Ay 519Ь8А
Н. Т. КУЗОВКОВ
МОДАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ
И НАБЛЮДАЮЩИЕ
УСТРОЙСТВА
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1 976
ДК 629 7 62-50 7 001
Редензевт д-р техн наук Ю. В Чуев и канд техн наук Г И Рыльский
Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства М,
«Машиностроение», 1976, 184 с
В книге изложены методы обеспечения желаемого расположения корней
замкнутой системы, образованной многомерным линейным объектом и регу-
лятором, выходной сигнал которого — линейная комбинация переменных сос-
тояния объекта и их интегралов (модальное управление). Рассмотрены на-
блюдающие устройства детерминированных и стохастических объектов, вос-
станавливающие по измеряемой части вектора состояния весь этот вектор,
что необходимо для свободного управления корнями Указаны способы оцен-
ки внешних возмущений, не поддающихся прямому измерению, и схемы само-
настраивающихся устройств, определяющих не только вектор состояния, но и
параметры объекта
Книга рассчитана на научных и инженерно-технических работников, за-
нимающихся проектированием автоматических систем и устройств Она мо-
жет быть также полезна студентам, аспирантам и преподавателям вузов
Табл. 6, ил. 60, список лит. 27 назв.
31305-199
038(01)-76
199-76
© Издательство «Машиностроение», 1976 г
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современная теория линейных систем автоматического уп-
равления основана на использовании метода пространства
состояний. От традиционных методов исследования (частотно-
го, корневых годографов) метод пространства состояний отли-
чают принципиально новые возможности Он позволяет, напри-
мер, судить, достижима ли цель управления (управляемость
объекта), определить необходимый состав измерителей (наблю-
даемость объекта), синтезировать управление на все входы
многомерного объекта и др.
Среди различных направлений теории систем, основанной
на методе пространства состояний, можно выделить два, полу-
чивших наибольшее распространение в инженерной практике.
Одно из них образуется методами оптимизации системы путем
сведения к минимуму некоторого функционала (обычно интег-
рала от какой-либо квадратичной формы), характеризующего
качество регулирования. Другое направление связано с метода-
ми модального управления, т. е. методами формирования цепей
обратных связей, придающих замкнутой системе заранее выб-
ранное распределение корней
Первое направление достаточно полно и подробно разрабо-
тано в отечественной литературе Второму направлению, интен-
сивно разрабатываемому зарубежными учеными, уделено зна-
чительно меньшее внимание, хотя вытекающие из него решения
иногда имеют существенное прикладное значение. Цель данной
книги в какой-то мере восполнить указанный пробел. Наряду
с систематизацией известных результатов в области модально-
го управления, почти каждая глава книги содержит дальнейшее
развитие или уточнение методов исследования и примеры при-
менения их к конкретным системам.
В книге рассмотрены следующие задачи.
Если все составляющие вектора состояния объекта управле-
ния доступны непосредственному измерению (полная информа-
ция), а сам объект полностью управляем, то при законе управ-
ления в виде линейной функции переменных состояния можно
4267
3
корни замкнутой системы смещать в любые желаемые положе-
ния (гл. 1). Эта же задача может быть решена и при использо-
вании в законе управления лишь части переменных состояния
(неполная информация), если управление подавать не на один,
а на несколько входов объекта (гл. 2).
Динамика замкнутой системы определяется не только полю-
сами ее передаточных функций, но и нулями. Что касается ста-
тической точности, то она зависит от интегрирующих звеньев
в це^ях обратной связи. Синтез замкнутой системы с учетом
этих обстоятельств производится в гл. 3.
Если же число используемых входов и переменных состоя-
ния объекта меньше его порядка, то свободное управление кор-
нями становится невозможным Однако применение наблюдаю-
щего устройства позволяет по части переменных состояния вос-
становить весь вектор состояния, что сохраняет возможность
свободного управления корнями замкнутой системы (гл. 4).
Не поддающиеся измерению внешние воздействия, прикла-
дываемые к объекту, не позволяют с помощью наблюдающего
устройства точно оценивать вектор состояния объекта. Фднако
это не препятствует использованию наблюдающих устройств, если
дело идет об управлении положением корней замкнутой систе-
мы (гл. 5).
Наблюдающее устройство можно синтезировать и при отсут-
ствии информации о параметрах объекта. Достаточно лишь
знать структуру передаточной функции объекта и его входной
и выходной сигналы. Самонастраивающееся наблюдающее
устройство не только восстанавливает вектор состояния объек-
та, но и определяет все его параметры (гл. 6).
Случайные ошибки приборного измерения переменных со-
стояния могут исказить функционирование системы, син-
тезированной методами модального управления, по сравнению
с расчетным. Поэтому весьма актуальны наблюдающие устрой-
ства, оценивающие переменные состояния при оптимальном
сглаживании (фильтры Калмана). Таким устройствам посвя-
щена гл. 7
Несмотря на тесную взаимосвязь, рассмотренные задачи по
научному содержанию весьма разнообразны. Поэтому при из-
ложении теории пришлось ограничиться лишь самыми необхо-
димыми сведениями. Однако это сокращение не косну-
лось примеров применения рассмотренных методик. В качестве
примеров были использованы системы стабилизации летатель-
ного аппарата относительно центра масс, системы гироскопиче-
ской стабилизации и системы измерения углового положения
искусственного спутника Земли. Автор надеется, что эти при-
меры сделают материал книги более доступным широкому кру-
гу научно-технических работников.
4
Глава 1
УПРАВЛЕНИЕ КОРНЯМИ
ПРИ ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
О ВЕКТОРЕ СОСТОЯНИЯ
Помещение всех корней (полюсов) замкнутой системы в лю-
бые наперед выбранные положения составляет предмет интен-
сивно разрабатываемой в настоящее время теории, называемой
теорией модального управления Пдоиех£!ЖД£Ние_стер1мина_«мо-„
дальное ^уцравление» можно объяснить, те_м,,чт.ожорням соответ-
ствуют составляющие- свободного движения сцртемы*_надыаае--
мыТг1но_гда~модамИг-
Если все составляющие вектора состояния объекта х могут
быть измерены (полная информация о векторе состояния), то
обеспечение заданного расположения корней замкнутой систе-
мы не вызывает трудности. Но прежде возникает вопрос о рас-
положении корней, к которому следует стремиться Этот вопрос
решают с учетом свойств конкретного объекта В частности,
вид переходного процесса определяется не только полюсами
(корнями), но и нулями замкнутой системы Если передаточная
функция замкнутой системы не имеет нулей, то при выборе ее
характеристического полинома можно руководствоваться стан-
дартными формами, рассматриваемыми в следующем разделе
1.1. МЕТОД СТАНДАРТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Рассмотрим замкнутую систему, описываемую дифференци-
альным уравнением
dnx ,	dn~гх ।	,	j: ,,,	,, n
«о-----Hi-----;-+••	(1-1)
dtn dtn~x
Внешнее воздействие f (t) будем принимать в виде ступенча-
той функции величиной ап, а начальные условия предполагать
нулевыми
Чтобы обеспечить «оптимальное» протекание реакции x(t),
предлагались различные распределения корней характеристи-
ческого уравнения
sn-ф. -|-а4=0	(1.2)
5
Одно из предложений заключается в обеспечении одинако-
вости всех корней характеристического уравнения, причем
n-кратный корень должен быть действительным отрицательным,
со значением модуля соо, определяемым требованиями к быстро-
действию системы (чем больше ©о, тем меньше время регули-
рования). Тогда левая часть характеристического уравнения
обращается в бином Ньютона (s + ©o)n, разворачивая который,
получаем стандартные (желаемые) значения коэффициентов-
характеристического уравнения. Для систем до восьмого поряд-
ка включительно вид левой части характеристического уравне-
ния указывается в табл. 1.1.
Таблица 11 Биномиальные стандартные формы
S + а>о
s2 4- 2<n0s 4- <«q
s3 3<oqS2 4- 3<OqS 4-
$4 4- 4o>qs3 4- 6o>qS2 4- 4coqS 4- oig
S3 4~ 5<jOqS4 —J" lOtOgS3 “J" 1 0<'.>g.S'~ T 5o>qS “J" <Dq
S6 + 60>qS5 + 150>gS4 + 20«>qS3 + !5<«>gS2 + 6<>>gS -1-
s? 4-	4- 2Io>qs5 4- 35<OqS4 4- 35<»qS3 -i_ 21<OqS2 4- 7&>qS 4-
«8 4- 8<o0s7 4- 28«>qs6 4- 56o>qSs 4- 70«qs4 4- 56«qS3 4- 28<n®s2 4- 8wgS -t- <>>q
На рис. 1.1. приводятся реакции на ступенчатое возмущение!
систем от первого до восьмого порядка. Для многих приложе-;
ний эти реакции вследствие относительно медленного протека-)
ния нельзя считать оптимальными.	*	I
Другое «оптимальное» расположение корней, предложенное]
Баттервортом, состоит в том, что корни при соблюдении одина-3
ковости угловых расстояний1 распределяются по полуокружя
ности радиуса ©о в левой полуплоскости s (рис 1.2, а). С поЧ
мощью соотношений, связывающих корни с коэффициентам^
характеристического уравнения (теорема Виета), можно в каж-
дом случае составить выражения стандартных коэффициентов.
Левые части характеристических уравнений с такими стандарт-
ными коэффициентами приводятся в табл. 1.2.	)
Стандартные формы Баттерворта, как и биномиальные стан1
дартные формы, характеризуются симметричным распределе]
нием коэффициентов, что является специфической особенностью
всех систем, корни которых расположены в плоскости s на од-
ной и той же окружности (уравнение с биномиальными коэффи^
циентами представляет частный случай, характеризуемый рас^
------------ i
1 Угол, составленный с мнимой осью радиусом-вектором ближайшего
этой оси корня, равен половине угла между радиусами-векторами соседни)
корней.
6
положением всех корней в одной
ности).
точке упомянутой окруж-
Реакции систем Баттерворта на ступенчатое воздействие
(см. рис. 1-2,6) по сравнению с аналогичными реакциями би-
номиальных систем, как и следовало ожидать, более колеба-
тельны. Но во многих случаях они соответствуют интуитивному
представлению об оптимальном пе-
реходном процессе.
В настоящее время понятие оп-
тиматьного переходного процесса
связывают с минимизацией какого-
либо оптимизирующего функциона-
ла. Для системы (1.1.) при f (t)=an
и нулевых начальных условиях про-
стейшим оптимизирующим функцио-
налом является интеграл от квадра-
та ошибки системы
/3= р(/)Л= [[1-л(^)]2<Д. (1.3)
о	о
Нормируем уравнение (1.1), для
чего коэффициенты при первом и по-
следнем членах подчиним соотноше-
нию
Рис 1 1 Реакции на ступенча-
тое воздействие систем с бино-
миальными коэффициентами
ш0^о
И введем новую независимую переменную
Т — о)0Л
(1-4)
Таблица 12 Стандартные формы Баттерворта
s -Ь <*>о
s2 4- 1 ,4<oqS 4-
s3 4~ 2,0wgs2 4- 2,OojgS 4~ °-*q
s4 4- 2,6io0s3 4- 3,4o)qS2 4- 2,6&>0S 4- <>>g
s3 4- 3, 24<0qs4 4- 5, 24»qS3 4- 5,24<OqS2 4- 3,24<BgS 4-
s6 4- 3,86co0s5	7 f 46a>2s4 4-9,13o>gs3 4- 7,46o>gS2 4- 3,86co®s 4- ы®
s7 4- 4,5<oos6 4- 10, IwgS5 4- 14,6<»gs4 4- 14,6o>qS3 4- 10,1«®s2 4- 4,5«qS 4- Шд
sS 4- 5, I2m0s7 4- 13,14o>2s6 4-21,84o>qs3 4- 25,69<o^4 4- 21,84«®s3 4-
4- I3,I4<o®s2 + 5,i2a>Js4-»o
7
Уравнение (1.1) примет тогда вид
dax
<71
dn~*x
df-x
••• + <7л-1
dx , f
di ao
(1.5)
где	(1-6)
ao“o
Функционал (1.3) можно получить в виде явной функций
коэффициентов qc
/2 = -у—-Р(^1, ?2,	Яп-1),
2ш0
где
Я п-1 Яп-2 Я п-4 Я п-6   
— I Я п-1 Яп-3 Я п-5   
О	1 Яп->. Я п—4 • • •
0	9 q «Г1 9’лг3.
Яп — 1 Яп—3 Яп—5 Я п—7 • •
1 Я п—2 Я п—4 Я п—6 * * *
0 Яп—1 Яп—3 Я п—5 • • •
О 1	Я п—2 Я п—4 ' ’ *
<0
Рис. 1.2. Системы Баттерворта
Минимизируя этот функционал по всем параметрам «у на-
ходим стандартные формы левой части нормированного урав-
нения (1.5), а при учете соотношения (1.6) и Оо=1—стандарт-
ные формы левой части характеристического уравнения (1.2).
Эти стандартные формы для систем от первого до восьмого
порядка приводятся в табл. 1.3.
Как и табл. 1.1 и 1.2, табл. 1.3 легко продолжить и полу-
чить стандартные формы для систем выше восьмого порядка.
При этом следует руководствоваться тем, что числовые коэф-
фициенты табл. 1.3 при прохождении строки справа налево
определяются формулой
С?=—,
где
если z-j-n четно,
если i-'r-n нечетно,
а п и I — соответственно порядок системы и номер члена стан-
дартной формы при отсчете справа налево (крайнему правому
члену соответствует z=0).
Корни стандартных полиномов, указанных в табл. 1.3, при-
водятся в табл. 1.4. Легко видеть, что параметр соо по-прежнему
характеризует быстроту протекания переходного процесса: не
влияя на относительный коэффициент демпфирования пара-
метр соо сокращает (когда велик) или удлиняет (когда мал)
длительность переходного процесса. Выбор этого параметра
определяется требуемым быстродействием системы и возмож-
ностями обеспечения достаточного диапазона ее линейности
(чем больше со0, тем выше коэффициент усиления К по контуру
Таблица 13. Стандартные формы, доставляющие минимум интегралу
от квадрата ошибки
S + “О
S2 + “0$ + “о
S3 ->~ ы0«2 4- 2k>qS 4-
8
9
$4 4- WqS3 3o>qS1 2 + 2<0qS 4- <0q
4- wqs4 4- 4<«>gS3 4- 3<0qS2 4- Зф 4- Q,g
s® 4- <oqS^ 4- 5<oqs4 4<0qS^ 4- 6шд$2 4- 3u>qS 4- ч>д
s2 4~ <oqs6 4- 6&>qS^ 4- 5<Oqs4 4- lOoigS3 4- 6cogS2 4&>gS 4- wg
s8 w0$7 7o)gS6 4- 6a>gSs 4- I5wqS'4 4- IOm^s3 4- 10o>®s2 4- 4«gS 4- “q
Таблица 14 Корни стандартных полиномов
п	Корни
2 3 4 5 6 7 8	—0,5(dQ	0,87wqJ —O,a7wo, —О,215шо i 1,31ш0_/ —0,395<о0 ± О,5О5шо/, —О,1О5шо ± 1,57ш0/ —0,41<мд, — 0,235<о0	0,88(йд/, —0,06c*>g I —O,315wo ± O,362co0j, —0,155^0 i 1>50<о0/, —0,03а>0 х 1,78to0j ~O,33wo, — О,22шо ± 0,6б5соэ/, ~0,09о)0 ± 1,35<о0/, —0,025<о0 ± 1,83ш0/ —О,27ио i 0,283а>0/, —0,I5ojq	0,9Icoqj, —0,068wq	1>50идУ, —O,O13wo
системы и тем меньше предельное отклонение, при котором на-
ступает насыщение системы).
Реакция на ступенчатое воздействие системы, оптимизиро-
ванной по квадратичному критерию, по сравнению с реакцией
системы Баттерворта обладает несколько большей колебатель-
ностью.
Кроме указанных, известны стандартные формы, получаю-
щиеся в результате минимизации оптимизирующего функцио-
нала Р
/3 = р | е(/)| dt,	(1. 7)
о
представляющего собой интеграл от произведения абсолютного
значения ошибки | е (t) | = 11 — х (/) | на время t.
Эти формы и соответствующие им корни для систем от пер-
вого до восьмого порядка приведены соответственно в табл. 1.5
и на рис. 1.3.
Реакции на ступенчатое воздействие систем, оптимизирован-
оо
ных по критерию j/|e(/)|a7 (рис. 1.4), по сравнению с реак-
6J
1 Условия, при которых вычисляется функционал, остаются прежними,
т е правая часть уравнения (11) постоянна, начальные условия нулевые
10
Рис
1 3 Полюсы системы, оптимизированной
оо
/3 = [ / | e(t)\ dt
по критерию
Рис 1 4 Реакции на ступенчатое воз-
действие систем, оптимизированных
ОО
по критерию /3 = i I е (01 dt
6
11
циями биномиальной системы характеризуются значительно
большим быстродействием, а по сравнению с реакциями систем
Баттерворта — меньшей колебательностью
Стандартные формы согласно табл. 1.5 находят достаточно
’широкое применение на практике. Однако какого-либо алгорит-
ма составления этих форм не существует (они получены эмпи-
рически с помощью аналоговых моделирующих установок) и.
Таблица 15 Стандартные формы, минимизирующие интеграл /3
s 4-
S2 + 1 , 4WqS + tOg
s3 4- I,75to0s2	2,15tOgS 4- “g
s4 4- 2, I<o0s3 3,4wgS2 4- 2,7«gS 4- “q
s5 4- 2,8о>054 4~ 5,Owgs3 4- 5,5«qS2 4- 3,4o>qS 4- “o
s6 4- 3,25«0s5 4- 6,60(0*54 4- 8,60(OgS3 4- 7,45(o£s2 4- 3,95(o^s 4- (o®
S7 _|_ 4,47(ooS6 + I0,42(o*s5 4- 15,08^4 4- I5,54(^s3 4- I0,64(o^2 4- 4,58(^s 4- »q
s3 4- 5,2(o0s2 4- 12,8(0*56 + 21,6wgss 4- 25,75o>*s4 4- 22,2(o^s3 4-
4-13,3a>gS2 4- 5, I5o>qS 4- “g
следовательно, область их использования ограничивается систе-
мами до восьмого порядка.
Следует отметить, что характеристические полиномы в
табл. 1.1, 1.2, 1.3 и 1.5 не универсальны, так как обеспечивают
протекание реакций, указанное на рис. 1.1, 1.2 и 1.4, только
для систем, числитель передаточной функции которых — постоян-
ная величина. Однако и при другом виде числителя эти формы
весьма полезны, так как могут служить отправной точкой при
отыскании оптимального расположения корней.
Оптимальное расположение корней в общем случае можно,
например, установить, оценивая реакции на ступенчатое воздей-
ствие при помощи асимптотической логарифмической ампли-
тудно-частотной характеристики исследуемой системы [6].
1.2. МАТРИЧНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим линейный стационарный объект
х (/) =Ах (/)-}- Bu (Z);	(1-8)
y(Z) = Cx(/)..	(1.9)
В этих уравнениях n-вектор х (матрица-столбец пХ1) имеет
своими составляющими переменные состояния г2, ..., хп и
называется вектором состояния объекта, г—вектор у, состав-
ляющие которого — выходные сигналы объекта, называется
12
выходным вектором, а т—-вектор и представляет собой воздей-
ствия, которые могут быть поданы на объект со стороны. Мат-
рица объекта А, матрица управления В и матрица выходного
сигнала С имеют соответственно размеры пХп, пХт и гХп.
Термин «объект» здесь следует воспринимать в более широ-
ком смысле, чем это обычно принято в теории автоматического
регулирования; к объекту будем относить также исполнитель-
ные органы и предшествующие им усилители (входные сигналы
усилителей образуют вектор и). К объекту следует относить и
чувствительные элементы, принимая их выходные сигналы в
качестве составляющих выходного вектора у объекта.
Будем предполагать, что все переменные состояния объекта
поддаются непосредственному измерению и используются в ка-
честве выходных сигналов объекта.
Тогда матрица С обращается в единичную матрицу I, так
что у = х.
Регулятор, присоединяемый к объекту, получает в данном
случае переменные состояния объекта х\,...,хп как входные
сигналы и вырабатывает воздействия (управление), приклады-
ваемые к объекту. Будем считать, что регулятор линейно пре-
образует поступившие сигналы, т. е. усиливает и суммирует эти
сигналы и выдает в качестве выхода их линейные комбинации.
Выходные сигналы регулятора могут быть поданы на объект
в тех же точках, через которые могут подаваться измеримые
внешние воздействия.
Обозначая эти внешние воздействия через v, а (тХп) —
матрицу преобразования регулятора — через Р, получаем пол-
ное воздействие на объект
u = v — Рх.	(1.10)
Знак минус перед вторым членом указывает, что реверсиро-
вание сигнала, имеющееся в любой замкнутой системе с отри-
цательной обратной связью, происходит в регуляторе.
Объединяя уравнения (1.8) и (1.10), получим следующее
уравнение замкнутой системы:
x(C = (A-BP)x(/) + Bv.	11.11)
Если в области изображений по Лапласу уравнения (1.8) и
(1.11) разрешить относительно X (s), то получим следующие
матричные передаточные функции объекта и замкнутой си-
стемы:
w(s)=777“ (si —А)~1В;	(1.12)
U (s)
ф(5)	(Sl-A + Bp)-1B.	(1.13)
13
х	1.3. УСЛОВИЕ ПОЛНОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ
В практических задачах матрицу Р выбирают таким обра-
зом, чтобы придать матрице замкнутой системы А—ВР тре- I
буемые свойства, например, заранее предписанное расположе-
ние собственных значений. Интуитивно достаточно ясно, что
возможность такого выбора зависит от полной управляемости
объекта по состоянию х в отношении входного сигнала и. Пол-
ная управляемость означает существование ограниченного вход-
ного сигнала и, переводящего объект за конечный интервал
времени из любого начального состояния Хо в любое наперед
заданное состояние х. Если бы объект не был полностью управ- |
ляемым, то нельзя рассчитывать на то, что замкнутой системе,
содержащей этот объект, можно придать любые желаемые ди-
намические свойства, т. е. желаемое расположение корней
Доказано [3, 16], что условием полной управляемости объек-
та является равенство ранга его матрицы управляемости Qy
порядку п объекта. Матрица управляемости выражается через
параметры объекта формулой
Qy = [B 'AB А2В • ... ’ А^В].	(1.14)
Матрица Qy записана здесь в блочной форме. Если элемен-
ты— блоки В, АВ,..., АП-1В записать в развернутой форме, то
матрица Qy станет прямоугольной типа п)(тп. Чтобы опреде-
лить ранг матрицы, надо из ее столбцов (или соответственных
частей столбцов) составлять все возможные определители. По-
рядок старшего, отличного от нуля определителя равен рангу
матрицы
1.4.	ОБЪЕКТЫ С ОДНИМ ВХОДОМ
Рассмотрим случай, когда объект имеет только один вход-
ной сигнал (например, летательный аппарат с одним управ-
ляющим органом). В уравнении (1.8) вместо векторд и будет
теперь скалярная величина и, а вместо матрицы В типа п'/т —
матрица b типа пХ1, т. е. матрица-столбец. В законе регули-
рования (1.10) и в уравнении замкнутой системы (1.11) пря-
моугольная матрица Р переходит в матрицу-строку р, состоя-
щую из п элементов. Такая же замена произойдет и в матрич-
ной передаточной функции объекта (1.12).
Представим передаточную функцию объекта (1.12) в дру-
гом виде. Записав обратную матрицу в развернутой форме и
перемножив ее с матрицей Ь, получим
W-Ж	(1.15)
/=-(s)
Здесь g (s) — матрица-столбец «X 1, а
F (s) = det(s\ — А)	(1. 16)
— характеристический полином объекта.
Структурная схема замкнутой системы, образующейся в ре-
зультате присоединения к объекту регулятора, показана на
рис. 1.5. Характеристическое уравнение этой системы получает-
ся приравниванием нулю суммы из произведения передаточных
функций звеньев контура, взятого со знаком минус, и единицы.
В данном случае
р4^-+1 = 0’	(Ы7)
A(s)	'
где порядок следования матричных сомножителей взят таким,
чтобы произведение было скалярной величиной. Приводя левую
Рис 1 5 Структурная схема системы с одним
входом
часть уравнения (1.17) к общему знаменателю и учитывая, что
получившийся числитель равен характеристическому полино-
му Н (s) замкнутой системы, приходим к важному соотношению
pg(s) = //(s) — F (S).	(1-18)
В этом соотношении неизвестной является только матрица-
строка р. Матрица-столбец g вместе с полиномом F (s), а также
полином Н (s) предопределены соответственно параметрами
объекта и желаемым расположением корней замкнутой систе-
мы Приравнивая коэффициенты левой и правой частей (1.18)
при одинаковых степенях s, получаем систему алгебраических
уравнений. Из этой системы можно найти все элементы матри-
цы регулятора р, обеспечивающего заданное расположение кор-
ней замкнутой системы.
Пример 1. Рассмотрим объект, описываемый уравнениями
— С2В;
П + 8 = КМ.	(1-19;
Первое уравнение соответствует простейшей математической
модели колебаний летательного аппарата относительно оси
рыскания (модель, составленная без учета действия боковой
аэродинамической силы), а второе — рулевой машине. Объект
14
15
имеет третий порядок (ге=3). Приняв для переменных состоя-
ния объекта обозначения
8=хх, Ф=ха, ф=х3,	(1.20)
запишем систему (1.19) в виде одного матричного уравнения
х = АхЦ-Ьй.
(1-21)
Примем для элементов матриц числовые значения, удобные
при расчетах:
Матрица управляемости объекта
'1
Qy = [b ; Ab ’ А2Ь] = о
о
- 1
-1
0
имеет ранг, равный порядку объекта. Это указывает на воз-
можность построения автопилота, обеспечивающего любое
желаемое расположение корней системы стабилизации.
Закон регулирования, по которому должен строиться авто-
пилот, можно определить на основе уравнения (1 18). Поли-
ном F (s) и матрицу-столбец g(s), входящие в это уравнение,
находим из матричной передаточной функции объекта (1.12):
W (sj=(sl — А)-1 Ь =
'$ 0 0 '
0 S О
0 0s
'-1 0
-1 0
0 1
Для замкнутой системы стабилизации примем в качестве
жедаемого характеристического полинома биномиальную стан-
дартную форму
Н (s) = (s4-«>o)3=s34-3wos24~3ij)2s4-w®.
Подставляя выражения g (s), F (s), H (s) в уравнение
0 18) и перемножая в левой части этого уравнения матрицы р,
g (s), находим
Р1 ($2 + 2) — p2S —	=	3<>0S2 + 3cOqS + со3 — (s +1) (s2 + 2).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s ле-
вой и правой частей, приходим к системе уравнений
2Л — А = шо — 2
— А=3«>2-2
Pi== 3Шо 1,
из которой легко найти элементы pi, р%, р>, матрицы автопилота
как функции coo. Если для трехкратного корня замкнутой си-
стемы принять значение $1,2,3= —шо= — 1, то эти элементы
Л = 2, А=-1, Р3=5.	(1-22)
Предполагая, что автопилот предназначен только для под-
держания заданного постоянного курса (внешний сигнал v от-
сутствует), получим согласно выражениям (1.10), (1.20) и
(1.22) следующее уравнение автопилота’
и= — (28 — 1}>-|-5ф).
1.5.	ОБЪЕКТЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ВХОДАМИ
На некоторые объекты подача внешних воздействий возмож-
на в нескольких различных точках. Такие объекты называются
многомерными или объектами с несколькими входами. Приме-
ром двумерного объекта может служить свободный гироскоп,
допускающий возможность воздействия через моментные дат-
чики как на ось вращения внешнего, так и ось вращения внут-
реннего кольца карданова подвеса.
Объект с несколькими входами описывается уравнениями
(1.8) и (1.9).
Будем предполагать, что этот объект полностью управляем,
а все составляющие его вектора состояния доступны прямому
Измерению (С = 1) Задача состоит в нахождении такой
{тХп)—матрицы Р регулятора, при которой замкнутая си-
стема, описываемая уравнениями (1.8) и (1.10), получает на-
деред заданное расположение корней характеристического
16
17
уравнения. Как это вытекает из выражения (1.13), характери-
стическое уравнение замкнутой системы имеет вид
ate/(sl —А-(-ВР)=0.	(1.23;
Задачу синтеза регулятора с несколькими выходами (мно-
гомерный регулятор) можно свести к уже рассмотренной зада-
че синтеза одномерного (т. е. с одним выходом) регулятора.
Положим P = qp, где q— матрица-столбец mXl, а р — матрица-
строка 1Хм. Тогда уравнение (1-23) можно переписать в виде
det{s\ — A-]- Bqp)==O
или
det(s\ — A-f-bp)=O,	(1-24;
где b=Bq — матрица-столбец пХ 1.
Сравнение уравнений (1.23) и (1.24) позволяет сделать сле-
дующее заключение. Корни замкнутой системы, образованной
многомерным объектом с матрицами А, В1 2 и многомерным ре-
гулятором с матрицей Р, совпадают с корнями замкнутой си-
стемы, которая образуется одномерным объектом, имеющим ту
же матрицу А и матрицу b = Bq, и одномерным регулятором
с матрицей р, где P = qp. Таким образом, синтез многомерного
регулятора может быть выполнен при следующей последова-
тельности действий.
1.	Выбираем (mXl)—матрицу q. Этот выбор, вообще го-
воря, произволен (незначительные ограничения будут поясне-
ны приводимым ниже примером 2).
2.	При помощи способа, изложенного в разд. 1.4, находим
(1Хи)—матрицу р одномерного регулятора для одномерного
объекта (A, Bq), обеспечивающую желаемое расположение
корней замкнутой системы.
3.	Матрицу многомерного регулятора, предназначенного для
многомерного объекта (А, В), получаем как P = qp.
Можно доказать, что матрица Р многомерного регулятора
зависит только от отношений элементов дг матрицы-столбца q;
абсолютные значения этих элементов на матрицу Р не влияют.
Действительно, пусть в качестве элементов матрицы q выбраны
72, •  , 7m, и при этих элементах матричная передаточная"
функция объекта эквивалентной одномерной системы полу-
чается
W(s) q = (s! ~ A)"1 Bq = ——
Л (s)
(1.25)
1 В дальнейшем такой объект будет обозначаться как «объект (А, ВД-i
2 В выражении W(s)q под W(s) подразумевается матричная передаточ-
ная функция (1.12) многомерного объекта Другими словами, уравнение (1 25)
получается из уравнения (1 12) умножением слева на q
18
Пусть желаемый полином замкнутой системы
// (s) = (s — ^(...(s — X„).
Тогда согласно уравнению (1.18)
п
И (s) —F(s)-=J?/2;g,(s),
I =1
(1-26)
где Р\,- Рп — элементы матрицы-строки р регулятора эквива-
лентной одномерной системы. Для многомерного регулятора
получаем Р—qp.
Выбираем теперь новую матрицу q', связанную со старой
соотношением q'=eq, где q — постоянная. Отношения элемен-
тов в матрице q' такие же, как в матрице q. При этом новом
выборе передаточная функция одномерного объекта
W(s)q'=(sl —A)-1 Bq'
1__
до)
og-i(s)
(1-27)
а уравнение (1.18) —
п
i=l
Так как левые части уравнений (1.26)
должно соблюдаться равенство и правых
Пропорциональности g/ (s) = Qg, (s) это
Р\=~-
е
Новая матрица многомерного регулятора
(1.28)
и (1.28) одинаковы,
частей. При учете
возможно, когда
р== q,p'=(cq)(-^-p'i=qp=₽
\ 2	/
совпадает со старой. Отсюда следует, что вид матрицы Р опре-
деляется лишь отношением элементов матрицы-столбца q, а не
их абсолютными значениями.
Относительные значения элементов q определяют относи-
течьную глубину обратных связей через регулятор к каждому
из входов объекта. Если, например,	то обратная связь
к входу Ui в Д раз глубже, чем обратная связь к входу и3.
Поэтому можно матрицу-столбец q называть вектором относи-
тельной глубины обратных связей. При нежелательности обрат-
ной связи к какому-либо входу или нескольким входам, что
Может обусловливаться трудностями реализации или другими
причинами, достаточно соответствующие элементы матрицы q
положить равными нулю. Например, при нежелательности об-
ратных связей к входам uh и щ необходимо 7/г = 0 и 7/ = 0.
| \ ig
I , - *
Изложенный метод синтеза предполагает, что ранг матри
цы Р равен единице. Возможны методы, свободные от этого or
раничения, но здесь они не рассматриваются.
Пример 2. Дан полностью управляемый многомерный объек
41
4b
W (s) q=(sl — A)-1 Bq
Задача состоит в том, чтобы найти обратную связь и=—Р
(уравнение многомерного регулятора), обеспечивающую распс
ложение корней замкнутой системы в точках Si =—а, s2=— I
Пусть	q =
Передаточная функция объекта эквивалентной одномерно:
системы
1	(<7i + 4?2) s + 10^2 1 _
s(s+ 5) [	—3^2)s —5^
= -J-g(s).	(1.29
F(s)	“
Учитывая, что Н (s) = (s + a) (s + b), и принимая во внимание
(1.29), уравнение (1.18) можно записать в виде
Pi К<71 Ч-4<72)«-1-	[(2<7i4~3<72)s —5#2]=:
= (s -|-a)(s-|-&) — s(s-J~5).	(1.3С
Пусть требуется поместить корни замкнутой системы в точ1
ках Si= —а и s2= —5, где а^О. Определяя при этих значения:
из уравнения (1.30) элементы рх и р2, получим следующую мат
рицу двумерного регулятора:	'
2<7i-<7i \
2^2-^2
Матрица Р существует лишь при </2У=0. В этом (и в анало-
гичных условиях для других случаев, выражающих неравенст-
во нулю знаменателя в выражении Р) и заключается ограниче-
ние на выбор элементов дг, о котором упоминалось.
О
р qp —
5?2
Здесь £2 — угловая скорость внешнего кольца; р— угол поворо-
та внутреннего кольца относительно внешнего (угол прецес-
сии); А, В — моменты инерции относительно осей вращения
внешнего и внутреннего колец; /е, f у— коэффициенты вязко-
го трения на этих осях; Н — кинетический момент гироскопа;
«1, и-2 — моменты, прикладываемые к гироскопу вокруг осей
карданова подвеса.
Если кинетический мо-
мент Н мал, а моменты инер-
ции А,В велики, нутацион-
ные колебания гироскопа
имеют относительно неболь-
шую частоту и слабое зату-
хание (при малых /е, /у)-
Задача состоит в том, чтобы
с помощью обратных связей
сделать нутационные коле-
бания быстро затухающими.
Введем для переменных
состояния объекта (гироско-
па) обозначения
x±=Q, х2—Р, х3 = р (1-32)
Рис 1 6 Гироскоп с тремя степенями
свободы
и будем считать, что все эти переменные доступны измерению:
Q измеряется безынерционным прецессионным гироскопом;
Р — тахогенератором, ар — каким-либо датчиком угла.
Конечно, указанные способы измерения Й и р вследствие
инерционности реальных измерителей мало пригодны на прак-
тике. Но при помощи наблюдающего устройства, рассмот-
ренного в разд 4. 5, переменные Й, р можно действительно изме-
рить.
Уравнения объекта (1.31) в матричной форме
х = Ах + Ви,	(1.33)
где
1.6. СИНТЕЗ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА
ПРИ ПОЛНОСТЬЮ ИЗМЕРИМОМ ВЕКТОРЕ СОСТОЯНИЯ
Рассмотрим гироскоп с тремя степенями свободы, имеющий
на осях карданова подвеса моментные датчики (рис. 1.6). Нр*
неподвижном основании уравнения гироскопа	s
А2 + Д2==-//р+«1; 1	J
20
21
Матрица управляемости объекта
Qy |B  АВ А2В|
имеет ранг, равный порядку объекта ге=3, что указывает на
возможность помещения с помощью обратной связи по состоя-
нию корней замкнутой системы в любое выбранное положение.
В данном случае обратная связь по состоянию (двумерный ре-
гулятор)
и = —— Рх,	(1.35)
где
Р11 Pt2 Р13
Ри Pi‘> Р23
Переходя к эквивалентной одномерной системе, получим для
общего случая следующую передаточную функцию объекта:
W (s) q =($ I — А)-1 В
9i
=(sI-A)-1b.
11.36)
Для упрощения регулятора положим д2—0, что означает
отсутствие подачи управления на ось прецессии, т е. переход
к схеме одноосного гиростабилизатора. В этом случае
b Bq-
92
В
0
АВ ’
92/4.
ВН ’
92
В ’
(1.38)
__92/4
ВН
и свободное управление корнями возможно при наличии вязко-
го трения на обеих или на одной из осей карданова подвеса.
Рассмотрим более подробно первый из упомянутых случаев
(^1=0=О, 92=0). Ради простоты будем считать fv=fy=®- При-
нимая во внимание (1 34)—(1.37), получим
W(s) q=($I — А)-1 Ь =	 п 2 S3 -L 	 5 АВ	дур А q\Hs АВ qtf АВ _	=~т (1-39) Л (s)
Для замкнутой системы в качестве желаемой примем бино-
миальную форму
Н (s)-=(s-|-u)0)3 = s3-r 3«'0s2- - 3ioos-t-Wq.	(1.40)
Г
А
о
_ 0 j
Подставляя (1.39) и (140) в соотношение (1.18), находим
Q; [b : Ab ; A2b] =
91
A ’
0,
9i/e	?1 / Л	/л
A ’	A \ Л2	AB /
qiH	qi / ftH , fn \ •
AB ’	A \ AB 1 В I
0,
AB
(1-37)
Ранг матрицы управляемости Qy равен порядку объекта
даже при отсутствии на осях карданова подвеса вязкого трения
(/e = /j/=O). Отсюда вытекает возможность свободного управ-
ления корнями при подаче управляющего момента только на
ось внешнего кольца.
Пусть теперь gi = 0, <72=И=0, т. е. управляющий момент по-
дается только на ось процессии. В этом случае
Pi
91$2 , QiHs
А АВ
4- р, — 3coos2 -Д 3— ш3
1 г 3	и 1 о 0
№
АВ
где р2, р3 — элементы матрицы-строки одномерного регуля-
тора Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях з
и, как обычно, решая полученную систему алгебраических
уравнений, приходим к следующим выражениям:
ЗЛшо	ЗАВ^-Н^	АВ<о3
Р1 = ~~, Р2 =------------, Рз =--—	(1-41)
9i	qiff
Матрица «двумерного» регулятора определяется формулой
	9i			ЗАВы2—№	АВ«3	
P=qp =	0	[P1P2P3] =		н	Н	•	(1.42)
	L. J		0,	0,	0 j	
22
23
Как это и должно быть, «двумерный» регулятор в данное
случае не отличается от одномерного.	:
Интересно отметить, что трехкратный корень замкнутой си-;
стемы стабилизации
51,2,3 = — ш0 =	.Л5ПГ5	(1-43
можно обеспечить и без использования обратной связи по уг-
ловой скорости прецессии р=х2- Коэффициенты усиления об-
ратных связей по угловой скорости Q—Xi и углу р = х3 необхо-
димо тогда брать
Глава 2
УПРАВЛЕНИЕ КФРНЯМИ
ПРИ НЕП®ЛН®Й ИНФ®РМАЦИИ
• ВЕКТ®РЕ С®СТ®ЯНИЯ
w Г ЗА	№
Рп = п 1/ — и /213 =---------——
У в	3 /ЗАВ
(1-44.
В большинстве случаев вектор состояния Объекта трудно
или вовсе невозможно измерить полностью. ®бычно доступны
измерению лишь некоторые переменные состояния, ©ни образу-
ют вектор выходного сигнала у объекта, размерность г которо-
го меньше, чем размерность п вектора состояния х.
По результатам наблюдения выходного сигнала у часто
удается восстановить весь вектор состояния х и использовать
его при синтезе регулятора (см. гл. 4—7). ®днако для упроще-
ния аппаратуры целесообразно (даже при возможности изме-
рения полного вектора состояния) желаемое качество регули-
рования обеспечивать подачей в цепи обратной связи лишь не-
которых переменных состояния.
Свободные колебания замкнутой системы в основном опре-
деляются небольшим числом полюсов, называемых доминирую-
щими, причем доказано [22], что, используя г обратных связей
(из общего числа п теоретически возможных), можно сместить
в желаемое положение г полюсов замкнутой системы (из обще-
го числа и). Поэтому к синтезу наблюдающего устройства
(см гл. 4—7) следует переходить лишь после исчерпания
возможностей улучшения системы обратной связью по непол-
ному вектору состояния.
2.1. ОБЪЕКТЫ С ОДНИМ ВХОДОМ
Пусть имеется полностью управляемый и наблюдаемый
объект с одним входом
х = Ах4-ЬИ; у = Сх,	(2.1)
где х, у—соответственно п и r-векторы; и — скалярная вели-
чина; А, С, b — матрицы типа геХп, гХи и пХ 1.
Из уравнений (2.1) легко получить матричную передаточ-
ную функцию объекта
25
w (s) =	= C (si — A)-1!) =
U(s)
F (s) W<^ sr‘ + dnsn-x 4------4-rfi
mn 4" • • • 4* mmsn 1
+ +
(2.2
Обратимся к рассмотренной ранее передаточной функции в
отношении вектора состояния [см. уравнение (1.15)]. Пусть вхо-
дящая в эту функцию матрица-столбец g(s) имеет вид
Ри+- + Лл^-Ч
§($)=
(2.6)
Уравнение регулятора примем в виде
u = v — ку,
'4
где у — командный сигнал; к — матрица-строка (1 Xr).	)
Тогда характеристический полином замкнутой системы ;
Н ($)=det (si - А 4- bkC) = s" J- ansn^ +... + aY.	।
Согласно уравнению (1.18)	'
kw(s) = /7(s)-—F(s)	'
ИЛИ
^IwJ(s') = 77(s') —F(sJ.	(2.3
Подставляя в это уравнение вместо H(s), F(s), w,(s) соот;
вегствующие полиномы в приравнивая коэффициенты при оди-
наковых степенях s в левой и правой частях уравнения, полу-
чим
MV = a-d.	(2.4;
Здесь
mu..

