Автор: Клышко Д.Н. Рухадзе А.А.
Теги: оптика радиофизика квантовая электроника оптоэлектроника
Год: 1986
Текст
д. М. l\JIDIШ V
оЕ
51
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
КВАНТОВОй.
ЭЛЕКТРОНИКИ
Под редакцией Аф A РУХАДЗЕ
....
r 115I1OТERA
'1 учеБМЫJt
nocoб.." NI g
.L J _ . r у . j
Ь:\ОСКВА «НА У КА»
rЛА8НДЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО..МА ТЕМА ТИЧЕСКОй ЛИТЕРАТУРЫ
J986
БЕК 22 З4
Кб1
УДК 535(075.8)
PtKtHиH МиНllстерство.
IШШUD .. 'P'OIfUO с,.,tqШJАЬНоео 06 ра$0801i "" се с р
ОАIl UCftOtlutltЮни. . V'tеБНОJl пp.qЦ«U
ст иаент ами фиЭIlЧft:К. и.. спец цаА ьнotm" 12 'Уэot
КЛЫШКО д. Ht Фиэическне ОСНО8Ы кваитовоi ЗJreКТ-
рои Н ки: У ч еб. руКОВОДСТВО jП од ред. А. А Ру х ад3е........... \1.:
HaYKa rJl. peд фl'з....МаТ. JlИТ4 1986........... 296 с." НJl4
Изложе.ны ОСНОВЫ ла зерноjl физики If спектроскопии
с акцентом на сов pe reHRble мал рзsленн я квантовой элехт.
роники .......... нелинейную ква нтовую и нестацион.арную опти
ку. На ряду с систематнческоА теориеЙ взаимодействия
света и вещества да flO описание ОСНОВНЫХ .!ф4Jeктов
лазерной ОПТН ки опти ческое эхо. сверхиздучение,
квантовые биеНl1 я, поля ритонное и па раметри чес кое рзс
сеяиие t обращение ВОЛliОВОro фронта, rрупnировка фото
нов и пр.
Для студентов н аСfJИ рантов раднофнзическнх 11
оптн qеских спеuиальностей вузов. а Также спеuцалисroВ t
работзюших в области ква нтово.й электроники и нелинеА.
ной оmики.
Ил+ 734 Библноrрt 77 наэв
Рецензенты:
кафедра теоретическоfl физики KHeBCKoro тосу Да рс.т"
seflHoro YHH pCHтeтa ИМ4 Т. r Шевч-енко
доктор ФИЗИКО.М.jtтематицеских наук О. В.. Б оIOa1i-
кевич
J 7040500Q0.......l 00
К 053 (02)..86 ] 26..86
@ ИэАа-rе,n ЪС:! во с: Н.а. у к а..
rла8 ая редакци
фпзн матема иqескоА
итераtУР J 1986
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книrа принадлежит к серии учебных РУКОВОДСТВ по
электронике и радиOfjJизике f составленной преподавателями радио..
физическоrо отделения физическоrо факультета OCKOBCKoro универ-
ситета. Как и друrие книrи серии (1 31t она соответствует универси..
TeTCKH 1 nporpaMMaM ДЛЯ физических факультетов н ставит задачу
оЗнакомить читателей с наиболее общими ПQНЯТИЯМИ t закономерностя-
МИ и теоретическими методами.. При этом акцент делается на ТреХ но-
ВЫХ направлениях физической ОПТИКИ, возникших после создания да.
зеров ]1 связанныХ с нecl1lal{UOHapHblM взаuмодейсrпвuе.м света с веще"
ством (rЛ4 5)t с оптическим аН2армонuзма.М веи(ества (rл. 6) и с К8анто..
вы.ми С80йствами света (rл. 7). Предварительно в первой трети l{ниrн
изложены теоретические основы более традиционных разделов I{ван"
ТО80Й элеКТрОНИКИ4 I(ниrа начинается с общеrо очерка" включающеrо
историю квантовой электроники и ее rлавные ПОНЯТИЯ идеи и терм"--
ны. Далее рассмотрены основные методы описания взаимодействия
излучеНllЯ оптическоrо диапазона с веществом в терминах вероят",
настей квантовь[х переходов (rJJ. 2)t с ПОМОЩЬЮ матрицы плотности
(rл. 3) JI линеЙной диэлектрической ВОСПРИИМЧИВОСТИ вещеСТВа (rл. 4).
Автор стремился наряду с систематическим описанием ХОТЯ бы
кратко затронуть наиболее необычные (на современном уровне) новые
идеи и эффекты, такие J KaKt например. эффекты сверхuзлученuя (9 5.3),
обраU{еНUЯ вОЛН08О20 фронта (9 б 5), aнпlu2pyппиpOВKU фопlОН08 (9 7 6),
KHJlra предполаrает знакомство читателя с основами квантовой
fехаНИJ(И н статистической физики. но тем Не менее в ней MHoro внltма-
ния уделено разъяснению ИСПОЛьзуемыХ понятий. Автор стремился
к постепенному усложнению УРОВНЯ изложения как в пределах каж-
доrо раздела, так и всей книrи давая сначала упрощенную качествен-
ную картину явлеНИЯ4 Более сложные разделы с дополнительной ИН-
формаUIIей отмечены КРУЖКОМ.
В книrе использована наиболее употребительная в квантовой элект"
ронике raYCCOBa система единиц, однако при численных оценках
энерrия и мощность Выражаются в джоулях и ваттах.
По J{вантовой электронике уже имеется uелый ряд общих руко"
ВОДСТВ [4 20,. 71 t 741 на всех уровнях изложения. начиная с популяр-
ных [4 5, 101 и кончая фундаментальными МQноrрафиями [7, 11 t 14)1 И
по МНОfИМ Вопросам читатель будет отослан к НИМ4 TaK t в книrе не
рассмотрены устройство и nараметры лазеров и мазеров" их миоrо-
ЧИсленные применения. Теория оптических резонаторов и волноводов
И3JIожеНЭ t в частности, в университетском курсе теории волн [21 (СМ.
также [15, 71 ]), теор ия а втоколеба ни й ди нами ка J[ классическая
1$ 3
статистика лазерных систем ......... в курсах теории колебаний 1I J и стати-
стической радиофизики 13] (СМ. также [11 t 731).
в основу книrи положен курс лекций по квантовой злектронике t
КОТОрЫЙ автор более 20 лет читает студентам старших KypCOB ЭтОТ
курс был создан в 1960 r. по инициативе с. д. rвоздовера еще до по-
явления лазеров,. " первые rодЫ он был ПОЛНОСТЬю посвящен t.'1ззерЗ}1
(парамаrнитным усилителям и молекулярным rеиерзторам) п радио-
спектроскопии. Но появление Лазеров и «ЛазерНая революция» вол...
тике, спектроскопии и друrих -областях науки и техники, начавшаяся
в шестидесятые rоды и продолжающаяся по настоящее время" застав-
ЛЯсЛИ автора сдвиrать «центр тяжести» курса из радиодиапазона в оп-
тическиЙ и дополнять ero соотвеТСТВУЮЩИМИ разделами. Однако ел&-
дует ПОМНИТЬ, ЧТО В основе действия мазеров и лазеров лежат общие
прИtIuипы и что колыбелью квантовой электроники послуЖИЛа радио-
спектроскопия и радиофизика. Последняя снабдила КВантоВую элект-
ронику ОДНИМ ИЗ ОСНОВНЫХ понятнА ------.... ПОНЯ1нел{ обратной связи, и не
случайно, что основатели квантовой электроники и нелинейной оп-
тики Басов. Бломберrен, ПРОХОРОВ Таунс) Хохлов и MHorHe друrllе
были радиофизиками. Иноrда вместо названия «квантовая электронИ
кз» применяют термин «квантовая ради<X)Jизика».
Большое влияние на содержание курса «Квантовая электроника»
11 настояще1i KHlfl'Il оказал Рем ВИl{ТОРОВIIЧ Хохлов, ЧЬИ советы If дру-
жеское расположение незабываеМЫt Автор признателен п. В. Елюти-
ну, А. М. Федорченко и А. с. Чиркину,. прочитавшим рукопись I{ниrн
11 способствовавшим устранению MHorllX ее неДостатКОВ. Автор хотел
бы выразить блаrодарНQСТЬ также Bt Б. Браrинскому t стимулировав-
шему написание этой книrи
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИй И СОКРАЩЕНИЙ
а .......... поперечНЫй размер) см; оператор УНИ4ТQж-ения фоТОНОВ
А ........ nл оща ДЬ, см ; зерон тность с поп та н пoro пе рехода, с 1; векто p потеи ци ал,.
(зрr/см) r 12
В ........... коэффпuиент пропорuиональности между вероятностью 8ЫНУхценноIO
ле ре хода и еле ктр ал ь н о ПЛОТНОСТ ЬЮ 3 не р r и и см3 / (зр r · c3j
с амnлитvда состояния
d .......... ДИПОЛh ЫЙ момент, (эрr .см з )I/2
D ........ 3.1 е к тр И чес к а я и иду к UH Я , (эр r! см 3 ) 1/2
е единичныЙ вектор поляризаuии
Е ......... н а пр я ж ен ОСТЬ э..!J е к тр И чес.к oro ЛD...fJ я, (э р т I СМ З ) 1/2
f ........ энерrи я, 9pr
частота, С'" 1 ; CHt""1a осциллятора
F плотность потока фотонов сМ.... 2 .с.....]; свободная знерrия) эрr
g .......... кратность вырождения; форм фаКТОРt с
G КОЭфф'tuиент передачи; функция rрина; функuн.я коррелЯЦИИ ПОЛЯ t эрr/см
н ....... н а п р я же н н ОС ть М а rи и THoro ЛОЛ я t (3 Р r / см 3 ) 1/2
!lt rамильтониаи эрr
J ......... и Нте fl С Н ан ОСТ ь И з..ч у чеl:l и я t эр r / (с м2. · с); едя н ич иы А опер атор
I плотность ТOKa {эрr/(см3 .c:!)JJ /2
k ......... ВОЛ Н авой век тор, см'" 1
1 длина СМ
1 ........... поквзате...1Ъ преДОМ.1ения
N пл ОТН ОСТЬ МОЛ е 1\ у 411 И J] Н фотон ОВ) СМ 3 ; Ч 1-1 СЛ О фотОНОВ на :моду
N i населенность УРОВНЯ t см з
Jf среднее ЧИС..1JО фотонов на моду в равновесном ИЗJ!учеННII
р импульс, r -см/с; Дaв.ТEeHHe эрr!см
р.......... ПOJ1яризаuия, (эрr/сt#)1/2; вероятность
!у мощность, эрr/с
q .......... обобщенная координата;
Q .......... 110БРОТfJ ость; про и з водя ща я фу н к ци я
r раДиус вектор, СМ
R вектор Блоха; КОЭффИllиент отражения
S ........ момен т ИМ Пу...., ЬС3, эр r · с
S ......... вектор Поflнтинrа, эрr! (см;! toc)
Т ......... интерва..1J: времени с; температура, 1(
н rрулпов.8Я CKOpOCTb J cMic
и внутреfttlЯЯ энерrия, эрr; оператор ЗВQJ1ЮUИИ
v ........ фазова я СК орест ь, СМ! с
V .......... объеМ 1 см3
t:'JI3 э н ер rи я вз а н модейств и я t 3 Р r
w ........ веро я ТН ОСТЪ p ' а КС а ци о н ното пере х ода веди E:I и иу в р емекн ) с ......1
W вероятность nереход.а в единиuу времени t с"')
Z ........... статистическая сумма
а. JI И не й н а я n 0..1) я Р из у емость СМ З ; RОэ4>Фи UI! ент поr ло щеи и я ИЛ н ус илени я СМ )-
квадратичная полярнзуеМОСТЬ t (см 8 /эрr)1 / 2
'v убнц€ская ПOJ[ЯРllзуемость) см.-S/зрr константа затухаНИЯ-t c l
& относительная разность нзселенностей
6-
:8 диэлектричесКая прониuаемость
'J .......... квантовая эффективность
о- уroл места или yrOJ1 преuессии, рад
8 ....... сту пен "1 атая фу н к ЦИ я Х еви саАда
" ....... NOCТO КН н а я Вол ь цма н а t: эрr/К
А ДЛИна ВОЛНЫ. см; Х 'Л/2я
J.1- маrнитный днпольнЫй момент, (э:рr tм3)l/2; уровень Ферми, эрr
" ........... ИНдекс пол я р изз ци и ; BO '1 Н О вое q мело, СМ 40r 1
n оператор проеКТИроВаН ия ИЛИ суммирования по пересrЗНОВКам
р матрица пли оператор плотности; п...10ТНОСТЬ массы r/CM 3 ; ПЛОТНОСТЬ эарядаto
(эрr/см6) I f2
(] ......... сечен не 83З и молен стви я t см'2; М атр и ца n а УЛИ
......... время релаксации или кор ре.!1ЯUИН , с
«р фаза ИЛИ азимут рад; собственные ФУНКUИ н операТора энерrпи
X V1 вос пр и и м ч ивоетъ среды по р ядк а n. (эр r / cw)f 1 п. )/2 == (r с) t .....п.
-ф, V волновая функция
6) круrсв.ая частота) рад/с
Q частота Раби рад/с; телесный уrол, ер
вкр вынуждеНfJое комбинационное рассеяиие
В Пр...... ВЫ Н У ждем и ое пар а метр и чес.кое. р ас.с.е.я н ие
ВТР ВЫИ ужденное температурное рассея н rie
rBr rенераUИЯ второй rарМQННКИ
ИК инфракрасный
КАРС KorepeHTHoe аНТИCТQКСО80 рассеяние света
КФ коррeJIяционная ФУНI\UИЯ
ММА медленно мен яющаяся ЗМП..тJпту да
ОВФ обращение БО,r[иовоrо фронта
пrс параметриqескиА rеиераТОр света
ПР парзметрич&кое рассеяние
РМБ рассеяние МаНДeJJЬШТама БрИЛ.1Jюэна
св Ч ........ спер х высока я чаСТОТ:l
СИП самоиндуцированная проэраЧНQсrъ
скр ........ спои т а н ное КQмби н а UИ ОН ное рассея н не
СПР спонтанное пар.аметрическое рассеяние
Уф.......... уд ьтрафиолетовый
Ф Д т ....... флуктуацион но диссипативная теорема
ФЭУ фотоэлектронный умножитель
ЭПР ......... ЭJlектронный nарам.аrнитный резонанс
Я М р ........ :ядер ный ма rH и ТНЫЙ резон а не
i
rЛАВА I
ВВЕДЕUИЕ
Квантовая электроника изучает взаимодействие электромаrнитноrо
поля с веществом в различных диапазонах......... от радиоволн до peHTre-
HOBCKoro и -излучений. Познание основных закономерностей 9Toro
взаИМОДействия привело ОКОЛО 25 лет тому назад к созданию лазеров
ИСТОЧНИКОВ KorepeHTHoro (Т4 е4 МDнохроматическоrо и наnрзвленноrо)
света с большой интенсивностью. Задача оптимизации существующих
лазеров и создание НОВЫХ типов лазеров, а также успехи эксперимен-
тальной техники в свою очередь стимулировали дальнейшее развитие
квантовой электроники. характерный для современной науки
лавинный процесс привел к появлению НОВЫХ направлений в оптике
(нел иней на я и ква нтова я опти ка t rолоrрафи я, оnтоэлектроника) и
спек-троскопии (нелинейная 11 коrерентнзя спектроскопия), к MHor
численным применениям лазеров в технолоrии" СВЯ3Ji t медицине.
Близки по-видимому, К разрешению проблемы лазерноrо термоядер.
Horo синтеза и лазерноrо разделения ИЗ0ТОПОВ в промышленном мас.
IJJтвбе.
Не столь разнообразные. Но важные применения нашли также
«старшие братья» лазеров........... мазеры, работающие в радиодиапазоне
На длинах волн порядка Otl lO см и. используемые в качестве сверх..
стабильных эталонов частоты и сверхчувствительных парамаrнитных
усилителей
Термин «квантовая электроника» возник из противопоставления
классической электронике имеющей дело в основном СО своБОДНЫМИ
электронами, которые обладают непрерывным знерrетическим спект"
рОМ II" как праВИЛО t достаточно хорошо описываются классической
механикой. Однако НеКОТорые существенно квантовые приборы (на-
пример. основанные На эсрфектеДжозефсона) ПО СJ1Qжившейся традиции
не ОТНОСЯТ к сфере ВЛИЯНИЯ квантовой электроники. Друrое наэва.
ине .......... «ква нтова я радиофизи ка» Та кже не совсем адекваТНО t так
как не OXBa BaeT оптический диапазон.
I.I Ф Основные понятия квантовой ЭJJектроннки
Принцип действия Лазера или мазера основан на трех «китах»
fлавных понятиях квантовой электроники, а именно на ПОНЯТИЯХ
вынужде1tН020 излучен.uя ИН8ерсuи населен.носmей u обратнQЙ связи.
Вынужденное иэлучение. При вынужденном излучении происходит
«размножеНие» фотонов: падающий на возбужденный атом или моле-
кулу фОТОН вызывает с вероятностью W l2 переход атома на ОДИН из
1
нижних энерrетических уровней (р ИС4> 1.1) 4 При ЭТОМ освооодившаяся
эиерrия 82 rGl передается ЭJlектромаrНИТНQМУ полю в виде BToporo
фотона t имеющеrо ТОЧНО такие же параметры: энерrию li.ro==lJ2. l'
импульс p file и тот же тип поляризации, что и падающий фОТОН.
Теперь имеется два неотличимых фотона, которые лри Взаимодействии
с друrими возбужденными атомами MorYT ПревратитьсЯ в четыре фОТО-
На и Т. д. На классическом языке эта картина соответствует экспонен"
I\иальному усилению амплитуды ПЛОСКОЙ ЭJlектромаrнитной ВOJIНЫ
С частотой m и ВОЛКОВЫМ вектором k..
2
"' 1 '" .....
./'" ......,
I t \
I ( ;...... \
, '\
\ \ ) ,
\ '............ /
, I
" /
...... ..,/
......... ..
Рис. ] _. Усиление света при вынужденных переходах На IЮзб)lжденный атом падает
реЗQН а 1-1 с Н ы R фотОН поД ero Ден ст.внем ЭТОМ ОТ дает за пасен н у ю эНер r ю ЛОЛ Ю J Н В
рез у ЛЬ Т а1е в ПО.1) е имеютс я у же два н еот л И'-l ИМ Ы Х qюТQН а
Инверсия Н8селеНностеА. При взаимодействии с атомаМИ t нахоДЯ"
ЩИМИСЯ на нижнем уровне с знерrиеЙ В 1, ПРОИСХОДИТ поrлощеRие
ТОНОВ, т.. е. ослабление эnектромаrнитноА волны. Существенно,. что
IJ 5 вероятность этоrо працее.
са W 2:( (в расчете На один
атом) точ.но такая же, как
и вероятность вынужден.
Horo излу чени я" W 21 === W i2 t
И поэтому оБЩИЙ эффект
зависит от разносТИ чисел
атомов !'J.N :=:= N l N 2 на
уровнях 1 и 2 (обычно Ha
селенносmu уровней N т OT
носят К единице объема ве-
щества).
Если вещество нахо-
дится в СОСТОЯНИИ терма..
ди НЗМJi ческоrо ра вновеси R
при температуре Т, то cor ласно распреДе..rlению Больцмана N т
""'exp( Gml'XT) (х постоянная 60льцмана)j и поэтому если
2><Вlt ТО Na<N 1 (рис. 1.2, a) В результате вынужденные переходы
вниз ПРОИСХОДЯТ реже., чем вверх, и поэтому внешнее электромаrнитное
ПО 1)е в ра вновесном веществе ослабляется, заТухает 4 ИтаК J Beu(ecrnBo
gсилuва но находиmся 8 неравновесн.о.м состоянии с N > N
акое состоJlНШ назЫ8йеttlСЯ состоян с инверСиЕЙ наев е и ШlЦ
.е отрицательной температурой. '1IW
Для получения инверсии насеJlенностей разработан целый ряд ме-
ТОДОВ воздействия на вещестВо.. Важнейшими из них являЮТСя метод
накачки (рис. 1.2 to б) С ПОМОЩЬЮ Вспомоrательноrо излучения (он при-
а1
J
\
, .
,
'\
,
'oL
",
Ри с. 1.2. Пол учен не и н ве ре и н н асе.а ен носте й
метОДО;Н о лти QecKOH fJa х а ч к и: а) не" ОДН ое бол ь---
цма иове к ое рас предел еи н е населе tl ностей; 6) ПОД
дe CTBH M мощноrо резонансиоrо излучения Ha
се.леНJiОСТН уровней 1 и 3 выраВниВаютсЯ так
что Ni>N 1
I
I
J
I
.t
2
1
меняется в случае тверДЫХ и жидких диэлектриков с прнмесямн),.
метод электрическоrо разряда в rазах и метод инжекции в полупро-
водниках.
Обратная связь и условие самовозбуждения лазера.. Чтобы nре..
BpaTIITb уСl1литель в reHepaTOp. необходимо обеспечить IWJЮжuпlель
н.ую обратную связь, что можно ОСуЩествить с ПОМОЩЬЮ пары плоских
или сферических зерКаЛ (в мазерах рабочее вещество помещают в
СВЧ резонатор) .
Количественно процесс усиления (ИJlИ ос.паБJ1ения) можно описать
следующи м образом Пусть F r с I t СМ z J плотность потока фОТОНОВ,
расnроетраняющtlхся вдоль оси Z4 Приращение F "ропорционально
вероятности вынужденноrо перехода в единицу времени W и числу
йктuвНblХ частиц AN:
dF!dz== W AN.
(1.1 1)
Вероятность вынужденноrо лерехода в свою очередь пропорцнональ-
на Е:
f u7 F, I (1.1.2)
rде лараметр о' [см:!] имеет смысл вероятности перехода в единицу
времени в случае единичной плотности потока фотонов и называется
сечением взаимодействия. В резУJlьтате
dFJdz==.........a AN F F, (1.1.3)
откуда следует экспоненциальный закон изменения интеНСJIВНОСТИ
плоской ВОЛНЫ в ве ществе (при а>О это заКОll Буи ра):
I F(z)"""F(O)e O:Z. (1. I1N.! (1.1.4)
Параметр а наЗЬJВается КОэффUliuенто.м nQ2ЛОlЦ2НUЯ (при а>О) илИ;
усиления (при а<О}. Обратная величина а 1 ItMeeT смысл средней дли--
ны пробеrа фОТОНОВ. Сечение взаимодействия о" в принuипе может Дo
стиrаrь величины ЛОрЯДJ{Э 3А /2л (Л==2лс/оо длина ВОЛНЫ)t так что.
Б оптическом диапазоне (rде л........l0 4 см) иноrда достаточно иметь
AN ........1090 CM 3 ДЛЯ получения 33MeTHoro усиления на расстоянии 1 СМ.
Пусть рабочее вещество, имеющее длину l, находится между двумя
зеркалами (интерферометр Фабри Перо) с. к ициентами отраже-
Ния R 1 ) R 2 ; тоrда из (4) следует noporOBoe условие ДЛЯ работы J1азера:
! RIR e 2 I. ]
(ltl.5)
.мноrОСJlойиые ПОКрытия зеркал практически позволяют полу'чить.
R O)99 t так что при l== 10 см для возбуждения лазера достаточен коэф-
фициент усиления а.==Оn R)/I== O)OO] CM l (обычно ДЛЯ ВЫВОДЗ излу...
Чення наружу ОДНО IIЗ зерJ(ЗЛ имеет меньший коэ4ЩJИUllент отражения).
Насыщение и релаксация. Рассмотрим еще несколько важнеЙших
ПонятнА квантовоЙ элеКТрОНИКИ. Э:рфект насыlенияя заключается
в ВЫрЗВНllВЗННН населенностей (N 1 N,) нзкой-либо пары уровней
"
8 резу льт те U.bl.H у ЖД "НЫЛ 1J }J лuдutl I.UA дt:nL t"U И'СМ ДU\.:-I са 1 U tlU t1 n..
тенсивноrо внешнеrо излучения. Этот Э<f:фект оrраннчивает и стабили-
зирует ИНтенсивность излучения квантовых reHepaтopOB и коэффиuиент
усиления квантовых усилителей. Процессы релаксации ПРОТlfводей..
ствуют эффекту насыщения и стремятся восстановить равновесное
больцмановское распределение населенностеЙ t определяемое темпера
турой термостата. процессы релаксации определяют время жизни
частиц На УРОВНЯХ и ширину спектральных ЛИНИЙ4
Возбужденная молекула даже в отсутствие падающеrо излучения
или каких"либо друrик воздействий может совершить переход в ОДНО
ИЗ нижних энерrетичееких СОСТОЯНИЙ, излучив фоТОН. Такое излучение
называется cпOHтaHHЫ.м; Спонтанное излучение иrрает роль «затравки»
В процессе возникновения автоколебаний в КВЗНТQВЫХ rеиераторах.
оrрэничиВает их стабильность и является источником шума в кван"
товых усилителях. Спонтанные и вынужденные переходы в равновес.
НОМ веществе ПРИВОДЯТ к тепловому излучению описываемому форму..
лой Планка и законом КнрхrофЗt
Существенно, что в то время как вынужденные э4Фекты можно
достаточно полно рассчитывать в рамках классической ЭI1Jектродина-
мики с детерминированньrми амплитудами палеи Е, Н, спонтанные
эф:ректы последовательно описываются лишь законами квантовой
статистической ОПТИКИ J в J(ОТОрой Е И Н ЯВЛЯЮТСЯ случайными ве..
личинами или оnераторами
Упомянутые выше термины и лонятия ОТНQСЯ-ТСЯ К рззличнь[м раз..
дедам теоретической физики........ к квантовой механике (энерrетические
УРОВНИ, вероятности переходов), статистической физике (релаксация"
Населенности. флуктуации), классической и квантовой электродина-
ми Ке (поле. фотоны) t теори И ка.1Jебани й (обратна я связь, автоколеба-
ния). Своеобразие и привлекательность квантовой электроники как
изучноrо направления заключается в испмьзовании теоретическоrо и
9кспериментальноrо аппаратов самых различных областей физики и
одновременно в постановке НОВЫХ задач в этих облаСТЯХ t в снабжении
их НОВЫМИ экспериментальными методами
1.2 История кваНТО80А электроники
Квантовую электронику можно считать новой r лавой теории света
и вообще теории взаимодействия электромаrнитноrо поля с веществом.
Первые (в хронолоrичеСКО l порядке) rлавы ЭТОЙ теории содержат ЭМПИ-
рическое описание нормальной дисперсии света в окнах прозраЧНQети
вещества, нзучзвшейся ОКОЛО 300 лет назад Ньютоном и ero COBpeMeH
никами Следующие шаrи сделанные в прошлом BeKe изучение
аномальной дисперсии в полосах поrлощения и классическая теория
дисперсии Лоренца. Квантовая эпоха в оптике и вообще в физике
началась в первые rоды Х Х века с теории paBHOBeCHoro излучения
Планка, приведшей Эйнштейна к понятию фотона, и с постулатов Бора.
Квантовая теория дисперсии была СфОР.\1улировзна в двадцать[е rоды
Крамерсом и rейзенберrо с в ЭТО же время Диракl' rейзенберr и [Iаули
основали квантовую электродинамику.
10
Несьма интересна н поучительна история самои I<ваНТОВQИ электрй'
НИКИ 121J. в принципе t еще в начале этоrо века уровень лабораторной
техники был достаточно ВЫСОК ДJlЯ создания, например)' rазоразряд"
HOfQ лазера, однаКО эта потенциальная возможность не моrл.а быть реа-
лизована до установления ряда понятиЙ и закономерностей" лежащих
в основе идеи KBaHTOBoro rеиерзтора.
Первые шаrи. Первый шаr на ЭТОМ ПУТИ t занявшем несколько де..
сятилетий сделал в 1916 r. А. Эйнштейн, ВВедя ПОНЯТИЯ вынужден-
HQrO излучения и ПО rл още н ия. Количественная теория ЭТИХ процессов
БЫJlа создана примерно через 10 лет П4 ДираКQМ4 Из теории следовало,
ЧТО возникающие при вынужденном излучении фОТОНЫ по всем своим
параметрам (энерrИИ J направлению распространения и поляризации)
совпадают с ИСХОДНЫМИ фотонами t Это СВОЙСТВО называется к.оееренm-
ностью вынужденноrо излучения
Первые эксперименты. обнаружившие влияние вынужденноrо из.
лучения, были описаны в 1928 r. Ладенбурrом и Коnферманом. В зтих
эксперИМентаХ исследовалась дисперсия nоказзтеля преломления
неона. возбуждаемоrо электрическим разрядом (отметим ЧТО и в пер-
вом rа з ора3рЯДНQМ Лазере t созданном ЛИШЬ через 33 rода t также ис-
пользовался неон). В работе Ладенбурrа и Копфермана четко сформу-
лированы условие инверсии населенностей и необходимость нзбира-
teJlbHOrO возбуждения уровней ДЛЯ ее ПОJl учеННЯ В 1940 У.. В.. А. Фаб..
рикант впервые отмеТИЛ t ЧТО интенсивность СВета в среде с .Iнверсией
населеННQстей должна возрастать (этот эqxpeкт рассматривался ИМ
ЛИШЬ как доказательство существования выужденноrоo нзлучеНИЯ t а не
как явление t имеющее прикладное значение).. К сожаленню эта ра-
бота t как и поданная в 1951 r. 84 А. Фабрикантом с сотрудниками
аВТОрСКая заявка на изобретение j не была своевременно опубликована
в распространенных научных изданиях и поэтому не повлияла на
дальнейшее развитие квантовой электроники.
Радноспектроскопия. Первые ЛРllборы квантовой электроники........
мазеры" получившие в дальнейшем важные практические лрименения
ДЛЯ rенерации и усиления сантиметровых ВОЛН были созданы лишь
в середине пятидесятых rадов. ХарЗl<теРНО t ЧТО сперва квантовой
электроникой был освоен радиодиапазон, лазеры же появились в на-
чале шестидесятых rаДОВ. Это отчасти связано. ПО.. видимому, с тем,
что в обычных оптических экспериментах Nl N 2 и поэтому вынуж...
денное излучение как правило,. не иrрает роли. В то же время в радио..
спектроскопии NI N2 IN'J N2J и наблюдаемое поrлощение радио-
волн связано с очень иебольшим относительным превышением вынуж-
денноrо поrлощения над излучением.
Большую роль сыrрало также то обстоятельство, ЧТО в сороковые
rоды раДИQспеКТРОСКQПИЯ достиrла BblCOKoro УРОВНЯ развития как
в теоретическом так и в экспериментальном плане (экспериментальная
база радиоспектроскопии СВЧ диапазона была обеспечена успехами
раДиолокационной теХНИКИ)4 К тому времени была хорошо разработана
теория взаимодействия радиоволн с молекулами в rазах, детально
рассчитана структура вращательных спектров. понята роль лроцессов
релаксаuии и эффекта насыщения. Важное значение имели исследова..
11
I J
НИЯ С пучковыми радиосnеКтроскопами начавшиеся еще в ТРИJ:(l.iатые
rоды. Существенно было, Вероятно,. и ТО) что радиоспектроскописты"
в отличие ОТ ОПТИКОВ" хорошо понимали nРИНЦИПЫ действия СВЧ..
reHepaTopOB и усилителей на пучках свободных электронов (клистро-
НОВ" MarHeTpOHOB, ламп беrущей и обратной волны)) ОНИ были знакомы
с ПОНЯТИЯМИ отрицательноrо сопротивления и ПОЛОЖJlтельноЙ об..
ратной связи и имели практический опыт работы с высокодоброт..
ными СВЧ реЗ0наторами
Среди работ, непосредственно предшествовавших поя-влению ма-
зеров, наДО отметИТЬ работы I(астлера Во ФраниНlf разработавшеrо
в 1950 r. метод оптической накачки rаЗQВ для увеличения разности
населенностей близко расположенных подуровней. Кроме rЗЗОВОЙ и
пучковой раДИQсnектроеКQПИИ большую роль сь(rрала также маrнит-
пая радиоспеКТрОСКОПJfЯ возникшая в сороковых roдax" изучающая
взаимодействие радиоволн с ферромаrнетиками и с ядерными Il '1It
электронными парамаrнетиками (E К. Завойский, 1944 r.). Именно
достижения теории и техники маrнитноrо резонанса привели J( соз..
данию парамаrнитных усилителей, имеющих рекордно низкий уро-
вень собетвенноrо шума. Впервые инверсия населенностей была nо.пу
чена в системе ядерных СПИНОВ) nомещеННЫ4'{ в маrНИтное поле (Пар
селл и Паунд 1951 r.)1
Мазеры, Идея использования 8ынужденноrо излучения в среде
с инверсией населенностеЙ' для усилеНИfl п rенераuи и эЛектромаrннr-
iНЫX волн СВЧ диапаЗ0на была ВЫСКазана на нескольких различных
t(онференциях в нацале пятидесятых rOAOB Н. r. Басовым и А. Л\. Про
хоровым (Физический институт АН CCCP)t Таунсом (Колумбийский
университет, CIllA) 11 Вебером (Мэрилендский университет США). Пер-
вая количественная теория кваИтовоrо rеиератора бь[ла опубликована
Басовым и Прохоровым В 1954 r. В ЭТОЙ работе была определена по..
роrовая разность населенностей необходимая ДЛЯ самовозбуждения
reHepaTopa и был предложен метод получения инверсии в молекуляр-
ном пучке с ПОМОЩЬЮ Неоднородноrо электростатическоrо поля. Вло..
следствии заслуrи Басова Прохорова и Таунса в развитии квантовой
электроники были отмечены Нобелевской премией.
В 1954 r4 ПОЯВИЛОСЬ описание первоrо действующеrо мазера t СОЗДаи
Horo rордоном, Цаиrером If TaYHCOl\I. Рабочим веществом был аммиак
в виде молеКУJlярноrо пуqкз, сфокусированноrо с ПОМОЩЬЮ электриче-
CKOfO поля. В настоящее время пучковые мазеры слуЖаТ rосударствен-
иыми стандартами частQты и времени.
Второй основной тип мазера парамаrнитный усилитель был
создан в 1957 r СКОВИЛQМ t Феером и 3айделем по предложению Блом"
берrеиз+ В парамаrнитных усилителях для инверсии используется
ВСПОМоrатеЛЬНое излучение накачка, насыщающая населенности
уровней 1 и 3 (рис. 1.2). При ЭТОМ на урОВНЯХ 1 и 2 (или 2 и 3) обра..
зуется инверсное распределение населенностей. Идея метода накачки
в трехуровневой системе nолучившеrо впоследствии широкое ПрИме
иение в твердотельных и жидкостных ..f[азерах принадлежит Басову
п ПРОХОРОВУ (J955 r4)' Рабочее вещество ларамаrнитныХ усилителей
диамаrнитный кристалл с небольшой (порядка IO 3) примесью пара-
12
маrнитных атомов (T e атомов с нечетным числом электронов).......
охлаждают до температур жидкоrо rелия. Охлаждение необходимо ДЛЯ
уменьшеНИR собственных ШУ.МОВ и ослабления процессав релаксаUИИ t
препятствующих инверсии населенностей (в nарамаrнетиках релакса
uия населенностеЙ обусловлена взаимодеЙСТВием между колебаНИЯМl1
кристаллической решетки и маrнитньrми моментами нескомпенсиро--
ванных электронов).
Лазеры. Переход от радиодиапазона к оптическому потребовал
ОКОЛО ПЯТИ лет первый действующий лазер, излучающиЙ }(ore
рентный красный свет) был описан Мейманом в 1960 r4< Рабочим ве..
щеСТВо t в нем служил кристалл p030Boro рубина (окись алюминия
с ПрИ lесью xpOMa) инверсия осуществлялась с ПОМОЩЬЮ синеrо и зе
леноrо света ИМЛУ J1ЬСНОЙ ЛаМПЫ ВСПЫШКИ4 Важным промежуточным
ша rOM было ОСО3Н8 Н не Toro J ЧТО интерферометр Фабр и ........ Перо .........
два плоекопа раллел ьных зер кала .......... я вл яется Бысокодобротным резо..
HaTOpO J, Т. e колебательной системой для световых води (Прохоров,
Дике 1958 r.)
Началась лазерная эпоха физики. Вскоре после создания твердо-
тельных лазеров с оптической накачкой был разработан целый ряд
друrих ТИПОВ дазеров: rазоразрядиые (1961 rt») полупроводниковые на
р п"переходах (1962 r.)) жидкостные на раСТВорах орrанических.
красителей (1966 r.). ДОВОЛЬНО быстро был перекрыт диапазон длин
ВОЛН от далекоrо инфрзкрасноrо (ИК) ДО Дзлекоrо ультрафИQлеТОБоrо
(УФ). Непрерывно улуч-шаJlИСЬ параметры Лазеров (МОЩНОСТЬ,. моно..
хроматичность. направленность стабильность, перестраиваеМQСТЬ) и
р.асширялась область их лрименения Большую роль сыrрало изобре-
тение методов укорочения Длительности свеТОВЫХ ИМПУЛЬСОВ лазеров
(методы 10ДУЛЯЦИИ доБРОТНОСТfI И синхронизаuии мод).
После первых ЭI{спернмен-тов по удвоению частоты света (Франкен
и др.) 1961 r.) начала бурно развиваться нелинеЙная оптика) изучаю
щая и использующая нелинейность вещества на оптических частотах.
Второе рождение пережили rолоrрафия и ОПТflческая спеКТРОСКОЛИЯ t
возникли оптоэлектроникз, коrереНТНая спектроскопия и I{вантовая
ОПТИКЗ+ На очеред({ разработка лазеров реитrеновскоrо и )J"диаnазонов+
Следует еще раз подчеркнуть. что бурное развитие квантовой элект
рОННКИ было обеспечено большим запасом идеЙ и конкретной инфор
мации. накопленной к пятидесятым rодам в радиочастотной и оптиче
СКОЙ спектроскопии. Такие казалось БЫ t далекие ОТ непосредственных
практических примененнй направления физики как маrНJlТНЫЙ резо
нане или молекулярно-пучковая спектрОСКQПИЯ, привели к «лазер
ной революции» ВО мноrих областях науки и теХНИКИ4
rЛАВА 2
ВblНУЖДЕННЫЕ КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Важнейшее понятие квантовой элеКТрОНIIКИ вероятность пере-
хода электрона в атоме или молекуле с одноrо уровня На друrой В на..
стоящей rJlЗве сначала определена общая формула ДЛЯ вероятности
КВЗНТовоrо перехода в первом порядке теории возмущения ( 2t 1),
затем вычислена вероятность перехода ПОД действием монохроматиче..
CKoro Ilзлучения ( 2.2) и определены сечение взаимодеЙствия Jf коэф
фициент nоrлощения ( 2.З)t Далее рассмотрень( вынужденные пере--
ХОДЫ под действием флуктуирующеrО t ШУ lовоrо излучения с широким
спеКтром (э 2.4). Шумовое излучение, окруЖающее атом,. может иrра1Ъ
рOJlь термостата и вызывать релаксацию ( 2+5).
Последовательная теория эпектромаrнитных процессов должна
и вещеСТВО t и лоле описывать" ИСХОДЯ И3 лринципов квантовой MeX8
ники. Однако большая частЬ эф--реКТQ8 l{вантовой электроники доста-
точно точно описывается таК называемой пОЛУКЛQCсич.есlООй fllеtJрuей
излучения" в которой квзнтуется ЛИШЬ движение частиц, а Э...тIе[{тро
маrнитное поле рассматривается с ЛQМОUlЬЮ классических уравнений
Максвелла. Отказ ОТ квантовой электродинамики существенно упро-
щает теорию, но при ЭТОМ теряется возможность последоватедьноrо
описания флуктуаций электромаrнитноrо поля И t В ЧЭСТНОСТII, CnOH
TaHHoro излучения и собственных шумов квантовых УСИЛIJтелей. В Ha
стоящей книrе в основном paCCMoтpeHbr лишь вынужденные проиессы
ПОД действием классическоrо детерминнрованноrо поля и поэтому ис-
пользована полуклассическая теория излучения. Квантованию поля
н спонтанным npoueccaM посвящена rл. 7.
2" 1. Амплитуда и вероятность переХОJl.а
в простейшей модели квантовой электроники полаrают что веще-
СТВО соgоит из Д ЛЬНЫХ невз.q НМ{'\,nР;" Тn IЮЩ .u IlеНЭ:В:QII"МJlhТХ зто-
1Q Л1! \Юлекvл на , QД ЩИХСЯ ВО- -внешнем.4Лек+р оыаrt- 1 -IJ ТНО:М поле.
Наша первая задача заключается в определении Toro, ЧТО ПР Q..ИСХ О,Д-НТ
С данным 9 ,О J:J.9Д jL йст-виеЬt..,.эаАаНfIоrD nepeмeнн.o JL поля Е (t)
( ооыч .н.о действие маrНИТНОfО ПОЛЯ AIHoro слабее ЭЛектрнческоrо}.. На
втором этапе мы определим ООQЗТНQе леЙС:1'8 ИР aTnMnR на поле. .. Само..
соrласованное решение двух систем уравнениl1. описывающих ОТКЛИК
вещества на заданное поле и QТКДJi]< ПМЯ На заданное движение заря..
ДОВ npl[ разлиЧНЫХ упрощающих предположениях, яв ,яется ОСНОВНОЙ
задачеА Теории взаимодействия излучения с; вещество !.
14
1 1 о веде н и е ча сти ц Н Щ "-.: 1 Dc1 D .3а,..ц,ц (1.Ji1. UlA u.L................... ........ ..... . ..
ется уравнением UUрединrера
(ih a/at 9t) 'J! (r t t):= 04
.а- .....
(2 1.1)
Здесь 'V волновая ф}7НКЦИЯ, арrументзмн которой ЯВЛЯЮТСЯ со-
ВОК у ПНОСТЬ КCIO рдинат частиц r -=== {r 1 t r 2 t ...} и время; 9'(.......... опе р зто р
энерrИНt состоящий из невозмущенной части :lt o и пере мен ной
энерrии частиц 80 внешнем поле (t ):
9l (t) == 5't'o + (t). (2.1.2)
НевозмущеНН8Я энерrНfl в СВОЮ очередь включает в себя кинет"..
ческую энерrию чаСТИQ и энерrию ИХ взаимодействия 7'710 (сюда же
можно отнести и энерrию частиц во внешних статических полях).
Невоэмущениый атом. При выключенном перемеНRQМ поле ВОЛН о..
вую функцию можно представить в виде
'У'О} (, t t) с )Фn (r, t)t
Н
Фп (r t) ff n (r) ех Р (........ {С пi/n'),
(241.3)
(2.144)
r де п И q:"n (r) .........со6сТВеННые значения и собственные ФУНКUИ И опе
ратора :lto удовлетворяющие стационарному уравнению ШреДинrера;
(9t'o.......tC 11) Ipn:=: о. (2.1.5)
Индекс n нумерует энерrетические уровни (МЫ предпопаrаеМ t что
движение частиц ПРОИСХОДИТ в оrраниченной области пространства
" поэтому уровни ДискреТНЫ н ЧТО нет вырождения уровней). Си-
стема функций { n} предполаrается ОРТDнормированной:
) dr W <PJII =:: 6.111' (2.1.6)
так что
) dr I 'у 12 == I 1 СП 12 := 1.
It
(2.1 .7)
I(оэqфициенты Сп В разложении (3) определяют относительную
населенность урОВНей I Сп t 2 t Т. е. вероятность измерить энерrИЮ il n
ИЛИ, как rОВОРЯТ t вероятность обнаружить систему «на уровне» n.
Llействительно, соrлаСНQ правилу вычисления средних величин
в квантовой механике средняя 9нерrИЯ системы при учете (3)...........(6)
равна
<G <fI( о> == ) dr 'Y.Sf о 'у -= I С" 12 <G n'
и
(2 1.8)
Заметим, что соrласно (3) в общем случае атом не обязательно
находится в стационарном СОСТОЯНИИ с определенной энерrией
811 (даже в отсутствие переменной СИЛЫ t коrда (t)==O)t Например,
пусть отличны ОТ нуля два коэффициента СП суперпозиции (3):
C 1 =: С2,I::I: I/V2; Тоrда средняя по ансамблю энерrия атома будет
равна (В I +.с ,)/2, НО отдельные измерения энерrИН будут давать
15
значения или t.i рИЛИ Ф 24 l1РН ЭТОi\I электронное «Облако» (Т. е.
ПЛОТНОСТЬ верОЯТНОСТII найти электрон в точке (, t ')) будет осuил"
ЛИ роввть С БОр08СКОЙ частотой Ш 21 =: lU j Юl Е5 (,fJ 2. IJ 1 )/Ii (рис 2.1):
Р (r; 1) а=: I чr (Т t t) [;! == I <Рl (r) + ЧJ 2 (r) ехр ( iю:нt) I!J2 ==
== <p /2 + Ч' /2 + f.Pl<t': cos (0021 t) (2 1.9)
(ПОJlаrае t <рn ==qJ ). Т акие НесТдlТН()Няри....'е C'QCTOfl I-I[lg UЯ h1R f{}Т И b;oz e..
pi!н'т.нblJrU.l . Ч асто ЭТОТ термин при меняют в слуqае Kor да JJfOrO иден-
тичных атомов находится в нестаuионарНQМ Состоянии [: одинаковой
_ 911 (х)
tZ
:8
у
:с
z
f 'Р (x,t) I
!I
t:;Л/4J Д1
<
\ .х
а 6'
Рис 2+]. Электронное o6JIаКо атома, находящеrося в коreреитном (нестациои.арном)
СОСТОЯНlI Н суперлозиции двух стационарных СОСТОЯНИЙ с различНоЙ СНМмеlр иеn
'1 и flJ 2 ос цнл.' ир ует с ч асТоТо й пер ех ода Ш 21 : а) за вис и мости BOJJ НОВЫ Х фу н к UИ й
от одной из nроетранствениЫХ координат; 6) соответствующие КОНфl1rураци j элек
TpOHHOro облаКа
фазоЙ. При ЭТОМ электроны ОСUНЛJJИРУЮТ СИНХРОННО JI система атомов
обладает макроскопическим днпQЛЬНЫМ моментом, излучающим НН-
тенсивный свет с частотой Ю Z1 (этот эффект сверхизлуч..енuя будет рас...
смотрен в 5.3) "
При наличии 8нешнеrо nepeMeHHoro поля E(t) к собственным коле...
баниям электронноrо облака с частотаМII ro тn добавляются вынужден..
ные с частотой поля ro .
Атом 8 пе.ременном ПОJ1е PaCCMOTpl'M теперь деЙствие переменноrо
поля на волновую функцию атома или молекулы Ч'(r t t). При 1') (t):;bO
функuия (3) уже не удовлетворяет уравнению Шрединrера (1), однаКО
разложение вида (3) можно сохранить, если считать l{оэ4Фициенты Сп
зависящи!-tи ОТ времени (эта возможность следует из свойства пол.НОтJ:1l
системы собственных функций n(r»:
Ч'{r -t)== 2:c п (t) Фn(r, t)4 (2.1.10)
,,-
16
т 3KII1-1 ... Dfстsие ero света относительные на-
сеЛ Н J::fОСТИ ур овней Jc n (t)j2 nе СЛJ!ед еляютс условие Нор о ки
(7)" при ЭТОМ, конечно" сохрапяется) Т. е. а том совершает вынужденнь
neоеходы с ОДНИХ уРовней I-ЧJ пrуI'И Найдем вероятность таких пере
ХОДОВ.
Перейдем от уравнения Шрединrера (1) ДЛЯ ВОЛНОВОЙ функции
к уравнеНИЯ 1 для коэффициентов C n (t)4 Для этоrо ПОДстаВНМ разложе-
ние (1 О) в (1) и учтем J что cor ласно (5) ift Фn jt( .Ф,,:
I (inc n ......Cп ) ФrJ == 04
[J
(2.1.11)
.....
,
Уl'tIНОЖИМ ЭТО равенство слева на одну из функций Ф и проинте--
rрируем по Т:
(inC" ) drФ Фn сn ) drФ;' n) =:0. (2.1.12)
11
Учтем своЙство орТоrОНЗJlЬНОСТИ (6) собственных функций н введем
слеДУЮIЦее обозначение для матричных элементов оператора B03MY
щения:
'P п ) d Ф п::: 'Р m'l ехр (iOJmnl), ер тn === ) dr . (2.1.13)
В результате нахоДИМ систему уравнений ДЛЯ коэффициентов Сп (t)
( ЭКВИваJlентну ю исходному у равнению Ш реди Hrepa):
iiidcm/dt ;; 'ТЛ:пn с n.
... )1
(2.1.14)
........
Заметим, что КОЭф:рИIlиенты Сп образуют функu.ию дискретноrо
арrументз (энерrии) которую можно считать волновой
функцией сиет м и (в ТО в рем я как
ч' (, ямяется волновой функцией в координатном представлении)..
Соответственно (14) является уравнением Шрединrера в э rетическо м
представлении. Фун кции Чr и чr связаны ДP yr с друrом "лине й ым пре-
образованием и несут одинаковую информацию Обратное преобразо-
ванне к (10) леrко получить. УМНОЖИВ (10) слева на интеrральный
оператор dr Ф;':
Ст drФ;'чr.
(2.1 15)
Проuедура смены представления 'V --+- Чr аНЗJlоrична замене баЗJIс.ноЙ
системы координат в векторной алrебре, при которой компоненты
вектора также испытывают линейное преобрззование.
СВЯЗЬ между различными представлениями наиболее наrilЯДRQ
проявляется в обозначениях Дирака ( 745). При ЭТОМ уравнение Шре-
Дllнrера (1) в инвариантном виде (без конкретизации представления)
Запишется следУЮЩИМ обраЗ0М
i/i 41 t)/dt:: fft I t). (241.16)
17
Чтобы перейти к энерrетичесКDМУ представлению, умножям ( 16)
слева на т-А собственный вектор Qператора 9t'o=
ift -!r <т I ') == <т l.?'t I t) :=. (т j.7t' I п> (It! t).
n
(2.1 . ] 7)
в последнем равенстве использовано разложение единиuы: I
=== I п) <n t Введем обозначение <т I I п) == .п Н используем
(2) и (5):
ift --:, (т I t) == {j т <т I '> + 'ft? 11... <n I t>.
"
Если выдеJ!IIТЬ,. наконец, медленно меняющуюся часть коэффици-
ента (т I t>:
<т J t) == С т (t) ехр (........ i,c I1I tJ /i) ,
то снова получим (] 4).
Теории возмущения.. В общем слуЧае решение системы уравнений
(]4) можно найти ИШЬ с пом ощью теории В03МY'l!tения 8 виде степен-
Horo ряда по внеш неисм е.. МО ЖНО t кроме TOrO,. решить систему, не
прибеrая к теории возмущений, с помощью так называеМО!'9 X..
BHeBoro иближ !Щ я, которое будет рассмотрено ниже в 9 D.
Итак, ищем решение (14) в виде суммы
С" s:: с:' + c O + . . . =- d,t' t ( 2.1. 1 В)
'..... . ...........,... ... .....-.........---------..----""Ч I
в которой s e CJ1araeMOe пропорuионально Б-А степени внешней
силы: tf,.SJ $ . Подставнв (18) в (14) н lIриравняв слаrаемые од.
Horo порядка по ' нахоДИМ
ее,: == О.
ifti:.,:/ -= :ппСhО)
..
(2.1.19a)
(241.196)
iM';: =-= :мс s 1)
11
(2 1 19B)
Набор коЭ<f>фиuиентов нулевоrо порядка малости e,J:) задает началь-
ные условия уравнений (14).
Линейное приближение. Обычно полаrается, что ЛИШЬ ОДИН ИЗ
этих коэ4?Фициентов, например qO), отличен ОТ нуля, Т4 е. ЧТО
в момент t o система наХОДИJJась в СОСТО ЯНИИ с оп деленной эиерrиек.:
сп (t о):::' C O' == бпi (2 1.20)
в ЭТОМ случае система у равнений (19 б) для коэф:риuиентов пе psoro
порядка малости «расцепляется»:
ifJ/ :пJi!i. (2t J .21)
18
Отсюда следует, что В. линейном r.-РИближении откли к квантовой
системы, на Q-д вшей я !! ._ tровие I на в нешнее ., 3М)fщение ..
дел.яется формулой 'IIV .
t
C< ) (t) == i 5 dt' ",1 (t') ехр (iЮ тl t').
L '. ,
r
(241 22)
ТЗКИ!\r1 образом, на больших интервалах времени после включения
возмущения (t to--+OO) .9 Иllиент С 2 (определяющий возм щенн tЮ
населенность ОВИЯ с эве rие '2 "ропа ционален урье..о разу
внешне силы на о в ч СТ Т Ю == наче rоВОрЯ,
квантовая система 8 Первом 1IOрядке теории возмущения ведет себя как
набор линейных осцuлляторов u оmк.лuк.аеmся лишь на резонансные сар..
AtOHUKU внешней СИ.Ilbl. Если В спектре возмущения rарМQника с часто--
той ы 2 1 отсутствует (или ее амплитуда мала)t ТО уровень 2 заселяться
не будеТt
Вероятность однокваНТО80rо перехода. Безразмерное комплексное
число С т при начальном yCJJOBBB с( ==бmп называют амплитудой
перехода с УРОВНЯ п На уровень т (часто для указания начвльноrо
УСЛОВИЯ добавляют второй ИНДекс: Ст-о'мп 1)). Квадрат модуля ампли-
туды перехода Ic mn (t)r' равен условной Вероятности найти систему
в момент времени t на уровне т при УСЛОВИИ t ЧТО В момент 10 она на-
ходиласъ на уровне п4 В линейном (ОДНофОТQННQМ) приближении эта
вероятность соrJJЗСНО (22) равна
t t
P:J == Р (11 (т. t I n, t о) == 1i 2 dt' т,. (t') ех р (iro 111 t' . ( 2.1 . 23)
о
Из (23) следует важное свойство квантовых си.стеМ.....еероятносmи
прямых и обратных переходов одинак.овы:
Р {!) P (l)
тn 1'fI71.
(2 1424)
Действительно, оператор 'jt? соответствует реально наблюдаемой
вел ичи не........... эне рrи и н поэтому имеет вещественные с редине з на цени я
!t:yJ) == <CP"J>. И, следовательно" является эрJrtuтовЫМ (самосопря-
женны;u) оператором: Cf/J == 7fi + . Матри чные элементы эрмитовых
операторов обладают СВОЙСТВОМ IR/1::: m' так что из (23): С..rIе"
дует (24).
Заметим, что для возможности перехода п т кроме . С ОВИЯ
ре:iQ.Uэwtа нео бходимо еще наличие отличноrо ОТ нуля матричн о
элемента
." "'" dr с:р;' c:p n :#: о.
J.) Напомни м" ЧТО в квантовой мехам ике и идексЬ1 часто читают справа налево.
поэтому с .11......... а мп J] нту Д а n ереХОАЗ n.......... т.
19
Это требование, определяющее правила отбора, «запрещает» неко-
торые переходы для систем с высокой симметрией НапримеРt если
Фп ( r) == ::i: <Р п (r) (центральная симметри я) и ,),..., r (дипольное
Прl1БЛllжение) ТО переходы между СОСТОЯНИЯМИ с одинаковой чет..
НОСТЬЮ запрещены (так как подынтеrральная функция при этом
нечетна) Если тlJ +- О, ТО rО80рЯТ, ЧТО возмущеНliе «связь[вает»
ИЛИ «перемешивает» состояния т 11 n.,
t 2.2 Ф Переходы в монохромаТИЧеском поле
ДИПQЛьное приближение.. Применим общую формулу (2 1 +23)
к случаю rармоническоrо возмущения. В большинстве задач KBaH
ТОБОЙ электроники применимо дипольное приближение для эиерrН[1
ВзаН lодейсТВНЯ зарядов с полем ( 7.3):
'f/J d аЕ == d-(E o e i t + Е; е iшt )/2. (2.2.1)
Здесь амплитуда Ео электромаrнИТНОЙ волны предполаrаеТСR по.
стоянной В пределах рассматриваемоЙ систеМы атоМа ИЛИ моле..
ку лы (так как в оптичесКоltl диапазоне )... 1 О 4 СМ а о ,..... 1 O 8 C ft
rде ао боровский радиус).
В случае одноэлектронноrо атома оператор дипольноrо момента
d равен произведению заряда электрона На ero радиус вектор:
d er, так что матричные элементь[ равны
'f1J тп == d mn 41 (Е о e ,wt + K с. }/2"
d mll :::::: е d S , rtp;'<J1I1'
(2 2 2)
(2.2.3)
rде К. с. означает комплексно сопряженное выражение. Для раз-
решенных переходов ИНтеrрал в (3) имеет ЛОРЯДОК раз {еров аТОМа
а о , так ЧТО
I d m ,,""" еа о ,..", I О 19 crc == I Д. [
в случае маrнитоДИnОЛЬНЫХ переходов. которь[е ИСnОЛЬЗУЮТ t в част
ности, в napaMarHHTHblX усилителях, надо в (2) сделать за 1ену
электрическоrо поля Ео на Маrнитное Но и d на lаrнитНЫЙ ДИnОJlЬ
ный. MOMeHf jJ-f равный ПО порядку веЛИЧИНЫ Aia2Hef110flY Бора:
Jlm. 110 :Е: еli/2тс 0,9.1 O 2' crc. (2.245)
Вероятность nepexoдa Подставив (2) в (2.1 t23), найдем (при 10 == О)
р :::: J d · Е ехр (i (ООтn (I))itJ 1 + d 41 E!t ехр (r+ (ООт71 + 6)) tL----:..! :!..
т 4n. 2 тп о ООтn (I) тп о Ю тn + W
(2.2.6)
(2.2.4)
Будем далее рассматривать вынужденные переходы вверх ((Оmn>О)
ИЛИ вниз (u)mn<O) при условии резонанса между частотой поля (00)0)
и частотой переходз:
ro 1 ООтn t 1 U) I ООтnl r (2.2.7)
20
При ЭТОМ ОДНО из слаrаемых в (6) миоrо больше друrоrо и последнее
можно не учитывать так называемое прuблu:нcен.UR вроrцaющейся 1)
80АНЫ. Например. при вынужденном поrлощении основную роль иrра-
ет первое слаrаемое, пролорuиональное пол.ожutпеЛЬНО-ЧJJ.стотн.ой
части ПОЛЯ EoE iootj2, а при вынужденном излучении BTOpoe
пропорциональное отрицатеЛlJно частоmной части E [fi)tI2 (8 I(BaH.
ТОБОЙ электродинамике амп.
литуды Ео, Е;являются опе
ратора и, пропорциональны-
ми операторам уничтожения
а и рождения а+ фОТОНОВ
СМ. 7.4).
Итак, в первом порядке те..
ории БQЗt\lущення вероятность
обнаружить атом на уровне т
в момент времени t при Ha
чальном условии сп (О) == 1 paB
на
р d т 7l · Е о 2 [ S lп (oot.... 2) 2
т n 2fi. .1 t
(2+2 8)
'lttn
t: f
1
I
r де ОО.:::::= О) I ro шn.L. Со r л а с н о
Рис. 2+2. Зависимость ВерояТНОСТИ вы нуж-
ЭТОЙ формуле зависимость дениоrо перехода Р тп от частоты поля ro и
вероятности перехода от ча времени в.заимод.е.Йс.tRИЯ t
СТОТЫ BH _WlIero поля и eeT
р q.Н JjсНЫЙ aкreРt при..
чем . QCmpOnl n pf'mиaHC возраста m Uиf"i Rf1P eн u (рис 2.2).
В результате в пределе при ( oo вероятность перехода оказывается
Пропорциональной б ФУНКЦltп Дирака:
lim [ sin oot /2) ] 2 =; 2nt б (со). (2.2.9)
L! .....ж wf2.
ПраВИЛЬНQСТЬ выбора множителя при б-функции проверяется интеr
рированием обеих частей равенства (9) по Ю
I1ропорциональиость вероятности перехода времени действия B03
мущения t позволяет ввести !}!!! н.ocmb перехода в единииц вoeMeH
(ее называют также скоростью пe pex oa fl, :
... ...
W nжn == Р mr !t == 2л I d тN . Ео/2А [2 б (u»). (2.2 1 О)
Таким образом, CKOPOSTp перехода nрОПОрUИQнвльна КВ8Д ату ПОЛЯ.
Т. e интенсивности RОЛ]..J Наличие б.функции в (IOJt ОТЛИЧНО ОТ Н
ЛИШЬ при ТQЧНQ!\I резонансе,. .п:erKO понять ТQННОЙ точки .э.рен. ия:
соrласно закону сохранения энерrии изменение энерrии aTo a на
1) н аз ва н не с в Я33 Н О С тем, ЧТО Н а комплекс но й ПЛ ОСКОСТ И ее к то р e i wi ер ащзетс я
в ОТ л и ч ие оТ ОСЦИ..1 Jl И Р У ющеrо ве К70р а cos юt.
21
lJ т .сп ;::; Аroтn ДОЛЖНО сопровождаться излучением или поrлощени"
е"l фотона с энерrней liro 4
Учет ширины уровнеЙt Практнчес)(н" однако . Всеrда имеются дo
полнительные возмущения (например, столкновения в случае rаза),
которые уширяют энерrетические уровни и В результате резонанс
даже при t....,.oo принимает конечную ширину Аоо (в случае столкнове.
инй Лю ===2Jт:, rAe l' среднее время между столкновениями). Для
учета конечной ширины резонанса на кuию в (10) заменить на
Ф9р tI..фQк т о р g{ro ) , описывающий истинную форму спектральной
iИнии и также нормированный На единицу:
r w "'" == 2л 1 d тп , Ео/2п [2 g (w). I
(2.2.11)
iЖI
d (о g (щ) == 1.
"10
(2.2.12)
При ушнрении столкновениями спектральные линии имеют лореи-
цеву форму (рис 2 3, кривая 1):
2.f(n (U)
.1 (О)) == I + (2iO/t1(o))'
(2 2.13а)
Вероятность перехода мак симальна при (u ж== ] (t}тlll!
L w о =: QZ/ (O,
=
(2.2.14)
J
r де Q ==== I d тп · Е G j"k часпlОtuа вел ичи на имеет размер
НОСТЬ 'Ы И характеризует возмущение атома резонансным
монохроматическим полем
Итак, верояmность 8ынужден.Н020 перехода nРОnОРЦUOНаАЬна интен-
сивН,осmи cвeтa квадрату маmрuчноzо элемента дuпольнО2О момента
и обратхо nроnорциональна ширине спектральной линии.
Последняя зависимость характерна не только для СТолкновителЬ-
Horo уширения: из условия нормировки (12) в общем CJIучае следует,.
ЧТО g (о)......, 1/600. НапримеРt в rззах П Е.!! низких давле1U'В У } часто
определяется ом Допле .который Д T rауссо вYJiюР }lllЦН ИИ4>
На рИСt 2.3 сравниваются орМЫ спектральных ЛИНИ Й в случаях уши-
рения из-за столкновений (СМ. (13a», из...зз эqx)Jекта Доплера) Korдa
gд (О) ):= ;«) ( Jn n 2 Y/ ех р [ 4 ( :(д ) 2 In 2 ] . (2.2.136)
и нз-за конечноrо времени взаимодействия t (ер. (8)). коrда
( ) О, 886. ( 2 7800 ) ,\ 5 t 56 ( 2 2 I 3 )
gt (t) :::::::: slnc.... Аro ' l..'Ю -т. .. в
22
rде sinc x -== (sin x)/x и Дro полная ширина ЛИНИИ на уровне .1/2.
Из рИСt 2 3 яеНО t ЧТО конкретный механизм уширения замеlНQ сказы..
ваеrся ЛИШЬ на крыльях линии. ЗаметИМ t что амплитуды нормирован
иых ПО площади форм-факторов (13) при точном резонансе и в случае
ОДинаковых dro относятся как
f: ( 4 I 2 У /2 : 5 2; 1 : 1 ,47 : 1 ,39. (2.2.15)
Выше при выводе (11) функция (2JO) siп 2 (юt/2)t полученная из
теории возмущения (здесь ro расстройка чаСiQТ ПОЛЯ и перехода).
была заменена на 2nt g«(t}) Поясним СМЫСЛ этой процедуры на примере
модели «сильных» столкновений. Соrласно последней каждое столк.
новение MrHOBeHHQ переводит атом обратно на ИСХОДНЫЙ уровень,. по-
сле чеrо он начинает заново
взаимодействовать с полем.
При ЭТОМ надо заменить в
(8) t на t t(J := !1t., rде to
момент последнеrо стоn.к"
НQвения. В rазе интервал
времени tt прошедшеrо от 1ft" ........... ..
последнеrо столкновения
данноrо атома до кзкоrо"
либо фИКСИ рОБа н Horo !\-fО
мента t, является случай-
ной веЛИЧИНОЙ с экспонен-
циаЛЬНЫ 1 распределением о
(СМ. [24 J, с. 35):
Р (At) ==ехр (......At/'t)/T t
(2.2.16)
rде 'Т cpeДHee время меж-
ду столкновениями.
Поrлощаемая (или из"
лучаемая) атомом МОЩНОСТЬ
пропорционадьна мrновенной скорости перехода в данный ьtQмент
времени t:
1
f
,
z
Awl,z
[(tI (U пmj
РИСt 2+3. ФОрМа спектральных линий. При уши
рении из-за столкновений или СПОНТанноrо излу
чения линии имеют лоренцев)' форму (l) Нз за
эф:ректа Доплера......... rayCCOBY форму (2)t а при
резко оrр3t1иченном времени вза НМОДействи я t
форму si пс (юl /2) (3)
w (At) dP/dt =:(>.2sin (o>dt)/2oo.
(2.2.17)
Здесь ДЛЯ вероятности перехода Р бь[ло ИСПОJJьзовано выражение (8)"
Средняя скорОСТЬ перехода определяется усреднением (17) с ПОМОЩЬЮ
( 16);
CtJ
W 5 Q2T/2
:!!I d (61) Р ( t) W (L\t)::: 1 + T! ·
О
(2 2.18)
Последнее выражение соrласуется с (11) " (13а) при замене т на об...
ратную полуширину ЛИНИИ 2/ doo. Интеrрал в (18) леrко нахоДИТСЯ
заменой si n х на 1 m ехр (ix) t
23
2.3.. Сечение и коэффициент поrлощення
Свяsь интенсивности и амплитуды "ОЛИФ Чтобы переЙти от скорости
переходз W к сечению a W!F и коэqxpициенту поrлощения (иди уси..
ления) a==ut!N, наДО ВЫразить квадрат поля IEoP через плотность по-
тока фОТОНОВ F [c l. СМ 2] или IHTeHCHBHOCTb ВОЛНЫ I :=::=fiooF [8т!см 2 ).
Найдем сперВа энерrию волны tC Из уравнений Максвелла следу-
eT ЧТО мrновенная энерrия ПОЛЯ заключенная в объеме V прозраЧноrо
ИЗQтропноrо hemar-НИТНОfО вещества с диэлектрической постоянной 8,
равна
11 (t):: ) dЭr (вЕ2 + Н2)/8л.
v
(2.3 1)
в случае плоской монохроматической волны
Е =:::= (112) eE{Je i (.t.,. ro() + к.. с., "=== llk х Е.
(2+3.2)
....
Здесь е еди ничный вектор ПQЛЯРИЗЗllИИ t k kпrojc......... ВОЛНОВОЙ
вектор, k едиНJlчНЬ[й вектор в направлении распространения,
п vе nоКа3аТелЬ преЛQмления. Подстановка (2) в (1) и усред-
нение по времени ПРИВОДЯТ к следующей связи между средней по
времени энерrией и амплитудой плоской волны:
С == di (t) := 11 2 V I Е о 1 2 /8Л4 (2.3+3)
Интенсивность волны равна, .оч.еВИДНО 1 ПЛОТНОСТИ энерrии С/У,
умноженной на скорость волны С/I1:
I J:: сп I Ео It/8л:. [
(2+3 4)
ЗамеТИМ t что в этом выводе не принималась ВО внимание ч.астотная
дисперсия среды 8(00). Для ее учета надо в (1) заменить в на d(ие)/dro
(CM. например, (22.. 231), так что в (3) вместо п l будет выражение
(1/2) Id (roe)/doo+eJ ==c 2 /uv, (2 3.5)
rде v cJп фазовая скорость и u d{j}/dk rрупповая. Плотность
энерrии теперь надо умножать на и , и В результате снова получается
та же связь (4).
Сечение резонансноrо взаимодействия. Подстав(]в в выражение
(2.2.11.) ДЛЯ вероятности перехода W вместо квадрата поля IEol Л.ПОТ-
ность потока фОТОНОВ Ft найдем сечение перехода, равное по определе
нию W/ F (ПОJlзrаем n::;;: 1):
cr nr , :;: (4л 2 jliс) wg (оо) i d t 12.
(2.3.6)
d fot ) d ....
r де mп -=== 11J тl I!':
Сечение переходз аксимально ПРИ ТОЧНОМ резонансе
в случае лоренцевой формы линии (2.2 13а)
(J тli ==: 8лю тn I d 'n 12flic .:\OO
(ro == (О mn>O);
(2.3t7)
24
Для наrлядности МОЖНО представить ЧТО tJ ПЛОЩаДЬ «тени», OT
брасываемой атомом. Оценим эту площадь. Ширина линии l\ro не
может быть меньше так называемой естественной шириНbt определяе-
мой спонтанными переходзми. В дальнейшем будет показзно (э 2 5),
что
.6.(Oe t == 4W ilJ I d тn I'! /Зliс 3 == I/T 1 ест t
(2 3 8,
rде T I СI время жизни атома в возбужденном СОСТО)ihИИ t оrраНИ"
чиваемое спонтанными переХодаМИ в основное состояиие+ Пусть
d тn е, тоrда, подста вив (8) в (7), получи!\!
I <10" (3/2:П;)(d(J)ест/ d (J)) л 2. (2.3.9)
При случайной ориентации веКТора d тn имеем I d.. n 12::;:: 3 I J"2,
так ЧТО в (9) появляется множитель 1/3.
Таким образом, если столкновительная и доплеровекая ширины
t,II
MHoro меньше ecтeCTBeHHOH t ТО «тень» атома по Qnшошенuю к резонанс-
HblM оnтичес1Ш.М neреходам имеет линейный размер порядка длины
8ОЛН л 10 4 см (вместо размера атом ao IO 8 СМ . В разреженных
rазах О СНОВНУ ОЛЬ иrрает J!ОПЛ ВСК шире е, имеющее порядок
Аf :=. Ао)/2л""'" 1 rfц; естественная ширина ДЛЯ разрешенных оптиче-
СКИХ лереходов на два порядка меньше t поэтому о.-.vл:!./100 (6 случае
маrнитодиполъных переходов fecT"""" 1 03 ru н a 1 O 'A2)..
Кинетика населен ностеА. Рассмотрим, как изменяются средние
на<:.еленности уровней N m , определяемые следующим образом:
Nm == lcmI2No (2.3tl0)
rде No общее число атомов, Таким образом, мы здесь переходим ОТ
рассмотрения ОДНОЙ частицы к свойствам системы из N о одинаковых
неВЗЭJlмодействующих частиц. Скорость перехода n--+т определим так
(ер. (2.2.1 О)):
w тll : ==: dlc m I 2/dt.
(2 3+ I1 )
Отсюда скорость увеличения населенности N т конечноrо СОСТОЯНИЯ т
должна бьrтЬ N o W тn. Однако выше предпола rаЛОСЬ t ЧТО на чальное
п
состояние п занято с вероятностью еДиница; здесь же эта вероятность
ра вна N п I N о поэтому N т W тn N п. Если учеСТЬ t кроме TorO t УХОД
частиц с уровней, то. получаем следующую систему уравнений для на-
селенностей:
dN m1dt -= (W mn N п............. W "I1f N т).
Il
(2.3.12)
Здесь пока не учитывается релаксация вообще же скорости W mn долж..
НЫ включать и вклаД хаотических полей, создаваемых окружающими
частицами. Такие уравнения изучают внеравновесной термодинамике 1
ИХ назь[вают кинетическими или уравненuями баланса населеНflостей.
Если в обмене участвуют ТОЛfэКО два уровня, то
Ni+N2 No (2 3 13)
25
и достаточно рассматривать лишь ОДНо из уравнений (12)t Из ЭрМИТQВО-
ети опера тора возмущен ИЯ следует W 12 W' tJ:-== W (еМ4> (2.1.24» t так что
1"= Nt"=W( Nд. ) (2.3.14)
Кинетика фоТОНОВ. Каждый переход вниз сопровождается излуче-
Нием одноrо фотона, а переход Bepx ........... поrЛОЩением, П03ТО}fУ СКОрОСТЬ
излучения фоТОНОВ 1) равна N 1 , и YJt.iJ!!!lelШi! переноса ДJJЯ Q H08
имеет вид .
\ дNlдt+т:;(иN)==dNlld (2 З4I5)
rде N (r, t)......... концентрация фОТОНОВ и иN вектор плотности
потока фоТОНОВ. Отсюда в стационарном одномерном СJlучае, Коrда
дN Iдt"=О и F F iz), 1........ W
Id F/dz W(N2.......Nl) V (2.3.16)
и J
Далее t из определения сечения перехода следует I
dFldz== (Nl Nt) F a F. 7 -liv (2.3.17)
Пусть населенности не зависят от Zt тоrда из (17) следует экспоненци"
алъный закон измеНения интенсивности ') света;
F (z)::::: F (О) e щ, (243.18)
rAe коэффициент поrлощения (или при N 1 < N'2 усилення) соrласно
(6) равен
а (4п 2 ;liс) юg (ro) I dl 12 (N 1 N t ). (2.3.19)
Коэффиuиент реэонаНсноrо поrлощения. Максимальное (резонанс-
ное) значение ко3ф<Рициента поrJJощения в случае лоренцевой формы
(2.2413a) равно
а. =- (Вп/liс) (ОО21/ ш) [ ditd (:! (N 1 .......... N 2).
(2.3 20)
Заметим, что в стационарном слуЧае Nm==-O " из (J4) при W:;6;Q сле-
дует N 1 ==:.N 2t так ЧТО t казалось бы, всеrда a O (это явление ВыраВНи....
вания населенностей ПОД деЙСТВием поля называется аффектQМ на
сыщеНUЯ)t Однако Не учитываемые в (14) процессы релаксации (СПОН-
танные переходы, неупруrие столкновения атомов друr с друrом и
с электронами в rазаХ t взаимодействие с колебаниями решетки в твер-
дых телаХ t безызлучательные переходы) стремятся восстановить IJСХОД-
ную разность населенностей Nl N2t н поэтому в случае достаточно
малых полей насыщением можно пренебреЧЬ4
В оптическом ДIlаnа30Не для разрешенных переходов с естествен-
ным уширением величина ао доетиrает значения 1 см"') при относи.
1) Понятие фотона в рамках ПОЛУКJ.l8сснческой теории ИЗJlучения не 80зник"ет,.
н ЗДесь более последовапльно было бы rоворить об изменении энерrни ПОЛЯ На Тi,ш.,
а не. Ч ) и}tз фоТОНОВ. ОДii8h:О фотоННЫЙ ЯЗЫК У д06нее ввиду ero наrляДНОСТН.
аnОМFlИМ что интенсивность 1 проnорnионаЛЬНа F t а именно J === /i.wF.
26
тепьно небольшом числе активных частиц IAN' ==N2 N(. При :::::
==0 t5 МКМ cor ласно (9) I N 1-==2лао/3л == 1 ОЗ см З. В peHTreHoВCKoM диа"
пазоне л на 4 порядка меньше и IANI 1017 CM 3.
В парамаrнитных УСИJIИтелях СвЧ..диапззона ширина линии опре-
деляется ди поль.. ди ПОЛЬНЫМ взаимодействием пара ма r нитных ИОНОВ.
В кристалле рубина (A]Z03+ lО з Cr) при концентрации ионов хрома
1018 см з ширина ЛИНИИ имеет ПорЯДОК 50 MrUt Заменяя в (7) d на IJ.I
ДЛЯ }ot == I см получаем а :::::8;rtI-1 Jn'л f ==5. I О 20 см!!. Практически дости-
жимое в ларамаrнетиках число активных частиц примерно равно равно.
весной разности нзселенностей AN('} ==hюN ofxTg N 0/10::::: 1018 CM 3
(здесь g===2S+ 1 ==4 вырождение ОСИQвноrо уровня иона хрома,
.сНИ fаемое постоянным маrнитным ПOJlем, S ............ спиновое число). ОТ-
сюда ao O,05 CM J, и ДЛЯ получения усиления й==100 необходима дли-
на кристалла l (ln a)/a{8 1 М. ДЛЯ сокращения 1 кристалл помещают
в объемный резонаТОРt Т. е. применяют MHoroKparnoe прохождение
сиrнаJlЗ через вещесТ80 t или в замедляющую систему 4 В ПОСJlеднем
случае приведенные выше формулы для а и а сохраняют смысл пр"
замене скорости света в взкууме+. на rрупповую скорость ВОЛН в за...
меДЛ я ющей системе и ===dK I dz t rде К ......... ПОСТОЯ Н изя распростра нения .
Полоса УСИJJения. Вследствие экспонен ци ал ьноЙ СВЯЗИ () В) между
к.оэффuцueнtnQМ передачи О==.Р (l)/F (О) слоя вещества с ТОЛЩИНОЙ 1
и коэффициентом поrлощения а наблюдаемая частотная зависимость
0(00) при raJl>J (большая опmuЧi!Ская плопlНость) будет отличаться
по форме от функции а (<о). Леrко убедИТЬСЯ 1 что ЭТОТ эср.фект ПРИВОДИТ
к обострению намюдаемоrо резонанса при а<О и к ero уширению при
а;>О (рис. 2.4)t Пусть а<О и функция а(оо) имеет лоренцеву форму.
Опр делим попосу уСИЛения dro' условием уменьшения величины
а ( ro )........ i на rpa ничных частотах вдвое по ера внен ию с ее ма ксимальным
значениеМ t тоrда И3 (18) находим
.f._
Аш l :J.' Jn Gi) } 1/1
""-. . 500 ==: \ Iril16 + 1)/21 1. (2.3.21)
rде О О =:;;;;; ехр ( aGl). Отсюда при Gb I 1 следует ю'.... дro. а при
обратном неравенстве
Лоо' ( In 2 ) 1/2 I
6.6.1 Iп а о [n 2 У I ао J 1
(2 3 22)
ТаКИ 1 образом tЮлоса усиления с pOCпwM длины усилителя сужается
довольно медлеННО4 НапримеРt при 00 100 (aol ==.......-4..6) отношение (21)
равно 0,417 (приближенные выражения (22) дают O 42 и 0,46).
о Учет вырождения уровней.. Вь[ражения для коэффициента усиле...
ния 11 условие инверсии N 2>N 1 были выше получены в предположении,.
ЧТО уровни энерrии атомов не вырождень[+ Пусть ТеперЬ gi. различных
ПО к.аКИ f"ТО ларамеТр.ам состояний имеют одну 11 ту же энерrню //1 и
112 состояний имеют эиерrию С 2 :
(9(o B 1) <JJJI== о
( .9t о .........//,) <Р2! =- О
(i== 1, ..., gt),
(j == 1 ..., gl)4
(2.3.23)
27
Заметим, что следующие ниже ВЫВОДЫ nрименимы также и в случае,.
коrда вырождение СНЯТО за счет достаточно малых возмущений
(рИСt 2.5). Теперь индексы 1 или 2 в приведенной выше теории
. g(з,'.g)
1
о 1 ё J
РИ'С. 2.4. Наблюдаемая форма реэонанса в слу-
чае лоренuевоii ЛИНИИ с шириной ю при раз-
..1 и Ч иы ХОП ти q-ec к и х ПЛ от нос.т Я х y r.t.oI в uеитре
JI ии ИИ (Р==- 2 ( (t)----- (Щj)1 А ы)
,
il y !
J
t,
Е}У'
:с
J II.
О о
Рис. 2+5+ Вырож енне УрОБне:й..
gl РЭЗJ]ИЧНЫХ состояний 06.;lада...
ю'Т одинаков.?" энерrиеL J С1' а
е2 СОСТОЯНИ I энерrиеи {J 2; 8
правой ц зст И рис У н к а вы рожде.
ние с"и'Мвe:r<:я иешмим ПОСТQЯ&-
НЫМ полем но. нарушающим СИМ
метрию системы; переМенное по.
.1е ВЫЗ ы вает n е ре х O.lhl между оп-
ределенной парой состояний i, /
возмущения надо З8меНIIТЬ на двойные li нли 2j. Вероятность вы-
нужденноrо перехода между СОСТО я НИ ямн 1 i и 2 j cor ласно (2.2.11)
пропорциональна соответствующему матричному элементу:
W 1/, 2/ == W 2} II ......, , di? 2] 11
Число переходов вверх ИЛИ ВНИЗ пропорuионально населенностям
ИСХОДНоrо состояния N 1i или N 2 }t поэтому
":1
N 1i == 2: (W Ji1 2jNZj W2j li N 1i)4> (2.З 24)
j = , .
Скорость изr-.-tенения общей населенности уровня N 1 =:. N 11 будет
равна ДВОЙНОЙ сумме ПО БырождеННbtМ сОсТОЯНИЯМ:
N 1 2: w li, 2j (N2J N]i) (2.3 25)
ii
Предположим теперь, что эcjxpeктв наСЬJщения нет 1I процессы
релаксации или механизмы инверсии при ВОДЯТ 1{ равномерному
распределению населенностей по поду ровням:
N Ji == N l/g 1.' N 2/ == N 2Ig". (2.3.26)
В результате (25) принимает вид (cp (14))
N 1 :::::: ........ W J" N' "
28
(2.3.27)
rде
W ' == I W Jj, zjt t!N';:: N l/g1 N 2/е2.
il
(2.3 28)
Итак, для учета ВЬJрождения в формулах ВИда (20) надо пони-
мать ПОД W сумму W' 11 ПОД N разность «населенностей состоя-
ний» N m /g т 4 При этом у словие ИНВ НИ имеет вид
[ jN1/g 1 < N 2 1g 2 . j (2.3.29)
ПУСТЬ t Например gl;= 1 и g2 Зt тоrда для усиления необходимо;
чтобы N 2 > 3N 1+ Напомним, что соrласно распределению Больцмана
N O)I Ni O ) (g2/g1) ех р (........1iш 21 fхТ)
(2.3 30)
и N O) < 3N (J)..
J
}
2 4. Вынужденные переходы в случайном ПOJlе
Q".5: ......nop n9!1et индуцирующее nереходы считалось MOHOXpO
M rU K1iм ТtYCTb теперь E(t) произвольно зависит ОТ времени.
Соrласно (2+ 1.22) амплитуда перехода в первом порядке теории
возмущений имеет в ДИПОЛЬНОМ приближении следующий вид (ПРИ
УСJJОВИ и С 1 (t o ) == 1):
t
с э (t):= + 5 dt' ехр (i(0 21 t')L, d 21a E a и'),
lп tt
10
(2.4.1)
rде a x, у, z..........иНдеКсы декартовой системы координат. Квадрат
модуля ЭТQrо выражения определяет вероятность перехода:
t
р 21 (t)==:!i э I d 2l Cl.d;IP dt' dt" ехр (ioo 21 и' t n )] Еа (t') Ер (t"). (2.4.2)
«р. J
Корреляционные ФУНКЦИИ. Рассмотрим далее случай, коrда поле
имеет хаотический,. случайный Характер. При этом р надо усред-
НИТЬ по соответствующеi'YIУ распределению вероятностеЙ 1 так что
в (2) вместо napHoro произведения амплитуд полей Ef;/.EfJ появится
маrриuв вторых .MOMeHnloв ПОЛЯ 1)
(Еа (t') Е (t") ::= Gct(i (t' t t") == a (t', t '). (2. 4 3)
Это равенство определяет неКDТОрЫЙ теНЗ0р, каждая из девяти КОМПО-
IfeHT KOToporo является функцией двух aprYMeHTOB. Матрицу вторых
OMeHTOB (3) Называют также тензоро.м корреляции ПОЛЯ Еще ОДИН
ЭКВИВалентныЙ термин функция к..осеренmностu поля (первоrо n<r
1) у rJ10Bble скобки означ ают усреднение ПО статистическому ансамблю Тlолей
( 7.2).
29
рядка) Полностью статистические свойства случайноrо ПОЛЯ задаются
набором моментов (функций коrе ентиости) всех ПОРЯДКОВ и ДЛЯ все-
возможных пар «точек» x==a{r t t} Подробнее статистическая оптика
будет обсуждаться в rл. 7, а здесь лишь отметим, ЧТО нечетные моменты
ПОДЯ t КаК правило равны НУЛЮ а моменты порядка 2п определяют ве..
рОЯТНОСТИ п-фотонных переходов. Укажем также ЧТО сумма диаrо
нальных компонент матрицы вторых моментов Оаа (шпур или след
маТРIlЦЫ) при совпадающих арrумеитзх определяет среднюю плотность
энерrии электрическоrо поля <ЕI>/8п в рассматриваемой точкеt
Важнейший класс случайных полей составляют стационарные
поля. статистические характеристики которых (интенсивность, спектр,
поляризация) не меняются с течением времени. Функция корреляции
CTaUIIOHapHoro процесса может зависеть ЛИШЬ от разности двух ее
aprYMeHTOB;
а аВ (t' t t") -= аа.Р (t' + t ,. t /1 + 10) = а аВ (t' -.-. t ll ). (2.4.4)
Из (4) н определения (3) следует свойство симм трии:
а ар ( ........ t) == a"CJ (t); (2 4. 5)
в чаСТНОСТИ t а"а (t) четные функции времени.
ИтаКt соrласно (2) и (3) вероятность перехода под действием
стаЦИопарноrо случаАноrо излучения определяется теНЗ0РОМ кор"
реляции поля:
t
р 'l.1 == Ji 2 d j1 (r, d; I t3 Н d {' dt ех р [i 0)21 (t' ( ) J G (Х!! и' (). ( 2.4 . 6 )
a t
Скорость перехода Будем интересоваться деЙствием возмущения
33 большие интервалы времеНИ Мноrо БОльшие, чем время KOp
реляции поля ТЕ ( 7+2). При этом МОЖНО устремить пределы интеr
рирования в (6)' к :f:: 00. Сделаем замену переменных t 1 === t' tJt.
t 2 == t' + t N . И HTer ри рование по t J дает фу рье образ а аа (ro п),. н азы..
ваемый теНЗ0РОМ спектральной плотносmи поля:
O(X (О)) == (2п) 1 dt eiootG t3 (t) == о;!! ( O)) == o (О)) ==O !! (00). (2.4.7)
()братное преобразование имеет ВИД
G а!! и) а= ) dO) e ilMO(X!! (0)). (2.4.8)
Бесконечные пределы интеrрироваНИЯ t как ЭТО прИНЯТО, опускаем
и обозначаем функцию и ее фурье образ одинаковыми буквами. Вто-
рое Ifнтеrрировзние (по (,) дает просто время наблюдения t tOt
так что можно определить не зависящую от времени скорость пере...
хода W ===-P/(t to)+ Пусть дипольный момент перехода параллелек
оси X тоrда окончательно получаем следующее простое выражение
ДЛЯ скорости лерехода:
w 21 -- 2лli --21 t41 J2 а хх (0021).
(244.9)
30
Итак. скорость вын.уждеНН020 перехода noд действие.м случаЙН020
(шу.мовоео ипи NelW2epeHmHoeo) возмущения nроnOрl{UQнальна спект-
ральной плоmносmи 8QЭмgщенuя а (ro) на ч.осmоmе neрехода. Выражение
(9) полезно сравнить с формулой (2.2.II)t определяющей скорость
перехода в случае монохроматическоrо поля: эти формулы совпаДают
при замене 1Eo12g( ro)....а (00).
В nриведенном выводе не принималось ВО внимание уширение
уровней /100 в результате процессов релзксаuии. Однако ИНТУИТИВНО
яСно, ЧТО ЭТОТ вывод должен сохранить силу в случае t коrда 600 MHoro
меньше ширины спектра ВоЗмущения Aro l/tF4 Поле при ЭТОМ назы..
Бают н.eкczepeпf1lН.Ы,М. В противоположном случае поле МОЖНО. очевид"
HOt полаrать моНохроматическим KorepeHTHblM.
Коэффициент Эйнштейна B Рассмотрим теперь изотропное непо..
ЛЯРИ3Qванное излучение, для KOToporo аа.р::О6аР+ Перейдем при ЭТОМ
от 0(00) к спектральной плотности энерrии р(оо). Последняя опреде.
.тJяется через ПЛОТНОСТЬ энерrии следующим образом (полаrаем n ==: 1):
«'
С JV == (Р + Н2>/8п =:::; dro р (ю).
о
(2.4+ 1 О)
в поле излучения Е:= Н t поэтому
.со
il/V == l: G аа (t == О)/4п == 3 ) dю G (00 )/2п.
О
(2.4+ 11)
в последнем равенстве использована связь (8) при t == О и учтено"
что соrласно (7) G(ro) четная функция. Из сравнения (10) и (11)
llолучаем связь спектральных ПJ10ТНОСтей амплитуды и энерrии поля:
а ((1)) ::: 2nр (ы )/3. (2.4.12)
Подставив (12) в (9), нахоДИМ окончательно скорость перехода в изо-
тропном неnOJlЯрИЗОВЭННDМ шумовом поле с широким спентром:
W 11 == B 21 P (ю 21 ). (2.4 13)
82.1 -- 812 == (2п I d tt t/Ii )1/3. (2t4.14)
Коэффиuиент проnорциональности В между скоростью перехода
]1 ПЛОТНОСТЬЮ энерrИlJ называется к.оэффuцuентом Эйнштейна для
вын.уждСНН020 перехода. В слеДУЮIЦем параrрафе t ИСХОДЯ нз найденной
Планком Функиии р(О) (оо) ДЛЯ рзвновесноrо IIзлучеНИЯ t МЫ найдем ВТО'-'
рой коЭ<j:фициент Эйнштейна А J равный скорости СПQнта н Horo перехода..
ОСпектра.льная ПJlОТНОСТЬ поля.. В заключение насrоящеrо раздела
Поясним физический СМЫСЛ спектральной плотности поля О(ro). Дли
этоrо формально представим Е (t) в виде интеrрала Фурье (индекс а
опускаем):
Е (t) == dоое iшl Е (00), (2.4J5}
Е (00) "'" dt е им Е (t)/21t. (2.4.16)
.1)
CTporoe определение фурье-представления случайноЙ ФУНКЦИИ
CM В 124]. Найдем с ПОМОЩЬЮ (16) и определений (3), (4) корреля-
тор фурье"компонент поля:
< Е (U) ) Е (о>' ) > == ) dt d t' е ; If!t + j<oJ'" G (t ...... t 1) /41(.2 . ( 2.4.1 7)
Сдел аем в интеrрале по i замену леременных t 1 === t t', Tor Да
иитеrрал по t 1 даст соrласнО (7) 2л G (00), а второй интеrрал ДасТ
2л 6lю + roJ') cor ласно одному И3 представлен и й 6 фу НКЦJfИ:
т
liт ) dt ei(l.\( =- 2л {) (00). (2.4.18)
Т...... ж ...Т
в результате
<Е (ro) Е (00'» == G (00) б (ю + ro')
Из (1 б) при учете веЩесТвеНностИ Е (t) следует
Е (6)) в. (....00)'
поэтому (19) можно представить также в вИде
(2.4 19)
(2 4.20)
<Е (@) Е* (u/) === Q (00) о (O) u/).
(2.4.21 )
Таким образом, б стационарн.ом поле коррелируют пwлыw сар.мо...
пиxU t оmлuч.uющиеся ЛШUЬ З/'lак.ом tШCтоты., и их мрреляцuя оnреде..
ляется спектральной плотностью О(оо). Это означаеТ t что показания
фотоn.етекторз, измеряющеrо энерrl1Ю ПОЛЯ в полосе частот l1ю СО
средней частотой OO б'УДУТ UрОПОрllИQиальны Q( ro) 6ооса
2.5. Поле в качестве термостата
Рассмотрим кинетику населенностей в слуqае коrДа атомы нахо..
. д'ЯТСЯ В равновесн ОМ поле со спеКТрl\Л ьной плотностью ЭНерrиИ ре.JI (ю).
Из кннетическоrо уравнения (2.З 14) для двух невырожденных уров.
ней следует
N 2 .......N 1 ===8р (N.l N 2). (2 5 1)
rде B == B t2 ===B 2 i и Р==Р{Ю!l). Таким обраЗ0М шумовое широкополосное
поле. как и монохроматическое стремится выравнять населенности
уровней так что в стационарном режиме N 1 ===N 2 4 Однако вещество
под действием paBHOBeCHoro ИЗЛУllения с температурой Т ДОЛЖНО на..
rревзться или охлаЖДаться д.о этой же температуры так ЧТО населен"
НОСТИ распределяются ПО формуле БольцмаНЗt соrласно которой N 1 >
>N
Спонтанные переходы. Выход из этоrо противоречия даеТ добавле.
ине в кинетическое ура внен не (1) CJ1araeMoro оп исывающеrо CnQHi11 н..
вые (Т. е+ не зависящие от ПОЛЯ) переходы с возбужденноrо уровня 2
на нижний уровень 1. Такие переходы сопровождаЮ"rСЯ с06ствениым
тепловым излучением нзrретоrо тел.а t которое и предотвращает вырав'"
32
нивание населеННQстей под дейс.ТВие1У1 BHeUJHero поля · ОбознаЧИМ t
следуя Эйнштейну,. скорость спонтанных переходов через А 1з ===А,
TorAa (1) примет вид
N z -= В Р ( N t........ N 2)-----А N 1.
(2.5.2)
Коэф:Рициент А МОЖНО рассЧИтатъ исходя из распределений
Больцмана и Планка и ИЗ най енноrо выше Значения B При равнове..
сии МеЖду атомами и полем N 2 ::::O, поэтому ИЗ (2) следует СБПЗЬ
А! В ==(Н../ N 2...... J) pt (245.3)
Подставив сюда распределения Планка
p{O (ю) == ftkЗJ( { ro )Jn 2 ,
Jr (оо):=! (ехр (Iiro/xT) 1]...1.
(2 5.4)
(2.5t5)
rде
н БО 1ьцмана
N O) I N fJJ == ех р (1iw i J'КТ)1
(2 5 6)
наЙДем ОТНошение констант спонтанных и вынужденных переходов:
А/В == !ik 3 /n 1 t (2.5.7)
rAe k ==- wjc -:= ljk.. Отсюда с учетом р ассчитаННоrо выше выражения
(2 4..14) ДЛЯ В) следует, что
А :: 4k'3 d 21 t /з1i..
(2.5 8)
Оценка для разрешенноrо перех.оnа в ВИДИМОМ диапаЗоНе (d 21 1 Д,
А Ot5 мкм) дает А ===2. ] 06 c" l .
Понятие СПQНТанноrо перехода иrрает большую рОЛЬ в теории вs.аи...
модейс.твия ПOJ1.я с веществом и в КВаП1'Qвай электронике Спонтанные
переходы определяют минимальную lllJlрИНУ линий излучения и поrло-
щения. В HarpeToM веществе они nрНБQДЯТ к тепловому nзJtучению Как
It вообще прои.ессьr релаксации, они препятетвуют получению ИНВерсНИ
насеJlенностеЙt Далее J поскольку сnонтанные переходы ПРОИСХОДЯТ
независимо ОТ амплитуДЫ вНешнеrо ПОЛЯ" ОНИ ЯВJlяются источником
шума и оrр.анИЧИВаюТ поэтому предельную чувствительност)) К8анТ().
ВЫХ уСИЛИтелей и монохроматичность квантовых rеиерзl'ОроВ (f 7.1).
Отметим резкую........... кубиqную зависимость вероятности СПОН-
ТЗНноrо перехода ОТ частоты,. которая объясняет одну ИЗ трудностей
создания ультрафиолетовых и реитrеновских Лазеров. ХОТЯ в ПРОТИВО"
ПОЛОЖНОЙ области спектра.......... радиодиапазоне.......... верОЯ1НОСТЬ спон.
танных лереходов ничтожна, именно ОНИ определяют минима.льную
температуру шумов парамаrнитных усилителей (СМ4> (7.1.10»).
Мы нашли величину А иосвенным путеМ4 ПОСJJедовательно спонтан-
ные переходы объясняются в рамках квантовой электрQдинамики взаИ-
Модействием между атомом н вакуумом (9 7.7)t ОднаI{О они имеют про.
Сще к л а сси q е.ск ИЙ и п ал у кла се и ческ и й а нало rи ......... собствен и ое и ЗJl у"
ченне ускоренно движущихея электронов в атоме ( 5.2). Можно ука-
2 Д. H Клblw.ко .за
З3Тh И {(полуквантовую» модмь ........... классический ТОК1" соrласно rлаубе..
ру (54], возбуждает квантованное поле в KorepeHTHoe состояние
Естественная ширина.. Спонтанные переходы оrраничивают время
ЖИЗНИ T:t ИЗ0лированноrо атома в возбужденном состоянии. l\iожно
ожидать, что Т 1 === ) I А 4 Эта проста я за висимость будет подтверждена
ниже t СМ. (5.2.18). Далее, соrласно соотношению неопределенности
AtC t ===- fъ (r Д е fi rC .......... точ Н ОСТЬ И 3М е ре.я и я э н ер rи и и !1 t в ре!\:1 я 11 3 ме А.
рения) конечное время жизни аТОМа ПРИВОДИТ к конечной ширине
УРОВНЯ. Пола rая 6t::= т 1, получим АС 2 =:: пА. Это уширение уровня
ДОЛЖНО ПрОЯВИl'ЬСЯ в С'fационарных экс.nериментах в разбросе ча стот
переходов 11ф 21 6.С ,.Iп) Т- et в уширении спектральных ЛИНИЙ t
I ДООест == I
(2.5 9)
Ширина спектральных линий, обусловленная спонтанными пере...
ХОДами, называется естественной. Этот термин подчеркивает, что
Аюе.сТ.......... наименьшая возможная ширина, которая имеет место даже
в случае ОДДночноrо ИЗ0ЛИрованноrо аТома. Отметим, однако, что
в принципе все же МОЖНО избавиться от eCTecTBeHHoro ушнрения, по-
местив атом в добротныЙ объемный резонатор. у KOToporo нет ТИПОВ
колебаний с частотой в ОКрестности 0)21- Практически наблюдаемые
линии имеют естественную ширину ЛИШЬ в тех редких случаях, коrдз
друrие возмущения........... СТОJlкновения н эq:фект Доплера в rазах, взаи-
модействие с Фононзми В кристаллах и Tt д............ дают MHoro меньший
вклад И t кроме TorO t коrда оптическая ТОЛЩина образца мала (э. 7.1)
Заметим" что при ЭТОМ ширина линий поrлощения ИЛИ усиления, свя-
занных с вынужденными переходаМИ t также равна А..
Форма изолированных ЛИНИЙ при естественном уширении является
лоренцевой. Cтporo это следует из теории Виrнера .......... Вайскопфа (сМ....
например, [55I). Имеется и наrлядная классичес]<ая модеЛD t соrласно
которой возбужденный атом излуЧа экспоненциально затухающее
квззимонохроматическое колебание (9 542). Фурье преобразование та-
Koro колебания и дает лоренцеву (дисперсионную) форму спектра
излучения.
Оценим с помощью (9) относительную величину ec.TecTBeHHoro уши...
рения. Для разрешенных переходов d eao (СМ. (2.2.4))t так что
/1ю еn /ro (4/3) (1 /137) (aQ/ )2, (2.5.1 О)
rде для постоянной ТОНКОЙ структурь[ e?Jlic !\fbl приня.пи значение
1/137 (напомним, ЧТО это число определяет также отношение СКО'"
рости электрона в атоме водорода к скорости света). Ползrая л ==+
а== l/R == 4л.137а о Ot1 мкм (R постоЯНная Ридберrа), получаем
!1u)eCy/fJ) O 3!( 137)' 1 О"" 4 (2.5 11)
Тзкоrо же порядка или меньше смещение уровней aTO 'ta из.за
взаимодействия с электромаrнитным вакуумом (сдви2 Лемба). Таким
06РЗЗОМ t относительное возмущение атома вакуумом весьма мало..
&&
ЧИCJIО фотонов, спеКТРaJJьная яркость и яркостная температура.
Найдем 01'ношение вероятностей вынужденных и спонтанных пере-
ХОДОВ в случае иекоrереитноrо (шумовоrо) поля. Соrласно (7) и
(2.4t 13)
w IЕП/W сп == Вр/ А == p;tиogfJ) ;;;3 N,
(2.5412)
rде величина
g(tJ == 00"/112(;4 (2.5.13)
имеет СМЫСЛ спектральной nмmносmu мод поля в единичном объеме
(напомним, что р спектральная ПЛОТНОСТЬ энерrИИ в еДИНИЧНОМ
объеме) Мода (или тип колебания) это,. rрубо rоворя, колебатель-
ная степень свободы (или пространственная rармоника) ПОЛЯ (9 7.3).
Обратная величина l/gV) равна частотному интервалу между сосед-
ними модами. Соrласно определению (12) N имеет СМЫСЛ энерrии поля,
приходящейся на одну моду и выраженной в единицах пО), т.. е. N
это число фоmoН08 на .моду. Эту величину называют твкже фактором
вырождения фоrQнноrо rззз4' Отметим" ЧТО знерrия и ЧИСЛО фотонов
флуктуируют (здесь р и N средние Зlfачения)
Число N является важнейшим параметром некоrереИтноrо излуче-
НИЯt Покажем, что ОНО пропорционально ОСНОВНОЙ фотометрич.еской
характеристике спектральной яркости 100'0. Последняя определя#'
ется как интеНСИВНОСТЬ излучения в единичноМ спектральном интерва.
ле и единичном телесном уrле и имеет размерность Вт/(см'2. rц. ер).
ИнтеНСИВНОСТЬ излучения на единицу частоты 1 W' равна половине
спектральной плотности энерrии р/2, умноженной на скорость света..
Добавив множитель 1/4n, переходим к спектральной ЯрКОСТИ looD.
Отсюда С помощью (12) находим
1 ыа z::: ер/8л == h..CA.... з N.
(2.5.14)
Итак соrласно (12) вынужденные переходы под действием некоее.
ренmН020 паля nроucхадят в N раз ч.аlце 'eм. сnонпшн.Нble Общее число
лереходов вверх и ВНИЗ МОЖНо представить в вид е
I wH==AN, Wls==A(N+1). (2.5.15)
Иноrда спонтанные переХОДЫ t J{OTOPblM соответствует второе сла.а
raeMoe в последнем выражении, интерпретируют КаК вынужденные
переХОДЫ t происходящие за счет нулевых (вакуумных) флуктуаций
поля. Однако такая интерпретация лрИВОДИТ к заниженной вдвое ве-
роятнос.ти споитанноrо перехода ВНИЗ и не объясняет отсутствия СПОН-м
танното перехода вверх [65J. Правильный результат ПОЛучается, если
отличать нормально и антuн.ормалЬNО упорядоченные флуктуации.
В 7.7 показано, ЧТО спон.тШiftые переходы определяются нормально
уnoрядочен.нblМU флуктуациями дипольнozо МОМента атома и аНlllи.
нормально упорядоченными флуюпуацuямu вакуума.
В равновесном излучении N зависит лишь от частоты и Te-rtДпepaTY-
ры и определяется функцией Планка (5) : N ==Н (00). в общем же случае
2. .
N заВИСИТ t кроме частоты, от направления наблюдения,. типа поляр"...
sации и точки наблюдения: N==N(kJr t v). Здесь k ВОЛНОВОЙ BeKТOp
задающий и частоту t и направление. v.......... индекс поляризации, при...
нимающий два значеНИЯ4
В неравновесном поле равенство (5) используется ДЛЯ определения
яркостной темпера туры Т &ф (N)==-ftro!к 1 n (1 + 1/ N) излуqени я с дан--
НЫlvfИ частотой, направлением JI поляризациеЙt Например,. излучение
Солнца ДЛЯ оптичеrкоrо ДIIапаЗQна и соответствующеrо интервала yr лов
ИМеРТ Т зФ 6000 К, так ЧТО соrласно (5) ДЛЯ зеленых лучей (л О 5 мкм)
H IO 2. И вынужденные переходы под действием СQЛнечноrо света
ПРОИСХОДЯТ MHoro реже спонтанных. Таким образом, в ВИДИМОМ диа-
пазоне вероятности вынужденных и спонтанных переходов сравни...
ваются лишь при излучении в СОТНИ раз более ЯРКОМ t чем яркость СОЛН-
ца (при ЭТОМ Т8ф 4 10" К). Такая ЯрКОСТЬ достиrается с ПОМОЩЬЮ
мноrомодовых лазеров (к ОДНОМОДОВЫМ Лазерам понятие яркости не-
применимо)
ОВремя релаксации. Определим теперь с помощью (2) скорОСТЬ
и'зменения населенностей при учете спонтанных и Бьrнужденных пере...
ХОДОВ. Заменим ДЛЯ эТоrо N 1 на N O N 2 И воспользуемся соотно-
шением (15):
N 2 == А [N N о.......... ( 2 N + 1) N 2] ·
(2.5.16)
Эдесь N.......... ЧИСЛО фОТОНОВ на моду и N 0== N 1 + N 2 .........общее число
атомов на двух уровнях. Отсюда в установившемся режиме
N1°)/N D == (N + 1)j(2N + 1)==\'/(1 +11),
N O)/N о N j(2N + 1) == 1/( 1 + ")'
rде \' == ехр (n'Ю 21 /ХТ)4 Решение уравнения (16) имеет вид
N I (t) == N Q) + 1 N 2 (t о)........ N iO)] е.... t / r 1 ,
1/T 1 == A (2N+I) ==2Вр+А ==Wll+W21.
Итак, время Т 1 HarpeBa (или охлаждения) внутренних степенеЙ CB
боды атомов за счет взаимодействия с HeKorepeHTHblM излучеНIIем пр"
малых N равняется l/A .......... времени жизни атома по отношению к СПОН-
танным переходам, а при больших N сокращается в 2N+l==
== cth (hЮ21/2хТ) раз.
Фактически hfbI здесь рассмотрели простую модель релаксации.
в которой TepMOCTaTO 1 служит HeKorepeHTHoe электромаrнитное излу-
чение, окружающее атом ( 7.7)
(2.5.17)
(2.5.18)
rЛАВА з
МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ, НАСЕЛЕННОСТИ
И РЕЛАКСАЦИЯ
Использованный выше вероятностный метод позволил описать
обмен энерrией 1\fежду излуqениеh-I и атомами. При ЭТОМ осталось без
внимания друrое известное ПРОЯВЛЕ-'ние взаимодействия поля с ве-
щесТВОМ замедление скорости распространения ВОЛН. Еще ОДИН,
БOJJее существенныЙ недостаТОI{ вероятностноrо !\lеТОДа состоит в не-
достаточно CTporOM учете релаксационных лроцессов, для послеДова..
тельноrо рассмотрения КоторЫХ необходимо применять методы статис"
тической физики и кинетики Более полная теория взаимодействия
атомов с внешним полем и термостатом основана на методе матр{lЦЫ
ПЛОТНОСТИ. объединяющем квантовое и статистическое рассмотрения.
Ниже в 9 3.1) nриведены определение и общие свойства матрицы
плотности, в Э 3.2 рассмотрены диаrональные элементы этой МЗТрliЦЫ,
Т. е. населенности уровнеЙ t и введено понятие отрицательной темпе-
ратуры, 3.3 посвящен Н3 lенению 1атрицы Л,,-IОТНОСТИ Во времени и
процессам релаксаЦИИt
3.1.. Определение и свойства матрицы ПЛОТНОСТИ
Наблюдаемые величины. В rл. 2 мы опредеЛИЛl1 вероятность пере
хода через амплитуды энерrетических состояний c nt Выразим теперь
произвольную наблюдаемую квантовоЙ системы f (в дальнейше { ПОД
f будет пониматься ДИПОЛЬНЫЙ момент атома, l==d,J через аналоrичные
коэ<рфициенты. Будем исходить из OCHOBHoro {(измерительноrо» посту-
лата квантовой механит{н мноrОКрЗТНЬ1е изме ени ро-
ИЗБеден.иые . ыaд -.a нs:aMc1 M О Ю_. .аI.CТем, Т. е. «ИЗfОТQвленных»
В ОДНОМ и том же состоянии Ч' (r. t) дадут в среднем значение
<f и» == dr чr. (r, t) 1 W (r. t) :::::: <t I f I ().
(3.1.1)
rде ; .......... оnератор соответствующий f, и r совокупность координат
системы (в дальнеЙшем 01тераторный зиаl{ Л будет часто опускаться).
Существенно) ЧТО под f в (1) можно понимать и ЛрОИ3Ведение опе...
раторов; fs::g2 или f ';:gh. Это дает ВО3МОЖНОС1Ь определять не только
средние величины (f). наЗЫВаемые перВЫl\-1И MQ...weHпlaмu НО и высшие
момеиты (g2}t (gn), (gh), 4' . . t характеризующие квантовые флуктуа-
uии g и квантовую корреляцию g и h. Правда t формула (1) написана
в представлении UПрединrера и поэтому применимз лишь в случае?
если f .......... одновременный оператор. например f (t) ===g(t) h (t) t Для опре--
Деления функциЙ корреляций (g(t 1 ) h(t 2 » необходимо перейти к пред"
37
N заВИСИТ t кроме чаСТОТЬ[t ОТ напраВJIения наблюдения,. типа поляри
зации и точки наблюдения: N===N(kfr t v). Здесь k волновой BeKТOp
задающиЙ и ЧасТоту, и направление, v индекс поляризации при..
нимающий два значеНИЯ4
В неравновесном лоле равенство (5) используется ДЛЯ определения
ярк ОСТНОЙ температуры Т эф (N)====.1iro/x ln (1 + ) / N) ИЗ;] учени я с дaH
НЫrdИ частотой, Направ.пением 11 поляризацией. Например, излучение
СОЛJ1ца для оптическоrо Дпаnазона п соответствующеrо IIНтерваи1а yr ЛОВ
имерт Т ЭФ БООО KJ так ЧТО соrласно (5) ДЛЯ зеленых лучей (л О)5 мкм)
N 10 2. п вынужденные переходы ПОД Действием солнечноrо света
ПРОИСХОДЯТ MHoro реже спонтанных. Таким образом, в видимом диа-
пазоне Вероятности вынужденных и спонтанных переходов сраВНИ'"
ваЮ1СЯ лишь при излучении в СОТНИ раз более ЯрКО ft чем яркость СОЛН-
ца (при этом Т8ф 44> 1()4 К). Такая яркость Достиrается с ПОМОЩЬЮ
МНОТОМDДОВЫХ лазеров (к ОДНОМОДОВЫМ лазерам понятие яркости не-
применимо).
СВремя релаксации.. Определим теперь с помощью (2) скорость
изменения населенностей при учете спонтанных и ВЪJнужденных nере-
ХОДОВ. Заменим ДЛЯ эТоrо N 1 на N о......... N i И воспользуемся СООТНО'"
шеннем (15):
N t == 44 [N N .........(2N + 1) N 2 ].
(2.5.16)
Здесь N..........число фотонов на моду и N -==Nl+N2 общее ЧИСJlО
атомов на двух уровнях. Отсюда в устаНОБившемся режиме
N O)INo== (N + 1)/(2N + 1) == vj(1 +v)t
N fJ)/ N 0-- N 1(2N + 1) -= 1/( 1 + ,,),
rДе \' == ехр (IiCU'I/xT). Решение уравнения (16) имеет вид
N а ( t) == N O} + l N 2 (t Q) ........ N O)] е.... t I т * 11
1fT 1== А (2N + 1) == 2Вр+ А ::=W12+ W 21 .
(2.5.17)
(2.5.18)
ИтаК t время T иаrрева (или охлаждения) внутренних степенеЙ СВО-
боды атомов за счет взаимодействия с неI{оrерентиыM излуЧение t при
малых N равняется I/А .......... времени жизни атома по отношению к СПОН-
танным переходам, а при больших N сокращается в 2N + 1 ==
== cth (АОО21/2хТ) раз.
Фактически мы здесь рассмотрели простую модель реЛЭНсаu ИИ ,
в которой термостата"'l служит некоrерентиое электромаrнитное излу.
чение, окружающее атом ( 7. 7) t
rЛАВА з
МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ, НАСЕЛЕННОСТИ
И РЕЛАКСАЦИЯ
ИспользованныЙ выше вероятностный метод позволил описать
обмен энерrиеЙ 1ежду излучением и атомами. При этом осталось без
внимания друrое известное проявление взаllМQдейетвия поля с ве-
ществом замедление скорости распространения ВОЛН.. Еще ОДИН,
более существенныЙ недостаток верОЯТНQстноrо меТОДа CQCTOiIT в не-
достаточно CTporOM учете релаксаuионных процеССОВ t для послеДова-
тельноrо рассмотрения КоторЫХ необходимо применять :методы CTaTIIC-
тической физики н кинетнкн Более полная теория взаи одействия
атомов с внешним полем и "(epMOCTaTO основана на iетоде матрliЦЫ
ПЛОТНОСТИ) объединяющем квантовое и статистическое рассмотрения.
Ниже, в Э 3 1 J лриведены определение и общие свойства матрицы
ПЛОТНОСТИ t В 3 2 рассмотрены диаrональные элементы ЭТОЙ MarplIQbl,
Т. е. населенности уровнеЙ t и введено понятие отрицательной темпе-
ратуры, 3.3 посвящен IlзменеНliЮ h-tаТрИIlЫ плотности Во вре {ени и
процессам релаксации.
t 3.1. Определение и С80Аства матрицы ПJJОТНОСТИ
НаБJIюдаемые велИЧИНЫt В rл. 2 мы определили вероятность пере...
хода через амплитуды энерrетических состояний Си. Выразим теперь
nРОИ3ВОJlЬНУЮ наблюдаемую квантовоЙ системы t (в дальнейшем ПОД
f будет nониматься диnольный момент зтома t f:::s:.dQJ через аналоrичные
коэффиц-неН1'Ы<t Будем ИСХОДИТЬ из осиовноrо «измерите.пьноrо» посту-
лата ){ ва нтовой. меха НИIiИ: ltfHOrOKp8TtJble И311е ев р.о-
изведе ll1IWe ЗА- амt1. N! .o1. IJ. .еш:тем t Т. е 4 «изrотовлен ных»
в ОДНОМ и том же состоянии Ч' (r, t), дадут в среднем значение
<.f (t) > == dr '1'. (" t) 1 'l' (r. i) -== < t If I t>.
(3 1.1)
rде 7 оператор. соответствующий " и r .......... совокупность координат
системы (в дальнейшеМ онераl'ОрНЫЙ знак Л будет часто опускаТhСЯ)jI
Существенно, ЧТО под f в (1) можно понимать 11 ЛрОИЗВедение опе...
раторов: J g'::. ИЛИ f:-;.:gh. Это дает возможность определять не только
средние величины <f) J нзэываеtyfые nерВЫl\-1И МQ...uента...иu. НО и высшие
моменты (g2)t (gn), (gh)t 4' . l' t характеризующие квантовые флуктуа-
ции g и квантовую корреляцию g и h. ПраВД2 t формула (1) написана
в представлении Шрединrера и поэто tу ПримеНИ :].а лишь в случае
если f ......... одновременный оператор, например f (t) ===g(t) h (t). Для опре
деления функциЙ корреляций (g(t 1 ) h(t 2 ») необходимо перейТИ к пред-
37
с.таБлению rеизенберrа, в котором зависимость ОТ времени переносится
с волновой функции На операторы.
Знание волновой ФУНКUИИ позволяет находить не только моменты
{fn( t») наблюдаемоii f t НО И ее ра спределение в момент вре!\fени t, Р и, п.
Эта:функция определяется формулой (1) при замене оператора 1 на
оператор-диаду 1/) <11 ( 7 .5).
t т. Матрица плотности чнстоrо СОСТОЯНИЯ Разложим волновую ФУНК-
цИЮ по набору собственных функuий какоrо..либо оператора (не обя-
зательно операТора энерrии):
'у (т, t) =- Ь" (t) ЧJ.. (r). (3.1.2)
..11 -
1
в обознзченияхjЦирака J t>:: n> (п J t). Заметим, что :если <p
энерrетичеекие функции, то коэффициенты Ь п и Сп отличаются лишь
экспоненцИальным множителем (см. (2.1 + 13». Подставив (2) в (1) J
полуцаем ..,.
<1> -- b:b Y от. (3.1 3)
пm. ...
Здесь матрица
f/t"'==:' dr.(f! f<p", (п I f I т)
считается известной и задача СВОДИТСЯ к определению попарных
произведений b bт' также образующих матрицу, называемую мат..
.
риЧ! плотности или статистической матрицей:
- .
I Рmn b",b . J
(341.4)
Таким образом, вектору состояния системы 'V мы поставили в со-
ответствие матриuу. Можно определить и неКQrорый оператор р, со-
ответствующий чr:
dr q>;J)q>.:=:;; b".b . (3.1.5)
.....
в обозначениях Дирака p J t > (t J ( 7 5).
С помощью матрицы и оператора плотности среднее (3) выра-
жается более компактно:
</> :::; P/J!nf пllJ == Sp (pf). (3 1.6)
тп.
тде Sp f 0значает сумму диаrональных элементов fnn, называемую
САедом или шпуром маТРИЦЫt Шпур матрицы является ОДНИМ из ее
инвариантов....... он не изменяется при преобразовании матрицы вида
/' ::::: и f и "'1. Та кие преобразова ния операторов в квантовой Itlexa нике
осуществляют смену представлеНИЯ 1 " инвариантность шпура обеспе....
чивает независимость наблюдаемых величин ОТ выбора представления.
38
Свойство Sp l' ::::Sp t сразу следует из друrоrо свойства Sp (gh):::$p (hg) ,
которое леrко проверить, исходя из определений операций Sp и умно...
женин матриц..
Смешанное состояние. Основное понятие при лереходе от классиче...
екой механики к статистичеСI<ОЙ физике ансамбль rиббСЗ t состав-
ленный И3 совокупности тождественных систем, распределенных с Ве-
роятностями Р (q, р) ПО возможным СОСТОЯНИЯМ системы. Аналоrично
С'rроИТСЯ и квантовый статисТИЧеский ансамбль......... мы полаrаем, что
р lN систем а нсамбля Находятся в СОСТОЯ н ии ч' 1 t Р 2 N ............ в СОСТОЯНИИ 'у 2"
PlN .......... в состоянии 'у I И Т.. Д4 Здесь N общее число систем в ансамБЛе
и !P i === 1.
С ояние системы. при котором точная волновая функция не опре- 4
делена t а известен лишь набор чисел Р ' определяющих вероятность
Toro ЧТО система находится в состоянии Ч'Jt называется см.ешанным
При ЭТОМ система характеризуется взвешенной смесью СОСТОЯНИЙ (в ОТ-
личие от ч.uстozо СОСТОЯНИЯ. при КОТОрОМ известна волновая функция
системы) .
Ilодчеркнем что простая сумма ФУНКUИЙ Ci 1 'V 1 +ct 2 'Y 2 дает снова
чистое состояние с четко определенной волновой функцией. При ЭТОМ
среднее содержит «интерференционный» ЧJJен, зависящий ОТ относи-
тельных фаз состояний:
(/) == Р 11 11 + р 2/22 + 2R е (а ;aJ 12)' (3 1.1)
rде
p, lajl\ fiJ== dr1J!irrJ'
в 8чалоrичноI\tf смешанном СQСТОЯНIJИ последнее C.!IaraeMoe в (7) от..
C"JTCTByeT. Здесь иt.1еется аналоrия с наложением двух светоВЫХ полей:
KorepeHTHble ПОЛЯ интерферируют) а некоrерентная смесь дает просто
двойную интеНСИВНОСТЬr
Дополнительная неопределенность смешанных СОСТОЯНИЙ ПРИВОДИТ
к дополнительным «тепловым» флуктуациям наблюдаемых по знса?-.1б-
лю И соrласно арlодuЧ€Cкой 2uпоmезе t ВО времени. Однако эти флуктуа oll
иии уже не НОСЯТ такосо принципиальноrо, неустранимоrо характера,
как }{BaHTOEыe
«Чистота» изrОТОВJlения СОСТОЯНИЯ в реальных экспериментах за...
ВИСИТ от искусства экспериментатораt Около аБСО..:r1ютноrо нуля Te)l-
пературы :кристаЛЛ находится в ЧИСТОМ (основном) состоянии с опре-
Деленной энерrиеЙ t НО при этом остаются квантовые флуктуации коор"
ди нат аТОМОВ4 В хорошем "f8зере или лазере с. полной инверсиеЙ насе-
леННQстей атомы наХОДЯТСЯ Б верхнем рабочем СОСТОЯНИИ с энерrией
{j 2 При ЭТОМ ФЛУКТУйUИЙ энерrии Heт (9"(2)==«?:t однако координата
электрона и ДllПОЛЬНЪJЙ момент ФЛУКТУИРУЮТ.
