Государственный комитет СССР по народному обраао:
Московское ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции к
ордена Трудового Красного Знамени
высшее техническое учнлнце им. Н.Э. Баумана
А.Г.КУЗНЕЦОВ
Утверадены
редсоветом МВТУ
СИНТЕЗ СИСТЕШ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГШРОВАШ
ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ КАМЕРЫ
Методические указания к до тине ну ааданив
по курсу "Оснош автоматики"
Под редакцией В.И.Крутова
Москва
1988

Дшные методические указан] издаются в соответствии с
*	——• ~	0-6 30.09.87 Г.,
х учвбно-иетодв-
Дянмца методические указания издаются в сое
тчебнш пданоы. Лсомотрены х одобрены кафедро!
ыетодическо! ко«о<ш1 Факультета Э 25.04,88 г.
ческим ленивы 20.06.88 г.
Рецензент к.т.н^доц. Н.Б.Дешнков
@ московское внаем техническое училище имени Н.Э.Баумана
Александр Гаврилович Кузи»до»
Редактор В.В.Оотваева	Корректор *.И. Малютина
ащ ЪМ . »*•« 1,76 н.я.(1,б уи.н»п.л.>. Тира* 300 зкз.
Беопат». . Пояшоа* в веча» 29 04.06. План I960 г., i 1.3 доп.
Типографа» МВТУ, 107006, Мооква, Б-6, 2не Бауияскм, 5.

Цель задания - спроектировать систему автоматического ре¬
гулирования (САР) давления в проточной пневматической камере,
провести анализ статических и динамических свойств моментов
САР (пневматической камеры как объекта регулирования и автома¬
тического регулятора) и всей систеш автоматического регулиро¬
вания в целом.
ВЫБОР ВАРИАНТА ЗАДАНИЯ
Номер варианта задания состоит из четырех цифр, показываю¬
щих номер столбца в соответствующем разделе таблица данных:
первая цифра - номер столбца в разделе I, вторая - номер столб-
на в разделе П и т.д.
Часть исходных данных является общей для всех вариантов:
площадь магистрали подвода J = 0,002 1^; температура воздуха
Т- 293 К; атмосферное давление /з = К? Па; зона допустимой
нестабильности давления Ар-^~ 0,005-105 На; максимальное допу¬
стимое отклонение давления' в переходном процесое лй =
с	m&jcQ
= 0,03 -1Сг Па. Остальные исходные данные сведены в таблицу и
определяются номером варианта.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ
1.	По формулам (I) и (2) построить расходные характеристи-
ки Gt(p) при рм , Gt(p)w р1гЫп и G3(pJ при /г . Опреде¬
лить значение Pm in *
2.	Подсчитать значение фактора устойчивости /у, . *
3.	Построить переходный процесс пневматической камеры apft)
и определить показатели качества переходного процеоса £р>0?ая;
ъ tp ,
4.	Сравнить показатели качества работы пневматической ка¬
меры ( pmiH , &Pmox я t^) й техническими требованиями
( Pmm0 > йРтол^ * *р0 > ® обооновать необходимость примене¬
ния регулятора.
5.	Определить р2т1п ,	Лг'гкис •
6.	По формуле (6) найти уравнение граничной прямой до тре¬
бованиям статики £(s) и провести ее на плоскости S .
7.	Подсчитать величину степени устойчивости ex'.
3

Значения исходим данных для выполнения дошанего задания
»
| Я варианта
раз¬
дела
Параметр
I
г
3.
4
5
Номинальное давление
в камере * 1Сг Па
1,4
1,5
1,6
1.7
1,8
Минимальное допустимое
давление в камере
/W ’ 1о5па
1,35
1,45
1,55
1,65
1,75
I
Номинальное давление
в магжотралж подвода
^ . I05 Па
2
2,2
2.2
2,4
2,4
Минимальное давление
в магистрали подвода
P/mi/i* Юг На
1,4
1.5
1,6
1.7
i.a
'
Объем камеры V, i^
2
3
4
5
6
П
Максимальное допу¬
стимое время переход¬
ного процесса tpc , о
I
1.5
2
2,5
3
ш
Соотношение плеч ры¬
чага
I
1,5
2
2,5
3
Масса подвижных ча¬
стей регуляторе т,
кг
3
4
5
6
7
и
Фактор торможения
1* , кг/с
100
120
140
160
Х80
8.	ПО формул» ват-в штатам»	Г£,Г
бованжям динамики - SfS) ж прожияж ее да плоокоотн о, S •
9 Выбрать пять точек в области допустимых значений конст¬
руктивен Шфаштрож регуляторе А влоокоотж 6.S, Для выбран¬
ят точек провеет» аиалжв переходах продаооо* САР о опредале-
нжем показателе! жх качеотве ДРтах* ^р • ^*,очв* пареходиих
4

процессов для всех пяти точек провести на ЭВМ. Переходный про¬
цесс для одной из точек построить по диаграше Выдаеградского и
оопоставить с рассчитанным на ЭВМ. С учетом технических требо¬
ваний 49>хлг * Ш(3Рать параметры б' и 3 регуляторе. При
необходимости провести анализ дополнительных переходных процес¬
сов САР.
10.	В одной системе координат построить логарифмические
амплитудные и фазовые частотные характеристики пневматической
каюры и регулятора.
11.	Путем сложения ооответотвувдих логарифмических харак¬
теристик пневматической камеры и регулятора построить логариф¬
мические амплитудную и фазовую частотные характеристики разомк¬
нутой систеш и определить запасы устойчивости САР по модулю и
фазе.
АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ КАМЕИ
Пневматическая аИИШ «ьк у*гуяя,учш& объект
Для шумильного протекания различных энергетических про¬
цессов часто требуется, чтобы значение какого-либо параметра,
например давления, поддерживалось постоянным в пределах допу¬
стимых по техническим требованиям отклонений. Если изменение
внешних условий работы агрег&та приводит к его неустойчивой ра¬
боте или недопустимым изменениям параметров рабочего процеооа,
то агрегат оснащается регулятором, автоматически птягчарташтртм
значение регулируемого параметра в заданных пределах. Необходи¬
мость установки регулятора следует из анализа характеристик рас¬
сматриваемого агрегата (объекта регулирования ОР).
Объектом исследования в задании является проточная пневма¬
тическая каюра (рио. I). Воздух закачивается в каюру ко мире о-
сором К и страниц веется из нее в атмосферу. Давление в магист¬
рали подвода р, , атюоферюе - ра. Давление р в пневматичес¬
кой каюре должно поддерживаться постоянным.
Т
РИо. I
5

