А. В. П О ГО РЕ Л О В
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
А. В. ПОГОРЕЛОВ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования GQCP
в качестве учебника
для студентов высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1968
517.3
Л 43
УДК 516.0
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой ценное руко-
водство по аналитической геометрии. На-
писана она четким и ясным языком, богата
конкретным геометрическим материалом.
При сравнительно малом объеме книга
излагает с достаточной полнотой все основ-
ные вопросы курса. В ней имеется также
большое число упражнений и 'задач, удачно
подобранных в методическом отношении.
Книга рассчитана на студентов физико-
математических факультетов университетов
и пединститутов. Она может быть исполь-
зована также студентами втузов.
Алексей Васильевич Погорелов
Аналитическая геометрия, изд. 3
М., 1968 г., 176 етр. с илл.
Редактор А. Ф^Лапко.
Те* *н. редактор К. Ф. Брудно.	Корректор А. Ф/ Серкина.
Сдано в набор 20/XI-1967 г. Подписано к печати 27/11-1968 г. Бумага тип. № 3.
84Х108/з2. Физ. печ. л. 5,5 Условн. печ. л. 924, Уч.-изд. л. 7,83. Тираж 200 000 экз.
Т—00077. Цена книги 32 коп. Заказ № 2194.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета, по печати при Совете Министров СССР.
Москва, Ж-54, .Валовая, 28..
* Отпечатано с матриц в Киргизполиграфкомбинатс Главполшфафиздата
, Мин. культуры Кирг. ССР, г. Фрунзе, Жигулевская, 102. Зак. №3527.
2-2-3
9-63
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию .•#•••••••••••	6 .
Введение . . . ............•	• .......................  7
Глава I. Прямоугольные декартовы координаты на плос-
кости ...........................................   8
§ 1.	Введение координат на плоскости .••••••••	8
§ 2.	Расстояние между точками.....................10
§ 3.	Деление отрезка в'данном отношении.......... . 12
§ 4.	Понятие об уравнении кривой. Уравнение окруж-
ности ............................................14
§ 5.	Уравнение кривой в параметрической форме .... 16
§ 6.	Точки пересечения	кривых ....................19
Глава П. Прямая	...............................22
§ 1.	Общий вид	уравнения	прямой...................22
§ 2.	Расположение прямой относительно системы коор-
динат ............................................25
§ 3.	Уравнение прямой в форме, разрешенной относи-
тельно у. Угол между прямыми......................27
§ 4.	Условие параллельности и перпендикулярности пря-
мых ..............................................29
§ 5.	Взаимное расположение прямой и точки. Уравнение
прямой в нормальной форме.........................31
§ 6.	Основные задачи на прямую ...................34
§ 7.	Преобразование координат.....................37
Глава Ш. Конические сечения.............................41
§ 1.	Полярные координаты .........................41
§ 2.	Конические сечения. Уравнения в полярных кборди-
<	натах...............................;	. . .ч. 43
§ 3.	Уравнения конических сечений в декартовых коор-
динатах в канонической форме .................  .	47
§ 4.	Исследование формы конических сечений.......49
§ 5.	Касательная к коническому сечению . . . . • » . « 54
§ 6.	Фокальные свойства конических сечений .......56
§ 7.	Диаметры конического сечения ................60
§ 8.	Кривые второго порядка ......................63
4	*	ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Векторы........................................	67
§ 1.	Сложение и вычитание векторов . . . . ;........67
§ 2.	Умножение вектора иа число........................70
§ 3.	Скалярное	произведение	векторов...................72
§ 4.	Векторное	произведение	векторов...................74
§ 5.	Смешанное	произведение	векторов...................76
§ 6.	Координаты вектора относительно заданного базиса 78
Глава V. Декартовы координаты в пространстве .............82
§ 1.	Общие декартовы координаты.....................82
§ 2.	Простейшие задачи аналитической геометрии в про-
странстве .............................................  84
§ 3.	Уравнение поверхности и кривой в пространстве . . 86
§ 4.	Преобразование координат .........................90
Глава VI. Плоскость и прямая.................................93
§ 1.	Уравнение плоскости...............................93
§ 2.	Расположение плоскости относительно системы коор-
динат ...............................................95
§ 3.	Уравнение плоскости в нормальной	форме	.....	97
§ 4.	Взаимное расположение	плоскостей.............99
§ 5.	Уравнение прямой............................101
§ 6.	Взаимное расположение	прямой и	плоскости,	двух
прямых . . .....................................104
§ 7.	Основные задачи на прямую и плоскость..........107
Глава VII. Поверхности второго порядка....................111
§ 1.	Специальная система координат...............111
§ 2.	Классификация поверхностей	второго	порядка	...	113
§ 3.	Эллипсоид . ....................................  117
§ 4.	Гиперболоиды ...................................  119
§ 5.	Параболоиды................................ 121
§ 6.	Конус и цилиндры............................123
§ 7.	Прямолинейные образующие на поверхностях вто-
рого порядка........................................ 126
§ 8.	Диаметры и диаметральные	плоскости	поверхности
второго порядка ..................................128
Глава VIII. Исследование кривых и поверхностей второго
порядка, заданных уравнениями общего вида............130
§ 1.	Преобразование квадратичной формы к новым пере-
менным ........ ................................. 130
§ 2.	Инварианты уравнения кривой и поверхности вто-
рого порядка относительно преобразования коор-
динат .............................................132
§ 3.	Исследование кривой второго порядка по ее уравне-
нию в произвольных координатах....................’	135
§ 4.	Исследование поверхности второго порядка, задан- *
ной уравнением в произвольных координатах . . . 138
§ 5.	Диаметры кривой, диаметральные плоскости поверх-
ности. Центр кривой и поверхности..................140
ОГЛАВЛЕНИЕ	5
§ 6.	Оси симметрии кривой. Плоскости симметрии по-
верхности .......................................  J42
§ 7.	Асимптоты гиперболы. Асимптотический конус ги-
перболоида	144
§ 8.	Касательная кривой. Касательная плоскость поверх-
ности . . ..................................Г ... 145
Глава IX. Линейные преобразования . . . .................149
§ 1.	Ортогональные преобразования.................149
§ 2.	Аффинные преобразования  ....................152
§ 3.	Аффинное преобразование прямой и плоскости . . 154
§ 4.	Основной инвариант аффинного преобразования . . 155
§ 5.	Аффинные преобразования кривых и поверхностей
второго порядка . . . .	-.............>. . . . 157
‘	§ 6. Проективные преобразования . ............. .? .. . 160
§ 7.	Однородные координаты. Пополнение плоскости и
пространства бесконечно удаленными элементами 163
§ 8.	Проективные преобразования кривых и поверхностей
• > второго порядка .,. .. =. . .... < <.• . . . . 166
§ 9. Полюс и поляра ........................и ... 168
§ 10. Тангенциальные координаты- . . .	. 172
3
£
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании книги внесены незначительные	$
изменения в основной текст. Отличается она от первого f
издания главным образом упражнениями, список которых	|
значительно пополнен.
Общеизвестно, что основным средством овладения мето- г
дами аналитической геометрии является решение задач.
Поэтому вопросу о подборе упражнений и их расположении
было уделено особое внимание. Каждый параграф основного <
текста заканчивается рядом упражнений. Их специальное
расположение сужает область поисков „ решения и делает
отдельно взятые трудные упражнения вполне доступными
учащимся.	-	«
Автор - f
,	.	..	.	‘ - f
	• I

ВВЕДЕНИЕ
Аналитическая геометрия не имеет строго определенного
содержания и определяющим для нее является не предмет
исследования, а метод.
Сущность этого метода заключается в том, что геомет-
рическим объектам сопоставляются некоторым стандартным
способом уравнения (системы уравнений) так, что геометри-
ческие отношения фигур выражаются в свойствах их урав-
нений.
Например, в случае декартовых координат каждой прямой
1 на Плоскости сопоставляется однозначно линейное уравнение
ах-|-£у + с = 0.
Пересечение трех прямых в одной точке выражается
условием совместности системы трех уравнений, задающих
эти прямые.
Благодаря универсальности подхода к решению различных
задач, метод аналитической геометрии стал основным мето-
дом геометрических исследований и широко применяется в
других областях точного естествознания—механике, физике.
Аналитическая геометрия объединила геометрию с ал-
геброй и анализом, что плодотворно сказалось на развитии
« этих трех разделов математики.
Основные идеи аналитической геометрии восходят к
Декарту, который в 1637 г. в сочинении «Геометрия» изло-
жил основы ее метода.
В предлагаемом курсе лекций излагаются основы метода
аналитической геометрии в применении к простейшим гео-
метрическим объектам. Курс составлен в соответствии с
программой для физико-математических факультетов уни-
ч- верситетов.
Г л а в а I
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Введение координат на плоскости
Пробелы на" плоскости две взаимно перпендикулярные
прямые Охи Оу—оси координат (рис. 1). Точкой пересе-
чения О—наколом координат — каждая из осей разбивается
на две полуоси. Условимся одну из них называть положи-
тельной. отмечая на чертеже стрелкой, а другую отрица-
тельной.
Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел —
координаты точки — абсциссу (х) и ординату (у) по следу-
ющему правилу.
Через точку А проведем прямую, параллельную оси ор-
динат (Оу) (рис. 2). Она пересечет ось абсцисс (Ох) в
некоторой точке Под абсциссой точки А мы будем
понимать число х, равное по абсолютной величине расстоя-
нию от О до Ах, положительное, .если Ах принадлежит
§ 1]
ВВЕДЕНИЕ КООРДИНАТ
9
разбивают пло-
прямых угла—
7/7, IV (рис. 3).
квадранта знаки
сохраняются и
В
(-Л)
/
О
ш
(+♦-) 
IV
! Рис. 3.
описанным выше спосо-
Произвольйую
Рис. 4.
положительной полуоси, отрицательное, если Ах принадле-
жит отрицательной полуоси. Если точка совпадает с О,
то полагаем х равным нулю.
Ордината (у) точки А определяется аналогично.
Координаты точки будем записывать в скобках рядом с
буквенным обозначением точки, на-
пример А(х, у).
Оси координат
скость на четыре
квадранта — I, //,
В пределах одного
обеих координат
имеют значения, указанные на ри-
сунке.
Точки оси х (оси абсцисс) имеют
равные нулю ординаты (у), а точки
оси у (оси ординат) — равные нулю
абсциссы (х). У начала координат
абсцисса и ордината равны нулю.
Плоскость, на которой введены
бом координаты х и у, будем называть [плоскостью ху.
~	точку на этой плоскости ?с координатами
; хну будем иногда ^означать про-
: сто (х, у).
Для произвольной пары веществен-
. них чисел х и у существует, и притом
единственная, точка А на плоскости
ху, для которой х будет абсциссой,
а у ординатой.
Действительна, пусть для опреде-
ленности х> 0, ау <0. Возьмем на
положительной полуоси х точку Ах на
расстоянии х от начала О, а, на от-
рицательной полуоси у — точку Ау на
расстоянии |у | от О. Проведем через
точки Ах и А? прямые, параллельные
осям у и х соответственно (рис. 4).
Эти прямые пересекутся в некоторой точке А, абсцисса
которой, очевидно, х и ордината у. ,В других случаях,
например х < 0, у > 0; х > 0, у > 0 и х < 0, у < 0, дока-
зательство аналогично.
10 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЛЕКАРТОВЫКООРЛИИАТЫНА плоскости (гл. л
Упражнения
1.	Где находятся те точки плоскости ху, для которых
а) |х|=а, б) |*| = |«/|?
2.	Где. находятся те точки плоскости ху, для которых
а) | х | < а, б) [ х | < а, [ у | < Ь?
3.	Найти^оординаты точки, симметричной А (х, у1) относительно
оси х, оси у,Чача ла координат.
4.	Найти координаты точки, симметричной точке А (х, у) отно-
сительно биссектрисы первого (второго) координатного угла?
5.	Как изменятся координаты точки А (х, (/), если за ось х
принять ось у, а за ось у принять ось х?
6.	Как изменятся координаты точки 4 (х, у), если начало коор-
динат сместить в точку 40 (х0, t/0), не меняя направления осей
координат?
7.	Найти координаты середин сторон квадрата, приняв за оси
координат его диагонали.
8.	Известно, что три точки (хь Vi), (х2, у2), (xs, у3) лежат на
одной прямой. Как узнать, какая из этих точек расположена между
Двумя другими?
§ 2. Расстояние между точками
Пусть на плоскости ху даны две точки: Аг с коорди-
натами хъ уг я А2 с координатами х2, у2. Выразим
расстояние между точками Дх> А2 через координаты этих
точек.
Допустим, что хг^х2 и У!7^У2- Проведем через точки
At и А2 прямые^ параллельные осям .координат (рис. 5).
§ 2J	РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ	И
Расстояние между точками А и Аг равно |jx—у2,|, рас-’
стояние между точками А и А2 равно	П]ЙГменяя
к прямоугольному треугольнику АгАА2 теорему Пифагора,
получим
(*!—х2)24-(У1—b)2==di!.	<*>
где d —расстояние между точками, Лх и Л2.
Хотя формула (*) для расстояния между точками выве-
дена нами в предположений хх#=х2, y1^y2t ойа остается
верной и в других случаях. Действительно, при хх = х2,
yt=/=y2 (рис. 6) d равно —^2|. Тот же результат дает
и формула (*). Аналогично обстоит дело при Xl^x2, У1=у2-
При хг = х2, Ух^Уъ точки Al и А2 совпадают и формула (*)
дает d = 0.
Упражнения
1.	Как найти координаты точки на оси х, если она равно-
удалена от двух данных точек А (#1, «/х), В (х2, t/2)? Рассмотреть
пример А (0, а), В (Ь, 0).
2.	Как найти.координаты центра кругла, описанного около тре-
угольника АВС, заданного координатами своих' вершин? Рассмотреть
пример: А (0, а), В (Ь, 0), С (0, 0).
3.	Даны координаты двух вершин А и В равностороннего тре-
угольника АВС. Как найти координаты третьей Першины? Рас-
смотреть пример А (0, а), В (а, 0).
4.	Даны координаты двух смежных вершин А и В квадрата
ABCD. Как найти координаты остальных вершин? Рассмотреть
пример А (а, 0); В (0, Ь).
5.	Какому услцрию:должны удовлетворять координаты вершин
треугольника АВС, что^ы он был прямоугольный с прямым углом
при вершине С?\
6..Какому условию должны удовлетворять координаты вер-
шин треугольника АВС, для того чтобы угол А был больше
угла В?
7. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин.
Как узнать, является он вписанным в окружность или нет?
8. Доказать, что при любых вещественных at alt а2, b, blt b2
имеет место неравенство
У (aj-aP + ^-t)2 + У (а2-ау + (ь,-ьу 5=
&У(а1-а2)2 + (*1-Й2)2-
Какому геометрическому факту оно соответствует?
1? ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ДЕКАРТОВЫ КООВДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ (ГЛ. 1
§ 3. Деление отрезкавданном отношении
Пусть на плоскости ху даны две различные точки —
41 (-^1,^1), и Л2(х2, у2). Найдем координаты х и у точки А,
делящей отрезок АгА2 в отношении hx:h2.
Пусть отрезок"А1Д2 не параллелен оси х. Спроектируем
точки Ль Л, Л2 на ось у (рис. 7).
Имеем
, А}А • А^А  Xi
ДД2	ДД2	h2 * .
Так как точки Alt Л2, А имеют
соответственно те же ординаты,
что и точки Л19 Л2, Л, то
’ 1 АА==|^-_у|,	. 
	 AA2 = |y-j2|.	.
Следовательно,
\у^—у\- = hi - «
\У^Уъ\ .. К* - \
Так как точка А ^ейсйт между7 Л/ и Л2, то у^—у й
У—У2 одного знака; Поэтому : Р :
Отсюда^ находим
11/1-1/1
-^.1
^,{/1.-1/.	hi
. У — Уъ.	h2
у  h8yi4rX-lj/2-
4~ h2
(^
Если отрезок ЛХД2 параллелен оси X, то ух =^у2 —у;
Тот же результат дает и формула (*), которая, таким об-
разом, верна при любом расположении точек Ль Л2.
Абсцисса точки А находится аналогично. Для нее полу-,
чается формула
у__h2Xi + hrx2
hi + h2 ‘
Упражнения
1.	Даны координаты трех вершин параллелограмма
(*2, Уъ)> (хз» Уз)- Найти координаты четвертой вершины и центра.
2.	Даны координаты вершин треугольника (хх, у J, (х2, г/2), (х3, у3).
Найти координаты точки пересечения медиан.
§" 3J"	—	‘ 'ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА '• J T -	13
3.	Даны координаты середин сторон треугольника (xlf yL), (х2 у2),
(х3, у3). Найти координаты вершин.
4.	Дан треугольник с вершинами (xlt yj, (х2, у2)> (х3, у3). Найти
координаты вершин подобного и подобно расположенного треуголь-
ника с коэффициентом подобия X и центром подобия в точке (х0, е/0)*
5.	Говорят, что точка А делит внешним образом отрезок
в отношении А2, если эта точка лежит на прямой, соединяющей
точки Л2, вне отрезка 4142, и отношение расстояний ее от точек
Ai и А2 равно Af., А2. Показать, что координаты точки А через ко-
ординаты (хп У1), (х2, у2) точек Лх и Л2 выражаются по формулам
__А2*1—АХХ2	____ A2t/i— ^1^2
А2 — Ах *	А2—Ах
6.	Показать, что координаты любой точки прямой, соединяющей
точки Л, (х19 t/i), Л2 (х2, у2), можно представить в виде
х= + (1 — 0 х2, t/ = ty± + (1 — 0 у2.
Какие значения параметра t соответствуют внутренним точкам отрез-
ка А^А2 прямой?
7.	Даны два отрезка координатами своих концов. Как найти
координаты точки, в которой пересекаются прямые, содержащие эти
отрезки? Как узнать, не прибегая к чертежу, пересекаются отрезки
или нет?
8.	Центром тяжести двух масс рх и р2, расположенных в точках
Л1 (Хи yj и Л2 (х2 у2), называется точка Л, делящая отрезок ЛхЛа
в отношении jx2:px. Таким образом, ее координаты
„^Н1У1 + Н2У2
Н1 + Н2 ’ У Pi + Ш
Центр тяжести п масс р/, расположенных в точках Л/, опре-
деляется по индукции. Именно, если А'п— центр тяжести первых
п — 1 масс, то центр тяжести всех п масс определяется как центр
тяжести двух масс: pw, расположенной в точке Лй, и рх + ... -рр^-х,
расположенной в точке Л^. Вывести формулы для центра тяжести масс
р/, расположенных в точках Л/ (х/, yj),
х = Н*1+---4-|М^	== Н1У1+--- + 1ММ
Pl+...+prt ’ У Р1+---+рИ
9.	Пусть Лх (хх, t/x), Л2(х2, р2), Л3(х3, г/3) — три точки, не ле-
жащие на одной прямой. Доказать, что координаты любой точки А
плоскости ху можно представить в виде
х = AiXi 4~ А2х2+А3х3, !/ = Ах #х 4“ ^ъУ 2 4" ^зУз >
где Ах+А24“^з==
Числа Ах, А2, А3 называются барицентрическими координатами
точки Л. Точки Лх,-Л2, Л3 называются базисными точками бари-
центрической системы координат.
Где расположены те точки плоскости, у которых Ах —О (А2 = 0,
А3 = 0)? Где расположены точки, у которых все барицентрические
координаты положительны?
14 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ [ГЛ. I
10.	Найти барицентрические координаты точки пересеченйя ме-
диан треугольника, точки пересечения биссектрис и точки пересече-
ния высот, приняв за базисные точки вершины треугольника.
И. Точки A', В'9 С' делят стороны треугольника АВС, проти-
воположные вершинам Л, В,^С, в отношении %:р, p:v, v:X соответ-
ственно. Доказать, что прямые Л Л', ВВГ, СС' пересекаются в одной
точке. Найти ее барицентрические координаты, приняв за базисные
точки вершины треугольника. (Теорема Менелая.)
§ 4. Понятие об уравнении кривой. Уравнение
окружности
Пусть на плоскости ху дана некоторая линия или, как
говорят, кривая (рис. 8). Уравнение ф(х, у) = 0 называется
уравнением кривой в неявной форме, если ему удовлетворяют
координаты х, у любой точки этой
кривой и любая пара чисел х,
у, удовлетворяющая уравнению
<р (х, у) » 0, представляет собой
координаты точки кривой. Очевидно^
кривая определяется своим уравне-
нием, поэтому можно говорить о
задании кривой ее уравнением.
В аналитической геометрии ча-
сто рассматриваются две задачи:
1) по заданным геометрическим
свойствам кривой составить ее
уравнение, 2) по заданному уравне-
нию кривой выяснить ее геометриче-
ские свойства. Рассмотрим эти задачи в применении к про-
стейшей из кривых—окружности.
Пусть 40(х0, у0)— произвольная точка плоскости ху
и/?—любое положительное число. Составим уравнение окруж-
ности с центром Ло и радиусом R (рис. 9).
Пусть А(Х) у) — произвольная точка окружности. Ее рас-
стояние от центра Ло равно /?. Согласно § 2 квадрат рас-
стояния точки А от Ао равен
(X — X0)2 + (j — Jo)8.
Таким образом, координаты х, у каждой точки А окружности
удовлетворяют уравнению
(х—x0)2 + (j—Jo)2—/?8 = о.	(*)

§ 4| ,	.ПОНЯТИЕ. ОБ .УРАВНЕНИИ кривой _	15
представляет роЪоЯ
Обратно, любая точка Л, координаты у которой удо-
влетворяют уравнению (*), принадлежит, окружности, таккак
ее расстояние от Ло равно /?.
. В соответствии с данным выше определением уравнение (*)
есть уравнение окружности с -центром AQ и радиусом Щ
Рассмотрим теперь вторую задачу
для кривой, заданной уравнением
х2 4- у2 + 2ах + 2Ьу + с = О
с>0}.
Уравнение кривой можно переписать
в следующей эквйвалентной форме:
(х+а)2+(У + &)2 — (V а2+#2— с)2=0.
Из этого уравнения «идно, что
каждая точка (х, у) кривой находится^
на одном и том же расстоянии,
равном |Лг24-£2 —от точки
(—а, —Ь) и, следовательно, кривая ______________________
окружность с центром ( — а, —Ъ)и радиусом j/;a24^2-^ с*
Упражнения	\ /
1.	Составить уравнение геометрического места точек, отношение
расстояний которых от двух данных точек (xr; (х2> Уъ) постоянно
и равно К & 1» Что представляет собой это геометрическое место
точек? >	•
2.	Какие особенности в расположении окружности
x2 + y2+2ax + 2by + c=Q (а2 + 62—с > 0)	,
относительно системы координат имеют место, если .
1) а = 0; 2) 6 = 0; 3) с-0;
4)	а = 0, 6 = 0;	5) а = 0, с=0;	6) 6=0, с=0.
3.	Показать, что если в левую часть уравнения окружности
(x^a)2 + (y-b)2^R2^Q
подставить координаты любой точки, лежащей вне круга, то полу-
чится квадрат касательной, проведенной из этой точки к окружности. I
4.	Степенью точки А относительно окружности называется npo-J
1 изведение отрезков секущей, проведенной через точку Л, взятое со :
v знаком + (плюс) для внешних точек и со знаком — (минус) для
внутренних. Показать, что левая часть уравнения окружности
х2 yz-j-2ax+2by -f- с== 0
16 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ (гл/l
при подстановке в нее координат произвольной точки дает степень
этой точки относительно окружности.
5.	Составить уравнение геометрического-места точек плоскости
ху, сумма расстояний которых от двух данных точек Гх {с, 0) и
*	(—с> 0) постоянна и равна 2а (эллипс). Показать, что уравнение
приводится к виду	а	’
а2 Ь2 *
где Ь2 = а2—с2.
6. Составить уравнение геометрического места точек плоскости
ху, разность расстояний которых от двух данных точек Fx (с, 0),
F2( —с, 0) постоянна и равна 2а (гипербола). Показать, что урав-
нение приводится к виду,
х2
а2 Ь2 ’
где 62 = с2—а2.
7.	Составить уравнение геометрического места точек плоскости
ху, равноудаленных от точки F (0, 2р) и оси х (парабола).
8.	Пусть
x2 + #2-4-2ax + 2fy/-|-c=0, x2 + p2 + 2a1x+2b1z/ + c1 = 0
—уравнения двух окружностей. Показать, что любая окружность,
преходящая через точки пересечения двух данных, задается уравне-
нием вида
X (х2 + г/2+2ах + 2Ьу+с) 4- р (х2 + (/2 + 2ахх+2Ь1У + сх) = О,
где К и р—постоянные.
Показать, что окружность, проходящая через точку пересечения
двух данных и точку (х0, t/0) плоскости, задается уравнением
<6 (х, у) <0j (х0, </0)—со (*о. Уо) “I (*1У)=О,
где для краткости левые части уравнений данных окружностей
обозначены со и а>х.
§ 5. сравнение кривой в параметрической форме
Представим себе, что точка А движется вдоль кривой.
Пусть к моменту t ее координаты х=^<р(/)	— Сис- >
тему уравнений
х = <р(/), у = г|)(/),
задающую координаты произвольной точки кривой как функции ,	|
параметра f, называют уравнениями кривой в параметрической >
форме.	'	'	♦	I
/ Параметр t не обязательно время, это может быть любая <
другая величина^ характеризующая положение точки на
кривой.	Л

§ ;5I : <	. УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ - J i , у 17
Составим уравнение окружности- в параметрической форме.
Пусть центр окружности находится в начале координат,
а радиус равен /?. Положение точки А на окружности мы
будем характеризовать углЪм а, который образует радиус ОА
с положительной полуосью х
(рис. 10). Очевидно, координаты	у
точки А равны R cos a, /?sina и,
следовательно, уравнение окруж- ,
ности t.
x = jRcosa, 5' = /?sifia.	/ ч
Имея уравнение кривой в па- /____________1
раметрической форме:	П О 1 а
* = ф(0, y =	(*) \	1
можно получить ее уравнение в
неявной форме:
/(•^> J7) “ 0*	Рис. 10?
Для этого достаточно исключить
параметр t из уравнений (*), найдя его из одного уравнения
и подставив в другое, или другим способом.
Например, чтобы получить уравнение в неявной форме
окружности, заданной уравнениями в параметрической форме
x = 7?cosa, —A?sina,
достаточно возвести оба равенства в квадрат и сложить
почленно. Тогда получим знакомое уравнение
х3+у2 = /?2.
/
Упражнения
1.	Показать, что уравнениями в параметрической форме
x = R cos t+at. y — Rs\nt + b
задается окружность радиуса R с центром в точке (а, Ь).
2.	Составить уравнение кривой, которую описывает точка отрезка
длины а, делящая его в отношении Х:р, когда концы отрезка сколь-
зят по координатным осям. Принять в качестве параметра угол,
образуемый отрезком с осью х. Что представляет собой кривая,
если %:р = 1?
3.	Треугольник двумя своими вершинами скользит по коорди-
натным осяМд Составить уравнение кривой, которую при этом опи-
сывает-третья вершина (рис. 11).
J8 прямоугольные декартовы КООРДИНАТЫ на плоскости [гл; f
Отв. х = а cos/+ 6 sin/,	0 = 6 sin/4-/1 cos/,
где a, 6, h и параметр t TikteidT значения, указанные на рис. II.
4.	Составить уравнение кривой, которую описывает точка, окруж-
ности радиуса 7?, катящейся по оси х (рис. 12). Принять в качестве
параметра путь s, пройденный центром окружности. Считать, что
в начальный момент (s = 0) точка А совпадает с началом координат.
Отв. х =sin-^-], y~R ( 1-7-cos— ) (циклоида).
\ R R /	\ К
5.	Кривая задана уравнением	.
ах2 + Ьху -\-cy2 + dx-\- ey^Q.	,;! ‘
Показать, что введением параметра /=-^- можно получить сле-
дующие уравнения этой кривой в параметрической форме:
d-j-et	__ dt-\-et2
х~~ а+bt+ct* ’ У~ a+bt+ctz *
6.	Показать, что эллипс
+	(упр. 5§4)	.
допускает параметрическое задание
x = acos/, 0 = 6 sin/.
7.	Показать, что гипербола
X2 и2
-дГ—(упр- 6 § 4)
допускает параметрическое задание >
v x = ach/, 0=6 sh/.
§ 6р	ТОЧЙИ	КРИВЫХ	Ш
§6, Точки пересечения кривых
Пусть в плоскости ху даны две кривые: кривая уь
заданная уравнением
ЛМ-о,	‘
и кривая уа, заданная уравнением
Найдем точки пересечения кривых ух и у2,гт. е. координаты
./этих точек.	\
Пусть Д(х, у)—точка пересечения кривых ух и у2. Так
как точка А лежит на кривой ух, то ее координаты удовле-
творяют уравнению /х(х, у) = 0. Так как точка А лежит на
кривой у2, то ее координаты удовлетворяют уравнению
/2(х, у) = Ь. Таким образом, координаты любой точки пере-
сечения кривых ух и у2 удовлетворяют системе уравнений
£1(х,У) = 0, А(х,у) = 0.
Обратно, любое вещественное решение этой системы
уравнений дает координаты одной из точек пересечения кривых.
Аналогично в случае, если кривая ух задана уравнением
Л(х,^)=о,
а кривая у2 уравнениями в параметрической форме
*=<Р(0. j =
координаты х, у точек пересечения удовлетворяют системе
трех уравнений
-*=ф(0, .y=t(O-
Если обе кривые заданы уравнениями в параметрической
форме
Yv х = фа(т), у=АМт)>-
20 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ ГглГ I7
то координаты х, у точек пересечения удовлетворяют системе
четырех уравнений:
* = Фг(т)> ? = Ч’2(Т)-
Пример. Найти точки пересечения окружностей
х2 -f-y2 = 2ах, х24-у2 = 2#х.
Вычитая уравнения почленно,, находим ах— by.
Подставляя у = ~х в первое уравнение, получим
(l+-fJ-)x2-2ax = 0.
Отсюда
л	2аЬ2
Хх —0,	Х2— а2_|_^2 •
Им соответствуют
л	2ta2
л —°> Уз~ а^+Ьг •
(2ab2 2Ьа2 \
Кривая своим уравнением определена однозначно. Напро-
тив, одна и та же кривая может задаваться различными
уравнениями. Именно, если fi(x,y) — 0—уравнение кривой
у и у) = 0—любое эквивалентное ему уравнение, т. е.
имеющее те же решения (х, у), что и /х = 0, то оно, оче-
видно, тоже будет уравнением кривой. И обратно, если кри-
вая задается уравнениями Д(х, у) = 0 и А(х,у)===0, то
эти уравнения эквивалентны, т. е. каждое решение (х, у)
первого уравнения будет решением второго уравнения и
наоборот. Приведем пример.
Пусть /х(х, у) и /2(х, у)—две функции, определенные
внутри квадрата |х|<И, |у|^1 равенствами
Л(-*. J) = -*2+/—1
„ , ч ( х — V1—у2, если xZ>0,
= {	1/я—4
I х + У 1—у2, если х^О.
Окружность с центром в начале координат и радиусом 1
может быть задана и уравнением /х(х, у)=0, и уравнением
§ 6] .	ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ	21
Упражнения
1.	Какому условию должны удовлетворять коэффициенты урав-
нения окружности	, „	'	'
х2+2ах + 2Ьу +«?=О
для того, чтобы окружность
а)	не пересекалась с осью х;
Ъ)	пересекалась с осью х в двух точках;
с)	касалась оси х?		..
2.	Какому условию должны удовлетворять коэффициенты урав-
нений окружностей: , . .
x2 + «/2+2a1x + 261i/ + c1=0,	.
чтобы окружности пересекались, касались?
3.	Найти точки пересечения двух окружностей:
О x2 + i/2 = l; 2) x = cosf 4-1, t/ = sin t.	. !v,
4.	Найти точки пересечения двух кривых, заданных уравнения-
ми в параметрической форме:
Jx = s24~l, Jx = f2	. s .	_
I0=s..	= # +	’..........
5.	Показать, что точки пересечения кривых
ax4 + &t/4 = c, .Лхв4-В£/6 = С
расположены симметрично относительно осей координат. .
• 6. Даны две кривые и у*, i Кривая, задана?уравнением в
неявном, виде	‘ :	ч г •• ;	t
0.(X,J/) = O, ,
где со (х, ^)лтгнекоторый многочлен . степени не более п. Кривая.ч
задана уравнениями-в параметрической форме	2	'
x=^<pV)> У-^(0, .
где ф и ф—многочлены степени не более т. Показать, что если кри-;,
вые ут, и у2 имеют более тп общих точек, то кривая у2 целиком
лежит; на кривой то есть каждая ее точка является вместе с тем
точкой кривой
 Г л а в а П
ПРЯМАЯ
§1. Общий вид уравнения прямой
Прямая линия является простейшей и наиболее употре-
бительной из кривых.
Сейчас мы покажем, что любая прямая имеет уравнение
вида
ах-\-Ьу + с~0,	(*)
где а, Ь, с—постоянные. И обратно, если а и b не равны
нулю одновременно, то существует прямая, для которой (*)
будет ее уравнением.
Пусть Л1(а1, йх), Л2(я2, Z>2)—какие-нибудь две различ-
ные, симметрично расположенные относительно данной пря-
мой точки (рис. 13). Тогда любая точка А (х, у) прямой
равноудалена от точек Аг и Л2. И обратно, любая точка
Л, равноудалённая от Лх и Л2,
V/	принадлежит прямой. Отсюда урав-
нение прямой
/\________ (х-а^ + (у-Ь^^	:
=(^—«2)2 + (^—*г)2‘
\	Перенося все члены, уравнения
налево, раскрывая квадраты и про-
V х изводя очевидные упрощения, по-
~q'-------------лучим
2 (п2 — «1) X + 2 (&2 —7>1) у +
Рис- 11	. + («1 + ^1 —а!—^) = 0.