ИТi'lК t квантовь[й объект в зависимости от ero предыстории может
оказаться в ОДНОМ из трех типов состояний:
1) в ссбствеННQМ состоянии (f1l данноrо оператора '> I{Orдa априори
известпо что (f)=::fпn И f не флуктуирует:
</ k):== ([ >";
з9
2) в чистом состоянии 'Yt образованном суперпозиuией bn<p",
коrДа наблюдаются квантовые флуктуации и известны лишь вероят.
ноети Ib n 12 измерить то или и ное 3На чение f nn:
</11) == rb n rlJ(j nn)k;
З) в смешанном состоянии, коrда к кваНТО80А неопределенности
добавляется неполнота информации о ВОЛновой функции.
При ВЫЧислении средних величин в случае смешанных Состояний
Надо производить ДВОЙНое усреднение........ квантовое с ПОМОЩЬЮ волно-
вых ФУНI(ЦИЙ \f, по формуле (1) и классичеСкое с ПО fОЩЬЮ распределе-
ния Р, и обычных правил теории вероятностей:
Ф== Рifjj== Р; drЧ';fЧ',. (3.1.8)
I 1
Теперь амплитуды разложения (2) и l'.lатрица ПЛОТНОСТИ (4) за..
висят от иНдекса i:
'У , ::= b )q>п
так что (8) принимает вид (ер. (6»
<'7> --= P i b:1.)-Ь:!}!IIPf == Sp ( pf ),
mni
(З 149)
rде мы определили оператор плотности смешанноrо состояния:
p PjPI' PPl,, b b; .
i
(3.1 1 О)
Линейность операции усреднения позвоЛИЛа включить ее в определе-
ние матрицы ПЛОТНОСТИ При ЭТОМ формула усреднения (б) сохранила
своЙ вид. В дальнейшем Черта; означающая дополнительное усредне..
иие будет олускаТЬСЯt
ОБолее общее определение матрицы плотности. Часто смеШанно tу
СОСТОЯНИЮ Н матрице ПЛОТНОСТИ T3Koro СОСТОЯНИЯ дают друrие t более
общие определения. При ЭТОМ термин «смещанное СОСТОЯНИeJ- относят
не к системе в целом, а к ее чаСТИ t ПоДсистеме.
Пусть система состоит из двух частей А и 84 Ее состояние задается
волновой фуккцией 'у (, .4.., r в). которая в обще 1 случ:ае КоНечно не
факторизуется: 'Y=j:'f A(r А) 'у B(r в). Таким образом, волновой функции
подсистемы 'у А Не существует. Ведь факторизация означает независи-
мость подсистем. и поэтому она неВО3МОЖНЗ t если А и В взаимодей..
ствуют ИЛИ взаимодействовали в ПРОШЛОМ. Здесь имеется анаЛОfИЯ
с классической статистической физикоЙ: Б СJJучае взаимодействующих
частиц совместное распределение вероятностей P(r At r B ) нельзя пред"
ставить в Виде Р A(r А) Р п{r в).
Однако в классической статистической физике мы можем опреде-
лить отдельно фу н I{ цию распределения подеистемы А. просумм И рОБа в
р по не интересующим нас переменным;
р А (r А) == dr яр (r А' ,. в), (3.1.11 )
40
СпрашиваеТСЯ t возможна ли анаJtоrичная процедура в квантовой
механике?
Чтобы определить матриnу ПЛОТНОСТИ подсистеМЫ t разложим"
по какому либо полному набору функций 1ft", (, А" r в):
1Jf == b/n,pln. (3.1 1 2)
tп
Такой набор "tп ==:- XIQJn nорождаю т два оператора деЙствующие
только на переменные ОДНОЙ подсистемы. Например,
(% А ..... С А,.) «Р n === О" (!lt В......... rC в/) Х i ::::: о.
Пусть Нас интересует наблюдаемая f А:
<! А> r=: dr А dr в 'У.! A'J! r==:
binbi n ! Апn Iб u , -==а PAn п! Ап,,' := Sp (р А! A) (3 1413)
ii J пn/ нп
Мы снова получили формулу (6), введя обозначение
PAn n == ь;пыn' (3.1 t 14)
i
которое эквивалентно определению (ер. (11))
PAs==SPS{PAB)4>
(3. t 15)
в квантовой электронике ПОД системой А обычно понимаетс:я кон..
кретный атом (или молекула, электрон в кристалле), а к системе В
ОТНОСЯТ все остальные частицы вещества и квантованное электромаr.
нитное поле (клаССllческое поле действующее на систему не нарушает)
очевидно. «чистоты» состоя НИ я). и Hor да. наоборот t А .......... ОТДельная
мода ПОЛЯ t а В вещесТВО4 Если В обладает достаточно большим
ЧИСЛОМ степеней свободы и сплошным спектром энерrии, Tt e имеет
большую теплоемкость,. то ее состояние можно СЧllтать не зависящим от
А и она иrрает роль термостата. Воздействие В на А обусловливает
релаксацию А
Если пренебреrать обратным влиянием А на Bt ТО можно описывать
А с ПОМОЩЬЮ ВОЛНОВОЙ функции или матрицы плотности чиетоrо со-
стояния (4) и 1Ы возвращаемся к задаче о поведении квантовой системы
в заданном шумовоt\1 поле t рассмотренноЙ Б 2.4. Решение этой задачи
в рамках той или иноЙ модели позволяет рассчитывать процессь[ ре-
Jlаксации и форму спектральных линий. В простейшей модели роль тер-
мостата для атома иrрает раВНОВесное планковское поле t при ЭТОМ
вероятности релаксационных переходов определяются коэффициентами
Эйнштейна А f В (э 2.5).
Свойства матрицы плотности" С помощью определения (10) леrко
ПОКЗЗЗТЬ t ЧТО ма трица плотности обладает следую щими свойствами:
] Spp<= 1, O p""z 1, P+==P.J (3.1.16)
41
Обычно используют энерrетическое предстаВЛение в котором диа-
rональные элементы матрицы плотности pnn == Pn имеют СМ СЛ Q J:.J:1QCИ"
J:tbHbtX на ел FJностей УР9вней. Первое равенство в (16) означает, что
BepOflTHOCTb найти систему на каком"то уровне равна единице второе
свойство дает неотрицательность вероятности и третье. свойство (эр...
митовость) обеспечивает действительность наблюдаемых величии:
<f>* == Р:ппf m == p"rllftl1 == <f)
...............
Недиаrональный элемент матрицы плотнос.ти ! акте Р\l1УСТ
стецень коррелЯЦИИ СОСТОЯНИЙ т и п в статис КО аНСЗj.:fоле.
rcли а ПЛ[.IТУДЫ состояний разл чных систем ансамбля содержат
случайный фазовый МRОЖИТель ьи) ехр (iCPU}), то при т * n
(3 t 1.1 7)
Р тlJ exp i (Ч'. q>n) == О
и состояиие ансамбля полностью характеризуется населенностями
состояний РII.
В случае ЧИСТОТО сосrояния из определения (4) следует свойство
1 Ртп I':! === PттPпп В смешанном СОСТОЯНИ" элементы матрицы плот..
НОСТИ У довлетворяюr неравеИСfВУ Коши......... Буняковскоrо:
J pm.l 2 < РттРп-. (3.1.18)
ОМатрица плотности и энтропия Пусть замкнутая система нахо-
ДИТСЯ Q JJ ,9 1 Н.3 чистых. энерrе:тиqеских состояний: 'у ==:r.pl ex P (........iGi11ft),.
тo rдa corJlaCHO определенн.ю (4) лишь ОДИН злемeftf' матрицы ПЛОТНо-
сти отличен от нуля:. Ртn, ==liт.n.бпi. акая тривиальная матрица удав...
летворяет матричному уравнению
p2 .J (3.1.19)
Этим С80йсm90М обладают все чисты.е СОС.r1Z0ЯflUЯ. Эrо следует из
(4). правила умножения матриц и услови Я нормировки Sp р,::: 1
Н а рушение равенства ( 1 9) ил и следующеrо из Hero ра венства
S р р2 == 1 может служить пр изнаком смешанности состоян ия . Од нзко
существует более удобная, количествеННая мера статистической не.
определенности квантовых систеМ 8нтропuя (СМ., например,. [7, 25J).
Определим оператор энтропии через оператор ПЛОТНОСТИ следующим
об ра зом: S ==.........1 n р, Tor да энтроп и я S равна < S) to Т. е t
... .... .....
s ::s ....... <1п Р) == .......5 Р (р lп р).
(3.1.20)
.....
в диаrОН3ЛЬНQМ для р представлеКllИ (20) принимает вид
S :: ......... р.lп Р. (3.1.21)
п
(это следует И3 TorO t что в диаrОНЗJ1ЬНQМ представлении IР (/»)"...
42
=== F (' пп». в ЧИСТОМ состоянии Рп равно О ИЛИ 1. поэтому S:::: О,
неопределенностъ (<<хаотичность») минимальнаt Противоположный
крайний случай маКСИМtJJlЬНОЙ неопределенности получается дЛЯ
ОДНОРОДНОЙ С 1еси состояний: Рп const =-l/g, rде g число состоя-
НИЙ с данной энерrней (.мuкрокаNоническuй аnСClJuбль rиббса)t При
........ .... .....
ЭТОМ Р r:= J /g" р1. ==- J ' и cor ласно (21)
g
s =- ..... (l/g) 1п (I/g) lп g.
H=I
(3. 1 22)
Таким обраЗОМ t O S<::]ng.
MaTpHцa плотности атома", В статистической физике обычно рас-
сматривают макроскопические объекты состоящие из N 10'21 одинако-
БЫХ чаСТИЦа ПОНЯТИЯ «СОСТОЯ Н ие» t «уровень э нерти и» t «матр ица Пv10Т'"
насти» при ЭТОМ ОТНОСЯТ К веществу в uелом Можно, в принuипе, ro-
ВОрИТЬ о ВОЛНОВОЙ функции монокристалла размером около 1 CM f за..
висящей примерно от 1022 aprYMeHТOB rj и времеНИt Соответственно
число возможных состояний и, следовательно, размерность матриц
fnтt Ртп также чрезвычайно велики. Далее, чтобы реализовать ан-
самбль. Надо иметь, скажем) 103 одинаковых кристаллов.
С друrой стороны) в квантовой электронике рабочие вещества как
правило) состоят из слабо взаимодействующих атомов или молекул
(rЗЗЫ t примесные кристаллы и paCTBopbl)t и OC TaT..Q Ho рассматривать
rосто.sr. ие отдельноrо атома l тоqиее одноrо вне шиеrо электрона. При
ЭТОМ остальные частицы вещества ВКЛЮЧают в понятие термостата,
слабо возмущающеrо волновую функцию атома.
Указанный переход примерно от I02.a степеней свободы к нескольким
кардинально упрощает теорию (модель ИДеальноrо rззз). Дальнейшее
упрощение достиrается исключением из рассмотрения незаселенных и
нерезонансных (с внешним полем) состояний, Т. е.. переходом к двух..
УР ..Q .модели в случае ква3ИМ;Q охроматическоrо вн шнеrо ПОЛЯ и
отсутствия вырождеНИЯ4 ЗамеТИМ t ЧТО махрица плотности п"уровневой
неf;ЫРQж.ц.енноА системы состоит из п 2 элемеитовt"из которых 1) {п 1) ............
комплексные. Однако условия нормировки и ЭРМИТОВОС1И -(ТВ) сокра-
щают число независимых элементов) так что состояние системы аписы.
Вается J J:Ц.. Действительными Числами. Для двухуровневой сие..
TeMЫ 4' и ее состояние можно наrляДНО представить точкоЙ в трех-
мерном азовом пространстве с координатами 2P2t, 2Р;1 и Pl P2 Д
( 4.4). В СЛУIJае чистоrо соСтояния условие CO Ц\ ЧИСJI?
пер менны ...ДQ..МУХ и изображающая точка ПрИНаДЛежит единичнои
сфере.
Поскольку атомы одинаковы и незаВИСИМЫ t ТО аДЦитивные макро-
скопические параметры вещества (например, поляризация Р) вычисля-
Ют простым умножением одноатомных средних на N: р::::::: N (d). Заме.
ТИМ., ЧТО если все атомы rзза НаХОДЯТСЯ в одинаковых уСJlОВИЯХ, то rаэ
в целом можно рассматривать как ансамбль (квантовый или квантово-
статистичеСКИЙ)t составленный приблизительно из 1021 систем. Сумми.
рование по атомам при ЭТОМ эквивалентно усреднению по ансамблю
43
(СМ. (8))t и диаrональные элементы матрицы плотности Рп определяют
среднюю отн оси тел ьную населенность N п/ N уровня {J n В реальном
rазе, а не в rипотетическом ансамбле из J 03 одинаковых сосудов
С rазам.
g 3.2. HateJleHHOCTH уровней
Равновесные населенности.. В случае термодинамическоro равнове...
сия все статистические СВойства системы определяются каноническим
распределением rиббса. Это распределение применимо как к изолиро'"
ванным макроскопическим системам, так и к системам любых размероВ,
взаимодействующим с термостатом. В применении 1{ отделЬНЫМ атомам
или молекулам идеальноrо rаза распределение rllббса соответствует
матрице плотности следующеrо вида:
p == бтIJР ):::: Вт. ехр (....... {t ./xT)/l. (3.2 1)
rAe нормировочный tножитель назь(ваемый статистической СУМ-
АtОЙ, определяется из условия нормировки:
Z == ехр (......lJ I1J/xT) (3.2.2)
m
Индекс т здесь нумерует различ:ные СОСТОЯНИЯ атома, ПО3ТОМУ
населенность уровня с eп KpaTHЫM вырождением равна
N ) == gn N ехр (........{/ n/xT)/Z.
(3.2.3)
Эта 4юРМУЛЗ называется распределением Больцманаt Заметим, Чl0
равновесный оператор плотности (1) МОЖНО представить в виде
p(G) =- ех р:< Ie oIxT)/S Р {ехр ( ........ it (J/xT) } . (3 2. 4)
Как было показано в 2.3, взаимодействие Внешнеrо ПОЛЯ с ве-
ществом определяется населен настя ми «резонансных» уровней N I t N 2.
В первом приближении теории ВоЗмущения наличие леременноrо ПОЛЯ
ПРИВОДИТ к возникновению лишь недиаrонаЛЬныХ элементов матрицы
ПЛОТНОСТИ. pii)""" Е, а диаrональные элементы остаются без изменения,.
p ) O, поэтому при достаточно слабых полях можно рассчитывать
населенности с помощью распределения Больцмана (З)t
Соrласно распределению Больuмана в ОСНОВНОМ заселены лишь
уровни) отстоящие от осиовноrо на энерrию порядка или меныие xTt
СледователЬНО t поле с чаСТОТОЙ t MHoro большей xTI!i'=:O>T' вызывает
лишь переходы вверх. При комнатной температуре эта rраничная час..
тота лежит в далеком ИК-диапазоне (vт roтI2лс 200 CM \ лт-==:
::::1/vr 50 МКМ) , а при rелиевых температурах в СВЧ диапазоне
(VT 1 CM l).
В случае атомарных rазов ИЛИ примесиых ИОНОВ в кристаллах пер...
вые возбужденные уровни лежат" как правило, MHoro выше этой rpa-
ницы 11 практически все частицы нахоДЯТСЯ На ОСНОВНОМ уровне! так
ЧТО в поrлощении света принимают участие Бсе частицы: дN,....,Nf N.,
44
Часто основной уроВенЬ обладает вырождением glt которое может быть
снято (полностью или частично) за счет спин орбитальноrо взаимодей..
ствия (тонкая структура) или статических полей (аффект Штарка
или Зееман.а). При ЭТОМ частицы распределяются ПО ПОДУРОВНЯМ; И
если расщепление MHoro меньше хТ t то населенности подуровней при-
мерно равны NJg i , а разности населенностей имеют соrласно (3) по...
рЯДОК
AN (lirolglXT) N N.
(3.2.5)
Переходы между такими подуровнями в "римесных кристаллах НС-
ПOJlЬЗУЮТ В парамаrнитных усилителях). и соотношение (5) объясняет
иеобходимость охлаждения рабочих веществ усилителей До rелиевых
температур.
В случае молекулярных rаЗQВ ИЛИ растворов орrанических краем...
телей основной электронный уровень обладает боrатой вращате.льно-
колебателDНОЙ структурой, перекрывающей свч- и средний ИК диа-
пазоны, поэтому 10лекулы распределены по множеству уровней и
разности населенностей также невелики.
Двухуровневая система и отрицательная температура. Рассмотрим
зависимость населенностей двух невырожденных уровней ОТ Темпера-
тypblr Расположим начало отсчета энерrии посередине межДу УРОВ-
нями t так что t/J 1, !::= :t: -Лы/2, Tor Да из (1) следует Рl, i e-:J:. x./lt r де
х=== li,(f){2xTt Из условия Pl + Р2 == 1 находим Z -=e;t +e-- , и в резуль...
тате
Р 1 1i: N l/N == (е-- 2Х + 1)"1, pz == N ,/N == (&Х + 1 )"'1,
1\ Nl N 2 th
LJ. 8iiI N х..
(3.2.6)
(3.2.7)
Рабочее вещество Лазера,. в принципе) нахоДИТСЯ в сильно неравно...
весном состоянии, И распределение Больцмана (3), КаК и вообще поня-
тие темпераТУРЫ t к нему непрИмеНИМО4 Однако удобно сохранить СООТ-
ношения вида (6), (7) и ДЛЯ неравновесных систем, понимая под Т
.в ЭТОМ случае некоторый эффективный napaMeTpt ЭффектU8ная или
спUНQвая, температура ДЛЯ данной пары невырожденных уровней
определяется через отношение населенностей следующим образом:
N т/ N n == ехр (А'ООпт/ ХТ зф)
(З42t8)
т. е. эффективная температура есть просто ЛО2арифмuческая мера
отношения населен н.остей t Из (8) следуеТ t что при инверсии Т вФ < О..
Леrко убеДИТЬСЯ t ЧТО формулы (6). (7) сохраняют СВОЙ вид и
для неравновесных CiIcтeM, если ПОД Т понимать .эф<Рективную тем..
пераТУРУ4> На рис 3.1 лреДСТавлеНа зависимость относитеЛЬНОЙ
разНости населенностей ОТ эффективной температуры, построенная
по формуле (7) для всей шкалы температур, как положительных,
так и отрицательных. Полной инверсии (РI P2 === == l) COOTBeT
ствует Т &Ф == ..........0, пр и ПОЛ ном насыщен ии (РI :r:в: р, == 112 t 6. -= О)
Т аФ -- z 00, при А:::::: J т зФ == + о. -Заметим, ЧТО в двухуровневой
системе с отрицательной температурой запас энерrии больше" чем
45
в системе с положительной температурой.
<с == Р 1 С 1 + p z: (ftю/2) L\ === (!Ю/2) th X (З 2 \ 9)
rAe х ===. ftro/2xT еФ 4
Можно определить через Т эф и энтропию нераВНQВесной двух-
уровневой системы. Соrласно определению (3.1 21) и (6)
S -= .......Pl1n Pt........Pa lп р, =- In (2 ch х)----х th х.. (3..2.1 О)
Таким образом, энтропия является четной функцией температуры
с максимумом 80 z:::: ln 2 при т &ф == 00 (рис. 3 1 )
в Дальнейшем мы покажеМ t что интенсивность теПЛовоrо излу-
чения двухуровневой систеl\IЫ также выражается через эффеКТИВ-
1 ную теJ\fперзтуру ( 7.1). При Т зф < О
ЭТО излучение определяет шумы КВаНТа....
вых усилителей (закон Кирхrофа дЛЯ ОТ-
рицательной темпераТУРЬ[)t в частности"
при Аы ?i i т &ф' шумовая температура
усилителя раВНа по модулю эффективной
Т w5:l1 Тэфl..
ОНаселенностн в полупроводниках. Рас
чет числа активных частиц с помощью рас
пределения Больцмзна (3) иевозможен "
случае межЗQННЫХ переходов в полулровоД.
никах (такие переходы используют в полу-
ПРОВОДНИКОВЫХ .лазерах). В отличие от свя-
занных электронов в rззах или в примес--
ных диэлектрических кристаллах электро-
ны в валентной зоне и зоне ПрОВОДИМОСТИ
полупроводника делокаЛИ3Qваны и MQrYT
обмениваться местаМИt Возможность обмена заставляет рассмаТрИ-
вать мноrоэлектронную задачу и учитывать антисимметрию общей
ВОЛНОВОЙ функции по отношению к перестановке двух электронов.
которая ПрИБQДИТ к nрннципу Паули.
В первом приближении электроны ведут себя как частиuы идеаJ1Ь'"
НОТО KBaHTOBoro rзза большой плотности. Применение общеrо распре-
деления rиббса (оно имеет вид (1) при условии, что индекс т нумерует
все возможные состояния мноrочастичноit системы) к идеальному rазу
с учетом принципа Паули ПРИ ВОДИТ к распределению Ферми Дирака
{(О)(С), которое мы дЛЯ сравнения с (3) преДстаВИМ в следующем виде
(рис. З.2 t 6):
2
...1
Рис. 3 .1.. 3 эв н СИ МОСТЬ ОТН о-
СИтeJ] ЬИ ои р аз н ости населен-
нocreй 11 и эн"роnии S ДBYX
уровневой системы от пара-
метр а х== ft 00fJ/2х Т
N ? := 2/(0) (8 т) -= 2 {ех р [(8 111........ }1)/ХТ] --1 1}"'1 t
(3 2.ll )
rде коэt1xlJициент 2 учитывает спиновое вырождение, 1-1 уровень
Ферми" определяемый условием нормировки N;:;)===N (N общее
число электронов) , и <с т разрешен ные знз чени я энерrии одноrо
электрона. Дискретность спектра является следстВием периодических
rранИЧНЫХ условий ДЛЯ волновой функции электрона. СоrлаеНQ (11)
4fJ
средняя населенность любоrо уровня не может превышать двух ЭJlект-
ронов в соответствии с ПРИИЦИЛОМ ПаУЛИt
Уровни энерrии элекТрОНОВ <Вт в полупроводнике распределены
в разрешенных зонах практически непрерывно. В результате насе-
ленность N m МОЖНО считать функцией HenpepblBHoro арrумеита О
" условие нормировки Nm,;;;:::N, определяющее неЯВНQ уровень
Ферми, принимает ВИД
Мlg (С) N (С) =" N.
(З.2 12)
rде область интеrрирования охватывает зону ПрОВОДИМОСТИ и валент-
ную зону, g(8) плотность энерrетических состояний.
8
4,.
'z
" . ...............
.' . ' /'
\...... J_X'T
Р . t
..... ..... ,
\
"
.
...
I
Jfw I
4,
...
....
nk
Pv
f
О ;fh j77 i ) ffo , и {&) о r,.б 1 fft)
а в
Р.ИСt 3.2. Инвереи я населен ностей в полупроводнике: а) связь между ИМПУ,.тI.ЬСОМ р
И энер rиеА i1 (закон дисперсии) для электронов и дырок (С g ......... запрещенная зон а);
евет с частотой со и волновым вектором k переnодит .электроны с уровня li 1 на ypo
вен ь {/2 (ил И об Р а т но); 6) насел ен нос.ти у р ОБ.н ей в р а в н о вес ном пол ул рО60ДН И К е (р ac
пределение Ферми ......... Дир ака); в) при инжекции н<>снтелеА уровен ь Ферми J1 pac
щепллется на кваэнуровни J-4J J J1 и дл я некоторых пар уровней имеет место инверсия
11<11
Для ЧИСТЫХ полупрОВОДНИКОВ уровень Ферми лежит примерно в
середине запрещенной зоны. Если бы здесь имелись лримесные УРОВНИ,
На них нахоДИЛОСЬ бы ПО одному электрону......... уровень Ферми I-L J'10ЖНО
формально определить JC{lK ypoвeHb t заполненный равно наполовину.
При НИЗКИХ температурах rраница между заполненными и пустыми
УрОВНRМИ очень реЗКая (рис. 3.2" б).
Для достаточно ВЫСОКИХ уровней,. для которых tC f!pxTt можно
пренебречь единиnей в знаменателе выражения (1 J), и оно принимает
вид распределения Больцмана (3);
N 14 =: 2Z-- 1 ехр (......с ",/хТ) 2, (3.2.13)
rДе Z==exp( f.1/xT).
ОИнверсия в полупроводниках. Рассмотрим условие KB3HTOBoro
усиления при меЖЗ0ННЫХ переходах в полупроводниках. Падающее
поле с частотой OOt превышзющей ширину запрещенной ЗОНЫ r8 gl1i,
вызывает почти «вертикальные» переходы электронов с УРОВНЯ 1 аа-
47
J1ентноЙ зоны на уровень 2 ЗОНЫ ПрОВОДИМОСТИ (РИСt 3:2. а),. Уровни
1, 2 в зонах одцозначно определены законами сохранения энерrии
Аю ==:. rG ,.........<8 1 и И м пу Jlьса Ii k == р 2......... Рl ( ТОЧ Н ее t ква з и и м n у JI ъса) ..
Число вынужденных переходов вверх ПРОПОРЦИОН3J1ЬНО ВероЯТНО-
сти заполнения нижнеrо УРОВНЯ N 1/2 .....f {l/1.) == ft, умноженной в соот"
веТСТБИИ с ПрИНЦИПОМ Паули на вероятность I f Toro ЧТО на BepXHel\f
уровне имеется дырка. Аналоrично ЧИСЛО переходов вниз ПРОПОРЦИО"
кально fl(l fl) с тем же коэффициентом проnорUИональности (СМ.
(2.1.24)). Суммарный Э<jxpект nоrJIощения или уСИЛеНИЯ энерrии поля
пропорционален раЗНОС7И:
a fl(l ffj) f 2(1 ! 1) ' 1 ! 2 =::(Nl N .)/2. (3._2.14)
Таким образом, вклад ОДНОЙ пары резонансных уровней в коэффи-
циент nоrлощения пролорционален разности их ззселенностеЙ. как
и в случае локализованных электронов. и условие инверсии имеет вид
f (С ,) > t (С 1). (3.2.15)
в равновесном полупроводнике f ftO) и это условие не выполняет-
СЯ Однако еСЛИ J например, в зоны с ПОМОЩЬЮ внешнеrо источника
постоянноrо тока инжектируется достаточное количество носителей
заряда электронов и ДЫpOK """"" ТО услоВие (15) может быть выпол-
нено (рис. З 2t 8)., Леrко ПQказать/ ЧТО для этоrо носители в зонах
ДOJIЖНЫ быть вырождены:
I J.! с J.! > ПО) > се к.: 1 ( 3.2. J 6)
Здесь C' t1'D квазнурОБНИ Ферми в зонах ПРОВОДИМОСiИ и валентной.
к.роме метода инжеКЦИИ t в полупрОВОДНИКОВЫХ лазерах используется
оптическая накачка (одно. или ДВУХфОТQнная) и накачка электронным
ПУЧКОМ.
Отметим здеСЬ 1 что усилители" rенеРЗТОРЫ 1 использующие свобод'"
ные элеКТроНы,....... rиротроны. лазеры на свободных элеКтронах и Т. д.
также можно описывать в терминах инверсии населенностей (чисел
заполнения). Так, в 1<вазимонохроматическом пучке СО средней энер
rией Со занята лишь узкая rруппа уровней около Co поэтому имеет
место ИНВерсия f(Go»f(il) по отношению ко всем нижележащим
УРОВНЯМ.
s 3.3. Эво.люция матрицы ПJlОТНОСТИ
Неравновесные системы. Матрица плотности системы Ртп аналоrич.
НО функции распределения P(qt р) в классической физике содержит
полную статистическую информацию о свойствах системы Tt е. ПО3ВО-
ляет рассчитывать средние по ансамблю величины (/) =:$р (fp) t высшие
моменты,. коэфсрициенты корреляции (fg...)==Sp(fg...) и Т., Д., Термоди-
намика имеет дело в ОСНОВНОМ с равновеснь[ми системами,. в которых
матрица ПЛОТНОСТИ и средние по ансамблю не зависят от иремени:
48
p{o q)<o:, Ot Заметим оДнако, что функции корреляuии <{ (t) g (t') )(О}
MorYT зависеть ОТ разНОСТИ времен t t'4>
В квантовоЙ электронике, наоборот, представляют ИНтерес систе-
мы, в которых ПОД действием внешних полей устанавливается суще-
ственно неравновесное состояние, p*ptOl to Если внешнее возмущение
переменное. '1.'J::::1'.J(t)) ТО, естественно, матрица плотности и средние ПО
аНсамблю зависят от Вре 'lени: р ==р (t), (t) (! (t)) с друrоЙ CTOPOHbI t
после ВЫКJlючення внешнеrо поля вь[веденная ИЗ равновесия система
(р (to)::j=ptO)) будет релаксироваТЬ t приближаться к равновесию и ее
матрица плотности и средние будут опять зависеть от ВремеНИ1> Впро-
чем,. процессы релаксации также можно описывать переменным возму-
щением (t), деЙствующим на систему СО стороны тepMOCTaTa
Неравновесные и нестационарные системы изуЧает нераВНQвеснзя
статистическая термодинамика ИЛИ t иначе, кинетичеСI{ЗЯ теория + Ки..
неПlка в отличие от динамики изуч.ает не зависимость от времени коор"
динат и импульсов отдельных частиц q (t), Р (t) или волновой функции
'у (q, t), а поведение средних (f(p Q, t», функций распределения
Р (qt Pt t) или матрицы плотности Pmn(t) для систеМ t взаимодействую-
щих с терМостатом и (или) с внешними переменными ПМИМ"..
Уравнение Нейманаа Рассмотрим сначала l ИСХОДЯ из уравнения
Шрединrера, динамическую задачу о поведении матрицы ПЛОТRОСТН
системыI С известным оператором энерrИИ g(. Для этоrо Подставим раз-
ложение (З 1.2) в уравнен не Ш реди нтера и умножим полученное урав...
нение слева на оператор ) dr <р,';,. Блаrодаря ортонормированности
ФУНКUИЙ qJm получим СJJеДующую систему уравнений, определяющих
динамику коэффициентов Ь т =
iA6. == t:7t тпЬп а
n
(3.3.1 )
Напомним, что здеСЬ t в отличие от (2.1.14), фиrурируют :Iатричные
элементы ПОJ1Ноrо rамильтониана 19(; t а не оператора возмущения
C'j/'J t ЧТО связано с друrим определением амплитуд состояний. Кроме
Toro, использованные здесь базисные функции 'Р т не обязательно
являются собственными ДЛЯ оператора энерrИИ4
Умножим (1) на ь; и выпишем комплексно сопряженное выра-
жение:
inb;b m :lt тпb:bп
n
(3.З 2)
inb jtь:п t= ....... ;J( п 1/1 Ь k b :.
Здесь была использована эрмитовость оператора энерrНll to .W+:::::: ff(.
Поменяем местами ИНдексы т и k ВО вторОМ уравнении и СJIОЖИМ
ero с первым. В реЗУJlьтате с учетом определения матрицы плот..
ности чиетоrо состояния (341 4) найдем следующее уравнение ДВИ'"
Жения:
i!iPl#/l =- ( IJIt,P rtk.......... pтri?t' n, ).
п
(3.3.3)
49
Соrласно определению (3 I+IO)t такой же вид имеет и уравнение
для матрицы плотности смешанноrо состояния. С ПОМОЩЬЮ правила
умножения матриц и знака коммутации ([/, g] := fg gп можно
записать (3) в компактном инвариантном виде:
inp -- [.9&\ р]
(3.3.4)
Это уравнение, описывающее эволюцию матрицы ПЛотности. назы...
вается уравнением Неймана, ОНо является ИСХОДНЫМ уравнением
нераВНQВесной термодинамики. Ero классический ан алоr........ ура вне..
ине ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ функции распределения Р (qt р, ').
Взаимодействие с термостатом. При наиболее общем ПОДХоде
ПОД р В (4) "онимается матрица п.пОТНОСТИ чистоrо состояния замк-
нутой системы, энерrиЯ которой СОСТОИТ из следующих слаrаемых:
9't ::::;:УС 0+ CJ?, :Jt..::::::. А + 4т"!t В"
'11" ;::=: r:ya 1 + ср7'" (3.3.5)
rде .7t А и 7t В.........пеВозМущеННые rамильтонианы рассматриваемой
системы и термосrЗТЗ t а 1 и , описывают взаJfмодейетвие си..
CTe ы с термостзrО\l. Т. е. релаксацию" и внешним полем соответст--
венко. Уравнение Неймана решзется с помощью теории возмуще..
иия.. и далее прОИЗВОДИТСЯ усреднение по переменным термостата
(CM второе оп ределение матрицы плотности (3r 1.15)).
;}При более приближенном подходе р ОТНОСИТСЯ лишь к рассмат-
риваемой системе (ЗТОМУt молекуле)t ?7{Q:з.fl А' И tf/Э 1 полаrается
стохастической функцией времени с известными статистич:ескими
параметрзми. Пусть индексы k" т, n нумеруют невозмущенные
энерrетические функ ции ( 7t OqJk == С k f.Ph) I Tor да (3) пр ИИ И мает вид
( d . ) I
dl + Mт/l' Pтlr -: II:L. (СР т"P"k P",tlCP ..lr),
n
, (3 3. 6)
rде оператор включает действие термостата и внешнerо поля. За-
метим. однако, что 1'акой ПОДХОД не объясняет неравенства вероятно-
стей релаксационных переходов вверх и вниз, W 12 >W 21 (CMt следую-
Щий раздел)
Наконец,. в квантовой электронике релаксацию учитывают, как
правило, феномеиолоrиqес.ки с ПОМОЩЬЮ иебольшоrо числа констант,
которые сrrитают известными из более детаЛЬНО{1 теорпи или из экспе-
римента.
Эволюция замкнутой системы. Прежде чем ВВОДИТЬ релаксацион...
иые параметры в уравнение ДЛЯ матрицы ПЛОТНОСТll t рас.смотрим слу...
чай замкнутой системы. Пусть n....... собственные функции оператора
энерrИИ 1 тorдa g[ rn.n ==!! nбтn и (3) принимает вид
I
i
'"
Р.1: ::: ioo...hP,. ·
(3 3 7)
50
Таким образом, в замкнутой системе матрица плотности заВИСJfТ ОТ
времени тривиальным образом:
Pтk (t)::: Pтk (О) ех р ( i(jJтk t),
(3.3.8)
Т. e недиаrональные эле fентЫ матрицы плотности осциллируют С соот...
ветствующими боровскими чаСТQтами to а диаrональные элементы (от'"
носительные населенности) постоянны. Заметим. что ЭТОТ результат
следует также сразу из экспоненциальной зависимости от времени
амплитуд состояний (Ь n ==спехр ( ir8 nt/'h») и определения р (3.1..4).
Применим (8) для определения дипольноrо момента изолированноrо
атома:
<d (/» :=Sp {dp (t)} == df!mP1lJ1I (О) ехр ( iЮmпt)
mft
(3.3 9)
Но из уравнений Максвелла следует, ЧТО ОСЦИЛЛИРУЮЩИЙ диполь ПО--
доБНQ антенне излучает в ПросТранство электромаrнитные волны И
поэтому через какое-то время атом должен потерять Весь запас энер-
rии и перейти в основное состояние) Т. е. Ртп(оо)==бтпб по . Таким об-
разом атом не может быть изолирован от электромаrнитноrо вакуума,
который иrрает роль термостата с Т o+ Этот пример напоминает, ЧТО
изолированных систем не существует t и поэтому (7) надо дополнить
релаксационными членами) описывающими установление равнове-
сия: р (00 )--+р{&).
Поперечная и продольная релаксацни Простейшие модели релакса-
ции (использующие в частности, марк.овское приближение) прИВОДЯТ
к следующему виду кинетических уравнений для матрицы ПЛОТНОСТИ
(СМ., напримеРJ 17, 14)=
( :, + j(j)тk ) Р mk == y mkPmk'
dpт ( )
---;п- .:.. W т пР 13: ..... W n т Р 111 t
п
m:f= k J
(3 3+1 Оа)
(3+3.1 Об)
Р т == Ртт+
Соrласио (IOa) недиаrонаЛьные компоненты матрицы плотности
ведут себя как .амплитуды Экспоненциально затухающих ОСЦНЛЛЯ
торов:
Р тВ (t) -= Р.. (О) ехр [( iroтk "тk) t].
(343.11)
Постоянная затухания для данной пары уровней Y12 Y 21 часто обо...
значается через 1fT 2. Время релаксации Т 2 недиаrонаЛЬНОЙ компо...
HeHTы Р12 называется временем спШl спШЮ80Й или попереЧ1iОU релакса..
ции (СМblСЛ последнеrо термина выяснится в 9 4.4).
Экспериментально поперечная релаксация обычно проявляется
в уширении спектральных ЛИНИЙ (МЫ пока отвлекаемся ОТ нестацио..
нарных эксперимеНТОВ t рассматриваемых в rл. 5). В 4.2 будет пока..
ззно, что из (10а) следует лоренцева форма линии с полной ширИНОЙ
51
иа уровне Ot5:
1.6.<iI """ 21' 12 == 2fT 2' I
в разрежанных rазах еДинственной причиной р;:лаксаuии ЯВ-
ляется взаимодеЙствие aTO 03 с элекrромаrнитным. naKYYMOM t вы-
зывающее с вероЯТНОСТЬЮ A t1 -= 2YII спонтанно излучение и СООТ-
ветствующее ущирение: верхиеrо ypOBHR 6.Cfi ItAIJ И спектральной
JIИНИИ .........Т3К иазываеМQЭ естесmзеНн.ое уширз:ние:
AЫ T =- 2Y12 == А 12 (3.3.13)
Если НИЖНИЙ уровень рассматриваемоrо перехода не является основ-
НЫМ,. то нужно учесть также и ero уширение. Пусть 21'п == Атn.........
т<n
общая вероятность спонтанноrо перехода с уровня n На все ниже-
lIежащие УРОВНИ,. Torдa
(3 3.12)
1'тп ==Ym+Yn il
(3.3 14)
Практически !1fecr лежит в области меrаrерц ДЛЯ разрешенных пере-
ХОДОВ в Видимой области и T2 10 6 С4
В случае достаточно плотных rаЗQВ естественное уширение маски-
руется столкновительным и Т 2 совпадает по порядку величины са
средним временем cr между столкновеrrиями атомов друr с друrом.. В ре-
зультате Aoo 2/ и ширина линии праПОрЦИQнальна дзвлению р
(при условии, конечно. что доплер()вское уширение меньше столкно"
вителыfrо).. Для rрубых оценок можно полаrать ЧТО при р==
-= 1 ММ рТ. ет. Af,....., lO 100 мrц. ЗамеТИМ t однако, 1{ТО в НеКОТОрЫХ
условиях наблюдается сужение ЛИНИЙ пр" увеличении давлеНИЯ j
A(jJ l/p (сroлкновительное или динамическое сужение). Одна из мо",
делей эrоrо явления рассмотрена в {З].
Взаимодействие атома с термостатом "РИ80ДИТ не ТОЛЬКО к затуха-
нию состояний, то и к некоторому сдвиrу бы частоты переходз. В слу"
чае терМостата вакуума этот сдвиr называется лем;БJrJск.и.м.. Оба ЭТИ
эффекта можно формально учесть, эзменяя: частоту перехода ООтn. на
комплексную величину
ro mn ==ООтn +бwmn..........lуnт. (З.3Ф 15)
СуществеННО t что поперечная релаксация не обяззтельно связана
с передачей эиерrии в Tep OCTaT. Например) при упру.rих столкнове-
ниях в rазе фазы комплексных З:dПЛИТУД СQСТОЯ-НИЙ b:it) И их парных
ПрОИ3ВеДений b;::b i). для отдельных атомов изменя:юrcя случайным
образом, и если в начальный момент времени ЭТИ фазы б ли одинаковы
(Pmzt=pO)t ТО через некоторое вреvrя Т ==I/Yтп, равное по порядку ве..-
ЛИЧИНЫ среднему времени между столкновеНИЯ\iИ t фазы равномерно
распределятся в интервале 0.......211 так что Рт1---+-9. Аналоrиqный ре-
зультат Дает также диполь"дипольное взаи. одействие сосе них. при--
месиых атомов в кристаллах. Подобные ВQЗ\tущеИИЯ j не Изменяюдие-
НаселеНИQСтей, называются адuабз.тf.1.t.lесIШМU. К OHeI.JHO, неадиэ.бати'"
62
ческпе возмущения, например неупруrие СТQЛКНQвеНИЯ t также дают
вклад в затухание недиаrонзльных элемеИТОВ t так как они изменяют и
амплитуду и фазу ко ициентов ЬМ).
Рассмотрим теперь релаксацию ДиаrонаJIЬНЫХ компонент матрицы
ПЛОТНОСТИ, Т4 е. насеnенностей. Кинетические уравнения (106) содер"
]Кат набор феноменолоrических ко ициентов W mn С размерностью
I/c. К О}'фф и циент W 2 1 оп реЛР:lIЯ Т скор ость п еJ1 ехода И3 соg.Q ЯНИ1I 1 В
состоя ние 2-- под дейётвием те рм остата (нап омним" что в квантовой ме-
ханике и нде ксы пере ходов rrp111ff:i I"и l1итать справа налево) РОЛЬ тер"
мостата MorYT IIrpaTb например, колебания решетки в кристаллах,
поступательные степени свободы атомов в rазе. электромаrНИТНое И3-
лучение.
В случае двухуровне вых систем исполь зуют обозначение
I т 1 ;а (W 1t + W H) I. 1 (3.з.16)
Пара!\iетр Т 1. определяет время релаксации населенностей, Т4> е. сред..
ней энерrИ i, и называется временем сnun..решеmочной или nродолыtйй
релаксации. Время ПРОДОЛЬНОЙ релаксации зависиТ от температуры
термостата и изменяется в очень широких пределах: от JO 12 С В случае
безызлучательных оптиqеских переходов в конденсированном веществе
До часов и суток в случае ядерноrо маrнитноrо резонанса (слабость
взаимодействия с решеткой объясняется малым значением маrнитноrо
момента ядер ll 10....23 CrC). Заметим ЧТО адиабатические возмущения,
например диполь дипольное взаИМОДействие не изменяют населен-
ности и поэтому обычно Т r:> т з. Экспериментально продольная ре-
лаксация проявляется в эффекте наСЬПЦения (э 4.3)1
Уравнения (10) ДОЛЖНЫ охватывать и случай термодинамическоrо
равновесИЯ t коrда p ptO) И р{о.)::::: O поэтому должна иметь место
следующая СDЯЗЬ:
{ШтnРп wптPтJ == о.
п
(з.з 17)
Это равенство удовлетворяеТСЯ t в частности, если принять nринцип
детальноzo равновесия:
WтnPd== WпmP..
(3 3. 18)
Оrсюдз при учете. распр деления- Больцмана находим следующую
связь M Дy вероятностями релаксационных переходов, уменьшаю
щую BДBO число независнмых парЭМетроВ в (106):
WmJW nm -- ех р (пооnт./ХТ)'
(З43t 19)
rде Т температура тepMOCTaTat Это условие обеспечивает динамиче-.
ское равновесие населен ностей. Таким обраЗQМi' W 1 !>W S1 ' в отличие
от случая вынужденных переходов в классическом ПQле t KorAa со.
r ласно (2. J .24) W 13 === W'1. При НИЗКИХ темпера ту рах термостата в нем
отсутствуют возбуждения (фотоны фОНОНЫ И Т. Дt) с ВЫСОКОЙ энерrией
53
n.оо>хТ, поэтому он может лишь поrлощать ЭНерrию ИЗ рассмаТривае
МОЙ системы и переходы вверх практически не nРОИСХОДЯТt Крайний
пример такой ситуации представляют переходы между УРОВНЯМИ ядер
в -v"диапззоне t которые даже в конденсированном веществе часто про-
ИСХОДЯТ лишь вслеДствие спонтанноrо излучения с вероятностью W.:Ia===
:==:А == 1fT i. В случае ядерных изомеров А чрезвычайно мало иэ"за
сильноrо запрета ПО мультипольности, и Т 1 доетиrает, как и в случае
.ямР, суток 4>
В прннципе J параметры W mn МОЖНО вычислять в рамках той ИЛИ
иной модели терМостата. Пример тзкоrо расчета в случае термоста-
та поля уже был проведен выше в 2 5. При этом
w 21 ==Bpt w J :2==Bp+A.
1fT 1 ==А cth (liю 21 /2)tТ)==-А/ /1(0),
(3.3.20)
(3.3.21 )
rде А t В коэффициенты Эйнштейна для спонтанных и вынужденных
переходов,. р===р(О) (ш 21 ) спектральна я плотность paBHOBeCHoro ПОЛЯ
определяемая формулой Планка. и дtо) равновесная относительная
разность населенностей (СМ. (З.2 7).
ОПредстаВJlение взвимодействия. Уравнение Неймана ДЛЯ матрицы
плотности (4) обычно приходится решать с помощью теории возмуще--
ний" Т. е. метода последовательных приближений; исключение со.
ставляет случай двухуровневой системы рассмотренный ниже в 4.3.
Как и при решении уравнения Шредпнrера в энерrетичееком представ..
ленин ( 2.1),. будем полаrатьi' что влияние внешнеrо перемеННQrо поля
на электроны в атоме MHoro слабее действия Постоянноrо поля ядра,
определяющеrо невозмущенные стационарные СОСТОЯНИЯ связанноrо
электрона Более точно условие првменимости теории возмущения
имеет t как будет показано ниже t ВИД Q й t r де 11 == r d тn · Е o:l/n'........ часто..
та Раби, Т4 е. матричный элемент энерrии возмущения в частотных еди..
ницах, и ro расстройка между частотой поля и ближайшей частотой
атома, Т. е. дефицит энерrии в виртуальном СОСТОЯНИИ Iro blmJtJ
(э 6.2)t или ширина перехода 1'т n , определяемая релаксацией.
Прежде чем решать уравнение Нейманз,. удобно перенести три..
виальную невоомущенную зависимость матрицы плотности от времени
на операторы. Для этоrо введем следующее обозначение для матриц..
ных элементов nрОИ3ВОЛЬНОro оператора в энерrетичесКQМ базисе:
{:М == f тп ехр (i<Omn t )== f drФ (,.; t) fФ n (r, t)
(з з. 22)
r де ФУНКllИИ Ф n := <1\, ех р ( i8 n t IIi ) удовлетворяют уравнению i пФ п
== 9t оФ"t Преобрззовзнию матричных элементов (22) соответствует
следующее унитарное nре06разован.ие самих операторов:
" (t)::=: и [и {}'
u о (t) === ех р (......... ig( о' /n), u ои: ... 1
(3 3.2З)
(3.3.24)
у кита р иый оператор и о называется опера то ром невоэм ущtННоЙ Э80"
АЮЦUU, В энерrетичеСКQМ представлении ОН диаrонален и имеет соб
54
ственные значения ехр (.......ill nt/Ii)t так что
-ФII (t) -= и о (t) QJni
<рn -= и: (t) Фп (t).
(3.3.25)
(3.3.26)
в обозначениях Дирака временная ЭВОЛЮЦИЯ вектора состояния
записывается следующим образом (при ?t?== О):
I t):::::; и о ( t ........ t tJ) I t о > ( 3 · 3 · 27 )
Обратное к (27) преобразование имеет вид
1 > I :=s I t о> == и t 1 t)
(3.3.28)
Подс.тавим теперь в уравнение IНеймана (4) вместо Р",п И суэ т"
штрихованные величины cor лзсно (23) И учтем. что О)пн, + U)1I!t == (J)тt.
В результате получи уравнение ДЛR матрицы плотности в пред.
стаrJлен.ии взаиAtодеасm UЯ ИЛИ t инаqе t представленuи Дирака::
if1P;"k -- ( p :т) t
11
(3..3t 29)
в инвариантном ВИДе оно записывается так:
iпp' == I ', р'].
....
( 3.3.30)
ОтмеТИМ t что зависимость произвольноrо оператора f от времени
определяется уравнением fейзенберrа:
if,,/ [/, $t'J.
(3_3.31 )
Здесь полаrается, ЧТО f не зависит от времени ЯВНО. Т. е. aflat O..
Преобрззование операторов вида (24) при одновременном преобра-
зовании векторов состояний (28) называется переХDДОМ к представле-
нию взаимодеЙСТВИЯ t а в случае o .......... к nредставлению rейзенбеpza.
Эти преобразования аналоrичны переходу к вращающейся системе
координат.
В ИСХОДНОМ представлении Ш рединира векторы СОСТОЯНИЙ и в СО-
ответствии с определением (3.1 t4), элеМенты матрицы ПЛОТНос.ТИ ИВ..
ляются ФУJIКЦИЯМИ времени, а операторы MorYT зависеть ОТ времени
лишь за счет переменной внешней силы (как, напримеРt оператор
экер rии "7/4)( t) ==..........d. Е (t) пр" ДИПОЛЬИ ом взаимодействии) В представ-
лении rейзенберrа, наоБОРОТ J вся временная зависимость перенесена
на операторы и их матричные элементы, кроме оператора плотности,
а векторы СОСТОЯНИЙ неподвижны Представление взаимодействия за-
нимает промежуточное положение. в нем все величины зависят от вре-
меНИ t
Существенно, однако, ЧТО наблюдаемые велuчины не зависят от
вьt60pa представления:
<Т> == Sp (fp) ::: Sp (/' p') (3 3. 32)
55
При Доказательстве используется определение (24),. унитарНQСТЬ
и ои: =- J и инвариантность Шпура к циклической перестаНQБке:
Sp(abc)=-:Sp(bca)4 .
ОТеория возмущеНИЯil Нетрудно найти формальное решение уран'"
пения Неймана (ЗО) меТОДО"1 лоследовзтеЛЬНЬJХ приближениЙ. Для
ЭТоrо предстэвим операТОр плотности в виде ряда (штрихи временно
опускаем):
р (t) == ptt) + рН) (t) + р(2) (t) + . . (3.3.33)
и ПDдеТЗВIlМ ero в (30). Здесь ptO} == Р (t о)........... нач8.JIЬ ное условие П ри
равняв слаrаемые OAHQrO порядка малости по возмущению CP'i)t най-
дe 1 СВЯ3Ь
ifiP(fC) [ ) p{Je....l)]. (3.3.34)
Последовательное интеrрирование Дает
t '1
рОI (t)== (iп.) " ) dt B . .. ) dt 1 ['1'" ив), ... [еуа (tl)' р(О)] . . .]. (з.3.35)
t o '&
Chxюда находим среднее значение произвольноrо операТора
ot t tJt.... t
<! (t».... иA) " ) dt 1 ... ) dt t Х
k= О tt , t
Х <[ [f' (t)t ' (t 1 )], . t ' (fk)]>(O)t
(3Ф3.36)
в последнем выражении усредненпе ПРОИЗВОДИТСЯ ПО начальной
(невозмущенной) матрице ПЛОТНОСТИ р(О); начальный МО lеит вре-
мени t о обычно полаrается равнь(м ..........00. При вь[воде (36) было ис-
пользовано свойство Sp (аЬ) == Sp (00), соrлзсно которому под знаком
Sp ИМеют место равенства вида
а [Ь, с] == [a Ь] C а [b [с, d]]:::: ([a b]i с] dt (З.3 37)
Выражение (36) определяет отклик (реакцию) квантовой системы
На внешнее возмущение 4 Н ап риме р полаrая f == da, C'j/J (t) == d · Е (f).
можно найти средний ДИПОЛЬНЫЙ момент aTOMa Т. е. смещение за...
РЯДОВ 1 возникающий под действием задаНноrо электрическоrо поля,
в виде
<d (i):::: аЕ + E2 + уЕ3 + . , (3.3.38)
..... .... ....
rде а, " ,\, HeKOTopыe интеrраЛьные операторы, структура кота..
рых ясна из (36). Разложение d (t) и Е (t) в ряд или интеrрал
Фурье определяет теНЗ0РЫ поляриэуе.мостu атома а (00), р (OOt 00'), . .
УМНОЖИВ. далее, атомные поляризуемости на плотность атомов N t
можно найти теНЗ0РЫ макроскопической 8Оспрuu.мчuвости 8et..Цecmвa
Х (1) (Сй) t Х {2) «(о, т' ) t ..
в результате аких вычислеНИЙ t ПрИМеры которых будут при..
ведены ниже в 9 4.2 и 6 2,. поляризаuия вещества р== N <d> ВЫ--
ражается через внешнее поле и nарзметры атомов ДИПОЛьные мат...
риqные элементы d",n И частоты переходов Ы11In.
rЛАВА 4
ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ВЕЩЕСТВА
в классической электродинамике принято разделять задачу взаи.
МQдействия излучения с веществом на две части........ микроскопическую
и макроскопическую. Микроскопическая часть задачи состоит в опре-
делении поведения заряженных частиц вещества под Действием задан...
Horo внешнеrо ПОЛЯ. В резуЛЬтате ее решения вычисляют усреднен-
ные, макроскопические t параметры вещеетва t например теНЗ0Р БОС-
приимчивости XI определяющий поляризацию однородноrо вещества
р ===111 Е ПОД действием поля, или диэлектрическую п рон ицаемость
e L При разложении поля в частотный интеrрал Фурье эти
величины ЯВЛЯЮТСЯ комплексными функциями чаСТQТЫ t Е(со)==е'(ю)+
+ lе а (ш).
При 1t1акроскопичеСКQМ подходе ВQСПРИИМЧlfВQСТЬ вещества счита
ется известной и задача состоит в исследовании процессав излучения и
распространения поля с помощью макроскопических уравнений Мак-
свелла.
В настоящей rлаве сначала рассмотрены определение и общие свой-
ства тензора воспри ИМЧИВОСТИ ( 4 1) 1> Далее в 9 4.2 восприимчивость
вычисляется с помощью nростейшей модели............. одинаковые t неподвиж-
ные и невззимодействующие молекулы. При ЭТОМ используется как
l{лассическаЯ t так и квантовая теории.. В 9 4.3 рассмотрен важнейший
эqфeкт НeJIинейной ОПТИКИ 3фРект насыщеНИЯ t при котором насе-
ленности двух уровней выраВНиваются под Действием СИЛЬноrо резо
HaHCHoro поля. НаконеЦI в 4.4 ВЫВОДЯТСЯ уравнения Блоха,. широко
используемые в квантовой электронике.
4.1. Определение и общие свойства восприимчивости
По определению линейная ДИ9лектрическая восприимчивость Х ( ro)
является коэффициентом пропорциональности межДУ МОНохроматиче-
СКИМ !\{акроскопическим полем Е(ro) с частотой ro и возникающеЙ под
ero деЙСТБИе1.f поляризацией Р(ы) в однородной среде. В анизотропной
среде поляризация может быть непараллельна ПQЛЮ t так ЧТО воспри-
имчивость в общем случае является теНЗ0РОМ:
Р« (6}) -= х"р ((О) Efj (ro),
t . ....-41' " .,' ..
J
( 4.1.1 )
знак суммирования, как праВИЛОt опускается, а, р==х, У. ,. В бо-
лее компактных векторных обозначениях
р (00) -= х (ю). Е (00). (4.1 t2)
57
При доказательстве используется определение (24)J унитарность
и oUt == 1 и инвариантность шпура к циклической перестановке:
Sp (аЬс)а.: Sp (Ьса). .
"Теория возмущения. Нетрудно найти формальное решение урав...
нения Неймана (30) MeТOДO l послеДовзтельньrх приближениЙ+ Для
эrоrо представим операТОр ПЛОТНОСТИ в виде ряда (штрихи временно
опускаем):
13 (t) == р(О' + р(О (t) + рС2) (t) + . ф (3+ 3 33)
и подставим ero в (30). Здесь р(О) р{tu) начальное условие. При
равняв слаrаемые одноrо порядка малости по возмущению , най-
ДеМ связь
iJiр(я):: { , p(k...l}]. (3.3.34)
Последовательное интеrрироваиие дает
t '.
Р (1) (t) """ (ifi) ) d t Я' " ) d t 1 ! ')i? (! k) , ... [ и 1) . р (Q) ] " . ]. ( 3.3. 35)
tc- t{)
Отсюда находим среднее значение произвольноrо оператора
. t tlc.. t
< f (t» -= (in') k ) dt 1 . .. ) dt k Х
k= О t o 10
Х < [. . [f' (t) I (t 1) ] t . . . ' (! k) J > (О) .
(З 3 36)
в последнем выражении усреднение ПРОИЗВОДИТСЯ ПО начальной
(невозмущенной) матрице ПЛОТНОСТИ р(О); начаЛЬНЬ1Й "'tOMeHT вре-
мени t o обычно лолаrается paBHbl 1 oo. При выводе (36) бьrло ис-
пользовано СВОЙСТВО Sp (аЬ) == Sp (ba)j cor пасно которому ПОД знаком
Sp имеют место равенства вида
а [b с] IC: (а, Ь] с, а [b t [C t d]} == [[a t Ь] t с} d. (З 3. 37)
Выражение (36) определяет отклик (реакцию) кваНТОВОЙ системы
на внешнее ВОЗ fущение4 Например. полаrая {:= d a , ']I'J (t) == .........d. Е' (J)
можно найти средннй ДИПОЛЬНЫЙ ltlомеит атома, Т. е. смещение за..
РЯДОВ t возникаюlltий под действием Э8ДаНноrо электрическоrо поля.
в виде
<d(t»:::::aE+ E2+yE3+.. .t
( 3.3.38)
rде а.,. Р. у........НеКоТорые интеrральные операторы, структура кота..
рых ясна из (36). Разложение d (t) и Е (t) в ряд или ннтеrрал
Фурье определяет тензорЫ полярuэgе.мостu аnw.м.а а (ш) (00, w ) t t . .
Умножив, далее, атомные поля ризуемости На плотность зтомов N,.
можно наити теНЗ0РЫ макроскоnичеекои восприим.ЧUВОСfnU вещества
Х (1, (ro). Х ( ] (ю t ro ') t ...
в результате таких вычислениЙ, примеры которых будут при-
ведены ниже в Э 4.2 и 6 2, поляризация вещества р=- N <d> БЫ'"
ражается Через внешнее поле и параметры aTOMOB дилольиые мат...
ричные элементы d l1lп И частоты лереходов ООтll.
rЛАВА 4
ВОСПРИИМ ЧИ воеть ВЕЩЕСТВА
в классической электродцнамике принято разделять задачу вззи.
t одеЙСТВIIЯ излучения с BeIЦeCTBOM на две части....... микроскопическую
и макроскопическую. Микроскопическая частЬ задачи состоит в опре.
делении поведения заряженных частиц вещества ПОД действием задан",
Jloro внешнеrо поля. В результате ее решения вычисляют усреднен...
ные, макроскопичеСI(ие t параметры вещеСТВ8 t например теНЗ0Р вос"
ПрИИМЧИВОСТИ Х,. определяющий ПOJlяризацию однородноrо вещества
р X · Е под действием поля t ИЛ И диэлектрическую n раН и цаемость
Е -:pt!(L При разложении ПОЛЯ в частотный интеrрал Фурье эти
величины являются комплексными функциями частоты, 8(0о)==е'(0о)+
+le U ( ro).
Прll l\lаКрОСКQпическом подходе ВОСПрИИМЧJIБОСТЬ вещестВа счита-
ется известной и задача состоит в исследовании процессов излучения и
распространения поля с ПОМОЩЬЮ макроскопических уравнений МаК-
свеллаt
В настоящей rлаве сначала рассмотрены опредеnение и общие свой-
ства тензора восприимчивости ( 4 1).. Далее в 4.2 восприимчивость
вычисляется с помощью простейшей модели одинаковые t неподвиж"
ные и невззимодействующие молеJ{УJlЫ. При ЭТОМ используется как
классическая, так и квантовая теории. В Э 4.3 рассмотрен важнейший
эф:рект нелинейной ОПТИКИ........ эффект насыщения, при котором насе---
ленности двух уровней выравниваются ПОД действием силъноrо резо-
НЗНсноrо поля. Наконец, в Э 4.4 ВЫВОДЯТСЯ уравнения Блоха,. широко
IIСПQЛьзуемые в квантовой электронике.
g 4.1. Определение и общие свойства восприимчивости
По определению линейная диэлектрическая восприимчивость х(оо)
ЯВЛяется коэффициентом пропорuнональности между монохроматиче-
ским макроскопическим полем Е(ы) с частотой U) и возникающей ПОД
ero действие 1 поляризацией P(u» в однородной среде. В анизотропной
среде поляризация может быть непаралпельна ПОЛЮ t так ЧТО воспри.
НМЧИВОСТЬ В общем случае является теИЗ0рОМ:
Р"(ю) Хаа (ю)Е р (00).
t ..r.... --------т------ ..-.r"II...... ..+-...
..... r...........r...............
}
( 4.141 )
ЗН ак суммировани я t как правило, опускается, а.. .. Х, у, 2. В бо-.
лее КОl\.1пактныХ векторных обозначениях
Р (О) -= х (оо).Е (ro) (4.1.2)
57
Симметрия. Здесь Е (00) обозначает фурье"комnоненту попя Е (t).
Как обычно в физике t функцию времени f(t) и ее фурье-образ {(оо)
обозначают ОДНОЙ буквоЙ и раэпИЧ8ЮТ лишь по арrументзм:
f( t) == ) d(J)C (1Di f( ш), f (ш) == ) di ei(1)t f (t )/2n. ( 4. 1 . З)
Отсутствие пределов интеrрИрОвання означает,. что ОНН равны :tco.
Заметим, что если t (t).......ВещесТВеННая веЛИЧИНЗ J ТО из (3) вытекает
следующее СБОЙСТВО симметрии функции f (00):
f (.......00) =- {* (00). (4t 1 .4)
Таким образом,. действительная часть f' (00) является четной
ФупкциеЙ t мнимая часть /W (ro)...........НечеТНой, так ЧТО достаточно зада-
вать f (ro) лишь для ПОJlОЖИтеЛЬНЪJХ чаСТОТ4 Из определения (2)
СJ1едуеТ t ЧТО все компоненты тензора ЕОСПРИИМЧИБОСТИ также ома..
дают свойством (4):
l x oo)==x.(oo).1
(4.1.5)
ТеНЗ0Р Х (00) и ero обратный фурье..образ "1 (t)1 называеМЬJЙ
функцией [рина ИЛИ функцией отклика, обладают еще ОДНИМ общим
свойством., ха рак тер ным дл Я n роизвольных qИЗИЧЕСКИХ систем он
....
симметричен, T е. Х. === Xt ИJ]И
[ Xaj3 == ХjШ-
Здесь х.......... транспони рееа н нь..й теНЗ0 р: ):0:,6 ==х O:. Это р 3 В€HCTEO ЯБt.t
ЛЯе1'СЯ лримером общеrо nринципа сuж.метr;uu кинетиЧЕских козф"
фицuентов OHCQzepa. Оно подтверждается и микротеорией (СМ. (4.2.20)).
Симметрия Х на ру шается только в ел уч ае fИрОТрОn ии........ (стествен..
НОЙ или вызванной ПОСТОЯННЫ маrнитным полеМ4 В последнем слу-
чае ВМЕСТО (6) имеем Х (Но) == 1 ( Ho).
Дополнительные связи МЕЖДУ ра2ЛИЧНЫМИ компонентами XCtI3 нз-
клаДЬJвает симметрия среды. НапримеРI в кристаллах с кубической
симметрией f как и в изотропной среде. Хо:l3 == х б о:8.
Влияние ПрИЧИННОСТII. 3аЕИСИМОСТЬ восприиМчивести от частоты
Х (ro) не может быть I1рОи3ЕОJJьJ-JОй........ как МЬ] сейчас покаж€м ее
деЙствительная х' (ro) и мнимая x Jl (О) части связаны ИН1€тральным
пр€образоsзни€м rильберта.
Рассмотрим nОЛЯРИЗЗUИЮ t возникающую в ДИЭЛ(I{Трике ПОД
деЙСТВИЕМ очень KopOTKoro ИАtnульса поля: Е (t) ,....., б (t). Т. е. счи-
таем длительность импульса M Joro меньшей, чем период наиболее
высокочастотноrо собственноrо КОЛЕбания ВЕЩЕства. В спектре та-
Koro импу пьез равномерно nреДСТЗЕлены Есе частоты: Е (<о);;::: const,
и ПОЭТОlflУ спектр nОJ1яризаПИИ t cor пасно определению (1) будет
пролорuионвлен Х (<.о): Р (ы) Х (00) (ДЛЯ npOC101bI считв€м среду
И30ТрОnНОЙ) Следовательно, импульс поляризации Р (t) nропорuио-
58
(4.1 6)
нален фурье образу комплексной вослриимчивости;
Р (t) "" dooe ij,)IX (00) == 2пх (t).
Очевидно" что реакция системы не может возникать раньше
СИЛЬ[, ее вьrзвавшей, поэтому функция X(t) :n'Ьлжна ОЬ ра ЩEiтьс я в
нуль при t < о:
[Де е (t)..........сТупеНчаТая функция ;Хевисайдз; равная единиuе при
t > О и нулю при t < о.
Принцип причинности существенно оrраничивает соrласно (7)
допустимый класс функций Х (<о) И3 иеrо следует. что Х (oo) рас-
сматр и ваема я как функция комплексной частоты (о == (о' + iro 11 должна
быть аналитической в верхней полу плоскости. Будем вычислять ИН-
теrрал (7) с помощью теории вычетов. Подынтеrральное выражение
содержит множитель e tt поэтому при t>O ы"
надо рассматривать интеrрал ПО контуру, ох-
ватывающему нижнюю полуплоскость (рис..
4.1), а при t<O .......... верхнюю. НО ПО принципу
причинности при t<O интеrрал обращается в
нуль, следоватеЛЬНО t ФУНКllИЯ х(ro) не 1\fожет
иметь полюсов в верхней полуллоскости (СМ.,
например, [2 t 22t 25J)t
Далее, соrласно интеrральной формуле
Коши действительная и мнимая части aHa
литицеской функции связаны nреобразова-
НlfЯМИ rилъберта:
пх' (00) == rdool : ' пх" (00) >=: yd l ' ·
( 4 1 .8)
dooe lfijlX (00) "" е (t).
( 4.1. 7)
(д'
Q
{)
о
о
Рис. 4.1 Доказательство
а н ЭJl ИТИ Ц насти вос при ИМ
ЧИВОСТИ ДИМеКТрИКа Х «(О)
в верхней ПQЛУПЛDСКОСТИ
комплексной часто ты:
ФУИRЦИ.я ОТКJ1ика Х (1) ltри
t<O по принципу при Чll B
НОСТИ равна Jlу.)JЮ н В то
же время рзвна ИИ1'еrралу
от х(ro)е iшt по контуру
с; отсюда ПО теореме Ко..
ши внутри С не ДОЛЖНО
быть ПОЛЮСОВ фун [(ЦНИ
Х (00)
Эти интеrральные связи называются СООТ-
ношениями Крам ер са KpOHU2a. Они позво-
ляют, например" измерив только мнимую
ЧастЬ восприимчивости,. вычислить ее действи-
тельную часть.. Нетрудно обобщить проделанный ВЫВОД на случай ани..
зотропной среды, при этом соотношения (8) справедливы по отдельно-
сти ДЛЯ всех компонент тензора х.
ПОfJ10щение заданноro поля. В приближении линейной оптики
восприимчивость Х полностью определяет излучение, раСПрОСТранеНИе
и поr лощение макроекопическоrо ПОЛЯ в однорОДНОМ веществе. а также
свойства поверхностных ВОJlН, эффекты лреломления и дифракции
при наличии rраниц. Более Toro, соrласно флуктуационно-диссипа..
ТИВНОЙ теореме (ФДТ) Х определяет также и равновесное тепловое поле
в веществе ( 17.7).
ПокажеМ t ЧТО мнимая часть восприимчивости Х N (00) определяе т
or лощаемую ил и nQ..IL. :( <' () иэлуt.f.ащю RР.rтте(тIНШ I\t'JЩН-Ut.: IЬ .
удем ИСХОДИТЬ ИЗ макроскопических уравнеНrlЙ Максвелла дlIИ
59
линейной неМаrНИТНОЙ среды, в которой D Е + 4nP-=: (1 + 4лх) Е
и В==Н:
crotH b==4nj,
сrоtЕ+Н=:кО t
div D == 4пр,
div 11 -- Ot
(4 1.9a)
(4.1.96)
(44I Ф 9в)
(4.1.9r)
rде.j и р сторонние (заданные) плотности тока и заряда.
Лоrло шзрмя я :е. _ единиuе объ а вешеrТRЯ MnTITHOCTb :р в силу
за КО на сохранения энерrии должна при j== О равняться : с. обрат-
НЫМ знаком, диверrенции ПЛОТНОСТИ потока эиерrии S;
5' (t) =: c div (Е х 1I)/4п == с(Е .rotH II.rot Е)/4п.
Из (9a t б) следует, ЧТО
(t) == (Е iJ +Н tif)/4n.
в случае монохроматическоrо ПОЛЯ ЭТО выражение будет содержать
осциллирующее с ДВОЙНОЙ частотой слаrаемоеt В среднем по вре-
мени ОНО равно нулю, так что средняя за период МОЩНОСТЬ будет
равна
......
51 :а !Р (t) == Е. Р == u> 1т (Е:. Ро}/2 =: ioo (Е Gttx i3E: ...... E Xaf)E1) )/4
( 4t 1.1 О)
Поменяем местами индексы ct t 8 первом слзrаемом и учтем СИ!'.'I"
метричность (6) тензора восприимчивости в неrироrропной среде,
тоrда
== rox pE:aE ор/2 == ыЕ:. х и . Eo/2. (4.1.11)
В случае rИроТроПНой среды в (11) вместо мнимой части тензора
Х. должна стоять ВНТИЭрМИТОВа часть (X.......Z+)/2i. В изотропной
среде или кубическом кристаnле (11) принимает вид
53 == их" [ Е о 12:/2.
( 4. J .12)
080СПРИИМЧИВОСТЬ В8иуума41 Найдем далее поле,. СО3ДЗБз€ltfое в
ОДНОРОДНОЙ среде С10рОННИМИ ИС-ТОЧНиками заданной поляриза-
цией, изменяющейся rармонически в пространстве и ВО времени:
р== (1/2) Роei"Jr.. шt + KtC. (4..1.13)
Эдесь k и ы неззвис.имые величины. В однородноЙ среде под
действием Р возникает плоская монохроматическая волна с аМПJlИ-
ту дами Е о' НО' Падст авим (! З) в у равиени я (9а" б) и учтем что
J== Р. в результате nолуЧИl\t систему алrебр.аичесних ураВНений ДЛЯ
Е о, 110 (" == ckfoo):
n х Но .e. Eu == 4nPo.
nxEo Ho O
(4.1.14)
(4.1.15)
60
или, после ИСКJlючения H(J'
пх (n х Ео) + е. Е4 == ........4 ПРО 4
..
(4.1.16)
ДвоЙное векторНое произведение в (16) ВЬJделяет лроекцию век...
тора Ео На ПЛОСКОСТЬ t перпендикулярную напраВJlеНИЮ распрост--
ранения k. Обозначим эту операцию nроеКТИрОВаниЯ через П..
ТеНЗ0Р П имеет" очевидно,. следующие компоненты:
Па" -= liat) krxk /k . (4.1.17)
В результате (16) принимает вид
(n 2 П ........е). Ео == 4лРо. (4.1.18)
Таким образом, задача свелась к решению CHCteh-fbl из трех ли..
нейных неоднородных алrебраич€ских уравнений Это решение вы-
ражается извеС1НЫМ образом через миноры II детерминант матрицы
(n2П е)аР. Не решая систе JУ ЯВНО t выразим Ео через РО с помо"
щью понятия обра1НОЙ матрицы или тензора. ПО определению
А А 1 =- A ] · А :::: 1, поэтому из (15) II (18) следует
Eo==a,pot Ho==пx(O.PO)t О===41t(п2П е) 1, (4.I Ibl)
ТеНЗ0Р а а {} (k, (0) называют спекпlРа.льной функцией FpUHa для
уравнений МаксвеЛЛЗ J он определяет макроскопическое nОЛf t C03
даваемое пол я р и зэцие й ( 13) t Т. е 4 ОТКЛИК элек 1 pOMarH ИТНО ro «ва--
куума в среде» на возмущение. ТеНЗ0рная функция О (kt ы) aHa
лоrично 1 или е удовлетворяет соотношениям l(рамерса Крониrа4<
Фурье образ О (rt ') определяет ПОЛЯ возникающие в ОДнорОДНОЙ
среде ПОД действием произвольноrо распределения поляризации
Р (r, t) или тока.
Рассмотрим случай изотропной cpeды Направим ось z ВДОЛЬ k,
тоrда из (17) и (19) найдем
Е ох. !J == 4л:Р ах yl(n 2 .....e)t
Е о == ........4 пР oz/e ;
(4 1 t20)
( 4 1.21 )
наПОМНИ!dt ЧТО здесь п ckl(fJ Последнее выражение дЛЯ ПРОДОЛЬ"
Horo, по отношению к направленню распространения. поля E oz по-
казывает, что ОНО Не зависит от k.........Mbl исключаем обычно слабые
эффекты nросmран.СlЛ8еННОЙ aucпepcuu t коrда В:= е (kt 00)4 Соrласно
(21) продольное поле t C03AaBae foe данной поляриззпией t макси...
мально На частотах, при которых I в «(О) I минимально; ЭТИ частоты
определяются условием е' (00) 0+ 3амеТИМ t что функцию rрина
для продольноrо ПОJJЯ Ь10ЖНО получить 1акже из уравнения (9в),
если учесть ЧТО p div Р.
Поперечнь[е компоненты поля Ео'Х.. У В зависимости от.3 ИСПЫ tr
ТЫВ8ЮТ соrласно (20) «волновой резонанс» при k::::: о) V в' /С 1 Т. е
при п 2 :=; в'. При этом Q хх == О уу i/X tt И МОЩНОСТЬ излучения
раВНа (ер. (12)
:: 00 (1 р O 12 + I Р 011 12)/ 2 x" ..
ct 1 +22)
6'
....-j.ермодиНаМичесКий подход. В веществе между областями сильноrо
поrлощения существуют окна прозраЧНОСТИ t в которых можно прене-
бречь Диссипацией энерrии поля" Т. е4> ПQлаrать (X"IX'I l (считаем
вещество неrиротропным). В отсутствие диссипации энерrия колеба-
тельноrо движения частиц, вызванная внешним полем сохраняется и
можно определить ра,боту поляризаuии А (P. ) как ОДНОЗНаЧНую ФУНК-
ЦИЮ амплитуды поля; эта работа по раскачке зарядов ПРОИ3ВОДИТСЯ
источниками леременноrо поля. ЗамеТИМ t что ДЛЯ определеНТfЯ А не-
обходимо конечрое время установления стационарной амплитуды коле-
баний поляризации POt ЧТО возможно ЛИШЬ при наличии HeKoToporo
конечноrо nоrлощения. Понятие работы А (Ео) позволяет считать Ео
ОДНИМ из термодинамических парамеТРОБ, задающих состояние B
щества наряду с энтропией S, ПЛОТНОСТЫО РИТ. д. При таком подходе
можно дать термодинамическое определение поляризации Po(S, p Ео)
и восприимчивости x.(S, Р?' Ео) как функций состояния вещеСТВЗt
В окнах прозрачности мала и ДИсперсия, поэтому поляризация
почти мrИQвеино следует за полем:
р (t) Х (ю) · Е (t), ( 4 .1.23)
здесь (t) ......... средняя частота квазимонохроматическоrо ПОЛЯ4> В случае
оптическоrо поля 1(00) определяется, KOHeqHO без учета инерционных
механизмов nОJlЯрИЗЗЦИИ, напримеРt связанных с ориентацией моле..
кул переменным полем (9.61'2), дающих вклад лишь в статическую и
радиочастотную ВQСПРИИМЧИВОСТИt
Будем сначала полностью иrнорировать диспеРСИЮ t тоrда состоя-
ние вещества зависит от времени как от параметра ТОЛЬКО через поле
E(t). При ЭТОМ в (10) можно полаrать P I.E\ так что скорость иэме.
нения энерrии макрополя (на едИНИЦУ объема) принимает вид 1)
t-.. t- d ( Е!+НI I )
5'(f)==(Е.Е+Н+Н)14л+Е-х. Е -==di Вп +2Е-х-Е (441.24)
в последнем равенстве использована сим:\(етрия теНзора Х. Вы-
ражение в скобках является" очеВИДНО t плотнос.тью энерrии макро--
ПОЛЯ t причем первое слаrаеМое есть эиерrия поля в вакууме (при
тех же Е, ff)J а второе имеет смысл дополнительной работы А,
прОИЗВОДИМОЙ ИСТОЧНИКОМ поля при наличии вещества. Дополни..
... '1.11
тельная: энерrия вещества в заданНОМ поле име:ет ооратныи знак:
1 :: E'X'E/2l
(4.1 25)
CTporo rоворя здесь вместо МдКрОПОЛЯ внутри вещества Е
должно стоять внешнее поле Е' в отсутствие вещества (СМ. [22}, 11).
однак о мы ДЛ я n РОСТОТЫ п ренеб per аем р азл и чием Е 11 Е'.
Формулы (23)..........(25) предполаrаюr линеЙную СВЯЗЬ между Р и
Et что оправдано лишь при достаточно слабом полеt Очевидным
.ь.
l} Учет д.исперсци ПрИВ1J,ИТ в ЛIНJейном приближении к замене Х в (24) иа
d (ool..)/dw 1221
62
ИЛИ
обобщением (25) является выражение
dv== P(St р, E).dE,
Е:
V=, J P(S, р, E).dE.
о
(4 J .26)
(4.1.27)
Полярнзаuия Р И t следовательно, элементарная работа поляри...
ззuии ........ dv зависят" конечно, не 'ТОЛЬКО от Е, но и от друrих па-
раметров состояния В€ЩfСТВ8, поэтому ИНтеrрВЛ в (27)........ к риво ,и""
нейный и для однозначноrо определения v следует укзза1"Ь путь
интеrрироваНИЯ4 Можно работу поляризации определять при не..
изменных энтропии S и плотности р, ". е: для теПЛОИЗ0Лированноrо
вещества при заданной конuентраuни молекул N -= р/m. При этом
внутренняя энерrия веЩества На еДИН lllУ объема в O'-СУ1С1вие поля
и 0(8, р) не изменяе1СЯ в nроц-ессе поляризации (по определению
dU O TdS + fldp, rде f.1 химичеС1{ИЙ nотенuиал) и поэтому внутрен",
НЯЯ энерrия вещества при наличии поля равна
и (S, р, Е) == U о (8, р) + v (S. Pt Е),
(4.1 28)
rде Е иrрает роль внешнеrо термодинамическоrо лараметра.
Теперь МОЖНО дать термодинамич€ские определения поляриза-
ции и ВОСnрИИМЧИБОСТИ как ФУНКllИЙ состояния вещества:
р а, (3, р, Е) ==. U /дЕ rx ,
Хар (S, р) Е::: ......... (д 2 и /дЕ а. дЕ )E= Ot
(4.1.29)
( 4 t .30)
Таким образом, определение теНЗОFах через п-:ермодUНЙАtuческuй
потенциаЛ 06есnеЧllваеlТl eiO сцммеп1 рUЧНGСП1Ь. В (24)....... (29) при npe-
Неб режении диспе рсией можно полаr ать Е J:: Е (r t '), так что со.
стояние вещеСТВа зависит параI'to1е'ТрИЧ€СКИ ОТ БРЕмени и координаты.
Разлаrая далее в ряд Тейлора внутреннюю энерrию и (Е) или
энерrию в-диа6атич€ской поляризации v (Е), ОКОЛО 'ТОI.JКИ Е О
МОЖНО определить нелинейную поляризацию и теНЗ0РЫ нелинейной
вослриимчивости х(n) ( 6.1)t
В термодинамике часто удобно использовать вместо и друrие
потенuиалы, нал рИ lер СВGбодную энерrию F (Т, p E) Полевую
часть F (работу поляриззuии VF) следует ВЫЧИСЛЯТЬ при nОСТОЯН"
ной темnерзтуре t так ЧТО в общем случае t'F:::f= t,и. Однако в сла-
бых полях лолеВЬ1е части всех nОТ€Нllиалов ОДинаковы (CM 125], S 15)
н равнь] v (Е). В результате р32ЛИЧНЬ1е макрсскопич(ские ЯЕления
в электромаrНИТflОМ поле 9JI€К'ТРОСТРНКЦИЯ t ЭJJ€ктрокалорИЧССКИЙ
9q-q:ект и дp определяются час1'НЫМИ nрОИ3ВОДНЫМИ Х ПО ПЛОТ...
НОСТИ t температу ре и т. д. (э 6.2).
Пусть 1еперь поле КВЗЗИМQНQХРОМ8ТИЧНО, 70rда Б проведенном
рассуждении наДО под 'l понимаlЬ Х (00). Таким образом, термоди-
нами ческие ПОТfНЦИ алы n роз р ачн or о Еfщества при л рох сждеНИII
света получают при ращение
v (t) IEQ.x (ro). E + E(J t Х (00). Е oe--- l2wt + к .с. ]/8. (4.] .31)
\
Практический интерес представляет лишь постояннаЯ t ИЛИ медленно
мен яющаяся соетавл яюща я потеНЦIl ала:
v === .......... Е о. Х (ro). Е: /4.
(4.1.32)
Это выражение ДЛЯ э4'Фективноrо потенциала вещества в монохрома-
тическом поле описывает, соrласно известным формулам термодина-
МИКИ, влияние света на состояние вещестБ.а. Изменение состояния (теМ-
пературы, плотности) в свою очередь ВJIияет на Х и на пр ох одя Щ ий свет,
T et вызывает нелинейно"оптический эффект (9 6.2).
ЗамеТИМ t ЧТО cornaCHO (32) можно определить амплитуду поляриза-
ции и ВосприИМЧИВОСТЬ через эффективный потенциал:
р оа. с:: .......4 диjдЕ;tX t Хар == ........4д 2 и/дВ; адЕ ор. (4.1.33)
Пусть плотность молекул равна N, тоrда в приближении невзаи...
модействующих молекул поляризуемость ОДНОЙ молекулы будет
« == 1.) N и из (32) следует эффективный потенциал молекулы в пе-
ременном поле:
ер:: i- Ео'а (00)' Е;.
( 4. I 34 )
Потенциал (34) определяет среднюю силу CBeTOBoro давлеНИЯ,
действующеrо на Молекулу в монохроматическом поле, через ее
поля р пзуемость:
F== VP V (Е о .сс(ю)-Е;)/4.
(4.1.35)
Это выражение можно преобрззовать следующим образом:
F а r:= (Е oJ:\cx/lvE;y) r:= t d;f:I + к. С. == d;.E о (r) + к. С. ::s
д .. ....
==дi;d(t).E(r t t). (4.1.36)
Здесь нет множителя 1/2. так как подразумеваеТСЯ t что операТор V
не действует на ДИПОJJЬНЫЙ момент молекулы d a.E. Силе (36)
соответствует потенциал CJh' (r):iiiiiiiii ......... d 4> Е (r). Подробнее световое дав-
ление рассматривается в 6..2.
4.2 Теория дисперсии
Закон дисперсии. В окнах прозраЧНDСТИ 8" ==0 И соrласно (4t 1.20)
функция rрина Q при n==v в обращается в бесконечность; обычно
через n обозначают именно это «резонансное» значение отношения сk/ю,
называемое покзззтелем преломлеНИЯt
Это же условие определяет возможность существования нетриви-
альноrо решения (Ео+О) у ОДНОРОДНЫХ (Ро==О) уравнений Максвелла.
Таким образом, 8 среде без источнuКf)8 м.оаут распространяться лишь
б4
волны с определенной связью между длиной л===2л/k и часmоmой волны.
Эту СБЯЗЬ
k (ы) -= (О [Е (00) J 1/2/C,
(4.2.1)
или обратную зависимос.ть 00 (k) назь[вают законом дисперсии, а УДОВ-
летворяющие ей волны называют свободным.и или нор.м.альным4' Уело..
вне:'-I существования нормальноrо продольноrо поля ЯВЛЯется равенство
е(ro) ==0 1). ИЗ (J) следует, что фазовая скорость поперечных НормаЛЬ-
НЫХ ВОЛН В Vi раз меньше СКОРОСТИ евеТЗ4 rрупповая скорость,. I<ак
извеСТНО t раВНЯется ПРОИЗВОДНОИ dro/dk == U t отсюда следует ЧТО про..
дольные ВОЛНЫ не распространяются (так как cor.JlaCHO (4.1.21) <о: (k)::
::=:const и U==:О ........ МЫ опять исключаем влияние простра нетвенной ДИС-
персии) .
в анизотропной среде условие существования нормальных волн.
ИJ]И обращения функции rрина в бесконеЧНОСТЬ t имеет соrласно (4.1.19)
вид
det (п 2П E) ===0. (4.2.2)
Это условие называют уравнением Френеля. При фиксированных час-
тоте (U и направлении ВОЛНQвоrо вектора klk (2) имеет решения лишь
ДЛЯ двух 2) определенных направлений вектора поляризации ev(v
== I , 2). В общем случае вектор не пер пенди ку ля рен k и может быть KO "
плексным, ЧТО соответствует эллиптической поляризации нормальной
волны (подробнее СМ. {2БJ). Законы дисперсии lOv(k) для двух нормаль-
ных волн также различны, что ПРИВОДИТ К эффекту двупреломления.
В анизотропной среде вектор rрупповой скорости и равен V(t)v(k) и
в общем случае не параллелен фазовой СКОРОСТИt
Учет поrлощения. При учете nоrлощения уравнение Френеля имеет
реше.ния ЛИШЬ ДЛ!l комплексных ro и/или k. Выбор определяется поста-
НОВКОЙ задаЧИ4 Стационарному эксперименту соответствуют веществен-
ная частота и комплексная постоянная распространения В случае
КОJ\.1плексноrо волновоrо вектора свободная монохроматическая волна
затухает или усиливается при распространении. Сделаем в (1) замену
k..-,..k::==k+ia/2 тоrда закон дисперсии нормзльноА поперечной волны
в изотропной среде примет вид (k+iC(/2)2 (8'+iB") 0о'';с 2 . Отсюда
k' t./ 4 ю '.е' /с", ak -= о> te ll / с!:
или
k== Re Vi== ( I е. '+1;.' ) 1/2
С С 2 '
а .oo 1 V ю ( JEI e' ) l!!.
.......... ........... m Е ::::;;;:
2 с с 2 J
(4.2.3)
(4.2.4)
1) l\tbl пренебреr аеМ эффеl..:тзми пространственной дисперсии оnисы&аемой за..
ВИСНМОСТЬЮ е от k (см., например. f2} 22H
) Эффекты простраиственноЙ диtnерСI1 и MorYT пр ИВОДИТЬ К удвоению числа
Ii орм ал ь н ы х вол 1{ .па н н ой частаты. Соответс:тв у IОЩ И е ВQ..,] н ы пол у чип и и азвз н и е (В О"
вых» (рис 4.5)4
3 д. н + ltRw.a:кo 6s
знак корня выбирают из физических соображений. Эти формулы
опредеJ1ЯЮТ положен ]е двух полюсов ФУНКU1JИ rрина G (k, 00) в плос-
кости k (СМ4 (4.1 +20»)
В области слабоrо лоr JlощеНИЯ, rде а! k 2 't формулы (З)<t (4)
лрини!\t.ают ВИД
k==юV?/с,
k ". t
(Х:::::: 8'В4
(442.5)
(4.2 6)
Следует еще раз подчеРКНУТЬ t что заtWН дисперсии UJv(k) и фиксиро-
ванная nоляризация. ev(k) имеют )и.есто лишь для сво6одных волн Т. е.
ВОЛН, ПОрОЖдеННЫХ удаленными НСТОЧНИКа {И. В области же заданных
JJСТОЧНИКОВ пространственная н временная зависи ости «вынужден..
Horo» поля определяются распределением токов и Moryr быть любыми.
В частности, тепловое ФЛУl<туаllионное поле внутри вещества создается
р ......
хаОТJlчеСI\И I ДВlfжеНllе 1 заряженных частиц и поле сданнои чаСТОТQИ
COCTOIIT из суперпозиции плоских ВОЛН СО всевозможными длинами,
причем волны с маКСП\13J1ЬНОЙ амплитудой не всеrДа удовлетворяют (5)
(СМ. (38))4
Итак, маКрОСКОПJlчес!<ая теория позволяет выразить все основные
наблюдаемые закономерности излучения. распространения и поrлоще
н ИЯ волн через феноменолоrн ческую фу нкцию Х ( ы) 4 Следующей зада..
чей ЯВ,,1'(яется вычисление Х (ы) С помощью микроскопической теории.
Это траДIIцнонная задача нераВНQВесной термодинаМИКИ t которая до
сих пор не решена ПОЛНОСТЬЮ+
КJ13ссичеСК8Я теория дисперсии. Чтобы определить порядок вели
чины и В]]Д частотной дисперсии линеЙной ДlJЭJlектричеСRОЙ ВОСПРИИМ-
ЧИВОСТИ. воспользуемся наиболее простой моделью вещества: будем
считать ero СОСТОЯЩИМ из независимых, неподвижных, ОДинаковых ато-
-10Б llЛl1 молекул. Под деЙСТВием переменноrо электрическоrо поля
электронное оБЛа!\о молеКулы начинает осuнллировать (ядра полаrаем
неподвижными) и молекула приобретает дипольный момент d (t) ==
== e ri(t), пропорuнональнь[й в первом пр ближеНIIИ полю. Здесь
е>О за ряд элеКтрОНа и r i радиус"вектор t..ro электрона. 'v\arHHT()v
Д1lПОЛЬНЫЙ, квадрупольныЙ И друrне высшие моменты МОЖНО, как
правило, не учитывать так как в оптическом ДИ8лазоне масштаб про.
CTpaHCTBeHHoro ИЗ,\.lенения nодя л.>lО c,rw MHoro больше размеров
МОJ1екул ай......, IO s СМ4 Произведение d на концентрацию молеку.л N
равно ДИПОЛЬНОМ)l h-tОменту едИНИUЫ объема, Tt е. поляризаuнн: р==
Nd хЕ
ТаКИ?-.t обраЗ0М задача вычисления ВОСnрИllМЧИВОСТИ СВОДитСя к
ВЫ4IfС4/1еНf[Ю ДИПО..t(ьноrо 10MeHTa молеКУЛЫ t возникающеrо ПОД деЙст-
BlIe '1 внешнеrо ПОЛ я .
Для учета влияния тепловоrо движения зарядов необходимо ис-
пользовать квнетическую теОРJ.IЮ+ В квантовоЙ теорпи r i И) следова
тельно d ЯВLf1ЯЮТСЯ операторами, лозтому надо nрОН38QДИТЬ Н.ак кван-
ТOBoe t так н статистическое усреднение. T е. использовать метод мат..
риuы nJlOTHOCTII.
66
Рассмотрим предварительно классическую модель t.пopeHua в ко-
торой молекула представляется осцнллятором Уравнение движения
динейноrо ИЗ0тропноrо осциллятора имеет вид
.. .
r + 2у, + ы:, == е Е лок /111 f ( 4t 2. 7)
rде ,п, (ОП и е эффективная мзссз t частота и заряд осuиллятора.,
'У феноменолоrическая константа затухания и Е ок поле в иент.
ре fолекулы называемое деЙспЮУЮЩU ff или локаАЬн.ым }'множив
(7) на eN, найдем уравнение движения для поляризации:
р + 2уР + о>:р == fi) Елоt{/4n, (4.2.8)
rде (ор == (4ле 2 Njm)J/2 -.......та]{ называемая плазменная частота
Поле в иентре неПОДБижноil молекулы E.!fO отличается от усред.
HeHHoro по n рОСТ ранству макр ОСК оп И ческ oro ПОЛ я Е Cor л асно Л о ренцу
4л Е + 2
Elarн/ == Е + 3 Р ::=: з---- Е, (4.2.9)
так что (8) принимает вид
р + 2уР + { p == ы E/41( t
00: == Ю (o /3.
(4.2.10)
(4.2411)
Отсюда. полаrая поле fонохроматичеСI{ИМt находим
Ы /4л
Х:::::: t ( 4 2 1 2)
O}Q (02 2i-ую
В дальнеЙшем сд ви rи собственных частот ( 11 ) за счет поп ра ВКlI
Лоренца будем считать включеННЫМИ в определение (oor
Предположим теперь, что имеется несколько типов неззвисимых
осuилляторов с собственными частотами (Uj и концентрациями fjN
( f j :::: 1 ) т о r да
(O L f j
fI,J
Z.. ............. +
.. 4л . 6Jj (()'2 2i1' jCд
1
( 4.2.13)
Параметр fj называется силой осциллятора. Аналоrичное выражение,
которое во мноrих случаях хорошо описывает наблюдаемую Дllсперсию
восприимчивости, будет получено ниже с ПОМОЩЬЮ квантовоЙ теОрИИ4
ЗамеТИМ t что ДЛЯ очень больших частот или в С J[учае свободнык
элеJ{ТРОНОВ в плазме или меТЗ.'1де можно положвть В (13) (o {t}j4 так что
(0:2:
f. 1 ( 2' ) 4
W f.O I tT
Квантовая теория дисперСИИ-а Бу дем теперь ИСХОДИТЬ из кинети..
ческ их уравнениЙ Д.f'[Я мат РIIЦЫ плотности (3.3+ I О) с qэeномеНолоrlf
ч еек ИМИ релаксационными парэметрамrl у т1l. и'тn. В ДИNОЛЬНОМ при..
блнженин энерrня возмущения ".? ............. d. Е , н ее матричные элементы
"-........
3 67
в случае монохромзтическоrо поля имеют вид
9fJ тп (t) -= ftQmrl.... frot /2 + 34> с.;
rде L.- 1
Q...== d.n"Eo/h.
(4t2414)
(4.2415)
Буквы Э с. заменяют ЭРМИТQВQ сопряженную матрицу
.......... d т · E;et (i)t /2 :::: d т E e! (J)I / 2.
Монохроматическое возмущение вызовет в линейном приб.пиже.
нии такой же ОТКЛНК t nоэrОА:JУ будем искать матрицу плотности в
в 1 'Д е
p h (t) -= p (<о) e... iwt + э. с. (4.2.1 б)
В нулевом порядке теории возмущений матрица плотности диаrо-
наЛЬНЗ t p ::::: р )б..пt так ЧТо, ПОДставив (14) 11 (1 б) в (З.3.J O)t най..
дем ДJJЯ пl:/-: п
(1) ( ) Q rn пA ln./2
Ртn 6.) :=: ",. . ,
00 тп ........ 00 l1' l1l п
( 4 2. 1 7)
rде А пт == Pf1........ 11т относительная разность населенностей уровней
n и тr Днаrонзлъные элементы Ph соrласно (3.3.10) будут обрат а
ПрОПОрUJ\оналъны частоте возмущения (о И t если интересоваться лишь
р зонансными Э<t$eктами, при условии yfoo: 1 МОЖНО считать Ph === О"
ИтаКt амплитуда отклика На rармоническое возмущение пролорцио..
нальна разности наееленностей 11 достиrает максимума в слуtIзе ре..
З0нзнса (u (Отn.
Подставив (17) в (3.1.6)" находим Дl-1ПОllЪНЫЙ момент молекулы
и ПОЛЯРllза ию:
Pr= N <d (t» == Рос;'''! + К. с.,
р ...... Е ) k d nm (dтr Et))
о: /i ......... со IJJ п ш.......... iy тn ·
rnп
Отсюда в соответствии с определением (4 1.1 )
N L А (О) d fIX > d ( )
... ............. о п..,! 11m .т.n:
Х ар, ...... :t (а) т n ........ со ..... i т n. '
тп
(4.2.18)
rде tf(a) == lL..t п роекци я ДIIЛОЛ Ь HOrO моме нта МQлек у лы н а ось а == Х,.
у. z.
Леrко ПроВеРИТЬ t что полученное выражение обладает необходимой
СИМ Jетрией (4.1.5) и удовлетворяет nринцппу причинности (рис. 4.I)t
Заметим" Что (18) можно представить в .нескол-ы<.o ИНОМ виде:
Ха.6 =- N a.& (00),
"
I L ( d ((t;) d ф) I а) d (j3) )
"n) ( ) (1"" tHn + dmп 11т
а r.. 00 :::==........ ... ".
а fь W тl1 ...... oo..........iy т12 Ы rnn + ro + iY1J:l'l t
Jll
( 4. 2.19)
68
Здесь a;(rl} имеет смысл тензора поляризуемости МОJlекулы, находя...
щейся в состоянии n. В отсутствие статическоrо маrИИТНОfО ПОЛЯ
невозмущенные волновые функции И t следоватеЛЬНО 1 матричные эле...
менты d",ft::= d nт можно nолаrать вещественными (СМ. [25]. с. 469).
При этом (19) в соrласии с (4.1.6) инвариантно к перестановке ИН'"
деКСОБ а, р:
2 d o:.) d ( )
(n) (п,) ... (й т п. т', тп
ac == a(la. '='" r т (ш+ ir....п)'.
( 462 t20)
с ПОМОЩЬЮ (18) и (4.1..11) леrко ПQказаТЬ t ЧТО КаЖдая пара уровней
(тl n) дает положительный или отрицательный вклад в энерrию поля
в зависимоСТИ от знака 6.)mn. nm Т. e ДЛЯ уСИЛения поля необходима
инверсия населенностей (СМ. также (21 ».
Для rаза (18) надо усреднить по случайным ориентациям и ско-...
ростям молекул. При усреднении по ориентациям недиаrональные-
элементы тензора do.d e обращаются в нуль, а днаrональные дадут
d 12 ==, d_ n 1 2 }3. В результате теНЗ0Р восприимчивости (18) стано--
ВII'ТСЯ скал я ром:
....... 2N 6)тnA l (dm 1
х...... з .,.... 2 ( 1. ) .
п т > п U>mn....... (О...',\, т 11
(4 2 21 )
в последнем выражении учтено, ЧТО в ДВОЙНОЙ сумме каждое сла
faeMoe с т =1= 11. встречается дваЖДЫ:
.' aтп aп,,+ (aтn+a nт ), (4.2t22)
тп п rn > 11
причем в (21) диаrонаЛьные слаrаемые раВНЫ нулю. так как 6nn O .
ОСкла ОСЦИJ1Лятора Для сраВнеНИЯ (21) с классическим выражением
(13) определим следуЮЩие безразмерные величины, называемые силами:
осцилляторов:
t тп ::s2тro n mld тn J !/зfie' JI
(4 2 2З) ,
L
3амеТИМ t что возможно и феноменолоrическое определение силы ос..
ЦИJ1ляТора через Х н (СМ. [22J, с. 391).
Будем нумерОВатЬ всевозможные пары состояний (т; п) ОДНИМ ин'"
деl(СQМ j {m, п}, причем m>n Если пренебречь слаrаемыми)'2 в зна-
менателе (21) и отождествить fj ==:: fпmд {J!n, то (21) примет вид (IЗ)
Таким образом, квантовый расчет подтверждает модель Лоренца: в пер...
вом приближении по а.м.nлитуде внешнеео поля вещество ведет себя t«l1C
совокупносmь линейных ОСЦUААЛnWр08 с затуханием. Однако 11 может
теперь принимать отрицательные 3Нач НИЯ что прОЯВJJЯется в эффек'"
так кваНТОВОТО усиления (х"<о) и отриuательной дисперсии (дх' Jдro<О
вне резонанса).
Напомним. что соrласно (4.1.7) б импульс поля ВЫЗЫВает ИМПУJlЬС"
поляризаuии равный фурье образу х(оо). В соотВетсТnИИ с (21) полюсы,
ФУНКUI1И комплексной частоты Х (О;) находятся в TOflKax ro }==ХOJ I..........iy J
нижней полуплоскости) поэтому ИМПУЛЬС nоляризаuии будет СОСТОяТЬ
б9
-1
I
1
j
-j
,
t
I
.
J
,
I
1.
I
I
1
I
j
,
,
i
I
.
,
.
11
I
из суммы затухающих rарМОНИЧескиХ колебаний:
2 ., f .
Х (t) :: е ( t) (1) 4 р .....!..... ех р (......... у jt) s i n (ы Jt).
л . 001
I
(4 2.24) .
Полученное выражение опредеЛяет ФУНКЦИЮ rрина ддя поляризации
вещества через собственные частоты и СИЛЫ осцилляторов переходов.
СИДЫ ОСЦИЛЛЯТОРОВ удовлетворяют правилам СУММ. TaK t в с,"-учае
одноэлектронных переходов
[n.tn. 1 .
,п
(4.2+25)
Это равенство можно ПОЛУЧИТЬ из правила коммутации (х, р] {Л
(р ==: P.\ ). Пусть %0:::: p J2m + '"J (r), Тоrда
[х, :lt о] -== ilip/т, Ртп === (mЮтпХ1lJ" (442.26)
отсюда
ю тn r X т lJ.12 == iХmиРптlm == iPтnxп./ m , ,
{йт,. r Х т " 1'2 == i [р, X]nt,/2т:: n/2,n.
т
Из последнеrо равенства получаем (25).
Для наиболее сильных оптических переходов атомов I f 1Il n ' 1.
НапримеРt ДЛЯ «резонансной» линии ЗТомарНоrо водорода f =- 0,4L6
(переход 1 s 2pt л -=+ Ot 12 мкм)+ Отсюда по формуле (23)
I Х тп I == ( ckmr1f .,.12)1 / f == 1 o e СМ, (4.24 Z7)
ЧТО соответствует J d mn 1== 4,,8.1 o lSJ crc == 4,8 Д4 Здесь k€, А/те
4 lO .ll СМ КОМптоновская ДЛина волны и 7\ :::::: Л/2л. ДЛя разре...
шенных лереХDДDВ между вращательными .Уровнями в МИЛЛIJметро-
ВОМ ДИапазоне d l также имеет порядок lД, но пр" этом соrласно
(23) fn11i IO 5. аметим, что сумма в (25) должна включать и ИН..
теrраЛ по непрерывному спектру ИQНИЗllрОВанных СОСТОЯНИЙ t напри-
мер, на долю последнеrо в водороде при II ls приходится f==О,4З
Изолированный резонанс. В облаСТJ1 узкоrо ОДиночноrо резонан
са МОЖНО учитывать лишь одно слаrаемое в ДВОЙНОЙ сумме (21):
2ую Z
Х == X + 2 1} '". ; (4.2.28а)
юо юt.......... 2! ,\,00
здесь б-х === II N d2; /зf у fw /8nyooo и 'х веществен На я восп р И имчи
ВОСТЬ . обус.Тlовленная друrими резонансами. В знаменателе (28) опу"
щепо слаrаемое 1''2 t которое t\10ЖНО как н поп равку Лоренuз (11),
ВКЛЮЧИ1'Ь В определение OOo: Параметр x, пропорuиональныЙ ПЛОТ
НОСТИ аКТИВНЬJХ частиц 6N и квадрату момента перехода di t опре-
деляет максимальное значение х" и амплитуду изменения х' (рис. 4.2).
В . оптическом диапаЗОf1е обычно добропlноспlЬ резонанса {tjo/2y 1 J
....
поэтому в Hen ос редственнои 01< pecTHOCTJ1 резонанса МОЖНО Использовать
70
простую приближенную формулу:
а"')
Х АI ..............
......., А с:о. + · t
Х t
( 4.2.286)
rде
х === (ы ю о )/)' t (t) 4""0.1 (O. у > О,
которая дает четную зависимость х" (х) инечетную х' {X) Xco
(рис. 442)+ Из рве. 4 2 ЯСНО t ЧТО эта формула даже при небольших
добротнос.тях резонанса дает хорошее приближение ДЛЯ х" и не..
,
СКОЛЬКО худшее Д Я Х ..
f
1/UJQ==() 1
5
......... ....
[J
Ы/МI)
О!
, О 0;5" 1 1
Р н с + 4 + 2. Диспер СИЯ воеп р и им ч и вости Х «(1)) в обл астИ од» иоч н oro реза н а нса при доб-
ротн ости tll И Н И И ffioJ2'f== 5 и Х 00 ;::= о с П 1) ош н ые J] ин и и соответствуют фор му Д е (2&) t
штриховые при6л ижению (286) штрих п ун I\тирные (28в)
Обратим внимание, ЧТО лри удалении ОТ резонанса r Xjf I падает
MHoro быстрее, чем I х' xCit 1. поэтому в окнах nрозрачности. rде
х" ], показзтель лре.ломления n может все же заметно отличаться
от единицы На достаточном удалении от резонанса поrлощение
МОЖНО не УЧJJТЬJвать и (28а) принимает вторую асимптотическую
ФОРЛIУ (РIlС4 4.2):
fю /4n Ao ХСЮ-
Х x. юi------.оо2 == Т ы2/Ы: )
(4.2.28в)
rде Хо == Х (О).
При интерпретаUНII оптических экспериментов обычно вместо Х
или е 1 + 4ях используют более близкие к экспери МеНТу пар8метры
71
показатели прелОМJlения и затухания;
ni!5 kt(oos= Re V;; х ас/2Ф..lm V8:
(4 2429)
.Величина x l имеет смысл rлубины прониквовеиия волны в веще-
.ство" выражекнон в е.lиниuах /2:== с/'.ь.й. На РИСt 4 З n редстаВJtеиа
дисперсия 91'ИХ параметрО8 в об.11асти одиночноrо ре30Нанса СОfлас...
110 формулам (286 в) и (3).......(6).
Ь,Н
1
At 1
tz
ь
2
1
.JE.-:jj
d
о
!
о
5 (at fdJll
"'Рис. 4 3. .дисперсии nОК8З атмей л релouл еН IJ я п и nor л ощени я )(.; JJ. оБJtлC11l О)lИ нм.
lIoro резон авеа при (зм ПЛ}(ТУДf» &8 резон а не а ] (а) н 5 (6): СЛJ] ОШ Н ые .;1М НН" tOOТJ.et'"
СП У ют форму JI э:м. (3) (4-) 'и {28б t w't р Н Х {) в.Ы ......... фар м у Jt а" (5), (6} (1 е. пр им иже-.
IIИЮ с...1эбоro nоr.,.1lощення) п (28б)t ElJТрих пуНJ\т"рНЬ1е ......... формуле (288) (Т. e прнблfl..
..;кению Е'" ==o хоr.АЗ п VE при Е> О и К:::: v::; n рп Е <О) штр ихоs.кой onжечен а за"
пр ещени а я ЭОl:l8 r де е' <О
в лазерных веЩествах обычно ( с(. , 1 см.... 1 ) 1'8К ЧТО B. ' I ==:
"w 'а. I/k < 10...... и заееДQblО nрименимы приближения (5)t (6) Под.
'ставпяя в ItиХ, (28б)t находим .
( Ае Х )
п n,- 1........ 2е. ] + .1'1 Ii
(4.2 ЗО)
ы e'cn.
a (+ Х"
( 4.2.31)
'72
rде пф 6 ' :к= (1 + 4пхСС) )1/1....... ПОК8за пь преломления при х 1 w
Ав gii 4 .&X 1a 2 ffi) "'" 4л. dt (4.2.32).
УФu з 1
....... <аМ n л н ту да» рез о н а Не а ДЛ R t. Отметим, ЧТО (З l) сОВ [] адает с ре...
ЗУЛЫ3ТQМ «верОЯТНQC'fноrо» расчета (2.з.19) " что при ИН5ерсии
иасеЛеНКос.те х'., 'X и а меНЯЮ1 зиаки+ Прlf этом ход дисперсии'
паказатtля преломn.еНИЯ nРОТИВQлоп о.жеJi ot1ЫЧflОМУ n падает С.
рост()м частоты вне резоНа нса Jf расТеТ в оБЛает н rIor ЛОЩения Эт(}r
явление назыв8.С1С я отри цатеАЬНОЙ ди&1l1! рсией.
В конденси рованном Ве1дестве: у ЭК не рез.он аН\::Ы qacl'O имеют 6мь"
шую аЫПJ1НТУДУ t 8. > 1. Э1'О оc.tJбeИИQ ха раК1'ер НО ДJl Я дисперсии 8.
» И К .обл ac"r\t ок()п особе -r вен 'и Ы Х ч ас:тот к оле б а ни ii рен] ети н и о н НЫ х.
К рисТаЛJ10'В.) СОQтвеТС1'еующие. элеМ ИТарны.е возбужден ия квазuчас....
тицbt НазыВаются оптическими фононамu. Пусть., наПРИМер, d IДt.
N -= l()2 CM И Aro 2v 1 CM ] t тоуда СОУЛ8СИО (32) t.\8- 41). Если.
при ЭТОМ {=:; 1 и Л,,-= I MKM то плазменная частcrrа будет миоr
бал ь ше dtJ} 1 НО все же ми о ro мен ь ше ы о : (о р -=: «(а}t)Дrodе J 1./ t ::=; 200 СМ'" t
ИЗ ОДНОрОДllЬfХ ураВНеН'fЙ Максвелла следует, что ВОЗМОЖНЫ)
п РОДОЛЬJ:lые J{ ОJJеб а н и я с за к о fI ОМ ди cn pc и J1 2. (00, k) := О Ем и п ре...
небречь дисснпаllней и пространственной дИсперсиеЙt ,.0 ЭТИ К оле...
банин имеют фнкси рованную веществе.нную ЧВС1'О1')l (ul И произаопь---
ный ВОЛ новой вектор, Т. e ИУ JiеВую rруnповую СКоросТЬ u =-= doo/ dk....
Cor ласио (28в) ПР" f == e := 1
(J}J- V Ю:+ ro 0) +ffi /2roD-юо+v&е. (4.2 33
Следов.ателЬНО t л р и 6.8 1 расще:nпение продольной ц), и f10переЧ..
ной 001) частот MHOro больше пара метра за.тухани я: у. Это же уСЛй"'
вне определяет существенность СДвиrа собственной частоты MO IJeKYII
за счет их кулоновскоrо взаимодействия (11), так что ПОД 00.0 В (33)"
следуer "онимать IOo yl1e/3
В инте-рв.a.nе (,)0 6) l c.or ла<=.НО (288) е < О и волновое числQv
k. u) / ijc ЧУ..'С"..1'О мя\\мое., так ч:ro поле теряет БOJtНовой ха ракТер
т 3К\\М Qбразом в этом интерваАе имеет .шсtnlJ «запptUJ,EНная зон.а» ,.
в коmoрой модуль френел.еаскоео коэффициента от ния R (V;.......l ) I
(VB + 1) обращается 6 единицу и диЗАеКтрик ведет ctбя ко.к м-е....
nlалА. О т.мепшм ) ч.пю мепUlЛA при 00 о) р' Н(lОбо рот, 11000бсн ди
8лек.трику. -
ОПОJJJIРИТОНЫ-t В случае слабоrо затух.аНt!Я допустимо KBaHTO
рассмотрение макроПОЛЯ в среде (э 7 4) При ЭТОМ ВоЗникает nонятне
фотона в среде ИЛИ nOАяритон.а (не путать с поля.роч.о.м свободным;
элеКТрОНОМ в диэлектрике. при уч.е1'е поля.рНЗ&\1.НИ ИМ 01\ружающеro-
вещес1'ВЗ). Поляритон (иноrда и-споJtЬЗУется терМИН светоэк.сuтои)
ЭТО элементарное воз.бужде-ни-е. 'МаКроnоля и с:вяз3н:иыx С НИМ молекуп
}} З;lес ь оп у щен МNОЖ ите-...1Ь 2лс, CBJJ э.ывающц Й (j) Ц Q.ac'Т'QTY В оора'l'пы,"( с аН....
1'имt.трах.
711
с э нер rией Й.ОО t которое расп ростра няется СО скоростью u ==droj dk
При приближении (t) К u)o все большая ДОЛЯ эНерrии ПОЛЯр lтона при..
ХОД(IТСЯ на внутреннюю энерrию МОJlекул
При падении фотона из вакуума на среду он с вероятностью l IRP;:
превращается в ПОJJЯритон который, ПРОЙДЯ в среднем расстояние ct -.1 t
поrлощается. Импульсы фотона в среде n-k отличаются в п раз ОТ им..
пу л ьса fi. (,)/ с вак YYl\1HOrO фотона с той же э нер rией .
Поляритоны возбуждаются также за счет тепловой энерrlfИ, при
этом их среднее чriСЛО на моду равно ФУНКllИИ Планка Jr(o). Соrласно
ФДТ ( 7 7) u>k..crreKTp равновесных флуктуаций поля в среде пропор-
ционален Jf(ю) О"(оо, k), rде Q ФУНI(UИЯ rрина ДЛЯ макроскопиче
ских у равнений 1\1аксвеЛJ1З (9 4 1).
/1 I
B /4п
2.1
..7
.-s:
р Не. 4 4. 3 а в ие и м ОСТЬ с пеКТр ал ь ноЙ пл ОТН ости р а в НО8еСиоrо ПО/} я ( E ) CtJ t дe 1 е н нои
н а h.ry; 12n З J от частоты и BO.iI r t OBoro ее к тор а в ОК р ест 1-1 ос ТИ рез он а н с а диэлект р и ческои
про н н цаемост и при ,, /1':":=:: 20 и f == 5: с П.1 ощ 1-1 Ы е '1 и tl]{ И П опереч н ы е О1'НОС ите ' ьн О k
флуктуации} штриховые ' npO..!lOJ1bHble; из рисунка ЯСНО ЧТО частотны.й спектр Ten
ловы х фл у Кl'У а ци й no/r я оп исы B leтc я з а к ОН ОМ д.не 1"1 е р с I [Н (штр И х п у н 1\ Т Н р) без а н о-
м ал ь н oro у ч астк а
Выше rОВорИJlОСЬ о законе дисперсии, Т. е. СВЯЗИ между частотой 11
ДЛИНОЙ ВОЛНЫ, дЛЯ своБОДНЫХ ВОЛН создавае 1ЫХ удаленным источии.
KOt.f4 Возможны И друrие определения ФУНI\ЦНЙ п (00) И..I1И U) (k) t напри"
мер) по максимуму мнимой части ФУНJiUНИ [рина O"(b) k) Соответ..
СТВУIOI.ЦИЙ закон Дисперсии проявляется в экспериментах по рассея..
нию света на поляритонах (9 6.5).
Подставим Е. (t») в одноnолюс ной аппроксимаци и (286) в (4.1.20) t
(4.1.21), тоrда при CJ) > о
О:::::; 4д
-.; и+ 8Е/(Х+ i) t
(442434)
О. """ + :1t'l r '
"" fQC Р., х- f
(4.2.35)
. 74
\
rде
х ((1).......... 0>0 )/y, у :::=5 (ck/ro)2 e .
Отсюда спектры nоnереЧНЬJХ и ПРОДОJ]ЬНЫХ флуктуаций поля описы..
ваются ФУНКЦИЯ lIt (рНС4 4.4)
G j == 4.пd.e
х (8Е + ху)'2 .., у2 ,
аlI 4л:Ае
z (AE %€oo)2 + € ..
(4 2.36)
( 4.2+37)
Если пренебречь зависимостью параметра у ОТ to,. То спектры
флуктуациЙ при фиксированном k имеют лоренцеву форму с цeHT
ральныYl н частота ми t оп редел яемым 11 у равнени я ми
ё (00) == (Ck/W)2 J ё (001) =: Ot
( 4.2 38)
-
rде функция Е (00) совладает с (286) при условии l' == о:
Е == 8 ф .......6е!х 8rr; + f(}) j( (Й UJ2)t
(4.2.39)
TaK'lM. 06разо.W t закон дисперсии для раОН08есны.х флукпlуацuй
поля (38) О l lЛUч аеfnСЯ от закона дисперсии для св060дн.ых волн (3)
ckj(fJ , Re 1/: в (ш) ОПlсуmcтвllем парамепlра заlпуханuя у.
Закон дисперсии- (38) соответствует УСЛОВИЮ дG"Jдх==О. В то же
время условие максимума a. при фиксированной частоте дG;lay==O
ПРИВОДИТ соrЛЗСНQ (36) к знакомому заКОНу дисперсии (5) Ree(ro):::::
==(сk/ro)З 4 Отсюда следует что-'на6людаемый в o6"lacmu pe HaHca закон
дисперсии зависит от условия эксnерU.llента.
Дисперсионные свойства среды при качественно раССМQтреНfrи
удобно nредстзвлять rрафичеСl{И в виде связи между 00 н k вместо за...
висимостей между е или n и (о. На рис. 4.5 nоказана такая связь в раз-
ЛИЧНЬJХ приближениях и приведены часто используемые названия соот-
ветствующих квазичастиц.
При пренебрежении связью поперечноrо поля с ко.пебаниями заря-
ДОВ, что допустимо при k (j)o/C, элементарное возбуждение, T е. квант
энерrии вещества, называют эксuтnoн.о.м JiЛИ опtпuческuJ.t фоНQНОм., если
речь идет о полярных колебаниях ионов в решетке кристалла. Эксито.
ны аналоrично фотонам в ЗЗВИСVJМQСТI1 ОТ QПИСh[вающеrо их Ba.IIHQBOrO
пакета моrутбыть ИЛИ локализованными в неКQТОРОЙ области крИСТ8Л"
ЛЗ t ПЛИ распределенными во всем лространстве В приближении бt==О
дисперСИОНные кривые фОТОНОВ н ЭКСИТОНQВ пересекаются без взаимо
;l,ействня и 3КСИТQНЫ падаЮЩJ1М полем не возбуждаются+
При малых ДЕ н nренебрежении диссиnацией имеет место «аНтнпе-
ресечение» или «оттаЛкивание» дисперСИQННЬ1Х кривы,' которые при..
ним.ают в области взаимодействия вид пары rнпербол с небольшим
зазором (рис. 4.5 а)4
При E 1 колебания зарядов и ПОЛЯ СJ.IЛЬНО влияют друr на "pyra
н дисперсионная картина существенно меняется появляются про-
дольная ветвь и запрещенная зона, при приближении к которой и........=,.-О
75
(рис4' 4, 5 8). Электромаrнитнзя волна сопровождается синфазной
((0<00=0) ИЛИ противофазноЙ (00)000-) волной поляризации, вклад КОТО"
рой В общую плотность энерrии составляет заметную ДОЛЮ Подчеркнем
td
arct g(С/Л()lt) k
.о
а: t! ,
=WM(JO
/!
//
/.
{
\
"" f'
.lt
t
if
I iJ JJ
4t o
:J
l&'z
3
Ы О
р не 4 5. Диc.nерси я в р аМ ич н ы х л р ибл нжен и я х: цифр ам СОО1'8еТСТВ у I01' сл "ующие.
liазвани я кваэичасти и: 1 фотQН; 2 .механический эксuтон, ил и Qnтический
НОН; 3..... f(УЛQНQ8CКU l эксиmон (п р ОДОД Ь НЫ Й Н лопе р еч н ы й); 4 пол яр итон (еве/по--
1Жсц тон); 5 ........ «НОВЫ е» ВО.I( н ы; а) с и ' а ос uилл ятор.а и л и ЛЛОТ НОСТЪ Ч а С1 и Ц мзд Ы, Д ис
f1 е реи о н н ые ветв и «а кти nepeceI< а юте я» С н ебол ьюи м э азором; 6) учет к Y..тI ОНО ОС Koro
вз а и моде ЙСТВ и Я МО.11 ек у f( с н н м ает вы рожде н Ii е МfЖД у ца СТОТ3М и ПРОДОЛ ь Н ы х и лоле..
.речных ЭКСИТОНО8; в) учет взаимодействия M().1)eRY r'[ и поперечноrо ПQ.1JЯ лриводнт к
.nоляритониым эффектам........... к появлению запрещенной зоны (заштрихованная
.пзсть), к дисперсии фазовой скорости f.iJ/k поляриroна ВНе ЗОНЫ и f( обращению ero
rрулпово.А СКорОСТИ II В нуль На обонх rр.аницах ЗОflЫ; 2) учет ДИССНl1ЗUНИ пРJlВОДНТ
к р ззм ыти ю 3 а ко на ди спер с и и t К КО Н еч н ы м в реме н а м жиз н и 't И ДА И не пробе r а 11 r:J., ==:.
=== ll't дл Я n OJ] я р НТОНОВ : л р и ЭТОМ воэбу ждаемые из в н е вол и ы и с n ЬТТ ы В ают а н ОМа Т'I b
IiУ[О дисперсию (штриховая ..rНIНf1Я); д, е) учет анизотропии вещества ПРНВОДИТ 1 к
38 ВИСНМОСТЦ частот 3К СИ ТО Н О В П nо.тт яритонов ОТ Н а п р.а 8.1,рн И Я вол HOBoro ве ктор а k / k .
