И.С.Гоноровский,
М.П.Демин
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
Учебное пособие
для высших
учебных
заведений
Колич. пред выдач
КОНТРОЛЬНЫЙ ЛИС ГОК
СРОКОВ ВОЗВРАТА
КНИГА ДОЛЖНА БЫТЬ
ВОЗВРАЩЕНА НЕ ПОЗЖЕ
УКАЗАННОГО ЗДЕСЬ СРОКА
MQ I -*7)000 J 17'jb
И.С.Гоноровский,
М.П.Демин
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
5-е издание
переработанное
и дополненное
Рекомендовано
Государственным комитетом
Российской Федерации по высшему
образованию
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению
«Радиотехника»
Чембм :Э ПУ
i ь «хмучячЯ	I ека
Москва
(g) "РАДИО И СВЯЗЬ"
1994
ББК 32.841
Г65
УДК 621.372(075)
Федеральная целевая программа книгоиздания России
Рецензент: кафедра «Теоретические основы радиотехники»
СПбГЭТУ (зав. кафедрой докт. техн, наук Ю. В. Егоров)
Редакция литературы по информатике и вычислительной технике
Г65 Гоноровский И. С., Демин М. П.
Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб, пособие для
вузов.— 5-е изд., перераб. и доп.— М..: Радио и связь,
1994.— 480 с.; ил.
ISBN 5-256-01068-9.
Современный курс теории сигналов и их обработки, сложившийся
на факультете радиоэлектроники летательных аппаратов Московского
государственного авиационного института (технического универ-
ситета). Изучаются спектральный и корреляционный анализ
детерминированных и случайных сигналов и их преобразования
в различных устройствах радиотехнических систем. Рассматриваются
цифровая обработка сигналов, оптимальная фильтрация детерминиро-
ванных н случайных сигналов, экстраполирующие и адаптивные филь-
тры, а также вопросы синтеза цифровых фильтров и кепстральный
анализ сигналов.	«зд
Для студентов вузов радиотехнических специальностей. Представ-
ляет интерес также для научных работников и инженеров в области
радиотехники и в смежных областях.
г 2402020060-015
046(01 )-94	3,4-93	ББК 32.841
Учебное издание
Гоноровский Иосиф Семенович, Демин Михаил Петрович
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ
Учебное пособие
Заведующий редакцией Ю. Г. Ивашов.
Редакторы Т. М. Бердичевская, Н. Г. Давыдова.
Технические редакторы И. И. Золотарева. Л. А. Горшкова.
Корректор 3. Г. Галушкика
ИБ 2522
ЛР № 010164 от 04.01.92
Сдано в набор 1.07 93	Подписано в печать 17.01.94
Формат 60X90'/ie	Бумага офсетная № 1	Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ. л. 30,0 Усл. кр.-отт. 30,25 Уч.-нзд. л. 29,32
Тираж 3000 экз.	Изд. № 23606	Зак. № 3305	С-15
Издательство «Радио н связь», 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Пронзводственно-нздательскнй комбинат ВИНИТИ.
140010. Люберцы, 10, Московской обл.. Октябрьский просп., 403.
ISBN 5-256-01068-9
© Гоноровский И. С., Демин М. П., 1994
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга, предлагаемая вниманию читателей, является разви-
тием четвертого издания учебника «Радиотехнические цепи и
сигналы», опубликованного И. С. Гоноровским в 1986 г. По
сравнению с предыдущим изданием в книгу внесены изменения
и дополнения, которые отражают: 1) усиление роли вычисли-
тельной техники в анализе сигналов и их цифровой обработке,
2) роль теории и техники обработки комплексных сигналов,
3) ориентацию на микроэлектронную элементную базу, 4) воз-
никновение ряда новых задач статистической радиотехники.
Потребовалось существенное расширение разделов по спект-
ральному анализу детерминированных и случайных сигналов
(гл. 1—4), по теории преобразования радиосигналов совместно
с помехами в различных устройствах радиосистем (гл. 5—9).
Заново изложена теория оптимальной фильтрации случайных
сигналов, авторегрессионного метода спектрального оценивания
случайных процессов, принципа построения экстраполирующих
и адаптивных фильтров (гл. 13).
Предполагается, что студенты знакомы с основополагающи-
ми соотношениями для элементов электрических цепей, а также
теории четырехполюсников и простейших электронных приборов.
За счет исключения из книги подобных традиционных разделов
электротехники ее объем существенно сокращен.
Главы 4, 7, 10 и 13—16 написаны И. С. Гоноровским, главы
2, 5, 6 и 12 — М. П. Деминым, остальные главы написаны со-
вместно.
Авторы выражают искреннюю благодарность Ю. В. Тронину,
И. С. Рыжаку и всем коллегам по кафедре теоретической ра-
диотехники МАИ за помощь в работе над книгой рекоменда-
циями и дискуссиями.
Большую роль в определении содержания и направленности
книги сыграли ценные замечания рецензентов кафедры ТОР
СПбГЭТУ—профессора Ю. В. Егорова, доц. В. Н. Малышева
и доц. В. Н. Ушакова.
1*
3
Глава 1. ЗАДАЧИ АНАЛИЗА
И ОБРАБОТКИ РАДИОСИГНАЛОВ
1.1.	УЗКОПОЛОСНЫЙ РАДИОСИГНАЛ.
ЦЕЛЬ ОБРАБОТКИ
Исторически радиотехника возникла как средство осуществ-
ления радиотелеграфной связи с помощью излучения электро-
магнитных волн, а одним из первых сигналов являлись теле-
графные знаки по «коду Морзе».
В ходе развития различных направлений радиотехники (ра-
диовещания, телевидения, радиолокации, радионавигации, ра-
диоастрономии, радиоуправления и т. д.) изменился характер
решаемых задач передачи информации и потребовались соот-
ветствующие сигналы и методы их обработки.
Широкое использование радиотехнических методов для ре-
шения задач обработки информации, не связанных с излуче-
нием радиоволн, привело к появлению и развитию нового на-
правления — радиоэлектроники, представляющей собой симбиоз
радиотехники и электроники, на котором базируется современ-
ная обработка потоков информации и моделирование сложней-
ших процессов и систем.
Перечисленные направления радиотехники основаны на ис-
пользовании узкополосных радиосигналов.
Применительно к задачам, рассматриваемым в данной кни-
ге, произвольный узкополосный вещественный радиосигнал
можно представить в следующей общей форме:
a(t) =А (О cos ф(0 =А (О cos [(oo/+6(OL ti<t<t2, (1-1)
где A(t) и 0(0 —функции времени t, медленные по сравнению
с cos (£)Ot, а время t либо непрерывно, либо дискретно.
Ограниченный во времени отрезок высокочастотного колеба-
ния a(t) является «переносчиком» полезной информации, со-
держащейся в его параметрах — амплитуде A(t) и фазе 6(0 и,
следовательно, в мгновенной частоте dQ(t)/dt. Постоянная ыо
имеет смысл «несущей частоты» радиосигнала.
Если функции A(t) и 0(0 являются точно известными, то
о(0—детерминированный процесс. В противном случае а (0 —
случайный процесс.
В реальных условиях наряду с сигналом a(t), содержащим
4
полезную информацию, действует помеха n(t), так что на вход
устройства обработки поступает их совокупность, которая в
наиболее простом случае аддитивной смеси имеет вид x(f) =
= a(t) +n(Z). По этой причине любой вид обработки принимае-
мых колебаний должен обеспечивать наиболее достоверное вы-
деление передаваемой информации.
Специфика обработки принимаемого колебания в задачах
обнаружения, оценивания параметров или формы сигнала и
т. д. определяется соответствующими критериями оптимально-
сти. Широкое распространение получили критерии согласован-
ной фильтрации, винеровской фильтрации и некоторые другие.
Наряду с устройствами обработки с фиксированной струк-
турой значительный интерес представляют процессоры с пара-
метрами, управляемыми на основе оценивания статистических
характеристик обрабатываемого колебания. Такие процессоры
позволяют адаптироваться к внешней обстановке; примером
подобной системы является фильтр Калмана.
1.2.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ
В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
В процессе передачи сообщений сигналы подвергаются ряду
преобразований. Основные из них:
преобразование исходного сообщения в электрический сиг-
нал en(t); как правило, eQ(t) относительно низкочастотный про-
цесс (Q — в акустическом или видеочастотном диапазоне); в
дальнейшем eQ(t) часто будет называться управляющим сиг-
налом;
модуляция колебания несущей частоты (амплитудная, уг-
ловая или совместная);
перенос спектра принятого колебания в область более низ-
ких частот (на промежуточную частоту) с помощью процесса
гетеродинирования для облегчения задачи последующей обра-
ботки и прежде всего фильтрации;
демодуляция принятого колебания;
фильтрация, обеспечивающая, как отмечалось в § 1.1, опти-
мальное выделение передаваемого сообщения.
Для осуществления процессов модуляции, демодуляции и
гетеродинирования, сопровождающихся изменением состава ча-
стотного спектра колебания, требуются нелинейные или пара-
метрические системы.
Последняя операция (оптимальная фильтрация), которая
снижает уровень помехи относительно полезного сигнала, долж-
на осуществляться без возникновения новых частот; из этого
следует, что фильтрующее устройство должно представлять
собой линейную систему с постоянными параметрами.
В основе деления систем на линейные и нелинейные лежит
условие применимости принципа суперпозиции, сформулирован-
5
ное относительно операции суммирования сигналов на входе
системы. Однако иногда колебание на входе является произве-
дением двух колебаний. Оказывается, что и для подобных коле-
баний можно осуществлять обработку, подчиняющуюся принци-
пу суперпозиции. В этом случае устройство обработки является
сочетанием специально подобранных линейных и нелинейных
операций, а сама обработка называется гомоморфной.
1.3.	ОБРАБОТКА НЕПРЕРЫВНЫХ
И ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
В процессе передачи сообщений и преобразования принимае-
мых колебаний приходится иметь дело с функциями времени,
которые можно разделить на следующие классы:
произвольные по величине и непрерывные по времени
(рис. 1.1, а);
произвольные по величине и дискретные по времени (рис.
1.1, б)-,
квантованные по величине и непрерывные по времени (рис.
1.1, в);
квантованные по величине и дискретные по времени (рис.
1.1,2).
Сигналы первого класса (рис. 1.1, а) иногда называют ана-
логовыми, так как их можно толковать как электрические моде-
ли физических величин, или непрерывными, так как они за-
даются по оси времени на несчетном множестве точек. Такие
множества называются континуальными. При этом по оси орди-
нат сигналы могут принимать любое значение в определенном
интервале. Поскольку эти сигналы могут иметь разрывы, как
на рис. 1.1, а, то, чтобы избежать некорректности при описании,
такие сигналы лучше обозначать термином кон тину а л ь -
н ы й.
Итак, континуальный сигнал s(t) является функцией непре-
рывной переменной t, а дискретный сигнал s(t)—функцией
дискретной переменной t, принимающей только фиксированные
значения. Дискретные сигналы могут создаваться непосредст-
венно источником информации (например, дискретными датчи-
ками в системах управления или телеметрии) или образовы-
ваться в результате дискретизации континуальных сигналов.
На рис. 1.1, б представлен сигнал, заданный при дискретных
значениях времени t (на счетном множестве точек); величина
Рис. 1.1
6
же сигнала в этих точках может принимать любое значение в
определенном интервале по оси ординат (как на рис. 1.1, а).
Таким образом, термин дискретный характеризует не сам
сигнал, а способ задания его на временной оси.
Сигнал на рис. 1.1, в задан на всей временной оси, однако
его величина может принимать лишь дискретные значения.
В подобных случаях говорят о сигнале, квантованном по уровню.
В дальнейшем термин дискретный будет применяться только
по отношению к дискретизации по времени; дискретность же по
уровню будет обозначаться термином квантование.
Квантование используют при представлении сигналов в циф-
ровой форме с помощью цифрового кодирования, поскольку
уровни можно пронумеровать числами с конечным числом раз-
рядов. Поэтому дискретный по времени и квантованный по
уровню сигнал (рис. 1.1, г) в дальнейшем будет называться
цифровым.
Таким образом, можно различать континуальные (рис.
1.1, а), дискретные (рис. 1,1, б), квантованные (рис. 1.1, в) и
цифровые (рис. 1.1, г) сигналы.
Каждому из этих классов сигналов можно поставить в со-
ответствие аналоговую, дискретную или цифровую системы.
Связь между классом сигнала и видом системы показана на
рис. 1.2.
При обработке континуального сигнала с помощью анало-
говой системы не требуется дополнительных преобразований
сигнала. При обработке же континуального сигнала с помощью
дискретной системы необходимы два преобразования: дискрети-
зация сигнала по времени на входе дискретной системы и об-
ратное преобразование, т. е. восстановление континуальной
структуры на выходе дискретной системы. Наконец, при цифро-
вой обработке континуального сигнала требуется еще два до-
Рис. 1.2
7
полнительных преобразования: аналог-цифра, т. е. квантование
и цифровое кодирование на входе цифровой системы, и обрат-
ное преобразование цифра-аналог, т. е. декодирование на выхо-
де цифровой системы.
1.4.	НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ОБРАБОТКИ
РАДИОСИГНАЛОВ
Требования к характеристикам радиосигналов обусловлены
проблемой помехоустойчивости и электромагнитной совмести-
мости радиотехнических систем.
Важное значение имеет формирование сигналов с минималь-
ным «внеполосным излучением», т. е. с минимальной шириной
спектра при заданной информативности сигнала. Это требует
отыскания формы сигнала, при которой произведение длитель-
ности сигнала на ширину спектра минимально. При этом необ-
ходимо также учитывать расширение спектра колебания, связан-
ное с осуществлением модуляции.
Спектральному и корреляционному анализу детерминиро-
ванных колебаний — без высокочастотного заполнения, а так-
же модулированных колебаний посвящены гл. 2 и 3.
Серьезной проблемой является формирование колебания,
пригодного для когерентной обработки сигналов. Задача сво-
дится к подавлению паразитной модуляции (частотной и фазо-
вой) в генераторе исходного колебания. Необходимо также
учитывать наложение на полезный сигнал шумовой помехи,
формируемой в рассматриваемой цепи (от внешнего источни-
ка).
Преобразование детерминированных сигналов в линейных
системах рассматривается в гл. 5 и 6, а случайных процессов —
в гл. 4 и 7.
Существенное влияние на качество обработки оказывает
преобразование сигналов в нелинейных системах. Особое вни-
мание необходимо уделять интермодуляционным помехам, воз-
никающим при взаимодействии различных сигналов в нелиней-
ных системах. Уровень этих помех, ограничивающих динамичес-
кий диапазон устройства обработки, может служить мерой до-
пустимой нелинейности системы (см. гл. 8 и 9).
Некоторые трудности возникают при построении дискретных
систем обработки сигналов, поступающих от аналогового источ-
ника сообщений (гл. 12).
В последние годы осваиваются методы обработки сигналов,
основанные на теории прогнозирования случайных процессов.
Применение оптимальных экстраполирующих фильтров позво-
ляет осуществить спектральное оценивание случайных процес-
сов по коротким реализациям, повышая тем самым степень раз-
решения и открывая путь к построению адаптивных фильтров
(§ 13.9—13.15).
8
В последней главе излагается суть кепстрального анализа
сигналов и иллюстрируется применение этого метода для опре-
деления задержки сигнала в электронных и акустических систе-
мах.
Глава 2. ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
2.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО
СИГНАЛА В ВИДЕ СУММЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
КОЛЕБАНИЙ
Для теории сигналов и их обработки важное значение имеет
разложение заданной функции f(x) по различным ортогональ-
ным системам функций <рп(х). Приведем основные определе-
ния, относящиеся к свойствам ортогональных систем.
Бесконечная система действительных функций
<ро(х), ч>1(х), Фг(х), .. .,ф„(х), ...	(2.1).
называется ортогональной на отрезке [а, Ь], если
ь
[ф„(х)фт(х)г/х=0 при п^=т.	(2.2)
а
Это условие выражает попарную ортогональность функций
системы (2.1). Величина
[6	11/2
J <Р2П (*) dx	(2.3)
а
называется нормой функции ф„(х). При этом предполагает-
ся, что Нфп||*0, т. е. что никакая из функций рассматриваемой
системы (2.1) не равна тождественно нулю.
Функция ф„(х), для которой выполняется условие ||фп|| = 1»
называется нормированной, а система нормированных
функций ф0(х), ф1(х), ф2(х)... в	которой каждые две раз-
личные функции взаимно ортогональны, называется орто-
нормированной системой.
В математике доказывается, что если функции фп(х) не-
прерывны, то произвольная кусочно-непрерывная функция f(x),
для которой выполняется условие
J|f(x) |2dx<oo,
9
может быть представлена в виде суммы ряда
f(x)=cO(po(x)+c1<pi(x)+ ... +с„ф„(х) + ...
(2-4)
Интеграл в предыдущем выражении вычисляется по об-
ласти определения функции f (х).
Умножим обе части уравнения (2.4) на ф„(х) и проинтегри-
ь
руем в пределах от а до Ь. Все слагаемые вида J стофт(х)ф„(х)<Ьс
а
при т^п обращаются в нуль в силу ортогональности функ-
ций ф„>(х) и фэт(х). В правой части остается одно слагаемое
ь	ь
спсрп (х) <рп (х) dx=с	ф2л (х) dx= сп || ср„ ||2,
а	а
что позволяет написать
6
5 f(x)<Pn (x)dx=c„|| ф„ II2,
а
•откуда следует важное соотношение
ь
Сп=irdrF S f	фл dx-	(2-5)
а
Ряд (2.4), в котором коэффициенты сп определены по фор-
муле (2.5), называется обобщенным рядом Фурье
по данной системе ф„(х). Совокупность коэффициентов сп,
называемая спектром сигнала f(x) в ортогональной си-
стеме фп(х), полностью определяет этот сигнал.
Обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным
свойством: при заданной системе функций ф„(х) и фиксирован-
ном числе слагаемых ряда (2.4) он обеспечивает наилучшую
аппроксимацию (в смысле минимума среднеквадратической
ошибки) данной функции f(x). Это означает, что среднеквад-
ратическая ошибка, под которой подразумевается величина
М =
N
п=0
2
dx,
достигает минимума, когда коэффициенты ряда ап=сп.
Можно показать, что
ь	N
Mmin=A f(x)dx— 2С«2Н Ф" II2-
и---------------П
(2.6
является квадратом
Так как величина
ь
$/2(x)dx = ||/II2
а
ао
нормы функции f(x), а 7Итт>0, то на основании (2.6) можно
написать
2	II2 <11/II2-	(2.7)
п—0
Это выражение, называемое неравенством Бессе-
л я, справедливо для любой ортогональной системы.
Ортогональная система называется полной, если увели-
чением числа слагаемых в ряде среднеквадратическую ошибку
Afmin можно сделать сколь угодно малой.
Условие полноты можно записать в виде соотношения
2 Л. II Ф. И’ = Н/ Г	<2.8)
л=0
При выполнении этого условия можно считать, что ряд (2.4)
сходится в среднем, т. е.
2
b Г	/V
lim /(*) — У cnq>n(x) Jx=O.
fV-OO J	п^0
(2.9)
А'-»-ос ••
а
Из этого, однако, еще не следует, что
ж f(x), т. е. что
2 с^п(х) сходится
л=0
max f(x) — ^cn(pn(x) =0
лЧ)
при любых значениях х. В отдельных точках на оси х ряд
оо
У сп<рп (х) может отличаться от f (х), хотя равенство (2.9)
л~0
имеет место.
Для системы комплексных функций <рп(х) приведенные вы-
ше определения обобщаются следующим образом:
условие ортонормированности
*	п —
§ Фл (х) 4>*т (х) dx= ПрИ	(2.2')
а
квадрат нормы функции
ь	' ь
II Фл II2 = § Фл (х) <р*п (х) dx = | ф„ (х) |2 dx\
а	а
коэффициенты обобщенного ряда Фурье
ь
Сп = ЙфЬ? S <Р*" dX'
а
(2.30
(2-5')
11
I
В этих выражениях ср* (л) обозначает функцию, комплекс-
но-сопряженную с функцией фв(х)‘
Для сигналов s(f), являющихся функциями времени, выра-
жение (2.4) в дальнейшем будем записывать в форме
со
sW = 2^<Mz)-	(2Л0)
л=0
Если s(t)—напряжение или ток, то p(t)=s2(t) есть мгно-
венная мощность, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом, а
квадрат нормы функции s(t) по аналогии с (2.3) будет
|	1И2=§ sz{t)dt = 9.	(2.11)
Л
Это выражение определяет энергию сигнала s (/).
В соответствии с формулой (2.8) энергия сигнала
СО
3=2К1Ъ|12-	(2.12)
п=0
а при использовании ортонормированной системы функций
°°
3=2 Ы2-	(2-12')
| "-°
При этом имеется в виду, что промежуток времени /2—tv в
котором определяется энергия Э, является интервалом орто-
гональности для системы функций фп(/).
1 Дальнейшее обобщение условия ортонормированности достигается введе-
нием под знак интеграла в (2.2') действительной неотрицательной функции
р(х), называемой весовой функцией:
р	*	(1 при п = т,	„
Фл (к) <[>т (х) р (х) dx = {	(2.2 )
"	(0 при п=/=т.
Говорят, что функции (рп (г) и (г) ортогональны с весом р(х). Это
означает, что в соответствии с определением (2.2") ортогональны не сами
этн функции, а функции Ур (х)	(х) и Ур(х) <рт (х); при p(x)sl функ-
ции фл (х) и фт(х) ортогональны с единичным весом.
При определении коэффициентов обобщенного ряда Фурье, аппроксимиру-
ющего функцию f(x), следует исходить из формулы, аналогичной (2.5'), но с
учетом весовой функции:
I	6
I	Сл=^~ГГ|г5/(х)<₽"(х)р(х)йГх’	(2,5в)
__ ь
где I) Фл У Р llz = JI Фл W \2 р (х) dx — квадрат нормы функции
Фл(«) У р (х).
12
I—	___________________
Отношение
G	оо
14т-г^г<\з2^м=т^т'^ 1Щ211Мг-Щ0 (2-13)
2	’	2	* Л	!	‘"=0
определяет среднюю за время /г—1\ мощность сигнала.
Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функ-
ций зависит от цели, преследуемой при разложении произ-
вольной функции в ряд. Среди разнообразных задач, требую-
щих разложения произвольного сигнала, наиболее важными
являются: 1) точное представление сигнала в виде суммы
простейших ортогональных колебаний; 2) аппроксимация сиг-
налов или характеристик, когда требуется свести к минимуму
число членов ряда (при заданной допустимой погрешности).
При первой постановке задачи наибольшее распростране-
ние получила ортогональная система основных тригонометри-
ческих функций — синусов и косинусов. Это объясняется ря-
дом причин. Во-первых, гармоническое колебание является
единственной функцией времени, сохраняющей свою форму
при прохождении через любую линейную цепь (с постоянными
параметрами). Изменяются лишь амплитуда и фаза колеба-
ния. Во-вторых, разложение сложного сигнала по синусам и
косинусам позволяет использовать символический метод, раз-
работанный для анализа передачи гармонических колебаний
через линейные цепи. По этим и некоторым другим причинам
гармонический анализ получил широкое распространение во
всех отраслях современной науки и техники.
При второй постановке задачи — приближенном представ-
лении сигналов — применяются разнообразные ортогональные
системы функций: полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра,
Лежандра и многие другие. Получившие большое распростра-
нение в цифровой технике функции Уолша будут подробно
рассмотрены в гл. 14.
2.2.	ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
При разложении периодического сигнала с периодом Т в
ряд Фурье в качестве ортогональной системы берут систему
гармонических колебаний кратных частот
1,	costo,/, sino),/, cos2a),/, sin2o),/, ..., cosno),/,
sinno),/, ...	(2.14)
или (в комплексной форме)
q—i2co1/ —r'cdi^ |	(2.15)
Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с пе-
риодом 7’=2л/о)1 сигнала «(/).
13
Предполагается, что s(f) удовлетворяет условиям Дирихле,
т. е. s(t) —функция ограниченная и имеет на интервале [—7/2,
7/2] конечное число разрывов, а также конечное число макси-
мумов и минимумов.
Воспользуемся сначала ортогональной системой (2.15).
Тогда ряд Фурье должен быть записан в комплексной форме
со
s(0= 2	(2.16)
п=—оо
Совокупность коэффициентов сп ряда Фурье в базисе триго*
неметрических функций называется частотным спектром
периодического сигнала. Коэффициенты ряда (2.16) с„ опреде-
ляются с помощью формул, приведенных в предыдущем пара-
графе.
Из формулы (2.3') следует, что
7/2
||Ф„||2=	(2.17)
—7/2
Используя формулу (2,5'). получаем
7/2
Сл==Т j з (0	(2.18)
-Г/2
Коэффициенты сп в общем случае являются комплексными
величинами. Подставив в (2.18) e_"IW,/ = cos nc^f — is-inna^t,
получим
Г/2
с„ = ~ s(0(cos — ism/ico^) dt = cnz — icns, (2.19)
—7/2
где косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части
коэффициента сп определяются формулами
7/2
слс = у \ s(#)cos(n(£»i/) dt,
-Tl2
7/2	(2-20)
s(f) sinfnw,/) dt.
—T/2
Коэффициенты cn часто бывает удобно записывать в форме
с„=|сл|е'Ч	(2.21)
где
k„|=/c2c+c2s,	(222)
K0n=—arctg(cnS/cnc).	(2.23) (
Модуль | сп | является четной функцией дискретной пере-
14
менной п, а аргумент 6„— нечетной: | сп | = | с_.„ |, 0„=—0-«.
Общее выражение (2.16) можно привести к виду
ТО
s(/)= 2 Ые'<пи*'+еп>.	(2.24)
п=—то
Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ря-
да Фурье. Выделим в ряде (2.24) пару слагаемых, соответст-
вующих какому-либо фиксированному |и|. Векторная диаграм-
ма этих комплексных составляющих ряда представлена на
рис. 2.1. Векторы длиной |сп| вращаются с угловой частотой
по)! во взаимно противоположных направлениях. Сумма проек-
ций этих векторов на действительную ось дает вещественную
функцию 2|c„|cos(H<jji/+6n), а сумма проекций этих же векто-
ров на мнимую ось равна нулю.
Отсюда следует, что при переходе к тригонометрической
форме ряд (2.24) необходимо записать следующим образом:
оо
5 {t) = с0+2 21 Сп I eos (zzcd,1 + еп).	(2.25)
л-1
Коэффициент Со остается неизменным, так как в ряде (2.24)
составляющая с нулевой частотой не имеет «дублера».
Вместо выражения (2.25) в математической и радиотехни-
ческой литературе часто встречается следующая форма записи:
оо
5 (0 = ^+ 2 (С« C0S	Sin П(М) =
оо
=	2 A, COS {n^t + е„),	(2.26)
п~1
причем 0П=—arctg(fen/an).
Из сопоставления выражений (2.26) и (2.25) видно, что
амплитуда n-й гармоники А„ связана с коэффициентом | сп |
ряда (2.24) соотношением
Лп=2|с„|, a a„=2cnC, bn—2cnS.
15-
Таким образом, для всех пЗ*0
Г/2
2 С
а„=у \ s(t) cosnuitdt,
~т!2	(2.27)
Ьп=у s(/)sin/ztoi^.
—T/2
Если сигнал s(t)—четная функция времени, т. е. s(0 =
=s(—t), то в тригонометрической записи ряда остаются толь-
ко косинусоиды, так как коэффициенты Ьп в соответствии с
формулой (2.27) обращаются в нуль. Для нечетной функции
s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты ап и ряд
состоит только из синусоид.
Две характеристики — амплитудная и фазовая, т. е. модули
,и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, пол-
ностью определяют структуру частотного спектра периодичес-
кого колебания. Наглядное представление о структуре и «ши-
рине» спектра дает графическое изображение спектра ампли-
туд. В качестве примера на рис. 2.2, а построен спектр коэф-
фициентов |с„|, а на рис. 2.2,6—спектр амплитуд Ап=
= 2|с„| для одного и того же периодического колебания. Для
исчерпывающей характеристики спектра подобные построения
должны быть дополнены заданием начальных фаз 0П отдель-
ных гармоник.
Спектр периодического колебания называется линейча-
тым или дискретным, так как состоит из отдельных ли-
ний, соответствующих дискретным частотам 0, сц, tO2=2<Di, со^=
=3а>1 и т. д.
При рассмотрении энергетических характеристик периоди-
ческого сигнала основной интерес представляют средняя мощ-
ность и распределение этой мощности между отдельными гар-
мониками. Очевидно, что средняя мощность сигнала, рассмат-
риваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, сред-
Рис. 2.2
16
ней за один период Т. Поэтому можно воспользоваться фор-
мулой (2.13), в которой под коэффициентами сп следует под-
разумевать коэффициенты ряда (2.16), а под интервалом орто-
гональности (/2—Л) и квадратом нормы ||(р„||2— величину Т
1см. (2.17)].
Таким образом, средняя мощность периодического сигнала
оо	оо
^(0=4- 2 МТ = 2 Ы2-	(2-28)
Л=—ОО	л=—оо
Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и учи-
тывая, что с0=а0/2 и | сп | = Ая/2, получаем
?Ю = (т)2+2 2(т)2=(т)2+4 2 АЛ	(2.29)
Если s(Z) представляет собой ток i(t), то при прохождении
его через сопротивление г выделяется мощность (средняя)
Р=гТ2(7Г=г(/02+712/2+722/2+ ...),
где /0=п0/2 — постоянная составляющая, а /„=А„ — амплиту-
да n-й гармоники тока i(t).
Итак, полная средняя мощность периодического сигнала
равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоян-
ной составляющей /о и гармониками с амплитудами Д, Z2. ...
Это означает, что средняя мощность не зависит от фаз отдель-
ных гармоник. Объясняется это свойство ортогональностью
гармонических составляющих ряда Фурье.
Очевидно, что энергия периодического сигнала, длящегося
от t=—°° до t=co, бесконечно велика.