Pi
ПК
РМо. 2
В теории автодатического регу¬
лирования для описания условий ра¬
боты рассматриваемого элемента поль¬
зуются функционально! схемой. Функ¬
циональная схема пневматической ка¬
меры приведена на рно. 2. Давления
в магистрали подвода pf и атмосфер¬
ное ра являются дня пневматической
камеры входнымк< или внешними, воз¬
действиями (координатами), а давле¬
ние р в хамере - выходной координа¬
той.
Реши работы энергетического
агрегата зависят от характера внеш¬
них воздействий. Ври неизменных
внешних воздействиях параметры аг¬
регата оотаютоя постоянными во вре¬
мени, режимы работы называются
установившимися, или равновеоными,
а соответствующие характеристики -
статическими. Изменение внешних
воздействий приводит к изменению параметров во вреданв, агрегат
работает на ^установившихся режимах. Процессы изменения пара¬
метров во времени называются переходными процессами и являются
динамическими характеристиками энергетического агрегата. В тео¬
рии автоматического регулирования переходный процесо рассдатри-
вам как реакцию на ступенчатое (мгновенное) изменение внешнего
воздействия*
Перехода! процесс пневматической камеры будем рассматри¬
вать как зависимость давления/jot времени t при ступенчатом
изменении -»»«««■ р, в подводящем трубопроводе (рис. 3). Наи¬
более iff)™ показателями качества переходных процессов явля¬
ются время переходного процесса (время регулирования) £р и
шксидальаое отклонение ординаты процесса pP^jc • Время пере¬
ходного процесса to определяется в тот момент, когда кривая
шхшеооа (апериодического ми колебательного) вошла в зону до-
^стимсй нестабильности 2Лрд и в дальнейшем не «ходи. «
096 Большой интерес для практики представляет такие гармони-
Рио. 3
6

чаский закон изменения внешнего воздействия, с помощью которого
удобно описывать работу рассштриваемого элемента в условиях
колебательных возмущений. При гармоническом изменении входного
воздействия о круговой частотой колебаний cJ на выходе элемента
устанавливаются колебания выходной координаты той же частоты о
определенным фазовым сдвигом относительно входных колебаний.
При различной частоте и) элемент ю-раэнсму пропускает колеба¬
ния, проявляя свои фильтрующие свойства. Для описания частотных
свойств элементов используют частотные характеристики, показы¬
вающие зависимость параметров колебаний (в том числе относитель¬
ной амплитуда А и фазового сдвига f ) выходной координаты от ча-
оготн колебаний и),
Техдачеоксэ задание на гг,кект;гооад*ж9 САР
пневматической камеры
Давление р в пневматической камере определяется давления¬
ми ра и pf (рис. I и 2). Из условий эксплуатации известно,
что атмосферное давление ра изменяется незначительно, а давле¬
ние Pf может уменьшаться от номинальной величины рш до мини¬
мальной Pfp-iin . В соответствии с техническими требованиями,
предъявляемыми к пневматической камере, давление в ней должно
поддерживаться постоянным и при номинальном давлении воздуха в
магистрали подвода pf -pr/Y должно быть р . При уменьшении
давления pf до р,тр) установившееся значение давления в камере
не должно опуститься ниже р	В наиболее опасном случае
цри ступенчатом уменьшении давления в магистрали подвода от рм
доPtmin вРемя установления давления в камере, т.е. время пере¬
ходного процесса, не должно превышать величину tpo , а ыахои-
мальное отклонение изменения давления от рм не должно быть бодь-
1110 ДРтс/Хо •
Одновременное удовлетворение всех технических требований
представляет собой сложную, иногда противоречивую, инженерную
задачу. Чтобы установить, соответствует ли работа пневматичео-
кой камеры предъявляемым требованиям, необходима провести ана¬
лиз ее статических и динамических характеристик.
Анализ статических саейотв даеаьтической камегы
Из характеристик установившихся режимов пневматической ка¬
меры наибольший интерео представляют зависимости расходов в
подводящей и отводацей магистралях 0, и от давления р в
7

в да3^®01 оаяаоти ощ»*»*®*0* мв~
дтнцжми зава о имост ям*:
	Х'Гл' .ЖТ д /О .
Чтрт
г,
WW
itfw
**1
X
пр*Л~ $*А/>>
„м у _ / . площади подводящей и отводящей иагдстрадвй;
W // и Jz а„ ртгияЛаты* А = 0.528 - критическое от-
^ s 1.4 - показатель адиаоатн, J3	в
*	’ „„маний для воздуха. Если Отношение давлений в приве-
- вшю формулах становится меньше критического, то проавоо
денных ___ паоеходит в сверхзвуковую область, характеризую-
"1ЯШМ ®nms"“
	.-„та к воздуху уравнения состояния идеального газа
yrsrzz -»&
' лг/л , а из уравнения адиабаты р,Ц /-></ УД
объем воздуха в подводящей магистрали
/ Р If	*Т
V'm(o * = —7-7T3LГ ‘
* I Л/ / ft* Р *
После подстановки выражений длк удельных объемов в ^рмулн
расходов последние цринишют вид;
■№7r7F7"‘ “
2*
(2)
* ’*J(j/-j}PT ! в
щмвдь дашдаи «даю «кидал, от*>» Л™^'ж
“	РИММ» [*““»• «Ив» “ *r'0It*““ ”>П0*‘
отвода на установившихся режимах.	р ш
По формула CI) определяем QtH HP* A Р’^СЧая/
Обходе» на ОДНОМ графике построить 3 характеристики. ,(р)

