вычеты подынтегральной функции Fx (s — о?) F2 (w)
следует определять или относительно особых точек w — wk функции
F2(w), или относительно особых точек w — wt функции F\(s — w).
В первом случае названные особые точки, являющиеся также осо-
быми точками функции Fi (s — w) F2 (w), расположены на плоскости w
левее прямой, параллельной мнимой оси и проходящей от нее
на расстоянии с2 (рис. 145); при этом формула (27) принимает вид
т
х [/1 (О fa (/)] = £ Res л (s - w) F2 (w) |то. (28)
fe=i
Здесь т — число особых точек функции F2 (w). Во втором случае
принимаются во внимание особые точки функции Fx (s — w) F2 (w),
расположенные правее прямой, параллельной мнимой оси и про-
ходящей от нее на расстоянии с —сх (рис. 145), при этом фор-
мула (26) запишется в виде
X [Л /) fa (/)] = - s Res (s - w) F2 И	(29)
i=i
432
где I — число особых точек функции Fr (s — w). Знак минус в этой
формуле отражает отрицательное направление обхода контура,
состоящегр из указанной выше параллельной прямой и дуги
бесконечно большого радиуса, расположенной в части плоскости w,
для которой Reu>>c —сг.
Пример 11. Найти изображение произведения оригиналов te~at, используя
формулы (28) и (29).
Имеем % [ Л =	(s)=-i-,	[е~а/] = / (з)=—, поэтому с помощью
1	S*	S -р Ct
формулы (28) получим
X [te~a/] = Res	. I =
(s —&)2(ш+а) 1а,—а
.	== lim ta+a)----------------— - ------
сэ--.—a ~ ' (s—ш)2(ш+а)	(s-f-а)2 ’
Применим теперь формулу (29;:
= - Res ----J. ,  I =
(s —ш)2(ш+а) |a,_s
= _ lim -dL_ (s—w)2 -7- — V —V = — lim
u>->s aw	(s—w)a (ш+а)	u,_»s
1
(ш-f-a)2
1
(s+a)2 ‘
В обоих случаях результаты совпадают
5. Дифференцирование и интегрирование изображений. Рас-
смотрим две теоремы, которые аналогичны теоремам о дифферен-
цировании и интегрировании оригинала.
Теорема 9. Если функция f(t) является оригиналом и F (s)—
его изображение, то справедливо равенство

(30)
ОО
Доказательство. Функция F (s) — J f (t) e~sl dt является
о
аналитической при Res = c>c0, поэтому ее можно дифференци-
ровать по s, а так как интеграл Лапласа сходится при Re s =
= с>с0 равномерно относительно параметра s, то допустимо
дифференцирование под знаком интеграла. Производя дифферен-
цирование, получим
О	о
= -ltf(f)e-stdt^~X[tf(t)],
о
поэтому
133
Таким образом, операции дифференцирования изображения по
s соответствует операция умножения оригинала на t с изменением
знака на обратный. Справедлива и общая формула
=	/31)
Пример 12. Из сосгвететвня cos at *- ——5-
г	’ s2+«2
формулы (30) новое соответствие:
можно получить с помощью
. _ . .	d s	s2-[-co2--2s2 s2—со2
* °' “	"ds	12+®®’	(s2+«2'2	~ (s2+w2)2	’
t. e.
c2 — z. *2
jf[Zcoso/] = Wto2>.	(32)
Теорема 10. Если функция f(t) является оригиналом и F (s)—
СО
его изображение и если интеграл J F (s) ds сходится, то спра-
о
ведливо равенство
(33)
здесь
со	Si
J F (s) ds — lim J F (s) ds
S	Sj—»CO g
и контур интегрирования расположен в части плоскости, где
функция F (s) является аналитической
ОО
Доказательство. Рассмотрим интеграл $ F (s) ds, где путь
S
интегрирования лежит в части плоскости комплексного перемен-
ного s, в которой функция F (s) аналитична, т. е. при Res = c>c0.
Принимая во внимание выражение (1) § 42, получим
со	со со	оо со
$ F (s) ds = J J f (t)e~stdt ds = J f (t) J e~st ds dt.
s	s 0	Os
Здесь мы изменили порядок интегрирования, что возможно бла-
годаря равномерной сходимости внутреннего интеграла относи-
тельно s. Так пак
СО	S1
I е~st ds = lim С e~st ds — lim f— ^7—1 |s* = ^-7-,
v	Sj_>cO v	Si-*CO L * I |S	t
s	s
TO
co	co	00
( F (s) ds — J	e~st dt, t, e,	= f F (s) ds. *
s	0	s
134
Из теоремы следует, что операции деления оригинала на t
соответствует операция интегрирования изображения по контуру
в пределах от s до оо. Важным при этом является условие суще-
ОО
ствования интеграла ) F (s) ds. Если, например, / (0 = 1 (0> т> е-
S
СО	СО	S1
F(s) = 1/s, то f F (s) ds =	= lim i— lim Insj—lns. Так как
J	J	8,-coJ	s.-oo
co
lim In si = co, то интеграл § F (s) ds в этом случае не существует,
S1-»CO	s
т. е. применять формулу (33) к функции у- нельзя. Этот результат
совпадает со сделанным ранее заключением, что функция -у не
является оригиналом.
„	, sin и/
Пример 13. Определить изображение функции —-—.
Справедливо соответствие sin и/♦-	 Применим к этому соответствию
формулу (33)'
, s S1 л , s . s
= arctg —	= — —, arctg — = arcctg —.
s,—+co CO s 2	CO	® co
Получили новое соответствие
sin ut .	, s
—r— <- arcctg —.
t ' co
6, Начальное и предельное значения оригинала, Следующие
две теоремы позволяют по виду изображения судить о поведении
оригинала при / = 0 и при /->оо.
Теорема 11. Если функции f (/) и f (/) являются оригиналами
и F (s) — изображение оригинала f (/), то при существовании пре-
дела lim f(t) справедливо равенство
t-*+o
lim sF (s) = lim f (/),	(34)
S—>CO
причем s-+cs> no такому пути, что Res = c неограниченно воз-
растает.
Доказательство. В соответствии с формулой (7) изобра-
жение производной f (/) дается равенством
X [Г (0] = f Г (0 е-" dt = SF (s) - f (+ 0).
о
Перейдем в этом равенстве к пределу по s; пусть s->co таким
образом, что Res = c неограниченно возрастает. Так как всякое
изображение (см. равенство (5) § 42), в том числе и изображение
135
производной, при указанном предельном переходе стремится
к нулю, то получим равенствоПш sF(s)—/(+0) = 0. Ио/(-f-0) =;
= lim f (/), поэтому
^4-с
lim sF (s) = lim f (t). 
% s-*co	»-f“0
Пример 14. Найти начальное значение оригинала /(/), если его изображе-
ние f(s)==	;-Tsr.
' '	(s-f-a)2
По формуле (34) получим lim I (t)= lim s-J—»=0- Этот результат
t-»+o	s-»oo (s-|-a)2
можно проверить, непосредственно используя соответствие (ей. равенство (23))
tp-ai л___1	•
" (s+a)2 *
lim	lim le~at—0
t-*+o	t^+o
Формула (34) может быть использована, если известно, что
lim f (t) существует (при этом само значение f (/) неизвестно).
В большинстве задач теории автоматического регулирования суще-
ствование предела lim sF (s) свидетельствует и о существовании
S—>со
предела lim f (/). Однако можно указать отдельные примеры,
когда подобное заключение будет неверным.
Теорема 12. Если функции f (/) и f (/) являются оригиналами,
F (s) — изображение оригинала f (/) и если sF (s) является анали-
тической функцией в правой полуплоскости и на мнимой оси, то
справедливо равенство
lim sF (s) — lim f (t).	s (35)
S->0	£->co
Доказательство. Справедливо равенство (7):
ОО
X [Г (0] = j Г (П e-st dt = sF (s) - f (+ 0).
0
co
Пусть s->0, тогда lim \ f (/) e~st dt = lim sF(s) —/(+ 0). Инте-
s-»0 Q	s—»0
грал в левой части равенства сходится равномерно относительно s,
поэтому возможен переход к пределу под знаком интеграла:
с»
{ f'(t)dt = limsF(s) — f(+O). Из аналитичности функции sF(s)
о	«-0
при Re s — C>0 следует, что производная f (t) является функ-
цией, убывающей по показательному закону; при этом интеграл
в левой части последнего равенства существует. Имеем
СО	t
\f'(t)dt= lim \f (x) dr = limf(t)—f (+0).
n	£—*oo p	t—>GQ
u	e-»+0s
136
Сравнивая последние два равенства, получим, что
lim sF (s) = lim f (t). 
s—> 0	>oo
Г
Пример 15. Определить с помощью формулы (35) предельное значение
оригинала, если его изображение F (s)=———— (а>0—действительное число).
(s-rK)
Функция sF (s)—	рвляется аналитической в правой полуплоскости
и на мнимой оси. По формуле (35) найдем
lim /(/) = lim s J. ^0.
t—*co s_»o (s-J-a)®
7. Вторая независимая переменная. При определении новых
соответствий «оригинал — изображение» оказываются полезными
следующие формулы:
Xt Г lim f (t, а)1 = lim F (s, a),
J a-+a0