Представление сложного периодического колебания рядом
Фурье в сочетании с принципом наложения представляет собой
эффективное средство для изучения влияния линейных. цепей
на прохождение сигналов. Следует, правда, отметить, что
определение сигнала на выходе цепи по сумме гармоник с из-
вестными амплитудами и фазами является непростой задачей,
особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда
Фурье, представляющего входной сигнал. Наиболее распростра-
ненные в радиотехнике сигналы не соответствуют этому усло-
вию, и для удовлетворительного воспроизведения формы сиг-
налов обычно необходимо суммировать большое число гармо-
ник.
2.3.	СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Рассмотрим спектры простейших периодических колебаний,
часто используемых в различных электронных устройствах.
Ряд Фурье для указанных сигналов s{f) записывается ниже в
5964 /9 Б
2—3305
17
тригонометрической форме. Амплитуды косинусоид ап или си-
нусоид Ьп определяются с помощью формул (2.27).
2.3.1	ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ СИГНАЛ (МЕАНДР)
При выборе начала отсчета времени в соответствии с
рис. 2.3, а функция s(t)=e(t) нечетна, а в случае рис. 2.3,6 —
четна.
В первом случае ряд Фурье содержит только синусоиды с
коэффициентами
, 4Е /,	na>iT\ 2Е	.
ь»=т^ V-cos — -cos п")=
(О при «=0,2,4, ...,
\4Е/пл при п= 1, 3, 5, ....
Спектр коэффициентов Ьп изображен на рис. 2.4. При а„=
=0 коэффициенты Ьп совпадают с амплитудами Ап соответст-
вующих гармоник. Ряд Фурье в данном случае записывается
в форме
e(<)=~^sin<o1<+ -|-sin3co1< + -j-sin5o)1<+ .. J.	(2.30)
Для получения спектра четной функции s(/)=e(/),
рис. 2.3, б, сдвинутой относительно предыдущей функции на
время Т/4 (в сторону опережения) достаточно учесть набег
фазы спектральных составляющих на величину 8п—(йпТ/4. Та-
ким образом, 01 —сй17’/4=л/2, 03=Зл/2, 05=5л/2 и т. д. Соответ-
ственно, коэффициенты ряда Фурье	—а3,
И т. д.
Итак, для четной функции ряд содержит только косинусо-
идальные члены:
др /11	\
е (/)= — (cos	—у cos Scot/ -|-у cos	— ... 1.	(2.31)
Спектр амплитуд Ап=1ап1 для четной функции показан на
рис. 2.4.
Рис. 2.3
Рис. 2.4
18
Рис. 2.5
График суммы 1-й и 3-й гармоник изображен на рис. 2.5, а.
На рис. 2.5, б эта сумма дополнена 5-й и 7-й гармониками, а на
рис. 2.5, в — 9-й, 11-й,..., 17-й.
С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда
приближается к функции e(t) всюду, кроме точек вблизи раз-
рыва функции, где образуется выброс. При п->оо величина
этого выброса равна ±1,18£, т. е. сумма ряда отличается от
заданной функции на 18%. Этот дефект сходимости в математи-
ке получил название явления Гиббса. Несмотря на то,
что в рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к раз-
лагаемой функции e(t) в точках ее разрыва, ряд сходится в
среднем, поскольку при п-*оо выбросы являются бесконечно
узкими и не вносят никакого вклада в интеграл (2.9).
2.3.2.	ПИЛООБРАЗНЫЙ СИГНАЛ
Ряд Фурье в данном примере содержит только синусоиды с
амплитудами | Ьп | == |—2Е cos (пл)/пл|^Как видим, амплитуды
гармоник убывают по закону 1/п, где п=1, 2, 3,...
2*
19
Рис. 2.6
Таким образом,
2Е /	1	1
е(/)==— (sin	-к- sln 2ю1^4--5- sin Зсо./ —
Л \	Z	о
—-|-sin4<iV+ .. Д
(2.32)
На рис. 2.6 показан график суммы первых шести гармоник
ряда.
2.3.3.	ТРЕУГОЛЬНЫЙ сигнал
Ряд Фурье для этой функции содержит только косинусоиды
нечетных гармоник и может быть записан в виде
e(i)=^fcosco1i -J-Д cos 3(0^ + ... + Дcos ncoj/ -J- .. Д (2.33)
На рис. 2.7 изображена сумма первых двух членов этого
ряда. В данном случае отметим более быстрое (по зако-
ну 1/п2) убывание амплитуд гармоник, чем в предыдущих при-
мерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скачков) в раз-
лагаемой функции.
Рис. 2.7
20
2.3.4.	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Важным параметром подобных сигналов является отноше-
ние q=TlxK, называемое скважностью импульсной после-
довательности и имеющее в практических приложениях диапа-
зон значений от нескольких единиц до нескольких тысяч.
Для четной функции (рис. 2.8) коэффициенты ряда Фурье
равны
а0_Ехк__ р _2£ . лш1ти_2Е sin(nn 7)
У Т n/q’ ап~пп 2 ~~ q (niqq) ’
Таким образом,
(оо	\
v+4S^S7Ficos'lm-/ 	’	<234>
л=1	/
Е
т -rJ/2/o''r„/2 т 7
Рис. 2.8
21
Спектр амплитуд А„=|ап| рассматриваемого сигнала име-
ет лепестковую структуру (рис. 2.9). Расстояние между спект-
ральными линиями в q раз меньше ширины одного лепестка.
Отсюда ясно, что при <?>1 спектр содержит очень большое
число гармоник (рис. 2.9, б). В этом случае амплитуды сосед-
них гармоник близки по величине и при малых значениях п
An~2E/q=a0.
2.4.	ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Изложенный в § 2.2 гармонический анализ периодических
сигналов можно обобщить на непериодические сигналы. Пусть
такой сигнал s(t) представляет собой один период периодиче-
ской функции sn(t) (рис. 2.10, а). Запишем этот сигнал
(рис. 2.10, б) в виде ряда Фурье
оо
S(O= 2 ^е'™1', —Tl2<t<Tl2,	(2.35)
л=-оо
где С1>1=2л/7’, а коэффициенты сп определяются формулой
(2.18).
Вне интервала —TI2<Zt<.T/2 ряд (2.35) определяет перио-
дическую функцию sn(t)=s(t±kT), где k — целое число. Для
того, чтобы вне указанного интервала функция равнялась ну-
лю, величина Т должна быть устремлена в бесконечность. Одна-
ко в предельном случае Т-+<х>, как видно из (2.18), коэффи-
циенты ряда с„-*0. Введем в рассмотрение спектральную функ-
цию, получающуюся умножением коэффициентов сп на пе-
риод Т:
Т/2
8(п(О1)=спТ= s(0(2.36)
-Т/2
При увеличении периода Т расстояние между соседними
22
линиями спектра S(rt.<o1) уменьшается, но для фиксированной
частоты <в=п«1=п2л/Т (частота фиксируется за счет соответ-
ствующего увеличения п при увеличении Т) значение S(<o=
=П(01) остается неизменным.
Запишем теперь ряд Фурье, используя (2.36):
sn(0= 2 S(n(o1)e'n“i'(o1/2n.	(2.37)
—оо
Здесь учтено, что Т=2л/(01.
Устремляя Т-*оо, получаем:
периодическая функция s„(t) преобразуется в непериодиче-
ский сигнал s(t) (см. рис. 2.10, б);
дискретная функция частоты S(n®i) [формула (2.36)] пре-
образуется в непрерывную функцию (сплошной спектр)
S(<d)== \ s (t) e~lb>tdt;	(2.38)
операция суммирования в ряде (2.37) заменяется операцией
интегрирования, что приводит к представлению непериодиче-
ского сигнала s{t) в виде
—S	(2.39)
—оо
Интеграл (2.38) называется спектральной плот-
ностью или спектральной характеристикой функ-
ции s(/).
Предполагается, что функция s(t) должна быть абсолютно
интегрируемой, т. е. /|$(/) |d/<oo, иметь конечное число мак-
симумов и минимумов, а также конечное число разрывов на
каждом конечном интервале.
Интеграл (2.39) сходится к значению s(t) в каждой точке,
не имеющей разрыва, и к величине, равной среднему значению
лево- и правостороннего пределов в точке разрыва s(t).
Выражения (2.38) и (2.39) называются соответственно
прямым и обратным преобразованиями
Фурье.
Полезно провести сравнение спектральных характеристик
периодической последовательности импульсов и одиночного
импульса этой последовательности (рис. 2.10). С этой целью
обратимся к выражению (2.36), из которого следует
cn=S(n(o1)/T=f1S(nG>1).	(2.40)
Здесь S(ncoi)—значение спектральной плотности одиночного
импульса на частоте П(оь a fi = l/T — частота следования им-
пульсов.
23
Соответственно комплексная амплитуда n-й гармоники
спектра периодического сигнала
A„=2cn=2fIS(n©1).	(2.40')
Итак, модуль спектральной плотности одиночного импульса
и огибающая линейчатого спектра периодической последова-
тельности, полученной путем повторения заданного импульса,
совпадают по форме и отличаются только масштабом.
Это свойство полезно использовать при нахождении спектра
периодического сигнала: сначала определяется спектральная
плотность одиночного импульса, а затем с помощью (2.40) —
коэффициенты ряда Фурье.
На рис. 2.11, а изображен модуль спектральной плотности
одиночного импульса, а на рис. 2.11,6 — линейчатый (дискрет-
ный) спектр периодической последовательности этих же им-
пульсов. Штриховой линией на этом рисунке показана огибаю-
щая линейчатого спектра | cn | ==Д1S (поц) |.
С увеличением периода Т спектральные линии на рис. 2.11,6
сближаются и коэффициенты |сл| уменьшаются, но так, что
отношение 1сп1/Л остается неизменным. В пределе при Т-*оо
приходим к одиночному импульсу со спектральной плотностью
S(<o)=lim(c„//i).
f *0
Таким образом, становится наглядным термин «спектраль-
ная плотность»: S(g>) есть амплитуда напряжения (тока), при-
3(a)
24
ходящаяся на 1 Гц в бесконечной узкой полосе частот, которая
включает в себя рассматриваемую частоту со.
Спектральная плотность S(<o) обладает всеми основными
свойствами коэффициентов сп комплексного ряда Фурье
[ср. (2.18) и (2.38)].
По аналогии с (2.19) и (2.21) можно написать
5 (со)	(со) —iB (со) = S (со) eie<“’,	(2.41)
где
оо
A(co) = Re {S (со)}= s(/)cos (at)dt,
--DO
ОО
B(co) = Im{S (со))= \ s (/) sin (со/) dt.
—сю
(2.42)
Модуль и аргумент спектральной плотности определяются
выражениями
S (со) = }М2(ю)4-В2(<о),	(2.43)
0 (со) = — arctg [В (со)/А (со)].	(2.44)
Первое из этих выражений определяет амплитудно-частот-
ную (АЧХ), а второе фазочастотную (ФЧХ) характеристики
спектра непериодического сигнала.
Из определения (2.38) следует, что если s (/) — действи-
тельная функция, то S(co)=S*(—со). Это означает, что А (со)
и S(co) являются четными, а В (со) и 0(со) —нечетными функ-
циями частоты со.
Если s(/)=s(—/), т. е. сигнал является четной функцией
времени, то его спектральная плотность S(co)=S(—со)=А(со)
является действительной и четной функцией со. В этом случае
В(со)=О и S(co) =5(со).
Если s(t)=—s(f), т. е. сигнал является нечетной функцией
времени, то его спектральная плотность S(co)=—S(—со) =
=—iB(co) является чисто мнимой и нечетной функцией со
[в этом случае А (со) =0].
На основании формулы (2.41) нетрудно привести интеграль-
ное преобразование (2.39) к следующей тригонометрической
форме:
оо
s(/)=-i-^ S(<o)cos[co/-]-0(co)]c/co.	(2.45)
о
Выражение (2.45) можно рассматривать как представление
сигнала s(t) в виде «взвешенной» суммы гармонических коле-
баний. Аналогичным представлением периодического сигнала
является ряд Фурье (2.25).
25
Отметим, что при со = О выражение (2.38) переходит в сле-
дующее:
ОО
S(0) = s (t)dt = площадь, ограниченная кривой s(t). (2.46)
—оо
Аналогично из (2.39) получаем
оо
s(/)|<=o = s(O)=27 $ S(t°)db)-	(2-46')
—оо
Эти два результата, являющиеся частными случаями преоб-
разований Фурье, обычно легко вычисляются и полезны для
проверки результатов при решении конкретных задач.
2.5.	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Между сигналом s(t) и его спектральной плотностью S(co)
существует однозначное соответствие. Для практических при-
ложений важно установить связь между преобразованием сиг-
нала и соответствующим ему изменением спектра или, наобо-
рот, между преобразованием спектра и соответствующим ему
изменением сигнала. Из многочисленных возможных преобра-
зований рассмотрим наиболее важные и часто встречающиеся.
2.5.1.	ДУАЛЬНОСТЬ ВРЕМЕНИ И ЧАСТОТЫ
Обращаясь к выражениям (2.38) и (2.39), определяющим
прямое и обратное преобразования Фурье, видим, что они об-
ладают существенной симметрией.
Для встречающейся в литературе строго симметричной фор-
мы записи преобразований Фурье в виде
ОО	оо
S(/)= 5 s(Oe-'wW И s(t)=	S(/)e,2""d/
—оо	—оо
свойство дуальности может быть сформулировано следующим
образом: если S(f) является спектральной плотностью сигнала
s(t), то s(—f) является спектральной плотностью функ-
ции S(/).
Свойство частотно-временной дуальности часто использует-
ся в теории сигналов при решении задач преобразования сигна-
ла во временной или частотной областях.
Важным проявлением этого свойства является взаимная
заменяемость t и со в преобразованиях Фурье для четных
функций.
Как было показано в § 2.4, спектральная плотность S(co)
четной функции времени s(Z) является действительной четной
функцией частоты (справедливо и обратное утверждение). Ис-
26
пользуя замену переменных в выражениях (2,38) и (2.39) и
учитывая четность функций s(t) и S(<o), нетрудно получить,
что для сигнала S (/) =S(a>) |т-н спектральная плотность равна
2ns(w) =2ns(/) или спектральная плотность «(©) =
=s(f)/_>m соответствует сигналу S (/) = ^ S(co) 1ш-»ь Отметим,
что в данном случае знак в показателе степени функций
е±/“< в преобразованиях Фурье может выбираться произвольно.
2.5.2.	ЛИНЕЙНОСТЬ
Пусть сигналам Si(t) и s2(t) соответствуют спектральные
плотности St (о) и S2(<o).
Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную
плотность заданной функции времени, является линейным, оче-
видно, что сигналу s(t)=as1(t)-[-bs2(t) соответствует спектр
S(<o)=aS1(co)+&S2(<o).	(2.47)
2.5.3.	СДВИГ СИГНАЛА ВО ВРЕМЕНИ
Пусть сигнал s(t)r обладающий спектральной плотностью
S(w), задержан на время t0 (при сохранении его формы).
Спектральная плотность задержанного сигнала sl(t)=s(t—10)
в соответствии с (2.38)
S, (со)=	Sj (t)e~latdt =	s (t — Q e.~ia,tdt.
—oo	—oo
Вводя новую переменную интегрирования x = t —iD, получаем
oo
Sj (cd) = e-Zb>'« s (x) e~taxdx = e_w’S (io).	(2.48)
—oo
Из этого соотношения видно, что сдвиг сигнала s(Z) во
времени на ±t0 приводит к изменению фазовой характеристи-
ки спектра S(co) на величину ±ci)/0- Справедливо и обратное
утверждение: если составляющим спектра сигнала s(t) дать
фазовый сдвиг 0(<о) = ±<о/0, линейно зависящий от частоты со,
то сигнал сдвигается во времени на ±/0.
Амплитудно-частотная характеристика спектра (т. е. мо-
дуль спектральной плотности) от положения сигнала на оси
времени не зависит.
2.5.4.	ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ
Применим (2.38) к функции st(t) =s(at) (а>0):
оо
Sj(co)= s (at) е—l<s>idt.
—оо
27
Вводя новую переменную интегрирования x=at, получаем
si(°))=4- $
—।—
s (x) е “ dx.
Но интеграл в правой части этого выражения есть не что
иное, как спектральная плотность функции s(t) при частоте
<в/а, т. е. 5(<о/а). Таким образом,
Sj (o) = -l-S((o/a).	(2.49)
Итак, при сжатии сигнала в а раз (а>1) на временной
оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот.
Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в а раз.
При растяжении сигнала во времени (а<1) имеет место сжа-
тие его частотного спектра и увеличение модуля спектральной
плотности. При а<0, когда наряду с масштабированием рас-
сматривается зеркальное отображение сигнала, вместо (2.49)
справедливо
si И = -j4]-s («/“)•
(2.49')
2.5.5.	СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА
Применим (2.38) к произведению s(/)e‘“"
\ s (/) ei“»<e_,b)/dZ =	s(tf) е_,<®~Шв,*4# = S (<о — <оо).	(2.50)
—ОО	—оо
Полученный результат означает, что умножение сигнала
s(t) на е,ь><>/ приводит к смещению его спектра S(a>) по оси
частот на величину со0.
Умножим тот же сигнал s(t) на cos (<bq/-)-0o) • Спектральная
плотность нового сигнала Si(t) —s(t) cos ((оо/4-0о) в соответ-
ствии с (2.38) равна
si (<*>)= s (/)cos (соо< + 0о) e-^dt.
—оо
Подставляя в это выражение cos (ц/-j-0О)=
= -^-(е,(“«/+е»)4-е'_/(“’г+е’)) и учитывая (2.50), нетрудно получить
pie0	p-ie„
si(«) = —S(® — w0)+——S(tt> + io0).	(2.51)
Из выражения (2.51) вытекает, что расщепление спектра
S(®) на две части, смещенные соответственно на +соо и —о)0,
28
эквивалентно умножению функции s(t) на гармоническое коле-
бание cos <DOt (при 0о=О).
Более подробно это положение рассматривается в гл. 3 при
исследовании спектров модулированных колебаний.
2.5.6.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СИГНАЛА
1 00
Дифференцирование сигнала s(t)=~ f S(co)e/“<d(i) можно
Z3X—оо
трактовать как почленное дифференцирование всех гармони-
ческих составляющих, входящих в его спектр. Но производная
функции е‘“< равна i(Deiai, из чего непосредственно вытекает
следующее соответствие:
s1 (/) =	io)S ((d) = ®S ((d) e'"'2 = S, (co)	(2.52)
(значком обозначено соответствие между сигналом и его
спектром).
Полезно сформулировать смысл обратного соответствия, а
именно: если всем гармоническим составляющим спектра сиг-
нала s(t) дать фазовый сдвиг л/2, а модуль спектра умно-
жить на <о, то сигнал будет продифференцирован.
Дуальным рассмотренному свойству является умножение
сигнала на t (дифференцирование спектра сигнала):
(2.53)
2.5.7.	ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛА
Применяя подход, использованный в п. 2.5.6 для нахожде-
ния преобразования спектра при дифференцировании сигнала,
можно получить
t
Si(t)= J s(x)dx^^S((0)=-lrS((0)e-i"/2=S1 (w).	(2.54)
—oo
Следует, однако, подчеркнуть, что в отличие от операции
i<aS((o) операция (l/t<o)S(<o) законна только для сигналов,
удовлетворяющих условию f s(t)dt=S(O) =0, т. е. для сигна-
лов с нулевой площадью. В противном случае спектральная
плотность проинтегрированного сигнала содержит дополнитель-
ное слагаемое лS(0)6(а) (см. § 2.10).
,	2.5.8. ПРОИЗВЕДЕНИЕ СИГНАЛОВ
Пусть рассматриваемый сигнал Si (t) является произведени-
ем двух функций времени s(t) и u(t).
29
Применим (2.38) к сигналу si(f)=s(f)u(t):
оо
Si («)= s(t)u(t)e-lb>idi.	(2-
—oo
Каждую функцию s(f) и u(t) можно представить в вк
(2.39):
оо	оо
=	(J(©)efto/d<i).
ZJL J	J
Подставляя в (2.55) второй из этих интегралов,
оо
—оо
оо
U (л) Qixtdx
- —со
erl(atdt=
= 2^ § Щ-*)	5(/) or^-^dt dx.
Внутренний интеграл по переменной t представляет собо
спектральную плотность функции s(() при частоте (<в—х), т. е
S(co—х). Следовательно,
оо
Si(w) = 2^ U(X)S(®—^)^=^U(®)*s(w)’.
— оо
(2..
Итак, спектр произведения двух функций времени s(t) »
u(t) равен (с коэффициентом 1/2л) свертке их спектров S (со
и Щсо).
2.5.9.	РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ
Из выражений (2.55) и (2.56) в частном случае о>=0 выт
кает равенство
оо	оо
s(t)u(t)dt=^ U (x)S(— x)dx=
—со	—оо
оо
= U(co)S*(co)dco.	(2.5
—оо
оо
1 Функция, определяемая интегралом J U (х) S (®—х) dx
—оо
со
= J S (х) U (со—х) dx, носит название свертки функций S (со) и U (со),
—- оо
знак * используется для символической записи операции свертки.
30
При одинаковых функциях времени, т. е. «(/) = $(/), левый
интеграл в (2.57)
ОО	со
5 s(t)u{t)dt= s2(t)dt~~3
—со	—оо
определяет полную энергию сигнала s(t). Кроме того, произве-
дение спектральных функций U (to) и S* (со) преобразуется к
виду
U (со) S* (о) = S (со) S* (о) = | S (©) ]2=S2 (to),
где S*(to) —спектр сигнала s(t), a 5 (to) —модуль этого спект-
ра.
Таким образом, в соответствии с (2.57) приходим к оконча-
тельному результату
со	ОО	оо
э= S2(t)dt = ~ J S2(to)dto=-^S2(to)Jto.	(2.58)
—со	—оо	о
Из этого важного соотношения, известного как равенство
Парсеваля, следует, что полная энергия непериодического
сигнала равна сумме энергий всех его спектральных составля-
ющих. Величина (S(co) |2 имеет смысл энергии, приходящейся
на 1 Гц, и может рассматриваться как спектральная
плотность энергии или энергетический спектр
сигнала.
Важно отметить, что энергия непериодического сигнала не
зависит от фазировки спектральных составляющих. Это являет-
ся, как и для периодического сигнала, результатом ортогональ-
ности спектральных составляющих. Различие заключается лишь
в интервалах ортогональности: период Т для периодического
сигнала и бесконечно большой интервал для непериодического
сигнала.
Следует также отметить существенное различие между вы-
ражениями (2.29) и (2.58). В § 2.2 речь шла о средней мощно-
сти, получаемой делением энергии отрезка сигнала за один пе-
риод на период Т. Для непериодического сигнала такое усред-
нение на бесконечном интервале дает нулевую среднюю мощ-
ность. Поэтому в случае непериодического сигнала можно гово-
рить о средней мощности лишь на заданном конечном интерва-
ле. Более существенной энергетической характеристикой непе-
риодического сигнала является его максимальная пиковая
мощность.
2.5.10.	СВЕРТКА СИГНАЛОВ
Свойство свертки сигналов является дуальным свойству
произведения сигналов (см. п. 2.5.8). Дуальность выражается в
том, что спектр свертки двух функций времени s(t) и g(t) ра-
31
вен произведению их преобразований Фурье S(g>) и G(g>), т. е.
оо
«1(0=	S(jc)g(/—x)rfx=s(/)*g(/)-?;-S(w)G((o) = S1((o). (2.59)
—00	ч
Это свойство особенно широко используется при анализе пе-
редачи сигналов через линейные системы (см. гл. 5). В этом
случае функции времени s(t) и g(t) имеют смысл соответствен-
но входного сигнала и импульсной характеристики системы,
S(<o) и G(o)—спектральной плотности входного сигнала и пе-
редаточной функции системы, a Si (t) и Si (®) — сигнала на вы-
ходе системы и его спектра.
2.6.	ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ СИГНАЛОВ
Для теории сигналов особый интерес представляют следую-
щие математические модели сигналов.
2.6.1.	КОЛОКОЛООБРАЗНЫЙ (ГАУССОВСКИЙ)
ИМПУЛЬС
Представленный на рис. 2.12,а колоколообразный
определяется выражением
s(/) —(А/]/2ла)е_<*/2с’, — оо <2< оо.
импульс
(2.60)
Этот импульс, совпадающий по форме с графиком нормального
(гауссовского) закона распределения вероятностей, называется
также гауссовским импульсом. Параметр а имеет смысл поло-
вины длительности импульса, определяемой на уровне е-1/2«
» 0,607 от амплитуды AlV2ла импульса.
Преобразование Фурье (2.38) импульса (2.60) дает спектр
S (со) = Ае-“!й3/2 = Ве-“' /26‘.
(2.61)
32
График этой функции представлен на рис. 2.12,6. Макси-
мальное значение спектра
со
B = S(0)=	s(t)dt = A,
—оо
(2.62)
а ширина спектра, определяемая на уровне е_|/2 от В, равна
2Ь=2/а.
Существенно, что гауссовский импульс и его спектр выра-
жаются одинаковыми функциями и обладают свойством сим-
метрии: для получения любой из них по заданной другой доста-
точно заменить ® на t (или наоборот) и провести несложную
замену параметров функций.
Так, гауссовскому спектру
S(w) = £?е~“,/2Л’
соответствует гауссовский импульс
s (/) = (В Ь//2л) е_< *62/2=Аъ~“12аг.
Очевидно, что чем меньше длительность импульса ти=2а,
тем шире спектральная полоса 26.
2.6.2.	ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС
Прямоугольный импульс (рис. 2.13,а) определяется функцией
прИ -V2<«V2,
' > ]0 при всех других t.	(z.oaj
В соответствии с (2.38) его спектральная плотность
(рис. 2. 13, б)
V2
S(w>—Л \	(2.64)
—ти/2
Заметим, что произведение Лти, равное площади импульса,
определяет значение спектральной плотности при со = 0, т. е.
S (0) =Дти [см (2.46)].
3—3305
33
Таким образом, выражение (2.64) можно записать в форме
S(o)=S(0)sinc(®TH/2).	(2.64')
Здесь через sinc(«TH/2) обозначена функция sinc(x) =
= (sin х)/х.
При увеличении длительности импульса ти расстояние между
нулями функции S(co) уменьшается, что равносильно сужению
спектра. Значение S(0) при этом возрастает. При сжатии им-
пульса, наоборот, спектр расширяется (расстояние между ну-
лями функции S(©) увеличивается), а значение S(0) умень-
шается.
2.6.3.	ИМПУЛЬС ВИДА sinc(x)
Представленный на рис. 2.14,а импульс определяется функ-
цией
...	•	/ Л Sin	sin (2л/тМ
s(/) = sine(wmf) = -^2 = -, — оо<<<оо. (2.65)
Нетрудно заметить, что эта функция совпадает по форме со
спектральной плотностью (2.64') прямоугольного импульса.
Основываясь на свойстве взаимной заменяемости 1 и и в пре-
образованиях Фурье для четных функций (см. п. 2.5.1), полу-
чаем, что заданному сигналу соответствует спектр прямоуголь-
ной формы (рис. 2.14,6).
Уровень этого спектра в соответствии с (2.46) равен
оо	со
S(0)= s(t)dt= Sinc(amt)dt = n/wm=\/2fm,
—оо	—оо
(2.66)
а граничные частоты спектра (±a>m=+2nfm) определены после
нахождения с помощью (2.46') площади / S(oj)d(i) = 2ns(0) =
=2л и деления ее на ординату (2.66).
34
В порядке проверки с помощью обратного преобразования
(2.39) нетрудно получить
e-wJo)=sinc(ojm/),
что совпадает с (2.65).
2.6.4.	БЕСКОНЕЧНО КОРОТКИЙ ИМПУЛЬС С
ЕДИНИЧНОЙ ПЛОЩАДЬЮ (ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ)
Единичный импульс б(/) можно определить следую-
щим образом:
Г °0 ПРИ < = 0>	/О С-7»
6W—(о при /=/=0	<2-67^
при одновременном условии
^6(Z)d<=l.	(2.68)
—оо
Импульс 6(0 относится к так называемым обобщенным
функциям и называется дельта-функцией или им-
пульсной функцией (а также функцией Дирака).
Для обобщенных функций существенным является не только
их математическое определение, но также свойства этих функ-
ций и получаемые при их использовании результаты.
Для единичного импульса важнейшим свойством является
то, что свертка 6(0 с произвольным сигналом s(t) воспроизво-
дит этот же сигнал:
ОО	со
6(0*s (0= 6 (x)s(t — х)dx= s(x)d(t — x)dx=s(t). (2.69)
—оо	—оо
Другое важное свойство 6(0, определяемое выражением
ОО
J S (0 6 (/ - /0) dt = s (Q,	(2.7Q)
—оо
называется стробирующим или выборочным (в математике
«фильтрующим») свойством дельта-функции, т. е. 6(0 опреде-
ляет отдельное значение произвольной функции.
Справедливость выражений (2.69) и (2.70) вытекает из оп-
ределения (2.67) с учетом (2.68). Действительно, при вычисле-
нии интегралов в этих выражениях промежуток интегрирова-
ния можно сделать сколь угодно малым, но включающим в се-
бя точку, в которой единичный импульс обращается в бесконеч-
ность. В этом промежутке сигнал имеет постоянное значение
з*
35
[$(/) в (2.69) и s(t0) в (2.70)], которое можно вынести за знак
интеграла, а оставшийся интеграл в соответствии с (2.68) равен
единице.
Более подробно свойства дельта-функций, в том числе и
спектр единичного импульса рассматриваются в следующем па-
раграфе.
2.7.	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ
В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функци-
ями от аргументов t или о в зависимости от того, в какой об-
ласти рассматривается функция — во временной или частотной.
На рис. 2.15 представлены некоторые из возможных функ-
ций от аргумента х, площади которых равны единице. Все эти
функции совпадают по форме с сигналами, рассмотренными в
пп. 2.6.1—2.6.3. В данном случае амплитуды импульсов обрат-
но пропорциональны соответствующим образом определенной
длительности (по оси х):
для гауссовского импульса (рис. 2.15,а) А — 1/а]/2л;
для прямоугольного импульса (рис. 2.15,6) А = 1/2щ
для импульса вида Asinc(2nfm/) (рис. 2.15,в) A=2fm.
