КНИГА
для
УЧАЩИХСЯ
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ
1995


Рецензенты:
кандидат педагогических наук, доцент Б. А. Кордемский учитель школы № 566 Санкт-Петербурга В. И. Рыжик
Лоповок Jl. М.
Л77 Тысяча проблемных задач по математике: Кн. для уча¬
щихся.— М.: Просвещение, 1995.— 239 с.: ил.— ISBN 5-09- 003849-Х.
Сборник содержит задачи проблемного характера по разделам «Алгебра», «Планиметрия», «Стереометрия», «Тригонометрия» школьного курса математики и адресован учащимся, которые интересуются математикой, любят решать занимательные задачи. Книга может быть использована учителем в индивидуальной работе.
_ 4306020000—244 103(03)—95
Уточн. пл., 1995 г., № 126
ББК 22.1
ISBN 5-09-003849-Х
© Лоповок Л. М., 1995


Дорогие друзья!
Эта книга содержит задачи из разных разделов школьного курса математики. Некоторые из эт^х задач похожи на те, которые вы решали или будете решать по школьной программе, но почти в каждой из них есть такой элемент, который делает ее непохожей на известные задачи и, возможно, потребует для решения некоторой сообразительности, смекалки, творческого подхода.
Цель этой книги — расширить ваши возможности в решении задач и тем самым содействовать развитию ваших мыслительных способностей.
Обсудим вопрос: что такое математическая задача?
Математической задачей называют требование осуществить некоторую математическую деятельность в указанных условиях. Обычно в задаче речь идет о нахождении некоторого числа (в частности, длины, площади, объема, меры угла), построении фигуры, установлении рассматриваемой функции и т. п. По характеру вопроса различают задачи на вычисление, на построение, на доказательство, на исследование, на моделирование.
Иногда в условии оговариваются средства выполнения задания. Например, требуется определить сумму tg2 10° + tg2 50° + tg2 70° без использования таблиц или калькулятора. Иногда дается дополнительное условие, которое ограничивает пути выполнения предложенного задания. Приведем пример такого ограничения.
Обычно геометрические построения на плоскости выполняются с помощью односторонней линейки и циркуля. Если об инструментах в условии ничего не сказано, речь идет именно о них. Однако формулировка может быть иной, например: «Дана окружность с известным центром, точки А и В находятся вне окружности. Постройте, пользуясь только циркулем, точки пересечения прямой АВ с данной окружностью».


Ограничение существенно влияет на направленность поиска решения задачи.
По роли, которую играют учебные задачи, их делят на репродуктивные, задачи с известным алгоритмом и проблемные.
Репродуктивные задачи ставят своей целью припомнить то, что вы узнали на предыдущих занятиях. Обычно их предлагают в виде вопросов, например: «Какую форму имеет график квадратичной функции?», «Как формулируется теорема о трех перпендикулярах?», «Чему равна сумма синусов двух углов?» Они важны уже потому, что без знания теоретического материала нельзя приступать к решению поставленной задачи. Задачи репродуктивного характера в некоторой мере помогают вам систематизировать пройденное. Однако, укрепляя память, они совершенно не развивают мышление, поэтому не могут считаться основными.
В задачах второй группы речь идет об использовании вами полученных ранее знаний. При этом общий план решения поставленной задачи ясен, остается только выбрать из числа изученных теорем или формул пригодные для достижения намеченной цели (формулу для решения квадратного уравнения, формулу для вычисления площади, прием разложения на множители и т. п.). Принципиальных трудностей при решении задач второй группы обычно не возникает. Они помогают лучше разобраться в изученном, систематизировать пройденное. При этом они приучают сравнивать возможные пути решения. Так возникают и закрепляются навыки рационального решения задач. Таких задач на уроках математики большинство. Однако задачи с известными алгоритмами не знакомят нас с новыми математическими фактами, с приемами математической деятельности, не способствуют математическому развитию.
Проблемная задача характерна тем, что алгоритм ее решения до начала решения нам неизвестен, трудно даже установить, достаточно ли наших знаний и умений для выполнения задания. Главная задача — открыть способ решения и убедиться в его пригодности. Следует иметь в виду, что определить, является данная задача проблемной или нет, можно только относительно конкретного школьника, только с учетом его знаний и умений в момент постановки задачи. Так, например, если требуется найти площадь треугольника, у которого длины сторон 5, 10, 13, то


для того, кто привык применять только формулу
5=л/р (р — а) (р — Ь){р — с),
«неудобные» числовые данные превращают задачу в проблемную, но для знающего, что
S = -j- д/4а2 b2—(а2 + Ь2 — с2)2, это задача с известным алгоритмом.
Для удобства работы сборник разделен на четыре раздела по характеру задач (алгебра, планиметрия, стереометрия, тригонометрия), причем в каждом своя нумерация. Задачи в каждом разделе разбиты в свою очередь на подгруппы, которые в большинстве случаев озаглавлены. Внутри подгрупп задачи размещены в порядке нарастания сложности решения. В сборнике нет деления упражнений по классам, но задачи размещены в последовательности, которая соответствует действующей школьной программе. В подавляющем большинстве геометрических задач применение тригонометрии не предусматривается.
Почти ко всем задачам в конце книги помещены не только ответы, но и решения или краткие указания к их решению. (Знак • служит для отграничения указаний от ответа.) В тех случаях, когда часть решения чисто техническая (вычисления, очевидные преобразования), эти записи пропущены.
В ряде случаев приведено не единственное решение. Это сделано для демонстрации возможности различных подходов к задаче или для ознакомления с приемами, которые могут оказаться полезными при решении других математических задач. Но, как правило, приводится одно решение, которое заметно лучше другцх возможных. Предполагается, что вы сначала попытаетесь самостоятельно решить задачу и будете смотреть в указания только для сравнения полученного вами результата с ответом или для ознакомления с другими возможными путями решения данной задачи.
В некоторых задачах требуется доказывать свойство или соотношение, которое не входит в школьную программу. Заучивать эти теоремы и формулы не требуется. Однако, если эти результаты могут быть целесообразны при решении последующих задач, в указаниях дается ссылка на соответствующий номер задачи.


Какие именно задачи выбрать, вы решите сами или посоветуетесь с учителем, какая из задач действительно является для вас уместной в конкретной учебной ситуации.
При отборе задач для сборника автор использовал свои задачники, издававшиеся в 1950—1988 гг., материалы математических олимпиад Луганской области, юношеской математической школы при ЛГПИ (1962—1988 гг.), а также задачи ряда зарубежных математических журналов. При окончательной доработке текста автор использовал замечания и пожелания рецензентов Б. А. Кордемского и В. И. Рыжика, что позволило устранить ряд недостатков.
Автор надеется, что книга может принести известную пользу и учителям, желающим повысить свою квалификацию в области решения математических задач, и будущим учителям — студентам физико- математических факультетов.
Желаем успеха!
Автор


1. Вычислите:
666666-666666
1 Н~ 2 —|— 3 —4 —5 —6 —f— 5 —|— 4 —f- 3 —|- 2 —1— 1  777777 -777777
l-l-2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6-f5 + 4 + 3-f 2+1 •
2. Сумма двух натуральных чисел 176. Если в одном зачеркнуть цифру, получится второе. Найдите эти числа.
3. Сумма трех различных натуральных чисел 875. Найдите эти числа, зная, что два из них получаются зачеркиванием у третьего одной цифры.
4. Сумма четырех различных натуральных чисел 357. Найдите эти числа, зная, что три из них получены из четвертого зачеркиванием у него одной цифры.
5. Сумма некоторого числа с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке, равна 1817. Найдите произведение этих чисел.
6. Произведение двух трехзначных чисел 60775. Если в каждом из них зачеркнуть по цифре, произведение станет равным 595. Найдите эти числа.
7. Произведение двух натуральных чисел 29839. Если в большем зачеркнуть одну цифру, получится меньшее. Найдите эти числа.
8. Докажите, что любое натуральное число п, большее 6, можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел.
9. Девятизначное число можно разбить на пятизначное и четырехзначное двумя способами. В одном случае сумма частей равна 45416, а в другом — 51167. Найдите девятизначное число.
10. Пятизначное число можно разбить на трехзначное и двузначное двумя способами. В одном случае произведение частей 10336, а в другом — 4020. Найдите пятизначное число.
11. Произведение пяти последовательных натуральных чисел в 120 раз больше числа АВАВАВ. Найдите названные пять чисел.
12. Произведение трех последовательных нечетных чисел в 5 раз меньше числа БАБАБА. Найдите названные нечетные числа.
13. На циферблате часов в точках III, VI, IX, XII написано по цифре. Идя по ходу часовой стрелки, можно составить из этих цифр две пары двузначных чисел. Произведение одной пары 2795, другой — 1944. Найдите написанные цифры.


14. Если треть числа разделить на его семнадцатую часть, в остатке будет 100. Найдите это число.
15. Можно ли числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 разбить на две группы так, чтобы ни в одной не было трех чисел, одно из которых равно сумме двух других?
16. Сумма 1990 натуральных чисел — нечетное число. Каким числом — четным или нечетным — является произведение этих чисел?4
17. Произведение первой цифры числа на оставшуюся часть 576, а произведение последней цифры числа на оставшуюся часть 384. Найдите это число.
18. Запишите последнюю цифру числа
j 1989 _|_21989_|_ 3*989 | 1Q801989
19. Найдите две последние цифры числа 81989.
20. Найдите четыре последние цифры числа 51989.
56
21. Найдите две последние цифры числа 4 .
22. Докажите, что число 382 + 231 делится на 11 без остатка.
23. Запишите три последние цифры числа
413 + 423 + 433 + ... + 593.
24. Найдите последнюю цифру числа
11+22 + 33 + ... + 19951"5.
25. Может ли число l+2 + 3 + ... + n оканчиваться девяткой?
26. Сумма цифр натурального числа 1997. Может ли это натуральное число оказаться точным квадратом?
27. Верно ли, что каждое из чисел последовательности 16, 1156, 111556, 11115556, ... является точным квадратом?
28. Может ли при каком-нибудь натуральном п число 1978п + 7 оказаться точным квадратом?
29. Докажите, что при любом натуральном п число 2п-\-Зп не является точным квадратом.
30. Верно ли, что при любом натуральном п число 2 + 7” не простое?
31. Можно ли представить число 1000...02 в виде суммы кубов двух натуральных чисел?
32. Три цифры пятизначного числа — четверки. Найдите это число, зная, что оно делится без остатка на 315.
33. Восстановите стертые цифры числа 843..6, зная, что оно делится без остатка на 468.
34. Восстановите стертые цифры числа 42.3.4, зная, что оно делится без остатка на 504.
35. Восстановите стертые цифры числа 3..977., зная, что оно делится без остатка на 792.


36. Найдите трехзначное число, любая натуральная степень которого оканчивается этим же числом.
37. Последняя цифра числа — 4. Если ее зачеркнуть, а затем приписать слева, число увеличится вдвое. Найдите наименьшее из таких чисел.
38. Решите в простых числах уравнение 2x3y7z = z2zyy6.
39. Является ли простым число 323 + 2?
4-0. Какое наибольшее число нулей на конце может иметь число 9п+1 при любом натуральном п?
41. Число написано 99 девятками. Определите сумму цифр квадрата этого числа.
42. Одно число состоит из 100 троек, другое — из 100 шестерок. Определите сумму цифр произведения этих чисел.
43. Найдите четырехзначное число, зная, что оно на цифру сотен меньше квадрата произведения двух последних цифр, а сумма всех цифр его равна квадрату цифры единиц.
44. Даны 400 квадратов со сторонами 1, 2, 3, ..., 400. Как разделить их на две группы, по 200 в каждой, чтобы суммы площадей квадратов в обеих группах были одинаковы?
45. Можно ли разбить числа 1, 2, 3, ..., 30 на 6 групп по 5 так, чтобы в каждой группе одно число было меньше суммы остальных: а) в 4 раза? б) в 3 раза?
46. В числе 10110011100011110000... девяносто цифр. Верно ли, что это число делится на 482?
47. Сколько существует натуральных чисел, каждое из которых превышает сумму своих цифр на произведение этих цифр?
48. Сократите дробь .
49. Решите в простых числах уравнение у-\-1 =х6—-9х4 + 6х2.
50. Докажите, что числа 5х-\-8у и 2х-\-7у кратны 19 при одних и тех же целых значениях х и у.
51. Верно ли, что \/9 + 4 -^/5—^9_4 д/5 = 1?
52. Даны 5 чисел, разность любых двух из которых больше 1. Верно ли, что сумма квадратов этих 5 чисел больше 10?
53. О натуральном числе п известно: 1024<п<2000. Имеются ли среди чисел 2п+1 простые?
54. Решите уравнение
(■ЧЖ'ЧООЧО-ОЧОНг
55. Верно ли, что число 1986-1987-1988* 1989+1 является точным квадратом?


56. а, b, с — целые числа, причем а + 6 + с и а2 + 62 + с2 делятся на простое число р. Докажите, что а4 + Ь4 + с4 тоже делится на это число р.
57. Зная, что х = 9|988 + 2, установите, являются ли взаимно простыми числа хг-\-\ и х2 + 2.
Вычислите простейщим способом (58—71).
58. Vl98819894 + 2-198819882 + 4-19881989- 1 —
-У198819894-2-198819902 + 4 • 19881989 + 3.
2,47374* — (4,947482 — 3,710612)2 7,421221 — (6,184352 — 8.658092)2 '
60. 1,23454 + 0.76554 - 1,23453 • 0,76552 - 1,23452 • 0,76553 +
+ 4,938-3,062.
61. 0,347823 + 0,652183 + 3 (0,347823 • 0,65218 + 0,34782 X X 0,652183)+6 (0,347823 • 0,652182 + 0,347822 • 0,652183).
62. (5,54273 + 2,14273 + 2 • 5,5427 • 3,8427 • 2,1427): (5,54272 +
+ 2.14272).
63. (0.854264 + 0,145744 + 1,70852 • 0,29148 - 1): (0,85426 X X 0,14574)2.
fi4 24,1723 + 25,1723 - 25,6723 + 26,1723 + 27,1723
24,1722 + 25,1722 — 3 • 25,6722 + 26,1722 + 27,1722 '
65. 98765412 • 98765416 • 98765418 • 98765422 — 98765413 X X 98765415•98765419•98765421 + 6•98765411•98765423.
66. (37062833 + 37062813 + 21694293 + 21694273):(37062832 +
+ 21694272 + 15368533 + 3).
67. 987654329 • 987654326 • 987654324 • 987654321 — 987654328 X X 987654327 • 987654323 • 987654322 + 1975308649 • 1975308651.
68. (876543222•876543221•876543219•876543218 -
- 876543216•876543215•876543213•876543212): (17530864392 +
+ 17530864362 + 175308644272).
69. (1,23194 + 0,76814 + 1,23193 • 0,7681 + 1,2319 • 0,76813 — -2,2319-1,7681):0,46382.
70. (2268056•4536111•6804166 + 2268054•4536109•6804164):
: (22680532 + 45361112).
71. (2386159•4772317•7158475•9544633 — 2386157•4772315 X X 7158473 • 9544631): (23861572 + 23861592 + 71584732 + 71584752).
72. Делится ли 262+ 1 на 23|+2|6+1?
73. Если а, Ь, с, d — действительные положительные числа и a4 -\-b4 -\-с4 -\-d4 — \abcd,то a = b = c = d. Докажите.
74. Верно ли, что - - , - ■■■■+ г, гт,—h г~, =1, если
r 1 -\-a-\-ab 1 -\-b-\-bc 1 +с-\-са
abc—\ и ни один из знаменателей не равен нулю?


75. Верно ли, что -+-p" + “r^a + ^ + ^i если abc= 1?
76. Известно, что а-\-Ь + с = 0. Докажите, что:
*> 2^+2^+2?Т^= *’ еСЛИ НИ °ДИН И3 ЗНамеНаТелеЙ
не равен нулю;
2) а3 + 63 + с3 = ЗаЬс;
3) а'4 -}- ft4 -}- с4 = 2 (а2Ь2-\-а2с2 -\-Ь2с2) = 2 (а6 + ас + 6с)2 =
_2^ а2+&2+с'2 ^2.
а5 + *5 + с5 _ а:, + *3 + с3 а2 + й2 + с2 .
' 5 3 ' 2 ’
сч а3 + 63-}-с3 а4 + 64 + с4 а7-{-Ь7 + с7
' 3 ' 4 ~ 14
77. Если x2 — yz=a, y2 — xz = b1 z2 — xy = c, то ax + fe(/.-f^z = = (a + ft + c) (* + y + z). Докажите.
78. Докажите справедливость равенств при афЬ,
n (* — a)(* — ft) ■ (х —А)(дс —с) . (* —6)(* —с) 1.
; ■ (с — а)(с — 6) ^ (b-a)(b-c) “И (a-6)(a-c) оч a2 (x — b)(x— с) . fr2(x — fl)(* — с) . c2(x — a){x — b)_ 2.
(а — 6) (а — с) (b—a)(b — c) (с — а) (с — 6) ’
оч afr (х-fa) (х + б) . ас (лс + а) (дс-f с) ■ 6с (* + с)
* (a — c)(b — c) (a — b)(c — b) (Ь—а)(с — а)
=х24~х (a-\-b-\-c)-\-ab-\-ac-\-bc.
79. Докажите, что если среди чисел a, 6, с, d нет равных, то
(х — а)(х — Ь)(х — с) . (х — а)(х — b)(x — d) , (х — а)(х — с)(х — d) ,
(d — a)(d — b)(d — c) (c — a)(c — b)(c — d) (b — a)(b — c)(b—d)
■ (jc — 6) (jc — c) (x — d) |
(a — b)(a — c)(a — d)
80. Найдите все целые x, при которых выражение х4 + 4х3 + + 6х2 + 4х + 5 равно простому числу.
81. Проверьте справедливость равенств:
1) 	(a -f Ь + с)3 = (а + Ь — с)3 + (а + с — bf + (b + с — af + 24 abc\
2) vw
82. При л = 1, 2, 3, 4, 5, 6 выражение 2n+1 +3П равно простому числу. Верно ли, что выражение 2rt+1+3rt равно простому числу при любом натуральном п?
83. Эйлер установил, что 232+ 1 делится на 641 без остатка. Сможете ли вы доказать это, не вычисляя 232?
84. Не вычисляя 224, докажите, что число 224+ 1 делится на 97 без остатка.


85. Может ли квадратный трехчлен иметь одинаковые значения при трех различных значениях переменной?
86. Верно ли, что дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами не может равняться 35?
87. Докажите, что сумма квадратов 1988 последовательных натуральных чисел не является точным квадратом.
88. Решите уравнение
2128_297 + 2зз_ ! =(3.5.17.257 (216+ I))3 641*.
89. Найдите все простые числа, каждое из которых равно разности кубов двух простых чисел.
90. Найдите все простые числа х и у, такие, что ху-\-ух — простое число.
91. Найдите все целые значения х, при которых значение выражения равно простому числу:
а) 2х2 — х — 36; б) х4-\-2х2 — х-\-2.
92. Докажите, что ни при каком целом значении х число х2 — Зх + 7 не делится на 361.
93. Найдите все простые р, при которых число р3 + р2+ 11р + 2 простое.
94. Разложите на множители многочлен
(а3 + b3+ с3) abc — (а3Ь3 + а3 с3 + b3с3).
95. Упростите кратчайшим путем выражение (.х-\-а-\-Ь-\-с)3 — — (х + а + Ь)3 — (х + а + с)3 — (х + b + с)3 — {а + Ь + с)3 + С* + аТ +
+ (х -j- b)3 + (х + с)3 + (а + bf + (а + с)3 + (Ь + с)3 — х3 — сг — Ь3 — с3.
96. Докажите, что {a-\-b-\-cf — (а + &)4 — (а-\-с)4 — (Ь-\-с)4-\- -\-а4-\-Ь4-\-с4 = \2abc (а + 6 + с).
97. Разложите на множители следующие многочлены:
1) а (Ь2 — с2)-\-Ь {с2 — а2)-\-с (а2 — Ь2)\
2) (a-b)3+(b-cf + (c-af;
3) {a — b)(a + b)24-(b — c)(b + c)2 + (c — a)(c-j-a)2;
4) a (6 + с — а) -\-b (а-\-с — Ь)2-\-с (а-\-Ь — с)^-\-(b-\-c — а) (а-\- -\-c — b)(a + b — c);
5) а(Ь — с)3-\-Ь (с — а)3 + с(а — Ь)3\
6) а (Ь-\-с) (Ь2 — с2)-\-Ь (с-\-а) (с2 — а2)-\-с (а+ 6) (а2 — Ь2)\
7) (а — Ь){а-\-Ь)3-\-{Ь — с) (Ь -\-с)3 -\-(с— а) (с-{-а)3;
8) (a — bf+{b — cf + (c — af;
9) (a + b + cf-cf-b^-c5;
10) (a + b + c)b — (a + b — cf—(a-\-c — bf—{b-\-c — af\
11) (a — b)(a + bf+(b — с) (b + с)4 + (с — а) (с + а)4;
12) a3b3 (a — b) + b3r (b — c) + c3a3 (c — a);
13) a4 (b — c)-\-b4 (c — a) + c4 (a — b).
98. Верно ли, что при любом четном х число х8 + 9л:5 + 8л:2 делится на 288?
99. Докажите, что при любом натуральном п число (п + 1) (я+2) (я + 3)...(я + я) делится на 2П, но не делится на 2n+l.


100. При каких а и Ь многочлен х4-)-х3-\-ах2-\-Зх-±-Ь является точным квадратом?
101. Рациональным или иррациональным числом является сумма:
а) 10-1 + 10~4+10-9+10~16 + ...; б) 2“4+-2“9+2"16-+-..-?'
102. 	Докажите, что:
а) (ах2Ьхс) (сх2 -{-Ьх-\~а)'^(а-\-Ь-\-с)2 х2 при а, fr, с, х>0;
б) -П2-+'тк+Т5г+-+2о5ог<0’1;
V 3 _ , 1,1 1 | 1 ^ 3
в> т<1-т+т-т+^--<--
103. Что больше: Уа+ 1 +-уа+-\/в-{-1 или 1 -+-Уа?
104. Что больше: 27lg64 или 4lg 19683?
105. Докажите, что при положительных а, b, сг сумма которых равна 1,
У4а + 1 +л/46 + 1 +У4с-И<5.
106. Докажите, что при положительных аг Ьг с
У^+УЗь+Vi
19
а-|-6 9 ‘
107. Сравните числовые выражения без помощи, калькуляторов, логарифмов и таблиц:
а) д/бб и л/7+л/зо; б) л/б"+У1г и 2 У^-ьУТо!
у л/2 . VI2 . УЗО л/6 , л/20 | л/42 .
> 3 7 11 5 ^ 9 ^ 13 ’
г) У4 + У9 + УТ6 и Уб+У8 + У12;'
д> V2^7 и Уз75; е) л/2^ И д/З^;
ж) x=w(1+T+T+-+w) и {/=Ш»(1+Т+Т+
1989 ) '
108. Сравните значения выражений А и В при положительйых а, 6, с, d:
12
А=-
л/о~\Jb ~\fc ~\[d
л/а-ЬУ& л/^+л/с Уа+У5


109. Докажите, что при любом натуральном п и действительном х
х2п±х2п~' +x2"_2±x2"_3 + ... + x2±JC+ 1 >0,5.
110. Докажите, что при положительных а, Ь, с
П1. х= ! 1 ! I - i- +
1V2 + 2VT 2V3 + 3i/2 3V4 + 4V3
, 1 j-t 43 , ^,44
1 . Докажите, что -Т7<х<~
1990VT99T+1991V1990 ' ’44 45 *
112. Докажите, что длины сторон треугольника связаны неравенством
^Ja + b + c — 2 -yJab + ac+-\/a + b + c — 2 ~^/ab-\-bc +
”hЛ/а-\-bс — 2~\jac-\-bc~<СЛ[а + л[Ь -f-л[с.
113. Сумма девяти натуральных чисел, среди которых нет равных, равна 200. Верно ли, что из них можно выбрать четыре таких, сумма которых больше 100?
114. Если а, Ь, с — положительные числа, причем а-\-Ь-\-с = = аЬс = агу то при натуральном п сумма а2п + b + с2п не меньше 3rt+1. Докажите.
115. Докажите неравенства:
a) 	lg2 9 + lg2 11 > lg 98; б) lg2 7 + lg2 29> 2 + lg 4.
116. Существует ли целое число, 58-я степень которого содержит 63 цифры?
117. Числа 21993 и 51993 записаны в строчку одно за другим. Определите количество цифр в написанном таким образом числе.
118. Сумма группы натуральных чисел равна 100. Какое наибольшее значение может иметь произведение этих натуральных чисел?
119. Произведение натуральных чисел, сумма которых 65, оканчивается двумя нулями. Какое наибольшее значение может иметь произведение этих натуральных чисел?
120. Найдите четырехзначное простое число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.
121. Могут ли числа 1, i/2, -д/З быть членами одной арифметической прогрессии? А геометрической?
122. Все члены арифметической прогрессии — натуральные числа. Докажите, что среди них найдется такое число, в записи которого имеется хоть один нуль.


123. Цифры трехзначного числа образуют арифметическую прогрессию. Если к нему прибавить 990, получится число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Найдите это трехзначное число.
124. Сумма номеров домов на одной стороне квартала 247. Найдите номер дома, седьмого от угла.
125. Цифры каждого из трех трехзначных чисел составляют арифметическую прогрессию, сумма этих чисел 750. Найдите трехзначные числа.
126. Верно ли, что
1 + 1+2 + 1+2 + 3 + '" + 1+2 + 3 + .. . + 1990
127. Найдите сумму 20 членов последовательности
A+A+A+i!+
2 4 8 16 '
128. Заполните пустые клетки таблицы так, чтобы числа в каждой строке и в каждом столбце составляли арифметические прогрессии.
21
16
27
1
129. 	Заполните пустые клетки таблицы так, чтобы числа в каждой строке и в каждом столбце составляли геометрические прогрессии.
27
36
6
8


130. Найдите 16 натуральных чисел, составляющих геометрическую прогрессию, причем первые 4 — восьмизначные, следующие 5 — девятизначные, затем идут 4 десятизначных и 3 одиннадцатизначных.
131. Докажите, что функция f (х) периодическая, если при всех допустимых действительных значениях х и афО выполняется условие:
а). /(* + «> = -£}§: б) № + <•) = .
132. Известно, что Ф (х -f 1) + Ф (х — 1) = ■• Ф (х) при всех допустимых действительных значениях х. Периодична ли функция
Ф (х)?
133. Можно ли на графиках функций у = х2 и у = х2 — 5 отметить соответственно такие точки А и В, чтобы длина отрезка АВ была меньше 0,01? (Графики расположены в одной системе координат.)
134. [а]— целая часть числа а. Какие значения может прини-
-~J ? (См. указание к задаче 145.)
135. Рациональным или иррациональным является число: a) lg 2; б) log3 7; в) 0,12345678910111213...; г) Узд/зуз...?
136. Найдите сумму бесконечной числовой последовательности:
а) Т+Т+Т+Т?+А+";
б) й + 2а2 + За3 + 4а4 + -.- при |а|<1;
в) а+За2 + 5а3 + 7а4 + ... при | а[ С 1;
г) а — 2а2Ь-\-2>а3Ь2 — 4а4Ь3 + -.. при |а6|<1.
137. Найдите 5 чисел, у которых попарные суммы равны 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 18.
138. Найдите 5 чисел, у которых попарные произведения равны 6, 10, 12, 15, 18, 27, 30, 45, 54.
* on п ^ 27х3 + 6л:2 — 37х + 4
139. При каких целых значениях х дробь 0_ 3 ■ - 2——
27 х —21 х .— 70л:-}-о
можно сократить на 1988?
140. Найдите 4 числа, каждое из которых на 210 меньше произведения трех остальных.
141. Решите уравнения:
a) 	jc2 — 4=У* + 4; ■ б) х2 — 7х — 4 У* + 2+3 = 0;
мать функция Ф (лг) =х— [-§-]— ["§"] — [


В) *2-5х + 6л/*+1=6; г) 64-10*= 125.2х*;
д) 	390625• 2*3 = 1О2*2; е) 5х— 1 =2*+' (1 + 2*“');
х х— 1 х — 2 х — 3 х — 4
Ж' 7+1 х + 2 х + 3 лг + 4 ’
ч 1 1 I 1 1 1 I 1 1 I 1 — О*
' х 1+* + 2+* 3 + * 4 + JC * 5+х б + лг^+л: ’
V *2 + 6*+12 *2 + 8* + 20 _ *2+10л: + 30 *2+12*+42
' * + 3 jc + 4 х + 5 х 6
ч х 2х 1
К' 2х2 —Зл:-|-2 2х2-\-х-\-2 6 ’
у 1 . 18 18 _п.
' х2 -\-2х — 3 ' *2 + 2*+2 х2 + 2х+1
м) (х + 1) (х + 3) (х -f- 4) = (х 1 )2-f-(х + 2)2 + (х + З)2 -f- (х ■+■ 4)2;
н) -\/х + д/х —-5 — 2 д/х2 —5х = 2х —25; о) х2-\- 9* ,, = 40;
п) (V9 + 4 д/5)х+(У9-4 л/5)х=322; р) ^4—^Ч~л/^—3=1.
142. Решите уравнение л:3 — Зх2— х + а = 0, зная, что его корни образуют арифметическую прогрессию.
143. р — корень уравнения х2 —5х + 5 = 0. Вычислите значение выражения р4 — 75р + 75.
144. Найдите действительные корни уравнения:
а) (2х2 — 5х + З)8+(2х2+х—6)2 (2х2 — 5х+З)2+(2х2-\-х — б)6=0;
б) 4 д/х2 — 24 + 3 д/х2— 21 +2 д/х2— 16+д/х2— 9=-^_ ;
в) д/32-х + 2 д/23-х + 3 д/16-х+4д/8-х = 4х-2;
г) (x + i/)2 = 3(x+l)(i/—1).
145. Решите уравнение:
а) х3— 7 [х]—3 = 0; б) х4-2х2 + 5 [х]—6=0.
Указание. Здесь [х] — целая часть числа х, например [6,7]=6; [—1,3]=—2.
146. Решите уравнение
|х-2||х + 3||х + 6| = |х+1||х + 4||х + 9|.
147. Решите в целых числах уравнение:
а) 2х2 + 9у2 — 8ху — 3у = 0\ б) 2х2—1=2ху\
в) ху + х + -|-= 1988; г) 2х2 + 8*/2= 17x^ + 407;
д) 2у2-\- 13= 1 \ху— 15х2.


148. 	Решите систему уравнений:
а) 	({x-\-yf—х5—у5 =210,
v (х ~hy)3 —х3—У3 —18;
в) 	( 2xy—z=z3,
J 2xz—y=y3,
^2 yz — ';
.3.
Д) ( U-H/)2=z2+4,
J (y+zf=x*+9, |(z-M);=y4-36;
Ж)
и)
[ *(т+т)-45-
«(f+fH0- -•( f-ь) ■,:1'
2z?
\+x2
--y\
л)
</2+^H- t2 +x2 —4,
tp- 2^ Y^
f+fr+f+*-=4.
x + t/ + z + *=12;
С
6) 	(xy=x-\-2y, yz=y-\-Zzr zx=z-\-4x;
r)
^ 15,
х+У
-f-=12,
</ + z
X + Z
=20;
{I
e) 	((y—zf-\-8=x2, (z—x)2+l6=y2, (x—(/)+32=z2;
з)
y2z~jQ=xyz, z2x—]—=xyz,
x2y+-jr-=xyz\
K) f X==x(^+y) г=т(/+т):
M) (JC3—£/=24,
{
y—z=24, -x = 24.
149. Решите систему уравнений:
а) 	Г x2+у -Jxy = 72, б) fxy2— 18 = 2w2—Зх,
\y2+x^y = 36; \Зху-24 = 6у-5х;
в) 	Г 1 Ох — Зу + бху = 47,
I 8х + Зг/ — 6xt/2 = — 65.
150. Найдите действительные корни системы уравнений
(х2—4у=— 7,
\у2 +2х=2.
х4 -4- 1 41
151. 	Решите уравнение —.
х(х2+1) 15


152. Каждый член числовой последовательности, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов. Произведение первых 10 членов равно 18, а произведение первых 20 членов равно 12. Найдите произведение первых 75 членов последовательности.
153. Слова АКТ, УТРО, КОМАР соответственно означают квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 9128931?
154. Слова АКР, БАРС, БЕЛКА соответственно означают квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 19128761?
155. Слова АКТ, КРОВ, ТАЛАНТ соответственно означают квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 93015823?
156. Слова РИК, ОКРИК, СТАРИК означают соответственно квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 960591623950?
157. Сколько существует натуральных чисел, каждое из которых превышает произведение своих цифр на их сумму?
158. Верно ли, что среди 12 последовательных натуральных чисел п, /1+1, /г + 2, /г + 3, ..., /1+11 (/г >10) не менее 8 составных?
159. Произведение четырех последовательных нечетных чисел оканчивается девяткой. Найдите предпоследнюю цифру произведения.
160. Записан первый миллиард натуральных чисел. Какая цифра использована больше каждой из остальных?
161. Сколько натуральных чисел, не превышающих тысячи, в записи которых цифра 9 использована хоть один раз?
162. От двух кусков сплавов с различным содержанием свинца массой 6 кг и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый
из отрезанных кусков сплавили с остатком другого сплава, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы отрезанных кусков?
163. 	В трех семьях мужья на 3 года старше своих жен. Известно, что Николай на 3 года моложе
§ Надежды, Федору и Марии вместе
56 лет, а Степану и Елене вместе 50 лет. Кто на ком женат?
164. 	В трех семьях мужья стар- I 1 ше своих жен на 3 года. Борис
моложе Дарьи на 2 года, Василий Ш Ш и Татьяна — ровесники. Возрасты


Андрея и Марии — точные квадраты. Произведение возрастов Семена и Дарьи — нечетное число. Андрею и Варваре вместе 58 лет, а Борису и Марии вместе 52 года, Семен, Варвара и Мария окончили школу в одном году. Кто на ком женат?
165. Три супружеские пары покупали вещи на ярмарке. Каждый из этих шести лиц уплатил за каждую купленную вещь столько рублей, сколько вещей купил. При этом каждый муж истратил на 45 рублей меньше своей жены. Известно, что Николай купил на 17 вещей меньше Анны, Петр — на 7 вещей меньше Надежды. Сколько вещей купил Василий? Сколько вещей купила Галина? Кто на ком был женат?
166. Мальчики спорили о длине трубы, которую трактор тянул на полозьях. Чтобы выяснить, кто прав, мальчик с длиной шага 0,75 м пошел вдоль трубы. Когда он шел в направлении движения трактора, то сделал вдоль трубы 120 шагов. В другом направлении он сделал вдоль трубы 30 шагов. Какова длина трубы?
167. Найдите наименьшее натуральное число, половина которого — точный квадрат, треть — точный куб, а пятая часть — точная пятая степень натурального числа.
168. У Нины дома большой живой уголок. Однажды она подошла с мешочком орехов к клетке бурундука, взяла себе оре-


шек, а четверть остатка отсыпала бурундуку. Затем она так же поступала у клетки белок и у клетки морских свинок. Оставшиеся орехи она разделила поровну между четырьмя попугаями. Какое наименьшее число орехов могло быть в мешочке Нины вначале?
169. В классе 33 ученика, всем им вместе 430 лет. Докажите, что в классе найдутся 20 учеников, которым вместе не менее 260 лет.
170. Пловец потерял под мостом флягу, но заметил это только через 3 мин. Повернув назад, он догнал флягу в 100 м от моста. Определите скорость течения на этом участке реки.
171. Скорость течения от Л до В составляет 3 км/ч, а от В до С — 1 км/ч, ЛВ = 14 км, ВС= 15 км. Катер плыл от Л до С на час меньше, чем от С до Л. Определите собственную скорость катера.
172. Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг
другу два велосипедиста и встретились в 70 км от А. В конечных
пунктах они отдыхали по часу и выехали назад с прежними скоростями. Вторая встреча состоялась в 40 км от А. Найдите расстояние от Л до В.
173. 	Окунь вызвал карася на состязание в скорости плавания. Хитрый карась предложил окуню проплыть от коряги до моста, тот
затратил на это 12г5 с. Карась про¬
плыл за такое же время от моста до коряги и заявил, что состязание окончилось вничью. Однако арбитр состязания сом предложил каждому из них проплыть ту же дистанцию в обратном направлении. На этот раз окунь затратил всего 10 с. Считая, что собственная скорость каждого пловца была оба раза одинаковой, определите, сколько времени карась плыл от коряги до моста.
174. Два ежа устроили состязание по скоростному бегу. Первый на своем пути не встретил никаких препятствий, а на пути второго оказались две огромные черепахи, и он, не сворачивая, побежал по их спинам. Одна черепаха длиной 1 м двигалась ему навстречу со скоростью 6 см/мин, другая длиной 0,5 м двигалась со скоростью 16 см/мин в том же направлении, что и еж. Оба ежа затратили на пробег одинаковое время. Кто из них был лучшим бегуном?
175. Из пункта Л в пункт В, до которого 30 км, в полдень отплыли катер и плот. Достигнув В, катер, собственная скорость которого равнялась 15 км/ч, сразу поплыл назад и встретил плот в 10 км от Л. В котором часу катер вернулся в Л?


176. По одной дороге в одном направлении движутся пешеход, велосипедист и мотоциклист. Когда велосипедист догнал пешехода, мотоциклист был позади на 18 км. Когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист был впереди на 8 км. На каком расстоянии от пешехода был велосипедист в тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста?
177. Пункт М находится между пристанями А и В на равных расстояниях от них. Из А и В и из В в А одновременно вышли два катера с собственными скоростями по 18 км/ч. Когда первый поровнялся с М, второй был в 8 км от М. Когда второй поров- нялся с М, расстояние между катерами было 10 км. Найдите скорость течения.
178. В полдень два судна и порт, в направлении которого они движутся с постоянными скоростями, находились в вершинах равностороннего треугольника. После того как первое судно прошло 90 км, судна и порт оказались в вершинах прямоугольного треугольника. Когда второе судно прибыло в порт, первому оставалось плыть еще 84 км. Найдите расстояние между судами в полдень.
179. Из А и В одновременно выехали навстречу один другому велосипедист и мотоциклист, они встретились в 2 ч дня. Если бы
А 30 км &


скорость велосипедиста была вдвое больше, они встретились бы в половине второго. Если бы скорость мотоциклиста была вдвое больше, они встретились бы в 12 мин второго. В котором часу они выехали?
180. Из А и В одновременно выехали навстречу один другому велосипедист и мотоциклист, встреча состоялась в полдень. Если бы скорость велосипедиста была на 50% больше, они встретились бы на 11 мин раньше. Если бы скорость мотоциклиста была на 50% больше, они встретились бы в 33 мин двенадцатого. В котором часу они выехали?
181. Два приятели собрались на охоту. Их дома отстоят от базы на 18 км и 33 км, причем первый живет между базой и домом второго. Они отправились одновременно: сначала навстречу друг другу (первый на своей машине, второй пешком). После того как приятели встретились, они ехали к базе на машине. Всего они добирались до базы час. Если бы второй вышел на час раньше, они встретились бы в 6 км от дома второго. Определите скорость движения машины.
182. Из пунктов А к В одновременно вышли двое и встретились в полдень в пункте М. Если бы первый вышел на 30 мин раньше, а второй на 30 мин позже, они встретились бы в 6 мин первого. Если бы первый вышел на 30 мин позже, а второй на 30 мин раньше, они встретились бы в 2400 м от М. Найдите скорости пешеходов.
183. В полдень в 210 км от Л, куда направлялся автобус, он догнал группу туристов, которые шли по той же дороге со скоростью 5 км/ч. Через 3 ч он встретил мотоциклиста, ехавшего со скоростью 30 км/ч. Второй автобус, ехавший следом за первым с такой же скоростью, догнал туристов в 2 ч дня, а мотоциклиста встретил за 36 мин до того, как проехал столб 80-го километра. На сколько километров второй автобус отставал от первого?
184. Напишите как можно большее натуральное число, у которого последовательные попарные суммы соседних цифр образуют геометрическую прогрессию.


185. Найдите нечетное натуральное число, меньшее 10 000, которое при делении на 3, 7, 8, 9, И, 13 дает равные остатки.
186. Найдите трехзначное число, которое в 5 раз больше произведения своих цифр.
187. Найдите число, которое меньше 1993 на сумму своих цифр.
188. Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, причем сумма его цифр равна квадрату цифры единиц, а цифра десятков наибольшая.
189. К пятизначному числу можно приписать одну и ту же цифру либо в начале, либо в конце. Одно из полученных таким образом чисел в 4 раза больше другого. Найдите такие пятизначные числа.
190. Возраст одного человека в 1990 г. был равен произведению цифр его года рождения. В каком году он родился?
191. Возраст одного человека в 1963 г. равнялся произведению цифр его года рождения. В каком году он родился?
192. Возраст одного человека в 1986 г. был вдвое больше произведения цифр его года рождения. В каком году он родился?
193. Квадрат натурального числа, увеличенный на 5, при делении на 161 дает неполное частное от деления названного натурального числа на 4. Найдите это натуральное число.
194. Квадрат натурального числа, увеличенный на 2, в 201 раз больше неполного частного деления этого числа на 4. Найдите названное натуральное число.
195. Докажите, что из любых 502 натуральных чисел можно выбрать два таких, у которых либо сумма, либо разность делится на 1000.
196. Найдите последнюю цифру суммы квадратов первых 3 456 789 членов арифметической прогрессии 2, 5, 8, ....
197. Найдите геометрическую прогрессию, зная, что ее сумма без первого члена 1530, без последнего члена 765, а без первых двух и без двух последних 372.
198. На двух скамейках сидят по 6 ребят. Все они разного возраста, никому из них еще нет 16 лет. Суммы возрастов ребят (в целых числах) на обеих скамейках одинаковы, одинаковы и произведения их возрастов.
Сидят ли на одной скамейке те, кому 15 и 14 лет?
оАгЧоДА


199. На двух скамейках сидят по 6 детей, все они разного возраста, суммы возрастов детей на этих скамейках одинаковы, равны и произведения возрастов. Зная, что никто из этих 12 человек не окончил школу, определите возраст каждого из них. Какой возраст у детей, сидящих на одной скамейке с теми, кому 16 лет?
200. На двух скамейках сидят по 8 юношей и мальчиков, самому старшему из них 20 лет. Возрасты всех их различны, суммы возрастов сидящих на скамейках одинаковы, одинаковы и произведения возрастов. Сидят ли на одной скамье два самых старших юноши?
201. Использовав все значащие цифры по одному разу, напишите натуральное число, кратное 13: а) наибольшее возможное; б) наименьшее возможное.
202. Решите предыдущую задачу, использовав по одному разу все цифры (не только значащие).
203. Четырехзначное число делится на 7 и на 29. После умножения его на 19 и деления на 37 получится остаток 5. Найдите четырехзначное число.
204. Напишите семизначное число, у которого первая цифра равна количеству нулей в числе, вторая — количеству единиц в числе, третья — количеству двоек в числе и т. д.
205. Решите предыдущую задачу для десятизначного числа.
206. В классе 38 учащихся, каждый из них занимается хоть одним видом спорта из числа следующих: легкая атлетика, волейбол, плавание. Легкой атлетикой занимаются 19, волейболом — 21, плаванием— 12 человек. Известно, что легкой атлетикой и плаванием занимаются 6 человек, легкой атлетикой и волейболом — 7, а волейболом и плаванием — 3 человека. Сколько учащихся класса занимаются всеми тремя названными видами спорта?
207. 	На трех лугах, площади которых относятся как 4:5:6, пасутся коровы. На первом 14 коров могут пастись 12 дней, на втором 17 коров могут пастись 20 дней;Сколько дней могут пастись


/4
24
на третьем лугу 24 коровы, если на этих лугах трава растет равномерно и с одинаковой скоростью, а коровы съедают и ту траву, которая была, когда они пришли, и ту, которая выросла за время их пребывания на лугу?
208. В начале олимпиады ученик посмотрел на часы, это было между 10 и И часами утра. Окончив работу между 2 и 3 часами дня, он еще раз взглянул на часы и заметил, что за это время часовая и минутная стрелки циферблата точно поменялись местами. В котором часу он окончил работу?
209. Возраст одного человека в 1955 г. был равен сумме цифр его года рождения. В каком году ему исполнилось 50 лет?
210. Житель дома № 21 заметил, что сумма номеров домов на его стороне „квартала равна кубу числа домов. Определите наибольший номер дома на этой стороне названного квартала.
211. Сумма номеров домов на одной стороне квартала 156. Один из этих домов имеет номер 14. Каким номером начинается та же сторона следующего квартала?
212. На вопрос о возрасте Катя ответила, что ей столько лет, сколько было дней рождения у деда. Катя и ее младший брат родились между двумя днями рождения деда. Всем троим вместе 107 лет. Сколько лет Кате?


213. Площади трех прямоугольников 42 см2, 75 см2 и 90 см2. У первых двух равны диагонали, у второго и третьего одинаковые высоты, у первого и третьего равны основания. Определите периметры прямоугольников.
214. Как разрезать прямоугольник со сторонами 5 см и 12 см на три подобных прямоугольника, среди которых нет равных?
215. Найдите сумму цифр первых 1995 натуральных чисел.
216. Написали одно за другим 2000 натуральных чисел: 1234567891011...199819992000. Полученное число можно представить как произведение простых чисел р\р2рз--.рк, среди которых могут быть и равные. Докажите, что fe<8160. Имейте в виду, что lg 2^0,30103, lg 3^0,47712, lg 7^0,84510, lg 12346^4,0915.
217. В конце 1969 г. внук обнаружил, что если между цифрами его года рождения вставить знаки действий X, +, X, то получится выражение, равное возрасту внука. Когда он сказал об этом деду, тот утверждал, что может сказать о себе то же самое. На сколько дед был старше внука?
218. В 1967 г. в день рождения деда Петя спросил, сколько лет каждому в семье. Дед ответил: «Число моих лет втрое больше суммы цифр моего года рождения. Мой старший сын и твой другой дед смогут сказать то же о себе только в будущем году. Число лет твоей матери в следующем году будет вдвое больше суммы цифр ее года рождения». Тогда Петя сказал, что его возраст равен сумме цифр года рождения, а брат сможет сказать то же о себе в следующем году. Сколько лет каждому из названных членов этой семьи?
219. В 1767 г. в день рождения деда, когда за столом собрались многочисленные родственники, Антон спросил, сколько лет каждому из собравшихся. Именинник ответил: «У двух моих старших братьев возраст в 5 раз больше суммы цифр года рождения. У меня же через 3 года возраст будет только в 4 раза больше суммы цифр года рождения. У бабушки это произойдет годом раньше, а другой твой дед может сказать о себе это теперь. У твоего дяди возраст втрое больше суммы цифр года рождения, а твой отец мог сказать то же о себе в прошлом году. Возраст твоей матери больше суммы цифр года рождения вдвое». Подумав, Антон сказал, что его возраст равен сумме цифр года рождения, брат скажет это о себе в будущем году, а сестра могла сказать это о себе в прошлом году. Сколько лет было каждому из собравшихся?
220. В конце 1967 г. мальчик заметил, что возраст матери равен сумме цифр годов рождения отца и деда, возраст мальчика равен сумме цифр года рождения его отца. Если разбить год рождения отца на грани, то сумма этих граней будет равна его возрасту. Сколько лет матери?


1. На луче АВ отмечены такие точки А\, Л2, Л3, А4, что АА\ = \, Л1у42 = 2, А2А3 = 3, .... Перечислите отрезки с концами в отмеченных точках, чтобы длина каждого такого отрезка равнялась 63. Укажите пары неперекрывающихся отрезков, расстояние между серединами которых равно 20.
2. Можно ли построить угол в 1°, имея шаблон угла величиной: а) 17°; б) 19°; в) 27°?
3. Имеется шаблон угла в 35°. Как с его помощью построить две взаимно перпендикулярные прямые?
4. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелки образуют прямой угол?
5. Часовая, минутная и секундная стрелки прикреплены в центре циферблата исправно действующих часов. Сколько раз в сутки секундная стрелка образует равные углы с часовой и минутной стрелками?
6. Часовая и минутная стрелки не совпадают. Если их поменять местами, положение стрелок окажется согласованным. Сколько раз в сутки это может иметь место?
7. Прямые Л, /2, /з параллельны. Как через данную точку М (не принадлежащую ни одной из этих прямых) провести прямую, на которой Л, /2, /3 отсекают отрезки с разностью длин а?
8. Как построить биссектрису угла, вершина которого недоступна?
Указа н и е. Точка (или отрезок) считается недоступной, если она находится за пределами той части плоскости (доски, листа бумаги), на которой выполняется построение.


9. Как решить предыдущую задачу, если вместо циркуля и линейки дана линейка с параллельными краями?
10. Как с помощью линейки с параллельными краями провести к данной прямой перпендикуляр, проходящий через данную точку М, лежащую: а) на данной прямой; б) вне данной прямой?
11. Биссектрисы внешних углов треугольника ЛВС попарно пересекаются в точках D, Е, F. Определите вид треугольника DEF (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).
12. На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Верно ли, что из них можно выбрать такие три, которые являются вершинами треугольника, каждый угол которого меньше 120°?
13. Точка D находится на стороне АВ треугольника ABC. Построены окружности (A, AM\—AD), (С, СМ2 = СМi), (В, ВМ3 = — ВМ2), (Л, АМ4=АМз)у причем все точки Mk лежат на соответствующих сторонах треугольника. Может ли какая-нибудь из этих точек совпасть с точкой D?
14. В треугольнике ABC угол В между равными сторонами 80°. Внутри треугольника взята такая точка М, что АМАС = = 10°, Z.MCA — 30°. Найдите величину угла АМВ?
Решите эту задачу для случая, когда точка М находится вне треугольника ЛВС.
15. Внутри равнобедренного треугольника ЛВС, у которого /-АВС = а, отмечена такая точка М, что /LMAB = $, ZLМВА = = у. Найдите Z.BMC, если а, р, у соответственно равны: а) 100°, 10°, 20°; б) 96°, 12°, 18°.
16. В треугольнике ЛВС стороны АВ и ВС равны, ZB = 20°. На стороне Л В отмечена такая точка D, что BD — AC. Найдите величину угла ACD.
17. Как в данный остроугольный треугольник вписать треугольник с наименьшим возможным периметром?
18. Всегда ли можно построить треугольник, стороны которого соответственно равны высотам какого-нибудь данного треугольника? Если не всегда, то установите, при каком отношении суммы двух больших сторон такого треугольника к третьей стороне такое построение невозможно.
19. Как построить А ЛВС, если даны точка Л и две прямые U и /2, на которых лежат биссектрисы внутренних углов В и С?
20. Как построить A ABC, если даны прямая Л В и серединные перпендикуляры сторон АС и ВС?
21. Даны прямые Л, /2, /з- Постройте окружность, три хорды которой длиной а находятся на этих прямых (рис. 1).
22. Как построить три окружности, которые попарно касаются в трех данных точках?


23. Верно ли, что радиус описанной около треугольника окружности не меньше диаметра окружности, вписанной в этот треугольник?
24. Треугольник ABC равносторонний. Найдите все такие точки М, что нельзя построить треугольник, стороны которого соответственно равны МА, MB, МС.
25. Точки А и В находятся по одну сторону прямой CD. Как найти на CD такую точку М, что:
а) ААМС— Z.BMD = 90°]
б) /LAMC = 2Z.BMD?
26. Внутри ZLВАС = 45° даны точки D и Е. Как построить равнобедренный треугольник, у которого концы основания лежат на луче АС, третья вершина находится на луче АВ, а боковые стороны проходят через точки D и Е (рис. 2) ?
27. Может ли пластинка иметь форму такого равнобедренного треугольника, чтобы ее можно было разрезать на 5 треугольников с такими же углами, как у начального треугольника?
28. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр вписанной в этот треугольник окружности?
29. Вписанная в A A BC окружность касается его сторон в точках D, £, F. Установите вид Д DEF (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).
30. АА\, ВВ1, СС\ — высоты остроугольного треугольника ABC. Найдите связь между величинами углов треугольника ABC и треугольника А\В\С\.
31. Выпуклый четырехугольник ABCD вписан в окружность. Биссектрисы углов А и С пересекают окружность в точках М и N. Проходит ли прямая MN через центр окружности?
Рис. 1
Рис. 2


Рис. 3
Рис. 4
32. Выпуклый четырехугольник вписан в окружность. Биссектрисы его углов пересекают окружность в точках А, В, С, D. Определите вид четырехугольника ABCD.
33. AD, ВВ\ и СС\ — высоты остроугольного треугольника ABC; точки D\ и D2 симметричны D относительно сторон угла ВАС. Верно ли, что точки Db D2, Вь С, лежат на одной прямой?
34. Постройте треугольник по точкам, в которых биссектрисы его внутренних углов пересекают описанную окружность (рис. 3). Изменится ли построение, если речь пойдет о биссектрисах не внутренних, а внешних углов?
35. Медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три равные части. Определите величины углов треугольника.
36. На прямой отложены отрезки
А В = 2, ВС — CD = 1, DE=2.
Из точки М вне прямой все эти отрезки видны под равными углами. Определите градусные меры этих углов.
37. Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины A ABC, разделили его угол на четыре равные части. Определите величины углов Л ABC.
38. AD, AEyAF—высота, биссектриса и медиана аАВС, их продолжения пересекают описанную около треугольника окружность в точках /С, L, М. Как по этим точкам построить ДABC?
39. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках /С, L, М. Как по этим точкам построить A ABC?
40. Центр вписанной окружности и центр описанной окружности симметричны относительно стороны треугольника (рис. 4). Достаточно ли такой информации для определения величин углов треугольника?
2 Заказ 741


Рис. 5
Рис. 6
41. Биссектрисы внутренних углов треугольника ЛВС пересевают вписанную в него окружность соответственно в точках А\ и Л2, В\ и В2, Ci и С2, причем А\, В\, С\ ближе к соответственном вершинам, чем Л2, С2, В2. Как по точкам А\, Вь С\ построить
длвс?
42. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на несколько равнобедренных треугольников.
43. Верно ли, что каждый треугольник можно разрезать на любое большее трех количество равнобедренных треугольников?
44. В треугольнике ABC на стороне ВС есть такая точка М, что ВМ = 2МС и ААМВ = 60°. Зная, что ABAC — 60°, найдите величины остальных углов треугольника.
45. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Биссектриса внешнего угла при вершине А пересекает прямую ВС в точке Е\ М— точка пересечения DE и АВ. Найдите величину Z.DMC, если Z.ЛВС=120°.
46. ABCD, DCEF и FEKM — равные квадраты (рис. 5). Верно ли, что
ZL DBK + Z. FBK + MB К = 90°?
47. На сторонах АВ и CD прямоугольника ABCD отложены равные отрезки А К и DM, затем опущен перпендикуляр КО на АС. Зависит ли величина угла ВОМ от длины отрезка АЮ Изменится ли ответ, если точки К и М находятся на продолжениях сторон АВ и CD?
48. На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD отложены равные отрезки В/С и ВМ, затем опущен перпендикуляр ВО на КС. Зависит ли величина угла MOD от длины отрезка ВЮ Изменится ли ответ, если
ВК>АВ?
49. На местности был размечен квадратный участок. Из за дождей его границы были размыты, однако осталась веха в центре и по одному колышку на двух сторонах квадрата. Как по этим признакам восстановить границы участка?


50. Решите задачу 49 для случая, когда вехи в центре нет но сохранились колышки: а) в одной из вершин и по одному на сторонах, не содержащих этой вершины; б) по одному на каждой из сторон квадрата.
51. Даны окружность с центром О и точки А и В вне ее. Как, пользуясь только циркулем, найти точки пересечения прямой АВ с данной окружностью?
52. Может ли существовать четырехугольник, у которого все внутренние углы различны, но каждый из них равен одному из внешних углов?
53. Можно ли разрезать равносторонний треугольник на 5 равнобедренных треугольников, ни один из которых не является равносторонним?
54. Желая доказать, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета, ученик провел из вершины прямого угла ВАС прямоугольного треугольника такой луч AM (М — на гипотенузе
ВС), что
/-ВАМ=±- ЛС
(рис. 6). Как он собирался доказывать теорему?
55. Существует ли треугольник, у которого разность длин любых двух сторон не меньше шестой части периметра?
56. A ABC равносторонний. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ, MAC и МВС равнобедренные.
57. Пункты А, В, С попарно соединены прямолинейными дорогами, причем ВС^АС^АВ. Внутренний пункт О соединен прямолинейной дорогой с каждой вершиной ААВС. Требуется, начав движение в одной из вершин треугольника, побывать в пункте О и остальных вершинах и вернуться в исходный пункт. Укажите кратчайший маршрут, если точка О в треугольнике ABC является:
а) центром описанной окружности;
б) центром вписанной окружности;
в) центроидом.
Указание. Центроидом треугольника называют точку пересечения медиан треугольника (центр тяжести или центр масс).
58. Определите величины углов треугольника, каждая из двух высот которого не меньше стороны, к которой она проведена.
59. Биссектрисы AD и СЕ углов при основании равнобедренного A ABC пересекаются в точке /С. Центр окружности, проходящей через точки К, D, С, находится на стороне АС (рис. 7). Определите величины углов A ABC.
60. Как построить треугольник по проекциям его вершин на противолежащие стороны (или продолжения сторон)?


Рис. 7
Рис. 8
61. 	Внутри выпуклого дг-угольника взяты k точек так, что никакие три из этих k точек и вершин я-угольника не лежат на одной прямой. Соединив отрезками эти точки и вершины п-угольника, получили неперекрывающиеся треугольники, вершинами которых являются только точки из числа упомянутых, причем каждая из этих n-\-k точек — вершина хотя бы одного треугольника (рис. 8). Зависит ли число полученных треугольников от размещения точек внутри я-угольника и способа построения треугольников?
62. На плоскости даны п точек (п> 2). Можно ли построить замкнутую простую ломаную, на звеньях которой находятся все данные точки?
63. Длины сторон треугольника а, 6, с связаны соотношением
а — b . b — с . с — а q
с а b
Какой это треугольник — разносторонний, равнобедренный или равносторонний?
64. Точки А и С находятся внутри угла М. Как построить параллелограмм ABCD, вершины В и D которого находятся на сторонах угла М?
65. Как построить параллелограмм ABCD по положению вершин А и С и расстояниям от вершин В и D до данной точки Af?
66. Как построить параллелограмм ABCD по положению вершин А и В и расстояниям от вершин С и D до данной точки М?