“Р* Р =Рн > Gt(f>) -р„у,
и Ог(р) /г • При построении
расходных характеристик до зна¬
чений Jb надо пользоваться
формулами (I) в (2), при
0\р>&$кр расхода Q, и Gs
остаются постоянными (рис. 4).
Установившиеся режимы в ка¬
мере характеризуются равенством
расходов воздуха в подводящей и
отводящей магистралях, т.е. со¬
ответствуют точкам пересечения
построенных характеристик. Точка пересечения характеристик Of(pJ
при р,П1^ и Gp(p) показывает, какое давлениед,. установит¬
ся в пневматической камере оря снижении давления после коипрео-
сора.
С помощью расходных характеристик можно также оценить
устойчивость работы ОР* т.е. его способность после внесения
возмущений возвращаться в исходное или переходить в новое рав¬
новесное состояние. Вывод об устойчивости ОР делают по знаку
фактора устойчивости на рассматриваемом режиме
с дОг_ dQt
п ~ ~др ср~ ‘
Если Fn ?Qi то ОР работает уотойчиво, если Рп<0% то не¬
устойчиво.	,
Определение производных, входящих в выражение для фактора
устойчивости, удобнее всего сделать графически. Для этого «ядо
провести касательные к характеристикам 0,(р) и G^fpJ и найти
размерные тангенсы углов наклона касательных. Диапазон измене¬
ния давлений в пневматической камере составляет величину
Рм~Pmln * Анализ построенных расходных характеристик свиде¬
тельствует об устойчивой работе пневматической камеры во воем
диапазоне изменена давления Д,	. так как на любых воз¬
можных режимах работы камеры углы наклона касательных к харак¬
теристике Gg(р) всегда положительные,'а углы наклона каса¬
тельных к характеристика G/pJ всегда отрицательные, поэтому
рп
Кроме оценки устойчивости работы пневматической камеры
величина фактора устойчивости попользуется при построении пере-
9

ходшос провесов. Поскольку расходные характеристики нелиней¬
ные то касательные, проведенные к характеристикам Ot(pJ и
Qjp) , например, при p-f>„	различный на-
июн и величины факторов устойчивости различны. Возникает воп¬
рос, какое же значение Fn использовать при построении переход¬
ных'продаосов? Дм повышения точноотп раочета переходного про-
цеоса F вычислить как разность частных производных, опреде¬
ленных по характеристикам: G,(р) , построенной для р,т:п . и
GJP) . построенной дм }г . в точках, соответствующих значе-
дав.»™ До */(А	^ ш рю-4)’
Для определения значений чаотных
производных надо провести в точ¬
ках А и 3 касательные к расходным
характеристикам и найти размерные
тангенсы углов наклона касательных
(РИ°* 5> Л	0/1	лГ
dCh	■
-Jpz~ Tp‘	^P	4°
Рио. 5
дшда ддавдвю	пга?*ита«№8
При реальной работе ОР характер изменения внешних возму-
вродих воздействий может быть различным. При расчетном исследо-
ниши принято рассматривать типовые возмудавдю воздействия,
чаше всего ступенчатое и гармоническое.
Теоретический анализ динамических свойств шявыатичеокой
камеры проводится о помощь» дн^ренциальвого уравнения:
Ж * °г°л >
о применимости к воздуху £»«£>-
стояния идэального газа, считая
камере процессы изотермическими. В соответствии о методом ли
теории автоматического регулирования функции расходов G,
7 Oz цредставхявтоя в виде линеаризованного ряда Тейлор®.
Дифференциальное уравнение пневматической камеры в безраз¬
мерном виде [I» о.' 60
т dj'
(3)
+J> s«oF§
10

где р - ДО /р^ - относительное изменение давления в камере,
'’q*AQi/G,m - относительное изменение расхода в подводя¬
щемтрубопровода,
Т0-Тп/Fn ~ поотояндая времени пневматической камеры,
К г —Яж	коэффициент усиления пненматичеокой камеры
0/ F"’P«
по расходу Gi •
При построении переходных процессов удобнее использовать
шаференциалъное уравнение пневматической камеры в размерных
координатах, дли частотных характеристик - в относительных
(безразмерных) координатах.
Рассмотрим переходный про песо изменения давления р в пнев¬
матической каш ре при ступенчатом изменении давления в подводя¬
щем трубопровода от pfM до p,min% что соответствует уменьше¬
нию расхода да величину dG/ .
Дифференциальное уравнение пневматической камеры в размер¬
ных координатах
daP
~аГ
+ Рп-йр
(4)
vjsji Лр - изменение давления в камере от значения рн, V- объ¬
ем камеры, Т - абсолютная температура воздуха в камере,
R = 287 Дк/кг.град - газовая постоянная воздуха; aGf - изме¬
нение расхода воздуха в магистрали^додвода. при уменьшении дав¬
ления pf посла компрессор* (pic.4). Коэффициент пневматической
камеры Тп = V/FT	_
Решение дифференциального уравнения (4) при ступенчатом '
изменении давления р1 , т.е. расхода Qf , и нулевых начальных
условиях t*0, &р*О да0^ выражение для построения переходно¬
го процесса изменения давления в пневматической камере:
_ . — ' -• —
По графику переходного процеооа определяется время переходного
процесса tp (рис. 3).
Обоснование необходимости шхименьния регулдтот
Необходимость установки на OF регулятора может быть вы¬
звана либо неустойчивостью OF, либо несоответствием показате¬
лей качества работы OF предъявляемым к нему техническим требо¬
ваниям. Положительная величина фактора устойчивости пневмати¬
ческой камеры Fn свидетельствует об устойчивой работе OF.
II