При устремлении параметра а к нулю, a fm к бесконечности
все три изображенные на рис. 2.15 функции обращаются в
дельта-функции, определяемые выражениями (2.67) и (2.68)
(в данном случае от аргумента х).
При сдвиге дельта-функции по оси х на величину х0 ее оп-
ределение записывается в более общей форме:
* /	\	Г°° ПРИ Х = ХО>
б (х Хо)	jg ПрИ x=£Xqj	(2-71)
оо
б (х —х0) dx= 1.	(2.72)
36
6(х) dx=
Полезно отметить, что 6(0 является четной функцией, т. е.
6(0—6(—0- С учетом этого свойства можно записать
0 при х<0,
1/2 при х=0,	(2.73)
1 при х>0.
В дальнейшем это соотношение будет использовано при рас-
смотрении ступенчатой функции (см. § 2.10).
Рассмотрим сначала свойства функции 6(0- В данном слу-
чае основное значение имеет спектр дельта-функции. Применяя
(2.38) к 6(0 и используя (2.70) при /0=0, получаем
ОО
S(co)= б(/)e-‘“*d/ = е~/и/|<=_о= 1» —оо<<о<оо. (2.74)
—оо
Для обсуждения этого результата обратимся к спектру од-
ного из импульсов s(t), рассмотренных в § 2.6. Например, в
п. 2.6.3 было установлено, что сигналу sinc(2nfmf) соответствует
прямоугольный спектр с граничными частотами ±2 л/m. При
уменьшении длительности l/2fm основного лепестка импульса
(неизменной амплитуды) ширина спектра увеличивается, а ве-
личина S(0) — l/2fm уменьшается. В данном же случае, когда
уменьшение длительности импульса сопровождается одновре-
менным увеличением его амплитуды = значение спект-
ральной плотности остается неизменным для всех частот
—оо<(о<оо и равным S(0) = l, т. е. площади импульса. То
же имеет место при укорочении любого из других импульсов,
показанных на рис. 2.15. Следует иметь в виду, что правая
часть выражения (2.74) является размерной единицей: это пло-
щадь импульса, численно равная единице. Если под 6(0 подра-
зумевается импульс напряжения, то размерность S(co) есть
ВольтХсекунда (В-с).
Итак, спектральная плотность дельта-функции 6(0 вещест-
венна и равна единице для всех частот. Из этого также следу-
ет, что ФЧХ этого спектра равна нулю для всех частот.
Обратное преобразование Фурье (2.39) для дельта-функции
приводит к несобственному интегралу
оо	оо	оо
б(О=2Г $ S(<o)eZfc/d<o = 2^	=	(2.75)
—ОО	— оо	—оо
После несложных преобразований выражение (2.75) при-
водится к виду
оо	оо
б(0=2~ C0S= cos(“^(2.75')
—оо	0
Смысл этой записи заключается в том, что в момент t—0
вклады всех косинусоидальных составляющих суммируются, со-
37
здавая бесконечно большой пик, а в моменты вклады этих
же составляющих взаимно компенсируются.
Для функции 6(t—to), определяющей единичный импульс в
момент t0, спектральная плотность S(<b)	(см. п. 2.5.3).
Модуль спектральной плотности по-прежнему равен единице для
всех частот, а ФЧХ спектра 0(<о) =—cot0.
Единичный импульс 6(t—10) также может быть представлен
в виде интегральной записи
оо	оо
6(t —	e-/w'»ewJco=^-
и 2л J	2л J
—оо	—оо
сю
= 2ТГ $	(2.76)
Понятие единичного импульса 6(t) особенно широко исполь-
зуется при исследовании действия коротких импульсов на ли-
нейные системы. При этом вместо 6(t) можно использовать его
приближение в виде импульса произвольной формы, длитель-
ность которого мала по сравнению с постоянной времени иссле-
дуемой системы (или по сравнению с периодом собственных
колебаний системы).
Рассмотрим теперь свойства б(го). Все, что ранее было ска-
зано относительно 6(t), можно отнести и к б(<в) при замене t
на <0 и со на t, т. е. использовать свойство дуальности времени н
частоты в преобразованиях Фурье (см. п. 2.5.1).
Определение 6 (со) по аналогии с (2.67) имеет вид
6(®)=(п ПрИ “in	(2-77)
(О при co=jt=O	v '
при одновременном условии J 6(<o)dro=l.
—ОО
Спектральная плотность б (со) соответствует временной функ-
ции
оо
=	б(Ы)е'“^“ = ^е'Нсо=О=1/2Я’
—ОО
— оо < t < 00,	(2.78)
т. е. постоянному во времени напряжению (току).
По аналогии с (2.75) можно применить интегральную форму
оо	оо
6 («)=2^Г $ е'а/^ = йГ $	(2.79)
—оо	—оо
38
Аналогично
со
6(d) — (Oo)_^s(f) = J_	6(со— (00)e'B^« = 2^-eia«/,
—оо
оо	оо
6(со —(0,.)==..— £	С е-Ца-Шо)^
—оо	— ОО
(2.78')
(2.79')
2.8. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ
ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ СИГНАЛА И ШИРИНОЙ
ЕГО СПЕКТРА. СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ
СПЕКТРА
Из предыдущих параграфов уже ясно, что чем меньше дли-
тельность сигнала, тем шире его спектр. В практике приме-
няются различные способы определения длительности сигнала
и ширины его спектра. Выбор способа зависит от назначения
сигнала, его формы, а также от структуры спектра сигнала.
Однако ни один из них не является наилучшим для различных
задач. Нередко выбор способа осуществляется произвольно.
Это может быть, например, определение длительности сигнала
как интервала [—а, а], фиксируемого на уровне е-1/2 (1/1Z2, 1/е
и т. д.) от максимального значения сигнала (рис. 2.12,а); как
интервала [—ти/2, тн/2], за пределами которого s(/)=0 (рис.
2.13,п); как ширины главного лепестка сигнала (рис. 2.14,а).
Аналогичными способами определяют и ширину спектра сигна-
ла. Часто пользуются энергетическим критерием, понимая под
шириной или длительностью интервал значений аргумента функ-
ций S(o) или s(f), в пределах которого содержится заданная
доля энергии сигнала.
Для установления предельных соотношений, связывающих
длительность сигнала и ширину спектра, наиболее полезным
оказалось определение указанных параметров с помощью мо-
ментов функций s2(t) и S2((o). Эти вопросы рассмотрены доста-
точно подробно в [3]. Приведем основные результаты.
За меру длительности сигнала s(t) можно принять величину
оо	/ 00
П2ф= 5 tt-ttfs2(t)dt / 5 s2{t)dt,
где t0= \ ts2(t)dt / s2(t)dt —нормированный первый момент
—оо	/ —оо
функции $2(0 (середина импульса), а Гэф—нормированный
второй центральный момент.
39
Аналогично, мера ширины спектра сигнала
СО	/со
&эф = 2^-	(© — (00)2S2((0) fif® I	\ S?((D)d<j).
--ОО	I ----ОО
При нормировке сигнала по энергии знаменатели в преды-
дущих выражениях равны единице. Кроме того, при отчете
времени от to, а также в предположении сигналов без высоко-
частотного заполнения (®о=О), приходим к следующим форму-
лам ДЛЯ Т'эф И £2эф*
Т эф —
jj t2s2(f)dt
--оо
оо
йэф= 2^" § w2S2 («) rfo
1/2
(2.80)
Имеет место следующий важный принцип: для сигналов
произвольной формы, длительность Тэф и ширина спектра Щ
которых определяются выражениями (2.80), справедливо соот-
ношение
ТЭфйэф>1/2.	(2.81)
Смысл этого результата заключается в том, что длитель-
ность сигнала и ширина его спектра не могут одновременно
иметь произвольно малое значение. Сигнал с «малой» длитель-
ностью имеет «широкий» спектр и наоборот.
Минимум произведения в (2.81), равный 1/2, соответствует
колоколообразному (гауссовскому) импульсу (см. также [1,2]).
Метод моментов применим не к любым сигналам. Из выра-
жений (2.80) видно, что сигнал S(Z) с увеличением t должен
убывать быстрее, чем 1/Z, а спектр S(<o) быстрее, чем 1/®, так
как в противном случае соответствующие интегралы расходят-
ся. В частности, это относится к спектру прямоугольного им-
пульса [см. (2.64)]. В этих случаях оценку произведения «дли-
тельностьХширина» приходится основывать на иных критериях.
Так, в [3] в соответствии с энергетическим критерием вво-
дится коэффициент
Т] (/гр, Ти) =ЭМ1Э,
определяющий долю энергии сигнала в полосе частот от нуля
до corp=2nfrp. Здесь
“гр	оо	ги/2
S2((i))da>,	\ 5'2(ы)//со= С s2(t) dt.
0	0	-ти/2
Выражения т](/гр, ти) для сигналов различной формы [прямо-
угольной, треугольной (см. табл. 2.1) и гауссовской] позволяют
при заданной величине т] найти значение произведения
для каждого сигнала (длительность гауссовского импульса
согласно п. 2.6.1 тив2а).
40
Основным результатом исследования является то, что зна-
чение произведения ?грти при фиксированном г] максимально
для прямоугольного импульса (при 1]<0,9— для треугольного)
и минимально для гауссовского. В частности, уровню т)=0,95
для указанных форм сигнала соответствуют значения /грти, рав-
ные 1,8; 0,94 и 0,48.
Заметим, что в некоторых практических задачах для точного
сохранения формы исходного сигнала произведение /ГрТи долж-
но быть гораздо больше единицы.
В любом случае при заданной форме сигнала сжатие его во
времени с целью, например, повышения точности определения
момента его появления неизбежно сопровождается расшире-
нием спектра, что заставляет расширять полосу пропускания
устройства обработки. Аналогично сжатие спектра импульса с
целью повышения точности измерения частоты неизбежно со-
провождается растяжением сигнала во времени, что требует
увеличения времени наблюдения (обработки). Как уже отмеча-
лось при обсуждении выражения (2.81), невозможно одновре-
менно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в ко-
ротком интервале времени. Этот результат представляет собой
одно из проявлений известного в физике принципа не-
определенности.
Вопрос о величине произведения «длительностьХширина»
актуален в связи с проблемой электромагнитной совместимо-
сти, возникающей при взаимных помехах радиосистем. С этой
точки зрения наиболее желательна форма импульсов, близкая
к гауссовской.
Для практики важное значение имеет также оценка протя-
женности «хвостов» спектра вне полосы частот, содержащей
основную долю энергии сигнала.
Для выявления связи между скоростью убывания спектра
S(w) вне основной полосы частот и структуры соответствующе-
го ему сигнала s(t) воспользуемся свойствами обобщенных
функций: единичного импульса и единичного скачка.
Единичный импульс 6(0 является единственной функцией
времени, спектр которой не убывает на всей оси частот [см.
(2.74)]. Отсюда следует, что сигнал s(t), спектр которого вне
основной полосы частот остается неизменным, содержит в сво-
ем составе дельта-функцию (в реальных условиях достаточно
короткий импульс большой интенсивности).
Далее, единственной функцией времени, имеющей спектраль-
ную плотность вида 1/<в, является скачок, т. е. разрыв непре-
рывности функции. При этом в точках разрыва непрерывности
функции s(t) ее производная обращается в дельта-функцию
(с постоянным коэффициентом, равным величине скачка). Сле-
довательно, убывание спектра вне основной полосы частот по
закону I/© свидетельствует о наличии в составе сигнала s(t)
скачка, а в составе его производной s'(f) — дельта-функции.
41
42
Эти рассуждения можно продолжить и для производных сиг-
нала s(t) более высоких порядков.
Сказанное иллюстрируется примерами для трех типов сиг-
налов: с разрывом, с изломом и сигнала, производные которого
любого порядка непрерывны. Названные сигналы, их производ-
ные и модули соответствующих им спектральных плотностей
(при <о>0) представлены на рис. 2.16—2.18.
К установленным выше связям добавим, что для сигнала
s(t), изображенного на рис. 2.17, а, разрыв в его производной
(рис. 2.17, в) приводит к убыванию «хвоста» спектра S(co)
(рис. 2.17,6) по закону 1/со2. Этот результат можно обобщить
следующим образом: если вне основной полосы частот спектр
сигнала убывает по закону l/con+I, то первый разрыв возникает
в n-й производной сигнала.
С этой точки зрения сигнал, показанный на рис. 2.18, а, про-
изводные которого непрерывны при всех значениях п, вплоть
до п=оо, должен обладать спектром, скорость убывания кото-
рого является максимально возможной. Это утверждение согла-
суется с уже полученным выводом о том, что произведение
43
«длительностьХширина» минимально для гауссовского им-
пульса.
Основываясь на полученных результатах, нетрудно также
объяснить происхождение пульсаций спектра вне основной по-
лосы частот. Периодическая пульсация с неубывающими мак-
симумами может возникать только в результате интерференции
спектров двух дельта-функций, разнесенных во времени.
Спектр прямоугольного импульса, амплитуды лепестков кото-
рого убывают по закону 1/<в [см. (2.64)], является наглядным
примером интерференции спектров двух скачков (положитель-
ного и отрицательного), формирующих сам сигнал.
2.9. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ НА
ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Анализ обработки сигналов в линейных системах, описы-
ваемых комплексным коэффициентом передачи, значительно об-
легчается при использовании методов контурного интегрирова-
ния на плоскости комплексной переменной p=c+ia.
Переход от действительной переменной со к p=a+i<a позволяет
также полностью устранить ограничения, вытекающие из тре-
бования абсолютной интегрируемости функции s(t) при ее
представлении в частотной области.
Представим функцию s(t), в общем случае существующую
при —oo<zt<Zoo, в виде суммы двух функций: s(t)=s_(t) +
+s+(f), из которых s-(t) задана при —оо</<0, a s+(/)— при
0</<оо.
Обращаясь к паре преобразований Фурье (2.38) и (2.39),
совершим переход от со к р сначала для функции s+(<). Для
этого домножим s+(/) на е-в1<, где положительную константу
СГ1 выберем таким образом, чтобы функция e-Oi<s+(Z) удовлет-
воряла условию абсолютной интегрируемости.
Произведению s+(0e-Ol< соответствует спектральная плот-
ность [см. (2.38)]
Snp (со) — [з+ (0 е-01<] е-г“'б// = § s+ (0 e~ptdt.
о	о
Правая часть этого соотношения, являющаяся функцией
комплексной переменной р—дДтсо,
оо
£ К (0] = $ *+ (0 e~ptdi = s+ (р)	(2.82)
о
известна под названием одностороннего преобразо"
вания Лапласа.
44
Представим теперь функцию s+ (t) e-tT,< в форме обратного
преобразования Фурье:
ОО
s+(/) е-0»'S+(Oi + io)ez“'c?w.
—оо
Переходя под интегралом к переменной p = cst-}-i<i)>
получаем
Ot+ioo
e~o,z s+ (0 = 2^ § S+ (/?) ^P~c'^dp/i,
О,—loo
откуда
a,+loo
j ^(P)^dp.	(2.83)
Cl— loo
Соотношение (2.38)' позволяющее при заданном S+(p) одно-
значно восстановить s+(t) для />0, по аналогии с выражением
(2.39) называется обратным преобразованием Лап-
ласа.
Сравнение выражений (2.39) и (2.83) показывает, что пере-
ход от &> к р равносилен изменению пути интегрирования.
В (2.39) интегрирование ведется по действительной оси со, а в
(2.83) —по прямой, проходящей параллельно мнимой оси й»
на расстоянии oi справа от нее (рис. 2.19, а). Значение констан-
ты 01 определяется характером подынтегральной функции в
(2.83): путь интегрирования должен проходить правее полюсов
этой функции.
Добавлением к прямой (oi—too, oj+ioo) дуги бесконечно
большого радиуса можно образовать замкнутый контур инте-
грирования (рис. 2.19,6). Чтобы добавление этой дуги не изме-
няло значение интеграла, нужно руководствоваться следующим
правилом: контур должен быть расположен при в левой
полуплоскости переменной р, а при t<0— в правой полуплос-
кости.
Тогда в первом случае при проведении дуги в левой полу-
плоскости, т. е. при t>0 (рис. 2.20, а), контур интегрирования
45
охватывает все полюсы подынтегральной функции, лежащие
левее прямой (сп—ioo, си+ioo), интеграл (2.83) превращается
в контурный интеграл, и в соответствии с теоремой о вычетах
получаем выражение
МО=2^- $ s+(p)'eP'rfp=2Res,
АВСА	k P^Pk
(2.84)
правая часть которого равна сумме вычетов в полюсах подын-
тегральной функции.
При проведении же дуги в правой полуплоскости, т. е. при
(рис. 2.20,5), полюсы подынтегральной функции оказы-
ваются вне контура интегрирования и в соответствии с теоре-
мой Коши интеграл по замкнутому контуру равен нулю:
Ф S+(p)eP'c?p = 0.	(2.85)
ADCA
Напомним важное свойство контурного интеграла: он не за-
висит от формы замкнутого контура интегрирования, если толь-
ко полюсы подынтегральной функции расположены внутри кон-
тура. При соблюдении этого условия контур интегрирования
можно произвольно деформировать.
Итак, нахождение s+(t) с помощью обратного преобразова-
ния Лапласа сводится к определению вычетов в полюсах подын-
тегральной функции.
На рис. 2.20, а показано положение полюсов для следующих
функций времени:
s1(0=e-“>', f>0, ft=-a1,	(2.86)
(cos > 0,
M0 = |e_„sin„!t (>0 Л. A’--a2±/W2.	(2.86-)
(cosы3Л t>0,
Ss(0=Uw. t>0.	(2-8^
Если функция S+(p) не содержит полюсов на оси i®, то щ
может быть отрицательной величиной, т. е. прямая СА на
рис. 2.19 и 2.20 может быть расположена левее оси (со. Мини-
мальное действительное число сп, при котором условие сходи-
мости преобразования Лапласа заданной функции времени со-
блюдается, называется абсциссой сходимости этого пре-
образования; в полуплоскости Re[p]>Oi изображение S+(p) яв-
ляется функцией аналитической. На рис. 2.21, а эта область
расположена справа от прямой АС.
Рассуждения, аналогичные предыдущим, можно привести и
для функции существующей при t<ZO. Домножив s~(t)
на е-01‘, при о?, выбранной таким образом, чтобы обеспечива-
46
лась абсолютная интегрируемость функции е	можно
написать
О	оо
S_ (р) = j S- (0 e~ptdt	tf'dt,	(2.87)
—оо	о
6s-f-/oo
s-^) = 2S 5 ^-(p)^ptdp-
Ot—ioo
(2.88)
Контур интегрирования для данного случая показан на
рис. 2.21,6. Интеграл (2.88) равен сумме вычетов в полюсах
подынтегральной функции, расположенных в правой полуплос-
кости переменной р. Эту сумму следует взять со знаком минус,
поскольку при t<zb контур обходится по часовой стрелке.
Рассмотрим теперь преобразование Лапласа для произволь-
ного сигнала s(t), отличного от нуля как при £>0, так и при
/<0. Преобразование Лапласа может быть записано в виде
суммы
S(p) = S+(p)+S_(p).
Выражения (2.82), (2.87) и (2.83), (2.88) можно объеди-
нить:
$(р)= s+(*)	s~(t)e~p‘dt,
О	— оо
Гсн-Ноо	0,4-Zoo
s(O=2}i7 j S+(p)e₽'cfp + jj S-(p)ep‘dp -
—too	G2—loo
(2.89)
(2.90)
Соотношение (2.89) называется двусторонним преоб-
разованием Лапласа.
Области сходимости функций S+(p) и S- (р) на плоскости
комплексной переменной р показаны на рис. 2.22. Для S+(p)
эта область расположена справа от прямой Re[p]=oi, а для
S_(p) —слева от прямой Re[p]=O2.
Рис. 2.22
47
Если а2>Оь то область сходимости функции S(p) имеет вид
вертикальной полосы Oi<;Re[p]<;o2, включающей в себя ось ia
(функция S(p) аналитична в этой полосе).
Путь интегрирования должен проходить по прямой, распо-
ложенной внутри этой полосы и параллельной оси ico, а также
по замыкающей дуге, расположенной в левой полуплоскости
для t>Q и соответственно в правой полуплоскости для /<0.
Одностороннее преобразование Лапласа получило особенно
широкое распространение при анализе процессов, связанных с
действием на линейные системы внешней силы, когда начало
отсчета времени совмещают с началом воздействия. Двусторон-
нее преобразование Лапласа находит все большее применение
при анализе процессов и функций времени, двусторонних по са-
мой своей сути (например, корреляционных функций сигналов).
При рассмотрении четных функций s(/)=s(—f), т. е. когда
s+(t)=s~(—t),H3 (2.82) и (2.87) получаем
S_(p) = S+(-p).	(2.91)
Поясним применение выражений (2.82) и (2.91) на двух
примерах.
1. Четная функция s(/)=e"“|f|, а>0 (рис. 2.17,а). По фор-
мулам (2.82) и (2.91) находим
S+(p) = l/(a+p), S_(p) = l/(a-p).
Тогда
S (р) = 1 / (а+р)+1/ (а—р) =2а/ (а2—р2).	(2.92)
2. Прямоугольные импульсы
... fl, 0<<<ти,	fl, — ти/2</<ти/2,
s(0 — fO, £<0, />ти или |о прИ других t.
В первом случае (при отсчете времени от фронта импульса)
S(p) = S+(p) = (l/p)(l-e-^H ).	(2.93)
Во втором случае (при отсчете времени от середины им-
пульса)
S+ (Р)=у (1 -	S_ (р)=-^ (1 - е₽т«'2).
Таким образом,
S (Р) = (1 /р) (ерти/2 - е"рт“/2).	(2.94)
Приравняв амплитуду любого из рассмотренных импульсов
величине 1/ти и устремив ти к нулю, из (2.93) или (2.94) полу-
чим преобразование Лапласа дельта-функции: S(p) = l.
Большинство свойств одностороннего преобразования Лап-
ласа совпадает с аналогичными свойствами преобразований
Фурье, изложенными в § 2.5. Если сигналу s(t) соответствует
48
изображение по Лапласу S(p) [s(/)4-S(p)], то имеются следу-
ющие соответствия:
asj (t) 4- bs2 (Ц—(P) + ^s2 (p).	S (p) e“₽'«,
s(aZ)^4’S^/a)’ s(0e-a'^S(P+a)’
s (i) cos («оО -г- у S (p —1«0) 4-4 s (P + Zft)°)’
ds (t)/dt -4-pS (p) — s (0), is (t) 4- — dS (p)/dp,
t	t
^s(t)dt^-S (p)/p,	(x) s2 (t—x)dx— S, (p) S2 (p).
о	0
2.10. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ
НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Одним из условий применимости преобразования Фурье к
функции s(t) является ее абсолютная интегрируемость:
оо
J|s(Z) |d/<oo. Это условие ограничивает класс сигналов, для
которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными
функциями.
Рассмотренные в § 2.7 свойства дельта-функции, а также в
§ 2.9 свойства преобразования Лапласа позволяют устранить
это препятствие и найти спектр ряда сигналов, не отвечающих
условию абсолютной интегрируемости.
Покажем это на примерах некоторых сигналов, широко ис-
пользуемых в теории сигналов и систем.
1.	s(Q=j40cos («оО, — oo<t<oo.
Не обращая внимания на то, что этот сигнал не является
абсолютно интегрируемым, выражение для спектральной плот-
ности запишем в форме преобразования Фурье (2.38):
оо
S (со)= До cos (a>oO eTla>tdt =
—оо
e-Z(co+a<,)f
Применив выражение (2.79'), получим
S((o) =Л0л[б((О—(Оо) +6 (<о4-®о)].
(2.95)
4—3305
49
Эта функция равна нулю
для всех частот, кроме
©=©0 и <о= —©о, при кото-
рых S (©) обращается в
бесконечность. Как и следо-
вало ожидать, гармониче-
скому колебанию с конеч-
ной амплитудой соответ-
ствует бесконечно большая
спектральная плотность
(рис. 2.23, а).
В частности, приравни-
вая © нулю, получаем спек-
тральную плотность посто-
янного напряжения (то-
ка) Ло [см. (2.78), (2.79)]:
8(©)=Л02лб(©). (2.96)
Этот результат представ-
лен на рис. 2.23, а.
2.	s(/)=Aosin (©оО,
—оо <Zt<Z
Можно утверждать, что
спектральные плотности
функций cos(©oO и sin(©oO
имеют одинаковый модуль, так как они различаются только
фазовым сдвигом (второй сигнал отстает от первого на л/2).
Отсюда следует, что для нахождения спектральной плотности
заданного сигнала необходимо спектральную плотность (2.95)
умножить на е-1я/2= —i для ©>0 и (с учетом нечетности
ФЧХ) на е<я/2=1 для ©<0. Таким образом, получаем
S (©) = —1’Лол[б (©—©о)—б (©+©»)].
(2.97)
Аналогичным образом можно показать, что сигналу s(Z) =
=A0cos(©(/+6o), —оо</<оо, соответствует спектр
S (©)=Лол ]е/е»6 (© — ©0) 4- е_/е»б (© 4- <%)]-
(2.97')
3.	s(/) = l, /^0 (единичный скачок или ступенчатая функ-
ция).
Сначала представим эту разрывную функцию в виде суммы
s(o=T+4ssnW’
где
... [4-1 при />0,
sgn(0=|li при /<0
50
— функция-сигнатура (функция знака).
Такая запись соответствует тому, что s(t) является перво-
образной функцией для единичного импульса [см. (2.73)].
При дифференцировании s(f), приводящем к постоянную
составляющую можно не учитывать (ее производная равна ну-
лю) и, следовательно, только производная функции
(1/2) sgn(Z) есть функция 6(0- Этот результат уже был ис-
пользован в § 2.8.
Так как спектральная плотность дельта-функции равна еди-
нице, в соответствии с (2.52) спектральная плотность функции
(1/2) sgn (t) равна 1/ico. Постоянной составляющей 1/2, вхо-
дящей в s(t), соответствует спектральная плотность [см.
(2.96)] лб(ю).
Итак, спектральная плотность ступенчатой функции
S(co) = л<5 (<о) +1 /гео.
(2.98)
График модуля этого выражения представлен на рис. 2.23, б.
Выведем теперь эту же формулу, основываясь на преобра-
зовании Лапласа S(p) и на теореме Коши:

5(7)
S (р) ^dp = 2 Res +
S (гео) e'“zd (гео) при с > 0.
(2.99)
—ico
Смысл этого выражения состоит в том, что контур интегри-
рования на плоскости комплексной переменной р совмещается
с осью ia> с обходом полюсов функции S(p), расположенных на
этой оси, справа по полуокружности бесконечно малого ра-
диуса.
Вклад в интеграл, обусловленный участком контура вблизи
полюса рк, равен половине вычета Resft в указанном полюсе.
Второе слагаемое в правой части (2.99) есть не что иное, как
обратное преобразование Фурье, в котором спектральная плот-
ность S(o)=S(p) |p=ie.
В рассматриваемом примере [s(rf) = l, t^O] преобразование
Лапласа S(p) = l/p имеет один полюс в точке р4=0 с вычетом
ReSj=l, так что первое слагаемое в правой части (2.99) ране-
но 1/2, а спектральная плотность, определяемая на мнимой
оси, S(<fl) = l/i<D. Выражение (2.99) переходит в

—оо
4*
51
Первому слагаемому в правой части этого выражения соот-
ветствует спектральная плотность л.6(со), а второму—l/io. I
Таким образом, приходим к выражению (2.98).
4.	s (/) =cos (ЫоО , *>0.
В данном примере преобразование Лапласа S(p) =
= р/ (<о2о4-р2) имеет полюсы Pi,2— ±icoo, вычеты в которых
Rest,2=^-|	=4е±г“»<.
Использовав (2.99), получим
5(Л=1(егио< + е-/и«') + <^-	, е!'аШ.
4 7	4 v 1	' 1 2п J (оо2 —со2
—“ОО
Функциям времени е'“°' и е'"'в«/ соответствуют спектраль-
ные плотности 2лд(со— соо) и 2лб (со + соо) [см. (2.78)].
Таким образом, спектральная плотность рассматриваемого
сигнала
S(o)=f [б(<о-(о0) + б(со + о0)] + 5^.
График модуля этого выражения представлен на рис. 2.23,8.
5.	s(/)=sin (eV), t^O.
В данном случае преобразование Лапласа S(p) =
= соо/ (<о2о+р2) имеет полюсы Pi,2=±tcoo, вычеты в которых
Resi 2 = ^—1	=+—屫шв/
К1*2 2р |Р=±/Юо	~2i
а спектральная плотность
S (со)= (n/2i) [6 (со — <оо) — 6 (со 4- соо)] + со0/(со20 — со2).
Из приведенных примеров видно, что если на оси ico функ-
ция S(p) не имеет полюсов, то для перехода от изображения
Лапласа к спектральной плотности S(co) достаточно в (2.82)
положить О1=0, т. е. перейти от комплексной переменной р к
действительной перменной со. В противном случае, чтобы избе-
жать ошибки, необходимо определить вклад этих полюсов в
спектральную плотность.
В заключение, основываясь на теореме Коши (2.99), уточ-
ним условие справедливости соотношения (2.54) между спек-
трами при интегрировании сигнала.
! 52
Пусть исходному сигналу s(t) со спектральной плотностью
S(co) соответствует изображение по Лапласу S(p), не имеющее
полюсов в правой р-полуплоскости и на оси /со. В результате
интегрирования получается сигнал $Инт(0 с изображением
S(p)/p, так что
c+ioo
Зинт(0 = 2п/ 5 —^-е.Р*йр, i>0.