Первая часть утверждения доказана.
Докажем вторую часть. Пусть Вг и В2—две различные
точки плоскости ху, координаты которых удовлетворяют
уравнению (*). Пусть
a1x + M + ci = O
уравнение прямой BtBz.
§ 1“]	ОБЩИЙ ВИД УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ	23
Система уравнений
ах + by + с = 0 )	. ч
> (**)
+ M + Ч = ® J
совместна, ей заведомо удовлетворяют координаты точки Вг
и координаты точки В2.
Как известно из элементарной алгебры, совместная си-
стема двух линейных уравнений имеет либо единственное
решение, либо (если решение не единственное) одно урав-
нение является следствием другого,- то есть получается из
него умножением на некоторое число.
Система уравнений (*#^ имеет по крайней мере два ре-
шения. Следовательно, уравнение ахbyс = 6 является
следствием уравнения axx^bty + ci===®» а значит, прямая
ВгВ2 задается уравнением + + с =
Вторая часть утверждения доказана.
Упражнения
1.	Показать, что уравнением
а2х2 + 2abxy+Ь2#2—с2=О
задается пара прямых. Найти уравнение каждой прямой в отдель-
ности.
2.	Кривая у задается уравнением
t/) = 0,
где (о—многочлен степени п относительно я и у. Показать, что если
кривая у имеет с некоторой прямой более п точек пересечения, то
она содержит эту прямую целиком.
3.	Показать, что если коэффициенты уравнений двух различ-
ных прямых
ах + Ьу + с = О, Ах^Ву + С==0
удовлетворяют условию
АЬ —аВ = 0,
то прямые параллельны, т. е. не пересекаются.
4.	Показать, что любая прямая допускает задание уравнениями
в параметрической форме
x = at-\-b, y = ct+d
(см. упр. 6 § 3).
5.	Радикальной осью двух окружностей называется геометри-
ческое место точек равных степеней относительно этих окружностей
г >24	ПРЯМАЯ	[гл. -II
(см. упр. 3 § 4). Показать, что радикальная ось есть прямая. Если
окружности пересекаются, то она проходит через точки-пересечения.
6.	Пусть имеем две окружности:
х2+У2++2bty + Ci == О,
х2 4* у2 -р 2д2х 4* 2&2# 4'^=^
Показать, что все окружности
Ь (х2 4- У2 4- 2ахх 4- 2Ь1у 4- q) 4- Р- (х2 4“ У2 4* 2а2х+4- с2) == О
имеют одну и ту же радикальную ось.
7.	Показать, что геометрическое место точек плоскости^ разность
квадратов расстояний которых от двух данных точек постоянна,
есть прямая.	р
8,	Преобразование инверсии относительно окружности с центром
О и радиусом R заключается: в сопоставлении каждой точке А точ-
ки А' луЧа О А такой, что ОА^ОА' = /?2. Пусть О находится вначале
координат. Показать, что коррдинаты точки А' выражаются через
координаты TO4iai А по формулам.
'	Я2У
’	~ х*+у2’ У х2+«/2 *
9.	Показать, что при инверсии окружность переходит в окруж-
ность иинс прямую (когда в прямую?).
10.	Найти координаты точки Л*, симметричной А(х0, уе) отно-
£и^ь»аьнрямрнл	......	• Н .	"
ах+Ьу+с=0.
11.	Показать, что три прямые
«ix+M+^i=0,
а^х4'М+^~0,
о3^+М+га=°
имеют общую точку тогда и только тогда, когда
	& » а со ы> н» Сз* СЗ* « ьэ п со м м	= 0.
12i Показать, что три точки (х17 одной прямой тогда и только тогда,		lh)> (х2, f/2), (*з» Уз) лежат на когда
	У1 1 Xt Уг 1	=о.
	*з Уз }	-
§ 2J	РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ	*	23
§ 2.	Расположение прямой относительно
системы координат
Выясним, какие особенности в расположении прямой
относительно системы координат имеют место, если ее урав-
нение +	= 0 того или иного частного вида.
РИС.
1.	а = 0. В этом случае уравнение прямой можно пере-
писать так:
Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же ор-
динату -----у) и, следовательно, прямая параллельна
оси х (рис. 14, а). В частности, если и с = 0, то прямая
совпадает с осью х.	•
2.	£ = 0. Этот случай рассматривается аналогично. Пря-
мая параллельна оси у (рис. 14, б) и совпадает с ней, если
и с = 0.
3.	с = 0. Прямая проходит через начало координат, так
как его координаты (0, 0) всегда удовлетворяют уравнению
прямой, если с —0 (рис. 14, в).
4.	Пусть все коэффициенты уравнения прямой отличны
от нуля (прямая не проходит через начало координат ине
параллельна ни оси х, ни оси Д')'. Тогда, умножая уравнение
26
'ПРЯМАЯ
[гл. й
на VJc и полагая —с/а = а, —приводим его к
виду
<*)
Коэффициенты уравнения прямой в такой форме имеют про-
стой геометрический смысл: а и {J с точностью до знака равны
длинам отрезков, которые прямая отсекает на осях координат
(рис. 15). Действительно, ось х (у=0)
прямая пересекает в точке (а, 0),
а осьоу(х = 0) — в точке (0, £).
Упражнения
1. При каком условии прямая
ax + by+c — Q
пересекает положительную полуось х
(отрицательную полуось х)?
2. При каком условии прямая
не пересекает первого координатного
угла?	'
3. Показать, что прямые, задаваемые уравнениями
ах + Ьу+с = 0,
ax—by-\-c = Q (b 0),
симметрично расположены относительно оси х.
4.	Показать, что прямые, задаваемые уравнениями
ах+6у-|-с = 0, ах-}-by—с = 0,
симметрично расположены относительно начала координат.
5.	Задан пучок прямых
ах + Ьу+с+% (с^х +	+ CJ = 0.
Выяснить, при каком значении параметра Л прямая пучка парал-
лельна оси х (оси у), при каком X проходит через начало координат.
6.	При каком условии прямая ах-}-Ьу-}-с=0 вместе с осями
йЬЬрДйнат ограничивает равнобедренный треугольник?
7.	Показать, что площадь треугольника, ограниченного прямой,
ax + fy4-c=0 (а, Ь, с 0)
§ 3]	угол мкжду прямыми	27
и осями координат,
: •.	• .	.	1	V.	’	 Г
S~ 2 | а& | *	. ” ‘
8.	Найти касательные к окружности
х2 + у2 +	+ %Ьу == О,
параллельные координатным осям.	.
§ 3.	Уравнение прямойв форме, разрешенной 
относительно у. Угол между прямыми
При движении вдоль любой прямой, не параллельной
оси у, в одном направлении х возрастает, в Другом убывает.
Направление, соответствующее возрастанию Д назовем поло-
жительным,	\
Пусть на плоскости ху имеем две прямые — и ^2, не
параллельные оси у. Углом ^/образуемым прямой g2
с прямой gy мы будем называть угол,	л . <
по абсолютной величине меньший л,
на который надо пойернуть прямую gb
чтобы положительное направление на
ней совместить с положительным на-	)
правлением g2. Причем угол считается
положительным, если прямая пово-
рачивается в том же направлении, в
л 1	1
котором поворачивается на угол
положительная полуось х до совмещения рис
с положительной полуосью у (рис. 16).	’	 ;
Угол между прямыми обладает следующими очевидными
свойствами:
О ®(gi, &) =—&);
2) ft {glr g2) == 0 тогда и только тогда, когда прямые
параллельны или совпадают;
3) О (ft. £1)=1&(£з, g2) + ^(gt, &)•
Пусть
ах + йу + с = 0
прямая, не параллельная оси у (£=/=0). Умножая уравнение
прямой нй \/Ь и полагая —a/b = k, —с[Ь = Ц приводим, его
к- виду	.	;
yz^kx-YL	Н
28	прямая	(гл. п
Коэффициенты уравнения прямой в этой форме имеют
простой геометрический смысл:
k — тангенс угла а, образуемого прямой с осью х, а
I — с точностью до знака отрезок, отсекаемый прямой
на оси у.
В самом деле, пусть ^(jq, и Л2(х2, у2)—две точки
•на прямой (рис. 17). Тогда
х2—Х1
Осьу(х = 0) прямая, очевидно,
? пересекает в точке (0, /).
Пусть на плоскости ху даны
две прямые: <
Найдем угол который вторая прямая' образует с первой.
Обозначая ах и; углй; об^уШ^	с осью х из
третьего свойства угла между прямыми, получаем
•& = а2 — аг	=<ч.-н-ли
Так как tga1 = A1, tg'a2 == &2, то
tgfr = fe?-—fel-
l	„...и
 Отсюда определяется О, так как’|Ф|<л. !
Упражнения	. ’ .
1.	Показать, что прямые ax+by-[-c = Qt bx — ау+с' = 0 пересе-
’ каются под прямым углом.
2.	Какой угол с осью х образует прямая
л
'•	у = х ctg а, если — — < a < О?
3.	Составить уравнения сторон правильного треугольника, при-
няв за оси координат одну из сторон и высоту, опущенную на эту
сторону.
4.	Найти внутренние углы треугольника, ограниченного
прямыми x + 2t/ = 0, 2х—i/ = 0, х + у=^1.
§ 4]	УСЛОВИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ	29
5.	При каком условии ось х для . прямых
ax+by^Q,
является биссектрисой образованных ими углов?
6.	Вывести для угла О, образуемого прямой
x = at+b, y=ct+d
с осью х, формулу
tg^==4-4
а
7.	Найти угол между прямыми, заданными уравнениями в па-
раметрической форме:
{х = а1^ + Ь1,	J x —
y = a2t + b2,	I y = c2t+d2.
8.	Показать, что четырехугольник, ограниченный прямыми
± ах ± by-\-c — 0 (a, bt с & 0),
есть ромб. Оси координат являются его диагоналями.
• § 4. Условие параллельности
и перпендикулярности прямых
Пусть на плоскости ху имеем две прямые, заданные
уравнениями
М + М + <т = 0,
02* + M + C2==°-
Выясним, какому условию должны удовлетворять коэффи-
циенты уравнений прямых, чтобы прямые были: а) парал-
лельны, б) перпендикулярны.
Допустим, ни одна из прямых не параллельна оси у.
Тогда их уравнения можно записать в форме
3'=М+Л>
где
Принимая во внимание выражение для угла между пря-
мыми, получим условие параллельности прямых:
/гх — й2 = 0,
,80	ПРЯМАЯ	[гл. It
пли
лЛ—О-	(*1
Условие перпендикулярности прямых:
1+М2 = <>,
или
а1а2 + Мг=0.	(**)
Хотя условия (*) и (**) получены в предположении, что
ни одна из прямых не параллельна оси yf они остаются
верными,-если это условие нарушается.
Пусть, например, первая прямая параллельна оси у. Это
значит, что &х = 0. Если вторая прямая параллельна первой,
то она тоже параллельна оси у и, следовательно, Ь2 — 0.
Условие (*), очевидно, выполняется. Если вторая прямая
перпендикулярна первой, то она параллельна оси х и, сле-
довательно, а2 = 0. В этом сл^ае, очевидно, выполняется
условие (**).
Покажем, что если для прямых выполняется условие (*),
то они либо параллельны» либо совпадают.
Допустим, ^=0=0. Тогда из условия (*) следует, что
/>2=#0, так как если />2 = 0, то и а2 = 0, что невозможно.
При этом условие (*} можно записать так:
— Т- = — V- ИЛИ *1 = *2>
что выражает равенство углов, образуемых прямыми с осью х.
Следовательно, 'прямые либо параллельны, либо совпадают.
Если ^ — 0 (а значит, a1=j4 0), то из (*) следует, что
Ъ2 == 0. Таким образом, обе прямые параллельны оси у и,
следовательно, либо параллельны друг другу, либо совпадают.
Покажем, что условие (*«) достаточно для того» чтобы
прямые были перпендикулярны.
Допустим, ^=#0 и й2=/=0. Тогда условие (**) можно
переписать так:
1 +(— у-)(— -§-)=0 или 1+Ма = 0-
А это значит, что прямые образуют прямой угол, т.^е.
перпендикулярны.
§ 5]	УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ	31
Если же ^ = 0 (следовательно, aty=0), то из усло-
вия (**) получается а2?=0. Таким, образом, первая прямая
Параллельна оси у, а вторая параллельна оси х, и, следо-
вательно, они перпендикулярны друг другу.
Случай, когда Ь^О, рассматривается аналогично.
Упражнения
1.	Для того чтобы прямые
ax-\-'by+.c==Ot	+ M + = 0
• были параллельны, необходимо и достаточно^ чтобы система этих
двух уравнений не имела решения. Вывести отсюда условие парал-
лельности
ab±—bai — Q.
2.	Показать, что прямые, отсекающие на координатных осях
отрезки равной длины, либо параллельны, либо перпендикулярны.
3.	Найти условие параллельности (перпендикулярности) пря-
мых, заданных уравнениями в параметрической форме:
{х = а1/4-а1,	(х=а2^ + а2»
1 £/ —IW + &2-..
4.	Найти условие параллельности (перпендикулярности) прямых,
одна из которых задана уравнением
ях+Ьг/ + с = 0,
а другая уравнениями в параметрической форме
х = а/ + р, z/ = y/+6.
5.	В семействе прямых, заданных уравнениями
<ИХ+М+Ci+к (а2х + Ь^У + с2) = 0
(%—параметр семейства), найти прямую, параллельную (перпенди-
кулярную) прямой
ах~\-Ьу + с — & '
§ 5. Взаимное расположение прямой и точки.
Уравнение прямой в нормальной форме
Пусть на плоскости х, у имеем точку Л'(х', j') и
прямую g:
ах + by + с = 0.
Если точка Л' лежит на прямой g, то
ax' -J- by' + с = 0.
ПРЯМАЯ
[гл. tt
Выясним, какой геометрический смысл имеет выражение
h (х', У'} = ах' + by' + с>
если точка А' не лежит на прямой.
Пусть А'(х', у') и Д"(х", две точки, не лежащие
на прямой g. Координаты любой точки отрезка Д'Д" можно
представить в форме
х == tx' Н- (1 - /) х\ y = ty' + (\— t) у\ 0 < t С 1
(§ 3, гл. 1). Таким образом, для любой точки А от-
резка А'А"
' y} = th(x', y')-\-(\—t)h(x", у”).	_
Если точки Д' и Д" принадлежат одной полуплоскости,
то h (/) не обращается в нуль на отрезке [0, 1]. Следова-
тельно, по непрерывности h Л(0) =
=/г(х",у") и h (1)[ = /?(*',у') одного
знака. Если Д' и Д" принадлежат
разным полуплоскостям, то h (/) обра-
щается в нуль 'на отрезке [0, 1] и,
будучи линейной, принимает на кон-
цах отрезка противоположные по
знаку значения, т. е. h (х"; у") и
h (х', ^') противоположных знаков.
Итак, выражение
ах' +#у' + с
. для точек Д' одной из полуплоско-
стей, определяемых прямой g, поло-
жительно, а для течек другой — отрицательно.
Чтобы выяснить геометрический смысл
| ах' + by' с |,
найдем расстояние точки Д' от прямой g.
Опустим из точки Д' перпендикуляр на прямую g (рис. 18).
Пусть. Д0(х0, у0)~основание перпендикуляра. Уравнение
прямой Д'Д0 можно записать в форме
Ь(х — х') — а (у—у') ==0;
В самом деле, задаваемая этим уравнением прямая проходит
§ 5] Уравнение прямой в нормальной форме	83
через точку А' и перпендикулярна g. Отсюда
Ь(х0 — х’) — а(у0—/) = 0.	(*)
Так как точка Ао лежит на прямой gt то
ахв+фо4-с = О.
Отсюда
ах' + by' 4- с = а (х'—х9) + b (у' —уй).	(**)
Из равенств (*) и (**) возведением в квадрат и сло-
жением получается
(ax' + by' 4- е)« = (аа 4- />2) [(х' —х0)а 4- (у’ —_у0)2]-
Таким образом,
| ах' 4- by' + с | == ]Лз2 4- ft2 б (х', у'),
где б(х', у') — расстояние точки А' (х*, у'} от прямой g.
Итак, величина .
| ах'4-' 4-
пропорциональна расстоянию точки (х', у') от прямой
аХ + Ьу + с = 0.
В частности, если а24-й2 = 1, то указанная величина равна
расстоянию точки от прямой. В этом случае говорят, что
прямая задана уравнением в нормальной форме.
Очевидно, чтобы привести уравнение прямой
ах 4* by 4- с = О
к нормальной форме, достаточно разделить его на
4-р/а2-|-£2> или —]/a24-Z>2.
Упражнения
1.	Составить уравнение в нормальной форме прямой, проходя-?
щей через точки (xlt yt) и (х2> Уг\
2.	Пусть (хь yj, (х2, у2), (х3, у3)—вершины треугольника.
Вывести формулу для площади треугольника
6 =у I (*!—Хз) (Уз“Уз)—(х2—%з) (У1 —Уз) I-
3.	Даны уравнения сторон треугольника и точка своими коор-
динатами. Как узнать, лежит эта точка внутр и^ треугольника или
вне его?	1
2 А. В. Погорелов
34
ПРЯМАЯ
[гЛ. It
4.	Показать, что расстояние между параллельными прямыми
a* + ty + ci = 0,	+
равно
I —с* 1 *
5.	Составить уравнения прямых, параллельных прямой
ax + fo/ + c = 0,
находящихся от нее на расстоянии б.
6.	Показать, что если две пересекающиеся прямые заданы урав-
нениями в нормальной форме
ах + Ьу + с — 0, aix + b1y+c1 = 0,
то уравнение биссектрис углов, образованных ими, будут
+	i (a2x~}~b%y— 0.
7.	Показать, что геометрическое место точек, расстояния кото-
рых от двух данных прямых находятся в данном отношении, состоит
из двух прямых. Составить уравнение этих прямых, взяв уравне-
ния исходных прямых в нормальной форме и приняв отношение
расстояний равным А:р.
§ 6. Основные задачи на прямую
Составим уравнение произвольной прямой, проходящей
через точку А (хх, ух).
Пусть
+ + с =0	(*)
— уравнение искомой прямой. Так как прямая проходит через
точку А, то
ахг +	+ с == 0.
Выражая отсюда с и подставляя его в уравнение (*),
получаем	1
а(х—xj + bly— уд=О.
Очевидно, при любых а и b прямая, задаваемая этим
уравнением, проходит через точку А.
Составим уравнение прямой, проходящей через две дан-
ные точки Аг (хъуг), Л2 (х2, у2).
Так как прямая проходит через точку то ее урав-
нение можно записать в форме
'а (х—xj 4- b (у—уд = 0.
§ 6}	• ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ	35
Так как прямая -проходит через точку А%, то
а (х8—хх) +Ь (Л—Л) - О»
откуда
а	У2—У1
Ь	*2 —*i’
и искомое уравнение
У—У1	.
У2 — У1
Составим уравнение прямой, параллельной
ах 4- АУ + с = 6,
проходящей через точку А (х19 уг).
Каково бы ни было X, уравнение
ах 4" by 4~ X=== О
задает прямую, параллельную данной. Выберем X так, чтобы
уравнение удовлетворялось при х = хх иу==у11
axt 4- Ьух 4- X = 0.
Отсюда
X — —ах±—byt
и искомое уравнение будет
а (х—хх) + b [у —_ух) — 0.
Составим уравнение прямой, проходящей через заданную
точку А (хь f/1), перпендикулярную прямой
ах4-йу4-с = 0.
При любом X прямая
Ьх—ау + Х = 0
перпендикулярна заданной прямой. Выбирая X так, чтобы,
урдвнещие удовлетворялось при х = х1, у==уь находим
искомое уравнение:
./• Ь(х—хх)—а(у— л)^0.
Составим уравнение прямой, проходящей через 'данную
точку А (хь ух) и образующую угол а с осью х и а| < ~ J .
2*
36
ПРЯМАЯ
[гл. и
Уравнение прямой можно записать в форме
• у = kx + Z.
Коэффициенты k и I находятся из условий
tga=£, y^kx^ + l.
Искомое'уравнение:
у—= tga (х—ATj).
В заключение заметим, что уравнение любой прямой, про-
ходящей через точку пересечения двух данных прямых:
агх + Ьгу + ci = 0, а2х + b2y -j- с2 = О,
можно записать в форме
9i (axx + Ьгу + cj 4- р. (а2х,+ Ь2у + с2) = 0.	(**)
Действительно, уравнение (**) при любых Л и ц, не
равных нулю одновременно, задает прямую, которая прохо-
дит через точку пересечения двух данных, так как ее коор-
динаты, очевидно, удовлетворяют уравнению (**). Далее,
какова бы ни 0кла точка (xt, j/J, отличная от точки пере-
сечения данных прямых, прямая (**) при
l = a2Xi4-ft2>’i + c2) — H = «ixi + Mi + Ci
проходит через точку (хъ у^. Следовательно, прямыми (**)
исчерпываются все прямые, которые проходят через точку
пересечения данных.
Упражнения
1.	Составить уравнения прямых, параллельных
ах-\-Ьу-\-с «== 0,
находящихся от нее на расстоянии 6.
2.	Составить уравнение прямой, параллельной (перпендику?
лярной)
ах + Ьу+с^О,
проходящей через точку пересечения прямых!
aix + M+ci==0,	a2x-H2t/+c2===0.
3.	При каком условии точки (xb у^), (х2, У г) симметрично рас-
положены относительно прямой
ax4-dt/-|-c=0?
§ Л
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
37
4.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку (х0, у0)
и равноотстоящей от точек (хА, г/х), (х2, г/2).
5.	Показать, что три прямые:
a2x + b2t/-|-c2 = 0,
а3* + М+сз = 0
имеют общую точку тогда и только тогда, когда
fli
tZ2 Ь2 С2 а
а3 ^3 сз
6.	Показать, что три точки (хь ^), (х2, у2), (х3, у3) тогда и
только тогда лежат на прямой, когда
xi У1 1
Х2 * УЗ 1
хз Уз 1
§ 7. Преобразование координат
Пусть на плоскости введены две системы координат ху
и х'у' (рис. 19). Установим связь между координатами
произвольной точки относительно этих
систем координат.
Пусть
«1*+М+с1=о>
а2х +/>2у 4-с2 = О
— уравнения в нормальной форме
осей у' и х' в системе координат ху.
Уравнение прямой в нормальной
форме определено однозначно с ‘‘точ-
ностью до перемены знака у всех ко-
эффициентов уравнения. Поэтому, не
ограничивая общности, можно считать,
Рис. 19.
что для некоторой точки Д0(х0, у0) первого квадранта
системы координат х'у'
“Л + М» + «1>0.
а2х0 + Мо + с2> 0
(в противном случае знаки коэффициентов можно заменить
на противоположные).
38
ПРЯМАЯ
[ГЛ. II
Мы утверждаем, что координаты произвольной точки
х', у' относительно системы координат х'у' выражаются
через координаты х, у той же точки в системе координат ху
по формулам
х' = а1х4-Аьу + с1, |
у' = а2х + b2y + с2. I
Докажем, например, первую формулу. Абсолютная вели-
чина левой и правой частей формулы одинакова, так как
представляет собой расстояние точки от оси у'. В каждой
из полуплоскостей, определяемых осью у', левая и правая
части формулы сохраняют знак и меняют его при переходе
от одной полуплоскости в другую. А так как для точки Ао
знаки совпадают; то они совпадают для любой точки пло-
скости.
Вторая формула доказывается аналогично.
Так как
агх 4- bxy + q - О,
а2х-|-62у + с2 = 0
(**)
представляют собой уравнения в нормальной форме двух
перпендикулярных прямых, то коэффициенты аъ Ьх, а2) Ь2
формул (*) связаны соотношениями:
^ + ^ = 1,
ЙА + Мг = °-
Принимая во внимание первые две формулы (**), аь b
а2, Ь2 можно представить так:
= cos a, bY = sin а,
а2 = cos ах, = sin ai-
Тогда из третьего соотношения (**) получаем
cos a cos а2 4- sin а sin ах = cos (а — ах) == О,
откуда следует, что аА = а ± ~ 4- 2Ал. И формулы преоб-
разования координат (*) можно записать в одной из следую-
щих двух форм:
. Xх—xcosa4“Js^na + ci>
у' = — х sin а 4-у cos а 4“
§7]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ	39
ИЛИ
х' = х cos а У sin а + съ
у' == х sin а —у cos а + с2-
Первая из них охватывает все случаи, когда система
координат х’у' может быть получена движением из системы
координат ху. Вторая система формул охватывает случаи,
когда система координат х'у' получается из системы ху
движением и зеркальным отражением.
Величины а, сг и с2 в формулах преобразования коор-
динат. имеют простой геометрический смысл: а — с точностью
до кратного 2л — угол, образуемый осью х' с осью х, а сг
и-с2 — координаты начала системы координат ху в системе
координат х'у'.
Упражнения
1. Составить формулы перехода от системы координат*## к си?
стеме координат x'y't если оси координат х' и #' задаются уравне-
ниями
— &# + а#+с2 = 0.
2, Составить уравнение кривой
х2—у2~а2,
приняв за новые оси координат прямые:
# + # = 0, #—# = 0.
- 3. Система координат х'у' получена вращением около некото?
рой точки (#0, #0) из системы координат ху. По формулам преобра-
зования координат (*) найти #0 и у0.
4.	Показать, что преобразование плоскости ху в себя, при ко-
тором точке (#, у) сопоставляется точка (#', у') согласно формулам
x'^xcosa—^sina-j-Cp
у' = х sin a+# cos схЧ-с2,
есть движение. (Это преобразование непрерывно зависит’ от пара-
метров’ а, с2, обращается в тождественное при а== ^2 = 0 и
сохраняет расстояния между точками.)
5.	Показать, что преобразование плоскости ху в ;себя с помощью
формул
#'=# cosa-)-# sin а4~£],
--	у' — х sin d—у cos aj-c2
сводится к движению и зеркальному отражению.
40
ПРЯМАЯ
[гл. п
6.	Полагая z — x-}-iy, показать, что всякое движение в плоско-
сти ху осуществляется линейным преобразованием комплексного
переменного
Z' = (DZ-|-C,
где со и с—комплексные числа, причем |<о| = 1.
7.	Найти уравнение кривой, которую описывает точка С меха-
низма, изображенного на рис. 20. Треугольник ЛВС жесткий, точка
А скользит по оси х, а точка В движется по окружности радиуса R
с центром в начале координат.
Решение. В момент, когда точка В совпадает с Во, точки
Л, В, С имеют координаты (d, 0), (/?, 0), (а, Ь). Положим
В произвольный момент комплексная координата точки С
г — cozo4*c»
Так как точка В все время остается на окружности х24-*/2 = #2,
а точка А на оси х, то	*
|«)/? + с | = R, Im (cod + с) = 0.
Отсюда
Л |со(/? — z0) + z| = /?,	Im (со (d — z0)-|-z) =0.-
Или
I я —Zo l2 + <° (/?—zo)T+co“(₽—z7)z + |z |2 = Я2,
co (d — z0)—co (d—z0) + z —z==0.
(Чертой отмечаются комплексно сопряженные числа.)
Решая эти уравнения относительно со и со и замечая, что
coco ~ 1, находим уравнение, которому удовлетворяет z. Подставляя
затем x + iy вместо г, получаем уравнение^ искомой кривой.
8.	Найти уравнение крирой, которую описывает точка С меха-
низма, изображенного на рис. 21. Треугольник АВС жесткий, его
вершины Л и В движутся по окружностям.
Глава III
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
§ 1. Полярные координаты
Проведем из произвольной точки О на плоскости полу-
прямую g и зададим некоторое направление отсчета углов
около точки О. Каждой точке А плоскости можно сопоста-
вить два числа: р и р — расстояние точки А до О,
О— угол, образуемый полупрямой ОА с полупрямой g
(рис. 22).
Числа р и 'О' называются полярными координатами
точки 4. Точка О называется полюсом, а полупрямая g—
полярной осью.
Подобно тому, как и в случае декартовых координат,
можно говорить об уравнении кривой в полярных коорди-
натах. Именно, уравнение
<р(р, 0) = 0
называется уравнением кривой в полярных координатах,
если полярные координаты каждой точки кривой ему удов-
летворяют. И обратно, любая пара чисел р, удовлетво-
ряющая этому уравнению, представляет собой полярные
координаты одной из точек кривой.
Составим для примера уравнение в полярных координа-
тах окружности, проходящей через полюс, с центром на
42
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
[ГЛ. III
полярной оси и. радиусом 7?. Из прямоугольного треуголь-
Отсюда
ника (Х4Л0 получаем ОА = OAQ cos О’
уравнение окружности
р = 2R cos О.
(рис. 23).
Введем на плоскости рФ систему
нат 'ху, приняв полюс О за начало
координат, полярную
декартовых
декартовой
коорди-
системы
ось — за положительную полуось х,
а направление положительной по-
луоси у выберем так, чтобы она обра-
зовала с полярной осью при выбран-
ном направлении отсчета углов
• л '
У го л + 2* •
Между полярными и декарто-
д выми координатами точки очевидным'
образом устанавливается следую-
щая простая связь:
х = р cos у = р sin ft (*)
(рис. 24). Это позволяет, зная ура-
внение кривой в полярных коорди-
натах, получить ее уравнение в де-
картовых координатах и наоборот.
Составим, например, уравнение
в полярных координатах. Уравнение
координатах
произвольной прямой
прямой в декартовых
ах by + с — 0(
Вводя в это уравнение вместо х и у,
мулам (*), получим
р (a cos ft -f- b sin ft) + c = 0.
р и # согласно фор-
Полагая далее
а
=— = cos а,
I I 1.9		* 1
Ь
=- — sin а.
с

получим уравнение прямой в форме
р cos (а — тЭ*) = ро
§ 2]
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
43
Упражнения
1.	Показать, что уравнение любой окружности в полярных ко-
ординатах можно записать в форме
р2 + 2ар cos (а 4- ft) + b — 0.
Определить координаты ее центра р0, ft0 и радиус ₽.
2.	Выразить расстояние между точками через полярные ко-
ординаты этих точек.
3.	Какой геометрический смысл имеют а и р0 в уравнении
прямой в полярных координатах
р cos (a —ft) = p0.	t
4.	Составить уравнение в' полярных координатах геометри-
ческого места оснований перпендикуля-
ров, опущенных из точки А окруж-
ности на ее касательные (кардиоида,	Z\
рис. 25). Принять за полюс точку Л,	тк
аза полярную ось — продолжение ради- у	vk I \
уса ОА.	f	к \ЛГ>1
Отв. р = 7?(1—cos ft).	я
5.	Составить уравнение лемнискаты i л '
Бернулли. Так называется геометриче- \	1 г /1
ское место точек, произведение рассто- \	/ I
яний которых от двух данных точек Fx	у /
и F2 (фокусов) постоянно и равно	/
-jUVa)2- Принять за плюс середину	_______
отрезка, соединяющего фокусы, а за по-	р
лярную ось—полупрямую, проходящую	нис’
через один из фокусов.
Отв. p = ayr2cos2ft, где а —половина расстояния между фо-
кусами.
§ 2. Конические сечения. Уравнения в полярных
координатах
Коническим сечением называется кривая, по которой
пересекает круговой конус произвольная плоскость, не про-
ходящая через его вершину (рис. 26). Конические сечения
обладают рядом замечательных свойств. Одно из них заклю-
чается в следующем.
Каждое коническое сечение, кроме окружности, пред-
ставляет собой геометрическое место точек плоскости, отно-
шение расстояний которых от некоторой точки F и некото-
рой прямой S постоянно. Точка F называется фокусом кони-
ческого сечения, а прямая в директрисой.
44
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
[ГЛ. III
Докажем это свойство.- Пусть у — кривая, по которой
плоскость о пересекает конус (рис. 27). Впишем в ко-
нус сферу, касающуюся плоскости а, и обозначим F точку
касания сферы с плоскостью. Пусть со — плоскость, в которой
лежит окружность касания сферы с конусом. Возьмем на
кривой у произвольную точку М. Проведем через точку М
образующую конуса и обозначим В точку пересечения ее
с плоскостью (о. Опустим, наконец, перпендикуляр из точки М
на прямую 6 пересече-	I
дшя плоскостей а и ш.
%
Рис. 27.
Утверждается, что кривая у по отношению
Утверждается, что кривая у по отношению к точке Е
и прямой S обладает указанным выше свойством. Действи-
тельно, ЕМ — ВМ, как касательные к сфере из одной точки.
Далее, если обозначить h (М) расстояние точки М от пло-
h(M) ,,D h(M)
скости со, то АМ=-т—МВ = ~^, где а—угол между
sin а ’ sin р	J	J
плоскостями со и а, а (3—угол между образующими конуса
и плоскостью со.
'	л	AM	AM	sin	В
Отсюда следует, что	, т. е. отношение
J ’	FM	ВМ	sin а’
AM	..	..
не зависит от точки М. Утверждение доказано.
В зависимости от того, каково отношение к расстояний
произвольной точки конического сечения от фокуса и дирек-
трисы, кривая называется эллипсом (X < 1), параболой (Х = 1)
§ 2]
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
45
и гиперболой (X > 1). Число X называется эксцентриситетом
конического сечения. /
Пусть F—фокус конического сечения и 6 — его дирек-
триса (рис. 28). В случае эллипса и параболы (Х<^1) все
точки кривой располагаются по одну сторону директрисы,
именно со стороны, где находится фокус F. Действительно,
для всякой точки Д, расположенной супругой стороны ди-
ректрисы,
AF_ ДВ
АА > АА 1ф
Напротив, у гиперболы (X > 1) есть точки, расположен-
ные по обе стороны директрисы. Гипербола состоит ,йз двух
ветвей, разделяемых директрисой.