67. Диагональ параллелограмма делит его угол в соотношении 1:3. Зная, что длины сторон относятся как 1:2, найдите углы параллелограмма.
68. Как построить параллелограмм ABCD по лучам ВА и ВС и центру окружности, проходящей через точки Л, С, D (рис. 9)?
69. Каждая высота параллелограмма не меньше стороны, которой она перпендикулярна. Найдите угол между диагоналями параллелограмма.
70. АВ— диаметр полуокружности, CD — хорда, не параллельная АВ. Как найти на полуокружности такую точку М, чтобы хорды МА и MB ограничивали на CD отрезок данной длины а?
71. Дан Д ABC. Какую фигуру образуют центры всех параллелограммов, у каждого из которых две стороны лежат на АВ и Л С, а вершина, не принадлежащая этим сторонам, находится на
стороне ВС?
72. Точка находится внутри параллелограмма. Верно ли, что сумма ее расстояний от вершин параллелограмма меньше периметра параллелограмма?
73. Сумма расстояний внутренней точки от всех сторон параллелограмма (или их продолжений) равна среднему арифметическому длин всех сторон параллелограмма. Определите величины всех углов параллелограмма.
74. Внутри A ABC взята точка М и построены параллелограммы АМВС1, ВМС А и АМСВ\. Пересекаются ли в одной точке прямые ЛЛь ВВ\, СС\?
75. Можно ли построить параллелограмм ABCD по серединам его высот ВВ\У ВВ2 и DD\?
76. Диагонали прямоугольника делят его на 4 треугольника,
9 4
периметры которых равны — и — периметра прямоугольника. Как относятся длины сторон прямоугольника?
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11


77. Из точки М окружности, описанной около прямоугольника, опущены перпендикуляры МА и MB на его диагонали (рис. 10). Зависит ли длина отрезка АВ от выбора точки М на окружности?
78. На стороне ВС прямоугольника ABCD существует такая точка М, что Z-AMB= /LAMD. Зная, что AD = 2AB, найдите названные углы.
79. Постройте ромб ABCD по середине стороны АВ и центрам окружностей, описанных около треугольников ABD и BCD.
80. ABCD — ромб. Под каким углом пересекаются биссектрисы углов ВАС и В DC?
81. ABCD — ромб, ААВМ равносторонний (вершина М вне ромба). Найдите величину угла CMD.
82. Постройте ромб, у которого две стороны лежат на двух данных параллельных прямых, а две другие (или их продолжения) проходят через две данные точки.
83. Постройте ромб ABCD по середине стороны АВ и основаниям высот, проведенных из вершины В к AD и из вершины D к ВС.
84. AD — высота остроугольного треугольника ABC, О — центр квадрата, построенного на стороне АВ вне треугольника, М — центр квадрата, построенного на стороне АС в одной полуплоскости с вершиной В (рис. И). Лежат ли точки О, D и М на одной прямой?
85. ABCD — квадрат. Найдите все такие точки М, что треугольники МАВ, МВС, MCD и MAD равнобедренные.
86. ABCD — квадрат. Постройте фигуру, у каждой точки ко-
о
торой сумма расстояний от прямых АВ, ВС, CD, AD равна — периметра квадрата ABCD.
87. Определите положение центра квадрата, у которого все вершины и одна из сторон находятся вне данной части плоскости (рис. 12).
88. Как построить квадрат по его центру О и расстояниям от концов одной стороны до данной точки М?
89. Как разрезать квадрат на остроугольные треугольники?
90. Плоскость покрыта сетью равных квадратов. Можно ли построить такую окружность, внутри которой находится ровно указанное число вершин этих квадратов?
91. Четыре прямые проходят через центр окружности и делят ее на равные части. Касательная к окружности пересекает эти прямые в точках А, В, С, D. Вторые касательные, проходящие через эти точки, ограничивают четырехугольник, форму которого требуется установить.
92. Диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны. Из точки их пересечения опущены перпендикуляры ОА, ОВ, ОС, OD на стороны. Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать и около него описать окружность.


Рис. 12
93. Три окружности, проходящие через точку М, попарно пересекаются в точках Л, В, С. Через точку А проведена прямая, которая пересекает две из этих окружностей в точках D и Е. Находится ли точка пересечения прямых BD и СЕ на третьей окружности (рис. 13)?
94. Точки А и В симметричны относительно данной прямой /. Как с помощью
односторонней линейки про- Рис 13
вести перпендикуляр к / через данную точку С, если: а) СЦ\ б) се/?
95. Даны окружность и ее диаметр АВ. Можно ли, пользуясь только односторонней линейкой, построить перпендикуляр к прямой АВ через точку М, которая:
а) находится вне окружности не на прямой АВ;
б) находится внутри окружности не на пряхмой АВ:
в) находится на данной окружности;
г) находится на отрезке АВ;
д) находится на продолжении отрезка АВ;
е) совпадает с точкой А?
96. Как построить треугольник по точкам, которые симметричны его ортоцентру относительно всех его сторон (рис. 14)?
Указание. Ортоцентром треугольника называют точку пересечения высот треугольника.
97. Точки Д £, F симметричны ортоцентру A ABC относительно середин всех его сторон. Как по точкам D, Еу F построить ААВС?


Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16
Рис. 17
98. Как построить ДЛВС по точкам Oi, О2, Оз, которые симметричны центру описанной окружности относительно сторон треугольника (рис. 15)?
99. Точки Ль В1, Ci симметричны вершинам A ABC относительно соответствующих сторон. Зная, что Д Л161 Ci равносторонний, постройте ААВС по точкам Ль В\, С\. При этом имейте в виду, что условию отвечает не один треугольник, а 7.
100. Требуется с помощью линейки и циркуля опустить перпендикуляр из данной точки М на данную прямую /. Обычное построение невозможно, так как искомый перпендикуляр проходит близко к доступному краю части плоскости. Как осуществить построение?


101. Постройте треугольник по середине его основания и серединам высот, проведенных к боковым сторонам.
102. Пираты решили спрятать награбленные ценности на необитаемом острове. Выбрав крупные камни А и В и дерево С, они отметили такие точки D и Е, что AD — AC и BE —ВС, причем углы CAD и СВЕ прямые. Ценности зарыли на середине отрезка DE. Когда через много лет один из пиратов прибыл на остров, он нашел камни А и В, но не обнаружил следов дерева С. Поэтому он не смог найти место, где спрятаны ценности (рис. 16). А можно ли было это сделать?
103. Основания равнобокой трапеции 11 см и 17 см. Как разрезать ее на 4 равные трапеции?
104. Определите величины углов трапеции, которую можно разрезать на 4 равные равнобокие трапеции.
105. На какое наименьшее число трапеций, среди которых нет прямоугольных, можно разрезать квадрат?
106. Три стороны трапеции равны. Окружность, диаметром которой является основание трапеции, делит боковую сторону пополам. Найдите величины углов трапеции (рис. 17).
107. Окружность, диаметром которой является меньшее основание трапеции, касается большего основания и делит каждую из диагоналей пополам. Определите величины углов трапеции.
108. Прямая отсекла от равностороннего треугольника трапецию, которая делится диагоналями на 4 равнобедренных треугольника. Определите величину угла между диагоналями трапеции.
109. Две окружности пересекаются в точке О. Как построить через эту точку прямую, на которой названные окружности отсекают равные отрезки?
110. Точки А, В, С не лежат на одной прямой. Как построить через эти точки параллельные прямые, которые отсекают на данной прямой отрезки:
а) равные;
б) с данной разностью длин?
111. Как построить равнобедренный треугольник по его высоте и медиане, проведенным к боковой стороне?
112. Постройте трапецию ABCD (АВ || CD) по прямым ВС и AD, середине диагонали АС и точке М на прямой CD.
113. Высоты АА\ и СС\ остроугольного A ABC пересеклись в точке Я; Е — середина АС, К — середина ВС, D — середина НА. Равны ли треугольники C\DE и ЕКА\?
114. На сторонах аАВС вне его построены квадраты. Как по центрам этих квадратов построить A ABC?


115. AD — высота прямоугольного A ABC. Биссектрисы углов В и CAD пересекаются в точке М, а биссектрисы углов С и BAD — в точке N. Параллельны ли прямые ВС и MN (рис. 18)?
116. Имеется циркуль и линейка. Как с их помощью построить прямую через две данные точки, расстояние между которыми больше длины линейки и более чем вдвое превышает возможный размах циркуля?
117. Дана окружность. Как с помощью линейки с параллельными краями построить центр окружности? Особо рассмотрите случай, когда ширина линейки больше диаметра данной окружности.
118. Все вершины трапеции недоступны, но на рисунке дана часть каждой стороны (рис. 19). Постройте точку пересечения диагоналей трапеции.
119. Докажите, что пятиугольник можно разрезать на три трапеции.
120. Верно ли, что выпуклый /г-угольник (п>4) можно разрезать на п — 2 трапеции?
121. Каждый угол треугольника хменее 120°. Найдите точку с наименьшей суммой расстояний от всех вершин данного треугольника.
122. Постройте многоугольник с нечетным п> 3 числом вершин по серединам всех его сторон.
123. Постройте пятиугольник по серединам всех его диагоналей.
124. Найдите сумму внутренних углов звездчатого семиугольника (рис. 20).
125. Докажите, что среднее арифметическое диагоналей выпуклого семиугольника больше среднего арифметического его сторон.
126. В окружность вписан выпуклый семиугольник, у которого величины трех углов по 120°. Имеет ли этот семиугольник равные стороны?
127. Один из углов равнобедренного треугольника 108°. Найдите отношение длин двух биссектрис неравных углов.
128. Все вершины четырехугольника недоступны, но на рисунке дана часть каждой стороны. Как построить точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD?
129. Постройте равносторонний треугольник ААВС по его центру О и двум окружностям, одна из которых касается стороны АВ, а другая — стороны ВС этого треугольника, если известны точки касания.
130. Постройте равносторонний треугольник, зная расстояния от всех его вершин до данной точки М.
131. На сторонах аАВС вне его построены равносторонние треугольники ABD, ACE, BCF. Как по точкам D, £, F построить A ABC?


Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20 Рис. 21 Рис. 22
132. Каждая сторона выпуклого /г-угольника является диаметром круга. При каких п эти круги полностью покрывают дг-уголь- ник?
133. АЕ и CD — биссектрисы углов при основании равнобедренного ДЛВС. Можно ли по прямой ЛС и точкам D и Е построить А ЛВС?
134. На сторонах остроугольного А ЛВС вне его построены квадраты ADEB и АКРС. Докажите, что расстояние между точками D и К вдвое больше длины медианы АО треугольника ABC.
135. Определите вид треугольника, длины сторон которого связаны соотношением а3-{-Ь3 = с3.
136. Четыре точки плоскости определяют 6 расстояний. Докажите, что наибольшее из них превышает наименьшее по крайней мере в -д/2 раз.
137. Точка М, в которой окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, касается его стороны, делит эту сторону в от¬


ношении 1:3. Определите отношение катетов этого треугольника.
138. Хорды окружности АВ и CD лежат на прямых, которые взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке М. Верно ли, что квадрат диаметра окружности равен МА2 + MB2 + МС2 + + MD2?
139. Точка В лежит между точками Л и С. По одну сторону прямой АС построены равносторонние треугольники ABD и ВСЕ, а по другую — равносторонний aACF. Верно ли, что центры этих треугольников являются вершинами равностороннего треугольника?
140. АВ — хорда окружности. Окружности радиусов R\ и /?2 касаются данной окружности и в точке С касаются АВ; окружности радиусов /?3 и касаются данной окружности и в точке D
Яз
Ra
от положения точек
г>
касаются АВ. Зависят ли отношения С и D на АВ?
141. Дан отрезок АВ длиной 5 см. Окружности (Л, 4 см) и (.В, 3 см) пересекаются в точке С и пересекают отрезок А В в точках D и Е. Найдите радиус окружности, вписанной в криволинейный треугольник CDE (рис. 21).
142. На окружности даны трчки А и В. Постройте параллельные хорды AD и ВС, разность (или сумма) которых имеет заданную величину.
143. Центр окружности, касающейся основания и продолжений боковых сторон треугольника, и центр описанной окружности симметричны относительно основания треугольника. Можно ли по такой информации найти величины углов треугольника?
144. Диагональ Л С четырехугольника ABCD является диаметром описанной окружности, AM и CN — перпендикуляры, опущенные на диагональ BD. Равны ли отрезки ВМ и DN?
145. Постройте параллелограмм ABCD по вершине D и серединным перпендикулярам сторон АВ и ВС.
146. а, 6, с — длины сторон треугольника, та, гпьУ тс — длины его медиан. Можно ли построить треугольник с длинами сторон а + та,
^ b-\-ttib, с-f- шс?
147. Как построить равносторонний треугольник периметра Р, чтобы две его вершины лежали на двух данных параллельных прямых, а третья — на данной окружности?
148. В центре сада, имеющего форму квадрата, находится зайчик. В каждой вершине квадрата находится лиса, скорость которой на 40% больше скорости зайчика, причем


лисы могут бежать только по сторонам квадрата. Может ли при таких условиях зайчик убежать из сада?
149. Можно ли построить пятиугольник, стороны которого соответственно равны диагоналям данного пятиугольника?
150. ABCDE — пятиугольник, 0\у 02у 03, 04 — середины его сторон АВ, ВСУ CD и РЕ; М _и_ N — середины отрезков 0\0з и-0204. Докажите, что AE = 4MN?
151. В окружность с центром М вписан правильный много- угольникЛ\А2Аз...Ап. Верно ли, что МА\ + МЛ2 + МЛ3 + ...+ + AL4„ = 0?
152. Найдите точку с наименьшей суммой квадратов расстояний от вершин данного правильного многоугольника.
1531 Хорды окружности АВ, CD, EF равны ее радиусу. Верно ли, что середины отрезков ВС, DE и AF — вершины равностороннего треугольника?
154. Медианы AD и С К треугольника ABC взаимно перпендикулярны. Верно ли, что угол В треугольника меньше 45°?
155. Точки Ci, Л), В1 расположены на сторонах АВ, ВС, СЛ треугольника ABC так, что ЛС1 :С\В = ВА \ :А\С = СВ\ :В\А (рис. 22). Верно ли, что центроиды треугольников ABC и А\В\С\ совпадают?
156. Медианы A ABC пересекаются в точке М. Верно ли, что для любой точки Т
ТА2 + ТВ2 + ТС2 = МА2 + MB2 + МС2 + ЗГМ2?
157. На плоскости даны девять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Как найти точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от этих девяти точек?
158. Постройте равносторонний A ABC по точке Л и двум прямым, из которых одна проходит через точку Ву а другая — через центроид треугольника.
159. Как построить равносторонний треугольник по его центру, зная, что концы одной из медиан находятся на двух данных окружностях?
160. Во сколько раз расстояние от центра описанной окружности до стороны треугольника меньше расстояния от ортоцентра до вершины, лежащей против названной стороны?
161. Верно ли, что центроид треугольника лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр с центром описанной окружности? Если да, то в каком отношении делится при этом названный отрезок?
162. Остроугольный A ABC вписан в окружность с центром О. Известно, что ОЛ+ ОБ +ОС = ОМ. Лежит ли точка М внутри АЛВС?


163. Окружность касается сторон угла М в таких точках А и В, что МА—МВ— 12 см. Хорда АС\\МВ, отрезок МС пересекает окружность в точке Z). На какие части прямая Л£ делит отрезок MB?
164. Верно ли, что сумма квадратов диагоналей четырехугольника меньше суммы квадратов его сторон на учетверенный квадрат расстояния между серединами диагоналей?
165. Докажите, что четырехугольник, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон,— параллелограмм.
166. Подобны ли два треугольника, у которых соответственные стороны взаимно перпендикулярны?
167. Точка D лежит на стороне ВС треугольника ABC. Докажите, что
AD2-BC=AB2-DC+AC2-BD — BC-BD-CD.
У казани е. Эта формула носит имя шотландского математика XVIII в. М. Стюарта.
168. Найдите основания трапеции, у которой боковые стороны 25 см и 40 см, а диагонали 51 см и 74 см.
169. Верно ли, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности?
170. Верно ли, что каждый треугольник можно разрезать на любое число я >5 подобных ему треугольников?
171. Основания трапеции а и За. Середину каждого основания соединили с концами другого основания. Найдите расстояние между точками пересечения проведенных отрезков.
172. ABCD — ромб, ВК и СЕ—перпендикуляры, опущенные на прямую AD, М — середина KD, Т — середина СЕ. Перпендикулярны ли прямые АТ и ВМ (рис. 23)?
173. АВ — диаметр полуокружности, хорды АС и BD (или их продолжения) пересекаются в точке М. Верно ли, что AC-AM-f + BD-BM = AB2?
174. ABCD — параллелограмм. Окружность, проходящая через вершину Л, пересекает лучи АВ, ЛС, AD соответственно в точках В\у CuD\ (рис. 24). Верно ли, что
AB-AB{+AD-AD{=AC-ACx?
175. Верно ли, что произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон?
176. Как построить прямоугольный треугольник по его гипотенузе и биссектрисе прямого угла?
177. Из вершины ромба построены две высоты, расстояние между их основаниями вдвое меньше длины диагонали ромба. Определите величины углов ромба.


Рис. 23
Рис. 24
Рис. 25 Рис. 26
178. Диагональ BD ромба ABCD равна его стороне. На луче DA вне ромба взята точка М. Отрезок МС пересекает АВ в точке К. Под каким углом пересекаются прямые MB и DK (рис. 25)?
179. На продолжении хорд АВ и АС окружности взяты такие точки D и £, что расстояние от Е до прямой А В равно длине хорды АВ, а расстояние от D до прямой АС равно длине хорды АС. Сравните отрезок DE с диаметром окружности.
180. Можно ли в трапецию поместить две окружности с радиусами 1 см и 3 см так, чтобы каждая из них касалась трех сторон трапеции, а общая касательная проходила через точку пересечения диагоналей трапеции?
181. Внутри A ABC на серединном перпендикуляре стороны АВ отмечена точка О. Затем зне A ABC построены треугольники ACT и ВСМ, подобные ААВОу причем соответственные стороны треугольников Л С, ВС и АВ. Установите форму четырехугольника ОМСТ.
182. Две вершины треугольника недоступны. Как определить длины его сторон и положение центроида и ортоцентра?


183. На обломке круга сохранились часть дуги АВ, часть хорды АВ и центр круга О (рис. 26), Найдите величину угла АОВ.
184. М\, М2, М3, Ма — центроиды треугольников ABC, BCD, CDi4 и Dy4B. Подобны ли четырехугольники ABCD и М1М2М3М4?
185. Стороны АВ и CD выпуклого четырехугольника ABCD равны. Окружность, касающаяся сторон АВ, ВС, >1D, и окружность, касающаяся сторон ВС, CD, >4D, пересекаются в точках £ и F. Сравните периметры частей, на которые прямая EF делит четырехугольник ABCD.
186. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника проведена прямая. Из точек ее пересечения с двумя сторонами четырехугольника опущены перпендикуляры на его диагонали (рис. 27). Являются ли основания этих перпендикуляров вершинами параллелограмма или трапеции?
187. Простая замкнутая ломаная имеет 1999 звеньев. Может ли прямая, не проходящая ни через одну вершину, пересекать все звенья ломаной?
188. Турист двигался по ломаной, все звенья которой имели равные длины, и записывал повороты, которые делал в ее вершинах: вправо 15°, 30°, 90°, 105°, влево 120°, вправо 75°, 30°, 90?, 45°. Был ли его маршрут замкнутым?
189. Верно ли, что у выпуклого четырехугольника имеется диагональ, которая больше по крайней мере двух сторон четырехугольника?
190. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD вне его построены квадраты с центрами Oi, 02, Оз, 04. Верно ли, что диагонали четырехугольника 0i020304 равны и взаимно перпендикулярны?
Рис. 27
Рис. 28


191. Сумма катетов прямоугольного A ABC равна t. На его гипотенузе ВС вне треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от центра квадрата до вершины А треугольника.
192. ABCD — трапеция, вписанная в окружность с центром О. Продолжения боковых сторон АВ и CD пересекаются в точке М. Касательная к окружности в точке В и биссектриса угла BOD пересекаются в точке Т. Параллельны ли прямые МТ и ВС (рис. 28)?
193. Около окружности радиуса г описан треугольник и в него вписан квадрат так, что две вершины его лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Верно ли, что сторона квадрата больше г -\[2 и меньше 2г?
194. В равностороннем пятиугольнике ABCDE угол BCD вдвое больше угла АСЕ. Найдите величины этих углов.
195. Основания равнобокой трапеции 1 и 8. Найдите радиус окружности, которая проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, касается основания и боковых сторон трапеции.
196. Все углы выпуклого шестиугольника равны. Равны ли разности длин его параллельных сторон?
197. Точка М находится в плоскости правильного шестиугольника ABCDEF. Можно ли построить шестиугольник (необязательно выпуклый), стороны которого равны МА, MB, МС, MD, ME, MF?
198. Из каждой вершины квадрата проведены лучи, разделившие его углы на три равные части. Сколько правильных многоугольников ограничивают эти лучи в пределах данного квадрата?
199. Даны окружность и ее центр. Как разделить ее на 12 равных частей, пользуясь только циркулем?
200. Середина каждой стороны квадрата соединена с концами параллельной стороны. Проведенные отрезки ограничили выпуклый восьмиугольник. Является ли он правильным?
201. Верно ли, что сторона правильного девятиугольника равна разности его диагоналей — наибольшей и наименьшей?
202. ап и-bn — длины сторон правильных вписанного и описанного многоугольников с числом вершин п. Верно ли, что
aln =\an-b2n?
203. Как построить через центр равностороннего треугольника прямую, чтобы ее отрезок, ограниченный сторонами треугольника, имел длину: а) наименьшую возможную; б) наибольшую возможную?


204. Около квадрата описана окружность. Через середины каждых двух соседних сторон проведены прямые. Являются ли точки пересечения этих прямых с окружностью и вершины квадрата вершинами правильного двенадцатиугольника?
205. На сторонах квадрата A BCD вне его построены равносторонние треугольники АВН, ВС К, С DM, DAT. Верно ли, что середины отрезков АН, ВН, НКУ ВК, СК, КМ, CM, DM, МТ, ТА, 77), 77/ являются вершинами правильного двенадцатиугольника (рис. 29)?
Решите эту задачу для случая, когда треугольники построены внутри квадрата.
206. На какое наименьшее число частей следует разрезать правильный шестиугольник, чтобы из этих частей можно было сложить треугольник с отношением величин углов 1:2:3?
207. Угол между диагоналями равнобокой трапеции 60° (два случая). Как разрезать эту трапецию на возможно меньшее число частей, из которых можно сложить равносторонний треугольник?
208. Найдите в плоскости равностороннего A ABC все такие точки, для каждой из которых сумма расстояний до прямых АВ, 4С, ВС вдвое больше высоты треугольника.
209. Произведение высот прямоугольного треугольника в 4 ра за меньше произведения его сторон. Найдите величины острых углов треугольника.
210. Боковая сторона равнобокой трапеции равна а. Расстояние от середины боковой стороны до прямой, на которой лежит
Рис 29
Рис. 31


другая боковая сторона, равно Ь. Определите площадь трапеции.
211. Расстояния от точки, находящейся внутри равностороннего треугольника, до его высот х, у, z. Верно ли, что одно из этих расстояний равно сумме двух других?
212. Как разрезать правильный 12-угольник на возможно меньшее число частей, из которых можно сложить: а) три равных квадрата; б) квадрат;в) два равных квадрата?
213. На всех сторонах правильного шестиугольника внутри его построены квадраты. Являются ли вершины квадратов, не лежащие на сторонах шестиугольника, вершинами правильного 12- угольника?
214. Каждый угол треугольника разделен на три равные части. Построенные трисектрисы пересеклись в точках Д Е, F (рис. 30). Докажите, что ADEF равносторонний.
215. Верно ли, что из двух правильных многоугольников, вписанных в одну окружность, больший периметр имеет тот многоугольник, у которого число вершин больше?
216. Граница двух полей — ломаная ABC, края полей — параллельные прямые (рис. 31). Нельзя ли заменить эту границу более короткой, не изменяя площадей полей?
217. Верно ли, что площадь четырехугольника не превышает произведения полусумм длин его противоположных сторон?
218. О длинах сторон треугольника а, Ьу с известно, что а^2^6^3^с^4. Какую наибольшую площадь может иметь такой треугольник?
219. Разность двух сторон треугольника равна разности высот, проведенных к этим сторонам. Что можно утверждать о величинах углов, лежащих против названных сторон?
220. Верно ли, что сумма расстояний от внутренней точки до всех вершив треугольника не меньше удвоенной суммы расстояний от этой точки до всех сторон данного треугольника?
221. Как через вершину выпуклого четырехугольника провести прямую, которая разделит четырехугольник на две равновеликие части?
222. Как через данную точку на основании треугольника провести две прямые, которые разделят треугольник натри равновеликие части?
223. Все стороны выпуклого многоугольника равны. Какая из внутренних точек имеет наименьшую сумму расстояний от всех сторон многоугольника (или их продолжений)?
224. Найдите величины углов треугольника, который делится двумя высотами на две пары равновеликих частей.
225. Площадь остроугольного треугольника Q. Из середины каждой стороны опущены перпендикуляры на другие -стороны.


Найдите площадь выпуклого шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами (рис. 32).
226. Найдите точку, имеющую наименьшую возможную сумму квадратов расстояний от всех сторон данного треугольника.
227. Диагонали равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны. Продолжения боковых сторон AD и ВС пересекаются в точке М под углом в 30° Зная, что площадь аАВМ, лежащего вне трапеции, равна Q, найдите площадь трапеции.
228. В равнобокой трапеции ABCD известно, что AB = CD\ AD = 28 см, высота 24 см. Окружность радиуса 3 см с центром в точке пересечения диагоналей трапеции касается меньшего основания ВС и боковых сторон. Найдите площадь трапеции.
229. Площадь остроугольного треуольника Q. В каждой вершине построены лучи, перпендикулярные сторонам угла с этой вершиной. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими лучами.
230. Середины сторон выпуклого шестиугольника последовательно соединены отрезками. Верно ли, что площадь полученного шестиугольника больше половины площади начального шести-- угольника?
231. Найдите величины углов ромба ABCD, у которого биссектрисы углов ВАС и В DC пересекаются на стороне ВС.
232. Верно ли, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению двух его диагоналей? Если да, то каких?
233. Радиус вписанной в треугольник окружности г. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекли треугольники. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, г\, г2, г3. Верно ли, что
r 1 + ^2 + ^3 = Г?
234. Докажите, что в остроугольном треугольнике сумма расстояний от центра описанной окружности до всех сторон треугольника равна /? + г.
235. Длины сторон выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность, а, 6, с, d. Верно ли, что его площадь
•S = \Кр~— а)(р — b)(p — с)(р — d),
где р — полупериметр четырехугольника?
236. Верно ли, что площадь четырехугольника, вписанного в окружность, равна квадратному корню из произведения длин всех его сторон, если известно, что в четырехугольник можно вписать окружность?
237. Вписанная в четырехугольник окружность касается его сторон в точках Л, В, С, D. Докажите, что отрезки АС, BD и диагонали четырехугольника пересекаются в одной точке.
238. Площадь выпуклого четырехугольника равна Q. Точки К и L, М и N делят соответственно стороны ВС и AD на три равные части. Определите площадь четырехугольника KLNM.


Рис. 32
Рис. 33
239. Площадь правильного шестиугольника ABCDEF равна Q. Вершину А соединили с серединой ВС, вершину В — с серединой CD, вершину С — с серединой DE и т. д. (рис. 33). Найдите площадь шестиугольника, ограниченного проведенными отрезками.
g
240. Докажите, что сумма медиан треугольника не больше — R.
241. Докажите, что в каждом треугольнике:
' та-\-т.ь та + тс ть-\-тс^ R ’
j | L_i_J_>JL
rtla tnb mc ^ R
242. Многоугольник ABCDE... правильный. Определите число его вершин, зная, что ^ j ^
^AB~~AC~^r~AD '
243. Является ли правильным выпуклый многоугольник, имеющий не менее двух осей симметрии, если число его вершин: а) 5; б) 7?
244. Гомотетичны ли фигуры
у=х3 и у = 4х3?
Если да, укажите центр и коэффициент гомотетии.
245. Каждая диагональ выпуклого четырехугольника ABCD делит его на две части равного периметра. Верно ли, что ABCD — параллелограмм?
246. Точка М находится внутри равностороннего треугольника и удалена от его вершин на 2 см, 1 см, л/З см. Под какими углами из точки М видны стороны равностороннего треугольника?


247. ABCD — ромб. Из вершин его тупых углов проведены высоты ВВ\, ВВ2, DD\, DD2, которые пересекаются в точках М и ЛЛ Верно ли, что четырехугольники ABCD и BMDN подобны?
248. Боковые стороны трапеции 15 см и 20 см. Найдите периметр и площадь этой трапеции, если известно, что одна из диагоналей является ее высотой, а сумма тупых углов трапеции 270°.
249. Стороны треугольника и диаметр вписанной окружности составляют арифметическую прогрессию. Верно ли, что этот треугольник прямоугольный?
250. В равнобедренном треугольнике сторона делит пополам угол между высотой и биссектрисой внутреннего угла, проведенными из одной вершины. Найдите величины углов треугольника.
251. Символ одной из велогонок Мира состоял из трех равных окружностей, две из которых касались в центре третьей. Определите отношение площадей частей, на которые две касающиеся окружности разделили круг, ограниченный третьей окружностью.
252. Пятиугольник ABCDE правильный. Требовалось построить прямую BN, которая делит пятиугольник на части с отношением площадей 1:2. Школьник превратил пятиугольник в равновеликий АВКТ и отметил точку М на ЛТ так, что
т=-^-кт.
Другой школьник обратил внимание на то, что при этом пришлось несколько раз строить параллельные прямые. А можно ли было решить задачу, не проводя параллельных прямых?
253. На круге единичного радиуса отмечены 7 таких точек, что расстояние между любыми двумя из них не меньше 1. Докажите, что одна из точек — центр окружности.
254. Диагонали выпуклого пятиугольника делят каждый его угол на три равные части. Является ли этот пятиугольник правильным?


1. Даны прямые АВ, АС, ВС. Докажите, что центры окружностей, касающихся всех названных прямых, находятся в плоскости ABC.
2. На сколько областей делится пространство плоскостями всех граней: а) треугольной призмы; б) куба; в) треугольной пирамиды; г) четырехугольной пирамиды?
3. Даны п точек (п> 4), причем каждые 4 из них лежат в одной плоскости. Верно ли, что все эти точки принадлежат одной плоскости?
4. Сколько различных плоскостей определяют все вершины: а) треугольной призмы; б) пятиугольной пирамиды; в) куба?
5. Вне плоскости параллелограмма ABCD взяты точки Е, К, Н, М так, что А — середина отрезка ЕК, В — середина отрезка КН, С — середина отрезка НМ. Верно ли, что точка D — середина отрезка ME?
6. Даны точки А, В, С, D, Е. Середины отрезков AC, AD, BD, BE, СЕ лежат в одной плоскости, причем никакие две из этих середин не совпадают. Лежат ли точки А, В, С, D, Е в одной плоскости?
7. Середины отрезков АВ, ВС, CD, DE, ЕА лежат в плоскости б. Принадлежит ли этой плоскости хоть одна из точек А, В, С, D, Е?
8. В условии задачи 7 вместо пяти дано большее нечетное число отрезков. Изменится ли результат?
9. ABCDE — замкнутая пространственная ломаная, середины четырех звеньев которой принадлежат плоскости б. Принадлежит ли этой плоскости и середина пятого звена?
10. А1А2А3...А2П — пространственная ломаная, середины всех звеньев которой лежат в плоскости б. Лежит ли в этой плоскости и середина отрезка А\А2п?
11. Проверьте следующий признак параллельности прямых в пространстве: две прямые параллельны, если любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую.
12. На боковых гранях призмы отмечены точки А и В. Как через эти две точки провести два параллельных отрезка?
Решите аналогичную задачу, заменив призму пирамидой.
13. Две параллельные прямые пересекают две соседние грани куба: одна в точках А и В, другая в точке С и еще одной, которую требуется построить.
14. Призма ABCDEFA\B\C\D\E\F\ правильная. Параллельны


ли прямые ВС\ и AD\? Если нет, то как построить через точку А прямую, параллельную ВСi?
15. ABCD — квадрат. На параллельных прямых AM и СТ по одну сторону от плоскости квадрата отмечены такие точки А\ и Ci, что АА\:СС\= 4:3. Зная, что АВ = 6 см, определите, на каких расстояниях от вершин квадрата находится точка, в которой прямая Л1С1 пересекает плоскость квадрата.
16. ABCD — квадрат, периметр которого Р. Точка О пространства соединена со всеми вершинами квадрата. Через центроид треугольника АО В проведены прямые, соответственно параллельные прямым О А, О В, ОС, OD. Они пересекли плоскость квадрата в точках Ль Вь Ci, D\. Найдите периметр и площадь четырехугольника A\B\C\D\.
Решите аналогичную задачу, заменив квадрат правильным шестиугольником.
17. Точка М находится вне плоскости правильного шестиугольника, периметр которого 48 см. Найдите расстояния между серединами отрезков, соединяющих точку М с вершинами шестиугольника.
18. ABCDEF — замкнутая пространственная ломаная. Отрезки, соединяющие середины звеньев ВС и ED, Л В и EFy равны и параллельны. Параллельны ли звенья CD и AF?
19. Длина каждой стороны треугольника ЛВС равна а. Точка М удалена от каждой его вершины на расстояние Ь. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и МС.
20. Длина стороны квадрата ABCD равна 6 см. Точка М удалена от каждой его вершины на 17 см. Найдите расстояния от середины отрезка МА до середин всех сторон квадрата.
21. Даны плоскости б и а. Точка М не принадлежит ни одной из них. Через точку М можно провести единственную прямую, параллельную б и а. Параллельны ли эти плоскости?
22. Отрезки трех параллельных прямых, заключенные между плоскостями б и а, равны. Параллельны ли эти плоскости?
23. Точка М находится вне плоскости параллелограмма A BCD. Найдутся ли параллельные средние линии у треугольников:
а) 	МАВ и МВС; б) МАВ и MCD?
24. Плоскости б и а параллельны. Где находятся центры всех параллелограммов, у каждого из которых одна сторона лежит на плоскости б, а другая — на плоскости а?
25. Даны прямые а и Ь. Известно, что можно построить только две параллельные плоскости, одна из которых содержит прямую а, а другая — прямую Ь. Докажите, что а и b скрещиваются.
26. Три плоскости пбпарно пересекаются. Верно ли, что линии их пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны?
27. Три параллельные плоскости пересекают две скрещивающиеся прямые соответственно в точках Л1 и Л2, Bi и В2, Ci и С2. Верно ли, что Л1В1 :BiCi =Л2В2:В2С2?


28. Плоскость проходит через основание трапеции на расстоянии 6 см от средней линии и на расстоянии 8 см от точки пересечения диагоналей трапеции. Найдите отношение длин оснований этой трапеции.
29. Стороны двух квадратов соответственно параллельны. Параллельны ли соответственные диагонали этих квадратов?
30. Докажите, что углы с сонаправленными сторонами равны.
31. Дано изображение квадрата ABCD. Изобразите правильный шестиугольник, одна из сторон которого АС.
32. Дано изображение равностороннего треугольника ABC. Изобразите квадрат, вписанный в этот треугольник так, что две вершины его лежат на АВ, а две — на других сторонах треугольника.
33. Дано изображение квадрата ABCD с точкой М^АВ. Изобразите прямую, которая находится в плоскости квадрата, проходит через точку С и перпендикулярна MD.
34. Дано изображение квадрата ABCD. Изобразите равносторонний А А КМ, вписанный в этот квадрат.
35. Дано изображение равностороннего треугольника ABC, D^AB, Е£ВС. Постройте прямую, которая находится в плоскости ABC, проходит через вершину В и перпендикулярна прямой DE.
36. Дано изображение прямоугольника, стороны которого относятся как 2:3. Как построить серединные перпендикуляры диагоналей этого прямоугольника?
37. На изображении равнобедренного треугольника отмечен (на одной из медиан) центр вписанной окружности. Постройте точки касания этой окружности со сторонами треугольника.
38. Дано изображение равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность. Постройте точки касания этой окружности со сторонами трапеции.
39. Постройте изображение: а) правильного пятиугольника;
б) 	правильного восьмиугольника,
40. Дано изображение четырехугольника ABCD и параллельные проекции на плоскость б точек К£АВ, L£BC, M£CD. Постройте проекцию четырехугольника на эту плоскость.
Решите аналогичную задачу для пятиугольника ABCDE.
41. Даны параллельные проекции пятиугольника ABCDE и точек Р, К и М на плоскость б, причем показано положение и самих точек Р, К, М относительно плоскости б (рис. 34). Постройте изображение пятиугольника.
42. Даны точка М вне плоскости б и прямая 1г не параллельная б. Постройте через точку М прямую, которая параллельна плоскости 6 и пересекает прямую /.


Рис. 34
43. Нижние основания двух призм находятся на плоскости 6. Боковые ребра этих призм параллельны. Прямая пересекает поверхность одной призмы в точке А, а поверхность другой — в точке В. Постройте другие точки пересечения этой прямой с поверхностями призм.
44. Основания двух треугольных пирамид находятся на плоскости б. Прямая пересекает поверхность одной пирамиды в точках А и В, а поверхность другой в точке С и еще одной, которую требуется построить.
45. Основание пирамиды и одно из оснований призмы находятся в плоскости б так, как схематично изображено на рисунке 35. Вершина пирамиды спроектирована на плоскость б, причем проектирующая прямая параллельна боковому ребру призмы. Постройте линию пересечения поверхностей призмы и пирамиды.
46. Дано положение точечного источника света М. Постройте: а) тень данного треугольника ABC на плоскость б, если даны ортогональные проекции точки М и вершин треугольника; б) тень данной призмы на плоскость нижнего основания; в) тень одного
Рис. 35
Рис. 36


куба на поверхность другого, если их основания находятся на плоскости б.
47. Прямая А В находится на плоскости б, а прямая CD пересекает эту плоскость. Постройте через данную точку М прямую, которая пересекает обе названные прямые (рис. 36).
48. Дан куб ABCDA\B\C\D\. Как построить через центр грани АА\В\В прямую, которая пересекает прямые BD\ и CCi?
49. а) Верно ли, что плоскость и не принадлежащая ей прямая параллельны, если они имеют общий перпендикуляр? б) Точка М находится вне плоскости б, одна йз сторон треугольника МАВ лежит на этой плоскости. Какую фигуру образуют центроиды всех таких треугольников?
50. Вершины треугольника удалены от плоскости б на 10 см, 13 см, 17 см. Найдите расстояние от центроида треугольника до этой плоскости,
51. Плоскость б проходит через основание трапеции на расстоянии 8 см от средней линии и на расстоянии 10 см от точки пересечения диагоналей трапеции. Найдите отношение длин оснований трапеции.
52. Какую фигуру образуют все точки, расстояния от которых до параллельных плоскостей б и о относятся как т:я?
53. Из вершин правильного шестиугольника ABCDEF в одну сторону от его плоскости построены к этой плоскости перпендикуляры. Плоскость б пересекает эти перпендикуляры так, что АА\ — 2 см, ВВ1 =3 см, СС\ =6 см. Какие отрезки она отсекает на других перпендикулярах?
54. На поверхности куба найдите все точки, равноудаленные от двух данных точек: а) на одном ребре; б) на двух соседних сторонах одной грани; в) на двух параллельных сторонах одной грани.
55. На поверхности куба ABCDA\B\C\D\ найдите все точки, удаленные на диагонали грани от плоскости, проходящей через ребра АА\ и СС\.
56. Прямые а, 6, с параллельны. Известно, что а пересекает ВС, b пересекает А С, с пересекает АВ под равными углами. Докажите, что прямые а, Ь, с перпендикулярны плоскости ABC.
57. Верно ли, что на трех параллельных прямых можно отметить такие точки Л, В, С, что A ABC окажется равносторонним?
58. В треугольнике ABC известно, что АА—60°У АВ — 49 см, ЛС = 50 см. Через точку Л проведена плоскость, параллельная ВС. Зная, что проекция угла Л на эту плоскость — прямой угол, найдите расстояние от плоскости до стороны ВС.


Решите аналогичную задачу, если Z.A= 60°, ЛВ = 5 см, АС = 7 см, а проекция угла А на эту плоскость — угол в 120°.
59. 	Точка М удалена от вершины угла ВАС, равного 60°, на 25 см, а от сторон АВ и АС на 20 см и 7 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ЛВС.
Решите аналогичную задачу, если АВАС=\20°, а точка 7W удалена от прямых АВ и АС на 20 см и 24 см.
60. Прямая / параллельна плоскости б. Какую фигуру образуют на плоскости б концы всех наклонных длиной а, проведенных к плоскости б из точек прямой /?
61. Точки Л и С находятся в плоскости б, а точки В и D — в плоскости <т, причем АВ = 9 см, CD = 15 см, Л С = 7 см, BD= 11 см и отрезок АВ перпендикулярен плоскостям б и а. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и CD.
62. На плоскости два острых угла с соответственно перпендикулярными сторонами равны. Верно ли утверждение о равенстве таких углов в том случае, когда названные углы не принадлежат одной плоскости?
63. Какую фигуру образуют все точки пространства, равноудаленные от трех прямых а, Ь, с, находящихся на плоскости б?
64. Углы А и В треугольника ABC равны по 30°. Найдите точку с наименьшей суммой расстояний от нее до всех вершин треугольника ABC.
65. Основания равнобокой трапеции 18 см и 24 см, ее высота 3 см. Найдите расстояние от плоскости трапеции до точки М, которая удалена от каждой вершины трапеции на 17 см.
66. Плоскость б параллельна гипотенузе треугольника ABC. Проекции сторон треугольника на плоскость б соответственно равны 51 см, 43 см, 20 см. Определите периметр и площадь треугольника ABC.
67. Стороны треугольника ABC равны 15 см, 15 см и 24 см. Точка М удалена от каждой из прямых АВ, ЛС, ВС на 12 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC.
68. Если проекция прямой МА образует с прямыми АВ и ЛС равные углы, то и прямая МА образует с этими прямыми равные углы. Верна ли обратная теорема?
69. Точка К находится на ребре А\В\ куба ABCDA\B\C\D\. Найдите на ребре AD такую точку М, что /LA\KM= ААМК.
70. МО — перпендикуляр к плоскости б. Точки О, Л, В находятся на этой плоскости. Зная, что МА = 48 см, МВ = 25 см, Z.MBO — = 2 ZL МА О, найдите длину МО.
71. Из точки М^б к плоскости б проведены перпендикуляр МО
и наклонные МА и MB. Зная, что ЛО = 33 см, ВО = 8 см, Z.AMO = = — Z.BMO, найдите длину МО.


72. 	Из точки М£ б проведены к плоскости 6 перпендикуляр МО и наклонные МА, MB, МС. Проекции МБ и МС на плоскость меньше проекции МА на 33 см и 48 см,
АОАМ: АОВМ: АОСМ= 1:2:3.
Найдите длину МО.
73. Прямая проходит через вершину прямого угла ВАС и образует с его сторонами углы в 60° и 45°. Какой угол она образует с плоскостью ABC?
74. Окружности, описанные около всех граней правильной четырехугольной пирамиды, равны. Определите величину угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
75. Угол между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 45°. Найдите угол между плоскостью основания и прямой, которая проходит через вершину пирамиды и делит сторону основания в отношении 1:2.
76. Из точки М опущены перпендикуляры: МО на плоскость ABC, MD и ME на стороны АВ и АС равностороннего треугольника, периметр которого Р — 72 см. Известно, что точка 0£ВС, а углы между MD и ME и плоскостью треугольника составляют 30° и 60°. Найдите длину МО.
77. Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Определите угол наклона диагонали призмы к плоскости основания.
78. Докажите, что координаты центра правильного многоугольника равны средним арифметическим соответствущих координат его вершин.
79. Верно ли, что сумма координат середин звеньев замкнутой пространственной ломаной равна сумме соответствующих координат ее вершин?
80. Найдите на трех попарно скрещивающихся ребрах куба такие точки /С, L, М, сумма квадратов расстояний между которыми наименьшая возможная.
81. Найдите точку с наименьшей возможной суммой квадратов расстояний от всех вершин данной правильной я-угольной:
а) 	призмы; б) пирамиды.
82. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(1; 2; 7) и отсекает на координатных осях равные отрезки.
83. Найдите расстояние между плоскостями
ax-\-by-\-cz + d = 0 и ax-\-by-\-cz — d = 0.


84. Плоскость б проходит через гипотенузу прямоугольного треугольника и образует с его катетами углы в 30° и 45°. Какой угол она образует с плоскостью треугольника?
85. Дан двугранный угол в 60°. Можно ли пересечь его плоскостью так, чтобы лучи на гранях двугранного угла образовали угол в 90°? в 120°?
86. АВ — ребро прямого двугранного угла, лучи ОС и OD находятся на его гранях и равно наклонены к АВ. Зная, что Z.COD= 150°, найдите /LAOC.
87. Точка М находится внутри двугранного угла в 60° и уда лена от его граней на 1 см и 22 см. Найдите расстояние от точки М до ребра двугранного угла.
Решите аналогичную задачу для двугранного угла в 120° и точки М, удаленной от его граней на 26 см и 37 см.
88. ABCDA\B\C\D\ — куб. Найдите величину угла между плоскостями A\B\D и B\C\D.
89. Две параллельные прямые пересекают грани данного двугранного угла: одна в точках Л и В, другая в точке С и еще одной, которую требуется построить.
90. Паук находится в точке Л на стене комнаты с квадратным основанием и ползет в точку В на соседней стене. Постройте кратчайший возможный путь паука по стенам.
91. Вне равностороннего A ABC со стороной 14 см взята такая точка М, что плоскости МЛ В, MAC и MB С образуют с плоскостью ЛВС соответственно углы 30°, 30°, 60°. Определите длину отрезка MB.
Решите аналогичную задачу для случая, когда названные углы между плоскостями 30°, 60°, 90°.
92. Треугольник ЛВС находится на плоскости 6, его ортогональная проекция на плоскость.а— АА\В\С\. Площадь ортогональной проекции треугольника .ЛiBiCi на плоскость б на 25% меньше площади треугольника ЛВС. Найдите угол между плоскостями 6 и о.
93. Ортогональная проекция квадрата на плоскость б — параллелограмм со сторонами 7 см и 8 см и диагональю 11 см, Опре делите: а) площадь квадрата; б) угол между плоскостью квад рата и плоскостью б.
94. Какую фигуру образуют все точки, сумма расстояний каждой из которых от двух данных пересекающихся плоскостей равна а?
95. Какую фигуру образуют все точки, разность расстояний .каждой из которых от граней данного двугранного угла равна а?
96. Докажите, что сумма плоских углов выпуклою трехгранного угла меньше 360°.
97* Внутри выпуклого трехгранного угла МАВС проведен луч


Рис. 37
Рис. 38
МО. Верно ли, что сумма углов ОМА, ОМБ, ОМС меньше суммы плоских углов трехгранного угла?
98. Докажите, что сумма двугранных углов выпуклого трехгранного угла больше 180°.
99. Докажите, что сумма двугранных углов треугольной пирамиды больше 360°.
100. Точка О находится внутри треугольной пирамиды ABCD. Докажите, что сумма углов, которые лучи АО, ВО, СО, DO образуют с ребрами пирамиды, меньше 720°.
101. Плоские углы при каждой вершине основания пирамиды равны между собой. Определите форму основания пирамиды.
102. Плоские углы выпуклого трехгранного угла МАВС прямые, МО — перпендикуляр к плоскости ABC (рис. 37). Докажите: а) ААВС — остроугольный; б) О — ортоцентр треугольника ABC; в) МО~2 = МА~2 МВ~2 -\-MC~~2; г) квадрат площади треугольника ABC равен сумме квадратов площадей треугольников МАВ, MAC и МВС.
103. Докажите, что не существует многогранник, имеющий ровно 7 ребер.
104. Докажите, что может существовать многогранник с любым натуральным числом ребер п >7.
105. Нарисуйте многогранник, имеющий 11 ребер.
106. Нарисуйте многогранник, отличный от пирамиды, у которого вершин столько же, сколько граней.
107. Существует ли многогранник, имеющий нечетное число граней, причем все они четырехугольники?
108. Существует ли многогранник, число вершин которого
1 3
меньше числа ребер: а) вдвое; б) в 2— раза; в) в 2-~- раза?


109. Точки Л, В, С, Д Е являются вершинами двух многогранников, у которых нет других вершин. Совпадают ли эти многогранники?
110. Верно ли, что у каждого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом ребер?
111. Можно ли определить призму как многогранник, две грани которого — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а все остальные грани — параллелограммы? Если нет, приведите изображения многогранников, опровергающие это определение.
112. Пьедестал имеет форму правильной призмы. Проходя мимо, можно видеть то 3, то 4 боковые грани. Определите число боковых граней пьедестала.
ИЗ. Точки А и В находятся на боковых гранях прямой призмы. Найдите на плоскости нижнего основания точку с наименьшей возможной суммой расстояний от А и В.
114. ABCDA\B\C\D\ — куб. Точка М находится на грани АВВ\А\, а точка N — на луче СС\ вне куба. Найдите на плоскости ABC точку Т с наибольшей возможной разностью расстояний от М и N.
115. ABCDA\B\C\D\—куб с ребром 2 см. Паук находится в центре грани АВВ\А\. Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности куба в вершину Ci?
116. Л и В — середины двух несмежных боковых ребер правильной шестиугольной призмы. Какую фигуру образуют на плоскости нижнего основания все такие точки Му что наклонные AM и ВМ равно наклонены к этой плоскости?
117. Какую фигуру образуют центроиды всех треугольников, вершины каждого из которых лежат на трех боковых ребрах призмы АВСА\В\С\?
118. ABCDEFA\B\C\D\E\F\ —правильная шестиугольная призма. Постройте отрезок с концами на ребре ЛЛ1 и диагонали BE 1, чтобы он был параллелен плоскости основания призмы и в
раза больше стороны основания.
119. Какое наибольшее число равных диагоналей может быть у наклонного параллелепипеда?
120. Верно ли, что сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов его ребер?
121. Докажите, что куб диагонали прямоугольного параллелепипеда больше суммы кубов его измерений.
122. Если диагонали четырехугольной призмы пересекаются в одной точке, то эта призма — параллелепипед. Верно ли это утверждение?
3 Заказ 741


123. Дана четырехугольная призма, у которой сумма квадратов ребер равна сумме квадратов диагоналей. Докажите, что это параллелепипед.
124. Расстояния от центра симметрии параллелепипеда до его вершин 18 см, 15 см, 11 см, 10 см. Зная, что длины трех ребер в сантиметрах выражаются последовательными целыми числами, найдите периметры граней.
125. Боковое ребро параллелепипеда 14 см, стороны основания 13 см и 9 см. Зная, что длины диагоналей в сантиметрах выражены последовательными четными числами, найдите эти длины.
126. Если диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостями его граней углы а, р, у, то tg2 ос tg р + + tg2 7^ 1,5. Докажите.
127. Докажите, что расстояние между скрещивающимися диагоналями двух соседних граней куба втрое меньше диагонали куба.
128. Верно ли, что диагональ АС\ параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ проходит через центроид треугольника BDA\?
129. М — середина ребра ВВ\ параллелепипеда ABCDA\B\C\D\. В каком отношении плоскость МА\С\ делит диагональ B\D?
130. Могут ли все грани пирамиды быть: а) прямоугольными треугольниками; б) равнобедренными прямоугольными треугольниками?
131. Докажите, что можно построить треугольник, у которого длины сторон равны суммам длин скрещивающихся ребер тетраэдра.
132. Основание пирамиды — равносторонний треугольник. Докажите, что можно построить треугольник, стороны которого равны боковым ребрам пирамиды.
133. Все ребра я-угольной пирамиды равны. Докажите, что эта пирамида правильная, и установите, какие значения может иметь п.
134. У какой пирамиды сумма плоских углов при вершине может превысить сумму внутренних углов многоугольника, являющегося основанием пирамиды?
135. На сколько частей пространство делится плоскостями всех граней правильной четырехугольной пирамиды?
136. Докажите, что сумма двугранных углов я-угольной пирамиды больше 180° (п — 1).
137. Точки А и В находятся на боковых гранях правильной пирамиды. Найдите на плоскости основания пирамиды точку с наименьшей возможной суммой расстояний от точек А и В.
138. Может ли развертка боковой поверхности пирамиды оказаться: а) равносторонним треугольником; б) квадратом; в) правильным пятиугольником; г) правильным шестиугольником?


139. Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит через вершину основания; Зная, что длина наибольшего ребра /, а двугранный угол при этом ребре 120°, найдите длины ребер.
140. Основание пирамиды MABCD — прямоугольник. Верно ли, что MA2 + MC2 = MB2 + MD2?
141. Если скрещивающиеся ребра треугольной пирамиды попарно равны, то сумма плоских углов при каждой вершине пирамиды равна 180°. Докажите.
142. Докажите, что отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке. Как относится сумма квадратов этих отрезков к сумме квадратов ребер пирамиды?
143. Если все грани пирамиды равны, то они остроугольные треугольники. Докажите.
144. Из каждой вершины основания правильной четырехугольной пирамиды проведены перпендикуляры на плоскости противоположных боковых граней. Точки пересечения этих перпендикуляров — К, L, М, N. Докажите, что эти точки лежат в одной плоскости, и выразите площадь четырехугольника KLMN через площадь Q основания пирамиды.
145. Боковое ребро правильной пирамиды МАВС образует со стороной основания угол в 75° и имеет длину /. Паук начал ползти от вершины А и, побывав на всех боковых гранях, вернулся в эту точку (рис. 38). Какова могла быть наименьшая длина пути паука?
146. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом противолежащей грани, называется медианой тетраэдра. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке. В каком отношении они при этом делятся точкой пересечения?
147. Каждую вершину тетраэдра соединили с центром окружности, вписанной в противолежащую грань. Если все эти отрезки пересекаются в одной точке, то произведения длин скрещивающихся ребер равны. Докажите.
Сформулируйте и докажите теорему, обратную условию этой задачи.
148. Через точку пересечения медиан тетраэдра МАВС проведена плоскость б, пересекающая ребра МАУ MB, МС. Докажите, что расстояние от точки М до плоскости б равно сумме расстояний от остальных вершин тетраэдра до этой плоскости.
149. Если высота тетраэдра проходит через ортоцентр грани, то суммы квадратов длин скрещивающихся ребер тетраэдра равны. Докажите.
Верна ли теорема, обратная условию этой задачи?
150. Если одна из высот тетраэдра проходит через ортоцентр грани, то и остальные высоты имеют такое свойство. Докажите.
151. Если суммы квадратов длин скрещивающихся ребер тетраэдра равны, то все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите.


152. Измерения прямоугольного параллелепипеда АА\=6 дм, AD — 12 дм, АВ— 16 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину С\ и середины ребер АВ и AD.
153. Измерения прямоугольного параллелепипеда 5 см, 6 см, 7 см. Можно ли построить сечение, имеющее форму квадрата и не содержащее ни одного ребра параллелепипеда?
154. Ребро куба а. Постройте сечение, имеющее форму правильного я-угольника, и определите площадь сечения для каждого допустимого значения п.
155. Через боковое ребро треугольной призмы построены два сечения: одно перпендикулярно противолежащей боковой грани, другое через ее центр. Плоскости сечений делят двугранный угол на три равные части. Определите двугранные углы между боковыми гранями призмы.
156. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы ABCDEFA\B\C\D\E\F\ 4 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершины А и С параллельно диагонали призмы ВЕХ.
157. В правильной четырехугольной призме проведены два параллельных сечения: одно через середины двух смежных сторон оснований и центр симметрии призмы, другое делит отрезок, соединяющий центры оснований, в отношении 1:3. Зная, что площадь первого сечения Q, найдите площадь второго.
158. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы Q. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно большей диагонали основания и делит ее в отношении \ :k (k— натуральное число).
159. Через боковое ребро четырехугольной призмы проведите сечение, которое делит основание призмы на две равновеликие части.
160. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы имеет длину а. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины параллельных сторон основания под углом 45° к плоскости основания.
161. Каждое ребро правильной шестиугольной призмы имеет длину а. Найдите площадь сечения, которое проходит через середину большей диагонали призмы перпендикулярно этой диагонали.
162. Меньшая диагональ правильной шестиугольной призмы образует с плоскостью основания угол в 45°, сторона основания 6 см. Найдите периметр и площадь сечения призмы плоскостью, которая проходит через середину названной диагонали перпендикулярно этой диагонали.
163. Все ребра правильной шестиугольной призмы имеют длины по а. Найдите площадь сечения, которое проходит через сторону основания и делит двугранный угол при основании призмы в отношении 1:2 (два случая).


164. В правильной шестиугольной призме проведена плоскость через малую диагональ основания и наиболее удаленную вершину другого основания. В каком отношении эта плоскость делит боковые ребра призмы?
165. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью не может оказаться правильным пятиугольником.
166. Ребро куба ABCDA\B\C\D\ равно а. Точка М делит ребро АА\ так, что АМ = ЪМА\. Найдите площадь сечения, которое проходит через точку М параллельно прямым BD и А\С.
167. Площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, которая проходит через середину стороны основания перпендикулярно этой стороне, равна Q. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно стороне основания и делит ее в отношении \ :k (k Ф 1).
168. Площадь сечения правильной треугольной пирамиды плоскостью, которая проходит через вершину пирамиды перпендикулярно медиане основания, равна Q. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно стороне основания и делит эту сторону в отношении 1:3.
169. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды MABCD равна 12 см, высота вдвое меньше. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину А и середины ребер MB' и MD.
170. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды вдвое больше стороны основания. Как построить сечение, которое проходит через сторону основания перпендикулярно скрещивающемуся с этой стороной боковому ребру?
171. Основание правильной пирамиды — квадрат ABCD, сторона основания и высота пирамиды равны по 6 см. На диагоналях основания отмечены такие точки М и К, что АМ\МС = 1:7, DK'-KB= 1:3. Найдите площадь сечения, которое проходит через точки М и К параллельно высоте пирамиды.
172. Докажите, что пирамиду, основание которой — выпуклый четырехугольник, можно пересечь плоскостью так, что сечение будет иметь форму параллелограмма.
173. Сторона основания правильной треугольной пирамиды 20 см, боковое ребро 30 см. Постройте сечение, имеющее форму квадрата, и определите его площадь.
174. МАВС — правильная треугольная пирамида. Даны точки D и Е на ее гранях МАВ и МВС (рис. 39). Постройте равнобедренный треугольник, у которого вершина лежит на ребре MB, концы основания — на сторонах АВ и ВС, а боковые стороны проходят через данные точки D и Е.
Как изменится решение этой задачи, если вместо треугольной пирамиды будет дана правильная пирамида MABCD?
175. Точки М и N лежат на гранях SAB и SCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD. Постройте равнобокую трапецию, у которой боковые стороны содержат точки М и N, одно из


оснований находится в плоскости SAD, а другое — в плоскости SBC.
176. Все диагональные сечения правильной шестиугольной пирамиды MABCDEF равновелики. Найдите двугранный угол: а) при основании пирамиды; б) между плоскостью основания и плоскостью MAC.
177. Основание пирамиды MABCD — ромб с диагоналями А С = 24 см и BD = 21 см. Боковое ребро МА = 18 см перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через А и середину наибольшего ребра пирамиды параллельно диагонали основания.
178. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды 13 см, сторона основания 10 см. Найдите площадь сечения, которое проходит через центр основания параллельно боковой грани.
179. Докажите, что площадь сечения, проходящего через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю
9
линию противоположной боковой грани (рис. 40), больше — площади основания.
180. Докажите, что площадь сечения, проходящего через сторону основания и среднюю линию параллельной боковой грани
13
правильной шестиугольной пирамиды (рис. 41), больше — площади основания.
181. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 16 см, высота пирамиды 18 см. Найдите расстояние от вершины пирамиды до плоскости, проходящей через сторону основания и середину скрещивающегося ребра.
182. Через сторону основания и середину высоты правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение. Найдите расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения, если сторона основания 9 см, а высота пирамиды 12 см.
Рис. 39
Рис. 40


Рис. 41
Рис. 42
183. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды а, боковое ребро Ь. Найдите площадь сечения, проведенного через середины двух соседних сторон основания параллельно боковому ребру, пересекающему эти стороны.
184. Основание пирамиды MABCD — параллелограмм, у которого длины двух сторон и одной диагонали соответственно 15 см, 13 см и 4 см. Высота пирамиды МО = 3 см проходит через центр основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через середины двух меньших сторон основания параллельно большему боковому ребру.
185. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого длины сторон и одной диагонали соответственно 17 см, 10 см и 9 см; высота пирамиды Н = 30 см проходит через центр основания. Найдите площадь сечения, которое проходит через вершину острого угла основания параллельно меньшей диагонали основания и делит высоту пирамиды в отношении 4:1, считая от вершины пирамиды.
186. Периметр основания правильной четырехугольной пирамиды 64 см, боковое ребро 17 см. Сечение, параллельное плоскости основания пирамиды, равновелико боковой грани. В каком отношении оно делит высоту пирамиды?
187. Боковое ребро и высота правильной четырехугольной пирамиды 12 см и 4 см. Найдите ребро куба, вписанного в пирамиду так, что его 4 вершины находятся на основании пирамиды, а 4 — на ее апофемах.
188. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды Я = 24 см находится внутри пирамиды. В пирамиду вписан куб так, что его 4 вершины находятся на основании пирамиды, а боковые грани параллельны меньшим сторонам основания. Найдите ребро куба.