Н а р не у нке предста В!1 ен а частот н а я и yr л ОВа я АН С пере" я k ( ro, (7) Д.1I Я Н еобы к н овен н ОЙ
ВО.1НЫ В ОДНООСНОМ кристалле в С/lучаях с'llабой (д) и СИi'IlЬНОЙ (е) анизотропии; {t
уrол между вол НОВЫМ вектором и осью z КрИСТ3411Л а, oo и ro1 чаСТОТЫ f на которых
х Х
€zz равно соответственно се и O wo и uЧ ............ то же для exx== yy
-еще раз, ЧТО продольные колебания в приближении u==о Не расnро-.
страНЯЮlпся т. е4 это волны. с фиксированной частопl0Й (Ol u проuз-
ВОЛЬНОЙ длиной волн.bl
Конечно рассмотренные наI\IИ простейшие модели ЛИШЬ I,зчествен-
Но описывают дисперсию поля в реальных средах.. Для описания эф..
-76
феКТQВ пространствеНI:IОЙ дисперсии надо УЧ(lтывать зависимость па-
рамеТРО8 118 и 000 от k [2 t 22] Для учета ДQплерОВСКQrо уширения сле-
дует проинтеrрировать (28) ПО распределению Максвелла для 000 в слу
чае rззов 11 ПО распределению Ферми Дирака в случае меЖЗ0Н"
ных переходов в конденсированных средах. Переходы между узкими
ЭКСlfТQННЫМН зонами в полупроводниках и молекулярных кристаллах
описываются дисперсионными функциями (28) с заВИСЯЩИМИ от w и k
парамеrрами d8, 000 И k. Вычисление ЭТИХ параметров представляет
интересную задачу теории твердоrо Тела.
ОТАlетим в заключение., что вместо е ИНQrда проще выqислять непо..
средственно функцию rрина а или СВязанНую с ней формулой Куба
( 7 7) спектральную ПЛОТНОСТЬ равновесных флуктуаций [481.
4.3. ДвухуровнеВ8И МОДМЬ, и эффект нас.ыщения
Найденная выше восприимчивость Х. определяет ОТКЛИК вещества
на переменное поле лишь в первом приближении теОрJfИ возмущения.
При ЭТОМ не уЧИтывается эффеl{Т насыщения населенностей ff друrие
нелинейные по полю явления. НелинеЙные э4Фекты наиболее сильно
ПрОЯВ J]ЯЮТСЯ В резонансных условиях........ коrда частоты поля близки
к собствеННЫ!\1 частотам вещества.
Область применення модели.. В настоящем разделе будет paCCMOТ
рена модель двухуровневой системы, которая широко используется
в квантовой электронике и спектроскопии. Эта модель основана на
предnоложеНИИ t ЧТО поле КВаЗИМDНОХрО1r18ТИЧНО и имеется резонанс
00""""0021===-(00 лишь для ОДНОЙ пары невырожденных уровнеЙ молекулы..
Характерный ПрИмер такой ситуации встречается в 1аrНИТНО1Уt резо..
нансе ядерном (ямр) или электроННОМ (ЭПР). Если молекуда иtttеет
один несnаренный элеКТрОН или СПИН ядра J == 1/2, то при наложении
постоянноrо маrнитиоrо ПОЛЯ Н.о все уровни расщепляются на два зее-
l\- аНОВС!{НХ подуровня с частотой переходз (j)(J ==1Н о, rДе )' ........... 2UpOMOZ-
ниmное отношение. Обычно 000 лежит в радиодиапазоне и резко отли-
чается от друrих частот молекулы.
Как правило, однако, rаМИЛhтониан в отсутствие постоянноrо мзr-
нитноrо поля ннвариантен ПО отношению к некоторым операциям СИМ-
1етрни, например к вращениям, и ПОЭТО),IУ все энерrетические уровни
вырождены. Тем не менее и в этоы сдучае двухуровневая (\{о.з.ель дает
ка че<::твенно правил ьное оnиса ине.
Следует отметить ЧТО встречаются ситуации,. коrда Д8:ухуровневое
приб.Ilижение вообще непри rенимо наfiример в случае Я!\1Р при
/>1/2 или для описания переходов lежду колебатеЛЬНЫ IП урОВНЯМИ
молекул со слабы анrарМQНИ3МQМ. В последнем случае молекула
ведет себя как осциллятор с почти ЭКВИДliстантным наборо?! уров.
ней, так что резонанс имеет место одновременно Д Т'lЯ мноrих пар
уровнен
Кинетические уравнен ия. Дву х У ровневая с нстеfltlЗ описываете я
уравнениями для МЭТрНllЫ плотности (3 3. 6) при т. 1l:: 1 t 2 с феНО
меНолоrическнми временами релаксации w тn И 1'21 == 1fT:! (СМ. (3.3..10).
17
Пусть rlQ::::= О, Tor да
Р21 == (iФ.. + J IT ) Раl i (Pll........P:z.t) СР2l/ п ,.
Pll == и' 12Р22 ----.. Wi; JP 11 + i (C'j/J 2 (Р] 2......... Р:! 1 1,)/Ii.
(4.3.1)
(443.2)
в СП учае двух У ровней fJ 11 + P2 == 1 так что р 11 := rt . в ведем
обозначения
Рl1.......... PZ2 ==- а , W 1Z + W 21 :::=:. 1fT 1- (4 3.3)
При выключенном ВО3 lущении (pJ:::= О) населеtlНости ДOJJЖНЫ при..
нимать равновесные значения P: t поэтому скорости релаксаuни W l2
и W"21 связаны условием (3tЗ419)t из KOToporo следует
. (Wl' W II )/(W 11 + Ш: н ) ,O). (4:3.4)
Уравнение (2) Прll учете (3) н (4) ПрИНlIмает ВИД
== ( (O) l} )/Т 1 + 41 m (Р21 ral )/It.
(4.3.5)
Пусть поле квазимонохроматично и имеет среднюю частоту o): Oto
близкую К Юt}:
Е (t)== (1/2) Е!) (t) ехр ( i(ot)+ K C ,
(4.3 6)
rде E(J (t) :\1едленно меняющаяся амплитуда nОJ1Я. Тоrда в диполь.
"ОМ и реЗОН3НСНО;\1 приближениях в (1) можно лолаrать
СР,1 :=::: (1/2) d Z1 .. Е!) (t) ехр(......... i(ot) ........ (] /2) nQ ехр ( iwt + i ).( 4rЗ 7)
Здесь опущено нерезонзнсное отрицательно---частотное слаrаемое, про..
порЦJlональное е-'{!)! 1). введены частоrз Раби Q d 21 . Ео 1/1t и фаза
взаимодействия (t) В случае линейной поляризации поля и веще
ственных волновых функций ер является просто фазой волны. Оп ре.
делим также .медленно меняющуюся «оrибающую» недrfзrональноrо
элемента матр ИllЫ ПЛОТ НОСТ и:
Р21 (t) == ро (t) ехр ( irot). (4.3.8)
В результате кинетические уравнения для двухуровневой системы
ПРННJJ .Jают В}]..1 -
Ро == [i (ы юо) 1IТ!] Ро + iQ.1e itp /2,
.
\ ==: ( tQ) )/Т 1 2{ Iln (pue i ).
(4 3.9)
(443+10)
Эта СИсте а ИЗ трех уравнений для трех веществеННЫХ ФУНКUИЙ p (t)
p;(t) н (t) определяет ЭВQЛЮЦfТЮ состояния двухуровневой системы
под дейетвиеJ\1 термостата и внешнеrо поля. Соrласно (9) действие ладя
на ро: пропорционаJIЬНО разности населенностеЙ ) которая в свою оче-
редь связана corJlaCHO (10) с Поле 1 через Po Эта -взаимосвязь и олреде-
1) l\1bl npeHe6peraeil.I также высшtlМИ rарМОНllками м.атрИЦЫ ПJlОТНОСТИ" ОСUИLТ1.1И-
р)' ющtl 11 С Ч зета т.а 1 и 11 Ы И 11.\J€ ro ЩП:\! 11 пор 51 ;!О к: (12/ ro)n .
18
ляет нелинейность отклика двухуровневой CfICTeMbl, которая в стацио-
нарных условиях Проявляется в эффек.те насыu енuя стре fленни d
1, нулю при услови 1[ Q 2 1./ Т 1 Т 2; нестац JiОНЗ р ные проя В.пения а Hra рмо-
низма двухуровневой системы будут рассмотрены в rл. 5.
Эффект насыщеНИА РаССМОТРIIМ далее устаНОВliВШИЙСЯ ОТКЛИК
дву х уровневой системы в случае "'10НОХ рома ТJI ческоrо ПОЛЯ t Kor да Q,.
РО J tp И f:1 постоя ННЫ 11з (9) n рп ЭТОМ следует (ер. (4.24 17»
Q.1.'2 е(Ф
Ро:::;;;;:: UJ o O) ifT 2 ·
(4.3.11)
Подстановка ЭТОrО выражения в (10) позволяет определить стацио-
нарную разность населенностеl't:
А == (ot/(l + 2Т t W ).
(4.3 12)
rде
W == Q!T '2/2 r
.;:J ·
I + (ы(. oo)"2T2
Эти формулы описывают эффект насыщения уменьшение раз..
HOCTll наседениостей ПОД действием сильноrо резонансноrо поля. От...
меТИМ t что (13) совпадает СО скоростью перехода" найденноЙ в Э 2.2
ДЛЯ случая лоренцевоЙ формы ЛИНИИ с ненаСЫЩенной шириной 60000==
==21Т 2 Второе слаrаемое в знаменате 'lе (12) называется фак.пwром. на..
сыщения
s :::::: 2WT 1==2 W/(W1t+W:!1) (443 14)
(4+З 13)
Из (14) ясно,. что эффек'/ll насыщения определяется КоНКуреИl{uей
скоростей переходов под деЙСlJl8uеJ-Z lliYMoвozo пQЛЯ термостаnlЙ (W 12 +
+W:! 1)/2 U .Аtонохром.аmflчеСJ\VёО 8NellfHezo ПОЛЯ w.
Э:рфект насыщения соr.,JJ:асио (13) иииболее сильно проявляется при
точном резонансе, коrДа фактор насыщения принимает максимальное
значение: ·
I o "'" Q T J 2 "'" 2(J FT t F/ F:. 1
Здес ь введены сечен не ne рех ода о' W I F, ПЛОТНОСТЬ потока фото-
НОВ F и плотность потока фОТОНОВ F"1 вызывающая уменьшение
разности нзселенностей вдвое:
Р. 1 /2п о Т 1 :::= flс/8л(о I die; ItT lТ!. (4.3.16)
( 4.3.15)
Итак. разность населеиностеЙ ПОД деЙствием ре30НЗНСRоrо поля
уменьшается по закону
;) == а (( )
l+F!Fd
(4.3+17)
ОФорма линии при насыщеНИИ4> Подстановка (12) и (13) в (11)
дает значение Р-о с учетом эфсректа наСЬJщения населенностей+ ДИПОЛЬ
НЫЙ момент двухуровневой системы равен (лолаrаеМ t что молекула
19.
неПОJIярна" d пn == О)
<d (t) == d lJfЭ21 + K c ,
( 4.3.18)
так ЧТО ВОСПРИИМЧИвость вещеСТва" соетояu1еrо из N двухуровнеВЬJХ
молеКУЛ J принимает вид (ер. (4. 2 18)
ха р (Е.) == N d ) d ) !l/h ( ю о ........ ы ....... i /Т 2) ==
== !i ..1 А (О t N tf.. 1 Ct 2 ) d( 2 6 1 ) .........!'а ro + l jT'l 2 .. ( 4. 3 4 19 )
(w o ..IJ))' + (1 + S(J)jT 2
НаПОМНИМ t что здесь частоты ю и Ю О положителЬНЫ t значения Х
для {t) < о определяются формулой (19) при замене ro to i на О), i.
ОтмеТИМ t что из (19) при 50 =#: О следуе,'t что восn РИИМЧИВОСТЬ
Х (00., Ее)' рассматриваемая как функция коfdплексноrо переМеиноrо
ю == (1)' + [оо", имеет полюсы как в верхней t так и в нижней ЛDЛУ-
плоскостях:
ю == ::t ю о + i (1 + 50) 1 /а /Т '.
В результате функция Х (ffit Ео) не удовлетворяет соотношениям
Крамерса......... Крониrа (44148) при Ей =F о.
Hai1AeM с ПОМОЩЬЮ {19) и 4.1.}1) поrЛОIдаемую или при б Ю < О
излучаемую МОЩНОСТЬ:
j'J == fiwl1(O) N W 0/[ 1 + s +(roo.......ro)2TiJ === maxso/I 1 + So + (000....... (О)2Т;] t
( 4.3.20)
rде W 0== I d 21 . EfJ/h JIT 2/2..........СКоростъ вынужденноrо перехода при
/ ma.:t точном резонансе. Из ЭТоrо BЫ
ражеНИfl следуеТ t ЧТО с:пектраJ,Т]Ь
изя ливИЯ при насыщении со-
храняет лоренцеву форму вида
1;(1 +x:J)t однако ее ш ирина
увеличивается в 11 1 + So раз
(рис. 4.6):
600 -== 2 У l + 50fT 2. (4.3 21)
ЭтОТ э4Фект называется уши-
рением tlЗАучением или nолевЫАt
уши рен. ием..
f] усть 50 1 + ( ro о ........ ro) 2 т:
(ClttllbHOe наСЬJщение)t тоrда из
(20 ) слеJl.ует
I 5' ='- 0011 \о I N /27 1 fl!E. fj> tn 1I..
\
5
о
5 2,5 О 2,3 (VJ tUQ}12
Ри с. 44 6 3 а висимостъ nor JlощаеNоii мощ"
ности:7 от частотьт ffi при различных
факторах насыщения so соrJJЗСНО (20)
I
( 4 3. 22)
т aKH 1 образом, при сидьиом н'йсыи{ении n02.ll0щае.жая вещесmвО.lt
МОllр"ость перестает завuсеть от UHтeHcueнOCпlU и -iаСтОтbl подл и
во
определяется лишь скоростью передачи энер2UU от МQлекул тер w'оСmшпу ..
Действительная часть восприимчивости лри сильном насыщеfJИИ со.
rласно (19) линейно зависит от частоты:
Х ' {(оп........ (0)/80" (4.3.23)
СдеJJзем численную ОU€ИКУt Пусть интенсивность волны 1:= 1 Вт/см'
11 л == 1 мкм ; при этом fи» -= 2.10--11 эрr, F -= 5.] 018 фОТОН/(С' см") и
Е G V 8л/ /с == 011 rc == 30 В/СМ. Если d 12 == 1 Д, то Q == 1 08 c 1 t так
что SoE:::I при Tl T2=:10""'B С4 Скорость лерехода W-=5.10 i с.... 1 И
если fj, {{Н N -= 1 019: c 3 (примесНЬJЙ
кристалл или rаз. при атмосфер N
НОМ давлеНИИ)t то из (20) следует
.;;;;;; 50 МВТ/СМ 3 . Эта оценка пока..
зывает" что в оптическом диап,З..
зоне эФРект насыщения сопровож-
дается очень СИЛЬНЫJ\-I HarpeBOM
вещества. С друrой CTOpOHbI f при
электронном парамаrНИТНQМ резо-
наисе в диапазоне л 1 см и при
т 1 10 3 С из (22) следует
=== 'о t \ Вl' /(:1\\ '! t i ак Ч l' () 'Б ОЗМ ()Ж (:11.
стационарный режим I-Iзсышения,.
ЧТО и используется в парамаrнит
ных усилителях.
Э:рфект насыщения имеет боЛЬ
шое значение в квантовой электро
нике. Он используется ДЛЯ инверсии
населенностей с ПОМОЩЬЮ BCnOMora..
тельноrо излучения (накачки) в лазерах На примесных I{ондеисtlрОвзи"
НЫХ веществах 1'1 в парамаrнитнЫХ усилитеЛЯХ t а также для пмучения
коротких МОЩНЫХ IIМЛУЛЬСОВ света метОДами МОДУЛЯЦИИ добротности
и синхронизации мод. Э:рфект насыщения стабилизирует ампЛИТУДУ
}{вантовых rенерзтороВ ]1 оrраничивает сверху динамический дJlзпаЗQН
квантовых усилителей
В случае неоднородноrо уширения, например из за эффекr а Доп-
лера,. насыщается не вся ЛИНИЯ t а ЛИШЬ ее часть с шириной порядка
столкновительной или естественной ширины. Этот эффеКТ t лривDДЯЩИЙ
к nр08алу Беннета в распределении молекул по скоростям (рис. 417),
ислользуют для с-;збилизации частоты лазеров и в методе спекТросКо-
пии насыщения (9 6.4).
о V z (ы)
}J ис. 4 7. Провал Б е н нета Эффе j(! н,а.
с.ыщен. ия. "9 и и eOJl1{OQ о '-.Н.ОМ У JlI [f.p ен и и
.линии из.за э4$екта Доплера затрзrи-
Бает лишь часть молекул t rfмеющих
подход ЯЩИ е п роек ции с корости и:. (ы) ==-
( ........<o)/k на направление распрост.
ранения ВОЛНЫ k; N (t'.;) расnределе--
нне числа активных Ч8СТIJЦ по CKQ-
ростим
4.40. Уравнения Блоха
Кинетические уравнения для средних. В предыдущем раЗJ1,елр мы
сначала решали кинетические уравнения ДЛЯ матрицы ЛЛQТНQСТИ t а по-
ТОМ с ПОМОЩЬЮ найденноrо решения p(t) находили по формуле (f(t»:=:
==Sp ({р(п) интересующее нас среднее (наблюдаемое) значение. Есте-
ственно сразу ИСКЛЮЧIIТЬ р И попытаться найти кинетические уравне-
ния, которым удовлетворяют сами наблюдаемые. Такие уравнения
81
!\>ТОЖНО вывести 1-13 уравнений ДЛЯ Pt однако здесь ОНИ будут ПQ..fJучены
друrим способоМ4
В случае за М1\ н утоЙ системы ура внен 11 я д Т[я наблюдаемых можно
установить усред ением уравнения rейзенберrа (полаrаем, что f не
зависит от Времени явно)
it;, df /dt == [/ (1)) % (t)], (4 4.1)
определяющеrо временную зависимость операторов в представдении
rейзенберrа Это усреднение ПрОltЗБQДЯТ ПО начальной 1атрице ПЛОТ-
НОСТИ, которую обычно полаrают равновесной:
in- d <f>/dt == Sp {I! (t), :lt (1)] Р (t o )}. (4 4. 2)
..... -
в случае мноrочастичных систем производная d(f)..dt зависит" как
правило, не только от самоЙ средней величины {f(t) но и ОТ вторых
IOMeHTOB или функций корреляuии (f(t) g(t') 1\10ЖНО выписать ура в..
нение rейзенберrа для вторых MOMeHTOB Но ОН Н ПОСiilе усреднения бу-
дут содержать третьи моменты н T д Чтобы «расuеnить» эту бесконеч",
ную uеnочку уравнений для MOMeHTOB J необходимо на каком"то этапе
пренебречь корре.няцией некоторых величин: (fg) (f){g).
в результате после исключения «ЛИШНJiХ» переменных удается
получить сравнительно прость[е кинетические уравнения )}[Я наблю-
u .
даемь[х ОДНОИ частицы, в которых взаимодеиствие с друrнми частицами
или с термостатом учитывается с ПОМОЩЬЮ не60льшоrо числа феномено
лоrических пара метров типа времен релаксации Tl Т 2 дЛЯ двухуров'"
невой частицы или кинетических коэ4Фициентов nepeHoca Примеча
тельно, ЧТО кинетические ко3фсРициенты ДЛЯ первых моментов соrласно
ФДТ (9 7.7) несут информацию о равновесных вторых моментах, T е.
флуктуациях.
Конечно ПОДХОДЫ t основанные на уравнениях Д.пя матриць[ плот..
ности И на уравнениях для средних величин) эквивалентны и должны
давать одинаковые результаты. Заметим что в классическоЙ статисти
ческой физике также используют два ОСНОВНЫХ метода описания ки"
нетики: с ПОМОЩЬЮ уравнениЙ для ФУНI{LlИИ распределения (уравнения
ЛИУВИЛЛЯ Больuманэ, Фоккера Планка) и ДЛЯ MO 1eHTOB (ypaBHe
мня диффузни переноса).
Макроскопические уравнения л.\аксвелла ЯВЛЯЮТСЯ по сушеству J
кинетическими ДЛЯ первых моментов поля (E) (Н) с феноменолоrиче..
екай функцией Е ([)). Время релаксации монохроматическоrо ПОJlЯ 1"
paBHO t очевидно, отношению плотности энерrии C-==е/IЕ о [!/8п к мощ-
НОСТИ потер ь С:== ШВ" I Е о, 2/&т t т + е. Т===8' / tiJё.. И .
Этот же результат получается, если приравнять '"'[ длине поrлощения
l/а) деленной на скорость ВQЛНЬ[ c/п
Ниже МЬ[ рассмотрим уравнения для наблюдаемых двухуровневой
системы в двух характерных случаях при элеКТРОДИПОЛЬНОl\ot и
маrнитодипольном взаимодействиях коrда энерrИЯ взаимодеЙствия
с полем равна соответственно d Е и . 1ft В последнем случае
наблюдаемой величиной является маrнитный момент частицы <р>
ил и нама rи ичеННQСТЬ М;::. N <,.... >, и кинетическ не уравнен и я д.л я этих
величин называются уравнениями Блоха. При злектродипо.JlЬНОМ
82
взаимодейст вин к Jiнетичеек не у равнен и я дл я < d> и разности пасе.
ленностей ...\, Т. е. энерrии в единицах Ii,(о а , анзлотнчны уравнениям
Б лох а их называют ОJll1luч.еСJ\U.JfU у !Jа8н.еНllЯJН.U Б лоха +
Матрицы Паули и разложение операторов. При описании ДBYX
уровневых квантовых систем у добко использовать двумерные Матрицы
Паули, определяемые СJ]едующим образом:
O (i ),
( о ....... i )
(JII '::= i О t
(Jz==( ).
(4r4.3)
Эти мзтриuы Оащtl ::::: <т 'o(X.1 n) предсmавляюпt некоторые операторы Оа
С собственными значениями }. ::1:: 1 (напомним ЧТО собственными
знзчеНИЯ:'\.-JН )JЗТРИЦЫ f рап называют корн н характеристнческоrо урав...
нени я det {f т.'l , с5ЩII} 0)4 i\1зтричное представление (3) является
собспl8еННЫМ для оператора (Jz Из (3) и правил умножения матриц
находим таблиuу умножения операторов Паули:
ахо у -=: ауа...::= iu z ,
0& J, Оуа з == a.zG y == ifJ ,
oz(J х == .............. tJr,\:G,:::::;;;;: iay
(4+4 4)
Тз){и:w образом, ]атриuы Паули а,.uпuк.оммупшруют между собой
(Оа,Ор + 0fjO'ct == 2б а tз.) и IIX nереСТ8И овочные соотношен и я совпадают
с 1аковыМИ для декартовых компонент момента импульса 8.
Удобно ввес.ти также следующие элементарные матрииЫ t нззывае...
MbJ€ диада...иu (или внешними проuзведенuя.мu векторов):
0111 :;::: 11><11==0 ).
(J( > =: 12><l!==( ).
о( +) 11 > <21 == ( ).
а Ш :2 > <2 ! == ( ).
в общем случае 113 двух "роизвольных векторов , а) II I Ь) МОЖНО
составить оператор-диаду, :\f3ТрИЧНЫf' элементы KOToporo равны про--
изведен., Я I соо Т ветствующи х к ОМ п онент векто ров:
otabJ == r а) <Ь 1, Оh Й) === <ntj а) (Ь I n).
СИ lметрнчная диада o H\ === i п) <п I н,азь[вае7СЯ IlроеКЦUОННОЙ t так как
при действии на какон-либо вектор она выделяет ero проекuню на
направление ! п>:
cr tп } I а) -= I п> <п 1 а) const f n>.
оБЬ1ЧНО зде<;ь I n)........... еДИНltЧНЫЙ вектор: <11' n> 1 t OlMeTIIM t что сред
Нее значение диады O{т J l) совпаДает с соответствующи элементом
трансnон н рован ной матриuы плотности:
<о(тп,) Sp (р j пl) (n ,} == Pkl <ll т) (п I k> == Рn1lJ4
в
83-
Связи оператороВ Паули и введенных выше диад имеют вид
2а О ) 1 + cr O' H == 1 (J 2a(:f:) =- (J' ....J....; iТ
, ... z.' х ::I:. IoV.v t
а .... а{ +) + а( > а i ( O( ) o{ +' ) а 0-(1) oi2)
х........ ; ,1 .. Z ,
1 == 0(1) + a(2J..
Леrко наЙТ11 таб ицу умножения и коммутаторы диад" например:
а( 1} 2- == и\l, t а< 1:) 2 == О t а( +) а( ) == (J( I ) ,
о' t ..... I а ( + I == 0'(1) I [ cr( + J t 0'( ... )] == cr z t [ 01 :i::J,. а z] == =F 20<*).
ЗамеТИ I, ЧТО Qi:i:) Не9рмитовы операторы: (а(:» + ==+ 0-(1=). Эти опе.
раторы МОЖНО назвать операmoрамu рождения н ун.uчп20женuя кванта
энерrии. Действительно пусть 12> волновая функuия OCHOBHoro
состояния системы; ПОД действием оператора а(+) она превращается
в волновую функцию возбужденноrо СОСТОЯНИЯ: 0'(+) j 2> == 11)4 Акало-
rИЧН о о{ ) I ] > == 12>.
Леrко убеДИТЬСЯ t ЧТО 1Jюбой ЭрМИТQБ оператор, действующий в
l'ильберТQБQМ пространстве двух У ровнево й с истеr-.fЬ[ , можно предста..
ВИТЬ В виде суммы (операторы в некоторых случаях отмечаем зна..
КОМ л)
{==аl + ЬО Х + OOv + dcr i , (4.4.5)
rде а, b С, d веществениые числа. ДействитеЛЬНО t объединяя (3)
и (5),. находим СВЯ3И определяющие коэффициенты разложения (5)
через матричные элементы f l1Iп:
{ А. :::: ( а + d Ь ....... iC ) ..
b+ic a d (4.4.6)
НаПОМНИМ t что в квантовой механике как и в векторном анализе t
имеются три типа величин: обычные комплексные чиСАа (с-числа, ска...
ляры), комплексные 8еICmoры (волновые функции диекреТRоrо или не-
npepblBHoro арrумеита)t задаваемые n числами, и операторы (маТРИЦЫt
теНЗ0РЫ), преобразующие векторы друr в друrа и задаваемые п'! чис..
JlЗМИ J rде n........ размерность BeKTopHoro ПрОСТранства равная числу
состояний системы. Из оператора по известным прави..11ЗМ можно найти
соотвеТстВующие ему скаляры (собственные числа, шпур), которые ЯВ
ЛЯЮТС инвариантами по отношению к смене предстаВ 1ения" Т. е. Т{ по.
вороту базисных векторо:е. BeK p Паули а == {п х . a vt а$} и пропорцно"
иапьный ему момент импульса 8 ЯВЛЯЮТСЯ одновременно векторами
в реальном трехмерном пространстве 1"1 операторами в абстрактно {
пространстве сосnwяяцй с двумя комплексными измерениями II)j 12).
3амеТИМ 7 что козф:рициенты в разложении (5) произвольноrо опера-
тора 7 по матрицам Паули имеют неПQсредственный физический
СМЫСЛ ОНИ определяют два разрешенных значения, ,{оторые при-
нимает наблюдаемая f при отдельных измерениях. Составив уравнение
ДЛЯ с.обственных" 3М3 чен ий матрицы (6), 10ЖНО убедиться, что спектр
fnn == fn СОСТОИТ из следующих двух чисел:
f 111 i ::: а :t: (Ь' + с! + d') t I z . ( 4.4.7)
84
Пусть базисными вектора 1И для представления (3) являются
энерrетичеекие СОСТОЯНИЯ системы. тоrда оператор 1t о диаrоналеи
и при f == *0 из (6) следует а == Ь с== О, d OO6/2. Таким
образом, rаМlfльтониан системы пропорuионален оператору a z :
j( о == n(t}lJoz/2t (4 4.8)
r де о ===:Jt O'J ...........:Jt 011. Относительная разность населенностей при
....
этом равна среднему от O'z:
< а z> z:::- Рl1 ......... Р2.2 == а. (4. 4. 9)
Пусть собственные функции 1 т) оператора tft 6 11, следоватеЛЬНО t
матричные элементы электродилольиоrо момента drf1.п вещественны:
d)'i,:=: d'l == do Предподожим. также t что диаrональные элементы
отсутствуют (неполярная молекула" d"n == О), тоrда оператор d == ..........е;
....
выражается через ах:
а;:::: doa x t
(444.10)
а энерrия возмущения принимает вид
...... .д
ср? == ....... (d G + Е) cr х'
(4+4.11)
Вектор н сфера Блоха. ОпредеЛИМ дlкmo п hAI1Xa R (ero H
также псевдоспuном) как среднее от вектора Паули O' С ПОМОЩЬЮ (
R 1ЩJЖRО - -выразить также через Iатрицу ПЛОТНОСТИ
\ R == (О) == {2p;t. 2р;.. }" (4.4.12)
ТЗj{НМ образом, вектор Rt как и матрица плотности Ртn, ПОЛНОСТЬЮ
определяет состояние системы. Иначе rОВОРЯ J произвольное состояние
u
двухуровнеВQИ системы задается тремя ДеИСТВИтеЛЬНЫМИ числами, ко...
торым для наrлядности МОЖНО поставить в соответствие точку или ра..
диус"вектор в некотором трехмерном пространстве. В случае частицы
СО спином 1/2 этот вектор параллелен среднему моменту импульса,
в случае же электродилольной двухуровневой системы R он не соответ"
ствует какому-либо наблюдаемому вектору но ero х.. ]{ Z"l<омпонеитЫ
cor..rraCHO (8) и (10) имеют неПQсредственный физическиЙ CMЫC .
Определим длину вектора R. Соrласно (12) и (3.1.18)
R' == (Pll P22)2 + 41 P211 1 1. (4.4 13)
В случае чистоrо состояни я ПО определению (З I <t 4) 1 Р21 ('::: P11P2i
И R единТfЧНЫЙ вектор. ИтаКt ПрОИ380льНое чистое состояние
системы МОЖНО изобразить точкой на поверхности сферы. наЗЫВае ой
сферой Блоха. Если же состояние смешанное, то (СМ4 (З I.18))
) Р21 11 < PZ2PlI И R < 1
В Ходе вреYlеННОЙ ЭВОЛЮUИИ изображающая точка (вектор R (t)
описывает какую то траеКТорrfЮ внутри единичноЙ сферы Эту траек-
торию ЛР[I nрОИ3ВОЛЬНОМ возмущении (t) (! 1) МОЖНО найти
с помощью у раннен и я r еЙзенбе pra ( 1) для О'а 11 правил коммута..
85
ЦНИ (4). При ::: О НЗ (3 3.8) сразу следует
R. == Rxo COS ooQt + R УО sin ю{\t..
Ry== Rxo sin ооое + RyOcos Юf)t 1
Rz:= R20'"
Таким образо л tз СJJучае замкнутоЙ системы конец вектора R
()писывает крути BOKpyr ОСН z аиалоrично прецесснонному движению
волчка BOKpyr направления СИЛЫ ТЯ--
жесТИ (pJ-JС+ 4 8). П p i этом cor ласно (8)
и (10) энерrня ПОСТОЯНВ3 t а ДИПОЛЬНЫЙ
момент осц JtJlJlII р ует с частотой лере х о-
да. В чаСТНОСТИ t в чистом KorepeHT-
ХХ НОМ СОСТОЯНИИ, коrда Сп -== ехр (iqJn)/t/' 2t
из (3.1.4) следует
Rx =:=COS (O)ot+rpl qJ;l)
R // si n «(t)ot + l""""'(P:!), (4. 4 15)
R O,
Т. е4 изображающая точка движется по
«экватору» единичноЙ сферы и у?ол nре-
lfeccuu {t 8rctg (R l./Rz) -==п/2. В энерrе..
тическом СОСТОЯНИИ точка локонтея на
ОДНОМ из ПОЛЮСОВ (C 1i == О или 1 {} == о или
л) Под деЙствием слабоrо реЗОНЗНсноrо
ВQЗ\1ущения к прецессии добавляется
fедленное изменеНllе уrла прецессии с
частотоЙ Раби так называемая нуmа.
Ц ил (Э 5 1 ) .
Высшие моменты н распределения.
Напомним, что i\1ЗТРI1ца ПЛОТНОСТИ (или,
в OO Re\t1BHH С. \ \ 2\, ЕеК1ОР R ==- <0-»)
несет ПОJlНУЮ статистическую информа
UJ!Ю о системе t Т. е. позво Т}яет Haxo
.J,ИТЬ ВЬJсшне моменты <t ll ) и законы pac
пределения Р (f) прОИЗВОЛЬНОЙ наблюдаемой {. Моменты JlerKO BЫ
разить .через рили (0',,> С ПО.\10ЩЬЮ (5) П фОр.\rIУЛ умножения (4) И3
которых" В чаСТНQCТИ t следует
U 2:k+l О
ct 1:.'
H
.L
Рис. 4r8. rеомеТрИческое пред..
СТ 3 ВJt е н не состоя н и я д.в V Х у ро В-
невой с t1 CTej\1 ы с. лом ощ ью век
тора Б.;l()Хtl R, комлонентp.I кото-
poro определяют дипОЛЫ.-IЫЙ МО"
мент (d}.::::::=doRx и раЗНQсТt> Hace
ден н ос. те iI j, ==-= Rz. Ось z на прав.
.1] е н а в н и э, ч ТООЫ точ К Н l изобр.а
ж.ающие возбу жденные состоя-
ния системы, БЫ4-"lИ иа рнсунке
вьтш е 10 ] h: И изобр ажа Юl1lе n oc
н c'fj 1-1 ое сос ТОЯ н J I е; пр I J свободно i1
Et вол Юltil 11 с: 11 стем ы R пр е uecc Jt ру.
€T С частотой bl.o, при ЭТоМ уrол
лреuессии 6' определяетСЯ Ha
чальнымн YC.10Bli ЯМИ
(4.4.14)
O ':!J ......... J
ц. .
Отсюда основна я ме ра фJl укту аций ......... днслерси я
aa <a;> <aa>2 == 1 R; (4.4.16)
(дедова тельно, в случае знер rети ческоrо состояни я t Kor да R z ==: ::f:: I
н R Х\ ') ==0, J.исперси я энерrНII равна нуJlЮ f а дисперсия днпольноrо
МО\оlента единице (6 единицах d a ). В случае же KorepeHTHoro состоя-
ННЯ cor ласно (15) энерrия фJIУI{т)/нрует с еДIJ ннч ной дисперСllей (в €'ДH"
ницах liюо/2), а дисперСIiЯ поперечных КО lnонент иx y заВИСIIТ ОТ МО-
мента измерения она ОСЦllлл'tрует с частотой 2000 между О и 1..
8б
РаССi\,1ОТрИМ соотношения неоnределенностей для компонент век-
тора Па) лн, оrраничивающие точност.ь их одновременНоrо измере-
ния. Соrласно (16) .
бп ар -= 1 + R& RA R R!t
L\a + a -= 2 R RЛ.
В произвольном СОСТОЯНИИ Д Т'lина вектора R не превышает единицы
(СМ. (13)), поэтому имеют место неравенства
ftcr 6cr R l + R;'R t
llи + O 1 + R
rде l' * 0:, . В случае Ra == О неравенство (17a) приниМает вид
общеrо соотношения неопределенностеii
(4.4.17а)
(4 4 176)
! g 1 <{! t gJ> 1/2+
(4.4 18)
Опреде.JIИМ теперь законь[ распределення Пусть Р о; (::1:: 1) вероят",
НОСТЬ Toro, что O принимает значеНIIЯ + 1 t тоrда
(410:>== Ра (1) Pa ( I)=: 2Ра (1) I.
Отсюда
р с1. (-2= 1) == (1 ::!:: R a J/2.
Например" в KorepeHTHOM СОСТОЯНИИ (15)
Р х (1) === cos 2 [(root + fP! Q-11 )/2J"
АН3iIоrнчно для произвольноЙ наблюдаемой в двухуровневой системе
р (11) == 1 p (f ) ({f) f'}.)!(fl f,J. (4.4419)
Уравнения БЛОАа. Найдем уравнения движения вектора Паули.
Из (1) , ( 4) t ( 8) и (11 ) еле дует
(J х == OOu(J у'
0.11 === ro ах + Q (t) O'z, (4.4.20)
a:== Q(t)agt
rде Q (t) === 2d o + Е (t )Jn' «МfНОАенная» частота Раби. Введем вектор
А == {Q (l), О, юu)t Tor Да (20) tожио лредстаВИ1Ь в виде BeKTopHoro
пронзведения:
l (т,,""ихА 1 .
(4.4421)
Из (21) сразу находим аналоrнчное уравнение ДТ(Я веК1'ора Блока:
k RxA4 (4.4.22)
Соrласно (22) вектор R, предспlавляюu{uи все свойства двухуровневой
системы, пpelfeccupyetп вок.руz меН08еннfЯО наnра8ленuя вектора эф.
фек.mивноео поля А (t) +
87
..
Учтем, далее" вза IмодеЙСТВИе частицы с окружением в простейшем
приближении.. Для 3Toro ПОСТУЛliруем экспоненциальную релаксацию
с двумя положительными па ра метра ми Т 1, Т 2 j характеризующими ско-
рость установления термодинамическоrо равновесия при СНЯТИИ возму-
щеНИЯ4> В резУJlьтате уравнения fейзенберrа (21) переходит в так на..
зываемые оптические уравнения Бдоха:
I R==RxA R1.IT2 Z(Rz I1(0))IT1' I
....
rде Z ......... единичный вектор ВДОЛЬ ОСИ Zt
Леrко провеРИТЬ t ЧТО ЭТИ уравнения при учете (12) СОВПадают с
уравнения,ми для матрицы ПЛОТНОСТИ (4.3.1). (4.34'5), И поэтому все
результаты 4.3 сохраняют силу,. ОДнако теперь поведение сис'Те
приобретает наrлядный rеометрическиЙ образ.
Следует подчеркнуть, что уравнения Блоха (23) ЯВЛЯЮТСЯ кине-
тическими ур.авнениями оnисьrвающнми ЛИШЬ первые моменты
наблюдаемых R=:; (a)t они не дают информаuии о флуктуациях н
о высших hofOMeHTax Последние ..10Ж'"
НО найти, лишь задавшись конкретной
стоха тиqе<:кой моделью -релаксации.
В случае монохроматическоrо поля
установившееся вынужденное движение
R представляет преuессию с частотой
поля 00 BOKpyr оси z (рис. 4.8)4 При этом
уrол n рецессии -8 соrласно (4.3 11) опре-
деляется следующим образом (Q ==
=: j d o . Ео 11ft);
t {t;E. R.l. с::: 21 Р21 J =- sign (а) QT 2
g R z [] + ((0)0 (o)2THl!2 '
(4.4 24)
(4 З.I2)
.1 )II
72
711
...
р не. 4 9. Ре.l1 а 1\ са ци я вектор 3
Б 10X а R. Пос...!J е вы В:.,l ючен 11 я воз..
мущения поперечн.а я составля.
ющая со скоростью 1/Т 2 обраща-
ется в нуль, а продо..1ьная со
скорОСТЬЮ J /Т 1 принимает р.а6+
новесное значение д<о)
(4.44>23)
а ДЛИна вектора R соrласно
равна
R =: A/cos {} =- A(O)/[cos {} (1 + tg' ,,)],
(4.4.25)
rде == T]IT2. Пусть Tl==T:2=== И ю==
;:: (IJ Qt TorAa вектор R ПОД действием
реЗОНансноrо поля сокращается в
(1 +Q ')I/I раз и преllессирует под уrлом f}== arctg (Q-r sign (tl)).
Если внезапно БЬJКЛЮЧИТЬ ВОЗ:\Jущение t ТО вектор R соrласно (23)
будет одновременно nреuессиравать с БОРО8СКОЙ частотоЙ 6)0 н релак-
снровать к pabhobecHO!\-lу значению (О) О, дtn)}t Т. е. двиrаТhСЯ ПО
спирали (рис. 4.9). Если Т 1 Т,. то сначала исчезает Поперечна я
состаВЛяющая Rl..t Т. €+ неДИаrОИа '1ЬНЫЙ элемент !tIЗТРИUЬ[ ПЛОТ-
НОСТИ Р311 а лотом R:.
88
.
_..... __... 11 ...... .... ............. . ............................................. ......... ...... . - - -- .... ...
Уравнение ДЛЯ ПOJU1риэации. Полученные уравнения (23) пол..
ностью определяют оптические свойства вещества в рамках двухуров-
иевоrо приближения как стационарные ( 4.3)t так и нестационарные
(rл. 5). Чтобы сделать это более очевидным, перейдем от перемеи-
ных Rx, R1J к поляризации р== NdoRx (81, фиrурирующей в урав-
нениях Максвелла. Из (23) следует
Р + Р/Т 2 == rooN doR '. (444.26)
Повторно ди4Ференцируя, получаем
Р + PIT.--roоNdo ( Rf1fТt. юоRх+ (t) Rz). (4.4.27)
Практически всеrда 6J(JT I J , т а к ЧТО при Q < со то в п раБОЙ
части (27) можно соrлзсно (26) положить
IOr.NdoR и ::::::; Р. (4.4.28)
в результате нахОДИМ t ЧТО поляризация удовлетворяет линейному
уравнению BToporo порядка (полаrаем d o 11 Е):
n 2 P Р 2 roбd Е А N
r+-т; +т == t U,
( 4.4.29а)
rде АN::з NRz......... разность населенностей единицы объема. Подста"
ВИВ (28) в уравнение ДЛЯ R zt Найдем уравнение для aN:
· 1 2 ·
!J.N + т;(tJ.N NU)N) t ЕР.
(4t4.29б)
Это уравнение имеет простоЙ сМысл......... соrласно (4.1.10) ЕР равно
поrлощаемой в веществе мощности.
Итак) двухуровневая система ведет себя как своеобразный rарМQНИ'"
чеСl\ИЙ осциллятор с затуХанием T2 связь KOToporo с внешней силой Е
ВавИ СИТ ОТ самой силы со вре:\1еНем инер ци и Т 1. В случае слабоrо П f(Я,
Kor да фактор насыщен и я Q"T 1 Т .2 1, система ЭI{вивалентна ЛИ ней ному
осциллятору.
Маrннтный резонан Как уже отмечалось.. двухуровнеВое прибли-
жение лучше Bcero ОП!-lсывзет частицы со спином 1/2 В МаrНИТНОМ
поле электрон приобретает дополнительную энерrию 4'lt ==.........1-".81
rде ",, маrнитный момент электрона, антипараллельный ero меха..
ническому моменту (спину) В: ::::: (g /Ii) в. Здесь g === 2,002
так называемый g-фахтор свободноrо элеКТРОНЗ t I-to =:: еп/2тс ==
== 0,.927 .1 O '2g эрr/rс атомная единиuа маrНИТОДИПОЛЬноrо момента
(мйёнетон Бора); СПИН обычно выражают в единицах Й: в' == 81ft..
Операторы проекций спина Sa. пропорцнональнь( МаТрИUам Паули..
Т. e $I:=s а /2. Так ИМ образом eC,f{ и n реиебречь от ли чием g от 2 t то
JJ .;:= ........... 1100 11
flt == f1 fj H · о" .
( 4.4 30)
89
...... .... ----- -...... ................. .. ................ ........... I I __. __ ____............... __ __ ________ .... .......... ..
Теперь мы с ПОМОЩЬЮ правил коммутации для О'а (4) можем
леrко найти уравнения движения любоrо йпераТОрЗ4 НаПРН\lер,
ifiи", == t ([а",. ау} н у + (а "'. a ] H ) == 2iJ.1o (Н уа z Н alJ)' (4.4.31)
А налоrliЧНО оп редел яют п ронзводные Д ру rH Х пр оек ЦII Й в рез у ль...
тате уравнение движения для вектора Паули примет следующиЙ
ПрОСТОЙ ВИД (Ср4 (21 )):
..
0== уа х Н, (4 4.32)
rде у ==. 21J,olft ==:: 2л 2)8 [\,1ru/rC 2Upo ffacHuпIНoe OпlHOlueHue.
Так как вектор о: проnорцнонален маrнИТНО у и механическому
моМентам э ектронаt то такой же вид имеют и уравнения для Jt и а,
наnрИ)lер s === ув )< Н.
Последнее уравнение совпадает по фор:ие с классическим урав...
неНием для вращательноrо движения, COrJlaCHO J<OTOPOMY скорость
изменения момента импульса раВНа 10i\'IeHTY сил 11 х "=== 2J.toS х H/li l
действующих на диполь в lаrНrtтнол..1 поле Таким образом., элек..
трон в маrНИТНоМ лоле ведет себя под.обно ВОJlЧКУ ПОД действием
пары сил. В случае постоянноrо маrнитноrо ПOJlЯ (32) описывает
преl ессuю движение вектора MO leHTa ПО конусу BOJipyr Но (рис+ 4.8)4
Частота прецессии 001) f 11 r Но Совпадает с боровекой частотоЙ пе-
реходз (4"1t 22....... fft ll)/Ii..
Однако в отличие от классиЧескоrо волчка наблюдаемый момент
импульса электрона может по !l.:10Дулю (s == ( YS )lJ:?;) принимать одно-
..
единственное значение Ii J; 3;2, так как O :: I t а ero n роекции на
какую д ибо ось два знацени я -r.h)2 (п р 11 от дель ных нзме рени я х) 4
Заметим, что 51 =F: (8)2::: }: (5«>2; HaпpHMep в смешанном состоянии
с равными населенностями ( ==- P21 === О) все три средние проекuпи
равны Нулю, так ЧТО <B :!::::: O
Пусть 1аrнитное поле имеет кроме ПОСТОЯНной СОСТ3ВJIяющей "6
перпеНДИКУJlЯРНУЮ ей пере!\fенную часть "1.. (t). Направим ось х
параллельно lf , а ось z антнпаралдельно "о, тоrда ЭНерrJlЯ
электрона (30) будет ВЬJражаться через операторы Паули:
.9t =::: 9t о + (t) == h ( )OO: + Q (1) ох)/2, (4 4.3З)
r де теперь Q ( () == у н 1.. 3 нак Н oz выбран ОТрИЦатель НЬ[М дл Я Toro,
чтобы индекс 1 относился к ннжне!\IУ уровню У равнения rеЙзен..
берrа снова прини.мают вид (20).
Усредним ЭТИ уравнения по начальной :'dатрице плотности" пе..
реJiдеJ\l к Н8.\f.аrНнченностI'l М =: l-'-оN (а) н добавим релаксаиию:
м J: === jИ+\ /Т 2 + ООо'И у'
1\4 } === ....... jИ ,,/Т I OO Q i\1 х + i ivl ;:: Н J. J
М : -=== (Л1 Q) М )/ТI yH .LMy,
( 4 4 + 34 )
rAe М O) ==. !1o N (О) статическ а я рав НОБе.сная намаrничеНI-lОСТЬ 4<
90
Эта система уравненнЙ,. определяющая I<инетику намаrниченности
пар.амаrнитноrо вещества (ЭJlектронноrо ИЛИ ядериоrо) ПОД действием
постоянноrо и nе.р-емеиноrо полей, называется уравнениями Блоха.
Уравнения Блоха описывают Э<j:фект маrНИтноrо резонанса, т. e резо..
нансное nor лощение радиоволн. Этот эф:Рект лежит в основе Важнейшик
направлений раДИQсnектроскопии электрОНН020 napaMacHUпUlOcO ре..
ЭDнанса (ЭПР), ядернDZО мшниmноео резонанса (ямр) и ферромаzн-uт..
HOZO реЗiJN ан са 4 Леrко убедиться, ЧТО уравнения Блоха ЭJ{вивалентны
уравнениям ДЛЯ матрицы ПЛОТНОСТИ в случае двухуровневой системы,
..".
поэтому все полученные раНее ВЫВОДЫ перенQCЯТСЯ на случаи маrнит'"
Horo резонанса при замене знерrии возмущения d", E(t) на !loOt> " .l.(t)..
Как уже отм:ечалось, часто Ti>T Zt так как (fJz) (Т. е4 энерrия на..
селенности) реJlаксирует в результате лишь неадиабатических взаимо"
деЙствий данной частицы с окружениеМ t например в резуЛЬfзте неулру.
rих столкновений частиц в rазе или спнн-рещеТОЧНОfО (спин"фононноrо)
взаимодействия в кристалле. В то же время для изменения поперечных
KO lnOHeHT (0"1.) (или Р21) не требуется передачи энерrии и поэтому
«время жизни» (a.L) сокращается в результате и адиабатических (спин..
СПИНОВЫХ), и неадиабатических возмущений. Можно СчитаТЬ t ЧТО
возмущения «сбивают» фазу Q)t 2 лрецессии в (15), Т4> е4 aprYMeHT
Р21 и поэтому средние по ансамблю или времени стремятся к нулю:
{а 1. ) .
fJ1ABA 5
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОПТИКА
в лреДЫДУЩ1IХ rлавах мы рассмаТрИвали в ОСНОВНОМ устаНQВlIвшие-
СЯ, стационарные nроцессы взаимодействия ПОЛЯ с веществом Блаrода-
ря релаксации переХодные процессы при Вh:лючении rарМDиическоrо
ПОЛЯ затухают и устанавливается стаIlионарная амплитуда колебаний
зарядов. определяемая восприимчивостью Х. Восприимчивость с yqe--
том насыщения Х (Ео) (СМ. (4.3.19)) определяет отклик вещеСТВа (a [-
плитуду ПОЛЯРИЗЗЦIIИ РО) на квазимонохроматическое ВОЗ1Jущение при
уСЛОВИИ t ЧТО амплитуда Ео постоянна или JlЗJ\lеняется лишь за время,
MHoro большее времени релаксации: '[ Tl, 2. .
В случае слабоrо поля, коrда нет насыщения, вре:\JЯ релаксации
населенностей Тl не иrрает роли 11 условие стационарности имеет вид
т;pT'2. Существенно ЧТО в отсутствие насыщемия уравнения Движе-
ния вещества линейны, и поэтому восприи {чнвость х(оо) определяет
также инестационарные. переходные проuессы. На пр И),lер " отклик
вещества на короткий (T.t T2) И слабый импульс ПРОПОРЦlfонален
фурье образу X(ro)t Т. е. функции rрина X(t)) и представляет собой
набор затухающих СО временами Т 2тn колебаний (CMt (4.2424»). Отклик
На слабый импульс произвольной формы Е (t) определяется сверткой
функций Х (t) и E(t).
Возникает вопрос о поведении вещества под действие 1 сильных и
коротких ИМПУЛЬСОВ. В настоящей rлаВе будет показано, что при ЭТИХ
УСЛОВИЯХ наблюдается ряд не06ычиых оптических MeJ{ToB К ЧlfСЛУ
таких эффектов, называемых lOO2epeHmнblMU l)t относятся, налример
явленяя са.моuн.дУЦUРОдан'НОЙ прозрачносmU t опmuческоео ахо 11 сверх..
излуч.ения. Некоторые из этих существенно нестационарных эффектов
наблюдали в радиоспектроскопии уже сравнительно даВНО t однако
в оптическом диапаЗОНе они были обнаружены лишь после появления
лазеров. Оптические НеетаUИОНарные эффекты помимо общетеоретиче.
CKoro значения представляют большой практический интерес с ТОЧКИ
зрения спектроскопических ПрИЛDженнй 11 для оnтимизаЦJJИ параметров
лвзерОВ j на НИХ основана кozерентная (нестационарная) спектроско-
пия fб4 t 75J Более подробное описание нестационарных эффектов
МОЖНО найти в [27 281 В 5.1 с ПОМОЩЬЮ уравнений Блоха найдено
изменение СОСТОЯНИЯ ДВУХУРОБнеВQИ системы ПОД воздеиствием КО-
pOТKoro резонзнсноrо импульса света. Далее рассмотрено собственное
излучение одноrо атома ( 5't2) и ансамбля из N атомов ( 5.3) при раз
ЛИЧНЫХ началь ных УСЛОВИЯХ..
1) В настоящей кн Jre :вместо м ноrозначноrо 7ермина скоrерентный» ИСnО l Ь3 уетсВ
Tf р МИН «н ест а цион ар МЫ Й:t t J< отор ЫЙ 'i'ОЧ нее оп редел.я ет сущность р ассмз тр и В а емых.
я.ВJJ ен н А t
92
5",.. Вынужденные нестаЦИQнарные эффекты
Рассмотрим реакцию двухуровневой системы на деЙствие 1<вази...
rармоническоrо возмущения конечной длительности. Для простоты
примем, что оrнбающая импульса имеет ПрЯJ\10уrольную форму с дли-
тельностью "t T 2. так что можно пренебреч ь п роuессами рела ксации
11 использовать уравнения для матрицы ПЛОТНОСТИ Рт п ИЛИ эквивалент-
ные уравнени я Блоха дл я R -== {2Р;1' 2р;! Рl1 P2:!} пр и Т 1, 2 00. При
этом уравнения Блоха (4.4.22) совпадают ПО форме с уравнениями rей-
зенберrа для оператора lJ (44442]). Иначе rоворя на интервалах Bp
мени, MHoro меньших характерных времен взаимодействия CIfCTeMbI
с окружением, ее можно считать изолированной и описывать не с по-
"ОЩЬЮ кинетических уравнений, а с поl-t10ЩЬЮ уравнения Шрединrера
дЛЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ уравнения Неймана ДЛЯ p(t) или уравнений
rеЙзенберrа ДЛЯ операторов.
мы уже решали эту задачу с поrwl0ЩЬЮ уравнения Шрединrера
в rл. 2" rде определили амплитуды ВО3ft.lущенных СОСТОЯНИЙ cmп(t} и
вероятность перехода Р rnn == IC mn 12 для мноrоуровневой системы в пер-
вом порядке теории возмущения. Однако в случае двухуровневой сис..
темы нет неоБХОДИ 10СТИ nредстаВJ1ЯТЬ решение в виде ряда теОРJ.IИ
возмущения.
А ТОМ как fИроСКОП. И спользуеl\:I Har ЛЯДное reO)1eTp 11 ч-еСI{ое предста В..
дение MrHOBeHHoro состояния системы с ПОМОЩЬЮ вектора Блоха Rt
который соrласно (4.4 22) ведет себя аНЭJlоrИЧНQ моменту импульса
тела с закрепленной точкой:
R== Rx А;
(5.1.1)
здесь A {2d (t)/ft, O,OOo} BeKTOp эффективноrо поля) d o ==. d 21 ==dl'2
ДIIПОЛЬНЬJЙ MO!\'leHT nереХОД3 t который полаrае"-1 вещественным и
параллельны t полю Е (t), roо частота перехода Уравнение (1) со..
храняет длину вектора R, которая в случае чистоrо СОСТОЯНИЯ
равна единице. При ЭТО I конец вектора R движется ПО поверхно..
СТJI единичной сферы
Рассмотрим траеКТОрllЮ этоrо движения ПОД действием квазимо...
нохроматическоrо поля
Е (t)::::: (1/2) Ео (t) e (шt + ifJ!1t + K с.
Перейдем к систе Iе координат, вращаюшеЙся с частотой поля u)
BOKpyr ОСИ z:
Р ....... Р е ((.I)t
21....... О t
R:( с::: R 0:( cos oot + RO:J sjn rot"
Ry == ....... Ro sjn rot + Roy cos O)t.
Пусть выполнены условия I ы ю о I root' doE fJ <- n-fJ)fР 'for да при...
.Iенимо приближение вращающеЙся волны lJ функции Р.. (t)t Ro (t)...........
медленные (по сравнению с e--iU}t). Эти (рункuии имеют простой фи-
зический сысл.........онии определяют амплитуду и фазу среднеrо ДИ\Io
93
(5.1.2)
польноrо момента: <d> == 2d o p;1 ==:: doRA' Поrлошаемая ИЗ внешиеrо
поля МОЩНОСТЬ проnорциональна Roy (1) (CM (12)).
Нетрудно убедиться, что в приближении вращающеЙся ВОЛRЫ
у равнен Не движени я (1) пр ин имает ВИД
Ro -=:. Ro х f!t
(5+ 1.3)
rде
Ro { , 2p;t Дl,
Q == {Q COS lV а , Q sin qJQt юо...........ro} ,
== p[1 P22 Q==doEolfit
(5.1t4)
qJo- начальная фаза поля в центре атома; в случае ПЛОСКОЙ волны
<РО kz + <))1. Напомним, ЧТО мы для простоты nолаrае!\1 матричный
элемент перехода вещественным. В общем же с.пучае Oi arg (d 21 · Eu).
Таким образом, ПОД действием rармоническоrо ПОЛЯ вектор Ro.,
nредставляющий состояние систеМЫ t вращается с частотоЙ Q ==
[Q2 + (O)O (O)':!Jl/2 BOKpyr направления «эффеКТIIВ1Iоrо» ПОЛЯ О
RJ'
4 !
Рис+ 5+]. НУТ3UИЯ BeKTOp Вдоха Я. Под действием МОНQхроматичеСt\оrо ПОL1tЯ R
одновременно с прец иеn Dраща я BOKpyr напра&1ения KTHBHoro полк n
с частотой мутации Q: а) система координат вращается с частотой nод.я 00; б) нелод
ВИЖИ8Я система КООрДИНаТ; СfЫl0шная 'ИНИЯ ТОЧНЫU резонанс, штриховая
U) r= wo
рис. 5.1} Эrо медленное вращение называется Hymaциeй ОНО до..
бавляеl'СЯ к быстроЙ вынужденноЙ прецесснн с частотой поля ro
Иначе rоворя,. уrол преuессин {t (t) (CM (4.4.24)) медленно меняется
в течение действия импульса. так что изображающая точка описы
вает спи раль на СеРе ре с ПОСТОЯ иным ради yco\t R ( '! + 4 , Р:н I ) 1{2:
В резоНаНСНОМ случае, коrда (oo oo I Qt ось нутации !! Л ЖНТ
в экваториальноЙ плоскости. Если при этом начальное СQCТQЯНJ1е
эиерreтическое, Т. е. R (О) лежит на ОДНОМ из полюсов и "(О) == О
94
или 31,. ТО R движется под. действием поля по меридиану с долrо-
ТОЙ q>o;l= л/2.
В не резонансном же ел у чае (1 0)0 u) I ?> Q) ось н утаци и почт 11
параЛJlеЛьНа оси Zt так что KTOp R ДВI.Jжется примерно. ло ши..
ротам с уrловой скоростью Q {UО Ю во вращающейся CllCTeMe
координат J T е. со скоростью (О О В неподвнжной СJlстеме.
ПрактичеСКН 1 конечно, оrибающая поля Eo(t) нарастает и убь[-
.....
i3зет постепенно, ПОЭТО1vlу частоты Q 11 } ЯВЛЯЮТСЯ медленными
функциями временн. При ТОЧНОМ резонансе (ro ooo) изменение уr.пз
преиесСJlП определяется «Л61'IОЩ8ДЬЮ» Н.\fпульса [271:
J t
u(l) i} (0)== SQdt==doS Eodt/Ii: (5.1.5)
о о
Фаза ПOJlЯ fPo считается постоянной. T е. предполаrается ЧТО имеет
место лишь амплитудная модуляuия
Отметим, что уравнение (3) дает реuепт приrОТQвления ПрОНЗБDЛЬ-
Horo чиетоrо состояния системы (с заданнь[ми «ДQлrотой» и «широтой»)
с ПОМОЩЫО KorepeHTHoro поля сперва надо охладить систему) T е.
перевести изображающую точку на южный ПOJIЮС а затем nодейс.тво-
вать на нее резонаНСНЫNl И""IПУЛЬСОМ с определенными площадью 11
фазой. .
Аналитическое решение. В случае Eo==const процесс нутаuии не..
трудно представить в алrебраичеСI{ОМ виде ПУСТЬ например, началь-
ное состояние стаuионарное (Т. е. изображающая точка при t==O
находится на ОДНО.\-1 нз ПОЛЮСОВ) и ЧJо==О, тоrда (3) удовлетворяется
следующими ФУНКllИЯМИ времени [271
Rux (О) 2Q ( o ы) sin Z (Qt/2),
Q2
о ...
ROil == А (О) а sin (Ш). (5.1.6)
Rz =-= (О) l 1 ........ :Q! sin 2 ( 1! /2) ] 4
iJ2
Последнее равенство можно интерпретировать в терминах вероят-
НОСТП перехода. Пусть CHCTe:wa находнлаСh на нижнем уровне (а (O)
== + 1), Tor да вероя тность перех ода вверх Р равна Р2:! == ( 1 R z)/2 и из
(6) получаем фор.мулу Раби:
r ] J
р == _ Q sil1 (Ш/2) .
(5.1 7)
ОтмеТП!\f t ЧТО пр н Q 000 (u I (7) : совпадает с вероятностью пере..
хода (2 2.8) на йденноЙ с ПО "]ОЩЬЮ теории возмущения:
Р r Q ( 000 ffi t ) J 2
....... ) n
_wо ш 2
(5 J .8)
95
и что если найти из (7) скорость перехода W:=d Pldt и усреднить ее
по экспоненциальному распределению времен взаимодейсТВия (ер.
конеи 242)'$ ТО получится выражение эквивалентное фор. муле (4.3.20)t
описывающей стационарное поrлощение с учетом насыщения (при Т t ==
==Т J.
ITaK, КJJaНlповая cиcmeJ.ta под действием резонаftСНоео возмущения
перuодически переходиm с нижнеео уровня на верхний и обратно
1 р (рис. 5.2). Время перехода cor.
лаСКQ (7) составляет
Эту картину следует сравнить
с представлением о MrHoBeRHblX
",квантовых скачках», ПРИНЯ1ЫМ
на первых этапах развития кван-
t ТОБОЙ теории.
Пусть переход с d o -=: 1 Д
вызывается МОЩНОЙ ПЛОСКОЙ
ВОЛНОЙ С ПИКОвой интенсив-
ностью 1 rBr/CM 2 , тоrДа Ео==
=== 1 МВ/СМ и из (9) следует
t 1t == t ос. Это Время в ряде слу-
чаев MHoro меньше вреМени ре-
лаке а ции t так ЧТО используемое п рибл ижение Т 1 2 ::= 00 оп ра вдыва-
ется.
В случае же оБычныIx оптических -экспериментов tл Т).! и BeK
тор R (/), изображающий СОСТОЯНие двухуровневой частицы на
. сфере, не успевает далеко ОТОЙТИ от южноrо полюса до очередноrо
«столкновения» с сосеДНИМИ частиuами, которое возвращает R
обратно в равновесное положение с Rl. -= O в результате в среднем
устанавливается динамическое равновесие с определенным. сТаUИО
нарным уrлом прецеССНII (4.4.24)4
Заметим, ЧТО амп литу да поля, неQбходимая для стаuионарноrо
насыщения Е a fi/dl) V Т 1 Т 2 (см. (4.3 15)), не превышает по порядку
ЗJ.fЛЛИТУДbl lIМПУJlьса, необходимой для наблюдения KorepeHTHblX
Э4}хРек ТОВ:
4. f
",...,..,
\
\
\
,
,.,...,
,
I
I
,-
о
hjиpEo
Рис.. 5 2 Зависимость верОЯТНОСТИ пере-
жодз от sремени cor.iJ8CHO форМУ lfе Раби в
tJlучае 7Qчноrо резонанса (сплошная пи
IiИЯ) 11 при ro :;;;:: УЗ Q (штриховая ли..
ния)
l ttt яjQ == лfi1d о Е о .
(5. 1 О)
ED Ii/d.TII
(5.1.10)
Иначе rО80рЯ, поле t успевающее 8blЗ8аmь переход за вреМЯ J МНОСО мень..
UJee времени релаксации, при длительном воздейсmвuи вЫЗbl8ает силь
ное NaCblU.{eHue.
Нllже будет рассмотрен РЯД экспериментальных методоВ наблюде..
ния нестационарных эффектов.
СЭффект нутацнн. Пусть на раВl{Овесную двухуровневую систе {у
паДает электромаrнuтная ВDлна с амплитудой Ео и резонансной ЧаСТО"
'Той 00 =;=: 000. На и итервалах вреf.tfеНИ t<{T 2 откли К системы описывается
g6
уравнением (З)t соrлаСНQ которому вектор БIТlоха R, изображающий
MrHOBeHHoe состояние системы, испытывает аналоrично ВОЛЧКУ нута-
llИОННое движение" Т. е+ периодическое изменение уrла прецессии -а.
с частотой Раби Q:::::doEo//i.. При точном резонансе R движется по ме..
ридиану от ЮЖНоrо полюса
(состояние равновесия) че
рез экватор (KorepeHTHoe
состояние) к северному по...
люсу (инверсия населенно...
стей) и обратно с уrловой
частотой Q.
Очевидно, при движе.
НИИ вектора R вверх, к ce
веру, средня я по ансамблю
энерrия системы у величи.. ь/аоЕо 72
вается за счет ЭНер rи и ВОЛ" Рис. 5.3. 3tt*KTbl nере О;IИОЙ Оnl'нче<::кой и ута..
НЫ, И В момент" коrда {} ==.: ЦИИ И затvхания свобоДНОЙ паляризаu.ии. Пе--
реди ий фро н т резо н а н с Floro и м п у л ьс а (штри х о---
:=:= Qt ==п волна в среднем вая J1 и ния) вызывает в веществе переХQДНОЙ про-
теряет рОВНО один квант цесс.......... "утаUНЮ t КотораЯ приводит к модуляции
энерrни по) . При последу-- интеНСИ8НОСТИ Прошедшеrо света J (/) (сплошная
ющем движении R ВНИЗ К линия) с частотой Раби (а:. коэфф-ици-е.ит nor---
пqщ-ения с учетом насыщения, l то.'1щнна слоя,
юrу t система издучает за.. т z время полерf'ЧНОЙ рел.э сэции) На заднем
пасеНИую знер rию обра ТНО. фронте выходноrо импу льса наблюдается «XBoc.'D
В результате волна Qказы.. БЫЗ2аИНЫЙ свободной пр-еп.есс.ие.й по,!lяризацип
вается nромоду лированноЙ
по амплитуде с частотой нутаuии Q (рис. 5.3). В случае Достаточно
большоrо числа аТОМОВ МОДУЛЯЦИЯ прошедщей через вещество волиы
достиrает lOO явление периодическоrо изменения MrHOBeHHoA
оптической плотности вещества называется эqфекТQМ оnтцческой ну..
таЦlJU..
Найдем поrлощаемую веществом мощность. Соrласно (4.3+18) поля-
ризаuия вещества с; плотностью двухуровневых атомов N равна
р:::: 2d oN P l :::: dr, Л/ (R 0.:( cos фi + Ro!! 5jл wt) :::= Ре cos ro/ + Р s sin rot,
(5.1tll)
J(tJjIo
J «r
.... ...... ,
т
rде мы -ввели синфазную Ре и квадратурную Р} амплитуды поляризации
(пола r аем Ера ==0 И Е;;;;;: Eucos oot) Из (4 1. ] О) следует, что средня я за
период 2л/оо МОЩНОСТЬ потерь в единице объе!\1а вещества определяется
квадратурной компонентоЙ поляризаЦИII;
.? (t) == (iJEIIP s (t) == (lJ dllEIIN Ro y (t)/2. (5.1.12)
Отсюда с ПОМОЩЬЮ (6) находим
fJ (t) == ,ы!1 (О) Jt,[Q s i n (Q /)/2..
(5 I lЗ)
Э:rОТ результат соrласуется с nроведенным выше качественным рас..
смотрением лоле и атомы периодически обмениваются ква нтам,"
энерrии. Подчеркнем, что поскольку при t T 1,2: релаксация не успе
4 д. Н. клы t) 97
вает ПРОЯВИТЬСЯ t то. истинное поrлощение необратимая дисснпацня
энерrии в термостате здесь отсутствует.
В дальнейшем, при t>T1 2t амплитуда нутаuии атомов из.зз про.
иессов релаксаuии уменьшается и устанавливается стационарный уrол
"рецессии (4.4.24). При ЭТОМ поле испытывает обычное поrлощение t
описываемое ПО формуле (4.1.12) МНИМОЙ ч.астью ВОСПРИИМЧИВОСТИ t
МОДУЛЯЦИЯ прошедшей ВOJJны исчезает, и ее амплитуда соответствует
закону Буrера с учетом насыщения (СМ. рис 543 и 6.4).
Если теперь резко выключить nоле то вещество продолжает в те--
чение HeKQToporo времени светиться (рис. 5.3) из-за свобоДНОЙ прецес...
сии вектора R; при этом вещество находится в KorepeHTHOM сверхuзлу-
чающем СОСТОЯНИИ ( 5.3). Этот эффект называется затуханием свобод..
ной 1Wлярuзацuu+
В случае неоднородноrо, например доплеровскоrо,. уширения при..
веденные формулы относятся ЛИШЬ к небольшой rруппе атомов с опре-
деленной проекцией скорости. Для нахождения общей поляризации
их необходимо проинтеrрировать ПО распределению Максвелла.
Э<fфект оптической нутаuии можно использовать ДЛЯ определения
дипольноrо момента перехода по наблюдаемой частоте модуляции Q
и Д.1IЯ изучения процессов релаксаuии по скорости затухания модуля-
ции.
Самоиндуцнрованная прозрачность. Рассмотрим далее взаимо-
действие с двухуровневыми атомами коротких резонансных ИМПУЛЬ
СОВ С дл ительностью т Е Т 1, . Cor л зен о ( I З) так не ИМПУ ЛЬСЫ пе-
редают единице объема вещества энерrию
ТЕ
G == .? dt == пО) L\ (О) N sin (Q. Е/2).
о
(5.1.14)
Пусть, например, т Е ==2лJQ,. Т. е4 ЕОТ;Е===2лА!d(j так называемый
«2n"ИМПУЛЬС»t тоrда /!==о 11 Иl.fnУЛЬС Должен проходить через вещество
без поrлощения! это лредскззание теории кажется парадоксальным
совершенно неnрозрачное 8 обычном СМЫСАе вещесm.бo свободно nропускает
достаточно короткие u МОЕцные импульсы. .
Рассмотренный эфрект, получивший название самоuндуцuрованной
nрозрачностu (СИП) или самоnросветления, действительно на6люда
ется в эксперименте (ero надо отличать от зф:ректа насыщения, при ко..
тором также наблюдаются отклонения от заКОНа Буrера). Влияние
вещества на поле здесь "роявляется лишь в уменьшении скорости рас-
пространения и искажении формы импульса. Существенно однаКО t
ЧТО при ЭТОМ «площадь» импульса {t==Qt"E (СМ. (5)) остается равной 2п.
Качественно СИП можно объяснить следующим образом: первая
половина падающеrо на вещество импульса (6==:=л:) поrлощается ато..
мами,. которые переходят в возбужденное состояние с инверсией на...
селенностей, однако вторая половина импульса «снимает» эту инвеРСИЮ 1
так ЧТО nоrлощенная энерrия KorepeHTHO возвращается ПОЛЮ ОтмеТИАf
здеСЬ t что облучение вещества короткими п импульсами является при..
мером неетзuионарноrо меТОДа создания инверсии населеННQCтей R
двухуровневых атомах.
98
Для количественноrо описания СИП необходимо рассматривать
совместно неоднородное волновое уравнение и уравнение вещества,
Т4 е. уравнения Максвелла и Блоха (CM. Например,. [27]). Из TaKoro рас-
смотрения следует. что скорость распространения 2n"ИМПУJlьса и
определяется ero «длиной» ct l И коэффиuиентом обычноrо поrло
щения aiJ следующим образом:
с/и =- 1 + f:Xol!2. (5.1.15)
Таким обраЗОМ t чем длиннее ИМПУЛЬС t тем больше ero задержка; на-
пример, пр" TE;:;::::l не (1==30 см) и а6==10 2 CM I импульс замедляется
на три ПОрЯДКЗ4
Интересным результатом теории ВОЛН в нелинейных средах ЯВJ1яет-
ся nредеказание существования СОАиmoН06 стабильных импульсов.
форма н амплитуда которых не изменяются в лроцессе распростране-
ния [73Jt в случае двухуровневой нелинейности солитоны имеют <t>oрму
rи пербол ичеСКОfО сека нса:
Во ('t) == (21i';d o 't E ) sech (Т/1" в), "t == t zlи. (5..1.16)
Леrко проверить. что (16) является 2л-импульсом, т. е. 5 dt Ео ==
== 2лh(d о .
Из (14) следует" что 4:rt.. ИЛИ t вообще t 2пn.имnульсы также не
испытывают поrлощения. Соrласно ВОЛНОВОЙ теории такие импульсы
в проиессе распространения распадаются на отдельные стаБИJ1ьные
2П"СОЛИТОНЫ4
Отметим,. что СИП имеет место и при неоднородном уширении пе-
рекода (например, Ifз.эа эqxpeкта Доплера в rазах или неоднородных
статических полей в твердых телаХ)t коrда 2/6ы ==- T; T2. СущесТ-
вeHHO t ЧТО ВЫПOJIнение условия T T; не является необходимым. СИП
наблюдается также в полупроводниках при межЗ0ННЫХ переходах..
5.2 Собственное ИЭJIучеНие атома
Пусть на равновесную двухуровневую систему подействовал
резонансный зt/2",импульс, имеющий длительность Т Е == л/2Q. В СООТ'"
ветствии с (541.3) к КОНЦУ импульса система перейдет в KorepeHT"
ное состояние с координатами '6 == ч' zz:;;;; 1[/2 на сфере Блоха (пола-
raeM начальную фазу поля ({)о == О). НаПОМНИМ t что в KorepeHTHOM
состоянии эиерrия KBaHTOBoro ансамбля не имеет оnределенНоrо
значеНИЯ t при измерении она принимает значения О или liro o слу-
чайным образом при среднем значении в половину кванта: <с ==
=== <g( ,> ti(J)J2, если отсчитывать энерrию ОТ НИЖНеrо у ровня.
Соrласно (5 1.6) матрица плотности атома после ПрОХQждения
:n/2 импульса имеет следующие элементы:
Р21 (t) ::::: iб (О) е'" iw,t /2, 11 (t) ::::::: Рl t ........ Pi2 == о. (5.2.1 )
Отсюда следует, что средний дипольный момент атома осцилпирует
(СМ. рис. 2.1) с частотой перехода ю о :: 0021 И амплитудой, равной
4. 99
матричному элементу перехода d o == d 21 (полаrаем d 21 == d 12 И 6. (О).==: 1):
<d (t» == 2doP;1 (t) == d o sjn (iJot (5 2+2)
И3JIучение диполя. Учтем теперь собственное излучение атома .
которым мы до сих пор nренебреrалн+ Как уже Qтмечалось в Э 2.5"
спонтанную передачу энерrии атома ЭJJектро",аrнитному вакууму МОЖ--
НО рассматривать как релаксацию с характерным временем ТI===Т2/2
l-"A J rAe А скорость спонтаННоrо перехода н I/A ........... излучательное
время жизни 80збужденноrо состояния. При этом вакуум иrрает рОЛЬ
термостата с нулевой температурой н бесконечной теплоемкостью.
Спонтанное излучение является лростеЙшей квантовой моделью He
обратимоrо nроцесса4
Рассмотрим спонтанное излучение осuндлнрующеrо ДИПОЛЯ (2)"
исходя из полуклассических преДставлений Из уравнений Л1аксвелла
следует, что средняя по времени МОЩНОСТЬ. излучаемая движущимися
зарядами, в ДИnольном приближении равна 126]
........
53 == 2d лJ3сЗ t
(5.2.3)
Если отождествить здесь d K , и <d)t То мы получим заниженную
в два раза МОЩНОСТЬ (по сравнению с предсказаНllем квантовой
r
электродннамики см. НJ-Jже)t Поэтому будем nолаrать dкз;=== . 2 <d>.
Tor Да
5' lI.or == 4 <а> z / 3с 3 == 2 w:.d: /3с 3 .
(5 2.4 )
ПОЛУК,,1JаССltческая теория nреДСI{ззыв.ает кроме порядка величины
общей МОЩНОСТИ CnOHTaHHoro излучения также ero лолярнзаuию JI Дна-
rрзмму направленности. Например, для элеКТрОДИпоЛьноrо перехода
ПО Тlе в волновой зоне равно
Е (, t () == <d (t ')/c'!r t
(5.2.5)
rlle d.L проекuия диnо.пьноrо МОJ\ofентз на перпендикулярную r
плоскость н t' t r/c. Отсюда диаrрЗ)tма направленности имеет
обычны й «дилольный» вид 5' s i п 2 {t r де {t уrол между r и < d>.
ОтмеТИ1\f) ЧТО атом в ИСХОДНО KorepeHTHOM состоянии излучает поле
с определенной фазоЙ. Это 0значаеТ t что второй, невозбужденный атом
на расстоянии r ОТ первоrо может с неКQТОРОЙ вероятноеТЬЮ 1 проnор--
циона 4r 'lЬНОЙ T 2, перейти в коrерентяое СQстоянне с фазоЙ преиессии,.
сдвинутой на fiJof/C. .
Вероятность CnOHT3HHoro перехода.. Излучение (4) приведет к "o
степен ному умен ьшен ию за n асенноЙ энер r в lJ И ам пл и ту ды осuнvт..П Я ци й
диnольноrо момента, так что система в коние КОНЦОВ перейдет в ОСНОВ-
ное состояние. При этом вектор Блоха R будет описывать сходящуюся
к южному полюсу СЛf[раль (в неподвнжной системе координат) н аМnли....
туда ОСUИЛЛЯЦИЙ днлольноrо момента {d} в (2) и (4) будет медленно,
ТаК как A ыo затухать (РИС4 4 9) Аналоrичная ]{зртина H\teeT место
и после возбуждения систе.'-.fЫ любым И\1ПУЛЬСОМ, кроме лп Jf 2лп им--
пульсов, которые ДаюТ {d)==:O+ Итак, атом 8 н.ес/пацион.арноМ состоя.нии
100
обладает осциллuрующuм. дuпольнbtМ МOAfeHтOM и сozласно J(./lllССUЧ2СКQU
элек.mродuн.амuке спонтанно излучает квазuм.Оfiохро.маmическую волн.у
с частотой, равной ч.аспюте перехода u)o- При ЭТОМ уrол предессни из за
излучательных потерь энерrии постепенно стре IИТСЯ к нулю,
ПОJJУКЛ ассическое вы ражен не (4) ДЛ Я ИЗ..тJучаемой в к оrереитном
СОСТОЯНИИ tiОЩНОСТИ ? .ь=оr позволяет оценить вероятность сnонтан-
Horo перехода в единиuу времени А + Для этоrо постулируем, ЧТО
МОЩНОСТЬ излучения атома затухает по экспоненциальному закону:
51 (t) -= ? (О) e А t t (5 2.6)
TorAa полная энерrИЯ будет
ж-
е == J (') ds== 5' (О)/А.
Приравняв ее ИСХОДНОЙ энерrиИ 810ма fi(jjJ2, найдем с ПОМОЩЬЮ (4)
следующее выражение:
(5.2.7)
А == 4(1} :/зАс: ,
(5+2.8)
которое совпадает с результатом более послеДQватеЛЬНоrо расчета
(9 7 7)+
Проведенное рассуждение t кроме nроизвольноrо численноrо
коэффициента 1). обладает двумя более существенными недостат-
ками OHO не дает экспоненциадьноrо закона распада и предска...
зь[вает устойчивость возбужденноrо энерrетическоrо состОЯНИЯ
( lt р:н--О), В котором <d(t)===O.
Можно попытаться исправить nоложение t подстаВН8 в (3) <d!>
вместо <d)24' Но оператор d 2 nропорционален единичному опера-
тору:
d! ( О do ) ( О df; ) :::::: ( d
C4J о d o О) О
& ) == dб' ,
(5.2.9)
поэтому (tf2}==d незаВИСИМО ОТ состояния атома ЭТО следует также
сразу из (4.4.4). Например) aTO 1 при ЭТОМ должен излучать даже на..
ХОДЯСЬ в ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ) что противоречит закону сохранения
энерrнн Вместо устойчивоrо БQзбужденноrо СОСТОЯНИЯ tbI л ,учнли
неустойчнвое основное4 ЭтИМ же недостаТКОМ обдадает и распростра-
ненная интерпретация спонтанных переходов как вынужденных нуле-Ф
БЫМЛ; фJJуктуациями вакуума.
Последовательная теория СПонтзнноrо излучеНИЯ t как и вообще
статистическая оптика, должна ИСХОДИТЬ И3 квзнтовоrо олисания ПOllЯ
( r л . 7) .
ОНОРМЗJIьно-упорядоченное излучение. Однако правильное описа-
ние спонтанноrо излучения можно получить и в pa Kax полукласснки,
заменив в (3) квадрат дипольноrо момента на средНее от нор..,1Шдьно-
1) н апомним. что мы ПРОИ3ВО..1Ь но nО 10ЖИДИ отношение dk /<d> У .2:
101
упорядОЧJ!ННOi!Q квадрата ( 74>7):
5J::::: (2/3с3) <:(d):"> == (4/3c S ) <(i} )a(+ ).
(5.2 1 О)
Двоеточия означают nроцедуру НОрМЗJlьноrо упорядочеНИЯ t в pe
зу льтате которой nОАQжumeльно..часmоmNblе операторы '. +} раСПОJJ а
rаются в произведениях правее оmрuцаmeльно-часпюmных g{ }. ПО
определению оператор "+) в представлении rейзенберrа содержит
lIИШЬ rармоники с положительной частотой:
f(+)(t) fnехр( i(Unt)t Ы п > о.
tl
АнаJIоrично фурье-образ операТора g( J (t) отличен от нуля лишь
ДЛЯ отрицательных частот.
Любой оператор можно представить в виде суммы положительно-
н отрицательно-частотных частей (постоянную составляющую ис-
ключаем И3 рассмотрен и я): d d t + I + d t i причем в сл учае эрмито.
вых операторов d{+J == (d( })+ Отсюда
:d 2 : == d(+) + 2d( 'd( +} + d( )2 == и< )d{+ > t (542.11)
8 ТО время как соrласно (9)
d i = d( +J + d( 4orJ d(+) + d(+ )d( ) + d )Z::::: tЦ/
(ниже будет показано" ЧТО d(:!:)2:::::: О).
В процессе СПОНТ8нноrо перехода можно приблизительно пола...
rarb зависимость d (t) в представлении rейзенберrа невозмущенной,.
так как А <.{ooQ:
( О ехр ( iroot» )
d (t) == do ехр (i@ot) О I
(5 2.12)
(54)2 13)
rдe d o === d 11 -= d 12 , 0)0 == (011 > о. Отсюда а:::::: ..........oo:d и по определению
d( + I (t) =< d o ех р ( i((lo t) ( ) == d оО( + (t).
d( ) ([)""" d o ехр (iwol) ( ) == doo H (п.
тде O<z) == O :t: io- y (9 4.4). Перемножая ЭТИ матрицы, находим
:dZ: == 2d ( ) == d (l oJ); (5.2.15)
напомним, что d -= df}G.t. В оправдание введен ной здесь п роцеду ры
укажем, что именно нормально упорядоченный квадрат поля
Е( } Е t + I .........d{ ) d{ + t оп редел яет «полез "ую» энерr ИЮ,. которая может
быть nor лощена др уrиМ а ТОМОМ (9 7. 7) 4 Заметим также, что эта
процедура исключает необходимость BpeMeHHoro усреднения ПО вы-
сокочастотным осцилляциям МОЩНОСТИ (СМ4 (3))+
Из (1 О) с учетом (15) следует ? =- 2(jJ dJ < I (f z> /3с 3 ! ИЛИ
.? "'" il юоА P ! · I
(5.2 14)
(5 2t 16)
102
Подчеркнем" что этот результат справедлив для любоrо СОСТОЯНИЯ
атома, в ТОМ числе чисто энерreтиЧескоrо или коrереитноrо. В по...
еледнем случае Р2.2 ;+ J /2 и ( 1 б) совпадает с (4). И так, AfDЩНОСtnb
сnон.тан;ноео излучения двухуровневОёО атома 8 данЮJJй ..момент ере.
яен.и nроnорциОnQльна населенности верхне20 уровня 1).
В СИJ1у закона сохранения энерrИИ ДОЛЖНО, очевидно.. выпол-
няться равенство
Iiro,А =: 2S'J
(5.2.17)
Коэффициент 2 учитывает то, что разность населенностей изменяется
при каждом переходе на 2.. Отсюда, заменив в (16) Р" на (1 )/2,
находим кинетическое уравнение
А = (1 ......... L\)T / lест" т lест == 1/ А .
(5 2.18)
Таким образом, мы подтвердили экспоненциальный закон распада
(6) воз6ужд€нноrо состояния:
А (t) 1 + [ (O) 1] e At.
(5.2.19)
Более crporoe описание взаимодействия двухуровневой системы
с вакуумом можно получить, подставляя в уравнения rейзенберrа
ДЛЯ вектора Паули (4.4.21) в качестве внешнеrо поля собственное
поле излучения нулевоrо приблuжения поле реакции (подробнее
СМ. [27])+ Такие уравнения описывают известный из классической
электродинамики эq:фeкт пюрможенuя излучением [2б]t При ЭТОМ
ДЛЯ O'z получается уравнение вида (18), а ДЛЯ а(:i:) уравнения rap-
моническоrо осциллятора с собственной частотой (1)0 + бы + iA/2,
r де 00......... поп равк а к частоте пе рехода, называемая сдвИ20М Л ембll;:
&и ""А ; например, ДЛЯ резонансной линии La, атома водорода
&u/2:rt 1 о» fu. Мнимая часть поп равки к ч астоте перехода имеет
смысл обратноrо времени '/Т2 попереЧНОЙ релаксации за счет реЗК"t
ции излучения. Таким образом, ДЛЯ изолированноrо атома Т 2е с.т ==
:::::. 2Т Jec-r -::::== 2/ А
Связь СПОНТ8нноrо и теПЛО80rо НЗJlучений Cor ласно полуклас-
сической теории атомы лри спонтанных лереходах излучают экспо-
ненциальные «цуrи» ВОЛН. Поле при этом имеет вид
Е (t) == е (t) Е ue At/2 cos (ooot + rpo)
(5. 2 20)
rде в (t) ступенqатая функция Хевисайда. Фурье образ (20), опре-
деляющий спектральный состав излучения" имеет лоренцеву (или
дисперсионную) форму:
Е ( ) (Ео ( ехр ( ifPo) + ехр (i,o) )
00 411 ro fйt)+ iAj2 (d +!Щ8+ iA/2 ·
(542.21 )
1) этот ИblВOД очевиден в обозначения х Дирака:
0< + ) :::;;;;; 11 > <2 1, 0('" J [ 2) < 1 1, 0(.... )о{ + } == I 2> <2 I J < ot ..... )(Ji + » Р2!.
103
1
j
,
,1
4
!
:t
,
1
.,,"
11
,
.
'1
,
..;
.
j
-t
I
1
.
J
'i
.
I
,
i
"]
Аналоrичный результат получается из квантовоЙ теории. Ширина
спектральноЙ ЛI[НIfИ аи ес r ==А t обу словленная спонтанным излуче..
HlleM назъ[ ва ется естеСlfюенной.
Реально наблюдаемые спектры излуч.ения создаются обычно боЛЬ
ШН l ко..Т(ичеСТВQМ aTO 10B) возбуждаемых в случайные моменть[ времени
в СОСТОЯНИЯ СО с..rrучайной фазой (противоположный случай, ЛрИВОДЯ
ЩИЙ К эффеКТУ сверхнзлучения, будет рассмотрен ниже). Налрпмер
в HarpeTOM rазе при низком давлении атомы возбуждаются в резуль
тате столкновений дру r с друrом. В !\10мент столкновения на атом дей"
C ByeT импульсное поле соседнеrо aTO 2} которое изменяет ero сОСТОя....
ние в соответствии с общими фОрМУtJ1ами теорНII возмущения (9 2.1).
После столкновения атомы соrласно полуклассической теории излу
чают экспоненциальные цуrи воли вида (20) со случайными начальными
фазами. Средняя длина цуrов опреде..fIяеТСf( спонтанным временем
жизни 1/ А или временем между еТО..1JКНQвениямИ 1:"4
Обычно радиационное охлаждение rаза компенсируется внешним
подоrреВОМ t так ЧТО сулерпозиuия множества uyroB образует стацио
нарное поле теПЛQвоrо излучения. 8 случае малой оптической ТОЛЩИНЫ
rзза (ctl 1) ero интенсивность будет про порц иональна насеJlенности
верхиеrо уровня. Если же al l, то надо учитывать кроме спонтанных
также и вынужденные переходы приводящие к поrлощению и после..
дующему переиз.пучению фОТОНОВ (э<рфект пленения uзлученuя) В пре-
деле Cll?>1 внутри rаЗ8 устанавливается равновесное планковское из..
лучение. В S 7.1 будет дана простая количественная модель этоrо про-
цессэ,. охватывающая также случ.ай усиленноrо спонтаННQrо излуче-
НИЯ при а<О.
Об излучении дробных долей фотона. Отметим здесЬ любопытный
парадокс кажущееся противоречие между нашей теорией If nРИВЬ[Ч
ными фОТОННЫМИ представления-ми. В коrереитном состоянии с уrлом
прецессии f} cor ласио (5 1.14) запасенная атомом ЭНерrия li ==
==:;t6)osinZ({t:/2). В результате слонтанноrо излучения эта энерrия через
какое-то время будет передана ЛОЛЮ НО на фОТОННОМ язь[ке ЭТО озна
чает излучение атомом ДОЛИ фотона, равной cClпFroo sjnZ({}/2). Напри-
мер, по('де возбуждения атома л!2 импульсом в коrереитное состояние
на экваторе атом излучит экспоненциальный цуr сэнерrией в полфото-
На (в прОТИВоречии с ИСХОДНЫМИ ПОСТУ,1атами Планка и Бора).
Этот ВЫВОД,. ОДнако) нисколько не противоречит квантовой электро"
динамике" соrлаеНQ I\ОТОрОЙ поле ЛlllUЬ в чuсmыlx энерсетuческuх со..
стоЯIlUЯХ содержит l{eAoe чиСАО фопwН08 N. Этот класс состояний с оnре....
деленнь[м ЧИСЛОМ фОТОНОВ является весьма частным Jf даже экзотиче-
СКИМ с точки зрения ero эксперимента4Jf) [,Horo изrОТQВ4.rJення, если исклю-
ЧIIТЬ состояние вакуума с N -==o В случае же KorepeHTHblx а также сме--
шанных состояний поля <N) (;j()/hШо может быть любым иеотрнца-
TeJ1bHblM ЧИСЛОМ.
Парадокс как оБЫЧНО t ВQЗНИI{зет нз-за терминолоrической путани-
цы: величина dl==tufJo/2 есть средняя. по ансамблю атомов энерr JЯ при
t.=:-O: (""7t(O)==C. она не имеет отношения к результату однокраmнozо
измерения энерrии tC i , которое даст с равной вероятностью С 1 o ИЛИ
ф 2 =::;; fi(oo. При tpl/ А энерrпя поля раВНа !iю о /2 лишь в среднем, ОТ-
104
дельное же измерение числа фОТQНQВ t T е. энерrин ПОЛЯ даст. соrласно
основному постулату квантовоЙ мехаНИКlI, ЛИШЬ целое число фОТОНОВ
О, 1, 2, 4..
Итак, обм.ен энер2uей между атомами u lw,ле..U долямu квaHтrI06 все
же возможен с 02080рКОЙ) что под СДОООМ «энер2UЯ» nонuмаеt1lСЯ cpeд
няя по ансамблю ЭНер2UЯ с== {:1t} Энерrия же, передаваемая в оди-
ночном акте,. не определеНа t так как начальное состояние атома пра-
ктически всеrд.а неэнерrетичесное
ОКвантовые биения. В случае .\1ноrоуровневоЙ системы eCTeCTвeH
ную ширину ЛИНИЙ можно объяснить тем, что Все возбужденные уровни
имеют конечное время жизни
Atm==J!A m === 1; А"ns (5.2.22)
l1<т
вследствие спонтанных nереходов на все нижележащие ypOBHfl (ве--
роятности А пт определяются 4юРМУЛОЙ (8) при юgdg.......... O) ,п I d пm 1 2 + В ремя
ЖИЗНИ системы на уровне dt т , вследствие соотношения неопреде..
ленностей де 6/ :=:. п , n рН8GДIIТ к уширению уровня, равному
в единицах круrО80Й частоты обратному времени жизни:
dОО т == /1t!l т/Л -= ] /L\t m :;;;; А пm.
п<т
(5.2.23)
Наконеll, ширина линии излучения или поrлощеНИЯ t связанная
с какой либо парой уровней опредеЛЯ ТСЯt очеВИДНО t суммой ширин
обоих комбинирующих уровней:
llffi m k::: 1U)т + Юk. (5 24 24)
Отсюда следует, что слабая ЛllННЯ с d2:З О может иr-.-теть большую есте-
ственную ширину за счет больших d l2 И d 1З 4
Спонтанное излучение мноrоуровневой системы в случае ее Kore-
реитноrо возбуждения имеет интересную особенность ero ;\10ЩНОСТЬ
осциллирует ВО времени+ Рассмотрим заВНСIJМОСТЬ МОЩНОСТИ диполь-
Horo излучения ОТ времени
Соrласно «усовершенствованной» полуклассической формуле (10)
МОЩНОСТЬ" излучае lая атомом в данный момент времени, пропорцио-
нальна среднему от нормаJJьно"улорядочеННоrо квадрата второй ПРОИ3-
ВОДНОЙ диnольноrо момента (ДЛЯ nроетоты обозначеНJIЙ полаrаем все
диnольные моменты лереходов параллельными):
!р (1) :=: 3:3 I. P/ll ;i};;/ (1) а:n),) (t). (5.2.25)
IOm
Здесь Pkl Maтplfua ПЛОТНОСТИ атома в начальный момент времени
to===O. Она определяется условиями возбуждения) которое ДЛЯ наблю-
Дения Э<fxpекта квантовых биений должно иметь импульсный хараКтер
(длительность возбуждающеrо импульса миоrо меньше периода бие-
ний 21(:/0031») ЧТО в случае rаза доетиrается с помощью импуJlьсноrо
разряда ИЛИ лазера" а в случае aTOMHoro пучка............ пропусканием ero
через тонкую фольrУt В результате значительное число атомов оквзы-
105
вается в ОДНОМ и том же чистом неэнерrетичеСКQМ состоянии р(О),
так что сиrнаn биений имеет определенную фазу и большую МОЩНОСТЬ.
После окончания импульса возбуждения Динамика данноrо атома
определяется ero невозмущенным rамильтонианом:Jt о (релаксацию не
учитываем, что допустимо пр" достаточно большой частоте биений:
ro 32 Т 2<t; 1 ). При этом матричные элементы в энерrетическом преДста ме-
НИИ зависят от времени rармонически;
d тn (t) == d mn ехр (iwmnt)t dтrs(t) == (U:пnd",1t (t)
(5 2.2б)
будем нумеровать уровни в порядке возрастания энерrИИ t TorAa
матрицы положительно.. и отрицательно частотных Qператоров имеют
стреуrольный» вид:
d t/ (t) == d illn (t) 0 пт' df J (t) == d тn (t) 6 тп " (5.2 27)
rде 8"Hl == I при т > 11 И О при т < n (CM (14) ДЛЯ случая двух..
уровневой системы). В результате в сумме (25) остаются лишь ела-
raeMble с m < k, т < 1:
(t) == (4/3с 3 ) rolтЮ kРkldlтdтk ехр (iЮtkt). (5.2.28)
m<k
т<'
в частности, МОЩНОСТЬ t излучаемая трехуровневой систеМОЙ t со-
держит четыре слаrаемых:
5' (t) ==А (ю з1 А 13 + U)З2 А 2З) Рзз + !iro 21 A 12Р:!2 +
+ 2А (О>ЗJЮ2IА lз А 12)1/2 J РЗ:l J cos (ю з2 t + q», (5.2.29)
rде
А пт == 4ы f d"'1J 1!/Зliс З , <р == arg (рsз d 'ld 12 ).
Первые три слаrаемых в (29) пропорциональны населенностям Бозбуж.
денных уровнеЙ и соответствуют обычному спонтанному излучению
j
z
lиd Jf
nЮ 2f
..... .... .... .........
t:
о 2п/tJJ 3J 1/А
tl. 5
Рис. 5.4. Квантовые биения: а) ДИПОЛЬНЫЙ момент трех уровневой системы! находя..
щеАся в Коrереитном состоянии с НеопреДеnенной энерrией (штриховая ЛИНИ я) t ОСЦИЛ...
ли рует с частотами l и u.n; 6) в результате мощиость спонтанноrо излучения .9
11 ромоду J1 И рована с частотой б и ен и й 00.32 == I .ffi.21
f
с ПОСТОЯННОЙ В рамках нзшеrо приближения мощностью; для уче-
та излучательной потер" энерrии в эти CJIar.aeMble надо добавить
множители ехр ( Al1J-пt). Последнее слаrаемое в (29) описывает при
106
А тn 00з! Ю j1 6)31 эффект К8антовых биений периодическую
моду л ЯUИЮ с разностной частотой Ю З2 1::= (1)31 0011 МОЩНОСТИ суМма р-
Horo CnOHTaHHoro излучения с двух близких уровней 2 иЗ (рИС 4 5 4) 1).
Представим (29) в виде
j) (t):= ? о [1 + т eos (w з2 t + <р)],
j'J === fi.Ю 21 А 1 :ZP" + 1i<a З1 А И Р33 t ( 5 t 24>30)
т 2п (Ю з1 OJ 21 А lзА 11)1/2 I Р321/9' О'
rде мы пренебреrЗJlИ слабым излучением на разностной частоте <О,;
(оБЫЧНО она лежит в радиодиапазоне). Если состояние атома чис-
тое, ТО Р тn == С тСп И
т== 2/(е + 1/8), t == I ro:lсзd31/6) lс,d21 '41
(5.2.31 )
Таким обра30М кoЭ<jxpиuиент модуляции т достиrает единицы при
А Зl:::::А 2i И возбуждении атома в KorepeHTHoe состояние It o ):==
:;;::; (12 >+ 13) )/V 2 . С класси ческой ТОЧКИ эре"и я атом излучает две си ну-
соидальные ВОЛНЫ, которые интерфеРИРУЮТ t и В результате в некоторые
моменты времени излучение прекращается полностью, а в друrие ..........
удваивается. Однако следует ПО НИТЬt что наблюдать картину биений
в случае одноrо атома невозможно (измеряя энерrию поля) нужно
мноrокрзтное повторение опыта с различными t. Практически исполь-
зуется -мноrо атомов в одинаковом состоянии.
Обычно уровни 2, 3 соответствуют тонкой или сверхтонкой СТРУК-
тype а также зеемановским подуровням так ЧТО частота биений лежит
Б радиодиапазоне н модуJJЯUИЯ может быть обнаружена радиоэлектрон-
ными методами (ФЭУ позволяют обнаруживать модуляцию До частот
порядка 100 Mru). Существенно, что квантовые биения одноатом-
ный эфq>eкт, И поэтому эффект Доплера практически не изменяет час-
тоту биений что позволяет измерять малые расщепления уровней [291.
Заметим, ЧТО в последнее время начиная с середины шестидеся-
тых rодов был разработан еще один метод, также использующий
спектральный анализ фоrQ1Qка (вместо прямоrо анализа света). но
в стационарном режиме. ЭтОТ метод называется спектроскопией опти...
чеСК02Q с.меЦlенuя или спектроскопией флуктуаций интенсивности и
ПОЗВОJ1яет наблюдать крайне малые частотные расщепления в диапазоне:
ОКоло J ru l57J.
DРезонансная флуоресцеНЦИЯt Рассмотрим теперь случай холод
HQrQ rззз. в котором хТ <f:.lioo o и атомы возбуждаются падающим извне
направленным излучением. Суммарное вторичное поле макросколиче-
CKoro образца можно разделить на две части коrерентную с падаю-
ЩИМ полем и рассеянную.
Коrерентная часть обусловлена средней по пространству плот...
НОСТЬЮ числа атомов, она интерферирует с падающим nервичиым по.
леМ t и в результате образуется общее результирующее поле, которое
распространяется в среде без изменения направления распространения.
1) Отмети м" что если в (25) оп ус тить И идек сы «:f:» t ТО В (29) появ яте я бие-
ния с частотой (8)al которые в эксперименте не наблюдаютс:я't
107
Однородное вещество т. е+ постоянная составляющая в npOCTpaHCTBeH
НаМ фурье разложении массы вещества лишь замедляет скорость pac't
пространения волны и при учете Аиссипации энерrии уменьшает
ее амплитуду 4 Эти эфt:Pек ты описываются ма к рОСКОП ической воспр и-
ИМЧИВОСТЬЮ вещества (r л. 4)4
Рассеянное в стороны вторичное излучение обусловлено атомной
неоднородностью вещества. Поля Qтдельнь[х атомов HeKorepeHTHbl
друr с друrом. и поэтому суммарная МОЩНОСТЬ рассеянноrо излучения
аддитивна" т. е. равна произведению числа атомов на h-tощноеть излу
чения одноrо атома (при условии, ЧТО можно прене6речь повторным.
MHorOKpaTHbJM рассеянием это приближение называется борНQ8Ск.UAt).
Оптич.еский 3НfармонизМ вещества (9 6.2) ПРИВОДИТ к появлеиию в спек-
тре вторичноrо излучения кроме упруrой (несмещенной) компоненты
ряда новых составляющих, неСУЩflХ ценную информацию о структуре
вещества (эффектьr ..'1 ЮМ и несцен ин и , paMaHOBCKoro рассея н и я и др.)..
Здесь мы рассмотрим с помощью rИрОСКDпической модели 3фРект
резонансной флуоресценции (резонзнсноrо рассеЯНИЯ)1 при которой
набi1юдается излучение в окрестности какоrо .пибо перехода с частотой
000 при возбуждении светом с частотой OO также близкой к (1)0:. Это
явление, которое БЬ[ЛQ обнаружено еще в начале века Вудом в парах
натрняto в последнее время ВНОВЬ nрнвлекло к себе внимание в связи
с открытием двух ero интересНЫХ особенностей.
Во пеРВЫХ1 при резонансной флуоресuенции одиночных атомов поле
переходит в состояния с необычной статистикой" не описываемой клас-
сической статистической ОПТИКОЙ а иtytенно в СОСТОЯНИЯ с aHпlucpynпu-
ровк.ой фОТОНОВ и в сжатые состояния (подробнее C 1. rл. 7).
= ltJ 4
а
&J< (Vo
ЮIJ Я UJ p /.Vо+,я
UJ
"'о
.2UJ tdQ о ttJ Ю и
Рис 5.5 Резонансная фдуоресценция МОНОХРОМ87ическое внешнее поле моду пирует
вол новую Функин ю двухуровневой системы с частотами (1) н (а):!: О" поэтому спектр
пo.r'l я Р ассе ян и я СОСТОИ Т И 3 тр е х: КО м п () нент: а) м 8.1] а ЯР" сстр он ка н сил ъи ое пол е;
6) бал ьш а.я р асст р оЙ к а; в) пр н б од ь шо й р асстр ой ке ПОЯ B.1Je н и е са тмл и тов объ ЯСН я етс я
ч e1ы Р ехсрото н 1:1 Ы М процессом t при к оторо м ДВа ф:JТQ н а н а ка ч к н (ж и р н ы е СТ р ел к и)
превращаются в два фотона с ч.астотаМJt wo и 2ы ыo
BO BTOpЫX при большой интенсивности пздзющеrо света (накачки)
в спектре рассеянноrо света РЯДОМ с упруrой (рэлеевской) компонентой
ПОЯВЛЯЮТСЯ ДВа сателлита с частотами ю:I:Q (рис. 5.5)+ Здесь Q===:
== [Q2+(roO U»2P/2 обобщенная частота Раби и Q doElJ/1i:. Кроме
]08
Toro, наблюдается усиление слабоrо зqндирующеrо света На этих часто..
73Х за счет энерrин накачки.
Спектр рассеянноrо света наблюдается в стационарных УСЛQВИЯХ t
при ЭТОМ количественная теория требует учета релаксации и квантова..
иия по.пя (CM . на пример1 [72]). однако качественно появление сател-
литов леrко объяснить в рамкаХ полуклаСС tческой теории при прене-
брежении релаксациеЙ. Cor ласно (5 I З) монохроматическое попе вы.
зывает, кроме преuессии веКтора R (t) с частотой поля Ю t также и ero
нутацню с частотой 1. (рис + 5.1). в результате средний ДИПОtТlЬНЫЙ MO
мент атома (d J 1) R х( t) и излучаемое им поле ДОЛЖНЫ содержать час-
тоты 00 и roI Таким образом! нелинейность двухуровневой системы
приподит к МОДУЛЯЦИИ рассеиваемоrо ею ПCkrJЯ с обобщенной частотой
Раби Q (ер. с эQxPектом комбннационноrо рассеяния, при котором час-
тота модуляции совпадает С' ОДНОЙ из частот C[ICTeMbI. так ЧТО сателлиты
имеют частоты w:f::ю{J, Jf С э4Фектом оптической нутаuии см. 95.1).
Рассмотрим два крайних случая. Пусть 1(t}o: (I)J Q тоrда {} O
и спектр резонансной ЛЮМi[несценцни представЛ"яет собой симметрич"
ный относительно частоты перехода триплет (OO Юо:f:dоЕ(j/п (pHC 5.5, а).
При обратном неравенстве [1 jЮо (й1 и спектр состоит из центральной
упруrой компоненты Ш, излучения на частоте перехода 000 и «зеркаль
ной» компоненты 2(o 'йo (рис. 5r5, б). С фОТОННОЙ точки зрения излу
чение на частотах (0.0 и 2ы ыo представляет собой результат единоrо
четырехфотонноrо злементарноrо проuесса поr лощения двух фОТО
НОВ падающеrо света и излучения двух вторичных фОТОНОВ по схеме
2hro---+А ю о+ii (2(U wo) (рис. 5.51 8).
Заметим, что в нереЗОliансном случае излучение в области перехода
прОИСХОДИТ не точно на частоте W t а СО сдвиrом. Пусть Q (uO (r»Ot
тоrда частота антистоксова сателлита (nрзвоrо на шкале частот) будет
равна
00; == Ь} + [Q2+ ( ooo ы) 211 /2 (1)0 + (doE о/п) /2( 6)o Ы) (5.2.32)
Этот сдвиr наБJ1юдаемой частоты перехода, зависящий от интенсив-
ности возмущающеrо излучения t назь[ваетс R 8ысокпч.астотны.м. или
Qnтическим эффектом Ш тарка4 Как следует из (32) t он fW порядку ра-
вен квадрату эн.ерzuu возмущения Q 8 частотных единuцах деленному
на расстройку.
Оценим общую МОЩНОСТЬ излучения. Соrлэсно (541.7) и (16)
5> (t) 6.)oApz:! (t) == поооА (&1(Q)2 sjn 2 (Qt/2). (5t2+ЗЗ)
Таким оБРЗЗОМ t при пренебрежении релаксацией осциллирует
с частотой Q Т. е. процесс нестационареи и лонятие спектральной мощ-
ности нелрименнмо Характерно, ЧТО в нереЗQнаНСНDМ случае 5' про-
порциональна d i( roо ю)2.
Выше не УЧИТЫRaJlЗСЬ релаксация. Интуитивно ЯСНО, что она долж..
на привести к уширению дискретных спектральных компонент до ве..
личины порядка 2fT'}; (рис. 5.5) Отсюда следует что условие наблюд
иия сателлитов в случае (J) -==roo имеет вид Q>2IT 2, Т. e ДОЛЖНО иметь
109
место СИJlЬНое насыщение" что практически возможно лишь при ис-
пользовании лазеров (Э<fxPект был обнаружен в 1974 r4 rЗI J) Заметим"
ЧТО соrласно уравнениям Блоха с учетом релаксации (9 4.4) нутаuия
вектора R в стационарных условиях исчезает так что приведенное
выше объяснение эффекта, казалось БЫ t неверно. Однако кинетические
ураВНения Блоха не описывают флуктуации R, вызванные термосrз'"
ТОМ и содержащие частоту й.
Если отказаться от приближения вращающейся ВОЛНЫ, То двух..
уровневая модель будет описывать ряд друrнх Нелинейных 3фРектов"
например излучение на частоте 3ш+ В случае ПОЛЯрИЗQванноrо атома
(или молекулы) с отличными ОТ нуля диаrонаЛЬНЫМИ моментами dпn=FO
(а также в случае Маrнитноrо резонанса) добавятся ДВУХфОТQнное по--
rJJощение и эфqэeкт Рамана излучение на частотах ro::l:wo. Итак,.
соеласн.о nростейшей двухуров1ШlOй моделu атома вещес1tl8O при рассея'"
- нии изменяет спектральный состав падающеео света, чпlО является
nРОЯ8ление.м. есо НеЛUНеUных свойств......... опmuчесКf.JZО l1fШlр.монuз.ма
(друrой простой нелинейный 3фРект насыщение был рассмотрен
в 443)6
* 5 3. КОJlJlективное ИЗJJученне
Как уже отмеЧЗJlОСЬ, характер излучения М3КРОСКQпическоrо ве-
щества резко зависит от УСЛОВИЙ ero возбуждения. При обычном хао-
тическом (некотерентном) возбуждении состояния отдельных атомов
статистически неззвисимы, Bell!eCTBO описывается диаrональной MaT
рнuей ПЛQТИОСТИ t И В результате МОЩНОСТЬ излучения ffJ линейно за...
висит от общеrо ЧИCJJа атомов N (nолаrаеМ t что линейные размеры об-
разца MHoro меньше ДЛИНЫ пробеrа фотона: al l). В случае же Kore...
peHTHoro возбуждения все N атомов находятся в одинаковых СОСТОЯ'"
ниях И МОЖНО описывать образеu общей ВОЛНОВОЙ ФункциеЙ4 При ЭТОМ,
как леrко убедиться с помощью полуклассической теории, может
зависеть от N квадратично, что ДОЛЖНО качественно изменить картину 1-
Ниже МЫ рассмотрим два необычных оптических эфректа обязанных
своим возникновением устаНОВJ1ению квантовой коrерентНоети в MaK
роскопическом образuе
Эффект сверХН3Jlучення. Пусть в начальный момент времени име.
ется N одинаковых атомов, наХDДЯЩИХСЯ в независимых котерентных
СОСТОЯНИЯХ
'fJ == {l J > J+ f 2>/ ехр [ i (oo t + f.Pj)]}/V*2.
(5.3.1)
Это частный случай ВО3МQжноrо состояния системы из N различи..
МЫХ (по ноординзтам rj) частиц коrда волновая функция системы
факторизована;
N
-ф == 'ФIФ2. . · 'Фл'::::: 11 '9j+
i = [
Найдем среДНИЙ Дипольный момент системы
<Ф "'" <'" ] :; d,1 "'> "'" <",,1 d,1 "'j> == d u ; cos (ю,t + IJ' j),
(5.3.2)
(5.3.3)
110
____ __. .... - ..... ........ 11 ........... - - __ - ........ ......... ......... __ .. ..... ... - -_.. -- - - .. ..... 11 ..... . ---- ... . - .
считаем моменты перехода d 0 S2d l2 вещественными и ориентированными
ВДОЛЬ определенной ОСИ Здесь фаза KorepeHTHoro состояния j для
j-ro атома имеет наrлядный смысл ЭТО фаза прецессионноrо ДВИЖе-
НИЯ вектора Блоха (при лриrОТО8лении состояния с ПОМОЩЬЮ л/2"им--
пульса она определяется фазой поля в точке нахождения атома r j ).
Если N ::;:;;:;2t ТО cor ласно (3) амплитуда ОСЦИЛЛЯЦИЙ общеrо ДипоЛЬНоrо
момента удваивается пр" Ipl ==<Р! И обращается в нуль пр" CPl 1p2 :=:n,.
В случае N атомов с ОДинаковыми <Р! имеем
(d)==Ndocos (ooot+<p).
Предположим далее, ЧТО линейные размеры системы MHoro меньше
ДЛИНЫ волны, I<{ЛQ-===2ЛС/ОО{}t так что применима формула (5.2.3) Для
МОЩНОСТИ ДИПОЛЬНОfО излучения. Если заменить в ней dJl.Л на (d), то
при одинаковых фазах пмучим:Р K(}r N2 .мощность. излучаемая
Qсциллuрgющuмu с одинаковыми фазами дuполямu nропорцuональна
квадрату их числа 4 Этот эффект коrереИТНоrо (КOJIлективноrО t коопе.
ративноrо) CnOHTaHHoro излучения МНоrоатомНОЙ системы называется
awрхu.злучеNue.м. ХОТЯ ero классическая интерпретация тривиальна,
квантовая теория была впервые рассмотрена лишь в 1954 r. Дике [7 27]..
Близкое по существу явление наблюдалось до этоrо в радиодиапа..
зоне в экспериментах по ядерному маrнитному резонансу ---------+ ЯМР.
При этом парамаrнитный обрззеu помещается внутри двух скрещенных
катушек индуктивности (метод Mll2HUmпOU индукциц). Резонансный
ток в ОДНОЙ из катушек возбуждает вынужденную прецессию мзкро"
скопическоrо маrнитноrо момента образца М BOKpyr направления по..
стоянноrо I\-tаrнитноrо ПОЛЯ (см. (4.4 34»)+ Вращающийся момент М
навоДИТ во второй. приемной катушке эде ИНДУКЦИИ4 В результате
мощность наблюдаемоrо сиrнала nропорционаЛЬна квадрату числа
ядер в обрззце+
KorepeHTHoe излучение сфазированных диполей наблюдается и ВО
мноrих эффектах нелинейной оптики типа rенерации rармониК+ Одна...
1<0 здесь как и в явлении ядерной ИНДУКЦИИ t излучение ПРОИСХОДИТ на
частоте внешней СИJlЫ t которая может в оптике сильно отличаться от
собственных частот переходов. Существенно ЧТО условие l ,. необя..
зательно ........... при подходящем набеrе фазы вынужденной JfЛИ свободной
прецесси и ВДОЛЬ ка Koro..тo на пра мени я KQr да rp J ===-kz j (условие npo
сmрансmвеНН020 синхронuз.ма)t излучение в ЭТОМ направлении будет
KorepeHTHblM (здесь k волновой вектор и Zj координата i ro ЗТОМЗ)t
4'fаким обраЗDМ, сверхизлучение протяженных систем неИЗОТРОПНО t
ОНО максимально в направлении синхронизма Z 1).
Полуклзссический ПОДХОД,. ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ формулу (5.2.3) для
МОЩНОСТИ коrереитноrо излучения с заменой d кл на <d)t дает точ-
ный результат лишь при N}> 1. Наломним что при N -= 1 приш-
лось ввести доnолнительнь[й множитель 2 в формулу (5 2.4) Как
уже rОБОрИЛОСЬ выше, в общем случае надо ВМесто d исполь.
эовать нормально упорядоченный квадрат 2 <d( ) d(+)t ЧТD ПрИВОДИТ
1) Мы уже встреч.али в 5 1 пример тзкоrо явления затухание свободной ПOJlЯ.
ризэции.
111
к замене N2 на N(N+ 1):
<d(") d( + J > .:::::;:
== <di )d +» == ('tj I d; )dj+) J Ч-j> + <ч' J I dj ) I ] > < !! I dh }' 'l-'k> ::=
jk i i;;pk
""" [ N + j cos ( j k)] /2 <.= dgN (N + 1 )/4. (5.3.4)
Подставляя (4) в (5 2410), получаем следующее выражение для МОЩ
ности сверхизлучения N ЗТОМОВ t наход:ящихся в KorepeHTHblX co
стояниях:
15' 1<Of:::: nOOоА N (N + 1 )/4. I
(5+3.5)
Последнее равенство в (4) предполаrает равенство всех фаз rpj вза..
имную KorepeHTHocTb СОСТОЯНИЙ4
Если же фазы прецессии являются независимыии случайными ве-
личинаМИ t равномерно распределенными в интервале Q.......-2Л 1 ТО все
косинусы после усреднения обратятся в нуль и в (4) останутся лишь
N диаrональных слаrаемых
5' иекоr:::: n.шоАN J2 (5.3.6)
Здесь буквенный индекс подчеркивает взаимную HeKorepeHTHOCTb И3-
лучения отдельных атомов, каждый из которЫХ находится в KorepeHT-
НОМ состоянии на экваторе сферы Блоха.
ЯСНО, ЧТО кроме рассмотренных крайних случаев (4) и (6) В03мож"
НО множество друrих СОСТОЯНИЙ N.атомной системы. В Частности, как
ВИДНО из приведенноrо выше примера для двух атомов. ВОЗ IОЖНЫ
безызлучательн.ые состояния, Korдa коллективные эq:фекты подавляют
дипо.льное спонтанное излучениеr
При учете теряемой на излучение энерrин спонтанное сверхизлуче-
ине будет быстро затухать. Длительность импульса сверхизлучения
можно оценить разде '1ИВ запасенную систеf,:10Й энерrию !iw o N/2 на
начальную МОЩНОСТЬ l\orepeHTHoro излучения (5)
TKr)r 21А (N +.1).
(5.3 7)
Итак, при N l и ' uзлучательн.ое врt;чя жизни косереНЛlНOW
состояния N атОАtн.ой систе.мы. сокраlllрется в N,/2 раз вследствuе кол
.лекmuвносо эффек.rпa. Однако) как уже отмечаJ]ОСЬ в протяженных
системах сверхизлучение напраВЛенно, Т. е. эQ:фeктивно «работает»"
забирает энерrию лишь часть мод поля, и поэтому t'K....r Возрастает
(примерно в 4n/fiQ раз, rде Q эффективный телесный уrол, в ](o
торыЙ ПРОИСХОДИТ излучение). При вытянутой форме образца с числом
Френеля а'l/лl.........l ЭТО замедление сверХllзлучения имеет порядок
(а/л)!""'" llл 1 rде a2 сечение образuа 1 длина.
Рассмотрим теперь случай энерrетическоrо начальноrо СОСТОЯНИЯ
N-атомной системы: 'Р(о) п 12)1" Вектор Блоха каждоrо атома налрав'"
лен вверх, на северный ПОЛЮС lS первые моменты времени атомы излу""
112
чают неза виси r.10 t
2 ('ф I d( ) d(+11 Ф> == Nd: t
(5.3r8)
и постепенно переходят из энерrетичеекоrо состояния в KorepeHTHble
с какими"то уrлами \1'] и фазами <Pj nрецессии
Однако можно ожидать) что атомы влияют друr на друrа через
поперечное поле) и поэтому фазы nрецессии ДОJ1ЖНЫ взаимно синхро-
НИЗ0ваться (при достаточной ПЛОТНО .р
сти атомов [30]). В реЗУЛЬтате через 2
KaKoe TO время задерж]{и 10 система
самопроизвольно перейдет в сверхиз
лучающее коrереитное состояние СО
сфззированными диполями. В ЭТОТ
JYtOMeHT медлеННое спонтанное излу.
чение перейдет в короткий МОЩНЬ[Й
импульс сверХИ3J1учения с определен.. о
нои фазой поля (рис. 5.6).
Аналоrня с фазовыми пере хода-
МНа Последовательная теОр JЯ, а
также эксперимент (СМ. [За]), впер
вые проведенный Б 1973 r., под-
тверждают рассмотренную качествен
ную каРТИНУ4 Часто именно этот
удивительный эффект называют
сверхизлучениеМ4 Спонтанное уста"
новление упорядоченноrо KorepeHT"
Horo СQCТОЯНIIЯ из хаотическоrо со..
СТОЯНИЯ в макросистемах вообще представляет большой интерес ДЛЯ
физики. Отметим аналоrию между процессом CnOHTaHHoro формирова-
ния сверхизлучающеrо состояния в системе возбужденных атомов I1
фазовыми переходами в равновесном веществе. Друrой пример 1'aKoro
фЗЗОБоrо перехода в нераВНQвесноЙ системе установление автоколе-
баний с определенной фазой и макроскопической амплитудой при до-
стижении nopora в лазере [32, 50 521. Здесь также в результате взаи-
модействия атомов (через поле резонатора) хаотическое шумовое лоде
сменяется упорядоченным и устанавливается реrулярная перемеННая
маКРОСJ{опическая поляризация. Заметим что в равновесных системах
причиной фазовых переходов та](же является взаимодействие атомов
или молекул через поле, Но ТОЛЬКо статическое. rрубое описание cer-
нетоэлектрическоrо лерехода дает модель Лоренца соrлаеНQ (4.2 11)
при достаточной плотности атомов частота резонанса поляризации
обращается в нуль. При ЭТОМ восприимчивость на нулевоЙ частоте
стремится к бесконечности и в системе самопроизвольно устанаВлива--
ется макроскопическая стати ческа я поля р нза ин я .