a
Xt 5 f (Л a) da = 1’ v(s, a) da.
JIq
(36)
(37)
(38)
a0
Здесь f(t, а) —функция, преобразуемая по Лапласу относи-
тельно переменной t; F (s, a) — ее изображение; а — переменная,
не зависящая от t и s. Из формул (36) — (38) следует, что соот-
ветствие f(t, a)-:-F(s, а) не нарушится, если в левой и правой
его частях выполнять операции предельного перехода, диффе-
ренцирования и интегрирования относительно второй независи-
мой переменной а. При этом предполагается, что пределы, про-
изводные и интегралы, указанные в равенствах; существуют.
Справедливость формул (36)—(38) вытекает из основного соотно-
шения <5?/[/(/, a)] = F(s, а) в результате поочередного примене-
ния к нему операций предельного перехода, дифференцирования
и интегрирования.
Пример 16. Найти изображение дельта-функции 6 (/) (импульсивной функ-
ции первого порядка, см. § 37).
Так как 6(0 = lim -1^———то по формуле (36) получим
о—>о	а
<^[6(0] = ^| Пт —1	1= lim (/)-1 (М&*|.
|о-»0 a J a-.O ‘L а J
Используя формулы (1) и (13), найдем
[6(0]= lim -1—е— .
а о $а
Справа мы имеем неопределенность вида 0/0. Раскрывая эту неопределенность
по правилу Лопиталя, получим изображение дельта-функции
<£[б(/)]=Г '	(39)
137
Изображение смещённой дельта-функции 6 (/—а) определяется равенством
X [6 (/—«)! =e~as.	(40)
Найдем изображение производной от дельта-функции 6' (/) — импульсив-
ной функции второго порядка. Так как
а-*0	а2
то, учитывая формулы (1), (13) и (36), получаем
X !«' <01 - И. X,[	«-«> +  «-2»)1 _	.
а-* 0 L	Ja—>0	& 8
После двукратногр применения правила Лопиталя получим
Лё?[6'(01=«-	(41)
Изображение импульсивной функции порядка п будет
i?|6'«^(0I=sn-1.	(42)
Заметим, что функции F(s)=l, s, .... s"-1 не стремятся к нулю при
s-»co, поэтому их можно считать изображениями лишь условно. Эта услов-
ность является следствием той условности, которая отмечалась выше при вве-
дении понятия дельта-функции.	z
Пример 17. Применить формулу (37) к соответствию cos	•
Из формулы (37) следует, что соответствие не нарушится, если его про-
дифференцировать слева и справа по независимой переменной со:
5	, , д s
да	да s2+tofi
_ д .	. .	. д s —2as
Так как cos со/=— t sin at, fa -2_^ц2 =	, то получим новое
соответствие
, .	. .	2(0$
/smco/4-.^gy.	(43)
Пример 18. Применить формулу (38) к соответствию
, . s
cos at 4- -x-j—x.
s2 + <o2
Проинтегрируем это соответствие слева и справа по переменной со:
е>	<о	<о
С , . . С s , f , , sin со/ I® sin at
I cos at da*-~ \ , -x- da, I cos at da — —-— = —-—
Л	s2+co2 J	t о t
ooo
2	•
V s ,	, co ®	, co , s
1 -5-7-T d®== arctg — = arctg — “ arcctg —.
J s2+co2	s o s	co
„	sin at .	, s	, „
Получили соответствие -—arcctg —, известное также из примера 13.
138
Таблица 2
Таблица оригиналов и их изображений
№	Оригинал	Изображение
1	1(0 .	£
		s
2	e-ai -	1
		s+a
3	e-af_e-₽t	’ 1
	Р — а	(s+a)(s + P)
4	1	ае~№	1
	аР	аР(а—Р)	s(s+a)(s+P)
5	sin cot в	CO
		s24-co2
6	coscot	s
		S24-CO2
7	-(1-cos cot)	1
		s(s2 + co2)
	tn	n!
8		sn-f-’
9	tne-at	n!
		(s+a)"+1
10	— e'at sin co/ co	1
		(s-f-a)2+<o2
11	cos cot	s+a
		(s+a)2+co2
19	e~ai+at— 1	1
	a2	s2 (s+a)
13	[(a0 — a)t+l]e~at	s+op (s+a)2
14	1—(l+at)e"“'	1
	a2	s(s+a)2
15	a0 ta-a0. a0\ t	s+ao
	a2 \ a 1 а? Г	s(s+a)2
16	1 . 1 . . —=rt	г- sm cot co2	co8	1
		(s2 + co2)s2
17	1 u ,	1 J —shcot		1 co8	co2	1
		(s2 — co2) s2
18	1 , t •jr— t sin cot 2co	s
		(s2+co2)2
19	2^ (sin cot+cot cos cot)	s2
		(s2 + co2)2
20	t cos cot	s2 —co2
		(s2+co2)2
139
Продолжение табл. 2
№	Оригинал	Изображение
21 22 23 24 25 26 27	te at cos at sin at t Jn(t)(n>-1) J i(t) t 1 (t-a) (I—a) 1 (t-a) l(t—a) — l(t—b)	(sj-a)2—co2 [(s-pa)2-j-co2J2 arctg (Ks2 + 1 — s)n Vs2-H 1 — e~as s _1_ p-as s* e 2. (e-as_e-bsj при a < b
§ 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
Рассмотрим некоторые способы определения оригинала по
заданному изображению.
В § 42 было показано, что оригинал f(t) может быть найден
в результате обратного преобразования Лапласа над его изобра-
жением F (s)\
с + /со
f(0 = ^-1[/r(s)]=2b’ S F(s)estds. (1)
С— /оо
Формула обращения (1) устанавливает однозначное соответствие
между изображением и оригиналом в точках непрерывности ори-
гинала.
Вычисление оригинала по формуле (1) удобно производить
с помощью вычетов. Пусть функция F (s) является изображе-
нием, т. е. удовлетворяет условиям теоремы 4 § 42. Пусть, кроме
того, эта функция при Re s<c0 имеет конечное число особых
точек-полюсов. Функция F (s) удовлетворяет условиям леммы
Жсрдана (см. § 35), т. е. при F(s), стремящейся на дуге CR
к нулю при R->oo равномерно относительно arg s, и любом
положительном значении t имеем
$ F (s)es‘ds->Q,	(2)
CR
где Cr —часть окружности (см. рис, 87) с радиусом находя-
щаяся в полуплоскости Re s < с0.
140
Тогда интеграл (1) по прямой, параллельной мнимой оси,
сводится к контурному интегралу, где контур интегрирования
состоит из указанной прямой и дуги CR (/?->со). Применяя тео-
рему о вычетах, получим
п
f (0 = [F(s)] = J] ResF (s)	|8==м	(3)
v = l
где s—sv — полюсы функции F(s)est. Так как изображение F (s)
является аналитической функцией при Res>c0, то указанные
полюсы расположены левее прямой, параллельной мнимой оси и
проходящей от нее на расстоянии с0 (см. рис. 137).
При t < 0 следует положить f (0 = 0. В самом деле, из леммы
Жордана следует, что при /<0 имеем
J F (s)ese ds->0,	(4)
CR
где Сд —часть окружности (см. рис. 88) с радиусом /?->оо, нахо-
дящаяся в полуплоскости Re s>c0, поэтому при / <0
с 4- /со	п
Я P(s)e^ds^2 ReSF(s)^|s=Sft,
с—jcc>	Л—1
где sfe —особые точки функции F(s)est, расположенные в полу-
плоскости Res>»c0. Однако в указанной полуплоскости изобра-
жение F ($) является аналитической функцией, т. е. сумма выче-
тов равна нулю, откуда получим, что f (0 == 0 при t < 0.
Рассмотрим случай, когда изображение является рациональ-
ной функцией, т. е. представляет собой отношение двух много-
членов
Р (с\—	bis”1"1+..  + bm_is + bm
1 ’	В(«)	aos" + aiSni+...+an_1s-|-c!n ’	''
причем tn < n и коэффициенты а и b — действительные. Вычислив
корни знаменателя s» (i = 1, 2, ..., 0, представим это изображе-
ние в виде
р (s) — Л <s> —	+Ь1$т^+- •  + bm-jS+bm
В (s)	«0 (s—Si)kl (8—• s2)\.. (s—sz)*z
Здесь kt — кратность корня sb причем й14-Л2 + -.- + ^г=:«.
Для определения оригинала, соответствующего изображению
(6), используем формулу (3). Тогда, принимая во внимание фор-
мулу (5) § 32 нахождения вычета относительно полюса, полу-
чим при />0
/	k __I
f (0 =	[F (S)J = У------!— lim	[(s _ S/)*i р (s) е^.	(7)
s-*si ds ‘
141
Пусть теперь все корни sz знаменателя изображения F (s)
будут простыми, т. е. ki—l (i —1, 2,	п). Так как
«о (s< — Si) (s/ - s2)... (Si - Sbi) (Si - s/+1)... (s; - s„) = f
то вместо (7) в этом случае получим более простую формулу
п
f(t^24wesi’	(8)
1
Если знаменатель В (s) имеет один корень при s = О, т. е.
В (s) = sBi (s),
где
Bi (s) = a0 (s - s2) (s — s3)... (s — s„),
то формула (8) примет вид:
(<>o). о»
it=x2
При наличии у многочлена В (s) пары мнимых корней Si = /colt
s2 = — /®! имеем
В (s) = (s - /их) (s 4- /сох)  В2 (s) = (s2 4- w|) Ва (s),
где
B2(s)=(Z0(s —s3)(s —s4)... (s — s„).
Формула (8) запишется в этом случае следующим образом;
f (t) —-----4. fr) I	_l А (s) I	4-
(s+/‘<Oi)B2(s) |s = /<), e	(s—/(Oj) B2(s) =	+
V __—A ----------1 est‘ ——A Q°fr)—ei<Ait 4-
L (s2+«i)B'(s) |s = s« 2/(0^(/4) e
, —	jbJt)	(si + <ui) Bi (si)
Первые два слагаемых в правой части этого равенства являются
комплексными сопряженными величинами, при сложении их
вещественные части удвоятся, а мнимые части взаимно уничто-
жаются, поэтому получим
f (0 = Re -г-ъ ^-у е‘^‘ + У а Л У ,------------esil.	(10)
/wAGcoi) г (4 + w()b'(S/)	. v >
I at 3
142
Пример 1. Определить оригинал f (Z), соответствующий изображению F (s) —
1
~ (s+«)2 '	_
Изображение имеет единственный полюс s=—а второй кратности. Поло-
жив в формуле (7) Z=l, kt = 2, получим
f (Z) — Г ; ? .„-1 — lim ~ (з+а)2	-- est =
L(s+«)2J s__a ds '	(s+«)2
== lim fe~s(=te~at (/>-0).
s —*—а
Пример 2. Найти оригинал, соответствующий изображению
F (s) = (s+1) (s+2)(s+3) ’
Применим формулу (8). Для заданного изображения A (s)=s, В (з) =
= (s +1) (з+2) (s+3). Имеем В'(s) = (з+2) (s+3) + (s + 1) (s+3) + (s+1) (s-|-2).
Корни многочлена В (s): s,=—1, з2=—2, ss = —3. Тогда A (sj)=—1, A (s2)=
= -2, А (s8)=-3; B'(Si)=2, B’B'(sg)=2.
Следовательно,
Пример 3. Найти оригирал f (Z), изображение которого
F (s)~ — , 1 .--г.
s2 + s+l
Здесь корни знаменателя В (s) = s2-|-s+1 являются комплексными:
s1.2= — 4 ±j ЛД: имеем: A (s)=l, В' (s) = 2s+l, т. е. В'(s1) = 2 f—i +
z z	\	£
+ /-^-) + 1=//з; В'(%)=2(-1-/^-) + 1 = -/Гз.
По формуле (8) найдем
1 I
Z(Z)=^-’
/з1
/Гз
1 /1^
2Z e'2
//3 e
2/
' 2
J=73
2	. /3 ,
sm -— Z
2
= —~r=- e
(Z^O).
2
— e
В этом примере можно определить оригинал более простым путем, если
дополнить знаменатель изображения F (s) до полного квадрата:
FI \	1___________ J_________=__________!________
W	s2 + s+l	/	1 \2	1	/	1\2 /Кз\2’
\s+27 +1—4	V+t) +Г2/
Умножим и разделим правую часть этого равенства на 1^3/2 и примем во
внимание соответствие (22) § 43
. . . <о
е а' sm roZ -ф-7—-—, „,
(s+a)2+<o2
тогда получим уже известный результат
/(0 = ^
Г 1	1	2
[s2+s+lj УЗ
-у  Уз,
е 1 sm -— Z.
2
143
В равенстве (5) мы полагали, что m<Zn. Если т^п, т. е.
рациональная функция F (s) является неправильной алгебраиче-
ской дробью, то следует предварительно разделить числитель
этой дроби на знаменатель до получения остатка в виде пра-
вильной дроби. Если, например, т = п-}-1, то
Здесь klt k2 -г- постоянные коэфф щиенты, — правильная
£5 (S)
дробь. В этом случае
f (/)=[Г (s)]=z-* [fc1S]+^-1 [*2]+[All].
Принимая во внимание формулу (42) § 43 для изображения
импульсивных функций различных порядков, получаем
f(o=M,(o+w(n+^-1[4#].	(12)
L J
Третье слагаемое в правой части этого равенства может быть
найдено с помощью формулы (8).
В некоторых случаях можно найти оригинал /(/), соответст-
вующий изображению F (s), если разложить F (s) в ряд по сте-
** 1
пеням —:
S
со
^s)=2>-	<13)
k=\
Учитывая равенство (см. формулу (8) § 42)
(14)
формально будем иметь оригинал f(t) в виде суммы степенного
ряда
ОО
но =2 тАЛ* (*><>).	(15)
‘ = 1
Формальность процесса определения оригинала с использо-
ванием равенств (13) и (15) состоит в том, что не была установ-
лена сходимость указанных рядов. Покажем, что если изобра-
жение F (s) является аналитической функцией в бесконечно уда-
ленной точке, то оригинал f(t) может быть определен с помощью
формулы (15). Введем новую комплексную переменную <7 = А
Тогда функция Е^^ = Ф(^) может быть представлена в виде
степенного ряда
СО
ф (<7)^=2^;	.	(16)
fc=i
144
этот ряд сходится в круге сходимости | q | < R, где 7? — радиус
сходимости. Функция Ф (q) в указанном круге будет аналитиче-
ской. Используя оценку (8) § 27 коэффициентов разложения
аналитической функции в степенной ряд, получим, что
(* = 1. 2, ...).
Здесь М— max | Ф(<у) CR — окружность радиуса 7?.
на С g
Убедимся теперь, что при этом условии, наложенном на
коэффициенты ak, ряд (15) сходится. Имеем
(/г-1)!
у I I
Z (Л-1)1
4=1
у ICJ* - м Д1'1
L Rkkl ~RC
4 = 0
Следовательно, ряд (15) сходится для всех значений t, причем
в соответствии с признаком Вейерштрасса эта сходимость равно-
мерная.
Так как \f(t) 1 (/) | CTHie0»', т. е. удовлетворяется условие 3
определения оригинала и, очевидно, условия 1 и 2 также выпол-
няются, то функция /(/)!(/) является оригиналом.
Итак, мы показали, что справедливо соответствие
СО	оо
2	21 (Res>°-w>l)-
4=1	4=1
(17)
Пример 4. Определить с помощью соответствия (17) оригинал /(/), име-
g
ющий своим изображением функцию F (s) — g-j-.
Указанная функция F (s) аналитична в бесконечно удаленной точке, поэ-
тому применение соответствия (17) является законным. Раскладывая F (s) в ряд
по степеням 1/s, получаем
s _ 1	1,1	1 , У (~1)ft
S24-l	S	S3 "T” SB	s1	L s2,!+1
4 = 0
Находя по формуле (14) оригиналы, соответствующие каждому слагаемому
правой части этого равенства, будем иметь
со
Л0=^[^]=1«-^2+^4-.-= 2
4 = 0
/24
X 757й = со9/ (*>°)-
Этот пример имеет лишь иллюстративное значение. Для изобра-
жений, имеющих вид рациональной дроби, более удобно исполь-
зовать при определении оригинала формулу (8).
145
Заметим, что равенства (17) и (8) выражают соответственно
первую и вторую теоремы разложения Хевисайда. Эти теоремы
наряду с теоремами, приведенными в § 43, позволяют определять
оригинал по заданному его изображению. Из теорем § 43 наиболее
часто применяется для нахождения оригинала теорема о свертыва-
нии в вещественной об части.
§ 45. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Уравнения с постоянными коэффициентами. С помощью
преобразования Лапласа можно весьма просто производить реше-
ние линейных дифференциальных (интегрсдифференциальных) урав-
нений с постоянными коэффициентами. Общая схема решения
приведена выше (см. стр. 111). В соответствии с этой схемой,
преобразуя заданное дифференциальное уравнение по Лапласу
и учитывая при этом начальные условия, приходят к алгебра-
ическому уравнению относительно изображения решения диф-
ференциального уравнения. Вешая алгебраическое уравнение,
находится изображение решейия дифференциального уравнения.
Переход от изображения решения к самому решению может быть
произведен способами, указанными в § 44. В ряде случаев можно
воспользоваться также имеющимися таблицами соответствий «ори-
гинал — изображение»*’.
Пример 1. Найти решение уравнения
’^ + 3^+2х = 0 -
с начальными условиями: при t—(j х(0) = 0, х' (0)=1.
Преобразуем каждый член этого уравнения по Папласу При этом поло-
жим [х(/)]=Х (s) и используем формулы (8) § 43, тогда
др l = s2X (s)—sx (0)—х' (0)=s2X (s)—1,
Г3= 3[тд] = 3sX (s) ~3x (°) = 3sX («)• % [2x] = 2X (s).
м-f I	I lLL |
После преобразования по Лапласу исходное дифференциальное уравнение сде-
лается алгебраическим относительно изображения X (s):	/
&Х (s)-1 +3sX (s)+2X (s)=0;
найдем X (s): X (s) = ^	Знаменатель этой дроби имеет корни st =—1,
s2== — 2, поэтому X (s) можно представить в виде суммы элементарных слага-
емых:
*(£) = s2+U-2 = F+T + ^+2J ЗДеСЬ *1=1’ *2=-1
*’ См., например: Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник
по операционному исчислению. «Высшая школа», 1965, а также Г а р д-
нерМ. Ф Зэрнс Дж. Л. Переходные процессы в линейных системах,
Физматгиз, 1961.
146
Для определения оригинала х (t), соответствующего изображению X (s),
т. е. решения заданного дифференциального уравнения, выполним обратное
преобразование Лапласа. Учитывая соответствие (7) § 42, имеем
х (/) = ^~1И (s)]=Г-ЖГ-J-	(^0).
При определении х (t) можно было бы воспользоваться также формулой
(8) § 44.
Пример 2. Выполнить интегрирование дифференциального уравнения •
d2x dx , „
" ^+5d?+6x=1
с начальными условиями: при t—О х(0)=3, х' (0) =—2.
Пусть Л? [х (0] = X (s), тогда, учитывая формулы (8) § 43 и принимая
во внимание, что [ 1 (/)]=— (см. формулу (6) § 42), получаем уравнение
относительно изображения X (s);
s2X (s)—sx (0)— х' (0) + 6sX (s)—5х (0) + 6X (s)=L.
„	. vr. 3s2+13s + l 3s24-135+1
Далее найдем	№) (s+3)s‘ ДлЯ “^Деления ОРИГИ‘
нала x(t) применим формулу (9) § 44
з
Здесь A (s)=3s2+13s-f-1, Bj (s)=s2-f-5s-f-6, Bj = 2s-}-5. Имеем Л(0) = 1,
В!(0)=6. При s2=— 2, s3=—3, В{ (—2)=2(—2)-}-5=1, В\ (—3) =
=2(-3) + 5=—1; 4(—2)=3‘.4+13( —2) + 1 = —13, А (—3) = 3-9 +
+ 13(-3)+1 = —11.
Следовательно, искомое решение дифференциального уравнения
*(0'’4+Те"2'- ~e-^(t>0).
Пример 8. Найти решение интегродифференциального уравнения
+ + 2 £ xdt = e~i
с нал ильными условиями: при 1=0 х(0) = 2, х<~1)(0)=1.
Пусть X [х (г)] = X (s). Преобразуем заданное уравнение по Лапласу, при
этом будем использовать формулы (7) § 42, (7) и (9) § 43:
sX (s)-2+3X (s)+2*-£> + -? = 1 .
S	о О —J" X
Изображение решения определится равенством
• v. _	2s2-}-s—2	2s2+s—2
(s+1) (s2-|-3s+2) ~ (s+1)2 (s+2)’
147
(s + l)2(s + 2)	J +s^-2( ‘ %-; l)2(s-f-2)
Для нахождения x (/) воспользуемся формулой (7) § 44. В данном случае
s,=—1, Лгх==2; s2=—2, Л2=1, поэтому
.	1 пт dF(s+D2(2s2+s-2)^
W (2-1)! s-»_ 1 ds
,.	[(4s+l)e^ + (2s2+s—2)te^](s+2)—(2s2+s —2)esZ ,
s-1-1	(s+2)2	+
+ lim	eSt== -2e-z+4e-2<-fe-^ (/>0).
s—♦— 2	(s-f-1)2
Решение системы линейных дифференциальных (или интегро-
дифференциальных) уравнений с постоянными коэффициентами
производится способом, аналогичным указанному выше. Каждое
из уравнений, входящих в систему, при этом преобразуется по
Лапласу, а затем получившаяся система алгебраических уравне-
ний решается относительно изображения решения. Методика опре-
деления оригинала по найденному его изображению изложена
ранее.
Пример 4. Решить систему уравле.шй
2у—2г, ^ = 2x+7f/4-5z,	— 2х—4у— 2г.
Заданы начальные условия: при f=0 х (U) = 0, f/(0) = 3, (0)= — 2.
Пусть X [х (0] = Х (s), X [у (0J = У (s)> X |'г (01 =Z (s). Преобразуя каждое
уравнение системы по Лапласу, получаем систему алгебраических уравнений
(s— 1) X (s) + 2Y (s)+2Z (s) = 0, - 2Х (s)+(s—7) У (s)—5Z (s) = 3,
2Х (а)+4У (s) + (s + 2) Z (s)= —2.
Из этой системы найдем X (s):
0	2	2
3 s—7	—5
—2 s—7	—5
2	4 s-f-2
откуда получим X (s)=kl] (s—	(s—3), где ^=1, &2 =—1; поэтому
х(0==е;-е?' (/>0).
Аналогично найдем
у К) = — 2?+2е2/+Зе2< (t > 0), г (/)=2е1—2^—2е^ (t > 0).
Приведенные примеры свидетельствуют о преимуществах метода
решения интегродифференциальных уравнений с помощью пре-
образования Лаплас? по сравнению с классическим методом
решения.
Покажем на примере дифференциального уравнения второго
порядка, что изображение решения уравнения имеет характерную
структуру, отражающую физическую сущность процессов, происхо-
дящих в динамической системе, описываемой этим дифференциаль-
ным уравнением.
148
Пусть дифференциальное уравнение, описывающее поведение
системы, имеет вид
dP ai dt ~ di
Здесь f (/) — воздействие, приложенное к системе; х (t) — коорди-
ната системы. Заданы начальные условия: при / = 4-0 х(4-0) = х0,
х' (4-0) =/о, и задано начальное значение воздействия f (t): при
/=+0/( + 0)=/о. Полагая X[х(/)] = X (s), X[f (/)] =F(s)
и преобразуя уравнение (1) по Лапласу, будем иметь
t?oS2X (s) -j- CtySX (s) -|- a%X (s) =
= bosF (s) — fobo + biF (s) 4- OoSX0 4- aoXo 4- aiX0,
откуда цайдем изображение решения
X (s) = -	, '_L"n	(s)	— "b x° (a°s +	"J" °o^o]- (2)
c*0o -[-up i" u2
Множитель в виде дроби в правой части этого равенства назы-
вается системной функцией. Системная функция характеризует
физические особенности динамической системы, в том числе учи-
тывает ее параметры, связи и т. п. Знаменателем системной функ-
ции является характеристический многочлен; приравнивая его
нулю, можно получить характеристическое уравнение системы:
пол2 4- UiA 4“ ^2 = 0.
Множитель в квадратной скобке в равенстве (2) содержит све-
дения об изображении воздействия, приложенного к системе,
а также о начальных условиях. Из (2) следует, что изменение
координаты x(t) может произойти или при приложении к системе
воздействия /(/), или из-за ненулевых начальных условий. Этот
множитель дает представление о причинах возбуждения системы
и называется возбуждающей функцией.
Таким образом, изображение решения дифференциального урав-
нения представляет собой произведение системной функции на
возбуждающую функцию. Каждая из указанных функций вносит
свой вклад в формирование процесса изменения координаты х (/).
Структурный облик изображения решения (2) не изменяется и
для дифференциальных уравнений более высокого порядка.
Заметим, что в состав возбуждающей функции входят правые
начальные значения функций х(4-0), f( + 0) и их производных.
Это утверждение следует из теоремы 2 § 43, при доказательстве
которой предполагалось, что преобразуемая по Лапласу функ-
ция дифференцируема требуемое число раз и существуют предель-
ные значения при /->4-0 как самой функции, так и ее произ-
водных. Если функция /(/) в правой части дифференциального
уравнения (содержащей производные) является разрывной, то при ее
дифференцировании появляются дельта-функции и их производные,
149
которые можно считать преобразуемыми по Лапласу лишь усло-
вно (см. п. 7 § 43). Если использовать формулы (8) § 43 при опре-
делении изображений дельта-функций и их производных, то необ-
ходимо положить f (4-0) =f (4-0) = . .J1"-1* ( + 0) = 0. В самом
деле, изображение, например, дельта-функции <5? [6 (()] = 1; однако,
если непосредственно применить теорему 2 § 43, то найдем, что
^[б(0]^^[М] = ^[1(0]-1(+0) = 4-1=о.
Получили неверный результат, поэтому необходимо считать в дан-
ном случае, что значение 1(4-0) равно не единице, а нулю. Такие
же рассуждения имеют смысл и при определении изображений
производных от дельта-функций.
Учитывая сделанное замечание, в формуле (2) следует поло-
жить fo = 0, если например, f— При этом F(s)—i/s и
изображение решения примет вид
X (s)=	+а2 [т W х° (a°s + й1) а°х'°] •	(%)
Особое внимание при решении дифференциальных уравнений,
в правой части которых входят дельта-функции и их производ-
ные, следует обращать на определение начальных условий, так
как в этом случае правые и левые начальные условия могут
не совпадать.
d%x dx
Пример 5. Найти решение уравнения (см. пример 1 § 16)	+ 2 ,,+х =
— -г;, где — и заданы левые начальные условия х(—0) = 0,
х'( —0)=0.
Предположим, что х (-|-0)=х(—0), х'(Ц-0) = х'(—0). Тогда, преобразуя
уравнение по Лапласу и учитывая, что ^=6(t), X 16(01 = 1» получаем алгеб-
раическое уравнение относительно изображения X (s):
s2X (s) + 2sX (s) -J- X (s) = 1, откуда X (s) =	•
V>T l)
Учитывая формулу (23) § 43, будем иметь решение дифференциального урав-
нения в виде
х(0 = /еч (ОО).
Проверим, удовлетворяет ли найденное решение заданному дифференциаль-
'	dx	j. d2x
ному уравнению и начальным условиям. Имеем ^=(1—, ^2в(—2 +
Подставляя эти выражения в левую часть дифференциального уравнения, най^
дем, что
d^x dx
^+2^4-х = (-24-/)е-Ч2(1-0е-Ч^=0.
Таким образом, найденное решение не удовлетворяет исходному дифферен-
циальному уравнению. Так как х (4-0) = te-/|/_+о=О, х' (-|-0) = (1 — 0 X
X е~‘ |/_+о=1» то начальные условия также не удовлетворяются.
150
Однако полученное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению
- dx	*
^g+2^+x=0 и начальным условиям х(+0) = 0, х'(-|-0)=1 Так как
б (/) = 0 при / ¥= 0, то при t > 0 найденное решение удовлетворяет также и
заданному дифференциальному уравнению.
Покажем, как изменить полученное решение, с тем чтобы оно удовлетво-
n dx
ряло исходному уравнению и заданным начальным условиям. Пусть =
— (1 —• 1 (/), т, е. при /=0 первая производная от решения имеет разрыв
d*"X	4
непрерывности первого рода; тогда —(—2 4-1) ё~{ • 1 (/) ф- 6 (/). Подстав-
ляя указанные выражения в исходное дифференциальное уравнение, получаем,
что его левая часть будет равна не нулю, а 6 (/). Таким образом, если счи-
тать первую производную от решения разрывной функцией, то заданное диф-
ференциальное уравнение и начальные условия будут удовлетворяться.
Из последнего примера видно, что если в правой части диф-
ференциального уравнения содержатся производные от разрыв-
ных функций, то при определении изображения решения следует
в формуле (3), а также в формулах (8) § 43 учитывать вместо
правых левые начальные условия. После нахождения решения
уравнения в соответствии с формальной процедурой его следует
подвергнуть тщательному критическому анализу и должным обра-
зом доопределить, вводя в рассмотрение производные от решения,
скачкообразно изменяющиеся при / = 0.
2. Уравнения с переменными коэффициентами. С помощью
преобразования Лапласа можно выполнить интегрирование неко-
торых видов обыкновенных линейных дифференциальных уравне-
ний с переменными коэффициентами.
Пусть задано линейное обыкновенное дифференциальное урав-
нение
^(t)^+a1(t)d^^+...+an-1(t)^+an(t)x(t) = f(t), (4)
причем коэффициенты этого уравнения ai(f) (1 = 0,1, 2, .... п)
являются многочленами от t*\ Уравнение такого вида может
быть преобразовано по Лапласу, если воспользоваться теоремой
9 § 43, из которой следует, что дифференцирование по s изобра-
жения X ($) оригинала х (/) соответствует операции умножения этого »
оригинала на переменную t с изменением знака на обратный, т. е.
X[tx(t)]=-±-sX(s).	(5)
Если оригинал x(t) умножается на tn, то изображение этого
произведения определится равенством
(6)
*> Операционное исчисление может быть использовано также при интегри-
ровании обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодичес-
кими коэффициентами; см., например: Левинштейн М. Л. Операционное
исчисление и его приложения к задачам электротехники. «Энергия», 1964.
151
Из теоремы 2 § 43, с другой стороны, известно, что изображе-
ние производной п-го порядка есть
п
х [^]=snx <s> - 2s"*	(°)-	<7>
„	6=i
С помощью формул (5).—(7) могут быть образованы следующие
соответствия:	«
x(04-X(s),	£sX(s), Fx(t)+^X(s),
^>4-sX(s)-x(0),	+ - ^sX(s), t^^^sX(s),
H S2X (s) _ sx (0) _ / (0),	s2X (s) + x(0),
t?d?x (t) d? , v , ,
н т- д-
Преобразуя уравнение (4) по Лапласу с учетом указанных
соответствий, приходим к обыкновенному линейному дифферен-
циальному уравнению относительно изображения X (s); порядок
этого уравнения равен наивысшей степени t, имеющейся в коэф-
фициентах исходного уравнения. Решив уравнение относительно
изображения X (s), т. е. определив это изображение, можно спо-
собами, рассмотренными в § 44, перейти к оригиналу x(t), кото-
рый является решением исходного уравнения.
Целесообразность преобразования по Лапласу уравнения с пере-
менными коэффициентами состоит в том, что преобразованное
дифференциальное уравнение оказывается более простым, чем
исходное уравнение.
d^x dx
Пример 6. Найти решение уравнения /—.4-—4-/х=0 с начальными
условиями: при (=0х(0)=1, х'(0)=0.
Пусть х (0 4- X (s). Преобразуя заданное уравнение по Лапласу и прини-
мая во внимание приведенные выше соответствия, получаем уравнение отно-
сительно изображения
- ~s2X (s)4-x (О)-}-sX (s)-x (0) - A X (s) =0
ИЛИ
(S24-l)^UsX(S)=0.
Это уравнение также имеет переменные коэффициенты, но является более
простым, чем исходное, поскольку имеет разделяющиеся переменные.
Разделяя переменные, получаем dX[s)/X (s) =—sds/ (s2 4-1) и после интег-
рирования найдем
In X(s) — —~- ln(s24- 1)4-с'> или X (s) = c/Ks24-l,
где с —постоянная интегрирования.
152
Для определения значения с воспользуемся теоремой 11 § 43 о начальном
значении оригинала
с
lim x(t) — х(0)— lim sX (s)= lim s —r	 = c;
t—>0	s—>CQ	S~>CO Г SZ + 1
следовательно, постоянная интегрирования с==х(0)=1.
Определим оригинал, соответствующий изображению X(s)—у-- для
чего используем таблицу соответствий (см. таблицу на с. 111). Из таблицы
имеем, что оригинал *(/), являющийся решением исходного уравнения, пред-
ставляет собой бесселеву функцию
«(О-Л(0= i
А = 0
Глава XV
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
ДЛЯ АНАЛИЗА НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 46. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ функции и частотные
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с применением
преобразования Лапласа к анализу непрерывных систем автома-
тического регулирования. Будем полагать, что процессы, происхо-
дя шие в САР, описываются линейными дифференциальными урав-
нениями с постоянными коэффициентами. Таким образом, мы
ограничимся в настоящей главе рассмотрением линейных САР
с постоянными параметрами, т. е. параметрами, не зависящими
ни от времени, ни от состояния си-
стемы.
Пусть для динамической системы
(рис. 146) дифференциальное уравнение
записано в операторной форме (см. § 15)
D (р) х (t) =М (р) g(t).	(1)
g(t)
я А)
Рис. 146
Здесь D (р) и М (р) — многочлены от р:
D (р) = аорп + ajpn 1 + ... + ап-!р ф- ап,
Л4 (р) = Ььрт 4- biff1-1 + ... + bm-iP + bm\	( J
р — оператор дифференцирования; х (/) — выходная координата
системы; g (г) — входное воздействие.
Преобразуем уравнение (1) по Лапласу, предположив нулевые
начальные условия. Введя обозначения
Х(з) = ^[х(0], С(з) = Д?[£(0].
получим
D(s)X(s)=M(s)G(s),	(3)
где
D (s) = flos" + ais"-1 + ... 4- an-iS+an,	(4)
M (s) = bosm + bts"1-1 +...+ bm-iS -f bm.
Используем обозначение
°(S)=W)’	(5)
тогда уравнение (3) примет вид
X(s) = O(s)G(s).	(6)
Уравнение (6) связывает изображение X (s) выходной коорди-
наты системы с изображением G(s) входного воздействия. Функ-
ция Ф (s) характеризует динамические свойства системы. Как
151
следует из равенств (4) и (5) эта функция не зависит от воздей-
ствия, приложенного к системе, а зависит лишь от параметров
системы. Учитывая равенство (6), функцию Ф (s) можно записать
следующим образом:
* /л -К (s) X [X (Q] _ fr<iSm4-&1sro~1-|- ...	+	п\
'' О (s) X [/?(01 aoSn+fiiSn^1+ +an-is+°«
Функция Ф (s) называется передаточной функцией системы.
Из выражения (7) видно, что передаточная функция представляет
собой отношение изображения по Лапласу выходной координаты
системы к изображению по Лапласу входного воздействия при
нулевых начальных условиях
Зная передаточную функцию системы Ф (s) и определив изо-
бражение G (s) воздействия g (/), приложенного к системе, можно
найти по формуле (6) изображение X (s) выходной координаты
системы х (/), затем, переходя от изображения X (s) к оригиналу
x(f) (см. § 44), получить процесс изменения выходной коорди-
наты системы при приложении к этой системе входного воздей-
ствия.
Если начальные условия ненулевые, то вместо уравнения (3)
получим уравнение
D (s) X (s) = М (s) G (s) + МИ (s).	(8)
Здесь многочлен /И„ (s) содержит члены, отражающие влияние
ненулевых начальных условий на преобразование по Лапласу
левой и правой частей уравнения (1). Как известно (см. § 43),
лишь при нулевых начальных условиях справедливы равенства
<5? [рх (/)] = sX (s), X [р2х (/)] = s2X (s), ..., X [рпх (t)] — snX (s);
X[pg(t)] = sG(s), ^[p2g(/)W2G(s), .... «5?[pf"g(/)] = sfflG(s).
При ненулевых начальных условиях имеем:
X[px(t)] = sX (s)-x(+0),
X [р2х (0] = s2X (s) - sx (+ 0) - x' (+ 0),
t
X [p«x (/)] = snX (s) - 2 sn~kx^ (+ 0),
k=i
X[pg(f)]~sG(s)-g(+0),
X [p2g (0] = s2G (s) -sg (+ 0) - g' (+ 0), ...,
«S? [p"g (/)] = smG (s) — V sm-kg(k-v (+ 0).
k= i
*’ Подобное определение передаточной функции не находится в противоре-
чии с определением, введенным в § 18, так к^к при нулевых начальных усло-
виях комплексная переменная s может быть отождествлена с оператором диф-
ференцирования р.
155
Многочлен Л4Н (s) в правой части равенства (8) представляет
собой сумму слагаемых, появляющихся в этом равенстве за счет
ненулевых, начальных условий.
Введя обозначение VK(s)—MR(s)/D(s) и учитывая равенство
(3), вместо уравнения (8) получим следующее:
X(s)=O(s)G(s) + VH(s).	(9)
Переходя от изображения X (s) к оригиналу х (/), найдем процесс
изменения х (/) при приложении к системе входного воздействия
и ненулевых начальных условиях.
Передаточная функция системы полностью характеризует дина-
мические свойства системы и поэтому является важнейшей ее
характеристикой. Зная передаточную функцию системы, всегда
можно определить процесс изменения выходной координаты си-
Обратная связь
Рис. 147
стемы при наличии вход-
ного воздействия и за-
данных нача льных усло-
виях.
Из равенства (5) сле-
дует, что полюсы пере-
даточной функции устой-
чивой системы должны
быть расположены в ле-
вой полуплоскости пло-
скости s, так как знаме-
нателем передаточной функции служит характеристический много-
член системы £>(s), корни которого в случае устойчивой системы
должны иметь отрицательные вещественные части.
Имея передаточную функцию системы, нетрудно получить
амплитудно-фазовую частотную характеристику этой системы.
Из сравнения формулы (7) с формулой (6) § 39 видно, что для
этой цели достаточно в формуле (7) заменить s на /со. В этом
случае амплитудно-фазовая характеристика системы определите®
равенством
ф /;,.х  &0 (/to)m + &1	1 + •  • + ^m-1 (/to) + bm
> a0	-f- щ (/co)”-1 + ... + fl„_i (/co)+an '
Рассмотрим обобщенную структурную схему САР, изображен-
ную на рис. 147. В схеме выделены объект регулирования, серво-
механизм, элемент сравнения, прямые и обратная связи. К системе
приложено управляющее воздействие g (и и возмущающее воздей-
ствие ) (/). Регулируемая величина обозначена х (/), ошибка САР —
е(/), выходная величина сервомеханизма — г (/).
Пусть элементы САР характеризуются следующими дифферен-
циальными уравнениями, записанными в операторном виде:
Do (р) х (/) = Л40 (р) f (t) + Со (р) г (/)	(10)
—	уравнения объекта регулирования;
B(p)r(0 = W)e(0	(П)
156
—	уравнение сервомеханизма;
е (0=2(0-* (О	02)
—	уравнение элемента сравнения.
В уравнениях (10)—(12) D0(p), М0(р), С0(р), В(р), N(p) —
соответствующие операторные многочлены.
Используя обозначения
X(s) = J₽ [%(/)], F(s) = #[/(/)], Я(*) = <5ф(0], £(s) = ^[e(0].
преобразуем уравнения САР по Лапласу с учетом начальных
условий. После такого преобразования уравнения (10)—(12) соот-
ветственно будут иметь следующий вид:
Do (s) X (s) = < (s) F (s) + Co (s) R (s) +М1я (s),	(13)
В (s) R(s) = N (s) E (s) + M2ll (s),	(14)
E(s) = G(s)-X(s).	(15)
В этих уравнениях многочлены MiH (s) и М2н (s) содержат члены,
отражающие влияние ненулевых начальных условий на форми-
рование изображений производных от функций x(f), r(t), f(t) и
e(Z), входящих в левые и правые части уравнений (10) и (11).
Если начальные условия нулевые, то M2li(s) = 0, A41h(s) = 0.
Найдем изображения регулируемой величины X (s) и ошибки
Е (s). Подставляя R(s) из уравнения (14) в уравнение (13) и учи-
тывая равенство (15), получим
[Do (s)B(s) + Со (s)X(s)]X(s) =
=С0 (s) N (s) G (s) +Мо (s) В (s) F (s) + Со (s)М2н (s) +М1и (s) В (s). (16)
Введем следующие обозначения:
Мк (s) = Со (s)M2H (s) + В (s) M1H (s),	(17)
1'»М=7^ОТ-	<20>
Разделив все члены уравнения (15) на D0(s)B(s), найдем изо-
бражение регулируемой величины:
4)’iMjG<s)+iTWf<s) + tTiR5- <2»
Аналогичным образом определим изображение ошибки:
Е = 1+Г (s) G ~ 1 + W(s)F ~ 1 + Г (s)•
Используя обозначения
®<s>=twW у<5>=тЖ)’ ^8)-<24).
<25>
157
уравнения (21) и (22) перепишем в виде
X (s) = Ф (s) G (s) + Y (s) Р (s) + ФЕ (s) VB (s),	(26)
Е (s) = ФЕ (s) G (s) - У (s) F (s) - Ф6 (s) V„ (s).	(27)
Зная выражения, входящие в правые части равенств (26) и
(27), в частности, определив изображения управляющего воздей-
ствия G (з) и возму дающего воздействия F (s), нетрудно найти
с помощью этих равенств изображения регулируемой величины X ($)
и ошибки Е ($). Затем, перехопя от изображений к оригиналам,
можно определить регулируемую величину x(t) и ошибку си-
стемы е(/)
Если начальные условия нулевые, т е. VH (s) — 0, то уравне-
ния (26) и (27) имеют более простой вид:
X (s) = Ф (s) G (s) ф-У (s) F (s),	(28)
Е (s) = ФЕ (s) G(s) — Y (s) F ($).	(29)
’ Выясним, что представляют собой функции Ф ($), У (s), ФЕ (s),
W (s), V (s). Пусть к системе не приложено возмущающее воздей-
ствие, т. е. изображение F(s) = 0. В этом случае имеем
X ($) = Ф (s) G (s),	(30)
£(5) = Фе(з)0(5),	(31)
откуда найдем
ф (s) — х — % (ЭД	/32)
W(S)“G(s) ~X[g(t)]’	’
Следовательно, функция Ф($) представляет собой передаточ-
ную функцию САР по отношению к управляющему воздействию.
Из равенства (31) найдем, что
ф /s)___ % Iе (ЭД	/33)
1(3 G(s) ~Х [g(01'
поэтому функция ФЕ ($) может быть названа передаточной функ-
цией ошибки.
Пусть теперь в уравнениях (27) и (28) изображение G(s)
равно нулю, что будет справедливо, если к системе не прило-
жено управляющее воздействие. В этом случае вместо уравне-
ния (27) получим: X (s) — У (s) F (s), откуда
у /м__(5)____[х (01	/3Д\
т. e. функция У (s) является передаточной функцией САР по отно-
шению к возмущающему воздействию.
Для выявления смысла функций W ($) и V ($) разорвем в САР
(см. рис. 147) обратную связь. В этом случае сигнал с выхода
системы не поступает на ее вход, поэтому входным воздействием
для сервомеханизма будет служить не сигнал ошибки е (/), а упра-
158
вляющее воздействие g(t). Такая разомкнутая система описы-
вается следующими уравнениями:
Do (р) х (0 =Л40 (р) f (t) + Со (р) г Й	(35)
— уравнение объекта регулирования;
В (р) г (t) = N (р) g (t) 4	(36)
— уравнение сервомеханизма.
В преобразованном по Лапласу виде при нулевых начальных
условиях уравнения (35) и (36) имеют вид
Do (s) X (s) = Мй (s) F (s) + Со (s) 7? (s),	(37)
B(s)/?(s) = 2V(s)G's).	(38)
Из этих уравнений получим
Х	®+/У7ОТ 6	(39)
Учитывая равенства (17) и (18), вместо выражения (39) будем
иметь следующее:
X (s) = V (s) F (s) + W (8) G (s).	(40) '
Последовательно полагая F(s) — Q, G(s)==O, получим, чти отно-
шение
^7(sx—.x <s) Х[х(01	un
G(s)	X[g(t)[	Ч 
представляет собой передаточную функцию САР в разомкну,пом
состоянии по отношению к управляющему воздействию, а отно-
шение
у (s\ _ х (s> = !^И*(0!	(42)
,	F(s)	^lf(t)]
является передаточной функцией САР в разомкнутом состоянии
по отношению к возмущающему воздействию.
Если положить в рассмотренных выше передаточных функциях
s = /со, то получим соответствующие амплитудно-фазовые частот-
ные характеристики системы. Например, Фе (/со) — ампли-
тудно-фазовая характеристика ошибки; У (/со) — амплитудно-фазо-
вая характеристика системы по отношению к возмущающему
воздействию; W (jm) — амплитудно-фазовая характеристика разомк-
нутой системы и т. д. С помощью частотных характеристик могут
быть рассмотрены многие стороны работы САР, например, исполь-
зуя характеристику W (/со), можно выполнить анализ устойчи-
вости системы на основе критерия Найквиста (см. § 40), оценить
точность работы системы и т. п.
Отметим некоторые свойства передаточных функций и частот-
ных характеристик САР. Пусть на вход системы (см. рис. 147)
поступает управляющее воздействие в виде единичной ступенчатой
159
функции, т. е. g(t)=l(t). Реакция системы x(t) на это воздей-
ствие, как было указано в § 16, является переходной функцией.
В соответствии с равенством (30) изображение переходной функ-
ции h (t) есть X [Л (0] = Ф (s) X [1 (/)]. Так как «^[1 (0]==-~. то
будем иметь
^[/1(/)] = Ф(5)1	-	(43)
Используя теорему о начальном значении (см, § 43), найдем, что
lim h(t) = lim s®($)~ =lim Ф($).	(44)
/-*4-0	s-*co	s s-*oo
Положим s = /со, Ф (/co) = P (co) + jQ (w), где P (co), Q (co) — веществен-
ная и мнимая частотные характеристики САР. Тогда из равен-
ства (44) получим, что
lim ft (0 = lim Р (со).	(45)
/-*4-0	ш-»оо
Таким образом, начальное значение переходной функции равно
конечному значению вещественной частотной характеристики САР.
Если -Jim Р(со) = О, то переходный процесс в системе начи-
СО—>оо
нается из начала координат.
Учитывая теорему о предельном значении (см. § 43), из равен-
ства (43) получаем
lim h (0 = lim &Ф (s) — = lim Ф (s).	(46)
»co	s—>0	s s->0
При s =/со имеем
lim h (/) = lim [P (co) + jQ (co)] = lim P (co),	(47)
(0—>0
так как lim Q(co) = 0 вследствие нечетности функции Q (co). Следо-
O-*0
вательно, конечное значение переходной функции равно началь-
ному значению вещественной частотной характеристики САР.
Теорема о предельном значении оказывается полезной и при
анализе свойств передаточных функций статических и астатичес-
ких систем (см. § 16). Из равенства (32) найдем, принимая во вни-
мание теорему о предельном значении, что
lim е (0 = lim §Фе (s) G (s).	(48)
t—»оо	s—>0
Пусть на вход САР поступает управляющее воздействие g(t) =
= 1(0, тогда G(s) = y, и вместо последнего равенства будем
иметь
lim e(0 = lim Ф8(«).	(49)
/-»со	s-»0
160
Если передаточная функция ошибки ФЕ(з) имеет при s = 0
ноль какого-либо порядка, то lim е(/) = 0 и САР является аста-
t —>со
тической. Если же функция ФЕ ($) не имеет нулей при s = 0,
го lim е(/)=# 0 и САР является статической.
/ ->со
Используя формулу (49), найдем, каким свойством должна
обладать передаточная функция разомкнутой CAP W (s), для того
чтобы система была астатической. Введем обозначение
=	(50)
где функция Wo (s) не имеет нулей и полюсов при s = 0. Тогда,
учитывая равенство (25), вместо равенства (49) получим
1 .
hm е (0 = lim 1+U7(s) = hm ^+Г0(8) •
Отсюда найдем, что liine(/) = 0, т. е. система является астата-
/-♦ОО
ческой, если передаточная функция разомкнутой системы W (s)
имеет при s — О полюс какой-либо кратности.
Выше рассматривались свойства передаточных функций аста-
тических и статических САР по отношению к управляющему воз-
действию. Аналогичным образом могут быть получены свойства
передаточных функций астатических и статических САР по отно-
шению к возмущающему воздействию. Из равенства (34) найдем
с учетом теоремы о предельном значении, что
lim x(t) = lim зУ (s) F (s).	(52)
/->oo	s-»0
Если к системе приложено возмущающее воздействие в виде еди-
ничной ступенчатой функции, т. е. f (/) = 1 (/), то F (s) = у и
limx(/) = lim У (s).	(53)
/-»со	s-»0
Введем обозначение V (s)=^^, где функция Уо($) не имеет
при s = 0 ни нулей, ни полюсов. Учитывая это обозначение и под-
ставляя в формулу (53) вместо У ($) правую часть равенства (24),
получим с учетом выражения (50)
hm х (0 = lim sv^o(s) •	'	(54)
Отсюда следует, что limx(/) = 0, если дробь в правой части
/—♦со
равенства (54) имеет при $ = 0 ноль какой-либо кратности, т. е.
если v>%.
Таким образом, САР будет астатической по отношению к воз-
мущающему воздействию, если порядок полюса при s = 0 переда-
точной функции разомкнутой САР по отношению к управляю-
6 п/р. Чемоданова Б, К., г, 2-
161
щему воздействию выше порядка полюса при s = 0 передаточной
функции разомкнутой САР (объекта регулирования) по отноше-
нию к возмущающему воздействию. Очевидно, что САР может
быть астатической по отношению к управляющему воздействию
и статической по отношению к возмущающему воздействию.
§ 47.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ
В § 44 были указаны способы нахождения оригиналов по
известным изображениям. Эти способы могут быть применены при
определении процесса регулирования в автоматической системе.
Пусть на вход САР (см. рис. 146) поступает управляющее
воздействие g(t). Требуется определить процесс регулирования,
т. е. найти функцию x(t), характеризующую изменение регули-
руемой величины. Для решения этой задачи необходимо записать
дифференциальное уравнение, связывающее регулируемую вели-
чину х (t) с управляющим воздействием g(i), в преобразованном
по Лапласу виде с учетом начальных условий.
Пусть уравнение относительно изображения регулируемой ве-
личины X (s) записывается в виде (см. § 46)
D(s)X(S) = M(S)G(s) + MB(s),	(1)
где Z)(s), М (s), AIH (s) — многочлены относительно s; G(s) —изо-
бражение управляющего воздействия g(l).
В общем случае регулируемая величина x(t), являющаяся
оригиналом, может быть найдена с помощью формулы обраще-
ния (1) § 44; при этом
-	С-р/ОО
x(n = ^-1[X(s)] = 2^ f [—+	(2)
t—/со
откуда получим
+	((>0),	(3)
v=l	v
где s = sv — полюсы изображения X (s), или
п
х(/)=2 Rcs[O(s)G(s)+4w]e5ZLs (/>0)> (4)
v=l	v
где Ф (s) — передаточная функция САР.
Однако во многих случаях удается избежать необходимости
непосредственного вычисления x(t) по формуле обращения. Эти
случай рассмотрены в § 44. Наиболее просто определяется про-
цесс изменения регулируемой величины х(1), когда изображение
X (s) имеет вид рациональной дроби.
162
Пример 1. Передаточная функция разомкнутой CAP W (з)=^
Определить процесс изменения в САР регулируемой величины х (t) при нали-
чии управляющего воздействия — Начальные условия—нулевые.
Найдем прежде всего передаточную функцию замкнутой САР. По формуле
(22) § 46 имеем
^(S)	10
W <W)J 1 + № (s) ~0,ls2+s+10-
Так как Л? [1 (01= 1/s. то изображение по Лапласу регулируемой величины
определяется равенством
X(s)=^[x(0]
10	_	100
s(0,ls3-j-s+10) ~ s(s2+10s-J-100) •
Для нахождения оригинала x (t) воспользуемся формулой (3), где следует по-
ложить MH(s) — 0, так как начальные условия — нулевые. Изображение X (s)
имеет три полюса: sj=0, s2 = ~5-J-//75, s3 = —5—//75, поэтому в данном
случае имеем
з
х (Z)= Res
v—1
100es' •
s (s2+ 10s-J- 100)
|S = %
з
2Res
100erf
s[s—(—54-/K75)][s —(—5- iV 75)]]
s = sv
Вычисляя
получаем
по формуле (6) § 32 вычеты относительно каждого из полюсов,
x (Z) = lim
s-»0
ЮОе^
______________100esZ_____________
[s _ (_5+/ V75)] [s - (-5- / /75)]'
, г	ЮОе4'' ,	..
J- llm -г----------7-------7=Г5 + Iim -г-------------------7----=
s——5+/V75 s[s —(—5 —/У 75)J s__5_;-/75 s [s — (—5-J-//75)]
100	100/~5+'^)z	100e(~5~zl<fr)z
“ (—5)2+(/75)2 + (-5-J- j /75) 2// 75 + (-5-у/75) (-2//75) =
,	5 _,z
= 1------e a' --------—----------e_y------!_--------_
/75	2/	2
= 1— Д- sin/75Z-!-cos/75zl (t^(
Получен процесс регулирования в САР при наличии заданного управляющего
воздействия.
Определим теперь процесс регулирования х (Z) другим, более простым спо-
собом. Представим изображение X (s) в виде суммы двух слагаемых:
х (s) =_______—__________ I Bs+c
' ’ s (s2+ lOs-j- 100) s s2-I-10s-I-100 •
Неизвестные коэффициенты А, В и С определим из равенства
100= As2 -J- 10 As + 100А -J- Bs2 -J- Cs,
которое может быть представлено в виде систем уравнений
А + В = 0, 10А+С=0, 100= 100Л,
6*
163
откуда найдем А— 1, В——1, С=—10. Изображение X (s) может быть теперь
записано в виде -
w (	10s Н 100 s2+ 10s +100 •
Определим оригинал, соответствующий каждому из слагаемых в правой
части этого равенства. Известно, что 1/s	1 (/). Для нахождения оригиналов,
соответствующих двум другим изображениям, предварительно запишем квад-
ратный трехчлен в виде
s2+ 10s-}- 100=(s+5)2r-25+ 100=(s + 5)2+75,
, . co , . s ... и
тогда, учитывая, что	-т——5. cos го/*—s-—ъ,е w sin со/—	— —
J	s2+<02’	s2+<02’	• (S- г)+<o2’
_ni j 	s+«
e at cos a>t *-	—=-, получаем
‘ (s+a)2+u>2 ’ J
s _ s-|-5—5 _	s-J-5	б	У75
i2+ 10s +100 “ b-W+75 “ (s+5)2 + (/75)2	(s+5)2+(/75)2 ‘ ?75 'Л
__ r	_
+ е~&cos p 751-----sin V75 л
V75
10	10	/75 . 10
— --------------_-----....__z> cin Т/ 75 /
s2+10s+100	(s-}-5)24-(J/75)3 y<75 * ^75
Окончательно найдем
x (f) = 1 —ё~ъ.( ГД~ sin У75 t+cos У75 /1 . (t 0),
Lr 75	J
что совпадает с ранее полученным результатом. Во втором способе вычисления
оказываются менее громоздкими.
Пример 2. В САР, рассмотренной в предыдущем примере, имеется началь-
ное рассогласование х(0) —хс, причем начальная скорость х(0)=0. Опреде-
лить процесс изменения регулируемой величины х (/), если к системе не при-
кладывается управляющее воздействие, т. е. g(f) = 0.
Из передаточной функции САР Ф (s), полученной в предыдущем примере,
следует, что дифференциальное уравнение системы, записанное в операторной
форме, имеет вид (0,1р2+р+10) х (/)= 10g(/). Преобразуем это уравнение по
Лапласу, принимая во внимание начальные условия. Тогда, учитывая, что
<5? [р2х (/)] = s2X (s) — sx (0) — х (0), X [рх (/)]=sX (s)—x (0), g (t) — 0,
получаем уравнение
0, ls2X (s)—0,1 sx0 -I- sX (s)—x0 + ГОА (s) = 0,
откуда найдем изображение регулируемой величины:
х . . _ sx0+ 10х„ _ sx0________________________Юх0______
W	s2+ 10s +100 (s + 5)2 + (V75)2	(s+5)2+(K75)a
_ sJ-5_________________5x0 ____F 75_________lOxo _______У~75________
= X° (s+5)2+(T/75)a ~ FW ’ (s+5)2+(K75)a + FW ’ (s+)2-Mffi =
= x s+5_____________5x0___________F75
°(s+5)2+(F75)2	F75 ' (s+5)2+(]<75)2 '
Принимая во внимание результат предыдущего поимера, найдем ориги-
нал х (/):
x(0=x0e-^cos^75/Н	smV75t (/>0).
164
Это выражение и характеризует процесс изменения регулируемой величины
при наличии в САР начального рассогласования х0.
Пример 3. Найти процесс изменения регулируемой величины х (t) в САР,
рассмотренной в примере 2 § 16, если управляющее воздействие g (t) — 1 (/),
а начальные условия — нулевые.
В указанном примере было получено дифференциальное уравнение си-
стемы, записанное в операторной форме:
(0,002р6+0,1224р* + 5,146р’+41,32р2+201р -}-200) х (/) =200 (р-J- 1) g (t).
Преобразуя это уравнение по Лапласу и учитывая, что £![1	полу-
чаем изображение регулируемой величины х (/) в виде
Х(,) =___________________MOW).________________ _
w s (0,002s5 + 0,1224s* + 5,146s3+41,32s2+20 Is -J-200) ‘.
Многочлен в знаменателе имеет корпи (см. пример 2 § 16) S/=—1,28, s%, $ =
= —3,75 ±4,88/, s4,5=—26,21 + 37,13/, поэтому изображение X (s) может
быть записано следующим образом:
v- =___________________105(s+l)___________________
w	s (s+ 1,28) (s2+7,5s+37,8) (s2 +52,4s+2055) ~
_b___________£1________+_______9...	,
s rs+1,28 ^s+3,75 - 4,88/- rs+3,75 +4,88/
+______£1________+_______°2
rs+26,2 — 37,13/ r s + 26,2 + 37,13/ *
Определим неизвестные коэффициенты:
.  ,.	у . .	।.	106 (s +1)
Ло	(8+ 1,28) (s2+7,5s+37,8) (s2 +52,4s+2055)	’’
В = lim (s + 1,28) X (s) =
s—*—1,28
105 (s+ 1)
SJ™,28 s(s2+7,5s+37,8)(s2+52,4s+2055) =°>375-
[s—(—3,75+4,88/)] X (s) =
Cj= lim
s—3,75+ 4,88/
= s-*—3^75+ 4,88/ s (s+1,28) (s+3,75 + 4,88/) (s2+52,4s+2055) =
=—0,686 + 0,655/;
10s (s+1)
C2 = lim [s—(3,75— 4,88/)|X (s) =
s—3,75—4,88/
= s-*—3,75—4,88/ s (s+1,28) (s+3,75-4,88/) (s2 + 52,4s+2055) =
=—0,686—0,655/,
105 (s+1)
£>t = lim	[s — (—26,2+37,13/)] X (s) =
s->—26,2 + 37,13/
lim ____________________WW)________________________
5-^-26,2 + 37.13/8 (s+ 1,28) (s2 +7,5s+37,8) (s+26,2+37,13/) -
=—0,0023 — 0,016/,
o2=
lim	[s-(—26,2—37,13/)]X (s) =
—26,2 — 37,13/
lim ______________________104s+l)___________________
s-*—26,2—37,13/ s (s+1,28) (s2+7,5s+37,8) (s +26,2 —37,13/)
= —0,0023 + 0,0016/.
s
165
Подставляя найденные значения коэффициентов в разложение X (s) на сумму
слагаемых, получаем
1	0,375	l,37s+11,49	—0,005s+l,08
A (s) - g +s_| I>28 s2-; 7,5s+37,8 + s2+52,4s + 2055 ‘
Учитывая формулы (6) и (7) § 42, получаем оригиналы, соответствующие
слагаемые в правой части этого равенства:
1(Л-Д-—	0 375с~1,28<	0’375
l(0vs. ",6/ье v s+ii28-
Применяя второй способ, использованный в примере 1, также найдем
1,37е~3,7Б/ cos 4,88/+ l,3e—3’75Z sin 4,88/+ J’l--------
S “J- 7, os “J- 37, о
- 0,005е~26’2' cos 37,13/ + 0,035е~26’2' sin 37,13/ +  7°’^•
s2+52,4s+2055
Следовательно, процесс изменения регулируемой величины определяется
функцией
х (/) = 1 (0+0,375е—1,28< - e~3-75t (1,37 cos 4,88/ +1,3 sin 4,88/) +
+е-2б,2/ (_о,ОО5cos37,13/+0,035 sin 37,13/)	(/> 0).
Другим способом этот же результат получен в примере 2 § 16.
Часть шестая
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДИСКРЕТНОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА.
ИССЛЕДОВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава XVI
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ДЛЯ ОПИСАНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 48. РЕШЕТЧАТЫЕ ФУНКЦИИ
1. Определение решетчатой функции. Наряду с функциями,
определенными на всей вещественной прямой t, можно рассматри-
вать функции, которые определены только в некоторых точках
t2, .... Такие функции называют решетчатыми. Мы будем рас-
сматривать функции, определенные только в равноотстоящих точ-
ках t = nT, где п — любое целое число, а Т — постоянная, назы-
ваемая периодом дискретности. Эти функции принято обозначать
f [иТ] (рис. 148).
Любой непрерывной функции f (t) можно поставить в соответ-
ствие некоторое множество решетчатых функций, если предста-
вить переменную t в виде t — tiT-\-eT (Osge^l). При каждом
фиксированном значении переменной е функцию f (пТ 4- еТ) можно
рассматривать как решетчатую функцию, определенную в точках
еТ, (е-{-Г)Т, (е4-2)7\ ... (рис. 149). Такие функции называются
смещенными решетчатыми функциями. Для них принято обозна-
чение f (tiT-\-ET)~f[nT, еТ]. Изменяя переменную е в пределах
от нуля до единицы, можно получить множество смещенных ре-
шетчатых функций /[лТ, Е^]> соответствующих данной непре-
рывной функции fit). Благодаря непрерывности функции fit)
функция f[nT, еТ] является непрерывной по аргументу е и удов-
летворяет условию
f[(n-l)T, T]=f[nT, 0].
Если функция f(f) терпит разрыв непрерывности первого рода
в точках t = nT, то написанное равенство не выполняется, по-
скольку
lim f[(n — 1) Т, eTJ^lim f[nT, еТ].
е-»1	е-»0
167
В этом случае под значением функции f[nT] будем понимать пре-
дел справа:
ДпТ] = нтДпТ4-Е7Д
е-»0
В соответствии с этим значения переменной е рассматриваются
на полуинтервале 0=^е<1.
Функции f[nT, еТ] являются функциями двух аргументов п
и е, поэтому целесообразно обозначать эти функции как h [п, е] —
= f[nT, еТ]. В частности, при
е = 0 обозначают [n] == f [пТ, 0].
В тех случаях, когда это не
может вызвать недоразумений,
индекс-единицу будем опускать.
Для решетчатых функций
вводятся понятия конечных раз-
ностей и сумм, которые в не-
котором смысле соответствуют
понятиям производной и инте-
грала для обычных функций.
2 Конечные разности решет-
чатых функций. Выражение
ДДп] = Дп +	О)
называется конечной разностью
первого * порядка решетчатой
функции Дм]. Ради краткости
ДДп] называют просто первой
разностью. Первая разность от
решетчатой функции ДДп] на-
зывается разностью второго
порядка решетчатой функции
f [п], или второй разностью, т. е.
Д7[п] = ДДи-|-1]-ДДп]. (2)
Разность k-vo порядка решет-
чатой функции f [п] определяет-
ся формулой
Д'Дп] =
= Дй-у[п+1]-Дй-7[л]. (3)
Разность любого порядка можно выразить через значения
решетчатой функции Дм]. В частности, для второй разности по-
Д^[п] = ДДп+1]-Д/[п] = Дп + 2]-2Дн+1]-|-7[п].	(1)
Аналогично найдем выражение для третьей разности:
Д7[^Д« + 3]-ЗДп + 2] + ЗДн+1]-Дп].	(5)
168
Для разности произвольного порядка k справедлива формула
д№]= у (-1г(*)и«+*-ч.	<6>
v~0
fk\	kl
ГДе W ~ Ck ~ v! (fe—v)!’
Формулы (1)—(6), определяющие разности решетчатых функ-
ций, позволяют выразить саму решетчатую функцию /[д] через
ее разности различных порядков. Так, из равенства (1) можно
получить, что
/[«+1] = /[»] + Д/[«].	(7)
Из равенств (1) и (2) можно найти, что
Д7[п] = И« + 2]-/[» + 1]-Д/[п] = /[« + 2]-/[п]-2А/[д];
таким образом,
/[д + 2] = /[д] + 2Д/[д]+Д7[д].	(8)
Из равенства (3) при k = 3 и равенств (4), (7), (8) аналогично
получим:
д3П»]=Д2/[д+1]-Д7И=/[»+3]-2/[«+2]+/[д+1]-
- Д7 [«] = Г [« + 3] - 2/ [и] - 4Д/ [п] - 2Д7 [д]+/ [д] + Д/ [д] -
- Д 7 [п] = f \п + 3] - f [д] - ЗД/ [д] - ЗД 7 [д],
Д д + 3] = И д] 4- ЗД/ [д] + ЗЛ7 [П] + Л7 [«]	(9)
Продолжая вычисления в том же порядке, можно получить сле-
дующую формулу:
II \
+	. Д7[Ч	(10)
или, в частности, при д = 0
1 И \
ф]= У . д*и°].	ап
,	\*v I
Формулы (10), (11) выражают значения решетчатой функции
через ее конечные разности до порядка I включительно. Они
являются дискретным аналогом' формул Тейлора непрерывных
функций.
Пример 1. Задана решетчатая функция f[n] = a, где а—постоянная вели-
чина. Найти первую разность данной функции.
По формуле (1) имеем
Л/ [n] = Z [«+1]—/ [nJ—«—«=0,
т. е. первая разность от постоянной величины равна нулю.
’69
Пример 2. Дана решетчатая функция f[n] — an + b, где а и Ь — постоянные
величины. Определить первую разность этой функции.
По формуле (1) получим
Af [п]=а (п+ 1) + &—ап—Ь—а,
т. е. первая разность от линейной решетчатой функции есть постоянная вели-
чина. Вторая разность от функции f [п] = ап +b равна нулю, действительно,
Л2/ [п] = Да=0.
Пример 3. Определить разности решетчатой функции f [и] = н2.
Получим:
[н] = (н+ 1)2—н2=2п+ 1,
А2/ [«]=А/ [н+ 1] —А/ [н] = 2 (n + 1) + 1 — 2п — 1 =2,
Л3/[п] = 0.
Таким образом, вторая разность от степенной решетчатой функции п2
постоянна, а разности более высокого порядка равны нулю.
Пример 4. Определить конечные разности экспоненциальной функции
f [п] — еап
Аналогично предыдущему получим:
А/ [п1=еа1п+1,—еап = еап (еа— 1),
Л2/ [n] = (e“— 1) деал = еал (е“— 1)2.
Продолжая процесс вычисления разностей, найдем следующую формулу для
разности порядка k:
[„] — еап (еа _ J )ft	02)
Пример 5. Задана факториальная решетчатая функция f[n]=n<m> =
= п (и—!)...[«— (т—1)], где т 3= 1 — некоторое целое число. Вычислить раз-
ности факториальной функции.
Первая разность равна
Дп<«” = (н+1)п(л— 1)...[л + 1— (т— 1)] — п(п — !)...[«—(т— 1)] =
==n(n—1)... [п —(щ—2)] {п+1— [« — (т—	=
Далее получим
Д2л'т> = Дпгн<т~1) = иД л,п™ = /и (иг— 1) п,га-2>.
Вообще, при всех значениях k, удовлетворяющих условию k^m—1,
найдем
Л*Н<иг| = т (т— 1) ,[т—— 1)]	цз)
В частности, при k — m—1 имеем Am-1n<m, = /nln. Отсюда следует, что
Лт/гт==ггг!, а разности более высокого порядка равны нулю.
Таким образом, формулы разностей для факториальных функций имеют
тот же вид, что и формулы для производных обычных степенных функций.
Отметим, что вычисление конечных разностей является линей-
ной операцией. Это следует непосредственно из определения
конечной разности. Действительно,
А 2 Ci<Pi[n]= 2 С/ФИп+Ц- S Q<P/[nl= Q Афг[/г],
£==1	i—1	г —1
где сД/=1,	^ — постоянные коэффициенты.
Рассмотрим теперь разность от произведения двух решетчатых
функций ф[/г] и ф[п]. Имеем
А(ф[п]ф[п]) = ф[п + 1]ф[и+ 1] — Ф[п]ф[п1-
170
Прибавляя и вычитая в правой части этого равенства выражение
ф[п]гр[п4-1], получаем
Д(ф[п]г|>[п]) = ф[п4-1]г|;[п4-1] — ф[п]г|;[п]4-
+ <p[n]i|j[n-J- 1] —Ф [n]i|j[n-J- l] = i|j[n-J-1] Дф [п] 4-Д4> [п] ф [п].
Итак,
Д (ф[/г]1р[/г]) = ,ф[/г4-1]Дф[/г]4-Д4|[«]ф[/г].	(14)
Если прибавить и вычесть выражение гр [п] ф [п 4-1 ] вместо
Ф [/г] гр [п 4-1], то получится
Д (ф И гр [«]) =ф[«4-1] Дгр[п]4-Дф[«]’|’[я]-	(15)
Оба выражения (14) и (15) определяют разность произведения
ф[/г]гр[/г]. Аналогично можно получить формулу для второй
разности:
Д2 (ф 1п1 Ф [»]) = Ф И Д2Ф [п1 + 2Дф [п] Дгр [п 4-1 ] 4*
4- Даф [/г] гр [п 4- 2] = гр [/г] Д2ф" [/г] 2Дгр [п] Дф[«4-1]4-
4-Д2гр[/г]ф[п4-2].
Для разности произвольного порядка k справедлива формула
Д /М
Дй (ф [/г] гр [/г]) = I ) Д¥ф [л] Д6_¥ф [л 4-v].	(Ю)
V —О х /
3. Суммирование решетчатых функций. Рассмотрим теперь
операцию, которая является обратной к вычислению конечной
разности. Пусть решетчатая функция /[/г] определена при поло-
жительных значениях аргумента л = 0, 1, 2, ... Требуется найти
такую решетчатую функцию F[n], для которой функция f[n]
является первой разностью.
Эта задача аналогична задаче о нахождении первообразной
в анализе обычных функций. Искомая функция имеет вид
=	(п = 1, 2, ...).	(17)
А —О
Действительно,
AF[n] = F[n4-l]-F[n]=S /[fcJ-S’/PWH-
fe=C	k=0
Функцию Р[л] называют первообразной для решетчатой функ-
ции f[n].
Если решетчатая функция /[л] определена при всех целочис-
ленных значениях аргумента л = 0, ±1, ±2..., то для опреде-
ления первообразной необходимо дополнительно потребовать,
171
п
чтобы при каждом конечном п сходился ряд £ ин При ЭТОМ
k =—со
условии первообразная определяется выражением
f[«]= Е ни	(18)
k~ — со
Если функция Е[н] является первообразной для функции f [и],
то и функция F[n]4-c, где с—постоянная величина, также являет-
ся первообразной для решетчатой функции ПН- Действительно,
Д [F [и] + с] = ДД [и] + Дс = Н« 1-
Таким образом, общий вид первообразной для решетчатой
функции Ни] определяется формулой
п— 1
f[«]= 2 Л*] + с.	(19)
k — — со
Значение постоянной с можно выразить через значение первооб-
разной при некотором фиксированном значении аргумента n — N:
N — 1
2 НН
k~— со
Подставляя полученное выражение в формулу (19), найдем
п— 1	Лг— I	п—1
/=[«]= е /m+FPi- s 2 п^]+ги],
k~— со	k = — со	k — N
откуда
Р[«]-Е[Л/]= Е/Н	(20)
k-N
для любого п> N.
Формула (20) является аналогом формулы Ньютона — Лейб-
ница, связывающей интеграл с первообразной; ее можно записать
в виде
N + 1—1	1—1
F[N + l]-F[N] =	П*]=1]/Р + Ч (/=1,2,...). (21)
k — N	v = 0
Сумму, стоящую в правой части этого выражения, иногда назы-
вают определенной суммой по аналогии с определенным интег-
ралом. Учитывая условие f[n] — AF[n], можно переписать равен-
ство (21) следующим образом:
N + l— 1
F[# + /]-F|W]= £ ДГрг],	(22)
k=-N
или при N = 0
Е[/]=^ДЕт + Е[0].	(23)
Аг —0
172
Для решетчатых функций справедлива формула суммирования
по частям, аналогичная формуле интегрирования по частям для
обычных функций. Если в формуле (23) положить F[n] = w[n]x
хф], ? = м4-1,
то
1]ц[л + 1] = Д(ы 1Л]v 1Л]) + и[0]v[0] =
4 = 0
=	{«[£]Ди[&]4-ц[& + 1]Д«[&]} + и[0]v[0].
4 = 0
Это равенство можно переписать следующим образом:
£ и [£] Дц[£] = и [Л] v[Л] |*Zon+1 - £ v[k +1]Ьи[б]; (24)
4=0	4=0
получена формула суммирования по частям.
Пример 6. Задана функция f[n] = e~an; а>0 (n = 0, 1, 2, ...). Найти
гумму F [п].
Используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, получим
п—1
VI	1 ___р~ССП
У е-«4=___.	(25)
4 = 0
Здесь е~а—знаменателг прогрессии.
Пример 7. Дана функция f[n] = е~“|п|, где n=0, ± 1, ±2, ...; а>0
п — 1
Найти сумму F [п] = 2
k~—со
Выполним суммирование по отдельности для положительных и отрицатель-
ных значений аргумента п:
п — 1	—оо	оо
2	1__Р~ап	VI	V"!	. Р~а
4 = 0	4=—1	4=1
Для положительных значений п найдем
е~а 1ц.е-а (l_e-a<n-D)
F [п] =Д+ [nl + Л [«] =	== + ' )_ е~и----<	(26)
Для отрицательных значений п имеем
п—1	оо
VI	VI
F(n]= 2 e“ft= 2 e"a/i=r^*	(27)
k=—©o	fe—n—1
Пример 8. Для решетчатой функции f[n]—nf где п принимает значения
0, 1, 2,	, найти первообразную F [п]. Имеем
F [п] = 2	п^>. '	(28)
173
Пример 9. Пусть f[n] — n2 (n = 0, I, 2, ...) Найти первообразную.
rl— I
Для нахождения суммы F [л] — У № воспользуемся определением перво-
4=0
образной, в соответствии с которым имеем Af[n]=f [л]=п2. Будем искать
функцию [л], удовлетворяющую этому условию Вычислим разности;
ДЛ3 = (,; J_ 1 )3 _ Я3 — „3 _|_ 3П2	3,г _|_ J _ „3 = Зп2 _|_ з„ + 1,
е	Дп2==2л4-1, Дл=1.
Выразим из этих равенств функцию л2 через первые разности:
"2 =4 Дпз-п- * = 1 ДлЗ-(1 Дл2—1) - 1 =
=д(|,г8-|«2-|'’+!«)»
откуда определим
F [«1 = | п3 —2~ л2 — 3- ч + 2 'г +с-
Постоянную с найдем из условия F[l|=0:
°= _ _	_ -j_ ^-}-с; с = 0.
Искомая сумма определяется формулой
F [л] =1 «3-1 «2 -1«+ L п =
= 1 (/I2— 1) п—~ п(п— 1) = 1 п (п — 1) (2л —1).	(29)
«	о	£	О
Пример 10. Найти двойную сумму
п— 1 k— 1	п — 1	п— 1
4 = 0 1 = о	й=о	fe=0
Воспользуемся результатами примеров 8 и 9;
F [л] =4 ["S' ” ("—	” (п ~ =
= 1 п (л — 1) (л — 2) = 1 П'3>	(30)
Выполняя аналогичные выкладки, можно получить формулу для суммы
произвольной кратности лг:
n<m+li
(«+1)1 ’
(31)
Понятие разности и суммы вводятся без изменения и для
смещенных решетчатых функций; в этом случае
д/[«> e] = f[n+l, е] — f[n, в],	(32)
п — 1
Р[п, ej=z; f[k, е].	-	(33)
k=0
174
§ 49. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Основные понятия и определения. Всякое соотношение,
связывающее решетчатую функцию х[п] и ее разности до неко-
торого порядка k:
Ф[п, х[п], Дх[/г], ..., Д*х[/г]] = 0,	(1)
называемся разностным уравнением.
Используя формулу (6) § 48, соотношение (1) можно преоб-
разовать к виду
Ф1[к, х[п], x[n4-l], хргф-2], ..., x[n-]-fe]] = 0.	(2)
Например, линейное разностное уравнение
а0 Д3х [/г] ах Д2х [/г] ф- п2 Дя («] + «зя [и] = f [«].	(3)
где f [/г] — заданная решетчатая функция; а0, аг, а2, а3 — постоян-
ные коэффициенты, можно преобразовать следующим образом:
а0 (х[п + 3] — Зх[п ф-2]Зх[/г -J- 1] — х[/г])	(x[«4-2] —
— 2х [п ф-1 ] 4- х [/г]) ф- «2 (х [п ф-1 ] — х [/г]) 4- а3х [/г] = f [п],
или после группировки
х [п ф- 3] a0-j-x [п 4* 2] (оу — Зо0) 4-х [и 4" 1] (Зйо — 2oj 4" йг) 4*
4-х[/1](аз-О2 4-«1 — «о) =/[«]•	(4)
Если соотношение (2) содержит в явном виде функции х[п]
и хргф-й], то исходное разностное уравнение (1) называется
уравнением порядка k.
В процессе приведения уравнения (1) к виду (2) функции
х[п] могут взаимно уничтожиться; при этом получается разност-
ное уравнение вида
Ф2[п, x[zi4-1], х[п4*2], .... х[п4-Л]] = 0.	(5)
Если заменить переменную п по формуле т = п 4- 1, то получится
Фа[т—1, х[т], ..., x[tn-\-k — 1]] = 0.	(6)
Это уравнение является, согласно принятому определению, раз-
ностным уравнением порядка k — 1.
При переходе от разностей решетчатых функций к самим
решетчатым функциям могут взаимно уничтожиться не только
функции я [и], но также и функции х[/гф- 1], ..., х[п-}-1] (l<Zk).
Если заменить переменную по формуле m = /i4-/4-l> т° в этом
случае получится разностное уравнение порядка k — I— 1. Таким
образом, порядок разностного уравнения может отличаться от
порядка старшей разности.
Рассмотрим в качестве примера уравнение
Д3х [и] 4- Д2я [п] 4- 2Дх [н] 4* 2х [/i]=f [и].	(7)
175
В соответствии с формулой (6) § 48 его можно преобразовать
к виду
х[пф-3] — 2х[п + 2]4-Зх[и4- !]=/[«].	(8)
Введем новую переменную /п = /г+1, тогда получим
x[m-|-2] —2x[m + l]-|-3x [m] — f [т— 1].	(9)
Таким образом, уравнение (7) является уравнением второго
порядка, несмотря на то что оно содержит разность третьего
порядка.
Решетчатая функция х[/г], которая обращает уравнение
в тождество, называется решением разностного уравнения. Реше-
ние определяется наиболее просто, если разностное уравнение
порядка k можно разрешить относительно функции х [/? + £], т. е.
представить в виде
х[п + k] — F[п, х[п], х[п-|~1]>	x[n-[-k— 1]].	(10)
Относительно функции F[n, уъ у2, .... Уь] будем предполагать,
что она определена при всех вещественных значениях своих
аргументов п, yt, у2, ., уь, ограничена и однозначна. Зададим k
начальных условий при некотором значении аргумента п — п0:
Х[/г0] = Х0. *[По + 1] = Х1, .... x[flo + k— l] = xft_1._
Соотношение (10) определяет по заданным начальным условиям
значение решения при n = n0+k. Используя значение х[но + ^],
вычислим последовательно х[п0 + ^+1]. х[н0 + ^ + 2] и все
остальные значения решения х[п] при n^n0 + k.
Итак, решение х[/г] разностного уравнения (10) определяется
единственным образом в функции от k начальных условий:
Х[п] = £[п, Хо, ХЪ .... Xft-J.	(11)
Рассматривая всевозможные начальные условия, мы получим
общее решение уравнения (10) как функцию k произвольных
ПОСТОЯННЫХ Со, С1, .. ., С/г г:
х [«] = £[». с0, съ .... сЛ1].	(12)
Решение (12) является общим решением в том же смысле, что
и общее решение дифференциального уравнения. Любое решение
разностного уравнения (10) может быть получено по формуле (12)
при соответствующем выборе постоянных с0, сь ..., ck i. Заметим,
что число произвольных постоянных совпадает с порядком урав-
нения.
Наряду с разностными уравнениями относительно решетчатых
функций х [nJ, можно рассматривать разностные уравнения отно-
сительно смещенных решетчатых функций х[п, ej:
Ф[п-|-е, х[п, е], Ах[п, е], А2х[п, е], А*х[п, е]] = 0, (13)
где Os=Se< 1.
176
Если, в частности, порядок разностного уравнения (13) совпадает
с порядком старшей разности и уравнение (13) можно разрешить
относительно x[n-\-k, е], то это уравнение представимо в виде
х[пА-/г, e] = F[n-J-e, х[п, е],
х[п+1, е], x[n±k — 1, е]]. (14)
Для того чтобы получить решение разностного уравнения
порядка k для произвольных значений е, следует задать
в качестве начальных условий k функций переменной е:
х[п0, е] —xo[ej, x[no4-l> e] = Xi[e], ..., х[/г0-|-/г —1, е] = х*_1[е].
Тогда из рекуррентного соотношения (14) можно найти решение
для любого значения 0^е<1, п^п0, которое можно записать
следующим образом:
х[п, 8] = |[п, е, Хо[е], хДе], x*-i[s]].	(15)
Отсюда следует, что общее решение разностного уравнения (14)
зависит от k произвольных функций, заданных при 0 е < 1, т. е.
х[п, е] = |[п, 8, с0[е], сДе], ..., сА_Де]].	(16)
В дальнейшем мы будем рассматривать главным образом разно-
стные уравнения относительно решетчатых функций при е = 0.
Тем не менее все результаты, приведенные ниже, могут быть легко
распространены на уравнения типа (13), (14) для смещенных
решетчатых функций. Перейдем к более подробному изучению
линейных разностных уравнений,
2. Линейные разностные уравнения. Однородные уравнения.
Линейное разностное уравнение порядка k имеет следующий вид:
о0 [л] Агх [п] + Gx [nJ ArXx [n] -J-...
... + ог_Дп]Ах[п]+пДп]х[п] = [[п] (r2s/j),	(17)
где f[n], a0[n], Gj[n], ..., ar[n] — заданные решетчатые функции.
Будем предполагать, что эти функции определены при всех поло-
жительных значениях аргумента n = 0, 1, 2, ... и ограничены.
Уравнение (17) называется неоднородным разностным уравнением,
если правая часть f [nJ не равна тождественно нулю; в противном
случае уравнение (17) называется однородным разностным урав-
нением. Уравнение (17) можно преобразовать к виду
60 [«] х [п + k] 4- Ьх [п] х [п -J- k — 1 ]+...
• A-bk Д«]х[п+ l] + b*[n]x[n] = /[n],	(18)
используя формулу (6) § 48. При этом коэффициенты Ь,[п] (i ==
= О, 1, k— 1) связаны с коэффициентами пДп] соотношением
JL	tk — v \
•	«44	(19)
v=0	\1— V/
Заметим, что bft[n], feo[n]a£0, так как мы предположили, что
разностное уравнение (17) имеет порядок k. Коэффициент Ьо [nJ
177
без ограничения общности можно считать постоянным и равным
единице.
Для линейных разностных уравнений мы рассмотрим несколько
общих теорем, которые аналогичны соответствующим теоремам для
линейных дифференциальных уравнений.
Теорема 1. Если решетчатые функции |х [п], ...,£/ [ft] являются
решениями линейного однородного разностного уравнения
+ +	+ — l]4-... + &/;[n]x[n] = 0,	(20)
то функция
(21)
i=l
где Ct(i = l, 2, ... I) — произвольные постоянные, также является
его решением.
Доказательство. Подставляя функцию £[ft] в левую часть
уравнения (20), получим
i	i	i
У, Cih [п + k] + br[и] У с&[« + А:-1] + . .. + Ы«] У, С/М«] =
i = i	i=1
= у
i = 1
Функции gt-[ft] являются решениями однородного уравнения (20),
поэтому справедливы равенства
gdn + ^] + t1[n]^[« + ^-l] + --- + b4n]^[n] = 0 (i = l, 2,..., I).
Отсюда следует, что g [ft] — решение уравнения (20). 
В частности, выбирая l = k, можно получить решение разност-
ного уравнения (20) в функции k произвольных постоянных:
и«]= s ^[ц].
£=1
Ниже будут указаны условия, налагаемые на решения L[ft], ...
..., g* [ft], при которых функция £ [«] является общим решением
однородного уравнения. Предварительно введем понятие линейной
зависимости решетчатых функций.
Решетчатые функции ху [ft], х2 [4> • • •, xk [/г] называются линейно
зависимыми, если существуют такие постоянные числа сх, с2..., ck,
среди которых по крайней мере одно отличается от нуля, что для
всех значений аргумента п, при которых определены эти функции,
справедливо соотношение
QX1 [П]+ с2х2 [ft] -|-... 4“ £kxk [4 —	(22)
Если же соотношение (22) может быть выполнено лишь при
условии сх = с2 =... = ck = 0, то решетчатые функции называются
линейно независимыми.
178
Справедлива следующая теорема о линейной зависимости
решетчатых функций:
Теорема 2. Если решетчатые функции %! [п], ..., xk | /г J линейно
зависимы, то при всех значениях аогумента п, при которых они
определены, обращается в ноль определитель
х2[«].....хй[/г]] =
Xif/г] Xi[п +1 ],	1]
= Х2[п] Х2[п-ф1],	X2[n-\-k — 1]	да)
Ха[п+ 1].....Xk[n+k— 1]
Доказательство, Пусть функции хх [ft], xk [/г] линейно
зависимы и в соотношении (22) постоянная Ci#=0. Умножим
первую строку определителя на сх и прибавим к ней все остальные
строки определителя, умноженные на сг (г = 2, 3, ..., k):
k	k	k
2 CiXifn] 2 %[» + !].. 2 ^iXi[n + k - 1]
i= 1	i = l	i=l
X2[fl] x2[«+ 1] ... X2[n + k— 1]
хй[/г] хй[п4-1]...ха[п 4-/г —1]
Все элементы первой строки этого определителя нулевые, вслед-
ствие чего определитель равен нулю. Замечая, что полученный
определитель равен сх1У[хЦп], Хц[п]], запишем следующее
равенство
cxW[xx[n\, .... xft[H]] = 0;
поскольку Cj.#=O, то W[хх[/г], xk [п]] = 0. 
Пусть gif/г], g2[n], ..., g*[n] — решения однородного разност-
ного уравнения (20), определенные при п п0. Составим из этих
решетчатых функций определитель (23). Определитель IFfgif/i],
g2[n],	[/г]] играет в теории разностных уравнений ту же
роль, что и определитель Вронского в теории линейных диффе-
ренциальных уравнений (см. § 11). Найдем рекуррентное соотно-
шение, по которому можно вычислить значение определителя
1У[£1[/г], £2[«]> • ••. [«]] при любом значении аргумента п^п0.
Подставляя решения gif/г], g2 fn], ..., g* [«] в уравнение (20),
получим систему k уравнений
bk [n] gi [n]+^-i [«] gi [«+1] + • • • + bx f/г] gx [n+k - 1 ] = - gj [n^k],
bk [n] h [n]+fe*-i [/г] g2 [/г+1 ] + -• + &i [«] |2 [n-\-k - 1 ] = — g2 [п+Ц
bk[n]£k[n]-i~bk i[H]gfe[/i4-1 ]-]-.. .4-6] f/i]gft[n-j-k — 1J = —
(24)
179
Из системы уравнений (24) можно определить функцию &44:
Г, Г„1 ____________ k [£1 [»] £2 [П]>	> %>k 1П11	/ОП1
k W & [n], g2 [л], ... , U [nJ] ’
где
WW4, Ы4.........144]=
£i[«+4	+
__	£2[n4~^]	4~П • • • £2[h+ & — 1]	[26]
£* [n + k] %,k fn 4-1]... £ft [n + k — 1]
Заметим, что справедливо равенство
HMbhl, В2[«], •. Ы4]=
= (-1)*1ПЫ«+1]. |2[п + 1]...£4«+П]- (27)
Из формулы (25) с учетом последнего равенства получим уравнение
Ы4 №(&[«]» £2(4,	Ы«]]=
=(-1)*П14«+11Ы»+1].	£4«+1]]-	(28)
Рассматривая это уравнение как рекуррентное соотношение, можно
последовательно вычислить значение определителя lE[gi[n],
Ь[4......£44]	при значениях аргумента
^RiK+1]........£4«о+Ц]=
=мпо](-1ты«о],...»ь[«о]],
^К1[«о + 2], .... Ы«о + 2]] =
=М«о+1](- 1)*№[Ы«о+1].	£4«о+1]]=
= (- 1 bk [п0] М«о + 1 ] № & [«о], . •.. Ь [«o]L
1Е [£1 [П0 + Л» • • • ’	[П0 + Л] —
= (- 1)№П M«o + «Wh[no],.... Ы«о]].	(29)
1 = 0
Формула (29) позволяет найти значение определителя IF[£i [п],...
£44] при любом значении п^п0. Эта формула является
аналогом формулы Остро градского—Лиу билля в теории диффе-
ренциальных уравнений (см. § 11). Из формулы (29) следует, что
определитель W [|х [п], ..., £*[«]] равен нулю при всех	1,
если функция bk [п] обращается в ноль при значении п = п1^п0.
Если функция Ьк[п] не обращается в ноль ни при одном значе-
нии п^п0, то возможны два случая:
a)	W [£х [и], ..., £44] = 0 при всех значениях п^п0, если
^[Ь[»о].....£4'4]=о;
б)	№ [£1 [п], .... £* [4] =# 0 ни при одном значении п п0> если
tE[£x[n0]...£4«оИ^0.
180
Докажем теперь теорему, которая позволяет установить линей-
ную независимость решений разностного уравнения.
Теорема 3. Если решетчатые функции Bi [п], Вг [п], ..., Вл [и]
являются линейно независимыми решениями однородного разностного
уравнения (20) при п^пд и функция bk[и] не обращается в ноль
ни при одном значении п^пд, то определитель W[Bi[п], ..., В* [н ]]
не обращается в ноль ни при одном значении п^щ
Доказательство. Из условий теоремы и равенства (29)
следует, что определитель IFfBifn], ...,	[/г]] не обращается
в ноль ни при одном значении п^п0, если W[Bi[n0], ..., Вл[ио]]=И=О.
Докажем, что определитель №[В1[«о]> ВаГл'>]] не равен нулю
способом от противного.
Пусть W [Bi [«о]> • • •, В* [по]]=О. Рассмотрим однородную систему
уравнений относительно постоянных съ с2, .... с*, определителем
которой служит 1Г[В1 [по], •••> bJno]]:
CiBi [ио] + С2В2 [ио] 4* • • •+С*В* [nJ — 0,
CiBi [ио+ Ц+^гВг[ио +1]4~- • -4-с*В*[ио+ 1] = 0,
С1В1[ио + & — 1 ] + С2В2 [ио 4* & — !]+• • - + слВ* [«о 4*^ — 1] — 0.
Поскольку определитель системы равен нулю, существует ненуле-
вое решение этой системы с[, са, ..., с*. Таким образом, справед-
ливы равенства
k
2 <№1=о "	(зо)
i = l
при п = по, По+1,..., п0+& —1. Воспользуемся теперь тем
обстоятельством, что функции Bi [«], ..., В* [и] являются решениями
разностного уравнения (20):
Bi [и 4* ^]+[и] В/ [и + /г — ' 4* •  •
...+М«№1=о (» = 1, 2...................................k).
Положим в этом уравнении п — п0, умножим обе его части на сг
и просуммируем по i в пределах от 1 до /г:
л	л
2 & [по 4- ci 4- bi [и] У, Bi[«o + ^—1]с»4*-••
1=1	1=1
k
... + bk[n] У, Bi[n0]c'i =0,
i=i
k
Учитывая условие (30), получим, что У Bi [«о 4-— 0. Исполь-
i = i
зуя ^аким же образом разностное уравнение (20) при n = n04*l,
/г04*2, •••, найдем, что равенство (30) справедливо также при
П = Пд 4" k 4- 1 , П = Пд 4" k -J- 2, ....
181
Итак, существуют такие постоянные с[, ..., c'k, не все равные
нулю, что равенство (30) выполняется при всех значениях
Следовательно, решения ^[и], .... gfc[n] линейно-зависимы, что
противоречит предположению теоремы.
Полученное противоречие доказывает теорему. 
Из теорем 2 и 3 следует признак линейной независимости
решений разностных уравнений:
Для того чтобы решения [п], ....	[п] однородного разност-
ного уравнения порядка k были линейно независимы, необходимо
и достаточно, чтобы определитель W [и], ...,£* [nj] был отли-
чен от нуля при всех тех значениях п п0, при которых опреде-
лено решение уравнения (20) Этому признаку можно придать
другой вид, более удобный для практического применения. Пусть
решения £х[п], ..., gft[n] однородного разностного уравнения
определены при п п0. Если функция bk [п] не обращается в ноль
ни при одном значении п^пи, а определитель W[£х[п0],..., [п0]]
отличен от нуля, то решения [и], ..., [п] линейно независимы.
Действительно, в этом случае в соответствии с (28) W[gx[п], ...,
[и]]	0 при всех п п0 и мы приходим к признаку линейной
независимости в его первоначальной формулировке. Если W[Ei [л],...
...,	[п]] 0, но функция bk [п] обращается в ноль при некотором
значении п = п1^п0, то определитель W[Hi[п], ..., ^[п]] обра-
щается в ноль при п^щ-j-l. Следовательно, любые k решений
разностного уравнения (20) £х[и], ....	[п] являются линейно
зависимыми во всей области определения п^пй. Если, однако,
существует такое число N^n0, что функция bk [п] не обращается
в ноль при n^-N, то всегда можно построить систему линейно
независимых решений, определенных при п N. Для этого доста-
точно выбрать начальные значения из условия W [Af], ...,
[TV]]	0 и построить систему решений [и], ....	[м] при
n^N с выбранными начальными значениями.
Совокупность k линейно независимых решений разностного
однородного уравнения (20) порядка k называется фундаменталь-
ной системой решений. Чтобы построить фундаментальную систему
решений, следует выбрать начальные условия при п — п0 таким
образом, чтобы выполнялось неравенство W [|х [м0], • • , [«о]] =£ 0-
Выберем, например, следующие начальные условия:
Мпо]=1> В1[До+ 1] = 0,	+ &—1] —Д
— 0, ^2 [п04* 1 ] = 1..£2[До+^~~	1]~0,
£fe[Ho] = O,	1] —0, . .., £/г[Мо + ^— 1]— 1.
Тогда определитель W [|х [п],..., ^[п]] при п = п0 отличен от нуля,
W [п0],  • •, I* [По]] = 1. Предположим, кроме того, что bk [п] =# 0
при п^п0; тогда система решений £i[n]........[и], построенная
по заданным начальным условиям, является фундаментальной
системой. Каждое из решений этой системы можно определить из
уравнения (20), пользуясь им как рекуррентным соотношением.
182
Докажем теперь теорему, позволяющую определить общее
решение уравнения (20) по его фундаментальной системе решений.
Теорема 4. Если при п п0 существует фундаментальная
система решений	[н] однородного разностного урав-
нения (20), то общее решение этого уравнения выражается фор-
мулой
k
В[п]=У с^[и] (п^п0),	(31)
«=1
где Ci (i = 1, 2, ..., k) — произвольные постоянные.
Доказательство. Из теоремы 1 следует, что функция
(31) является решением уравнения (20). Надо показать, что любое
решение уравнения (20), определенное при n~5sn0, можно пред-
ставить в виде (31). Пусть ф [и] — произвольное решение уравне-
ния (20). Выберем постоянные clt с2, ..., с* из системы уравнений
k
ф[п] = У, с&[«] (п = Но, «о+1>	n0 + fe-l).	(32)
i = l
Это всегда можно сделать и притом однозначно, поскольку опре-
делитель системы уравнений (32) относительно неизвестных
Съ ..., ck не равен нулю, IT[gi[n0], ^*1»о]]#=0. Подставляя
начальные значения [п0], Ы«о + 1], • • •	+ — 1] (* = L 2, ...
..., k) в (32) из уравнения (20), найдем
k
<Pl«o + ^] = — У bi [п]ф[п0+&-1] =
1 = 1
k	k
= — У Мп] У сД/ [«о+k -1] =
i=l / = 1
kk	k
= — У с/ У bi I/ [По + k-i] = У сДу [По + k].
/ = 1 i = 1	/ = 1
Поступая таким же образом при п — п0 + k + 1, п = п0 Д- -ф 2, ...,
k
получим, что <р[и] = у сДДп] при всех значениях п^п0, т. е.
/=1
произвольное решение уравнения (20) представимо в виде (31). 
Из этой теоремы следует, что решение линейного однородного
разностного уравнения (20) сводится к определению фундамен-
тальной системы решений. В том случае когда коэффициенты
bt[n] (i=l, ..., k) уравнения (20) постоянны, фундаментальная
система решений может быть легко определена, как показано
ниже в п. 4. Если же коэффициенты й,-[п] линейного разностного
уравнения (20) являются решетчатыми функциями, то задача
усложняется. Решение такого рода разностных уравнений может
быть определено по рекуррентной формуле, аналогичной фор-
муле (10).
183
3. Линейные неоднородные разностные уравнения. Перейдем
к рассмотрению линейных неоднородных разностных уравнений.
Докажем следующую теорему о решениях неоднородных уравнений.
Теорема 5. Общее решение линейного неоднородного разност-
ного уравнения
х[я + ^]4-Ь1[н]х[н + ^— 1]+... 4- bk [н] х [и] = f [н] (33)
равно сумме его частного решения ф [п] и общего решения соот-
ветствующего однородного уравнения (20), т. е.
k
х [п] = ф [п] + 2 oh [«],	(34)
1=1
где Ci — произвольные постоянные, [п] — решения однородного
уравнения (20), удовлетворяющие условию
№ [?/ [«о]. •  •, h [/;о]]	0.
Доказательство. Пусть ф[п] — частное решение неодно-
родного уравнения (33). Будем искать общее решение этого урав-
нения в виде
х[п] = ф[п]+ф[п],	(35)
где ф [п] — решетчатая функция, подлежащая определению. Под-
ставляя функцию х[и] в уравнение (33), получим:
ф[п4-й] + й1[ц]ф[п + ^— Г] + ... + й*[«]ф[«] +
+ ф[п + ^]4-Ь1[п]ф[п + ^- 1] 4-... + МД1Ф [«]==/[я]-
Функция ф[и] является решением неоднородного уравнения,
поэтому
ф[« + Л] + 61[«]ф[/г + й-1] + ... + (?*[п]ф [«] = /[«]
и, следовательно,
ф[/1 + ^]4-61[п]ф[/г + ^— 1]4-... + &й[п]ф[п] = 0.
Таким образом, функция ф [и] является решением однородного
уравнения (20). Выбирая в качестве ф[п] общее решение одно-
родного уравнения (20), можно получить общее решение неодно-
родного уравнения (33) в виде (34). 
Пример 1. Найти общее решение неоднородного разностного уравнения
первого порядка
Дх [л] ф- аг [nJ х [n] = f [п]	(36)
Прежде всего определим общее решение однородного уравнения
Дх[пЦ-о1[п]х[п] = 0,	(37)
которое запишем в форме (10):
х[п4-1] = (1— ai[n])x[n].	(38)
184
Рассматривая это уравнение как рекуррентное соотношение, последовательно
получим:
xll] = (l-Q1 [0])х[0],
xI2] = (I-aI[l])x[l] = (l-a1[li)(l-fii[0])x[0],
"д;.......................................  <39>
х[п]=П(1-о1[«])л[0].
i=o
Таким образом, общее решение однородного уравнения (37) имеет вид:
,	«—1
Н»1 = П Р-МФп,	(Я
1 = 0
где сг — произвольная постоянная.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
Ф [n] ==g [n] z [и],	(41)
где z [п] — неизвестная решетчатая функция. Подставляя ф [п] в исходное
уравнение, получим
Л Й [nJ г [п]) + ах [nJ £ [и] z [n] [nJ,
откуда следует равенство
£ [«+1] Дг [п] +Д£ [п] г [«]+«! [n] I [п] г [и]=/ [п],
g [n+1] Дг [п]+г [и] (Д£ [n] +аг [n]g [п])=/ [п].
Выражение, заключенное в скобках в левой части последнего равенства,
равно нулю. Таким образом,
^[п+1] Дг [п]=И«]> или Дг И—•	(42)
.	& 17*-f- 1J
Суммируя обе части уравнения (42) в пределах от 0 до п—1, получим
п—1	п—1
•и- 2	2	—+<	<'“
т=0	т=0	| | (1	Cl
1=0
По теореме 5 общее решение неоднородного уравнения (36) равно
п—1
x[n] = iH«l+ »(«] = ?;[«! (1+г [«]) = П(1-Н1(Л) X
1 = 0
4+2^'-'' \
<	т = 0 Ц(1-Й1[Ф /
\	1=0	/
где г=(1+с2)1?1.
Итак, получено общее решение разностного уравнения первого порядка (36).
Это решение зависит от одной произвольной постоянной с.
Решение неоднородного разностного уравнения (33) можно
определить методом вариации произвольных постоянных. Пусть
[п], .... Ik [«] — линейно независимые решения однородного
185
разностного уравнения (20), определенные при ц^О. Будем
искать решение неоднородного уравнения (33) в виде:
k
х[п]= 2	(45)
i= 1
где С[[n] (i = l, 2,	/г) — неизвестные решетчатые функции.
Подставляя функцию (45) в уравнение (33), получим:
2 Ci [п + £] & [п 4- k\ + bi [n] ^Ci[n + k- l]^[n + A-l] + ...
f=l	i= 1
k
..+Ы№,№ [«]=/[«].
1 = 1
Вычтем из левой части этого равенства следующие выражения,
каждое из которых равно нулю, поскольку gz [n] (t = 1, 2, ..., k) —•
решения уравнения (20),
ci И (L [« + + bi [n] [п +k - 1 ] +... + bk [n] [n]),
сг[п] (^P + ^J + ^i [п]— !] + ••• +[п] £2И),
с*[п1 (£л[/г + ^] + ^1[п]£*[/г+^_~ !] + • • • + [п] [и]):
2 (c/pi+^]-Q[tt])^ln+^] + ^ih] 2 (ct[n + k- l]-cz[n])x
i = l	t=l
X£z[/l + &— 1] + . . . + 6ft-! [n] 2 (Ci [n+ 1] — Q [n]) EZ (tl + l] = /[n].
i=l
Перепишем полученное уравнение, используя первые разности
функций ct[/г] (t = l, 2...k) в соответствии с формулой (10)
§ 48:
2 (Де,- [n-f-Л — 1]ф-Дс(- [пф-А — 2]ф-.. .ф-Acz[«])[п + ^] +
z = i
+ [и] S ^ci [п + k — 2] ф- Де, [п ф- k — 3] ф-... ф- Дс; [ц]) х
г=1
Xgz[n + A-1]4-... + &А_1[/г] 2 Дс1[п]^[п-г1] = /[/г]. (46)
L 1
Будем выбирать функции q[h] (t = l, 2, k) таким образом,
k
чтобы выполнялось равенство У Дс/[n] '[/г ф- 1] = 0 при всех
t = i
/г^О. Тогда, в частности, равны нулю все суммы
У] Acz[« + /Hz[n + /4-l] (/ = 0, 1, 2...k-1),
i = l
1S6
и уравнение (46) можно переписать следующим образом:
У, (Acz [п + k — 2]+   + Ас/ [п]) gz [п + £] +
i == 1
+ М/г] У (Ас/[п + ^ — 3] + ...4-Ас/[п])^[п+Л-1]4-...+
+ ^_2[/г] 2 Acz[n]^[n4-2] = /[n], (47)
i = l
Полагая далее
2 ACi[«№ + 2] = 0,
i = 1
У, Acz[n]gz[n + 3] = 0,
i = l
У Acz[n]^z[n + ^-l] = 0,
1
из уравнения (46) получим, что
£>№[ЖН[4 	(48)
i=i
Итак, построена система, состоящая из k алгебраических урав-
нений, относительно неизвестных функций Acz[n] (i = 1, 2,..., k):
2 AC;[n]gz[n + l] = 0,
i=l
2 \Ci [nJ gz [n + 2] = 0,
1 = 1
....................... '	(49)
У, Acz [n] gz [n-}-Л — l] = 0,
i = l
2ACz[n]|z[n + /e] = f[n].
i = i
Составим определитель этой системы. В принятых нами обо-
значениях это есть определитель	1], ..., g*[п1]]. По
теореме 3 он не обращается в ноль ни при каком значении
п^О. Следовательно, существует единственное решение системы
(49), которое равно
ДС/[п] = (-1)^7[п]Щ£±П. 0=1,2.......k),	(50)
187
где
r[n+l]=FR1[« + l]...№ + 1Ц =
gih+i]g2[n+i]...^h+i]
= Bi[n + 2]g2[n + 2]...^[« + 2]
Bi[n + |K2h + ^]...gfch + 4J
^[«4-1] =
g1[n+l]...&-1[n+l]	W«+l]	...gjn+l]
__	il[^ + 2], ..£;-![« +2]	& + llyJ-f-2]	.. Bb[« + 2]
g1[n+>-l]...fe_i[n + ^_l] g/+1[n-H-l]...№ + *-l]
Произвольно выбирая значения постоянных c/o = q[OJ и сум-
мируя по п обе части равенств (50) в пределах от нуля до т — 1,
найдем неизвестные решетчатые функции cz[n]:
оИ]= 2	(51)
где i=l, 2, ...» k\ лп—\, 2 ....
Подставляя функции сг[п] в выражение (45), находим реше-
ние неоднородного разностного уравнения в виде
k	k	гП—1	•>
*[->]= У E,[»k,|«]-2bW 2
1=1	1=1	Vn = 0	J
я — 1	k	k
- 2 /м 2 ь[»](-!)*«+2
m=0	1 = 1	1 = 1
п—1	k
- 2 'Wren + 2<52>
т = 0	1=1
где
С[п, т] =
№4-1] №+1]- №4-1]
[т + 2]	[fn + 2J... %k [т + 2]
+	l]g2[n4-^ — 1]..Л*[т + ^— 1]
|ih] ^[n] L[n] “
(n^l).
При n = 0 мы из (45) получаем
k	k
X [0]= Z Ci [0] It [0J = 2 QoSi [0].	(53)
i=i	ii
188
Введя обозначение
Цп, т]—	,	(54)
можно записать решение уравнения (33) в окончательном виде:
х[п]= Л k[n, m]/[m]+	&[n]ci0.	(55)
tn—0	i=l
Итак, найдено общее решение неоднородного разностного
уравнения (33) методом вариации произвольных постоянных.
Функция k[n, т] удовлетворяет равенствам:
k[m + i, m] = 0 при i=l, 2,	k—\, к[т-\-к, т] = 1. (56)
Используя эти равенства, которые следуют непосредственно из
рассмотрения формулы (54), можно выразить постоянные ci0
(i = l, 2, ..., k) через начальные условия х[О] = хо, х[1] = хх,...
х[k — 1 ] = xk-1. Полагая в выражении (55) » = 1, 2,	— 1,
получим с учетом равенства (53)
*о = S' &КН/Но,
i = 1	Z
k
X1==.S	(57)
k
**-i =	l]czo.
i=l
Определитель системы алгебраических уравнений (57) отличен
от нуля и, следовательно, постоянные с/0 (4=1, 2, ..., к) одно-
значно выражаются через заданные начальные условия.
Если, в частности, начальные условия нулевые v0 = xx = ...=
= xft_x=0, то единственным решением системы (57) является
нулевое решение czo = O (i = l, 2, ..., к). В этом случае получим
следующее частное решение неоднородного уравнения (33):
П—1
4»]= S kln> mjflm],	(58)
т = 0
Положим в этом выражении
_г , ( 1 при т = /^0,
___	= ( „	(59)
( 0 при т=/=1\
тогда
x[n] — k[n, /].
Таким образом, функция к[п, /] представляет собой частное
решение неоднородного уравнения (33), если начальные условия
189
нулевые, а правая часть уравнения f [п] определяется усло-
вней (59).
Вводя решетчатую функцию
(1 при п = 0.
60 Гп] = {	(60)
1 J I 0 при п#=0.
можно записать:
&[«+£, + + —1, //?] + ...+
+ bk[n]k[n, т] — 60[п — т], (61)
причем в соответствии с равенствами (56)
k[l, т] = 0 при l —	m-j-k—1.
Если коэффициенты bt [ц] разностного уравнения (33) по-
стоянны, то функция k[n, т] зависит только от разности своих
аргументов. Действительно, пусть k [п] — частное решение урав-
нения с постоянными коэффициентами
х[п 4-£] + &ix[n + k — 1]+ . .4-&ftx[n] = 60[n].	(62)
Тогда функция k [и — т] будет частным решением уравнения
х[л + ^] + ^1Х[« + ^ — 1]+-.. + ^х[п] = б0[п — т].	(63)
В этом можно убедиться непосредственной подстановкой функ-
ции k[n~m] в уравнение (63). Отсюда следует, что частное реше-
ние уравнения (62) зависит только от разности аргументов, т. е.
k[n, m] — k[n — m]. Формула (55) в этом случае принимает вид
п— 1	fe
х[п] = 2 k[n-m]f[m]+ £t,i[n]cl0.	(64)
т = 0	i ~ 1
4. Разностные уравнения с постоянными коэффициентами.
Пусть дано однородное разностное уравнение порядка k\
x[» + ^] + ^ix[n + ^— 1]+...Т-£*х[п] = 0,	(65)
где Ъ2, ..., ^ — постоянные коэффициенты, причем
Будем искать решение уравнения (65) в виде g [n] = Z", где X —
некоторое число.
Подставляя функцию g[п] в уравнение (65), получим
^+ft + Z'An+ft-1 + ... + ^V = 0.	(66)
Значение Z = 0 соответствует тривиальному решению однородного
уравнения g [и] = 0. Отбрасывая это значение, получим уравнение
Л*+6Д*-1 + ... + 6й = 0.	(67)
Уравнение (67) называется характеристическим уравнением
для рассматриваемого разностного уравнения. Найдем корни
характеристического уравнения A.J, Х2, ..., Предположим вна-
чале, что все корни являются простыми. Тогда они определяют
следующие k решений разностного уравнения: Л", X", .... л”.
190
Покажем, что эти решения линейно независимы. Для этого рас-
смотрим определитель
х" х?+1 ... х"+*~!
и/[х;.....
.л 7П + 1	лл+А—1
Х'Д = ^2 ^2	• . . Л2
л л л л -1 л л ! - А — 1
h ... r-k
= (X1X2...xft)«
1 xt ... xf"1
1 X2 ... X^1
• (68)
1	... X^1
Среди корней уравнения (67) нет нулевых, так как мы предпола-
гали, что bk #= 0, поэтому произведение ХД^ ... Xft отлично от нуля.
Второй сомножитель в выражении (68) является определителем
Вандермонда:
П(^~М (t=l, 2,	/=1, 2, ..., Л).
i>!
Этот определитель отличен от нуля, так как все корни характе-
ристического уравнения простые. Следовательно, решетчатые функ-
ции X?, Х2, ..., X* образуют систему линейно независимых реше-
ний уравнения (65). Согласно теореме 4 общее решение однород-
ного уравнения (65) имеет вид
k
H«]=Sc,X?,	(69)
i= i
где Ci — произвольные постоянные, в том числе и комплексные.
Если среди корней X, есУь комплексный корень, то- найдется
и сопряженный к нему корень Х;, причем Х; и fa входят в ли-
нейную комбинацию (69) с комплексно-сопряженными коэффици-
ентами. Сумма двух комплексно-сопряженных членов сД,"-{-с;Х",
где Х; = р(cosq>4-/’sinф), Хг = р (cos ф —/51пф), с/ = о/-|-/й/, ф =
= — /Ъ/, может быть записана как
с’,-ри (cos (рп 4- j sin фм) с(-ри (cos ф/г — / sin фп) =
,	= 2 (tzzp" cos фи — ft/p"sin<pn).
Таким образом, решение g[n] разностного уравнения (65) пред-
ставимо в виде линейной комбинации с вещественными коэффи-
циентами решетчатых функций X", рисо£фп, р" sirup//, где X —
вещественный корень характеристического уравнения (67).
Рассмотрим теперь случай кратных корней. Пусть корень Xi
характеристического уравнения (67) имеет кратность ri> 1. Будем
искать решение разностного уравнения (65) в виде £ [и] = X"z [п],
191
где z [н] — неизвестная решетчатая функция. Из уравнения (65)
получим
Afcz [п 4- k] 4- bJMz [п + k - 1 ] 4- -  4- bk^7 [rt 4- 1 ] + bkz [rt] = 0. (70)
Выражая функции z [n 4- £], z 4" k — 1 ], ..., z [n 4-1 ] через
конечные разности функции z[n] по формуле (10) § 48 и груп-
пируя члены при разностях функции z[n] одного и того же
порядка, получаем разностное уравнение порядка k относительно
функции zfn]:
D (A) z [п] 4- AD' (X) Az [и] 4- ... 4-	^(Г1) (*) Ar* z [и] + ...
... 4-^/W)Afcz[«] = 0,	(71)
где £> (А) —левая часть характеристического уравнения (67),
D(X) = Z^4-&i7ft l4- ... +bk_^ + bk,
a £>(z) (л) (i = l, 2, ..., k) — производная многочлена Z>(A) по-
рядка i:
=	... (fc-i4-l)Aft Z4-(£-l)(6-2) ...
... (k - i) A*-"1 bj. 4- ... 4- i! bh4 (i = 1, 2.k). (72)
Мы предположили, что корень Aj характеристического уравне-
ния (67) имеет кратность гх>1, тогда D (А,) = D' (Ах) ~= ...
...	(Х1) = 0, но (М)	0; поэтому уравнение (71) при
£ = 7,! принимает вид
^-^)(М Дог[|’4-Л±1гД(Л+1){х1)до+1г[/г]+ ...
...4-A-OW(X1)A"z[n] = 0. (73)
Из этого соотношения можно определить неизвестные функции
г[п]. Соотношение (73) содержит разности, начиная с порядка гА
от функции z[n], поэтому ему удовлетворяют функции 1, п, п2,...
..., nrt~1, так как разность порядка k^r{ от каждой из этих
функций равна нулю. Линейная комбинация указанных функций
также удовлетворяет уравнению (73). Следовательно, функцию
z[n] можно определить следующим образом:
г[п] = ГХ	(74)
1=0
где ^ — постоянные коэффициенты.
Теперь можно, наконец, получить решения разностного урав-
нения (65), соответствующие корню Ai. В соответствии с форму-
лой £1[и] = А"г[п] решениями будут следующие решетчатые функ-
ции: А", А"/г, .... AJX*-1. Решение однородного уравнения (65),
192
соответствующее корню Xi кратности t\, можно представить как
линейную комбинацию этих функций:
(75)
> = о
где Ct — произвольные постоянные. Для того чтобы написать
общее решение этого уравнения в виде лицейной комбинации
решений (75), необходимо доказать, что найденные для кратных
корней решения линейно независимы. Мы не приводим здесь
доказательства этого факта *’>.
Пример 2. Найти решение разностного уравнения с постоянными коэффи-
циентами
х [л-рЗ] —4х [n-p2J-p5x [л-р 1]—-2х [л]=л
при нулевых начальных условиях х[0]=«[1]=х[2]=0.
Вначале найдем общее решение однородного разностного уравнения
х [ii-р 3]—4х [л-р2]-рбх [n-p 1] — 2х [л]=0.
Составим для него характеристическое уравнение:
>.8—4Х2-р5Х—2=0.
Это уравнение имеет корень Хг=1 кратности 2 и простой корень >.2=2.
В соответствии с формулами (31), (69), (75) общее решение однородного разно-
стного уравнения имеет следующий вид:
х [л]=CjX” -р с2Х"л -р с3Х” = с, + csn+са2и.
Решение заданного неоднородного уравнения будем искать методом вариа-
ции произвольных постоянных. Полагая с1г с2, са решетчатыми функциями,
запишем для них систему уравнений (49):
Дсу [л]-р Дс2 [и] (л-р 1)-рДс3 [л] 2"+1=0,
Дсх [л]-р Дс2 [л] (л-р2).-р Дс3 [л] 2«+2 = 0,
Дс'х [»]+Дс2 [п] (п -р 3) + Дс3 [л] 2"+8—п.
Определитель этой системы равен 2"+1 и система имеет при всех Л2з0 един-
ственное решение, равное
Дс1[л] = л2, Дс2[л] =—п, Дс8 [п]=п2~п~1.
Решетчатые функции сх [я], с2 [л] найдем по формулам (28), (29) § 48:
и—1	п—1
с2[п] = — У т=-|п(л-1).
/п=0	-	н т=0
Функцию с3 [л] найдем по формуле (24) § 48, полагая в ней
п — 1
и [лг] = т, 1?[т]=— 2~г" : с3 [л] =	=
Z7l= 0
rt —-1
fc~m2-mL = o+ S 2-™-i=l-(«-pi) 2-я
*’ См.: ГеЛьфонд А. О. Исчисление конечных разностей. «Наука»,
1967, с. 315.
7 п/р. Чемоданова Б. К., т. 2
193
Решение неоднородного разностного уравнения равно
х [п]=сх [re]+с2 [n] п+cs [n] 2«=~ п (п — 1) (2п — 1) —
OI
-4 h2(n—1)4-2"—-п —1=2”—1 -	+
£	3!
Пример 3. Найти решение разностного уравнения с постоянными коэффи-
циентами
х [и+2] 4-х [и]=еап
при нулевых начальных условиях х [0] =х [ 1] = 0.
Характеристическое уравнение Х2+1 —0. соответствующее однородному
разностному уравнению х [п4~2]4*х [п] = 0, имеет комплексно-сопряженные
корни Л = е,п/2, Л=е—;я^2. Поэтому общее решение однородного уравнения
можно записать так: х [п] =сг cos ~ п-^-с^ sin -у п.
Решение неоднородного уравнения, как и в предыдущем примере, найдем
методом вариации произвольных постоянных. В соответствии с уравнениями (49)
получим:
Дсг [и] cos (n + 1) + Дс2 [n] sin у (n + 1) = 0,
Дсх [и] cos	(п + 2)+Дс2 [nJ sin	(и4-2)=еап,
или
—Дсх [n] sin	п+Дса [п] cos — п=0,
—Дсх [п] cos	п—Дс2 [n] sin	п—еап.
Из этой системы уравнений найдем Дсх[п] = —е°п cos п, Дс2[п] = —еа"Х
X sin п. Искомые решетчатые функции равны:
— I -j~ean cos -g- n—ea tn+1) sin n
=	14~e2a
1	— ea+ea" sin yn-|-eain+i) cos-^-n
c2 [n] = Im e	=	j -|-e2a	•
m=0
Теперь можно записать решение заданного неоднородного разностного урав-
нения
— 1 -4-еап cos	п—е0 ,n+1) sin -5-n
r ,	1	2	2л,
x[n]—	Cos 2
—ea + e°n sin -5- n -[- ea ,ra+1) cos -S- n	a cos 1 n 4- ea sin -5- n
+ ———-—-	sm у n=-J -j-^g	14-еаа •
194
§ 50. СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Основные определения. Система разностных уравнений
связывает решетчатые функции xz[n], х2[п], ..., Xtfn] и их раз-
ности вплоть до порядков kt, k2, ... , kt соответственно. В общем
случае систему разностных уравнений можно записать следую-
щим образом:
Ф<[/г, Х1[и], .... Afc*Xi[n], х2[п], ...» Aftjxa[n], .... xz[/i], ...
'..., ДА*х;[п]] = 0 (i = l, 2, ..., /).	(1)
Переходя по формуле (6) § 48 от разностей к решетчатым функ-
циям, получаем
Фн [п, Хг [и], .... Xi [ki ф- п], х2 [п], ..., х2 [k2 ф- п], ..., xt [п], ...
... , xz[£z-|-n]] = 0.	(2)
Если система разностных уравнений (2) содержит в явном виде
функции Х/[п] и xifn-j-kt], то она вместе с исходной системой (1)
называется системой порядка по отношению к решетчатой
функции xt [/г]. Может оказаться, что в систему (2) не входит
в явном виде какая-либо из функций х, [п], например х( [п], т. е.
система разностных уравнений (2) имеет вид:
Фн[«, Х1[пф-1], .... хДпф-Л^, х2[п], .... x2[n+k2], ...
.... хг[п], .... хг[пф-ЭД] = о (i = l, 2, ..., /).	(3)
Система (3) и соответствующая ей система (1) называются систе-
мами порядка ki — 1 относительно хх [п]. Вообще, если в систему
разностных уравнений (2) не входят функции xz [n], Xi [п ф-1 ],...
..., хфиф-т] (m^kt — 1), то система имеет порядок &z — т — 1
относительно функции х,[п]. Сумма порядков системы относи-
тельно каждой из функций хг|п], х2[п]..........xz[/z] называется
порядком системы разностных уравнений. Если система разност-
ных уравнений имеет порядок k{ относительно каждой функции
xz[n] (i = l, 2, ..., /), то порядок этой системы равен Л = Лгф-
ф- Лгф- ... -f-^z.
Решением системы разностных уравнений (1) называется сово-
купность решетчатых функций хх [/г], ... , xz [и], обращающих все
уравнения системы в тождества. Если систему (2) можно разре-
шить относительно / решетчатых функций Xi[ki-j-n], x2[k2-j-n], ...
..., xt [kt ф- /г], то получается следующая система разностных
уравнений:
Xi[пф-kt] = Ft[/г, хх[п], .... Xi[n + ki— 1], ...
.... xz[/i]....Xt[n+kt— 1]]	(i = l, 2, ..., /).	(4)
Будем предполагать, что функции Ft[п, уъ	, ykt, ..., Уь ...
у/г{] определены, ограничены и однозначны при любых огра-
ниченных значениях аргументов п, ylf ... , у/^. Тогда для задан-
ных при п = п0 начальных условиях существует единственное
решение системы (4), которое можно определить, осуществляя
7*
195
процесс последовательного вычисления функций xz[«4-^z] при
п = п0, По + 1. п04-2,... из системы рекуррентных соотношений (4).
Пусть при п = По заданы начальные условия
xzo^xz[no], •••.	=	(i = i, 2, .... /).
По заданным начальным условиям найдем из системы (4) зна-
чения
Kt [По 4* kt\=Ft [по, xio> •••» Xik.-i, •••> xzo, ..., Xiii i]
(i = l, 2, ...» /).
Используя найденные значения, на следующем этапе вычислений
определим xz [пс 4~ 4~ 1 ]• Продолжая процесс вычислений, найдем
решение системы разностных уравнений (4) для любого значения
аргумента n~^n0 в зависимости от заданных начальных условий
Xi[n] = £i[n, Хю, Хи, ..., Xifti_!..Хю, Хи, ..., Xi^-i].	(5)
Заменяя здесь начальные условия произвольными постоянными,
получим общее решение системы разностных уравнений (4):
Xf[n] —£i[n, С1О, Оц, •••> Ги^-Т, ..., Сю, Си, ...,	(6)
Если система уравнений (4) не содержит в явном виде какую-
либо из функций xz[n], например Xj[n], т. е. имеет вид
х,[п+^,] = Еп[н, Х1[п4-1],	Xi[n4-^i—1], • ••, Х/[п], ...
..., x^n + ^-l]], (i = l,2........I),	(7)
то решение системы определяется следующими начальными усло-
виями:
*/о = -^[По] (t = 2, 3, ..., /), x,i = xz[n04-l] (i = l, 2./), ...
• xZfe/-i = xz[no4_^ —1] (t = l, 2, ..., /),
число которых меньше на единицу, чем в предыдущем случае.
Вообще число начальных условий, необходимых для определения
решения системы разностных уравнений, совпадает с порядком
системы.
Систему разностных уравнений (4) можно привести к нор-
мальному виду, если ввести новые решетчатые функции:
xzo[n] = xz[n], Хл[/г] = х/[п +1], .... х/*._1[п] = х/[п4-Лг —1].
С учетом этих обозначений систему (4) можно переписать следую-
щим образом:
x/0[n4-l]=*ii [«J
Xn[/z4-lJ = XZ2[n]
Xik^z [и4" = A7*z-i[n]
^*Z-1[«4- 1] = Л[и, Хю[п], .... X1Ztl-i[n], ...
Хю [n].....JQ »,-![«]]
(i = l, 2, .... /).
196
Мы получили систему разностных уравнении первого порядка,
которая называется нормальной системой разностных уравнений.
Число уравнений нормальной системы совпадает с порядком
исходной системы разностных уравнений (4). Если правые части
системы (4) содержат все функции хг|н] (»«=1, 2, ..., /), то
число уравнений системы (8) равно =	••• + &/• Если
же какие-либо из функций хг[п] отсутствуют в правых частях
системы (4), то число уравнений нормальной системы (8) умень-
шится. Задавая начальные условия при п — п0 в соответствии
с равенствами
JQo [По] = Xi [/То]. Хп [По] == Xi [zz0 + 1 ].Xi k. _ ! [n0] ₽ Xi [/lo + ki - 1 ],
можно последовательно определить из нормальной системы раз-
ностных уравнений (8) значения функций xi0[п],	х^.-Д/г]
(i = 1, 2, ..., /) при любом значении аргумента п^п0. В общем
случае нормальная система разностных уравнений имеет вид
^[п + 1] = Ег[п, хДп], х2[п], ..., х„[п]] (t = 1, 2, ..., k). (9)
Порядком нормальной систему (9) называется число k ее
уравнений. Система (8) является частным случаем системы (9)
и ее порядок совпадает с порядком системы разностных уравне-
ний (4), из которой она была получена.
Мы будем рассматривать системы линейных разностных урав-
нений, записанные в нормальном виде:
ь
Xz[n+1]= 2 au[n]xj[n]+fdn] (t = l, 2, ..., k).	(10)
/-=i
Здесь ац[п], fi[n] (1=1, 2, ..., k, j=l, 2, ..., ^ — задан-
ные решетчатые функции, определенные при п5?0. Система (10)
называется неоднородной, если функции fi[n] тождественно не
равны нулю. Если же Д[и] = 0 (i = l, 2.......k),	то система (10)
называется однородной. Систему разностных уравнений (10) можно
записать в векторном виде. Введем квадратную матрицу А[п] и
векторы х[п], /(и]:
Л[п] =	ап[п] а12[п] ... «21 [И] «22 [«] •••	«1А [«]’ «2А Г«]
	_«fti[n] afi2[n] ...	«ЛЛ [«]-
	Х1[п]-|	Г/1И I
Х[п] =		f2[n]
	-хДп]-	
С учетом этих обозначений система разностных уравнений (10)
примет вид
1]== Л [/г] лД«]+/[«].	(11)
197
2. Однородные системы линейных разностных уравнений.
Прежде чем переходить к рассмотрению теорем о решениях систем
разностных уравнений, введем понятие линейной зависимости для
векторных решетчатых функций. Векторные решетчатые функции
л?!pz], Х/г[п] называются линейно зависимыми, если суще-
ствуют такие постоянные с1г cs, .... ck, среди которых по край-
ней мере одна отлична от нуля, что при всех п — 0, 1, ... спра-
ведливо равенство
k
2 с/х, [п] = 0.	(12)
i 1
Это равенство можно, очевидно, записать как систему равенств
л
(/»1, 2> —» 0.
1 = 1
где Хц [п] — компоненты /-мерной векторной функции х, [/г] (/ =
= 1, 2, .... Л). Если равенство (12) удовлетворяется только при
условии Ci = c2== ... = cft = 0, то векторные функции Xi[и], ...
..., Xkfn] называются линейно независимыми.
Пусть размерность векторных решетчатых функций Xi [/г]
(/=1, 2, ..., k) равна k. Для того чтобы проверить, являются
ли эти функции линейно зависимыми, составим определитель,
строками которого являются векторные функции Xi[n]:
1Г[лгх[п], ..., хДи]] =	*11 [п] *12 [и] .. *21 [«] *22 [П] . 	• *1Д«] • *2й[«]	.	(13)
	*fel[«] *Л2[»]		
Из свойств определителей (см. § 2) следует, что определитель
IF[jCi[«]....*&[«]] тождественно равен нулю, если решетчатые
функции Х1[/г]....хЛ[п] линейно зависимы.
Пусть теперь |х[п], ...,	[п] — различные решения однород-
ной системы разностных уравнений порядка k
х[п+1] = А[п]х[п].	(14)
Составим матрицу Х[п], столбцами которой являются решения
11 [«], .... £*[«] системы (14):
	£11 [fi] Ь1[«] £12 [/Z] £22	•  £si[fi] .. £*2[n]	•
	-£i*[fi]£2fe[«] •	... £fefe[«]-	
Нетрудно проверить, что матрица Х[п] удовлетворяет разност-
ному уравнению (14), т. е. при всех n = 0, 1, ... справедливо
равенство
Х[п+1] = Л[п]А[п].
(15)
198
Из этого равенства получим разностное уравнение для определи-
телей
det X[n+l] = det Л [n]detX[n],	(16)
Заметим, что определитель матрицы Х[л] можно записать так:
detX[и]=Г[11 [л],	|ft[n]].
Выбирая начальное значение определителя (13) при л = 0, най-
дем решение разностного уравнения (16) в виде
п — 1
Г[Ы«1. •••. Ы»]]=П det Л [m] IF [|1 [0], .... gft[O]J (17)
m = 0
(«=1, 2, ...)•
Эта формула является аналогом формулы Лиувилля —Остроград-
ского для систем линейных дифференциальных уравнений. Опре-
делитель W[|i[л], ...,1k[»]]играет роль определителя Вронского.
Из полученной формулы (17) следует, что определитель W [|i [и],...
...,	[и]] равен нулю при всех л «14-1, если определитель
det Л [и] обращается в ноль при п = п1'^С. Если же det Л [л]
не обращается в ноль ни при одном значении л^О, то воз-
можны два случая:
а)	Г[£1[л], .... №]] = 0 при всех л^О, если
№[Ы0]. ...» Ы0]]=0;
б)	W[|1 [л], ..., gfr[nj]=^=0 ни при одном значении л^О, если
ПЫО]........Ь[О]]=#о.
Докажем теперь теорему о линейно независимых решениях
однородной системы разностных уравнений.
Те	орема 1. Если векторные решетчатые функции |i [и], ...
...»	[л] являются линейнонезависимыми решениями однородного
векторного уравнения (14) и, кроме того, определитель det Л [л]
не обращается в ноль ни при одном значении п^О, то опреде-
литель W [|1 [л], ...,	[/;]] также не обращается в ноль ни при
одном значении л^О.
Доказательство. Из условия теоремы и равенства (17)
следует, что определитель IF[|i[h], ..., |*[л]] не обращается
в ноль ни при одном значении nJSsO, если он отличен от нуля
при л = 0.
Докажем методом от противного, что последнее условие выпол-
няется. Пусть определитель И7[^ [л], ... [л]] обращается в ноль
при л = 0. Составим систему уравнений относительно постоянных
Ci, сй, ck:	f
Cifcii [0] + C2$2i [0] +... + ед,!*! [0] = 0,
Cl|12 [0] + ^22 [0] + . . . + Cfc£fe2 [0] ~ 0,
[0] +	[0]	H~ cfaik [0] — 0,
199
Определитель этой системы равен нулю. Следовательно, система
имеет нетривиальное решение. Таким образом, существуют посто-
янные щ, с2, ..., ск, не все равные нулю, для которых справед- /
к
ливы равенства У, qU [°] = ° (/ = ь 2...Л), или в векторной
k	4
записи 2>&[0]=0. Теперь воспользуемся разностным уравне-
нием (14), из которого при п = 0 будем иметь |Д1] = А [0]gz[0]
k	k
и, следовательно, У, с,|,[1] = 4 [0] У [0] = 0. Полагая в урав-
i == 1	i* — 1
нении (14) п—1, 2, ..., получим, что равенство
k
^^[n^Q	(18)
•	i= 1
выполняется при всех значениях чи ^0. Это противоречит при-
нятому предположению о линейной независимости функций
144 1а[4 .... 144
Полученное противоречие доказывает теорему. 
Заметим, что в том случае, когда определитель №[|44 ...
..., gfc[и]] отличен от нуля при всех значениях и^О, система
решений однородного разностного уравнения (14) £44» |2[4> ...
...,£* [л] линейно независима. Действительно, в этом случае система
уравнений (18) при каждом п^О имеет только тривиальное реше-
ние Ci = с2 ==• = с* == 0. Отсюда и следует линейная независимость
решений £- [n] (i = 1, 2, ..., k). Таким образом, условие W [и], ...
..., £ft [n]J Ф 0 при п 0 является необходимым и достаточным
условием линейной независимости решений £,[n] (i = l, 2, ..., k)
уравнения (14).
Учитывая равенство (17), признак линейной независимости
решений уравнения (14) можно сформулировать следующим образом:
если detД[/г]=^= 0 при всех значениях пулО и определитель
№11,[01,140]] отличен от нуля, то решения 144. 144 •••
....	[и] линейно независимы.
Совокупность k линейно независимых решений системы одно-
родных разностных уравнений (14) порядка k называется фунда-
ментальной системой решений. Покажем, что фундаментальные
системы решений существуют. Пусть выполнено условие det А [п]^=0
при всех п ^0. Выберем начальные условия при п = 0 таким
образом, чтобы выполнялось неравенство IT [140],  •-, 1л[0]]=^0.
С помощью рекуррентного соотношения (14) можно построить по
этим начальным значениям решения gj [п], ..., gft [и]. Эти решения
будут линейно независимы и, следовательно, образуют фундамен-
тальную систему решений.
Если определитель det А |п] обращается в ноль при м = л1^-0,
то, как показано выше, W [gi [и], ..., £441 = 0 при п^«i+l
и, следовательно, не существует фундаментальной системы решений,
200
определенных при всех значениях п'х?0. Однако, если известно,
что определитель det А [и] не обращается в ноль ни при одном
значении п пг 4-1, то можно построить фундаментальную систему
решений, определенных при л^&л14-1- Выберем для этого началь-
ные условия при п — Пг + Х такие, чтобы выполнялось неравенство
W7 [Л14* 1 ], ....	1]1=И=0, и построить по этим начальным
условиям решения £,[«] (t = l, 2,..., k), определенные при
п «1 +1. В соответствии с формулой (17) определитель W [|г [л],....
...,	[«]] не равен нулю при всех п «14-1, откуда и следует ли-
нейная независимость построенных решений.
Докажем теперь теорему об общем решении однородной системы
разностных уравнений (14).
Теорема 2. Пусть векторные решетчатые функции |i[n], ...
...,	[п] образуют фундаментальную систему решений однородной
системы разностных уравнений (14) порядка k. Тогда общее реше-
ние системы (14) имеет еид
k
(19)
<= i
где Ci (i = l, 2, ..., k) — произвольные постоянные.
Доказательство. Заметим прежде всего, что линейная ком-
бинация решений (19) системы (14) также является ее решением.
Это проверяется непосредственной подстановкой функции (19)
в систему разностных уравнений (14). Покажем, что любое решение
системы (14) можно представить в виде (19). Пусть <р [«] —произ-
вольное решение системы (14), определенное при и2&0. Найдем
постоянные щ (i = 1, 2, ..., k) из системы уравнений
k
Ф,[0]= 2>£7[0] (/ = 1,2........k).	(20)
t = i
Постоянные с; определяются единственным образом, так как опре -
делитель системы (20) W [gi [0], ...,	[0]] отличен от нуля. Из
уравнения (14) получим при л=1:
k	k	k
ф[1] = Д[0]<р[0] = Д[0] £с&[0]= £ С/Д[0Ш0]= V ^,.[1].
i = l	i = 1	»	1 — 1
Полагая л = 2, 3, ..., найдем, что для любых л 5= О справедливо
k
равенство [/г] — S Cih [л]. 
i—l
3. Неоднородные системы линейных разностных уравнений.
Для неоднородных систем разностных уравнений (11) справедлива
следующая теорема, аналогичная теореме 5 § 49 о решении неодно-
родного разностного уравнения.
Теорема 3. Общее решение х [л] линейной неоднородной системы
разностных уравнений (11) равно сумме ее частного решения ф[л]
20’
и общего решения соответствующей системы однородных уравне-
ний (14), т. е.
k
х[п] = ф[п] + S с&[«]»	(21)
»== 1
где с{— произвольные постоянные, а |,[и] — решения системы одно-
родных уравнений, такие, что W [gi [и], ...,	[и]]	0 ни при
одном значении п^О.
Доказательство. Подставляя функцию х [и], определяемую
выражением (21), в систему уравнений (11), можно непосредственно
проверить, что эта функция является решением неоднородной
системы уравнений (11).
Пусть теперь у [п] — произвольное решение системы (11); пока-
жем, что его можно представить в виде (21). Решение у [п] всегда
можно представить в виде у/[и] = ф[и]-}-<р[и], где <р[л] —решет-
чатая функция, которая однозначно определяется для заданных
Я«] и Ф [п]. Подставляя _у [ft] в уравнение (11), получим
ф[и + 1] + <р[« + 1] = Л[и]ф[и] + Л[и]<р[и]+/[и],
откуда
ф[п+1] = Л[п]ф[п].
Таким образом, функция <р [п] является решением однородного
векторного уравнения (14). Из теоремы 2 следует, что эта функция
может быть представлена в виде линейной комбинации линейно
независимых решений [ft], ...,	[и] однородного уравнения (14),
k
т. е. ф[п] = У, c/|z[n]. Следовательно, произвольное решение j[n]
i ~ 1
неоднородного уравнения (11) всегда можно представить в виде
k
Я«] = Ф[«]+ S 
z=i
Заметим, что теоремы 3, 4, 5 § 49, сформулированные для одного
разностного уравнения, являются следствием соответствующих
теорем 1, 2, 3 для систем разностных уравнений. Разностное
уравнение порядка k
х [п -|- Л?] -|- bi [ft] x[n-j-k — 1 ] -J-[ft] х [ц] = f [ft]
эквивалентно следующей нормальной системе уравнений:
xo[ft+ 1] = Xi [ft],
/	хг [я ф-U = х21>],
.......................... х-	(22)
Xk i [п +1 ] = — bl [ft]	[ft] - b2 [и] xft_2 [«] —...
• • • — bk-i [и] Xi [и] - bk [n] x0 [ft] 4-f [и],
где x0[n] = x[n], xi[«] = x[«4-1], ..., xk-i[n] = x[n + k — 1].
202
Вводя обозначения
	Vo [«J			0	
xpi]=	*i ["J	- /[«]=		0	
	_*A-1 [л]			J[p]	
			-	0	1
				0	0
Л[/2] =
(Г
О
ООО
О
1
1
— bk [/г] - Ьк-! [м] - bkL.2 pi]... - bt [/?]_
рассматриваемое разностное уравнение можно переписать в виде
(11). При этом определитель U7[хДл], хА[л]] для системы
разностных уравнений (22) равен
W [*i £/г], ..., хк [nJ] =
*10 [п] хп Ы • • •	[«]
*20 [п] *21 [п] . . . *2Л-1 [«]
*лоРП *м[л]... хЛА-1 [«]
*J pi] *1 [rt + 1J . . . Л1 [л + k - 1 ]
х2 [л] х2 pi + 1 ]... *2 [л + /г — 1 ]
A'fr [н] ХЛ [//+ 1 ] ... Xk[fl+k~ 1]
что совпадает с определителем (23) § 49, введенным при рассмот-
рении разностных уравнений. Формула (28) § 49, полученная
для определителе (23) § 49, следует из формулы (16), поскольку
в рассматриваемом случае det А [л] = (—!)*£?*[/?].
Рассмотрим теперь решение систем неоднородных разностных
уравнений методом вариации произвольных постоянных. Будем
предполагать, что матрица А [л] невырождена при всех значе-
ниях л^О, т. е. det А 0 (л^О). Пусть X pi] —матрица,
столбцы которой образованы векторами фундаментальной системы
решений однородной системы разностных уравнений (14). Эта
матрица называется фундаментальной матрицей системы (14).
Будем искать решение неоднородного уравнения (11) в виде
х pz] = Xpz]zpz], где z р/] — вектор-столбец, подлежащий опреде-
лению. Подставляя векторную функцию хрг] в уравнение (11),
получим равенство
Х[я +1] г [« +1] = Л [п] Х[п]г [»]+/[»].
Добавим к обеим частям этого равенства выражение—Xpz-pl]x
XZ[n]:
Xpi-pi]«pi-bl]-Xpi+l]«pi]^
= A Pi] X Pi] z pi] +f р/] - X pz + 1 ] z [л].
203
Учитывая, что матрица Х[п] удовлетворяет однородному уравне-
нию (14), найдем X[n +1]Аг[н]=/[п]. В соответствии с теоре.
мой 1 матрица Х[п] невырождена при всех п^О, поэтому спра-
ведливо равенство Дг[п]==Х“1[га-}-1]/[га]. Суммируя обе части
этого равенства в пределах от 0 до п— 1, получим
г [«] = "£ X 1 \k +1 ]/[А] + с	(n 1),
А=0
где c = z[Oj. Теперь решение неоднородного уравнения (11) можно
представить в виде
п—1
х[п] = Х[/г]г[/г] = Х[п]с-ЬХ[/г] YJ +	(23)
*=о
Введем обозначение
К[п, Л] = Х[п] X-'lk+l],	(24)
тогда решение (23) можно переписать следующим образом:
x[n] = X[n]c'+ У, К\п, &]f[k]	(п^1).	(25)
й = 0
Итак, методом вариации произвольных постоянных найдено
общее решение неоднородной системы разностных уравнений, за-
висящее от произвольных постоянных clt с2, ..., сь, которые
являются компонентами вектора с. Выбирая те или иные значе-
ния этих постоянных, можно получать различные частные реше-
ния. Если начальные условия нулевые, т. е. х[0] = 0, то из усло-
вия лг[О] = Х[0]с определяется с = 0. 'Частное решение
уравнения (11) при этом имеет вид
х[я]=Я£к[«,ШИ («>!).	(26)
k =0
Рассмотрим теперь случай, когда матрица А [п] в уравнении (11)
постоянна. Если Хрг] — фундаментальная матрица соответствую-
щей однородной системы разностных уравнений (14), то нетрудно
проверить, что и матрица X Яр — /], где I — целое число (0 I < п),
является фундаментальной для системы уравнений (14). С другой
стороны, матрица Лфи] также является фундаментальной
при фиксированном значении I. Но две фундаментальные матрицы
связаны линейным невырожденным преобразованием, т. е.
X |п] X1 [/] = ВХ[п - /],	(27)
где В —невырожденная матрица, состоящая из постоянных эле-
ментов. Положим п — 1. Тогда ВХ[0] = £. Таким образом, В —
= Х-Ц0]. Если ^f[OJ==Z?, то В = Е. При .этом предположении
К[п, /] = Х[/г-/-1], г = Л~Ч0]х[0] = х[0],
204
и формула (25) приобретает следующий вид:
X[n] = X[n]x[0]+ £ X[n-k-l]f[k].	(28)
k=0
Из формул (25) и (28), определяющих решение системы раз-
ностных уравнений, могут быть получены формулы (55) и (64) § 49,
определяющие решение одного неоднородного разностного уравне-
ния, поскольку разностное уравнение произвольного порядка
всегда может быть представлено в виде системы разностных урав-
нений нормального вида (22).
4. Линейные системы разностных уравнений с постоянными
коэффициентами. Рассмотрим линейную систему разностных урав-
нений
х [п4-1 ] = Ах [п] +/[»],	(29)
где А = [ац] (I, / = 1, 2, k) — невырожденная квадратная мат-
рица, составленная из постоянных элементов. Общее решение
неоднородной системы разностных уравнений (29) можно опреде-
лить по формуле (28), если известна фундаментальная матрица
решений соответствующей однородной системы
Лг[/г-Ь 1]=' Ах[п].	(30)
Для того чтобы найти общее решение системы (30), применим'
невырожденное преобразование с матрицей В, приводящее мат-
рицу А к жордановой форме (см. п. 4 § 6). Обозначим х[га] =
= Ву[«1- Тогда векторное уравнение (29) примет вид
.у h 4-1]=•№]+£[«].	(31)
где g[n] = E_,/[n] J=B^AB — жорданова матрица, на главной
диагонали которой расположены клетки Жордана Kj (j = 1,2,..., /),
r/G °1
.0 Kt
I, 1 о ... о о
0 Ху 1 ... 0 0
0 0 0.... Ху 1
0 0 0 ... 0 Ху
Здесь Ху —корни характеристического уравнения det (4 —ХЕ) = 0.
Порядок Гу клетки Жордана Kj равен степени элементарного де-
лителя (X — Хур, соответствующего корню Ху. Заметим, что одному
и тому же корню Ху может соответствовать несколько элементар-
ных делителей. В этом случае матрица J может иметь несколько
клеток Жордана с одним и тем же элементом на главной диаго-
нали. Если, в частности, все корни характеристического уравне-
ния различны, то все элементарные делители имеют первый поря-
док и матрица J является диагональной.
Найдем общее решение однородной системы разностных
уравнений
4-1] = />»[«].	(32)
205
Каждой клетке Жордана с индексом j соответствует следующая
группа разностных уравнений:
Ум [п +1 ] — ^Ум [и] + У1+2 [я]>
Ум [П + 1 ] = М<+2 [«] + У«+3 [«]>
yt + rj— 1 [и + 1] = tyjl+rj—i [и] + ^ + гу[и],
yi + rf[n-}-\] = Kjyi + rj{n\.
Введем новые решетчатые функции zz[n]:
^+z[«] = Zi+z[n]A" (/=1, 2, ry),
тогда система разностных уравнений (33) примет вид
Дг/+1 [n] = ^zz+2[n],
Дг/+2 [и] = zz+8 [n],
(33)
(34)
(35)
bzl+rrl[n\ = ~zl+rj\ti\,
AZi+r [n] = 0.
Из последнего уравнения этой системы следует, что Zz+r/ = c0,
где с0 — произвольная постоянная. Из предпоследнего уравнения
системы найдем Zz+^-ifn]. Имеем Azi+y_1[n] = ^-с0. Суммируя
обе части этого равенства в пределах от 0 до п — 1, получим
zi+y_1[n]==~n + c1, где cj — произвольная постоянная. Исполь-
зуя полученное выражение, последовательно определим:
Zi+rj-ъ [и] = Д- п (п — 1) +^- п +с2,
Zt+Г/_3 [п] =	п (п - 1) (п - 2) 4- ,п (п - 1) + п + Сз,
гг+2 =---------+...
(9-2)'^"	(9-3)|Х?
C'j—3
-^-п+сГ/_2,
гм —
Ср
п(т1>
СГ]-2
20ь
Возвращаясь к функциям у,[п] и обозначая I = р-. получим
следующее решение системы разностных уравнений (33), соответ-
ствующих одной клетке Жордана А):
ум [п] = с0	2!) х"-г/+1 + С1 ( п_ 2j х;-о+’ +...
- yi+r -1[п] = с0Л«-1п + сЛ\
(36)
^+гу[«] = с0Х”..
Это решение является общим для системы разностных уравнений
(33). Чтобы убедиться в этом, выделим следующие векторы:
Путем подстановки можно проверить, что каждый из векторов
(i = l, 2, rj) является решением системы разностных уравне-
ний (33).
Покажем, что векторы линейно независимы. Для этого
составим определитель:
iqsv, U.... fy]=
—>	о т	। ‘Xi'" " сч~ " со е 1 с 1 1	Т ’-I/’*'	(Я << , ' ^7 о? й | с |	= ХЧП(—If
пХ,1	1	...0	
1	0	...0	
(37)
т/(Ч-1)
где v = -—-------число инверсии в перестановке индексов rj,
rj—l......1. Случаю Ху = 0, как это следует из равенств (33),
соответствует тривиальное решение f/i+*[n] = O (Л = 1, 2, ..., rj).
Полагая Ху^Х-О, найдем, что определитель (37) отличен от нуля
207
при любых значениях аргумента п 5^0. Следовательно, векторы
линейно независимы и образуют фундаментальную систему реше-
ний системы разностных уравнений (33). Решение (36) является
общим решением системы разностных уравнений (33), так как
оно является линейной комбинацией решений т. е. yj =
rj
— У, где yj — [yi+1, t//+2> ..., j/i+r/]T.
Используя rj решений f (1 = 1, ..., п) системы разностных
уравнений (33), можно построить Гу линейно независимых реше-
ний всей рассматриваемой системы (32), соответствующих элемен-
тарному делителю (X — Ху)'Л В каждом из таких решений будем
считать все компоненты, за исключением ум, ..., yi-^r, нуле-
выми. Проводя аналогичные рассуждения по поводу каждого эле-
ментарного делителя матрицы А, найдем фундаментальную систему
решений системы разностных уравнений (32). Поскольку вектор-
функции х[п] исходной системы разностных уравнений (30) свя-
заны с функциями _у[л] линейным невырожденным преобразова-
нием х[п] = Яу[п], мы можем теперь найти фундаментальную
систему решений исходной системы разностных уравнений (30).
При этом получим, что каждому элементарному делителю (X — 'Kj)rl
матрицы А — ХЕ соответствует Гу линейно независимых решений
системы (30) вида
хг[л] = Х"Лу[п] (i = l, 2.....k),	(38)
где Pif [n] — полиномы степени не выше Гу — 1 относительно пере-
менной п.
Рассмотрим частный случай, когда матрица А приводится
к диагональному виду. В этом случае
J=diag[Xb Х2, .... ХА].	(39)
а система разностных уравнений (32) состоит из уравнений вида
г/1[н+ l] = f/;[n]Xz.	(40)
Решение каждого из таких уравнений есть функция yi[n] = ciX[‘.
Образуем ректоры gz размерности k следующим образом:
ii[n] = [0, о..о, X”, О, .... 0] (i = l, 2, .... k).
Нетрудно видеть, что каждый из векторов |,[п] является реше-
нием системы разностных уравнений (40), причем векторы |,-[п]
линейно независимы, если Хг#=0. Следовательно, они образуют
фундаментальную систему решений. Общее решение системы раз-
ностных уравнений (40) может быть представлено следующим
образом:
k	к
(41)
/=1
208
Переходя с помощью линейного невырожденного преобразования
с матрицей В к функциям х [и], найдем обшее решение исходной
системы разностных уравнений (30). Каждому характеристическому
корню X/ будет при этом соответствовать решение
xt [n] ~ СуК*	(t = 1, 2, ..., k).	(42)
Полученные выражения (38), (42) характеризуют структуру
общего решения однородной системы разностных уравнений (30).
Для того чтобы практически найти это решение, нужно опреде-
лить неизвестные коэффициенты, подставляя выражения (38), (42)
в систему разностных уравнений (30). Решение неоднородной
системы разностных уравнений (29) можно < найти по фор-
муле (28).
Для решения линейных систем разностных уравнений с по-
стоянными коэффициентами целесообразно использовать дискрет-
ное преобразование Лапласа (см. § 56).
§ 51. УРАВНЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Некоторые сведения об импульсных системах. Системы авто-
матического регулирования, в которых применяется импульсная
модуляция сигналов, называются импульсными системами автома-
тического регулирования. При импульсной модуляции непрерывный
сигнал заменяется последовательностью импульсов, изменяющихся
в зависимости от модулируемого сигнала. Существуют различные
способы импульсной модуляции. Мы ограничимся рассмотрением
одного из них, называемого амплитудно-импульсной модуляцией.
Зтот способ модуляции состоит в том, что непрерывный сигнал / (/)
(рис. 150) заменяется последовательностью импульсов, которые
следуют друг за другом с постоянным интервалом времени Т
(рис. 151). Амплитуда этих импульсов пропорциональна значе-
ниям модулируемого сигнала /(/) в дискретные моменты времени
t = nT. Если s (i) — функция, описывающая форму одиночного
импульса (рис. 152) и коэффициент пропорциональности равен
единице, то сигнал y(i), получаемый в результате амплитудно-
1 ?
209
импульсной модуляции сигнала /(/), может быть описан выра-
жением
ОО
y(t)=^s(t-nT)f[nT].	(1)
о=0
Устройство, в котором осуществляется импульсная модуляция,
называется импульсным элементом. Импульсные системы автома-
тического регулирования можно пред-
ставить как соединение импульсных
элементов с элементами непрерывного
действия. На рис. 153 и 154 приведены
примеры структурных схем импульсных
систем с одним импульсным элементом.
Здесь обозначено: И. Э. — импульсный
элемент, Н. Ч.—непрерывная часть си-
стемы. Импульсная система, изобра-
женная на рис. 154, содержит отрица-
тельную обратную связь, охватываю-
щую импульсный элемент и непре-
рывную часть системы; такая система называется замкнутой
импульсной системой. Система, изображенная на рис. 153, не
содержит обратной связи. Однако в теории автоматического регу-
лирования такие системы рассматривают обычно как составную
часть системы регулирования, которая может быть получена раз-
мыканием обратной связи. Поэтому импульсная система, струк-
турная схема которой изображена на рис. 153, называется разом-
кнутой импульсной системой.
На
систем
рис. 155 и 156 приведены структурные схемы импульсных
с несколькими импульсными элементами. Импульсная
Рис. 154
Рис. 153
система, изображенная на рис. 156, обладает одной непрерывной
частью, имеющей несколько входных каналов и несколько выхо-
дов; такие системы называются многомерными импульсными систе-
мами. В системах с несколькими импульсными элементами в раз-
личных импульсных элементах могут вырабатываться импульсы
различной формы и с различными периодами повторения. Кроме
того, моменты возникновения импульсов в различных импульсных
элементах могут не совпадать. Принята следующая классификация
импульсных систем с несколькими'импульсными элементами. Если
периоды повторения во всех импульсных элементах совпадают,
i
210
то система называется синхронной. Если в синхронной импульсной
системе совпадают также и моменты возникновения импульсов,
то система называется синфазной. Более полные сведения об
импульсных системах можно найти, например, в [4].
Для описания импульсных систем используют два эквивалентных
способа. Первый способ состоит в описании системы с помощью
разностного уравнения, связывающего входное воздействие g [/г]
и выходную величину х[п] в дискретные моменты времени. На-
пример.,
box[n + k]+bix[n + k— 1]+ ... +bfe-v[n]==gr[n].	(2)
Многомерные импульсные системы описываются системами разност-
ных уравнений. Второй способ —это описание импульсной системы
с помощью соотношения, выражаю-
щего х[п] через значения gfm],
т = 0, 1....п — 1. Это соотношение
Рис. 155
Рис. 156
является решением соответствующего разностного уравнения.
Например, для уравнения (2) будем иметь (см. формулу (64) § 49)
п— 1	k
х[п] = 2 k[n~m]g[m]+ У, с/ЛД/г].	(3)
т — 0	1=1
Однако соотношение (3) может быть получено независимо от раз-
ностного уравнения (2). Оно определяется интегральными соотно-
шениями, описывающими непрерывную часть системы. В отличие
от разностных уравнений будем называть соотношения вида (3)
уравнениями импульсных систем, содержащими суммы решетчатых
функций.
2. Уравнения импульсных систем, содержащие суммы решет-
чатых функций. Составим уравнение разомкнутой импульсной сис-
темы, с одним импульсным элементом (см. рис. 153). Будем
предполагать, что непрерывная часть системы описывается линей-
ным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициен-
тами. Решение x(t) этого уравнения, соответствующее сигналу на
выходе непрерывной части, может быть выражено через сигнал у (/),
приложенный'к ее входу по формуле (см. § 16, п. 4)
k	t
+	(4)
i=l	0
211
где ku(t) — весовая функция непрерывной части, &(/)(i = 1, 2, ...
..., k) — фундаментальная система решений однородного дифферен-
циального уравнения, cf(t = l, 2, .... £) —постоянные, зависящие
от начальных условий. Импульсный элемент описывается урав-
СО
нением (1) y(t) = У s (t — пТ) g [пГ]. Подставляя это выражение
п-0
в уравнение (4), получим
k	I оо
х(0== s с&(0 + $ у s(x-nT)g[nT]kn(t~x)dx =
0п=0
k	СО	t
= s с&(0 + S g[nT]\ka(t-x)s(x-nT)dx. (5)
п=о о
Выполним в интеграле, стоящем под знаком суммы, замену пере-
менной по формуле т —п7’ = ц:
t	t—nT
л ka (/ — т) s (т — nT)dx — jj kK (t — t] — nT) s (q) drj =
о	— nT
E
= $ /гн(ё-п)5(п)^> (6)
— nT
здесь | = t — nT. Переменная n принимает только неотрицательные
значения n = 0, 1, 2, ..., а функция 5(ц) обращается в ноль при
г]<0, поэтому интеграл (6) обращается в ноль при T]sg;£<0.
Для положительных значений получим
а	е
*(В)= \	(7)
— пТ	О
Функция s (т]) обращается в ноль также при ц>у7’, где уТ —
ширина импульса, причем 0<у^1, поэтому при §0 функция
описывается двумя различными выражениями:
*(В) =
о
V?-
\ kH(l-^)s(T])dT]
при 0^В<у71,
при
(8)
Используя обозначение (7), уравнение разомкнутой импульсной
системы (5) можно записать в окончательном виде:
k	оо
*(0=Sc&(0+5>[»7W-nT).	(9)
(=1	и=0
Функции k(t) можно придать определенный физический смысл,
если ввести понятие о простейшем импульсном элементе. Простей-
212
Ший импульсный элемент описывается уравнением
ОО
У1Ц) = s f[nT]8(t-nT),	(10)
п— 0
где 6 (Z) — дельта-функция (см. § 37). Это уравнение имеет тот же
вид, что и уравнение обычного импульсного элемента (1), хотя
и не может быть точно воспроизведено никаким реальным устрой-
ством. В результате преобразования (10) получаем последова-
тельность дельта-импульсов, площадь которых равна значениям
преобразуемого сигнала f (/) в дискретные моменты времени t — fiT
(n = 0, 1, ...).
Реальный импульсный элемент, описываемый уравнением (1),
можно представить в виде последовательного соединения простей-
шего импульсного элемента и непрерывного устройства с весовой
функцией s(f) (рис. 157). Запишем уравнение такого соединения:
t	t CD
у (/) = J iji (т) s (/ — т) t/т = У, f [пТ] 6 (т — пТ) s(t — i:)dT;=*
0	0 л = 0
оо
= Sf[nT]s(z-n7),
что совпадает с уравнением (1). Непрерывный элемент с весовой
функцией s(t) называется формирующим элементом.
Разомкнутую импульсную систему можно теперь представить
в виде последовательного соединения простейшего импульсного
элемента, формирующего элемента и непрерывной части (рис. 158).
Непрерывную часть и формирующий элемент обычно объединяют,
называя их последовательное соединение приведенной непрерывной
частью импульсной системы. В соответствии с формулой (7) полу-
ченная выше функция k(t) имеет смысл весовой функции или
импульсной переходной функции (см. § 16) приведенной непре-
рывной части разомкнутой импульсной системы.
Заметим, что в том случае, когда продолжительность импульса
s (/) модулирующей последовательности мала, весовая функция
приведенной непрерывной части k(t) приближенно может быть
заменена весовой функцией непрерывной части kH (f), умно-
женной на постоянный коэффициент. Действительно, если вели-
чина уТ достаточно мала, то при каждом фиксированном значении £
функцию &н(£ —т]) можно приближенно заменить на интервале
213
0 «g т) уТ постоянной величиной ka (g — 0) = kVk (5) (рис. 159).
Тогда из равенства (7) получим
ут
k (£)	$ ka (g) s (л) drj = kv (g) ks,
о
(И)
yT
где ks= J s (t]) ch] — постоянный коэффициент, равный площади
о
импульса.
Вернемся к уравнению разомкнутой импульсной системы (9).
Ради простоты будем рассматривать его при нулевых начальных
условиях; тогда
СО
x(t)= %ё[пТ]к(1-пТ).	(12)
п=0
Перейдем в этом уравнении к относительному масштабу времени
/=у. Введем обозначения
X1^ = x(tT), ё1(0 = ^(/7),
(13)
С учетом этих обозначений
уравнение (12) приобретает
вид
*i(o= ij gd^k^t-n).
fi~0
(И)
Обратим внимание на выражение импульсной переходной функции
приведенной непрерывной части в относительном масштабе времени.
_	Гт
При i 2s 0 получим k1{t) = k(tT)= \ ka(tT — ri)s(i])dY]. Введем
о
•	- Я
новую переменную т]= тогда
«	t	,
(0 = (t Т — Т]Т) s (fjT) d (rjT) == Т J kul (t — rj) Si (Fj) eft], (15)
о	0
где
=
S1(O = s(FT).
(16)
(17)
Таким образом, функция fei(F) равна свертке функций ka(j) и
Si(0> умноженной на постоянный коэффициент Т.
214
Уравнение разомкнутой импульсной системы (14) можно запи-
сать с помощью решетчатых функций. Полагая t — получим:
Х1[/г, е]= У, gilmjkiln — m, е] (п = 0, 1, 2,	0^е<1). (18)
«1=0
Учитывая, что = 0 при t <0, можно заменить бесконечный
предел суммы на конечный, равный п:
п
Xi[п, е]= 2	— 8]-	(19)
т = 0
В частности, при е = 0 это уравнение связывает входную g\ [т]
и выходную *1 [/?] величины импульсной системы в дискретные
моменты времени п = 0, 1, 2, ...:
[«] = £ й 1т] [п - т].	(20)
т = 0
Итак, мы получили уравнения (9), (19), (20) разомкнутой
импульсной системы с постоянными параметрами. Эти уравнения
позволяют определить процессы на выходе импульсной системы,
если известно входное воздействие g(t).
Пример 1. Импульсная переходная функция непрерывной части системы
(см. рис. 158) задана в виде kK (t) = koe~^‘ (Р>0). Импульсный элемент осуще-
ствляет модуляцию с помощью последовательности кратковременных импульсов.
Будем считать, что выполнено приближенное равенство (11). Требуется опре-
делить реакцию системы на типовое воздействие в виде единичной ступенча-
той функции	Начальные условия—нулевые.'
Из формулы (11) найдем импульсную переходную функцию приведенной
непрерывной части в относительном масштабе времени:
(< ) = ^н1 (z) ks=k^~^*T,
здесь ks—площадь импульса модулирующей последовательности.
Процесс на выходе системы определим по формуле (19):
п
*1 [п, е] = 2 1 [т]	<п~т+е>,
т=0
где ki—kgko, ₽1=Р7’. Производя суммирование, получим выражение, описы-
вающее реакцию системы на рассматриваемое воздействие:
%! [п, е.1=^-₽‘<п+8) 2 A'n = feie-₽1("+e)	=
m = 0
=kt е- -----------е~ К (21)
1 — е₽*	1 —е р*
Придавая аргументу е всевозможные значения от нуля до единицы, мы полу-
чим функцию Xi (/), график которой изображен на рис. 160.
Пример 2. Импульсная переходная функция непрерывной части системы
(см. рис. 158) равна ка(1)—кйе'~$* (Р>0). Модуляция осуществляется с по-
215
мощью последовательности прямоугольных импульсов шириной уТ (у < 1)
(рис. 161). Определить реакцию системы на единичную ступенчатую функцию
g (0 = 1 (/) при нулевых начальных условиях.
В данном случае весовая функция формирующего элемента имеет вид
(F) == 1 (7) — 1 (7—у). По формуле (15) найдем импульсную переходную функ-
цию приведенной непрерывной части:
7
kl	(т) dx.
0
Здесь следует различать два случая:
а)	пусть t sg у; тогда sx (т) = 1 (г) и мы получим
t
о
е	(х) dx = е (e₽li! — 1)—fet(l — е~₽17),
Pi
гдей^-^, ₽1 = ₽7’;
Рг
б)	пусть теперь />у; поскольку ®1(т)=0 при х > у, то в этом случае
найдем, что
Zy (0 = т\ kfjp— ₽*dx = k-fi-•(e₽’v-1).
о
Импульсная переходная функция приведенной непрерывной части kL (ij
образована двумя функциями, определенными на различных интервалах изме-
216
нейия аргумента t (рйс. 162). Реакцию Импульсной системы йа единичное сту-
пенчатое воздействие найдем по формуле (14), в соответствии с которой иско-
ОО
мая функция равна x1(F)= У] — п). Эта функция изображена на рис. 163.
/2 = 0
При вычислениях удобно пользоваться формулой (19), с помощью которой
в данном случае получим
п	' п
Xi|n, е]= У fej [п — т, е]= У kL [т, е].
т~0
Выполняя суммирование, найдем:
а) при O^ge-cy
Л1 [п, е] = А1(1—е—Pi(l+е) (e₽i?— 1)_(_
_ +Z:ie-₽>(2 + e) (<,₽,?_ !) + ..._pie-₽>("+8) (eP»V
=A1(l-e-P*E)+Jt1(el3*v-l) 1эд^е-₽4+1);	(22)
1 — e p*
б) при	1
xi ln> e]==(el3,Y— 1) /jj [e~P‘e -(-e"-₽*(' + E> ...-}-c— ₽* <n+E)]=3
. о . о 1 e—+ B
===(e|3‘v-l)A1e-l3‘E J------------------------------------,---. (23)
1— e P‘
Полученные выражения (22), (23) определяют реакцию импульсной си-
стемы на единичное ступенчатое воздействие.
Пример 3. Для импульсной системы с кратковременными импульсами,
рассмотренной в примере 1, найти реакцию на гармоническое возцяйствие
g, (/) = А cosco/.
Задача упрощается, если найти реакцию z± [п, е] на воздействие ft (/) =
= Ae<at, а затем рассмотреть вещественную часть функции хх [л, в] =&
= Re?! [л, е]. По формуле (19) найдем
21К е]= 2 ЛЛ1е^те-13*('г-т+Е’а у Лй1ет<₽«+/Ч~13-<'г + Е>3-
т = 0	т = 0
1__glPi+Z®)	—
217
Искомый процесс получим как вещественную часть этого выражения, т. е.
Xi[n, e]=Rez1[n, е] =
cos юн —е~131 cose) (п+1)+е~Р*(" 1 (е~Р‘—сое со) _р,е
1	1 — 2е~ I31 cos со + е-
Поскольку > 0, то при достаточно больших значениях аргумента п
выражение е + можно приближенно считать равным нулю. При этом
получим
eM(n+D
zi [л, е] ₽» AkL —=--
е1а — е I31
е~ ₽1Е.
Введем обозначения:
IV’* (/о, е) =
k^e^e Р1Е
___	__ L,(i 01®
М (<о, в) = I W * (/О), е) I = -------J—-	_9R
у 1 — 2е P*cosco+e 2'31
ф (о) = arg W * (/со, е)=<о—arctg-=-.
Cosco—е |3‘
Тогда выражение для функции г± [н, в] примет вид
Zi[n, e]^AW*(jw, е)е,ап=АМ (й, е) е>
откуда найдем
%! [п, e] = Rez1[n, е]якЛЛ4(со, е) cos (con+ф (со)).	(24)
Таким образом, при достаточно больших значениях аргумента реакция системы
на воздействие вида A cos cot в дискретные моменты времени представляет
собой косинус той же частоты, отличающийся по амплитуде и фазе от исход-
ного. Этот «установившийся» процесс показан на рис. 164 сплошной линией.
Из рисунка видно, что при любом фиксированном значении е из интервала
О «g е < 1 процесс [п, е] представляет собой решетчатую гармоническую
функцию. —
218
Рассмотрим теперь замкнутую импульсную систему, содер-
жащую импульсный элемент в канале ошибки ех(/) (рис. 165),
которая равна
(25)
Функция хг (7), описывающая выходную величину импульсной
системы, может иметь разрывы непрерывности в моменты кван-
тования 1=п. Поэтому при определении решетчатой функции
=	(26)
следует оговорить, рассматривается ли значение хт[п] как пре-
дел справа или как предел слева, т. е.
х1[п] = lim Xi(7), или Xi[n]= lim Xtft).
Г—л+О	t->n— о
Принято рассматривать в этом случае предел справа, поскольку
реальный импульсный элемент фиксирует именно правое значе-
Рис. 165
ние модулируемого сигнала e(t) в точке разрыва непрерывности.
Подставляя выражение (26) в уравнение разомкнутой импульс-
ной системы (14), получаем уравнение замкнутой системы
ОО	J
Xi(i)= 2 [п](? —/т) =
/2 = 0
оо	оо
= У. gi'[«] ki (t-n)— 2 xt [n] kr (I -n). (27)
/г=0	j n=0
Полагая в этом уравнении / = /n-f-e (Osgjed), окончательно
находим:
т	т
хг[т, е]= У, gi[n] ^[т-п, е]- У xt [n] [т — п, е]. (28)
п~0	/г=0
Для того чтобы определить процесс хх [п, е] в замкнутой импульс-
ной системе по заданному входному воздействию gi[n], нужно
решить уравнение (28), в которое входит неизвестная функция
Xj[n, е], свертка этой функции с заданной функцией ^[п, е],
а также свертка двух заданных функций gif/г] и кг\п, е]. Урав-
нение (28) аналогично интегральному уравнению, описывающему
непрерывную замкнутую систему регулирования (см. гл. V). Оно
219
может быт о решено, например, с помощью дискретного преобра-
зования Лапласа (см. гл. XVII).
Рассмотрим далее многомерную импульсную систему, струк-
турная схема которой изображена на рис. 166. Непрерывная
часть этой системы имеет г входов г/ь z/2. У г и столько же
выходов Xi, х2, ..., хг; соответствующие функции связаны систе-
мой дифференциальных уравнений
Ni _	N.	Nr
У У	+ - . • + У (О»
4=0	4 = 0	4 = 0
"1 . .	*2	.	Nr
У + У СчцХъ ’ + . . •+ У С2гХг 1 = у2 (0	(29)
4=0	4=0	4=0
.	. W2 .	.	Nr .	.
У, ClrlXi^ + У С^Х^ +. .. + У СггХ(г ’ = у г (t).
4=0	4=0	4=0
Вначале мы будем предполагать, что все коэффициенты, входя-
щие в уравнения этой системы, постоянны. Как известно, си-
стему дифференциальных урав-
нений (29) всегда можно при-
вести к нормальному виду (см.
гл. IV):
^ = Ах + Ву,	(30)
at
где х вектор-столбец размера
7V=Nr + N2 +...+ Nr; А —квад-
Рис. 166 .	ратная матрица размера NxN;
_у — вектор-столбец размера г;
—прямоугольная матрица размера Nxr (N^r).
Рассматриваемая импульсная система имеет г импульсных
элементов. Ради простоты будем предполагать, что все элементы
работают синхронно и синфазно. Тогда их уравнения имеют
вид (1), т. е.
оо
yi(t)= У Si(f-n)gz[n] (4 = 1, .... г).	(31)
л=0
Если ввести вектор-столбец g[n] и диагональную матрицу S(t),
	[git"]-		Г51(0 о ..	0 1	
£[«]=	Ып]		0 s2(i) ..	0	(32)
			. 0	0 ...	«49-	
U20
то систему уравнений (31) можно записать в виде одного век-
торного уравнения
СО
y(t)= £ S(t-n)g[п].	(33)
л = 0
Пусть X (/) — фундаментальная матрица решений однородной
системы дифференциальных уравнений
~й=АХ'	(34)
удовлетворяющая условию Х(0) = Е. Решение неоднородной
системы уравнений (30) имеет следующий вид:
1
х (?) = X (?) х (0) + X (t - т) By (t) df,	(35)
о
где х(0) —вектор начальных условий. В частности, при нуле-
вых начальных условиях
t
х (t) = \X(t~x) By (t) dt.	(36)
о
Подставляя в эту формулу значение y(t) из (33), найдем
/	со
*(?) = $	£ S(?-n)g[n]d^
0	/2 = 0
со t
= Л \X(t - т) BS (t - п) dtg-[/i].	(37)
л=0 0
Рассмотрим выражение, стоящее под знаком интеграла. Вводя
новые переменные I‘ — п = fj, t — п = получим
t	И
\X(t- т) BS (г - п) dx = $ X (Ч -1) BS (I) df.	(38)
О	—п
Матрица S(|) обращается в нулевую матрицу при | <0, поэтому
интеграл можно записать следующим образом:
ч
/С(й)= $ X(fj-|)B5®dg =
— п
0 при 1]<^0,
?	-	(39)
$Х(т)-1)В«$(1)^приТ)>0.
Учитывая обозначение (39), запишем уравнение импульсной
многомерной системы при нулевых начальных условиях в виде
00
^(0= s	(40)
т-^0