189. 	Правильная шестиугольная призма и пирамида, каждое боковое ребро которой 17 см, имеют общее основание площадью 96 УЗ см2. Зная, что площадь малого диагонального сечения призмы 8Q -уЗ см2, найдите длину линии, по которой пересекаются поверхности этих многогранников.
190. Периметр основания прямого параллелепипеда 30 см, центр параллелепипеда удален от его граней на 2 см, 3 см и 4 см. Определите площадь поверхности параллелепипеда.
191. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 192 см2. Если бы каждое измерение было на 1 см больше, площадь поверхности была бы на 82 см2 больше. Найдите длину диагонали параллелепипеда.
192. В правильной шестиугольной призме через две параллельные стороны оснований проведено сечение. Зная, что его площадь вдвое меньше площади боковой поверхности призмы, найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.
193. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь прямоугольный параллелепипед, длина диагонали которого d?
194. Площадь боковой поверхности правильной я-угольной призмы в 2 раза больше площади основания. Найдите угол наклона диагонали боковой грани к плоскости основания.
195. Через сторону основания и центр другого основания правильной треугольной призмы проведено сечение. Его площадь относится к площади боковой поверхности как 18:35. Определите угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания.
196. Основание прямой призмы — трапеция, у которой длины параллельных сторон 9 см и 39 см. Три боковые грани призмы — квадраты. Определите площадь поверхности призмы.
197. Основание прямой шестиугольной призмы вписано в окружность, диаметр которой равен боковому ребру призмы. Три стороны основания призмы имеют длины по 3 см, а три — по 5 см. Найдите площадь поверхности призмы.
198. 5 ребер треугольной пирамиды имеют длины по а. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь эта пирамида?
199. Длины трех ребер пирамиды по 10 см, а трех остальных — по 12 см. Какую наибольшую площадь поверхности может иметь эта пирамида?
200. Может ли одна из боковых граней тетраэдра иметь большую площадь, чем две остальные боковые грани вместе?
201. Стороны АВ и АС основания пирамиды МАВС равны, ребро МА перпендикулярно плоскости основания. Зная, что площадь боковой поверхности в 4 раза больше площади основания, а сумма двугранных углов с ребрами МА и ВС равна 180°, найдите величины этих углов.


202. Правильная призма и правильная пирамида имеют общее основание и общую высоту. Может ли площадь боковой поверхности призмы быть меньше площади боковой поверхности пирамиды? Если да, то при каком условии?
203. Из центра основания правильной треугольной пирамиды МАВС, площадь поверхности которой Q, проведены лучи ОА\, OBi, OCi, соответственно параллельные боковым ребрам пирамиды (рис. 42). Найдите площадь поверхности пирамиды ОА\В\С\.
204. Через середину высоты правильной пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади поверхностей полученных многогранников относятся как 3:11. Найдите двугранный угол при основании пирамиды.
205. Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, их площади относятся как 2:6:9. Площадь основания пирамиды 66 см2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
206. Площадь основания треугольной пирамиды 14 см2. Боковые ребра взаимно перпендикулярны, их длины в сантиметрах выражены последовательными четными числами. Определите площадь боковой поверхности пирамиды.
207. Изобразите многогранник, который не является правильным, но все грани его: а) равносторонние треугольники; б) квадраты.
208. АО — высота правильного тетраэдра ABCDy точка М — середина этой высоты. Определите плоские и двугранные углы трехгранного угла MBCD.
209. Площадь поверхности куба Q. Куб повернут на 45° вокруг прямой, проходящей через центры двух параллельных граней ку¬
ба. 	Найдите площадь поверхности общей части обоих положений куба.
210. Через центр куба проведены три попарно перпендикулярные прямые. Является ли правильным многогранник, вершины которого — точки пересечения названных прямых с поверхностью куба?
211. Расстояние между двумя параллельными гранями октаэдра а. Найдите площадь поверхности октаэдра.
212. Вершины куба лежат на ребрах октаэдра. Как относятся площади поверхностей этих многогранников?
213. Сечение правильного тетраэдра плоскостью — правильный /i-угольник. Определите возможные значения п и вычислите площадь сечения для каждого из этих значений, зная, что площадь тетраэдра Q.
Решите аналогичную задачу для октаэдра.
214. Если двугранный угол правильного тетраэдра а, а двугранный угол октаэдра (3, то а + р=180°. Докажите.


215. Углы куба срезаны так, что получился многогранник, у которого 6 граней — квадраты, а 8 — равносторонние треугольники. Найдите отношение площади поверхности полученного многогранника к площади поверхности куба.
216. Углы правильного тетраэдра срезаны так, что получился многогранник, у которого 4 грани — равносторонние треугольники, а 4 — правильные шестиугольники. Как относится площадь поверхности полученного многоугольника к площади поверхности начального тетраэдра?
217. Площадь поверхности октаэдра Q. Его углы срезаны так, что получился многогранник, у которого 6 граней — квадраты, а 8 граней — правильные шестиугольники. Найдите площадь поверхности полученного многогранника.
218. Измерения прямоугольного параллелепипеда 4 см, 6 см и 9 см. Как разрезать его на две части, из которых можно сложить куб?
219. Определите объем прямоугольного параллелепипеда, у которого расстояния от центра до трех ребер равны 7 см, 8 см и 9 см.
220. Диагональ прямоугольного параллелепипеда вдвое меньше периметра основания, боковое ребро /. Найдите объем параллелепипеда.
221. Длины ребер четырех кубов в сантиметрах выражаются последовательными целыми числами. Зная, что объем одного из этих кубов равен сумме объемов остальных, найдите площади поверхности этих кубов.
222. Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда d. Какую наибольшую величину может иметь объем этого параллелепипеда?
223. Все ребра параллелепипеда имеют длины по а. Найдите его объем, зная, что плоские углы при одной вершине 45°, 60°, 90°.
224. Основание параллелепипеда — ромб с диагоналями 8 см и 16 см, боковое ребро 10 см. Три диагонали параллелепипеда равны. Найдите его объем.
225. Расстояния от центра симметрии прямого параллелепипеда до основания и боковых граней 9 см, 8 см и 6 см, периметр основания 70 см. Найдите объем параллелепипеда.
226. В прямом параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ диагонали АС\=6 дм и BDi=8 дм взаимно перпендикулярны. Зная, что ВС = 3 дм, найдите объем параллелепипеда.
227. Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда 176 см2. Расстояния от центра параллелепипеда до его граней 1 см, 2 см и 3 см. Найдите объем параллелепипеда.
228. Площадь основания правильной четырехугольной призмы равна Q. Диагонали двух граней относятся как 1:3. Найдите объем призмы.


229. Железобетонная силосная полубашня имеет форму правильной призмы. Расстояние от прямой, проходящей через центры оснований, до стен 3,65 м. Найдите толщину стен, зная, что их объем равен 6,45% полезного объема.
230. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы Q. Плоскость, проходящая через боковое ребро, делит призму на части с отношением объемов 1:3. Найдите площадь сечения.
231. Основание прямой призмы — четырехугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см. Площади боковых граней относятся как 7:15:20:24, диагональ наибольшей боковой грани 52 см. Найдите объем призмы.
232. Основание призмы — правильный шестиугольник. Объем
призмы в 2-j- раза больше произведения длин ребер, исходящих из одной вершины. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания призмы.
233. Из деревянного куба объема V вытесывается правильная шестиугольная призма. Какой наибольший объем может иметь эта призма?
234. Основание призмы — трапеция, параллельные стороны которой а и Ь. Середина каждой стороны трапеции является вершиной куба, около которого описана призма. Найдите объем призмы.
235. Найдите объем правильной треугольной призмы, у которой сторона основания а, а наибольшая возможная площадь сечения, проведенного через центры оснований, Q.
236. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро /, а основание и осевое сечение равновелики.
237. Длина пяти ребер треугольной пирамиды не больше 2 см (каждого). Верно ли, что объем пирамиды не превышает 1 см3?
238. Вершины тетраэдра являются центроидами граней другого тетраэдра. Как относятся объемы этих тетраэдров?
239. Вершины тетраэдра являются вершинами параллелепипеда, причем ни одно ребро тетраэдра не совпадает с ребром параллелепипеда. Как относятся объемы этих многогранников?
240. Длина каждого бокового ребра пирамиды 65 см, ее основание— трапеция, у которой длины сторон 14 см, 30 см, 50 см, 30 см. Найдите объем пирамиды.
241. Найдите объем и площадь поверхности пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью 2х-\-2у — z — -24 = 0.
242. У тетраэдра МАВС имеем: МА=ВС = а, МВ=АС = Ь, МС = АВ = с. Найдите объем тетраэдра.


243. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, периметры боковых граней 32 см, 34 см и 36 см. Зная, что боковые ребра равно наклонены к плоскости основания, найдите объем пирамиды.
244. Длины сторон основания пирамиды 32 см, 34 см и 34 см, периметры боковых граней 162 см, 150 см и 150 см, причем наибольший периметр у грани, содержащей наименьшую сторону основания*. Найдите объем пирамиды.
245. Основание пирамиды — треугольник периметра 36 см. Сумма длин боковых ребер 39 см. Какой наибольший объем может иметь эта пирамида?
246. Развертка пирамиды — квадрат со стороной а. Найдите объем пирамиды.
247. Докажите, что объем треугольной пирамиды меньше
квадратного корня из произведения длин всех ребер пирамиды.
248. Каждый отрезок, соединяющий середины двух скрещи- вающихся ребер треугольной пирамиды, перпендикулярен этим ребрам и имеет длину Ь. Найдите объем пирамиды.
249. Длина каждого бокового ребра пирамиды MABCD равна /. Известно, что /LAMB= АВМС= Z.AMC=90°'t AAMD = = Z.CMD. Найдите объем пирамиды.
250. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 15 см, 16 см и 17 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углами по 45°. Найдите объем пирамиды.
251. Высота правильной четырехугольной пирамиды Я, расстояние от стороны основания до параллельной боковой грани а. Найдите объем пирамиды.
252. Насыпь при переходе через овраг имеет высоту 7 м, ширину по верху 6,5 м, длину 18 м, откосы 1:1,5. Найдите объем земляных работ, выполненных при сооружении насыпи, если поперечное сечение оврага — треугольник.
Указание. В строительстве откос задается в виде отношения 1: /г, т. е. высоты к «заложению» (горизонтальной проекции откоса).
253. Найдите объем общей части двух пирамид с одинаковой высотой Я, если: а) общее основание — квадрат с диагональю rf, через концы которой проходят высоты этих пирамид; б) общее основание — квадрат со стороной а. Высоты проходят через середины двух параллельных сторон квадрата.
254. В правильной треугольной призме АВСА\В\С\ построены сечения ABC\ и А\В\С. Как относятся объемы четырех частей, на которые разделилась сечениями призма?
255. Высоты тетраэдра Н\, Я2, Я3, Я4, расстояния от внутренней точки до граней соответственно х\, лс2, лг3, х4. Верно ли, что:
a) ir+7r+7T+ir=1' б> TL+T1+Ti+T
П\ /72 Из п 4 Х\ Х2 Хз Х±


256. Объем правильной шестиугольной пирамиды V. Через малые диагонали основания проведены плоскости, параллельные высоте пирамиды. Найдите объем части пирамиды, ограниченной названными сечениями и поверхностью пирамиды.
257. Точка М — середина ребра ВВ\ параллелепипеда ABCDA\B\CiD\. Отрезки МА, МС и ВТ (Т — середина DD\) имеют длины а, Ь, с и лежат на попарно перпендикулярных лрямых. Вычислите объем параллелепипеда.
258. Развертка поверхности пирамиды — правильный пятиугольник с длиной стороны а. Найдите объем лирамиды. 3
259. Докажите, что объем правильной пирамиды менее — куба
длины бокового ребра.
260. Основание призмы — A ABC. Плоскость, перпендикулярная боковым ребрам, пересекла их в точках А\у В\, С\. Докажите, что объем части призмы, заключенной между плоскостями ABC и А\В\С\, равен произведению площади сечения на среднее арифметическое длин отрезков АА\, ВВ\, СС\.
261. Объемы двух тетраэдров, имеющих по равному трехгранному углу, относятся как произведения длин ребер этих углов. Докажите.
262. Через сторону основания правильной четырехугольной пирамиды и среднюю линию параллельной боковой грани проведена плоскость. Найдите отношение объемов частей, на которые при этом разделилась пирамида.
263. Объем правильной треугольной пирамиды равен V. Найдите объемы частей, на которые пирамида делится плоскостью, проходящей через середину высоты параллельно боковой грани пирамиды.
264. Через сторону основания и середину высоты правильной шестиугольной пирамиды лроведена плоскость. Найдите отношение частей, на которые она разделила пирамиду.
265. Ребро куба 3 см. Сумма расстояний каждой точки поверхности тела Ф от плоскости всех граней куба 15 см. Найдите площадь поверхности и объем тела Ф.
266. На гранях МАВ, MAC и МВС тетраэдра МАВС как на нижних основаниях построены три призмы. Плоскости верхних оснований этих призм пересекаются в точке D. На грани ABC как на основании построена призма, боковое ребро которой равно и параллельно отрезку MD. Докажите, что объем четвертой призмы равен сумме объемов трех первых призм.
267. Основание пирамиды — трапеция. Через вершину пирамиды и среднюю линию основания проведено сечение. Докажите, что объем пирамиды равен произведения площади, сечения на расстояние от основания трапеции до плоскости этого сечения.


268. В эллипс можно вписать сколько угодно ромбов. Верно ли, что существует окружность, вписанная во все эти ромбы?
269. Изобразите вписанную в данный цилиндр правильную призму: а) пятиугольную; б) двенадцатиугольную.
270. Изобразите описанную около данного цилиндра правильную восьмиугольную призму.
271. На боковой поверхности цилиндра даны точки А и В. Соедините их по боковой поверхности кратчайшей линией.
272. Барабан лебедки имеет длину 727 мм и диаметр 530 мм. Во время работы на него наматывается 225 м троса диаметром 17 мм. Во сколько слоев наматывается трос?
273. В треугольной пирамиде центры вписанной и описанной сфер совпадают. Докажите, что сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
274. В сферу радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида MABCD, у которой угол между боковым ребром и плоскостью основания а. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через точку А и центр сферы параллельно BD.
275. Докажите, что сечение цилиндра плоскостью, пересекающей все его образующие, имеет форму эллипса.
276. Вершины прямоугольника лежат на окружностях оснований цилиндра, у которого радиус 13 см, а образующая 32 см. Найдите площадь прямоугольника, зная, что его стороны относятся как 1:4.
277. Высота и основание равнобедренного треугольника 8 см и 6 см. Цилиндр касается всех сторон треугольника, образующие наклонены к плоскости треугольника под углами по 30° (рис. 43). Найдите радиус цилиндра.
Рис. 43


278. Длина ребра правильного тетраэдра а. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, у которого диаметрами оснований являются два скрещивающихся ребра названного тетраэдра.
279. Плоскость, не проходящая через вершину конуса, пересекает все его образующие. Установите форму сечения.
280. Наибольшая возможная площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса, вдвое больше площади осевого сечения конуса. Найдите величину угла между образующей и плоскостью основания конуса.
281. Радиус основания конуса 11 см, его высота 9 см.. Найдите наибольшую возможную площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса.
282. В конус вписана правильная треугольная призма, у которой каждое ребро имеет длину а. Четыре вершины призмы находятся на окружности основания конуса, а две — на его боковой поверхности. Найдите высоту конуса.
283. Ребро куба ABCDA\B\C\D\ равно а. Основание конуса находится в плоскости грани ABCD, а вершина — в центре параллельной грани. Прямая / касается боковой поверхности конуса. Определите радиус основания конуса, если прямая / проходит через: а) вершину Вл и середину ребра CD; б) вершину В и середину ребра CiDi; в) вершину В\ и середину диагонали грани DDiCiC; г) вершину В и середину диагонали грани DD\C\C\
д) 	вершину С и середину ребра DD\\ е) вершину С\ и середину ребра DDi; ж) середины ребер CD и ВВ\\ з) середины ребер CiDi и ВВ\\ и) середины ребер А\В\ и AD\ к) середины ребра AD и диагонали грани АА\В\В\ л) середины ребра А\В\ и диагонали грани AA\D\D\ м) вершины D и С\.
284. Около конуса описана треугольная пирамида, площади боковых граней которой относятся как 5:6:7. Как относятся площади частей, на которые боковая поверхность пирамиды делится линиями касания поверхностей пирамиды и конуса?
285. Диагональ куба проходит через вершину и центр основания равностороннего конуса, причем один ее конец является вершиной конуса, а окружность основания конуса касается трех граней куба. Найдите радиус основания конуса.
286. Какую фигуру образуют все такие точки М, через каждую из которых можно построить к данной сфере три взаимно перпендикулярные касательные?
287. Точка М находится вне плоскости б. Какую фигуру образуют центры всех сфер радиуса а, которые проходят через точку М и касаются плоскости б?
288. Два сечения шара взаимно перпендикулярны, их площади 185 я см2 и 320 п см2. Определите радиус шара, зная, что общая хорда сечений 16 см.
289. В шаре радиуса 18 см проведены два взаимно перпендикулярных сечения, общая хорда которых 2 см. Зная, что площади сечений относятся как 4:9, найдите площади сечений.


290. В сферу радиуса R вписана правильная шестиугольная призма. Радиус сферы, проведенный в вершину призмы, образует с плоскостью боковой грани угол а. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
291. Четырехугольная призма описана около сферы. Верно ли, что суммы площадей противоположных боковых граней равны?
292. Скрещивающиеся ребра тетраэдра попарно равны. Верно ли, что центры вписанной и описанной сфер совпадают?
293. Каждое ребро четырехугольной пирамиды имеет длину а. Найдите радиус сферы, которая касается всех ребер пирамиды.
294*. Радиус описанной около тетраэдра сферы /?, радиус вписанной сферы г. Докажите, что R^3r.
295. Радиус вписанной в тетраэдр сферы г; радиусы сфер, каждая из которых касается одной грани и продолжения трех остальных граней, г 1, r2, r3j г4. Докажите, что:
а) 	---= “~+7_'Н“7_+7_ ; б) г\ + /'2 + /'з + /'4^8г.
г Г\ Г 2 г 3 Г 4
296. Около сферы радиуса г описан тетраэдр. Плоскости, касательные к сфере и параллельные граням тетраэдра, отсекли от него 4 тетраэдра. Радиусы сфер, вписанных в эти тетраэдры, П, г2, гз, г4. Докажите, что
Г1 —1“ Г2 Н” Г3 ~~I- Г4 === 2г.
297. Величина двугранного угла а, шар радиуса R касается его граней. Найдите радиусы наибольшей и наименьшей сфер из числа тех, которые касаются граней двугранного угла и названного шара.
298. Четыре шара радиуса R расположены так, что каждый касается трех остальных. Найдите радиус сферы, которая касается названных четырех шаров.
299. Центры четырех шаров радиуса R находятся в вершинах квадрата, периметр которого 8R. Пятый шар радиуса R касается четырех названных шаров. Найдите радиус сферы, которая касается всех пяти шаров.
300. Даны плоскость б и точки А и В. Какую фигуру образуют центры всех сфер, каждая из которых проходит через точки А и В и касается плоскости б?
301. Напишите уравнение сферы, которая имеет центр в начале координат и касается плоскости, отсекающей на осях координат отрезки длиной а, 6, с.
302. Двугранные углы одного из трехгранных углов тетраэдра прямые, длины ребер, исходящих из вершины этого угла, равны 4 см, 6 см и 18 см. Найдите радиус сферы, вписанной в этот тетраэдр.
303. Около шара радиуса г описан куб. Найдите радиус сферы, которая касается данного шара и трех граней куба.


304. Плоскость б касается шара в точке А. На продолжении диаметра АВ = Ь взята такая точка М, что МВ = ВА. В этой точке находится источник света. Определите площадь тени на плоскость б.
305. Радиусы окружностей, описанных около основания и боковой грани правильной треугольной пирамиды, соответственно 8 см и 7 см. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.
306. Радиусы окружностей, описанных около основания и боковой грани правильной четырехугольной пирамиды, соответственно 4 см и 3 см. Найдите радиус описанной сферы.
307. Около шара радиуса г описан правильный тетраэдр. Найдите радиус сферы, которая касается данного шара и трех граней тетраэдра.
308. Около сферы описана правильная n-угольная призма. Определите угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания призмы.
309. Докажите, что меньшая из дуг окружности большого круга сферы, проходящей через две точки сферы, соединяет их по сфере кратчайшим путем.
310. Шар, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду, и сфера, описанная около этой пирамиды, имеют общий центр. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.
311. Сфера касается всех ребер тетраэдра. Верно ли, что суммы скрещивающихся ребер тетраэдра равны между собой?
312. Основание пирамиды — параллелограмм со сторонами 12 см и 30 см, боковые ребра равны, высота пирамиды 8 см. В пирамиду вложены 4 равных шара, каждый из которых касается двух шаров, боковой грани и основания в точке на отрезке, соединяющем середины параллельных сторон основания. Определите радиусы вложенных шаров.
313. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 дм, высота Н = 4 дм. В пирамиду вложены 4 равных шара, каждый из них касается двух шаров, основания и одной из апофем пирамиды. Найдите радиусы шаров.
314. Через диаметр основания равностороннего цилиндра радиуса R проведена плоскость под углом 45° к основанию. Найдите объемы частей, на которые эта плоскость разделила данный цилиндр.
315. Квадрат, площадь которого 120 см2, согнув, поместили на поверхности конуса так, что одна диагональ совпала с образующей, а концы другой диагонали совместились. Найдите объем конуса.


316. Около треугольной пирамиды, периметры боковых граней которой 180 см, 194 см, 196 см, описан конус. Зная, что одна из граней пирамиды содержит высоту конуса, определите объем конуса.
317. Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды 10 см, сторона основания 12 см. Боковая грань вписана в окружность основания конуса, одно боковое ребро находится на боковой поверхности конуса. Найдите объем конуса.
318. Для вычисления объема конической кучи сыпучих материалов применяют приближенную формулу
где / — длина «перекидки» (ломаной, соединяющей через верщину кучи две диаметрально противоположные точки окружности основания). Зная, что у большинства сыпучих материалов угол естественного откоса 25°—45°, исследуйте точность формулы.
319. Вписанный в правильную четырехугольную пирамиду по- лушар (основания пирамиды и полушара находятся в одной плоскости) касается боковых граней пирамиды в ортоцентрах этих граней. Докажите.
320. Все ребра четырехугольной пирамиды равны по а. Высота пирамиды является диаметром шара. Найдите длину линии пересечения поверхностей этих тел.
321. В цилиндр вписан конус, а в конус — шар. Объемы конуса и шара вместе составляют 50% объема цилиндра. Найдите величину угла при вершине осевого сечения конуса.
322. Радиусы четырех шаров составляют арифметическую прогрессию с разностью 3 см. Найдите объемы этих шаров, зная, что объем одного из шаров равен сумме объемов остальных.
323. Плоскость отсекает от шара радиуса R сегмент высотой Я. Докажите, что объем этого сегмента
V=nH*(R->L)
324. Расстояния между центрами попарно касающихся сфер 6 см, 8 см, 10 см. Найдите объемы шаров, ограниченных этими сферами.
325. Докажите, что объем шарового слоя, у которого радиусы оснований и высота соответственно а, 6, Я,
V=jrH(3a2 + 3b2 + H2).
27 1
326. 	Шар радиуса 6 дм и плотностью — г/см плавает в воде. На какую высоту он выступает из воды?


327. Шар радиуса 9 см плавает в воде, из воды выступает его часть высотой 6 см. Определите плотность материала, из которого сделан шар.
328. В цилиндр вписана треугольная призма, периметры ее боковых граней 54 см, 56 см, 72 см. Зная, что одна из боковых граней призмы содержит центры оснований цилиндра, определите площадь боковой поверхности цилиндра.
329. В цилиндр вписана четырехугольная призма, у которой периметры боковых граней 30 см, 46 см, 56 см, 64 см. Зная, что одно из диагональных сечений призмы содержит центры оснований цилиндра, найдите площадь поверхности цилиндра.
330. Ребро куба а. Ось равностороннего цилиндра лежит на диагонали куба, каждое основание касается трех граней куба. Определите площадь поверхности и объем цилиндра.
331. Длина каждого ребра четырехугольной пирамиды равна а. Найдите площадь поверхности равностороннего цилиндра, у которого образующая находится на основании пирамиды, а окружность каждого из оснований касается апофем двух несмежных боковых граней.
332. Ребро куба а. Четыре параллельных ребра куба являются осями цилиндрических поверхностей радиуса а. Найдите площадь поверхности и объем тела, ограниченного названными поверхностями и гранями куба, не содержащими ни одного из ука: занных ребер.
333. В конус вписана четырехугольная пирамида, у которой периметры боковых граней 78 см, 94 см, 104 см, 112 см. Зная, что одно из диагональных сечений содержит высоту конуса, найдите площадь поверхности конуса.
334. В правильную треугольную пирамиду вписан конус и около нее описан конус. Отношение площадей боковых поверхностей конусов равно 1:3. Найдите величину плоского угла а при вершине пирамиды.
335. Высота правильного тетраэдра 12 см. Точка, равноудаленная от всех вершин тетраэдра, является центром сферы радиуса 4 см. Найдите площадь той части сферы, которая находится внутри тетраэдра.
336. В цилиндр вписан конус, а в конус — шар. Зная, что отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара равно 8:3, найдите величину угла а при вершине осевого сечения конуса.
337. Найдите площадь сферы, которая касается всех координатных плоскостей и имеет центр на плоскости 8л:+ 4у-\-г—48 = 0.
338. В сферу площади Q вписан правильный тетраэдр. Найдите площади частей, на которые сфера делится плоскостями всех граней тетраэдра.
339. Ребро куба 10 см, центр куба является центром сферы радиуса 6 см. Найдите площадь поверхности той части куба, которая находится внутри сферы.


340. Равносторонний конус и полушар радиуса R имеют общее основание, по одну сторону которого они находятся. Найдите площадь поверхности той части полушара, которая находится внутри конуса.
341. Измерения прямоугольного параллелепипеда 50 см, 48 см, 30 см. Шар касается двух меньших граней параллелепипеда в их центрах. Найдите площадь поверхности той части параллелепипеда, которая находится внутри шара.
342. Радиус основания равностороннего конуса /?, высота конуса является диаметром шара. Найдите площадь той части шара, которая находится внутри конуса.
343. Около сферы описана правильная шестиугольная призма. Через боковое ребро проведена плоскость, разделившая призму на части с отношением объемов 1:5. Как относятся площади частей, на которые плоскость разделила сферу?
344. Около сферы описана правильная треугольная призма. Через боковое ребро призмы проходит плоскость, которая делит призму на части с отношением объемов 1:2. Как относятся площади частей, на которые эта плоскость разделила сферу?
345. Около сферы площадью 20я см2 описана правильная четырехугольная пирамида MABCD, у которой сторона основания 6 см. Плоскость, проведенная через вершину С и середину стороны АВ перпендикулярно плоскости основания, разделила сферу на две части. Найдите их площади.
346. Двугранный угол при основании правильной шестиугольной пирамиды 60°. Через малую диагональ основания проведена плоскость, параллельная высоте пирамиды. Как относятся площади сфер, из которых одна вписана в шестиугольную пирамиду, а другая — в отсеченную треугольную пирамиду?


Вычислите (1-4).
t 2 sin2 x — 4 sin x cos x4-1 , 1
1. —; 2 —Г~ При tgX = —.
7 sin jc cos jc + 4 cos x—1 1 & 2
Л 2 sin4 x — 3 sin2 x-\-1 , 1
2. : — При tg X = — .
3-j-cos Jt—2 cos * 3
0 sin x — 2 cos x ^ 2
. 3- cos3x-3sin3x ПРИ Ъ X = T-
4. (s;"* + cos^ + 2(s;n*-cosx) tgJC = 0,6.
(sin x — cos X) — 7 (sin л: + cos x) r °
Найдите соотношения между a, b, исключив переменные x и у (5-14).
5. a) sin х — cosx = a, sin3 x — cos3 x=b\
6) sin x + cos x = a, sin4 x + cos4 x = b.
6. a) a sin x-\-b cos x = a cos x — 6sinx = c;
6) a sin2 x-\-b cos2 x = a cos2 */ + 6 sin2 y= 1, atgx = 6tg#.
7. sinx — cosx = a, tgx —ctgx = 6.
8. tgx + ctgx = a, — 1 —=b.
& 1 ь Sin X COS X
9. sinx — cos x = a, sin3 x + cos3 x = b.
10. sinx — cos x = a, tg2 x + ctg2 x = b.
* * sin3 x , cos3 x sinx , cos x u
11  . : —CL, о г- : о —u.
cos X sin X cos X sin X
sin x . cos x j I i i
12. 2 "J : о— = ai tg X + ctg x = b.
cos2 X ' sin2 X b 1 b
13. sin x + cos x = a, sin 2x + cos 2x = b.
14. sin x + cos x = a, sin3 x + cos 3x = b.
Докажите неравенства (15—23).
15. 4~< ^-:a h 9QS-a— <JL если a —острый угол.
2 1+sina 1+cosa 7 r J
2 ^ sin2 a ■ cos2 a
3 ^ 1 -j-cos2a ' 1 sin2 a
tn г\ л sin a i cos a ^ A c
17. 0,4 < , - : 4 h-TT i—<0,5.
1 +sin a 1 -j- cos a


18. 0,4 <
cos a sin a
22. a) 2sin‘x + 2cos'!x^t2^j2;
б) 2sinx-3cosj;<4;
в) 25>*-5СН5*<6.
Учтите, что lg 2^0,301, lg 3^0,477.
23. tg l° + tg 2° + tg 3° + ... + tg 44°>44 (-y/2— 1).
Установите, при какой комбинации знаков верны равенства
24. 2 cos ~y= =+=л/1 +sin а±л/1 —sin а, причем а = 556°.
25. 2 sin ~y= ±л/1 +sin adzл/l —sin а, причем а = -Ц-я. Постройте графики функций (26—30).
26. y=^^Js\n* х-\-4 cos2 x-\--\/cos4 х-\- 4 sin2 х.
28. £/ = V9 — cos 2х-|-8 sin х + -д/9— cos 2х — 8 sin х.
29. у = д/2 + sin4 х —cos 2x + V2 + cos4 x + cos 2x.
30. y = \/4 sin4 x — 2 cos 2x + 3+V4 cos4 x-j-2 cos 2x-\-3.
Докажите равенства (31—36).
(24—25).
27. 	# = Уsin4 x-f-cos 2x -fVcos4 * —cos 2%.
: . =2costI-
34. tgi=V2-V2+V2+V3:V2+V2+V2 + V3.
or 1 ± ~ я • _ л • 8л
35. — tg -^-= sin —• sin —• sin —.


Докажите условные равенства (37—48).
37. 	Если tg2 а = 2 tg2 р + 1, то cos 2a + sin2 р = 0.
38. 	Если CQS а — sinт0 р. cos 2а -|- cj • sin 2ос = Р- р я
39. 	Если a-tg а + fe-tg р = (а + 6)-tg , то a-cosp = fe-cosa.
40. 	Если a-cos x = b-cos у, то ctg -ctg * 2 -= .
sin х . cos х
III Л | сиь Л I
1? 1 (a+bf ’
ЛСк Sin X
42. Если
а
sin 2х sin Зх
6
с
sin Ах а-^с b + d
—-—, ТО =—1—
d b с
гг sin a sin За sin 5а Л х —2y-\-z у— Зх
43. Если = -= ■, то —— .
X у z у х
44. Если tg а и tg р корни уравнения х2 -\-px-{-q=0, то величина суммы
sin2(a-(-'p)4-/>*sin (a + p) cos (a + p)+ <7 cos2 (a + P) не зависит от p.
45. Если a, p, у составляют арифметическую прогрессию, то
46. Если sin р равен среднему пропорциональному sin а и cos а, то
48. 	Если arctgx + arctg */ + arctg z=n, то
x + y + z=xyz.
Докажите, что при а + р+у = л верны равенства (49—57).
cos 2р = 2 cos2^-j-+a^ .
47. Если у = arctg
Vi +*2—V1 —х2


49. .tg (a —p) + tg '(p—v) + tg(v —a) = tg (a — p)-tg (p—y)X Xtg (y — a).
50. ctgpH — ctg y~| —.
& r cos a • sin p & * cos a-sin у
51. sin a + sin p + sin y=4 cos cos -J-cos -2-.
52. sin a — sin p + sin у = 4 sin cos sin -y-.
53. cos a + cos p-j-cos y = 1 +4 sin -|-sin -|-sin
54. cos 2a + cos 2p+cos 2у-(-4 cos a cos p cos y+ 1 =0.
55. sin2 2a + sin2 2p + sin2 2y + 2 cos 2a cos 2p cos 2y = 2.
oir.2 7 (sin p + sin у-sin a) (sin v + sin a-sin p)
oo« Sill — a~ • • л- .
2 4 sin a sin p
57 COS PC | COS ft | COSY 2
sin p sin у sin a sin у sin a sin p
Докажите соотношения в треугольнике ABC (58—65).
58. (a-b):(a + b)=tg^-:tg^±i..
59. S^-i-(a2 — ab-\-b2).
60. 	(b-\-c) cos A +(a + c) cos B-\-(a-\-b^ cos C = P.
61 • (b + c) • cos2 -y+(a + c) • cos2 -|-+(a + 6) • cos2 -|-=-|- Я.
02 s^n2 ^ cos Л-cos# ■ cos Л-cos С ■ cos В-cos С
a2 ab ’ ac 6c
63. a-sin (B —C)+6-sin (C—4) + c-sin (Л —S)=0.
a2-sin (В — C) . fr2-sin (С—Л) . c2-sin (A — B) „
sin Л ‘ sin В sin С
65. Если против сторон a, Ьу с лежат углы, радианные меры которых а, р, у, то
л ^ аа -[-6р-|-су ^ л 3 ^ а-\-Ь-\-с 2
Докажите соотношения в четырехугольнике ABCD (66—69).
66. sin Л + sin В + sin C + sin D = A sin A~^B sin A~^C sin B^~C .


67. sin Л— sin B + sin С — sin D = 4 cos ^±!L sm cos -^±£
68. cos A + cos В + cos С+cos D=4 cos 4|J? cos cos .
69. cos A —cos S-f-cos С—cos D = 4 sin ^ 5 cos — sin B c.
Найдите зависимость между углами а, р, у (70—76).
70. tga + tgP + tgy = tga-tgP-tgY.
71. cos a + cos p+cos y = 1 +4 sin -|-sin -|-sin
72. sinct + sin p + sin y = 4 sin sin ^±1 sjn .
73. sin2 a + sin2 p-f sin2 y —2 = 2 cos a cos p cos y.
74. sin2 a + sin2 p — sin2 y = 2 sin a sin p sin y.
75. ctg -|-ctg ~2 hctg -f-ctg -y+ctg -f--ctg -|-= 1.
76. tg-|-tg-|-+tg^-tg-|-+tg-|-tg-2-=l.
Выполните упражнения с помощью тождественных преобразований (77—84).
77. Верно ли, что при положительных х, у, 2
tg(igf)+tg(igi)+tg(igf)= =tg(igf)-tg(igf)-ig(igf) ?
78. Вычислите без помощи таблиц и калькуляторов:
^£-2^+1 ^^+2t*s+1 ’
79. Верно ли, что tg2 и ctg2 — корни уравнения
х2— 6л:+1 =0?
80. Исключите х и у, зная, что
tg*+tgi/ = tg a, ctg х + ctg у = ctg p, x-\-y=y.
81. Исключите x и у, зная, что
sin x + sin y = a, cos x + cos y = b, cos (x — y) = c.


82. Докажите, что
tg 5° + 2 tg 10° + 4 tg 20° + 8 tg 40° = ctg 5°- 16 ctg 80°.
83. Докажите, что произведение синусов внутренних углов тре-
2
угольника меньше —.
84. Величины углов 3°, 21°, 39°, 57°, ... составляют арифметическую прогрессию. Докажите, что произведение синусов любых десяти последовательных членов этой прогрессии по модулю рав-
1
но
1024
Вычислите без помощи таблиц и калькуляторов (85—101).
85. 	a) cos 12°-cos 24°-cos 48°-cos 96°;
6) cos -j--cos cos-y1.
86 tgl2° I tg24° . tg 48° tg 96°
■ cos 24° "r cos 48° ' cos 96° ' cos 192° *
o*7 ~ 9я 13л 15л 16л
87. a) COS —-cos-y-cos-yy cos-уг-;
6) cos 6° • cos 42° • cos 66° • cos 78°.
оо л 2л _ Зл 4л 5л 6л 7л
88. COS —• COS —• COS —• COS —• COS —• COS —• COS — .
15 15 15 15 15 15 15
on 31 7л 13л 19л 25л
89- cos W cos W cos ~W'cos ~W'cos “30" •
90. sin6°*sin 12°-sin 18°-sin 24°•...•sin 84°.
91. tg 20Q • tg 30° • tg 40° • ctg 10°.
92. ctg 20°-ctg 40°-ctg80°.
93. tg 9° — tg 27°—tg 63° -|-tg 81°.
94. a) sin2 10° + sin2 50° + sin2 70°;
6) sin2 20° +sin2 40° +sin2 80°.
95. cos4 10° +cos4 50° + cos4 70°.
96. a) tg2 10° + tg2 50° + tg2.70°;
б) ctg2 10° +ctg2 50° +ctg2 70°;
в) tg4 10° + tg4 50o+tg4 70°.
П-7 \ 1 1 1 I 1
97‘ a' sin2 10° ' sin2 50° sin2 70° ’
1,1,1
6)
cos2 10° cos2 50° cos2 70°