Составим уравнение конического сечения в полярных
координатах, приняв за полюс системы координат р$ фокус
конического сечения, а полярную ось проведем так, чтобы
она была перпендикулярна директрисе и пересекала ее
(рис. 29).
Пусть р — расстояние фокуса от директрисы. Расстояние
произвольной точки А конического сечения от фокуса равно р,
а расстояние от директрисы р — р cos О или рсоэФ—р, смотря
но тому, как располагаются точки А и F—по одну сторону
директрисы или по разные, Отсюда уравнение конического
сечения
--^4= А
р—р cos V
(*)
46
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
[гл. Ш
в случае эллипса и параболы,
----------5; = + к
р — Р COS V
- (**)
в случае Гиперболы (знак + соответствует одной ветви гипер-
болы, а знак — другой).
Рис. 30.
Решая уравнения (*), (ее)
относительно р, получаем
Х>р
P~i+Xcosd
—уравнение эллипса и па-
раболы,
р==. —
р l±Xcos^
—уравнение гиперболы.
На рис. 30 показано, как изменяется форма конического
сечения в зависимости от эксцентриситета Л.
Упражнения
1.	Показать, что кривая, веданная уравнением
_____________________________с_________
1 +а cos $ + 6 sin Ф ’
представляет собой коническое сечение. При каком условии кривая
является эллипсом, гиперболой, параболой?
2.	Составить уравнение эллипса, зная, что его фокус находитсж
в полюсе системы кЬординат рО, по трем точкам (рА, 0), ^рг, ,
(рз» л).
3.	Найти фокусы и директрисы эллипса, .гиперболы, заданных
уравнением
__________р________
Р l-f-acosfl+b sin в*
4.	Пусть А и В—точки пересечения конического сечения с пря-
мой, проходящей через фокус F. Доказать, _что
JL+J_
AF^ BF
не зависит от прямой.
5.	Показать, что преобразоваййе инверсии Параболы относитёльй
фокуса переводит ее в кардиоиду (см. упр. 4 § 1).
§ 3]	УРАВНЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ	47
§ 3. Уравнения конических сечений в декартовых
координатах в канонической форме
В § 2 мы получили уравнения конических сечений
в полярных координатах pfh Перейдем теперь к системе
декартовых координат ху, приняв полюс О за начало коор-
динат, а полярную ось — за положительную полуось х.
Из уравнений (*) и (**) § 2 для любого конического
сечения имеем
р2 = X2 (р — р cos Ф)2.
Отсюда, принимая во внимание формулы § 1, устанавливаю-
щие связь между полярными и декартовыми координатами
точки, получаем
х2+>у2 = Л2(р —х)2,
или
(1 — Л2) х2 + 2рХ2х + у2 — А2р2 = 0.	(*)
Это уравнение значительно упрощается, если сместить
начало координат вдоль оси х соответствующим образом.
Рассмотрим сначала случай эллипса и гиперболы. В этом
случае уравнение (*) можно записать так:
Введем теперь новые координаты х', у' по формулам
Л+га5==х'> У=У’>
что соответствует переносу начала в точку
\ i-x2’
Тогда уравнение кривой примет вид
1—и-
(1 —X2) Х'2+у'2
Или, полагая для краткости
(1—X2)2
1 —V I ’
получаем следующие 'уравнения:
48
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
[ГЛ. III
для эллипса
х'2	W'2
—-L?_____1 =0
а2 -Г
для гиперболы
а2 &2	1
называются полуосями эллипса (гипер-
b
Параметры а и
болы).
В случае параболы (Х = 1) уравнение (*) будет иметь* вид
р2 = 0
или
у2—2р[ — Х + -0 =0;
введением новых координат
х’ = —х+^, у'—у
рно преобразуется к виду
у'2— 2рх' = 0.
Полученные нами в координатах х\ у' уравнения кони-
ческих речений называются каноническими.
Упражнения
1.	Показать, что уравнение конического сечения с фокусом
(*о> Уо) и директрисой
ах-\-Ьу+с=®
имеет вид
(*—х0)2 + (у — t/o)2 + k (ах + by + с)2 = 0.
Для каких значений k это коническое сечение представляет собой
эллипс, параболу, гиперболу?
2.	Пусть К—любое коническое сечение и F—его фокус. Пока-
зать, что расстояние произвольной точки А конического сечения до
фокуса F линейно выражается? через координаты точки х, у, т. е.
ЛГ = ах+р1/ + у,
где а, р, у—постоянные.
3.	Показать, что любая прямая пересекается с коническим сече-
нием не более чем в двух точках.
4.	Показать, что геометрическое место точек, сумма расстояний
которых от двух данных точек постоянна, есть эллипс (см. упр. 5
§ 4 гл. I).
§ 4]	ФОРМА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ	49
5.	Показать, что геометрическое место точек, разность расстоя-
ний которых от двух данных точек постоянна, есть гипербола
(см. упр. 6 § 4 гл. I).
6.	Что представляет собой геометрическое место центров окруж-
ностей, касающихся двух данных окружностей и Рассмотреть
различные случаи взаимного расположения окружностей и К2»
а также случай вырождения одной из окружностей в прямую.
§ 4. Исследование формы конических сечений
Эллипс—
'	у2 «|2
^- + ^ = 1 (рис. 31).
Во-первы^, заметим, что оси координат являются осями
симметрии эллипса, а начало координат—центром симметрии.
Действительно, если точка (х, у) принадлежит эллипсу, то
симметричные ей точки относительно осей координат (—х, у),
(х, —у) и относительно начала координат (—х, —у) тоже
принадлежат эллипсу, так как удовлетворяют его уравнению
влгёсте с точкой (х, у). Точки пересечения эллипса с его осями
симметрии называются вершинами эллипса.
Весь эллипс содержится внутри прямоугольника | х | а,
образуемого касательными в его вершинах (рис. 32).
Действительно, если точка (х, у) вне прямоугольника,
то для нее выполняется по крайней мере одно из неравенств
] х | > а или |.У |>£, но тогда
и точка не может принадлежать эллипсу.
w
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
[ГЛ. Ill
Особенно наглядно
окружности путем ее
плоскости окружность
образование эллипса получается из
равномерного сжатия. Начертим на
плоскость ху равномерно сжимается
Представим себе, что
относительно оси х так, что точка (х, у) переходит в точку
Рис. 34. .
у), где х =»х, a	При этом окружность (*) ие-'
рейдет * некоторую кривую (рис. 83). Координаты любой ее
1очки удовлетворяют уравнению
Таким образом, эта кривая—эллипс»
Гипербола—
g-g=,l (рис. 34).
Буквально так же, как и в случае эллипса, заключаем,
что оси координат являются осями симметрии гиперболы,
а начало координат—центром симметрия.
Гипербола состоит из двух вегвей симметричных относи-
тельно оси у, расположенных вне прямоугольника | х | < а,
1 < Ь внутри двух углов, образованных его диагоналями
{продолжениями диагоналей, рис. 35).
§ 4]	ФОРМА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
51
Действительно, внутри прямоугольника ]х[. <а и, следо.-
вательно,	„
У
а2	4
т. е. внутри прямоугольника нет точек гиперболы.
Нет их в оставшейся заштрихованной на рис. 35 части
плоскости, так как для лю-
бой точки (х, у) из этой части
плоскости
Ь ИИ
откуда
1*1
а ; b
и, следовательно,
Рис. 35
Отметим еще следующее свойство гиперболы. Если точка
(х, у), двигаясь вдоль гиперболы, неограниченно удаляется
от начала координат (х2-(-у2 —> оо), то ее расстояние от
одной из диагоналей прямоугольника, которые, очевидно,
задаются уравнениями
•неограниченно убывает.(стремится к нулю).
В самом деле, величины
I х , у |	| х у |
—h-r и-----4-
I а 1 b J I a b I
пропорциональны расстояниям точки (х, у) гиперболы от ука-
занных прямых (§ 5 гл. II). Произведение этих величин
Jd —1^_1
I а Ь И а b |~”|а2 Н
Если наше утверждение о том, что расстояние от одной
из диагоналей стремится к нулю, неверно, то существует
такое Х> О к сколь угодно удаленные точки гиперболы,
Лй которых	 \	|
Н+М>Ч-ЫИ .................
52
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
[ГЛ. И!
А так как
I £ j_ L11 £__LI 1
I а ' b 11 a b I ’
то для таких точек
|£_£|<г-1
I а _ Ь I . X ’ I а 6 | X *
Возводя эти неравенства в квадрат и складывая, получим
х2 , у2 1
а это противоречит тому, что х2-|-^2—>°°-
Утверждение доказано.
Прямые
*+£ = 0, А-^0
а 1 b а b
называются асимптотами гиперболы.
Гипербола
___________________________i
a2 fr2 “
по отношению к рассмотренной гиперболе
s	х2_у2.
а2 Ь2
называется сопряженной. Она имеет те же асимптоты, но
располагается в дополнительных вертикальных углах, обра-
зованных асимптотами (рис. 36).
Парабола (рис. 37)
У2— 2рх = 0
§ 4]	ФОРМА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ
53
имеет ось х осью симметрии, так как вместе с точкой (х, ^)
ей принадлежит симметричная относительно оси х точка
(х, —у). Точка пересечения параболы с ее осью называется
вершиной параболы. Таким образом, в данном случае верши-
ной параболы является начало координат.
Упражнения
1.	Показать, что эллипс располагается вне ромба с вершинами
в вершинах эллипса.
2.	Показать, что любой эллипс представляет собой проекцию
окружности.
3.	Показать, что произведение, расстояний точки гиперболы до
ее асимптот постоянно (не зависит от точки).
4.	Показать, что уравнение любой гиперболы с асимптотами
«1^ + М + с1 = 0’ а2х + Ь2у + с2 = 0
можно записать в форме
(fli* + bly + сг) (а2х + b2y + с2) = const.
5.	Показать, что произвольная прямая может пересекать кони-
ческое сечение не более чем в двух точках.
6.	Обосновать следующий способ построения эллипса. Стороны
CD и АС прямоугольника делят на одинаковое число равных
отрезков (рис. 38). Точки деления соединяют с А и В При этом
отмеченные точки пересечения лежат на эллипсе с большой осью
АВ. Малая полуось равна половине высоты прямоугольника.
7.	Обосновать способ построения параболы, представленный на
рис. 39.
54
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
[ГЛ. Ш
§ 5. Касательная к коническому сечению
Касательной к кривой в точке А называется предельное
положение секущей АВ, когда точка В неограниченно
приближается к А (рис. 40).
Пусть кривая задана уравнением^ =/(х). Составим уравне-
ние касательной в точке А (х0,у0).. Пусть В (х0 4- Дх, yQ + Ду)
— точка кривой, близкая к А. Уравне-
ние секущей
У—Уо = ^х—х0).
При В—+А
И мы получаем уравнение касательной
У —Уо =f {х0) (х—х0).	(*)
Аналогично, если кривая задана
уравнением х = <р(у), уравнение ка-
сательной в точке (х0, у0) будет
х—х0=<р'(у0Н.У—Ь)-	(**)
Составим уравнение касательной к коническому сечению.
Случай параболы. Уравнение параболы можно
.записать в виде
Тогда уравнение касательной в форме (**) будет
х—х0=^-(у—у9),
или
- УУо—Уо+рхо— рх = 0.
Так как точка (х0, у0) лежит на параболе и, следовательно,
Уо—2рх0 —0, то уравнение касательной можно представить
в следующей окончательной форме:
УУо~ Р(х + хо) = 0.
Случай эллипса (гиперболы). Пусть (х^, у0) —
точка эллипса, причем уо^=О. В' окрестности этой точки
§ 5]	КАСАТЕЛЬНАЯ К КОНИЧЕСКОМУ СЕЧЕНИЮ	55
эллипс, .можно задать уравнением
где квадратный корень надо брать со знаком у0. Уравнение
касательной по формуле (*)
У —=-----------,---(X—х0),
а‘]/
или
у-у0=-^(х-х0).
Умножая его на ~ и перенося все члены в левую часть
равенства, получим
। УУо_(	1 j/o \_/л
а2 "Г" Ь2 \ а2 62 / “ ’
или
ХЧ { УУ*	1 _ А
а2 -Г 62	1 “
4 I у1 1
так как +	=
В окрестности каждой точки эллипса (л:0, .у0), где
хоу=О, эллипс можно задать уравнением
х — а V1	.
г Ь*
Тогда аналогичным рассуждением с помощью формулы («*)
приходим к уравнению касательной
XXq ।	1
& -Г Ьг " А-
Так как в каждой точке эллипса х0 и у0 не могут
быть одновременно нули, то в любой точке (х0, j0) урав-
нение касательной к эллипсу будет
ХХд I УУо _ 1
а2 ”Г 62‘ ~ ’


56	КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ	[ГЛ. III
Уравнение касательной, к гиперболе
х2_______________________.
а2 Ь2
получается, аналогично и имеет вид
xxQ yyQ .
а2 ' b2 ~ *
Упражнения
I.	Показать, что касательная к коническому сечению имеет
с ним только одну общую точку—точку касания.
2.	Показать, что касательная к гиперболе вместе с асимптотами
определяет треугольник постоянной, площади.
3.	Пусть <р(х, г/)=0—уравнение конического сечения. Выразить
условие касания прямой, соединяющей точки (х0, yQ) и (х, у), с ко-
ническим сечением, и, таким образом, составить уравнение пары
касательных, проведенных из точки (х0, i/0) к коническому сечению.
4.	Выразить условие касания прямой
у—х0)
с эллипсом
а2^ Ь2 ’
Показать, что геометрическое место вершин (х0, #0) прямых
углов, стороны которых касаются эллипса, есть окружность.
5.	Показать, что вершины прямых углов, стороны которых ка-
саются параболы, лежат на директрисе, а прямая, соединяющая
точки касания, проходит через фокус.
6.	Способом, указанным в задаче 3, вывести уравнение пары
касательных к коническому сечению, параллельных прямой
а* + ₽у+Т=0.
7.	Показать, что отрезок касательной к гиперболе между
асимптотами делится точкой касания пополам.
8.	Пусть Хо—вершина параболы, X—произвольная точка па-
раболы и Т—основание перпендикуляра, опущенного из точки X
на касательную в вершине Хо. Показать, что касательная параболы
в точке X делит отрезок Х^Х пополам.	|
§ 6. Фокальные свойства конических сечений
По определению, у конического сечения имеется фокус
и директриса. Покажем, что у эллипса и гиперболы есть 1
ещеодин фокус и директриса. Действительно, пусть кони-
ческое сечение—эллипс. В каноническом расположении его
§ 6]	ФОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ	57
-директриса 6г параллельна оси у, а фокус расположен
на оси х (рис. 41). Уравнение эллипса
а2 -Г £2 — 1 ’
Так как эллипс в таком расположении симметричен
относительно оси у, то у него есть фокус F2 и дирек-
триса 62, симметричные относительно оси у фокусу Fr и
директрисе 6Г
Рис. 42.
Рис. 41.
Аналогичным рассуждением устанавливается существо-
вание двух фокусов и директрис у гиперболы.
Покажем, что сумма расстояний произвольной точки
эллипса от его фокусов постоянна, т. е. не зависит от
точки. Действительно, для произвольной точки X (рис. 41)
имеем
ХХг >	’
Отсюда
XFx+XF2 = А (ВДО = const.
Аналогично показывается, что разность расстояний
произвольной точки гиперболы от ее фокусов постоянна
(рис. 42).
Отметим теперь следующее оптическое свойство эллипса.
Световые лучи, исходящие из одного фокуса эллипса, после
зеркального отражения от эллипса проходят через второй
фокус (рис. 43, а). Иными словами, отрезки XFx и XF2
с касательной в точке X образуют равные углы а1~а2.
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
[ГЛ, Ш
> Действительно, допустим, утверждение неверно, и, сле-
довательно, а1у=а2. Отразим зеркально относительно каса-
тельной фокус F* (рис. 43, б) и соединим полученную
точку.Fl с точками X и Fr Так как а1=Н=а2, то XF2 -f-
4- XFr =* FlF± < XF2 4- XFV При неограниченном удалении
точки Х( вдоль каса-
тельной за точку X
сумма X'F^X'F^ не-
ограниченно растет, в
частности становится
Рис. 43.
еле зеркального отражения от
больше XF1-}-XF2.
Следовательно, суще-
ствует точка X', от-
личная от X, такая,
что X'F^X'Fz =
^XF^XF^. Точка
X' должна принадле-
жать эллипсу. Но это
невозможно, так как
касательная кониче-
ского сечения имеет
с ним только одну
общую точку. Мы
пришли к противоре-
чию. Итак, ат = а2,
утверждение доказано.
Аналогичным свой-
ством обладает гипер-
бола. Именно, свето-
вые лучи, исходящие
из одного фокуса, по-
гиперболы кажутся исходя-
щими из другого фокуса (рис. 44).
Соответствующее оптическое свойство параболы со-
стоит в том, что лучи света, исходящие из фокуса, после зер-
кального отражения от параболы образуют параллельный пучок,
-В/ заключение найдем фокусы эллипса и гиперболы
в” каноническом расположении. УравнениеГ эллипса
а2 "Г Ь*
* § 6J	ФОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ	59
Пусть — расстояние от центра эллипса до фокусов.
; Сумма расстояний вершины (О, Ь) от фокусов равна
вершины (а, 0) от фокусов
2]/7>24-с2. Сумма расстояний
равна 2а. Отсюда
У Ь2	с2 = а,
и, следовательно,
с=Уа2 — Ь2,
У равнение гиперболы
1
а2 &2	*
Сравниваем разность расстояний
от фокусов точки гиперболы с
абсциссой с, где с — расстояние
от центра гиперболы до фокусов,
Рис. 44..
и разность расстояний вершины (а, 0) от фокусов. При
этом для расстояния с фокусов гиперболы'от ее центра
получается формуда с = |/д2-|-#2.
Упражнения
1.	Обосновать следующий способ построения фокусов эллипса.
Из вершины на малой полуоси описывают окружность радиусом,
равным большой полуоси. Точки пересечения этой окружности
с большой осью эллипса и есть его фокусы.
2.	Пусть X—произвольная точка эллипса (гиперболы). Пока-
зать. что отношение расстояния фокуса от точки X к расстоянию
его от касательной в точке X не зависит от того, какой взят
фокус.
3.	Доказать оптическое свойство эллипса и гиперболы, опи-
раясь на результат задачи 2.
4.	Доказать оптическое свойство параболы.
5.	Найти фокус параболы в каноническом расположении.
6.	Найти директрисы конических сечений в каноническом рас-
положении.
7.	Показать, что все конические сечения k^t задаваемые урав-
нениями
*2 | у2 -1
Ьг+К ’ .
где X—параметр семейства, софокусны, т. е. имеют общие фокусы.
8.	Показать, что через каждую точку плоскости ху, не при-
надлежащую осям координат, проходит два конических сечения
семейства (упр. 7)—эллипс и гипербола.
60
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
[ГЛ. III
9.	Показать, что эллипс и гипербола семейства /гЛ""(упр. 8),
проходящие через точку (х0, yQ), пересекаются в этой точке под
прямым углом, то есть касательные к ним в точке (х0, у0) перпен-
дикулярны.
§ 7. Диаметры конического сечения
Диаметром эллипса (гиперболы) называется любая пря-
мая, проходящая через центр эллипса (гиперболы). Диамет-
ром параболы называется любая пряйдя, параллельная ее
оси, в частности сама ось.
Произвольная прямая пересе-
кает коническое сечение не более
-	чем в ДВУХ точках. Если точек пе-
\z/zyy ресечения две, то отрезок прямой с
концами в точках пересечения на-
зывается хордой. Имеет место сле-
а)	дующее свойство конических се-
чений.
X Средины параллельных хорд
конического сечения лежат на диа-
метре (рис. 45).
Это свойство очевидно, если
хорды перпендикулярны оси сим-
метрии. В этом случае средины
хорд лежат на этой оси.
' 6)	Рассмотрим общий случай. Се-
мейство параллельных прямых, не
параллельных осям координат, можно
задать уравнениями
^^^уу^уу//	У = kx^-b (k^=Q)1
^V^ZZ// гДе & одно и то же для всех пря-
X/Xzz	мых.
х/	Уравнения эллипса и гиперболы
.	можно объединить следующей за-
писью:
Рис. 45.	ах2 + $у2 —1=0.
Концы хорд удовлетворяют системе уравнений
ах2 + ру2 —1=0, y = kx-\-b.
Подставляя вместо у в первое уравнение kxнаходим
§ 7]	ДИАМЕТРЫ КОНИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ	61
уравнение, которому удовлетворяют абсциссы х± и х2 кон-
цов хорды:
(а + р/г2) х2 + 2$kbx + ₽Z?2 — 1 = 0.
По свойству корней квадратного уравнения
।	_	2$kb
Х1 > х2~	а+р/г2 '
Таким образом, абсцисса средины хорды
2 а+р/г2 *
Ординату ус найдем, подставляя хс в уравнение
хорды у = kx + b*.
р/г2Ь . , ab
~а+рй2 +°~а+р/г2 '
Отсюда
а
Ус — ^kXc‘
Таким образом, средины параллельных хорду = &А;4-#
лежат на прямой, проходящей через начало координат —
центр эллипса (гиперболы). Ее угловой коэффициент
R ~ р/г *
Диаметр
y — k'x
называется сопряженным по отношению к диаметру
у ~ kx,
параллельному хордам.
Очевидно, свойство сопряженности диаметров взаимно,
так как угловой коэффициент диаметра, сопряженною
y = k'x,
равен —
р£'
Рассмотрим случай параболы. Координаты концов хорд
удовлетворяют системе
у2— 2рх — 0, y — kx^b.
62	КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ	[ГЛ. III
Исключая х, находим уравнение для ординат концов
Отсюда, подобно предыдущему, . 
. 2р
• Л+Л = у--
Таким образом,
=	= y = COnSt.
Средины хорд лежат на прямой, параллельной оси х
(оси параболы).
Отметим еще одно свойство сопряженных диаметров.
Если диаметр пересекает коническое сечение, то касательные
в точках пересечения параллельны сопряженному диаметру:
Действительно, пусть (^0)<у0)—точка пересечения
диаметра y = kx с эллипсом (гиперболой) ах2fjy2 = 1.
Уравнение касательной в точке (x0j<y0) axxQ-\-$yyQ—1=0.
Ее угловой коэффициент k' === — ъх^уц. Так как точка
(х0, -Vo) лежит на диаметре- у = kx, то yQ = kXQ. Поэтому
что и требовалось доказать.
Упражнения
1.	Касательные к эллипсу
а2 • bz -1	?
имеют узловой коэффициент k. Определить точки касания.
2.	Хорда эллипса
X2 t/2
а2 fr2	.	;
делится в точке (х0, у0) пополам. Найти угловой коэффициент
хорды.	р	..
3.	Показать, что эллипс допускает параметрическое задание
x = acos/, i/==&sinL
Какому условию удовлетворяют значения параметра t, отвечающие
концам сопряженных диаметров?
§ 8j	КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	бЗ
Доказать, что сумма квадратов сопряженных диаметров эллипса
постоянна (теорема Аполония).	s
Сформулировать и доказать соответствующую теорему для
гиперболы.
4.	Любой эллипс можно представить как проекцию круга.
Показать, что сопряженным диаметрам эллипса в этом проектиро-
вании соответствуют перпендикулярные диаметры круга. Опираясь
на это, доказать, что площадь параллелограмма, образованного
касательными на концах сопряженных диаметров, постоянна.
5.	, Показать, что площадь любого параллелограмма с верши-
нами в концах сопряженных диаметров эллипса
а2 г
имеет одно и то же значение, равное 2аЬ.
6.	Известно, что среди всех четырехугольников, вписанных
в окружность, наибольшую площадь имеет квадрат. Показать, что
среди всех четырехугольников, вписанных в эллипс, наибольшую
площадь имеют параллелограммы с вершинами в концах сопря-
женных диаметров.
7.	Показать, что площадь эллипса с полуосями а, b равна- nab.
8.	Можно ли в эллипс вписать треугольник так, чтобы каса-
тельная в каждой его вершине была параллельна противоположной
стороне? С каким произволом это можно сделать? Чему равна
площадь такого треугольника, если полуоси эллипса а и 6?
§ 8. Кривые второго порядка
Кривой второго порядка называется геометрическое
место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
уравнению вида
апха 4- 2а12ху + a22j2 + 2агх + 2а^у + а = 0,	(*)
в котором хотя бы один из коэффициентов ап, а12, а22
отличен от нуля.
Очевидно, это определение инвариантно относительно
выбора системы координат, так как координаты точки
в любой другой системе координат выражаются линейно
через координаты ее в системе ху и, следовательно, урав-
нение в любой другой системе координат будет иметь вид (*).
Выясним, что представляет собой геометрически кривая
второго порядка.
Отнесем кривую к новой системе координат х'у', свя-
занной с системой ху формулами
х = х' cos a 4-j' sin а,
у = — х' sin а еоз а.
64
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
[гл. ш
Уравнение кривой, сохраняя при этом форму, (*), будет
иметь коэффициент при х'у'
2а'12 = 2ап cos a sin а — 2а22 sin acosa + 2a12(cos2a— sin2а) =
e(au—а22) sin2a-f~2a12 cos 2а.
Очевидно, всегда можно выбрать угол а так, чтобы этот
коэффициент; был равен нулю. Поэтому, не ограничивая
общности, можно считать, что в исходном уравнении (*)
«12 = 0.
Дальше будем различать два случая:
Случай А—оба коэффициента an и а22 отличны от
нуля.
Случай В—один из коэффициентов или а22 равен
нулю. Не ограничивая общности, будем считать alx = 0.
В случае А переходом к новой системе координат х'у'
х' = х+ —, у'=у4- —
приводим уравнение (*) к виду
апх'2 + а22у '2 + с = 0	(**)
и различаем следующие подслучаи:
Ах:с^0, знаки ап, а22 одинаковы и противополож-
ны с. Кривая представляет собой, очевидно, эллипс.
А2:с=И=0, знаки ап и а22 противоположны. Кривая —
гипербола.
Д3:су=0, знаки au, а22 и с одинаковы. Уравнению не
удовлетворяет ни,одна вещественная точка. Кривая назы-
вается мнимой.
А4:с = 0, знаки au и а22 различны. Кривая распадается
на пару прямых, так как уравнение (**) можно записать
в форме
=°-
А5:с==0, знаки аг1 и а22 одинаковы. Уравнение
можно записать в форме
Кривая распадается на пару мнимых прямых, пересекающихся
в вещественной точке (0,0).
§ 8]	КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА	65
Рассмотрим теперь случай В.
В этом случае переходом к новой системе координат х'у'
х' = х, у'=у + —
' агг
уравнение кривой приводим к виду
2atxf + а22у '2 + с = 0.	(***)
Дальше различаем следующие подслучаи.
Вх:	Кривая —парабола, так как переходом к но-
вым координатам
уравнение (**#) приводится к виду
2а1х"4-а22у"2 = 0.
В2:	а1 = 0, а22 и с противоположных знаков. Кривая рас-
падается на пару параллельных прямых
У±)Л^ = 0.
f	f “22
В3:	ах —О, и с одного знака. Кривая распадается
на пару мнимых, не пересекающихся прямых
Г ^22
В4:	= 0, с==0. Кривая—пара совпадающих прямых.
Таким образом, вещественная кривая второго порядка
представляет собой либо коническое сечение (эллипс, гипер-
болу, параболу), либо пару прямых (может быть, совпада-
ющих).
Упражнения
1.	Показать, что кривая второго порядка
(ах + Ьу+с)*—(atx + Ьху+сх)2 == О
распадается на пару прямых, может быть, совпадающих.
2.	Как известно» все точки эллипса находятся в ограниченной
части плоскости ху. Исходя из этого, показать, что кривая второго
порядка
{ах -}- by+с)4+(ах+$у -f- у)2=ft, 3
3 А, в. Погорелов
66
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ
(ГЛ. Ш
если выражения ах-[-by, ах+pr/ независимы и k > 0, является эл-
липсом.
3.	Показать, что кривая второго порядка
(ax+by + с)2—(ах + р1/ + т)2 = Л # О,
если ах + Ьу, ах+ 01/ независимы, есть гипербола.
4.	Показать, что кривая второго порядка
(ax+by+c)(ax + Py+v)=k #0
при условии независимости выражений ах~\~Ьу, ax+0t/ является
гиперболой.
5.	Показать, что если некоторая пря’мая пересекает кривую вто-
рого порядка в трех точках, то кривая распадается на пару прямых,
может быть, совпадающих.
Ла	6. Показать, что если две
кривые второго порядка имеют
yS \	пять общих точек, то они сцв-
I	\	\ падают.
Г\	Кривая называется кри-
f	.вой третьего порядка, если она
/	задается уравнением <р3 (х, у)=0,
\	у ***	гдефз (х, t/)—многочлен третьей
^Х^\	степени относительно х и у.
Ав	Показать, что если кривая у3
'	третьего порядка имеет с кри-
вой второго порядка семь
Рис- 46.	общих точек, то она распадает-
ся на кривую у2 и прямую.
8. Пусть у—кривая второго порядка, Лх, ..., Л3—вершины
вписанного в нее шестиугольника, а/Дх, t/) = 0—уравнения сторон,
соединяющих вершины Л/ и Лу (рис. 46). Показать, что кривая
третьего порядка
«24«16«35— \«34«2б«15==^
пересекается с кривой у в шести точках Л/. Показать, что подхо-
дящим выбором параметра Л можно добиться распадения кривой
третьего порядка на кривую у и прямую.
9. Доказать теорему Паскаля: три точки пересечения прямых
«15 и а24> «з* и а1в, а2в и «35 лежат на одной прямой (рис. 46).
Глава IV
ВЕКТОРЫ
§ 1.	Сложение и вычитание векторов
Под вектором мы будем понимать направленный отрезок
(рис, 47). Направление „вектора указывается стрелкой. Точка
А называется началом вектора, а В—концом.
Два вектора считаются равными, если один из них может
быдь получен параллельным переносом из другого (рис. 48).
Очевидно, если вектор а равен Ь, то b равен а. Если а
равен Ь, а Ь равен с, то а равен с.
Рис. 47.	Рис. 48.
Два вектора называются одинаково направленными (про-
тивоположно направленными), если они параллельны и у
равных им векторов, имеющих общее начало, концы распо-
лагаются по одну сторону^ от начала (соответственно по
разные стороны от начала).
Длина отрезка, изображающего вектор, называется аб*
солютной величиной вектора.
Нулевым вектором называется вектор, у которого начало
совпадает с концом.
Для векторов вводятся операции — сложение и вычитание.
Именно, суммой двух векторов а и b называется вектор
а + который получается из векторов а п Ь или равных
им векторов так, как показано на рис. 49.
Сложение векторов коммутативно, т. е. для любых век*
торов а и Ь
а-^Ь~Ь-\-а (рис. 50).
3*.	’
68
ВЕКТОРЫ
[гл. rV
Сложение векторов ассоциативно. Именно, если а, Ь,
С—любые векторы, то
(a+b)+c = a + (b + c).
Это свойство сложения так же, как и предыдущее, не-
посредственно вытекает из определения операции сложения
(рис. 51).
Отметим, что если векторы а и Ь параллельны, то век-
тор а + 6, если он не равен нулю, параллелен векторам а
и &, причем одинаково направлен с большим (по абсолют-
ной величине) вектором. Абсолютная величина вектора a-f-5
а
Рис. 51.
равна сумме абсолютных величин векторов а и Ь, если они
одинаково направлены, и разности абсолютных величин, если
векторы а, b противоположно направлены.
Вычитание, векторов определяется как операция, обрат-
ная сложению. Именно, разностью векторов а и b называ-
ется вектор я—&, который в сумме с вектором b дает век-
тор а. Геометрически он получается из векторов а и b или
равных им векторов так, как показано на рис» 52»
§ п
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
69
Для любых векторов а и b имеет место неравенство
| а+b | < | а | + |й |
(неравенство треугольника), геометрически выражающее со-
бой в случае непараллельных векторов, что сумма двух сто-
рон треугольника больше третьей. Это неравенство очевид-
ным образом распространяется на случай любого числа век-
торов:
Упражнения
1.	Показать, что сумма п векторов с общим началом в центре
правильного n-угольника и концами в его вершинах равна нулю.
2.	Три вектора имеют общее начало О, а концы—в вершинах
треугольника АВС. Показать, что
од+ов + ос=о
тогда и только тогда, когда О является точкой пересечения медиан
треугольника.
3.	Доказать тождество
2 (а Р+21 b |2= I a+b Р+1 а—Ь |*.
Какому геометрическому факту оно соответствует, если а и Ь —
отличные от нуля непараллельные векторы?
4.	Показать, что знак равенства в неравенстве треугольника
имеет место только тогда, когда оба вектора одинаково направлены
или хотя бы один из векторов равен нулю.
5.	Если сумма векторов гх, ...» гп с общим началом О равна
нулю и эти векторы не лежат в одной плоскости, то какова бы ни
была плоскость а, проходящая через точку О, найдутся векторы rf«,
расположенные как по одну сторону плоскости, так и по другую.
Показать.
6.	Вектор rmn лежит в плоскости ху, имеет началом точку
(х0, Ро)> а концом точку (тб, пб), где ш и п—целые числа по абсолют-
ной величине, не превосходящие М и N соответственно. Найти сумму
всех векторов rmn, выразив ее через вектор с началом в точке (0,0)
и концом в точке (х0, Уь)*
7.	Фигура F в плоскости ху имеет начало координат центром
симметрии. Показать, что сумма векторов с общим началом и кон-
цами в целочисленных точках фигуры F равна нулю тогда и только
тогда, если общим началом векторов является начало координат.