— матрица (гХп),
полиномов a\(s);
Lmrl...m„J
элементами которой служат коэффициент^
(2.5;
— матрицы-столбцы, в которых роль элементов выполняют ко-
эффициенты полиномов Н (s) и F (s).
Матричное уравнение (2.4) соответствует переопределенной
системе, т. е. системе из п уравнений с г неизвестными &i,...]
йг(г<п).	1
Эта система имеет решение лишь в случае совместимости
уравнений, т. е. когда решение подсистемы из г уравнений удов^
летворяет оставшимся п—г уравнениям.

Из уравнений (1.12) и (2.2) видно, что w(s)=Cg(s) От-
сюда следует M = CL, где
/ц.../1л
^л1- • -4л _
(2.7)
— неособая (пХп)—матрица, составленная из коэффициентов
полиномов, входящих в уравнение (2.6).
Подставляя M = CL в уравнение (2.4), получим
UG7V = a-d.
После умножения этого уравнения слева на (L7)-1 имеем
EV = I(l7-)-i(a-d\	(2.8)
где для упрощения записи применено обозначение СГ=Е и
введен множитель в виде единичной матрицы I. Матрицы Е и I
имеют соответственно размеры («Хг) и (пХп).
Выберем теперь из матрицы Е г линейно независимых строк
и сформируем из них (гХг)—матрицу Ев. Выбирая в матри-
це I соответственные строки, формируем из них (гХп) —матри-
цу 1в. Уравнение (2.8) можно теперь разбить на два уравнения:
EBk7'=IB(L7')-1(a — d\	(2.9а)
EHkr = IH(L7')-1(a —d),	(2.96)
где Еи и 1н — соответственно (п -г)Хг и (п—г) Хп — матрицы,
образованные из оставшихся строк матриц Е и I.
Решая уравнение (2.9 а) относительно к7 и подставляя ре-
зультат в уравнение (2.9 6), получим следующее условие сов-
местимости уравнений (2.4):
аа = р.	(2.Ю)
Здесь (п—г)Хп — матрица а определяется выражением
«=(IH-EHEi4B)(L^)-i=S(L^)-\	(2. 11)
а матрица |3 = ad представляет собой (п—г)— вектор. В выраже-
нии (2.11) (п—г) Хп—матрица S = IH — ЕНЕ^ 1IB== IH —	(Cg)-11В
зависит только от С, а (иХи) —матрица L — только от А и Ь.
согГ ”°бЪекта с одним выходом г==1 и матрица Св представляет
Оои обратимый, т. е. ненулевой, элемент матрицы С.
26
27
Уравнение (2.10) накладывает п—г ограничений на коэф
фициенты di, .. .,ап характеристического полинома замкнуто
системы, выполнение которых обеспечивает существование р<
гулятора с матрицей к. Так как матрица а неособая, эти огра
ничения сводятся к п—г линейно независимым алгебраически;
линейным уравнениям относительно аг.
Если ограничения на вектор а, выражаемые уравнение;
(2.10), выполняются, то переопределенная система уравнени
(2.4) совместима и матрица к обратной связи может быть наг
дена из уравнения (2.9а):
k7'=R(L7')-1(a —d),	(2.11
где
К = Е-Чв==(С£)-Ив.	(2. К
В частном случае, когда матрица выхода С состоит из неко
торых строк единичной матрицы (геХге), составляющими выхо,в
ного вектора у являются некоторые переменные состояния объ
екта хг. В этом случае матрица а в уравнении (2.10) будет зна
чительно проще. Действительно, матрица Ев = С£ формиру
ется из строк матрицы Сг, один из элементов которых равег
единице. Все остальные строки матрицы С состоят из нулей
так что Ен=С^=0. Подставляя в уравнение (2 11) Ен=0, на
ходим
a = IH(U)-i.	(2. 14
Матрица-строка р=к, характеризующая регулятор, опреде
ляется соотношением
рГ = Е-11в(Ьф-1(а-а)
или при упорядоченном следовании строк, когда Ев становитс?
единичной матрицей, соотношением
p7’ = IB(L7’)-1(a —d).	(2.15—.
Кроме условий совместимости (2.10), другие ограничена
на коэффициенты аг характеристического полинома Н (s) замк-
нутой системы обусловливаются тем, что при синтезе некото
рым его корням придаются наперед выбранные значения. Рас
смотрим более подробно эти ограничения. Как и раньше, ха
рактеристический полином замкнутой системы запишем в вид!
Н (з)=з,,-фa,зя-14- ••• + a3s24-a2s-|-a1.	(2. 16
Если желателен простой действительный корень замкнуто!
системы з=А, необходимо потребовать	;
а1+а2^+аз^2 + —|~kn = 0,
дтс можно также записать в виде
-Й1
J1 А к2...А*-1]
(2 17)
Линейное относительно аг уравнение (2. 17) представляет
одно из рассматриваемых здесь ограничений. Ограничения, вы-
текающие из назначения замкнутой системы комплексных соп-
ряженных корней s=q±/co, получаются следующим образом-
Я (8 + /(») = Я(ге±^)=а1 + а2ге±^ + а3г2е±2-'’’4-
-ф...	=
г = ]/г82-фш2, <p=arctg-^-.
Приравнивая нулю действительную и мнимую части, нахо-
щм
Re // (г е±-?’’)—ax-)-a2r cos ср-фа3г2 cos 2шф-... 4-
-фалг'1-1 cos(«— 1) срг" cos дш = 0
Im Н (г &?)=агг sm cp-j- a3r2 sm 2ф-|- —p
-^-апгп~л sin {п — 1) ш-фг" sm дш = 0.
Эти два ограничения можно представить в виде
1г cos ср г2 cos2 cp^.r"-1 cos (д — 1)ф
Or sin ср г2 sm2ср...гя-1 sin (п— 1)ср
«1
«2
<23
«л
— г" COS Пу
rn sin л<р
(2. 18)
Если для замкнутой системы желателен m-кратный корень
соответствующие ограничения на аг можно получить, подста-
1 произвол
Нетрудно видеть, что помещение р корней замкнутой систе-
дает р линейных ограни-
го
вив этот корень в полином Н (s) ив его первые т—
Hbiejio s и приравняв полученные выражения нулю.
МЫ в^предписанные положения (p<Z> „__________"._____г___
чении на коэффициенты аг. Эти ограничения можно выразить
Уравнением
0a = (i).	(2 19)
Здесь в — постоянная (рХ«) — матрица, образованная из
СОМножителей в левых частях уравнений вида (2.17) и
'	® — постоянная матрица-столбец (рХ1), образованная
3 правых частей этих уравнений
28
29
Задача придания нескольким корням замкнутой системы за
ранее выбранных значений сводится к	нахождению	вектор^
а=ао, удовлетворяющего как условию	совместимости	(2.10)
так и условию помещения корней в заданные положения (2.19)
Оба эти условия можно объединить в уравнении	j
<ра = у,	(2.20j
где	s
соответственно (п—г+р)Х« и (п—г+р)ХЛ— матрицы. Та]
как матрицы айв имеют ранг п—г и р, ранг матрицы <р раве|
максимальному из чисел п—г и р. Строки в матрицах а и в ли
нейно независимы. Однако при определенном выборе корне'
замкнутой системы может возникнуть линейная зависимост
между некоторой строкой матрицы в и какой-либо строкой ма^
рицы а, что понижает ранг <р. Указанного выбора корней следу]
ет избегать.	i
Точное решение уравнения (2.20) относительно а возможн!
только для квадратной матрицы <р, т. е. когда число г выходны
сигналов объекта, используемых в цепях обратной связи, равн
числу р корней, для которых заранее выбраны желаемые знач<
ния. Если р>г, то уравнение (2.20) допускает только прибл!
женное решение, получаемое псевдообращением прямоугольно
матрицы <р [25].
В дальнейшем будем рассматривать лишь р = г.
При этом
ао=¥-1Г	(2-2
и согласно уравнению (2.9а) искомая матрица обратной свя
k7'=(CJ)-4B(Lr)-1(¥-1Y-d).	(2.:
Правая часть зависит от параметров объекта и выбраню
значений для р корней замкнутой системы.
Пример. Применяя неполную обратную связь по состояни
необходимо два корня объекта третьего порядка
сместить в положение —1±/.
Так как перемещению подлежат два корня, с объекта нес
ходимо снимать и подавать в цепи обратной связи два выходи!
сигнала. В качестве этих сигналов примем xt и Хг. Тогда
Передаточная функция объекта по состоянию
W(s>“^-<s,-A,--,b=7TS-^)=
____________I__________
$3 + 10^2 + S + 10
10
10s
10s2 +10
Отсюда находим матрицу из коэффициентов g и вектор из
коэффициентов г (s) [см. уравнения (2.2), (2.5) — (2.7)]:
Для дальнейшего потребуется
(17 Г*
0 — Г
1 о
0	1
В рассматриваемом примере матрица С состоит из строк еди-
шчнои матрицы, так что матрица а определяется формулой
J 4 о\аИСП0Нир0вав матРииУ с и воспользовавшись ура’вне-
шем (2.8), находим входящую в (2.14) матрицу 1Н.
	Г1 °1		п 0 О’		
	0 1	1У=	0 1 0		Lr) Да — d),
	|_6 0J		0 0 1_		
		I,	, = [0 0	1].	
1аким образом,					
			Г1 0 -1	-	
а =	=— [0 10 1	0 1]	0 1	о 0 0	1		==—[0 0 1] 10 1	1
Сравнение совместимости (2.10) принимает вид
— [0 0 1] 10 1	J	Г	"1 7^ rj со S <3 <3 I		1	- ;0 [° о и	 10’ 1 10
iJIH после упрощений			
у = Сх =
Х1
х3
0
1
о
о
30
31
Это уравнение показывает, что при использовании в цеп?
обратной связи переменных состояния и х2 характеристик
ский полином замкнутой системы Н(s) = s3+a3s2+a2s + fli ДО
жен подчиняться ограничению а3=10.	I
Перейдем теперь к ограничениям, накладываемым на at
результате смещения двух корней в точки —1±/. Эти оград
чения выражаются уравнением (2.18), в .котором следует под
жить
r = /2, ? = arctg	=
Объединяя уравнения (2.23) и (2.24) в одно, получим общ
ограничение на Пг, соответствующее уравнению (2.20);
Решение уравнения (2.25) имеет вид
так что характеристический полином синтезированной систем
//(s)=53.xi0s2+18s4-16.
Этот полином имеет корни— 1 ±/ и —8, два из которых, ki
и должно быть, совпадают с принятыми при синтезе значен]
ями. Согласно уравнению (2.22) матрица Обратной связи (ма
рица одномерного регулятора)	]
2.2. СИНТЕЗ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА	|
ПРИ НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО состоянию
Вернемся к рассмотрению гиростабилизатора (см. разд. l.Cj
предполагая, что в цепи обратной связи используются толы
32
переменные состояния Xi — Й
чае выходной вектор объекта
и Хз—|3. Поскольку в данном слу-
Xi
х2
х2
0 О
О 1
двумерный, то с помощью обратной
мо«но придать желаемые значения только двум корням
нутой системы.
Будем трактовать гироскоп как объект с одним входом, при-
нимая за входной сигнал момент щ вокруг оси внешнего коль-
ца.
Передаточная функция гироскопа в отношении вектора сос-
тояния
связи по этому вектору
замк-
(
и
А
W(s)
(s!-A)-1b =
$
'1
О
О
О
1
о
о
о
1
О
н
в
О
О
О
Отсюда
L=
о
1
о

1
А
О
О
S2
s3
1____
Н1'-
АВ
А
И
---S
АВ
1

g(s)-
АВ
О
О
Н
АВ
А
О
О
данном случае вид
Уравнение (2.8) принимает
в
(L^)-i(a-dj.
Это уравнение
4 =
показывает,
1 О
О 1 ’
что
.	। 1 О О'
1в=1	,
L0 о 1 ]
1Й=[О 1 0],
2	4267
33
откуда согласно уравнению (2.14)
ГО
~0
а = [0 1 0]
О
0 АГ
0
Н
о •
АВ
О 0
Таким образом. уравнение совместимости (2.10) принимает
вид
о — о
Я
«1
= О
-о
Я2
АВ
О
к7'
1 0 О
О 0 1
О
о
АВ
0
А
АГ
О
о
-^-f^-хл
Xj + Х2 ( АВ
1	/ Г2 | ,9 |
АВХ^2 /
\ лв
(2. 28)
или после очевидных упрощений
Ч
[0 1 0] а2
Таким образом, для обеспечения наперед заданных корней
—Xi, —Л2 управляющий момент Wi относительно оси внешнего
кольца должен формироваться согласно уравнению
и = -ку =--------4-X2-|-ХхХ24-Ц\ 2---------------X
У X! + Х2 ( АВ ' 1 ~ Г 2 ) Я (Х1 + Х2)
(2.29)
Я2
AS
(2.26
Назначим двум корням замкнутой системы действительные
отрицательные значения —Л(, —Л2.
Тогда к ограничению (2.26) добавятся еще два ограничений
на коэффициенты ait а2, as, вытекающие из уравнения (2. 171
при Л = —Ль Л= —Л2 и п=3.	]
Объединяя все ограничения
[уравнение вида (2.20], получим
в одно матричное уравнений
'0
1
1
1
— ^2
О
X?

<23
Решая это уравнение относительно
di
1
"0
1
И, наконец, согласно
матрицу обратной связи
- Я2 '
АВ
: Ч •
_ Хк
а, находим
XiX2 / 7
Xi + Х2 \
Я2
АВ
1
Xi + Х2 \АВ
(2.27
уравнению (2.22) получим искомую
к// Я2
XI 1
х Ч лв 12
В отличие от гиростабилизатора, в котором производилось
управление всеми тремя корнями (см. разд. 1.6), в данном ги-
ростабилизаторе заранее выбираются только два корня, а тре-
тий остается «без управления». Получающееся значение х тре-
тьего корня в данном случае легко найти. Согласно уравнению
(2.27) коэффициент а2 характеристического полинома замкну-
f-fQ,
той системы 7/(s) =53 + a3s2+a2s + a1 равен . С другой сто-
АВ
роны, этот коэффициент представляет собой сумму попарных
произведений всех корней. Следовательно,
и 1	Я2
XjX2 AjZ Хул---.
Отсюда
М2~ AS
х=----------.
Xi + Х2
Легко видеть, что корень х получается отрицательным лишь
при выборе корней —Ль —Л2, обеспечивающем выполнение ус-
ловия
7/2 XXX
2.3. ОБЪЕКТЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ВХОДАМИ
Основной недостаток обратной связи по неполному вектору
состояния — невозможность обеспечить желаемое расположе-
ние всех корней и необходимость оценки значений неуправля-
2*	35
34
емых корней. Этот недостаток может быть устранен или перехо-
дом к обратной связи по полному вектору состояния, или, как
показано далее, использованием нескольких входов объекта.
Предположим, что объект n-го порядка имеет т входов и
что из п переменных состояния можно подавать в цепи обрат-
ной связи г переменных. Задача заключается в синтезе много-
мерного регулятора, обеспечивающего заданное расположение
всех корней замкнутой системы	.
Эту задачу можно решить сведением многомерной системы
(А, В, С) к эквивалентной одномерной (A, Bq, С; (см. разд. 1.5)
и использованием свободы выбора элементов вектора q. Имен-
но, элементы qL выбираем так, чтобы уравнение совместимости
(2.10) удовлетворялось при а = аж, где элементами матрицы-
столбца аж служат коэффициенты желаемого характеристиче-
ского полинома замкнутой системы.
В эквивалентной одномерной системе матрица g и, следова-
тельно, матрица L являются функциями m-вектора q, так что
уравнение совместимости (2.10) для этой системы принимает
вид
a(q)a = 0(q).	(2.30
Чтобы значения Xi, ..., Zn были корнями замкнутой системы,
вектор аж, сформированный из коэффициентов желаемого поли^
нома	j
//3K(5)=(5-A1)...(s-XJ=s«-(X1 + ... + XJ5'-i + ... + (-l)"X1...X,
должен удовлетворять уравнению (2.30). Подставляя аж в этс
уравнение, получим в общем случае уравнение, нелинейное от-
носительно элементов q:
«(Ч)аж = ₽(ч).	(2.31
Матричному уравнению (2.31) соответствует система и;
п—г скалярных уравнений, содержащая в качестве переменны?
qi
отношения-2—, где qm, например, — последний элемент матри-
Qm
цы-столбца q, выбираемый произвольно. Чтобы система была
разрешима, общее число переменных т—1 должно подчиняться
условию 1
т—1^п—г.
Отсюда следует, что для обеспечения желаемого расположе
ния всех корней замкнутой системы число т входных и число 1
выходных сигналов объекта, привлекаемых для формирована
обратных связей, должны подчиняться условию т+г—1^п
где п — порядок объекта.
1 Знак ^-допустим, потому что «лишние» переменные могут быт|
Q т
положены равными нулю
36	•
Следует отметить, что изложенный здесь метод синтеза мно-
гомерной системы не использует всех возможностей, так как с
самого начала предполагает (mXr) —матрицу обратной связи
с рангом, равным единипто Раит- к ---------------- превысить
(тх 1) —
регулятор
t	г ____ х ат *\ не может
панта отдельных сомножителей, каковыми являются
Катрина q и (1Хг)— матрица к, характеризующая
одномерной эквивалентной системы.
Пример. Рассмотрим объект
О’
0 и,
1
Найдем матрицу К обратной связи по
которая обеспечивает замкнутой системе i
__3. Решение этой задачи возможно, так как
принимает в данном случае вид 2 + 2—1 = "
Принимая q =
номерной системы передаточную функцию по вектору
ния
выходному сигналу у,
трехкратный корень
условие т + г— 1 п
.=3, т. е. выполняется.
, получим для объекта эквивалентной од-
W ($) q==(sl — А)-1 ВЧ = -^Л-у-
g(s) =
________________I_________________
«3 -|_ 9S2	29s	33
’(7i~ 272) « + (3^1 -872)
71S2 + (6^ - 2^J «-j- (9^ - 2q2)
q2s2 -H 23i + 2?2) s + (6^ — O72)_
состоя-
(2. 32)
совмес-
Матрицы, необходимые для составления
тимости (2.10), имеют вид
уравнения
3^1-872
L I ^2,
6ft — %
7i-272 0 -
6<7i-272 7Х
2^i + 272 72 _
0 1 Г
0 1-1
Ен=[0 0],
I 1° 1 01
»в=
[0 0 1]
1н = [1 0 0].
37
где
(2.3^
(2.34
пИ котором может быть получено желаемое расположение кор-
ей замкнутой системы (трехкратный корень —3).
11 ПерейДем к определению матрицы K=qk многомерного ре-
гулятора. Сначала необходимо найти матрицу-строку к одно-
мерного регулятора эквивалентной системы. Эта матрица нахо-
дится по формулам (2.12) и (2.13), в которых (1г )-1 вычисля-
ется при г ° 7” ----------------- "	------- . Г “
Имеем
7i =—2, </2—1» а в качестве а берется вектор (2.37).
V =:: —
*	18
I ИГО
1 -1
1 О'
О 0 1
Г-9
2
4
27
— 7
- 14
-99'
20
58
’27'
27
9
'33
29
9
(2. за
Используя эти матрицы, по формуле (2.11) находим
а=(1н-ЕнЕ-Чв)(И)-х =
=	[( - 2^2 + 4^2 - 2?|), (672 - 147^2 + 2?2),
(-1872 4-56^72-ГМ)],
(2	\
92	?2 J
Как видно из уравнений (2.33) и (2.34), корни эквивалент
ной одномерной системы доступны управлению лишь при со
блюдении условий
2
7г Ф ° и -------~-г6/0.
91	92
Квадратичный полином, входящий в последнее из этих уела
вий, не имеет действительных корней. Отсюда следует, что ои
раничения (2.35) сводятся лишь к требованию отличия от нул|
элемента (71 может принимать любые действительные зна
чения).	I
Желаемый характеристический полином синтезируемой сиц
темы
- -  —  —	(2.36
3
— 1 '
Многомерный регулятор и= —Ку
цей
9
характеризуется матри-
Отсюда
//(s) = (s + 3)3

'27~
27
9
(2.37
Подставив уравнения
мости (2.10), находим
91
92
Г 27
4 1 27
J 9
-24+4
91
(2.33) — (2.37) в уравнение совмести
14	4- 2, - 18	1
92
2,
6^
91
9г
-4 56 —
92
= -54
4-230—
91 '
134
или после упрощений
— 2’
1
Проверкой можно убедиться, что характеристический поли-
ном полученной многомерной системы совпадает с полиномом,
принятым при синтезе:
Н (s)=det [sl-A + BKC]=(s ^З)3.
2.4. СИНТЕЗ ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА
С ДВУМЯ ВХОДАМИ
Сохраняя для гиростабилизатора все предположения, приня-
тые в разд. 2.2, будем теперь считать, что при создании цепей
обратных связей используется не один, а два (входа. Именно, в
качестве входных сигналов примем моменты U2 соответствен-
но вокруг осей вращения наружного и внутреннего колец. В ка-
честве выходных сигналов, как и раньше, принимаем й и р.
В этом случае уравнения гиростабилизатора
х = АхЦ-Ви;
У=Сх,
Где (пХп), (иХиг) и (гХиг) —матрицы А, В, С имеют вид
K = qk = -^-
[з-И=Т
1 Г-6	2’
3 -1
Л-|-2=0.
92
Отсюда —2. Приняв <72= 1, находим вектор
92
А =
О
-^0
А
— о
А
q =
— 2
1
(2.3^
Н
В
О
О
О
В =
о
1
о J
О
I
в
о
С=
1 0 0'
0 0 1’
38
39
а векторы управления и состояния
U =
«1
И2
х
Х2
х3
Принимая во внимание структуру матрицы
{2.8) находим
Ст =
С, из уравнения
где
=	х2 = $, х3 = р.	1
Пусть требуется синтезировать замкнутую систему ставил!
зации, имеющую трехкратный корень —ojO- Такой синтез возм<
жен, так как условие m + r—l^n, принимающее в данном сл;
чае вид 2+2—1=3, соблюдается.
711	л.	й
, юлучим передаточную функцию объек
.721
Принимая q =
эквивалентной одномерной системы
s
Н
А
0
W(s)q=(sI-A)-1Bq =
s
О
-1
s
- I
о
Отсюда
L =
О
0
’1 О'
О 1 ’
1 0 0'
оо 1 г
Теперь согласно формуле (2.14)
<—10 1 0](L')-,= --/*в. .
Aq% + Bq* L Hi
и уравнение совместимости (2.10) после подстановки
1в =
1н=[0
1 0].
в
принимает вид
АВ
+ Bq2
АВ В
~н
72
I
//2
s3 + ----S
АВ
Н
В
L о
Г?1 „2 нд2 „
I "  о	о
А АВ
?2	2	I_	Н<И	с
О	!	о
В	'	АВ
В	V	АВ
I
п.)8(4
нд\
АВ

Hg<i
А
<72
в
АВ
Нд\
АВ
?2
В
АВ
О
Aqvfc + Bq\
<1=
"О
№
АВ
О
(М
А1 2
г! 2
АВ
А
„ 7172, 71
Г1
В 2
7172, —71,7172
Г12	п
— 71 + —7?, О, 0
_Н 2 1 Н 1
' (ио
ч
3(О0
№
АВ
Проводя упрощения, находим
АВ ( АВ ,	, В
~Т~2—ГТ ~ 77Г	~н
Aqf + Bql I НЧ	Н
Этому уравнению удовлетворяет отношение
Л(ЛВсоЗ-3№<о0)
qi	и (злви2 — №)
Так как при выборе элементов <?,- существенны
Шения этих элементов, примем
71=7ю=^(а0(Д5(а2 —ЗЯ2);
q2 = q20 = lH(3AB^0~H^,
НУ
АВ
Где /_ коэффициент с размерностью^1^ , так что
= 0.
0.
(2.40)
лишь отно-
(2-41)
7ю, 72о без-
размерны
. Подставляя эти значения в (L7 )-1 и применяя формулу
(2-22), получим следующую матрицу регулятора эквивалентной
^Номерной системы.
40
41
kr=
А
1 о
Л?10?20 + В?10 .0 0
AB
0
1
- Д2	А	«
^20>	н	^10^20’	^10
П 4	п
АВ	„ В ,
ТТГ^ю^го, 'ТГ^ю’ 4itfao
Г1z	11
°. о
AB
f)	Q •
^?10?20 + -°?10
Г со^
ш0
\z Q 2
° АВ
_ Зш0
777 ^20Ш0 ~ 77- <710^20 3<7 — — j -Д 3^20Ш0
(^-^2о4-“^о)дао
Матрица двумерного регулятора
K=qk= М [М2] =-
L?20 J
т0 ^20=0 и управление будет происходить только по оси
йИя внешнего кольца. Примем 7ю=1 ‘. Тогда в законе
рования
41— АГцй 
коэффнаденты настройки определяются выражениями
/Сц — ЗЛ о)0
АВ _	№
--	=	г~ ~ 
Н 0	3 КЗЛВ
враще-
регули-
(2.44)
Как и должно быть, коэффициенты настройки не отличают-
ся от ранее найденных для этого случая коэффициентов (1.42).
С точки зрения возможности управления корнями двумер-
ный регулятор (2.43) имеет преимущество перед одномерным
регулятором, рассмотренным в разд. 2.2. Однако в отношении
статической точности он уступает одномерному. Действительно,
если вокруг оси вращения внешнего кольца действует возмуща-
ющий момент Mt=const, то при двумерном регуляторе устано-
вившиеся значения переменных, определяемые из вырожденных
уравнений (т. е. из уравнений движения при 2 = р = 0, р=0)
AB
^?10?20 + ^10
г Л2 , ч А . /о 2 н \
<?lO<?2o'”o ~ н 910^20 (Зшо Ав )
/7 *	П	\	J
+ 3?iowo> (jj- W20+ 77	“о
4" З^цАо^О»	^20 4“	^10^20^Ш0
Таким образом, уравнение двумерного регулятора, обеспеч
вающего при неполной информации о векторе состояния жел
емое расположение всех корней гиростабилизатора (в давно
случае трехкратный корень —со0), имеет вид
/Сн2уст 4“ ^ЩгРуст — ТИ15
(К 21 ~~ А А-т Н ' КагРуст = 0>
К22ЛД	Q ___
(Я-К21)Л<1
У К11К22 + Kvz(H — К21) У К11К22 +	— К21)
— При одномерном регуляторе ЛГ21=/С22 = 0, КцУО,
(2.^
Mi
И
Act 0, Руст К12-
Использование одномерного регулятора, т. е. управления
только относительно оси вращения внешнего кольца, соответст-
вует переходу к схеме одноосного гиростабилизатора.
«1
12
2
(2.4
где Ау и ^ю, <?2о определяются выражениями (2.42) и (2.41).
Если принять трехкратный корень системы стабилизации
И
— «>П—---,___.
0	У ЗАВ
1 Вследствие равенства нулю q20 зависимость (2 40) между qt0 и q2o те-
ет смысл, так что можно принимать любое значение qt(>
42
Глава 3
УПРАВЛЕНИЕ НУЛЯМИ
И КОЭФФИЦИЕНТАМИ УСИЛЕНИЯ
ЗАМКНУТ®Й СИСТЕМЫ
В предыдущих главах рассмотрены методы управления п
люсами (корнями) замкнутой системы с помощью введения о
ратной связи Недостаток этих методов заключается в том, ч
обратная связь, помещая полюсы в выбранные положения, м
жет обусловить расположение нулей замкнутой системы, прив
дящее к нежелательному виду реакций на внешние воздействи
Обычно к желаемым свойствам системы управления отн
сят
а)	достаточно хорошее парирование системой вредных внех
них воздействий, что выражается в быстром затухании реакщ
регулируемых координат на эти воздействия при малом перер
гулировании и приемлемом статическом отклонении,
б)	хорошее отслеживание регулируемыми координатами п
лезных входных сигналов,	1
в)	нечувствительность координат к изменению физичесю
параметров и структуры системы
Эти требования сводятся к двум основным задачам управл
ния — стабилизации и отслеживанию Задача стабилизации з
ключается в отыскании управления, делающего регулируем!
координаты мало чувствительными (мало податливыми) к вре;
ным внешним воздействиям и изменению параметров систем:
Эта задача решается выбором коэффициентов усиления, а та
же нулей и полюсов замкнутой системы
Задача отслеживания состоит в отыскании управления, обе
печиваютцего желаемое протекание реакций регулируемых коо:
динат на полезные (командные) входные сигналы Идеальн<
решение этой задачи — обеспечение совпадения координаты
соответствующим входным сигналом в любой момент времен
В классе замкнутых систем такое решение недостижимо, т£
как на вынужденное движение по некоторой координате, о:
ределяемое соответствующим входным сигналом, накладываю’
ся свободные колебания Хорошее приближение к идеально^
44
решению задачи отслеживания можно получить в классе ком-
бинированных систем, содержащих наряду с замкнутой частью
звенья разомкнутого цикла
3.1.	ОДНОМЕРНАЯ КОМБИНИРОВАННАЯ СИСТЕМА
На рис. 3 1 показана замкнутая следящая система, дополнен-
ная прямой связью Q(s) командного сигнала V с входом объ-
екта U^(s) Эта прямая связь соответствует звену разомкнутого
цикла Передаточная функция такой комбинированной
по выходному сигналу
Г(5)_л[ TT(s)Q(s)-l
V(s) ’Г 1 + Я (s) W (s) ’
системы
(3 1)
Рис 3 il Одномерная комбинированная система
а по сигналу ошибки —
£ _ 1 —TT(s)Q(s)
V ~~ l+R(s)W(s)
Если передаточную функцию звена разомкнутого цикла сде-
лать обратной передаточной функции объекта, т е Q(s) = —у,
то передаточная функция комбинированной системы по выход-
ному сигналу равна единице, так что эта система превращается
в идеальную следящую систему. В этом случае регулятор R не
реагирует на изменения командного сигнала v(t) и активизиру-
ется только при возникновении вредных внешних воздействий
или отклонений параметров и структуры системы от первона-
чально заданных Поясним регулирующее действие в этом по-
следнем случае.
Предположим, что передаточная функция Q(s) отклонилась
°т точной обращенной передаточной функции -----объекта на
W (s)
~AQ(s). В системе возникнет ошибка E = V—У, связь которой
с входным сигналом согласно (3 2) определяется передаточной
Функцией
(3.2)
£(s) = IT(s) AQ (s)
V (s)	1 + Я (s) W (s)
45
Если коэффициент усиления регулятора велик, то ошибку
Е, порожденная отклонением AQ, значительно меньше по сраи
нению с системой, в которой замкнутый контур отсутствует. |
Во многих системах объект W(s) содержит интегрирующий
звенья. Обращенная передаточная функция	Q(s) = --~  име)
W (s) I
ет тогда в качестве множителей s. Реализация идеальных ди<Ы
ференциаторов — трудная задача. Поэтому приходится прибй
гать к аппроксимациям, например, заменять в выражении Q(si
множитель s на — (Д$4-1), где постоянная Т достаточно велй|
ка. Ошибка Е, возникающая от этой аппроксимации, може1
быть оценена указанным способом	|
Изложенный метод синтеза позволяет в одномерных систа
мах примирить требования, выдвигаемые задачами стабилиза|
ции и слежения, но мало пригоден для многомерных систе^
(требует псевдообращения прямоугольных матриц и др.). Да
лее излагается более простой метод синтеза многомерных сис|
тем, обеспечивающий заданные свойства передаточным функций
ям, связывающим командные сигналы с выходными.	j
3.2.	МНОГОМЕРНАЯ КОМБИНИРОВАННАЯ СИСТЕМА |
В настоящем разделе рассматривается метод, обеспечиваю)
щий наперед заданные значения нулей и коэффициентов усиле!
ния многомерной системы. Метод предусматривает синтез мно!
Рис 3 2 Многомерная комбинированная система
гомерного звена разомкнутого цикла Это звено, будуч!
последовательно соединено с замкнутым многомерным контуром!
образует многомерную комбинированную систему.
Звено разомкнутого цикла не влияет на полюсы комбиниро
ванной системы Полюсы создаются замкнутой частью системь
и помещаются в требуемое положение при помощи способов
описанных в гл. 1 и 2.	1
Рассмотрим линейный многомерный объект	!
х=Ах + Ви;
У-Ех,
где х— «-мерный вектор состояния;
46
ц—m-мерный вектор входных сигналов;
у—r-мерный вектор выходных сигналов;
А, В, С — постоянные («Х«), МХт) и (гХ«)—матрицы.
Применяя обратную связь по матричному выходному сигна-
лу и вводя звено разомкнутого цикла (рис. 3.2), получим следу-
ющее выражение входного сигнала объекта-
u Mv - Ку.
Здесь v—m—вектор командных сигналов; К — постоянная
(тХП —матрица обратной связи; М— постоянная (mX^i —
патрица звена разомкнутого цикла.
Комбинированная система описывается уравнениями
Х:-A BKCx BMv,]
f.	)	(Д-й)
у = Сх.	j
Матричная передаточная функция этой системы
-I<^ = ®(s) = C(sI-A + BKC)-1BM = -^-M,	(3.4)
V(s)	v ।	>	J
где N(s) — (rXm) — матрица, входящая в числитель переда-
точной функции замкнутой части системы, Н (s) ~det[sl—А-|-
-f-BKC] — характеристический полином этой части.
Как видно ив уравнения (3 4), звено М, находящееся вне
замкнутой цепи воздействий, не оказывает влияния на характе-
ристический полином Н($) замкнутой системы и, следователь-
но, на расположение полюсов этой системы, обеспечиваемое об-
ратной связью К. С другой стороны, матрица N(s) числителя
передаточной функции замкнутой части умножается справа на
матрицу М звена разомкнутого цикла, что приводит к линейно-
му преобразованию столбцов матрицы N(s). Следовательно,
матрица М влияет на распределение нулей всей системы.
Найдем скалярную тередаточную функцию, связывающую
i-ю составляющую выходного сигнала у с /-й составляющей
командного сигнала v. Для этого в уравнении (3.4) вычислим
элемент (г\пг) — матрицы NM, находящийся в /-строке и /-м
столбце:
Г,(«)
1__
H(s)
..(n,imiy + «(2m2;+...-L«immm;) .
Перемножив матрицы в правой части, видим, что выделен-
ный скобками элемент будет умножен на К. Переходя к поэле-
J	m
Рентным уравнениям и учитывая, что произведение ntkmkj
47
представляет собой одно из слагаемых i-й строки результирую
щей (гХ1) —матрицы, получим
{т	-1
•••+^(*)У«л-+-.
к-1	'
Отсюда искомая передаточная функция
т	*
Yi	= —— У nik (s) tnkj.
V^s) H(s)	k 1
£==1
Если полиномы n,k(s) записать в развернутой форме
nik(s) = aliksn-1+ а„[к,	k=1, т,
то после несложных преобразований передаточная функций
принимает вид	!
= 7^-- [(«1Т 1"Ч/+••• + al/A/)	+ • •  +
V у (s) п
4“ ашттт/)]-	i
Коэффициенты полинома числителя представляют собой ли
нейные функции элементов т^, .. rnmj, образующих у-й стол
бец матрицы М. Соответственным выбором этих элементе!,
можно придать нулям передаточной функции Yf(s)/V}(s) жела;
емое расположение. Например, чтобы создать действительны^
нуль s=z, достаточно потребовать
(аШт1у“Ь	- 4~ (ал/1т1/’ “Ь
Это уравнение можно записать в виде
W"-1 + •  • + anil) m!j +   + <ulimzn~A + •.• + a„;m) rnmj=0	(3. 5
или после введения обозначений
=	(М
где рь — постоянные, связь которых с z ясна из conoq
тавления (3.5) и (3.6).	J
Аналогично можно придать свободному члену числителя пе;
редаточной функции, определяющему коэффициент усиления
желаемое значение С:
an,i^iy + ...-Yanimrnmj-=C.	(3.7
Назначение нуля или свободного члена числителя функций
yt(s)/V,(s) дает одно линейное уравнение относительно элемеН'
тов /-го столбца матрицы М. Если в передаточных функциям
Yi(s)/V](s),..., Kr(s)/Vj(s) назначить нули и свободные члень
числителей так, чтобы их общее число было т, то получим сис-
тйиу из т линейных уравнений относительно неизвестных
. • > ттз- Эту систему можно записать в матричной форме
?М; = г,	(3.8)
где Ф—постоянная (mXm) — матрица, сформированная из ко-
эффициентов уравнений вида (3.6) и (3.7), а у — т — вектор,
составленный из правых частей этих уравнений. Из этого урав-
нения, полагая det <рУ=0, получим
My=<p_1Y-	(3-9)
Найденный вектор М, представляет собой точное решение
уравнения (3.8), что гарантирует точное выполнение требова-
ний, предъявленных к числителям передаточных функций
K(s)/%(s)> z==l..г- Если матрица <р получилась особой, не-
обходимо выбранные нули и свободные члены числителей не-
сколько изменить, чтобы обеспечить detq^tY В дальнейшем бу-
дем предполагать матрицу <р неособой.
Чтобы передаточные функции Yi(s)IV, (s),..., Yr(s)/V3(s) не
обращались в нуль, вектор М-, должен быть отличен от нуля.
Согласно (3.9) это возможно, когда ^у=0. Поскольку назначе-
ние какого-либо нуля приводит к появлению в матрице-столбце
у нулевого элемента, максимальное число выбираемых нулей
должно' быть т—1.
Имея в виду всю совокупность передаточных функций
EI(s)/V3(s), i= 1, . ., г, /= 1, ..., пг, приходим к выводу, что об-
щее число заранее выбираемых нулей и коэффициентов усиле-
ния многомерной системы может быть тт. Однако входящее
сюда число нулей не должно превышать m(m—1).
Вычисляя по формуле (3.9) один столбец матрицы за дру-
гим (принимая /=1, .. ., т), находим (mXm) — матрицу звена
разомкнутого цикла, обеспечивающего заданные значения ну-
лей и коэффициентов усиления синтезируемой системы.
Если матрица М звена разомкнутого цикла получилась не-
особой, можно от комбинированной системы (см. рис. 3.2) пе-
рейти к эквивалентной замкнутой системе (рис. 3.3). Действи-
тельно, замкнутая система, представленная на рис. 3.3, описы-
вается уравнениями
х = Ах 4- ВМ (v — М]Ку.
у=Сх.
Перегруппировывая члены, приводим эту систему к виду
х=(А-BKC)x + BMv, 1
у = Сх.	J	(3- Ю)
49
48
Уравнения (3 10) замкнутой системы, изображенной на pm
3 3, не отличаются от уравнений (3 3) комбинированной сист<
мы (см рис 3 2), что и доказывает эквивалентность этих си<
тем
Согласно изложенному синтез звена разомкнутого цикла /
многомерной системы сводится к следующим трем шагам
Шаг 1. Рассчитываем матрицу обратной связи К, обеспеч!
вающую требуемое расположение полюсов, и определяем ма;
ричную передаточную функцию образующейся замкнутой .си
темы
W(s)= Cisl-A ВКС) 1В
Рис 3 3 Замкнутая система, эквивалентная
системе, изображенной на рис 3 2
Шаг 2. Рассчитываем первый столбец матрицы М звена р(
зомкнутого цикла, основываясь на т заданных значениях н]
лей и свободных членов числителя передаточных функцй
УДз)/Vi(s),	, Yr(s)/Vifs) Аналогично, принимая во внимани
требования к нулям и коэффициентам усиления функций '
ЕДзуИДз), , Гг(з)/И,(з), i = ‘2, ., т,
рассчитываем второй и последующие столбцы матрицы М
Шаг 3. Если det N[=Y=0, то от комбинированной переходим
эквивалентной замкнутой системе Для этого в прямую цепь и
ред объектом вводим звено М, а матрицу К цепи обратной cbj
зи заменяем матрицей М-1К
Для объекта с одним входом т=\, так что имеется во
можность назначить синтезируемой системе только какой-ли^
один коэффициент усиления В этом случае уравнения систем'
х=(А —bkC)x-j-b7Ho,
y = Cx,
где М и v — скаляры Подставляя х=0, р=1, что соответств;
ет установившемуся состоянию, будем иметь
yycT=C(-A + bkC)-1bAf = hAl,
где h=[Ai, , hr]r Следовательно, для обеспечения ненулево!
коэффициента усиления, например, в цепи, связывающей вы
дНой сигнал уг с входным сигналом v, необходимо выбирать
коэффициент М согласно формуле
yW=^yeL(
л,
где yi ycT = const — желаемое значение выходного сигнала уг,
устанавливающееся (t->-oo) при п=1
Следует заметить, что и в данном случае (т=1) можно пе-
рейти от комбинированной системы к полностью замкнутой.
При этом, помимо введения перед объектом усилительного зве-
на М, необходимо реализовать матрицу цепи обратной связи
_А-к.
J/i уст
Пример. Для объекта
синтезировать цепь обратной связи, при которой полюсы замк-
нутой системы будут в точках з= —1 ±/, и найти звено разомк-
нутого цикла, при котором система удовлетворяет следующим
требованиям
1)	передаточная функция A1(s)/E1(s) имеет нуль з= —5,
2)	числитель передаточной функции X2(s)/Vl(s) имеет сво-
бодный член 0,1,
3)	числитель передаточной функции А’1(з)/72(з) имеет сво-
бодный член —0,1,
4)	передаточная функция X2(s)/V2(s) имеет нуль з= —8
Применим изложенный пошаговый процесс синтеза
Шаг 1. Выберем вектор относительной глубины обратных
связей q = [l 0]г. Тогда объект эквивалентной одномерной сис-
темы описывается уравнением
• 11 - П ,	1
X	х+ и.
2	0	-1
и имеет передаточную функцию
A)-1Bq =-------J---	s+!.
H-(-S)	s2—s + 2 [_
Матрицу регулятора p={p(p2] эквивалентной одномерной
истемы легко находим из уравнения (1 18), принимающего в
данном случае вид
^1(«+ 1) + а( — $ + 3)=($-)- l-)-7)(s+ 1 — /) — (s2 — s-[-2).
Отсюда р=[2,25—0,75]
50