98. a) sin 18°; б) cos 36°; в) tg 22°30'; г) tg 67°30';
Д) tg 15°; е) tg 75°; >K)tg-f~tg^.
99. a) sin 7° + sin 43° + sin 79° + sin 115° + sin 151° + sin 187°+ + sin 223° +sin 259° +sin 295° +sin 331°;
6) cos 5°+cos 29° + cos 53°+cos 77°+cos 101°+cos 125° +
+ cos 149° +cos 173° +cos 197° + cos 221° + cos 245°+cos 269° + + cos 293°+cos 317°-f-cos 341°.
100. tg l° + tg5° + tg9° + ...+tg 177°.
101. (lg (21 -tg l°) + lg (22*tg 2°) + lg (23-tg 3°) + ...+
+ lg (289-tg 89°)): lg sin 45°.
Докажите, что при натуральных т и п выполняются равенства (102—105)
Ю2. sin -^V+sin ^HL+sin -^L+.„ + sin ,2”-|;m:r = 0,
rt+ 1 /1+1 Я+ 1 tl + 1
ino . 2 та i . 6 тя . . 10 тя , . . 2(2 n—1)тл
103- 51П2МГГ+51П2^+Т + 51П2^+Т + --- + 31П 2и+ 1 - =
1 2 гал
~~~T g 2/2+1 *
* 2тя , 4/ил , бгад , , 2п • т.п 1
104- COS 2^+T+COS *TfT+COS 2^+Г+- +C0S ~2п + Г=
105. sin2 ^V+sin2 -^fL+sin2 iiH-+... + sin2 &+!)”? =£±1.
/2+1 /2+ 1 ' /I + 1 ' /1+1 2
Найдите сумму числовой последовательности (106—127).
106. sin а + 2 sin2 а + 3 sins а + 4 sin4 а + ..., если а — острый угол.
107. sin а + 3 sin2 а + 5 sin3 а + 7 sin4 а + ..., если а — острый угол.
108. cos а — 2 cos2 а + 3 cos3 а — 4 cos4 а + ..., если а — острый угол.
109. cos а + 3 cos3 а+ 5 cos5 а+ 7 cos7 а + ..., если а — острый угол.
110. sin а sin2-|-+2 sin-|-sin2 ^-+4 sin-j-sin2-^-+... +
+ 2"_1 sin ^TT-rsin2


111. 	tg-^-sec a+tg-j-sec —htg -rf-sec - При этом
sec x -
2 l
COS X
H2. —W+TT^+TT^-+-4 1
113.
sin 2° sin 4° sin 8° sin 1048576°
1 . 1 1
cos a cos 2a cos2acos3a cos3acos4a *" cos 1000a cos 1001a ’
если 0<a " n
2002 ‘
114. arctg -i-+ arctg -i-+ arctg -1-+... + arctg f(a+';+, -
115. arctg 3 +arctg 7 +arctg 13 + ... + arctg (n2-\-n +1).
116. arctg -£-+ arctg -L+ arctg ±+... + arctg ^ .
117. cos-^+cos-|~|-cos ||+... + cos-^.
* * о 2л , 4л , 6л . , 20л
118. COS—+ COS—+ COS—+...+COS —.
119. cos a “I-cos (ос “I- j5)“I-cos (a “I-2|3)“I-... “j-cos (a
120. sin a sin 2a-(-sin 2a sin 3a + sin 3a sin 4a + ... + -{- sin 1000a sin 1001a.
121. sin a + sin 3a + sin 5a + ... + sin (2n — 1) a.
122. sin a — sin 2a + sin 3a — sin 4a + ... —sin 500a.
123. sin2 a + sin2 2a + sin2 3a + ... + sin2 na.
124. cos a — cos 2a + cos 3a—cos4a + ... — cos 1000a.
125. cos2 a + cos2 2a + cos2 3a + ...+cos2 999a.
126. sin3 a + sin3 2a + sin3 3a + ... + sin3 na.
127. cos3 a + cos3 3a + cos3 5a + ... + cos3 (2n— 1) a.
Докажите, что для треугольника ABC справедливы утверждения (128—132).
128. Если
(a2 + b2) sin (А —В)=(а2 — b2) sin (А +В), то треугольник равнобедренный или прямоугольный.
129. Если
А 2 В В 2 А
SHI — COS — = sin — COS —,
то треугольник равнобедренный.


130. Если углы Л, В, С треугольника равны соответственно 2а, За, 4а, то
131. Если
cos Л-f-cos В = 4 sin2
то числа а, b, £ образуют арифметическую прогрессию.
132. Если в треугольнике
a-sin B-\-b*sin А = 2тс,
то этот треугольник равнобедренный.
Решите уравнения (133—138).
133. а) sin 9x + cos 6х + 2 = 0; б) (sin x)~Sinx= 1 + ctg2 х.
134. sin 6х — cos4 х = 4у2 + 4у + 3.
135. sin2 x + sin2 2x + sin2 Зх + sin2 4x + sin2 5x = 2,5.
136. 8 sin x = —^—I —
cos x sin x
137. Vsin2 x + ^cos2 x=^[4.
138. tg(n tgx) = ctg(ttctgx).
Решите планиметрические задачи (139—154).
139. Докажите, что в треугольнике ABC
д/sin Л д/sin В
д/sin в + д/sin С— д/sin Л д/sin Л-\-д/sin С—д/sin в
_j д/sin С __^>з
д/sin Л+д/sin В-{-д/sin С
140. Центроид прямоугольного треугольника лежит на вписанной в него окружности. Найдите величины острых углов треугольника.
141. Ортоцентр равнобедренного треугольника лежит на вписанной в него окружности. Найдите величины углов треугольника.
142. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, в 3-^- раза меньше боковой стороны. Найдите величины углов треугольника.


143. В треугольнике ЛВС известно, что /_А = /LC = 70°. Внутри треугольника отмечена такая точка Му что Z.MAC = 30°, /_МСА= 50°. Найдите zLMBC.
144. Сумма высот равнобедренного треугольника в 4-— раза
больше диаметра вписанной окружности. Найдите величины углов треугольника.
145. Периметр равнобедренного треугольника относится к высоте, проведенной к боковой стороне, как 10:3. Найдите величины углов треугольника.
146. Внутри треугольника ABC отмечена такая точка М, что /LMAB = АМВС = Z.MCA = q>. Докажите, что
ctg ф = ctg Л + ctg B+ctg С.
147. В треугольнике ABC отмечены такие точки М и А/, что /_МАВ=АМВС= Z_MCA = /LNAC= ANCB= Z.NBA=y. Докажите, что
MN2 = AR2 sin2 ф (1 — 4 sin2 ф).
148. Точка М находится внутри окружности. Две окружности, касающиеся одна другой в точке М, касаются и данной окружности. Докажите, что радиусы г\ и г2 этих окружностей и радиусы г3 и г4 другой пары таких окружностей связаны соотношением 1 1 1,1
ГI Г2 гъ г4
149. Сторона равностороннего треугольника а. Найдите сумму квадратов расстояний от всех вершин треугольника до прямой, проходящей через его центр.
150. Лучи AMу ВМ, СМ образуют со сторонами треугольника ABC, из вершин которого они проведены, соответственно углы а\ и а2, Pi и р2, Yi и 72. Докажите, что
sin а\ - sin pi - sin 71 =sin a2-sin p2-sin 72.
151. Сформулируйте и докажите теорему, обратную условию задачи 150.
152. Через точку О биссектрисы угла М проведены две прямые, пересекающие стороны этого угла в точках Л и Ву С и D. Верно ли,
что 1 1 1 !
~мс ?
153. ABCD — квадрат. Точка М луча В А находится вне квадрата. Отрезок MD пересекает окружность, описанную около квадрата, в точке К. Хорда КС пересекает сторону квадрата в точке Ё
(рис. 44). Верно ли, что
“Г—I—~=-^~ ?
AM ' АВ АЕ '


154. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке /С. Тогда Н1 и #2 — ортоцентры треугольников АВК и CDK, точки Mi и М2 — центроиды треугольников ВСК и ЛД/(. Докажите, что
Я,Я2_1_М,М2.
Решите задачи на свойства перпендикуляра и наклонных к плоскости (155—160).
155. Из точки М(8 проведены Рис- 44 к плоскости 6 наклонные МЛ =23 см
к МВ = 9 см. Углы, которые составляют эти наклонные с плоскостью, относятся как 1:3. Найдите расстояние от точки М до плоскости б.
156. Из точки М^б проведены к плоскости б наклонные МЛ = = 79 см и MB = 25 см. Зная, что углы, которые составляют эти наклонные с плоскостью, относятся как 1:5, определите расстояние от точки М до плоскости б.
157. Из точки М ( б проведены к плоскости наклонные МЛ и MB так, что проекция МЛ = 600 см и проекция MB = 119 см. Угол между MB и плоскостью б в 4 раза больше угла между МЛ и этой плоскостью. Определите расстояние от М до плоскости б.
158. Из точки М, не принадлежащей плоскости б, проведены к этой плоскости наклонные длиной 20 см и 7 см и перпендикуляр МО. Одна из наклонных образует с МО угол, вдвое больший, чем другая. Определите расстояние от точки М до плоскости б.
159. Из точки М([б к плоскости б проведены наклонные МА и MB, углы наклона которых к плоскости б относятся как 1:3. Зная, что проекции наклонных на плоскость 11 см и 37 см, найдите расстояние от точки М до плоскости.
160. В точке О к плоскости б восставлен перпендикуляр. На нем отмечены такие точки Л, Б, С, что АО — ВО = 144 см, ВО — СО = 25 см. На плоскости есть такая точка М, что
ААМО: АВМО: АСМО = 4:3:1.
Найдите МО.
Решите задачи на свойства многогранников и тел вращении (161 — 184).
161. Углы, которые диагональ правильной четырехугольной призмы образует с тремя гранями, имеющими общую вершину, относятся как 2:3:2. Найдите величины этих углов.
162. Малая диагональ правильной шестиугольной призмы образует с плоскостью основания угол на 15° меньше угла между


этой плоскостью и диагональю боковой грани. Найдите величины названных углов.
163. Основание пирамиды — равносторонний треугольник, ее высота равна радиусу окружности, описанной около основания. Двугранные углы при основании относятся как 1:1:2. Найдите величины этих углов.
164. Основание пирамиды — квадрат, двугранные углы при основании относятся как 1:2:7:2. Найдите величины этих углов.
165. Основание пирамиды — прямоугольник с отношением сторон 2:3. Двугранные углы при основании относятся как 1:2:3:2. Найдите величины этих углов.
166. Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого в 14 раз меньше периметра. Найдите величины двугранных углов при основании, зная, что они относятся как 1:2:1:3.
167. Диагонали правильной шестиугольной призмы образуют с плоскостью основания углы, которые относятся как 2:3. Найдите величины этих углов.
168. Развертка поверхности пирамиды — треугольник, у которого к стороне длиной а прилегают углы по 54°. Найдите объем пирамиды.
169. Двугранный угол при основании правильной шестиугольной пирамиды в 2 раза меньше угла между смежными боковыми гранями. Найдите эти углы.
170. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания и диагональных сечений. Определите величину плоского угла а при вершине пирамиды.
171. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания и малых осевых сечений пирамиды. Найдите плоский угол а при вершине пирамиды.
172. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна сумме площадей основания и осевых сечений. Найдите величину плоского угла а при вершине пирамиды.
173. Площадь полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна сумме площадей диагональных сечений, не проходящих через центр основания. Найдите величину плоского угла а при вершине пирамиды.
174. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды, в 3 раза больше диаметра вписанной сферы. Найдите величину плоского угла а при вершине пирамиды.
175. MABCDEF — правильная пирамида. Угол между плоскостью основания и сечением MAC в полтора раза больше двугранного угла при основании пирамиды. Найдите названные углы.
176. Объем шара, вписанного в конус, в 2-^-раза меньше объе-
4 Заказ 741


ма конуса. Определите угол а между образующей и плоскостью основания конуса.
177. В цилиндр вписана правильная треугольная пирамида, а в нее — шар. Зная, что объем шара в 24 раза меньше объема цилиндра, найдите величину плоского угла а при вершине пирамиды.
178. Определите величину двугранного угла а при основании правильной четырехугольной пирамиды, у которой центры вписанной и описанной сфер симметричны относительно плоскости основания.
179. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Н и является диаметром сферы. Плоский угол при вершине пирамиды а. Найдите длину линии, по которой сфера пересекает поверхность пирамиды.
180. Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды а<60°. Основание пирамиды вписано в основание полушара радиуса R. Найдите длину линии /, по которой пересекаются поверхности этих тел.
181. Сосуд, имеющий форму полушара, наполнен водой. На какой угол нужно наклонить сосуд, чтобы из него вылилось
содержимого?
182. Площадь поверхности тела, образованного вращением прямоугольного треугольника вокруг его гипотенузы, относится к площади сферы, вписанной в тело вращения, как 125:72. Найдите острые углы треугольника.
183. Сфера, касающаяся всех ребер правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды пополам. Найдите угол а между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
184. Площадь поверхности тела, образованного вращением
84
прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, равна — площади сферы, в которую вписано названное тело вращения. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.


1. 0. • После сокращения первой дроби на 6-6, а второй на 7-7 получается 1111112 — 1111112. 2.• Из условия следует, что одно число трехзначное. Возможные ответы: 160 и 16; 138 и 38; 163 и 13; 158 и 18. 3. 75, 50, 750 и 71, 73, 731. 4. 25, 54, 24, 254.
5. 	859-958 = 822922.# Это числа трехзначные. Сумма крайних цифр 17, средняя цифра одна и та же — 5. 6. 325 и 187.# Так как 60775 = 5-5 -11 • 13-17, то возможные трехзначные числа 325 и 187, 221 и 275 и так как 595 = 5-7-17, то возможные двузначные числа 35 и 17. Условию удовлетворяют числа 325 и 187. 7. 563 и
53. 	# Решение аналогично решению задачи 6. 8. Если это число нечетное 2п+1, то условию отвечают числа п и п+1. Если оно четное, то возможны два случая: 4я = (2я + 1)+(2п— 1) и 4/г + 2 = = (2п—1) + (2м + 3). Легко убедиться, что 2/г+1 и 2п—1, а также 2п—1 и 2/г й- 3 взаимно простые. 9. 380547362.# Проверка: 38054 + 7362 = 45416; 3805 + 47362 = 51167. 10. 15268. 11. 35, 36,
37, 38, 39.# 120-АВАВАВ = 3-5-8-(3-37-7-13)-АВ = 35-37-39X Х24-АВ. При АВ = 57 это произведение может быть представлено в виде 35-36-37-38-39. 12. 35, 37, 39.# Решение аналогично решению задачи И. Данное произведение равно ~ БА-37-39.
Следовательно, третий множитель может быть равен 35 или 41. При БА = 25 он равен 35. 13. 5, 4, 3, 6. #43-65=2795; 36-54 = = 1944. 14. 2550. • По условию число делится на 3 и на 17, т. е. делится на 51. Если оно равно 51х, то 17х = Зх-5+100; х = 50. Задача может быть решена и чисто арифметически. 15. Нельзя.
16. 	Четным.# Если бы все слагаемые были нечетными, то их общая сумма была бы четной. По условию она нечетная. Следовательно, среди этих чисел есть и четное. Поэтому произведение — * четное число. 17. 964. 18. 5. # Последняя цифра числа х1989 меняется периодически. Для десяти чисел подряд она равна 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, а это значит, что сумма этих десяти чисел оканчивается цифрой 5. Следовательно, сумма 1980 слагаемых оканчивается нулем, а сумма всех слагаемых имеет последней цифрой 5. 19. 28.# Две последние цифры числа 8" (п> 1) меняются с периодом 20. Таким образом, 81989 оканчиваются теми же двумя цифрами, что и 89. 20. 3125.# Последние четыре цифры числа 5" (при п>4) меняются с периодом 4. Поэтому последние четыре цифры числа 51989 те же, что у числа 55. 21. 81.# Две последние цифры числа 3" (п> 1) меняются с периодом 20. Так как 45<5 = 4 25? то искомое число оканчивается теми же цифрами, что и 345 = 31024,


т. е. теми же двумя цифрами, что и З4. 22. 382=(35)16-9 = = 24316-9 = (22-11 + 1),6-9=11а + 9. 281 =(25)16-2 = 3216-2 = (3X X 11 — 1)16-2 = 116 + 2. Поэтому З82 + 281 = 1 1 (а + 6+1). 23. 500. • 413 + 423 + 433 +... + 593 = (50 — 9)3 + (50 8)3 + (50 — 7)3 +... +
+ (50 + 8)3 + (50 + 9)3 = 19• 50 + 2• 3• 50 (92 + 82 + 72 + ... +22 + -+ 12) = 19-125000 + 300 - 285. 24. 4.# В каждых 20 последовательных слагаемых последние цифры 1, 4, 7, 6, 5, 6, 3, 6, 9, 0, 1, 6, 3, 6, 5, 6, 7, 4, 9, 0. Если бы слагаемых было 2000, последняя цифра была бы 0 (сто «двадцаток»). Однако нет пяти последних, их сумма оканчивается цифрой 5. Следовательно, последняя
цифра суммы 1995 слагаемых 4. 25. Нет.# Сумма равна
и может оканчиваться лишь одной из цифр 0, 1,3, 5, 6, 8, но не
9. 	26. Нет. • Оно не делится на 3. Квадрат натурального числа, которое не делится на 3, должен иметь вид За + 1, а данное равн^ 3-665 + 2. 27. Да. 28. Нет.# Это выясняется по двум последним цифрам. У этого нечетного числа цифра десятков нечетная. А у точного квадрата это возможно только при цифре единиц 6.
29. 	По той же причине, что и число в задаче 28. 30. Да.# Оно делится на 3. 31. Нельзя.# Куб натурального числа либо делится на 9, либо имеет вид 9а±1. Следовательно, сумма двух точных кубов не может оказаться числом вида 9а + 3, каковым является число 1000...02. 32. 44415.# Так как 315 = 5-7-9, то последняя цифра искомого числа 0 или 5. Если это 0, то одна из его цифр 6 (по признаку делимости на 9), но из чисел 4446, 4464, 4644, 6444 ни одно не делится на 7. Если же последняя цифра 5, то одна из цифр 1. Условию отвечает только число 44415. 33. 33.# Пусть искомое число 843ху6. Учитывая признак делимости на 4, утверждаем, что у нечетное, а из признака делимости на 9 следует, что х-\-у равно 6 или 15. Так как 468 = 4-9-13, остается проверить делимость на 13 чисел 843516, 843336, 843156, 843876, 843696. Условию отвечает число 843336. 34. 1 и 4 или 6 и 8.# Пусть искомое число 42а364. Так как 504 = 7-8-9, то, по признаку делимости на 8 имеем b равно 0, 4 или 8. По признаку делимости на 9 сумма а + 6 равна 5 или 14. Поэтому возможны варианты 425304, 421344, 426384. Из них на 7 делятся два последних числа. 35. 22 и 6.# Пусть искомое число ЗаЬ977с. Число 792 = 8-9-11. По признаку делимости на 8 цифра с равна 6. По признаку делимости на 11 получим а = 6, а по признаку делимости на 9 сумма а + 6 равна 4 или 13, т. е. а = Ь = 2. 36. 625 и 376. 37. 210526315789473684.
38. 42336; х=5, #=3, 2=2. 39. Нет. # Оно делится на 7. 40. Один. #
При натуральном п две последние цифры числа 9" никогда не 99.
41. 891.# (1099— 1)2= 10198 — 2- 10"+1=99...9800...01. Сумма
1 п100 1
цифр этого числа 9-98 + 8+1. 42. 702.# 33...3-66...6 = —-—X
X—(Ю100— 1) = —(10200 —2- 10|оо+ 1) = 22 ... 2155 ... 58. Сумма
3 9


цифр 2-99+1-5«99-|-8. 43. 1294.# Так как число четырехзначное, его сумма цифр не больше 4-9 = 36, его цифра единиц меньше
6. 	Если она 5, то сумма цифр 25. Это соответствует числу 2995, но оно не равно (9-5)2 —9. Если цифра единиц 3, то в числе abcx имеем (сх)2 — Ь^ 27 < 1000. Если х = 4, то с равно 8 или 9. Вариант (4.9)2= 1296= 1294 + 2 дает искомое число 1294. 44. Разобьем 400 квадратов на 50 групп, по 8 квадратов в каждой: 1—8, 9—16, 17 — 24, ..., 393 — 400. В каждой такой группе есть две равные подгруппы: х2 + (х + 3)2 + (х + 5)2 + (х + 6)2 = (х + 1)2 + (х +
+ 2)2 + (х + 4)2 + (х + 7)2. Каждая восьмерка делится на две подгруппы единственным способом, но для всех 400 квадратов общее число вариантов разбиения равно 2199. 45. а) Решений много, например 30, 28, 22, 21_, 4; 29, 26, 24, 20, 1; 27, 18, 17, 12, И;
25, 19, 15, 14, 2; 23,16, ]3, 10, 3; 9, 8, 7, 6, 5. В каждой группе подчеркнутое число в 4 раза меньше суммы остальных чисел,
б) 	Невозможно, так как сумма данных чисел (465) не делится на 4.
46. 	Верно. • В нем 45 единиц, последние 9 цифр — нули. Поэтому оно делится на 9 и на 29, т. е. на (3 - 24)2 = 482. 47.9 чисел. # В таком числе меньше трех цифр: 100а + 10Ь + с — (а + 6 + с)=аЬс; а (99 — Ьс) + 96 >0. Для двузначного числа условие 10а + 6 — —(a-\-b) = ab выполняется при Ь=9. Это числа 19, 29, 39, 49, 59,
69, 79, 89, 99. 48. **■£• х*+х+\=х8-х2 + х2 +
+ Х + 1 =х2 (х3— 1)(*3 + 1) + (л:2 + JC + 1) =(jc2 + JC + l)(x2 (x— I)X X(*3+ 1)+ 1); x5 + x+ 1 = jc5 — x2 + л +x + 1 =x2 (jc3 — 1) + (jc2 + + x + l) = (x2 + x + 1) (x3 — x2 + 1). Дробь сокращается на x2+x + + 1. 49. (3; 53).# i/ = x6 —(Зх — l)2 = (x3 —Зх2 + 1) (х3 + Зх2 — 1). Один из множителей 1, другой — простое число. Это будет при х = 3 (у = 53) или при х=0, что, однако, не отвечает определению простого числа. 50. Правильность утверждения следует из равенства 3 (5x + 8i/) + 2 (2х + 7#) = 19 (x + 2i/). 51. Верно.#
V9+4V5=V(2+V5)2=V2+V5=4-Vl6+8V5 = =1-V(1+V5)3 = ^-(1+V5); л/9 - 4 V5=V(V5 - 2)2=Ул/5 - 2 = =4-Ve V5-16=|-V(l/5- l)3=-i-(V5-1); i-0+V5)-
—”(~^/5—1)=1. 52. Верно.# По условию эти числа xi, *2, *з, х4,
х5 такие, что x2>xi + l, x3>xi+2, х4>х{ — 1, x5>xi—2. Следовательно, х2 + х2 + х2 + х2+х5>5х2 + 10> 10. 53. Нет.# При нечетном п число 2п +1 делится на 3, т. е. не простое. При четном п (1024 <л< 2000) число п не является точной степенью 2 и, значит, имеет делителем нечетное число k>\. Поэтому 2rt+ 1 де-
п
лится на 2к +1, т. е. не является простым. Среди рассматривае¬
мых чисел простых нет. 54. х=15. • Левая часть приводится к


виду . 55. Верно. # х (х + 1) (л: + 2) (jc + 3) + 1 = (х2 + Зх) X
X(*2+3x + 2) + 1 =(лг2 + 3х +1)2. 56. (а + 6 + с)2 = (а2 + 62 + с2) + + 2 (a6+ac + 6c). Следовательно, afr+ac+6c делится на р. a4 + 64 + e4 = (а2 + 62,+ с2)2 — 2 (ab-\-ac -\-bcf + 4afrc(a+6 + c). Значит, а4 + 6 +с4 делится на р. 57. Не являются. Так как (9" + 2)3+1 =9fc, (9п + 2)2 + 2=9с+6, то оба числа делятся на 3. 58. 2.0 Пусть 19881989 = а. Тогда Уа4 + 2 (а — 1)2 + 4а — 1 -
— д/а4 — 2 (а+1 )2 + 4a + 3=Va4 + 2а2 +1 —л/а4 —2а2 +1 =
= (а2+1)—(а2 —1)=2. 59. — ^ .# Пусть 1,23687=а. Тогда числитель равен —33а4, а знаменатель 720а4. 60. 16.# Если
а= 1,2345, 6=0,7655, то а + 6 = 2. Следовательно, а4 + 64 — а362 —
— с?Ьъ + 4а-46 = (а2 — ft2)2 -f- 2а262 — а262 (a + 6) + 16a6 =4 (a — -6)2+16a6 = 4(a + 6)2 = 16. 61. 1.# Если a=0,34782, 6 = 0,65218, to a + 6 = 1; a1+ 63 + 3 (a36 + a63)+6 (a362+a263) = (a + 6) (a2 —
— ab + 62) + 3ab (a2 + b2) + 6a2b2 (a + 6) = a2— a6 + 62 + 3a6 (a2 +
+ 62 + 2a6)=a2 + 2a6 + 62=(a + 6)2. 62. 7,6854.# Если 3,8427 = = a, to ((a+l,7)3 + (a-l,7)3 + 2a(a+l,7)(a-l,7)):((a + l,7)2 + +(a-l,7)2)=(4a3+4a-l,72):(2a2+2.1,72)=2a. 63. 2. • Если
a = 0,85426, 6=0,14574, то a + 6 = 1, делимое a4 + 64 + 2a-26— _ l -(a2_b2)2 + 2a2b2 + 4a6 -1 = (a -b)2 + 2a262+4ab-l=(a + + 6)2 + 2a262 — 1 = 2a262; делитель a2b2. 64. 77,016. • Пусть
25,672 = a. Тогда числитель (a—l,5)3 + (a — 0,5)3 — a3 + (a + 0,5)3 + + (a +l,5)3 = 3a3+15a=3a (a2-l-5). Знаменатель (аналогично) a2 + 5. Поэтому частное равно 3a. 65. —255.# Пусть 98765417 = a. Тогда (a — 5) (a— 1) (a-)-1) (a+5)— (a —4) (a — 2) (a + 2) (a + 4) + + 6 (a — 6) (a + 6)=(a2 — 25) (a2 — 1) —(a2 —4) (a2 — 16)+ 6 (a2 — 36).
66. 5875710.# Если a = 3706282, 6 = 2169428, то делитель
(a+l)2+(6- l)2+(a—b —l)2+3=2 (a2-a6 + 62+3). Делимое (a + 1 )3 + (a —l)3 + (6 +1)3 + (6- 1)3=2 (a + 6) (a2-a6 + 62 + 3). Поэтому частное равно a + 6. 67. —21.# Если a = 987654325, то получим (a + 4) (a +1) (a—1) (a — 4)—(a + 3)(a+2)(a—2)X X(a-3) + (2a-l)(2a+l). 68. 1753086434.# Если 876543217 = a, то делимое (a + 5) (a + 4) (a + 2) (a+1)—(a—1) (a —2) (a —4)X X (a — 5) = 12a (2a2 +13), а делитель (2a + 5) + (2a+2)2 +
+ (2a — 7)2=6 (2a2 +13). Частное 2a. 69. 3,25.# Если a =1,2319, 6 = 0,7681, to a + 6 = 2, делимое a4 + 64 + a36 + a63 — (a+l)X X(6 + l) = (a + 6)(a3 + 63)-(a6 + a + 6 + l) = 4 (4-3a6)-(a6 + + 3)= 13 (1 — аб). Делитель равен (a — 6)2 = (a + 6)2 —4a6=4 (1 —
— ab). 70. 5443332.# Если a = 2268055, то делимое равно (a+1) (2a+1) (3a+ l)+(a— 1) (2a-1) (3a— 1)= 12a3 + 12a=
= 12a (a2 +1), а делитель (a — 2)2+(2a +1 )2 = 5 (a2 + 1). Частное 2,4a. 71. 11930790.# Если a = 2386158, то делимое (a+l)X X(2a+ 1) (3a +1) (4a+ l)-(a-1) (2a-1) (3a-1) (4a- 1) =
= 100a3 + 20a = 20a (5a2 +1), делитель (a—l)2+(a + l)2 + (3a —
— l)2 + (3a+ l)2 = 20a2+4=4 (5a2 +1). Частное 5a. 72. Да.#


Если 215 = х, то делитель 2х2-\-2x-\-\, а делимое 4х4+1 = =(2х2+I)2 —4x2=(2jc2 + 2x+1) (2х2 —2х+1), т. е. деление бу- дет выполняться без остатка. Можно ответить на вопрос задачи и на основании деления многочлена на многочлен. 73. Составим разность между левой и гшавой частями равенства: а4 + Ь4 + с4 + d4 —Aabcd = (а2 — b2) + {с2—d2)2+
+ 2 (ab — cd)2. Она равна нулю при a = b = c = d. 74. Верно.#
1 . | 1 | 1 1 . а | ab «
1 -}- cl -\- ab 1 be 1-|- сccl \-\~ci-\-cib CL-\-db-\-\
75. 	Верно.# Использовать неравенство а2 + &2 + с2^ab-\-ас + Ьс, затем умножить на abc= 1. Таким образом, -Лг
>ib+i;+b=abc(ib+-b+-b)=c + b + a- Ж Перенесем 1
в левую часть равенства, приведем дроби к общему знаменателю. В числителе получим — abc (а-\-Ь + с) (а2-\-Ь2с2 — ab — ас — — bG)^= 0; 2) а3-|-63-|“ с3 ^ я3-|-63— (я-|-6)3 =—3ab (a-\-b)^3abc\
3) а4 + 64 + с4 = (а2 + Ь2 + с2)2 — 2 (а2Ь2 + а2с2 + Ь2с2) = (— 2 (аб +
+ ас + Ьс))2 — 2 (а2Ь2 + а2с2 + Ь2с2) = 4 (ab + ас + 6с)2 — 2 (аб + ас +
- +6с)2 и т. д.; 4) (а3 + 63 + с3) (а2 + 62 + с2) = а5 + 65 + с5 + (а + б4- + с) (а262 + а2с2 + 62с2) — abc (ab + ас + 6с) = а5 + 65 + с5 —
fl3 + 63 + c3 _a2_fr2_c2_^5 s (дЗ + 63 + сЗ)(а2 + й2 + с2)
•3 2 6 ’
а5 + 65 + с5=|-(а3 + 63 + с3)(а2 + 62 + с2); ^,+ь3+с\а2+ь'2+с2 ^
Ь 3 2
а5 I Ьъ I £5
= _• 5) аналогично предыдущему примеру рассмотрите
(а3 Ь3 + с3) (а4 + Ь4 + с4). 77. Убедиться, что (а + Ь + с)(х + + 2) —
—(ах + ^/ + с,г) = 0. 78. 1) Если это равенство рассматривать как уравнение относительно х, то окажется, что число его корней превышает степень уравнения (в частности, его корни х = а, х = Ь, л; = с), а это невозможно. Поэтому данное равенство не уравнение, а тождество. 79. Это равенство верно при х = а, х = Ьу х = с, x = d. Поэтому оно (как в задаче 78) относительно х не уравнение, а тождество. 80. —2 и 0. • х4 + 4х3 + 6х2 + 4* + 5 = х4-f 4х3 + + 5лс2 + х2 + 4х + 5 = (л:2 + 4л: + 5) (л:2+1). Оба множителя положительны, поэтому один из них равен 1, а другой — простому чис-
3 /Т 3 Г2 3 /т
лу. Это возможно при х = 0 и — 2. 81. 2) -\/ ——-v/—=
‘VaW'V'
V3(l-V2 + V4)(l+V2) _
3(1+V2) V (1+V2)3 V З + З^+ЗУ?
= у~ ~VV^—1- 82. Нет. • Например, при п = 7 оно
делится на 7. 83. Учтем, что 641=54 + 24. Число 232+1=232+ _|_228-54 — 228-54 + 1 =228-(24 + 54) —(2,4-52— 1) (2|4 - 52 +1)=228Х


Х641 —(27-5 + 1)-(27-5— 1) (214-52+ 1) = 228-641 —641 -639 (2,4Х Х52 + 1)=641 -а. 84. Аналогично решению задачи 83, учитывая, что 97 = 24 + 34 = 25-3 + 1. 85. Нет.• Так как ах2-\-Ьх-\-с = а (х — — х\) (х — х2) при фиксированных a, Ьу с не может равняться некоторому числу М при трех разных значениях х, если аФ0. 86. Верно. • В уравнении ах2 + 6л: + с = 0 дискриминант D = Ь2 — 4ас. При Ь четном он четный, при b нечетном он имеет вид 4& + 1, т. е. не равен 35. 87. х2 -|-{х-|- 1 )2-|-(х+З)2 -|-... +(х+ 1987)2 = 1988+
+ 1987-1988х + (12 + 22 + 32 + ... + 1987 ). Первые два слагаемых кратны 4, а последнее равно 1987-1325-994, оно делится на 2, но не делится на 4. Следовательно, и вся сумма делится на 2, но не делится на 4. Поэтому оно не является точным квадратом.
88. 	х = (232+ 1):641. • Если положить 216 = а, уравнение примет вид (а2— I)3 (а2 + \)={а— 1)3(а + 1 )3• 641 jc. Откуда л: = (232+ 1):641. Это число целое (см. задачу 83). 89. 19.# Кроме 2, все простые числа нечетные. Так как a3 — b3 = (a — b) (а2 + ab + ft2), то a — b = 1, т. е. а = 3, 6 = 2, разность их кубов 19. 90. 2 и 3. • Если х и у нечетные, то ху-\-ух четное больше 2, т. е. составное. Следовательно, одно из чисел равно 2. Но 2 в нечетной степени есть число вида 3k—1, а квадрат простого числа р>3 есть число вида За+1. Чтобы сумма оказалась простым числом, второе число р должно быть равным 3. Действительно, *23 + 32= 17. 91. а) —5.# 2л:2 — —х — 36 = (2л: — 9) (х — 4). Один из множителей равен 1 или — 1, а второй по модулю равен простому числу. При х=—5 имеем р= 19; б) 0.# При любых натуральных или целых отрицательных х это выражение равно четному числу больше 2. Только при х = 0 оно простое: р = 2. 92. л:2 — Зл: + 7 = (л: + 8) (х— 11)+95. Разность (л; + 8)—(х—11)= 19. Скобки (л:+ 8), (х—11) либо обе кратны 19, либо ни одна из них не делится на 19. В первом случае число делится на 19, но не делится на 192 = 361. Во втором случае оно не делится на 19. 93. р = 3. • р3+р2+11р + 2=(р2 + 2)Х Х(р + 1) + 9р. При рФЗ один из множителей делится на 3 и все число не простое. При р = 3 это число равно 71, т. е. является простым. 94. (а2 — Ьс) (Ь —ас) (с2 — ab). 95. 0. • Это многочлен третьей степени, но он равен нулю при х = 0, при а=0, при 6 = 0, при с = 0, т. е. (как следует из теоремы Безу) делится на xabc. Но многочлен третьей степени может равняться многочлену или одночлену более высокой степени только в том случае, когда оба они тождественно равны 0. 96. Здесь и в ряде следующих задач используется следствие из теоремы Безу: если Ф (л:) — целый многочлен и ф (а) = 0, то Ф (л:) делится на х — а. Будем считать в данном случае основной переменной а. При а = 0 многочлен делится на а — 0, т. е. на а. Так как многочлен допуск!ает круговую перестановку (т. е. симметричен относительно а, 6, с), то другие корни многочлена Ьу с. Четвертый (по симметрии) а + 6 + с. Таким образом, этот многочлен равен Kabc (а + 6 + с). Чтобы найти /С, дадим а, Ьу с какие-нибудь значения, не обращающие множители полученного выражения в 0, например a = b = c= 1. Получим 81—3-16 +


+ 3 = /С-1-3, откуда /С = 12. Данный многочлен равен 12abc (а + + 6 + с). 97. 1) (а — 6) (6 — с) (с— а).ф Многочлен равен нулю при а = 6, т. е. делится на а — 6. По симметричности он делится также на а — с и Ь — с. При а = О, 6 = 1, с = 2 находим К= — 1; 2) 3 (а —
— 6) (с —а) (6 —с); 3) (а — Ь)(Ь—с)(а — с)\ 4) 4abc\ 5) (а — Ь)Х Х(6 —с)(с —а) (а+ 6 +с).# Найдя первые три множителя, ищем четвертый как многочлен первой степени, симметричный относительно а, 6, с\ 6) (а—Ь)(Ь — с)(с—а)(а+6 + с); 7) 2 (а — Ь)Х X(a-c)(b — c)(a-\-b + c); 8) 5 (a — b) (6 — с) (с —а) (а2+62 + с —
— ab — ас — Ьс). • Найдя обычным путем, три множителя (а —6), (6 —с), (с —а), ищем четвертый как многочлен второй степени, симметричный относительно а, Ь, с: х (a2 + 62 + с2) + */ (ab + ас + Ьс). Давая а, 6, с дважды различные значения (не обращающие ни один из. множителей в 0), получим два уравнения, саязывающие х и у. Находим х = 5, у=— 5; 9) 5 (а + 6) (а + с) (6 + с) (а2 +
+ Ь2 + с2 + аЬ-\-ас + Ьс)\ 10) 80abc (а2+ b2-\-с2); 11) (а — Ь)Х Х(а — с)(Ь — с) (За2 + 362 + Зс2 + 5а6 + Бас + 56с); 12) (а-Ь)(а-
— с) (6 — с) (а2Ь2 + а2с2 + b2c2 + a2bc + ab2c + abc). • Здесь последний множитель четвертой степени, в этом отличие от примера 8; 13) (а — 6) (а — с)(Ь — с) (a2 + 62 + с2 + аб + ас + Ьс). 98. Верно. • Xs + 9х5 + 8х2 = хг (х3 +1) (х3 + 8). При четном х число х2 делится на 4, х3 + 8 делится на 8. При х = 3а число х2 делится на 9. При л: = 3а=ь1 число х3+1 или х3 + 8 делится на 9. Таким образом, при любом четном х рассматриваемое число делится на 4*8-9=288.
99. 	Это число равно • Степень двойки в знаменателе [“?г] + + а в числителе на п больше. 100. а = 6-|-, 6 = 9. •
Если многочлен равен (^х2-\--^-х-\-с ^ , то с = 3, а = 6-—, 6 = 9.
101. 	Иррациональны. # Оба числа в указанной системе счисления выражаются бесконечной непериодической дробью. 102.
a) 	(ax2-\-bx + c) (сх2-\-Ьх-\-а)—(а-\-Ь + с)2 х2=х2(^ ас(^х2 +-р-) + + (ab + bc)(x+-^)— 2(ab + ac + bc))^0, так как х2-{--^-^2 и *+^->2; б) это выражение меньше ]о^+п^+72ТТз+-" +
+—! =J L+J L+_L+ +_! L_=J !_<-
1999-2000 10 11 ' 11 12 12 1999 2000 10 2000
<£; ■>*>(>-±)(±-*)(±-т)>-Ь '<44- -i) -(i-i) -(i-i) -(i-т) ■<1 ■
ше. • Для сравнения нужно каждое выражение возвести в квадрат. 104. Равны 9 1g3-lg4. 105. При положительном х имеем
Vl+x<l+-~. Поэтому /4а + Г+-yj4h + 1 + ~\j4c +1 < 1 + 2а +


+1 +26+1 + 2с=3+2 (а + 6 + с) = 5. 106. Так как среднее арифметическое положительных чисел не меньше их среднего геометрического, то у^+у^+у^> з vv (^Vc)(a-^K-a+fe)>
>3V 107. а) V66>V7 +
V 2^Ьс-2л[ас-2л[аЬ V 8 2 9
+V30; б) V6+VT7<2V3 + VI0; в) f+ip+if>f+2Й1+ _j_tM. ф Каждая нз этих дробей имеет вид VMjr+l) .
= 4~(2x-fl)'2'' ^ увеличением х дробь увеличивается;
г) 	V4 + V^+V6+VS+V^2*® Так как если не все числа а, ft, с равны, то a2-\-b2-\-c2>ab-\-ac + bc\ д) У2Л^<^Зл/3. ф-у/2^=
= l5V(2")7Vf=,5V2048^i5; V^= 7^= '^2187^;
е) 	72^ > V^- • л/3/|Т = 8V(35)8VrT=8V243^; V2V29 =
=*V(i¥«-!V2if»>V3vn; *) *>■/••
причем a>2; х—у =у988?!989—>°~ 108‘ Л<В.#Так как (л:1+х2 + а:з + ...+д:п)( —Н—!—|—!—|-.--Н—— )^я2 при положи-
\ Х\ Х2 Хз Хп /
тельных хк, то ( 1 ---|—_ 1 - -|—- ’ _ Н—1 Н—1 г +
^ -\fa-\-~yfd
+Vc+Vrf) (V“+V^+V“+Vc+Vfl+V^+V^+Vc+V^+V5+
+~\[c+~\fd)^36. 109. Умножьте обе части на 2 и представьте левую часть в виде ;t2"+(jtn;tjt"_l)2+(jcn'~l ±-*"_2)2 + .••+(* +1)2 + + 1. ПО. Учтите, что a2 + 62 + c2^a6 + ac+6c и что (а + 6 + с)Х
Xl ——I—г—I——) ^9 при положительных а, Ь, с. 111. Учтите, что
\ CL О С / —
1 (а-\-1) V^ — а Va-Ь 1 1 1 п
——= -= v ; v in =~f F * Поэтому дан-
a-\/a-|-l+(a+l)-ya e(e+l) Va+1
ная сумма х—1 . Так как 44<л/1991 <45, то 4^-<х<
VT09I 44
<4г. 112. -д/а+6 + с — 2 д/аб + ас +-\/а + 6 + с — 2 -\/а6 + 6с +
4о
+-\/a + ft + c—-\jac — bc=(л[Ь + с —л[а) + (л]а + с—л[Ь)+{л[а + b — —Vе—л[а-\--^а-\--\[с—л}Ь —-^c=^[a-\--y[b +
+-у/с. 113. Верно. • Если такой четверки нет, то 5 остальных имеют


сумму более 100. Но тогда хоть одно из них не менее 23. Следовательно, в первой четверке каждое число не менее 24, а их сумма не менее 24 + 25+26 + 27, т. е. больше 100, что противоречит сделанному допущению. 114. По условию abc = а3, а2=Ьс\ 6+с^ >2 V&c = 2a; a=a3—(b + c)^a3 — 2a; 3а<а3; b2n + c2n^s
>2bncn=2a2n; a2n + 62n + c2n>3a2n = 3-3n=3n+1. 115. a) (lg 9 — — l)2+(lg 11 -1)2>0, lg2 9 + lg2 11 >2 lg 9+2 lg 11 -2 =
= 2(lg9 + lgll—1)=2 lg 9,9 = lg98,01 >lg 98; б) аналогично задаче 115, a. 116. Существует.# 1062<jc58<С 1063; 62<58 1gx< <63; 1,069 < lg л: < 1,086; 11,7<х< 12,2; * = 12. 117. 1994.# Если а цифр в числе 21993 и b цифр в числе 51993, то 10о-|<2|993<
<10в и 10*— 1 <51993< 10*. Отсюда 10“+*-2< 10|993< 10“+*, т. е.
100
а + 6 = 1994. 118. З32-4. • z=jc~; In z=— In х; y=— In*;
X V X
У'=-^г( 1 — In л:); у'= 0 при x=e. Так как x — натуральное число, то его следует выбирать как можно ближе к е, т. е. х = 3. Поэтому zmax = 332-4. 119. 100-317—12914016300. • Для получения двух нулей в конце произведения среди множителей должны оказаться 4, 5, 5. Сумма таких множителей не менее 14. Оставшуюся сумму 51 дадут 17 троек (см. предыдущую задачу).
120. 	4567. 121. Нет. 122. Какова бы ни была разность прогрессии (равная натуральному числу), существует число, у которого после нуля стоит такое число цифр я, что 10п больше разности прогрессии. Таким образом, хоть один из членов прогрессии окажется числом такого вида, т. е. имеет в своей записи нули.
123. 	258. • Цифра тысяч 1, поэтому четырехзначное число 1111 или 1248. Вычитание числа 990 показывает, что подходит только число 1248. 124. 19.# На этой стороне дома с нечетными номерами, их нечетное число. Общая сумма номеров равна произведению номера среднего дома на число домов. Так как 247=1-247 = = 13-19 и число всех домов больше 7, то домов либо 19, либо 13. Первое невозможно — средний номер будет не меньше 19, а 19-19>247. Следовательно, домов 13, номер среднего (а это седьмой от угла!) 19. 125. Например, 147, 258, 345 или 147, 246, 357.
126. 	Верно. • Определив слагаемые в знаменателе, сократим
дробь на 2. Знаменатель примет вид + 199о7|99Г '
Каждое слагаемое можеть быть представлено в виде •
Поэтому знаменатель равен 1 —• 127. 21 ——г. • Каждый член
равен 1+-|г- Поэтому сумма равна 20-+-^-^—J^—h-g—h--- +^о) •
128. 	Верхняя строка 13, 15 17, 19, 21. 129. Верхняя строка 27,


54, 108, 216. 130. З15, 5-314, 52-313 и т. д. # По условию ai>107, ai6<10“. Отсюда ^I5<104, lg<7<C-j|- и ^<1,82. Кроме того, au>1010, a4<108. Отсюда ^|0>Ю2, lg<7>0,2, <7>1,58. Итак, q — несократимая дробь -у- между 1,58 и 1,82. При умножении на q происходит сокращение на Ь. Следовательно, а\ делится на ft15, т. е. &15<108. Значит, Я=\- 131. а) f (х+2а) = ‘ ~|=
1 »-/(*)
=—r4w-=fw; w=2a; б> f(*+2a)= =
1+i LW 1—V3-/(*+a)
+ i+/w
/о, V3+f(x)
■ 1—Уз .fix) f (x)—УЗ . f, . о, л/3+/(х+2а) .
! д УЗ+/(*) 1+УЗ fix) ’ 1 —л/3-/ (x+2a)
*1 —V3 f(x)
V3+ i{x)-^~
 - i+.y3./(£L==^(JC); ay = 3a. 132. Да.# Ф (*+1)=У2-Ф (*)-
i-ya./W-ys
1 +Узf (x)
— Ф(*— 1); Ф(х + 2)=У2.ф.(*+1) —ф(х)=2.ф(л:)—У2•Ф(л: — —1)—Ф(х)=Ф(л:)—У2-Ф(л:—1); Ф(*+4)=Ф(л:+2)—У2-Ф(*+ + 1)=—Ф(х); Ф (х+8)= — Ф (х+4)=Ф (х). Таким образом, ш = 8. 133. Да.# Пусть А(х|, у), В(х2, у). Тогда АВ = х2—х\ =
=У</ + 5 —л/у =—:—-—При достаточно большом у, напри-
Уу+5+Уу
мер при у — 2502, длина отрезка АВ меньше 0,01. 134. О^Ф (л:)<3.
# Ответ дает рассмотрение Ф (х) на интервалах 66^х<6& + 1, 66 + 1<*<66+2, 66 + 2<*<66+3, 66 + 3<*<6& + 4, 66 + + 4<!x<66+5, 66 + 5<Сл:<6& + 6. 135. Все эти числа иррациональны. 136. а) 2.# S=±+^+l+±+±-+...=±+±+
+T+"-+T+T+iV+-"+T+lV+i+”- = 1+T+T+i +
+ ...; б) (j^-® 5a=a2 + 2a3 + 3a4 + 4a5 + --; 5-5a = a + a2 + + o» + a< + ...; Sd-a)»-^;; B) r) ^. 137. 2, 3,
5, 7, 11.# Если xi<.x2<x3<cx4<ix5, to jci+x2 = 5, Х\-\-Хз = 7,
x4+jc5= 18, jc3 + jcs= 16. Отсюда x\ +*2+*з+*4+*5 = 112:4 = 28.
138. 	2, 3, 5, 6, 9 или —2, —3, —5, —6, —9.# Аналогично задаче 137. 139. х = 8.# Дробь сокращается на 27x2 + 33jc—4.


140. 	6, 6, 6, 6.# х3—х=210. 141. a) xx = ~X~^ , х2=^Ж .• Первое решение. Пусть 4 = а. Тогда х2—а=^/х-\-а\ хА—2ах2+а2=х+а\ а2 — а {2х2 + 1)+х4-х=0; а=22£±!±£*±!1;
х2 + х+.1=4, х2—х=4; отсюда х\ = ~‘~^ , х2 =1 (другие корни посторонние) .Второе решение. После дополнения обеих частей уравнения до полных квадратов получим:
х2 + * + -j-=* + 4 + V* + 4 +=(у*: + 4+-|-^ ; (х — —-Ух+4) (х+Ух + 4 +1)=0 ит. д. Третье решение, jc4 — —8х2—х-\-12=0; х4 — 7х*+12,25 —(х2+х+0,25)=0; (х2 —
— 3,5)2-(х + 0,5)2 = 0; {х2-\-х — 3) (х2—х — 4)=0 и т. д.;
б) 	x,=JLb£L, X2=2=M.% x*-6x+9-(x+2+4^JJ+2 +
+ 4)=0; (лг-3)2-(У^Т2 + 2)2 = 0; (х- 1 +У* + 2) (х-5-
—фс+2)=0; в) Х\ =0, х2 = — 1, хэ = 3.ф х2 —4х+4—(х + 1 —
— бУх+1+9)=0; (х — 2)2—(Ух+1— 3)2 = 0; (х+л/х+1—Ь)(х— -л/ИТ+1)=0; г) х, =3, х2=±-3. • 26 • 2х • 5х = 53 • 2х •, 5*-з = 2*2-*-б. 5^—3_2(*+2)(*—з). х—3 = 0; 5 = 2Х+2; д) х,=2,
l-lg2±Vl+2 lg2—3 lg22 #58.2^==22х2-52Л 2х3-2** = 52?-8'
Х%3 lg 2
2**(*-2)_25<*-2)(*+2); х-2 = 0 или 2х2 = 25х+2; е) х=2.« 5Х=1 +
X х_ х_ х_
+ 2-2х + 22х; 52 = 1+2х; (1+4)2 = 12+42. Но равенство ау + -|_ ьу = (а + bf при положительных а и Ь возможно только при у = 1.
Поэтому здесь х=2; ж) xi=0, х2 = —2,5.# Прибавьте к каждой
^ 1. 2л: 2х 2х 2х 2х 2х
дроои по 1. х+1~ х + 2 — х + 3~ х + 4 ’ (х+1) (х+2) — (х + 3) (х+4) ’
Х|=0; (х+1) (х + 2)=(х + 3) (х + 4); х2=—2,5; з) х=— 3,5.ф
2х+7 2л:+7 | 2* + 7 2х+7 . 2х-4-7 = 0"
х(х + 7) (*+1)(х + 6) _Г (х + 2)(х + 5) (х + 3)(х + 4) U’
х = —3,5. Если х2-\-7x-\-7 = у, то имеем — —1—
у—7 у— 1 у+з
-——0; £/2 + 4(/+13 = 0. Оно не имеет действительных корней;
*/ + 5
и) 	х\ =0, х2= —4,5. • Исключите из каждой дроби ее целую часть:
3 4 __ 5 6 . —X __ — х ч _2
jc-h 3 х + 4 JC + 5 х + 6 ’ (*-j-3)(x + 4) (х + 5) (* + 6) ’ 1
*2 = 0,5; jc3t4= . # Так как хфО, сократим каждую дробь


—^ГГ=4_; У2+*У—45 = 0; t/i =5, у2 = —9; л) х] = 2, х2 = —4, х3,4= — 1 ±2 V2-# дг2 + 2дс=у; у2—15у + 56 = 0; t/i =8, у2 =7;
м) дт = —2,5±-\/з,25+-\/15. • Примите за новое неизвестное среднее арифметическое множителей: у=л:+2,5. Получим (у—1,5)Х
X (у -0,5) (у+0,5) (у +1,5)=(у - 1,5)2 + (у - 0,5)2 + (у+0,5)2 + +(«/+1,5)2; у*—2,5г/2+-^= 4у2+5; y*=f+^; н) х=9.ф V^+
+V*—5=у; у2—«/—20=0; г/i =5, t/2<0, х=9; о) *1=2, х2= —6.
9 ' 6jC2 Qv2 0*2
• Дополните до полного квадрата: х + ———-f- _ —=40;
—40=0; г/i = 10; у2 =—4; п) лг=±10. • Так как ^/9+4 -\/5Х xV9“4 л/5=1, положим (д/9 + 4 л/Е)х=у, t/+y=322; у=161±
±72 д/5=81 +80+72 л/^=(9±4 V5)2=(9+4 ^5)±2; ^9+4^)* = =(9+4 -\fb)±2; р) Х\2= ±Ф, Хзл= +2, *5,6±2V3. Фл/х2 — 3=у;
4—JC2= 1 -У2; VI—У2=1—г/; у3 —4у2+3у = 0; (/1=0, г/2=1, (/з = 3. 142. —1; 1; 3.# Если его корни а, р, у, то а + р + 7 = 3, ау + аР + Р7= —1„ ару = а. Отсюда р=1, а+7=2, ay + a + + 7— — l,a —3, 7 — — 1. 143. — 25.О По условию р2 — 5р + 5 = 0. Поэтому р4 — 75р + 75 = (р2 — 5р + 5) (р2 + 5р + 20) — 25. 144.
а) 	л;=1,5. • Все слагаемые неотрицательны, а их сумма 0. Это может быть только при 2л:2 — 5х-{-3 = 2х2-\-х — 6 = 0, т. е. при х=1,5; б) х = 5.# При возрастании х^^/2Л левая часть растет, а правая убывает. Следовательно, уравнение имеет только один корень. Равенство выполняется при х = 5; в) х = 7.% Как и в предыдущей задаче, устанавливается, что уравнение имеет не более одного корня; г) лг= — 1, у= 1. • (х-\-у)2=(х-\- 1 +у— 1)2 = = (*+ 1)^ + 2 (х + 1) (у — 1) + (у— I)2; (х+ I)2 — (х-{- 1) (у— 1) +
+ (у— 1) — 0. Это возможно только при х-\-1=у—1=0.
145. 	а) лг1=У17, х2 = —Vl8. • В уравнениях, содержащих целые части переменных, нельзя опираться ни на основную теорему алгебры, ни на теорему Безу. При л:>3 левая часть положительна, при л: = 2 она отрицательна. Следовательно, 2^х<3, т. е. [х]=2. Тогда хъ — 7-2 — 3=0; x=^J\7. Аналогично находят еще один корень: х= —УТ8; б) х=у 1 +л/2, х= —л/1 +л/22- • Рассуждения аналогичны решению задачи 152, а. 146. л:1=0, х2= — 3,5, х3=—7. • Модуль произведения равен произведению модулей множителей. Поэтому данное уравнение равносильно такому:


\(х-2) (х + 3) (*+6)| = \(х + 1) (х+4) (х+9)|; |*3+7х2-36| =
= |х3+14х2+49х+36|; это возможно либо при равенстве под- модульных выражений, либо в том случае, когда сумма этих выражений равна нулю. В первом случае действительных корней нет, во втором Х\ =0, х2 = ‘—3,5, хз= —7. 147. а) (0; 0), (6; 3), (5; 2). • 4х2+ 18у2— 16ху—6у=0; (2х-4у)2+у2+(г/-3)2=9, но
9=(±2)2+(±2)2+(± 1)2=(±3)2+02+0 ; б) решений нет, так как обе. части разной четности; в) (0; 5964), (—2; —1194), (1988; 0), ( — 398; —6). • Зх + Зху+у =5964. Прибавим к обеим частям по 1: (Зх+1) (у +1) = 5965. 5965= 1-5965 = 5* 1193;
г) 	(217; 27), (19; 1), (-217; -27), (-19; - 1). • (2х-у) (х-8у) = = 407; д) (15; 44), (-15; -44), (27; 68), (-27, -68). #(3х-у)Х Х(5х—2у)= —13. 148. а) (2; -3), (-3; 2), (1; -3), (-3; 1), (2; 1), (1; 2). • Положим х-\-у = а, xy = b; a b — ab = 42, ab = 6.
Отсюда а3 — 7а—6=0; б) (-у, Ц-, (0, 0, 0). • Ес-
1.2 , 1.3 , 1,4
ли х, у, 2 не нули, то —+—=1, —+—=1, —+—=1,
в) 	(0; 0; 0) и (1; 1; 1). •2 = T^Jr, y=jf-yт. Х = Т+?'
*Уг= (И-,Ч(Т+^(!+,■) ■ Либ° Х=И=!:=0- -""6o 7ч^?*Т+утХ
X = 1 • Однако это возможно лишь при х=у = z = 1; г) (60; 20;
.М л 1 I 1 _ 1 1,1 1 1,1 1 . „ч / 20. 13. 45 \
'* х + у 15 ’ у z 12 ’ х~Т~ z 20 ’ \ 7 * 14 ’ 14 / ’
^ —-у-; —. • Сложив уравнения, получим (x-\-y-\-zf =
= 49; е) (3; 5; 6) и ( — 3; —5; —6). • Применив к каждому уравнению формулу разности квадратов, выполнить почленное деление 1-го уравнения на 2-е, 1-го уравнения на 3-е, 2-го уравнения на 3-е; ж) (18; 12; 6) и (—18; —12; —6). • Обозначьте ^=а,
f=c; 3) (-§■; ±; 1) .(+V§; £¥* ±40) .«По ус.
ЛОВИЮ y2Z = XyZ-\-jjr , z2x = xyz + -i-, x?y = xyz i-. Если xyz = t,
тоЗб/2—16/—1=0; /1=4-. t2=—rs-; и) (0; 0;0)и(1; 1; 1). • Ана-
2 lo
логично решению задачи 148, в; к) (1; 1; 1; 1) и (—1; —1; — 1; — 1). • Из условия следует, что х, у, 2, t одного знака. Допущение, что они не равны между собой, приводит к
противоречию. Поэтому x=y=z=t; , х= ± \ и т. д.;
л) (3; 3; 3; 3), (— 6; 6; 6; 6), (6; -6; 6; 6), (6; 6; -6; 6) (6; 6; 6; -6). • Сложим два первых уравнения. Так как при положительном а сумма
а + — не меньше 2, то оказывается, что каждая из дробей равна 1,
XZ
у
а
т. е. х, у, z, t равны по модулю. По третьему уравнению эти числа 3, 3, 3, 3 или 6, 6, 6, —6 (4 варианта); м) (3; 3; 3).# Ясно, что


х, у, z положительны. Допущение, что числа не равны (х>у или х<у)у приводит к противоречию. Из уравнения х3 — х = 24 нахо¬
дим х = 3. 149. а) (8; 2).# Сделать подстановку: x = yz\ б) хх =
= </,=3, *2=]|, У2=~. •(х-2)(у2+3)=12, (*-2)(Зу+5)= = 14; в) (2;3)и0|; -]|) • (2*-1)(Зу+5)=42, (2*-1)(Зу2-4) = =69.150.х= — \,у—2. •(jc+l)2+(i/—2)2=0. 151. JCi =3, дс2=-|— •
= 18 и ху — 12. Отсюда х = 2, г/ = 6. Произведение шести последовательных членов 1. Поэтому а\ -а,2-аз- ...-a7b = a\ •а2*а3 = 36.
153. 	ТРАКТОР. • Так как 1 ООО<х3< 10000, то 10<*<22. Последние цифры х2, х3, х4 различны, поэтому последняя цифра числа х не 0, 1,4, 5, 6, 9, т. е. х может быть только 12, 13, 17 или 18. Но 122 имеет равные цифры, 184 состоит более чем из 5 цифр, у 132 и 134 совпадают первые цифры. Итак, х=\7. 154. АРАБЕСКА.# Как в задаче 153, выясняется, что х равно 12, 13 или 17. Условию отвечает х= 13. 155. ВАЛТОРНА.# 17<*<22. Так как х4 имеет одинаковые первую и последнюю цифры, то х=19.
156. 	ТРАКТОРИСТКА.# Так как х2у х3у х4 оканчиваются тремя одинаковыми цифрами, то это 376 или 625 (три нуля не отвечают количеству цифр в данных числах). Но 376 не квадрат. Поэтому РИК означает именно 625, х = 25. 157. 9 чисел.# В таком числе менее трех цифр: 100а+ 106+ с — (а+ 6 +с) —abc = a (99 — — Ьс)+96 >> 0. Для двузначного числа 10а + 6 — (а + 6) = ab; 6 = 9. Таких чисел 9: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99. 158. Верно. # Из этих чисел 6 четных, из нечетных два числа кратны 3.
159. 	0. # Ни одно из них не оканчивается пятеркой. Поэтому имеем (10а — 3) (10а- 1) (10а + 1) (10а + 3) = (100а2-9) (100а2- 1) =
= 100а2 (100а2—10) + 9. 160. 1.#Если записать числа одно под другим, заполнив пустые места ну- 000000001 лями (как показано справа), то в каждом столбце 000000002 всех цифр окажется поровну. Однако в нижней 000000003 строке есть еще единица. Таким образом, больше
Первое решение, х2 -\-\=kx\ k - 2=-yj- ; k\ =-j- (&2<0 —
“ 15 ’ ^ x —у 15 ’ ^ з , ^ ^ ,
*i=3, *2=4-. 152. 36.# Эта последовательность x, yy —, —,
о XX
1 X
— y—yxyyy ..., ее члены повторяются с периодом 6. По условию


всего единиц (дописанные нули не считаются).
000000009
000000010 000000011
161. 	271. 162. 4 кг.# Если свинца в этих кусках было а% и Ь%, а отрезано по х кг, то получается уравнение
999999999
1000000000
/ (6-х)а ■ xb \ (12-х)Ь
\ 100 V 100 / V ЮО
163. 	Супружеские пары — Николай и Елена, Федор и Надежда, Степан и Мария.# Если возрасты Николая, Федора и Степана х, */, 2, то Надежде х + 3, Марии 56 — у, Елене 50 — 2 лет. Это приводит к трем вариантам:
{jc — (56 —1/) = 3, ( х —(50 —z) = 3, ( *-(50-z) = 3,
z-{x-\-3) = 3, или ) z — (56 — £/) = 3, или J y — (56 — y)=3, У — (50 — z) = 3 |^_(* + 3) = 3 | z-(x + 3) = 3.
Первая система противоречива, решения последней — дробные числа. Условию удовлетворяет вторая система. 164. Супружеские пары — Борис и Варвара, Василий и Мария, Андрей и Дарья, Семен и Татьяна.# Составьте таблицу и вычеркните невозможные варианты: Борис не старше Дарьи, Василий не старше Татьяны, разность возрастов Андрея и Варвары, Бориса и Марии не 3. Семен не старше Варвары или Марии на 3 года. 165. 1) Купили: Николай — 6 вещей, Надежда — 9 вещей, Василий — 22 вещи, Анна — 23 вещи, Петр — 2 вещи, Галина — 7 вещей. 2) Супружеские пары — Николай и Надежда, Василий и Анна, Петр и Галина. # Если муж купил х вещей, а его жена у вещей, то у2 — х2 = 45, т. е. (у — х) (у-\-х) = 1 -45 = 3-15 = 5-9. Решая три возможные системы уравнений, заметим, что супружеские пары — Василий и Анна, Николай и Надежда, Петр и Галина. 166. 36 м.# Пусть длина трубы а м, скорость трактора х м/с, скорость мальчика у м/с. Получаются уравнения ^^=120-0,75, -^=30-0,75.