(Предполагается, что фигура F содержит хотя бы одну целочислен-
ную точку, т. е. точку с целочисленными координатами).
8.	Выразить векторы, изображаемые диагоналями параллеле-
пипеда, через векторыг изображаемые его ребрами.
70
ВЕКТОРЙ
(гл. IV
§ 2.	Умножение вектора на число
Для векторов определяется операция умножения на число.
Именно, произведением вектора а на число X называется
вектор ак = Ха, абсолютная величина которого | Ха | = [ X || а |,
а направление совпадает с направлением а или противопо-
ложно ему, смотря по тому Х>0 или X < 0. При Х = 0
или а==0 считаем. Ха равным нулевому вектору.
Умножение вектора на число обладает свойством ас со*
циативности и двумя свойствами дистрибутивности. Именно^
для любых чисел X, р и векторов а, Ь
X (ра) = (Хр) а	(ассоциативность),
(Х + р)а —Ха + ра |
1(а + 6) = Хв + Х6 J (дистрибутивность).
Докажем эти свойства.
Абсолютные величины векторов X (ра) и (Хр) а одинако-
вы и равны | X || р || а |. Направления этих векторов либо совпа-
дают с направлением вектора а, если X и р одного знака,
либо противоположны, если X и р разных знаков. Таким
образом, векторы X (ра) и (Хр) а равны по абсолютной вели-
чине и одинаково направлены, следовательно, равны. Если
-хотя бы одно из чисел X, р или вектор а равен нулю, то
оба вектора равны нулю и, следовательно, равны друг дру-
гу. Ассоциативность доказана.
Докажем теперь первое свойство дистрибутивности:
(X + р) а = Ха 4- ра.
Равенство очевидно, если хотя бы одно из чисел X, р или
вектор а равен нулю. Поэтому можно считать, что X, р,
а отличны от нуля.
Если X и р одного знака, то векторы Ха и ра одина-
ково направлены. Поэтому абсолютная величина вектора
Ха + ра равна | Ха | +1 ца | = | X || а | +1 р || а| = (|X| +1 р [) 1а|.
Абсолютная величина вектора (Х + р)а равна |Х4-р||а| =
= (| X | | р |) | а |. Итак, абсолютные величины векторов '
(X-j-p)a и Ха + ра равны. Их направления тоже одинаковы.
Именно, при X > 0, р > 0 их направления совпадают с на-
правлением а, а при X < 0, р < 0 противоположны а. Слу-
чай, когда X и р разных знаков, рассматривается аналогично.
§ 2]	УМНОЙгёНЙЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
ЛЬ
Рис. 53.
в
противоположные
независимыми. если
Докажем второе свойство дистрибутивности:
X (а 4" Ь) = Ха 4*
Свойство очевидно, если один из векторов или число % равно
нулю. Если векторы а и b параллельны, то Ь можно пред-
ставить в виде 6 = р,а. И второе свойство
следует из первого. Действительно,
X (1 4- |xj а = X (а + ра) = Ха + Хра.
Отсюда
X (а -ф- Ь) Ха 4* ^Ь*
Пусть а и b—непараллельные
векторы. Тогда при Х>0 вектор
АВ (рис. 53) изображает с одной
стороны ХаН-’Хб, с другой—ХДС,
равный X (а 4-6). При Х<0 оба
вектора меняют направления на
>	Упражнения
1.	Векторы гх, г2,... называются линейно
яе существует чисел Хх, X*, из коих по крайней мере одно от-
лично от нуля, и таких, что
Х1Г1 4Х2г2 4 *: • = О*
Показатьчто два вектора независимы тогда и только тогда,
когда они отличны от нуля и не параллельны.
Показать, что три вектора независимы тогда и только тогда,
когда они отличны от нуля и не существует параллельной им плоСА
кости.
2.	Показать, что любые три вектора, лежащие в одной плос-
кости, всегда зависимы.
Показать, что любые четыре вектора всегда зависимы.
3.	Показать, что если два вектора в плоскости rt и г2 неза-
висимы, то любой вектор г в этой плоскости линейно выражается
через гх и г3:
Г—Ххгх 4Х2г2.
Числа Хх и Х2 определяются однозначно.
4.	Показать, что если 'Три вектора гх, г2, г3 независимы, то
любой вектор г через них однозначно выражается в виде
г = Ххг х 4 Х2г 2 4 Х3г з»
72
BEKTOPH
[ГЛ. IV
§ 3. Скалярное произведение векторов
Углом между векторами а и b называется угол между
векторами, равными а и b соответственно, имеющими общее
начало (рис. 54).
Скалярным произведением векторов а и b называется
число (а&), равное произведению абсолютных величин век-
торов На косинус угла между ними.
Скалярное произведение обладает
/ у* следующими очевидными свойствами,
/	непосредственно вытекающими из его
/	/	определения:
/	1) ab = ba;
У—»»	2) а2 = аа=1аР;
[	]	3) (Аа) 6 = %(а&);
*—j4) если|е|=1, то(Хе) (|ге)=Хр;
5) скалярное произведение векто-
Рис. 54. ров а и b равно нулю тогда и только
тогда, когда векторы перпендикулярны
или один из векторов равен нулю.
Проекцией вектора а на прямую называется вектор а, на-
чалом которого служит проекция начала вектора а, а кон-
цом—проекция конца вектора а. Оче-
видно, равные векторы имеют равные ycv
проекции, проекция суммы векторов
равна сумме проекций (рис. 55).
Скалярное произведение вектора a	j***"——
на вектор Ъ равно скалярному произ-	I	|
ведению проекции вектора а на	|_________
прямую, содержащую вектор на
вектор Ь. Доказательство очевидно. Рис. 55.
Достаточно заметить, что ab и ab
равны по абсолютной величине и имеют одинаковые знаки.
Скалярное произведение обладает свойством дистрибутив-
ности. Именно^ для любых трех векторов a, b, с
(й + Ь)с = ас + Ьс.
Утверждение очевидно, если один из векторов равен
нулю. Пусть все векторы отличны от нуля. Обозначим
а, а+b проекции векторов а, 6, а + 6 на прямую,
§ 3]
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
содержащую вектор с. Имеем
(а + Ь) с = (а+Ь) с — (а+Ь) с9
ac+bc = ac+bc.
Пусть е—единичный вектор, параллельный с. Тогда век-
торы а, b и с допускают представления: а = Хе, & = ре,
C = ve. И получаем
(а+й) f = (Хе+ре) ve= (X + р) v
ас+be == Xeve 4- peve— Xv + pv.
Отсюда
(а^-Ь)с~Ъс+Ьс.
И, следовательно,
(a+b)c = ac+bc.
В заключение покажем, что если а,, Ь, с—отличные от
нуля, не параллельные одной плоскости векторы, то из трех
равенств
ra = 09 rb = 0, гс = 0
следует г = 0.
Действительно, если Г =у£ 0, то из указанных трех ра-
венств следует, что векторы а, &, с перпендикулярны г, а
следовательно, параллельны плоскости, перпендикулярной
Г, что невозможно.
Упражнения
1.	Пусть Лх, Л2, Ап—вершины правильного л-угольника
Тогда ЛГЛ2 + Л2Л3+ • • • + АпА1=^0. Вывести отсюда, что
it 2п । 4л ,	.	(2л—2) л л
1+cos---hcos------Ь • • • +cos'—=0.
л	л	л
. 2л . . 4л .	. . (2л—2) л л
sin---h sin-h • • • + sin --— =0.
Zl	/I	/I
2.	Показать, что если а и b—любые не равные нулю и не па-
раллельные векторы, то Х2а2+2Хр (а&)+р2да^0, причем равен-
ство нулю имеет место, только если 1=0, р = 0.	*
3.	Показать, что для любых трех векторов rlt г2> парал-
лельных одной плоскости,
(/•Л)
(*Vi)
(*Л)
(Vi) (Г1Г3)
(ГЛ) (г,г»)
(Г»г») (ГЛ)
=0.
(*)
и
ВЕКТОРЫ
[ГЛ. IV
4.	Показать, что три вектора rx, г2, г3 зависимы тогда it только
тогда, когда для них выполняется условие (*).
5.	Показать, что для любых четырех векторов
(Г1Г1)-"(ПП)
(Г4Г1)---(Г4Г4)
6.	Пусть llt ..., /4—четыре луча, исходящие из одной точки,
а/у—угол между лучами и /у. Имеет место тождество
1 cosa12 cosa13 cosa14
= 0.
cosa41 ... . . . ..» * 1
Показать.
§ 4. Векторное произведение векторов
Векторным произведением векторов а и b называется
вектор ахЬ, определяемый следующим образом. Если хотя
бы один из векторов a, b равен нулю или векторы парал-
лельны, то axb = Q. В других случаях этот вектор по
абсолютной величине равен площади параллел9грамма, пост-
роенного на векторах а, Ь, и направлен перпендикулярно
плоскости этого параллелограмма
так, что вращение в направлении
от а к & и направление axb обра-
зуют «правый винт» (рис. 56).
Из определения векторного произ-
ведения непосредственно получается:
1) axb= — Ьха\
2) |ax6| =| a| |6| sin ft, где
О—угол, образуемый векторами
а и &;
3) (Xa)xft = X(axb).
Проекцией вектора а на плоскость называется вектор а',
началом которого является проекция начала вектора л, а
концом — проекция конца вектора а. Очевидно, равные век-
торы имеют равные проекции, проекция суммы векторов равна
сумме проекций (рис. 57).
в 4]	ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ	75
. Пусть умеем два вектора а и 6. Обозначим а' проек-
< цию вектора а на .плоскость, перпендикулярную вектору b
' (рис, 5§).
Тогда
axb^a'xb.
Доказательство очевидно. Достаточно заметить, что век-
торы axb и ф'хЬ имеют равные абсолютные величины и
одинаковые направления.
Векторное произведение обладает свойством дистрибутив-
ности. Именно, для любых трех векторов a, b, С
(a+b)xc^axc+bxc.	(*)
Утверждение очевидно, если с = 0. Очевидно, далее, что
равенство (*) достаточно показать для случая |с| = L так
как в общем случае оно тогда
будет следовать из упомянутого
выше свойства 3.
Итак, пусть |с | = 1. Обозна-
чим а' и Ь' — проекции векторов
а и Ь на плоскость, перпенди-
кулярную вектору С (рис. 59).
Тогда векторы а' X С,	b' ХС
и («' + »') ХС получаются из
векторов a', Ь' и а'+ft' со-
ответственно поворотом на угол 90°. И, следовательно,
+ Ь') X С = а' X С + Ь' X
76	ВЕКТОРЫ	[гЛ. HI
А так как
а'хг = аХ£, b'xc — bxc,
(a' ±b')xc = (a + b)xc,
то
(a + bjxc = axc + bxc,
что и требовалось доказать.
Отметим следующее простое тождество, имеющее места
для любых векторов^ а и 6:
(ахй)2 = а2й2—(а&)2.
Действительно, если fl*—угол между векторами а и 6,
то это тождество выражает, что
(|a||&|sind)a = |a|2|&|2 —(|a[|&[cosd)2
и, следовательно, очевидно.
Упражнения
1.	Если векторы а и b перпендикулярны вектору ct то
(а X b) X <?=0.
Показать.
2.	Если вектор b перпендикулярен с9 а вектор а параллелен
вектору г, то
(а X b) х г=д(ас).
Показать.
3.	Для произвольного вектора а и вектора bt перпендикуляр-
ного с,
(axb) хс = Ь(ас).
Показать.
4.	Показать, что для любых трех векторов а, 6, с
(axb)xc = b (ас)—а (Ьс).
5.	Найти площадь основания треугольной пирамиды, у которой
боковые ребра равны /, а углы при вершине а, р, у.
§ 5. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением векторов a, b, с называется
число
(abc) = (axb) с.	(*)
Очевидно, смешанное произведение равно нулю тогда и
только тогда, когда один из векторов равен нулю, или все
три вектора параллельны одной плоскости.
§ 5]
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
77
Смешанное произведение отличных от нуля векторов а,
Ь, с, не параллельных плоскости, по абсолютной величине
равно объему параллелепипеда, построенного на векторах
а, Ь, с (рис. 60).
В самом деле, axb — Se, где 5—площадь основания
параллелепипеда, построенного на векторах а, 6, а е—еди-
ничный вектор, перпендикулярный основанию. Далее, (ес)
с точностью до знака равно высоте параллелепипеда, опу-
щенной на указанное основание.
Следовательно, с точностью до
знака (а&с) равно объему парал-
лелепипеда, построенного на век-
торах а, Ь, с.
Смешанное произведение об-
ладает следующим свойством:
(abc) = а(Ьхс). (**)
Достаточно заметить, что
правая и левая часть равны по
абсолютной величине и имеют
одинаковые знаки.
Из определения (*) смешанного произведения и свойства
(**) следует, что при перестановке местами любых двух
сомножителей смешанного произведения оно меняет знак на
противоположный. В частности, смешанное произведение
равно нулю, если два сомножителя равцы.
Упражнения
1.	Замечая, что
((а X Ь) х г)d xb)(cx d),
вывести тождество
(aXb)(₽Xd) = Uj
2.	С помощью тождества
(а х Ь) (с х Ь) = (ас) &2—(db) (Ьс)
вывести формулу сферической тригонометрии
sinasin ycosB»=cosp—cosycosa,
где а, р, у—стороны треугольника на единичной сфере, а В—-угол
этого треугольника, противолежащий стороне р.
3.	Вывести тождество
(а х b) х (с х d)=b(acd)^a\bcd).
п
ВЕКТОРЫ
[гл. IV
4.	Показать, что для любых четырех векторов
b (acd)—a (bed) + d (cab)—с (dab)=0.
5.	Пусть #1, eit e3—любые три вектора, удовлетворяющие
условию (Ci е3) & 0. Тогда любой вектор г допускает представ-
ление
..... (ygjg») . , (reggi) . (r^et)
(W8) s'
Показать.
6.	Показать, что решейие системы векторных уравнений!
.	. (rab) == у, (rbc)=a, (rca) — ^t
где а, Ь, с—данные векторы, удовлетворяющие условию (abc) 0,
а г—искомый вектор, можно записать в виде
r=(sfej(aa+ft₽+cT)-
7.	Показать, что если elt е3, е3 и г—любые четыре вектора,
удовлетворяющие единственному условию (е&вь) 0, то имеет
место тождество
r = Oi X g*) (^з) , (ga x g8) (№1) , (g8 x gt) (rea)
(gigag3) “(gigags)  (gjgaga)
8.	Показать, что решение системы векторных уравнений
ах=а, &х=р, гх = у,
где а, Ъу с^данные векторы, а х—искомый,-если (abc) р&О, можно
записать в форме
(а X &)?+(& X с)а+(е X а)Р
*	(Я&Р)	V
§ 6. Координаты вектора относительно
заданного базиса
Пусть е2, в8—любые три отличные от нуля, не парал-.
лельные одной плоскости векторы. Тогда любой вектор г
допускает, и притом единственное, представление вида
Г =	+ Х202 4“ ^8^8*	(*)
Числа Аь А2, А3 называются координатами вектора г отно-
сительно базиса е2, е3.
Докажем сначала единственность представления (*),
Допустим, существует другое представление—
Г = Xi#! -f-	4“ ^8^3’


КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
79
§ 6]
Тогда
— Хх') 4- (Х2 — Х2) + (Х3 — ^з) ез = 0-
Умножим это равенство скалярно йа вектор е2 х е3. Получим
(Хх Хх) (вх^2^з)= О-
Так как	0, то Хх— Х^ = 0. Аналогично заключаем,
что Х2— Х'2 = 0, Ха—Хз = 0. Единст-
венность представления (*) доказана.
Докажем теперь возможность пред-
ставления (*).
Допустим, вектор г параллелен ка-
кому-нибудь из векторов е19 е2, е3,
например ev Тогда
Г=±Т*ГГ<?1==:^?1’-
где знак + (плюс) надо брать, если
векторы г и одинаково направлены,
а знак — (минус), если они противопо-
ложно направлены.
Пусть теперь вектор г вместе с векторами и е2
параллелен одной плоскости, но не параллелен ни вектору ех,
~ ни вектору е2. Проведем через кон-
цы вектора г прямые, параллельные
векторам ех и е2 (рис. 61). Тогда
г==Г1 + г2.
Но по доказанному г1 = Ххе1, г2 =
= Х2е2. Следовательно,
г = Х1е14-Х2е2.
Пусть, наконец, вектор г ни с
какой парой векторов е2; е2,
е3\ ei не параллелен одной пло-
Рис. 62.	скости. Проведем через концы век-
тора г плоскости, параллельные ука-
занным парам векторов (рис. 62). Тогда
г = гг+г2 + г3.
И так как по доказанному
G = Г2 ~	= ^з^з,
80	ВЕКТОРЫ	[ГЛ. IV
г =	+ А2е2 + Х3е3.
Возможность представления вектора г в форме (*) доказана
во всех случаях.
Координаты вектора имеют простой смысл, если базис
состоит из трех единичных попарно ортогональных векторов.
Действительно, умножая равенство г =	4- Х2е2 + Х3е3
последовательно на е19 е2, е3 и замечая, что ^ = е| = е£==1,
а еге2 = е2е3 = е3е± = 0, получаем
^'l==7V?i, А2 = гв2, Х3 = Г£3.
Пусть г — вектор с координатами А2, 13, а г' — век-
тор с координатами 12, Х3. Найдем координаты вектора
г ± г'. Имеем
Г = Aj#! Х2#2 4“ Х3^3>	? =	+ ^2^2 4" Х3^3.
Отсюда г ± г' == (A-i ± Х4) 4” (Х2 4z Х2) ^2 4" (X8 i ХД ^з* И,
следовательно, ± М, Х2 ± Х2, Х3 ± Хз СУ7Ь координаты
вектора г±г'.
Аналогично показывается, что вектор Кг имеет коорди-
натами КК19 КК2, ХХ3. Отсюда следует» что у параллельных
векторов координаты пропорциональны.
Пусть базис еъ е2, е3 состоит из трех единичных, по-
парно перпендикулярных векторов, смешанное произведение
которых равно+1. Найдем скалярное произведение векторов
г и г' с координатами Kv К2, К3 и К[, Х2, К3 соответственно.
Имеем
г =	4* К2е2 + Х303, г' =	+ К2е2 4- К3е3. (**)
Отсюда, принимая во внимание, что е1==е2 = вз —1,
еге2 = е2е3 = е3ег = 0, получаем
rrf s= IjXi 4~ К2К2 + А313.
Найдем координаты вектора г X г '.Принимая во внимание
представления (**) для векторов г, г' и соотношения
exxe2 = e3, e2xe3 = ex, е3хе1==е2, получаем
X г = (Х2Х3 — ^>3^2) 4- (Mi ^1^3) ^2 4“ (^1^2""" ^2^х) ^з-
Отсюда координаты вектора гхг':
К3
0	^-2 ^8
Х3
х; х; ’
Л-1 Х2
Л.! Х2
§ 6]
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
81
Вычислим, наконец, смешанное произведение векторов
г (Ai, A2, A3), r'(A1} A2, A3), r (Ax, A2, A3).
Имеем
А2
А2 А3
А3 Ах
A3 Ах
Xi А2
Ai А2
Ах А2 А3
A3 = Ax A2 A3
Xv i* iw
i a2 л3
Упражнения
1.	Показать, что координаты вектора г относительно базиса
£1» 02» *з соответственно равны:
х (г*2*з) л = (/**3*1)	1 = (^*1*2)
1 (*1*2*з)’	1 2 (*1*2*з)’	3 (*1*2*з)‘
2.	Показать, что координаты вектора г относительно базиса
(*2 X 03), (*з X 01), (0А X 02) соответственно равны:
1 - (rgi) 1 <rga) 1 rg3
1 (*1*2*з) ’	2 Л (*1*2*3) ’	3 (*1*2*з) ’
3.	Разлагая векторы а, Ь, с по ортогональному базису, с по-
мощью теоремы умножения определителей доказать тождество
(ab) (ас)
(bb) (be) .
(cb) (сс)
(аа)
(а&0)2= (Ьа)
(са)
4.	Доказать тождество
(а X &, b X 0, с X а) = (яМ2*
5.	Показать, что объем трех гр анной пирамиды с боковыми
ребрами а, Ь, с и плоскими углами при вершине а, 0, у
вершине а, 0, у
1 t
v=-g-abc cosy
COS 0 2
cos а
1
1 cos у
1
cos 0 cos а
6. Вывести формулу для объема треугольной пирамиды с бо-
ковыми ребрами at 'bt с и двугранными углами при этих ребрах
Л, В, G.
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1.	Общие декартовы координаты
Проведем из произвольной точки О пространства "три
прямые — Ох, Оу, Ог, не лежащие в одной плоскости, и от-
ложим на каждой из прямых из точки О отличные от нуля
векторы exi еу, ег (рис. 63). Согласно § 6 гл. IV любой
вектор ОА допускает, и притом единственное, представле-
ние вида
" OA = xex+yey + zez.
Числа х, у, z называются общими декартовыми координата-
ми точки А.
Прямые Ох, Оу, Oz называются осями координат: Ох—
ась х, Оу — ось у, Oz—-ось г. Плоскости Оху, Oyz, Ozx на-
зываются координатными плоскостями: Оху — плоскость ху,
Oyz — плоскость yz, Ozx — плоскость xz.
Каждая из осей координат разбивается точкой О (началом
координат) на две полуоси. Те из полуосей, куда направлены
векторы ех, еу, называются положительными, другие от-
§ 1]	овщие ДЕКАРОТОВЫ КООРДИНАТЫ	83
рицательными. Введенная таким образом система координат
называется правой, если (^xe^)>0, и левой, если (вже^)<0.
Геометрически координаты точки А получаются следую-
щим образом. Проведем через точку А плоскость, парал-
лельную плоскости yz. Она пересечет ось х в некоторой
точке Ах (рис. 64). - Тогда координата х точки А по абсо-
лютной величине равна длине отрезка ОАХ, измеренного
единицей длины . | ех |, причем положительна, если Ах при-
надлежит положительной полуоси х, и отрицательна, если
Ах принадлежит отрицательной полуоси х. Чтобы убедиться
в этом, достаточно вспомнить, как определяются координаты
>
вектора ОА относительно базиса ех, еу, ez.
Две другие' координаты точки — у и z определяются
аналогичным построением.
Если оси координат взаимно перпендикулярны, а векторы
ех, еу, ez единичные, то координаты называются прямоу-.
вольными декартовыми координатами.
Общие декартовы координаты на плоскости вводятся ана-
логично. Именно, из точки О (начала координат) проводим
две произвольные прямые —Ох, Оу (оси координат) и откла-
дываем из точки О на каждой из осей координат отличные
от нуля векторы ех и еу соответственно. Тогда общие де-
картовы координаты произвольной точки А плоскости^-опреде-
ляются как координаты вектора ОА относительно базиса ех, еу.
Очевидно, если оси координат перпендикулярны, а век-
торы ех и еу единичные, то определяемые таким образом
координаты совпадают с введенными в § 1 гл. I и называются
прямоугольными декартовыми координатами.
В дальнейшем мы, как правило, будем пользоваться
прямоугольными декартовыми координатами. Все случаи
использования общих декартовых координат будут специально
оговариваться.
Упражнения
1.	Где располагаются точки пространства, у которых
а) х=0; б) £/ = 0; в) 2 = 0;
г) х = 0, у=б\ д) #=0, z = 0; е) 2 = 0, х=0.
2.	Сколько точек пространства удовлетворяет условиям
[х|=а, [#| = Ь, 12| = с, если abc
84	ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
3.	Где расположены точки пространства, у которых
IX | < а, | у I < Ь, | Z | < с.
4.	Пусть А—какая-нибудь вершина параллелепипеда, Лх, А2,
А3—вершины, смежные с А, т. е. концы ребер, исходящих из А.
Найти координаты всех вершин параллелепипеда, приняв за начало
координат центр параллелепипеда, *а концы базисных векторов
в вершинах Alf А2, А3.
5.	Найти координаты точки, в которую переходит точка (х, у, z)
при повороте около прямой, соединяющей точку (а, Ь, с) с началом
координат, на угол а=л/2. Система координат прямоугольная.
6.	Решить задачу 5 при произвольном а.
§ 2.	Простейшие задачи аналитической
геометрии в пространстве
Пусть в пространстве введены общие декартовы коорди-
наты xyz, Д/^, и Д2(х2, j2, г2) —две произвольные
точки пространства. Найдем координаты точки Д, делящей
' отрезок Д1Д2 в отношении	: Х2
г	(рие. 65).	,
1	Векторы ЛХЛ и ЛЛ, одинаково
А	направлены, а их абсолютные вели-
/V ч	чины относятся как Следова-
'	Т \	тельно,
/
*	/ j	Х2АхА — ЛХДД2 == О,
или
Л2(ОЛ — ОАх) — Ах(ОД2 — ОД) = 0.
а Отсюда
рис. 65.
*1 + ^-2
Так как координаты точки А (х, у, z) есть не что иное,
как координаты вектора ОД, то
V —	+
У l.-l-’
^1 + ^
§ 2]
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
85
Пусть система координат прямоугольная. Выразим рас-.
стояние между точками Дхи Л2 через координаты этих точек.
Расстояние между точками Лх и Л2 равно абсолютной
величине вектора AtA2 (рис. 66).
Имеем
ЛА = OAa — OAi = ех (х2—хх) +
+ev	—jx)+ez (za—zx).
Отсюда
ИА)2=(я - *i)2+(у г -я)2+
+(z2—гх)а.
Выразим площадь треугольника в
плоскости ху через координаты его
вершин А^х^ уь 0), Л2(х2, у2, 0),
А$ (*8» .Уз» 0)*
Абсолютная величина вектора А^'хА^ равна удвоен-
ной площади треугольника А^А^
X ЛХЛ3 — ez
*2 —*1 Л —J1
^8 — ^1 Js—Jl
Следовательно, площадь треугольника
5 = 11*2 —*1 Я~ Я|
2 Из—*1 я—яг
Выразим объем тетраэдра АгА2А3А4 через координаты
его вершин.
Смешанное произведение векторов А^, АХА3, AXA4
с точностью до знака равно объему параллелепипеда, по-
строенного на этих векторах, и, следовательно, ушестерен-
ному объему тетраэдра ?1^2A3A4.
Отсюда
F=—
v 6
*2—*1 У2—У1
*з—*1 Уз— Ух
*4-*i У^—Ух
^2
^4
86	ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Упражнения
1.	Найти расстояние между двумя точками р общих ^екарто|}$х
координатах, если положительные полуоси Образуют попарно углы
а, р, у» а базисные векторы ext еу, ez единичные.
2.	Найти центр сферы, описанной около тетраэдра е вершинами
(а, 0, 0), (О, Ь, 0), (0, 0, с), (0, 0, 0).
3.	Доказать, что прямые, соединяющие средины противополож-
ных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке. Выразить ее
координаты через координаты вершин тетраэдра.
4.	Доказать, что прямые, соединяющие вершины тетраэдра у
центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной
точке. Выразить ее координаты через координаты вершин тетраэдра.
5.	Пусть	у/, г/)-—вершины тетраэдра. Показать, чтб
точки с координатами
х = A-jXi + Х2х2 +	4* Х4х4,
У == ^1У14" ^21/2 4~-^з!/з + ^404»
2 = А1214_^2г2 4"^'3^3 4~/'4г4 -	_
при Xj >0, Х2 > 0, А3 > О, Х4> 0 и 114-^2+^з4-Л4= 1 расположены
внутри тетраэдра.
6.	Выразить площадь треугольника общего расположения через
координаты его вершин. Система координат прямоугольна^»
7.	Показать, что формула для объема тетраэдра чёрёз коорди-
наты его вершин преобразуется к виду
•'-т		Xi У1 х* У2 Хз Уз Ха У а	2Х 1 Z2 1 Zg 1 *4 1	
8. Для того чтобы четыре точки плоскости, необходимо н достаточно			А; (хь Уь лежали в одной	
Доказать.	Xi У1 х2 у2 ‘*э Уз Хл Уа	21 1 1 23 1 г4 1	= 0.	
§ 3. Уравнение поверхности и кривой
в пространстве
Пусть имеем поверхность (рис. 67).
Уравнение
f(x, у, 2Г) = О	. (*)
называется уравнением поверхности в неявной форме, если
координаты каждой точки поверхности удовлетворяют этому
§ 3}
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХЙОСТИ
87
представляет собой координаты одной
уравнению. И обратно, любая тройка чисел х, у, z, удовле-
творяющая уравнению,
из точек поверхности.
Систему уравнений
задающую координаты
параметров (и, v), называют уравнениями поверхности в па*
у=А(и> ®)> z=f3(u, ”)»	(**)
точек поверхности как функции двух
раметрической форме.
Исключая параметры н, v из системы (**), можно пол^
чить уравнение поверхности в неявной форме.
Составим уравнение произвольной сферы в прямоуголь*
ных декартовых координатах xyz.
Пусть (х0, у0, 2г0)—центр сферы, а /? —ее радиус. Каж-
дая точка (х, у, z) сферы находится на расстоянии R от
центра, а следовательно, удовлетворяет уравнению
(х—х0)2 + (^— Jo)2 + (2—г0)2—Я2 = 0.	(***)
Обратно, любая точка *(х, у, z), удовлетворяющая уравне-
нию (***), находится на расстоянии R от (х0, у0, z0) и,
< следовательно, принадлежит сфере. Согласно определению
уравнение (***) есть уравнение сферы.	'
Составим уравнение кругового цилиндра с осью Oz а
радиусом R (рис. 68).
88	ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ в пространстве [гл. V
Воаьмем в качестве параметров и, % характеризующих
положение точки (х, у, z) на цилиндре, координату z(v)
и угол (а), который плоскость, проходящая через ось z и
точку (х, у, z), образует с плоскостью xz. Тогда получим
х —AJcosw, y = /?sintf, z = v
— уравнение цилиндра в параметрической форме.
Возводя первые два уравнения в квадрат и складывая
почленно, получим уравнение цилиндра в неявной форме —
х2+у2 = /?2.
Пусть имеем некоторую кривую в пространстве. Систему
уравнений
fi(x,y,z) = 0, f2.(x, у, z) = Q .
называют уравнениями кривой в неявной форме, если коор-
динаты каждой точки кривой удовлетворяют обоим уравне-
ниям. И обратно, любая тройка чисел, удовлетворяющая
обоим уравнениям, представляет собой Координаты некоторой
точки кривой.
Систему уравнений
* = Ф1(0. ^ = <Рй(О, г = Фз(*)>
задающую координаты точек кривой как функции некото-
рого параметра (/), называют уравнениями кривой в пара-
метрической форме.
Две поверхности, как правило, пересекаются по кривой.
Очевидно, если поверхности задаются уравнениями
/г(х, у, г) = 0 и f2(x, у, z) = 01 то кривая, по которой
пересекаются поверхности, задается системой уравнений
/1 (*. У, Z) = 0, /2 (х, у, z) = 0.
Составим уравнение произвольной окружности в про-
странстве. Любую окружность можно представить как пере-
сечение двух сфер. Следовательно, любая окружность может
быть задана системой уравнений
(х - atf + {у - btf + (z - cj2 - RI = О,
(х - а2)2 + (у - У2 + (г - с2)2 - RI = 0.
Кривая и поверхность, как правило, пересекаются в от-
дельных точках. Если поверхность задается уравнением
/(х, у, х) = 0, а кривая уравнениями /х(х, у, z) — 0,
§ 3]	УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ	85
/2 (*, г) = 0, то точки пересечения кривой с поверхностью
удовлетворяют системе трех уравнений
/(х, у, £) = 0, Д(х, у, г) = 0, /2(х, у, £) = 0.
Решая эту систему, находим координаты точек Пересе*
чения.
Упражнения
1.	Показать, что поверхность, задаваемая уравнением вида
x2 + i/2+z2 + 2ax4-2/n/4-2cz+d=0,
если а2 + Ь2+с2—d> 0, есть сфера. Найти координаты ее центра
и радиус.
2.	Окружность задана пересечением двух сфер:
fi (х9 у, z) = х2+у2+z2+2atx+2Ь±у+2cxz+dt == 0,	!
h(xt у, z)=x2+y2+z2+2a2x+2b2y+2c2z+d2 = Q.
Показать, что уравнение любой сферы, проходящей через эту
окружность, можно задать уравнением
Wi(*> У» 2)+1J2(x, yt z) = 0.
3.	Показать, что поверхность, задаваемая уравнением вида
<р(х, z/) = 0, цилиндрическая. Она образована прямыми, параллель»
ными оси z.
4.	Составить уравнение прямого кругового конуса с осью Ог,
вершиной О и углом при вершине, равным а.
5.	Составить уравнение поверхности, которую описывает сере?
дина отрезка, "концы которого принадлежат кривым и у2-‘
6.	Составить уравнение поверхности, которую описывает пряз
мая, пересекая кривые ух, у2» оставаясь все время параллельной
плоскости yz:
,, ./2=(PW>
7.	Показать, что кривая
г==ф(х), у=0(х>0)
при вращении около оси z описывает поверхность, задаваемую
уравнением
2=ф(Кха+!/2).
8.	Показать, что цилиндрическая поверхность с образующими,
параллельными оси г, проходящая через кривую
ведается уравнением
f (х)—ф(у)=О.
90	ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВ© [гл. V
§ 4. Преобразование координат
Пусть в пространстве введены две общие декартовы
системы координат xyz и x'y'z' (рис. 69). Выразим коорди-.
%,	. наты произвольной точки А в системе ко-
ординат x'y'z' ‘через координаты ее в
е ' системе xyz.
Имеем:
/ \	O^A = x'eX'+y'ey'+z'ez4
г	(УЛ = (УО+ОА=(х9ех> +уйеу, 4- Zee2,)+
Рис. 69.
+ {хех+уеу+’гег).