Сверхиз учение в инвертированной системе сдедует отличать ОТ
сверХЛЮ.АfuнеСЦенцuu (стационарной или импульсной) усиленноrо
спонтэнноrо излучения (9 7 r 1) r В режиме сверхлюминесценцни про..
цессы безызлуча тел ьной pe.Tla к СВиН И (на пр н ep, столк иовен и я в rаза х"
взаимодействие с ФОНQнами в твердых теJ]ЗХ) преnятетвуют устаНО8ле..
113
:F
1
t o t
Рис+ 5.6. Зависимость ОТ I\р€Мени
мощности ИЗ lучения .аТОМО:В, воз-
б -жденных в момент времени i==O
1 обычное (HeKorepeHTHoe) СПОИ-
т 8 1-1 Н ое и 3.1 учен n е, Н.а , юд.аемое пр 11
мз Д ой n 1 ОТ Н ости атомо в; 2 ....... с ее р х..
н зду ч е I1 и е при Korep е нтн o ! на ч З..:1 Ь....
НОМ СОСТОЯНИИ .атомов; 3......... сверх..-
и эл уч е Ii н е при эне р rети чес к ОМ н а-
ца.,.Т"1ЬНОМ СОСТОЯНИИ происходит с xa
рактерiiОЙ задержкой (о
НИЮ КоrереНТНQСТИ в макроскопических объемах, и поэтому излучение
u
определяется числом частиц в первои) а не втора" степени.
Оптическое эхо. В случае неоднородноrо уширения различные ато-
мы имеют слеrка раЗJ1ичные собственные чаС10ТЫ (из-за Э<tФекта Дол...
лера, неоднородных статических полей и др )t При ЭТОМ наблюдаемая
ширина линии Aы 2/T; какоrо..либо лерехода MHoro больше столкно-
вительноl1 или радиационной ШИрИНЫ 2/Т 2.
l(t)
r,d (3
I
I I
I
I
I
.,
,."
I I
I I
t I
t t
, J
t
/ t{)
/
\
\
Д(
.
\
Рис. 5 7. Эффект опти ческоrо ЭХО. После возбуждеии я вещества двумя КОРОТКИМИ
,световым и им пульсами (штриховые ЛИН и и на вер хнем рисунке) ОНО им учает вслыш..
ку света (сплошная линия) спустя время 10' равное и нтерВаЛ у межДу ИМП ульсами.
Зф:рект объясняется совладением фаз колебаний зарядов отдельных молеКУ.1] в момент
2/0 (НИЖНИЙ рисунок)
Пусть под действием KopOTKoro (-rЕ т;) резонансноrо 1(/2 им
пульса атомы образца перешли ИЗ OCHOBllorO СОСТОЯНИЯ в одинако-
-вые KorepeHTHble состояния на экваторе сферы Блоха (рис. 547). При
ЭТОМ возникает поляризация
N
P(t)== (dJ(t}>==do R1)(t)==do sin(ro it). (5.3 9)
j::;L i j
-Здесь N плотность числа части Ц d о == di ........... момент пе рехода RV).........
,векто Р Блоха j.. ro атома с компонентами 2pVl' t 2p</I. , pii? p l.
в первые моменты времени при t <{ т; МОЖНО пренебречь
разбросом собственных частот oo 1 t так ЧТО
Р (i) == N lio sin (root)t
(5.3.1 О)
тде (00 == (ji/.l с редн я я частот а nе реходов.. Мак роскопическая пол я-
ризация (10) сопровождается МОЩНЫМ сверхизлучением Однако через
короткое время т; диполи в (9) расфазируlOТСЯ, Р (t) практически
обратится в нуль и будет про ИСХОДИТЬ ЛИШЬ медленное спонтанное
.излучение с характерным временем Т 1 == 1/А.
Процесс расфззировки наrЛЯДНQ представляется с ПОМОЩЬЮ век-
'Торной модели (э 5.1). ВО вращающейся с частотой 000 системе каор-
114
динаТ векторы R ) будут прецессировать по ИJ]И против Часовой
стрелки с yr ловыми скоростями t1ro J == OO ' .........000' лежащими в интер-
вале Дш +Ды. До действия импульса л/2 все R 'J были направ...
лены вниз ВДОЛЬ оси z t а Henoc редственно после ero окончан и я
ВДС?ЛЬ ОСИ У сферы Блоха (длительностью импульса пренебреrаем):
RM/ (О) == ] t
Пусть т; MHoro меньше времени сверхизлучения 'Т кот И t Tl'
тоrда можно пренебречь излучательными потерями энерrии " век...
торы Блоха будут лрецессировать каждый со своей скоростью в ЭК-
ваториальной ПЛОСКОСТИ t которую ОНИ при t > т; равномерно за-
полнят. Начальная стадия этоrо nроцесса подобна разворачиванию
сложенноrо веера (рис. 5.7).
Аналитически лреuессия j..ro атома во вращающейся системе
координат описывается формулой
рУ) -- (ij2) ехр ( idюjt)t (543. J 1)
rде p<J) == p ') ехр (i(i)(Jt)+--"""" «медленная» аМПJlИТУ да недиаrональноrо эле...
мента матрИUЫ ПЛОТНОСТИ
На первый ВзrJlЯД ЭТОТ распад макроскопической упорядочен-
ности не06РЗТI1Дf. Однако существует ОСТРОУhfRЫЙ метод восстанов-
ления KorepeHTHoro состояния системы при условии t < Т 2. rде Т'............
характерное время необратимоrо сбоя фазы "рецессии из за столк..
новений+ Для этоrо на систему в неКQТОрЫЙ момент (й действуют
вторым резонансным импульсом с «площадью» п.
Соrласно rироскопич скому уравнению Блоха (5+1+3) л-импульс
поворачивает вектор R j на 1800, BOKpyr оси х (рис 5 7) Поскольку
Л ) лежит в экваториальной ПЛОСКОСТИ. ТО это эквивалентно зер-
кальному отражению в nJ]ОСК СТИ xz или изменению знака R Jt т. е..
комплексному сопряжению pV) (t ).
. Леrко убедиться, что после этой операции «веер» ИЗ векторов
RW) начинает склаДЬJваться обратно и в момент t 210 все векторы
будут снова параллельнь] (p c+ 5+ 7) на Э ОТ раз ОН (1 ориенти ра-
ваны в направлении у: R J (2t o ) == l t vV) (2t o ) il2 (ДЛИТeJIЬ""
НОСТЬЮ импульса пренебреrаеМ)4
В этот момент опять возникает импульс сверхизлучения с дли...
тельностью порядка т; (рис. 5+7). Этот импульс собственноrо излу-
чения образuз, nОЯВЛЯЮЩИЙСЯ через время t o после BToporo внеш-
HefO импульса, и называется оптическим или спиН06Ым. ЭХОМ. При
увеличении интервала 10 амплитуда ЭХо сиrнала падает как
ехр ( 2toITZ)4
Появление эхо при t == 2/0 можно образно объяснить по аналоrИII
с беrунами на стаДионе, которые при t == О начинают бежать с раз
НЫМИ скоростями. При t t o ОНИ одновременно поворачиваются и
беrут обратно с teh-fИ же скоростями. Я СНО, что n рн t:=::=;: 2t v они
одновременно пересекут ЛИНИЮ старТЗ4
Аналитически восстановление коrерентноети под действием л..иМ....
пульса также описывается очень ПрОСТО Перед ПРИХОДОМ импульса
p ) (to О) := (i/2) ехр (----- iДUJjt о ), (5.Зt 12}
115
3 непосредственно послеl)
p j) (t с + О) == i (t t.......... 0)- == (iJ2) ех р (i!!Jbl jt Q) 4
(5+3.13)
Далее при t > tf,) снова ПРОИСХОДИТ свободная прецессия с начадь
ной амплитудой (13):
pV) (/) == р6 (t o + О) ехр [ iД(J)j (! t t)] == (ij2) ехр [ [ДЮ J (1 2t o )].
. (5 З.14)
Следовательно, при t =::: 2t o все p ) п риобретают одина овые значения.
ЭТО ОДНО из наиболее красивых явлений квантовой электроники
было открыто Ханом в 1950 r. в экспериментах по ямр (здесь HeOДHO
родность уширения вызывается неоднородностью постоянноrо маrНИТ
Horo поля) и названо спиновым ЭХQ4 В оптическом Диапазоне ОНО впер
вые наблюдалось в рубине Курни и др. в 1964 r. с ПОМОЩЬЮ руБИНQБоrо
.лазера., Спиновое и оптическое эхо используют ДЛЯ измерения релакса..
UИОННЫХ параметров и ТОНКОЙ структуры переХОДО8 (эхо сneкmросКQ-
nия СМ. [75]).
1) Отметим ЧТО аналоrична я операцн я комплексноro сап ряжени я амплитуды
(или обр ащен и я знака времени) дежит в основе эффекта обращения воЛltОВОео
фронта (s 6.5).
\
.....
.,
rЛАВА 6
НЕЛИНЕRНАЯ ОПТИКА
с некоторыми нелинейно-оптическими явлениями мы уже встреча...
ЛНСЬ выше (э<рфект насыщения резонансная флуоресценция) В Ha
СТОЯtЦей rлаве будет проведено более систематическое описание ЭТИХ
явлений.
ХОТЯ большинство нелинейных оптических явленнй хорошо аписы..
вается полуклассической теорией излучения и не требует квантования
ПQЛЯ t мноrие эф:ректы наrЛЯДНQ объясняются и классифицируются на
фОТОННОМ языке. НапримеРt эффект у 1-tlJQ {Jп m oпlbl света МОЖНО
предетавлять как результат .элементарных треХфОТQННЫХ процес с ов,
в каждом из которых в результате взаимодейс твия ЛOJIЯ с веществом
уничтожаются па аю ero света накачки) и рождается ОДИН
фОТОН с Д80 ной энерrией 2 Q) (рис. б.l t а. 3 рисунка ясн о .--Что'.ПО';- '"
ск ол'ьку ttte(.ltlO в реЗУЛЬтате проц есса не изменяет ИСХОДНОЙ энерrии
.(такие процессы называются па р ам.ет р uческuмu). ТО энерrия рождаю
щеrося фотона ровно в два p nревышает энерrию фОТОНОВ накачки.
В случ биr.армонической накачки с частотами (011' u) вещество
излучае т фотоны с ком инационнои ча тотои: (J)V==(i)l 002 э<рфекты
сложен ия и 8ы читания ча стоты СМ . рис. 641 t 6 и в)+ . АНаJluFИ ЧНО ОЛН
сываются четырехфотонные процессы и nроцессы более BblCQKOrO по.
рядкаi В n qJ:l!!!етрuческоAt ё epaп:!!. p_ _. света 11 при соответствующем
спонтанном процессе пара.меmрuчес1СОМ ассеЯNUU света лроис
ХОДЯТ процессы обратньieёл. ию двух частот. десЬ отон накач.
ки распадается на два фотона с дробными частотами: ю 0........00 1 +Ы 2
(рис. 6.1 е). _. &_....,
3qxpективность параметрических процессов в случае маt\роскопиче
-cl\oro вещества резко увеличивается при выполнении закона coxpaHe
иия импульса для 4ютонов;м t +k 2 =:kо.,Это равенство называется vело-
вз ем npocтpuнcmвeHH020 cU)r. 'fEН Ma или фазов020 С02ЛасованU Я.
При ...'i: llg.мemDцческuх п,lwi{pc(.ax вещество изменяет св ою энер
rию переходит на друrне уровни. Например, при ДВУХфОТQННQМ по-
rлощении два фотона накачки уничтожаются а атом переходит на ВОЗ-
бужденнь[й уровень (рис. 1 tб, д) t Такие процессы "РИВОДЯТ кнелиней'"
ному поrлощению) пропорциональному квадрату интенсивности поля.
При pa,MUН08 CКQJ.I д ;:: H п exпiJp УЫI4Ч'[О)!fаеl: .ll раж лае тся
ПО одно Те.IJУ С а.ЗJlИ . ЧЫОЙ ерr llей. (рос. 6+ 1, ж t з).
Все эти эф::ректы, как параметрические) так инепараметрические,
ШИрОКО используются в нелинейной сnектроскопии а также для изм
нения частоть[ KorepeHTHoro лззерноrо излучения Большую роль иr-
рают нелинеЙНО.ОПТllческие эффекты в проблемах лазерноrо термоядеР-t
117
з непос редственно после J)
pi/) (' о + О) == ) ( t о.......... О). == (i /2) ех р (i ro jt..).
(5.3.13)
Да.Тlее при t > t., снова ПРОИСХОДИТ свободная "рецессия с нача r'lЬ""
ной амплитудой (13):
) (/) == (t o + О) ехр [ i U)i (! t ,)] == (i/2) ехр [ i/1oo j (t 2t O )]4
(5 3.14)
Следовательно, при t === 2t o все p ) приобретают одинаКовые значения.
3hv ОДНО из наиболее красивых явлении квантовой электроники
было открЫТО Ханом в 1950 r в экспериментах по ямр (здесь неодно.
родность уширен и я вызывается неоднородностью постоянноrо маrнит-
Horo поля) и названо спиновым ЭХQ+ В оптическом диапазоне оно впер-
вые наблюдалось в рубине Курни и др. в 1964 f. с ПОМОЩЬЮ руБИНQвоrо
,лазера. Спиновое и оптическое эхо используют для измерения релакса-
ЦИОННЫХ ларамеТРО8 и ТОНКОЙ структуры переходов (эхо..спек.mроск.о-
пия СМ. [75])4
1) Отметим. что знзлоrичная операция КОМП..1ексноrо сопряжения амплитуды
(и ,и обр ащени я знака времени) лежит в основе эффекта обращения вОЛltО8ОЮ
фронmа ( 6.5).
\
rЛАВА б
НЕЛИНЕЙНДЯ ОПТИКА
с некоторыми нелинеl1но-оптическими явлениями мы уже встреча..
J1ИСЬ выше (э4Фект насыщения, резонансная флуоресценция). В Ha
стоящей rлаве будет проведено более систематическое описание этих
явлений.
ХОТЯ большинство нелинейных оптических явлений хорошо описы
вается полуклассической теорией излучения и не требует квантования
nОЛЯ t мноrие эqфeкты наrЛЯДНQ объясняются 11 классифицируются на
фОТОННОМ языке. НалримеРt эффект y i?!JffHIJQ ип m опш света можно
представлять как результат rэлементарных треХфОУQННЫХ пр о цес с ов;
в каждом из которых в результате взаимодеЙС ТВИЯ IIОЛЯ с вещество
уничтожаются а аю ero света накачки) и рождается ОДИН
фОТОН с ДВО ной энерrией 2 ro (рис. 641, а. 3 р.исунка яСН6 .- чт о'.п --
ско Льку веЩе<.l1Ю Б резуЛЬтате про цесса не изменяет ИСХОДНОЙ ЭНерrии
(такие процессы называются па амеmрuчес"u мu), .ТО энерrия рОЖДаю---
щеrося фотона ровно в два рт превышает энерrию фотонов наКаЧКИ4
В случ биrармонической накачки с частотами 0)1) Ы 2 вещество
излучае т фОТОНЫ с ком инациоинои частотам: 6)0== (01 002 э4Фекты
сложеН tfl( и & lч u пlанuя ЧllCтrwmы. СМ . р НС 4 6 . 1 , 6 и в) ЧНО ОПН
СЫВаются четырехфотонные процессы и процессы более BbICQKOrO по-
рядка. В пара.меmрuческом zeHepatпope свепlQ 11 пр" соответствующем
............... ........... .. .
спонтанном процессе пара.меiпР. llч еском; ассеянuu света проис
ХОДЯТ процеССЫ j обратныеёл. ию двух частот+ десь ОТОН нзкаq..
ки распадается на два фотона с дробными частотами; (оо:......+..шl+ю з
(рис. 6.1, с). . _'I. &
Эффективность параметрических ПрОllессов в случае М8КРОСКQпиче--
коrо вещества резко увеличивается при выполнении закона сохране...
ния импульса для фотонов:rk 1 +k 2 ==k о . Это равенство называется уело-
M 'Y!PsmpaHCmвeHHOi!O cu'h :Ma 'или фаз060М СQ2лаС06ан uя.
При ....ff: tш.D. ам,еmDu.ческ.uх пpnlffCft;l X вещество изменяет сво ю энер"
rИЮ t переходит на друrне уровни НаnримеРI при ДВУХфОТDННQМ по..
rлощении два фотона накачки уничтожаЮТСЯ 1 а атом переходит на воз-
бужденный уровень (рис. ltб, д). Такие процессы ПрИВQДЯТ I{ нелиней..
ному поrлощению, пропорuиональному квадрату интенсивности поля..
При /1.а,ман.овс ком дв X=HH п;Ppyпi'lr УИUЧ1:0жаЕ'ТCJ! lf .ро жn ае lСЯ
ПО одно ТвIlУ .е различной qиер rией..(РllС.. 6.1, Ж. з)
Все эти эффеl(ТЫ f КаК параметрические, так и нелараметрические t
ШИрОКО используются в нелинейной спектроскопии. а также для изме-
нения частоты KorepeHTHoro лазерноrо излучения. БОЛЬШУIО роль иr-
рают нелинеЙНО.ОПТllческие эффекты в nроблемах л.азерноrо термоядер"
111
lIDro синтеза JJазерноrо р.азде.ления ИЗОТОПОВ лазерной химии и во
мноrих друrих ооласtях квантовой ЭJlеК"РОНИКll. Заметим также, что
воз.мо:ж. ность квa.H O усиления прuнцunuaльно С8ЯЗШlа с н.единей..
н:остью оещесm8Й 1 так как в линенной системе уровни энвиднстантны
Н ВЫJJужденное излучение всеrда компеНсируется поrлощением.
.......
..... --- ........
I
4
D
,
1
.... -- ....... ....
...
......... .......... ...... ..... ..... .....-. ..... ..... ..... ....
1 8 Ж 3
Р не + 6 + 14 Элем ентз р н ые ми оrофотон ные лроцессы Спл ош иш rop изо.нтал ьные .1 I Н И J.f
изображают реальные уровни 9нер rки веществ.з, штриховые виртуальные уровни;
стрел к и на пр 3 ВJJ е н н ые ВЕе р Х '............ поr 1 ощаемые фоro НЫ) ВН ИЗ И эл у чаемые, ж и р I-I ые
стр ел к н фотОНЫ I1 ер в и ч н OТQ из..п уч H Н 51 (н а к а ц к И), roH1< ие ........ в тор и ч Horo ил 11 споя'"
таниоrо излучени я; вер х иий ряд.......... тре хфоroнные парзметрические (коrереитные)
процессы, 1:1 иж Н ий....... АВ У ХфоТQН ные неп ар aM€"TpH чес к не; а) ленера ин я 810 рой r армо'"
иики; 6, в) сложение и вычитание частоты; t) параметрнческое рассеяние; д) нере--
ЗОН ане н ое и р еэо н.а нснot (к.ас кадное) дВ YX ТOH ное поr л ()щен ие; е) да у хфо ТОI:I:К ое
иэл уче ни е (вы нуждем н oe ВЬ1нужд.ен h.O--СЛОНj3 н H И Ц и с.1' О c;nc,и,.a'И и-ое); :ж.., з) 'C.TOK
СОВЫ И антистоксовы р.амановские прDЦессы
При количественном описании KTOB нелинейной оптики, как
Н в линейной оптике, используется разделение теории на две части .........
микро" и макроскопическую Целью микротеории является ВЫЧИСЛе
яие поляризации вещества Р(Е),. возникающей под действием заДан"
Horo ПОЛЯ Е (в общем случае НаДО учитывать и маrнитное поле 11).
Уравнения движения заряженных частиu НeJIинейны поэтому функция
ИJ1И, точнее ФУНКUНОНЗJl Р(Е) при раз...'10жении в ряд содержит квадра-
тичное по полю слаrаемое x f2 'E', кубичное '1}3!Е3 и T д. На макроско-
ПИЧесl\ОМ этапе вычислений функиня Р(Е) подстамяется в уравнения
Максвелла и отыскивается самосоrласоваиное решение Et 11 при за-
данных источниках ПОЛК ИJ1Jl rраннчных значеННЯХ4 В соответствии
с этой схемой в i 1 обсуждаются общие СВС)Аства 1,{n},. В 2 рассмат-
118
риваются РЗЗJIИIIные модели оптическоrо анrарМQНИЗМ8 Вещества" пcr-
зволяющие оценить 1}п } а в 3 5 основные задачи (и методы их
решения) макроскопической иелинейной оптики, здесь же описываются
некоторые наблюдаемые эффекты. .
Надо отметить" что нестаUИQнарные задачи неJlинейной оптики не'"
ооходимо решать с ПОМОЩЬЮ совместных уравнений ДЛЯ поля и ве...
ществз (без использования восприимчивостей)4 Например, количест-
венный анализ эффекта саМОllllдуцированной п розра чнocrи ( 5.1 )
требует COBMecTHoro решеНИf) уравнений Максвелла Блоха.
Более под у: обно с НeJJинейной опmкой МОЖНО познакомиться с по..
МОЩЬЮ работ 2 t З. 7 14 t 22 t 33----....4] 1 66.......70 J В последнее Время быстро
ра38И ваетс)} новое на правление .......... нелuнейная оптика поверхности (76 J.
ОДНО из наиболее интересных явлении этой области 2иейнтское КОМ-
/5инационное рассеяние свеТа молекулами адсорбированными На шеро..
1\оватой ПQверхНОСТИ металлов. Сечение TaKoro рассеяния На песКQJlЬКО
порядков лревосходит сечение обь(ЧНоfО объемноrо рассеяния (в расчете
на одну молекулу).
6 t . Нелинейные восприимчивости опредепени я
и общие свойства
Прежде чем анализировать различные механизмы оптичесКQrо ан..
rармонизма, ц-елесообразно ВЫЯСНИТЬ оБЩl1е СВОЙСТВа (например. сим..
метрию не.лИНейноrо отклика вещества), не зависящие от 8ыбранной
конкретной модели 4 Для ЭТQrо обобЩИМ понятие феноменолоrической
ВОСЛ рНИМЧИВОСТИ вещества (9 4.1) На нелиней ный случай.
Нелинейные восприимчивости.. Пусть на вещество действует поле
.ос ДJfCJ{peTHblbl спектром
Е (t) == (1 12) Е п ех р (....... iffi n t ) + К. C t n == 1 t 2. · 4 · (6.1.1 )
п
Уравнения движения заряженных частиu вещества нелииейны. В ре...
зультате индуцированные полем (1) смещения зарядов и, слеДователь-
но, поляризация Р(!) будут содержать фурье--компоненты Не только
с частотами действующеЙ силы Ш nt НО И С I<омбинациями этих частот
(J)n:f::.oom в том Числе с кратНЫМИ частотами 2со n и с нулевой частотой
(оп ...........ООn ====0.
Оrраничимся Сl1ерва квадраТИЧRОЙ по внешнему полю нелиней.
ноетью; тorAa феномеНОJIоrическая связь спектральных компонент
nоляризаuии вещеСТВа и напряженности электрическоrо поля Имеет
вид
p 't.) ;:;::.1}'ZJ (001 t 6)t) Е l Е '"
(6.1 2)
тде PfJ комплексная аМllли:туда колебаниii поляризации с частотой
wo-===-roi+Ю2 причем пока полаrаем UJi#Юz. Определенная ЭТИМ равен--
СТБОМ квадратичная воспРUUМЧUБОСmь (или квадратичная noлярuзуе"
","ость) xt'! связывает три ВеК10ра и поэтому является тензором третьето
раиrа. Форма записи (2) Не связана с определенной системой КDОрДИ"
нат {часто используют также обозначение с двоеточием: Po::X(ZI:E1E,).
119
Ес и же фиксировать какую-либо декарто.ву систему координат, то
(2) примет ВИД
Р (2).......... (2) ( f.... ) Е Е
оа .......... Xa;p"t" 'Ul J 002- 1 ti 21'.
y
(6.1 3)
в Дадьнейше l знак суммироваНИЯ по «немым» индексам Р, у будет, как
это ПРИНЯТО, олускаться
Кажда я из 27 компонент xk'2Jv (ы . ы"') тензора x.{1 является ФУНКUИ"
ей yx независимых apryMeHToB Фt ю' принимаюLЦИХ значения ОТ
oo До +00. Поскольку фурье--компонеиты поля и поляризации КОМП
леКСНЫ j То x y........... также комплексная велi-tчинз и Bcero имеется 54
действительных функции ОТ двух леремеННЫХ4 ОднаКО t как будет по..
казаНQ НИЖе между ЭТИМИ функциями существует целый ряд связей"
уменьшающих число независимых веЛИЧИН4
АНЗJJоrично (3) определяют нелннейную восприимчивость произ
Вольноrо порядка:
Р {т)....... (т) ( ) Е Е
I)a .......... Ха:а 1 ...ат 001 J 4 · 1 ООт la 1 ... тtXтt
(00' ===: (0) + ")2 + · + О)т
(6.1.4)
н ап ри Mep кубическа я восп риимчивость Х ВVб «(О 1 t 00'2' (оз) я 84.1) яетс я
теНЗ0РОМ четвертоrо раиrа, каждая из 81 комплексных КО11понент
KOToporo зависит от трех непрерывных артументов. ЗамеТIJ t, что
декартовы индексы а., р, t.. можно также рассматривать как apry
менты функции х(Щ>t приtfимающие по три дискретных значения
Символически СВЯЗЬ поляризаuии и ПОЛЯ можно записать в ВИДе
степенноrо ряда:
Р(Е) == xtт)Eт.
т:;:;;::О
(6.145)
в спектральном представлении эта связь аJlrебраическаЯJ а ВО вре..
MeHHQi\1 ПОД Х!I1I' следует понимать интеrральиые операторы Ядра
ЭТИХ операторов х{т} (t 1 , . · t, t m ) (МN.Oс08ременн..ш функции [рина
или функции отклика вещества) определяют через спектраЛЬНую
восприимчивость x т} (001" . . ., Ют) С ПОМОЩЬЮ lп KpaTHoro преобра-
зования Фурье (ДЛЯ т 1 СМ. (4.1.7)), причем, как и в линеЙном
слу чае (9 4.]) t n рн нцип Л ричи н ности п РllВОДИТ К И HTer ральным СНЯ"
зим между вещественными lt МНИМЫМИ частями х(т> типа соотноше-
ний Крамерса Крониrа.
Для учета действия маrнитиоrо ПОЛЯ вместо (5) следует писать
ДВОЙНОЙ стеnенноlt ряд х,тn)ЕтНn. В некоторых эфrpeктах нели...
нейной оптики проявляется nространетвеНН8Я дисперсия, которую
МОЖНО описывать зависимостью Х{ID) не ТОЛЬКО от ro Jf .. ooт t НО И
ОТ волновых векторов kl . · t kf4.
СОРазличиые опреllеJlения. Часто используют определение спект
рзльных амплитуд Ё п" ОТ личающееся от прин ятоrо здесь (1) коЭf.j)...
120
фициеНiОМ 1/2:
Е (t)::: Ё" ехр ( i(J)tlt) + к. C Ё п E,J2.
lt
(6 1 6)
Аналоrично npH Ы О +: о p =: P{j/2, так что нз (2) следует д.пя квад"
o.t 'u
ра т IIЧ НОИ нел и неИНОС1 11 :
p 1.) ===(1/2) х(!) Е lE i 2х(!) Ё 1 Ё 1 === X( ) E1E 2. (6.1 + 7)
Таким образом двум различным определениям спектральных
амплитуд поля и полярнзаиии соответствует следующая связь между
восп рн ИМ ч ИВОСТЯМI1 lп.. ro порядка:
х (1ifJ 2Лl lX(l/i) J (Od *- О.
(6+1+8)
Исключением из правила (8) ЯВЛЯЮТСЯ ВОС П РИИМЧИВОС1И чеТНQrо
по рядк а пр и 000 о t описываюЩие Э<РФект оnmltческоzо 6ЫП рямления.
Для них РО == Pr; и
x tтJ -= 2 т х{т),
Ю О == О.
Предположим теперь, что МОЖНО пренебречь инерuионностью OT
клика среды (безынерционное или К lейн.мановск.ое приближение,. до-.
пустимое в случае" коrда частоты поля и их комбинации ,:rJежат в окнах
прозраЧНQСТИ вещества). При ЭТОМ поляризаЦJlЯ MrHOBeHHQ сдедует за
полем и в случае т=::::2
P ) (1) X C1. vE t1 (t) Е)' (t) (6.149)
r де х.......... некото рый вещественный посто ЯИН Ь[Й тенза р · в частноет и J
P t) (t) == хх хх Е : (t) + 'X xyE х (t) Е у (t) +
+XxyxEy(t)Ex(t)+XxyyEи(t)+ t.. (6.1.10)
З э-т оrо примера ВИДНО, что физический CMblCil имеет ЛИШЬ сумма
Xrxj1V + Xr.c'VP' ПО отдельности эти компоненты не н З 1еримы поэтому
теНЗ0р Х симметричен по последним индексам а теНЗ0Р itln! nO
всем индексам кроме первото 1). Полаrая в (9) поле биrармони-
ческ ИМ t полу Ч И?\.I
P ) (t) """ (1/2) Х {j" Re {II ' 2 [EIli>E ,\, + Е,фЕ",\, ехр ( 2iw"t)} +
+ 2Е !{jE 2'\' ех р [ i(ЩI + (о}2) t] + 2Е IfjE;" ехр [ i «(O}t (0)2) t] } . (б.] .11)
Первое слаrаемое описывает здесь оптическое выnрямление Вl'орое
rенерзuИю rармоник, третье 11 четвертое............. сложение 1I вычитание
двух частот
1) Ниже из энерrетнчеСКI1Х соображениfl покаэаИО t что т нзоры Х Щ} пол"
JIОСТЬЮ СИ мметриЧНЫ
121
с друrой стороны, из определения восприимчивости (3) следует
(индекс порядка восприимчивости будем иноrда опускать)
p !> (t) == Хар'Р (Ы пt ....... юл) Eп.вE y+
n.= 1, 2
+ Re { 1: Хар,? (ы n , ооn) Enr,E nv ехр ( 2i(jJlJt) +
пс I t 2
+ Xrxpv (0)1, (2) Е l E 21' ехр [ i (001 + (01) t] +
+ Xall'l' (U>1' ffi,) Е ч Е;'" ехр [ i (ffi 1 ffi,) t]}. (6.1.12)
ера вн ива я ( 11) и (12) находим t ЧТО В бездисперсионном п р и...
ближении имеют место связи
х (ш. 0)1) 0:= 2х (ro t ы) == 2х (ю. ........(0) == х
(641 .1 З)
(здесь u/ -+ (U =F О). Аналоrично МОЖНО покзззть, что Х (OOt О) 2Х:
Первое равенство в (13) сохраняется, очевидно" " при учете ДИС--
пере ии" если только (t) и ro' достаточно близки. ИтаК t каждая кож..
noненma тензора Х (ш ro')t рассматриваемая как функция двух пере-
менн.ых (r) u (t}J, имееln на прямых 00' == + ro особен.н.ОСn1.b здесь она
вдвое .меньше соседних значений.
Аналоrичные особенности при совпадающих частотных aprYMeHTax
имеют и высшие восnриимчивости Соответствующие кoэфtJициенты
можно найти, повторяя вывод (13).
СПерестановочная симметрия Из определений (3), (4) следует ИН-
вариантность тензоров x т) К nерестзновкзм частотных aprYMeHТOB
вместе с соответствующими им декартовыми индексами:
Ха РУ (ro 1 , (02) == Xa.1' (Ы; p u) 1) ,
Xet!3i'6 ( Ю 1 t (1)2' ro э) :=::=:: Xaf36v (ю 1 t (1)з, 0)2.) == . ·
(6 3.14a)
(6 З.14б)
Действительно, (3) МОЖНО переписать в следующих эквивалентных
формах:
p == Xal3V (00" 001) Е28 Е lУ =:; ХаУР (00" 0)1) Е 2iEl .
Сравнение nоследнеrо выражения с (3) дает (14a).
Из (14) следует, что тензоры, опuсьюающue еенерацию ёармоник.,
симметричны по все..н UHaeКCQ.М,j кром.е nepвozo.
Друrое общее свойство восприимчивостей следует И3 веществен..
ности ПOJlяризаuии и ПОЛЯ j которая требует f чтобы амплитуды при из-
менении знаков частот заменялись на комплексно сопряженные вели.
чины.. Заменяя в (4) одновременно знаки всех частот и беря КОМЛJ1ексно
сопряженное выражеНIJе, ПOJJуЧаем
Р (J == Х ( 0)1' ..., ООт)- Е 1 · · Е f1J ·
122
Сравнивая с (4). находим (ер. (4.1.5))
I Х ( (о) l' ..., (j) т)" """ Х (ы l' .. .. (j) т ) · I
(6+1.15)
С.Прозрачное вещество. Заметим" что простраНСТвенно частотные
перестановочные соотношения (14) не затраrивают первоrо индекса.
Покажем На примере X(2)t ЧТО ero переСТдновка возможна в нереЗQнанс-
НОМ случае t коrда все частоты лежат вне резонансов веЩееТВЗ4 Введем
ДЛЯ симметрии в обозначение восприимчивости третий частотныЙ apry-
мент:
.......
х (ю., 00.2) == х ( o)o; 001' (02) == 1012 == х О12 ., (6.1 16)
rде знак перед комбинационной частотой <.00 -= И 1 + 002 обеспечивает
равенство нулю СУММЫ всех трех арrумеитов восприимчивости
(8 последнем равенстве учтена связь (15)). Заметим,. что иноrда
удобно использовать также такое обозначение:
Х (.......... Ю(J; Ю 11 (02:) == х (000 == (01 + 002)4
Найдем МОЩНОСТЬ поrлощаемую в единице объема вещества З3
счет квадратичной нелинеЙНQСТИ в случае ТреХ частотноrо поля. Со-
r лас но (4.1.1 О)
2
:Р(2' -= Е .jмt,)::: (1/2) (Оп 1т E . Ph 2 ) == j)o + l + I. (6.1 17)
11=0
Отсюда в соответствии с определением (3) парциальные МОЩНОСТИ
равны
fP 0== (1/2) (йо 1т X1 EOrJ.E lpE JY1
1 == (1/2) 001 1т xM E; EoaE;", (6.1.18)
ffJ! == (1/2) ю , 1т X E E;BE00j4
Отметим, ЧТО 3 нвк И И величины мощностей п зависят от фаз полей
ИЗ (18) с ПОМОЩЬЮ (15) находим
:p( H -= (1/2) 1 m [(01 (xr x&i ) + Ю а ( X Ь x A :) ] Е;а Е 1е Е 21'. (6+ 1.19)
Если все три частоты лежат вне резонансов, то лоr лощение отсутствует
и вещество лишь пере распределяет энерrию между тремя частотными
компонентами ПOJIЯ, причем доля n й компоненты соrласно (18) про-
порциональна ООп.
В Прозрачной среде ==O" и ТаК КаК комплексные амплитуды Е па
произвольны то выражение в квадратных скобках в (19) должно обра..
щаться в нуль. При ЭТОМ частоты из за слабой дисперсии также можно
считать произвольными, так что коэ4хРициенты при 001 И 00: ПО отдель-
ности равны нулю. ИтаК t в прозрачной для всеХ трех частот среде-
к автоматической симметрии (14), не затраrивающей nepBoro ИНДекса,
добавляются следующие связи:
'01 2 102 "21 о"
Ха Р1 == Xt3ctl' ::;;;;;;;;; Х 1' C( ·
(6 1420)
123
В общем случае нерезонансной восприимчивости проuзвОЛЬНОZQ
порядка x(lп) имеет месп10 полная nересmан.овочная сиММеmрия по всем.
индекса.М. Возможность перестаНQВКИ перВЫХ индексов прИВОДИТ
к соопlношенuям МеНЛll Роу (9: 6+3): tI 0/0)0 == :r 1/001 + :r :'/Ю 2 ' Резо
нансные нелине{iные восприимчивости обладают более оrраниченной,'
чем (20), симметрией ( 6+3). Например, рамановская ВОСЛрИИМЧИ
воеть удовлетворяет соотношению
,.,-1212::: ".,.3112-..
,." Х хх.х fV ххХХ
в 6ездuсnерсионном приближении х,т) вообще не завuсяпl О/n
чшп 10 ты , и поэтому n1.€нэоры восприи.м.чивости симметричны по есем
индексам.
В качестве примера использования соотношения (20) рассМОТрим
мучай (1): ........... (J) 1 При ЭТОМ с учетом (1 З)
4XetliY (О == (u 1 (Ol) == Хуеа (001 == 001 + O) (б I 21)
Здесь добавлен МНQЖIIтелЬ 4) в необходимости KOToporo 'можно убе-
диться, повторив ВЫВОД формулы (13) при наличии nостоянноrо лоля.
Восприимчивость слева описывает оптическое выnря.м.ленuе t а справа
линейный элекmрооnmuческuй эффект (эффект Покельса)" T е. изме-
нение показателя преломления п ( (u 1) на ча стоте (,)1 t пропорu ианальное
статическому ПОЛЮ Е о . ДействитеЛЬНО t поляризация на частоте (()I
при учете линейной и квадратичной восприимqивости равна
р l(t == (Xrxf} ((1) 1) + Xaf3V (001 == Ю 1 + О) Е о""] Е lР := (Мчз + Хаб) Е ljJ. (6. 1 22)
Приращение восприимчивости 8.х будет проявляться в анизотропном
изменении dn(@-sJ Таким образом, (21) связывает количественно два
различных эффекта давно известный эqxjJект Поке.льса и обнаружен-
ный лишь с ПОМОЩЬЮ лазеров эффект выпрямления света. Друrой
прнмер такоЙ пары связанных явлений ПрЯМОЙ и обратный эффекты
Фарадея (обратный Эtfфект появление статической намаrниченности,
u
пролорuиональнои интеНСИВНОСТИ световои ВОЛНЫ С круrОВQИ поля
ризацнеЙ) +
Итак. соrласно (14) и (20) mеNЗОрЫ нелuнейной воспРUUМЧU80Cmи
х(тl прозрачнОёО вещества UHвapuaHпlHbl КО всем (m+ I)! пepecтaHoвКllМ
своих частотно пpocтpaн.cmвeHHЫX aPZYMeHm08+
Отсутствие Дисс ]пации в окнах nрозраЧНQСТИ позволяет оnред.елить
энерrию поляризации вещества v (9 4 1). Если ПОЛНОСТЬЮ пренебречь
диссипаuией, Т4 е. запаздыванием отклика то ПО аналоrии с (4 1.25)
v{:! j (t) == ........ (1/3) X pyEaE tJ Ev,
(6. J 2З)
rде Е:== Е (t). При термодинамическом описании эта энерrня должна
быть добав..1Jена к плотности свободной энерrИli вещества F и к дp ....
rИМ термодинамичес.к им потенци элам ( 4.1). При ЭТОМ Р t Х {l} ИХ!)
определяются соответственно nеРВОЙ t второй и третьеЙ nрОИ3БQД-
НЫМИ F (Е) в точке Е '== О (CM (4+ 1.29)t (4 1.30).
124
Пусть поле сод ржит трИ rармоники:
Е (t) == (1/2) Е,! ехр ( i(t),.t),
п
(6.1.24)
rде
11:=::;;: :!: О t хl t :f: 2 J 000 == ffi 1 + (tJ:p U) 1 =1= 0)2 t (,) n. =/:= О,
Е E ;
ro п == W п J 1, ::'::: Il ,
тоrда средняя по Bpe eHlI энерrия поляризации будет
1'(1) == &2 ) (1)::: +----r (3!j3 I 23) Xa. E IpE2,Y + к.с.
(6.1.25)
Для учета дисперсии следует заменить Х на Х (Ю t ю'), ЧТО воз..
можно блаrодаря симметрии (15), (20) В реЗУJJьтате
V(I) ({Е n}) == (1/4) ( ! E;aElpEzy + x l?EDaE;f}E;,,). (6.1.26)
Это выражение позволяет определять нелинейную поляризаuию,.
а также Х (2J через v(:?) (ер. (4.1.33)):
Ph2 4 дV(2) !дE a4
( 6 + 1 . 27)
. Роль симметрии среды. В различных системах координат КОМПО",
неи ты векторов поля Et поляризации Р 1-1 связь[вающих их тензо
ров х<по riринимают" конечно различные значения Правило преоб..
разовзния при вращении декартовой систе lЫ координат имеет вид
...
(т) ... (т)
Ха p.t.. .......... а'Х ,"ар e r · t Хаа,. н
а, IJJ . . .
(6 1.28)
знак « ,....,» отличает HQBbJe компоненты тензора). Здесь а !\{этрица
переходз ОТ старых координат к новым; в понятне вращения мы
.....
включаем и изменение знаков всех ИJlИ части координатных осе и ,
7. е. инее рсuю н 0111ражен.u.я. Н ап ример t при и и вереи и а а 'о:. ба rCt"
так ЧТО
:;(т) :;;;;;;;: ( 1 ) т+ 1 ""оп);
J\rt).j3. р ""а,6 .. ,
( 6 1 + 29)
rде ln+ 1......... paHr тензора. Таким образом, при инверсии координат-
ной cucтeМbJ, компоненпш пlен.зоров нечетносо раиса (6 /110М числе
векторов и теНЗ0ров хвадраtпuчной еоспРUU.МЧllвоспlU) меняют знаки
на об ратные: Е tt == Е (L 't Y: 1' ........;Qb. H .. <1 ·
Для тензоров, описывающих физические СВойства вещества t суще....-
ствует определенная систеМа J<оординат, в которых теНЗ0Р ПрlJнимает
простеЙший ВИДt С MaKC JMa 1JbHblM числом нулевых и одинаковых КОМ-
Понент В кристаллах эта «естественная» система совпадает с кристал"
лоrрафическнми ОСЯМИ Например вещественные теНЗ0РЫ BToporo
paHra в естественной системе днаrональны, Х:; ==Хr.tбцВ'
Любая безrраничная среда аморфная ИЛИ !<ристаллическзя
обладает определенной си tметрией в расположении частиц, усреднен'"
НОМ по тепловому движению Формально эта СИЛfметрия среды апреде...
125
JIяется набором ( pyппo.й) из иекотороrо числа элементов cи.м.мeтpии
В частности" элементами точечной 1) rpYnnbl симметрии являются все
вращения системы координат а (включая отражения и инвеРСИЮ)t
оставляющие неизменной структуру вещества. ТЗК j мноrие кристаллы.
а также оптически неаКТИ8ные жидкости и rззы инвариантны относи..
тельно инверсии такие среды называются Ilентросu.м.меmричнЫJtUt
Своей rруппой из элементов симметрии обладает и каждое макро-
скопическо свойство среды. характеризуемое каким либо теНЗОрОМ.
Элементами симметрии тензора ЯВЛЯЮТСЯ Все вращения а{() t действую..
щие по правилу (28) и не изменяющие при ЭТОМ компоненты тензора.
НапримеРt соrласно (29) все теНЗ0РЫ четноrо рзнrа инвариантны от-
носительно инверсии.
Кажется очевидным что симметрия макроскопичееКQrо свойства
среды не может быть ниже симметрии ее структуры (принцип Неймана
(42J). Иначе rоворя ,руnna симметрии свойства должн.а включать
в себя все элементы симметрии cтpYKтypы Т. е. последняя ЯВJlяется
подеруппой rруппы симметрии свойства. СледоватеЛЬНО t если а эле..
мент точечной симметрии структуры среды, ТО в равенстве (28) можно
- опустить знак «........»1 При этом оно становится уравнением, связываю-
щим компоненты тензора x tт ) друr с друrом. Подставляя в (28) ПООЧ
редно все элементы симметрии среды atiJ получаем однородную систе-
му уравнений ДЛЯ X ).<+'" которая в изотропных средах и в кристаллах
с высокой симметрией резко сокращает ЧИСЛО ненулевых компонент,.
а также делает мноrие компоненты раВНЫМИ 1 ИНQrда с точностью до
знака.
Наиболее ЯрКИЙ пример этоrо следует из (29) в случае центросим-
метричных сред. СОfЛЗСНО принциnу Неймана все тензоры, оnисываю-
шие физические свойства таких сред, ДОЛЖНЫ также быть центросим-
меТРИЧНЫМИ t T е+ 8 (29) можно опустить знак........ 4 Следовательно" при
четных т должно ВЫПОЛНЯТЬСЯ равенство X& .+ x 8. .+t ЧТО возмож-
HO t ЛИШЬ если х,тl ==0. Итак все восnрии.ц Щt8OCпш чеmн.оео по рядка
равны НУЛЮ 8 ценmрQCu.м.меmрuчных_ средах.
Заметим, что приведенный ВЫВОД неверен в случае восприимчив
стей, описывающих маrнитные эффекты 4 Дело в ТOM что маrнитное
поле и намаrниченность ncевдовекmоры (или аксиальные векторы.
т. е. ОНИ при инверсии координат не меняют знака) и поэтому СООТ.
ветствующие восприимчивости являются псевдотензорами и при ин..
вереи (1 пре06раз уютея не по n ра внлу (29). В частности, эфрект Фа радея j
которь[й описывается связью Рl ==1') ((r)i 6Jl +0) ElffOj возможен и
в центросимметричных средах..
6.2. МОДeJIИ оптическоrо анrарМQнизма
В зависимости от особенностей вещества ero состояния, частот дей
ствующих полей и друrих условий эксперимента основной вклад в на-
блюдаемые нелинейные Э<lxPекты MorYT давать различные механизмы..
1) Термин «точечный» связан с тем, что при вращениях одна точка (начало КООР'"
дннат) неподвижна в отличие от трансляционных преобразований координат.
126
Н иже будут рассмотрены несколько частных классических Моделей
оптическоrо анrармонизма. а затем будет Дана общая квантовая схема
расчета нели ней ных восп р И имчивостей.
Анrармонизм свободиоrо ЭJlектрона Пусть на электрон (ИЛИ на
любую заряженную частиuу) действует nJJоская монохроматическая
волна Е с линейной поляризацией вдоль оси х и направлением распро...
странения вдоль оси z. При учете маrнитной части СИЛЫ Лоренuа не...
релятивистские уравнения движения электрона имеют вид (е<О)
... .. е ( 1. ) е ( 1 )
х + 2,- Х :=........ Е х ...... z н == ....:... J ....... z Е J
т с у т с
,.. 4 е.
Z+t"л l == ХЕ.
y те
(6.241)
rде 1' феноменолоrическая константа затухаНИЯ t которая обеспе..
чивает установление стационарной амплитуды после включения
периодическоrо nОЛЯ t и
E Ex(Zt t)==ReElexp[ikZ(t) i(Ut]==Hy(l, t) (6.2.2)
......... поле в точке нахождения частнuы. Затухание может вызываться
столкновениями, а также реакцией излучения потерями на излуче-
ние (радиацuoн.ное mpeHue)t Предположим ЧТО продольное смещение
элеКТрона Z мало тотда в (2) можно полаrать Z ==0 (дипольное прибли-
жение, Т. е. приближение иулевоrо порядка по kZ).
Будем искать установившееся решение (1) в Виде ряда Фурье ме-
тодом последовательных приближений по амплитуде ПОJlЯ:
R R{lJ + R(?,) + . t . == Re (R le iwt + R2e 2iwt + . . 4 )t (6.2.3)
rде R {Х t У t Z}. в первом приближении можно пренебречь дейст-
вием маrнитноrо ПОЛЯ, так что ОТКЛИК электрона линеен:
X (t) ......... е/т Е (6 2 4)
1 001 + 2iroy 1 · · ·
Отсюда теНЗ0Р линейной nОJJяризуемоети электрона, СВязывающий
амплитуды ДИПОЛЬНоrо момента d 1 +==eR 1 и ПОЛЯ El равен
еВ
aatl (ro) == (+ 2" ) б аtl . . (б.2.5}
тоо W !У
В нашей модели нейтрализующий положительный заряд отсутствует
и мы определяем ДИПОЛЬНЫЙ момент относительно начала координат
R==O. Умножив а на плотность электронов N, найдем линейную
восприимчивость ХН) ХОЛОДНОЙ (эффект Доплера мал) плазмы (ер.
(4.2.JЗ»r
Итак; при ro l' л иней на я пол яризуемQCТЬ электрона
е'
а ............ ............... ........... r "" 2;
т<u' j!/\ ,
(6.2 6)
r де f е === е 2 / тс 2 3 · 1 o 13 сМ.......... класси ческ и й ради ус электрона. Заме...
ТИМ,. ЧТО r е связан с друrнми характерными масштабами с размер.
127
НQСТhЮ ДЛИНbJ через 110С1l10Ян.ную tтlOflКОЙ структуры e"/ftc 2 ..::; 1 /1 37:
Х о /2:== 137 а о 137 2 Х( == 1373 re f
(6.2.7)
rде i__Q 2Л7\ ===.I/R 10 см длина ВОЛНЫ, соответствующая nотен-
пиалу ионизации атома водорода lЗ 6 эВ (R пwt/4л1iзс ПОСТОЯН"
ная Ридберrа)t ao !i2/me 2 5. 1 o БОрО8СКИЙ радиус и 1\, ===::: 1i.';тc
4 IO 11 см комптоновская длина волны. Пусть л == AOf тоrда
....... а == 4а: б.1 O 2 СМ З (6 2.8)
......... полярuзуемость св060дн.осо электрона в УФ.диапазон.е имеет порядок
объема аmoма водорода . т. e порядок 1l0АярuзуемоспlU С8язанноzо
элекпlрона в отсутствие резонанса.
Чтобы найти второе приближение, следует вместо R в левые
части (1) ПОДставить R(2 t а в npaBble R{l) При этом сила Лоренца
имеет компоненты с нулевой и ДВОЙНОЙ часТотой:
E !) (е I с) Х ( 1) Е ::::: (1/2) k 1т а (t Е 1 I:! + Eie 2 (ro t) . (б. 2. 9)
Под действием силы с ДВОЙНОЙ частотой возникают nродольнь[е
колебания '1eKTpOHa с частотой 2(1}4 Амплитуда этих колебаний
cor ласно (1) и (9) равна
Z ). == 8;т 2 м «(I) ;;) ((1) + ;21') + zx Ei. (6.2.1 О)
В последнем равенстве мы ввели тензор квадратичной ПОJlяризуемости
свободной частицы p связывающий амплитуды поля и дилольноrо
момента eZ !} на ДВОЙНОЙ частоте Итак, квадратичная поляризуемос:ть
(:вободноrо электрона при u>p у имеет порядок
I Р I e 3 jm 2 c(j)! =- (e /mc ) a;s ct/E5:fS. (б 2.11)
Здесь ЕIVL характерный параметр равный амплитуде ПОЛЯ t ПРИ
которой линейный н квадраТИЧНЬ1Й ОТКЛИКИ ОДИНаковы: zt2t:;;: X (1 ).
При t", ло
ЕС80б.......... e /r 1t 1 0 9 rc
NL ......... J t о............ ,
(6 2.12)
ЧТО соответствует интенсивности 10:0 Вт! CM 1). Н иже будет показа НО,
что в случае связзнноrо электрона дз>ке в отсутствие резонанса aH
rарМQНИ3М на два порядка больше:
Е е 13 З jЕ С 80б r.... / 1 3 7 r "tJ.
I\'L NL.......... Ulo/ u.r...
rде
Е {}lЗ ::::: e/2ag 1 О' r с.
(6.2.13)
1) в rзуссовоЙ системе едиииn Е и Н имеют одинаковые размерности t и ПОЭТОМ у
Е можно измерять в raycc.ax ( 1 rс==зоо В/СМ)Ф
128
Умножив Р на плотность элеКТрОНQВ t получаем квадратичную вос"
приимчивость плазмы:
, x( } J == е:1 N I m2сю 1 x{l) 11 Е'}!zб (6 2 .14)
.....I:1.raк, одИН из фундаментальных источников аН2арМОfiUЗ.l!а вещест"
ва сила Лоренца. Отметим наличие в знаменателе (14) СI{ОРОСТИ
света" ЧТО характерно Д...r1Я маrнитных эф. oX.-v
фектов. Е. . f.:r Е
Соrласно (11) отношение Z[ /Xtl) имеет
порЯДОК Е If Ep'/L' в То время как kZt2.
(EI/E IJz. Следовательно при Еt<{ЕЛjl
использование дипольноrо приб4.lJиження fLJ
ДЛЯ расчета р оправдано..
Если не учитывать статической силы
CBeTQBOrO даВ.пення ТО cor ласно (4) и (1 О)
электрон ПОД действием МОНОХРОМ8тическо"
ro поля описывает в плоскости xz «ВОСЬ-
мерку» (рис. 6 2)4 Вынужденные колебания
электрона вдоль поля XH}(t) сопровожда
ЮТСЯ ДИПОЛЬНЫМ излучением ВО все CTOpO
ны (к роме точноrо на пра влен и я оси х) это
том.соновское ИЛИ при учете отда чи t IWмп..
тонооское рассеяние. В тоже время ПРОДОЛЬ-
ные колебания электрона Zt 2 f(t) дают дипольное излучение на ч-астоте
второй rармоники падающеrо ПОЛЯ) Т. е. эффект удвоения t.{.QCпIO,пbl
света. "-\аJ\СИМУl\f излучения второЙ rармоники ПРОИСХОДИТ в попереч.
ной плоскости ХУ. а излучение вдоль направления распространения
nервицноrо поля OТCYTCTByeT Такая структура теизора квадратичной
nоляризуемости свободноrо элеКТрОНа nрепятствует Коrереитном)' сло.
жению .амплитуд поля второй rармоНИКИ в случае макроскопическоrо
образца плазмы иди полупроводника
Итак, злектроиь[ в nлазме металле или полупроводнике дают,
J<pOMe TOMCOHOBCKorO t еще HeKorepeHTHDe рассеяние с ДВОЙНОЙ частотой
и интеНСИвностью пропорuиональной :tN. Связанные элеКТронЫ в ато-
мах и МQ./Jекулах также обладают квадратичной поля ризуемостью t ко-
торая ПрИБОДИТ к некоrереитному рассеянию Н3 ДВОЙНОЙ частоте, на...
зываемому 2uперрэлеевсl\.UМ. С квантовой ТQЧI{И зрения ОНо объясняется
элементарным "рацеесом поrлощения двух фОТОНОВ падающеrо света
н излучением фотона с Двой ной э нерт ней ( р не. 6..1, а) . Пр 11 ра венстве
фазовых скоростеЙ падающей волны и ее второй rарМОНИКJI (п (ы)==:
===n (26)) так называе ое условие npOCTpaHCTBeHHoro синхронизма)
и при подходящеЙ структуре 1еНзора X t2 ' кроме слабоrо. почти изо---
тропноrо rиперрэлеевекоrо излучения имеется rораздо более интеН-
е ИВ ное ПРОДОЛ ьное издучен ие" n рОПОрUИОНаЛЬНое В 2 N2 == Х (2.2 (9 6.5)..
t Давленне CBeTa Постоянная составляющая силы Лоренца (9)
определяет статическую силу РО CBeTOBoro ДаВJJения действующеrо на
электрон со стороны беrущей волны. Соrласно (9) Fo прОПОрUНQнаJlЬ-
u u (.+ N
на мнимои части линеинои поляризуемости электрона а:; T е. pac
сеиваемой и м МОЩНОСТИ === о}а п l Е 1 \ 2/2 (СМ. 4.1.12)) или сечен ию
s Д. Н. КЛ"'UI КО
AJv!flc
z
It
.11( iМ
JЦj
Рис. 6 2 3.1JeKTpOH под дей....
СТ в Н ем П 1] ОС к ОЙ МО Н О Х ром а...
т и чес к о й Во." Н:Ы оп н с ы в ает
фиrуру Лнсс.ажу.
129
взаимодействия
о' == 9'/1 =: 4лkа",
(6.2.15)
rде 1 =- с t Е 1 12./831 интенсивность плоской ВОЛНЫ + Поэтому силу дав...
ления света можно представить в виде
t F ka" I Е 1 12/2 == ,? / с "'" (f /f с · 1
(6.2.16)
Под действием этой силы электрон будет ускоряться, однако
в плазме столкновения прнводят к установлению постоянной дрей
фОВОЙ скорости i 0== F о/ mi t r де у == 1/1: И t"........ Бре lЯ между столкно-
вениями (наЛОМНИМ t что у..........сКоросТь затухания колебатеJJьноrо
...
Двнжения которая может превышать 1'). Возникающий ВДОЛЬ луча
света постоянный TOK t nропорциональный I Ell! МОЖНО рассмаТрll
вать как эqэфeкт оптическоrо выпрямления (в диэлектриках эффектом
выпрямления или dс эффекmом. называют появление стаТlJческоrо
поля Ев rv , Е I 12).
Пусть ro 1't тоrда соrласно (5) aп 2ye'J./mf.iJ a . Оценим Fo в слу.
чае t коrда единственная причина затухания колебании электрона
потери на излучение (раДl1ацнонное трение). COrJ1aCHO (1) сила тре-
ния в первом порядке равна 21'mX o. Умножая ее на скорость
ХН) и усредняя по периоду, находим МОЩНОСТЬ потерь: ::= 1'тro'2
r х(:) r 2+ Приравнивая это выражение мощности ДИПОЛЬНоrо излуче..
,ни я (542.3), получаем
2i/OO ::: rJ/' Ja' === 2r eI3"-.. (6 2. 17)
ЭтОТ же результат следует из (5.2 8) в случае единичной силы oc
ЦИЛЛ ятора (4. 2 23) . Телер ь (16) пр ин и мает вид
\ F о == ( I Е 1 12/3. I
(6.2.18)
Сравнивая (16) н (18). находим томсоновское сечение для рассеяния
На свободно электроне:
О'т -= 8лr /З.
(6.2 19)
с фотонной mОЧКlL зреНUJt давление света возникает в результаmе
передачи злекпzрону U..l1пульса пО2лоu аемых фоmонов u сuм ..wетРllч1tоео
mOMCOH08Cк.ozo (или KOJ.fптOH08CKOe.O) их переuэлученuя 80 все стороны.
ПО;J.черкнем что мы рассмотрели ЛИUlЬ среднее значение силы, Которая
испытывает квантовые флуктуации [43Т.
Мы нашли силу CBeTQBOrO давления на свободный электрон в случае
беrущей БОJlНЫ4 Аналоrичный анализ МОЖНО провести и для более
сложи ОЙ л рос'Тра нствениоЙ КQНфJi ry раци и CBeTOBoro поля (отклонение
элеl{трона в лоле стоячей волны называют эффектОJJl Капицы Ди..
рака). Существенно, что в неоднородном поле средняя по периоду
сила Лоренuз возникает и при а."==о. В ЭТОМ случае Fo определяется
130
MHoro большей величиной a f и можно nO J]araTb аН ==0. Эта сида связана
с обменом между различными плоскими ВОJТlнами и называется вынуж-
денной (8 отличие ОТ спонтанной силы (16)).
Смещен не элект рана I1R ( t) под действием МОНОХ роматическ oro
поля равно аЕ (ROt t)/e t r де С(.::;;;;:......... nle t / ro 'l поляризуемость 11 R
невозмущенная координата электрона Отсюда находим среднюю силу
Лоренца:
Fo:=: аЕ х 1fJc == k 1т aEw х ";/2
(6.2Ф20)
(последнее выражение применимо и пр" комплексной поляризуемо...
сти). ЗамеТИМ t ЧТО в ПЛОСКОЙ беrущей волне Е н sin 0)[ cos rot .........,. О
11 ЧТО В общем случае СИ 1'Jа Fo не ПрОПОрUИQнальна среднему вектору
ПОЙНТИНrа 80 == с Re Е х Н;/8л.
Рассмотрим случаЙ двух П.ТlОСКИХ ВОЛН:
2
EfJ) ==:; Е п ехр (ik n t Rt + iq1n)t
п=1
Н 11:;;;;;;;;: k n х Е h't k n .:::;:; kjiЮ!С.
При а." == О в (20) остаются лишь «перекрестные» компоненты:
F{}::::; (1/2) ak 1т (E 1 х н; Е.; х "1) ei -=
== (1/2)a 1т [ 1k (Е 1 .Е;)+ Еl (Е; +kl) E; (E 1 .k 2 )] ei \ (б 2.21)
rде 'l1==l1k.Ro+ff дk kl k2t q:' <Pl f.P24
Леrко убеДИТЬСЯ t ЧТО часть Fot пропорциональную !:!k, можно
представить в «rрадиеН1"НQМ» виде с эффеКТИВНЫ f потенциалом a:E2/2
(происхождение множител я 112 ясно 113 (4.1.25}):
F м == aV I Ею 12/4.
(6t2.22)
3амеТИf\-1" что эта часть Fot называемая силой МUАЛера t исчезает
соrласно (21) при ортоrональных по..rtяризациях ВОЛН+ В случае встреч
ных волн (k 2 -= k l ) с одинаковой линейной пол я ризаuией РО::: F м:
Fo == .......... ak 1 Е l Е 2 sin (2k 1 .R IJ + (р).
( 6.2123)
Под действием этой силы заряженные частицы стремятся серуппиро-
ваться в узлах стоячей волны.
В общем случае поле состоит из HenpepblBHoro множества плоских
волн и силу cвeTOBoro давления МОЖНО найти интеrрированием (21)
ПО k l И k 2 (при ЭТОМ rрадиентная часть (22) сохраняет свой вид). OTMe
ТИМ t ЧТО при учете отдачи электрона частоты взаимодействующих волн
различны. Соответствующее явление называется 8ынужденншt эффек.
том Комптона.
Рассмотрим далее силу давления света на связанные в атоме или
молекуле элеКТРОНЫ t Т4 е. на нейтральные поляризуюшиеся частицы.
Будем ИСХОДИТЬ из эффективноrо потенциала вида ауэ:= d. Е (r),
S. lЗI
rде d.......... JJндуuированный дипольный момент и r координата центра
масс чаСТИllЫ. Отсюда ( С:\1. (4.1 З6))
I F == V d и). Е (r, t ! (6.2.24)
или F tX df1 дЕ B/ax rx . Полаrая здесь
Е х == (1/2) Е lе' (k2 юt} + К. С4 == Е(+} + Е( \
dx==a(oo)E(+)+K. с.
и выделяя постоянную составляющую. ПОЛучае t снова (16).
РаСС IОТрИМ сперва резонансное Давление Пусть затухание опять
обусловлено лишь собственным 1fзлучением частиuы, T е. резонанс-
ной люминесценцией (9 5 2)t тоrда резонанс имеет МJlНИi\.JВnЬНую
(естественную) ширину 2YPilr1 == А. При этом соrласно (2.3.9) а== 2лJ\Z
и из (15,. (l б) следует а, " =:. 7\3/2 И
Fn== ]0:.21 Е 112/4 ! . (6.2.25)
Таким образом.. реЗОНQнсное давление света на связанный элеКll1рон.
6 Z.lr: 1376 раз 60лыuе't чем на свободный (при ра;Iиационном зату"
хании). Это различие определяется ОТНQшение:\1 сечений резонансноrо
и TOMCOHOBCKoro рассеяннА.
Оценка (25) относится }{ случаю, коrда заселен только нижний
уровень, вообще же
а" == (1/2) 1\ з д :=::: Х 3 (IJ) 12 (1 + 2 W tJ Т 1) t ( б + 2 . 26)
rде 1. и .1. {о).......... относительные разности Н8селеНИQСтей с учетом насы-
щения и без Hero (э 4 3)1 Wо вероятность перехода н Tl BpeMR.
продольноЙ релаксацин При радиационной релаксации Т 1 1/ А.
COfJl3CHO (26) при инверсии HaceAeHHocпzeu сила давления направлена
НCl8сnzречу лучу C8elua t ЧТО на фОТОННОМ языке объясняется отдачей
фОТОНОВ, излучаемых при вынужденных переходах вперед.
При СИЛЬНОМ насыщении поrлощаемая атомом МОЩНОСТЬ ? co
r ласно (4.3.22) равна Аоо1. (О) /2Т 1" так что и з (16) следует
l p == n'-k!'J. (q) {2Т (6.2.27)
-...... сила прОnQрцuональна импульсу падающих фотонов и числу рассеи..
ваемых за единицу времен u фотон 08 . Пусть , 1 м к м и А == I О. C 1
тоrда Fo===3.10 17 дин И при пl==3.IО 2З r ускорение достиrает IOG см/с 2
(интеНСIIВНОСТЬ наСhlЩзющеrо света при ЭТОМ MHoro больше 10 Вт/см 2 ).
Резонансное Давление лазерноrо света пре;1.0ставляет не06ычные
ВО3 fОЖНОСТИ; с ero ПО JОЩЬЮ можно ускорять, ОТКЛОНЯТЬ t Фокусиро
В8ТЬ пучки неЙтральных молекул, разделять" И30ТQЛЫ t «пленять» моле...
кулы в оrраниченной области лространетва t У.\lеньшать их тепловые
скорости 143].
132
СТРИКЦИОННЫЙ анrармонизм.. Пусть теперь все частоты ПОЛЯ лежат
в области прозрачности вещества t тоrда IОЖНО пренебречь дисперсией
11 nолаrать поляризуеМQСТЬ частиц вещественной константоЙ. Прll ЭТОМ
сила принимает вид
F:== aV E'l/2:== aV Е( + + Е( ). (6.2.28)
Здесь черта означает усреднение по высокочастотным 1{ОЛlпонента 1
ведЬ Нас интересует статическая или )dеДЛенно, по сравнению с часто-
тами поля и молекулы, еНЯЮЩаяся ЧастЬ СИЛЫ которая действует
на молекулу в целом (обозначения Е(=) СМ. В Э 7.2)..
rраДltентноЙ с!:ле (28) соответствует эффективный потенциал моле-
кулы == aE /2.
Плотность дополнительной. энерrнн вещества и плотность СИJlЫ
В оптическом nо ,-е будут в N раз больше (c (. (4. J .32)):
v== xFJJ2== (n2 1) /8л,
i x VEi / 2 ,
(6.2.29а)
(6.2.296)
rде Х == х(! ::::: aN, N плотность олеКУJlt которая nреДПQлаrается
ОДНО родноЙ и п ==: ::. f. показатель преломления.
Мы здесь nренебреrЛrf взаимодействне 1 молекул, ЧТО допустимо
ЛИШЬ в случае достаточно маJ10Й N. Можно поназать, что в общем
случае ( \I [22], C 361) следует в (296) сделать заМену
Х Р ( : )T * ( )T> (6.2.30)
rде р...........плоТНос:rь вещества. Налример нз формулы Клаузиса Мо
зотти, которую леrко получить нз (4 2 9):
Е 1 4л
Е +2 ==: 3m p (6.2.31)
следует
1 ( др ) ( д ] n Р ) 3
Р де т:==: OF д € т -:::;;: (е 1) (е + 2) "
так что в случае плотноЙ среды (296) надо У.\IНОЖИТЪ на поправку
Лоренца (е + 2)/3
в беrущей плоской волне vF Не имеет постоянноЙ составляющей,
поэтому F О (МЫ рассматриваем сеЙчас область, rде a,Jt == О 11 свя-
занная с ДИССllпаuней спонп1йнная сила (16) исчезает)+ Однако в стоя-
чеЙ плоской волне Е 2Е 1 cos (kz) CQS (о)(), и нз (28) следует (Ср4 (23)):
F z == ak E sin (2kz). (6 2 32)
Таким образом, при а.>О частицы будут собuрап2ЬСЯ 8 пУЧNосmях
8QЛJiЫ. Си лу (32) пропорциональную поля ри з уемости называют вы.
нужденной.
В оrраНИЧенныХ пучках света существует статический поперечный
rраднент квадрата поля и частицы при а>О стремятся к ОСВ пучка.
133
в стаuионарных условиях ПЛОТНОСТЬ силы (296) должна компенсиро-
ваться повышением даВ.,1fения dp и плотности частиц L1.N в uеНТраЛЬНОЙ
части пучка:
...........
Gp == tl x E -:'/ 2 ,
1N / N == l.р/р === T !ip,
(6.2-33)
(6 2 .34)
rде Рт изотермиqеская сжимае ость веЩества. Эти формулы оnисы..
вают эффеКtn электрОСl1lрUh ЦUU в свеmoвом. J10Ae.
Приращение плотности частиu в луче света вызовет изменение
ВОСПрН11МЧfl80СТН вещества
f1x == с( л.r == TX21 Е 1 12/4. (6.2+35)
С друrоЙ C10POHb[ по определению
Р\ЗI ::=: Х(З) (О) -:=: ro (I) + 0)) I Е 1 i 2 Е 1 :=; :!1xE l'
так что мы получаем для вклада э.пектрОСТРНКUlfИ в кубическую
ВОСПрИИМЧИВОС1Ь выражеНl,е
х(М == PTX (1 ) 1/4. (б. 2.36)
Отсюда находим характерный нелинейный параметр
Е 2. :=== "'\f' 1) / ",,(з) 4 tR Х \ l}
.'\.. L л 'or ....... 11.1 Т.... ·
( 6.2+37)
в ЖliДКОСТЯХ п 1,5 (х;:::-; 0,1) ]f , 1 О lU CM i дин (напомним, что
1/pv 2 , rде V..........CKOpOCTb звука) так ЧТО X CJ1 lО iЗ смЗ/э.рr, E VL
106 rc.
rраДJtентная сt{ла (28) и соответствующее давдение (33) имеют
большое прикладное значение; ОНИ позволяют rенерировать мощные
ультразвуковые волны с ПОМОЩЬЮ биrаРj'10нических лазерных полеЙ.
Этой же СИL1JОЙ объясняется эффект 8blнуж;деНН02D рассеяния Мандель"
Шtuа.ма Брuллюэна (СМ4 ниже). Стрикционная нелинеЙность (36)
является ОДНОЙ НЗ причин саМофОКУСUРО8КU света (друrой важнь[й ме-
ханизм оптU1tеск.uй эффект Keppa Т4 e ориентация анизотролных
молекул в ЖИДКОСТЯХ в луче света с линейной поляризацией CM
ниже).
Анrармонический осциллятор. В классической ТеорИИ дисперсии
Лоренца ( 4.2) электроны в aTO lax полаrают rармоннческими ОСЦIfЛ"
ляторами. Естественно рассмотреть оптическую нелинеilность вещесrВа
с ПОМОЩЬЮ модели анrармоническоrо осциЛлятора Пусть частица на..
ХОДИТСЯ в потенциале
'1.;;, (х) == тооБх 2 /2.......... mllХЗ_:3 .....,...еЕх, (6+ 2.38)
тде е заряд частицы If 11 мальrй napaMeTp определяющий откло"
некие формы потеНllиальной ЯМЫ от параболической ( Я простоты
берем одномерную 10дель). Из (3В) находим уравнение движения:
Ьх == ; + 2у; + ro:х еЕ 1т + 1)Х!. (6. . 9)
134
l1усть внешнее лоле Е ......... биrармоническое. Будем искать стацио-
нарное решение в виде ряда теории воз ущений:
х (t) == х(т) (t) х(т) f)m J Ет t (6.2.40)
т
rде "1-= 1,. 2t 4. 8, . +. Подставив (40) в (39) и лриравняв слаrаемые
одноrо порядка маЛОСТИ t получим решение с ПОМОЩЬЮ итераций:
ЬхН} =: еЕ....,п . bx(2тJ tjX<т) 2. (6.2 4-])
в первом порядке
хН) === R е (х le.... i ЮJi + X .... i(.):l/) t
Х " Gt ((1)71) En/et а. (ffi) == e 2 /тD ((t))t
( 6.2.42)
rДе
D (ro) ==- OO (й ......... i 21' u) D* (......... u)).
Во втором порядке соrласно (41) возникают компоненты x(t)
с частота IИ О,. 2о)р 2002. ' О). + {t)2. PaCC:-dОТРИМ ОТКJlИК Х З на частоте
ЮЗ O} + 6)2,+ Из (41) при п-! === I следует
X:t 11xlx:/D (OOa)-=== «(t)э=:::w 2 + (1)1) Е zEt!e,
rде
р (Юз === ОО:! + 0)1) == че З / п1 ;!D (ооз) D (UJ z ) D «(1.11)'
(6+2.43)
При (,)1 :!: (I):! содержит дополнительный множитель 1/2 (СМ. (б.l.13)t
В соответствии с (бr 1414), (6.1.15) .поляризуеМQСТЬ инваризнтна к пе-
рестановке местами двух последних aprYMeHTOB а также кодновре..
менному изменению знака всех трех частот и МНИ:vIОЙ еДИНlfUЫ4 Однако
соrласно (43) перестаВJlЯТЬ первьв1 apry eHT СО DTOpbI 1 или третьим
можно лишь при отсутствии резонанса На перестзвляемых частотаХ t
коrда j О)п (o()j;Yy (ер. (6.1.20)). Переход от поляризуемости ОДНоТо
осuилл я Тора к восп р И ИМ Ч и ВОСТIf среды Х 2) осуществляется У:\fноже..
инем на плотность частиц N.
Итак модель ане.армонuческоео ОСl,uллятора предсказываеlп резкое
увеличение квадратичной полярuзуеJ1tосmu (8 Q ==: ooo/2y раз) вблизи
резонансов КО2да один из nlpex ее аР2УJИенmов nрuб..1uжается к соб-
сrп.вeнной часmОПlе ыо. Пр I1 ЭТОМ ста НQБНТСЯ КОМ П..rfек сноЙ величи ной.
Из сравнения (43) и (42) следует что nроnордиона'nЬНа произведеНIIЮ
JJинеflных ПQляризуемостей на соответствующих частотах:
(ы ==(t) +(i)l) l1a (00,) с( (002) а. (О).). (6 2.44)
Отметим) что квадратичные БQСЛРlllтмчивоетн :\-lНОfПХ диэлектриче-
ских криста"ТJЛОВ в области прозраЧНQСТИ (между собственными чаСТ(r
тами решетки и электронов) удовлетворяют соотношеНllЮ
xi"2J It ((1)3") n (ro,) n ((t}l) (6.2.45)
с ОДНОЙ н той же константой ПрОЛОрUlfQнальности для разных кри--
сталJtов (э nирическое правило Мllллера)
JЗ5
.
.
Наша МОДель не учитывает отличия действующесо (АО1WЛЬНОсО)
поля E 'OK ОТ маКРОСКОlluчеСКО20 t усреДIIt:нноrо по аТОМНЬ1М неодно-
р ОДНОСТЯМ ПОЛ Я Е . Cor л ас но J1o ре HUY в куб ическом кристалле
Е а(),,/ Е == (в + 2)/3 (эту поправку нужно ВВОДИТЬ ЛИ Ш Ь В сл у чае Д н.
электриков, а в металлах 11...J'lИ полупроводниках E.'IOft!. == Е). Поля Р и...
зация средь[ Р, вызь[ваемая заданной Сnl0ронней полярнзаuией Pr.::T
таКЖе в (в + 2)/3 раз лревьrшает P Cf ' В результате квадраТlfчная
восл рн ИМ ЧИВОСТЬ Х (2., оп редел яема я по отношению к мак роскоп и че...
СКИМ величинам, равна
{z} 2 (@з) + 2 е ((() ) + 2 € (001) + 2 12")
Х 3 3 3 Хлок, (6.2.46)
rде X 6 опредеt'lена ДЛЯ локальных ведич[.tН. В некубпческнх кри-
сталлах поправка ИМеет теНЗ0рНЫЙ харЗI{тер+ ФОР!\1У.пь[ (44) (46)
указывают на Пlесную связь ланеtlных II н.елuн.еuных C80tlCtпB ['реды.
Пусть п рн смещении Х == а о линей на я еЕо тo) a.o Jf не.n"ннейна я
1J тa i сиды в (39) срави r.lваются, Tor да 11::;;:; 003/а о (здесь Ef """'" xapaKTep
Ное лоле удерживающее заряд ОКОЛО положения равновесия)+ Отсюда
при 1'. оо " <{ (О.. следует оценка
Енl. == а/Р mЮ:/1")е т(й o/e Ео. (6.2.47)
Таким образом, отношение квадратичной поляризации к линейноЙ
имеет порядок E 1 JE o (Ср4 (12)). Для атома водорода ПОД afJ следует
понимать радиус Бора li2./те 2 , а под (r)о rраничную частоту иони.
заuн н е".}. ;2ni2 fP При этом Е о === е... 2a ] 07 r с.
Кубический потенциал (38) при Водит соrласно (41) к появлению
лишь четных rармоник 200" 4ш 8V).H ДЛЯ образования нечетнь[х rapMO"
НИК потенциал ДО J')жен иметь слаrаеМQе порядка х 4 . Отметим, что по..
тенпнад (38) даже при Е::=О не центросrtмметричен; ОН изменяет ЗНаК
при инверсии координаты х........ X Подезно рассмотреть трехмерную
модель с ПОМОЩЬЮ nотенuиала [33]:
ер (r) == nlro: аХ&. Х 12 .........llrxB"mxax X V . ( 6. 2. 48)
Рамаl10ВСКИЙ анrармонизм. Спонтанный аффекm Рамана, или cпoH
танное КОАf6UНЙЦllонное рассеяние (СКР), был обнаружен "1андель
штамом и Ландсберrом И независимо ОТ НИХ, Раманом в 1928 r за
д()лrо ДО СQЗДаНllЯ дазеров. СоответствующиЙ вынужденный эффект
(ВКР) впервые наБЛЮД3.rfСЯ лишь в 1962 r
При скр падающий на вещество монохроrvtатический свет (накачка)
поляризует молеку.П-Ы с ОПТИЧеской частотой 001. В результате ОНИ при..
обретают ДИПОJ1ЬНЬ[Й момент
d (t) ==tttE1COS (:,)1t, (6 2.49)
ДЛЯ простQты линейную поляризуемость молеку лы а: 1 ===С(: ( ((J 1) полаrаем
вещественной скалярной величиной. Излучение молекулярных дипо
леЙ (49) дает fJЭ lеевское рассеяние.
Учтем теперь нутри олекудярньrе колебания ядер с собственной
частотой Q,4.{(}l которые возбуждаются в результате столкновенийf'
IЗ6
l(олебания ядер ОКОЛО ПОЛQ}I{ении равновесия Q(i} медленно модули..
руют окружающее их электронное «облако»+ При ЭТО!\1 :модулнруются
н все электронные n.аРЭ)lетры молекулы, включая ее оптическую ПОJlЯ-
рнзуемость: а. (/) ==(act,..aQ) Q (t)+ Эта !<артина основана на так Называе-
мом адиабатическом приближении, исподьзующем СllЛЬНое превышение
собственных частот электронов 000 над Qo (обычно (f)о/2лс"""' 1 OZ) см 1,
20!2л lО3 CM l) При учете колебаний ядер (49) принимает вид моду-
лированноrо ПО амплитуде колебания
( д ) .
d (t) =:= а. 1 + i)Q Qйсоs Qot Е 1 соз (jJlt
(6.2.50)
rде Qo аМnJlитуда колебаний ядеР4
В результате рассеянное диполя:\tи излучение содеРЖIIТ кроме
«несущеЙ» (рэлеевской) КО;\'Jпоненты (1)1 еще две боковые составляю-
щие стоксову (I)l QO и антистоксову (Ut+Qo. В случае IHoroaTOM"
ноЙ молекулы раМ8НQВСКНЙ спектр сод.ержит нормальные частоты мо.
лекулы (некоторые колебания из-за СН 1\fетрии не ВЛИЯЮТ на а). При
учете анизотропии ct н вращения {олеI<УЛ нндуцированный дr'IПО.JJЬНЫЙ
'10MeHTd(t) будет промодулирован также и с характерными вращатель
нымн частотами 10JJеку.лы.
Рассмотренная МОДУЛЯllfJонная картина основана на единственном
нелннейном nара\1етре aal.aQ, введ.еННО:'\-1 Плаче](Оi\J, и наrЛЯДНQ оnисы
вает спонтанныЙ эффект (термин «спонтанный» относится здесь к KO 1-
ПQнеНТЗi\1 поля с частотами (l)1 + Q.o, которые отсутствуют в падающем
поле и возникают «спонтанно»).
Чтобы описать вынужденные нелинейные эффекты, обусловленные
параметрнческой связью ядер и электронов, полезно рассмотреть MQ--
дель двух связаННЬJХ ОСllИJlЛЯТОрОВ, определяемую потенuиа.лом
Cj/J (Х; Q) == (пo) x2/2 + iИЩQ:!i2 t}x:!Q еЕх..
(6.2.51 )
Здесь х н roo координата и собственная частота электрона; Q н Qo
то же ДJ1Я колебаний ядер,. l1 пара\tетр СВЯ3Н t пролорuиоНальный
йa;aQ. Из (51) следует
х+2ух+ы:Х==еЕ/т + 2r)QX/ln t
Q+2rQ+Q Q== 'lx!jM.
(6.2.52а)
(6. 2 52б)
Эту ft.IOAeJlb ДЛЯ описания вкр преДЛОЖПЛJl Платоненко и Хохлов
в 1964 f4 Соrласно (526) на ядра деЙствует СlJла. ПрОПОрUИQнальная
КВадрату смещенпя э.Тlектрона nОЭТО)iУ ядра будут CU 1b1l0 раскач.и-
ваться 8 случае t ХОёда раЗНQCfпь aвY t: частоm поля близка к Qo. Пусть
падающее поле бнrармоннческое, nриче 1 (Ul ro2 Q........QO
В .линеЙНО 1 по полю приближении Q(t) == о и
X- n 1 ) == еЕ п/тDпt D n == (O .......... i2y{t)"" п == 1, 2. (6 2.53)
Оставим в СИJlе llX2. лишь резонансные слаrаемые с частотой Q, про-
порuиональные xi H x\1.) * , тоrда аМПJJИТУ да вынужденных молекул я рных
....
137
колебаний с чаСiоrой Q будет равна
11Xil}x 1) * (fJ/ М) (е/т) 2 It
Q!J. === (.' - ) == . Е I Е .
2/11 QO' Q! i 21 Q 2DoDt О2-
ИтаК t оптическое 6U2-армонuческve поле с подходящей разНОСl1lЬЮ
чш:mom «раскаЧ-U8аеПl» через посредство электронной оболочки вHYlпpи
молекулярные колебания ядер Эти коrереитные с падаЮЩ[1М светом KO
лебания добавляются к равновеснь[м тепдовь[м колебаниям и вызь[вают
дополнительное коrереитное рассеяние на антнстоксовой частоте 00з====
:::::: <01 +Q ==2<1} ( (02 И на второй СТОКСОВОЙ ч.астоте (() -I =-== (J}2 ==26)2 (Ul.
Кроме TorO t появляется кубическая поляризация на ИСХОДНЫХ часто
тах ПОЛЯ вызь[вающая усилеНJ!е поля с меньшей частотоЙ EfJ. и ослаб-
ление поля с большей частотоЙ El. Эффект рй..чаН08СК020 усиления и
лежит в основе вынужденноrо комбинаци.онноrо рассеяния.
Подставнв (53) и (54) в (52) найдем
Х (3) f)X t)Qa })2 е З/2Мm 4 I Е 1 2 Е
1 2 I!t 2. Р
!пО ! D{jD 1 О 2 D 2
"lxi 1 ) Q ч'2е3 /2М m t
Х З) == .. === 2 1 Е 112 Е 2. (6+2 55)
mD'l DGD(D1D
x 3) ==- чхjl!QQ 1J2i'1; тt E E;.
mD з Dr}D J D 2 D з
(6.2+54)
Умножив xN ) на e",I найдем кубическую полtIрrlзацию+ Как npa.
вило., в эксперименте частоты поля (йп (п ==: 1 t 2, 3) MHoro t..1еНЬШt:
частот электронньrх переходов OOO поэтому D,! 0002 (нереЭQнансное
КР).. В этом приближении из (55) следует
х(3] (001 (J)x 002 + (02) ;= х(3) (002 === (l)2: 001'+ ( 1 )- X (3 ) (U З 2.(1)1 "')t) ==
== C/[Q «u L ю )2 i 2r (001 0)2)] t (6. 2 56)
rде С == 1l 2 e4N /Мm 4 ю:.
Эти нелинейные восприимчивости описывают соответственно paMa
Н06ское 1l02АQщенuе (так как Xt:J J (W J )" > О при Ы(:> (02)' /)амйновское
усиление (х(3) (У)2)п <: О) и косереllпшое антиспи?ксово рассеЯНllе (КАРС)
с и нтенсивнQCТЬЮ,. n ропорц иональн о й I х ( ) (Юз) 141 1112. К роме Toro из
(56) следует ЧТО монохроматическая волна с изменяемой частотой {t)
при наличии второй волны с фиксированной частотой (I)/. испь]тывает
в об.!1ЗСТИ линейной прозрачностн резонансную диtnерСl1Ю в двух
областях (Йl + Qo (рис. 643)+ Ширина ЭТИХ резонаНСОВ 2r определяется
скоростью затухания молекулярных колебаний" причем в СТОКСОВОИ
области рамановская (ИЛИ tlндУЦllР08QННGЯ) дUСllерСllЯ имеет аномаль..
. ный xapaKTep
Найдем связь не 1lfнейНЫХ параметров t) и дa/дQ+ Подставим Q ===:
== QocosQot в уравнение (52a) В первом порядке по fJ 113 Hero сле-
дует Х 2 == тw Е t Q Q /пt!D 1 D 2 + Сравнение с (50) дает
a 2e 2е 2 1]. (6.2 57)
aQ m 2 DID2 In'2 w :
138
с ПОМОЩЬЮ ДВУХОСЦJIЛЛЯТОРНОЙ 'оде..ТlfТ {ОЖНО OnJfCblBaTb II скр.
Для этоrо правую часть (526) следует заменить на спzохаСt1luч.ескую
данжевенову силу f(t). ВЬJЗЫБаюшую равновесные тепловые (11 KBaHTO
Bbre) флуктуации Q (t).. Эта СИЛа b KoppeпHpOBaHa, причеХI ее спектраль..
JjУЮ плотность можно найти, приравнивая энерrию флуктуаций Q
х'
(Q Я О
ы
о
W L
lUL -t П V
Рве + 6. 3 + К омб И н а UH о Н н 3 Я (р.а м а н о 8С 1\ 3 я) вос n р н н 1 'r н ВОС ть . Под де ik тв н е м н а ка ч кв
с' ча СТОТО Й ы L вое n р н и м ч 1180СТ Ь вещее тв а пр ноб Р ет зет доп o.1J Н И тел ьн ые резо н а н сы н а
ЧZСТОТ3Х (1J{::!:Qo {П.о соБС'ТВе ные частоты MO.1E'Jor.:Yto1)r СУЩЕственно, ЧТО стоксов:
рЕЗОfJ3nС обладает отр BцaTe ' ЬНЫМН потер ями (внизу слева) и .аномал ьноЙ дисперсией
показате..1 я пре4-"ОМ 1еН]IЯ (ввер ху слева)
равновесной энерrии осциллятора. Друrой fетод описания CI(P ис
ПOJ1ьзует рамаНDБСКИЙ аналоr ФДТ (9 7 7). cor.ТlaCHO KOTOPO fY флук-
туации поляризации вещества на частоте (.) определяются МНИМОЙ
частью кубической восприимчивости (7.. 37]:
(Р. ((О) Р (0)/) ===
== (n/л) б ((U юt) ()\f ( Q) Х(З) (о) === ы Ю L + ы,,,) 1 Е L IZ. (6.2.58)
rде
Jf(Q) == [ехр ( .Q/xT) IJ J ==:: $ ( Q) lt Q==:(I)L ы. (6.2.59)
Здесь Q)'f npli Q < О (антистоксова область) имеет CMblC lI paBHO
BeCHoro числа фОНОНОВ Jr'J а при Q > О (стоксова область) rJr ==
== (JrtJ+ 1). Единиuа в последнем выражеНИ]1 соответствует KBaH
ТОВЫМ Флуктуаuиям ядерной координаты Q,. вь]зываЮЩН f СТОКСОВО
рассеяние даже при Т:== О (антистоксово рассеяние при 3TO I OTCYT
ствует). Элементарный процесс) соответствующиЙ стоксову рассеянию,
является двухфотонным ОН включает уничтожение фотона накачки
п рождение стоксова фотона н ФОНQна (рис. 6 lt ж)
](онечно, рассмотренная ;1.ВУХQСllн.ТI..rIяторная Iодель как н модель
а Hra рмон нческоrо осци лля тора и еет ЧJIСТQ качественный ха ра к тер..
I(оличественный расчет ВОСПРИИМЧРВОСТИ (даже ЛIJнеi'Iной) весьма
сложен и требует знания ВОЛНОВЫХ функций и собственных частот
системы (СМ. ниже).
Heynpyroe рассеяние света может быть связано также с 80збуж..
Деннем друrих степеней свободы вещества, например электронных..
139
При этом частота света измеНяется на частоту какоrо.либо электрон..
Horo переходз атома иди молеКУJlЫ: rol (iJ'l Wmn -::::= (С т C n)/п-.
Если падаЮщее поле содерЖI-IТ две частоты rзкие f ЧТQ (t)l+Шt===:Шrnп>О
и молекула находится На НIIЖНем уровне п) 'То может произоЙти ОДНО-
временное поr лощение ДВ}1Х фОТОНОВ. При обратном процессе возбуж
денная молекула излучает два фотона (спонтанно нли вынужденно'.
В макроскопичес.коМ ВещеСТВе свет взаимодействует Не ТОДЬКО с лО'"
кальными внутренними колебаниями частиц" но и с коллекmuвНblми
возбуждеНUJlМU веtцесmвО t например с акуС1ичееК1iМН, теМлературнымИ
СПИ НОВЫМИ, П 1азмен НЫМ н ВОЛ нами l с ко.леб.а НИЯМff ОрИеита ЦИfi моле ку Л
Равновесная хаотическая чаС1Ь этих волн модулирует ЛОК8зэтель
предом.ления (ер. (35)) и в спектре рассеянноrо свеТа появляются со..
ответствующие боковые компоненты ro {I)I:I:Q. Наrлядно рассеяние:
можно представлять КаК резу.п.ьта1' дифракции Ilздающеrо света на
6еrуще.й решетке образованной волнами давления, температуры
и 14 д. С квантовой точки зрения ПРОИСХОДИТ рассеЯНие фотона падаЮ-
щ rо света (НЭК3ЦКИ) n.Ы{ с рождением ИЛИ уНИЧТоЖеНtlе t кванта ВОЗ
6уждения вещества n-!J (фОНQна, MarHoHa" лдазмона З-Е\СИТQна) поляр"-
тона и T Д ) ДЛЯ рассеяния на распроетраНЯЮЩИХСЯ возбуждениях
характерна зависимость частоты МОДУЛЯЦИИ ОТ направления наблюде.-
ния Т. е. ОТ yr ла рассея ния: ;:;; J (О). эта зависимость является CJ1ед
ствнем уСJlОВИЯ Бреrrа при дифракции ИЛlf t инаЧ€t условия cuнxpo
HU3Afa (закона сохранения импульса) kl k2Zq O и закона дисперсии
рассеивающеи волны q q(Q), rде q .......... ВОЛНОВОЙ ВеКТОр возбуждения
вешества. Формально ВJ1ияние синхронизма на рамановский aHrapMO"
низм можно учесТЬ t ПOJlаrая ЧТО кубичная ВОСПРИИМЧИВоСТЬ Зависит
не ТОЛЬКО от чаСТОТ t НО и ОТ волновых ве1{ТОроВ (пространственная
дисперсия) .
Для описания вынуждемноrо рассеяния На акусТИЧet.ких ВолнаХ
(РМБ .......... рассеяние Мандельштама Брuллюэна) и д.руrих l(оллеJ{"
тивных воз6ужд.ениях Надо учесть нераВНQвесную l{оrерентную частЬ
этих возбуждеНI1"Й, вызываемую бнrармоничесной наКЗЧJ{о(r. МехаННЗld
возбуждения звуКа светом ясен из (33) из-за элеКl'ра<.-wrрикци.и
в веЩестве возникает ИСТоЧНИК nepeMeHHDro влення с разностной
частотой Q:
6.р (r, 1)::: (1/2)х(1) [ ( Е n/ 2 ) ех р ( 1"'.1) + к, С,] 2. :::
(1/8) XtJ}EtE; ехр ( iQt) + .. .
(6.2.60)
ЭтОТ ис.точник порождае-т ВОЛНЫ п.лО1НQCТИ dp, распространяю'"
щиеся со скоростью звука о. Если волны накачки плоские.. то dp
ехр I i (k 1 k i ). r J и вынужденная звуковая ВQЛltа будет иметь
макс.имальну ю интенсивность при h '1. k'J I == Q =:; Q fv. Это уел овне
синх.ронизма «выбирает» ИЗ иепрерЬ[Вtl.оrо спектра акустических воз...
буждеНJlИ t занимающеrо область от нуля примерно до 1011 rц одну
(или две" при учете различия. v для I1РОДОЛЬИЫХ И поперечных волн
1-40
Б аморфном тверд ом теле) дискретную компонент у с частотой
I Q::: I k] k21 2vk in ({}/2) I
(6.2.61 )
н шириной. овредеЛАемой коэrtФнu (ентом поrлощеиия звука.
ОТемпературныА ан rapMOH И3М.. Из (61) следует ЧТО при iJ-*О рас..
сеяние на Вh:устнчеСJ":НХ волнах. T е4 на Bo. JIHaX дав.ления !!J.p и ПЛОТ-
ности Ар является Неуnруrим: Q.........v*O (точнее) J\o1аксимум рассеяния
ПРОИСХОДИТ при Q:;6-0). СоrJlЗСИО (61) рассеяние с маКсимумом при
{A O может вызываться JlНШЬ нерас.пространяющнмися возбуждения-
МИ, для которых и::;::::;;О ИЛИ которые достаточно быстро затухают. Такое
рассеяние ПРОИСХОДИТ на флуктуациях температуры дТ (иди энтропии
AS L\T) а также на ФЛУI{туация-х концентраuии t!C в смесях и раст-
Bopax Ве 1JИЧ"НЫ x ---------.p T C .. (или p S, .Н) являются 1ермодинами"
ческими параметрзми. задающими макроскопическое состояние вещеет..
Ба, и их колебания......... тепловые (<<СnQИТЗИtJые») или вынужденные (K
rереитные) ПРИВОДЯТ К нарушению оптической однорОДНОСТИ среды
.6.п (дп!дx) x и 1\ рассея НИЮ света спонтанному или: вынужден--
ному. Все ЭТИ рассеяния происходят с небольшим смещением частоты
(по сравнению с рассеянием на молеКУЛЯрНЬ1Х колебаниях) н объеди...
пяются ПОД общим названием рэлеевское или молекулярное рассеяние
(36] (последний термин подч.еркивает отличие от рассеЯНJfЯ на М8Кр"О-
неоднородностях пылинках и друrнх включениях).
Интеrральная rIO спектру интенсивность СПDНта нноro рассеяния
1-13 Параметре х пропорциональна среднему квадрату L\x 2 J и ее можно
рассчитывать термодинамически.. ОДН81{О форма спектра рассеянноrо
света определяется кинетическими уравнеНИЯМИ t описывающими эво-
люцию поля x(r. t)4 Например" при x T таким уравнение:м является
уравнение дифрузии
t a 2T ==: /CpP, (6 2+62)
в котором а.......... темпераТУРОПРОВОДНОСТИ f ? МОЩНОСТЬ сторонних
источ.ников те.nло-ты на единиuу объема, Cp удельная теП..1[оем""
.кость при ПОСТОЯННОМ Давлении (вообще t надо одновременно с I!T
учитывать КОJlебаНJ1Я Давления Др при HarpeBe J НО мы дЛЯ ПРОСТQТЫ
пренебрежем связью ВОЛН темперэтуры и давления).
Решение (62) при .. ====o, которое описывает Спонтанное теМпера
турное рассеяние, МОЖНО преДставить как сумму плоскиХ ВОЛН t ЭКСПcr
ненnиально затухающих во времени:
Д т (r, ')::::: т ql!{q ,. ....'V!.. (642. б3)
q
rAe l' =:: aqi.. Как и в случае рассеяния на акустических ВОJJИЗХ,
рассеЯНИе свеТа с волновым вектором k 1 в направлении kt. обуслоВ....
лено ({температурной peUleTl<OIf» с q == :f: (Н 1 k 2 ), однакосоrлаСflО (63)
эта решетка неПОДВИЖНа l и поэтому Днq;ракuня на tlей ПРИВОДИТ
к ПОЯ-ВJIеНМЮ в спектре рассеянкоrо света уn'РУсОЙ (несмещенной)
141
ЛИНИИ С шириной
ы == 2)' == 8ak 2 sin (tlj2)
(6.2.64)
(в жидкостях j,(t) 1 O с 1 при {t === 90 ) Обратная полуШИрlJ на ЛИНИ и
температурноrо (энтропиЙноrо) рассеяния '{ т == 1 / ==== 7\'2ja и еет смысл
времени диффузии температуры на расстояние ДЛИНЫ ВОЛНЫ 1\ ==
== ) 1'1 k'21 1. t Т. е. времени релаксаuни температурной решетки.
Механизм вь[нужденноrо температурноrо рассеяния (ВТР) и СООТ-
вете твующеrо а н ra р?\.10низма очев иден при нали ч н и HeKOToporo поr ЛQ-
шения (BTP..2) ДействитеJlЬНО. в случае бнrармоническоrо поля
вынуждающая сила в (62 ) имеет леременную составляющую:
.:r (r.. t):= @;(iJ Е2 (r J t) === <UX It Re El Е2, е ' {q.,. Ql). (642465)
которая порождает волну температуры
!'J. т Re Т Q e i 1'1 Qt}. (6.2. бб)
Ее амплитуда определяется подстановкой (65), (66) в (62):
_, I
ЫХ /СрР '"
Т и === Q Е 1 E"J; (б 2 67)
1' l
здесь 6) 001 ro ?> I Q I и xlr == хН (00).
Беrущая коrерентная -волна температуры (66) модулирует воспри-
имчивость 'х (8 основном за счет падеНИЯ ПЛОТНОСТИ при тепловом
расширении) 1):
t!x ==о ( :: ) р tП ::::; 7. А! '
(6.2 68)
поэтому волна ВОСПрlfИМЧИВОСТИ имеет амплитуду
ООХ Н/с рР ( дх ) 8
Х12 == y ig дТ р El' Ez.
В результате возникает кубическая поляризаuия с частотами
(Ul j 00,:, Юз::::::::: 2(0 1 (t,):l' ffi,f.:::::::: 2(0.3 (й2:
Р{З) (t) == X (f) Е (t) == Re Ха (E1e..... itЛ J l + Е eiюо:t + Е le i(tl3t + E;ei f ",t)/2.
(6.2.70)
(6 .2 69)
Пусть Е., Е 2 параЛJ1ельны ОСИ Х, тоrда из определения кубичес-
КОЙ восприимчивости находим
1 z 12 ........ 2 i2 J 3" J I "'i ...... i>. 4221 6>"'i ( аХ ) 6 2 1
МХ хх "l.ххц Х,.цхх У..хххх 2рс р I aql + Ц Ш 2 WJ) ] дТ р · ( . . 7 )
ОтмеТJIМ интересную особенность BTP 2; здесь усиливаются QHпZllCtnOK'"
совы КO/ttnOнeHtnbl (Ср4 (56)), Т. е. в процессе распространения эиерrия
поля nерекачНВается из низкочастотных компонент в высокочастотные
(так как (дх/дТ)р<О).
1) В идеаЛЪНО f rазе j""l p/xT t lJОЭТОМу Х == ар/кТ. и ес..rJИ пренебречъ зави
симостью а от Т, то (дх/дТ,р -==........ Ж/Т.
142
Для оuенки теМПературноrо анrармонизма ПОЛОЖИМ
( ::. ) р === t, СрР === ; xN, оох" 4;:Е ' aq2 -&. (6.2.72)
r де '[Е == пfac время релаксаuии ПОЛЯ Т or да при f (r)l Ю 2 r ТТ <{ 1
2 zP) 40лUт Е
Е л I L ==== .......::......
х.<ЗJ 3п '2 т r t
(6.2.73)
rде и == 3хТ N 12 плотность внутреннеЙ ЭНерrИII. Т аким обраЗОМ 1
CJlИ 1'т:: "[Е (что при ТЕ == lO 8 С соответствует а 0,003 CM I).. ТО
нелинейная ПОЛяризаЦ(1Я сравнивается с линейной, коrда энерrиЯ
ПОЛЯ п'2Еi/8л сравнивается с тепловой энерrией вещества+ ЗамеТИМ t
что если перейти от теМпературоnрОВОДНQСТН а к теплопроводности
А==арс р , то E'NL МОЖНО представить в виде 8nлq?ТТЕ.
Электрокзлорнческий ан rармонизм. Температу р ны й а н ra рмонизм
имеет место н в совершенно прозрачном веществе за счет опmuчеСКOZQ
элекmрокаЛQрuчеСКU20 эффекnш (соответствующее вынужденное рассея-
ние называется ВТР.. 1).
Рассмотрим простейшую модель, описывающую влияние электри",
ческоrо ПОЛЯ на температуру непоrлощающеrо веЩества. При ВJ{люч:е..
нии поля (постоянноrо или nepeMeHHoro) уровни энерrии молекул за
счет эqxj)екта Штарка смещаются и их HaCe.J1eHHOCTII перестают СООТ-
веТСТВОЕ8ТЬ температуре термостата, роль KOToporo обычно иrрают
поступательные и вращательные степени свободы молекул (или коле-
бания кристаллическоЙ решет]{и). За время релаксации T ПРОИСХОДИТ
перераслределение населенностей с соответствующим изменением
энерrии термостата 1), и В результате ero температура изменяется.
Отметим, ЧТО аналоrичный ма2fluтокалорuческuй эффект применяется
ДЛЯ получения сверхнизкиХ температур (метод адuа6атuческozо раз-
.ма нuчuванuя) ' Более точное объяснение следует из определения тeM
пературы для замкнутой системы (микроканоническоrо ансамбля)
IIT==aSlaU===x д (In g)lдU t
(6.2.74)
rде S энтропия. U внутренняя энерrия и g(U) плотность
энерrетических СОСТОЯННЙ Последняя зависит ОТ расположения УРОВ-
ней и поэтому изменяется при включении ПОJlЯ4
Оценим вклад электрокалорическоrо эффекта в температурный ан-
rapMOHH3M4 Cor лаСfIQ (4.1 З2) при поляризации диэлектрика ero термо-
динамические потенциалы получают приращение v:=;; XIEll /4 (на
единицу объема).. Выберем в качестве независимых переменных Т и Р.
Torдa энтропия определяется через ПрОИЗБDДНУЮ потенциала rиббса
ф (Т, р) по температуре t поэтому изменение S при поляризации равно
I1S ( ) ( . ) I E 1 2
дТ 4 дТ 1.
Р Р
(6.2.75)
1) Здесь УЧИТывается конечная теплоемкость 8нешн их степеней свободы.
143
Умножив 6S на T ПОJlуЧНЛl прнращенне тепла дQ а умножив на
TICpPt найдем приращенпе температуры:
T == 4 p ( :;, ) р I Е) /2. (6.2.76)
Из сравнеНIIЯ с (62) следует, что роль nоrлощае fОЙ МОЩНОСТИ в
случае лрозрачноrо вещества иrрает величина
b == djQ =:;:. I... ( ах ) d 1 ЕI 12 (6 2 77)
з-кн d i 4 дТ р dt . r
в случае бнrар:'ttоническоrо поля получаем
fP ( r ' ) == QT ( ! } ) 'm Е · E e[' {q r nt>
эк й 2 ат р 1 2 ·
Сравнивая (78) с (65), находим отношеНLlе электрокаnОрl1ч€скоrо
знrармонизма к анrарМQНltЗ!\fУ (71), связанному с поr лощением:
x 1 QT ( .. \ == 2..rrQT ( дх ) (6 2 79)
'V(:31 200Х" дТ / ) р асп дТ Р . . ·
1... n or л
( 6 2. 78)
Отсюда следует, что КQэффиuиент nor лощен IIЯ t эквива Т]ентный ЭJlектроot
каЛОРllЧ€CНО)\fУ эффект т t не BeJ111K:
2nQT I az I 10 4 1
ct ЭКВ -;:::::::= сп дТ р""" c1tl.,
rде принято Q ==: 1 O с 1 t Т::== 300 К) (дх/дТ)р ==- 1 O 4 К l.
З.а fетнм наконец, ЧТО за счет связи волн плотности н те!Уtпературы
электрострикцня также ;щет вклад в температурный анrармонизм
(см + [ 141, с . 249) .
Орнентационный анrармонизм. Как уже ОТ\lечалось, вращеНIJе
аНJfЗОТРОПНЫХ fолеr{ул в rазе также модулирует рассеянный CBeT ЧТО
при учете квантования вращательноrо д,виження nрИБQДИТ к nОЯВJ]е-
нию дискретных боковых компонент у рэлеевскоЙ (несмещенноЙ) и ра-
}"IЗНОВСКОЙ линий В спектре CnOHTaHHoro рассеяния. Однако при боль..
шоЙ П.ПDIНОСТН частиц молекула не успевает СДеJ]ать полноrо оборота
за Бремя ориентационной релаксаUJ1И Т, поэтому В ЖИДКОСТЯХ ЛИНИИ
вращательноrо спектра nерекрЫВаются и рэлеевекая линия nрнобре
тает широкий «nьедестал» простирающийся на десятки обратных сан..
ТИ .lетров (так называемое KpЫ 10 .лин ии Рэлея) Рассея ине света на
флуктуаllИЯХ ориеНТЗUJIИ молекул называют также аНU30ПZрonНЫА(
(депОАярuзоваННЫJU) рассеянием. При макроскопическом описании
можно считать" что анизотропное рассеяние Вызывается нарушениями
симметрии среды (ее И30ТРОПНОСТН)" T е. рассеянrtе ПРОИСХОДИТ на
Ф l1Уl{туаllИЯХ СИМ.\1етрии Общий вид рассеянноrо спектра, с учетом
рассмотренных выше возбуждеНI1Й вещества представлен на pHC 6.4..
V Взаимодействие света с орнентаU1l0ННЫ:\fИ степенями свободьr МО:
леКУJI также является источником олтическоrо анrарМQнизма, КQТОрЫИ
прояв.пяется в oTKpыо!\11 еще в прошлом веке эффекте Керра (при этом
.L\n"""'-' Ei), оптическом эффекте К ер ра и самофокус ировке ( п r Е 1 j 2).,
В эффекте 8ынуждеННО20 рассеяния на крыле линии Рsлея"
144
(6.2.80)
Оценим вклад ориентацнонноrо анrармонизма в ]{убичную воспри.
ИМЧИВОСТЬ. Расс лотрим сначала неполярную молекулу. В лоле E(t)
она приобретает ИНДУЦ JрованныЙ ДИПОЛЬНbJЙ !'t-fомент d(t) а(ю).Е(t)
(поrлощенне r nренебреrаем) и среднюю по вреl\Iени энерrию (CM
(4 1.32)):
Re E( ).a. Е<+).
(6 2.81 )
Следовательно, QNuзоmролная молекула стремится повернуться
относительно поля тaK t чтобы ее полярuзуе.м.осmь 6ша мак.сU.iИQЛЬН,Ой.
л I )L
[J Я11А: W W,
Рис. 6.4. Осн.овн ые виды рассеяния CВ€T3 l соответствующие им нелинеЙности и
ти n ич н ые частоты: 1 тем пе р.а ту р ное (э н тра пий ное) р.а ссе я н и е н а фл у 1( ту а ци я х
температуры связано с эдектрока ТIОрИ4ескнм .анrарМОННЗМQМ (AQ,...".. 108 C l); 2
рассея н не }..\ а н зе ' ъшт а м 3 Б Р J 1 1...' ЮЭ:Н а (Q J""IW' ] ОН.I С 1) н.а ф.r, у к ту.ац и.я х д a8 1] е н и я
связано со СТРИКЦИQННЫМ знrармоннзмом; 3 крыло ..1НННН Рэлея вызывается
ф.1]уктуаUliЯМН .анизотропии Ii связзно С орнентэционным aHrapMOHH3MOM ( !.......
,.......IOJl C J); 4 КQмбинзuионное (раманопское) рассеяние на внутренних КQ.аебаIiИЯХ
MQ...1JeKY.'1 (Q........I014 C 1). Первые три типа рассеяния объединяются терминами MOAeKY
АЯрНое н \0'1 Н РЭДeeJjСtroe рассея н ие
Однако в равновесном веществе ориентации молеКУJJbI ПOJJем препят",
ствует взаИ fО;I.ействие с сосеДЯJw1И релаксаuионные процессы восста..
на8..'1ИВают нарушенное поле"" равновесное состояние с хаотической
ориентацией. В результате конкуренции между поле!\l и тепловым ДВИ
жением устаНаВ 'Iивается динамическое равновесие СО слабой стеnе»ью
ориентаuии порядка 'r J /XT4 При ЭТОМ жидкость становится двупрелОМ
ляющей подобной одноосному кристаллу с ОСЬЮ параллельной Е
(в случае линейной поляризации ПОЛЯ). это явление называется опти-
ческим эффектом. Керра.
Пусть анизотропия ПQляризуеМQСТИ Характеризуется веL1'JIIЧИНОЙ
a (оо) (наnрИ!\1ер. ;I.J]Я ли нейноЙ олеКУJ1Ы a ==a l ,..........a.l ---------о разность
лоляризуемостей ВДОЛЬ и поперек молекулы). Тоrда индуuируемое
полем с частотой Ю 1 изменение восприимчивости X ((02) на частоте (1)2
будет по порядку величины равно произведению аа (00,) N на степень
ориентации:
1}x Aa(OOl) д'а(ю 2 ) N!E 1 j2/xT.
(6.2.82)
Итак с точностью до числовых множителей для непол рных мо-
JEекул
Х(З) Аа (0)1) Аа ( ro 2) N IкТ.
(6 2.83)
Полаrа я а н изотропию сильной ( a.::::;:a ==х (1) I N) . получаем
E L хН} IХ{З) :=::; хТ /а .
(6.2.84}
145
nYC1'b а a 10 2. см а И Т == 300 К, тоrда E NL 2 105 rC t и если
:ХН):=:: O l! ТО 'X( ):::; 1 O 12 см 3 /эрr (ер. (12), (1 З), (З7)
Если у молекулы имеется постоянный ДИПОЛЬНЫй. МОМеНТ d o и
ориентирующее поле статическое или медленно меняющееся за
в реМ я о р иентаuн QННОЙ релаксац и и (т 1 О 12 с) t ТО эфq>eкт И вна я
"Энерrня раВНа CJ/J== do.E (индуцированным моментом теперь можно
-nренебречь). При ЭТОМ степень ориентации будет уже пропорuио-
нальна ( /)(T)2, так как линейный электрооптический эффект в
жидк ОСТИ запрещен ( б 1 ) в резу ль тате
х<;о (ro, o, О) a (00) N (d.JitT)2 lО lОсмЗ/эрr, (6.2.85)
Е NL 'ХТ 1c4 104 rc (6.2..86)
-(здесь принятоd о === 1 Д). Таким образом, эффект Керра в полярных жид-
.КОСТЯХ заметно больше t чем внеполярных.
Пусть теI1ерь ориентирующее поле оптическое биrармоническое
приче.м Q====(I)1 {02<IJT тоrда rt? и соответственно степень ориентаuии
CJ?fxT будут содержать nеременную составляющую с частотой й. В ре..
зультзте поляризации на частоте пробноrо ПОЛЯ о)з (которая может и
совпаДать с ОО. ИДИ (02) будет ПРОМОДУЛИРОВ8НВ, Т. е. вещество будет
.излучать KorepeHTHoe поле с частотами (UЗ + Q . Таким образом, ариек.
'Таuноннь[Й анrарМQНИ3М дает резонансныЙ вклад с шириной 2/ в KYot
бическую ВОСПРИИМЧИВОСТЬ х<;Р( OO3 --------и)2. (()1) В области (ro 1 (2) 1/r4
При учете ориентационной релаксации ЭТОТ вклад имеет мнимую Часть,
которая соответствует усилению поля 002 С максимумом при Ы 2 ==
==rol l/T И ПрИВDДИТ к эффекту вынужденноrо рассеяния на крыле
ЛИНИИ РэлеЯt
Количественно ориентаuионный анrарМDНИ3М описывается с по-
МОЩЬЮ функции распределения молекул ПО ориентации, которая при
{JT 1 является стационарной:
р (6) == Се 7;J/1<Т == С r 1 ?; +-4- ( у . · . ]. (6.2.87)
тде С нормировочный множитель (зависящий, конеЧНО t ОТ темпера-
туры и поля), энерrия (e) определена в (81) и е совокупность трех
уrЛОВ t задающих ориентацию молекулы относительно лабораторной
еистемы координат (уrлы Эйлера).
В случае неполярных молекул МОЖНО оrраНИЧИТЬСЯ- линейным по
1/хТ разложением;
С Р(й ( I + (CYJ>( ) !-кТ), Р (е) ==: Р{О} {l (р........ <'P>(ot)/xT] t (6r2.88)
rде
<'1"> (О) == d fJP(O)o/", р(о) 11 d 3 (t == 1 /81[t.
(6.2.89)
Усредненный по уrлам индуцированный ДИПОЛЬНЫЙ момент имеет
вид
<d):: <a(e» E + < (e»:EE +...
(6.2.90)
Уrловые скобки означают усреднение с помощью возмущенной
полем функции распределения Р (6). Если пренебречь ВНУТрИМОJlе-
1-46
КУЛ Я рным анrарМQНИ3МQМ ( === О),. то <d>;:;= ((4> Е t r де
а ;:::: <а (8) d"ep (8) а (8) ==
=== a{ " «а (8) «(J»(lJt a(O < 1-'?>((I ')/хТ t (642.91)
a == d eplOIactfl (8) === б(l. (ах х + ау, + ct zz )J3 ( 6.2. 92}
(а{О) ус ре д-ненн а я по равновесноЙ фу НК цИ И расп ре делен и я л 11 ней
ная полярнзуемость). Отсюда находим поправку к поляризуемости
(подробнее C I" [14]):
а а(Щ === d"O [а: (8) a( I] Re E{ ) . а (8). Е( + )J8.n 2 xT. (6.2.93)
Здесь а (6) теНЗ0Р линейной поля ризуемости в лабораторноЙ си..
стеме координат для молекулы с заданной ориентацией 6.
При Q"t 1 надо учитывать из енение функции распределения
во времени Р === Р (8. t), определяемое с ПО!\fОЩЬЮ кинетическоrо
уравнения (C f. [14]) ИJlИ уравнения типа Фоккера Планка" Эти
уравнения в приближении экспоненuнальной релаксации дают
обычную дисперсионную зависимость с цеНТрО!\1 при 001 == 0)2:
Х < а) (002 == 002, ffi I + U) 1) ........ 1 / [1 + i (00 1 wo----oo (02,) 1"] · ( б. 2 94 )
Следовательно" компонента поля с меньшей ЧастотоЙ (стоксова)
усиливается (х,з,q < О), причем усиление lакснмально при I Q I =: l/t..
ОКвантовая теория нелинейной поляризации. Нелинейные поля
ризуемостн p 1', + >. молекул и восприимчивости вещества х(21 N t-
Х{Зj Ny МОЖНО вычислить аналоrично линейной поляризуемостп
( 4.2) c помощью уравнения для матрицы ПЛОТНОСТИ с сРеномеио
лоrическимн константами затухания Проще t однаКО t ВОСПОЛЬ30'"
ваться общей формулой (3.3.36) для отклика <1 (/) квантовоЙ си...
стемы на внешнее возмущение с эиерrией (t) добавив затуха.
ние из общих соображений на конечной стадии расчета.
Нас }JHTepecyeT установившийся ОТКЛИК системы на периодиче
ское возмущение, поэтому нижние пределы интеrрнрования в (З"3 3б)
следует приравнять oo. Верхние пределы можно при равнять +00,.
если ДJlЯ учета прннцила лрнчинностн добавить к nодынтеrраль
ному выражению ступенчатые функции е (t t 1)' " · + 1 е (t k 1 ('"J.
Введем затухание t необходимое для устаНОВИБшеrося режима и
л рактически неизбежное в любой системе) ЛОJlаrая (рис. 6.5)
в ( t) == е" t (t > О) t О (t) == о (t < О), ( 6 2 . 95 )
rде Е некоторая положительная константа" которую впоследствии
заменим на v тn "
Полаrая в (3+3436) ',:::: da. и 'Р == d. Е t получаем для IlНДуцн
рОВЗНноrо дипольноrо момента порядка k следующее выражение
(СМ. также [7J):
<da(t»(hJ == (iJh)k dt 1 · .. dt}lfJ (t t 1) · · . fJ (t}l l ' я ) Х
Х S р {р [. . [d ( t ) t d 1 (t 1 ) ], · · t d k (t k ) J} Е а I (t 1) · · Е а k (t k) · ( б · 2. 96)
147
Здесь r равновесный оператор ПЛОТНQСТИ t а операторы d:x,(t) берутся
в преДставлении взаимодействия. Подынтеrральная функция в (96)
.зависиl' ОТ k+ 1 временных aprYMeHTOB, из которых ка\\. леrко прове-
РИТЬ, .ттишь k ЯВЛЯЮТСЯ независимыми Эта теНЗ0рная функция назы..
вается функцией отклика системы или ее функцией rршю (причинной
и при k>l .мНQ208ре lfенной).
Пусть поле имеет дискретный спектр:
Е (t) == Ер ех р ( iU)pt)/2t Р == :i:: 1 t :t2t .. t (6.2.97)
р
тor да и нтеrри рование в (96) проводится элементарно. Так. ДЛЯ k === 1 ,
находим
f
< d a { (» (1) ==. A. S dt 1 Е Ре ех Р r iO) р! 1 + в (t ! t) J х
ф
[d (j);} AtB) ( . t + · J ) d (t3) d ( ) ( . t + i)J
х pnп лт Unт ехр !OO"1lI tЮтllt 1 пт тn ех р lЮ nт 1 tЮ тп ::=
( ttr.t) d(t)} d(f1) C() )
==::;; Pt п п.т тп. + тп тп Е p ехр (............iю р t). (642.98)
2а Ц)тп ro p lt W пm Юр Ее
Здесь ПодразумеВается суммирование по индексам СОСТОЯНИЙ т, n и
по деКартовым индексам а, =:=x, gt Z (которые иноrда ДЛЯ КQмпак
ноети пишем вверху), а также по частотному индексу р. Если ДЛЯ учета
затухания заменить е на сКорОСТЬ затухания 1'тn недиаrОНаЛЬНОЙ КОМ-
.nоиенты матрицы ПЛОТНОСТИ ТО определяемая (98) линейная ВОСПРИИМ-
.чивость X 6 совпадает с (4+2 18).
Аналоrично при k==-2 И3 (96) следует
lia> ('21 ==
t
,:;: 4 2 5 dt 1
11
5 dt 2 EpfJEqy ехр [ i(O)pt + O)i2) + е (t2 t)] х
...... .;D .... {о
х Рпп (d d ; tltX) ехр [; {юптt + OO"'lt 1 + (Olп t 2)1 + · . )
[ d(t).) се е ) J;V) J
'== 2 Рпп nrn a ' lr! . + .. Е pj3iE qy ex р [ i (oop+UJ q ) t J.
4fl (Ы тп Шр OOq t.e) (0)1" (J}q ЕЕ)
(6 2. 99)
"Здесь вьrписан вклад ЛИШЬ l1epBoro из четырех слаrаемых двойНоrо
.коммутатора ([d (/),. d (1 ])1, d (/2)]1 так как остальные различаются
только знаками и перестзновкой индексов состояний [ т n.
Рассмотрим С..ТJожение частQтыI Ю 1 + 002 O)() При (0,"* U)2 В ДБОЙ"
ной сумме по частотам поля слаrаемые осциллирующие с частотой
6)o, встречаются два раза: при q I Р 2 и при q == 2. р::=. 1, по...
'этому ю""компоненту ДИПО..l1ьноrо момента МОЖНО представить в виде
суммь[ двух слаrаеМЫХ 1 рззличающнхся перестаНQВКОЙ индексов 1, l'
н 2 :
( d( ) d ,j3) "?) )
...1(2) Е Е П 21 PпlT IWl т' a ln. +
щ. '2(.1 1У ,61' 2t2 D Di ) .. ,
(6.2.100)
J48
дe
D (I)) ·
тп === ютп:............. UJ р........ t У т hi
П.......операТор суМмироваНИЯ по перестаиовкам и мы заменили в На
-1'..n. Заметим, что дисперсионная функция ltD является фурье об-
разом ступенчатой функuии е (t) (рис. 6+5).