Полагая /=п-(-е и учитывая первое из равенств (39), можно
окончательно записать
х\п, б]= К[п — т, е]#[/п].	(41)
*m = 0
Предположим теперь, что элементы матриц А и В в уравне-
нии непрерывной части системы являются функциями времени.
Обозначим по-прежнему через Х(Г) фундаментальную матрицу
соответствующей однородной системы дифференциальных уравне-
ний, удовлетворяющую условию Х{0) = Е. Решение неоднородной
системы дифференциальных уравнений, описывающих непрерыв-
ную часть, найдем по формуле (24) § 11:
Г
X (0 = х (/) X (0) + 5 X (О Х-1 (?) в (?) у (т) dx.	(42)
о
Вводя обозначение	х) = X(/)X1(х) и полагая начальные
условия нулевыми, получаем следующее уравнение непрерывной
части:
х(Г)Цкк$, x)B(x)y(x)dx.	t (43)
о
Подставляя в это уравнение j(?) из равенства (33), найдем урав-
нение рассматриваемой импульсной системы:
i	со
x(t) = \KB(t, $В(х) У S(x — n) g[n]dx =
О	п — 0
со t
= S W*’ ^B(x)S(x-n)dxg[n].  (44)
п = 0 0
Введем обозначение
* <
#(/, п) = J Кя (/ , ?) в (?) 5 (? - п) dx.	(45)
о
Заметим, что при t <п
K(t, п) = 0,	(46)
так как матрица 5(?) обращается в нулевую при отрицательных
значениях аргумента: 5(?) = 0 при ?<0. При значениях аргу-
мента 1^п функция К(], п) описывается выражением
п) = $ Кн (Z, ?) В (t) S (? - n) dx.	(47)
п
222‘
Учитывая это выражение, запишем уравнение многомерной им-
пульсной системы при нулевых начальных условиях в виде
ОО	~
= S K(t, m)g[m],	(48)
/п = 0
Заменяя переменную t по формуле t — n-\-s и принимая во вни-
мание условие (46), получаем уравнение многомерной' импульсной
системы относительно решетчатых функций:
х[п, е] =	m)g[m].	(49)
m —О
Используя уравнения (48) и (49), можно составлять уравне-
ния более сложных систем. Рассмотрим, например, многомерную
систему с обратной связью,
изображенную на рис. 167.
Эта система описывается
уравнением (49):
х[п, е] =
= 2	+ т)е[т],
т = 0
(50)
где матрица /С(/, п) опре-
деляется формулой (47);
е [т] — вектор-столбец раз-
мера г, определяемый «урав-
нением замыкания»
е [«]=/[«] -С [п] х[п].
(51)
Рис. 167
Здесь С [п] — матрица решетчатых функций размера г х N.
Подставляя вектор-функцию е[п] из уравнения (51) в уравне-
ние (50), получаем уравнение замкнутой многомерной импульсной
системы:
х[п, е]= 2 К(п+е,	^К(п-\-е, tri) С [/и] х [т]. (52)
m=jO	т — 0
3. Уравнения импульсных систем в конечных разностях. Со-
ставим разностные уравнения импульсных систем, эквивалентный
уравнениям, содержащем суммы решетчатых функций (48) или (49).
Сначала рассмотрим многомерную импульсную систему (см.
рис. 166), непрерывная часть которой описывается системой ли-
нейные дифференциальных уравнений (30). Элементы матриц А
и В могут быть функциями времени. Импульсные элементы, ра-
ботающие синхронно и синфазно, описываются уравнениями (33).
223
Выберём начальные условия в момент времени t0 = n. Тогда
решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (30),
удовлетворяющее этим начальным условиям, может быть записано
в виде
х (F) = Кн (F, ») X [П] + jj Ка (t, t) В (т) у (?) dt, (53)
п
гдех[п] — вектор начальных условий, a	?) — матрица Коши,
связанная с фундаментальной матрицей Х(/) однородной системы
дифференциальных уравнений (34) соотношением
Кн(й =	(54)
Полагая в уравнении непрерывной части (53)	получим
х[п, е] = /Сн(п + е, п) лг[п]+ $ #„(«-(-в, t) В (t) у (г) dt.	(55)
п
Векторное уравнение (33), описывающее импульсные элементы,
в интервале zi==g/=czi + e, 0 е< 1, имеет вид
>>(/) = 5 (F-n)m	,	(56)
Подставляя это выражение в уравнение (55) непрерывной части,
получим уравнение многомерной импульсной системы
х[п, е] = /Сн(п + е, zz)x[zi] +
п + е
+ j ^(n + e, ?) В (?)S(?-/2) g[n]ds. (57)
И
Используя обозначение (47), мы окончательно получим
х[п, е] = Кк (ti + е, п) х [zz] + К (п + е, п) g[zz]. (58)
Предполагая, что x(t) не имеет разрывов непрерывности в ди-
скретные моменты времени t =п, перейдем в обеих частях-равен-
ства (58) к пределу при 1 и получим
*рг+1] = /<н(»+1, п)*[п]+К(«+1. «)£[«]•	(59)
Найденное- разностное уравнение описывает многомерную импульс-
ную систему. Его решение х [zz] определяет процесс в этой си-
стеме, соответствующий вектору внешних воздействий g[zi], в ди-
скретные моменты времени. Для того чтобы найти процесс в си-
стеме в любой момент времени, достаточно подставить решение
уравнения (59) в правую часть уравнения (58).
Если элементы матриц Л и В в уравнении (30) постоянны,
то матрица Коши Ka(t, ?) зависит только от разности аргумен-
тов t н ?:

(60)
224
где X (г) — фундаментальная матрица однородной системы урав-
нений (34), удовлетворяющая условию X (0) = Е (см гл. IV).
Матрица K(t, п), определяемая равенством (47) в этом случае
зависит также только от разности аргументов t и п<
Таким образом, для импульсной системы с постоянными пара-
метрами получаем уравнение
х[п Е] = #н(е)х[п] + ДГ[е]£[п].	(61)
В частности, при е = 1
X \п +1] = кп (1) х [nJ + к(1) g[п].	(62)
В этих уравнениях матрица JK, (т) совпадает с фундаментальной
матрицей решений соответствующей системы однородных диффе-
ренциальных уравнений непрерывной части (34), т е. (т) = X (т).
Матрица К(1) связана с фундаментальной матрицей х(/) сле-
дующим соотношением, вытекающим из равенства (47):
п+1	1
/С(1) = $ X(n + l-’t)BS(t-n)dt=s$X(l-k)BS(k)dX (63)
и	0
Итак, получены разностные уравнения (59), (62) разомкнутой
многомерной импульсной системы. Решения разностных уравне-
ний (59) и (62) при нулевых начальных условиях совпадают
с выражениями (49) и (41), полученными выше.
Составим разностное уравнение многомерной импульсной си-
стемы с обратной связью (см. рис. 167). Эта система описывается
уравнением
х[п, е] = /Сн(п4-е, п) х [п] ф К (п ф е, п)е[п] (64)
и уравнением замыкания (51). Подставляя функцию е[п] из
уравнения (51) в уравнение (64), получим
х[п, е] = Кн (П ф Е, п) х [п] ф/С (п ф е, п)/[п] —К(пфе, и) х
X С [п] х [n] = Н (п ф е, п) х[п]4-/С(пф-е, п)/[п],	(65)
Н (п ф е, n) = Кп (п ф е, и) — К (n ф е, n) С [п].	(66)
Предполагая, что х (F) — непрерывная функция, определим раз-
ностное уравнение замкнутой импульсной системы из уравнения
(66) при е = 1:
лфлф 1] = Я(иф 1, п)х[и]фАГ(пф1, п)/[п].	(67)
Решение уравнения (67) может быть последовательно вычислено
для любого значения п. Подставляя это решение в формулу (65),
найдем процесс в импульсной системе в любой момент времени.
Если матрицы А, В и С —постоянны, то уравнение (65) прини-
мает вид
х[п, е] = //(Е)х[п] + К(е)/[п].	(68)
8 п/р. Чеыоданова Б, К., т. 2
225
В Частнрсти, при е = 1 будем иметь
х[п+1] = //(1)х[п| + АС(1)/?[п],	(69)
где
1
H(l)=K„(l)~K(l)C = X(l)-\X(l-k)BS(tydbC, (70)
о
«	О'
X (/) —фундаментальная матрица однородного дифференциального
уравнения (34), описывающего непрерывную часть разомкнутой
системы.
Решение векторного разностного уравнения (69) может быть
представлено в виде (см. § 50)
х [n] = G [«1 х [0] + £* G [п - k\	1) f [п],	(71)
где G [zt] —фундаментальная матрица решений однородного раз-
ностного уравнения
х[п-Р !] = //( 1)х[п].	(72)
Для того чтобы найти функцию х[п, е], описывающую процесс
в импульсной системе в любой момент времени, нужно подста-
вить решение (71) разностного уравнения (69) в правую часть
уравнения (68):
{П— 1	I
Я[₽] 2 G[п-k\К(1)4-К(8) /[/г|. .
(73)
Перейдем теперь к рассмотрению более простого класса импульс-
ных систем, а именно к системам с одним импульсным элементом,
непрерывная часть которых имеет один входной канал и одну
выходную величину. Разностные уравнения этих систем можно
найти точно так же, как и уравнения многомерных систем.
Рассмотрим разомкнутую импульсную систему с одним импульс-
ным элементом (см. рис. 153). Пусть непрерывная часть этой
системы описывается дифференциальным уравнением порядка k 1
4- ах (7) х**-1’ 4-... 4- o-k-\ (/) х' +ak(t)x = y (/).	(74)
Импульсный элемент описывается уравнением
со
n = 0
226
Введем обозначения:
х = Xi,	~Х1
“О'
о

x(fe 4) = xk, _Хь
о
1
А (Г)
0	1	 0	0	’
0	0	1	/ о
0	0	0	1
- ак (/)	—«*-1(0	— «*-2(0 ...	— «1 (0
тогда дифференциальное уравнение, описывающее непрерывную
часть системы, можно записать в виде линейной неоднородной
системы дифференциальных уравнений нормального вида:
=4(F)x + Bor/(F).	(75)
at
Обозначим через A’(z) фундаментальную матрицу однородной
системы дифференциальных уравнений, соответствующей неодно-
родной системе (75). Будем предполагать, что эта матрица удов-
летворяет условию Х(б) — Е. Введем матрицу Коши для рассмат-
риваемой системы Kv\t< ^) = Х(1}Х^ (т). Задавая начальные
условия при t=n, получаем решение системы (75) в виде (53).
Подставляя в уравнение (53) значение функции y(t) из уравнения
импульсного элемента, получим уравнение вида (58). Полагая
е= 1, мы приходим к разностному уравнению импульсной системы,
записанному в векторных обозначениях
х[лф- 1] = /Сц(п+ 1, л)х[л] + Ло(«+1, «)«[«],	(76)
где
п-\-1
п) =	— fi) dt. (77)
п
В отличие от уравнения (59) матрица /С0(л+ 1, л) имеет размер
kx 1, т. е. представляет собой вектор-функцию.
Итак, мы нашли систему k разностных уравнений первого
порядка (76), описывающих разомкнутую импульсную систему
автоматического регулирования.
в»
Глава XVII
ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 52. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
1. Определение дискретного преобразования Лапласа. Для ис-
следования импульсных систем автоматического регулирования,
а также в других прикладных задачах< связанных с решетчатыми
функциями и разностными уравнениями, используется преобразо-
вание, определяемое формулой
СО
Д*(<7)= 2	(1)
п — О
где <7 = сг-}- /а — комплексная переменная. Оно называется дискрет-
ным преобразованием Лапласа, а также &-преобразованием и со-
кращенно обозначается & {Им]}, т. е. F* (q) {f [,г]* - Функция
F*(q), определяемая формулой (1), называется изображением.
Дискретное преобразование Лапласа может быть определено и
для смещенных решетчатых функций в соответствии с формулой
F* (q, e) = ^{f[n, е]}= У e ^nf[n, в],	(2)
и = 0
где параметр е принимает значения на отрезке [О, 1].
Наряду с ^-преобразованием в теории автоматического регу-
лирования применяется так называемое %-преобразование, опре-
деляемое формулой (1), в которой вводится новая переменная
z = е?:
ОО
д*(г)= 2	(3)
п — о
2-преобразование принято обозначать так: И {f[«]| —F* (z).
Если известно изображение F* (q) некоторой решетчатой функ-
ции, то соответствующее изображение Д? (г) может быть найдено
с помощью замены комплексной переменной q по формуле 7 = Ln г:
F* (z) = F* (Ln z). Аналогично можно определить изображение F* (q)
по заданной функции F* (z): F* (q) = F* (ег). Таким образом, прин-
ципиальной разницы между ^-преобразованием и 2-преобразо-
ванием не существует. Все основные свойства 2-преобразования
могут быть получены из соответствующих свойств ^-преобразо-
вания.
Следует заметить, что ^-преобразование решетчатой функции
f [/г] можно рассматривать как обычное преобразование Лапласа
функции, состоящей из последовательности смещенных дельта-
функций:
ОО
(4)
п О
226
Применяя к этой функции преобразование Лапласа, на основа-
нии фильтрующего свойства дельта-функции (см. § 37) формально
можно получить выражение (1). Действительно,
g(t)e~qldi =5 у, Л«]6(/ -n)e~qt dt =
0	0/i==0
= 2	= У f[njeqn = ^{f[n]}.
п = 0	0	п = 0
(5)
Определим теперь область сходимости ряда (1). Для этого вы-
полним замену переменной q по формуле С = £Ж. Тогда ряд (1)
примет вид степенного ряда
Е*(<?)
<7 = -1п£
ОО
= Е
п~0
(6)
область сходимости которого определяется теоремой Коши —Ада-
мара (см. § 29). Согласно этой теореме ряд (6) сходится абсо-
лютно в каждой точке круга | £ | <; /?, сходится равномерно
в каждом круге | СI «£=	< /? и расходится в области | £ | > R,
где = lim [п]|. Переходя к переменной q, получим, что
п~» оо
ряд (1) сходится абсолютно в области | e~q | < Р. что эквивалентно
условию Re#>ln^-. Таким образом, внутренность круга сходи-
мости ряда (6) в плоскости комплексного переменного С перехо-
дит в полуплоскость Re<7>m^ плоскости комплексного пере-
менного q. С учетом этого обстоятельства сформулируем для
ряда (1) теорему, аналогичную теореме Коши — Адамара.
Теорема 1. Ряд (1) сходится абсолютно в каждой точке полу-
плоскости Re <7 > щ, сходится равномерно в каждой полуплоскости
Re q 5= Ох > <тс и расходится в полуплоскости Re q < ос, где ос =
= In lim j/Qffn] |.
n —* co
Величина <тс называется абсциссой абсолютной сходимости
преобразования (1). Таким образом, область сходимости &-
преобразования есть полуплоскость, расположенная справа от пря-
мой Re<7 = <rc. Если, в частности <тс = — оо, то ряд (1) сходится
всюду, если же огс = оо, то .^-преобразование не существует.
Известно, что сумма степенного ряда (6) F* (С) в круге схо-
димости является аналитической функцией (см. § 28). Поскольку
функция £ = также является аналитической, то и функция
F* (q) является аналитической в полуплоскости Re7>orc.
Пример 1. Найти абсциссу абсолютной сходимости «^-преобразования решет-
чатой функции / [41=1 [«]•
По формуле (1) имеем
'rto) = ^ {Цп]}= J
п=0

При условии Re q > 0 этот ряд сходится, что следует из оценки
ОО
со
е*°" = ^ё~1> где 0—Reg>0.
о
Сумма ряда, т. е. изображение функции 1 [п], равна
со
п — 0
(7)
В точках Re q ^,0 рассматриваемый ряд расходится. Таким образом, ас=0.
Пример 2. Найти абсциссу абсолютной сходимости .^-преобразования функ-
ции f [п] = еал, где а — любое вещественное число.
Имеем
^{еап}= ё~"^пеап— У е~п(9~а> е‘
п=0	п—0
(8)
Ряд сходится при условии Re(g —а)>0, т е. при Reg>a. В области Re q
ga ряд расходится. Итак, абсцисса абсолютной сходимости ос = а.
Пример 3. Определить абсциссу абсолютной сходимости ^-преобразования
решетчатой функции
/[п] =
О при п = 0,
1	1	«
— при n— 1, 2,
п
со
По формуле ^-преобразования имеем & <—I = У1 е~?л — . Ряд сходится
( Я- J jMad fl
га— 1
в области Re q > 0, поскольку выполнено условие
п — 1
(o = Re</>0).
В точке q—О ряд расходится Гем более он расходится при Re^cO Следо-
вательно, абсцисса абсолютной сходимости ос = 0. Заметим, что во всех точках
мнимой оси Re<7=0, за исключением точек ja=2jkn (k — 0, ±1, ±2, ...),
СО
ряд е—1й>п— сходится.
п== 1
Пример 4. Определить абсциссу абсолютной сходимости ^-преобразования
для решетчатой'функции
Н»] =
О при п = 0,
~ при п— 1, 2,
ОО
По формуле (1) получим	е~Чп При условии Re^>0 ряд
п~ 1
сходится, что следует из оценки
пг
со
^2*"™ г? (a = Rei?>0),

230
п2 . При Re q < 0 ряд, определяющий ^-преобразование,
П = 1
чим
об
2	1
е~^П 2
- П—1
сходится и при условии Re д = 0, так как при этом выполнено неравенство
со
2 1 р~1'ап
п*
п= 1
расходится. Например, в точках q = o-\-2knj (k — 0, ± 1, ± 2, ...), о<0, полу-
-^е~ап. Его расходимость следует из того, что все члены ряда
положительны и неограниченно возрастают. Следовательно, абсцисса абсолютной
сходимости ос=0.
По аналогии с определением, данным в § 42, будем называть
оригиналом решетчатую функцию /|п], которая равна нулю при
п<0и удовлетворяет при и^О условию
|Дп]| <Меа°п,	(9)
гдеМ>0 и ао^О — некоторые постоянные величины. Величина
о0 называется показателем роста решетчатой функции /[п].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Для всякого ори^нала f [л] изображение F* (q) опре-
делено в полуплоскости Re q > <т0 и является в этой полуплоскости
аналитической функцией *).
Доказательство. С учетом неравенства (9) имеем
СО
У е^[[п]
п=0
< У e-Re«n|/[n]|scM У e(-Re«+a0)nt (10)
п — 0	п ~ 0
со
откуда следует, что ряд У, e~^nf[n] сходится абсолютно при
п = 0
Re q > о0. В соответствии с теоремой 1 этот ряд сходится равно-
мерно в любой области Re q ох > о0. По теореме Вейерштрасса
ОО
(см. § 28) сумма ряда У e ^nf [пj = F* (<?) является аналитичес-
п — 0
кой функцией в области Re Оц > о0, а следовательно, и в лю-
бой внутренней точке области Re<7><r0. 
Из определения ^-преобразования по формуле (1) следует,
что функция F* (q) является периодической вдоль мнимой оси
плоскости q с периодом 2л. Действительно,
F* (94-2л/>)=	е-(«+2ЯуУ)"/[«]= J] e-4nf[n] = F* (q), (11)
где г —любое целое число. Поэтому достаточно изучить свойства
функции F* (q) в любой полосе шириной 2л: а0 < Im q -С аоф-2л.
*’ Заметим, что отсюда следует неравенство <з05:Ос.
231
Наиболее удобна Для этой цели полоса — л <J m 7 «С л, симмет-
ричная относительно действительной оси плоскости q (рис. 168, а),
которую будем называть основной полосой.
Мы видели, что ^-преобразование определяет аналитическую
функцию F* (q) в полу полосе Re^>oc(—л< InigsC л). Обычно
оказывается возможным распространить определение функции
F* (q) на всю полосу —л < Im л с сохранением аналитично-
сти этой функции всюду за исключением, может быть, конечного
числа точек *>. С учетом этого замечания можно сказать, что
.^-преобразование огределяет аналитическую функцию F* (q)
в основной полосе за исключением конечного числа особых точек.
В задачах, связанных с исследованием линейных систем автома-
тического регулирования, эти точки, как правило, являются полю-
сами. Если определены особые точки 9v = ov+/©v(v= 1, 2, ..., /)
функции F* (q) в основной полосе, то все остальные особые точки
определяются из соотношения
9v/- = °rv + /(°v + 2nr), где г = ±1, ±2, т = 1, 2, I.
Рассмотрим, как связаны между собой области определения
^-преобразования в плоскости комплексного переменного q и
^-преобразования в плоскости комплексного переменного z. Пре-
образование комплексной переменной q по формуле г-е^ переводит
основную полосу плоскости q на всю расширенную плоскость
комплексной переменной z. При этом отрезок мнимой оси —л<
отображается в окружность единичного радиуса г =
= eia (— л.<б#Сп). Левая полуполоса Re <7 < О плоскости q
отображается во внутренность единичного круга | z 1 < 1 плоско-
сти z, а правая полуполоса Re<?>0 — во внешность этого круга.
Функция Ё*(г), определяемая по формуле (3), является аналити-
ческой в области | z j > е°с, т. е. во внешности круга I z | =С e°z
(рис. 168, б), а после построения аналитического продол-
жения—во всей расширенной плоскости переменного г,
*> См., например: Лаврентьев М. А,, Шабат Б. В. Методы теории функ-
ций комплексного переменного. «Наука», 1965, с. 92.
232
за исключением конечного числа особых точек. Особые точки
<7v = о* + i (®v + 2лг) (г = ±1, ±2, ...) изображения F* (q) при
отображении с помощью функции г = е? перейдут в точки zv =
=еЩ-+'(Ч’+2лл) = eav+'"v (v = l, 2,	Z), лежащие внутри круга
2.	Формула обращения. Перейдем к рассмотрению преобразо-
вания, обратного по отношению к дискретному преобразованию
Лапласа (1). Это преобразование определяет решетчатую функцию
/"[;?] по заданному изображению F* (q):
f[n\ = ^{F^q)}-,	(12)
^^-преобразование определяется формулой
с + /л
f[«]=^ J. F*^e9nd4	03)
c—jn
где с>ос.
Покажем справедливость формулы (13). Полагая в выражении
(1) прямого ^-преобразования £ = е~ч, получим степенной р>яд
= £№],	(14)
п—О
где F* (£) = F* (r/)^„_Lni;- Известно (см. § 29), что разложение
аналитической функции в степенной ряд (14) единственно и коэф-
фициенты ряда определяются для данной функции F*(Q одно-
значно по формуле
/[»]= Я1 .	(15)
где F](п} (0) — производная порядка п функции F* (С) в точке t, =
= 0. Функция F*(£) является аналитической в круге |£|sg;e с,
поэтому для определения производной функции F* (С) в центре
круга £ = 0 можно воспользоваться интегральной формулой Коши
(см. § 27). Согласно этой формуле производная F*(n) (0) равна
F?W(°) = ^	(16)
Ct
где интеграл берется по окружности Сь определяемой уравнением
|£|=ес в положительном направлении. Подставляя выражение
(16) в равенство (15), найдем:
Перейдем к прежней переменной q, связанной с переменной
£ соотношением С = е-9. Заметим, что при обходе переменной £
233
окружности Ci в положительном направлении переменная q
изменяется от с + /л до с — /л. Получим:
С—fa	с -|-/Л
м-ч j	j f> (?)«'»<<?, ив»
С-р/Л	.	с—/л
что совпадает с формулой (13). Справедливость формулы обрат-
ного ^-преобразования доказана.
Для смещенных решетчатых функций формула обратного
-^-преобразования имеет вид
f[n, е1 = 2л/ J F*&’ ^)e4ndQ- >	(19)
С—fa
Вычисление оригиналов f[n] можно производить и по формуле
обращения ^-преобразования, которая может быть получена
из формулы (13) путем замены переменной z = e?:
/ [«] = si/ J F*	гП~1 dz-	(20)
1	с
Интегрирование производится по окружности С радиуса ес, где
с>ос, в положительном направлении. Принимая во внимание,
что функция Л;(г)г'г1 является аналитической вне окружности
С и на самой окружности, для вычисления интеграла (20) можно
применить теорему о вычетах (см. § 32), согласно которой полу-
чаем
л«]= £ ResF*(z)z“-1Uzv,	(21)
V—1
где z = zv —полюс функции F^(z)zn~1, лежащий внутри’ окруж-
ности С.
Вычет в простом полюсе определяется формулой (6) § 32,
в соответствии с которой
ResFt(z)z"-1|z=2 = lim {F%(z)(z — zv) z”-1}.	(22)
Вычет в полюсе кратности rv определяется формулой (5) § 32:
ResF?(2)z» >|z==z =—— lim {Fi(z)(z-z^zn-1}. (23)
v (rv-l)Iz-2vrfz v
Пример 5. Найти оригинал f [п], соответствующий изображению F* (о) =
еч
~ (е?—е~₽)2’
Выполним замену переменной по формуле г = е?:
'	(г —Zj)2’
234
здесь 2j = e ₽. Вычет в точке z = zj определив по формуле (23):
Resf*(z) z«-42 = U
= lim £_I?22_(z —?i)2= lim nzn~i^nz?~
Z-+Z, dz (Z — Zt)2	г->г.
= яе~₽
По формуле (21) получим f [ri] — ne~ Рл1.
Пример 6. Найти, оригинал, соответствующий
_______аа
~ (е?—е~Р) (еу_е-а)‘
Для того чтобы воспользоваться формулой (21),
переменную q по формуле z = e®, тогда будем иметь
изображению F*- (д) =
предварительно заменим
7? (г)—.
(z-zjr-zj’
где z, = e Р, г2 = е а.
Определим вычеты по формуле (22):
Res (й1г+°2)гП ~ I = ]im [(a^+a2)z'‘ 1 ] = (a^+fljz? 1
(z — Zj) (z — z2) |г=г, г-^Zil	z — z2	J	zt— z2
(ctz+c2)zn l I = ljm Г(atz+a2) z^l __ (a^+^) z" ~1
K (2 —Zt)(Z-z2) |г = г2	г-»г2[	г~zi	J	г2~*1
По формуле (21) получим искомый оригинал:
г..., (йй+^г)2" 1 । (“A + os)2"
/[«]=-----~---------г ~ гу—;--------=
21 — Z2	Z2 — Zi
(й1е-Р + а2) е_р (П^, (й1е-«+а2) g_a
е ₽—е~а	ё~а — е_Р
 Иногда оказывается более удобным определять вычеты, не пере-
ходя к ^-преобразованию. Тогда формула (21) принимает вид
f [«] = Е Res F* (q) е<^ \q^	(24)
V=1
где qv = In zv (v = 1, 2, ..., /) — полюсы изображения F* (q). Общая
формула для определения вычетов в полюсе qv кратности rv 1
может быть найдена из формулы (23) путем замены переменной
г в соответствии с равенством г ==eq:
Res Г* (t?)^'*-1 |?=?v==
= —5— lim -^77-377-, {F* (?)(e? — e‘7v)r'’e-9tn-1)}.	(25)
(rv-l)l Ч-^q^de4 v 7
Формулы (24), (25) позволяют определить оригинал f [п] непосред-
ственно по изображению F* (q).
3.	Дискретное преобразование Фурье. Рассмотрим преобразо-
вание решетча гых функций, которое является частным случаем
SF-преобразования, но тем не менее имеет самостоятельное зна-
чение. Это преобразование позволяет распространить частотные
методы исследования, разработанные для непрерывных систем
автоматического регулирования, на дискретные системы.
235
Пусть абсцисса абсолютной сходимости ^-преобразования (1)
решетчатой функции /[>;.] отрицательна: ос<0. Тогда изображе-
ние F* (q) существует и является аналитической фу нкцией в пра-
вой полуплоскости плоскости q и на мнимой оси Полагая в фор-
муле (1) q = /®, получим
F* (/®)==	(26)
п = 0
В этом случае формула обратного ^-преобразования (13) спра-
ведлива при с = 0:
0 + /’л	л
f = 2S/ J /?*	е'’“"	= 2л’ J F*	в^П <27)
0—in	— л
Преобразование, определяемое формулой (26), является аналогом
преобразования Фурье обычных функций действительного пере-
менного. Это преобразование будем называть дискретным преоб-
разованием Фурье решетчатых функций. Функцию F* (/©) можно
назвать спектральной характеристикой решетчатой функции f [п].
Выражение (27) определяет обратное дискретное преобразование
Фурье.
Преобразование (26) можно представить следующим образом:
F* (j®) = У, /[и] cos ©и — / У f[n]sinffin (28)
п~0	п=0
Введем обозначения для вещественной и мнимой частей функции
F* (/©):
Re F* (ja) = У f [n] cos ®n = U* (ffi),	(29)
n=0
Im F* (j®) = — У f [n] sin ®n — V* (ffi).	(30)
/1 — 0
Из выражении (29) и (30) видно, что вещественная часть функ-
ции F* (i®) — четная, а мнимая — нечетная. Поэтому значения
функции F* (y'ffi), соответствующие положительным и отрицатель-
ным значениям параметра а, являются комплексно-сопряжен-
ными, т. е.
F* (fa) =* F* (— /©).	(31)
Следовательно, функция F* (/©) полностью определяется своими
значениями на отрезке	'
Умножая левую и правую части равенства (29) на cos «от
и интегрируя это равенство по переменной © от 0 до л, получаем
л
J t/* (a) cos ®tn d® (т — 0, 1, ...)	(32)
с •
236
Умножим теперь левую и правую части равенства (30) на sin Ют
и проинтегрируем в тех же пределах:
л
2 С
/[т] = — - V* (й) sin Gm dG (т = 1, 2, ...).	(33)
о
Формулы (32) и (33) определяют коэффициенты ряда Фурье (§ 34)
вещественных периодических функций U* (й) и V* (а). Таким
образом, значения решетчатой функции f [п] играют роль коэф-
фициентов ряда Фурье для вещественной или мнимой части
функции F* (jG).
4.	Дискретный ряд Фурье. Специального рассмотрения требует
разложение периодических решетчатых функций в ряд, анало-
гичный ряду Фурье. Это разложение используется, например,
при изучении периоди-
ческих процессов в не-
линейных импульсных
системах автоматическо-
го регулирования. Рас-
смотрим периодическую
решетчатую функцию
/[п] с периодом М, рав-
ным целому числу
f[n + kM ] = /[«],	(34)
где k = 0, ± 1, ±2 ....
Пример такой функции
с периодом М = 8 при-
веден на рис. 169. Вели
чина ® = ду называется
частотой периодической решетчатой
функции /[п]. Для периодической решетчатой функции справед-
ливо разложение, аналогичное ряду Фурье:
N
Пп] = у+ У ak cos kGn-\-bk sir kGn.	(35)
Л=1
Особенностью этого разложения является то, что в правой части
разложения стоит конечная сумма гармонических решетчатых
функций. Число слагаемых N равно целой части от числа у, т. е.
{М/2, если М четно,
(М — 1)/2, если М нечетно.
(36)
Равенство (35) можно рассматривать как систему М алгебраиче-
ских уравнений при n = Q, 1........ М — 1 относительно 2N +1
неизвестных а0, aJt ..., aN, blt ..., bN. Если M — нечетно, то по
условию (36) М = 2N 4-1 и, следовательно, число уравнений
совпадает с числом неизвестных. Если М — четно, то M=2N
и число уравнений на единицу меньше числа неизвестных. Однако
237
в этом случае й> = 2лЛИ - n/N. Следовательно, sin N®n =
= sinAf-^-n = O для всех п, поэтому система уравнений (35)
в данном случае не содержит неизвестного bN. Таким образом,
в обоих случаях число уравнений совпадает с числом неизвест-
ных, которые можно определить, если известны М последова-
тельных значений решетчатой функции f [0], ..., f [Л4 — 1 ].
Используя формулу (24) § 25, можно записать разложение (35)
в виде
N
f[n]= 2 ckei^,	(37)
Л=—/V
где ck = -^=^'- (k—l,	N),	— c-k — Ck. Если М — четно,
то
Сдг == C-JV = -у.	(38)
Для того чтобы найти коэффициенты разложения ск, умножим
обе части равенства (37) на функцию e~iran, где г —целое число,
изменяющееся от — N до Л7, и просуммируем по п в пределах
от 0 до М — 1:
М — 1	_	М — 1 N
у, /[ц]е-/'“"= у у сАе/
п=0	п~0 k~—N
правой части, будем иметь
N
__ej(k — r)aM
—	1 _»/(*-И<о
k——N	1 е
Изменяя порядок суммирования в
N	М — 1
у1 Ck 2 е/(Л— г) ап _
k=—N п=0	I
Поскольку й = ~, то при k=£r справедливо равенство
1 _рЦЬ—г)а>М
—---------^- = 0.
1 __€i(fr—И<о
м — 1
Если k — r, то ’>ап = 1 и, следователи! У е/(*-и<оп =Д4.
.	п=0 ч
Таким образом,
м — 1
сг = ^ 2	(r= — N, — (V-J-l, ...
n=0
.... —1, 0, 1, .... 7V-1, N),	(39)
где число N связано с периодом М соотношением (36). Совокуп-
ность коэффициентов сг можно назвать комплексным частотным
спектром периодической решетчатой функции /[п].
238
Рассмотрим, какой вид принимает формула (39) для симмет-
ричной периодической функции f[n], для которой период М четен
и выполняется условие
f[n + M/2]^-f[n]	(40)
для всех значений п (см. рис. 169). В этом случае
У (J [nJ е~ iran — f [n] е~ir^ne-=
п=0
= }й 2 fl^]e-iran(l-e-frn).
п = 0
Отсюда следует, что коэффициенты сг, соответствующие четным
индексам г = 0, ±2 ..., равны нулю, а коэффициенты, соответ-
ствующие нечетным индексам, определяются формулой
N-i
2	(г = ±1, ±3, .... ±/V).	(41)
п = 0	,
Коэффициенты с±Л равны нулю, если N четно. Если же N
нечетно, то из формулы (41) получим
N — I
2	(42)
н = 0
Итак, разложение симметричной функции /[f/J в ряд (37) будет
содержать только нечетные гармоники. В этом случае принято
обозначать ряд (37) со штрихом у знака суммы:
N
S' с^1кап- z (43)
k=~N
f
Для четного W суммирование производится в пределах от —Af-J-l
до /V—1, поэтому выражение (43) можно записать следующим
образом:
Nt
f[«]= 2/ c*e'ton»	(44)
*=—Л»,
где
.	1 N — 1, если N четно,
I (V,	если N нечетно.
239
§ 53. СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
1. Линейность ^-преобразования. Дискретное преобразование
Лапласа устанавливает соответствие между решетчатыми функ-
циями-оригиналами f[n] и их изображениями F* (q). Различ-
ным операциям, совершаемым над решетчатыми функциями, соот-
ветствуют при этом определенные операции, совершаемые над их
изображениями. Начнем рассмотрение этого вопроса с теоремы
о линейности ^-преобразования.
Теорема 1. Если решетчатые функции Д[/г], /2[«], /Ди]
являются оригиналами и их изображения есть соответственно
F* (q), Ft(q), ..., F%(q), то справедливо равенство
/ k	\ k
‘v=l	>	V=1
(1)
где Zv — произвольные постоянные.
Это утверждение легко доказать, подставляя выражение
* /
У, Wv[«] в формулу ^-преобразования (1) § 52.
v= 1
Рассмотрим пример, в котором используется свойство линей-
ности ^-преобразования.
Пример 1. Найти изображения тригонометрических решетчатых функций
sin con и cos con (п 0).
В соответствии с теоремой 1 имеем
Используя формулу (8) § 52, получаем окончательный результат:
еЧ sin со
е2? — 2еЧ cos со ф1
& {sin con] =J.-
(2)
Аналогично найдем
& {cos con} =‘-	+ {e-HU —--—Iй .	(3)
z	е29—2е9со8соф1
2. Смещение в области оригиналов и в области изображений.
Прежде чем формулировать теорему о смещении в области ори-
гиналов, заметим, что значения смещенной функции — оригинала
/[пф/г] (^>0 —целое число) могут быть отличными от нуля
при отрицательных значениях аргумента /г = 0, —1, ..., —Лф1-
В то же время
f[ri-/;]e0 для п = 0, 1, .... k~ 1.	(4)
С учетом этого замечания докажем следующую теорему.
240
Теорема 2. Если функция [ [и] является оригиналом и F* (<?) —
ее изображение, то FF-преобразование смещенной решетчатой
функции определяется равенствами
{*—1	1
F*(0~S	(5)
m = 0	/
{f[n-k]}=e^kF* {q). -	(6)
Доказательство. Воспользуемся формулой (1) § 52:
& tfh + ЭД	S e 4nf[n + k]^ 2 е^к-тф[т] =
п — 0	tn—k
= eJmf[rn]- £	=
\т — 0	т = О	)
(	k~l	1
>	_= egk Ь* (?) _ у е Qtnf
I	т — 0	'
Полученное равенство доказывает справедливость формулы (5).
Докажем теперь формулу (6). Принимая во внимание тожде-
ство (4), получаем
& {Цп-Л]} = 2 f[n-k]eqn^ 2 f[n-k]e
п—0	n=k
= е~чк 2 f [т] е^т = е qkF* (q).
т==0
Таким образом, формула (6) справедлива. 
Если, в частности, равны нулю значения решетчатой функции
/[0], /[1], ..., ц/е-1], то вместо формулы (5) мы получим
&{f[n + k]}=e™&{f[n]}.	(7)
Пример 2. Определить ^-преобразование функций 1 [n—k], 1 [нф-/г]. где
k — положительное целое число.
По формуле (6) найдем
Sr{ltn-fe]} = e-9ft^r{4n]}=e-?*-^T = ^^.	(8)
Во втором случае следует воспользоваться формулой (5), так как значения
рассматриваемой решетчатой функции при п — 0, 1, k—1 не равны нулю;
получим
{k—\	\
& {1 [и]) — У 1	=
т— 0
= ев *	pQi;	------
еЧ-\ I—el — 1"
Теорема 2 позволяет определить изображение периодической
решетчатой функции. Рассмотрим ^-преобразование периоди-
ческой решетчатой функции q>[/г] с периодом М. Функция tp[//]
241
удовлетворяет условию <р[п] = <р[п4-kM], где k — положительное
целое число. По формуле (5) найдем
(	Mk—\	т
{ф[«]} = {ф[п + ^Л4]} =е«/гЛЧФ* (<;) - У	(9)
v	г=о	'
где Ф* (<?) = -®'{ф[п]}. Равенство (9) можно переписать следую-
щим образом:
Mk — 1
Ф*(<7)(1~е9Л1А) = -e«Mk £ e~9'q>[r].	(10)
। =о
Положим в этой формуле k = 1, тогда
qM Л1~1‘
I £ ^гфИ-	(11)
z	г=0
Определим теперь функцию f [п], совпадающую с функцией
<р[п] на протяжении одного периода в точках /г = 0, 1, .... М — 1
и равную нулю при всех остальных значениях аргумента и.
Тогда мы сможем определить изображение периодической функ-
ции <р[/г] через изображение функции f [п] по формуле (11), кото-
рая примет вид
Ф	(12)
где F*(9) = ^ {/[/г]}.
Пример 3. Найти ^-преобразование решетчатой периодической функции,
изображенной на рис. 169 (М— 8):
/[«]== 1 [п]—2-1 [п—4]+1 [п—8]
Учитывая формулу (8), получаем
, . е® 2е-4«е? ,	еЧ (1—е~4®)2
кч> еЧ—\ е<1 — \ еЧ-\ е«—1
По формуле (12) найдем изображение заданной периодической решетчатой
функции f [п]:
ф* (п> ... 689 e9U ~е~49)2 = е9^9-!)
w е8®—1	е«—1	(в?—!)(>+«*) ’
Перейдем к теореме о смещении в области изображений.
Теорема 3. Если решетчатая функция /[п] является оригина-
лом и F* (д) — ее изображение, то справедливо равенство
F* (q±a)~=^ {e+aflf [n]},	(13)
где а — произвольное число, комплексное или вещественнее.
Доказательство. Примейяя формулу ^-преобразования(1)
§ 52, получаем
F* (q±a)— У, e~(‘f-a)n/:[n]= У е~‘1П (e+anf [nJ) —	{е+ ап/[иJ},
П 0	0
что и доказывает теорему. 
242
Пример 4 Найти изображения решетчатых функций f[n]=ean cos an,
еал sin ап По формуле (13) имеем
—1	e?-oicosw	е2? —е9+а cos о	....
e2f?-ai_2«?-c<cos й-|-1	е2? — 2е?+“ cos ы + e2ffi	'
Аналогично найдем
. — 1 eQ+a sin и	,1
leirt sm con} =-------=------- (15)
еэд_ 2e9+“cos<o+e2a
3. Изображения конечных разностей и сумм решетчатых функ-
ций. Справедлива следующая теорема об изображении первой „
разности решетчатой функции.
Теорема 4. Если решетчатая функция /[/г] является ориги-
налом и F*(q) — ee изображение, то первая разность А/[п] функ-
ции f [п] также является оригиналом, причем
- 1)F* (?) - e*f [0].	(16)
Доказательство. Используя теоремы 1 и 2, а также опре-
деление первой разности, получим, что А/[п] — оригинал и
{Л/ [«]} = {f [п +1 ] - f [«]} = ео {F* (а) - f [0]} - F* (?) =
==(е?-1)Е*(?)-^/[0],
что совпадает с формулой (16). 
Если функция f [/г] допускает ^-преобразование, то ее разность
произвольного порядка k также допускает ^-преобразование,
поскольку разность АЛ/[п] представима в соответствии с форму-
лой (6) § 48 в виде линейной комбинации решетчатых функций
f[n], f[n+l], ....	При этом справедливы следующие
формулы, которые могут быть получены путем многократного
применения формулы (16):
& № [»]} = (<?? - О2 Р (?) - е9 № - О / [0]- в9 bf [0],
& {АV [»]} = (е? - 1 )3 F* (?) - е? (е? - 1 )2 f [0] -
— е9 (е9 — 1) Af [0] — A2f [0],
k— i
& {A* f [n]} = (e9 - 1 )k F* (?) - e9 (<?9 - 1)fclv Av f [0].	(17)
v = 0
В том случае, когда решетчатая функция обращается в ноль
при п — 0, 1, ..., k— 1, формула (17) упрощается:
& К/h]} = (*?’- О*Е* (?).	(18)
Примет 5. Найти ^-преобразование первой разности экспоненциальной
решетчатой функции е«п.
По формуле (16) получим
{Деаи}	Р .
243
Следующая теорема определяет изображение суммы значений
решетчатой функции.
Теорема 5. Если решетчатая функция f[n] является оригина-
п— 1
ло5и и F* (q) — ее изображение, то сумма	также является
т=0
оригиналом, причем справедливо равенство
п—~ 1
т=0
_ F*(q)
еЧ—\ •
(19)
^2
Доказательство. Воспользуемся равенством (см. § 48)
Л2 f[^] = f[n] (» = 1. 2, ...) 
т=0
Применяя к обеим- частям этого равенства ^-преобразование
и учитывая теорему 4, получаем
& {/[«]} = /д	/ [m]l = (е? _ 1) &	/ [m]l.
' т=0	)	(m=0 J
Из найденного выражения следует формула (19). Осталось доказать,
п— 1
что сумма ЕМ является оригиналом. Учитывая, что для
т—О
решетчатой функции f [/г] выполнено условие (9) § 52: [/[/гЛсМе0»"
(ои>-0), будем иметь
п—1	п—1
у /[т] -СЛ1 У еп°та=Л4 <Л41е°°п рИг
т~0	т=0	6
п— 1
Таким образом, условие (9) § 52 выполнено и для суммы V Дт].
т=0
Следовательно, эта сумма является оригиналом. 
Из теоремы 5 следует, что ^-кратному суммированию функ-
ции f [п], являющейся оригиналом, соответствует деление изобра-
жения F* (q) = & {f [п]} на (eg — l)ft, т. е.
п2—1
2 и«1]
п = 0
(20)
Пример 6. Найти изображение степенной решетчатой функции nk.
п— 1
При k= 1 образуем сумму 1 [т] = п. Применяя равенство (19), определим
т =0
гП— 1
km=0
1 Im] =^{п}=-А-г

(21)
244
При k — 2 справедливо равенство
н—1	п—1
Ат2= 2 [(«+1)2-тй1 =п2.
т=0	т=0
п—1	п—1
с другой стороны, 2 [(т+1)2-от2] = 2 (2т+1).
/Л=0	/72=0
По формулам (19), (21) получим
,т==0
2
fi — 1
^{n} + ^{n} =
2е?
(fi — I)3
fi
(fi -I)2
.итак
& {п2}=
fi(fi+l)
(fi— I)» '
fi (е? + 1) .
(fi— I)3 ’
(22)
Повторяя подобные рассуждения, можно найти изображение степенной функ-
ции п'1, которое имеет вид
fi
&	= (fi_\^r Kk-i <е?)>	(23J
где Rk-i (е?) — полином относительно е® степени k —1.
Пример 7. Найти изображение факториальной функции
Рассмотрим сначала функцию п,2> —п(п—1)	Учитывая соотношение
п—1	п—1
2 Дт'2> = 2 [(m+D'2’— m<2’| = я'2’«формулу для разности факториальной
m=0	т=0
функции \т 21 — 2т, получаем
т—0
2еЧ
(fi — I)3 ’
(24)
п— 1
Для функции п<3,=п (п — 1) (п—2) аналогично найдем &т,3,=п'3>; &т,3>—
.	т~0
— Зт(2) Используя эти соотношения, определим изображение функции п(3):
Для произвольного k 1 получим
k\pQ
(gg_1)ft+1 	(26)
4. Умножение изображений и оригиналов. Определим свертку
f[ п] решетчатых функций Л[гг] и f2[n] по формуле
п	•
f l«] = Е А [т].	(27)
zn = 0
С учетом этого определения сформулируем следующую теорему.
245
Теорема 6. Если решетчатые функции fj [п] и /2[д1 являются
оригиналами, то свертка этих функций также является оригиналом,
причем изображение свертки равно произведению изображений
Ft(q) и F2(q), т. е.
(п	‘	1
У /1 [n - m] f2 [m] = Ft (q) F% (q),	(28)
(m=0	J
где F?(<7)==^!A[n]}, F2* (q) = tf2 [»]}.
Доказательство. Замечая, что верхний предел суммы (27)
может быть заменен бесконечно большим, поскольку /у [п — т] == О
при m>n, получим с учетом формулы (6)
z СО	\ СО
У ^-^[4 = 2 FUq)^mf2[m] = Ft(g)Ft(q),
(m = О	J т = О
что совпадает с равенством (28).
Остается доказать, что свертка функций, являющихся ориги-
налами, также является оригиналом. Пусть выполнены условия
IfiMflCMie01", ;f2[n]| <" М2е(Ьп, тогда можно получить следую-
щую оценку для свертки функций /у[п] и f2[n]:
У, /у [п — т] [т] сё У, M1/U2e°<<n-m)e°=nI.
т=0	т=0
Выберем о0--наибольшее из чисел щ и о2, тогда полученное
неравенство можно продолжить следующим образом:
У е°^п~т^ес‘т MiM2 У	= ЛДЛ12<?О«П (n +1).
т=0	т=0
Для любого сколь угодно малого числа ejssO найдутся такие
потожительные числа Мя, N, что при п> N выполняется нера-
венство п + 1 < Л43еЕ". Следовательно, е”"" (п + 1) < /И3е(о“+£)п;
У fi[n~m]f2[m]
т — 0
< М1М2Мяе^+^п.
Из этого неравенства следует, что свертка функций /у[п] и /2 [п]
является оригиналом. 
Пр «мер 8. Найти ^-преобразование свертки решетчатых функций /х (nj =
= 1 [п] и f2 [п]=<
По формуле (28) с учетом выражений (7; и (8) § 52 получим
П	\
VI	I	рЧ
У 1 [т] e-o- I = —------------	,
1	1	( efl— 1	еч—е а	.
j -=о	J
Пример 9. Найти оригинал, соответ'твующий изображению
F*	(ё? —e '
246
i
Представим эту функцию в виде произведения:
$
= (е?—е «) ‘ (е?—е~“) ’
Определяя оригиналы, соответствующие сомножителям по формуле (8) § 52,
найдем оригинал, соответствующий их произведению по формуле (28):
п
2 е~ате~а e~“'’(n+1)-
т = 0
Рассмотрим теперь теорему об умножении оригиналов.
Теорема 7. Если решетчатые функции Д [п] и Д[п] являются
оригиналами, то их произведение f [n] = f1 [п] /2 [«] также является
оригиналом и выполняется равенство
с+/л /
^ {/[«]}	5 H(s)H(q-s)ds,	(29)
ч c—jsi
где Fl(q)=& {/i[«]}» F* (q)=& При этом Re «у—о2>с>о),
где оу и о2 — показатели роста функций fi [п] и fa [п] соответ-
ственно.
Доказательство. Поскольку решетчатые функции /у[п]
и ft [я] являются оригиналами, выполняются неравенства
।/2 [«] I <	тогда | Д [и] /2 [и] | = | f [и] | <
< ТИ1Л12^<СТ’ +°*>л = Ме°°п, где М = ЛДЛД; 00 = 0!-]- о2. Отсюда сле-
дует, что функция f[n] является оригиналом с показателем
роста о0.
Соотношение (29) можно получить непосредственным приме-
нением ^-преобразования к функции /[п]. Используя формулу
прямого ^-преобразования (1) § 52, а также формулу обраще-
ния (13) § 52, получаем
ОО
№]А[п]} = 2
ОО	С-р/Л
^2^ W S ^(^1^] =
П = 0	С— /л
f-FM	ОО	С 4- /Л
= W $ F1(S) 2 r(ff“s)n№Jdi = — J Ft (s) F% (q - s) ds,
c—pi	n = 0	c—jn
что совпадает с формулой (29). Использованная здесь формула
обратного ^-преобразования справедлива при условии О оу.
Изменение порядка суммирования и интегрирования, которое мы
применили в процессе вывода формулы (29), — законно, если
сходится равномерно ряд У}	Для этого должно со-
п—О
блюдаться условие Re (<7 — s) > о2, или RescRey—ua. Учитывая
247
неравенство Res>c>a1, получим условие
содержащееся в формулировке теоремы. Заметим, что в выраже-
нии (29) можно выбрать величину с сколь угодно близкой к ог.
Поэтому изображение F*(q) = & {Л[П1/2[«]} определено в обла-
сти Reg>o0. 
Выражение, стоящее в правой части равенства (29), является
сверткой в комплексной области. Таким образом, произведению
оригиналов соответствует свертка изображений.
5. Дифференцирование и интегрирование изображений. Рас-
смотрим теорему о дифференцировании изображения F* (q) по
аргументу q.
Теорема 8. Если решетчатая функция /[п] является оригина-
лом и F* (q) — ее изображение, то справедливо равенство