51
Регулятор многомерной системы имеет матрицу
p = qp =
2,25 -0,75
0	0
а замкнутая многомерная система характеризуется передато<
ной функцией
W(s)=(sl — А ВР 'В
I I s— 1 —0,5
s2 + 2s + 2 [-s - 3 2s -f- 2,5 '
Шаг 2. Пусть
«и «12
«21	«22
— звено, последовательно соединенное с замкнутой сист
мой Тогда
X(s)=W(s)MV(s)=
__	1	Г«ц«+«и — 0,5«2i,
s2 + 2s + 2 (• — «ц-|-2«21)5 ДЗ«ц н- 2,5«21,
«I2s + «12 —0,5«22 ' у
(— «12 + 2«22) s + 3«12 4- 2,5«22
Чтобы удовлетворить первому и второму требованиям
предъявленным к функциям Xi(s)/Vi(s), X2(s)/Vi(s), необход|
мо положить	1
ти{ — 5)4-«ц —0,5«21 = 0,
З/Пц 2,5«21=0,1.
Решив эту систему уравнений, находим первый столбец ЛА
матрицы М
м1=|т“1=-М“Д
L«2i ПО L 8
Для удовлетворения третьему и четвертому требованиям
лагаем
«12 — 0,5«22 = —0,1;
( — «12 + 2«22)( — 8)4 3«ia4- 2,5«22 = 0,
откуда находим второй столбец матрицы М
-1,35 '
М2 =	= -*-
|_«22 J 8—1,1
52
Следовательно, звено разомкнутого
датришу
М = [МЬ М2] =
1
170
8
170
цикла должно
1,35 ~
8
1,1 ’
8
иметь
Шаг 3. Поскольку	можно от комбинированной пе-
рейти к замкнутой системе В этой замкнутой системе матрица
обратной связи должна быть Р* = М-'Р. В данном случае
к 1	1360
М 1 =-------
11,9
1,1
8
8
170
1,35
I
170
так что
-35,35 11,78'
-12,1	4,03
Правильность расчетов подтверждается матричной переда-
точной функцией синтезированной системы
X(s)=(sl —A-J-BMPX)-1BMV (s) =
________________1_______________
(s + 1 4- у) (s + 1 — j)
' - 0,006(s +5)
0,ls+0,l
-0,17s -0,11
-0,l(s-{-8) |
3.3. УПРАВЛЕНИЕ КвРНЯМИ
ПРИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЯХ
Астатическое регулирование по некоторой координате в от-
ношении некоторого внешнего воздействия, т е. нуль s = 0
соответствующей передаточной функции замкнутой системы,
можно обеспечить способом, изложенным в предыдущем раз-
деле Недостаток этого способа в том, что он компенсационный
и, следовательно, предполагает высокую стабильность физиче-
ских параметров системы. Кроме того, он может быть исполь-
зован только для объектов с несколькими входами
Астатическое регулирование обычно получают другим спо-
собом вводят в цепь обратной связи, соединяющей регулируе-
мую координату с точкой приложения внешнего воздействия,
интегрирующее звено. Этот способ пригоден как в одномерных,
Так и многомерных системах и в отличие от предыдущего не-
чувствителен к изменению параметров, •днако задача обеспе-
чения устойчивости замкнутой системы, а тем более заданного
Расположения корней, существенно усложняется
53
В настоящем разделе указаны условия, при выполнении ко
тсрых корням замкнутой системы можно придавать любые же
лаемые значения и в тех случаях, когда наряду с позиционны
ми используются также интегральные обратные связи.
Рассмотрим систему
Х(7) = Ах (7) +Bu (t),	(3.1]
где А и В—постоянные (пХп)- и (лХт)—матрицы; х(7) -
п — вектор состояния; u(t)—т—вектор управления. Предполс
жим, что желательно ликвидировать статические отклонения
г переменных состояния. Можно доказать [21, 22], что введе
нием интегральных обратных связей эта задача решается лиш
тогда, когда число координат, для которых желательно астатк
ческое регулирование, не превышает числа входов объекта
т. е. г<т. Введем в рассмотрение r-вектор z(l), определяемы]
уравнением	1
'z(/) = Trx(/),	(3.12
где Тг — матрица (гХп), формируемая из строк единично!
матрицы 1п. Выбор строк определяется переменными состояний
х{, по которым должно быть астатическое регулирование. Объ
единим уравнения (3. 11), (3. 12) в одно уравнение
>?(/) = Ах (/) +Ви (/),	(3.13
соответствующее расширенному объекту.
Здесь
Х(П	А | А ° ], В ( В I (3.14
z(/) [т/о L0
— вектор состояния и матрицы расширенного объекта.
Пусть регулятор, присоединяемый к расширенному объекту
описывается уравнением
и(/)=[К0С;Ки] ХШ.	(3.15
L z(/).	-
По сравнению с позиционными обратными связями исполц
зование интегральных связей вносит особенности: для помеще
ния корней замкнутой системы, образованной расширенным
объектом (3.13) и регулятором (3.15), в любые заданные поло
жения полная управляемость расширенного объекта уже недо
статочна. Для решения этой задачи кроме полной управляемое'
ти необходимо еще, чтобы ранг (mxr) — матрицы Ки был равег
г. Необходимость дополнительного условия (ранг.Ки=г) дока
зывается следующим образом.
54
Подставляя выражение (3.15) в уравнение (3.13), находим
матриДУ замкнутой системы
Г_ГА+ВК- ВК/]
Эту матрицу записываем как произведение двух матриц с
размерами (n+r)X^(n + m) и (п + т) Х(«+г):
I А ; В П : О
|т/о || ко..7ки
(3. 17)
Первый сомножитель представляет матрицу расширенного
объекта (3.13) и, поскольку этот объект предполагается пол-
ностью управляемым, имеет ранг п + г. Если ранг матрицы Ки
меньше г, то, как легко видеть, ранг второго сомножителя в
(3.17) и, следовательно, ранг матрицы F меньше, чем п + г. Но
это означает, что, по крайней мере, одно собственное значение
матрицы F равно нулю. Отсюда вытекает, что для управления
всеми собственными значениями матрицы F необходимо соблю-
дение условия (ранг Ки) =г.
Доказательство достаточности этого условия и обеспечиваю-
щий его выполнение алгоритм формирования матрицы Ки, сме-
щающей корни в желаемые положения, обоснованы в [21]. При-
ведем описание этого алгоритма.
_ Пусть Ль %2, -  •, Хп, 0,..., О — собственные значения матрицы
A, a pi, р2,..., рп, pn+i,..., Рп+г — желаемые корни замкнутой
системы. Представим вектор управления как сумму
u(/) = u1(/) + u2(/),
(3. 18)
где Uj(f) предназначается для сдвига п собственных значений
матрицы A, a Us (t) — для сдвига г собственных значений матри-
цы А, равных нулю. Вектор иДД определим уравнением
u1(/) = [Kil0] х(Д,	(3.19)
где К — матрица (тХп) . Подставляя выражения (3. 18), (3. 19)
вуравнение (3. 13), получим
х Д) = А1х(/)-Д Ви2(/),	(3.20)
где
А1 =	А ВКО	(3.21)
	L тг ^0	
Системе с матрицей (3.21) соответствует характеристическое
Уравнение
det р.1„ - (А4-ВК)] det [л!г]=0.	(3. 22)
55
Это уравнение показывает, что вектор Ui(Z) сдвигает лиш1
собственные значения матрицы А Поскольку система (А, В!
полностью управляема, можно изложенными ранее способам^
(см гл 1, 2) определить матрицу К позиционных обратных свя
зей, обеспечивающую матрице А + ВК желаемые собственны,
значения pi, рг, , Р«
Вектор управления u2(t), сдвигающий г нулевых корней рас
ширенного объекта, определяется уравнением [21]	<
и2^-[-КиТг(А + ВКНКи]х(/)	'(3 23
Объединяя уравнения (3 18), (3 23) в одно уравнение, полу
чим результирующее управление
и (/) = [К - КИТГ (А 4- ВКГ1 Ки] х (^)	(3. 24
О нахождении входящей в это уравнение матрицы К позици
онных обратных связей было сказано ранее Что касается мат
рицы Ки интегральных связей, то ее следует определять по фор
муле	!
K„=^Hr(HHr)_1D,	(3.23
где
ПТ.АВК^В,	(3.26
a D — любая	(гХг)— матрица, г собственных	значений	которо!
равны желаемым	собственным значениям pn+i,	,	Pn+r	замкну
той системы
Таким образом, синтез замкнутой системы можно осущест
вить следующим образом В предположении, что в законе регу
пирования интегральные члены отсутствуют (Ки=0), сначал;
обычным способом (см гл 1, 2) находим матрицу К позицион
ных обратных связей, обеспечивающую заданное расположен»
pi, рп п корней замкнутой системы Затем по формулав
(3 25), (3 26) вычисляем матрицу Ки интегральных обратны;
связей, обеспечивающую расположение остальных г корней зам
кнутой системы в заданных точках pn+i, , Рп+r Управление
подлежащее реализации, формируем согласно уравнению (3 24),
Это управление обеспечивает замкнутой системе (3 13), (3 24’
желаемые значения pi, , р„+г всех п + r корней
3 4 ГИРОСТАБИЛИЗАТОР С АСТАТИЧЕСКИМ
РЕГУЛИРОВАНИЕМ ПО УГЛУ ПРЕЦЕССИИ
В некоторых приложениях одноосного силового гиростабили
затора желательно, чтобы при действии постоянного возмуща
ющего момента т — const вокруг оси стабилизации статичес
кое отклонение в угле прецессии 0 отсутствовало Астатическое
регулирование по углу 0 в отношении возмущающего момент;
можно получить, вводя в цепь разгрузки интегрирующее
звено Чтобы обеспечить заданное расположение корней
бпазуюшейся при этом замкнутой системы, воспользуемся спо-
собом синтеза, изложенным в предыдущем разделе
Как предусматривает указанный способ, сначала считаем,
чТо интегральный член в законе регулирования отсутствует
При использовании только одного входа, т е подаче управле-
ния и только на ось стабилизации, матрица К позиционных об-
ратных связей, обеспечивающая гиростабилизатору трехкрат-
ный корень —®о, имеет вид (см разд 1 6)
к= -ЗАо>0,-----1
0 н н
(3 27)
Обратимся теперь к определению матрицы Ки интегральных
связей Интегральную обратную связь будем осуществлять
только по углу 0, так что, принимая во внимание переменные
состояния (1 32) и уравнение (3 12), находим
Тг=[0 0 1]
(3 28)
Полагая в уравнении (1 34) Д =fy=® и учитывая выраже-
ния (3 14), (3 28), получаем следующие матрицы расширенного
объекта
Ранг матрицы
Qy=[b АЬ А2Ь А3Ь]
равен порядку расширенного объекта п = 4,
условие, чтобы синтез замкнутой системы с
ми корнями был возможен, выполнено Из
(3 29) находим
т е необходимое
наперед выбранны-
уравнений (3 26) —
АВш3
0
А
0
1
(3. 30)
о
о
56
57
Принимая D=—®о, получим согласно уравнениям (3.25
(3 30) коэффициент усиления интегральной обратной связи
= (33
 н -• Н	'
Фигурирующая в первом блочном элементе (3.24)
_	ЗЛВсОд ЗЛВШц
~н ’ н ’
матриц
КДДА + ЬК)-^ Лш0,
Глава 4
НАБЛЮДЕНИЕ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ
ОБЪЕКТОВ
так что при учете уравнений (3.27) — (3.31) результирующее yi(
равнение
и— —4Асо0,
-6ЛВо>2 + №
И
- 2
АВ<4 1 Й
н ' н~ ₽
J №
Это управление, будучи подано на ось стабилизации, обе<
печивает расположение всех четырех корней замкнутого гир(
стабилизатора с позиционными и интегральной обратной связ!
ми в одной точке —соо. Астатизм регулирования по углу преце<
сии р в отношении внешнего момента вокруг оси стабилизацш
получившийся в этом гиростабилизаторе, бывает иногда весьм
желателен. Например, отсутствие статического отклонения й у
ле р повысит точность гироскопического интегратора линейнь
ускорений, представляющего собой одноосный гиростабилизатс
с маятниковостью относительно оси вращения внутреннее
кольца.	'
Для реализации управления (3.32) необходимо располагав
сигналами 2, р, Р, J ^dt. Угол р измеряется потенциометри
ческим или индукционным устройством, сигнал J $dt може
быть получен при помощи какого-либо интегратора. Что касаеч
ся сигналов л, р, то их можно оценить наблюдающим устройс!
вом, описываемым в разд. 4 5 [расширенный объект (3.29
удовлетворяет условию полной наблюдаемости].
В разд. 1.4. было показано, что если все переменные состоя-
ния объекта представляют собой измеримые физические сигна-
лы, то синтез замкнутой системы с заданным распределением
полюсов не представляет какой-либо трудности. Однако в боль-
шинстве случаев доступны приборному измерению лишь неко-
. торые составляющие вектора состояния. Кроме того, исполь-
зование измерительных приборов не всегда целесообразно.
Некоторые приборы описываются сложными уравнениями, су-
щественно изменяющими структуру объекта управления.
Это, в свою очередь, порождает трудности решения задачи
о помещении полюсов замкнутой системы в заданные положе-
ния.
Все эти обстоятельства указывают на необходимость спосо-
бов, которые- позволили бы косвенно оценить переменные
состояния, мало доступные или вовсе недоступные прямому
измерению. Такие способы существуют и основаны на исполь-
зовании уравнений движения объекта. При конструировании
эти уравнения предполагаются известными.
Устройства для измерения координат объекта, в основу ко-
торых положены уравнения этого объекта (они называются
наблюдающими устройствами), достаточно распространены.
Известны два метода синтеза наблюдающих устройств: эвристи-
ческий и регулярный. Ниже рассматривается пример синтеза
Устройства для наблюдения (измерения) угла рыскания искус-
ственного спутника Земли первым из этих методов.
4.1. РЕАЛИЗАЦИИ ГИРООРБИТЫ
С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРИРУЮЩЕГО ГИРОСКОПА
Гироорбитой называется гироскопический прибор на борту
скусственного спутника Земли, измеряющий угол рыскания
спУтника.
в Плоскость орбиты спутника занимает неизменное положение
НеРПиальной системе координат. Угловое положение корпуса
59
спутника отсчитывается относительно орбитальной системы к,
ординат XoyoZo. Ось у0 этой системы лежит в плоскости орбит
и направлена от центра Земли по вертикали места спутник
ось х0 расположена в плоскости орбиты и направлена в сторо!
полета, ось z0 перпендикулярна плоскости орбиты и ее напра;
ление таково, что образуется правая система координат. Пр
движении спутника по орбите система xoyozo имеет абсолютну
угловую скорость й, вектор которой совпадает с отрицательно
направлением оси zQ.
Связав с корпусом спутника систему xyz, можно определю
его угловое положение в орбитальной системе координат тре&
углами Эйлера. В дальнейшем принимается следующая поел
довательность ввода этих углов: крен у, рыскание ip, тангаж
(рис. 4.1).
Обычная гироорбита [2] представляет собой одноосный гир,
стабилизатор, ось внешнего кольца которого совпадает с ось
у связанной системы (рис. 4.2). Поскольку система стабилиз
ции спутника удерживает его ось у вблизи вертикали у0 (чувс
вительным элементом в системе стабилизации спутника слуху
инфракрасная вертикаль, обозначаемая в дальнейшем ИКВ),
система межрамочной коррекции удерживает вектор кинетич
ского момента Н в положении, перпендикулярном оси у, при п
лете по орбите вектор Н принужден вращаться относителы
инерциальной системы, если только не совпадает с осью .
Вследствие этого вращения возникает гироскопический моме:
Г= ЯХЙ, направленный по оси у внешнего кольца. Момент
поворачивает гироскоп вместе с внешним кольцом вокруг О'
вращения этого кольца у в сторону -Совмещения вектора Н
вектором облетной угловой скорости Й. Следовательно, ось р
тора автоматически удерживается вблизи оси Zo орбитальш
системы, а плоскость внешнего кольца —,в положении, коп
она совпадает с плоскостью орбиты. Угол рыскания ф спутнш
измеряется датчиком угла, ротор которого связан с осью вне!
него кольца, а статор — с корпусом спутника.
Гироорбита представляет собой достаточно сложный гир
скопический прибор и обладает некоторыми ошибками. Поэт]
му изыскивались другие подходы в решении задачи измерен!
угла ф. Один из таких подходов, основанный на уравнениях и
меряемого процесса и не связанный с использованием трехс^
пенного гироскопа, рассматривается ниже [20].	;
Согласно рис. 4.1 составляющие соу, оц абсолютной углов!
скорости спутника по его осям у и х определяются уравнения.^
ш!/=Ф cos & — £ sin у cos &;
= Y cos Ф cos & 4- 2 sin ф cos &
60
Рис. 4.1. Углы, определяющие положе-
ние связанной системы' в орбитальной
системе координат
Рис. 4.2. Схема гироорбиты
61
или с учетом малости углов * 1
=	(4.1
= Y :~2r	(4J
Если с помощью какого-либо датчика вертикали (наприм*
ИКВ) измерять угол крена у, а с помощью ДУС (датчика уц
вой скорости) — угловую скорость сож, то можно из уравнен!
(4. 16) определить угол рыскания ф. Однако вследствие шуи
вой помехи в сигнале у и необходимости дифференцирован
этого сигнала данный способ практически неприемлем. Как i
казано далее, не пригоден и способ, основанный на измерен
ДУС соу и интегрировании уравнения (4.1а). Наилучшие ।
зультаты получаются при измерении как сож, так и <ои. При эт
измерениях можно обойтись одним ДУС, для чего необходи
его ось чувствительности ут расположить в плоскости ху под 1
которым углом Ро к оси спутника у (рис. 4.3).	!
Вместо xyz в качестве связанной со спутником системы п
дем теперь принимать систему xTyFz. Углы Эйлера у*, ф*, 1
определяющие положение системы xFyTz в орбитальной систе!
показаны на рис. 4.4. Из этого рисунка находим составляющ]
со абсолютной угловой скорости системы xTyTz на ось уг эт|
системы (углы у*, 10*, &* предполагаются малыми):
U) = d> —Qy*.
Векторы у, 10, и у*, 10*, -©* представляют соответственно i
левые скорости систем xyz и xTyvz относительно одной и той 1
орбитальной системы координат x0yoZ0, и поскольку систеи
xyz и xryrz жестко связаны, можно выразить ф* и у* через 10
у. Полагая векторы 10, у (ф*, у*) направленными вдоль ос
у, х (ут, хг), что при малых углах допустимо, согласно рис. '
получим
Ф* = ф cos Ро + Y sin 0о>
Y’i = — ф sin 0О 4-у cos р0
или после умножения на At
Ф* = Ф cos 0о-j- Y sin 0о,	(4. |
у*= — ф sm 0o + y cos 0O.	(4 J
Исключая в уравнениях (4.2) и (4.3) переменные ф, у*, Ц
ХОДИМ	I
ф* = —Q tg0о'-*4	-5—уД-(1)	(41
COS Ро	j
1 Предполагаем, что связанные оси xyz одерживаются вблизи орбитам
них осей xayaza при помощи системы стабилизации ИСЗ
62
Здесь 10* —угол поворота спутника вокруг оси ут относитель-
орбитальной системы xoyozo, со — составляющая абсолют-
Яой угловс® скорости спутника по оси ут (может быть измерена
дуС), й — угловая скорость орбитальной системы, представля-
ющая собой при круговой орбите постоянную величину, у —
год крена спутника, измеряемый ИКВ
у Если решить уравнение (4.4) относительно ф*, то воспользо-
вавшись связью
Рис 4 3 Системы коорди
нал, связанные со спутником
Рис 4 4 Углы, определяющие поло-
жение связанной системы в орби-
тальной системе координат
вытекающей из уравнения (4 За), можно определить и угол
рыскания спутника ф.
Уравнение (4.4) можно моделировать с помощью ДУС и
электронного интегратора, или с помощью интегрирующего по-
плавкового гироскопа Перед тем как переходить к соответствую-
щей схеме, рассмотрим возможную ошибку ф* в оценке угла
Ф* Пусть со и у — показания ДУС и ИКВ, а Дсо и ду — ошибки
в этих показаниях (первичные ошибки), приводящие к ошиб-
KaM^*, Уравнения, связывающие приборные значения ф*, у,
<0> ^получаются из уравнений (4.4) и (4.5) изменением обозна-
чений переменных. То же самое справедливо и для ошибок
•Дю—(у — ду = у—у, ф* —ф* — ф*? т. е,
—	— о
--* = -2 tg 0оф* 4---— ду -+- д«).
cos 0О
Пусть при моделировании уравнения (4.4) используется ни-
трирующий поплавковый гироскоп. Как известно, в этом при-
Ре гироскопический момент Нсо и момент, развиваемый мо-
(4.6)
63
ментным датчиком, уравновешиваются моментом от сил вяз!
го трения в поддерживающей жидкости. Этот гироскоп в р|
сматриваемой задаче выполняет роль измерителя угловой си
рости спутника со и роль интегратора, входная величина кото]
го выражается правой частью уравнения (4.4), а выходи
(угол поворота поплавковой камеры) соответствует углу ф*. |
Схема моделирования уравнений (4.4) и (4.5) представлю
на рис. 4.5. Член со реализуется гироскопическим моментом Ц
возникающим вокруг оси камеры при вращении прибора вмес
Рис 4 5 Схема реализации гироорбиты при использовании инте
грирующего поплавкового гироскопа
разви)
№ :
со спутником вокруг оси уг, член —Ту- у — моментом,
емым моментным датчиком при подаче сигнала
коэффициент усиления датчика) и член —й tg (Зо'ф* — момет
ным датчиком и отрицательной обратной связью с коэффицис
том усиления —sin (Зо- На структурной схеме прямой связ;
—sin ро учтено также уравнение (4.5) и, следовательно, отрад
переход от угла ф* к углу ф*. Чтобы угол поворота поплав1
вой камеры был ф*, на структурной схеме принято равенст
кинетического момента коэффициенту сил вязкого трен
Ошибки измерения Ду и Дев ИКВ и гироскопа выступают ]
структурной схеме как внешние воздействия. Влияние эт]
ошибок на выходную величину можно оценить, составив nej
даточные функции, связывающие эти ошибки с выходным
ряжением и1:
и (S) = /фу ($) = к I	Ро) I---------W4___________1 . (4.
L s + й tg ₽о cos ₽о О + 2 tg Ро) J
1 Черта сверху отмечает изображения по Лапласу
Основной ошибкой интегрирующее гироскопа является его-
ппейф- Если скорость дрейфа принять постоянной (Доэ = const) „
то в установившемся режиме
Кф(оо)=——------,
2 sin Зо
так что при Ро=О ошибка ф(оо) бесконечно велика. По этой
причине ось чувствительности уг интегрирующего гироскопа
нельзя совмещать с осью у спутника, т. е. должно соблюдаться
условие (30=0=0. Это условие следует дополнить требованием
р0>0, обеспечивающим замкнутой системе (см. рис. 4 5) устой-
чивость.
Если ошибка ИКВ состоит из высокочастотных составляю-
щих (аппроксимируется белым шумом), то, как это видно из
уравнения (4.7), в установившемся состоянии
?Y(7M)(-Q-->tg^) s/Ctg{Uv(A), (4.8)
7“ + й tg ₽0
т. е. ошибка |ф(/со) | тем меньше, чем меньше (30. Таким обра-
зом, угол Ро может лежать лишь в пределах 0< (30<90р и вы-
бирать его конкретное значение необходимо, используя компро-
миссный подход
4.2 НАБЛЮДАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО КАК ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА
Эвристический подход, использованный в предыдущем раз-
деле, может быть применен и в других случаях. Например, в
структурной схеме системы стабилизации летательного аппара-
та угол наклона траектории 0 связан с углом тангажа О через
кинематическое звено с передаточной функцией 1 t • Для из-
мерения 0 в автопилоте обычно применяют линейный акселеро-
метр с осью чувствительности, направленной по поперечной оси
летательного аппарата. Можно, однако, этот же угол получить
с помощью наблюдающего устройства, представляющего собой
^С-контур с передаточной функцией на который с гиро-
вертикали подается сигнал й.
Эвристический подход приводит к успеху не во всех случаях.
Наблюдающие устройства, получаемые с его помощью, реализу-
ются иногда, как в указанном здесь примере, звеньями разомк-
нутого цикла и, следовательно, весьма чувствительны к измене-
нию параметров. Кроме того, этот подход предоставляет весьма
огРаниченные возможности выбора динамических свойств наб-
людающего устройства. Известны регулярные методы синтеза
Наблюдающих устройств, свободные от указанных недостатков.
3	4267	65
64
Эти методы излагаются в настоящем и в трех последующ^
разделах.	:
Начнем с рассмотрения принципа действия наблюдающе]
устройства. Предположим, что в распоряжении имеются
1)	объект
х Ах Вп;	(4.,
2)	доступный измерению солярный выходной сигнал об;
екта
у(/) = Сх(/), С = [С1,...,С„];	(4.1
3)	доступный измерению матричный входной сигнал u(Z)
А, В, С, х, и обозначают матрицы соответственно размер:
пХп, пХт, 1Х/г, мХ1 и mxl. Опираясь на знание сигнал!
y(t~), u(t) и матриц А, В, необходимо оценить вектор состоян!
объекта х(/).
Если через х обозначить оценочное значение вектора х, •
оценочное значение выходного сигнала у будет Сх Оценка
содержит ошибку, если Сх отличается от результата, получе
кого реальным измерением сигнала у. Задача состоит в то
чтобы ошибку у — Сх свести к нулю
Зная А, В, u(t) и начальное значение x(zt0), можно оцени1
х(/), если подвести сигнал u(t) к электронной модели обьек
х = Ах-|-Ви,	(4.1
где х(/0) задано. Недостаток оценивающего устройства (4 1
состоит в том, что оно действует по разомкнутому циклу и, п
скольку данные об А, В и u (if) неточны, после некоторого в|
мени работы это устройство будет давать слишком неточна
оценку вектора х. Чтобы при сохранении линейности данно
устройства устранить отмеченный недостаток, было предложе’
[18] ошибку у—Сх ввести в каждое из уравнений системы (4 11
т. е перейти к оценивающему устройству	]
x = Ax-(-Bu4-K(i/—Сх),	(4.
где
Устройство, описываемое уравнением (4.12), оценивает в|
тор х по замкнутому циклу и в дальнейшем называется набл|
дающим.
Если ошибку оценивания определить как
х = х — х,	'	(4.
00 h X Ч ; к Сс / - с / , __ /ч у -
т0 эТу ошибку можно находить из уравнения
х = (А — КС)х,	,4. 14)
оЛуЧаем°го вычитанием уравнения (4 9) из уравнения (4 12).
рыбрав коэффициенты усиления Ki , Кп так, чтобы система
/4 14) была устойчивой, получим х(/)->0 при	Другими
словами, с ростом t оценка х(/) стремится к оцениваемому век-
тору Х(П- Если по измеренному сигналу y(t) объект (4 9) пол-
ностью наблюдаем1, то выбором коэффициентов Ki, .,Кп замк-
нутой системе (4 12) можно придать любое желаемое распреде-
ление корней (см разд 4 3)
В разд 4 2 даны предварительные соображения, приводя-
щие к схеме наблюдающего устройства частного вида (наблю-
дающее устройство идентификации). Существуют и другие схе-
мы, когда вектор состояния наблюдающего устройства связан
с вектором состояния наблюдаемого объекта более сложной
зависимостью Все эти схемы вытекают из общей теории наблю-
дающих устройств.
4.3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НАБЛЮДАЮЩИХ УСТРОЙСТВ
Рассмотрим сначала задачу наблюдения свободного объекта
Si, т е объекта, входной сигнал и которого равен нулю Если
имеющиеся в распоряжении выходы этого объекта используют-
ся в качестве входов линейной системы S2, то система S2 почти
Рис 4 6 Объект и наблюдающее хст
ройство
всегда может служить в качестве наблюдающего устройства
объекта Sj в том смысле, что ее состояние отслеживает линей-
ное преобразование вектора состояния объекта (рис 4.6)
Математически это выражается следующим образом Пусть
$1 — свободный объект
х(/)=Ах(/),	(4.	15)
воздействующий на систему S2
z(/)=Fz(/) + Hx(f).	(4.	16)
Предположим, что существует матрица преобразования Т,
Удовлетворяющая уравнению
ТА —FT = H.	(4.17)
1 О наблюдаемости см разд 4 4
3*
67
Тогда при z(0)=Tx(0) справедливо соотношение z(£)=Tx(i
для всех /2^0 или в более общем случае, когда z(0)=£Tx(0),
z(/)=Tx(/)-|-eFZ [(z(0) — Tx(0)].	(4. 1
При отрицательности собственных значений матрицы F cbi
ббдные колебания наблюдающего устройства, выражаемь
вторым членом (4 18), затухают и вектор состояния z(Z) это!
устройства сходится к вектору Тх(/).
Справедливость соотношений (4 16) — (4.18) доказываете
следующим образом Умножая слева уравнение (4.15) на Т
вычитая полученное уравнение из уравнения (4 16), находим
z (/) — Тх (/)=Fz (/) Нх (/) — Т Ах (/)•
Подставляя вместо Н выражение (4 17), приходим к ура
нению
z(/)-Tx(/)=F [z(/)~ Тх(/)],
решением которого является (4.18)
Можно доказать, что уравнение (4 17) имеет единственна
решение Т, если у матриц А и F нет общих собственных знач)
ний Таким образом, некоторая система S2, корни которой о)
личны от корней объекта Sb может служить для этого объек1
наблюдающим устройством в том смысле, что ее вектор со,
тояния z связан с вектором состояния объекта Si соотношен|
ем z = Tx, где матрица Т, определяемая из уравнения (4.171
зависит от параметров систем Si и S2. Следует отметить, чт
порядок систем Si и S2 не обязательно должен быть один^
ковым.	।
Нетрудно получить наблюдающее устройство и для возм)
щенного объекта, т. е. объекта с ненулевым входным сигналб
и(0, если только этот сигнал поддается измерению. Для этог
необходимо входной сигнал u(Z) подвести также к наблюдай
щему устройству. Действительно, если объект Si описывает^
уравнением	'
х(/)=Ах(/)-|-Ви(/),	(4.11
то уравнение дополненного указанным образом наблюдай
щего устройства	s
z(/)=Fz(/)4-Hx(/) + TBul/)	(4.2(
будет по-прежнему иметь решением выражение (4.18). В это
можно убедиться с помощью преобразований, аналогична
проведенным для уравнений (4.16) — (4.18). Отсюда следуё
что наблюдающее устройство для возмущенного объекта можг
синтезировать, полагая сначала объект свободным, а затем д
бавляя входной сигнал, как это указано в (4.20).
4.4. НАБЛЮДАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО ИДЕНТИФИКАЦИИ
Это наблюдающее устройство должно характеризоваться
м что матрица преобразования Т, связывающая вектор сос-
тояния наблюдающего устройства с вектором состояния наблю-
даемого объекта, единичная. Тогда z(f) = Тх(/) = Ix(Z) =х(0,
1 е. наблюдающее устройство идентифицирует (определяет)
вектор состояния объекта. Требование Т=1 может быть выпол-
нено выбором параметров наблюдающего устройства, т. е. его
матриц F и Н.
Уравнение и структурная схема
Подставляя Т = 1 в (4.17), находим F = A—Н, откуда следу-
ет, что наблюдающее устройство Si имеет в данном случае тот
же порядок, что и наблюдаемый объект S2. Легко видеть, что
свойства наблюдающего устройства (матрица F) зависят от вы-
бора матрицы Н.
Матрица Н определяется как порядком измеряемого векто-
ра выходных сигналов объекта, так и структурой входа наблю-
дающего устройства. Если объект с r-мерным выходом у описы-
вается уравнениями
х(/)=Ах(/);	(4.21а)
у(/)=Сх(/),	(4.216)
а наблюдающее устройство — уравнением
z(/)=Fz(/)-|-Ky (/),	(4.22)
то Н = кс. При синтезе наблюдающего устройства (гХи) —
матрица С фиксирована, а (пХг)—матрица К произвольна.
Следовательно, наблюдающее устройство идентификации S2 од-
нозначно определяется выбором матрицы К и описывается урав-
нением
х(/)=(А-КС)х(/) + Ку(/) + Ви.	(4.23)
Структурная схема этого наблюдающего устройства показа-
на на рис. 4.7. При скалярном выходном сигнале объекта г/урав-
нение (4.23) переходит в уравнение (4.12).
Собственные колебания наблюдающего устройства S2 зави-
сят от собственных значений матрицы А—КС. Следовательно,
Матрицу К необходимо выбрать так, чтобы придать корням сис-
темы (4.23) заранее предписанные значения (в любом случае
“СЩественные части корней должны быть отрицательны).
. Можно доказать [27], что при действительных матрицах С и
а собственные значения матрицы А—КС выбором К могут быть
^Деланы равными собственным значениям любой наперед за-
68
69
данной (яХп)—матрицы тогда и только тогда, когда сво!
ная система
x(f)=Ax(if);
у(/)=Сх(/),
т е. рассматриваемый объект (С, А), полностью наблюдав
Рис 4 7 Наблюдающее устройство идентифика
ции
Условие полной наблюдаемости
Полная наблюдаемость системы (С, А) означает возм
ность определения начального состояния х0 этой системы пс
выходному сигналу у(/), известному на некотором конеЧ
интервале t (началу интервала соответствует х0). Если для i
темы (С, А) ранг матрицы наблюдаемости
Q„ = [С7 АгСг(Аг)аСг...(АГ)Я~1С7']	(4
равен порядку п системы, то система (С, А) полностью наб
даема. Если ранг QH меньше порядка объекта, то это означ
что по измеренному выходному сигналу у(/) можно оценит!
все, а лишь некоторую часть переменных состояния объекта
Пример. Необходимо проверить, является ли объект
(4..
(4-'
полностью наблюдаемым.
qh=[Сг (А7 су (АО3 cq=
р данном случае матрица наблюдаемости
|“0 0 ₽ О’
0 0 0 ₽
1 0 0 0 ’
0 10 0
Определитель этой матрицы det QH = p2. Следовательно, ранг
Qn равен порядку объекта п=4 и объект полностью наблюдаем.
Таким образом, измеряя у=х3, можно при помощи наблю-
дающего устройства—восстановить__полный—вектор -состояния
ggbggfaTxi, Х2, х3, хл]г, а наблюдающему устройству придать
любые собственные значения. _	’	~ ~
'"* Действительно, согласно (4.23) и (4.25) наблюдающее уст-
ройство идентификации описывается уравнениями
x2=x1Ji-K2(y — y'lA-u;
x3—xt-\-K3(y — yY,
х^х^К^у — у) — и.
Записывая уравнения (4.25) в поэлементной форме и вычи-
тая их из соответственных уравнений (4 26), получим
Х± — Х2 /С ]Х3,
х2 == х^ К 2^3;
(4-26)
)
Л3--М ‘ v 3^3’
Х4 = pJCj Ktx3,
где x1=xl — x1,...,xi=xi—xi — ошибки оценивания переменных
состояния.
Этой системе соответствует характеристическое уравнение
«4+-Ж4 - 1) s* +	- K3)s + ₽К2 - К,=0. (4. 27)
Предположим, что для наблюдающего устройства желатель-
вы двукратный корень si,2 =—3 и комплексные сопряженные
к°рНи s3,4=—3±/3. Тогда желаемый характеристический поли-
вом наблюдающего устройства
(«+3)а($4-34- /3)(s + 3-/3)=s4+ 12s3 4-63^+ 162s 4- 162.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s это-
г° Полинома и левой части уравнения (4.27), получим
^3=12, х4=64.
70
71