Используя полученные при анализе расходных и динамических
характеристик числовые значения показателей качества работы
пневматической камеры, необходимо показать, что величина
статического отклонения давления до pmin и показатели качест¬
ва переходного процесса (Af>maX и tp > » соответствуют за-
даичугм техническим УСЛОВИЯМ с р,Г)1л0 ,	* t/Ъ > •
Несоответствие между полученными и заданными показателями
говорит о необходимости оборудования пневматической кашры ре¬
гулятором.
ПРОЕКТИРОВАНИЕ АВШЛАТИЧЗСГОГО РЕГУЛЯТОРА
И АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ САР
типа регулятора и ЗРоТРОешИ
уаддд значений его ковотэтвдиад ЮРКШаМ
Пяевматичеокая каме¬
ра и регулятор в совокуп¬
ности составляет систе¬
му автоматического регу¬
лирования (САРК Посколь¬
ку ОР (пневматическая ка¬
мера) задав и свойства его
известны, то обеспечение
заданных технических тре¬
бований достигается на¬
правленным выбором струк¬
туры и параметров регуля-
I- Р„
Рис. 6
тора Для рассматриваемого ОР выбираем шмЗранный регулятор
прямого действия, управлявший заслонкой, установленной в шги-
SSL отвода воздуха. Схема получившейся САР приведена на
оиГб. Основные конструктивные параметры регулятора - жест¬
кость пружины ё, эффективная площадь мембраны S , максималь¬
ный *одР= Мто*'	Рассориваемого <ОР по юнструк-
тивным соображениям удобно задать максишльный ход заслонки
j/7	, который находится по разности максимальной и мини-
шльво^влощадай магистрали отвода fz ~ fzmin •
Минимальная площадь магистрали отвода^^ определяется
из условия равенства ш установившихся режимах расходов вшд-
ыодящей и отводящей магистралях О/min ~ P^min • Ч™/7опрвда“
ляется по формуле (X) приpf *р1ГП1Л и Р■ J2mis>
И

определяется из формулы (2) при G2rrJin * Gf/77in и р ~pn7i0o .
Для простоты примем, что в месте установки заслонки магистраль
отвода имеет квадратное сечение
поэтому площадь отводящей маги¬
страли до установки заслонки fs -а2 , где с/ - сторона квадра¬
та. Отсюда сторона квадрата а* Лр . После установки заслонки
площадь шгистралн отвода определяется положением заслонки
oh ~ \/^2 ‘h , а расход воздуха в магистрали отвода
Л . _
/(7
2к
(к ijRT
р '7г
р
ХЧ
х
(5)
Тогда максимальный ход заслонки
а (л Л min) ~ ~7рГ (Л ~ fi'minj •
При известном передаточном отношении <Jf рычага, связываю¬
щего шток с заслонкой, определяется величина АЕ„70^ ‘Zihmox/c//t
Оставшиеся два параметра регулятора ( £ и S ) надо подобрать та¬
ким образом, чтобы САР удовлетворяла предъявляемым техническим
требованиям. При выборе £ и S удобно использовать графическое
изображение на плоскости с координатами в вида иокомых парамет¬
ров 6, S.
Доя правильного выбора неизвестных параметров регулятора
необходимо определить ограничения, которые накладывают на них
требования по статическим и динамическим свойствам САР. Основ¬
ное требование по статике САР заключается в обеспечении стати¬
ческой ошибки (степени неравномерности), не превышающей заданную
величину. Максимально допустимая по техническим требованиям ста¬
тическая ошибка	~pp,i/lo обеспечивается при равенстве соответ¬
ствующих изменений поддерживающей и восстанавливающей сил:
/Э • <S ~ Prnln0 ' $ = & AZmoJc з
откуда	о о .
с - f si	г лил с	с
• «>
В координатах 6.S зависимость (6) имеет вид прямой линии (I на
рис, 7), вое точки которой соответствуют заданной статической
ошибке. Для уменьшения статической ошибки необходимо увеличи¬
вать значение Pmir>» что приводит к уменьшению числителя выра¬
жения (6), т.е. к уменьшению утла наклона прямой I в координа¬
тах $ • Поэтому выбор любых значений £ и S , соответствующих
точкам, ледащим на прямой I или под ней, обеспечивает приемле-
13

мую для данной САР статическую
ошибку регулирования.
Определение ограничений, на¬
кладываемых на конструктивные пара¬
метры регуляторами) качеству дина¬
мических процессов может проводить¬
ся либо с использованием частотных
характеристик [2, 3], либо непо¬
средственно по переходным процес¬
сам. В данном задании будем прово¬
дить расчет по переходным дроцеосам
с последущей проверкой частотных
показателей качества.
Область на плоскости двух параметров, обеспечивающих в пер¬
вом приближении затухание переходного процесса за время tp,
найти методом -разбиения по заданной степени устойчиво¬
сти [il Математическая модель рассматриваемой САР включает диф¬
ференциальные уравнения ОР . регулятора и уравнение связи.
Дифференциальное уравнение пневматической камеры о учетом
заслонки в магистрали отвода:
где &h - изменение положения заолонхи,
(7)
QG>
ah
<2-
dh
- определяется дифференцированием выражения (5) по h
цри р *рм .
Дифференциальное уравнение мембранного регулятора в отно¬
сительных координатах при неизменной настройке [I, с. 87 3 имеет
над
где Р
Г2
Р dt2
лг/Zo
+ т —
* 'к di
+ 3
«р</>>
(8)
- относительное изменение положения итога
мембраны регулятора, Z0 -h0 /и* - положение итога мвиЗрагацга
уотавовашавмоя режиме (примем. h0 ='hrrKfX~Cb^^ I • 7j^ • /~g ”
постоянная эрамвн. paw, Z - постоянная времени
S'- Ау
катарагаа.Л^ * >	- коэффициент усиления регулятора, т-
Р О- 2г>
14