(30)
Доказательство. Дифференцируя почленно ряд (1) § 52
по аргументу q, получаем
оо	оо
п^=0	п—0
со
п=0
что совпадает с равенством (30). При выводе равенства (30) мы,
однако, изменили порядок операций дифференцирования и сум-
мирования, что должно быть обосновано. Почленное дифференци-
» 00
рование ряда e9"f[n] возможно, если ряд, составленный из
п=0
производных, сходится равномерно. Для того чтобы убедиться
в этом, определим абсциссу абсолютной сходимости ^-преобразо-
вания (30). В соответствии с теоремой 1 § 52 имеем ос =
= Inlim |Hn] I- Рассмотрим предел, стоящий под знаком лога-
П->0О V
рифма:
Нт | f [n] I = Пт п" {У |f[n]| = lim yQ f [n] | ’
n—>00	n->co	n-»oo
Следовательно, абсцисса абсолютной сходимости ряда
ОО
2 е~9п[[п]п совпадает с абсциссой абсолютной сходимости
п = 0
ОО	со •
ряда У e9nf[n], поэтому ряд У e-9"f[n]n сходится равно-
п=0	« = 0
248
мерно в области Re9^o0><jc. Таким образом, почленное диф-
ОО
ференцирование ряда У,	обосновано. 
п = 0
Обобщением формулы (30) является следующая формула, опре-
деляющая производную изображения F* (q) порядка
^1 = ^{(-_п)^[п]}.	(31)
Пример 10. Найти с помощью формулы (31) ^-преобразование степенной
функции п*.
Имеем
В частности,
е?(е?—1)—е2«
(е?—I)2
еЧ
(еЧ — I)2’
d , е? 1	еЧ(еЧ~[)2-~еЧ2(еЧ—1)еЧ	^(e’-pi)
dq\(e4— 1)2)~	(еЧ — I)4	~(е?—1)3‘
Пример 11. Найти изображение решетчатой функции пеип. По формуле
(30) получим
d	d еЧ
1	' dq	dqe4-^eu
еЧ (е?_еа)_е?е? еа+«
“	(е? —еа)2 — (е<?—еа)2'
Наряду с теоремой 8 находит применение теорема о дифферен-
цировании изображения по аргументу е'?.
Теорема 9. Если решетчатая функция /[«] является ориги-
налом -и F* (q) — ее изображение, то справедливо равенство
e-9d-^^^{nf[n]}.	(32)
Доказательство. Дифференцируя изображение F* (q) по
аргументу е?, получаем
ОО	ОО	со
2	= 2	2 ne~g^f[n]^
n=0	n~0	n = l
co
= 2 (m+l)^/[m+l]-^{(n+ !)/[«+ 1]}.
m= 0
Обоснование допустимости почленного дифференцирования под
знаком суммы может быть произведено так же, как в преды-
дущей теопеме. Учитывая теорему 2 о смещении в области ори-
гиналов, эту формулу можно записать в виде (32). 
Дифференцируя изображение k раз по е~д, получим общую
формулу
=	(33)
249
Учитывая теорему 2, ее можно переписать следующим образом:
=	(34)
Пример 12. Определить изображение факториальной функции /	=
Имеем
& (n-*>} = jgZ {n<k> j [w]} = e-?A	=
_„ь d* ( 1 j й!е~?»	k\e4
е d(e~l)k\i^e-g] — (i_e-<7)*+i — (g? _ i)fe+i>
что совпадает с формулой (26).
Пример 13. Определить изображение функции f [n] =n,ll,ena.
По формуле (34) получим
{п<>1,епа} = е ч>< а(е-ду {e9_gU} = (e9__eap+i •	(35)
Перейдем к теореме об интегрировании в области изображений.
Рассмотрим функцию непрерывного аргумента f(t) и соот-
ветствующую ей решетчатую функцию f[n, в]. Будем предпола-
гать, что / [0] = f (0) — О и существует предел
lim ©= lim ELSl,	(36)
f_»0 < Е—о 8
который примем за значение решетчатой функции при п — 0
и условно обозначим	Справедлива следующая теорема.
Теорема 10. Если функция f[n] является оригиналом, обра-
щается в ноль при п—0 и предел (36) существует, то деление
f [az] на п соответствует интегрированию изображения F* (q)
по контуру, соединяющему точку q с бесконечно удаленной точ-
кой и принадлежащему области аналитичности F* (д):
со
+ ' <37>
Q
Доказательство. Интегрируя равенство F* (q)~
00
= У, e~gnf[n] по контуру, соединяющему точку q с бесконечно
/2=1
удаленной точкой и принадлежащему области ReQ>ac, где
о0 — абсцисса абсолютной сходимости, получаем
00	со со	•	со со	оо
J/?*(9)^== j ^e~Vnf[n]dq= 2 p-?nf[Az]d?=
Q Ч=	Ц tl~ 1	П = 1 Q	П-1
(38)
Перестановка операций суммирования и интегрирования законна,
поскольку при п^=1 выполняются неравенства <H[n]I<
250
co
< Л4е°с" и, следовательно, ряд V e~qn сходится равномерно
Ч== 1	•
в любой области Re<7^o0>oc. Прибавляя величину “-^ге_с
к обеим частям равенства (38), получаем
ОО
<7
что совпадает с формулой (37). Н
Если, в частности, предел (36) равен нулю, то формула (37)
приобретает следующий вид:
ОО
р* О/Ж	(39)
Q
Рассмотрим два примера применения этой теоремы.
Пример 14. Задана функция /[«] —sinton. Определить	j-.
В данном случае существует предел lim чп£12=и, поэтому справедлива
е-.О 8
формула (37), в соответствии с которой
__ сс	_ _
rn„ fsin con) С ffl sincocto .	, sin со , —
2Р \-----? == I ------=----- + со = arctg---—+(о.
( п )	. £4 — 2e?cos (о +1	гЧ — costo
?
П[ имер 45. Пусть f[n] = l[n—1]. Найти
Функция f[n, е] = 1[п—1, е] тождественно равна нулю при n=0; Osg
< 1. По формуле (39) получим
ОО
(1 [2_-_1Й _ С _1 d Ln еч_ _	(40)
(nJ J е? — 1 еЧ — 1	'
<7
Формулу (38) можно обобщить на случай деления оригинала
f[n] на степенную функцию nk для произвольного целого числа
k^l. Если ф)нкция f [и] удовлетворяет условию теоремы 10, то
справедлива формула
СО	СО	оо
j...p*(<?)w=2 е"п^- ’
<7	<7	п— 1
Здесь интегрирование происходит по контуру, принадлежащему
области аналитичности изображения Е* (q).
6. Теоремы о предельных значениях изображений и оригиналов.
Рассмотрим вначале теорему о предельном значении оригинала
Теорема 11. Если решетчатая функция f[n] является ориги-
налом., причем изображение ее первой разности является анали-
251
тической функцией в правой полуплоскости и на мнимой оси, то
справедливо равенство
lim F* (<?) (е? — 1) = lim f [n],	(42)
?-*0	а->оо
где F* (q)~& {/[»]}.
Доказательство. Воспользуемся соотношением
п—1
/[«]=£ Af[/n]+/[O],
т=0
из которого следует, что
оо
lim f[n]= 2 A/[m] + /[0],
п-^-со	m = 0
если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится. Рассмот-
рим теперь изображение первой разности функции f [п]. По фор-
муле (16) получим: & {А/[n]} = J1, erQn Д/[п] = (ег — 1)F* (q)—
п — 0
— e9f[OJ- По условию теоремы это изображение является анали-
тической функцией в правой полуплоскости и на мнимой оси.
Следовательно, оно является непрерывной функцией в указанной
области, и предел изображения при q-+Q равен сумме соответ-
ствующего ряда при q — Q, т. е.
lim {(е«— 1)F* (q) — е’/[0]}= У, Д/[т] = lim f[n] — /[0],
<7-0	zn=0
откуда следует равенство (42). 
Заметим, что требование аналитичности изображения первой
разности в правой полуплоскости и на мнимой оси является су-
щественным. Рассмотрим, например, функцию /[«] = sin йп, изо-
бражение первой разности которой имеет особые точки на мни-
мой оси. Имеем
lim (еч — 1) F* (q) = lim (<?’ — 1)-е? sin -= 0.
9_о	<7-0	е*?—2e5cos© + l
Однако предел lim sin юн не существует. Следовательно, доказан-
п -> со
пая теорема в этом случае не верна.
Перейдем к теореме о предельном значении изображения.
Теорема 12. Если решетчатая функция /[п] является ориги-
налом и имеет изображение F* (q), то начальное значение /[0]
определяется по формуле
lim F* (<?) =/[0],	(43)
<7—>оо
где предел при q-t-oo берется по любой кривой, принадлежащей
области аналитичности изображения F* (q) и удовлетворяющей
253
<
условию — у + е < arg q < — е, где 8 — сколь угодно малое по-
ложительное число.
Доказательство. Представим основное соотношение (1)
§ 52 в виде
СО
^*(<7)=s е-^И + МО].	(44)
П=1
Поскольку функция f[ri] является оригиналом, то удовлетво-
ряется условие I/[н]|<Ме°'п, где оу — показатель роста. Тогда
сумма, стоящая в правой части равенства (44), допускает сле-
дующую оценку:
V efnf[n] < У Me(Oi~°)n — M  (Re</= о>nJ. (45)
п=1	1-еа‘- °
Если теперь точка q стремится к бесконечности, оставаясь
внутри угла — 2 + е<arg<7— в, то действительная частью
неограниченно возрастает: Re<7 = o->oo. Правая часть неравен-
ства (45) при этом стремится к нулю, а следовательно, и левая
его часть также стремится к нулю. Из равенства (44) при этом
получим, что
lim F* (<7) = /[0]. 
q —»со
7. Сумма квадратов значений решетчатых функций. При реше-
нии многих практических задач находит применение следующая
теорема.
Теорема 13. Если решетчатая функция /[/г] является ориги-
налом, причем абсцисса абсолютной сходимости ос &-преобразо-
вания этой функции отрицательна, то сумма квадратов значений
функции /[п] определяется равенством
со	с 4- /Л
2/2[«]=2л] j F* (s)E*(—s)ris,	(46)
n=0	c—jn
где F* (s) = & {/[«]}, причем c > oc.
Доказательство. Справедливость равенства (46) легко
установить, используя доказанные выше теоремы. На основании
формулы (29) получим
« + /Л
J F* (s) F* (q — s)ds.	(47)
с — /л
При этом Re — о0 > с > о0, где о0 — показатель роста функции
/[«] Абсцисса абсолютной сходимости этого ^-преобразования
может быть оценеца так же, как при доказательстве теоремы 7;
253
она удовлетворяет условию пс1<2а0. Выбирая ао<0, получим,
что ос1<.0. Следовательно, изображение (47) является аналити-
ческой функцией в правой полуплоскости и на мнимой оси.
Из непрерывности изображения в точке q — О следует, что
с + ]Л ~	c-j-jn	оо
lim A j F*(s)F*(q-s)ds=± j F* (s) F* (-s) ds = J /W
c—jn	c—jn	n=0
что совпадает с равенством (46). 
Положим, в частности, с = 0 в формуле (46), что возможно
благодаря условию <; 0. Будем иметь
со	/Л	Л
2 f2= 2Й/ J f F* <“ № di& = J I f * 0’®) I2 dffi- <48>
rc— 0	— /л	— л
Найденное выражение представляет собой аналог равенства Пар-
севаля, известного из теории преобразования Фурье (см. § 36).
Пример 16. Определить сумм^ ряда У е. гап, где а > 0.
п — 0
В соответствии с формулой (48) получим
еГю 2	_ If de>
еуы_е-а ~ 2л J (е/й_е-а)(е-/5_е-а)‘
—л
Введем переменную г = е/“. Тогда отрезок интегрирования —л л пе-
рейдет в окоужность С единичного радиуса с центром в начале координа™ и
мы будем иметь
л
1	С________dm______________1 (*	dz
2	л J (е/<о е a) (е-/й е~а)	2 л
—Л
_ 1 С__________dz_______
2л/ J (г—е-а)(еа—г)е~а'
Этот интеграл можно найти, используя теорему о вычетах (см. § 32).
Внутри единичной окружности подынтегральная функция имеет единственный
полюс z=e~c. Используя формулу (6) § 32, найдем
| (г—<Г“) (е“—z) = 2л/' ReS(2—е-«)(е«—г) [=е~а = 2л/ е«—е~«‘
Таким образом.
е 2л/е а j (г — е"а)(еа—г)	1—е аа"
л=о	с
Полученные в примерах этого параграфа соответствия между
оригиналами /[л] и их изображениями F* (q) = {f [п]}%сведены
в табл. 3.
2М
Таблица 3
Таблица оригиналов и их изображений для дискретного
преобразования Лапласа
As	Оригинал	Изображение	№	Оригинал	Изображение
1	l(n|	e«	7		k\ ея
		el-I			
2	ean	ei	8	ean sin con	e?+a sin to
		ei—ea			e2?—2e?+acosto+e2a
3	sin con	el sin to	9	ean cos ton	e—e?1 a cos to
		— 2f? cos <o-|- 1			e2? — 2e?+a cos to -f- e2a
4	cos con	e2'/ — e’l cos to	10		ея+а
		e2?—2еЯ cos co + 1			(е<!^еЧ)2
5		el	11		kl e4eka
		(еЧ— I)2			(еЯ~еа)Ь+1
6	n2	еФ(е?-|-1) (e?-!)3	12	sin con n	/, sin co , - arctg	p to ея — cos co
§ 54. СВЯЗЬ МЕЖДУ ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ЛАПЛАСА; ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
1.	Связь между ^-преобразованием и преобразованием Лап-
ласа. Установим связь между преобразованием по Лапласу обыч-
ных функций и -^-преобразованием соответствующих им решет-
чатых функций. Введем независимую переменную f=y, где Т —
период дискретности рассматриваемых решетчатых функций, и
примем обозначение f (f) — (/)	. Преобразование Лапласа для
функций /(f)
'	оо
F(q) = \f(t)e«‘di	(1)
О	w
связано с преобразованием Лапласа для функций /х (/) следующим
соотношением:
Fi (s) = {fi «)} =Г А (О e st dt = \h (tT) е-^т dt =
о	о
= T\f(t)e^di=TF(q),
о
где q~sT, т. е.
F(<7)=p1(s)|	(2)
Is-J,
255

Оригинал f (t) определяется по формуле обращения преобразова-
ния Лапласа
c-hjoo
с— jco
(С > Ос),
(3)
где <тс —абсцисса абсолютной сходимости для функции f(f).
Значение оригинала, получаемое по формуле (3), в точках tt
разрыва непрерывности функции f(t) равно ' '  *—- (см.
§ 42). Поставим в соответствие функции / (/) множество смещен-
ных решетчатых функций f[n, е], значения которых в точках
непрерывности функции f (i) совпадают со значениями /(F), а в точ-
ках 7г = п!-\-81 разрыва непрерывности функции/(/) определяются
сг 1 /Й+0)+( (Е—0)	Н+0)
из условия /[n,-, е,] — g ' —д» в частности /|0]=	-.
Функция /[«, е] является оригиналом (см. § 52), если является
оригиналом функция /(Т). Действительно, в этом случае выпол-
няется условие j / (/) | < А-1е(Т»', где о0 2> ос — показатель роста. По-
лагая F—п-ре, мы получим j/[п, в] j < Л4ест<1<'!+е) при «2^0,
0^'е. s£l; f[n, е] = 0 при и<0, так как /(£)==0 при t <0.
Таким образом, решетчатая функция f[n, е] является оригиналом.
Обозначим F* (q, е) = & {/[и, е]}. Тогда справедливы фор-
мулы *J
F*(g, е)= £ F(? + 2n/r)eE(?+2«'y>,	(4)
г = —оо
1
F (<?) = F* (q, е) е-?8 de.	(5)
о	*	,
Преобразования, определяемые формулами (4) и (5), называют
соответственно прямым и обратным &-преобразованием:
F* (q, e)^&{F (?)}; F (q) =	{F* (<?, e)}.
Таким образом, ^-преобразование позволяет определить изобра-
жение F* (<?, е) решетчатой функции f [п, е] по заданному изобра-
жению по Лапласу F (</) функции /(/). В теории автоматического
регулирования -преобразование позволяет установить связь
между свойствами непрерывных и импульсных автоматических
систем.
*' Если f(i) непрерывна при£>0 и / [0] —/	то 0)= f [0] -р
+	б (д + 2эт]7).
г ==
25 6
2.	Прямое ^-преобразование. Докажем справедливость фор-
мулы прямого ^-преобразования (4). Используя определение
^-преобразования, а также фильтрующее свойство дельта-функ-
ции (см. § 37), будем иметь
ОО	00	ОО
F* (q, е) = У, e~vnf [п, е] = У e~Qn $ 6 (t — (n + е)) f (t) di.
n=0	n—0	—co
Записывая функцию f(t) по формуле обращения (3), получаем
co	oo	c-j-joo
F* (q,	e) =	j	6 (/ — (« +e)^ j F (q0) №dq0	di.
n~0	—co	c — /co
Внутренний	интеграл по	переменному	q0 сходится	равномерно
относительно параметра t (см. § 42), поэтому порядок интегриро-
вания можно изменить:
со	c-f- /о°	°0
F*(q, е)=^ e~Qn j* F(q0) b(i—(n + e)) didq0 =
n = 0	с—/оо	—со
оо	c-^-Jca
2^7 2 е	J F	eq°(п+е) dq°=
n~0	с—/со
с-{- /со	оо
= 2Д7 S e4oSF^ 2 e~n(Q~Q°) dtfo-
с— /со	п ~ О
Переход от суммы интегралов к интегралу от суммы является
ОО
законным, если ряд У е~п^~чо> сходится равномерно при Re q0=
п=0
= с. Для того чтобы удовлетворялось это условие, надо положить
Re<7>c. Предполагая, что это неравенство выполнено, можно
записать:
с 4-/со	оо	c4-jco
ад J e^F(q0) У} e-^~^dq0 = 2-. J F(q0) — ~qf dq0 =
C— /со	n — 0	c—fco
c+irn
i с	еч<^рЧ
= 2X1 J.	<6>
c— /co
Для вычисления интеграла в правой части последнего равен-
ства можно использовать лемму Жордана (см. п. 3 § 32). Допол-
ним прямую Re<7o = c, по которой производится интегрирование,
полуокружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в полу-
F (о 1
плоскости Rfq(l>c (рис. 170) Функция	удовлетворяет
—е7°
в этой полуплоскости условиям леммы Жордана и имеет в ней
простые полюсы q0 = q-\-2njr (г = 0, ±1, ±2, ...). Будем обхо-
дить полученный замкнутый контур в отрицательном направле-
9 п/р. Чемоданова Б. К„ т. 2
257
нпи, что соответствует движению по прямой Re q^ — с снизу вверх.
С учетом леммы Жордана и теоремы о вычетах (см. п. 2 § 32),
можно записать:
с+/со
с — /со
е?<.ее<з
е?_е?о dq°~
СО	СО
- 2 RKF<4fcy..-«+»" 2 f(«+2nR)e<.+»M>.;
r =— co	r=—co
итак,
F* (q, e)= У, F(q-]-2njr) es(-q+2n''r)t
r —— co
что совпадает с равенством (4). Справедливость формулы прямого
^-преобразования доказана.
При вычислении интеграла (6) можно рассмотреть также кон-
тур, показанный на рис. 170 пунктиром. Он состоит из прямой
Reg0 = c и полуокружности бесконечно большого радиуса, распо-
ложенной в левой полуплоскости Re q^ < с. Полюсы подынтеграль-
« .	F (Яи) eq°eeq
нои функции	п— в этой
е.4 — еу°
полуплоскости совпадают с
полюсами qv (v = 1, 2, ..., k)
функции F (q0). Используя
в этом случае лемму Жор-
дана, можно записать:
1 С г/ >
2nj J	eQ^.e4»
C—jco
k
XT	pQf&pQ
= 2 №F(q0) —-
v= 1
Таким образом,
F*(^, e) = ^{F(q)} =
k
2pQo^pQ
v = l
dqo =
qo~qv
qo~qv
Полученная формула может быть использована для определе-
ния изображения F*(q, е) по заданному изображению F (q).
Пример 1. Найти изображение F* (q, в), соответствующее изображению по
Лапласу F (0=—j.
С учетом полученной выше формулы будем иметь
F* (а, е) = Sf ( , и > = Res------------- =-------------=,
W+₽J	4о + Р eq—et,^,	ед—е
258
3.	Обратное -^-преобразование. Докажем теперь, что спра-
ведлива формула (5) обратного-^-преобразования. Воспользуемся
определением преобразования Лапласа и запишем его следующим
образом:
СО	СО 1
Р	Г2=0 П
переходя к новым переменным по формуле / = и-|-е, найдем
F (</) = У, г(л+е)/(п4-е) <1е. = \е~чъ V] e~9nf[n, e]de =
п~0О	О «—О
1
= le-9eF*(q, e)de,
о
что совпадает с формулой (5). Перестановка операций суммиро-
вания и интегрирования в данном случае оправдана тем, что ряд
СО
У e ^rif[n, е] сходится равномерно при Osgesgl, если Re q >
n=0
>ос, где ос — абсцисса абсолютной сходимости для функции
f[n, е]. Таким образом, Формула обратного -^-преобразования
справеддива.
Пример 2. Найти	—eQ— 1 р Ф°РмУле (5) запишем
__	( РдРа&
ei j
1
е® б
е?—J
О
е(а~9’Ме
1
69 С „-Ое л 1	1	«
—fi—г I е ds——.............=	-----
е»—1 J	q—a q q (q—а)
О
4.	Связь между преобразованием Фурье непрерывных и решет-
чатых функций. Предполагая, что абсцисса абсолютной сходимо-
сти ос преобразования Лапласа функции / (t) отрицательна, можно
положить в формуле (4) прямого ^-преобразования q = /0
(—лсй^Сл), тогда
F*(j®, е)== J F (/(0 4 2лг))ееЛш+2Я/->.	(7)
СО
В частности, при е = 0 формула (7) принимает вид
СО
T*U«3)= S F(J(® + 2ar)).	(8)
Г— — со
9«
259
Выражение (7) связывает преобразование Фурье F (jw) функ-
ции f (t) и дискретное преобразование Фурье F* (/©, е) соответст-
вующей решетчатой функции f[n, в]. Полагая в формуле (7)
® = ®Т и учитывая соотношение (2), которое принимает вид
^(7“) = у^1(/«) I -»
формулу (7) можно записать следующим образом:
F*(ja>T, е) = у ^1(/(®4-/'®о))еЕГ/(“+/“о)»	(9)
2л
где ®0 = у.
С помощью формулы (7) или (9) можно доказать следующую
теорему, устанавливающую связь между непрерывными и решет-
чатыми функциями.
Теорема. Пусть непрерывная функция fi(t) преобразуема по
Фурье, причем модуль ее спектральной характеристики F\ (Jto)
тождественно равен нулю, начиная с некоторой частоты «среза»
®с, т. е.
|/71(/со)| ^0 при I ® I > ®с;	(10)
тогда функция h (t) может быть восстановлена по своим дискрет-
ным значениям А[м7’]*) (n = 0, 1, 2,...) с периодом дискретности
Т
(И)
(или с частотой дискретности ®0 5? 2к>с).
Доказательство. Рассмотрим формулу (9) при е = 0:
2 ла(®+/-®о)).	~	(12)
Г —— со
Если выполнены условия (10) и (11), то из этой формулы сле-
дует, что х
F*(/®T) = yF1(/®) при |®|^®с.	(13)
Поскольку функция F4(j®) определяется преобразованием Фурье
непрерывной функции fi(t), a F* (j®7) —дискретным преобразо-
*> Если (0) Ф 0, то Л [0] = | (0).
260
ванием Фурье соответствующей решетчатой функции fx[nT], по-
лучим
“с	“с
A W = 2Н J F1 eJat d(i) = 2л J FF* eJal d® =
-“с	-“с
“с ОО	ОО	Ис
= 2л J 2 h\^T\e~i^Te^2 /1[пТ] J е/^-"?М(0 =
—сос«=О	я —О	— <ос
со
-НУ А [»Г1 fJ«>clt-nT) _ -ia (t-nT)
2л Z j(t-nT)	е
п = 0
Почленное интегрирование ряда, которое было использовано при
выводе этой формулы, оправдано тем, что ряд, стоящий под зна-
ком интеграла, сходится равномерно при |со|^юс. Из послед-
него равенства имеем
мо=4 2 /1[пл--упГпГ)]
п = 0
(14)
*
Полученная формула определяет непрерывную функцию Д(/) по
ее дискретным значениям /\[лГ], что и доказывает теорему. 
Рассмотренная теорема находит применение в теории автома-
тического регулирования. Она содержит условия, при которых
непрерывный сигнал может быть восстановлен по своим значе-
ниям, измеренным в дискретные моменты времени.
§ 55.	СВОЙСТВА ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1.	Линейность ^-преобразования.
Теорема 1. &-преобразование линейной комбинации изобра-
жений по Лапласу Fv (q) равно линейной комбинации изображений
Fv(q, е)« т- £•
/ k	\ k
12	(д)\ = 2	е)>	0)
(v=l	J	V=1
где F*,(q,	= & ^Fv(q)}, av — постоянные коэффициенты.
Равенство (1) следует из определения прямого ^-преобразо-
вания (4) § 54.
Примео 1. Определить ^-преобразование дробно-рациональной функции
k
(Pl+9) (Р2 + 9)
В соответствии с теоремой 1 получим
/--------------\=<3? 1—^------1-----\ =	/———1 +	_1
UPi + 9)(p2+<7)J	(Р1 + <Л Р2+?/	1Р1 + ?Г ' IP2 MJ’
261
где Й!=-о--------------7Г-. Учитывая, что
Р2—Pi	Pi — Рг
—1=^ {fe-₽<«+e-} = fe——е~₽Е,
IP+<7J	е?—е₽
найдем искомое изображение
& (------k------1=е”Р‘е+е-р’е (е > °)-	(2)
I (Pi+?) (₽2+?) / е Р‘	еп—е ₽2
2.	Смещение аргументов изображений. Рассмотрим -^-преоб-
разование функции F (q), где у — любое действительное число.
Представим параметр у как сумму целой и дробной части: у =
= k + X, причем целая часть k параметра у может принимать
и положительные и отрицательные значения, в то время как
дробная часть А принимает лишь положительные значения,
0<>.<1. Справедлива следующая теорема:
Теорема 2. Умножение изображения по Лапласу F (q) на экспо-
ненциальную функцию ег^9 соответствует смещению аргумента е
изображения F* (q, е) и умножению последнего на экспоненциаль-
ную функцию в соответствшщс равенствами
Ч1 ( e~kiF* (а, е —X) при 1<е,
& [е-™ F (а)\ = I	(3)
где F* (q, е) = -& {J7 (t?)}.
Доказательство. Воспользуемся определением прямого
^-преобразования (4) § 54. Сначала предположим, что 1<е,
тогда получим:
6У {e~w F (q)}= У, е<-9+2Я^е е~	F (q + 2л /г) =
Г——оо
= e~?ft 2 е<9+2яМ(е-г,)/7(^_|_2л//-) — e~^kF* (q, e — X).
r =— 00
Если теперь положить то выражение, стоящее под зна-
ком суммы в последнем равенстве, следует умножить и разделить
на ei = egJrW]'r. При этом будем иметь
SF {е_ F (9)} = е' чк е~ч У е(9+2Ял)(е-лт1)/7^_|_2л/г) =
= е-?(л+Ч^*(<7, е-А+1). 
Заметим, что в частном случае, когда у = k — целое число,
формула (3) упрощается и принимает следующий вид:
(<?)} — сki F* (q, е).	(4)
Формула (4) следует из общего выражения (3) при у = /г, т. е.
при 1 = 0.
262
где 7 < 1.
{e~xq )
р_|_ J,
По формуле (3) получим
е	g-p (В—v>
е? — е~Р
е-р <e-y+i)
еГ! — е~₽
при у <е,
при y5se>0.
Докажем теперь теорему о смещении комплексного аргумента" «у
изображения по Лапласу F (q).
Теорема 3. Смещение аргумента q изображения по Лапласу
F (q) на произвольную комплексную величину Z соответствует сме-
щению на ту же величину аргумента q изображения F* (q, е) и
умножению последнего на экспоненциальную функцию в соответ-
ствии с равенством
& {F (<у±Л)} = e^Ze F* (<у±Х, е),
(5)
где F* (q, е) = ^ {Т7 (<?)}.
Доказательство. Определим ^-преобразование функции
F(q±K) по формуле (4) § 54:	,
&{F(q± X)} =	e(«+Wr)8 F (q ± X + 2л/г).
г=—СО
Умножив и разделив правую часть этого равенства на e±Ks,
получим:
{F(<7±X)} = 2 е(?+2яуг±Уе F (9±Х4-2л/г)е+Ле =
— F* (q ± X, в) ет?'8,
что совпадает с формулой (5). 
3.	Умножение изображений. Рассмотрим теорему об умноже-
нии изображения по Лапласу на изображение в смысле дискрет-
ного преобразования Лапласа.
Теорема 4. Умножение изображения по Лапласу ТДД на изо-
бражение Fl (q, в) соответствует умножению изображений Ft (q, е)
и F%(q, е), т. е.
{Ft (<у) Ft (q, е)} = Ft (q, е) Ft (q, в),	(6)
где Ff(q, =	{F^q)}.	_
Доказательство. По формуле прямого ^-преобразова-
ния (4) § 54 получим:
& {Fi (Q) Fl (q, Е)} = 2 Л (q + 2л/г) Ft\q + 2л/г, е) в.
г = —со
263
Функция F2(q, е) является периодической относительно аргу-
мента q, F%(q-i-2njr, e,) = Fl(q, е). Отсюда следует, что
{Л (q) F% (q, е)} = Ft (q, e) £ FL (q + 2n/r)	2 =
r =—co
= F|(?, e)F?(?, e>. В
Перейдем к теореме об умножении изображений по Лапласу.
Теорема 5. Умножение изображений по Лапласу Рг(у) и F2(q)
соответствует свертке изображений Fl (q, е) и F% (q, е) относи-
тельно параметра е в соответствии с формулой
е
& {Ft (?) F2 (?)} = \Ff (q, e - v) Ft (?, v) dv +
0
1
-\-e~v^F*(q, 1 -|- e — v) Ff (q, v) dv, (7)
e
где Fl (q, = ® {Ft (?)}, Fl (q, =	{F2 (?)}.
Доказательство. Воспользуемся основным соотноше-
нием (4)§ 54:
ОО
& {Fi (?) F2 (?)} = 2 e(9^n]r} Е Pi (Я + 2л/г) F2 (? + 2л/г).
Г —— СО
Теперь выразим функцию F2(?) через соответствующее изобра-
жение Fg (?, е) по формуле обратного ^-преобразования (5) § 54:
СО	1
& {Pi (Я) Рг (<?)} = У е(’+2Я^'Е Fx (? -|- 2л/г) $ Ft (? + 2л/г, v) X
г=—со	О
1	со
X	=	(?> v) У е(9+2Я/>)(Е~г’) Fx (?-|-2л//-) dv.
0	r=—co
В последнем выражении разность е —v может быть как положи-
тельной, так и отрицательной. Для того чтобы воспользоваться
в последнем случае формулой ^-преобразования, разобьем полу-
ченный интеграл на сумму двух интегралов, причем второй
умножим и разделим на е?:
1	со
J Ft (?, V) 2 e(?+2«7r) ie-v) Fx (? + 2л/г) dv =
О	г==—со
= $ Р% (я> V) У е(?+2«А) (e-v) (? 2л/г) dv +
О	г~—со
1	со
+егч Ft (?, v) У е<9+2Ял')(1	Fr (q+2л/r) dv =
.	е	r==—со
е	1
— \Р1(Я> V)P1{Q> е —v) dv-|-e_? J Ft(?, v)F*(?, 1ф-е — v)dv.
О	'	е
Полученное выражение совпадает с формулой (7), 
264
В частности, при е = 0
& {Л (9) Fa (9)} = J F? (<?, 1 - v) F$ (q, v) dv.
о
С помощью доказанной теоремы легко установить справедли-
вость следующих двух теорем.
Теорема 6. ^-преобразование функции — ' определяется ра-
венством
е	1
& ОП = \ Д * (9, Л) dX 4-О-р F* (q, X) dX, (8)
о	о
где F* (q,	= & {F (q)}.
Доказательство. Воспользуемся теоремой 5. Положим
FKq, e) = ^{F (<?)}, F*(q, е) = ^	|. Функция F*(q, е) не зави-
сит от е и равна
^{|}=^{1[«]}=7СТ-	О)
В соответствии с формулой (7) получим
в	1
&R4 = S Г*{q’ Х)S F* °7’ х)
о	е
е	е	1
= J F* (q, X) dX + J F* («у, X) ^ydX + $ F* (q, X) ^-dX =,
0	0	£
E	1
= F* (q, K) dX + ^b_ V (9, X) dX. 
о	о
В частности, при e = 0 первое слагаемое обращается в ноль,
т. е. в этом случае будет справедливо равенство
1
= _* С д* (9, X) dx.	(10)
I q Je-o el— 1 J
0
— ( 1— e~i
Пример 3. Определить | q '(P+gj~
Согласно теоремам 1 и 2 получим
( i____P-q i	___t
1 <?(₽ + <?) J	I
1
?(P + 9)
265
Далее по теореме 6 найдем
& J______1_1 = С_____е-₽х JX4- ( —-___________е—
I 9 (Р + 9) )	' efl — е Р + ' efl — е+ е?—1
о	О
=  еЧ	[- — ) (е_₽®_ 1)_|-------£!-------/-	(е-р_ 1) =
еч-е^ \ р/	(е?-е-₽)(е?— 1) р/
_ еЧ [е Ре+?—(fl —е+е -f-1 -|-е+ — 1 j _ e9 [e? — e~₽—e“₽6 (e? — 1)]
P(e9—e-P)(e«-l)	P(e?-e~P) (e«-l)
Умножая найденное выражение на 1—е~Ч, получим окончательно
ei-l
еч — е~Р
е-рЕ
(8>0).
Рассмотрим теперь теорему о дифференцировании изображения
по переменной е.
Теорема 7. Если изображение F* (q, е) дифференцируемо по
переменной е, то умножение изображения F (q) на q соответст-
вует дифференцированию изображения F* (q, е) по е, т. е.
^{qP^\= ~^В)-.	(П)
где F* (q,	— &{F (<?)}.
Доказательство. Эту теорему, как и предыдущую, можно
доказать с помощью формулы (7), однако значительно проще
доказать ее, дифференцируя по переменной е основное соотноше-
ние (4) § 54:
ОО
= 2 ^^+2ЯЛ)е^(<7 + 2л/» =
г = —СО
= 2 (<7 + 2n/r)e(?+2rt^EF(9 + 2jt/r) = > {qF (q)}.
Г = -^со
Полученное равенство совпадает с (11). 
4. Дифференцирование изображений по Лапласу. Рассмотрим
следующую теорему.
Теорема 8. &-преобразование функции	определяется
равенством
{т} =	- + eF* е>’	2>
где F* (q, е)=^ {F (<?)}.
Доказательство. Справедливость равенства (12) можно
доказать посредством дифференцирования по переменной q соот-
ношения (4) § 54, определяющего прямое ^-преобразование.
266
Имеем
CO
~w’e) =	2 f(<7 + 2n/r)e^«^E =
Г==—CO
= У |^(? + 2яЯ) е(9+2л#) 8 p (q 2n/r) ««**«4*} =
= ^{^)} + ef*(<7i e)>
что совпадает с равенством (12). 
5. Начальные значения изображений. Приведем два соотно-
шения, которые следуют непосредственно из формул (4) и (5)
§ 54, определяющих прямое и обратное ^"-преобразования.
Значение изображения F* (q, е) при q = 0 определяется фор-
мулой
ОО
F*(0, е) = У; е2Я^ F (4njr).	(13)
г =—оо
Значение изображения по Лапласу F (q) при q = 0 связано со
значением изображения F* (д, е) при том же значении q фор-
мулой
1
F(0) = $F*(0, e)de.	(14)
о
§ 56. ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Уравнения импульсных систем в области изображений;
Использование дискретного преобразования Лапласа позволяет
существенно упростить решение многих задач, связанных с иссле-
дованием и проектированием линейных импульсных систем
с постоянными параметрами. Описание импульсных систем с по-
мощью ^-преобразования начнем с наиболее простого случая —
рассмотрим разомкнутую импульсную систему с одним импульс-
ным элементом (см. рис. 158). Уравнение этой системы во вре-
менной области было получено выше в § 51. При нулевых началь-
ных условиях оно имеет вид (см. (18) § 51)
«]= У,	е],	(1)
т = 0
где ki[n, е] —импульсная переходная функция приведенной не-
прерывной части, определяемая формулой (15) § 51; ^[м] —воз-
действие, приложенное ко входу системы и измеренное в дискрет-
ные моменты времени; Xj[n, е] —величина на выходе системы.
267
Применим к обеим частям равенства (1) '^-преобразование.
С учетом теоремы 6 § 53 будем иметь
X* (q, е) = G* (?) №* (<7, е),	(2)
где X* (д, е) = ^ {хЦп, 'е]}, G* (q) = &	[n]}, W* (q, е) =
= ^{^[11, е]}.
Отношение изображений выходной величины X* (q, е) к изо-
бражению внешнего воздействия G* (<?) при нулевых начальных
условиях называется передаточной функцией импульсной системок
В данном случае
ХО-У = б)-	(3)
Передаточную функцию разомкнутой импульсной системы W* (q, е)
можно определить с помощью ^-преобразования импульсной
переходной функции приведенной непрерывной части:
W* (q,	— & {^[п, е]} = У, е~9пкг[п, е].	(4)
п=0
Кроме того, функцию W* (q, е) можно определить как -^-преоб-
разование передаточной функции приведенной непрерывной части
W (q), определяемой равенством
W(q) = C\e-^k1(t)di.	(5)
о
Имеем
ОО	?
W*(q, е) = ^{ Г (<?)} = 2 Г(? + 2л/г)еЕ<9+ая/».	(6)
%	г =—оо
Передаточная функция приведенной непрерывной части может
быть определена как изображение по Лапласу импульсной пере-
ходной функции приведенной непрерывной части —
т. е. в виде
Г! (s) = j е~ stk (t) dt, где s = .	(7)
Связь функций IFjfs) и W (q) устанавливается формулой (2)
§ 54, в соответствии с которой
W(q) = ~W1(s)\_il.	(8)
Is- Т
Если 1ГФ (s) и IFH (s) — передаточные функции формирующего
устройства и непрерывной части соответственно, то по формуле (8)
получим
№(<?)= I ад	(9)
ls-F
26«
Зная передаточную функцию приведенной непрерывной части
W (q), можно установить связь между изображением по Лапласу
выходной величины X (q) и изображением в смысле ^-преобра-
зования входного воздействия G* (q). Для этого запишем урав-
нение (1) рассматриваемой импульсной системы во временной
области в виде
/ (10)
т=0
Применяя преобразование Лапласа по переменной t к обеим
частям равенства (10), получим
Х(9) = £ gdm]W(q)e~^ = G*(q)W(q).	(11)
т=0
Полученное уравнение устанавливает указанную выше связь.
Применяя к обеим частям уравнения (11) ^-преобразование и
используя теорему 4 § 55, снова получим уравнение (2).
Найдем теперь уравнение замкнутой импульсной системы
(см. рис. 165) в области изображений и определим ее передаточ-
ную функцию. Уравнение этой системы во временной области
получено в § 51 в виде
СО	со
Х][п, е]= 2	[т1ki[п — т, е]— У x1[m]k1[n — m, в]. (12)
т=0	т-~0
Применим к обеим частям уравнения (12) ^-преобразование.
Учитывая теорему 6 § 53, будем иметь
X* (</, e) = G* (q)W* (q, е) - X* (q) W* (q, e).	(13)
Изображение X* (q), стоящее в правой части равенства (13), опре-
делим из этого же равенства, положив в нем е = 0;
X* (<?) = G* (q) W* (q) — X* (q) Г* (q),
откуда
Подставляя выражение (14) в уравнение (13), найдем
«) = С« (?)«?•(?.	«> =
= <15>
В соответствии с определением передаточная функция замкнутой
импульсной системы равна
\ X* (о, е) W*(q, е)
Ф* (q, е) — --~~	(16)
w ' G (q)	1 + W * (q)	' '
269
Таким образом, с помощью ^-преобразования найдена связь
между изображением выходной величины X* (q, е) и изображе-
нием входного воздействия G* (q). Применяя обратное .^-преоб-
разование к обеим частям равенства
Х*(<7, е) = Ф*(<7, e)G*(<7),	(17)
можно определить зависимость между входной и выходной вели-
чинами системы во временной области. С учетом теоремы 6 § 53
получим	>
п
Х1[п, в]= 2 gi[m]k3[n — m, е],	•	(18)
т=О
где весовая функция замкнутой импульсной системы k3[n, е]
определяется как обратное дискретное преобразование Лапласа
передаточной Функции замкнутой импульсной системы: —
&з[п, е].= ^г~1 {Ф* (q, е)}.	(19)
Рассмотрим примеры на определение передаточных функций
импульсных систем.
Пример 1. В разомкнутой импульсной системе (см. рис. 158) передаточная
функция непрерывной части равна И7Н1 (s)=-—-1	, а импульсный элемент
осуществляет модуляцию с помощью последовательности кратковременных им-
пульсов, причем выполняется условие (II) § 51. Требуется определить переда-
точную функцию импульсной системы.
В рассматриваемом случае импульсная переходная функция непрерывной
приведет ной части определяется формулой k (t) — /гн1 (/) ks, где ks— постоян-
ный коэффициент; kwl(i) — импульсная переходная функция непрерывной части.
Следовательно, передаточная функция приведенной непрерывной части будет
равна
Г (?) = «7Н (q)ks,
где
(<7) = $	(7) dt, W (q) — ( e~ k (7) dt.
0	0
В соответствии с формулой (2) § 54 получим
rH(9)=^rH1(s)| , = L__J—
где Р=~, W (q) = ^-	. Теперь определим передаточную функцию
импульсной системы по формуле (6) с учетом формулы (2) § 55:
е)=>{П7 (ф} = М—£L_e-₽e
1	е5_е-₽
(20)
Пример 2. Определить передаточную функцию разомкнутой импульсной
системы (см. рис. 158), имеющей ту же непрерывную часть, что и в предыду-
щем примере. Импульсный элемент осуществляет амплитудно-импульсную мо-
дуляцию с помощью последовательности прямоугольных импульсов шириной
уТ (-ysg 1) (см. пример 2 § 51).
270
Весовая функция импульсного элемента (см рис. 161) определяется фор-
мулой s(/) = l(/) — 1 (1—уТ). Преобразуя по Лапласу обе части равенства,
получаем
1 e"vrs	1— e~vTs
(21)
s
По формуле (9) определим передаточную функцию приведенной непрерывной
части:
^(0=4 ^(s)rH(s)|s=«
1 — e-w Р
9	Р+<7‘
Теперь найдем передаточную функцию импульсной системы. По формуле (6)
с учетом теоремы 1 § 55 имеем
—	(l—e~v9 В
Г* (9. е) = >{№ «7)}=^ [---₽+9
—ц-----е~У<з
(Р+9)	'
Сначала найдем ^-преобразование для функции ——г-. Используя фор-
9(р-г9)
мулы (2) и (9) § 55, получаем
J . р__I__________!—1=/—1—<s>	—I =
^U(₽+<7)J \ч ₽+?/ U/ l₽+d
_____^е-₽Ё
еЧ — 1 ei—е 5
Чтобы определить второе слагаемое в выра> :ении (22), воспользуемся теоре-
мой 2 § 55. В соответствии с формулой (3) § 55 имеем
' e~Vgp '
.9 (Р + 9).
	е ₽(Ё V’ при е>у,
е?—1	е?—g-р
—!—---------!---------e-₽a+e-v> при	е^у.
е?—1	е?—е~₽
Суммируя найденные изображения в соответствии с выражением (22), полу-
чаем передаточную функцию импульсной системы с прямоугольными импуль-
сами Эта передаточная функция описывается двумя различными выражениями
в зависимости от значений параметра е:
/
W * (q, е) =
------— е~₽е (е₽У— 1) при у -С е 1,
ед__e-p<i-y>
1------------при Osgesgy.
е? —е~Р
(23)
В частности, если ширина импульсов совпадает с периодом квантования, т. е.
у-= 1, то по второй из формул (23) найдем что
fiq_I
W * (q, е) = 1-------+- е“ ₽Ё.	(24)
е9—ё~р
Пример 3. Найти передаточную функцию замкнутой импульсной системы
с прямоугольными импульсами шириной уТ (у 1), если передаточная функ-
ция этой системы в разомкнутом состоянии описывается равенствами (23).
/
271
Для определения искомой передаточной функции Ф* (<?, е) воспользуемся
формулой (16), связывающей передаточные функции замкнутой и разомкнутой
систем. Подставляя в эту формулу передаточную функцию разомкнутой импульс-
ной системы (23), будем иметь
Ф* (</, е)==
е9е-₽е(е₽у_ и
------------Д----- ПРИ
еЧ—(e₽V— 1)]
е-ре(е-Р«-у—е?)4-е^—е~Р
е?—e~P[l-(ePv—1)]	Пр”
уг£ег£1,
О sg 8	"у.
(25)
Из рассмотренных примеров видно, что передаточная функ-
ция импульсной системы является дробно-рациональной функ-
цией от переменного eq. Числитель передаточной функции в общем
случае зависит от параметра е. Таким образом, передаточная
функция может быть записана в виде
Ф*(<7.	(26)
где Р* (q, е) и Q* (q) многочлены относительно eq:
Р* (q, е) = а0 (е)е1? -ф(е)е<1~О 9 -ф...ф-az_! (е) с? ф- cq (е);
Q* (?) = ф-	..ф- bk^eq + bk,
причем всегда соблюдается условие Is^ k.
Передаточные функции импульсных систем удобно записывать
с использованием ^-преобразования. Для этого надо выполнить
замену переменной в выражении передаточной функции по фор-
муле z = e'J. В результате такой замены передаточная функция
импульсной системы становится дробно-рациональной функцией
переменной z вида Ф*(и, е)—	где Р* (г, е) и Q*(z) — мно-
41 И/
гочлены относительно переменного z:
Pt (z, е) = ab (е) zl ф-cq (е) г1~* ф-... ф- at _x (e) z -фat (e),
Qi (z)~bozk-pb1zk~1-p. ..-pbk-iZ-p bk-
Таким образом, вид передаточной функции упрощается, что
в некоторых случаях облегчает ее использование при анализе и
синтезе импульсных систем автоматического регулирования.
Дискретное преобразование Лапласа применяется также для
описания многомерных импульсных систем. Рассмотрим, напри-
мер, синхронную и синфазную многомерную импульсную систему
(см. рис. 166), непрерывная часть которой описывается системой
дифференциальных уравнений (30) § 51. Импульсные элементы,
осуществляющие модуляцию входных сигналов, описываются
уравнениями (31) § 51. Уравнение такой импульсной системы
при нулевых начальных условиях (см. уравнение (41) § 51) имеет
вид
х[п, е]= У1, К[п — т, e]g-[m],	(27)
m=0
272
где х [п, е] и §•[«] —векторы, характеризующие соответственно
входные и выходные величины системы, а матрица /С[п, е] опре-
деляется из соотношения (39) § 51. В скалярных обозначениях
уравнение (27) можно записать как систему уравнений следую-
щего вида:
л г
xjn, е]= v	e]gy[m] (t = l, М), (28)
т = 0 / = 1
где kij\n, е] —элементы матрицы К[п, е]. Применим ^-преоб-
разование к обеим частям каждого из уравнений этой системы,
тогда получим систему уравнений относительно изображений
ХГ(?,е) = S Kh(q,	(i = l....N),	(29)
Z=i
где Ktj(q, €) = ^{ki)\n, e]}; Xf(q, e) = ^ {xt [n, e]};	(?) =
— & {gf [n]} (i = l, ..., N; j=l, ..., г). Полученную систему
уравнений удобно вновь записать в векторных обозначениях.
Обозначим через X* (q, е) вектор-столбец с координатами X* (q, е)
(i = l, 2,	N); G* (q) — вектор-столбец с координатами G*(q)
(j=l, 2, ..., г); К* (q, е) — прямоугольную матрицу, образован-
ную из элементов K*j(.q, s) (i = l, 2, .... ЛГ; /=1, 2, ..., г)
С учетом этих обозначений система уравнений (29) может быть
записана как одно матричное уравнение
X* (q, е) = К* (q, в) О* (q).	" (30)
Матрица X* (q, в) называется передаточной матрицей системы.
2. Использование дискретного преобразования Лапласа для
решения разностных уравнений. Дискретное преобразование Лап-
ласа применяется для решения линейных разностных уравнений
с постоянными коэффициентами. Применение ^-преобразования
позволяет свести разностные уравнения к алгебраическим и раз-
решить их относительно изображения неизвестной функции.
После этого решение разностного уравнения во временной обла-
сти определяется с помощью обратного ^-преобразования Как
было показано в § 51, импульсные системы автоматического
регулирования описываются разностными уравнениями. Решая
эти уравнения с помощью дискретного преобразования Лапласа,
можно определить процессы, протекающие в импульсных системах.
Рассмотр им линейное разностное уравнение с постоянными
коэффициентами порядка k вида
Ьох [и-p- &]-р bjX [и-p- k — 1] -р.. .-р t>h-]X[n -р1 ]-р bkx Iп] =
= aog[n-P-/]+a1^[n-p-/-l]-p...-P-az-i^[n-pl]-P-az^|'n] (31)
с начальными условиями х[О] = хо. -41] = Xi, .... x[k — 1] = Хц-1.
Применяя ^-преобразование к обеим частям уравнения (31) и
273
полагая, что g[0]==g[l] = ...==g[/—1]==0, найдем с учетом фор-
мулы (5) § 53 следующее уравнение относительно изображений:
b0 (X * (q) екч - емх0 -... - _ J -|- br (X * (?) e<fc - -
_e(ft-i)9Хо_..._е%_2) + ..	bk^(X* (?)еч-еЧ0) +
+ &ftX*(?)=2 G*(?)e^z_z, (32)
i=0
где X* (?) = ^ {x[n]},- G* (?) = ^ {^[л]}. Введем обозначения:’
Р*(<7) = У, ei4a(-h Q* (?) = blteM + ЬАе{к ~1)9 + ... + bk-ieq + Ьк,
1 = 0
Qi*(?) = fe0e<*-O9+b1e(fe-i-iK4-...4-bs_/_1^ (i = 0, 1, 2, .... k- 1),
с учетом которых уравнение (32) примет вид
4—i
X* (?) Q* (?) - У XiQt (?) = G* (?) Р* (?),	(33)
1 = 0
откуда следует, что изображение решения равно
*-1 *
х’ <«>=<’> + 2 *• Ш •	(34)
1=0
Если разностное уравнение (31) описывает некоторую импульс-
ную систему во временной области, то (34) является уравнением
этой системы в области изображений для случая, когда началь-
ные условия отличны от нуля. В частности, при нулевых началь-
ных условиях и при е = 0 уравнение (34) совпадает с уравне-
Р* (а\
нием (2), причем выражение является передаточной функ-
цией системы. Применяя обратное ^-преобразование к обеим
(Р* (сП
частям равенства (34) и обозначая =	> Mn] =
=	(i = 0, 1, k— 1), получим с учетом теоремы 6
§ 53	решение разностного уравнения (31) при заданных началь-
ных условиях:
п	4-1
х[п] = У g[m]k[n-m]+ у хД[п].	(35)
т=0	i — 0
При определении .^"^-преобразования от дробно-рациональ-
ных функций переменного е9	•••>	слеДУет
пользоваться формулами (24) или (21) § 52.
Пример 4. Решить разностное уравнение
х (п2J-f-х [п] —еап
при нулевых начальных условиях: х[0] = х[1] = 0.
274
Применяя ^’’-преобразование к обеим частям этого уравнения, будем иметь
е^Х* (q)-}-X*
откуда найдем изображение решения
X* (а) =-----------------------------------
w (e2? + i)(e9_ea) •
Переходя к переменной z=e?, по формуле (21) § 52 найдем искомое решение:
з
Х [П] = 2 ReS (z —е“) (z24-1) \z=zv = е2а4-1 4
v=l
л , п . л
]П	ean cos 2 n+^sin g-n
+ Re i(i—ea) ~~e2a + i	l + e2a ’
Отметим, что применение ^’’-преобразования значительно упростило решение
этого разностного уравнения по сравн< нию с методом вариации произвольной
постоянной (см. пример 3 § 49).
Пример 4. Определить решение разностного уравнения
*[n+2]+6x[n+l]+5jf[n]=2g[n+l]+g[n]	(36)
Начальные условия — нулевые: к [0] = 01 к [ 1] = 0. Известно также, 4Tog[0] = 0.
Применяя ^’'-преобразование к обеим частям уравнения (36), получим
X* (9)(e29-;-6^+5)=(2e?+l)G* (<?),
откуда следует, что
x-w-c«ft>^+‘+6.	(Я)
Г 2z 4-1 1
[’4-6.z4-5|
2е?4-1
Найдем ^ ^-преобразование функции	-g по формуле (21) § 52.
Заменяя переменную по формуле г=е9, получаем
f 2г 4-1	)	(2г 4-1) г»-1 I
\(г4-5?(г4-1)Г п (г-|-5) (z-|-1) |г=—1 т
-4-Res (2г+1)г”-1 I - I-9’5"’1, п„
+ Res г+5)(г4- ''1-	= ~	*	(
4
-5
Решение неоднородного разностного уравнения (36) определяется формулой (35),
из которой при нулевых начальных условиях получим
п
’ v	1___Q . 5П-/П-1
S И (-1)^-------4-----.	(38)
m=i0
Перейдем к решению с помощью ^-преобразования систем
разностных уравнений. Рассмотрим следующую систему разност-
ных уравнений с постоянными коэффициентами порядка kv:
У, b^jXj[ft + ^]+bljXf [n-J-fe — 1	+ btjXj[n] —
/=1 ‘
= 2	+1] F dijgj	~H -Л ]+... + d/g) [«]
(i=l, 2.......v; k^l).	(39)
275
Начальные условия задаются матрицей Х° = [лу(] (/= 1, 2,..., v;
i =0, 1, ...» fe —1), где = Сначала предположим, что
матрица начальных условий нулевая. Будем также предполагать,
что выполнено условие gj [i] = 0 (i = 0, 11 ,/= 1, 2,.... v).
Применяя ^-преобразование к обеим частям каждого из ра-
венств (39), получаем следующую систему уравнений относительно
изображений:
S	?+...+х; (?)=
/=1
= S (^+a^^ + ...+a‘1)G;(q) (1 = 1, 2...............v),	(40)
i= i
где X? (?) =	{Xf [и]}; G*j (?) =	{& [n]}.
Введем обозначения b()ilek9-\-b\je(k-i'>9-\-.,.-\-bkij = Q*j(q), a^e19 4-
4-йВе(г-1)у4-...-|-а(/ = РТ/(?), тогда полученную систему уравне-
ний можно записать в виде
Е<2Г/(?)ХГ(?)=2 ^(?)0Г(?) (/=1,2.............V).	(41)
/=1 /=1
Обозначим X* (?) и G* (?) — векторы-столбцы с компонентами X* (?)
и G*(?) (/=1, 2, ..., v) соответственно. Введем в рассмотрение
матрицы Q* (?) = [Q*/(?)], Р* (?) = [Р? (?)] (» = 1. 2> •••» v; j=l,
2, ..., v). С учетом этих обозначений систему уравнений (41)
можно записать в векторном виде:
Q*(?)X*(<7) = P* (?)<?*(<?)•	(42)
Из найденного векторного уравнения определим изображение
решения:
X* (?) = Q*1 (?) Р* (?) G* (?).	(43)
Обозначая К* (?) = Q*~J (?) Р* (?) получаем
X* (?) = /<*(<?) <?*(?)•	(44)
Если система разностных уравнений (39) описывает некоторую
многомерную импульсную систему автоматического регулирова-
ния с v входными величинами g,[n] и v выходными величи-
нами Хг[п], то уравнение (44) является уравнением этой системы
в изображениях. Оно имеет тот же вид, что и уравнение (30),
полученное выше для многомерной импульсной системы, причем
матрица К* (?) является передаточной матрицей рассматриваемой
импульсной системы. Заметим, что матрица X* (?) определена
лишь при тех значениях переменной ?, при которых невырождена
матрица Q* (?), т. е. detQ* (?)#=0. Это неравенство выполняется
для всех значений переменной ?, за исключением тех значений,
которые являются корнями характеристического уравнения
276
системы разностных уравнений (39), имеющего вид det Q* (X) =0,
где Qt (^)|x=e? = Q* (?)•
Уравнение (44) эквивалентно системе уравнений
XUq)=YiK^q)GUq') (i== 1, .... v),	(45)
/ = i
где Ku (q) — элементы матрицы К* (q). Выполняя обратное
дискретное преобразование Лапласа над каждым из этих уравне-
ний, найдем решение системы (39):
^/[«1= S S kiiln~(i=l, ...,v),	(46)
I = 1 m = 0
где [n] = {Kq (?)}, или в векторных обозначениях
х[п]-=	K[n-m]g[m],	(47)
m = 0
где /С[п] = [^у [и]] —матрица, играющая роль весовой функции
импульсной системы.
Итак, использование ^-преобразования для решения систем
разностных уравнений не встречает принципиальных трудностей
по сравнению с применением этого преобразования для решения
отдельных уравнений. По-прежнему задача сводится к определе-
нию ^^-преобразования от дробно-рациональных функций пере-
менной е9, являющихся элементами матрицы К* (?).
В том случае когда начальные условия не предполагаются
нулевыми, ^-преобразование разностных уравнений системы (39)
изображений:
(i= 1,.... v),
(48)
1, .... k-\).
систему (48)
в виде	/
ь—1
Q* (?) X* (?) + 2 ОГ (?) = Р* (Ф G* (?),	(49)
S = 0
где (?) = [$/ (?)]; х? — вектор-столбец с компонентами xjs.
Из уравнения (49) найдем
X* (?) = Q* 1 (?) Р* (?) G* (?) - £ Q*1 (?) О* (?)	(50)
s = 0
приводит к следующим уравнениям относительно
У, iQu (q) Xj (?) + У Qu (?) Xjs\ = У Рц (?) Gj (?)
k— 1
V
где QfJ (?) =	9 + b^k-s-1} ч 4-... + ~ s~
(s = 0,
В векторных обозначениях мы можем записать
277
Переходя к оригиналам по формулам ^^’-преобразования, получим
решение системы (39) при произвольных начальных условиях.
3. Применение дискретного преобразования Лапласа для опре-
деления процессов в импульсны к системах при типовых воздейст-
виях. При исследовании импульсных систем автоматического
регулирования обычно интересуются процессами, возникающими
на выходе системы при некоторых типовых воздействиях, при-
ложенных к ее входу. Такими воздействиями являются, например,
единичное ступенчатое и гармоническое воздействия. Применим
^-преобразование для определения реакции импульсной системы
на указанные воздействия при нулевых начальных условиях.
Будем рассматривать систему с одним импульсным элементом,
которая при нулевых начальных условиях описывается уравне-
нием (17), причем передаточная функция системы Ф* (q, е) и
изображение входной величины G* (?) — известны. В этом случае
процесс на выходе системы можно определить по формуле
х [п, е] =	{Ф* (?, е) G* (?))
Воспользуемся этой формулой для определения реакции
импульсной системы на единичное ступенчатое воздействие g (F) =
= 1 (F). Учт ывая формулу (7) § 52, получим
х[п, Е] = ^-’{ф*(?,е)-^}.	(51)
Для вычисления обратного дискретного преобразования Лапласа
применим формулу обращения (24) § 52. Имеем
k
х[п, 8]= Res®* (<7> е)	(52)
где вычеты берутся в полюсе ?о = О и в полюсах q — qv (v=l,
2, ..., k) передаточной функции Ф* (?, е). Будем предполагать,
что все полюсы ?=?v ненулевые. Найдем вычет в точке ?о = 0
по формуле (25) § 52:
Res Ф* (?, е)  /--г I = Ilin Ф* (?, е) е?п = Ф* (0, е).	(53)
е 1 w=«
Определим теперь вычеты в полюсах передаточной функ-
ции Ф* (?, е). Для простых полюсов получим
КезФЧд. „	= Кт Ф* (?,	<	(54)
е 1 ?..?v 1
Учитывая, что функция Ф (?, е) является дробно-рациональной
^5 % Iq g\
по отношению к переменном erj, и обозначая Ф* (?,	,
278
где Р* (q, е), Q* (q) — полиномы относительно переменной ед,
найдем
Res Ф* (q, е)
чп
е
* qn / q
- lim Р (q’	~е
<2* (9) ед-\
_	P*(9v. в) с?„л
Q*(9v)(e^-1)
(55)
Если qv — полюс кратности rv, то соответствующий вычет по фор-
муле (25) § 52 равен
i Zv-1
=------------- lim J,/, _n
(rv—1) 1 <7-»<7v<te ' V J
(/_еМ rv
Ф*(<7, «) 1 g 7 -
е —1
(56)
еч^-l д=^
Выполним дифференцирование функции, стоящей в скобках,
рассматривая ее как произведение функций е'7" и Н* (q, е) =
(е9___________elvYv
= Ф* (q,s) gq_\ • При этом последовательно определим:
(^"Я* <q, е)) =	Я* (q, 8),
d2 / тип \\ ond2H* (q, е) . о о , n dH* (q, е) .
(едпН (q, 8)) = едп —2пед	+
4-п (п — 1) e?(n-2) Н* (q, 8), (57)
d'v 1
de^~^
(е^Н* (q, е)) =
V 1	r —1—i	,	,
2 /V	е) rv _ 1
de(rV -!-/>	I	/'
/=0	“®	\	J
flW eq
где . 1 j — д ^v__ /21. j)| ~~ биномиальный коэффициент, a nV* =
= n (n — 1) ... (n — j -}-1) — факториальная функция; n(0) = 1. Обо-
значим
C7(e)=^^l
v z ael(^
k=<7v’
(58)
тогда выражение для вычета при q = qv примет следующий вид:
КИФ-(9.	=5-^ 2с!.-'-'(е>(г71)'1''’А1"’',=
v	/=0
'’v~1	0) ?«(л-Л
= У Cvr . ,.(8)47-'- j—(59)
/ = 0
279
Если каждый из полюсов qv(y — l, ..., г) передаточной функции
Ф* (q, е) имеет кратность rv, то в соответствии с формулами (52),
(53), (59) получим:
Д,	(/) %(«-/)
х[п, е] = Ф*(0, е)+2 2 Cv-t-/(8)	(60)
v=l/=0
В частности, если все полюсы простые, то формула (60) упро-
щается и принимает вид
где
fe
х [п, е] = Ф* (0, е) + 2 Cv0 (е)
V=1
а (е)
Р* (<?У, е)
Q*(?v)(e’v-0’
(61)
(62)
Выражение (60) определяет реакцию импульсной системы на
единичное ступенчатое воздействие. Первое слагаемое, стоящее
в правой части, описывает установившийся процесс в системе,
а второе — переходный процесс. Из равенства (60) следует, что
в том случае, когда все полюсы имеют отрицательные веществен-
ные части Re qv < 0 (v = 1, ..., k), второе слагаемое в правой
части равенства будет в течение времени стремиться к нулю.
При этом получим выражение для установившегося процесса
в системе
ху [n, е] = lim х [п, е] = Ф* (0, в).
п-»оо
(63)
Таким образом, установившийся процесс в импульсной системе
можно определить непосредственно по ее передаточной функции.
Установившийся процесс можно определить и с< помощью весовой
функции k[n, e] = ^r i {Ф* (</, в)}:
хДп, в] = Ф*(0, в) — k[n, в].	(64)
п=0
Пример 5. Рассмотрим разомкнутую импульсную систему (см. рис. 158).
Предположим, что импульсная переходная функция непрерывной части системы
ku (t) = коё~^‘ (Р^0). Модуляция осуществляется с помощью последователь-
ности прямоугольных импульсов шириной у7’(у<1). Требуется определить
с помощью ^-преобразования реакцию системы на единичное ступенчатое воз-
действие §(/)==! (Z) при нулевых начальных условиях.
Передаточная функция W* (q, в) рассматриваемой импульсной системы
получена в примере 2 (см. формулу (23)). Эта передаточная функция имеет
один простой полюс qv—~ Р Используя формулу (61), получаем следующее
выражение для процесса на выходе системы:
х [п, е] = Г * (0, в) + Со (в) Л".	(65)
Используя для определения коэффициента Со (в) формулу (62), найдем с учетом
формулы (23) реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие. Имеем:
280
а)	при 0 а у
/	1_Р-₽г1-у>	„ \	р-₽_р-р<1-у>
х [п, е] | 1----е“₽Е |---------е ₽(п+Е’;	(66)
\	1 - cP /	е~₽-1
б)	при V «5 8 s£ 1
X [л> е]=-!-е-₽8	__ 1) _ .g_L(gPv~ll (л+8>,	(67)
1—е"₽—1
С помощью элементарных преобразований выражения (66) и (67) можно при-
вести к выражениям (22), (23) § 51 соответственно, полученным другим способом
в примере 2 § 51.
Наряду с рассмотренным методом вычетов для определения
процессов в импульсных системах используется разложение изоб-
ражения процесса в ряд Лорана. Для того чтобы получить такое
разложение, выполним в формуле изображения X* (q, е) про-
цесса х[п, е] замену переменной q на переменную г; обозначим
X* (z, e)\z=ev = X* (q, в) (0^е<1). Предположим, что функция
Хг (г, е) является аналитической в области | г |>еа<:, где ос — абсцисса
абсолютной сходимости, причем точка z — co является для нее
правильной, т. е. существует предел lim Х*(г, е). В частности,
г-* со
если функция X* (г, е) является дробно-рациональной по отно-
р* (z s)
шению к переменной г, т. е. X*(z, е) =	, то степень много-
члена Q* (z) должна быть больше или равна степени многочлена
Р* (г, е). При этих условиях разложение функции X? (г, е) в ряд
Лорана в окрестности точки z — oo содержит только правильную
часть, которая имеет вид (см. § 31)
ОО
X?(г, Е) = 2 Сп(е)(0 <е< 1).
Сравнивая это выражение с формулой, определяющей изображение
Х| (г, е):
ОО
XI (г, е) = У, x[n, e]z-",
л=0
замечаем, что коэффициенты разложения С„(е) определяют зна-
чения процесса х[п, е] при соответствующих значениях перемен-
ных п, е:
С„(е) = х[п, е], п = 0, 1, ..., 0г^е<;1.
Поскольку для функции XJ (1/£, е) = Х1(С> е) точка £ = 0 является
правильной, разложение ее в степенной ряд в окрестности этой
точки будет представлять собой ряд Тейлора и, следовательно,
коэффициенты разложения можно найти по формуле
С„(е) = х[и, е] = ^гХ1*('!)(0, е).
281
Полученная формула уже применялась выше (см. (15) §52). Если
X*(z, е) — дробно-рациональная функция, то коэффициенты С„.(е)
разложения в ряд Лорана могут быть найдены путем деления
многочлена Р* (г, е), стоящего в числителе Х*(г, е), на много-
член Q* (г), стоящий в знаменателе.
Пример 6. Решим с помощью разложения изображения процесса в ряд
Лорана пример 5.
Передаточная функция импульсной системы, рассматриваемой в этом при-
мере (см. формулу (23)), может быть записана следующим образом-
w*in «о(г)е?4-Д1(е)
ь>	еч + bi
где
( (е₽т—Пе-₽е
( О,
в, (в) = <	„ „
I e-₽(e₽'V-e> —1),
у в 1,
О в sgy,
у < в --- 1,
0-С е =< у.
Изображение процесса, возникающего в импульсной системе при приложении
ко входу единичного ступенчатого воздействия, в терминах Z-преобразования
равно
v* _ г (Оо (в) г + «j (в)) а0 (в) г2ф-а, (в) г
г{2'е)	(г-1)(гф-йх) ~ Z2+(Z)1_l)z_frl •
Выполняя деление многочлена а0 (в) г2ф-ах (в) г на многочлен г2ф-(Р1 —-1) г— blt
получаем следующие коэффициенты ряда Лорана:
С0(е) = а0(е),
Сг (е) = Щ (в)—(в) ф- а„ (в),
С2 (в) = (Ot (В) — ЙЩо (в)) (1 — йх)ф-о0 (в),
Подставляя в эти формулы выражения для коэффициентов получаем:	<z0(E), ^(e), blt
г (e₽v—1)е~Ре, Со(в)=х[О, e] = pi_e_₽ej „ ..	.	( (ePv— 1) (I— e~P)<--₽e, 1(e)—X[l, в] —I 1+e-pe(e-3(i-v,_e-p_ c (e) = xr2 el=J (^-l)e-Petl4-e-P(14-e-P)L 2('	J l 1ф-е“Ре[(е“Р<1-¥'—е-Р)(1ф-е-Р)—1],	у в sg 1, 0 e si y; У 8	1, 0 в s'- y; у ss BsS 1, 0 s' в y.
Нетрудно проверить, что найденные значения процесса х [п, в] такие же, как
и в примере 5.
Применим теперь ^-преобразование для того, чтобы определить
реакцию импульсной системы с передаточной функцией Ф* (q, е)
на гармоническое воздействие g[n] = Aj cos (®i« + <p). Сначала
найдем реакцию системы z[n, е] на воздействие /[«] = Л1е^ь>1"+<₽\
а затем рассмотрим вещественную часть х[п, e] = Rea[n, е] полу-
ченного выражения, которая и определяет реакцию системы на
282
воздействие g[n] = Ref[/i]. Изображение входного воздействия
определим по формуле (8) § 52:
F* (<?) = <37 {Д1е'(“*п+<г)} = Л1с'<₽—-——
(68)
В соответствии с формулой (24) § 52 получим
z[п, е] =	|ф* (q, е) А^=
а	/ п
= Аге№ У ResO*(<7, е)—-е--—	. (69)
“0 ?=?v
Здесь вычеты берутся в полюсах qlt qk передаточной функции
импульсной системы Ф* (q, е) и в точке q0 = jss^. Будем предпо-
лагать, что функция Ф* (q, е) не имеет полюсов на мнимой'Оси
плоскости комплексного переменного q. Тогда вычет в точке
<7o = /si равен
' Res Ф* (q, е) —е<?	= Ф* (/аъ е) -	(70)
q=ju>t
Вычеты в полюсах функции Ф* (с/, е) определяются по формуле (25)
§ 52; в простых полюсах qv
Res Ф* (q, е)
Qn
е
е9-е'“*
Чп( Q q\
= lim Ф* (q, е) -	=
<7=<7V	<7—<7V	eQ—eiv>1
_ Р* (gv. 8) e0vn
«•<*»(а-Л)
(71)
в полюсах кратности rv
е?«
Res®*(<?, е)
е«-е/ю«
1
=---------- lim ----. _
(rv—1)! 4-Qv de4( v >
<7 = <7V
Qn
Ф* (q, e) (eQ -	---
(72)
Вводя обозначения
и*/	- ч	Ф*(?. 8)(e‘7-eevYv	/7Q.
И* (q, ыъ е) = —w	,	(73)
О’!®., «)°|«-,г	(?>)
и проводя те же рассуждения, что и при выводе равенства
получим
Res®*(<7, е)
еШ
е«-е!^
''v-1
^v-l-i(ai,
<7 = <7V	f=0
<0 ?v(n»o
e)-^^rajr-
(59),
(75)
283
В частности, для простого полюса qx
СТ(®1, е) = f7;v,e)._v	(76)
Выражение, определяющее реакцию импульсной системы на
воздействие /[п], можно записать следующим образом:
г[п, е] = Л1е'(®»п+^Ф* е) +
h г __________________________1
хл V	(0 ^(п-0
2 <?,--<<».. в) . pt)
V=1 1 = 0
В частности, если все полюсы функции Ф* (q, е) простые, то
А
г[п, е] = Л1е'(й*п+ч>)ф*(/®1, е) + Ае/ч> У, С?(йь е)е<7'’". (78)
v=l
Вели действительные части всех полюсов qx отрицательны, то
второе слагаемое в выражении (77) будет стремиться к нулю
с течением времени, а первое слагаемое будет характеризовать
установившийся процесс в системе
ZjJn, е] = Л1е^“1"+ч>) ф* (/®1( е).	(79)
Рассматривая действительную часть комплексной решетчатой функ-
ции г[п, е], определим реакцию импульсной системы х[п, е] на
заданное гармоническое воздействие. В частности, для установив-
шегося процесса в импульсной системе получим выражение
Ху [п, е] = Re zy [п, е] = А | Ф* (/®i, е) | cos ((дуг + <р + arg Ф* (jG>lt е)).
(80)
Функция Ф* (у®, е), равная передаточной функции Ф* (q, е)
при q = j®, называется амплитудно-фазовой частотной характе-
ристикой импульсной системы. Физический смысл амплитудно-
фазовой частотной характеристики виден из формулы (80). Модуль
этой характеристики определяет изменение амплитуды гармони-
ческого воздействия g[n] = A cos (®1П+<р) при прохождении через
импульсную систему, а ее аргумент определяет изменение фазы
приложенного гармонического воздействия. Таким образом, ампли-
тудно-фазовая частотная характеристика импульсной системы имеет
тот же физический смысл, что и амплитудно-фазовая частотная
характеристика непрерывной системы (§ 39). В отличие от частот-
ных характеристик непрерывных систем частотные характеристики
импульсных систем являются периодическими функциями с перио-
дом 2л, что следует из периодичности изображений:
Ф* (у®, е) = Ф* (у (® + 2лг), е) (r = 0, ± 1, ±2, ...). (81)
Поэтому частотная характеристика Ф* (у®, е) полностью опреде-
ляется своими значениями в интервале шириной 2л. Будем, как
и выше, рассматривать интервал, лежащий в основной полосе
284
—Импульсная система в отличие от непрерывной
описывается семейством частотных характеристик Ф* (/а, е) при
0^е<1, однако в ряде случаев достаточно знать частотную
характеристику при значении е=0.
При исследовании импульсных систем применяются годографы
частотных характеристик Ф* (/а, е).
Пример 7. Построить годограф амплитудно-фазовой частотной характери-
стики разомкнутой импульсной системы (см. рис. 158). В системе осуществляется
модуляция входного сигнала с помощью последовательности кратковременных
импульсов, причем выполняется условие (11) § 51). Непрерывная часть системы
представляет собой апериодическое звено с передаточной функцией (s) =
1
“ + 1 
Передаточная функция рассматриваемой импульсной системы, полученная
в примере 1, равна
W*(q,
eQ—e p
где k—постоянный коэффициент; p ===-—, Полагая ^=/<0, определим ампли-
* i
тудно-фазовую частотную характеристику импульсной системы:
W * (/«, е)=k ——	е-₽е.
е>о)—е р
ImW (/и)
Рис. 171
Лостроим годограф полученной частотной характеристики при е=0. Выраже-
^g/Й
нпе W*(ja)=—=-----— определяет отображение единичной окружности г=е/и
—е р
(—лссо^зг) с помощью дробно-линей-
л
ной функции IF1 (г)= Гр. Известно
(см. § 25), что дробно-линейная функция
отображает окружность либо в окруж-
ность, либо в прямую. Прямая полу-
чается в том случае, когда полюс 2 — е ₽
функции 117* (г) лежит на отображаемой
окружности, или, что то же самое,
точка q=—р лежит на мнимой оси.
Поскольку р — положительное веществен-
ное число, то функция W\ (г) отобра-
жает окружность в окружность. По фор-
муле (31) § 52 имеем W* (j(£>) = W* (— /<о)- Из этого равенства следует, что при
изменении знака у аргумента <о действительная часть функции W* (j<o) остается
без изменения, а мнимая часть меняет знак, т. е. годограф функции U7* (/ы)
симметричен относительно вещественной оси. Поэтому обычно строят только
половину этого годографа при О^со^л. При <о=0 и <о = л частотная харак-
теристика W* всегда принимает действительные значения, что следует
из формулы ^"-преобразования (1) § 52. В рассматриваемом примере
А	Ь
^*(/0)=—Цг, №*(/л)= —.
’	1 —е р	1 -|-е 1
Таким образом, годограф W* (до) является окружностью (рис. 171) с центром,
Г* (/0) + 1Г*(/л) k
расположенным на вещественной оси в точке с=-	----—- = —--—.
2
285
При построении годографов амплитудно-фазовых частотных
характеристик разомкнутых импульсных систем можно восполь-
зоваться соответствием между амплитудно-фазовыми частотными
характеристиками импульсной системы и приведенной непрерыв-
ной части. Это соответствие задается формулой прямого ^-пре-
образования при q = /со (см. формулу (7) § 54):
W*(/co, е)= 2 W (/(ю + 2пг))е^(^+2п'К	(82)
Г ——со
Можно также использовать формулу (9) § 54, в которую войдет
амллитудно-фазовая частотная характеристика приведенной непре-
рывной части в обычном масштабе частоты со:
Р7*(/<оТ, s) = | J ^1(/(<о + г<Оо))еЕГ/<“+^.	(83)
со
Если известны действительная и мнимая части частотной харак-
теристики приведенной непрерывной части, то целесообразно при-
менить следующие формулы, котопые вытекают из равенства (83):
Re W* е) = у Re Wj (j (со + rcoo)) eeTi(-a+ra«\	(84)
г = — co
Im F (/coT, e) = у j? Im O’ + Г(й<МeE77(“+rc4	(85)
Г =— co
В частности, при е = 0 получим*':
ОО
ReW*(/coT) = l ReWxGVco + rcoo)), (86)
г — — со
ImW*(/coT) = y j? Im ^(/(со + гсоо)). (87)
г —— со
Таким образом, для определения частотных характеристик
импульсной системы Re Й7* (/соТ) и Im W* (/соТ) достаточно про-
суммировать соответствующие частотные характеристики приве-
денной непрерывной части Re (/со) и Im Wi (/со), смещенные
на гсоо (г = 0, ± 1, ±2 ...). На рис. 172, а изображены частот-
ные характеристики Re W* (/соТ) и Im W* (j<£>T) импульсной си-
стемы, построенные в соответствии с формулами (86) и (87)
по частотным характеристикам приведенной непрерывной части
Re I?7! (/со) и ImWxG’co), изображенным на рис. 172,6.
*> См. замечание на с. 256.
286
Зная вещественную и мнимую части функции W* (/П, г),
можно построить годограф амплитудно-фазовой частотной харак-
теристики, а также амплитудно-частотную | W* (jio, е) | и фазо-
частотную arg W* (/w, е) характеристики импульсной системы.
Заметим, что при увели-
Т Re W *(j ы)	чении частоты повторения
2л
и0=у, частотные характери-
стики разомкнутой импульс-
ной системы в интервале
частот — у < о < у прибли-
жаются к частотным харак -
теристикам приведенной не-
прерывной части. Предполо-
жим, что с достаточной для
‘ МОЛ
практики точностью можно считать, что частотная характеристи-
ка приведенной непрерывной части обращается в ноль начиная
с некоторой частоты <ос, т. е.
|	(/со) | = 0 при |(д|>юс.	'	(88)
Выберем частоту повторения <оо из условия юо^2сос. На рис. 173
показано/ что в этом случае частотные характеристики разомк-
нутой импульсной системы совпадают на интервале частот | о I <
<соо — (ос с частотными характеристиками приведенной непре-
рывной части с точностью до постоянного коэффициента у.
Глава XVIII
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 57. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Основные теоремы об устойчивости решений систем линей-
ных разностных уравнений. Понятие устойчивости по Ляпунову
решений разностных уравнений вводится по аналогии с понятием
устойчивости решений дифференциальных уравнений. Для раз-
ностных уравнений можно доказать те же основные теоремы
об устойчивости, которые справедливы для дифференциальных
уравнений. Методы исследования устойчивости, которые были рас-
смотрены в гл. VI при изучении дифференциальных уравнений,
в большинстве случаев могут быть использованы и в случае раз-
ностных уравнений.
Будем предполагать, что система разностных уравнений может ,
быть записана в нормальном виде:
хг[/г+1] = Л[/г, Xj.[n], .... xk[n]] (t = l, 2, .... k),	(1)
причем функции F, [п, xL, ..., х-/,] определены при всех значениях
своих аргументов п, хх, .... xk, ограничены и однозначны. В этом
случае решение системы разностных уравнений (1) с начальными
условиями Xifn0] — xi0 (i = l, 2, ..., /г), существует и единственно.
Запишем систему (1) в векторном виде:
х[п + l] = F[/r, х[п]],	(2)
где х[пф 1] — вектор-столбец с компонентами хг[п4-1] (i = l,
2, .... k), a F[n, х [«]] — вектор-столбец, составленный из функ-
ций Fi[n, %i[n], .... %л[/г]]. Введем норму вектора х[п] по фор-
муле	________
=	(3)
Теперь можно определить устойчивость по Ляпунову произволь-
ного решения g[n] векторного уравнения 12) с начальными усло-
виями |[ц0]-
Решение |[/г] уравнения (2) называется устойчивым, если для
любого е > О существует такое б > О, зависящее от е и от п0,
что любое решение <р[п], для которого при п = п0 справедливо
неравенство
II ф [«о] -g[no]|| <6,	(4)
удовлетворяет при всех значениях дискретного аргумента п^ п0
условию
ЙФИ-Н’«111<е-	(5)
288
Решение g [и] разностного векторного уравнения (2) называется
асимптотически устойчивым, если оно устойчиво, и, кроме того,
существует такое число Н>0, что из условия [<p[tto]-~ 1[яо]11<
<// следует
lim И [«]-!№ = 0.	(6)
Я—>00
В этом параграфе рассматриваются только линейные системы
разностных уравнений, имеющие вид
k
Х/[/г4-1]= У,	+ /<[»] (i = l, 2, .... k),	(7)
/=1
или в векторной форме
X [п 4-1 ] = А [п] х [п]+/[«], '	(8)
где А [п] — матрица с элементами ai} [и] (i = 1, ..., k\ j—1.k);
/[«] — вектор-столбец с элементами ft|ц] (i = I, 2, ..., k).
Система линейных разностных уравнений (8) называется устой-
чивой, если устойчивы все решения системы. Условие, при кото-
ром система (8) является устойчивой, определяется следующей
теоремой.
Теорема 1. Линейная система разностных уравнений (8) устой-
чива tnoedfl и только тогда, когда устойчиво тривиальное решение
соответствующей однородной системы
х[/гф-1] = А[п]х[п].	(9)
Доказательство. Докажем сначала достаточность усло-
вия теоремы. Пусть тривиальное решение х[п] = 0 однородной
системы (9) устойчиво. Тогда для любого е>0 существует 6(е, п0)>
>0 такое, что для произвольного решения g [/г] системы (9),
удовлетворяющего условию |||[«о] || <6, имеет место неравенство -
g[n]||<e при всех значениях п^п0.
Исследуем устойчивость произвольного решения <р [и] неодно-
родной системы (8). Выберем решение ф [nJ системы (8) из усло-
вия || ф [и0] — ф [«о!| < 6 и оценим норму разности ||ф [»] — <₽[«] ||.
Нетрудно проверить, что разность ф [/г] — ф [п] является решением
однородной системы (9). Поэтому из предыдущего получим, что
||ф[п]— ф[/г]|| при п^г-п0. Следовательно, решение ф [и] —
устойчиво.
Теперь докажем необходимость условия теоремы. Пусть устой-
чиво произвольное решение ф[п] системы (8). Тогда для любого
е>»0 существует такое число б(е, м0), что для произвольного
решения ф[п] системы (8), удовлетворяющего условию ||ф[/10]—
— ф[/го]Н<^» справедливо неравенство || ф [и] — ф [п] || < е. По-
скольку функция | [п] = ф [п] — ф [и] является решением однород-
ной системы (9), то получаем отсюда условие устойчивости три-
виального решения системы (9): для любого е>0 существует
такое б(е, п0), что из условия || g [п0] || < 6 следует, что ||g[n]||<
<8. 
10 ч/р. Чемоданова Б. К„ т. 2
289
Аналогично может быть доказана теорема об асимптотической
устойчивости.
Теорема 2. Линейная система разностных уравнений (8)
асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда асимп-
тотически устойчиво тривиальное решение однородной си-
стемы (9).
Доказанная выше теорема 1 сводит задачу об исследовании
устойчивости неоднородной системы разностных уравнений к иссле-
дованию устойчивости соответствующей однородной системы, ко-
торая, в свою очередь, определяется устойчивостью тривиального
решения.
Как и в случае линейных систем дифференциальных уравне-
ний (см. § 18), для систем линейных однородных разностных
уравнений существует связь между ограниченностью решений и
их устойчивостью.
Теорема 3. Линейная однородная система разностных уравне-
ний (9) устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения
ограниченье
Доказательство этой теоремы, а также последующей теоремы 4
принципиально ничем не отличается от доказательства аналогич-
ных теорем для системы дифференциальных уравнений. Теорема 3
позволяет существенно упростить исследование устойчивости ли-
нейных систем разностных уравнений, так как ограниченность
решений этих систем можно установить непосредственно по виду
общего решения.
Условия асимптотической устойчивости однородной системы
разностных уравнений содержатся в следующей теореме. /
Теорема 4. Линейная однородная система разностных уравне-
ний (9) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда
все ее решения стремятся к нулю при п->оо.
Эту теорему также примем без доказательства.
2. Устойчивость систем линейных разностных уравнений С по-
стоянными коэффициентами. Для систем линейных разностных
уравнений с постоянными коэффициентами всегда можно найти
общее решение однородной системы. Используя теоремы 1, 2 и 3,
можно сделать вывод об устойчивости системы по виду общего
решения. Рассмотрим однородную систему разностных уравнений
с постоянными коэффициентами
x[n-pl] = Ал[п],	(10)
где А — [ау] (i = l, ..., k, j—l, ..., fe) —матрица постоянных
коэффициентов. Условия, при которых система (10) устойчива,
определяются следующей теоремой:
Теорема 5. Для устойчивости линейной однородной системы
разностных уравнений с постоянными коэффициентами (10) не-
обходимо и достаточно соблюдение следующих двух условий:
1) все характеристические, числа матрицы А по модулю
не должны превосходить единицу, пг. е, |Х,-|=С1;
290
2) характеристически м числам, модули которых равны еди-
нице, должны соответствовать простые элементарные делители
матрицы А.
Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, пре-
образуем систему уравнений (10). Выполним замену векторной
переменной х[п] в этой системе но формуле
л[п] = Ву[«], '. а (11)
где В —матрица невырожденного преобразования, приводящего
матрицу А к жордановой форме (см. § 6)
J-B-'AB.	(12)
Получим новую систему разностных уравнений с жордановой
матрицей J:
Я»+1] = -№1-	(13)
На главной диагонали матрицы J расположены корни харак-
теристического уравнения
(Ы(Л-Х£)=0.	•	(14)
Решение системы (13) определено в § 50, где было показано, что
элементарному делителю (X —матрицы А соответствуют ком-
поненты решения yi+1 [п], ..., yi + [п], определяемые форму-
лами (36) § 50. Заметим, что каждая из компонент (Z =
= 1, ..., г/) может быть записана в виде
f/,.+z[n] = Pr._z[n]X; (Z = k, 2, rj),	(15)
где Pr.—i[n] — многочлен степени rj — l относительно перемен-
ной п. При этом простому элементарному делителю (А — Х5) соот-
ветствует компонента решения
f/s[n] = csX",	(16)
где cs — постоянная величина.
Решение х[п] исходной системы разностных уравнений (10)
устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво решение си-
стемы (13). Зуо легко проверить, используя определение устойчи-
вости по Ляпунову и невырожденность матрицы В. Поэтому до-
казательство теоремы 5 можно провести для системы разностных
уравнений (13).
Доказательство теоремы 5. Докажем сначала доста-
точность условий теоремы. Пусть выполнены условий 1 и 2, тогда
компоненты Ум[п] (/=-1, ..., /у) решения системы (13), соответ-
ствующие корням характеристического уравнения (14) с модулем
|Х; । < 1, могут быть представлены в виде (15). Компоненты ре-
шения «/s[n], соответствующие корням, модули которых |XS| = 1,
могут быть представлены только в виде (16), поскольку этим
корням соответствуют по условию простые элементарные дели-
10*
291
тели (Tv—X,) матрицы А. Функции г/ш[п] (/=1, 2, .... /у) стре-
мятся к нулю по модулю при бесконечном увеличении аргумента п:
lim\ум[я]|= lim \Pr i[n] |Х/|" = 0.	(17)
Функции ys [и], соответствующие характеристическим .корням,
равным по модулю единице, ограничены. Действительно, из фор-
мулы (16) получим
IM«]l = |c/?l = lcs|<°°'	О8)
Из условий (17) и (18) следует, что каждое решение у[п] си-
стемы (13) ограничено по норме
IIу [«] II =	Д И < °°-	(19)
Учитывая теорему 3, получим отсюда, что система (13) устойчива.
Теперь докажем необходимость условий теоремы. Пусть устой-
чива линейная однородная система разностных уравнений (13),
но тем не менее не выполняется условие 1, т. е. существует
характеристический корень 1Р, больший по модулю, чем единица:
| кр | > 1. Тогда любая из компонент (15) решения, соответствую-
щая этому корню, неограниченно возрастает при я->оо, т. е.
lim \ум [я][ = lim j Рг /[п]Щ
«—♦со	п->со Р
lim IP, _/[я],(А.р|и=оо.
«—♦со	‘
Таким образом, приходим 'к противоречию с предположением
об устойчивости системы (13).
Пусть теперь не выполняется условие 2, т. е. существует
характеристический корень к/ с модулем, равным единице | Ау | = 1,
которому соответствует элементарный делитель (к — kj)ri кратности
/у > 1. Тогда корню к, будут соответствовать компоненты реше-
ния у[п] системы (13), определяемые формулами (15). Из этих
компонент только одна остается ограниченной при бесконечном
увеличении аргумента п:
|^+9[«] | = |^7 | = |с01<°о,
где с0 — постоянная величина. Остальные компоненты реше-
ния у[п] неограниченно возрастают:
lim |t/z+z[n]| = JimJPz./_/[n]X7|=	»
= lim \Pr.-i[я] |l^/|"= Hm \Pr z[n]| = oo,
п-»оэ '	n-t-w '	1
Следовательно, мы приходим к противоречию с условием устой-
чивости системы разностных уравнений (13).
Необходимость условий теоремы доказана. 
Выясним теперь, при каких условиях линейная система раз-
ностных уравнений с постоянными коэффициентами устойчива
асимптотически.
292
Теорема 6. Линейная однородная система разностных уравне-
ний с постоянными коэффициентами (10) устойчива асимптоти-
чески тогда и только тогда, когда все характеристические числа
по модулю строго меньше единицы: jZ,1<Z 1 (i = l, 2,	k).
Доказательство. Достаточность условий теоремы сле-
дует из рассмотрения общего решения системы (13), которая
является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда
асимптотически устойчива система разностных уравнений (10).
При выполнении для всех характеристических чисел условия
|Xf|<l все компоненты (15) решения у [п] системы (13) стремятся
к нулю. Следовательно, для любого решения выполняется ра-
венство
lim (|y[n]J = O.
п —♦ оо
Отсюда с учетом теоремы 4 и следует, что система (13) асимпто-
тически устойчива.
Докажем необходимость условий теоремы. Пусть система (13)
асимптотически устойчива. Тогда она устойчива и, следовательно,
по теореме 5 все характеристические числа удовлетворяют нера-
венству | |	1. Допустим, что найдется характеристическое
число 7.Л, модуль которого равен единице (|X,S| = 1). Тогда среди
компонент решения (15), соответствующих этому числу, найдется
решение	= где с0 = const. Модуль этого решения
остается постоянным при п -> оо: tji 4-[/г] | = | с0|. Следовательно,
функция f/i+rs[«] не стремится к нулю при /г->оо. Поэтому и
решение системы (13) не стремится к нулю. Полученное
противоречие доказывает, что для характеристических чисел
выполняется строгое неравенство |1J<;1 (i = l, 2, ..., k). 
Все теоремы об устойчивости, сформулированные для линей-
ных систем разностных уравнений, справедливы и для одного
разностного уравнения порядка k, которое может быть сведено
к нормальной системе k уравнений первого порядка вида (22) § 50.
Устойчивость однородного разностного уравнения с постоян-
ными коэффициентами
Ь$х [п-ф -ф [и -ф й — 1 ]-ф...-ф bk~i£[п -ф1 ] bkx[/1] = 0 (20)
в соответствии с теоремами 5 и 6 определяется корнями харак-
теристического уравнения, которое в этом случае имеет вид
&о^-ф^-* + .,.-фЬА_1Х + ^ = О.	(21}
§ 58.	МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1.	Постановка задачи об исследовании устойчивости импульс-
ных систем. В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением
линейных импульсных систем с постоянными параметрами. Такие
системы автоматического регулирования можно описать посред-
293
ством системы линейных разностных уравнений
x[n+A] = Ax[n]+Z?g’[n],	(1)
где х[п] и §•[«] —вектор-столбцы выходных и входных коорди-
нат системы соответственно; А и В —постоянные матрицы (см. §51),
Импульсная система автоматического регулирования называется
устойчивой, если устойчива соответствующая система разностных
уравнений (1).
Для системы разностных уравнений (1) справедлива теорема 1
предыдущего параграфа, в силу которой устойчивость системы (1)
определяется устойчивостью тривиального решения однородной
системы
х[«+ 1] = Ах[п].	(2)
Устойчивость однородной системы (2) разностных уравнений
в соответствии с теоремой 5 § 57 определяется характеристиче-
скими числами Х; матрицы А, удовлетворяющими уравнению
det (А-ХЕ) = 0.	(3)
Задача об исследовании устойчивости импульсной системы, таким
образом, сводится к исследованию корней характеристического
уравнения (3).
Ниже рассматриваются методы, позволяющие установить,
удовлетворяют ли корни характеристического уравнения усло-
виям теорем 5 и 6 § 57, не вычисляя самих корней. 
2.	Алгебраические критерии устойчивости. Запишем характе-
ристический многочлен системы разностных уравнений (2) в виде
det (А - ХЕ) = D (X) = Ь<№ + btf-’ +... + bk-^ + bk.	(4)
Алгебраические критерии устойчивости представляют собой усло-
вия, налагаемые на коэффициенты bt (t = 0, 1,..., k) этого
многочлена, при выполнении которых нули многочлена D (X)
лежат внутри круга единичного радиуса |Х|^1. В теории
импульсных систем находит применение критерий Шур — Кона*,
основанный на вычислении последовательности определителей:
bo 51	0 b0	0 0	0 0	bk 0	bk-i bk	bk-2  bk-i • 	bk-m + bk-m±
btn -1	btn	-2 bm-3	bo	0	0	0	..	bk
bk	0	0	0	bo	51	bz	bm-i
bk-i	bk	0	0	0	bo	5, ..	btn-2
! • • ^k—tn+'l	bk	-m+2 bk-m + Э • •	bk о		0	0	...	bo
*' Mar den М. The Geometry of Zeroes of a Polynomial in a Complex
Variable. New Jork, 1949.
294
где bj, j = 0, 1,..., & —величины, комплексно-сопряженные
по отношению к Ьр т=1, 2,.-.., k. Если все определители Дт,
т=1, 2,	, k отличны от нуля, то многочлен О (А) не имеет
нулей на единичной окружности |Х| = 1, а число его нулей,
расположенных вне единичной окружности, равно числу перемен
знака в последовательности 1, Дь Д2, .... Дй, Отсюда следует,
что все нули характеристического многочлена лежат внутри
единичного круга, если число перемен знака в указанной последо-
вательности равно нулю, т. е. Am>0 (m—1, 2,... , k). Это и
есть алгебраический критерий устойчивости импульсной системы,
описываемой разностными уравнениями (2).
Ограничиваясь случаем, когда коэффициенты характеристи-
.ческого многочлена вещественны, заметим, что определители Дт
можно рассматривать
как определители блочных матриц
Am —
Вдт
Bkm
Bkm
Вот '
определителя Дт
Поскольку BOmBkm = BkmBOm, то для вычисления
может быть использована формула*1
А/п — I ВотВот BftmBkm
Пример 1. Определить условия устойчивости для
многочлена второй степени D (Х) = К,?.2-{-6Д-|-Ь2.
Составим определители Дт (т = 1,2):
=1‘: £!-•»-*
характер исти ческого
Ат
Ла —
Ьо
Ь>
bi
bl
О
bo
О
/>2
bi
о
Ьо
о
bi
t>2
&1
Ь0
=(Ь1-ь^-ьиьг-ь^.
Запишем
условия устойчивости по критерию Шур — Кона:
bl-bl > 0, (bi-b-r-bUbi-b^X).
При выполнении этих условий нули заданного характеристического многочлена
лежат внутри единичного круга.
Г а нт м а хер Ф. Р. Теория матриц. «Наука», 1966, с. 59.
295
Определители Аш имеют 2m строк и 2m столбцов, (т=1,
2,	, /г), поэтому трудоемкость их вычисления быстро возрастает
при увеличении степени k характеристического многочлена.
Вспомним, что алгебраический критерий устойчивости Гурвица
(см. § 18) требует вычисления определителей, имеющих только т
строк и т столбцов. В связи с этим целесообразно рассмотреть
способ применения критерия Гурвица для исследования корней
характеристического уравнения (3).
Критерий Гурвица позволяет оценивать расположение корней
характеристического многочлена D (л) относительно мнимой оси
плоскости комплексного переменного X. Однако для исследова-
ния устойчивости разностных уравнений требуется определять рас-
положение корней характеристического многочлена относительно
окружности единичного радиуса в
плоскости комплексного перемен-
ного X. Отсюда следует, что крите-
рий Гурвица можно применить в ин-
тересующем нас случае, если выпол-
нить конформное отображение пло-
скости комплексного переменного к
на плоскость комплексного перемен-
ного w таким образом, чтобы еди-
ничная окружность |Х|==1 перешла
в мнимую ось на плоскости перемен-
ного w, а внутренность единичного
круга | X | < 1 отобразилась на левую полуплоскость Re w < О
(рис. 174). Такое отображение выполняется с помощью дробно-
линейного преобразования
1 —W
(5)
Выполняя замену переменной по формуле (5) в многочлене £>(Х),
получим
, /1+®\л	/14-ю \	D,_(w)	„
6о\Т^7 J + • • • + Ofe-1 (jZZIp +?*-(!-W)k >	(b)
где Di (w) — многочлен степени k от новой переменной w:
Di(w)= aowk 4- aiWk-1 +... 4- ak _ iW 4- ak.	(7)
Например, при k — 2 из соотношения
D1(w)—b0(l 4-w)2 4-^(1 4-w) (1 — w) + &2 (1 ~w)2 —
=c0№24'«i^4*«2
найдем
Оо — Ь2— bi~l~b0, cii~—2b2~\~2b0, c2 — Ь^ 4- bi 4* b0.	(8)
Заметим, что нули 7, многочлена D (к) отображаются в нули wt
многочлена DY(w) в соответствии с формулой	Таким
296
образом, нули многочлена D (X), лежащие внутри единичной
окружности на плоскости X, отображаются в нули многочлена
лежащие в левой полуплоскости переменного w
Исследование расположения нулей многочлена (ш) можно
производить с помощью критерия Гурвица. Составим совокуп-
ность определителей Гурвица
Яг а0
аз аа
Д3 =
С?1 Цо О
а3 а2 аг
аъ at а3
— бд, Д2 —
«1	а0	0	...	О
а3	<г2	о-i	•••	О
Цд	Ц4	С13	...	О
О	0	0	...	аь
Без ограничения общности можно считать, что а0 > 0 и oft=7^0.
Тогда, согласно теореме Гурвица, для того чтобы все корни
многочлена D± (w) имели отрицательные вещественные части,
необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были
положительны.
Д;>0 (i==l, 2, ... , k).
(Ю)
При этом, как показано выше, все корни X; характеристического
многочлена D (X) лежат строго внутри круга единичного радиуса:
|Х,|< 1 (/ = 1,..., k).
Пример 2. Проверить, лежат ли все корни многочлена О (Х) = 1 + ЗХ + 10Х2
внутри единичного круга | X |	1.
Перейдем к переменной w в соответствии с формулой (5):
Z>i (в») = aovi?+atw + о2.
Коэффициенты аа, а1г а2 найдем по формулам (8):
а0—Ь0—61 + 62=8, Oi=260 — 262= 18, а2 = 62 + 61 + 60= 14;
тогда £>! (ш) = 14 +18w + 8ш2.
Теперь можно составить определители Гурвица и проверить, выполняется
ли условие Гурвица:
а0>0, Д1 = «1^18>0, Д2 = П1 ““Ы’о
| и tig I I и 11
Таким образом, условие теоремы Гурвица выполняется. Следовательно,
все корни многочлена D (X) лежат внутри единичного круга.
Пример 3. Исследовать расположение корней многочлена D(X)=1|-6X +
+ 5Х2+ЗХ3 относительно единичной окружности | X | = 1.
Для того чтобы применить теорему Гурвица, выполним замену перемен-
ной (5) и определим коэффициенты о0, щ, а2, а3 многочлена /Д (ш); получим
Ci (ш) = о0ш3 + щш2+о2в» + о3,
где	*
а0~ 60 — 6j + 62 — 6g = 3, О} — 360 — 61 — 62 + 36g = 1,
О2 = 36о+ 61-62-36д= 5, Од= 60+ 61 + 62 + 6д = 15
Найдем значения определителей Гурвица:
Д1=«1=1>о, д2=Р1 а°\
I Og О2 I
Определитель 'гретьегг> порядка можно не исследовать, так как условия
теоремы Гурвица уже не выполнены: Д2<0. Следовательно, по крайней мере
один из корней ..многочлена D (X) лежит вне единичной окружности.
297
3.	Исследование устойчивости с помощью принципа аргумента.
Согласно принципу аргумента (см. § 33), число N корней много-
члена £)(Х), лежащих внутри единичной окружности, равно числу
полных оборотов вектора D (X) вокруг начала координат при
однократном обходе точкой X единичной окружности | X | = 1
в положительном направлении, т. е.
A arg D (X) = 2nN ( —л <argX-<; л; |Х|— 1).	(11)
При этом предполагается, что .многочлен О(Х) не имеет корней
на самой единичной окружности. Если число полных оборотов
вектора D (X) равно k, где k — степень многочлена, то в соответ-
ствии с принципом аргумента все корни Xz многочлена D (X)
лежат строго внутри единичной окружности, т. е. | Х;| < 1 (i =
= 1, ..., k).
Для того чтобы воспользоваться принципом аргумента, поло-
жим X = е'а. При изменении ® в пределах - л л мы полу-
чим окружность единичного радиуса в плоскости комплексного
переменного X. Заменяя переменную в характеристическом много-
члене (4) по формуле Х = е/’“, будем иметь
D (е»®) = Ьое'‘-'ы	+	+	+	(12)
Теперь можно построить годограф вектора D (е/о) и применить
условие (11). Поскольку справедливо оавенство D (е~/е>) — D (е'“),
годограф вектора D(eia) при значениях — л <(?><:л симметричен
относительно, вещественной оси. Поэтому достаточно построить
только половину годографа при значениях аргумента ®, изме-
няющихся от 0 до л. Заметим, что годограф D(e’a) принимает
вещественные значения при ® = 0 и при со = л:
k	k
D |Го=0 = J] bi, D (e*)	= £ (- 1)*-' bt.
i—0	. <о=л i=0
Принцип аргумента целесообразно сформулировать следующим
образом: число N корней многочлена D (X), лежащих внутри еди-
ничной окружности, равно где г —число квадрантов, обходи-
мых последовательно в положительном направлении годографом
D (е’а) при изменении переменной й от 0 до я:
A arg £> (е/о) = л/V = у л (0<ы<л).
Из принципа аргумента следует критерий асимптотической
устойчивости: для того чтобы многочлен D (X) степени k имел
все корни строго внутри единичного круга, необходимо и доста-
точно, чтобы годограф D (efb>) при изменении ы от 0 до л обхо-
298
дил 'последовательно в положительном направлении 2k квадран-
тов, т. -е.	'
A arg О (е;’“) = л/г = 2й~ (0 G5 л).	(13)
Примеры годографов, удовлетворяющих этому условию при й=1,
2, 3, показаны на рис. 175,
граф, который при k = 3
названному условию не
удовлетворяет. Многочлен,
соответствующий этому годо-
графу, имеет один корень,
лежащий вне окружности
|Х|=1, поскольку для него
A arg D (е/ш) = 4 ~ = 2л
(0?Сб)=с л),
и, следовательно, число кор-
ней, лежащих внутри еди-
ничного круга, равно N = 2.
Прежде чем приступать
к построению годографов
D(e'a), надо проверить необ-
ходимые условия, при кото
рых все корни характеристи-
ческого многочлена лежат
внутри единичного круга.
Этч условия следуют из принципа аргумента и имеют следую-
щий вид:
£>(е/и)|Б=оХ£>(е'“)|й=л<О —для нечетного k;	(14)
С(£?'и)|й=оХЩе/“)|й=л>О —для четного k.
Если условия (14) не выполнены, то многочлен D(Z) заве-
домо имеет по крайней мере один корень вне единичной окруж-
ности. Если же условия (14) соблюдаются, то следует восполь-
зоваться необходимым и достаточным условием (13).
Рассмотренный критерий устойчивости импульсных систем
автоматического регулирования аналогичен критерию Михайлова
в теории непрерывных систем автоматического регулирования
(см. § 40).
Иногда для исследования устойчивости импульсных систем
целесообразно применить теорему Руше (п. 3 § 33), которая
также основана на принципе аргумента.
Разделим характеристический многочлен D (/.) на два слага-
емых D (/.)=- F (X) + G (/.) таким образом, чтобы на единичной
окружности | Л | = 1 выполнялось' неравенство | F (X) | > | G (л) I.
299
В соответствии с теоремой Руше число корней многочлена D(k)
внутри единичной окружности равно числу корней внутри этой
окружности многочлена F (Z).
Пример 4. Определить, сколько корней многочлена D (X) лежит внутри
единичной окружности: a) D (Х)= 10Х24-ЗХ-р 1; б) D (Л) = Л34-4X2—X—(-1.
а)	Положим F (Х) = 10Х2, G(X) = 3X-pi, тогда при |Х| = 1	, х
|F(X)| = 10, | G(X)| ==:3 | X |4-1=4,
т. е. | F (к) > | G (X) По теореме Руше, внутри единичного круга лежат оба
корня многочлена D (X).
б)	Выберем в этом случае F (Л) =4Х2 —X, G(X)=X34-1. На единичной
окружности
| F (X) | = l 4Х2 —X | Э=| 4 | X |2—| X [ |=3, | G (X) |	| X |34-1 =2.
Таким Образом, 1 F (X) I > | G (X) |. Многочлен D (X) имеет внутри единичной
окружности столько же корней, сколько многочлен F (X), т. е. два корня.
4. Критерий Найквиста. Рассмотрим замкнутую импульсную
систему (см. рид. 165), содержащую импульсный элемент в цепи
ошибки. Обозначим передаточную функцию разомкнутой импульс-
ной системы через W* (д, е). Передаточная функция замкнутой
системы определяется формулой (16) § 56:
®*<«' 8>~SHr	(15)
Положим
г*^’е)=^Г-	<16)
где Р* (д, е) и Q* (д) — многочлены от е9 степени I и k соответ-
ственно	тогда получим
Ф*(9’ е) = ^У%Г’	<17>
где D* (д) — Q* (д) -|- Р* (д, 0). Функция D* (д) является много-
членом относительно переменной ед. Вводя обозначение А = е9,
можно записать:
D* (?) |х=е? = Dt (ft = b^ +	4-... 4-	4- bh. (18)
Многочлен £>i(Z) является характеристическим многочленом для
разностного уравнения порядка k, описывающего импульсную
систему.
Рассмотрим критерий устойчивости импульсных систем, ана-
логичный критерию Найквиста в теории непрерывных систем
автоматического регулирования (см. § 40). Этот критерий позво-
ляет судить об устойчивости замкнутой импульсной системы по
годографу амплитудно-фазовой частотной характеристики разомк-
нутой системы. Положим в выражении передаточной функции
разомкнутой импульсной системы Х, = е9, е = 0 и введем обозна-
чение
(15)
300
где Pt(P) = Р* (q, 0) |л=е«, Qi (X) = Q* fa) |х=А Преобразуем это
выражение следующим образом:
W1™)	QtQJ	1-	fafa
Воспользуемся теперь принципом аргумента. Найдем приращение
аргумента вектора 1 + Wt (X), когда переменная X совершает
однократный обход единичной окружности | X | = 1 в положитель-
ном направлении:
Л arg (1 + Wt (X)) = A arg Dt (X) - A arg Qt (Л)
(J X| = l, —n<argX=C-n).
Пусть передаточная функция разомкнутой импульсной системы
W* (q) имеет т полюсов в правой полуплоскости. Тогда функция
Wt (X) имеет т полюсов вне единичного круга. Согласно прин-
ципу аргумента получим
A arg Qt (X) = 2л (k — т) (| X ] = 1, —3i<argXo). (22)
Пусть замкнутая система устойчива. Тогда все корни харак-
теристического многочлена Dt (X) лежат внутри единичного круга.
Учитывая, что порядок многочлена Dt (X) совпадает с порядком
многочлена Qt (X), будем иметь
A arg Dt (Р) = 2nk (|Х| = 1, —n<argX=^n). (23)
Подставляя (22) и (23) в уравнение (21), найдем
A arg (1 -ф Wt (Р)) = 2л/г - 2л (k — m) = 2пт (24)
(|Х| = 1, —n<argX=Cn).
Получено условие устойчивости замкнутой импульсной системы.
Полагая Х = е'“, перепишем последнее условие в окончательном
виде:
A arg (1 + W* (у®)) = 2лт (—л<®=^л).	(25)
Поскольку справедливо условие W* (— ja) = W* (ja), то годограф
вектора W* (ja) симметричен относительно вещественной оси.
Таким образом, достаточно построить только половину этого
годографа и применить полученное условие устойчивости при
A arg (1 + W* (ja)) = пт (Ь^Сы^Сл).	(26)
Переходя от вспомогательной функции 1 -j- W* (ja) к годог-
рафу амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой
импульсной системы W* (ja), можно сформулировать условие
устойчивости (26) следующим образом: для того чтобы замкну-
тая импульсная система была асимптотически устойчива, необ-
ходимо и достаточно, чтобы годограф W* (ja) при изменении
301
переменной ffi в пределах от 0 до п обходил точку (—1, /0) после-
довательно в положительном направлении у раз, где т —число
полюсов передаточной функции разомкнутой системы W* (q),
расположенных в правой
полуполосе	(Re q > 0,
— л < Im q С л).
Если, в частности,
разомкнутая система
устойчива, то т = 0.
В этом случае замкнутая
импульсная система
устойчива, если годограф
W* (/й) не охватывает
точку (—1; /0) при из-
менении <5 от 0 до л.
Примеры годографов
IE* (/®) устойчивых си-
стем при различных
Рис. 176	значениях числа т при-
ведены на рис. 176.
Пример >5. Найти условие устойчивости замкнутой импульсной системы
(см. рис. 165). Модуляция осуществляется с помощью последовательности
прямоугольных импульсов шириной уТ (у <; 1). Передаточная функция непре-
рывной части равна WИ1 («) = •=——j-,	.
i 1s т1
Передаточная функция разомкнутой импульсной системы описывается фор-
мулами (23) § 56. В частности, при е = 0
г0>=1	= e-P(ePv-l)
с?—еЯ - е~Р ’
где Р=^г.
302
Построим годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики
Л
W * (/«) =	(e₽V — 1) —-—?----, 0 и sg st-
е/®_е-Р
(27)
Это полуокружность, расположенная в нижней полуплоскости (рис. 177).
При <о=0 и <о = л имеем
W * (0) = е Р (gPV 1}, W* (/п) = - (cPV J?.
l-e-3	1+е-₽
Параметры р и у положительны, поэтому и значение 1Г* (0) положительно,
а значение W'*(/jt) отрицательно при любом fi > 0. Учитывая, что функция
Ц7* (д) не имеет полюсов в правой полуплоскости, для устойчивости замкнутой
системы надо потребовать, чтобы годограф 1У*(/<э) не охватывал точку (—1, /0).
Если выполняется условие
е~Р (еРУ — 1)	1
1+е~₽
(28)
то получим годограф (а) (рйс. 177), соответствующий устойчивой системе.
Если условие (28) не выполнено, то годограф (б) будет охватывать точку
(—1, /0). Замкнутая система при этом станет неустойчивой.
С помощью рассматриваемого критерия можно исследовать
устойчивость и в тех случаях, когда среди полюсов передаточной
функции U7* (q) имеются чисто мни-
мые полюсы. В этом случае много-
член Q* (/.) имеет полюсы на еди-
ничной окружности. Для того чтобы
воспользоваться принципом аргумен-
та, следует видоизменить контур об-
хода особых точек. Рассмотрим слу-
чай, когда имеется только один по-
люс, расположенный на мнимой оси
плоскости q, а именно полюс </ = 0
кратности v 1. Представим пере-
даточную функцию W* (q) в виде