С—/оо
Функция S(p)/p имеет полюс в точке р4“0. Вычет функции
^£1 ер/ в этом полюсе Resi = S(p)eP‘|p=o=S(O). Но этот ре-
зультат есть не что иное, как значение спектральной плотности
S(co) исходного сигнала s(t) на частоте со = 0 [по условию
S(p) не имеет полюсов на оси ico и, как показано выше,
S(p)|p=io=S((o)]. Таким образом,
Res = S (р)|р=о = S (со = 0).
р^О
По аналогии с (2.99) перейдем к выражению
оо
—ОО
Если S(0)=0, то Res=0 и подынтегральная функция
р=0
S (ico)/ico=S(co) //со полностью определяет спектральную плот-
ность функции хИНт(0- Если же условие S(0)=0 не выпол-
няется, то S (со) //со определяет только сплошную часть спек-
тральной плотности функции Хинт(0-
Итак, в общем случае
Shut (<о) =Л S (0) б (©) + S (со) //©.
(2.54')
Изображения по Лапласу и спектры Фурье некоторых рас-
пространенных в теории сигналов функций приведены в
табл. 2.1.
53
Сл
4^
ел
Сл
8 1	-	( 1 при 11 |Сти/2, 1 0 при |/|>ти/2		Х-М2_ГР^'2) Р	sin йТи/2	, 4Л 2т	S| и z \ -/ '	^7?	
					ги йТи/2				W
								”-27Г		W
-тя/2 0 ги/2 *												
5		S(0= J	1—Ю/2 при |/|Сти/2, 0	при |/| > ^и/2	-4Р-4-Х х(еР'и/2 + + e-pt“/2)]	ти /sin шти/4\г 2 \ йТи/4 /	Гц/2^-			
						-4Я/Ги	0^ °			
						ы			
-Ги/г 0 ъ/2 t									
8		s(0=e-,,/2fl*		УГпаеа'Р'12	/2^е-а’ю‘'2			1	
						б		и 1	--	
								?1	ы	
0 -t									
				—	л/йт При | СО ] < Ит, 0 При | СО| >Ит	S ft/Ыт			
s. -2п/ыт /	\ 2я^		sinCDm?						
			Ит/			-ыт 5		0 tom to 1	. —	
								1	0	
-я/ыт ° п/ыт	*						6			
S'	А Ап, г-	s(0 =	Г Q-at COS Ио t При />0, [ 0	при /<0	р+а	йо+а	Л			
				(р+а2) +но2	(ico+а2) + н2о	0	to			
									
I
2.11. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
С ОГРАНИЧЕННОЙ полосой частот
В ВИДЕ РЯДА КОТЕЛЬНИКОВА
В теории и технике сигналов широко используется теорема
Котельникова (теорема отсчетов): если наивысшая частота в
спектре функции s(t) меньше, чем fm, т. е. S(®)=0 при |со|>
>nfm, то функция s(t) полностью определяется последователь-
ностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не
более чем на l/2fm секунд.
В соответствии с этой теоремой сигнал s(t), ограниченный
по спектру максимальной частотой a>m=2nfm, можно предста-
вить рядом Котельникова
то	оо
s<4= 2 4^)S'Q/-X2S")= - s<"404>.(0. (2.100)
П=—oo	n=— to
В этом выражении \/2fm=&t обозначает интервал между
двумя отсчетными точками на оси времени, a
=s(n,\t] —отсчеты сигнала s(t) в моменты времени t=n&t.
Представление заданного сигнала s(t) рядом (2.100) иллю-
стрируется рис. 2.24.
Функция вида
I qin(O=sin[(Bm(^—пМ),	(2.101)
уже встречавшаяся ранее (см. § 2.6, рис. 2.14, а), обладает
следующими свойствами:
в точке t=n\t (рп(пМ) = 1, а в точках t—k\t, где k — любое
целое число, отличное от п, фп(&А0=О;
спектральная плотность функции фо(0 равномерна в полосе
частот 1ы|<ыт и равна l/2fm=n/<0m [см. (2.66) и рис. 2.14,6].
Так как функция фп(0 отличается от ф0(0 только сдвигом
I по оси времени на нА/, то ее спектральная плотность
Фп(о) = 27-е~гпД'в = А/е-гпД'м, | © | < <i)m.	(2.102)
Ряс. 2.24
56
Ряд (2.100) точно определяет сигнал s(t) не только в точ-
как отсчета t—nAt, что очевидно, но и в любой момент t. Для
доказательства этого утверждения воспользуемся общими пра-
вилами разложения сигнала по ортогональной системе функций
(см. § 2.1). В данном случае разложение производится по
функциям вида (2.101), ортогональным на бесконечном интер-
вале.
Задачей является нахождение коэффициентов ряда (2.100).
Применим для этого общую формулу (2.5), справедливую для
обобщенного ряда Фурье:
оо
Сп=ПфЬг 5 s^^dt’	(2-103)
где ||<М|2 определяется по формуле (2.3);
И |.2_ С sin2 [(0т(Л—nA/)]
|1Фл"	“гт(/ — пму
dt =
л
ОМ?
= ДС
Предполагается, что s(t) — квадратично-интегрируемая функ-
ция (энергия сигнала конечна).
Для вычисления интеграла в выражении (2.103) восполь-
зуемся формулой (2.57), согласно которой
оо	оо
—оо	—оо
“т
= Д<	( S (со) einAStod<0.
Интеграл в правой части (2.103') с коэффициентом 1/2л есть
не что иное, как значение s(t) в момент t=n\t. Таким образом,
00
5 (0 4>п (0 dt = Д< • s («Д0.
(2.103')
Представляя этот результат в (2.103), получаем оконча-
тельное выражение с„==в(пД/), которое означает, что коэффи-
циентами обобщенного ряда Фурье (2.100) являются отсчеты
сигнала s(0 в моменты t—nAt.
Поскольку ограничение спектра конечной максимальной ча-
стотой обеспечивает непрерывность функции s(0, ряд (2.100)
сходится к s(t) при любом значении t.
Соотношение между спектром S(co) сигнала s(t) и спектром
Фл(й) базисной функции фп(0 при &t=\/2fm иллюстрируется
рис. 2.25, а и б.
Если взять интервал между отсчетами ДГ меньшим &t=
= l/2f„, то ширина 2<а' спектра Ф'п(<о) функции ф'п(0 будет
57
больше, чем у спектра S (а)
(рис. 2.25, в). Это повы-
шает точность представле-
ния сигнала s(t), так как
уменьшается величина не-
учтенных «хвостов» спектра
S(<o) вне граничных ча-
стот в)т; кроме того, ослаб-
ляются требования к АЧХ
фильтра, восстанавлива-
ющего непрерывный сигнал.
При увеличении же At"
по сравнению с At
(рис. 2.25, г) спектр Ф”„(о)
функции ф." (t) становится
уже, чем спектр сигнала
s(t), и при вычислении ин-
теграла	в выражении
(2.103') пределы интегри-
рования	должны быть
—ы"т, (о"т вместо —шт,
Коэффициенты сп при
этом являются уже отсчета-
ми не заданного сигнала s(t), а некоторой другой функции $i(t),
спектр которой ограничен частотой f"m<Zfm-
Рассмотрим теперь случай, когда длительность сигнала s(t)
конечна и равна Тс, а полоса частот по-прежнему ограничена
частотой fm. Эти условия, строго говоря, несовместимы, так как
сигнал конечной длительности обладает теоретически беско-
нечно широким спектром. Однако практически всегда можно
определить максимальную частоту спектра fm так, чтобы «хво-
сты» функции времени, обусловленные отсеканием частот, пре-
вышающих fm, содержали пренебрежимо малую долю энергии
по сравнению с энергией исходного сигнала s(t). При таком
допущении для сигнала длительностью Тс с полосой частот fm
общее число независимых параметров [т. е. значений s(nAt)],
которое необходимо для полного задания сигнала, очевидно,
будет A=7'c/At+l = 2fm7'c+l«2fm7’c (при
При этом выражение (2.100) принимает следующий вид
(при отсчете времени от начала сигнала):
2^тГс
S (0- 2s	<2-104>
n=0
Строго говоря, в соответствии с теоремой отсчетов эта сум-
ма вне интервала (0, 7'<) должна быть дополнена бесконечным
числом нулевых отсчетов.
Число N иногда называют числом степеней сво-
боды сигнала s(t), так как даже при произвольном выборе
58
значений s(nAf) сумма вида (2.104) определяет функцию, удов-
летворяющую условиям заданной ширины спектра и заданной
длительности сигнала (без учета «хвостов»). Число N иногда
называют также базой сигнала.
Задание совокупности N отсчетов сигнала позволяет найти
-его энергию и среднюю мощность. Используя формулу (2.12),
а также равенство 11<рп112=А£, получаем
2fmTc	2fmre
Э= 2[s(W)]2|K||2==A/ v [S(/ZA*)F,
и=0	л=0
2f Т
__ а .	' т' с
s2^-r=TT 2 I’WF-
n=0
Из последнего выражения видно, что средняя за время Тс
мощность непрерывного сигнала равна среднему квадрату его
N отсчетов.
2.12.	ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ В ЧАСТОТНОЙ
ОБЛАСТИ
Иногда сигнал необходимо представить с помощью отсче-
тов спектральной функции S(co), а не временных отсчетов
функции s(t). Для функции S(to) можно определить ряд, ана-
логичный выражению (2.100). Для этого базисная функция
<pn(0=sinc[«m(^—nA/)] [см. (2.101)] должна быть заменена
функцией ср,, (со) = sine £ (го— пАы) J = sine [-f- (ы — 2лГ ) ] ’ к0"
торая получена из (2.101) заменой t на и, полуширины спектра
(от на полудлительность сигнала Тс/2 и \t=\!2fm на Асо =
=2л/Тс. Таким образом,
fmTc
S(co)= 2 S(nAw) sinc[7\((o —пД(о)/2].	(2.105)
n=-fmTc
Если ранее временной интервал между двумя соседними
отсчетами А/ не должен был превышать 2л/2ыт, то теперь ча-
стотный интервал А<о не должен превышать 2л!Тс. При ширине
спектра 2сот, охватывающей область частот lcol<com, число от-
счетов равно M=2com/A(o+1 =2fmTc-[-1, как и при представле-
нии сигнала рядом (2.104).
В общем случае отсчеты S(nAw) являются комплексными
числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны
быть заданы два параметра — действительная и мнимая части
S(nA©) (или модуль и аргумент). Таким образом, общее чис-
ло параметров получается вдвое большим, чем при временном
представлении сигнала, когда отсчеты з(пА/)—действительные
числа. Избыточность представления сигнала в частотной обла-
59
сти легко устраняется, если учесть, что S(nAo) и S(—пДю)
являются комплексно-сопряженными величинами, так что зада
ние одной из них однозначно определяет другую. Отсюда еле
дует, что спектр сигнала полностью характеризуется совокуп
ностью комплексных отсчетов, взятых только в области положи
тельных частот, и таким же числом независимых параметров
или степеней свободы сигнала N, как и при представлении сиг-
нала во временной области.
К приведенному выше определению максимально допусти
мого интервала Дгд=2л/7'с, основанному на замене i
(2.100), можно прийти и с помощью строгих рассуждений. По
лагая, как и в § 2.11, заданными длительность Тс и спектр
S (со) сигнала s(t), представляем этот сигнал в виде ряд:
Фурье (вместо интеграла Фурье)
“ in^-t
«(0= 2 с"е х г ~т^^<тхп,
П=—ОО
где ТХ^ТС— произвольный отрезок оси t, включающий в себя
отрезок Тс.
В соответствии с (2.18) и (2.40) коэффициенты
Тс/2	. 2п
\ s (0 е т* dt = r S (о) |ю=„?п/7у
-TJ2	Х
Как видим, коэффициенты сп, будучи умноженными на Л,
есть не что иное, как значения спектральной плотности S(a)
на дискретных частотах п2л/7\=пДй>, т. е. отсчеты 5(пДи)
фигурирующие в выражении (2.105). Очевидно, что интервал
между отсчетами на оси частот должен соответствовать уело
вию ТХ^ТС, т. е. Дсд^2л/Тс.
1
— т
1
2.13.	ДИСКРЕТИЗОВАННЫЕ СИГНАЛЫ
В § 2.11 под дискретизацией сигнала s(t) подразумевалось
аналитическое его представление с помощью совокупности от
счетов в дискретные моменты времени /=пД/.
В настоящее время широкое распространение получают си
стемы, в которых осуществляется физическая дискретизация
сигнала, например, при использовании импульсных методов пе-
редачи сообщений в радиосвязи. При переходе к системам с
цифровой обработкой информации также требуется преобразо-
вание аналогового сигнала в дискретный. Выбор шага (темпа)
Т дискретизации производится на основании теоремы отсчетов
(см. §2.11).
Процедуру дискретизации (взятие отсчетов), осуществляе-
мую с помощью электроного ключа (см. рис. 2.26), можно рас-
сматривать как умножение функции s(f) на вспомогательную
60
периодическую последовательность yr(t) достаточно коротких
тактовых импульсов. В качестве таких импульсов удобно выби-
рать прямоугольные импульсы с длительностью то, малой по
сравнению с Т. Таким образом, дискретизованный с шагом Т
сигнал можно определить выражением
sT(t)=s(t)yT(t).	(2.106)
Функции s(t), ут(1) и sT(t) показаны на рис. 2.27, а.
Для выявления требования к «малости» величины хо/Т рас-
смотрим структуру спектра дискретизованного сигнала
Рис. 2.27
61
Спектральную плотность исходного континуального сигнала
S(co) будем считать заданной.
Представим периодическую функцию ут(1) в виде ряда
Фурье по формуле (2.34), в которой под q будем подразуме-
вать величину Tf-iQ, а под ©i, как и в (2.34), — частоту повто-
рения <0!=2л/7:
yT{t) = E^
оо
1 + 2 2 sine (плт0/Т) cos (rewjO
n=l
(2.107)
Подставим это выражение в (2.106):
оо
Sr (t) = E ~ s (f) + 2s(Z) 2 sine (плто/Г) cos (п©,/) .
n=l
Из этого выражения очевидна структура спектра дискрети-
зованного сигнала Sr{t).
Первому слагаемому в правой части соответствует спект-
ральная плотность S(co) исходного континуального сигнала, а
каждому из произведений s(t)cos(na>xt) — спектральная плот-
ность -§-[S(co—n«1)4-S(to-|-noi)] [(см. (2.51)].
Следовательно, искомая спектральная плотность
со
S7-(w) = £'^ 2 sine (плто/Г) S (и — пшх).	(2.108)
И——со
Графики функций <S(co) и ST((o) (при то/Т=О,2) представ-
лены на рис. 2.28, а и б.
-4п/т	-2П/Т -п/т о п/т 2п/т 4-п/т а
-4тс/Т -2п/Т-я/Т 0 Tt/т 2И/Т 4те/Т ы
Рис. 2.28
62
Итак, спектр Sr(co) дискретизованного сигнала представля-
ет собой последовательность спектров S((o) исходного сигнала
s(t), сдвинутых один относительно другого на <в1=2л/7’ и убы-
вающих по закону sine (пято/?’) •
С уменьшением отношения то/7 (за счет т0) лепестки спект-
ра убывают медленнее и в пределе, при то/Т-+О, спектр приоб-
ретает строго периодическую структуру (и, естественно, уро-
вень лепестков стремится к нулю).
Если одновременно с уменьшением то увеличивать Е так,
чтобы произведение Ех0, т. е. площадь тактового импульса
оставалась неизменной (и равной, например, единице при Е=
= 1/то), то при то~*О выражение (2.108) переходит в
оо
Sr(<o) = 4- 25(0-^).	(2.109)
П=—оо
График Sr(fi>) для этого случая изображен на рис. 2.28, в.
По существу совершен переход от тактовых импульсов пря-
моугольной формы с конечной амплитудой (рис. 2.27, а) к
дельта-функциям (рис. 2.27, б), так что можно записать
оо
М0 = ^6[t-kT).
—оо
Соответственно выражение (2.106) для дискретизованного
сигнала принимает вид
sT{t)=s(t)	= 2 s(kT)6(t-kT).	(2.106')
k=—oo	k=—oo
На рис. 2.27,6 дискретизованный сигнал Sr{t) представлен
в виде последовательности дельта-функций 6(t—kT) с весовы-
ми коэффициентами s {kT).
Представление sT{t) в форме (2.106') существенно упро-
щает его спектральный анализ. Применив к (2.106') преобра-
зование Фурье (2.38), получим
Sr(<o)= ? J s(kT)6{t-kT) = 2 s{kT)e-iakr.
—2oO _^=“"CO	J	—00
Полагая, что дискретизация континуального сигнала начи-
нается с момента t=0, перепишем последнее выражение в виде
Sr(w) = 2 s(kT) z~i(i,kT-	(2.110)
*=о
По своей размерности функции S(g>) и Sr(<o) неодинаковы:
первая имеет размерность [В/Гц], а вторая — просто [В] (если
s(Q — напряжение).
63
г
Выражения (2.109) и (2.110) эквивалентны. Оба они опре-
деляют сплошной спектр дискретизованного во времени сигна-
ла sT(t) в виде периодической структуры с периодом со1=2л/Т
(см. рис. 2.28, в).
Выражение (2.109) в наглядной форме устанавливает связь
между S(id) и St-((o), однако при произвольном соотношении
между Т и когда возможно перекрытие парциальных
спектров, как это показано на рис. 2.28, в, применение формулы
(2.109) становится затруднительным. Преимуществом выраже-
ния (2.110) является возможность определения спектральной
.плотности S?-(<о) непосредственно по совокупности временных
отсчетов {s(/jT)}, без обращения к спектру S(g>) исходного кон-
тинуального сигнала и независимо от соотношения между Т
и l/2fm.
В том случае, когда перекрытие парциальных спектров вы-
ражено незначительно (T<zll2fm), из формул (2.109) и (2.110)
.вытекают соответственно следующие простые соотношения:
S(to) = TSr(to), ltol<Jt/T,	(2.109')
I
8(о)=г25(^)е-“г, |ы|<л/Г.	(2.110')
Следует иметь в виду, что энергия спектра Sr((o), сущест-
вующего в диапазоне частот —оо<«<;оо, теоретически бес-
конечно велика. Это объясняется тем, что дискретизованный
сигнал sr(t) выражен через дельта-функции б(/—kT). При ис-
пользовании реальных тактовых импульсов (при то^О) спект-
ральная плотность ST(<о) с возрастанием со убывает (см.
рис. 2.28, б) и содержащаяся в спектре энергия конечна.
Величина ее, определяемая с помощью равенства Парсеваля
(2.58), равна (при £=1) Эт— (х0/Т)Э, где Э-—энергия исход-
ного континуального сигнала.
Переходя в выражении (2.110) к комплексной переменной
p=o+tto, получаем изображение по Лапласу дискретизован-
ного сигнала
со
Sy (р) = S [Sr (01 = 2 s <kT) ^ркТ-	(2-И1)
k=0
По аналогии с (2.110') изображение S(p) исходного конти-
нуального сигнала s(/)
S (р) = ТSr (р)=Т 2 « (kT) е-РкТ.	(2.111')
fe=0
I
-64
Оригинал, т. е. функцию Sr(t), можно определить по задан-
ному изображению Sr(p) с помощью обратного преобразова-
ния Лапласа, записываемого в обычной форме [см. (2.83)]:
Oi+ioo
j Sr(P)^ptdp.	(2.112)
СГ1—Zoo
Выражение (2.112) определяет всю последовательность
{s(kT)} в форме, совпадающей с выражением (2.106'). Для
определения каждого отсчета s(kT) можно применить более
простое выражение
Ct+in/T
s(kr) = T~ ST(p)&kTdp,	(2.113)
в котором интегрирование ведется в пределах одного частотно-
го интервала (—я1Т,л1Т).
Некоторые дополнительные характеристики дискретных
сигналов, существенные при цифровой обработке, приводятся
в гл. 12.
2.14.	КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов
часто на практике оказывается необходимой характеристика,
которая давала бы представление о некоторых свойствах сиг-
нала, в частности о скорости изменения во времени, а также о
длительности сигнала без разложения его на гармонические
составляющие.
В качестве такой временной характеристики широко исполь-
зуется корреляционная функция сигнала.
Для детерминированного сигнала s(t) конечной длитель-
ности корреляционная функция определяется следующим выра-
жением:
оо
Д(т)=	s(^)s*(f 4-T)d/,	(2.114)
—оо
где т — временной сдвиг сигнала.
В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся ве-
щественными функциями времени, и обозначение комплексного
сопряжения можно опустить:
оо
В(т) = s(t)s (t 4-т)б/Л
—оо
(2.115)
5—3305
65
Из выражения (2.115) видно, что В(т) характеризует сте-
пень связи (корреляции) сигнала s(t) со своей копией, сдви-
нутой на время т по оси времени. Ясно, что функция В(т) до-
стигает максимума при ти0, так как любой сигнал полностью
коррелирован с самим собой. При этом
сю
В(0)= J s2(t}dt~=9,	(2.116)
—оо
т. е. максимальное значение корреляционной функции равно
энергии сигнала.
С увеличением |т1 функция В{%) убывает (не обязательно
монотонно) и при относительном сдвиге сигналов s(Q и
на время, превышающее длительность сигнала, обра-
щается в нуль.
На рис. 2.29 показано построение корреляционной функции
для сигнала в виде прямоугольного импульса (рис. 2.29, а).
Сдвинутый на время т (в сторону опережения) сигнал s(t+x)
показан на рис. 2.29,6, а произведение s(/)S(H-r) — на
рис. 2.29, в. Каждому значению т соответствует свое произве-
дение s(/)s(H-t), а площадь, ограниченная функцией s(/)s(f+
+т), дает ординаты корреляционной функции
/1—г+а
В(т)== § E2dt = E2[a—x], 0<r<tz.
График функции В(т) представлен на рис. 2.29, г.
Аналогичное построение для треугольного импульса изобра-
жено на рис. 2.30. Из общего определения корреляционной
функции, а также из приведенных примеров видно, что безраз-
лично, вправо или влево относительно сигнала сдвигать его
s
копию на время т. Поэтому выражение (2.115)
щить:
оо	оо
-S(t)= s(t) s(t-\-x)dt =	s(t)s(t — x)dt.
—со	—оо
можно обоб*
(2.115')
Это равносильно утверждению, что В(т) является четной
функцией т, т. е. В(т)=В(—т).
На рис. 2.31, а показан сигнал в виде пачки из четырех оди-
наковых импульсов, сдвинутых один относительно другого на
время Т\, а на рис. 2.31,6 — соответствующая этому сигналу
корреляционная функция В(т) при т>0. Максимальное значе-
ние В{х) при т=0 равно учетверенной энергии одного импуль-
са пачки.
Используя (2.115), нетрудно получить, что для гауссовского
5*
67
импульса s(t) = (A/\/ 2лп)ехр{—/2/2а2}, занимающего важное
место в теории сигналов (см. § 2.6—2.8), корреляционная функ-
ция имеет также гауссовскую форму В(т) =
= {А/У2ла1)ехр{—-r2/2tz12}, где a\=V‘2a.
Важным параметром сигнала s(t) является длительность
его корреляционной функции (называемая также интервалом
корреляции), определяемая как тэ=1^(т)с?т/5(0). Величина
тэ в ряде случаев используется в качестве оценки длительности
самого сигнала s(t) (см. также § 2.8). Определение тэ не тре-
бует обязательного задания В(т), так как
ОО	ОО ОО	Г оо	П2
^Z?(t)c?t=^ s(t)s (t + 'l)dtdT= ^S(t)dt
—ОО	— ОО —'ОО	L — оо	_
т. е. площадь, ограниченная корреляционной функцией сигна-
ла s(t), равна квадрату площади этого сигнала, а В(0)=Э [см.
(2.116)].
Для оценки степени связи между двумя различными сиг-
налами Si(t) и s2(0 используется взаимная корреляционная
функция, являющаяся обобщением функции (2.114):
'ei2(t)=	S] (t — x)s*(t)dt. (2.117)
—оо	—оо
Для вещественных функций s, (tf) и $2(0
оо
•®12(т)== S1 (О $2 (^ + т) dt —
—'ОО
со
—	s2«)si(£ —t)<W = B21( —т).	(2.118)
—оо
Рассмотренная выше корреляционная функция В(т) явля-
ется частным случаем функции В12(т), когда S| (t) =s2(t) =s(t).
На рис. 2.32 показано построение взаимной корреляционной
функции. Исходное положение сигналов sx(t) и s2(t) изображе-
но на рис. 2.32, а. При сдвиге s2(t) влево (т>0) площадь, огра-
ниченная кривой произведения	, сначала возраста-
ет до максимального значения при х=2а (рис. 2.32,6), затем
убывает до нуля при т=4а. При сдвиге s2(t) вправо (т<0)
Д12(Т) сразу убывает. Результирующая функция В12(т) пока-
зана на рис. 2.32, в. Штриховой линией на этом же рисунке
показана функция В21(т).
Используя (2.118), можно показать, что взаимная корреля-
ционная функция двух гауссовских импульсов с полудлитель-
ностями di и а2 является также гауссовским импульсом с по-
лудлительностью y"o2i-|-a22. Положение максимума этого
68
Рис. 2.32
импульса зависит от взаимного расположения исходных импуль-
сов на оси времени. В общем случае В)2(т) является асиммет-
ричной относительно оси ординат функцией и не обязательно
достигает максимума при т=0 (см. рис. 2.32, в).
В определении (2.118) один из сигналов может быть перио-
дической функцией времени. Очевидно, что в этом случае Bi2(t)
является периодической функцией с периодом, равным периоду
сигнала. Если оба сигнала являются периодическими (с одина-
ковым периодом), то определение (2.118) должно быть допол-
нено операцией усреднения (на интервале периода). Это же
требование относится к определению корреляционной функции
периодического сигнала. Необходимость усреднения вызвана
тем, что периодический сигнал обладает бесконечной энергией.
Итак, взаимная корреляционная функция двух периодичес-
ких сигналов и корреляционная функция периодического сигна-
ла определяются выражениями
Г/2
Я12пеР(г) = у- {J МО $2 (* + *)<# =
—Г/2
Г/2
= у- j	(2.119)
—TI2
Т/2	Г/2
Впер(0 = ^ $ s(0$(* + t)^ = 4- $ s(t)s(t-T)dt. (2.120)
-Г/2	-Г/2
69
Входящие в последнее выражение интегралы есть не что
иное, как корреляционная функция сигнала на интервале перио-
да Т. Обозначая ее через Вт(х), приходим к соотношению
ВП£р(х)=Вт(т)/Т.	(2.121)
При введенном определении корреляционная функция при-
обретает размерность мощности, причем при т=0 ВПер(0) рав-
на средней мощности периодического сигнала.
Очевидно также, что ВПер(т) является периодической функ-
цией с периодом, равным периоду исходного сигнала s(t).
Например, для гармонического колебания s(t) =?l0cos (<W+0o)
T/2
корреляционная функция Впер (т) = ~ cos (o\/ + 0О) X
—Т/2
Xcos[(i>o(^ + 'r)4-0oJd/ = -i-A2oCOs(«o'r), юо = 2л/Г. При т=0
Bntp(ty=А20/2=s2 (t) есть средняя мощность гармонического
колебания. Важно отметить, что /?пер(т) не содержит инфор-
мации о начальной фазе сигнала.
Отмеченные выше свойства корреляционной функции перио-
дического сигнала иллюстрируются также на рис. 2.33 постро-
ением ВПер(т) (рис. 2.33,6) для прямоугольного колебания
(рис. 2.33, а).
Находя с помощью (2.119) взаимную корреляционную функ-
цию сигналов S](0 =/I1COS(tt)of+6i) И S2(t)=A2COS((d0t-[-62),
получаем В12пер(т) = (Д1Д2/2)со5[соот+(02—01)]. В данном слу-
чае корреляционная функция содержит информацию о раз-
ности фаз сравниваемых сигналов.
70
Как уже отмечалось в § 2.5, преобразования Фурье обла-
дают частотно-временной дуальностью. Это означает, в част-
ности, что преобразование сигнала, заключающееся в нахожде-
нии его корреляционной функции, должно иметь дуальное
соответствие в частотной области. Для установления этой связи
воспользуемся выражением (2.57), в котором положим п(0 =
=з(Н-т) и соответственно U(w) =8(<в)е“\ Тогда получим
ОО	оо
s (if) s (t + т) dt = S* (w) S (со) eZ№tzZco.
—со	—оо
Учитывая, что S* (со) S (w) = S2 (ю), приходим к искомому
соотношению
ь
оо	•
5 (т)=S2 (®)	(2.122)
—оо
где
ОО
s2(w) = J В (т)	(2.123)
—оо
Итак, прямое преобразование Фурье (2.123) корреляцион-
ной функции В (г) дает спектральную плотность энергии (см.
п. 2.5.9), а преобразование (2.122) дает корреляционную функ-
цию В(т).
Из выражений (2.122) и (2.123) вытекают свойства, анало-
гичные отмеченным в § 2.8: чем шире спектр S(to) сигнала, тем
меньше интервал корреляции тэ. Соответственно чем больше
интервал корреляции заданного сигнала, тем уже его спектр.
Из выражений (2.122) и (2.123) также следует, что корреля-
ционная функция В(т) не зависит от ФЧХ спектра сигнала.
Так как при заданном амплитудном спектре S(co) форма функ-
ции s(t) существенно зависит от ФЧХ, то можно сделать сле-
дующее заключение: различным по форме сигналам s(t), обла-
дающим одинаковыми амплитудными спектрами, соответствуют
одинаковые корреляционные функции В(т).
Глава 3. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
3.1.	ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Для передачи информации на расстояние применяются ра-
диосигналы, эффективно излучаемые с помощью антенных
устройств и обладающие способностью распространяться в ви-
71
ле свободных электромагнитных волн в среде, разделяющей
отправителя и получателя информации. Такими радиосигна-
лами являются модулированные колебания.
В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе инфор-
мацию, можно представить в виде соотношения (1.1). Перепи-
шем его в форме
a(t) =А (t)cos[fi>0f+e(01=A (0со5ф(/),	(3.1)
в которой амплитуда А, угол 0 или какая-то их комбинация
изменяется в соответствии с характером передаваемого сооб-
щения.