Векторы ех, еУ; ez допускают однозначное представление
через векторы ех^ еу>, егл
ех — «11^' + а12^' + «13^'+
ву = Ctw^^x'+ «22^1/'+ «23^', *
&Z «31^*' + «32^/' + «33^2'>
(*)
где afy—координаты векторов ех, ez относительно ба-
зиса ех>, еУ', ег>.
Подставляя эти выражения в О'Д, получим
&А = (4 + «и* + <W + «81*) *4 +
+ (yi + «12* + <W + W) Gy' +
+ (4 + «13* + «28^ + «33*)
Выражения в скобках этой формулы суть координаты век-
тора О'А относительно базиса ех^ еУ', ег», т. е. коорди-
наты точки А в системе x'y'z'. И мы получаем искомые
формулы:	'
*' = «Н* + «21J + «31*+ *0,
У' = «12* + «22J + «32* +Кг >
+' =х а18х + аЙЗву -|-	+ z\.
(**)
§ 4]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
91
Коэффициенты этих формул имеют следующие значения:
«n»^«i2, а 13 —координаты вектора ех относительно базиса
схч *еУ’,	<х21, а22, а23 —координаты вектора еу\ а81, а32,
а33 —координаты вектора ez\ х\, y'Ci — координаты точки О
в системе координат x'y'z'.
Заметим, что детерминант
-	«н «21 «31	
А =	«12 «22 «32	=/=0.
	«13 «23 «33	
Действительно, непосредственно		проверяется, что
	«11 «12 «13	
(ехС^г)	«21 «22 «23	
	«31 «32 «33	
И так как (0*0^) =/= О, то
Для всех систем координат x'y'z'> которые могут быть
непрерывно переведены друг в друга, детерминант А имеет
один и тот же знак. (Непрерывность изменения системы
координат понимается как непрерывность изменения начала О'
и базиса	Действительно, так как (exe^ez) отлично
от нуля, то А отлично от нуля. Так как, кроме того, А из-
меняется непрерывно, то оно не может принимать значений
разных знаков.
Систему формул (**) -при условии A=j4=O всегда можно
истолковать как переход от некоторой системы координат
x'y'z' к системе координат xyz, начало которой в точке
4), а базисные векторы выражаются через базисные век-
торы системы x'y'z' по формулам (*).
Если обе системы координат xyz и x'y'z' прямоуголь-
ные, то коэффициенты формул (**) удовлетворяют условиям
ортогональности:
«11 + «12 + «13 = 1, «Ц«21 + «12«22 + «13«23 = О,
«21 + «22 + «23 = 1, «21«31 + «22«32 + «23«33 = °.
«31 + «32 + «33 = 1, «31«11 + «32«12 + «ЗЭ«1Э = °>
(***)
которые получаются, если воспользоваться формулами (*)
и соотношениями ортогональности базисов:
сх = Су = Cz = 1,	Субх “ Cz€x
== Ср 1, Gx'&yi “ z* =:=е О»
92	ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Обратно, формулы (**), если выполняются условия (***),
всегда можно истолковать как переход от некоторой* пря-
моугольной системы координат x'y'z' к системе прямоуголь-
ных координат xyz, начало которой в точке (х^ у'о, /0),,а
базисные векторы задаются формулами (*). В силу условий
(***) базисные векторы ех, еу, ez единичные и попарно
перпендикулярные.
Заметим, что в случае прямоугольных декартовых коор-
динат xyz и x’y'z' Д = ±1, причем А =4-1, если одну
систему координат можно движением совместить с другой.
Если же это можно сделать движением и зеркальным отра-
жением, то А =—1.
Упражнения
1.	Как будут выглядеть формулы преобразования координат,
если плоскость ху совпадает с плоскостью х'г/'?
2.	Известно, что в некоторой системе координат уравнением
4- а22у2 4- a33z2 2а12ху 4- 2а23ун 4- 2a31zx=с
задается сфера. Найти углы между осями координат.
3.	Пусть имеем две системы координат xyz и x’y'z' с общим
началом О. Пусть е19 e2t е3—базис первой системы, а еАХ^2, ^2X^3»
03Х£1—базис второй. Составить формулы перехода от одной си-
стемы к другой.
4.	Переход от одной прямоугольной декартовой системы коор-
динат xyz к другой прямоугольной t декартовой системе координат
x’y'z' с тем же началом можно выполнить* в три этапа:
(xA=xcos<p—у sin ср,
t/i==x sin(p4-{/c°s<P>
Zi = zt
(X2 = X1,
y2=У1 cos ft—Hi sin ft,
z2 = t/i sin ft 4- cos ft,
(x'=x2 cos ф—y2 sin ф,
y'=x2 sin ф 4- y2 cos ф,
z'=z2.
Углы <p, ft, ф называются углами Эйлера. Выяснить их геометриче-
ский смысл.
5.	Показать, что преобразование пространства в себя, задавае-
мое формулами (**) при условиях (###), есть движение.
Глава VI,
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
§ 1. Уравнение плоскости
Составим уравнение произвольной плоскости в прямоуголь-
ных декартовых координатах xyz.
Пусть Л0(х0, у0, г0) —какая-нибудь точка плоскости и
п—отличный от нуля вектор перпендикулярной плоскости.
Тогда, какова бы ни была точка А (х, у, z) плоскости, век-
—>
торы AqA и п перпендикулярны
(рис. 70). Следовательно,
ЛоА-п = О.	(*)
Пусть а, Р, у—координаты век-
тора п относительно базиса ех. eyt
ez. Тогда, так как AQA= ОА —
-—>
— ОЛ0, из (*) следует:
а (х—х0) + Р (у — у9)+у (г—г0)=0
(**)
Это и есть требуемое уравнение.
Таким образом, уравнение любой плоскости линейно от-
носительно координат х, у, z.
Так как формулы перехода от одной декартовой системы
координат к другой линейны, то уравнение плоскости ли-
нейно в любой декартовой системе координат (а не только
прямоугольной).
Покажем теперь, что любое уравнение
ах + fty + cz + d = 0
является уравнением некоторой плоскостй.
Пусть х0, у0, z0 — какое-нибудь решение данного уравне-
ния. Тогда
ах9 + by9 + cz9 + d * О,
94
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[гл. VI
и уравнение можно переписать в форме
а (х — х0) + b (у — j0) + с (z—z0) = 0.	(***)
Пусть л —вектор с координатами a,'b, с относительно
базиса ех, еу, ez> AQ — точка с координатами х0, у$, z0 и
Д —точка с координатами х, у, z. Тогда уравнение (***)
можно записать в эквивалентной форме
Д^4-д = 0.
Отсюда следует, что все точки плоскости, проходящей
через точку Ао перпендикулярно вектору п (и только они),
удовлетворяют данному уравнению и, следовательно, оно
является уравнением этой плоскости.
Заметим, что коэффициенты при х, у, z в уравнении
плоскости суть координаты вектора, перпендикулярного пло-
скости относительно базиса еХУ еу, ez.
Упражнения
I.	Составить уравнение плоскости, если заданы две симметрично
расположенные относительно нее точки (хх, zx) и (х2, y2t г2).
2.	Показать, что плоскости
ax+^+cz+d1 = 0
ах+by-j-cz+d2 = О
параллельны (не пересекаются).
3.	Что представляет собой геометрическое место точек, коорди-
наты которых удовлетворяют уравнению
(ах + by+cz+d)2—(ах +	+ 6)2=0?
4.	Показать, что кривая, задаваемая уравнениями
f(x, у, 2)+aix+&1y+c1z+d1=0,
f(x, у, z)4-a2x+62t/+c2z4-d2==0,
плоская, т. е. все точки этой кривой принадлежат некоторой пло-
скости.
5.	Показать, что три плоскости, задаваемые уравнениями
ax4-bi/+cz4-d==0,
ax + py+yz + 6 = 0,
X (ах + by+cz) + р (ах + р«/ + уг) + /г = О,
при k ?£ Xd рб не имеют общих точек.
§ 2}	РАСПОЛОЖЕНИЕ плоскости	95
6.	Написать уравнение плоскости, проходящей через окружность,
по которой пересекаются две сферы:
x2+y2+z2 + ax + by + cz + d = Qt
x2+y2+z2+ax + Py+yz + b=Q.
7.	Показать, что преобразование инверсии переводит сферу либо
в сферу, либо в плоскости.
8.	Показать, что уравнение любой плоскости, проходящей через
прямую, по которой пересекаются плоскости
ax-}-by-[-cz-\-d=0,
ах + Ру+уг+Ь=О,
может быть представлено в виде
А,(ах+&|/4-с2 + </) + ц (ах+0г/+уг-|-6)=О.
9.	Показать, что плоскость, проходящая через три данные
точки (X/, yit Zj) (i = l, 2, 3), задается уравнением
X'yz 1
У1 21 1 =0
Х2 У2 22 1
*3 Уз. 2з 1
§ 2.	Расположение плоскости относительно
системы координат
Выясним, какие особенности в расположении плоскости
относительно системы координат имеют место, если ее урав-
нение того или иного частичного вида.
1,	а = 0, # = 0. Вектор п (перпендикулярный плоскости)
параллелен оси z. Плоскость параллельна' плоскости ху,
в частности совпадает с плоскостью ху, если и (1 — 0.
2.	/> = 0, с = 0. Плоскость параллельна плоскостную и
совпадает с ней, если d = 0.
3.	с = 0, а = 0. Плоскость параллельна плоскости хю и
совпадает с ней, если d = 0.
4.	а = 0, ##=0, с^=0. Вектор п перпендикулярен оси
х(ехп — Щ. Плоскость параллельна оси х, в частности про-
ходит через нее, если d = 0.
5.	а=#0, й = 0, с#= 0. Плоскость параллельна оси у и
проходит через нее, если d = 0.
6.	а=/=0, &=/=0, с = 0. Плоскость параллельна оси z и
проходит через нее, если d = 0.
96
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[гл. VI
7.	d = 0. Плоскость проходит через начало координат
(его координаты 0, 0, 0 удовлетворяют уравнению плоско-
сти, если d = 0).
Если все коэффициенты отличны от нуля, уравнение
можно разделить на —d. Тогда, полагая
получаем уравнение плоскости в следующей форме:
—+1+——1 =°-	(*)
а 1 р ‘ у	' '
Числа а, 0, у с точностью до знака равны отрезкам,
отсекаемым плоскостью на осях координат.- Действительно,
ось х(у = 0,.г = 0) плоскость пересекает в точке (а, 0, 0),
ось у— в точке (О, 0, 0), ось z—в точке (0, 0, у). Уравне-
ние (*) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
В заключение заметим, что любая плоскость, не перпен-
дикулярная плоскости ху(с^О), может быть задана уравне-
нием вида
z=px+qy + l.
•	Упражнения
1.	Найти условия, Ьри которых плоскость
ax + by + cz-^d = G
пересекает положительную полуось х (у, z).
2.	Найти объем тетраэдра, ограничиваемого координатными пло-
скостями и плоскостью
ах + by + cz-\-d=0,
если abed £ 0.
3.	Доказать, что точки пространства, для которых
I*|4-|I/1 + |z | < а,
расположены внутри октаэдра с центром в начале координат и вер-
шинами на осях.
4.	Дана плоскость а уравнением в прямоугольных декартовых
координатах
Составить уравнение плоскости о', симметричной о, относительно
плоскости.ху (начала координат О), • -  .
§3] - 	УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ	&?
5.	Дано семейство плоскостей, зависящее от параметра Л,
ax+by+cz+d+h (ах + р£/ + уг + 6) = 0«
Найти в семействе плоскость, параллельную оси £♦
6.	В семействе плоскостей
fex + bty+ctz + dj+X (a2x+b2y+c2z + d2) +
+ Н(Л8^+М+^ + ^з)=0
найти плоскость, параллельную плоскости ху. Параметрами семей-
ства являются X и Д.
§ 3.	Уравнение плоскости в нормальной форме
Если точка А(х9 у9 z) принадлежит плоскости
ax-^by + cz + d = 0,	(#)
то ее координаты удовлетворяют уравнению (*).
. Выясним, какой геометрический смысл имеет выражение
dx-\-by + cz + d9
если точка А не принадлежит плоскости.
Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость. Пусть
А0(х0, у0, г0)—основание перпендикуляра. Так как точка Jl0
лежит на плоскости, то
axo + byQ + czo + d = 0.
Отсюда	1
ax + by + cz + d =
= а(х —х0) + b (у — у0) + с (z~ z0) = п А0А = ± | п 16,
где п—вектор, перпендикулярный плоскости с координатами
а, Ь, с, а 6 — расстояние точки А от плоскости.
Таким образом,
ax-}-by + cz-[-d	. л
положительно по одну сторону плоскости, отрицательно по
другую, а по абсолютной величине пропорционально расстоя-
нию точки А от плоскости. Коэффициент пропорциональности:
± I л I — ± V а2+*	’ и
4 А. В. Погорелов
98	' плоскость и прямая	[гл. vi
Если в уравнении плоскости а2 4- Ь2 4“ с2 = 1, то
ах + by + cz 4- d
будет равно с точностью до знака расстоянию точки от
плоскости. В этом случае говорят, что плоскость задана
уравнением в нормальной форме.
Очевидно, чтобы получить нормальную форму уравнения
плоскости (*), достаточно разделить его на
± V а*+ & + <?.
Упражнения
1.	Плоскости, задаваемые уравнениями в прямоугольных декар-
товых координатах:
ах 4-^/4-£* + 4=0,
ax+fo/4-£*+4'=0,
где d d' не имеют общих точек, следовательно, параллельны.
Найти расстояние между этими плоскостями/
2.	Плоскость
ax+by + d~0
параллельна оси г. Найти расстояние Оси 2 от этой плоскости»
3.	Что представляет собой геометрическое место точек, расстоя-
ния которых до двух данных плоскостей находятся в данном отно-
шении?
4.	Составить уравнения плоскостей, параллельных
ах+б«/4-С24-4=0
и отстоящих от нее на расстоянии 3.
5.	Показать, что точки пространства) удовлетворяющие условию
Jax4-^4-^4-d| < б2,
расположены между параллельными плоскостями
a#4T6t/+cz+d sE б2==0.
6.	Заданы уравнения плоскостей, в которых лежат граня тбтг
раэдра, и точка М своими координатами. Как узнать, лежит точка М
внутри тетраэдра илн нет?
7.	Составить формулы перехода к новой прямоугольной декар-
товой системе координат x'y'z', если новые координатные плоскости
в старой системе задаются уравнениями
<h* + M+£i*+4i==0,
«2^+М4-£2*4-4»=0,
«а*+М+£3*+= 0.
§ 4]	ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ	99
§ 4. Взаимное расположение плоскостей
Пусть имеем две плоскости:
atx bry 4- qz + dt — 0, 1
^ + М + с2'г + йа’=0'' J ,
Выясним, при каком условии эти плоскости: а) паралч
лельны, б) перпендикулярны.
Так как аь Ьъ q—координаты вектора п19 перпендику-
лярного первой плоскости, a a2t b2, с2—координаты век-
тора п2, перпендикулярного второй плоскости, то плоскости
параллельны, если векторы пь п2 параллельны, т. е. если
их координаты пропорциональны:
21 = ^. = ^,
Og ^2	^2
Это условие вместе с тем достаточно для параллельности
плоскостей, если' они не совпадают.
Для того чтобы плоскости (*) были перпендикулярны,
необходимо и достаточно, чтобы указанные векторы nt и
были перпендикулярны, что для неравных нулю векторов
эквивалентно условию
n&t = 0 или ata2 + ЬгЬ2 4- cte2 = 0.
Пусть уравнениями (#) даны две произвольные плоскости.
Найдем угол, образуемый этими плоскостями.
< Угол # между векторами и п2 равен одному из уг-
лов, образуемых плоскостями» Угол между векторами и
п2 легко найти. Имеем
(»i»2) = |/»i||ii8|cosO.
Отсюда
cos й = ——aia2~b^i^2~bcic*
.	. ...	^1+.Ы+сГ
Пусть имеем три различные плоскости:
aix + &1У + ciz + — о,
а2« + М + са^ + й2 = 0, -	(*»)
as* + *s> + c32’4-d8 = d.
100
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
|ГЛ. VI
Плоскости (**) либо пересекаются в одной точке, либо
параллельны некоторой прямой, в частности проходят через
прямую.
Если плоскости (**) пересекаются в одной точке, то .
система уравнений (**) имеет единственное решение. Как
известно из алгебры, это будет тогда и только тогда, когда
детерминант системы
А =
Это можно пояснить и другим способом. Если плоскости
пересекаются в единственной точке, то векторы (яь сг),
л2(а2, b^y c.j); п3(а8, Ь3, с8) не могут быть параллельны одной
плоскости (ибо тогда плоскости, пересекаясь в точке, пере-
секались бы по прямой), а следовательно, их смешанное
произведение, равное детерминанту Д, отлично от, нуля.
Плоскости (**) будут параллельны некоторой прямой,
если Д = 0, что означает параллельность векторов п1У п3
некоторой плоскости. Если при этом система (**) совместна
(имеет решение), то плоскости пересекаются по прямой.
Упражнения
1* Найти углы, образуемые плоскостью
ax+by+cz-]-d=0
с осями координат.
2.	Найти угол, образуемый плоскостью
z = px+qy+l
t плоскостью ху.
3.	Площадь фигуры F в плоскости	 * •
z = ax + by+c
и площадь ее проекции F на плоскость ху связаны соотношением
S(F)=/l+a«4-6«S(F).
Показать.	..
4.	При каком условии плоскость
> ax-]~by.+ cz-^d— 0 •	'	. .ч
пересекает оси х и у под равными углами? При каком условий она
пересекает под равными углами все три оси х, у и я?
§ 5]
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
101
-•J' П t’	J b? '*»>*! :;‘i ’V ft')
5.	Показать, что плоскость, проходящая через точку (л:0> z/0,2г0)
и параллельная плоскости	Л	
ах 4* by 4- cz d = 0,
задается уравнением ’	'	,7 7.
, а(х—x0)+b.(y— y0)+c(z—2о)=О.	ч
г 6. Показать, что плоскость, проходящая через точку (х^Ув,^)
и перпендикулярная плоскостям
aix+M+ci2+d!=0,
а2х+b2y+c2z + d2=0,
задается уравнением
у—у0
al
a2 b2
7. Среди плоскостей пучка
X (a±x 4- bty+ctz+d±) + p (a2x 4- b2y 4- c2z 4- d2)=0
найти плоскость, перпендикулярную
ax-\-by-[~cz-\-d^0.
8. Пусть
<hx+^1У 4- Ciz+dt« 0,
a2x+b2y+c2z+d2=d9
a2x 4- ЬзУ 4~ c$z 4” d2=0
— уравнения трех плоскостей, не параллельных одной прямой. Тогда
любая плоскость, проходящая, через точку пересечения данных, имеет
уравнение вида
Ла (aix 4“ &1У+ci2 4“ ^х)4*Х2 (а2х 4- b2y+с2г 4- d2) 4-
4-^з («з^4- М4-^ 4-^з)
§ 5. Уравнение прямой
Любую прямую можно задать как пересечение двух
плоскостей. Следовательно, любая прямая может, быть за-
дана уравнениями:
ыя"*	। г	zitjX 4“	4”	4~ ===	«	*
а2х + 62у-Ь-с22 + 4/г = 0, J
из коих первое задает одну плоскость, а второе—другую.
Обратно, любая совместная система двух таких независи-
мых уравнений представляет собой уравнения некоторой
прямей^.	;	:	- у -
102	ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ	[ГЛ. V*
Пусть Л0(х0, yQ, zQ)— какая-нибудь фиксированная точка
прямой, А(х,у>z)—произвольная точка прямой и е(£, /, т)—
отличный от нуля вектор, параллельный прямой (рис. 71).
— >
Тогда векторы и е параллельны, следовательно, их
координаты пропорциональны, т. е.
*^ = ЦЙ>==^	, (»*)
k I т	' '
Эта форма уравнения прямой называется канонической
и представляет собой частный случай (*), так как допускает
эквивалентную запись
н*	*-“*о __ У — Уо
k ” 1 ’
* ^L*******"^^	У—у* —
I m ’
соответствующую (#).
"	Пусть прямая задана уравнения-
ми (*). Составим ее уравнение в ка-
&'	ионической форме. Для этого до-
, & статочно найти какую-нибудь точку
Рис. 71.	А) на прямой и вектор 4$ парал-
лельный прямой.
Всякий вектор е (Л, /, /л), параллельный прямой, будет
параллелен каждой из плоскостей (*) и обрат но.С ледов а-
тельно, А, 7, /л удовлетворяют уравнениям:
atk + btl + сдп = 0, Д	v
л8Л4-&2/-1-с2'»==0. J -	(***)
Таким образом,-в качестве х0, у0, г0 для канонического
уравнения прямой можно взять любое решение системы (#),
а в качестве коэффициентов k, /,/л —любое решение (***)j
например:
jl_ ci ,	1 ci ai т__ ах К
С2	^2 ^21	^2 ^2
Из уравнения прямой в: канонической форме можно по-
лучить ее уравнения в параметрической форме’ Именно,
§ 5]	УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ	103
полагая общее значение трех отношений канонического урав-
нения равным t; получим
X^kt+xo, y = lt+y0, z = mt+z0
— уравнение прямой в параметрической форме.
Выясним, каковы особенности в расположении прямой
относительно системы координат, если некоторые из коэф-
фициентов канонического уравнения равны нулю.
Так как. вектор e(k, /, ш) параллелен прямой, то при
т = () прямая параллельна плоскости ху (00^ = 0), 5при
' / = 0 прямая параллельна плоскости xz, при 6 = 0 прямая
параллельна плоскости yz.
При 6 = 0 и / == 0 прямая параллельна оси z (г||‘еД при
/ = 0 и т = 0 — параллельна оси х, при & = 0 и т = 0—
. параллельна оси у.
В заключение заметим, что уравнениями вида (*) и (**)
прямая может быть задана в общих декартовых координа-
тах (а не только прямоугольных). *
Упражнения
I. При каком условии прямая, заданная уравнением в канони- 
ческой фОрмё (♦*), пересекает ось х (у, я)? При каком условии пря-
мая лежит в плоскости ху (yz, zx)?	,	;
; 2, Показать, что геометрическое место точек, равноудаленных
от трех попарно не параллельных плоскостей, есть прямая.
3. Показать, что геометрическое место точек, равноудаленных .
от вершин треугольника, есть прямая. Составить ее уравнения, если
заданы координаты вершин треугольника. >
- 4. Показать, что через каждую точку поверхности
z^axy
проходят две.прямые, целиком лежащие на поверхности,
б. Если-прямые, задаваемые уравнениями ,
a^ + biy+ctz+d^Q, и f a3x + b3y + c3z + d3^,
а2х + b3y+c3z+<4=0	I а& + b$	= 0,
пересекаются, то
Показать.
. 104	ПЛОСКОСТЬ и ПРЯМАЯ	[гл. VI
'О'х-	Ч г  J'-i	-У -	Ь:*
в. Плюккеровыми координатами прямой
|	4" ^2р 4“' М 4^ ^4 •айе О	’
называются величины
Iai а Л	/	ч
bi ь}\ (Р1Г=-РА
а.также любые-величины, им пропорциональные.
Показать, что плюккеровы координаты не зависят от того, кат
кими плоскостями пучка задается прямая.
Показать, что плюккеровы координаты связаны соотношением
Р12Р34 4"Р2зР14 4~Р1зР42 “О
и всякую систему величин, удовлетворяющих этому условию, можно
рассматривать как плюккеровы координаты некоторой прямой.
Показать, что если прямые g(pjj) и h(qij) пересекаются, то
Р12^?34 + Р13?42 4- Р14<?23 4" р42^13 4" Р23<714 4“ Рз4<712 = 0.
- Показать, что если прямые ^(р/у) и h(qjj) пересекаются, то
координаты г/у любой прямой пучка, определяемого прямыми g и А,
допускают представление •
rij" ^PZ/4- |4iy
§ 6. Взаимное расположение прямой и плоскости,
двух прямых
[]усть имеем прямую и плоскость, заданные уравнениями
ах -\~by-\-cz, 4-d = 0,
k I т ’
Так как вектор (а, А с) перпендикулярен плоскости, а
вектор (ife, Z, т) параллелен прямой, то прямая-и плоскость
будут параллельны, если эти векторы перпендикулярны, т. е9
если
ak-{-bl + cm~0.	(*)
Если при этом точка (xe, z0), принадлежащая пря-
мой, удовлетворяет уравнению плоскости
«Aro + ^o4-cze + d = O,
го п^мая.^жит. в плоскости.
. j	:* X tM i-’ ? -Г <	MH'
§ 6] ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 105
Прямая и плоскость перпендикулярны, если векторы
(а, Ь, с) и (A, I, m\. параллельны, т. в. если
Можно получить условия параллельности и перпендику-
лярности прямой и плоскости, если прямая задана пересе-
чением плоскостей	,,
atx -f- Ьгу + ctz + dx = 0,
агх + Ь,у 4- с2г + da = 0.
Достаточно заметить, что вектор с координатами
k= C1 , / = C1 4, m =
^2 ^2	^2 Г	I ^2 ^2
параллелен прямой, и воспользоваться условиями (*) и (**).
Пусть две прямые заданы уравнениями в канонической
форме:
х—х9	у—у9	z—z9
k9	V	m9	9
x—x”___У—У*	__	z—zn
k”	Г	-	т”	* .
(#**)
Так как вектор (£',	т9) параллелен первой прямой,
а вектор (А*, Г, т") параллелен второй прямой, то прямые
параллельны, если
k9 I9 tri
k" ~~ 1а~~т* '
В частности, прямые совпадают, если при этом , точка
первой прямой, например (*',	*'), удовлетворяет урав?
нению второй прямой, т. е< если
х'— х" у'—у"	z9— z"	V >
k” “ . Г —	•
Прямые перпендикулярны, если векторы (k9, Г* т9) и
(й", Г, Р?) Перпендикулярны, т. если
k9k" ^ГГ + т'т9^^.
- - ,i. -	:	.. V
Если заданы две прямые уравнениями одной из рассмот-
ренных форм, то нетрудно найти угол мёжду ними: flfeicfi-
точно найти угол между векторами, параллельными прямым.
106»	плоскость И ПРЯМАЯ	[гл. VI
Нацример, в случае задания прямых уравнениями в канони-
ческой форме (***) для одного из двух углов й, образуемых
прямыми, получаем
COS V = ------ -- J —---------
/fe'2-H'2 + m'2	+	.
Упражнения
1.	Показать, что если для прямых, задаваемых уравнениями
(***),
х'—х” у'—у” z'—zn k'	Г	т' k”	Г	т”	= 0,
то прямые либо параллельны, либо пересекаются.
2.	Найти расстояние между двумя прямыми, заданными уравне-
ниями в канонической форме.	. » .
3.	Найти условие параллельности (перпендикулярности) прямой
и плоскости
ax+&#4-cz + d = 0.
4.	Найти условие параллельности (перпендикулярности) прямых:
,	^ + M + ciz + rfi==0’ и / a3x±^y+c9z+d^6,
| a2x+62t/+c2z+d2=0 I a^x4-b^f-[-c^'+d^=Q.
5.	Найти уравнение конической поверхности с вершиной
(-*о» Vo> 2о)> образующие которой пересекают плоскость
ax + ^4-cz + d=0
под углом а.
, 6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
(xQ, z^) и параллельной плоскостям:
7. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в
точке,(0, 0, 2/?), если она проходит через окружность, задаваемую
пересечением сферы
x’4-^+z2 = 2^
С ПЛОСКОСТЬЮ :	[
ax-]-by-{-cz-{-d=Q.
Выяснить, что представляет собой пересечение этой конической
поверхности с плоскостью ху.
8. Стереографической проекцией сфер» называется проекция из
произвольной ее точки на касательную ^плоскость в диаметрально
§ 7]	ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ	107
противоположной точке. Показать, что при стереографическом
проектировании окружностям на сфере соответствуют окружности
и* прямые на плоскости проекции (см. упр. 7).
0. Какое преобразование на плоскости стереографической про- 4
екцци соответствует зеркальному отражению сферы в ее диамет-
ральной плоскости?
§ 7. Основные задачи на прямую и плоскость
Составить уравнение произвольной плоскости, проходящей
через точку (x^ у0, £0).
Любая плоскость задается уравнением вида .
ах + by + cz + d = 0.
Так как точка (xe, у0, z0) принадлежит плоскости, то "
ax9 + by9 + czo + d = 0.
Отсюда уравнение искомой плоскости
ах 4- by 4- cz— (ах0 4- by0 + cz9) = 0,
или
а (х—х9) 4-b (у— у9) 4- с (z—z9) = 0.
Очевидна, при любых a, b9 с это уравнение удовлетворяется
точкой (хЛ, у9, 29).
Составить уравнение произвольной прямой, проходящей
через точку (же, уe, zj.
Искомое уравнение:
х-~х0 _ Р—Ро __ 2—
"ТЕ * m '
Действительно,1 этб уравнение задает прямую, проходя-
щую через точку (х0, у0, z$)9 координаты которой, очевидно,
удовлетворяют уравнению. Давая Л, 7, m произвольные (не
все равные нулю) значения, получаем прямую произвольного
найравления.
Составить уравнение прямой, проходящей через две дан-
ные точки (х', yz, z'), (х", у", Z).
Уравнение прямой можно записать в форме
( . г .	X—У	у —/	Z —Zz ,
J03	ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ	[гл. VI
fАк как вторая точка лежит на прямой, то	!
, х"—х' уп—у'	zn—г'
«,/л	1	.» г - ». а- л > .• У1 г
fe	I т
Это позволяет исключить	и мц получаем уравнение
х—х' ' у—у'____z—z' ;	$
X* — х' *“* у”—у' ~~ z"—z' *
Составить уравнение, плоскости, проходящей через три
точки Д' (х', у', z'), А"(х\ у", z")t Д'"(х"', у'", г'"), не
лежащие на прямой.
Пусть А (х, у, z)— произвольная точка искомой плоскости.
Три вектора
Д^Д, А^,А^
лежат в одной плоскости. Следовательно,
(ДЧ ДМ", Д'Д'") = 0.
0.
И мы получаем искомое уравнение
х—х'	У~У'	z—z‘
x”~xf	у”—у'	z'—z*
)	. Х"'—X' У'"—у' z'" — #1
"Составить уравнение плдскости, проходящей через зйдан*
ную точку (х0, у0, zQ), параллельную плоскости
ax + by + cz + d = 0.
Искомое уравнение:
а (х—х0) 4- b (у— Jo) + с Й—^о) = 0.
В самом деле, эта плоскость проходит через данную точку
и параллельна данной плдскости.
Составить уравнение прямой, проходящей через данную
точку (х0, уо,-^о) параллельно данной прямой
X-х' у—у' z—zf
...	~ J
- Искомое- уравнение:, - 
— У—Уо ^.г—^
‘ 	к	—~~
ш
m
I n
основные ЗАДАЧИ
109
Прямая, проходящая через, точку (х0, yQ, ze) перпенди-
кулярно плоскости
ax+by + cz-\-d = §9
задается уравнением
x—xQ^y—yQ z—z&
а b с *
Плоскость, перпендикулярная прямой
*~х9 ^у—у9 z-~%9
k I m ’	/
проходящая через точку (х0, у0> £0), задается уравнением
* (*—х0)+1 (у— у0) 4-да (z—z0) = 0.
Составим уравнение плоскости, проходящей через точку
(х0, Уа> zo)> параллельно прямым:
y—y’^z—z9
k9 xz'^Tr^~' m' ’
x—x” __ y—yn z—zn
k№ ~ Г. e m" • I
Так как векторы {k9, Г, m') и (Л", Г. m”) параллельны
плоскости, то, их векторное произведение перпендикулярно
плоскости* Отсюда искомое уравнение
(х—х9)
Г т9
Zff
tn
+0'—л)
Или в компактной записи:
х—Хо у—у9
k.'	I'
k?	Г
z—z9
т'
т
Упражнения
1. Составить
скрещивающихся
форме.
2. Показать,
уравнение плоскости, равноудаленной от двух
прямых, заданных уравнениями в канонической
что лй)бая плоскость, пррходящая через прямую
ахл: + bty+crz+=0,
п2х+b^y 4- c^z 4~ =0,
110
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[гл. VI
задается уравнением вида
•К (arx + bry+с^г+dt) р (а2х + Ь2у+c2z 4- da)=0. .
3.	Показать, что плоскость, проходящая через прямую
х —y—y'^Z — Z*
k I т
и точку (х0, у9, 20), не лежащую на прямой, задается уравнением
,	х—х0 у—у0 z—z9
xf — x9 y'—yo'z'—to =0.
k I m
4.	Показать, что любая прямая, пересекающая данные;
==0>
а^х + Ь^у+^2 + ^=0,
л8#+М4-С2*+<*2 =0,
а\х + Ь'*У + V + = 0»
задается уравнениями	,
X(aix+6i</+ci2+d1)+V4a1x+\j/ + c1z+d1)®=0,
|i (а^х 4- Ьгу+сгг+dt)4-ц' (а'2х 4- b’ty 4- с’аг+/,)=0.
5.	Показать, что коническая поверхность, образованная прямы-
ми, проходящими через начало координат и пересекающими кри-
вую ф(х, ^)—0, z = l, задается уравнением
6.	Показать, что цилиндрическая поверхность, образованная
прямыми, параллельными
и пересекающими кривую ф(х, у)=0 плоскости ху, задается ураз»
нёнием
£г)=*0-
7.	Показать, что поверхность, образуемая при вращении кри-
вой ф,(х, 2) =0, .(/=0 около оси г, задается уравнением
Глава Vll
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§*1. Специальная система координат
Поверхностью второго порядка называется геометрическое
место точек пространства, декартовы координаты которых
удовлетворяют уравнению вида
ЛцЛ2 4- азау* 4- a3tz* 4- 2амху 4- 2a3ayz 4- 218хг 4- 2а14х 4-
+ 2в24з»4- 2о34г4-в44 = 0. (»)
Очевидно, это определение инвариантно относительно
выбора системы координат. Действительно, уравнение поверх-
ности в любой другой системе координат x'y'z' получается
из уравнения (*) заменой х, у и z линейными выражениями
относительно х', у\ z' и, следовательно, в координатах
х', yz, zf также будет иметь вид (*).