,e{
1
ДпЕ
8(О
1
t
() 1/с
iРИС4 6.5. С ту пе 1:1 ц а т а я фу н к ци я Х еВ пса Йд.а ум н ож е н н а я н а е.... е t t И ее фур b раз
используЮТся Д t 11Я учета В/I.ИЯНИЯ причинности и затухания на ОТКJlИК CllcтeMbl
Итак квадратичная восприимчивость вещеС1ва. состоящето из N
,одинаково ориеНТИрОВаННЫХ невзаимодействующих молеКУЛ t выра-
.жается через невозмущенньrе населенности уровней N n == Ptlп N t час
таты (f)"H' и моменты d",rl лереХОДОБ следующим образом;
01! 1 П 2 I
.Хо.ау == 212 пу
lmn
.s!a) (п) d ' 1') d П') ...А ff) (1): )
Л' ( а "т (Iml 1п + пт О т' dltl .............
п D (:Q) O 1) D (()' о < н
тп /n (11 nт
d fб ) (}ах) d (1'> 1 V') d ((.t) d (B) )
пт т' 1п lJ itrn m l (п
D (O) D H.I D «I) D fO t
1m 111 1т 11т
(6.2.101)
тде индексы О и О. относятся к частотам :i:: roo
Нетрудно убедиться, ЧТО выражение (101) обладает всеми СБОЙ.
-ствами симмеТРИИ t установленнь[ми в '9 б. 1. Оператор П обеспечи-
вает qастотно пространственную симметрию ПО ПОС.!lеДНей паре ИН
деКСО8 (6 1.14) Свойство (6.1 15) следует из D:t:J == ..........D! * If d;m. ;:;;::
dпт так что изменение ЗНаков всех частот и мнимой единИuы
JlИШЬ мен пет мест а м н ел а r аемые в (1 01) (пе рвое со НТО PblM t третье
четверТЫМ)r
Равенство нулю x t : H В центросимметричных средах также сле-
дует из (1 01). Собствен ные состояни я системы с иентром и нве реи 11
имеют определенную четность: (j) Il ( r) -::::::: :t Ч'" (у), поэтому d1Jt.tJ ==: Ot
-если (fт и f{Jп имеют одинаковые четности. С.;rzеДQВа тель НО 1 ХОТЯ бы
'ОДИН И3 трех моментов, связывающих состояния l. m п t равен
нулю
Симметрия (6.1.20) в случае прозраЧНоrо вещества также сле
дует из (101) при 'Yт,, O. При этом можно попарно объединить
149
ПОСЛеДИ не слаr аемые в (1 01 ):
] J
О(Щ D С\} + п((ll о(2.) ......... D( HD('!I ·
lт 1п. 1 т пт 'п 11111
в результате из 8 остаются 6 == З! слаrаеМЫХ t отлпчающихся
nepecT8HoBKaMH пар индексов (а, O}t ( , 2), (1', 1):
121 ] N П О:11
Xct 'V ::= 'ZIi 2 fl afJ'f
lllHl
d (t):) fj) (У)
1lт а т l dl H
(W т1i Ыо) «(J)I1l (t)l)
(6.2.102)
Воспрн 11 'IЧlIВОСТЬ следующеrо nОрЯ;I.ка вычисляется ан.аЛОfIlЧНЫМ
образом. Каждый СЛе'дующий порядок теории возмущения добав
J1яет множители вида d1п(hDy//. Отсюда следует оценка для ОПТf1
ческоrо анrарМQнизма в области прозрачнQCТН:
у} 1.;) Аыо
Е ..... E
N 1 :=:;;;;;; j k + 1) ,...", о t
"Х ей!)
(6 .2 1 03)
rде DOt (J}n Ео характерИЬ1е ДЛЯ молекулы раЗ lер.. частота и BHYT
реннее поле. Для атома водорода Ео== 13.БВ/а о 107 [с. Полаrая
Х(Н :== О, 1., получаем x{ 1 == 10.....8 rc...... J., хtЗ").:::::: J 0"15, rc ;1. Несмотря на
rрубость этой оценки, она дает верное представление о порядках
велич.ин. ПРИ резонансе XH I соответственно возрастают.
О Вероятность мноrофотонных переходов. Если интересоваться
ЛИШЬ энерrетической СТОрОНОЙ вопроса, то нелинейное взаИ;\10действие
ИЗJlучения с вещество ! :\.-10ЖНО описывать в терминах вероятностей ИЛJf
сечений lноrофотонных переходов (ТЗК t как это было сделано в rл. 2
ДЛЯ J1инейноrо однс$отонноrо взаllмодействия) При ЭТОМ поле МОЖНО t
как правило, не KBaHTOBaTЬ Т. е. использовать JlолуклассичеСI{УЮ Teo
рНЮ, но результаты расчетов удобно траКТОВать на фОТОННО I языке.
Найде!\J в качестве лрил.tера вероятность двухфотонноrо ЭЛементар
Horo процесса, описывающеrо эq:фекты paM.aHOBCKoro рассеяния н
двухфотонноrо (индуuированноrо) nоrлощеНI1Я пли l1злучения. Под
ставив амплитуду переходз nepBoro приближения (2 1 r22) в уравнение
(2.1 r 19в), получим ДЛЯ амплитуды двухфотонноrо перехода с УРОВНЯ
а на уровень Ь:
t (..
CgJ (t) == (ih)..t ) dt Jl tp n (t 2 ) dt lrp a и]).
' 8
(6.2.104)
Здесь индекс n., ПО которому подразумевается суммирование, нумерует
все промеЖУТQ4ные (вuрmуалЬТ-lые) невозмущенные состояния, посред..
CTВO I которых осущесТВ4. яется переход Это выражение отражает ВаЖ
ную особенность кваНТОВОЙ динамики............. в переходах участвуют все
возможные виртуальные СОСТОЯНИЯ (с ]<ЗЖУЩИМСЯ нарушение t заКОНОВ
сохранения) с единственным оrраничением,. следующим И3 принцила
причинности t>t'l>ti>t o .
150
Подставим в (1 04) дипольное возмущение ' ===........d' · Е и ПOJlиrармо.
ническое поле (97) (полаrаем t Ot t==:::I:: oo ):
.c2! ( 2п. ) ""'2 d b 4Е d 4Е х
vw п , n8 р
пQP
со t!
Х dt 2 dt 1 ех Р [i ((ОЬп (U<I) { + ЦЫ м OOp) t 1] :z:
.....ш
ж.
, d bn Eqd"a. Ер r .
== ;:.". /;,2' 1 dt 2 ехр tl (Ш Ьа Шq Wр) ( 2 1.
4 t (ы nD (,)p) ..
n4Р ж)
(6.2.105)
Вклад нижнеrо предела в интеrрале ПО t 1 исчезает З8 счет адиабатиqе-
CKoro В1{..1ючения возмущения или затухания (СМ. (95) при E +O).
.Оставшийся в (105) интеrраЛ ЯВJlяется ОДНИМ ИЗ преДСТавлений 6 функ"
ЦlШ: dt2.'. "'=2лЬ ({')ьа Wq Шр)' Итак, поле возбуждает молекулу во
втором порядке теорИИ возмущениА лишь при совпадении суммы (ал-
rебраической) .двух частот поля и частоты расематриваемоrо перехода
а---+Ь. Это условие ЯВляется обобщением постулата Бора ДЛЯ однофо-
ТOHHoro резонанса.
Пусть две частоты поля 001 И (О 2 удовлетворяют условию «комбина-
UИонноrо» резонанса Ыl+(О2 Юьа, тоrда из (105) имеем
e ) === i (2л/li) (Е 1 . M 1 2. Et) б ((06(1 rol Ф2)'
I ( d (Q;) d ( ff) .,(В) .ftIX) )
М Э == M2 (,,1 /la + а Ьп Uп a
Il 8 4А OO/H ........ю2. ООпа Ю)
IJ
(6.2.106)
Если ЫЬа>О (Т. е4 исходное состояние молекулы нижнее) То
(106) определяет амплитуду процесса поrлощення молекулой двух
фОТОНОВ (при 6)1 002>0) или поrлощения одноrо (<01>0) и рождения
друrоrо стоксова фотона «(.) <O). в ПОС21еднем случ-ае (106) яв"
ляется амплитудой стоксова paMaHOBCKoro процесса. Аналоrично при
ЮЬа<О (106) определяет ДВУХФОТQННое излучение ИЛИ антистоксово
рассеяние.. .можно считать. что два слаrаемых в (106) отличаются после..
довзтельностью поrлощения (или рождения) фотонов {й. ИЮ!.
Заметим ЧТО ВОЗМОЖНЫ четыре ВЭрllантз двухфотонноrо излуче-
н ия ........... вынужден ное, спонтан но- вынужденное t БЫ нужденно..сnонта н.
ное и ЧИСТО спонтанное (рис. 641 J е). ЭтИМ проиессам соответствуют че
тыре слаrаемых в выражении (N(+I)(N 2 +1)==:N t N2:+N t +N2.+lt
следующем. из (106) при замене Ер на операторы (здесь Np исходные
числа фотонов). .
Из (106) следует, что максимальный вклад в амплитуду перехода
.1I.аюr виртуальные СОСТОЯНИЯ с минимадьным дефицитом эиерrии
ft(ro,ta (t)p). Отметим, ЧТО ра3личныle «пути» перехода (T е. вклады
различньrх виртуальных состояний) MorYT ОТ/J.ичаться знаками и по-
ДаВJIЯТЬ друr друrа (Кl3Шtт08lLq uнтерфереНt4UЯ состояний).
151
Чтобы наЙти из (106) вероятность nepeXOMt надо определить CMЫC :!
квадрата 6"фУНI<UIJИ:
Ti2
I б ((О)) р ""'" б (т) liт dt е/Ш' /2л""" б (,») т J2л. (6.2.107)
т се ... Tj2.
ИЗ (106), (107) получаем вероятность двухфотонноrо перехода н
единицу времени, Т4 е. скорость перехода (cp вывод (2.2.10»:
W === 2л I K )! б (U)Ьа Ю2 Юl)11i2t
К ( '2) ==: Е . Lf] 2 · Е
lю 1 J'. :2.
(6 2 108)
(6 2.109)
С€rласно (108) ДВУХфОТQННЫЙ переход а---+-Ь возможеН t если разре
шены виртуальные переходы a n н n---+Ь. В llентросимметрпчной сис
теме УРОВНИ а н Ь ДОЛЖНЫ иметь одинаковую четность.. при .эТОМ OДHO
фотонный переход J\'lежду HH!'t"lH будет запрещен (альтернативный эа
прет). Таким образом, двухфопlОННая и, в цлстносmu, pa.1-lан08Ская
спектроскопия позволяют uccледовать ypOOHU t не доступные линейной.
CпeKtпpOCKoпUU
Дnя учета конечной ширины резонанса следует заменить fj (00)
на нормироваННЫI':'1 фОр f-фактор g (00) (CjVf (2 2 1] )). Полученное вы..
ражение отличается от вероятности однофnтонноro перехода (2 2.11)
38;\lенои частоты Р абll l d Ьа . Е 1 j/Jl. Q на 2К1;}. А налоrич н ую стр ук"
туру И lеют вероятности k cpoTOHHblX переХО;:l.ОВ 1\аЖДblЙ ДОПОЛНИ-
тедьный фотон 6)p'J участвующиЙ в переходе" дает в K ) фактор ВИда
.d тrl Е pJIi «t}пa (Op · · (01) ......... Q.!<U o Е р/ E VL ..(ер. (103)).
Как и в случае однофотонных nереХОДО8 ( 2.3), скорОСТЬ nере-
хода W f .2J определяет сечение а{2) и КОЭффИIlнент поrлощенiJЯ (уси
ления) а(;;О, а также мнимую часть кубичеСКОJ J восприимчивости
х(ЗI (002' .........(01 (U 1 ). Сечение вынужденноrо двухфотонноrо лерехода
определим как скорость l1ерехода в случае еДИНИЧНЫХ плотностеЙ
ПОТОКОВ 4ютонов:
WCl:) J С
o 2 H == ' Pp==' :::: I- IEplz4 (6.2+110)
F 1 F 2 поо р 8ЛЛrl.t) р
ДJlЯ учета конечной ширины перехода заменим .s ФУНКЦIIЮ в (108)
на нормированныfi форм..фактор g (9 2 2):
a 2 H :== 128:rl:'J k1k z 1 е 1 · М 1 2. e'l /2 g (ill bd (t)2 {t)I)t
(6.2..IJJ)
тде k fl, Юr.t/ с .
Ко3фф:ициент ДВУХфоТQнноrо лоrлощения ДЛЯ ПОЛЯ С частотой
ш, пр" наличии вroрото ПОЛЯ с частотой Ш1 равен (ер. (1 J.4))
a(l) (w z ) :!: о я N F 1 (6.2.1 12)
rде 8N == Na Nb pa3HocTb населенностей на единицу объема.
J52
Поrлощаемая ИЗ поля 002 МОЩНОСТЬ на единицу объема вещества
j) 2 === (й 2 1т Р З) t Е;/2 == ('-'1. 1т 1.. k E; E;f\E yE 1l)/2 (6.2.113)
С друrоit стороны, s> 2. ==: а.(2) '2 Сравнивая (113) с (1 12) t находим в
случае вещественных моментов переходов d тn
1т x 1 == ::!:: 4л1i lдN M l MVЪg (Ы Ьа OOl U)2) (6.2.114)
НакояеЦt полная кубическая восприимчивость следует И3 (114) при
J3MeHe g на 1/Л(WЬа (.)1 O)2 i1'). Нетрудно проверить" ЧТО прямое
[3ычисленне X 31 с помощью (96) в однорезонаНСНQМ приближении
:taeT тот же результат
Формулы (108).........( 111) ОТНОСЯТСЯ К ЧИСТО вынужденным двух-
.IЮТОННЬ[М переходам. В случае спонтаННО ВьrнуЖденных переходов
(r1рНВОДЯЩИХ к спонтанному рамаНО8СКОМУ рассеянию) роль t E2.li
Jlrрают квантовые флуктуации поля, которые Дают эквивалентную
I1ЛQТНQСТЬ потока фОТОНОВ F2.VQC == C/L3 В каждоЙ моде ПОЛЯ в окрест...
нОСТИ частоты Ю J ' rде LЗ объем квантования ( 7 3). Суммируя
по всем модам около частоты юьа............OJ 1 " найдем
a ). B H == \f/ , РЫН/ F t == (с/ Lз) o 2 K
k:
== dro 2 dQ2k (iB2 1I/(2n)' =:Е dQ2 (d(J 2) jdG)cn, ВЫII' (6.2.115)
4я V:e 4:n: \'t
тде 'Y2 HHдeKC поляризаuии. ПодстаВ1IВ сюда (111),. получим диф..
реренциа.п:ьное сечение На едиНИЧНЫЙ телесный уrол и один ТИП
подяризации поля (1)2:
(do ) /dQ)cn+ Ы" :;: 16klk / е l · Ml2. е 2 r t .
(6.2.1 J б)
Далее, заменяя Fl На C/L3 и суммируя по всем Модам поля (01
jT О до частоты перехода Ю Ьа ' находИМ скорость ЧИСТО спонтзиноrо
перехода:
О>Ьа
w ==(с/и) IJ J.ВЫII==(2/Л3)) dro 1 ) dQldQ2 k k lel.MI .e2P.
k.. о 411 \'[ V t
(6.2 117)
Ч10бы rрубо оценить вероятность ДВУХФОТQнноrо распада в
оnти ческом ДНа п азоие t положим все частоты в (1 J 7) равными U)Q
==== е2/2п..аr. == ac/2a tp а «пол Я рl1зуеМQСТЬ перехода» М равной й: rде
((, 1/137. Пренебреrая друrими ЧИСЛОВЫМИ множит rrями, ПОЛУЧJIМ
(ер. (2.5.11»)
W W u (а/2)6 50 с.... 1 .
Строrи й расчет ДЛЯ перехода 2s.......-+ I s в атоме водорода дает 8 с... 1 .
Итак W в 137:-\.........106 раз меньше W 'J4 Несмотря на малую вера-
SfTHOCTb t ДВУХфОТQНИЫЙ распад без особоrо труда обнаруживается с
153
ПОМОЩЬЮ двух ФЭУ ]1 схемы совпадений Подчеркнем t ЧТО спонтанно{
(а mак:же тепловое) двухфоrпонное излучение. в отличие от однофоmон-
H020 t u :иееm непрерывный спектр" не связанный с ДJIСКретным спектром
невозмущенноrо aTO:-d3. Статистика ДВУХФО1Qнноrо ИзлуЧеНИЯ Harpe
Toro тела также существенно отличается от однoq,отонноrо, ЧТО СВЯ
зано с тeM t ЧТО фОТОНЫ излучаются парами. ТЭКИ!\t обраЗQ I, аиrармо"
ниэм вещества ПрИВОДJ.lТ в ПрИНllиnе к отклонению статистики теп.
ловоrо излучения ОТ rауссовоЙ (37)4
ВЫВОДЫ.. Итак, в оптический анrарМQНИ3М М3КРОСКQпическоro ее..
щества вносит вклад целый ряд механизмов+ Квад.ратицная ВОСПрИИМ
ЧИ ВОСТЬ 'Х. (2) сеяза на ка к правило" с нели ней ностью СВЯ за иных элект-
рОНОВ. Она отлична от нуля ТОЛЬКО в пье30]{рнсталлах и имеет порЯДОК
lO 7 )O g rc l прн условии, ЧТО все частоты лежат в оптическом окне
ПрозрачностН. Кубическая восприимчивость Xt:J) Б }\онденснроваННО 1
прозрачном веществе также вызывается электронной не4>f}инеЙнО(тью
(Х!3}......., 10 1i' rc :!) t если все частоты оптические. Если же разность двух
частот Q совпадает с частотоЙ молекулярных колебаН(1Й, ТО х СН воз'" I
растает дО IO 1"2...........10 13 из-за смешанной электронно"ядерной (плаqе
КОВСКОЙ ИЛИ рамаНQ8СКОЙ) нелиНеIUiНОСТН. При Q O основноЙ ВКLТ(ЗД
В слуЧае твердых тел вносит электроетрикuия (x( H lО lЗ)t В жидкос-
ТЯХ к ней д06аВ1.rlяется ориентаUНОНная (керровекая) неЛJlнейность.
(x(M IO 12)4 Электрокалорнческий знrарЫОНН3N1 дает обычно X{31
IO"'13. Чрезвычайно сильные нелинейиые оптические эффекты на.
блюдают в ЖИДКИХ кристаллах и плазме. OT.\leTHNl, что неЛJfнейная
электродинамика плазмы хорошо описывается кинетичеСКIIМИ ур.ав",
нениями Ландау....r+ Власова (см.. 123]).
6 3 Макрос'Копическая "еJlннейная оптика
Итак., с ПОМОЩЬЮ классических или квантовых микромоделей мы.
нашли поляризаuпю вещества Р в заданном лоле Е1. Т. е. исключили
переменные вещества. Подставив D==Е+4лР в маl<роскопические
уравнения j\r\аксвелла, мы лолучим замкнутую систему уравнений для
Et Ht ОПНСЬ1вающую излучение и распространение электромаrнитноrо
ПОЛЯ в веществе с учетом ero неЛflнеЙНQСТН+ Наблюдаемые в оптическом.
ДНа пазоне "роя влен и я нели неЙ ности чрезвыча й но разиообра зны и за..
ВИСЯТ от особенностеЙ ,<ак BeJueCTBa, так 11 исходноrо поля ero ам-
плитуды, npOCTpaHCTBeHHoro 11 BpeMeHHoro спектра. Определяющим:
n.apaMeTpOM является, конечно, ОТНQше1-tне Е/ E VL" которое" как "ра..
вило, MHoro еньше еДJrннuы
Исходные соотношения. Ниже будут рассмотрены основные типы
стаинонарных Э<j:фектов. При ЭТОМ поле можно представить в виде
CY 1MЬ[ независимь[х спектральных компонент:
Е (r t () === ( 1/2) 2: Е n (r) е х р ( iu) tJ t ) t (64 З.l )
и
Е J == Е , О) ,,, 00 n ' п == :f:: 1 t ::f:. 2 t ...
Амплитуды монохроматических волн Е п (r) удовлетворяют сие...
теме волновых уравнениЙ rельмrольи.в. связанных друr с друrом
15-4
за счет знrарМQнизма среды, которую 110лаrаеr-.,t немаrннтной:
c fJ \l х v х Eп b) En. Еu === 4n(U p rL (r). (6.3.2)
Эти у равнени я !le r Ко по"t[уч ИТЬ И 3 ура внен и Й Ма ксвелла (4. 1.9).
Здесь линейная часть поляризации включена в Еn. А ллитуда не...
линейной поляризации с частотоЙ U)fll которая служит ИСТОЧНИКОМ
макрополя E , определяется через нелинейную восприимчивость
( 641):
::J:I
p *. (Т) х(т 1) ((U Ot ; (t) п з" . . . j О)пт): Е п.. (r) .. E nm (,.) (6.3.3)
(п=3
rде
Il!
И, . -:;;;;;;: о.
i ::;;;;; 1
(б.3 4)
Для описания HeKorepeHTHblX (шумовых) полеЙ например тепло...
Boro или комБIiнаЦllонноrо (paMaHOBCKoro) 11злучения в правую
часть (2) следует добаВJIТЬ .JIанжевеиовы случайные источники. Их
сnектрадьная ПЛОТНОСТЬ" соrласно флу]{ТуацНоННо....дНссНпаТиВНой тео.
реме (ФДТ)t пропорuионаЛЬна соответственно 1..11>" ИЛИ х lЮ " (СМ.
(6 2.58)). Друrой метод расчета ШУМQвоrо излучения нелинейной среды
использует формулы типа Кирхrофа, сразу вь[ражающие интеНСИВ-
НОСТЬ шумов через температуру среды и решения динамических ура в...
н ени й (1 ) (см. , на при ер t ( 6.4. 1 В), (6 5 51 ), (7 r 1 . б) ) .
Классификация нелинейных эффектов vlз уравнеНlfЙ Л\аксведла
следует (СМ. (441 + 1 О)), что средняя за период удельная МОЩНОСТЬ. по..
rлощаемая веществом из ПОЛЯ в точке r за счет анrарМОНИ3МЗ j
OIJ:!
NL (r) == (i/4) (О п Е п t р " == (i/4) (!)п X(/ll J) : Е п . Е"т. (6.3+5)
3 I
'! ш ::+ 11,
Каждое c r[araeMoe :r(т) (r) в последнеЙ сумме описывает 111 ЧаСlпоm--
ное взаuмодейспlОli е. Еел [.1 п редстаВJlТЬ зм nл и ту ды поля в виде
Е n (r) Ха I E « (r) J ехр li<rп (r)] f (6+3. б)
ct
r де а:;;;;:- х, у, Zt то !р{т) будет по величине и знаку зависеть от
(lttt (т) == f.Pl!. 1 + . + + + (()r1ml):f/,p Т. e от соотношени я 1\tежду фазами
спектральных компонент ПОЛЯ Такие взаимодеЙствия называют nара-
lиеmрuчеС1\U;ltll ИЗ (5) ЯСНО, что параметрическое взаимодеЙствие т
rарМQНИК дает наl\аП '1пваЮЩJlЙСЯ в пространстве .эфt:Peкт лишь при
W т) (r) ::=:: сопst, что ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО ДЛ я СОВОКУПНОСТИ ПЛОСКИХ ВОЛН t
Коrда Q;'Ja (r) == k" r t k п ==. k ll , При этом волновые векторы взаИ IО
llействующrJХ ВОЛН должны образовьrвать замкнутый мноrоуrольн![к:
т
t1k{т) == k п + == о.
t===J I
(6.3.7)
155
Это YCJlOBJle t при учете (4) называют уело в иеАt 11 pocпlpaHCln8eNN.OZC,
сиНХрОНUЭАfа ИЛИ сосла.сованuя фазовых скоростей.
Часто в сумме (5) Э<fxPeКТИВНО лишь ОДНО слаrаемое низшеr()
порядка (п! == 3 или 4, Т. е4 трех- ИЛИ чеТЬJрехчастотное взаимо
действие) с определенной комбинзuией знаков частот sп 4 Этой KOM
бинаuии можно поставить в соответствие эле ентарНЫЙ мноrофотон--
ный проuесс с участие 1 П! фотонов, тоrда (4) и (7) можно тракто'"
вать как законы сохранения энерrии n'ОО и н импульса ПОJlЯ "h..k n ...
При параметрическом npouecce знерrия вещества не Меняется,. Tr е+.
ИСХОДНЬJЙ tC (J и J\онечныЙ iJ ь у ровни совладают," (ОЬа == О (pHC 6.1 t а).
1\10ЖНО БыдеЛIJТЬ далее резонансные nараметричеСJ\ие лроuессы, ДЛЯi
которых ОДJIН J!JlII более B I рту а л bHыx У ровней совпадают с реальным и
При этом одновременно становятся существеннь[ми неnара\lетрнче--
ские эффекты (СМ. ниже) появляется линейное (или мноrофотонное)
nоrлощение (или усиление) а*О и энерrия ПОЛЯ не сохраняется Oд
НИКО при условии малости поrлощения требование синхронизма (7)
остается. 3амеТИМ J что при, напримеРt т:==4 возможны одно..,. ДBYX Н.
трехкратные резонансы. ЭффеКТ1iВНОСТЬ резоНансНЫХ взаи одействий
сильно зависит от частот u)п. (даже без учета условия синхронизма)) ВОс....
лриимчивостн здесь nриннмают КО ПЛексные значення
Вне nро ежуточных резонансов a O, БоrпрИИ JЧИВОСТИ веществен
ны и 11X дисперсия мала, поэтому эффеКТliВНQСТЬ нерезонансных пара
метрических процессов зависит ОТ частот ЛИШЬ косвенно из..за услQo-
вня синхронизма" ){оторое при фиксированных направлениях krt вы..
полняется TOJlbKO для опреде..1Jенноrо набора чаСТQТ t а при фиксиро-
ванных частотах ---------- для HeKOToporo м ножества на праВJlений . Та ким
образом, эффективность nарамеТрllческих взаимодействий испытывает
совместную частотНО"У2.Л08УЮ дисперсию.
Вернемся к C)'M\.Ie (5) В ней среди слаrае ']ЬJХ четноrо порядка т
имеются Бырожденные с парными комбинация.\-]и индексов вида
12i пj, для которых rptт- O. Соответствующие взаи:wолействия, зз...
висящие лишь от uнпreНСUбностей rapM"OHHK ПОс.rJЯ 'Е п ll,. называют не...
па рамепlрtlчеСКU 1fи. Д..ТJЯ н и х условие си н х рОНИ3:\13 ВЫ поли яетс я авто-
"lатичеСf{IС Л10ЩНОСТh nor лощаемая на частоте (.)1' за счет неларамет".
рнческоrо взаимодеЙствия l..частотноrо поля соrласно (5) равна .
1 (r) === ( 1/2) 001 1 m Х ' H 1} ( (r)l; 00 ( · · (U l t (t) 1) : Е; Е t . . · Е! Е l+ (6.3.8)
Она СОХраняет знак для данноrо набора частот 11 медленно (по cpaBHe
нию с e ik .') меняется в пространстве при любоЙ конфrlrурации ПО..11Я"
так как фазы rapMOHHK не влияют на (8)
При нелараметрнческих элементарных npoueccaXt например при
ДВУХфОТQННQМ лоr лощении или рамановском переходе, конечная энер
rня вещества ОТ lJ1чна ОТ начальноЙ (рис. 6.1), и поэтому энерrия ПОЛЯ-
не сохраняется 1). При ЭТОМ кроме тривнальноrо здесь УСЛОВИЯ (4) I
1) 3 а мет и м t одн.а к о t ЧТО lJ. ндуц llрованной д uспе рсии t roп р о 80 жд а IOще Й м н оrо<,J:ю....
то н ное nor...1'I още н и е (к а к н л н н еЙ во ii дне пер с и и) t соответств У ет в и р ту а...1 ь Н ьr й про цесс
с (JJba==Q&
156
и еет место рез онанс при
1
I Юн === ООЬа.
11::. 1
(б.3 9)
При наличии дополнительных nромежуточных резонансов Henapa-
\1етрнческнй процесс называется каскадным ИЛJI ре3()наNСNШf Такие.
flpOlleCCbI характеризуются СЛОЖНОЙ дисперсионной зависимостью от
частот поля (Оп ПО отдельности. Примеры: резонансное комбинацион--
ное рассеяние и каскадное ДВУХфоТQнное nоrлощенне в трехуровневой
системе (рлс. б+ 1 д).
В случае нерезонансных (некаскздных) npoueccoB а(п.==о и эффек-
ТИВНОСТЬ нелараметрическоrо взаимодействия заВИС.ИТ соrласно (9)
в основном ЛИUJЬ ОТ суммы всех частот поля !ы n (этот случай МОЖНО
назвать однорезонансным).
Заметим, ЧТО при непараметрических процессах новые спектраль--
ные компоненты вознн]{зют ЛИШЬ за счет спонтанных или Спонтанно-
вынужденных переходов и излучение при отсутствии обратноЙ связи
имеет ШУ:\iОВОЙ, некосереНlпный характер (даже при коrерентной накач...
J..:e с определенной фазой). Пример Heynpyroe рассеяние света+ В ТО
iKe время при параметрических процессах возможна rенераЦIlЯ коее..
peHпlHblX полей с НОВЫМИ частотами (rенерация rарМQНИК)..
Эффекты неЛJlнейной ОПТИКИ можно дополнительно клзссифИЦНро-+
В8ТЬ ПО числу существеннь[х спектральных комлонент или ПО числу
плоских волн (мод). Например, к ОДНочастоТНЫ.Vf непараметричЕ'СКНМ
(вь[рожденным) эффектам ОТНОСЯТСЯ нелuн.еuное пozдощенuе и дисперсия
(10)1 == ЮЬа) И эQ:фект насыщения «(t)1 0).1 +. · · + 00. ==u)ba) ЛрИ:\riерами
дву х чаСТQТНЬJХ нела раметрическ и х эффектов я ВJlЯ ются ин.дуц uрованн.ое
п02лощенuе и дисперсия (Юl+<I)t==Ш Ьа ) ]"1 ра.мановское взаu uодейс'пвuе
(О)l Ю:!===ООЬа) приводящее к вынужденному ко wбuнаlfUОННолlУ pac
сеянию (ВКР) и обращенному эффекту Рамана (индуцированному по..
rлощению на антистоксовой частоте).
fенерацuя второй zapMOHUKU является вырожденным случае\-J трех...
частотноrо параметрическоrо взаимодействия ((1)1 ::1:: (О 2::!:. (t) 3 :==0)4 К че-
1ырехчастотным лар;}метрическим эффектам относятся rенерация
третьей rарМQННКИ и К,О2ерентноеантuстоксOfЮ рассеянuесвеmа (KAPC)t,
L![ежащее в основе активной cпeKl1lpOCKOпUU КАРС опнсь[вается резо-
нансной частью кубической восприимчивости хен(у ==ООз-...........(I).2+(Ul)
при 41)1 u).2 := ro.J (О э О) Ьа. П римером па ра lетри чеСКоrо ОДНОЧ астот--
Horo четырехволновоrо взаимодействия является эфqJект обраu,ения.
tЗОДН08ОС!О фронта за счет X(3l( (1) ===U) u)+ (0) при k 2 == kl k I == kЗ
Подробнее все эти эф:ректы будут рассмотрены ннже. Иноrда ОДНО--
временно nрОЯВJlЯЮТСЯ несколько эф:реКТQВ 1 НЗПрJiмер вкр может'
(;опровождаться самофокусировкой н I(APC. НО часто подбор условий
эксперИмента ПО3ВQJlяет выделить отдеJJЬНЫИ эффект. При анализе мы
ДtJ Я npOCTOThI будем считать эти условия выполнеННЫ\-1Нr
J..r добно различать эффекты и по друrим парным признакам: СЛО" .
танный вынужденный стационарный нестационарный (rД 5).
Следует от етитЬ, что термины «спонтанныЙ» И «вынужденный»
определены в квантовой электронике нечеТКQ. В линейной оптике
157
.спонтанное 11 вь[нужденное излучения ОТНОСЯТ к нестационарному ПР(i
цессу с участием ОДНОЙ молекулы, а суммарное стационарное ИЗЛуЧе
нне изrретоrо вещества называют тепловым излучение l. В ТО же вре 1Я
ПОД спонтанным рассеянием понимают рассеяние на тепловых (или
при n'Q./xT}>l на квантовых) флуктуаuиях различных параметроз
вещества (9 6.2) при малой интенсивности накачки 11' ХОТИ 06ъясня-
Я этот "роиесс спонтанно-вынужденными ДВУХфОТQННЫМИ переХи
дзми (9 6.2). При увеличении /. интенсивность рассеянноrо света растет
сперва линейно" а затем при ra\'!) Il>1 экспоненциально (ДЛЯ
СТОI<СОВОЙ компоненты). В реЗУЛЬТате э#ективность преобразованин
частоты может достиrать десятков процентов и термин вкр обычно
применяют к этому усиленному спонтанному излучению. ЭтОТ же тер..
мии используется ИНQrда при эффекте усиления внешнеrо стоксова
ПQJlЯ.
Еще большую мноrозначность имеет термин коzеренmный (даже еСЛll
оrраничиться ТОЛЬКО нелинейной оптикой). С ОДНОЙ CTOpOHЫ ИМ обо..
значают эффекты нестационарноrо реЗQнансноrо взаимодействия типа
СИП ( 5.1), а с друrой парамеТрJ1чеекие стационарные эффекты
типа rенерации второй rармоники. В первом случае (tмеется в виду СНВ-
фззность ПОJlЯ И вещества t а ВО ВТОрОМ разли ч ных КОМ понент по.}"! н .
Роль J1""ейной инелинейной Jlисnерсий. Нелинейнос.ть ВОЛНОВЫХ
уравнений rидродинамики и rа3QВОЙ Динамики проявляется наиболее
ярко в виде ударнь[х ВОЛН t В превращении синусоидальной аКУСТИЧt-
КОЙ BO.1JHbl В пилообразную (наrляднь[й образ опрокидывание
rребней морСКИХ волн на мел ководье) 4 На спектральном язы]{е ЭТОТ
эффект объясняется rенерацией высших rармоник, обоrащением спект
ра исходноrо возмущения ПО мере ero распространения.
Однако световые ударные волны не возникают из за дисперсии по-
казателя лреломления п «(1)): rарJ ОНИКИ с частотами (t)1 20)1, . 4 .
распространяются с различными фазовыми скоростями cJn(pm t ), так
что знак энерrии взаимодействия и соответственно амплитуды rapMO-
ник бь[стро осциллируют В пространстве (СМ4 (5)). В результате амллн
туды высших rармоник не нарастают по мере распространения (<<не-
накаnливающееся взаимодействие») и в теории возникает еще ОДИН
малы Й па раметр отношение дл ины коrереНТНQСТИ lKO r ==л/6.k к дли-
не вещества 1. Здесь !!k волновая расстройка (7), равная при кол-
линеарной rенерации р й rармоНИКИ kp pkl [п (P(l)l) п (001)] роо t/C.
Лишь в слеuиальных условиях удается синхронизовать фазовые
скорости двух+"рех rapMOHH]{ (с ПОМОЩЬЮ двупреломления или ано"
мальной дислеРСИli)4 Итак, YC 1oвиe фаЗОВО20 синхронизма (7) Оё.ранuчu-
8ает число эффективно взаuмодеЙСtпвующuх спектральных компонент
поля при naражтрuческuх взаuм.одейсmвиях. д....1я непараметрических
проuессоВ эту оrраничивающую роль иrрает УСЛQВliе резонанса (9),
Т. е4 дисперсия X(iJ\ Х{Ы . 4 .
Для повышения эффективности нелинейных "роиессов обычно HC
пользуется импульсная на} ачка лазерами с модуляцией доБРОТНОСТ!f
('t.-"V 10 не) или с синхронизаuией мод (T 10 пс) Ясно что для накаппн-
вающеrося в пространстве взаимодействия нескольких световых им...
пульсов с различными центральными частотами необходимо также pa
158
sеНСТБQ их rpYnnOBblX скоростей
Ир dro/dk p ::== с (пр + Юр dпp/do) 1
(условие cpY/l/l080GO синхронизма), иначе импульсы будут разбеrатьсЯ"
по мере распространенин.
СОяномерное приБJJиженне.. Далее мы, как правило, будем ИСПОЛЬ
З0вать наиболее полезное приближение нелннейной (как, впрочем,.
н линейной) оптики одномерное (или, Иначе, прнБJlижение ПЛОСКИХ
волн) которое позволяет перейти от уравнении в частнь[х ПрОНЗБQД"
НЫХ (2) к обыкновенным уравнениям. Оно правильно отражает ОСНОВ-
ные закономерности мноrих явлений в случае слабо сходящеЙся или
расход.ящейся накачки и образuов с Достаточно малой длиной l. Часто-
расходнмость удается учесть хотя бы качественно в конечных.
формулах путем суммирования вклада всех существенных плоских
ВОЛН. МЫ откажемся от одномерноrо приближения лишь при описании
самофокусировки в конце б 44
ПРОИЗВОЛI:>ное поле МОЖНО представить в виде четырехмерноrо ИН
теrрала Фурье:
Е (r, t) == (Ц2лр d3k d(J)E (k. (J) ехр (i (k. r (l)t)] (6.3. ) О)
и аналоrично для ". Множитель (Lj2n)З добавлен из соображений
размерности (СМ. (7.3.7)). Это так нззь[ваемое k, (0.11 редстао.мНllе.
Здесь k и <u независимые вещественные переменнь[е. В случае ОДНО"
родной nрозраЧНой линейной среды без внутренних ИСТОЧНИКОВ k
н (1) перестают быть НезаВПСИМЫ IИ ( 4.2). rlри этом
Е (kt (u) == (1/2) I e v (k) E ) (sk) б (O sU) , (k»), (6.3.11)
"= [. 2" $= 1:
E } (k) == E ' (k)*. (6 З+ 12)
Полаrаем среду неrиротроnной, поэтому е и e'\t, действительны. Под...
ставив (11) в (1 О)) находим
Е (r, t) о::=: ( л У 5 d k L е\, (k) E <) (k) ехр {iфs (k)]. (6.3.13)
y
тде
"р s (k) s r k r (1)\< (k) 'J t S == ::t:, \J :== 1, 2
Например, в случае плоской монохроматической поляризованной
ВОЛНЫ
E ) (k):: (Е .B s + + Е; бs ) бv б(з) (k k[).
Единичные векторы ло.пяризаUl1И е" (k) и закон дисперсии ((Jv (k)
определяются теНЗ0РОМ Е (00):
c 1 k х 1 k х с \ 1 + о";.е «(I),\ ). e v 0+ (6 З 14)
Отсюда в случае вещественноrо Е
(t),. ( k) == 00\, (k)1 e"\t (k):= e\.r ( k) ::== e , (k)
159
Задание Волиовоrо вектора k и типа поляризаuии ,"' определяет
ПЛОСКУЮ монохроматическую волну пли моду. /J10бно множесТВО
мод сделать счетным с помощью куба периодичности LЗ ( 7+3), при
этом ннтеrрал Фурье переходит в ряд в котором мода задается
ОДНИМ индексом k ===э. {kf ", s} (он включает в себя таКЖе индекс
знака частоты s):
Е (r t t) (1/2) e Ek ехр (i'tk)t Е k := Ei ) (k) (6.3415)
k
АмплитудЫ мод E в прозрачной линейной среде без ИСТОЧНИКОВ
ЯВЛЯЮТСЯ незавнсимыми комплексными числами, определяемыми rpa
яичным.и УСЛОВИЯhrtи
Пусть теперь в среде имеется нелинейный лоrлощающий плоский
СЛОЙ (O<z<l) с той же вещественной частью е' t на который падает
слева и справа стационарное поле. При ЭТОМ числа Ek с,ановятся функ..
ЦИЯМИ ОТ Z (ВВИДУ однородности модели ПО X y t), которые называют
..медленно меняющuмuся а.мплитудами (Л1МА) Фактически переход
от реальноrо ПOJJЯ E(r t t) к зависящим от z амплитудам мод EIf(Z) ЯВ
JIяется трехмерным преобразованием Фурье по переменным Х, !Jt t (Т. е.
в отличие от (10) непDЛНЫМ преобразованием) ИЛИ переходом к (О, k1. 1
2 nредставленuю .
Заметим что для опреде fJения моды вместо k !\10ЖНО задать
частоту ш:;;:;;:; О),. (k)t k 1. И знак (Jk ПРОДОЛЬНОЙ компоненты k;p при
этоМ k z определяется законом дисперсии (для изотропной среды
k z а" (Е' ro 2 /с".......... kl)1/2 )4 Экспериментально разложение по модам
осуществляется помещением спеКТрОСКопа в дальнюю зону излу...
чателя, при ЭТОМ задаются ю и сферические уrлы {Jk (fk вектора k
{с поправкой на преломление). Таким образом, индекс k заменяет
Д"Y из следующих СОБQКУПНОС1ей величин:
k == {А, "t s} == {ro , kl. f б . ", s} == {ю, {}, .t V t s)+ {6.3 lб)
Как будет показано ниже, фурье преобраЗ0ванне уравнений rельм
rольuа (2) по х, у в с.пучае достаточно маль[х нелинейности и поrло..
щения "риводит к следующей системе обыкновеннь[х уравнений ДЛЯ
ММА (при (]k > О):
( + 2 1f. ) Е k (Z) ::::: Л!.(iJ k p ' L (z) ех р ( i k ;: z ) ( б . з. I 7)
dz сп k
Здесь введены следуюrцие обозначения:
a k =:;:; ((Jkek . е" + ek/CI1Jo Il ! ::::: п k cos 8k COSPk Ck$!Wk' (6.3.18)
т де е k yro.J1. между лучевым векто ром моды 8k И ОСЬЮ Z! Pk . УВОЛ
аНUЗОПlропuu t Т. e у ro.}J между k н J}учеВЫ f beKTOpOh-f (векторо;\!
Пойнтннrа)1 Р 'L фурье"J\омnонента нелинейной поляризации с часто
той Ю k > О и поперечным ВОЛНОВЫМ вектором 11.1.. == {kJ;;f ky}t ларал..
460
лельная вектору e h :
Pt L == (4л t Ukz IfL) pNL (ro k ! q z)
(21 u/lz t/U) dx dy dt e k . рд (r, () ех р [i ((o),.t kxx krJy)J. (6.3.19)
q =: {k xt ky} t Т:Е5 {х, У t z} t Ukz == дФу (k)/ak z . (б 3 20)
Соrласно (17) линейное поrлощение дает экспоненциальную зави-
симость ампдитуды МОДЫ ОТ Zt а нелннейностЬ ПРИВОДIIТ к взаимной
связи (перемешиванию) MOД Подчеркнем, ЧТО мода k в одномерной
модели возбуждается лишь компонентой источника с теми же частотой
]'! поперечным ВОЛНОВЫМ вектором. При этом зависимость от z может
быть любой Но сильнее вcero деЙСТВvеТ компонента источника с по-
стоянной распространения Kzt БЛJlЗК"ой К k! условие синхронизма
или cor ласовання фазовых скоростей (cp (4.1.20».
rраничными условиями для системы (17) ЯВЛЯЮТСЯ амплитуды
Eh(zo) падающих слева If справа ПЛОСКИХ волн: zo==O для cr==+ и zo==l
для o== . Решение (17) дает закон лреобразования мод нелпнейным
слоеМ t Т. е. .матрицу рш:сеян.uя слоя. Конечно:!" ДЛЯ описания реальных
экспериментов надо добавить отражение и преломление ВQJlН на rpa..
нице (с учетом нелинейности СМ. 1341) а также учесть оrраничен'"
ность сечения взаимодействия по Xt y При этом уже в линейном при..
ближении появляется «дифраКllионная» связь между близкими по на-
правлению модами. ЭТОТ эq:>фект удобнее описыатьb в (I) r представле..
нии (2) (СМ. в 6.4 раздеЛ t посвященный саМофОКУСИРОВI(е).
Найдем с ПОМОЩЬЮ (17) скорость изменениЯ продольной компонен-
ты потока знерrин, переНQСИМОЙ МОДОЙ k 11 выраженной в единицах
fi(f) k :
F kz == 1 k COS 6 k /!i.Ю k == С IEk Х н;] z/16Лn<Uk + К. C :=:
:=:cп ll J Е k (z) j2181( .(J}kl (643' 2J)
rде z еДИНlf1fНЫЙ вектор БДОДЬ ОСИ Z ДЛЯ этоrо умножим (17)
на Е; н сложим с комплексно сопряженным выражением:
(dldz+a ) F яz === 1 m p rL Е; ех р ( ik z z)/2п..
(6.3.22)
Правая часть здесь имеет corlr[aCHO (5) простой СМЬ]СЛ ЭТО энерrия
в единица х 'liЮ k ' по r лошаем.з я в един J[ цу в ре!\1ени еД1i н пиеЙ объема
вещества З3 счет неЛllнейНОЙ поляризаЦНИt Т. e это скорость умень"
шения n.110THOCTJI фотонов Nk в моде k Иначе rоворя (22) яв.
ляется уравнением Переноса (или уравне«ием непрерывности) для
фотонов макрополя:
'\F k + Nk О)
F k :; ItkN k .
(6.3.23)
Нелинейная nолярнзаuия p:.r L в правой части (17) или (22) опре.
делена qюрмуламн (3) н (19) с помощью иерархии восприимчивостей
Х{$) , т 2. В слу чае т. частотноrо взаНАlодействи я у равнение (17)
6 д. Н. КJlЫШI О 161
принимает вид
(djdz + аА/2) Е; -= (2пs 1 юJiсп 1 )х(т"'I} : elEa 4 · · Е т ех Р (, j,kz)t (6.3.24)
rде
т
k = Siklzt Е, == fv.Et<}i) (kJJ,
i=1 I i
(бtЗ.25)
причем интеrрировзнне по Х" Yt t В (19) дает следующие оrрани-
чеНIiЯ на взаимодействующие моды и знаковые индексы:
т
dkl. == Siki 1. == О.
i == 1
т
ro == 5iffii -= о.
'::;;; t
(6.3.26)
(б4Зt27)
Кроме Toro" накапливание взаимодействия вдоль z прОИСХОДИТ лишь
при достаточно малых продольных ВОЛНОВЫХ расстройках:
111
!3k == s,k iz 1/1.
t = [
(6.3428)
Перено р "'11 I pye1t1 аМПJl иту ды МОД так t чтобы и х квадраты рав н я-
ЛИСЬ ПРОДОЛЬНОЙ плотности потока фотонов (nолаrаем для простоты
обозначений F,+ -==. F k . 2 > О):
l
а, (Cn,/811h.OOi)t/2i Е"
laI12 Fi.
в результате (22) и (24) ПрИНИЛlают ВИД
( + )a;== 1Т l...та1 ... a..exp(i kz),
( d + :а 1 ) F 1 ;;::: 51 1 m I . . . т a 1 · · · а т ех р (i.:.\kz), (6.3.32)
(6.3 29)
(6.3.30)
(6.3.31 )
rде
R ;;::;: ...!... ( ) ,1.2/2 ( Ыl · ... Ю щ ) 1/S (т l) :
t-"I.. т 1- с............... Х .e l . е т .
2nJ ПI .... n т
Анализ ЭТIIХ уравнений для ряда характерных случаев будет про..
веден в б 4, б.5
Соотношение МЭНJlН Роу н перестановочная симметрия. Пусть
существенно квкое--либо ОДНО взаимодействие между т-частотными КОМ-
понентами поля с ИНДексами пlt . .. . t n т {СМ. (5)t которому соответ-
ствует J"'фотонный процесс (l==m при параметричесКQj\1 взаимодействии
и l==m/2 пр" неnарзметричеСКQМ). Пусть ЭТО взаимодействие не-
резонансное для какой-либо пары частот OOl <и2. точнее пусть фотоны
с ЭТИМИ частотаМl1 рождаются ИЛИ уничтожаются только вместе, одно-
временно (соответствующий виртуальный уровень далек от реальноrо);
(6.3.33)
162
Torдa
. .
SlN! == s,N 2"
(6.3.34)
rAe
Sn == sign (п) == sign «(оп).
(6.3.35)
Эти связи аналоrичны извесТНЫJ\l Б теории колебаний соотноше-
НИ ЯМ МЭНЛИ Роу дл я неди нейных цепей (1]. Знак и частот о п ре-
дел яются заКQ НОМ СОХ ранени я энерrllИ (4) или (9), Й" ......... еко рость
изменения ПЛОТНОСТИ qюТQНQВ С частотой 1 (Оп 1. Очевидно, что
fi, I ro п I N п + fP п -= О t r де J't fJ == Ю'I 1 m Е;Р 1112 nor лощаема я веществом
МОЩНОСТЬ на частоте (оп.
Из (5) и (34) в случае параМетрнчеекоrо взаи одеЙствия следует
1т (хН!... : Е lE'J' + . --..---+:(21... : Е"Е 1. . 4» О, (6,3.36)
rде
X H . . :;::::=:: у ( .t..... + , '\ ) ( r\l ii .. 4 ) *
Iw 'u.f 1" "-"2 t · . ........... А ·
(6.3.37)
Подставим (6) в (36):
[Е l"Е 2{i · · 11т {( X : :. xA : :.) е х р [i (lpt + Ф2l) + · .)]}::::; о. (б. 3 · 38)
<Хр.; + + +
Здесь все амплитуды и фазы проеКЦИЙ rарМQНИК ПОЛЯ можно изме..
НЯТЬ незаВИСIIМО, поэтому выражеНJ!е в круrлых скобках равно нулю:
.....'12 . О. X 'lt он
лае п . Па....
(6.3 39)
это перестановочное соотношение имеет более общий характер, чем
(6.1.20), r де n редполаr ал ась n роз ра чность вещества На всех частотах.
В случае непарзметричеекоrо взаимодействия фазы выпадают
и из (8) и (34) получаем
1т (Х l 12 2 в. : Е - Е t:"'>t Е lVizll ..+ : E !!t Е .......... Е ) ...... О (6 3 40)
. 1 1 С. 2 2:. + · lloJ ..:2: 2. С. 1 1 + О' ......... t ..
I Е lсх Е l E 2r E 26 · · 11m (х1 з::: ....... х БJА:: J == о (6.3.41 )
«f}.. .
Отсюда получаем инвариантность к «блочным» перестановкам:
X I1 2 . . "Jf ll...
rx ",,'6 . .. ............ 1\. vbo::j1 Р.
(6 3.42)
с симметрией этоrо типа МЫ уже встречались при рассмотрении
рамаНQБСКИХ и вообще ДВУХфОТQННЫХ переходов ( 6.2). Полаrая
в (42) O)t == ro/r>Ot OJ2==S WS<O' получаем при учете (6.1415)
x I ((Ul == (OL + ros OOS) == x k (юs == ю s + OJ! Ю/+) =-. (6.3.43)
CTporo rОВОРЯ t И3 (41) следует симметрия лишь для мнимых
частеЙ восприимчивостен, однако с ПОМОЩЬЮ соотношений типа
KpaMepca Крониrа (4+1.8) можно nоказать, что симметрии мнимых
6*
lGЗ
я вещественных частей х(rn:1 совпадают. Связь (42) следует также
из (39), если рассмотреть резонансный парзмеТрический процесс
с частотами (оз === U)lt (0.& =- 00.2:
Х 1 1. i · I ...... IV 2 11 j + + .
a6Y . .. ...... Afjct УО н + +
(6.3444)
Беря комплексно сопряженное выражеНfiе и используя частную
симметрию (6 1 14) и (6.1.15), снова подучаем (42)
Перестановочная симметрия восприимчивостей или соотношения
МЭНЛИ POYJ ПРИВОДЯТ К существованию ряда простых интеrраЛОВ
уравнениl1 ДЛЯ J\.1ft\A НалримеРt в случае нереЗОН8нсноrо взаимодей-
ствия ко3QxPициенты связи (33) ннварнзнтны КО всем перестаНО8К8М
ИНДеКСQВ j поэтому правые части уравнений (32) для интеНСIfВНОСтей
отличаются ЛИШЬ знаками. Отсюда при a.k ====0 следует
51 dF 1./ dz S2 dF,/dz == + + 4 Sm dF m/ dz ::: 1 m ( 1 . + . таl aтei kZ)t (б+3 45)
rде знаковые множители Si +==.:tl в случае klz> О определяются
условием сохранения энерrии в соответствующем элементарном про.
иессе. Q1сюда находим т 1 интеrрЗJlОВ движения систем (31),. (32)t
которые ПОЗВОЛЯЮТ вырззить интенсивности в m 1 модах через
ИН1€НС1IВНОСТЬ одной 10ДЫ:
Fk (z) -== SlSk F 1 (z) + C k , с 1 == О,. (6.3.46)
постоянные C k определяются через rраничные значения Fk(O)
Если все существенные частоты, включая комбинаuионные, лежат
в окнах прозраЧНQСТIf (Т. е. параметрические проuессы нереЗОН8НСНЫ).
То диссипацня энерrии поля отсутствует и должен быть еще ОДИН ИН-
теrраЛ t выражающий закон сохранения общеrо потока световой энер-
rИИ4 Однако леrко убеДИТЬСЯ t что оБЩИЙ поток энерrllИ вь[ражается
через константы СА. ДЛЯ 3Toro умножим связи (46) на lirok и сложим их
вместе:
т m
1 z (z) === hblkF If (z) =:. fi.(iJЯСh.
k=! k l
(6.3.47)
При nарЗi'JlеТрJiческом взаимодействии имеется все же еще один
интеrрал. определяющий раЗНQСТЬ фаз
т
<р (z) := S <Fk (z)
k ]
(6.3448)
комплексных амплитуд ая == VF; ехр (iSjt:pk) через Fk (z) И 'р (О):
SrtF nAk + 2 (F 1 . . . F т)1/! cos [<р (z) kz] == с. (6.3.49)
Здесь п JНобой И3 индексов 1 t ... t ,п Днф:t>eренцируя левую
часть (49) (при учете (31), (45) и ==P*)t можно убедиться в ее
неЗЗВIIСИМОСТН ОТ 2+
ОВЫВОД одномерных ураВНеНИЙI Чтобы вывести уравнения (17)
ДЛЯ ММ А в W t Ч, z"nреДСТЗВJlении,. выразим частотные компоненты
164
nс.: ){ Е" (r) или
Е (bl t т) == (1/2) [Е п (r) В (ro (оп) + E (r) б (оо + Ии)],
фиrурирующие в уравнениях rельмrольца (2), через амплитуды"'мод
Е я (z) == 4л.t Ukz I Е (bl t q z)/L t определенные Б (15). Пусть ro > О и тип
поляризации фиксирован, тоrда
2Е (@, r) == 5 7: еl'юt 5 dЗk ( 2 У Е" (z) ехр (ik.r i(J) (k) () :=:
== ( i;; у 5 dЗkЕ k (z) ехр (ik. r) б (<o (() (k)) ==
== ( 2: у j d q; I И/и I l Е" (z) ехр liq.p + ik z ((,), q) zJ, (6.3.50)
rде q =:.= {k;(t k!/}, Р {х. у}, Ukz дю (k)/дkz Здесь функци я k z «(О, q) ==
k z > О определеНа неявно с ПОМОЩЬЮ закона дисперсни: U) (qt kl,)==ro
и использовано свойство 6*Функции:
б [! (х)] == Di 6 (х......х i). f (х 1) О, а 1 ::::: I df /dx I;! \.l+. (б 3.51)
i
Будем далее считать,. что эффективно возбуждается
с определенным знаком k z , тоrда
Е «(О, r) == l :з s d 2 q I U/lz 1 J E/I (z) ехр и! · r),
k == {qJ;t qy) k z (OO t q)}.
При подстаНQвке (52) в (2) учтем. что обычно поrлощение и не-
линейность малы. При ЭТОМ Ek (z) мало изменяются на расстояниях
порядка ДЛИНЫ волны и МОЖНО лренебречь вторыми производными
(приближение ММА подробнее см. [33]):
I d 2 E.1 dz 2 1 I k z dE/I/dz 1t (6+3.53)
J]ИШЬ мода
(6.3.52)
в реэультате
V х V х еЕ (z) e ill "lr
e'k 4 r { k х (k х е) + ik х (V х е) + iV х (k х е)} Е (z), (б.3 54)
jнде)(с k пока опускаем. Первое CJlaraeMOe здесь в дальнеЙшем
сократится ввиду (14). Умножим (2) JI (54) скаЛЯрНО на е и воеполь...
зуемся векторным тождеством
е. {kx (V х е) + V х (kx е)} == 2 {е х (е х k)}. V, (6.3.55)
Тоrда (2) примет вид
(iL3 /16л 3 ) ) d q IU/ и 1 1 e ik . r х
Х {2с'! [е х (е х k)]. V ..........(I)le. glt · е) Е k (z) 4лшlе.. рлт (rek r)
(6+3 56)
Здесь векторе х (е х k) Е k Х Н k па раллеле н Лi чеВQМУ вектору S k t
Т. е. направлению потока эиерrии при g"==PN ::=0" а вектор V ==
zdJdZt Обозначим через е уrол между Sk и Z и через р обычно
165
малый уrол между 8Jt н kt тоrда
[е х (е х k)J z == .......... k сos 8 :;05 р == ........nо>./с ... k . (6.3.57)
Чтобы получить (I7)t осталось подействовать на (56) оператором
d 2 p ехр ( iq' · р).
g 6 441 Непараметрические взаимодействия
Неllзраметрические (или некоrереитные) эффекты нелинейной
ОПТИКИ" т. е. эqфекты типа мноrофотонноrо поrJIощения описываются
восприимчивостями нечетноrо порядка вида )(.12ЛI l) «(О 1 == Ю 1 . . ..
· . OOт +OOт) При ЭТОМ СКОрОСТЬ изменения амплитуды моды k 1
пропорциональна локальной амплитуде этой же моды Е 1. (z) мно"
житель синхронизма ехр (iAkz) не возникает и одномерные уравне-
ния дЛЯ ММА (6.3.17) можно представить в следующем виде;
( + I 2:ti lXI J E.12 . . . I Е т 12 ) EI == 01 (6.4.1)
сп!
11 === X(I,.....l) (<01-= Ю 1 · · Ют + (От) : е; е 1 · · · e e тt (6.4.2)
Таким обраЗОМ t вещественная часть Xi определяет локальное из..
менение ПОСТОЯННОЙ распроетракекия (Т. е. длины волны ИЛИ фазовой
скорости) МОДЫ kl пропорционаЛЬное локальным интенсивностям дру-
rих МОД (эффект индуцироваННQЙ дисперсии), а мнимая часть %1 опреде-
ляет дополнительное поrлощение ИЛИ усиление за счет энерrии друrих
· мод (эффект нелинеЙНGeО ИЛИ индуцирован.1IOео nоеАощения).
Умножая (1) на Е; ИЛИ используя сразу (6.ЗtЗ2), находим систему
уравнений для интенсивностей (F,-==F,z):
[d/dz +a 1 +a т) (z)] Р 1 (z) ==Ot (6.4.3)
rде
,.,(т} A.iт> f F А(т) I ( 8n/i. ) т Юl · 4(От
'-"'1 == 1-'1 2'" ... т' ""'1 === 1"'1.+ С Xli
"1 · nт
НаПОМНИМ t что знаки F, и п , совпадают и определяются знаком
проекции k; на ось z,. поэтому F 1 может нарастать по мере рас-
простраНеНИЯ t лишь если х; < O
Ниже будут рассмотрены основные типы непараметрических эф..
фектов неЛl1неЙное поrлощение (включая эф:рект насыщеНliЯ) рама..
НQБское усиление и поrлощение, спонтанное и вынужденное рас..
сеяния, самофокуснровка и саМОМОДУЛЯЦИЯ j а также их значение
в прикладной оптике и спектроскопии
Нелинейное поrJlощение. Рассмотрим случай ОДНОЙ моды. Нали-
чие у кубической восприимчивости мнимой части
x(I}1t 1 m Х(З) (00 00.........<0 + ю) :- е-ее"е
прИВОДИТ к нарушению экспоненциальноrо закона Буrера ддя изме-
нения интенсивности поля в веществе. Этот эффект 1\tl0жет быть
связан с ДВУХфОТQННЫМ поr лощением (СМ. (6.2.114))t при ЭТОМ x (3 )N > Ot
166
и с эффектом насыщения одиофотонноrо резонанса" коrда соrласно
( 4.3.19)
х (3}Н == ......... х (1 " d:bT 1 Т 9.11i2 [1 + (000 ro)t T ]
Пусть На nрозрачную (в ЛJJНейном приближении) среду перпен"
ДИКУЛЯРНО rранице падает ЛJlоская монохроматическая волна, тоrда
соrлэсНо (3)
dF/dz+ F2 == О, Р == 32п .iro1хfЗ}1t/С2п2 > O
Решение этоrо уравнения находится элементарно;
F (z) == F (O)/L] + 13zF (О)] l/J3z. (6.4 5)
Последнее равенство имеет место при F (O) I/ Zt ОНО описывает эффект
Q2ранuчеnuя (рис. б.б) при котором ИНтенсивность F(z) проmедшеrо
через СЛОЙ вещества z света не зависит от интенсивности пздающеrо
света F {O)t
Если F (О) испытывает флуктуаЦ(IИ (в частности) из"за фОТОННОЙ
структуры ПОЛЯ)t то ДВУХфОТQRНое поrлощение будет их заrлаживать,
Т4 е. На «ВЫХОДе» из СЛОЯ фотоны будут f
распределены во времени и простран 10
стве более рзвномеРНО t чем на «входе»
(эффект антиеруппировкu фотонов ....----&
СМ4 7 б).
Для двухфотонных меЖЗ0ННЫХ пе-
реходов в полупроводниках типа
CdS Х З)" lО lЗ см 3 /эрr при ЛоJ'"lo.rО t 7 МКМ
И п 2. При этом p/H(r) l cM/rBT,
Т. е. уровень оrраничеНJ-IЯ nplll === 1 СМ z,J
дЛЯ ! ==. АroР имеет ПОРЯДОК 1 rBT/CM 2 .
3аметим что при таких интенсивно", 1
СТЯХ может измениться структура ве.. о 1 t z/1
щеСТВЗ t nрОИ30ЙТН фазовый переход, Рис. 6 6 Изменение ItН1'еНСИВНОСТН
исларение t образоваться ЛJJазма Та. СВета с р.асстояннем и эффеКТ arpa.
КОЙ оптический пробой в лрозрачных ннчения при ДВУХфоТОННQМ поrло-
rазах или конденсированных веще... щенин: F плотность потока фото-
ствах может начинаться с м ноr-офо.. HOBt умноженная на lt rAe tl..........
TOHHoro поr лощени я и ионизаци и . коэффициент двухфотон Horo nor ло..
щения и 1 ТQ.rrщииз слоя веще..
Для ионизации атома инертноrо С1ва
rаза необходимо лоr лощение порядка
10 фотонов неОДИМQБQrо лазера (п.(U 1 э8)4 Число таких переходов на
единиuы объема и времени соrласно (3) равно
N == dF/dz == (8л/с)10 хпtl,ff jlG/21i (Е l/Е J.,'L) O t (6+4.6)
rде ЕЛ'L fiЮf/dо. Несмотря на малость этой величины, эффект удается
наблюдать при фокусировке излучеН(JЯ лазеров с модуляциеЙ доброт-
ности [40]t Заметим что высокая степень поля в (6) подчеркивает влия-
ние флуктуаций ero интеНСИВНQСТИ4 TaK СОfЛЗСНО (7 2.11) излучение
с rауссовой статистикой в (/10)/ (1 )1 ;:;;: 1 О! .--...3. lO раз эффективнее
нефлуктуирующеrо излучения при равных (!).
(б.4.4)
J
]67
Как показал Келдыш (СМ. [20], Э 29), при очень больших ПОЛЯХ Е!
(или малых частотах ro, коrда нарушается условие doEI <Н.оо) резкая
степенная зависимость (6) от EI замедляется за счет множителя
ех р ( fi,rool doE 1) t характер иоrо ДЛЯ эффекта lпунneльн.ой ионизации
в постоянном лоле.,
Нарушение стеленной зависимости вида (6) наблюдается также при
диссоциации MHoroaТOMHblX молекул в поле ИК..лззеров при однофо
ТОННОМ резонансе ro"",Q-о с ОДНОЙ из колебательных частот молеКУЛЬ1.
В случае СО2: лазера (л 1 О МКМ) ЙU)!"'orО 1 эВ) ДЛЯ диссоциации необ..
ХОДИМО несКОЛЬКО десятков фОТОНОВ. Однако в экспериментах с КОРОТ-
КИМИ импульсами коrда не успеваеТ nрОЯ8ИТЬСЯ столкновнтельная ре..
лаксация, наблюдается слабая зависимость от El. Этот эф:tJект связан.,
пcr видимому) с быстрой переда чей поr ЛQщаемой э нерrи и большому
числу друrих типов колебаний (<<внутримолекулярная релаксация»).
ЭQxPекты тзкоrо типа изучаются новым направлением квантовой элект
роники ИК.фоmохимuей t они ИСПОЛЬЗУЮТСЯ дЛЯ лазерноrо разде
пения ИЗ0ТОПОВ
В фоmoхромн.ых веществах [44] эqxJэект оrраничения (или затемне..
ния) наблюдается при MHoro меньших интенсивностях ........... даже в сол..
нечном свете, rде.l Оtl ВТ/сМ'2......... за счет сильиоrо, НО инерционноrо
«фОТQХ ИМJlческоrо» зиrа рмон изма t
Наиболее низким noporOM неЛИТiейности обладает фотоrрафический
процесс, rде для фотохимической реакции (Т. е. возникновения цент..
ров почернения крупинок металлическоrо серебра в МИКрОКрИ
стаЛ.. е AgBr) достаточно иноrда плотности энерrии (<<экспозиции»)
Jt'""'lO 8 Дж/см 2 . Примечательно, ЧТО дЛЯ образования одноrо центра
иеобхоА.ИМО несколько фотонов (m>l)t Т. е4 ЭТО процесс с высокой CTe
пенью нелинейности. При малых экспозициях степень почернения
неrаТJIВЗ D после проявления проnорциональна числу ueHTpOB t ПОЭТО-
му D==t}Jmt rде 1'] ............ чувствительность пленки (МЫ nренебреrаем CTa
1'истическим разбросом т). Относительное уменьшение интенсивности
зондирующеrо света при проходе через неrатив с малой толщиной 1
равно
t:J./ if -= D::= a(т;+l}[t
(6+4.7)
rде а(щt-I) == 1I{"'/1.
Различные виды фотохимической нелинейности используют в rоло-
rрафии и, вообще f для записи информации. Более «быстрые» оптические
нелинейности служат основой динамической ZОЛ02рафuu и эффекта
06раu(енuя 80ЛНов о фронта ( 6 5), rде запись и восстановление про-
ИСХОДЯТ одновременно.
ИтаК t даже прозрачное в обычном смысле вещество при достаТОЧНО
большой интенсивности света становится поrлощающим или отраЖаю-
ЩИ J. Изучение таких явлений имеет очень большое ЛрИf\ЛаДное зна-
чение в связи с проблемой Лазерной термоядерной реакции.
Насыщение однскротонноrо резонанса ( 4 3)?, наоборот, ПРИВОДИТ
к э$Ректу просветления (в отсутствие инверсии населенностей) При
этом флуктуации интенсивности подчеркиваются, ЧТО используется ДЛЯ
синхронизации МОД в nикосекундных лазерах. Соrласно двухуровне--
вой IодеЛИ коэффициент nоrлощения a.(F) (или при а<О усиления)
168
при большой интенсивности F имеет вид cto/(l +F/ F H) rде параметр
F и определяется временами релаксации Tlt Т 2 И моментом перехода
d ob (4.3.16). Отсюда вместо (4) находим нелинейное уравнение переноса
ДЛЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ при насыщении (Т. е.
при ОДНофОТОННОМ резонансе)
dF ctoF
dz + Т+F/F п ==0.
(6.4.8)
Заметим, что здесь в отличие от (4)
учитывается вклад бесконеЧНоrо числа
восприимчивостей нечетноrо порядкз+
Решение (8) J1erKO находится внеявном
виде:
........ CtoZ == 1п (F I F о) + (F ........ F 0)/ F B (6.4.9)
rде F -==. F (z), Fo F (О). Два слаrаемых
в правой части (9) соответствуют экс-
поненциальной и линейной связи F и z
(рис. б.7) При сильном наСЬJщении ЭКС
поненциальный закон Буrера переходит
в линейный:
F;:::: ( 1 I +a;:/FJ Ро. (6.4.1 О)
F (z.1 Р(О)
100
1
/(O)jl},:; о
J{I
1
{l,j
о
J I«g( z (О
Рис+ 6.7. Зависимость интеНСИВ-
ности BO..Т"JHЫ F от расстояния z
в ус и л ива юще А н л It ПО r..1'I оща ю
щей среде при учете эффекта на-
сыщения. Пр и СИ1JЬНОМ насыше-
нии экспоненциа.r:lьныА закон из-
менения F сменяется на линей-
ный (штриховая линия): а&
коэq.фициент усилени я C '] абоrо
снrнаЛЗ j F и интенсивность
сиrнала уменьшающеrо а й вдвое
и в пределе пр" F opF н вещество полно-
стью просветляется (ер. с описанным в
Э 5.1 нестационарным эффектом СИП).
Бездоплеровекая спектроскопия. Эф
фекты индуцированноrо поrЛDщения при
ДВУХфОТQННQМ переходе и индуцироваН
Horo просветления при насыщении OДHO
фотонноrо перехода лежат в основе двух
ориrИНалЬНЫХ спектроскопических.методов? ПОЗВQЛЯЮЩIIХ преодолеть
влияние доплеровскоrо уширения резонансов, Которое маскирует
тонкие детали спеКТРОВ4
Схема двухФотонноrо бездоплеровскоrо спектроскопа nредставле-
на на рис. 6.8 Исследуемый rаз помещается в поле стоячей волны с ча-
СТОТОЙ ro перестраиваемой в области половинной частоты перехода
ooJ2. Линейный эффект Доплера в случае беrущей волны дает сдвиr
частоты ы.' oo == k. V j rде 6) ............. частота поля в лабораторной системе
КоординаТ t 00' то же в системе молекулы движущейся СО CI{OPo-
СТЬЮ tt, k волновой вектор поля. В стоячей волне половина фОТОНОВ
имеют волновой вектор k н половина ...........k, поэтому доплеровские сдвиrи
ДЛЯ них различаются знаками. I? зультате если при ДВУХфОТDННQМ
переходе ОДИН фотон nоrлощается из «прямой» ВОЛНЫ а второй из
«встречной»" сдвиrи полностью компенсируются, так ЧТО наб...lJюдае..
мый резонанс будет иметь на широком ДDплеРОБСКQМ пьедестале ОСТ-
рый ПИК с естественной или столкновительной шириной.
, f""",.
169
Заметим, что резонанс удобнее реrиетрировзть косвенно....... ПО одно-
фотонной люминесцеНI ИИ сопровождающей переход молекулы с В03-
бужденноrо уровня на третий уровеНЬ4 Недостатком ДВУХфОТQННОЙ
спектроскопии являеТСR необходимость использования СИЛЬноrо ПОЛЯ
(из-за малой вероятности переходов), ЧТО ЛРИВОДИТ К замеТНQМУ сдвиrу
резонанса из -за о птическоrо э<рфекта Штарка (СМ4 (5.2.32))
Ь !
ai
to
с
а
4
(Q /rv z UJ + Av z
1
8
w'
(
['
tJJ
ШщJ
z
р и с + б. 8. Б ездо лле р о ВСК а я дву х фОТОН н а я спеКТрОС КО п и я: а) не п 0.1] ьз уем ые у ро ви Н
(ы Ч.3 СТОТ а пе рестр а н B.a€MO ro .л аз ер а, u/ ч a TOT а Ji ам юда емой люми н есuеи ци и);
б) схем а спектроек о л а; в) пр ин U и n к ом пе н сз Ц и и д.о пл: ер ОВСК oro едви r а ; ) за вис и
масть сиrнала ОТ частоты Лазера
Метод бездоплеровской спектроскопии насыщениа (З8] также ис..
пользует встречные волны с ОДНОЙ частотой (рис. 6.9). Прямая волна
имеет большую интенсивность и вызывает сильное насыщение тех
молекул, которые имеют подходящую проекцию скорости на направ-
ление распространения волны vz==(ю (Оо)/k. Встречная зондирующая
r
си
I
"
w
Ы О
Рис.. 6 9 + Бездоллеровская спектроскопия насыщен ия: а) схема спектроскопа насы-
щен и 11 ; б) 3 а ВН с Н масть и аб.т1lО.!lае.мо ro си rH ал а от частоты л азер а
волна при (0::;=:000 взаимодействует с друrой rруплой молекуд.......... имею.
ЩИХ обратный знак VJ" и поэтому сильно поrлощается. Однако при
6.)==000 имеем Vz;==O, и резонанс ДЛЯ зондирующей волны просвеТЛяется
за счет эффекта насыщения ОТ прямой ВОЛНЫ Следовательно ПОJ{ЗЗЗ-
иия детеКТОРЗ t реrистрирующеrо МОЩНОСТЬ зондирующей волны, про..
шедшей через образец, возрастают при (o (oo:. Ширина резонанса бу-
Дет определяться естественным, столкновителъным или полевым (СМ.
(4tЗ.21)) уширением..
170
Подробнее о нелинейной спектроскопии еМ4 IЗ8 t 39, 45 64t 69, 70J.
Упомянем друrие методы бездоллеровской спектроскопии метод
КlJQHm08ЫX биений ( 5..2), метод молекулярных пучков, метод буlfеРН020
сQза. В последнем методе своБОДНЫЙ nробеr исследуемых молек ,л orpa-
Н}Jчивается До величины; MHoro меньшей ДЛИНЫ волны, добавлением
инертноrо rаза. При ЭТОМ в центре широкой доплеровской ЛИНИИ По-
является узкий пик с ОДНОРОДНОЙ шириной.
Рамаиовское усиление. Рассмотрим далее непараметрическое взаи..
МQдействие двух разночастотных мод. Наиболее интересен здесь эф-
феКТ ра.маН08СКОёО усиления. тесно связанный с неупруrим рассеяни-
ем света. При макроскопическом описании рассеяние объясняется ре..
З0нансом кубической восприимчивости Xt3\«U2" rol) (01) при rol (U2==-
:= Q,...,Qo>O. Здесь комбинационная частота Q близка к частоте Qo===
== roЬа какоrо.либо возбуждения вещества. Обычно Qo одна из соб-
ственных частот молекулярных колебаний (в обратных. сантиметрах
Q IО'2 10З) или частота .акустической волны (QD O OJ 1 CM l)
В первом случае рассеяние называют комбинационным (ИЛИ раманов-
Kим), ВО втором ..ман'дельшmа.м брUЛЛЮЭН08СКU.м. В пье3Qкристал-
пах наблюдается также рассеЯJluе на nолярuтонах, Qо IОЗ CM l ( 4t2,
3.5). При ЭТОМ; как и при рассеянии На акустических фононаХ t Х(З) и
jo зависят от уrла между "1 и k 2 , Т4 е4 ЭТО ПО существу резонансные па
раметрические эффеКТЫ t поэтому они подробней будут рассмотрены
в 6.5. '
Существенно, что мнимая часть кубической ВОСПРИИМЧИВОСТИ ОКОЛО
стоксова резонанса ОТрИllаТМЬН84 В результате ПРОИСХОДИТ перекачка
эиерrии ОТ высокочастотных компонент поля ({ ни3к.оча_стотным............
спектр поля «l<paCHeeт» а вещество наrревается и разность населен..
ностей Na Nb перехода с частотой (ОЬа. уменьшается.
. Пусть две поляризованные плоские волны с частотаМJI (01.2>0
падают перпеНДИКУJlЯРНQ на rраницу прозрачной среды. Из (3) находим
4;
уравнения ДЛЯ потоков энерrии:
dF t/dz + p t F 2 =- О,
dF,Jdz FIFt == О,
А З21t2/i.k k у (:H" / n'lп 2 ........ o(7l) ( N N ) '.. О
.... 1 2 1 2...... Ы.. (l. b"' t
х'З)# ==- 1 m х.(31 (001 == 001 tU,- + 001) : е; еае; e 1 ==
1 (3) ( + ) . 1iI" ( 6 4 1 З)
=:;....... m Х «)l ==: (1)1 6),2 002: е 1 е 1 е 2 е 2 4 ·
Последнее равенство следует из (6.2 56) (СМ. также (6.2.1 J4)"
(6.3.43»), оно обеспечивает сохранение общеrо числа фОТОНОВ при ра-
мановских ДВУХфОТQНИЫХ переходах:
F t (z) + F 2 (z) :::: с.
rAe
Подставив (14) в (11)1 находим
с
F ::: F
1 F 10 + F 20 efiCz 1-0 t
Р ...... с F
'2 F +F ....ас2 2Р
20 I gC
(6.4.11 а)
(6.4.116)
( б . 4. I 2)
(б.4 14)
(6.4.15)
(6.4416)
171
тде Fl,==F, O) и C==F. o +F 2Q . На достаточно БOJlЬШИХ расстояниях
F 1...-+-0, F 2"'С t Т. е4 Все фОТОНЫ превращаются в СТОКСОВЫ фОТОНЫ
(рис. 6.10). Разность энерrии при ЭТОМ идет на возбуждение вещества
(это явление используется для rенераuиИ ультразвука при вынужден-
ном рассеянии Мандельшtама Бриллюэна). Однако практически
полному преобразованию I1реПЯ1ствует ряд не учтенных здесь явле..
пий" в частности спонтанно вь[нужденные переходы и rенерация НОВЫХ
компонент с частотами 2rol U)2 и 2U)2 (UIJ а также волн с теми же
частотами Wl., ro2 НО с друrими типами поляризации и Т4 Д4
...
F..
l
f
{!,5
о
1 2
а
.....
z
б
n 2
Рис. 6.10. Рамановское вэаИМО]{ействие двух ВОЛН при рЗЗJJИЧНЫХ начальных ИН
1'енсивностях: по roри30НТали......... расстояние z в еДИНИЦах I/f}C по вертикали
интенсивности Е[ в единицах C Fl(}+Fto, Т+ е. ФУНКЦИИ Р 1 == (I+ae1) 1 и ''}. -;:;.1 Fp
rде a-==:.F'lO/F 10 ОТНОСИТl;'льиая начальная интенсивность СТОКСОВОЙ ВОЛНЫ; а) а===
== 1/25, штриховая лиНия.......... асиt..sПТОТИКа, описывающая экспоненциальное усиление
сrоКсовой ВОЛНЫ в приближеr'1J.fИ заданном накачки; б) (1,.:;;;;;;;: 1/5; 8) а== 1; ) С{;==5,
ан ТИСТОКСО ва во;] н а (н и жи я я к р и a я) ос.л а бл яетс.я пример НО ЭКС понен ЦИ3J.I Ъ"О
Пусть ТеперЬ F H /}r>F 20 , тоrда при достаточно малых z МОЖНО пре
небречь изменением ВЫСОk.QчаСТQтноrо поля (приближение заданной
lШКаЧJШ)t при ЭТОМ И3 (16) tледует эффект экспоненциальноrо раманов..
CKoro усиления:
Е 2 :: F 20 ехр (ct 2 z), (6 44 17)
а, f.Fld' 32ЛZ{J)iх(3}N J lа/с2ЛIJ > о.
Практически для сильных рамаНQБСКИХ резонансов НС! молекулярных
колебаниях в жидкостях a Достиrает I CM l при I ,l rBT/CM 2 . Итак,
рам.аМ08ск.ий йН2ар..кйнuзм tt0380ляеm получить усиление света без ин..
версии населенностей. э,рФект рзмановскоrо усилениЯ (или На ан-
тистоксовых частотах п()rлощения) используется Б спектроскопии,
а также ДЛЯ сдвиrа частот лазеров При добавлении с помощью зер-
кала обратной связи УСИJrИтель превращается в reHepaтop (рам.ан-
Аазер) .
172
СпоНтанное и вынужденное рассеяния. Даже в отсутствие обратной
сВЯЗИ и внешнеrо сиrНЭJ1а на частоте (у'2 вещество при Flfi*O HeKore-
рентно излучает на частотах (01 + Q O. При ct 2 t>1 излучение на СТОК"
соВЫХ Частотах 00: (T е. собственный шум paMaHOBCKoro усилителя)
достиrает уровня, сравнимоrо с накачкой: F2 F . Это явление полу..
чило название вынужденносо КDмбuнаЦUDННоео рассеяния (ВКР). При
этом возникшее шумовое поле СО средней частотой (01 QO иrрает роль
накаЧКl1 ДЛЯ второй СТОКСОВОЙ компоненты с частотой O)I 2Qo" послед-
няя возбуждает третью и Т. д Кроме Toro за счет параметрических
четырех ча СТаТНЫХ вза ИМQдеиствий ти ла 2001 ro 2....-+{1) З (01 + Q о возни-
кают интенсивные антистоксовы компоненты, и количественный анализ
я влеНИ:fI ста НОВНТСЯ затруднительным .
Оцеltим мощнос.ть вкр В приближении заданной накачки без учета
связи с высшими СТОКСОВЫМИ И антистокСОВЫМИ компонентаМИ4 СТОК-
СОВО поле при F2.o-===:O рождается за счет спонтанных (точнее. спонтан"
но"вынужденных) переходов. Соrласно закону Кирхrофа (э 7.1), КО+
торЫЙ справедлив и ДЛЯ ДВУХфОТQННЫХ переходов [371" интенсивность
шума с частотой 0)'2 на выходе усилителя в фотонах на моду равна
N -= ($ + 1) (o l)t (6.4418)
rде
G >=:ехр (аЛ. JrES Na N/l {ех р [ t (OO OO ) ] I} l , (6.4.19)
Т т мпература вещества (предполаrается, ЧТО переход a b не Ha
сыщае1'СЯ).
Чтобы перейти от N к Р, надо умножить ПЛОтность потока фОТОНОЬ
в одной моде Nс/LЗ (LЗ объем квантования) на эфqJективное число
МОД усилителя или детектора:
Nc" NcA 3 k Aroj,Q
IlF == L3 Ilg == (2л)3 == N 2лл1 ' (6.4. 20)
Здесь учитывается ОДИН тип поляризации и nренебреrается отличие
покаЗвтеля преломления ОТ единицы) 600 и АС! эффективные nОЛОС
частот и телесный уrол усилите 1'(Я ИЛИ детектора.
При нитевидной форме рассеивающеrо объема коrДа а«' и 1 t
сущеС"tвеННQ лишь продольное (-д O) или обратное ({t 18(0) рассея..
нме в телеснЫЙ уrол dQ::::::A/[2 (А == а 2 и 1 сечение и длина облаСТIf
взаимодействия) 1). При ЭТОМ И3 (20) находим связь между МОЩНОСТЫQ
шумов на единиuу полосы !Pw==п.roFA/A(u и числом фотОНОВ на моду;
f!w:: Йron N(2л, (6.4.21,
:безразмерное число IlF A(}J наЗЫвается воЛНОВЫМ параметром или
ЧИСЛОм Ф ренел я . П одет ан ОВК а (18) в (21) дает (а == СХ 21 (u === (02)
1 j') @ == А<ОI1} ($ + 1) (e'Il ! )/21(. I (6.4. 22)
1) Пр [1 вынужденном рассеянии Мандельштама Брил.n IOЭflа K""BHO пр(}
11 СХОДИ," Л ИШЬ 06рз'Т ное Р ассе я ине, ТЗ К J( а к Q (О) == О (СМ. (6. 2 61».
113
Чтобы найти полную выходную МОЩНОСТЬ t ЭТО выражение надо про..
интеrрировать по <О, ЧТО СВОДИТСЯ К умножению на эф:Рективную "ОЛQ
су шумов Аro и замене (i) на rol QO ==OO . При слабой накачке 600 опре-
деляется шириной рзмановскоrо резонанса. Т4 е. скоростью затухания
молекулярных колебаний (обычно dro/2яс 1.........10 CM l)+ При большом
усилении Д(I) сужается в (al) ]/2 раз (э 2 3).
Итак, соrлаено (22) рассеиваемая МОЩНОСТЬ заВИСИТ от интенсив-
ности накачки по закону ехр ( lFio) l. При lFlo 1 экспоненциаль..
иая зависимость сменяется линейной" при ЭТОМ рассеяние называют
CnOHтaHHbLМ (СКР). Из (22), заменяя А/[9 на 6Qt находим МОЩНОСТЬ
спонтанноrо стоксо ва рассеяния на единицу частоты и телесноrо уrла:
I (J)Q =- (псj/..з)(J/' + 1) y F 10> ]
(6.4.23)
rде V ==АЕ объем рассеивающей области. Нетрудно проверить, ЧТО
ЭТО выражение соrласуется с найденным выше сечением спонтанно-
вынужденноrо перехода (6.2.116).. скр в отличие от вкр имеет сдабую
направленность, определяемую сверткой Х(Э) с ортами поляризации
(13).
В случае F 2}>Р lt Korдa роль накачки иrрает поле с меньшей часто..
ТОЙ t внешнее (антистоксово) поле Ft(z) соrласно (11) экспоненциально
затухает.......... на ЭТОМ явлении основан спектроскопический метод обра-
и eHHQeo комбuнаЦUОNНоео рассеяния. Шумовое поле при этом описы-
вается (18), (22) или (23) при переСТ8НQБке индексов 1, 2 и замене
+l N, ---+--.......... . Таким образом, спонтанное антистоксово рассея-
ние с данной частотой в
Jf I(Jf + 1)::: N ъ/ N 1) == ехр( fiQo/xT)
раз слабее етоксова при прочих равных УСЛQВИЯХ4 При достаточно
сильной накачке мощность аНТИСТQКСОВОЙ компоненты насыщаетСЯt
Число фОТОНОВ на моду при ЭТОМ стреМИТСЯ соrласно (18) к dr, Т. е.
аНТИСТQКСQБQ поле приобретает яркостную температуру
Т8ф==Тrol/Qо Т. (6 4.24)
Само фокус.иро вка.. Этот одночастотный Э<:tфект СВЯ2ан с «самовоз--
действием» квазиплоской квазимонохроматической волны за счет
вещественной части кубической восприимчивости х(:)) == Re x t : H Х
Х (00, .-......or(iJt (0). Основной вклад в хtз ВНОСИТ электрострикционный
и ориентаuиоиныЙ анrарМQНИ3М (при ЭТОМ х(3) > О). В поrлощающей
среде добавляются температурный анrармонизм (х<:н < О) и эффект
насыщения.
При учете линейной восприимчивости амплитуда поляризации
равна (полаrаем х(l)'" == х(3)" == О)
Р == (х (1) + х($) r Е 1') Е ::s: Х (1 Е 12) Е
rAe Е Е 1 (r J t) медленно меняющаяся амплитуда (оrибающая).
В результате показатель преJJомления зависит ОТ локальной инте -
174
сивнасти поля:
n (r t t) ==== [1 + 4лх (j Е J2)Jl,12 ::::: ПО + п% I Е Jt, (б44 25)
r де п 2 2.пХ, (:)) I п{t+
Пусть Х{З) > О, тоrда пучок света при входе в среду образует
диэлектрический ВОЛНОВОД с профилем tln (r 1.J:: N:Z 1 Е (r 1.)12, повто-
ряющим распределение интеНСИВНОСТИ в пучке. Скорость распрост-
ранения с/п Н,:! оси пучка будет меньше t чем На JlериферНII так что
боковые лучи начнут изrибаться к оси (нелuнейная рефракция) и
пучок будет сжиматься При этом L\n ОКОЛО оси и скорость сжатия
станут еще больше, так ЧТО пучок в результате «схлопнется» До
HeKOToporo минимальноrо размера, опре
дел я e1f1 oro КОНКУРИРУЮЩИМИ *ктами
(рис. 6411).
ТаКИ),1 З<РФектом является, Б частности"
дифраКllИЯ Ее Э<l$eктивность характери
зуется yr ЛОМ расх ОДИМОСТИ -.з- а л о / 2п oD- 240
(а.......... начаЛЫ:lЫЙ радиус пучка" Л о ::':: 2лс/ш),
а Э<tФeк ТИВН ость неJlинейно й рефракц и и ..........
уrлом полноrо BHYTpeнHero отражения на
скачке ПDказателя преломления 6п:
по у 26.n "
{} Nl. == arccos + d ..............; (6", 4 26) .' I
по п по: О z/t[. Z
полаrаем здесь профиль пучка прямо.
уrольным. Если дифракция бу Дет точно
компенсировать рефраКЦИЮ t то Должен
установиться ВОЛНОВОДНЫЙ режим распро-
странения с постоянным радиусом пучка
(СQМQкан.алиэацuя). Полаrая {)Л'L == {}Jt/2
можно rрубо оценить условие самокана.
лизации:
Ап.in == n 2 1 Е I in " o {}i/8 л:/ 32n oll 2 4
(6.4.27)
Отсюда следует t ЧТО сечение волновода nа 2 обратно ПрОПОрЦИQнально
интенсивности свеТа. При ЭТОМ МОЩНОСТЬ самоканализирующеrося
пучка должна быть раВНа
5' о =: СП, I Е t;llna2/B :=::: с /25бnl. (6.4.28)
Полученная оценка ОТЛИчается в л!/4 раз от более точноrо резуль-
таТЗ t ПQлучеННоrо ни}Ке из нелинейноrо квазиоптическоrо волновоrо
уравнения (32) в безаберраЦUОNНО.Аf прu6лuжеНUU t Т4 е. при пренебре..
женин отклонением формы водновоrо фронта ОТ сферической:
!р о сл /б4n!112.
РНС. 6.1 J. СамO<jюкусировка
идефок усиров[\а (штриховая
линия): J пучок с малой
МОЩИ остью ..f}J4;tt ry (J медл ен-
НО расходится из за дифрак
иии; 2 пучок с критичес-
коЙ мощнос.ТbJО [1>0 «канали-
зируеТСЯ))1 при ЭТОМ дифрак-
пия. комnенснруется; 3 пу-
чок с 3> ffQ «схлопывает.
сЯ'Ь
(6 4 29)
Пусть до== 1 МКМ, Х(З) 10"'lZ см'/эрr (cepoyr лерод) и по == 1 ,5 t тorдa
соrласно (29) O lQ4 Вт" Эта оценка показывает, что самОФокусиров.
175
ка может существенно JJ3MeHHTb характер ПротекаНJIЯ друrих нелиней-
ных эффектов (rенерации rармоник вкр и др.), наблюдаемых обычно
при МОЩНОЙ накачке. С саМофОКУСИРОБКОЙ связана также важная проб..
лема оптической прочности вещества,. определяющеЙ максимал ную
интенсивность лазерных ПУЧКОВ.
о,Длина самофокусировки.. ЯСИО t ЧТО при fp> '?o пучок будет сжи-
маться (самофокусироваться), а при обратном неравенстве расхо-
ДИТЬСЯ И3"'33 дифракции. Длина самофокусировки ДОЛЖН8 t очевидно,
зависеть от относительноrо n ревышени я ( :P......... 0)/ ;Р о.
Чтобы определить вид ЭТОЙ ЗЗВИСИМОСТИ t рассмотрим решение не-
линейноrо волновоrо уравнения (6.3.2) ДЛЯ filонохромзтическоrо ПОЛЯ
Re .Ё{У) e iU}t в квазиоптическом и безаберраЦИОННО 1 приближениях
(СМ. 12J t 9.3). В однородной изотропной среде без сторОННИХ источни"
КОВ поле попереЧНО t так ЧТО из (6.342) следует нелинейное уравкение
rельмrольца:
V 2 Ё + k 2 (1 + (81/80) I Ё 12) Е == OJ
(6.4.30)
r де k:== lt О Ю/С t по == V e Ot 82 == 4лх( Н == 2п(tп2
Пусть на нелинейную прозрачную cpeAYt занимающую полупро-
странство z>o паДает поляризованный пучок света с оrраниченным
сечением, Но .'С ВЫСОКОЙ направленностью (узким yrJlOBbIM cneKTpOM)f
тorдa поле в среде можно искать в Биде
Ё (r) == еЕ (r) ехр (ikz),
(644.31 )
rде J е 19 1, е.; == О и Е (r) медленно (по сравнению с eik.t) меняю-
щаяся амплитуда (ММА), ОПИСblвающая изменение локалЬНОЙ амп-
литуды колебаний поля по сечению лучка и вдоль Heco
Практически всеrда характерные ДЛИНЫ Zд' Z NL' на которь[х Е (z)
заМетно изменяется вследствие дифракции и нелинейнос.ти, MHoro
больше Л t поэтому МОЖНО пренебречь a 2 E/az 2 ПО сравнению с 2k дЕ/д:
(приближение ММА). При этом И3 (30) И (31) получаем нелuнейн.ое
параболuческое уравнение ДЛЯ Е (r):
2ik дЕ/дz + V 1 Е + (k 2 e 2 /e O ) f Е , Е == О, (6.4.32)
rде vi == д 2 jдх 2 + iJ2/ay2. При е 2 == О (32) является основным уравне-
нием к8йЗuоппlUКU t изучающей распространение направленных вол-
НОВЫХ ПУЧКQВ+
Если пренебречь изменение 1 Е по сечению, 10 из (32) следует
Е (z) == Е (О) e iAk %, 6.k/k -= !1пJn o === 16п2х(З) llcп (6.4.33)
нелинейНОСТЬ лишь меняет фазовую скорость (f)J(k + !1k)=- c/(пo+ n)
плоек ой ВОЛН ы Дл я С5 2 при 1:::;. 1 rBT /СМ' значение L\n ==: 2 + 1 О... 5:.
Пусть теперь падающая волна на rранице имеет raYCCOB npo-
филь и плоский ВОЛНОВОЙ фронт: Е (х} у, О) == Е о ехр (........p2./ag)
(р' X + y 2 t ао...........НачальНый радиус луча) Попробуем подобрать
решение (32) в виде rауссовз луча с переменным радиусом а (z) ===
==- aJ (z) и параболическим волНОВЫМ фРI)НТОМ С переменной крн
176
зной на оси (z):
Е (r) ==: Е ех р [F (2) p + (ер (Z)]/t (2),
F (z) === ikp (2)/2......1/ f1. (z).
(6.4.34)
(6 4.35)
.Здесь <р (z) дополнительный к kz набеr фазы на оси, а преД3КСПQнен"
циальный множитель 1/1 обеспечивает независимость от z МОЩНОСТИ
волны:
:? ==> (cn o f8n) dx dy 1 Е \2 (сn о ll6) E:a . (б.4.36)
При малых р Волна (34) имеет примерно сферический ВОЛНОВОЙ фронт
с радиусом I/ (z). Ниже будет nоказано что КриВИзНа фронта и шири.
на пучка в сечении z с язаны условием (40).
Из (34) находим
дЕjдz == (р2р' + iq:/ Т' I f) Е t vi. Е == 4F (1 + р!Е) Е t (б.4 З7)
I Е 12 == f : ех р ( 2f2 ) Е , : ( 1 2r Z ) .
ао/ 2 a f2
В последнем равенстве мы перешли от raYCCOBa nрофиля к параболи..
ческому" что ДОПУСТИМО дЛЯ nplloceBblX областей пучка (безаберраuион
ное приближение). Подс.lановка (37) в (32) позволяет найти функции
[, ер. Так, nриравнивая нулю сумму коэф:Рициентов при p2 находим
2ikF' + 4F2 k'!/Z Lff::: О, (6.4 38}
rде
] ; L == noGU4 no I
(6+4 39)
и Апо приращение показателя преломления в точке r == 0+ Из мни- .
мой части (38) следует
== d (In f)/dz,
(" == I/z fЗ.
(6.4.40)
(6.4.41 )
а из веЩественной.......
Здесь введены обозначения:
Z (z;i....... zNi)"'l ::::: ziJ( 1 ,!Р о) === ZhL/(? 0/53 .......} ) t
k 2' 2 (1) 2; л ( (6+4.42)
Zд === а о / ZдJZNL ==31/? (} == (IJno/n o ) ka()2t
ПарaJrtеl1lР Zo определяет длину «схлоnыванuя» nуч.Ка, а пара.меmр ZA
имеет смысл «дифракционной» длины; здесь ?о и :Р определены
формулами (29) и (36)
Отсюда окончательно находим законы изменения ширины и pa
диуса КРИВИЗНЫ R (2) параБОJIическоrо пучка за счет ero самавоз-
действия:
а (z)/a o f == (1 + 22)1121
...
R (z) -= 1 IP == z (1 + z 2)
(6.4+43)
(6.4444)
171
rде z :::::: zjzo+ Функцию rp (z) МОЖНО найти И3 коэ:рфициентов ну ле-
Boro порядка .по Pt возникающих при подстзновке (37) в (32).
Амплитуда поля в пучке имеет вид
Efj [ р:! ik P2 . ]
Е (r) == 1/2 ехр 2 ... + .. +,ер (z) · (6.4.45)
(1 + Z2) ао (J + Z2) 2z (1 + z '2)
Найденное решение при 5>o(T. е4 при Zо Zд) описывает
7 ЗК называемую Т ЕМО(8 ВОЛНУ ......... п росте й шее решение ЛJlнейноrо па ра-
боnическоrо уравнения
Е те .. I :iOZ/Z J1 ехр l р2 ]
й (1 + iz/z J1 )
(6.4 4б)
(Э8меТИМ t что 1 + iz:::: {l + Z2)11 ех р (iarctg z), Т. е. здесЬ <р (z) =+
== ........ arctg (Z/ZJL»). При этом дифраКUИQнная длина z д определяет
расстояние, на КОТорОМ сечение пучка удваивается и радиус фронта
доетиrает минимаЛЬНоrо значения 2Z j == kag::: Ь (эта величина назы
вается КОНфоКаАЬНЫМ nарамеmро.м пучка). При 5' 9'0 рОJlЬ Zя
иrрает zо..........дифраКция замедляется. Наконец,. при > [Ро пара...
метры z: и соответственно i 2 становятся отрицательными, пучок
сужается, и ero ширина и радиус фронта в сечении z I Zo I обра-
. щаются в нуль, ПричеМ при !Р?>
э Zo ?> .;> о , Zu I ZNL (рис. 6.12). Конеч
НО,. кваЗИQптическое беззберраци-
онное приближение правильно QЛИ"
сывает ЛНШЬ начальную стадию
nроцесса самофокуси РОВКИ t однако
ее ха ракrерная длина должна быть
близка к 120 I ПО порядку величины.
В области фокуса существен
ную роль MorYT иrрать высшие не-
линейности х< 51 ,Н. И мноrочастот-
ные нели нейные э<рФе[{ТЬ[t например
tF вынужденные рассеяния. ЗамеТИМ t
что в случае импульсных полей по
ложение фокуса Izo(i)' зависит от
времени; по мере нарастзния интеН-
СИВНОСТИ фокус передвиrаеТСR иэ
бесконечности ДО HeKQTOporo мини..
мальноrо расстояния и затем снова
уходит на бесконечность (двuжу-
щийся фокус).
Пусть теперь на иелинейнуюсре..
ду падает волна с ПЛОСКИМ ВОЛНО
БЫМ фронтом И изрезанным профилем I Е (х, у, О) 12===-1 (х, у) (волна с по..
перечной амплитудной модуляцией). В процессе распространения диф-
ракция стремится ззrладить неОДНОрОДНQСТИ профиля анелинейная
рефракция наоборот., их подчеркивает (сам.о.м.одуляцuя). Качественно
178
2
1
...... ...... .... .......
о
g
3
1
Рис 6.12. Зависимость параметра Zo
(в единицах kй.:/2) от МОЩНОСТИ пучка
ty (в единиuах крити ческой IОЩ.
НОСТИ [jJ о) оп ИСЫ 83 e1tl а я фу н кцие й
11 ..........gr 1/2. приg<J Zо:имеетсмысд
дли ны дифракции пучка t а при !J> ] ..........
АЛ" мы е ro «с X '! ОП Ы в а н н я» n ос..'1 e;I.H я я
при d 1 лрнмерriО разка «иелиней.
HoA длине %NL (штриховзя- ЛИНИЯ)
,ТИ явления описываются (43)) если под а (z) понимать ширину неодно-
РОДНОСТИ t В реЗ'jльтате волна может разбиться на множество волно-
вОДНЫХ нитеЙ j каждая из которЫХ несет МоЩНОСТЬ :РО. Такой распад
является примером динамической поперечной неустОЙЧU8осmu волн в не-
линейной среде и аналоrичен образованию СОЛИТОНОВ при nродольной
неgсmОЙЧU80сmu (СМ. ниже).
ЯСНО" что если хtз)<о то должна иr-.fеть место самодефокусировка
(РИСt 6.11). Она описывается приведеиной выше теориеЙ при отрица.
тельных параметрах 530 и Z Lt ЭтОТ эфрект леrко наблюдается в поле
непрерывных лазеров при добавлении в прозрачные растворители по
rлощающей краски.
В двухчастотных (и/или двуволновых) экспериментах наблюдается
взаu.мная фокусировка ил и дефокусuровк.а за счет R е Xt3 { 00'2 === 00 2 W 1 +
+001) интеНСиВНЫЙ луч света с частотой (t)l превращает плоскопарал-
лельную пластину в собирающую или рассеивающую линзу ДJlЯ ВОЛНЫ
U)I. Эта же частотная компонента кубической восприимчивости описы-
вает uн.дуцuрованную дисперсию и оптический эффект Керра плос-
кая накачка с частотой 001 превращает изотропную среду в двупрелом-
ляющую для второй волны с частотой 002' Оптический эcfxPект Керра
и лазеры с синхронизацией мод позволяют осуществи ь оптические
затворы со скоростью переключения порядка 1 пс.
Рассмотрим теперь плоскую КВЗЗlfмонохроматическую волну с оrи-
бающей E(t) nрОМQдулированн6й ВО времени. В линейной среде в пер-
вом приближении теории дисперсии Е (t) распространяется без изме..-
нения с rрупповой скоростью U'==V ro (k), а при учете BToporo прибли-
жения (d 2 ro/dk'2*O) выбросы интенсивности расплываются (этот
эффект аналоrичен дифракционному сrлаживанию поперечных неОДНQ-t
родностей). В нелинейной среде самодействие может ПРИВОДИТЬ к об.;
ратному эффекту и при х(З)d20)/dk О импульсы с достаточной энерrи'"
ей сжимаются (самосжатuе или самоксмnрессuя СМ. [2]t э 9.5)",
КВ8зимонохроматическая волна с небольшой начальной модуляцией
в результате самомодуляц и разбивается на отдельные импульсы с
определенными эиерrией и формой солиroны 1) (аналоrи волновод-
ных нитей при сам<Х}эОКУСНРОБке). Практически такие эффекты наблю-
даются в пнкосекундном диапззоне t так что инерционные механизмы
нелинейности (например, температурный) не успевают проявиться
6115. Параметрические взаимодейс.твия
При лараметрическом взаимодействии т мод с положительными
частотами ю, условие стационарности имеет вид закона сохранения
энерrии для т"фотонноrо nроцесса:
т
d6);s S,(Ur == О..
1=1
(6.5.1)
Ж) Н апомн ИМ t ЧТО световые СOJlИТОНЫ (с «площадью» 2п) образуются также в 06-
ласти реэонансноrо поrJlощения за счет двухуровнеrо анrармонизма (9 5 1).
179 .
r де Sj ::r 1, UJi == (U (k i ) > о. Сот ласно одномерной модели в беско--
нечном слое взаимодействуют лишь МОДЫ, удовлетворяющие закону
сохранеН IЯ попереЧRоrо импульса поля
6.k x :.:= O 6.k ll О (645.2)
rде k Siki+ Формально (1) и (2) следует ИЗ уравнений Макс-
веЛJ13 при трехмерном фурье-преобразовании (э 6.3) В экспери-
менте врем я t' И сечение А :::::: a Z взаимодейсl'ВИЯ вcer да or р ан и цены t
ПОЭТО lу (1) и (2) ВЬ[ПQЛНЯЮТСЯ лишь С ТОЧНОСТЬЮ порядка l/t, I/a
СОО1ветственно:
11 ш I 1/1:, I kll l/a.J
(бr5 3)
в настоящем разделе мы, как правило) будем для простоты
пренебреrать линейным поrлощением (Cti == О). При этом взаимодей..
ствне Пl МОД в одномерном приближении соrласно (6 З+24) аписы..
вается слеДУЮlЦей системой уравнений:
.
dE!.. 2nSl Ы . Р . ( ) Ы
си.......... 1 Zt::""
1Cnl
(6.5 4)
rде
p (z) == х{Щ4lllLl (51001; Sf;(U2t t.. Smrom) Е 2 (z). . . Е т (z)t (6. 5 5)
..
Е,":= Ek при Si === I и Ek. при S 1, x(т-.r l ) ..........сверТКа тензора He
1 t
линеЙной воспр иимчивости С ортами поляризаЦИИ t n ::::- n cos е cos р.,
п показатеЛЬ преломлеНИЯ t е и р уrлы между вектором ПОЙН
тинrа и ОСЬЮ 2: И вектором k соответственно, д ===- 6.kz Уравнения
ДЛЯ Е 2" ...., Е т имеют аналоrичный вид и получаются перестанов
КОЙ индексов.
Из (4) следуеТ t что параметрическое взаимодействие Э<W-к тивно
лишь при достаточно малых f , Т. е. при сохранении продольноrо
импульса поля:
! I == ! s{k j z I < 1 11.
(6.5 6)
Условие СИНХрОНИЗМа ilk,.... О резко сокращает ЧИСЛО существен..
ны х ({В за имодейс.ТВ и 11» J( Qмб инаци Й вели ч.ин {k i t V f I Si} 1 ОС обеННQ
в аНllЗОТрОПНОЙ среде t rде nQказзтель преломления nv (ы {}t <р) ==
==- ck/fiJ lJ (k) зависит не только от Частоты.. но и от индекса поляри
зации v == 1, 2, и от направления k k/k ;s {{tt <р} 4
Приближение заJl.анной накачки ближняя зона. Пусть klZ>O
и Е 1 (О) :=:0 Т. е4 МОДа с номером 1 не возбуждается внешним источником.
При достаточно малых нелинейности) толщине слоя или падающих
полях накачки Ei(O) (i===2 t . . . Пl) можно пренебречь влиянием не-
линеЙности на накачку, Т. et полаrать в праВОЙ части (4) нелинейную
поляризацию P1(z) с частотой (01 заданной функцией координат опре
180
деляемой пространственным распределением своБОДНЫХ падающих
полей.
В случае заданной поляризации из (4)t при учете определения
(6.3.19), находим следующее выражение для амплитуды моды (kt "),
возбуждаемой в ОДНОРОДНОЙ nрозрачной ТIинейной среде фурье-компо-
нентой поляризации:
8n i ik Uk \ .-"}. .
Е \' (k) ==- 2 · d3re '".re v . Р ((f)k t r)t
LЗ nk CQS Pk t
"
(6.547)
r де и r ру плова я скорость + Замети м) ЧТО (7) оп редел яет поле из.
лучения вне V при любоЙ форме ИЗIТ'lучающей облаСТI1 v.
В случае плос.копараллельноrо слоя с толщиной z из (4) следует
.. 2тl (J) 1 z( lп .... 1) е ;' ы I
Е 1 (z) == ........ ...: Е 2 (О) I Е т (О) d ' (б.5. Вз)
сп!
( 8п ) т ы I х . m: 1 J l' Z2 4' ( fJ Z )
1 JZ(Z):::: С 51ПС" 2 f 2: (О) 4 · · r т: (О),
16п 1 4 · n т
(6 5+8б)
rде J /lz ===:cnk IЕ k 12/8л ==!Wk F kz продольная компонента плотности
потока энерrии в k й моде и sinc (х) == (sin х)/ х. Формулы (8) определя-ют
эtPФeКТJI вноеть па раметри ческоrо преобразова ни я частоты света t
ЗамеТJlМ t что «новая» мода (k 1 , v 1 )==k 1 определена через МОДЫ на..
I{ЗЧКИ k 2t .. . t' k m условиями (1), (2) лишь с точностью До типа поля'"
ризаЦИII V 1 и знака 0'1 ПРОДОЛЬНОЙ r 1 Llf l
составляющей k 1z (см. (6.3.16)).
Иначе rово р я ка жда я КQмбина- ..........J . . . '1
, 1, ....11.;
ЦИЯ оляр зо ванных ВОЛН накач /tji I ' I<}'I
КИ }:Siki' L 2, . , возбуждает, /(
в принципе, четыре ВОЛНЫ с ча А,; J
СТQтой 001" рззличающиеся индек
сами v == 1 2 и а :f:.l. Однако Рнс. 6.13. При ларамеТрFiЧ-еском пре..
1 t 1.. 2 I обр.а 30 в.а н и н частаты 002 + (ОЗ ffi.t (01
обычно множитель SIЛС (L1z 2) в условиям сохранения энерrии и попе...
(86) сильно подавляет волну с k 1z < peqHoro ИМПУ.lIьса УДОВ 1]етворяют две
<О примерно в (k IZ z)'2 раз (рис. ВО.1НЫ k{J:!::) , однако Д,Т'lинз orepeHTHO"
6.13). СТИ 1fi fj,( ) для ОДНОЙ из них крайне
Итак, 8 прuблu:нcен.uu задаННQЙ МЗ.13 порядка МИНЫ волны л...
накачки новые м.оды воз6!fЖдаюmся
nропОрl{uональн.о nроuзведенuю UHпU?HCU8Hocmea rюдающuх полей Kвaд
рату нелuнейной восприимчивости u при синхронизме (rdlz l)
квадрату длины взаuяодеЙст8UЯ ПрJf обраТНDМ неравенстве z'2 заме'"
няется на (6./2) 2sin2(dz/2)",,2/6. t Т. e при рассоrласовании фазовых
скоростеЙ амплитуда новой моды периодически обращается в НУЛЬ4
Расстояние nll А l t На котором интенсивность h-10ДЫ изменяется моно..
тонно" называется длиной к.ozеренпшостu
Дальняя зона", Практически фОрМу t]ы (8). КаК и вообще одномерное
приближение с конечным ЧИСЛОМ поперечных МОД, QлредеЛЯЮТ поле
ЛИШЬ в ближней зоне нелинейноrо образца, в которой дифракционные
181
эфqэекты за счет КQнечноrо сечения А области взаимодействия несуще.
ственны. Однако в приближении заданной накачки нет необходимости
использовать разложение по модам и одномерную модель,. так как
задача СВОДИТСЯ к решению одноrо волновоrо уравнения (6.3.2) при
заданном распределении монохроматических источников Р(ы, r), Т. е..
к 'определению функuии rрина 6 (UJ t r) уравнения rельмrольца. Эта
функция имеет особенно ПрОСТОЙ вид в случае ОДНОРОДНОЙ изотропной
среды и большоrо расстояния r от источников до точки наблюдения.
Мы уже определили ФУНКUИЮ rрина уравнений Л1аксвелла в O) k-
представлении (СМ. (4.1.20). Можно показать, ЧТО ее TpeX lepHoe фурье..
лреобраЗQванне в первом порядке по J /r Т. е. для 8QЛНQ80Й ЗОНЫ, Дает
следующее выражение;
00'2 .....
G (ы r):= c'l, e,'krn (r), (б..5 9)
А .
r Де ПС(J} == бар r а ' tз.........операТор п роекти РОВ8НИЯ на ПЛОСКОСТЬ; пер-
пендику л я рную направлению r =а r I r iI k:==. n (ы ) (о/с Пусть r?> k А
(дальняя эона)t тоrда (9) ПРИВОДИТ к следующей связи между полем
и сторонней поляризацией (Ср4 (7»: '
Е (о), r) == ; ei kr 5 d З " е i k ,,.' п (;.) , р (<о, r ') ,
v
(6.5.] О)
......
r де k kr и r соединяет какую-либо iОЧК у ВНУТрИ области V"
содержащей НСТОЧНИКИ t JI точку наблюдения. Таким образо.м't при
больших V поле излучения в дальней зоне проnорцuонально фурье...
образу С/nOрОftнеЙ поляризации..
Рассмотрим rенерацию поля с частотой (J)lt заданной накачкой,
состоящей из т 1 ПЛОСКИХ ВОЛН. Нелинейная поляризация при
V ..........,.. со также является ПJlОСКОЙ волной С частотой н ВОЛНОВЫМ век-
TOpO I, равными
т m
U)l == "'"""""-r SjЮ l К == S ik;t
l,=2 i-:=:2
(6.5.11)
Пусть теНЗ0Р X(т l) отличен ОТ нуля в параЛJlелепипеде с рззме...
рами а. b J С. тоrда из (10) СJ]едует (при 51 1)
2
Е * ( 00 r ) === 001 e iklr (П · Х(Ф "'11 : Еа. . · Е.) V f (r),
1 , с 2 r
f (r) =: ) d 3 " ei lt" (' /V == s inc (!1k ха/2) s inc (!1 k y b /2) sjnc (Ak:c/2).
- ......
6k :=: /ll(r)lrlc К.
lб 5t 12)
(6t5 13)
(645.14)
Диаrрамма направленности поля Ю 1 при эаД3ННQМ Копреде..
.....
ляется в ОСНОВНОМ функцией f (r). Для эф:Ректнвноrо nреобрззова..
ння частоты длина вектора К должна быть близка к n 1 (fJl/ c =-k р
при ЭТОМ излучение максимально в наnрЗВJ1ении К (для KOToporo
f 1) и имеет заметную величину в телесном утле порядка лi/А,
182
r де А площадь n роекuи и иэлучающеrо объема на пе рпендику л я р-
ную К ПЛОСКОСТЬ (рис 6.14)
Взаимодействие трех ВОЛН. РаСС 10ТРИМ в рамках одномерной
f\.10деЛи ВЗ8имодеЙСТВJfе трех ВОЛН И/lИ МОД С частотамн 001 + (02:::::: (0з
за счет квадратичноЙ нелинейностн. которая имеет заметную вели
ЧН ну JI ИШЬ В пьезок р ист алл ах. Дл я выполнен и я уСЛО8И Я СИИ Х рОНИЗ 1а
fjk ==. k3 k 2 k) =:- О 8 области п роз р а ЧНОСТИ к рист алл должен быть
двупреломляющим и иметь определенную ориентацию осей ОТНОСИ
тельно падающиХ лучей (рис. 6+ 15).
,.
tJ:
п{ш,8}
ft
hе(о)= ло t
лt{в,V У I
. I
I J
be o" I
D ю , ДWt
Рис. 6.15. Уrловая дисперсия пока
зате.'I я npeJlOM.t:leH ИЯ п е (8) '1Я не..
оБЫКНQвен ной ВОЛ ны позволяет CKOM
леНСИРОВ8ТЬ частотную ДИСПерСJ!Ю и
выnол НИТЬ ус..10вие СИ их ронизма
пО (rol)-==:п (2(01 t е 2 ) ДЛЯ rенерации Bro--
рой rарМОНИКИ t а также ДЛЯ друrих
треХ вол н ОВЫ х вэ а 11 М.Q:Lей СТВИ ii .
y;
.;ус
о rr лwft
Рис б.] 4. К определению ДНаrраммы на..
пр а вле н н ОСТ и I ('3) пол Я, изл у ч aeMoro п 0..'1 Я
риззцией с частотой 00, волновым вектором К
и объемом аЬс: излучение имеет замеТНую ве-
личину, лишь если наб..1юдаемыft вод новой
вектор k принадлежит области с раЗМерами
l!a l/b t llс ОКОЛО точки К
Перенормнруе { амплитуды волн так, чтобы их квадраты рав-
нялись Fi------+плотности продольноrо потока энерrии в единицах Itroi
(СМ4 (6+3.29)). Из (4) (или (6.3 31)) при 51 == 52 == ........ 5з == 1 следует
(полаrаем, что все волны попутные t n; > О):
d /dz i.1r ..
а 1 :::::; 1 t-'e а'2 аз t
da 2 / dz == ifJe€ A2 a; аз t
00з1 dz ::::::: i '" iз а 1 а 2 t
(6.5.15)
(6 5.16)
(б 5.17)
rде
{} === (З л З пю 1 (fJ2(fJз {& n I п! п а) 1/2 Х t
!:J.. == 6.k 2 t Х == х(2) ({J)з ::::: (r)i! + (01) : езе е 1.
(645.18)
(6 5.19)
Здесь свертку Х можно считать вещественной величиной, нива.
u- у
риантнои к одновременнон перестаНО8ке частот и ортов поляризз-
ц и и е i (9 6.1) .
Умножая эти уравнения на at t убеждаеМСЯ t что скорости изме...
пения потоков dFj/dz в МОДах 1 и 2 равны" а в МодаХ 1 и 3 имеют
обратные зНакИ Таким обраЗОМ t ПОТОК энерrии fioo{F{ лишь .пе-
ре распределяется (без поrлощения) между тремя модами" причем
ДОЛЯ каждой моды пропорциональна ее частоте (соотношения
183
МЭНЛИ РОУ СМ. 6.3)
L др :: c.F 2 P: I
(6..5 20)
rде
dF i ==: F i (z) F i (О). (6 5.21)
Имеется еще третий независимый интеrрал (6.3.49) уравнений (15) ------....
(17), определяющий разность фаз. Эти Jiнтеrралы ПОЗВОЛЯЮТ свести
решение уравнений (15) (17) к ОДНОЙ KBaдpaType В результате за-
висимость ai(Z) выражается через эллиптические функции, описываю..
щие периодичеСI{ИЙ обмен энерrиеЙ :\4ежду тремя nlодами 134]. \1ы здесь
рассмоТрИМ крайние С J]учаИt коrда интенсивность ОДНОЙ из волн MHoro
больше интенсивности двух друrих (приближение заДанной накачкн
ИЛИ nараметрuческ.ое приближение).
n реобра30вание частоты вверх Пусть F lop F 2 f F э (низкочастотная
заданная накачка), al0 a;o и ft==O Torдa И3 (lб)t (17) следует
da2,/dz =- iya з , (б.5 22)
dаз/dz == iya 2t (6 5.23)
V Е; f}a LO (З21t3(l) (uЗ"lс3 n t n'l n з l lо ) l/Zx. (б 5 r 24)
Эти уравнения леrко решаются подстановкой a i =: c,ei"f%:
....L. ·
0:2 === 021) соз yz . tа.зо 51П yz J
аз == a H. cos Z + ia 20 sin yz.
(6.5.25)
Таким образом" МОДЫ 2 и 3, аналоrично связанным маятникам,
периодически (на длине n{2у) обмениваются энерrней (в единиuах пWi)
в соотвеТСТ8И и с ( 20) (рис. 6.1 б).
{;.
l 1} F)
w
+ ' C:
fJ tt/r а ю .: ff Ю 1 ({}J
Рис + 6.] 6 + П.а р а метр и ч еск ое вз а н м оде йетв ие в CJ.I уч а е н из кочастотн оА э ада н н ой на-
Ка ч КИ: а) з а в и с н м ос ТЬ f1 Н те н с и вн ОСТИ ОТ Р ассто я н и я z; б) два 2а р и а нт а спектр а иэл у-
чeHия (стрелки указывают нап равление передачи ЭНfрrии)
Оценим характерную длину параметрическоrо взаимодействия
ZNL ==. 1/1' ::::::: л,n/4Л/2хЕ 10. Пусть Л t == Аз == 1 MKMt пl J, Х 1 o 8 fc..... 1 t
/lfJ =: 100 МВт/см З ,. Tor да z /\'1.. 0,3 C!\t..
При а зи -= О из (25) следует
F 3:= F 2.0 sjn'2 (Z/Zл"l.) F 2:::::; F 20 cos'! (ZIZ \rl)+
(6.5.26)
184
Эта формула описывает параметричесr<ое сложение частоты l ИЛИ пре-
образование частоты вверх (up.coпversioп)t которое используется..
в частности. ДЛЯ визуализации ИК-излучения. Бь[ходная ИНтенсив
нОСТЬ преобразователя при длине взаимодействия Z ЛZ \ТLj2 Достиrает
ма, КСИЛfУМlJ рзвноrо (в фотонах) входноЙ интенсивности. При ЭТОМ
эффективность преобрззования в обычных единицах равна roз/W2 1.
Леrко обобщить (26) на случай д=#=о. При этом эффект сложения час...
татЫ описывается формулой
F3 == F 20 [у sjn (f' z)/r']2) f' == (1'1 + t!tj4)1/2. (6.5 27)
Отсюда при d 2 4 у 2 снова ПО 'lучаем (8б) С равнение (26), (27) с (8)
показываеТ t ЧТО лриближеНflе двух заданных накачек a 1 , 2 == const
применимо ЛИШЬ при (2y/ )2 <{ 1. При ЭТОМ период пространствен..
иых биений определяется ВОЛНОВОЙ расс!ройкой. а не интенсив-
ностью Накачки у.