Рис. 178

(29)
где W7* (<у) уже не имеет полюса в начале координат. Заменим
переменную q по формуле Х =
W(A) = -J^.	'	(30)
Выберем в качестве контура обхода в плоскости комплексного
переменного X контур (рис. 178), состоящий из единичной полу-
окружности л — е'а (0 sS s -С л) и окружности бесконечно малого
радиуса, охватывающей особую точку 1 = 1, соответствующую
нулевому полюсу <7 = 0:


303
На окружности Z = 1 -р ге741 функция IE* (X) принимает следую-
щий вид:
IE* (1 + геЯ)	^01(1+^) (	(31)
4	' rvejv<p	' Г|
Полагая, что lim IE*i(l -j-re^-k, где k— постоянное число,
г-»0
,	k
и обозначая R — klr'1, получаем lim W(1 ф-те'4) = lim—— =
r->0
= lim Re~/'<I’V (0 qj л/2), что соответствует окружности’'беско-
нечно большого радиуса, дополняющей годограф W* (ja) при
малых значениях «. Примеры таких годографов для значений
v=l и v — 2 приведены на рис. 179. Критерий устойчивости
замкнутой системы следует применять к этим годографам с уче-
том того, что полюс Л = 1 лежит внутри контура обхода в пло-
скости комплексного переменного Z. Если, в частности, переда-
точная функция W* (д) не имеет полюсов в правой полуплоскости,
то • замкнутая импульсная система устойчива, если годограф
IE* (/<о), дополненный окружностью бесконечно большого радиуса,
ни разу не охватывает точку (—1, /0). При этом предположении
годографы, изображенные на рис. 179, соответствуют устойчивой
импульсной системе.
Во многих случаях задача об исследовании устойчивости
замкнутых импульсных систем с помощью критерия Найквиста
существенно упрощается, если использовать дробно-линейное
преобразование комплексной переменной (5). Выполним в выра-
жении (19) для передаточной функции W(Z) разомкнутой
импульсной системы замену переменной Z по формуле X =
Введем обозначение W (ш) — W* (Z) |	Обход единичной
Л = --•
304
f
окружности Z = в плоскости комплексной переменной 7. в поло-
жительном направлении соответствует в плоскости комплексной
переменной w движению по мнимой оси от —оо до со. Введем
обозначение w = g* Подставляя ю = /'ю* в выражение пере-
даточной функции W$ (w), получим амплитудно-фазовую частот-
ную характеристику разомкнутой импульсной системы	=
= W% (w) |ю=/и*. Теперь можно применить критерий Найквиста
для исследования устойчивости замкнутой импульсной системы
в том же виде, в каком он используется при исследовании непре-
рывных систем автоматического регулирования (см. § 40). При
этом оказывается возможным построение логарифмических частот-
ных характеристик импульсных систем [6], что существенно упро-
щает задачу исследования устойчивости импульсных систем авто-
матического регулирования по критерию Найквиста. Логарифми-
ческие частотные характеристики находят широкое применение
при синтезе подобных систем.
Часть седьмая
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ АНАЛИЗА
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава XIX
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 59.	СОБЫТИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
1.	Основные понятия. При изучении физических, химических,
биологических, общественных или каких-либо иных явлений при-
ходится сталкиваться с выполнением тех или иных наблюдений
или экспериментов; например, определением числа распавшихся
атомов радиоактивного элемента за единицу времени, числа бра-
кованных деталей в партии, числа отказов системы автомати-
ческого регулирования, числа заявлений, которые будут поданы
в институт в данном учебном году, подсчетом числа Вызовов на
телефонной станции за один час и т. д.
Результат опыта или наблюдений называется событием. Так,
например, событиями являются выпадение герба при бросании
монеты, серия из трех попаданий при пяти выстрелах по мишени,
отсутствие бракованных деталей в партии, выход из строя при-
бора, выигрыш на лотерейный билет при розыгрыше и т. д.
Если событие при эксперименте обязательно должно произойти,
то оно называется достоверным. Достоверным событием будет,
например, выбор годной детали из партии, в которой все детали
доброкачественные.
Если известно, что в результате опыта событие не произойдет,
то оно называется невозможным. Невозможным событием будет,
например, наличие четырех бракованных деталей в партии из
трех деталей.
Промежуточное положение между достоверным и невозможным
событиями занимает случайное событие. Случайным событием
называется такое событие, которое в результате опыта может
произойти, а может и не произойти, например попадание в цель
при одном выстреле.
Следует заметить, что всякий раз необходимо оговаривать
условия, при которых производится эксперимент. Так, при бро-
сании монеты мы уславливаемся, что она обязательно упадет
вверх гербом, или цифрой, а на ребро упасть не мРжет, резуль-
306
тат падения монеты мы можем наблюдать. Мы всегда будем гово-
рить о комплексе условий, при которых проводится опыт. Для
краткости этот комплекс будем обозначать буквой S.
Рассмотрим совокупность всех взаимно исключающих друг
друга событий, которые могут произойти в результате опыта.
Каждый исход одного опыта назовем элементарным событием.
При одном выстреле по цели элементарными событиями будут
промах и попадание (при этом мы считаем, что комплекс усло-
вий S исключает появление осечки). Всякое событие можно раз-
ложить на совокупность элементарных событий и, наоборот, всякое
событие есть совокупность (множество) элементарных событий.
Например, событие, заключающееся в том, что при двух выстре-
лах по мишени будет одно попадание, подразделяется на два
элементарных события. Попадание при первом и промах при
втором, промах при первом и попадание при втором выстреле.
В результате опыта может произойти одно и только одно
элементарное событие.
Совокупность (множество) всех элементарных событий И
называется пространством элементарных событий, а сами эле-
ментарные события to — точками этого пространства. В дальней-
шем для краткости события будем обозначать прописными бук-
вами латинского алфавита А, В, С и т. д.
Два события А и В при заданном комплексе условий S назы-
ваются несовместимыми (несовместными) событиями, если при
данном комплексе условий появление одного из них исключает
появление другого. Если события А1у Л2, ..., Ап таковы, что одно
из этих событий при опыте обязательно должно произойти, то гово-
рят, что события Alt А-z, ..., Ап составляют полную группу событий.
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих понятие прост-
ранства элементарных событий.
1.	При однократном бросании монеты пространство элемен-
тарных событий состоит из двух точек: сщ — выпадение герба
и <т>2 — выпадение цифры. При трехкратном бросании монеты
пространство элементарных событий состоит из восьми точек:
<Й! (ггг), со2 (ггц), со3 (гцг), со4 (цгг), соБ (ццг), со6 (цгц), со7 (гцц),
®8 (ццц) (г —означает выпадение герба, ц — выпадение цифры).
2.	Пусть имеется партия из 100 деталей, из которых возможны
бракованные. Элементарными событиями в этом случае будут 0,
1, 2, ..., 100 бракованных деталей в партии, и пространство
элементарных событий состоит из 101 точек соо, <Bj, и2, .... сщоо
(элементарное событие со* означает, что в партии имеется i бра-
кованных деталей).
3.	Производится бросание монеты до выпадения герба. При
этом возможны следующие элементарные события: coj (г), ®2 (цг),
к>3 (ццг), ..., to„ (цц... цг) ... Пространство элементарных событий
(п—1) раз
состоит из бесконечного числа точек. Здесь каждому элементар-
ному событию можно поставить в соответствие некоторое нату-
ральное число; в этом случае число элементарных событий счетно.
307
4.	При производстве конденсаторов из-за неодинаковых усло-
вий технологического процесса действительное значение емкости
отличается от его номинального значения и представляет собой
случайное событие. Пространство элементарных событий состоит
в этом случае из бесконечного несчетного числа точек некото-
рого отрезка числовой оси, соответствующих действительным
значениям емкости.
Из приведенных примеров видно, что пространство элемен-
тарных событий может состоять из конечного числа точек (при-
меры 1, 2) или из бесконечного счетного (пример 3), или беско-
нечного несчетного числа точек (пример 4). В этих случаях
пространство элементарных событий соответственно называется
конечным, счетным или непрерывным (несчетным) пространством.
2. Алгебра событий. В пункте 1 было отмечено, что событие А
представляет совокупность (множество) элементарных событий.
Иначе, событие А представляет собой множество точек простран-
ства элементарных событий. Если считать, что в примере 1
событие А означает выпадение одного герба при трехкратном
бросании монеты, то это событие включает в себя три элемен-
тарных события со6, <ов, <в7 (событие А состоит из трех точек
<о5, <о0, со7). Символически утверждение, состоящее в том, что
элементарное событие <о входит в событие А, записывают в виде
сое/1. Если элементарное событие со не принадлежит событию А,
то записывают сое Л.
Введем некоторые понятия.
Событие А влечет за собой событие В, если при наличии
события А обязательно произойдет событие В. Сокращенно фразу:
событие А влечет за собой событие В записывают следующим
образом:
A с В.
Если событие А влечет за собой событие В, и событие В вле-
чет за собой событие А (т. е. если А а В, а В с А), то события
А и В называются эквивалентными. В этом случае пишут
А = В.
Объединением (или суммой) двух событий А и В называется
такое событие С, которое состоит в осуществлении события А,
или события В, или событий А и В вместе. Операцию объедине-
ния условно записывают так:
С = или C =
Событие С, эквивалентное объединению п событий Alt А2, ...,
А„, будем записывать в виде
п	п
С = V Аг или С = и
z=i	'=1
Пересечением (или произведением) двух событии А и В назы-
вается событие С, которое состоит в осуществлении и события А,
308
и события В. Операция пересечения событий условно записыва-
ется в виде
С— АВ или С —А [~\В.
Событие С, эквивалентное пересечению п событий AL, А2,
А„, записывается в виде
«	п
С — U Ah или С — р Ai.
1=1	<='
Событие А, которое заключается в том, что событие А не
произойдет, называется событием, противоположным событию А.
Введенное выше достоверное событие будем обозначать J7,
а невозможное событие условимся обозначать V, тогда, если собы-
тия А и В несовместимы, можно записать ЛВ = V.
Для противоположных событий А и А справедливы соотно-
шения
AA = V, AA-A=U.
Пусть комплекс условий S состоит в том, что из квадрата
наудачу выбирается точка (рис. 180), не принадлежащая изобра-
женным на этом квадрате окружностям. Пусть событие А заклю-
чается в том, что точка выбрана из одного круга, а событие В—
точка выбрана из другого круга. Тогда попадание точки в заш-
трихованные области соответствует событиям
А, В, А, В, А + В, АВ, U, V, АсВ, ВсА.
Введенные операции над событиями подчинены простым прави-
лам, которые напоминают правила сложения и умножения обыч-
ной алгебры чисел, однако следует отметить, что в ряде случаев
эти операции существенно отличаются друг от друга.
309
Приведем правила выполнения операций над событиями:
1.	10. А + У = А.
2.	АА=-А.	И. AU = A.
з.	а+в=в+а.
4.	АВ = ВА.
5.	А +(В4-С) = (Л+В) + С.
6.	А (ВС) = (АВ) С.
7.	A (B + Q=ABA-AC
8.	/ +(ВС) = (А + В)(А +Q.
9.	Л+ С/ = С/.
12.	AV = V.
13.	А = А.
14.	А + В = АВ.
15.	АВ = А-уВ.
16.	U = V.
17.	A + A = U.
18.	AA-=V.
Все эти правила непосредственно вытекают из определений объ-
единения, пересечения событий, достоверного, невозможного и
противоположного событий. В качестве примеров покажем спра-
ведливость некоторых из приведенных правил.
Пример 1. Доказать, что справедливо соотношение Л 4-(ВС) = (Л 4-В)(Л 4-С).
Действительно, если элементарное событие <о е Л + ВС, то или и е Л, но
в этом случае со е (Л-|-В) (Л-|-С); или со е ВС, а это значит также, что сое
<= (Л-|-В)(Л-(-С). В силу произвольности выбора со имеем Л Р(ВС) с: (Л-f-B)x
Х(Л+С).
С другой стороны,- пусть со е (Л -J- В) (Л -|- С), тогда элементарное событие со
принадлежит событиям Л -|-В и ЛД-С, а отсюда следует, что со входит или
в событие Л, или в события В и С вместе. Отсюда получим что (Л 4-В) (Л -|- С)cz
cz Л 4- ВС. Из- определения эквивалентности событий имеем Л4~ВС =
= (Л 4-В) (Л 4-С).
Справедливость соотношения Л 4-(ВС) = (Л 4~В) (Л 4-С) можно пояснить
также с помощью диаграмм, аналогичных диаграммам, приведенным на рис. 180.
На рис. 181, а множество точек, соответствующих событию Л, обозначено
штриховкой в одном направлении, а множество точек, соответствующих собы-
тию ВС обозначено штриховкой в другом направлении. Тогда из определения
(А+В)(А+С)
б)
Рис. 181
об-ъеди пения событий следует, что множеству точек, соответствующих событию
Л4~(®0> соответствует множество точек, обозначенных штриховкой или в одном
направлении, или в другом направлении. Это множество обведено жирной
линией.
На рис. 181, б множество точек, соответствующих событию A-f-B, обоз-
начено штриховкой в одном направлении, а событию 4 + С—штриховкой в дру-
гом направлении. Из определения пересечения событий следует, что событию
310
(A+В) (Л -f-С) соответствует множество точек, где есть штриховка и в одном, и
в другом | направлении. Это множество обведено жирной линией. ЕГз сравне-
ния рис 181, а, б следует, что события Л + (ВС) и (Л -|-В) (Л Л~С) эквивалентны.
Пример 2. Доказать, что справедливо соотношение Л+Д = ЛВ-
Действительно, если произойдет или событие Л, или событие В, то не могут
произойти вместе события Л и В, т. е. А-|-В с АВ. С другой стороны, если
не произойдут вместе события Л и В, то или не произойдет событие Л, или
не произойдет событие В, поэтому АВ с A-j-B. Следовательно, А-\-В = АВ-
Пример 3. Упростить выражение (ЛВ) + (ЛВ) + (ЛВ).
На основании правил действий над событиями 7, 17, 11, 8 получим
(ЛВ) + (ЛВ)4-(АВ' = Л (В + В) + (АВ)=ЛД+ АВ = Л + АВ =
= (Л+Л)(Л + В) = Д(Л-|-В)=Л + В
Пример 4. Рабочий производит за смену п деталей. Пусть событие Д/ озна-
п	п
чает, что i—деталь бракованная. Описать события А/, У Л,-
i=i 1 = 1
л
Согласно определению пересечения событий имеем, что п At—событие,
Г = 1
заключающееся в том, что среди выпущенных деталей все бракованные, а сог-
ласно определению объединения
п
событий У Л г1-событие, заклю-
Г=1
чающееся в том, что среди выпу-
щенных деталей хотя бы одна бра-
кованная.
Пример 5. На рис. 182 пока-
зана электрическая цепь. Обозначим
через Л,, Л2, Л3 события, заклю-
Рис. 182
чающиеся в том, что произошел об-
рыв в цепи сопротивлений Rt, R2 или Р:. соответственно. Выразить через события
Лх, Л2 и Л3 событие В, заключающееся в том,.что за время работы Т в цепи
между точками С и О произойдет обрыв
Цепь будет нарушена, если выйдут из строя или сопротивление Rt, или
сопротивления R2 и R3 вместе, поэтому событие В эквивалентно объединению
события Аг с пересечением событий Л2Л3, т. е. В = Л14-ЛаЛ3.
3.	Вероятность события. Для практических целей недоста-
точно знать только то, что исследуемое событие случайно. Так,
например, выпуск бракованной детали является случайным собы-
тием, но нам совершенно не безразлично, будет ли среди выпу-
щенных деталей 10% или 0,1% бракованных. Введем некоторую
количественную меру объективной возможности осуществления
случайного события. Целесообразно эту меру ввести на основе
интуитивных представлений человека о характере случайных
событий.
Пусть производится п одинаковых опытов и пусть в m слу-
чаях при этом произошло событие А. Вычислим отношение числа
исходов опыта tn, при которых произошло событие А, к числу
всех опытов п. Это отношение называется статистической веро-
ятностью (или частотой) события А и обозначается Р* (Л).
Таким образом,
= (1)
зп
В каждой отдельной серии из и опытов статистическая веро-
ятность события может принимать различные значения, однако
многочисленные экспериментальные данные показывают, что при
! достаточно большом числе опытов значения статистической веро-
ятности, определенные в результате. выполнения каждой серии
опытов, группируются около некоторой средней величины. Таким
образом, при большом числе опытов частота события может слу-
жить количественной мерой возможности его осуществления.
Предположим теперь, что в результате п опытов событие А
произошло k раз, событие В — т раз, а событие А совместно
с событием В (событие АВ) — г раз. Пусть требуется вычислить
статистическую вероятность события А при условии, что прои-
зошло событие В. Эта статистическая вероятность называется
условной статистической вероятностью события А при наличии
события В и обозначается Р* (А | В). Из определения статисти-
ческой вероятности следует, что условная статистическая веро-
ятность события А при наличии события В равна отношению
числа г опытов, при которых произошло событие АВ, к числу т
опытов, при которых произошло событие В, т. е.
Р*(А|В) = ;.	(2)
Свойства статистической вероятности
1.	Статистическая вероятность есть неотрицательное число,
т. е.
Р*(А)^Ь.	(3)
Действительно, так как число исходов опыта т, при которых
происходит событие А, неотрицательно, а число всех опытов п
положительно, то Р* (А) = т/п^'О. 
2.	Статистическая вероятность достоверного события равна
единице, т. е.
P*(U) = 1.	(4)
Так как событие U достоверно, то оно происходит при каждом
опыте, поэтому число исходов опыта, при которых произошло
событие U, равно числу всех опытов, т. е. т — п, откуда следует,
что
3.	Если события. А и В несовместны, то статистическая
вероятность события A-f-B равна сумме статистических веро-
ятностей событий А и В, т. е.
Р* (А + В)==Р*(А) + Р* (В).	(5)
312
В самом деле, пусть производится п опытов, причем ю k опы-
тах произошло событие А и в т опытах событие В. Так как
события А и В несовместные, то если произошло событие А,
то не произошло событие В, и, наоборот, если произошло собы-
тие В, то не произошло» событие А. Поэтому общее число исхо-
дов опыта, при которых произошло или событие А, или событие
В, равно k-\-m. Из определения статистической вероятности (1)
следует, что
Р* (А 4-В) = k А-~ = Р* (А) + Р* (В). 
Свойства 1, 2 и 3 распространяются и на условную статисти-
ческую вероятность Р* (А | В). Условную статистическую вероят-
ность события А относительно события В можно вычислить как
частное от деления статистической вероятности появления собы-
тия А совместно с событием В на статистическую вероятность
события В, т. е.
Р* (А 1 В)
_Р*(АВ)
“ р*(В) •
(6)
Действительно, из равенств
(2) и (1) следует, что
Р* (А|В) = „гг
г/п Р* (АВ)
т/п Р* (В) '
Статистическую вероятность события можно вычислить только
после производства опыта, однако в ряде случаев производить
эксперимент для определения вероятности или невозможно, или
нецелесообразно. Остановимся еще на одном определении вероят-
ности, называемом классическим.
Классическое определение вероятности основано на интуитив-
ном понятии равновозможности событий. Несколько событий
в данном опыте называются равновозможными, если по условиям
симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий
не является объективно более возможным, чем другое. Например,
равновозможными событиями являются выпадение герба и выпа-
дение цифры при однократном бросании монеты.
Пусть исход опыта можно представить в виде полной группы
событий, которые попарно несовместны и равновозможны. Веро-
ятностью события А называется отношение числа т благоприят-
ствующих этому событию исходов опыта к общему числу п всех
равновозможных исходов опыта. Вероятность события А будем
обозначать Р(А), тогда
Р(А) = т/п.
(7)
Пример 6. В урне три синих шара, восемь красных и девять белых. Все
шары одного размера и веса. Наудачу из урны вынимается один шар. Найти
вероятность того, что этот шар синего, красного или белого цвета.
Обозначим события, обозначающие выход синего, красного или белого
шара, соответственно А, В и С. Всего число равновозможных случаев п=20.
313
Число случаев, благоприятствующих Выходу синего шара, гп1 = 3, красного
шара /712 = 8 и белого шара Щз=9, откуда имеем:
Р(Л)="-!- = ,'3 р(В) = — — ^, Р(С) = -^ = -®
' щ 20’	' ' п 20’	. п 20
Пример 7. В партии из п изделий k изделий являются бракованными.
Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки т
изделий точно I изделий окажутся бракованными.
Число равновозможных способов взять из п изделий т штук равно числу
сочетаний из п элементов по т, т. е. С™. Из выбранных т деталей по усло-
вию задачи / должно быть бракованных, всего таких изделий можно выбрать
Clk способами. Остальные т— I деталей в выбранной партии должны быть
пригодными, их можно выбрать / способами. Таким образом, число исхо-
дов опыта, благоприятствующих наличию в проверяемой партии точно I бра-
кованных деталей, равно ClkCr"~k и вероятность искомого события выражается
формулой
.	_ k\_______________(n-k)\
р И) = CkC'"‘-k = fi — О1 (OT~Z)' (И—fe —m + Q!
• ’ cm	n!	*	*
n	ml (n — m)l
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело
место событие В, называется условной вероятностью события А
при наличии события В и обозначается Р(Л|В).
Условная вероятность события А при наличии события В,
согласно равенству (6), вычисляется как отношение числа г опы-
тов, благоприятствующих осуществлению события А и события
В вместе, к числу т равновозможных "исходов опыта, при кото-
рых осуществляется событие В, т. е. Р(А\В) — г/т.
Пример 8. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара. Из урны наудачу
вынимают один шар, он оказывается белым, после этого шар в урну не возвра-
щают. Определить вероятность того, что вынутый наудачу следующий шар
тоже будет белым.
Обозначим через В событие, состоящее в том, что первый вынутый шар
белый, А—событие, состоящее в том, что второй шар, вынутый из урны,—
белый. По условию задачи требуется найти условную вероятность Р (А , б).
Число равновозможных исходов опыта, благоприятствующих событию В,
равно девяти: т — 9 (бб, бб, бб, бб, бб, бб, бч, бч, бч). Из-них число исхо-
дов, благоприятствующих событиям Л и В, вместе равно шести; г=6,
поэтому, согласно равенству (7), имеем Р (Л | В) — 6/9
Эту задачу можно решить другим способом. После того как из урны вынут
белый шар, в ней осталось девять шаров. Таким образом, остается девять
равновозможных исходов опыта, причем шесть из них благоприятствуют появ-
лению белого шара. Поэтому при наличии события В искомая условная веро-
ятность равна Р (Л | В) = 6/9.
Свойства классической вероятности
1.	Вероятность есть неотрицательное число:
Р(А)^0.	(9)
2.	Вероятность достоверного события U равна единице:
Р(4/)=1.	(10)
314
3.	Если события А и В несовместны, то вероятность события
А-\-В равна сумме вероятностей событий А и В, т. е.
Р(А + В)^Р(А) + Р(В).	(11)
Свойства вероятности 1, 2, 3 справедливы и для условной
вероятности Р(А\В). Условная вероятность события А при нали-
чии события В равна частному от деления вероятности появле-
ния события А совместно с событием В на.вероятность события В,
т. е.
Р(Л|В) = -^-.	(12)
Доказательства справедливости указанных свойств вероятности
аналогичны приведенным выше доказательствам соответствующих
свойств статистической вероятности.
Не всякая система случайных событий может быть рассмот-
рена исходя из статистического или классического определения
вероятностей. Однако указанные свойства вероятностей оказы-
ваются справедливыми и для других вероятностных ситуаций, не
приводимых к рассмотренным выше моделям. Примем свойства
1, 2, 3 вероятности в качестве аксиом для вероятности любой
системы случайных событий. На основе этих аксиом строится
математическая теория, описывающая закономерности, присущие
случайным событиям. Изложим кратко идею построения этой теории.
Рассматривается пространство элементарных событий {<oz} = £2,
т. е. множество возможных взаимно исключающих друг друга
исходов опыта, один из которых обязательно должен произойти
при осуществлении комплекса условий S. Из множества Q состав-
ляются всевозможные его подмножества, называемые событиями.
Множество всех событий при добавлении невозможного собы-
тия V называется полем событий F. В поле событий F обяза-
тельно входит достоверное событие U. Действительно, одним из
событий из всего множества F является событие, заключающееся
в том, что произойдет одно из элементарных событий. Это собы-
п
тие эквивалентно объединению элементарных событий У <ог. Так
1 = 1
как одно из элементарных событий обязательно должно произойти,
п	п
то У, со,- есть достоверное событие, но событие У сог совпадает
1 = 1	i — 1
п
с пространством элементарных событий, поэтому Q =
/=1
Для пояснения построения поля событий рассмотрим следую-
щий комплекс условий S. На четырех карточках написаны четыре
буквы а, Ь, с и d. Карточки тщательно перемешиваются и на-
удачу вытаскивается одна из них. Тогда пространство элемен-
тарных событий состоит из четырех точек соа, <ль, оу и (ad, где
соа, <ль, <ос и (od — элементарные события, заключающиеся в том,
315
что на вынутой карточке написаны буквы а, Ь, с и d соответ-
ственно. В этом случае пространство элементарных событий Q
состоит из четырех элементов ио, юь, юс и Составим мно-
жество подмножеств элементарных событий, т. е. поле событий F.
Это поле состоит и-з следующих подмножеств (событий):
®а> ®Z>I	®аЧ~®с, ®аЧ"®</>	+ ®с> Ч" ^сЧ"^»
®а Ч"4" ®а Ч-Ч-®а Ч" ®с +	Ч-®с Ч"
®а Ч~ Ч" ®с Ч~ V-
Достоверное событие U в данном опыте состоит в том, что
произойдет или событие юа, или юь, или юс, или cod, т. е. U =
= <х>а-j-со* ~Н соссо,/, таким образом достоверное событие совпа-
дает с пространством элементарных событий.
Вероятностью события А называется мера объективной воз-
можности этого события. На поле событий F вероятность вво-
дится с помощью названных выше свойств (9), (10) и (11), при-
нимаемых в дальнейшем в качестве аксиом теории вероятностей.
Таким образом, вероятность события А есть число, характери-
зующее меру объективной возможности появления этого события
и удовлетворяющее аксиомам (9), (10), (11).
Аксиому (11) по индукции можно распространить на п попарно
непересекающихся событий, тогда получим
pfi A-Ui дш.	аз)
V=i. /i=i
Равенство (13) называется принципом сложения вероятностей.
Задачей теории вероятностей является вычисление вероятно-
сти сложных событий, определенным образом связанных с неко-
торой совокупностью простых событий, вероятности которых
заданы. Для теории вероятностей несущественно, как именно
определяются вероятности исходной совокупности случайных со-
бытий (вычисление этих вероятностей является предметом спе-
циальных наук), важно лишь то, что если при достаточно боль-
шом числе испытаний статистические вероятности исходных собы-
тий будут близки к их вероятностям, это же будет верно для
частоты интересующего нас сложного события, вероятность кото-
рого рассчитана согласно правил и теорем теории вероятностей.
4.	Следствия из аксиом теории вероятностей. Рассмотрим ряд
свойств вероятности, вытекающих из аксиом-теории вероятностей.
1.	Вероятность события А, противоположного событию А,
отличается от единицы на величину вероятности события А,
т. е.
Р(Л) = 1-Р(Л).	(14)
В самом деле, события А и А противоположны, если AA = V,
a A-\-A — U, поэтому из аксиом (10) и (11) получим, что
P(U) = Р(А)Ч~ Р(Л) = 1, откуда имеем Р(Л) = 1 — Р(А). 
316
2.	Вероятность невозможного события равна нулю, т. е.
Р(У) = О.	(15)
Действительно, так как U = V, то из равенства (14) следует
P(V)=1-P((/) = 1-1=O. 	(15')
3.	Если событие А влечет за собой событие В, то вероят-
ность события А меньше или равна вероятности события В,
т. е.
Р(А)^Р(В), если А cz В.	(16)
Так как из условия A czВ следует, что В = Л+(ЛВ), где
A(AB) = V, то согласно аксиоме (11) получим, что
Р(В) = Р(А) + Р(АВ),
но из аксиомы (9) имеем Р(АВ)^0, откуда
Р(А)^Р(В). 
4.	Вероятность есть число, заключенное между нулем и еди-
ницей, т. е.
0<£Р(Л)«£1.	(17)
Действительно, из соотношения A cz U и свойства (9) следует,
что
0=^Р(Л) и Р(Л)<Р(?/) = 1,
следовательно,
0<£Й(Л)<1. 
5.	Если А и В—два произвольные события, которые, вообще
говоря, могут и пересекаться, то справедливо соотношение
Р(А+В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ).	(18)
Действительно, представим объединение событий А и В в виде
Л+ в = л + Лв,
где А (АВ) = V, т. е. события А и АВ несовместны. С другой
стороны, можно записать В = (ЛВ) + (АВ), где (AB)(AB)=V.
Используя аксиому (11), имеем
Р(А+В) = Р(А) + Р(АВ)	(19)
и
Р(В) = Р(АВ) + Р(АВ).	(20)
Окончательно из равенств (19) и (20) получаем
Р(А+В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ). 
5.	Условная вероятность. Формула полной вероятности. Фор-
мула Бейеса. При исследовании свойств статистической вероят-
317
ности, а также в случае вычисления вероятности для схемы рав-
новозможных случаев было введено понятие условной вероятно-
сти события А при условии, что произошло событие В. Понятие
условной вероятности обобщается на любые системы случайных
событий.
Условной вероятностью события А при наличии события В
по аналогии с равенствами (5) и (10) называется вероятность,
задаваемая формулой
Р(А\В) = -^-,	(21)
причем предполагается, что Р(В)^=0.
Очевидно, что условная вероятность события В относительно
события А равна
Р(5|Л)=^.	(22)
Преобразуя равенства (21) и (22), получаем
Р(ЛВ)=Р(Л)Р(£|Л) = Р(Я)Р(Л|В).	(23)
Выражение (23) называется принципом умножения вероятно-
стей. Согласно этому принципу, вероятность пересечения собы-
тий А и В равна произведению вероятности одного из этих
событий на условную вероятность другого события при предпо-
ложении, что первое событие произошло.
По индукции принцип умножения вероятностей можно рас-
пространить на вероятность пересечения событий А1А2...А„:
Р(А,А2 ...А„) = Р (Л0 Р (Л21 Л г) Р (Л31 лм2)...
...Р(Л„| M2... Л»-!). (24)
Пример 9. На рис. 183 показана электрическая цепь, ток в которой может
прерываться при выходе из строя и элемента а, и элемента Ь. Пусть событие
Л—выход из строя элемента а, а В —выход из строя элемента Ь. Известно,
что вероятности событий А и В равны: Р (А) = 0,01; Р (В) = 0,02. При выходе
из строя элемента а условия работы элемента b более тяжелые и поэтому
Р(В Л) =0,1. Найти вероятность Р(А | В) выхода из строя элемента а при
условии, что элемент b неисправен.
Из принципа умножения вероятностей имеем
Р(ЛВ) = Р(Л)Р(В|Л), т. е. Р (АВ) = 0,01 -0,1=0,001.
Из равенства (21) следует, что условная вероятность события А | В будет
Р(А | В) = Р(ЛВ)/Р(В) = 0,001/0,02 = 0,05.
Используя понятие условной вероятности, можно получить
ряд формул, полезных для вычисления вероятности событий.
Пусть все пространство элементарных событий можно предста-
вить в виде объединения п попарно несовместных событий Hlt
Н2, .... Нп (рис. 184), т. е, П= У, Hit причем	при
т=1
t=#/. Рассмотрим событие Л, принадлежащее пространству эле-
318
ментарных событий. Учитывая Правила сложения событий, можно
записать:
Л = Л//1+Л/7г + ,.. + Л/7„.	(25)
Так как события Нъ Н2, .... Нп попарно несовместны, то и
события АН{ и AHj при i =/= j также несовместны, поэтому, пользуясь
аксиомой (11), получим
Р(А)^Р(АН1)+Р(АН2)+... + Р(АНп)^ % P(AHi). (26)
г = 1
Согласно принципу умножения вероятностей (23), имеем Р(АНА =
= РР(А | Hi), поэтому равенство (26) можно переписать
в виде
Р(А)= P(Hi)P(A\Hi).	(27)
i =4
Равенство (26) называется формулой полной вероятности.
I
Пример 10. Имеется 10 одинаковых урн, из них три урны с номером один,
в которых находится 7 белых и 3 красных шара, одна урна с номером два
с 1 белым и 9 красными шарами и шесть урн с номером три с 9 белыми и
1 красным шарами. Из произвольной урны наудачу вытаскивается один шар,
определить вероятность того, что он белый.
Обозначим через Hi событие, заключающееся в том, что наудачу выбран
шар из урны с номером i (1=1, 2, 3), А—событие, заключающееся в появле-
нии белого шара. Из условия задачи следует, что вероятности того, что выб-
рана урна с номером 1, 2 и 3, соответственно равны: P(Ht) = 0,3; Р(77г) = 0,1;
Р(На) =0,6, причем события Hlt Н2, На попарно несовместны и составляют
полную группу событий. Условные вероятности появления белого шара из
урн с соответствующими номерами равны:
Р(А |/7l) = 0,7; Р (A |Fg)=0,l; Р(Л |На) = 0,9.
По формуле полной вероятности получим
3
Р (А) = Р (И-) Р (Л | Нр = 0,76.
i==l
319
Рассмотрим аналогичную задачу, но теперь будем предпола-
гать, что в результате опыта осуществляется событие А, которое
может произойти вместе с одним из попарно непересекающихся
событий Hi, Н2, , Нп, составляющих полную группу событий
(обычно такие события называют гипотезами, см. рис. 184).
Пусть известны вероятности событий Hi до выполнения опыта
(априорные вероятности гипотез Hi) и условные вероятности
события А относительно событий Hi (i = l, 2, ..., п). Необхо-
димо вычислить вероятность того, что осуществилось событие Hh
если в результате опыта произошло событие А, т. е. найти апо-
стериорную вероятность гипотезы Hi в результате осуществления
события А. Для решения этой задачи воспользуемся принципом
умножения вероятностей. Из равенства (23) имеем
Р (AHf) = Р (Hi) Р (A J Hi) = Р (Л) P(,Hi\ Л),	(28)
откуда
Р (Hi | А) = Р{Н1)р^ W 	(29)
Окончательно из равенств (29) и (27) находим:
Р (Hi IД) = .	|я<) -.	(30)
2 P(Hf)P(A\Hj)
Полученное выражение носит название формулы Бейеса.
Пример 11. Из партии в пять деталей наудачу взята одна деталь, оказав-
шаяся бракованной. Количество бракованных деталей в партии равновозможно
от 0 до 5. Какова вероятность, что в партии 0, 1, 2, 3, 4 или все 5 деталей
бракованные?
Может быть выдвинуто 6 гипотез о количестве бракованных деталей: Но,
Н-,. Н2, Н8,	Н&, где /// — событие, состоящее в том, что в партии i брако-
ванных деталей. Пусть А— событие, заключающееся в появлении бракованной
детали. Тогда вероятность гипотез равна
Р (Но)=Р (Hi) =Р(Н2)—Р (Н3) = Р (Hi)=Р (Яв) = 1/6,
а условные вероятности будут:
Р(А\Н3)=0, Р (А |//1)=1/5, Р(.4|//2) = 2/5, Р(Д|Я3) = 3/5,
Р(А |//4) = 4/5, Р (А |//5) = 1.
По формуле Бейеса имеем Р (Иi\ А)——?	. Подставляя
^Р(Н/)Р(А\Н/)
/=о
в выражение формулы Бейеса значения соответствующих вероятностей, получим:
/>(#(,[ Л) =0, (ЛТг | Л)==1/15, Р (Нг | Л) = 2/15,
р (//3 | Л)=3./15, Р(Н4\ Д) = 4/15, Р(Н5\ Л)=5/1б.
Ганны образом, наиболее вероятно, что в партии все пять деталей бра
кованные.
Пример 12. Система обнаружения самолета противника из-за наличии
помех может давать ложные показания о наличии цели с вероятностью 0,05,
320
а при наличии цели система обнаруживает ее с вероятностью 0,9. Вероятность
появления самолета противника в зоне работы системы равна 0,25. Поступил
сигнал о наличии цели. Определить вероятность ложной тревоги
Обозначим через Ht гипотезу о действительной наличии противника,
Нг— гипотезу об отсутствии противника, А—событие, заключающееся в полу-
чении сигнала о наличии цели. По условию задачи имеем: Р (Нр— 0,25;
Р(Н2) = 0,75; Р (А | Ht) = 0,90; Р(А | Н2) = 0,05 По формуле Вейсса вычислив!
вероятность ложной тревоги:
р (Н , «_________Р(Н2)Р(А\Н£________________0,75  0,05	_
/>(Я1)Р(А|/71)+Р(Лг)Р(А |Я2) ~ 0,25-0,9Н-0,75-0,05 “7’
6.	Зависимые и независимые события. Рассмотрим два события
А и В, причем Р(А) =^=0, P(B)=^=Q. Событие А не зависит от
события В, если
Р(Л|В) = Р(4).	(31)
Пусть событие А не зависит от В, тогда из равенств (31)
и (21) получим
Р(В | Л) =4^-^ Р(р\РА)В)-=Р<В).	(32)
Поэтому, если событие А не зависит от события В, то и событие В
не зависит от события А.
События А и В называются независимыми, если Р(А | В) = Р(А)
или Р (В \ А) — Р(В). В противном случае события А и В назы-
ваются зависимыми.
Для независимых событий, как это следует из равенств (31)
и (32), принцип умножения вероятностей принимает вид
Р(АВ) —Р(А) Р(В).	(33)
Пример 13. События А и В—противоположные, причем Р (А) =/= 0 и Р (В)уМ).
Определить, являются ли эти события зависимыми.
Так как события А и В противоположные, то их пересечение есть невоз-
можное событие V, поэтому Р(АВ) = Р (V) — 0. Тогда условная вероятность
Р (АВ)
Р(А | Д)—	- — 0. Поэтому из равенства Р(А) =/= Р (А | В)=0 следует
зависимость противоположных событий.
Обобщим понятие независимости событий на случай нескольких
событий. События Л1, А2, ..., Ап называются независимыми
в совокупности, если для любой их комбинации /Ц, А/2, ..., А{
(А п) выполнено соотношение
, k \ k
₽П-Ч=п₽(4).	(34)
/ Г—1
Покажем на примере, что для независимости событий в совокуп-
ности недостаточно, чтобы каждые два события были независимы.
Пусть, например, имеются четыре детали, на одной из них имеется
забоина (событие А), на другой побита окраска (событие В), на
третьей не выдержаны размеры (событие С), а четвертая имеет все
11 п/р. Чемоданова Б. К,, т. 2	321
три дефекта одновременно (событие АВС). Наудачу выбирается одна
из деталей, требуется определить, зависимы ли события АВ и С
в совокупности. Учитывая условия задачи, получим, что соответ-
ствующие вероятности равны:
Р(Л) = Р(В) = Р(С) = 1/2, Р(ЛВС) = 1/4,
Р(А \В) — Р(А \С) = Р(В\С) = Р(В\А) = Р(С\А)=Р(С\В) = ]./2.
Так как Р(А\В) = Р(А), Р(А\С) = Р(А), Р(В\С)^=Р(В), то
события А, В и С попарно независимы, но события АВ и С не
являются независимыми в совокупности, потому что для них
Р(АВС) = 1/4 =И= Р(А) Р(В) Р(С) = 1/8, т. е. не выполнено усло-
вие (34).
7.	Последовательность независимых испытаний. Рассмотрим
применение принципов умножения и сложения вероятностей для
весьма важного случая. Пусть производится серия из повторных
независимых испытаний (опытов), причем в каждом из этих испы-
таний возможны только два исхода и вероятности этих исходов
остаются неизменными для всех испытаний. Такие повторные
испытания называются испытаниями Бернулли. Исходы опыта
в испытаниях Бернулли принято называть «успехом» (<ву) и «не-
удачей» (со,,).
Пространство элементарных событий для каждого отдельного
опыта состоит из двух точек <оу и <он, а для п независимых
испытаний пространство элементарных событий состоит из 2" точек,
каждая из которых представляет некоторую последовательность
из элементарных событий <ву и юн (так как после каждого опыта
число возможных исходов в серии из k опытов удваивается по
сравнению с предыдущей серией из k — 1 опытов).
Вероятности «успеха» и «неудачи» принято обозначать соответ-
ственно р и q. Так как события <оу и <ов составляют полную
группу, то
р + <7=1-	(35)
Примерами испытаний Бернулли могут быть последовательные
бросания монеты с вероятностями событий соу — выпадение герба
и <он — выпадение цифры р = д = 1; производство серии выстрелов
по мишени в одинаковых условиях опыта с вероятностью попада-
ния р и промаха q и т. д.
Вычислим вероятность события, заключающегося в том, что
при п испытаниях Бернулли точно k раз осуществится событие ыу,
(n — k) раз событие сон, если известны вероятности этих событий
при производстве одного испытания
Р(Му)=р и Р(о>н) = ?.	(36)
Так как испытания Бернулли предполагаются независимыми
в совокупности, то согласно принципу умножения вероятностей
322
для независимых событий вероятность события А, состоящего
в том, что осуществится комбинация из k успехов и (п — k) неудач
в п испытаниях, равна
Р(А) =[Р(®у)р[Р(сон)р ==pVft-	(37)
Число комбинаций результатов, полученных в п опытах, в которых
событие (оу происходит k раз, равно числу сочетаний из /п эле-
ментов по k. Очевидно, что каждая комбинация является несов-
местной с любой другой, поэтому согласно принципу сложения
вероятностей несовместных событий, вероятность k успехов "при п
опытах Pn>ft равна
Pn,k^C^kqn-k==-^^pk(\ -p)n~k.	(38)
Пример 14. Производится четыре выстрела по мишени, причем известно,
что вероятность попадания при одном выстреле р=0,3. Определить вероятность
того, что в результате стрельбы будет два попадания.
Вероятность промаха при одном выстреле равна 9=1— р=0,7. Отсюда,
согласно равенству (38), имеем
4!
2 = С10,320,72 = -^г 0,09  0,49 = 0,2646.
2!21	(
§ 60. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1. Определения. Величина, которая в каждом отдельном слу-
чае в зависимости от результатов опыта может принять то или
иное числовое значение, называется случайной величиной. Напри-
мер, случайными величинами являются число попаданий в мишень
при п выстрелах, размеры детали, обработанной на токарном
станке, ошибка системы автоматического регулирования, число
отказов прибора за определенное время работы и т. д.
Конкретное значение, которое может принять случайная вели-
чина, называется возможным ее значением. Как видно из приве-
денных примеров, значение, принятое случайной величиной,
зависит от исхода опыта, который мы назвали элементарным
событием со. Поэтому случайную величину можно определить как
функцию, заданную на пространстве элементарных событий Q.
Случайные величины обозначают большими буквами латинского
алфавита X, Y, Z, ..., а возможные их значения—соответствую-
щими малыми буквами х, у, z, .... Случайная величина зависит
от элементарного события со. Этот факт обозначается следующим
образом: X = X (<о). В дальнейшем для краткости записи аргумент
случайной величины <о будем опускать. Случайная величина,
множество возможных значений которой конечно или счетно,
называется дискретной случайной величиной.
Чтобы задать случайную величину, необходимо указать все
возможные ее значения и поставить им в соответствие вероятности,
с которыми случайная величина принимает эти значения. Если
случайная величина X дискретна, то ее можно задать таблицей,
в одной строке которой записаны возможные значения хА, при-
11*
323
нимаемые случайной величиной X, а в другой — соответствующие
им вероятности pk-
Таблица 4
*1	Х2	Хз	...	
Р1	Pi	Рз	...	Рп
Эта таблица называется распределением вероятностей случайной
величины X.
Так как объединение всех возможных событий <oft, заключаю-
щихся в том, что случайная величина X примет значения, равные
xk (k = 1, 2, ... п), есть собы-
1 рк	тие достоверное, то имеем
Рис. 185
п
2pft = P(t7) = l. (1)
Л=.
Иногда распределение слу-
чайной величины X изобра-
жают в виде графика, по
оси абсцисс которого откла-
дывают возможные значе-
ния хк, а по оси ординат —
вероятности pk (рис. 185).
2. Функция распределения вероятностей. Если дискретную слу-
чайную величину можно задать ее распределением, записанным
в виде таблицы, то для случайной величины, принимающей
несчетное количество значений, задать распределение таким образом
невозможно; поэтому вводится новая характеристика случайной
величины, называемая функцией распределения вероятностей.
Функцией распределения ее рояг гостей, или просто функцией
распределения, случайной величины X называется функция F (х),
равная вероятности события, состоящего в том, что эта случайная
величина примет значение, меньшее, чем х, т. е.
F(x) = P(X<x),
(2)
где переменное х принимает все значения на числовой оси.
Свойствафункции распределения вгроятностей
1.	Функция распределения принимает значения, заключенные
между нулем и единицей, т. е.
0<cF(xj==S 1.	(3)
Справедливость этого свойства следует из равенства (17) § 59,
так как функция F (х) является вероятностью. 
324
2.	Вероятность того, что случайная величина примет зна-
чение на полуинтервале [а, Ь) (где а <С b’j, равна разности значений
функции распределения на концах этого полуинтервала, т. е.
P(a^X<b) = F(b)-F(a).	(4)
В самом деле, рассмотрим случайное событие А = (X <С Ь),
заключающееся в том, что случайная величина X примет значение
меньше, чем Ь. Очевидно, что это событие представимо как объеди-
нение двух непересекающихся событий Х<Са и ама X <Ь, или
(Х<Ь) = (Х<а) + (а^Х<Ь).
Тогда, на основании принципа сложения вероятностей, имеем
Р(Х<&) = Р(Х<сг)ф-Р(а<Х<&),
откуда, учитывая выражение (2), получаем равенство (4). 
3.	Если случайная величина X принимает возможное значение хк
с вероятностью рь, то ее функция распределения F (х) имеет при
x = xk разрыв непрерывности первого рода, причем в точке разрыва
непрерывности функция F (х) непрерывна слева. График функции
F (х) имеет при х — хк скачок, равный pk.
Действительно, если значение функции распределения F(x)
в точке xk равно вероятности Р (X < xk), то значение функции
Р(х* + 0) будет
Р(Х<хйф-О) = Р(Х<х*) + Р(Х=хй) =
= Р(Х < xk) + рк = F (xk) + pk.
Следовательно, значение функции распределения в точке
разрыва непрерывности хк равно ее значению слева от этой точки,
а справа от этой точки фянкция распределения изменяется скачком,
т. е. она является функцией, непрерывной слева. 
4	Функция распределения является неубывающей функцией» т. е.
F (x2)^F (xi), если х2>хх.	(5)
Действительно, из свойства 2 следует, что
F (х2) = F (х,) + Р (xi «С X < х2);
но так как вероятность есть неотрицательная величина, то
F(x2)^F(x1). Ц
5.	Функция распределения F (х) стремится к нулю при неогра-
ниченном уменьшении х и стремится к единице при неограниченном
возрастании х, th. е.
lim Р(х) = 0, (6) limP(x) = l.	(7)
СО	х—>оо
В самом деле, при х —— со случайное событие X <Z — оо стано-
вится невозможным, так как случайная величина не может принять
значений меньше, чем — оо, поэтому
F (— со) = Р(Х < - со) = Р(У) = 0.
325
С другой стороны, случайное событие Х<ф-оо является досто-
верным, поэтому Е(+оо) = Р(Х<ф-оо) = Р(£/) = 1. 
Рассмотрим, какие особенности имеют функции распределения
дискретных случайных величин. Пусть X —дискретная случайная
величина, принимающая возможные значения хъ х2, ..., хп с ве-
роятностями р1у р2, рп- Функция распределения вероятностей
этой случайной величины X равна -	,
^»)=Р(Х<Х)= 2 Рь	(О
xk<x
где производится суммирование вероятностей всех возможных
значений случайной величины X, меньших, чем х.
Из равенства (8) следует, что при изменении х внутри полу-
интервала (xk, xft+i] между соседними возможными значениями
дискретной случайной величины X значение функции распределе-
ния F (х) этой случайной величины не изменяется, а в точках
xk(k = l, 2, п) функция распределения, согласно свойству 3,
имеет разрыв непрерывности первого рода, причем величина скачка
в точке разрыва равна вероятности рк, с которой случайная ве-
личина X принимает значение xk (рис. 186).
Если функция распределения вероятностей F (х) случайной
величины X есть непрерывная функция (рис. 187), то случайную
величину X называют непрерывной.
Найдем вероятность того, что непрерывная случайная вели-
чина X примет заданное значение а. Из свойства 2 функции
распределения, учитывая, что для непрерывной случайной вели-
чины функция F (х) непрерывна, следует, что ~
Р (X = а) = lim (а С X < а ф- е) = lim [F (а ф- е) — F (а)1 == 0.
е—0	е->0
Таким образом, вероятность того, что непрерывная случайная
величина примет заданное значение, равна нулю. Мы видим, что
326
нулю может быть равна не только вероятность невозможного
события. Из того, что вероятность события Х — а равна нулю,
не следует, что это событие невозможно, а только то, что при
неограниченном увеличении числа опытов это событие будет
.появляться сколь угодно редко.
Существуют случайные величины, возможные значения которых
непрерывно заполняют некоторый интервал, но функция распре-
деления этих случайных величин не везде является непрерывной,
а в отдельных точках
терпит разрывы (рис. 188).
Случайные величины с та-
кими функциями распре-
деления называются сме-
шанными.
Смешанная случайная
величина принимает зна-
чения с вероятностью ноль
в точках, где ее функция
распределения непрерыв-
на, кроме того, она может
принимать ряд значений
с ненулевой вероятностью
в точках, где функция рас-
пределения имеет разрывы
непрерывности.
Функция распределе-
ния вероятностей являет-
ся исчерпывающей харак-
теристикой случайной ве-
личины, поэтому две слу-
чайные величины с оди-
наковыми функциями рас-
пределения называются
эквивалентными.
3. Плотность распределения вероятностей. Если функция рас-
пределения F (х) случайной величины X дифференцируема, то ее
всегда можно представить в виде
Й*)- J f (£)<%,
—со
где
•	О)
Производная от функции распределения случайной величины f(x),
если она существует, называется плотностью распределения веро-
ятностей этой случайной величины.
327
Выясним вероятностный смысл плотности распределения веро-
ятностей; имеем
f(х) =	= lim f(^+Ax)-F(x) = ljm
V ' dx	Дх—»0	Дх	Дх->0
К<х+Дх) (W)
Ах	' '
Из выражения (10) следует, что плотность распределения вероят-
ностей есть предел отношения вероятности того, что случайная
величина примет значение внутри интервала (х, хф-Дх) к длине
этого интервала.
Свойства плотности распределения
вероятностей f(х)
1.	Плотность распределения вероятностей является неотри-
цательной функцией, т. е.
f(x)^O.	(11)
Это свойство справедливо, так как F (х) есть неубывающая
функция. 
2.	Вероятность события, состоящего в том, что случайная
величина X примет значение, заключенное в полуинтервале [а, Ь),
равна определенному ин-
тегралу от
распределения
стей на этом
вале,
плотности
вероятно-
полуинтер-
ь
P(a^X<b) = \f(x)dx,
а
(12)
т. е. вероятность того, что
случайная величина при-
мет значения внутри полу-
интервала [а, Ь), равна площади криволинейной трапеции с осно-
ванием b) под графиком функции плотности распределения
вероятностей (рис. 189).
Действительно, согласно выражениям (4) и (9) имеем
1
P{a^X<b) = F(b)-F(a)= J
а
dF(x)
dx
ь
dx=
a
f (x) dx. 
3.	Функция распределения случайной величины X равна опреде-
ленному интегралу от плотности распределения вероятностей
в пределах (—оо, х), т. е.
F (к) = J f (х) dx.
— со
(13)
328
В самом деле, имеем
X	х
$	= $ -^^ = Д(х)-Е(-оо) = Е(х). 
—со	—оо
4.	Интеграл от плотности распределения вероятностей, взя-
тый по всей числовой оси, равен единице, т. е.
\f(x)dx = l.	(14)
—оо
Утверждение справедливо, так как
f (х) dx = F (оо) — F (— оо) = 1. 
—СО
Если функцию распределения дискретной или смешанной слу-
чайной величины X представить как сумму непрерывной функции
Рис. 190
и ступенчатой функции, то, использовав дельта-функции (см. § 37),
можно ввести понятие плотности распределения вероятностей для
недифференцируемых в обычном смысле функций распределения.
Для этого надо представить функцию распределения в виде суммы
F(x) = F1(x)^-F2(x), где Ft(х) — непрерывная функция, a F2(x)—
п
— J1, XFZ (xk) 1 (х — хк) — ступенчатая функция (рис. 190), причем
f=i
AE2(.vfc) есть величина скачка функции F2(x) в точке хк, равная
вероятности pk того, что случайная величина X примет значение хк.
Учитывая, что производная от единичной ступенчатой функ-
ции есть дельта-функция, получаем
п	п
=	+ 2 M^(Xk)4x-xk) = f1(x)+ 2 pkb(x-xk). (15)
л=1	k=i
Если случайная величина дискретна, то Ei(x) = 0, и ее плот-
ность распределения вероятностей представляет собой сумму
дельта-функций
п	п
f(x)=Yl^F^(xk)^^-xk)='^lpk8(x~xk).	(16)
k=l	А=1
329
4. Законы распределения некоторых случайных величин. Рас-
смотрим функции распределения и плотности распределения
вероятностей для некоторых встречающихся на практике случай-
ных величин.
1.	Биномиальный закон распределения. Пусть
имеем дискретную случайную величину X, которая равна числу
успехов в п испытаниях Бернулли. Как следует из равенства (38)
§ 59, вероятность того, что в п испытаниях Бернулли будет k
успехов, равна
Р (X = k) = Cknpk qn~k	(Q^k^n).	(17)
Функция распределения для случайной величины X имеет вид
ступенчатой линии с разрывами в точках x = k (k~0, 1, 2, ...
..., п). Рассматриваемая дискретная случайная величина назы-
вается распределенной по биномиальному закону.
Пример I. Производится серия из трех выстрелов. Вероятность попадания
при одном выстреле р=0,4, вероятность промаха q—l—р=0,6. Пусть слу-
чайная величина X равна числу попаданий в мишень. Найти плотность рас-
пределения вероятностей этой случайной величины.
Очевидно, что возможные значения случайной величины X есть хо=О,
31
*1=1, х2=2, х3 = 3. Из равенства (17) следует, что Р(Х=£)-=•—-——ТГрХ
X0,4fe 0,63-fe, поэтому
Р(Х = 0)=0,216, Р(Х=1) = 0,432, Р (X = 2) = 0,288, Р(Х=3)=0,064.
Графики функций распределения и плотности распределения вероятностей
показаны на рис. 191, где стрелки на графике плотности распределения веро-
ятностей условно обозначают дельта-функции.
2.	Закон распределения Пуассона. Случайная
величина X называется распределенной по закону Пуассона, если
она принимает дискретные значения из ряда чисел 0, 1, 2, ...
с вероятностями
о*
pft = P(X = ft)=^e-,	(18)
где а —параметр распределения.
Рассмотрим последовательность из п испытаний Бернулли.
Пусть Хп — случайная величина, равная числу успехов в этих
330
п испытаниях, рп — вероятность успеха. Покажем, что при боль-
шом числе испытаний распределение случайной величины Хп
стремится к закону Пуассона. Для этого рассмотрим вероятность
k успехов в п испытаниях Бернулли. Обозначив а — прп (а =
= const), согласно равенству (17) получим
_ |)-* =
—	/1 а»(»—!)(»—2) ... (п—fe-pl)
п I	[.	a \k h
х '	1----nft
\ п /
В этом выражении зафиксируем число k, а величину п устремим
к бесконечности, тогда
lim P(Xn — k) =
Таким образом, при большом числе испытаний биномиальное
распределение приближается к распределению Пуассона.
3.	Закон равной вероятности. Случайная вели-
чина X называется распределенной по закону равной вероятности,
если ее плотность распределения вероятностей есть
1
Ь—а
О
f(X) =
при
при
а^-.х^Ь,
x<Za и х^>Ь.
(19)
Функция распределения случайной величины в этом случае равна
X
F(x) = J f(x)dx =
— со
о
х—а
Ь—Ы
1
при
при
при
x<Z.a,
a^x^b,
х>Ь.
(20)
Г рафики функций f (х) и F (х) для равномерно распределенной
случайной величины приведены на рис. 192.
4.	Нормальное распределение (распределение
Гаусса). Случайная величина X называется распределенной по
нормальному закону, если ее плотность распределения вероятно-
стей имеет вид
*	(к — ш)а
Г(Х) = —~ -е 25Г“.	(21)
о у 2п
331
Из равенства (21) следует, что плотность распределения веро-
ятностей для нормально распределенной случайной величины
определяется двумя параметрами т и о. Вероятностный смысл
этих параметров выясним ниже. Функция распределения нор-
мально распределенной случайной величины имеет вид
х _ ~ т)г
<22>
Графики функций f (х) и F (х) для нормального распределения
приведены на рис. 193. Как видно из этого рисунка, кривая
плотности распределения вероятностей для случайной величины,
распределенной по нормальному закону, симметрична относи-
тельно значения х = т, называемого центром распределения. При
больших значениях о кривая f (х) более пологая. Таким образом,
параметр т определяет центр, около которого группируются воз-
можные значения х, принимаемые случайной величиной X, а па-
раметр о является мерой величины рассеяния значений случай-
ной величины около значения т.
Часто ставится задача — определить вероятность того, что
нормально распределенная случайная 'величина примет значение
на полуинтервале [а, Ь). Из формулы (12) имеем:
Ь	b   (х — т)2
P(a^X<b) = f f(x)dx =—^=- fe dx.
J	о У 2л J
9	ц
332
Введем новую переменную интегрирования и = тогда '
Ъ — т
1 г “2
Р (а	<£) = -— ( е 2 du.	(23)
У 2л J
а — т
о
Этот интеграл не выражается через элементарные функции, для
его вычисления введем новую функцию
г _ и2
<24’
о
для которой составлены подробные таблицы.
Функция Ф(г) называется функцией Лапласа. Функция Лап-
ласа Ф(?) является нечетной; действительно,
— г _ иг
Ф(—z) = —Д— fe 2 du.
lZ2n J
Заменив переменную интегрирования и — — и, получим
Z V2
Ф(—г) = —2 dv = — Ф(г).
У 2л .)
С учетом введенных обозначений равенство (23) можно переписать
в виде
- Ь — т
о
__1
У2л
us
а — т
о — —
1 е 2 du
о
= ф(±
О
(25)
Если полуинтервал [а, Ь) симметричен относительно центра груп-
пирования возможных значений случайной величины X, т. е.
а — т — с, Ь = т-\-с, то
С
е