Любая плоскость пересекает поверхность второго порядка
по кривой второго порядка. Действительно^ так как опреде-
ление поверхности инвариантно относительно выбора системы
координат, то можно считать, что секущей плоскость!#1
является плоскость ху (я = 0). А эта плоскость, очевидно,
пересекает поверхность по кривой второго порядка
• аих* 4- 2а13ху 4- а33у2 4- 2аих+2а34у 4- а44 = 0.
В частности, прямой круговой конус С ОСЬЮ Z
Х^2 = х2+у2
является поверхностью второго порядка И; следовательно, ‘
любой плоскостью пересекается по кривой второго порядй£.
Если секущая плоскость не проходит через вершину, пара
прямых исключается. Остается эллипс, гипербола или пара-
бола. -м:.-.,-	- ;	' - < « ’
Чтобы исследовать геометрические свойства поверхности
второго порядка, естественно отнести ее к такой системе
координат, в которой ее уравнение будет наиболее простым.
112	ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА	[глруц
Сейчас мы укажем систему координат, в которой урав-
нение поверхности значительно упростится. Именно, коэф-
фициенты при yz, xz и ху в уравнении поверхности будут
равны нулю.
Рассмотрим функцию F(A) точки А (х, у, z)t определяемую
во всем пространстве, кроме начала координат, равенством
л\	+амУ2 + «зз*2+2012X4/ + 2a23yz-\~2a13zx > . .
{ ’	xa + «/2+.z2
На единичной сфере (х2+у2 + ^2 = 1) она ограничена и,
следовательно, достигает абсолютного минимума в некоторой
точке Ло. А так как она постоянна вдоль любого луча,
исходящего из начала координат (F(Xx, Ху, kz)—F(x, у, z))>
то в Ао F достигает абсолютного минимума значений по отно-
шению ко всему пространству (а не только н& единичной
сфере).
Введем новые декартовы координаты x'y'z' * сохранив
начало О и приняв полупрямую ОЛ0 за положительную полу-
ось z. Как известно, связь между координатами х, у, z и
х', у', z' устанавливается формулами вида
x = ai1x' + any' + a132r', )
y = a21x' + a22y' + <х23г', У	(**)
^ = a31x< + a32y' + a332r'. J
Уравнение поверхности в новых координатах х', у', z'
получается из уравнения (*) заменой х, у, z через х',у', z\
согласно} формулам (**) и имеет вид
<*и‘х'8 + <4у'2 + a33z'2 + 2ai2x'y' + 2a23y'z' + 2a13x'z'^
+ 2#14xz + 2a29y' + 2p34£7 -j- a^ = 0.
Функция F в новых координатах имеет вид
FI A\ _ аих'2+а2г^2+аззг'2+2а;Х^+Чз^'г' + 2а;зг'*'
- X'i + yn + 2't
и прлучдется заменой в старом выражении F xt у, z на х',у', zf
т;оже согласно формулам (**). Знаменатель по форме не
изменился, так как представляет собой квадрат расстояния
точки А от начала координат, который в обоих системах
выражается одинаково; '	,ч ; \	;	,
§ 2]	КЛАССИФИКАЦИЯ поверхностей	113
. Согласно выбору системы координат x’y'z' минимум функ-
ции- F достигается при х'=0, у'=0, z' = l. Поэтому, если
в выражении F положить х'=0, z' ==1, то получим функцию
одного переменного
О^'’ + 2^‘+аз3
ЦУ1~	14-/3
которая достигает минимума приу'=0. Следовательно,
* = 0 при у' =0.
Таким образом, коэффициент при y'z- в уравнении-по-верх-
ности равен нулю. Аналогично показывается, что -коэффи-
циент при x'z' тоже равен нулю.
Итак, уравнение поверхности в системе координат х'у’z*
будет
anx's + 2а'^х'у' + а’„у'2 + 2аых’ + 2аиу' +
4- 2аз4? 4- a^z'2 4- at, =0.
Если теперь ввести новые координаты х',у", г? по фор-
мулам
х' — х” cos й 4-у" sin О,
у' = — х" sin & +у* cos О,
z' = 2?, .	' . '
1	- 	..	:	; ' 1 I
то так же, как и при рассмотрении кривых второго порядка
(§ 8, гл. V), соответствующим выбором угла Ф можно добиться
того, что коэффициент при х"у" тоже будет равен нулю.
Итак, существует такая система прямоугольных декарто-
вых координат, в которой уравнение поверхности имеет вид
ДцХ2 + аыУ* + W2 + 2aix + 2агУ 4- 2<М + ? = 0.
§ 2. Классификация поверхностей второго порядка
Как показано в предыдущем параграфе, переходом к соот-
ветствующей системе координат уравнение поверхности вто-
рого порядка можно привести к виду
au№ 4- a22y2 4- assz* 4- 2аtx 4- 2agj 4Т12&8£ 4т «,=== 0, ,(»)
114	ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА	(гл. VH
Будем различать три основных случая:
А—все три коэффициента при квадратах координат
в уравнении (*) отличны от нуля;
В—два коэффициента отличны от нуля, а третий, напри-
мер <*зз> равен нулю;
С—один коэффициент, например а38, отличен от нуля,
а два другие равны нулю.
' В случае А переходом к новой системе координат, согласно
формулам
<*11	<*22	<*38
что соответствует переносу начала координат, приводим
уравнение поверхности к виду
ах'24-ру2 + уг'2 + 6==0.
Теперь различаем следующие подслучаи случая А.
Ах: 6 = 0. Поверхность представляет собой конус—,
мнимый, если a, Р, у одного знака, вещественный, если
среди чисел а, Р, у есть числа разных знаков.
Д2: 6 0, а, Р, у одного знака. Поверхность представ-
ляет собой эллипсоид—мнимый, если а, р, у, 6 одного
знака, вещественный, если знак 6 противоположен знаку
а, ₽, ?.
А3: 6^ 0, из четырех коэффициентов а, Р, у, в два
коэффициента одного знака, а два другие—противополож-
ного. Поверхность—однополостный Гиперболоид.
А4: 6^0, один из первых трех коэффициентов противо-
положен по знаку остальным. Поверхность—двуполостный
гиперболоид.
В случае В переходом к новым координатам по фор-
мулам	• J
х'=дс + —, v'=j + ~,	'
<*11 ’	Л <*22*
приводим уравнение поверхности к виду
ах'2 + ру '2 + *lpz' + q = 0.
Здесь надо различать следующие подслучаи:
Вх: р = 0, 0 = 0. Поверхность распадается на пару пло^
скостей	____
)/—|у = 0	.
§2}	КЛАССИФИКАЦИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ. .	115
__мнимых, если а и Р одного знака, вещественных, есди а
и р цротивопр ложных знаков.
В2: р = 0, ^=/=0. Поверхность—цилиндр—мнимый, если
а, ₽ и ? одного знака, вещественный, если есть коэффициенты
разных знаков. В частности, если а и Р одного знака,—
эллиптический цилиндр, если а и 0 разных знаков,— гипер*
болический цилиндр.
В3 : р ф 0- Параболоиды. Переходя к новым координатам
х" = х', у"=у', z"=z'+%-,
приводим уравнение поверхности к виду
<х^а + 0/24-2рГ = О.
Параболоид—эллиптический, если аир одного знака, пара-
болоид— гиперболический, если а и р разных знаков.
В случае С перейдем к новым координатам х', у'± я':
х’^х, у'=у, Z =^ + ^.
Тогда уравнение примет вид
уя'1 + Рх + ЯУ + г = 0
и можно различать следующие подслучаи:
CL: р=*0, # = 0. Поверхность распадается на парупарал*
дельных плоскостей-’-мнимых, если у и г одного знака,
вещественных, если у и г противоположных знаков, совпав
дающих, если г==0.
С$: хотя .бы один из коэффициентов р или q отличен от
нуля. Сохраняя направление оси я, возьмем плоскость
+ + Г за плоскость z'y'. Тогда уравнение примет вид
уя'24-вх' = 0.
Поверхность—параболический цилиндр.
Упражнения
I.	Кривая в плоскости ху
Оцх2+2altxy+апу*+2ахх+2aty+а=0
представляет собой эллипс (гиперболу, параболу). Что представляет
собой поверхность второго порядка
« «	+2а^ху+аа8у«+2щх+2а,у+а.
116	ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА	1гл. VII
2.	Показать, что поверхность второго порядка
X (а1хЧ-^1«/+с124’^1)3 + Н (^a^+^2//+r22 + d2)2 = 0
распадается на пару плоскостей.
3.	Чтобы получить проекцию на плоскости ху кривой пересече-
ния поверхности
аих2+аъъУ9 4"	+ 2а12х# +... + П44 «= 0	(*)
с плоскостью
< '	-	2~ах-\-Ьу~}-с,
надо подставить в ^уравнение (*) z = ax-±-by+c. Показать.
4.	Показать, что сечения поверхности второго порядка парал-
лельными плоскостями подобны и подобно расположены.
5.	Показать, что коническая поверхность, образованная прямы-
ми, проходящими через данную точку, и пересекающими кривую
второго порядка, есть поверхность второго порядка.,
6.	Пусть
' Г i (x, у, 2) = 0,'	2) = 0
«—уравнения двух поверхностей второго порядка. Показать, что
уравнение поверхности второго порядка, проходящей через точку
(х0, Уы 2о) и пересечение двух данных поверхностей, будет
1(Х. У, *)Ф(*о. У», *о)~ф(х, у, z)f(xt, ув, zo)=O.
i	.....
;	7. Показать, что прямая, задаваемая уравнениями
• (Oi*+M+ci« + di)+^(«i*-|-₽iy+YiZ+6i)=0,	1
(atx 4 b2y+са2 4- ds) + -I (агх 4 M+Y2z + S2) = 0,
лежит целиком на поверхности второго порядка
4- Ь1У 4- C1Z 4- di) <fltx4Ь2у 4- с2г 4- d2)—
—(ахх 4- fl у 4- vt2 4- di) (а?х 4- ₽2У 4 W + й2)=0.
8. Выяснить, что представляет собой поверхность, образованная
прямыми, .пересекающими три данные не параллельные и не пересе-
кающиеся* прямые.	-
9. Составить уравнение поверхности, которую описывает прямая
2 = ах 4-Ь.
; / (а, д, <?, d #О)
z*=cy+d
! ври вращении около оси г.
§ 3]
эллипсоид
117
Si Эйиипеоид1>ш<«

Уравнение эллипсоида >^рис.. 72)Л ->
:+ + ® — О .Л * •• :. .
Я	6	2 S ,2	6
делением на о, полагая — =	^==^₽аг у =

приведем к виду
а3' 6»"гс2
0.
(*)
а, Ь, с называются полуосями эллипсоида и представляют
собой отрезки, отсекаемые
на осях координат поверх-
ностью эллипсоида.
Из уравнения (*) видно,
что координатные плоско-
сти являются плоскостями
симметрии эллипсоида, а на-
чало координат—центром
симметрии.
Подобно тому, как эллипс
получается , равномерным
сжатием из окружности,
любой эллипсоид получается
равномерным сжатием из
сферы относительно двух перпендикулярных плоскостей.
Именно, если a—ббльшая из полуосей эллипсоида, то он
может быть получен из сферы
а2 -Г аа t a2
равномерным сжатием ее относительно плоскости ху с коэф-
фициентом сжатия и относительно плоскости xz с коэф1*
J	Ь
фициентом сжатия	7
Если две полуоси эллипсоида равны, Например a
: то рц называется . эллипсоидом вращения ;...	" • .	"
«»2	»2
т + ^ + ^5— t = 0i ’
а* ' as 1 с*.
1=0
118
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
{гл. VH
Пересекая его любой плоскостью я = параллельной плос-
кости ху, получаем окружность
х24-у = 1—
е центром на оси я. Таким образом, в этом случае эллип-
Рис. 73.
но, она — эллипс.
соид образуется при вращении
эллипса ,
лежащего в плоскости xz, около
оси z (рис. 73).
Если все три полуоси эллипсо-
ида равны, то он представляет
собой сферу.
Линия пересечения эллипсоида
с произвольной плоскостью пред-
ставляет собой эллипс.
Действительно, эта линия
представляет собой кривую вто-
рого порядка. Так как эта линия
конечна (эллипсоид конечен), то она не может быть ни
гиперболой, ни параболой, ни парой прямых, а следователь*
Упражнения
I.	Эллипсоид вращения
если а < с, представляет собой геометрическое место точек, сумма
расстояний которых от Двух данных точек—фокусов-гйострЯнна.
Найти фокусы эллипсоида.
2.	Пусть имеем эллипсоид	ь
ax2 + fc/2+T*2-H = 0-
Показать/ что если поверхность
распадается на пару плоскостей, то эти плоскости пересекают эллйп*
соид по окружностям. Обосновать на ' эТом способ разыскания
круговых сечений эллипсоида.
ГИПЕРБОЛОИДЫ
119
3.	Где расположены точки пространства, для которых
4+£+£!_1<о.
а2 1 Ь2 с2
4» Показать, что эллипсоид
допускает задание уравнениями в параметрической фо-рме!
х в a cos и cos v, у = b cos и sin v, z*=c sinи.
5. Что представляет собой поверхность •
(«1Х 4- b±y+qz)a+(а2х + b2y + c2z)2 + (а2х + b2y + c3z)2 = 1,
если •
ai bi С}
а2 Ь2 с2 0.
Ь% £з
6. Найти уравнение кривой на плоскости ху, ограничивающей
область, в которую эллипсоид
at*b2'c2
проектируется пучком прямых, параллельных
* У *	/	/ АЧ
r-~=v (v^O).
§ 4. Гиперболоиды
Подобно тому как в случае эллипсоида уравнение гипер-
болоидов можно привести к виду
+	—4 “ 0 (однополостный гиперболоид, рцс. 74),
55 + 55—~$+1=0 (двуполостный гиперболоид, рис. 75).
Оба гиперболоида имеют координатные плоскости плос-
костями симметрии^ начало координат—центром симметрии.
Если полуоси а и b гиперболоида равны, то он назы-
вается гиперболоидом вращения и получается вращением
около оси я гиперболы
120	ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА	[гл. VII
Л,	!М.-ЯЛ	>. .:•=	> .Л >i	• i ‘	; _ * •* - ♦ « •	•
в случае'одвеполостного гиперболоида и гиперболы
в случае двуполостного гиперболоида.
• : Общий гиперболоид {a =/=&) может быть получен из ги-
перболоида вращения (а = Ь) равномерным сжатием (или
растяжением) относительно плоскости xz в отношении ~ :
При пересечении гиперболоидов произвольной плоскостью
могут получаться различные конические сечения. Например,
плоскости гг — А, параллельные плоскости ху, пересекают
однополостный гиперболоид
х2 . У z2
по эллипсам
а2*Ь* с2 1	°, Z — ft,
а плоскости у = А ([ А | ft), параллельные дар^скости по
гиперболам:	ч
. ft? л <
5» с» + — О’ У —
2*
§ 5]	ПАРАБОЛОИДЫ	121
, ;V'’’	*.'►.! * !	' •< ;	: 7'j-J	(; A; f
Плоскость у = b пересекает гиперболоид по двум прямым:
Упражнения
1.	Составить уравнение гиперболоида, который образуется при
вращении, прямой	.
х = а, Хх + pz = О
ОКОЛО ОСИ 2.	,	.	•
2.	Найти круговые сечения гиперболоида
(см. упр. 2 § 3).
3.	Показать, что через каждую точку пространства, не принад-
лежащую координатным плоскостям, проходит три поверхности се-
мейства	х.
"ч	у2	|>2	у 2
х . -]—I— j—-—=1
(X—параметр семейства)—эллипсоид, однополостный гиперболоид
и двуполостный гиперболоид.
§ 5. Параболоиды
Уравнения параболоидов приводятся к виду
(эллиптический параболоид, рис. 76),
j^2	£i2	„
z=~2—(гиперболический параболоид, рис. 77).
Плоскости xz и yz являются плоскостями симметрии
параболоидов. Их пересечение (ось z) называется осью па-
раболоида, а пересечение оси с поверхностью параболо-
ида— вершиной.
При а~Ь эллиптический параболоид называется пара-
болоидом вращения. Он получается при вращении параболы
х2 п
около ОСИ Z.
Общий эллиптический параболоид можно получить из
параболоида вращений	л	7
х2 , «2
-	.	?“в»+в« ’А '
122
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VII
равномерным сжатием (растяжением) относительно плоскос-
ти xz.
Обз параболоида * (эллиптический и гиперболический)
плоскостями, параллельными координатным плоскостям xz
и yz, пересекаются по равным, параллельно расположенным
параболам. Действительно, плоскости, х = Л пересекают
эллиптический параболоид по параболам
*	д2~ ^2 >
Если каждую из этих парабол сдви-
h*
нуть в направлении z на отрезок то по-
ручим одну и ту же параболу
t/2	•
z-p, x=h-
Отсюда следует, что эллиптический параболоид образу-
и2	»
ется при параллельном сдвиге параболы z = , х == 0, ког-
да ее вершина движется вдоль параболы z = ^t ^ = 0
(рис. 78). . t .	.
Аналогично образуется гиперболический параболоид
(рис. 79>
§ 6]
КОНУС И ЦИЛИНДРЫ
123
Плоскости, параллельные плоскости ху, кроме самой
плоскости ху, пересекают эллиптический параболоид по
Рис. 79.
эллипсам, а гиперболический—по гиперболам. Плоскость ху
пересекает гиперболический параболоид по двум прямым.
Упражнения
1.	Показать, что эллиптический параболоид вращения пред-
ставляет собой геометрическое место точек, равно удаленных от
некоторой плоскости и точки (фокуса). Найти фокус эллипсоида
2.	Показать, что никакая плоскость не пересекает эллиптиче-
ский параболоид по гиперболам, а гиперболический параболоид по
эллипсам..	,	,
§ б. Конус и цилиндры
Уравнение конуса и цилиндров второго порядка можно
записать в форме
«2	!
55 = °- (конус, рис. 80), ;	: ; /
• ’ х2 и2	'
+	==0 (цилиндр эллиптический, рис, 81),/
• <
^5——1 = 0 (цилиндр гиперболический, рис. 82),
х2
—pz — 0 (цилиндр параболический, рис. 83).
Общий конус получается из кругового конуса
о2 1 а2 с2
равномерным сжатием (растяжением) относительно ПЛОСКОС-
ТИ ЛЯ.
[гл. VH
124	ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Цилиндры эллиптический, гиперболический, параболиче-
ХУ пр элдипсу, гиперболе, па-
раболе и образуются прямыми, параллельными .реи пере-
секающими указанные кривые.
Общий эллиптический цилиндр
получается из кругового
:0
равномерным сжатием (растяжением) относительно плоскос-
ти xz. ,	• ... .;	./
§ 61
КОНУС И ЦИЛИНДРЫ
126
В заключение заметим, что с однополостным и * двупо-
лостным гиперболоидами
естественным образом связан конус
1 Ь2 С2—\	‘
который называется асимптотическим конусом. :
Каждая плоскость, проходящая через ось,z, пересекает
гиперболоиды-по гиперболам, а конус по двум образующим,
которые является асимптотами этих гипербол. В частности,
например, плоскость xz (у = 0) пересекает \гиперболоиды
по гиперболам	/ \ \
а конус по двум прямым
у2 у2
_____________________________
fl2 С2
которые являются асимптотами этих гипербол.
Упражнения	;
1. Показать, -что уравнение кругового конуса с ^ершиной в
начале координат^ осью
.	X р, v
и углом при вершине 2а можно записать в виде 	<&
j (Xx+tiy + vz)»*	g -
+ + + '
2. Показать, что уравнение кругового цилиндра с осью
X р v
и радиусом R можно записать в виде
Х2 t у2 _L г2 _ £2 __ (^ + РУ + vz)a
126
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VII
§ 7. Прямолинейные образующие на поверхностях
второго порядка
Конус и цилиндры являются не единственными поверх-
ностями второго порядка, содержащими прямолинейные об-
разующие. Оказывается, этим свойством обладают также
однополостный\гиперболоид и гиперболический параболоид.
Действительно, каждая прямая g^, задаваемая уравнен
ниями
лежит на гиперболическом параболоиде*
__х* у2
(**)
так как каждая точка (х, у, г), удовлетворяющая уравне-
ниям (#), удовлетворяет уравнению (**)., которое из них
получается как следствие почленным перемножением.
Помимо указанного семейства g^ на гиперболическом
параболоиде располагается еще одно семейство прямых gK\
Аналогично показывается, что на однополостном гипер-
болоиде
а2^Ь2 с* 1	"
располагаются два семейства прямолинейных образующих—
• л- “Т-Ц1- * 7+^_tv+*J’
а с \ ‘ b / ’ а ’ с \ b)
В обоих случаях (гиперболического параболоида и одно-
подостного гиперболоида) прямолинейные образующие од-
ного семейства не пересекаются, а прямолинейные образую-
щие разных семейств пересекаются.
Наличие прямолинейных образующих на гиперболическом
параболоиде и однополостном гиперболоиде позволяет
дать новый способ образования этих поверхностей. Именно,
§ 7]	ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ	127
возьмем три прямолинейные образующие одного семейства —
Л» ft» ft- Тогда каждая прямолинейная образующая g второго
семейства пересекает glb g2, g3.
Следовательно, поверхность обра-
зуется прямыми g, пересекающими
три данные (рис. 84).
Рис. 65.
Что касается однополостного гиперболоида вращения,
то он образуется также вращением любой его прямоли-
нейной образующей около оси поверхности (рис. 85).
В заключение заметим, что прямолинейные образующие
есть и на ^других поверхностях второго порядка, только
мнимые. Например, на эллипсоиде
+ с* 1 7~"
располагаются два семейства мнимых прямых—	* г
«т+'ННУт-'НН),
...
Упражнения
1.	Показать, что плоскость
'	ХХ» УУ»  г + г« А
а* Ь2 2
проходящая через точку (*0, р0, 20) гиперболического параболоида
«2 U’
пересекает гиперболоид но двум прямолинейным образующим. раз-
ных семейств»	.
128
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. VII
2.	Найти прямолинейные образующие гиперболического пара-
болоида г = аху.
3.	Составить уравнение поверхности, образованной прямыми,
параллельными плоскости xz, пересекающими две данные скрещи-
вающиеся прямые.	.
§ 8. Диаметры и диаметральные плоскости
поверхности второго порядка
4 Прямая пересекается с поверхностью второго ’цррядкд,
как правило, в двух точках. Если точек пересечения две,
то отрезок прямой с концами в точках пересечения назы-
вается хордой
Средины параллельных хорд поверхности второго по-
рядка лежат в плоскости (диаметральной плоскости).
Докажем это. Как показано в § 1, существует система
координат, в которой уравнение поверхности имеет вид
аих2 + а^у* -Ь а33г* + 2агх + 2а%у + 2a3zr 4- a =^Q.	(*)
Пусть хорды параллельны прямой у = — ~. Обозначим х,
у, z координаты середины произвольной хорды. Тогда координа-
ты концов хорды можно записать в виде X —х-}-Х/,
==у + рЛ z = Z + у/ для одного конца и х = х—М, у — у — pf,
z = z—vt для другого конца.
Так как концы хорды принадлежат поверхности, то их
координаты удовлетворяют уравнению (*). Отсюда
аих2 + а22>2 + W2 + 2ахх + 2а2у + 2а35 + а +
t	-ь 2t (kaux + ца22у + va3Sz + la, + ца2 vas) +
+t2 (auX2 + a22[x2 4- a88v2) = 0.
Поскольку Это равенство имеет место независимо от того,
с каким знаком (+ или —) берется /, то коэффициент при t
равен нулю:
К (аих + aj + |Х (a22J + a2) 4- v (a^z + a8) = 0.	(*#)
Таким образом, координаты средин хорд удовлетворяю!* урав-
нению плоскости, что и требовалось доказать.
Очевидно, если поверхность имеет центр, то диаметраль-
ная плоскость проходит через центр.
В сЛучаё параболоида (а33 = 0) все диаметральные пло-
скости параллельны оси параболоида (оса z).-
§ 8]	ДИАМЕТРЫ И ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ	129
х Эллиптический (гиперболический) цилиндр имеет бесчи-
сленное множество центров, расположенных на оси цилиндра.
Поэтому каждая диаметральная плоскость цилиндра прохо-
дит через его ось. Это обстоятельство отражено и в урав-
нении диаметральных плоскостей. В случае параболического
цилиндра все диаметральные плоскости параллельны.
Диаметральные плоскости конуса проходят через его
вершину.
Имеет место следующее общее свойство диаметральных
плоскостей, диаметральные плоскости, соответствующие хор-
дам, параллельным плоскости а, либо пересекаются по некото-
рой прямой g, либо параллельны. Диаметральная плоскость,
соответствующая хордам, параллельным g, параллельна а.
Докажем это. Пусть е(Х, р, у) и е' (X', р', у')—отличные
от нуля, не параллельные векторы в плоскости а. Тогда
любой вектор в этой плоскости можно представить в виде
'е>(£Х-НГ^\ gp + g'p',	+ £'<). Диаметральная плоскость,
соответствующая хордам, параллельным5 вектору будет
& {X (а1гх 4- aj 4- у (а22у 4- р3) 4- v (a^z + а3)} 4-
+ В' {V (апх+ а2) 4- р.' (а22у 4- at) + v' (a^z 4- а3)} = О
и, следовательно, при любых проходит через прямую
пересечения плоскостей
A;(aii* + ai)4-H(W + a2) + v(a3a-8r-Fa3)-0.
Х'(аих4-а1) 4-у' (a2iy + a2) + v'(a^z + a^ b, J  '
если они пересекаются, и параллельна им, если плоскости па-
раллельны. Пусть плоскости (***) пересекаются и (X", р", v")—
вектор, параллельный йрямой пересечения. Тогда
• X"Xa1i4^-|iJ'na32 4-v"vd3j; = 01 1
X"X'a114;i**H'aM+vVa8, = 0 J '****’
(параллельность вектора (X", р", v") плоскостям (***)).
Диаметральная плоскость, соответствующая хордам, па*
раллельным вектору (X", р", v"), будет
X" (ЯцХ + at) + р" (а22у + а2) + у" (a33z + а3) = 0.
Из условий (****) следует, что эта плоскость парал-
лельна векторам е(Х, р, v), в'(X', р', v') и, следовательно,
параллельна содержащей их плоскости а.
5 А. В. Погорелов
Глава VIII,
ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА, ЗАДАННЫХ
УРАВНЕНИЯМИ ОБЩЕГО ВИДА
§ 1. Преобразование квадратичной формы
к новым переменным
Квадратичной формой переменных xlt х2, .. хп назы-
вается однородный многочлен второй степени относительно
этих переменных ; :

Дискриминантом формы называется определитель, состав-
ленный из её5 коэффициентов а^:	
D
 а11 й12
я21 а22
а1п
<*2п
“nl &п2 • • • &пп
Сделаем замену : переменных в квадратичной форме по
формулам
Хг = «11*1 + «12*2 + . . . + «1Л,
*2 = а21хх + а22х; + ... + «2д*л»
ХП = «П1*1 + «Я2*2 + • • • + а„Л.
При этом мы получим квадратичную форму относительно
переменных х\. Именно:
У а{,Х:Х~У} ап /У «ИЛА /У а^х'Л =
2	x'kxi = ак1х^си
где

§ П	ПРЕОГПЛЗОП.\НИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ	131
Выясним, чему равен дискриминант D' полученной формы.
Положим
<*)'
Тогда
и следовательно,
3
1 • D' ==
Ли, ... а1п
1 • • • •’ •
.« апп
&п ... Ь1п
• • • * •
&Л1 . • • Ьпп
а11 * • 4 а1п *
«л1 .. • ипп
Но, согласно формулам (*),
^11 • • • \п
«и -• • aLn
«м
«1л
^«1 * • • ^fin
Таким образом,
<1	<*п*	«л! •
«лл
«11 • • • «1л
D^D
• • • «лл
т. е. дискриминант преобразованной формы равен дискрими
нанту исходной формы, умноженному на квадрат детерми
нанта преобразования.
Упражнения
1.	Показать, что дискриминант квадратичной формы
(а^ 4- a2x2 + a3x3 + a4r4) \brxt+b2x2 + 63x3+64x4)
равен нулю.
2.	Вычислить дискриминант формы переменных хи х2, х3, х4
5*
132
ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. VIII
§ 2. Инварианты уравнения кривой и поверхности
второго порядка относительно преобразования
координат
Пусть мы имеем уравнение поверхности второго порядка
#их2 + 2а12ху+...+ #44 = 0	(*)
в какой-нибудь системе прямоугольных декартовых коорди-
нат. Уравнение этой поверхности в любой другой системе
прямоугольных декартовых координат х'у'г' получается из
уравнения (*), если в него вместо х, у, z подставить их
выражения через х', у', z’ согласно формулам § 4 гл. V:.
х = аих' + а12у' + a13z' + ап
у = а21х' +<х2ау' + а23У + а2,
= а31х' + а32у' + a33z' + а3.
При"этом уравнение йоверхности будет
а'нх'2 +2а12х'у' + ... + а44 = 0.
Функция <p(au, #i2, ..., #44), не являющаяся константой,
называется инвариантом уравнения Поверхности относительно
преобразования координат, если ее значения не зависят от
системы координат, к которой отнесена поверхность, т. е.,
если какова бы ни была система координат x'y'z',
ф (#11, #12, • • •> #44)= ф (#Ц, #12, •••» #«)•
Сейчас мы найдем один из основных инвариантов урав-
нения поверхности.
Будем рассматривать наряду с переходом к новой системе
координат x'y’z' преобразование квадратичной формы 1 [
#iiX?+/#22xt + #33x| + 2ai2XiX2 + 2#23x2x37P	г
+ 2asixsxl—k(xl+xl + xl)
к новым переменным x'n x2i х'3 по формулам
= а1Л + «12^2 +
Х2 = Ct2iXj -|- (Х-22-^2 4" ^23^3,	*	(**)
Х3 = CI31X1 -(- СЬз2-^2 4" ^ЗЗ^З* ,
Первая часть формы до члена А (х? + х$ 4-х|) при таком
преобразовании примет вид
#цХ2 “|— #22^2 4~ #33^'3 “Н 2^12X1X2 “J” 2С23Х2Х	2^ZgjXgXi,
§ 2]	, ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ И ПОВЕРХНОСТИ
133
причем коэффициенты а'[}- будут те же, что и в уравнении
поверхности после перехода к системе координат x'y'z'. Что
касается слагаемого формы X +	+ то оно перейдет
в X (х/	+Хд2) в силу условий ортогональности, кото-
рым удовлетворяют коэффициенты а,у (§ 4 гл. V).
Так как детерминант преобразования (#*) равен ± 1, то
дискриминанты форм до и после преобразования равны. Сле-.
довательно,
#и —X я12	#1з
#21	#22	#23
#31	#23	#33
/(*)=
является инвариантом уравнения поверхности при любом X.)
Детерминант /(X) представляет собой многочлен относи-)
тельно X:
/(Х)== —Х3+-Х2Л—X/a-R73,
где
4 “ а11 + а22 4" #33»
/2
а11 #12
#21 а22
#22 #23
: л •
#32 #33
#11 #12 #13
#21 #22 #23
#31 #3^ #33
а32 #31
#13 #11
3
Так как для двух различных систем координат xyz и x’y’z
—х3+/гх2—/2х+/3 =»—х3+/;х2 - /;х+/'
для всех X, то ZL
/2, /3 суть инварианты уравнения
Покажем теперь, что
4 —
= 4, /3=^/3, М, следовательно, /ь]
поверхности.
#11 #12
#21 #22
#31 #32
#41 #42
#13
#23
#33
#43
#14
#24
#34
#44
тоже является инвариантом.
“Детерминант /4 представляет собой дискриминант квад-
ратичной формы
#11Х1 + 2#12-^1^2 + • • • + #44Х4-
134	ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. VII!
Перейдем в этой форме к новым переменным x't по формулам
*i = апх; 4- а12х; 4- а13х' 4-«i**4, '
*2 = «21*1 4* «22*2 4" «2з*з 4~ aitxlt
* 1 • 1 ' , / (***)
*3 = a3i*i 4-а82*2 4-а8з*з 4-«34**,
х4 = 0-xi 4-0-xj4-0-Хз4-1
При этом получим форму
«ii*i1 2+2a;x*i 4-....+«***?,
где а'ц те же, что и в преобразованном уравнении поверхности.
Так как детерминант преобразования (***), равный де-
терминанту преобразования («*), равен ± 1, то дискриминанты
исходной и преобразованной формы равны, т. е.
а11 • • • °14 аи • • ♦ а14	. =\
, *	#41 • • • а44	‘ а41 • • • а44	р
И детерминант /4 действительно является инвариантом урав-
нения поверхности.	* 1
Дословно такими же рассуждениями для уравнения кривой
второго порядка
«п*д 4-2axixy.4- a2,y2 4- 2e13x 4- 2а33у 4- а33 = 0
Относительно преобразования координат получаются инва-
рианты
/(А) =	а21	« 1 го	со СО	>		
Л ^11 “Ь ^22>	сз	со 1-1	со W	СО О Q	> 4 ~	а11 #21 Й31	#12 а22 а32	°13 а23 азз
Упражнения
1. Вычислить инварианты уравнения поверхности
ах2 + 2Ьху+су2 + 2ах + 2(3 у 2yz + д = 0.