Параметрическое усилен не " rеиера ЦК я. Пусть F ао F 1 F 2. (ВЫ.
сокочастотная накачка), TorAa вместо (22) (24) И!\IееМ
da 1 /dz == iy ;, da 2 /dz == iva; t (6.5.28)
( 32л3rolW2 1 ) 1:2 ( I ) .
у == .зо Х Юз; (.1)1' 6)2 : е а е (е 2 t
i С3nlfl2.пз
..
Эта система имеет решение (Ср4 (25))
a l == a lo ch -yz + ia;{) sh yz t
а2, а 20 ch)'z + 'а;о sh Z4
Если a 10 == O ТО (ер. (26»
(6t5.29)
F 1 == F 20 sh! yz (O 1) F!o,
F s -- F 2.0 сЬ,'2 "Z ::::::: G F 20 t
(6.5.30)
rде О коэфрициент nарамеТрllческоrо усилеНИЯ4 Эти формулы опи-
сывают эффекты вычитания частОtпы (l)э (О2-.....+{1)1 И napaMempu lecKoeo
усuленuя В отличие от случая низкочастотной накачки интенсивнос-
ти здесЬ нарастают неоrраниченно ПО экспоненциальному закону
(р нс. б. 17). Отметим, что (30) у ДQВ4.Т'lетворяет соотношени ям 1\11энли ........
Роу (20): p 1:;;: p 2 ====(Q l) F 2f).
Нетрудно показатЬ, ЧТО в случае " :*O эcfxPеl(ТЫ усиления ивычита..
НИЯ частоты при высокочастотноЙ накачке опись[ваются формулой
(ер. (27)
I G == 1 + [у sh (rz)!fJ2, f == (у2 д2/4)ll2 .1
(6.5.31 )
За!\:lетиrwl что при 1' a2/4 экспоненциальныЙ рост сменяется БJlениями.
При наЛIJЧИИ положительноЙ обратной связи на частоте Ю 1 и/или ffi 2
(рис. 6.18) усилитель превращается в nараJ!еПlрllческuй 2ен.ерЙlnОр света
(пrс). Одна из частот при ЭТО!\1 (например, Ыl) назь[вается сuснальной,
а друrая (002) холостой. Конечно) ДЛЯ возникновения аВТQКQлеба-
185
иий параметрическое усиление должно компенсировать не учитываемое
здесь поrлощение и потери в зеркалах. Частоты rенерации пrс опре-
деляются в ОСНОВНОМ условием Сlfнхрuнизма, Т. е. показателями пре-
Jlомления nl. поэтому пrс при фиксированной частоте накачки юз
ft
f3 N o"п Ft.
'2 tha,Z
(.Qt
о
q h.afZ
r
y
k" 8
о
Рис 6. 17 Пар з мет р и ч ее кое ус иле н не и D Ы Ч и Та н не частоты (БЫСОКОЧ астотна я R а кач-
Ка прямое взаимодеЙствие): а) зависимость интенсивности от расстоян ия; 6) внд
q астоТН oro спектр а и эл учен и я 11 Н an р зал ен и я n ер еда '-\ и эиер r и в; в) свя э ь ВОЛ новы х
ВеКТОрОВ при синхроиизМе
можно плавно пересrраивать изменением ориентации или температуры
кристалла. Существующие пrс с импульсной лазерной накачкой
перекрывают диапазон л О 4 20 МКМ, у даЧНО Дополняя перестраивае-
мые Лазеры на Красителях. Оптимизируя
параметры кристаЛЛа, сфокусированноrо
пучка накачки и резонаТОРЗ t удается полу-
Ц) ЧИТЬ rенерацию даже в непрерывном ре-
f жиме.
Встречное взаимодействие. Пусть ВОЛНЫ
н эк ачк и и сиrнала расл ространяюте я в слое
«направо» (k 1zt k ЗJ > O)t а холостая ВолНа.........
«налево» (k 2z < O) Условие синхронизма при ЭТОМ удается ocy
ществить за счет сильНоrо двупреломления ИЛИ аномальной диспер.
СИИ ДЛЯ встречной волны {tz > л/2 1I N, < о 1), так ЧТО вместо (28)
имеем
da l/dz =- i)'a;, da z / dz == ........ iya; · (6.5.32)
Пусть слой имеет толщину 1, Tor да rраНичные условия имеют
вид а 1 (О) == D 10t а2 (l) == a 21 . Леrк о провер ИТЬ t что решенн ями (32)
являются сvт..едующне ФУНКUН н (р не 6.19):
а 1 == {а 10 COs [т ([......... z)] + ia;l S iп yz} /cos у1,
й1 {a zt cos yz + ia;o sin [у (l z) J} /cos,,1 t
noпaraeM у вещественным ЧИСЛОМ. При 1l n12 ЭТИ решения устремля-'
ются к бесконечности Т. e возникают автоколебания, несмотря на
lU J . ,
...
Рис. 6.18. Схема nарамеl'рИ-
ческоrо rеиерзтора света
(6.5tЗЗ)
1) Точнее, знак n п сО$ е cos р оnре;lе.1Я€ТСЯ yr.... OM 6==t).:j:p между луцевым MK
ТОрОМ И осью Z однако yro.1J аНИ3QТРОПНИ в полосе прозраЧНОСТfJ f:lе лревышает ней"
с К ОЛ Ь К И Х rp здусов, ] М Ы и м ЗДесь n ре неб per.aeM .
186
отсутствие зеркал. Можно считать,. что при встречном взаимодействии
имеет место распределенная обратная связь (аналоrичный эффект имеет
место в лампе обратной волны).
дм
100
t.
6'
а
о
0,5 Z
1,5
Рис. 6 19. Парамеrр нческое усиление н вычитание частоты в случае Бстречноrо вза...
"моден стви я а} З3 ВИ С И масть и нте не и в НОСТИ (в едя н и ца х F 1(0) от к оор ll.Н Н а ты 2 (8
единицах l/у) при F2.t O и yJ==-] ,5; коэффициент усиления равен l/cos2" (1 5) 200;
треуrольник синхронизма при встречном взаимодействии
rенерация второй rармоники (rBr) в одномерном приближении
и при отсутствии линейноrо поrлощения описывается уравнениями
(16),. (17) при замене индексов 3 2 1:
da 1/ dz == itJe"J. za: а2, t
da,/dz == iJ3e i6zaV2,
(6+5 З4 а)
(6.5.34 б)
rде
р == (641tзft(jJ /сзп:n2)1/2 Х, == k 2l ...... 2k 1 %t (6.5.35)
Х == х" == х ('2) ( Ы 1 ; 2001 t ......... Ю 1 ) : е 1 е z€ 1 == 2x i 2.} ( ......... 26>1; ro 1 t OOJJ : е 2 е r e 14>
, (6.5.36)
Коэффициент 2 в последнем выIажениии добавлен в соответствии СО
связью (6.1.13).
Леrко провериты что ЭТИ уравнения. удовлетворяют условию со-
хранения энерrии ПOJJЯ которое совпадает здесь с соотношением МЭН-
ли Роу:
la 111 2+ 2ra: 1 J ==с 1 J
(6.5.37)
коэффициент 2 связан с тем, что каждый фОТОН rармоники имеет Вдвое
большую энерrию, чем фотон накачки. Второй интеrрал уравнений (34)
имеет соrласно (6.3.49) вид
[ a L 12 [ 2в I a:ll соэ (ф2......... 2СРI + L\z)] == C , (6.5.38)
r де ер 1 ....... фазы комплексных а м плиту Д а,.
Решения уравнений (34) в общем случае описывают периодический
(в пространстве) обмен энерrией f\lежду модами накачки и rармоники
(эти решения выражаЮТСR через элли птический синус [34" 41 ]).
МЫ здесь оrраничимся- наиболее простым и важным случаем, Коrда
il ==:0, а 2 (О) ===04 При ЭТОМ, полз rая в (38) z ==:-O находим С 2: ==0 Н, следо-
Вательно при лю5ых z имеем cos q>==:0) rде <P-=:=CP2 2 1. Таким обра..
ЗОМ сдвиr фаз между модами не меняется. Леrко показаТЬ 1 что и сами
181
фазы неизменны Для этоrо ПОДставим в (34б) Q1a=biexp (l({'l) (ь,>О):
db 2 /dz == (1 /2) 13Ь s in f{J == (1/2) I J bit (6 5.З9)
drr,/dz:: ( bi/2b2) cos <р:::: о. (645.40)
Из BToporo уравнения следует, что !.pl И 2 не заВИСЯТ от Zt а из nepBo...
ro что направление передачи энерrии (из первой rармоники 80 НТО-
рую пли наоборот) зависит от знаков ер и р. В рассматриваемом случае
Ь 2 нарастает (от нуля), поэтому sin <р>О, Т. е.. «р===(л/2) sign х.
Подставив (37) npl1 .с! b o В (З9)t леrко находим решение:
db'}jdz:::: I Р i (bio 2Ь;)/2, (6 5+41)
] 5 db! ]12 ]l2Ь 2
z ::::: , 2 I == I I ь А rt h Ь . (6. 5.4 2)
1 t-' b 10 2 b2 10 lО
Отсюда
Ь, == (1 /V'2) Ь 10 th yz t Ь 1 == b10/ch yz,
(б 5.43)
rAe
"'1 == ] I b 10 /V 2 == 2 (2Л/Сn 1 )3/2 0011 х 1/: 2 (6. 5 44)
Итак f при синхронизме интенсивность впюрой еаРА1.0ники 12: (z)
JtOHomqH o нарастает Кд.К th 1'Z, дQспluеая при )'z}> 1 исходн.ой ИН-
тенсивности накач.ки J 1: (О) (рИС 4 6.20). Интенсивность накачки при
1 этом падает До нуля как l/ch 2 у,
при неизменной фазе. При z == 1/у
эффективность rBr 1} равна 58%
по ЭНерrии и 29 % ПО числу фо-
ТОНОВ. При L\. #= О или й 2 (О) * О
:VJOHOTOHHb[e решения сменяются
периодическими и 1) падает.
Практически с помощью мощ-
ных ИМnУЛЬСНЬ[Х лазеров удается
получить 11 в несколько десятков
процентов Отметим,. ЧТО СИНХРОН-
ная rBr в пьезокристаллах имеет
важное прик.ладное значение, поз..
валяя СДвиrать частоту лазеров
вверх на целую октаву.
Упомянем также rорзздо более слабые эф:ректы. не требующие сии.
хронизма) FBF при отраЖении от нецентросимметричной среды
(34] и некоrереитиое рассеяние света с частоmой 2<u нецентросимметрич.
НЫМИ молекулами (35J. а также при учете «маrНИТНQrо» знrармо.
иизма любыми олекуЛаМlf атомами и свободными электронами
( 6.2).
Замети:\{ t что прИНятое выше условие Е z( +0).::::=0 не совсем ТОЧf.Lu
соответствует оБЫ4НО У эксперимеНТУt в котором равно НУJТ1Ю падаю..
шее снаружи ПОJlе rарМОНИКII, а прошедшее и отраженные ПОЛЯ E2(+O)
E2( O) отличны ОТ нуля Из-за требования непрерывности танrенциаль-
ных составляющих полей E Н 2 на rранице [34J. ОднаТiО практнчески
Е z(::t:O) весьма малы.
188
о 1 i 3
Р НС 4 6 20. r ен ер а ц и я в торо й r ар мон и..
КЛ; ПО rоризонтади расстояние (в
единицах 1/,,), по вертика.1Н nОТОКН
фотонов накачки и rармо»ики (в еди..
НИU8.'( F 10 )+ При I каждые два фо..
тона нахачкн nревращаются в ОДИН
фОТОН С удвоенной частотой
Матрица рассеяння Параметрическое взаимодействие двух мод
в неJJинейном слое в приближении заданной накаЧКlI ПРИВОДЧТ к ли-
нейной связи .между вXoдHbl.Ми u выходными амплитудами" которую
в общем случае МОЖНО записать в виде
+ *' '" ....L '*
а 1 == glla 10 g]2 a !fJ, й2; g21 a .O I g2t Q 2.0+
(6.5.45)
Коэффициенты g'j образуют двумерную матрицу рассеяния дaHHoro
обраЗЦЗ t зависящую ОТ ДЛИНЫ СЛОЯ 1, nоrлощения а{. нелинейнасти х.
амплитуды накачки азо, ВОЛНОВОЙ расстройки 6 и Т. д. При учете от...
ражений ОТ rраниu слоя она становится четырехмерной) а при учете
дифракции (Т4 e конечных поперечных размеров А) бесконечномер""
ной.
Матрица рассеяния должна обладать определенной СИf\f lеТр[fей"
следующей из общих nРИНЦИПОВ в частности ИЗ соотношений ]\\ЭИ,}lИ ..........
Роу (20). Обмен фотонами между МОДами в случае) Korдa падающие поля
аl и а.2 статнстически Независимы описывается энерlеmuческой Mampи
цей рассеяния G 1 / Ig,jJ'!:
Р 1 ==OllF 10+Q12F 20:, F 2 ==G2IFJo+G22F 20" (6.5446)
Подстановка (46) в (20):дает
(GII l) F!'+Йl2;F 20==(a2"2 1) F 20+ G 21 Р З о.
Но Fl И F z. можно варьировать независимо следоватеЛЬНО t l1.1атрица
рассеяния прозрачноrо слоя должна УДQметворять СВЯЗЯМ
011 I ==021' G i2 1 ==01 + (6.5 r 47)
Система (28) симметрична по индексам 1 t 2 поэтому 011 ==022 := 0 Н
имеется только один независимый элемент энерrетиЧеской матрицы
рассеяния коэф:риuиент передачи
G. В результате (46) принимает вид
F 1 ==G F lG + (а.........1) F 20,
F 2 aF2o+(a 1) F 10. (б.5 48)
СПараметрическое рассеяние света"
Соrласно квантовой теории в приици'"
пе возможен треХфОТQННЫЙ переход,
при KOTOPO { лрозрачное вещество
атом или кристалл поrлощает фо-
ТОН И3 МОДЫ k з и излучает пару фото
НОВ в МОДЫ k 1 И k 2t возвращаясь в ис
ХОДное состояние (РИС4 6+21). Вероят
ность TaKoro переходз nроnорциоиаль
H (N 1 + !l.Шd:l) N 3 r де N ' наЧаль
н ь1е числа фотонов в модах н единицы
ПОЯВЛЯЮТСЯ из за квантовых Флуктуа
uий амплитуд ,.,10Д в оСновном состоя.
нии (rCl1'f4 7). Вероятность обратноrо лроuесса с поrлощением фОТОНОВ
в модах k 1 , k 2 И излучением в моде kЗ пропорuиональНа N IN 2(N j+ 1)..
В итоrе скорость рождения пар фОТОНОВ будет пропорuиональна
189
....
2+1
\Н1+1
Рис. 6.2]. Спонтанные мноrсфотон.
ные nроцессы МОЖНО учест в полу
кл а се [1 ч ее к ой теор 11 и доба вде н и еМ
одноrо дишнеrо фотона в rеиеР[lруе-
мы х мода Х (СООТ вете т в у ю щ н е СТ ре....,..
ки нзправ...,еиы вниз). На рисунке
СЛОВНО изо6ражеl.IЫ пр ямоЙ п об..
Р атиы й тре х фОТО Ii Н br е пар амет р и-
ческие переходы
,....
разности
NI N2== Nз (N 1 +N,+ 1) Nз NIN2t
(6 5.49 а)
Отсюда в первом порядке по N 3 следует
Nl.......NlO:=N2 N 2o Nio+Nzo+ 1 t (6.5t49б)
Таким образом, вещество ПОД действием излучения с частотой (08
rенерирует пары фотонов с частотами 001 и (U2==U)з ООl лежащими
в ширОКОМ диапазоне ОТ нуля до частоты падающеrо излучеНИЯ4
В случае маКросКопическоrо вещества частоты и направления излуче
пия связаны условием синхронизма kз kl+k'2. Это явление наблю
дается в двупреломляющих пьезокристаллах И называется пapa.мeтpи
ц.еск.uJИ рассеянием (ПР) или пара.меmрuческ.ой люминесценцией [5, 37t
58J. ПР можно трактовать как проявление квантовых шумов парамет...
рическоrо усилителя света.
КоЭ<t>Фициент пропорuиональности в (496) должен соответствовать
коэффициенту преобразования 012 o 1 J найден ному выше в (31) в
рамках классической нелинейной оптики. Следовательно (Ср4 (48)) t
N 1 ==N 1o + (G l) (N 1"+ N 20+ 1) QN lo+(Q I) (N 20+ 1). (б.5t50)
Аналоrичное выражение ДЛЯ N 2 получается nересrановкой ИНДексов
1 2. Здесь величина a 1 уже необязатеЛЬRQ линейна ПО интенсивности
накачки.
Полученное выражение позволяет сформулировать следующее пра..
ВИЛо. Для учета сnoнтаННОёО излучения при КЛQссичеС/W4"tt описании
парамеmрuческоео усилителя следует 80 входны.е холостые 1) .м.оды до.,.
ба8ляmь по одному лишнему ФОmoНУ. ТОТ же резуЛЬТат соrласно (50)
получается при более общем преобразовании
N lo-..+N 10+ р, N 2o......:,N 20+qt N 1 ---+N 1 +р,
rде p+q lt O p l. в чаСТНQCТИ t МОЖНО КО всем числам фОТОНОВ на
моду добавлять по ПOJIфотона
Квантовые шумы соrласно (50) дают по а...........( фотона в кажДОЙ вы-
ХОДНОЙ моде парзметрическоrо усилителя еде G коэQ:фициент уси-
ления для ЭТОЙ МОДЫ. Аналоrичный результат (закон Кирхrофа) имеет
место для ква HTOBoro и рама HOBCKoro усилителей (см. (74 14 7) И (644. 18)).
Заметим, ЧТО из (49а) при N2==Nз О следует. что при трехчастот..
НОМ преобразовании частоты вверХ (низкочастотная накачка) кванто-
вые флуктуаUIfИ отсутствуЮТ. В случае четыреХЧ3СТQтноrо взаимодей.
СТВИЯ возможен распад двух фотонов накачки на пару фОТОНОВ с часто.
тами ro и 20)з (i), лежащими в интервале O 2(O (ёuмрrшраметрuчеСlООе
рассеяние или рассеяние света на свете).
Перейдем от чисел фОТОНОВ на моду к спектральной яркости.
С ПОМОЩЬЮ (50) и (6.4.20) нахоДИМ при N iO == О (лолаrаем Рl О)
10Q(k 1 ) == nmlF tJ)Q (k]) == (пrol/2лл ) [а (k 1 ) I ], (6.5 51)
1) «Х QЛое топ» модой ло ОТНQше н J J Ю К р.а сема тр иваемоii «си rи ал ьно й» моде с ч а"
стотой 00] н аз ы в аете я мода с час-ютой (t):!. ===- 0Оз 0014
190
r де F g == dF /dro dQ поток фотонов в нан ра мен ии k 1 С частотой
Ы у (k.). ПРИХОДЯЩИЙСЯ на единицу TeJlecHoro уrла, площади (перпен-
дикулярной k]) И круrО80Й частоть[. Велиqина 1 шf}.(k, r) называется
спектральной яркос/пью (и Hor да......... ПрОСТО UНПlенсuвносmью) нек ore
peHTHoro излучения. Напомним,. что ЯрКОСТЬ не меняется в налрав'"
ленин распространения (в случае ПрозрачНОЙ среды).
ИтаКt интенсивность шумов идеальноrо усилителя. деленная на
o 1 (Т. e отнесенная ко ВХОДУ)t
I e == Iiro/2пЛ 2 == fi.{u З n 2 /8л'С'2 r
(6. 5 52)
Эту величину естественно называть интенсивностью нулевых ФДУК-
туаuиА макрополя (с ОДНИМ типом поляризаuии) или «спектральной
яркостью вакуума», она соответствует присутствию в каждой моде по
одному фотону. Интенсивность флуктуаций на единичный интервал
длин волн при л == 1 мкм И n == 1
i,}{' ==] dюiал [ l:ill c == hс'!/л O 6 Вт/(А. см 2 . ер). (б 5 5З)
Таким образом, СВЯЗ между интеНСИВНОСТЬЮ и ЧИСЛОМ фотонов на
моду имеет вид
lшй(k) == I QC N (k).
(б 5 54)
Оценим также яркостную (эффективную) температуру сверхлю.
минесценuии на выходе идеаЛьноrо усилителя. Из формулы Планка
(2.5.5) и закона К ир х rофа N == а........... 1 следует
т эф (k) == 'fuu/x In (1 + Ni 1 ) =- nro/х 1n (1 Gkl)
(nroJx) G 106 К. (6.5.55)
Последняя оценка сделана дЛЯ А== 1 МКМ И G == 1 OO
Подставив (31) и (52) в (51)t получим следующее выражение
ДЛЯ интенсивности квантовых шумов параметрическ rо усилителя:
1 fiJQ (k) === I '(;gC sh [( 1' ......... д 2 (k)/4) I1 :!l] {( I д z (k)/ 4y ), (б. 5 56)
r де l ТОJJщина нелинейноrо слоя. L\ (k) ОТJ{лонение от синхро
НИЗМа для 10ДЫ k И ,, х(2\Ез (СМ4 (28))4 Соrласно (56) интенсив-
ность ПР имеет резкий максимум на частотах и направлениях
{оо. {f t <Р J t У довлетво р яющих условию с ИН х ронизма k::;;;:;;; О
это условие определяет ч.асmотно...уеловой спектр ПР (1) ({}), rде {}
усОЛ рассеЯНUЯ t Т. е. уrол между наблюдаемым ВОЛНОВЫ веКТОрОМ k
и вектором накачки k34 Зависимость частоты от уrла fPt как правило,
можно не учитывать, T е. спектр ПР обладает осевой симмеТр[IеЙ OT
носительно направления kЗ Поле с данной частотой 00 излучается вдоль
Конуса ПОД определенным уrлом '6(00)+ Как видно из рис. 6.22 t частот..
ныЛ спектр ПР npJI наJ<зчке в синей области спеКТра перекрывает ши-
рокую область в ИК и ВИДИМОМ диапазонах. Видимое нзлучеНfiе на-
191
правлеНQ преимущественно вперед, под уrлаМИ j не превышающими
НеСКО.ТJЬКIIХ rpaAYCOB t ЧТО связано с небольшой величиной двупрелом-
ления кристаллов в области nрозрачности.
При приближении холостой частоты к собственным частотам ре-
шеТК11 ]{ристаллз" которые лежат обычно в области сотен обратных
.сантиметров, ПР непрерывно переходит в комбинационное рассеяние
на поляритонах и оптических фононах При ЭТОМ Х резонаНСИQ возрас-
тает за счет вклада электронно ядерноr(J анrармонизма ( 6.2) но ОДНО"
временно растет и линейное поrлощенне на холостой lfaCTQre а2.1 так
"f)rpa8
10
.;
8 J =90 Q
7 200c
..
о J ,2 5, 1 4 д 0,7 0,6 0,5 0,45
Р не + 6.22. Ч астО1' и o у r л овой сп ек тр пар амет р (1 ческ oro р ассе я н и я в н ноб.а те л 11ТН Я при
ра эл l' Ч МЫ Х .nл и н а х вол tf Н а к а ч: к и Аз: {t] j-' ro.тI к о н ус 3, ВДОЛ Ь 1\ ОТО ро ro им у ц ается
волна Л 1 . Уrол 6 з между л учом наизчки и осью RрИС7ЭЛЛа ранен 9004 При уменьше
нии 8з разрыв в спектре (ДЛЯ л. з <Оt53 МКМ) исчезает
что Ilнтеrральная по частоте яркость lи меняется мало. КонеЧНО t пр"
малых холостых частота х и ct 2 1}> l (56) следует ум нажить на OJf ( (О 2/Т) +
+11 rде т температура решетки и Jr ФУНI{ЦИЯ Планка.
ПРt как и рассеяние на поляритонах, можно определить как рас..
сеяние света накачки на флуктуациях ПОЛЯ в холостых Moдax Т. е.
как рассеяние азета на cвeтe ана 1I0rично тому, как рассеяние Мандель..
шта lа Бриллюэна является рассеянием свеТа на звуке.
СУЕи,ественн.ыми особенностями явления ПРt отличающими е20 от
друсllХ видов рассеяния света в веществе, явдяеmся вo пepвыx шиРQКUЙ
пeпpepblBHbta спектр, не связанный непосредственно с СQбственными
flaCtпoпzaми вeи{ecтвa и, вo втopыx. двухфоnwнный хара,.;тер излуче-
ния при слабой 1taК0 1 tKe (1'1<:g1) сuzн.альные и холостые фотоны uзлу...
lШются InОЛЬКО парами" практически одновременно.
От fеТИМt ЧТО I{pOMe J{OrepeHTHoro (направленноrо вперед) излуче
"ИЯ возможно HeKorepeHTHoe ПР на отдеЛЬНЫХ нецентросиммеТрJIЧНЫХ
молекулах (точнее, на флуктуаuиях ПЛОТНОСТИ и ОРI[ентации таких
молекул). При этом условие синхронизма не иrрает существенной
рОЛl1, так ка к дефицит импу л ьс.а поля заби рает молекула.
Пусть уl 1 н n I t тоrда из (56) находим интенсивность СПОН-
TaHHoro ПР (СПР) в направлении k и с частотоЙ w (k):
J wn (k)::: l y212 sinc 2 [А (k) 1/2] ===
4hс"' Ъ ro'0Ох 1 l2 J 3D sinc! {6. (k) l/2],. (6.5 57)
192
...
тде ro roз ro и подразумеваются фиксированные индексы поляриза...
ЦИИ, ДЛЯ которых d минимально. Обратим внимаНие, что интенсивность
СПР в направлениях ТОЧНоrо синхронизма зависит от ТОЛЩИНЫ нели-
нейноrо СЛОЯ J<вадратичtIО t ЧТО характерно ДЛЯ СПР. Пусть 1 ЭО
l BT/CM и l== 1 см, тоrда усиление в направлении синхронизма имеет
пор ЯДОК а:: 1 +1' Ч' 1 + 1 О... 7 (СМ. оuеи к у после (25) и из (55) при л. ==:
===0,5 мкм следует Т аф 1800 К4> Tal<oe излучение леrко наблюдается
невооруженным rлазом и имеет вид цветных колец. Заметим" что фак-
тический коэффициент передачи образца а' при такой накачке Bcerдa
меньше единицы из за потерь на отражение, поrлощенне и рассеяние.
3ф:Рективная частотная ширина спектра спр ы при фиксиро-
ванном направлении наблюдения определяется, как" полоса парамет-
рическоrо усиления, шириной синхронизма т. е. условием dl :f:1(.t
Если оrраничить.ся линейным РЗЗЛО)Тiением функции (<О), то
Аro == (21t/1)] дl1/дю 1 1 2лJI t 1 T21, (6t5.58)
rде 'ti === l/Uit Соrласно последней формуле t справедливой при кол..
линеарном синхрониэме и (01 =#= ffi2,t ширина спектра СП Р (8 еерцах)
равна обратному времени запаздывания (8 секундах) cu нальн.ОсО qю..
тона относительно ХОАОСnЮсО при nересеченuu области взаuмодей...
ствUЯ4 Обычно 8ю/2пс I О CM l при l == 1 СМ.
При yl 1 (56) описывает nара.меnlрuческую свеРХАюJtuнесцен.цuю,
или вынужденное парамеmрuчестroe рассеяние (впр). Соrласно при-
веденным оценкам ВПР наблюдается при импульсной накачке с ИН
тенсивностью порядка 100 MBT/CM z Н выше+ Конечно, ВПР практи"
чески имеет место (как и параметрическая reнерация) ЛИШЬ в
продольном направлении ({) О) на частотах КQллинеарноrо синхро.
низма OOi (O) Дело в ТОМ, что, как следует из rеометрии" эф:реКТНВ-
яая длина взаимодействия lаф ведучае узкоrо пучка накачки
(ajl 1) резко сокращается (как a/sjn {}) при {} а/[. Общую мощ-
ность излучения впр МОЖНО представить в Биде
fi' == I фQ8.roL\QА :: /7:QC e2 IA(oAgAI4, (645.59)
еде мы ввели эффективные полосу частот, телесный уrол и сечение
(Ср4 оценку fF ДЛЯ вкр (6.4.22). впр нсnользуется как и параметри-
ческая rенераЦИЯ t для реrулируемоrо сдвиrа частоты лззерноrо из..
лучения.
Рассеяние света на ПОЛЯрИТОН3Х описывается системой (15)
(17) при добавлении в ОДНО из уравнений Линейноrо поrлощения. В при.
ближении заданной высокочастотной накачки Взаимодействие стокео..
вой (сиrнальной) и поляритонной (холостой) ВОЛН определяется ypaB
нениями
da 1 /dz:== iya;e{az! (6.5.60а)
da,jdz :f:: == :I:: i a; e iQ %, (6 5.БОБ)
rде б==:tX,/2 t y aao (СМ4 (28» и нижние знаки соответствуют встреqной
ХОЛОСТОЙ БQЛне4 В лоляритонной области спектра, Т. е. вблизи соб.
ственных частот решетки, ХОJlостая волна СИЛЬНО поrлощается так
1/,} Д. Н+ КJlЫШКО 193
ЧТО обычно б JУlt 8 I И амплитуда ХОЛОСТОЙ ВОЛНЫ определяется
локальной амплитудой сиrНалЬной волны.
В СВЯЗИ С ЭТИМ будем искать решение (БОБ) в виде а, (z) === Ь. ехр (iLlz):
db,/dz :t: &2 + il1b l == ::1:: iya: . (б 5 б 1)
Здесь ПрОИЗБQдная db,jdz не превышает по порядку величины r уЬ 2 1,
поэтому есл н t у 1 б + i11l, то ею можно n ренеб речь. Пр" этом
Ь 2 ,;: iya;/( б :1:: iA). (б45tб2)
В этом приближении падающее холостое поле "з за СИJ1ьноrо поrло..
щения, которое MHoro сильнее парзметричеекоrо усиления, не ска.
зывается на ВЫХОДНОМ nоле4 Подставив (62) в (БОа) получаем
da1/dz (g;2) йl' (6 5.6З)
rAe
g == 2 \ у lt/( В + iL\) б4л 3 (uLO)2I X(Z) 1'/31J/С3nl nа nз (6 =1= i!!).
Итак,. сильное поrлощение одиой нз двух взаимодействующих ВМН
ЛРИВОДИТ К экспоненциальному закону нарастания.......... как и в случае
обычноrо paMaHOBCKoro взаимодействия за счет x(3 (9 6.4) с тем лишь
отличием, ЧТО здесь существенно условие синхронизма в виде 1 , б4
Сравнивая g при а==О с ПОК8ззтелем paMaHOBCKoro усиления
(644417) при учете определения а 2 (6.3.18), находим эквивалентную
кубическ ую восп р иимчи В<)СТЬ (пола raeM n, == 1):
X ; == "--------r I х (2,) 12/Х (1 JN. (6.5.64 )
Такая же СВЯЗЬ между резонансными ВОСПРИИМЧRВОСТЯМИ 'nepBorO t
BToporo и Tpeтbero порядков следует и из микротеорин [37J+
Интенсивность стоксовз поля I rOQ (k 1 ) при спонтанном или вы..
нужденном рассеянии на ПОЛЯРИТQнах леrко опредеЛI[ТЬ с ПОМОЩЬЮ
закона Кирхrофа:
I (j)Q (k 1 ) == I o (Н (ы 2 /Т) + JJ {ехр [g' (k J ) zJ I}. (6.5.65)
или сразу воспользовавшись результатами Э 6.4. Заметим, ЧТО если
под а ! понимзть амплитуду звуковой ВОЛНЫ j то проведенныЙ анализ
будет описывать рассеяние Мандельштама Бриллюэна (СРМБ и
ВРМБ)
ЧетыреХВОJlновые 838имодействия В uентросимметричиых средах
к вадра тична я макроскопи ческа я восп ри и МЧ И вость % H ) равна ну ЛЮ t И
поэтому простеАший параметрический nponecc включает в себя взаимо
действие четырех мод ПОЛЯ за счет кубической восприимчивости
Xt3 «(t)f OO3+(U2+0)1). При соответствующем квантовом переходе И3-
лучаются или поrJlощаются четыре фотона при неизменном состоянии
вещества.
Наиболее важными четырхволновыми параметрическими эффекта.
МИ являются (рис. 6.23) 2енерацuя. комбuнаЧUONNЫХ часmотп (например.
третьей rармоники) Д.1JЯ преобрззовзния Лазерноrо излучения в Уф..
и и К-диапазоны t КQ2epeн.тн.oe антucтоксово рассеяние света (КАРС),.
194
обраll нuе волнOIJO;?О фрОfltllа (ОВФ) OTMeTI.IM еще трехволновые эффек"
ТЫ за счет х lЗ1 ( ro -1 roз+(О +О) в ПОСТОЯННОМ поле E OJ которое нарушает
центральную симметрrfЮ средыI.
При лреобрЗЗОВ8НИИ частоты «работает» обычно электронный ан..
rарМоНИ3М при КАРС смешанный электронно--ядерный (плачеков-
ский) анrармонизм при ОВФ" как и при самофокусировке ........... инерци.
онные ориентационный и СТРИКЦИОННЫЙ анrармонизмы (э 6.2).
!
...............
!\
I \
а б Ь 2
Рис. 6.23. Основные ти пы tJетырехволновы х однорезонаНСНbJХ пврзметр ичес.ки х про--
цессов и области их прнМенения: а, б) rенерация KorepeHTHoro У ф и ИК - излучений;
в) коrереитное ЗНl'истокс.оВQ рассея н и е с ает а (а к т и в н а я ил И КА Ре- с: пек ТрОС КО n и я) ;
z) обращение ВОЛJlовоrо фронта
Заметим, что в эффекте ОВФ, который подробнее будет описан
НИЖе, все частоты вырождены, как и при непараметрических взаимо-
действиях. Тем не менее мы ОТНОСИМ ero к классу параметрических,
по кольку ОН сохраняет эиерrию поля и ПрИВQДИТ к KorepeHTHOMY воз..
буждению НОВЫХ мод с условием синхронизма kl+k: ===k з +k 4 ==0.
>
о
............. )..
)..iiiii'
"
.
2
Рис. 6.244 Условия синхронизма пр" четырехволновы>; взаимод.ействиях: и) при reHe...
рации у Ф излучения обычно НСПО..тl ьзуется Ko..1 ' rfн.еарнЫЙ синхронизм; 6) fJ ри КАРС
все частоты близки и синхронизм ВЫПО l'Jняется при небо.'1ЬШИХ уrлах рассеяния {};
е) в общем ел уч а е при n реобр азо в 3 Н Li И частаты в и да (1) [ (1)2 ООЗ----+- OJ4 усл ОБ не с н н х p<r
ННЗМ3 имеет вид 1l1.+1l'2;==k з +k 4 , при 9ТОМ волновые 6eKTQPbl MorYT быть неКОМПЛаНар'"
Ны.........чеТырехуrол ьн НК C 1 нхронизма можно сrибать ПО ШТРИХОВЫМ линиям; ) при зф..
фе'кте ОВФ все четыре частоты равны и СНИ хронизм выполняется для двух л рОНЗ
ВОЛ ЬНО ориеНТНроВа н ных СТОЯЧИХ ВОЛН
k
k.r \\ ---.... ..... J; ,-.r
......."...--\
... \
\\ ":1
. r.f \
\ I!
Коллинеарный синхронизм при nреобразовании частоты в rаззх
обеспечивается за счет аномальной дисперсии (при ЭТОМ удобно не..
пользовать смеси rэзов). При КАРС Во мноrих конденсированных ве..
0l;:IO
ществах имеет место неколлинеарныи синхронизм с уrлами рассеяния
ПОРЯДI<а 10 (в случае двухлучевой накачки рис. 6 24).
В упоминавшнхся ДО сих пор эффектах в паДающем (ВХОДНОМ) поле
в общем случае возбуждены три МОДЫ (N,fj-=F-O, i===l, 2,. З)t а в BЫXOД
7* . 195
НОМ (рассеянном) поле ПОЯВЛНЮТСЯ «новые» фотоны в четвертой моде
k.t((J)1+W2+ШЗ--+W4). Такие эффекты можно назвать вьжужденны.мu,
ОНИ адекватно описываются классической электродинаМИКОЙ4 Кроме
тoro, возможны спонтанные эффекты" при которых накачка в общем
случае двухмодовая: <о I+ W 2.....:коз+ (Ot. При ЭТОМ фОТОНЫ В ВЫХОДНЫХ
модах 3" 4 появляются одновременно (ларами) за счет спонтанно вы"
нужденных переходов (ер. парзметриЧеское рассеяние света). Такие
проu.есСЫ t к которым относится 2uперпарамеmрuческое рассеяние (или
рассеяние света на свете) и «спонтанный KAPC» описываются нели.
неilной ]{ванТQВОЙ ОПТИКОЙ 11, Б некоторых случаях, формулами типа
закона Кирхrофа (37].
Нелинеl1 ная спектроскоп ия . Моду ЛЬ Х(З} И соответственно эф:рек"
тивнос.ТЬ четырехволновых параметрических взаимодействий резко
возрастают в областях промежуточных резонаНСОВ t KorAa одии из
виртуальных уровней совпадает с реальным (рис. 6.23)1> Наиболее ИН-
тересны двухфотонные резон а нсы ти па (t) l::t о) === ro з:f::ro 4. Q O пр и ко-
торых ни накачка, ии выходное поле не ПQrnощаются за сч:ет однофо-
тонных резонансов.
Наблюдение резонансов х lЗ ) лежит в основе ряда новых методов
н.елuнейноu спектроскопии, Важнейшим из которых является, пожа-
луй, метод активnQЙ cпeKmpOCKonuu t l ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ КАРе [39, 451..
tд
о Я Q
ltJ s lU д Ц), ЫА
д
1
Рис. 6 25. Схема аКТИВfJо..J спектроеколи и. Вещество возбуждается llВУМИ JJ азерзм и с
ч .зето та м и W 1 И 6):1 та к JfM И 1 ЧТО (1)1 ffi2 Р а в н о ч aCТQTe MC4J[ ек у л я р н ы х кол юа н и ii ао
Резо на I-J с МОЖ 11 О Р er и стр ИрОВз Т ь по ИЗ M H е н и 10 И Н1'еllС И ВНОСТИ I i t П ал я р из ац И И ил и
фаэы на любой из четырех частот при перестройке 001 или o>j
А
1
1
Схема нелинейноrо спектроскопа ДЛЯ изучения дисперсии Х(З} пред.
ставлена на рис. 6.25 В нем используются два лазера с частотами Юf"
ю z (пусть (l)l><O 2)' причем частота одноrо из НИХ to напри tер Ю2 пере..
страивается в области (t)l QO' тде ао........... частота исследуемоrо молеку-
лярноrо колебания. При W.2===Wl............QO чаСтотные компоненты кубиче-.
ской восприимчивости Х (ы 1 0>1 ........ <О! + 002.). х. (т 2 == (02..........001 + ro 1).
Х. ((О.., :::=:2U)1 U)2), Х (U) s==20}2. (I)l) испытывают резонанс (СМ. (6.2.56)) to
вызванный раскачкой колебаний атомов в молекуле биrармоническим
светом за счет взаимноrо B,'l НИЯ электронных и ядеРIfЫХ степеней
своБОДЫ молекулы ( . 2),
196
В случае активноЙ спектроскопии резонанс реrистрируется по
изменению интенсивности на «НОВЫХ» частотах ООА или ros (удобнее
использовать аН1ИСТОКСОВУ область WAt rде меньше п.араЗИтнаЯ за...
светка И3"'33 люминесценции образца " элементов оптичеекоrо
тракта). Соrлзсно (8) в приближении заданных накачек и плоских
ВОЛИ интенсивность КАРС
I А (00,,) ZJ:L ( i:: ) . ro (l1 2 I xW R + X ' {СО А=- 2СО 1 OOI) 1'. (6.5.66)
с л...п.пА
rде МЬ[ вьщелили иерезонансную вещественную частЬ X t слабо за oll
висящую от частоты и вызывающую аСИ lметричную форму наблюдае-
Moro спектра.. АКt1Ш8ная спектроскопия обладает рядом npeu.мytцettn8
перед обычной раманО6СКОЙ cnercтpocкoпuea по ЧУ8С111iJuтельн.оспzи, раз
решеНUЮ t доntJлниmельной информации. Заметим.. что при енение пе.
рестраиваемых лазеров исключает необходимость в дисперrирующих
элементах.
В случае спектроскопии рамаn06СК020 усиления реrистрируется при-
ращение интенсивности !1/ 2 на Выходе, равное соrласно (6<t4.17)
А / ( ) 3 211'ф, ll i ] (з,1 ( + ) · 6 5 67)
L\ I 6)2 ==........... f m Х {О! (1)=.......001 0)1. t ... ( . ·
с пln2
МОЖНО также наблюдать уменьшение при резонансе интенсивности {.
поля с большей частотой (l)j.. Это явление называется обращенным Эt/r
фекmо.м PllAtaнa
ВОЗ ОЖНЫ и друrие методы реrистрацни ....... ПО изменению набеrа
фазы паДаюЩИХ полей (1). ИЛИ 6)2., пропорциональноrо Re х tз ) t (метод
ра.лlан.08С1ОО20 аффекта Керра) или по изменению поляризационных
ха ра ктеристик полей ro {, i == 1, 2, 3, 4 (н.елuн.ейн.ая элл и nсомеmрUЯ ) [39 J .
Все ЭТИ методы нелинейноИ: спектроскопии вместе с. рассмотренными
в 6.4 ДВУХфОТQННОЙ спектроскопиеЙ и спектроскопией наСЫЩенИЯ
существенно дополнили традиционную долззерную спектроскопию,
использовавшую в основном лишь линейные эффекты и спонтанное
рамаНОБское рассеяние. Существенное расширениевоз.моЖносmeй спеl(m.
роск.опии за счет UСПОЛЬЭ08ан.ия лазер08 8месте с досmU:JfCенuя.ми нели.
неиной спектроскопии пОЗ80ляют а08орuть о «лазерной революциu» 8
спектроскопии.
Динамическая rОJlоrрафия " обращение BOJIHoвoro фронта. Идея
метода обращения ВОЛНОВОrО фронта (ОВФ) с ПОМОЩЬЮ четырехволнcr
Boro взаимодействия ясна из рис. 6424t 2 и 6.26. Пусть в среде с кубиче...
екай нел.инейностью Х{З)( ro == ro + ю........ю ) имеется монах РО"'lатическая
стоячая волна накачки (или «опорная» волна по rолоrрафической тер..
минолоrИИ)t Т. е. k2-=: kl' тоrда при падении на среду третьей плоской
ВОЛНЫ k3 С той же частотой ю и "РОИ3ВОЛЬНЫМ направлением возникнет
четвертая волна с частотой ro и ВОЛНОВЫМ вектором k.c=::ki+k2...........k3.;:::
kз. Таким образом, возбужденная накачкой среда служит сsоеоб.
раЗНЫ!\rf зеркалом.. отражающим все плоские волны обратно по ПУТff IJХ
прихода (8 отличие ОТ оБЫЧRоrо зеркала с законом преобразования
k .........Je z) ·
7* д. Н. KJtbHUKO
191
в случае произвол bHoro п рОСТра НСТВеиноrо распределения Е з ( r)
сиrнальноrо (или n.редме/пн.О20) поля ОНО будет содержать множество
фурье компонент {k э }, каждая из которых nорождает свою обратную
KOMnoHeHТY4 В результате BOKpyr среды «восстановится» исходная пред-
метная волна R Е; (r) с тоЙ же фор-
мой ВОЛНОВЬJХ фронтов НО распро"
страняющаЯСR в противоположном
: направлении (от средь]) и И.\iеющая.
........ \ К онеч HO друrую энерr ию (R =1= 1)..
; Существенно, ЧТО за счет 3фРекта
.. параметрнчеСI\оrо усиления при
встреЧНО J -взаимодействии (СМ.
(33)) IRI может существенно nревы-
шать единнuу (обычно ЭТО Достиrз-
ется лишь в импульсном режиме).
Возможность в случае произ..
Вольноrо ОПТJlческоrо поля эффекта
ОВФ, изменяющеrо в некотором
смысле знак времени 1), кажется не-
ожиданным с точки зрения линей..
ной ОnТИКИ4 ПО существу ЭТОТ эф-
фект в оптическом диапазоне обна...
ружил в 1949 r. задолrо До рожде-
ния лазеров и нелинеЙной ОПТИКИ автор IfдеJf rо.поrрафlflI rабор.
ПРОЯБлением ОВФ в rолоrрафии являютс.я изображения двойники"
которые рассматривзлись fабором лишь как ИСТОЧНИКИ помех Воз
МОЖНQСТll праКТичеекоrо применения ОВФ бы..т1Н nОНЯТЫ лишь MHoro
позднее; в ОСНОВНОМ в семидесятые rОДЫ коrда были разработаны и
практические методы динамической zолосрафuu и ОВф в «реальном мас-
штабе времени» Т. е. без задержки на проявку ФотоплеНJ{И В этих
методах используются t кроме четырехволновоrо па раметр н ческоrо
взаимодействия, эф:ректы трехволновоrо вырождеиноrо взаимодей-
СТВИЯ) вынужденноrо рассеяния на 1800 и сверхлюминесценuии [46,
47]. Были развиты также методы ОВФ акустических ВОЛН
ОВФ является примерам методов aaaппlUBHOи оптики, ставящей
задачу автоматической коррекuии оптических систем. Эффект ОВФ
позволяет исправить искажения формы волновоrо фронта (T е. фазо
вые искажения) возникающие при прохождении спrнальной волны
Через оптически неоднородную cpeдy например матовое стекло или
квантовый усилитель Для ЭТQrо достаточно на выходе IIеоднородной
среды отразить волну назаД «обращаЮЩИJ\l зеркалом» и застаВИТh ее
тем самым проделать весь пуТh в обраТНО 1 напраВлеНИИ4 При это,..f Все
образовавшиеся изr1!бы фронта «выпрямятся» 11 фронт восстановит
исходную форму (рис 6.27) а). (Конечно, амплитудные lJскажения to
ВызваННЬ1е необратимы'м поrлощением ИЛ11 уснлением при этом не
UJ
\
.... 1
, t / ,
td o....
/J'
Рис. 6.26+ Обращение во.l] новото фрон"
та с ПОМОЩЬЮ вы рожден Horo четырех..
вол НО60ТО БЗ.а ИМОДействи я. Не..' 11 ней..
ное вещество, возбужден ное стоячей
:ВОЛ н ОЙ н а к а ч к и j «отр.а ж а е т» об р а. т н о
Все ВОЛНЫ той же частоты по ПУТll их
прихода. В рез у ЛЬ1'зте расходящаяся
*Р и чес к а я вол н.а n ре вращаете я в СХ (}---
дящуюся к ИСТОЧНИ1<У водну (штрихо
ев я ..тIиния)
1) о в Ф э кви вал е н тн О n реоб разова 1:1 и Ю [.... t лишь дл Я С rporo МО НОХ рома ти ч е---
С1\ОТО пол я. В случае же кsаЗИМQl:Iохроматическоrо ПОЛЯ форма оrибающеЙ Е о ( t)
nplt ОВФ не ме11яется.
198
компенсируются а накапливаются). Этот эффект позволяет увеличи-
вать с ПОМОЩЬЮ МОЩНЫХ" НО неОДflОРОДИЫХ усилителей эиерrию слабых
лазеРОВ t дающих одномадовые пучки с преДелЬНО малой (дифракцион-
ной) расходимостью и «естественной» немонохроматичностъю. При
ЭТQl\'l доетиrаются рекордные значения спектральной яркости излуче-
ния.
Друrое примеиение ОВФt важное для решения проблемы лззерноrо
терМQядерноrо синтеза автоматическая фокусировка МQЩНQrо излу-
чения на малые мишени (РИС<t 6427, б)
ИспользоВание резонансной восприимчивости Х{З) (в час.тности, при
ДВУХФОТQННОМ резонансе в парах щелочных металлов) позволяет сни"
зить требования к МОЩНОСТИ
накачки при четырехволновых
взаимодействиях (ДО 1 ВТ/См 2
при коэ<fxPициенте отражения
IR' l).
При ОВФ с пQМОll{6Ю вы..
нужденносо рассеян.uя доста-
точно мощная монохроматиче...
ская волна Re E(r) exp( irot)
служит наl{ачкой вызываю
щей в неЛliнейной среде э#ек т
вкр или ВРМБ с уrлом рас-
сеяния около 180 1J . Если вол-
н о ВО й Ф ро н т н а к а q к и .......... ДОС"
таточно неровный, то рассе..
янное назад стокеово излуч.е-
ние Re Е s(r) ехр ( iro st) (rде
(1) s == ro.........(2 о) 11 М еет при мер н о
ту же форму ВОЛНОВЫХ фрОН-
тов: Es(r) RE*(r)t rде IRI
близко к единице.
На первых этапах обрат..
Horo рассеяния (при z l)
стоксово поле имеет хаотиче-
скиЙ характер" в нем незави"
симо и равномерно возбуж..
деиы все МОДЫ с различными
по направлению волновыми
векторами k (поскольку их
длина k п (005)00 s/c фИКСИ..
ровзна ТО МОДЫ задаются
поперечной компонентой k J. :=q). В случае мноrомодовой накачки раз..
JIИЧНЬJе СТОКСО8Ы МОДЫ (q, ffi S ) имеют различные коэффициенты раманов-
скота усиления a(q) причем можно показать [46], что если каКая либо
мода (qt (0) присутеТВует в спектре накаЧКИ t ТО етоксова мода (.........q <.os)
имеет в среднем вдвое больший коэффициент усиления: а. ( q) 2ct:
Вследствие экспоненциальноrо характера усиления этоrо QТЛl14ИЯ при
7*" J 99
1
а
!НD
6
Рис. 6.27 Прliмеры использования эфq>eкта
ОВФ; а) для коррекции искажений BQJIHOBOro
фронта; lli1QCКИЙ фронт падающей слева вол..
мы при прохожден и н через н€од1tороДНую
среду становится неровным, однако после
отражения от «обр ащающеrо зеркал а» и вто--
ричноrо прохождения qерез среду снова вос"
ст.анавливает исходную форму (при отраже
н и и от абы ч Horo з ер 1\ а л а It с К аже н и я у дво и..
лисъ бы); 6) ДЛЯ фокусировки мощноrо .па.
з р Horo излучения на малые мишенrf; свет
ма..r:lомощноrо лазера (ввер ху) рассеивается
н а мишени, часть рассеянноrо поля усил ива
етс.я мощ н ы м ус ил и теле м, отр ажа етс я ОТ «зер-
ка..1З»" еще раз усиливается и снова СХОДИТСЯ
к мишени
a l достаТQЧ}[Оt чтобы часть еТОКСОВа поля, повторяющая спектр
нака цк 1-] , 3 на ч HTe...тJ ЬНО преВЬiшала по и н тенсн вн ости ш у .\IQВУЮ ча еТЬ.
Преимуществами «бр11л"qЮЭНQвскоrо» ИЛИ «pa aHOBCKorOD зерКал
являются отсутствие накачки (это аналоr безопорноЙ rОll10rрафlfН) п
npaKTl! чеСКil 100 ?,6 ная эффективность, а недоста тками nороrОБЫЙ
Характер э4Фе]{ТЗt необход.Н\fОСТЬ в мноrО 10ДОВОСТИ сиrнаJlьноrо ПОЛЯ
н СДВИr частоты при отраженнн. Последняя особенность оrр8ннчнвает
точность вос('та HOBileH.. я. Бол ьшой JJ Н терес n редстаВJlЯЮТ ..1азеры t в КО...
ТорЫХ O;J..HO ]13 зерI{ЗЛ я вл Я еrся обращаЮЩ]])f ( «бриллюэ навеки м» ) J'
а второе оБЫЧНЫ}f, ПЛОСКИМ ИЛИ с(рерIIЧеСКИ I. При ЭТОМ одновре...
менно осуш,ествляется МОДУЛЯUИЯ добротности (за счет noporOBoro ха-
рактера вынужденноrо рассеяния) и КQмпенсаЦJ1Я оптическоЙ неод"
НОРОДНОСТII al{T] I BHoro элемента.
РаСС}fОТРИ 1 несколько подробнее ОВФ при четырех волновом взэи-
МQдеЙСТВIIИ. Произвольное поле сиrнала МОЖНО представить в внде
(ДЛЯ nростоты считаем поле скалярным)
Е (r, t) == Re Е Q (r) e irot --, Е о (r) I cos r rot + <р (r) J. (6. 5 б8)
Обращенное nоле t ОПИСЫВающее .!онохроматические волны с обраТНЫ 1
нзпраВ411ением движения ВОЛНОВЫХ фрОНТQВ t по определению ОТЛJlчается
знаком времени:
Ё(т, t) == E(r, t).
(6.5.69)
Амплитуду и фазу обращениоrо поля опредесПИМ аналоrично (б8)
Ё (r t) =- Re Ё4) (r) e--- iiJJt == r Ео (r) J cos l rot + (r)}. (6.5.70)
Конечно, nрактическая реаЛJlЗЗUИЯ преоБРЗЗОБ3НИЯ Е......... Ё воз..
можна ЛИШЬ при отсутствии необраТlIМЫХ процессов. Из (БВ) (70)
находим связи между спектра 'ЬНЬiМИ амплитудами прямоrо и об...
ращенноrо полеЙ:
I t n (r) == E (r), (r) == (f' (r).
(6.5.71)
Следовательно, волновые попер х НОСТИ ),IOHQX роматичеСКllХ полей,.
оп ределяемые ура виенн ямн <р (r) == const и (р (r) ==const,. совпаДают.
Таким обраЗО:\1, при эф<ректе ОВф обращаются не фРОНТЫ t а направл
ння их распространения 1)4 За lетнм, ЧТО прн отражении в обычном
П.;rrОСКОМ t сферическом или более сложном зеркале также ПРОИСХОДИТ
преобразованпе Е......Ё) но лишь в тривиальных случаях, Korдa поверх-
НОСТЬ зерКала совпадает с волновой поверхностью
Обращенное. лоле Ё KOnllpyeT сиrнальное во всем прос"ранстве вне
Jl11нейноЙ среды, включая находящиеся ТЗ)1 прозрачные 1I рассеиваю..
щие тела nрОНЗВОЛЬНОЙ фОр:vlЫ (при УСiIОВИП" конеЧНО j ЧТО рассеянное
поле попадает в апертуру «зеркала» CM рвс. 6.26)t Однако, как уже
1) Ч.а сто вместо О В Ф псп 0..' ЬЭ у ют терм н н. ы ; «фазовое с ол р я же н (.1 е оп т и ческоrо
пол Я:) И...1J И « ВОСЛ роиэведе н и е 60.., н ОБ oro фра н т а»
2()()
отмечаЛОСЬ J при наличии иетинноrо, необратимоrо поrлощения (ИЛИ
усиления) восстанавливаются .l1ИШЬ фазовые поверхностн аМПЛИтуда
06ращенноrо поля будет снова уменьшаться при обратном прохожде-
НИИ через nor J10титель (или усиливаться усилителем) t
Пусть В среде,. которую для простоты по..lаrаем и зотр оп..
НОЙ t возбу)кдено поле сиrнала R е Е аех р ( .......iro з. t ) и поле накачки
R е Е 1 ех р ( .......iю 1 t). Элек rромаrнитное поле в среде сопровождается
полями друrой природЬ1, наПрН!\lер полями давлени я р (r, t)t темпера..
туры, кодебаний молекул, возбужденных электронов и Т. д. ( 612).
В фотоматериалах образуются «ПОЛЯ» металлическоrо серебра или дру"
rих продуктов фотохимических реакций. В простеЙШllХ случаях ампли-
ТУДЫ этих полей nропорuнона.ТlЬНЫ ПОСТО ЯННОЙ 11..111 1ед..t)еННО меняю-
щейся части Jlока.пьноrо квадрата ПО JfЯ ffi(r rt НаПрИt.IеРt за СЧе1
оптической электрострикции
р (rt t) Re Е 1 (r) Е: (r) ехр 1 i (оо,.....оо!) t]. (6 5 72)
Поле давления (72) ЯВч1яется объемной rолоrРЗ\lМОЙ, ОНО содержит
при известном поде накачки ПОtllНую ннформаuню о СJlrнале. Конечно,
запись даВЛением после выключения сиrнаJlа быстро за время ре-
лаксации л/v (v скорость звука).......... сотрется (в отличие ОТ полей
фотохимических реакuиЙ), но зато столь же быстро установится при
изменении снrна Т}аt В случае 10нохроматических полей с одинаковой
qастотои р (r) является статическим поле It матеРllаЛПЗУЮЩИ11 про.
странственное распредеlТlение ннтерференционноrо ПОЛЯ Et(r) E;(r).
Описанная простая МОДель JIJI,,1]юстрирует идею дина ,]пческой rолоrра..
ФИИ t которая используется для изучения быстропротекающих npQo-
ueCCOBt
Запись (72) можно воспроизвеСТl1 с помощъ:ю второй опорной волны
R е Е 2ех р ( ioo 2t), котора я будет ра ссен ваться на поле dn (r t t) локаза..
теJlЯ nреЛОJ.lления t Bbl3BaHHoro nоле1\.1 давления. Иначе rОВОРЯ t в «счи-
ТЫВающем» поле Е 2 БDЗНIlкает поляризация, ПРОПОРUlfонзлъная pE:z,
и излучаемое ею ПOJlе
Е 4 (r) ,..,... Р 4 (r) == Х ( H Е 1 (r ):Е (r) Е; (r) (6.5. 73)
rде 0). == (UI + (1) 2""""00 з. СВЯЗЬ Е 4 И Р 4: В БОРНQ8СКОМ приближении дается
формулами (7), (JO). 11з (73) BHДHO ЧТО если произведение EsEz слабо
зависит от Т, то будет иметь место эффект ОВФ: Et"-"E; =-ЁЗt В част...
HOCTJr t ЭТО достиrается в случае плоской монохро аТ}lческой стоячей
накаЧКИ коrда (U2. (дt и k2==...........kt.. Отметим" что в обычной" статической
rолоrрафии из-за инерuионности нелинейности необходимо чтобы
001 ==u)з И 002 ==::;00-11).,
Заметим, что при трехволново взаИМQдейеТВIfН также fОЖНО ПOJIУ-
ЧИТЬ ОВФ:
Р4 (r)== y}2JE 1 (r) Е; (r),.
(6.5.74)
1) в сдуч а е объем ной (k f;j>1) то. 10rpaMMbl (l.r; 3 К ста тическо:А t '18К И .пн нам и QecKoA)
из уел QВИ я СИНХ рои изм а (р и с t 6.24 j 8) следует равенство всех ч.еты рех ч асroт.
201
Однако при этом обращается лишь часть поля сиrнала Е,. частотный
и yr лавой спектр которой ,tIеЖИТ в полосе сних ронизма I L\.k! 1< I (Ll k==s .
i;;Ekl kз...........kJt ЧТО ПРИВОДИТ 1< потере тонких пространственных и вре-.
менных деталей сиrнала. Кроме Toro, обращенное лоле Е.. распростра.
няется «вправо» (как J:I лоле сиrнала), и для ero поворота нужно до-
полнительное зеркало. Большим nреJIмуществом четырехволновоrо
взаlf О;J.ейсТВНЯ является возможность получения с ПОМОЩЬЮ СТОЯЧИХ
ПЛОСКIIХ волн автоматическоrо синхронизма.
Оценим эффективность ОВФ RI с ПОМОЩЬЮ вырожденноrо (0)1==-6)
взаи -tодействия в одномерном (бездифракuиовном) nрибдижеНIfИ в ре.
жиме заданной накачки. Для этоrо используем уравнения (32) для
ветречноrо взаимодействия при очевидной замене частотных индексов.
Из (33) при z===o нахоДИМ отношение отраженной и падающей амплитуд
в 10ДaX k н k:
I R I == I Е f ( ........ k) I Е 3 (k) I :=: tg V 1 t
(6.5.75)
rде соrласно (24) (при заМеНе x{ ) Х(З}Е S и E 1 ==E 2 )
2то I (з} Е Е J........ 32n 3 r (3) I 1
1'......... сп r... 1 2-' сп t Х i 1 ·
(6+5.76)
Пусть х tз } == 10....1'2 см'jэрr, 1 I СМ, Л О == 1 МКМ, п 1,5. Tor да yl 1
при /} 1 rBT/CM 2 .
СуществеННО t ЧТО при уl===л/2 коэффициент преобразования обра...
щается в бесконеЧНОСТЬ t поля Е Зj E при этом возникают спонтанно.
Таким обраЗ0М стоячая волна в кубической среде обладает неустой-
ЧJIВQСТЪЮ по отношению к параметрической rенерации встречных
волн.......... наряду с неустойqивостями беrущих волн по отношению к са-
мофокусировке, самомодуляции и вынужденным рассеЯНIfЯМi ЗамеТJfМ,
что при 1'l 1 саМофОКУСНрОБка соrласно (6.4 29) будет несущественна
при
a2 fPofl лlI4,
(6.5.77)
Т. е4 ПрIl сильной дифракционной расходимости накачки на длине слоя
(при это t нарушается и ПрИмени ость одномерноrо приближения).
rЛАВА 7
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОПТИКА
в классической элеКТрОДИН8!\lике напряженность электрнческоrо
поля Ео.(Т f t) == E (Х)I x === {r t t, a}t Полаrается детерминированноЙ Б '1И-
ЧИНОЙ, измеримой, в принциnе t СО сколь уrодно большой точностью
(МЫ rОБОрИМ ЛИШЬ об электрическом поле, поскольку обычно ОНО опре-
деляет наблюдаемые эф:tэекты).
В к.пассичес](ой статистической оnтике важным прикладным раз.
Делом которой является теория коrереНТНQСТИi' Е (х) для каждоrо х
рассматривается как случайная веЛJ!чина t при ЭТОМ х иrрает роль пара..
метра. У добно разбив пространство время на нумерованные ячейкиt.
считать х дискретным параметро ) nробеrающим счетное множество
значений Х,. Таким образом, флуктуирующее световое поле аписы..
Бается совокупностью случа ЙНЫХ величин Е ,====Е (х 1) (друrой способ
«дискретизации» поля раЗJ10жение по модам описаН в Э 7 +З) Все
свойства ансамбля случайных множеств {Е,} задаются мноrО fерной
функцией распределения или набором моментов (корреляuионных faT.
риц) (Е 1 Е 2 . . Eт) всевозможных порядков т (уrловые скобки означа...
ЮТ усреднение с ПОМОЩЬЮ функции распределения). В эксперименте
усреднение прОИ3ВОДИТСЯ, КОНеЧНО. Не ПО ансамблю полей, а по неко.
торому пространственному и временному ИНтервалу V leT. Кроме тoro,
одновременно ПрОИСХОДИТ фильтрация поля по частоте и ПО направле-
ниям распространения.
Макроскопические уравнения Максвелла с точки зрения статисти.
ческоЙ ОПТИКИ ЭТО кинетические уравнения для первых мо:ментов
(E i ») (Н;). Интенсивность света 11 ero спектр определяются вторыми
моментам и (Е;Е J) t а п ква нтовые n роцесты ......... моментаi\IИ порядка 2п.
Однако классическая статистика в оптическом ДиаnаЗ0не J стро-
ro rОБОрЯ, неnрИ 1енима) поскольку параметр вырождения (N) ===-
=== [ехр.(li.ш/'itТ э.ф) 1] l (имеющий СМЫСЛ среднеrо числа фОТОНОВ в одной
моде или спектральной яркости 1 ш2 В еДиницах пc/'A3====I t) обычно
MHoro меньше еДИНИЦЫ. Например, ДЛЯ зеленых лучей СО 1нечноrо
света (Т эф ::=::::6000 К, л. О,5 мкм) <N) OtOl И лишь в ИК"Дllзпазоне
при л==З 5 мкм достиrает единиuы. К не lноrим исключеНJlЯМ с (N) l
ОТНОСЯТСЯ лазерные ПО4}f(Я для которых эффективная (яркостная)
температура Т ЭФ На MHoro порядков преВЪ1ш.ает СОJlнечную. Оnfетим в
связи с ЭТИМ ОДИН из парадоксов в истории физики квантовая оптика
начаJlа интенсивное развитие лишь в лазерную эпоху, коrда появи-
лись световые поля с (N) l (хотя общие принципы кваИТQвоi"i элек.
тродинамиКИ были разработаны HaMHoro раньше).
203
Однако при этом обращается лишь часть поля снrнала Е з ,. частотныli
и уrловой спектр которой лежит в полосе синхронизма I ktl<l (akES:
е=k 1 ...........k з ..........k 4 Jt что прИВОДИТ К потере тонких npocrpaHCT8el-1НblХ и Bpe <
менных деталей сиrнаnэ. Кроме Toro, обращенное поле Е.. раслростра
няется «впраВО» (как и поле сиrнала), н для ero поворота нужно ДО- '
n qнительное зеркало. Большим преимуществом четырехво.тrНО80rо,
взаl{ IОДейсТВИЯ является ВОЗМОЖНОСТЬ получения с ПОМОЩЬЮ СТОЯЧИХ
ПЛОСКIIХ волн автоматическоrо синхронизма.
Оценим эффективность ОВФ RI с ПОМОЩЬЮ вырожденноrо (ro{====ю)
взаlJ}-!одействия в одномерном (бездифракционном) nриб '1ижеНltи в ре-
жи е заданной накачки. Для этоrо используем ураВНеНИЯ (32) ДJIЯ
8етреЧноrо взаимодействия при очевидной замене частотных ИНдексоВ.
Из (33) при z o нахоДИМ отношение отраженной и падающей ампЛИТУД
в модах k н k:
I R I == I Е. ( .......k)! Е;} (k) I == tg 1,lt
,
\
,
(64 5.75) '.
1
rде соrласно (24) (при замене 'X{ ) х{З)Е s н E1=:E'}.)
2.т«о I (3)Е Е J 32п 3 r (3) I 1
у....... С/ l % I 2. , сп 2. ло Х i 1 ·
(6.5.76)
Пусть ztз} ==-1 0....1'2 смЗJэрr t l == 1 CMt 1..0:::::: 1 МКМ, n == 1 t5. Tor да уl 1
при '1 1 rBT/CM .
Суще-ствеННО t ЧТО при у[===:л/2 коэффициент преобраЗОВ8НИЯ обра-
щается в бесконеЧНОСТЬ t поля Е Зj E-t при ЭТОМ возникают спонтанно.
Таким образом, с.тоячая волна в кубической среде обладает неустой-
чпвостъю ПО отношению к nараметрическои rенерации встречных
волн........ наряду с неустойчивостями беrущих волн по отношению к са-
мсфокусировке, самомодуляции и вынужденным рассеяНИЯМ Заметим,
что при yl===l С3МофОКУСИРО8ка соrласно (6 4 29) будет несущественна
при
а 2 fPoll лl/4,.
(6.5.77)
т. е4 при СIIЛЬНО:Й дифракционной расходимости накачки на Длине слоя
(при ЭТО I нарушается II ПрИ fеннмость одномерноrо приближения)
.1
.
rЛАВА 7
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОПТИКА
в классической электродинамике напряженность электр]!ческоrо
поля Еа(Т J t) :=. E (х). х == {rt [" a}t ПQлаrается детерминированноЙ вели.
ЧИНОЙ t измеримой, в ПРИНЦИП€t СО сколь уrодно большой точностЬЮ
(МЫ rОБОрИМ ЛИШЬ об электрическом поле, поскольку обычно ОНО опр&
дел я ет наБJlюдаемые эQ:фек ты) r
В классической статистическоЙ оnтике важным лрикладным раз
Делом которой является теория KorepeHTHocTlI t Е (х) для каждоrо х
рассматривается как случайная ве lичинаt при ЭТОМ х иrрает роль пара.
метра. У добно разбив пространство время на нумерованные ячейки.,
считать х дискретным лараметром) nробеrающим счетное множество
значений Х,. Таким образом, флуктуирующее световое поле аписы.
ваетея совокупностью случа ЙНЫ х велич ин Е ,====Е (х 1) (друrой способ
«диекретизэuпи» поля раЗJJожение по МОДам ОПисаН в 9 7 3). Все
свойства ансамбля случайных множеств {Е,} задаются мноrО fерной
фУНК1{uей распределения ИJ1И набором моментов (корреляuионных мат-
риц) (EtE2. . .Е т ) всевозможных порядков т (уrловые СКобки означа.
ют усреднение с ПОМОЩЬЮ функции распределения). В эксперименте
усреднение производится" КОНеЧНО. Не ПО ансамблю попей, а ПО неко.
торому проетранственному и временному ИНтерВаЛу V lет. KpO le тoro,
одновре11енно ПрОИСХОДИТ фильтрация поля по частоте и ПО направле..
ииям раСПрОСТранеНИЯ4
ft.1акроскопические уравнения Л1аксвелла с точки зрения статист".
ческой ОПТИКИ.......... это кинетические уравнения для первых мо:ментов
(E 1 }) (Н;). Интенсивность света и ero спектр определяются вторыми
моментами (EI Ef)t а п KBaHTOBыe лроцессы мом"ентами порядка 2п.
Однако классическая стаТИСТИI{а в оптич.еском ДИаnа30Не J стро-
ro rоворя, неnрименима) поскольку параметр вырождения <N)==-
== [еХР.( 'Ы/'ХТэ.ф) I] l (имеющий СМЫСЛ среднеrо числа фОТОНОВ в одной
моде иди СПектраJJЬНОЙ ЯрКОСТИ 1(!)Q в единицах 1ic/'A/J:==I C) обычно
МНОТО меньше еДИНИЦЫ. НалримеРt ДЛЯ зеленых лучей солнечноrо
света (Т эф 6000 К, л Оt5 мкм) (N) OtO] И ЛИШЬ В ИК ..диапазоне
при л==3 5 мкм достиrает единиuы. К немноrим исключениям с (N»l
относятся лазерные поля для которых эффективная (яркостная)
те1\.fлература Т зф На .MHoro порядков преВЬ1шает СОЛнечную. OnJeT1JM в
связи с ЭТИМ ОДИН из парадоксов Б истории физики: квантовая оптика
начала интенсивное развитие лишь в лазерную эпоху, Коrда появи-
лись световые поля с (N)}>l (хотя общие nринципы квантовой элек.
тродинамики были разработаны HaMHoro раньше).
203
В квантовой оптике (и элеКl'родииамике) ансамбль полей заДается
ВОЛНОВОЙ функuией 1J' или оператором плотности р. УrЛО8ые скобки
в определении ФУНКЦИИ корреляции теперь означают операЦliЮ кван..
ТQBOrO усреднения с ПОМОЩЬЮ -qr ИЛИ p при этом величины Е, явЛяются
операторами. действующими по определенным правилам На чr. Суще-.
ственно. что В общем случае поля в соседних точках пространства.........
вре!ffени не коммутируют, ЧТО ПРИВОДИТ К квантовым флуктуациям
ПОЛЯ t к ОТЛИЧНЫМ ОТ нуля моментам (E,Ej> даже в вакууме,. к спонтан-
ному излучению возбужденных атомов и шумам квантовых усилителей
н rеиератороВ.
Статистическая теория излучения лазеров определяет их важнейшие
параL\fеТРЫ t например максимально ДОСТИЖИмые монохроматичность
rенерзТОрОВ и чувствительность усилителей Такая теория должна
основываться, как и последовательная теория rеПЛОБоrо излучения
HarpeTblX тел, на квантовой электродинамике инеравновесноЙ термо-
динамике (48" 49]. Дополнительная трудность кваНТО80статнстическоrо
зна.'Illза лазера СОСТОИТ в при нципиальной роди нели ней ноети опреде-
ляющей за счет эффекта насыщения стационарную амплитуду колеба-
ний (предельныЙ ЦИКЛ классическоrо автоrеиератора).
ВажнеЙШИ!\'1 достижением нелинеitной квантовой теории лазера
11 З, 50........53] является ВЫВОД о ТОМ, что поле в резонаторе лазера рабо-
тающеrо при большом превышении накачки над пороrовой находится
в к.ozерентноя состоянии (последнее ПQнятие было введено в квантовую
оптику rлаубером 1541). Между полем в }(OrepeHTHOM состоянии с боль...
шой амплитудой и классическим rарМQническим колебанием с)ществует
тесная аналоrИЯ t и поскольку эффект насыщения nроявnяется ЛИШЬ
при бодьших амплитудах поля, то нелинеиныи режим лазера достаточ-
НО точно описывается полуклассической теорllей. Нелинейные теОрJfИ
предскззывают все статистические характеристики ..rIазерноrо излуче.
ння; интенсивность" ширину спектра" радrIус коrереитности, высшие
моменты.
Еще более rрубое но тем не менее полезное прибдиженне Дает ли-
неЙная теория шумов квантовых усилителей и reHeparopOB ( 7. 1),
иrнорирующая эффект насыщения и приrодная поэтому ЛИШЬ ниже
пороrа самовозбуждения. Важнейшие результаты этой теОрИ 1 заКОН
/(ирxzофа. выражающий интенсивность шума усилителя через е20 KOot
sффиЦllент усиления,. и формула Таунса, связывающая «есmeствеНН,УЮl1
UIUpUftY линии еенератора с есо )tоu носmью. Соrласно линейноЙ теории
И3 1Jучение имеет rayCCOBY стаТИСТИJ{У и ПОЭТО fУ эти параметры НН-
тенсивносТЬ 11 ШИрllна спектра полностью опреде.пяют статистику
поля.
Настоящая r лава посвящеНа осноВаМ квантовой оптики. Изложение
начинается с линеЙной теории ШУ'МОВ квантовых усилителеЙ" не требу..
ющеЙ квантования поля (9 1). в 2 рассмотрены основные ПОНЯТИЯ
кдаССlrческоЙ статистической оптики.. Следующий раздел ( 3) посвя-
щен предварительному этапу квантования поля............ представлению
уравнений Максвелла в каноничес[{ой форме t после чеrо само квантова-
ние ПРОВОДИТСЯ уже без труда ( 4). В 9- 5 рассмотрены основные клас-
сы возможных состояний поля, а в Э б ......... статистика фОТОНОВ 11 фОТО"
204
электронов в ЭТИХ состояниях. Наконец, в 7 мы снова 80звращаемсSt
к вопросу о вероятности перехода в шумовом поле ( 2 4), НО теперь
уже с учетом квантовых свойств поля.
7 .1. Закон Кирхrофа ДJlЯ квантовых усилителеА
Здесь и == dro/dk......... rрупловая СКО.
рОСТЬ (k пос.тояиная распростра
нения); L........ дЛИ на некото poro от..
резка ВОЛНОВОДа. MHoro большеrо
.ДЛИНЫ ВОЛНЫ ;.;:;;;: 2пJk J но MHoro меньше расстояния; на котором
5' j{ Z) заметно изменяется; l/ I спектрал.ьная плотное тъ эне pril и !\.IЗ.
крополя В ОТрезке L; NI == illhf число фотонов в L на 1 rц,
равное N, умноженному на спектральную ПЛОТНОСТЬ ПрОДОЛЬНЫХ
мод g/ =- L d ' l/dw== L/и. Обратная величина и/L равна интервалу
между собственными частотами соседних мод (подробнее о понятия
моды СМ+ Э 743).
Буде 1 ИСХОДИТЬ из J]инейноrо кинетическоrо уравнения ДЛЯ N (ю, z)
вида
Интенсивность собетвенноrо ШУМQвоrо излучения лазера или мв.
зера, работающеrо в линейном стационарНО 1 режиме, может быть
определена без ПОМОЩИ квантовой электродинамики из оБЩИХ сообра.
женИЙ, основанных на некоторых закономерностях нераВНQВесноЙ тер.
модннамики типа формулы Найквиста (или флуктуационно Диссипа-
ТIlВНОЙ теоремы o--.....r ФДТ) и закона Кирхrоера для теПЛО80rо излучения.
Закон Кирхrофа ДJlЯ одной MOДЫ Пусть идеальный B04> HOВOД
заполнен ОДНОРОДНЫМ вещеСТВОМ f имеющим температуру Т ........ теРМОДИ'"
Н8МИЧескую или эqxpеКТИ8НУЮ. Рассмотрим электромаrнитную энер-
rию, переносимую ОДНИМ ВОЛНО80ДНЫМ ТИПОМ поля (например, НО!
в прямоуrольном волноводе) в стационарном случае. Пусть ВfArlНОВОД
соединен с соrласованнымн источником сиrнала и наrрузкой, так что
обратная волна независима ОТ прямой (рис. 7..1).
Нас будет интересовать спектральная ПЛОТНОСl'Ь МОЩRОСТll
51/ (Ф, z) =:.. 115'/Aft Т. e энерrия некоrереИтиоrо ИзлучеНИЯ с часто-
1'ОЙ ro -- 211{ > О, перенQCН мая че.-
рез сечение z за 1 с в полосе чз. 0 . r:
1 r Л ";"////Y/////h/ J /////////b////GY&1:3
СТОТ Ц.. erKQ nоказать, ЧТО Но GNtJ+(f....CW
!р I (О) t z) в единицах tu.o == hf сОВ................. ....
Падает СО средним числом ctюто" $ffp/I'////..-7/)/J. ;/J ;///////////.i'iJ.}t
НОВ N (ro f Z)t прИХОДЯЩИХСЯ на одну о аН z
продольную моду волновода: Рис. 7J4 8ОЛНО80дныА закон Кнрхто..
и hl и hf и fN фа. ш умы волновода определяются
5' I :;: Т ce j :::;;:;. т N I =- Т g j N h · J\онкуренцией поr лощения а и спонтаи...
НО ro нэл уче н (1 Я I ==-a.Jr . r де Jr==
(7.1.1) == Н,} (N1..........N,J ФУНКЦИЯ П.lанка
н Nl IiзселенНОСТИ уровней. В ре'll
зулъ тате ш умы выражаются через
кО9ффицие н т пе.реда ч и a е.... (.( I tl -тем-
ператур у Т
dNldz=:= aN+j.
(7.1.2)
Здесь а.(ю) КОэффИllиент поrлощения или усиления за счет вынуж-
Ден иых переходов и j ( (r) ):;>0 ........ распределенный источник шума I вы.
205
3BaHHoro спонтанным излучеНием Это уравнение описывает -феномено--
J10rически стационарное взаимодействие вещества с ОДНОЙ полеречной
МОДОЙ поля, необяза тельно в ВОЛНОВоде 1). Е ro подез НО ера внить с одно...
мерными уравнениями (643.22) для «медленных» амплитуд и с СООТНО-
шениями Эйнштейна для нестационарноrо взаимодействия (2 542)..
Очевидно, что а,.......- В (N 1........ N 2) и j А N 2) r де А В коэффициенты
Эйнштейна и Ni населенности пары уровней, разделенных интерва..
л ОМ аro.
Решение (2) имеет вид
N ==:N 1J+(j/a) (l a) Q (и z) == exp(......a (о) z],
(7, I .3)
rAe No: сиrнал на входе усилителЯ и Q коэффuц.ueНln передачи
волновода. Второе слаrаемое здеСЬ f не зависящее от BXOAHoro сиrнаЛЗ 1
является собственным ШУМо t волновода.
Выразим отношение j/a через температуру вещества. Пусть az l,
ТQrда СОfЛЗСНО (3) N ==j/a4 С друrой CTOpOHbl f в достаточно длинном
ВOJIНQБDде с затуханием ДОЛЖНО установиться равновесное излучение"
в КОТорОМ среднее число фотонов на моду определяется функцией
Планка Jf Следовательно,
j /а oh :=== [ех р (iiro/xT).........1 ] 1 ==
1с: ( 1/2) [с t h (ftfiJ/2KT)......1 ] ;::: N&O) I( N O}......... N O)). (7 t 1.4)
Этот ВЫВОД ЯВЛяется сrроrим лишь для полностью равновесной сиете- I
Mbl t В котороЙ населенности N i И число фОТОНОВ N ПОДЧИНЯЮТСЯ рас-
пределениям Болы1.анаa и Планка COOTBeTCTвeHHO
Разумно Предлоложить однако, что (4) приближенно остается
верным и при ОТСУТСТВИИ paBHOBeCHoro излучения, например при
ac<:l и No==O. При ЭТОМ параметр Т относится уже лишь к веществу,
температура KOToporo поддерживается постоянной 11 ОДНОРОДНОЙ t не--
смотря На радиационное охлаждение (<<квззиравновесие»). Для этоrо
неоБХОДИМО t чтобы излучающие и поr.lJощающие на частоте ю степени
свободы вззимодеЙСТВQва..JtИ с термостатом MHoro сильнее" чем с полем 2.).
Формула (3) при No==-O описывает в этом приближении процесс про-
СТрзиственноrо установления paBHOBeCHoro планковскоrо ПОЛЯ (с OД .
ним направлением распространения) в волноводе или слое вещества
с протяженностью z, температурой Т и коэффициентом поrЛDщениЯ
а (ro):
N == t!l \ Л == 1 ......... G .
(7.1.5)
1) Подобные уравнеНQЯ наэыв аютс.я ypaBHeHtiJUlU neреноса (фотонов, нейтронов
и Т. д.)) они nредпол аrают возмож ТiOC1'Ь прип 1caTЬ ч.ютонзм пространствеиную коор-
ДНН8ТУ Z, опреде..1енную с точностью = L/2+ В общем случае ИСПOJJьзуется ФУНКЦИЯ
N (11, r, ') f имеющ.а я СМ ЫСЛ АОКUЛЬн. ой сп ек mралы/. ой я ркост и в еди н н ца х h. с/л 3 +
2) Пусть время Т 1 характери зует взаИМОДействие частиц с T pMOCTaTOM, тorдa
условие n римеИIfМОСТИ закона Кнр хr9Фа (и вообще форм ул типа Ф Д Т) к itераВИОВес-.
ным Э.8дачам имеет, очевидно. вид l/Tl A (2Н+ 1) (ер. (2.5.18)).
206
Здесь dl --------.. поrпощательная способность волновода пли СЛОЯ (в общем
случае надо учесть отражения на входе и выходе), она .wожет быть из-
мерена соrлаСНQ (3) с помощью внешнеrо сиrнала: л== t дNlдNо
Формула (5) ВЬ1ражает заКОН Кнрхrофа связывающий тепловое
излучение HarpeToro вещества с ero теРМОДинамическим napa "leTpOM
т и кинетическим лараметром А. Ero
леrко вывести в форме (5) не прибеrая 2
к кинетическому уравнению f25J. Отме. Н
T"M ЧТО ЭТОТ закон используется ДЛя
построения фотометрических эталонов
интенсивности света, ХОТЯ в лринциnе
ОН применим ЛИШЬ в приближениях
сильной связи с TepMoc'ТaTOM линейной и
rеомеТрllчесКОЙ ОПТИКИ (о ero возможных
обобщениях еМ4 [371). ....1
Закон Кuрхrофа ДЛЯ отрицаТeJlЬНОЙ
температуры. ФеномеНО '10rнческая связь !
спонтанных н вынужденных эQ:фектов с
населенностями уровней jla::-N t/(N l..... N 2.)
подтверждается с помощью !\-IОДелъ.. J
2
ных расчетов с двухуровневым веще-
СТВОМ. При этом она обобщается на не-
равновесное вещество с небольцманов"
СКИМИ N {. Удобно и в ЭТОМ приближении
сохранить формулу (4) и закон Кирхrс$а
в форме (5) отождествляя Т с эффектив-
ной (ПЛИ j иначе, cпuнoвoй) температурой
ТЭФ определяемой из дейетвительноrо ОТ-
ношения населенностей ех р (ftoo/x Т э:Ф) ===
===.N 1/ N 2 (9 3.2).
Из определения ФУНКЦИИ Jf (Т) следует t что при инверсиИ насе-
ленностеЙ t коrда а и Т меньше нуля" Jr также отрицатедьна
(рис. 7 2): Jr ( Т) == ......... [Jr (Т) + 1], поэтому закон Кнрхrофа :UОЖНО
написать в виде
'1
о
....1
x 1tl/Jlr)
f J
о
PHC 7.2. Функция I11аНК8 1 оп..
редел яющая среднее ЧИС ,О фо-
ТОНОВ С частотой (0)0 в ОДНОЙ
моде рзвновеСflоrо поля) а так""
же число возбужден ных атомов
iV2 деленное на разность насе"
'e н н осте й N 1....... N 2 (Т........ зф'iPeк.
ТИ8Н.ая температура, в С t 1учае
поля Т>О)
N::; [Jf (........ Т) + 1] (a 1)
ИЛИ (рис. 7.3)
N == С!У (1 ......... ех р [ aG (ro) ,/(М' + 1)])
(7.1.6)
поскольку ct == О (N l N ,)=- сс. о th (ftюJ2)tТ), rде ttо коэ4Фициент по.
fJlощения при т == + O
в частности t при nОJ1НОЙ инверси и N 1 === О, Т === ........... О, Jr -= ] "
так ЧТО спектральная ПЛОТНОСТЬ шума ОДНQмодовоrо идеальноrо
кизитовоrо усилителя в единицах hf равна просто коэqxpициенту
передачи без единицЫ:
I N== G l. I
(7 j 1 4 7)
207
Появление ЗДесь 1 связано с распреде.пенны характером ИСТОЧ
Ника шума. Отсюда шумы N/G, отнесенные ко ВХОДУt равны 1 G""'I
ЧТО при a I дает по одному фотону иа МОДУt T е. на единицу
полосы частот за единицу вреМени..
/i
..r
J
Рис. 1+3 Спектральная плотность тепловоrо излучени я ОДНОМОДоВоrо ослаБИТeJI:I
(Т>О) или усилителя (Т <О) в зависимости от ero ДЛИНЫ z и температуры т соrлас...
НО закону Кирхrофа (а о ...... коэффициент поrлощени я при Т==+О)
5
При наличии иа входе некоrереитиоrо сиrналз СО спектральной
плотностью мощНосТИ hfN o к (7) Надо добавить GN o + Результат
МОЖНО представить в виде
N+l==a(N o +l). (7.1.8)
Эта формула дает следующий алrоритм для учета спонтанноrо излуче-
ния (или, иначе.. квантовых флуктуаций) в идеальном усилителе:
к числу фотонов на входе прибавляется единица., результат умножается
на классический коэф:1>иuиент усилеНIIЯ t ЧТО дает после обратноrо вы-
читания едицицы выходное ЧИСЛО фОТОНОВ. Итак" отношение СU2Нал!
шум на выходе uдеШЬНО20 квантовоео gСUJl.uтеля с боЛЬШим усuлен.UeJA
равно N O числу фоrnо нО8 сuzнйла в одной моде.
Появление единиц в (8) можно интерпретировать как результат
нулевых флуктуаций ПОЛ5l t однако к ЭТОЙ интерпретации следует от-
НОСИТЬСЯ с осторожностью [65]. Квантовые флуктуации дают прИНЦИ-
пиальный предел чувствительности и точности квантовых усилителей,
как и JIюбых измерительных приборов. При N 1 =FO к квантовым флук"
туаииям добавляются «теПЛQвые»t пропорционалъные K( T) {см.. (6»..
в радиодиапазоне часто используют лонятие шумовой температуры
усилителя Т W. ПО определению Т ш равно яркостной температуре
шумовоrо И3JIучения на выходе, OTHeceHHoro КО входу:
Jf (Т ш) NjG == Jr (Т зФ ) (ez: 1), (7+ 1.9)
208
r де .Jf функц" Я Планк а для рассма тр н вземой частоты 00. Эта фа р..
fула дает связь Т ш с эQxPeктнвной (спиновоЙ) температурой ве-
щества ТЭФ Понятие Т ш удобно л tШЬ в классической области тем-
пе рату Р t r де JC хТ / п.оо и (9) принимает вид
т ш =-- (ex z ........ 1) Т аФ to
ЧТО В двух предельных случаях (малое поrлощение If большое
усиление) дает
т щ==аz Т эФ
т ш :::: ........ т ,&ф
Oalz l),
(az 1).
( 7 . 1 1 Оз)
(7.1 IОб)
Итак, спиновая температура определяет не только отношение на..
селенностей., НО и предельную шумовую температуру КS8итовоrо уеи..
лителя.
В парэмаrнитных усилителях JТэфl имеет ПОРЯДОК температуры
решетки рабочеrо кристалла который охлаждают До температу'р жид..
Koro rелия для уменьшения Т ш., ослабления спин"решеточноЙ релак-
саЦии и увеличения равновесной разности населеННQстеЙ4 В результате
шумовая lемперзтура этих усилителей Достиrает нескольких кель-
БИНОВ4 В ТО же время в обычных электронных усилителях Т ш"'"
10з К (из-за ВЫСОКОЙ температуры катода); в парЗМетричесКИХ СВЧ...
усилителях на полул рОВОДИИКОВЫХ Дllода х Т ш....., 1 00 К.
Практически Т ш в парамаrнитных усилителях определяется теп-
.ЛОВЫМ излучением не рабочеrо вещества соrлаСНQ (IОб), а элементов
ВХОДноrо тракта (aHTeHHЫ ВОЛНОВОДОВ и невзанмных ферритовых УСТ-
ройств) corпaCHO (IОз). Действительно, входноЙ ВОЛНОВОД с комнат-
ной температуроЙ стенок 11 потеря и Bcero 1 % дает заметный ВКtc1Jад;
т т 3 К.
Нетрудно обобщить закон КиРх!'схР а (5) на случай, коrда в ВОЛНcr
ВОДе имеется несколько ИСТОЧНИКОВ однородных линейных потерь Cl 1 и
ШУМОВ j { с разли ЧНЫ lН эффек ТИВНЫhfН темпера турами Т l (i 1, 2., . .).
Полаrая опять i,==a,Jr't получаем кинетическое уравнение
dNldz== ai(J( N)t (7.1 11)
i
отличающееся от (2) лишь заменой а на а, Н аф на arКi"
в результате (5) принимает ВИД
N == () e O:Z) (ai/ a ) QN i' (7.1.12)
t
r де о; ==- а Е. Т ак ИМ образом,. вклад каждОёО элемента в оБU{ее теп.,.
Д08йе излучение nро/IОрЦUОНален ееО вкладу ас/а в суммарный коэф-
фllцuенпt послощенuя.
Рассмотрим форму спектра теПЛQВоrо излучения в окрестности
ОДИНQЧНQrо уэкоrо резонанса при различных оптических топЩинах
209
az (рис 2 4). При малых I а I z спектр излучения повторяет спектр
nor лощения: N (ы):::= а. ((О) zo1f (медленную завнслмость G.tf от (О здесь
можно не учитывать). При больших положительных az линия уп.nо
щается и уширяется, стремясь в пределе к равновесному спектру
Jr (0)), а при больших ОТрИЦ31'ельных az ШИрИна ..Т"lИНИИ сужается
(как JI полоса усиления, СМ. (2.3.22») и стремится к нулю
как V& ln O
Шумы мноrомодовоrо усилителя. До сих пор речь шла об одной
поперечной моде ВОЛНОВОДа. В общем случае, коrДа в переносе ИЗ"Т'lу'"
чения к детектору участвуют несколько незаВllСИМЫХ МОДt следует npQ4
сумми ровать (5) ИJl И (11) ПО всем существеННЫ 1 модам. Есл 11 сечен не
волновода А MHoro больше л 2 t ТО суммирование iОЖНО заменить ин...
тerp и роеа ннем.
При переходе к свободному пространству ЧJIСЛО наблюдаемых то.
чечныM детектором в ближней зоне поперечных мод (Т. е. МОД содиНа....
КО8ЫМИ частотами OOh ==ck) пролорционально пространственной апер"
туре ИЗJlучателя А ab и у r лавой а nерту ре детектора dQ:== tl {} x '6 у=,
Ag lr - (а л ...1.) (Ь л "1,) == А LlQ/Л',
( 7 . 1 .13)
rAe л == 2лlk (МЫ учитываем один тип поляризаUJlИ и nолаrаем
направление наблюдения перпендикулярным A) Соrласно (13) У2ЛО
вой интервал .между соседними поперечными модами U..fteeпl по-
рядок дuфракцuон.н.осо усла лjа4
Умножив (5) на энерrию фотона liro., полосу детектора а! ==
== I1ro/2л и число поперечных мод gJ.." найдем МОЩНОСТЬ 11HorOMO"
довоrо тепловоrо излучения с ОДНИМ типом поляризации:
д == (fi(r)6 006. Q А /2 nл 2) rJf (1 ........ а) ,
(7.1.14)
лолаrаем коэфQJициент передачи G e.....G.z 1] эqфeктивную темпера...
туру Т одинаковыми ДЛЯ близких по направлению поперечных МОД..
Отношение 6fPjдw.1QА называется сnеКl1zраЛьнай ЯРКQспlЬЮ (ИJlИ
просто интенсивнос/nью) ЭТО основная энерrетическая ха рактери
стика иекоrереитноrо мноrомодовоrо излучения В обще 1 случае
1 юа == I (kt r) зависит от частоты t н а п раВ4,Т]ен и я и ТО чк И наблюде
иня" однако при отсутствии рассеяния, излучения 11 поrлощения
между точками r и r + аспект ральная я рк ОСТЬ В ЭТИ Х ТО чк ах
одинакова для aprYMeHTOB kt nараллельных а:
1/ (k, r + а) :=; I (k. r), k а; [
(7 1 15)
конечно, имеет СМЫСЛ roворить о смещении а точки наблюдения .лишь
при а}>л.
Интеrралы ОТ / по различным переменным имеют в фотометрии
специальные названия.......... ярк.осmь свет uм ост ь (или освещенность)
210
поверхности) сида света 1):
в (k, ') ) d(o)kl (k, ,),
о
Е (r) = \ dQ В (k r) cos {}fp
...
(7.1.16)
,1) (z) == dx dy Е (r).
'"
Здесь k r k/k, {tk уrол между k и осью z. Спектральная и объем...
ная ПЛОТНОСТЬ энерrии равна
pu) (Ф, r) == и: (о) S dQ 1 (k, ,), (7. 1 · 1 7)
4п
rде u rРУnJlовая скорость, u) = OOk4 В Сilучае Тепловаrо излучения
нзrретоrо тела величину 1 (k, ') cos -8ft называют излучательной
способностью тела (в точке r ero поверхности)
Соrласно (14) закон Кирхrофа для мноrоt\10довоrо излучения слоя
вещества с э4$ективной температурой т и толщиной z имеет вид (ер.
(6.4.18), (6 5.51 )).
1 mи<k) == I Qc N (k),
(7.1.18)
rде
I C == 1iro/2лл l , N (k) == Jr (1 e....a (k) 1)
(7+1.19)
(учитываем один тип поляризации). Величина 1 C соответствует
спектральной яркости излуч-еНИЯ 1 имеющеrо по одному фотону в
каждой моде (Т. е. 1 2c равно у военной «яркости нулевых флуктуа..
ЦИЙ» B3KYYMa)t она является естественной единиией для измерения
I шQ: среднее число фОТОНОВ на trlОДУ N равно спектральной яркости
V!]C
В еди н Huax 1 (I)Q +
Равновесное и спонтанное излучения, свеРХJlюминесценция. Рас-
СМОТрИМ три характерных случая
I При az}> 1 из (18) сдедует lillQ=:=J CJf ЧТО В случае НЗО
TpOnHoro излучения соответствует излучению абсолютно ЧерНоrо тела
и соrласно (17) при. и == Сfn............форМуле Планка:
2рф == (8лn/с) l{uQ::: (8Лn,jл З ) cf; (7.1.20)
коэффициент 2 учитывает два типа полярнзации+
24 Если же 1 а I Z 1 t ТО нз (18) следует
1 (1)Q === J C Jf az ::::; I:;ЬС N 2(1} Jcos -3 k t
(7.) .21)
тде мы положили оптическую толщину СЛОЯ az для МОДЫ k равной
(J (N 1 N 2,) Ijcos f}k. Выразим здесь сечение перехода а через диполь
1) И» or да с добавле tI ием пр ида r ате.л ь Horo «эtJерreтичес.к а я» t у J{ азыва ющеrо, что
о н и из.ме р я юте я в обы ч н hJ Х еди f1 и цз х , а не с ветотех н и ческ ИХ, у I[Н ты за ющи.х спект-
ральную характеристику человеческоrо r Jiаза и ОСНОАанных На к.анделле.
211
НЫЙ момент перехода d o соrласно (2.3.6) и определим с помощью
(16) обшую МОЩНОСТЬ спонтаННоrо излучения. Пусть n == ], тоrда
ф
fP== dQ dxdy cos 3", dool roQ::::(41t i /hc) l cN,Vooo dQ (d o .e",)2, (7.1.22)
411 А О t&.n
rде V =- Al объем вещества.. Интеrрал здесь равен 8n:d /З, так что
5> ,V N, совпадает с найденным ранее выражением для МОЩНОСТИ
спонтаниоrо И3JJучения в расчете на одну lолеКУJIУ 4 JЗСЗ (см..
(5.241 б)).
з. Пусть теперь az l t TorAa N r::::z. GJr и
!Р -= N t (N I N 1)"'11 GоА.фАQаф ю-ф' (7 1.23)
rде мы ввели эф:lJeктивные аппертуры А 8фto j,Q,ф И полосу частот
dШеф (CTporo определяемые через соответствующие интеrрЗJJЫ) и КО-
эффициент усиления в центре ЛИНИИ а... Эта формула определяет
МОЩНОСТЬ свеРХАюмuнесценцu и Ф---О уснленноrо с понта HHoro излучени Я..
Положим для rрубой oueHKH t ЧТО А аф совпадает с сечением усили-
теля А t дюаф..........с полосой усиления доо и 6Q,ф All't rде l........длиНа
усилителя.. тоrДа при N 1:= О
== l cGoA 2А'Л/l t ..
(7.1.24 )
При Л==: 0,5 МКМ. Л== 10 им, А == 1 CM' \ 1 == 10 см и 00== 10' полу.
чаем 2..10' ВТ.
На мноrих переходах в rазах инверсию даже с ПОМОЩЬЮ .IОЩНЫХ
импульсных разрядов удается получить ЛИШЬ На I{OPOTKoe время
't IO 9 с из за большоrо времени жизни нижнеrо рабочеro уровня.
При ЭТОР.:I В случае ДЛИНЫ активной области" большей ct зо см, обрат..
ная связь с помощью зеркал не успевает сработать. Излучение лазеров.
ИСПОЛЬЗУЮЩИХ Такие «самооrраниченные» переходы (ваЖНЫ.1 ПрИ:\lер
азотный лазер с ДЛИНОЙ волны 330 им) t является, ПО существу, сверх-
JIюминесценuией.
Конечно, при Достаточно больших ОП МОЩНОСТЬ сверХJ1Ю ПIНес-
ценции (24) может оказаться достаточной для eKTa насыщения, при
ЭТОМ задача становится нелинейноЙ 11 закон Кнрхrофа непримеНИ f..
Усиление и ПOJlоса резонаторноrо усилителя. Для увеличения уси.
ления при данной Длине аКТИ8ноrо вещества применяют положитель...
ную обратную связь с ПОМОЩЬЮ объемноrо резонатора. Определим
с помощью эквивалентной схемы 1{оэQxPициентусиления а (00) и полосу
пропускзния dro оmражапlельноео резонаторНО2-0 усuлuтеля Т. е.
усилителя с ОДНИМ ВОЛНОВОДОМ СВЯЗИ ИЛИ одним полупрозраЧНЫ 1 зер...
КЗJIО11 (рис.. 7..4). Разделение пздающеrо на резонатор слабоrо сиrнала
и отраженной с усилением обратной ВОJlНЫ осуществляется в свч-
диапазоне с ПОМОЩЬЮ невзаимных ферритовых устройств (циркуляro-
РОБ) .
Рассмотрим область спектра в окресТНОСТlI ОДНОЙ из собственных
частот резонатора OOOt Если соответствующий тип колебания невырож--
212
де" и (0-0 Достаточно удалена от друrих частот, то поле в ПРОИ3БQЛЬНОЙ
точке резонатора зависит от вре иенн ана/lоrНЧНQ параметрам любой
колебательной системы с одной степенью свободы" НЗПрllмер ана..тlоrич-
НО току в LC"KOIIType. При этом электрическое лоле имеет вид Е==
==и (r) q (t), rде и (r) ......... известная ФУНКUИЯ.. определяемая фОр 10Й ре--
J Ян ЛО ЛIt<О
! W13Щ i
- .J :
6 (J f, с
PIIC.. 7.4. Резонатор н ы и к в аН товы ii уснJ.I И Те.! Ь: а) оп тн QeCKOrO дм а пазон а; 6) св Ч..
диапазона; 8) эквивалентная схема
зонатора t а q(t) подчиняется уравнению движения rар 10иическоrо
осциллятора.. Это позволяет для расчета QTKJlllKa резонатора На МО-
нохроматическое возбуждение использовать эквивалентную схему"
представленную на рисot 7.4, 8t Затухание (и, в соответствии с теоремой
Н.айквистз, шумы) ВНОСЯТСЯ в схему тремя резисторами.......... СОПРОТНВ'"
лением внешней наrрузки R и (которое совпадает по предположению
с волновым сопротивление!\t ДЛИННОЙ ЛИНИН t изображающеЙ ВОЛНОВОД
связи),. сопротивление 1 Ro проnорциональным потерям в стенках ре..
зона тора, и отрицательны?tI сопротивлен ием R а, n рОЛОрUИОНЗ 6t 1ЬНЫМ
излучению аКТИ8ноrо вещества4' Мы полаrаем, что ширина ИСЛО JJЬ3Уе.
моЙ спектраJlЬНОЙ линии !\JHoro больше Юt и поэтому Ra вешест"
венный парЗМетр.
Как известно" коэффициент отражеНllЯ ОТ конца ДЛИННОЙ ЛJ1НИИ,.
Т. е. отношение комплексных амплитуд обратной и nря ой ВQЛН t опр
деляется отношением сопротивления наrрузки (резонатора) Zp к вол-
НОБО!'.:IУ сопротивлению ЛИНИИ R и . Напри ер, коэффициент отражения
по току равен
R H Zp Rtt..... R p i Y
K(ro) R +l == R +R ---Li)( t
н Р н: Р I ..
(7. 1 .25)
rде
Rp -:= R + Ra. Х === ф U)L == {!)L ( 1 ) 2L (OOo {!))' (7.1.26)
Соотношение между Я Н JI оста.л:ьными параметрамн зависит ОТ сте...
пеНJl СВЯЗII резонатора с ВОЛНОВОДОМ.
Перейдем от ЭКВllвалентных параметров R i К безраз}]ерНЫ\1 вели-
Чина fl 11 lеющим неnосредствеННЫЙ физичесКIIЙ CMbl fJ ;10бротностям
Q 1 == (J)fJLj R 1 ИЛИ дек ремент a ! затух ан ия d i == 1 /Q, Ве.;'1 ич н на Q;J Ha
зывается (маrнитной) добрОl11НОСmbЮ акти8НОсО eeи eCl118a. Разделив
числитель и 3Нзt,lеизтеJlЬ (25) на oooL, находим
dH dfJ 2ix
К (оо):=< d " + d р + 2 ix · (7 · 1.27)
213
r де х (000 ro )/001)+ Усиление иди ослаблен не по МОЩНОСТИ при от...
раженн.и ОТ резонатора
(d H dQ)2: + 4х 2
G (0)== I к (О)) 12== {dH+dp) +4x . (7.1.28)
Существенно" что .степень связи волновода с резонатором МОЖНО
изменять" поворачивая, например, петлю связи ИЛИ .меняя прозрач-
ность зеркала. При этом нормированные потери dп"==Rи/roоL7 вносимые
внешней цепью в резонатор также меняются от О (нет СВЯЗИ> «rлухое»
Н,
1
f
tljJ
1
"4
.t1
.... 1 ............... r ................. 4 111 ............
РИСr 7. 5 Зависимость коэффициента уСИJJения К() резонатор Horo усил нтеля ОТ ДO
ротностн резонатора l/d p . Уменьшая связь d", МОЖНО при зад.аtlНОМ d p <о СДелать KG
.с к o.lI Ь У rод н о бо.д ьш И м: d p .......... де к реме н т реЗОНа то рас у ч ето м отр И uзтел ь НО ro в кл ада
.активноrо вещества d и декремент наrрузки Т. e относительные потери t вносимые
внешней uепью
зеркало) ДО 00 (максимальная связь, зеркало отсутствует). В случае
резонанса (W===WQ) и lJодожитеЛЬНblХ потерь в резонаторе (dp>O) 8;\{-
плитудный коэффициент отражения по току Ко меняется при увеличе..
нии связи от .........} до +1 ПРОХОДЯ через нуль при соrласовании dR==d p
(рис. 7 5).
Если же dp==d(8+d <Ot то КО и 00 меняются при уменьшении связи
от 1 до 00. Таким образом. реЗОНQtrwрн.ый квантовый усилитель с доста-
тОЧНQ добротНЫА! резонапzором (Qo> Q ) позволяет за счет ресенера-
1,ии получить СКОЛЬ усодно боЛbluое усиление слaбozо сuz-нала.
Однако по мере увеличении Ко уменьшается друrой важный для
1ноrих применений параметр полоса усиления аы. Как будет пока-
зано ниже пр" КоР) произведение амллитудноrо усиления на полосу
.не зависит от связи:
I к t'!0) :== 20) / I Q 1. I
(7. 1 t 29)
Произведение К I) И называете я параметnро.м. ре2ен.е рации t о НО ха ра К-
'теразует качество рабочеrо веЩ2ства ДЛfl парамаrнитНЫХ усилителей..
.214
Cor ласно (28)
dIJd1f
G ........... 1 =:: d 2 14 ....!.... х'2 I
1 .
( 7 4 1 .30)
r де d d и + d p === 1 /Q су I\:1M а рнь] й дек реМе нт затух ан ия и Q на '"
rруженная добротность резонатора Отсюда следует ЧТО при G 1
частотная характеристика усилителя и еет лоренцеву форму, а пo
лQCа усиления Оl1ределяепlСЯ Нй2-руженной доБРОПlНОСП1ЫО резонаnl0ра
с учеmом всех lWПlерь:
dbl :=::= d === + +
ы о Q н Q о Q а ·
(7.1.31)
Чтобы было a 1, необходима почти полная компенсация потерр:
........... d a d o + d и , при этом К о ;:::: 21 d JJ I/d} тан: ЧТО лроизведение уснле...
ния на полосу является константой: Kf)aro:= 2ы о 1 d p 1. Обычно собст",
венная добротность резонатора Q{) ф 1 О" MHoro больше добротности
аКТИВНоrо вещества I Qa I 103, поэтому практически Qp == Q,p что и
дает (29).
Выразим Q1) через параметрь[ вещества воспользовавшись оБЩ1lМ
определением добротности как отношения запасенной в колебатель-
ной системе энерrии
1J d r (е'Бi + Нl) /8л dЭr8'U (r)/8n (7.1.32)
У р v p
к энерrии потерь за время 00;1
::р /(iJQ d 3 re H ((iJo) и (r)/8л.
V p
Здесь использованы равенства С эд {; )tjjr' q+.l. (t):=: 1/2 и формула (4.1 12)
для ПОТерь в единице объема. СдедоватеЛЬНО t
Q а 1 ::: 1]8 If I е 1 === ч ct I k, (7 .1 + 34)
-......
....
j
(7 1.1зз)
rде 11::::: V /V р <::: 1 коэффицuенпl заполнения резонатора 3I,ТИВНЬ[М
веществом, определяемый отношением интеrралов в (32) и (33);
Е == 1 + 4лх" a. nоrоННЫЙ коЭ<fxPИllнент усиления ДЛЯ ПЛОСКИХ ВОЛН
С ВОЛНОВЫМ векторОМ k; в случае мзrНJIтноrо перехода ПОД е" еле...
дует понимать маrнитную проницае нх:ть. При элеКТрОННQ;\f nара-
маrнитном резонансе а 5+ 10 : CM l (9 2.3)t что при )'1/ == 3 СМ
и е' == 11:: 1 дает Qa'==+ 40 IlycTb К о 100, тоrда И3 (29) следует
!!f=:5 мrц. Такая полоса для мноrих применений (связь раДJtоло.
кация, радиоастрономия) недостаточна ПОЭТО '1У J[СnОЛЬЗУЮТ системы
из нескольких связанных резонаторов и замедляющие системы.
Закон Кнрхrофа для резонаторноrо УСНJlнтеля.. Формула Таунса.
Для учета ШУМОВ t излучаемых aKTHBHbJM веществом, добавим в ЭКВИ
валентную схему (рис. 7.4) rеиератор ТОКа со спектральноЙ П4.ТlОТ
215
НОСТЬЮ, определяемоЙ формулоЙ Найквиста (СМ4 [3].. 3.4):
ii == 4хТ Ra/l Z I!, (7.1.35)
rде Z:= R H .+- R p + iX и Т эффектнвная (спиновая) температура
аКТИВRоrо вещества (шумами, связанными с Q(lt пренебреrаем). Для
учета квантовых шумов кТ следует за енить на iiwH. В сопротив.
ленин наrрузкн будет ВЫДеляться спектральная мощность fJi J == i1R Bt
равная (8 единицах liш)
N :::+ 4Jf dad ./( dt + 4x ) == Jf (1 ........ О) (7.1. Зб)
Здесь использовано (30) в приближении Qo I Qa 1. Итак, мы снова,
в соответствии с законом Кирх rофа , выразили шумы через эффек",
тивную температуру н УСlfление ШИрliна спектра шумов 6оош (на
уровие 1/2) соrдасно (36) СОВПадает с ПОЛОСОЙ усиления 6.00 (СМ.
(Зl))t Н ПОЭТО (У при d p ............dt! ОНа стремится к нулю.. Шумовая темпе...
ратура при a I и liоо<{хТ, как и в усилителе беrущей волны,
совпадает ПО модулю СО спиновой.
На йдем полную МОЩНОСТЬ шума пр 11 d p d a d. и Ю 000:
3 АЗ
5' 5 dtfi(i)N '(00J[ \' t/4: )1 UIi I I . (7.l.37)
о 2лQ а . (00 (о ..... .1..00Q а
Отсюда следует формула Таунса. выражающая ширину спектра
собственноrо излучения резоиаторноrо усилителя через общую МQЩ'"
ность излучения;
(O == . O}gN .
5'Q;(.N2 Nl)
(74 1 + 38)
/
Пусть ).. == 1 MKM 5> == I МВТ== 1 О". эрr/с,. N 1 == О,. а& 1/1tQ.== ..........0'01 CM l,
TorAa
!1' fic 3 a" / fPЛ:;::j 1 [ц.
( 7 .1 .39)
Конечно, приведенный расчет 66) справедлив лишь в линейном
режиме усилителя НJlже nopora ero самовозбуждения (QB< Qa).
Однако можно ожидать что и выше nopora (З8) ДаеТ праВИJ1ЬНЬfЙ поря..
ДОК для ширины спектральной линии KBaHTOBoro rеиератора (в пре.-
дельном случае t коrда отсутствуют «технические» шумы типа вибраuий
зеркал). Более последовательные расчеты с учетом нелинейности из за
эффекта насыщения rl3, 50...........531, оrраничивающеrо амплитуду ШУ {ОВto
ПрИВОДЯТ при большом nревышеНJfИ пороrа к появлению в (38) допол--
нителъноrо множителя 1/2. Это объясняется подавлением флуктуаций
амплитуды, дающих одинаковый с флуктуациями фазы вклад в ширину
спектра. Следует помнить, ЧТО слуqаiIное медленное изменение фазы
(ди4Фузия фазы) rармоничеекоrо сиrнала ПРИВОДИТ к флуктуаЦИЯf\1 ero
текущей частоты и к конечной ширине ero спектра. Различие в форме
колебаний KBaHTOBoro уСИЛителя rенерзтора ниже и выше пороrа
поясняется ниже (рис. 7.7)t
.216
л Utllb oтcynzcпZ8ue флуктуаций Qмплuпzуды качественно отличает
излучение одно,М,од080ZO лазера от уэКопоЛОСН020 шумаt В случае JИН020-
яод08О20 лазера с неэавucu.мым.u .модам.и и это разлuчие исчезает,.
t 7..2. Основные понятия статистической оптики
Выше мы нашли в виде закона Кирхrофа интенсивность (спектраль-
ную ЯРКОСТЬ) излучения 1 (k) как функцию частоты и направлении
наблюдения в дальнеА З0не. ХОТЯ интенсивность ЯВ"ТIяется важной ха-
рактеристикой излучения to ясно, ЧТО она не дает полной статистической
информации об электромаrнитном поле
В настоящем разделе мы на примере нескольких ТИПИЧНЫХ ЭКСП
риментальных схем рассмотрим реально наблюдаемые параметры и
соответствующие И f удобные теоретические величины карреля.
ционные функции 01 .2I1 (индекс i заменяет совокупность aprYMeHTOB
r " t,., Gt j ).
Поскольку ПОДавляющее большинство наблюдаемых оптических
эqxpеКТQБ не требует ДЛЯ объяснения квантования поля, ТО мы оrраНИ-
чимся здесь более наrЛЯДНОЙ и простой классической теорией, ПРИВОДЯ
в необходимых случаях без вывода результаты квантовой теории
( 7.4 7.7).
Аналитический снrнал. В статистической оптике удобно ИСПОЛЬ-
зовать вместо реальной напряженности ЛОtJ'fЯ E fX (" 1) комплексную
функцию E ) (y t)., которая называется аналитическим си2наАОМ ИЛ I
положительно чаСmоmн.ой частью ПQЛЯ4 Она однозначно определяет-
ся равенством (арrумеиТbl а. r опускаем)
«!
В( +1 (t) == droe ifj)f Е (00),
о
(7 +2 1 )
rДе Е (00) ........фурЬе 'ТраНсфорМаНТа реальноrо поля:
ф
Е (6)) == dteifj)fE (t)/2n== в. ( oo).
(7 2+2)
....-=
По определению спектр аНйJluпшческ.оzо сиеНйАа Е(+} (/) содер-
жит ЛUlUЬ nоложитеЛЬНble часmoп1Ы (ro > O)t а CпeKf1lp КОJfплексн.о со-
llРЯжен.ной (отрицательно частотной) функции Е< ) Е( + ). тОА Ь-
КО отрицательные частоты. Из определения следует связь (рис. 7.6)
Е (t) ==Е'+) (t)+E(") (i) === 2 Re Е( +} (t). (7 2 3)
В случае квззимоиохроматическоrо поля с узким спектром удобно
ввести «медлеННую» комплексную амплитуду Ео (i), определяемую ра-
венством
Е (/) Re Во (/) e..€wt, (7.2 4)
rде ffi...........НеКоТорая средняя частота. Л10ДУЛЬ l Е о (t) I называется оси"
баюrцeй, а арrуменТ Медленно меняющейся фазой. Спектр Ео (t)
211
занимает интервал ::с (Oi2 в области нулевых частот. J\\ОЖНО, оче
ВИДНО t полаrать
Е{ +) (/) =- (1/2) Ео (t) e... i wl .
(7.2.5)
Показания ОПТJJчеСКJIХ детеJ{ТОров ФЭУ t болометров фотоnле..
нок и Т. Д. зависят от ]{ва.драта (или более БЬJСОКJJХ четных степеней)
ПОЛЯ t усреднеиноrо ПО некоторому интервалу времени Т за счет ].JHep..
ЦИОННОСТlI отклика детектора (мы отвлекаемся пока ОТ конечн ти ero
ImE IтE
[(+}(t)
НеЕ
а о
р и с . 7.6. А н ал И1"ИЧеск нА си r и эд' Et + ) (t) и ре ад ьн а я н 3 пр яжен н Ое1'Ь ПОЛ Я Е (J) в с..1У"
4зе МQПОХРОNзтическоrо спеКТра (а) и в общем случае (6)
пространственных размерОВ)4 Пусть А(О l/Т Ю J Т4 е+ оrибающая Ma 10
меняется за время отклика детектора" которое включает MHoro пери 0,,"0 в
оптическоrо ПQЛЯ t тоrда показания детектора будут пропорциональны
«мrновенной интенсивности» J)
J (t) =:.E (t)/2 r Е{+) (t) J2 == I Е о (t) 12/4.
(742t6)
в 7.7 это утверждение будет обосновано более CTporo. ИСnОJlЬЗtJ.
ван.ие эдесь аналurтшческоео СUёнала йi3mом.атuчеекu uэбавляепz от
ОСЦUАЛUрУЮЩUХ с двойной оптической чаСтотой с/шzаемых.
CJJучайная интенсивность В случайном поле мrновенная интен
.сивностъ J (t) в точке r изменяется" флуктуирует как во вре)lени.
7ак и в пространстве 2). Часто измеряются лишь простейшие харак-
теристики поля средняя по ансамблю или времени интеНСИВНОСТЬ
в ОДНОЙ точке (Е{+) E +) (r) t))
(/) == <Е(.....)Е{+» (7.247)
И средний квадрат интеНСИВНОСiИ
< ]2) :::;;: <Е( }Z Et + )2)
(7t2.8)
или дисперсия
(t!/'l> «1 </> )1) == <12> (/)2.
(7.2.9)
1) Мы иноr да опускаем коэффициент пропорциональности, раВНЫЙ в ПJlоскоi1
Dолне cj2ttt
2) Вообще rоворя. надо рассматривать случаАный теflЗОр 1«" E "')F.e+) rne
Ct t == X у, Z иля, в CJJучае н-аправ.лениоrо пзлучеНИЯ 1 а, J3 == X у..
218
Параметры (7) (9) МОЖНО,. в принципе, измеРИТЬ t наблюдая среднее
значение и дисперсию показаиий ШИРОI{оnолосноrо ОДНОКвантовоrо
фО1Qдетектора (СМ4 ниже)4 Показания п r{BaHTOBoro детектора сразу
дают п.. ЁI момент (/ п) == Gtt!> .
i\1b[ будем полаrать поле стационарным, так что средние в (7) ........
(9) не зависят от времени. и эрrодическим. При ЭТОМ yr ловые скобки
MoryT означать усреднение КаК по времеНИ t так lf по ансамблю (с по..
мощью неКQТОРОЙ функции распределения P(/»).
При переходе к квантовой теории ( 7.4) ведичина Et+) заме:няется
на оператор Е( +) t который ВЫ ражается через операторы уничтожени я
qюТQНQВ alt и Е-- на оператор E{ }t 8ыражающийся через операто.
рь[ рождения й: 4> Знак КQмплексноrо сопряжения при ЭТОМ заменяется
на знак ЭРМИТQВ3 сопряжения «+», а уrловые скобки означают уже
квантовое усреднение с ПОМОЩЬЮ волновоЙ функции или матрицы nЛОТ
ности.. Большинство кваНТОВЫХ состояний поля допускает также усред..
нение с ПОМОЩЬЮ функции КIJ[lЗuверОЯтJlостu P(z) (97.5). аналоrичное
классическому усреднению. При переходе к квантовому усреднению
важен порядок написания операторов; принятая в (7), (8) последова..
тельность называется Н,ормаЛЬNQй4 В рамках к, аССllqеской теории
МОЖНО, конечно, заменить нормальный момент G /'}===: (Е( )п Е( + >r.) на
{I Et + t 12.1I}.
В ПОДавляющем большинстве случаев оптическое поле возбуждает..
-ся множеством незавнсимых ИСТОЧНИКОВ со случайными амплитудами
и фазами KaK например в случае тепловоrо излучения Harpeтoro
вещества или ква HTOBor.o усил ителя ( 741) или в с.п:уЧае мноrомодовоrо
.лазера снезависимыми h10дами. При ЭТОМ распределение КОМП,JIеКСНОЙ
амплитуды E(J==E +iE является нормальным (raYCCOBblM) с незави
симыми E И Е;, а распредеJ1ение интенсивности H leeT эксnоненцналь
ную форму (рис. 7.7):
PT(/) <1>"'1 ехр ( } /<1».
(742.10)
Таким образом, средняя UHIlleHCU6Hocmb (1) полностью определяет
СЛlаmucпtUКУ стацuонарнО2О хаотuческоео поля (в одной пIOEtк-е u для
OfJHOZO типа поляризации). Обратим внимание на TO t ЧТО чаще Bcero
встречается нулевая интенсивность; P(O):;>P(J). С ПОМОЩЬЮ (10) летко
найти моменты и дисперсию интенсивности:
GЧ Р == nl<f>п, (11.12) Т -:=;;: (1)2
(7.2.1 t)
индекс Т ОТНОСИТСЯ К хаотическому полю.
Друrой характерный случай излучение одномодовоrо дазера со
стабилизированной амплитудой (рис. 7.7). При этом
Р (J) б (1 1 о) , а( ,J) =: / , 6. / о. (7 . 2 1 2)
. Формулы (10) (12) не учитывают дискретности возможных зна..