Отсюда - = -j- , * = -гг . Сложив эти равенства, получим
ау 90 ау 45 г J
а = 36. 167. 215• 310• 5е = 30233088000000. 168.61 орех.# * = 4а+1,
За = 46+1, 36 = 4с+1, Зс = 4р; х = 9р + 4 + 13-^у 3 . Наименьшее
натуральное р, при котором х — натуральное число, 6. Поэтому х = 6\. 169. Если только 19 учеников достигли 13 лет, то общая сумма возрастов не более 13-19+12-14, т. е. меньше 430.
170. 	1 км/ч.# Скорость пловца относительно фляги в обоих направлениях одинакова. Поэтому он догонял флягу 3 мин. Скорость течения 100 м за 6 мин, т. е. 1 км/ч. 171. И км/ч.
172. 	125 км.# До первой встречи они проехали АВ, до второй —


ЗАВ. Поэтому один проехал до второй встречи 70 км-3 = 210 км. Проехав еще 40 км, он проехал бы 2АВ. Поэтому АВ= 125 км.
173. 	Примерно 16,7 с.# Если расстояние от коряги до моста а м, то скорости окуня 0,08а м/с и 0,10а м/с. Поэтому скорости карася 0,08а м/с и (0,08а + 0,08а —0,10а) = 0,Оба м/с. 174. Первый еж. • Если второй еж пробегал 1 м за t с, то первая черепаха отбросила его на 6/ см, а вторая подвезла его на 8t см. Следовательно, черепахи помогли второму ежу. Лучшим бегуном был первый еж. 175. В 16 ч 10 мин. • Скорость катера относительно плота постоянна. Поэтому катер плыл от Л до В столько же времени, сколько от В до плота. Отношение скоростей катера
30: (30— 10)=3:2, т. е. * =-i-; х = 3. Катер был в пути 30:18 +
1 о — X Z
+ 30:12 = 4-^- (ч) и прибыл в Л в 10 мин пятого. 176. Примерно
5,5 км. • Если два тела движутся в одном направлении со скоростями у км/ч и х км/ч, причем второе отставало от первого на а км,
то второе догонит первое за —!— часов (при условии х>у). По
х у
18 8 ув —уп 4 0
условию задачи = , т. е. =—. Если рас-
7) 7) 7) 7) 7) 7) Ч
П В П UM П
стояние между пешеходом и велосипедистом станет равным s км,
8 — s VB—Vn S — s 4 72 о /
то аналогично ——= ■ ■ ■ ; ——=—; s=— км. 177. 2 км/ч.
МП ч7 10
• Скорости против течения и по течению относятся как 8:10 = =4:5, поэтому (18 — лг):(18+лг)=4:5; х=2. 178. 210 км.# Пусть
(рис. 45, а) АВ = х км. Если АС=90 км, то СМ=(х—90) км,
МВ=А~90 км, BD =х^90 км. Отсюда 90:х~^9°=(х — 84) :х,
х=210 км. 179. В полдень. • Если AB = S км, скорости вело¬
Рис. 45


сипедиста и мотоциклиста х км/ч и у км/ч соответственно, то
S S = J_ 5 _ 4 . Sx = 1 . St/ _ 4 .
х-j-f/ 2л:-j— г/ 2 ’ x-f-f/ 5 ’ (х + у) (2х + у) 2 ’ (л:-|-£/)(л:2л/) 5
7(ёЗ-=Т’ S=6*; '=7|l7=2- |8“- В 21 “"»•
надцатого. Аналогично задаче 179. 181. 45 км/ч. 182. 4 км/ч и 6 км/ч.# Если расстояние AB = s км, скорости пешеходов х км/ч
/ t I S — JC 5 .1,1 X 2 ,
и г, км/ч, то 1+_=_+т+¥, откуда ^=Т; У +
_j_ У (*—у) =—Ш.—[-2,4; ХУ =-^-. 183. 80 км.# Пусть скорость
Х+У х + у х+у 5
автобуса х км/ч. В 3 ч дня мотоциклист был на (210 —Зх)-м километре, а в 2 ч дня на (180 — Злс)-м километре. В это время второй автобус догнал туристов на 200-м километре, до столба 80-го километра оставалось 120 км, а до мотоциклиста (20 + Зх) км. По
-условию 2^^~=0’в; * = 45. Второй автобус отставал от
первого на 45-2—10 (км). 184. 53110.# Наибольшее состоит из бесконечного числа девяток (т. е. такого конечного числа не существует). Если же знаменатель дФ 1, то наибольшее число 53110. 185. 72073.# Это число больше наименьшего общего кратного чисел 3, 7, 8, 9, 11, 13 на 1 или на 2, т. е. 72073 или 72074. По условию оно нечетное, поэтому второе число не годится.
186. 	175.# Оно оканчивается цифрой 5, все его цифры нечетные. Поэтому оно делится на 25, его цифра десятков 7. Следовательно, 100х + 75 = х-7-5-5; х=\. 187. 1973.# Его первые цифры 1 и 9, т. е. 1993 —(1 + 9 + x + t/)= 1900 + 10х-\-у\ 11х + 2*/ = 83; jc = 7, у = 3. 188. 3364. 189. 10256, 12820, 15384, 17948, 20512, 23076.# Пусть искомое число х, приписываемая цифра у. По условию 100000# + х = 4 (10л: + у); х=10256, у = 4. Другие решения: (12820; 5), (15384; 6), (17948; 7), (20512; 8), (23076; 9).
190. 	В 1918 г. 191. В 1891 г.# Если он родился в XX в., то 9ху-\- 10х + */ = 63, решений в натуральных числах нет. Если он родился в XIX в., то 8ху-\- 10х-\-у= 163; х = 9, у= 1. 192. В 1914 г.
193. 	38.# Искомое число 4х+1, 4х + 2 или 4х + 3, т. е. 161 jc — 5 равняется (4х+1)2, или (4лс + 2)2, или (4х + 3)2. Второй вариант дает х = 9, остальные не имеют решений в целых числах. 194. 47.
195. 501 число вида 1000х-\-у (у = 0, 1, 2, ..., 500) при различных у имеет сумму и разность пар, не делящуюся на 1000, но уже 502 приведет к тому, что а-\-Ь или а — Ь будет кратно 1000.
196. 4.# Последняя цифра квадрата члена этой прогрессии меняется с периодом 10 (4, 5, 4, 1, 6, 9, 0, 9, 6, 1, 4, 5, ...). Последняя цифра суммы последовательных 20 квадратов 0. Поэтому искомая цифра определяется суммой первых 9 слагаемых. 197. 3, 6, 12, ..., 768.# ai+ a2 + a3 + ... + art_i =765; Я2 + аз + ... + ап= 1530; q = 2. По условию ai=S—1530, ап = = S — 765. Поэтому S = S - 1530 + 2 (S - 1530) + S - 765 +


+5 2765 +372; S= 1533. 198. Нет.# Из чисел 1, 2, 3, ..., 15
нужно исключить простые, которые не входят множителями других чисел,— числа 11 и 13. Произведение оставшихся 2П-36Х Х53-72. Чтобы получить равные произведения, нужно исключить число 10. Сумма оставшихся 86. На одной скамейке сидят те, кому 15, 12, 7 лет, 4, 3, 2 года. Те, кому 15 и 14 лет, сидят на разных скамейках. 199. 2, 3 года, 6, 7, 15, 16 лет. Решение аналогично решению задачи 198. 200. Нет. На одной скамейке с тем, кому 20 лет, сидят те, кому 2, 3 года, 5, 6, 9, 14, 16 лет.
201. 	а) 987652341; б) 123456879. 202. а) 9876523410; б) 1023456798.
203. 	3451.# По условию неполное частное х = 7,29fl^19~5_-
= 104а + 9а^~- • Наименьшее натуральное а, при котором 9°3~5 —
целое число, 17. 204. 3211000. 205. 6210001000. 206. 6 чел.# Если воспользоваться кругами Эйлера (рис. 45, б) и обозначить искомое число х, то (2+*) + (11 + х) + (3 + х) + (6 — х) + (7 — *) + + (3 — х)+х = 38; х = 6. 207. 4 дня.# Пусть количество травы на единице площади — х суточных порций, суточный прирост — у порций. По условию 4 (х + 12*/)= 12-14; 5 (х-\-20у) = 17-20.
Отсюда х = 3, у = 3-~. Для третьего луга 6^3 + 3-™/^ =24/;
/ = 4. 208. Приблизительно без 9 минут 3 часа.# Если начало работы было в 10 + х минут одиннадцатого, а конец в 50 -\-у минут третьего, то так как минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой 10 + *= 12#, 50+#=12х. 209. В 1986 г. # 1955=1900 + + 10* + #+ 10 + * + */; 11х + 2у=45; х = 3, у = 6. Год рождения 1936. 210. 29. # Номера на этой стороне квартала нечетные. Если до начала квартала было х номеров, то 10. Если домов на стороне квартала у, то (х-\-у)2 — х2=уъ\ 2ху-\-у2=уъ\ у2—у — 2х = 0;
y=}.dr^J + §£ Наибольший номер при х=10. 211. 26. # На этой
стороне данного квартала номера от 2 до 24. 212. 18 лет.# Дед родился 29 февраля. Если Кате х лет, то деду 4х, 4х+1, 4х + 2 или 4х + 3 лет, а брату Кати х— 1, х — 2 или х—3 лет. По условию
х+х—3+4x<107<jc+x— 1+4х+3; 17-|<*< 184-- 213.31 см,
Z о
42
35 см, 39 см.# У первого основание х, высота —, у третьего
90 90 5* п
основание ■#, высота —, у второго высота —, основание —. По
условию x2+(^pj ; х=подо^ия ПРЯ"
моугольников x=j^\ у3 24 у2 + 194у —
— 300 = 0; у3 — 2у2 — 22у2+44t/ + 150«/ — 300 = 0; (у —2) (у2 —


— 22*/ + 150)=0 (рис. 45, в). Дискриминант квадратного трехчлена отрицательный; у = 2 см, х=1 см. 215. 27894.# Представим себе числа записанными в столбец (как в задаче 160): 0001, 0002, 0003, ..., 1995. Будем суммировать по вертикалям: единицы — 45-200 — 30, десятки — 450-20 — 9-4, сотни — 4500-2 — 9-4, тысячи —996. Всего 27894. 216. Всего цифр в этом числе 1 -9 +2-90 +3-900+ 4-1001 =6893. Написанное число оканчивается тремя нулями, поэтому оно делится на 53. Последние цифры числа 19992000 свидетельствуют, что оно делится на 26, но не делится на 27. Сумма чисел 1+2 + 3 + 4 + ... + 2000 = 2001000 делится на 3 (но не делится на 9). Следовательно, и сумма цифр написанного числа (а поэтому и само число) делится на 3, но не делится на 9. Таким образом, написанное число Т делится на 26-3-53. Кроме этих десяти простых делителей, все остальные не менее 7. Логарифм написанного числа менее 6892,0915. Если разделить на указанные 10 множителей, полученное частное будет иметь логарифм менее 6887,7113. Поэтому
Ь— 1°<-S^-4--<815°; £<8160. 217. На 55 лет. • Внук родил-
и,о4о1
ся в 1944 г., дед — в 1889 г. 218. Дед родился в 1889 г., дядя — в 1923 г., другой дед —в 1896 г., мать — в 1928 г., Петя — в 1951 г., его брат — в 1947 г. 219. Дед родился в 1686 г., его братья — в 1667 г. и в 1682 г., второй дед — в 1707 г., бабушка— в 1693 г., отец — в 1724 г., мать — в 1729 г., дядя — в 1732 г., Антон — в 1752 г., его брат — в 1748 г., а сестра — в 1747 г.
220. 	39 лет.# Отец родился в 1924 г., мальчику 16 лет, год рождения деда 1895.
1. A2A\u Л5Л12, Л7Л13, Л19Л22, А30А32, Aq2Aq3> Пары отрезков: А2Аз и ЛбЛ7, AsA9 и АюАц. 2. а) Да. • 17°-53—180°-5= 1°;
б) 	да. • 19°-19—180°-2= 1°; в) нет. • При любых целых х и у число 27*+180у кратно 9 и поэтому не может равняться 1.
3. 	Учесть, что 35°-18—180°-3 = 90°. 4. 44 раза.# Условию отвечает положение стрелок в 3 часа и в 9 часов. Такие углы сохраняются через поворот часовой стрелки по циферблату на -jy полного угла. За сутки таких положений 11 -2-2. 5. 2876 раз.# Кроме промежутков 0.00—0.01 и 11.59—12.00, в каждой минуте секундная стрелка образует равные углы с часовой и минутной стрелками, и находясь внутри угла, образованного этими стрелками, и находясь вне названного угла. На указанных промежутках равенство углов встречается не дважды, а 1 раз. Всего таких случаев за сутки будет 24-60-2 — 4-1. 6. 40 раз.# В
60 120 83
— минут второго, в — минут третьего, ..., в 59— минут один-
14о 14о 14о
надцатого и т. д. 7. Построим /4||/i так, чтобы расстояние между


U и /з равнялось расстоянию между 1\ и /2. Затем строим окружность радиуса а с центром в точке >4£/2. Если она пересекает /4 в точках В и С, то искомые прямые соответственно параллельны АВ и АС (рис. 46). 8. Задача имеет много решений. 4 из них показаны на рисунках 47—48. В каждом решении используется либо свойство равнобедренного треугольника, либо свойство биссектрис углов треугольника. 9. Наиболее просто использовать идею рисунка 48, б. Построение основано на свойстве биссектрисы угла: каждая точка ее равно удалена от сторон угла. 10. а) Через данную на прямой точку М построим произвольную прямую /, затем (прикладывая край линейки к прямой /) построим прямые 1\ и /2, параллельные /, проходящие по разные стороны от нее, которые пересекут данную прямую в точках А и В. Приложим линейку так, чтобы ее края проходили через точки М и А Прямая, проходящая через точку А по краю линейки, пересечет /2 в точке С. Л ABC равнобедренный, поскольку его углы А и В равны, а так как АМ = МВУ то СМ — медиана этого треугольника. Значит, СМ1.АВ. б) В произвольной точке А£1 строим перпендикуляр к прямой / (задача 10, а). Строим прямую через точку М, пере-
Рис. 46
Рис. 47
Рис. 48


секающую построенный перпендикуляр в точке В. Приложив линейку к прямой МВ\ строим СЕ\\МВ, а затем аналогично DH\\CE. Если MD пересекает СЕ в точке О, а ВО пересекает DH в точке К, то (по свойству параллелограмма) MK\\BDy т. е. прямая МК — искомый перпендикуляр к / (рис. 49). Возможны и другие построения. На рисунке 50 построены произвольные прямые МА и MB, пересекающие данную прямую в точках А и В, и параллели к ним DC и ЕК. Помещая линейку так, чтобы ее края проходили через точки Л и С, а затем через точки В и £, построим прямые АМ\ и ВМ\. Из равенства треугольников МАВ и М\АВ следует, что ММ\ А-АВ. 11. Остроугольный. • Его углы равны полусуммам пар углов треугольника ABC. 12. Верно. • Если, соединив точки, получим выпуклый шестиугольник, у которого хоть один угол меньше 120°, то решение очевидно. Если все углы по 120°, достаточно соединить вершины через одну. Если пять точек являются вершинами выпуклого пятиугольника, а шестая находится внутри пятиугольника, ее соединяют с остальными вершинами. Если две точки находятся внутри выпуклого четырехугольника, одну из них соединяют с вершинами четырехугольника. 13. Да. • Точка Мб совпадает с точкой D. 14. 70°. • Z- ВАС = (180° — 80°): 2 = 50°. Так как 50°+10° = 60°, строим равносторонний aADC\ aADB = aCDB (по III признаку равенства треугольников). AADB= ACDB = 30°\ aADB = = ААСМ (по II признаку равенства треугольников), АВ = АМ\ АВАМ = 50° —10° = 40°; ААМВ = {Ш° — 40°):2 = 70° (рис. 51). Для случая, когда точка М находится вне треугольника, ААМВ = = 60°. 15. а) 80°.• Первое решение. В аАВС высота ВО пересекает луч AM в точке D. ABMD= 10° + 20° = 30°; /LABO = = 100°:2 = 50°; ZDBM = 50° — 20° = 30°, BD = MD. По симметрии Z-DCB=\0°; ZLODM = Z-ODC = 60°. Так как ABDC = = Z-MDC= 120°, ABDC=AMDC (по I признаку равенства треугольников), DMC = Z. DBC; zl BMC = 30° + 50° = 80°.
Рис. 49
Рис. 50
Рис. 51


Рис. 52
Второе решение. Строим aBDC= АВМА. Тогда ДDBM равносторонний, Z.BDC= 180° — 20°— 10° = 150°, Z.MDC =
= 180°*2 — 60° —150°. ABDC= AMDC (по I признаку равенства треугольников), Z.DMC— Z.DBC=20°; Л ВМС=60° + 20° = = 80°. б) 78°. 16. 70°. • П е р в о е решение. Z..4 = (180o— 20°):2 = 80°. Так как 80° — 20° = 60°, строим равносторонний ААМС; аАВМ= аСВМ (по III признаку равенства треугольников), ^АВМ=Ю°; АВАМ= Z.ABC- aDBC= аМАВ (по I признаку равенства треугольников); Z_BCD= /_АВМ = 10°; /-ACD=80°—10° = 70° (рис. 52, а). Второе решение.


Строим окружности радиуса АС с центрами в точках С, Е, F (рис. 52,6). Z.AEC = 80°, Z.ACE = 20°, АЕСВ = 60°, ACEF = = ACFE = 60°, ADEF=40°, AEDF = 40°, Z. DFB = 40° — 20° = = 20°, BD = DF=AC. Так как ADFCравнобедренный, ADCF= = 20°:2=10°; AACD = 80° —10° = 70°. Третье решение. Строим ACBF= аВСА и равносторонний aBMF (рис. 52, в). ADCB=AMCB=AMCF=W°. Поэтому Z.ACD=80°-10° = = 70°. Четвертое решение. Построим (рис. 52, г) перпендикуляры к АС в точках Л и С и Z.ABF=20°. AABF = = АСВЕ (по II признаку равенства треугольников), А РВЕ равносторонний, ABCD= АВСЕ (по I признаку равенства треугольников), ABCD=90° — 80°= 10°, Z.ACD=80° —10° = = 70°. Пятое решение. Построим вне A ABC равносторонний аАСК так, что DM\\AK (рис. 52, д). Z.ADM=\80° — — 80° —60°=40°; Z. ВМD = 40° — 20°=20°; BD = DM\ ADMK — параллелограмм; ADMK=180°—40° = 140°; АСМК=20° = = Z.CKM-, MC = KC=AC = DM- Z.DCM =20°:2=10°; AACD= = 80° —10° = 70°. Шестое решение. Построим равносторонний аАМС и параллелограмм CMDK (рис. 52, е). Z.ADM = = /LB, ADAM=80°—60° = 20°, AM=MD, MC = DK, поэтому
MDKC — ромб, ZZ)C/C=-i-^MCD=10°, AACD =60°+10° =
= 70°. Седьмое решение. CEA-BA, ME=CE, A CMD равнобедренный. (Для доказательства того, что его вершина совпадает с точкой D, проведем MP1.CD.) /LCDP= 10° (рис. 52, ж),
Z. DPB = 30° +Ю° — 20° = 20°, /L PCD = /LPDC= 10°, СЕ=-^-Х
ХСМ = СО; аАСЕ= ДСОР (по II признаку равенства треугольников), AC = BD; Z.ACD = 80° — 10° = 70°. 17. Если AKLM вписан в A ABC, точки М1 и М2 симметричны точке М относительно АВ и ВС (рис. 53), то периметр AKLM равен длине ломаной M\RLM2. При фиксированной точке М эта длина минимальна, если точки К и L лежат на отрезке М\М2. В этом случае АМ\ВМ2 равнобедренный, причем Z.M\BM2 = 2/LABC, а М\В = М2В = МВ. Следовательно, М1М2 имеет минимальную длину, если ВМ — высота треугольника ABC. Аналогично AL и СК — высоты треугольника ABC. 18. Не всегда.# Например, из высот прямоугольного треугольника с катетами а и 2а треугольник построить нельзя. В общем случае построение невозможно, если ha-\-hb^hc\
биссектрисы угла точки А\ и А2у симметричные точке А относительно 1\ и /2, лежат на прямой ВС. Построив прямую А\А2, найдем вершины В и С. Второе решение. Если 1\ и 12 пере-
и О АС, равные по величине АВОС — 90°, найдем вершины В и С.
решение. По свойству
секаются в точке О, то АВОС=90° + ^^. Построив углы ОАВ


Рис. 54
Рис. 55
20. Прямые, симметричные АВ относительно 1{ и /2, пересекаются в точке С. 21. Если эти прямые попарно пересекаются, центр искомой окружности совпадает с центром окружности, вписанной в полученный треугольник. Но нужно рассмотреть случай, когда две прямые параллельны, а третья пересекает их, и случай, когда все три прямые параллельны. 22. Окружность, проходящая через данные точки, вписана в треугольник, вершины которого являются центрами искомых окружностей. 23. Верно.• Первое решение. Пусть точки’D, £, F лежат на сторонах треугольника ABC. Окружность, проходящая через эти точки, не меньше вписанной в треугольник: п^г. Если эти точки — середины сторон
п п
треугольника ABC, то г\ =—. Таким образом, г, R ^ 2г. В т о-
рое решение. При положительных х и у х-\-у^2л[ху.
Поэтому а=(р — Ь)—с) ^ 2 -д/(р — Ь) (р — с). Аналогично
b >2-yfcp — а) (р — с), с>2У(р — а)(р — b)\ abc^8(p — a)(p — b)X
X (р — с); 4/?S ^ 8 • ■— ; /? ^ 2 •—, R ^ 2г. 24. Все такие точки лежат р р
на описанной окружности, так как в этом случае один из отрезков МАУ MB, МС равен сумме двух других. 25. а) Точка М определяется пересечением окружности диаметра АВ\ с CD (рис. 54). Пусть Z.BMD=x, Z.AMC=90o+jc. Если точка В\ симметрична В


относительно CD, то /.АМВ\=90°. б) Пусть ABMD=x. Если В\ симметрична точке В относительно CD, то AB\MD=x, прямая В\М является осью симметрии Z.AMC. Если точка E£CD симметрична данной точке А относительно В\М, то В\Е = В\А. Построив серединный перпендикуляр отрезка ЕА, можно найти точку М (рис. 55). 26. Если D\ симметрична точке D относительно АВ, то Z.DiKE = 2Z.АКТ = 90° (рис. 56). Поэтому вершина треугольника МКР определяется пересечением АВ с окружностью диаметра D\E. 27. На рисунке 57 показаны два треугольника, отвечающие условию задачи. У одного углы 30°, 30°, 120°, у другого — 45°, 45°, 90°. 28. К вершине наибольшего угла.# Используется свойство: в каждом треугольнике против большего угла лежит большая сторона (и наоборот). 29. Остроугольный.# Углы равны полусуммам пар углов ДАВС. 30. Z-Ax = \d>§° — 2 АА, /_В\ = 180° —2ZLB, ZL Ci = 180° — 2Z.C. 31. Да. 32. Прямоугольник.# Его диагонали—диаметры описанной окружности. Используйте результат задачи 31. 33. Да.# Используйте результат задачи 30. 34. Построим окружность через точки А\, В\, С\. По углам треугольника А\В\С\ просто определить углы искомого треугольника. При рассмотрении второго случая учитывают, что биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, проведенные из одной вершины, взаимно перпендикулярны (А\А2— диаметр, поэтому по точкам А2, В2, С2 просто найти точки А\, В\, Ci). 35. 90°, 60°, 30°. # AD — высота и биссектриса угла А треугольника АВО. Поэтому она является и медианой. Построим ОМА-АС (рис. 58). аАОМ= &AOD (по II признаку равенства треуголь-
ников), OM — OD=-j-BO=-^-OC; ZC=30°; ACAD=90°-
— 30°=60°; АВАС=60°-|-=90о; Z.B = 90° — 30° = 60°. 36.30°.
• Так как MC — биссектриса A.BMD и медиана треугольника BMD, то MC-LBD. Опустим перпендикуляр ВО на МА (рис. 59). Далее, как в задаче 35. Получим ZLAMB= /LBMC= Z-CMD = = A DME = 30°. 37. 90°, 67°30', 22°30'.# Первое решение. Продолжение медианы пересекает описанную окружность в точке М (рис. 60). Если ВАС = 4х, то ААМС= АВ = 90° — х. В дЛМС сумма двух углов 90°, поэтому AM — диаметр описанной окружности, и так как он делит пополам хорду ВС, не будучи ей перпендикулярным, то ВС тоже диаметр. Поэтому АВАС = = 90°, * = 22°30', АВ = 67°30', ZC = 22°30'. Второе решение. Серединный перпендикуляр отрезка ВС пересекает биссектрису угла ВАС в точке L — середине дуги ВС. Так как FL\\AD, то Z-ALF= Z-LAD= Z.LAF. Поэтому FA = FL, точка F — центр описанной окружности, АВАС = 90°, Z.B = 67°30', ZC = = 22°30'. 38. Пусть продолжение AD пересекает описанную окружность в точке К, продолжение АЕ пересекает окружность в точке L, продолжение AF пересекает окружность в точке М. Эти три точ-


Рис. 56
Рис. 57
Рис. 58
Рис. 59
ки определяют окружность, ее диаметр LT проходит через точку F. Поэтому AK\\LT. Хорда ВС проходит через точку F перпендикулярно LT (рис. 60).
39. Так как АВАК— Z-BCM, то ВК=ВМ, аналогично АМ =
=AL, CL = CK. Построив через точки /С, L, М окружность, можно найти вершины А, В, С как ее пересечение с серединными перпендикулярами хорд KL, КМ, ML. 40. Достаточно. ФАМСО — ромб, MD±AC, р
ААВМ=АСВМ, мево;
Z.OAD=x, Z.ОАВ = Зх. Из
треугольника ABD имеем 2jc + 3jc = 90°. Углы аАВС равны 36°, 36°, 108° (рис. 61). 41. Постройте окружность через точки А\, В\, Ci, ее центр О позволит определить углы искомого тре-


Рис. 61 Рис. 62
угольника. Затем (как в задаче 19) постройте касательные к окружности под соответствующими углами к ОА\, ОВ\, ОС\. 42. Хоть одна из высот треугольника находится внутри треугольника. Такая высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Таким образом, треугольник можно разделить на любое число п^2 прямоугольных треугольников. А каждый прямоугольный треугольник делится медианой, проведенной к гипотенузе, на 2 равнобедренных треугольника. 43. Верно. • Первое решение. См. решение задачи 42. Если получается четное число частей, а требуется получить нечетное число, то можно предварительно отсечь от данного треугольника равнобедренный треугольник. Второе решение. Если данный треугольник равнобедренный, то первое решение может не дать результата. В этом случае используют средние линии треугольника. На рисунке 62 показано, как при любом натуральном k получить 3k, 3&+1, 3& + 2 равнобедренных треугольников. 44. ААВС = 75°, ААСВ = 45°.# Первое решение. Опустим перпендикуляр ВО на AM. Так как Z.MBO = 30°,
то MO=~Y ВМ = МС. Поэтому А МСО=-^-=30° = Z.MBO.
Следовательно, ОВ = ОС, Z.BOC=90°+30°= \20° =2/L ВАС, т. е. точка О — центр окружности, описанной около треугольника ABC; Д АО В прямоугольный, равнобедренный, ААВО = = 45°. Поэтому ^ЛВС = 45° + 30° = 75°, ААСВ= 180°-60°- — 75°=45°. Второе решение. Построим окружность (М, МС), которая пересечет сторону ВС в точке D; треугольник MOD равносторонний, OD=BD, Z. ОВМ = Z —30°;
/LMCO= /LMOC=^^=30°= ЛОВМ; ОВ = ОС, ACOD =
= 90°, Z. ВОС=90° + 30° = 120°. Далее, как в первом решении. 45. 30°. • П е р в о е решение. АЕ и BE — биссектрисы внешних углов A ADB. Поэтому их точка пересечения лежит на


биссектрисе Z.ADB. Так как DM и ВМ — биссектрисы внешних углов ABDC, то их точка пересечения М лежит на биссектрисе Z.ACB. Если /LMCD = x, то AADB = 60° + 2x (рис. 63); AADM = (60°2х):2 = 30°+х; Z.DMC=Z.DOC- AMDO =
= 60° + * — (30° + л:). Второе решение. По свойству биссектрисы угла точка Е равноудалена от лучей ВА и ВР. Точка Е равноудалена от DT и DP, т. е. точка М лежит на биссектрисе Z.ADB. Так же доказывается, что точка М лежит на биссектрисе Z-ACB. Далее, как в первом решении. 46. Верно.# Прибавьте к данным квадратам еще три — В]PC, СРТЕ, ЕТНК (рис. 64). AMTF= АТВЕ, т. е. МТ = ВТ, Z.BTE= /LTMF, АВТМ равнобедренный прямоугольный, /-ТВМ = 45°. Но Z.TBM= АТВК+ + АМВК= AFBK+ /-МВК. Итак, ADBK+AFBK + + Z.MB/C=45° + 45° = 90°. Задачу можно решить с применением
тригонометрии: учесть, что тангенсы двух меньших углов и
Рис. 63
Рис. 64


сумма этих углов равна 45°. 47. Нет. • ВКМС— прямоугольник, его вершины лежат на окружности, ее диаметры ВМ и КС. Так как Z. КОС = 90°, то точка О лежит на этой окружности. Поэтому А ВОМ = 90°. Если точка К лежит на продолжении ВЛ, ответ не изменится. 48. Аналогично решению задачи 47.
49. Если Af £ЛВ, N£CD, строим М\ симметрично точке М относительно центра О. Если М\ совпадает с N, задача имеет бесконечно много решений. Если же они не совпадают, строят прямую CD\\AB и т. д. (рис. 65). Если М£АВ, N£AD, строят окружность диаметра MN. На полуокружности, не обращенной к вершине Л, находят середину Р. Прямая ОР определит вершину А.
50. а) Если даны точки Л, Е, F, причем BgBC, F£CD, то строится окружность диаметра EF и прямая Л/С, где К — середина полуокружности, обращенной к вершине Л. б) Используется свойство квадрата: если М£АВ, K^CD, N£BC, L£AD и MK.LNL, то MK=NL. 51. Окружности (Л, АО) и (В, ВО) пересекаются в точке С. Окружность с центром С, равная данной, пересекает данную в искомых точках. Если прямая АВ проходит через центр О, то указанное построение неосуществимо (С совпадает с О). В этом случае строят окружность произвольного радиуса с центром Л, она пересекает данную в точках Е и К. Далее строят окружности (О, ЕК), (Е, ЕО), (К, КО). Это определит точки М и Т (рис. 66). Окружности (М, ОА) и (7\ ОА) пересекаются в точке Н. Окружность (М, ОН) определит искомые точки С и D. При проверке правильности построения используется теорема о сумме квадратов диагоналей параллелограмма. 52. Может.# Четырехугольник, вписанный в окружность. 53. Можно. • Идея возможного решения показана на рисунке 67. 54. АСАМ = АСМА, АС =
р Р
= СМ<ВС. 55. Нет. • По условию а=х, Ь^х-\-—~, с^х——.
6 о
р р
Отсюда х^ —, т. е. 6^ — , что невозможно. 56. Требованию за-
о z
дачи отвечает не только центр М данного треугольника. Построим окружности (Л, Л В), (В, Л В), (С, АВ). Их попарные точки пересечения, середины дуг ЛВ, АС, ВС и точки, диаметрально противоположные этим серединам, также отвечают требованию. Всего точек 10. 57. Пусть а>Ь>с. Тогда: а) маршрут СОВАС имеет длину 2R + Ь-\- с. Такую же длину имеет маршрут ВОСАВ;
б) АВОСА или АСОВА.ф Отложив на АС отрезок AD = AB, ис¬
пользуем неравенство треугольника: OC<iOD-\-DC, т. е. ЛВ + ОС < Л С. Аналогично АС + ОВ<ВС+АО'у в) аналогично задаче 57, б. Используя формулу медианы, можно доказать, что
а-\-\гПа>Ь-\-\ть>с-\-\тс. 58. 45°, 45°, 90°. 59. 45°, 45°,
О О О
90°.• Пусть АВАС = 2х. Тогда ABAD = ACAD = ААСЕ= = Z.ВСЕ = х\ AADB =х-\-2х = Зх\ А КО D = 2 < КСD = 2х\ A KDO = ( 180° — 2х): 2 = 90° — х; AODC= AOCD = 2x; сумма


Рис. 65
Рис. 66
Рис. 67
Рис. 68
углов при точке D: 3jc + 90° —лс+2х= 180°; 4х = 90°. 60. Если ААВС тупоугольный, то углы треугольника А\В\С\ равны 2а, 20 и 2у—180°, где у — тупой угол. Если же A ABC остроугольный, то стороны аАВС лежат на биссектрисах внешних углов АА\В\С\. 61. Нет.# Сумма углов всех треугольников равна 180° (п — 2) + + 360°-fe. Поэтому в любом случае всего п — 2-\-2k треугольников. 62. Да.# На рисунке 68 показаны три способа решения задачи. 63. Равнобедренный. • Преобразуя условие, получим (a — b)(b — c)(c — a) = 0. 64. Если точка О — середина АС и луч а симметричен стороне данного угла относительно О, то пересечение а с другой стороной угла — вершина искомого параллелограмма. 65. Если точка О — середина АС> можно построить точку Mi, симметричную М относительно точки О. Расстояния от М и Mi до D известны. 66. Аналогично задаче 65. 67. 60°, 120°. • Пусть АВ = а, ВС = 2ау ACBD=xy AABD = 3x. Построим луч ВМ так, что /LMBD = x. Тогда 2_АВМ = 2х = ААМВ; ВМ — = AM = MD = a. Отсюда Z.ABD = 90°, /LA= 60°, /LABC = 120°
5 Заказ 741


Рис. 69
Рис. 70
Рис. 71
(рис. 69). 68. Прямая 1\, проходящая через центр окружности О перпендикулярно ВС, является осью симметрии AD. Поэтому луч т 1, симметричный В А относительно Л, проходит через D. Аналогично строят /2 через О перпендикулярно АВ и луч т2, симметричный ВС относительно /2. Этот луч пересекает т\ в вершине D. Далее просто. 69. 90°, так как этот параллелограмм — квадрат. 70. Если М — искомая точка, £/С = а, делаем параллельный перенос ЕК в положение АР. Так как АРКЕ — параллелограмм, АРКВ = AM = 90°. Поэтому точка К определяется пересечением CD с окружностью диаметра РВ (рис. 70). Задача имеет не более двух решений. 71. Среднюю линию треугольника (без ее концов), параллельную ВС. 72. Верно.# Используется неравенство: если точка М находится внутри треугольника ABC, то МЛ + МВ<: <ЛС + ВС. 73. 30°, 150°. 74. Да.# По свойству диагоналей параллелограмма прямые ЛЛ1, ВВ\, CCi, пересекаясь, делятся пополам. 75. Можно. # аАВВ\ = aDCDj, KL = MH. Серединный перпендикуляр отрезка ВВ2 делит /СМ пополам. Построив /СМ, проводим BBi_L/<7Vf, DDi-LKM, теперь можно найти точку Т — середину /СМ и построить BB2_L07\ Это определяет вершину В. Далее можно найти ВВ2, построить ВЛ и CD, параллельные 07\ и т. д. (рис. 71). 76. 3:4. 77. Нет.# Так как хорда окружности диаметра МО (О — центр прямоугольника), на которую опирается вписанный угол, не зависит от положения точки М: длина хорды равна МО-sin zlАОВ. 78. 75°.# Так как AMAD = = ААМВ= AAMD, то MD=AD = 2CD\ ZCMD = 30°, ААМВ = Z.y4MD = (180° — 30°):2 = 75°. 79. Центры окружностей Ох и 02 лежат на ЛС, центр ромба — Т — середина 0i02. BD — серединный перпендикуляр отрезка 0i02. Если М — середина ЛВ, то окружность (М, МТ) проходит через вершины Л и В. 80. 45°.
81. 	30°. #Первое решение. Пусть АВМС = х, AAMD=y. Тогда АВСМ=ху AADM=y, AMCD-\- AMDC = 120° — x-{-y\ ACMD=x + m°—y, AMCD + AMDC = 180° + x—y; y—x = 30°, ACMD = 30°. Второе решение. Постройте МГЦ ВС (рис. 72, а). Если АВМС=х, A AMD = у, то Z'.ТМС=АМСВ = = А ВМС=х, A TMD = A MDA = A DMA =у, А AM В = 2х + -\-2y = 2ACMD\ ACMD = 60°:2 = 30°. Третье решение. Постройте ромб МВСО (рис. 72, б). Так как AD = BC = MO, то


MODA— параллелограмм. Но МО=МА, значит, это ромб. По
свойству диагоналей ромба /LCMD = ^- ZL,4AfB = 60o:2 = 30o.
Четвертое решение. Выполните параллельный перенос треугольника АМВ в положение CM\D (рис. 72, в). Так как M\M = BC=M\C=M\D, то М\ — центр окружности, проходящей
через точки М, С, D. Вписанный угол CMD равен /LCM\D =
j
=—-60° = 30°. Пятое решение. Постройте ДМСО, симметричный ДМСВ относительно Л1С, затем докажите, что МО\\ВС, и далее, как в третьем или четвертом решениях. 82. Высоты ромба равны. У искомого ромба высота Н равна расстоянию между данными параллельными прямыми. Поэтому можно строить прямоугольный /\MM\T с гипотенузой ММ\ и катетом МТ=Н. Прямая ТМ\ содержит сторону ромба (рис. 73). 83. Если Т — середина КМ, то ВС и AD параллельны ОТ. Построив через К и М перпендикуляры к ОТ, можно определить вершины В и D (рис. 74). Далее просто. 84. Да.# Окружности диаметров АВ и АС проходят через
Рис. 72
Рис. 73
Рис. 74


Рис. 75
Рис. 76
Рис. 77
Рис. 78
точку D. По свойству вписанных углов AODB = АОАВ = = A MAC = A MDC = 45°. 85. Центр квадрата и не лежащие на сторонах квадрата вершины восьми равносторонних треугольников, построенных на сторонах квадрата. 86. Все стороны восьмиугольника, показанного на рисунке 75. 87. Строим EF — общий перпендикуляр параллельных сторон ВС и AD. Это определяет длину стороны квадрата. Если построение EF невозможно, заменяем EF ломаной, у которой соседние звенья перпендикулярны (рис. 76). Через точку Т — середину EF строим перпендикуляр к EF и строим на нем точку, удаленную от АВ на EF
— . 88. При повороте около О на 90° точка М переходит в точку Mi,
а отрезок MB — в отрезок М\А. Поэтому вершину А можно найти по ее расстояниям от М и Мь Далее ясно. 89. Пример построения показан на рисунке 77. Доказано, что общее число остроугольных треугольников, на которые разрезается квадрат, больше 6. 90. Легко проверить, что внутри окружности могут оказаться 1,


2, 3, 4 вершины квадратов. Допустим, что окружность с центром О охватывает ровно k вершин квадратов. Если вершина М, лежащая вне окружности, ближайшая к этой окружности, то построим прямую МО, она пересекает окружность в точках А и В. Построим окружность диаметра МА (точка В ближе к Му чем А) и несколько увеличим ее. Внутри ее окажутся k + 1 вершины. Таким образом, внутри окружности могут оказаться 5, 6, 7, ...— любое число вершин квадратов (рис.
78). 91. Если принять АОАВ =
= а (рис. 79), то Z-ACO =
= 90° - a, Z.ACK= 180° —
— 2(90° —а)=2а, ААОВ=45°,
AABN= 180°-2(45° + а) =
= 90° —2а; AKBC=AABN =
= 90° — 2а, АВКС= 180°- —(90° —2а + 2а)=90°. Все углы четырехугольника прямые.
Но из всех прямоугольников описанным около окружности может быть только квадрат.
92. Если /-OAD = a, то Z OKD = a, A OLD = 90° — а,
Z.OCD = 90° —а (рис. 80).
Аналогично если /LOAB = $y то Z. ОС В = 90° — р. Следовательно, ziBAD + zi BCD = 180°, т. e. 79
около четырехугольника ABCD ис'
Рис. 80
Рис. 81


можно описать окружность. Если AKLM=x, Z.NML=y, то AB + CD = OL sin x-\-ON sin (180° — x) = NL sin x=2R sin x sin y\ BC + AD = OM sin y + OK sin (180° — y) = MK sin y = 2R sin xX Xsin y=AB-\-CD. Следовательно, в четырехугольник можно вписать окружность. 93. Да. • Пусть прямые DB и ЕС пересекаются в точке Т. Тогда /.МВТ + АМСТ—\&0° — — zLDBAf + 180°— zl ЕСМ= Z-DAM + A.EAM = \8Q°. Следовательно, точка Т лежит на окружности, проходящей через точки М, В, С. 94. а) АС пересекает / в точке О, ВС пересекает/в точке М. Пересечение ВО и AM — точка D, симметричная точке С относительно / (рис. 81). Если расстояния от точек А и С до I мало отличаются, берут иную точку Е и строят ЕЕ\ _L/. Затем поступают, как указано выше, заменив АВ на ЕЕ\. б) Берут на ВС какую-нибудь точку D и строят симметричную ей относительно / точку Е. Если К — середина АВ, М — середина DE, то пересечение AM и KD лежит на искомом перпендикуляре (рис. 82).
95. а) МА и MB пересекают окружность в точках С и D. По свойству высот треугольника перпендикуляр к АВ через М проходит через точку пересечения AD и ВС. б) Как в задаче 95, а. В остальных задачах приходится строить какой-нибудь перпендикуляр к АВ и использовать приемы, описанные при решении задачи 94.
96. Эти точки лежат на описанной около искомого треугольника окружности. Если даны точки М, /С, L, то вершины А, В, С — середины дуг ML, М/С, KL. 97. Эти точки лежат на окружности, описанной около дЛВС, причем дАВС= ADEF. Первое решение. Постройте окружность по данным точкам. Вершины искомого треугольника симметричны данным точкам относительно центра построенной окружности. Второе решение. На дополнительном рисунке постройте АА\В\С\ = ADEF, найдите соответствующие точки D\, Е\, F\ и определите на этом рисунке расстояния АХЕХ и AXFX. Затем на основном рисунке постройте окружность через данные точки и находите положение вершин по АЕ и AF.
98. А0{0203= аАВС (по III признаку равенства треугольников). Определив радиус R окружности, проходящей через данные точки, можно найти вершины А, В, С как пересечения окружностей (Оь /?), (02, /?), (03, /?).
99. Одно из решений: условию отвечают середи-
Рис. 82 ны сторон АА1В1С1. Три


Рис. 83
Рис. 84
решения показаны на рисунке 83. Высоты ААХВХСХ продолжены каждая на половину стороны треугольника. Так найдены точки /С, L, М. Точки Я, Т, N симметричны Сь Аи В{ относительно М/С, ML, L/C. Правильность построения треугольников МР/С, LTM, LNK легко проверить вычислением. Еще три треугольника построены на рисунке 84. Если высоты АА\В\С\ пересекаются в точке О, строят биссектрисы углов А\В\Оу С\В\0 и т. д. Так как на высотах АА\В\С\ фиксируются по две вершины искомых треугольников — /С, L, М, третьи вершины определяются построением биссектрис углов A\LM, A\LK, CiML, С\МКу В\КМУ B\KL. Правильность построения доказать легко. 100. Первое решение. Возьмем на / точки А и В. Окружности (Л, AM) и (В, ВМ) пересекаются в точке Mi, симметричной М относительно /. Отрезок MMiJL/. Второе решение. Если а больше половины расстояния от М до I, строим окружности (М, а) и (М, 2а). Если вторая пересекает / в точке В, а MB пересекает первую в точке О, то окружность (О, а) пересекает / в точке С. Искомая прямая МС. Третье решение. Отметим Л £ /. Из середины МЛ опускаем перпендикуляр ОВ на L Основание искомого перпендикуляра — такая точка С, что В — середина АС. Четвертое решение. Построим две симметричные относительно / точки. Далее, как в задаче 94. 101. Если О — середина основания Л С, a D и Е — середины высот ЛЛ1 и CCi, то (по свойству средних линий треугольника) можно построить прямые ЛЛ1 и С С \ (они соответственно перпендикулярны OD и ОЕ). Отрезок АС строится по его середине О, зная, что его концы находятся на прямых Л Л1 и СС\ (рис. 85). 102. Да.# Первое решение. Опустите на прямую АВ перпендикуляры D/С, СРУ МО, ЕТ (рис. 86). AADK=ACAP, АВСР=АЕВТ\ КА = СР =


Рис. 85
Рис. 86
Рис. 87
= вт- DK=AP, ЕТ=РВ, О —середина АВ; AfO=-~?+Pfi = АВ
=—; М — вершина квадрата с диагональю АВ. Второе решение. Пусть АВ — ось абсцисс, А — начало коорди- нат. Тогда А (0; 0), D(-a; Ь), С (Ь- а), В(Ь + с; 0), \
^j-^) . Точка М находится на серединном перпендикуляре от-
АВ
резка АВ на расстоянии — от АВ. Третье решение.
Возьмем наугад вместо D точку D\ и последовательно построим точки Ci и Е\. Так как при каждом повороте фигуры расстояние между ее точками не меняется, то DD\ = СС\ =ЕЕ\. При этом направление дважды менялось на 90°, поэтому DD\\\ЕЕi, т. е. DD\EE\ — параллелограмм. Середина DE совпадает с серединой D\E\ (рис. 87). 103. Это прямоугольные трапеции с основаниями 2 см и 5 см. 104. 60° и 120°. 105. На 8. • На рисунке 88 показаны два решения. Второе решение основано на том, что любой косоугольный треугольник можно разрезать на 3 непрямоугольные трапеции. 106. 72°, 108°. • Если AB = BC = CD, положим
/-CBD = x. Тогда ^BDC = x, ABDA=xy АА = 2х, AADF 2л: + -^-=90°, jc = 36°. Равенство AB = AD = BC невозможно!


107. 30°, 150°.• ВО — высота и медиана, поэтому аАВС равнобедренный; AB = BC = 2R, высота трапеции CM=R, AMDC = = 30° (рис. 89). 108. 40° или 80°.• По условию ED\\AC, аАОС и AEOD равнобедренные. Если ZLOAC=x, то ААОЕ = 2х. Далее возможны два варианта: а) АЕ = АО; 2лг + 2х + (60° —х) = 180°, * = 40°, Z.AOE = 80°; б) АЕ = ЕО; 2х = 60° —х, х = 20°, ААОЕ = = 40° 109. Первое решение. Выполните параллельный перенос окружности. Тогда (рис. 90) точка 02 перейдет в точку Т, которая определяется пересечением окружности (О, 002) с окружностью диаметра 0i02. Искомая прямая параллельна 02Т. Второе решение. Если М — середина 0\02, то ОМ — средняя линия прямоугольной трапеции. Поэтому МО-LAB. Второе решение заманчиво, но при этом теряется одно из возможных решений задачи: в первом решении точка Т могла находиться и по другую сторону от 0\02. 111. Постройте прямоугольный AADE, у которого гипотенуза AD = may а катет AE = ha. Прямая DE содержит сторону ВС. Отметьте на AD центроид М треугольника (AM = 2MD). Так как у равнобедренного треугольника две медианы равны, МС=АМ. 112. Если О — середина АС, то прямая А'С', симметричная ВС относительно О, определит на прямой AD точку Т, соответствующую вершине А искомой трапеции. Далее строят АО, что определит вершину С, прямую МС (это определяет верши-
Рис. 88
Рис. 89


Рис. 90
Рис. 91
ну D) и AB\\CD. Можно было найти точку, удаленную от ВС вдвое больше, чем точка О. Прямая, проходящая через эту точку параллельно ВС, определит вершину А. Второй способ следует применять, если точка пересечения данных прямых находится за пределами доступной части плоскости. 113. Да. • Используются свойства средней линии треугольника и медианы, проведенной к гипотенузе. 114. П е р в о е решение. Д 02ВоАо = А А0С0Оз (по I признаку равенства треугольников). Поэтому дЛ0О2Оз равнобедренный прямоугольный. Это позволяет просто построить середины сторон A ABC — точки Л0, В0, С0. В т о р о е решение. Постройте параллелограмм 03DAqCq (рис. 91). Ломаные 02ВоА0В и O3DA0O1 равны. Так как их звенья соответственно равны и перпендикулярны, поэтому равны и перпендикулярны замыкающие: 030i_L02B, 030i = 02B. Так сразу можно построить все вершины искомого треугольника. Если ссылаться на первое решение, то можно рассматривать не параллелограмм, а треугольники (или ломаные) О3А0О\ и О2Л0В. 115. Да.# Если Z.BAD = xy то
/LBAM +-7Г; ^ВОА= 45° + -j-= ZВАМ, т. е.
АВАО равнобедренный, ВМ не только биссектриса, но и медиана, М — середина АО (рис. 92). Аналогично устанавливается, что N — середина АЕ. По свойству средней линии MN\\EO. 116. Пусть даны точки А и В. Проводим через А прямую близко от В, откладываем на ней равные отрезки АС и С\С2, С2Сз, Сп-\Сп так, чтобы расстояние СпВ было меньше размаха циркуля. Затем через Сь С2, Сз, ... проводим прямые, параллельные С«В, и откла-
1 2
дываем на них отрезки CiBi=—С„В, С2В2=—СпВ и т. д. Точ-
п п
ки В1, В2, ... лежат на искомой прямой. Если АВ меньше удвоенного размаха циркуля, то строим середину отрезка АВ и т. д.
117. 	• Построим произвольную прямую, пересекающую данную


окружность. Затем известным способом находим середину хорды и строим в ней перпендикуляр к хорде (задача 10). Если диаметр окружности меньше ширины линейки, то вместо хорды строят касательную. 118. Через середину отрезка, соединяющего любые 2 точки оснований, провести среднюю линию трапеции EF и найти ее середину (точка М). Через точку М провести KN-LBC, соединить точки Е и /С; через точку Р (середину отрезка КМ) провести прямую а параллельно ЕК. Диагональ АС\\ЕК и отстоит от ЕК на расстоянии вдвое большем, чем расстояние от ЕК до а. Построение упрощается, если учесть, что диагонали трапеции пересекаются на прямой, проходящей через середины ее оснований. 119. В пятиугольнике ABCDE постройте ВО\\АЕ, EO\\DCy затем через полученную точку О проведите ОМ\\ВС (рис. 93). Так как все элементы построения осуществимы, утверждение о возможности построения верно. 120. Верно.# Постройте в я-угольнике пятиугольник, проведя одну из диагоналей. Затем из вершин, не входящих в пятиугольник, проведите прямые, параллельные указанной диагонали. При этом отсекутся трапеции и еще один пятиугольник. По задаче 119 общее число трапеций, на которые будет разрезан многоугольник, 3-2 + (я — 8) = п — 2. 121. Если точка М находится внутри треугольника ABC, выполните поворот около вершины А на 60° (рис. 94). Это переместит точку В в D, а точку М в М\. Тогда сумма МА -\-МВ-\-МС = ММ\ + DMi +AfC равна длине ломаной DMiMC, концы которой фиксированы. Минимум длины имеет место тогда, когда точки М и М\ лежат на DC (при этом А AM С = 120°). Если бы поворот выполнялся около другой вершины, то оказалось бы, что и /LAMB= АВМС= 120°. На этом основано построение. На сторонах A ABC вне его построим равносторонние треугольники ABD и АСЕ. Прямые DC и BE пересекутся в искомой точке М. В той же точке пересекаются и окружности, описанные около треугольников ABD и АСЕ. Вне A ABC искомая точка М располагаться не может. 122. Первое решение. Пусть даны середины сторон я-угольника: В\, Д2, B2k+ ь Возьмем вместо вершины А\ точку С\ и по серединам сторон будем
Рис. 92
Рис. 93


строить точки С2, Сз, C2k +2. Если бы точка С2А-+2 совпала с
точкой Си задача была бы решена. Если же они не совпадают, то (по свойству центральной симметрии) С\А\ = C2k+2Ai и вершина А\ — середина отрезка C\C2k+2• Второе решение. Возьмем какую-нибудь точку М. Тогда МВ\ — МВ2-\- МВз — МВ4-\-...+ + МВ2к + 1 =|(АМ, +Ш2)-\(Ш2 + Шг) + \{Шг + Ш1)-
— ...Н—^-(MA2k+i -\-МА\)=МА{. Построив точку А|, легко найти
другие вершины. Третье решение. Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Поэтому по точкам В\, В2, Вз легко найти С — середину диагонали А\А4. Затем по С, В а, В 5 найти середину диагонали А\А§ и т. д. Так придем к построению треугольника A\A2kA2k + \ по серединам его сторон (рис. 95). 123. Аналогично решению задачи 122. 124. 540°. 125. Используйте неравенство треугольника. 126. Да.# Если два равных угла вписанного выпуклого многоугольника прилегают к одной стороне, то соседние с ней стороны равны. Допустим, что равные углы не соседние, например /_А = АС= /-Е= 120° (рис. 96). Тогда по свойству вписанного четырехугольника АВСК=60° и Z.DCF = 60°, т. е. ABCD> 120°, что противоречит условию. Следовательно, из этих углов два прилегают к одной стороне, т. е. у семиугольника есть равные стороны. 127. 1:2.# ZC = (180°-108°):2 = 36°; ADBC = 54°. Постройте (рис. 97) DK\\AE, тогда АСАЕ = 36°:2=18°; ABDK=90°—18° = 72°;
Z.DKB = \80° — 72° — 54° = 54°; BD = DK=-^-AE\ BD:AE= 1:2.
128. Построив прямые 1\ и /2, параллельное стороне ADy проведем прямую через середины полученных внутри четырехугольника отрезков (с концами на АВ и CD). Это определит середину AD. Аналогично находят середины остальных сторон. Далее, как в задаче
Рис. 94
Рис. 95


Рис. 96
Рис. 97
Рис. 98
Рис. 99
118. 	129. При повороте около точки О на 120° прямая АВ преобразуется в прямую ВС, а окружность (Оi, г\)— в окружность (03, г\) (рис. 98). Общая касательная окружностей (02, г). и (03, —прямая ВС. Аналогично, повернув окружность (02,
можно получить прямую АВ. 131. Отметим наугад А\ вместо Л, далее строим равносторонние треугольники DA\A2, FA2A3, ЕА3А4. Так как А\А=А±А и точки А, А\, Л4 лежат на одной прямой, то легко построить точку Л. Далее просто. 132. п >4.# Если найдется точка, лежащая вне названных кругов, но внутри многоугольника, то из нее каждая сторона видна под острым углом. Следовательно, сторон многоугольника более 4. Однако в некоторых случаях сторон может оказаться ровно 4. 133. Можно.# Если DEftAC, условие противоречиво. Если DE\\ACy то AD = CE = = DE. На этом основано построение (рис. 99). 134. Первое решение. Построим параллелограмм АВТС; Z.ABT= 180° — — Z.BAC= Z.DAK. Поэтому aDAK= ААВТ (по I признаку равенства треугольников), DK=AT = 2АО. Второе решение. Выполним поворот AADK около Л на 90° (рис. 100), он займет