1_ С
/2^
° _ и‘
du— I е 2 du
о
= ф(£Д_фА£
Из полученного равенства следует:
Р(|Х-пт|<с) = 2ф(Д].	(26)
333
Формулы (24) и (26) позволяют вычислять вероятность нахо-
ждения значения нормально распределенной случайной величины
в любом заранее заданном отрезке числовой оси с помощью
таблицы значений .функции Ф (z).
Рассмотрим ряд значений из таблицы функции Лапласа (табл. 5).
Из этой таблицы и выражения (26) следует, что вероятности
Таблица 5
2	Ф (Z)	2	Ф (г)
1	0,3413	3	0,49865
2	0,4772	4	0,499968
того, что случайная величина, распределенная по нормальному
закону, примет значение, отличающееся от среднего на о, 2<т,
Зег, 4<т, соответственно равны 0,6826; 0,9544; 0,9973; 0,999936.
Таким образом с достоверностью
99,73% можно утверждать, что такая
случайная величина принимает зна-
чения, отличающиеся от среднего зна-
чения не более чем на Зег. Это обстоя-
тельство называют правилом Зег и
обычно часто используют на практике.
Иногда за меру отклонения слу-
чайной величины X от среднего
число Е, что вероятность этого
£
2“'
значения принимают такое
отклонения равна половине, т. е. Р {| X — т
Обращаясь к таблице функций Лапласа, получаем £' = 6,6745с.
Величину Е называют срединным отклонением.
Пример 2. Найти вероятность того, что емкость конденсатора будет нахо-
диться в пределах (0,2 ± 0,02) мкФ, если случайная величина — значение емко-
сти распределена по нормальному закону с центром распределения т = 0,2 мкФ,
а 0 = 0,01 мкФ.
Из равенства (25), воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа,
имеем
7 0 02 \
Р(|Х — 0,2 | < 0,02) = 2Ф = 2Ф(2) = 0,9544
Случайные величины, распределенные по нормальному закону,
часто встречаются в практических задачах. По нормальному
закону распределены те случайные величины, значения которых
определяются многими независимыми причинами, причем каждая
из этих причин влияет на случайную величину незначительно.
Например, по нормальному закону распределены значения пара-
метров элементов электронных схем, размеры деталей, значения
отклонений снарядов от цели и т. д.
5. Экспоненциальное распределение. Случайная
величина X называется распределенной по экспоненциальному
закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид
0 при
'Ке~Кх при
х<0,
х^-0.
(27)
(28)
Функция распределения в этом случае будет
X
J f (£)<£ =
— со
о
1 — е~Кх
при
при
х<0,
х^О.
334
Экспоненциальное распределение встречается в теории надеж-
ности. Например, по этому закону, распределена такая случайная
величина, как время работы прибора до первого отказа.
5. Функпии случайных величин. В ряде задач рассматривают
случайные величины, связанные некоторой неслучайной зависи-
мостью, например сигнал на выходе автоматической системы —
как функцию от случайного значения какого-либо параметра этой
системы. Рассмотрим способы определения статистических харак-
теристик случайной величины У как функции случайного аргу-
мента X, если статистические характеристики аргумента X заданы.
Пусть две случайные
величины X и У связаны
между собой функциональ-
ной зависимостью
У = ср(Х)	(29)
и задана функция распре-
деления вероятностей Ft (х)
случайной величины X.
Согласно определению
функции распределения
Fj(x) = P(X<x). (30)
Пусть функциональная
ком, показанным на рис. 194. Тогда вероятность Р(У <Zy) равна
вероятности того, что случайная величина X примет значения
на непересекающихся интервалах, для которых справедливо нера-
венство <f(X)<Zy, поэтому согласно равенству (4) и принципу
сложения вероятностей имеем
F2 (У) = Р (У = <Р W < у) = £ [Л (х2Л+1 - 0) - л (х2Л)1, (31)
4=1
где Xk — границы интервалов оси Ох, на которых выполнено условие
tp(X)<Zy, F2 (у) — функция распределения случайной величины У.
Если существует тотность распределения вероятностей fi(x)
случайной величины X, то согласно равенству (12)
/?2(i/) = P(cp(X)<f/)= J fi(x)dx,	(32)
<р W < у
где интеграл берется по всем интервалам оси х, для которых
выполняется неравенство q>(X)<Zy.
Если функция ф(Х) монотонная (рис. 195), то для нее суще-
ствует обратная функция X = ф 1 (У), а интервал оси Ох, на
котором выполняется неравенство ф (X) < у, является единствен-
ным. В этом случае, учитывая равенство (12), получим для моно-
тонно возрастающей функции (рис. 195, а)
Ыу) = Р(—оо<У<у) = Р(-ю<Х<х) = РАул (у,),	(33)
335
а для монотонно убывающей функции ф имеем (рис. 195, б)
Fi{y) = P(—ca < Y <//)== Р(х ф-0 «с х < со) = 1 —Fx (ф4 (t/ + 0)).
(34)
Если функция Fx (x) дифференцируема, то из равенств (33)
и (34) получаем
h to)	I 1=f' <»» I 1 • <35’
Знак модуля в равенстве (35) введен для того, чтобы объединить
значения производных, вычисленных от выражений (33) и (34),
в одной формуле.
Формулы (31) —(35) позволяют по заданным законам распре-
деления случайного аргумента определять законы распределения
функции Y — ф (X).
Пример 3. Найти функцию распределения случайной величины Y, если
она связана со случайной величиной X линейной зависимостью Y=aX-}-b,
где а и известные неслучайные постоянные. Функция распределения Fx (х)
(или плотность распределения h (х)) аргумента X задана.
Y — b
Функция, обратная функции <р(X), имеет вид ф-1 (У) =-------. Из ра-
венств (-33) и (35) получим:
Пример 4. Наш а функцию распределения и плотность распределения веро-
ятностей случайной величины у, если случайная величина X распределена
по нормальному закону (см. равенство (21)) при т=0, а У = ф(Х) —X2.
* Е*
По условию задачи имеем F1(jc) =-----I е 2о‘ dg. Из формулы (31),
с V 2л >'
— оо
учитывая, что	получаем

при у^О
при у < О
Yv
О
при
пои
?/Э=0,
г/ < о.
335
Плотность распределения вероятностей случайной величины У найдем, диффе-
ренцируя функцию распределения вероятностей F2 (у) по у:
h(y)=
(У)
dy
1	2а"
-----г ...г е
о у 2пу
О
при у<0.
при у^О,
§ 61. ВЕКТОРНЫЕ (МНОГОМЕРНЫЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
1.	Основные определения. Кроме одномерных случайных вели-
чин можно рассматривать многомерные случайные величины —
векторы, координаты которых являются одномерными случай-
ными величинами. Такие случайные величины встречаются во
многих технических задачах. Рассмотрим несколько примеров
векторных случайных величин.
1.	Отклонение точки падения снаряда от цели является слу-
чайной двумерной величиной (рис. 196) Хт = [Х1Х^.
2.	Случайное положение центра тяжести самолета в прост-
ранстве является трехмерной случайной величиной (рис. 197)
Х\=[Х,Х2 Х3].
3.	Случайные сигналы О и X на входе невыходе системы
автоматического регулирования (САР) с п входами и т выхо-
дами можно рассматривать
как п- и m-мерные слу-.
чайные векторы (рис. 198):
Рис. 198
<?Т = [<А ••• С»].
X^[Xt ... Аи].
Случайные векторные величины будем обозначать жирными
прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, ... . Рас-
смотрим способы задания вероятности и соотношения между
вероятностями для векторных случайных величин.
Рассмотрим совокупность п случайных величин Х1(со),
Ал2(со), ..., Хп(а>), заданных на пространстве элементарных
337
событий й. Эти величины можно интерпретировать как одну
векторную случайную величину
Хт(«) = [Х1(<о)Х2(«)... Хя(®)].	(1)
Случайная векторная величина принимает каждый раз значения,
зависящие от элементарного события <о. Таким образом, много-
мерная случайная величина есть вектор-функция, заданная на
пространстве элементарных ^событий, и каждое ее возможное
значение есть вектор. В дальнейшем аргумент со случайной
функции для краткости записи будем опускать.
Рассмотрим сначала двумерные случайные величины Хт =
х=[ХхХ2]. Если двумерная случайная величина принимает конеч-
ное число значений, то ее можно задать таблицей, определяю-
щей соответствие между возможными значениями случайного
вектора и соответствующими им вероятностями Р:/ = Р(Х^хи,
Х? = х2/)- Эти вероятности могут быть заданы в виде таблицы:
Таблица 6
х2	Х1	Х11	х12	...	^l/Z
Х21		Рп	“ Рг1		Рп.
*22		Р12	Ргг	...	Рпг
			...		...
х2т		Р1т	Pzm		Рпт
Эта таблица называется распределением вероятностей векторной
дискретной случайной величины X. Чтобы определить вероятность
того, что случайный вектор X примет значения, принадлежащие
множеству А, нужно просуммировать вероятности ру, соответст-
вующие возможным значениям случайного вектора, принадлежа-
щим множеству А, т. е.
Р(ХеА)= Л ру.	(2)
(Xli, Х2/)еА
В общем случае, когда число возможных значений случайного
вектора несчетно, принципиально невозможно задать распреде-
ление вероятностей в виде таблицы, поэтому по аналогии с одно-
мерными случайными величинами для задания случайного вектора
вводятся функция распределения вероятностей и плотность рас-
пределения вероятностей.
2. Функция распределения вероятностей и плотность распре-
деления вероятностей случайного вектора. В общем случае ха-
рактеристикой двумерного случайного вектора является функция
338
распределения вероятностей F (xlt х2), которая равна вероятности
совместного выполнения неравенств Хх<хх, Х2<;х2, где Хх,
Х2 — координаты случайного вектора, а хг и х2 —возможные их
значения, т. е.
А(хх, х2) = Р(Х1<хъ Х2<х2).
(3)
Свойства функции распределения двумерной
случайной величины
1.	Функция распределения вероятностей принимает значения,
заключенные между нулем и единицей, т. е.
Q^F(xx,x2)^\.	(4)
Неравенство (4) справедливо, так как функция F (х) есть ве-
роятность, значения которой, как показано в § 59, заключены
между нулем и единицей. 
2.	Функция распределения есть функция неубывающая по каж-
дому из своих аргументов, т. е. при Дхх>0 и Дх2>0 имеем
FfXi + kx!, x2)^F(xx, х2),	(5)
F (хъ x2-\-&x2)^F (хх, х2).	(6)
В самом деле, учитывая принцип сложения вероятностей для
несовместных событий, имеем
F (хх Дхх, х2) = Р (Хх <Z хх Лхх, X2<Zx2) —
= Р (Хх <Z хх, Х2 <Z х2) Р (хх Хх <Z хх -|- Дхх, Х2 х2)
^P(Xx<Zxx, X2<Zx2) = F(хх, х2).
Аналогично доказывав гея неравенство (6). 
3.	Если оба аргумента функции распределения равны + оо,
то она равна единице,
F(-]-oo, -фоо) = 1.	(7)
Действительно, имеем
F(-f-oo, + оо) — Р (Хх < оо, Х2<-]-оо).
Правая часть этого равенства есть вероятность достоверного со-
бытия, которая равна единице. 
4.	Если хотя бы один из аргументов функции распределения
равен — оо, то она равна нулю,
F(—oo, x2) — F(xx, — оо) = 0.	(«)
В самом деле, из определения функции распределения имеем
F(—оо, х2) — Р (Хх < — оо, Хх<х2)>
но событие Хх<—%оо невозможно, поэтому его вероятность равна
нулю. 
339
5.	Если один из аргументов функции распределения положить
равным 4-оо, то получится одномерная функция распределения
Е(хъ 4-oo) = F1(x1), (9) F(4-.oo, x2) = F2(x2).	(10)
Действительно, справедливо равенство
F(xi, со) = Р(Х1<х1, X2< + oo) = P(X1<x1)===F(x1),
так как событие (Х2 <4- °°) достоверное.
Аналогично получаем равенство (10). 
6.	Вероятность того, что двумерная векторная случайная
величина примет значения внутри прямоугольника ai^Xi<ZЬг,
a2^X2<Zb2, определяется равен-
ством
Рис. 199
Р (аг С Х2 < Ьъ а2<Х2< Ь2) =
-Е(ЬЪ b2)-F(ai, b2)~
-F(blt a2) + F(alt а2).	(11)
Действительно, если обозна-
чить события
A^(Xi<bi, X2<b2),
Aj = (X, <С. О}, Х2<Ь2),
А2 ~ ( [by, Х2<а2),
В = (^i -X Xj <Z. bi, a2 -X X2 b2),
то, как видно из рис. 199, можно записать
А — В -)-(Ai-i- А2).
Из равенства (18) § 59, определяющего вепоятность объединения
совместных событий, имеем
Р (Л) = Р (В) 4- Р (A i) + Р (А 2) - Р (А iA2).
Учитывая введенные обозначения, получим
Р (Xj bi, Х2 й2) — Р (cii Xi <Х bi, а2 =Х Х2	о2) 4~
4-Р(Х1<а1, X2<b2) + P(Xi<bi,
Х2 а2) — Р (Xj	й1, Х2 ni2),
или
F (bi, b2) = Р(ai Xi < bi, а2 sS" Х2 < Ь2) 4 F (ai, b2) 4~
+F(bii a2)-F(ai, «г),
откуда следует равенство (И). 
Рассмотрим вероятность
Р (xi	Хх < Xi 4- Д*1, х2	Х2 <jc2 4- Дх2) = F (xi 4- Дл\, х2 4- Дх2) —
—/7(х14-Дх1) x2)-f(xi, xa4-A^2)4-P(^i, х2).
340
Найдем отношение этой вероятности к площади прямоугольника
со сторонами Axj и Лх2 (рис. 199):
Р (Xj Xj Х1 + Х2 Х2 С Х2 + Дх2)  
Дх, Дх2
[f (*1+Д*1, х2+Дх2)—Fjfa Лд+Дхг)] —[F^x + Axt, Ха]—ffoi, ха)]
.	д%! Дх2
В пределе при Axi-^-O, Аха->0 получим
> •	Р (*! Ai -С Xi Д-Хь х2 Х2 <: х2 -j- Дх2)  
д"™0	’ .	ДХ1Дх2
Дх2 -> О
= T^)==^XV *>)	(12)
Функция f(xt, х2), равная второй смешанной производной функ-
ции распределения случайного двумерного вектора по обеим ар-
гументам, называется функцией плотности распределения вероят-
ностей этого случайного вектора. Как следует из равенства (12),
двумерная плотность распределения вероятностей f (хь ха) равна
отношению вероятности того, что случайный вектор X примет
значение, принадлежащее прямоугольнику (хь Xi + Axj), (х2,
х2-}-Дх2), к его площади, если длины сторон этого прямоуголь-
ника стремятся к нулю.
Свойства плотности распределения вероятно-
стей случайного вектора ХТ = [Х1Х2]
/. Вероятность того, что случайный вектор X примет зна-
чение из области А, равна определенному двумерному интегралу
от функции плотности распределения вероятности,, взятому по
этой области, т. е.
Р (X е А) = $ $ f(xlt ха) dXi dx2.	(13)
А
В самом деле, вероятность того, что случайная векторная вели-
чина примет значение в элементарной области dxidx2, согласно
равенству (12), равна f (xlt x^)dxidx2, а общая вероятность вы-
числяется как предел суммы элементарных вероятностей для воз-
можных значений случайного вектора по всей области А, т. е.
равна интегралу (13). 
2.	Плотность распределения вероятностей есть неотрицатель-
ная функция, т. е.
f(xltx2)^0.	(14)
Свойство справедливо, так как функция f(xlt х2) есть произ-
водная от неубывающей функции по обоим аргументам. 
341
3.	Интеграл от плотности распределения вероятностей, взя-
тый в бесконечных пределах по обоим аргументам, равен единице,
т. е.
$	$ f (хъ х2) dx! dx2 = 1.	(15)
— оо — со
Действительно, рассматриваемый интеграл, как это следует
из равенства (13), равен вероятности события, состоящего в том,
что случайный вектор X^ — lXiX^ примет значение, соответст-
вующее произвольной точке плоскости хгОх2, а это событие есть
событие достоверное. И
4.	Для того чтобы по известной плотности распределения
вероятностей случайного двумерного вектора X получить одно-
мерную плотность распределения одной из его координат, нужно
проинтегрировать в бесконечных пределах двумерную плотность
распределения f(xlt х2) этого случайного вектора по переменной,
соответствующей другой координате, т. е.
СО	со
fi(xi) = $ f(xltx2)dx2, (16) f2(x2)= $ f(xi,x2)dxlt (17)
—-co	— co
где Д (Xi), f2 (x2) — плотности распределения вероятностей случай-
ных величин Xj и Х2 соответственно.
Из равенства (13) имеем
XI х2
Г (Хь х2) = Р(Хг< xlt Х2 < х2) = $ $ f &, |2) d^ d%2.
— со — со
Если положить, что х2 ₽ + со, то из выражения (9) найдем
xt со
E(xi, 4-oo) = E1(xi)=	ИЬ. x2)d^!dx2,
— СО — оо
а так как плотность распределения вероятностей случайной вели-
чины есть производная от функции распределения этой случай-
ной величины, то получим, что
fi(Xi) =	= J f (xi, х2)dx2.
Таким же образом можно доказать справедливость равен-
ства (17). И
По аналогии с функцией распределения двумерного случай-
ного вектора вводится функция распределения «-мерного слу-
чайного вектора
Х' = \Х1Хъ.,.Хп].
342
Функцией распределения случайного вектора X называется веро-
ятность того, что случайные величины —координаты этого вектора
примут значения меньшие, чем заданные числа хъ х2, ..., хп, т. е.
F (•^'1* ^*2» • • • » %п) ” В (^1	^1» ^2	-^2» •   > Xfi Хп). (Ki)
Функцией плотности распределения вероятностей f (хъ х2,..., хп)
«-мерного случайного вектора называется частная производная
«-го порядка от функции распределения этого вектора, взятая
по всем аргументам, т. е.
f (Хь Х2,.. =	(19)
Свойства функции распределения и функции
плотности распределения вероятностей
«-мерного с л у ча й н о го век то р а
Эти свойства аналогичны соответствующим свойствам для
функции распределения и плотности распределения вероятностей
для двумерного вектора. Приведем их без доказательства.
1.	Функция распределения F(xlt х2, ..., хп) принимает значе-
ния, заключенные между нулем и единицей,
О F (хъ х2, ..., х„)^1.	(20)
2.	Функция распределения F(лу, х2, ..., хп) есть функция не-
убывающая по каждому из своих аргументов,
F (Xi, Х2, ..., Xk~ 1, Xfc-{~ \х>, ХМ, ••.,
F (Xi, Х2, ..., Х/г-1, Xk, •••> -^л)	(^1)
при Лх,г>0 (&=1, 2, ..., «).
3.	Если все аргументы функции распределения равны -фоо,
то она равна единице,
F(4- оо, + оо, ..., 4-оо) = 1.	(22)
4.	Если хотя бы один из аргументов функции распределения
равен —оо, то она равна нулю,
F(xlt х2, .... — оо, ..., хп) = 0.	(23)
5.	Если k аргументов функции распределения положить рав-
ными -J-оо, то получим функцию распределения для [и —k')-мер-
ного случайного вектора, координатами которого являются коор-
динаты, соответствующие оставшимся переменным, т. е.
F(Xi, х2, .... xn_k, 4-00,	4-oo)==F„_fe(x1, х2, .... хп k). (24)
6.	Вероятность того, что п-мерный случайный вектор X при-
мет возможные значения, принадлежащие области А, равна п-
мерному интегралу от функции плотности распределения вероят-
343
ноапей f (хь лг2, ..., xn) этого случайного вектора, ззятому по
области А, т. е.
Р(Х^А) = \\.	х2, ..., хп)dxi dx2...dxn. (25)
7.	Плотность распределения вероятностей f (хъ х2, ..., агп) п-
мерного случайного вектора есть неотрицательная функция,
,	f(xi, х2, ...» jr„)SsO.	(26)
8.	Интеграл от п-мерной плотности распреое пения вероят-
ностей, взятый по всем аргументам в бесконечных пределах, ра-
вен единице
СО СО оо
J ... f (лу, х2, ..., хп) dx! dx2... dxn = 1.	(27)
— СО — СО	— со
9.	Для того чтобы по известной п-мерной плотности распре-
деления случайного вектора вычислить (п — Ь)-мерную плотность
распределения, нужно проинтегрировать п-мерную плотность k раз
в бесконечных пределах, в результате получится плотность рас-
пределения вероятностей для (n-k)-Meрного вектора с координа-
тами, соответствующими оставшимся переменным, т. е.
СО со
&= S $
— со — оо
fn-k(Xi, Х2, ...
• * 5 f х2, ..., xn) dxn^i... dxn.
— со
• (28)
10.	Функция распределения п-мерного вектора связана с его
плотностью распределения вероятностей соотношением
Х1 Х2 ХП
Р(хъ х2, ...,хп)= \	\ ... \ f(Zi,h,...,ln)d^dl2...dln.	(29)
— СО — СО	-Г- оо
3. Независимые и зависимые случайные величины. Условные
функции распределения. Случайные величины Xt и Х2 называются
независимыми, если функция распределения вероятностей случай-
ного вектора X* = [Xi Х2] может быть представлена в виде произ-
ведения двух функций от одного аргумента, т. е.
F (хъ х2) = Fr (Х1) F2 (х2),	(30)
где F (хг, х2) — двумерная функция распределения случайного век!
.тора X, a FrlXi) и F2 (х2) — одномерные функции распределения
случайных величин Х} и Х2.
Докажем две теоремы, определяющие свойства независимых
случайных величин.
Теорема 1. Для то?о чтобы случайные величины Хх и Х2 были
независимы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
Р (оу Х}<1. bi, а2 sS Х2 Ь2) = Р (оу Xi &i) Р (а2 Х2 <Z b2).
(31)
344
Доказательство. Пусть выполнено равенство (31), тогда
при значениях ai =— со, а2 —— со, Ь1 = х1, Ь2 = х2 получим
F (хъ x2) = Fi(xi)F2(x2), т. е. согласно равенству (30), случайные
величины Х1 и Х2 независимы. Обратно, если случайные вели-
чины Xi и Х2 независимы, то согласно выражениям (11) и (30),
справедливы равенства
Р (ах ==£ Xi < by, а2 X2	b2) —
=F(bi, b2)-F(ai, b2) — F(bi, а2) + Р(аг, a2) = Fi(b1)F2(b2) —
- Fi (ax) F2 (b2) - Fi (bi) F2 (a2) + Fx (a2) F2 (a2) =
= [Л (bi) - Fi (fll)] [F2 (b2) - F2 (a2)] =
= P(ai^Xi<bi) P(a2^cX2<b2). 
Теорема 2. Если двумерная плотность распределения вероят-
ностей f(xi, х2) случайного вектора
того, чтобы случайные величины Ххи Х2 были независимы, необхо-
х^
существует, то для
димо и достаточно, чтобы выполнялось равенство f (xlt х2) —
= fi(xi)f2(x2), где fx(Xi) и f2(x2)~ одномерные плотности распре-
деления вероятностей случайных величин Хх и Х2.
Доказательство. Сначала докажем достаточность усло-
вий теоремы; для этого рассмотрим двумерную функцию распре-
деления F (Xi, х2). Если f(xlt x2) = fi(xi) f2(x2), то
F (Xi, х2) — Р (Xi<Z.Xi, X2<x2)—
= Т I f (Ei, h) dh d^2 = | f fi (li) f2 (g2) dh dt* =
— co — po	—co — co
= T fl (Ei) d^i f f2(t2) d%2 = Fi (Xi)F2 (x2),
— co	— co
т. e. случайные величины Xx и X2c плотностями распределения
вероятностей fx (лД и- f2 (х2) при выполнении условий теоремы
независимы.
Докажем теперь необходимость условий теоремы. Пусть слу-
чайные величины Xi и Х2 — независимы, т. е. F (хъ х2) — Fx (х^) х
хД2(х2). В этом случае имеем
f , ч _ &F (Х1, Х>) _ (Fj (Xj) F2 (х2)) __ dFj (Л1) dF2 (х2) _
' ' ъ	dxi дх2	dxi дх2	dXi dx2
— fi (Xi) f2 (x2). 
Пусть имеем набор случайных величин Хъ Х2, ..., Хп; эти
случайные величины называются независимыми в совокупности,
если для любых индексов it, i2, ..., ik (k^n) справедливо ра-
венство
k
F(,x‘v x‘t...ч)= ГМДЧп).
345
Рассмотрим две независимые случайные величины Хг и Х2.
Пусть заданы функции распределения этих случайных величин
F1(x1) и F2(x2). Найдем условную вероятность события Х1<х1
при условии, что выполнено соотношение a2^X2<Zb2. По опре-
делению условной вероятности, учитывая равенство (11), имеем
Р (Х\ <С Xi | а2 Х2 <С Ь2)
Р (Х1 < %!, с2 Х2 < Ь2) _
Р (а-2 Х2 < Ь2)
= Р(*1, b2) — F(xlt а2)
Р2 (^г) Д (ai)
(32)
где F (%!, х2) — двумерная функция распределения случайного век-
тора
*2
. Если положить а2 = х2,
Ь2 — х2 + &х2 и устремить Дх2
к нулю, то получим
lim
Дх2 —* О
P(xlt х2 + Дх2) — F (xlt х2)_ Р .	| ,
F2(x2 + Ax2)-F2(x2)	Hi 1*21-
(33)
Предел выражения (33) называется условной функцией распре-
деления вероятностей случайной величины Хг при условии, что
случайная величина Х2 приняла значение х2.
Если функция распределения F (хъ х2) дифференцируема
по аргументам и х2, то, воспользовавшись формулой конечных
приращений Лагранжа *), получим
Fi (х'11 х2) = lim
Д%2 -» О
dF (xlt x2+bi&x2)
dF2 (х2 + 62 Дх2) д
(>Х2
dF (хг, г2)
дх2 '
fi (*2) ’
где OcBjd, о<е2<1. Дифференцируя правую и левую части
полученного выражения по хг и пользуясь зависимостью между
плотностью распределения вероятностей и функцией распределе-
ния, получаем
(FF (xlt х2)
dFj (хг | х2) _ f .	।	()xt дх2 _ f(xlt х2)
дх± /1111 2?	>
(34)
2.
, fi (^2) — плотность распределения
где f(xi, х2) — двумерная плотность распределения вероятностей
случайного вектора Х =
L^2j
вероятностей случайной величины Х2.
Функция Д (%! | х2) называется условной плотностью распреде-
ления вероятностей случайной величины Х± при условии, что
случайная величина Х2 приняла значение, равное х2.
*> См., например: Фихтенгольц Г. М. Основы математического ана-
лиза, т, I, «Наука», 1968, с. 180.
346
Рассмотрим функцию распределения случайной величины Xi;
по формуле полной вероятности имеем
F (xj = Р (X, < Х1) = 2 Р (Хх <хх \Bt)P (Bi),
i — 1
где Bt (г = 1, 2, ..., и) —полная группа непересекающихся со-
бытий.
Пусть событие В/ заключается в том, что случайная величина Ха
прймет значение на отрезке [x2is£ Х2 <x2i+1), т. е. Bt —
= (x-2i <Х2< x2;j1), тогда
Fi (Xi) — У Р (Xj < Ху! х2;	-У г < х2(-+1) Р (х2(- Х2 < x2/+i) =
1 = 1
= У, Р (-У1 < Xj I Х2( sSj Х2 < X2j+1) [В2 (x2/+1) — F2 (X2f)]-
; = 1
Устремив п к бесконечности, полагая, что максимальная длина
отрезка x2/+i — х2г = Ах2( стремится к нулю, и учитывая, что
Та (х2 + Ах2) — F2 (х2) -> /а (х2) dx2 при max &x2i 0, получим
Fi(xt)= $ Л (Xi | х2)/а (йё)Ж-	(35)
— со
Дифференцируя равенство (35) по хъ получим
Jfi(*i) = $ fi(xi|x2)/2(x2)dxa.	(36)
— со
Выражения (35) и (36) носят название формул полной вероят-
ности. Из равенства (34) следует, что
/(Xj, Ха) = Д(х1|Ха)/2(х2).	(37)
Совершенно аналогично можно показать, что существуем сим-
метричное равенство
х2)=/:а(х2|х1)Д(х1).	(38)
Приравнивая выражения (37) и (38), найдем
fa(x2|xX^4^MXa)..	(39)
11
Учитывая соотношение (36), получаем формулу Бейеса для плот-
ности распределения вероятностей случайных величин:
А (х2 I Xi) = - ю h(Xl\X^h(X2)-.	(40)
J fi (Х11 Х2) /2 (Xg) dx2
— СО
347
Пример 1
вектора
. Двумерная плотность распределения вероятностей случайного
имеет вид
f(Xi, *а) =
7^2- при
О при xj+xf<y?2.
Определить плотности распределения вероятностей Д (хх) и /2 (х2), а также
условную плотность распределения вероятностей fa (хг | х2).
Вычислим одномерную плотность распределения вероятностей:
СО
(а (*2) = j f(*fl x2)dxt^=
— оо
J ^=--	"PH
-рГД2-х|
О	при | х2 | > R.
Согласно выражению (39), получим

1
—-...... при
2.VR2—xl
О при
| I jc I ' R2 — х|,
jx1|>T/?2—xi-
Плотность распределения вероятностей fa (лу) найдем по формуле полной ве-
роятности (36):
fi М == J fi{x1\x2)fa(x2) =
— co
+	—ЛГ2
J й?2 J dx*~-	- при wfe*’
- уW-xj
о	при I Xi ; > R.
Случайные величины X± и X2 зависимы, так как
fill. x2)yfa(xAfa(x2).
Условную плотность распределения вероятностей fa (х21 хх) найдем по фор-
муле Бейеса (40):
f .. ч fl (*1 I Xi) fi (Х2)
1
2yR2—xf
О
при | =S V'R2—xf,
при |x2|>|C^rZ^2.
4. Неслучайные функции нескольких случайных аргументов.
Рассмотрим функцию нискольких переменных
Х2, .... Х„),	(41)
где Xi, Х2, .... Хп — случайные величины; <р — известная неслу-
чайная функция.
Пусть функция распределения случайного вектора Л’т=
= [Хх .... Х„] задана и равна F(х1г х2, .... хп). Требуется найти
348
функцию распределения случайной величины Y
FY(y)~P(Y<y).	(42)
Для решения этой задачи необходимо найти вероятность того,
что случайный вектор X примет значение, принадлежащее п-мер-
ной области, для которой выполнено условие <р(лу, лу, ..., хЛ)<
<У- Решение этой задачи поясним на ряде примеров.
Пример 2. Найти функцию распределения суммы двух случайных величин
Fy(y), гДе И=Х14-Х'2, если двумерная плотность распределения вероятно-
стей f(xlbjc2) случайного вектора [Х1, Х2] задана.
Найдем вероятность Р (Xj-j-Xj < р), Все двумерное пространство на пло-
скости хгОх2 прямой х1+х2=А/ делится на две области х14-х2<р и лу-4-х2>
> у (рис. 203). Вероятность попада-
ния случайной величины Y в область
равна
Р(Х1 + Х2<р)=Р(У<«/) =
оо y—xt
= \	5 f (V2) dx2 dxt,
— 00—00
ИЛИ
P(YCy)^Fy(y} =
00 У~ха
= (	\ f(xlt x2)dx1dx2.
— co — co
Продифференцируем равенства (43) и
по у:
^у(у)—Ру(у)= $ f(y-x2> xz)dx2=
— со
— S f (xv y~xi)dxj. (45)	Рис. 200
—	9°
В случае, ^сли Хх и Х2—независимые случайные величины, двумерная плот-
ность распределения вероятностей равна f (хх, x2) = f1(x1) f2(x2). Тогда, учиты-
вая, что
у — х>	У—X,
J fz{x2)dx2=F2(y—хг) и $ f1(x1)dxl = F1(y — x2),
—	со	— со
получаем
FY(y)= fi(xl) F? (У~х1) dxi>	(46)
4	— со
ИЛИ
со
Py(j/)= $ f2(xz)Fi(y-xz)dx2-	(47)
— оо
Дифференцируя равенства (46) и (47) по у, получаем:
fy(«/) = py= $ fi(xi)f2(y—xi)dxi,	(48)
/у(5/) = -Ру= J fl(y~X2)f2(X2) dx2-	(49)
— оо
349
Пример 3. Нчйти функцию распределения и плотность распределения ве-
роятностей случайной величины Y = Xr/X2, если задана двумерная плотность
распределения вероятностей случайного вектора
Рис. 201	Рис. 202
Из определения функции распределения вероятностей имеем
Fy (у) = °(Y<y) = P (Хх/Х2 < у).	(50)
Прямая < у делит плоскость xx0x2 на две области, в одной из которых
Xi/x2<}/, а в другой х1/х2'> у (рис. 201). Вероятность попадания случайной
величины Y=Xi/X2 в область xtJx2<.y равна
оо	0 xjy
ч P(Y <y) = Fv(y} = \ \f(xv х2) dx2dx1~j- f(xv хг) ^х1»	(5D
0 xt/y	—со — со
\
Если случайные величины Хг и Х2 независимы, то можно записать;
о
' xjy
J f (*Г *2) <4
_- CO
dxt~
co	0
= pi (*i) [1 — F2 (Xi/y)] dxL + J ft (Xj) F2 (xlf y) dx±
0	— co
(52)
Продифференцировав это равенство по у, получим
со	0
1у{у)~Ру~\ xi/y2f±(xi)f2(<xi^y)^xi	j xi/y2fi (xi) (Х1/У) dx^ (53)
0	— со
Выполнив замену переменной по формуле xjy^x^ найдем
со	0
fy(y) =* J xjJ (Х2^) f2 (^2) ^Х2 J Х2? 1 {Х2&) f2 (*2) ^Х2-	(54)
0	— со
350
В частности, если случайные величины Xt и Х2 независимы и распределены
по нормальному закону с плотностями распределения вероятностей, равными
_Л_
fi(x)=fi(x)=ZT=e 2, то
У 2л
ОЭ	0	*1^ Х1
fy(y)=^ j *2® 2 е 2 rf*2—2л *2в 2 е 2	=
О	— со
(со	0	\
[e~udu — С е~" du\ =  1—j-,	(55)
J	J /	л(1+{/2)’
О	— со /
l + (/2
где введена замена переменной u-—~-xl.
Случайная величина с плотностью распределения вероятностен
= —тт—;—л— называется случайной
л (1 +*а)
Коши.
Пример 4. По известной сов-
местной плотности распределе-
ния вероятностей j (хх, х2) слу-
чайных величин Хх и Х2 найти
плотность распределения вероят-
ностей случайной величины Y =
= ХгХ2.
Функция распределения ве-
роятностей случайной величи-
ны Y вычислим согласно ра-
венству (42), интегрируя плот-
ность распределения вероятно-
стей f(xt, х2) по области D, где выполнено
величиной, распределенной
по
неравенство ххх2 < у (рис. 202):
fy 5 V х^ dX1 dX2===
D
<//*»
О	со	со	у/Хх
J 5 Нхъ	*2)^2 + $	dxy j	f(xt, x2)dx2.
 co	y/xt	0	—00
/« =
закону
(56)
Дифференцируя это равенство по у, найдем плотность
костей случайной величины Y:
О	со
fY(y)=~ \	dxi+ \
J Л1	\	Л-1 ]	J Л1	\
— со	О
распределения вероят-
dxL
(57)
41
После замены в первом слагаемом последнего равенства на — xY получим
со
(*!• — Х1’ —
J xiL \	\	xx/j
о
(58)
Пусть, в частности, случайные величины Хх и Х2 имеют равномерное
распределение с плотностями распределения вероятностей
1/2
О
fi (*) = {
при |x|=gl,
при | X | > 1
351
и являются независимыми (рис. 203). В этом случае двумерная плотность рас-
пределения вероятностей f (хх, х2) равна произведению одномерных плотностей
вероятности, т. е. )(хх, x2) = f1(x,)fi(x2). Функция f2(ylxj (рис. 204) равна
0 при
1/2 при
1*11 <У.
I *i I У
Учитывая четность плотности распределения вероятностей в данном примере,
на Основании выражения (58) получаем (рис. 205)
ОО
fyfc/) = 2 ( -7~/i(*i)f2	^1 =
"1	\ Л-1 }
о
0	при у > 1,
1
2	при {/<1,
у
§ 62. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (МОМЕНТЫ)
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1. Основные определения. Полными характеристиками слу-
чайных величин являются их функции распределения или плот-
ности распределения вероятностей. Заметим, что при расчетах не
всегда удобно пользоваться этими характеристиками, так как
обычно их точные выражения неизвестны. Кроме того, расчеты
с использованием функции распределения (или плотности распре-
деления) вероятностей часто оказываются весьма сложными или
352
громоздкими. Однако многие задачи теории вероятностей можно
решать, не используя функции распределения (плотности распре-
деления) вероятностей. Оказывается, что статистические свойства
случайных величин могут быть описаны на основе числовых
характеристик распределения этих случайных величин, называе-
мых моментами случайных величин. Одной из наиболее важных
числовых характеристик случайной величины является ее среднее
значение, называемое также математическим ожиданием.
Математическим ожиданием М[Х] случайной величины X
называется число, определяемое интегралом вида
тА- = М[Х] = § xf(x)dx,	(1)
— со
где f (х) — плотность распределения вероятностей случайной вели-
чины X; х — возможные ее значения.
Для дискретной случайной величины X, плотность распреде-
ления вероятностей которой есть сумма дельта-функций (см. § 60),
получим
оо п	п
М[Х]= 5 * У, pkd(x — xk)dx = У, xkpk, (2)
— 03 A=l	k = \
здесь xk — возможные значения случайной величины; pk — вероят-
ности того, что случайная величина примет значение хк.
Из равенства (2) следует, что математическое ожидание дискрет-
ной случайной величины X равно сумме произведений возможных
значений, принимаемых случайной величиной, на соответствующие
им вероятности. Отсюда вытекает вероятностный смысл математи-
ческого ожидания — оно определяет координату центра группирова-
ния значений, принимаемых случайной величиной; следовательно,
математическое ожидание является средним значением случайной
величины. Для непрерывной случайной величины каждому ее
возможному значению х соответствует элементарная вероятность
f (х) dx; в пределе при вычислении математического ожидания для
непрерывных случайных величин сумма (2) переходит в опреде-
ленный интеграл (1).
Если задана случайная величина Y, которая является неслу-
чайной функцией У = <р(Х) случайного дискретного аргумента X,
то Y принимает возможные значения г/* = ф(х*) с вероятностями pk;
поэтому математическое ожидание случайной величины Y = ф (X)
аналогично равенству (2) определяется выражением
п
М [ф (X)] = £ ф (xk) pk.	(3)
й=1
Если X— непрерывная случайная величина, то функция от
этой величины Y = ф(Х) принимает возможные значения ф(х)
1/212 n/р. Чемоданова Б. К., т. 2
353
*
с вероятностями f (x) dx. В этом случае сумма (3) после предель-
ного перехода равна соответствующему интегралу, т. е.
M[<p(x)] = jj cp(x)f(x)dx.
— со
(4)
Полагая в формуле (4) <р (х) = хг, получим выражения для момен-
тов случайной величины X.	г_1с. к»
Начальным моментом (или просто моментомрблучайной вели-
чины X называется математическое ожидание ее r-й степени. Этот
момент обозначается аг, т. е.
СО
ar = M[Xr] = jj xrf(x)dx.
— со
(5)
Очевидно, математическое ожидание есть начальный момент пер-
вого порядка. Моменты всех порядков являются числовыми харак-
теристиками случайной величины.
у!—Х-Х------х----XX X-------XXX X----
I
г
------------X—ХХХ»ХХХХ X-----------
Рис. 206
Одно математическое ожидание не может дать полное пред-
ставление о случайной величине, так как характеризует только
ее среднее значение.
На рис. 206 крестиками показаны значения, которое приняли
две случайные величины Xi и Х2. Эти случайные величины имеют
одинаковые математические ожидания М[Х1] = М[Х2] = т, но
разброс значений, которые имеет случайная величина X / около
своего математического ожидания, больше, чем разброс значении
у случайной величины Хд.
Для характеристики величины разброса значений случайной
величины около математического ожидания вводится еще одна
числовая характеристика случайной величины, равная сумме про-
изведений квадратов отклонений возможных значений случайно!,
величины от ма тематического ожидания на соответствующие этим
возможным значениям вероятности. Такая числовая характери-
стика называется дисперсией случайной величины X и обозна-
чается Д[Х]. Для дисперсии случайной величины X имеем
Я[Х]=	(b)
k=t
354
Очевидно, что чем больше разброс возможных значений случайной
величины от математического ожидания, тем больше дисперсия
этой случайной величины. Из выражения (5) следует, что диспер-
сия есть математическое ожидание квадрата разности случайной
величины и ее математического ожидания.
Для непрерывной случайной величины X формула (5) после
предельного перехода принимает вид
СО
Л[Х] = М[(Х-М[Х])2 = 5 (x-M[X])2f(x)dx.	(7)
— оо
Разность между случайной величиной и ее математическим
ожиданием называется центрированной случайной величиной Х°:
Х° = Х-М[Х].	(8)
Кроме дисперсии вводятся и другие числовые характеристики
центрированной случайной величины Х°, называемые централь-
ными моментами.
Центральным моментом r-го порядка случайной величины X
называется математическое ожидание r-й степени центрированной
случайной величины Х°, т. е.
СО
рг = М[(Х°Л = М[(Х-М[Х]И= 5 (х-М[Х]П(х)^	(9)
—со
Из формул (7) и (8) следует, что дисперсия является центральным
моментом второго порядка случайной величины.
Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата
этой случайной величины, однако удобнее пользоваться мерой
разброса случайной величины, имеющей ту же размерность, что
и сама случайная величина. За эту меру принимают положитель-
ное значение квадратного корня из дисперсии и называют ее
средним квадратическим отклонением.
Среднее квадратическое отклонение обозначается ох, т. е.
ox=y^[x>Fii'	(Ю)
Аналогично вместо начального момента второго порядка а2,
характеризующего среднее значение квадрата случайной величины,
иногда рассматривают числовую характеристику т] = фкх2, назы-
ваемую средним квадратическим значением случайной величины.
Нетрудно получить зависимость между начальными и централь-
ными моментами. Например, для центрального момента второго
порядка имеем
ОО
р2 = Л1[(Х-М[Х])2] = 5 (х- М[Х])2/ (х) dx =
— со
ОО	ОО	СО
= J x2f (х) dx — 2М[Х] j 4(x)dx+(M[X])2 $ f(x)dx~
— со	— со	— оо
= а2 — 2af-}-а! = а2 — al. (11)
*
V212-
355
В теории вероятностей наиболее часто применяются моменты пер-
вого и второго порядков — математическое ожидание и дисперсия.
2. Свойства математического ожидания и дисперсии. Из опреде-
ления математического ожидания вытекает ряд его свойств.
Свойства математического ожидания
случайной величины
/. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой
этой величине, т. е.
М [с] = с.
(12)
Действительно, константу можно рассматривать как случайную
величину с плотностью распределения вероятностей f (х) = 6(х — с),
так как она принимает единственное значение х = с с вероятностью,
равной единице; поэтому
ОО
Л4[с]= хд (х — с) dx = с. 
— оо
2.	Неслучайный множитель с можно выносить за знак мате-
матического ожидания, т. е.
М[сХ] = сМ[Х].	(13)
В самом деле, имеем
Л4[сХ] = $ cxf(x)dx = c J xf (х) <Д = сМ[Х]. 
— оо	— оо
3.	Математическое ожидание суммы случайных величин равно
суме математических ожиданий этих случайных величин, т. е.
М[Х1 + Х2] = М[Х1] + М[Х2].	(14)
Действительно, введем новую случайную величину Y — Хг + Х2,
ОО
ее математическое ожидание равно М[KJ = $ f//V(*/)A/, где fy(y) —
— ОО
плотность распределения вероятностей случайной величины Y.
Согласно равенству (45) § 61 плотность распределения вероятно-
ОО
стей суммы случайных величин равна fv{y)= $ f(%i, У — *i) dxlt
— оо
где f(xlt xz) — плотность распределения вероятностей случайного
~	СО ОО
; поэтому М[У]= $ J yf(xlt У — *i) dxxdy. Введем
новую переменную х2 = у — Xi, тогда
-х,
Х2
вектора
оо оо
М[У]= $	( (Х1 + х2)((хъ x2)dxLdx2.
— со — со
!
356
Учитывая соотношения между одномерной и двумерной плотно*
стями распределения вероятностей (16) и (17) § 60, окончательно
имеем
Л1[Х1 + Х2] = Л1[У]= $ J Х1/(хь x2)dxldx2 +
— со — оо
оо оо	со	ОО
+ $ $ x2f(xlt x2)dxldx2— (j Xif (%i) dXi + $ x2f(x2)dx2 =
-*-00 — 00	— CO	—co
= M[XJ + M[X,],
где fi (xf) и f2 (x2) — плотности распределения вероятностей слу-
чайных величин Xi и Х2 соответственно. 
Если процесс вычисления математического ожидания рассматри-
вать как оператор, примененный к случайной величине X и ста-
вящий ей в соответствие число тх, определяемое равенство (1), т. е.
тх = М[Х] — $ xf(x)dx,
то свойства 2 и 3 устанавливают, что этот оператор линейный.
4.	Математическое ожидание произведения независимых слу-
чайных величин Xi и Х2 равно произведению математических
ожиданий этих случайных величин, т. е.
M[X1X2] = M[X1]M[X2],
(15)
если Xi и Х2 независимы.
ОО
В самом деле, пусть У = Х1Лг, тогда М[У] = \ yfv(y)dy,
— со
где fy (у) — плотность распределения вероятностей случайной вели-
чины Y. На основании равенства (57) § 61, определяющего плот-
ность распределения вероятностей произведения случайных вели-
чин Xi и Х2 с плотностями распределения вероятностей fi (хц) и
/2(х2) соответственно, имеем
оо О
Л4[У] = ( ( у-Н-Гь y/Xi)dx1dy-^ С С ylxi)dxxdy, (16)
J V Л1	V V Л1
— ОО 0	— 00—со
где f (Xi, х2) — плотность распределения вероятностей случайного
вектора [ХгХа].
Введем новые переменные х1 = н, y/Xi — v. Якобиан преобразо-
вания равен
dxi dxi
ди	dv	10
ду	ду	v и
ди dv
(17)
12 п/р Чемоданова Б К.» т. 2
357
и его модуль |Jj==|tt|. Подставив в выражение (16) новые пере*
менные, получим
ОО со
М[Х1Х2]=/И[У]= 5 5 vf(u, v)\u\dudv~
г- СО О
— $ J vf (и, v) | и | du dv = J J uvf (и, v)dudv. (18)
— CO — CO	—co — co
Выражение (18) позволяет найти математическое ожидание произ-
ведения случайных величин Х2 и Х2.
Если случайные величины Хх и Х2 независимы, то на осно-
вании теоремы 2 § 61 для независимых случайных величин получим
М[Х1Х2]= $ J uvh (и) (v) du dv =
CO — co
= J uf!(u)du J uf2(u)du = M[X1]M[X2].  (19)
— co	— co
Свойства дисперсии случайной величины
1. Дисперсия неслучайной величины с равна нулю, т. е.
£>[с] = 0.	(2U)
Действительно, ранее было показано, что /И [с] — с, поэтому
D [с] = М [(с - М [с])2] = М [(с - с)2] = М [0] = 0. 
^2_. Дисперсия произведения неслучайного множителя на слу-
чайную величину равна произведению квадрата неслучайного мно-
жителя на дисперсию этой случайной величины, т. е.
Z?[cX] = c2Z?[X].	(21)
В самом деле, так как постоянный множитель можно выносить
за знак математического ожидания, то имеем
D [сХ] = М [(сХ - М [сХ])2] = М [с2 (X - М [X])2] =
= с2/И[(Х —М[Х])2] = 6,2/?[Х]. 
(<3. Дисперсия суммы независимых случайных величин Хх и Х2
равна сумме дисперсий слагаемых, пг. е.
Z)[X1 + X2] = Z)[Xi] + Z)[Xa]	(Хх и Х2 независимы). (22)
Из определения дисперсии, используя полученные выше свой-
ства математического ожидания, имеем:
D [Хх + Хв] = М [(Хх + Х2 - [Хх + Х2])2Ь
= М [((X, - М [Хх]) Ь (Х2 - М [ Х2]))2J = М [(Хх - м [Хх])2] +
+ 2М [(Хх - М [Xj]) (Х2 - М [Х2])] + М [(Х2 - М [Х2])2].

По условию случайные величины Хх и Ха независимы, поэтому
согласно равенству (16) получим
М [(Xi - М [XJ) (Ха - М [Ха])] =
= М [Xi - М [XJ] М [Ха - М [Ха]] = О
и окончательно
D [X! + Ха] = М [(Хх - М [Xi])2] + М [(Ха - М [Ха])2] =
= Z?[Xx] + Z?[Xa].
3. Моменты многомерных случайных величин. Как и для одно-
мерных случайных величин, для случайных векторов вводятся
понятия начального и центрального моментов. Рассмотрим слу-
чайный n-мерный вектор-столбец X с координатами Хх, Х2, ..., Х„.
Смешанным начальным моментом порядка Л2 ... -р kn
случайных величин Хх, Ха, ..., Хл называется математическое
ожидание произведения Х^Х* ... Хпп, т. е.
k2..... ьп = м\ Х^Ха2 .. ,Х>].	(23)
Смешанным центральным моментом порядка + /?2 +	+ kn
случайных величин Хх, Х2, ..., Хп называется математическое ожи-
дание произведения (Х?)*1 (Ха)*2... (Хл)*« соответствующих центри-
рованных случайных величин, т. е.
14 k2...kn = M [(ХТ/1 (X... (XS)H	(24)
Наибольшее применение нашли моменты случайного вектора
первого и второю порядка. Рассмотрим свойства этих моментов.
Вычислим момент первого порядка для координат вектора X:
«о...о, 1, о,... о = М [(Хх)»... (Xw)« Xt (Х/+1)«... (Х„)°] = М[Х,-]. (25)
()тсюда следует, что начальные моменты первого порядка для
системы п случайных величин есть математические ожидания этих
случайных величин.
Математическим ожиданием случайного вектора X называется
вектор, координатами которого являются математические ожида-
ния соответствующих координат случайного вектора X, т. е.
МЭД*=фи[Х1]...М[Х„]].	(26)
Можно показать, что свойства математического ожидания слу-
чайного вектора аналогичны свойствам математического ожидания
одномерной случайной величины.
Свойства математического ожидания
случайного вектора
1. Математическое ожидание неслучайного вектора равно этому
вектору, т. е.
М[с] = с,	(27)
где с —неслучайный вектор.
12*	|	359
2. Неслучайную матрицу можно выносить за знак операции
определения математического ожидания, т. е.
М[ДХ] = ДМ[Х],	(28)
где 4 —матрица с неслучайными элементами.
3. Математическое ожидание суммы случайных векторов равно
сумме математических ожиданий этих векторов, т. е.
M[X1 + X2] = M[X1]+M[X2],	(29)
где Хг и Х2 —случайные векторы одинакового размера.
Теперь рассмотрим моменты второго порядка. Пусть имеем две
случайные величины Хг и Xj. Вычислим смешанный центральный
момент второго порядка для этих случайных величин. Согласно
равенству (24) имеем
р1(1 = Л4[Х?Х7].	(30)
Смешанный центральный момент второго порядка случайных
величин X/ и Xj называется корреляционным моментом. Корреля-
ционный момент для случайных величин X/ и X; обозначают Ку
и вычисляют по формуле
Р1,1 = Х/7^Л1[Х?Х?] =
= $ $ (xt — М [Xi]) (X/ — М [X/]) f (xt, Xj) dxi dxh (31)
— co — co
где f(xi, Xj) — двумерная плотность распределения вероятностей
случайного вектора Хт=[ХгХу].
Свойства корреляционного момента
1.	Корреляционный момент для одной и той же случайной
величины равен дисперсии этой случайной величины, т. е.
Ku = D[Xi\.	(32)
Действительно,
Ки = М [(X, - М [X,]) (X,- - М [Xi])] = Л1 [(X?)2] = D [X,]. 
2.	Корреляционный момент двух случайных величин Xi и Xj
не зависит от того, в каком порядке берутся эти случайные
величины, т. е.
Кц^Кц.	(зз)
Действительно, имеем
Ку = М [Х?Х?] = М [Х?Х?] Kji. 
3.	Корреляционный момент для двух независимых случайных
величин Xi и X/ равен нулю:
Ки=0,	«	(34)
если Xj и Xj независимы.
360
Действительно, в этом случае имеем
где fy(xh Xj) — двумерная плотность распределения вероятностей
случайного вектора Хт =[Х,-ХД; fi(xt) и fj (xj) — одномерные плот-
ности распределения вероятностей случайных величин Xi и Xj.
В результате получим
Ку = jj $ (xi—M[Xt])(Xj—M[Xj])fij(xl,Xj)dxldxj =
— co — оо
= 5 (xi-M[Xz])/z(xf)d^ $ (Xj-M[Xj])fj(Xj)dXj,
— co	— oo
HO
5 (Xi-M [X,]) fi (xi) dXi =
— OO
= $ Xif (xt) dx{ — M [Xi] J fi (xi) dxi = AI[X,] — M [X,] = 0,
— co	— oo
т. e. равенство (34) справедливо. 
Из этого свойства следует, что корреляционный момент харак-
теризует связь между случайными величинами. Однако в общем
случае было бы неверно утверждать, что если корреляционный мо-
мент случайных величин Х; и Xj равен нулю, то они независимы.
Случайные величины, корреляционный момент которых равен
нулю, называют некоррелированными, в противном случае эти
величины называются коррелированными.
4.	Для корреляционного момента справедливо равенство
\Ку\^Л' D[Xi\D[Xj].	(35)
При Ку = 0 неравенство (35) справедливо. Предположим теперь,
что Ху#=О. Рассмотрим равенство
/И [(X? - 2iX?)2] = /И [(X?)2 - 2ЛХ?Х/ + Х2(ХУ)2] =
г = М [(X?)2] - 2Ш [Х?Х?] + Л2М [(X?)2] =
= D[X,]-2M// + Z2Z>(Xy). (36)
Выражение, стоящее в левой части этого равенства, неотрица-
тельно при любом X как математическое ожидание квадрата слу-
чайной величины. Положим л = —в результате имеем
(37)
Умножая выражение (37) на д , получим
-Kay + D[Xt]D[Xj]^0,	(38)
откуда следует справедливость равенства (35). 
361
Кроме корреляционного момента двух случайных величин,
для характеристики связи случайных величин Xt и X, введем
безразмерный коэффициент Гу, равный отношению корреляцион-
ного момента случайных величин Л/ и Xj к положительному
значению квадратного корня из произведения дисперсий этих
случайных величин. Этот коэффициент называется коэффициентом^
корреляции случайных величин Xt и Ху т. е.
(39)
*	|О|Х,|П|Х,| о,о,
где о( и Оу —средние квадратические отклонения случайных
величин X, и Xj.
Из свойств корреляционного момента непосредственно выте-
кают следующие свойства коэффициента корреляции: '
гй = 1,	'	(40)
ry^rji,	(41)
(42)
П/ = 0,	.	(43)
если Xi и Ху —независимые случайные величины.
Между корреляционным моментом и начальным моментом
второго порядка справедливо соотношение
Ку = М [ХВД = М [(Xi - М [X,]) (Ху - М [Ху])] =
== М [XiXj] - М [Xi] М [Ху] - М [XJ М [Ху] +
4-/H[Xz]M[Xz] = a/y — a(a,. (44)
Рассмотрим случайный вектор X с координатами Хх, Х2, .... Хп.
Матрица К, составленная из корреляционных моментов для всех
координат этого случайного вектора:
	рХи к12.	• 7<i,q		
	Кц К2.2 	. к2п	= М [Х° (Х°)т] = [Л1 [X?Xf]],	(45)
	-Knl Кп2 •	 Кпп-		
называется корреляционной матрицей случайного вектора X. Из
равенства (33) следует, что Ку —Ку, т. е. матрица К является
симметричной:
К^К.	(46)
Пусть выполняется линейное преобразование случайного век-
тора X, задаваемое в некотором базисе матрицей В, т. е.
Y = BX.	(47)
362
Выясним, как изменяется корреляционная матрица Кд-случай
кого вектора X при этом преобразовании. Имеем
Кы к1п-
К%1 Л22 ••• Kzn
=[%Л==[Л1[ВД]].
^8)
-K.nl Кп% • • • Кпп-
Вычислим корреляционную матрицу случайного вектора Y-BX.
Воспользовавшись правилом умножения матриц (см. § 1), получим
т<у=-[м[y; /;]]== м 2 ь^;п
2 ^b^bjXmX]
т=\ I = 1
- п п
2 2 blmbnM[XmX°i\
jn~\ /=1
м
- л л
s S btmbjtKml = вкхв\
_т = 1 I = 1
где bij — элементы матрицы В.
Таким образом, при линейном преобразовании (47) случай-
ного вектора X корреляционная матрица его образа Y равна
Кг=ЬКхВ\	Х49)
4,	Комплексные случайные величины. Случайная величина
вида
Z = X+/T,	(50)
где X и Y — одномерные действительные случайные'величины,
называется комплексной случайной величиной.
Чтобы полностью охарактеризовать комплексную случайную
величину, необходимо задать двумерную функцию распределения
ее действительной и мнимой частей j
F(x, у) — Р(Х<х, Y<y).	(51)
Математическим ожиданием комплексной случайной величины
называется выражение
М[Х] = Л1[Х] + /Л4[Г].	'	(52)
Для математического ожидания комплексной случайной вели-
чины справедливы все ранее доказанные свойства (12), (13), (14/
и (16) математического ожидания действительной случайной
величины.	z
Центрированной комплексной случайной величиной является
случайная величина
Z° = X°-\-iY\	(53)
363
Дисперсией комплексной случайной величины Z называется мате-
магическое ожидание квадрата модуля ее центрированного зна-
чения, т. е.
P[Z] = M[|Z°|2] = AJ[ZOZO],	(54)
где Z° означает центрированную комплексно-сопряженную слу-
чайную величину. Выразим дисперсию комплексной случайной
величины через дисперсии ее действительной и мнимой частей:
D [Z] = М [ | Z° |2] = М [(Х°)2 -}- (У°)2] = D [X] + D [ У].	(55)
Ш равенства (55) следует, что дисперсия комплексной случайной
величины есть действительное число, равное сумме дисперсий
действительной и мнимой частей комплексной случайной величины.
Корреляционным моментом комплексных случайных величин
Zi и Z2 называется математическое ожидание произведения цент-
рированных случайных величин Z, и Z2, т. е.
Xztzs = Af[Z?Zj].	(56)
Понятие корреляционного момента комплексной случайной вели-
чины (56) явлется обобщением понятия корреляционного момента
действительной случайной величины. В самом деле, если Z2 —
действительная случайная величина, то Z2 = Z2, тогда имеем
Kztzt — М [Z°Z2], что совпадает с выражением (31) для корреля-
ционного момента действительной случайной величины.
Распространяя свойство 1 корреляционного момента (32) для
действительных случайных величин на комплексные случайные
величины, получим
D[Z] = Kzz = M[Z°Z°],
т. е. мера рассеяния (дисперсия) возможных значений комплекс-
ной случайной величины есть действительное число. Именно по
этой причине в выражении для корреляционного момента комп-
лексной случайной! величины (56) вторая случайная величина
берется комплексно-сопряженной.
Свойства корреляционного момента
комплексной случайной величивы
/. Корреляционный момент комплексной случайной величины
с самой собой равен дисперсии этой случайной величины, т. е.
Kzz = M[Z°Z°].	(57)
2.	При	перемене	порядка индексов	корреляционный	момент
изменяется на комплексно-сопряженный, т. е.
Kzazt~ KzlZs 	(58)
3.	Модуль	корреляционного момента	двух	комплексных случай-
ных величин не превосходит положительного значения квадрат-
364
ного корня от произведения дисперсий этих случайных величин,
т. е.
\KZlZ.\^VP^]D[Z2}.	(59)
4.	Дисперсия произведения случайной величины на неслучайный
комплексный множитель к равна произведению квадрата модуля
неслучайного множителя на дисперсию этой случайной величины,
т. е.
D[ZZ] = |X|2D[ZJ.	(60)
Доказательства справедливости свойств корреляционного мо-
мента комплексной случайной величины аналогичны доказатель-
ству этих свойств для корреляционного момента действительной
случайной величины.
§ 63. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.	Характеристические функции одномерных случайных величин.
Характеристической функцией g(t) действительной случайной
величины X с плотностью распределения вероятностей f(x) назы-
вается математическое ожидание функции е11Х, где t параметр,
т. е.
g (t) — М [ейх J = \ eitxf (xj dx.	(1)
— оо
Для дискретной случайной величины плотность распределения
вероятностей есть линейная комбинация дельта-функций (16) §60
и для нее формула (1) принимает вид
п
g(t) = M[ei‘x]= £ eitxkpk.	(2)
Сравнивая равенство (1) с преобразованием Фурье (см. § 36),
видим, что характеристическая функция есть преобразование по
Фурье функции плотности распределения вероятностей, т. е.
ОО
g (0 = ^(0 = $ f(x)e~i(-‘^dx.	(3)
— оо
Следовательно, функция плотности распределения вероятностей
есть обратное преобразование по Фурье характеристической функ-
ции, т. е.
ОО
= i	(4)
—оо
< * V *	‘	I
Понятие характеристической функции, как показано ниже,
весьма полезно при решении целого ряда теоретических и прак-
тических задач теории вероятностей.
365
Свойства характеристической функции
1.	Значение характеристической функции при t=Q равно еди-
нице, т. е.
£(0)=1.
Действительно,
g(0) = $ ei°xf(x)dx — $ f(x)dx=l. ц
— ОО	—-СО
2.	Значение модуля характеристической функции не превышает
единицы, т. е.
\g(t) |<1.	’	(6)
Учитывая свойства 1 и 4 плотности распределения вероятно-
стей, имеем
СО
\ eJ'txf(x)dx
— со
\g(t)\~
оо	оо
< 5 \^tx\\f(x)\dx= f(x)dx=l. 
— со	—со
3.	Характеристическая функция gy(t) суммы двух независи-
мых случайных величин X\ и Х2 равна произведению характери-
стических функций gA(t) и g2(f) этих случайных величин, т. е.
gY(t)^gl(t)g^{t)-	(	(7)
Действительно, так как для независимых случайных величин
двумерная функция плотности распределения вероятностей равна
произведению одномерных функций плотности распределения
вероятностей, то получим
gY (t) = М [е/'у] = М р7<х>+ *»>] = Л1 [e/«le/zxsj =
= jj eitxieitx2f	_
— со —со
— $ e^fitxjdxj. J e'tXsf2(x2)dx2 = g1(xi)g2(x2).
— со	—со	*
4.	Характеристическая функция gy(t) случайной величины
Y — аХ -ф Ь, где а и b неслучайные числа, равна
gY(t) = e’b,g(at),	(8)
где g (t) — характеристическая функция случайной величины X.
Действительно, имеем
gy(t) — М [е/у/] = /И [^<оХ+6)/] — М [e^ef<aX)i] =?
। I	—eJb*M[e'(a/)X] — eSb'g(at). 
5.	Если существует начальный момент п-го порядка Л4[Х"]
случайной величины X, то при всех k^n значение производной
порядка k от характеристической функции g(t) этой случайной
366
величины при t = () равно начальному моменту k-го порядка слу-
чайной величины X, умноженному на /* , т. е.
g™ (0) = рщ fy/,j = jkak	(9)
В самом деле, дифференцируя выражение (1)-для характери-
стической функции k раз по t, получим
gr(*) (/) = у* xke}'txf (х) dx.
У	—оо
Полагая / — О, найдем
gW(O) = y*	j^(x)dx = /M[X*] = /*aft. 	(10)”
— 00
Из выражения (10), как частные случаи, могут быть получены
следующие равенства:
М[Х] = а1 = -/^(0),	(Н)
a2 = M[X2]--g"(0),	(12)
D [X] = а2 - af = -g" (0) + (g' (О))2.	(13)
2. Характеристические функции и числовые характеристики
некоторых случайных величин. Числовые характеристики (моменты)
случайных величин, вообще говоря, могут быть вычислены непосред-
ственно с помощью формул (5), (9) § 62. Однако эти моменты
удобнее вычислять, используя свойство 5 характеристических
функций. Так, математическое ожидание и дисперсию можно
определить с помощью формул (11) и (13).
Вычисление математических ожиданий и дисперсий рассмот-
рим на примерах некоторых распределений случайных величин.
1.	Биномиальный закон распределения. При
биномиальном законе распределения (см. равенство (17) § 60 слу-
чайная величина X принимает значения 0, 1, 2, ..., п с вероят-
ностями pk = CnPk(fl~k• Поэтому из равенства (2), используя фор-
мулу бинома Ньютона, имеем
g (0 = £ e^Ckfpkqn k=^Ckti (е"р)* (?-*•& (e^p + q)n.	(14)
A- 0	*= (J
Вычислим производные от характеристической функции:
g' (t) = jnpest [epp + g)"-1,
g" (0 = — rpe^ [p (n — 1) (e^p + q)n~2 + (epn + g)""1].
Учитывая, что p-\-q — \, имеем
g' (0) = jnp, g' (0) = — p2n2 p2n ~pn = — p2n2 — pn(\ —p).
367
Из формул (11) и (13) следует, что для случайной величины,
распределенной по биномиальному закону, математическое ожи-
дание и дисперсия определяются равенствами
M[X] = -/g'(0) = np,	(15)
D [X] = - g" (0) + (g' (О))2 = p2n2 + рп (1 - р) - р2п2 =
= пр(1-р) = ир^. (16)
2.	Закон Пуассона. Случайная величина, распределен-
ная по закону Пуассона, принимает значения 0, 1, 2, ..., п, ...
с вероятностями Pk — ^ е~а (см. равенство (18) § 60). Из формулы
(2) следует, что характеристическая функция этой случайной
величины есть
g(0 = M[e/'x]= У е»к ~е~а = У	=	(17)
ft=0	ft = 0
Вычислим производные от характеристической функции (17):
g’ (f) =aj^tea^t~l\ g" (t) = — a2e2/V°(e,/—*1 — аЛ°(е^—0.
Полагая в полученных равенствах t — 0, имеем
g'(0) = /a, g"(0) = —-с?-а.
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины,
распределенной по закону Пуассона, вычислим, воспользовавшись
равенствами (Н) и (13):
M[X] = -/g'(0)-a,	(18)
D [X] = - g" (0) + (g' (О))2 = а2 + а - а2 = а.	(19)
Таким образом, математическое ожидание и дисперсия слу-
чайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны
одному и тому же числу.
3.	Закон равной вероятност и. Согласно равенству (19)
§ 60 плотность распределения вероятностей случайной величины,
распределенной по закону равной вероятности, имеет вид
( 0
/(*) = { 1
I Ь—а
при х<_а, х>Ь,
при а^х^Ь.
Характеристическую функцию этой случайной величины вы-
числим по формуле (1):
ь
g (0 =  1 V e)tx dx = г (ePb — eJta).
6 4 ' b — a J	р (Ь—а) '	'
а
(20)
368
Разложим характеристическую функцию g(t) в ряд МаклорбНа:
...	1 I	, a2/2 jbW ;W	\
jt(b — а) \> Ь ,ia 2^2	6 + 6 +0^)
-1  jt(b+a) Р(Ь3—а3) , „ач
“ 1 "Г 2	6(6—а)
Вычислим производные от характеристической функции:
g"(0 = --^±f±^+o(i).
откуда
^(0) = н^, ^(0)==_2!±^Hi.
Определим математическое ожидание и дисперсию равномерно
распределенной случайной величины. Воспользовавшись форму-
лами (11) и (13), найдем
Л1[Х] = -^'(0) = -Ц£-,	* (21)
D [X] = -g" (0) Ч--&: (О))2 = Ь2~Ц-+с2 -	. (22)
4. Нормальное распределение. Плотность распреде-
ления вероятностей случайной величины, распределенной по нор-
1	_ (к—ту
мальному закону, равна /(%)=
§ 60). Согласно выражению
случайной величины X равна
(х—ту
dx —
-—,.= е	2о‘ (см. равенство (21)
а У 2л
(1), характеристическая функция
g (/) — —7= f е
a^2n J
jtx—
L f e-UsK'/+5->r+
G V 2л •’
—co
=----’ e 2 I e W dx_ (23)
а/2л	J
dx —
Полученный интеграл есть интеграл Эйлера — Пуассона. Изве-
стно *\ что
“ _ [х-(/№+т)Р	“ _ и1
—	I е 2а‘ dx =	1 е 2 du —1,
ay 2л	Ул «’
— оо	—со
поэтому для нормального распределения характеристическая функ-
ция имеет вид
<24>
*’ См., например. Фихтенгольц Г. М. Основы математического ана
лнза, т. 11 «Наука», 1968, с. 164.
369
Запишем разложение характеристической функции в ряд Мак-
лорена
=	----2-----2“ + о(^)-
Производные от характеристической функции равны
g' (t) = jm — t (о2 + m2) + о (0, g" (t) = - (о2 + m2) + о (1),
откуда найдем
g' (0) = jm, g" (0) = — (о2 + m2).
Математическое ожидание и дисперсию нормально распреде-
ленной случайной величины -вычислим по формулам (11) и (13):
М[Х] =— jg'^ — tn,	(25)
D [X ] = — g" (0) + (g' (О))2 = о2 + m2 - т* = о2.	(26)
Таким образом, два параметра т — математическое ожидание
и ст —среднее квадратическое отклонение полностью определяют
случайную величину, распределенную по нормальному закону.
5. Экспоненциальное распределение. Функция
плотности распределения вероятностей случайной величины, рас-
пределенной по экспоненциальному закону, согласно равенству
(27) § 60 имеет вид
f 1 0 при х<0,
(Хе-Хл при х^О, Z>0.
Характеристическую функцию этой случайной величины вычислим,
учитывая равенство (1):
g(Z)=X eJtxe~ix йх=Ъ.	dx-j~^-.	(27)
ll	о
Разложим характеристическую функцию в ряд Маклорена:
1	А А2
Вычислив производные от характеристической функции, получим
g'(0 = i-^-+o(f), /(/) = _^ + 0(1)>
откуда
370
Определим математическое ожидание и дисперсию экспонен-
циально распределенной случайной величины:
M[X]==-/g-'<O)==l	(28)
»[x]=-g"(0)+(?'(0))j=p--4-=4-	<29>
3. Характеристические функции векторных случайных величин.
По аналогии с характеристической функцией одномерной случай-
ной величины введем характеристическую функцию векторной
случайной величины. Характеристической функцией и-мерного
случайного вектора X называется математическое ожидание слу-
чайной величины ei(t- Л>, т. е.
g(t) = g(tu Ъ...Q =	(30)
где	•
Х^[Х1Х2...Хп\, Г = [^/2...4],
(f, X) — скалярное произведение векторов t и X, заданных в неко-
тором ортонорм ирован ном базисе.
В соответствии с определением математического ожидания
имеем
;	СО СО	СО
g{t)=g(tu t2,.... /л)=м[е'(‘-«]= $ $ ... 5
х/(х2, .... хп) d-Xi... dxnt (31)
где f(xit ..., х„) — n-мерная функция плотности распределения
вероятностей случайного вектора X.
Основные свойства характеристической функции
случайного вектора**
1.	Значение характеристической функции случайного вектора
X при t — О равно единице, т. е.
g(0) = l.	(32)
2.	Значение модуля характеристической функции не превышает
единицы, т. е.
lg(0l^i.	(33)
3.	Для того чтобы из характеристической функции п-мерного
случайного вектора получить характеристическую функцию k-мер-
ного случайного ^ вектора, составленного из произвольных k коорди-
нат исходного вектора, надо положить остальные (n — k) коорди-
нат вектора t равными нулю. Полученная функция будет харак-
*< Справедливость свойств характеристической функции случайного век-
тора примем без доказательства; доказательство см., например: Гнеденко Б. В-
Курс теории вероятностей. «Наука», 1969, с. 248.
37J
теристической функцией случайного вектора, составленного из
оставшихся k координат, т. е.
gk(tlt t2....tk) = g(tu	tk, 0.....0).	(34)
4.	Характеристическая функция gy(t) п-мерного случайного
вектора Y—a-j-BX, где а — неслучайный вектор; В-неслучай-
ноя матрица:
			"&11 ^Х2	Ь1п~		ГХ11	
« =	а2		Ь21 ^22 ... Ь2п		х2	9
	-С1п _		-bni ЪП2 ... Ьпп..		Lx„J	
gY(t)^elMg(B*t),
равна
(35)
где g(t) — характеристическая функция случайного вектора X,
а В* — матрица, сопряженная с матрицей В.
5.	Смешанный начальный момент akvk2.ьп порядка /?j + ^2 +
+ ... + kn п-мерного случайного вектора X равен
_ 1____________
•’kn jkl+h2+ — +kn