чений энерrии ПОЛЯ Т. e ero фОТОННОЙ структуры, и поэтому приrод-
219
"
ны лишь ДЛЯ классических ПолеЙ t для которых фактор вырождения
(N) (с J\.f 4 ниже) MHQro больше единицы" Общий случай будет paCCJ,-lотреи
в 7.6. Сейчас отметим ЛИШЬ что в квантовой теории непрерывное
раел ределение ( 1 О) за меняется на «ДИСКретно экспоненциальное»"
а (12)......... на пуаССОНQБское (рис. 7.7 t в).
IEQI
t
р
а о
L
р с:
о о
б d
а
Рис. 7.7. Два основных типа СОСТОЯНII й ПQЛЯ4' Показаны лримерныА ВИД изменения
поля во времени с кл асси че<: кой точки зреии я (а) и СQQтветcrвующие функции рас...
пределения Р (IE.I) классические (6) н квантовые (8). В верхней часm рисунка ......
к ваЗll МО НОХ РОМ 8ТИ ческое nоле. -reп.ловоr о иэn учен м я ква И1"овоrо ус ИJJИ тел Я },}..1 Н re}l
ратора ни.же nopora (фл уктуи.руют и 8мnJtП1У.nа t \{ фзза); а нижней пол.е KBaHi
aoro rеиерзтора выше nopora (флуктуаuии .амплитуды подавлены Эt:j::фeкroм H3CWЦe.
иня)
Корреляционные ФУНКЦИИt> Рассмотренные выше распределения
или моменты интенсивности не несут никакой информации о КорреJlЯ'"
UИИ между ПОЛЯМИ в соседних точках npOCTpaHctBa вреМ.ени " 1tежд-у
различными Декартовыми компонентами ПОJ!Яt Полную инфорыаuию
дает набор MHorOMepHblX распределений ИЛИ теНЗ0РНЫХ 1СОррелЛlfUОН-
ных функций (КФ)4t Последние по rлауберу [54] определяются следvю-
ЩИМ образом (используется запись,. прнroдная и при KB8HTOB01Y1 рас..
смотрении):
й (n> <E ( ) Е '....) Е (+) Е (+ »
:t + + jn 1 4 . п п + I · .. ." ·
(7.2.13)
Здесь нижние индексы заменяют совокупность арrумеНТОБ t например
Е 1 == E aJ (r 1t tt). Мы для простоты рассматриваем лишь КФ с чет-
НЫМИ числами полей, так как в оптике моменты типа <Е1Е з>
обычно равны ну лю 1 ), И. кроме Toro, их непр ОСТО реrистри pOBaTb
КФ еrаuионарноrо ПОЛЯ ннвариантны относительно начала ОТ-
счета BpeMeHll, т t е. ОТносительно заменЫ временных aprY"leHТOB
t l' .... t '.. ..........:1:.. + А! I ..., '24 + dt, (7..2. J 4)
rде !!t п роизвольно ( удобно выбрать At!!S t 1).
1) Исключениями являются полЯ н а ВЫХОДе непннеАиых среДt 80збуждаемых
внешним изпучением 1561 58 J нан иаrрesОN [37J.
220
в результате 0(/0 зависит от 2п I Bpe!'wleHHblX aprYMeHTOB, а ее
фур ье-об раз спектральная К Ф Gtn)........... ОТ 2п .......... 1 частот. Н а пример"
КФ nepBoro порядка (КФ I) имеет вид G (r 1 , r:!<t 'Т); она называется
функцией 8заll.JlfiОЙ KOcepeNmHocпzU лол я в точка х r l' r:; а ее фур ье-
образ a (,., r 2 , (U) 8заu.м.ной спектральной плотностью. При rt:=r,
К Ф..l G (r, 1') называется авnWКорреЛЯЦUDННЙЙ функцией, а G (r, (!J).........
спеКтра..fJ.ЬНОЙ плотностью. Трздиuионные поляриззuионныIe Характе-
ристики направленноrо излучеНИЯ t например степень поляризаuии
или параметры Стокса, также выражаются через КФ I при учете
теНЗОрных индексов [56]. При всех совпадающих aprYMeHlaX КФ
переходят в моменты интенсивности (теНЗ0рные индексы опускаем)
G\ .}rl == <] Е(+) (r l' t]) n> < ['J (т 1». (7 2 .15)
СреДII всевозможных статистических моделей поля особое место
занимает rаvссовз модель, в которой все КФ :выражаются через
К Ф..I [54]: ..
О (n) ....... ,.,' G (l} G { {,
1 . +111 .t . . п l' 11 ' rr,r .,.
(7 t2.16)
rде ' означает сумму из всех п! перестаНQБQК ШТрИХQsанных ИН-
дексов. НапримеРt
G t ) .......... а н) а (1} + О Н) О (1}
123'i ......... 13 2' 1" 2.3.
(7.2.17)
Всю информацию о сауссовом (хаоmuчесКОJ.t. тепловом) поле дает
корреляционная функция nервОЕО nQрядка a e (r.l У 2. '() иАи 8ЗQfJJfНая
сnек.пtральная пЛQl11н.оСtnb д (r l' r 2' 4J)).
Для rрубой характеристики кваЗИМDНQХрОМатическоrо изnрзв-
леННоrо неПОЛЯрИЗ0Ванноrо r.ауссовз ПОЛЯ достаточно задать в J{аж...
дой точке для обоих ТИПОВ ЛQлярнзаЦИ[f ('\. ==: 1 2) интенсивность
(l" (r) If масштабы коrерентноети 1:"ttor I jdO>, Рм:()r. Смысл ЭТИ Х па-
раМетрО8 поясняется ниже с помощью простых измерительных про-
цедур.
Временная I\оrереитиость. PaCCMOтpJfM поле Е' (t) на ВЫходе ИЗ
интерферометра МаЙке.п-ЬСDна (рис! 7.8). ОНО СОСТОИТ НЗ двух СЛа
raeMbIX" ОТл t 1чающихся сдвиrам Во Bpe 1eHH на некоторое время за..
держки 't::=; t I t:
E'(i) [Е (/) + Е (11)]12;
rде Е (t)........... поле в nЛОСI\"ОЙ волне на входе в интерq,eрометр (без
учета общей ДЛЯ оБОНХ лучей задеРЖК(1)4 В соответствии с (6) на-
ходим интенсивность на выходе:
J'(t) [1 (/) + 1 (t') + 2Re Е("') (t) Е<+) (i')]/4. .
Отсюда в случае CTaUHOH8pHoro ИЗ..llучения
</'>::: [< [) + Re G ("t)]/2 === (1) [1 + Re g ( )]/2
..
(7.2.18)
221
rДе
G (t) === <Е( ) (О) Е(+} (1'» == <E (О) Е!} (1;» е.... iWT/4
(7.2+19)
.......... а втокорреJl яционна я фу НКЦИ Я ДЛЯ поля На. входе, связа н на я С(}-
rласно теореме Винера ........ Хинчина СО спектральной плотностью
G (ю) фурье преобраЗ0ванием g(-r) == G (t)/ (/) нормированная КФ
и (1) G (O) Заметим, ЧТО КФ в оптике обычно нормируются на сред'"
ине значения, а не на стандартные отклонения A/40
t i....<!:)/( 1>
..........
.....
н
1
т-
["
5
i'i
о
T Kar
Рис 7+8 СхеМа HHTep po.
мет р а \ ай f{ е.'] ЬСО н а (Н з м е ре---
н и е .!Lt' и ны n род од ь Н ой Kore..
рентнOC'fН)
Рис 4 7.9 r Пр 11 Мер н ы й ВИlL 3 а ви с И МОСТ Jt С ред
н ей J1 н те н с и BHOCTJI н а выходе и нт € рфе Р ом е.
тра Майкедьсона (1') от положения под
ВIJжноrо зерК3JIЭ: с(1') нормированная
функция автокор реляции поля на ВХОДе
Соrласно (18) зависимость интенсивности на 8ыходе uнтефеРQмеmра
от Bpe.AteHU задержки определяет веи ественнуlO часть КФ l. Можно
nОК8за ТЬ, ЧОТ фу НКЦИЯ G (т), как и Е( ) (t), а налитична в нижнеЙ полу"
плоскости, поэтому ее вещественные 11 мнимые Части связаны лреобра-
З0вание:vJ: rильберта t так ЧТО в принциnе можно по интерфереНUJJОННОЙ
Картине восстановить спектр излучения. Этот метод лежит в основе
фурье сnекmроскоnии. С друrоЙ CTOPOHbl t интерференuия Ilсс.педуемоrо
поля с опорной коrерентной волной служит ИСТОЧНИКОМ информаuии
в 20..102рафuческой UНlnерферОJtеmриu.
Прнмерный ВИД интерфереНllИОННОЙ картины в случае одиноЧной
спектральной ЛИНИИ показан на рис. 7 9. Относительный размах коле-
баний ВЫХОДной интенсивности называется 8uдносmью интерференци",
онноЙ картины или степенью K02epeHтHocmu t Соrласно (18)t (19) вид.
ность практически соВПадает с 19(t)l.
Если опредеJ1ИТЬ вреА'Я KO?epeHпlHocпlU 'tю)r условием I g (T OT) 1== I /2
то из СВОЙСТВ фурье",преобрззования следует ТК()Т 2л/а(I) Отсюда
длина продольной KoeepeHltlHOCmU CTKor имеет порядок обрапlNОЙ lиU
рины Cl1eKmpa t выраже нной в CQHпluMeпlpax 8 .минус первоЙ cпlel1eHU:
11Kor'" 2nc/iw == l/dV.J (7.2.20)
Например. для ЛИНИЙ с естественным УШИрением в ВИДИМОМ дна...
ЛЗЗQне L\o)",.,... 2 106 с"'" 1 t J r......... 105 СМ4 Har ЛЯДНQ ЭТО средняя длина
uyra, исnускземоrо атомсм при спонтанном излучении. В случае
222
одномодовоrо лазера оценка по формуле Таунса (7t 1.39) дает ДЛIiНУ
KorepeHTHOCTH порядка световой секунды.
ПространствеИН8Я KorepeHTHOCTb. Корре.п.яцию полеЙ в двух
точках r 1 и r 7; МОЖНО измерить с помощью IIнтерферометра Юнrа
экрана с двумя отверстиями, YC1aHo eHHoro nерпендикулярно на-
правдеНIJЮ на ИСТОЧНИК (рис. 7.1 О).
I
а!
х
",
I
-t
z
3L
r
р и r:. 7 1 О. Схе м а и н те рфер ометр а Юн r а (из мере н не р аДIi уса поп ер ett н о й к о re р ент--
ноет и)
Интерференuионная картина в ПрОИ3ВОЛЬНОЙ точке за ЭКрЗkоМ
аналоrично ( 18) определяется К Ф 1 общеrо вида:
G I2 (т) :=;;: G (т l' r 2 , 7:) == (E{ ) (r 1 J) Et :- (r 2 , J + T»t (7. 2.21)
а н а ОС н сп ммет р и и функ u ией G 12 (О) + Ради ус косе рен. тиости PKQr
определяется расстоянием между отверстиями, при котором в центре
ВИДНQСТЬ падает ДО 50 %.
Идездьиый лазер, работающий на одноЙ поперечной моде, из..ТIу
чает плоские или сферические ВОЛИЫ t для которых P ()f == 00. в слу
чае же мноrомодовоrо лазера ИЛИ, вообще t хаотическоrо (теПЛОВоrо)
ИСТОЧНИК а Pьr;or В дальнеЙ зоне (z}> а 2 J л) оп ределяетс я поле реч "Ь[М
раЗ fером источника а и расстоянием до Hero z (рис. 7.]0):
...... ....
PKQ1' }. z/a ==== z {t д }I,./ {J 4<t
(7. 2 22)
rде {}.«........ уrол дифракции и {ta yr ЛаВОЙ размер источника. Радиус
поперечной КОёеренmносmи вследствие ди.фракции нараСlnает по Atepe
расnрос/nраненuя излучения. Форма фазовых фронтов при этом BbrpaB
нивается. приближаясь к сферичеСJ{ОЙ Теорема Ван Цпттерта Цер-
нике [3,53. 561) которая описывает ЭТО явление колиqественно, уТБерж-
дaeT J ЧТО зависимость КФ..l от (rl r2)J. является фурье..06разОАt рас-
пределен ия яркосnzu по сечению источника ..
Соотношение (22) позволило Л1айкельсону с поМОЩЬЮ «звеЗДНоrо»
и нтерферо [етра ол редеJlИТЬ у r ловые .дна метры некоторы х звезд, дл я
которь[х {}1l IO 1 рад и PKor lO M При меньших {}ll радиус Korep HT"
ноети определяется уже искажениями волновоrо фронта атмосфероЙ.
Этоrо недостатка лишен интерферометр интенсивности Брауна Тв.ИС'"
са (СМ. ннже)4
Объем коrерентности и фактор вырождения. Объемом KorepeHTHO
СТИ назь[вают ПРОllзведение ПJlощади коrерентности raor на длину
223
коrерентносТИ lм-оr. Для дальней ЗОНЫ хаотическоrо источника из (20)
и (22) следует
V kor == 1"/ 6лАQ з,
(7.2.23)
rде Л /lJi.or И [\Qa == (аI2)2 телесныR yrOJ1, ПОД которым виден
ИСТОЧНИК.
ВаЖНЫ 1 безразмер НЫ}..I статистическ ИМ па рамет рОМ I1 З.JlУ чеНIIЯ
является фактDр вырождеНuя.........средНяя энерrия поля (одной поля..
ризации) в единицах Ы 3аК l1ючеННая в объеме коrерентности, Т. е.
общее число фОТОНОВ в объеме V Kor ИJJИ t JIначе 1 число фОТОНОВ, nе-
ресекаюших площадь коrерентности за время коrерентнQCТИ:
б == <i) оrlliю. (7.2.24)
Выразим <lI>ftor через спектральную яркость излучения:
< >м.OT == I gа"ТkОJР:or 211131 fJ)Q. (7 2.25)
Отсюда
I б:==;Н rOQ /пс < N) ,
(7+2 26)
J
Таким обраЗОl-.l, фак/пор вblрождения равен спектральной яркости
8 единицах fiсl[З. Иначе l среднее число фопl0НDв 8 об'Ъеме KOёepeHТn-
HOCt1lU савnадаеп! со средни..ч чисдом фотонов в одной моде <N)..
В равновесном поле д oJr (w) [ехр (!i ro/ i(T) 1J....1 (в неравновеском
ПОД т следует пониt\ЗТЬ яркостную температуру Т ф)
Фактор вырождения б < N> является не только удобной мерой
спектральной яркости,. он также определяет применимость класси-
ческой сТаТисТиКН.........лри 6 1 (Т. е. (; "Т) становится существен...
ной фотонная структура ПОJlЯt
т .аб.ЧJJU а 7.1
Основные типы расnреJ.е "IеНиА для числа фОТОН 08 И знерrии
к за н то па Я p и я Кл .асс Kt.lttJ.\ а я 1еор" Я
СОС"JOЯ И И е Ч.. ело м од
I
») I
t
>':'>1
Коrереитн:ое (tl]a. ПуаССОНО8СКое Пуассоноsское
зерное)
{, (C Go)
rЭУССО80
х 80ТН ческое
(те n tr1DBoe)
rеометраческое
...
..
Бодъцмановское
.»
К.фотон ное (сме.. PK==(},i)/K »-
шанное) Р, == 1......... Р к
224
Разооьеtt-t n ростра НСТВО в дальней зоне кваЗИМОНQХ рома Т' [ческоrо
JIСТОЧНlIка на ячейки с объемом V Kor . Излучение в любой ларе точек.,
прннадлежащих ОДНОЙ ЯЧейке по опреде ,еНI]Ю взаИ IНО ]{OrepeHTHO, 11
поле в пределах ячейки 1\.10ЖНО прнбдиженно СЧIIтать ОДН 0:\1 ОДОВЫ.М,
Т. е. полаrать ero сферическоЙ IОНОХрО.\'lаТJ1ческой Вth.1НОЙ с определен-
НЫМИ амплитудой iEol и фазой (('. При переХО;1.е от QДНОII ячейки 1\ дру-
rой {Ео' 1I (J) будут флуктуировать случайным образом. Та}{И 1 образом,
лространственное распределение СТЗUИDнарноrо по.1Я образует ан-
самбль состояний rарМоНическоrо ОСUIIЛJlятора
П 0...1 Я , при наДлежащие различным объе1t18i\1 l\оrереНТности, я B.ТI Я ютс.я
по определению некор реJ]И рОБа иными и вообще, l-J еЗ8ВИси Л1Ы!\.'1Н . Сле-
доваТеЛЬНО, в силу uентральной предельной тeope Ы теории вероят.
НQстей pacn редеJlение энерrи и в оБЪе .Jе V t !\fHOrO БО..'Iьше f V tfr, будет
raYCCOBbIM с дисперсиеЙ,. обратно ПРОПОРUИОНЭJ]ЪНОЙ ЧИСJ1у ячееК
V JV Knr В ква НТОВОЙ области t Korдa б l t raYCCOBO ра сп ред.елеНII е для
мноrомодовоrо ПОJlЯ с еНяетс я па у 8ССОНОВСКИ ] ( 7 46) .
В там. 7.1 приве.дены некоторые характерные типы распределений
энерrии поля или числа фQТОНОВ. Состояния ПОЛЯ, названные условно
К.фотонными. не имеют классичеСКIIХ аналоrов и проявляют эq:фекты
антиrруппировки и сверхrРУППИРОВRJJ фОТОНОВ ( 7 6.).
Статистика ФОТOQтсчетов.. ФОРМУJlа МанделА. Закон распределения
интенсивности лодя в ОДНОЙ «точке» ЪiОЖНО Jlз ерить с ПОМОЩЬЮ ФЭУ,
работающеrо в режиме счета фотоноо Пр]] ЭТОМ средняя интенсивность
СВета (J) устанавливается достаТОЧJ-10 lаЛОЙt чтобы на выходе ФЭУ
возникали ОТДельные неперекрываЮ1Диеся и!\tпульсы тока (РИС. 7.11)
Мноrокрзтный подсчет числа импульсов т, ПОЯВJJЯЮЩИХСЯ за некото",
рыА фиксированный интервал выборки Т, позволяет наЙти закон
распределения Р(т) числа перВИ4НЫХ фотоэлектронов, вырывае-
мых паДающим cвeTO 1 ИЗ фотокатода (общая ;:tЛJlтельность измере-
ния должна значительно превыlать,' конечно вре IЯ коrерентноети
f(:lH r)"
Найдем СБЯЗЬ статистик фотоотсче-rов и пOt.'lя. Пусть Т 'tK()r И
A Korl тоrда можно пренебречь Изменение 1 интенсивности ПОЛЯ З3
время одной выборки Т J{ ВДО.ЛЬ поверхности катода А. При ЭТОМ уело-
внн распределение р (т) будет опреДе,.l1ЯТЬСЯ через Р (1) незаВIIСНМО ОТ
объема детектирования V lte-r == сТ А. Здесь i'Kor t А itor::::=P cr"""""'" харак*
терные 1\18сштабы флуктуаций поля н указанные неравенства ПО3ВО-
.ляют считать детектор «точечным» ИЛИ «ОДНО IОДОВЫ 1», Т. е. измеряю-
щим одну степень свободы ПОЛЯ (ДЛЯ этоrо НаДОJ ЧТобы ОН ИЗМерЯЛ одии
тип лоляризаuии).
Предположим сначала? ЧТО интенсивность поля / постоянна, Tt е..
не меняется от выборки I{ выборке. Существенно, что даже в ЭТО f слу-
чае число фотоэлеКТРОllОВ в одной выборке является соrласно "РИН-
Цl1пам Ква нтовой. 1ехани КВ, случа Й Hb1 1, неп редс\{а зу е:'\.1Ь1\\ . Са м про-
цесс измерен и я энер rи 11 по.;Т[ Я неllзбеЖНQ BHOCl[T ДОПО1Jl HI [тельную пуас-
СОНОВСК) Ю стохастичность в ПОI{8зания детектора (ecJ.rJJJ исключить не-
реаЛИСТИЧНЫЙ случай lOO?6 Horo K8.aHToBoro выхода ФЭУ и чистоrо
энерrетичес]{оrо состояния поля с определенны.\-! ЧНС 10:\-I (РОТОНОВ).
С ПО 10ЩЬЮ пОЛУКJJзссической (92.1) или полностью квантовой ( 747)
225
теории возмущения мы можем определить лишь вероятность Wlftt l
ионизации одноrQ атома катода за маЛЬfЙ интерВал dt..
В случае достаточно малоrо дt вероятность ионизации любоrо из
N независимых атомов детектора будет в N раз больше li также
ё
Za
lJ
а o 11L
Jl1 =-Д
1
1;
lli
. .........1
)11.3 -:1
Е
"
/'
.....
...............
'"
..............
t
f/
'111(. >
1'" ,tI; Ol
fu
illkl
Jl-LI
Е т к.зr
........
/.......
/ \
\ ...../
\ .....-
......"'"
/'='
/ \
1 \
, I 1"
............. .........--'
д
lLL
lli
L
р не. 7. 1 1. СБ язь ста т и СТ И К лод я и фотоэ Т"I е кт р о н ОВ С n 0.-1 у K 1} ассн ч еско й точ К И 3 Р еН и я;
Е flапряжеННQСТЬ ПО.1Я; i ток ФЭУ; а) в С.fJучае поля с постоянноЙ амплитудой
Ef) чнс..rrо фотоэлектронов т;1 возникающих за неl\ОТОрЫЙ ннтерва..1 времени Т, имееТ
n у aCCQI10BCKoe рас пред.е lение; 6) ф 1J У К ту ации аМП 11fТУ ДЬТ поля при Т 't" or вызывают
ДOnO :Т н и тед ь н ые фл у!\ Т у.а ц н н фотоэд е ft; т р о нов Д Te к ТО р а (эффек Т r р упп и ро в к и); в)
м н оr МО.з.о вы 11 (Т;р т к О r) дете ктор у среди я ет IJ у К ту а ц н и по..1 Я, н эффе кт rp у л л lt рОВ ки
не НаблЮДается
пропорциональиа 1:
w ==NW 1 == (а/Т)].
(7 2.27)
Здесь а коэффнциент nропорциональиостн,. которыЙ rvfОЖНО пред..
стаВIIТЬ в виде
а :::: 't}V.aeT/21In' ro ., (7.2.28)
r де 'Jte-r сТ А ЗWКТflВ (fЫЙ объем детекти рОБа КНЯ, 1') == а/ N o ==
::=:: aN/A кванто13ЫЙ ВЫХОД TOHKoro катода ТОЛЩИНЫ lt а сечение
и ОНJlзаци и и N а ES:: N I Аl концентр аци я а TO 10B (считаем, ЧТО (J
постоянно в nреде..ТJах ш 'рнны спектра поля)
226
По предположению все моменты времени в пределах Т равно...
правны, 1'ак как на катод падает «чистая» синусоидальная волна,
It электрон может появиться с равноЙ вероятностью alllifT в любом
малом интервале t4 Такая вероятностная одель, как леrко пока-
ззть (CM. t например, (24]), прИВОДИТ к распределению Пуассона
с параметром a/:
P(ml/)==C(a/)т;mJ, C = 7e aJ (7.2+29)
Для учета флуктуаций интенсиВНОСТИ ОТ выборки к выборке
надо усре:дннть (29) с помощью распределений Р (/):
:tC1
Р (т) == d/ Р (1I1J/) Р (/) <Р (тl/).
о
в результате получаем nолунлассическую ФОРМУЛУ Манделя Д..ТJЯ
распределения фотоотсчетов, т. е. для вероятности обнаружения
пl импульсов на выходе ФЭУ:
( 7 4 2.30)
р (01.) == «aJ)тe CtI>lnlr.
(7.2.31)
Квантовая теория, развитая в основном rлаубером (э 7.6), дает
такое же ПО форме выражение с тем лишь отличием, ЧТО вероят-
ность Р (1) З3 мен яется на кваэuверояпl1iосt1lЬ фу НК UI-lЮ t К ОТО рая
при некоторых состояниях поля имеет отрицательные значения "
принимает синrулярные формы (типа nро1t3ВОДНЬJХ ОТ б функцип).
Разложение (31) в ряд по степеням эффеRТНВНОСТИ детектора rx.
позволяет выразить Р (т) через старшие iO leHTbl интенсивности
G(ll) == (Jk>t rде k т:
р (т) 2: ( 1 )k....т et k G'k}JI1l] (k ПI)!
k=т
(7.2+32)
При Достаточно малом объеме детеКТII рования (а Т А............ О)
10ЖНО, Как правило, учитывать лишь первый член этоrа ряда,
7. е. преНебреrать экспонентоЙ в (31). При ЭТО"I Р(т) МОЖНО пред-
ставить в Виде
Р ( ) ...... Т11l W (т}......... (lVT)m < Wт >
m iпТ .......... т! 1"
(7.2.33)
rде W(I'JI м--....r m-Я n роизводная Р (l1t) ПО Т t W 1 вероятностЬ lIониза-
ЦИИ перВоrо ЗТО!\tз в еДИНIIЦУ вре1vlеНИ t N .............общее число атомов
ДeTeKTopa
ФОРМУJ1З l\1анделя (31) описывает аНС3\lбль выборок, отл][чаю
щихся сдвиаОА! 80 epeAttHu (блаrодаря лредполаrаемой стационарности
и эрrОДИЧ1l0СТИ поля). Леrко видеть, ЧТО в случае однородноrо Jl «про..
странствеано..эрrоднчноrо» ПО QCЯLVf Х, У излучения, распространяю..
щеrося ПРИ lерио ВДОЛЬ оси z, эта же формула описывает ансамбль
выборок Qтлltчающихся сдвui?О,;И в плоскости х, #4 Это) В прннuиnе t
позволяет исследовать «в реальном времени» CTaTJJCTllKY нестационар..
227
ных полей с ПОМОЩЬЮ 6ольшоrо числа счетчиков, расположенных
в разлиqных точках сечения пучка на площади MHoro большей A Kor .
, Далее из вывода ФОР 1УДЫ (31) ЯСНО t ЧТО она справедлива
И в случае n ронзвольноrо объе!\'1З детектирования V Ае! := сТ А t если
ПОД 1 понимать усредненную по 'A T IIнтенсивность: I
1 (r, t) s:; хт S dx' dg' dt' ((х', у', z, t'), (7.2.34)
rде п?еделы интеrрировзння х + a/2, у Ь;2. t.:f: Т /2 определяются
раЗJ\:fера fИ и ПОСТОЯННОЙ BpeMeHlf детектора. Прlf ЭТОМ распреде..
-
пение Р (1) надо заменить на Р tJ). В пре А еЛЬНО7\.1 случае А А ко,
и/или т т Kor (<<миоrО;\10ДОВое»- детек тн рование) флуктуаu.ии 1
ПОЛНОСТЬЮ усредняются: Р ( /) 6 (1 ......"",<1». так что И3 (31) ПО4>J'fучаем
снова распредедение Пуассона Р (ml<l»t но уже не зависящее от
статистики поля. Наблюдая зависимость Р (/n) ОТ А. Т В промежу...
ТОЧНОМ случае МОЖНО, в принuнпе, получить ИНФОР:\1ЗЦИЮ О мас-
штабах коrерентноети ПОЛЯ4
rРУППИрО8ка фоТОНОВ. Связь (Зl) между распределениями опре...
деляет н СВЯ31f f\-tежду !\fомеНтамИ фотоотсчетов
-са
<mk) mkp (т)
т;О
J
(7.2.35)
и моментами интенсивности
ф
<Jk> == ) dJ JkP (1).
О
М.етодом производящих функций ( 7..6) леrко найти общее правило
<111 (пl 1) 4 (111.......k + 1» == ,,* </k)4t (7 2 З7)
Слева здесь стоит ..lIинейная комбlfнация MO teHTOB называемая
факnwриЙЛЬflЫ.м. .моментом порядка k Отсюда" в чаСТНОСТИ t следует
<т) :::::;: а < /> н
(7 2 36)
[ < m2>::::: <т> + а 2 < М'>, I (7.2.38)
<Л/'> = </2)...... (/)2 t (7. 2 39)
и анаnоrично Д.пя (dпz 2 )t Таl{НМ образом, флуктуации фотоэлектронов
содержаm кроме обычной пуаССОНО8СКОЙ (дробовой) чаСlпи дОnOЛНttmeль"
НЫЙ вклад от флуктуаций интенсивности свеп1а. Jlишь в случае одно-
модовоrо стабнлизированноrо лазера ( I ==0) ЭТОТ вклаД отсутствует.
В друrих СII'Iучаях флукт}rац-ии электронов cor.rraCHO (38) ДОЛЖНЫ..
казалось БЫ t всеrда nревышать дробовой ШУ 1J так как из определения
(39) и условия Р (/):;;0 следует (6./ 2 }::>О.
НаЛИЧI[е ЭТ(IХ «избыточных» флуктуаuий получило название эф
фек,та 2руппир08ки фоf1Z00l1lсчетов, поскольку в пуаССйНОВСКQМ потоке
импульсов появ.пение одноrо нмnудьса ПО определению НIIКЗК не ВДИЯ
ет на появление следующеrо и неравенство ( т'2»{m) означает «тен-
228
денцию» ИМПУЛЬСОВ К rрулпировке. Аналоrичный э<рфект (IJ..N2»{N)
ДЛЯ чисел фОТОНОВ называется zруппUР08КОЙ или корреЛЯI{uей фоmoнов.
Близкий эффект был обнаружен Брауном и Твиссом В 1956 r. в хаоти-
ческом свете ртутной лампы
В хаотическом свете И3 (11) и (38) следует
(6т2 >т == <т> (1 + <111», (7 2.40)
т. е. избыточная частЬ Дисперсии в (т) раз преВышает пуаССОНQ8СКУЮ.
так ЧТО эффект epyппиpoвкu фот он 06 сцльнее nрОЯ8ляется в к.лассuче..
ских полях. С классической точки зрения сильные флуктуации ампли-
туды волны IEo:' образованной множеством независимых ИСТОЧНИКОВ
СО случайными фазами, совершенно очевидны.. Более неожиданной
для классической теории является анти2руппuровка фотонов и CqoT"
ветственно фотоотсчетов при которой ftт (т) в противоречии с (38)
и ИСХОДНОЙ формулай Мандел я (31) t если в ней пола [ать Р (1):;>0
(в квантовой теории ПQСJ1еднее условие, как уже отмечаЛОСЬ t нару-
шается).
Корреляция "uтенсивностеА. Распределение фотоотсчетов (31)
не дает прямой информации о временном или пространственном спект
ре излучения, так как выражается через «одноточечные» КФ СО всеми
совпадающими арrументами (см. (32)). Чтобы опр д ли"ь полностью
КФ n..ro ПОРЯДКЗ t надо измерять поле в 2п точках пространства.......
времеНИt В случае КФ l ЭТО осуществляется с помощью интерферо-
MerpOB t как ЭТО было схематически описано Выше.
Рассмотрим теперь измерение корреляционной функции UHlneJolCU8-
Hocmu t а именно КФ-2 следующеrо частноrо вида:
а( 2) (х 1 f Х 1 ; х 1 t Х 2 ) G ) ('t) == < : 1 (х 1) 1 (х 1) : >, (742 t 41 )
rде Х t == {r '; t t} t ,,:=а t"........... t 1 И вектор r '............ r l == Р перпеНДИКУJlЯ рен
направлению распространения. Двоеточия напоминают" ЧТО при
переходе к квзнтовоi[ теории необходимо перед усреднением пере-
ставить все операторы Е(+) правее E( )+
В случае fауссовз поля с ПОМОЩЬЮ (17) находим
a ;) ('t) < /1> < / z> [1 + 1 g ) ('t) 12] , (7 . 2 42)
r де g1 } ( ) норми роввина я К Ф..l. Т эк и м об разом, 8 хаопшче..
СКОМ поле измерение корреляции инп1еl1сивностей дает информацию
и Q ксрреляцuи амплитуд. Эта связь 0(2) И G(l) лежит в основе
спектроскопии оnmuчеСКО20 смешения [57]t используются также тер-
мины спектроскопия флу",пуацuй интенсивности или .мепlод кОРре.
ляциu фопwнов.
В общем случае 0(2) не выражается через G{l} 11 масштабы
I<оrерентноети BToporo порядка MorYT отличаться от p 'Jp 'i lJr: так,
в «ДВУХфОТОННQМ свете» P r?- p 1Jr'
Для измерения временной зависимости a(I)( ) при р== О используют
один детектор с линией задержки и элеКТрОННЫМ корреЛQметром.
Можно также применять спектральный анализ флуктуаций фОТОТО"
ка. Впервые э сперимент тз.коrо типа был проведен Форрестером,
229
rудмунсеном 11 ДЖQНСОНQМ В 1955 f4 еще ДО появления Лазеров 1).
Современ на я а "па ра ту ра ПОЗ ВOJl яет ПОJ( УЧIIТЬ спектральное разреше..
ине ВПЛОТЬ ДО долей rерца
Для исследования nространствеtlНОЙ- KorepeHTHOCT 1 BToporo по
рядка а(2 (р) необходимо использовать два детектора с nepeMeHHb[M
расстоянием р между НИМИ4 Соrласно (42) при изменениИ р от 00 до О
й('2) воз.рас.тает в ИДеальном случае вдвое (рис. 7.12). ЭтОТ эq:.фeкт был
обнаружен Брауном и Твиссом В 1956 r. и использован ИМИ ДЛЯ И3М
рения уrловых диаметров звезд I59]) ИНТенсивностИ которых коррели-
руют На расстояниях порядка сотен метров.
('1 t 2 )/< i ,)(i 2 )
2
1
\ I J!t)
"tt}
....
I \.
о
1
..P/P cr
2
" (1)
o < " " )
{., l2'1
PHC 7. 12. Э4"Фект I\ОРРеляции и .аНТИ
кор р ел яu» и "Нjеиси в н ОСiей свет а: i 1 t
i'2 фотото К И Детекто ров; .р ........... СДВН r од..
иоrо из детекторов из симметрич Horo
лоложеll ия; 1 телловое излучение;
2 лазерное; 3 двухфотоииое.
Рис. 7 [3. Схема эксперимента Брауна
Твисса по наблюдению корреляu.ии ии.
тенсивнос.rei\ ('&еТа
Схема эксперимента Брауна Твисса 110 измерению Qt2}(p) в свете
ртутной па м пы представлена на рИСt 7 .13. Расщепление луча с П
МОЩЬЮ полупрозрачноrо зеркала позволяет измерять корреляцию
поля в СКОЛЬ уrодно близких точках. Пусть ФЭУ работают в режиме
счета фОТОНОВ, тоrда корреляция отсчетов в двух каналах (тlт )
равна ala:!(Jl/2) Отсюда с ПОМОЩЬЮ (42) нахоДИМ
<т J т 2 > == <m 1 > <t >,( I + f g ) (О) I ') (7.2.43) I
Этот результат справедлив ЛИШЬ в случае ОДНОМОДОВЫХ детек-
торОВ, коrда постоянная времени деуектора Т MHoro меньше "f xor
Jf апертура детектора А MHoro меНЬШе AKor. Если же Напримерt
т 1" r.H t ТО ВО В ТО ром ел ar аемом (43) ПоявЛ яетс я малы й ми ажи
тель порядка 'tw.or/ T t ЧТО уменьшает наблюдаемый эфt1эeКТ.
Эффект корреляции интенсивностей тесно связан с флуктуациями
интенсивности света На входе интерферометра Брауна Твисса.
)lействительно, пусть /1 И 12 случайные интенсивности в плечах
интерферометра и /11 l' I '2 их ФЛУКТУЗllИИ (t!! 1 n <I, ». Выход-
:1 ) в 03МО Ж I1 ОС Т Ь П ровеДен и я а н ало r и ч н ы х ЭК пе р нментов по «rетероди Н ир 01';JКИ ю»
света обсуждалась еще раньше r ореЛИКQМ {63].
230
ной сиrнал <i 1 i 2 > пролорционзлен
</1/2> </1> </1> + <61 t !i/ 2 >. (742444)
Второе слаrаеМое здесь характеризует взаимную корреляцию ин тен
СlIвностей. Из условия 11 + /2;:;;;;: I НаХОДИМ связь
< J2) == «111 I + 11/1)2) == </1/:> + <dl ) + 2 < /l J 2>. (742.45)
Таким обраЗОМ t IOOрреляция определяется дисперсиями:
<111 1 l11 2 ) == (1/2) «а/ 2 ) <li/:>......... <l1J:» (7.2.46)
Предположим сначала l ЧТО падающий свет имеет постоянную
интенсивность (излучение ОДНQмодовоrо лазера)t 1'orAa l n. О и
соrласно (46) корреляция равна нулю. При этом < /}/ > ==- (11) </2>.
Пусть теперь на интерферометр Падает обычный свет от теЛЛовоrо
или люминесцеНТНоrо ИСТОЧНИКЗ 1 тоrдз СОrласно (11) (8/1.) == </)2.
Предположим, что такие же связи имеют место и для вторичных
пучков: <Д/ ) == </ п)2. Отсюда с ПОМОЩЬЮ (46) находим (рис. 7. J 2)
<111). A/ 2 ) == (1/2) «1>2 < 11>2 < 12)2) === < 11> < 1 !>, (7.2.47)
т ) Е; < '.I 2:>1</1> < 1 z>:::::: 2.
Проведенное рассуждение леrко ПОВТОрИТЬ на фОТОННОМ языке,
заменив 1.. на числа фОТОНОВ N,, При ЭТОМ надо добавить к ДНС.
переИИ дробовые (луаССОНQБские) ШУМЬ[t так ЧТО
<АN2>.Iаэ == < N), <IlN2)r'== <N> + < N)21! (7.2.48)
РезультаТ t по существу будет тот же: 8 тепловом излучении имеется
корреляция фоmонов вЫЗ8llн.ная их сруппировкой или, иначе rОВОРЯ t
наличием избыточных (по отношению к дроБОВЫМ) ШУМQВ4
Рассмотрим далее поле с определенным числом фотонов N. Эти N
фОТОНОВ распределяются полупрозрачным зеркалом случайным обра-
зом ПО двум каналам с вероятностями р и q ==: I p. Эта I{a рти на соот"
ветствует извесТНоЙ вероятностной модели Бернулли [24J t соrласно
которой вероятность Toro. ЧТО в лервь[й канал попаДет N 1 фОТОНОВ,
определяется бuномuальнhLМ распределением:
р (N 1):= C 1 pN1qN... N 1 . (7 2.49)
омеиты этоrо распределения имеют вид
<N 1> ==. pN t <N;> == piN2 + pqN,
(N 2 )==qN, <N >==q2N2+pqN.
Отсюда находим
<N 1NI> ==: (1/2) (N! <N > <N » == pqN (N I)
ПримечателЬНО t ЧТО теперь корреляция Dтрицательна:
(!1N t dN 2 >== <NIN2> <N1> (N 2 ) ==....... pqN..
При этом (риr,. 7.12)
g1i) === 1 11 N ·
(7.2.50)
(7t2.51)
(7.2.52)
231
Таким образом, ан.ти2руnпировка -фотонов в исходном. пучке nриводum
к «аНmикорреляцUU» фотонов 8 разделенных пучках.
PaCCMOTpllM t наконец" общиЙ случай с произвольной статистикой
поля. Для этоrо надо вторично усреднить (51) по распределению фа..
ТОНОВ р (N) в падающем поле. В резуЛЬТате находим
(N 1 N 2> == pq < : N2: >J g i) == <: Ni: >I<N)! :=== gt2) t (7.2.53)
rAe (: N': ) == (N (N 1 ) нормальный (ил И фак.торuaльныu) момент
и yr ловые скобки 0388 чают усреднение по ра спределению Р (N) Итак 1
опmосurrwльная корреляt{uя чисел фоmонов в двух mочках поля gl 1
определяется нормированным' факторuальным AfOмeHmOM поля gt2..
ЭТОТ же результат следует И3 более строrой квантовой теории поля
( СМ. (7 б 3 I ) ) .
t 7 3 raMHJlbTOHOOa форма уравнений МаксоеJlJ13
в настоящем разделе будет nоказаНО J что уравнения Максвелла
ДJIЯ поперечной части поля, Т. e поля излучеНИЯ t СВОДЯТСЯ к системе
нрзависимых уравнений для rармониtJеских ОСЦИЛЛЯТОРОВ. Эти урав-
нения леrко представить в
t форме уравнений r амиль
то«а классической механи-
ки, что позволяет ВОСПОЛЬ
З0ватъся алrОрИТМQМ кваН-
Рис. 1.14. К оnред.елению ДЛИНЫ }(ваН70В3НН я L: това н и Я, определяющим
Е (2)......... реальное лоле; Ё (z) фн ктнвное перио--- КОММ утатор двух операто-
дическое в пространстве поле рОБ через скобки Пуассо-
на для соответствующих
им классических величин.
Уравнения МаКСВeJlла в k, t-предстаВJJеНИИ41 Пусть нас интересует
ЭI:SОЛIOЦИЯ поля излучения в неКQТОРОЙ оrраниченной области про
СТрЗНства за оrраниченнь[Й период времени Т. Разделим мысленно все
пространство на одинаковые кубичеСJ(ие ячейки с линейным размером
L > СТ t)t причем одна из ячеек включает все измеряемое за время
т поле.
Рассмотрим зависимость какой либо компоненты поля ОТ ОДНОЙ
из коордннаТ t например Е:( (Z)t В фиксированный момент времени
(рис. 7.14)+ Определим периодическую в пространстве функцию
Ёх(z) условием Ёх(z+nL)==Ех(Z)t rде L/2<z<LI21 n==О.
::f= 1 t · 4. Внутри интервала наблюдения L/2 L/2 фиктивное перио.
дическое поле Ё совпадает с реальным Е t поэтому Ё и Е физи...
чески эквивалентны и в дальнейшем мы опустим знак « ».
Периодическое по z поле можно представить в виде суммы
l
Е
I
Эr-I-.с
L
L
L
1) Предполаrается t что 3ТО условие вы пол н яется с запасом TaKt чтобы поле Нз
rраницах оставалось раВным нулю 8 'retJеи не вcero времени наблюдения.
232
пpocтpaн.cmвeHHЫX zapМOHUK (индекс х опускаем):
х'
Е (z) -= Е,п ехр (ik,nz).
т::: .... ох,.
kllt == 2лm/L, пt О, + 1, :f::2, ...
(7.3.1 )
Чтобы определить амплитуду Пl.Й rap 10HHKHt подействуем на (1)
слева оператором
L.l2
dz ехр ( iknz).
LI2
Tor да
L/2
) dz ехр ( ikAZ) Е (z) EmL sinc [п (т n)]::::: Е " L . (7.3.2)
.....L/2 т
Последнее равенство следует из Toro, что функция uелоrо apryoll
мента
LI2
dz ехр [i (k". kn) z J ::::: L sinc [п (т n)] L6",,,
... L/2
(7.3 З)
отлична ОТ нуля лишь в ОДНОЙ точке пl == а. В котороЙ ОНа раВflЗ
единице (рис 7.15). Из вещественности Е (z) сдедует Е ---11! Е;n.
На конечных этапах вычислениii . (. tl
д тrlC !tл,
обычно МОЖНО устремлять лину
кваН"tО8йНUЯ L к бесконечности, при
этом ряд Фурье (1) переходит в HH
теrрал:
Е (z) == (Ц2п) dk Е (k) ei/.z , (7.3.4)
1,
I
I
I
,
I
"-t I
'\ I
2' ,, 1
..........
\
\
\
\
\
\
\
\ '-'!!
j o /'t\ :-
'...,.1
...'3)
rде теперь
РИС. 7+15+ ФУНКUИЯ sinc (М) в с.лу"
чае .ипскретноrо (то([ки) и непре.
pblBHoro (штрих.Qвая линия) apry""
ментов
ф
Е (k) == L t dz Е (z) e ikz. (7.3.5)
....-ctJ
При выводе (5) используется следующее представление б-функц-ии
(ер. (3)):
(о
dz ei kZ == 1im L sinc (kLI2) == 2п6 (k).
..... QO L ...... ж
(7.3.6)
. Множитель L/2n добавлен в разложение (4) для TorO t чтобы дискрет...
ные фурье.компоненты при L 00 совпадали с непрерь[вными:
Е", -------+ Е (k m ). Сравнение (1) и (4) дает л раВИ/IQ ЗЗ?tlены СИМВОЛОВ
суммирования I1 иитеrрИрования
· .. ......... (Ц 2 n) dk · . .
т
(7 З.7)
8 Д+ Н + КЛЫW1(О
233
..
.
1
.,
,
..
I
.-41
...
I
1
.
..
1
,
!
1
J
1
'1
4
,
..
I
,1
j
1
"
.
I
(
Величина L/2n называется ПЛОТНОСТЬЮ мод (в случае одноrо
И3.\1ерения и ОДНОЙ nОJlЯРJlзац"и) обратная ве ч 1ичнна 2лJL равна
расстоянию между соседними модами т, n! + 1 на оси k.
Повторяя описанную процедуру для друrих компонент поля EIJ
Ez И для зависимостей от Х. Yt ПОJlучаем трехмерный ряд Фурье
для поля:
Е (Т, t) == Е 1 тn (t) е{ 2. n; (lx -+ ту + nz) I L Е:: Е k (t) e i It . r ., (7 348)
lmn 11
EI1(t)==L 3 dЗrЕ(r. t)e il1.r==E:k(t).
L
k::= (211fL) {J, т J п}, [ т, п == Ot + 1, :f::2t ...
(7.3.9)
(7.З I О)
J\1arHlITHoe поле рззлаrается в ряд аналоtичным образом. Пред..
ставление nрО(iзвольноrо поля (8) в виде суммы ПЛОСКИХ волн
позволяет задавать непрерывное пространственное распреде..'1ение
Еа (r) счетным множеством комплекснь[х чисел Е/ш. «Дозволенные»
векторы k образуют решетку в k"пространстве t разбитом условием
лериодичности на ячейки с «объемом» (2n/L)З. Заметим, ЧТО ввиду
СВ язи Е.... 1/ == Е; Не все ч иела Е krx Я ВЛ ЯJОТС Я незэвисимым и . Сумму (8)
можно записать в следующих эквивалентных формах:
Е == Re Elt ei k . r f{e (Е + iFJ == Re (E Il + iF k ) ei ll ., t (7 З.II)
k
...
rде F(r t t) произвольное вещественное поле п Fk:=: F...,, ero rap-
МОНИкИt
Разложение по пространетвенным rapMOHJJKa t (8) позволяет
однозначно разделить поле Е (r) на две СQставляющие: попереч-
ную EJ.. (r) и продольную Ел (r) (aprYMeHT t опускаем):
Е 1.. (т) ellvEk\ ilf.r,
1" v= 1 . 2
EII (r) == еk Е"зei1:."
.t
(7 3. 12)
rде единичные oртоrОНЗJ]ьные векторы ekv образуют правую тройку,.
..
причем е IlЗ ==== k == k/ k ИЗ (12) следуют
div Е::::: ik. EIl eifl r == div E
1t.
rot Е == ik х Elle i ".,. rot E L
11
(7 3.13)
и аналоrичные соотношения для маrнитноrQ nОJ]Я. ПодстаВИБ (13)
в уравнения Максвелла (4+ 1 r9) при € == 1 получим
с rot Н 1. ........ Ё L === 4 nj.L " С rot Е 1. + Й.l == О,
. .
Е А ==4лj;r" "I!==O
div Ев 4nр, div HJI == о.
(7.3.14)
(7 3.15)
(743.16)
З4
СледователЬНО t продольная часть nepeMeHHoro маrнитноrо Поля
равна НУЛЮ а продольная частЬ электрическоrо поля определяется
nOJIожением зарядов в ТОТ же момент времени без запаздывания, по-
этому интересующее нас в оптике поле uзлуцения 8 вакууме попереЧNО
и определяется динамическими УРй8нен.иямu (14) через пoпepe tHytO часпlЬ
заданных (cпlopOHHUX) токов j 1. j (в дадьнейшем мы опустим и идекс
(<<1..»).
Подставив (12) в (14)! найдем уравнения движения для "ростран..
ственных ra рмон ИI{:
Ek ickx ff ll == 4-лj,н
Hk+ ickx Ek === О,
или, после исключения "Ilt
Ёk+ЫkЕIl == 4лj .
Здесь (О1с == ck и
j" (t) L 3 d 3 ( П/l -j (r. t) e и.., == j " и).
L3
(7.3.17 а)
(7 З.17б)
(7.3+178)
(7 3.18)
r де ПI1'........... проеКЦИОННЫЙ теНЗ0р (см. (4.1. 17)) Итак, уравнения МйК-
свелД{J. для 1l0перечн.Оi!О поля в k, i"/lредставленuu сводятся 1(. системе
неоднородных уравнений для незавUСUМbtх zаРАlоническuх осциллято-
ров. ЗамеТ ]Мt что rapMOHHKH Ek и E... 1l Бсеrда возбуждаются вместе
вв иду Toro, ЧТО Е Il === Е:' k
В ел учае свободиоrо пол я t Т + е · к or да ток и в L з отсутствуют"
пространственные rармоники соrласно (17) колеблются без заТуха-
ния с собственными частотами мод Юk:
Е" {t)cBo6 == (E llo e и»kt + E oei(J)/i)/2t
.r. ( [w t ' ioo t ) I
II k {t)C-ВQб == k х Е.ое" k EktJe k 24
(713419)
Здесь E fto является начальной амплитудой плоской ВОЛНЫ. распро-
страняющейся в направлении + k, а не ЗЗВI1симая ОТ нее велиЧина
Е о амплитудой встречной ВОЛНЫ, расnространяющейся в направ-
"
I лении k Требование E k '== Е.... 11 дает Е.о E:'kO' Отсюда, СУМ 'IИ:"
руя по всем k, получаем
Е (r ( ) ..... R e Е e i ( .,. (tJk t )
t с 006 .t (J !
k
If (r t t)СDuб == Re k х Ekpe i (Il." (!'kt).
k
(7 3. 20)
Таким образом. состояние свободиоrо поля в nрОJl3ВQЛЬНОЙ точке
'. t задается множеСТВQАf комплексных векторов EkO
При наличии в L:J сторонних токов к свободному полю добав
ляется вынужденное, определяемое через функции j" (t) COf4.J1aCHO
неоднородному уравнению (17в). Например монохроматическая
ПЛоская волна тока «раскачает» ВЬ1нужденное поле со своей часто...
той ю" которая может отличаться от (I'h (cp (4.1. 20) В общем
8. 2Зf
случае функция Ek (t)1 конечно, не raРМQНlfческзя+ Вынужденное
поле можно I-tСкать также в виде (20),. по.лаrая E lIo Медленными
ФУНКЦИЯМИ координаты в случае стаUИQнарных ТОКОВ (CM rл. 6, rде
ИСПОЛЬ3Qвалось обозначение E kO =: E +} (z)) или ФУНКЦИЯ!\IИ ВремеНИ
в сл учае т ИПИЧНЬJХ ДЛ Я к вантовой механик Jl неста циана р н ых задач 4'
Иноrда удобно описывать поле с помощью вeKtrlOpHoeo потенциала
А (, t t).. В случае КУЛОНQ8СКОЙ Кi.lлuбровки поле А полаrается попе-
речным и ОНО однозначно определяется соотношениями
rotA "t divA == .O. (7.3 21)
ПодстаВИБ в (14) rotA Вместо Ht ПОЛУЧИi\1 rot(cE+A)==:;o) Т. е.
Е == А/с. (7 3.22)
Отсюда находим с.вязи между nростраНС1венными rарМОНI1ками pe
альных полей и их потенuиала:
Ak == сЕllt Ak ik х ff k/k 2 , Н k ==- ik х AIl. (7 +3.23)
Канонические переменные поля. Уравнения (17) для Hk И Ek
напоминают уравнения rа.МНЛЬТQна ДЛЯ канонических коордннат н
импульсов системы частиц ql и Р,; ТОКИ jk при ЭТОМ нrрают роль
обобщенных СИЛ Однако в эксперименте обычно наблюдаются беrу..
щие ВОЛНЫ в дальней зоне излучателя с определенным направлеliием
распроетранеНПЯ t например ВДОЛЬ + /l, ПОЭТО IУ желательно, чтобы
канонические переМенные с индексом k относиJtисъ талЬКО к «пря-.
IОЙ» волне
Совокупность четырех qнсел {l, mt n, \t} === {k, } k задает
плоскую волну или моду (ТИП колебания) свободноrо пространства
(МЫ в дальнейшем будем нумеровать МОДЬ] ОДНН I индексо!'tl k). При
наличии ТОКОВ )-Irновеиное состояние поля в двух модах k и k :E-
{ kt "} с ОДИНаковыми линеЙНЬJМН поляризациями ek..... задается
двумя комплексНЫМИ или четырьмя вещественными скалярными
чпслами:
E k == E .elt'IJ Ek+ iE;, H == (kx ek\.)4Ht == H + iHkt
E'k :::: E Il.ellv == Ek iEk' H'k :::: ( kx ek\l).H k== Hk+iHk' (7.3.24)
Вместо маrнитноrо поля можно ИСПОJlьзовать вектор-nотенциал
Соrласно (23) и (24)
AJt == А".. ek\' iH k/k:::; (Hk........ iH k)/k,
A i == (Hk + iHk)/k;
здесь k обозначает OДHOBpe \{eHHO модуль вектора k и индекс моды.
Образуе ( линейные комбинации;
qk :а (L3j41too:)]J2 (E k + Hk)t
Pk (L3J4n)1/2 (E k + H k ),
выбор J\оэффиuиеНТQВ прОПОрllJ10НВЛЬНОСТИ будет ясен ниже. из (З7)
С ПОМОЩЬЮ (24) убеждаемся to что переменные qJi) Pt; дЛЯ встречной
236
(7 3+25)
моды независимы 01 Qk' P/l.:
.. ".
Qk EJi +Hk== EZ. + Hkt
pi Ei Hf Ek+Hk.
у доБНQ объеДНН\tТЬ вещественные «координату». qt: н «импульс,.
Pk моды В одну комплексную безразмерную леременную:
а) ==: (2!iffi h ) 1/2 (O)IQtt + iPll) == (Е я + н k)/2ic ki
С k :::::: (2 л fu.'}k I L ' )1 ! 2 . (7 · 3 · 26)
Леrко найти обратные преобраЗQванпя:
Ен =: iC/l (aд a;) == (nIL3)]J2 [ J7k I'k + iй)jt {qk '1k»)J
(743.27)
Н k == iC/l (a k + 0k) (л/L3)1/2 [ Pk + Pf + iffik (qk + q'k)].
3эмеТJlJwI, ЧТО в случае стоячей плоской волны а.. == й;;,. так ЧТО пе.
ре.Менные qkt РА ПрОnОрUНDнальны MarHHTHO:\IY Jf электрическому
ПОЛЯхl соответственно;
Е (r, 1) === 4 (л/Lэ.)1/2 f1k (t) cos (k. r),
Н (, t t):= 4 (n/L3)1/2 ffi/tq/l (t) sjл (k. r)
(7+3 28)
в НОВЫХ nеременных разложеНИе поля по ЛJJОСКИМ волнам ",,"leeT ВИД
Е (r t t) ==:: i с h a ft ( t) e it . r + к. с ,
Il
H(r, ') i ckkxak (t)e k'r + К. C 1
11
А (r, t)::: (ck/k) ak (i) ei/(.r + K С.,
k
(7.34 29)
rде введены комплексные векторы о" == ek\.a. lI'.
v
Подста вив (27) в (17) t на Йдем у paBtleH 11 я .lЛ Я НОВЫХ nepe teHHblX:
qk. Pk........ ( 4лL з !(J)k) 1/2 ii, (7.3. 30з)
P/t == blkqk + (4лLЗ)I/2 jk, (7 3. 30б)
а" == iO)kak + (2лilс ) jft4 (7.3.30в)
Общее решение последнеrо уравнения имеет вид
t
Qk (t)::= a k (О) e iNkt + S dt' ei k (il п ik (f'). (7.3.31)
Ck
О
Если раЗЛОЖIIТЬ й" (t) и ik (t) В частотные интеrраЛЫ Фурье. то
из (ЗОв) сразу находим БынуждеJ1НУЮ часть ПОЛЯ в k, ю..представ"
леЯlпt (ер. (4. L 20)):
t) 1
( ) ....:1. С k . ( )
а k О) в w J'I == . J k (;) ,
bl.k.......... (J) lYk
237
rде мы добавили затухание (l'k > 0)4 Отсюда ЯСНО t что при 1'" Шk
спектр Gk «4)) а {ПЛIIТУДЫ 0k (t) В OCHOBHO содержит ЛНШЬ llОЛОЖU
11lRльные частоты, близкие .к собственной частоте (,) + Ес.rrи пренебречь
отрицательно-частотной частью a k (t), Т. е. ползrать
Q)
0k (t) Q1,'") (t) droe i((l/ a k ((J)), (7.3.32)
о
то каждое слаrаемое в су!\lме (29) описывает плоскую волну. pac
пространяющуюся в направлении --1 k (8 ОТ f1ИЧJiе ОТ суммы (8))
В свободном ПО,1Jе ЭТО Jlрибдиж ние соrласно (31) при ik::=: о вы..
полняется CTporo:
a k (' )С1\об ===: a k (О) е i vkt (7. а. 33)
Отсюда, сравнивая (19) и (27), находим связь E ko 2ic}cG k (O)
11тзк, положи t11е..1ЬНQ.чаСl1l0Iпная часть поля оп ределяеl1lСЯ ФУН1\ ц U
ями D/t (t), а оп7рUЦQl11ельно часпюrnNая функцuями а; (t):
Е { } (, t 1) === i с k a h (t) e i 11 ., .
Il
E{ ) (r t t) == i 2: ckait (1) e il1 " +
R
(7.3.34)
в квантовоЙ теории ЭТИ функции становятся опера1"орами УНИЧТО
...... .....+
жения н рождеНИЯ фотонов: ak ak а; -------+ ak f
ОfаМИJlьтониан поля н вещества<l Из уравнеJlИЙ Максвелла сле
дует (C I. J Н а пр H lep (4 + 1 24)) t что MrH08eHHa я энерrи я ПОЛЯ
<с (i) == (1{8л) d:1r (Р + H'l) ==:. :7(0' (7.3.351
L'
Примем ЭТо выражение за функцию rамильтона поперечной частн .
свободноrо поля. Подставив сюда разложение ПО ПДОСКИЛI волнам (8),
получим с учеТО f УСЛОВИЯ ортоrональноетн (3) диаrональную квадра..
тичную форму:
:Но =: (Lа/8л) (1 Ek l + I HIl12).
k
(7 3.36)
Соrласно t 19) fft o прп j ==- о не зависит от t r С помощью. (29) находим
:Jtfj == (pc+ ro lqi)/2 == fz. (Uk I Qk 1'.
k k
(7+3 37)
Леrко проверить ЧТО Нз уравнении rамильтона.
q k :== a,7t /д Р,р Р k ........ д.УС jJq", ( 7 3 38)
при /К ==- {. 7to следуют ОСЦИЛJlяторные у равнения для Qk' PkJ Gk; В СООТ-
ВРТсТВИИ С (30) при i ==: Ot ЧТО под:rверждает Прави.пьнос.ть ВЬ1бора (35).
ОбщиJ"Е rамильтоннан nО/IЯ и С1lстемы заряженных частиц, pac
положенных внутри paCCMaTpHBae 10ro объе lа LЗ 8 нерелятивист-
238
СКОМ приближении равен (c:м [26J, 16)
9t :lto + (Pl eiAi!c)'lJ2m, + f1tк л,
i
Al == А (R i (i). t)t :lt ity.1 === .1:+e i e j il R, R j 1"
t < I
(7.3.39)
rде j'CН'j энерrия КУЛОНоВскоrо Бзаи:нодействпя частиц через про-
дольное поле и RlJ Рi канонические nepe ]eHHble i-й частицы с за-
рЯДОМ н массой ei' п 1 ,. .
Из (З8) н (39) следует связь «ннн€тнческоrо» И каноннческоrо
импульсов для частнu:
П'i У, == Pi..........elAllc
(7 . 3 4 О)
rде V i Rc.....----СКОрОСТЬ i..Й частицы. Следовательно, rаМИJlьтониан
(39) tожно представить в "ростом виде:
:Jt == j( Q + т, V /2 + :Jt RyJl (7. 3. 39а)
i
rамильтониан взаимодействия чаетнu J[ попереЧНоrо поля соrласно
(39) равен
( 2 )
е. е"
P""'L т:c Pj.Aj+ 2m cZ A о
Е' l
(743.41 )
в случае частиц с собственным 1\JаrНИТНЫМ "O feHTOM IJ.i следует
добавить энерrllЮ спиноВоrо взаимодеЙствия 111' "i.
Покажем, ЧlQ И3 (38), (39) следуют обычные уравнения Ньютона
с силой Лоренца ДЛЯ частиц н уравнения i\1аксвелла СО сторонними
то]<ами (14) для nОЛЯ4 Чтобы получить уравнения Ньютона продиф-
ференцируем (40) ПО вре lени. УчнтываЯ t что соrласно (38)1 (39)
Р ia == (е I/C) V{jI дАi,JдR itJ. ; (7 j 3 4 2)
нзкодим
.... · е,. ( дА i'Z aA ia ) е[
mjRir.r. ==-Pia c + дR iб V({.I "",ejE;(/, +c[V/xH/]a o (7.3.43)
Напомним что ПОЛЯ берутся в точке нахождения частицы" поэтому
dA,/dt =(=. aA,/Jt == сЕ,,,
Уравнения поля МОЖНО найти диффереНllирование 1 общеrо rамнль-
ТОНJIзна (39) по каноническим переменным ПОJlЯ Pk' q/l. При ЭТОМ
«C \Jlbl»t дейстВующие на поле со сторОНЫ частиц, определяютсЯ
вторЫМ слаrаемым в (39а)4 Продиq:эфeренцируем ето сначала по АЕа
С помощью (40):
д {11 i V д V i е i д ( е i )
д A 2 ==:: п 1 i V [13 д А == ........ v i === д ............... А V 1" А i ( 7 з. 4 4)
ia (а. с , " с
Отсюда следует. ЧТО rамильтоннан возмущения nоперечноro поля
нереЛЯТJtВИСТСКИМИ беССnИНОВЫ IН частнuа ll1 IОЖНО nреДСТЗВIIТЬ
239
вместо (41) в Виде
? ';)' ::;:: I. ; V.. А ! == 5 d"r j- А,
i
(7.3 45)
rде J (, t t).....-...r заданна я плотность тока, ол ределяемая координатами
и скоростями частиu:
J (Т t t) === е i V i (t) б \ 1 (r R i (t)), ( 7 . 3.46)
и lHT Р ИХ наПО 1И иает что в соответствии с (44 t r a иль тони а« аза и
м:одеЙСТВltя (45) точно описывает L1JИШЬ ВОЗ JуJlJ.енне поля частиuами,
но не наоборот.
11з ура БиениЙ r а Н-fЛ ь тои а (38) с раз у (\1едуют ура вне 11 II Я дв r-Еже..
ни я А__flЯ произво.льноЙ ФУНКll.ни канонических nepeMeHHb]X t (Qk' Pk:' t):
df I d t д f J д t --+ {f, ус}, ( 7 3 . 4 7)
{{. g} == Е ( :g ' ) .. (7.3.48)
k v k Pk qk Pk
Летко провеРИТЬ t что при линейном nреобразовании (26) от q1t;
fJ ( НО BЫ " незэ ВИСиМЫМ перемен н Ы a t й; скобка П уассона (48)
ПрИJ-lимает вид
} 1,.., ( д f д g ag д f )
{{, g == & д(;k дa; даk .
k
(7 '3448а)
Полаrая f a k , находим с ПО fОЩЬЮ (37) If (45)
· 1 д Н · i \ '" d ' 01> д А i
а ::=: ............... == ............. t W It a k + ............... з r J. """""'"6;.
tft. да k /,. с -t- да k
это уравнение при учете (29) и (46) совпадает с уравнением (30в),
полученным нз ура I3нен ий !\1а ксве }I.па СО сторон н ими токами.
f1TaK, МЫ привели уравнения ПО..1IЯ н вещества к каноническому
виду (38) с rамилыонианом (39). Прежде чем использовать ЭТОТ ре..
зультат ДЛЯ квантования уравнениЙ поля, рассмотрим диполь ное
приближение ДЛЯ rаМИll]ьтоннана взаlIмодействия,
ОДиполъное приближение. В KBaHToBoj 1 электронике чаcrо вместо
ТОЧНЬ[Х энерrиЙ возмущения (41) (45) можно использовать прибли
женные выражения. В случ-ае свободной плоской монохроматической
волны Н===Е, так что в перВОМ порядке ПО Vl/C в уравнении Ньютона
можно пренебречь !\-tзrнитНой частью силы /10рениа:
пlR i е, € (R i , t). (7,3.50)
Далее, ec1.1'JH qаСТИllЫ занимают оrраниченную область лростран
ства с линейным размером й. IHoro меньшим маСШ1'аба изменения
поля '!;;;;;;;;:. C/(I), ТО лоле !ОЖНО раз...rtОЖИТЬ в рЯД ПО Rl Н оrраннчиться
нескольк I-i ми первыми ел а r аемыми . При ЭТОМ ИЗ (41) пол уч зете я
мультипольное разложение rаЪ1И 'ЬТОНlIана возмущения для частиu
240
(7 .З 49)
по степен-ям RifX. В муленом (д-ипольном) приближении А (R , .)
:;::;: А (ro) ::= Ай, rде rо какая либо фИJ{СJlровзнная точка внутри
системы частип (наПРИ.\Jерт иентр }facc) При ЭТО 1 cor .ласно (42) Р, == о
и (43) принимает вид (ер. (50))
...
пl R i ::: е J' Е о'
(7.3 50a)
r де Ei) =s. Е (, 0 '). Это уравнение cor ласно (38) следует из rамнль.
тонпана возмущения следующеrо вида:
wn d(t Е,-" !
(7.3+51 )
тде
d (i) =:: ei (R, (t) ro)' ,Ri- rО ' 1\
i
Здесь поле в отличие от (41) является за аННЫ 1 внеШНИ\I парамет-
РОМ. ОтмеТИ 1 также что ..1.илольныи MO,\leHT нейтральноЙ системы
не зависит от выбора r О.
Пусть вещество СОСТОИТ из N ОТДеЛЬНhJХ неподвижных :молекул
с ДПЛО'nЬНЫ.\НI МD\fеНта:\JИ d j и иентрами в rjt тотд.з энерrпЯ веще
ства в заданном поле будет соrласно (51) равна (ер. (4.1.25))
.У
'1'J Jtwn '"'" . d j (t). Е (r i' t) '"'" d 3 r Р (r, t). Е (r, t), (7.3.52)
J = t
,V
Р (r t) === 1; d j (1) 6 "» (r.r..--r rj). (7.3.53)
j =- }
rаМИJJьтониан возмущения дАЯ поля в Д1lПОJ1ЬНОМ приближении
следует сразу из (45) при замене АI на Ао:
, 1 · 1 l.t (
'J?дил == cd"Ao=== d.Eo 7dТ d .Ао).
(7 3. 54)
Если оrраНlIЧИТЬСЯ сЛучае. t квазимонохро атических ТОКОВ и попей,
то d + Ао содержит ЛОСТО я Н ную составляющу ю 11 ОСЦIIJJЛИ рующу Ю
с двойноЙ частотой КО lпоненту В результате накапливаюшееся
взаимодействие дает лишь первое с.лаr.ае: Jое в (54) совпадающее с (51):
C'I."J-' r:I.? .......... d Е (7 3 55)
r диn у I ," · -О. · ·
т аки.М обра 30"1 ди nОДЬНЫй fl uльпl0Нll йН ,. ДНП Jtl0:ЖNО llСПОАЬ3О-
Bal1lb и для расчета поля излучения в «одНОЧQс,nQтных» задачах. 1Jз (55)
следует
t + . } a'}fJ l[ и П С Ir d ( i .. )
a i tюkа k == ..-l:'" "" ==== + It ех Р "It r о ,
Jn дnk п
(7.3.56)
r де d k d. e k . Этот же результат получаетсЯ 113 ТОЧноrо уравнения
(30в) в СJlуч.ае нейтральноЙ систе ы при учете (46)t замене ехр ( ik. R i )
на exp( ik.r.,) и V i на iU)kRI+.
241
Часто B deCTO (41) нс nO l)b3Y ЮТ пр ибл I1жен не
'1 :::::; l: е..1 P i . Ai/miCt
(7.3.57)
Т. е4 пренебреrают квадратич.НЫfvl ПО еА слаrаемь[м (ззмеТИМ t ЧТО ОН
В случае одноrо электрона в rарМоНическо м поле имеет порядок aE ,.
rде Ct===k re п яризуемость свободиоrо электрона (6.2.6)). Это до--
пуеТИМQ ЛИШЬ в первом порядке теории возмущеНИЯ t Т. е. при расчете
одноквантовых эффектов. ВЬJражение (57) следует также из (45) при
отождеСТВЛенИИ К(IиеТJtческоrо и каНQническоrо ИМПУJ1ЬСОВI Из (57)
ПО 'lУL{ается следующее уравнение движения для частиц:
.. е, dAi
lп R i == с (7 3 58)
совIiaдающее при а л с (50а).
Ддя связанных Э,flеКТрОНО8 в атомах и небольших МCL1Jекулах
a lO 8 см И условие применимости ДИЛQЛЬНЫХ nриближеннй (51),
(54) выполняется вплоть ДО peHTreHOBCKoro диапазона. Напомним
что маrнитные момеИТЫ t связанные СО спином и орбитальным ДВиже--
нием,. имеют порЯДОК одноrо мazн.епюна Бора fl-Ot которыЙ на ДВа по--
рядка меньше одноrо дебая:
2110 == e /тc::== e c ea o ;137. (743.59)
Однако несмотря на относительную малость мультипольных эф-
феКТОВ t ИХ проявление в оптическом диапазоне имеет важное значение
и леrко наблюдается напримеР1 в виде оптической активности B
щества (вращения плоскости поляризации) и запрещенных линий
в спектрах.
Свободный электрон ПОД действием rарМQническоrо ПМЯ соrлаСНQ
(50) осциллирует с амплитудой йl eEl/mUJ'l. " СКОрОСТЬЮ аl 00 , поэтому
УСЛОВИЯ а л и V C имеют одинаковый вид:
Е 1 пlC'" ;еХ ....... 108 r с, (7 3. 60)
r де оценка сделана ДЛЯ л === 1 мкм И соответствует практи ческ и недости
жимой интенсивности 1018 Вт/см 2 . Тем не менее учет дейстВИЯ маrнит-
Horo поля в свеТОВОЙ волне (9 б 2) "рИВОДИТ к квадратичной ПOJ1яри-
зуемости свободноrо электрона и наблюдаемым нелинеЙиым эффеКТ3Мt>
t 7.4.. Квантование ОМА
И аКt мы представ-иди уравнения поля в форме уравне.ний ra..
мильтона для пространственных rарМQНИК Eh(t), Н k(t) (или их линей-
НЫХ комбинациЙ q,o Plt't ak) Теперь можно перейти к основкому этапу
KBaHTOBoro описания нахождению праВИ41I перестановки динамиче..
ских переменнЫХ поля.
Коммутационные соотношения. При переходе к квантовому опи-
санию все канонические перемеННЫе qlt, Pk И ИХ функции f (qkt Р/()
становятся линейными операторами Чk t Pltt 'IP действующими по опре-
деленным правила 1 на функцию СОСТОЯНИЯ системы. Различие между
242
действие 1 произведений операторов fg и gf 1) можно определить
с помощью скоБОК П УВССОl-JВ (7.3.48):
gf== [/. gl <= ili 11, g}.! (7.4.1)
Здесь все перемениые берутся
Отсюда в частности НахоДИМ
[ q k t Pk;] ===- i /iбk/t;,
[a kt at,] --ljk' t
[1 I akl :== д! /дa kt
[Ekt Hk,l == 2сi б kk't
в ОДИН ff ТОТ же .момент времени.
[qk t qk l ] =-=fpk t Pkr] O
r a ,:, a k ,] [at, a; J -= О,
[ait /] := д{ /дat t
[Ek' Eh ] [H ? H k ,] == О,
(7 442)
(7.4.3)
(7.4.4)
(7 4.5)
rде
с: === 2лfuо k lL , k == {k , } 1 k ;:;;: ( k) }. (7.4.6)
Из (5) с помощью линейных связей (7.3r29) HeTpY HO найти 11 ком.
мутзторы для самих полей Е (r J t)t "(r t t).
КлаССllЧескоЙ КОМП,.1JеКСНОИ переменной at ставится в соответСТ-
вие опера/пор рождения фОПlОIlQ at t эрмнтово сопряженный с 01lepa
nlopo..M УНllЧfпожения фоltlОН08 Qk+ ЭРМИТQВ оператор ata k (a;ak)+s::=: N k
называется OtlepaпlopoM числа фоПl0Н08.. чаще Бсеrо именно ОН СООТ-
ветствует н аблюдаемы]\{ в оптике величинам. Ta](t спектральная
яркость излучения выражается через N k ел еду ЮЩ] [\1 обраЗО1I:
/ 11}f (kt 'V) t"CA 3 <N k>+
(7.4 7)
Здесь в ОТ ли чне ОТ (7 1 .18) доба влен а олераuн я ус реднени я с ПО fОЩЬЮ
ВОЛИОВОJUi ФУНJ{ЦИИ или оператора ПЛОТНОСТИ поля р..
Часто кроме N k представляют ннтерес друrие оnерЗТОрЫ4 Так,
среднее от a;;ak; характеризует статистическую СВЯЗЬ мод k и k'..
]\\ожно nоказать) что скорость пl KBaHToвoro вынуждеННоrо перехода
л рОПОрUИQнальна среднему ОТ оператора o:тar; === : N п :. Здесь двое-
точия означают нормальное уnорядоченuе t Т. e перестановку всех
операторов afi правее at+ Средние от ЭТИХ операторов
G (т}............... < .. N т.. > ............. (а +nt. а т >
k .. k" ........ k
называются нор llальн.ымu (нормаЛЬНО УfWрядоченн.Ы,1IUt фак т ори аль-
ныли) 10ментами поряд}{э т ДJ1Я f-"IОДЫ k. Связь факториальных
Mo ]eHTOB Gtт} С обь]чными <Nm) леrко наЙТ11 НЗ операторных тож-
деств,. следующих из (1) или (3):
[ Q т) N] ==== п la l1l t [ N, а + т] == п1й + т .
(7.4.8)
Отсюд.а
I :Nm::== лr (N 1). . .(1\' /1I 1), I (7.4.9)
в случаЯХ t Korдa речь ИдеТ об ОДНОЙ моде, индекс k опускаем..
1) Знак «I\}} над оnераторзми БУ.J.ем ставить ...1ИШЪ в необходимых С...1уцаях.
243
в п.редставлении rейзенберrа Волновая функция и матрица ПДОТ'"
НОСТИ nОСТQЯННЬ[, а заВИСИ:\1QСТЬ операторов ОТ времени определяется
уравнениями rейзенберrа t которь[е получаются из (7.3.47) н (1):
dfjdt == д{ /дt + [1 t J7t']/i/i. (7.4.1 О)
Н а пр имер, полаrа я f==Qk И используя (7.3.29), (7.34 37) (7.3.45) и (4),
получаем ура внен не r ейзенбер ra дл я опер а тор а у н н ч-тожен 11 Я," иден
тичное по форме (7.З.30В)t АналоrJ1ЧНО и все друrие соотношения Э 7.3
ОСтаются в силе при замене динамических nepeMeHHbrx на операторы
Б представлении rейзенберrа. При TOM произведения операторов надо
писать в СИМl\o'lетризованном виде например:
r а 12 (а+а + аа+)/2 == а+а + 1/2 =:= аа+ 1/2 (7.4.11)
в последних равенствах использовано (4). ЗамеТИМ t Чl'О в оператор-
ных равенствах т fI n а (11) под 1 /2 подразумеваете я /'/2, r де i еди-
ничный или IflождеСП1GeННЫй операТОРt J\jf == "'У.
Пространственные rармоники свободноrо поля зависят от времени
rармонически с частотоЙ (I)k ==: ck. Отсюда находим разН06реJfеННble
I\:OMM утато ры
(а.. (t) at, (t')]CBD6 === Б Rk ; ехр 1 irok (t t')J (7.4.12)
и аналоrичные соотношения для друrих переменных поля. При нали-
чии сторонних токов вместо (12) может иметь место более сложная за.
BHC[-JМОСТЬ ОТ t и t', однако при t ==t' она Должна давать (3) (это свойство
сохранения коммутационных СOQТf.IошениЙ следует из унитарности
преобрззования операторов ВО времени)
Квантование мзкрополя в среде,. Л1аТiроскопическое f]оле в HeMar...
НИТНОМ веществе опr1сывается ураВнеНИЯМ1f Максвел/[а с феноменоло
rической проницаемостью в (в линейном nриближеНИИ)r В окнах про.
зрачностн e,п(ы) o И энерrия свободноrо поля сохраняеТСR, так что
снова можно использовать rаМНЛЬ10НОВ формализм н проквантовать
переменные маJ(рОП 1JЯ. Если nренебреl(Ь также дисперсиеЙ E'«(O) ТО
процедура зналоrична nриведенноi:i в Э 7.3, изменяются в OCHOBHO
ЛИШЬ СКОрОСТЬ света (с.......:,с/п) и ориентация ортов nолярr.lзаци и eh (в слу-
чае аНltЗотропНой среды).
j\\ожно ПQказз"Ть 1371 t ЧТО СВЯ 3 Ь мз К роnол я Е (r t) с оператора м н
рождения и уничтожения фотонов в прозрачной среде ak+ I Qk при учете
дисперсии в линейном приближении имеет вид (7.3t29), если в опре.
деление коэффициентов Ck добавить множитель
k == { 20) ( :. (i) 2 e.e.. e ) ....l } 111 .::;;;;;;;;:; ( ии ) 1/2 ....!....1 (7 4.13)
иw k С cos Р k nk
r де t'k == (i)k/k == C/l1 k И Uk :::::: JWk/ ak cos Pk фазова я и r ру пповая СК о.
рости Рk уrол между лучевым 11 B04>ТlHOBЫM BeKTopaMH Прострзн"
ственные rарМQНllКИ маrнитноrо поля 8 (7.3.29) следует при этом
умножить на п k .
Квантование поля в реЗОНаторе. Поле в замкнутой полости с иде...
З.J1ЬНЫАfrt зерка fJЬНЫМ" стенками Можно представить в виде суммы
вещественных ортоrональных собственных функций "k (r), f'k (,)
2«
соответствующей rраничной задачи:
Е == Р k (1) и k (r), " """ (1) k q k (t) 'D k (r),
(7.4.14)
rде ffik' собственные частоты резонатора.
НапримеРt свободное поле в прямоуrольном резонаторе является
суперпозицией СТОЯЧИХ ПЛОСКИХ волн (поле при ЭТОМ не является
попе речным (см. [22J, С4 431 )). р 8З решенные ЗН а чения БОЛНОВО.
ro вектора определяются размерами резонатора Ll).t !Х==Х. У. Z
(ер. (7.3.10»:
k==.ft{i;. , i;}, [. т. п==О, 1.2, ... (7.4.15)
Стоячая плоская волна является суперпозицией двух встречных
беrущих волн с равным и а Мl'Iлиту дами ak ==- а... kt при ЭТОМ cor ласно
(7 З. 28) Е Pk cos kz и Н O}h,Qk S ,П kz (коэффициент пропорциональ
RОСТИ определяется 113 (7.3.37) при L: === LxL"Lz н имеет ПОРЯДОК
(16njL;!)1/2) Отсюда при учете соотношени'я неопределенности
llq др ::> п/2 следует, что ТОЧНОСТЬ одновременноrо lIзмерения Е (т t t)
и п (r, t) внутри резонатора оrрзничена.
11ноrда н в свобоДНОМ пространстве разлаrаюТ llоле по стоячим
волнам вида cosk.r t sink.r, однако амплитуды СТОЯЧИХ МОД не
связаны непосредственно с наблюдаемыми в эксперименте вели...
чинами ведь для практичеекоrо выделения ПЛОСКОЙ волны +.
детектор должен быть расположен в дальней зоНе излучателя,. rде
волна k отсутствует; связь «дальнеrо» ПОЛЯ С операторами ak рас...
смотрена в 13714
7..5 С1 . Возможные состояния поля и их свойства
Следующая задача.......... рассмотреть различные СОСтояния поля (чис-
тые и смешанные) и их свойства а также средние Значения и распре-
деления наблюдаемых величин 8 этих состояниях. При ЭТОМ удобно
использовать некоторую базисную систему волновых функций,. с ПО-
МОЩЬЮ Т\DТОрОЙ можно представить ПрОИЗБQЛьное Состояние (эта про..
иедура аналоrична разложению ПрОИ:ЗБОльноrо Bel{TOpa ПО ортам не--
которой системы координат в реальном пространстве). Мы рассмотрим
поочередно несколько баЗИСОВ t порождаемых р а3Л liЧНЫМИ оператора..
МИ ........ энерrии ..yt, координаты Q,. импульса Pt УНИЧтожения фОТОНОВ
a roq+ipt а также связи между этими базисами. При ЭТОМ будут ис-
пользоваться компактные обозначения Дирака, Краткая СВОДКа КО--
торых приведена ниже.
Обозначения Дирака. Произвольное MrHoseHHOe состояние кван..
ТОБОЙ CJfCTeMbI задается ВОЛНОВОЙ функцией 'Ф (х) щ (х1ф>t rде X He..
которая совокупность apryMeHToB (дискретных пли непрерывных),
достаточная для пОЛliОZО оnuсания системы. Полное описание состоя-
НИЯ «одномерной) бесспнновоЙ чаСТIIЦЫ, в частности осциллятора
245
или моды поля, дается ОДНОЙ nеремеННОЙ КООрДliнатой (х q)"
импульсом (x р) или эверrнеЙ (х С) J).
Функция <х ["Ф> называется х п редставлеН(Ii?М СОСТОЯНИЯ системы.
Само состояние без указания представления обозначается символом
J ч: > или ! ) JlЛИ еще [ t>. Комплексно сопряженная функция 'iJ. (х)
обозначается <фjх>==<хl"'>*.. т. er можно СЧlIтать что 1)*==( li
< i* =: I ).
в х предстаВJJеlНiН состояние 1 > задается множеством (дискрет-
НЫМ или непрерывным) чисел <Х) I > Е5 Cl <х 2 1 > C2 4 t которые
естественно рассмаТрИВаТЬ как компонекты HeKOToporo векТора
в MHOrOMepf10M пространстве. При этом <Х" J > является аналоrом
скзлярноrо произведения единичноrо вектора (орта) (Х п r На вектор
состояния , ), Т. е. проекцией 1 )- на n-ю ось. Любой вектор МОЖНО
представить как сумму орТОВ, умноженных на коэctФlIциенты С,,:
I > == Сп , r n> == 2: J Х п > (Х п' >, (7.5. J )
11: ,а
ИЛИ Б более компактных обозначениях:
I ) == I I n> <п I ).
н
(7.54Ja)
АналоrJiЧНО
< I==:I < I п) (n 1.
lJ
(7 .5 16)
в C 1JY ч ае нел рерыв Horo ар ry мента сумми ровам не в (1) и зналоrич-
ных рззложениях заменяется на интеrрирование:
I > '==' dx I х> <х I >.
(7.5.1в)
Векторы < 1 11 ] > называются соответственно бра- 11 кэт43еКlnорамu
(от анrлнЙскоrо bracket скобка)
Проекuии раз;r(ичных орТОВ друr на друrа равны нулю (в слу-
чае ортоrональной системы):
I<n I п') == б пп " <х} х') == б (x x'). I (7.5.2)
CllcTe fa коорДJfнат (базис) называется полной, если любой вектор
можно представить Б виде (1). Свойство полноты выражается теН-
30рНЫМ раВенстВОМ
j == ! n> (n I
н
(7.5.3)
Здесь 1 единичный тен30р (/....1 > === I »" а символ 'а) <Ь I означает
тензор дuаду (или внешнее nрйuзведенue)t образованную И3 векторов
1) Наnо вим., что в классической ме.х анике состояние задается числами q t Р,.
а в квантовой функцией 'р (q) (и..1Н 'ф (р). 'Ф (G)" ...).
246
t а> и <Ь j. ДеЙствие Диады на векторы очевидно из ее обозначения:
{la><bl}1 >==Ia><bl > <bl >Ia)t
< J {' а) < Ь I} < 'а> < Ь I == <Ь j < I а>.
ТеНЗ0Р 1 а) <а I == Р а при <а I a> :::= I называется пpoeKпlOpOAt t так как,
действуя на вектор I ), он выделяет ero составляющую ВДОЛЬ на..
nравления J a> р а I >:=:= 1 а) (а I > == Са I а).
Разл.ожение единицы (3) позволяет леrко строить различные npeд
спщвления скаляров <а I Ь), векторов I )t теНЗОрОБ (операторов) {:
(а I Ь> == (а 1I1 Ь) (а I n) <п 1 Ь), (745.5)
II
I > 11 > == j Il> (п' > I (7. 5.6)
Н.
f 1 f 1 f n' ' I п> < n' I f (7 · 5 7)
nп t
(7.5.4)
в последнем выражении f,щ, == <п,} t I п').
Оператор t может действовать напраВО на КЭТ Бектор и налево
на бр.а-веКТОРt пр" ЭТОМ образуются новые векторы f' а) == I Ь),
(а 1 f === (с \ с друrими направлениями и длинами (ДЛИНОЙ или" точ-
нее.. нор/ной вектора I а) называется число <а I а)l/2.). Если изме-
няетс}} ТОЛЬКО длина BeKTopa ТО ОН называется собственным (пра-
вым или левым) для данноrо onepaiopa. У доБНQ оператор и ero
собственные векторы н значения обозначать ОДНОЙ буквой:
II f " > == f,1 I f n >
(7.5.8)
Совокупность собственных ВектороВ I f п> обычно образует полный
базис" необяззтельно ортоrонвльный. Оператор ' . ЭрМИТОВО сопря-
женный к оператору ft определяется равенством
f+1 а) == {(а r '}*, (7.5 9)
или (f+ )аь == (f a)* 4 Есди {+ =:: {) то f э рм.и (п08 оле р ато р, для Hero
f а Ь == f ьа t f п == t , < f п I f n ;) -= о ( при f ' * f п ) ·
в квантовой механике ПостуЛИруетсЯ, что распределение веро-
ятности Р (fjt) в момент t ДЛЯ наблюдаемой f в аНсамбле сисТеМ
с одинаковым состоянием r t) определяется лроекциями 1 t) на соб..
ственные векторы If> оператора f
Р (! I t) -= С I<f J t> r 2 -== с < t I Р ,l t> t
(745+ I О)
rде С"'l нормирующая сумма или интеrрал (С== 1 для нормиро-
ванных векторов). Если наблюдаемая f имеет непрерывный спектр"
то Р (/) имеет размерность l/f и является nЛОtпн.осmью распредедения
верОЯТНОСТИ 4 Распределение (10) определено через шрединrеровские
веЛИЧИНЫ4 В представлении rейзенберrа ОНО имеет вид
P(fl t):=C(toIPj(i)1 t(J>t (7.5.10а)
Р, (t) 1 f (t) <1 (t) 14
247
в случае смешанноrо состояния l-J3AO усреднять оператор Р /
С ПОМОЩЬЮ оператора плотности", Например, в представлении Шре..
ДИНrера
Р (/ J t):= Sp {I [> <f' р (е)] == <1 r р (t) [f>
(7 5.1Об)
распределение наблюдае..ной f определяется дuаzoнаЛЬНЫ..1!U ЭАемен-
пИLttи ..:uапlрuцы плопlности в j..предсmавленuu (насеJ1PнностяJКU).
Соrласно постулату о редукции волновоЙ ФУНКЦ(1И npouecc И3Jt.lе..
рения какой-либо ве.1]НЧJ1НЫ t например энерrн){ с помошью класси-
ческоrо прибора переводит систему ИЗ НСХОДНОТО СОСТОЯНИЯ , >
в состояние I б\)t rде rfJ 1 опреде.J:lяется nоказание 1 прибора. Таким
обраЗОМ t npot(ecc и з м е р е н и я Я8ляеrnся одновре.менн.о nроцеССОА!
и 3 r о т о в .rr е н и я сuсте 'Иы с известной волновой функциеЙ I Чтобы
прнrотовить систему в заДанном заранее состоянии I ll.>to надо по
очередно измерять энерrню у достаточНО большоrо количества
систем в проlt3ВОЛЬНЫХ состоянпях И дождаться нужноrо показа-
н н я ij 1. Классическ н Й пр ибо Р t Л ОК аЗ3Б ш J1 Йотсчет f, пе ревел систему
в состояние Р, > I f> обрапlНое действие прнбора На состояние
системы описывается лроеКТОрОМ p -:= f {> </1.
Энерrетическне состояния. Обьrчно в квантовой оптике изме-
ряется знерrнЯ поля и соответственно в качестве баЗНСНЬJХ ИСПОJJЬ-
зуются собственные функции оператора энерrии для отдельных МОД
св060дноrо ПОЛЯ, Т. e rЗ?-IИЛЬТQниана rаР}fОНllческоrо ОСUIIллятора
:к 0== (р-! + (o'lq2)/2 -= liro (N + 1/2), (7 5. J 1)
rде N:==: ата оператор числа фОТОНОВ в Iоде индекс k при рас..
смотрении ОДНОЙ OДЫ l'.lbl будем, как правн..ТlО. опускать. По опре...
делению собствеННЬJС функции 11 собственные значения удовлerво"
ряют равенству
.9t 01 N) :: G oiV J N). (7 .5+ 12)
Cor ласно (] J) эне р rerJJ ческ не состояния f N) или, короче, N co... '
Сrпояния (JIX называют также фоК08СХ/J.МU) являются собственными
11 Д qЯ оператора а+а: (N N) , N) == О, r де N :=: tC JIi(fJ 1/2 I
Оператор :lt о ЭРМИТОВ t nоэrОЬfУ из векторов I /v> можно построить
полную ОрТОНОрМltрОВ8ННУЮ систему «координЗт»:
<N f N 1 )== б VN ' J N) (N 1== It
lУ
J ) == J N) <N J>, f == !.",\il r N) <N' J
}J XX
(7.5.13)
(7.5t14)
Исходя И3 праВI-Jла КОМ lутации [a а+ J.:;;; 1 t нетру ДНО nоказать
(CM [З7] с. 91), что N целые числа:
. G фV (N + 1 /2) (y t N == О, 1 2 4..
(7.5.15)
ТЗКИАI обраЗОPff, эжрzuя одноЙ моды ....1fожепl IlрuниЛ4.апiЬ лишь
дискретныЙ ЭК8uдuсп,ан пl1"/'ЫЙ ряд значеnu й, ОЛl...1U ЧaJОЩUХСЯ на 1iоо энер'"
248
zию фоlnОНQФ Наименьшей энерrиИ МОДЫ с N == О соответствует на...
кУУмное состояние I О), а состояния с N > О называются N фо
тOHHbl 'IU .
Нетрудно найти так}ке результаты Действия операторов а н а+
на J.V -состояния:
а I N)== NIJ'J I N l)t
а+ r N> (N + 1)1/21 N + 1).
(7.5+16)
(7.5.17)
Эти соотношения объясняют СМЫС.П названий операторов а и а+ и
nоказываЮТ t ЧТО N состоянвя не ЯВЛЯЮТСЯ собственными ,J}1Я опе..
раторов q't Р'} Q t а+. Следовательно, если поле находuпlСЯ в 1\aKOM
либо lV сосmояниu (включая вакуум),. 1110 результап1Ы измерения
напряженности поля 6удупl ucпblпZblвaпlb кван.товые флукпlуацuu..
Этот ВЫВОД C 1eдyeT сразу IIЗ Toro, что :1t Q не коммутирует с ц.. р.
Cor лаСНQ (1 7) N ..СОСТОЯН не 10ЖНО получ НТЬ, подеЙствова в N раз
оператором а+ на вакуум:
I N) о;;: (NI) 111 (a+)N 10). (7. 5 18)
Однако практически перевести каКУЮ JIнбо моду свободноrо поля ИЛ[I
резонатора в чистое N-состояние (не считая B8KYYMHoro) очень не.
npOCTO t особенно при N;>.2 Обычно реальное состояние моды является
некоrерентной смесью НеСКОJlЬКИХ перВЫХ N-СОСТОЯНIIЙ, а в случае
идеалъноrо лазера КоrереНТНОЙ суперпозицией множества N..co..
стоя ни й.
Все приведенные выше соотношения ОТНQСИJlНСЬ }{ фиксированному
моменту Bpe).1eHJJ. Временная заВИСJIМQСТЬ веКТора СОСТОЯНИЙ ОДНОЙ
моды свободноrо поля в представ.пенни Шрединrера определяется урав-
нением
ili d I t>/dt == :7t, J (),
(7.5 19)
и если в момент t== О состояние моды было N фОТОННЫМt ТО co
. rласно (12)
I t > N :::=: 1 N) е i N 6); == I N t t >,
(7.5.20)
rде {t} == Ck4 Следовательно, б N .соспl0яниu средние значения, MOMeHпlbl
и распределения всех наблюдае+,'Ных., 8 тO 11 числе q р, стационарны.
Произвольное Чllстое состояние моды зависит от вреIY1ени следующим
образом:
r t> == I C y I N, t> ==с о ' О) +cte.... irot I J) +... t
N
(7.5.21)
rде C V == <N '/0>. При НЗJlНЧИJt 10КОВ КОЭФРИЦllенты в ЭТО l раз..
дожении зависят ОТ Bpe 1eHH,. обычно медленно по сравнению
с ехр ( iюt).
До сих пор мы rОБОрИЛИ о СОСТОЯНИИ одной моды. В случае
неззвнсимых МОД энерrеТllческая волновая функция Бсеrо поля
получается прОСТО лере!\fножением модовых энерrетических функций
249
.с определенными числами фотонов:
I {NAJ>== ПI Nk>k ::::: 1 N tt Н 2 , . .>,
k
I {N k }, t) J {N k} > ехр ( i&t/ft), IJ == ft N/I,Ю k 4
k
(7.5.22)
(7.5+23)
Таким образом,. энерrетическое состояние ПОЛЯ задается указа..
нием чисел фОТОНОВ {NkJ во всех модах (числами заnoлненuя) , а про--
Ilзвольное состояние ПОЛЯ можно представить в виде суперпозиции
-состояний со всевозможными сочетаниями {N}:
J ') с ({N /t}) I {N k}1 t)4 (7.5r24)
{Л'k}
При наличии сторонних ТОКОВ амплитуды СОСТОЯНИЙ с( {N h }) за-
висят от времени, и ДЛЯ их определения необходимо использовать
-теорию возмущения (ер. 2 1).
KorepeHTHble СОСТОЯНИЯ. Как показаЛ rлаубер [54), удобную ба..
зисную систему образуют также собственные функции неЭРМИТQва
лератора уничтожения фотонов:
I a!z)::zIZ).! (7.5.25а)
rСОСТОЯНИЯ r z) называются коееренmными. Поскольку а ooq + ip,
-то можно ожидать., что спектр а непреРЫБНЫЙ и комплексный. Т. et
z z' + iz" .............прОи3ВольНое комплексное число.
t'Iз оп ределен ИЯ (25а) следует что действие п рОИ3ВОЛЬНОЙ опе..
раторной функции f (а) на вектор J z> сводится к ero умножению
-на обычную (с чuсловую) функцию f (z):
f (а) I z> -= f (z) J Z).
I
(7 5.2б) 1
Сопряженное к (25а) равенство имеет вид
(z I а+ z* <z I (7.5.256)
.......... кэт-векторы <z I являются левыми собственными векторами для
i>ператора а+..
С помощью (25). (26) сразу находим среднее число фОТОНОВ
в KorepeHTHOM СОСТОЯНИИ t Z>t или, короче t в z..соспlоянии:
< N ) ::::: < Z r N I z> == I z (:}. (7 · 5 · 27)
В случае Z.СОСТОЯННЯ элементарно ВЫЧИСЛЯЮТСЯ также все факто-
р иальные моме "ТЫ (СМ. (7 4 4 9) числ а фотонов:
O nO === <z I :Nm: I z> == I z 12т <N> . (7.5.28)
Это равенство выражает свойство факторизации MOMeHTOB
В (28) использовано обозначение : N/1i: :== : а+а . . . а+а: ==== а+mа т t
Вообще двоеточия :...: означают операцию nерестзновкИ опера
.торов й+ И а в нормальном порядке, при котором все операторы а
в произведениях оказываются правее операторов а+. При этом пре-
250
небреrается некоммутативностью операторов. Т. е. внутри двоеточий
операторы J\ofОЖНО писать в люБО\f порядке. Заметим, ЧТО операUия
: · · : неЛIIнеЙная, например) оператор: аа+: == :а+а+/: ;:;;;: а+а не pa
вен оператору :а+а: +/:=:а+а+/.
Из (25), (26) следует
< : f (а + t а): > z == f (z. t Z ) ·
(7. 5 29)
Чтобы найти среднее от ПрОИЗБопьноrо оператора f (а+, а) в z co-
СТОЯ н и и t достаточно представить ero с ПОМОЩЬЮ раВенства аа+ == а+ а + 1
в виде cyMMbr нормальных операторов н заменить а+ на z* и а на z.
Часто Прrlведение к нормальной форме МОЖНО выполнить с по1ttощью
разложения в ряд:
f (а+ J а) cтпa+fJlJa lJ ,
Щll
<1 (а+, a»z::::: cтпz.тz п .
rnп
(7.5.30)
Например,
<aa+>z =::::;: <а+а + J>z ==: r z 111 + 1 t
N'J :::=. а+аа+ а а+ (а+а + 1) а=:: lУ 2 : + N t
(NI)z== I z i'+' z 12.
С помощью ПQCледнеrо равенства можно ВЬJрззrfТЬ второй 1\rl0MeHT
и дисперсию <!!N2> === <N2> <N>2 через перВЫЙ момент:
<N2>z === <N>z «N>z + 1), <!!N2.>z === <N)z. (7.5.3 1)
Полученная связь характерна для пуаССОНО8СКОЙ случайной величины
(СМ. НИ}I{е).
В общем случае заДача «нормализации» производьноrо опера-
тора является нелростой (СМ. примеры в [55J). Иноrда при этом
помоrает использование следующеrо операТОрНоrо тождества [53J:
e Jla + +t)a == Ce/J.a+ e 1la == C....}ertael-t a + t (7..5.32)
r де С == ехр (1111/2). При t):=::.......... * оператор (32) называется оnера
тором с;иещенuя И обозначается D (Jl):
D ( t) == ехр (!-Ш+ L.a). (7 5.33)
Из (18). (33) И полученноrо ниже равенства (38) следует
D (z) I О) == [ z). (7.5434)
Можно показзть [54], чm,? классический спwРОННUЙ ток j k переводи ln
.моду из вaKYY \1.HOCO r О> в КО2ерен.тnое соСтояние (z>, m е. еао дей-
ствие описывается оператором СМещения. А lплитуда z npll ЭТОМ
совпадает с классической амплитудой, определяемой из (7.3.31).
Покажем, ЧТО действительно разброс ЭНер.rии осциллятора в z.co.
СТОЯНИИ будет пуаССОНQБСКНМ, Т. e фотоны в случае коrереитноrо
состояния поля ведут себя в некотором смысле подобно хаотическому
потоку песчинок. Для эrоrо надо найти матриuу преобразоваН'iЯ
251
-<Н I z.), связывающую базисы 1 N) и ] z). rМИОЖ"М (25а) слева
на <N 1:
(N I а' z) z::: z (N r z). (7.5 35)
Отсюда при уче1е (9) и (17)
(N ] ) 1 /! < N + 1 f Z) == z < N 1 z > 4
Из ЭТОЙ рекуррентной СВЯЗИ находим
(N I z) == (N1)"-1/2 ZN <О I Z).. (7. 5 36)
Оставшийся Неопреде..т.енным элемент <О I z> можно полаrать вещест-
венным, при ЭiОМ ОН находится из условия норМИрОВКИ
< z I z> === f < N I z> I t :=z < О J z>:! ех р r z I == 1.
Л'
(7.5+37)
Отсюда следует разложение 2 СОСТОЯНИЯ по N ..состояниям:
I z)::: l N> <Nr z),
Л
< N , z> == (N!)"'1 /2 ZN ехр (.......1 z ]212).
(1.5.38)
(7.5+39)
НаПОМННМ t что <N I Z) является N лредставлеиием коrерентной
80JlНОВОЙ функции, а <z I N) === <N r z>. z представлением энерrети-
ческой Волновой ФУНКUИ". СледоватеЛЬНО t вероятность обнаруже..
пия N фотонов в моде в случае ее коrереитноrо состоЯния опреде..
Jlяется распреде лением Пуассона с параметром < N) == r z [2:
Р (N)z) == < N)Л" ехр ( < N»/ N! J (7.5.40)
Леrко с ПОМОЩЬЮ (39) убеДИТЬСЯ t что различные Z BeKTopbl не
ортоrОНЗJJЬНЫ друr друrу (в отличие от N BeKTopOB):
<Z11 Z2> === <Zt J N) (N I Z2> ==ехр [ rZl...........Z21 /2+ i 1т (Z;Z )]f (7.5.41)
N
I < z 1 r Z2;) r 2 ;::: ехр ( I z 1 ......... Z2 12)., (745 + 42)
ЭтОТ недостаток не исключает сВОЙсТВа ПОЛНОТЫ (как и в случае
.косоуrольной системы обычных координаТ)t Т4' е. возможности раз..
ложения ЛРОИ3ВОЛЬНЫХ векторов н операторов по векторам }2) и
Диадам 1 ZI> <zll CQQiвeTCTBeHHO. Действительно, из (38) следует
L z*ЛJzN
J z> < z I :;;: е'" I z 1.1 , 1М> < l'.i J. ( 7 5 . 43 )
] м N (M!N])lJ 2 1
Просуммируе!\1 эти Дl1ады по всем z == pet :
2п
d 2 z I z) (2 I == I м;> (N I (M!N!) 1(2 5 dpe p'pM + N +1 5 drpe' (,.,.. A1) 'J'.
MN О О
(7 .5 44)
252
tде dtz == dz' dz fт == Р dp dcp. Интеrрал по дает 2nб н м, а интеrраЛ
по р ра вен N 1/2.. Отсюда с у че1'QМ (13) получаем разложение опера
'Торной единицы ПО z диадаМt Т. е. условие полнотьr в виде
1 :, л 1 d 2 Z I z> (z 1.
(7.5t45)
Следовательно, ПРОИ380ЛЬНЫЙ вектор можно представить Б виде
I > == л l d 2 z I z> (z I >. (7.5.46)
,.Б частности,
I z 1> == п 1 d 2 z I z> (z I z .>. (7.5.47)
_ Это соотношение при уче1е (41) показывает t что орты [2") выра..
жаются друr через друrз, Т. е. z базис является nереполнеННЫАl
(сруба rоворя число координат лревышает число измерений про..
.cTpaHCTBa)
Зависимость KorepeHTHoro состояния от времени леrко наЙТИ t
f10дстаВIfВ (20) Б (38):
I z! t > == r N > < N I z> e....' N щt ::: I z е .... i 00 (> === I z (t) > . (7. 5 · 48)
Таким обраЗОМ t св06одная эволюция не Меняет lW2epeHтн020 (как и
lJнер2епzuческосо см. (20» характера состоянuя, в отдичие ОТ q* ИЛИ
Р"СОСТОЯНИЙ (СМ. ниже).
Если все моды находятся в KorepeHTHblX СQСТОЯНИЯХ t ТО вектор
состояния Bcero поля будет
1 {Z /l} > == r z 1> 1 I Za>, · .. · === r z 1 Z2 f .... >. (7 5. 49)
Cor ласно (7.3.34) ЭТОТ век 10р явп яетс я собствеННЫJ\l{ ДЛЯ оператора
ПОJlожительно чаСТО1НОЙ части поля Е(+) (r.. ') с собственным зна-
чением
Е-+) (r t t) ::=:: i CRek21t ехр (ik r irokt).
k
(7.5 50)
Среднее значение поля в Z-СОС1'ОНННИ равно удвоенной вещественной
части этоrо выражения:
< {Zk} I E(r t t) I {llt}) == 2 Re е+} (r. t). (7.5.51)
Далее l соrдасно (29) все нормально упорядочениые моменты ПОЛЯ
(корреляционные ФУНКUИИ)
G (1t) (Е .... ( ) Е .....( ) Е (+) E (+» (7 5 52)
1 . r 2: n ;;;;;;;::::;' 1. ... 11. n + 1. 4'" 2"n · ·
(через которые обычно определяются показания оптических детекто-
ров) в случае KorepeHTHoro СОСТОЯНИЯ факпlорuзуюmСЯ t Т. et выра..
жаются через произвед ени я перВЫХ МО!\1ентов:
а(п) ( { } ) E ( ) Е (+)
1 . . . 211 Z k 1 ... 2п.
(7.5.53)
252
Здесь собственные значения поЛеи E :I:);:::;;;: Ea.(rj, t i) определяются I
l I
через совокупность {z,,} ло фор уле (50). I
Координатные н импульсные состояния. ПО определенню собст-
венные векторы r q> оператора координаты q удовлетворяют УCJ]ОВИЮ
q 1 q) == q ] q> (7.5.54) .
Из q + :;:;: q следует ч*:== q И < q I q q < q I Аналоrи ч но оп редел я ются
собственные векторы 1 Р> оператора импульса: р I Р> р I p)t Спентр q
неп рерывныЙ, ПОЭТО IУ q-n редставление ПрОИЗВольноrо вектора состоя...
ННЯ" условия ортонормнрованностн и nO.}lHOTbl имеют вид
I > == dq I q> <q I ), (7.5.55)
<q I q'> == б (q q') (745.56) ,
j == dq 1 q> <q!. (7.5.57) J
COrJl8CHO (56) q"BeKTopbl имеют неоrраниченную норму: <q I q) =::;:
== CO что приводнт 1{ некоторым затруднеНИЯl\I. В качестве примера
наЙдем с ПОМОЩЬЮ общеrо правила (10) ПЛОТНОСТЬ расnределеН tя
вероятности координаты для СИСТеJ\.IЫ в СОСТQЯНIПI I > == ! ql):
Р (ч I qt) с I <q 1 ql) ' ::: с [б (q ql)J:. (7 5 5B)
c 1 == dq I <q I ql> [2 == dq [б (q ql) р. (7.5.59)
Квадрат б ФУНКЦIJII приобрета€т СМЫСJl если использовать какое..
либо ее представление с конечноЙ шириной /)q+ При ЭТОМ l) (О)::=: 1/!1q
(Ci'fl. (6.2+ 1 07») и можно замен ить 6 (q)2 На б (q)/ !1q. Ширина .1q выби-
рается из физических соображениЙ она должна быть MHoro меньше
интервала t на котором paCC faTpHBaeMble Функини (те . на которые
У lножаетс я б.фу нк ци Я перед н HTer р и рОБаН нем) за lетно И3 lен яюте я
В данном n pll1\lepe, однаКО t dq сокр.ащается так как С-:=::. J.q:
Р (q J ql) -= li (q qt). (7.5.60)
Иноrда удобнее использовать дискретные q.. If р представления
с обычной нормировкой <qт I qn> == <Рт , Р1l> ==== б тn . Для перехода
к дискретным спектрам {qn} Jf {Рn} рассмзтриваеNlые волновые ФУНК
ции 'Ф (q):==: <q 1 > 11 ИХ фу рье образы "р (р) <Р I > надо считать или
периодичными, или ОТЛИЧНЫМИ ОТ нуля лишь на конечных пнтерва-
лах L и Ii.K соответственно (ер. проuедуру дискретизации ВОЛНОВЫХ
чисел в 7.3)4 Это оrраннчеНIJе эквивалентно nредположеНIJЮ ома..
лости изменения 'Ч' (q). 'Ф (Р) на отрезках 6q s5. 1 /К t tlp ===,n/L 11 фи-
зически всеrда оправдано д.ля Достаточно больших L ]1 К.
Найдем даJ]ее ФУНКUНЮ nреобразования <q I р) (Т. е4 q nредстав"
Jlен ]е р-состояния) прИНЯВ
.... -! d
<ч I р == ....... in dq <q 1.
(7.5 61)
в этом соотношении q является непрерывным параметром вектора
<q 1 и ди$Реренцна.пьныЙ оператор деЙствует на ЭТОТ nap3MeTp. Умно..
254
жив (61) на I р), получим уравнение
ili :q <q I р> == p<q! р>
(7..5.62)
с очевидным решение 1
<q 1 Р> == (2л )"'1/2 eipq/ft <L
(7 5.БЗ)
Константа нормирОВКИ здесь найдена с ПОМОЩЬЮ подrтановки в (56)
разложения единиuЫ по диадам J Р> <Р 1:
dp <q I р) <р I q') == 6 (q q').
Cor ласно (63) в q сосt110ЯНUU все импульCbl равновероятНbt, а 8 р-состоя...
н.ии все координапш равноверояmны:
р (р 1 q) ,-..,r I <р I q) 12::: 1/2пА,
Р (q I Р) """' I <q 1 Р) 12 == 1/2п!i. (7.5.64)
Аналоrнчно МОЖНО найти функuию двух переменнЬrХ (qlz} == Фz(q).
'Квадрат которой определяет плотность распределения координаты
р (qjz) в z состоянии (отметим. ЧТО СИМВQJI Р (z:q) не имеет смысла t ПО-
скольку неэрМИТQВУ оператору а не соответствует физическая наблю-
даемая) Из (7.3.26) н (61) имеем
<q' а== (q + d/dq) (q I/V 2 . (7 5.65)
rде q :::::: (пии/п) C/2 q И мы ввели массу т ЭКВ tва4.J[ентноrо ОСЦИД.JIяторз.
Умножение на r z> при учете (25) дает
(д/дq + q....... V 2 z) (q 1 z) ==: о. (7.5.66)
Этому уравнению удовлетворяет функция
<q I z> == C 1 (z) ехр [ (q........ У2 2)2/2].
(7 5.67)
Аналоrичио
< Р I z> :::: С 2 (z) ех р [....... (р + i V 2 z) 2/2] I (7. 5 6 8 )
rде р == p/(firoт)1/2 Нормирующие константы здесь определены лишь
с точностью до фаз:
С t ;:;: (тю/пА) 1/. ех р [ ......... Z"2 + irp 1 (z) J
С,,;:: (ппооm) '1/4 ех р [ Z'2 + ;1-12 (z)]..
Соrласно определению (7.3t26)
q == (а + a+)/V 2 , р =:: (а......а+)/ i V 2 ,
(7.5.69)
(7 5 70)
поэтому из (25) сразу следует
<q>. == (z J q l z>:;: J/2 '" <Р) :== V 2 zit.
(7.5471)
255
В результате следующие нз tб7), (68) распределения МОЖНО пред",
станн'Ть в Биде
р (q 12) === 3[ 1/;Z ехр ( (q <ч> )2),
Р (р , z) 't 1/:1 ехр r....... (p <р> )2].
(7 .5r 72)
Ит.а к 1 8 косе pelil1lHO.Jt соС,поянu и раСllреiЮлеf1li я KOOpJUHaпlbl и им..
n !}...1ьса ОСЦи ЛЛЯ'n10ра имеюл L 2а!}ссооу фо pM С дисnе рсuямu-
< !iqS) == !ij2ffi(t}, < рЭ> == fiюmJ2 ( Q ) =: < !!J.pi) :: 1/2 (7.5.73)
u MUHtiMQAbHO еозможны.м ЛРОJlзведение.Аl неQпреiJeленностеu 1)
!!q p n/2. (7 .5 14)
Распределения J\оординаты и импульса при z *" О ОТJНlчаютсн от
BaKyy IHoro ЛJlШЬ сдвиrами нача а КООрЛНН.3Т JJa V 2 Zl Н V2 Z.,
f(fJ) их Дllсперсиа при ЭТОМ не ВQзра\":'tают-
(В 01 лици-е ОТ ;\ис-персии эНерrии........... CM
(31 » ОТ}JОСlIтельные шн рины распреде--
д_еиий l.q/<q) и Pf<P) обратно лро
порционаJJьНЬf ZI н z .
ИЗ (48) CJ]eAyeT t что эволюция осцил-
ЛЯТDра в 2.СQCrОЯНJIIl описываете я про...
стой ЗЗ)lеноЙ 1 на z.e (6)t.. Пусть 20 =...
=== z; =: qolV2 тоrда соrласНQ (71) на...
ДО в (72) пола {'6ТЬ
< q) ==:; qo cos ffJt, <р) ::::: qfJ sj Л 6)[.
(7.5.75)
о
... /...
L V
о
q
"
f D % 5
Рнс. 7.10. Р.асnреде.1еИJlе KOOp В резуЛЬ1'"ате распределен ия СД8иrают",
ДИНЗ1"Ы f)СUИ..-j 'ЯТОРЗ. и:аХ.()ДЯLце ся, не меНЯf{ формы (рнс. 7.1 б):
ro<:R в 3t1ерrетнчеСКQМ (вверху) и
JiOrepeHTIIOM (внизу) состо.яНIJЯ х Р (q 1 z t) =:;: л 1/ t ех р ( (q......... q б cos rot)2.J 1-
лр\\ О.»ОН 1-\31\ Q'В()И 'P :n Rtй' э R ер r"и Р ( р .... , Z , t ) л'" ] /. е х Р [ ........ {р " + q(J 5 j n ( О t ) J .
пятн фоТОНОВ (1/ в еднницах
V h,Jт(lj ) (7.5.76)
Таки.м, обраЭО,Jt 1 средние 3НwtCflUЯ Koopдuн.amы и импульса 8 случае
tOO epeHтHOZO сосп-юяния зависят от 8 реме н u так же t как U COOfl'1iJ2т..
ствуюtl{uе 8i!.ЛUr.lUNЫ в классич.еском осцилляторе. ПрJI возрастаНИИ Izo r
относительные ФЛУJ{туаUНJf у (еНЬШЭЮТСfl и квантовый ОСЦИJlJlЯТОр
ста «Qнится все БОJlее ПОХоЖllМ На J\ласси чесКJt Н.
3аметИ1ff, Ч10 волновая функция (67) прli nОДстановке 2r ;:= 2 (1)
zJ!.... ttJt должна у довле,вор ЯТЬ у рз-внен ИЮ Шрединrера Б q П'Ред-
ставлении:
( 2 i д д' )
w дt + дqr q ф" (q, t) == 01
'Фz (q, t) == <q ! Zt)
(1.5Ф 71)
1) Злее ь, н ак 06:ыч: но, СН мво...1 .обозиа ч вет д Ье р аз..1 J I Ч Н ые бе}1I J ч И .1 ы: о пер а.
10р х <х) н чнс 'о <{х......... (x>},>JJ.I..
256
(эдесь и далее используются безразмерные величины Q qt р p)
это требование позволяет опреде lJ 111ТЬ фазу в (69). В результате
«коreрентную» волновую функцию можно представить в БИде
1fz (q, t).:=::= Л" {!.а ехр [ (q......... v 2 Zt)!/2 Z ? + i (z;zi {t)t/2)1
== 1/" ех р { (q < Чt> )212 + i {{q <qt>j2) (Рl) (ilt/2]}.. (7.5.78)
Выше мы нашли матрицы преобразоввния от q-представления
-к р- и Z Yliр д :rаВЛ R'\ЯМ Аи3.лоrНЧRО МQЖНО найти функции <N ( Q> :=;
'ФN (q), определяющие расnредел€ння координаты в энерreТJfЧескн х
состояниях. И раСl1реде.Jlенне энерrии в q--состоЯНияХ. Эти ФУНkЦИИ
удовлетворяют уравнению (77} при за {ене дФ/дt на ........... iN OJф If f 8BHbl
полиномам Эрмита умноженным на ВЭ1\УУМИУIО ФУ КЦИЮ (О q>
exp( q /2) Их kfОЖffQ найти, умНожив (18) на <ql н заменив
<q а+ Ка 2 [;' (ч drdq) (q (:
< q f /> (2Л N 1( 1/2) ....l/ (q....... d!dqJA ехр ( q2(2). (7 5. 79)
Сжатые состояния.. Следует nОМНИТЬ 1 что в СJJУЧ(1.е неэН'f-рrетиче...
СКИХ состояний. распределения и MOMeH"rbl зависят ОТ временИ (CM (75)
(78) ДЛR KorepeUTlfora СОСТОЯ нил) + !i-Iожно ЛQК83.а ТЬ. например, ЧТО
q СОСТОЯНltя пеРИОДlfчеСJ{[.{ становятся р СОСТОЯНИЯМИ я наоборот
(рис 7 18) 4
Рассмотрим изменеr{lfе дftсперсий координаты и импульса в сдуцае
I1pOJ-J3S0 J)ьноrо J1ачаЛhноrо состояния. Решения уравнений rейзен
бер r.a ДJIЯ onepaTOPQB коорДI1 На ТЫ и Иi\fПу льса имеют «классический»
вид;
q (t) q cos -r + р 5 i n 't J Р ( 1) Р cos l' q S in т, (7 5.80)
{"де 't (t)t q Е::; q (О), р === р (О).
В общем случае ИЗ (80) находим следующую зависимость диспер...
сий координаты ,{ импульса от времени:
Dq (1) === Dp (1: ...-r.1t!2) Dq CQ5 Т + О, -;iil z "t -t Dt/p sin 21'. (7 5+81)
Здесь ББедены обозначения:
D;: (t) <{ t1x (t)]t), x (t) == х (l}.........<K (t» о J; ::=' О (O)t
Dqp (t) (Лq (t) !!р (t) + t!ip (t) I!q (t»f2:=
== (а (1)2 a+ (t)!)/2i........ <q (/» <р (t»
усреднение nрОi\зводиrся по иача 'ь"ом.у СОСТОЯНИЮ осциллятора I t(j).
Так иМ об разом. даС/zе рсаи к.оорди Hartlbl и UAltl у ЛfJL"Q ОСl.{u.лли ру/от
е n ропu'воФазе с чаСfliОfnОЙ 2м а их сумма явля.елtcя иHnree раlIOМ iJви lt
:1КеН иЯ .
Dq (l)+Dp (t) Dq+Dр 2(N> (а!-> <а»)+ 1 2О до + (7.5.82)
Cor дасНО (8}) Дrfсперсии поста R ИНЫ., лишь еr.л и D il D р н D q р ==== о.
с поМощью (70) МОЖНО лровернть. '-{ТО эти условия ВЫf10ЛКЯЮТСЯ
В ел}' ч ае эперrети Ч К ИХ (О q ...:..... D р N + 1/2) lt Kore ре нтных (D q ==
Dp == 1/2) состояний.
257
В последнее время обсуждается возможность нзrотовления и ре-
rистрации так называемых сжатых состояний [77J, в КОТОРЫХ D q IJ2
(или Dp 1/2) и D p===1/4 (рис. 7.17). В таких состояниях флуктуа-
uии координаты механическоrо осцидлятора или электромаrннтиоrо
ПОЛЯ при повторных стробоскопических измерени ях с подходящеЙ
фазой будут MHoro меньше нулевых флуктуаций J;. пi2mlJ). Таким об-
pa30M t в nрннципе нулеше флуктуацuи
не оеранurluвaют предельно достuжuм.ую
tпочносmь измерения координаты или им..
t пульса. С)катые состояния MorYT пред...
ставлять интерес ДЛЯ передачи информа-
ции и для измерения малых сил, вызы"
BaeMЫX например, rравитационными
волнами [61] Отметим здесь что неко.
торые вопросы квантовоЙ теОрlJИ изме-
рений ДО сих пор прнвлекают к себе
внимание [60. 61].
... Мы рассмотрели четыре типа состоя-
..
пий. порождаемых оператора I]1 p'2+q2"
p+iq р, q, и связи между ЭТИ IJI состоя-
НИЯМИ4 Аналоrично МОЖНО построить
множество друrих типов состояний. От-
метим собственные состояния оператора
фазы 17t lЗ]t наиболее близко соответ",
ствующие классическому колебанию с
t определенной фазой ·
Различные состояния удобно условно
изображать на фазовой плоскости (qt Р)
В виде фиrур различной формы с линей..
ньrми размераМИ t равными неоnределен--
насТЯМ tlq, p в ЭТИХ СОСТОЯНИЯХ (рис.
7.18). Площадь любой фиrуры не может
быть по порядку MeHhUJe еднИНUЫ Клас
сическое состояние осцнлдятора изоб-
ражается точкой {с'11 р))) KorepeHTHoe
кружком с единичным диаметром и
центром в (qt) р"'}) t N "фОТОН ное ТОН КОЙ
ОК ру Ж Ностью С Дна lетром (N + 1/2) 1/2 И
ueHтpOM в начале координаТ t q"'состояние тонкой. вертикальной
линиеЙ t р"состояние rОРИ30НТ8J]ЬНОЙ линией. Следует ПОМНИТЬ) oд
нако, что фиrуры имеют чисто качественный СМЫСЛ, CTporo им не co
ответствуют Какне JJибо совместные распределения Р (q,. р), которые
в квантовой механике не существуют.