Если А и 0 — постоянные величины, то (3.1) описывает гар-
моническое несущее колебание, не содержащее в себе пере-
даваемой информации (в последние годы в качестве несущей
применяются также колебания несинусоидальной формы).
Если тот или иной параметр несущего колебания подверга-
ется изменению по закону модулирующего сигнала, однозначно
связанному с передаваемым сообщением, то (3.1) описывает
модулированное колебание.
В зависимости от того, какой из двух параметров изменя-
ется — амплитуда А или угол 0, различают два основных вида
модуляции: амплитудную (AM) и угловую (УМ).
Угловая модуляция, в свою очередь, подразделяется на час-
тотную (ЧМ), когда пропорционально модулирующему сиг-
налу изменяется отклонение частоты модулированного колеба-
ния относительно несущей частоты <и0, и фазовую (ФМ),
когда пропорционально модулирующему сигналу изменяется
фаза несущей. Эти две разновидности угловой модуляции тесно
связаны между собой; различие между ними проявляется лишь
в характере изменения угла 0 при одном и том же модулиру-
ющем сигнале, а также в способах получения модулированного
колебания.
Радиосигнал a(t) занимает определенный участок электро-
магнитного спектра Аси. Структура этого спектра зависит как
от спектра передаваемого сообщения, так и от вида модуля-
ции. Этот вопрос детально рассматривается в следующих пара-
графах.
Здесь же отметим, что в любом случае несущая частота too
должна быть велика по сравнению с максимальной частотой
Qm спектра передаваемого сообщения s(Z)1. Это означает, что
функция s(t), а следовательно, A(t) или 0(/), является медлен-
ной по сравнению с coscoo^ и чем сильнее выполняется это усло-
вие, тем полнее «закладывается» передаваемая информация в
радиосигнал a(t).
Кроме того, как правило, выполняется соотношение Д<о/<оо<С
С1, которое позволяет трактовать любое модулированное ко-
1 В данной главе Q используется для обозначения частоты модулирующей
функции.
72
лебание как узкополосный процесс. Выполнение этого
неравенства снижает влияние несовершенства частотных ха-
рактеристик устройств обработки радиосигнала, а также иска-
жений, возникающих при распространении радиоволн. Таким
образом, чем выше требуемая скорость передачи информации
и, следовательно, шире спектр сообщения, тем больше должна
быть несущая частота радиосигнала.
Приведем следующие примеры. При передаче речи или
музыки спектр сообщения обычно ограничивают полосой от
Лп1п=20 ... 100 Гц до Г’тах=3000 ... 6000 Гц (при AM). Даже
на самой длинной волне вещательного диапазона (Х=2000 м)
при несущей частоте fo=150 кГц отношение Fmax/fo=6-103/
1,5-105=0,04. При передаче таких же сообщений на коротких
волнах (при f0=4 ... 20 МГц) это отношение уменьшается в
десятки раз. При передаче телевизионного сигнала максималь-
ная частота сообщения достигает 5... 6 МГц, однако и несу-
щая частота выбирается не менее 50... 60 МГц, так что отно-
шение Fmax/fo не превышает 10%.
Помимо обеспечения требуемой скорости передачи инфор-
мации на выбор несущей частоты оказывают влияние условия
распространения радиоволн различных частотных диапазонов,
необходимая дальность передачи и ряд других технических и
экономических факторов. Во всех случаях важным требованием
является обеспечение высокой стабильности выбранной несу-
щей частоты.
3.2.	РАДИОСИГНАЛЫ С АМПЛИТУДНОЙ
МОДУЛЯЦИЕЙ
При амплитудной модуляции передаваемая информация
содержится в огибающей амплитуд несущего колебания, а час-
тота и фаза этого колебания поддерживаются неизменными.
Поэтому для амплитудно-модулированного колебания общее
выражение (3.1) приобретает вид
о(Ц =А (/)cos (<йо^Ч”6о) •	(3-2)
Характер огибающей А (/) определяется видом передаваемого
сообщения.
При непрерывном сообщении (рис. 3.1, а) модулированное
колебание приобретает вид, показанный на рис. 3.1,6. Огиба-
ющая A (t) совпадает по форме с модулирующей функцией, т. е.
с передаваемым сообщением s (/). Рисунок 3.1,6 построен в
предположении, что постоянная составляющая функции s(t)
равна нулю. Наибольшее изменение A (t) «вниз» не может быть
больше Ао. Изменение же «вверх» может быть в принципе и
больше Ао.
Основным параметром амплитудно-модулированного коле-
73
бания является коэффициент модуляции, характеризующий глу-
бину изменения огибающей амплитуд.
Определение этого понятия особенно наглядно для тональ-
ной AM, когда модулирующая функция является гармоничес-
ким колебанием:
s (t) =S0cos (Ш-И) -	(3.3)
Огибающую модулированного колебания при этом можно
представить в виде
A (t) =т40+&ам8 (/) = A0+AAmcos (Q^+t) >	(3.4)
где Q — частота модуляции; у — начальная фаза огибающей;
kau—коэффициент пропорциональности; ДЯт=6ам50—ампли-
туда изменения огибающей (рис. 3.2).
Отношение
М=^Ат/А0	(3.5)
называется коэффициентом модуляции.
Таким образом, мгновенное значение модулированного коле-
бания
a (t) = Ао[14-Mcos (QZ-J-y ) ]cos (<о0/4-бо) -	(3.6)
При неискаженной модуляции (Л4^1) амплитуда колебания
изменяется в пределах от минимальной Дтш=Л0(1—-И) до
максимальной А max =д0(14-М).
Коэффициент модуляции можно определить также с по-
мощью выражения
М = (Дтах—Лт«п)/(Дтах4-Лщ|п).	(3.5)
74
Рис. 3.3
В соответствии с изменением амплитуды изменяется и сред-
няя за период высокой частоты мощность модулированного
колебания. Пикам огибающей соответствует мощность, в
(1-|-Л1)2 раз большая мощности несущего колебания, равной
Р0=А02/2. Средняя же за период модуляции мощность пропор-
циональна среднему1 квадрату амплитуды A(t):
W)=A2ll+^c°4^ + 7)]2 = A2(l+0,57M2).	(3.7)
Эта мощность превышает мощность несущего колебания
всего в (1+0.5Л12) раз. Таким образом, при 100%-ной модуля-
ции (Л1=1) пиковая мощность равна 4Р0, а средняя мощность
1,5 Ро.
При передаче дискретных сообщений, представляющих со-
бой чередование импульсов и пауз (рис. 3.3, а), модулирован-
ное колебание имеет вид последовательности радиоимпульсов,
изображенных на рис. 3.3, б. При этом имеется в виду, что фа-
зы высокочастотного заполнения в каждом из импульсов такие
же, как при «нарезании» их из одного непрерывного гармони-
ческого колебания.
Более общий случай при передаче дискретных сообщений
представляет собой амплитудно-импульсная модуляция, когда
изменяемым параметром является амплитуда радиоимпульсов.
3.3.	СПЕКТР АМПЛИТУДНО-
МОДУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ
Пусть задано высокочастотное модулированное колебание,
о котором известно, что несущая частота <оо и начальная фаза
60 — величины постоянные, а огибающая A(t) содержит в себе
передаваемое сообщение s(t). Аналитически такое колебание
определяется выражением (3.2).
Требуется установить связь между спектром модулированно-
го колебания и спектром модулирующей функции, т. е. спект-
1 Среднее значение cos(fi/+y) за период модулирующей частоты равно
нулю, а среднее значение cos2(fi/+y) равно 1/2. Черта над функцией озна-
чает операцию усреднения по времени.
75
ром исходного сообщения s(t). Сделаем это сначала для
тональной (гармонической) модуляции, когда огибающая
А (0 =A0[1+Afcos (й*+у)],
а модулированное колебание определяется выражением (3.6),
Перепишем выражение (3.6) в форме
а (О = Ао [cos (©(/ + 0С) + М cos (<x>0Z + 0О) cos (£У -j- 7)1 =
= Ао соs (uot 4- 0С) 4-	cos [(©0+Q) t4- 0О+7] +
+ 2^CoS[(«o_.q)Z + 0o-7].	(3.8)
Первое слагаемое в правой части представляет собой не-
модулированное несущее колебание с частотой <оо и амплиту-
дой Ао. Второе и третье слагаемые соответствуют новым коле-
баниям (гармоническим), появившимся в результате изменения
(модуляции) амплитуды. Частоты этих колебаний в)о4"й и
©о—И называются верхней и нижней боковыми частотами
модуляции.
Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют
от амплитуды несущего колебания долю, равную 7И/2, а их
фазы симметричны относительно фазы несущего колебания.
Это иллюстрируется векторной диаграммой, представленной на
рис. 3.4. На этой диаграмме ось времени вращается по часовой
стрелке с угловой частотой <оо, причем отсчет угла од/ ведется
от линии ОВ. Поэтому несущее колебание A0cos(©0/4-6o) изоб-
ражается на этой диаграмме в виде неподвижного вектора 0D
длиной Ао, составляющего с горизонталью угол 80. Колебания
с частотами ©0±П изображаются на этой же диаграмме двумя
векторами длиной МА0/2, вращающимися во взаимно противо-
положных направлениях с угловой частотой Q. Начала этих
векторов перенесены из точки О в точку D. Вектор DCb вра-
щающийся против часовой стрелки, соответствует колебанию
верхней боковой частоты, а вектор DC2—колебанию нижней
боковой частоты. Так как фазы этих векторов симметричны
МА0"
2
oh-----
<у0-Р
Ар
ыо 252
Рис. 3.5
МАВ
2
ы0+51 to
А
76
относительно вектора несущего колебания Ао, что следует из
(3.8), их геометрическая сумма всегда располагается на на-
правлении OD.
Таким образом, сумма всех трех колебаний (вектор OF)
представляет собой колебание с постоянными частотой и на-
чальной фазой, но с модулированной амплитудой.
Попутно заметим, что если в результате обработки модули-
рованного колебания нарушается равенство амплитуд колеба-
ний боковых частот или симметрия их фаз относительно фазы
несущего колебания, то возникает качание вектора, представ-
ляющего результирующее колебание, относительно направле-
ния OD, что равносильно возникновению псевдофазовой моду-
ляции.
Спектральная диаграмма колебания при тональной модуля-
ции показана на рис. 3.5. Ширина спектра в этом случае рав-
на удвоенной частоте модуляции 2Q, а амплитуды колебаний
боковых частот не превышают половины амплитуды несущего
колебания (при Л4^1).
Рассмотрим теперь случай, когда модулирующее сообщение
является суммой колебаний двух тонов:
5 (/) =SIcosQI/ -J-Sgcosfist
По аналогии с выражением (3.4) получаем
А (/) =i404-AAmlcosQi/+A/?m2cosQ2/=
=j4o (1 -|-М !CosQi<4-iM2COsQ2^) •
Подставляя это выражение в (3.2), после несложных три-
гонометрических преобразований получаем (начальные фазы
несущего и модулирующего колебаний здесь для упрощения
опущены)
a(t)=A0cos +	[cos((%+□))/ +cos (и0—Q,)/J_|_
+ —[cos (coo-|-Q2) t cos (ш0 — Q2) z!J.
Из этого выражения следует, что каждая гармоническая
составляющая сообщения s(t) образует свою пару колебаний
боковых частот независимо друг от друга. В этом смысле
процесс образования колебаний боковых частот является ли-
нейным. При этом должно выполняться условие Л114-7И2^1
(для неискаженной модуляции изменение огибающей «вниз»
не должно превышать /10)-
Из приведенного примера нетрудно вывести правило постро-
ения спектра амплитудно-модулированного колебания по за-
данному спектру модулирующей функции s(t). Иллюстрацией
правила является рис. 3.6. На рис. 3.6, а изображен дискретный
СПеКТр СООбщенИЯ S(t), Занимающий ПОЛОСУ ЧаСТОТ (Qmfn, Птах),
а на рис. 3.6,5 — спектр модулированного колебания. Коэффи-
77
M^Aq MfAp MjAo MnAo
2	2 Z 2
JI If llllhh
i	r°j	I
e:	Ci	?	a
I I	+
сэ	-a	5s
S3	®	$
получим
циенты модуляции Mt, M2,... пропор-
циональны амплитудам Slt S2,... со-
ответствующих тонов, входящих в со-
общение s(t). Ширина спектра моду-
лированного колебания равна 2fimaI.
Перейдем к общему случаю, когда
спектр сообщения s(t) не обязатель-
но дискретный. Будем исходить из об-
щего выражения (3.2). Огибающая
А (/) изменяется пропорционально
модулирующему сообщению s(Z), и,
следовательно, ее спектр SA(Q)N
coS(Q)1 *. Выражение для спектраль-
рис. зб	пой плотности Sa(o) модулирован-
ного колебания a(t), представляюще-
го собой произведение огибающей A(t) и немодулированной
несущей cos (g)o/-J-0o) , находим, используя свойство смещения
спектра в преобразовании Фурье (см. п. 2.5.5). Повторив вы-
вод формулы (2.51) с заменой sJZ) на a(t) и s(t) на A(t),
оо
SaCa)= § ^ (*) COS ((!)(/ +е0) e-/t0'df =
—оо
=~ [eie«SA (со — соо) + e~'e»SA (со + (о0)].
(3-9)
Следует подчеркнуть, что спектр огибающей A(t), опреде-
ляемый спектром сообщения s(t), концентрируется в области
относительно низких частот, так что его максимальная частота
£2тах-<(Оо- Смещение этого спектра на несущую частоту со0 озна-
чает, что функция SA (со—соо) существенно отлична от нуля лишь
при частотах со, близких к соо, и отношение 2Qmai/coo<C 1. Анало-
гично слагаемое SA (<o+a>o) существует при частотах ю, близких
к —соо- Сказанное означает, что модулированное колебание a(t)
является узкополосным.
Таким образом, спектральная плотность модулированного
колебания Sa(co) образует два всплеска: вблизи <д = <т>о и вбли-
зи со = —«о- Поэтому для узкополосного сигнала можно считать,
что в области положительных частот
(®)=4" eie“s^ ~ ®о)’
а в области отрицательных частот
Sa (®) = ~ e~/e«SA ((о + (оо).
(3.10)
(3-П)
1 Как отмечалось в сноске на с. 81, текущая частота спектра модулиру-
ющей функции обозначается через S2.
78
Поясним правило нахождения спектра на примере прямо-
угольного радиоимпульса, определяемого выражением
й(Л = (^аМЛсо5(00< при — ти/2<Д*<ти/2,	(312)
' ’ (О при всех других t.
В данном примере под
видеоимпульс (рис. 2.13,а),
[см. (2.64)]
с/<~л_л_ sin(fiT„/2)
Ь(£2)-Ати- -й—.
сообщением s(t) следует понимать
спектральная плотность которого
(3.13)
Огибающая амплитуда радиоимпульса a(t) A(t)	(О •
а спектральная плотность этой огибающей
8Д (й) = А;амДти^У^^-=2В51пс(Йти/2).	(3.13')
во "И/
По формуле (3.9) (с учетом 6о=О)
Sa (со) = Bsinc[ (со—соо) TH/2]-[-Bsinc[ (со+соо) ти/2],
сооти>1.	(3-14)
В рассмотренном примере колебание несущей частоты при
s(0=0 отсутствовало. Если же несущее колебание A0coscoo£
существует на всем интервале времени [другими словами, в оги-
бающую входит постоянный уровень Ао, см. (3.4)], то сплошной
спектр Sa(co) должен быть дополнен дискретными составляющи-
ми лАоб (g>—соо)-флАой (©“Ь^о) [см. (2.95)].
3.4.	УГЛОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ. ФАЗА И
МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЯ
Для немодулированного колебания
a(t) =A0cos (соо^+бо) =Aocosip(p
набег фазы за какой-либо конечный промежуток времени (Л>
t?) равен
—4(Р) = (®оР+9о)— (tooP+Oo) =®о(Р—Р)-	(3.15)
Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы
за какой-либо промежуток времени пропорционален длительно-
сти этого промежутка.
С другой стороны, если известно, что набег фазы за время
/2—равен ф(Р)—ф(Р), то угловую частоту можно определить
как отношение
соо=['Ф (Р)—Ф(Р)]/(Р—Р).	(3-16)
если, конечно, имеется уверенность, что в течение рассматрива-
емого промежутка времени частота сохраняла постоянное зна-
чение.
79
Из (3.16) видно, что угловая частота есть не что иное,
как скорость изменения фазы колебания.
Переходя к колебанию, частота которого может изменяться
во времени, равенства (3.15), (3.16) необходимо заменить инте-
гральным и дифференциальным соотношениями
ф(4)-ф(*1)=5®(*М.	(3-17)
ю(<) = ^)_.	(3.18)
В этих выражениях	—мгновенная угловая частота
колебания; f(t) —мгновенная частота.
Согласно выражениям (3.17), (3.18) полную фазу высокоча-
стотного колебания в момент t можно определить как
t
Ф(/)=^<о(О^+ес.	(3.19)
о
где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы
за время от начала отсчета до рассматриваемого момента /;
6о — начальная фаза колебания (в момент /=0).
При таком подходе фазу ф(О=®оН-0(О, фигурирующую в
выражении (3.1), следует заменить на ф(0 =а>оН-0(О+6о-
Итак, общее выражение для высокочастотного колебания,
амплитуда которого постоянна, т. е. Л(/)=Л0, а угол 6(/) мо-
дулирован, можно представить в форме
а (/) = i4ocos[(i>o^+0 (0 +6о]-	(3.20)
Соотношения (3.18), (3.19), устанавливающие связь между
изменениями частоты и фазы, указывают на общность двух
разновидностей угловой модуляции — частотной и фазовой.
Поясним соотношения (3.18) — (3.20) на примере простей-
шей гармонической ЧМ, когда по закону модулирующего сиг-
нала изменяется мгновенная частота:
ю (0— юо+содСОзИ/,	(3.21)
где (0д=2л/д представляет собой амплитуду частотного откло-
нения и называется девиацией частоты. Через too и й,
как и при AM, обозначены несущая и модулирующая частоты.
Составим выражение для модулированного колебания, ча-
стота которого изменяется по закону (3.21), а амплитуда по-
стоянна.
Подставляя в (3.19) из уравнения (3.21), получаем
t
ф (0= § (®о + ®д cos ^0 + 6о-
о
80
Выполнив интегрирование, найдем
т|)(0 =а>о^+ (<oA/Q)sinQH-0o.
Таким образом,
a(f) =t40cos[(Oo/+ (<Вд/й) sinfi/+0o].
(3.22)
(3.23)
Фаза колебания a(t) наряду с линейно возрастающим сла-
гаемым (not содержит еще периодическое слагаемое (сод/П) sinQf.
Это позволяет рассматривать a(t) как колебание, модулирован-
ное по фазе. Закон этой модуляции является интегральным по
отношению к закону изменения частоты. Именно модуляция ча-
стоты по закону содСоэШ приводит к модуляции фазы по закону
(©д/Q) sinQf. Амплитуду изменения фазы
0mai=coB/Q=m	(3.24)
часто называют индексом угловой модуляции.
Рассмотрим теперь ФМ, когда под действием модулирующе-
го сигнала фаза стабильного по частоте несущего колебания
изменяется по закону 0(f) =0maisinQ£, так что модулированное
колебание имеет вид
a(f) =Accos[®o/+6maIsinQ/+0c].
(3.239
Какова частота этого колебания? Используя выражение
(3.18), находим
©(f) ((Oo/+0maxSinQH-6o) =G>o+0max^COSQ/. (3.21')
Учитывая соотношение (3.24), приходим к выводу, что
0та][й=(од. Таким образом, гармоническая модуляция фазы с
индексом 0тах эквивалентна частотной модуляции с девиацией
частоты С0д = бтах£2-
Из приведенного примера видно, что при гармонической
угловой модуляции по характеру колебания нельзя заключить,
с какой модуляцией мы имеем дело — с частотной или фазовой.
В обоих случаях вектор ОА, изображающий на векторной диа-
грамме модулированное колебание, качается относительно свое-
го исходного положения таким образом, что угол 0 (рис. 3.7)
изменяется во времени по закону 0(f) =0maxSinQf при фазовой
модуляции и по закону
0(f) = (toK/Q)sin Qf при
частотной модуляции
[когда co(f)—(Оо=е>дХ
Xcos Qf], Цифрами I, II,
III и IV отмечено поло-
жение вектора О А при
Qf=0, л/2, л и Зп/2.
Иное положение при
негармоническом модули-
рующем сигнале. В этом
случае вид модуляции—
Рнс. 3.7
6—3305
81
частотной или фазовой — можно установить непосредственно
по характеру изменения частоты и фазы во времени.
Покажем это на примере треугольного модулирующего сиг-
нала (рис. 3.8,а и г). Очевидно, что треугольное изменение со (О
(рис. 3.8,6), по форме совпадающее с s(0. свидетельствует о
наличии ЧМ, а такое же изменение 6 (/) (рис. 3.8,(?) — о нали-
чии ФМ. Ясно также, что скачкообразное изменение со (О,
совпадающее по форме с производной сигнала s(t) (рис. 3.8,е),
указывает на ФМ.
При гармоническом модулирующем сигнале различие между
ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции.
При ЧМ величина юд пропорциональна амплитуде модулиру-
ющего сигнала и не зависит от частоты модуляции Й.
При ФМ величина 6mai пропорциональна амплитуде модули-
рующего сигнала и не зависит от частоты модуляции Q.
Эти положения поясняются рис. 3.9, на котором показаны
частотные характеристики величин сод и 6mai при частотной и
фазовой модуляциях. В обоих случаях предполагается, что на
вход модулятора подается модулирующее напряжение с неиз-
82
менной амплитудой U, а частота Q изменяется от Qmin до
йтах-
При ЧМ сод, зависящая, как указывалось выше, только от
амплитуды U, будет постоянной величиной, а индекс модуляции
т=(Од/П=0тах с увеличением частоты будет убывать (рис.
3.9,а). При ФМ 0тах не зависит от Q, а сод=0тах^="гй изме-
няется пропорционально частоте модуляции (рис. 3.9,6).
Кроме структуры колебания (при модуляции сложным сиг-
налом) частотная и фазовая модуляции различаются и спосо-
бом осуществления. При ЧМ обычно применяется прямое воз-
действие на частоту колебаний автогенератора. При ФМ гене-
ратор имеет стабильную частоту, а фаза колебания модулирует-
ся в одном из последующих элементов устройства.
3.5.	СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ УГЛОВОЙ
МОДУЛЯЦИИ. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
Пусть задано колебание
a(t)~ Aocos[coo^-|-0(O],	(3.25)
о котором известно, что передаваемое сообщение s(t) заложено
в функцию Q(t). Если колебание a(t) получено с помощью ФМ,
то 6(0 и s(t) полностью совпадают по форме и отличаются
лишь постоянным коэффициентом. При этом, очевидно, с точ-
ностью до постоянного коэффициента совпадают и спектры
функций 0(0 и s(0-
При ЧМ функция 0(0 является интегралом от передавае-
мого сообщения s(0- Это вытекает из выражений (3.19) и
(3.20). Так как интегрирование является линейным преобразо-
ванием, то при ЧМ спектр функции 0(0 состоит из тех же ком-
понентов, что и спектр сообщения s(t), но с измененными ам-
плитудами и фазами.
Отвлекаясь от конкретной разновидности угловой модуля-
ции — фазовой или частотной — и считая заданным спектр
функции 0(0, находим спектр модулированного колебания
а(0- Для этого выражение (3.25) преобразуем к виду
а(0 =Aocos0(Ocosoo^—Aosin0(Osin(oo^=ac(O—as(0- (3.26)
6*
83
Из (3.26) следует, что модулированное по углу колебание
можно рассматривать как сумму двух квадратурных колебаний:
косинусного ac(f) =AoCOs0(f)cosG)Of и синусного a&(t) =
=AosinO(f)sinG>of, каждое из которых модулировано только по
амплитуде; закон AM для косинусного колебания определяется
медленной функцией cos0(f), а синусного — функцией sin0(f).
Но в § 3.3 было установлено, что для определения спектра
амплитудно-модулированного колебания достаточно сдвинуть
на частоту g>q спектр огибающей амплитуд. Следовательно, для
нахождения спектра колебания a(t), определяемого выражени-
ем (3.26), необходимо сначала найти спектры функций cos0(f)
и sin0(f), т. е. спектры огибающих квадратурных колебаний.
Перенос этих спектров на частоту соо можно затем осуществить
таким же образом, как и при обычной AM.
Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том
же передаваемом сообщении спектр колебания, модулированно-
го по углу, значительно сложнее, чем спектр модулированного
по амплитуде. Действительно, так как cos0 (f) и sin0 (f) являют-
ся нелинейными функциями своего аргумента 0(f), спектры этих
функций могут существенно отличаться от спектра функции
0(f); возможно возникновение кратных и комбинационных ча-
стот, как это имеет место при обычных нелинейных преобразо-
ваниях спектра.
Это обстоятельство, а также наличие двух квадратурных
слагаемых показывают, что при угловой модуляции спектр мо-
дулированного колебания нельзя получить простым сдвигом
спектра сообщения на величину несущей частоты ю0, как это
имеет место при AM. При угловой модуляции связь между
спектрами сообщения и модулированного колебания оказывается
более сложной.
3.6.	СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
Используем полученные выше результаты для анализа коле-
бания вида
c(f) =A0cos((i)of+msinQf).	(3.25')
Это выражение совпадает с (3.23) и (3.23') при модуляции
частоты по закону m(f) =oj0+o)flcosQf. Начальная фаза 0о, а
также начальная фаза модулирующей функции у опущены для
упрощения выкладок. При необходимости они легко могут быть
введены в окончательные выражения.
В данном случае 0(f) =/nsinQf. Подставляя 0(f) в (3.26),
получаем
a (f) = AqCos (msinQf) cosoj0f—Aosin (msinQf) sin<o0f.	(3.27)
Учитывая, что функции cos(msinQf) и sin(msinfif) являются
периодическими, разложим их в ряд Фурье.
84
В теории бесселевых функций доказываются следующие со-
отношения:
sin (msinfi/) = 2Л (т) sinQ/-J-2/3 ("О sin3Q/+
Ч-2/5 (т) sin5Q/+ ...»	(3.28>
cos(msinQ0 = J0(m) -J-2Z2 (т) cos2Q^+
+2/4 (m) cos4Q/-}-...,	(3.29)
sin(mcosQf) =2/i (m)cosQZ—2J3(m)cos3Q/+
4-2J5(zn)cos5fi/— .(3.28')
cos(mcosQZ) =J0(m)—2/2(m)cos2f2/+
4-2J4(m)cos4QZ—...	(3.29')
Здесь Jn(m) —бесселева функция первого рода n-го порядка от
аргумента т.
С помощью соотношений (3.28) и (3.29) уравнение (3.27)
можно привести к виду
a(t) =Ao[Jo(m)cos(a0t—2Ji (m)sinQ/sinci)0^+
4-2J2 (rn.) cos2Qfcos(W—2/3(m)sin3£VsinW+ . . -]	(3.30)
или в более развернутой форме
a(t) =A0cos (W-f-msin^) =Д0{/0 (m) cosco0^+
+Л (m) [cos (coo+£2) t—cos (<o0—0) fl+A (m) [cos (coo+
4-2Й) Z-J-cos (coo—2Й) Л+Л (m) [cos (соо+ЗЙ) t—
-cos (соо-ЗЙ) /]+...}.	(3.31)
Таким образом, при гармонической угловой модуляции
спектр колебания состоит из бесконечного числа боковых со-
ставляющих, расположенных попарно симметрично относитель-
но несущей, частоты которых отличаются от соо на пй, где п —
любое целое число. Амплитуда n-й боковой составляющей
An=Jn(m)A0, где Ао — амплитуда несущего колебания, ат —
индекс модуляции. Отсюда следует, что вклад различных боко-
вых составляющих в суммарную мощность модулированного ко-
лебания определяется величиной т.
Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и боль-
ших значениях т. Если т<^1, то имеют место приближенные
равенства
sin(msinQZ) t&msinQt, cos(msin^) ~ 1
и выражение (3.27) переходит в следующее:
fl(/)«A0(cos wot — т sin Git sinco0Z) =
= Ao cos <ooZ + -J- cos (oi0 4- Й) t —	cos (®0 — Й) t ].	(3.32)
85
Сравним это уравнение с уравнением для амплитудно-моду-
лированного колебания, у которого модулирующая функция
(т. е. передаваемое сообщение) такая же, как и при ЧМ. Так
как выражение (3.32) получено из (3.25') для модуляции часто-
ты по закону а> (t) =tt»o+d)flCosQ/, для удобства сравнения зада-
дим модуляцию амплитуды по аналогичному закону A(t) =
= j4o+AL4ocos£2/. Тогда амплитудно-модулированное колебание
запишется в форме
«ам(О = A)(l + -М COS Q/)COS b)ot =
= Ао cos (Hot + cos (®0 4- Q) 14-	cos (<00 — Q) t j.	(3.33)
Из сравнения (3.32) и (3.33) видно, что при малых значени-
ях т спектр колебания при ЧМ, как и при AM, состоит прибли-
женно из гармоник несущей частоты <оо и двух боковых частот:
верхней соо4-Й и нижней со о—R. Единственное отличие заклю-
чается в фазировке колебаний боковых частот относительно
несущего колебания. При AM фазы колебаний боковых частот
симметричны относительно фазы несущего колебания, а при
угловой модуляции фаза колебания нижней боковой частоты
сдвинута на 180° [знак минус перед последним слагаемым
(3.32)]. Это положение иллюстрируется векторной диаграммой,
показанной на рис. 3.10,о. Направление вектора DC2 при AM
обозначено штриховой линией. Изменение направления этого
вектора на 180° приводит к тому, что вектор модуляции DF
становится перпендикулярным направлению вектора OD, изо-
бражающего несущее колебание. Вектор OF, изображающий
результирующее колебание, изменяется как по фазе, так и по
амплитуде; однако при m=0mai<Cl амплитудные изменения на-
столько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию можно
в первом приближении рассматривать как чисто угловую.