/1+^+-+^(/1| ......
dt^dt^ ... dfy
. (36)
0
где индекс ноль означает, что после дифференцирования нужно
положить	= 0.
4. Многомерное нормальное распределение и его числовые
характеристики. Случайный вектор X с координатами Хг, Х2, ...
.... Хп называется распределенным по нормальному закону, если
его плотность распределения вероятностей имеет вид
I	_ ((*—>»). К-Цх-тУ)
fW=(2.>«(.tetK)'«r	’		(37>
где тТ = [т1 ... т„]— неслучайный вектор	— матрица
положительно определенной квадратичной формы ((х — th),
К-Цх-т)) — квадратичная форма, выраженная через скалярное
произведение векторов (х — т) и К1(х — т).
В частности, для двумерного случайного вектора ХТ = [Х1Х2]
имеем:
mil ГКп ЛнЯ „ t _	1
т2 ’	К21 К22 ’
К22 — К12
.- ^21 К11_
поэтому плотность распределения вероятностей f/фц, х2) двумер-
ного нормально распределенного вектора равна
/(Ai, Ха)
I
------,••.	— е
К>1^1 — ^1)‘ — 2К1г(^1~т,)(х2~тг)+Ки(х,—таУ
2(КцЛ»»—К12)
(38)
372
Вычислим характеристическою функцию случайного вектора X,
распределенного по нормальному закону. Изопределения харак-
теристической функции (30) имеем
туе j е (.2я)« 2ldet ге
—со
(39)
Введем новую переменную у = С (х — т), тогда получим х~т~
= С~гу, и равенство (39) примет вид
g Ю =---------------ттг ( «к*' с^+т'>е~ ? (С‘,у’ к~'с~,у' det С-1 Г1 dy.
*	(2n)R/2(det/C)1/2 J	I	I X
— co
(40)
Из свойств скалярного произведения (см. равенства (47), (48),
(52) и (53) § 7) следует, что для действительной матрицы С спра-
ведливы соотношения
(Л С гу) = ((С- *)т t, у) и (С-1у,	= (у, (С *)т К 'С 'У)
Из теории квадратичных форм известно (см. § 8), что всегда
существует такая ортогональная матрица С (для нее С 1 == Ст),
для которой произведение CKC^ D является диагональной мат-
рицей. В этом случае обратная матрица D~l = CK~1Cr, поэтому
из равенства (40) получим
ё(0
_ I det С |-1 ef (t> m)
(2я)л/2 (det Я)1/2
СО	|
J е/(«.у)е“2 {y’D"y} dy.
(41)
Из теоремы об определителе произведения матриц (см. § 2) имеем
(det Z>)V2 = (det 1 det С |,
откуда получим
f на,
8	~ (2я)л/2 (det С)1/2 3 е
—со
Так как матрица D имеет диагональный вид
D = di agd2... dn], то D1 = diag^ 1~
det D — di d2... dn,
(42)
и подынтегральное выражение в равенстве (42) представляет про-
изведение фчнкций от одной переменной, то n-мерный интеграл
можно представить в виде произведения п одномерных интегра-
лов. Полагая т — Ct, получим
-%- р1 j	iTkyk~ —
Ь= 1 —ГС	«
373
Из равенств (23) и (24) следует, что интеграл в выражении (43)
равен
i	--4-
/2Sd*'2* dyk~e
(44)
поэтому характеристическая функция равна
п
-1 s _ 1 {т Dx)
g(f) m,e k~l =ei<‘t’m'>e 2
(45)
Выражая т через t и учитывая, что CrDC — K, найдем оконча-
тельно характеристическую функцию многомерной нормально
распределенной случайной величины;
,х. Ht. (Ct, DCt) i(t, m)-E (t, C'DCt) j(t, (/. Kt)
g(t) — e 2 =e 2 =e 2	(46)
Используя свойство 3 характеристической функции, найдем харак-
теристическую функцию случайной величины X/ и двумерного
гхл
случайного вектора :
LAzJ
(47)
g2 (k, tt) = eK‘im‘++2Кч^+к^1\
Вычислим значения производных характеристической
ции при ti — ti = O:
(48)
функ-
(it)

(49)
даВг&1, hl
dti dti
t ^q = -—Кц — тугу.
(50)
(13) и (36),/ получим
«« = Л4 [ XtXi ] = Ku + туп^
Учитывая равенства (11),
•	Af[XJ=/nb
/И [Х?Х°]= а« — тугц— К и-
(51)
Таким образом, параметры —вектор т и матрица К— в выра
женин для плотности распределения вероятностей есть соответ-
ственно вектор математического ожидания и корреляционная
матрица нормально распределенного случайного вектора X.
двух нормально распределенных случайных величин X,-
и Х; справедливо следующее свойство: Если случайные величины
Xi и Xi распределены по нормальному закону и некоррелированы,
то они независимы.
<
374
Ё самом деле, для некоррелированных случайных велйчий
Ки = 0, поэтому в выражении (38) для плотности распределения
вероятностей двумерного случайного вектора получим
(X, —<?!,)» (Ха— №,)а
f(xlt х2) = —- _==zre	2К“	2Л» =
2л \ К11К22
_ (xt—	_ (к2 —т,)»
= е 2/г*	е . (52)
/2лКи	\ 2л^2	' '
Из выражени я (52) следует, что в рассматриваемом случае дву-
мерная функция плотности распределения вероятностей предста
вима в виде произведения одномерных плотностей, поэтому
согласно теореме 2 § 61 эти случайные величины независимы.
По'лучим необходимую в дальнейшем формулу для смешанного
центрального момента четвертого порядка для координат нор-
мально распределенного случайного вектора X.
Из равенств (46) и (35) следует, что характеристическая
функция g0(f) центрированного случайного вектора X— М [А 1 =
— X — tn — Ха имеет вид
g0 (t)=e i(t.	™ =e~T(t-	. (53)
i
Согласно выражению (36) для определения любого централь-
ного момента необходимо найти соответствующую производную
от характеристической функции центрированного случайного век-
тора. Характеристииескую функцию центрированного нормально
распределенного четырехмерного вектора получим из формулы (53).
Согласно равенству (34), полагая /5 = /6 = ... = /„ = О, имеем
4S Wi	(54)
g0(ti, 4, 4, 4) = е г-'=°
где Кц — корреляционный момент случайных величин Хг и Хг.
Дифференцируя это выражение поочередно по переменным /х, 4»
ts и tt и полагая затем — /2 = 4 = 4 = 0» получим на основании
выражения (36)
Pi, 1,1,1 — (А Х°Х3X4] = /<12^(84 + ^13X244-^14^23.	(55)
§ 64. ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
I. Неравенство Чебышева. С помощью неравенства Чебышева
можно оценить вероятность того, что значение, принятое случай-
ной величиной X, будет отличаться от математического ожида-
ния этой случайной величины А4[Х] — тх больше, чем на задан-
ную положительную величину е. Неравенство имеет вид
P(IX-mx|>e)^M-,	(1)
где О[Х] — дисперсия случайной величины X.
375
Докажем это неравенство, ДЛЯ чего запишем вероятность
события, состоящего в том, что случайная величина X, имеющая
плотность распределения вероятностей f(x), примет значение,
отличающееся от своего математического ожидания больше, чем
на е. Эта вероятность равна
Р (| X — тх | > е) =	\ f(x) dx,
| х-тх\>е
(2)
причем интегрирование производится по интервалу оси Ох, где
выполнено неравенство | х — тх | >• е. Так как в выбранном
интервале интегрирования (х — тх)2 > е2, то в данном случае
можно записать
(х—тх)2
е2
(3)
Умножая полученное неравенство на неотрицательную функцию
f(x), имеем
(4)
Подставив выражение (4) в равенство (2), получим
Р([Х-mx|>e)-S ~	\ (х - тх)2 f (х) dx. (5)
I х—тх|>е
Заметим, что для неотрицательной подынтегральной 'функции
в правой части выражения (5) справедливо неравенство
оо	/
J	(х — тх)2[ (х) dx	$ (х — mx)2f(x) dx = D [X],
| х—тх | >е	—со
откуда имеем
Р(|Х-тх|>е)<^. 	(6)
I
г 2. Теорема Чебышева. Рассмотрим последовательность незави-
симых случайных величин Хь Х2, ..., Хп, ... Пусть заданы
математические ожидания и дисперсии элементов этой последова-
тельности
=	D[X„] = rf„ (п = 1, 2...)
Образуем новую случайную величину Уп как среднее арифмети-
ческое первых п членов указанной последовательности: 4
у =	+	+	/у\
376
По правилу определения математического ожиданий и дисперсии
суммы независимых случайных величин имеем:
п
У mi
М[У„]=^^— = ап,	(8)
п	п
Srf/	у 4
п
£ dt
где'Ь = ^—.
В отношении названной последовательности случайных вели-
чин справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Если последовательность случайных величин Xlt
Л 2, . . состоит из независимых случайных величин с ограничен-
ными дисперсиями, то вероятность того, что случайная величина
Yn = x>+x-^r	(10)
примет значение, отличающееся от ее математического ожида-
ния на заданную величину е>0, при достаточно большом числе п
меньше любого положительного числа Ь, т. е.
Р(|Уя-/И[Г„]!>е)<6.
Доказательство. По условию теоремы дисперсии слу-,
чайных величин Хп ограничены, поэтому существует положи-
тельное число Q такое, что dt<Q (1 = 1, 2,...). Тогда из равен-
ства (9) следует, что
п
^d,
(П)
Из неравенства Чебышева найдем, что
Р(|У„-М[Уя]|>ь)^^<^
е26
Выберем теперь число членов последовательности n>-q-,
получим
Р(|Уя-М[Уя]|>е)<б=^. 	(12)
Если случайные величины последовательности имеют одина-
ковые математические ожидания и дисперсии, т. е.
JA[Xk]=m, D{Xk] = d (k = l, 2,...),
то
М [У„] = М р+Ха+-+х"] = т,
377
и ИЗ йёравенства (12) следует, что
Р1 ^±Лд+-  • + Л» _ I > е) < d fi.	(13)
\| п	I /	ni 2	' ’
Выражение (13) показывает, что вероятность того, что слу-
чайная величина Yn, равная среднему арифметическому п слу-
чайных величин, имеющих одинаковые математические ожидания
и ограниченные дисперсии, примет значение, отличающееся от
математического ожидания элементов последовательности на вели-
чину большую чем е, может быть сделана сколь угодно малой
при увеличении числа п. Этим обстоятельством пользуются при
оценке математического ожидания случайных величин.
3. Теорема Я. Бернулли. Пусть выполняется серия из п
испытаний Бернулли с вероятностями успеха и неудачи соответ-
ственно р и д=1 — р, и случайная величина Хп равна числу
успехов в п испытаниях.
Теорема 2. При достаточно большом числе независимых испы-
таний вероятность того, что чартота успеха, которая равна
отношению числа успехов Хп в п испытаниях к числу испытаний,
отличается, от вероятности больше чем на любое число е > О,
может быть сделана сколь угодно малой, т. е.
Р(|*"-р|>е)<б.	(14)
Доказательство. Введем случайную величину Yk, кото-
рая равна единице, если при Л-м испытании имеется успех и
равна нулю в противном случае. Математическое ожидание и
дисперсия случайной величины Yk равны:
М[У*]=1-р + 0-(1-р) = р, D[Yk\~
— (1 — р)2 р +(0 — р)2 (1 — р) = р (1 — р). (15)
В этом случае случайную величину Хп можно представить в виде
Хп = У1+ Y2 . .-Г Y„.	(16)
Частота (статистическая вероятность) числа успехов в п испыта-
ниях равна
п*___Хп__
I'n - — -	~	.	(1 /)
Нетрудно проверить, что все условия теоремы Чебышева для
случайных величин Yn выполнены, поэтому из равенства (13)
получим
=	= g = ® (18)
4. Виды сходимости случайных последовательностей. Говорят,
что последовательность случайных величин Хъ Х2, Х„ стре-
378
мится к случайной величине X почти наверно (п. н.) или
с вероятностью единица, если вероятность того, что существует
предел последовательности Хъ Хг,Хп равный X, есть еди-
ница, т. е.
P(limX„==X)=l.	(19)
4	/2—>СО
В этом случае записывают
limX„ = X(n. «.), или Хпл^Х.	(20)
Заметим, что из теоремы Бернулли не следует, что частота
случайной величины Х„ стремится к ее вероятности, так как
X	I	\
эта теорема утверждает, что Р | — — р И> е) < при n> N, или
\| Я	I	/
п
lim Р I “ — р 1> = 0, т. е. lim р(| — — р 1< 8^ = 1, ,
Л~*ОО VI	•	/	n-юо U й I /
что не эквивалентно условию (19). В теории вероятностей вво-
дится еще один вид сходимости— сходимость по веррятности.
Последовательность случайных величин Хг, Х2,... сходится
к случайной величине X по вероятности, если для любых поло-
жительных чисел е и 6 существует число N, зависящее от е и 6,
такое, что при п> N справедливо неравенство
Р(|Х„-Х|>8)<6	(21)
или
lim P(|X„ —X |> е) =0, т. е. lim Р(| Х„ —Х| <е) = 1. (22)
га—>оо	и—>оо
Условно сходимость по вероятности записывают в виде
или
lim Х„ = Х,
п~>00
Хп^х
(23)
(24)
Наконец, в ряде случаев целесообразно ввести еще один вид
сходимости — сходимость в среднем квадратическом.
Последовательность случайных величин Xi, Х2, ... сходится
к случайной величине X в среднем квадратическом, если
lim М[|Х„ —X |2] = 0,	(25)
п-»оо
т. е. для любого положительного числа 8 найдется число N,
зависящее от е, такое, что при N выполняется неравенство
ЛЦ|Х„-Х|2]<е,	(26)
379
Условно такую сходимость записывают в виде
X —l.i.m.
л-*оо
(27)
Приведем без доказательства критерий сходимости последова-
тельности Хп к X в среднем квадратическом. Для того чтобы
существовал предел в среднем квадратическом (27), необходимо и
достаточно, чтобы существовало число /V > О такое, что для
любых п> N и m~>N выполнялось неравенство
М[\Хп-Хт |2]<е.
(28)
Можно показать, что сходимость почти наверно и сходимость
в среднем квадратическом влекут за собой и сходимость по веро-
ятности.
5. Теорема Муавра—Лапласа. В § 60 была введена случайная
величина Хп, равная числу успехов при п испытаниях Бернулли
с вероятностями успеха р неудачи q. Эта случайная величина
названа распределенной по биномиальному закону. Характе-
ристическая функция такой случайной величины вычислена выше
в § 63 и имеет вид
gr(0 = (pe" + <7)”.	(29)
Рассмотрим случайную величину Рп~~- Эта случайная вели-
чина есть частота (статистическая вероятность) успеха, вероят-
ность которого равна р. Введем новую случайную величину У„:
Vnpq
(30)
и назовем ее нормированной частотой.
Вычислим характеристическую функцию случайной вели-
чины Yn. Из свойства 4 характеристической функции имеем
__________. р Vnt /	t \п Г —jpt / jt	\ln
gyn(t)=e 7 [pe^po + q ' = \pe^n 4-1 - p ’J . (31)
Изучим свойства случайной величины Yn в предельном слу-
чае, когда число испытаний п неограниченно возрастает.
Теорема 3. При неограниченном увеличении числа независимых
испытаний с одинаковой вероятностью успеха предельным распре-
делением нормированной частоты Yn = Xn —рп/]^ pqn является
нормальное распределение. ч
Доказательство. Вычислим характеристическую функ-
цию случайной величины Yn при п->-оо. Для этого разложим
♦’ Обозначение l.i.m. составлено из первых букв слов «limes in medio»,
что в переводе означает «предел в среднем».
340
6 ряд Тейлора в окрестности нуля экспоненциальные функции
в выражении (31):
(л = Г( । — ipt —
L\ Уnpq	2nq
nq 2nq	2nq
Iff
Уnpq 2nq \n
2nq 1	\n/
= fi_21+
V 2n+

В полученном равенстве перейдем к пределу при п->оо, тогда
lim gr„(0 = lim (1	+о(-‘ 'if = e 2.
п—>со	п->со \	\ '* / /
Сравнивая найденный результат с выражением (24) § 63, видим,
что характеристическая функция случайной величины Yn при
п -> оо совпадает с характеристической функцией нормально
распределенной случайной величины с нулевым математическим
ожиданием и единичной дисперсией. 
Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной
величины — частоты успеха Рп = ^~ в п испытаниях Бернулли.
Воспользовавшись соотношениями (15) и (16) § 63, получим
м (Хп) = - !Ё' (0) = пр, D [Х„] = - S" (0) + (У (0))а = npq.
Отсюда, используя свойства 2 § 62 математического ожидания и
дисперсии и учитывая, что Р* = ^, найдем:
м[Р„*] = ^1-=р, />[/>•]=	=
Из этих равенств и теоремы Муавра — Лапласа следует, что
частота успеха при неограниченном числе независимых испыта-
ний стремится к нормально распределенной случайной величине
с математическим ожиданием р и дисперсией Этот результат
имеет важное практическое значение, так как позволяет оценить
надежность оценки вероятности, получаемой экспериментально.
Поясним это на примере.
Пример 1. Производится 100 бросаний монеты, требуется определить
интервал значений частоты выпадений герба, возможных с вероятностью 0,95.
Согласно теореме Муавра — Лапласа приближенно частоту выпадений
герба можно считать нормально распределенной случайной величиной с дис-
персией D—pq/n=0,5 • 0,5/100=0,0025.
Искомую вероятность вычислим с помощью функции Лапласа (26) § 60;
₽=(1^-₽1<е) = 2ф(уу = 2Ф = 0,95.
По таблице функции Лапласа имеем е/0,05=1,96, откуда £ = 0,098^=0,1.
Таким образом, искомая частота выпадений герба с вероятностью 95%
будет принимать значения в интервале 0,4—0,6.
Глава XX
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 65. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
1.	Понятие случайной функции. При изучении ряда явлений
природы приходится наблюдать процессы, характеризуемые функ-
циями, которые в зависимости от исхода опыта принимают раз-
личный вид. Этими функциями могут быть, например, траектории
частиц в броуновском движении, профиль дороги, сигнал
на выходе радиоприемника под воздействием помех и т. д.
Такие функции называют случайными. В задачах теории автома-
тического регулирования случайными функциями являются,
например, функции, характеризующие воздействие порывов ветра
на летательный аппарат, влияние колебаний корпуса корабля
на стабилизированную антенну радиолокатора, помехи в радио-
технических устройствах и т. п.
Указать заранее на то, какой вид примет случайная функция
в данном опыте, невозможно, однако закономерности, присущие
множеству значений, принимаемых случайной функцией, как
закономерности массового явления можно изучить.
Случайная функция, как и случайная величина, принимает
различные значения в зависимости от исхода опыта со —элемен-
тарного события, кроме того, случайная функция зависит
от некоторого неслучайного параметра t, например времени.
Таким образом, случайной функцией называется случайная
величина, зависящая от параметра /, т. е. X (t, со).
Если параметр / — время, то случайную функцию называют
случайным процессом. Если зафиксировать элементарное собы-
тие (o = w0, то X (t, <оо) будет неслучайной функцией аргумента/.
Конкретный вид случайной функции при фиксированном со, т. е.
в данном опыте, называется реализацией случайной функции.
На рис. 207 показаны реализации случайной функции X (/, со)
при й>=со1, <в = со2, ..., со = соп. Если зафиксировать параметр
случайной функции /, т. е. рассмотреть сечение этой случайной
функции при /==4, то она будет зависеть только от элементар-
ного события и, следовательно, станет случайной величиной
X (tk, со).
Рассмотрим k сечений случайной функции X (/ь со), X (t2, <ю),...,
X' (tk, о), в результате получим ^-мерную случайную величину,
которая соответствует случайной функции X (t, со).
Случайную функцию можно приближенно рассматривать как
многомерную случайную величину. Многомерная случайная вели-
чина характеризуется многомерной функцией распределения
вероятностей, поэтому и случайная функция X (t, со) будет
характеризоваться многомерной функцией распределения вероят-
ностей.
При дальнейшем изложении аргумент случайной функции ш
для краткости будем опускать,
382
2.	Основные характеристики случайной функции. Чтобы пол-
ностью задать случайную функцию X (/), надо знать все п-мерные
функции распределения: Fn (хъ х2.....хп; /1( t2....tn),
которые зависят от п переменных хь х2, хп и п значений
4, 4, •••, tn или плотности распределения вероятностей ЬДхь
Х2, ... , Хп, ti, t2, ... , tn}-
По известной n-мерной функции распределения вероятностей
всегда можно найти функции распределения меньшей размер-
ности. Однако на практике обычно не известны функции распре-
деления высокой размерности, поэтому в ряде случаев ограничи-
ваются заданием только двумерных функций распределения
(плотностей распределения) вероятностей.
Рис. 207
Важными характеристиками случайных величин являются
моменты. Естественно применить понятие моментов и для описа-
ния случайных функций. Если известна двумерная функция
распределения или плотность распределения вероятностей слу-
чайной функции, то всегда можно вычислить моменты случай-
ной функции до второго порядка включительно. Такими момен-
тами являются математическое ожидание
Л4[Х(/)]=$ xfi (х,	=	(1)
— со
дисперсия
со
D [X (0] = $ [х- тх (Л ]2 А (х, /). dx = Dx (t)	(2)
— ОО
и корреляционный момент
Хх(А> 4) = Л1[Хо(/1)Хо02)] =
= \ $ (Х1 - П1Х (А))	~ тх О А (хъ х2; A. t2)dx1dx3, (3)
— со —со
383
где
Х°(О = Х(О-М[Х(О]	(4)
— центрированная случайная функция.
Если параметру t придавать все возможные значения, то мате-
матическое ожидание (1) и дисперсия (2) случайной функции
будут функциями одной переменной t, а корреляционный момент
(3) -т функцией двух переменных 4 и t2. Корреляционный момент
Кх (и> называется корреляционной функцией случайной функ-
ции X (t).
Математическое ожидание представляет собой среднее значение
случайной функции X (t) (рис. 208), а дисперсия характеризует
отклонение значений, принимаемых случайной функцией, от ее
математического ожидания. Корреляционная функция характери-
зует зависимость между случайными величинами X (4) и X (t2) —
сечениями случайной функции при t = tr и t — t2. Чем меньше
связь между случайными величинами X (4) и X (1г), тем меньше
значение корреляционной функции К (4, 4)- Но чем меньше эта
связь, тем быстрее изменяются значения, принимаемые случайной
функцией. На рис. 209 изображены реализации двух случайных
функций с одинаковыми математическими ожиданиями и диспер-
сиями, но в случае а) случайная функция изменяется быстрее,
связь между сечениями этой функции мала, а в случае б) зави-
симость между этими же сечениями случайной функции больше.
Поэтому в случае а) корреляционная функция при увеличении
разности между аргументами 4—4 затухает быстрее, чем в случае б).
Теория, изучающая случайные функции на основе знания
первых двух моментов случайных функций, называется корреля-
ционной теорией.
Если известны математическое ожидание m{t) и корреляцион-
ная функция К (4, 4) случайной функции X (/), то всегда можно
построить и.-мерный вектор математического ожидания многомер-
ной случайной величины X (4), • X(tn) для фиксированных
значений 4» 4» •••» 4
oiT=[m1 т-з, ... тя]
(5)
381
и корреляционную матрицу этой случайной многомерной вели-
чины
K(t2,
tJKth,	1яу
m,	Q
(6)
гК(/ь
LK(^ ZiW„, t2)...K(tn, Z„)J
Если случайная функция X (t) нормально распределена, т. е.
все ее n-мерные функции распределения есть функции распреде-
ления n-мерной случайной величины, распределенной по нормаль-
ному закону, то по математическому ожиданию m(f) и корреля-
ционной функции К (ti, t2) можно вычислить все «-мерные
распределения (см. § 61).
Таким образом, математическое ожидание и корреляционная
функция полностью задают случайную функцию, распределенную
по нормальному закону.
3.	Комплексные случайные функции. Случайная функция вида
Z(0 = X(0 + /r(0,	(7)
где X (t) и Y (Z) — процессы с действительными значениями, назы-
вается комплексной случайной функцией.
Математическое ожидание комплексной случайной функции
Z (/) равно
М[2(/)]=М[Х(/)]+/М[У(0].	(8)
Вычитая из выражения (8) равенство (7), получим
z° (/)=Z (0 - м [Z (/)]=Xе (/)+/У° (0,	(9)
здесь Z° (/) — центрированная случайная функция.
385
Дисперсией случайной функции Z (/) называется математичес-
кое ожидание квадрата модуля ее центрированного значения, т. е.
D [Z (0] = М [ I Zc (01*] = М [Z° (t) Г®].	(10)
Корреляционной функцией случайной функции Z (/) называется
математическое ожидание произведения центрированного значе-
ния этой функции в сечении на комплексно-сопряженное центри-
рованное значение 'случайной функции в сечении /2> т. е.
KZ(K, K) = M[Z°(K)?Ati]	(11)
Другими словами, корреляционная функция есть смешанный
центральный момент второго порядка.
Кроме корреляционной функции вводится смешанный началь-
ный момент второго порядка
ГАК, K) = M[Z(K)Z(t;)}.	(12)
Выясним связь между корреляционной функцией и начальным
моментом второго порядка. Имеем
Кг (К, К) = /И [(Z (К) - т? (К)) (Z(M - WO] = М [Z (К)	-
— mz (К) AI L1 (Й - tnz (К) М [Z (Л)] + mz (К) mz (/а) =
= Гг(К, К)-тАКМ& (13)
Некоторые свойства корреляционной функции
1. Корреляционная функция при одинаковых значениях аргу-
ментов равна дисперсии случайной функции, т. е.
К (К =	(14)
Действительно,
К (К 0 = M[Z°(/)Z5 (/)] = £)(/). 
2. При перемене местами аргументов корреляционная функция
меняется на комплексно-сопряженную, т. е.
К (К, К)= К(К, К).	(15)
Покажем справедливость этого утверждения. В самом деле,
к (к, к)=м [z° (t2) z^j]=M[z° (G)Z44)i=
В частном случае для действительной случайной функции получим
К (К, К) = К(К, К). 	(16)
8. Если к. случайной функции прибавить неслучайную функцию
q>((), то корреляционная функция не изменится.
Действительно, пусть случайная функция Z1(t) равна
Zl(/) = Z(2)+<P(O, M[Z1l/)] = M[Z(Z)]4-<p(/). (17)-(18)
3SE
Вычитая равенство (18) из (17), получим
z1°(0 = z°(0.
Таким образом,
Кд (4, 4) = К Izj (4)	= М [Z° (4) Z° (4)> Kz (4, t2).  (19)
4. Для всякой корреляционной функции справедливо неравенство
|К(4, ^)|^/D(fi)^(4).	(20)
Доказательство справедливости этого неравенства совпадает
с доказательством аналогичного свойства для корреляционного
момента (см. § 62).
5. Корреляционная функция является положительно определен-
ной функцией *'>.
Покажем справедливость этого свойства. Учитывая определение
корреляционной функции и линейность операции определения
математического ожидания, вычислим сумму
п п	п п
£ £ К (4, 4) Ы, = s £ М [Z° (/,.) z° (//)] л А, =
t=i/=i	«=1/=1
= 7И Z 2°(4)Z°(4)U/ = Л4
П	\ f п
z°(4)M£
4 = 1	/ '/ = 1	,
^=М
П
i = I
S=G. 4
Один из возможных видов корреляционной функции приведен
на рис. 210.
Вместо корреляционной функции может быть рассмотрена
безразмерная нормированная корреляционная функция R(tlt t2),
определяемая равенством
R(tlt /2) = Л..№ О=.	(21)
27 VD(tl)D(t2)	k '
Из определения и свойств корреляционной функции легко пока-
зать, что для нормированной корреляционной функции справед-
ливы соотношения
R(t, 0 = 1, R(h, ti)=R(h, t2),	(22)—(23)
| К (4, 4)1^1.	(24)
*’ Функция f (x, у) называется положительно определенной, если для любых
комплексных чисел Х(- и Л/ справедливо неравенство
<=i/»1
ЗЬ7
В теории случайных функций большую роль играет одни
из видов случайной функции, математическое ожидание которой
равно нулю, а корреляционная функция равна дельта-функции.
Такую случайную функцию называют белым шумом. Для белого
шума, как это следует из определения, справедливы равенства
Л4[Х(/)] = 0,	(25)
tf(4, ^)=G(Wi-*2).	(26)
Функция G(f) называется интенсивностью белого шума.
Дельта-функция при значении аргумента, отличном от нуля,
равна нулю, поэтому для белого шума случайные величины, соот-
ветствующие двум сколь угодно близким сечениям, являются
некоррелированными.
Рассмотрим систему и£ п случайных функций
Хх(/)'} Х2(/),..., Х„ (О-	(27)
Каждая из функций этой системы характеризуется математичес-
ким ожиданием и корреляционной функцией. Однако необходимо
ввести еще характеристику связи между отдельными случайными
функциями системы (27). Такой характеристикой является взаим-
ная корреляционная функция двух случайных функций X,- (I) и
Х,(/), определяемая равенством
Кх.к, (flt М = М [X? (/) ХПЦ].	(28)
Для того чтобы отличать взаимную корреляционную функцию
от корреляционной функции, последнюю называют также авто-
корреляционной функцией.
388
Для взаимной корреляционной функции случайных функции
X (t) и Y (/) справедливы свойства
Яху (4, 4) = Ккх(4, 4),	(29)
\KxY<k, 4) К 1^(4)^ (4)-	(30)
Справедливость выражений (29) и (30) доказывается аналогично
тому, как и при доказательстве соответствующих свойств корре-
ляционной функции.
Две случайные функции X (t) и Y (t) называются некоррелиро-
ванными, если их взаимная корреляционная функция тождест-
венно равна нулю, т. е.
Kxy (4» 4) = О-
(31)
В ряде случаев удобно ввести безразмерную характеристику
связи между случайными функциями — нормированную взаимную
корреляционную функцию
Rxy (h>
%XY (Д 4)
V Dx (4) dy (4)
(32)
Взаимная корреляционная функция является центральным
моментом второго порядка; в теории случайных функций рассмат-
ривается также взаимный начальный момент второго порядка;
PxY(ti, 4) = M[X(4)F(4)].	(33)
Справедлива следующая зависимость между взаимной корреля-
ционной функцией Ллт(4, 4) и взаимным начальным моментом
Сxy (4» 4):
Kxy (4. 4) = Дхк(4. 4) ~ ^х (4)	(4)-	(34)
4. Непрерывность случайной функции в среднем квадратическом.
В корреляционной теории, использующей моменты случайных
функций, при предельных переходах пользуются понятием схо-
димости в среднем квадратическом.
Случайная функция X (/) называется непрерывной в среднем
квадратическом, если существует предел
l.i.m. X (t)=~X (t0).	(35)
Это условие можно записать иначе:
lim М[|Х(/)-Х(4)|2] = 0.	(36)
£—*£(>
Докажем две вспомогательные леммы. Доказательство произ-
ведем для случая действительных- случайных величин, однако
все выводы будут справедливы и для комплексных случайных
величин.
389
Лемма 1. Если последовательности случайных величин Xt и
Xf с ограниченными начальными моментами второго порядка при
t -+t0 и t' -+ t'„ сходятся в среднем квадратическом соответственно
к Xt„ и Yt', т. е.
1.	i. ш. X-t = XtD и 1. 1. m. Yf= Ya,	(37)
mo справедливо равенство
M[l. i. m. Х,УГ] = lim М[Х,У4	(38)
t-*t„	t-*to
Доказательство. Запишем очевидное неравенство
I М[Х,У,.]- MJX,/,,] | = | М [X,Y,- - Х,,У,;] | -
-1 М|Х,У,. - Х,У,;+Х,У,; - *</<;] I =! M|X,(Y, - У,.)| -
- Л1 |(X, - X,J У,.] | < [ M [X, (У,. - у,;)] I +1 M|(X, -X,.) y,.| I.
(39)
На основании неравенства (35) § 62 можно написать:
< VM [(X)2] М [(Уг - У,')2] + VM [(X, - Х<о)2] М[(У/')2]. (40)
Но из условия ограниченности начальных моментов второго
порядка случайных величин X и У/- следует, что M[(Xz)a]<7V и
М[(У>)2| < N, где N — конечное число, а из условия сходимости
случайных последовательностей имеем
lim М[(Х,-Х/о)а] = 0 и lim Л1[(Уг — У^)21 = 0.
Исходя из изложенного, переходя в равенстве (39) к пределу
и учитывая выражение (40), получим
Нт^ЕХ/У*,]—М[Х/оУ^]| = О,	(41)
t —* to
откуда следует, что
1 im JU[XzyP] = Л1 [Xr У,-] = М [1. i. m. X (/) У (/')]. 
Если в равенстве (38) принять за случайную последователь-
ность Yf последовательность единиц 1, 1,	1, то получим
.М [ 1. i. m. XJ = lim М [XJ,	(42)
t —* to
т. е. операции определения математического ожидания и предель-
ного перехода перестановочны, если выполнены условия леммы.
390
Лемма 2. Для того чтобы последовательность случайных вели-
чин Xt с ограниченными начальными моментами второго порядка
при /->/0 в среднем квадратическом сходилась к случайной вели-
чине Xio, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный
предел
ИтЛ1[ВД'] = а(4),	(43)
/“* to
где а (10) < со, при независимом стремлении t к t0 и f к tt.
Доказательство. Пусть дано, что 1. i. m.Xt=Xia. Тогда,
положив в условиях предыдущей леммы, Yr-Xf, t'a=i0, получим
lim M[XtXt,]= M[l. i. m. ХДГ] = M[XttX J = ГХ (/„ t.) =
t-^t„
t' —>to
= а(Д) < oo.
Отсюда следует справедливость необходимости условий леммы.
Докажем достаточность этих условий. Имеем
lim /И [Xt X f ] = a (t0),
i—*to
t’-Ь
откуда
М [(Xt - Xt J2] = M [XtXt - xtxt. - XtXt + xtxt.] =
= M [XtXtj - 27И [XtXt, ] + M [XeXtr].
Перейдем к пределу при t->-t0, f -+t0, тогда получим
limM[(Xz-Xr)2] = lim M[X,XJ+lim М[Х?Х{']-
t~^to	t to	t- —*• to
tf-*t0
- 2 lim M [XtXt'] = a (i0) + a (t0) - 2a (t0) = 0.
t~^to
t'-+t0
Таким образом, существует предел
1. i. m.Xt = XtD. 
Воспользовавшись доказанными леммами, получим критерий
непрерывности случайной функции в среднем квадратическом.
Этот критерий устанавливается следующей теоремой:
Теорема 1. Для того чтобы случайная функция Х° (f) с огра-
ниченной дисперсией была непрерывна в среднем квадратическом,
необходимо и достаточно, чтобы корреляционная функция Д t2)
этой случайной функции при t! = t2 была непрерывной, причем
из непрерывности функции К (4, t2) при = t2 следует ее непре-
рывность при любых и t2.
S91
Доказательство. Пусть корреляционная функция случай-
ной функции Х°(0 непрерывна при ti — t2. Запишем очевидное
равенство
М [(Х° (G) - Х° (Go))2] = м[(Х° (G))2] + М [(Х° (/10))2] -
- 2М[Х° (G) Х° (Go)] = К (tlt + к (Go, Go) - 2К (G, Go). (44)
Перейдем к пределу при G->Go- Используя условие непрерывности
корреляционной функции, получим
Дт —Х°а10))2]= lim K{tu G) + ,lim K(t10, Go) =
— 2 lim К (tlt Go) = К (Go, Go) Н~ К (/io, Go)— 2Д (Go, Go) = 0.	(45)
4 ”♦ /10
Достаточность условий теоремы доказана.
Докажем необходимость. Пусть Х° (/) — непрерывная в среднем
квадратическом случайная функция, т. е.
l.i.m. Х° (G) = Х° (Go) и l.i.m. Х° (t2) = Х° (Go).
4 4о	Аг “* ^20
Используя лемму 1 и условия непрерывности случайной функции,
можно записать:
lim X(G, G) = lim M[X°(G) X0(G)] = M[l.i.m. X°(G)X°(G)]==
4-*-/10	4“*Ao
/2	1'20	*^20	^2~*^20
' TM[X°(Go)X°(Go)W(Go, Go).
Полученное равенство доказывает непрерывность корреляционной
функции X(G, G) для непрерывной в среднем квадратическом
случайной функции X (/) при любых G и G, а значит, и при
G = G- И
5. Линейные операции над случайными функциями. Выясним,
как преобразуются математические ожидания и корреляционные
функции случайных функций при осуществлении над ними линей-
ных операций.
1. Сложение случайных ф у н к ц и й. Возьмем две-слу-
чайные функции X (/) и Y (/). Пусть известны моменты этих функ-
ций до второго порядка включительно:
М[Х(/)], М[У (/)], Xx(G, G), Xy(G, G), Xxk(G, G).
Найдем математическое ожидание случайной функции
2(0 = Х(/) + У(/).	(46)
В силу линейности операции определения математического
ожидания имеем
М[2(/)] = Л1[Х(0] + Л1[У(0],	(47)
т. е. математическое ожидание суммы случайных функций равно
сумме математических ожиданий этих случайных функций.
392
Вычитая из равенства (46) равенство (47), получим центрирован-
ную случайную функцию
Z°(/) = X°(0 + F°(/).	(48)
Вычислим корреляционную функцию суммы случайных функ-
ций X (/) + Y (t). IIo определению корреляционной функции имеем
Kz (h, t2) = М[Z° (tj Z^)] = Л1 [(X° (fr) + Г (£t)) x
X (X° (4) + Y° &))] = Л1 [X° (^ X° &)] + JH[X° (Гг) Y° (f2)] +
+ /1 [Г (^ X° &)] + Л1 [У° (t.) Y° &)] = Xx (ti, t2) +
+ Дху(Л> ^) + Дих(Л,	t2).	(49)
Таким образом, корреляционная функция суммы двух случай-
ных функций равна сумме всех корреляционных и взаимно-кор-
реляционных функций этих•случайных функций. По индукции
можно показать, что для линейной комбинации Y (t) случайных
функций Xk(t)
У(Л=2цЛ(0.	(50)
k=i
►
где ak — неслучайные числа, справедливы равенства
Л1[Г (/)]= 5 а4Л1[ХИ0],	(51)
/г = 1
Г°(0 = 2^ХИ0	(52)
k=i
и
Ку (Л, К) = 2 У| akai^xkX! (fi, t2).	(53)
ft=i i = i
В частном случае для некоррелированных случайных функций
Xk(t) и Xt(t) (k, 1=1,2, .... п)
получим
Ку(Д, ^2)= У (^1> ^)-	(54)
k=i
2. „Дифференцирование случайных функций.
Случайная функция Y° (/) называется производной в среднем
квадратическом от случайной функции Х° (t) по аргументу t,
если существует предел
т. е.
ИтЛ1Г|^+4-х°(о Г(/)|н 0
h-o LI «	I J
у°	« -lim x° 0+h)(/)
Y W—dT----------й---•
13 п/р. Чемоданова Б. К., г. 2
(55)
(56)
393
Случайную функцию, для которой существует производная
в среднем квадратическом, будем называть дифференцируемой.
Выясним, каким условиям должна удовлетворять корреляцион-
ная функция случайной функции Х° (/) для того, чтобы сущест-
вовала ее производная (56).
Теорема 2. Для того чтобы случайная функция Х° (/) была
дифференцируемой в среднем квадратическом, необходимо и доста-
точно, чтобы при ti = t2 существовала вторая смешанная произ-
водная корреляционной функции
причем, если эта производная существует при ti=t2, то она
существует при всех 4 и t2. В случае если выполнено условие
дифференцируемости, корреляционная функция производной =
= У° (/) равна
д2Ку (t,, t9)
<58)
а взаимная корреляционная функция процесса Х° (t) и его произ-
з „ dX°(t) ,zo /Л
водной = У (О равна
(59)
Доказательство. Для того чтобы существовал предел
1 i	(t) _ dX° (Г) _ vo
h™'	~ dt ~Y W>
в силу леммы 2 необходимо и достаточно, чтобы при независимом
стремлении /г->0 и h'
мГ^°(^+А)-Х°(О
>0 существовал предел
'X°(t+h')—X° (Ml _
ft' Л “
h
h->e
Л'-*0
М [Xе (I +й) X" (/ + й')] - М (Х° (t+й) Х° (01 —
..	- 7И 1Х° (0 Х° (/+/I')] + М [(х° (0)2|	_
Л'-М)
= lim K(z+fe’ t+h")-K<t+h,	t+h’)+K(t, t)
h-^0	hh'
&КЩ, 4)1
дЦ dt2 |к=/г=/
Пусть это условие выполнено. Найдем корреляционную функ-
цию производной случайной функции Х° (I). Имеем
^(Л, 4)=*1
р/Х°(4) dX°(4)l
L dtz J
= M l.i.m.
Л-1-0
• L л--,»
,Х°(4+Л)-Х°(4)\ /Х°(4+ЙЭ-Х°(4)
»	\ h'
394
На основании леммы 1 можно изменить порядок операций пре-
дельного перехода и определения математического ожидания,
в результате получим
Я Ль <2) =
1:„ Kx(zi+ft> t2+h')-Kx(t1+h, f2)-Kx('r	Ч)
“ л-о	~ w
h'-^й
&X(fy4)
dtlt dtz '
причем эта производная существует при всех 4 и t2. Аналогично
имеем
кХу	t2)=м [х° ао	=
= М[l.i.m. (х° (^)	=
L Л'-о \	А /J
= lim Л1 ГЛ° «’> х“ (t2+h')-X^ (4) ха (4)1 =
Л'-о I	h'	J
— ljm Хх (*г *2~bA') Хх ({v fz) _ ^х (G?
Л' = 0	А
Пусть производная случайной функции в среднем квадрати-
ческом существует:
dX(f) -Hm x«+h)-X(t)
dt ~ К' h
(60)
К выражению (60) применим операцию определения математиче-
ского ожидания. Используя равенство (40), получим
L dt J
мГи.т. *.<'+Ц-ЗД _ llm Mp«+»)-xW1 _
L л-о п J л-о L « J
ЛГ[Х(<+Л)]-ЛГ[Х(01 d -_rv_ dmx(t)
= 1™--------h--------==^м[Х(0]= 2Г-
(61)
где mx(0 = M[X (0].
Таким образом, если выполнены условия теоремы 2, то мате-
матическое ожидание производной случайной функции равно
производной от математического ожидания этой функции. Вычитая
почленно равенство (61) из равенства (60), получим
dXa(t) _ j j m X°(/+fe)-X°(0
dt k40 ‘ h
(62)
Корреляционная функция производной случайной функции и
взаимная корреляционная функция между случайной функцией
и ее производной вычисляются по формулам (58) и (59). Из этих
13*
395
равенств по индукции можно показать справедливость соотноше-
ния
t.)
Кх<п> хт> (tlt /2) =-.	(63)
где Х(и) (/) и Xм (/) — соответственно п-я и т-я производные
в среднем квадратическом случайной функции X (t). Согласно
теореме 2, существование производных корреляционной функции
является условием дифференцируемости случайной функции X (t).
3. Интегрирование случайной функции. Пусть
заданы случайная функция X (т) и неслучайная функция g(t, т),
где параметр т изменяется в интервале (а, Ь). Разобьем интер-
вал (а, Ь) точками т0 = a, , т„ = b на п частей и составим
сумму
п
У,	т<) fa -	(64)
«=1
значение тг выбрано произвольно в промежутке
Рассмотрим предел в среднем квадратическом суммы (64) при п->
-> со и птах | г,- — Т/-11 —> О
l.i.m. 2 Х° (xjgtt, Ъ) fa - ^н).
п->со /==1
шах Дт. —> О
Если этот предел существует, то он называется интегралом
от случайной функции Xе (t) в среднем квадратическом ceecoMg(t,
г) и обозначается
Ь	п
У = $ X°(-r)g(?, т)сйс = l.i.m. У, X°(xl')g(i, tz)At/. (65)
a	n-*oo
тахДт.^-+0
Теорема 3. Для того чтобы случайная функция X(t, г) была
интегрируемой в среднем квадратическом, необходимо и доста-
точно, чтобы существовал интеграл
t I
$ $ К fa v) g(t, x)g(t, v) dx dv.	(66)
a a
Доказательство. Рассмотрим случайные величины Yn и
Ум вида
(V	м
Ум= у, X°(xk)g(t, T*)fa-x*-i) И Y°M= £ X°(vi)g(t, V[) x
i	~	i = i
X (Vf-vz x).

Согласно лемме 2, для того чтобы случайная последовательность
Yn имела предел при Х->оо, необходимо и достаточно, чтобы
lim М[П,Ум]=а<оо.
N —>со
Л1 —>со
Найдем этот предел:
lim М
N->oo
Af-*oo
max Ат^, Av^-*-0
= lim
N —>oo
Af -»!oo
maxAx^, A%^->0
2 £ A'°('Tfe)*o('Vz)g(z» ^g(t, vz)AxfeAvzl =
-k=ii=i	J
У, У At[X° (Tft)x°(vz)]g(f, rk)g(t, vz)AtaAvz] =
k=l 1=1
N M
lim 2 Уvz)ATfeAvf =
W->oo	Z = 1
Af -+oo
maxAr^, Av^-*0
b b
= 5 5 ^(т* 'v)fir(*> T)g(*» v)didv,
a a
где Дтй = тЛ —Tfe-j, Avz = vz —vz_t. 
Если в интеграле (65) верхний предел переменный, то в резуль-
тате интегрирования получается случайная функция
У°(0=$ Xе (?)$(/,?) dr.	(67)
to
Очевидно, что все выводы предыдущей теоремы справедливы и
для случайной функции У° (/),- т. е. для того, чтобы существовал
интеграл, необходимо и достаточно существование выражения
4 4
\К(т, v) g(tj, x)g(/2, v)drdv.	(68)
to to
Найдем корреляционную функцию случайной функции У® (/).
По определению корреляционной функции имеем
Ky(ti, /2) = М[У°(/1)Ур(/2)] =
= Л1
ti is
5 $ Х° (т) Х° (у) g (ti, т) g (t2, v) dx dv
-to to
N M
Li-m-	E 2
N->CC	/1=11 = 1
Л4 ~*co
_ max Ar^, Av^ -> 0
tk)g(t2, vz)AxfeAvz .
(69)
= M
На основании леммы 1 изменим порядок операций предельного
перехода и определения математического ожидания. Пользуясь
397
линейностью операции определения математического ожидания,
получим
XY(h, f2) =
.	N	М
lim	2	S M[X°$k)X°Cvi)]g{h,	4)g(t2, vz)ArfeAvz =
M—oo	A=)	z==1
M —>co
maxAr^, Av^-+0
h h
= $	v)g(0, T)g(4, T)dTdv. (70)
A) 6)
Совершенно аналогично можно показать, что взаимная корреля-
ционная функция двух случайных функций
и
Z°(/) = |x°(T)g(/1, т) t/т
Л)
^2
117° (0=5 Y°(y)f(t2, v)dv
Л)
равна
f, h
Kwzfti, ^)= 5 ! ^хг(т, x)f(t2, v) dxdv.
to to
(71)
(72)
(73)
Рассмотрим теперь случайную функцию Y (f), равную интег-
ралу от случайной функции X (t):
Y(t)~\X (x)g(t, x)dx.
to
(74)
Найдем математическое ожидание случайной функции Y(t). Со-
гласно определению интеграла от случайной функции и равенству
(40), получим
М[Г(1)]=11ШХ(т)£(/, x)dx =
Г	n	-|
==И4 Lim. 2X(^)$(Z> Tfe)ATfe =
_rnax Дт^-*0
lim
max 0
П
м 2 X(xk)g(t, Tk)^xk =
п
lim 2	xk)\xk.
niax
2SS
Окончательно имеем
t
Л1 [ у (0] = $ тх (т) g (t, x)dx,	(75)
to
где mx(/) = /H[X (/)].
Из неравенства (75) следует, что если существует интеграл (65),
то математическое ожидание интеграла от случайной функции
X (/) равно интегралу от математического ожидания этой случай-
ной функции. Вычитая почленно из равенства (74) равенство (75),
получим
Y°(t) = \X°(x)g(t, г) dr.	(76)
to
Используя равенство (70), запишем выражение для корреляцион-
ной функции интеграла от случайной функции
t2
t2)=\ 5 Кх(т, v)g(/lt x)g(fz, x)dxdv.
to t0
(77)
Согласно теореме 3, существование интеграла (77) является необ-
ходимым и достаточным условием интегрируемости случайной
функции X (t). Дисперсия случайной функции X (I) равна
t t
Dy(t)^KY(t, 0=$Их(Ь v)g(t, x)g(t, v)dxdv. (78)
to to
Пример 1. Корреляционная функция случайной функции X (0 равна
Кх (4, t2) — De~“<9 —Выяснить, дифференцируема ли случайная функция
X (/), и найти корреляционную функцию ее производной.
д2Кх (tlt t2)
Вычислим частную производную ----- ------- корреляционной функции
ut^ U12
К х (4> У- Для этого сначала вычислим производную по переменной 1г:
6Кх^’ ‘2) =	(De-a«‘-W) = 2aD (it-t2)
G'tg
Дифференцируя второй раз по переменной получим
Щ 4) =df l2aD Й-У е~“(/1-/2)2] = 2аО [l-2a(/1-/2)2]e-“l<‘-W!.
Uli Ul2	Ull
Так как вторая смешанная производная существует, то случайная функция
X (/) дифференцируема и, согласно равенству (58), корреляционная функция ее
производной равна
2aD [ 1 + 2а	— /2)2] е- «<6 - W2,
а согласно равенству (59) взаимная корреляционная функция имеет вид
КХу (4, 4)=2a£>(4-/s)e-a(/1-Zs)’.
399
Пример 2. Корреляционная функция случайной функции X (f) равна
К % (4> 4)=min(Z1, 4)*' (рис. 211). Найти корреляционную функцию случай-
t
ной функции У (/)= 1 X (t) dt.
о
Вычислим интеграл
tl 12	tl ^2
J j K-x (T> v)J $ min (T> v) dt dv.
to t o	0 0
Рассмотрим два случая (рис. 212).
а)	Пусть > 4> тогда
A ta	v	it
£ min (т, v)drdv — § JjdTdv+j f v dv dr =
co	oo	b v
tl , Щ Ц _ 3V! - tl
6 + 2	3	6
б)	Пусть теперь t2 > 4, в этом случае
Й <0	tl t,	tl 1	'
J J min (i, v) dr dv = J ( т dr dv 4- \ ij v dr dv —
VO	0 т	0 0
t3i , tsA , t[	3tjt2-tl
3	2 'h 6	6
ti ti
Интеграл ( min (i, t) dr dv существует, поэтому в соответствии с теоре-
о о	'
мой 3 случайная функция X (/) интегрируема и корреляционная функция ин-
теграла от этой случайной функции, согласно равенству (64), равна
3Z|4 — t'i
6
З44 — tl
6
при
при
4 < 4.
4 > 4.
а дисперсия
Z3
£) (П = /Су(/, 0 = ^-.
О
И1) Случайная фушсция с такой корреляционной функцией и нулевым ма-
тематическим ожиданием, распределенная по нормальному закону, называется
процессов Вимра.
400
§ 66. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Определения. Существуют случайные функции, не изменяю-
щие свои характеристики с течением времени. Такие случайные
функции называют стационарными. Случайная функция, для ко-
торой все «-мерные функции распределения вероятностей не из-
меняются с изменением начала отсчета времени, называется ста-
ционарной в узком смысле.
Таким образом, для функций распределения вероятностей ста-
ционарных случайных функций должно выполняться равенство
Т (лу, Л'2, • •., Хп, ^1, ^2» • • • > tn)
= F(л'1, л'2, ..., хп‘, t1-(-/i,	tn-\-h),	(1)
или для плотностей распределения вероятностей должно быть
справедливо равенство
f(xi, х2....хп-, tlt t2, .... /„) =
=f(xlt х2, .... хп; h+h, t2-\-h....tn+h). (2)
В корреляционной теории рассматриваются моменты случайных
функций только до второго порядка, поэтому естественно ввести
еще одно понятие стационарной случайной функции.
Случайная функция с постоянным математическим ожиданием
и корреляционной функцией, зависящей только от разности аргу-
ментов, называется стационарной в широком смысле (смысле Хин-
чина).
Для стационарной случайной функции выполнены условия
m(/) = M[X(0] = const, (3) .K(ti, t2) = K(h-t2). (4)
Для нормально распределенной случайной функции все «-мер-
ные функции распределения вероятностей полностью определяются
вектором математического ожидания
тт (/) = [т(tj) т(t2) ...т (/„)]
и корреляционной матрицей

К=[К (it,
^)...К(Ь, tnY
t!)...K(tn, tn).
В этом случае «-мерная плотность распределения вероятностей
«-мерного вектора, соответствующего « сечениям случайной функ-
ции X (t), равна
£/	,.	1	—l((x—m), №»(*—«))
f(x, t) =----75-----п-е 2
'	'	(2л) /2 (det К) *«
Из выражения для функции плотности распределения вероятно-
стей следует, что если случайная функция нормально распреде-
401
лена и стационарна в широком смысле, т. е. ее математическое
ожидание и корреляционная матрица равны соответственно
[Кв.
K(tn-t1)...k(tn-t„)_
то она стационарна и в узком смысле, так как для такой слу-
чайной функции при изменении начала отсчета аргумента t век-
тор математического ожидания и корреляционная матрица, а сле-
довательно, и все /г-мерные функции плотности распределения
вероятностей не изменятся. В дальнейшем под стационарными
случайными функциями будем понимать случайные функции, ста-
ционарные в широком смысле.
2. Свойства корреляционной функции стационарной случайной
функции. Стационарно связанные случайные функции. Корреля-
ционная функция стационарной случайной функции зависит от
одной переменной К — /2 = т. Если в равенствах (14)—(20) § 65,
определяющих свойства корреляционной функции случайной функ-
ции, положить — t2 — i, то получим следующие свойства для
корреляционной функции стационарной случайной функции.
Свойства корреляционной функции стационарных
случайных функций
1.	Дисперсия равна значению корреляционной функции при
т = 0, т. е.
D [X (0 ] = Кх (t - 0 = кх (0) = D = const.	(5)
2.	Если изменить знак аргумента, то корреляционная функ-
ция изменится на комплексно-сопряженную, т е.
К(х) = К(^т).	(6)
В частном случае для действительных стационарных случай-
ных функций имеем
К(т) = К(-т).	(7)
3.	Модуль корреляционной функции при произвольных т не
превышает ее значения при т = 0, т. е.
|Х(т)|^Р = Х(0).	(8)
Нормированная корреляционная функция стационарной слу-
чайной функции равна
n // j \_К (Ц Ц)__К (т)_К (т)
А(В, К)— D — D — щОу	(У)
402
Две стационарных случайных функции X (Д) и Y (t2) назы-
ваются стационарно связанными, если их взаимная корреляцион-
ная функция зависит только от разности аргументов, т. е.
Кх\ (Д, Д) == Кхг (Д ~ Д) == Кхг (т)	(т = Д —t2).	(10)
Очевидно, что для взаимной корреляционной функции стацио-
нарно связанных случайных функций справедливы равенства
Кху(т) = Кух(-т),	(11)
I Кху (т) Ж Гад = УКх (0) Ду (0).	(12)
Из равенств (11) и (44) § 62, связывающих начальные и цент-
ральные моменты, получим, что для стационарных случайных
функций начальные моменты второго порядка равны
Гх (Д, Д) = Кх (Д -Д) + | тх ж Гх (Д - Д),	(13)
Рху(Д, Д) — Дху (Д — Д) + mxtnY = ГХу (Д — Д)-	(14)
Таким образом, начальные моменты для стационарных и ста-
ционарно связанных случайных функций зависят только от раз-
ности аргументов.
Найдем выражение для корреляционной функции производной
стационарной случайной функции X (t). Полагая Д — Д = т и учи-
тывая, что
д2К(Ц, t2) = d2K(t1—t2) _ д2К (т) дт дт_
дЦ dt2 дЦ dt2 дт:2 дЦ dt2 *
из равенства (58) § 66 получим, что корреляционная функция
производной случайной функции X (/) равна
где X (/) — стационарная случайная функция, а Х(Д —ее произ-
водная в среднем квадратическом.
3. Примеры стационарных случайных функций. Рассмотрим
несколько примеров стационарных случайных функций.
1.	Пусть случайная функция X (Д принимает значения + <2 и
— а, причем моменты времени изменения знака распределены по
закону Пуассона. Такой случайный процесс называют «телеграф-
ным сигналом». На рис. 213 приведена одна из реализаций «те-
леграфного сигнала». Для распределения Пуассона вероятность
того, что за отрезок времени Д —Д произойдет k изменений знака
телеграфного сигнала, согласно равенству (18) § 60, равна
Р(|Д-Д|, /г)=	(16)
кА
где X —среднее число изменений знака за единицу времени. Мате-
матическое ожидание телеграфного сигнала равно нулю, так как
его значения ф- а и —а равновероятны.
403
Вычислим корреляционную функцию этой случайной функции.
Произведение X(G)X(4) может принимать лишь два значения:
+ а2 при четном числе переключений между моментами tx и t2 и
— а2 при нечетном числе переключений. Получим выражение для
математического ожидания «телеграфного сигнала»
М [X (/,) X (М] = а2рч ф- (- о)2 ри,	(17)
)
где рч — вероятность четного числа переключений; рп — вероят-
ность нечетного числа переключений на отрезке tL — i2.
Из равенства (16) имеем
СО
/71—0
СО
л- 2	<«)
т—0
Подставляя значения рч и рк из равенств (18) и (19) в выраже-
ние (17), получим выражение для корреляционной функции «те-
леграфного сигнала»
Кх(4, 4) = Л1[Х (tj)X (fa)] = «2e-H^-^ix
Г со	со
Х (2«)1	&	(2тф-1)! ~ае Х
L/п—0	т=0
Г у (—А|ф—/2|)ат , у (-Л I 4-/2 рая*1' _
Z (2/и)! -г Z (2тф-1)!	“
Lm=0	m=0
оо
== q?(>—АЩ—/jj У J—Л—— Д2в——Ze I
ml
tn=0
404
Из полученного равенства следует, что корреляционная функ-
ция случайного «телеграфного сигнала»
Кх (4 - К) = а*е~ 2* ।f ~ । = а*е~ 2?- ।г ।
(20>
зависит только от разности аргументов /х—/2 = т, т. е. эта слу-
чайная функция стационарна в широком смысле. Корреляцион-
ная функция «телеграфного сигнала» показана на рис. 214. Дис-
Персия «телеграфного сиг-
нала» равна
W)
»Л = Кх(0) = а2.
2.	Пусть случайная
функция X (/) имеет вид
Х(/) =
= Vi sin со/4-V2 cos со/, (21)
здесь Vi и V2 — две не-	Рис. 214
коррелированные действи-
тельные случайные величины с одинаковыми дисперсиями и
нулевыми математическими ожиданиями
D[Vi] = D[V2] = d, КГ1Гя = 0, M[V1] = M[Va] = 0.	(22)
Найдем математическое ожидание случайной функции X (t):
М [-Х (0] = Л1[ sin at + V2 cos co/] = 0.	(23)
Вычислим теперь корреляционную функцию случайной функ-
ции: учитывая, что Kvtv2 = 0, получим
Кх (Л, h) - М [X (/у) X (/2)] = М [(V, sin co/i-h V2 cosco/,) x
X (Vi sin co/2 + V2 cos co/2)] = M [ ViVi] sin co/x sin co/2 -ф M [Vi V2] X
X sin co/x cos co/2 -ф Л4 [V2VJ cos co/x sin co/2 4- Л1[ V2 V2] cos co/x cos co/2 =
= d (cos co/j cos co/2 4- sin co/! sinco/2) = d cos co (/x — /2). (24)
Из выражения (24) следует, что случайная функция, харак-
теризуемая равенством (21), является стационарной в широком
смысле.
3.	Пусть теперь случайная функция X (/) имеет вид
X (t) = У [Vk sin coft/ 4- Wk COS coA/];	(25)
й=1
где V k и Wk — действительные центрированные случайные некор-
релированные величины, т. е.
Л4 [Vft] = M [№ft] = 0, М[VkVJ = М [= М [WkVt} =
=М[ЮМ=О
=	= 4 (k, 1=1, 2, .... n).
405
Очевидно, что
М[Х(/)]=М
п
У, (V* sin (0ft/ + Wk cos (О*/)
jk=\
= 0.
(26)
Вычислим корреляционную функцию случайной функции X (t):
п п
Кх (Wa) = м У у (Vk sin	4- Wk cos co^) X
_й=1 /=1
n
X (Vk sin akh + Wk cos w^2)] = У dk (sin akti sin соЛ4 +
л= i
n
+ cos cos coft/2) = У dk cos и* (fx —12), (27)
k=i
T. e. случайная функция X (t) является стационарной в широком
смысле.
4.	Рассмотрим сумму неслучайных функций еА/ со случай-
ными некоррелированными коэффициентами Vk-
X(t) = У Vke1'^,	(28)
k—~п
где положим, чго co_ft = — coft, M[Vfc] = 0, dk = d~k,
Выражения для математического ожидания и корреляционной
функции случайной функции X (t) соответственно равны:
Л4[Х(О] = Л4
V^
(30)
Kx(W2) = M[X(Z1)X(Za)] = M