I(aK и сами состояния, отображающие их фиrуры на фазовой ПnQС-
l{OCTH Jlзменяются 113"33 естественной ЭВQЛЮЦ11И (оппсываемоЙ уравне.
ннем ШреДинrера) или из..за peдYKl{UU в результате обратноrо воздей-
СТВИЯ измерительноrо Прl1бора+ Напрн ер. после точноrо измерения q
]{оrеренТНЫЙ кружок на рИСr 7.18 преВратится в вертнкаЛЬНУJО пря
258
а
б
о
Рис. 7 17. I(оrсрситное (а) н
сжатые (6 в) состояния осци..1ЛЯ.
тора; зэвnснмосnt средней KOOp
ли tr а ТЫ и H€O П peДe 1 ен НОСТИ 1\ 0-
орДJ1наты. ОТ времена. r рафики
построены с ПОМОЩЬЮ (7+5 8])
при qu=== 5. D р== О, J.q !\p 1/2 fI"
6ч== 1/ У2 (а), 0!2 (6) 2 5 (8)
МУЮ. Процессу ЭВОЛЮЦИИ при своБОДНЫХ колебаниях соответствует
вращеИJfе Ifзображающей фиrуры против часовой стредки BQKpyr
начала I<оординат с уr.повой скоростью (U или вращение осей КООРДИ-
.... ....
ч'
нат qt Р ПО часовои стрелке.
Смешанные состояния.. Если поле взаимодеЙствует (или взаН!\1Q-
действовало) с друrим квантовым объектом, например с ЗТОМОМ t ТО
отдельных ВОЛНОВЫХ функциЙ поля
Ф (х E () 11 аТОМа 'ф (ХА t t) не существу..
ет по определению; можно rоворитъ
ЛИШЬ об общей ФУНJ\UИИ ' (XE ХА, t).
Также нельзя rоворИТЬ и о векторе
состояния I )1\ данной моды k, если
она связана с друrой 1\fОДОЙ k' ИЛИ MO
дами. Например, К..'1ассичеСI<НЙ тоqеч
ный источник С частотой ro возбуж...
дает сферическую волну J И поэтому
все плоские волны с Ik ==оо/с связань[.
Аналоrичное перемешивание paBHO
частотны х (<<поперечных») МОД дает
дифраКUИЯ4 Разноч:астотные (<<про
дольные») моды перемешнваются за
счет анrарМонизма вещества [37].
ВО всех тех случаях, ]{оrда систе
ма описывается с ПОМОЩЬЮ неполноrо
набора перемеННЫХ t rоворят, ЧТО она
находится в с.меЕианноМ, СОСТОЯНИИ
(9 3 1). При этом она вместо BeKnlopa
СОСТОЯНИЯ I ) характеризуется некото-
рым oпepamopo.Jt p называемым опе...
paпtopo tt пЛОfllносrпU4 В частном слу
чае чнстоrо состояния оператор плотности р ЯВ '1яетсЯ диадой про
ектором: РЧ1IС!' :== r > ( I j а в смеша ином СОСТОЯ НИ И r ра вен сумме про..
KTOpOB (см. (7))
Оператор плотности" как и любоЙ оператор поля, МОЖНО I<О...I1И'"
чественно задавать в различных базисах (представлениях.) с ПОМОЩЬЮ
матриц плотности вида (J.VI,'r (N I р I N 1 ), P"q't PZ1 И Т. Д+ ДЛЯ пред..
ставлен я олератора плотности поля обычно используется N..бззис,
однако н некоторых СJ1учаях удобнее z базис. Для одноЙ МОДЫ р
можно выразить через N.. и z проекторы следующим образом (индекс
моды k опускаем):
-р
5
"
Рис. 7.184 СЛОnНое изображение
р аз. '" \\ 'Ны Х СОСТОЯ м 'и Й. КБ.а BTORoro
ОСUИЛДятора на фазовой nДОСКОСТИ.
Размеры I-IзображаЮЩ]f х фпrур со-
ответет.IJ ую Т 1.' ео n реде.'! е н НОСТ Я М ( по
rорнзонта...1И коордннаты, по вер.
тикали импуJ1ъса по радиусу
энерrни по азимут { фазы): 1
ва к уумное СОСТО я l.) J1 е; 2 к ore рент..
нор; 3 координатное; 4 сжатое;
5 н мпу...rrьсное; 6 знерrетицес
кое; 7.......... фазовое
р == PNN' I N> <N' I с::
АЛТ'
== d 2 z Р (z) I z> < z J.
(745.8За)
(7.5+836)
ЗамеТ(1i\o[t что здесь используется дuаz.онаllЬНое z..представление,
ЧТО допустимо 80 мноrих случаях и связано с переполненностью
z-базиса. Формула (836) называется nредспlавлением r Ааубера Су
даршан.а или Р-лредставдением. Условия норМИрОВКИ и ЭРh-tИТОВОСТИ Р
259
имеют ВИД
PNV lt
N
rII
PNN PN }V"
d2ZP(Z) 1, P(z)""",P*(z).
Среднее от любоrо оператора ПОЛЯ f выражаеТtЯ через р по фор....
муле </>::= Sp (pf) ( 3 2) или соrласно (83)
<f> == '#' PN N'f N' N:== d 2 z Р (Z) <Z ! fI z>. (7,5.84а)
Orсюда с помощью (29) наХОДИ 1
<:fl a +, а}:):== tPzPlz}f(z . z).
(7.5.846)
Таким образом) функция Р (z) позволяет леrка нахоДИТЬ среДНее от
нормальных оnераторов В чаСТНОСТ1f HOpNB..J1bHble моменты опреде...
ляются следующим образом: -
Gjпl:== d 2 z Р (z) ! z ]2'1, (7.5,85)
Формулы (84) nОJ(ЗзываЮТ 1 ЧТО весовая функция Р (z) иrрает
роль вероятности Toro, что осциллятор имеет ]{О!\lллеКСllУЮ аМnJlИ" .
туд.у Z (ТI е. q::=V 2 z'" p V2z") Однако P(z} может принимать:
отриuательиые значения и даже при Р (z) Б UJ (z......... ZI) (Т4 е. в с..1Jучае I
..... ....
ЧИстоrо z состояния) q И Р ИСnЫ1'Ь1вают яуле:вые флуктуации, ПОЭ:ТОМУ
р (l) 118зываюТ дВОЗU ВС IЮЯ/11NоспlЬЮ.
Квазиве.роятность Z СОСТОЯ1-IИЯ Р (z) позволяет нахоДИТЬ также
и закон распределения Р (f) произвольной наблюдаемой f. Для этоrо
надо в (84а) з8),]еннть f на nроектор Р (/) , /> <1 1:
Р(/) d 2 z Р (Z) I <z! {> !2:== d 2 z Р (f f z) Р (z), (7.5.86) i
ДвумерныЙ фурье-образ КВВЗJJверОЯТНОСТJl Р (2) НазываеТСЯ xapalC .-
пw рuспluчеl КОЙ фУНКI{uеЙ (нормал ь ной);
Х (!1" 11*) :=:: <e (l+ е.... ....a) =:::: d 2 z Р (z) e z. J.L "'2 t (7 .5 87)
..
Это определение дает для всех СОСТОЯНИЙ обычную (необобщенную)
ФУНКUИЮ (8 ОТJ1.ичие 01 Р (z) I) ИЗ определения Х следует, ч.то для
вычислен" я О< r1. · .\fОЖ НО использовать вместо опер.аин JJ н HTerpH рова..
ния (85) более простую операUИiО Дllwреiiцирования:
a т == ( --k д:. )" Х ( L, fl ) IJl &' (7.5.88)
Итак. с.мешанное СQспlояН,uе жоды UОЖНQ задаваlпь с /lОМОЩЬЮ
Mlll1lpU ЦЫ (1XN' или одноЙ llЗ фУН1\.ЦU й Р (z), Х (}l) t )..
1) На nrИ еr t Р (z) для N .состояни й ПРОJ10рЦиоНальНа nРОНЭ80ДJlоА порядка 2N
.от о.ФуtiКЦНН: 5& l
200
Смешанное состояние миоrомодовоrо ПОЛЯ заДается laTpiIHe(,
плотности
<N 1 , N s . t.lpIN;. N t ...> == <{N k llpf{N';1)
или квазивероят}!остью Р ( { Z k} ), ил и ее фу рье..обра ЗОМ Х ( {р" t 11; J ) о-
В случае независимых мод ЭТИ величины факторизуются (<<"РИВО
дятся») Следует подчеРКНУТЬ t что при использовании КВ8зивероят--
насти операuия КВЗИТовоrо усреднения ДЛЯ нормальных операторов
(которые обычно и представляют интерес) принимает «КлассиЧеский»
ВИ (846)t которыЙ сохраняется 11 в случае MHorOMOAOBoro ЛОЛЯ
Например, ФУНКЦИИ 'Корреляuии (52) определяются усред.нением ИХ
значений в KorepeHTHOM состоянии (53) с помощью квззивероятности:
G t'!. . 11 == \ · t. r р ({ Z k} ) G i п ?.. 2 n ({ Z k J ) П d 2 Z k · ( 7 + 5 . 89)
j k
Наnомним что Z/f == Z (k, v) З;J.есь имеет смысл ЗЛ{ПЛIfТУДЫ (в едини-
uax 2cJ:) пЛОСКой вОЛны Eh{j! распространяющейся в напра.влении k
и имеющей поляризацию e V \
РаССJ\fОТрИ \f далее некоторые np'f \fepbI С fешанных СОСТОЯНИЙ
поля.
В случае спшцuона/l1-{.ОZО поля оператор плотности не заВИСIIТ ОТ
в ремен и т е (Pt j't J .::::. О, ЧТО В N.. предста Блен и п даеТ .
<{N k } 1 р {N k }> (Nk Nh) roJt===Ot
k
Следо вате..'] ьно, стационарная маПlрица плопlностtt iJUО20наЛьна nf)
чиСЛйАt за rtОЛНеНU я J1tод с различными часп10таAtu. Фу НК ция Р ({ Z k I )
при .эТОj\'f зависит ЛИШЬ от модулей '2fl '. Так как 2fl (t) "'" e....i(J);
В стаUИQнарНQМ состоянии все одновременные моменты .-: 1т (t»
и функции корреляции <f(t}g(t+1:} ..) Не зависят от t. Обычно
ПрИИимаеТСЯ 1 ЧТО имеет место СВОЙСТВО эр?одичн.ОСlпU t Т. е4 что cpeд
ине по ансамблю <f> совпаДают с реально измеряе 1ЫМН величинами
'ансп (t), усредненными по ВремеИИ t 11 что наблюдаемые измеllеНИЯ
50
(флукту зци и) I Cn (t) ВО Б ремен н ВЬJЗва НЬ} неоn pt-деJlеННОСТЬ1D t в чисто
квантовом ИЛ(-{ cMellJaHHOM ансамбле. Важную роль НrраюТ также
периодu.чески несr l1G ЦuонарНые соr."ояния к КО1'орь,м, В частности,.
ОТНОСЯТСЯ kore-ре rТНblе состояния.
Часто МОЖI10 использовать приближеНllе стаТIIСТИЧески независu-
.м.ш .мод: р == п PIt При ЭТОМ диаrоl:JЗЛЬНЫй элемент (N k 1 Pk" I N н)
k
имеет смысл населенности (числа заполнения) N "фоТОИJlоrо СОСТОЯ
НИ5l k-й моды. В с.луч.ае Сl'ационарНоrо поля с неЗЗВИСИМЫМII :МQдами
нзселеннОСТlt ПОЛНОСТЬЮ задают все свойства поля. В чаСТНQCТII,.
средНее ЧИСЛО фОТОНОВ В ?vIoAe опре.з.е.пяющее ОСНОВНОЙ фотометри-
ческий пара!\tетр спектральную яркость раВНО
от--
(N k> == Sp (aka.tp ) ==: N <N 'Pk I Н>.
d:o
(7.5.90)
261
..
в равновесном, или Т..состоянии. оператор ПЛОТНОСТИ опреде..
Jt-яется распределением rнббса: P/l ехр ( 9tJi/x.T) rде Т темпе-
ратура термостата ( 3 2). В Т-состоянии населенность Л'.фотонноrо
уровня (Т4 е. вероятность обнаружить в моде одновременно N фо..
тонов НД И веро ятность зне рrии J\fОДЫ принять зн а чение n.ю ( N + t /2»
зависит от N экспоненuиально:
I р т (N) == Ce Л'х, J
(7.5.91)
rДе
с =-: р (О) == 1 ........ е x , Х fi.ro/xT.
Рас" ределеНIJе (91) называет с я I1ланковсКU)l, HJI И еео.itепlрuческuм,
так l\8K ОНО образует rеометрическую проrрессию. или распределе-
нием Бозе ЭйНtUnlейна. Подставнв (91) в (90), находим среднее
число фОТОНОВ в моде. называемое также фаКlпоро.м 6ЫflOOICдеНUЯ 1
(<<rаза» фотонов):
<N) т == (еХ.........l) 1 ::::: Jr == б.
(7.5.92)
Это равенство позволяет в качестве параметра распределения вместо
х использовать б, при 310М (91) принимает ВИД
р Т (N) ;:::; Р (0)1 (1 + 1/6) N , Р (О) :=: 1/( 1 + б). (745. 93)
Экспоненциальное распределенне энерrии имеют также моды не-,
рзвновесноrо ПОЛЯ в случае, коrда они возбуждаются хаотически МНО"
rими независимыми источниками T е. при тепловом ИЗJlучении,
fJюминесuенuии иди сверхдюминесцеНllИИ (в линейном режиме
M. 7.1)4 При этом зависимость <N k ) от Jk]==(й/с определяет частот-
ный спектр излучения а зависимость от направления k/k уrловой
пекТр и направленность HeKorepeHTHoro излучеНИЯ4 Напомним ЗДесЬ.,
что в неJlззеРНDМ свете обычно все (N , ,) 1.. Например" ДЛЯ зеленых
солнеqных лучей (N Jt ) I o 2, так что вероя тности обна ружить О t 1 и 2
фотона в ОДНОЙ моде равны примерно Ot99, lO 2 и IO '.
Можно покззать [54J, ЧТО квазивероятность в хаотически возбуж..
денной моде является ДВУh:fерной rауссовой функцией с дисперсией
(N)/2:
р т (z) :=:= ехр ( I z j2/<N) )/д (N),
(7.5t94)
Отсюда при учете (87)
Х т ( t.f r *) == ех р ( ........ Il * (N))
(7. 5 95)
и COfJIaCHO (88) ОТЛИЧНЫ от нуля ЛИШЬ четные симметричные 10"
менты
Gr) -== <:Nm:)r==ln! <N>т
(7.5.96)
2G2
Из (96) и (28) следуеТ t что т KвaHтoвый переход 8 Т..поде 8 (п! раЗ'
вероятнее. чем 8 z пOAe с me и же < N> (см. (6.4 6»)t что объясняется
ДЛИННЫМ «ХВОСТОМ» Т распределения При ПI == 2 (96) описывает
еруппир08КУ фопwнов ( 7+2, 7+6).
Подставив (94) в (86), можно убедиться, что распределения ко.
ординаты и импульса в хаотическом состоянии также ЯВЛЯЮТСЯ.
rауссовыми с ну левыми средним и зна цен ИЯМИ 1I дисперсиями оп ре-
деляемыми СВЯЗЬЮ <N) + 1/2:= <р1.+ l{l)!2, т. е.
< q2>T =: <ilp2>T < N>T + 1/2 == (1/2) cth (х/2)4
(7 5+97)
ЗамеТJIМ, что аДДИТИВНЬJе мноrомодовые параметры поля, например
ero напряженность Еа в точке (r [), будут иметь raYCCOBO распредеJIе..
ине НезависиМО ОТ состояний Qтдельнь[х ЛОД (при условии их незавн"
симости) в силу центральной предельной теоремы.
Как уже отмечаЛQСЬ t чистое 2 СDстояние не ОТНОСИТСЯ 1< классу
стаuионарных t поскольку z (t) ===р ехр ( i(l)t+ i(p). Однако ИЗ Hero мож-
НО пос.троить «стаUJfОНЭрИое KorepeHTHoe» состояние образовав смес.ь
z состояний с одинаковыми амплитудами р и СJlучаЙнь[ми фазами r.p..
Такому СОСТОЯНИЮ COOTBeTCTByeT очевидно, l{вазивеРОЯТНQСТЬ ВИда
154]
р (z) ==-6 (lzl р)J2лр о (lzlz.......р2)/л, .
(7.5498)
которая описывает ансамбль идеальных лазеров снеопределенной
фазой. Леrко проверить с помощью (86) (40), что распределение энер
rии в таком ансамбле остается nуаССОНОВСКИ 1 с <N)==p2.
7i16°jl Статистика фотонов и фотоэлектронов
Рассмотрим более подробно статистику числа фОТОНОВ N (C;\J. также
(131). Для ПрОСТОТЫ в OCHOBHO.Vf речь будет идти об ОДНОЙ моде. Ниже-
будет nоказаЛD, ЧТО распределение Р (N) рл/.JV ИЛИ моменты (Nm)===
NtIlP (N) можно экспериментально изучать по статистике ЧИСJIа фа-
тоотсчетов Т4 е. числа фотоэлектронов. BbJpbIBaeMblX светом из КаТода
ФЭУ за некоторое время выборки Т. Подобные методы лежат в ОСНове
спектрос](опии оптическоrо смешения r57J в котороЙ вместо TpaJ.JrUlIOH
Horo спектраЛЬtIоrо анализа света ПрОИ3ВОДИТСЯ статистический ан.аАиз
фототока на выходе ФЭУ.
Статистика фоТОНОВ. Закон распределения Р (N) в Данный момент.
времени в случае n рОИ3ВОЛ bHoro :\-lrНовеи Horo состоя н IIЯ МОДЫ опреде-
ляется общи 7\.1 прави ,ом
Р (N) === Sp {р 1 N> < N /} t (7 + 6. 1 )
rде 1 N> <N I == Р (iV) проекционный операТОр4 Полаrая в (7.5 86)
f N == a a, получаем z....предсТаВJlеНие для P1v,.JV:
P(N) == lLZzP(z) IzI2Ne !Z!'!N! .
(7.6.2)
263
Далее, воспользовавшись (7 .5 84б)., можно выразить Р (N) через
бесконечный набор нормальнь[х моментов порядка т;> N:
:о
Р (N) ::= < NN e .... Л'. > == ( 1)k G CN'.,," fl)
N! 4 · л!!."- k!
k О
(7 6.3)
Таким обраЗОi\l t распределение числа фотонов иМеет вцд распределения
Пуассона I1JA.!e 111 Н! СО случаЙnЫлJ nарам.еmром. I-t =:: й't требующим до-
полнuтелЬН020 кaaNmiJ8OZ0 усреднения с н ор.мал ЬНШl У/lорядоченuем
Вь[ше бь[ли nрнведены ДВа npJtMepa распределений Р (N): пуассо..
новское (7.5.40) для коrереитноrо Z сосТоЯНИЯ моды И rеометрическое
(7.5+93) д.ля хаотическоrо Т.СОСТОЯНИЯ Эти распределения являются
<JДНQпа раметр ическими ......... ОН И полностью задаются, на пример t пер-
ВЫМ l\fo.vzeHTOM (Н). Можно ПQказать (СМ,,) напримеРt 113J), что в поле
ОДНОМОДовоrо лазера распределение Р (М) ЯВJ}яеiСЯ Тlуассоновеким
при БОЛЬШОwl лревышении инверсии над noporOM самовозбуждения и
rеометричееким ниже пороrа Вблизи пороrа лазер имеет форму рас-
преде 1JеНИЯt промежуточную между ЭТИМИ двумя J<райними случаями.
Это распределение в простейших моделях определяется двумя лара-
MeTpaAflf, наПрll lер (Н) " Превышеннем инверСlfll над пораrОjV/
Полезно рассмотреть еще один класс соСтояний осциллятора-------
некоrерентную смес.ь вакуума 10) и К фотонноrо состояния IK). При
ЭТОМ р (N) ОТЛИЧНО от нуля ЛИШЬ в двух точках:
Р (N):= р (О) 6"/0+ р (К) 6 NK .
Отсюда <Л'> === кр (1() и можно все величины выразить через один
лараыеТр...........средНее число фотонов:
р (К) == (N)/K, Р (О) == I.......P (K)t
<NttJ) == ктр (К) == Kт l <N)f о N К.
(7.6 4)
(7 б.5)
(7.6 6)
в предельном случ-ае (N)==K получаем чистое эНерrетическое состояние
с К фотонами, однако интереснее более реаЛИСТИЧНЬJЙ случай (N).cgK.
TaKlle состояния Moryr получаться пр" К -фОТОННОМ распаде в одну
моду ОДноrо возбужденноrо атома. При повторении этоrо nроцесса ВО
времени возникает «К-фотонный» свет........... излучение состоящее из
отдельных rpynn по К фОТОНОВ. Двухфотонный свет rенернруется так-
же при спонтанном (\N) 2) лараметричесКQМ рассеянии ( 6 5) «обыч-
Horo» CBeTa в КОТОрОМ фОТОНЫ раслределены по Пуассону или по Во..
зе --------- ЭЙН штейну.
На рис. 7 19 представлены rрафики трех уКазанных ТИПОВ распре-
делений. Ниже будет nоказаНО t ЧТО резкий обрыв К фотонноrо рас-
пределения дЛЯ N>K приводит при (N»K.........I к эффе]{ту антиеруn-
пUPOВI{U фОТОНОВ t а при К>l t (N}<:gK 1 к эффекту C8epxzpynп.u..
ровка (принято,. что nуаССОНовекое распределение не обладает rруп"и.
РОБКОЙ)..
Часто при вычис.п"енияХ н интерпретации экспериментальных дан.
ных удобнее иметь дедо не с обычными моментами (Ntn). а с факпюри-
264
алЬНЫМU .моментам.и
а(т) е: <:N"'; > ::== <N (N ........1). . + (N т + 1»
и ИХ ПРОИЗВОДЯЩИМИ функциями
(746.7)
Q(X) (1 +x)NP{N):==<:ex N :);
N=O
(7 6.8)
последне равенство следует нз (3). Отметим отличие Q (х) от функ..
ции <еЛ> дающеЙ при диффереНllировании 06ь[чные моменты. Если
0,!I <N)=f (N)=fQ
41
а
Q О
,
/
0,1 /
5 I
;'
о
о
5
10
1
O,
4
о 1 2 J It- s
Р н с. '7 + 19. Ха р (11\ те Р I-t Ы ос фа р мы р а с п peДe '1 е н li Й Ч 11 се..1 фоТОНО 6: а) reoMeTp и ч. ее J\ ое рас..
пределение, б) пуаССQНQвское; 8) дву хфотонное смешанное:. Ш трихозая .ли ния
rауссовэ функция со средним значением 9 5 (см. (20))
..
функция Q (х) известна t то факториальные моменты и саМо распре-
деление Р (N) леrко на ЙТlf t Д иффе ренци рун ее в то чках х == О и ........1.
Действительно; из определений следует
GiтJ -= Qtпa) (О)"
Р (N) == QrM ( I )/Nf,
(7 6.9)
(7 6.10)
rде
Q(т) (х) == dтQ (х)/ ш т 4 (7 . б .11 )
Под.ставляя в (8) поочередно распределения (7.5.40)1 (7.5 9З)t
(4)t находим производящие функции для трех рассмотренных типов
состояний осциллятора:
Qz (х) =- ех (N);
Qr (х) :=: 1 J( 1......... х < N) ).
QK (х) =-1 + <N> [( 1 + х)К...... J ]/1(.
9 д. Н. l(.'blUIK{)
(7.6.12)
(7.6.13)
(7.6414)
265
Отсюда по правнлу (9) сразу следует
G )==<N)т, aT) m! <N>-7 (7.6.15)
G ) <N>(K........l) ..(K т+l)t 1 <т K.
Ценнь[м свойством ПРОИ3ВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ (ПФ) является ТО? ЧТО,
ка1, следует из определения (8), ПФ Q(x) для суммы N ""EN t незавн"
СИМblХ случайных целых чисел N 1 равна произведению ПФ Т'lЯ этих
чисел:
Q(х) ПQl(Х).
t
(7 бt 16)
Например, пусть множество нз М одинаковых атомов незаВIIСН.\JО 1)
излуЧает К""фОТОННЫЙ CBeT J тоrда с ПОМОЩЬЮ (14) и (16) наХОДИ\I
A.f
Q (х) =-= П {l + <N i> [(1 + х)К 1 ]IK ехр {<N> ((1 + х)К 1 ]/K},
i;:::: }
( 7 . 6. 1 7)
r де принято М ........,.. 00 и <N 1 ) ------+ О при конеЧНQА1 < N / == <Л ' ,). в случае
К -==:; 1 ( 17) переходит в (12), т <t е слабое DДНОфОТQнное И31.1Jучение
большоrо числа независимых aTO OB дает пуассоновское распреде
лемие (В отсутствие интерференuии). При К > 1 (17) описывает пуае...
СQНОБСRое распределение для rрупп из К фоТОНОВ. Напри [ер, при
дву ХфОТQН НОМ излучении
Q(x)==exp [ t(2X+X2)], 11 <N)/2,
Р (2N) IlNe fJ.j N' t Р (2N + 1) == 06
(746.18)
Приведенный пример охватывает, очеВИДНО t и случаЙ t КОТД8 .. 1 ян-
лнется числом незаВИСИ lЫХ ,МОД, а N суммарным ЧИСЛОМ фОТОНОВ
В ЭТИХ модах.
Рассмотрим друrой ПрИJ\'lер применения правила КОМПО3ИllИИ не..
зависимых распредеЛений (16). Пусть теперь нас интересует общее
ЧИСЛО фОТОНОВ N в М независимых МОДах с rеометрическим распреде
лением и одинаковыми среДНИМИ числами фОТОНОВ (lV, ) === (iV)i..M ==- б
(этот лара lетр наЗЫВают фактором вырождения). Производящая функ...
цпя соrласно (13) и (16) раВНа
\1
Q (х) 11 1/(1....... х (N h » === 1/(1 хб)lW.
k==1
(7.б419а)
Отсюда при М 1 t хб « 1 и конечном (N) ПОL'Iучаем снова пуае-
соновское распределение:
Q (х) :=:: е.\- <_\) (М 1). (746+ 196)
Таким оБРЗЗОМ t общее число фотоН08 в множестве незавucuмых м.од
с еео.меlпрuчеСКUАt распределением стремится к nуасСОНООСICOМУ распре..
делению. 3амеТИМ t что при (N) l дискретное распределение Пуассона
можно аппроксимировать непрерывным нормальным распределением
........
1) При ЭТОМ МЫ I1 ренебреrаем интерференцией t что допустимо s ел У'lзе MHoro-
м 0;1,0 8 ы Х хете Ii т ар о в с бо...1 Ь LU им 06ъем ом детст(ти ровз н И я ( 7. 2) .
2М
(рис. 7 .19 б) с совпадающими первым моментом и дис персией;
р (N) ехр { (N <N»'/2 <N>}/V2л < N >. (7.6.20)
Относительные флуктуации при <N):p 1 становятся иалыми:
!iN !(N) < N> 1/9. == (fioo/<l> )1/2 <{ 1. (7.6.21)
Итак t при бо/tьших средней энер2UU u ЧUСАе мод ACbl получили еауссово
распределение 8 COOtпeemcmBua с ценпlральнои предельной теорем.ой и
классuЧ1!Ск.ой тepMoдиHaA ик.oй.
В общем СЛУЧRе из (]9а) следует распределение Паскаля:
й(Ю == tl I 6 k == <N)" ( 1 +k) · · · ( 1 + \й! ) I
P(N ) tM Б N (7.6.22)
N! (М О! (1 ---[ б)М + л r
Оmсюда nолавая k === 2, находим, чпю оmиocuтельныli флуктуации
падаЮ"l с pocтO Jt числа мод:
N ( 1 I ) L/4j!
<N) (lV) +м ·
(7.6.23)
rруппнровка и антнrруппировка фоТОНОВ. Среди всевозможных
типов lrHOBeH"blX СОСТОЯНИЙ кваНТОБоrо осциллятора выделяются
KorepeHTHbIe СОСТОЯНИЯ как наиболее близкие в некотором СМысле
к состоянию классическоrо осциллятора с определенными координа-
той и скоростью Соrласно (745.40) распределение числа фОТОНОВ N
в Z.СQСТОЯНИИ является пуаССОНQВСКИМ t так ЧТО дисперсия совпадает
со среДНJf 1 ЧИСЛОМ фотонов:
< N2> :== <N> =: f z [ . (7.6.24)
Таки образом, распределение N в KorepeHTHQM квантовом ансамб-
ле совпадает с распределением по одинаковым ячейкам хаотически
разбросанных в пространстве или во времени классических частиц.
В ПрОНЗВОЛ.ЬНОМ состоянии дисперсия (i1NЭ} может,. конечно, отли-
чаться от (N), при ЭТОМ в случае {tlN2»{N) rОБОрЯТ об эq:.фекте zpyn..
nUр08ки фОТОНDВ t а в случае (.6.N1)< (N) ......... об QMmU2pynnиp08кe. Для
кодичественной характеристнки этих эффектов удобно использовать
НОрМlfрОВ8ННЫЙ второй фаКТОрИЗJlЪНЫЙ момент;
;:::= < N2 > ..... y(Nt) < 1 . <AN'l> <N>
g <N)I....... <N)'l Т (N)I ·
(7 6.25)
Для пуаССОНQ8сКоrо распределения g 1) прТl rрулпировке g>l
и при антиrРУППИрОВl<е g<l. Поскольку скорость вынужденноrо
двухквантовоrо перехода ЛРОflорционаЛhна (;N2 ), то g определяет
оТношение aeyxквaHlпoвblX эффекпzuвНfJсmей данноrо ПОЛЯ и KorepeHT"
Horo ПО..ЧЯ с той же средней энерrнеЙ. Заметим) что если в определении
g (25) не учитывать знака нормальноrо у порядочени Я; ТО g бу дет Bcer да
,. 267
превышать единицу:
gJl.aac (s <N')/<N>2 1 + <!1N2)J<N)' 1. (7.6426)
В хаотическом Т СОСТОЯНИИ BcerAa имеет место rруппировка
фоТОНQВ t поскольку соrласно (15) для rеометрич.ескоrо распределения
<6N'l)T <N) (1 +</V») (7 6.27)
и gr 2t Лревышение дисперсии над <N) вызывается сравнительно
f\1едленно убывающим характером rеометрическоrо (экспоненциаль-
Horo) распределения (рис. 7.19), при котором «rpynnbl» ИЗ N фото-
НОВ с N::f=. <N> встречаются чаще, чем в случае пуаССОНQ8скоrо рас-
предеЛеи"я В результате относительные флуктуации числа фотонов
в Т-состоянии при <N> 1 стремятся к единице (а не J( НУ.. Ю как
в z состоянни):
[( AN !<N> )т == (1 I<N) + 1 )1/2 ........ 1. (74 б. 28)
Иноrда rОВОРЯТ J что ПерВое и второе слатаемые в (27) или (28)
отражают СООТВетственно КОРПУСКУЛЯРНЬ1Й и волновой аспекты в дуа...
J1изме волна........ частица ДЛЯ фотона или что эффект rруппировки (Т. е.
второе слаrаемое) свидетельствует о тенденции фОТОНОВ к объедине-
НИЮ t «слипанию». Эта терминолоrия маскирует ТОТ факт, что дисперсия
какой-либо наблюдаемой f характеризует состояние, а не свойства f
и иrнорирует существование СОСТОЯНИЙ с антиrруппировкой, T е.
с меньшими чем l/V (N) относительными ФЛУКТУЗUИЯМИ и С ДВУХфОТQН'"
НОЙ эQxPеКТИВНОСТЬЮ t меньшей, че в Z-СОСТОЯННИ С ТОЙ же средней энер"
rией.
Очевидным лримером клвеса СОСТОЯНИЙ с антиrруппировкой ЯВ-
ляются энерrетические состояния. В К"фОТОННОМ состоянии флук*
туации N отсутствуют Р(N)===Б NКt так что <Nt1f)::(N)11J и g===
:=::= I К... 1 < 1.
Рассмотренная выше смесь ВЗКУУl.fЗ JT К фотонноrо СОСТОЯ Н ИЯ (4)
также обладает антиrруппировкоЙ при УСЛОВИИ <N> > К 1 Дей
СТВИТeJ!ЬНО t И3 (6) следует
g к == (К ....... 1 )/<N> (7.6.29)
Следовательно,. ОДНофоТОННЫЙ распаД одиночных атомов переВОДItТ
поле в состояние с антиrруппировкой, g==O, что 11 было недавно обна-
ружено при наблюдении резонансной флуоресценции (9 5.2) пучка
атомов Натрия [62]. Конечно,. реальное усреднение ПРОИ3ВОДИТСЯ не
по .ансамблю экспериментальных YCTaHOBOK t а ВО времени.
НаrJ1ЯДНО этот эффект объясняется TeM что при распаде одноrо
атома не может возникнуть двух фотонов,. поэтому излучаемые фОТОНЫ
всеrДа разделены некоторым интервалом времени т, необходимым для
nQBTopHoro возбуждения и девозбуждекия Toro же атома или следую"
щеrо атома в пучке (РИСt 7.20) о). НаПОМНИМ t ЧТО наша «ОДНQМОДDвая»
теория ОТНОСИТСЯ ЛИШЬ К интервалам времени Т, MHoro меньшим
Т) поэтому P(N)==-O дnя N>l.
Излучение с антиrруппировкой (<<однофотонный» свет) может воз-
никать также в результате мноrофотонноrо лоrлощения ( 6.4) «обыч..
?68
Horo» (хаотическоrо или коrереитноrо) излучения. Дело в ТОМ,. ЧТО
К-фотонное поrлощение очевидно, сказывается лишь На «Х8ОСте»
распределения р (N) при N K, что "РИБОДИТ К разреживанию rрулп
фОТОНОВ и уменьшению флуктуаций в исходном нзлучении С друrой
стороны, эффект насыщения при однофотонном поrлощении ( 4.3),.
наоборот, подчеркивает флуктуаЦИИ t T e. rруппирует фОТОНЫ (на
этом основан метод получения очень коротких....... пикосекундньrх
импульсов в лазерах с синхронизацией мод).
Формула (29) при K>l н (N)4J( IJ Т. е. в случае слабоrо 1Horo-
фотонноrо света, дает & 1 (рис. 7.21) ЭтОТ эф:}JеR т можно назвать
5"
4
1
JIt
а
:J
б
2
.1 }
t
1 J1
II -
LlI
L:
о 1 2 J
Рис4' 7.21. Зави{; НМОС1Ь пзраметра
rРУППИРОSК1t g ОТ среднеrо ЧИС. а
фотонов (Л') в CL' У ча я.х : 1 0)1Jf0-
фоТОНJ10rо света; 2 дву хфотон.
Iforo; 3 тре ХфоТQН н oro; ..J к ore
рентиоrо; 5 хаотическоro. В об..
1'1 ает н J I [меет- место а ИТнrр ' n n .1 I Р ОВ-
ка фотОНОВ. в // rруппировка If
в J 11 ........... сверхrРУJlпировка
Рис 7.20. Примерный ВИД распреде.ле..
ния 10 фотонов во времени в случ..аях:
й) ха ОТН чес к oro СВет а (эффект rJJ.Y n n и
ровкн); 6) коrерентиоrо сВета; 8) ОДНО"
фоТQниоrо света (зитиrр уп пировна);
z) АВу х фотОН иоrо СВет а (с вер х r р у n
лнров]{а)
«сверхrруппировкоА» фОТОНОВ. Он наrЛЯДНо объясняется реrулярным
объединением фОТОНОВ в rруnпы по К фОТОНОВ, разделенных БО.тIЫIlИМ
интервалом времени (РИСt 7.20, а). Удобным способом получения на..
праsлениоrо двухфоrQнноrо света является параметрическое рассел.
яне ( 6.5) обычноrо света в пьезокриеталлаХ4 Ниже будет покззано (СМ.
(5З)) что Э4:}хРект сверхrРУПЛftровки МОЖНО использовать для абсолют-
НOlО (беззталонноrо) измерения K88HTOBoro выхода фотодетеf{ТОРОВ
137J.
СОСТОЯНИЯ поля с антиrруппировкой фОТОНОВ и упомянутые ВЬJше
сжатые состояния ПрИВJlекают к себе в последние rоды БОJlьшое вн и-
мание как свое время и эq:фе1{Т rРУППИРОВКИ t обнаруженный Брау-
ном Jl Твиссом В J955 r. Наблюдавшийся в 1977 f. эффект антиrруппн-
рОБКИ фотоэлектронов считается доказательством неадекватнQCТИ ПО 1У
классической 7еории излучения (СМ. (26). Действительно) соrласно
представлениям этоА теории ОДНОМОДОВЫЙ лазер СО стабилизированной
амплитудой ДО 'lЖеН вызывать фОТОТОК с минимально ВО3МОЖНЫt.=1Н
флуктуациями, которые, как и обычный дробовой шум, ДОJlЖНЫ Н\1еть
269
пуаССQНQВСКИЙ характер ввиду равноправия всех моментов времени.
ТаI{И 1 обра30 1, БОJlее рзвномериоrо" чем пуаССОНQвское, распределения
Фотоэ.пеКТРОНQ8 во времени вызвать, казалось БЫ t нев03МОЖНО В про-
ТIIВQПОЛОЖНQСТЬ этому С нзr лядной фотонной ТОЧ({Н зрения поток рав-
НООТСТОRЩПХ ВО времени фОТОНОВ (получаемых, например, при перио-
дичеСI{ОМ возбуждении одиночноrо атома) вызовет равномерный поток
фотоэлектронов (при Достаточно большом квантовом выходе 1))
Характерно , ЧТО в состояниях с g<l" например K-фОТОННЫХ t ква.
зивероятности Р (z) имеют сильные синrулярности и ПрИнимают отри.
цательные значения fS4 t 56) что дает основание считать такие состоя.
ния существенно неклассичеСКИМИ t Т. e не имеющими клвссическоrо
а Jlвлоrа 4
Рассмотрим далее квантовую трактовку интерферевционных экспе-
риментов типа Юнrа Ii Брауна........ Твнсса (9 7.2). При квантовании
поля удобно теперь разлаrать поле не по ПЛОСКИМ ВQлнаМ t а по орто-
rональным собственным ФУНКЦИЯМ uп(r) соответствующей rраничной
задачи, учитывающеЙ наличие экранов СО ЩеЛЯМИ и полупрозрачных
зеркал. В простейшем случае MOHOXpoM3THLfecKoro ПОЛЯ и ОДНОМОДО-
вых детекторов все поле можно представить в Виде ОДНОЙ моды:
Е (r, t) == и (r) а (t) + и* (r) а + (t) Е( + } + Е<'" · t (7.6.30)
r де а (t) ae....((di onepaTOp уничтожения фотона в этой моде.
Показания однос):ютонноrо детектора. расположенноrо в точке r 1.
пропорциональны средней интенсивности
G\t) <E )Ei+}> I иl1 <N).
rде Индекс 1 заменяет aprYMeHT "l, N a+a и усреднение ПРОИ3ВОДИТСЯ
ПО нача J1ЬНОМУ состоянию ПОЛЯ. ПодчеркнеМ j ЧТО функция u(r) ре-.
шение классическоrо БQЛновоrо уравнеНffЯ, она описывает pacnp()ot
странение классических ВОЛН. ИХ дифракцию и интерференцию. Ta't
ким обраЗОМ t понятия фотона и волны нисколько не nротиворечат друе
дрУ2Уt здесь нет необходимости rоворитЬ о дуализме волна......... частица.
Операторы a J а+ t N не зависят ОТ координаты. поэтому фотон эле-
ментарное возбуждение все2й поля и вопрос «через какую щель прошел
фотон» не имеет смысла Пространственная CTPYI{Typa поля определя-
ется функцией и (r),. ее квадрат дает вероятность обнаружения фотона
в ПРОИ3ВОЛЬНОЙ точке rJ поэтому она иrрает роль ВОЛНОВОЙ функции
фОТОНЗ4>
Корпускулярные свойства фотона проявляются здесь лишь при
детектировании l{оrда энерrня Bcero ПОJ(Я firo (в случае It o ) . 11») «етя.
rнвается» в одну «точку». Особенно наrЛЯДНQ ЭТО проявляется при
наблюдении вспышек на экране сцинтиллятора Отметим, что часто
обсуждаемый дуализм ВОЛНОВЫХ пакетов не специфичен для квантовой
мехаНlfКИ t ЭТИМ свойством обладают и классические волны.
Далее коррелЯltИR ПQказаНI[Й т однофотонных дeтeKTopOB распо-.
ложенных в точках rl . t t , r m , будет пропорциональна нормадьному
моменту ПОрЯДI{а т:
Gi":.>. т Е: < Ei"') . . + E )E ) . . Ei+) ;:== r и 1 .. . а т 12 <; Nт: >. (7 4 6 3 1)
271
Первый множитель здесь определяет влияние npocrpaHCTвeHHoro рас-
положения детекторОВt Для случая m==2 ЭТОТ результат был получен
в 9: 7.2 с помощью наrJIЯДНОЙ модели, основанной на лредлоложеНИIJ
о биномиальном распределении фотонов в точках rl r
ПУСТЬ t например" на интерферометр ИН1'енс-нвности (рис. 7.13)
падает двухфоrQННЫЙ CBeT t тоrда с учетом (15) показания корреЛЯТора
будут пропорциональны величине
Gi == I UIU21 < N),
а средние отсчеты пропорциональны G ) Отсюда относительная
корреляuия раБна
gi E;S O IG I)G l):=: 1 !(N). (7.6.32)
В СJ1учае ЧИСТОrО ДВУХфОТQнноrо состояния <N):= 2 и И lеет 1eCTO
так называемая отриuате.тrьная корреляция. или антикорреляuия,
с g < 1 (рис. 7 12).
Выше ДЛЯ простоты rОБОрИЛQCЬ о статистике ОДНОЙ МОДЫ j однако
мноrие ВЫВОДЫ обобщаются J.I на МНОТОМОДовое nOJ]e TaK t при СПОН-
танном ДВУХфОТQННQМ распаде (9 6.2) и параrvlетричеСКQМ рассеянии
( 6+5) фОТОНЫ В парах обычно принадле}J{ат pa3HЫ ' модам 111 11 k 2 ,
отличающимся как по частоте, так н по направлениям. К S8I{YYMy
n ри ЭТО l доба мяется небольша я примесь СОСТОЯ ни я } 1 )111 ) 2, ЧТО Дает
равенство моментов:
(NJN 2) (N 1 )== {Н,.>.
в результате при (Nl) l вероятность обнаружения двух
1\lHoro больше ПрОl1зведения ОДНофОТОННЫХ вероятностей:
g (k 1 , k,,) == <N lN 2>I<N 1> (N 2> == l/<N 1> > 1 ·
фотонов
(7.6r33)
Это неравенство, которое также МОЖНО интерпретировать как эффект
С8ерх?руппUрО6ки (ер. (29) при J( ==2), было экспериментально под-
тверждено меТОДО1vI совпадений фотоотсчеТОБ двух ФЭУt
Статистика фоТОЭ..1lек ТрОНОВ. П УС1 Ь V АеТ V t(Qf" Tor да излучеНИе,
падающее на катод ФЭУ. можно полаr 1'1'Ь OДHO OДOBЫM ( 7.2).
Ниже Mbl t ИСХОДЯ из Наrлядных комбииаториьrх соображеНИЙ j ПОI{а-
жем, следуя Скаллн [52J (СМ. также [13, 53, 54; 56J), что фоР ] \t1а
lt1анделя (742431) сохраняет СБОЙ вид И 8 рамках квантовой теории,
если в ней а/ заменить На YlN 4J rде ll кваитовыЙ ВЫХОД ФЭУ н
N onepaTOp ЧИС4,1']а фОТОНОВ в объеме детектирования (N отличается
от числа фотонов Б моде множителем V Jle1 Jl'.lтr).
Рассмотрим сначала поле в ЧИСТОМ энерrетичеСКОl\'1 СОСТОЯНИИ
с ЧИСЛО фОТОНОВ N" вззимодействующе.е с фотодетектором (ФЭУ).
Пусть вероятность реrистрацни одноrо фотона равна 11 (О 11 1).
TorA3 вероятностЬ реrистраuии любых т cjюТОНОВ из их 06щеrо
числа N::> т оnределяеТСЯ j очевидно, биномиальным распредеL1ением
Бернулли (рис. 7.22):
Р (т I N) C 11t1l (1 11)H 1IJ (7.6+34)
01.сюда в случае ПРОJlЗБодьноrо СОСТОЯНИЯ ПО .lЯ на ХОДИМ c...1Je
.lующую связь !\Iежду рЕспреде4.flением фОТОНОВ Р (.У) p \.JV 11
71
распределением фотоэлектронов (или, иначе. фоmoоmcч.е1tЮ8):
.ао
Р(т)== Р(т r N) P(N).
N=m
(7.6.35)
в случае 1')==: I имеем Р (ml N) ==б тN и распределения Эw'lектронов и фо..
10НОВ совпадают. При ч<1 биномиальное преобрэзовзние (35) вносит
t P(tY) дополнительную стохаСТIlЧНОСТЬ.
искажает р (N) и затрудняет реше.
яне обратной задачи опредеде..
ине статистики поля по измерен-
ной статистике фотоотсчетов (с по-
fОЩЬЮ (43) МОЖНО показать что
N Р (N) формально выражается через
р (т) также преобразованием вида
(35)t Но с заменой 11 на l/ч)
OTMeTrlM t что если ЛОД 11 пони-
мать вероятность «ВЫЖивания» фо-
тона пр" прохождении света через
слой вещества с ОДНофОТОННЫ 1 поr
лощениеМ t ТО /n будет иметь смысл
л1 числа фОТОНОВ на выходе из слоя а
с 1 2 J 4 N на входе. При этом 11 e Ы t
Рис. 7+22. Рас nреде.1енн я ч Hce 1 фото. r де а коэффициент nor лощения и
нов Р(.\) н фотоэлектронов Р(1п) при l ТQЛЩI[на СДОЯ. Таким образом,
э<J>Фeктнвности Детеf\ТОрЗ О!З JI четЫ форм у ла (35) и все следующие И3
реХфоТQRНОМ начальном СОСТОЯНИИ П(l.'lЯ нее ниже результаты описывают
. также и nреобрззовзние статистики
поля npH ero линейном ПОfJlощении в ХОЛОДНОМ веществе 4
Перейдем от N..представления 1< Z ПредстаВ.,1Iению с ПОМОЩЬЮ (2)t
В результате из (35) следует квантовый вариант формулы Манделя
(7 .2 31 ) t ВЫ ражающи й рас пределен не фотоэлектронов через квазиве-
роятность Р (z) состояния z:
р (/11) == d 2 z Р (z) (111 z I )" e ТJI z 101т! (7.6.36а)
Это выражение при учете (7 5.В4б) МОЖНО представить в Ilнnари-
актном виде:
о
,45 Р(т)
р (1n) == <:(llN)т e ч.\' ; >! пl!,
(7.6.366)
rде N ::::.a+a ИтаК t распред.еление фотоэлектронов имеет вид распре-
деления Пуассона, но с дополнительным квантовым усреднением,
включающим операцию нормальноrо упорядочения. Заметим что
полученное выражение отличается ОТ распределения фОТОНОВ (3) ЛИШЬ
заменоЙ N на l1N.
Иllтеrральное преобразование (36а) леrко выполнить Д4с1]Я Kore-
peHTHoro и хаотическоrо состоянИЙ моды. При этом оказываеТСR,
ЧТО функциональные формы распределений ЭАектронos u фопlОН08
в ЭТnUХ двух сл.учаях совпадают4 Действительно,. полаrая в (36а)
272
р (2) == б( ) (Z.........Zl)' находим
Р z (т) (m)т e---<т>/ml;
далее, из (36а) и (7.5.94) следует
Р т (т) == (m)IЛ/(l + <т»I1J+l t
(7.6437а)
(7.6.376)
rде (m) !I (N).
Напомним, ЧТО ПОД Р (т) можно понимать также распределение
фОТОНОВ на выходе холодноrо СЛОЯ с однофотонныM поr.,J]ощением (1') ==z
==e al) Таким оБР830М t линейное nozлйщенue при Т===О К не измеНяет
вида распределения фотонов в случае хаоmuческ.оео и КО2ерентнОёО па..
дающе20 излучения (в отличие от случая N фотонноrо излучения
еМ1> (1»). Поrлощение или усиление при Т++О сопровождается хаоти",
ческим CnOHтaHHbJM излучениеМ 1 ЧТО меняет форму распределения..
Полученные связи (35)" (36) ежду распределениями фотоэлектро.
НОВ и фОТОНОВ имеют довольно сложныЙ характер. rораздо проще
связи между ЛРОИЗВОДЯЩИМИ функциями (СМ4 (43» и факториальными
моментами ЭТИХ распределениЙ:
r т Ш := ч kNШ ,
(7.6.38)
тде
m tk ) =: <т (m 1) . . (пz........k + 1», (7.6.39)
NC1iJ == <: NIf.:) <N (N........1) . . . (N k + 1 » (7.6.40)
Здесь функции от пl усредняются с помощью дискретноrо распре-
деления Р (т):
CCI
<! (т) == f (т) Р (т);
т O
(7.6.41 )
квантовое среднее <! (N) в N представлении имеет аналоrичиый вид.
Формулу (38) леrко вывести с помощью nроизводstщих функций
для фОТОНОВ Qфnт (х) (СМ. (8)) и электронов:
CL'O
QЗll (х) =: (1 + x)C1J Р (т). +
т=О
(7.б 42)
Подставив сюда (366)1 нахоДИМ
QЭJ1 (х) ==== Qфот (1')х) ::= < : &t}N : >.
(7.6.43)
Отсюда при учете (9) следует (38).
Из (38) леrко получаем связи между обычными моментами:
<т) :::: fJ <N>t (7 б.44)
<т 2 ) == 1] (N) + 1]1 ( < N2) ......... < N) ) t (7.6.45)
и между дисперсиями (Ср4> (7 2.38)):
Am'J == (т> (1 1l) + 11' <!1N >..
(7.6446)
273
TaKIIM оБРЗЗОfvf, [{ обычному дробовому шуму ч)ототока (т> добавляются
-.:: весом 1)2 «.[ OTOHHыe)} шумы <AN2) (что представляется естественным),
но одновременно вычитается член 112{N) (что для полуклассики Неожи....
данно). В случае антиrруппировки фОТОНОВ <I:1N2>«N)t так что шумы
qютотока !\1ень[ие пуаССОНQВСКИХ t Т. е. электроны ПОЯВ Т]ЯЮТСЯ с какой
ТО степенью реrуЛЯрНQСТИ, как бы «отталкиваясь» друr ОТ друrз..
ЗамеТН ft что cor ласно (38) параметры zpynпup08Ku (как и вообще
все HOpA-tUрОIШнные фак.mорuaЛЬНblе моменты) для элекmронов и фотонов
совпадаюпl:
g == m(?J! {т}2 == NHHf < N )2..
ЕС.!ПI В приведенных формулах понимать ПОД N общее число фОТО--
НОВ В М независиМЫХ модаХ t ТО ОНИ будут описывать статистику М-Мо.
довоrо дeTeKTopa TaK t из (16) и (43) находим
Лf
QЭJ1 (х) === П Qk (1}X) (7 +6.47)
k=J
rде Q/l (Х) ПРОИЗВОДRщая функция для k.й MOДЫ
В случае МОД с reометрическим (тепловым) распределением фо..
тонов из (13) получаем (cp (19a))
Qэа (х) =- 1/( 1 ....... Хll б ).'1 t (7.6.48)
rде б:=:= < Nt)/M cpeДHee ЧИСЛО фоТОНОВ В ОДНОЙ lvfDде.
При М 1 и ..\1"]6 I эта функция стремится к (cp (196))
Q'JI (х) :==: е-п ' L{ e {т) 4 (7. 6 49)
СледователЬНО t м.ноеом.одовый детектор под дeйcтвueм. mеnЛ08О20
пол.я дает пуасСQНовск.ую статистику оmcчетов и не обнаруживает
аффекта еруппUРО8КU (как и само мноrомодовое поле СМ. (196)).
При конечном числе мод М из (48) получаем распределение и фак"
ториальные МQмеИТЫ t совпадающие с (22) при замене б на 116 (или (N) на
(т»). в чаСТE:lQСТИ t из (23) находим относительные флуктуации
I1m/(m> == (1/<т> + 1/ М)1/2 4 (7.6.50)
АналоrИЧНОt заменяя в (18) х на l1Xt нахоДИМ производящую
функцию для мноrомодовоrо детеКТОРЗ t на который падает двухфо"
ТОННЫЙ свет:
Q э..I (х) === ехр [(пl) (х + llX2/2)] 4
(7.6.51)
СуществеННО t ЧТО эта функция при 11*1 отличается по структуре от
(18)j что предоставляет интересную возможность абсолютноrо (без
эталонноrо) измерения KBaHTQBOrO ВЫХОДа ФЭУ n. Действительно, И3
(51) находим
или
(т 2 ) == (т) «(in)+ 1 +11),
1) ==: {t!m 9 )/ {т) l == (т) (g l).
(7.6.52)
(7.6.53)
Таким обраЗ0М измерение CpeaNi!20 числа u дисперсии (или Парамет-
ра 2руппuровкu) числа фотооmсчетов дает информацию о квйн.тово.м.
выходе.
274
1
7.r. Взаимодействие атома с квантованпым полем
До сих пор при расчете вероятностей кваНТОВЫХ переходов МЫ ис-
пользовали полукласснческий ПОДХОД. при ЭТОМ спонтанные переходы
ОПисывались HeCTporo с помощью дополнительных правил ИЛИ анало
rий ВВОДИМЫХ без достаточноrо обоснования. В настоящем разделе
этот недостаток будет ислравлен. Будет показано ЧТО взаИМОДеЙСТВIIЯ
двух стационаРНЪJХ квантовых систем удобно описывать феноменола..
rически с ПОМОЩЬЮ нормальных и антинормаЛЬНЬJХ корреляционных
ФУНКUИЙ (КФ)4 Эти функции более непосредственно связаны с обменом
энерrиеЙ t чем обычно используемые симметризованные КФ Будет
рассмотрена также симметрия КФ, связь разлИЧНЫХ КФ друr с дру'"
rOMt с микропараметрами систем и с ИХ функциями rрина ОТКЛJ[l\а
МИ на KorepeHTHoe возмущение.
Вероятности ПОfлощення и Н3Jlучения. PaCCMoтpJI взаимодействие
одноrо атома и KBaHТOBaHHoro nОЛЯ Пусть в начальный момент 10
атом и поле были независимы: It o )==jm}lil E3 jmi), rде Im)t ri} Ha
чальные состояния атома II ПОЛЯ соответетвеННО4 В первом ПОРЯДI{е
теории возмущения амплитуда перехода CHJ(t) в какое лнбо состояние
lпf) определяется матричным элементом оператора взаимодействия
(пfI lmi) 2 1). В ДИПОЛЬНОМ приближении
,
C/J/""" S dt' (п! I d(t')-E(t') I mi). (7.7.1)
1.
тде операторы берутся в предстаВЛении взаимодеЙСТВИЯ t Т. е4> без учета
возмущения.
Разобьем эти операторы на положитеЛЬНО и отрицательно Ча-
стотные части. При t to == Т i?> 1/00 быстроосциллирующне (примерно
с ДВОЙНОЙ средней частотой 00) произведения d (+) ЕС +) И dt&.A'. Е{....)
не дают вкла.да в интеrрвЛ (1), поэтому можно полаrать
(t) d( ) (t). Е( + J (t) + а( +) (t). ЕС ) (t). (7 t 7.2)
Это уже знакомое нам приближение вращающейся волны ( 2.2).
Предположим далее, что начальное и конечное состояния атома
и/или ПОJ(Я ......... энерrетич-еские, тоrда перВое слаrаемое в (2) Дает вклад
лишь при передаче кванта от ПОЛЯ к атому" а второе от атома к
ПОЛЮt Следовательно, вероятность перехода с поrЛОLЦением равна
t
Р t (nf I mi) ""'" -л : dt' dt" d :,: (1') d:,;J( 1") Ц[) (t') E,i ' (t4r). (7.7.3)
'о
здесь использовано равенство f J==(j tJ)* и предполаrается ДЛЯ про...
стоты параллельность векторов d и Е. В случае излучения надо, оче-
видно, поменять в (3) индексы (+) и ( ) местами ЗамеТИМ t ЧТО .при-
ближение (2) не сказывается на вероятности перехода в случае энерrе-
тическиХ СОСТОЯНИЙ одной из взаимодействующих систем" так как при
ЭТОМ произведения вида {:;Ш равны НУЛЮ
275
Если нас не интересуеТ j в какое именно коltечное состояние пере.
Jllла система, ТО следует ПрОСУММИрОS8ТЬ выражение (3) ПО всевозмож-
ным состояниям !пf,. Эти состояния образуют полную систему) ПО-
ЭТО 1У общая вероятность перехода атома вверх будет равна (ер. (2.4.6))
t
Р t """ Ii a ) dt' dt" F( J и', t") а<+ I (1', t"),
_.
(7 7.4а)
rде
Ft 1(/', t Jt ) s; (d(+) (t') d( t (t"». Ot+) ([', t") _s (E' ) (t') Е( + j (t")
(7.7.5)
8нтинормальная корреляционная ФУНКЦИЯ (КФ) дЛЯ дипольноrо
момента атома н нормальная J(ф для напряженности поля в начальном
СОСТОЯНIIИ (KOTOpoe очев(.{дно может быть IJ смешанным).
АНЗJlоrично вероятность излучения кзкоrО"J1ибо кванта определи.
ется квадратом (1) при учете лишь BToporo слаrqемоrо в (2):
t
Р 1 Ii 2 d {' d ," [( ) Ц', t -) G I . (t', {") .
1.
(7.7446)
Таким образом. вероятность передачи кванта эн.еР2UU от одной
системы к друеой определяется произведенuем. н.евОЗМУlценных Кi)ppe
ЛЯ 1 iион.Нbtх функций нормальной для передающей системы u анmи.
норАiалыtoй для npUHUA-fающей (в случае незавцсимых. начальных со..
станинА. из которых ПО крайней мере одно ЯВJlяется некоrереитным).
Последняя oroвopKa исключает KorepeHTHble вЗаимодеЙСТВИЯ 1 завися-
щие от фаз состояний.
Среднее изменение общеrо числа фотонов за !lремя Т во ВТОрОМ по-
рядке теории возмущения равно, очевидно, разности (46) и (4а):
t
!J.N == h z } dt' d {" (pt1GH рI 1a( + )).
t e
(7.7.6)
в ОСНОВНЫХ СОСТОЯНИЯХ flормальные КФ равнь[ нулю" ПОЭТО 1У СПОИ...
такное излучение атома определяется F(+J (этот ВЫВОД уже исполь-
зовался в rл. 5), а вероятность реrистрацин фотона ХОЛОДНЫМ Де.
тектором определяется а(+) ( 7.2, 7.6).
Заметим, что полученный результат (6) справедлив ДJ1Я любых'
систем с энерrией взаимодействия вида (Igt..
Спонтанное излучение" Соrласно (46) веРОятность спонтаиноrо
перехода равна
t
Р A"' r dt' dt" р(+) aYa
сп j ,
t.
(7.7.7)
276
rде Qvac .....-.+антинормальная КФ ПОЛЯ В состоянии вакуума. Соrласно
(7t3.34) .
ауас (t' t t,t) CkfCk" < О I ak (t') at" (t.) , О) :== с: е -..l@/t (t t U ) , (7.7.8)
k'k" k
r де ci == 2n!ioo k / L З. Заметим t ЧТО независ ИМО ОТ СОСТОЯНН Я ПОЛ Я
G ( ) (t I t t '1) :::= G (+ J (t у t ' ) + Qv ас ( t', t Н) 4 ( 7 . 7 jo 9)
При учете только двух уровней (СМ. (5.2114»)
d( +, (t) =:=: dO(J1 !е'" {(t)ot t d( ++, (t) d 0'2Jet ot , (7 t 7.1 О)
тде d, == d 1tt d 11 d 2i == О, ы О == (J)2:1 > О" 012" (021)'" == 11) <21. Так
как
alcl{J11l11 аh:пб f т.' < a rпn > == Рnт t
(7t7.11)
ТО
Ft +} (t I t (п):=: I d o 12 е{ООО {t ... t } Р!I.
F { } (t ' J (") =:: t d o 12 е i<-) (е' e ')p 11.
(7 7 .12)
....
TaK" образом. корреляционные функции двУХУfI08неео аnюМа "ро"
порцuонаЛЬNЫ населеННОСmRМ: 1IOрмаАЬNаЯ 8ерхнеt!Q уровн.я. аНти-
нормальн.ая нuжнеео.
С учетом (8) и (12) формула (7) принимает вид
р Ii 2 1 d [ "2 Р cl sin' 3", r dt trdtпe i (wk.....mo) (tv...t r )
c.n ........ о 11: .. '" J . f
f:.
rAe {t/t........ уrол Между k и dot При t t t о .......... ::1:: 00 JlHTerpaJI дает
[2лб (00" ........(I)о)}2 2л:ТВ (ы" (r)o) (7. 7t 13)
Переходя к интеrрированию ПО МОДам (СМ. 7.34 7)t получаем
W р I d о 13 Р2'! 5 d З t...... · 2 Д б ( )
сп == т === .,. ЮJJIe S IП Vk ООЯ 000 t
2лп
(7+7414)
Интеrрал ПО всем наnрав.леНИЯl\1 ОТ sin 1 {t равен 8лj3, и в рез'УДЪ
тате n р" p 2 == 1 снова nQлучае!l.Д знакомое вь[ражение ДЛЯ вероятно
стн спонтаниоrо перехода Бозбужденноrо двухуровневоrо атома:
w сп :;== (4k /зt;l) f d o l 2 ,
(7 7.15)
rде kr;=:==(fJJc.
Спонтанное излучение трехуровневой системы было уже расс:мот.
рено в 5.2 t rДе было показаНО t что Pf:n(T) осциллирует с частотой
расщепления <U з ! верхних двух уровней (эффеl(Т К8йн.товы.х биений
при KorepeHTHOM начальном состоянии .aTOMa) Напомним также ЧТО
спонтанное излучение N двухуровневых атомов дает эффект С8ерхuз-
лученuя, при котором W cn увеличивается в N2 раз (э 543).
277
Взаимодействие стационарных систем. Если начальные HeВ03MY
Щенные состояния обоих взаимодействующих CJICTeM являются ста..
ционарными, ТО все КФ в (6) зависят лишь от разности nеременных
интеrр ирова ни я t И t' == " (это предположен Не исключает эффект KBaH
ТQBЫX биений (9 5.2) и KorepeHTHble СОСТОЯНИЯ поля ( 7t5)4I Если,
кроме тorO f время наблюдения t to===T MHoro больше времен корре..
ляции атома и поля, ТО ДВОЙНОЙ интеrраЛ в (6) пропорционален Т и
МОЖНО ввести не зависящие от времени скорости переходов ВВерХ И
ВНИЗ W==aPITt -
Определим корреляционные ФУНКUИИ ОДНОЙ переменной:
J{:i:) == Ff:i:) (1. t + ) == <dJ=F) (О) d(ж) (т) ==: F ).,
(:1:) (:f:)- (7 7416)
G 1: :=;: Q(:I:) (t t t + -т) == < Е( т} (О) Е (:f:) ("t) > == G ... t ,
тоrда (6) преобразуется следующим образом:
т
!J.N==fi t d'(Т 't)lF +lО ) Fr)щ+)+('[ T)]. (7.7.17)
О
Если Т MHoro больше времен корреляции атома и ПОЛЯ t То ИЗ (17)
следует
(1J
w == fi 2 d't (F +)Щ ) F )Щ+l).
'»
( 7 . 7 .1 В)
rде W == (Р J. Р t )/Т и знак W оп редел яет направление передачи
кванта (полю при W > О).
. AТON
Лоле
7д
7;
$>
Рис. 7.23. Стаuионарное взаИМОДейс.твие атома и ПОЛЯ Связь атома и поля часто яв-
л яется IlY ЭКИМ rOpJ10M» дл я обмена энерrией между ермостаТзМИ Т l' Т 3
Наша исходная модель описывает ЭВОЛЮЦИЮ состояний атома и
поля ВО Времени Уrловые скобки в (16) оЗначают усреднение по ан-
самблю экспериментов с одинаковыми начальными УСJJОВИЯМН и раз-
ЛИЧНЫМИ"t't Если" однако, предположить, что обе системы находятся
в контакте со СВОИМИ термостатами (рис. 7423), которые непрерывно
восстанавливают и поддерживают исходные стационарные состояния,
ТО мы получим эрrодическую МОДелЬ При ЭТОМ (18) описывает непре-
рЫВНЫЙ поток квантов энерrи.и передаваемых от одноrо термостата
к друrому посредством связи атом поле4
Выразим теперь I(Ф (16) через миКропараметры систеМt Усреднение
с ПоМОЩЬЮ стационарных матриц плотности (необяэательно равновес...
2i8
НЬlX) дает
щ+> -= 4 <N k> e ililk'f .
a --) -= с1 «N Ic> + 1) e(WkT,
/l,
F(+)........ V_ ( d 1 2 Р e ((I)mn1'
f ........., f1t п й11l. ,
т>n
p ) -= I d. " 11 рl!п-в1fiJ.,.т,
т>n
( 7 . 7. 19)
rде (N)k == <аtаk> средние числа фОТОНОВ в модах и Р"п относитель",
ные населенности уровней 3ТО:\iIЗ4 При nодстановке (19) в (18) CKO
рос.ть обмена квантами принимает вид
W == 211 Ii ... 2 ci I d mn 12 {j «(1) ro т n) [( < N It > т- 1) Р tnl1J < N k > Р" п J 4>
k, т> п
(7 t 7.20)
Три C laraeMblX в последнем множителе соответствуют трем типам
переходов между каждой парой уровнеЙ j постулированных Эйнштей..
НОМ (rл. 2).
ДобаВ 1В в (20) энерfИЮ кванта tU.)k подучим, очевидно" мощ"
НОСТЬ из...1учеНИЯ или поrлощения:
5' == (2п.);] L 3 blk !d,т- !2 Ь «(I}k O)т,J ((J'!lт 6 m<Nk»t (7 7+21)
Il, т > п
r де .i, т == Рпn ""-------. Р тт Р азность Hace fJeH ноете й . Эта форА-1У л а при
(N k > О описывает спонтанное излучение атома в BaKYY 1, а при
Рт т '== О ............ радиационный HarpeB ХОЛОДНоrо аТО.\18.
За tеТИМt ЧТО введенные равенством (16) нормальные и антинор"
МЗJIьные КФ не вещественны и не обладают определенной четностью
(» ОТJНfчне ОТ КЛ1Jссических КФ) МОЖНО t однако, образовать веществен-
ные четные (симметризованные) н нечетные (антисимметризованные)
КQмбl1 на Ц ИИ:
F!t f ::::: Re F == <dod + d do> == F ,
1
F a} === ] m F 1: =:=;: 27 < dod't ........ d t d о) ........... F
и анзлоrнчные функции G S)t a a) для ЛО 1Я. Здесь введена также
«ПОЛНа я» К Ф F ", равная сумме нормальноЙ и антинорМаJ1ЬНОЙ I( ф
F t (dl)d'C> == <lf& }d +) + d +}d "') :== ( +) + p ) == Р: 1 . (7.7.23)
Чтобы найти обратное преобрззование (выразить F -J:) через F ),
необходимо ИСnО '1ЬЗ0ваТЬ спеКТральное разложение.
Часто используют ТОЛЬКО симметричную комбинацию F<.i)t и именно
ее называют КФ Ниже будет покззаНО t ЧТО антисимметричная комби-
нация F o.) тесно связана с откликом системыI на KorepeHTHoe внешнее
возмущение. Т. е. с ее восприимчивостью или функцией rрина.
279
(7.7.22)
Отметим ЧТО В экспериментальной оптике обычно имеют дело с неко-
rереитнымн системами) так что в соответствии с (18) КФ F z) более
непосредственно описывают наблюдаемые эФРеКТWt
Из определений (22) и (19) находим микросКопиче<;кие формулы:
G!t'::=; C (2 <N k> + 1) COS (оон ), (7.7.24)
k
a ) == ci siп (ook 1:) ==: 1т a ac, (7.7425)
k
F S) == 'd пlfJ l (Ртm + Pпq) COS (Шти'f), (7t 7.26)
т> f!
F a) == I d тll p А пт 51п (W'JJп ).
m>fI
(7.7.27)
Ниже будет показано (СМ. (32), (Зб»t ЧТО в случае линейной или равно-
весной системы отличие между различными типами КФ еВGДИТСЯ j ПО
существу, к различным вкладам в них нулевь[х ф,ауктуаций. .
Спектральное представление. Фурье.06разы стаuионарных l(Ф
называются спектральными плоmностями (ф.пуктуаций соответствуfOo.
щей веЛИЧИИЫ t например напряженности электрическоrо поля ИЛИ
дипольноrо момента атома). Из определений (16) ЯСНо, что фурье--образ
F +) нормальной КФ p +) отличен от нуля лишь при ro>О а анти..
нормальной КФ при ffi<Ot поэтому их можно объединить в одну
функцию F 6) фурь образ функции F 't:
р 61 == dт&6I'JF'(f2л. F (J) Р: == FI;) + iFJf) == FL+} + Р:;):;> О, (7.7.28)
F :t) F (1)6 (х U)I FJ) == (Р w + F ы)/21 F ) == (Р w F ш)/2i
и анаJJоrично ДЛЯ полевых КФ a ) t Здесь введены также фурье.об-
разы симметричных и антисимметричньrх вещественных l(Ф) !{оторые
обладают следующими свойствами:
Р { S} ......... F (S,. ...... F (S' [ {(Ц . F (O;* .......... F <a) (7 7 29)
ro (1) CI)... (1) . iffi. ш · · ·
Подставляя обратное преобрззоваиие
'ZI
F i:f::) == d<.)t т ilJYf F ::: 61
о
(7.7.30)
н (18) с добавлением множителя ftw t получаем спектральное разло...
жение МОЩНОСТИ:
2..'1; , 2n S
fr Т J dю IJ) (Р 610 (JJ p @OIJJ) == Т dюliJF u:,G(JJ'
о ф
t7.7.31a)
rде все спектральные КФ положиrельнь[+ Таким образом здесь раз.
дедены положительные и Qтрицательнь[е СJ1зrаемые) соответствую...
щие н_злучению и nоrЛQщению. Если же перейти к фурье..образзм
280
симметричных и антисимметричных КФ, то (3Ja) примет вид
со
5'=,= 5 duH»(F IG ' F )a )). (7.7.316)
&п.. О
В котором нет TaKoro разделения.
Явные выражения для спектральных КФ через МИКРОПараметры
леrко определяются фурье..лреобрззованием (19) и (24) (27):
a } -= сl <N в) б (OO..........(O.t),
k
GCI) ) == I ci «N k > + 1) б (т + rok)'
k
ОМ) ;=: 1: 4 ( <N k ) +-r ) [6 (ю юk) + 6 (ю +Wk)J.
k.
.
a ) ;;;;;: -I L ck [б «(О (Оя)....... б (00 + O)k) 1,
k
p );:;;:: I d тn {2 РtRmб (т (Oтn)1
т>"
F ) === I J d lllR l' Рпп О (0 + Ют,.)'
т>".
FiJ) ;=: L 1 d т " l' (Ртт + р",,) б ((1) + {(1т,,)'
(7. 7 32)
rпп
Р::) == ;i L 1 d." I Д"т ь ((1) + Ют,.).
/"lH
Сравнение последнеrо выражения с формулой (4.2.18) ДЛЯ линейной
воспрИИМЧИВОСТИ (поляризуемости) одноrо атома 0:.(1) при У === О пока...
зывает" что антисимметричная спектральная КФ стаuионарной си.
стемы совпадает (с ТОЧНОСТЬЮ до множителя 2n/ili) с мнимой частью
восприимчивости системы по отношению к KorepeH'fHQMY возмущению:
а; ::= (2n/ili) F ).
(7. 7 33)
Функцию отклика а,; и ее фурье образ называют запаздывающей
функцией [рина системы. Заметим, что при экспериментальном ИЛИ
теоретическом определении восприимчивости вещества поле должно
находиться в KorepeHTHQM квантовом состоянии (9 7 5) и наоБОРОТ t
ДЛЯ определения восприимчивости вакуума ( 4.1) надо ИСПОЛЬЗО
вать вещество Б коrереитном СОСТОЯНИИ ИЗ сравнения (32) и (8)
следует a n} (1 m a aC)(I) t Т. е. роль rx в случае поля вы ПОЛНЯ ет ан-
тинормалыrзя КФ BaKYYMa
Н а помним) I1ТО a в свою очередь однозначно определяет a ( 4.1).
Таким образом, кинетические rшра.меmры стационарной cucтe.м.bl одно"
эн.ачно выражаются через ее невозмущеНнЫе флук.mуацuонные характе-
ристики 1). В случае paв/i.OfJeCHЫX систем эта связь обратима и любаJt
из четырех К Ф CUCп12Mbl оnределя.ет остаЛЬНble.
1) Такие СВЯЗИ называют ФОРМУJJ8МИ Куба (СМ" l апрИмер {4-81).
281
Равновесные CHCTeMbl.. ФДТ. В слуЧае термодинамическоrо равнове-
сия имеют место распределения Планка ДЛЯ фотонов" Больцмана для
населенпостей: 4
(N k > Jf (OOk)t Р тrn ==- 6 nm Jf (Ютn)t
(7.. 7.34) I
rAe
[ tfJJ ] .....1
Jf «(о) =s ех р кт........ 1 :=; Jf\JP (7 r 7 . 35)
Блаrодаря наличию в (32) б функций температурные множнтелн Jr
МОЖНО вынести НЗ ПОД знана CYMMbl t И В результате все КФ выра-
жаются друr через Apyra или через мнимую часть восприимчиво.
сти. Например. в случае aTO la
Е <+) f;, иa е
u) ::;;;;;;;;. Ql1 фСХ(U tj) ,
п
P ( ) t ( АР + 1 ) " в F l+) 6..ш
... w ::::= Л Q/Y (IJ С(<<- tI}':= Ю ех Р 'х Т t
F(S) 1i ( A + ] ) ",
(.) ==- л Gt} 00: 2" Ct ш t
(7.7.36)
rде 8(t) равно единице при IJ) > о I-E нулю при (J) < о. Последнее СООТ"
ношение называется флух.mуацuон.н.о дuссuпапluвной mеоремой (ФДТ)
или теоремой Каллена ........... Вельтона Н айквиста.
Пусть атоМ н поле НаХОДЯТСЯ в равновесных состояниях с тем...
пературами Т 1 И Т t COOTвeTCTBeHHO Tor да (31), соrласно (36) и aHa
лоrичныM соотношениям для поле.вых КФ, приннмает ВИД
.? """ 4i d{o)(oo; G } (Ji\ Jf 2)' (7.7.37),
о
дe Jf п == [ехр (fuu/'XT,,) 1 J 1 fIpa бл 1131\ их температурах последний
Ъtножитеt1]Ь в (37) лрОПОРЦИОНЗJJен Т [ T , при этом Qтношенне
/I т 1.......... T.I определяет через a «теплопроводность» связи атом
поле, через которую идет теплообмен двух TepMOCTaTOB
оrраниЧИЛИСЬ здесь одноКвантовыми переходами и линейной
восприимчивостью, описываемыми первыми порядками теорllИ возму-
щения. АнаJJоrичное рассмотрение можно провести и ДЛЯ мноrокваи..
ТОВЫХ переходов, нелииейных ВОСПРНИМЧИБОСтей и КФ высших по.
рЯДКОВ Соответствующие обобщения ФДТ t полученные Ефремовым
и СтратоновичеМ t кратко описаны в {З7].
в заключение отметим, что взаимодействие атома с полем прИ ВОДИТ
не только к обмену энерrиеЙ t НО и к некоторому с.мещению ero энерrе..
тических уровней В случае взкуумноrо состояния ПОЛЯ ЭТо смещение
ПРИВОДИТ к изменению собственных частот на величину порядка 109 rц
(для водорода). ЭтОТ эффект называется сдвшом' Лем6а (CM t например,
(27])4 При возбужденном состоянии ПОЛЯ СДВИr уровней называется
аффектом Штарка 8 переменно.м пале (5.2432). Это явление часто не-
оБХОДИМО учитывать в лазерноЙ спектроскопии.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
14 Мш.УЛUН В. B4t Ме&едl!8 В. Н., Мустель Е. P. "аршин В. Н. ОСНОВЫ теории
КOJ]ебаиий. М.: Наука, 1978.
2. ВияOtрад08а М. Б. t Руденко о. B4 Сухоруков А4 п. Теория ВOJIИ М.: Наука,
1979.
з. Ах.манов С 4 А. t Дьяков Ю 4 Е., Ч upKlln А + с. Введение в статистическую радио-
физику 11 оптику. Л\.: Наука, 1981.
4. КлимонтQ8Ufl ю. л + КваНТОВЫе reHep3Topbl света и нели нейная оптика. М.:
Просвещение, ] 966
5. КВЗН1'оВая 3 1ектроиика: Маленькая ЭRUИКJIопедия-/Отв. peAt М, E Жаботин.
СКИЙ .1\1.: Советс«зя ЭНЦИк опедня 1969.
6 Берmeн Ф 4 Основы ква нтовой электрон н ки: ПеРt с фр .JПод реА4 r t B CKpon...
Koro+ !t\.: MHp [97] 4
7. ФайJi В. М ФОТО ны И не.л инеАные среды (Квантова я р а..п.иофнзика т 4 1) ....... .1'1..:
СОБ. радио. 1972. .
8 ПаНfпе АЛ Р ,. П уmxоф Т. ОсНОВЫ квантовой электроники: Пер4 с 8нrJl4/Под ред.
Ю А. Илъиискоrо. M : }.\ИРt 19724
9. ЯР ав А + Ква нтовая эле к трон и Ка: Пер. с а Иf JI./Под ред. я. и. Ха нииа t........ М.: С084
радио, 1980
] о. п екара А + Н ОDЫЙ облИК оПТики Введение в квантовую электрои ,ку и НeJfииеА
ную оптику: Пер. с nО...1J./ПОД ред. Р. В. Хохлова М. СОВ. радио, 1973.
11. Х а н ин Я. и. Ди и з м и к 8 ква нтоиы х reH ер а торов (Ква н:то ва я р зди о<ри 3 И К а t т 2).........
М. СОВ. paдuo J 975
]2. Тарасов л. В. Физические основы квантовой электроники М.: Сов 4 раДИО t
1976.
JЗ Лоудон Р. Квантовая теория света: Пер. с анrл./Под ред. r. В. CKpoUKoro4
М.: ..i\\ир t 1976.
144 А паНllсевl Ч п. А. ОСНОВЫ порни взаимодействия света с веществом. МИНС:Кt:
Наука н теХJ:lИКа 1 1977.
15. Meuт...'ieHa A , Дан.н М. Введение в фнзику лазеров: Пер+ с aHr 1"J., под ред.
с. и. Анисимова. М4; HaYKa 1978t
16. 3велто 0+ Физика лазеров: Пер. с анrлJпоJl. ред.. Т. A ШNаонова М.: Мир,.
1979
17. Сmраховскиu r. М.., Успенский А. В... ОСНОВЫ квантовой элеКТрОННКНr 2 e
ИЗД., перераб. M Бьrcшзя школа, 1979.
18. К ач qapex Ф в ведеи1t е в физик у JI азе ров: Пер. с по..14 IПод Р ед. Л\ Ф. Б У хеи-
CKoro. c: Мир. 1981.
J 9. Тарасов Л. В. Физика лрои.ессОБ в тенератораХ Korepenmoro оптическоrо НЭЛУ'"
цени я. "1.+; РаДИО 11 связь, 1981.
20. Елютин п. в. Теоретичесr; f1e основы кваитовой радиофизики М.: Изд во
л.lrу, 1982
214 Дyн.cКllJl и. М. Возникновение квантовой электроники. М.: HaYKa 197 4
22+ Ландау л. Д+t Лифшиц E М. Эдектродинамика сплошных сред.......... 2 e ИЭД.to
nерераб+ j\i.: Наука, 1982.
23. Сuдцн, В П. t Рухадзе А. А. Электром.аrнитные свойства n.,tlазмы и ПJ]ззмоподоб
НЫХ cpeд. М.: rосатомиздат 1961 to
24 Рыm08 с. М., Введение в статистическую радиофизику ч. 1. Случа.йные процес--
cы. \1.. Наука! 1976.
25 Л ан.дау л. Д , л u фш. r.LЦ Е t М. С1' 31'ис.тичес. к ая физ и к а + 2 из д ) пере.р аб........
М.: Наука" 1964.
283
26. Ландау 7. д Лифшиц Е+ М. Теории ЛОJlЯ. б е ИЗД. nepepa6r.......... М.: HaYK8 t
1973+
27. Аллех Л. t Эберл" Дж. ОптическиЙ резонанс и двухуровневые атомы: Пер с
.а н r..'J ./Под ред+ в. л + Стрижевс оrо. .д.\.: .:\i.»p ] 979
28. М шwмбер Дж. Динамик а сnсктроскопиче<:ких лереходов: Пер. с аиr 1] )Под
р-е1l. М. А. ЕЛЬRшевича М.: fr\Hp, 1979.
294 Ал.ександров Е + Б. Олтицеские ЛРОЯВoI1ени я интерференции атомных остоя Ний..........
УФН t 1972t т. 07, Ng 4, С. 595+
ЗО4 Андреев А + В., и Аьинский Ю А +, Е ..нельянов В. И. Коллективное спонтанное
ИэлучеftНе. УФН) 1980, Т. 131. N! 4, С+ 65З
З] Дедоне Н + Б. t Крайнов В. п., х одOfЮй В. А. Двух уровневая систем а в СИ..'IЬНОМ
световом ПОJ]е+ УФН, 1975 т. 117, М С с. 189.
32. Хшreн. r. Синерrетикз: Пер с анr..1JПод ред. Ю4 л. Климонтовича и С. \. OCOB
Цa+ М.: -Мир, [980. .
33 Ахманм С. А., ХОХЛ08 p В+ Проблемы нелннейной ОnТИКlt M+ ВИНИТИ t
1964.
З-t. БЛQJiбермн Н. Нewlннеliная опrика Пер. с анrл.lПод ред. с. А4 Ахманов.а и
р В. хохлоВа........... М.: Ми р, 1966.
З5 Келuх с. Мо.пекулярная нелннейнзя оптика: Пер. с пол)По)l, peдt И. J1. фа....
6eJlHHCKoro. М.: Наука. 1980
З6. Ф46еАUНск.uй и. л. МОJJекулярное рассеяние CBeTa. \.: Наука. 1965.
37.. КЛblUОro Д+ Н. фОТОНЫ Н нелине.йная оптика М.: Наука, 1980.
38. Летохоо В. C Чебоmaeв В. п. Принципы неJ1инеiiноit nазерной спектроскопни """'"
""\+: HaYKat 19754
З9 AX 'taft08 с. А. t Коротеев Н И + Методы непинеАноА оптики в -спектроскопиИ
рассеяния CBeTa4 М. НаУКЗ t [981.
40. Делоне Н. Б. Крайпоо в. п. А том в сип ьном световом поле........... М +: А томиэдат I
1978.
41 Д чumрue8 В. r., Тарас06 Л+ В. Прикладиая нелинейная опТиКа........ \.: Радио и
С8ЯЗЬ. J 982.
42. Най Дж Физич.еские свойства кристаллов: Пер. с анrЛ4/Под ред. Л. А. ШуВа iJО--
Ba М+: ИЛ t 1960.
43. MllliOtUH B (.1 ЛетохйfJ В. С+ ДЗВJfение дазерноrо излучения на aTOMЫ. !t1.:
Наука t 1986+
44. Б а pa le8(!I(,U и В. А , л аUЖ06 r. и , Цехомски й r и. ф ОТОХ ромиэ М 11 е ro при...
менение. Л1.: ХНМИЯ j 1977.
45 НелинеЙНая спектроскопия/Под ред. Н. Впомберrеиа: Пер. с. ан r '" +/Под реД.
С+ А. AXMaHOBa. M : Мир, ]979.
46. ЗеЛW0811Ч, В. Я.) п UAUllецlШЙ Н + Ф. Шк.УНOfJ В. В Обращение ВОЛНQ80rо фраи-
T3 i\1.: Наука, ]985.
47 Обращение вол HOBoro фронта опТИЧfeкоrо ИЗ.1Jучен ия в не.lJ:инейных средах/Под
peд Б. И4 БеспаJ]ова. r(JрькиА ИПФ АН СССР, 1979.
48. Зубарев д. н. Неравно:е.есная статистическа я теРМОД,н намика. \ : Н зука, [97 i ·
49. КАllJIОnтовuч. ю. л. Статистическая физи Ка......... М+: Наука t 1982.
50. КЛli..но1tтови t Ю л. КН кетическая теория элеКТромаrнитных процессов.
ft.\.; Н зукэ. 1980.
51 Леке М. Флуктуации и KorepeflTHble явпения: Пер с .знrЛ. /Под ред. С. П. Ma
лышенко. М.: МИРt 1974+
52. Ареккu Ф+t Скаллu M , Хакеп Т., 8айдлих В. Квантовые флуктуации ИЗ...1уче'"
ния Лазера: Пер. с анr4l1.1под ред+ A П. Казанцева. \+: Л\Jtр, ]974.
5З Кл.аудер Дж. СударШl}н, Э. ОСНОВЫ квантовой оптики; Пер. с Зtlrд./ Под реД.
С4 А+ AXMaHOB.a """"'" М4. МНР1 J 970
544 r Аа бер P. в КН.: Квантовая оптика н квантовая радиофизика: Пер. с анrл. н:
фр 1 ПОД pe;J.+ О. В. Боrданкеаича и О. H KpOXllHa. М+ Мир} 196б с. 9С.
55. Люиселл У. ИЗ.1Jучение и шумы в кnзtlТОВОЙ э...lеl\троннке: Пер+ с aHr.11 М.
Наука! 1972.
56. Перин.а Я4 KorepeHTHOCTb света: Пер+ с анrЛ4 1\\.: Мир, 19744
57. Спектроскопия оnтицескоrо смешения и корреляция фотонов !Под ред. r. Кам"
мннса и э. Пайка: Пер. с анrл.lПод ред. Ф. В. Бункин.а. М+: Мир, t978.
58. АХЖUН08 с. А.) Чиркин. At С. Статистические явлення в ие.'1инейиой олтике.
М. : И3Д ВО \ry t 197].
2м
59. Браун Р. Измерение yrпoBblx дИаметрОВ 3ВfЗд.. У ф Н, 1972t Т. 108" Н!! 4t С+ 531.
60. БраzиНСICuiJ В. Б t Воронцов ю. И4 УФН, 1974, Т. 114, с. 41.
б 1. Bragi tl$ky V. В. J V Qron tsoo У. J , Tharne К. S Sc j еl1се, 1980 t V. 209 t Н! 4456,.
р. 547.
62+ Пауль Т.. Счет фотонов КаК средство фундаментал ЬНЫХ иссп-едов.зни й +........ KBaH
товая электроника,. 1977, Т+ 4t Н! 121 с. 2513+
63 rйрелuк. rt с. о деМОДУЛЯЦИОНffОМ анализе CBeTa. УФН t 1948, Т. 34, М 3.
с. 321 .
64. Лазерная и коrереитиая спектроскопия/Под ред. Дж. С теiiнфел.да: Пер + С знr.1.1
Под. реД4 B с. Летохова M : Мир, 1982r
65. rUliз6УР2 BIt л. О природе спонтаннo.rо излучеНИЯ УФ Н, 1983, 7. 140 t М2 41
С. 681.
66t Б утылкик 8 с. t Каnлак А t Е ХРОНОnУЛО Ю [., я кубовuч Е. П РезоНаНс....
ное вэаимодеА"ствие све.та с вещесТВОМ. М.: Наука, 1977
67. Шуберtn М. f 8UАЬееАьми Б. Введение в не..lJинейн ую олтнку: Пер. с 8Hr)1.1
ПОД ред. М. А. KOBHepa. М4 Мир, ч. 1 t 1973; Ч+ 2t 19794
68. UepHutre Ф.t Мидвuнтер д ПРИКJ]здная не..,иие ная оптика: Пер. с анrл /Под
, ред. C А. AXMaHooa. М.: Мир, 19764
69. Лазерная спектроскопия аТОМОВ и молекул/Под ред.+ r Ва.1херна: Пер+ с знrЛ./
ПОД реДt В. С. Летохова. М.: MHPt 1979.
70. ЛеmoX1J8 В. С\ Нминейные селективные фотопроцессы в атомах н модекулах.
M : Наука,. 1983.
71. Ярив А. Введение в оптическую электронику: Пер+ с аиrл /Под ред. О. В. Боr...
данк.евиqа. M. Высшая школа 1983.
72t rршиакuн. Б. А. Квантовая электроника ДJIЯ радиофизиков. М. ИЗД"'ВО MrY.
1981 .
73. Рабинович М. И + Т рубецl«JВ Д t и. В веде н и е в теор н ю копебан и й и вол Н.........
М.: Наука . 1984. .
74. КаРЛ08 Н. В. Лекции по квантовой .9лектронике М.: Наука" 1983.
75. Маныкин э. A , Самарце8 В. В. Оптическая эха---<:пектроскопня. М.: Наука.
1984.
76. rиrантское комбинационное рассеян не cвeTa Пер. с знrЛt/под ред. В. М. Arpa..
новича4 М.: МИР. 1984.
11 Walls D. Ра Squeezed states 01 Iigbt. Nature, 1983 j У. 306 t р. 141.
ПРЕДМЕТНЫй УКАЗАТЕЛЬ
Адаптивная оптика 198
Адиабатическое возмущение 52, 91
раэмаrничивание 143
Ал ьтер н аТИ8ны:ii за пр ет 152
Амплитуда медпенно меняIOЩaЯСЯ 160
перехода 19to 29, 275
плоско А волны 24
состояния 51 t 93
АнаЛИТИЧetкиА сиrнал 217
Ансамбль rиббса 39
микроканонический 43
Антиrруппировка qюТОRQВ 108) 167 t 225"
274
базис 246
перепо ненныfi 253
энерrетическн й 54
Биения квантовые }05 171 t 277
Бра вектор 246
Вакуум 52t 61 t IOO 191 i 249
Вектор Блоха 85t 100
............ Паули 84 J 90
......... Пойнтинrз 13[ 160
....... лол я р и заПIIИ 24, 159
........ собствен н ы й 247
........ СОСТОЯ Н ия 55 t 24 б
Вероятность лерехода 21, 95t 150 275
ВИДНОСТЬ 222
Волны fJOBble 65t 76
свободные (нормальные) 65
ударные 158
Восприимчивость 56t 80 108
.......... вакуума 60. 281
нелннейная 119
Время выборки 263
....... жизи к 1 05 t J 12
....... Kore рен 1М ОСТ И (кор р еля ции) ЭО. 222
........ репа кеа ЦН и 36 51) 82
Выпрямление оптическое 124, 130
Вырождение иоситеяей 48
......... уровней 27,. 44
......... фоТОНОВ 224
Вычитание частоты 185
ra р ион и к li л ростра нствен и ые 2ЗЗ
rеиератор параМетричetКИЙ 185
rенер.ация тармоник J 87
комбин..ационных Ч3СТО'r 194
286
r етероди Ji I [Р ован не света 230
rолоrрафия 168, 197, 201
rРУППИрОБка qютонов 228 267
Давлен не света ] 29
Дельта-фУНI\UИЯ 2С 32 J 52t ]65t 233
Диада 83t 246t 253 t 259
Дисперси я (случайной вeJ1ичины) 86.
218
(частотная) 65
.аномальная 138
......... индуuировзнная 138. ] 56,. 166
......... НfJ)инейная ] 57
отрицательная 73
лространсmеннзя 65 140
Частотно уrЛО8ая 156
Длина вектора 347
вэаимодеЙСТВJIЯ ] 97
ВОЛНЫ комптоновекая 128
дифракционная 177
квантования 233
KorepeHTHOC1'M 158 181 222
самофокусировки 176
Добротность вещества (маrнитная) 213
иаrруженnая 215
......... резонанса 70
ЗаКQН Буrера 9 98 169
дисперени 64 75
Кирхrофа 155, 207 2]5
сохранения импульса 156
Затухание свободной поляризации 98
Зона ближняя 180
........ волновая 182
+--"""" дальняя ] 60" 181. 223. 245
запрещенная 411 73
Излучение вынужденное 7,. 21
ДВУХфоТQННое 151
дипольное 100
КOJJ;Л е кти в Н ое (Коапера1' и вное.) 11 О
........ собстве н н ое 99
спонтаи ное 1 OO 190, 21 J. 276
СТаЦИОНарное 221
'те пловое. 1 ОЗ 158
чtрноrо тела 211
Измерение КSЗUТовоrо выхода 274
им n у JI ъс КИ 1:1 ети чес кл й 239
ИН[J4:РСИЯ (координат) 125
И н пере It я (иаселе н настей) 29" 45t 69
........... IS Пол)r П рОВО.1И И ке 47
Интенсивность 24 21 О, 218
Мите Р фере!i UIIЯ состо Я ни й t 51
Ионизация мноrофютониая 167
тунн ,ьная 168
I(о.азивероятность 2[9 227, 260
Квзэиоnтнка 176
Квзэиурuвень Ферми 48
К н н еТН ка н асе."е н нсстеА 25
......... qютоttов 26
Коreрентиость 11 31, 158
временная 221
просrрзнствеИН8Я 223, 230
Коммутатор 244
Компонента антистоксова 137
......... СТОКСОВ3 IЗ7
Кор Р e Т) ЯUИ я 82, 229, 270
Коэффициент двухфотонноro nоrлощения.
152
......... отражения 9 73
переда ЧИ 27 189 (93 206
........ nor Jlоще н 11 Я 9 , 26
YCI1Jfell н я 24
.......... ЭйИШ7еl'iна 3t" 41, 206
Кэт вектор 246
Лазер 8, 13
пол rлрово.lНИКОВЫЙ 46 48
Мзrнетон Бора 20) 89, 242
/'I1азер 9t 12
Матрица вторых моментов 29
...... Па у л и 83
.......... ПЛО1НОСТК 38
nреобразованИЯ базисов 251: 257
.......... рассеяния 16], 189
Мода 35, 160, 236
поперечная 210 t 259
ОАель двухуровневая 77
Лоренuа б6
Мод \' Л Я 11 Н Я добр ОТН ОСТИ 8 [
Момент второй 82. 203
........ вые ш и й 86
ДИПОJ1ЬffЫЙ 20 56 66, 79, 85
квздрупольный 66
............ количестsа движения (импульса) 84$
90, 93
........ маrнитиЫЙ 82, 89, 239
.......... маrНИТОДИПОДhНЫЙ 20 66
......... нормальнЫй (фа КТОРИ3J1ЬНЫ н) 228,
243. 250, 264. 273
первый 203
пол.я 203
Накачка 81 i 2
Населенность 8 15, 25, 42t 44
Насыщение 9 79, 96. I68 t 216
Неравенство Коши 42
Н о р M.:t вектора 347
Н{rаци:я 94t 109
Обозначении Дирака 245
Обратная СВЯЗЬ 9, 185t 212
раслр елеННая 187
06ращение B04l1HOBoro фронта 157 t 195.
197
ОбъеМ детектирования 227
.......... Коrерентности 223
Оrибающая 217
Drраниченне интеНСНВНОСТИ света 167
Оператор ДИПQ..1ьноrо момеНТа 20, 85
......... единичный 1 01 253
....... па У л и 90
ПЛОТНОСТИ З8 259
по",ожнтелы{о частотный 1 02, 106.
253
проеКТИрОВаllИЯ б С 182, 247
...... рОж;Lен Itя- 21 t 84t 219, 238, 243
смеЩения 251
унитарный 54
.......... УНИ(lТожения 21, 84, 2191 238} 243
ЭВО IJЮUНИ 54
Отношение rиромаrнитное 77t 90
Параметр ВОЛНОВОЙ 173
конфокалъный 178
........ реrенерации 214
CtoKca 221
Переход ВЫН\lжденный 8, ] 7, 22, 33
маrнитодИПОiJЬНЫЙ 20
......... мноrофоТQННЫЙ [18" 150
........... СnОI.lтанно вынужденный 153 J 158 11З
СflонтаНliЫЙ 33, 52 J 100 j 153
........... фазовыfl 113
ПЛенен не нму чения 104
fL'10THOCTb 10Д 35, 234
.......... оnтич.еска я 27
...... потока фотонов 24) 79 t 162
....... ........ э не р rи н 60
......... рас n pe.aer1] ен и я ве р о Я7 ности 247
состояний 47
.......... сnен:тр.адьн.ая 30" 35 205. 221 t 280
......... тока 240
9Нерrин 24, 3 1 t 82
Поr доще 1 ие двухqюroнное 1 б 7
андуци ровзиное (нелииеиное) t 66
Локаэатедь ззтvхаttня 72
......... пр ломлення 64, 72
Пол-е действ ующее (локальное) 61
no.;rr ос.а уси.n ен и я. 27
Поляризация 56l 68
н ,ииеАная 161
287
ПО 1] яр из уеМОСТ ь 56 t 69 t 127
Поляритсн 73
Поправка Лоренца 133
Постоянная Ридберrа 34 128
тонкой структуры 34" 128
Поте н циз.л H€ кторный 236
......... rи6БСJ 143
теРМОДflllамическиА 63
......... хими'rеский 63
эффектнвныА 64
Правило Миллера 135
отбора 20
.......... СУММ 70
ПредстзВJ] ем Не r е й зен бер r а 55, 82 102
rлзу6ера .......... Сударшанз 259
Днра ка (взаимодействия) 55
Шрединreра 55 249
Прео6РЗЗGвание rИJlьбертз 59" 222
УНИ1'зр ое. 54
Фурье 58, 160
...... Частаты 1 84
Лреuессня 86
ПриБЛИЖ€Iiие боРНQвское 108) 201
.......... в р 3 ща 10ще ЙС R вол Н ы (резо н.а fI с ное)
21, 78, 93t 275
....... да ух у ров невое 89
....... д и ло.![ ьное 20 240
заданной накачки (параметрическое)
)72, ] 84
клеЙНМ8НО8ское. 121
........ м а r> ковское 5 ]
....... медл е н н O Me н яющейся ЭМПЛИ ту ды 165
......... одномерное 159
Приrотовление состояния 95. 104, 248
ЛРИНUИП детальtlоrо равновесия 53
Неймана 126
.......... Oнcarepa 58
Паули 46
ПрИЧНННОСТИ 59, б8, 120 t 150
Пробой оптический 167
Провал Беинета 81
npoe[(тop 247
Прозрачность самоиндуцнроваиная 98
Пространство rильберта 84
Процесс касКадиыi'f J 57
......... парамеТрИЧеС-киА 155
Радиус Бора 20. 128
.......... коrереитнасти 223
Разделение изотопов lЗ2 168
Р аел р еделе н Jt е Вер ну л ли 271
Бозе Эйнштейна 262
.......... БОJJьцмана 8. 29. 44
rеометрическое 262
rибоса 44, 262
Максвелла 77
Планка ЗЗ
Пуассона 227
Ферми.......... Дирака 46, 77
Рассеяние анизотропное 144
288
Рассеяние rllперпараметри ческое 190. 196
.......... rиперрэлеевское 129
коrерептНое J94
комбинационное (рамаНО8СКо.е) J З6 t
171
комптонов.ское 129
Мандельштама БрИJJлюэна 140..
1 71 194
---- на поля рИта н ах 192
неулрутое 139
обращенное 174
.......... п.араметрUческое 189t 269
рэлеевское 136
СВета на свете [90, 196
......... температурное (энтролийяое) 141
томсоновское 129
Реа КЦJН1 и эл уче н и я 103
термоядерная 168
Редукuия 258
Релаксация 9, 25) З6 49
Поперечная (спин спиновая) 51
продольная (спин решеточная) 53
Самомодуляция 178
Самосжатnе 179
Самофокусировка 174
Сверхrруппировка HOB 269
СверхизлучеНlJе 16t I}O
Сверхлюминесценция J 13,. 211
nараметрическаи 190
Свет двухфоТОННЫЙ 229t 269
Свето.э.кснТQН 73
СДВ $i r Л емба 34 103, 282
Сечение взаимодействия (перехода) 9t
24
двухфютонное 152
70мсоновекое 130
С I [0/1 а д.а мени я с вета 64, 129
Лоренца 127, 239
Миллера 131
ОСЦИ..1лятора 67
света 2] 1
СliнхронизаЦltЯ мод 81
Синхронизм} 11, 156" 180
rp. УПflовоfi 159
Ск обки П'У 3 ССОJ-1Э 240, 243
Скорость rpy плова я 24,. 65
лере хода 21 t 30
релаксации 78
СоЛНТQН 99. ] 79
Соотношения коммутационные 242
Крамереа..... KpoHHra 59 ] 20
Менли Роу 124 162, 184
неопределен»остей I05 256
со п ротквпе и ие 01'р и ца тел ьн ое 213
Состояние безызлучзтелъное 112
виртуальное 54, 150
импульсное 254
KorepeHTHoe 16 86, 104 250
координатное 254
CocTOffHHe сж.атое 257
смешанное 39t 259
......... чистое 38
энерreТJfческое 42, 86, 248
Спектроскопия .активная 1571 [97
6ездоплеровская 169
двухфлонная 152; 170
.......... коreреНТНая 92
........ 11 асы ще н и я 170
--------+ опrическоro смешении 229
рамзновская 152
рамзиоВСКоrо усиления 197
Фурье 222
ЭХQ 116
СПИН 89
Способ н ос тъ И ЭЛ У Ч атед ь н а я. 211
Поr/fQщ.аТельн.ая 207
Среда цеНТро<:имметрнчная 126t 149
Структура тонкая и сверхтонкая 107
Сумма с т а ТИСТИ чес в: а я 44.
Сфера Б.поха 85t 99
Темперэтуrа ОТРJtцательная 8) 45
шумовая 45, 208
........ эффекти ОН а я (с пи нова я) 45, 191, 216
ЯрКОСТflая 34 i 174
Теорема Винера Хиичина 222
флукту а Цконно- ДIIССН п.ативная 282
Теория возмущения 18t 56
Термостат IOt 32, 50) 278
Торможение излучением ] 03
Трен и е р а..Iиацион ное 130
Уrол анизотропии 160
дифракционный 210
прецесеИJI 86 95
рассряния 191
Унита'1НОСТЪ 56
УПОрЯДОЧfllне нормальное 1 02 I05 t 243
'УраВltения Б.л:оха 8З t 88
rамн.1ЬТОИЗ 238
......... rейзенберrа 82
rельмrОJ!ьца 154, 182
кинетическое 51 77
Ландау......... Власова 154
1.аКС8еЛ,.1а 60
Hei1MaH3 49
Ньютона 239
параболическое 178
Лере носа 26. 161
.......... Френмя. 65
характеристическое 83
LUр ,инrера 17
Уровень Ферми 46
Усмпение лараметрическое 185
УСИ 1Jителъ квантовЫК 201
"арамаrнитный 12, 27. 209
резоft.аТОрIП Й 212
УWlfрение НIOднородное 8] 114-
Фактор вырождения 35. 224
насыщеиия 79
g фа тор 89
Факторизация 40 t 250
Флуктуацнн амплитуды 216
BaK YM 35. 101 t 191
liктенсиввосrn ] 67) 218 t 227
К8аНТО8ые 39, ]ЗО t 189
нулевые 35, 191, 258
ПО.:1 яр иза ЦlfВ I з9
равнове<:н ые 74
тепловые 39
фоТОЭ lеJ<ТРОНОВ 228
Ф.луоресUсн ция резонансНая 107
ФОНОМ оптический 75
формула Клаузиуса Мозотти 133
Форм фаl(ТОР 22, 152
Кубо 774 281
Ман е 1Я 225t 271
I-Iаrlквиtта 216
Раби 95
Таунса 216, 223
ФVНКНН я аВЭ/ПiТИЧе(кая 59
....: rp 11М а (отклика) 59 61 t 70) 77. 1821
281
KorepeHTHocrn 29. 221
Планка 206
rrрОН3ВQдящая 265, 273
распредел ния 50 J46
собс,'венная 248
СОСТОЯНИЯ 63
ступенчатая (Хевисайда) 59t 103
характеристическая 260
Частота 6оровска Я (перехода) 16
плазменная 67
rтрецессии 90
Раби 22
Ч.а СТ ь положи тел ЪНО--Ч а с.тотн а я 21! 2 t 7
Четность состояния 20" 149
ЧИСЛО активных частиц 9
.......... зэполнения 250, 261
мод 173
.......... фотонов 104
........., на МОДУ 35) 17З 211,. 224
Френеля 112, 173
UUирнна динки 22, 52
естественная 34t 104
доплеровекая 22
кваитовоrо reHepaтopa 216
".......... Пfi.r.lевзя 80
........ СТОЛ кновител ьн а я: 22
........... СНJ-IХ РОНlrзма J 93
Шпур ЗО 56. 84
Шумы К8ЭНТQВОТQ усиляте..пя 201
.......... пар з метр и чес кота ус" л 111? Л Я 191
289
Эво..1] ЮЦН Я 48 t 501 259
Эксн ТОН 7б
Электродинамика квантовая 204
ЭЛе кт ростр и к ЦИ я 63 t 134
Элли ПСQметри я нминеi1ная 197
Энерrия внутренняя 63
свободная 63
Энтропия 46, 62
ЭрМlIТОВОСТЬ 42
KT Браун.а .......... Твисеа 2291 .2б'
....... ДО ПJ1 е ра 22 1 07 t 169
........ ЗееМ2на 45
Капицы........ Дирака lЗО
Керра 144
.......... оnтичеекиii 134, 144
.. р.аМ8НОБсхиА 197
эqxpeкт Комптона ! 31
насыщеНlrя СМ. насыщение
нестаuиоltзрныft 92
....... Покел ы:а 124
прОС8етлении 168
Рамана обращенныА 174. 197
........... Фарадея 124
Штарка 45 109, l70 t 2f'2
электрокалорический 6З t 143
Эхо оптическое 114
.яркость 210
......... вакуума J9T, 211
.......... спектральная 34) 191, 210. 243
or Л.4ВЛЕНИЕ
п редис..l о в ые + 4 . t . t 4 . " . . . . .
Список основных обозначений и сокращений ..
. " . ..
. l1li . ..
. . .
. .. . .. .
.. ... . .
r л а в а I + ВвeJ,еwие .. . -t ...... . . . .. . .. . . .. .. . . . . .. . ... ..
" 1 J t Основные ПОНЯТИЯ квантовой электровнки . . . . . . . 4 +
В ын У жден ное излучен не (7).. И нве ре и я н ace '1-eH ноете f.i (8). Обрати з я'
связь н УCJ10вие самовозбуждения дззера (9) Насыщение и рел.акса.
ЦНА (9).
I + 2 4 Истори R ква нтовой электр ОН и к и
Первые шаrи (11). Ра.диоспектроскоnня (11). Лlазеры (12)+ Лазеры
( 13) .
....... .....
. .. . .
r 11 а в а 2. 8wкуж;t.енные KBaHToBыe переходы ... .. . . . . . . . t
t 2.1 АМП.1итуда (1 веро ЯТНОСТЬ переходн ... t . . . . .. . .
НеВ03МУlденный атом (15) Атом в переменном поле (16). Теория ВОЗ..
му щеми я (] 8). л и не t'i ное пр ибл и жен Не (18). Ве ро ЯТНОСТЪ О:(ИО ква н..
тона ro ле ре хода (J 9) +
f 2.2. Переходы в монохроматическом поле +............ 4
ДИпо..1ьное приближение (20). Вероятность перехода (20). У Ч Т ЮН.
Р ИНЫ У ровней (22) .
2.3. Сечение и коэффиuнент поrлощенн . .. . 4 4 . . . . . .
Св ЯЗЬ н нтенсивности [1 ампл пту ДЫ пол я (24) + Сечен не резон а не н о ro
взаимод.еАствия (24). Кинетика населенностеЙ (25).' КинетН ка фо.
ТОНОВ (26). Коэффициент реЭОНансноrо поrJ10ще ня (26) + Полоса уснде-
нии (27). оу чет вырождения уровнеА (27) .
t 2 4. Вынужденные переходы в случайном 110ле . + . . . . · · . .
Koppe.1J: яuио'Кные функuии 29). СКорость перехода (30) 4 Коэффи ..
uи.ент ЭЙНUJтеfiна В (31). Спектральная плотность поля (31)
i 2.5 По е в качестве термостата. .... . . . . . . . .
Спонтанные переходы (32) + Ес.тественная ширина (34). Число фо-
ТОНОВ, спектральная ярКОСТЬ и яркостная температура (35). о Вре..
NЯ ре,,'13КС3ЦИИ (36).
r JI а в а 3. Ма три ца ппотност и I населен кости ирелаке ацИЯl .. . .. . . .. ..
ЗJ. Определение и свойства матрвцы П 1JОТНОСТИ .. . . .. , . . .. . .
Наблюдаемые величин ы (37) . Матрица ппотнotти ЧНстоro состоя.
н Н)! (38). см еш.а н н ое саето f1 н Jfe (39). о ВОЛ ее общее о" ределеН не м э-
тр НЦЫ ПЛОТНОСТИ (40). Свойства матрицы nЛОТНОСТl1 (41) 4 ОМатрица
плот н ОСТ Ji И Э нт ро n и я ( 42). о Матр иц3 П\ ОТНОСТИ атома (43)
Э 3. 2 + Населен НОСТИ у ро в н е" . . 4 4 . . . . . . . 1 4 . 4 . . . .
р а8иа весн ые н аСе"Л ен J fOC Т11 ( 44) Дну х у ров н ева я" с нстема и отр и иЗ"
1"е.:1 ъ Н а я тем пе р а ту р а (45 ) с.н асел еН н ости в полv n ро ВОДИ 1 [К а х ( 46) t
QI1нверСJlЯ в полупроводниках (47). r
3.3. Эволюция матрицы плотности. .... . . . . 4 . . . .
н ер а R НО вес ные с нстем ы ( 48) . У Р авн е н не Н ей ма н а ( 49) . Вэа НМО.
деЙ СТВ ие с терМосТа ТОМ (50) ЭВОЛЮЦИ Я зам к В} 'ТоЙ системы (50).
Поле р еч н а я и п р oд т. ъ» а я р ел акса иН" (5 J ) r СП Р едста вл ен не Bsa и-
ыо.а,еАств н я (54) . о т еО р н я поэм ущеl1 и я: (56)
3
5
1
7
10
14
14
20
24
29
32
37
37
4'
8
291
r J1 а в а 4+ Восприимчивость ве-щества .. 4 . . . .. . . . 4 +. 57
4J. Определение и общие свойства восприимчивости . . 4 + r . .. 57
Симметр н.я (58). В..,,. [ nнне причинности (58) . поr лощение задан.
нота пол я (59). Q Вос пр и имч И вос.ть за к УУм.а (60). от е р мод и н м н чес.
кий лодхоз- (62).
Э 4. 2 Т еор It я ДИС n-e рсии ......... + . . . . . . . . .. 64-
Закон дисперсии (64). Учет поr..1JощеНИR (65). Классическая т€ория
дисперсии (66). Квантовая теория диспеРСIJИ (67) СиJ1а ОСUИJ.lJ1яrора
(69) + И зол н рое.аН н ы н резо н 3 Н С 170). Пол яр ИТUН ы (73) +
4 3. Двухуровневая Моде.1Ь н эффеl\Т насыщения + . . . r 71
обл асть при ме н ен и я мод е., н (77) . КН Н ет н чес к и е у раз не н и я ( 7 7) .
ЭффеКТ пзсыщеllltя (79). QФорма ЛИНИИ при насыщении (79)
4.40. Уравнени R Блоха... . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . 81
Ки н eтlt ч есК Jt е ура в нели я- Д,.'I:Я средн н х (81) /t1 а тр иnы Па у л н и р 3З4l10.
жение операторов (83). Вектор и сфера Бto"10ха (85). 8ысшне момен.
. ты и распределения (86) Уравнения Блоха (87). Уравнение ДЛЯ .
пол я р из а цн и (89) 4 J\1 а r t I J ITH Ы А резон а не (89) .
r JI а в а 5 + Нес тац нонариая оп тв ка .. ...... t . . t . . -t I . .. 92
5J. Вынужденные иест.аЦНОtlарные э(]>фекты + + < . . . . .. 93
Атом как rJtpOCKOn (9З). АIiЭlo'lнтичеСf\ое решение (95). ОЭффект }jy..
та ци и (96). Саман f1Д у ци рова и н а я л роз р а ч н ост ь (98) .
9 5.2 Собствен ное излучение атома .. . . . . r. 99
Излу чен не дилол я (J ОО} . в е ро я тн ОСТЬ сп () н та н н о ro nе р ех ода (] (0) .
о Н ор ма..."1 ъно. у пор яда 4е н 1 f ое НЗЛ уче н и е (] о ] ) Св ЯЗЬ с ПО н та н н о ro н
те n..1 080 ro и эл уч ен I [ Й ( J 03) . Об изл У че н 1-1 И дроб tl ы Х Доле й фото н а
(104). ОКааНТО8ые биения (] 05). ОРезонансиая флуоресценция (107).
Э 5.3. КО.lлеКТИВIi()е Jt 1ученне + + . . . . 4 4 . . . .. 4 4 . . 11 О
эфq:.eк Т С ее р х ИЗJJ у 4е н н я О] О) . А н алоrи к с фаЗDБ ЫМН пе ре ходам JJ
(1 r З) . Оптическое эхо (1] 4) +
r л а в а б. Н е л н н е й н а я оптика 4. ... .. . . . . . . 4 t . 117
Э 6 1. He.fJllHeHHbIe воспринм(тивости определения н общие своЙства 119
Не л и н -е й tt ые БОС n р \i ИМ Ч и воет« ( (19) . о р азл и qH ые опреде...1 е н I':Я
( 120) . о Пе рестз ново ч н а я с t М метр и я ( 122) оп роз р а ч н.ое De'щеСТ80
(] 23). PO 1 ь симмеТрrlН среды (125).
S 6.2+ j\\одел н оnтнчесКоrо аНrарМО lизма . + . . . . . . + . 4 . ] 26
Ан r а р м ОН н эм свободн oro эле кт рона ( 127) . ОДа B/I е н и е с вета (129),
С т р н к ци о н J I Ы Й а н r а р МО Н ИЗМ ( 133) . А н r а рмон и ческ и й осцил J] я тор
( 134) . Р 3М а НО веки й ан r ар МОН ИЗ М ( 136) о Тем пер атур ны А а Иf а рмо.
НН3М (14])+ Электрока.порицескнй 8нr.армонизМ (I43). ОриеН7а.
uио 1 И Ы rr .а н ra р МО Н Н эм ( J 4-4) + О КВ а нтов.а я тео р и я н ел и и ей но й по.. '1 я.
рнззции (147) 4 ОВероятность мноrо.фотонных пере ходов (150). Bы
ды (J 54)
6 .3+ j\.\аКРОСКОП J ческа я tlел н нейнз я ОПТИ J\ а . + . . . . . . . . · .. 154
ИСХОДные соотношения ( 154). Классификация нелииейных :.ффеК -
тов (]55). Роль nJIHeAHoA и не.л Jнейной дисперсий (158). OOДHOMep
ное nрнблнжение ([59) Соотношение J\1Э.lIЛИ Роу и перест.а-
пОБочная симметрия (162). ОВЫВОД ОДliомерных уравнений (164).
6.4+ Неларзметрическне взаимодействия . ... . . . . . . J 66
Нел и неfl ное поr 'lощенме (166). Без оп"туеровская спектроскопия
(169)+ РэмаНО8ское усиление (I.71) понтанное н вынуж.1 СННое
рассеяна я (17З). СаМОфоКУСИрОВКа (174). о Д.JНt на самофокусnровкн
( 116)
645. ПарзметричесКие Взаимодействия ....... t . . 179
Приближение задан Но А накачки бл иж:няя зона (180). Дальняя
ЗОИ;8 ( 181 ) . в за и Моде йствие трех волн (183). Преоб р азов а t1 ие ! 1 а-
CТOТbl вверх (] 84). Параме7рическое усиление и rенераЦf1Я (185).
ВстреЧНое взаИМОДействие ( 186). rеиераUН я второй ra рМОН пки
187}. ОМаТрИl1а рассеяния (189) ОПарЭМетрнческое рассея ине C Ta
292
( 189) . о р ассе ян Не света н а поляр НТОН а х ( 193) . Четырех вол H08ыe
взаимодействия ( ] 94) Нелинеi\ная спектроскопия (196). Динами-
ческая rолоrрафия и обрашение BOJIHOBoro фронта (197)
r л .а в.а 7 СтатистичеСКaJI ОП тика .,.. . 4' · · · + · · · · · . . . .
э 7.] Закон Кирхrофа 1}Я квантовых УСИJIите..,ей ... · · t . .
Закон Кирхroфа ДЛ:И ОДНОЙ моды (205) Закон КfI р хrофа ДЛЯ отр н.
uательной температуры (207) Шумы мноroМОДОВQrо усилите.'1Я (21 О).
Ра вltОВесное и ело н тз н ное ИЗJI у qe н I Я еве р хл юми. Н ее цен ци я «21]) .
Усилен не 11. 1l0Л ос а резон атор Horo у сил и тел я (212) + 3 а КОН К и р х...
roфа для реэ.онаторноrо УСИJ1Иreля+ Формула Таунса (215)+
7.2 Основные ПОI-lЯТНЯ статистическоЙ оптики t..... + . . .
Анадитический снrнал (217). Случайная Инreнсивность (218). КОР"
ре."1 яцион н ые ФУНКЦИИ (220) . В реме ин з.я Kore рентность (22]). П ро-
странCТDeНН3Я коreрептность (223). ОбъеМ коreреитностн и фактор
БЫРОЖJ1ения (223) . Статистика -фотоотсчетов. Форму ...'18 .L\1анде ,я
(225). rруппировка фоТОНОВ (228). Корреляция интенсивностей
( 229) .
7.3. r аМИJ1ЬТОJfова форма ур.авн-ен ий Мзксвел 4i 'lЗ . + + . 4 . .
у р авнеи и я М а ксвеJl J1 а :& k, t n реДСТ8ВЛ ен ии (232). Канонн ческне пе-
p MeH НЫ е по..11 я (236) _ Q r аМ ИЛ ьто Н 11 а н nO..1 я fI 8ещ -ества (238). о Дм-
пмьное прнб.Т1ltжение (240).
7.4. К вантоза н r1 е под я . 4 + . . . r . . . . 4 . . .
Коммутацнонные СООТИОШРНИЯ (242) . Квантование мзкропо..l я в
ер еде (244). КВ а н тов.ан J ,е ПОЛ я в рез о н а тор е (244) +
9 7.50. Возможные состояния поля и их свойства .. + . + r . . . .
ОбоЗН а че н и я Ди р а к а (248) . Энер rетИ чес к Не состоя н и я ( 248) +
Коrереитные СОСТОЯ Н и Я (250). I\оординатные и импульсные состоя-
»и я (254) + Сжатые состо я н и я (257). Смеш ан н ы е состоя ния: (259) I
9 7.60. СТ3ТIIСТНКа фОТОНОВ н ФОтоэлектронов . t . . . . . ... . . . .
с таТИСТИRа фоТОflОВ (2бj) rруnл и РОБка и антиrруппиров.ка фQто"
Н08 (267). Ста тн стп К а фло9Jlектрон ОБ (271 )
7.70. Взанмодеfkтвие атома с K8aHTOBa IHbIM по..1ем + . . . 4 . . .
В роятности поrлощения и ИЗЛучеНИЯ (275) Споитан ное И3J1уче.ние
(276) , В 3 а и :\iоде'Аств 11 е стацион а р ных С Н стем (278). Спектр апъиое
представл ние (280). Равновесные системы + Ф дт (282)
Список литера ту р ы ., .. .. .. · ., .. . . .. . . .. . .. I . I .. . .. .. ... ..
. ,.
n ре.дметиыfi у ка ззтель l1li . . ... .. . ,. . .. OiII t' ... .. ., ,.. . ... . . 4' . . . .
2СЗ
205
217
232
242
245
263
275
283
286
..