Рис. 100
Рис. 101
положение АМС. При этом окажется, что АО — средняя линия
А ВМС, т. е. A0=-^-MC=-£-DK. 135. Остроугольный.# Если
с2^а2 -\-Ь2, то с3^а2с-\-Ь2с>а3 + 63. Следовательно, с2<а2 + 62. 136. Если все углы четырехугольника прямые, то диагональ превышает меньшую из сторон больше чем в -д/2 раз. Если же диагональ АС лежит против тупого угла, то меньшая сторона треугольника ABC (АВ) меньше АС более чем в -у/2 раз. 137. 3:4 или (4 — У7):3. • Если точка М лежит на катете АС, то АС = 4а. Обозначим ВК = х, где К — точка касания окружности с катетом ВС, тогда (х + 3а)2 = (4а)2 + (лс + а)2; х = 2а. Отношение катетов 3:4. Если точка М находится на гипотенузе, то отношение катетов (4 — -д/7):3. 138. Да.# Проведем СК\\АВ (рис. 101). Тогда DK — диаметр, AKBD прямой, КВ=АС; DK2 = KB2+BD2=AC2 + -f- BD2 = МА2 + МС2 + MB2 + MD2. Эту задачу можно также решить с использованием векторного аппарата или теоремы о пересекающихся хордах окружности (AM • MB = CM • MD). 139. Да. • Первое решение. Пусть АВ — ось абсцисс, А — начало координат, АВ = 2а, ВС=2Ь, тогда (рис. 102) координаты центров
треугольников: Oi^a; , 02(^2а + Ь; , 03(^а + Ь; —•
Вычисления показывают, что 0\02 = 0\03 = 0203 = 4^(а2 -\-ab-\-b2),
т. е. 0i02 = 0i03 = 0203. Второе решение. Z.A03C = 120°, АО 1 и С02 пересекаются в точке М (рис. 103), ромб 03АМС делится диагональю 03М на равносторонние треугольники. При повороте около Оз на 60° треугольник 03МС займет положение 03АМ. Так как А0\=М02, то при повороте 02 переходит в 0\, т. е. /-0\0302 = 60°, 030\ = 0302 и, значит, A0i0203 равносторонний. 140. Не зависят.# Если расстояние от центра О до АВ равно Ь, а от 0\02 равно а, то a2+(/?i — b)2=(R — R\)2, a2-\-(R2 + b)2 = (R — R2)2. Вычитание дает 2b(R\R2) — 2R(R\ — R2).


Р п I и
Отсюда -^-= , т. е. отношения радиусов от выбора точек
А2 А — 0
С и D не зависят. 141. 60^2 — 84^0,853.# Если радиус искомой окружности х, то АО = 4 — х, ВО = 3 — х; д/(4 — jc)2 — jc2 + +У(3 — xf — x2 = 5; * = 60 л/2-84^0,853. 1.42. Если AD — BC = a, то АМ=-^- (рис. 104, а). Страим прямоугольный дЛВМ с катетом AM=-j-> затем ВСЦУШ. Если ВС+Л1) = т, то £,/г=-~,
£/C=-j-. Остается построить аОЕК с гипотенузой ОВ и катетом
£/(; ВС иЛО параллельны В/С (рис. 104, б). 143. Да. 36°, 72°, 72°. 144. Да.# Хорды АЕ и FC равноудалены от центра, поэтому AECF — прямоугольник. Прямая KL\\AE проходит через центр О.
Рис. 102
Рис. 103
Рис. 104
Рис. 105


Поэтому она проходит через точку Р — середину хорды BD и через середину отрезка MN (рис. 105), BM = ND. 145. Проводим прямые DC и DA, соответственно перпендикулярные 1\ и /2. Прямая, симметричная DA относительно Л, и прямая, симметричная DC относительно /2, пересекаются в точке В. Найдя В, проведем через В прямые, соответственно параллельные AD и DC. 146. Да.# Так как из медиан треугольника можно построить треугольник, то (<а + та) + (Ь + ть) — (с + тс)=(а + Ь — с) + (та + ть — тс)> 0. Аналогично (а + ^а) + (с + — (Ь-\-ть)>0; (6+ m^,) + (c + mc) —
p
— (а + та)> 0. 147. Поместив сторону АВ=— так, что ее концы
окажутся на 1\ и /2, строим A ABC и выполним его перенос параллельно Л, чтобы точка С оказалась на данной окружности (рис. 106). 148. Может. # Зайчик бежит по диагонали (например, к А). Лисы из В и D бегут к Л, но лиса в Л не движется: если она побежит, например, к D, зайчик убежит, пересекая АВ. Добежав до М, зайчик сворачивает по М/(_1_ЛС (рис. 107). Лиса из Л его не догонит. Не догонят его и другие, если правильно выбрана точка М: при ОЛ = а, МА = х путь зайчика ОМ + М/С = a, a лисы ВК — (а — х)^/2. На это уйдет больше времени, чем у зайчика, если х<0,01а. 149. Да. • П е р в о е решение. ЛС + -\-BD-\-CE-\-DA +£В = 0. В т о р о е решение. Выполним параллельные переносы диагоналей: ЛС в В/С, BD в /СМ, ЛО в ЕР (рис. 108). Останется доказать, что МР = С£. Это следует из равенства треугольников PDM и ЕАС. 150. По теореме о координатах
ХА~ХЕ У а—Уе
середины отрезка xM — xN= ; yM — yN= . Отсю¬
да MN\\AE и AE = AMN (рис. 109). 151. Да. • Пусть МЛ1 + МЛ2 +
+МЛз + ... + МЛ„ = л:. Выполнив поворот около центра М на угол
360° —
, получим те же векторы (с переменой мест), т. е. снова х. Но
если вектору можно приписать более одного направления, то это нуль-вектор. 152. Центр многоугольника.# ГЛ? + 771! + ТА\-\-
Рис. 106


Рис. 107
Рис. 108
Рис. 109 Рис. 110
+... +тл1=(т+Ш{)2+(М+Ш2?+(Ш+Шъ?+... +
+ (ТМ+ Ж4„)2 = п■ ТМ2 + п• R2 + 2ТМ {МА, + МА2+ МАг--\-... + -\-MAJ). Выражение в скобках (по задаче 151) равно 0. Следовательно, сумма квадратов расстояний от вершин равна п-ТМ2-\- -\-n-R2. Она минимальна при ТМ=0, т. е. искомая точка — центр многоугольника. 153. Верно. • По рисунку 110 KL = —FC) = ^-(ЛВ + FO + ОС). Выполним поворот на 120°
около центра окружности О: Rq°° (KL)=-^- Rq°° (АВ-\-FO-\-OC) = =_L(B0_|_0£r+CD)=-L(CD_|-B£) = LAf. Таким обРазом> KL = = LM, Z KLM = 180° — 120° = 60°; A KLM равносторонний.
154. Да.# Если AD±CK, то MB = 2MO = AC (рис. Ill), откуда MB>MA, MB>CM. Поэтому /LABM< /-ВАМ, Z.CBMC < АВСМ; ААВС< Z.BAM+ АВСМ= Zj4 + ZC—90° = 180° — — ZABC—90°=90°— ZABC; ABC <90°— ZABC, поэтому
2Z.ABC<90°; /.ABC<45°. 155. Верно. • Если какая-либо


Рис. 1 1 I
Рис. 112
точка Ci делит отрезок АВ так, что АС\:C\B==t:q, то для любой точки Т справедливо
TCi=-3— ТА+-1—ТВ. Если
t-\-q Q
(рис. 112) М — центроид аАВС, a Mi — центроид ДЛ1В1С1, то
ТМХ=±-(ТА{ + ТВХ + ГС1) =
= —( —2—ТА-1 ч— ТВ +
3 \ t + q ^ t + q ^
рис. из _1—д_тв-\—i-rc-i q—TC+
t-\-q t-{-q t~\~q
+—ТА \ =^-(TA + ГВ + TC) = TM\ т. e. точки M w M\ совпа-
* i q / &
дают. 156. Да.» ТА2 + ТВ2 + ТС2 = (ТМ + МЛ)2 + (ТМ +Щ2 + + (Ш+Ж)2 = ЗШ2 + МЛ2 + МВ2 + МС2 + 2ГМ (Ж4+МВ +
+ МС). Но МА MB -j- МС=0. 157. Разобьем эти точки на 3 группы по три, центроиды треугольников с вершинами в этих тройках— М\, М2, М3. Искомая точка — центроид треугольника М\М2М3. Правильность построения следует из решения задачи 156. 158. Так как AB=AM-^jb, строим прямую /3, гомотетичную 1\ (центр гомотетии Л, коэффициент гомотетии УЗ). После поворота около вершины А на 30° получим прямую U, проходящую через точку В. Значит, вершина В — пересечение /2 и /4. Далее ясно. 159. Центроид треугольника — центр гомотетии концов его медианы (k = —2). Поэтому строим окружность Оз, гомотетичную окружности 02, ее пересечение с 0\ — вершина искомого треугольника. 160. В 2 раза. 161. Да. 2:1. 162. Да.# OZ)_LCB; CD = DB, 0B-{-0C = 20D=AH, где Н — ортоцентр A ABC. Поэтому ОА-\-ОВ-\-ОС = ОА-{-АН = ОН. По условию


ОА-\-ОВ-\-ОС = ОМ. Следовательно, точки Н и М совпадают. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности и ортоцентр находятся внутри треугольника. 163. Равные по 6 см. • Z.MAK=AACD=A СМВ (рис. ИЗ). ДАМКсо со дMDK\AK:MK = MK:KD;MK2=AK-KD = KB2; МК = КВ = = 12:2 = 6 (см). 164. Верно.# Задача имеет много решений. Приводим решение, связанное с координатами. Пусть AD — ось абсцисс, А — начало координат: А (0; 0), В (х\ \ у\)у С (х2у у2)У D (х3; уз\
середина диагонали АС — точка > середина диагонали
BD — точка F ^ —у-*3--; . Остается убедиться прямым вы¬
числением, что суммы АВ2 + ВС2 + СD2+AD2 и АС2 + BD2 + 4EF2 равны. Другие решения требуют использования формулы длины медианы или формулы Стюарта (см. задачу 167). 165. Учтя результат задачи 164, убедитесь, что середины диагоналей совпадают. Следовательно, данный четырехугольник— параллелограмм. 166. Не всегда. • Если углы одного треугольника ос, р, уу то у другого такие же или дополняющие соответственно до 180°. Если две пары углов равны, то треугольники подобны. Если хоть две пары углов дополняют соответствующие углы первого треугольника до 180°, то сумма углов второго треугольника превышает 180°, что невозможно. 167. Пусть Z.ADC = ay AD = ly BD = ty DC = q (рис. 114). Тогда по теореме косинусов b2 = l2-\-q2 — — 2lq-cos a, c2 = l2 + t2 + 2lt cos а. Отсюда b2t + c2q = l2 (t-^-q) + -{-q2t-\-t2q^y l2a = b2t-\-c2q — aqt. 168. 38 см, 77 см. 169. Да. • Пусть со— окружность, проходящая через точки А0у В0, Со — середины
АВ
сторон A ABC (рис. 115). Отрезок BiCo=—=AoBoy т. е. B\CqAqBo — равнобокая трапеция. Поэтому В\ £со. То же относит-
Рис. 114
Рис. 115


ся к точкам А\ и С\. Проведем. СоТ\\ВВй Z.АоСоТ = 90°; Т — середина АН, В0Т — средняя линия Д7ШС, Z.TBoAo = 90°. Таким образом, около четырехугольника ТСоАоВо можно описать окружность. Поэтому точка Т (и середины отрезков НВ и НС) лежит на со. 170. Верно.# Треугольник делится своими средними линиями на 4 подобных ему треугольника. На рисунке 116, а получено 4, 7, 10, ..., вообще 36 + 1 треугольников, подобных исходному. На рисунке 116,6 получено 8, И, 14, ..., т. е. 3& + 2 треугольника, на рисунке 116, в получено 6, 9, 12, ..., т. е. 3k треугольников. Так показано, что можно получить любое натуральное число п> 5 треугольников, подобных исходному. 171. ^. 172. Да.# Первое решение. Пусть АК = ау КМ = Ь, ВК=Н, АТАЕ = а, АМВК=р, tg«=2-2g+fc), tg $=±-. Если О — центр ромба, то ТЕ = ОМ = л}Ь (a-\-b), tg а =
Z \CL-\-U)
Рис. 116
Рис. 117
Рис. 118


Рис. 119
Рис. 120
=— =tg р. Отсюда BM-LAT. Второе решение. Ана-
2 sjb (iа-\-Ь)
логичными вычислениями можно показать, что аАТЕсо аМВК. Отсюда следует, что А АРМ=90°. Третье решение. Установите, что АТ-ВМ = 0. 173. Верно.# Опустите перпендикуляр МО на АВ (рис. 117). Тогда дАОМоэ &ВСА\ АВОМсоaBDA; АМ:АО=АВ:АС; АС-АМ=АВ-АО; ВМ: OB =АВ: BD; BD-BM=AB-OB; AC-AM + BD-BM=AB-AO+AB-OB=AB2. 174. Верно.# Постройте D\M\\AC (рис. 118) и отметьте равные углы. AD\ = MCi (как диагонали равнобокой трапеции). дАВКоэ со дЛВ,С, АВг.АС=АК:АВ; АВ-АВХ=АС-АК (1); дМ/СС,со соaACD; MCiiAC = KCi:AD; AD-AD\ =АС-КС\ (2). Сложив (1) и (2), получим AB-ABi-\~AD-ADi=AC-AC\. Теорема верна и при условии, что параллелограмм находится вне круга. 175. Верно. • У этой теоремы большое число доказательств. Приводим одно из них. Возьмем на BD такую точку М, что Z.DCM= ААСВ (рис. 119). ACDMoo аСАВ, CD:AC=MD:AB; AB-CD = =AC-MD (1); ABCMooAACD; BC:AC=BM:AD; BC-AD = =AC»BM (2). Сложив (1) и (2), получим AB-CD-\-BC-AD = =AC-MD~\-AC-BM = AC-BD. 176. Опишем около треугольника окружность и построим диаметр ME.LBC (рис. 120). Продолжение биссектрисы AD проходит через точку М. Если ВС = а,
AD = l, MD = x,то(1-\-х):а=-у:х; х2-\-1х —-у=0; ~^2а ,
что легко построить. Строим окружность диаметра а, проводим взаимно перпендикулярные диаметры ВС и ME. Окружность (М, х) определит на ВС точку D. Прямая MD определит на окружности точку А. 177. 30°, 150° или 60°, 120°. # Если высоты проведены из вершины тупого угла, то возможны два случая:
1) (рис. 121, а). Так как КМ\\АС, то КМ — средняя


линия AACD: АК=^~, Z.ABK = 30°. Углы ромба: 60°, 120°.
2) = А КВМ со a BAD; BK:AB = KM:BD = 1:2; /LA =
= 30°. Углы ромба: 30°, 150°. Если высоты проведены из вер-
лс
шины острого угла (рис. 121,6), то КМ=—. Углы ромба: 60°,
120°. 178. 60°. • Докажите, что АМАВ= /LPBD = 120°; MA:AB=MA:BC=AK:KB = AD:PB = BD:PB\ аМАВ со со ДЯВ£>; АВОК==^Р+^РВО=АМВА+АВМА = т° —
— 120° = 60°. 179. DE = 2R.• Убедитесь, что аАКЕоо дAMD; AE:AD = EK:DM=AB:AC\ aADEoo аАВС; ED:BC =
=АЕ:АВ= 1 :sin a; DE — -^-—2R (рис. 122). 180. Нельзя.#
sin а г
Пусть /С — точка пересечения диагоналей трапеции и точка касания названных окружностей. (На рисунке 123 изображена только одна из окружностей.) Тогда FK — 2, КЕ = 6; BF = x, ED = 3x, AE = 3x—х = 2х; АВНК со aBAD; ABDC со aKDJ; НК =
— KJ = w ——^ I —1 • и—ш—х AL —
АВ = х + Зх + 2~=7х; (7х)2-(2х)2 = 82; х=~-; HL = 2HK=-^,
2 3л/5 ^5
но расстояние между точками касания через радиусы окружностей выражается по формуле //Z.2 = (/?2 -J- /?i)2 -f- (/?2 — /?i)2, поэтому HL = -^42 -\-22=2 УЗ. 2 181. Параллелограмм.# На
-у5
рисунке 124 имеем: aAOBqqAATC; АТ:АС = АО:АВ\
АТАО= Z.CAB; аАТОоо аАСВ; АТ:АС = ТО:ВС\ ТО:ВС = = СМ:ВС; ТО = СМ. Аналогично доказывается, что ТС = ОМ (рис. 124). ОМСТ — параллелограмм. 182. Построение основано на том, что медиана AD треугольника ABC содержит середины всех отрезков, которые параллельны ВС и имеют концы на сторонах АВ и ВС. 183. Построим окружность с центром О раДИу-
^С)
са Радиус ОС данной окружности пересекает построенную
в точке Ci, а АВ — в точке D. Отметим на ОС такую точку
что ODi=^. Хорда, построенная через D\ параллельно АВ,
пересекает построенную окружность в точках Л1 и В\. Угол А\ОВ\ искомый (рис. 125). При построении точка О принята за центр
гомотетии. 184. Да. • ТМ\ =-^-(ТА + ГВ + ГС), ТМ2=-у(ТВ-\-
+ TC + TD); MlM2 = TM2-TMl=-y(TD-TA)=-^-AD. Стороны
четырехугольника М\М2М3М4 втрое меньше соответственных сторон четырехугольника ABCD и параллельны этим сторонам. Следовательно, их соответственные углы равны, четьфехугольники


Рис. 121
Рис. 122
Рис. 124
Рис. 123
Рис. 125


подобны. 185. Равны.# По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности JK2 = KE- KF = KH2y т. е. 1К = КН. Аналогично РМ = ТМ (рис. 126), ВН+AP=AD = CD = CJ-\-TD. Таким образом, периметры четырехугольников АВКМ и CDMK равны. 186. Да.# Около четырехугольников MFOE и OJNK можно описать окружности. Поэтому /-FEC= /.FMO = 90° — — /.МОЕ = 90° — /LKON = 90° — AKJN = /LOJК\ FE\\JK, т. е. EFJK — параллелограмм или трапеция. 187. Нет.# Если прямая пересекает поочередно звенья ломаной, то в одной полуплоскости окажутся все вершины с нечетными номерами, а в другой — с четными. Следовательно, вершины А\ и Л1999 окажутся в одной полуплоскости и прямая не пересекает звена А\А\^. 188. Да.# Пусть каждое звено имеет длину 1. Начальные координаты туриста (0; 0). Вычислим изменения координат туриста в результате прохождения звеньев ломаной. Результаты показаны в таблице.
Л1Л2
A2A3
Л3Л4
Л 4Л5
ЛьЛе
Лб^7
AiA%
AsAq
AgA 10
Всего
Ал:
0
sin 15°
sin 45°
sin 45°
— cos 30°
cos 30°
— sin 15°
— sin45°
— cos 45°
0
&У
1
cos 15°
cos 45°
— cos 45°
-0,5
-0,5
— cos 15°
— cos 45°
sin 45°
0
Так как Аю совпадает с Л|, маршрут был замкнутым. 189. Верно. • Среди углов выпуклого четырехугольника хоть один угол не меньше 90°. Диагональ, лежащая против этого угла, больше хотя бы двух сторон четырехугольника. 190. Верно.# Построим параллелограмм LCKT, где Т — середина диагонали BD (рис. 127). Тог¬
Рис. 126
Рис. 127


Рис. 128
Рис. 129
Рис. 130
да Д TL02= АОзТКу причем А02т0з = 90°. В то же время ТО\ = = Т04 и АО\Т04 = 90°. Поэтому при повороте около точки Т на
90° отрезки 0\0з и 0204 совпадут. 191. -р.• Первое реше-
л/2
н и е. Выполним поворот А АОС около центра О на 90° (рис. 128). Так как AMBD= ААСВ, то ^1М£Л = 180о; АМОА прямоугольный, его гипотенуза МА =MB-\-AB=AC-\-AB = t. Поэтому
АО=. Второе решение. Углы А и О четырехуголь-
V2
ника АВОС прямые, поэтому около него можно описать окруж-
вс ВС
ность. По результату задачи 175 имеем ВС»АО=АВ——+ЛС- —.
у2 ~\j2
Отсюда АО = AB~tAC — _L 192. Да.# Обозначим OB = Ry
V2 л/2
АВОТ= ADOT = ос, АВОМ = р. Тогда ^А=^- ABOD = а,
АМВС=АА = а, АТВС=АВОМ = $. Если ТК±ВСУ то Г/С = = ВТ sin Р = /? tg а sin Р; МР = ВР tg a = R sin р tg а= Г/С; МТ\\ \\ВС. 193. Да.# Окружность, описанная около квадрата, имеет общую точку с каждой стороной треугольника и хотя бы одну из этих сторон пересекает. Следовательно, она больше вписанной
в треугольник окружности: -^>г, а>г^/2. Окружность, вписанная в квадрат, меньше окружности, вписанной в треугольник: -|~<г, а<2г. 194. 60° и 30°.# П е р в о е решение. Проведем СО\\ВА, СО = ВА (рис. 129). Тогда АОСА= АВАС= ААСВ = =~Y АВСО. Следовательно, АОСЕ=-^~ AOCD = ADCE = = ACED\ CO\\DE. Таким образом, ABDE—ромб, BD=AB, A BCD равносторонний, ABCD = 60°, Z.y4C£=-~60° = 30°. Второе решение. Построим ромб АВСО. Тогда и CDEO —


ромб. ОА = ОЕ=АЕ. Стороны острых углов АОЕ и BCD соответственно параллельны, Z. BCD = ААОЕ = 60°, ААСЕ = 30°. Третье решение. Начав, как в решении (2), замечаем, что О — центр окружности, проходящей через точки Л, С, Е. Поэтому
вписанный /-ACE = ~y /-АОЕ (центрального) = -|—60° = 30°.
Четвертое решение. Построить СО симметрично ВА относительно АС. Тогда СО\\АВ. Далее по решению (1) или (2). Пятое решение. Если АВАС = а, ACED = р, то А.АСЕ-\-
+ /-АЕС+ /.САЕ=Ш°-, ААСЕ=-^- Z-BCD = a + $. Следова-
тельно, Z-BAE-\- /LAED= 180°, BA\\DEy т. е. ABDE — ромб,
BD=AB = BC = CD, /.BCD = 60°. 195. Г|=-±-у/2; г2=-^.*Та-
О и
ких окружностей две. Через точку пересечения диагоналей М проведем HJ\\BC (рис. 130). Известно, что HK = KJ. Обозначим НК = у. Из подобия треугольников НВК и ABD, DKJ и DBC имеем НК ВК KJ DK ~ у , у ВК . DK 8 п
АО=Ш ’ ~вс=~во ' 0тсюда 1+7=вя+Ж; У= ?• Рассмот-
8 44
рим трапецию AHJD. По свойству касательных НА =4 + — = —.
8 28
Если КЕ — высота трапеции AHJD, то АМ= 4——=— ; НМ=^ф-\ радиус окружности вдвое меньше НМ'. Най-
О О
О
дя аналогично высоту трапеции HBCJ, получим г2 = ^. 196. Да.#
Первое решение. Проведем DP\\BC, СН\\АВ, ET\\CD (на рисунке 131, а СН совпадает с CF). Так как углы &KMJ равны, он равносторонний. Остается доказать, что длины его сторон равны разностям длин параллельных сторон шестиугольника. Вт о-
Рис. 131


Рис. 132
Рис. 133
рое решение. Продлив стороны АВ, CD, EF, получим равносторонний ДКМР (рис. 131,6). Поэтому КА-\-АВ-\-ВМ = = MC + CD + DP\ AF+AB = CD + DE, АВ — DE = CD — AF\ KA + AB + BM = KF + FE+EP\ AB + BC = FE + DE; AB — DE = = FE — BC. Третье решение. Ход такой же, как во втором решении, но строят не равносторонний треугольник, а параллелограмм (рис. 131, в). 197. Можно.• Постройте равносторонний треугольник, сторона которого равна стороне данного шестиугольника. И вне его треугольники со сторонами МА и MD, MB и ME, МС и MF. 198. 8 равносторонних треугольников и 2 квадрата.
199. Отмечаем на окружности точки А, В, С, D так, чтобы АВ = = BC = CD=AO. Окружность (А, АС) и окружность (D, DB) пересекаются в точке Е. Окружность (А, ОЕ) пересекает данную в точках К и М. Построение остальных точек очевидно (рис. 132). Правильность построения обосновывается с помощью теоремы
Пифагора с учетом того, что а6 = /?, а3 = /?д/3, a4 = R^/2.
200. Нет. • Все его стороны равны, но углы равны через один, причем ни один из них не равен 135°, как должно быть у правильного восьмиугольника. 201. Верно. • Первое решение. A2A4WA1A5. Проведите (рис. 133, a) А4М\\А\А2\ АМА5А4 = 60°, АА4МА5= Z.MA]A2 = 60o; А МА4А5 равносторонний, А\АЪ — — А2А4 = МАъ—А4Аъ. Второе решение. аМА4М и AAjAgM равносторонние (рис. 133,6). Поэтому А7А8 = МА7 = =А2А7 — А2М = А2А7—А2А4. 202. Верно.# АОАВооaOCD
(рис. 134); a2n:b2n = OF:R; aAKBoo aOFB, a2n:-^cLn = R:OF:
Перемножив два полученных равенства, получим a2n=z-^CLn*b2n.
203. а) Через центр О проведите DE\\AC (рис. 135, а). Чтобы доказать, что DE<iMN, проведите МК\\АС и через точку Е прямую РК\\АВ; KE = EP = MD; Z.NEP = 60°, AP=ADMO больше 30°, но меньше 60°, поэтому в ANPE наибольший, угол


Рис. 134
Рис. 135
а) Щ
Рис. 136
PNE, NE<iEK. Так как Z. NEK= 120°, то AMKN тупой. Поэтому MN> MK = DE. Наименьшая длина DE у отрезка, параллельного стороне треугольника, б) Наибольшая длина у высоты. На рисунке 135, б построена высота BD, через центр О проведите МТ\\ ||АВ, затем EH (Е между Т и D). Четырехугольник ВРЕН — параллелограмм; НК\\АС, ОЕ<ОН, ED<KH<ВН\ РЕ = ВН> >EDf ABPD тупой, BD>BP. 204. Да.# В треугольнике ОКН
(рис. 136, а) катет ОН = ^-=^~ ; АВОК=30°. Аналогично
АМОС= ACOF = ... = 30°, т. е. окружность действительно разделена на 12 равных частей. 205. Верно.# Равенство сторон 12- угольника устанавливается по свойству средней линии треугольника. Вычисления показывают, что каждый угол 12-угольника 150°. Для случая, когда треугольники построены внутри квадрата, решение аналогичное. 206. 4 части. # Решение показано на рисунке 136, б. 207. Условие допускает две конфигурации. Во всех


случаях сторона треугольника равна диагонали трапеции. Построения показаны на рисунке 137. Последний вариант лучше предыдущего. 208. Все такие точки лежат на сторонах шестиугольника DEFKHM (рис. 138), причем DM от ЛС, EF от АВ, КН от ВС удалены на половину высоты дЛВС. Доказательство использует формулу площади треугольника и свойство катета, лежащего против угла в 30°. 209. 15°, 75°. 210. ab. 211. Да.# Используется легко доказываемое свойство: у каждой точки, находящейся внутри равностороннего треугольника или на его стороне, сумма
Рис. 137
Рис. 138
Рис. 139


расстояний от всех сторон треугольника равна высоте треугольника. 212. а) Разрежьте 12-угольник на 4 равные части, затем три из них дополните до квадратов за счет четвертой части (рис. 139).
б) 	На рисунках 140, а, б и 140 в, г показаны два решения. В каждом из них 12-угольник разрезан на 6 частей, в) На рисунке 140, д показано решение с разрезанием 12-угольника на 2 равные части, каждая из которых в свою очередь тоже разрезается на 4 части. Правильность решения проверяется соответствующими вычислениями. Возможны и другие решения, но в них общее число частей, на которые разрезается 12-угольник, больше восьми. 213. Да. 214. Обозначьте углы треугольника: АА = За, АВ = 3(3, /_С = Зу. Трисектрисы углов А и С пересеклись в точках D и О (рис. 141). В треугольнике АОС отрезки AD и CD — биссектрисы углов, поэтому и OD — биссектриса внутреннего угла. Постройте DE и DF так, что AODE = AODF = 30°; A DEF равносторонний. Остается доказать, что BE и BF — трисектрисы угла ABC. Постройте точку К симметрично D относительно АО и точку М симметрично D относительно CO. А А ВО = 90° Н~ = 90° -f - у;
AAED = 180° — а — (90° + у — 30°) = 120°-(а + 7) = 60° + Р; A KEF = 360° — 60° — 2 (60° + Р)= 180° — 2р. Такую же величину имеет и угол EFM. При этом KE = ED = EF = FM, т. е. KEFM —
Рис. 140


Рис. 141
Рис. 142
равнобокая трапеция. Так как ее можно вписать в окружность, то хорды КЕ, EFy FM равны. Вписанные углы, опирающиеся на эти хорды, равны по р. Следовательно, эта окружность проходит через точку В. Таким образом, углы АВЕУ EBF и FBC равны. 215. Верно.• Первое решение. Синус острого угла
О D • 180°
2 R sin
растет медленнее значения угла. Поэтому Q^--С
ап+\ on •
2R sin
П + 1
180°
„ _я+1. _ _я а„ <пп±1==1 рп<рп+] Вто_
180° п ’ Рп +1 п-1-1 ап +1 п-И п
рое решение. Пусть АВ = ап (рис. 142). Разделите дугу АВ на я + 1 равных частей и опустите из точек деления перпендикуляры на АВ, тогда АС = ап + \. Полученные на АВ отрезки растут от концов АВ к середине (так как косинус острого угла с увеличением угла убывает). Следовательно, MB<-^j У АМ>-^—ап; а„+\>-7-7а„\ Рп+\ =(я+ 1) ап+\>(я +1)-—f-~a„ = P„. 216. Мож-
но.# Прямая, проходящая через середины АВ и ВС, определяет границу FK—AC<.AB-\-BC. Проведя BD||/i, убедимся, что Sарве = $afae + SАКСР. Прямая, проходящая через середину FK перпендикулярно краю полосы, дает еще более короткую границу
(рис. 143). 217. Да.# Это следует из соотношений
2S^(a + c)(b + d) . s^a±L-b±d_ ш З.фПло-
щадь окажется наибольшей, если две меньшие стороны взаим-
2*3
но перпендикулярны, т. е. Smax=—. Это отвечает условию, так как с=Д/22 + 32 = У1эГ, т. е. 3<с<4. 219. Углы острые.Фа—Ь=


= Нь — На\ а — ^ = ab (a — b) = 2S (а — Ь). Либо a = b, ли¬
бо ab=2S. Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании острые. Во втором случае треугольник прямоугольный, рассматриваемые стороны — его катеты, они лежат против острых углов. 220. Верно.• Первое решение. Пусть М — произвольная внутренняя точка А ЛВС, а точка М\ симметрична М относительно биссектрисы угла А (рис. 144, а). Расстояния от М\ до А В и АС соответственно равны tb и tc. Так как сумма расстояний от вершин В и С до любой прямой, проходящей через вершину угла А, не больше ВС, то площадь четырехугольника
АВМ\С удовлетворяет условию Откуда Ra^tbX
X-+tc- — . Аналогично Rb'^ta~-\-tc--^-; Rc^ta-—-\-tb- — .
a a о о с с
Рис. 143
Рис. 144


Рис. 145
Рис. 146
Сложив, получим Ra + Rb + Rc> ta^+^j + ^(~Г+^т) +
+ (ta + tb + tc); так как при положительных х и у
имеем ——j- —^2, итог вычислений обоснован. Второе реше-
у X
н и е. По рисунку 144,6 можно утверждать DE = Ra sina^
^tc sin p-иSin v; + = + • Сложив
sin a sin a a a
Ra, /?&, /?с, получим, как и в первом решении, искомое соотношение. Возможны и другие решения, но они существенно используют тригонометрию. 221. Если точка О — середина диагонали BD, то ломаная АОС делит четырехугольник на две равновеликие части. Если провести ОМ\\АС (рис. 145), то площади АВСМ и AMD равны. 222. Если AD = DE — EC и TD\\BM, КЕ\\ВМ (рис. 146), то прямые МТ и КМ искомые. 223. У всех внутренних точек равностороннего выпуклого многоугольника сумма расстояний от сторон (или их продолжений) одинакова. 224. 60°, 60°, 60°. • Возможные случаи (рис. 147): 1) S\=S2y 2) S2 = S3; 3) S\=S3. В первом случае ВО = ОЕ и S3^S4. Во втором случае AO = ODy Si=t^S4. В третьем случае оказывается, что A ABC равносторонний, если углы по 60°. 225. Воспользуйтесь тем, что сере¬
динные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в центре описанной окружности (в остроугольном треугольнике этот центр находится внутри треугольника). По рисунку 148
= 5 □ кс0ОВо ~\~$П ЕСоОЛо + *5 □ MBoOAo “ 2S д АоВоСо = 2 • = ~ТГ • 226. — =
= где а, Ьу с — длины сторон дАВСу ху уу z — расстоя¬
ния от внутренней точки О до сторон A ABC (рис. 149). • Рассмотрите произведение суммы квадратов сторон на сумму квадратов расстояний от точки О до сторон. В этом произведении выде-
6 Заказ 741


Рис. 147
Рис. 148
Рис. 149
Рис. 150
Рис. 151
лите SaABC, выраженную через стороны треугольника и указанные расстояния. Так как сумма квадратов сторон и площадь для данного треугольника величины постоянные, то сумма квадратов расстояний будет наименьшей, если наименьшим является рассмот-
АМ2
ренное произведение. 227. 2Q.# По условию (рис. 150) Q=——,
ZAfi4fl = 75°, Z.ОАВ=45°, АМАС=120°, ААСМ = Ж, АМ =
=АС, 5Tp=^=2Q. 228. S = 384 см2. 229. 2Q. 230. Да. • Диаго-
наль делит выпуклый шестиугольник на два четырехугольника. Соединив последовательно середины сторон каждого из этих четырехугольников, получим два параллелограмма, сумма площадей которых равна половине площади шестиугольника. Но при соединении середин сторон шестиугольника получается фигура, площадь которой больше суммы площадей названных параллелограммов. 231. 30° и 150°. • Примените свойство биссектрисы внутрен-


него угла треугольника: AB-CD = AC-BD\
а2 = 2аН; Н=^-. 232. Да.# Она равна произведению длин
наибольшей и наименьшей диагоналей. 233. Верно.# С учетом того, что периметры отсеченных треугольников 2 (р — а), 2 (р — Ь),
2 (р — с), из подобия треугольников имеем
~= , отсюда Г] ~^1?Гз = 1 (рис. 151). 234. Обозначьте расстоя¬
ния от центра описанной окружности до сторон OAo = ta, OB0 = tb, OCo = tc (рис. 152). Так как около четырехугольников АВоОСо, BAqOCo, СВоОАо можно описать окружности,
используйте результат задачи 175: ; R.-^-=
=f'te+T-ta’ R-f=f-h+T-ia; R-^±l±£=t°-!Lz£+tbX
; R'p=p (ta-\-tb-\-tc)—•
Сумма в последней скобке равна S, т. е. р-r. Поэтому R = = ta + tb-\-tc — r; ffl +/&+ /* = £ + /'. Заметим, что для тупоугольного треугольника теорема не имеет места. 235. Верно. • Если АА = а, то ZLC=180° — a; S = ad-~^bc sin a. По теореме косинусов BD2 = а2 + d2 — 2ad cos a; BD2 = fe2 + c2 + 26c cos a. Отсю-
a2 -f d2 — b2 — с2 . / a2d2 — b2 — c2 \ 2
да C0SC1 = M+2K- ■ s,no“'Vl"(“M+5^) =
=^VE3IEMareHZL; s=^p-a)ip-b)(p-c)(p-d).
236. Да. # Используйте результат задачи 235, учтя, что у описанного четырехугольника a-{-c = b -\-d = p. 237. Пусть диагональ КМ пересекает АС в точке О (рис. 153). /LAOK= /-СОМ, /-КАС= /-ACN (по свойству угла между хордой и касатель-
Рис. 152
Рис. 153


Рис. 154
Рис. 155
5
ной). Поэтому синусы углов КАО и МСО равны. =
Ь Л оме
_ АО-КО _ КА-АО Отсюда А0 == ^0 Аналогично доказываем-ос ос-мс * итсюда ос ом ' Аналогично доказыва
ется, что - и диагональ LN делит АС в таком же отношении, т. е. проходит через точку О. Точно так же доказывается, что диагонали пересекаются на отрезке BD. Итак, AC, BD, КМ и LN
пересекаются в одной точке. 238. Пусть SaABK = x, SACND = y
(рис. 154). Тогда Q = 3x-\-3y, SnA^CN = 2x-\-2y = -^-Q, Snf<:-LNM =
= Saknm + SaKLN = -y-~I-Q. 239. -j-Q-Ф По рисунку АТ:ТМ =
=3a:-f-=6:1; SAB/,r=-f-SAi4fiA1 = -£-; S6 = Q-6--g-. 240. Ис-
пользуйте результаты задачи 234. По рисунку 155 ma^R+ta,
ftlb ^ R tb, trie ^ R -f" tc\ ftla H- Mb H- Wlc 3R -j— (ta “1“ tb ~j“ tc) =±=4/^ -j-
Легко убедиться, что теорема имеет место для любого
треугольника (не только для остроугольного). 241. а) Используйте неравенство о среднем арифметическом и среднем геометри-.
1.1,1^ з ■
ческом: 1 1 >— - >
ma + mh ma + mc mb + mc ^(та + mb) {ma -f mc) (mb -f mc)
> ; i 7 i i = 777 r~ i Г>-7Г • б) Аналогично
ma + mh -f ma-f mc + mb + mc 2 (ma-\-mb-\-mc) R
3
задаче 241,6: —г-^Ц—=—r-^——>
ma mb mc \lmnmhmr ma-\-tnb + mc ma-\-mb-\-mc
3
9
. 242. 7. • Воспользуйтесь результатом задачи 175:
R


AD-CE=AC-DE + CD-AE; AD • AC = AC ■ AB + AB • AE\ j^=
=io+lSw- П° УСЛОВИЮ ~A^AD=ic- °ТСЮДа AE = AD-
Таким образом, AD и AE стягивают равные дуги, каждая из которых втрое больше дуги АВ. Это правильный семиугольник. 243. Да.# Доказывая, нужно рассмотреть 3 возможные конфигурации осей симметрии. 244. Да. Центр гомотетии — общая точка графиков — начало координат, коэффициент гомотетии 2. • Прямая y = kx пересекает графики данных фигур в точках A
k^fk) и в(^~\ —«р-) • При этом отношение ОА:ОВ не зависит
от k. 245. Верно. • Если стороны четырехугольника а, ft, с, d, то по условию a-\-b = c-\-d, a-\-d = b-\-c. Отсюда b — d=d — b. Таким образом, b = d. Следовательно, а = с. По известному признаку этот четырехугольник — параллелограмм. 246. 90°, 120°, 150°. • Выполните поворот треугольника около вершины А на 60° (рис. 156). Тогда АМХ=АМ= 2, ВМ1=МС=Л/3. По длинам сторон видно, что ДВММ] прямоугольный, Z.ВМ\М = 30°, ABMMi=60°; ДАММХ равносторонний, ААММх=Ь0\ ААМВ = 120°. Сторона ЛВ=У22 + 12+ 1-2=
= У7; из /\АМС найдите ААМС = 90°, тогда АВМС = 360° — — 90° —120°= 150°. 247. Да.# BNDM — параллелограмм (рис. 157). Его диагональ BD лежит на оси симметрии фигуры, поэтому это ромб. ANBM = А.А. Следовательно, четырехугольники ABCD и NBMD подобны. 248. Р = 60 см, S = 150 см2.# АА-\- АС = = 90°= ABDC + АС. Таким образом, АА = ABDC, aABDoo со aDBC. Так как BD:BC= 15:20 = 3:4, a AD:BD = 15:20 = = 3:4, то BD = 12, ВС= 16, AD = 9 (рис. 158). 249. Да.# Обозначьте длины сторон а = 2х + */, Ь = 2х, с = 2х — уу причем х>у.
Тогда 2г = 2х—2у. Но г = Л^~^- а^р Ь^р с^ . Имеем уравнение 2х — 2у = 2; х = 2у. Отсюда а:Ь:с = 5:4:3. Данный
Рис. 156
Рис. 157


Рис. 158
Рис. 159
треугольник прямоугольный (египетский). 250. 36°, 36°, 108°.
но. # Достаточно было разделить диагональ АС в отношении 1:2. При этом строить параллельные прямые необязательно. На луче АР отметим равные отрезки AM и МР. На луче PC отметим точку / так, что CJ = PC. Точка О — пересечение JM с АС ис' делит АС (по свойству медиан)
в отношении 2:1 (рис. 159). Прямая ВО искомая. 253. Пусть О — центр круга, а точки Ми М2, Мз, М7 находятся на окружности. В дОМ[М2 сторона М\М2 не меньше двух других сторон. Поэтому АМ{ОМ2 не меньше 60°. Аналогично и другие центральные углы М2ОМ3, М3ОМ4, ... не меньше 60°. Однако сумма таких углов больше 360°, что невозможно. Возможен лишь один вариант — 6 точек лежат на окружности, а седьмая — ее центр. 254. Да.# Пусть углы пятиугольника За, Зр, Зу, 36, Зф (рис. 160). Тогда За+ Зp + ЗY + ЗS-[- +Зф=540o; 2а + 2р + 2у + 26 + 2ф = 360°; 2а + 2ф + у= 180°; 2р + 2у + ф= 180°; 7 + ф = 2б. Аналогично а + у = 2Р; рб = 2у; а + 6 = 2ф; р + ф = 2а; Зр + а + у=180°; 5р=180°; р = 36°;
За +р + ф= 180°; 5а=180°, а = 36°, ... . Из равенства всех углов устанавливается, что треугольники ABC, BCD, CD£, DEA, EAB равнобедренные, т. e. AB = BC = CD = DE = EA. Пятиугольник правильный.


1. Данные прямые лежат в плоскости ABC. Точки касания окружностей с этими прямыми, а значит, и сами 4 окружности и их центры находятся в плоскости ABC. 2. а) 21; б) 27; в) 15; г) 19.# Число областей равно числу граней, ребер и вершин+1 (внутренняя область). 3. Верно.# Пусть точки А, Ву С, D находятся в плоскости б. Тогда по условию любая точка из числа данных находится в той же плоскости, что и точки АУВУ С, т. е. в плоскости 6. Для строгости рассуждения нужно рассмотреть и случай, когда среди данных точек k>2 лежат на одной прямой. 4. а) 11; б) 11;
в) 	20. • Объясним последний случай. Условию отвечают плоскости граней (6), а также плоскости, каждая из которых проходит через два параллельных ребра, не принадлежащих одной грани (6). Кроме того, из каждой вершины куба исходят три ребра, их концы определяют плоскость (8). 5. Да. 6. Да.# Если точка Л не лежит в названной плоскости, то по одну сторону от плоскости находятся точки Л, Ву Еу т. е. середина отрезка BE не лежит в этой плоскости, что противоречит условию. Следовательно, концы всех отрезков (т. е. данные точки) лежат в той же плоскости, что и их середины. 7. Все принадлежат.# Рассуждения, аналогичные решению задачи 6. 8. Нет. 9. Нет. # Принадлежит только в том случае, когда вся ломаная находится в одной плоскости, но это противоречит условию. 10. Да. 11. Если прямые а и b скрещиваются (или пересекаются), то найдется плоскость, которая пересекает а и параллельна Ь. Если а\\Ьу то плоскость S, пересекающая й в точке Му пересекает и плоскость, проходящую через а и Ь. Линия пересечения плоскостей не может быть параллельна Ьу так как через точку М нельзя построить две прямые, параллельные Ь. Следовательно, плоскость б пересекает прямую b (рис. 161). 12. Параллельно линии пересечения этих граней, если грани не параллельны. Если же они параллельны, то решений бесконечно много. Для пирамиды решение аналогично. 13. Прямая АС пересекает
Рис. 161
Рис. 162


ребро (или его продолжение) в точке D. Искомая точка — пересечение второй прямой с CD (рис. 162). Если АС параллельна ребру, то строят BD параллельно ребру. 14. BC\ftAD\. Если О —
центр верхнего основания, то ВС\\\АО. 15. 18 л[2 см, 24 -д/2 см, 30 см, 30 см. 16. Четырехугольник A\B\C\D\ подобен квадрату
1 Р Р2
ABCD, k = — . Поэтому Р\ =—, S = —. Для правильного шести-
Р Р^ л/3 I—
угольника Р\=—, S = — *■■■ . 17. 4 см, 8 см, 4^/3 см.# Искомые расстояния вдвое меньше сторон и диагоналей шестиугольника. 18. Параллельны.# Если середины звеньев обозначим К и L, М и /V, то KLNM — параллелограмм, у которого стороны КМ и LjV равны и параллельны. Докажите, что АС и DF тоже равны и
параллельны, т. е. ACDF — параллелограмм. 19. Уа2-)-62. • Ес-
ли О — середина МС, то OD2=-^(2CD2 + 2MD2 — МС2)=^^-.
20. 9,5 см.# Расстояния до середины сторон АВ и AD (по свойству средней линии треугольника) равны по 8,5 см. Постройте KE\\AD; КЕСО — параллелограмм, КО = СЕ (рис. 163). Поэтому KO=~Y~\j2 (172-|-62) — 172 = 9,5 (см). Такое же расстояние и до
середины стороны CD. 21. Нет.# Если бы плоскости б и а были параллельны, то через точку М можно было бы построить сколько угодно прямых, параллельных этим плоскостям. 22. Параллельны, если указанные прямые не лежат в одной плоскости; могут пересекаться, если прямые лежат в одной плоскости. 23. Да.#
а) 	Обе параллельны MB. б) Обе параллельны АВ. 24. На плоскости, параллельной данным. 25. Если они параллельны, можно построить бесконечно много параллельных плоскостей, одна из которых содержит а, другая — Ь. Если прямые пересекаются, то каждая плоскость, содержащая а, пересекает плоскость, содержащую Ь. Следовательно, а и b не параллельны и не пересекаются, т. е. они скрещиваются. 26. Да. 27. Да. 28. 2:1. 29. Да. 30. Плоскости углов параллельны. Отметьте на сторонах одного угла точки В и С, а на сторонах другого — такие точки В\ и С\, чтобы АВ = А\В\, АС=А\С\ (рис. 164). Так как АА\В\В и АА\С\С — параллелограммы, то и ВВ\С\С — параллелограмм; ВС = В[С\, ААВС= ДА\В\С\ (по III признаку равенства треугольников), /.ВАС = /-В\А\С\. 31. Построение показано на рисунке 165, а. На прямой BD отложите О К— КМ = ОВ-^/Зу через К и М проведите прямые, параллельные Л С, и отложите отрезки МН=М/ = =АО и KE = KF=AC. Искомый шестиугольник — AEHJFC. 32. П е р в о е решение. Постройте изображение — A ABC, на
его медиане отметьте точку Г, чтобы ОТ ж —СО (точнее,


Рис. 163
Рис. 164
Рис. 165
2 (2 — УЗ)-СО^О,536СО), и проведите через Т прямую, параллельную АВ (рис. 165, б). Второе решение. Постройте равносторонний AABD и впишите в него квадрат E\KMF\. Из К и М постройте прямые, параллельные СО (рис. 165, в). 33. Первое решение. Изобразите квадрат в виде параллелограмма ABCD и, отметив точку М, постройте квадрат AB\C\D и отметьте точку Mi так, что Построив С\Т\ _LMjD, проведите 7Ti||BBi
(рис. 166, а). Второе решение. Строим MP\\AD (P£BD). Высоты треугольника MPD лежат на прямой CD и на МТ\\АС, они


Рис. 166
Рис. 167
Рис. 168
пересекаются в точке Т. Поэтому TP.LMD. Искомая прямая СЕ\\ТР (рис. 166,6). 34. Аналогично задаче 33. 35. Аналогично задаче 33. 36. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, разделил ее в отношении 4:9. Искомая линия параллельна этому перпендикуляру. 37. Если центр вписанной окружности О на медиане BD, строим ОЕ и OF параллельно сторонам угла А. Так как OEAF — ромб, то DK, проведенная параллельно EF, определяет на АВ точку касания (рис. 167). 38. Центр окружности О — середина отрезка, соединяющего середины оснований трапеции — точки К и М. Строим ОЕ\\ВС и OF\\AB. Прямая КТ\\EF определяет наА В точку касания (рис. 168). 39. а) Две диагонали правильного пятиугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2: (-д/5 — 1)^ 5:3. Поэтому строим параллелограмм АВОС,
з
затем на лучах ВО и СО откладываем отрезки OD& — BO и ОЕж^-СО. Искомое изображение — ABCDE (рис. 169). б) Сое-
О


динив вершины правильного восьмиугольника через одну, получим квадрат АСЕН. Его средние линии пересекаются в точке О. Прод-
о
лив отрезки О/, О/С, ОР, ОТ примерно на — (или построив так
О
отрезки: OJ-л/2 и т. п.), получим остальные вершины восьмиугольника. Часть откладывания отрезков можно заменить проведением параллельных (рис. 170). 40. Пусть КМ и LA пересекаются в точке О, которую просто спроектировать в точку 0\ на К\М\. Проведя из вершины А прямую параллельно КК\, определим точку А\ на прямой L\0\. Далее просто (рис. 171). Аналогично для пятиугольника прямая KL пересекает ВМ и BD в точках О и Р, которые легко спроектировать на K\L\, затем найти последовательно точки А\, Е1., Bj, Ci, D\ (рис. 172). 41. Решение показано на рисунке 173. В отличие от задачи 40 точка К задана внутри пятиугольника, а точка М — вне его. Последовательно строим точки
Рис. 169
Рис. 170
Рис. 171
Рис. 172


Рис. 173
Рис. 174
Рис. 175
Рис. 176


Рис. 177
Рис. 178
Т1, /1, В\, А1, 0i, С1, Dь Ei. 42. Возьмите точки А и В прямой (произвольно) и постройте их проекции на плоскость, отложите на АА\ отрезок АХС = ММ\ и постройте CD\\A\B\ (рис. 174). Прямая MD искомая. 43. Прямая А\В\ пересекает основания призм, определяя точки С\ и Di, по ним находят на АВ искомые точки С и D (рис. 175). 44. Прямая А\В\ пересекает стороны основания второй пирамиды в точках С\ и D\ \ СС\ пересекает боковое ребро (или его продолжение) в точке К. Искомая точка — пересечение KD\ с АВ (рис. 176). 45. Построение дано на рисунке 177. Если О — проекция вершины пирамиды М, то строим О/С, OL, ON. На МО отмечаем такую точку М\, что М\0 равняется боковому ребру призмы, и проводим М\К\\\ОК, M\L\\\OL, M\N\ ЦОЛЛ Точки /Ci, Li, N\ на ребрах пирамиды — вершины треугольника, по которому поверхность пирамиды пересекается плоскостью верхнего основания призмы. На боковых гранях призмы отмечают точки пересечения ее боковых граней с соответствующими боковыми ребрами пирамиды. Эти точки соединяют с точками пересечения сторон основания призмы и пирамиды. 46. а) На рисунке 178 построены точки встречи лучей МА, MB, МС с плоскостью б. Искомая тень А2В2С2. б) Как в задаче 46, а; тень на рисунке 179 заштрихована, в) Построив тень куба, как в задаче 46, б, находят тень на поверхности второго куба так, как это делали при решении задачи 45. 47. Строим плоскость через точку М и прямую CD. Она пересекает плоскость б по прямой С К (рис. 180). Если С К и АВ пересекаются в точке Т, то искомая прямая МТ (на чертеже она не изображена). Если же СК\\АВ, то задача не имеет решения. 48. Строим плоскость через О и ребро СС\, она пересекает BD\ в точке Е. Искомая прямая проходит через точки О w Е (рис. 181). 49. а) Да. б) Плоскость, параллельную б, и отстоящую от б на расстоянии, равном расстояния от М


Рис. 179
Рис. 180
Рис. 181 Рис. 182
до 6. 50. 2 см; Ц- см; см; см. 51. 5:3. 52. Плоскость, парал-
О О О
лельную данным. Если не указано, к какой плоскости точки ближе, условию одновременно отвечают две плоскости (по смыслу речь идет о точках, находящихся между данными плоскостями). 53. 8 см, 7 см, 4 см. • Если О — центр шестиугольника, то OOi=2 + 6 — 3 = 5, поэтому DDi = 2-5 — 2 = 8 (см), ЕЕi =
= 2-5 — 3 = 7 (см), FF 1=2-5 — 6 = 4 (см). 54. Все эти точ¬
ки лежат на сторонах прямоугольника, по которому плоскость симметрии данных точек пересекает поверхность куба. При построении этой плоскости учтите приемы решения задачи 33. 55. Два прямоугольника, плоскости которых перпендикулярны плоскости указанного диагонального сечения (рис. 182). 56. Используйте скалярное умножение векторов. 57. Да. • Обозначьте по рисунку 183 стороны треугольника ABC через а, 6, с, BD=x, СЕ=у. Уравнения jr-j-а2 =у2-\-b2=(x—yf-{-с2 при-


водят к квадратному уравнению, дискриминант которого 16 (а4 + Ь4 + с4 — а2Ь2 — а2с2 — Ь2с2) положителен. Следовательно, задача всегда разрешима. 58. 35 см; -д/22 см. 59. -д/37 см. • OBAlAB, ОС А-АС, ВО пересекает АС в точке D (рис. 184). ЛЯ =15, Л С = 24, AD = 30, CD = 6, ОС = 2 УЗ; Л02 = 242 + + (2 Уз)2 = 588; МО=V252 — 588 = У37 (См). В аналогичной задаче МО =| VT077" см. 60. Полоса, края которой параллельны /, если а больше расстояния от / до б. Прямая ЛЦ/, если а равняется расстоянию от / до б. 61. 7 см.# Это расстояние равно длине медианы ВО треугольника BDE со сторонами 11 см, 7 см и л/152 —92= 12 (см). Однако его можно определить и как медиану треугольника MCD, две стороны которого определяются по теореме Пифагора (рис. 185). 62. Нет.# Если ОМ — перпендикуляр к плоскости угла, причем точка О на стороне угла, ОВ — перпендикуляр к другой стороне угла, то для любой точки Т на ОМ стороны угла ОТВ соответственно перпендикулярны сторонам угла ОАВ. Ясно, что равенство углов ОАВ и ОТВ можно иметь толь-.
Рис. 183
Рис. 184
Рис. 185
Рис. 186


ко для одной точки Тв ОМ, а не для любого положения этой точки. 63. Если прямые параллельны, то таких точек нет. Если эти три прямые имеют общую точку, условию отвечает перпендикуляр к плоскости, проходящий через общую точку прямых. Если две прямые параллельны, а третья их пересекает, то условию отвечают два перпендикуляра к плоскости б. Если прямые пересекаются в точках А, В, С, то условию отвечают четыре перпендикуляра к плоскости б, проходящие через центры вписанной и вневписанных окружностей треугольника ABC. 64. На плоскости ABC такая точка С. Если А С = ВС = а, то сумма расстояний от D до вершин треугольника ABC меньше, чем у точки С при условии 0,8а<х<а (рис. 186). 65. 8 см.# Если МОJL (ЛВС), OA = OB=OC = OD = R, то (рис. 187) ОЛ2= 122 + х2, ОВ2 = 92 + (3-|-х)2. Отсюда х = 9, R2 = 225. Расстояние МО найдем из дАМО. 66. 120 см и 540 см2. # Рассматривая плоскость, проходящую через гипотенузу, имеем
202 + х2 + 432+х2 = 5!2; х2 = 176; катеты 24 см и 45 см. 67. 8 д/5 см
или Зд/7 см. #S=1Q8, г = 4. 68. Верна. 69. Проведем MN\\AB.
zLAMiK= Z-A\KM= AKMN, т. e. MT — биссектриса угла AMN, MT\\BD (рис. 188). 70. 13,44 см.# Отметим на ОА такую точку С, что ОС = ОВ. Тогда МС = МВ, Z. СМ А = /_ МАО, АС = = МС. Зная все стороны треугольника АМС, легко найти высоту МО. Можно было использовать тригонометрию: 48 sin х = 25 sin 2х: cosx = 0,96; sinx=0,28; МО=48-0,28. 71. 6 см.# Пусть АВМО = = 2х, /_АМО = Зх. Обозначим МО = Н. //• tg 2х=8, Я-tg 3х = 33;
t|,2,:tg3, = 8:33; =jt; 4/ +
+ 83*-21=0, »>0; d=-L; tgx=-±-; tg2x = -f: H = 8:-f=6.
72. 	26,4 см. # Отметим на ОА точки В\ и Ci, чтобы OBi=OB, ОС\ = ОС (рис. 189); ВiCi =43 — 33= 15; если /LMAO = x, то АМВ\0 = 2х, /_МС\0 = Зх, AAMBi = ABtMCi=x, MB i =
= ЛВ}=33; по свойству биссектрисы угла треугольника МА:МС\=33:15=11:5, sin 3x:sin х= 11:5, sin Зх = 2,2 sin х,
sin Зх sin х _2Cos2x; 2cos2x=l,2; cos 2х = 0,6; sin2x = 0,8;
sin X
MO = 33-0,8 = 26,4 (см). Можно было использовать формулу sin 3х=3 sin х—4 sin3 х или исходить из системы уравнений (МО = = Н): H-ctgx-H-ctg3x=48, tf-ctg2x-tf ctg3x= 15; Usm2x0 =
1 & & & sin X sin Зх
— 48; =15; 4cos2x=3,2; cos2x = 0,8; sin2x = 0,2;
sin 2x sin 3x
sin 2x=2 V0,8-0,2 = 0,8; H (ctg x — ctg 2x)=33; H- , siri* =33;
Sin X> Slfl
H = 33-0,8 = 26,4 (см). Наконец, можно было бы использовать свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника МВ2 = МА X XMCi — ЛВ1 -BiCj или результат планиметрической задачи 167.


Рис. 187
Рис. 188
Рис. 189 Рис. 190
73. 	30°. 74. ф^57°14'.# Если О — центр основания, 0\ —центр окружности, описанной около боковой грани, то ААОВ =