п
= У dke'^k^-^. (31)
k—— fl
Равенства (30) и (31) показывают, что случайная функция X (t)
''тационарна в широком смысле.
Коэффициенты dk случайной функции X f), определяемой
равенством (28), есть средние значения квадратов случайных
амплитуд гармоник, из которых составлен этот процесс. Если
случайный процесс X (/) описывает флуктуации напряжения или
тока, то числа dk пропорциональны мощности, приходящейся
в среднем на гармоническое колебание с частотой и со слу-
чайной амплитудой Vk- Это следует из того, что мощность элек-
трического тока пропорциональна квадрату напряжения или силы
тока. ГТс этому даже в случаях, когда X (t) не есть напряжение
406
пли ток, совокупность чисел dk называют обычно спектром мощ-
ности случайной функции X (t).
Дисперсию случайной функции X (t) можно вычислить, полагая
в равенстве (31)	= =
п.
Dx(t) = Kx(t, 0= S 4.	(32)
k =—п
4. Спектральное представление стационарных случайных функ-
ций. В примерах 2, 3, 4 предыдущего параграфа рассматрива-
лись стационарные случайные функции, представляющие собой
гармонические колебания со случайными некоррелированными
амплитудами. Естественно предположить, что всякую стационар-
ную случайную функцию X (t) с той или иной степенью точности
можно представить в виде суммы
к
X(t)~ £ У^+тх,
— п
где от.ft= — (oft, тх — const,
M[Vft] = 0,
dk при k = I,
0 при I (dLk = dk),
(33)
(34)
причем с увеличением числа n приближение будет более точным.
Для случайной функции X (/) вида (33) имеем
п
Xе (0^ 2
k~—п
(35)
Представление случайных функций в виде суммы (33) неслу-
чайных функций со случайными коэффициентами широко приме-
няется в теории стационарных случайных функций. Это предста-
вление справедливо для тех стационарных случайных функций,
п
для которых можно так выбрать сумму У, , что мате-
k=-—n	.
магическое ожидание квадрата разности
м
п
X°(t)~ у
k=— п
(36)
будет*сколь угодно малым на любом заранее выбранном интервале
времени при достаточно большом п. В этом случае справедливо
равенство (в смысле сходимости ряда в среднем квадратическом)
СО
Х°(/)= £ VkC^,	(37)
fe =—со
причем нецентрированная случайная функция X (t) равна
СО
X(t) = X°(t) + mx = у	(38)
•	k—— СО
407
Вычислим корреляционную функцию случайной функции вида
(38). Согласно равенству (34) получим
co
Kx(ti~h)=M
У s VkV^e-i^ у; dke1'^-^.
——оо/=—оо	J	k=—оо
(39)
В равенстве (37) перейдем к пределу:
п	со
У, е'К)г* VfcAcoA4-mx= $ V (со) ei<i>£ dco + тх, (40)
k ——п	—ОО
Х(/) = 1, i.m.
п-*оо
max Д(й£—>0
здесь V (со) с/со — случайная бесконечно малая амплитуда гармо-
ники с частотой со, а интеграл понимается в среднем квадрати-
ческом смысле.
Можно показать что условия некоррелированности, кото-
рые для конечной суммы имели вид (34), в данном случае можно
записать в виде
M[V(co)] = 0, M[V(co)W)] = ^6(co-Z).	(41)
Т аким образом, случайная функция V (со) параметра со явля-
ется белым шумом с интенсивностью (см. равенства (25) и
(26) § 65), а значит случайные величины V (со) и V (X) некор-
релированы при любых фиксированных со у= Z. Функцию S (со)
по аналогии с коэффициентом dh в равенствах (28), (29), (30), (31)
называют спектральной плотностью мощности случайной функции
X (t), или просто спектральной плоскостью. Представление слу-
чайной стационарной функции X (t) в виде интеграла (40) назы-
вается спектральным представлением этой функции.
Вычислим корреляционную функцию случайной функции X (t).
Имеем
Г со оо
Лха1Л) = Л1[Х°а1)Г(^)]=М $ $ V(co)V(X)e/“<x X
L—со — оо
X da> dZ] = J § M [ V (co) V (Z) | e'a he~iu* d&dK —
— 00 — 00	*
= ~ J J S(co)^(“<*-wx>6(co-Z)dcodZ =
— 00	—CO	w
”	co
=	J S(co)c?^-'x) da^Kx(ti-t2). (42)
— 00
*’ Строгое обоснование возможное""! представления всякой стационарной
„ случайной функции X (/) в виде (40) см., например, в работе: Розанов Ю. А.
Стационарные случайные процессы. Физматгиз, 1963, с. 42.
408
Полагая в равенстве (42) Д —/2 = т, получим
СО
/< (т) = — j* S (со) е!ах da,
—оо
(43)
т. е. корреляционная функция является обратным преобразова-
нием Фурье от спектральной плоскости S (со). Следовательно,
спектральная плотность есть преобразование Фурье от корреля-
ционной функции, т. е.
S (со) — $ К (т) е~I(uX di.	(44)
— оо
Свойства спектральной плотности
1.	Спектральная плотность действительной стационарной
случайной функции является четной действительной функцией
аргумента со, т. е.
S (со) = 5 (-со), (45) ImS(co) = 0. (46)
Действительно, из равенства (12) имеем
ОО	со
S(co) = I\(x)e~iaxdx= J К (т) (cos сот — .j sin сот) dx =
—оо	— со
со	оо
— § /\ (т) cos сот с/т —/ К (т) sin сот dx..
— оо	—оо
Из четности корреляционной функции следует, что подынтеграль-
ная функция в первом слагаемом четная, а во втором — нечет-
СО
ная функция аргумента т, поэтому j К (т) sin сот с/т = О как
— со
интеграл от нечетной функции при симметричных пределах интег-
рирования. В результате можно записать, что
S (со) = 2 J (т) cos сот с/т.	(47)
о
В силу четности функции cos сот имеем S (со) = S (— со). Кроме
того, спектральная плотность S (со) выражается в равенстве (47)
как интеграл от действительной функции, т. е. является действи-
тельной функцией. И
2.	Дисперсия действительной стационарной случайной функ-
ции равна интегралу от спектральной плотности этой функции
в бесконечных пределах, деленному на 2л, т, е.
со	со
D = ± J S (со) с/со = | р (со) с/со.	(48)
—со	 О
409
В самом деле, из равенств (5) § 66 и (43) следует, что
D = К (0) = ~ J S (со) е’ах da
— ОО
со
= f S (со) da.
2л J ' '
т = 0	—со
В силу четности спектральной плотности также имеем
СО
J S(co)dco. И
о
В случае когда случайная функция X (t) есть флуктуации элек-
трического тока или напряжения, то дисперсия случайного про-
цесса X (/) как среднее значение квадрата тока или напряжения
пропорциональна средней мощности этого процесса, поэтому из
равенства (48) получим, что спектральная плотность S (со) в этом
случае характеризует плотность мощности, приходящуюся на еди-
ницу частоты со. Если случайная функция X (t) описывает изме-
нение напряжения, измеряемого в вольтах, а со есть круговая
частота, измеряемая в то размерность спектральной плотности,
как следует из равенства (47), есть в2 сек.
3.	Спектральная плотность стационарной случайной функции
есть функция неотрицательная, т. е.
S (со) => 0.	(49)
ОО
Действительно, из равенства (43) имеем S (со) = \ К (т) e~/b>xdr.
— со
Напишем очевидное равенство
4-Т/2 ОО
S(co)=y J \ К (т) e~Jb" dx dv (Т>0).
— Т/2 — оо
Производя замену переменной т = /1 —/г, v — t2, получим
+ 7/2 со
S(co)=y K(t1 — t2)e-i,i,t'eiti,^dt1dti =
— Т/2 —со
Т/2	Т/2
= lim у j ( М[Х° (/J Х^)1е-/ю<> dt1dt2~
Т~*со — Т/2 — Т/2
— lim М
Т —>со
Т/2	Т/2
у j Х° (tl) е~ '“z* dt-! Xе (/2) e-i^ dt2
— Т/2	— Т/2
1-	1 лл
= 11 m М
Т->оэ 1
Xе (ti)e(-ia^ dt!
2q
=э0. И (50)
Из равенства (50) следует, что спектральная плотность S (со)
стационарной случайной функции X (/) есть среднее значение
410
математического ожидания квадрата модуля преобразования Фурье
центрированной' случайной функции Х° (/).
Пример 1. Вычислить спектральную плотность белого шума с постоянной
интенсивностью, равной с2.
Согласно выражению (26) § 65, корреляционная функция рассматриваемого
белого шума есть /<(т) = с26 (т). Из равенства (44) следует, что спектральная
плотность белого шума равна
со
S (о) = с2 6 (т) е~Х,х dx=с2.
— СО
Таким образом, белый шум с интенсивностью, равной с2, можно определить
как случайную функцию с постоянной на всех частотах спектральной плотно-
стью S (<о). Средняя энергия белого шума, которую можно вычислить по фор-
муле (48), равна бесконечности, поэтому белый шум есть идеализированная
случайная функция, реализовать которую невозможно.
Пример 2. Вычислить спектральную плотность «телеграфного сигнала»
с корреляционной функцией К (х)—а2ё~
Вычислим спектральную плотность как преобразование Фурье от корреля
ционной функции. По формуле (44) имеем
<о2 + 4л2
По аналогии со спектральной плотностью случайной стацио-
нарной функции вводится понятие взаимной спектральной плот-
ности двух стационарно связанных случайных функций.
Взаимной спектральной плотностью Sxy (со) двух стационарно
связанных случайных функций X (/) и Y (t) называется преобразо-
вание Фурье их взаимной корреляционной функции, т. е.
«хг(ю)= [ KxY^e-i^dx,	(51)
— оо
Ххг (Т) = 2Ц SXY (со) da.	(52)
— СО
Покажем, что справедливо равенство
Sxy (со) = SYx (со).	(53)
Действительно, из выражения (51), учитывая, что Лхг(т) =
— Xyx(—т), получим	I
СО	со _______
Sxr(co)= $ Kxy dx= J Ки(-т)г/отА=
— ОО	—00
00 _________ со __________________________
= 5 Кгх (v) dv — \ Kyx (v) e~jen> dv = SYX (co).
— co	—oo
411
§ 67. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Оценка математического ожидания. В корреляционной тео-
рии случайная функция характеризуется моментами первого и
второго порядков: математическим ожиданием и корреляционной
функцией. Математическое ожидание является средним значением
по множеству реализаций случайной функции и определяется
по формуле
М[Х(/)] = \ xf(x> t)dx = mx(t).	(1)
— co
Чтобы оценить математическое ожидание какой-либо случайной
функции, необходимо выполнить большое число экспериментов,
записать в каждом из них реализации случайной функции, а за-
тем определить в каждом сечении t среднее значение случайной
функции. Если рассматривать это среднее значение как функ-
цию t, то при числе реализаций п -> оо оно будет по вероятности
сходиться к математическому ожиданию /И[Х (/)] = тх (О случай-
ной функции, X (/) Действительно, пусть случайная функция Y (/)
определяется равенством
Y (t) == (0~ЬХг (0+---+Хя (0
где независимые функции Xi(f), ..., Xn(f) имеют одинаковые ма-
тематические ожидания m(t) и дисперсии d(/). При этом условии,
учитывая равенства (51) и (54) § 65, получим:
М[У(/)] = м I-X1 (01+м [*2 (01+-+М [Х„ (01 = nm(t) = т
л г V (1W - D	<ЭД+D № (ЭД+••+/> [Хп (01 _ nd (t) _ d (t)
1 (	n2	~ n2 ~ n •
(3)
(4)
На основании формулы Чебышева имеем
P(\Y (0 - т (t) | > в) <
поэтому при увеличении числа п случайная функция Y (t) стре-
мится по вероятности к математическому ожиданию m(t), т. е.
У (/)-> m (/) при п -> оо.	(5)
Обозначим Y (/) случайную функцию, равную экспериментально
определенному по множеству реализаций среднему значению тп (/),
т. е. Y (f) = тп (I), тогда, согласно выражению (5), имеем тп (/)
-+m(t) при и —> оо. Желательно определить статистические харак-
теристики случайного процесса в результате не многих, а одного
опыта. В большом числе практических случаев это оказывается
412
возможным. Найдем среднее значение по времени т* одной
из реализаций случайной функции Х(/) на отрезке [0, /] оси Ot:
т
m* = ±^X(f)dt.	(6)
о
Величину т* называют оценкой математического ожидания т
стационарной случайной функции X (f).
Оценка математического ожидания, которая является случай-
ной величиной, должна быть достаточно близкой к самому мате-
матическому ожиданию. Желательно, чтобы математическое ожи-
дание оценки совпадало с оцениваемой величиной, а разброс ее
значений от среднего был бы мал, т. е. оценка т* должна иметь
малую дисперсию. Если математическое ожидание оценки совпа-
дает со значением оцениваемой величины, то такую оценку назы-
вают несмещенной. Если дисперсия оценки стремится к нулю,
то оценку называют состоятельной.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию оценки мате-
матического ожидания (6):
/И[т*] = /И
т
J X(t)dt
- о
Т
= ~ J М[Х(/)] dt = М[X(/)] = т.
о
(7)
Таким образом, оценка т* является несмещенной оценкой мате-
матического ожидания т стационарного случайного процесса X (/).
Найдем дисперсию оценки т*. Принимая во внимание фор-
мулу (7), получим
г т т
D[m*]=- M[(m* —m)2] = M ~ J \(X(t1)-m)(X(t2)-m)dt1dt2 =
- о о
т т	'	т т
= 1 J J М [Х° (Л) Х° (4)] dtt dt2 = ^{\ к (h -12) dtr dt2. (8)
do	" -
о о
Введем новые переменные т = ^ —/2,
преобразования равен
v = /2.
при этом якобиан
dtx dt2
dx dx
dtt dt2
dv dv
= 1.
1 0
1 1
Области интегрирования по переменным tlt t2 и т, v показаны
на рис. 215. Учитывая четность корреляционной функции, можно
записать
т т	т	Т — х
fl[m*] = p J ^Kiti-t^dtj.dt,^^	f dvdx=
0 0	0	0
T
=	K{x)dx. (9)
0
413
Если дисперсия оценки математического ожидания при Т -> со
стремится к нулю, т. е.
lim
Т — сэ
Г
f (1 K^dx^Q,
О
(10)
то согласно равенству (9) имеем
lim D[m*| = 0,
Т —*оо
т. е. оценка вида (6) математического ожидания стационарной
случайной функции X (/) будет состоятельной.
Стационарные случайные функции, для которых при Т-*оо
среднее по времени (6) совпадает со средним значением случай-
ной функции по множеству (1), называются эргодическими по отно-
Рис. 215
____________ /
шению к математическому ожиданию. Соотношение (10) является
необходимым и достаточным условием эргодичности случайной
функции. Выполнение условия эргодичности (10) не всегда легко
проверить.
Получим более простое достаточное (но не необходимое) усло-
вие эргодичности.
Теорема 1. Для того чтобы стационарная случайная функция
была эргодической, достаточно, чтобы ее корреляционная функция
стремилась к нулю при неограниченном возрастании т, т. е.
должно выполняться равенство
lim К, (т) = 0.
СО
(11)
Доказательство. Из условия теоремы следует, что най-
дется такое значение т = Т0, что при т>Т0 модуль корреля-
ционной функции сколь угодно мал, т. е. К (т) < е, где е — про-
извольное положительное число. Оценим величину модуля инте-
грала
т
~ J (1 -^)к(т)с/т
о
Пусть То, тогда можно
414
записать, что
|^(T)|dT +
То
1 j к (0)dT+4
о
: ^(О)7о	е(7-70)
Т	Т
(12)
В силу произвольности выбора числа е из равенств (12) и (10)
следует,1 что если Нт7<(т) = 0, то
Т-* СО
Т
lim D[m*]= lim — f fl — ф-') К (т) <Д = 0,
5"->co	Г-*co 1 J \	1 /
т. e. случайная функция X(f) эргодична. 
2. Оценка корреляционной функции. Естественно предполо-
жить, что в ряде случаев и момент второго порядка —корреля-
ционную функцию стационарной случайной функции можно опре-
делить не как среднее по множеству, а оценить эту функцию как
среднее по времени произведения значений реализации случайной
функции X (t) в сечениях t и t — т, т. е,
т
К* (т) = ~ J Х° (0 Х° (t - т) dt.	(13)
о
М[К* (т)] = М
Здесь через К* (т) обозначена оценка корреляционной функции
К (т). Оценка К* (т) является несмещенной. Действительно, имеем
т
у J Х° (t) Xе (t -%)dt =
о
Т	Т
= |jM[X°(0X°(/-T)]^=l \xx(r)dt = Kxb'). (14)
о	'	<	о
Для того чтобы проверить состоятельность оценки корреля-
ционной функции вида (13), вычислим ее дисперсию. Учитывая
равенство РИ = а2 — гпх, получаем
т т
D [К* (т)] = М ~ J J Xе (tt) Х°(/i-r) Xе (/2) Х° (/2-т) dtr dt2 - № (т).
LOO-	J
Изменяя порядок операций определения математического
ния и интегрирования, будем иметь
г т
И* (т)] = J J М [Х° (tД Х° (h - т) Х° (t2) Х° (t2 - т)] х
о о
ожида-г
X dtx dt2 — № (т).
(15)
415
Для вычисления интеграла (15) необходимо знать момент четвер-
того порядка случайного процесса X (t). В общем случае по извест-
ным моментам второго порядка невозможно вычислить момент
четвертого порядка. В дальнейшем будем предполагать, что слу-
чайная функция X (/) нормально распределена, тогда, используя
соотношение (55) § 63, можно записать
М [Х° (^ Х° (t, - т) Х° (t2) Х° (t2 - т)] =
= К2 (?) + К2 (t, - /2) + К (t, - 4 + т) К (t, - t2 - т).	(16)
Из равенств (15) и (16) имеем
т т
D [Л* (?)] = 1 J f [№ -12) + К(ti -t2-x) К (ti-t2 + т)] dt, dt2.
о 0
(17)
Введем новые переменные и — t,—12, v = t2, аналогично случаю
замены переменных в равенстве (8):
т
£)[Д* (т)] = ~ J (1 -	(м) + К (п-т)Д (« + ?)]<!«.	(18)
О
Случайная функция X(t), для которой справедливо равенство
lim D[K*(t)] = 0,	(19)
Т —>со
называется эргодической по отношению к корреляционной функции.
Очевидно, что необходимым и достаточным условием эргодично-
сти стационарной случайной функции по отношению к корреля-
ционной функции, будет соотношение
т
lim J fl — j [№ (zz) + К (« — т) Л (zz-ф т)] dzz = 0.	(20)
Можно показать, что достаточным условием эргодичности ста-
ционарной случайной функции по отношению к корреляционной
функции этой случайной функции является выполнение равенства
lim К(т) = 0.	(21)
Т-Э-СО
Таким образом, для эргодической стационарной случайной
функции ее математическое ожидание и корреляционная функция
могут быть оценены по одной реализации как среднее по времени.
Для эргодической по отношению к математическому ожиданию
случайной функции оценка математического ожидания равна
т
т* — ~^Х (0 dt.	(22)
о
416
Для эргодической по отношению к корреляционной функции слу-
чайной функции оценка корреляционной функции К* (т) равна
К* (т) =
т
о
(23)
Эти оценки при выполнении
условий (10) и (19) являются
несмещенными и состоятель-
ными. Вычисление оценок
можно выполнить путем ин-
тегрирования реализаций
случайной функции, учиты-
вая соотношения (22) и (23).
Для ускорения расчетов в на-
стоящее время создано боль-
шое количество приборов
(корреляторов, корреломет-
ров), автоматизирующих вы-
числение этих выражений.
Пример 1. Определить, явля-
ются ли случайные функции с при-
веденными ниже корреляционными
функциями (рис. 216) эргодиче-
скими:
а) К (T) = Oe““iT|, б) к СО =
= De~a 1 т । cos fx,	в) К (т) =
= De~“|т| cos рт -|- -j-sin fi [ т | \
г) = д) К (t) = £’cost.
Случайные функции с корреля-
ционными функциями а), б), е) яв-
ляются эргодическими, так как для
них выполнено достаточное усло-
вие эргодичности lim К(т) = 0.
Случайная функция с корре-
ляционной функцией вида г) не
является эргодической, так как
для нее не выполнено необходимое
условие эргодичности, т. е.
о
.. DT D
= 1«п 97^ = V	°-
7— со 2/	2
Рис. 216
Для случайной функции с корреляционной функцией типа д) достаточное
условие эргодичности не выполнено. Проверим, выполняется ли необходимое
условие эргодичности. Необходимое условие эргодичности по отношению к ма-
417
тематическому ожиданию для случая д) имеет вид
т
lim -L С (1 —^Dcos₽TdT= lim «-^-(l — cosP7’) = 0,
Т-»со 1 J \ Т /	7—соР'
О
т. е. необходимое условие эргодичности по отношению к математическому ожи-
данию выполнено. Проверим выполнение необходимого условия эргодичности
по отношению к корреляционной функции. Имеем
т
lim \ (1 —— ) (cos2 и 4- cos (и — т) cos [ц + т) du =
Т -* со 1	\	*/
О
Т
= lim 1 (1—~ ) (2cos2«—cos2t)<?u==
Г—>ОО * J \	*/
О
= lim d(1 — sin2T-|-2S=2^ —D (1 — sin2T)^0.
T —>oo \	*	/
Таким образом, случайная функция X (f) с корреляционной функцией
К (t) = Dcost является эргодической по отношению к математическому ожида-
нию и не является эргодической по отношению к корреляционной функции.
§ 68.	ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
1.	Основные понятия и определения. Выше рассматривались
случайные функции X (f), которые определялись при всех действи-
тельных значениях аргумента t. На практике, например, при
исследовании импульсных автоматических систем приходится встре-
чаться со случайными функциями, определенными лишь при диск-
ретных значениях аргумента t = tb, t±, t2, ..., tn, .... Такие слу-
чайные функции называются дискретными случайными функциями
или случайными последовательностями. За аргумент дискретной
случайной функции можно принять индекс при tn и писать
Х(/„) = Х[«]	(« = 0,1,2,...). „
Если число точек, в которых задана дискретная случайная
функция, конечно, то эта случайная функция может рассматри-
ваться как «-мерный случайный вектор. Если я^е число таких
точек бесконечно, то дискретная случайная функция является
бесконечной последовательностью случайных чисел. Будем счи-
тать, что значения аргумента этой последовательности бесконечно
продолжены в обе стороны числовой оси, т. е. « = 0, ± 1, ±2,....
Для того чтобы задать дискретную случайную функцию, необ-
ходимо задать все ее /z-мерпые функции распределения вероятно-
стей или «-мерные плотности распределения вероятностей. Однако
как и для случайных процессов с непрерывными значениями
аргумента t, для случайных последовательностей широко приме-
няется корреляционная теория случайных функций, основанная
на знании первых двух моментов — математического ожидания и
корреляционной функции,
418
Математическим ожиданием' случайной функции X [п] назы-
вается такая неслучайная числовая последовательность тх [п],
значения которой при каждом фиксированном п равны матема-
тическому ожиданию случайной величины X [и], т. е.
тх [«] = М [X [п]] = $ xf1(x,n)dx,	(1)
— со
где fr (х, п) — одномерная плотность распределения вероятностей
случайной последовательности Х[п] (п = 0, ±1, ±2, ...).
Функция
Х°'[п] = Х[п]-тЛ[п]	(2)
называется центрированной дискретной случайной функцией.
Корреляционной функцией дискретной случайной функции назы-
вается дискретная функция двух переменных /<х[п, /], значения
которой равны корреляционным моментам случайных величин X [п]
и X [/] при всех значениях п и I, т. е.
СО со
Хх[п, /] = Л1[Х°[п] Wli= $ $ (x-mx[n])(x'-mx[/])x
— со — со
xf2(x, х'; п, l)dxdx', (3)
где /г(х, х'; п, двумерная плотность распределения вероятно-
стей случайной последовательности Х[п] (п, / = 0, ±1, ±2 ...).
Начальный момент второго порядка Г х[п, /] для дискретной
случайной функции определяется выражением
Гх[п, /] = M[X[nJX[7]j.	(4)
Для двух дискретных случайных функций Х[п] и У[п] их
взаимная корреляционная функция Kxy[u, I] и взаимный началь-
ный момент второго порядка Гху[п, /] определяются равенствами
Кхх\п, /] = М[Х°[п]У5РП, Гху[п, /] = М[Х[п]Й7]Т- (5)—(6)
Все основные свойства математического ожидания, корреля-
ционной функции и моментов второго порядка, полученные в § 65
для случайной функции с непрерывными значениями аргумента,
справедливы и для дискретных случайных функций.
2.	Линейные операции над дискретными случайными функциями.
Аналогом операции дифференцирования случайных функций с не-
прерывными значениями аргумента t для дискретных случайных
функций является операция взятия конечных разностей. Первой
разностью АХ [/г] дискретной случайной функции X [п] называется
дискретная случайная функция вида
>	ДХ[п] = Х[п4-1]-Х[п].	(7)
Разность порядка k дискретной случайной функции вычисляется
по формуле
Д"Х [nJ = Д*1 X [n -f-1 ] - Д* *Х [nJ.	(8)
419
Определим статистические характеристики конечных разностей
дискретных случайных функций. Имеем
Л4[АХ[п]] = /И[Х[и 4-1 ] — X[и]] = тх[п +1 ]—тх[п] = Дтх[п], (9)
т. е. математическое ожидание первой разности дискретной слу-
чайной функции равно первой разности математического ожида-
ния этой случайной функции. Это свойство справедливо и для
разностей любого порядка, т. е.
М [ ДкХ [и]] = Дктх [п].	(10)
Корреляционная функция первой разности АХ [и] равна
Кьх [п, l] = M f(А„Х [и] - тдх [п]) (AZX [Z] - тЛх [/])] =
= M [А„ (X [n] - тх [и]) Az (X [/]] - тх [/])! = A„AzXx [п, I], (11)
здесь символы А„ и Az обозначают взятие первой разности по
индексам п и I соответственно.
Аналогично можно получить взаимную корреляционную функ-
цию случайной функции X [п] и ее первой разности АХ [и], имеем
Кхах[п, l] = &iKx[n, I].	(12)
Аналогом интегрирования для дискретных случайных функций,
как и для неслучайных решетчатых функций, является операция
суммирования. Вычислим статистические характеристики конечных
сумм дискретных случайных функций с весом g[n, I). Пусть
дискретная случайная функция У [и] равна
r[n]=i]X[/]g[n, Z],	(13)
1 = 0
где gfn, /] —неслучайная решетчатая функция двух переменных,
а X [/] — дискретная случайная функция. Определим математи-
ческое ожидание случайной функции У [и]. Из свойства линейности
операции определения математического ожидания следует, что
М[У[п]] = У, mx[l]g[n, 1] = ту[п].	(14)
1=0
Вычислим теперь корреляционную функцию случайной функ-
ции У[п]; имеем
mx[r])g[n, г] х
/Cr[n, Z] = /H (У X[r]g[n, г] — mr[n])x
-V=o	/
x(l]X[S]g[Z, s]-mF[s]) = ZW (y (X[r]~
\s=o	/J	LV—o
x(s (X[s]-mx[s])g[Z, s]j = 2 y, Kx[r, s]g[n, r]g[Z, s], (15)
\s=0
п
= 0s = 0
Заметим, что конечная сумма (14) является линейной комбина-
цией конечного числа случайных величин X [и], поэтому напи-
420
санные выше статистические характеристики можно рассматривать
как характеристики линейной комбинации случайных величин Х[н].
Когда верхний предел суммирования в сумме вида (13) бесконечен,
то значение этой суммы будем понимать в среднем квадратическом
смысле, т. е. будем называть случайную функцию V [л] суммой
ОО
вида Y [и] = У, X[/]g[n, /], если справедливо равенство
1 = 0
lim М
N —*со
/]-У[п]
1 = 0
(16)
Этот предел, так же как и в § 64, будем записывать в виде
N
£ *[№• /] = !• i- пк 2 X[/]g[n, /].	(17)
1=0	ЛГ-юо / = 0
3. Стационарные дискретные случайные функции. Определение
стационарных дискретных случайных функций, как в узком, так
и в широком смысле, ничем не отличается от соответствующих
определений, введенных в § 66 для случайных функций с непре-
рывными значениями аргумента t. Дискретная случайная функция
называется стационарной в широком смысле, если ее математи-
ческое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит
только от разности аргументов, т. е.
/Их[«] = const, Кх[п, /] = Кх[п —/] = Кх[г]. (18)—(19)
где г = п — 1 принимает любые целочисленные значения г— О, ± 1,
±2. ...
Две дискретные случайные функции Х[л] и У [и] называются
стационарно-связанными, если их взаимная корреляционная функ-
ция зависит только от разности аргументов, т. е.
Кхг[п, /] = Кхг[п- /] = Кхгй-	(20)
Все свойства математического ожидания и корреляционной
функции стационарйых случайных функций с непрерывными зна-
чениями аргумента, полученные в § 66, справедливы и для дискрет-
ных стационарных случайных функций.
Рассмотрим стационарную случайную функцию X (/) с непре-
рывными значениями аргумента t и поставим ей в соответствие
решетчатую случайную функцию X [пТ], полученную из X (Z)
заменой t = nT. Очевидно, что дискретная случайная функция
X [пТ} тоже является стационарной. Пусть задана спектральная
плотность Sx (о) случайной функции X (t). Корреляционная функ-
ция Кх (0 найдется как обратное преобразование Фурье от спек-
тральной плотности для всех значений т, в частности и для
целочисленных значений х — гТ. Имеем
СО
Кх[/-Л= J Sx(®)e/“^do).
— со
(21)
421
Разобьем ось со на отрезки длиной -у- и представим интеграл (21)
в виде суммы	»
оэ (2*+'>Т
^[гТ]==^ У Sx (со) е'агТ dio.
(22)
Вводя новую переменную сох = со--у-, учитывая, чтое/2я/г = 1,
и изменяя порядок интегрирования и суммирования, получим
+ —
со + 7
Кх[гТ]=--^ V J
k = — оо л
7
=к J 2 МЮ1
л -k — — со
~ 7
J S*x (^)ei^T d^,
(23)
где
ОО
S^(cox) = У Sx(co1 + ^L).
k——со
(24)
Функция Sx (со) называется спектральной плотностью мощ-
ности или просто спектральной плотностью дискретной случайной
функции X [п, Т].
Спектральная плотность решетчатой случайной функции есть
периодическая функция с периодом В самом деле,
СО
v sJ(,)+2n(yffl)b
k =—со
со
= 2 Sx(co + ^-] = S*x(<o), (25)
/=—СО
где l — k^m.
Периодическая функция Sx (со) может быть разложена в ряд
Фурье, т. е.
ОО
Sx(o))= 2 Cre-i^',
г —— CD
(26)
422
где
+ -
-i- т
cr=~ J Sx (а) е>Тга da>.	(27)
3T
“ T
Сравнивая равенства (23) и (27), имеем
Сг = ТКх[гТ].	(28)
Окончательно получим
ОО
51(®) = 7’ V кх[гТ]е~^т,	(29)
Г = — оо
+ -я-
т- г
Kx[rT\=~ J Sl(w)e/“^dw.	(30)
_ --
т
i
Равенства (29) и (30) выражают зависимость между корреля-
ционной функцией и спектральной плотностью дискретной слу-
чайной функции X [n7J. Значение корреляционной функции ста-
ционарной случайной функции при равном нулю аргументе равно
дисперсии случайной функции: Кх [0] = D [XТиТ]], поэтому из
равенства (30) имеем
т- т
Р[Х[пТ]] = ХЛ[0>^- J S^(w)dw. (31)
л
т
Если период дискретности Т = 1, то равенства (24) и (29) —
(31) принимают соответственно вид
£л(®)= S Sx((o + 2n£),	(32)
k — — со
s*A(®)= v;	(33)
г =— оо
Хх И = 2?Г J S* (®) е’“>' da,	(34)
z	— эт
Р [X [п7]] = ~ J	(О>) dw.	(35)
— Л
423
Взаимной спектральной плотностью Sxy (со) двух стационарно
связанных дискретных случайных функций X |нТ] и Y[тТ] назы-
вается выражение вида
SV(co) = T 2	(36)
г — — со
Взаимная корреляционная функция /<хе[г'Г] может быть вычис-
лена как значения коэффи-
циентов ряда Фурье:
+ А - ’
т- г
= j Sx y (со) eiarT da.
Л
Т
(37)
При Т — 1 равенства (36)
и (37) имеют вид
со
S*xr(<o) =
г —— со
КхгИ =
Л 1
= i J S*xv{a)e^da.
(38)-(39)
Из равенства (24) сле-
дует, что спектральная
плотность Sx (со) дискрет-
ного случайного процесса
X [пТ1], соответствующего
непрерывному случайному стационарному процессу X (t) при
t — nT равна сумме функций, полученных из спектральной плот-
2п
кости Sx (со) случайного процесса X (t) сдвигом на величину -у- k
(/с = 0, ± 1, ±2, ...) (рис. 217). Отсюда следует, что если слу-
чайная функция X (/) с непрерывными значениями аргумента t
имеет спектральную плотность Sx (со), отличную от нуля только
на интервале (—сос, сос), причем | сос | < (рис. 217, а), то
спектральная плотность этого случайного процесса может быть
восстановлена полностью по спектральной плотности Sx (со)
дискретного случайного процесса X [пТ] = X (t) \t^nT. Действи-
тельно, при этих условиях спектральная плотность решетчатой
случайной функции получается суммированием смещенных непере-
424
рывающих друг друга графиков спектральной плотности Sx(w)
случайной функции X (t) (рис. 217,6) и поэтому спектральная
плотность Sx (со) может быть восстановлена из спектральной плот-
ности решетчатой случайной функции Sx (®) с помощью равенства
Sx (®) —
Sl(co) при |со|<у-,
О При |й)|^-уг.
(40)
В общем случае восстановить спектральную плотность слу-
чайного процесса с непрерывными значениями параметра t по
известной спектральной плотности соответствующего ему дискрет-
ного процесса, как видно из рис. 217, в, невозможно.
Представим стационарную случайную функцию X (/) в виде (40)
§ 66. При t — nT имеем
X (пТ) =mx+ J V (со) eianT da>,
— оо
(41)
где
M[V(w)] = 0, М[У(ю)7(Л)] = ^6(й-1) = Ку(<0, 1). (42)
Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям в равен-
ствах (21)—(24), получим
оо
X[n7’] = mx+ 2	\	V(co)e/“«2'dw =
31	.и
Г	оо	+ Т
= mA + J 2	+ elb>inT— mx +	V*(<ti)elanT du,
зт /г . со	зх
’“Т*	— у
(43)
где
v*((o)= 2	(44)
В выражении (43) интервал интегрирования есть
поэтому случайную функцию V* (со) достаточно определить на
этом интервале. Функция V (©) в равенствах (41) и (44) является
белым шумом; при суммировании в равенстве (44) мы сдвигаем
k
этот белый шум всякий раз на 2л -у-, откуда следует, что при
—слагаемые в сумме (44) некоррелированы. В этом
14 °/₽. Чемоданова Б. К.., т. 2
423
случае корреляционная функция суммы равна сумме корреля-
ционных функций слагаемых. Из соотношений (44) и (42) имеем
Kv* (®> ^-) — 2
_k =— оо
Объединяя равенства (45) и (25), получим
Ку*(®, X)=-^-6((0-2i),
y-j есть белый шум с интен-
2л
6 (to — Л).
(45)
(46)
(47)
л зт \
т~ • ~т)'
т. е. V*(co) на интервале -
S* (ю)
сивностью —
Итак, показано, что стационарная дискретная случайная функ-
ция может быть представлена как предел суммы бесконечного
числа неслучайных гармоник eianT со случайной бесконечно малой
амплитудой V* (to) da, т. е.
-ь т
X [nT] — mx + $ V * (to) е'апТ da,
п
Т
где V* (to) —белый шум, определенный в интервале ( —
причем /M[V*(to)] = 0, M[V*(®) 7^(1)] = -^^ 6(и-Z); S* (to)—
спектральная плотность дискретной случайной функции Х[пТ].
Интегрирование в равенствах (41), (43), (47) понимается в среднем
квадратическом смысле.
В теории автоматического регулирования часто рассматривают
дискретную случайную функцию, представляющую последователь-
ность независимых случайных величин Х[п] (п = О, ±1, ±2, ...)
с математическим ожиданием, равным нулю. Корреляционная
функция такого случайного процесса имеет вид
Кх[пТ, mT\ = M[X[nT}X^mT]]== d[n]^nm==i	ПРИ П~,П’
(О	при п=£т,
(48)
где	—символ Кронеккера; d [п] — Кх [tiT, пТ] = D [X [//]].
В случае, когда дисперсия не зависит от номера члена последо-
вательности, т. е. d[n] = d = const, дискретная случайная функция
Х[н] будет стационарной с корреляционной функцией вида
К [гТ1=! d ПРИ Г = 0,
х (0 при r=#0 (r — n — m).
Иногда по аналогии с непрерывным белым шумом случайный
стационарный дискретный процесс с независимыми значениями
(49)
426
при различных значениях аргумента и нулевым математическим
ожиданием называют дискретным белым шумом.
Вычислим спектральную плотность дискретного белого шума.
Из равенств (49) и (29) имеем
ОО
SX(®) = 7 2 Kx[rT]e-i^ = dT.
Г =— ОО
(50)
Рассмотрим непрерывный случайный процесс X (t), который
принимает независимые случайные значения Y, постоянные на
интервале Т, с нулевым математи-
ческим ожиданием и дисперсией d, jp</)
изменяющиеся через одинаковые
промежутки времени Т. Такой про-
цесс представляет последовательность
равноотстоящих друг от друга им-
пульсов, имеющих случайную вы-
соту. Пусть момент возникновения
первого импульса после начала от-
счета времени является случайным
и распределен по равномерному за-
кону в пределах от 0 до Т.
Возможные реализации этого
случайного процесса приведены на
рис. 218.
Найдем вероятность р(т) измене-
ния значения случайного процесса
X (t) в промежутке от t до /ф-т.
Если | т | > Т, то очевидно, что
р(т) = 1. Вычислим теперь р(т) при
| т | Т. Момент первого изменения
значения функции (после t = 0) равно-
мерно распределен в пределах от 0
что р (т) = при | т | Т, т. е.
р(т) =
111
т
1
X(t)
Рис. 218
до Т, поэтому получаем,
(51)
при
при
Вычислим корреляционную функцию процесса X (/):
Кх СО = М [X (/) X (I + т)] =	(1 - р (т)) =
{0 при
,/. IтI\
бЦ1 — I При
м>л
(52)
так как из вида рассматриваемого процесса следует, что его сече-
ния для значений параметра t, отличающихся на величину боль-
шую, чем Т, независимы, а при | т | С Т вероятность того, что
значение процесса X (/) не изменится, равна 1 — р (т).
14*
427
Спектральная плотность рассматриваемого процесса согласно
равенству 44 § 68 равна
Т	f . (j>T \ 2
Sx((») = d J (1-^e-^dx = dT	•	(53)
~T	\ ~ J
Графики корреляционной функции вида (52) и спектральной
плотности вида (53) приведены на рис. 219.
При малом значении Т спектральная плотность вида (53) при-
мерно постоянна в достаточно широкой полосе частот и равна dT.
Этот факт используется для моделирования случайного процесса,
близкого к белому шуму, на цифровых вычислительных машинах
при анализе систем автоматического регулирования, работающих
в условиях случайных возмущений и помех. Процесс, близкий
к непрерывному белому шуму, моделируется с помощью последо-
вательности независимых случайных чисел, т. е. аппроксимируется
дискретным белым шумом.
4. Эргодические дискретные случайные функции. Понятие
эргодичности, которое рассматривалось для случайной функции
X (t), определенной для всех действительных значений аргумента,
может быть распространено и на дискретную случайную функ-
цию Х[п].
Случайная дискретная функция X [п] называется эргодической
по отношению к математическому ожиданию, если среднее ее зна-
чение по аргументу п (оценка математического ожидания), равное
N
m* = /vTT 2	(54)
П=0
при ^->00 совпадает с ее математическим ожиданием.
Оценка корреляционной функции для дискретной случайной
функции X [п] может быть найдена как среднее значение по
аргументу п по формуле
N
=	2 Х°[п]Х°[п-г].	(55)
n=-W
428
Дискретная случайная функция X [/г] называется эргодической
по отношению к корреляционной функции, если при /V—>-оо
оценка (55) совпадает с корреляционной функцией. Как и для
случайной функции с непрерывными значениями аргумента (§ 67),
для дискретной случайной функции оценки (54) и (55) являются
несмещенными, а достаточным условием эргодичности дискретной
и стационарной случайной функции как по отношению к мате-
матическому ожиданию, так и по отношению к корреляционной
функции является выполнение равенства
lim К [г] = 0.	(56)
г-» со
В этом случае оценки математического ожидания и корреляци-
онной функции дискретной случайной функции X [/гТ] могут быть
найдены по одной реализации по формулам (54) и (55).
§ 69. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. Прохождение случайного сигнала через линейную непре-
рывную систему. При изучении характеристик, описывающих
линейные звенья систем автоматического регулирования, в § 16
было показано, что исчерпывающей характеристикой стационар-
ного линейного звена с постоянными параметрами является весо-
вая функция k(t — т). Весовая функция определяет значение
сигнала на выходе системы в любой момент времени t, если на
ее входе в момент времени t — x приложена дельта-функция.
Сигнал x(t) на выходе линейного звена выражается через сигнал
на его входе g(t) и весовую функцию при нулевых начальных
условиях с помощью интеграла свертки вида
t
x(t)= \g (т) k (t — т) dx,	(1)
где t0 — момент подачи на вход системы сигнала g(t).
Пусть ко входу системы приложено случайное воздействие
G(t), тогда реакция системы на ее выходе будет описываться
случайной функцией X (I), причем
t
X(t)=\G(x)k(t-x)dx.	(2)
/о
Здесь интеграл понимается в среднем квадратическом смысле.
Применив к равенству (2) операцию определения математи-
ческого ожидания, получим математическое ожидание сигнала на
выходе системы:
t
7И[X (0] — М \G(x)k(t —x)dx = \M[G(т)]k (t — т) dx.
L/o
/о
(3)
429
Вычитая равенство (3) из выражения (2), получим
t
Х°(0= $G°(x)k(t-x)dx.	(4)
Л)
Предположим, что задано математическое ожидание и корре-
ляционная функция сигнала на входе системы М [G (/)] = та (/)
и Kokh, t2). Вычислим корреляционную функцию сигнала на
выходе системы Кх (К, t2), а также взаимные корреляционные
функции между входными и выходными сигналами Кох(К, t2)
и Kxo(h> h)- Заменяя в равенстве (4) t на t2, х на v, получим
/в
ИМфп(Ш-^)Л.	(5)
to
По определению корреляционной функции имеем
КХ(К, t2)~M[X°(tx)lC(K)]-
Изменяя порядок операциий интегрирования и определения мате-
матического ожидания, получим
Кх (ti, tz) = M $ $ G° (т) G° (v) k (tx — x)k (t2 — v) dx dv —
-to to
= Ц Ko (t, v) k (tx — x)k (t2 — t) dx dv. (6)
Аналогично найдем выражения для взаимных корреляционных
функций:
Кох (ti, /2) = М [G°(tx) ХЧАО] = М| G° (tx) J W) k (/2 - v) dv] =
L /0	J
= jj Ka (ti, v) k (t2 — v) dv, (7)
to
Kxo (G. *г) = M [X° (G) G° (f2)] = M $ G° (x) k (tx, x) dxGc (t2) =
-to
tl
= \ Ko (t, h) k (ti — t)dx.
to
(8)
Выражения (3), (6), (7), (8) позволяют определить статистические
характеристики сигнала на выходе линейной системы по статисти-
ческим характеристикам входного сигнала.
Используя спектральное представление стационарной случай-
ной функции (40) § 66, можно получить простые выражения для
вычисления спектральной плотности случайного сигнала на
выходе стационарной случайной системы в установившемся режиме,
когда к ее входу приложено воздействие, описываемое стационар-
ной случайной функцией G(t).
430
Спектральное представление случайной функции С° (/) имеет
вид
G°(0= $ Vo(a)eiu>tda,	(9)
— GO
где
M[VG(co)] = O, M[V0(<o) V^(Z)] = ^-6(co-X).	(10)
В равенстве (9) случайная функция G°(/) представлена в виде
предела суммы комплексных гармоник e'at со случайными ампли-
тудами VG(co)dco.
Рассмотрим сначала, как преобразуется линейной системой
гармоника е’'"'-. В § 39 было показано, что для того, чтобы опре-
делить сигнал на выходе устойчивой линейной системы в уста-
новившемся режиме в случае, когда к ее входу приложена
комплексная гармоника ejat, нужно умножить эту гармонику на
амплитудно-фазовую частотную характеристику системы Ф(/со).
Таким образом на выходе системы будем иметь сигнал Ф (/со)
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции; сум-
мируя результаты воздействия каждой гармоники и переходя
к пределу, получим выражение спектрального представления
случайного сигнала Х° (t) на выходе системы:
Х°(/) = $ У0(со)Ф(/со)?“Мсо.	(11)
— со
В силу равенства (11) случайный сигнал Х° (f) является стацио-
нарным.
Вычислим корреляционную функцию случайного сигнала X (I)
на выходе системы. Имеем
Хх((ъ Za) = M[X0(/1)^°(/2)] =

L— оо —со
Ф (/со) Ф (/'?.) Va (со) VG (Z.) da d't.
(12)
Изменяя порядок интегрирования и операции определения мате-
матического ожидания и воспользовавшись условием (10), получим
Ax(^i. /а) = Д 1 e/«oH-Ms)©(jco) ф(/Х) SG (со) б (со — Z,) da dX =
— со —оо	1
= 2^	|Ф (/со) I2 So (со) dco. (13)
Сравнивая равенство (13) с выражением (43) § 66 для корреля-.
ционной функции случайной функции через спектральную плот-
ность, найдем, что
SA (со) = | Ф (/со) |2 SG (со).	'	(14)
431
Таким образом в установившемся режиме спектральная плотность
сигнала на выходе стационарной усюйчивой системы с ампли-
тудно-фазовой частотной характеристикой Ф(/(о) равна спектраль-
ной плотности стационарного случайного сигнала на входе
системы, умноженной на квадрат модуля амплитудно-фазовой
частотной характеристики.
Найдем взаимную спектральную плотность случайных функ-
ций, представляющих сигналы на входе и на выходе линейной
Рис. 220
системы с амплитудно-фазовой частотной характеристикой Ф (/со).
Из равенств (14) и (9) получим
Кох (ti,
t2) = M[G°(t1)X^(t2)]=M
со со
й? J J V0(a>)V^(X)
— СО —оо
X
X Ф (/X) ei^er1'^ da dk
со оо
= i J S 5G(co)W^fi(®-X)x
—со —оо
со
dadk = ^~ J S0(a)^(ja)ele,di-i>) da. (15)
— со
Сравнивая равенства (15) и (52) § 66, будем иметь
50х(«) = 50(со)Ф(».	(16)
Пример 1. На вход системы с весовой функцией
k (t — т) =
при
при
0
432
в момент времени /=0 приложен случайный сигнал G (/) с корреляционной
функцией Ко (4—/2)——и математическим ожиданием mQ—l. Найти
статистические характеристики сигнала X (/) на выходе системы.
Из равенств (3), (6), (7) и (8) имеем;
t	t
ту (t) =^mQ (т)5 dx== 1 —e_/,
о	о
Хх (fv 4) = ? tЛ Л =
о о
А ^2
= е-(1, + М j J е-1 т-v 1е (т+v) dT f/v.
о о
Введем новые переменные и—х—v, v—v. В этом случае якобиан преобразо-
вания |/'| = 1. Тогда при ti получим (рис. 220, о)
М'г 4)=е~(<1+/!)
tl----^2
^2
$ B4eu+2vdvdu+
— и
О tt — и	h h — и
+ jj $ еие«™> dudv + \ $ e"«e«+2B dv du =
ti—tt —и	0	0
= [1	*х)1 -£—2-----—П -	£~2—
при 4<4 (рие. 220, б) аналогично найдем
е—(Л—h)	е—O1+61)
Kx (tu 4)=[1 +(4- 4)1--2-------I1 -(4+4)1----2---
Объединяя оба случая, можно записать:
4)^4[1+1^”4|1е~|4-/з|~4[1~й+/8)]е~(/*+ч
Дисперсия процесса X (/) будет
Dx^Kx{t, ()=l + l(2t-l)e^.
Взаимная корреляционная функция между сигналом на входе и выходе
системы есть
Выполняя интегрирование, получим при /х < /2
Ксх (4. 4) =?dv+ f e0i-v)e-(^-v) rfv=
b	<1
= e~^~^ (I + 4- 4) - 1 e-««+6).
ПрИ /j Zg
0	,11»	1	e-0i-4) g-Oi + 6.)
Kcx (4, tz)= J e-('i-v)e-0S-v) dv=^__----.
0
433
Из условия симметрии взаимной корреляционной функции имеем

+	при /2<?1,
-^-(е~№—Z1)—е—(/, + w)	при 4>^.
В установившемся режиме при 4 -> со и t2 -> со предельные значения ста-
тистических характеристик сигнала на выходе равны:
К ах (т)—
в
при	т>0,	I	у
ет	Кха(т>=)	е-т
-g (1—2т)	при	т<0,	J	-g-(l	+	2r)
е-|т|	1
/ПХ(О=1, /<х(т) = (1 + |т1)е—, Dx = *,
при т < О,
при т > О,
где т=/2—4-
Пример 2. К системе автоматического регулирования (см. § 15) с переда-
точной функцией
Ф (s) =	=__________________200(з+1)_________________
w G(s) 0,002s8+0,1224s4+5,J46s8+41,32s2+201s+200
приложена помеха —белый шум с корреляционной функцией Ко(т) = 0,25х
X 10*®6 (т). Определить спектральную плотность и дисперсию сигнала на вы-
ходе системы в установившемся режиме.
Корни характеристического уравнения системы имеют отрицательные дей-
ствительные части (см. пример 2 § 16), поэтому система асимптотически устой-
чива и согласно равенству (14) спектральная плотность сигнала на выходе
системы имеет вид
SA(co) = |0(/co)|2S0(w),
ОО
где SG (со) — 0,25 • 10*® , 6(т)е*^<вт<1т = 0,25-10*® рад2 с. Лмплитудно-фазовая
— ОО
частотная характеристика системы описывается выражением
ф (/ш) =_________________________200(^+1)___________________________
и ’ 0,002 (/о)® + 0,1224 (/со)4 + 5,146 (/со)8 + 41,32 (/со)2 + 201 (/со) + 200 ’
Спектральная плотность сигнала X (/) на выходе равна
о ,.й=___________________0,25 • 10~®-4  104 (1+/со) (1 —/со)____________
х 1 7 | 0,002 (/со)6+0,1224 (/со)4 + 5,146 (/со)8 + 41,32 (/со)2 + 201 (/со) + 200 |2 ~
10*2 (+ш2+1)
| 0,002 (/со)6 + 0,1224 (/со)4+ 5,146 (/со)3 + 41,32 (/со)2+201 (/со) + 200 |2 ’
Дисперсию сигнала на выходе системы определим, воспользовавшись вы-
ражением (48) § 66:
ОО
— оо
10~2 С___________________________(+со2+ 1)__________________________
2л J 10,002(/со)5 + 0,1224 (/со)4+5,146 (/со)8+41,32 (/со)2 + 201 (/со) + 20012
—СО
434
Для вычисления интеграла воспользуемся формулами (18), (33), полученными
10~2
в § 32, тогда ОХ=1(Г8 J6=-^-g5, где^5(/(о) = О- (/to)8+O-(/<о)в+о • (/ш)4-
-1-(/0)2+1,
ht (/о) = 0,002 (/to)5+0,1224 (/to)4 + 5,146 (/со)8+41,32 (/со)2 + 201 (/со) + 200,
откуда Ьо—О, &! = 0, b2 — 0, 63=1, b4— 1
ао=0,002, ах —0,1224, а2 = 5,146, а3=41,32, а4=201, «5=200,
aj а0 О О О
о3 а2 Ci а0 О
а6 й4 а3 а2 Ot
О 0 а6 а4 а3
О 0 0 0 а5
	«1 aQ 0 д3 а2 °i	0 Оо	
°5	а6 а3	^2	— аЪ ^4
	0 0 а6	С1^	
Ci а0 0		01 О0 0
^3 ^2 G1	— С5	^3 а2 G0
О4 Од		^5 ^4 ^2
D,
= о6 {а4 [йз («2«1—а3а0) — а3 (а^—аос5)]—а6 [а2 (а^—а0а3)—с0 (ащ — at+,) |) =
= а., [(а3а4—о2аь) (а,а2 — ава3) — (а^—а^)2] — 200 • 3275;
	bB а0 0 0 0		0 а0 0 0 0	
	bi о2 ох а0 0		0 а2 а0 0	
iv6=	fc2 <?4 а3 а2 <?!		0 а4 а3 ай at	= 0,002-119
	Ь3 0 с6 а4 а3		—1 0 а3 а4 а3	
	Ьц 0 0 0 а5		1 0 0 0 ов	
Ю”2.0,002- 119
2 - 0,002 - 200-3271
0,91 • 10 6 рад2.
2, Прохождение случайного сигнала через линейную импульс-
ную систему. Рассмотрим линейную импульсную стационарную
систему, ко входу которой приложен дискретный случайный сиг-
нал G[n]. Сигнал на выходе этой системы Х[п, е] при нулевых
начальных условиях определяется равенством (см. § 51)
Х[п, е]= J] G[l]k[n-l, е],
/ = 0
(17)
где k [п — 1, е] — весовая функция импульсной системы.
Статистические характеристики случайного процесса Х[п, е]
на выходе системы определяются при любом е по формулам, по-
лученным в § 68. Математическое ожидание случайной функции
(17) при любом OsgeCl равно
М[Х[п, е]] = /их[п, е] = У, tnQ[l\k[n — l, в].	(18)
z=o
Вычитая равенство (18) из равенства (17), получим
Х°[п, е]= Ё G°[Z]fc[n —/, в].	(19)
1 = 0
435
Корреляционная функция случайного сигнала на выходе им-
пульсной системы имеет вид
Кх[п, I, е] = М[Х°[и>	в]] =
г п I	, -1
= М 2 X G°[r]G°[s]fe[n-r, e]k[l-s, е} =
_f=0s=0
= S S s]fe[n-r, e]k[l-s, в].	(20)
r=0 s = 0
Если, в частности, случайная функция, описывающая сигнал на
входе системы G [п], — стационарна, то математическое ожидание
и корреляционная функция сигнала Х[п, е] на выходе системы
определяются по формулам
М[Х[п, в]] = тх 2 /г [/1.-1, в],	(21)
z=o
п I
Кх[п, I, е]= 2 S Kak-s]^[n-r, z]k[l-s, е].	(22)
г—О s~ 0
Введем новые переменные: р = п — г, q — I — s. После подстановки
этих переменных в выражение (20) получим
п I	,
Кх[«, I, е]= 2 S Ko[n-p-l + q]k[p, e]£[Q, е]. (23)
—0 q = О
Устремим переменные п и I к бесконечности таким образом, чтобы
разность п — 1 оставалась конечной. В пределе получим
оо со
Кх[п, I, е] = Кх[п—/, е]=2 У, К0[п — I—p+^]fe[p, е]/г[<?, в],
р—0 ф=0
ИЛИ
оо оо
Кх[г, е] = 2 2 Ко [г-р + q]k [р, е]/г [^, в],	(24)
р=0 9 = 0
где г—/г — I. Из равенства (24) следует, что в установившемся
режиме корреляционная функция случайной функции X [м, в] за-
висит только от разности аргументов, т. е. случайный сигнал на
выходе системы X [п, в] стационарен относительно аргумента п.
Вычислим взаимную корреляционную функцию между случай-
ными функциями на входе и выходе импульсной системы. Имеем
Ках [и, I, eJ = M[G°[n]X°[Z, е]] =
Г	I	~\	1
= /И G°[«]S G°[s]^[^-s, е] = У Koln, s]k[l-s, в].
s=0	J s=0
(25)
436
Аналогично получим
г
Кха[«> I, е] = У, Ка [s, n]k[l — s, е].	(26)
s = 0
Если случайная функция G[n] стационарна, то взаимные корре-
ляционные функции, как и корреляционная функция для уста-
новившегося режима, будут зависеть только от разности аргу-
ментов. Действительно, для случая, если случайный сигнал на
входе системы стационарен, равенство (26) принимает вид
Ках[п, I, е]=	A0[«-s]^[/-s, е].	(27)
s— О
Выполним замену переменной р — 1 — s, в результате получим
Кох\п, I, е]= 2 7<о[п-/+р]Л[р,в].	(28)
р = 0
Устремив в этом выражении п и I к бесконечности так, чтобы
разность п — 1 оставалась конечной, получим
ОО
Кох[п-1, е]= 2 Ko[n-l+p]k[p, е].	(29)
о—О
Обозначая г = п — 1, имеем
ОО
Ыг, е]= 2 /<о[г+р№, е].	(30)
р —0
Аналогично для взаимной корреляционной функции KxoV> е]
найдем
ОО
Kxo[r, е]= J] Ko[r-p]k[p, в].	(31)
р = 0
Таким образом, если к импульсной системе приложена ста-
ционарная функция G[n], то в установившемся режиме сигналы
на входе и выходе системы при значении параметра е = 0 стаци-
онарно связаны, так как из равенства (29) следует, что их взаим-
ная корреляционная функция зависит только от разности аргу-
ментов.
Обозначим через Ф* (/ю, е) амплитудно-фазовую частотную ха-
рактеристику импульсной системы, тогда
Ф* (/'©,	—	е]} = J1, k[p, е]а-^и, '	(32)
р=0
где символ означает операцию дискретного преобразования
Лапласа.
Определим связь между спектральными плотностями сигналов
на входе и выходе устойчивой импульсной системы в установив-
шемся режиме. Умножая обе части равенства (24) на е~/Юг и вы-
437
полнив суммирование по индексу г в бесконечных пределах с уче-
том равенства (4) § 56, получим
$*(©, е) =2 2 5§(©)е-/^“/г[р, e]k[q, е] =
« Sg (©) Ф* (/©, е) Ф* (— /а, б) = Sg (©) | Ф* (/©, 8) |а.	(33)
Дисперсия Z)[X[n, е]] случайного сигнала Х[п, е] в установив-
шемся режиме может быть определена по спектральной плотности
этого сигнала Sx (©, б). Для этого воспользуемся формулой (35)
§ 68. При г —О получим
D[X[n, 8]] = Дх[0, 8]=± J SJ(©)d© =
—Л
л
V 5В(Й)|Ф*(/©, e)|2dffi. (34)
— 31
Умножая обе части равенств (30) и (31) на е'с,г и выполнив сум-
мирование по индексу г в бесконечных пределах, учитывая равен-
ство (38) § 68 найдем выражения для взаимных спектральных плот-
ностей случайных сигналов на входе и выходе импульсной системы:
Sex (и, е)==5В(й)Ф*(—/©, е),	(35)
Sxg(®, е) = Sq (©) Ф* (/©, е).	(36)
Пример 3. Рассмотрим импульсную систему с мгновенными импульсами,
непрерывная часть которой является апериодическим звеном (см. пример 1
§ 56, рис. 162). Пусть ко входу системы приложен стационарный случайный
сигнал с корреляционной функцией Ко(т)=е-К|т| (а>0). Требуется опре-
делить спектральную плотность и дисперсию случайного сигнала X [п, е] на
выходе системы, а также взаимные спектральные плотности сигналов на входе
и выходе этой системы.
Передаточная функция этой импульсной системы (см. § 56) равна
рч
Ф* (<?, е) = --	- е~₽в, р > 0.
еЧ—еР
Определим спектральную плотность случайного сигнала на входе системы.
Используя равенство 32 § 68, получаем
ОО	оо
So (<о)= У, KQ[r]e-j^r= У
Г =— со	г = — со
По формулам (33), (35) и (36) найдем:
Sx (со, e)=So (со, е)|Ф*(/со, е) |2=-------J1	,
(1—2е-асоз<£>4~е 2а)(1—е ₽соз<о4~е~2Р)
с* /- , о*/- чт*/ •- X	(1_е-2а)е-/йе-₽е
Sox (со, e) = So(co, е) Ф* (—/со, е) =------!----------—-------,
(1—2е u cos со 4-е 2а) (е J®—е ₽)
,	с*,-	.ич*,.-	.	(1 —е-га) ejeog-pe
Sxc(co, b) = Sg(co, е)Ф*(/со, е) —---'------— -------------.
(1—2е acos<o4~e 2а) (eJa—е ₽)
1 _е-2а
1 — 2е-а cosco4-е 2а"
438
Из равенства (34) имеем
п 1 С	(1_е-2а)е-2Р8
Dу (е) =	1 ---------------------------—-----------— ®о.
л "л J (1—2e-acoso>+e 2а)(1—2е ₽ cosco+e~2₽)
—л
Для вычисления дисперсии воспользуемся методами теории вычетов. Заме-
тим, что выражение для дисперсии может быть переписано в виде
(1—е-2а)е~2Ре о ____________________________________________
А 8 = 2л Д (е'“ -е~а) (е~^-е~а) (е'“ -е“₽) (е~'“ -е~₽) *
-	— dz
Положим г=е,ю, тогда бйо=-=-. При такой замене переменных интегрирова-
ло
ние по отрезку действительной оси [— л, л] на плоскости q перейдет в инте-
грирование по окружности единичного радиуса на плоскости г:
D (С) (1—е~2а)е~2Ре	С ___________________dz__________________=
х	2л । | —1	—е~а>)(г~1—e““)(z—е~₽)(г-1—е~₽)
(l_e-2aje-2pe о ________________геа+Р dz
2nj	•	(г —е“«) (г — е“) (г—е~₽) (г—е₽) *
| 2 | = 1
Внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет полюсы
г)==е'« и z2=e~₽, поэтому, согласно теореме о вычетах, получим
1~	р~О-
£)у (В) = (1 —е-2“) еа+Ре~2Рв ------------------------- +
х	[ (е-а — еа)(е~“—е~₽) (е~“—е“₽)
е-р	1	е₽(е-“+еР)е_2₽®
+ (е"Р — е«) (е-Р—е₽) (е"Р —е~°) ] ~ (е₽—е~Р) (е₽—е~а) ‘
3. Прохождение случайного сигнала через нелинейное безынер-
ционное звено. Понятие о методе статистической линеаризации.
Простейшими нелинейными звеньями, встречающимися в системах
автоматического регулирования, являются безынерционные нели-
нейные звенья. Такие звенья описываются неслучайной функцией
X = <р (Y), где Y (Z) — случайный сигнал на входе. Если сигнал Y (/)
является случайным, будет случайным и X (/) — сигнал на выходе
звена.
При анализе автоматических систем возникает задача: опре-
делить статистические характеристики сигнала X (t), если из-
вестны статистические характеристики сигнала Y (I). По известной
функции распределения FY(y) или плотности распределения вероят-
ностей fY(y) случайного сигнала Y (Z) одномерная функция рас-
пределения сигнала X (/) на выходе звена может быть найдена по
формуле (см. (32) § 60)
FX(x) = 5 fY(y)dy,	(37)
«>(</)<*
где интегрирование производится по всем отрезкам оси Оу, для
которых выполнено неравенство <р(у)<х. Если функция <р моно-
тонна, то из равенства (35) § 60 получим выражение для плот-
439
пости распределения вероятностей случайного сигнала на выходе
звена в виде

(38)
Математическое ожидание и дисперсия случайной функции X (t)
в этом случае могут быть вычислены по формулам
©О	оо
M[X(0] = mA=5 J xfx(x)dx = \	(39)
— со	— со
©о
Р[Х(/)] = о2а= J (x — mx)2fx(x)dx=>
— со
©о
= J (x-mx)2fY(^(x))\^^-\dx. (40)
— со
Вводя в равенствах (39) и (40) новую переменную у = qr1 (х),
получаем
оо	©о
W = 5 4>(y)f¥(y)dy, ох — 5 ^^-^fv^dy. (41)—(42)
Формулы (41) и (42) являются расчетными для определения
математического ожидания и дисперсии сигнала X (/) на выходе
нелинейного безынерционного
звена, описываемого монотонной
функцией X — q>(Y) по известной
одномерной плотности распределе-
ния вероятностей fY(y) случайно-
го
на
сигнала на входе звена.
Пример 4. Случайный сигнал Y (t)
входе нелинейного звена системы
'а
Рис. 222
автоматического регулирования имеет нормальное одномерное распределение
с математическим ожиданием ту и дисперсией ег2у Найти математическое ожи-
дание и дисперсию случайного сигнала на выходе звена, если это звено опи-
сывается функцией (рис. 221) X(f) = <p(Y (t))=(Y (t))3-.
440
№
а
о
Используя равенство (41), найдем математическое ожидание случайного
сигнала X (I) на выходе звена:
со (v-^y)2
1	f ,	2сф
znv=-----r=- I uAe ‘
X Ру/2л J У
1 С	“*
rft/=-ps=- ' (ayu-j-myjse 2 du
==asyJ8 3osymyJ2+3aym2yJ1+msYJ0,
oo	U«
в-my 1	f	-y,
и=------ , Jb = —== l ufte du,
Oy ’	/2л J
— co
Вычислим интегралы вида Jk. Очевидно, что J2*_j—0 как интеграл от не-
четной функции в симметричных пределах Вычислим теперь интеграл 1^.
Интегрируя по частям, имеем
СО	„ U8,	©О	/ К2 \
'““тк У !,,“_vk У
— СО	— ОО
26—1
/2л
оо	яа
( U2<fe-ne 2 d£i=(2fe-l)J2(fc_1,
ОО
Получили рекуррентное соотношение J2fe = (2fe —1) J2lfe_I). При k=0 получаем
со и1
интеграл Эйлера—Пуассона
У<,=-7^=- ( « 2 du = l.
Отсюда имеем J2k —
— Д (2/г—1), т, е. J0=l, Л=Ь •/<1=3, Л|=15 и окончательно получаем
т~ 1
тх=Золоту-}- тяу
Вычислим дисперсию сигнала на выходе звена. Согласно равенству (41)
имеем
со	(У-ту)2
1	(*	2гг2
w \ (.t/i-3o2ymy-m:y)2e Y dy=
CFv F
*	— OO
~ /ё~ J (ay“3+3oaymyU24-3oym2yn—3a?ymy)2e 2 du =
— oo
= oey Jo+9<j|zm'y J4 + 9c,ytneYJ0+6o2YmYJ6 + 6c|,m‘y/4—&o\,mYJ2+
+ 18a|,/nsyJ8—X^ytn^J^—18a^m|,J1= 15o°y+36a|,m|,+9c^m{.
Пример 5. Случайная функция Y (/) имеет нормальное одномерное распре-
деление с математическим ожиданием tnY и дисперсией с^. Найти математиче-
ское ожидание и дисперсию случайной функции (рис 222): X (/) = ф (Y (/)) =
= a sign Y (/)i
k
441
Математическое ожидание тх и дисперсию asx вычислим, воспользовавшись
равенствами (41) и (42). Имеем
тх
(y—mYf
со---------------
а С ,	2oV ,
—4 signf/e	dy
а „ у 2л J
i	—оэ
CO	«2
a P	””*2"
= J sign (а^ + /?2г)е du,
— 03
У -rnY
где и =------.
°у
mY
Функция sign (ayn + mr) положительна при u>--------- и отрицательна
ay
i
при u<-------, поэтому, воспользовавшись функцией Лапласа Ф(г)=-у=^ х
ау	у 2л
г
X J е 2 du, получим
О
Вычислим начальный момент второго порядка случайной функции X (f);
оо	(.</ — »?у)8	оо (V~mY)2
«2=—±f== f [a sign f/]2 е '20у dy = —fe 2Су dy=a\
avy 2л J	оу у 2л J
1	— оо	—со
тогда
Ч
При приближенных расчетах в теории автоматического регу-
лирования нелинейное звено с нечетной характеристикой <р(Х)
заменяют эквивалентным линейным звеном, преобразующим слу-
чайный сигнал на входе Y (1) — тУ+¥° (/) в случайный сигнал
на выходе Хх(() по формуле
Xl(t) = k1Y°(t) + komY(i)
(43)
таким образом, чтобы случайный сигнал Xr(f) был в некотором
смысле близким к случайной функции X (/) = ср (Y (()) на выходе не-
линейного звена. Коэффициент k0 называется статистическим коэф-
фициентом усиления нелинейного звена по математическому ожи-
данию, a kr —статистическим коэффициентом усиления нелиней-
ного звена по случайной составляющей. Метод приближенной замены
нелинейных характеристик эквивалентными в вероятностном
смысле линейными зависимостями называется методом стати-
стической линеаризации.
442
Для того чтобы вычислить коэффициенты k0 и klt нужно ввести
критерий близости эквивалентного звена и линеаризуемого нели-
нейного звена. Если для эквивалентного линейного звена потре-
бовать, чтобы математическое ожидание и дисперсия сигнала на
его выходе были равны математическому ожиданию и дисперсии
на выходе нелинейного звена, т. е.
М [Х1(/)] = Л4 [X(Z)],	(44)
fl[Xi(Z)b D[X(Z)],	(45)
то, учитывая, что математические ожидания и дисперсии сигна-
лов на выходе нелинейного и эквивалентного линейного звеньев
определяются по формулам
М [Xi (/)] = Л| [komy (Z)4-kxY° (Z)] = komy (Z),	(46)
M[X(/)]= f 4>(y)fy(y,t)dy,	(47)
D [X, (Z)]= M [ktY° (Z)]2 =	(Z),	(48)
[X (/)] = f (<p (y) - mx (Z))2 fy (y, t) dy,	(49)
— OO
из равенств (46) и (48) получим:
m„(Z)	D [X (/)]	<з\
=	(50) —(51)
Коэффициенты k0 и kx можно выбрать также из другого условия
эквивалентности звеньев —минимума дисперсии разности между
процессами Xt(Z) и X (Z), т. е. из условия
М [(X (Z) - Xt (Z))2] = min.	(52)
В этом случае имеем
М[(X (Z) - Xj (Z))2] = М [(X (Z) - komy (t) - kxY° (Z)]2] =
= ZM[(X(Z))2]+^mar (Z) + ^Л1[(УО (Z))2] - 2k0my (Z) /И[Х (Z)] —
- 2kiM[X (Z) Y° (Z)] + 2k^my (t) M[ Y° (Z)] =
= Л1 [(X (Z))2] + klm2Y (Z) + klrt (t) - 2komy (Z) mx (Z) -
-2Mf[X(Z)Ko(/)]. (53)
Значения коэффициентов k0 и kr найдем из условия (52), диф-
ференцируя выражение (53) по и ky и приравнивая производ-
ные нулю:
2£0tfiy (Z) — 2ту (Z) тх (Z) = 0,	(54)
2Z>ioV (Z) - 2М [X (Z) Y° (Z)] = 0.	(55)
443
Окончательно имеем:
k° = 7^t) ’	=------5^0---- ------(OJ •(56)~(57)
Пример 6. Вычислить коэффициенты k0, k'{>, fe'f1 для звена автоматической
системы с нелинейностью вида X—Y3, если на выход этою звена подан
случайный нормально распределенный сигнал с математическим ожиданием ту
и дисперсией оГ!.
Воспользовавшись результатами примера 4, из равенств (50) и (51) полу-
чим:
uv
k° ~	^3ar+mr,
Зоф (5a’r +12osymsv+3mV)
V УY ^-3(5а|,+ 12а|,т|,+3тф).
о2.
Взаимный момент второго порядка случайных процессов X (I) и У® (/) вычислим
по формуле
со	(ff-my)2
Л1[Л(0У®(/)] = —( y4y-mY)e	dy=
uvJ/2ji J х
*	—со
Gy со	_
=	\ (Gyu + my^ue 2 dut
— оо
y^mY п
где	. Далее получим
°Y	t
со	и?
Gy С	9
М [X (t) Y°	\ (ауи+1Пу)зие du =
у 2л •)
— со
= 3<т|,4-3а|,т|,а
Окончательно из равенства (57) имеем
fe^№(y°(0i ^3^y+mV).
ai
Пример 7. Вычислить коэффициенты k0, й(}’> Для звена системы регули-
рования с нелинейностью вида X = asigny, если на вход этого звена воздей-
ствует нормально распределенный случайный сигнал Y (<) с математическим
ожиданием ту и дисперсией
Воспользовавшись результатами примера 5, из равенств (50) и (51) получим:
444
Смешанный момент второго порядка М [ЛУ°] вычислим по формуле
оо	G'~m*)2
М[ХУО]=—f sign у (y—mY)e 2<7у dy=
ovy 2п J
* —со
ту
S?	2аО-----Г"
а С	.	.	—а- , zaaY 2оЬ
—-v___ I sign (avu+mv) Gviie 1 du — r;__l e r
V 2л J 1 Y Y’ Y	к 2л
— co
Коэффициент k'i’ найдем из равенства (57):
ту
У°(0] _	2
1	СуК2л
ЛИТЕРАТУРА
К четвертой части
1.	Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление,
т. П. «Наука», 1964.
2.	Попов Е. П. Динамика систем автоматического регулирования.
ГИТТЛ, 1954.
3.	Пугачев В. С. (редактор). Основы автоматического управления.
Физматгиз, 1963.
4.	С м и р н о в В. И. Курс высшей математики, т. II, ГИТТЛ, 1952.
5.	Солодовников В. В. (редактор). Техническая кибернетика, кн. I.
«Машиностроение», 1967.
6.	Толстов Г. П. Ряды Фурье. Физматгиз, 1960.
7.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Физматгиз, 1962.
8.	X а р к е в и ч А. А. Спектры и анализ. ГИТТЛ, 1957.
К пятой части
1.	Гарднер М. Ф., Бэр нс Дж. Л. Переходные процессы в линейных
системах. Физматгиз, 1961.
2.	Д е ч Г. Руководство к практическому применению преобразования
Лапласа и г-преобразования. «Наука», 1971.
3.	Диткин В. А., Прудников А. П. Операционное исчисление.
«Высшая школа», 1975.
4.	Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному
исчислению. «Высшая школа , 1965.
5.	Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комп-
лексного переменного. «Наука», 1965.
6.	Л е в и н ш т е й н М. Л. Операционное исчисление и его приложения
к задачам электротехники. «Энергия», 1964.
7.	Л у р ь е А. М. Операционное исчисление и его приложения к задачам
механики. Гостехиздат, 1950.
8.	Солодовников В. В. (редактор). Техническая кибернетика, кн. I.
«Машиностроение», 1967.
К шестой части
1.	Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульс-
ного регулирования. «Наука», 1967.
2.	Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. «Наука», 1967.
3.	Катковник В. Я-, Полуэктов Р. А. Многомерные дискретные
системы. «Наука», 1966.
4.	Кузин Л. Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления
Машгиз, 1962.
5.	М а р к у ш е в и ч А. И. Краткий курс теории аналитических функций
«Наука», 1966.
6.	Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. Физматгиз,
1963.
446
К седьмой части
1.	Вентцель Е С. Теория вероятностей. «Наука», 1971.
2.	Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. «Наука», 1969.
3.	Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей. «Наука», 1968.
4.	Пугачев В С. Теория случайных функций и ее применение к зада-
чам автоматического управления. Физматгиз, 1963.
5.	Румшинский Л. 3. Элементы теории вероятностей «Наука», 1976.
6.	Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций.
«Наука», 1968.
7.	Яг лом А. М. Введение в теорию случайных функций. Успехи мате-
матических наук, т VII, вып. 5(51), 1952.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса абсолютной сходимости 114
Автокорреляционная функция 389
Адмитанц системы 76
Алгебраический критерий устойчи-
вости 295
Амплитудно-импульсная модуляция
209
Амплитудно-фазовая частотная харак-
теристика 76, 84, 159, 284
Амплитудно-частотная характеристика
76, 84
Амплитудный частотный спектр 43
Асимптотически устойчивое решение
289
Белый шум 388, 427
-----, пример 411
Биномиальный закон распределения
330, 367
Векторные решетчатые функции 198
Вероятность события 312, 313, 316
Весовая функция 84, 213
Взаимная спектральная плотность 411
Взаимный начальный момент 389
Возбуждающая функция 149
Гармоника 4, 5
Главное значение несобственного ин-
теграла 38
Годограф амплитудно-фазовой час-
тотной характеристики 77,
285
— устойчивых систем, примеры 302
Двустороннее преобразование Лап-
ласа 117
Дельта-функция 61
-----, пример 137
Дискретная случайная величина 323
Дискретное преобразование Лапласа
228, 229, 273, 278
-----Фурье 236
Дискретные случайные функции 418,
419
Дискретный белый шум 427
Дисперсия 354
— комплексной случайной величины
364
— сигнала, пример 434, 438, 440
— случайной функции 386
--------, пример 441
Дифференцирование случайных функ-
ций, пример 399
Дифференцируемая случайная функ-
ция 394
Достоверное событие 306
^?'-преобразование228, 229—233, 240—
254
^-преобразование 255, 257, 259
----, линейность 261
----, примеры 261, 263, 265
----, свойства 261—267
Единичная ступенчатая функция 59,
60
Зависимые события 321
Закон Пуассона 330, 368
— равной вероятности 331, 368
Замкнутая система 89
---- импульсная 210
Изображение функции ПО, 112, 115,
116
----в смысле дискретного преобра-
зования Лапласа 228
—, дифференцирование 133, 134 , 248,
266
—, интегрирование 134, 135, 248
—, начальные значения 135, 251, 267
—, предельное значение 135, 252
—, смещение аргументов 125, 262
—, умножение 130, 245, 263
Импеданц системы 76
Импульсная система 209—213, 284, 285
----, пример 215—217 , 270, 271, 274,
275, 280, 282
----, исследование устойчивости 293
302
Импульсный элемент 210, 213
Интеграл Дюамеля 83
—	Лапласа 112
—	свертки 130
—	Фурье 34, 37
Комплексная амплитуда 27
—	гармоника 27
— проводимость системы 76
— случайная величина 363
----Функция 385
Комплексное сопротивление системы
76
448
Комплексный частотный спектр 43
-------решетчатой функции 238
Коррелированные случайные вели-
чины 361
Корреляционная матрица 362, 385,
401
— теория 384
— функция 386, 419
---, пример 400
Корреляционный момент 364
Конечное пространство элементарных
событий 308
Косинус-преобразование Фурье 36, 37
Коэффициент корреляции 362
Критерии устойчивости 85, 88, 93,
295, 297, 300, 302
Критерий Гурвица 296
•	— Михайлова 88, 298
—	Найквиста 91, 301
—	Шура — Кона 294
—	непрерывности случайной функ-
ции 391
—	сходимости случайной последова-
тельности 380
Математическое ожидание 353, 359
— — комплексной случайной вели-
чины 363
—----------функции 385
---, пример 440, 441
Мгновенная спектральная характерис-
тика 72
Метод гармонической линеаризации
94, 98, 99
—	статистической линеаризации 442
Многомерная импульсная система 210
Начальный момент 354
Невозможное событие 306
Независимые события 321
Некоррелированные случайные ве-
личины 361
----- функции 389
Непрерывная функция 260
Непрерывное пространство элементар-
ных событий 308
Неравенство Бесселя 13
Несмещенная оценка 413
Несовместимые события 307
Несчетное пространство 308
Нормальная система уравнений 197
Нормированная корреляционная функ-
ция 387, 389
—	• частота 380
Нормальное распределение 331, 369
Обратное ^-преобразование 256, 259
—	преобразование Лапласа 111, 119
-----Фурье 45, 121, 236
Объединение событий 308
Оригинал ПО, 135—137, 231
—, начальное значение 135, 252
, предельное значение 136, 252
Основная полоса 232
Оценка корреляционной функции 415
— математического ожидания 413
Параметры предельных циклов 102—
103, 105
Передаточная матрица системы 273
Передаточная функция 155, 158, 159,
268
<	— —, примеры 270, 271
Пересечение событий 308
Переходная функция 81
Периодическая функция 3, 24, 70,
237, 238
Плотность распределения вероятное
тей 327
•-------, примеры 348, 350, 351
--------, свойства 328, 329
Показатель роста 112
-----решетчатой функции 231
Полная группа событий 307
Положительно определенная функция
387
Порядок системы 195
----- нормальной 197
Правила выполнения операций над
событиями 309
--------— —, примеры 310—311
Правило Зо 334
Предел случайной последовательности
379, 380
Преобразование Лапласа НО—113,
120—139, 146—154
— Фурье 39, 46, 120, 121
----- дискретное 235
-----, примеры 48—51
— —, теоремы 47—52
Признак линейной независимости 200
Принцип сложения вероятностей 316
— умножения вероятностей 318
Произведение событий 308
Производная в среднем квадратичес-
ком 393
Пространство элементарных событий
307
Противоположное событие 309
Процесс Винера 400
— регулирования системы 162
--------, примеры 163—166
Прямое ^-преобразование 256, 257
— преобразование Фурье 46
Равенство Ляпунова 14
Равновозможные события 313
Разомкнутая система 89, 210
Разностные уравнения 175—177, 184
190 273	'
-----, примеры 193, 194, 274, 275
Распределение вероятностей 338
— Гаусса 331, 372
449
Реализация случайной функции 382
Решение разностных уравнений 176
--------, системы 195, 196, 288, 289
Решетчатые функции 167 , 259
-----, конечные разности 168, 243
-----линейные зависимые 178
-----независимые 178
-----, определенная сумма 172
-----, первообразная 171
-----, показатель роста 231
-----, примеры 169—170, 173—174,
240, 243
Ряд Фурье 8, 14, 21
-----дискретный 237
-----, примеры 10, 23, 26
-----, теоремы 17, 21
Состоятельная оценка 413
Свертка функций 56, 57
Свертывание функций 56
Свойства дисперсии 358
— классической вероятности 354
— корреляционного момента 360—361,
364—365
— корреляционной функции 386—387,
402
— математического ожидания 356—
360
— плотности распределения 328,341—
344
— спектральной плотности 409—410
— статистической вероятности 312
— функции распределения 324, 339—
340, 343
— характеристической функции 366—
367
Свойство дельта-функции 64
— нормально распределенных слу-
чайных величин 374
Синус-преобразование 36, 37
Системная функция 149
Система разностных уравнений 197,
201
Случайная величина 323
•----, математическое ожидание 353
-----, начальный момент 354
----- непрерывная 326
----- распределенная пр закону рав-
ной вероятности 331
--------------Коши 351
--------------Пуассона 330
----------- биномиальному закону
330
----------- нормальному закону 331
-----, распределение вероятностей 324
-----, — по экспоненциальному за-
кону 334
— функция 382
----- дискретная 428, 429
— —, дифференцирование 393
— —, интегрирование 396
Случайная функция непрерывная 389
•----, сложение 392
----- стационарная 401
Случайное событие 306
Случайные величины 327, 374
— последовательности 418
— функции, линейные операции 392—
399
Смешанные случайные величины 327
Смешанный момент 359
Смещенная дельта-функция 63
Смещенная решетчатая функция 241
События независимые 321
Соответствие «ор игин а л -изобр ажение»
137
-----, примеры 125—130, 133
-----, теоремы 122, 125, 129—131
Спектральная плотность 39
-----мощности 408, 422
-----, примеры 434, 438
— характеристика 39
-----решетчатых функций 236
Спектральное представление 408, 426
Спектр мощности случайной функции
407, 423
Способы исследования устойчивости
предельных циклов 106—108
— определения оригинала по изобра-
жению 140—146, 233—235
-----	------, примеры 143, 145, 234,
235
Среднее квадратическое значение 355
-----отклонение 334, 355
Степенная решетчатая функция, при-
мер 2ч4
Статистическая вероятность события 311
Статистические коэффициенты уси-
ления 442, 444
Стационарная случайная функция 401,
421
--------, примеры 403—40о
Сумма событий 308
Счетное пространство 308
Таблица оригиналов и изображений
139, 255
Телеграфный сигнал 403, 411
Текущая спектральная характеристика
70
Теорема Бернулли Я. 378
—	о коэффициентах Фурье 14
----- плотности распределения веро-
ятностей 345
------ свойствах оригиналов и изобра-
жений 113, 114, 229, 231
-----спектральной характеристике
произведения функций 58
-----средней квадратической по-
грешности 11
-----функциях, преобразуемых по
Лапласу 113, 229, 231
150
Теорема Муавра — Лапласа 380
—	Парсеваля 53
—	Чебышева 377
Условие устойчивости 290, 294, 301
— эргодичности 414
Условия Дирихле 21
Условная вероятность 314, 318
---- статистическая 312
— плотность распределения вероят-
ностен 346
— функция распределения 346
Устойчивая система 85, 289, 290, 294
Устойчивое решение 288
Устойчивые предельные циклы 106
Фазочастотная характеристика сис-
темы 76
Факториальная функция, пример
245, 250
Формирующий элемент 213
Формула Бейеса 320, 347
— обращения 119 , 233, 234
— Парсеваля 55
— полной вероятности 319, 347
Фундаментальная матрица системы 203
— система решений 182, 200
--------, теорема 183
Функция Лапласа 333
— распределения 324—325, 343 344
----, примеры 336, 349, 350
Характеристическая функция 365—
367, 371 -372
Характеристическое уравнение 190
Центрированная случайная величина
355
-----функция 385, 419
— комплексная случайная величина
363
Центральный момент 355
Частота события 311
Частотные характеристики системы
76
--------импульсной 284
Частотный спектр функции 28, 29
Четно-симметричная функция 29
Эквивалентные случайные величины
327
----- события 308
Экспоненциальное распределение 334,
370
Элементарное событие 307
Энергетическая спектральная харак-
теристика 55
Энергетический спектр 32
Эргодическая случайная функция 414,
416, 417, 428
/-преобразование 228
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
К ЗАДАЧАМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ГЛАВА XI. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 34. РЯДЫ ФУРЬЕ ......................................... 3
1. Гармонический анализ (3). 2. Сходимость ряда Фурье (14). 3. Разложение
в интервале (О, п) (21) 4 Функции с периодом Т (24). 5. Комплексная форма
ряда Фурье (27). 6. Понятие о спектрах (28)	к
§ 35. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ....................................   32
1. Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье (32). 2. Комплексная
форма интеграла Фурье (37)
ГЛАВА XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 36. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ...................... 44
1. Прямое и обратное преобразования (44). 2. Спектральные характеристики
суммы, производной и интеграла (47). 3. Спектральная характеристика смещен-
ной функции Смещение спектральной характеристики. Сжатие и растяжение
функции (50). 4. Теорема Парсеваля (53). 5 Умножение спектральных харак-
теристик. Спектральная характеристика произведения двух функций (55)
5 37. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ ...	59
1. Единичиая'ступеичатая функция. Дельта-функция (59). 2. Гармонические ко-
лебания (67)
§ 38. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ВРЕМЕНИ 70
ГЛАВА XIII ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ ............................................. 74
§ 39. СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ В АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. ЧАСТОТ-
НЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ..................................... 74
1. Преобразование линейной системой гармонического входного сигнала. Опре-
деление процесса регулирования (74). 2 Связь между частотными и временными
характеристиками линейной системы (81).
« 40. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙ-
НЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ............................. 85
1. Критерий Михайлова (85). 2. Критерий Найквиста (89)
§ 41.	ПРИБЛИЖЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ
В НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.................. 94
1.	Гармоническая линеаризация нелинейностей (94). 2. Определение парамет-
ров предельных циклов (102). 3. Устойчивость предельных циклов (106)
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
ДЛЯ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ГЛАВА XIV. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ........................ ЦО
§ 42.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА.........................	... .	110
1.	Основные понятия (110). 2. Интеграл Лапласа. Аналитичность изображения
(111). 3. Формула обращения (117). 4. Связь преобразований Фурье и Лапла-
са (120)
§ 43.	СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.................... 122
1.	Линейность преобразования (122). 2. Дифференцирование н интегрирова-
ние оригинала (122). 3. Смещение в области оригиналов и в области изобра-
жений. Изменение масштаба (125). 4. Умножение в комплексной и действитель-
ной областях (130). 5. Дифференцирование и интегрирование изображений
(133). 6. Начальное и предельное значения оригинала (135). 7. Вторая неза-
висимая переменная (137)
« 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ............... 140
§ 45.	РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . .	146
1.	Уравнения с постоянными коэффициентами (146). 2. Уравнения с перемен-
ными коэффициентами (151)
452
ГЛАВА XV. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ АНА-
ЛИЗА НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ...	154
§ 46.	ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИЙ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СИСТЕМЫ............................................. 154
§ 47.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ............ 162
ЧАСТЬ ШЕСТАЯ
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА-
ИССЛЕДОВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ГЛАВА XVI. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
для ОПИСАНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕ-
СКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ......................................   167
§ 48.	РЕШЕТЧАТЫЕ ФУНКЦИИ..................................  167
1.	Определение решетчатой функции (167). 2. Конечные разности решетчатых
функций (168). 3. Суммирование решетчатых функций (171)
§ 49.	РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ................................. 175
1 Основные понятия н определения (175). 2. Линейные разностные уравнения.
Однородные уравнения (177). 3. Линейные неоДнородные^разкостные уравнения.
(184). 4. Разностные уравнения с постоянными коэффициентами (190)
§ 50.	СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ......................... 195
1.	Основные определения (195). 2. Однородные системы линейных разностных
уравнений (198). ‘3. Неоднородные системы линейных разностных уравнений
(201), 4. Линейные системы разностных уравнений с постоянными коэффи-
циентами (205)
§ 51.	УРАВНЕНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУ-
ЛИРОВАНИЯ ................................................. 209
1.	Некоторые сведения об импульсных системах (209). 2. Уравнения импульсных
систем, содержащие суммы решетчатых функций (211). 3. Уравнения импульс-
ных систем в конечных разностях (223)
ГЛАВА XVII. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА.............. 228
§ 52.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ЕГО
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА....................................... 228
1.	Определение дискретного преобразования Лапласа (228). 2. Формула обра-
щения (233). 3. Дискретное преобразование Фурье (235). 4. Дискретный ряд
Фурье (237).
§ 53.	СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.......... 240
1.	Линейность ^-преобразования (240). 2. Смещение в области оригиналов и
в области изображений (240). 3. Изображения конечных разностей и сумм решет-
чатых функций (243). 4. Умножение изображений и оригиналов (245). 5. Диффе-
ренцирование н интегрирование изображений (248). 6. Теоремы о предельных
значениях изображений и оригиналов (251). 7. Сумма квадратов значений
решетчатых функций (253)
§ 54.	СВЯЗЬ МЕЖДУ ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ
ЛАПЛАСА; ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.............................. 255
1.	Связь между ^-преобразованием н преобразованием Лапласа (255). 2. Прямое
^-преобразование (257). 3. Обратное ^-преобразование (259). 4. Связь между
преобразованием Фурье непрерывных и решетчатых функций (259).
§ 55.	СВОЙСТВА ^-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ...........................  261
1.	Линейность преобразования (261). 2. Смещение аргументов изображений
(262). 3. Умножение изображений (263). 4. Дифференцирование изображений
по Лапласу (266). 5. Начальные значения изображений (267)
§ 56.	ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ
ИССЛЕДОВАНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕ-
ГУЛИРОВАНИЯ ............................................... 267
1.	Уравнения импульсных систем в области изображений (267). 2. Использо-
вание дискретного преобразования Лапласа для решения разностных уравне-
ний (273). 3. Применение дискретного преобразования Лапласа для определения
процессов в импульсных системах при типовых воздействиях (278)
ГЛАВА XVIII. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТ-
НЫХ УРАВНЕНИЙ. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬС-
НЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВА-
НИЯ ........................................... 288
§ 57. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ...............	288
1. Основные теоремы об устойчивости решений систем линейных разностных
уравнений (288). 2 Устойчивость систем линейных разностных уравнений
с постоянными коэффициентами (290).
§ 58. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИ-
СТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ...............'...... 293
1. Постановка задачи об исследовании устойчивости импульсных систем (293).
2. Алгебраические критерии устойчивости (294). 3. Исследование устойчи-
вости с помощью принципа аргумента (298). 4. Критерий Найквиста (300)
453
ЧАСТЬ СЕДЬМАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ГЛАВА XIX. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 306
§ 59.	СОБЫТИЕ. КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ 306
1. Основные понятия (306). 2. Алгебра событий (308). 3. Вероятность события
(311). 4. Следствия из аксиом теории вероятностей (316). 5. Условная веро-
ятность. Формула полной вероятности. Формула Бейеса (317). 6. Зависимые и
независимые события (321). 7. Последовательность независимых испытаний (322).
§ 60.	СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ..................................... 323
1.	Определения (323). 2. Функция распределения вероятностей (324). 3. Плот-
ность распределения вероятностей (327). 4. Законы распределения некоторых
случайных величин (330). 5. Функции случайных величин (335).
§ 61.	ВЕКТОРНЫЕ (МНОГОМЕРНЫЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.............	337
1.	Основные определения (337). 2. Функция распределения вероятностей и плот-
ность распределения вероятностей случайного вектора (338). 3. Независимые и
зависимые случайные величины. Условные функции распределения (344).
4.	Неслучайные функции нескольких случайных аргументов (348
§ 62.	ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ (МОМЕНТЫ) СЛУЧАЙНЫХ ВЕ-
ЛИЧИН ....................................................... 352
1.	Основные определения (352). 2. Свойства математического ожидания и дис-
персии (356). 3. Моменты многомерных случайных величин (359). 4. Комплекс-
ные случайные величины (363).
§ 63.	ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ............................ 365
1.	Характеристические функции одномерных случайных величии (365). 2. Ха-
рактеристические функции и числовые характеристики некоторых случайных
величии (367). 3. Характеристические функции векторных случайных величин
(371). 4. Многомерное нормальное распределение и его числовые характеристики
(372).
§ 64.	ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ.......................... 375
1.	Неравенство Чебышева (375). 2. Теорема Чебышева (376). 3. Теорема Я- Бер-
нулли (378). 4. Виды сходимости случайных последовательностей (378). 5. Тео-
рема Муавра—Лапласа (380)
ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ.................. 382
§ 65.	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ................ 382
1.	Понятие случайной функции (382). 2. Основные характеристики случайной
функции (383). 3. Комплексные случайные функции (385). 4. Непрерывность слу-
чайной функции в среднем квадратическом (389). 5. Линейные операции над
случайными функциями (392)
§ 66.	СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ......................... 401
1.	Определения (401). 2. Свойства корреляционной функции стационарной
случайной функции. Стационарно связанные случайные функции (402). 3. При-
меры стационарных случайных функций (403). 4. Спектральное представление
стационарных случайных функций (407)
§ 67.	ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ......................... 412
1.	Оценка математического ожидания (412). 2. Оценка корреляционной функ-
ции (415)
§ 68.	ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ........................... 418
1.	Основные понятия и определения (418). 2. Линейные операции над дискрет-
ными случайными функциями (419). 3. Стационарные дискретные случайные
функции (421). 4. Эргодические дискретные случайные функции (428)
§ 69.	ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ
АНАЛИЗА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ................................ 429
1.	Прохождение случайного сигнала через линейную непрерывную систему
(429). 2. Прохождение случайного сигнала через линейную импульсную си-
стему (435). 3. Прохождение случайного сигнала через нелинейное безынерци-
онное звено. Понятие о методе статистической линеаризации (439)
ЛИТЕРАТУРА.................................................... И6
• ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ....................................... 448

Математические основы теории автоматического
М 34 регулирования, т, II. Изд. 2-е, доп. Под ред. Б. К. Че-
моданова. Учеб, пособие для втузов. М., «Высш,
школа», 1977.
455 с. с ил.
На обороте тит. л. авт.: В. А. Иванов, В. С. Медведев,
Б. К. Чемоданов, А. С. Ющенко.
В книге изложены необходимые сведения нз спектрального анализа и
операционного исчисления. Значительное внимание уделено разностным
уравнениям, описывающим процессы в импульсных автоматических систе-
мах, а также дискретному преобразованию Лапласа. Даны основные све-
дения из теории вероятностей и теории случайных функций. Изложение
вопросов математики сопровождается рассмотрением основных задач тео-
рии автоматического регулирования.
Предназначается для лиц, специализирующихся в области автомати-
ческого регулирования.
20203—266
М-----------
001(01)— 77
35-77
517
Виктор Александрович Иванов, Владимир Степанович Медведев,
Борис Константинович Чемоданов, Аркадий Семенович Ющенко
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ, т. II
Редактор А. И. Селиверстова. Худож. редактор В. И. Пономаренко.
Техник, редактор Л. А. Григорчук. Корректор Г, И. К о с т р и к о в а. Худож-
ник В. И. Казакова.
ИВ № 631
Сдано в набор 20/ХП 1976 г. Подп. к печати 25/Ш—1977 г. Формат бОХЭО’/и. Бум.
тнп. № 3. Объем 28,5 печ. л. 28,5 усл. п. л. 23,97 уч.-нзд. л. Изд. № ФМ—5986. Тираж
20 000 экз. Зак. 965. Цена 1 р. 10 к. План выпуска литературы издательства «Высшая
школа» (вузы и техникумы) па 1977 год. Позиция № 35. Издательство «Высшая шко-
ла». Москва, К-51. Неглннвая ул., д. 29/14
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое
объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Госу-
дарственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли, 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26.