(леса движущихся чаете! регулятора, if - коэффициент гидравли¬
ческого трения.
Дифференциальное уравнение регулятора в размерных коорди¬
натах (при неизменной настройке)
т^Ш~,‘>'дм~^6йг
Дифференциальное уравнение САР в размерных координатах,
полученное из оистеш дифференциальных уравнений ОР , регулято¬
ра и уравнения связи Др - и, А 2 , имеет вид
и Р5АР л с/гйР . л с/ЛР л _	_ c/*aG<
Аъ -atrtA2-dP А'~ж~ tAo^Ps/n ~ррр~ '
где
* ^ »
Ai =
Аг - Fnrr)
At * Fn& + Тпё,
^~n & * ^os ' ‘G ,
(9)
(10)
■ n v ' ''OS
Общий интеграл дифференциального уравнения CAP (9) пред*
ставляет собой алгебраическую о ушу трех составляющих, чячуч»
из которых соответствует одному из корней характеристического
уравнения. Время переходного процесса определяется наиболее мед-
ленно затухающей составляющей &р~Др0 € , соответствующей
корню характераотичеокого уравнения с наименьшей но модулю дей¬
ствительной частью< , где Др0=р„ -P/r,inQ ~ начальное откло¬
нение в шраходном проце.оое. Ори £ - Q Ар£„0 * лро .	.
Запиши условие скончания переходного процесса за время Л, -
alt а _	**>
др^ =дрд = Ар0 • & Рйзделжв начальное отклонение Aptx0
наРA ptn • подучим соотношение	=e~°itgt откуда
/
. Ж, 4%
Сп ■=£-&. , называем
называемую степенью устойчи
находим величину ос' = - —г-
юи«. % .
Обычно метод 0-разбиения применяется дхя построения
границы облаете! устойчивости CAP (od-O) [I, о. 281]. В в том
случае «пользуется уравнен» (9). Дкя построения границ обла-
15

отей заданного по времени tp качества переходного процеоса не¬
обходимо преобразовать уравнение (9) в смещенное уравнение.
В характеристическом уравнении, соответствующем уравнению
(9)
Ад г 5+ А2 X 2 i-A, I +А0 - О
производится переход к новой координате f путем подстановки
ex'. Характеристическое уравнение в новой системе коор¬
динат получает вид
-о,
где
^2 * ^2. ^ ^
4 -	^ «?о<Ai+.3*(aAz ,
зп
(II)
(12)
,0 - А0 7* Af * ъ(*Аг + ЫЛА& .
На границе устойчивости WK0) переходный 'процесс стано¬
вится колебательным незатухающим, а хотя бы один из корней ха¬
рактеристического уравнения чисто мнимый и равен с и) , где г -
мнимая единица, й) - круговая частота незатухающею переходного
процесса. Бели рассматривается смещенное (<*<<?) характеристи¬
ческое уравнение (II), го наличие чисто мнимого корня гаранти¬
рует не только устойчивость, но и заданную степень устойчиво¬
сти U . Таким образом, в соответствии с методом 0-разбиения в
уравнении (II) делается подстановка jr = iu) , после которой с
учетом зависимостей (10) и (12) смещенное характеристическое
уравнение принимает вид комплексного числа
Q~32a)s + QfS+хог с/,6 * Ы(/?-А5а)2 + 7h$) ‘С,
Если комплексное число равно нулю, то равны нулю его действи¬
тельная и мнимая части, т.е. получаем систему двух уравнений
\ф -%,*)** Q, 6 *	</,J = О,
\R-A3u)z т* Т„6 = О
о двумя неизвестными & ъ s ,
^ Q - о(гА2 + oC3/4j + ы. Fn г?
Qfs£/r+°(7/?t
# = 2о(Аг * 3°С% * Fn г?.
Решение системы о помощью определителей имеет вид
16

где
V
4sc
6 ’
я,
Xq2 Uf
Гп
6
-Q+32oJ2
-A+AscJ2
s*
= -к
ог
*оги1
'utr„,
Q* -Q+d2a)£ V~Q,(fi-Abuj*)+Tn(Q-&»<*>*)*
:-(M-Z,0)+(0,Aj-b$№
Tn -R+A50)2
Тогда.
t-~4
Tn
Tn
и
)*
£ л -TnQ+Qtg _ QfA6 -Tt&z ^j2
XQS i/f Tn Ka2 uf Tp
'os
Приравняв полученные из последних уравнений щ лсения
для (А2 , находим связь между неизвестными конструктивнши па¬
раметрам регулятора
/ -R Aj (Tp Q - Я,Я) Aj Хог i/j	^jgj
TJOA-WОА-Ъв; ’
имеющую в координатах £ S вид прямой линии (2 на рис. 7).
Штриховка обращена к области значений £ и S » обеспечивающих
заданную степень устойчивости U , т.е, время переходного про¬
цесса tn .
Зои, образованная линиями I и 2, на рис. 7 показывает об¬
ласть возможных значений £ и s i ЧРД которых САР в первом при¬
ближении удовлетворяет заданным требованиям по статической
ошибке и времени переходного процесса.
17