Спектральная диаграмма для угловой модуляции при т<1
показана на рис. 3.10,6. Равенство амплитуд колебаний боковых
частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута
86
на 180 . Амплитуды ко-
лебаний боковых частот
равны тА.о12, и поэтому
в данном случае индекс
модуляции т совпадает
по значению с коэффи-
циентом М, характеризу-
ющим глубину измене-
1Л1
0,8-
0,4 -
0^
|/л|	го=2
л? 0’4 л
ып со 0 <оп <о
а)	5)
Рис. 3.11
ния амплитуды при AM.
Заметим, что ширина спектра при nz<Cl
AM. Этот результат показывает, что при
равна 2Q, как и при
очень малой величине
<од (по сравнению с Q) ширина спектра от сод не зависит.
При увеличении фазового отклонения, т. е. при возрастании
т, уравнение (3.32) и диаграмма на рис. 3.10,а не дают пра-
вильного представления о действительной картине явлений при
частотной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с
помощью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары
боковых частот невозможно представить колебание, частота или
фаза которого изменяется в широких пределах, а амплитуда
остается строго постоянной. Для получения правильной карти-
ны необходимо учитывать колебания боковых частот более вы-
соких порядков в соответствии с выражением (3.31).
При значениях индексов т от 0,5 до 1 приобретает некото-
рое значение вторая пара колебаний боковых частот, вследст-
вие чего ширина спектра должна быть приравнена 4Q. Далее,
при 1<т<2 приходится учитывать третью и четвертую пары
колебаний боковых частот и т. д.
На рис. 3.11,а приведена спектральная диаграмма для ги=
= 1, а на рис. 3.11,6 — для zn = 2. Фазы колебаний на этих ри-
сунках не учитываются, однако следует иметь в виду, что при
нечетных п амплитуды колебаний нижних боковых частот име-
ют знак минус. Амплитуды всех составляющих спектра пред-
ставлены на этих рисунках в виде вертикальных отрезков, дли-
ны которых равны 1п{пг), а расстояния от отрезка JG(m), соот-
ветствующего амплитуде колебания частоты фо, равны nQ, где
Й — частота модуляции, ап — порядковый номер боковой ча-
стоты. Амплитуда результирующего колебания принята за
100%, т. е. Ао=1.,
Рассмотрим теперь спектр при больших значениях т.
Прежде всего отметим, что нахождение спектра с помощью
таблиц бесселевых функций в этом случае весьма затруднитель-
но. В области относительно низких порядков n<m справедливо
приближенное равенство [4, с. 223]
Л(л«)~ |
-^-cos (т — пп/2—л/4),
из которого следует, что в указанной области нормированная к
Ао огибающая амплитуд колебаний боковых частот |/„(пг)|^
^]/2/лт. Например, при т=100 и п<^т | Jn(m) |^0,08.
87
В области же значений п, близких к т, при можно
воспользоваться формулой Фока1
Jn (т)=)"1/31 v (х) |=0,71 ю-1 /з | v (х) |,
где х— (п—т) (т/2)~1/3; v(x) — функция Эйри.
В частном случае т= 100 эта формула принимает вид
|J„(m)|=0,153lv(x)l.
График функции |v(x) | при изменении х в интервале
(—9,3), построенный по таблице Фока, приведен на рис. 3.12,а.
Нормированный спектр в диапазоне боковых частот, вписан-
ный в этот график как в огибающую, представлен на рис.
3.12,6. Это участок характеризует спектр модулированного ко-
лебания вблизи его верхней границы (в данном примере при
п=7О...11О). Из этого рисунка видно, что наивысший номер
п = птах боковой частоты, которым можно ограничиться при
1 Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных
волн.— М.: Сов. радио, 1970.— 470 с.
88
определении ширины спектра, в данном примере nmax~m=
= 100. Иными словами, вклад гармоник более высоких боковых
частот (п>ш) в среднюю мощность модулированного колеба-
ния ничтожно мал.
Полная структура спектра (при т—100) показана на рис.
3.13. Ширина этого спектра, очевидно, равна 2nmax&=2/nQ. Но
т=<Вд/й, следовательно, при больших индексах угловой моду-
ляции ширина спектра близка к удвоенной девиации частоты
2Птах^=2й)д.	(3.34)
Заметим, что в соответствии с определением индекса моду-
ляции m=0max [см. (3.24)] выражение «угловая модуляция с
малым индексом» эквивалентно выражению «узкополосная или
быстрая модуляция» а выражение «угловая модуляция с боль-
шим индексом» эквивалентно выражению «широкополосная или
медленная модуляция». Поэтому можно сформулировать сле-
дующее положение: при быстрой угловой модуляции (когда
й>сод) ширина спектра модулированного колебания близка к
значению 2Q; при медленной угловой модуляции (когда а>д^>
^>й) ширина спектра близка к значению 2<од=/п2й, т. е. при
заданной частоте модуляции Q ширина спектра в т раз боль-
ше, чем при быстрой угловой модуляции. Отсюда становятся
понятными термины узкополосная (при т<С1) и широкополос-
ная (при т^>1) модуляции. Напомним, что в обоих случаях
модулированное колебание является узкополосным, т. е. шири-
на его спектра много меньше величины несущей частоты.
Аналогичным методом может быть найден спектр ЧМ- или
ФМ-колебания при модуляции суммой гармоник двух тонов с
частотами Qi и Й2- В этом случае спектр содержит помимо со-
ставляющих с частотами coq+hQi и соо±п^2 еще и составляю-
щие, появляющиеся в результате взаимодействия гармоник мо-
89
дулирующей функции, с частотами (o0±nQi±fnQ2- В этом смыс-
ле в отличие от AM процесс образования боковых частот мо-
жет быть назван нелинейным.
3.7.	СПЕКТР РАДИОИМПУЛЬСА
С ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫМ
ЗАПОЛНЕНИЕМ
При модуляции частоты колебания по закону, отличающему-
ся от гармонического, нахождение спектра колебания услож-
няется. Выбор наиболее удобного метода анализа зависит от
характера модулирующей функции. Покажем это на примере
широко применяемого в различных радиосистемах сигнала —
радиоимпульса с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ-импуль-
са). Подобный сигнал с прямоугольной огибающей изображен
на рис. 3.14,а, а закон изменения частоты заполнения импуль-
са — на рис. 3.14,6.
Закон изменения частоты определяется выражением
со(О=®0+рЛ I^KTc/2,	(3.35)
где | р | =2сод/Тс=2-2л/д/Тс — скорость линейного изменения
частоты внутри импульса. Тогда мгновенное значение колеба-
ния, представленного на рис. 3.14,о, можно записать в виде
a(0=A0cos(Jco(0^)=A0cos((o0/+p/2/2), \t\^Tc/2.	(3.36)
Произведение полной девиации частоты на длительность им-
пульса
2fnTc=m	(3.37)
является основным параметром ЛЧМ-импульса. Напомним, что
в § 2.11 аналогичный параметр N—2fmTc был назван базой
сигнала. Поскольку Д определяет ширину спектра рассматри-
ваемого сигнала, параметр т можно трактовать как базу
ЛЧМ-импульса.
Определение спектральной плотности радиоимпульса (3.36)
более удобно с помощью преобразования Фурье (2.38):
гс/2
Sa(w)=A0 cos(<o^4-p/2/2)e-toZ^ =
-Гс/2
Тс/2
= ф- exp{i[p/2/2 — (<o —(%)/]} й#-|-
~Гс/2
Гс/2
exp{-t(p/2/2 + (<o + <1)0)/]}^.
-fc/2
(3.38
90
Первое слагаемое в правой части этого выражения опреде-
ляет всплеск спектральной плотности вблизи частоты (д = о>о.
а второе — всплеск вблизи частоты со =—юо.
При определении Sa(®) в области <о2>0 второе слагаемое
можно отбросить [см. (3.10)]. Для вычисления первого интегра-
ла в правой части (3.38) дополним показатель степени в подын-
тегральной функции до квадрата разности (считаем р>0):
(3.39)
где Q=(o —ю0; б/ = Й/]/2р.
Подставляя (3.39) в (3.38) и переходя к новой переменной
х=У $/ni — й/ } 0л,
получаем
Sfl(<o)=45e"WI
e''™a/2dx,
(3.40)
где пределы интегрирования Mi,2=T<w/2 (1 ± й/<од).
Используем известные из математики определения интегра-
лов Френеля:
Z (и) = eimx‘i2dx= cos (лл2/2) dx-j- i sin (лх2^) dx=
0	0	о
= С (zz) + iS (и).
91
Тогда (3.40) можно привести к виду
S. V АОГС . Г .ЛОТ (to— <B<l)2lrrzz \ . -7/ VI
а (ю) = 2УЙ Р [ “ —"J [z (К1) + Z (“2)1-	(3.41)
Выражения для модуля (АЧХ) и аргумента (ФЧХ) найден-
ного спектра имеют соответственно вид
Sfl(<n)=-^ V[С («,) + С (Из)]2 + [S (К1) + S («2)]2,	(3.42)
z у zm
♦<*»>--”4‘Sr>‘+aretg •	(-W)
Графики АЧХ спектра ЛЧМ-импульса (рис. 3.15, а, б, в)
показывают, что при больших базах т форма Sfi(co) прибли-
жается к прямоугольной и ширина спектра близка к величине
2(|)д. При этом ФЧХ приобретает вид квадратичной параболы
(рис. 3.15, в). Второе слагаемое в (3.43), стремящееся к посто-
янной величине л/4, опущено. При <о=соо и т^> 1 квадратный
корень в (3.42) обращается в /12, a Sa(o>0) =AD7'c/2 V
При уменьшении т пульсации АЧХ спектра и плавный пе-
реход на граничных участках становятся более заметными
(т=60 на рис. 3.15,6). При малых базах форма АЧХ спектра
существенно отличается от прямоугольной (т=10 на
рис. 3.15, а).
3.8.	СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ
АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИИ
Обобщим выражения (3.25) и (3.26), заменив в них постоянную ампли-
туду Ао функцией времени 4(f):
a (/) = A (t) cos [<o0f Н-0(f) 1 = A (t)cosG (t) cosco0f—A (t)sinG (f) sin<oof =
=ac(0—	(3.44)
Как и в § 3.5 и 3.6, определение спектра колебания сводится к нахож-
дению спектров функций Ac(f) —A (f)cosG(f) и Aa(f) =А (£)sin0(/), т. е. оги-
бающих квадратурных колебаний, и к последующему сдвигу этих спектров
на величину со0.
Обозначим спектральные плотности функций Ас(/) и A,(t) символами
Sxc(to) и Sxs(w). Тогда
(©)= J А (О cos 6
~°° (345)
S, (ю)= f А (О sin 0 (/) е_/ю<йЛ
S	-оо
Спектральная плотность косинусного квадратурного колебания ас(/) =
= Ac(f)cos<Oof в соответствии с выражением (2.51) при 0о=О будет
Sa ((о)= -g-	(и—®о) +	(to + (оо)j.	(3.46)
92
При определении спектра синусного квадратурного колебания а5(1) =
=Д3(1) sincool фазовый угол Оо в (2.51) следует приравнять —90°. Следова-
тельно,
\	(®—®«)—S^s (® + “о)]-	(3.46')
В области положительных частот можно пренебречь вторыми слагаемыми
в выражениях (3.46) и (3.46/).
Таким образом, окончательно спектральная плотность колебания
a(t)=ac(t)—a,(t) определяется выражением
Sa(co)=S_ (со)— S (и)=4 [S. (со—coo) + iS4 (to—и0)]. <о>0. (3.47)
С	S	г С	s
Переходя к переменной й=<й—соо, получаем
Sa (coo + Й) = у (Бл (Q) + /SA (£2)].	(3.48)
Структура спектра колебания о(1) при амплитудно-частотной модуля-
ции зависит от соотношения и вида функций А(1) и 6(1).
При AM спектр колебания а(1) характеризуется полной симметрией
амплитуд и фаз колебаний боковых частот относительно несущего колеба-
ния; при угловой модуляции |А(() =A0=const] фазы колебаний нижних
боковых частот при нечетных п сдвинуты на 180° (см § 3.6). Одновременная
модуляция по амплитуде и углу может при некоторых соотношениях между
A{t) и 0(1) приводить к асимметрии спектра Sa(wo+S) относительно <оо не
только по фазам, но н по амплитудам. В частности, если 0(1) является не-
четной функцией t, то при любой функции A(t) спектр колебания с(1) не-
симметричен.
Пример подобного спектра представлен на рис. 3 16. По отношению к
точке со=0 модуль спектральной плотности симметричен при любых усло-
виях.
Для симметрии спектра Sa(<o) требуется четность функции 0(1) при
одновременном условии, чтобы функция /1(1) была либо четной, либо нечет-
ной функцией 1. Если функция А(1) может быть представлена в виде суммы
четной и нечетной составляющих, то спектр So(n)) несимметричен даже при
четной функции 0(1). Например, ЛЧМ-импульс, рассмотренный в § 3.7, имеет
симметричный спектр. В этом случае прямоугольная огибающая при надле-
жащем выборе начала отсчета
времени является функцией, чет-
ной относительно 1, как и функ-
ция 0(l)=ipi2/2.
Наглядное представление о
деформации спектра колебания
при смешанной модуляции — ам-
плитудной и угловой — можно
получить, рассмотрев случай, ког-
да обе модуляции осуществляют-
ся гармонической функцией с од-
ной и той же частотой Q. Для
93
упрощения анализа зададим эту функцию в виде гармонического колебания
cos £2/ для угловой модуляции и в виде cos Qi или sin £2/ для амплитудной.
1. Обе функции, как А(1), так и 6(0, четные относительно t-
A(t) =X0(1+Afcos Qi), 1;
6(0 =zncos£2/, nKl.
Выражение (3.44) принимает вид
а (0 = Ао (14-Afcos£22) cos[w0f+wcos£2/].
Полагая, как и в § 3.6, справедливыми приближенные равенства
cos(mcos£20 ~1 и sin(mcos£2Z) »»mcos£2Z, приводим это выражение к виду,
аналогичному (3.32):
Г	/Л4
a (t)= А о (I + М cos £2Z) cos coor—tn i + cos £2r +
M. \	1	( mM
+-ту cos 2£2Z 1 sin aBt = Ло |cos	— -g— sin aot +
+ ~^ [cos (<Bo + £2) t + cos (too—£2) t ]—[sin (<n0 + £2) t + sin (<o0—£2) Z]—
/дЛ1	„	)
---4- [sin (ffl0 + 2£2) t + sin (<b0—2£2) t] >.
Суммируя квадратурные составляющие cos a>ot и (mAf/2)sincooZ, получаем
для амплитуды результирующего колебания иа частоте соо следующее выра-
жение:	1 + (тМ/2)2 прн Ао=1. Аналогичным образом находим амплитуду
6,5	m2-f-M2 для колебаний с частотами <оо±£2. Амплитуды колебаний с
частотами соо±2£2 равны тМ/4. Спектр колебания a(t), представленный на
рис. 3.17, в, симметричен.
2. Функция 0(2) —четная, а А (/) содержит четную и нечетную составляю-
щие:
А(/) =A0(l+Alsin£2Z), 6 (/) = mcos£2Z, Л1^1, m«Cl.
Выкладки, аналогичные предыдущим, приводят к следующим результа-
там: амплитуда равна 1 на частоте ад (M-f-m)/2 на частоте (0о—Я;
(М—т)/2 на частоте <оо+£2 и тМ/4 на частотах <в0±2£2. Спектр колебания
Рис. 3.17
94
для рассматриваемого случая представлен на рис. 3.17,6. Симметрия спектра
нарушается в данном примере из-за неодинаковых амплитуд колебаний пер-
вой пары боковых частот.
Асимметрия спектра при амплитудно-угловой модуляции может рассмат-
риваться как показатель неправильной работы устройства, осуществляющего
AM; перекос спектра указывает на то, что полезная AM сопровождается
паразитной угловой модуляцией.
3.9. ОГИБАЮЩАЯ, ФАЗА И ЧАСТОТА
УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА
Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные
колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов.
Часто приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми
в результате одновременной модуляции амплитуды и частоты
(или фазы) по очень сложному закону.
В любом случае предполагается, что заданный сигнал a(t)
представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что
все спектральные составляющие сигнала группируются в отно-
сительно узкой по сравнению с некоторой центральной часто-
той ©о полосе.
При представлении подобных сигналов в форме
a(f)=A(f) cosip(0	(3.49)
возникает неоднозначность в выборе функций A (t) и ф(0, так
как при любой функции ф(0 всегда можно удовлетворить урав-
нению (3.49) надлежащим выбором функции A (t).
Так, простейшее (гармоническое) колебание
a (t) =АВ cos a>ot	(3.50)
можно представить в форме
a(f)=A(O cos©/,	(3.50')
где ®=©0+А«>-
В выражении (3.50') огибающая А(/) в отличие от До яв-
ляется функцией времени, которую можно определить из усло-
вия сохранения заданной функции a(t)
Ао cos aBt=A (t) cos (©o+Ag>)^,
откуда
.,,,_ Ao cos (aBt______________AB cos (oBt______ _
I ' cos («о + Aco) t cos Aco£ cos a>Bt —sin Ami sin <s>ot
cosAcoi—sin A<of-tg<M ’
Из этого примера видно, что при нерациональном выборе
1Щ) (a>t вместо dot) очень усложнилось выражение для A(t),
причем эта новая функция A(t) по существу не является «оги-
95
бающей» в общепринятом смысле, так как она может пересе-
кать кривую a(t) (вместо касания в точках, где a(t) имеет
максимальное значение). Оперирование подобной «огибающей»
не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как
может привести к ошибочным практическим выводам (напри-
мер, при рассмотрении работы амплитудного детектора).
Неопределенности можно избежать при представлении A(t)
и ip(/) с помощью соотношений
Д (О = /а2(0 + «12(0- Ф (О = arctg [a, (t)/a (/)], (3.52), (3.53)
где ах (t)—новая функция, связанная с исходной соотноше-
ниями
оо	оо
М0=~а(0 = 2Д	(3.54), (3.55)
—оо	~оо
Эти соотношения называются преобразованиями
Гильберта, а функция а,(/)—функцией, сопряженной (по
Гильберту) с исходной функцией а(1).
Для выяснения смысла выражений (3.52), (3.53), а также
требования, чтобы а,(/) являлась функцией, сопряженной по
Гильберту с исходной функцией a(t), рассмотрим сначала неко-
торые свойства Д(0, вытекающие непосредственно из выраже-
ния (3.52) и справедливые при любой функции a^t).
Прежде всего мы видим, что в точках, где функция at(t)
равна нулю, имеет место равенство A
Дифференцируя (3.52), получаем
Отсюда видно, что при ^=0, когда A(t)=a(t), имеет место
дополнительное равенство
dA__da
dt dt'
Следовательно, в точках, в которых аД/) = 0, кривые Л(/)
и a(t) имеют общие касательные.
Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы
можно было рассматривать A(t) как «простейшую» огибающую
быстро осциллирующей функции a(t). Необходимо потребовать,
чтобы кривая A(t) касалась кривой a(t) в точках, в которых
последняя имеет амплитудное или достаточно близкое к нему
значение. Иными словами, в точках, где at(t) обращается в
нуль, функция a(t) должна принимать значения, близкие к ам-
плитудным. Это условие как раз и обеспечивается, если функ-
ция at(t) является сопряженной по Гильберту с функцией a(t).
Это свойство преобразований Гильберта нагляднее всего ил-
люстрируется на примере гармонического сигнала.
Пусть a(/)=cos соо/, —co<zt<z°o. Найдем сопряженную
96
функцию Применяя общее выражение (3.54) и переходя
к новой переменной х—т — t, находим
оо	оо
л	If COSWoT ,	1	„	. С COSWoX .	,
М0 =——-cos^ \ —— dx+
J L .  L L	al L
—OO	—OO
OO
. 1 .	, (* Sin (0„r ,
+~ sin co0z —— dx.
Известно, что
co
f COS X . n
\ —— dx - v
(в смысле главного значения) и
оо
С sinx ,
\ —^—dx=n.
Следовательно, функции a(0=cosco0^ соответствует сопря-
женная функция ctj (/)=•= sin о)о/, которая проходит через нуль в
моменты, когда исходная функция проходит через максимум.
Аналогичным образом нетрудно убедиться, что функции а(0 =
“sincoo/, —оо</<оо, соответствует сопряженная функция
<21 (0 = —cos aot.
Подставляя a(t)=cos a>ot и a1(0=sina>o^ в выражение
(3.52), получаем для огибающей гармонического колебания об-
щепринятое выражение A (t) = Vcos2 <oo^+sin2 = 1.
Аналогичный результат получается и для a(/)=sin<oo^.
al(t) = —cos G)ot.
Как видим, выражение (3.52) определяет огибающую в
виде линии, касательной к исходной функции в точках ее мак-
симума и в случае гармонического колебания соединяющей два
соседних максимума кратчайшим путем. Таким образом, выра-
жение (3.52) определяет «простейшую» огибающую. Это свой-
ство выражения (3.52) сохраняется и для сложного сигнала,
если выполняется условие медленности изменения огибающей,
т. е. если речь идет об узкополосном сигнале (см. § 3.1).
Если исходный сигнал представляет собой сумму спектраль-
ных составляющих
a (t) =S (a„coscM+fenSin(o„/),	(3.56)
п
то сопряженная функция
щ (О =S (a„sinconf—bncosG>„0.	(3.57)
Ряд (3.57) называется рядом, сопряженным с рядом (3.56).
7—3305
97
Если сигнал a(t) представлен не рядом (3.64), а интегралом
Фурье
оо
а (/) = — [a (w) cos b (со) sin cof] rfco,	(3.58)
то функция czj (t) может быть представлена в виде интеграла
оо
ai(/) = —[а(со) sin at — b (со) cos со/] da,	(3.59)
о
сопряженного с интегралом (3.58).
Нетрудно установить связь между спектрами функций a(t)
и а,(/). Так как при преобразовании гармонического .колебания
по Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно,
что по модулю спектральная плотность Sf(co) сопряженной
функции cii(t) не может отличаться от спектральной плотности
S(co) исходной функции a(t). Фазовая же характеристика
спектра S,(co) отличается от ФЧХ спектра S(co). Из сопостав-
ления выражений (3.58) и (3.59) непосредственно вытекает, что
спектральные составляющие функции a,(t) отстают по фазе на
90° от соответствующих составляющих функции a(t). Следова-
тельно, при со>0 спектральные плотности S,(co) и S(co) свя-
заны соотношением
S1(co) =—iS((B), со>0.	(3.60)
В области отрицательных частот соответственно получается
S,(со) =iS(со), со<О.	(3.61)
Вследствие изменения ФЧХ сопряженная функция a^t) по
своей форме может очень отличаться от исходной функции
а(/).
После того как найдена сопряженная функция G, (/), можно
с помощью выражений (3.52), (3.53) найти огибающую Л(0,
полную фазу ф(/) и мгновенную частоту узкополосного сигнала
(И)
' ' dt dt L & a(f)J	a2 (t) +al2(t)	'	'
Чтобы представить (3.49) в форме
a(t) =А (t) cos ф (/) =Л (/) cos[coof-|-0 (/) +0о], —со </<оо,
необходимо под соо подразумевать среднее значение функции
со(0, определяемой (3.62). Тогда приходим к выражению
ф(/)=<М+0(О+0о,	(3.63)
в котором 6(/) не содержит слагаемого, линейно зависящего от
времени. Тем самым устраняется произвол в выборе «средней
частоты» сигнала соо и соответственно функции 0(f).
98
В заключение следует отметить, что в некоторых случаях
выражения (3.52)—(3.61) используют и для широкополосных
сигналов, когда понятие «огибающая амплитуд» теряет свой
обычный смысл. При этом отказываются от требования, чтобы
огибающая A(t) касалась кривой a(t) вблизи точек, в которых
a(t) имеет амплитудное значение.
Поясним применение преобразования Гильберта для определения оги-
бающей, фазы и мгновенной частоты сигнала.
Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний с
близкими частотами1
а(<) =Д1со8С01<4-Л2Со5<о2<	(3.64)
и требуется представить a(f) в форме
a(t) = А (0cos [W+6 (0 +6о1 •	(3 65)
Расстройка | Л<о | = | —©J полагается настолько малой по сравнению
с (<014-<02)/2, что колебание a(t) можно считать узкополосным.
Что в данном случае подразумевать под Л(/), ©0 и 0(1)? Непосредствен-
но из выражения (3.64) трудно выявить структуру огибающей и фазы ре-
зультирующего колебания a(t). Поэтому используем выражения (3.52) и
(3.53). Сопряженная функция имеет вид
a,(t) =А isintD^-f-ylaSintOaf.
С помощью формулы (3.52) находим огибающую сигнала a(t)
A (i)= V (At cos	+ Аг cos a>2t)2 + (Л, sinto,! + A2 sin ©21)2 —
= At Vl +Л2 +2Л cos A<oC	(3.66)
где k=A2/Ai; Лш=ш2—©i, причем для определенности считаем, что k<l и
Ди>0.
Полную фазу сигнала a(t) находим по формуле (3.53):
а, (1)	sin©,! A-k sinco^
f (0= arctg = arctg cos + k -Qs	(3.67)
Применяя (3.62), можно получить следующее выражение для мгновен-
ной частоты:
w(/) =®i+Acihj(/),	(3.68)
где
&+cos Awl	.„ cn.
Ч(0=* i + + 26 cos ДсоГ	(3
Так как постоянная составляющая функции т] (1) равна нулю, входящие
в выражение (3.63) средняя частота соо и функция 0(1) будут
t
©0=©,, 0 (1) = А© f T] (х) dx.	(3.70). (3.71)
1 Для сокращения выкладок положим начальные фазы О1=0з—0.
7*
99
Рис. 3.18
Рис. 3.19
Итак, на основании (3.66), (3.68) — (3.71) выражение (3.65) приводится
к виду
л (/)= Л! У1 + /г2 + 2/г cos Дсо/ cos
t
со,/ + Дсо J t] (х) dx
о
(3.72)
Графики функции т](/), характеризующие изменение частоты, приведены
на рис. 3.18 для некоторых значений k.
При /г<С1, т. е. при наложении слабого колебания Д2со5со2/ на сильное
/licoscoiZ, выражения (3.66) — (3.69) значительно упрощаются:
A (t) «Дi( 1 +£cosAcoi), о(0 «<01+/гДшсо5Д<о1,
ф(/) ~wi/+&sinAco/.
(3.73)
В этом случае огибающая, частота и фаза заданного сигнала изменяются
по гармоническому закону с частотой Дсо=со2—<01 относительно своих сред-
них значений соответственно Дь <oi и coit
С увеличением k закон изменения и(/) на интервале |Дсо/|^л услож-
няется. Так, при &=0,5 т](/=л/Дсо) =—1, т. е. отклонение со(/) от частоты
coi достигает наибольшей возможной величины, равной Дсо (см. рис. 3.18).
При значениях k, близких к единице, по формуле (3.69)
т](0»
1 + cos Дсо/
2 (1 +cos дсо/) ==
(3-74)
Таким образом, на протяжении почти всего интервала частота суммар-
ного колебания Ы1+Ди/2= (о)1+<а2)/2.
Этот результат можно получить непосредственно из выражения (3.64),
которое при Д1=Д2 подстановкой <о2=о)0+Д<Оо, o>i=coo—Дсоо легко приводит-
ся к виду
/ <02—(О, 1	/со., +<о,
а(/)=2Д]2 cos Дсо0/ cos соо/ = 2А] >2 cosl——Hcos I—g—
График колебания a(t) при k = \ представлен на рис. 3.19. Период
Л—Л
функции cos Aco0/ = cos 2л—%—t равен 2/(/г—/,), причем в точках пере-
100
хода через нуль эта функция, как отмечалось выше, меняет свой знак.
Если не учитывать перемену знака, т. е. определять огибающую амплитуд
I (<0г — СО,) I
функцией cos------g----М. т0 период биений будет вдвое короче, как это
показано на рис. 3.19. Поэтому частота биений равна /2—- f,.
Формулы (3.66) — (3.74) имеют важное прикладное значение, так как в
технике часто приходится иметь дело с биениями двух гармонических коле-
баний.
з.ю. аналитический сигнал
При анализе воздействия гармонического колебания на ли-
нейную систему его принято представлять в комплексной фор-
ме, что позволяет использовать преимущества методов теории
функций комплексной переменной. В конце анализа осуще-
ствляется переход к тригонометрической форме путем отбрасы-
вания мнимой части
a (t) = Re [Aoef “<>' ] = Re [Aoe'<“»'+e,))] = Ao cos (<o0t + 0O),
где A0=/i0e'eo — комплексная амплитуда.
В современной радиотехнике представление колебаний в
комплексной форме распространено на негармонические коле-
бания.
Если задан физический сигнал в виде действительной функ-
ции a(t), то соответствующий ему комплексный сигнал пред-
ставляется в форме
(3.75)
где at(t)—функция, сопряженная по Гильберту с сигналом
а(0-
Заметим, что мнимая часть комплексной формы гармониче-
ского колебания является функцией, сопряженной по Гильбер-
ту с ее действительной частью.
Главная особенность определенного таким образом ком-
плексного сигнала заключается в том, что его спектральная
плотность
Z0(co)=S0((D)+iSa,(co)	(3.76)
содержит только положительные частоты. Действительно,
согласно (3.60), (3.61) при со>0 Soi(a>) =—/Sa(co), а при со<0,
S<xl (to) =iSa(co).
Следовательно,
_|2Sa((i)) ПРИ °>0’
Zc(M-|o при С()<0.
(3.77)
101
Так, если узкополосному сигналу a(t) соответствует спек
тральная плотность Sa(o), модуль которой изображен на
рис. 3.20 штриховой линией, то сигналу za(f)=a(()+ia1(() со
ответствует спектральная плотность Za(co), модуль которой изо
бражен на том же рисунке сплошной линией.
Интеграл Фурье для сигнала za(t) принимает следующий
вид:
ОО	оо
Za W *=Л	(«) eibytdto = ^7 2S° eZw'rZ(O,
Jl ,)	i L eJ
о	0
(3.78)
где Sa(o)) —спектральная плотность исходного (физического)
сигнала a(t).