Предположим теперь, что выходным сигналом объев
(4.25а) служит (подвергается измерению) переменная сост<
ния X]. Тогда уравнение (4 256) принимает вид
у = [1 0 0 0]х,
что приводит к матрице наблюдаемости
” 1 0 1 0 '
0101
0 0 0 0	
0 0 0 0
Определитель этой матрицы равен нулю Следовательно, рг
QH меньше порядка объекта и объект неполностью наблюда
Поступая так же, как в предыдущем случае, приходим
следующей системе уравнений относительно ошибок оцени
ния
•Xj	УС 1 лу	’
.х2=(1-
•Х3= К^Х\~ xt,
х^^ — К^х^
Характеристическое уравнение этой системы
s2 (^-{-УС^д-УСг — 1)=0.
Два корня характеристического уравнения равны нулю
Это означает, что при t—>оо две ошибки оценивания не ст
мятся к нулю. Легко видеть, что эти ошибки х3 и х4 Таким 1
разом, при измерении Xj наблюдающее устройство идентифи
ции оценивает лишь переменные состояния Xi и Хг.	।
Разделение собственных значений
Докажем теперь, что корни замкнутой системы, образой
ной объектом, наблюдающим устройством идентификации (j
используется в качестве измерителя переменных состояв
объекта) и регулятором, разбиваются на две независимые гр
пы. Одна группа — это корни замкнутой системы «объекг+
гулятор», синтезированной в предположении непосредствен
го измерения всех переменных состояния объекта; другая гр
па — корни наблюдающего устройства, представляющего со<
независимую динамическую систему. В данном случае урат
ния всей системы
х = Ах + Ь«,	(4.28а)
У = Сх;	(4.286)
х=(А —КС)хд-КуН-Ь«;	(4. 28в)
и = ~ рх,	(4.28г)
где (4 28а) и (4 28 6)—уравнения объекта с одним входом и
одним выходом, (4 28в), (4 28г)—соответственно уравнения
наблюдающего устройства идентификации и регулятора. Вводя
вместо переменных х, х переменные х, х, где х = х—х, уравне-
ния (4 28) легко преобразовать к виду
х = (А — bplx — bpx,	(4.29а)
х = (А — КС)х.	(4.296)
Уравнение (4 296) получается вычитанием (4.28а) из (4 28в)
и заменой у на Сх. Уравнение (4 29а) образуется подстановкой
-рх в уравнение (4 28а) и последующей заменой х = х + х.
Система уравнений (4.29) имеет треугольную матрицу
A — bp — bp 4
0 А —КС
Отсюда следует, что характеристический полином этой сис-
темы
det (si — А - - bp)flte/($I — А-фКС)
представляет собой произведение характеристического полино-
ма упомянутой замкнутой системы «объект + регулятор» и ха-
рактеристического полинома наблюдающего устройства
Таким образом, регулятор р можно синтезировать, предпо-
лагая идеально точное непосредственное измерение переменных
состояния объекта, а параметры наблюдающего устройства вы-
бирать, руководствуясь только желаемыми динамическими
свойствами этого устройства Обычно матрица К выбирается
такой, чтобы корни наблюдающего устройства были несколько
более отрицательными, чем корни замкнутой системы, состоя-
щей из объекта S2 и регулятора, формирующего по выходному
сигналу наблюдающего устройства закон регулирования
Пример. Рассмотрим объект, структурная схема которого
показана на рис 4 8 Записывая согласно структурной схеме
Дифференциальные уравнения отдельных звеньев, получим сле-
Д}юп не уравнения об секта в переменных состояния
I х{ -2 "t 1 b х1 I | 0 I
I х. ’ о 4 И 1 к	<4 30а>
0-11 0]
(4 306)
72
73
Поскольку выход объекта у = Х\ — скалярная величина,
рица К, характеризующая вход наблюдающего устрой
идентификации, должна быть типа (2X1), т е.
АлюДаЮЩее УСТР°ЙСТВО порядка м—г. характеризуемое векто-
оМ состояния z(0 размерности п—г.
Р Пусть Т —матрица типа (п-г)Хл, преобразующая вектор
„ в вектор z Тогда оценку х(£) всего вектора х(/) можно полу-
пить из уравнения
Т
С
z
У
Тогда матрица этого наблюдающего устройства
X (/).
А —КС =
решая это уравнение относительно х(/), находим
Рис 4 8 Объект второго порядка
а характеристический полином
det (XI — A -j- KC) = s2 -j-(3 К J s -j-2 -j- К j-j- К%.	(4»
Предположим, что для наблюдающего устройства жел!
лен двукратный корень —3. В этом случае желаемым xapai
ристическим полиномом этого устройства будет
($ ^3)2 = $24-6$4-9.
Приравнивая коэффициенты (4 31) соответственным Kq
фициентом (4.32), находим Ki=3, ./<2=4. Следовательно, I
блюдающее устройство идентификации описывается уравнен)
г1
^2 .
—5 Г ' zr
—4—1 г2
4.5. РЕДУЦИРОВАННОЕ НАБЛЮДАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО
Наблюдающее устройство идентификации обладает нек(
рой степенью избыточности. Избыточность выражается в 1
что данное устройство оценивает весь вектор состояния обье
х(/), хотя часть этого вектора можно определить и по резу
тэтам непосредственного измерения выходного сигнала у.
избыточность можно устранить, синтезируя редуцирован
наблюдающее устройство, т. е. устройство, порядок котор
более низок, чем порядок наблюдаемого объекта.
Если вектор у(/) выходных сигналов объекта, поддающи
измерению, имеет размерность г, то для оценки всего и-мерв
вектора состояния объекта х(/) достаточно синтезировать
где в правой части фигурирует измеряемый вектор [zy]7'.
Редуцированное наблюдающее устройство можно синтезиро-
вать следующим образом Пусть объект описывается уравне-
ниями
х(/) = Ах(/)+Ви(/);	(4.33а)
у(/) = Сх(/).	(4.336)
Не теряя в общности, предположим, что г выходов объекта
линейно независимы. Это эквивалентно тому, что матрица С име-
ет ранг г. Вследствие возможности соответствующей замены
переменных матрицу С примем в виде С=[1 = 0], где I — еди-
ничная матрица типа гХг, а О —матрица типа гХ (п—г), все
элементы которой равны нулю Заменить переменные можно,
выбирая такую матрицу D типа (п—г) Хп, что матрица М =
получается неособой. Матрицу М используем затем для преоб-
разования вектора состояния х в новый вектор х согласно фор-
муле х=Мх. Подставляя х = М~4х в уравнения (4 33), получим
новые матрицы С и А, причем подбором элементов М матрицу
С можно привести к требуемой форме С=[1 0].
Теперь вектор состояния объекта можно представить в виде
x=[w]’	(4-34)
где у, w — векторы с размерностями г и п—г. Действительно,
Уравнение у = Сх, переписываемое в этом случае как
y-l'-oi)7].
лишено смысла и просто означает, что у=у Представляя
^трицу А в блочной форме
a=Iau а12]’	(4-35>
lrt21 rt22J
74
75
где Ап —матрица типа гXг, и учитывая (4 34), уравне!
(4.33а) можно записать как систему двух уравнений
у (/) = Аиу (/) -L A12w (/) + Bpi (г);	(4.3
w (/) = А21у (z=) 4~ A22w (/) 4- B2u (/).	(4.3
Идея синтеза редуцированного наблюдающего устройст
заключается в следующем. Выходной вектор объекта у(t) j
ступен измерению, так что дифференцированием можно по!
чить его производную y(t). Так как вектор входных воздей
вий и(4 тоже измеряемый, из уравнения (4 36а) находим bi
тор A12w(£), все составляющие которого измеряемы, втвед
этому вектору такую же роль, какую выполняет вектор Сх
в правой части (4.336), а систему (4 366) подобно систе
(4 33а) будем рассматривать как наблюдаемый объект.
Система (4.366) характеризуется вектором состояния w(
представляющим не поддающуюся непосредственному изд^е]
нию часть вектора состояния х(£) исходного объекта (4 331
и имеет в качестве измеримого внешнего воздействия A2ijS
+B2u(t). Синтезируя наблюдающее устройство идентификащ
для объекта (4.366), можно оценить вектор v/(t) и тем сами
решить задачу оценки недостающих составляющих вектора I
стояния х(0 исходного объекта. Если система (С, А) па
ностью наблюдаема, то полностью наблюдаема и подсисте!
(А12, А22). Отсюда вытекает возможность синтеза для обьеи
(4.366) наблюдающего устройства идентификации по ряд
п—г с любыми желаемыми значениями корней.	’
Как уже отмечалось, за выходной сигнал объекта (4 3$
принимаем сигнал A12w(Z). Этот сигнал аналогичен сигнав
(4.216), причем матрица А12 выполняет ту же роль, что и mJ
рица С. Подставляя в общее уравнение наблюдающего устрд
ства идентификации (4.23) вместо А, С, К соответственно я
А12 и L и учитывая, что в наблюдаемом объекте (4. 366) рд
выходного сигнала yi выполняет сигнал A12w=y(^)—А1]у(/)|
Bju(/), получим следующее уравнение наблюдающего ycipq
ства идентификации (п—г)-го порядка:
w (/)=( А22 - L А12) w (/) + L [у (Z) - А11У (/) - FlU (/)] +
+ А21у 4-B2u (/).	(4.3
«	J
В этом уравнении, как и должно быть, учтен внешний сигн]
А21У+В2и(0, фигурирующий и в уравнении наблюдаемого od
екта (4.366). Выбором матрицы L корням наблюдающего у!
ройства (4.37) можно придать любые желаемые значения 1<<
да входной сигнал и не доступен измерению, матрицу
целесооиразно выбирать из других соображений. Именно э
матрицу Надо брать такой, чтобы на структурной схеме набл^
76
яа1Ощего устройства (см рис 4.9 и 4.10) передаточная функция
о--LBi обратилась в нуль В этом случае редуцированное
дблюдающее устройство будет инвариантным в отношении при-
Рис 4 9 Редуцированное наблюдающее устроист
во, пспо тъз} ющее производные
доменных к объекту внешних воздействий (о влиянии воздей-
ствий более подробно см гл 5)
Структурная схема наблюдающего устройства, составленная
по уравнению (4.37), показана на рис. 4 9. Дифференцирования
вектора у можно избегнуть, если точку суммирования 1 пере-
Рпс 4-10 Редуцированное наблюдающее устройство, не
требующее дифференцирования сигналов
Нести со входа интегратора на его выход В результате для
объекта (4.33а) получаем окончательную структурную схему
Редуцированного наблюдающего устройства, показанную на
Рис. 4.10 Этой схеме соответствует уравнение
Z(C —(А22 LA12)z(t)-]-(A22 LA12)Ly (/) -ф(А21 — LAU) у(^-р-
+ (B2-LB1)u(/),	(4.38)
77
где z Z)=w(7) —Ly (7) суть (n—г)-вектор состояния наблюдэд
щего устройства, a w(Z)—его выходной вектор
Пример. Продолжим рассмотрение объекта, показанного |
рис. 4.8. Этот объект представляет собой систему второго п
рядка с одним выходным сигналом у=х\, который будем пре
полагать измеряемым Для получения измеримой оценки в^
рой переменной состояния синтезируем редуцированное набл]
дающее устройство первого порядка
Рис 4 11 Редуцированное наблюдающее устройство,
присоединенное к наблюдаемому объекту
Матрица С уже имеет требуемую форму С=[1 0] [с|
(4 306)]. Учитывая (4 35), на основании (4 30а) приход^
к выводу, что входящие в систему (4.36) матрицы в даннО
случае обращаются в скаляры
4и=—2, Л12=1, Д21=0, Д22=-1, #1=0, Д2=1. (4.3
Придадим наблюдающему устройству собственное значен!
—3, для чего, как это видно из (4 38) и (4 39), необходимо п>
дожить L = 2 Принимая схему наблюдающего устройства, п
казанную на рис 4.10, находим для звеньев этой схемы след
ющие передаточные функции
В2 — LBi—l, А21 — LAu —4, Д22— LA12=— 3
\ читывая, что в принятой схеме наблюдающего устроист]
роль сигнала у выполняет измеряемый входной сигнал объек-
Х1, приходим к схеме, показанной на рис 4 11
4 6 РЕДУЦИРОВАННОЕ НАБЛЮДАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО
• В СИСТЕМЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Продольные колебания летательного аппарата относитель!
центра масс обычно описывают уравнениями
6=С3а,	(4.4С
&=—Сга — С28,	(4 4С
0,	(4 401
78
л, 9, а и 6 — соответственно углы тангажа, наклона траек-
Гооии’> атаки и отклонения руля высоты Уравнение (4 40а) вы-
Тджаёт баланс нормальных к траектории аэродинамических
Р л уравнение (4 406) — баланс моментов относительно центра
с’с и уравнение (4 40в) —кинематическое соотношение между
углами
Чтобы сформировать объект в том смысле, как он понимает-
сЯ в модальном управлении, добавим к системе (4 40) уравне-
ние рулевой машинки
* +	(4 41)
Примем в качестве переменных состояния объекта
= х2=&, х3 = 8, х5 = 6.
Тогда система уравнений объекта
х^ -— СуХ2 ' С?х3
«^2----*^1’
1	. ч
Х„ =---------X. -J---------и,
<	о у
(4.42)
или в матричной форме
(4 43)
А
х2
xs
х4
i4 44)
В принципиальном отношении все переменные состояния
объекта доступны непосредственному измерению: угловая ско-
рость х1='-Р может быть измерена ДУС, угол тангажа х2=<&—
гировертикалью, угол отклонения руля х3 = д — потенциометри-
ческим датчиком и угол наклона траектории 9 (если скорость
полета по модулю неизменна)—при помощи акселерометра1
1 Показания акселерометра пропорциональны углу атаки а Поэтому,
иая угол тангажа О, по уравнению (4 40 в) можно определить угол наклона
тРаектории 9
79
•с осью чувствительности, направленной по поперечной оси об<
екта Однако для упрощения и удешевления аппаратуры, ni
особенно существенно для малогабаритных ракет, стремят^
обойтись минимальным числом приборов Особенно нежел
тельно применение трехстепенных гироскопов, чувствительнь
к разбалансировкам и требующих квалифицированного обед
живания Этим, в частности, объясняются значительные усилй
предпринятые в свое время для разработки различного ро^
интегрирующих гироскопов, призванных заменить свободна
гироскоп
Редуцированное наблюдающее устройство открывает во
можность свести число измерительных приборов до принцип
ально необходимого минимума Чтобы решить, какие прибор
и в каких сочетаниях требуются для получения полной инфо
мации о векторе состояния объекта, необходимо проверит
имеют ли соответствующие матрицы наблюдаемости объек
полный ранг Проверим это для объекта (4 43)
1 Пусть переменные хз=6 и г4=9 измеряются приборам
Требуется определить, возможна ли оценка переменных xt =
и х2 = 'О’ наблюдающим устройством В математической пост
новке задачу можно сформулировать следующим образом Я|
ляется ли объект
х = Axrbu
У = Сх,	(4 41
где
с.Г0 0 1 О'
[О О О 1J ’
а матрицы А, Ь, х определяются выражениями (4 44),
ностью наблюдаемым Составив для этого объекта при
(4 44) и (4 46) матрицу наблюдаемости
(4.4
по.
уче1
QH = [CrArCr (АГ)2СГ (АП3 Сг] =
“О О	О	О О С3 О -~С|
0 0	0 С, 0	0 —qq + q
О	О	-*-0'0
1 0 -		!_ т	0 — 7-2	0		i_ уз	-С2С3
0 1	0	-С3 0	q	0	qq-q _
видим, что например, определитель, состоящий из второго, ч<
вертого, шестого и последнего столбцов этой матрицы, рав—
—С2С33, т е отличен от нуля Следовательно, объект (4 45)'
(4 46) полностью наблюдаем и оценка переменных х^б-, Х2=*
с помощью наблюдающего устройства возможна
’"2 Приборами измеряются х2 = '& и х3 = 6, а х1 = '& и х4 = 0
пОдлежат косвенному определению В данном случае объект
вписывается уравнениями (4 45), в которых
а матрицы А, Ь даются выражениями (4 44)
Матрица наблюдаемости
	г°	0	1	0	0 0	-q	0
	1	0	0	0	-q о	qq	0
QH=	0	1	0		1_	-q —	— q		i_
				т		г 	тТ
	-0	0	0	р	Сг 0	qq	0 -
имеет полный ранг, так как определитель, составленный
. 1
вого, четвертого, пятого и седьмого столбцов равен------
из пер
С2, т. е.
отличен от нуля Следовательно, объект описываемый уравне-
ниями (4 45) и (4 47), полностью наблюдаем и оценка пере-
менных х^й и х4 = 0 наблюдающим устройством возможна
3 Для варианта, когда с помощью приборов измеряются
переменные Х] —й и хз=б, матрица С имеет вид
1 0 0 0'
0 0 10
(4 48)
и любой из определителей, составленных из столбцов соответ
ствующей матрицы наблюдаемости QH, тождественно равен ну
лю Следовательно, объект, описываемый уравнениями (4 45) и
(448), ненаблюдаем и определить переменные х2 = й и Х4=3
с помощью наблюдающего устройства невозможно
При измерении приборами трех переменных состояния в лю
бом их сочетании соответствующий объект всегда полностью
наблюдаем, так что определение с помощью наблюдающего
устройства четвертой переменной всегда возможно Напро-
тив, приборное измерение только одной переменной состояния
приводит к ненаблюдаемому объекту, что исключает возмож
ность оценки трех других переменных каким-либо наблюдаю-
щим устройством
Предполагая, что переменные состояния Xi = fl, x2 = fl, хз=6
измеряются приборами, синтезируем теперь редуцированное
наблюдающее устройство, предназначаемое для оценки х4=9
Уравнения (4 45) остаются в этом случае без изменения, а мат-
рица С, входящая в уравнение у=Сх, принимает вид
80
81
Основываясь на этой матрице, выделяем из первого вц
жения (4.44) матрицу Ац и, сопоставляя (4.35) с ним, нахо|
выражения других матриц, входящих в уравнения (4.36)-
Ац—
'О
1
о
-сг
о
о
о
I
т
в уравнения (4.36) 
о
о ’
А12
(4j
в2-о.
Полученная структурная схема устройства для наблюдения
еменной %4=9 представлена на рис. 4.12. Выбирая коэффи-
^енты A, h, h, можно придать этому устройству любое желае-
те быстродействие.
м дрй /1 = /2 = /3=0 структурная схема вырождается в более
п0Стую схему (рис. 4.13,а), принимающую после эквивалент-
ных преобразований вид, показанный на рис. 4.13,6.
К схеме, изображенной на рис. 4. 13, б, легко так же прийти,
исключая в исходных уравнениях движения (4. 40а, 4. 40в) угол
атаки а и образуя передаточную функцию —. Применительно
Bi =
а21=[0С30], а;
о
о
Хрм
'Г
22— --------------------------------------
Рис 4 12 Редуцированное наблюдающее устройство ле-
тателнного аппарата
Рис. 4.13. Редуцированное наблюдающее устройство лета-
тельного аппарата при /1 = /2 = /з=О
таб подающего устрой|
— порядок наблюдае1(
. 1
Матрица L, входящая в уравнение н
ва (4 37), имеет размеры niXn, где
го объекта, а гх — размерность выходного вектора этого обы
та. В данном случае наблюдаемый объект (4.366) р«<«т nni
док «1 = 1, а выходной вектор А!2Х4— размерность
этому матрицу L принимаем в виде
имеет по{
. 0 = 3, '
L =	(4.
Учитывая (4 49) и (4.50), нйходим следующие виражей
матриц, фигурирующих на рис. 4 1Q-	’

A3i — LАп — [ —/2, С1114*С\, С21г -L- — /3^ ;	(4.5
А22-ЬА12=-С3-СА.	(4.d
к рассматриваемому примеру эвристический подход заключает
ся именно в этих действиях, о чем уже говорилось в начале
разд 4.2.
Нетрудно видеть, что в отличие от схемы на рис. 4.12 вы-
рожденная схема (см. рис. 4. 13) не допускает возможности ка-
ких-либо регулировок.
Схема, изображенная на рис. 4.12, может быть реализована
 в разных вариантах Так же, как это было сделано для гироор-
биты (см. разд. 4 1), можно и здесь в основу схемы положить
интегрирующий поплавковый гироскоп с осью чувствительности,
Оправленной по оси тангажа объекта (тогда для образования
составляющей -б входного сигнала ДУС не требуется). Однако
такое решение привело бы к неоправданно усложненной схеме.
Существует очень простой вариант, заключающийся в реализа-
ции передаточных функций наблюдающего устройства -4-,	—
&	& В
и в	„
пассивными четырехполюсниками. Приняв этот вариант и
Положив /2 = 4=0, приходим к структурной схеме наблюдаю-
*Цего устройства, показанной на рис. 4.14,а, а после эквивалент-
83
82
ных преобразований—-к схеме на рис. 4.14,6. Передаточн!
функции этой схемы
9 _ Zjs . 9 _________ ZjCi 4- С3 . 9____Z
11 s 4~ C3 4- ZjCj $ s 4" 6*3 4~	о s’4“ С*з 4"
можно реализовать соответственно дифференцирующим и i
тегрирующими /?С-контурами. Выбирая Zj, можно постоянн
времени Т = -—— - этих контуров, а следовательно, и пос
C34-Z1C1
янной времени всего наблюдающего устройства (его схема ц;
Рис 4 14 Редуцированное наблюдающее устройство летательного аппара^
та при Г2 = /з=Ю	1