Анализ переходных процессов САР.
Эыяь кснстьуктаыил дацеметшв -«сгуллтоюа
Область возможных значений конструктивных параметров регу¬
лятора на рис. 7 расположена между осью S , отрезком £?/) пря¬
мой I и прямой 2 (вправо от точки А ). Если прямая I является
точной границей допустимой статической ошибки процесоа регули¬
рования, то прямая 2 дает лишь приближенное представление о
возможных значениях £ и S, обеспечивающих заданное качество
работы САР в динамике. Окончательный выбор значений параметров
регулятора £ и 5 делается после анализа переходных процессов
рассматриваемой САР при различных значениях £ и S , т.е. дал
различных точек области возможных значений параметров регулято¬
ра. Переходные процессы САР рассматриваем при ступенчатом изме¬
нении расхода в подводящей магистрали на величину AGt (рис. 4).
Анализ переходных процессов САР проводится с помощью ЭВМ для
нескольких (пяти-шести) вариантов значений	, соответствую¬
щих выбранным точкам. Инструкция по использованию программы ана¬
лиза переходных процессов приведена в приложении.
При анализе переходных процессов определяются показатели
их качества tp и ДРтаХ' с учетом конструктивных соображений
выбираются значения £ л S, при которых переходный процеоо
удовлетворяет заданным требованиям tp0 и	является
наилучшим да одному из показателей А, или й^э^цри условии,
что другой показатель не выходит за ограничения или/J/^j^).
Если показатели качества переходных процессов не удовлетворяют
заданным ограничениям, то выбираются новые значения & и S и про¬
водится анализ дополнительных переходных процессов. Окончатель¬
но выбираются такие значения £ и S , при которых показатели ка¬
чества tp и Afmox переходного процесса САР не превышают задан¬
ных значений tpQ и йртол. •
Для выбранных значений § и 3 построить переходные процеооы
да данным распечатки ЭВМ и по диаграмме Вышнеградского. Срав¬
нить построенные переходные процессы.
В результате направленного выбора неизвестных конструктив¬
ных параметров регулятора £ и S статические и динамические
свойства САР пневштической камеры соответствуют предъявляемым
техническим требованиям.
18

Анализ лагагдДшчеоквх частотных ИМЮВШШ
звеньев и разомкнутой САР
Для построения частотных характеристик используют дифферен¬
циальные уравнения ОР я регуляторе в относительных координатах
/формулы (3) и (8)/.
Изменения параметров колебаний давления в пневматической
камере при гармонической изменении расхода воздуха во впускной
магистрали отражаются частотными характеристиками: амплитудной
(АЧХ)	^ / /
An(j)	, ГАе Квг^ k°
и фазовой (ФЧХ)
/7,
u>‘V
Fn
Гн
‘ -Oxcty(u)To) ,
которые строятся при изменении и) от 0 до со ,
АЧХ регулятора строится по формуле
Ар (и)} =
ФЧХ - по формуле
/(/-Г0гсЛг/+
&(<А) =
'arcto 7-rfuJ*
-Я - cnctq
oJTA
V /- ТргоОг
при 0<u)i А/Тр.,,
при //fc< cJ< оо
при изменении <А от 0 до 00 .
Анализ частотных свойств пневматической камеры, регулятора
и САР в целом проведем по логарифмическим частотным характери¬
стикам: амплитудной (ДАХ) и фазовой (ЛФХ).
Единицами измерения логарифмических координат являются де¬
када (дек) - по оси логарифмов частот и децибел (дБ) - по оси
логарифмов амплитуд £(рис. 8). Декадой называется интервал ча¬
стот, соответствующий изменению чаототы в 10 раз. На логарифми¬
ческой шкале частот декада изображается отрезком единичной дли¬
ны, так как СдЮои-фи)-/, Поэтому относительна величины фи)
логар^мичеокая шкала является равномерной, а относительно ча¬
ототы и) - неравномерной (рио. 8), Децибел используется при вве¬
дении логарифмической шкалы до оси ординат и! ЛАХ (рио. 8).
19

Чтобы получить ЛАХ из АЧХ,
необходимо взять функции
Г LJ3 б
и построит* ее график, ио-
пользуя логарифмическую
шкалу частот (рис. 8).
При построении Ш>Х лога¬
рифмическая шкала применя¬
ется только по оси частот,
а по оси ординат использу¬
ется натуральный масштаб
(в градусах или радианах).
Для практических расчетов
£((.(')	А(и))
40
20 L
Рис. 8
оказывается удобным при изображении ЛАХ и ЛФХ использовать одну
и ту же ось частот, совместив точку [Я оси ординат Ш о точ¬
кой 0 дБ оси ординат ЛАХ (рис. 8).
Для удобства последующего анализа частотных свойотв САР ло¬
гарифмические частотные характеристики пневматической камеры и
регулятора надо построить в одной системе координат.
Логарифмические амплитудные характеристики некоторых звень¬
ев мало отличаются от своих асимптотических прямых, поэтому вме¬
сто точных ЛАХ с достаточной степенью точности можно строить со¬
ответствующие асимптоты.
Асимптоты ЛАХ пневматической камеры строятся по следующим
формулам:
-	низкочастотная ип„(и>)= 2ССу Л; / при и> < и>а =
-	высокочастотная C„a(u')r?CCj£%W и) > и>с -//Г*.
ИРИ U)0 - J/to низкочастотная и высокочастотная асимптоты
сопрягаются Спн ('x>cj * /иу, поэтому и >0* //rQ называется
сопрягающей частотой. При построении асимптот пневматической
камеры удобно пользоваться таким приемом: на осиL откладывает¬
ся значение кс, и проводится горизонтальная прямая (низ¬
кочастотная асимптота) до значения &и'с =Ц(//т0)> после ко¬
торого делается излом и при Clj Cl' ?ши ^ прш&я идет под углом -
20 дБ/дек (высокочастотная асимптота).
Ввд амплитудной частотной характеристики регулятора зави¬
сят от соотношения его конструктивных параметров. Если I?** Ьтб\
то регулятор является апериодическим звеном 2-го порядка. ЛАХ
20