Комплексный сигнал, определяемый выражениями (3.75)
(3.76), называется аналитическим сигналом1.
Пусть задан физический сигнал
и
а(0 =А (/)со8[сооН-е(/)]=Л (f)costy(O
аналитический
для сопря
и требуется определить соответствующий ему
сигнал za(t). Исходя из общего выражения (3.54)
женной функции ai(t) можно написать
оо
л г,х	I С л (т) COS Ч|) (т)	,
го(0=^(0со5ф(0-— \-------7= ----dr.
—со
~ыо	О	too w
Рис. 3.<20
Рис. 3.21
1 Смысл термина «аналитический сигнал» заключается в том, что при
переходе к переменной t=x + iy функция za d)=za (х + ty), определяемая
ОО
в соответствии с (3.78) интегралом 27 2SC (<о) e^^e'^dw, является ана-
о
литической функцией для каждого (/>0. Для доказательства определим
энергию сигнала za (к + iy) с помощью равенства Парсеваля
ОО
Эг=27 [2Sa (о) е~В{,]г dco<23a.
о
Как видны, множитель е-2“>' обеспечивает сходимость интеграла при лю-
бом у>0, поскольку со>0. В случае же действительного сигнала «(/) переход
к д(х+ф) приводит к бесконечному возрастанию множителя e-2“v в области
<о<0. Иными словами, аналитичность сигнала обусловлена тем, что в области
и-С0 спектральная плотность функции za(t) равна нулю.
102
Точное определение ai(t) при сложной функции А(т)соэф(т)
является трудной задачей, которую можно обойти, если исход-
ный сигнал a(t) является достаточно узкополосным процессом.
Можно показать, что в этом случае
й! (t) =А (t) simf(Z) = A (t) sin[<O(/+0 (/) +0OL
Таким образом, аналитический сигнал можно записать в
следующем виде:
zo(0=^(0ei*(')=^(0e’IW»'+e<‘)^,=A(0ei%‘,	{3.79)
где
А(/)=А(0с<[е<,)+е<=1	(3.80)
представляет собой комплексную огибающую узкопо-
лосного сигнала.
Соотношения между А(^), a(t) и ai(t) иллюстрируются век-
торной диаграммой на рис. 3.21. Модуль комплексной огибаю-
щей, равный A(t) [поскольку	]|в1 при любом зако-
не изменения 0(/)], содержит информацию только об ампли-
тудной модуляции колебания, а фазовый множитель eiB(t) —•
только об угловой модуляции. В целом же произведение
Z(f)e‘B(6 содержит полную информацию о сигнале a(t) (за
исключением несущей частоты <во, которая предполагается из-
вестной) .
Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при
анализе узкополосных сигналов исключить из рассмотрения
частоту соо, придает важное значение понятию «аналитический
сигнал».
Рассмотрим основные свойства аналитического сигнала и
комплексной огибающей.
1.	Произведение аналитического сигнала za{t) на сопряжен-
ный с ним сигнал z*a(t) равно квадрату огибающей исходного
(физического) сигнала a(t).
Действительно,
za(t)z* (0 =[»(0+*«1(*)][«(0— iai(0]=a2(0+a|(0 =
=A2(t).	(3.81)
Таким образом, модуль аналитического сигнала za(t) равен
просто огибающей сигнала A (t).
2.	Спектральная плотность комплексной огибающей A(f)
совпадает со смещенной на соо влево спектральной плотностью
аналитического сигнала Za(t).
Основываясь на общей формуле (2.38), можно написать
оо
Z.a(o)= ^za(t)^dt.
—оо
Подставляя в это выражение za(i) =A(f)e’“° ‘, получаем
со
Za(co)= А (0	= S4 (со — ®0), со > 0.	(3.82)
103
О
<->о	й
Р.З..
Рис. 3.22
Это соотношение яв-
ляется обобщением фор-
мулы (2.50) на случай
комплексной функции
времени A (t). Выраже-
ние (3.9), выведенное для
вещественной огибающей
A(t) (при чисто ампли-
тудной модуляции), яв-
ляется частным случаем
общего выражения (3.82).
Введя обозначение
со—coo=Q, перепишем
(3.82) в несколько иной
форме
Zo (соо+Й) = SA (Q) =
=2S0(oo+fi)	(3.83)
[см. (3.77)].
Соотношение между спектрами SA(£2) и Z0(coo+fi) иллюстри-
рует рис. 3.22. Особо следует отметить, что спектр SA(Q)
комплексной огибающей А(/) не обязательно симметричен от-
носительно нулевой частоты (см. рис. 3.22). Если спектр Sa(a)
физического колебания a(t) несимметричен относительно со=
=соо, как это может иметь место, например, при амплитудно-
угловой модуляции (см. § 3.8), то и функция Za(co) =2S0(a),
со>0, несимметрична: после сдвига Z0(co) на величину соо вле-
во спектр комплексной огибающей SX(Q) будет несимметричен
относительно частоты й=0. В любом случае функция SA(fi)
отлична от нуля в области частот Q<0. Следовательно, комп-
лексная функция А(/) не является аналитическим сигналом.
Это объясняется тем, что действительная и мнимая части A(f)
не являются функциями, сопряженными по Гильберту.
3.	Корреляционная функция аналитического сигнала, опре-
деляемая общим выражением
(3.84)
является комплексной.
Действительно, выразив 5ж(т) через модуль спектральной
плотности сигнала So (со) с помощью выражения вида (2.122),
получим
оо	оо
Вг (г)=2л' 5	е/шМ<о = 4^ S2a (со) etoTc?co=
о	о
= 4 ~ S2O (со) cos coxrfсо + Z4 — S2a (со) sin coxrfco. (3.85)
104
Действительная часть этого выражения есть не что иное, как
удвоенная корреляционная функция исходного физического
колебания a(f), т. е. 2Ва(т), а мнимая часть учитывает взаим-
ную корреляцию колебаний a(t) и at(t).
Для раскрытия смысла мнимой части выражения (3.85)
вернемся к общему определению корреляционной функции
(3.84) и запишем ее в форме
оо
ДДт)= 5	+	Zai(^+T)]^=
—оо
оо	оо
а (/) a (t 4- т) dt + ах (t) а{ (i + т) dt +
—со	—оо
— Дд ('Г)Н~ Дд1	[Bata (l) — Ваах (т)]-	(3.85')
В § 2.14 было установлено, что корреляционная функция
действительного сигнала зависит только от модуля спектраль-
ной плотности. Так как модули спектров функций a(t) и at (t)
одинаковы (см. § 3.9), первые два интеграла в (3.85') равны
и в сумме дают 2Ва(т). Следовательно, мнимые части в вы-
ражениях (3.85), (3.85') совпадают и можно написать следую-
щее равенство:
оо
Ва.а (t) — Ваа, (т) = 4 ~ Sа2 (®) БЙ1 СОТОГО.
О
Но в соответствии с (2.118) Ваа,	так что левую
часть можно записать в форме Bo,a(-r)—Baia(—т). Далее,
правая часть, содержащая под интегралом множитель sin сот,
является нечетной функцией т, откуда следует, что и разность
В«1в(т)—Ваа, (т) является нечетной функцией. Это возможно
только при нечетности функции Ва,а(т). Таким образом, при-
ходим к равенству Вв1,(т)—ДМ1 (т) =*2Ва,«(т) и соответствен-
но к соотношению
со
5с,д(т)=2^^ Д2((о) sin сотДт.
о
Формулу (3.85') теперь можно представить в виде
Вх(т) =2Во(т)4-12Ва1а(т).
.(3.86)
105
Итак, Ие[В2(т)]=2Ва(т), откуда вытекает полезное соотноше-
ние между корреляционной функцией Во(т) исходного действи-
тельного сигнала и корреляционной функцией В2(т) аналити-
ческого сигнала
Bfl(T)=yRe[Bz(r)].	(3.87)
4.	Корреляционные функции аналитического сигнала и комп-
лексной огибающей этого сигнала связаны между собой соот-
ношением
Вг(т)=е-‘“«тВА(т).	(3.88)
Действительно, подставив в (3.84) za(t) =А(/)е* •»* и ?□*(/) =
=А*(/)е_'“о/, получим важное соотношение
Вг( т) = е-г“«т А (О A* (t + T)dt,	(3.89)
в котором интеграл есть корреляционная функция комплекс*
ной, огибающей, Поэтому выражение (3.87) можно запи-
сать в форме
В а (т) = у Re [е_/ш«хДд (г)] =

оо
q-to.T A(OA*(Z + t)t#
—оо
(3.87')
В частности, при т=0
Да(О)=| J А2 (0 dt=~Bz^Y
(3.90)
Из этого выражения видно, что, поскольку Во(0)=Э, энергия
аналитического сигнала равна удвоенной энергии исходного дей-
ствительного сигнала.
Следует указать, что применение понятия энергии к комп-
лексной функции имеет не только формальный смысл. В гл. 13
будет показано, что в некоторых устройствах обработки сигна-
лов приходится иметь дело с совокупностью двух функций вре-
мени, сопряженных по Гильберту, т. е. с аналитическим сигна-
лом как с физическим процессом.
Формирование аналитического сигнала можно пояснить на
простой модели, показанной на рис. 3.23. Исходный сигнал
a(t) =*А(Z)cos[(oo/+6(0] подается на выход непосредственно по
прямому каналу и через фазосдвигающее устройство, обеспе-
чивающее сдвиг на —90° для всех спектральных составляющих
узкополосного сигнала a(t). В результате такого сдвига полу-
чается колебание A(/)cos[coo/-|-0(/)—90o]=A(/)sin[G>c/+8(/)]=
сопряженное по Гильберту с функцией a(t). Следова-
106
aft)	aft)
zo(t) =a(t) +iat(t)
Рис. 3.23
тельно, совокупность aft) и ai(/), действующую на выходе,
можно трактовать как аналитический сигнал
za (t) = А (0 е'в(')е‘“»‘ =А (0 е<в«
В последующих главах будут даны примеры применения по-
нятия «аналитический сигнал» как для упрощения анализа про-
хождения через радиоцепи действительных сигналов, так и для
описания совокупности двух квадратурных сигналов.
3.11. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
МОДУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ
При нахождении корреляционной функции модулированно-
го колебания a(t) =A{t)costy(t) будем исходить из условия аб-
солютной интегрируемости функции a(t) (сигнал с конечной
энергией), что позволяет применять определение (2.115)
оо
Да(т)= § a(t)a(t-\-t)dt.
—оо
(3.91)
Вычисление интеграла для сложных сигналов требует гро-
моздких выкладок. Задача существенно упрощается при перехо-
де от колебания a(t) к аналитическому сигналу zo(f) =А(/)е*“Л.
Основываясь на соотношениях, выведенных в предыдущем па-
раграфе, рассмотрим сначала чисто амплитудную модуляцию,
когда a(t)=A(t)coSd)dt, 0(0=0 и, следовательно, А(0=А*(0 =
=4(0-
Тогда формула (3.87') принимает вид
Be(T)=±Re
оо
e-ib).T Д (fj Д ф. т)
—оо
оо
cos со0т A (t) A (f ф- т) dt.
—оо
(3.92)
Обозначив, как и в выражении (3.87'), интегральный мно-
житель через Да(т), окончательно получим
Ва(т)=Вл(т) (72COSC00T).
(3.93)
107
Второй	множитель
(*/2 cos coot) есть корреляци-
онная функция гармоническо-
го колебания с частотой о0 и
единичной амплитудой.
Итак, корреляционная
функция амплитудно-модули-
рованного радиосигнала рав-
на произведению корреляци-
онных функций огибающей и
высокочастотного заполнения.
В качестве примера на
рис. 3.24, а показан радиоим-
пульс с прямоугольной оги-
бающей, а на рис. 3.24,6 —
соответствующая этому импульсу корреляционная функция.
Следует отметить, что эта функция не зависит от начальной
фазы заполнения радиоимпульса, а ее огибающая совпадает с
корреляционной функцией прямоугольного видеоимпульса (см.
§2.14, рис. 2.29,г).
Для иллюстрации применения общего выражения (3.89) к
амплитудно-частотной модуляции найдем корреляционную
функцию импульса, изображенного на рис. 3.14, а.
При обозначениях формулы (3.36) и рис. 3.14 аналитический
сигнал запишется в виде
Za(t) =Л0е,₽,,/2е’Ч —д/2с^д/2.
(3.94)
Используя формулы (3.64) и (3.87'), получаем
Д./2-с
=	С е/1о>о/+₽/*/21е-/[Ио(<+т)+Р(/+т)’/21^у.	(3.95)
-Гс/2
С помощью несложных преобразований выражение (3.95)
приводится к виду

’F
^4 % sin । -2 'I 2
₽т
О
₽Тг\Г~ 
1 COS СОоТ
------- при |т|
Д
2 ’
при | т | > TJ2.
(3.96)
Используя введенный в § 3.7 параметр т [см. (3.37)] и учи-
тывая, что р7'2с=2с1)дГс = 2ллг, приводим выражение (3.96)
к более общему виду
Ге
cos соот.
(3.96')
108
Рис. 3.25
Множитель 1/2АоТс=Ва(О) =Э равен полной энергии рас-
сматриваемого радиоимпульса (как и при импульсе с постоян-
ной частотой заполнения, см. рис. 3.24,6).
Таким образом,
Да(т)_Ва (т)
В а (0)	Э
[зипт I	т
I I	'Т* ||
1 С \	1 C/J
COS С00Х.
(3.97)
График этой функции построен на рис. 3.25 для параметра
т=100 в предположении, что сооГс очень велико (масштаб
выбран произвольно). Огибающая корреляционной функции
образует весьма острый пик (при пг^>1), а частота заполнения
постоянна и равна центральной частоте соо исходного радио-
импульса.
Рассмотренный здесь сигнал с большой базой m и его кор-
реляционная функция представляют большой практический
интерес для современной радиотехники.
Глава 4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
4.1.	ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Информация, передаваемая по каналу связи или извлекае-
мая в результате измерения, заключена в сигнале. До приема
109
сообщения (до испы-
тания) сигнал следует
рассматривать как
случайный процесс,
представляющий собой
совокупность (ан-
самбль) функций вре-
мени, подчиняющихся
некоторой общей для
них статистической за-
кономерности. Одна из
этих функций, ставшая
полностью известной
после приема сооб-
щения, называется
реализацией слу-
чайного процесса. Эта
реализация является уже не случайной, а детерминированной
функцией времени.
Важной, но не исчерпывающей характеристикой случайного
процесса является присущий ему одномерный закон распреде-
ления вероятностей.
На рис. 4.1 изображена совокупность функций Xi(l),
х2(0, • • • > образующих случайный процесс X(t). Значения, кото-
рые могут принимать отдельные функции в момент времени
t—ti, образуют совокупность случайных величинх^^^.Хг^!),...
Вероятность того, что величина xh(t1) при измерении попа-
дает в какой-либо заданный интервал (а, Ь) (рис. 4.1), опреде-
ляется выражением
ь
Ptl(a<.x^.b) = Sp(x-, ti)dx.
а
(4-1)
Функция р(х; ti), представляющая собой дифференциальный
закон распределения случайной величины x(tx), называется
одномерной плотностью вероятности, a Ptl —интегральной ве-
роятностью.
Функция р(х; Л) определена для случайных х непрерывного
типа, могущих принимать любое значение в некотором интерва-
ле. При любом характере функции р(х; £]) должно выполнять-
ся равенство
*max
р(х’, /Jdx= 1,
rmln
(4.2)
где Хтж и Xmax — границы возможных значений х(Л).
Если х является случайной величиной дискретного типа и
ПО
может принимать любое из конечного числа дискретных значе-
ний, то (4.2) следует заменить суммой
(4.2')
X
где Pt—вероятность, соответствующая дискретному значению
Х{.
Задание одномерной плотности вероятности р(х; tx) позво-
ляет произвести статистическое усреднение как самой величины
х, так и любой функции f(x). Под статистическим усреднением
подразумевается усреднение х по множеству (по ансамблю) в
каком-либо «сечении» процесса, т. е. в фиксированный момент
времени.
Для практических приложений наибольшее значение имеют
следующие параметры случайного процесса:
математическое ожидание
mx(f)=M[x(t)]= хр (х; t) dx;	(4.3)
—оо
дисперсия
Dx(t) =M{[x(t)—mx(t)]2};	(4.4)
среднее квадратическое отклонение
(i)=VM {[х (t) - тх (0Н=/ДЛО-	(4.5)
Одномерная плотность вероятности недостаточна для пол-
ного описания процесса, так как она дает вероятностное пред-
ставление о случайном процессе X(t) только в отдельные
фиксированные моменты времени. Более полной характеристи-
кой является двумерная плотность вероятности1 р(хь х2; tx, t2),
позволяющая учитывать связь значений хх и х2, принимаемых
случайной функцией в произвольно выбранные моменты вре-
мени tx и t2.
Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного
процесса является n-мерная плотность вероятности при доста-
точно больших п. Однако большое число задач, связанных с
описанием случайных сигналов, удается решать на основе дву-
мерной плотности вероятности.
Задание двумерной плотности вероятности р(хь х2, tu t2)
1 Здесь н в дальнейшем одной и той же буквой р обозначаются плотно-
сти вероятности различных случайных функций. В некоторых разделах, если
это необходимо для устранения путаницы, будут применяться индексы, уточ-
няющие параметр, к которому относится данное распределение. Например,
при рассмотрении случайного процесса х(/) = A (t)cos ®(/) будут применяться
обозначения рх(х), рл(А) и ре(®).
111
позволяет, в частности, определить важную характеристику
случайного процесса — ковариационную функцию
Kx(tx, *2)=М*(М*(М1-	(4.6)
Согласно этому определению ковариационная функция слу-
чайного процесса X(t) представляет собой статистически усред-
ненное произведение значений случайной функции X(t) в мо-
менты tx и t2.
Для каждой реализации случайного процесса произведение
x(tx)x(t2) является некоторым числом. Совокупность реализа-
ций образует множество случайных чисел, распределение кото-
рых характеризуется двумерной плотностью вероятности
P(Xi, х2,	t2). При заданной функции р(хь х2, tXy t2) операция
усреднения по множеству осуществляется по формуле
оо оо
Л\(Л. *2)= § ххх2р(хх, х2; tx, t2)dxxdx2.	(4.7)
—оо — оо
При ^2=Л двумерная случайная величина ххх2 вырождается
в одномерную величину х2=х22. Поэтому можно написать
оо
Kx[tx, А) = 5	(4.?)
—00
Таким образом, при нулевом интервале между моментами
времени tx и t2 ковариационная функция определяет величину
среднего квадрата случайного процесса в момент t~tx.
При анализе случайных процессов часто основной интерес
представляет его флуктуационная составляющая. В таких слу-
чаях применяется корреляционная функция
Я«(Л, /2)=ЛД[х(/1)— mx(tx)][x(t2) — mx(t2)]}.	(4.8)
Подставляя в (4.7) x(tx)—mx(tx) вместо x(fi) и x(t2)—tnx(t2)
вместо x(t2), можно получить следующее выражение:
Rx(tx, t2)=Kx(tx, t2)—mx(tx)mx(t2).
При tx=t2=t выражение (4.8) в соответствии с (4.4) опре-
деляет дисперсию случайного процесса Dx(t). Следовательно,
Kx(t,	t)=Dx(t).
Исследование случайного процесса, а также воздействия
его на радиоцепи существенно упрощается при стационарности
процесса.
Случайный процесс называется строго стационарным, если
его плотность вероятности р(хх, х2, ..., х„; tx, t2, ..., tn) про-
извольного порядка п зависит только от интервалов t2—tb
t3—Л, - - -, tn—tx и не зависит от положения этих интервалов в
области изменения аргумента t.
112
В радиотехнических приложениях теории случайных процес-
сов условие стационарности обычно ограничивается требова-
нием независимости от времени только одномерной и двумер-
ной плотностей вероятности (случайный процесс, стационар-
ный в широком смысле). Выполнение этого условия позволяет
считать, что математическое ожидание, средний квадрат и
дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а кор-
реляционная функция зависит не от самих моментов времени
Л, и t2, а только от интервала между ними t=G—Л-
Стационарность процесса в широком смысле можно трак-
товать как стационарность в рамках корреляционной теории
(для моментов не выше второго порядка).
В дальнейшем усреднение по множеству часто будет обоз-
начаться чертой над случайной функцией или величиной.
Таким образом, для случайного процесса, стационарного в
широком смысле, предыдущие выражения можно записывать
без обозначения фиксированных моментов времени. В част-
ности,
оо
тх=М(х) = xp(x)dx=x,	(4.9)
—оо
Кх (т) = М [х (0 х (t + т)] = х(/)х(/ + т),	(4.10)
/?х(т) = /СДт)-/п2Л = ^(т)-(^(0)2,	(4.11)
DX=KX (0) - т\ =7ф) - (7(F))2=Rx (0)=о%,	(4.12)
ох=VKX (0) - /Л=/ Кх (0) - (7(F))2.	(4.13)
Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов дос-
тигается при использовании условия эргодичности про-
цесса. Стационарный случайный процесс называется эргодичес-
ким, если при определении любых статистических характерис-
тик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усред-
нению по времени одной теоретически бесконечно длинной реа-
лизации.
Условие эргодичности случайного процесса включает в себя
и условие его стационарности. В соответствии с определением
эргодического процесса соотношения (4.9) — (4.13) эквивален-
тны следующим выражениям, в которых операция усреднения
по времени обозначена угловыми скобками:
<x(t) > = lim
Т-*ос>
TI2
-у- x(t)dt,
-Т/2
772
Л\(т)=Ит х(/)х(^4-т)^Л
-Аг
(4-14)
(4.15)
8—3305
113
/?x(t) = /G-(t)— <x(0>2>	(4.16)
DX=KX(Q)- <x(/)>2 = <л2(Ц> - <л(0>2 = о%,	(4.17)
Ox=//<x(0)- <x(0>2= |/<x2(0> - <x(t))2.	(4.18)
Если x(t) представляет собой электрический сигнал (ток,
напряжение), то <х(7)> — постоянная составляющая случай-
ного сигнала, 7?ж(0) = <х2(/)>— средняя мощность флуктуации
сигнала [относительно постоянной составляющей <%(/)>].
Выражение (4.15) внешне совпадает с определением (2.120)
корреляционной функции детерминированного сигнала (перио-
дического) .
Часто применяется нормированная корреляционная
функция
гх (т) =RX (т) /DX=[KX (т) —<х>2]/£>ж.	(4.19)
Функции Лх(т), Rx(t) и гж(т) характеризуют связь (кор-
реляцию) между значениями x(t), разделенными промежут-
ком т. Чем медленнее, плавнее изменяется во времени x(t),
тем больше промежуток т, в пределах которого наблюдается
статистическая связь между мгновенными значениями случай-
ной функции.
При экспериментальном исследовании случайных процессов
используются временные корреляционные характеристики про-
цесса (4.15) — (4.19), поскольку, как правило, экспериментатору
доступно наблюдение одной реализации сигнала, а не множест-
ва его реализаций. Интегрирование выполняется, естественно,
не в бесконечных пределах, а на конечном интервале Т, длина
которого должна быть тем больше, чем выше требование к
точности результатов измерения.
4.2.	ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.
ПРИМЕРЫ
Применение общих определений, приведенных в предыдущем
параграфе, иллюстрируется ниже на нескольких характерных
случайных процессах.
Наряду с обозначением случайного процесса символом Х(7)
будет применяться в том же смысле обозначение x(t), под ко-
торым подразумевается случайная функция времени. Как и
ранее, xk(t) обозначает k-ю реализацию случайной функции
х(7).
4.2.1.	ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ
АМПЛИТУДОЙ
Пусть, в выражении, определяющем сигнал
x(t) =Acos(to0^+6o) =Acos ф(0,	(4.20)
частота <в0 и начальная фаза 60 являются детерминированными
и постоянными величинами, а амплитуда А — случайная, рав-
новероятная в интервале от 0 до Лтах величина (рис. 4.2).
114
Найдем одномерную плотность вероятности р(х; ti) для
фиксированного момента времени Л- Мгновенное значение х(Л)
может быть любым в интервале от 0 до Hmaxcosф(Л), причем
будем считать, что со8ф(^)>0. Следовательно,
р(х; /1) = 1/ЛтахСОЗ ф(Л) , 0<Х<Дта1СО5'ф(Л).
График функции р(х; /,) для фиксированного значения h
представлен на рис. 4.3.
Математическое ожидание
м к (Л)] = л ~^х сЬГф (Л)“	S	*:^ = -2-'AmaxC0Sip(2ti).
О
Далее,
4maxC0S,W*)
Лгаах COS ip (/j)	S ^^ = -уЛтахС052ф(/1).
О
Наконец, дисперсия
^(А)=АГ[л?(А)1-[Л1[х(<1)П2=4-л“ахСО82*^)_
-4-Хах COS2 ф (А) = -^-Л^ах CQS2 ф (А).	(4.21)
Рассматриваемый случайный процесс нестационарный и не-
эргодический.
^tnascCOS 5&6У
^masc СО S (tf)
Рис. 4.3
8*
115
4.2.2.	ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ
ФАЗОЙ
Пусть амплитуда и частота гармонического сигнала заранее
достоверно известны, а начальная фаза 6 — случайная вели-
чина, которая с одинаковой вероятностью может принимать
любое значение в интервале от —л до л. Это означает, что
плотность вероятности начальной фазы
рв(0) = 1/2л, —л<0<л.	•	(4.22)
Одну из реализаций случайного процесса x(t), образуемого
совокупностью гармонических колебаний со случайными фаза-
ми (рис. 4.4), можно определить выражением
xh(t) =cos(coo/+eh) =cos фк(0.	(4.23)
Полная фаза колебания ф(t) = а0^+6 является случайной
величиной, равновероятной в интервале от &>о/—л до шо^+л.
Следовательно,
Рф(Ф) = 1/2л, (dot—л<ф<соо^+л.	(4.24)
Найдем одномерную плотность вероятности рх(х) случай-
ного процесса x(t). Выделим интервал х, x-j-dx (рис- 4.5) и
определим вероятность того, что при измерении, проведенном
в промежутке времени от ti до мгновенное значение
сигнала окажется в интервале х, x-j-dx. Эту вероятность мож-
но записать в виде px(x)dx, где рх(х) —искомая плотность веро-
ятности. Очевидно, что вероятность px(x)dx совпадает с вероят!
костью попадания случайной фазы колебаний ф в один из двух
<116
заштрихованных на рис. 4.5 фазовых интервалов. Эта последняя
вероятность равна 2рф(ф)г/ф. Следовательно,
рж(х)йх=2рф(ф)йф= (2/2л)йф,
откуда искомая функция1
М*) = —т^-т. —
Иф I
Но
| ~ | = | sin ф I = У1 —cos2ip = ]/1 —х2.
Таким образом, окончательно
Рх(х)= 1/л V1 — х2, — 1<х<1.	(4.25
График этой функции изображен на рис. 4.6.
Существенно, что одномерная плотность вероятности не за-
висит от выбора момента времени t, а среднее по множеству
[см. (2.271.7) в [5]]
1	t
7H[x(Z)]= xpx(x)dx=^-	dx=0	(4.26>
—i	_*i ’ r
совпадает co средним по времени
Г/2	Г/2
x(/) = lim ’	x(Z)fl^ = lim-^-	cos (®0Z -ф 0) dt = 0.
Г'*°°	—T/2	T"”c°	—T/2
(Это справедливо для любой реализации рассматриваемого
случайного процесса.)
Корреляционную функцию2 в данном случае можно полу-
чить усреднением произведения х(^)х(^2) по множеству без
1 Абсолютное значение производной берется на том основании, что плот-
ность вероятности является неотрицательной величиной.
2 Ковариационная функция рассматриваемого процесса совпадает с кор-
реляционной функцией, так как Л1[х(/)]=0.
117
обращения к двумерной плотности вероятности [см. общее вы-
ражение (4.7)]. Подставляя в (4.6)
я (Л)-^ (Л>) =cos (©оЛ+е)С08 (<00/2+6) = ‘Afcoswo (Z2—Л) +
-|-cos[<bo (ti -Ь^г) +26]},
а также учитывая, что первое слагаемое cos<»o(^2—Л) является
детерминированной величиной, а второе слагаемое при статис-
тическом усреднении с помощью одномерной плотности вероят-
ности рв (6) = 1/2 л [см. (4.22)] обращается в нуль, получаем
Я«(Л, Z2)=Al[x(f1)jC(/2)]=V2cosfi)oT.	(4.27)
Такой же результат и при усреднении произведения
x*(/)xh(/+x) по времени для любой реализации процесса.
Независимость среднего значения от tx и корреляционной
функции от положения интервала т=/2—tx на оси времени
позволяет считать рассматриваемый процесс стационарным.
Совпадение же результатов усреднения по множеству и време-
ни (для любой реализации) указывает на эргодичность про-
цесса. Аналогично нетрудно показать, что гармоническое коле-
бание со случайными амплитудой и фазой образует стационар-
ный, но не эргодический процесс (различные реализации обла-1
дают неодинаковой дисперсией).
4.2.3. ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС
Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных
величин чаще других встречается в природе. Гауссовский про-
цесс особенно характерен для помех канала связи. Он очень
удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распреде-
ление которых не слишком сильно отличается от нормального,
часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плотность
вероятности гауссовского процесса определяется выражением
В данном параграфе рассматривается стационарный и эрго-
дический гауссовский процесс. Поэтому под тх и ох2 можно
подразумевать соответственно постоянную составляющую и
среднюю мощность флуктуационной составляющей одной
(достаточно длительной) реализации случайного процесса.
Графики плотности вероятности при нормальном законе для
некоторых значений ох изображены на рис. 4.7. Функция р(х)
симметрична относительно среднего значения. Чем больше о,,
тем меньше максимум, а кривая становится более пологой
.[площадь под кривой р(х) равна единице при любых значениях
о«].