бражена на рис. 4. 14, б), придать любое сколь угодно малое зн-
чение. Как видно из (4 51а), принятое условие /з=0 обе^печи)
наблюдающему устройству инвариантность в отношении сиги
ла и, действующего на объект управления.	i
В принципиальном отношении такая же простая реализац!
возможна и для рассмотренной в разд 4 1 гироорбиты: вмес1
интегрирующего поплавкового гироскопа можно примени^
обычный ДУС, выходной сигнал которого, пропорциональна
угловой скорости со, должен поступать в точку, указанную |
рис 4 5, как воздействие на замкнутую систему. Замен!
замкнутую систему эквивалентными звеньями — и — t прИХодт
к схеме по структуре, аналогичной схеме на рис 4 14, но состо
щей из двух параллельных ветвей с передаточными функциям
=	______1 и ±={аЗ gctg Ро— s ,
(О cos Pq 2 tg Рз 4- S у ь ‘ 0 2 tg 80 4- S
Однако реализация этих передаточных функций /?С-конт1
рами практически невозможна вследствие огромного значен!
постоянной времени Т--------- (при Во=45° она равна перр
й tg ₽0	I
ду обращения спутника вокруг Земли). Следовательно, прим
нение интегрирующего поплавкового гироскопа в гироорбите —
вполне оправданное конструктивное решение
Перейдем теперь к рассмотрению системы стабилизации
летательного аппарата, в которой угол 9 оценивается наблюда-
ющим устройством, показанным на рис. 4.12. Поскольку харак-
теристики этого устройства зависят от произвольно выбирае-
мых параметров Л, Z2, Z3, создается впечатление, что, вопреки
доказанному в разд. 4.3 общему положению о раздельности и
независимости совокупности корней замкнутой системы и сово-
купности корней наблюдающего устройства, корни замкнутой
системы стабилизации все же зависят от параметров /ь /2, /з-
Однако, как это и должно быть, исследование конкретных сис-
тем показывает обманчивость этого впечатления: при составле-
нии передаточной функции разомкнутой системы стабилизации
сомножители, зависящие от параметров наблюдающего устрой-
ства, всегда сокращаются.
Проиллюстрируем сказанное на примере. Представим лета-
тельный аппарат и рулевую машину (объект управления) как
параллельное соединение ветвей
($) -----------1)--------------
(Ts+ 1)(7'2s2 + 2C17'1S4-1) ’
(4. 52)
IF2(s)=----------^4 21S + 1}--------,
V	S(TS4-1)(7'2S2 + 2C1T1S4-1) ’
(4. 53)
связывающих входной сигнал объекта а (напряжение, подавае-
мое на рулевую машину) с переменными состояния объекта
*!='&, х2 = '& и х3 = б (рис 4 15). Показанное на рис. 4.12 наблю-
дающее устройство представим как параллельное соединение
ветвей
U74(5)=^(T4S—1}., U75(s) = 7<4S+-,
k ’	T4s+1 5V T4s 4- 1
^(s)^-6^65^-0 , vr,(s)=-------
k T4s 4- 1	T4s + 1
P' _. h	4- Z3 „ __ ^з^рм
C3 + /1C1	6	Сз+1\С\	7 T (C3 4-ZjCi)
T 1 x — r —
4 Cs4-ZiCi’ 4 l2 ’	6	I1C2+I3
84
85
связывающих переменные состояния Xi, х2, х3 и входной сигнал
и объекта с выходным сигналом х4 = 6 наблюдающего устрой
ства (см. рис. 4.15). В цепи обратной связи р2, рз, pt подади!
переменные состояния xi, х2, х3, непосредственно измеряемы
соответствующими приборами, и переменную состояния х4, оцс
ниваемую наблюдающим устройством.
Рис. 4.115. Система «объект — наблюдаю-
щее устройство — регулятор»
Передаточные функции 1Г4—W- наблюдающего устройств!
зависящие от параметров /ь 12, 13, и звено р4 образуют одну и
цепей обратной связи вокруг объекта. Вычислим передаточну!
функцию всей системы стабилизации, разомкнутой по этой не
пи. Переместив точки съема с выходов звеньев Wj, W2, W3 на и
входы, получим систему «объект 4-наблюдающее устройство»
виде разветвления, состоящего из звеньев WS, IFi№4, W2W
и IT31F6. С использованием передаточной функции разветвлю
ния	;
Г = U7, +	+ r2r6 4- WZ3W/6
можно структурную схему, изображенную на рис. 4.15, прй
вести к более простому виду (рис. 4.16). Если в передаточну^
86
функцию W(s) подставить выражения (4.52) и (4.54), то с по-
мощью элементарных выкладок можно убедиться, что все чле-
ны, содержащие l\, 1г, h, сокращаются и в результате
Г($)=--------------,	,	(4.56)
k	s(7's + 1)(7'^2 + 2^17'1s+1)	v 1
где Ki, Л, £i зависят только от параметров объекта [(см. 4. 53)].
Таким образом, при синтезе регулятора p=[pi, р-z, рз] можно
считать, что переменная состояния объекта х4=0 как бы посту-
пает от безынерционного измерителя (хотя в действительности
Рис. 4.16. Система, эквивалентная системе, изо-
браженной на рис. 4.il5
оценивается инерционным наблюдающим устройством). Сам
синтез можно осуществить методом, изложенным в разд. 1.4.
Принимая, например, в качестве желаемой стандартную форму
Баттерворта	— j, получим при параметрах объекта
С1=36-у, С2=18-1-, Cs=1,2-L, 7=0,10	(4.57)
следующие параметры настройки регулятора:
р1==—38, а = 22, р3=44,	(4.58)
Корень S] наблюдающего устройства не зависит от значений
Pi, Pz, Рз, Pt и при /1 = 0,522, /2=0, /з = 0 равен —20.
На рис. 4.17 показан корневой годограф системы «объект+
+регулятор», построенный при изменении параметра р4 в пре-
делах от 0 до оо (pi, р2, рз оставались при значениях (4.58)).
Этот годограф позволяет судить о чувствительности замкнутой
системы «объект+регулятор» к изменению параметра настрой-
ки регулятора р4.
4.7. УСТРОЙСТВО ДЛЯ НАБЛЮДЕНИЯ
ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ПЕРЕМЕННЫХ состояния
Главная задача модального управления состоит в реализа-
ции закона регулирования и=—рх, вид и параметры которого
87
в предположении полной информации о векторе состояния
могут быть установлены методом, изложенным в разд. 1.4. Г
этому интерес представляет не столько оценка при помощи i
блюдающего устройства отдельных переменных состояния о(
Рис. 4 Л 7. Корневой годограф системы, представленной
на рис 4 16
екта, сколько оценка сразу линейного функционала этих пеп
менных, выражающего весь закон регулирования или его част
В связи с этим возникает вопрос о возможности синтеза тако!
наблюдающего устройства и его сложности.
Рассмотрим объект
х = Ах"гВи;|	f4 «
У = Сх, J
где, как обычно, х есть n-мерный вектор состояния, и—т-ме
ный вектор входных сигналов, у—r-мерный вектор выходнг
сигналов, А, В, С — матрицы (пХп), (пХт), (гХп)
Можно доказать [18], что любой линейный функционал и
ременных состояния объекта w = prx может быть оценен н
блюдающим устройством (v—1)-го порядка, причем всем ко
ням этого устройства можно придать любые желаемые знач
88
Параметр v, называемый индексом наблюдаемости, равен
наименьшему целому числу, при котором матрица
[Сг АгСг(Аг)2Сг ...:(А7')',-1Сг]
(4. 60)
имеет ранг п. Поскольку для любого полностью наблюдаемого
объекта выполняется условие v—1<п—г, причем для большинства
объектов v—1 много меньше п—г, наблюдение линейного функ-
ционала переменных состояния часто оказывается значительно
более простой задачей, чем наблюдение полного вектора состо-
яния х или его части
Итак, задача заключается в синтезе для объекта (4.59) та-
кого наблюдающего устройства с желаемыми динамическими
свойствами, (v—1)-мерный вектор состояния z которого в соот
ветствующей Комбинации с r-мерным вектором у выходных
сигналов объекта давал бы желаемый линейный функционал
ау = ргх переменных состояния объекта, т. е.
рГх(/)=Гу(/) + Г2(/),	(4.61)
где матрица-строка рг задана, а матрицы-строки fr и 1г подле-
жат определению
В общем случае векторы состояния объекта и наблюдающе-
го устройства связаны соотношением z=Tx, где матрица Т
определяется из уравнения (4.17), т. е.
TA-FT KC.		14.62)
Согласно (4 20) уравнение наблюдающего устройства
z (/) = Fz (/) + Ку (/) + ТВп (/).
(4. 63)
Подставляя в уравнение (4.61) у=Сх, z=Tx, приходим к
следующему соотношению между матрицами рг, fr и 1г:
ГС + ГТ = рС	(4.64)
Дальнейшие выкладки, основанные на этом соотношении и
свободе выбора матриц Т и К наблюдающего устройства, удоб-
нее иллюстрировать на конкретном примере.
Пример. Рассмотрим объект в виде замкнутой системы чет-
вертого порядка (рис. 4.18). Координаты xi и хз этого объекта
Доступны измерению.
Найдем сначала индекс наблюдаемости v объекта. Основы-
ваясь на структурной схеме, составляем дифференциальные
Уравнения отдельных звеньев. Система этих уравнений, записан-
ная в матричной форме, имеет вид
x = Ax-[-bu;	(4.65а)
у = Сх,	(4.656)
89
где
Рис. 4.18. Замкнутая система четвертого порядка
Выходной вектор у образуется измеряемыми переменными <
стояния Xi и х3, что и учтено структурой матрицы С.
Первый элемент блочной матрицы (4.60)
“1 о-
QT__ 0 0
0 1
о о
представляет собой матрицу, ранг которой равен двум, т. е. мег
ше п = 4. Учитывая в матрице (4.60) два первых элемента, имв
Г1 0 —2 О']
0 0
0 1
0 0
[СГ!АГСГ] =
1 0
0 -1
0 1
(4.1
Как показывает непосредственное вычисление, определите
этой матрицы (он имеет четвертый порядок) отличен от нуля. 1
ким образом, ранг матрицы (4.67), получающийся из (4.60) п
v—1 = 1, равен порядку объекта и, следовательно, индекс набл
даемости v=2. Порядок наблюдающего устройства на едини
меньше индекса наблюдаемости объекта v и в данном случае ]
90
единице. Следовательно, любой линейный функционал пере-
ве ых состояния объекта можно наблюдать, используя устрой-
ства первого порядка.
Предположим, что необходимо синтезировать устройство для
наблюдения функционала w=x2+x4, причем собственное значе-
ние (корень) этого устройства должно быть —3. Запишем урав-
нение (4.63) наблюдающего устройства в предположении, что
входной сигнал и отсутствует:
z(t}=— Зг (/)-{-Ку (/).
Вводя обозначение Н = КС, это уравнение можно записать
в виде
z(f)=—3z (/)-]-Нх(/),	(4.68)
где
Н = [А1 О А3 0].
Найдем матрицу преобразования Т вектора х(/) в скаляр
z(t), содержащий искомый функционал х2+х4.
Этому условию удовлетворяет матрица вида
Т =	1 ts 1],
так как
z (/) = Тх (/) =	ф- х2++х4.
Чтобы определить элементы t\, ts, h\, hs, воспользуемся урав-
нением (4.62):
Г—2
1	1]	Q
-1
1
—2
0
0
о О'
1 о
-1 1
о о
+ 3[4 1 ts 1]= [Ах 0 А3 0].
Переходя к поэлементным уравнениям и решая их, получим
4 = — 1, /3=—3, h4 ——2, h3=—5.
Таким образом, уравнение (4.68), описывающее наблюдающее
Устройство, при учете внешнего воздействия и принимает вид '
z(t)=—3z(t') — 2x1 — 5x3-\-u.	(4.69)
Структурная схема этого устройства, составленная по урав-
нению (4.69), приведена на рис. 4.19.
Как показывает уравнение
х2
х3
г(/)=Тх(/)=[-1 1 -3 1]
— —Х1~^~х2 — Зх3-4-л4,
91
выходной сигнал z(t) наблюдающего устройства, помимо иск
мого функционала Х2+-Ч, содержит составляющие —xt и —Зд
зависящие от измеряемых переменных состояния хц Х3. Поэтои
Рис 4Л9 Устройство для наблюдения линейного
функционала
для оценки функционала Хг+х4 необходимо указанные со ста!
ляющие добавить с противоположным знаком к сигналу z(i
(см. рис. 4.19). Следовательно, наблюдающее устройство фун!
ционала Х2+Х4 представляется всей схемой, изображенной в
рис. 4.19.
Глава 5
НАБЛЮДЕНИЕ ОБЪЕКТОВ
ПОДВЕРЖЕННЫХ ДЕЙСТВИЮ ВОЗМУЩЕНИЙ
С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
На практике часто встречаются объекты, испытывающие
действие внешних возмущений, не поддающихся измерению.
Примерами могут служить летательный аппарат, вокруг центра
масс которого в полете возникают неизвестные возмущающие
моменты, гиростабилизатор, вокруг осей карданова подвеса ко-
торого при движении основания появляются не поддающиеся
измерению внешние моменты, дрейф измерительных приборов,
входящих в объект управления, и др. Вектор состояния таких
объектов при помощи наблюдающих устройств, описанных в
предыдущей главе, не может быть оценен точно. Действительно,
при отсутствии в уравнении (4.12) наблюдающего устройства
члена Ви (этот член нельзя сформировать, так как внешние
воздействия и не доступны измерению) уравнение (4.14), из
которого находится ошибка оценивания х, принимает вид
х = (А-КС)х + Ви.	(5.1)
Из-за возмущающего члена Ви ошибка х при t—>оо не стре-
мится к нулю, и, следовательно, между вектором состояния
А
объекта х и его оценкой х всегда имеется расхождение.
5.1.	ОЦЕНИВАНИЕ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ,
НЕ ПОДДАЮЩИХСЯ ПРЯМОМУ ИЗМЕРЕНИЮ
В настоящее время известен способ [15], позволяющий в не-
которых случаях и при неизмеряемых внешних воздействиях
Давать точную оценку вектора состояния объекта (при t—>оо).
Этот способ основан на предположении, что вектор w внешних
®оздействий, не поддающихся измерению, подчиняется диффе-
ренциальному уравнению
w=Pw,	(5.2)
где Р — некоторая известная квадратная матрица. Рассмот-
рим данный способ более подробно.
93
Пусть объект описывается уравнениями
х Ах Ви-р Ew,
С
y = Cx + Dw,
где х — «вектор состояния объекта, и — т вектор изме
мых входных воздействий, w — «вектор внешних воздейс^
не поддающихся измерению, у —г вектор выходных сигна
А, В, С, D — постоянные матрицы соответствующих размё
Пусть выходной вектор у представляет собой выборку nepei
ных состояния объекта хг, измеряемых приборами Измерит;
ные приборы входят в объект управления в том смысле, чтс
уравнения учтены в уравнении (5 3а), а ошибки приборов-
тавляют часть вектора внешних воздействий w Поэтому с
ветствующим выбором матрицы D ошибки в измерении п
менных состояния хг можно выразить через вектор возмущ^
w, что и отражено в уравнении (5 36)
Излагаемый здесь способ оценки вектора состояния объе
в условиях действия возмущений с неполной информацией !
лючается в том, что производят расширение объекта управле
за счет отнесения к нему процесса (5 2), формирующего вев
возмущения w Другими словами, под расширенным объек
управления понимают объект, описываемый системой уравнё
(5 3а), (5 2) и (5 36) Помимо Xi , хп, переменными сосч
ния этого объекта являются также W\,	, wn, роль входь
сигнала выполняет измеряемый сигнал и, а роль выходног
сигнал (5 36)
Если расширенный объект полностью наблюдаем, то иЗ
женными ранее способами можно синтезировать наблюдаю!
устройство и с его помощью оценить не только вектор сост
ния х исходного объекта (5 3а), но и действующий на него 1
тор внешних воздействий w
Расширенный объект описывается уравнениями
х
W
(5.
У = [СО]
(5-
(4.
Поэтому в выражении матрицы наблюдаемости
вместо А и С должны быть использованы соответственно »
рицы
АЕ
О Р
и [CD]
Параметры модели (5 2), принятой в отношении действ]
щих на объект возмущений, в некоторых случаях поддаю!
94
поеделению Например, при установке гиростабилизатора на
° ^тельном аппарате внешние воздействия w, приложенные к
Я ростабилизатору, зависят от угловых скоростей и линейных
Ускорений летательного аппарата Основываясь на линеаризо-
ванных уравнениях движения летательного аппарата, можно
Йайти матрицу Р, входящую в \равнение внешних возмущении
гцростабилизатора (5 2) Однако в большинстве случаев еде
лать обоснованный выбор матрицы Р невозможно
Для частного случая, когда неподдающиеся измерению
внешние возмущения постоянны (w = con=t), задача определения
вектора состояния объекта и этих возмущений существенно
упрощается
В этом случае Р = 0 и матрицы (5 5) принимают вид
АЕ
О О
[С, D].
(5.6)
Если вектор w состоит только из постоянных ошибок изме
рительных приборов, то при полной наблюдаемости исходного
объекта (А, С) расширенный объект, характеризуемый матри-
цами (5 6), также полностью наблюдаем
Действительно, ошибки wx непосредственно входят в изме
ряемый выходной вектор у и, следовательно, не могут нарушить
наблюдаемость объекта Поэтому для расширенного объекта
можно синтезировать наблюдающее устройство, которое будет
оценивать как вектор состояния х, так и вектор ошибок изме-
рительных приборов w
Обратимся теперь к случаю, когда постоянные неизвестные
возмущения да, действуют на объект управления (5 За) В этом
случае возмущения да, уже не являются составляющими выход-
ного вектора у, расширенный объект может оказаться не пол-
ностью наблюдаемым, а построение для него наблюдающего
устройства — невозможным
Из этого, однако, нельзя делать вывода, что в условиях дей-
ствия неизвестных возмущений наблюдающие устройства уже
не пригодны для реализации модального управления Невоз-
можность подачи на вход наблюдающего устройства всех
внешних воздействий, приложенных к объекту, не исключает,
конечно, возможности использования этого устройства при син
тезе регулятора замкнутой системы Дело в том, что внешние
воздействия не влияют на распределение корней линейной си-
стемы. Отсутствие на входе наблюдающего устройства некото
Рьгх воздействий, прикладываемых к объекту управления, лишь
изменяет состав внешних сил, действующих на линейную
систему «объект + наблюдающее устройство + регулятор» (по
сравнению со случаем одинаковых внешних воздействий на
°бъект и наблюдающее устройство), но не влияет на распреде-
ление корней этой системы
95
Таким образом, и в условиях действия на объект пом
не поддающихся прямому измерению, наблюдающие устр
ства (если только они предназначаются для целей модальа
управления) можно формировать по законам, описанным в гл
Конечно, в любом случае вектор управления и, формируем
регулятором, надо подавать не только на объект, но и на в:
наблюдающего устройства
Отличие системы внешних сил, приложенной к объекту :
равления, от системы, учитываемой в наблюдающем устройсз
иногда позволяет оценить внешние воздействия, не достущ
прямому измерению и, следовательно, подаче на наблюдают
устройство. Эта оценка возможна в том случае, если не п
дающееся прямому измерению постоянное внешнее воздев
вие вызывает по некоторой переменной состояния объе:
статическое отклонение, а сама эта переменная измеряв
Тогда, оценивая с помощью наблюдающего устройства идей
фикации указанную переменную состояния объекта, можем
разовать разность измеренного и оцененного значений э’
переменной Установившееся значение этой разности являе
мерой постоянного внешнего воздействия, не поддающей
прямому измерению
Этот способ измерения внешнего воздействия пригоден то
ко в том случае, если другие неизмеряемые внешние воздейсп
не вызывают статических отклонений указанной переменной j
стояния объекта. Возможны и другие способы измерения внеш^
воздействий (см. разд. 6 1)	1
Что касается точного наблюдения переменных состояния о^
екта в условиях действия неизвестных возмущений, то иногда с
можно осуществить с помощью редуцированного наблюдающ^
устройства, сводя выбором L матрицу В2—LB] к нулю ((
разд. 4 5)
5.2.	НАБЛЮДЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
И ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Рассмотрим летательный аппарат, описываемый уравнения:
(см разд. 4 6) •
0 = Cact;
&=—Cj« —С2В;-т;
а = & — 0;
8 + J_8=^w.
1 т т
„	/ М
Внешнее воздействие mim-——,
щающий момент, J — момент инерции
лагать постоянной неизвестной величиной Пусть

М — внешний воз»
где
аппарата) будем пред!
— с noMomi
96
rt0ji6opoB измеряются переменные состояния й, й, причем в изме-
J.JIHOM значении 6 содержится постоянная неизвестная ошиб-
ка х Требуется синтезировать наблюдающее устройство, которое
„огло бы оценивать 6, т, х
Вводя обозначения
х1 = й, х., = &, х3 = 8-|-х, х4=0, хъ=т, хв=х,
(5.8)
долучим следующие уравнения расширенного объекта:
(5.9)
Эти уравнения в матричной форме
х = Ax + bu;
У = Сх,
где хг=[х1,...,хв], уг=[у1, у2, у3],
(5. 10)
“0 -С, -С2 С, 1 С-
10	0	000
О С3 0 -С3 о о
0	0	0	000
0	0	0	0 0 0
1 0 0 0 0 0"
0 1 0 0 0 0
001000
Матрица наблюдаемости QH, составленная при использова-
нии выражений (5 11), имеет полный ранг, что указывает на воз-
можность построения наблюдающего устройства.
Синтезируем редуцированное наблюдающее устройство по ме-
тодике, изложенной в разд. 4.5. Матрица С уже имеет предус-
4	4267
97
матриваемую данной методикой форму С=[1 0]. Поэтому:
трицу А можно разделить на блоки, как указано в выражё
(5.11). Отсюда находим
Вх =
- о
о
^р.м
Т
в2
 о
о
о

Структурную схему наблюдающего
устройства
получив!
6
&
схемы, показанной на рис. 4. 10, заменой w и у на
т
и
и подстановкой выражении
L=
41
41
41
4г
4г
4г
‘13
4з
4з
A2i lau—
4г,
4г,
4г,
4 4/4, 41,
4/4,
414,
41,
-41,
41^4 4з '
41^4 ^23
4А 4з
44-4/4, 4/4 4-4з у-
414 4“ 4
41^2 4~ 4з
414,
4/4,
B LB,=
Хрм
'4з
4з
4з
(5.

т
L можно собственным
наблюдающего устройств!
Выбором элементов матрицы
ниям матрицы А22—LAl2 (корням
придать любые желаемые значения.
знач
98
5.3.	СИНТЕЗ ЦЕПЕЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА
Цепь разгрузки одноосного гиростабилизатора может быть
«тезирована различными методами. Среди них наиболее часто
сИйМеняются методы частотный и корневого годографа. В на-
ояшем разделе показывается, что использование наблюдаю-
цих устройств и методов модального управления позволяет син-
тезировать гиростабилизатор с более высокими показателями ка-
чества, чем это достижимо с помощью традиционных методов.
Несмотря на отсутствие информации о вредных моментах отно-
сительно осей карданова подвеса, применение наблюдающих
устройств для оценки переменных состояния гироскопа с после-
дующим их использованием в цепях обратной связи вполне до-
пустимо (см. разд 5 1)
Традиционные корректирующие контуры
Основной недостаток вводимых в цепь разгрузки традицион-
ных корректирующих устройств, синтезированных частотными
-методами, заключается в высоком резонансном пике замкнутого
гиростабилизатора на частоте нутации гироскопа. Проиллюстри-
руем это на i онкретных примерах.
(5. 14)
Рис 51 Структурная схема одноосного гиростабилиза
тора
Малые колебания одноосного гиростабилизатора описывают-
ся уравнениями
ту,
где й — абсолютная угловая скорость вокруг оси стабилизации
(оси внешнего кольца), (J — угол поворота вокруг оси прецессии
(Угол поворота внутреннего кольца относительно внешнего), А,
~~ моменты инерции, Н—кинетический момент гироскопа, Кр—
коэффициент усиления цепи разгрузки, tnt, ту — внешние воз-
«УЩающие моменты вокруг осей стабилизации и прецессии
Структурная схема, составленная по уравнениям (5.14), по-
ззана на рис. 5 1 Если внутренний контур заменить эквива-
4*
99
лентным звеном, то структурная схема будет состоять из звен
Лр, представляющего цепь разгрузки, и звена W'rnp (s), предо)
ляющего гироскоп (рис. 5.2). Коэффициент усиления Кт, посте
ная времени Тг и относительный коэффициент демпфирован^
Рис. 5.3. Частотный rd
граф гиростабилизатор,
на «сухом» гироскоп^
1
_______________
s(T?sZ+ZlTrs+l)
Рис. 5.2. Система, эквивалентная системе на
рис. 5.1.
гироскопа выражаются через физические параметры приб<)
следующими формулами:	<
, ~ 1	т	АВ
г н	г	н
~ Afу + Bf
2Я/АВ ’
В приводимых ниже расчетах приняты следующие значей
этих постоянных:
Тг=— с, С = 0,05.
г 200
Для придания замкнутому гиростабилизатору устойчивост!
цепь разгрузки обычно вводят одно из следующих корректиру
щих звеньев:	;
дифференцирующий контур 1
Ts+ 1
р 'Р
— S+ 1
а
а> 1;
(5-
1 Здесь и в дальнейшем указывается передаточная функция всей ц4|
разгрузки в целом.
100
неминимально-фазовый корректирующий контур
р 1 + Ts
(5- 17)
двойной инерционный контур
-Kv--------
р (Т s + I)2
Применение этих корректирующих звеньев основывается на
следующих соображениях. Амплитудно-фазовая характеристика
гироскопа 1Т’ГИр (/«>) имеет вытянутую в направлении отрицатель-
ной части действительной оси выпуклость, обусловленную нали-
чием интегрирующего звена и малым значением относительного
коэффициента демпфирования £ колебательного звена. Уже при
сравнительно небольшом коэффициенте усиления по контуру
системы К,=КгКр эта выпуклость захватывает критическую
точку—1 (рис. 5.3).
Указанные корректирующие звенья поворачивают выпук-
лость (с целью ликвидации охватывания ею критической точ-
ки—1) против (дифференцирующий контур) или по часовой
стрелке (неминимально-фазовый и двойной инерционный конту-
ры), тогда как задача заключается в том, чтобы ликвидировать
ее. Дело в том, что выпуклость амплитудно-фазовой характери-
стики И7гир (/со) соответствует высокому пику амплитудно-час-
тотной характеристики 11^гир (/со) | на частоте нутации <о=—=
Гг
харак-
(5. 18)
= рт== , который сохраняется и в амплитудно-частотной
теристике замкнутой системы	образующейся при введе-
нии цепи разгрузки с указанными корректирующими звеньями.
Синтез цепи разгрузки методом Л КГ
Причина сохранения резонансного пика гиростабилизатора
на частоте нутации при использовании традиционных корректи-
рующих звеньев вскрывается логарифмическим корневым годо-
графом (ЛКГ) гиростабилизатора (рис. 5.4, 5.5, 5.6). Представ-
ленные на рис. 5.4, 5.5, 5.6 ЛКГ содержат комплексную ветвь
(ветвь Q), показывающую, что при любом коэффициенте усиле-
ния по контуру = обеспечивающем устойчивость, замк-
нутая система имеет комплексные корни с малым значением
Демпфирования (£=0,05). Вследствие этого амплитудно-частот-
| а (/<•>) I
HBie характеристики замкнутого гиростабилизатора j об-
ладают резонансным пиком (рис. 5.7, а, б, в). Реакции по углу
стабилизации а на ступенчатое воздействие т5 = 1 показаны на
Рис. 5.8, а, б, в и имеют резко колебательный характер.
4* 4267
101
Рис. 5.4. Обычный и логарифмический корневые годографы гиростабилиза
с дифференцирующим контуром в цепи разгрузки
/<„(Тз+1)
G (з) =-------------------—----------,
s (t2s2 _|_ 2СТГ3 + 1) I— S + 1 j
Тт 200 ’
7’ = —, С =0,05, а = 10
50
102
Рис. 5.5. Обычный и логарифмический корневые годографы гиростабилиза-
тора с неминимально-фазовым корректирующим звеном в цепи разгрузки
G(s)=----------XHTs-n----------
s (TW + 2CTs + 1) (Ts + 1) ’
r = -i’ c = 0-05
4**
103
1
100200
Л
Q
IS/
Kv=2,5(8k
Kv=20(2l
KV=00(3L
t=0
£+~0,81
t-0,1
£-0,2
**
K.-2.5
£=0,5
-20
0,05