2. Вычислить инварианты уравнения поверхности
x^4-i/2-|-z2 — k2 (ax + bt/+cz)2 — 0.
§ 3J	ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА	135
§ 3. Исследование кривой второго порядка
по ее уравнению в произвольных координатах
Пусть дана кривая второго порядка в произвольных де-
картовых координатах xyz\
au№ 4- 2а12ху + а22у2 + 2а13х -f- 2ааау + а33= 0.
В § 8 гл. III мы показали, что переходом к некоторой
новой системе координат уравнение кривой можно привести
к. ВИДУ -  ’
ах2 + Ру2 + ах 4- Ьу + с = 0.
Не находя самой системы координат, мы можем просто
найти коэффициенты а и Р с помощью инварианта /(X).
Действительно,
Отсюда видно, что а и р корни уравнения = т.е.
уравнения
А2-/Д + /2-0.
Допустим, оба корня оказались отличными от нуля (это
будет, если /2=/х0). Тота, как показано в том же § 8 гл. III,
уравнение кривой можно сдвигом системы координат приве-
сти к виду
ах2 + Ру2 + у — 0.
Нетрудно найти коэффициент у, используя инвариант /3.
Имеем
Отсюда
«00		а11 й12 а13
0 р 0	4 —	Л21 Й22 ^23
0 0 y		а81 а32 а33
Итак, если ^#=0, то уравнение кривой в соответствую-
щей системе координат примет вид
*2
136	ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ. И ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. VIH
где и А2 — корни уравнения
Допустим теперь, что один из корней уравнения /(А)
равен нулю (это будет, если */2 = 0). Тогда один из коэф-
фициентов а или р равен нулю; пусть для определенности
а = 0. В этом случае, как показано в § 4 гл. Ill, кривая
в соответствующих координатах задается уравнением
₽>2 + 2?^ = 0,
или
[Зу2 + 6 = 0*
именно, первым уравнением, если /3 + 0, и вторым уравне1
нием, если /3 = 0.
Пусть /3+=0и, следовательно, кривая задается уравне-
нием •  >	' •
Р>2 + 2ух = 0.
Из уравнения
' ^-/^4-4=0 .
при /2 = 0 находим (J = у находим, используя инвариант /3’
Именно:
Отсюда
Итак, в случае /2=0, /3=#0 кривая в соответствующих
координатах задается уравнением
ЬУ2 + 2х 12 = 0.
Рассмотрим, наконец, случай, когда Z2 = /3=j). Изменим
коэффициенты уравнения кривой на малые величины eZy..
Можно так распоряжаться добавками ezy, что /2 будет от-
лично от нуля и уравнение кривой может 15ыть приведено
к виду
V2 + A,/ + = 0.	(*)
ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
137
§ 3]
А теперь перейдем к пределу при е/у- —► 0. Тогда уравнение (х)
перейдет в каноническое уравнение исходной кривой.
Пример. Пусть/2=0,/3 = 0, а22=0=О. Положим, еп —
а все остальные равны нулю. Тогда, переходя к пределу
в уравнении (*), получим
Л22 Л23
/Х2+ „°32..g38_ = 0
1	1	а22
В заключение заметим, что обращение инварианта /3
в нуль есть необходимое и достаточное условие распадения
кривой второго порядка на пару прямых. Чтобы в этом убе-
диться, достаточно вычислить /3 для канонических форм у рае-,
нений кривых.	;
Упражнения
1.	Какому условию должно удовлетворять X, чтобы кривая вто-
рого порядка
(ацХ2 + 2а12ху+• • • + азз) + (^i i*2 + 2b13xy + •••+ &зз) ~
распадалась на пару прямых. Показать, что прямые, на которые
распадается эта кривая, проходят через точки пересечения кривы#
ПцХ2 + 2а12ху +... + а33 = 0,	+ 2Ь12ху +... + Ь33 = 0.	;
2.	Уравнение четвертой степени ।
«о*4+л 1*3 + й2х2 + а3х + а4 = 0
эквивалентно системе
W2 + «1^ + «2^2 +	+ «4 = о>
у—х2 = 0.
Свести решение уравнения четвертой степени к решению уравнения
третьей степени и квадратного (см. упр. 1).
3.	Уравнение гиперболы, отнесенной к центру и одной из асимп-
тот, имеет вид
6
у = ах + ~.
Выразить аир через коэффициенты уравнения гиперболы в произ-
вольных координатах.
4.	Если за оси координат принять равные перпендикулярные
диаметры эллипса, то его уравнение примет вид
х2 + у2 + 2аху 6 = 0.
Найти а и б, располагая уравнением эллипса в произвольных ко-
ординатах.
138	ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ (ГЛ. VIII
§ 4. Исследование поверхности второго порядка,
заданной уравнением в произвольных координатах ,
Пусть поверхность второго порядка задана уравнением
в произвольной системе прямоугольных координат xyz
аих24-2аиху+>.-. . + а44 = 0.
Как показано в § 1гл. VII, переходом к новой системе
координат уравнение поверхности может быть приведено
к виду
ах2 + ру2 + yz2 + ax + by + cz -^\d = 0.
Используя инвариант f(ft), получаем
	а — Л 0	0	
/(Х) =	о р—X 0	
	0	0 у—X	
Таким образом, a, р, у суть корни уравнения /(ft) = 0.
Допустим, все корни отличны от нуля (/3=^=0). В этом
случае, как известно (§ 1 гл. VII), переходом к новым ко-
ординатам уравнение приводится к виду.
ах2 4~ Ру2 + У?2 4- б ±=г 0.
Коэффициент б находим, используя инвариант /4. Именно:
Отсюда
Итак, в случае /3=И=0 переходом к некоторой новой си-
стеме координат уравнение приводится к виду
Va+^+M*+T-=o,
. *3
где ftr, ftp ft3 — корнй уравнения /(ft)==0.
Допустим теперь, что один из корней уравнения Z(ft) = 0
равен нулю, а два других отличны от нуля. Это 6yaet, если
= —а₽р2=/4,
§ 41 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
/3 = 0, но /2=/=0. Тогда переходом к новым координатам
(§ 1 гл. VII) уравнение поверхности приводится к одной ?э
форм:	•<' - •	” z ;
ах2 fly2 + 2pz = О,
ах24-ру2 + 6 = 0.
Первая из них соответствует случаю /4=/=0, а вторая—
случаю /4 = 0.
В первом случае коэффициент р находим, используя
инвариант /4.
а О О О
О Д О О
О 0 0 р
О 0 р о
и уравнение поверхности будет	•
Ххх2 + ^У2 + ?	-р z О,
В случае /4 = 0 изменим коэффициент^ уравнения поверх-
ности на величины е/7 так, чтобы	Тогда переходом
к соответствующей системе координат уравнение приводится
К виду	s
XjX2 -f- ^У2 + М2 “Ь -р = 0.
'3
Производя теперь предельный переход при Е/у-—>0, получим
каноническую форму уравнения нашей поверхности.
Пример. Пусть /3==/4 = 0, но
au a12
#21 a22
¥=0.
Положим, е33 = /, а остальные ezy равны нулю. Тогда
h (6
/з(0^
а1Х fl12 aU
«21 д22 ^4
Дд1 Д42
j«li «121 *
1«21 «2 2 |
140	' ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ. УШ
Каноническая форма уравнения поверхности:
	ап а12 «14 «21 «22 «24 «41 «42 «44	- — 0
	I а11 «12 1 1 «21 «22 1	
Наконец, в случае, если два корня уравнения /(X) равны
нулю, уравнение поверхности приводится к одной из форм:
ах2 + 2р.г==0 или ах2 4-6 = 0.
Коэффициенты*р и 6 находятся путем варьирования коэф-
фициентов уравнения поверхности подобно тому, как в только
что рассмотренном случае. Мы не будем приводить этого
исследования.
Упражнения
1. Найти каноническую форму уравнения поверхности
(ах 4- by 4- cz 4- d) (а±х + у 4- ctz+dt) == 0.
2. Показать, что если /4 = 0, то поверхность представляет либо
конус, либо цилиндр, либо распадается на пару плоскостей. 1 •
V, 3. Показать, что если /4=0 и /^ = 0, то поверхность распадается
на пару плоскостей.
, 4. Определить коэффициенты р и 6 в каноническом уравнении
поверхности в случае /2 =/3=74=0.	«
§ 5. Диаметры кривой, диаметральные плоскости
поверхности. Центр кривой и поверхности
Пусть поверхность второго порядка задана уравнением
в произвольной декартовой прямоугольной системе координат
аах2 + 2а1гху + ... + а44 = 0.	(*)
Для краткости записи в последующих выкладках введем
следующие обозначения:
2F=апх2 4- 2а12ху + ... + а44,
Fx ?= aux + W + а1зг + аи>
Fy = а21х 4- агзу 4- а28г + аа<
Fz = a31x-l-a32y + a33z + a3l.
§ 5]	ДИАМЕТРЫ, ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ	141
Мы уже знаем (§ 8 гл. VII), что середины хорд данного
направления X: |л:V, т. е. параллельных прямой
A = X==_L	*
X ц v ’
лежат в диаметральной плоскости. Составим ее уравнение,
если поверхность задана уравнением (*).
Пусть (х, y.z) — середина произвольной хорды. Коорди-
наты концов хорды можно записать в виде
x^x-j-Xf, уг=у + Х/,	= +
х2 = х—X/, у2—у — X/,	= —X/.
Подставляя эти координаты в уравнение поверхности (*),
получаем
2F(x, у, z)±
± 2/ (kFx (х, у, z) + pFy (х, у, z) -|- vFz (х, у, z)) +
+	(«хЛ2 + а22Н2 + «33V2 + 2«13^ + 2«23H'V + 2«31VM = °-
Из этого равенства следует, что коэффициент при t должен
быть равен нулю:
№х + nFy+vF., — 0.	(«*)
Это и есть уравнение диаметральной плоскости, соответст*
в у ю щей хордам данного направления X:|i:v.
Если поверхность имеет центр, то каждая диаметральная
плоскость проходит через центр. Следовательно, центр
поверхности определяется уравнениями :
^ = 0, ^ = 0,	=	(«**)
Для кривых второго порядка можно провести совершенно
аналогичное рассмотрение. Приведем окончательный резуль-
тат.
Пусть кривая задана уравнением
2Ф = апх2 + Ъа^ху + а^уг + 2а13х + 2a23j + а33 — 0.
Положим
®x=«ll^+«12j + «13»
Ф»=«21*+а22Л-«23-
142	ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ [ГЛ УГН
Тогда диаметр, соответствующий хордам направления
ft:p,, т.е. параллельным прямой .
А = И
X р ’
задается уравнением
ХФх4-рФу = 0.
Центр кривой (если кривая имеет центр) определяется из
системы уравнений
Фх = 0, Фу = 0.
Упражнения
1. Показать, что если начало координат перенести В центр кри-
вой второго порядка
011*2 4* 2оа гху+а^у*+2а13х+2а^у+а33 =
го уравнение кривой примет вид
+2а^ху 4- а22у2+•!*- =0.
2. Показать, что если-начало координат перенести в центр по-
верхности второго порядка	. z -у?
апх2+2о12^4-. .’.+а44^0,
ГО уравнение поверхности примет вид
оих2 + o22i/2 4- a33z*+2а12ху 4- 2a23yz 4- 2a31zx 4- Д == 0.
§ 6. Оси симметрии кривой. Плоскости
симметрии поверхности
Определим плоскости симметрии поверхности, заданной
уравнением в произвольных координатах.
Пусть ft: р :v — направление, перпендикулярное плоскости
симметрии. Так как средины хорд направления X:p:v лежат
в плоскости симметрии, то плоскость симметрии задается
уравнением
^ + ^/+vF, = 0.	(*)
Так как направление X:p:v перпендикулярно плоскости
(«), то
ацК4‘Д1й1* + Qri3v °2 А + Я22Р 4- а2 3V аз1^ 4" ^згИ 4“лзз^
 ft 	> Г	v	*
§ 6]
ОСИ И ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ
143
Определив из этой системы уравнений X:|i:v и подста-
вив в уравнение (*), получим уравнение плоскости симметрии
поверхности. *
Чтобы упростить отыскание X:jx:v из системы (**),
обозначим g общее значение трех отношений (**). Тогда
получим эквивалентную систему
(«n~’^)^ + «i2lx + ai3v = 0, '
«2А + 0*22 — В) И + 023V =	’
«зЛ+«32Н+Кз^^ v = 0.
(***)
Так как 1, |х, v не все равны нулю, то
	#12	«13	
	/*22	?	«23	
Л31	а32	«зз 1	
Определяя отсюда £ и подставляя его в систему (***),.
находим из нее
^Умея наводить плоскости симметрии поверхности,; не-
трудно найти систему координат, в которой, уравнение поверх-
ности имеет каноническую форму.
Приведем пример.
Пусть в результате исследования инвариантов поверхно-
сти оказалось, что она эллипсоид. Тогда ее каноническое
уравнение будет
м2+м2+м2+4=о.
Мы видим, что координатные плоскости являются плоско-
стями симметрии поверхности.
Если корни |х, £2, £з уравнения /(g) все различны, то эти
плоскости определяются однозначно указанным способом.
Если же среди корней есть равные, то этот способ не дает
однозначного, решения (случай поверхности вращения). И к
тому требованию, что координатные плоскости должны быть
плоскостями симметрии, надо присоединить требование пер-
пендикулярности.
Рассмотрим еще пример. Пусть поверхность является
гиперболическим параболоидом. В этом случае есть две н
только аве плоскости симметрии. Они являются координат-
ными плоскостями. Начало координат находится в точке
144 ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ Я ПОВЕРХНОСТЕЙ	(ГЛ. VIII
пересечения оси гиперболоида (прямой пересечения плоско-
стей симметрии) с поверхностью.
Соответствующее рассмотрение для кривых второго по-
рядка приводит к выводу:
Оси симметрии кривой второго порядка задаются урав-
нениями
АФХ Ц-рфу= 0.
Из системы
(аи —5)Х4-а12ц = О,
а2Д+(а22 —£)ц = 0,
где | — корень уравнения I(|) = 0, определяется
Система координат, в которой уравнение кривой прини-
мает каноническую форму, определяется из соображений,
. < аналогичных тем, которые выше применены для поверхно-
стей. 1 г
Упражнения
. 1. Найти ось кругового конуса
2. Найти вершину и ось. параболы
* (ах4-% + с)24-ах+₽(/+у=0.
3. Найти ось симметрии "кривой
х*+0* + (ах	£ у)2 + *1 х++Yt == 0.
§ 7. Асимптоты гйперболы. Асимптотический
конус гиперболоида
Пусть гипербола задана уравнением в произвольных коор-
динатах ху:
2Ф = aux2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a28y + a33 = 0.	(*)
Найдем уравнение ее асимптот.
Перейдем к системе координат х'у', в которой уравнение
гиперболы имеет каноническую форму:
2Ф' = ах'2+ру'2 + у«0.
В этой системе координат, как мы знаем (§ 5 гл. IV), обе
асимптоты задаются уравнением
ax'24-fJy'2 = 0,
§8}	КАСАТЕЛЬНАЯ ’	?	- 145
I)
т.е.	<
2Ф'— y = 0.
Если теперь перейти снова к координатам ху, то для
гиперболы мы снова получим уравнение (*), а следовательно,
для ее асимптот уравнение
2Ф—у = 0.
Постоянная у, как известно (§ 3 гл. VIII), равна —.
Таким образом, уравнение > асимптот гиперболы, заданной
уравнением в общем виде, будет
2ф—4 = 0.
Проводя дословно такие же рассуждения для гиперболо-
ида (однополостного, двуполостного)
2F —	+ 2а12ху 4- ... + аи == 0,
находим уравнение его асимптотического конуса
2F—4 = 0.
/з
Упражнения
1, Найти асимптоты гиперболы
(ах+by-{- с) (а1х+= const.
. 2. Найти асимптоты гиперболы.
k(ax+by+c)i + n(a1x+b1y+cl)2=v	(Xpv<0).
§ 8. Касательная кривой. Касательная
плоскость поверхности
Пусть кривая второго порядка задана уравнением общего
вида
2Ф = апх2 4- 2а13ху 4-... + а33 = 0.
Составим уравнение ее касательной в произвольной
точке Ло (х0, у0).
146 ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ.И ПОВЕРХНОСТЕЙ	1ГЛ. VJH
Касательная к кривой по определению есть предел секу-
щей & когда точка К неограничен-
. - д но приближается к Ао (рис. 86).
лУ / 4 Пусть Д(х, у) — произвольная точ-
Г	iKa касательной. Обозначим А' (х\ у')
//С	'ближайшую кА точку секущей. Оче-
ВИДНО/ когда ЛГ->Д0, Д'->Д.
1 Координаты точки К через\ коор-
/f	I динаты До и Д'можно записать & виде
t	J	*о)>
Подставляя "координаты /точки \К
/ис. 86.	£ уравнение кривой, получим
2Ф|к=2Ф|„,-|-2/ {(х'~х0) Фх|л. + (У'~Jo) Ф/UJ
+/г{аи^'-^Хр)2 2аи (х —х,) (j —Jo) -f- a?a<j' — Jo)2) = 0,
где индекс До указывает на то, что в качестве х и у надо
взять координаты точки Д^. Так как точка До лежит на
кривой, то Ф|лв = 0. Поэтому равенство можно сократить ,
на /. Получим
2 (х’ - х0) Фх {х0, у0) + 2 (j' —_у0) Фу(х0, у0) +
+t {ац(х'—х0)2 + 2а12 (х'—х0) (j—Jo) + d22 (j' — J0)2} = 0.
Пусть теперь 7С->Д0. Тогда t -> 0, а Д'->Д (т. е.
ху'—>у), и мы получаем
(х—х0) Фх (х0, у^ + (J-Jo) Фу (х0, ^0) = 0.	(»)
Это уравнение линейно относительно х и у и поэтому
является уравнением некоторой прямой. Произвольная точка
Д касательной ему удовлетворяет. Следовательно, это —
уравнение касательной.
- Касательной плоскостью поверхности. в точке До мы
будем называть такую плоскость, в которой лежат каса-
тельные всех кривых на поверхности, выходящих из До
(рис. 87). Составим уравнение касательной плоскости в точке
Aq(xOi у0, z0) поверхности второго порядка: .
27г= а^х2 + 2а12ху + л,. -f- а44 == 0<
§ 8|	КАСАТЕЛЬНАЯ	147
Проведем произвольную плоскость о через точку До«
Она пересечет поверхность по кривой второго порядка
Проведем касательную кривой в точке 4о и обозначим
А (х, у, z) произвольную точку на этой касательной (рис. 88).
Возьмем точку К на близкую к Да, и проведем через
точки До, К секущую g. Пусть А' (х\ у\ z') — точка секу-
щей, ближайшая к А. Очевидно, при К—►Ла Д'—*Д.
Координаты точки К через координаты Ао ,и Д' можно
представить в виде
*№=*о + *(*'—*о)»
Ук-Уо+*(У'~У9),
zK=z0 + t(z' —z0).
Подставляя координаты К в уравнение поверхности, по-
лучим
2/7 U. + 2/ {(х' - х0) Fx |л, + (/ -ь) Ру U. +
+ (*' — z0) Fz |л J + Р {au fx'—х0)а +
4-2aK(x' — х0)(/ — Jo) + • • • + «зз U'— *o)2} = °-	(•)
Но 2/7(дв = 0, так как точка До на поверхности. Деля ра-
венство (*) на t и переходя к пределу при К -> До, получаем
(х—х0) Fx IА, 4- (У —Jo) Fy [л. + (z — z0) Fz |л„ = о.
Это уравнение линейно относительно х, у, z и поэтому
задает некоторую плоскость. Так как ему удовлетворяют
координаты любой точки Д, касательной в точке До,
какова бы ни была а, то оно представляет собой уравнение
касательной плоскости'поверхности в точке До.
14b	ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ	[ГЛ. VHT
Упражнения
1.	Показать, что касательная плоскость поверхности второго
порядка в точке Р параллельна диаметральной плоскости, соответ-
ствующей хордам, параллельным диаметру, проходящему через Р.
2.	Пусть 2Ф = а11ха4-2а12х£/+. . .4-а33==0—кривая второго
порядка, 40 (х0, #о)—точка вне этой кривой. Проведем через Ао
произвольную прямую g. Пусть А (х, у) — произвольная точка этой
прямой. Координаты любой точки В прямой g можно представить в
виде
*В=*о + * (*—*о). Ув = Уо + { (У—Уа>- 4
Значения параметра /, отвечающие точкам Вх и В2 пересечения
кривой 2Ф = 0 с прямой gt находятся из квадратного уравнения
2Ф(х0 + / (х—xj), Уо + Цу—Уо))=0.	(**)
Когда прямая g приближается к'касательной, корни уравнения (*»)
сливаются.
Составить, принимая во внимание указанное соображение,
уравнение пары касательных кривой второго порядка 2Ф = 0, исхо-
' дящих из точки Ао.
3.	Составить: уравнение конуса с вершиной Д0(х0, Уо, *о), ка'
сающегося поверхности второго порядка 2F = 0 (см. упр. 2).
4.	Составить! уравнение цилиндра с осью, параллельной прямой
'	21 = ^-==—
Л р v ’
описанного около поверхности второго порядка 2F=0.
5.	Показать, что геометрическое место вершин прямых трех-
гранных углов, грани которых касаются элмпсоида, есть сфера.
6.	Показать, что геометрическое место вершин, прямых трех-
<ранных углов, грани которых касаются эллиптического параболоида,
сть плоскость.
7.	Показать, что касательная плоскость однополостного гипер-
болоида и гиперболического параболоида пересекает поверхность по
двум прямым.
8.	Какому условию удовлетворяют коэффициенты уравнения
плоскости
цх4’^+^=1,
если эта плоскость касается эллипсоида
9.	Показать, что софокусные поверхности второго порядка
«3	,	!/2	, Z»
a2+X’rft2 + Xrc2+X“'
проходящие через точку (х0, t/0, z0), пересекаются в этой точке под
прямым углом. Предполагается, что точка не лежит ни в одной из
координатных плоскостей.
«
Глава IX
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
$
§ 1. Ортогональные преобразования
ортого*
Пусть произвольная фигура F движением или движе-
нием и зеркальным отражением переведена в некоторую
фигуру F'. Тогда говорят, что фигура F' получена орто- -
тональным преобразованием из F. Очевидно, при
*нальном преобразовании фигуры рас-
стояния между ее точками не изме-
няются.
Найдем формулы, устанавливаю-
щие связь между координатами произ-
вольной точки А (х, у, z) фигуры F и
соответствующей точки А' (х', у', У)
фигуры F'.
Представим себе, что система коор-
динат s(#, у, ^.жестко связана с
фигурой F. Тогда при ортогональном
преобразовании она перейдет в неко-
торую систему координат s', относительно которой коор-
динаты точки А' будут х, у, z (рис. 89). Таким образом,
задача состоит в том, чтобы выразить координаты точки Д'в
системе координата, если известны ее координаты в системе s'.
Как известно (§ 4 гл. V), связь между координатами
точки относительно двух декартовых прямоугольных систем
координат устанавливается формулами
х' = aux + avty + al1iz +
ali’ I
у’= а31х + а33у + a33z + ам,
z'= а31х + а32у + assz + aSi, ,
коэффициенты которых удовлетворяют условиям
Л11+ ^31 = 1> ^11^12	^21^22 “Ь й31^32 ”
#12 “Г #22 “Ь ^32 = 11 ^12^13 Н“ ^22^23 ~Ь ^32^33 =
#13 "Ь #23 4“ #33 = 1 > #13#11 + #23#21 ~Ь #33#31 == 0.
(*)
(**)
¥
150	ЛИНЕЙНЫ* ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	(ГЛ. IX
Отсюда, принимая во внимание вышеизложенное, заклю-
чаем, что любое ортогональное преобразование задается
формулами (*), коэффициенты которых удовлетворяют уело*
виям (##).
Покажем, чтб и обратно, всякое преобразование, зада-
ваемое формулами (*) при условиях (**) есть ортогональное
преобразование, т. е. преобразованная фигура получается
движением или движением и зеркальным отражением из
данной.
Пусть Аг(хъ ylt zj и Л2(х2, у2, z2)—две произвольные
точки фигуры F, X, z[) и Л'2(х2, y2i ^ — соответ-
ствующие точки фигуры F*. Квадрат расстояния между
точками и А2 равен
(*;—+ (у; — Х)« 4- (z’i г,)2..
Если в это выражение подставить выражения х'и ji, y2f
согласно формулам (*) и воспользоваться усло-
виями (*»), то получим	> . л
;.r	(У1—у2)аЧ- (?!—г2)®.	 ; / ?
Таким образом, расстояние между любыми двумя точками/
фигуры F равно расстоянию между соответствующими точ-
ками фигуры F'. Следовательно, фигура F равна F' и F*
получается движением или движением и зеркальным отра-
жением из F.
Ортогональные преобразования обладают следующими
геометрически очевидными свойствами, которые, впрочем,
можно проверить и аналитически с помощью формул (*).
1. Последовательное' выполнение двух ортогональных
преобразований есть снова ортогональное преобразование.
То есть, если ^\гура F' получается ортогональным преоб-
разованием из F, а фигура F” ортогональным преобразова-
нием из F\ то F" получается ортогональным преобразова-
нием ИЗ F.	-	:
2. Преобразование, обратное к ортогональному, есть, орто-
гональноепреобразование. То есть, если фигура F' получается
ортогональным преобразованием из F, то F получается
ортогональным преобразованием из F'.
§ 1J	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	151
- 3. .Тождественное преобразование, т. е. преобразование,
задаваемое формулами
. х'=х, у' —у, z' ~z,
есть ортогональное преобразование.
Ортогональные преобразования на плоскости определя-
ются аналогично и обладают аналогичными свойствами. Они
задаются формулами
;	у'= а^х + а2,у+ ai3, j
коэффициенты которых удовлетворяют условиям
aii,+ 0м =-1»; ' л , .
а?,+	+
Так как формулы преобразования прямоугольных декар-
товых координат (§ 7 гл. П) совпадают с формулами
ортогональных преобразований, то из результатов § 8 гл. 111,
касающихся приведения уравнений кривых второго порядка
к каноническому виду, следует, что любую кривую второго
порядка можно ортогональным преобразованием перевести
в кривую одного из следующих типов:
ах2 + Ру2 4- у = О,
ах2 + Ру2 = О,
ах2+ 2/?у = О,
ах2+^ = 0,
х2 —0.
Упражнения
1. Составить формулы ортогонального преобразования, которое
плоскость ху (у г, хг) переводит в себя, плоскость ху переводит
в плоскость xz (уг}„
2. Составить формулы ортогонального преобразования, которое
оставляет на месте начало координат, а ось х переводит в прямую
к р v
152
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. IX
§2. Аффинные преобразования
Ортогональные преобразования являются частным слу-
чаем более общих преобразований фигур, так называемых
аффинных преобразований. Аффинные преобразования зада-
ются формулами
+ а12у + a13z + tz14,
у' = а21х + а22у + а232г + а24, >
z'= а31х + а32у + a33z + а^, ,
(*)
где коэффициенты —любые вещественные числа, удов-
летворяющие единственному условию
Д =
6213
°12
а22
° 11
^21
°31 й32
Я 23 Р*
(**)
азз
Очевидно, это определение инвариантно относительно
выбора системы координат, так как координаты точки в одной
системе координат выражаются линейно через ее; коорди-
наты в любой другой системе координат*
Аффинные преобразования обладают следующими легко
проверяемыми свойствами:
1.	- Последовательное выполнение двух аффинных преоб-
разований есть аффинное преобразование.
2.	Преобразование^ обратное аффинному, тоже является
аффинным преобразованием. '
3.	Тождественное преобразование является аффинным.
Все эти свойства легко проверяются с помощью фор-
мул (*). Проверим, например, второе свойство.
Решая систему уравнений (*) относительно х, у (детер-
минант системы отличен от нуля), получим
х = «„х' 4- а^у' 4- a'13z' 4- а’и,
y = a21x’ + a2iy' + ai3z' + a2i, •
2Г =	+ аъъУ' “Ь ^зз-2^ “Ь ^34»

где при i, /	3 представляют собой приведенные алгеб-
раические дополнения элементов в Д.- Детерминант Д',
составленный из а'ц, как известно^ равен Д"1=^0. Отсюда
§2]	АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ	153
следует, что преобразование, сопоставляющее точке
(х', у', z') точку (х, у, z) согласно формулам (***), т. е.
преобразование, обратное аффинному (*), аффинно.
В заключение заметим, что аффинное преобразование
определено однозначно, если заданы образы четырех точек,
не лежащих в одной плоскости. Действительно, подставляя
в первое из уравнений (*) координаты данных четырех
точек и их образов, получим:
х; = а11х1 + а12уг +	+ а14,
х2 = fluX2 “И Й12У2 Н-а13^2“Ь
Х3 = ЯцХ3 “Н#12.Уз “Ь а13*3	^14,
ч	х; = аих4 + я12у4 + a j3z4 + а14.
Эти равенства можно рассматривать как систему урав-
нений относительно ап, а12, а^ а^. Детерминант системы
X Л *1 1
•Ч y2..z2 1
^-3 Уз %з 1
yt zt 1
Х%—Хх Уъ—yi Z^Zr
Х3—Х1 У3—У1 Z3~Zy
Xi — Xy К—Л z^ — Zi
по  абсолютной величине равен ушестеренному объему Тет-
раэдра с вершинами в данных четырех точках и, следова-
тельно, отличен от нуля. Таким образом, из указанной
системы величины ап, а12, я13, определяются однозначно.
Аналогично доказывается, что Коэффициенты двух других
формул (*) также определяются однозначно.
Аффинное преобразование на , плоскости определено
однозначно, если заданы образы трех точек, не лежащих
на прямой.
Упражнения
1. Составить формулы аффинного преобразования, переводящего
точки (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0? 1) в точки (хх, уъ zx),
(х2) у2, Z2), (х3, t/3, z3), (Х4, l/4, Z4).
2. Составить формулы аффинного преобразования на плоскости,
переводящего оси координат х и у в две данные прямые
ах + Ьу + с — 0,	+
154
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. IX
j § 3. Аффинное преобразование, прямой и плоскости
Из однозначной разрешимости ’формул аффинного пре-
образования	_
х' ~ а1Гх + а12у + а13г + аи,
, £ ~я31х + a32j + a^z + a34,
а11а12а13
a21^22^23
а31а32Л33
=7^ 0
(*)
Д =
относительно х, у и г. следует, что различные точки при
аффинном преобразовании переходят в различные, и каждая
: ямка. (x',y',z') являете^ образом некоторой точки (х, у, z).
Дркддсем^ что при аффинном преобразовании плоскость
переходит в плоскость,, прямая в прямую, сохраняемся
параллельность. .
Пусть о —произвольная плоскость и
ее уравнение. При аффинном преобразовании (*) плоскостью
переходит в некоторую фигуру а'. Так как координаты
каждой точки о удовлетворяют уравнению (**) и линейно
выражаются через координаты соответствующей точки
фигуры о',, то координаты точек о' удовлетворяют также
линейному уравнению
a'x' + yj'4-c'^'4-d' = 0,	(**)'
которое получается из (**) заменой х, у, z их линейными
выражениями относительно х', у', z' согласно формулам (***)
предыдущего параграфа. Уравнение (**)' не может быть
тождеством, так как, вводя в него вместо х', у', z’ пере-
менные х, у, z по формулам {*), мы снова должны полу-
чить (**).
Таким образом, о' лежит в плоскости, задаваемой урав-
нением (**)'. Покажем, что о' совпадает с этой плоско-
стью; Действительно, пусть" (х', у’, z')—любая точка
плоскости (*#)'. Ее образ при аффинном преобразовании,
обратном' (*,), удовлетворяет (**), а следовательно, принад-
лежит о. Отсюда мы делаем вывод, что о' совпадаем*
с плоскостью (**)' (а не является ее частью). Тем самым
доказано, что' плоскость при аффинном преобразовании
переходит в плоскость.
ОСНОВНОЙ ИНВАРИАНТ
155
§ 4]
Так как плоскость при аффинном преобразовании пере-
ходит в плоскость, а обратное к аффинному преобразованию
является аффинным, то различные плоскости переходят
в различные.
Так как различные точки при аффинном преобразовании
переходят в различные, то. параллельные плоскости пере-
ходят в параллельные.
Так как через прямую можно провести две различные
плоскости, а различные плоскости при аффинном преобра-
зовании переходят в различные плоскости, то прямая при
аффинном преобразовании переходит в прямую.
Так как две параллельные прямые можно определить
пересечением двух параллельных плоскостей с третьей
плоскостью, а параллельные плоскости при аффинном пре-
образовании переходят в параллельные, то при аффинном
преобразовании параллельные прямые переходят в парал-
лельные.	1	7 '*•’ '' 4	1
В заключение заметим,, что .аффинные преобразования
на плоскости обладают аналогичными свойствами. В част-
ности, при аффинном, преобразовании на плоскости ^прямые,
переходят в прямые, и сохраняется параллельность* ч
'	. Упражнения -л v	„
1.	Найти плоскости, в которые перейдут координатные плос-
кости ху, уг, 2Х при аффинном преобразовании (#)/
2.	Найти прямые, в которые перейдут оси координат при аф-
финном преобразовании (*).
§ 4.	Основной инвариант аффинного преобразования
При ортогональном преобразовании расстояние между
точками не изменяется. В связи с этим говорят, что рас-
стояние между точками есть инвариант ортогонального
преобразования. Можно было бы назвать много других ин-
вариантов ортогонального преобразования, например, угол
между прямыми, площадь треугольника. Расстояние между
точками является не -только простейшим, но и основным
инвариантом, так как через него могут быть выражены все
остальные.