= *LAO\B = 2/-AMB, /_АМВ = 45°; ;
cos w=R:—— =л/1— cos 45°; ф«57°14'. 75. ш = 60°.#
д/2 sin 22°30' J.
АВ = а, АО = ±. МО-АО. OD-^J( £.)’+(^)=-§-; tg Ф-
76. 9 см. • По условию OD = MO-^/3y ОЕ ~• В Рав_
постороннем треугольнике сумма расстояний от внутренней точки до всех сторон равна высоте треугольника. Здесь а = 24 см,
Н= 12 -д/3 см; МО-V3+—= 12 УЗ; МО = 9 (см). 77. 45°. 78. Если
уз
О — начало координат, М — центр правильного многоугольника
7 Заказ 741 .. . •


A i А 2Лз...Лл, то О А1 -f- ОА2 И- ОАз ...-(- ОАп = п • ОМ -(- (МА i -f- + МЛ2 + ... + МДп). Так как сумма в скобках равна 0, то ОМ = =-^“ (ОА\ + ОЛ2 + ОЛ3 + —+ ОЛп). 79. Да. 80. Пусть три ребра куба, исходящие из одной вершины, определяют координатные оси. Тогда координаты рассматриваемых точек (считая ребро куба а): К (а, у, 0), L (jc, 0, а), М (0, а, z). Сумма квадратов расстояний между этими точками (a — х)2-\-у2-\-а2-{-a2-{-(a — и)2-\-z2-\-х2 4-а2 4-
Ma-zf = 2(X-iy + 2(y-fy+2(z-^2+fa>. Мини- мум достигается при х = у = г — -^-, т. е. в том случае, когда
эти точки — середины трех попарно скрещивающихся ребер куба. Таких троек точек 4. 81. а) Середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы, б) Если М — точка высоты ВО пирамиды ВАхА^А^.Лп, то МВ2-\-МА2 + МЛ2 + МЛ2 + ...Я-А1Л„ =
= n-M02-j-n-0A‘i + 2M0 (Ш1+Ш2 + Ш3 + ...+Шп) + МВ2.
Сумма в скобках равна 0, п-ОА2 постоянна. Остается найти минимум п-М02-\-МВ2. Необходимое условие: МО:МВ=1:п. Легко убедиться, что если М£ВО, то рассмотренная сумма не минимальна. Возможно решение задачи с помощью координат (за ось аппликат принимается ОЛ, за начало координат точка О).
82. 	Так как отсекаемые на всех осях отрезки равны, то коэффициенты a, b, с уравнения плоскости равны по модулю, т. е. оно имеет вид axdobyd-cz-\-d = 0. Подставив в него координаты точки М, получим уравнения четырех плоскостей, отвечающих условию x-\-y~\-z — 10 = 0, х-f-у — z-}-4 = 0, jc — 1/ + 2 — 6 = 0, х — у — г + -1-8 = 0. 83. Это расстояние вдвое больше расстояния от точки О до плоскости ах + by + cz — d = 0. • Первый способ. Если
OD±AB, то ОГ) = - CD2 = £2-|—г^тт; ОМ- 0C'0D —
Va2-\-b2 а2-\-Ь2 CD
= ———о'--"' ~о ~ • Второй способ решения возможен
Уа262 + а2с2 + &2с2
только после решения задачи 102,6. ОМ~2 = а~2 + Ь~2 + с~2. Отсюда ОМ = 1:^±?±^= аЬс (рис. 190).
/Т57ТГ. 9 9 , , 9 «? Vr '
Л/^Ьг+а2с2 + Ь2с2
_2х-х-\12 х Уб
84. 60°. • ЛО = х, ЛВ = 2а:, ЛС=*У2, ВС=хЛ!Ь\ AD--
sina=^. a = 60°. 85. Да. 86. 21 °28'.• Возьмем такие
■уз
точки С и £>, что OC = OD=l (рис. 191). Тогда CD2 = 2 +
+ 2 cos2 х = 2 + л/3, cosx=l/^|, *«21°28'. 87. 26 см.# Рас-
смотрим сечение двугранного угла плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно ребру двугранного угла (рис. 192).


Рис. 191
Рис. 192
Продлим СМ до пересечения со стороной угла в точке D. Тогда DM =2, CD = 24, ЛС = 8д/3, АМ2 = 222 + (8д/3)2. В аналогичной задаче 38 см. 88. 60°. • Плоскости пересекаются по прямой B[D, перпендикуляры к ней А\М и С\М. Если ребро куба а, то
BiD = aM,3, AiCl=AiD = a^J2; , т. е.
ал/3 V3
AAiMC]=l20°. Так как угол между плоскостями острый, то он равен 180° — 120° (рис. 193). 89. Аналогично решению задачи 13. 90. Представим себе, что плоскость MOD вращается вокруг МО, пока не окажется в плоскости МОА (рис. 194) в положении MOD\. При этом точка В перейдет в точку С, путь паука окажется отрезком А С. Это определит точку Р£МО и весь путь АРВ. 91. д/бТ см. • Так как АВ = АС = СВ= 14 и AMDO= Z.MEO = 30° (рис. 195),
то О лежит на биссектрисе /.ВАС, АК—7 д/3, 0/С = ^^, OD =
-V3
= ОЕ = ОМ д/3, . Л0 = 20£) = 2 д/ЗОМ, ОМ = 3, ОВ2 = ОК2 +
Рис. 193
Рис. 194


Рис. 195
Рис. 196
+ КВ2 = 52, МВ2 = 0В2 + М02. 92. 30°.• S-cos2 x=-^-S; cos*= =^Г- 93. а) 65 см2.# Если сторона квадрата а, то (рис. 196)
Vа2 — 49 - д/а2 — 64 = У2а2 —121; 2а2 — 113—2 лЦа2—49)(а2 —64)= = 2а2 — 121. Подставив вместо а2 площадь S, получим S2 — 1135 + -(-3120 = 0; Si =65, S2 = 48. Второй корень не годится, так как
а>8; б) а^64°38'. • cos а=—. 94. Четыре полосы, попарные края которых принадлежат данным плоскостям и параллельны линии пересечения плоскостей. Аналогично на плоскости: фигура, каждая точка которой имеет указанную сумму расстояний от двух данных пересекающихся прямых,— прямоугольник с вершинами на этих прямых. 95. Полуплоскость, параллельная биссектор- ной полуплоскости данного двугранного угла. 96. Используем теорему: каждый плоский угол выпуклого трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов его. Пусть у трехгранного угла МАВС плоские углы а, р, у. Продлим его ребро МЛ, получим трехграиный угол MBCD, у которого плоские углы 180° —а, 180° —р, у (рис. 197). Так как у< 180° —а+ 180° —Р, то а + р-Ь + у<360°. 97. Верно. • Плоскость ЛМО пересекает грань ВМС по лучу MD (рис. 198). По свойству трехгранного угла имеем ААМО + ADMOC ААМС+ ADMC, ААМО+ ADMO< СААМВ + ABMDy АСМО — ADMO< ACMD, АВМО- — A DMO С ABMD. Сложив эти неравенства, получим 2 A AMO А- + АВМО-\- АСМОс AAMB-j- ААМС-j-2 А ВМС. Аналогично можно получить и неравенства ААМО-\~2ABMOАСМОс С ААМВ+ АВМС + 2ААМС, ААМО+ АВМО + 2АСМО< < ААМС-\- АВМС-\-2ААМВ. Сложив эти три неравенства и разделив на 4, получим искомое соотношение. 98. Если из внутренней точки двугранного угла а опустить на его грани перпендикуляры ОМ и ON, то ZL MON = 180° — а. Если из внутренней точ-


Рис. 197
Рис. 198
ки выпуклого трехгранного угла опустить на его грани перпендикуляры ОА, ОВу ОС, то плоские углы трехгранного угла ОАВС равны 180° —а, 180° — р, 180° — у. По задаче 96 их сумма менее 360°. Поэтому 180° —а + 180° —р+180° —у <360°, откуда а + + Р + 7>180°. 99. Перенумеровав двугранные углы при ребрах пирамиды, по результату задачи 98 получим неравенства х\ -\-х2-\- -\-хз> 180°, Х\ -\-х4-\-х§> 180°, Х2-\-Х4-[-Хб> 180°, хз-\-х^-\-х^^> >180°. Сложив эти неравенства и разделив на 2, получим x\+X2 + X3 + X4 + Xb-\-XQ>360°. 100. Использовать результат задачи 97. 101. Равносторонний треугольник.# Пусть углы основания х\у х2у хзу хп. Тогда сумма плоских углов при вершине 180° -п — 180° (п— 2)-2= 180° (4 — п). Следовательно, пирамида треугольная. Так как все боковые грани равны основанию, то боковые ребра равны, т. е. пирамида правильная. Следовательно, ее основание — равносторонний треугольник. Можно отметить, что все грани — равносторонние треугольники (т. е. это правильный тетраэдр). 102. а) Используем рисунок 37. АВ2-\-АС ={МА2-{- -МВ2)-\-(МА2 МС2)> MB2 МС2 = ВС2. Аналогично покажем, что АВ2-\-ВС2>АС2 и А С2 + ВС2 > А В2\ A ABC остроугольный, б) МА±.(МВС\ МО±-{АВС), М01.ВС. Следовательно, ВС-L l-(MOA), BCJ-AD, т. е. AD — высота треугольника ABC. Так же доказывают, что и другие высоты треугольника проходят через точку О. Если б) доказывать раньше а), то можно утверждать, что, поскольку ортоцентр A ABC находится внутри треугольника, ДАВС остроугольный, в) В прямоугольном треугольнике с катетами а, b и высотой Н имеем Н~2 = а~2 Так
как дАМО прямоугольный, то МО~2 = МА~2-\-MD~2 = МА~2
+ МВ~2 + МС-‘2. г) MD2=AD • OD\ MD2 .^=А?'?С .OD^BC ■
S2ambc=S aabc'S aobd- Аналогично 52дЛ)/4с=5 aabc' ^ aoao S&mab= — $аавс'$аоав- Сложив эти равенства, получим искомое соот-


Рис. 199
Рис. 200
Рис. 201
Рис. 202
ношение. 103. Если все грани — треугольники, общее число ребер делилось бы на 3, а 7 на 3 не делится. Если же хоть у одной грани вершин больше 3, то общее число ребер больше 7. 104. У п-угольной пирамиды ребер 2п, т. е. их может быть 6, 8, 10, ... . Если от пирамиды отсечь уголок, как на рисунке 199, ребер станет 2я +3, т. е. 9, И, 13, .... Итак, многогранник с любым натуральным числом ребер k>7 возможен. 105. Примеры приведены на рисунке 200. 106. Пример показан на рисунке 201. 107. Да.# Пример дан на рисунке 202. 108. Да.# а) Пример дан на рисунке 203.
б) 	Например, октаэдр, на 6 гранях которого построены треугольные пирамиды, в) Например, икосаэдр, на 12 гранях которого построены треугольные пирамиды. Такое же соотношение у многогранника, который получится, если на каждой грани как на основании семиугольной призмы построить пирамиду, а затем на грани одной из этих пирамид построить треугольную пирамиду. 109. Не-


обязательно. Например, у фигуры на рисунке 204 вместо ребра AD может быть ребро ЕС. 110. Да.# Так как к каждой вершине многогранника сходится не менее трех ребер, то в среднем плоские углы должны быть менее 120°, т. е. грани должны быть треугольные, четырехугольные, пятиугольные. Иначе сумма плоских углов хрть при одной вершине превысит 360°. Но при таких гранях обязательно окажутся грани с одинаковым числом ребер. 111. Нет.# На рисунке 205 приведены многогранники, которые отвечают данному определению, но не являются призмами. 112. 7 или 8. Первое маловероятно. 113. Если А\ симметрична А относительно плоскости основания, то искомая точка — пересечение этой плоскости с А\В. 114. Аналогично решению задачи 113. 115. д/То см. • Если повернуть грань ВСС\В\ около ВВi, чтобы она оказалась в плоскости АВВ\ (рис. 206), путь паука станет отрезком ОТ — гипотенузой треугольника, катеты которого 1 см и 3 см. Длина этого пути УТО см. 116. Одна из осей симметрии основания призмы. 117. Прямая, проходящая через центроиды оснований призмы.
118. 	Отметим на BE такую точку /С, что АК=—АВ (в оригинале),
Рис. 203
Рис. 204
Рис. 205


Рис. 206 Рис. 207
а уЗ
строим ККх \\AAy и МК\\\АК (рис. 207). При этом АР-
PK=a^J-l|—^=^Vl3«0,9a«0,6P£. 119. 3. 120. Да. 121. d3 =
= d (a2 + b2 + c2) = a2d + b2d + c2d>a3 + b3 + c3. 122. Да.# Так
как диагональное сечение призмы — параллелограмм, значит, диагонали, пересекаясь, делятся пополам. Отсюда делаем вывод, что основание данной призмы — параллелограмм. 123. Если диагонали призмы х\, х2, *з, Х4, боковое ребро а, стороны основания 6, с, диагонали основания d\, d2, то х\ + xi = 2a2 + 2di, xl-\-xl = 2a2-\-2d2. Следовательно, 4с24b2 = 2d\ -\-2d2, т. е. d2-\-dl = 2b2-{-2с2. Таким образом (по задаче 165 — планиметрия), основание призмы — параллелограмм. 124. 62 см, 64 см, 66 см.# По задаче 120 имеем (х— l)2-f-jc2-f(x + 1)2= 182 + 152-(- + 112+Ю2; 3jc2 + 2 = 770; х=16, т. е. длины ребер 15, 16, 17 см. 125. 18 см, 20 см, 22 см, 24 см.# Если длины диагоналей ху jc + 2, х + 4, jc + 6, то 4 (142+ 132-f-92) = л:2-f-(jc-|-2)2-|-(л: + 4)2-J-(jc-j-6)2; х2-f-6х — 432 = 0; jci = 18, х2=— 24 (посторонний). 126. Первое решение. В прямоугольном параллелепипеде cos2 a +
+ cos2 р +cos2 7 = 2. Так как (cos2 a + cos2 p + cos2 Y)(^pr^+ ) ^9, то —~2 1 —I ~2—l+tg2a-|-
) ^ cos a cos p cos у 2 e
+ l+tg2 p+l+tg2 т. e. tg2 a + tg2 p-f tg2 Вто¬
рое решение, tg2 a + tg2 P + tg2 7=^p+^^2 + ^pr=
_a2 + b2 + c2 j 1^ + Ь2±с2__ j I a2 + b2 + c2 _ j J_// 2 , ^2\ , /a2.
— b2 + c2 a2 + c2 + a2 + b2 1 2 ^
+ ^+», + ‘D(47+W+w)-3>-i~9-3 = -§-. 127.
Через скрещивающиеся прямые ABi и BC\ можно построить
cos р cos~ 7


Рис. 208
Рис. 209
параллельные плоскости AB\D\ и BDC\y они перпендикулярны диагонали куба А\С и делят ее на три равные части (рис. 208). Поэтому MN=^-А\С. Параллельный перенос даст и общий перпендикуляр NN\\\BD. 128. Да. 129. 1:3, считая от В\. 130. а) Да- (рис. 209); б) нет. 131. По неравенству треугольника МА<МС-\- +ЛС, МА<МВ + АВУ ВС<МВ + МСУ ВС<АВ + АС. Сложив эти неравенства и разделив на 2, получим МА + ВС < (MB + А С) + -\-(МС-\-АВ). Аналогично доказывается, что MB-\-AC<Z(MA + + ВС) + (МС+АВ) и МС+АВ<(МА+ВС)+(МВ+АС). Стороны искомого треугольника (АМ-\-ВС)у (МВ-\-АС), (МС-\-АВ). 132.
Если МО±.(АВС\ то МА +МВ=^МА2+МВ2 + 2МА- МВ> >^A02 + B02 + 2A0-B0>^(A0 + B0)2 + M02^C02 + M02 = =МС. Аналогично доказывается, что МА-{-МС>МВ и МВ-\- -\-МС>МА. 133. Так как боковые ребра равны, около основания можно описать окружность.
Поскольку стороны основания равны, основание — правильный п-угольник (п = 3, 4,
5). 134. У треугольной.
135. 19. 136. п-угольную пирамиду можно разделить на п — 2 треугольные пирамиды.
Их двугранные углы включают все двугранные углы я-угольной пирамиды и двугранные углы при диагоналях основания (которые появились при делении п- угольной пирамиды на треугольные). Следовательно, рис. 210


х > 360° (п — 2) — 180° (п — 3) = 180° (п — 1). 137. Аналогично решению задачи 115. 138. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 139.
АОЕСоо дАМС. Поэтому ОЕ:ОС = МА:МС; МА =-!—. Так как
АС = 1^[4~, то a=4r, MB = MD = . 140. Да. • Ес-
V з уз V з з
ли О — центр прямоугольника, то МА2 + МС2 = (МО -\-OAf +
(МО + ОС)2 = 2Ш2 + Ш2 + ЪС2 + 2Ш(М + 0С) = 2 М02 +
~j—— А С2. Тому же равна и сумма MB2 -\-MD2. 141. Все грани
данной пирамиды равны (по III признаку равенства треугольников). Если углы основания а, р, у, то такие же углы при каждой вершине. 142. Названные отрезки, пересекаясь, делятся пополам. По свойству диагоналей параллелограмма отношение сумм квадратов, указанных в условии, 1:4. 143. Используйте результат задачи 141. 144. Эти точки равноудалены от плоскости основания пирамиды и ортогонально проектируются на середины сторон
основания (рис. 211). S=y-. 145. /д/2. #По развертке пирамиды видно, что (так как плоский угол при вершине пирамиды 30°) кратчайший путь паука — по гипотенузе треугольника, длины катетов которого по /. 146. 1:3. 147. Если MOi и АО2 пересекаются, то пересекаются и биссектрисы углов ВАС и ВМС. Поэтому АВ:АС = ВО:ОС. Отсюда АМ-ВС=АС-ВМ (рис. 212). Аналогично доказывается, что АВ • СМ=АМ • ВС. Обратная теорема верна. 148. Учтите, что расстояние от центроида треугольника до
Рис. 211
Рис. 212


плоскости, не пересекающей треугольника, равно среднему арифметическому расстояний от его вершин до этой плоскости. Если МО — медиана, а Т — центроид тетраэдра, то (по задаче 146) МТ = ЪТО. Поэтому перпендикуляр ММi, опущенный на плоскость сечения, втрое больше перпендикуляра ООi, опущенного на ту же
плоскость, причем 00\ =-^-(АА\-\-ВВ\ + CCi). 149. Используйте
свойство: если МО — высота треугольника АМС, то для любой точки Т на прямой МО справедливо равенство ТА2 — ТС2 = = ОА2 — ОС2 = МА2 — МС2. Обратная теорема верна. 150. Используйте результат второй части задачи 149. 151. Используйте результат задачи 149. 152. 182 см2. #МЛ/=-д/62 + 82 = Ю; КТ=~^=
=4,8; /СС = 3/С7'=14,4; ^С,/СС = а, tgo=-^5=-^-; SOCH=192; cosa=|f-; Sce4= 192--|-:-|f-= 182 (см2) (рис. 213). 153. Да. Сто-
1о о 1о
рона квадрата может иметь длину 5 см, 6 см, 7 см. 154. п = 3, 4, 6; s3=^^, s4=a2, Se=^-a2 V3. 155. 90°, 60°, 30°. 156. Ю.уТб см2.
• 5Пр=-!"-!~42л/3 = 20 л/3; tg а=-тг, cosa=-Jr; Sce4 =
/— 2 11
= 20 л/3: —. 157. — Q. • Так как плоскости сечений параллельны,
д/5 ^
то площади сечений относятся, как площади проекций (а они рав-
3 11 113
ны — и — площади основания). S = Q-—: —. 158. При k = \y 2, 3
S = QV3, при k>3 S = j^Q^/3. 159. Используйте приемы ре-
Рис. 213
Рис. 214


шения планиметрических задач 221, 222 и рисунки 145 и 146. 160. а2 д/б. • Ортогональной проекцией сечения является половина основания, ее площадь -^-а2У3. Поэтому Sce4 =
=-|-а2 V3:cos 45°=^-а2 д/б (рис. 214). Можно было рассматривать сечение как состоящее из прямоугольника и треугольника, их общая сторона а У3. Высота треугольника такая же у пря¬
моугольника. 161. —- УТб. • Плоскость делит диагональ основания в отношении 3:5. Сечение — прямоугольник, у которого одна сторона а У3, другая -ул/5- 162. -ул/б см2. • Высота призмы 6 УЗ, сечение — шестиугольник, площадь его проекции -у лД а
площадь сечения -уУб см2. 163. 1) а = 60°. Sce4=-|-a2 \/3;
2) 	а = 30°. 5сеч = 3а2. 164. 1:2. 165. У пятиугольного сечения параллелепипеда плоскостью есть параллельные стороны, а у правильного пятиугольника таких сторон нет. 166. 5сеч=-^- а2 Уб. •
cos«=;^Wi’ ,67- I6S- f
169. 36 У2 см2. • Сечение — четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Одна из них равна половине BD, т. е. бУ2, другая делит ребро в отношении 1:2, считая от вершины
пирамиды. Поэтому А К= -|- А Т = 12; 5сеч = . 170. Первое
решение. Если ABD — искомое сечение, то BD ХМС; МО _L А-ВС. Треугольники BCD и МСО подобны: ВС:МС = DC:OC;
DC = ВСЛ'®С = (рис. 215, а). Второе решение. Если К — МС 8 г гг
середина МС, то ДКВС равнобедренный, его медиана СР является и высотой, высота КЕ\\МО. Через точку пересечения СР и КЕ проходит третья высота BD. Третье решение. Построим ДВМ\С — истинную форму треугольника ВМС. Между точками этих треугольников существует соответствие: точка М отвечает точке Mi. Если BDi_LCMb то, проведя DD\\\MM{, получим вершину D искомого сечения (рис. 215,6). 171. У26^11,5 см2. •
EF= 1,2 Д/26; Sce4=i- l,5~ + i(l,5 + 3).|f/7+|-3-^
(рис. 215, в). 172. На линии пересечения диагональных сечений отметим такие точки О и Г, что МО = ОТ, и проведем из точки Т прямые, соответственно параллельные боковым ребрам пирамиды. Полученные точки Л, В, С, D — вершины параллело-


Рис. 215
грамма ABCD с центром О (рис. 216, а). 173. Если сторону квадрата обозначим через х, то (20—х):х = 20:30; х=12, р — 48 см, S=144 см2 (рис. 216,6). 174. Построение показано на рисунке 217. MD пересекает АВ в точке D\\ D\F\\AC. Прямая DE\\\AC и пересекает MF в точке Е\. Прямая ЕЕ\ определяет две вершины сечения: К^МВ и Т£ВСУ а прямая KD определяет третью вершину сечения Р£АВ. Для правильной пирамиды MABCD решение аналогично. 175. Построение показано на рисунке 218. SM пересекает АВ в точке М\\ М\М2\\ВС. Строим ММ3\\ВС до пересечения с SM2 в точке Мз. Прямая M3N определяет вершины Р и F сечения; РК\\ВС, КМ пересекает SA в вершине Е сечения. 176. а) 45°; б) 60°. 177. 105 см2. • Диагонали сечения взаимно перпендикулярны. Одна диагональ как медиана, проведенная к гипотенузе МС, равна V182 + 242 = 15;
другая определяется из подобия треугольников MBD и MKF с учетом того, что медианы треугольника, пересекаясь, делятся в отношении 2:1. 178. 75 см2. • Сечение — трапеция с основаниями 20 см и 5 см. Апофема пирамиды 12 см, высота трапеции 6 см. 179. Площадь ортогональной проекции сечения на основание равна


Рис. 216
Рис. 217 Рис. 218
-^rSOCH. Поэтому 5ce4>^-S0CH. 180. Аналогично решению задачи
179. 181. 9,6 см. • Сечение — трапеция с основаниями 16 см и 8 см. Высота сечения определяется как медиана треугольника со сторонами 16, 2 д/97~, 2д/97\ она равна 15 см. Искомое расстояние — высота треугольника с основанием 15 см и площадью вдвое меньше площади малого осевого сечения (т. е. 72 см2). Можно было определять медиану, не находя апофемы. 182. 3,6 см. •
АР=^14,52 + 62 = 7,5; АТ=-^- АР = 10, где А — середина стороны
О N
основания, Р — середина высоты пирамиды, Т — пересечение ме-


дианы СМ грани, параллельной данной стороне основания, с плоскостью сечения, 5 дЛЛ]г=-~5 дЛЛ1С, т. е. 18 см2. Искомое расстояние
3,6 см. 183. 5gft . • Сечение можно рассматривать как фигуру,
состоящую из двух равных трапеций. Основания каждой из них -|-
и высота (рис. 219). 184. 19-^- см2. • Стороны сечения соответственно параллельны сторонам грани МАВ (рис. 220), поэтому (АМВ)\\(ЕРК) и высота трапеции вдвое меньше высоты треугольника АМВ. Площадь основания 48 см2, высоты параллелограмма 3,2 и 1,6, МТ = у/32+1,62 = 3,4; /У =1,7. 185. 75 см2.#
SaABd = 36, его высота 8; tga = -|-; cosa = 0,8; ТС:ОС = РТ:30; ОТ:ОС = (РТ — 6):6; РТ= 10=^-; ТС=
OU О О О
Snp = 36.2-y-=60; 5сеч = 60:0,8 (рис. 221). 186. 4 ^+15,»
Рис. 219
Рис. 220
Рис. 221
Рис. 222


а=16 см, SOCH = 256 см2. Апофема пирамиды 15 см, STp=120 см2; х?:Н2= 120:256= 15:32; х:Н = л1Т5:4л12;-п^—= ^г- • 187.
Н-х
|-(4-V2) см. 188. 3 см. # Катеты сечения Зх и 4х (рис. 222), гипо-
12х / ' 12х \
тенуза 5х, сторона вписанного в сечение квадрата — ; (24—— ):
:24 = Зх:6; х=-у. Ребро куба у---у* 189. /=16 см.# -|-а2 д/3 =
= 96 д/З; а = 8; Япр = 10; /: 48 = 5:15. 190. # Высоты основания 4 см и 6 см, поэтому его стороны 9 см и 6 см; Я = 8 см; S = 30- 8 + 2-4-9 = 312 (см2). Если брать Я = 4 или Я = 6, то соответственно S = 222-у- см2 или 260 см2. 191. 13 см.# 2 (ab-\-ac-\-bc) =
= 192; 2 ((а + 1) (6 + 1) + (а + 1) (с + l) + (i> + 1) (с + 1)) = 2 (ab-\- -\-ас-\-Ьс) = 82; а-\-Ь-\-с= 19; а2 + 62 + с2 + 2 (а6 + ас + &с) = 361;
d2 = 169. 192. а=30°. #5ce4=^-V^2+3a2; -S6=GaH; 3аН =
=4гл/^2 + За2; Н—а\ tg а=-j- . 193. 2d2, ф d2 = a2-\-Ь2-\-с2^ 2 Уз
>а& + ас + 6с = -у; 2 d2>S„. 194. 90° (l -|). • я-а// =
„а2с4 180°
=2-"а °2 " > W = a.ctgMl; tga=A=ctg_l^l; a=90°- 180°
=90
1 —. 195. • По задаче 192 Н=а, поэтому a=45°..
196. 6642 см2.# Три стороны основания по 39 см, четвертая 9 см, Я = 39 см, SOCH = 864 см , Sn = 2-864+126-39. 197. 159 д/3 см2.# Если переставить боковые грани, чтобы никакие соседние не были равными, площадь поверхности не изменится. Но тогда А\А3АЪ — равносторонний треугольник, все углы шестиугольника по 120°;
Л,Лз=л/32 + 52 + 3.5 = 7; Я=-|; /=^; Se = ±-24= 112 л/3;
^осн-^+З- 3-5-s‘nl20° =^-; Sn = 159V3 см2. 198. Smax =
= fl2( 1 +^) • ® Две гРани — равносторонние треугольники, две — прямоугольные треугольники. 199. Различные варианты приводят к разным ответам: Si =96+10 -д/1 19«205,1;
S2 = 25V3+ 15 УГТ9« 206,9; S3= 144+ 36 д/3« 206,3. Наиболь- шая площадь во втором варианте (рис. 223). 200. Может.# Один из примеров на рисунке 224, а. 201. 60° и 120°. 202. Да. Если двугранный угол при основании пирамиды меньше 30°. 203. у- ® Так как ребра пирамиды ОА\В\С\ меньше соответственных ребер пира-


Рис. 223
Рис. 224
миды МАВС в 3 раза, то площадь поверхности меньше в 9 раз. 204. а = 60°. • Если S0CH=x, S6=y, то (JL+JL) =
= 3:11, у = 2х. 205. 102 см2. • По задаче 102, г имеем: если площади боковых граней 2х, 6х, 9х, то SOCH=llx; х=6; S6oK= 17*6. 206. 22 см2. • Если длины ребер х — 2, х, x-f-2, то площади боковых граней * ~2х , х ~^2х , * ~4 . По задаче 102, г получаем уравнение Зх4+ 16 = 784; х=4. 207. а) Наклейте на каждую грань


куба правильную четырехугольную пирамиду, у которой каждое ребро как у куба, б) Наклейте на каждую грань куба равный ему куб. Возможны и другие варианты. 208. По 90°. 209. 2Q (л/2— 1). # Она равна площади поверхности правильной восьмиугольной призмы, у которой боковое ребро а, а сторона основания а.(-у/2 — 1). Искомая площадь равна 12а2 (л/2— 1) или 2Q (-д/2—-1). 210. Необязательно. 211. 3а2д/3. • Если ребро октаэдра х, то а=~-,
S = 2x2 д/3 = 3а2 -д/3. 212. • Ребро куба х = а(2-—-д/2). S, :So = 2a2 д/3:6л:2=(3-J-2 -д/2):2 д/3. 213. я = 3 или 4; 5з=-~;
^ЛЯ октаэДРа ^ — 4 или 6: S4 —®ы"
числения показывают, что косинусы этих углов равны -—и — 215. (3+V3):6. 216. 7:9. 217. -|-(6+УЗ). 218. Ребро куба 6 см. Решение показано на рисунке 224, б. 219. 384 -\/ГГ см3. • Если измерения 2 а, 2 Ь, 2 с, то а2-\-Ь2 — 49, a2-fc2=64, b2-\-c2 — 81.
Отсюда а2= 16, 62 = 33, е2 = 48; V=8 ^16-33-48. 220. -у. •
d = a-\-b; a2-\-b2-\-l2 = a2-\-2ab-\-b2\ l2=2ab\ ab=^-\ V=abl.
221. 54 см2, 96 cm2, 150 cm2, 216 cm2. • x3-)-(x+l)3-|-(x+2)3 = =(x + 3)3; x3—6x—9 = 0; x3—9x+3x—9=0; x(x—3)X X(*+3)+3(x— 3)=0; (x—3) (x2 + 3x + 3)=0. У трехчлена x2 + 3x+3 нет действительных корней. Поэтому х = 3. 222. Утах =
• й2 = а2 + Ь2 -J- с2 ^ ab + ас + Ьс ^ 3 \ja2b2c2 —
з уз "
= 3 л/V2. Равенство имеет место при а = Ь = с = — . 223. Бо-
Уз 2
ковое ребро образует с прямоугольной гранью угол в 30°. Поэтому Я=-~. 224. 512 см3.# Одно из диагональных сечений — прямоугольник с диагональю -д/Тб4 см, у другого стороны 10 см и 16 см,
одна диагональ д/164 см. Высота этого сечения — высота паралле-
8*16
лепипеда Н = 8 см; К=—^—8. 225. 4320 см3.# Высота параллелепипеда Н= 18 см, высоты основания 16 см и 12 см, стороны основания 20 см и 15 см; SOCH = 240 см2. 226. 16 -д/ТТ дм3.# АВ = 5 дм. По свойству диагоналей параллелограмма 62 — Я2 + 82 — Н2 =
= 2 (32 + 52); Н=4; ЛС=л/б5^45=2 У5; S0CH =
= 2-i--у/4• 9• 20 — (9+20 — 25)2 =4 VTT. 227. 96 см3.# Если a=x, b = 2x, с = 6 см, то 44х= 176; х = 4; 1/= 16-6. 228. Q-y[\7Q.m Так


как АС<.АВ\-\-В]С, то диагональ боковой грани больше диагонали основания: AC=^j2Q, АВ\ = 3 V2Q, #=д/18<?— Q =-^17Q. 229. Приблизительно 11,7 см.# Если объем полубашни со стенами V\, а объем внутренней части (т. е. без стен) У2, то V\\V2 = = S\ :S2 = l\ ’./2, где 1\ и /2 — апофемы основания призм; 1\'Л\ = = 1,0645; /}: /2 = V1,0645 « 1,032; Zj = 1,032/2. Толщина стен равна 3,65-0,032. 230. 1-Q.m S6=fa2^3, SA>(ec=-±-S6; SA/5C*=
=-i-S6-^S6 = -i-S6=-i-a2V3. Так как AC=a^J3, то C/C=-|-
(рис. 224, в). Л/С =гп^(аУЗ)2 +(2=ха' 231* 18720 см3' #Так
как 72 + 242= 152 + 202, то два угла вписанного четырехугольника — прямые, большая диагональ — диаметр окружности. (15х)2 +
+ (20х)2 = 502, х = 2; SoCH=Hi^+5^=936; Я=У522-482 =
= 20; К=936-20. 232. а = 60°.# -|-а2 УЗ-Я=-|-а-а-/; Н = 1~.
233. 6а3 д/2 (9 — 5 ~\13).Ф Если КЕ=х, то ВК=-^= (рис. 225). (а_^)2=х2+(1—х)2 + лг("1—х) ; Af2 + axV2 —а2 = 0;
*=-|-(Уб—У2); K=^-a3V3(V6-V2)3. 6a3 ^2(9-5 ф).
234. Средняя линия трапеции равна диагонали грани ку¬
ба. 235. ^.#В плоскости аАВС (основания призмы) постро-
им параллелограмм ВРМЕ и соединим точки Р и D (рис. 226). Так как АРВЕ<т°у то АВРМ > 120°; PM = BE = 2KE>MD; AMPD< APDM, т. е. AMPDС30°, Z.BPD тупой, BD>BP.
Рис. 225
Рис. 226


Таким образом, длина отрезка ME не больше высоты треуголь¬
ного тетраэдра в 3 раза меньше соответствующих ребер данного тетраэдра. 239. 1:3. 240. 15360 см3.# Основание — трапеция, вписанная в окружность радиуса 25 см, высота пирамиды
60,см;y=-L.i±±i?. 24-60. 241. У = 576, 5 = 576.• Плоскость от-
О ^
секает на осях координат отрезки длиной 12, 12, 24; V=—• 12Х Х12-24. Площади трех боковых граней 72, 144, 144, четвертой (по задаче 102, г) 216; Sn = 72+ 144-2 + 216.
242. 	-jy д/2 (а2 + 62 — с2) (a2 + c2 — b2) (62 + с2 — a2). • Этот тетраэдр вписан в прямоугольный параллелепипед, диагонали граней которого а, 6, с (см. задачу 239). Поэтому измерения параллеле-
243. 	96 см3.# Так как боковые ребра равны, то разности длин сторон основания равны разностям периметров боковых граней. Если стороны основания х — 2, х, х + 2, то (х — 2)2 + х2 = (х + 2)2; х = 8. Стороны основания 6 см, 8 см, 10 см. Высота пирамиды
// = У132-_52 = 12 (см); l/=i-.5lll2 (см3). 244. 8064 см3.# Бо-
ковые ребра 65 см, 65 см, 51 см, высота наименьшей боковой грани 63 см, высота основания 30 см. Высота пирамиды определяется как высота треугольника MDC (рис. 227): М0 = 50,4 см;
к=^32^30.50д (см3) 245 утах = 132 д/з см3.# Наибольший
объем имеет место в том случае, когда пирамида правильная.
ника АБС. По условию Н =Q; V =
J 2 ^ а 4 а
с1 V3 ^ а -л/З
V^-~:-\/3-д/3= 1 (см3). 238. 1:27.# Так как длины ребер вписан-
Q
246. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с
катетами по высота пирамиды а. 247. S0CH^-y-, т. е.
т г ^abc гг * т/ ^АВ'АС'АМ лт ^ АВ • ВС * MB
. Таким образом, , ^ ,
о о о
] !
121°
результат задачи 149. 249. -д- ® Объем пирамиды МАВС равен


/3
—. У пирамиды MADC высота та же, но площадь втрое меньше.
Поэтому V• 250. 340 см3.# Вершина пирамиды ортогонально проектируется в центр описанной около основания окруж-
Iт г'* |—| | т • ti 5 abc abc i / 15*16*17
ности, причем H=R. Поэтому V =—г-=-5— Тс==То_; —lo
и о 1A IZ*
АН^п2 о
251. 7Г7777? 57* 252. ^614 м . # Насыпь — это призма и две пи-
3(4 Н —а~)
рам иды, основания у этих тел — треугольник с основанием 13 м и высотой 7 м; высота призмы 6,5 м, а у каждой пирамиды
7-1,5=10,5 м (рис. 228). 253. а) ^утг # Общая часть — пира-
н
мида высотой —, основание пирамиды — данный квадрат
(рис. 229, а), б) (рис. 229,6). 254. 2:2:3:5. 255. а) Верно;
Рис. 227
Рис. 228
Рис. 229


б) 	Верно.# При доказательстве второго неравенства учесть, что
при положительных аь {а\ + Я2 + йз + ... + ап)(——1—-—|—1-—[-*•• +
\ а 1 а* аз
+ —) ^ п1. 256. V. 257. . • Плоскость MAC перпендикулярная / loo
г* rp d't i о т/ ^ ^ abc
на ВТ и делит В/ в отношении 1: 2. VBmac== з-”*~3=1s' я
Но объем параллелепипеда в 12 раз больше объема этой пирамиды. 258. V = • # Основание пирамиды— ДВМО, его пло¬
щадь а2 cos 18° cos 36°. Высота пирамиды — высота треугольника, у которого стороны М/С, -у-, a cos 54° (рис. 230) . Если угол между М/С и меньшей стороной названного треугольника ср, то
2
—\-а2 cos2 18° — a2 cos2 54° 2 100 ^ 2г
COS w = — 1+4 cos2 18° — 4 cos2 54° _
^ о a ,oo 4 cos 18°
2 — -a cos 18°
1 -j-2 (1 -j-cos 36°) — 2 (1 -f-cos 108°) __ 1+2 (cos 36° +cos 72°) _
4 cos 18° 4 cos 18°
д/У5+1 , VS— 1 \
- V. 4 + 4 / l+ys cos 36° , ■ 1 B
4 cos 18° 4 cos 18° cos 18° ’ Y 2 cos 18°
та пирамиды tf=-ysin ф. 259. V=^~-^^j-cos2 x sin x. Ho
cos2 x sin x имеет максимум при условии cos2x = -y-. Поэтому
sinx=4r. —\==-Щ= /3<0,41/3<-|-/3. 260. Рассмотрим
-д/3 3 3 л/З 9 УЗ 7
усеченную призму как состоящую из пирамид ССИ1В1 и САВВ\А\ (рис. 231). Объем первой равен SAAiBiCl, а второй АА^ВВ{- х CD
X“7-*^iBi. 261. Совместим трехгранные углы при вершине Л.
О
К,: К2=—•—= — = ^В'^~'А!тг (Рис- 232). 262. Vi :У2 =
12 S2 Я2 >4B,-/1Ci-MiOi лвглс,-лм,VF ’
= 3:5.# Используйте результат задачи 261 и постройте диаго-
Т Т V 1 I V 1 1 3 ЛГ I 7 5 Т 7
нальное сечение пирамиды. V\ =~^+ ууу=у V\ V2=-^-V.
263. К, ^0,42V] 1/2«0,581/.# : К2 = 91:125. 264. 25: 83.# Ана¬
логично решению задачи 261 (рис. 233). 265. (198 + 72^/2) см2, 297 см3. • Тело Ф состоит из 7 кубов с ребром 3 см и 8 половинок
таких кубов. Поэтому 1/=27-11 (см3). S=9-14-|—16 + 9д/2-8 (рис. 234). 267. V=^-= TL'EF'M0 . Но РТ• М0=МК-КТ;


Рис. 230
Рис. 232
Рис. 234
Рис. 231
Рис. 233
Рис. 235


V =2EF-Mjl('PT=±SAM/Sf-PT (рис. 235). 268. Верно.# Пусть
(рис. 236) одна диагональ ромба лежит на прямой y = kx, тогда
2 2
другая — на прямой у= —Если уравнение эллипса 1,
то две вершины ромба А ( — -- —, ———) и в(—--- --
v \-4Ш+ь2 -yf&ir+v J чуу+м2
—. Вычислив О А и ОВ, установим, что расстояние от О до АВ равно , т. е. постоянно (не зависит от k). 269. а) Если
д/а2-}-/?2
АВ и CD — сопряженные диаметры эллипса, центр которого О, строим две хорды, параллельные CD, через такие точки Е и F на АВ, что ОЕ:ОАж4:5 и OF:OB«7:10. Концы этих хорд и точка В — вершины пятиугольника, б) Либо вписать правильный шестиугольник, а затем удвоить число его сторон (как в планиметрии), либо вписать квадрат и построить прямые через середины каждых двух соседних сторон квадрата (планиметрия, задача 204).
270. Для изображения описанного восьмиугольника строим описанный квадрат ABCD и через точки пересечения его диагоналей с эллипсом строим прямые, соответственно параллельные АС и BD.
271. На развертке боковой поверхности цилиндра искомая линия окажется отрезком АВ, т. е. боковой стороной трапеции с основаниями АА \ и ВВ\. Поэтому строим радиус основания OCi через
середину хорды А\В\ и СС1ЦЛЛ1, причем СС\=-^-(АА\-\-ВВ\).
Аналогично строим точку D между А и С, точку Е между С и В и т. д. Полученные точки соединяем плавной линией (рис. 237).
272. 3 слоя.фВ одном из таких слоев имеется витков 727:17 = 42. Длина одного витка л-0,547^ 1,72 (м). В первом слое длина троса ^72,7 м. В каждом следующем слое диаметр витка увеличивается на 34 см, а длина использованного на слой троса — на 4,3 м. Следовательно, трос наматывается в три слоя. 273. Так как КВ = КС = BE = СЕ, то АВКС = А ВЕС = 2 А ВМС (рис. 238, а). Аналогично ААКВ — 2ААМВ, ААКС = 2 ААМС. Поэтому
ААМВ+ ААМС+АВМС=±-(ЛАКВ+ ААКС+АВКС) =
360 | о/~\о 0*7/1 2/? cos a sin 2а ^ * г-о ^
= -г—=180 . 274. , а>45 . • Сечение — четы-
2 cos За
рехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Поэтому 5 =="“7j~“ (рис. 238,6). Так как Z-MEF=а, то EF = = 2R ctg a, AMAJ=AAMO = 90° —а; ACJA =270°-За. По
AJ дг>
теореме синусов (из треугольника ACJ): -—————;
sin a sin (jdiи —оа)
А1=—Л^\ AC=2R cos (2а-90°)=2R sin 2а;
sin (270 —За) v 7


Рис. 236
Рис. 237
Рис. 238


лт 2R sin 2а sin а ~ ~ . / 2/? sin 2а sin а \ _
AJ = ; Sce4 = R ctg а ( ). При этом
— cos За \ cos За /
а >45°. 275. Пусть плоскость б пересекает поверхность цилиндра по некоторой замкнутой кривой. Вложим в цилиндр два шара, радиусы которых равны радиусу цилиндра. Шары касаются б в точках А и В, а поверхности цилиндра по окружностям (своим экваторам), плоскости которых перпендикулярны образующим. Образующая цилиндра, проходящая* через точку М сечения, касается вложенных шаров в точках С и D названных окружностей. По свойству касательных МА = МС, MB = MD, т. е. МА -\-MB = CD. Поскольку CD— общий перпендикуляр плоскостей экваторов, они параллельны и величина CD не зависит от выбора точки М: МА + MB — const, т. е. кривая — эллипс (рис. 238, в). 276. 256 или 400 см2. • Если две стороны прямоугольника совпадают с образующими цилиндра, то длины сторон 32 см и 8 см, S = 256 см2. В ином случае (рис. 239) АВ = х, AD = 4х; 322 + 262=*2 + (4*)2, х2 = 100; S = 4*2. 277. 1,5 см. • Спроектируем ДАВС на плоскость, перпен¬
дикулярную образующей цилиндра. Проекция /\АВС — равнобедренный A A CD с основанием АС = 6 см и высотой 4 см; AD = 5 см, r = 4-^~-g- (см). 278. . • Высота цилиндра равна
расстоянию между скрещивающимися ребрами тетраэдра, т. е.
. 279» Эллипс (в частном случае окружностью. • Доказательство — как в случае цилиндра: строят два шара касающиеся сечения и боковой поверхности конуса. Затем доказывают, что любая точка очертания сечения имеет постоянную сумму расстояний от точек, в которых названные шары касаются плоскости се-
Рис. 239
Рис. 240


Рис. 241
Рис, 242
чения. 280. 15°. • Если угол при вершине осевого сечения конуса тупой, то максимальную площадь имеет не осевое сечение, а проходящее через две взаимно перпендикулярные образующие. ~-=2»; sin оса =150°. Искомый угол (180° —
—150°):2. 281. 101 см2.# По задаче 280 .
282. -|-(2УЗ+Уб).« АО=-2=, AB=-j=(-y/2—l), Высо¬
ту конуса найдем из пропорции ВС:МО=АВ:АО. 283. а)
Построим сечение через вершину конуса О и прямую В\Е (рис. 240). Плоскость касается поверхности конуса по отрезку ОМ, пересекает основание куба по KE\\BD. Радиус основания конуса
равен ОхМ, т. е. ; б) ; в) ^л/2 ; г) дДо"; д) уУПГ;
е) а-у/2; ж) -^рДЗ'. 3) а; и) -Ц-; к) —\/5; л) а; м) -^-л/2. 284. 4:3:2.
• По свойству касательных к окружности стороны треугольника делятся на части р — а, р — Ь, р — с. Так как высоты всех боковых граней пирамиды равны, то S\ :S2iS3=(p — а):(р — b): :(р — с). 285. (3—д/б) а. • Стороны диагонального сечения куба а и а -л/2, диагональ а д/3. Образующая конуса образует с А\С угол в 30° (рис. 241). Поэтому а д/3 = г д/З + r д/2. 286. Сферу, концентричную данной, радиус которой в ~\J~-1- раз больше радиуса данной сферы. 287. Окружность, или точку на плоскости 6, или таких точек вообще нет. 288. /? — 21 см.# Радиус шара, проведенный в конец общей хорды, является диагональю прямоугольного
параллелепипеда с измерениями Л/rf — 82 см, Д/г2 —82 см, 8 см.


289. 100я см2, 225л см2. 290. 16 R2 sin а д/cos (а+30°)+cos (а—30°). • ОМ = /? sin а, а = =2R ^\s,n а , AtB = 2R cos а (рис. 242).
о <3
ВВ\ =-д/4/?2 cos2 а—РR2 sin^a=^--\/3 cos2 a —sin2 а=
V з уз
=^--\/3 cos2 а— 1 +cos2 а=^р-\/2 (cos 2а + cos 60°) =
■ уз Уз
=Vcos (а + 30°) cos (а-30°), S6oK=6aH=6-2R^sm аХ
УЗ 3
Х^-л/c^s (а+ 30°) cos (а —30°). 291. Да. 292. Верно. • Все грани
л/з
тетраэдра равны. Поэтому равны и окружности, описанные около граней. Следовательно, все грани равноудалены от центра описанной сферы, т. е. центры описанной и вписанной сфер совпадают.
293. -у--# Пусть К — центр сферы, касающейся ребер пирамиды MABCD, точки Е и F — точки касания, МО — высота пирамиды.
Обозначим КО = х, КЕ =~\/х2 + —-; МО = ОС —~-^г , МК = -^г—х,
V 4 V2 V2
MK=KF-^l2; ^-x=V2-yy+-f; Xl==0t *2 = _ал/2. Первое
решение — центр сферы совпадает с центром основания, второе не годится. Сфера касается продолжений боковых ребер. В этом
случае = 294*. Возьмем на каждой грани тетраэдра по точке.
Сфера, проходящая через эти точки, не меньше вписанной в тетраэдр (г 1 ^ г). Если эти точки — центроиды граней то они (см. решение задачи 238) — вершины тетраэдра, у которого ребра втрое меньше ребер данного. Поэтому сфера, проходящая через эти точки, атрое меньше сферы, описанной около данного тетраэдра.
п
Отсюда гт* е* R^3r. 295. а) Соединим центр вневписан-
ной сферы со всеми вершинами пирамиды. V= V0iABM-f- V0xacm~^
I i / т Г Si*/-! | S2 * Г\ | S3 • Г1 S4 - г, # ЗГ
-ГУо>всм—Уохавс— з i—3 • 3 з ’ +
1 j 1 1 1 I Si-f-S2-j-S3— S4 1 Si-{-S2~l~Si— S3 1
Таким образом, , , , , ,
Г\ r2 r3 r4 3V 31
I S1 -f- S3 -f- S4 — S2 j S2 4~ ~b S4 — Si 2 (Si -f- S2 -f- S3 -f- S}) 2Q
' 3V ‘ ЗГ 3V ~ Qf ~
= — . 296. Из подобия тетраэдров —= 1 —Ц- \ — =1— Ц-
r Г h\ Т П'2
Г 3 ,
г
1 _ • г4 _ 1 2 Г . Г1+.Г2 + Г3 + Г4_л ог{ 1 1 1 1 ! I 1 \
Лз ’ Г h4 ’ г V hi Г Л2 hi ^ hj'
В любом тетраэдре —|—, т. е. г|+г2 + г3 +
All Л 2 Л3 Г


+ г4=2г. 297. Rmtl6=R ctg2(45°—, R„ailM=R tg2(45°-f-) . • Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центр
о
шара перпендикулярно ребру двугранного угла.
sinT
/? + *; х=— tg2 f 45°—. Аналогич-
а _
Sin у 1+Siny
но y — R ctg2^45°—(jc, у — радиусы наименьшего, наибольшего шаров соответственно). 298. (Уб=Ь2).• Центры шаров
являются вершинами тетраэдра, каждое ребро которого 2R. Ра-
3// /? /6
диус описанной сферы равен —, т. е. —. Искомый радиус Zj&±R. 299. /?(V2±1). 300. Окружность. 301. х2 + у2 + г2 = R2,
где R= ■ . 302.4-см. Ф l/=^-^=72; S = 12 + 36+
y/aV + aV + bV ' 6 • . -г -г
+ 54 + 66=168; г=Ц-; r=-j- см. 303. г(2—л/3). 304. ф ОС=-^-, CM = b^j2, aADMoo аОСМ; AD:-^-=2b :b л[2\ DA=-^r. Тень — круг радиуса -р (рис. 243). 305. см.# АВ —
■д/2 * -у 2 ~уЗ
= 8V3. В£> = 4д/3; /СО=1; MD = l+7 = 8, МС2=112, АЮ = 4 д/3 (рис. 244). Радиус сферы, описанной около пирамиды, все боковые ребра которой равны по /, вычисляется по формуле -
Рис. 243
Рис. 244
Рис. 245


306. 3 л/2 см. О АВ = 4 ~\j2, BE = 2^j2, ЁК= 1, М£= 1+3=4, МВ = л!24, МО=2л!2, ^ = см- 307. * = -£-. «Зг — Зх=г+х.
308. а = 90°( 1—М . • tg а =—2L=ctgi82!==tgf90°-—).
\ я / s OD. 180° s n s\ п J
^ tl
309. Пусть (рис. 245) через точки А и В проведены дуги большого круга (АСВ) и малого круга (ADB). Вращением малого круга около ЛВ совместим его плоскость с плоскостью большого круга. При этом дуга этого круга окажется внутри окружности большого круга. Построим OD JlAB. По свойству пересекающихся хорд СО-ОС\=АО -OB = DO-OD\. Так как OC\>OD, то ОС < <OD\. Обе дуги имеют общие концы, обе выпуклы, поэтому дуга большей окружности находится внутри меньшей окружности, следовательно, имеет меньшую длину. 310. а = 45°.# Как в задаче 290, сумма плоских углов при вершине пирамиды 180°; а=180°:4. 311. Верно. • Используйте равенство длин касательных, проведенных из одной точки к сфере. 312. /?^2,516 см.# При решении уточняем, что основание пирамиды — прямоугольник, расстояния от вершины пирамиды до сторон основания 10 см и 17 см. Центры шаров являются вершинами ромба,' сторона которого 2R (рис. 246, а). По свойству биссектрисы угла треугольника (рис. 246, б)
AB = -^L=11. Поэтому AK=4R. Аналогичный отрезок для другой диагонали ромба равен 2R. Отсюда (15 — 4/?)2 + (6 — 2Rf = = (2Rf \ R=1-^^--, так как R<4, то R = 18~3 V? (См). 313. Rzz
^0,88 дм.# Аналогично задаче 312. 314.
V2=^f.m Если ОС = ху то CL = aIR2-x\ так как CL = LF


Рис. 247 Рис. 248
п2_ 2
(рис. 247), то —. Приняв АВ за ось абсцисс, а О за
R
Г П 2 д.2
начало координат, установим, что объем 1Л = л \ —-—dx =
J 2

= ^R2x-^-)\ _«~R3. V2=Vц Vi. 315. 75л см3. ФМА = = d=^m=4 -уДб; на развертке боковой поверхности конуса центральный угол сектора 90°. Поэтому 2л/? = л-^^-;
180
R=JL=^J15; l = d\ //=У(4УГ5)2 —15=15; V'=-jpl5-15 (рис.
248). 316. 4732л см3. • По условию боковые ребра пирамиды равны. Значит, разности периметров боковых граней равны разностям сторон основания. Обозначим длины сторон х, л: — 2, х—J6. Так как основание — прямоугольный треугольник, то х2 = = (х — 2)2 + (л'— 16)2; *1 = 10 (посторонний), х2 = 26. Поэтому / =
=(196 — 26):2 = 85; Я = 852— 132 = 84; V=-f-l32-84 (см3). 317.
я^668,7 (см3). 318. Ошибка 9% при 25°, 1% при 35° —40е, при 45° 7%. 319. Если ME — апофема пирамиды, то строим OK-LME.
ОЕ2
Из прямоугольного треугольника МОЕ: КЕ = ортоцентр И
грани АМВ лежит на ME. Из подобия треугольников АНЕ и МЕВ НЕ:ВЕ=АЕ:МЕ. Отсюда НЕ = КЕ, т. е. точки К и Н совпадают
(рис. 249). 320. -~-л а-уЗ. • Высота пирамиды МО=^^-, радиус
шара Если МТ — апофема и КЕ_LMT (рис. 250), то
АМКЕоо аМТО; МЕ:МО = МК:МТ. Так как МТ=^&, то М£= = ?-&. Искомая линия состоит из четырех равных дуг радиуса ME. Каждой из них соответствует центральный угол, вдвое боль-


Рис. 249
Рис. 250
б
ший угла АМВ, т. е. в 120°. Следовательно, / = 4 . 321.
39°4'. • Vm=-L Vu ; ^д/?2Я=-1-лг3; л£3 tg 2*=л8/?3 tg3 х;
-JUEJL=8tg3 х; tg2 х=у; 4у2-4у +1 =0; У=+ tgx=^;
tg2x = 2^/2; 2jc«70o28'; а = 180° — 2.70°28' = 39о4' (рис. 251). 322. 972л; 2304л; 4500л; 7776л (см3).# ^-лх3+^-л (х + 3)3 +
, +4-л (д; + 6)3=-|-л (JC + 9Y3; х3-54х-243 = 0; (х-9) (х2 + 9х+
+ 27)=0; х = 9 (второй множитель не имеет действительных корней) . 324. Радиусы шаров 2 см, 4 см, 6 см (при внешних касаниях), или 2 см, 4 см, 12 см, или 2 см, б см, 12 см. 326. 3 дм.# пН2( 6 —
|-)=А-.Ал.б3; Я3 — 18Я2 + 135 = 0; (Я — 3) (Я2 — 15Я — 45) = = 0. Корни квадратного трехчлена не годятся: один отрицательный, другой больше диаметра шара. Н = 3 (дм). 327. Щ- г/см3. 328.
203л см2.# Основание призмы — прямоугольный треугольник, длины его сторон можно обозначить х, х — 8, х — 9. Поэтому х2 = = (х — 8)2 + (х — 9)2; х2 —34х +145 = 0; Х}=5, х2 = 29. Так как по условию х>9, то х\ — посторонний; Н = 7, S6 = ji-29*7 (см2).
329. 512,5я см2.# Основание призмы вписано в окружность, одна из диагоналей основания — диаметр этой окружности, т. е. два угла основания прямые. Стороны основания можно обозначить х, х + 8, *+13, *+17. По условию х2 + (х + 17)2 = (x^f-8)2 + (x + 13)2;
* = 7; Я = 30:2-7 = 8; 2/?=л/72 + 242=25; S = 2n-y-(“ + 8) .
330. S=-|-na2 (3 —2 V2), V=-^-ла3 (5 д/б — 7 л/3).ф Рассмотрим


диагональное сечение куба (рис. 252). Если KF=x, то AE = FC\ = = *V2, EF = 2x; 2х л[2+ 2х = а д/З; х=-^-(л/б-^3)\ 5 = 6л~Х
X(V6-V3)2=-|-na2(3-2V2); K = n-a2(^~^)2-a(V6-д/З).
f^-2*
331 ^ ло2(5-ЗУ2) ф 27? _ 2 . а л/2 . 5 =
2 ' о аУ2 ’ 2(V2 + 2)’
— 2я а^~'> ( а(У2~1) +-^) . 332. S = 2a2(|^+1 —д/3) ,
K = a3(l—л/3 + -|-) •• Основание рассматриваемого тела состо-
ит из квадрата, сторона которого равна стороне правильного 12- угольника, вписанного в окружность радиуса а, и четырех сегментов, которым соответствуют центральные углы по 30°.
50С„=4(2|--£) +(2a sin 15°)2=а2(-2-+1 -Уз) . K=a3( JL+
+ 1—д/3). 333. 1425л см2.# Основание пирамиды — четырехугольник/вписанный в окружность, одна из его диагоналей — диаметр окружности. Поэтому два угла основания прямые. Стороны основания можно обозначить х, х+16, х + 26, х + 34. Так
какх2 + (х + 34)2 = (х+16)2 + (л: + 26)2,тох=14; 2/? = У142 + 482 = = 50; /? = 25; / = (78—14):2 = 32. 334. а«96°23'.# Если плоский
угол при вершине пирамиды 2х, то a = 2/sinx, /?=2/ х;
уз
с 2л/2 sin л: R I sin jc с л/2 sin л: cos х 2л/2 sin л: Q ч.
S,= ; Т; S! vs ; Ф Х
XЛ1 sm*co&x ; Cosx=-^-, cos2x=—i-; a = 2x. 335. 32я см2.#
л/З з 9
Рис. 251
8 Заказ 741
Рис. 252
Рис. 253


Расстояние от центра сферы до каждой грани 3 см. Следовательно, высота каждого сегмента 4 — 3=1 (см); S=4rc-42—4-2л-4-1 (см2). 336. а«73°44' или а»47°40'. • S6 ц = 2л/?-#=2л/?2 tg2х;
Sw = 4nH2 tg2 х; 2л/?2 tg 2x=fnR2 tg2 х; *8 8 tg3 x-
— 8tgx + 3 = 0; 8 tg3 x — 6 tg x — 2 tg x-f3=0; (2tgx—1)X
X(4 tg2 x + 2 tg x — 3)=0; tg x, tg x2=^- -; tg x3<0. Поэтому tg 2xi =-|-, 2xi »53°8', tg 2x2 «2,27, 2x2«66°10', а — 180° —
— 4x. 337. 4 [g^4 л- 338. -Ц- и • Плоскости разделили сферу на
6 двухугольных и 4 треугольные части. Если их площади х и у, то
6х + 4y = Q, Зх+у=-|-; х=^-, у=-|-. 339. 138л см2.# На гранях куба появились круги площадей л (62 — 52) = 11л; S = 4jt>62 —
-6-2л.6-1+6.11л=138л (см2). 340. —i/з) Она со¬
стоит из сегмента и усеченного конуса (рис. 253). АЛЕО равносторонний. Поэтому Z.EOC = 30°, £С=-|-, ОС=-^-л13; CF =
=-f-(2-V3), ScerM = 2nR-f(2-^j3) = nR2 (2—>/3); 5б ус к =
= лЯ(/? + -|-)=-|-л/?2; Q = n/?2(-?—7з) • 341. 2298л см2.#
/? = 25 см, высоты сегментов 1 см и 10 см, радиусы оснований
7 см и 20 см; <Э = 4л-252 — 2-2л (1 + 10) + 2л (72 + 202) (см2).
342. -£л/?2.# Радиус шара образующая конуса, лежащего
о 2
3 R л/3
внутри сферы, равна у-/?, высота сегмента —j—, радиус конуса,
находящегося внутри сферы, -j-Я; Q = ^*y-*^ + 2л-^^-^^.
343. . 344. . 345. 4л см2, 16л см2.# Плоскость
л/3+l 27 V7+1 30
делит сферу на два сегмента, высоты которых относятся как 1:4.
Так же относятся и площади частей сферы. 346. 1:9.# /'i=^y^X Xtg 30°=-|-; Н = tg 60°=-у-. У отсеченной части пирамиды У = а_^ ^ площадь основания , сумма площадей основания и боковых граней -|~а2д/3. Поэтому радиус вписанной сферы
О О
^2*^1== 1:3, Qi:Q2 == 1:9.


1. 	— ттг-в Сократите дробь на cos2 л: (это возможно, так как
п
cos хф9). 2. Числитель и знаменатель привести к виду
однородных многочленов четвертой степени, затем сократить дробь
4--у 2 у I 1
на cos4 х, получится г—,—Л—. Однако можно вычислить
J 3 tg * + 7 tg х + 2
cos х и sin х. По условию cos2 х =—!—=0,9; sin2 х= 1 — 0,9 = 0,1.
1+-
9
os2*) _ (tg* — 2) (t|
3 ’ ^ cos3 x—3 sin3 x 1— 3 tg3 x
g 17— • (sin x— 2 cos x) (sin2 x-\- cos2 x) (tg x — 2) (tg2 x-\- 1)
^ 47 ф (sin x+cos xf-\-2 (sin x—cos x) (sin2 x + cos2 x)