Рис 5 6 Обычный и логарифмический корневые годографы гиростабиливат
с двойным инерционным контуром в цепи разгрузки
Kv
s(Ts+ I)2	+ 2cTrs + 1) ’
г_—L_, 7’ = —, С = 0,05
г 200	20
104
б
\<Р(/о))\-1О 7
Рис 57 Амплитудно-частотные характеристики
I а I
I $ (/ш)| = замкнутого гиростабилизатора
при различных корректирующих звеньях в цепи
разгрузки
а—дифференцирующий контур, б—неминимально фазовый
контур, в—двойной инерционный контур, г—корректнру
ющая цепь (5 19)
105
Рис 5 8 Реакция замкнутого гиростабилизатора а(0 на единичное сту-
пенчатое воздействие = 1 при различных корректирующих звеньях в
цепи разгрузки
а—дифференцирующий контур; б—неминимально фазовый контур, в двойной
инерционный контур, г—корректирующая цепь (5 19)
106
Чтобы уничтожить резонансный пик и колебательность нере-
дкого процесса, необходимо модифицировать комплексную
Хетвь Q ЛКГ таким образом, чтобы с возрастанием Kv отметка
д0 g вдоль этой ветви монотонно возрастала от 0,05 до 1. Даже
при учете постоянной времени моментного двигателя
Рис. 59 Логарифмический корневой годограф гиростабилиза-
тора с корректирующим звеном (5il9) в цепи разгрузки
неблагоприятно влияющей на устойчивость1, это может быть до-
стигнуто использованием в цепи разгрузки корректирующего
звена
(5. 19)
Сказанное подтверждается логарифмическим корневым годо-
графом замкнутого гиростабилизатора (рис. 5.9), амплитудно-
—— _______
. 1 Для систем, характеризуемых корневыми годографами на рис 5 4, 5.5,
'•б, полагалось Гя=0
107
частотной характеристикой этого гирОетабилизатора (см.
5 7, а) и переходным процессом по углу а, возбужденным едй
чным ступенчатым воздействием m? —1 (см. рис. 5 8, г) П«
даточную функцию (5 19) можно реализовать пассивным i
активным /?С-четырех1полюсником.
Применение наблюдающего устройства
Логарифмический корневой годограф открывает некотор
возможность управления корнями замкнутой системы, но не j
жет обеспечить наперед выбранное расположение всех кор!
этой системы. Желаемое расположение всех корней можно j
лучить только при использовании методов модального ynpaBj
ния и наблюдающих устройств, позволяющих оценивать не)
ступные прямому измерению переменные состояния. Ниже nj
изводится синтез системы управления одноосного гиростабил]®
тора с использованием именно этого подхода.
Исходными данными для синтеза являются уравнения о(
екта управления, т е уравнения свободного гироскопа
=	(5.2
Д* + /<$ =	+т</-	(5-2
В уравнении моментов относительно оси внешнего кольца j
тено управление и, подлежащее формированию с помощью ме1
дов модального управления пц, ту—неизвестные и неподда
щиеся измерению возмущающие моменты. Остальные перем(
ные и параметры пояснены в начале раздела
Полагая, что измеряется только угол прецессии (J, синте)
руем редуцированное наблюдающее устройство (см. разд. 4J
предназначенное для последующего использования в замкну^
контуре системы одноосной гиростабилизации.	j
Вводя для переменных состояний обозначения
х2 = ₽, х2 = Р, x3 = Q	(5J
и полагая т5 = тг/ = 0, записываем уравнения (5.20) как 
стему
%i—х2;	)
fy , Н
х2 —	~ хг-\—~х3,	г
D	D
Н	/е	, 1
х.,=------х2---- х, --и
3 л 2 л 31 л
или в матричной форме
x = Ax-j-bu; 1
У = Сх, J
108
где
О "
н
~в
Л
А
(5 24)
Матрица наблюдаемости объекта
(5 25)
имеет ранг, равный порядку объекта п=3. Следовательно, реа-
лизация устройства для наблюдения переменных состояния
х2=₽ и = Q возможна.
Матрица С, имеющая предусматриваемый методикой синтеза
вид С=[1 0], определяет необходимое разбиение матрицы А на
блоки [см. (5.24)] Следовательно,
Ац = 0, А12 = [7 0], А21=
fy Н_-
в' в
н _f^
А ’ А _
[5.26)
0 1
Вх = 0, В2 =
Звенья структурной схемы редуцированного наблюдающего
устройства (см рис 4.10) имеют матричные коэффициенты пере-
дачи
(5-27)
Характеристический полином наблюдающего устройства
^[SI-A22 + LA12] = S2 + (4 + ^ + Zi'ls+J?+4^ (5-28>
\ A D ] D D
109
показывает, что желаемое демпфирование этого устройства мр
жет быть обеспечено выбором параметра 1\, поэтому пример
/2 = 0 Структурная схема наблюдающего устройства с матричны
ми коэффициентами передачи звеньев показана на рис 5.10, ]
структурная схема с обычными скалярными передаточным!
функциями — на рис 5 11. Заменяя замкнутые контуры эквива
лентными звеньями, последнюю схему можно представить в ви
де, показанном на рис. 5 12 Коэффициенты усиления и постояв
ные времени звеньев этой схемы определяются формулами
? Т =	&
1 fy + l\B ’ fy + 1\В
(5.29
Схема наблюдающего устройства, изображенная на рис 5.12
может быть реализована с помощью суммирующих усилителей I
простых /?С-контуров
Рассмотрим теперь применение редуцированного наблюдаю,
щего устройства в замкнутой системе одноосной гиростабилиза!
ции Для простоты будем считать, что моменты вязкого трени|
на осях карданова подвеса отсутствуют, т е ft=fy=O- Провод?
эквивалентные преобразования схемы, показанной на рис 5.12
приходим к структурной схеме наблюдающего устройства, изо.
браженной на рис 5.13 На этом рисунке представлены струю
турные схемы обьекта (трехстепенного гироскопа) и регулято-
ра, так что схема в целом соответствует замкнутому одноосном]
гиростабилизатору
Наблюдаюйцее устройство, показанное на рис 5 13, достаточ
но просто реализуется пассивными 7?С-четырехполюсниками Кор
ни квадратичных трехчленов в знаменателе звеньев этого устрой'
ства равны корням наблюдающего устройства и, следовательно
легко управляемы Эти корни можно сделать действительным®
отрицательными и некратными, что и является условием реали.
зуемости передаточной функции пассивными /?С-цепями По-ви-
димому, форма наблюдающего устройства, представленная на
рис 5 13, наиболее удобна для реализации
Объединив разветвление, одна ветвь которого — 1, 2, а дру-
гая— 3, в одно звено, можно убедиться, что передаточная функ-
ция JLэтого звена не зависит от параметра 1\ наблюдающего
и
устройства Точно так же (объединением ветвей 1, 4 и 5) убеж-
Q
даемся в отсутствии зависимости передаточной функции—, от к
Обе эти передаточные функции совпадают с функциями—, — <
и и
получаемыми непосредственно из уравнений трехстепенного ги-
110
Рис 510 Редуцированное наблюдающее устройство
гироскопа с матричными коэффициентами передачи
звеньев
Рис 5 111 Редуцированное наблюдающее устройство
гироскопа со скалярными передаточными фхпкциями
звеньев
Рис 51Й Структурная схема наблюдающего устрой
ства, эквивалентная схеме на рис 5 11
111
роскопа (5.14). Отсюда следует, что параметры настройки per,
лятора pi, рг, Рз можно определять с помощью методов модал
кого управления, полагая, что переменные состояния объекта
Q поступают от идеальных измерителей.
При такой постановке задачи параметры pi, рг, Рз, обеспечь
вающие замкнутой системе гиростабилизации трехкратный к
ООъе<т
Рис 513 Система «объект (гироскоп)—наблюдающее
устройство — регулятор»
рень —гоо, были уже найдены (см разд. 1 6). Учитывая разд
чие в обозначениях переменных состояния (1 32) и (5.21) согла
но (1 42)
AR&	ЗАВи&—Н2
Pi = —— ,	Рг =----------, Рз = 3 Ло'0.
(5.2
Таким образом, замкнутый гиростабилизатор, все корни К
торого имеют одинаковое значение —<>>о, можно получить, ре
лизовав звенья наблюдающего устройства 2, 3, 4, 5 (см. рЯ
5.13) пассивными четырехполюсниками (параметру li придав
некоторое значение), а регулятор при параметрах настрой)
(5.30) — суммирующим усилителем.
Казалось бы, что реализацию можно упростить, если набл
дающее устройство и регулятор объединить в одно звено, вх€
112
ной сигнал которого р, а выходной и. Это звено имеет переда-
нную функцию
АВ (/?! + р21т) $2 + ВЦ (рхА — ряН) s +	(531
Р ABs'+ + (р?В + ЯВ/1) j + № + р2Н + р5ВЦ
'Подобно традиционным корректирующим звеньям (5.16), (5.17)
я (5 18) звено (5.31) находится в цепи разгрузки гиростабилиза-
тора (рис. 5 14). Однако предположение об упрощении реализа-
ции не подтверждается. Использование типовых значений пара-
метров гиростабилизатора показывает, что звено (5 31) неустой-
Рис 514 Система, эквивалентная системе на
рис 5 13
чиво и, следовательно, пассивным /?С-четырехполюсником не-
реализуемо. В этом нет ничего неожиданного, так как возмож-
ности цепи разгрузки, по существу, были исчерпаны уже при
синтезе этой цепи методом логарифмического корневого годо-
графа Синтезированное этим методом звено (5 19) не обеспечи-
вало любого желаемого расположения корней, а цепь разгрузки
(5 31) предназначается именно для этой цели.
Передаточная функция G(s) разомкнутого гиростабилизато-
ра зависит от параметра /1 наблюдающего устройства, так что
может сложиться представление, что вопреки общей теории кор-
ни замкнутого гиростабилизатора также зависят от этого пара-
метра. Однако в действительности параметр /1 на корни гироста-
билизатора не влияет, что подтверждается подстановкой в ха-
рактеристическое уравнение
14-G(s)=0
вместо р2, рз, например, значений (5.30); члены, содержащие
параметр /ь взаимно уничтожаются.
По сравнению с другими методами (частотным, корневых го-
дографов) метод модального управления (в сочетании с исполь-
113
зованием наблюдающих устройств) имеет существенное прей
щество. Это преимущество заключается в возможности реше|
обратной задачи, т. е. определении структуры и параметров н
ректирующих звеньев по наперед заданному расположению к
ней замкнутой системы.	j
Передаточная функция корректирующего звена, синтез^
ванная для объекта какого-либо класса, чтобы придать хара^
ристическому полиному замкнутой системы некоторую стандй
ную форму, имеет для этого класса объектов универсальное з|
чение. При изменении параметров объекта или принятой ст
дартной формы повторять синтез нет необходимости. Достаток
лишь в аналитическом выражении передаточных функций к
ректирующих звеньев изменить числовые значения соотвеэ
вующих параметров
Глава 6
САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ
НАБЛЮДАТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА
Самонастройка — это свойство системы к самоизменению в
соответствии с изменением окружающих условий или изменени»
ем параметров системы и ее внутренних связей. В настоящей
главе рассматриваются наблюдающие устройства, имеющие са-
монастройку (адаптацию) в отношении приложенных к объекту
управления внешних воздействий, не доступных прямому изме-
рению, и наблюдающие устройства с адаптацией к неизвестным
параметрам объекта управления. Эти наблюдающие устройства,
помимо оценки переменных состояния объекта, идентифицируют
неизвестные факторы, т. е. неподдающиеся прямому измерению
внешние воздействия и параметры системы, значения которых
вначале были неизвестны.
Сходство обоих видов самонастраивающихся наблюдатель-
ных устройств заключается в том, что подлежащие определению
факторы (внешние воздействия, параметры объекта) получают-
ся на выходе дополнительно вводимых в схему интеграторов,
входные сигналы которых представляют собой разность измерен-
ных и оцененных значений переменных состояния объекта
6.1. НАБЛЮДАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
С АДАПТАЦИЕЙ К ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЯМ
Наблюдающие устройства, рассмотренные в гл. 5, имеют не-
достаток, заключающийся в статических ошибках оценивания
переменных состояния объекта, подверженного действию не под-
дающихся прямому измерению внешних возмущений. В настоя-
щем разделе рассматривается новый класс наблюдающих уст-
ройств, свободный от этого недостатка.
Пусть объект описывается уравнениями
х = Ax + Bu-j-w;	(6. 1а)
У = Сх;	(6. 16)
У1=СхХ,	(6. 1в)
	115
где х—п — вектор состояния; у — скалярный выходной сигна]
У1—п — вектор другой системы выходных сигналов; и—т — вм
тор управления; w—п — вектор внешних воздействий, не пи
дающихся непосредственному измерению; А, В, С, С! — матриш
с размерами иХ«, «Х/п, 1Хи, п\п. «Пусть все элементы матр!
цы С;, не входящие в главную диагональ, а также все элеменя
главной диагонали, за исключением отдельных элементов, рав'я
нулю. Эти отдельные элементы принимаем равными единий
Они находятся в строках матрицы Сь номер которых равен ни
меру поэлементных уравнений объекта (6.1а), содержащ]
внешние воздействия даг, не учитываемые наблюдающим ус;
ройством.	]
Предлагаемое наблюдающее устройство описывается уравй]
нием
_ ~ * -
х = Ах + Ви-[-К (у — Cx)4-K-i j (У1 — Cjrfdt,	(б/
о	1
где К — матрица-столбец nXl, a K-i— (nXn) —матрица, отл]
чающаяся от Cj лишь тем, что в главной диагонали вместо ед]
ниц фигурируют коэффициенты Кг.	J
Это уравнение отличается от известного уравнения набли
дающего устройства идентификации [см. (4. 12)] интегральна
членом. Интегральный 'член присутствует не во всех поэд!
ментных уравнениях наблюдающего устройства (6.2), а лишЩ
тех, которые соответствуют поэлементным уравнениям объек|
(6.1а), содержащим неучтенные наблюдающим устройств^
внешние воздействия ®г-.
По затухании свободных колебаний, что имеет место при(|
сутствии корней с положительной вещественной частью, выхо$
ные сигналы интеграторов наблюдающего устройства равИ
внешним воздействиям Wt=const, приложенным к объекту. Да
ствительно, при вычитании уравнения (6. 1а) из уравнения (6.|
находим
t __
х=(А — КС)х — K-jCj J xdt — w,	(6.
о
где х = х— х—ошибка оценивания.	s
Продифференцировав это уравнение при учете w=const, и
лучим
х = (А —КС)х —K-iCjX.	(6.
Предположим, что характеристический полином
^[s2I-s(A-KC)+K_!CJ	(6.
имеет один корень, равный нулю (все остальные корни находя
ся в левой полуплоскости). Тогда при Z-»-oo, x->Q и х-кх-Н
116
h
где постоянная Q соответствует начальному значению интеграла,
фигурирующего в правой части (6.3). Обеспечивая Q=0, полу-
чим х->-х. Таким образом, в равновесном состоянии
w=— K-jCj? x<//=K-i f (Ух — C^dt.	(6.6)
о	6
Интегральные члены как бы восстанавливают в уравнениях
наблюдающего устройства постоянные внешние воздействия Wi,
что обеспечивает в установившемся состоянии полное совпаде-
ние этих уравнений с уравнениями объекта. Адаптивность на-
блюдающего устройства заключается в указанном восстановле-
нии внешних воздействий.
Рис. 6.11. Астатическое наблюдающее устройство
идентификации
В соответствии с принятой в теории управления терминоло-
гией будем называть предложенное устройство астатическим на-
блюдающим устройством идентификации (тогда известное на-
блюдающее устройство идентификации (4.23) следует называть
статическим).
Структурная схема астатического наблюдающего устройства
идентификации показана на рис. 6.1. К выходным сигналам это-
го устройства относится не только оценка х переменных состоя-
ния объекта, но и оценка w постоянных воздействий, приложен-
ных к объекту.
В разделе 5.1 был рассмотрен способ оценки постоянных
внешних воздействий, заключающийся в переходе к расширен-
ному объекту. Этот способ пригоден лишь при полной наблюдае-
мости расширенного объекта, которая в практических случаях не
всегда имеет место. Если исходный объект, описываемый урав-
нениями (6.1а) и (6.16), полностью наблюдаем, то оценка по-
стоянных внешних воздействий w астатическим наблюдающим
Устройством идентификации возможна и при ненаблюдаемом
117
расширенном объекте, который в данном случае никак не fl
пользуется Однако астатическому наблюдающему устройся
идентификации свойственен недостаток, заключающийся в неЗ
ходимости измерения переменных состояния, производные ко!
рых фигурируют в уравнениях объекта, содержащих внешн!
возмущения w. Эти переменные состояния не всегда доступа
прямому измерению.	1
Указанный недостаток можно устранить, если на объект де]
ствует только одно неизвестное внешнее возмущение w, а Не и
сколько, как предполагалось ранее. В этом случае достаточно]
йоэлементное уравнение наблюдающего устройства идентифий
ции, которое Соответствует уравнению объекта с возмущающи
членом w, добавить к имеющемуся члену Kt (у — Сх) интегрг
от этого же члена Другими словами, когда на объект действу!
одно постоянное возмущение а, не поддающееся прямому изм<
рению, возмущение можно оценить астатическим наблюдающи
устройством идентификации
х=Ах + Ви + К(«/-Сх)-4-К_Д	—Сх)<Д,	(6.'
° I
где J — матрица столбец (пХ1)> все элементы которой, за
ключением одного, равны нулю Отличный от нуля элемент рй
вен единице и находится в строке матрицы J, номер которой ра
вен номеру поэлементного уравнения объекта (6 1а), содержа
щего возмущение w
В системе «объект — наблюдающее устройство» установи»
шееся состояние
х=х = 0, х х	(6.8)
возможно только при условии	•
K_i ( (у —Cx)^=w=const	(6.9]
О	}
Это условие обеспечивает полное совпадение уравнения на-1
блюдающего устройства с уравнением объекта (6 1а) в устано*
вившемся режиме	;
Таким образом, выходной сигнал интегратора (6 9), входя-
щего в состав наблюдающего устройства (6 7), можно рассмат-
ривать как оценку неизвестного постоянного воздействия w, при-
ложенною к объекту Структурная схема астатического наблю-
дающего устройства идентификации объекта с одним неизвест-
ным возмущением показана на рис 6 2
Исследуем возможность построения астатического редуциро-
ванного наблюдающего устройства, предназначенного для объ-
екта с одним неизвестным возмущением т Если постоянное воз
118
мшцение tn = const входит в уравнение объекта относительно пе-
оеменной состояния, подлежащей определению, то это возмуще-
ние можно оценить астатическим редуцированным наблюдаю-
щим устройством
w=A22w-|-L(y — A ty — B,u — A12w)+
t
BjU —A12w)<7/-|-A21y-f-B2u,	(6.10)
(4 37) лишь интегральным чле-
Рис 6 2 Астатическое наблюдающее
устройство идентификации объекта с од-
ним неизвестным возмущением
о
отличающимся от устройства
ном1 Отличный от нуля эле-
мент матрицы J выделяет из
системы уравнений (6. 10)
уравнение, соответствующее
уравнению объекта, в кото-
рое входит возмущение т
Структурная схема наблю-
дающего устройства (6 10)
показана на рис 6 3
Если в замкнутой систе-
ме астатическое наблюдаю-
щее устройство использова-
но в качестве измерителя пе
ременных состояния объек-
та, то корни этой системы,
как и для традиционных на-
блюдающих устройств, раз-
биваются на две независимые группы Одна группа представляет
корни системы «объект — регулятор», а другая — корни наблю-
дающего устройства. Докажем это на примере использования
астатического наблюдающего устройства идентификации (6.7).
Предполагая, что в регуляторе используется не только оценка х
переменных состояния объекта, но и оценка т внешнего возму-
щения (эти оценки поступают с выхода наблюдающего устрой-
ства), получим следующие уравнения всей системы:
х — Ах -j- Bu Jm;
у = Сх;
(6. 11а)
(6. 116)
д.	_	~	t	л
x=Ax4-Bu+K(y —Cx)4-K_xJ j"(у — Cx)di;
о
(6 11в)
л	t
и=— Рх — P-jK-! f(у — Cx~)dt,	(6.11г)
о
1 В уравнении (6 10) w обозначает вектор состояния наблюдающего уст-
ройства
119
где J—'Матрица-столбец (nXl) с элементами, значения котор]
были указаны в связи с рассмотрением уравнения (6.7).
Уравнения (6.7а) и (6.76) относятся к объекту, а урав»
ния (6.7в) и (6.7г)—соответственно к астатическому набл
дающему устройству и регулятору. Вводя новую перемени!
t	л	“
m = K_iJ (у — Cx)dt, переписываем уравнения в виде
о
х = Ах-j-ВиJm;	(6. lj|
у = Сх;	(6.
Рис 6 3 Астатическое редуцированное наблюда-
ющее устройство объекта с одним неизвестным
возмущением
x = Ax-|-Bu + K(y —Cx)-|-Jm;	(6.1Я
т = —Сх-[-у,	(6. Ц
u=—Рх—Р_хт.	(6.12)'
......	~ i
Используя вместо переменных х, х, т переменные х, х, п
где х=х—х, т = т—т, можно при учете m = const преобраз)
вать уравнения (6. 12) к виду	;
х=(А —ВР)х —ВРх —BP_xm —BP_xm-[-Jm;	(6. 13
х = (А —KCjx-f-Jm;	(6. 13
m== — Сх.	(6. 1Э
Уравнение (6.13а) получаем подстановкой (6. 12д) в (6.12^
120
последующей заменой х = х-)~х, т — т-\-т, уравнение
(6 136) — вычитанием (6.12а) из (6 12в) и заменой у на Сх, и
уравнение (6. 13в) — подстановкой у = Сх в (6. 12г).
У Определитель системы уравнений (6.13) имеет вид
si. А ВР,
A(s) =
ВР,	ВР_!
sI-A+KC, -J
С	s
(6- 14)
О
о
где I — единичные матрицы соответствующих размеров. Рас-
крывая этот определитель по элементам первого столбца, полу-
чим для всей системы характеристический полином
д(а) =det(s\ — А + ВР)Л?/[s(sl — А-(-КС)-(-JC].	(6. 15)
Этот полином состоит из двух сомножителей. Первый сомно-
житель соответствует замкнутой системе «объект — регулятор»,
а второй — астатическому наблюдающему устройству. Таким об-
разом, при использовании астатического наблюдающего устрой-
ства происходит разделение корней системы на две независимые
группы.
Интересно отметить, что, несмотря на подвод сигнала т к
регулятору, характеристический полином det (si—А + ВР) си-
стемы «объект—регулятор» не зависит от матрицы Р—i, опреде-
ляющей схему разводки сигнала т по звеньям замкнутой систе-
мы. Это обстоятельство имеет важное значение, так как откры
вает возможность, не затрагивая устойчивости замкнутой систе-
мы, по данным от астатического наблюдающего устройства ком-
пенсировать неизвестное постоянное воздействие, приложенное
к объекту управления. В рассматриваемой системе такая ком-
пенсация происходит при выполнении условия BP~i = J.
Недостатком астатического наблюдающего устройства яв-
ляется его нейтральность, т. е. наличие нулевого корня, •днако
это не препятствует использованию данного устройства в качест-
ве измерителя постоянных внешних воздействий
6.2. НАБЛЮДАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО
С АДАПТАЦИЕЙ К ПАРАМЕТРАМ ОБЪЕКТА
Пусть имеется объект управления с одним входным и (t) и
одним выходным у (t) скалярными сигналами. Относительно
объекта известно лишь, что он n-го порядка, линейный, имеет не-
которую структуру (передаточную функцию) и неизменные во
времени параметры (значения параметров неизвестны). В рас-
поряжении имеются только входной и (I) и выходной у (t) сиг-
налы. Задача состоит в том, чтобы синтезировать адаптивное
наблюдающее устройство, которое будет оценивать вектор со-
стояния объекта х (t) и идентифицировать все параметры объ-
екта.
5 4267
121
Каноническая форма объекта
Пусть объект характеризуется передаточной функцией, стй
пень числителя которой, по крайней мере, на единицу меньц!
степени знаменателя	™
у   B$sn 1 + B\sn 2 +  • + #я_i	(g
и	sn + Aisn 1 +	+- An	j
Коэффициенты Аг, Вг неизвестны
Разделим числитель и знаменатель на полином (и—1)-й ст^
пени, все корни которого однократные действительные и отриц|
гельные, т е. на полином
(s±A2)(s + Xa)...(s + y,	(6.Г|
где Х,>0 (1=2,..., п). После этого, разложив числитель и знй
менатель на простые дроби, представим передаточную функцит
(6 16) в виде
bi +b2 -г... + Ьп	I
_У__==._______s _____________s + Хя	,g
а	1	1
s — di — «2	у-Г"— - — ап , я
S + Л2	3 4- кя
где
__ [^1 — Д0 (^2	(—‘‘'-A 2~l~ "+[Д;—1 — Bq (ХзХз—кд)] .
(—Х2 + Хз) (—Х2 + Х4)...(—Ао 4- Хя)	1
(6- 19|
&i—(Xa-j- ••• + ХЛ) —
а. {~А2+(ХгХз+—4-Хя 1ХЯ) + (Х2+ 4-Хя) [Л1—(кг-к. 4-кя)]} (—к2)я 2 4-
(—Хг 4- Х3) (—к2 4- Х<)...(—Хг + Хя)
+ — + {—А„ + (kg...кя) [Лд— (кг + — + Хя)}
(—к2 + к3) (—к2 4- к4)...(—к2 + кя)	»
Объект (6.18) можно характеризовать следующими уравне]
ниями относительно переменных состояния:	1
где и, у — входной н выходной сигналы объекта, А — диагональ
ная (п—1)Х(«—1)—матрица, элементами которой служа'
—(i=2,..., п).
122
так что
	~^2,	o,	0,. .	• , 0 -	
A =	0,	A3i	0,. .	• , 0	;	(6.21)
	- 0,	o,	o, • .		
а = [а1; а2,..., a„f, b = [дх, Ь2,..., b„f —
параметрические векторы с неизвестными элементами (6.19).
Представление объекта уравнениями (6.20) называется ка-
ноническим. Справедливость этого представления можно прове-
рить, составляя передаточную функцию согласно формуле
-^- = [1, 0,..., 0] («I —А)-1Ь.
Действительно, подставляя вместо А, b выражения, вытекаю-
щие из (6.20 а), и проводя упрощения, приходим к выражению
(6.18).
Поскольку выходной сигнал у = х^ измеряется, можно объект
(6 20) представить в форме
У
х
(6. 22)
где х—(п—1)—'вектор, соответствующий неизвестной части
[х2,..., Хп\т вектора состояния [xi, х2,..., хп]г, гг=[1,..., 1].
Будем предполагать объект (6.20), а также объект (гг, Л),
полностью наблюдаемыми. Наблюдаемость объекта (6.20) за-
висит от свойств этого обьекта. Что касается наблюдаемости объ-
екта (гД Л), то она обеспечивается указанным выбором элемен-
тов матрицы Л.
Структура адаптивного наблюдающего устройства
Уравнения, описывающие адаптивное наблюдающее устрой-
ство, имеют вид [19]
w = A w—ги;
а,= — У1УУ>	К= -\аУ’
а, = — У^у; bt=— biW,y;
(brw — \y);
i
(Z = 2,..., n),
(6. 23)
5*
123
rr = [l,	, if, \>0, y-^y-y, W=(u, w7)7,
Y(>0, 8,>0, (i = l, • , /zl	16J
— коэффициенты усиления цепей адаптации, предназначен^
для настройки параметров аг и Ьг Выбором этих коэффици^
тов можно оптимизировать скорость идентификации
Рис 6 4 Наблюдающее устройство с адаптацией к
изменению параметров объекта(а/ =	+ /ц)
Введем обозначения
a=[alt а2,..., ап]г = [а1, iff;
ь=[^, ь2>..., V=[^T;
z = гл] ,w=[w21. ., адл] ;
a,2z2 + b2w2, .. ,an^n+bnwnY=[y, x7] .
124
Тогда а, b являются оценками параметров а, Ь, фигурирую-
щих в уравнении (6 22), а х — оценкой вектора состояния объек-
та (6 22).
Схема адаптивного наблюдающего устройства (6 23), (6 24)
показана на рис 64 Она получается путем представления в ви-
де блок-схемы уравнения
('s-a1-X1+X1-a2—2--	~an—М у =
'	S 4" ^2	S
= (bl + biTZT4r  + Ь'‘~т'}и'
\	s 4- Л о	S + кп/
вытекающего из передаточной функции объекта (6 18) Действи-
тельно, из этого уравнения находим
У = ~[(^1
s 4- L\	5 -}- Х2	$ + ^л/
, ( ' .	1	,	, I \ 1
4“ I «1 а2 •	ап —-) у ,
\	8 + Л.2	8 + Хл/ J
где
Заменяя здесь параметры аг, Ьг оценочными значениями Ог, Ьг
и вводя дополнительные переменные гг, приходим к схеме
наблюдающего устройства, изображенной на рис 6 4
Рассмотрение этой схемы показывает, что уравнением состоя-
ния наблюдающего устройства является уравнение (6 23).
Об устойчивости наблюдающего устройства
Можно доказать, что параметры аг, Ьг и вектор состояния г
адаптивного наблюдающего устройства сходятся к значениям,
характеризующим объект управления Поскольку уравнения на-
блюдающего устройства (6 23) и (6 24) нелинейные, будем ис-
следовать устойчивость прямым методом Ляпунова
Представим сначала уравнение объекта (6 22) в такой же
форме, как и уравнение наблюдающего устройства (6 23)
w=Aw-[-ra,
(6 26)
Эквивалентность представлений объекта уравнениями (622)
н (6 26) можно проверить, составив по этим уравнениям блок-
схемы Такие блок схемы для объекта третьего порядка показа-
125
ны на рис. 6.5. Нетрудно видеть, что при одинаковом входи
сигнале и выходные сигналы у этих схем также одинаковы. :
Теперь вычтем уравнение (6.26) из уравнения (6.23). Бел]
ствие того, что у объекта и наблюдающего устройства^ одина)
’ вые звенья —— и сигналы и, у, получаем (z — z) = 0, w — w
s -+- Л,
Поэтому в результате вычитания находим
У = - \У + («1 - «1) У + (а - а)г Z + (£х - bj и. + (К - b)r w. (6.
Рис 6 5 Два эквивалентных представления линейной
стационарной системы третьего порядка с одним
входным и одним выходным сигналами
Примем в качестве функции Ляпунова следующую положу
тельно-определенную форму:	j
126
Произвоййная от V в силу уравнения наблюдающего устрой-
ства (6 24) и уравнения ошибки (6 27) имеет вид
п #	п
i-\	1	“7^1	'
= -W + («i-«i)i/y+ (а-аН/г-Н^-^уи-Ь
+ (Б — bfy W — (а1 — aj yy—(a — afyz —
— (bi — b^yu— (b —bfyw= —\y2.	(6.29)
Производная V получилась знакопостоянной функцией со
знаком, противоположным V. Это указывает на асимптотичес-
кую устойчивость адаптивного наблюдающего устройства при
любых сколь угодно больших начальных отклонениях его от со-
стояния объекта.
Таким образом, по завершении свободных колебаний пара-
метры a,-, bt наблюдающего устройства оказываются равными
параметрам аг, Ьг наблюдаемого объекта, а составляющие векто-
ра состояния наблюдающего устройства^,..., zn и снимаемые
с этого же устройства сигналы w2,... ,wn могут быть использова-
ны для оценки составляющих вектора состояния х наблюдаемого
объекта согласно формулам
х2= 02^4- b2w2, ...,хп= anzn-\- bnwn.
Следует отметить, что предусматриваемое этими формулами
суммирование необходимо и в сумматоре 2 наблюдающего уст-
ройства. Структуру этого сумматора целесообразно выбирать
так, чтобы селективно суммировались пары al zt и Ь^. Тогда
составляющие хг (i=2,..., п) вектора состояния наблюдаемого
объекта можно снимать непосредственно с наблюдающего уст-
ройства и вместе с параметрами ап 1,..., п), получае-
мыми от этого же устройства, использовать для модального уп-
равления.
6.3. ПРИМЕНЕНИЕ САМОНАСТРАИВАЮЩЕГОСЯ
НАБЛЮДАТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА В ГИРОСТАБИЛИЗАТОРЕ
Пусть трехстепенной гироскоп описывается уравнениями
-/yp-j-и; |	(6.30)
Предполагая, что входной и и выходной ₽ сигналы (и— мо-
мент, развиваемый двигателем стабилизации, р— угол прецес-
127
сии) доступны измерению, синтезируем адаптивное наблюдак|
щее устройство, предназначенное для оценки вектора состояв^
и параметров гироскопа.	I
Передаточная функция гироскопа, найденная из уравнений
’ (6.30), имеет вид
Н
_L=——— .	(6. зЛ
Разделив числитель и знаменатель на полином
($ + А2)	—52 + (^2-Ь^з)
приводим эту функцию к канонической форме (6. 18):
b2s+^+b3s+^	J
и	1	1 ’	1
s— «1— а2 ~Г"— «з
S + k2 S + Аз
где
Н
ЛВ(Х3-к2) ’
л2 (/РЧ-ЛВХ2)
а1---. .
42? (л3 — л2)
ЛВ(к2-Х3)
>,з (Я2 -;-ЛВл|)
АВ (л2— Хз)
Структурная схема адаптивного наблюдающего устройству
полученная способом, изложенным в разд. 6.2, соответствуй
части схемы, обведенной на рис. 6.6 штриховой линией. Исполн
зуем это устройство для синтеза регулятора, т. е. для формирс(
вания управления и, обеспечивающего трехкратный корень —о>
замкнутого гиростабилизатора.	।
Найдем сначала параметры регулятора. Объект (гироскоп|
теперь надо описывать уравнениями
г/=[1 0 0]х.
(6. 34а|
(6. 34^
Как и исходный объект (6.30) (при записи его уравнений I
переменных состояния), объект (6.34) полностью управляем I
наблюдаем
Рассматривая вектор состояния х как выход, а скалярны!
сигнал и как вход объекта, по уравнению (6.34а) составим мат]
ричную передаточную функцию объекта	(
128	‘
W(s)=(sI-A)-1b = |^
1
s3	—Сцм—л|—«2—agj s
^2(^3	^2)
63sa — X262s — b.2 (4 4- X2X3 -[- a2 4~ аз)
— b^s14~XgZ'aS4* bz (4 4- л2Аз4- a24- as) _
(6.35)
Характеристическое уравнение замкнутого гиростабилиза-
тора
F(s)4-pg(s)=0,
где р = [А, А, а]~ матрица регулятора.
I	Вычислитель I
Рис 6 6 Система «объект (гироскоп) — адаптивное
наблюдающее устройство — регулятор»
129
Принимая для замкнутого гиростабилизатора в качестве
лаемой биномиальную стандартную форму Н(s) = (s + coo)d, S
ходим
pg(s)=//(s) — F (s).	(6.(
Подставляя в (6 36) развернутые выражения р и Н (s) ив
ражения g(s) и F(s), взятые из (6 35), после приравнивай
коэффициентов при одинаковых степенях s получим систе
алгебраических уравнений
FPl ^2^,3==3(1)0’
—	4“ ^з^гРз ~ Зш0 4- Af 4" ^2^3 4- Х3 -j- 4“ аз’
~ М Рт~ ^2 (4+Мз 4" <22 4- <28)а4'
4" ^2 (^2 4" л4з_Ьa24-<23) ps = wo-
Решая эту систему, находим следующие выражения пар
метров настройки регулятора
“д + СХз+Хг) (3“о + ^2 + ^2^з+^|+а2+аз)Ч-Зш0[(/з4-Х2)2+Л2+аз]
Р1~	ь2 (Х3-Х2)	
Зш0Х3 + х| *- Х2Х3 4- >з ^24~аз
.»2 =----------- ------ ------------ ;
«2 (АЗ — л2)
За,/-2+ 3“о "Ь ^2 Х2Х3 4- Х3 4- л24- аз
л —------------------------------- .
F (Х3—Х2)
Входящие в эти выражения константы А2, Аз, оо извести!
Что касается параметров объекта а2, вз, b2, то они, как и ситн|
лы х2, Хз, должны поступать от адаптивного наблюдающего ус|
ройства Таким образом, уравнение регулятора имеет вид
«==аР4-?2^2 + ?з^з,	(6.31
где р1г р2, р.л определяются выражениями (6.37) при зам(
не а2, а3, bs оценками а2, as, b3, снимаемыми с наблюдаюгце!
устройства
Общая схема замкнутой системы «гироскоп — адаптивна
наблюдающее устройство — регулятор» показана на рис. 6J
Изменение параметров гироскопа не приводит к изменен!®
апериодического протекания переходных процессов, обеспеч!
ваемого выбранной стандартной формой Н(s) = (s4-<oo)3, тЗ
что замкнутую систему можно рассматривать как самонастра!
вающуюся на заданное протекание переходного процесса.
Реализация адаптивного наблюдающего устройства и рег|
лятора возможна как в аналоговом, так и в дискретном вариа!
тах. В последнем случае ЦВМ может обслуживать нескольи
гиростабилизаторов.
130
6.4. ПРИМЕНЕНИЕ САМОНАСТРАИВАЮЩЕГОСЯ
НАБЛЮДАТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА В АВТОПИЛОТЕ
Рассмотрим летательный аппарат (объект), описываемый
уравнениями
0= С3а;
в— —С2а — С28;
а = & — 0.
(6.39)
Будем считать, что входной (отклонение руля 6) и выходной
(угол тангажа -0) сигналы доступны измерению (например, из-
меряются соответственно потенциометрическим устройством и
свободным гироскопом). Передаточная функция, связывающая
эти сигналы, имеет вид
& _ C-xs + С2Сз	(6 40)
8	+ <73S2 + C1S1	v ’
Предположим, что параметры объекта Сг, Съ, С3 неизвест-
ны. Требуется синтезировать адаптивное наблюдающее устрой-
ство, которое определяло бы параметры объекта и оценивало
бы его вектор состояния. Такое наблюдающее устройство воз-
можно, так как объект полностью наблюдаем. Действительно,
введя обозначения
получим
где
х1 = В-) х2 = &, х3 = 0,
Х = АхЦ-Ь8;
У = Сх,
0
(6-41)
(6.42)
(6. 43)
QH—[Сг Ат Ст (АТУСТ]= О
О
-сг
0
1
О
имеет ранг, равный порядку объекта (п=3), что указывает на
полную наблюдаемость этого объекта.
Обращаясь к синтезу адаптивного наблюдающего устройст-
ва, разделим числитель и знаменатель передаточной функции
(6.40) на полином (s + X2) (з+Л3). После разложения числите-
131
ля и знаменателя на простые дроби можно представить переда?
точную функцию (6.40) в виде
Ь%------1- А,--г~
W («)= — =-------5+Хг- - S+ M-------,	(6. 4|
s — al — «2 —— — «з —;—
S + Л2 s + Л3
где
= \ 4“ ^3	^3’
Ч~ kg—Сз (^-2 + кз) Ч- С1] к2 — ^2^-3 0-24-4;) Ч-Сзк2к3
tZn -' -	"	~
кз— ^2
[к|+ Хг^зЧ- —Сз (к2Ч-кз)Ч-С1] кз— k2k3 (кгЧ-кз) ч-СЧ/Ч-з _
Яз	)2-*з	’
^2 =
С2Х2 — С^Сз
к3— к2
л  С 2/3— С2С3
3	k2-k3
Структурная схема адаптивного наблюдающего устройств?
летательного аппарата не отличается от схемы наблюдающего
устройства гироскопа (см. рис. 6.6). Необходимо лишь сигнал!
и, р, р заменить соответственно на 6, -б, б, а под а,, Ьг подразу
мевать параметры (6.45).
Летательный аппарат полностью управляем. Поэтому, как j
в случае гиростабилизатора, адаптивное наблюдающее устрой
ство можно использовать при синтезе системы стабилизацЩ
летательного аппарата по наперед выбранному расположений
корней. Если для замкнутой системы стабилизации принят?
биномиальную стандартную форму Н(s) = (хЧ-соо)3, то струн
турная схема всей системы «объект — адаптивное наблюдаю
щее устройство — регулятор» будет в основном такой же, ка;
представленная на рис. 6.6. Отличие заключается лишь в обоз
начениях и в дополнительном сигнале Ь3, который должен те
перь подаваться с адаптивного наблюдающего устройства Ш
вычислитель (вследствие несоблюдения равенства &2=—Ьз, спра
ведливого в случае гиростабилизатора) Параметры регулятор)
Pi, Рг, Рз, вырабатываемые вычислителем, выражаются черя
параметры объекта аг, Ьг формулами, аналогичными форму
лам (6.37).	i
Адаптивное наблюдающее устройство и регулятор образую^
в данном случае самонастраивающийся автопилот, которым
несмотря на изменение параметров летательного аппарата, cq
храняет неизменными динамические характеристики всей сиц
132
темы стабилизации в целом. Такой автопилот можно использо-
вать на объектах, стабилизируемых относительно центра масс
по углу отклонения (самолеты, тяжелые ракеты).
6.5. САМОНАСТРАИВАЮЩИЙСЯ АВТОПИЛОТ ЛЕГКОГО ЛА
Стабилизацию легких летательных аппаратов (ЛА) относи-
тельно центра масс иногда производят не по углу, а по угловой
скорости. Выходным сигналом ЛА служит угловая скорость,
так что передаточная функция отличается от функции (6.40)
отсутствием интегрирующего звена, т. е.
Q _ C2S + С2С3
8	s2 4- C3S 4- Ci
(6.46)
где Q='O — угловая скорость тангажа.
Предполагая, что угловая скорость ЛА Q и угол отклонения
руля доступны измерению (измеряются соответственно ДУС и
потенциометрическим устройством), и принимая в качестве пе-
ременных состояния
^=2, х2 = &,	(6.47)
на основании передаточной функции (6.46) получаем уравне-
ния объекта относительно переменных состояния:
X = Ах 4-b„8 4-b.S
 0 1 1 ’	(6.48)
«/=Сх,
где
Г-^il * о 1 1 . f о . ( о 1
х= 1 , А=	, Ьо = |	, Ь,=
л:2	— Ci —C2J i —С2 С3	[—С2
С = [1 0].	(6.49)
Имея в виду в дальнейшем синтезировать самонастраиваю-
щуюся систему стабилизации ЛА относительно центра масс,
проверим, полностью ли управляем объект (6.48). В качестве
управления на объект поступает не только входной сигнал 6,
но и производная 6. Поэтому обычный способ, изложенный в
разд 4.4, не пригоден для проверки управляемости в данном
случае. Существуют, однако, способы, позволяющие привести
уравнение состояния, содержащее производные входного сигна-
ла, к нормальной форме, т. е. к виду, когда производные вход-
ного сигнала отсутствуют.
Приведение уравнения состояния, содержа-
щего производные входного сигнала, к нормаль-
ной форме
Пусть линейная стационарная система описывается уравне-
нием
*
x Ax VB h! \	(6 50j
1=о
133
где х—п — ве’ктор состояния системы, А, В; — соответствен»
постоянные матрицы цХп и «Хт, и—т — вектор входных сиг
налов, u(j) = ^4-, причем u<°>=u, k — постоянная, не зависящая,
dtl
от порядка п системы.
Необходимо найти такое преобразование вектора состояния
х—>z, при котором уравнение (6.50) принимает нормальную
форму
z Az Tu,	(6.5|
где Т — постоянная матрица nXm.
Можно доказать [17], что исходная система (6.50) приводит!
ся к эквивалентной нормальной форме (6.51), если
k
т=2а1К	(6.52J
При этом вектор состояния х исходной системы связан с векто-i
ром состояния z-преобразованной системы соотношением
й—1
X=zH“2^'U<I)’
1«=о
где (гсХт)—матрица Ri определяется формулами
R? = 2	7=1, 2,.. ., Л-1
z=/+i
и
Ro = B1 + 2 А “ В, .
Это преобразование справедливо при любом порядке k стар-
шей производной входного сигнала, включая случай k>n.
Изложенный способ применим теперь к уравнению (6.48).
Согласно уравнениям (6.49) и (6.52)
Т = А°Ь04- АЬ1 =
0
^2 Сз
так что эквивалентная система (6.51) принимает вид
2 8.
0
(6.53
Матрица управляемости этой системы
Qy= [ь;аь]^
-с2, о
0, с2
134
имеет полный ранг, что указывает на полную управляемость
системы (6.53) и эквивалентного ей объекта (6.48).
Объект (6.48) полностью наблюдаем, так как его матрица
наблюдаемости
QH = [Сг ’ Аг Сг] =[1 °’
также имеет полный ранг.
Полная наблюдаемость указывает на возможность синтеза
наблюдающего устройства, а полная управляемость — на воз-
можность помещения корней замкнутой системы стабилизации
в любые выбранные положения.
Чтобы синтезировать адаптивное наблюдающее устройство,
приведем передаточную функцию (6.46) к канонической форме
(6.18). Разделив числитель и знаменатель на (s + ta), получим
8	I
s — «1 — «2 —~у
s
(6.54)
где
= — С3; а2 = Л2 (С3 — л,) — Cj; Ь3 = С2, Ь3 = С2С3—С2\2. (6.55)
Структурная схема адаптивного наблюдающего устройства,
полученная на основании передаточной функции (6.54) (см.
разд. 6.2), показана на рис. 6.7 (часть схемы, обведенная штри-
ховой линией). Уравнение состояния объекта, соответствующее
передаточной функции (6.54), имеет вид
(6.56)
Составляя матрицы Qy, QH, можно убедиться, что объект по-
прежнему полностью управляем и наблюдаем.
Найдем параметры регулятора p=[pi, р2], обеспечивающего
расположение всех корней замкнутой системы стабилизации в
точке —wo. Передаточная функция объекта (6.56), связываю-
щая входной сигнал 6 с вектором состояния
—=(sl —А)~1Ь = —— g(s) =
8(S)	F(S)
I
s2 4- (X2— a\) s— a2
М«4Л)Н
a2b1Jrb2(s — ay)
(6.57)
135
Рис 6 7 Система «объект (ЛА)—адаптивное
наблюдающее устройство — регулятор»
136
а характеристическое уравнение системы стабилизации
pg(s) = //(s) —F(s),	(6.58)
где
Я(5)=(5 + »о)2-
Представляя характеристическое уравнение в развернутом
виде, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s
и решая полученную систему алгебраических уравнений, нахо-
дим параметры регулятора р\, ра как функции параметров объ-
екта аг, bi. Параметры объекта оцениваются адаптивным на-
блюдающим устройством, так что в выражениях pi, рг должны
фигурировать оценки a,, Ьг В результате получим
—	(2“0— ^2	( <22^1 —	— ^2 (“о + ^2<2j+ (21)	|
«2^1 — bib 2 (<Zj + X2)— й|	I
} (6.59)
~ bl (ш0-|- Л2й1 + ^2) + (2«>q—	(^2 + ^1^2)	!
a2b21—'bib2(ai-r X2)—'	)
Согласно этим выражениям вычислитель рассчитывает
Pi, р2- Общая схема самонастраивающейся системы стабилиза-
ции ЛА показана на рис 6 7
Глава 7
НАБЛЮДЕНИЕ ОБЪЕКТОВ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ПОМЕХАХ
Для формирования закона управления и решения другй
задач сейчас находят применение цифровые вычислительны
машины (ЦВМ). Используя ЦВМ, можно реализовать рассмо|
ренные в гл. 6 наблюдающие устройства детерминированньи
объектов, провести оптимальную фильтрацию (выделение) на
лезного сигнала из аддитивной смеси этого сигнала со случай
ними помехами и др. В настоящей главе рассматриваются див
кретные и непрерывные наблюдающие устройства линейньЯ
объектов, подверженных действию стационарных и нестаци!
парных случайных возмущений.
Чтобы использовать ЦВМ, необходимо описать объект уй
равления разностными уравнениями. Способы перехода от ли
нейных дифференциальных уравнений к линейным разностньи
уравнениям рассматриваются ниже.
7.1. ПЕРЕХОД ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
К РАЗНОСТНОМУ
Разностное уравнение описывает связь между значениям)
входного и выходного сигналов системы в дискретные момент!
времени, разделенные периодом дискретизации (квантования
Т. Чтобы для непрерывной системы получить разностное ура|
нение, необходимо сначала решить описывающее эту систем?
дифференциальное уравнение, а затем в полученном решение
(оно связывает непрерывные входной и выходной сигналы
учесть лишь ординаты, соответствующие моментам квантова
ния. Такой подход приемлем для дифференциальных уравнй
ний, решение которых можно получить в аналитическом видч
Пусть некоторая линейная нестационарная система описьч
вается уравнением
х(/) = А(/) х(/)4- f(/),	(7. i
138
где х(/)—«-вектор состояния системы; f(Z)—«-вектор вход-
ных сигналов; А(()—матрица системы, элементы которой из-
вестные функции времени. Решение уравнения (7.1) может
быть записано в виде
t
х(П = ФД, 4)x0~rJ Ф(t, r)f (г)г/т,	(7.2)
^0
где т)—переходная или фундаментальная матрица систе-
мы (иногда называется также матрицантом).
Для общего случая выражение фундаментальной матрицы
нестационарной линейной системы в замкнутой форме получить
невозможно. Напротив, выражение этой матрицы для стацио-
нарной системы, т. е. системы, характеризуемой постоянной
матрицей А, известно и имеет вид
Ф(7, r u ..eA('~'t).	(7.3)
где матричная экспонента (матричный экспоненциал) тракту-
ется как степенной ряд
еА'-.= 1- Af -АУ-;--^-А3/3-; . . .	(7.4)
Пусть состояние линейного объекта описывается матричным
дифференциальным уравнением
х = Ах4~Ви,	(7.5)
где х, и — соответственно «-вектор состояния и нг-вектор управ-
ления; А, В — постоянные матрицы типа «Х« и п\т.
Тогда уравнение (7.5) имеет решение
t
х(П = еА(г“/о>х(4)+ |‘еА(^т>Ви(г)б/т.	(7.6)
t о
Будем предполагать, что управляющий сигнал u(Q пред-
ставляется «лестничной» функцией, например, поступает от экс-
траполятора нулевого порядка, преобразующего дискретный
сигнал в кусочно-постоянную лестничную функцию, высота
«ступенек» которой определяется значением дискретных орди-
нат. Тогда в конце периода квантования Т (начало периода со-
ответствует моменту Д) имеем
tk-r
х(Д4-Т’)=еА7 x(/,J4-Bu(^) J еА(//г"7”т)б/т.
‘k
Если после замены матричной экспоненты рядом (7.4) про-
вести интегрирование, то получим
139
х (4 + Т) = еА7х (4)4 [l (4 + Т - т) - А- А (4 + Т - т)2 +
'И'7'
+ А-А74-Г7-Т)3-...] | Ви(4) =
f k
‘к+т
= еАГ х(4) —А^1 [eA(/ft+r“T) — I] | Ви(4) =
‘k
= еА7х(4)4 А-1 (еАГ—I) Ви(4К	(7.7
Обозначая векторы х, и в моменты квантования th и tk + t
как xft, uft, xft+i, приходим к разностному уравнению
хА+1 - еАЧ=А-1(еАГ - 1) ВпА.	(7. 8
Если аппроксимировать матричную экспоненту еАГ усе*
ченным рядом (7.4), получающимся в результате пренебреже-
ния всеми членами, содержащими Т во второй и более высоких
степенях, то уравнение (7 8) сводится к виду
x^1-xa=7'Axa + 7Bua.	(7.9
Предполагая, что в малом интервале Т вектор хЦ) —линей-
ная функция t, уравнение (7.9) можно получить сразу из диф-
ференциального уравнения (7.5). Для этого необходимо вместе
х(4, и(4 подставить xfe, щ, а вместо х(4 —выражение
\ Xft+1-х*.	(7. 10,
Но поскольку ЦВМ рассчитывает текущее значение х^ по
предыдущему xfe_I; будем заменять х выражением
х	.	(7.111
Т	к
Основания для замены по формуле (7 11) такие же, как и
для замены (7.10) Тогда дифференциальное уравнение объект
та (7 5) перейдет в аналогичное по структуре разностное урав^
нение
х^Фх^Д-Ги*-!,	(7.12;
где	>
Ф 1/ А. Г /В	(7.13
На основании уравнения (7.12) можно записать
х1 = Фход-Гио;
х2 = Фх1 + Ги1;
(7. 14
х^Фх^Ч ГиЛ_!
140
Подставляя теперь первое уравнение во второе, второе — в
третье и т. д., приходим к следующему выражению текущего
вектора состояния:
k-i
х^ФЧт^0^'^	(7.15)
г=0
Это уравнение показывает, что фундаментальная матрица,
связывающая вектор состояния х;, с его начальным значением
Хо, имеет вид
=	(7.16)
С использованием этой матрицы решение будет
fe-i
xa = YA + 2 Ь-г-1Гиг-	(7- 17)
г-<0
Решение (7.17) является дискретным аналогом решения
(7 2) соответствующей непрерывной системы. Для момента kT,
k>0 первый член представляет составляющую от собственных
колебаний, вызванных начальным отклонением х0, а второй
член — вынужденную составляющую, вызванную входным сиг-
налом и на интервале (0, k—1).
7 2. ДИСКРЕТНОЕ НАБЛЮДАЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО
ИДЕНТИФИКАЦИИ С УСРЕДНИТЕЛЕМ
Любое из рассмотренных в гл. 4 наблюдающих устройств
при переходе к дискретному варианту можно реализовать с по-
мощью ЦВМ.
Будем считать, что скалярный сигнал у, представляющий
линейную комбинацию переменных состояния объекта, доступен
измерению. При переходе к дискретному варианту уравнение
выходного сигнала
«/б = Схь	(7. 18)
где С — матрица-строка 1 X п.
Рассмотрим дискретное наблюдающее устройство идентифи-
кации, предназначенное для оценки вектора состояния свобод-
ного (при и = 0) объекта xfe по результатам измерения скаляр-
ного сигнала ук. Преобразуя дифференциальное уравнение
(4 23) непрерывного наблюдающего устройства в разностное
уравнение, находим
^=Fxa_i + G^,	(7.19)
где
F = T-|-7'(A —КС)=-Ф —GC,
G7'K, Ф17А.	( ’
141
Уравнение (7.19) представляет рекурсивный алгоритм, щ
которому для ЦВМ можно составить программу вычислений
вектора xft.	'
Обычно результаты измерения выходного сигнала объекту
Ук содержат случайные ошибки t»fc, называемые измерительным
шумом. С учетом этих ошибок скалярный выходной сигнал объ«
екта
—	(7.2)|
где vh — измерительный шум с математическим ожидание»
равным нулю. Дискретное наблюдающее устройство весьма
чувствительно к измерительному шуму в том смысле, что й
сильно зависит от vk. Чтобы ослабить эту зависимость, т. е. ота
фильтровать шумовую помеху, целесообразно наблюдающей
устройство (7.19) дополнить усредняющим устройством. )
Усредняющее устройство должно образовывать оценку теку)
щего вектора состояния объекта х;, в момент tk усреднением
значений этого вектора, вычисленных по значениям выходного
сигнала наблюдающего устройства х в моменты t\, t2,...,tk. При
суммировании случайная ошибка будет осредняться, прибли)
жаясь к своему среднему значению, равному нулю.	
Воспользовавшись уравнением объекта (7.12), заменим Е
этом уравнении векторы х;, и xft_i оценками хь xfe_t, получа!
емыми от наблюдающего устройства (7. 19), и последовательна
выразим вектор х;, через векторы xfe, х&_1, xft_2, • • •,
х*=Фх*_х;
2а = Ф(Фха_2) = Ф%_2;
х*=Ф2(Фх*_3)==Ф%_3;
(7.23
Xft — Ф Хх.	j
Усредняя уравнения (7.22), находим
хА = 4- [Ф% + ФхА_х+ ФЧк_.2 + .. . + Ф*-1^] =
к
=4 Ф [^1 + ФхА_2+. .. + Ф*~2хх] + —	(7. 23
я	k
где х;, — среднее значение х&.
Каждый член суммы в квадратных скобках (7.23) выражав
вектор xft_] через векторы xfe_2, xft_3,..., хь Умножив и раз
делив эту сумму на k—1, получим
~ k— 1	. 1 ~
X* =--— Фх*-11 — xft.
k	k
(7.24
142
Уравнение (7.24), представляющее рекурсивный алгоритм,
описывает усреднитель. Входом этого усреднителя служит вы-
ходной сигнал х;, наблюдающего устройства идентификации, а
выходом — оценка х;, вектора состояния объекта. Эта оценка в
значительной мере свободна от случайной ошибки, присутству-
ющей в выходном сигнале х;, наблюдающего устройства (7.19).
Однако данная фильтрация не является оптимальной. Возмож-
на более совершенная фильтрация, связанная с минимизацией
какого-либо функционала. Обычно в качестве такого функцио-
нала принимают среднее значение квадрата ошибки. Фильтры
Калмана, рассматриваемые в следующих разделах, основаны
именно на этом подходе.
7.3. ДИСКРЕТНЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА
Дискретный фильтр Калмана образуется группой матрич-
ных рекурсивных соотношений. По своей структуре эти соотно-
шения особенно удобны для реализации на ЦВМ, поэтому
представление о дискретном фильтре обычно связывается с
ЦВМ. В настоящем разделе выводятся уравнения дискретного
фильтра Калмана.
Постановка задачи
Рассмотрим дискретную систему, состояние которой описы-
вается линейным разностным уравнением с переменными коэф-
фициентами [23, 26]:
xft =	4- Г*,*_!!!*_! +	(7. 25)
В этом уравнении xft—/г-мерный вектор состояния системы,
uft_]—m-вектор управления, fft_j—«-вектор детерминированных
внешних воздействий, wft_i—«-вектор случайных внешних воз-
действий, Ф&, й-1—(«Х«)-матрица системы, Гй, k-i—(пХт)-мал-
рица управления.
Вектор случайных внешних воздействий wft предполагаем в
виде гауссова белого шума с нулевым средним значением
44[wft]==0 для всех k.
Матричная корреляционная функция этого шума, получае-
мая усреднением по ансамблю, имеет вид
где бк — функция Кронекера, принимающая значения
8к(4_л=|« "Р"
(7 при k~ j
143
Q;, — неотрицательно определенная изменяющаяся во временй
(«Х/г)-матрица, называемая корреляционной. Поскольку мат|
рица Q& — неотрицательно определенная, допускается wfes=OI
Начальное состояние системы Хо рассматриваем как случай-]
ную величину с известными статистическими свойствами,
именно:
М [х0] = Р'о, М [х0 Хо] = М,
A4[wftxor] = O для всех k.
Предположим, что в любой момент th имеется в распоряже-j
нии измеренный r-мерный выходной сигнал у&, составляющие'
которого линейно связаны с составляющими вектора состояния
х;, и, кроме того, содержат гауссов «измерительный» шум
vft, т е.
уь	(7.26)
где С;,— известная (гХ/г)-матрица наблюдения, г—вектор
представляет собой аддитивную случайную последовательность
с известными статистическими свойствами
М [vfe]==0 для всех k,
где (гХ г)-матрицу R?( предполагаем неотрицательно опреде-
ленной. Другими словами, измерительный шум V/. предполага-
ем белым с гауссовым распределением. Измерительный шум
считаем некоррелированным с шумовой помехой, приложен-
ной к системе, и с вектором начального состояния системы
М [vAWy ] = 0 для всех k, /
и
М [vfeXo ] = 0 для всех k.
Для описанной математической модели системы необходимо^
найти оценку xfe вектора состояния в момент Д как линейную-
комбинацию аналогичной оценки для момента th~i и изме^
ценного вектора yft.
Оценка xft вектора состояния х;, должна быть наилучшей в>
том смысле, что математическое ожидание суммы квадратов!
ошибок оценивания составляющих этого вектора принимает на-(
именьшее возможное значение. Другими словами, оценка х^
должна быть такой, что
/И [(xft-xftH2s-xft)]-=min.	(7.27]|
Отсюда видно, что оценка х;, предназначается для наилуч-j
шего воспроизведения вектора состояния х;, системы (7.25) по(
данным (7.26), содержащим измерительный шум v&.
144
Оптимальный фильтр для свободной системы
Перед рассмотрением полной системы (7.25) исследуем бо-
лее простую свободную систему, характеризуемую отсутствием
внешних воздействий. Эта система описывается однородным ли-
нейным разностным уравнением
=	(7.28)
Полагая, что выходной сигнал у& системы (7.28) формиру-
ется согласно уравнению (7.26), выведем для этой системы
уравнения дискретного фильтра Калмана, вырабатывающего
оценку xft.
Сначала выберем структуру линейного уравнения оценива-
ния. Вполне естественно в качестве такой структуры принять
уравнение исследуемой системы (7.28). Тогда, располагая оцен-
кой состояния Х&-1 для момента Д_1; прогнозированную оценку
xft для момента 4 получим в виде
(7.29)
Результат измерения выходного вектора у& в момент мож-
но использовать для корректирования этой оценки. Действи-
тельно, согласно уравнению (7.26) ожидаемое значение yft вы-
ходного сигнала у?. в момент Д есть Cftxs или после учета
(7.29)	Ошибка оценивания представляет собой
отличие этого ожидаемого значения от действительно измерен-
ного, т. е.
y^YA-C^.ft-iX^v
Поскольку оценка xft ищется как линейная комбинация оценки
х/, .| в предшествующий момент и измеренного значения выход-
ного вектора у& в текущий момент tR, можно для уравнения оце-
нивания принять окончательную форму
xfe=iXfc-i^Kfc [yft	(7.30)
В этом уравнении матрица К& должна быть выбрана таким
образом, чтобы математическое ожидание суммы квадратов
ошибок оценивания, т. е. величина 7W[(xft— xk)T (xk — xj],
приняла наименьшее возможное значение. Такую матрицу К&
будем называть оптимальным коэффициентом усиления
Пусть согласно определению ошибка оценивания вектора
состояния
xfe= xk хк.
Тогда
AT [(xft - xkf (xk- x)] = M [&].
145
Это выражение можно переписать в виде
М [xTkxk] = SpM [х*хг],
где Sp (след) определяется как сумма диагональных элементов
матрицы, в данном случае — матрицы М [х*х*] , являющейся
матрицей дисперсий ошибок оценивания. Введем обозначение
Ра = Л4 [хйх*].
Эта матрица, называемая также корреляционной матрицей?
ошибок, характеризует качество оценивания вектора состояния
системы.	__
Чтобы вычислить матрицу Pft, сформируем xft:
[Ф*,й-1ХЙ_1 + К*(у^-СЙФА1А_1ХЙ_1)]
= Фй,й-1хл—i — К,С/; Фй1А_1хй_1 Kj.yft = Ofe,ft-iXft_1
— КйСйФА|А-1 (xft_x-|- xft_1)-|-'Kft(Cftxft4~vfe)==
— (I—KsCft) Фй.й-^-х — КаСа,Фй1й_1Хй_1-|-
— (I — KfeCJ Ф»,*-1Х*-1 + К*vk-
Переходя к формированию матрицы Pft, имеем
pk=A4 П(1-едФм-1^-1+ВД [(1-кА)ф^-1Х*-1+
+адч=(1-кА)Фм-1^ [x^-ixf-x] фЬ-i (I - сэд+
+ KftAf	ф1л_! (I - с£к*) +
441-КйСДФм_1Л4 K£+KftM [vftv£] к*.
Согласно определению
Л4 [xfe_ixl-i] = P/.-J	t
и	г п	(7-31Х
Поскольку М [vftVfe_J = 0 и Af[vftXo]=O,
имеем также
М [vftxLi] =0 = Л4 [xft_xvg.
(7.32|
Действительно1, измерительный шум vft для момента 4 H0j
коррелирован с вектором состояния в момент 4-ь Вектор*
Xfe-j, зависящий от vft_b не коррелирован с v^, так как корреля-^
ция между v^-j и vft отсутствует. Следовательно, вектор xh-i=i
= X-k-i—х&-1 не коррелирован с vft.
146
Принимая во внимание выражения (7.31), (7.32), выражение
Pft можно переписать в виде
Р*=(1 - Kftcft) Рй (1-КА)Чклл*,	(7.33)
где	Рй = Фй,й-1 Pft-i Ф*,л-1-	(7.34)
Матрицу Р/ иногда называют априорной корреляционной
матрицей ошибок оценивания, так как она характеризует ошиб-
ку оценивания до поступления результата измерения у&. Тогда
матрицу Рь следует называть апостериорной корреляционной
матрицей ошибок оценивания.
Раскрывая в выражении (7.33) скобки и проводя преобразо-
вания, находим
Pft = (P*-KftCftPft) (I- сМ + клк*==
= Pft - Kftcftpft - Рйс£к* + КЙС*РЙ(Ж+KftRftK л =
= P* - KftcftPft - P&Ki+Kft (CftPftCft + Rft) к*.	(7. 35)
Матрица Р/ не зависит от К&. Действительно, согласно
(7.34) .матрица Р/ зависит от P/.-i и, следовательно, от матрицы
К&—1, относящейся к моменту 4-ь Но от матрицы К&, относя-
щейся к более позднему моменту Д, не зависит.
Матрица (CftPftCft-|-Rft) симметрична, что выражается
соотношением
(Cftp;c а + Rft) = (CftPftC й + Rft)r
и неотрицательно определенна. Следовательно, эту матрицу
можно записать как произведение матриц Sft и SA:
Sfts£=CftP;c£+Rft.	(7.36)
Последние три члена выражения (7.35) образуют квадратич-
ный матричный полином относительно неизвестной матрицы К&:
Pft = P;-KftCJ>ft-PftcK + KftSftsM (7.37)
Предположим существование такой матрицы Aft, что
Рй= р; + (КА-Ай) (КА-А/- АЙАГЙ. (7. 38)
Это представление соответствует дополнению упомянутого
матричного полинома до полного квадрата. Полагая матрицу
SftSft положительно определенной, можно матрицу А;, найти,
приравняв после раскрытия скобок члены выражения (7.38)
соответственным членам (7.37). В результате получим
A^P^S^-PKtSrY.	(7.39)
147
В выражении (7.38) матрица К/. фигурирует лишь в среднем
члене, представляющем собой произведение двух матриц, при!
чем второй сомножитель образуется транспонированием первой
го. Такое произведение — неотрицательно определенная матрщ
ца. Поэтому след матрицы Р?( принимает минимальное значений
при обращении в нуль среднего члена, т. е. при
KftSft==AA==P;crt(SrT.
Отсюда, учитывая выражение (7.36), находим следующий
оптимальный коэффициент усиления в уравнении оцениваний
(7.30):
ка=р*с* [cftp;c* W1-	(7- 40
Подстановка выражений (7.40) и (7.39) в уравнение (7.38)!
показывает, что апостериорная корреляционная матрица оши-
бок оценивания выражается через априорную уравнением
р*=р;-кар^	(7-4м
Уравнения (7.30), (7.34), (7.40) и (7.41) образуют дискрет*
ный фильтр Калмана для системы, описываемой уравнениями
(7.28) и (7.26).
Оптимальный фильтр системы, подверженной
детерминированным и случайным воздействиям
Расширим математическую модель системы (7.28), включив'
в нее Детерминированное и случайное'воздействия:
х* = Os.s-iX*^	wk_±;	(7. 42)
yft = C*x* + vft.	(7.43);
Воздействия f&-1; уже были определены при обсужде-
нии уравнения (7.25).
Оценку вектора состояния системы (7.42) для момента
будем сначала прогнозировать, основываясь только на оценке
для момента 4-ь т. е. без привлечения результата измере-
ния в момент fk- Шумовая помеха wfe_i не зависит от вектора
состояния в момент th-i и имеет нулевое среднее значение. Сле-
довательно, нет оснований ожидать, что эта помеха повлияет на
оценку вектора состояния в момент tk. Напротив f*_j — извест-
ная векторная функция, действующая на интервале ]Д_j, t^], я
согласно уравнению (7.42) оценку вектора состояния естествен-
но прогнозировать как
(7.44
Предположим теперь, что в распоряжении имеется результат*
измерения выходного сигнала у?( в момент h. Рассуждая так же,
148
как при выводе уравнения (7.30), приходим к новой оценке
вектора состояния
х4=х;+КЛУк-Ск^],	(7.45)
где Кй — пока неизвестный матричный коэффициент усиления
Сформируем вектор хщ
ХА = хА, - xk = (+fa-i -5- Кй [уй — САХл]) -
-	ФйЛ-1ХА_! ~ fft_i - W*-! = Фй.й-jX^! ф- КЛ, (CAxft + vk) -
—	КАСА(фй i-jx^-i-f^-t+w^)—
-	KACft (Ф* k -iX^j+fA_x) - wA_, + KjVt=ФЛ>А_1Х4_1 -
KsCfe®fe!fe_KjVft=(I
Х(Ф*л-1хл-1 ~ wfe-i)-4*KAvA.	(7.46)
Теперь сформируем апостериорную корреляционную матри-
цу ошибок оценивания
РА = Л1 {[(I К^Сй)(Ф>(*_3хА_1 wA_j)-j-
+ Kava] [(1-КАСй)(Фм_1ХА_1-шА_1)ф Ka,va/}. (7.47)
Входящий в один из членов этого выражения множитель
М {(Фй.й-! xA-i - wft_1)(®ft>ft_1xft_1- w^Y] =
=ФА)А_1рЛ_1Ф(л_1+аА_1
обозначим через Р/ и будем называть априорной корреляцион-
ной матрицей ошибок оценивания
P;=®M-iPm®M-i+<U	(7.48)
Тогда согласно уравнению (7.47)
р*=(i - ад р; (I - к*с/+кллг.
Но это уравнение по форме идентично уравнению (7.33). От-
сюда следует, что и для системы, описываемой уравнениями
(7.42), (7.43), оптимальный матричный коэффициент усиления
Кй, фигурирующий в уравнении оценивания (7.30), определяется
выражением (7.40).
Таким образом, при описании системы уравнениями (7.42),
(7.43) оптимальный дискретный фильтр должен формироваться
согласно уравнениям (7.45), (7.44), (7.40), (7.41) и (7.48).
Заметим, что действие на систему шумовой помехи Wk-i за-
ключается в уменьшении точности оценивания, что выражается
появлением в уравнении для Р/ дополнительного члена Ch-i —
149
см. (7.48). Что касается влияния детерминированного возде{^|
ствия то оно проявляется лишь через уравнение (7.44).	1
Если среднее значение	случайного воздействия wft_J
отлично от нуля и известно в любой момент времени, то его учет
в уравнениях фильтра Калмана не представляет трудности: не^
обходимо просто	отнести к детерминированному!
воздействию f&-i.	I
То же самое можно сказать и об учете управляющего членам
rft, fe-jUfe-!, фигурирующего в уравнении (7.25). Если уравнений
(7.25) описывает объект управления, входящий в замкнутую^
систему, то формируемый в этой системе вектор управления!
иь—! всегда измеряется и, следовательно, его точное значение,!
подобно детерминированному сигналу fft_ь может и должно
быть подано в оценивающее устройство, т. е. должно фигуриро-!
вать как член в правой части уравнения оценивания (7.44).
Аналогичным образом можно учесть среднее значение изме-
рительного шума Vk, если оно отлично от нуля.
Анализ уравнений оптимальной
дискретной фильтрации
Уравнения фильтра Калмана (7.45), (7.44), (7.40), (7.41) ш
(7.48) весьма удобны с вычислительной точки зрения. Они обра-1
зуют последовательный алгоритм вычисления оценки х;, по оцен-'
ке Xfe-t и детерминированному воздействию в предыдущем
цикле вычислений и по результату измерения у?, в текущий мо-
мент th. Новая оценка х;, формируется как результат прогнози-.
рования, основанного на K-j и на старой оценке xft_i, и добавле-,
ния коррекции в виде взвешенной ошибки у&—Cft(®ft, ft_iXft_i4-j
+J&-1), представляющей собой разность измеренного у;, и прогч
нозированного yft = СЙ(Ф&, ft_iXft—i + K-i) значений выходного сиг-*
нала.
Блок-схема одношагового дискретного фильтра Калмана по-4
казана на рис. 7.1, а при развернутом представлении матрично-
го коэффициента усиления К/, и наблюдаемого объекта (7.25)—|
на рис. 7.2. Схему, изображенную на рис. 7.2, мсжно рассматри-j
вать как дискретное наблюдающее устройство идентификации^
оценивающее вектор состояния xh при оптимальном сглаживав
нии искажений, вносимых измерительным шумом.
Уравнения, описывающие алгоритм оптимальной дискретной-
фильтрации, приведены в табл. 7.1, а структурная схема алго-
ритма — на рис. 7.3. Величины, фигурирующие на структурной?
схеме алгоритма фильтрации, рассчитываются по уравнениям,
указанным в табл. 7.1. Следует отметить, что в уравнения опти-
мального коэффициента усиления и корреляционных матриц
ошибок оценивания измеренный вектор у& и сигнал управлений
150
Таблица 7.1
Сводка уравнений дискретного фильтра Калмана
Математическая модель объекта	х* = ФЛ Й_1 xj-i +	1 +
Математическая модель измерений	Уй — CftXfe ~г Vft
Известная ста- тистика	[wft] = 0, М [vfe] = 0, М [х0] = fi0, М [xoxg] = Мо М	=Qft6K (k- J), At [vAv^] = RftbK (k-j) M [ wftv,] = M [ w^Xq ] -= M [vA,x,j ] = 0
Уравнение фильт- ра	xfe = Ф4>4_1Х^-1 +	k_jU4__[ + т Kfe [ys Cfe<I)ft|ft_1xA._i Cftrft
Оптимальный 'Коэффициент уси- ления	кА = р;сЦс,р^ + нА]-1
Априорная кор- реляционная мат- рица ошибок оце- нивания	Pk = *k,k-lPk-l*Tk +Qs-1
Апостериорная ’корреляционная матрица ошибок •оценива ния	Рл=[i— k*ca]
Начальные ус- ловия	xo = P-o Pq = Po = M [xox£] = Mo
Рис 7 1 Блок-схема дискретного фильтра Калмана (zR zR. Н, обознача-
ются в тексте соответственно у %, tfk, С, ФА A_i)
151
152
Ufe-i непосредственно не входят. Поэтому в расчетной схеме ко-
эффициент К?( можно предвычислять, что отмечено на рис 7.3
штриховой линией При конкретном объекте наблюдения по
уравнениям и структурной схеме, приведенным соответственно в
табл 7 1 и на рис 7 3, можно составить на каком либо языке
(Алгол 60 или Фортран) программу вычислений
Детерминированное наблюдающее устройство идентифика-
ции (см рис 4 7) воспроизводит стр\ктуру объекта наблюдения.
Подобно этому дискретный фильтр Калмана, дающий оценку хА
полного вектора состояния объекта и, следовательно, наполня-
ющий роль наблюдающего устройства идентификации, также
воспроизводит-структуру дискретной модели объекта наблюде-
ния (см рис 7 1)
7 4 НЕПРЕРЫВНЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА
В настоящем разделе выводятся уравнения непрерывного
фильтра Калмана, оптимально оценивающего при наличии шу-
мовых помех вектор состояния непрерывного объекта Вывод
проводится двумя способами Сначала показывается, как интег-
ральное уравнение Винера—Хопфа (его вывод здесь также при-
водится) можно преобразовать в дифференциальное уравнение
фильтра Калмана Затем эти же дифференциальные уравнения
получаются из разностных уравнений дискретного фичьтра Кал-
мана предельным переходом (при стремлении периода дискре-
тизации к нулю)
Уравнения Винера — Хопфа
Пусть измеряемый выходной вектор объекта у(/) представ-
ляет собой аддитивную смесь полезного сигнала, определяемого
вектором состояния объекта х(/), и измерительного шума v(^).
Рис 7 4 Система «одномерный объект — фильтр»
Сначала для системы со скалярным выходным сигналом
(рис 7 4) найдем оптимальную импульсную переходную функ-
цию фильтра который при подаче выходного сигнала объ-
екта y(t) дает наилучшую оценку сигнала x(t)
Импульсная переходная функция фильтра, обеспечивающая
наилучшую в смысле минимума средней квадратичной ошибки
6	4267
153
оценку x(t) сигнала x(t), обозначена здесь k* (t). Любая друга^
импульсная переходная функция
где v\(t)—некоторая функция, а е — параметр, которому мож-
но придавать любые значения. Согласно формуле свертки при
некотором	входном	сигнале y(t) выходной сигнал	фильтра	;
,	j
z(/)= j k(t, x)y(x)dx,	(7.4$|
— CO	ч
где функция k(t,	т)	для стационарных систем	принимает	вид,1
k(t—т). Подставляя указанное выражение для общего слу-/
чая, получим
t
J r)H-sT](C x)]y{x)dx.
— оо
Средняя квадратичная ошибка определяется как
е=М [[х(/) —
где M{x(t)} —математическое ожидание x(f), рассматривае-
мое здесь как среднее по ансамблю значение x(t)
Таким образом,
t
х(7)~ J т)4-гТ1(С xj\y(x)dx
—оо
е = М
Условием минимума этого выражения при е = 0 является
дЧ
—I =0,
де |е-о
В данном случае
Вводя другое обозначение (а вместо т) переменной интегри-
рования под знаком определенного интеграла во втором сом-
ножителе и проводя преобразования, получим
t
t
У тЦС а) М [х (/) у (а)] — у т) М [г/(т)«/(а)] dx da=Q.
Так как функция ц(С а) произвольна, уравнение удовлетво-
ряется лишь при обращении в нуль выражения в фигурны*
скобках. Следовательно,
t
М [х (0 у (аД = у k* (С т) М [у (т) у (а)] dx.
—00
154
Полученное уравнение представляет собой известное уравне-
ние Винера—Хопфа, обычно записываемое как
t
RxU(t, а)= J k* (/,	(т, а) с/т; а<СЛ (7.50)
—оо
где выражения корреляционных функций ясны из сопоставле-
ния двух последних уравнений. Для стационарных систем аргу-
менты (t, а), (т, а) заменяются соответственно на t—а и т—а.
Уравнения непрерывного фильтра Калмана
Хотя уравнение (7.50) выведено для одномерной системы,
его можно распространить на п-мерные системы, используя вме-
сто корреляционных функций корреляционные матрицы, вместо
импульсных переходных функций — импульсные переходные
матрицы, а вместо скалярных входного и выходного сигналов —
векторы. Уравнение Винера—Хопфа многомерной системы ана-
логично выведенному уравнению (7.50)
Пусть требуется оценить вектор состояния х(/) многомерно-
го линейного объекта с переменными параметрами, описывае-
мого уравнениями
х(/)= А(7) х(гЗ-)-G (£)w(f);	(7.51)
у(/)=С(/)х(/)-Н(/).	(7.52)
Здесь w(f) —действующее на объект случайное возмущение
«белый шум» с нестационарной матричной корреляционной
функцией
Qww^, т)=М [w(t)wr(/ — t)]=Q(/)8(t).	(7.53)
Ошибки измерения v(t) также предполагаются в виде неста-
ционарного белого шума с матричной корреляционной функ-
цией
ROT(Z, т) = Л4 [v (/) vr (/-*)]=R (/) 8 (т)-	(7-54)
Предусматриваемое формулами (7.53) и (7.54) усреднение
надо проводить по ансамблю реализаций (нестационарные мат-
ричные корреляционные функции имеют смысл только в этом
случае).
Корреляционная матрица измерительного шума R(Z) пред-
полагается в дальнейшем положительно-определенной. Диаго-
нальные члены и этой матрицы представляют собой дисперсии
измерительных шумов 'в z-ых каналах измерения. Вследствие от-
сутствия корреляции между измерительными шумами в разных
каналах недиагональные члены матрицы R(^) равны нулю
Вводя для матричной корреляционной функции обозначение
Rxy(t а)=Л4 [х (/) уг(а)],
б*
155
получим по аналогии с уравнением (7.50) следующее модифф
цированное уравнение Винера—Хопфа многомерной системы
* J
М [x(/1)y7'(a)] = Rxy(/1, a)= К(/ь T)Ryy(T, a), dr, (7.55’
6
где ^>т, a>0
Модификация заключается в том, что нижний предел интег(
рирования —оо заменен на 0. Это означает, что в отличие от.
уравнения (7.50) уравнение (7 55) относится не только к уста!
новившемуся состоянию (при но и к переходному процес-|
су. Отсюда следует, что оптимальной импульсной переходной)
матрицей фильтра, предназначенного для обработки сигнала на5
конечном интервале времени, предшествующем текущему мо--
менту t, является матрица К(^, т). Поэтому фильтр Калмана»?
оптимально фильтрующий и в переходном процессе, должен ха-!
рактеризоваться именно этой матрицей Далее выводятся диф-
ференциальные уравнения фильтра Калмана, предназначенного^
для случая фильтрации. В этом случае t\ = t.
Продифференцировав уравнения (7.55) по t, обратимся к’
рассмотрению его левой части
х (t}yT (a)J = Af [х(г') уг(а)].
Подставляя вместо х выражение (7 51) и принимая обычное
предположение об отсутствии корреляции между измеряемым
вектором у(£) и белым шумом w(/j, получим
М [х (/) уг(а)]=А (/)М [х(/) уг (а)].	(7. 56
at
Согласно правилу дифференцирования интеграла произвол*
ная правой части уравнения (7.55):
t
К (/, г) Ryy (т, a) dr —
о
t
= т) Ryy (т, a) dr + К (/, /) Ryy (/, Т),	(7. 57
о
Г>а>0.
Фигурирующая здесь матрица Ryv(t, а) определяется как
Ryy (/, а) = М [у(/)Уг(«)].	’
Подставляя выражение (7.52), находим
Ryy(/, a)-M{[C(/)x(Z) + v(Z)]yHa)}.	(7.5?
156
Появляющийся в процессе раскрытия скобок член
М [v(/)yr(a)] =М {v(/) [хг(а)Сг(а)-{-vr(a)]) =R8(/ — а) = 0,
•так как f=#a. Следовательно, выражение (7 58) принимает вид
Ryy (7, a)=C(/)M [х (/) уг(а)].
(7.59)
Это выражение представляет собой левую часть уравнения
Ринера—Хопфа (7.55), умноженную на матрицу выхода C(Q, а
выражение (7.56)—эту же левую часть, умноженную на мат-
рицу системы А(/). Подставляя в уравнение (7.56) вместо
jW[x(Z)y7'(a)] правую часть уравнения (7.55), находим
J К (Л r)Ryy(T, a) dx А (/) J К(/, T)Ryy(T, a)t/r=0.
Заменяя первый член выражением (7.57), а в последнем чле-
не полученного уравнения матрицу Ryy((, a)—выражением
(7.58), получим
А (/) К (/, т)
дК (/, т)
dt
Ryy(T, a)dx — К (Л /)Ryy(/, a)=
А(/)К(/, т)
<Ж(Л т)
dt
Ryy(x, а)г/т —
— К(/, /) С(/)7И [х (/) уг(а)] = 0.
Заменяя в последнем члене этого уравнения Al[x(Z)y7'(a)]
правой частью уравнения (7.55), приходим к уравнению
f г	п
А(/)К(/, Г)-	/)С(/)К(/, г) Ryy(T, a)t/T=0.
(7. 60)
Поскольку Ryy(t, a)—произвольная функция, уравнение
(7 60) будет удовлетворяться только при равенстве нулю выра-
жения, стоящего в квадратных скобках. Следовательно,
А(/)К(/,	Т) — К (Л /)С(/)К(/, т)=0.	(7.61)
Фильтр с оптимальной импульсной переходной матрицей
К(£ т) дает в качестве оптимальной оценки вектора состояния
объекта в конечный момент t выражение
х (/)= J К(/, т)у(т)</т.
(7. 62)
157
Дифференцируя это выражение по t, получим
. t
Х = т)У(т)^т + К(Л/)у(0- (М
J ot
о
Из уравнения (7.61) находим выражение фигурируют.^
здесь частной производной.
^..(£др). = А(/)К(/) Т)_К(/, /)С(/)К(Л т).	(7.6|
dt	‘1
Подставляя выражение (7.64) в уравнение (7.63), получи!
А	t	t
х=А(/) С К(/, т)у(т)(/т — К (Л /) С (/) К(/, т)у(т)</т4-
о	о
+ К(Му(/).	(7.б|
Подставляя выражение (7 62) в уравнение (7.65), находи)
дифференциальное уравнение оптимального фильтра Калманй
х (/) = А (/) х (/) ф- К (/) [у (/) — С (/) х (/)].	(7. 6f
Здесь функция K(t, t) заменена на К(0 для приведения
общепринятому обозначению.
Первый член в уравнении (7.66) представляет априорную
оценку вектора состояния объекта (эта оценка основываете!
только на уравнении объекта), а второй член — поправку I
этой оценке, равную взвешенной разности между априорно!
оценкой	выходного сигнала объекта и измеренным зна
чением у(^) этого сигнала. Детерминированный входной сигна)
и(/-) влияет только на априорную оценку и его легко учест^
вводя в уравнение (7.66) в качестве третьего члена В(£)и(/).
Определение оптимального коэффициента
усиления фильтра
Под оптимальным коэффициентом усиления подразумевает?
ся матрица К (0, выполняющая роль весового множителя в под
равочном члене уравнения фильтра Калмана (7.66). Так Kai
К(^) не зависит от добавляемого детерминированного сигнал)
B(/‘)u(Zl), в дальнейшем при определении К(0 будем использо
вать не измененное уравнение (7.66).
Определим ошибку оценивания как
х(/)=х(/) —х(/).	(7.67
Используя (7.62) и (7.67), преобразуем теперь выражение
М [£ (/)уГ(а)] =
158
' t
=M jK(/, г)у(т)уг(а)Л-х(/)у7’(а) =
_o
= J К (7, x)M [у (t)y7'(a)] dx — М [х (7) уг(а)] = 0.	(7. 68)
о
Равенство нулю этого выражения вытекает из уравнения Ви-
нера—Хопфа (7.55).
Левая часть уравнения (7.68) — скалярное произведение
ошибки оценивания х и измеренного вектора у. Равенство этого
произведения нулю указывает, что ошибка оптимального оцени-
вания ортогональна пространству измерений у. Поскольку
х(0 — линейная функция у(^), ошибка оценивания ортогональна
также пространству х, т. е.
М [х(/)хг(/)]=0.	(7.69)
Полагая в уравнении (7.68) a=t, после замены
х (У)=х(/) —х(У) получим
М [£&УГЮ] = М [х(0Уг(0]-Л1[х(Пу7'(0]==0
или
Л4[х(/)у7'(/)]=Л4 [х (/) уг (/)].	(7.70)
Подставляя выражение (7.52) в левую, а выражение (7.62)
в правую части уравнения (7.70), находим
М (х(У) [С (7) х(/)]г} -4-7И [x(/)vr (/)] =
= J К (У, T)?4[y(T)yr(/)]t/T=
*	о
= J К(/, т)Ж {[C(t)x(t) + v(t)] [C(0x(0 + v(0fl dx.
о
Принимая во внимание, что корреляция между х(7) и Чг(/)
отсутствует и автокорреляционная функция измерительного шу-
ма	—т), получим'
М(х(/) [С (/)х(/)]г) =
= j К(/, т)Ж{[С(т)х(т)] [С(/)х(/)Н dr + K(/, /)R(/)=
t
=jK(/, т)Ж[у(т) [C(/)x(/)]WK(^ W/)=
= M {x (/) [C (7) X (Of) + К (t, 0 R (0-
159
Здесь при последнем переходе было использовано уравнен!
(7.62). Перенося первый член из правой в левую часть и й
пользуя уравнения (7.67) и (7 69), находим
М f-x(/)[C(/)x(<]=Af (-х(/) [С(/)(£(/)-Л(/))]г1= ‘
=М { - х (/) [хг (/) - хг(/)] Сг (t)}=M [х (/) хгСг (/)] = К (/) R (/).
(7 Л
Здесь опять применено обычное обозначение К(^).
Введем по определению корреляционную матрицу ошиб(
оценивания	’
Р (7) = /И [х (7)хг (/ )].	(7.7
Корреляционная матрица R(Q измерительных шумов пол),
жительно определенна и, следовательно, обратима. Из уравн|
ний (7.71) и (7.72) получаем тогда оптимальный кдэффицие^
усиления фильтра Калмана	'
K(/)=P(/)Cr(/)R-i(/).	(7.7|
В правой части этого уравнения все величины, за исключен^
ем корреляционной матрицы ошибок оценивания Р, известны. 3
Определение корреляционной матрицы
ошибок оценивания
Дифференциальное, уравнение относительно ошибки оцен)
вания х=х—х можно получить, вычитая из уравнения фильтр
Калмана (7.66) уравнение наблюдаемого объекта (7.51)
х (/) = А (/) х (/) + К (/) [у (/) — С (/) х (/)] — G (/) w (/).
Подставляя вместо y(t) выражение (7 52), после некоторы
преобразований получим
х = [А (/) — К (/) С (/)] х + К (/) v (/) — G (/) w (/).	(7.7*
Пусть Чг(/, т) —фундаментальная матрица системы (7 74'
Решение неоднородного дифференциального уравнения (7.74
можно записать тогда в виде	.
х(/) = Ф(/,/0)х(/0)+f Ф(/, т) [К (т) v(x) — G(t)w(t)] dx. (7.71
Чтобы образовать матрицу Р(/) =ЛЦх(/)х7'(^)], необх<
димо иметь выражение х (t). Это выражение получим, прои:
водя транспонирование уравнения (7.75)’
ХГ(/) = ХГ(/0) ФГ(/, 4)+ f [vr(a)KrW - W^(a)G7'(a)]4»r(Z, с) del.
160
Так как математическое ожидание случайных процессов
w(0 и v(/) равно нулю, имеем
Р(/)=ф(/,/О)Р(/О)ФГ(/, /0)+
{i	t
J Ф (t, Т) [К (т)V(т) — G (т) W (т)] dx J [vr (а) Кг (а) —
^0
— wr(3) Ог(з)] фг(/, 3)4/3).
С учетом (7 53), (7 54) и некоррелированности процессов
w (/), v(/) это выражение можно переписать в виде
Р(/)-Ф(/,/0)Р(/0)ФГ(/, /0) =
t	t
= Ф(/, t)K(t)i/t jR(r)8(r —з) Кг(а)Фг(/, 3)t/a +
^0	^0
t	t
4- f Ф(/, t)G(t)o!t f Q(t)8(t —з)Сг(з)фг(/, 3)4/3=
= |ф(/, т) [К (r;R (т) К7'(тр-G(r)Q(т) G7(t(] Ф7'(/, т) t/т. (7.77)
/q
Дифференцируя уравнение (7.77) no t и учитывая, что
Ф (/, /) = !, находим
— -rf4f (Л Р(/О)ФГ(/, ^-Ф(/, А>)р(4>)	=
dt dt	dt
t
= К (/) R (/) Kr (/) + G (/) Q (/) Gr (/) + J	[К (t) R (т) Kr (t) +
+ G (t)Q(t) G7 (t)]T7'(7, т)+Ф(/, t)[K(t)R(t1Kz(t) +
т d4>r T) )
4G(T)Q(T)GrtT)] J ’ \dx.	(7.78)
dt J
Одно из свойств фундаментальной матрицы (матрицы ли-
нейно независимых решений) линейной системы состоит в том,
что производная по t этой матрицы равна матрице системы, ум-
ноженной на фундаментальную матрицу [4, 5]. Применительно к
уравнению (7 74) это свойство выражается соотношением
т) = [А (/) — К (/) С .7)] Ф (/, т).	(7.79)
dt
Проводя транспонирование, получим
--фГ(Л т) =фг(/, т) [Аг (/) -СГ(/)КГ (/)].	(7.80)
161
Подставляя выражения (7.79) и (7.80) в уравнение (7.78|
приходим к уравнению
- [А (/) — К (/) С (/)] 'F (/, /0) Р (/0) 'F7 (/, /0) -
dt
- Т (/, /0) Р (/0) 'F7 (Л /0) [А7 (/) - С7' (/) Кг(/)] =
= К (/) R (/) Кг (/) + G (/) Q (/) Gr(/)+ f [А (/) -
/о
-К(/)С(/)]Ф(/, т) [K(T)R(T)Kr(T) + G(T)X
XQ (г) Gr(r)] 'FX, t) + W- т) [К (г; R (г) К7'(т) +
+ G (т) Q (т) Gr (т)] Фг (/, т) [Аг (/) - Сг (/) Кг (/)] dx.	(7.81|
Если члены, содержащие множитель [A(Z*)—K(QC(0], соб!
рать в правой части и вынести этот множитель за скобку, тм
согласно (7.77) выражение в скобках окажется равным Р(/')3
Выполняя такую же операцию с членами, содержащими множи|
тель [А7 (/) — Сг(/) Кг(/)], уравнение (7.81) можно переписать
в виде
^-=[А (/) — К (/) С (/)] Р (/) + Р (/) IАт (/) - ст (/) кг(/)] +
at
+ K(/)R(/)K7'(/) + G(/)Q(/)G7'(/).
Теперь используем в этом уравнении оптимальное значение
(7.73) матричного коэффициента усиления К(/):
= А (/) Р (/) - Р (/) Ст (/) R-1 (/) С (/) Р (/) +
dt
+ Р (/) Аг (/) - Р (/) Сг (/) (R-i (/)f С (/) Pz (/) +
+ Р (/) Сг (/) R-i (/) R (/) (R-i (< С (/) Рг (/) + G (/) Q (/) Ог (/).
Четвертый и пятый члены взаимно уничтожаются, так чт05
уравнение окончательно принимает следующий вид:
= А (/) Р (/) + Р (/) Аг (/) - Р (/) Ст (0 R-i (t) С (/) Р (/) +
at
+ G(/)Q(/)Gr(/).	(7.8^
В этом уравнении (оно называется матричным уравнением:
Рикатти) все коэффициенты—известные функции времени. Ре-
шая данное уравнение, находим корреляционную матрицу оши-
бок оценивания Р(/1), необходимую для вычисления по уравне-
нию (7. 73) оптимального коэффициента усиления К(^) фильтра
Калмана.
J 62
Получение непрерывного фильтра
из дискретного предельным переходом
Уравнения непрерывного фильтра Калмана можно также по-
лучить из разностных уравнений дискретного оптимального
фильтра, полагая период дискретизации Т стремящимся к ну-
лю.
Рассмотрим дискретный объект
(7.83)
Прикладываемое к этому объекту возмущение wft есть диск-
ретная (с периодом дискретизации Т) последовательность слу-
чайных конечных величин, представляющая дискретный белый
шум.
Между непрерывным w(/) и дискретным wfe белым шумом
имеется существенная разница. Корреляционная функция диск-
ретного белого шума
Qww===QA(^-7'7’),
где функция Кронекера при нулевом значении аргумента равна
единице, а при всех других — нулю, т. е.
лр“ 1=0
(О при т ф 0.
Матрица Qs — конечна. Преобразование Фурье этой корреляци-
онной функции
[ Qa8k (/)e->zt//=O.
— 00
Равенство нулю преобразования Фурье указывает, что спект-
ральная плотность мощности дискретного белого шума wft при
любом периоде дискретизации Т равна нулю. Физическое объ-
яснение этого состоит в том, что средняя мощность Qfe дискрет-
ного белого шума конечна и при распределении ее по бесконеч-
ной полосе частот ординаты распределения (спектральной плот-
ности) получаются нулевыми. Однако непрерывный белый шум
w(£) имеет корреляционную функцию
(т)
и отличную от нуля спектральную плотность мощности Q.
Чтобы мощность случайных внешних воздействий дискрет-
ной и непрерывной системы в предельном случае Т-И) была
одинакова, примем дискретный белый шум
(7.84)