такого эвена весьма точно может быть заменена тремя асишгготамж,
для построения которых надо определить две сопрягающие частоты
Левее первой сопрягающей частоты ( Cd<u), ) раоподожева
горизонтальная низкочастотная асимптота cPrt *206} *р . На пер¬
вой сопрягающей частоте U.J, горизонтальная прямая делает первый
излом,и в интервале частот О.), <и> < и)г среднечастотная асимп¬
тота имеет наклон 20 дБ/дек. На второй сопрягающей частоте с<Ог
прямая делает второй излом,и при cJ >al, высокочастотная асимп¬
тота имеет наклон 40 дБ/дек.
Если 4/п£, то регулятор является колебательным эве¬
ном, В атом случае ЛАХ лучше строить не по асимптотам, а непо¬
средственно по выражению 6р(и.) *2000Ар (и>) где Ар(и}) под¬
считывается ш формуле (14).
Ддя САР в целом наиболее важным чаототным показателем ка¬
чества является зато устойчивости. Один из удобных алоообов
оценки samca устойчивости основан на частотном критерии Найкви¬
ста [ I, о. 2&0 1 и заключается в определении го логарифмическим
частотный характеристикам разомкнутой САР запасов устойчивости
го амплитуде (модулю) и фазе.
Разомкнутая САР пнев¬
матической камеры (рис. 9)
отличается от замкнутой
отсутствием главной обрат¬
но* связи (пунктирная ли¬
ния), т.е. представляет .
собой последовательное
соединение двух звеньев САР; ОР и регулятора. Одно из преиму¬
ществ логарифмических частотных характеристик заложено в свой¬
стве логарифма произведения: логарифм произведения неокодьхих
величин равен сумме логарифмов этих величин. Это свойство в
значительной степени упрощает построение результирующих частот¬
ных характеристик последовательно соединенных звеньев. Известно
[4, о. 122], что при последовательном соединении звеньев их АЧХ
перемножаются, а ФЧХ складываются:
ОР(ПК)
!_
П7
. j
Рио. 9
21

А (и>) * Ап (и>) Ар (и>),
гм - /п (и>; +/0(и>).
Прологарифмировав выражение дйя А(иО . получим
^ (а//а	(и>) - ^^\Ап (ojJ Ар( u)j\p6jAn (и>) г ГдАр (и>).
Последнее выражение объясняет смысл введения логарифмической
шкалы по оси ординат АЯХ. После построения логарифмических ха-
'ракгеристик пневматической камеры и регулятора производят их
графическое сложение, в результате которого получается ЛИ и
jffiX разомкнутой САР. В соответствии с критерием Найквиста опре¬
деляют запас устойчивости по амплитуде Нт как расстояние (ве¬
личию в дБ) в точке пересечения ЛФХ с горизонталью, проходящей
через I8CP, от оои логарифмов частот до ЛАХ разомкнутой САР, и
запао устойчивости по фазе у4 как расстояние (величина в гра¬
дусах или раднаюх) в точке пересечения оси логарифмов частот
о ЛИ от JBX разомкнутой САР до горизонтали, проходящей через
I8CP (рис. 8).
ЛИТЕРАТУРА
1.	Основы теории автоматического регулирования /В.И.Кру¬
тов, Ф.М.Данилов, П.К.Кузьмик и др.; Под ред. В.И.Крутова. -
2-е кзд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1984. - 368 с.
2.	Теория автоматического регулирования: Кн. I: Математи¬
ческое описание, анализ устойчивости и качества систем автома¬
тического регулирования /Под общ. ред. Солодовникова В.В. - М.:
Машиностроение, 1967. - 768 с. (Техническая кибернетика).
3.	Теория автоматического регулирования: Кн. 2: Анализ и
синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического
регулирования /Под общ. ред, Солодовникова В.В. - М.: Машино¬
строение, 1967. - 680 с. (Техническая кибернетика).
4.	Основы автоматического регулирования и управления
/Под ред. Пономарева В.М. и Литвинова А.П. - М.: Высшая школа,
1974. - 439 с.
5.	Крутов В.И. Переходные процессы систем автоматического
регулирования. - Ы.: Машиностроение, 1965. - 252 с.
22

Приложение I
гаочет Декхолнвд дродвссов на 3iM
Переходный процесс САР определяется как решение оистеш
дифференциальных уравнений, ошоыващих звенья САР о учетом
связи между ними:
c/i
г
Fn3p
-	- л'6;
т
сРс\2
dt2
&
ctAZ
с/Г
+ баг = sap
Решение данной системы уравнений проводится на ЖМ числен¬
ным методом Рунге-Кутта. Для этого приведенные уравнения запи¬
сываются в вике систем! дифференциальных уравнений первого по¬
рядка:
dpP_
dT
dt
f ~
''vs d
£
аг -
- Я ;
<&L*-
йС,
Тл
			d с/дг __ _6
dt ’ dt- ’ лч c/i * rri
Список параметров и их идентификаторов,
ме, приведен в таблица.
иошльзуешх в црограм-
Параметр
£
т„
кол
d
<уС,
2>’
/77
ё
S
t
Идентификатор
FK
TV
Р
и
С
О
м
S
SX
т
Про грамм, построена в диалоговом режиме - общение о сШ црожо-
ходит путем ввода числовых значенжй и ответа на вопросы. Поолв
входа в вычислительную систему и запуска программ на экран*
терминала появляется сообщение:
щщгЕ исходна дтш: fp, tv, р, а4 с$,м.
После этого с клавиатуры дисплея вводятся перечисленные пара¬
метры. В программе ясгользуетоя 1C? Па в качестве в дятлу дав¬
ления, поэтому цри вводе в 341 Fn я Тп надо увеличить в
ICr роз (например, волн Fn « 2-1СГ5 м*о, то о клавиатуры надо
вводить &)• Числе иные значения иоходных дя”™* вводятся черва
запятую. После сообщения на экране
23