239 ' (sin x — cos xf — 7 (sin x + cos x) (sin2 x + cos2 x)
_ (tg *+1)3 + 2 (tg x— I) (tg2 *-)-!) . 3>008
; при tgx = 0,6 получим
(tg*— 1) —7(tg x+ 1)(tg x + 1) ’ "Г" т*»”* -15,296-
5. a) 2b = a(3 — a2)\ 6) 2b = 1 + 2a2 — a4. • sin4 x + cos4 x =
= 1—2 sin2 x cos2 x. Ho 1 +2 sin x cos x = a2; sin x cos x=a ~1 ; 6==1 _&_•)!. 6. a) a2 + b2 = c2- 6) a2 = b2. 7. \b\=2af^f .• tg x-ctg x=(sin X~**.XW* *+™Л . Ho 2 sin x cos x=l —a2;
® & Sin X COS X
(sin x + cos x)2 = (sin x — cos x)2 + 4 sin x cos x; | sin x + cos x| =
=д/а2 + 2 (1 —a2). 8. Ь2 = а2-\-2а.ф a=——X- ; sin x cos x = —;
v 4 7 sin x cos x a
Ь2 = —Л 1 ~2—I — =ctg2 x + tg2 x + 2 + 2a = (tg x +
sin" x cos2 x cos x sin x b b
+ ctgx)2 + 2a. 9. 2b = (a2 + 1) д/2 — a2. • 6 = (sin x + cos x) (1 —
— sin x cos x) = (sin x + cos x)^ 1 —1 ^ ; (sin x + cos x)2 = (sin x—
— cos x)2 + 4 sin x cos x; |sin x + cos x| =д/а2 + 2 (1 — а2)=д/2 —a2.
^ ^ 2 + 4a2 —2a4 ф ^ sin4 x + cos4 x 1 —2 sin2 x cos2 x ^
(1—a2)2 ’ sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x
-2. 11. ал/аЬ = Ь — 2a.
a-
(1 —a2)2 v ~ ~ sin x cos x
-2L=sin2 x cos2 x; sin x cos x=~ a
i sin4 x + cos4 x . a ;_2 „ ... „ I a
" . Я Я У 1
1 — 2sin2xcos2x
a =
1-2-
sin X COS X
sin X cos X
^-=( 1 -f-) д/^ - 12. a=(6-1) V^+26.
a
1 sin3 x+cos3 x
sinx cos x=—; a = - —


(sin jc-j-cos jc) (1 —sin jc cos jc) V1 + 2 sin jc cos jc (1 — sin x cos x)
sin2 jc cos2 x sin2 jc cos2 jc
= b2-^J 1 +-^-( 1 —• 13. b = a2— 1 + \a\ -\/2—a2. • a2 = 1 +
+ sin2jc; sin2x = a2 — 1; |cos 2x\ =^jl—(a2 — l)2=-\/2a2 — a4 =
= |a| л]2 — a2. 14. b=(2a2 — 1)^/2 — a2. • sin 3x=3 sin jc cos2 jc— — sin3 x; cos 3x = cos3 x — 3 cos x sin2 jc; 6=3 sin x cos2 jc —sin3 x-\- +cos3 x—3 cos x sin2 x=(cos jc—sin jc) (1 +4 sin jc cos jc); sin x cos jc=
^2 j
; lcos x — sinx \ =д/(cos лг + sin x)2 —4 sin jc cos jc = =Va2-2(a2-l)=V2^. 15. —^ 4 cosa 1
1-j-sin a l+cosa 2
(sin a+cos a—l)+3 sm a cos a ^ ^ ,
=-— —Г77-Г г >0; так как a — острый угол, sin a +
2 (1-f-sin a) (1-f cos a) r J '
I ^ 1. _6 / sin a 1 cos a \ 6—(sin a-fcos a)—8 sin a cos a
’ 7 \l+sina 1+cosa/ 7 (1+sin a) (1+cos a)
>0, так как sin a + cos a<2, а 8 sin a cos a = 4 sin 2a<4.
16.
sin2 a 1 cos2 a 2_ 3 sin4 a-{-3 cos4 a — 1 —2 sin2 a cos2 a
1-f-cos2 a 1-J-sin2 a 3 3 (1 -fcos2 a) (1 -f-sin2 a)
2 (cos2 a —sin2 a)2 1 / sin2 a ■ cos2 a \
3 (1+cos2 a) (1+sin2 a) ^ ’ \l+cos2a l+sin2a/
3 sin2 a cos2 a _>() 17 sin4 a , cos4 a
(1-|-cos2 a) (1-j-sin2 a) * ’ 1-f-sin4 a l+cos4a' 5
_ 3 sin4 a-|-3 cos4 a — 2-j-8 sin4 a cos4 a 1 +8 sin4 a cos4 a —6 sin2 a cos2 a
5 (1 -f sin4 a)(l -j-cos4 a) 5 (1 -|-sin4 a) (1 -|-cos4 a)
_ (1 — 4sin2-acos2a)(l —2sin2acos2a) (sin2 a —cos2 a)2 (sin4 a-}-cos4 a)
5 (1-j-sin4 a) (1-f-cos4 a) 5 (1 -|-sin4 a) (1 -|-cos4 a) ’
1 / sin4 a , cos4 a \ 1—sin4 a —cos4 a —3 sin4 a cos4 a
(sin4 a 1 cos4 a \ l+sin4a l+cos4a /
2 V l+sin4a l+cos4a / 2 (1 +sin4 a) (1 -f-cos4 a)
Л . о о ^ . 4 4 sin2 a cos2 a( 1—sin2 a cos2 a)
2 sin a cos a —3 sin* a cos a \ 2 )_
2 (1 +sin4 a) (1 +cos4 a) (1 -f-sin4 a) (1 +cos4 a)
так как -|-sin2 a cos2 a=-f-sin2 2a^-^-< 1. 18. sm a
>0,
2 8 8 I + cos a
. cos4 a 2_ 5 sin8 a-|-5 cos8 a~t~3 sin4 a-|-3 cos4 a — 2 sin4 a cos4 a — 2
l+sin4a 5 5 (1 -f-sin4 a) (1 -J-cos4 a)
5 (sin4 a—cos4 a)2-f-3 (sin2 a—cos2 a)2 — 2(1 —3 sin2 a cos2 a — 4 sin4 a cos4 a)
5 (1 +sin4 a) (1 -|-cos4 a)
8 (sin2 a —cos2 a)2 —2 (1 -j-sin2 a cos2 a) (1 —4 sin2 a cos2 a)
5(1 -f-sin4 a) (1 -f-cos4 a)
2 (sin2 a —cos2 a)2 (3 —sin2 a cos2 «) 1 / sin4 a , cos4 a \
5 (1-j-sin4 a) (1-|-cos4 a) ’ \ l-|-cos4a l-|-sin4a /
1 —sin4 a cos4 a — sin8 a — cos8 a 1 —(sin4 a-f-cos4 a)2-f-sin4 a cos4 a
(1 -f-sin4 a) (1 -f- cos4 a)
(1 -f-sin4 a) (1 +cos4 a)


4 sin2 a cos2 a (sin4 a+cos4 а)+5 sin4 a cos4 а sin3 а ,
, 4 , , 4 . IУ. з +
(1 -|-sin4 а) (1 + cos4 a) ’ * 1+sin3 a 1+cos3 a
1_ 2 sin3 a + 2 cos3 a + 5 sin3 a cos3 a — 1
3 3 (1+sin3 a) (1+cos3 a)
(sin a + cos a) (2 —sin 2a)+ 5 sin3 a cos3 a—1 ^ л ,
= о/i. ' • з wi,—TaK KaK sina-f
3(1+ sin a) (1 + cos a) 1
+ cosa>l, 2 — 2 sin a cos а 1; -f—( ”—h ?°S ” =
5 \ 1 +sin a 1 +cos a /
3 — 2 (sin3 a + cos3 a) —7 sin3 a cos3 a ^ л • 3 « з
= 'o/t , • з ч/i , >0» TaK KaK sin*3 а + cos* a< 1,
3 (1 +sin a) (1 +cos a) i \ >
a 7 sin3 a cos3 a = -^-sin3 1. 20. a3—|-
21
sin
8 8 1+cos a 1+sin а 2
sin3 a + cos3 а+ 2 sin6 a + 2 cos6 a — 1 — sin3 a cos3 a
2(1+ sin3 a) (1 + cos3 a)
sin3 a + cos3 a+ 1 — 6 sin2 a cos2 a —sin3 a cos3 a
2(1+ sin3 a) (1 + cos3 a)
3 1
sin3 a + cos3 a + 1 —— sin2 2a —— sin32a
= , ,3 , —- >0, так как sin3 a + cos3
2(1 +sm a)(l +cos a) '
~_V2 3 • 2 о i 1 • з о 5 , / sin3 a cos3 a \
-s-sini{2o+-rsmi,2o<l-r; 1— (——5—h ; -3- )=
^ ^ о o \ 1+cos a 1+sin a/
1 — sin6 a —cos6 a + sin3 a cos3 a 3 sin2 a cos2 a + 3 sin3 a cos3 a
(1+sin3 a) (1+cos3 a) (1+sin3 a) (1+cos3 a)
-—I—— >2Л[~ =2^/^—>2 72. 22. б) Это не-
п a cos a V sin a cos a V sin 2a v
равенство равносильно следующему: lg 2-sin x + lg 3-cos x<
<2 1g2. Ho a sin x-\-b cos x^,-yjd2-\-b2. Поэтому lg 2-sin jc + + lg 3-cos *<7lg2 2 + lg2 3<70,3012+0,48^ <76^4<0,6<21g2
в) 	Аналогично доказательству неравенства 22, б. 23. Если 0<a< <лг<45°, то tg(x-a)+tg(x + a)=^T^f^—^>
>2S'co7TX=2tg Х- ПоэтомУ tg l° + tg44°>2tgf°, tg 2° + + tg43°>2tgf-°, ..., tg22° + tg23°>2tgf-°, tgl° + tg2° + + tg3° + ... + tg44°>44tg^-°=44(72-l). 24. 2 cos -|-=
=7l —sin a—71 +sin a. 25. 2 sin -|-= —7* —sin a+7l+sin “■ 26. Уравнение линии y = 3. • 7sin4 x+4 cos2 x+7cos4 x+4 sin2 x= =7(1 —coss лг)2+4 cos2 jc+7(1 —sin2 jc)2 + 4 sin2 x=(\ +cos2 x) + +(1 +sin2 x)=3. 27. Уравнение линии y= 1. #7sin4 x+cos 2x +


+Vcos4 x—cos 2x=-\/sin4 x+1 —2 sin2 x+-\/cos4 x—(2 cos2 x— 1)= =V(sin2 x— l)2+V(cos2 x—1)2=(1 —sin2 x)+(l —cos2 x)= I.
28. Уравнение линии у = 4-\/2. •-\/9— cos 2x+8 sin x +
-\--\j9 — cos 2x—8 sin x=^/9^(\ —2 sin2 x)+8 sin x+ +V9-(l-2 sin2 x) — 8 sin х=д/2 (4 + 4 sin x + sin2 x)+
+У2 (4—4 sin x + sin2 х)=д/2 (2 + sin х)+д/2 (2 — sin x)=4 д/2.
29. Уравнение линии y=3. • -\/2+sin4 x—cos 2x+-\/2+cos4x+cos2x= =-\/2 + sin4 x—(1 —2 sin2 x)+V2+cos4 x+2 cos2 x— 1 =
=У(1 +sin2 х)2+У(1 +cos2 x)2= 1 +sin2 x+1 +cos2 x=3. 30. Уравнение линии y=4. • /4 sin4 x — 2 cos 2x+3 +
+-\/4 cos4 x + 2 cos 2х + 3=д/4 sin4 x 2 (1 —2 sin2 x) + 3 + +V4cos4x + 2(2 cos2x— l) + 3=-\/(2 sin2x+ l)2+-\/(2cos2x +1)2= =(2 sin2 x+ l)+(2 cos2 x+ 1)=4. 31.
_ 3 — 4 cos 20°+ 2 cos2 20°— 1 _ 2(1 — 2 cos 20°+cos2 20) / I—cos 20° \2_
3 + 4 cos 20°+ 2 cos2 20°—1 2(1 +2cos20° +cos220) \ l+cos20° /
= tg4 10°. Более сложный подход: 4(1— cos 20 )—(l — cos 40) __
& 4 (1 +cos 20 ) — (1 +cos 40 )
_ 8 sin2 10° — 2 sin2 20° _ 8 sin2 10° — 8 sm2 10° cos2 10°
8 cos2 10° —2 sin2 20° 8 cos2 10° —8 sin2 10° cos2 10°
8sin210°(1 —cos210°) sin2 10°-sin2 10° to-4 10° 4° ttr21°° I
8cos210° (1 —sin210°) cos2 10°. cos2 10° g g
+ctg2 12° 6=(tg 12° — ctg 12°)2 — 4=( 2s^f )2 — 4 =
4 - (cos2 24° - sin2 24°) = 4co2s48,° ; tg2 12°+ctg2 12°+2 =
sin2 24° 4 ' sin 24°
2 4 . tg2 !2°+ctg2 12° — 6 _
=(tgl2"+clgl2Y=(1^)'
sin 24° ’ tg2 12°+ctg2 12° + 2
V
35.
= cos 48°. 33. д/2 — 7з=л/ 4~2л^- =^ii= зЕр/2 — 2 cos ;
V 2 ^2 ^
2+2 cos ^-=2 cos lj-и т. д. 34. Аналогично решению задачи 33. Так как sin За = 4 sin а s*n(~3^~a) ’ т0 s*n Т"=
sin —
= 4 sinsin Д? sin-1т- и sin sin sin л —
21 7 21 21 7 21 2л
4 sin —
я 7
sln —
7 1_ j _л nn 2л - 4л - 6л , 8л
о 71
8 cos —
-g-tg-y-. 36. cos^Y+cos^Y + cos^Y+cos^y+


. ^ Юл 1 ( • Зл л , . 5л Зл , • 7л
+cos 7Г=-—;r(sln тг-sln тг+5,п тг-sin тг+5,п тг-
IT
5л , • 9л 7л . • 11л 9л \ 1 / л \
-sin -+s.n --sm -+sin --sin -) =—^{ -sin Tf) =
2s,nTT
= —1~. 37. tg2 a + 1 = 2 (tg2 P+ 1); —1—= Л » > cos2 P = 2 cos2 a;
2 & 1 cos2 a cos2 p r
cos2 p — 1 = 2 cos2 a — 1; — sin2 p = cos 2a; cos 2a + sin2 p = 0.
38. По условию cos a=— p sina = ——q . Поэтому
ip2+q2 -yjp2+q2
p-cos2a + <?-sin 2a=p——\-q——=p. 39. a(tga —
• a — P a —p
I о \ / . Q \ asm b Sln a““
-tg^)-»(tg2±£-tgp)=0; Ipj -^ЙГ=0:
cos a • cos—cos p cos -
a b ^0; a-cos p —fc-cos a = 0. 40. По условию cos x=-b
cos a cos p a
COS */=-£-, т. e. cos *+cos j/^a+6. Поэтому ctg £±a.ctgi^=
^ 6 cosy—cos X a—b J b 2 2
__ COS X-}- COS j/ __ a + 6 щ sin4 X . (1— sin2 x)2^ 1 . s|n4 ^
cos«/—cos jc a — b a b a-\-b ’ ' '
— 2a (a + 6) sin2 x+a2=0; sin2x=^-; cos2A:=-f-;
v y a+6 a+& a3 63
a4 * fr4 q + fr 1
— / ,*.ч4з i / i n4t3 -/ , . 44—/ , . 43 • 42. По условию sin x = at, (a + &)4a3 1 (a+ 6) b {a + by (a + bf J
sin 2x = bt, sin 3x = ct, sin 4x = dt\ a~^c — ?*:+c*=2 cos x; b^d—
9 b sin 2л: с
= bt±dt_= s.n 2x+sin_4x___2 cos * = £±£ . 43. По условию sin 0 =
с/ sin 3* 2
. 0 . c jc —2w + z sin a —2 sin 3a + sin 5a
= ax, sin 3a = au, sin 5a = az; ——= ——1 =
v у sin 3a
= 2 cos 2a — 2; = sin 3« - 3 sin « = 2 sin_« cos 2“ _ 2 = 2 cos 2a -
x sin a sin a
— 2= х~2У+г . 44. По теореме Виета tga + tgP= — p,
tga-tgp = <?. Поэтому tg (a + P)=-j=^-=-^-j-; sin2(a + P) + +p sin (a -h 0) cos (a + P)+<7 cos2 (a + P) = cos2 (a + p) (tg2 (a + p)+
+ ptg (a + P)+<7)- 1+1?ТаТр)(7^ТГ+^+<?) “ . , J7“X
1+(^Tf
vp2+p2(«?-!)+?(<?-D2„p2+p2<?-p2+<?(<?-l)2 _ 15 E fi_r
X (—jjS- (q-lf + p* -q■ 4&- ЬСЛИ a~P-X>


-го „ оо. sin(g + p) sin(p + y) _ sin (cc + Р) — sin (P + y)
to a-t-т zp, sin((X_p) sin(P-v) sin*
= 2cos2p. 46. sin2 p = sin a cos a; cos 2f$ = 1 — 2 sin2 f$=(sin a —
— cos a)2 =(sin a — sin —a)) =^2sin^a—^-) cos-^-) =
=(V2cos(f-.))!-2cos>(t+»). 47. -
. to.„ l+УГ^Й. .j-o,. 2tgx 2(1+VT^ .
JC2 ’ JC2 ’ * l+tg2f/ JC2
^—Ы )=*2- 48. arctg x-\-arctg у = arctg •
arctg z — л— (arctg x + arctg y); z= —tg (arctg jc-(-arctg y) =
= 7Zr^ + z = 0‘> x+y + z = xyz. 49. x+y + z = xyz.
Доказательство аналогично доказательству в задаче 48. 50. а, —л — (P + y); cos а= — cos (P + y); — cosv „ =
' ' Mil / C0S а sln у C0S а Sln p
. л . 4-(sin 28 —sin 2v) . /л ч /л , ч
Sin P cos ft — sin у cos у 2 sin (ft — y) COS (P + y)
sin p sin y cos a sin p sin y cos a sin p sin y cos а
— sm (v—P)——ctg p — ctg Y- 51. Y = ft — (а + p); sin Y = sin (a-f~P);
x+y . 1 — xy '
sin p sin y
sin a + sin p + sin y = sin a + sin p + sin (a + p) = 2 sin ^i^-cos^:£-+ + 2 sin -^±P-cos -±±Ё-=2 sin -^±£-(cos -£=£-+cos g+p ) =
= 2sin(-| -2 cos-|-cos-|-=4 cos-|-cos-2-cos52. Ана¬
логично решению задачи 51. 53. cos a + cos p + cos у—1 =
= 2 cos itfi- cos ^=^-2 sin2 + = 2 cos cos 2 cos2
z z z z z z
= 2 cos a + p(cos cos j =2 sin -2-2 sin
= 4 sin -y- sin sin -2-. 54. cos 2a + cos 2p + cos 2y+1 =
= 2 cos (a + p) cos (a —p) + 2 cos2 y= —2 cos y cos (a —P) +
+ 2 cos2 y=2 cos y (cos y—cos (a — P))= —2 cos y (cos (a + P) +
+ cos (a — P)) = — 2 cos y • 2 cos a cos p = — 4 cos a cos p cos Y- 55. sin22a+sin22p+2sin22у-2 = -'--™*2+1=™Ч+
Sltl 2 =
— 2= ——(1 +cos 4a+cos 4p + cos 4y) = —(cos2 2a + cos (2p +
+ 2y) cos (2p — 2y))= —cos 2a (соь 2a-f-cos (2p — 2y)) = — cos 2aX X 2 Cos (a p — y) cos (a — P + y) = — 2 cos 2a cos (я — 2y) cos (я —
— 2p)= —2 cos 2a cos 2p cos 2y; sin2 2a + sin2 2p + sin2 2y +


+ 2 cos 2a cos 2p cos 2V = 2. 56. (sinp+sin v-sin «)(sinT+sin«-sinP)=
4 sin a sin p
9 . . чо ±(1 -cos 2y-1 +cos 2a- 1+cos 26)+2 sin a sin 6
sin y —(sin a —sin Pf 2 '
4 sin a sin p 4 sin a sin p
-i- (— 1 — cos 2y + cos 2a + cos 2p) + 2 sin a sin p 4 sin a sin p
—cos2 y—cos у cos (a —p)+2 sin a sin P — cos у (cos 7+cos (a— p))+2sinasinp
4 sin a sin p 4 sin a sin p
2 sin a sin p (1 — cos у) 1 — cos у sjn2 _y_ gy cos a . cos p ■
4 sin a sin p 2 2 sin p sin у sin a sin у
■ cos у sin 2a + sin 2p + sin 2y sin 2a + sin 2p — sin (2a + 2p)
sin a sin p 2 sin a sin p sin у 2 sin a sin P sin у
2 sin (a + P) cos (a — p) — 2 sin (a + P) cos (a + P)
2 sin a sin p sin у
2. 	58.
2 sin a sin p sin у sin a sin p sin у ’ a-\-b
_ . А —В A+B
'■) sin с OS
^ 2R sin A—2R sin В = sin A— sin В 2 2 =
2R sin A + 2R sin В sin Л+ sin В . A-\-B A—В
2sln—2~ cosT~
tg —
- 2 . 59. -^-(a2—ab-\-b2)^^-^S. 60. Проведя высоты,
J\ -p t> Z 2
учесть, 4Toa = b-cos C+c-cos B. 61. Использовать результаты задачи 60 и формулу cos2X= ‘+cos2* . 62. cos Л cos Д+cos Л cos С+
JL CLu CLC
I cos В cos С cos A cos В sin С + cos A cos С sin В . cos В cos С sin A
be ~ 2 S ' 2S “
cos A (cos В sin С+cos С sin £)+cos В cos С sin A
_ 25 _
cos A sin (£ + C) + cos В cos С sin A sin A ( — cos (£ + C) + cos В cos C)
“ 2S ~~ 2 S
sin A sin В sin С sin2 A
a sin В sin С
. 63. a sin (B — C)+6 sin (С—Л) +
sin A
+ c sin (A — B) = 2R (sin A sin В cos С — sin A sin С cos В +
-j- sin В sin С cos A — sin В sin A cos С + sin С sin A cos В —
— sin С sin В cos Л) = 0. 64. Аналогично решению задачи 63. 65. Так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, то (а — Ь) (а — Р) + (6 — с) (0 — у)+(с — а) (у — а)>0; (2а — р — у) а + (2р — а — у) b + (2у — а — Р) с ^ 0; (За — я) а +
+ (3р —я) b +(3у — я) 0; Заа + З^р + Зсу^я (a + fr-f-с);


^• По неравенству треугольника (а-\-Ь — с)у-{- (ci -f- с — b) р -|- (b -|- с — а) сс 0; и (я — 2ос) -|- Ъ (я — 2|3) -|- с (я — _2Y)>0; аа+ьр+сУ<п 66> sin Л + sin B + sin C + sin D =
a-\-b-\-c 2
= sin A + sin B + sin C — sin (Л + В + С)=2 sin A~^B cos A~^—~
0 . A + B A + B + 2C о • А + В/ A —В A+B+2C\
— 2 sin cos —■ -2~—— 2 sin —I cos — cos ^ ^—J =
= 4 sin A^B sin A^C sin • 67. Аналогично решению задачи 66. 68. Аналогично решению задачи 66. 69. Аналогично решению задачи 66. 70. а + р + у = лп, n^Z.% tg а + tg P + tg у —
— tg а tg р tg v = 0. tg а + tg p + tg y (1 — tg p tg y) = 0;
tg^+tg P-L-tg y = 0- te(a + p) + tgv = 0- sin (?.+P±ll-=0;
1 —tg a tg p “ ’ lSl“TWTigy u, cos(a + p)cosv ’
sin (a + p + v)=0. 71. ±a±P±Y = n (4«—1), n£Z.#cosa + + cos p + cos у = 1 + 4 sin sin sin -j-; 1 — 2 sin2 -|"+ 1 —
— 2 sin2 -|-+ 1 —2 sin2 — 1 —4 sin -|-sin -|-sin ^-=0; sin2 -|-+ + sin2 -£-+ sin2 -2— 1 + 2 sin -f- sin - sin -y=0; ( sin -|-+sin -|-X X sin -|-)2 — 1 + sin2 -|-+ sin2 — sin2 -|- sin2 -|-=0; (sin -|-+
+ sin sin 2 — (1 — sin2 -|-) (1 — sin2 = 0; ( sin -|-+ sin^-X
X sin 2 — cos2 cos2 -|-=0; ( sin -|-+ sin sin — cos -|-X
X cos -|-) ( sin -|-+ sin -|- sin -^-+ cos cos =0; ( sin
— cos (sin -|-+cos =0. Отсюда ±-|-±-|-±-|-=
= 2лn—2-=-|-(4tt— 1). 72. a + p + Y = Jtn, rt£Z.# sin a + sin p + + sin y — 4 sin g^ sin 06sin -&i2-=0; 2 sin g^ cos g~^ + + sin y — 4 sin sin g^~T sin =0; 2 sin (cos —
— 2 sin g^~v sin ) +sin y = 0; 2 sin ^-(cos cos ^y^+
+ cos )+sinY = 0; 2 sin g^ cos а+Р+2,У—|-sinY=0;
sin (a + p + Y)—sin Y + sin y=0; sin (a + P+Y) = 0. 73. ±a±P± +Y=n (2я+1), n£Z. • sin2 a + sin2 p + sin2 y—2—2 cosacospx Xcos y=0; 1 —cos2 a+1 —cos2 p+ 1 —cos2 y — 2 — 2 cosacospx


Xcos у)2 —sin2 p sin2 7 = 0; (cos a+cos p cos 7 —sin p sin 7)X X(cos a + cos p cos 7 +sin p sin 7)=0; (cos a + cos (p+7))(cos a+ + cos (P — 7)) = 0. 74.7zha + P = ji (2n+ 1) или 7=b(a — Р) = л (2/г + +1). • sin2 a + sin2 p—sin2 7—2 sin a sin p cos 7=0; (sin a—sin PX X cos 7)2 + sin2 p (1 — cos2 7) — sin2 7 = 0; (sin a — sin p cos 7)2 —
— sin2 7 cos2 P = 0; (sin a — sin p cos 7 + sin 7 cos p) (sin a — sin p X Xcos 7 —sin 7 cos P) = 0; (sin a —sin (p — 7)) (sin a —sin (p + 7))=0.
75. а + р + 7 = 2яя.ф Умножив обе части на tg y-tg -|-tg получим задачу, аналогичную 70. 76. а + р + 7 = я (2я+1). • tg f tg -f+ tg f tg f + tg j- tg -*-= 1; tg f (tg tg f) =
tgA+tgX '
= 1 _te JLteX.. teJL ? 2—_ ,. t a_t P+X=1. JL+
Lg 2 Lg 2 ’ g 2 , , p . v ’ ё 2 g 2 ’ 2 ^
+£±JL=^-+nn. 77. Верно.• Если lgy=a, lg-^-=P, lg-f-=Y, то a + p + 7 = 0 и можно использовать результат задачи 70.
г г г tg2i?_2tg'24
78. 15-8 УЗ-6 д/6+10 У2.#
tg 1-2 tg
^ 24 ^ ё 24
Й-+1 v+tg£/
/ V
\1+“т‘*£/
\2 . l-cos^
* 2 5л 12 4 n
— tg 24— ~ 5jT V6-V2 ' P"
1+cosT2 1+1-4^-
HO.« tg2 -g-=(V2— 1)2 = 3 —2 -\/2; ctg2 ~(л/2+ l)2 = 3 + 2 л/2; tg2 -g-+ ctg2 -£-=6, tg2 ctg2 -£-= 1 • По теореме, обратной теореме Виета, tg2-^- и ctg2 корни уравнения х2 — 6х+1=0.
о о
80- tgY = .-tgagtgp ■ • ctg ^ + ctg y = -^g^yy ; tgxtg y = = dl?=tgatgp; tg (* + «/) = Уу • 81- a2 + fe2 = 2 + 2c-
• a2 + fc2 = 2 + 2 (sin x sin */+‘cos л: cos y) = 2 + 2 cos (x — y). 82. Используйте соотношение tg a = ctg a —2 ctg 2a, которое легко уста¬
новить. 83. Так как sin A sin В ^ sin2 Л^В , то sin A sin В sin С^ s^sin3 ^ + ^ + с ___sjn3 0qo_2 84# jaK как sjn (180° + ос) =


= —sin а, а углы последовательно увеличиваются на 18°, то значения членов последовательности по модулю меняются с периодом 10. Поэтому достаточно рассмотреть произведение первых десяти членов: sin 3°-sin 21°-sin 39°-sin 57°-sin 75°-sin 93°X
Xsin 111°.sin 129°-sin 147°-sin 165° = 4 sin 3°'sin T.'Sin 0'Г- X
4 sm 63°
v 4 sin 21°.sin 39°-sin 81° 4 sin 27°-sin 147°-sin 93° 2 sin 75°-sin 165° v.
X 4 sin 81° 4 sin 27° ‘ 2 Л
vy. 4 sin 9°-sin 11 l°-sin 129° sin 9° sin 63° sin 30° sin 81° у
X 4 sin 9° 4 sin 63° ' 4 sin 81° ' 2 * 4 sin 27° A
^ sin 27° _ 1
4 sin 9° 1024
Замечание. В приведенных преобразованиях, кроме ^известных, использовались формулы
sin За = 4 sin a-sin (60° —a)-sin (60° +а),
cos За = 4 cos а • cos (60° — а) • cos (60° + а).
of- \ 1 а 1ло оло л о о по о sin 24° sin 48° w
3) 	—i6-# cos 12°• cos 24°.cos 48 -cos 96
sin 96° sin 192° —sin 12° . 1 fifi П • *8*2° i
X 2 sin 48° ' 2 sm 96° — 16 sin 12° ’ ’ 8 ' * cos 24°
■ tg 24° i tg 48° . tg 96° _ sin 12° , sin 24° ,
cos 48° cos 96° cos 192° cos 12° cos 24° cos 24° cos 48°
_i_ sin48° -L sin9tr =(te 24° — tg 120,)4-(tg 48° —
+ cos 48° cos96° ' cos 96° cos 192° ' ё g ё
— tg24°)+(tg 96°—tg48°)+(tg 192°—tg 96°)=tg 192°-tg 12°=0. Q*7 v 1 ^ 9л 13л 15л 16л / 8л \ w
87. a) cos—-cos—-cos—-cos—=^—cos—jX
x( —cos ( —cos ( —cos -jy) . Преобразования, аналогичные преобразованиям задачи 85; б) cos 6°-cos 42°X
Xcos 66°-cos 78° = ,cos *f.0 • ,cos ■ . Использована (как в зада- 4 cos 54 4 cos 18 j
че 84) формула cos За = 4 cos a cos (60° — a) cos (60° +а). 88.-^.
• cos 12° • cos 24° • cos 36° • cos 48° • cos 60° • cos 72° • cos 84° =
sin 24° sin 48° sin 72° sin 96° 1 sin 144° sm-168°
2 sin 12° 2 sm 24° 2 sin 36° 2 sm 48° 2 2 sin 72° 2 sm 84° 128
X
^ sm 96°-sm 144 -sm 168— gg l ф Аналогично решению зада-
sin 12°-sin 36°-sm 84° 32
чи 87, 6. 90. . • Использовать формулу для sin За так:
1 -\/3 4 sin 6° sin 54° sin 66° 4 sin 12° sin 48° sin 72° 4 sin 18° sin 42° sin 78° w
X ~2 2 4 4 *4
x 4 sin 24° sin 36° sin 84° =jfi sjn j go . sin ggo . sjn 540 . sin 730 = jj|_X


x_sin36^_ _sin72^____^_> cos 36°-cos 108° =^_(cos 36° + sin 18°) =
z z z z z
=it(-LT^+^=lL) 91* Так как tg 3a = tg a-tg (60°-a)X Xtg (60° +a), to tg 20° tg 30° tg 40° ctg 10° = tg 30° (tg 20° X Xtg (60°-20°) tg (60° + 20°))=tg 30° tg (20° *3)=tg 30° tg 60°.
92. . • Аналогично решению задачи 91. 93. 4. • tg 9° — tg 27° —
О
ig 63° -I- tp1 81 ° sin 90° sin 90° 2 2
g ё “cos 9° cos 81° cos 27° cos 63° “ sin 18° sin 54° ~
= 2 (sin.^-sin4 sin 18° cos 36° 94> a) 3 # sin2 10o + sin2 50o +
sin' 18° sin 54° sin 18° cos 36° 7 2
+ sin2 70°=^-(l— cos 20° +1— cos 100° +1—cos 140°)=-|-(3 —
- cos 20° - 2 cos 20° cos 120°)=-±- (3 — cos 20° + cos 20°); 6) -f-. • sin2 20° + sin2 40°-f-sin2 80°=-|-(l —cos 40° +1 —cos 80° +1 —
- cos 160°)=-±- (3 - cos 40° - 2 cos 40° cos 120°)=•\ (3 — cos 40°+
з
+ cos40°)=—. Можно было использовать результат задачи 94, а: sin2 20° + sin2 40° + sin2 80° = cos2 70° + cos2 50° + cos2 10°= = 3 —(sin2 10o + sin2 50° + sin2 70°)=3—95.
2 2 о
cos4 10° + cos4 50°+cos4 70° =( ■ 1+c°s20° )2 +( i+rosloo° ^2
+( 1+^140° ^2_(cos 20° + cos 100° + cos 140°) +
-j-(cos2 20° +cos2 100°+cos2 140°))=-J-(3+2 (cos 20° + 2cos20°X Xcos 120°)+-±-(l+cos400 + l+cos2000 + l+cos280°))=-^(3+ + 2 (cos 20° —cos 20°)-|—|-(3 + cos 40° + 2 cos 240° cos 40°)) = =-j-(3+2*0+-|-(3 + cos 40° — cos 40°))=-^-(зН—|-) . 96. a) 9.#
ta2 io° + tg2 50° + tg2 70° = 1~c-?s2Q---i-—l—cos 140° = ^ -rlg ou -+-ig /и 14-cos 20° ^ l-hcos 100° ^ l+cosl40°
3-| (cos 80° -f 2 cos 120° + cos 160° cos 40° + cos 240°)—3 cos 20° cos 40° cos 80°
8 cos2 10° cos2 50° cos2 70°
4_!Y -±\ -3 -L
_ А -8_ +4-8 VJL. б) зз.#Аналогич.
i.c-30- 1-f 8 8


но решению задачи 96, а; в) 59. • tg4 10° + tg4 50° + tg4 70° =
==(tg2 10° + tg2 50°+tg2 70°)2 — 2 (tg2 10° tg2 50° + tg2 10°tg270°+
4-to-2 ^0° ttr2 70^ = 81 %( 1~cos2Q° 1—cos 100° , 1—cos 20° ^
+ g OU g U ) ^ 1+cos2o° 1+cos 100° + 1+cos 20° X
1—cos 140° | 1—cos 100° 1—cos 140° \_
X 1+cos 140° 1+cos 100° * 1+cos 140° / _
3 —(cos 20°+cos 100° +cos 140°) ■
_ 8 cos2 10° cos2 50° cos2 70° '
■ — (cos 20° cos 100° + cos 20° cos 140°+cos 100° cos 140°)+3 cos 20° cos 100° cos 140°
8 cos2 10° cos2 50° cos2 70°
3 —0+—+ 3- —
=81 . 97-a) 36-#^+^+i^-=
— cos2 30°
= l+ctg2 10° + l+ctg2 50°+l+ctg2 70°; 6) 12.• CJ,0~ -+
+ cos2 50° + 1 + tg2 10° +1 + tg2 50° +1 + tg2 70°.
98. a) ■ # Если x=18°, to sin 2;c=cos 3jc; 2 sin jc cos jc =
= cos3 x — 3 cos x sin2 x\ 2 sin x = cos2 x — 3 sin2 x\ 4sin2x + 2sinx— -1=0; sin x>0; 6) J^±i- • cos 36°= 1 -2 sin2 18° = 1 -
в) 	^-I.»tg22«30'=-v/-bgg- ;
r) V2+l.« tg 67°30' = ~ Д) 2-V3. • tg 15° =
= tg (60° — 45°) = =2—V3; e) 2+V3.« tg75°=-^=
Л . 2л 1 / Л Зл\
sin—-sin— —(cos—— cos—)
1 \ /F а а л i 2л 5 5 2 \ 5 5/
; ж) V5.# tg—-tg - - -
/ л Зл\
(cosy+cos^j
о _/q ,/v & 5 b 5 л 2л 1
Z v° COS—-cos— —
5 5 2
л л л/5 + 1 л/Е— 1
cos-з—sm — —- 1 —
_ = у. ■■, г-—- . 99. a) 0. • Пусть векторы длиной
л . л л/5+1 V5-1
cos— + Sin— -2— —j—
5 10 4 4
по 1 имеют началом начало координат и образуют с лучом ОХ углы 7°, 43°, 79°, ... (углы между последовательными векторами по 36°). Концы векторов — вершины правильного многоугольника. Поэтому (см. планиметрическую задачу 151) сумма векторов — 0. Следовательно, сумма их проекций на ось ординат равна нулю, б) 0. 100. 45. •
tg а + tg (60°-fa) + tg (120° + a) = 3 tg 3a. Поэтому tg l° + tg 5°+ . + tg 9° + tg 13° + ... + tg 177° =3 (tg 3° + tg 15° + tg 27° + ...+
+ tg 171°) = 9 (tg 9° + tg 45° + tg 81° + tg 117° + tg 153°) =
= 9 (tg 9°+ 1 + tg 81° —tg 27° —tg 63°)=9 (1 +4). В конце исполь¬


зован результат задачи 93. 101. —8010. • lg(2'*tg l°) + lg(22X Xtg 2°)+lg (23• tg 3°)+... + lg (289• tg 89°) = lg 2 (1 +2 + 3 + ...+ + 89)+ lg (tg 1 ° • tg 2° • tg 3° •... • tg 89°) — 4005 lg 2 + lg 1 = 40051 g2
x = 40051g2:lg^ = 40051g2:(—i-lg2) . 102. L^-(,~
2sin^+T
2mn - _ 2mn _ 4mn , , 2nmn (2n-\-2)mn \
— COS + COS -— — COS -—+... + COS ——COS —— ) =
/i+l' /г+l /1 + Г /1 + 1 /2 + 1 /
1
(1— cos2/mi)=0. 103. Ц ( 1—cos-^L_+
v 7 2гал \ 2/1 + 1
о . mn . .
2sln—ГТ 2 sm -
/2+1 2/1+1
, 4тл 8шл , 8mn 12шл , . _ 4/пл(/1—1)
+ COS -——— COS -——+ COS -——— COS ———+ ... + COS —r-y-j——
1 2/z+l 2/1+1 1 2/1+1 2/1+1 1 1 2/1+1
— w) = Л-, ( 1 -“S -=?r) - , . '^wn X
2 sin -—— 2 sin -——
2/1+1 2/i+l
X2sin2 =-i-tg 2/”” . 104. Умножить и разделить выраже-
Zh I 1 Z Zh I 1
о • mn 1 / t 2тл , , 6mn . .
ние на 2 sin -—— . 105. — 1—cos———hi—cos———bl —
2/1 + 1 2 \ /i+l /i + l
\0mn | j j 2(2/1 + 1)тл\ /г+l sin 4тл /г +1
C0S /1+1 “I" * - "Г" 1 cos n+i /2 _ 2mn “ 2 *
2 sin ——
/г+1
106. -•-in—a--4-2— . ♦ S = sin a + 2 sin2 a + 3 sin3 a+ 4 sin4 a + ...;
(1— sin af
S sin a = sin2 a + 2 sin3 a + 3 sin4 a + ...; S (1 — sin a) = sin a +
+ sin2 a + sin3 a + sin4 a + ...=-r^~. 107. . »
1— sin a (1— sin af
S = sin a + 3 sin2 a + 5 sin3 a + 7 sin4 a + ...; S sin a = sin2 a +
+ 3 sin3 a + 5 sin4 a + ...; S (1 —sin a) = sin a + 2 sin2 a + 2 sin3a +
+ 2 Sin4 « + ... = sin a+ 2^=s.n^ a + sin2 a ш cosa_ #
1 — sin a 1 — sin a 4 a
4 cos —
5 = cos a —2 cos2 a + 3 cos3 a —4 cos4 a + ...; S cos a = cos2 a —
— 2 cos3 a + 3 cos4 a — ...; S (cos a+ l)=cos a —cos2 a + cos3 a —
—cos4 a + ...= cosa ; S= „ rosa 42 . 109. _£°L? (»+«”«) «
1+cosa (1+cosa) sin4 a
S=cos a+3 cos3 a + 5 cos5 a + 7 cos7 a + ...; S cos2 a=cos3 a +
+ 3 cos5 a + 5 cos7 a + ...; S (1 —cos2 a)=cos a + 2 cos3 a +
, o 5 i o 7 i i 2 cos3 a cos a + cos3 a
+ 2 cos0 a + 2 cos a + ... = cos aH : § = ;— •
1—cos a 1-cos a
110.2" 2 sin -фг, j-sin2a.#TaK как sin x-sin2-^-=sin xX
X-—^s-x- = -i-sin x—^-sin 2x, to S=-^-sin a—^-sin 2a +
+2(-Hn f-”Tsin a)+4(-rsin f ~Tsin f) +


+4isi"f-Tsi"t)+-+2'+3(Tsi"#r-Tsi"#) =
=-y-sin a—^-sin 2a +2 •-|-sin —2--i-sin a+4*-j-sin -j—4X
xTsinf+8-Tsinf-8-Tsinf+-+2',_l-Tsin#'--
a
1 sm “o"
2"-' •-j-sin ~ф=г ■ HI. tga-tg|r.#S = ^ +
cos a-cos -
a a
sm — sm —
1—+ §—
a a a a
cos — cos — cos — cos —
2 4 4 8
+(tg-f-tgT) + "+(tS ¥=- tg -£-) • П 2. ctg 1 ° - ctg 1048576°.•
sin 2a sin a sin 2a
= ctga —ctg 2a. Поэтому x = (ctg 1° —ctg 2°) +
+ (ctg 2° - ctg 4°) + (ctg 4° - ctg 8°) +... + (ctg 524288° - -ctg 1048576°). *= !—-H -!—-+
° 7 sin 2a cos 1001a cos a cos 2a cos2acos3a
I 1 |_ _i 1 1 / sin a j_
cos 3a cos 4a cos 1000a cos 1001a sin a \ cos a cos 2a
I sin a | sin a , , sin a \ 1 чу
cos 2a cos 3a cos 3a cos 4a *’* cos 1000a cos 1001a / sin a
X((tg 2a—tg a)+(tg 3a —tg 2a) + ...+(tg 1001a—tg 1000a))= (tg 1001a — tg a)=- sin . 114. arctg—
sin a v & о / sin a cos 1001a cos a 0 n-\-2
arc*g x+n (1+1) = arc^g (я+ 1) —arctg п. Поэтому S = (arctg 2 —
— arctg 1) +(arctg 3 —arctg 2)+(arctg 4 —arctg 3) + ...+
+ (arctg (n + 1) — arctg n) = arctg (л + 1) —arctg 1. 115. n —
— arctg ^2-Ф При k^\ arctg k + arctg Поэтому
s=(f-arctgi)+(f“arctgT)+(f-arct4)+-+ +(-2—arctg n2+‘n + , ) . 116. arctg^.# Так как arctg ^ = = arctg^b агс^^ГП“> TO S =( arctg 1-arctg -i-) +
+( arctg -i— arctg -i-) +( arctg -j— arctg y-) +... +( arctg
2 ^
-arctgyrTr) = arctg1_arctg2^M • U7- ?-• # Умш>
C0ST9


Jl 1
жить и разделить выражение на 2 cos —. 118. ——. •
Умножит^ и разделить выражение на 2sin-^-.
• П$ < I / 14 Э ч
sin —cos (а + (л — 1)-^)
119.  . • Умножить и разделить выражение
sinT
на 2 sin 120. 500 sin 2a-sin 1000а cos 1002a # умножить и
2 2 sm a
разделить на 2. S=-^-(cos a — cos 3a + cos a — cos 5a + cos a —
— cos 7a + ...+cos a — cos 200la) = 500 cos a — —r—((sin 4a —
' 4 sin a 44
— sin 2a) + (sin 6a —sin 4a) + (sin 8a —sin 6a) + ...+(sin 2002a —
• плАл w rnn sin 1000a cos 1002a л 01 sin2/га A
— sin 2000a)) = 500 cos a — . 121. —: .• Ум-
n 2 sm a sm a
501a • осп cos —— sm 250a
ножить и разделить выражение на 2 sin a. 122. .
C0ST
• Умножить и разделить выражение на 2cos-|-. 123. —
— sin па cos (я+1)а . ® = _L (i _ cos 2a + 1 — cos 4a + 1 — cos 6а +
2 sin а 2 4
+ ...+ 1 —cos 2па)=-^——т—(sin За —sin a + sin 5а —sin За +
. 7 2 4 sin а 4
+ sin 7а —sin 5a + ... + sin (2я+ 1) a —sin (2/2 — 1) a) = -5—
• 1001a • СПП
, sin —-— sm 500a
— (sin (2/z+l) a — sin a). 124. . # Умно-
4 sin a 4 a
cosy
жить и разделить выражение на 2cos-^-. 125.
+ sin 999a cos 1000a # S = ^-(1 + COS 2a + 1 + COS 4a + 1 +
z sin a z
+ cos 6a ■+ ... +• 1 ~f~ cos 1998a) = —-—|—-—: (sin 3a — sin a +■
7 2 4 sin a v
+ sin 5a —sin 3a + sin 7a —sin 5a + ... + sin 1999a —sin 1997a) =
. n a . n-1-1
QQQ 1 4 Sin—sin——a
=-^r—I (sin 1999a —sin a). 126. -A -
2 4 sin a v 7 4 .a
sin —
2
3na . 3n-\-3 sin ~2 sin—-—a
^Так как sin3 a=—(3 sin a — sin 3a), то
999
За 4
4sin_r


3 1
S= —(sin a + sin 2a + sin За + ... + sin я a)—j"(sin За + sin 6a +
+ sin 9ct + ... + sin 3na). 127. ^in 6"a—\- 3 sin2”a . 128. Преобра-
' 8 sin 3a 8 sin a r r
зуя условие, получим 4/? (sin 25 —sin 2Л) = 0, A = B, a = b. Другая возможность: 2Л + 2B= 180°, А + В = 90°, С = 90°. 129. sin 1 —
-sin2 т)=sin т(1 - sin2 т); (sin Т“ sin т) (1+sin тх
Xsin-|-)=0; 1+sin y-sinsin -^-=sin A = B; a = b.
130. 2a + 3a + 4a=180°; a = 20°; ^_)2—1=.
=( ■„„ WSS--)8-1 ~~cos^20° 1 -tga20°-tg^ a. 131. Ec-'
л • 2 С /ii n /( 2 4 -)- В л Л -}- В Л — В
ли 4 sin —= cos Л + cos В, то 4 cos —^—=2 cos —^— cos——;
О Л+В Л — В о Л + В . Л+В А—В . Л+В
2 cos 2 = cos —-— ; 2 cos —^— sin —=cos —-— sin —^— ;
sin (Л+ S)=y-(sin Л + sin В); sin C=-|-(sin Л+ sin В); 2c = a + 6. 132. Так кака-sin B = 6-sin Л = ЛС, то высота hc и медиана тс совпадают. Поэтому а = Ь. 133. а) х = 30° (1 + 4&)> где fe£Z. • sin 9х= — 1, cos6x= —1; Х\ = — 10° + 40°/i, x2 = 30o + 60°n,
дг = 30о+120°й; 6) x=^-+2nk, где k£Z. • (sin x)-s,n*=(sin x)~2,
sinx=H=0, sinx=l. 134. x\ = 15° + 60°/г, Х2=45о+90°п, т. e. x= 180°n— 45°, где n£Z.% 4t/2 + 4y + 3=(2y + l)+2^2; sin 6x —
— cos 4x^2; y= —sin 6x= 1, cos 4x= — 1. 135. X\ = 15о+30°/г>(
x2= 180°ra±36°, x3 = 180°/г±72°, где n£Z. • 2 sin2 x + 2 sin2 2x + + 2 sin2 3x + 2 sin2 4x + 2 sin2 5x = 5; cos 2x + cos 4x + cos 6x+ -j-cos 8x + cos 10x = 0; 2 cos 6x cos 4x + 2 cos 6x cos 2x + cos 6x =
= 0; cos 6x (2 cos 4x+2 cos 2x +1)=0; cos 6x (4 cos2 2x +
+ 2 cos 2x— 1) = 0; cos 6x = 0; cos 2x = ~ - 136. X| = — 15° +
+ 90°и, JC2 —30° +180оп, где n£Z. • 8sinx = ——|——;
1 1 cos x sm x
8 sin2 x cos x=^/3 sin x + cos x; 4 sin 2x sin х=л/3 sin x + cos x;
2 (cos x — cos 3x) = -\/3 sin x+cos x; cos x — cos 3x=^sin x +
+-|-cosx; cos 3x—(-^—cos x—-Tpsin x) =0; cos 3x—cos (60°+x)= =0; 2 sin (2x+30°) sin (x — 30°)=0. 137. jc=-5-(1+2n), n£Z.
Ф ysin2 x+^/cos2 х=л/4; 1 +3 д/4 sin2 x cos2 x=4; ^^п^2х==1;


sin 2x= ±1; 2х=-^+ян. 138. jc=arctg +4k~Jb.+nk<
k£Z, k~^2, k^i —3. • я tg x+я ctg х=-^-+я&; 2 tg x+2 ctg x = —1+2&; так как |tg x + ctg x\ ^2, то кфО, кФ— 1, кф—2;
2 tg2 x — (1 +2&) tg x + 2 = 0; tgx = l+2fe±V4fe2+4fe-15_ ,39 JaK
как a: 6: с = sin Л: sin В: sin С, то данное неравенство равносильно такому: ——^——+ ——^——Н—-—Щ:——^ 3. Все числители
и знаменатели положительны. Например, л[Ь-\-^[с — д/а>0, так как л!Ь-{-л[с>л1Ь-\-с>л[а. Если л[Ь-\--^с—л[а = х, л[а-\-^[с — ——л[с = z, то числители соответственно
Х+Z х+у y + z . X + Z , *-f j/ =\ (( X , \ I / * I z \ |
2 ’ 2 ’ 2x ^ 2y ' 2z 2 \\y Г W'
+(f+f)) ■так как каждая пара слагаемых в скобках не
меньше 2, левая часть неравенства не меньше -^-*2-3 = 3.
140. 22°48', 67°12'.# Пусть (рис. 254) С — начало координат, СА и СВ — оси координат, катеты ВС = а, АС = Ь. Координаты
точек О (г; г), м(-1-; -|-) .Тогда r2=(^—r)2+(l—ГУ> г2~
_^(a + 6)r+^!±^L=0; г= а+ь-^Гь Так как г=£+|=£ ^ тр
а-^—■= a+&:^V2afc Поскольку ги то а + 6 =
Z о Z Z
= 3с — 2 -\j2ab\ sin х + cos х = 3 — 2 VsIrT2x; l+sin2x = 9 —
— 12 -\/sin 2x + 4 sin 2x; ^sin 2x=y\ 3y2—12y + 8 = 0; j/~6~g ^ ! sin 2x=-|-(2—V3)«0,71456; 2x«45°36'; a«22°48', p«67°12'.
141. 48° 12', 48° 12', 83°36'.# ZB^C = 2x, CD = a, AAMD = 2x
Рис. 254
Рис. 255


Рис. 256
Рис. 257
(рис. 255). 2a tg х=а ctg 2х; 2 tg х =1 2 ; tg х=^; tg 2х=%
2х«48°12'. 142. 53°8', 53°8', 73°44' или 50°30', 50°30', 79°30'.#
f а *8 = 10 ^ *+3 ^ -10 *+
+ 3 = 0; 10 tg3x —5 tg2 х + 8 tg2 х— 4 tg х — 6 tg * + 3 = 0;
(2 tg x — 1) (5 tg2 x + 4 tg x — 3) = 0; tgx,=+ tg x2 = ~2^^, tg x3<0. xi«26°34', x2«25015'. 143. 10°.« Z.BAM=40°,
Z.BCM=20°, Z.MBC=x, Z.MBA = 40° — x (рис. 256). j^="
sin (40° —jc) . MC sin x . MA sin (40°— x) sin 20° . sin 50°
sin 40° ’ MB sin 20° ’ MC sin x sin 40° ’ sin 30°
= sin 40° ctg jc—-cos 4°° 4 cos 20o cos 40° = sin 40° ctg x—cos 40°;
2 cos 20° &
, 4 cos 20° cos 40° + cos 40° 2 (cos 20° + cos 60°) +cos 40°
sin 40° sin 40° ““
_ 2 cos 20° +1+cos 40° 2 cos2 10°+ 2 cos 10° cos 30°
sin 40° 2 sin 20° cos 20°
2 cos 10° (cos 10°+cos 30°) 2 cos 20° cos 10° , |q0 *»л gQo *
2*2 sin 10° cos 10° cos 20° 2 sin 10° cos 20° ® ’
60°, 60°. • Если угол при основании 2х, то 4 sin 2x + tg 2х = 9 tg х\ 4' Т+\Уу + Г—|р~7~9 tg tg2 Х=У' 9у2—6</+l=0;
£/=4-; tg2x=+ tg X=-^-; x = 30°. 145. 53°8'( 53°8', 73°44' или
уз
50°21', 50°21', 79° 18'.• AD=AC-sinx; Р=ЛС + —; -£sinx =
cos x 3
= 1 -I — ; 10 sin x cos x = 3 (1 +cos x)\ 100 sin2 x cos2 x = 9 (1 4-
COS X \ • / \
+cos xf\ 100 cos2 x (1 —cos2 лс)=9 (1 +cos xf; 100 cos2 x (1 —cos x)—


=9 (1 -f-cos x); 100 cos3 x— 100 cos2 jc + 9 cos JC-f-9 = 0; 100 cos3x—
— 60 cos2 x — 40 cos2 x + 24 cos x—15 cos x+9 = 0; (5 cos x — 3)X
X(20 cos2 x — 8 cos x — 3)=0; cos x\ =0,6, cos x2 — ^^^-w 0,63589,
cosx3<0; xi«53°8', X2«50°21' (рис. 257). 146. Опишем около треугольника ABM окружность, прямая СМ пересекает ее в точке D (рис. 258). /LBDM= /.ВАМ = (р— Z-ACM; BD\\AC. Если DE±AC и ВК±АС, то DE = BK, EA = DE-ctg В\ ЕС = ЕА + + АК+КС-, AK = BK-ctg A, KC = BK-ctg С; ЕС = Н ctg <р =
— Н ctg В -f~ Н ctg A -f- Н ctg С; ctg <jp = ctg A + ctg B + ctg С.
147 МА AB-s\n ф c-sin ф . ЛС-sin ф 6«sin ф
sin (180° -А) ~ sin Л ’ m/i— sin (180°-Л) — sin Л
/ оcf\\ лл м2 с2 sin2 ф , b2 sin2 ф 2bc-s\n2 w / л 0 \
(рис. ^259). MN* .=-s^+-i-?-JL- --п-л-Р-со5 (Л -2у) = =-^.2-(с2-(-ft2 — 2bc-cos (А — 2ф))= ^?"2^ (а2 + 2bc-cos А — 26сХ
X cos (А — 2ф))=(а2 — 2be (cos (А — 2<р) — cos А))=(а2 —
— 46с- sin (А — ф) sin ф). По задаче 146 ctg ф — ctg А = ctg В +
-(-ctg С=-£-=-£-г= а . Но ctg ф — ctg А = sln (А—<р) =
' 6 ha 2S be sin A & Y & sm q> sm A
_ sin (А — Ц)} __ a2 sin(y4_ ) = £l|njL; MN2= sin> (a2- sin ф sin Л be sin Л 4 T/ sin Л
<p ) -4 sin’ <p)=4R! sin2 <p(1 -
— 4 sin2 ф). 148. 00\=R — r\\ 002 — R — r2\ 0\02 = r\ + r2; OM=a, Z_OiMO=a (рис. 260). По теореме косинусов cos a=
a2+r?—(/?—ri)2_
2ar\
a2 + 2Rrx-R2 . a2 + rl-(R-r2f _ a2 + 2/?r2-A>2 .
— 2ar, ’ 2ar2 . 2ar2
Д2+а£~/г~+ a2 + ^:^ =Q; «2(П+^) + 4Лг,Г2-^2(г1 +
Рис. 258
Рис. 259


Рис. 261
Рис. 260
+ г2) = 0; 4tfr,r2 = (/?2 —а2) (г, +г2); —+—=P?R 2 = const. Следо-
ГI Г 2 К и
вательно, и для другой пары окружностей сумма обратных ве-
4 R 1 | 1 1 I 1 * л а 3 г) 2 а
личин радиусов равна ^2, т. е. -—\-—=-—г— - 149. —R . •
Если точка М — центр A ABC, то МА = МВ = МС = R = -jr;
V3
Z-AMD = a, ZBM/7=ZDM/C=60° + a, ACMF = 60°-а (рис. 261). Л£2 + ВЯ + С£2 = /?2 sin2 а + /?2 sin2 (60° + а) +
+ /?2 sin2 (60° — а)=-у (1 —cos 2а + 1 —cos (120° + 2а)+1 —
— cos (120° —2а)) =-у-(3 —cos 2а —2 cos 2а cos 120°)=-^-(3 —
— cos 2а-j-cos 2а)=-^-/?2. 150. По теореме синусов ;
sin 62 MC sin v2 МА n ~s\ny—=~mFj sln a =MC ‘ Перемножив эти равенства, получим
искомое соотношение. 151. Пусть лучи А А1, ВВ\, CCi образуют со сторонами углов А, В, С углы ai и a2, Pi и Р2, Yi и 72, причем
J?ln — 1 > но луч СС\ не проходит через точку D пере-
Sin OL2 Sin р2 Sin 72
сечения лучей АА\ и ВВ\. Построим луч CD, он образует со сторонами угла С углы ф! и ф2. По задаче 150 имеем
sin a, sin sin (pt j т 0 sin 7, _ sin gpi Отсюда sin 71—sin 72 sin a2 sin p2 sin ф2 ’ sin 72 sin ф2 * sin 71 + sin 72
tgli-T-l2. tggLTJi ™ ™ oiri «-Во о ^ V1+V2 _ Ф1+Ф2 _ С
sin ф!-fsin ф2 , 71+72 , Ф1+Ф2
g 2 g 2
Поэтому острые углы и ф1~— равны. Отсюда ф1 = 71, т. е. луч


СС\ проходит через D. 152. Верно. По рисунку 262 обозначим: МО = а, zi ОМВ = zl OMD = а, АМОА = ср. По теореме синусов
=Ж+Ж- 154' Пусть (рис- 264) ^р=а’ ^-АКВ = ф, я,я2=
= Я|/С+/(Я2. По свойству ортоцентра H\K=AB-ctg ф, КН2 =
= CD*ctg Ф; ЖЖ=Жк+№=|-Ж+|-Ж=^-(м+Щ +
+-^-(/(Л + /<7))=-^-(й/4 + CD). Угол между Я|/С и CD равен 90° — а, а угол между /СЯ2 и В А равен 90° +а. Скалярное произведение Н\Н2-М\М2=^-(Н\К-\- КН2) (ВА + С/))=-^-(Я|/СХ
ХВЛ + Я^-СО+Ж-ВЛ+^Я2-СО)=-^-(Я^-СО+№х
XB/4)==-|-(^B’Ctg ф- CD -cos (90° — а) + CD* ctg ф’ЛВ-cos (90° +
23
+ а))=0, т. е. Н\Н2А-М\М2. 155. — см.# Из условия следует,
sin ——= 2cos а т. е. не зависит от ф. Следовательно,
п с in гп п 1
a sin ф а
Л?С~*’Л?0 имеет такУю же величину. 153. Верно. • Пусть (рис. 263)
АВ=а\ Z.ADM=AACK=a;
1 . 1 1 j i ми а,-|-си
А В AM a a-tga a sin а
1 | 1 1 | 1 sin а + cos а
д/2 sin (а+ 45°) ^ ш
a sin а
. Из треугольника
а -л/2 sin а
Следовательно,
2 _2sin(450 + a)_V2sin(450 + a)
sin (45° +a) ’
Рис. 262
Рис. 263


Рис. 264
Рис. 265
что 23 sin х = 9 sin Зх. Первое решение. 23sinx =
= 9 (3 sin х — 4 sin3 х)\ sinx^O; 23 = 27 — 36 sin2 x; sinx=-|-;
МО=^-см. Второе решение, sin 3x=4r sin x; s-!- 3*~slnx=
3 9 sm x
о о sin 3x— sin x 14 0 0 14 0 7 1
= 2 cos 2x; : = —; 2 cos 2x = —; cos 2x = —; sin x = —;
sin JC 9 9 9 3
МО=Щ- см. 156. 7,9дД0 см. • 79sinx = 25sin5x; sin5x=3,16sinx;
О
sin 5x — sin x о sin 5x — sin л: 4
: = 2,16; : = 4 COS X COS 3x= 16 COS X —
sm x sm x
— 12 cos2 x; 16 cos4*—12 cos2 л: = 2,16; cos2x=0,9; sinjc=;^; Л10 = 7,9 VlO см. Можно было выражать 4 cos x cos Зх через
cos 2x. 157. 120 CM. • 600tgx= 119tg 4x; 600 tg x= j ;
tg хфО; 150(1—6 tg2x + tg4x)= 119(1—tg2x). 150tg4x-
— 781 tg2 x + 31 =0; tg x=-]k 158. 5,6 cm. 159. 7,4 cm. • 11 tg 3x =
О
= 37 tg x; П-Э1^з7У/=37 tg x; tgx^O; ll(3-tg2x) =
= 37 (1 —3 tg2 x); tgx=-|-. 160. 62,4 см.# По условию
ctg x — ctg 4x 169 . sin23x 169 . sin 3x 13 . Q A v q a.
~ \ . о _ • О 1 S1П a —— ^«о«
ctg 3x — ctg 4x 25 sin2 x 25 sm x 5


sin х=У0,1; ctg x = 3; ctg 3x=-^|-. 161. 30°, 30°, 45°. • 2 cos2 2x +
+ cos23x=2; 1 + cos 4x-\-1 ~*~CgS6*=2; cos 6x + 2 cos 4x—1=0;
cos 2x=y; 4y3-\-4y2 — 3y — 3 = 0; (y+ 1) (4y2 — 3) = 0; y+ 1ф0; y=^; 2x = 30°. 162. 30° и 45° или 45° и 60°. • Если сторона основания а, А\ЕА = х, Z.FEF\=x-\-15° (рис. 265), то a-tg(*+15°) = a V3tg*; ^g^tgH^^tg tg 15° = 2 — л/З; (2-V3 —3)tg2x+(l—V3)tgx + 2—V3=0; tg2x — (l+-|r) tgx + H—p ; ^2 = 30°, xi=45°. Если просто решать квадратное уравне-
л/з
ние, нужно учесть, что под корнем 52 — 30^3 = 27 + 25 — 30^3 =
=(ЗУЗ — 5)2. 163. 50° Г, 50° Г, 100°2'. • Сумма расстояний от
внутренней точки до сторон равностороннего треугольника рав-
2 Н 3 2
на его высоте. По условию Н=—(2 ctg x + ctg 2х); —=j—+
+1 i tg2 х + 3 tg х—5 = 0; tg х=~3+^«1,1926; * = 50ol'.
Углы 50° 1', 50° 1', 100°2' (высота проходит вне основания). 164. 15°, 30°, 105°, 30°.# Если эти углы х, 2х, 7х, 2х, а высота
пирамиды Я, то Я (ctg x+ctg 7х) = Я 2 ctg 2х. sln 8х_ = 2 cos 2* .
sin х • sin /х sin
2 sin 8x cos x = 2 sin 7x cos 2x; sin 9x + sin 7x = sin 9x+sin 5x; sin 7x—sin 5x=0; 2 sin x cos 6x=0; sinx, sin 2x, sin 7x положительны. cos6x=0; так как 0<6xd80°, то 6x = 90°, x=15°. Углы при основании 15°, 30°, 105°, 30° (высота проходит вне пирамиды). Уравнение можно было представить в виде ctgx — — ctg2x=ctg2x — ctg 7х. 165. 30°, 60°, 90°, 80°.• Решение аналогично решению задачи 164. 166. 30°, 60°, 30°, 90°. • Длины сторон относятся как 1:6. Поэтому 2 ctg х=6 (ctg 2х + ctg Зх);
1 _з^[—te2* I 1 —зtg2х \ . igx \ 2tgx ”r3tgjc-tg3xJ ’
tgx = 3 или -p. Первое невоз-
л/З
можно, 167. Задача не имеет решения. • 2а tg 2x=a -\/3-tg Зх;
2- —Уз- 3 tg jc—tg3 jf .
л 1-tg2* I —3 tg2 x '
tg x=^0, tg2 x=y; V3-</2+(12—
-4л/3)у + 3л/3~4=0; £><0.
Это можно было заметить и по риг


условию: тангенс острого угла растет быстрее угла, а по условию
это не так. 168. . ф Основание пирамиды имеет сто-
96 cos 54° г
ронами средние линии развертки (рис. 266). S0CH=±=-i-SаАВС —
a2 tg 54° г>
f- . Высота пирамиды определяется как высо-
AC-BF
8 16
та треугольника, стороны которого равны ВК> KF и AF:
гг а п 2'cJo Г а д/sin 18° . 17 1 а2 tg 54° а У sin 18°
2 tg 54° V g _ “ 2 sin 54° ’ ~~3 16 2 sin 54° ‘
169. 62°49' и 125°38'. 170. а»65°20'.# Если сторона основания 2а, плоский угол при вершине 2х, то апофема a ctg х,
высота пирамиды а Ус tg2*—1; 4а2 ctg х = 2а2 ^2 (ctg2 х— 1) +
+ 4а2; 2 + ^2 (ctg х— 1) = 2 ctg х; 2 ctg2 х — 5 ctg х + 3 = 0;
ctg Х\ = 1 (не удовлетворяет условию), ctgx2=l,5; Х2~32°40'.
171. а«61°48'.# Решение аналогично решению задачи 170.
172. а^27°48'.# При обозначениях задачи 170: За-а ctg х =
= 3.zJL-yJa2 ctg2 х — ; 2 л/З ctg х —2 = 3ctg2 х — ;
3ctg2x— 8-\/3 ctg х + 7 = 0; ctgxi=^, ctgX2=^-^-. Первый
корень посторонний, второй дает а«27°48'. 173. аж35°8'. • Ес* ли сторона основания 2а, плоский угол при вершине 2х, то апофема a ctg х, высота пирамиды -\/а2 ctg2 х — За2, высота диагонального сечения a -\/ctg2 х — 2; S6oK+Soc„=6Sce4; 6а2 ctg х+6а2 -\/3 = = 6 а2 V3 Vctg2 -«—2; ctg Х+У3=д/3 Vctg2 х—2; 2ctg2x — — 2-\/3ctgx — 9=0; ctg X| «3,158; xi«17°34'; ctgX2<0 (не удовлетворяет условию). 174. а«79°24'.в Если сторона основания пирамиды 2а, апофема Ь, то Н = ^jb‘2 — а2, г
/2 2 I «.2 n_ I2 _ a2 + b2 . a2+ft2 _ 6a rrp. -j.
/ _a +6, /?- —- 2V_7_? , 2^_^-а+ь^Ь a,
(a2 + 62) (a+ 6)= 12a (b2—a2); a2 + 62 = 12a (6-a); -2-=£rfl;
tg0,8304. 175. 30° и 45°. • Если сторона основания 2a, названные углы 2х и Зх, то a-tg Ъх = а -д/3 tg 2х; —
1 —О tg X
=л/3- ; tgx^O; tg2 х=у; у2+(6 ->/3—4) «/ + 3-2 д/3 = 0;
у = 2-3 л/3±л/28-10л/3=2-3 V3±(5-V3); f/i = 7 —4 V3, j/2<C0; tg x=-yjl — 4 -\/3 = 2—л/3; x= 15°. Угол при основании 30°.


176. а=60° ш!и а«78°24'.# Пусть г — радиус шара, R— радиус основания конуса, а=2х; тогда r=R-tgx; H = R tg 2x;
-|---|-ntf3tg3x=-j-ntf2-/?tg2x; tg хфО; 3 tg2x = 3(1_2tg»x) ;
tg2*=y; 9t/2 —9y + 2 = 0; У\=\, У2=Т' tgx=:^ или
tgx=~\J-^-\ лг = 30° или x« 39° 12'. 177. 60°. • Если радиус ци- линдра /?, двугранный угол при основании пирамиды 2ху то вы-
П П D
сота пирамиды H= — tg 2х=1_°^, радиус шара r=-2-tgx; =24 • 4~п 1Г tg3 *; tgx^O; 4tg4*—4tg2x+l=0;
1 —tg X О О
2tg2x—1=0; tgx=-p; \g2x = 2^j2\ H=R^J2; боковое ребро
/ = /? "V3, т. е. равно стороне основания, а = 60°. 178. а«46°22'. • Если сторона основания 2а, двугранный угол при основании 2л;, /? = // +г, то r = a-tgx, # = a-tg2x, /2 = 2а2 + а2 tg2 2х,
/?= a2(02+tg022x) = °(2+tg02 2x) ; atgx + atg2x=^|±^M_;
2а tg 2л: 2 tg 2* 6 & 2 tg 2х
tg2 2x + 2 tg 2x-tg х — 2 = 0; {^rxf+ -2 = 0; tg2x = y;
3t/2 — 6y + 1 =0; y= , так как x<45°, то перед корнем
берется знак «минус»: tg x«0,4284; а«46°22'. 179. /=——X
45 cos -~
XVC0S а • Линия состоит из четырех дуг радиуса г (рис. 267),
Рис. 267
Рис. 268


Рис. 269
каждой из них соответствует центральный угол 2а. Поэтому / = 4.л^=2^а ; АМКОоо АМРЕ-, Ш.=Ж; PE = ED =
loU 4о гп Mb.
х я Г' l a j# /л I Н Н j 2 ® Н л/cOS OL j лл /
= МЕ-tgT; г = МО =л/ 4~tg ~2~= • 180. / =
2cosT
— 2n-R-JL( i _ . ф Условию отвечает рисунок 268. Если
cos 2
АРВК=$, то /=4-^Ё-=^-г; AB = R^J2. ЛЛ* =
/? л/2
180 45 ’ v ' . . а
sm Т
дЛМОсоАЛСР; ЛР:ЛО=ЛС:/Ш; AP = 2R д/2 sin РВ2 = = 8Я2 sin2 -|-+ 2/?2 - 2 • 2/? sin -§~ Я V2 cos (Э0° —= 2£2; РВ =
За. РВ _ R л/2
а
“2
2я /?У1Г
= у4В; р = 90°—|~а = 90°—f ; г- -
2sin(90°—yj 2 cos ■
У2 .90°.(i—^-Y 181. 30°. • Z.ABC=x,OD = R sinx, 45° a \ 60° /
2cosT
DE = R (1 — sin дс) (рис. 269, а). л/?3 = л/?2 (1 — sin х)2Х
it) u
x(r—#0—sln*) ) . 8 sin3 x — 24 sin x-\-11 =0; 2 sin x=y\ y3 —


— 12z/+ 11 =0; (у 1) (у2-j-y— 11) = 0; yt = 1, y2=~'±3^,
#з<0, y2 — посторонний, так как 0<#<2; sinx = -|-; x = 30°. 182. 17°7' и 72°53'.# Если гипотенуза с, острый угол х, то высота треугольника с sin х cos х, ST вр =пс sin х cos х (с sin х +
+ с cos х) = пс2 sin х cos х (sin x + cos x). Радиус сферы r=-^-=
с sin х cos x . g ^ c2 sin2 x cos2 jc . 125 4jic2 sin2 jc cos2 jc
sin jc-f-cos jc ’ (sin jc + cos jc) ’ 72 (sin x+cos x)2
= nc2 sin xcos-x(sin x + cos x); 125 sin x cos x = 18 (sin x + cos x)3;
2 j 2 j
sin. jc + cos x = y, sin x cos x=^~y—i 125 • - ~—= 18y3; 36y3—
-125t/2+125 = 0; i/=-f-z; 36~z3-125-Цz2+125 = 0; 9z3- —25z2+16=0; 9z3-9z2-16z2+16=0; (z—l)(9z2—16z-16)=0;
Z| = 1, z2.з = 8±. Так как 0<i/<-\/2, то 0<z<^^, т. е.
5 2S
z2 и z3 — посторонние корни; sin x + cos х=—; l+sin2x = -^-; Q 4 16
sin2x=-^-; 2д:«34° 14' (рис. 269,6). 183. а«65°32'.# Пусть радиус шара R, А МАО = а (рис. 269, в). Тогда Z.MKE = a, МК=-^- \ МО = 2(-5 /?); /(0=^—Я=-^-(1-2 cos а);
cos а \ cos а / 2 cos а4 7
ЛО=2( — R) ctga=-^-(l-cos а); 0/=-^-=-^{1 —
\ cos а / sin а 4 ^2 sin а4
— cos a); R2 — ,2^ (1 —cos а)2-| ^—(1 —2 cos а)2;
7 sin^a- х 7 cos а 4 7
. 2(1-г-cos а)2 (1—2 cos а)2 1 2(1—cos а) . (1—2 cos а)2 о ,
1= — 1 2 ; =—П 1 i ; COS а+
sin a cos a 1+cosa cos а
+ cos2 а — 3 cos а + 1 = 0; cos3 а — cos2 a + 2 cos2 a — 2 cos a —
— cosa+l=0; (cosa—l)(cos2 a + 2 cos a—1) = 0; cosa,^l; cosa2=V2—1 «0,41421; a«65°32'. 184. 36°52' и 53°8'. • Если радиус сферы R, а острый угол треугольника х, то 5сф=4я#2; высота треугольника 2R sin х cos х, ST вр=2л/? sin х cos хХ
Х(2R sin x+2R cos x)=4nR2 sin х cos х (sin x+cos х); 4я/?2--^=
=4я/?2 sin х cos х • (sin х + cos x); 168 = 125 sin 2x ~^l + sin 2x;
15625 sin3 2x+15625 sin2 2x—28224=0; 25sin2x=y; y3 + 25y2 — — 28224=0; y3—24y2 + 49 y1—28224=0; (y — 24) (y2+49y + + 1176)=0; y = 24, корни квадратного трехчлена мнимые (D< 0); sin 2x = 0,96; x«36°52'.


Предисловие 3
Алгебра 7
Действия над числами 8
Неизвестные цифры 9
Преобразование выражений 10
Условные равенства и неравенства 11
Разложение на множители 12
Доказательство неравенств 14
Прогрессии 15
Уравнения 17
Текстовые задачи 20
Планиметрия 29
Точки. Прямые. Углы 30
Треугольники 31
Треугольник и окружность 32
Параллелограммы 36
Трапеция 41
Теорема Пифагора 43
Подобие фигур 45
Правильные многоугольники 49
Площади фигур 51
Стереометрия 55
Плоскости и точки 56
Параллельность прямых и плоскостей —
Изображение плоских фигур в стереометрии 58
Стереометрические построения —
Перпендикуляр к плоскости 60
Перпендикуляр и наклонные 61
Угол прямой с плоскостью 62
Система координат в пространстве —


Двугранные и трехгранные углы 63
Многогранники 64
Призма и параллелепипед 65
Пирамида 66
Сечение многогранника плоскостью 68
Параллельные сечения пирамиды 71
Площадь поверхности многогранника 72
Правильные многогранники 73
Объемы параллелепипеда и призмы 74
Объем пирамиды 75
Тела вращения 78
Площадь поверхности и объем тела вращения 81
Тригонометрия 85
Ответы, указания, решения 99
Алгебра 100
Планиметрия 118
Стереометрия 167
Тригонометрия 211


Учебное издание
Лоповок Лев Михайлович
ТЫСЯЧА ПРОБЛЕМНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Я. Б. Грызлова Младший редактор Я. Е. Терехина Художники Я. Я. Лобанев, А. А. Ширко, О. М. Шмелев Художественный редактор Е. Р. Дашук Технический редактор Я. А. Киселева Корректоры Я. А. Григалашвили, Е. Е. Никулина
ИБ № 13910
Сдано в набор 02.07.93. Лицензия ЛР № 010001 от 10.10.91 Подписано к печати 02.03.94. Формат бОХЭО1/^- Бум. офсетная № 2. Гарнит. Литерат. Печать офсетная. Уел. печ. л 15,0. Уел. кр.-отт. 30,5. Уч.-изд. л. 13,54. Тираж 50 000 экз
Заказ 741.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Комитета Российской Федерации по печати, 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.