163
где Т — период дискретизации. Тогда корреляционная функцщ|
Qww = Q* "у- &К (т)
и, принимая во внимание
lim —*— = 8 (/),
т^о Т
где d(Q — единичная импульсная функция, в предельном слу*
чае Т->-0 получим	’
J QA8(/)
— 00
Таким образом, полагая Q=Qk, обеспечиваем для предель-
ного случая Т->0 одинаковые спектральные плотности мощно-
сти непрерывного w(г) и дискретного у 1/2 белого шума.
Известно, что непрерывный белый шум представляет собой’
непрерывный континуум импульсных функций со случайной ин-
тенсивностью. Это представление вполне согласуется с приня-
тым выражением дискретного шума (7.84): при 7->0 дискрет-
ный шум, определяемый выражением (7.84), переходит в непре-
рывный континуум импульсных функций со случайной интен-
сивностью wfe
Учитывая сделанные замечания, вместо объекта (7.83) бу-
дем рассматривать дискретный объект
хА—Фм-i х*-1 + Е*.*_1	;	(7.85)
У^СЛ+^.	(7.86)
Согласно выражению (7.13)
Ф*л-1 = 1-г7’А(4_1), Eb,k-i=TG (4-J,	(7.87),
где	tk^ = {k— \)Т.
Подставляя эти выражения в уравнения (7.85) и (7.86), по-
лучим
(^_х)^- ;	(7.88)
Уй=Сйх,+ ^-2.	17.89)
Полагая в этих уравнениях 7->0, приходим к уравнениям
непрерывного объекта
x=A(/)x4*G(/)w(/);	(7.90)
у = С (/) х +v(/),	(7.91)
совпадающим с уравнениями (7.51) и (7.52).
164
Произведем теперь и в уравнениях дискретного фильтра
Калмана предельный переход
Сравнивая уравнения (7.25) и (7.85), видим, что вместо слу-
чайной помехи wfe_4 теперь фигурирует помеха
Ем_!
у I/2
Проводя выкладки, аналогичные выполненным в разд. 7.3, и
Wfc—1
учитывая, что корреляционная матрица дискретного шума 0-
Qs—1
есть •	-, приходим к следующему выражению априорной кор-
реляционной матрицы ошибок оценивания [см. также уравнение
(7.48)]:
Рй==Ф»Л-1Р»-1Фй й-1 + Em-i
Подставляя выражение (7.87) и удерживая лишь члены с
первой степенью Т, приводим это уравнение к виду
P*=P*-i + A (4-i	+ P*-i	+ G (4_х) Q,_1G7' (4 - J Т.
(7 92)
Снижая индекс k на единицу, можно уравнение (7.41) запи-
сать в виде
P*-i = Р*_! - K^C^X-i	(7- 93)
Подставляя в уравнение (7.92) вместо P/(-i выражение
(7 93), после некоторых преобразований получим
р'__р'	1
-..-7.fe~1 = A(4-4 PL1 + р;_!Аг(4_1)—у- Ка_А-А-1 -
А (4—1) iCj—iPj—i Ka—jCfc-!Рд>—iA (4—1)4“
+ G (4_J Qft_xGr (4-1).	(7.94)
Учитывая выражение (7.40), преобразуем теперь член -уКя-Г-
~	P^-1CI-1 [с^р;-! cLt+=
= P^-iCLi [Rft-1 + С*-! P^-iCLir] -1.	(7. 95)
Матрицу Rk-i будем считать положительно определенной.
Полагая в уравнении (7.94) 7->0 и принимая во внимание
(7. 95), получим
— = А (/) Р + РАГ (4 - РСГ (4 R1 (4 С (4 Р -4- G (4 Q (4 сг (4. {7. 96)
165
Это уравнение совпадает с матричным уравнением Рикатти
(7 82) для непрерывного оптимального фильтра
Вводя обозначение
K(/)=-hm Jr Kft_x	(7.97)
Т^О Т
и потагая в (7 95) Т-Ч), находим
K(/) = P(/)Cr(/)R-i(/)
Это выражение соответствует оптимальному коэффициенту уси-
ления (7 73) в уравнении непрерывного фильтра Калмана
Подставляя в уравнение (7 30) оптимального дискретного
фильтра вместо Ф;> k-i выражение (7 87), получим
~~' = А (4-1) хк-17 ““ [У* — ^kxk—1	(4—1) хк—1П •
(7 98)
Учитывая (7 97) и полагая Т->-0, приходим к дифференциаль-
ному уравнению
х = А(4х + К(4 [у (4 - С (4 х],
описывающему оптимальный непрерывный фильтр Это уравне-
ние совпадает с ранее выведенным уравнением непрерывного
фильтра Калмана (7 66)
Анализ уравнений
оптимальной непрерывной фильтрации
Потная система уравнений оптимальной непрерывной филь-
трации сведена в табл 72 В уравнении объекта наблюдения
помимо случайных воздействий G(/)w(4 учтено управляющее
воздействие В(4и(0
Структурные схемы непрерывного объекта наблюдения и
соответствующего фильтра Калмана приведены соответственно
на рис 7 5, а, б (формирование оптимального коэффициента
усиления на рис 7 5, б не отражено)
Нетрудно видеть, что структурная схема оптимального
фильтра содержит в качестве составной части структурную схе-
му объекта наблюдения, на которую действует «взвешенный»
сигнал рассогласования между действительно измеренным зна-
чением у(/) выходного сигнала и его прогнозированным значе-
нием у(4=С (4 х(4
«Взвешивание» проводится звеном, передаточная функция К
которого равна оптимальному коэффициенту усиления фильтра
Это звено входит в замкнутый контур, так что устойчивость это-
го контура, т е устойчивость фильтра Калмана, зависит от кор-
реляционных матриц Q и R белых шумов, представляющих слу-
166
чайные воздействия на объект и ошибки измерения выходного
сигнала Фильтр устойчив, если его матрица (А—КС) имеет
собственные значения с отрицательными вещественными частя-
ми
Таблица 72
Сводка уравнений непрерывного фильтра Калмана
Объект наблюде- ния	х (Z) = А (Z) х (f) + Ви (Z) + G (Z) w (t)
Математическая модель измерений	y(Z) = C(Z)x(Z) + v
Известная ста- тистика	м [w (0] = М [V (0] = 0, М [х (0)] = рх (0) М [w (t) wr (т)] = Q (Z) 8 (t — т), M [v (Z) vf (r)] = = R(Z)8(Z—T) M [w (Z) vT (t)] — M [x (0) w7 (Z)] = M [x (0) v7(0] = 0 M [x (0) xr (0)] = M
Уравнение фильт- ра	£ (Z) = A (Z) £ (Z) + Bu (Z) + К (Z) [y (Z) - C (Z) £ (Z)J
Оптимальный коэффициент уси- ления	K(Z) = P(Z)Cr (Z)R-l (Z)
Уравнение для определения матри- цы Р (Z)	P (Z) = A (Z) P (Z) + P (Z) Л7 (Z) - P (Z) cr (Z) R-l (Z) X X c (Z) P (Z) -- G (Z) Q (Z) G7 (Z)
Начальные усло- вия	x (0) = Al [x (0)] = px (0) P (0) - Al [x (0) xr (0)] = M
При модальном управлении вектор состояния объекта мож-
но оценивать при помощи фильтра Калмана Вся замкнутая
система управления в целом описывается тогда уравнениями
(предполагается система с одним входом)
х Ах-нЬц-i-gro,	|
y = Cx + v,	।
х=(А — КС) х 4- Ку -г Ьц,
и=—рх
(7 99)
Если случайное воздействие vl (/) и измерительный шум
v(/j —стационарные случайные процессы, то в установившемся
состоянии оптимальный коэффициент усиления К постоянный
167
Легко доказать, что в этом случае, как и при использовании
детерминированных наблюдающих устройств (см. разд. 4.4),
корни замкнутой системы (7.99) распадаются на две независи-
мые группы. Одна группа корней совпадает с собственными
значениями матрицы (А—Ьр), характеризующей систему «объ-
ект — регулятор», а другая — с собственными значениями мат-
рицы (А—КС) фильтра Калмана
а)