ВВЕДИТЕ ШАГ СЧЕТА "Н" И ПЕЧАТИ ”МР"; - о клавиатуры вводятся
0.001,50.
Далее ва вкране появляется сообщения:
ВВОД 5 ЗНАЧЕНИЙ В: - вводятся 5 выбранных значений 6(черев
запятую);
ВВОД 5 ЗНАЧЕНИЙ SK: - вводятся 5 выбранных значений S (через
запятую).
* После втого программа осуществляет расчет ординат переход¬
ных процессов и определяет для каждого варианта время переход¬
ного цроцесоа Гр и максимальное отклонение AW. На а кран вы¬
даются значения ГР и РМ ял 5 введенных вариантов. Затем на
экране появляется сообщение:
БУДЕТЕ РАСПЕЧАТЫВАТЬ? f У/N J
Выбирается вариант (или несколько вариантов) значений 6 и S ,
удовлетворяющих заданным требованиям tpc и бр/ПО:Хо.Но оконча¬
тельный выбор значений ё и S делается после построения переход¬
ного процесса. Для зтого на вопрос "Будете распечатывать?" надо
нажать клавишу " У ". Далее появляются сообщения:
СКОЛЬКО ВАРИАНТОВ? - вводится количество выбранных вариантов
(от одного до пяти);
КАКИЕ ВАРИАНТЫ? - вводится номер выбранного варианта; если их
несколько, то номера вариантов вводятся через запятую.
Если ни один из пяти введенных вариантов значений £ и S
не удовлетворяет заданным требованиям tpQ и Др/похд. то на
вопрос "Будете распечатывать?" надо нажать клавишу "/У".
Далее появляется сообщение:
БУДЯ ОДЕ ВАРИАНТЫ? С У/Vj
Если значения C*S выбрана и расчет закончен, то налиж¬
ется клавиша "/У", что завершает работу программы. Если есть
необходимость в дальнейшем анализе переходных процессов САР, то
берутся 5 юных вариантов 6 я S . На вопрос "Будут еще вариан¬
ты?" нажимается клавиша " у " и программа возвращается в свое
исходное состояние - на экране появляется первое сообщение:
ВВОД 5 ЗНАЧЕНИЙ В:
ж повторяется.весь процесс расчета о новыми пятью вариантами
значений 6 я S .
Итогом работы на ЗЗМ являются выбранные конструктивные па¬
раметре регулятора ёж S ж график соответствующего им переход¬
ного процесса САР, построенный по распечатке.
24

Приложение 2
I&ffisi. пзрвхддных процессов пр ^ияграмме Вышнвграяскотд
Дм построения переходного продаоса о аомощьв диаграмм!
Вшие градского необходимо рассмотреть дийферендаадьное тж»
ние САР в нормированном виде
Пооле определения число на в печений коэффициентов X х у точка
с координата»* (X,f ) наносятоя на дваграшу Вшавградского.
Оолоиенмв точи на wafftua* позволяет определить тип переход¬
ного щюпеооа. Если получввнаж точка попадает в область I, то
переходный продаос апериодический и строится как сум* трех
вксповент:
Если же точка располагаетоя в области П, то переходный пропеоо
колебательный:
По известным ча&ювыи значениям козффвциентов X и ^ можно
без дополнительных расчетов определить вое необходимы» & ет~
ры переходных цродаооов. Значения втих парадетров в зависимости
от значений X и £ либо сведены в таблиц»С 53, либо ш
пола диаграи* Выше градского в шда *р<гжгг щщ постояв тх зна¬
чениях выбранного параметра Cl, о. 260-272J. Шпальные отдвонз-
j)* С,ег,т+ Сг	.
25

ния составляющих переходного процесса определяются по формуле:
'Г*
к
где начальное отклонение
л
<-'с
6'-4Z
Y7>OJC
начальная скорость
начальное ускорение
V
%■
К
—
>
AG,
(*)/<
£ 1‘
'Ас >
Ар/
?/( \г
Gt»
м А0 /
Значения	и <;*берутся непосредственно с диаграммы
Вышкеградского или из таблиц.
Построение экспоненциальных составляющих переходного процеоса
проводится с гомощью безразмерного отрезка времени , в те¬
чение которого ордината составляющей уменьшается вдвое
(рис, П.1). Числовые значения такие берутся о диаграмм
или из таблиц.
Построение колебательных составляющих проиллюстрировано на
рио, П.2. Сначала строятся огибающие экопоненты. На оси ординат
откладываются значения ± С> . По оси Z откладываются периода ко¬
лебаний Тт. Ординаты огибающих экспонент определяются в соот¬
ветствии со степенью затухания: ордината после первого перио¬
да 7^ равна J?Cf , ордината после второго периода L ?гС, и т.д.
После построения огибающих экспонент строят колебательные
составляющие - синус и косинус. Для определения значений орди¬
нат огибающих экспонент после каждой четверти периода использу-
26

от коэффициенты ^ {с/с/ - 1/4, 1/2, 3/4, I). Эхотрашлыше
ординаты составляющих смвщеш от точек иаоания ооотааяящкх о
огибающими зкспонентами нв интервал дТс влево. Экстремальны*
ординаты колебательных составляющих определяются путем
увеличения ординат касания и <£у	. рав.
А
д5
"косинусоида
'инусоиЗа
АЪ
Рис. П.2
Переходный процвсо находят графически прелфо
соотавляпщх.
Переход к размерному времена осуществляет ал в ооответот
трех
с ооотноиеннем t *	Г
Подробное описание методик востровнм переходных продао-
сов в оиетешх 3-го порядка дяш в [I. с. 260-2723.

Длгапмяии»
Выбор варианта а ада raw 	 3
Порядок выполнены задания 	 3
Анализ статических и джнамичеоких овойств пневматической
и“иР“_-			л* • • м: • • 		 5
Проектировании автоматического, регулятора и анализ стати-
чеоких и динамических свойств САР	   12
Литература	 22
Приложены	 23
I