При аффинном преобразовании расстояние между точ-
ками,, как правило, изменяется, так что расстояние, меаду
156
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. IX
точками не является инвариантом общего аффинного пре-
образования.
Простейшим и основным инвариантом аффинного преоб-
разования является простое отношение трех точ'ек на прямой.
Простым отношением трех точек Л, В, С на прямой назы-
вается число
A R
Покажем, что простое отношение трех точек на прямой
сохраняется при аффинном преобразовании, т. е. если
точки Л, В, С переходят при аффинном преобразовании
в точки Л', В', С', то
(АВС) = (А'В'С').
Не ограничивая общности, можно считать, что точки
Л, В, С лежат на оси х (прямую АВ можно принять за
ось х). Далее можно считать также, что точки Л', В', С'
тоже на оси х, так как ортогональным преобразованием;
которое, очевидно,, не меняет простого отношения (сохраняя
длины отрезков), тройку точек Л', В', С' всегда можно
перевести на ось х, А в этом случае имеем
(АВС) =	, (А’В’С') =	.
jXB —хс I	[ХВ'~~ХС' I
Но координаты х‘ точек Л', В', С' с координатами х то-
чек Л, В, С связаны равенством
х' = аих + аи
и равенство простых отношений (ЛВС), (Л'В'С') очевидным
образом проверяется.
Упражнения
1.	Показать, что существует аффинное преобразование, которое
переводит произвольный данный треугольник в правильный. Пока-
зать, что точка пересечения медиан переходит в точку пересечения
медиан.
2.	Показать, что аффинным преобразованием любой данный па-
раллелограмм можно перевести в квадрат. Можно ли любой четы-
рехугольник перевести аффинным преобразованием в квадрат?
3.	При каком условии аффинное преобразование плоскости,
задаваемое формулами (•») предыдущего параграфа, оставляет непод-
вижной некоторую точку.
§ 5]	АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	157
§ 5.	Аффинные преобразования кривых
и поверхностей второго Порядка
Так как кривая второго порядка определяется как гео-,
метрическое место точек, декартовы координаты которых
удовлетворяют уравнению второй степени, а координаты
точки выражаются линейно через координаты ее образа при
аффинном преобразовании, то кривая второго порядка при
аффинном преобразовании переходит в кривую второго по-
рядка.
Аналогично, поверхность второго порядка при аффин-
ном преобразовании переходит в поверхность второго по-
рядка.
Так как при аффинном преобразовании прямые переходят
в прямые, причем параллельные прямые в параллельные,
сохраняется простое отяшнение трех точек, в частности
средина отрезка переходит в средину отрезка, то при аф-
финном преобразовании диаметры кривой второго порядка
переходят в диаметры, причем сопряженные диаметры в нап-
ряженные, центр переходит в центр, •,
Аналогичные свойства имеют место для порёрхностей,
второго порядка при аффинном преобразовании.
Так как при аффинном преобразовании; вещественные
точки переходят в вещественные, .мнимые в мнимые, то при
аффинном преобразовании вещественная кривая г переходит
в вещественную, а мнимая в мнимую?.
Очевидно, если фигура конечна, то ее образ при аффин-
ном преобразовании есть конечная фигура, если фигура
бесконечная, то ее образ также, бесконечная фигура. : и :
Как следствие указанных выше свойств аффинного
преобразования заключаем:
При любом аффинном преобразовании эллипс переходит
в эллипс, гипербола в гиперболу, парабола в параболу,
пара прямых пересекающихся в пару прямых пересекаю-
щихся, пара параллельных прямых в пару параллельных
прямых.
Аналогичные заключения можно сделать для поверхно-
стей второго порядка.
Будем называть две фигуры аффинно эквивалентными,
если они аффинным преобразованием могут быть переведены
друг в друга.
158	ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	[ГД. IX
Все эллипсы аффинно эквивалентны окружности
х2+у2==1.
Все гиперболы аффинно эквивалентны равнобокой гипер-
боле
х2—у2 = 1.
; Все параболы аффинно'эквивалентны параболе
Д: '	1 ' i \ ' у=±х\ .	.
Докажем, например, первое утверждение. Любой эллипс
ортогональным ^преобразованием может быть переведен в
эллипс
• — Л« Ь* ~~ К	'
А этот эллипс равномерным сжатием (растяжением) отно-
сительно координатных осей
переводился в окружность
х'2+у'2=-1.
В случае пространства имеют место аналогичные утверж-
дения об аффинной эквивалентности поверхностей второго
порядка.
В заключение покажем, что любое аффинное преобразо-
вание на плоскости можно получить, выполняя последова-
тельно три преобразования — равномерное растяжение (сжа-
тие) относительно двух взаимно перпендикулярных прямых
и некоторое ортогональное преобразование.
Доказательство просто. Окружность
х2 +у2 = 1
(рис. 90) при аффинном преобразовании перейдет в некото-
рый эллипс Пусть А' и В'-? две его последовательные
вершины, О' — центр, А и В—соответствующие точки ок-
ружности. Прямые ОА и ОВ перпендикулярны, так как
являются сопряженными диаметрами круга (они ведь соот-
ветствуют сопряженным диаметрам эллипса О'А', О'В'}.

§ 5>
АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
159
Введем две системы координат: ху, взяв за положите-
льные полуоси х и у прямые ОА и ОВ, и х' у\
приняв за положительные полуоси 0'4', О'В\ В системе -
координат х'у' эллипс Е’
задается уравнением	___ •	Ja*>
ал;'2 -J- р/2 = 1.	В’/^Х
Существует ортогональ- [	sv \
ное преобразование, кото- г	/ I \
рое переводит эллипс Е \
—2	-2	V JCXx /.
ах 4- Pj = 1	XX
в эллипс £'. При этом ^**—**х^ ,
его вершины А, В перехо- ;	рис эд,
дят в вершйны Е':А' и В'.
. Рассмотрим теперь у; аффинноепреобразование, которое
состоит из равномерного растяжения (сжатия) относительно
оси у, при котором точка А переходит в А, равномерного
растяжения (сжатия) относительно оси, х, при котором
точка В переходит в В и ортогонального, преобразования,
переводящего эллипс Е в Е'. Построенное таким образом
. аффинное преобразование так же, как и данное,* переводит
точки О, 4, В в точки О, 4', В', а следовательно, совпа-
дает с ним (§ 2). Утверждение доказано. ..
Аналогичное предложение имеет место для аффинного
преобразования в пространстве. Именно, любое аффинное
преобразование в пространстве может быть разложено на
три равномерных сжатия (растяжения) по трем, взаимно
перпендикулярным направлениям и ортогональное преобра-
зование.
Упражнения
. 1. Вывести свойства сопряженных диаметров эллипса из свойств
диаметров окружности. Вывести свойства диаметров и диаметраль-
ных плоскостей эллипсоида из свойств диаметров и диаметральных
плоскостей сферы.
2. Аффинное преобразование на плоскости задано формулами
x'==aiX + bi^+ct,
160
ЛИНЕЙНЫЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. IX
Как показано, это преобразование можно разложить на равномер-
ное растяжение (сжатие) по двум взаимно перпендикулярным на-
правлениям и некоторое ортогональное преобразование. Найти коэф-
фициенты растяжения (сжатия).
§ 6. Проективные преобразования
Аффинные преобразования фигур представляют собой
частный случай более общих, так называемых проективных
преобразований, задаваемых формулами
__	-|- 012# + Й132	а14
041* + а4ъУ + a43Z + 044 ’
_ а21х + а22у + а23г Ц-
«41* + «42# + ^ + 044 ’ I
= ^31* 4~032# ~Н 033Z Ч"* 034
041* + 0*2# + 043Z + 044 ’ >
х'
у'
z'
(»)
коэффициенты которых удовлетворяют единственному усло-
вию:
Д =
ап	012	013	014	
021	022	023	024	#=0.
031	аз&	0зз	034	
041	й4&	043	044	
Этими формулами преобразование определено для любой
фигуры F, не пересекающей плоскость о»:
о41Х + a42j + a43z + а44 = 0.
В ближайших рассмотрениях мы будем предполагать, что
преобразуемая фигура не пересекается с плоскостью
Очевидно, данное определение проективного преобразова-
ния инвариантно относительно выбора системы координат.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что по-
следовательное выполнение двух проективных преобразований
есть проективное преобразование, обратное к проективному
преобразованию снова проективное, тождественное преобра-
зование — проективное.
Проективное преобразование обладает многими свойст-
вами аффинного преобразования. В частности, при проек-
тивных преобразованиях точки, лежащие на прямой, пере-
ходят в точки, лежащие на прямой.
§ 6]
ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
161
Простое отношение трех точек при проективном преоб-
разовании, вообще говоря, не сохраняется, но зато сохра-
няется сложное (ангармоническое) отношение четырех точек
на прямой. Это отношение определяется следующим образом.
Пусть Д, В, С, D — четыре точки на прямой и е — от-
личный от нуля вектор, не перпендикулярный прямой. Тогда
сложным (ангармоническим) отношением точек Д, В, С, D
(взятых в данном порядке) называется число
(ABCD)
е-АС. е-АР
е-ВС е-ВР
Очевидно, это определение инвариантно относительно
выбора вектора е. Поэтому, взяв в качестве вектора е
базисный вектор ех, если ось х не перпендикулярна прямой
Д£>, получим
„ Хс ХА •Х& ХА	(* *)
хс~хв'хр—хв'	' 7
Если оси у и z не перпендикулярны прямой, то получа-
ются аналогичные формулы с координатами у и z.
Покажем, что сложное отношение четырех точек Д, В,
С, D прямой сохраняется при проективном преобразовании.
Не ограничивая общности, можно считать, что точки
Д, В, С, D лежат на оси х (прямую AD можно взять за
ось х). Можно считать, далее, что их образы Д', В', С', D'
тоже лежат на оси х, так как ортогональным преобразо-
ванием, которое, очевидно, не меняет сложного отношения,
они могут быть переведены на ось х. При этом координаты
х' точек Д', В', С', D' выражаются 'через координаты х
точек Д, В, С, £>, по формуле
х,
и непосредственной проверкой убеждаемся, что
хС — Ха . ХР~ХА  ХС'~~ХА' . ХР'~ХА'
ХС Х8	Х8	X Q' х В' Xjy Х8'
т. е.
(ABCD) — (A'B,C,D,)i
что и требовалось
6 А. В. Погорелов
доказать.
162
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[гл. ixl
Проективные преобразования на плоскости
формулами
задаются
х'
У'
+ а12у + а±з
Я31Л Н~ азгУ + лзз ’
хе ~Ь аъъУ ~Ь fl23
<*31* + азъУ + азз ’
а11 а12 «13
«21 а22 «23
«31 а32 а33
#=0
(***)
и обладают аналогичными свойствами.
Название «проективные преобразования» связано со сле-
дующим свойством этих преобразований.
Всякая фигура F' плоскости а, полученная из фигуры F
этой же плоскости проективным преобразованием, не сводя-
щимся к аффинному, может быть получена центральным
проектированием из некоторого центра 5 фигуры F, равной F.
Обратно, всякая фигура, получаемая таким проектиро-
ванием, может быть получена проективным преобразованием
из F.
Мы докажем только вторую часть утверждения. Не огра-
ничивая общности, можно считать, что плоскостью а явля-
ется плоскость ху.
Пусть Л(х, у, 0) — произвольная точка фигуры F,
А (х, у, z)— соответствующая точка F, 5(х0, j0, г0)—
центр проектирования и А'(х'9 у', 0)—проекция Лиз
центра 5 на плоскость ху. Так как точки 5, А и А' лежат
на одной прямой, то
х' — хо = у'^уо — 20
Х—Хо У—Уо
Отсюда
+7х0	, __ — 2^+гуь
Х ЕЕ --_----- , у — ----------
2 • 2q	2 —— 2q
Так как х, у и z линейно выражаются через х и у (фи-
гура F получается ортогональным преобразованием из F),
то выражения х' и у' через х и у будут иметь вид (***).
А это значит, что получаемая проектированием фигура F'
может быть получена проективным преобразованием
фигуры Л
§ 7]	ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ	163
Упражнения
1.	Показать, что любое проективное преобразование в прост-
ранстве можно разложить на аффинное преобразование и простейшее
проективное преобразование
2.	Показать, что проективное преобразование на плоскости
однозначно определено, если оно задано для четырех точек, из коих
никакие три не лежат на одной прямой.
3.	Выразить через ангармоническое отношение (ABCD) ангар-
монические отношения этих точек, взятых в любом другом порядке,
например (ACBD), (BACD) и т. д.
§ 7» Однородные координаты. Пополнение плоскости
и пространства бесконечно удаленными
элементами
Будем называть однородными координатами точки на
плоскости любые три числа хъ х2, х3, не все равные нулю,
связанные с ее декартовыми координатами равенствами
Однородные координаты точки определены не однозначно.
Именно, если хх, х2, х3—однородные координаты точки, то
числа рхх, рх2, рх3 при р =# 0 тоже будут однородными
координатами этой точки.
Так как любая прямая в декартовых координатах зада-
ется уравнением
a1x-f-a2.y +л3 = 0	(в1 + «1=/=0)
и любое такое уравнение есть уравнение некоторой прямой,
то любая прямая в однородных координатах задается урав-
нением
ajXt 4- «2х2 4- а3х3 = 0	(а? 4*0)
и любое такое уравнение является уравнением некоторой
прямой.
Для каждой точки (х, у) плоскости, очевидно, можно
указать тройку чисел, являющуюся ее однородными коор-
динатами, например х, у, 1. Обратное, .вообще говоря, не-
верно* Именно, для тройки чисел хх, х2, х3, у которой
6*
164
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. IX
х3 = 0, нельзя указать точку, для которой эти числа были
бы ее однородными координатами. Это обстоятельство со-
здает большие неудобства при рассмотрении ряда вопросов,
в частности, касающихся проективных преобразований фигур.
В связи с этим мы дополним плоскость новыми элементами:
бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной
прямой.
Именно, мы будем говорить, что тройке чисел хъ х2, лг3,
если х3 = 0, соответствует бесконечно удаленная точка
плоскости. Геометрическое место бесконечно удаленных
точек будем называть бесконечно удаленной прямой.
На расширенной таким образом плоскости любое урав-
нение
а1х1 + а2х2 + а3х3 = 0
является уравнением некоторой прямой. Если а1 = а2 = 0,
то прямая бесконечно удаленная.
На расширенной плоскости любые две прямые пересека-
ются, так как система двух линейных уравнений
«1*1+«2*2+ «3*3 = °,	)
Mi+Ma+M8=° /
всегда имеет нетривиальное решение (не все хъ х2, х3
равны нулю). В частности, две параллельные прямые пере-
секаются в бесконечно удаленной точке. Действительно, если
прямые (*) параллельны, то ’
а1 _ а2 __
*1 ~ ь2 “Л-
Поэтому, если второе уравнение системы (*) умножить на
X и вычесть из первого, то получим (а3 — М3)х3 = 0,
откуда х3 = 0.
Введенное нами проективное преобразование фигур (§ 6)
можно продолжить на расширенную плоскость. Именно,
рассмотрим на расширенной плоскости преобразование, за-
даваемое формулами
Xi ==	#12х2 a^3x3i
#2 == #21*^1 4“ #22^2 + #23-^3»
Х3 = а31Х^ -р ^32-^2 4“ #33*^3»
#12*#13
#22 #23 О*
ап
Й21
^31 ^32 #33
Это преобразование на нерасширенной плоскости . совпа-
дает с введенным ранее проективным преобразованием.
§7]
ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ
165
Действительно, на нерасширенной плоскости х3 0, х3 0.
Поэтому почленным делением первых двух формул на третью
получаем
х' =	+а^У-V а\з
аз^У и339
у / __ #21*4" g22# ~Ь#23
у	а31х + а32у + а33'
В случае пространства однородные координаты хъ х2,
Х3, х4 точки вводятся аналогично, как четверка чисел,
связанная с декартовыми координатами равенствами
Xi	%2	Xg
х== —,	у = —, z= — .
х4 ’ z х4 9	х4
Так же, как и в случае плоскости, пространство по-
полняется бесконечно удаленными элементами: бесконечно
удаленными точками, бесконечно удаленными прямыми, бес-
конечно удаленной плоскостью. При этом получается, что
в пополненном бесконечно удаленными элементами простран-
стве любое уравнение
а^ + а2х2 4- а3х3 + а4х4 = 0
задает плоскость (бесконечно удаленную, есла а1 — а2=л
= а3 = 0); любые два независимых уравнения
^1*^1	^2^2 ~~Ь «3^3 Н” ^4*^4	0,
Ь1Х1. + М2 + Мз + bixi = 0
определяют прямую (может быть, бесконечно удаленную,
flj. «2	\
если = —.
^2	03 J
Проективные преобразования, определенные в § 6, про-
должаются на расширенное пространство и в однородных
координатах задаются формулами:
Xj =	-j- ^z^2x2 4” ^13^3 4" ^1^X4,
х2 = а21хх 4- л22х2 4- a23xs + а24х4,
= ^gjX-j 4” ^32^2 Н“ ^33*^3	^34*^4>
х; = а41хг 4- а42х2 4- а43х3 + а44х4,
	aii	а12	а13	й14	
Д =3	а21	а22	Л23	а24	=7^0.
	а31	й32	азз	й34	
	а41	#42	а43	а44	
166	ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	[ГЛ. IX
Упражнения
1.	Составить формулы проективного преобразования Грасширен-
ной плоскости, переводящего прямые хг=0, х2 = 0, х8=0 в прямые
4“ &1Х2 + ^1^3 =
а2х1+^х2+с2Хз=0,
ад+Ма + ^з = 0.
2.	Найти координаты точки, в которой пересекаются прямые
*1^4	*4«1 _ Х2^1Х4&2 _ *За4 — Х4а3
А?2	^3	*
#1Р4— X4pi __Х2Р4 — X4fi8 *3р4 — *4^3
ZSg	&3
§ 8. Проективные преобразования кривых
и поверхностей второго порядка
. Кривая второго порядка в однородных координатах,
очевидно, задается уравнением
ац^1 + 2а12х1л:84-...+а33х| = 01	(*)
которое получается из уравнения ее в декартовых коорди-
натах
аих2 + 2а12ху+...+а33 = 0	(**)
„	Х1	Х2
заменой х на — и у на .
х3	*з
Пополним плоскость бесконечно удаленными элементами
и продолжим кривую, заданную уравнением (*), на расширен-*
ную плоскость, присоединив к ней все несобственные точки,
удовлетворяющие уравнению (*), если таковые существуют.
Покажем, что кривая второго порядка на расширенной
плоскости проективно эквивалентна одной из следующих
простых кривых:
xl + xl + xl^O,
х?4-х|=0,
х?-|-х1 = 0, ?
Xi—Х3 = 0,
*? = 0, J
(***)
т. е. проективным преобразованием может быть переведена
в одну из них.
§ 8]	ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	167
Рассматривая вопрос о приведении уравнения кривой
второго порядка к каноническому виду (§ 8 гл. 1П), мы
показали, что существует такая система координат х'у',
в которой уравнение кривой (**) принимает одну из сле-
дующих форм!
ax'2 + 0j'2===O,
ах'2 + |}у' = 0,
х'2 = 0.
Аналитически это значит, что в уравнение (**) можно
ввести новые переменные х', у', связанные с х и у форму-
лами вида
< У' == «21х + a22J + а2з
так, что уравнение (**)• примет одну из указанных форм.
Отсюда следует, что если кривую второго порядка (*)
подвергнуть проективному преобразованию	*\
Xi = ъпхг + а12х2 + а13х3,
Х2 = «21Х1 «22Х2 ~Ь «23Х3>
х3 = х3,
то получим одну из следующих кривых:
axl +	= О,
axJ + ₽x2x3==0,
xl = 0.
Что касается этих кривых,' то их легко простым проек-
тивным преобразованием перевести в кривые (***). Напри-
мер, в первом случае надо взять проективное преобразование
х'1 = xt VT₽T*2. х'з = К|71 хз>
во втором—
*;==]/T“Tx- х'г=УТ&\х2, хз=х»\
в третьем —
’4=^, х'=^1+£зу-|р|,	=^^£3|/jp-p
168
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. ПГ
Для поверхностей второго порядка в . пространстве, по-
полненном бесконечно удаленными элементами, можно дока-
зать аналогичное утверждение. Именно, любая поверхность
второго порядка проективно Эквивалентна одной из следующих:
xl+xl + xl+xl^Qt
Xi + xl+xl—^ = 0,
•^1 + ^2—*1—xJ = 0,
xl + xl + xl = 0,
xl+xl—xl^O,
x?4-xl = 0,
Xf----------*2 = 0,
x?==o.
Доказательство аналогично приведенному для кривых.
Упражнения
Найти проективные преобразования, которые переводят кривые
(ад + а2х2+а3х3)2 ± (Ь^ + Ь2х2 + Ь3х3)2 = 0,
(ад 4- а2х2 +	+ b2x2+Ь3х3) = 0
в одну из канонических форм (***).
§ 9. Полюс и поляра
Если в формулу (**) § 6 для ангармонического отноше-
ния ввести однородные координаты, то получим
(ЛВСО)=-	Х1А Х1С Х4А Х4С		Х1А Х1О х4 A X*D	- (
	Х1В Х1С		Х1В xlD	1*/
	Х4В Х4С		Х4В Х4Т)	
и соответственно две другие формулы с заменой хг всюду
на х2 или х3.
Ангармоническое отношение точек на прямой в прост-
ранстве, пополненном бесконечно удаленными элементами,
мы определим формулой (*). Независимо от доказательства,
приведенного в § 6, можно показать, что определяемое
таким образом ангармоническое отношение сохраняется при
проективном преобразовании. Мы опустим эти выкладки.
§ 91
ПОЛЮС И ПОЛЯРА
169
Пусть имеем поверхность второго порядка
4
25 = Т, а^х-О
i, ;=i
(**)
и точку А (х'ъ лг'2, х'з, х4), не лежащую на поверхности.
Проведем через точку А произвольную прямую и обозначим
С и D точки пересечения ее с поверхностью (**). Построим
точку В, гармонически разделяющую с А точки С и D, т. е.
такую, что (ABCD} ——1.
Геометрическое место построенных таким образом точек
В называется полярой точки А. Точка А по отношению к
поляре называется полюсом.
Составим уравнение поляры. Пусть Хр х2, х3, х4 —
однородные координаты В. Координаты xt любой точки
прямой АВ, отличной от А, можно представить в виде
= +	(Z==l, 2, 3, 4).	(***)
В самом деле, прямая АВ задается двумя линейными
уравнениями
2«л-=°, 2м<=°-
Так как ранг матрицы
/аг а* а3 аЛ
\^1 ^2 *3 ^4 /
равен двум (уравнения независимы), то любое решение этой
системы представляет собой линейную комбинацию двух
независимых
xz = p,xz + vxj (/«1, 2, 3, 4).
Если точка отлична от А, то р, =£ 0 и координаты можно
разделить на g, получив указанное выше представление.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что ан-
гармоническое отношение четырех точек 4, В, +
рЛ-|-В	—точка с координатами
и, В, КА^В,
170	ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	[ГЛ. IX
Отсюда следует, что tqhkij (? и D пересечения прямой
АВ с поверхностью второго порядка допускают представ-
ления
С=Ы4-В, D^—IA+B.
Подставляя координаты точек G и D в уравнение по-
верхности, получим:
^z+^z)(±	+	=
= X2 2 а,-jXiXj ± 2Х 2 atjXiX'i+2 aijX'iX,! = 0.
/, 3	.	i, 3	h i
Отсюда следует:
2a<7x/x/ = °-
1,3
Это и е^ть уравнение поляры. Таким образом, поляра
представляет собой плоскость.
Отметим два важных свойства поляры:
1. Поляра любой точки В поляры точки А проходит
через А.
2. Если точка А движется вдоль прямой, то ее поляра
поворачивается около некоторой прямой.
Действительно, уравнение поляры точки В(х^)
удовлетворяется координатами точки А, так как
2а//х/х/= 5аох/х/ («//“«у/),
I, J
а
«i/Xlx'j =•.
в силу того, что В лежит на поляре точки А.
Пусть точка А движется вдоль прямой, соединяющей
точки A'(xJ) и А"(х]). Поляра любой точки этой прямой
будет
atjX; (Л'х) +	= 0
или
2 aijxjxi “ 0-
§ 9]
ПОЛЮС И ПОЛЯРА
171
Отсюда видно, что поляра вращается около прямой, зада-
ваемой уравнениями
2fl/Ax/ = °. 2 anxixi = °-
h j	ь i
91). Она представляет со-
прямую и задается уравне-
Поляра точки А(/15 л'2, х'3) относительно кривой второго
порядка определяется аналогично
(Рис.
бой
нием
з
2 aijxix’i=b
если
кривая задается уравнением
з
Упражнения
1.	Показать, что точка G, которая вместе с бесконечно удален-
ной точкой прямой АВ гармонически разделяет точки А и В, есть
средина отрезка АВ.
2.	Полным четырехугольником называется фигура, составленная из
четырех точек, по три не лежащих на одной прямой, и шести прямых,
попарно их соединяющих (рис. 92). Показать, что пара точек G, Н
гармонически разделяет пару точек Е, F. (Воспользоваться упр. 1 и
инвариантностью ангармонического отношения при проективном
преобразовании).
172	ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	[ГЛ. IX
3.	Обосновать следующий способ построения касательных к ко-
ническому сечению из произвольной точки S (рис. 93). Прямые 1 и 2
проводятся произвольно, остальные прямые—в порядке номеров со-
гласно рисунку.
4.	Как провести касательную к коническому сечению в данной
точке на нем с помощью одной линейки?
5.	Дано коническое сечение и прямая. Как с помощью одной
линейки построить полюс прямой относительно данного конического
сечения?
6.	Пусть /г—-коническое сечение. Возьмем произвольную пря-
мую f и на ней точку Л. Построим поляру g точки А относительно k.
Она пересечет f в точке В. Поляра h точки В пересекает прямую g
в точке С и проходит через точку Л. Так мы построим треуголь-
ник ЛВС, стороны которого являются полярами противоположных
вершин. Этот треугольник называется автополярным.
Показать, что если стороны автополярногО треугольника при-
нять за прямые х2 = 0, х2==0 и х3 = 0, то уравнение конического
сечения k будет иметь вид
+ ₽*| + 7*|=0.
7.	Вывести свойства диаметров и диаметральных плоскостей из
свойств полюсов и поляр.	*
8.	Показать, что поляра фокуса конического сечения есть ди-
ректриса.
§ 10. Тангенциальные координаты
Каждой прямой на расширенной плоскости можно одно-
значно сопоставить отношение трех чисел	— коэф-
фициентов ее уравнения в однородных координатах —
и1х1 + а2х2 + и3х3 = 0.	(*)
Будем называть числа и3 однородными координатами
прямой. Однородные координаты прямой определены неодно-
значно. Именно, если и2, и3— однородные координаты
прямой, то рп2, р#з, если Р 0, тоже будут однород-
ными координатами этой прямой.
Выясним, какой геометрический смысл имеет уравнение
+ + (§ **)
в котором переменными являются ult и2, u3t a xj, xj
фиксированы.
Каждому решению zzj, м2, и3 уравнения (**) соответствует
прямая
. фх + «^2-}-а?Хз = 0,
§10]	ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ	173
проходящая через точку (xf, х%, х£). Обратно, координаты
любой прямой, проходящей через эту точку, удовлетворяют
уравнению (**). Таким образом, уравнению (**) удовлетво-
ряют координаты прямых пучка с центром в точке (х£, х°, х|)
и только они. В связи с этим уравнение (**) называют
уравнением пучка.
В случае пространства вводятся аналогично однородные
координаты плоскости	как коэффициенты ее
уравнения в однородных координатах.
Уравнение
UiXt +	+ a3xj 4-	- 0
при фиксированных х? и переменных задает связку пло-
скостей с центром (х°).
Тангенциальным уравнением кривой называется уравнение
ф(«1, «2. «з) = °>
которому удовлетворяют однородные координаты касатель-
ных кривой и только они. Составим тангенциальное уравне-
ние невырожденной кривой второго порядка.
В § 8 гл. VIII получено уравнение касательной кривой
второго порядка в декартовых координатах. При переходе
к однородным координатам это уравнение приводится к сле-
дующей симметричной форме:
где
Fx[ = а11х1 + а12Х2 + а13*3,
F , = а31х; + а32х; + а33х3,
3
Отсюда следует, что однородные координаты касатель-
ной в точке (Xj, Ха, Хд) суть
«х = ^? «2 = Гх? «з = ^3.
Решая эти три уравнения относительно xj, х^, х'3 (детер-
минант системы отличен от нуля, так как, кривая не вырож-
дается), получим для них линейные выражения относительно
174	ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	[ГЛ. IX
Так как точка (х«) лежит на кривой, то ее ко-
ординаты удовлетворяют уравнению кривой. Подставляя в
уравнение кривой xh выраженные через иь получаем тан-
генциальное уравнение кривой. Очевидно, оно будет второй
степени и однородно относительно координат
2Ф w2, и3) — btlul4~	4~ * • ’ + ^ззиз —	(***)
В связи с этим говорят, что кривая второго порядка является
кривой второго класса.
Выясним, что представляет собой геометрически совокуп-
ность прямых, координаты которых удовлетворяют произволь-
ному уравнению вида (***). Как только что показано, это
может быть совокупность касательных к невырожденной
кривой второго порядка. Однако это не исчерпывает всех
возможностей. Например, уравнение
(aiui 4- а2«2 4- а3а3) (pjU, 4~ Р?«2 + Рз“з) = 0
задает два пучка прямых с центрами (az) и (($z).
В § 8 было показано, что любая кривая второго порядка
з
у aijXiXj^O
может быть проективным преобразованием переведена в кри-
вую
е1х?4-е2л14-м1==0,
где 8Z— числа, равные 4-1, —1 или 0. Аналитически это
значит, что форму 2 atjxixj всегда можно представить
в виде
8	/ 3	\2
г ' /==i x/fii	/
причем детерминант, составленный из aZ/«, отличен от нуля.
Отсюда следует, что уравнение (***> всегда можно при-
вести к виду
3	/ 3	\2
2е<( 2«//«/) =°-
/=1 /
Если все 8z=#0, то это уравнение задает касательные
к невырожденной кривой второго порядка. Если один из
§10]	ТАНГЕНЦИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
175
коэффициентов 8Z, например е3, равен нулю, то уравнение
Е1 («Н»1 + «12«2 + «13«з)а + ®2 (а21“1 + а22Ц2 + “2з“з)2 = 0
можно представить в виде произведения двух линейных
относительно и,- множителей (вещественных или комплексных)
+ Р12И2 4~ Р13Из) (р21^1 4" 022И2-4“ РгЗ^з) = ®
и уравнение задает два различных пучка прямых. Если два
коэффициента ez равны нулю, например е2 и 83, то оба
пучка сливаются в один:
(Mi + а12«2 + «13«3)2 = °-
Аналогичные рассмотрения можно провести для поверх-
ностей второго порядка в пространстве. Ограничимся фор-
мулировкой результатов.
Тангенциальное уравнение невырожденной поверхности
второго порядка имеет вид
2-аг;И/«/=0.
ь/=1
Совокупность плоскостей, однородные координаты кото-
рых удовлетворяют произвольному уравнению вида
2 аии^=0,
Л/=1
состоит либо из .касательных плоскостей невырожденной
поверхности второго порядка, либо из плоскостей, проходя-
щих через касательные некоторого конического сечения,
либо из двух связок плоскостей, которые, в частности, могут
сливаться.
В заключение рассмотрим так называемое коррелятивное
преобразование. На расширенной плоскости это преобразо-
вание, которое переводит фигуру F, составленную из точек,
в фигуру F', составленную из прямых так, что координаты
прямой фигуры F' выражаются через координаты соответст-
вующей точки фигуры F по формулам:
= ^11*^1 4" ^12-^2 4“ ^13-^3»
#2 ~ ^21*^1 4“ ^22-^2 + ^22*^3>
«3 =	4~ ^32^2 4“ ^33-^3»
а11
^21
а31
а12
а22
а32
а13
^23
°33 .
176
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. IX
Это преобразование допускает простую геометрическую
интерпретацию, если Именно, оно заключается в
сопоставлении точке (хь х2, х3) ее поляры относительно
кривой второго порядка, задаваемой уравнением
Sa>vx<x/=0-
Отсюда следует основное свойство коррелятивного пре-
образования— точки, лежащие на прямой, переходят в пря-
мые, проходящие через точку. Это свойство коррелятивного
преобразования имеет место и в общем случае
- В пространстве коррелятивное преобразование опреде-
ляется аналогично. Каждой точке А фигуры F сопостав-
ляется плоскость а фигуры F', координаты которой линейно
выражаются через координаты точки А. Коррелятивное пре-
образование в пространстве можно представить через соот-
ветствие полюсов и поляр относительно поверхности второго
порядка.
Упражнения
1. Ангармоническим отношением четырех прямых пучка назы-
вается ангармоническое отношение четырех точек пересечения этих
прямых с произвольной прямой, не проходящей через центр пучка.
Показать, что это определение инвариантно относительно выбора
секущей прямой, и найти выражение
ангармонического отношения через
однородные координаты прямых.
Показать, в частности, что ангар-
моническое отношение прямых (uz),
(и/), (uz + bz), (u/ + puZ) равно .
Показать, что при коррелятив-
ном преобразовании ангармоническое
отношение четырех точек фигуры F
равно ангармоническому отношению
соответствующих прямых (плоско-
стей) фигуры F'.
2. С помощью теоремы Паскаля
(см. упр. к § 8 гл. III) доказать
следующую теорему Брианшона. Три прямые попарно соединяю-
щие противоположное вершины шестиугольника, описанного
около конического сечения, пересекаются в одной точке (рис. 94).
32 коп