Рис 7J5 Структурные схемы непрерывного объекта
наблюдения (а) и фильтра Калмана (б)
Структурная схема всей системы управления, составленная
по уравнениям (7.99), показана на рис. 7.6. С помощью эквива-
лентных преобразований структурную схему можно предста-
вить в другом виде (рис 7.7) Из этой последней схемы ясно,
что фильтр Калмана представляет собой не что иное, как мо-
дель наблюдаемого объекта, дополненную звеном К- Но основ-
ная трудность в создании этого фильтра заключается именно в
определении коэффициента К.
Когда действующие на объект случайные возмущения и
ошибки измерения — белые шумы, коэффициент К можно рас-
считать по уравнениям, приводимым в пятой и шестой строках
табл 7.2. Если действующие на объект случайные возмущения
w^/1) представляются «цветным» шумом, а ошибки измере-
ния — «белым» шумом, то по сравнению с предыдущим случаем
существенных дополнительных трудностей не возникает. Необ-
168
Рис 7 6 Замкнутая система, содеожащая в каче
стве наблюдающего хстройства фитьтр Калмана
Рис 7 7 Система, эквивалентная системе, изобра-
женной на рис 7 6
169
ходимо просто к уравнениям объекта добавить уравнение фор-
мирующего фильтра, предназначенного для получения цветного
шума из белого
Исходный объект и формирующий фильтр образуют расши-
ренный объект управления. Выходной сигнал формирующего
фильтра в виде цветного шума с требуемой кривой спектраль-
ной плотности мощности (она должна совпадать с кривой спек-
тральной плотности шума w1(Z'), действующего на исходный
объект) рассматривается как часть переменных состояния рас-
ширенного объекта
Таким образом, благодаря введению формирующего фильтра
задача сводится к прежнему случаю, когда возмущающие воз-
действия представляют собой белый шум Фильтр Калмана, син-
тезированный по уравнениям табл 7 2 для расширенного объек-
та, будет идентифицировать не только переменные состояния ис-
ходного объекта, но и цветной шум wt(r), действующий на него..
Если цветным шумом описываются ошибки измерения v4(^)
выходного сигнала объекта, то задача определения оптималь-
ного коэффициента усиления К становится более сложной.
Здесь эта задача не рассматривается
Пример применения уравнений непрерывной оптимальной
фильтрации в их стандартной форме, когда w(f) и v(t) —бе-
лые шумы (см табл 7 2), рассматривается в следующем раз-
деле
7 5 ОПТИМАЛЬНЫЙ НЕПРЕРЫВНЫЙ ФИЛЬТР
В СХЕМЕ ГИРООРБИТЫ
Возможная схема орбитального гирокомпаса (гироорбиты) „
предназначенного для измерения угла рыскания искусственного
спутника Земли (ИСЗ), рассмотрена в разд 4 1. При разработ-
ке этой схемы влияние шумовых помех учитывалось весьма
приближенно Точность оценки угта рыскания может быть су-
щественно повышена, если в схему орбитального гирокомпаса
ввести фильтр Калмана В настоящем разделе рассматривается
гирокомпас, синтезированный с использованием именно этого
подхода [13]
Согласно (4 1) угловые скорости ИСЗ по углам крена л
рыскания определяются уравнениями
у= — 2p4-(ox;
(7. 100)
где Q— орбитальная (облетная) угловая скорость, предполага-
емая в дальнейшем постоянной (круговая орбита), юх, ыу —
составляющие абсолютный угловой скорости ИСЗ по связан-
ным осям х, у
170
Будем считать, что угловые скорости ®х, ту измеряются при
помощи ДУС крена и ДУС рыскания. Пусть юхг, &уг — выход-
ные сигналы этих ДУС, определяемые выражениями
«л+О/. ]	(7. |0|)
г-1
где Dx, Dv—случайные процессы, представляющие дрейф ДУС.
Подставляя эти выражения в (7.100), получим
V = -2f+«,r-^ I	(7.102)
* = °v + «»r-OB. I
Пусть информация об угле крена поступает от ИКВ Выход-
ной сигнал ИКВ
=	(7 ЮЗ)
где v(t) —случайный процесс, называемый измерительным
шумом.
Пусть Dx, Dy, v—независимые случайные процессы — «бе-
лый шум» — с нулевыми средними значениями Тогда, прини-
мая во внимание математическую модель объекта (7.102), мож-
но для оценки у, ф непосредственно использовать уравнения оп-
тимальной непрерывной фильтрации (см табл 7 2) Имеем
Т= —	(у — у), у(0) = 0;	(7.104)
J=2y4-U)i/r — К^у-у), <(0) = 0,	(7 105)
где, как обычно, У, —оценки углов у, ф, а Кт, Кф— опти-
мальные коэффициенты \сидения, выражения которых через
спектральные плотности мощности шумовых помех можно опре-
делить по формулам, приводимым в пятой и шестой строках
табл. 7.2.
Структурная схема оптимального фильтра, составленная по
уравнениям (7.104) и (7 105), показана на рис 7 8 Эта схема и
является схемой орбитального гирокомпаса, так как выполняет
задачи последнего (определяет оценку ф лгла рыскания ИСЗ)
Согласно структурной схеме выходные сигналы ИКВ и двух
ДУС поступают на вход интеграторов —, роль которых могут,
например, выполнять операционные электронные усилители
Оптимальный фильтр можно также реализовать с помощью
двух интегрирующих поплавковых гироскопов Уравнения
(7 104) и (7.105) будут интегрироваться этими гироскопами,
так что электронные интеграторы не потребуются Однако не
менее важное преимущество заключается в том, что точность из-
мерения угловой скорости (интеграла от угловой скорости) ин-
171
тегрирующим поплавковым гироскопом значительно выше, чем
ДУС
Как известно, в принципиальном отношении интегрирующий
поплавковый гироскоп отличается от ДУС лишь отсутствием
пружины (отсутствием вокруг оси вращения гироузла момента,
пропорционального углу а поворота гироузла) и большим зна-
чением fa момента сил вязкого трения Момент fa столь ве-
лик, что инерционным моментом гироузла Ja можно прене-
Рис 7 8 Схема орбитального гирокомпаса, ис
пользующего оптимальный фильтр
бречь Тогда уравнение интегрирующего поплавкового гиро-
скопа
fa^HQfHD-\My	(7 106)
где Я — кинетический момент гироскопа, Яй— гироскопиче-
ский момент, возникающий от угловой скорости й вокруг оси
чувствительности, HD — случайный момент, возникающий от
дрейфа, М—момент, развиваемый этектромагнитным момент-
ным датчиком
Легко видеть, что оптимальный фильтр, описываемый урав-
нениями (7 104) и (7 105), можно реализовать, если к момент-
ным датчикам двух интегрирующих поплавковых гироскопов с
осями чувствительности, направленными по осям х и у связан-
ной с ИСЗ системы, подвести соответственно такие сигналы,,
что
Мт = Я[-21г+^(г/-уг)];	(7.107)
Л1+-Я[ауг + Яф(у-уг)]	(7 108)
Здесь
Vr = “"Yo, ьт = ~-''о,
п	п
172
где Yo, фо — угол поворота поплавковой камеры соответственно
гироскопов крена и рыскания
Подставляя выражения (7 107) и (7 108) в уравнение
(7 106) и заменяя а соответственно на у0 и -фо, получим
/Уо=^ + ^+яГ-2(4 'oU/Hy_2-yoyi (7 109)
f%=:Hu>y + HDy + ^\Q(-^-yo} + K^(y-^-yo\] (7 ПО)
или, деля на Н,
Уг——^гЩЦгТ^т (У ~ Yi)>	1И)
фг=2уг-|_(0;/г-}-Л’ф (у — уг)	(7	112)
Рис 7 9 Схема реализации орбитально и гирокомпаса при
использовании интегпирмощих поплавковых гироскопов
Эти уравнения при уг= V, \=Ф переходят в уравнения
(7 104) и (7 105)
Схема орбитального гирокомпаса, получающаяся при реали-
зации уравнений (7 111) и 7 112) с помощью интегрирующих
поплавковых гироскопов, показана на рис 7 9
Из уравнений (7 111) и (7 112) видно, что моменты К[{у — УР),
К$/(у— уг),	создаваемые моментными датчиками, предназна-
чены для компенсации моментов дрейфа HDX, HDV, а момен-
ты — йфг, йуг — для «привязки» гироскопов к орбитальной сис-
теме координат Следовательно, выходные сигналы интегрирую
щих поплавковых гироскопов прямо пропорциональны оценкам
У, ф углов крена и рыскания ИСЗ
Обратимся теперь к определению оптимальных коэффициен-
тов хсиления Л\,
173
С этой целью уравнения объекта наблюдения (7.102) и
(7.103) запишем в матричной форме:
0
2
Y
“х г
“у г .
Dy '
Ф
(7. 113)
У = [1, 0]
+ г>.
Поскольку дрейф гироскопов и ошибки ИКВ рассматривают-
ся как белый шум, имеем,
М [Dx(t)Dx(t')\ = Qx* (t-t'}-	(7.114)
М[0Д/)Д,(Г)]=(2^8 (/-/');	_	(7.115)
M[t)(/)ti(f)]=^(f-f).	(7.116)
Следовательно, уравнение Рикатти (уравнение в предпослед-
ней строке табл. 7.2) можно записать в следующем виде-
d				0 —2’	РП Р-11/	+	T’n	P 74	0 2'	+
dt				[2	0]	_P1^ Pw.		Pff	Рфф	—2 0 ]	
	4	[Q,	0 '	__L[^	1 p-tf 1	[1	0]		M. (7.117)	
		0	•1у		ф Pj^J [о			К Z		
Переходя к поэлементным уравнениям, получим										
			Pn=-2QPi^Qx-			/?	- p2 Tt		(7. 118)	
			P-V/~ 2(PW Рц,			1 /?	if	7*74,;	(7. 119)	
			P^j — 2QPf^ — Q</	7*				2 7Ф-		(7. 120)	
В \становившемся состоянии Рц = Pi^ = P.,^~Q, так что
уравнения (7.118)—(7.120) переходят в систему алгебраических
квадратных уравнений относительноРц, Р-^ и Р^. Решение
этой системы имеет вид
(7. 121)
Рп=-27? 2 -/ 1-4--2^ - 2 +-2^ V2;	<7. 122)
|/	22/?	'22/?	'	1
р*=р"/1+^.
(7. 123)
174
Таким образом, согласно уравнению в пятой строке табл 7.2Г
установившиеся значения оптимальных коэффициентов усиле-
ния
К	2 1/1+	-24-®*-
R	[ у 227?	22/?
(7. 124)
7.6. ОПТИМАЛЬНЫЙ ДИСКРЕТНЫЙ ФИЛЬТР
В СИСТЕМЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ
(7. 125)
Рассмотрим летательный аппарат (ЛА), прямолинейное дви-
жение которого возмущается ускорением в виде случайного
процесса. Положение ЛА измеряется в дискретные моменты
времени, разделенные периодом дискретизации Т. Каждое изме-
рение содержит шумовую помеху. Задача состоит в определе-
нии точности, с которой возможна оценка положения и скорости
ЛА при помощи дискретного фильтра Калмана [14].
Для упрощения задачи анализ будем проводить только для
установившегося состояния. Будем также предполагать, что чув-
ствительные элементы измеряют координаты ЛА в прямоуголь-
ной системе координат с независящей от времени и координат
точностью и что ошибки измерения имеют нулевое среднее зна-
чение и некоррелированы. Сказанное можно учесть уравнением
Уъ=хк+ъь,	(7.126)
где yk=y(kT) —измеренное положение ЛА, Xk=x(kT) —дей-
ствительное положение ЛА; vh — шумовая помеха в &-й диск-
ретный момент времени, и уравнениями
Л4[т)а] = 0 для всех k\
М [t)j] =£ = const для всех k;
М [^z] = 0>
(7. 127)
выражающими статистические свойства измерительного шума.
Примем предположение о раздельном независимом измере-
нии координат ЛА. Тогда каждую из координат можно рассмат-
ривать отдельно. При сделанных предположениях движение ЛА
по некоторой координате описывается уравнениями
+	-ф-i- а^Т2
(7. 128)
vi=vft_14- а^Т,
где Xk — положение ЛА в текущий момент kT\ vh—Xk — ско-
рость ЛА; zife — ускорение ЛА; Т — период дискретизации
175
Фигурирующее в уравнении (7.128) ускорение ак предпола-
гается случайной величиной, сохраняющей между соседними
моментами квантования (измерения) постоянное значение. Бу-
дем считать, что среднее значение случайной величины ак равно
нулю и что корреляция между значениями ah в разных интерва-
лах отсутствует:
Af[aJ=0;
М [ак] =<3д=const для всех k\
М [atat] = 0, k^l.
Чтобы воспользоваться уравнениями оптимальной
ции, запишем уравнения объекта (7.428) и уравнение
го сигнала (7.126) в матричной форме:
(7. 129)
фильтра-
выходно-
Здесь
Ф =
a zA =
z^Oz^ + Ga^;
ys = Czs+^-
Г1 Т]
0 1
, G =
' Г2 "
, С=[1 0],
2
L Т .
— вектор состояния объекта.
Lv* .
Уравнение
ка табл. 7. 1),
ния и скорости ЛА, принимает в данном случае вид
z^Oz^ + KJ^ - СфЯ-1]-
Вводя для прогнозированного вектора состояния
ние
(7. 130)
(7. 131)
J. 132)
дискретного фильтра Калмана (четвертая стро-
вырабатывающего оптимальную оценку положе-
(7. 133)
обозначе-
(7. 134)
перепишем уравнение (7.133) в другой форме:
z* = z* 'Т Кj. [Уь — Czj.].
(7. 135)
Здесь zs =
хк
1

оптимальная оценка вектора
состояния
после выполнения измерения yh, а гь=
xk
— оптималь-
I-Vfe
ная оценка вектора состояния до выполнения измерения ук
(прогнозированная оценка).
Матричный коэффициент усиления К& определяется форму-
лой (пятая строка в табл. 7.1):
кА=р;сг [ср^+т?]-1,
(7. 136)
176
где 7?=(Тх2 — дисперсия измерительного шума, а Р/ — априор-
ная (до выполнения измерения уь) матрица дисперсий ошибок 1
оценивания. Матрица Р' рассчитывается по рекурсивной форму-
ле (шестая строка в табл. 7.1):
P^cpPft-X + GQC/,
(7. 137)
где
рй=[1- ад р;
(7. 138)
— апостериорная корреляционная матрица ошибок оценивания,
a Q = ca2 — дисперсия случайного процесса ан (ускорения).
кТ кТ+Т Время
Рис. 7.10. Нормы априорной и апостери-
орной корреляционных матриц ошибок
оценивания в функции времени
В установившемся состоянии
р; р/г1 р'. р. рй1 р.
так что при учете (7.136) уравнения (7.137) и (7.138) можно пе-
реписать в виде
P'=OrPOr!GQGr;	(7.139)
Р = [1-Р'СГ(СР'СГ+/?)~1С] Р'.	'	(7.140)
Матрицы Р' и Р неодинаковы. Ясно, что после учета резуль-
тата измерения ошибки оценивания уменьшаются. Это приво-
дит к следующему соотношению между нормами матриц:
||РЦ<||Р'|].
Однако вследствие случайных ускорений ЛА между момен-
тами дискретизации ошибки оценивания в соответствии с урав-
нением (7.139) возрастают.
Установившееся состояние наступит тогда, когда уменьшение
ошибок, обусловливаемое каждым измерением, равно возраста-
нию их на периоде дискретизации вследствие случайных уско-
рений (рис. 7.10).
177
Объединим теперь (7.139) и (7.140) в одно уравнение
Р' - GQGT= Ф [I - Р'СГ (СР'СГ+/?)-1С] Р'ФГ.
Полагая
Р' =
ГЛ Р.
1.Л Л
(7. 141)
(7. 142)
и учитывая выражения (7 132), уравнение (7.141) можно пере-
писать в виде
Решая систему алгебраических уравнений, получающуюся
приравниванием соответственных элементов матриц в левой и
правой частях уравнения (7.143), находим.
Pi /1 + 2г (/1 + 2r + l)2 .
2
а „
Г2
Р2	1 (/Г+27 + 1)2 .
°х°аТ	2
(7. 144а)
(7. 1446)
г
2
(7. 144в)
4аЛ
где
(7. 145)
— безразмерный параметр, который можно трактовать как от-
ношение «шум/сигнал». Действительно, <тх— средняя квадра-
тичная ошибка чувствительного элемента, измеряющего поло-
жение ЛА, а — среднее квадратичное отклонение ЛА по
положению, обусловленное случайным ускорением ЛА.
Из уравнений (7.144) и (7.140) можно найти безразмерные
отношения, характеризующие элементы апостериорной матрицы
дисперсий ошибок оценивания:
0/TW-+
Г2
(7. 146а)
178
= _L (/1 +2r-l)2 •	g_ 1466)
алааГ 2	r
4^ = ^(УТ+27-1).	(7.146b)
° a1	2
Величины -j- представляют собой отношения сред-
&х
него значения квадрата ошибки в оценивании положения ЛА к
дисперсии ошибки их2 чувствительного элемента соответственно
до и после момента измерения чувствительным элементом поло-
жения ЛА. Графики изменения этих отношений в зависимости от
Рис 7 И Отношения
—2~как функция г =
а ••
Pl
4ах
^72
г, построенные по формулам (7.144а) и (7.146а), представлены
на рис 7.11 (по осям координат применены логарифмические
шкалы).
Графики показывают, что при использовании фильтра Кал-
мана точность оценки положения ЛА может быть более высо-
кой, чем точность чувствительного элемента, измеряющего по-
ложение ЛА. Средняя квадратичная ошибка оценивания
координаты х непосредственно после проведения ее измерения
всегда, т. е. при любом г меньше, чем средняя квадратичная
ошибка ож чувствительного элемента, производящего это изме-
рение. Что касается средней квадратичной ошибки оценивания
V Pt непосредственно перед измерением, то она меньше средней
квадратичной ошибки ож чувствительного элемента только при
значениях г> 16,6.
Таким образом, в любой момент времени ошибка оценива-
ния положения ЛА будет меньше ошибки, свойственной чувст-
179
вительному элементу, если период дискретизации Т выбрать из
условия
г<16,6.
Принимая во внимание выражение (7.145), это условие
можно переписать в виде
4ох< 16,6оаГ.
Отсюда находим, что период дискретизации должен быть
Г<0,49-|//^,	(7-147)
где Ох — средняя квадратичная ошибка чувствительного эле-
мента, измеряющего положение ЛА; оа — среднее квадратичное
значение случайного ускорения ЛА.
Используя в фильтре Калмана период дискретизации, под-
чиняющийся условию (7.147), обеспечиваем в любом случае оцен-
ку положения ЛА с более высокой точностью, чем точность са-
мого чувствительного элемента, измеряющего положение ЛА.
В этом и заключается преимущество оптимальной фильтрации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Булгаков Б. В. Колебания М, Госте.хтюретиздат, 1954, 891 с
2.	Гироскопические системы, ч. II Под ред. Д С. Пельпора. М., «Высшая
школа», 1971, 487 с.
3.	Григорьева Т. И., Кожинская Л. И. К теории модального управле-
ния,— «Автоматика и телемеханика», 1973, с. 5—8
4.	Д’Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами Анали.,
и синтез. (Пер. с англ.). М, «Машиностроение», 1974, 286 с.
5.	Калман Р. Е., Бьюси Р. С. Новые результаты в линейной фильтрации
и теории предсказывания Труды американского общества инженеров-меха-
ников.— «Техническая механика». 1961, с 95—107
6	Кузовков Н. Т. Динамика систем автоматического управления. М,
-«Машиностроение», 1968, 427 с
7.	Летов А. М. Динамика полета и управление М., «Наука», 1969, 359 с
8.	Петров Б. Н., Крутько П. Д. Алгоритмическое конструирование опти-
мальных регуляторов при неполной информации о состоянии объекта —
-«Техническая кибернетика», 1972, с. 188—199.
9	Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматического управления М., Гостехтеоретиздат. 1957, 659 с.
10.	Солодовников В. В., Матвеев П. С. Расчет оптимальных систем авто-
матическою управления при наличии помех М, «Машиностроение», 1973,
240 с.
И. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования
Под ред. В. В. Солодовникова М., «Машиностроение», 1967, 2418 с.
12.	Янушевский Р. Т. Теория линейных оптимальных многосвязанных
систем управления. М., «Наука», 1973, 464 с.
13.	Bryson А. Е., Kortiim М. Estimation of the Local Attitude of Orbiting
Spacecraft, Automatica, March, 1971, pp. 163—180.
14.	Friedland B. Optimum Steady — State Position and Velocity Estimation
Using Noisly Sampled Position Data, IEEE Transactions on Aerospace and
Electronic Systems, November 1973 pp. 906—911.
15.	Hostetter G. H., Meditch J. S. Observing Systems with Unmeasurable
inputs, IEEE Transactions on Automatic Control, June 1973, pp. 307—308.
16.	Kalman R. On the General Theory of Control Systems, Proceedings First
International Congress IFAC Vol. I Butterworh, London. 1961, pp. 481—492.
17.	Langholz G., Frankenthal S. Reduction to Normal Form of a State
Equation in the Presence of Input Derivatives, International Journal of Systems
Science, July 1974, pp. 705—706.
18.	Luenberger D. G. An Introduction to Observers, IEEE Transactions on
Automatic Control, December 1971, pp. 596—602.
181
19	Luders G.( Narendra K. S. A New Canonical Form for an Adaptive'
Observers, IEEE Transactions on Automatic Control, April, 1974, pp. 117—.
119.
20.	Lyons M. G., DeBra D. В A Reduced State Estimator for Orbitaf
Heading Reference, Journal of Spacecraft and Rockets, February 1974, pp. 97—.-
100
21	Park H., Seborg D. E. Eigenvalue Assignment using Proportional-
Integral Feedback, International Journal of Control, September 1974 pp.
517—523
22.	Porter B., Grossley T. R. Modal Control Theory and Applications,
London, 1972, 233 p.
23.	Sage A. P., Melsa J L. Estimation Theory with Applications to Com-
munications and Control, New York, 1971, 529 p.
24	Seraji H. Design of Cascade Controllers for Zero Assignment, Con-
ference on Computer aided Control System Design, April 1973, pp. 94—100.
25.	Seraji H. Restrictions on attainable Poles and Methods for Pole
Assignment with Output Feedback, Proceedings of the IEE, March 1974, pp. '
205—212
26	Sorenson H. W. Kalman Filtering Techniques, ch V in Book С. T Leon-
des (ed) «Advances in Contiol Systems», Vol. 3, New York, 1966, p. 219—292.
27	Wonham W. M. On Pole Assignment in Multi-input Conrtrollable Linear
Systems, IEEE Transaction on Automatic Control, December 1967, pp. 660—665.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие........................................................ 3
Глава 1. Управление корнями при полной информации о векторе со-
стояния ........................................................... 5
1.1.	Метод стандартных коэффициентов............................ 5
1.2.	Матричные передаточные функции . .	.	........... 12
1.3.	Условие полной управляемости	...	  14
1.4.	Объекты с одним входом.................................... 14
1.5.	Объекты с несколькими входами	...	  17
1.6.	Синтез гиростабилизатора прн подносило измеримом векторе
состояния...................................................... 20
Глава 2. Управление корнями при неполной информации о векторе
состояния......................................................... 25
2.1.	Объекты с	одним входом................................... 25
2.2.	Синтез гиростабилизатора при неполной обратной связи по со-
стоянию . . . . .	............................. 32
2.3.	Объекты с несколькими входами............................. 35
2.4.	Синтез гиростабилизатора с двумя входами ................. 39
Глава 3. Управление нулями и коэффициентами усиления замкнутой
системы .......................................................... 44
3.1.	Одномерная комбинированная система........................ 45
3.2.	Многомерная комбинированная система....................... 46
3.3.	Управление корнями при интегральных обратных связях . .	53
3.4	Гиростабилизатор с астатическим регулированием по углу пре-
цессии ........................................................ 56
Глава 4. Наблюдение детерминированных объектов ................... 59
4	.1. Реализация гироорбиты с помощью интегрирующего гироскопа 59
4	.2. Наблюдающее устройство как замкнутая система .	.	65
4	.3. Общая теория наблюдающих устройств .................... 67
4	.4. Наблюдающее устройство идентификации .	............. 69
4	.5. Редуцированное наблюдающее устройство . .	.......... 74
4	.6. Редуцированное наблюдающее устройство в системе стабилиза-
ции летательного аппарата ....	................ 78
4	.7. Устройство для наблюдения линейной функции переменных со-
стояния ....................................................... 87
Глава 5. Наблюдение объектов, подверженных действию возмущений
с неполной информацией ....	.............. 93
183
Стр_
5 1 Оценивание внешних воздействии не поддающихся прямому
измерению	93
5 2 Наблюдение переменных состояния и внешних воздействий те
тат<.ты-О!О аппарата	9g
5 3	Синтез цепей обратной	связи	гиростабилизатора	99
Глава 6 Самонастраивающиеся	наблюдательные	устройства	115
6 1 Наблюдающие устройства с адаптацией к внешним воздействиям	115
6 2 Наблюдающее устройство с адаптацией к параметрам объекта	121
6 3 Применение самонастраивающегося наблюдательного устройств!
в 1 нростабилизаторе	127
6 4 Применение самонастраивающегося набтюдатетьного устройсг
ва в автопилоте	131
6	5 Самонастраивающийся автопилот легкого ЛА	133
Глава 7 Наблюдение объектов при случайных помехах	138
7	1 Переход от дифференциального уравнения к разностному	138
7	2 Дискретное наблюдающее устройство идентификации с усред
нителем	141
7	3 Дискретный фильтр Калмана	143
7	4 Непрерывный	фильтр Калмана	153
7	5 Оптимальный	непрерывный фильтр в схеме гироорбиты	170
7	6 Оптимальный дискретный фильтр в системе определения место
положения	175
Спирос литературы	181
3|о/пятхка |
Николай Тимофеевич Кузовков
МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И НАБЛЮДАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Редактор С И Виноградская	Художник Л С Вендров
Техн редактор Т С Старых	Корректор А И Карамышкинс
Сдано в набор 31 /X 1975	Подписано в печать 14/1 1976 г	Т 03017
Формат 60х90’/1б	Бумага К° 1	Печ т 11 5	Уч изд л 9S
Тираж 2000 экз	Изд зак 460
Цена 1 руб
Издательство «Машиностроение», 107885 Москва Б 78 1 й Басманный пер 3
Московская типография 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств полиграфии и книжной торговли
Хохловский пер , 7 Тип зак 4267