Широкое распространение нормального закона распределе-
ния в природе объясняется тем, что при суммировании доста-
118
точно большого числа неза-
висимых или слабо зависи-
мых случайных величин
распределение суммы близ-
ко к нормальному при лю-
бом распределении отдель-
ных слагаемых.
Это положение, сфор-
мулированное в 1901 г.
А. М. Ляпуновым, получи-
ло название центральной
предельной теоремы.
Наглядными физиче-
скими примерами случайного
распределения являются шум
процесса с нормальным законом
J, обусловленные тепловым дви-
жением свободных электронов в проводниках электрической
цепи или дробовым эффектом в электронных приборах (см.
§ 7.3). Не только шумы и помехи, но и полезные сигналы, яв-
ляющиеся суммой большого числа независимых случайных эле-
ментарных сигналов, например гармонических колебаний со
случайной фазой или амплитудой, часто можно трактовать как
гауссовские случайные процессы.
На основе функции р(х) можно найти относительное время
пребывания сигнала x(t) в определенном интервале уровней,
отношение максимальных значений к среднеквадратическому
(пик-фактор) и ряд других важных для практики параметров
случайного сигнала. Поясним это на примере одной из реали-
заций гауссовского процесса, изображенной на рис. 4.8, а для
mx=Q. Эта функция времени соответствует шумовой помехе.
Рис. 4.8
119
энергетический спектр которой простирается от нулевой час-
тоты до некоторой граничной частоты. Вероятность пребывания
значения x(f) в интервале от а до b определяется выражением
(4.1). Подставляя в это выражение (4.28), при тх=0 получаем
ь
1________С
-Г*/2а2	J С -xs/2ff2
!	Xdx — —г==—\е	г
V 2ло,
Xdx —
1
~х’/2с?
Xdx
bja
e~v*i2dy —
a!ax
-	=	(4.29)
V 2л J	\ °k /	\ °x /
0	'	4
Функция
ф(«)=
е-иЧ2^у
О
называется интегралом вероятностей. В математи-
ческих справочниках приводятся таблицы этой функции.
Подставив в (4.29) Ь1ох—1, 2, 3 и соответственно а/ах——1,
—2, и —3, нетрудно найти вероятности пребывания x(t) в поло-
сах шириной 2ох, 4ож и 6ож, симметричных относительно оси t.
В рассматриваемом частном случае (|а|=Ь) формулу (4.29)
можно упростить на основании симметрии функции относитель-
но оси ординат (рис. 4.7).
Таким образом,
»/av
Р( — b<x<b)=2—^ ( e-^dy=2Ф(—\
V 2л J	\°х /
’о	'
Результаты вычислений сведены в табл. 4.1. В последней
графе приведены значения, равные 1—2Ф(Ь/ох). Из этой табли-
цы следует, что ширину шумовой дорожки (рис. 4.8, а) нор-
мального шума можно приравнять (4...5)ох. Если принять во
внимание пики функции x(t), вероятность которых не менее
Таблица 4.1
Интервал значений	Вероятность пребывания в интервале	Вероятность пребывания вне интервала
(—Ох, Ох)	2-0,3413=0,6826	— 0,317
(—2оя, 2ох)	2-0,4772=0,9544	~ 0,046
(—ЗОх, 30х)	2-0,49865=0,9973	-0,003
120
1%, то пик-фактор шума (отношение пика к сх) можно оценить
значением ~3. Напомним, что для гармонического колебания
пик-фактор равен 2.
Отношение времени пребывания x(t) в заданном интервале
к общему времени наблюдения (достаточно большому для эф-
фективного усреднения) можно трактовать как вероятность по-
падания x(t) в указанный интервал. На такой трактовке осно-
ван принцип построения различных приборов, используемых
для экспериментального нахождения одномерной плотности ве-
роятности случайного процесса.
Можно отметить, что приведенные выше данные о распреде-
лении вероятностей не дают никаких представлений о поведе-
нии функции x(t) во времени. На рис. 4.8,6 показана реализа-
ция гауссовского процесса со спектром, сосредоточенным в уз-
кой полосе частот с центральной частотой соо- По своей плотно-
сти вероятности р(х) и, следовательно, по значениям тх и ох
этот процесс не отличается от низкочастотного, показанного на
рис. 4.8, а.
Для описания временных характеристик функции x(t) необ-
ходимо привлечь двумерную плотность вероятности, позволяю-
щую найти ковариационную функцию [см. (4.7)]. Другой спо-
соб— нахождение спектра мощности случайного процесса. Он
рассматривается в следующем параграфе.
4.3.	СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ
МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Подразумевая под случайным процессом множество (ан-
самбль) функций времени, необходимо иметь в виду, что функ-
циям, имеющим различную форму, соответствуют различные
спектральные характеристики. Усреднение комплексной спект-
ральной плотности, введенной в § 2.4, по всем функциям приво-
дит к нулевому спектру процесса (при Al[x(Z)]=0) из-за слу-
чайности и независимости фаз спектральных составляющих в
различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спект-
ральной плотности среднего квадрата случайной функции, по-
скольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения
фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией x(t)
подразумевается электрическое напряжение или ток, то сред-
ний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю-
мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность
распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от ме-
ханизма образования случайного процесса. Спектральная плот-
ность средней мощности представляет собой среднюю мощность,
приходящуюся на I Гц при заданной частоте <о. Размерность
функции №((i)), являющейся отношением мощности к полосе
частот, есть
[1^ (ю)] = Г ь Мощность—1 = [Мощность X время] = [Энергия].
1	' ,J L Полоса частот J 1	г J 1	1 J
121
Спектральную плотность случайного процесса можно найти,
•если известен механизм его образования. Применительно к шу-
мам, связанным с атомистической структурой материи и элект-
ричества, эта задача будет рассмотрена в § 7.3. Здесь же мы
ограничимся несколькими определениями общего характера.
Выделив из ансамбля какую-либо реализацию xk(t) и огра-
ничив ее длительность конечным интервалом Т, можно приме-
нить к ней обычное преобразование Фурье и найти спектраль-
ную плотность Хкг(<д). Тогда энергию рассматриваемого отрез-
ка реализации можно вычислить с помощью формулы (2.58):
7/2	со
j xlT(t)dt=~ 5 lX*H“)|2^-
—7/2	-со
(4.31)
Разделив эту энергию
k-Ъ реализации на отрезке
на Т, получим среднюю мощность
Т
1 С |Хй7-(“)12
\ —т------
da.
(4.32)
При увеличении Т энергия Эм возрастает, однако отношение
Экт1Т стремится к некоторому пределу. Совершив предельный
переход 7—>оо, получим
со	оо
2^ S 7^0 KkTra} </С0 = 2Г S
‘Где
IF*(co) = lim
Т ->оо
I (со) |2
Т
(4.33)
представляет собой спектральную плотность средней мощности
рассматриваемой /г-й реализации.
В общем случае величина (со) должна быть усреднена по
множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рас-
смотрением стационарного эргодического процесса, можно счи-
тать, что найденная усреднением по одной реализации функция
характеризует весь процесс в целом. Опуская индекс k,
получаем окончательное выражение для средней мощности слу-
чайного процесса
оо
— оо
где
IV/ /11-3 1Хг(®Лг
Н7Л(со) = 1нп ---=---
(4-34)
322
Если рассматривается случайный процесс с ненулевым сред-
ним значением x(t), то спектральную плотность следует пред-
ставить в форме
№х(Ю) = <х(0>2-2л6(©)+ГС\.(®),	(4.35)
где №~(со)—сплошная часть спектра, соответствующая флук-
туационной составляющей х; 6 (со) —дельта-функция.
При интегрировании по f=tal2n первое слагаемое в правой
части дает <х(/)>2, т. е. мощность постоянной составляющей, а
второе — мощность флуктуационной составляющей, т. е. дис-
персию
оо
S W~ (°) db) =	(4-36)
—оо
Для процесса с нулевым средним
со	оо
= J Wx^)d^ = Wx(2nf)df,	(4.37)
—оо	—оо
Из определения спектральной плотности (4.33) очевидно,
что 1Гх(а>) является четной и неотрицательной функцией со.
ь
4.4.	СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ
СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ И
КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Скорость изменения x(t) во времени определяет, с одной
стороны, ширину спектра, с другой — ход ковариационной функ-
ции. Очевидно, что между U7X(«) и Кх(т) имеется тесная связь.
Теорема Винера—Хинчина утверждает, что Кх(т) и Wx(a>)
связаны между собой преобразованиями Фурье:
оо
WM= 5 Kx(x)e-^dT,	(4.38)
—оо
оо
Кх (Т) = 2^	(Ю)	(4’39)
— СО
Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные
выражения имеют вид
оо
1Гл(со)= Rx(T)e~ia>xdT,	(4.38')
—оо
оо
(т) = 5	(4-39/)
123
Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойст-
вам преобразований Фурье, установленным в гл. 2 для детер-
минированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса,
тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше
интервал корреляции, тем уже спектр процесса.
Большой интерес представляет белый шум, спектр которого
равномерен на всех частотах —со<(о<;оо.
Если в выражение (4.39) подставить IFx(<o) = R70=const, то
получим [см. (2.75)]
со
Rx (т) = 1Г0	jj е'“^о) = Wo& (т),	(4.40)
—-оо
где б(т) —дельта-функция.
Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром
корреляционная функция равна нулю для всех значений т,
кроме т=0, при котором 7?х(0) обращается в бесконечность. По-
добный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тон-
кими случайными выбросами, иногда называют дельта-корре-
лированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно ве-
лика.
Поясним применение приведенных выше соотношений на
примерах. Заданы следующие параметры напряжения шума
(гауссовский стационарный процесс с нулевым средним): сред-
неквадратическое значение «Ск=2 В и энергетический спектр
Wi{2nf), равномерный в полосе частот —f i... ft (сплошная
линия на рис. 4.9), при Л = 10 МГц.
Шум с подобным спектром обычно называют широкополос-
ным. В данном случае
(2nf) =ы2ск/2А= (2)2/2-107=*2-10“7 В2/Гц.
Корреляционная функция рассматриваемого процесса при
Д?)'=0 [см. (4.38')]
С01	C0t
/?!(т) = ± V UZ1(co)e/“Mco = 5t PZj (со) cos 0)^0 =
Л ,)	^31 _)
—COt	—(D1
124
Дисперсия шума
Д1=»и2ск=/?1(0)=4В2.
Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, а)
Г1 (т) =/?i (-r)/a^=sin (щт/оцт.	(4.42)
Вырежем из спектра исходного шума полосу от f=—Fi до
/=ГЬ обозначенную на рис. 4.9 штриховкой, и найдем D2,
/?2(т) и г2(т), соответствующие этому ограниченному по полосе
шуму.
При Fi=2 МГц
D2=2F 1Г1 (и) =2-2-106-2-10~7=0,8 В2,
/?2 (т) = 2 • 10"7- 2F, Б1"У- = 0,8 si"-2lT-,
r2 (t) =	(т)/ц2=(sin QjTj/^T.
Сужение спектра привело к растяжению графика г2(х) по
оси т (рис. 4.10, а). Интервал корреляции увеличился в fi/Ft =
=5 раз.
Найдем аналогичные характеристики для шума, спектр ко-
торого обозначен на рис. 4.9 двойной штриховкой. От предыду-
щего этот случай отличается положением спектральной полосы
на оси частот. Шум с подобным спектром называют узкополос-
ным (при 01/ь)о<С1).
Дисперсия этого шума £>з, очевидно, не отличается от О2.
125
Корреляционная функция
—(toe-Qi/2)	Шо+01/2
^з('<:)=^ j Wzi(«)e/“Trfc1) + 2~ VZ, (и) е'ютб?ы =
~(со04-Я1/2)	cd©—Qi/2
coo+^i/2
==-гГ v^l (tt>)cos (ОТС?(О =
и>0—£11/2
— 2 10-7 — Гsin ((0° + fii/2)T _ sin ((><,—Qt/2)T 1 _
л L T	t J
= 2.10-7^-.2 sin cos to0T=2- IO-7-2F,^|£g cos ®ot. (4.43)
«14	C.	QtJjT/ Ct	V
Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10,6)
z ч sin Ш.т/2)	.J
r3M = -ОЖ~ C0S %x-	(4‘44>
Огибающая функции г3(т) (штриховая линия) по форме по-
добна огибающей функции г2(т), однако эта функция имеет
вдвое большую протяженность. Высокочастотное заполнение
функции г3(т) имеет частоту &>„, равную центральной частоте
спектра шума.
График нормированной корреляционной функции, показан-
ный на рис. 4.10,6, позволяет составить представление о харак-
тере шумового колебания с узкополосным спектром. Осцилля-
ции корреляционной функции с частотой ь>0 указывают на то,
что и мгновенное значение шумового колебания изменяется в
среднем с частотой <оо. Напомним, что корреляционная функ-
ция гармонического колебания является также гармонической
функцией той же частоты (см. § 2.14). Изменение же огиба-
.	. .	sin QiT/2
ющеи корреляционной функции по закону	q4/2"	указы-
вает на то, что огибающая шумового колебания, являющаяся
случайной величиной, изменяется во времени относительно мед-
ленно, подобно функции времени, спектр которой ограничен
наивысшей частотой Qt. Примерный вид шумового колебания,
соответствующего корреляционной функции (4.44), представ-
лен на рис. 4.11 (в измененном масштабе времени).
Итак, шумовое колеба-
Рис. 4.11
ние с узкополосным спек-
тром следует представлять
высокочастотным колеба-
нием с медленно (по срав-
нению с частотой соо) изме-
няющимися амплитудой и
фазой:
x(t) =А (t)cos[(£>0t+6(t)],
(4.45)
где «о — центральная часто-
та спектра шума.
126
Следует подчеркнуть, что все параметры этого колебания:
амплитуда, фаза и частота — являются случайными функциями
времени. Статистические характеристики этих параметров рас-
сматриваются в § 4.6.
4.5.	ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ
ФУНКЦИЯ И ВЗАИМНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ
ПЛОТНОСТЬ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
В данном параграфе рассматриваются стационарные про-
цессы с нулевым средним, поэтому связь между процессами
x(f) и y(t) оценивается с помощью взаимной корреляционной
функции, определяемой выражениями1
/?эд(т)=Л1[х(01/(^+'г)], /?1/х(т)=М[«/(О<«+т)].	(4.46)
Кроме того, имеются в виду эргодические процессы, поэто-
му можно применять усреднение как по множеству, так и по
времени:
Г/2
/?хДт)=х(0у (^ + T)==lim	x(t)y(t + x)dt,
Т~*С°	-Т/2
Т/2
/?ух(т)=у (Ц х (/ + т) = lira	£ y(t)x(t±i;)dt.
Т~°	-Т/2
(4-47)
(4.48)
Как и для детерминированных колебаний, взаимная корре-
ляционная функция не изменяется, если сдвиг на т одной из
функций x(t) или y(t) заменить сдвигом в обратном направле-
нии другой функции. Поэтому можно написать следующие ра-
венства:
(т) = х(t) у (I + т) = х (t — т) у (t),	(4.49)
Rvxb)=y(t)х (f + V) = y(t—x)x(t).	(4.50)
Из последних выражений вытекают следующие соотношения
между 7?i1z(t) и Rvx(x), аналогичные выражению (2.118):
Rxy{x)=Ryx{ т)> Ryx(x) =Rxv( т).	(4.51)
Соотношения (4.49) — (4.51) не следует смешивать с усло-
виями четности функций. Каждая из функций /?Х1/(т) и /?их(т)
необязательно четна относительно т (см. § 2.14).
В итоге корреляция между значениями функций x(t) и y(t)
1 Подразумевается, что не только сами процессы x(t) н y(t), но и связи
между ними стационарны.
127
в два различных момента времени, разделенных интервалом т,
задается корреляционной матрицей
(«)
где Rxx(x) и /?и(т)—корреляционные функции соответственно
процессов х(/) и y(t).
Пусть, например, рассматривается сумма двух эргодических
процессов x(t) и y(t) с нулевыми средними (х=у=0) и тре-
буется определить корреляционную функцию случайного про-
цесса s(O=x(/)+t/(f) (при условии, что взаимные корреляци-
онные функции стационарны).
Используя формулу (4.16) и учитывая равенства (4.47),
(4.48), получаем
Rs (t) = s(0s(*4-t) = [х (/) + у (0] [х (/ + т) +«/ (* + т)] =
= x(t)x(t + x)+x(t)y(t+x) 4- y(f)x(t + x)+y(t)y(t+x)=
=	(т)+Rxy (t) + Rvx (т)+Ryy (t).	(4.53)
При т=0 Яхх(0)=и2х и Яга(О)=ст%, а 7<хД0) =/?vx(0).
Следовательно,
Ds=7?s(0) =Dx+£>v+/?xV(0)+/?Vx(0) =Dx+Dv+2Rxy(0). (4.53')
Если процессы x(f) и y(f) статистически независимы, то
дисперсия (средняя мощность) суммы будет D.=DX+DV.
В противном случае в зависимости от знака Rxy(0) мощ-
ность процесса s(t) может быть больше или меньше суммы
дисперсий Dx и Dy.
Для разности s(f)=x(t)—y(t) получается выражение, ана-
логичное (4.53). Необходимо лишь знак плюс перед членом
2RXy заменить минусом. При независимости процессов х(1) и
,y(t) дисперсия процесса s(t), как и при суммировании, будет
DS=DX+DV.	(4.54)
Применим к /?„(т) соотношение Винера—Хинчина (4.38):
Ws (со) = $ Rs (т) е~'“Мт = Wx (со) + Wу (со) + Wxy (со) +
+ ^Ух(со).	(4.55)
В этом выражении
Wxy (со) = jj Rxy (т) e-to,dT, Wyx (со) = jj /?уДт) (4.56)
—оо	—оо
имеют смысл взаимных спектральных плотностей случайных
процессов x(t) и y(t).
128
В отличие от спектральных плотностей №х(<в) или ^„(и),
которые являются действительными функциями <в и не могут
принимать отрицательных значений, взаимные спектральные
плотности Wxy (со) и W\,x(<o) могут быть комплексными функ-
циями. Это связано с тем, что функции RXy(r) и RyX(x) не обя-
зательно четные относительно т. Подстановка в (4.56) соотно-
шения (4.51) приводит к равенству
UM(o) = U7*lx(w),	(4.57)
откуда следует, что
^xv((o)-h^x((o)=2Re[IFX1/(to)J=2Re[TrvX(fi))].	(4.58)
Таким образом, выражение (4.55) можно записать в форме
№. ((d) = Wx (cd) 4- Wy (cd) +2Re[№x„ ((d) J.	(4.59)
Это выражение поясняет физический смысл взаимной спек-
тральной плотности №Xv((d). Если случайные процессы х(/) и
y(t) статистически независимы, то №xv((d)=0 и спектр суммы
s(t)=x(t)-\-y(t) равен сумме спектров №х(<в) и №(,(©) и, сле-
довательно, мощность процесса s(i) равна сумме мощностей
процессов x(t) и y(t).
Если действительная часть взаимной спектральной плотно-
сти положительна, то №.(«)>№х(а>)4-№\/(й)) и> следовательно,
корреляция между процессами приводит к возрастанию сред-
ней мощности суммарного процесса (o.a>(Jx24-o/)  Очевидно,
что при отрицательной действительной части №Х1,(со) средняя
мощность суммарного процесса меньше, чем Dx-\-Dy.
Если £)s=Z>x+£)!/, то процессы x(t) и y(t) являются неза-
висимыми, аддитивными.
В практике часто встречается случай суммирования процес-
са x(t) с процессом Kx(t—Т), т. е. с тем же процессом, задер-
жанным на время Т и усиленным в К раз (рис. 4.12).	/
Составим матрицу (4.52) для процессов x(t) и </(0 =
—Rx(t—Т). В обозначениях (4.52) получаем
7?хг(т)=/?Дт);
Rxy (т)=x(t)y(t + x)=Kx(t)x(t — T 4-т) = KRx(т — Т),
Ryx(т)== Kx(t-T)x(t + x) = KRX (т + Г),
RVy (т) = Ry (т)=У (t) у (* + *) = К2Х (t — T)x(t— Г 4- т) =
= K2Rx№-
Рис. 4.12,
9—3305
129
Таким образом, корреляционная матрица процессов x(t) и
y(t)=Kx(t—Т) принимает вид
п(т)==|7Ы0 /ОМт-Т)]
Найдем теперь корреляционную функцию процесса s(0 =
=х(0+^(0 на выходе сумматора (рис. 4.12). Подставив в
(4.53) элементы матрицы Ё(х), получим
Rs (т) =7?х (т) +KRX (т—Г) +ОХ (т+Т) +K2RX (т).
Приравнивая т=0, находим дисперсию процесса
DS=DX+KRX( — Т)+ЛЯХ(Т)+Л2£Х= (1+^)£>х+2К/?х(7’) =
=Рх[1+Л2+2Хгх(Т)],
где rx(T)—Rx(T)/Dx— нормированная корреляционная функ-
ция процесса x(t) (напомним, что в данном примере МЦ(0]=
При замене сумматора вычитающим устройством знак плюс
перед слагаемым 2Кгх(Г) должен быть заменен минусом.
Если задержка Т значительно больше интервала корреля-
ции процесса x(t), то гх(Т)-+0 и DS=DX(10-К2)
4.6. УЗКОПОЛОСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ
ПРОЦЕСС
Краткое описание свойств гауссовского шума, сформирован-
ного из белого шума вырезанием относительно узкой полосы
частот, было дано в § 4.4. Там же отмечалось, что каждая из
реализаций подобного случайного процесса имеет вид почти
гармонического колебания [см. (4.45)]
х (0 = А (0cos|W+0 (0 J = А (0 cos ф (0,	(4 60)
все параметры которого — огибающая A(t), фаза 6(0 и часто-
та а(0—являются случайными медленно меняющимися функ-
циями времени.
При представлении шума в форме (4.60) предполагается, что
огибающая Л(0 отвечает соотношению
А(0 = Ул2(О4-г/2(0,	(4.61)
где y(t)—функция, сопряженная по Гильберту с исходной
функцией x(t), а <в0 выбрана таким образом, что фаза 6(0 не
содержит слагаемого, линейно зависящего от t.
В этом смысле нет различия между случайным и детерми-
нированным процессами (см. § 3.9). Дополнительно этот вопрос
рассматривается в § 4.7.
Дальнейшее рассмотрение основано на допущении, что
спектральная плотность шума х(0 сконцентрирована в узкой
по сравнению с величиной и0 полосе, причем функция 1Гх((о)
130
0	Q
Рис. 4.13
в указанной полосе симметрична относительно точки соо
(рис. 4.13, а).
Рассмотрим стационарный эргодический процесс с нормаль-
ным законом распределения вероятностей. Необходимо подчерк-
нуть, что указанное распределение характеризует физическое
колебание x(Z), т. е. мгновенное значение колебания (в любой
момент времени Z). Параметры же колебания 71(Z), 0(Z) и
обладают законами распределения, существенно
отличающимися от нормального*. Для полного описания
свойств узкополосного процесса требуется знание законов рас-
пределения, а также корреляционных функций всех параметров
колебания.
4.6.1. ОГИБАЮЩАЯ
Представим высокочастотное колебание x(Z), определяемое
выражением (4.60), в виде двух квадратурных колебаний:
x(Z) =А (Z)cos 0(Z)cos iooZ — A (Z)sin 0 (Z)sin w0Z=
=Дс(/)со5 ti)0Z—/ls(Z)sin cooZ.	(4.60')
Здесь, как и в § 3.5,
4c(Z)=/l(Z)cosO, Xs(O=^(Z)sin0	(4.62)
представляют собой амплитуды соответственно косинусной и
синусной составляющих колебания x(Z), причем
М0 = v ^2(Z)+^2s(Z), 0(Z) =arctg As/Ac.	(4.63)
Для отыскания плотностей вероятности Ра(А) и рв(0) тре-
буется знание соответствующих плотностей р(Ас) и р(А), а
также совместной плотности вероятности р(Ас, As).
1 Это вытекает из нелинейной зависимости параметров А, 0 и со от х
" У-
9*
131
случайную функцию Ac(t) [или Ля(/)] с функцией x(t):
x(t) =А (Осо5[ш0Н-е(0], Ac(t) =Л (/)cos 6(0.
Отличие Ас(0 от х(0 заключается в исключении слагаемо-
го соо/ из аргумента косинуса. Как и для детерминированного
колебания, это означает сдвиг спектра каждой из реализаций
случайного процесса на величину ы0 (в направлении к нулевой
частоте при сохранении структуры спектра). При этом сохра-
няется и закон распределения случайной функции x(t). Поэто-
му если процесс x(t) гауссовский, то и процесс Ac(t) гауссов-
ский (оба процесса с нулевым средним).
Спектр WAc(£1) (рис. 3.13,6) случайной функции Лс(0 мож-
но получить из спектра функции x(t) сдвигом на со() левого
лепестка и на —а>0 правого лепестка спектра ЖДсо).
В результате получается спектр
№лс(П)=2и/ж(<о„+П),	(4 64)
группирующийся вблизи нулевой частоты. Коэффициент 2 учи-
тывает* сложение мощностей, приходящихся на оба лепестка
й\(ш).
Аналогичные рассуждения используем для случайного про-
цесса Л5(() и его спектра
IBAs(Q)=2U7x(Wo+Q).
Из этого выражения и рис. 4.13 вытекает, что площадь под
кривой №ж(со) (в двух лепестках) совпадает с площадью под
кривой WAc (й) [или WAc (Q)]. Следовательно, дисперсии слу-
чайных функций Ac(t), A1 2 * *s(t) и x(t) одинаковы: g2Ac=o2as =
9
= ОЛ.
При учете первого выражения (4.63), из которого вытекает
равенство A2(t)=A2 (t)-\-A2s(t), приходим к следующему вы-
ражению для среднего квадрата огибающей (из-за некоррели-
рованности квадратур):
<A2> = /F(0=r)Ac+DAs=2Dx=2o2.	(4.65)
Итак, одномерные плотности вероятности случайных функ-
ций Лс(/) и As(t) можно определить выражениями
1	(	Ас \
1	/	А2 \
р(Д5)=-^=—ехо----------—).	(4.66)
У ' s' у 2лоЛ ' \	2о2 )
1 В случае детерминированного AM колебания (рис 3 9) при переходе
от спектра S«(co) к спектру Sx(co) удваивается спектральная плотность hi
пряжения (или тока), что приводит к учетверению спектральной плотности
энергии, пропорциональной 5д (со). В данном случае мощность случайного
процесса всего лишь удваивается из-за некогерентного суммирования спек-
тров от обоих лепестков Wx(<o).
132
Кроме того, взаимная корреляция между функциями Ac(t)
и As(t) равна нулю при т=0. Действительно, возводя выраже-
ние (4.60') в квадрат и усредняя по множеству, получаем
Af[x2(/)]=Af[>4c(Qcos G>of—4s(0sin е>оф=
=M[Acz(t) ]со52<о^+Л4[А82 (/) Jsirrcoo/—
—2Л4[ДС (Z)4s(/)]sin aBt cos a>ot.
Но левая часть этого выражения равна Rx(0)=Dx, кроме
того, M[Ac2(0]=7WHs2(/)]=L>x=7?As(0), а (0Дв(0]=
=RacAs (0) является взаимной корреляционной функцией слу-
чайных процессов Дс(0 и 4s(0 при т=0. Следовательно, пре-
дыдущее равенство приводится к виду
Ях(0)=#лс(0)— Длсде(0) sin 2ы0/ = Ох2—Racas(G) sin 2ы0Г,
(4.67)
откуда следует, что дД0)=0 [поскольку процессы x(t) и
Яс (0 стационарны, равенство (4.67) должно выполняться в лю-
бой момент времени].
Итак, Лс(0 и As(t), отсчитываемые в один и тот же момент
времени, — статистически независимые величины1. Поэтому сов-
местную плотность вероятности р(Ас, As) можно определить вы-
ражением
,	/  Д2 Д2
Р(АС. As) р (Ас) p(As) = ехр ----------------с 2 --
2по'	\	2ах
1	/	Аг \
=-----5- ехо--------5— .
2лсг2	‘ \	2о“ /
(4.68)
Вероятность того, что конец вектора А(/) лежит в элемен-
тарном прямоугольнике cMcA4s (рис. 4.14), равна произведению
вероятностей пребывания Ас в интервале dAc и 4S в интерва-
ле dAs:
Р (Ас) dAcp (AJ dAs = —l— exp ( —dAcdAc.
2nor \ 2gx /
При переходе от прямоугольных координат к полярным пло-
щадь заштрихованного на рис. 4.15 элемента будет AdQdA, а
вероятность пребывания конца вектора в этом элементе равна
—U- ехр ( AdQdA.
2ла" \	2<т2 /
Из этого выражения следует, что двумерная плотность ве-
роятности
/,(Лв)=^ехр(^)' (4'69)
1 Это положение вмтекает также из соотношения (4.65), показ ывающего,
что средний квадрат огибающей A (t), т. е. Dявляется аддитивной
суммой средних квадратов функций Лс (t) и HS(Z).
133
лае
Интегрируя по переменной б, получаем одномерную плот-
ность вероятности
рА (А)= р(А, e)de = ^- ехР (—0<Л<оо. (4.70)
Л	\ 2аг '
Обоснование пределов интеграла приводится в следующем
пункте данного параграфа.
Распределение огибающей, характеризуемое плотностью
вероятности (4.70), называется распределением Рэлея
(рис. 4.16). Максимальное значение функции рд(А) получается
при А = ох. Это означает, что А=ох является наивероятнейшим
значением огибающей.
Среднее же значение (математическое ожидание) огибаю-
щей
УИ ГЛ] = < Арл (A)rfA=-l-?A2exp(—^-Va =
О	х 0	v
= |Z1^.	(4.71)
Аналогично средний квадрат огибающей
Л4 [А2] = Т А3рА (A) dA = -Ц- ? A3 exp ( -	dA = 2с3. (4.72)
о	ах 0J	v	'
Этот результат совпадает с (4.65). Таким образом, средняя
мощность огибающей равна
удвоенной дисперсии шу-
ма. Это аналогично соот-
ношению между квадратом
амплитуды Ао и средней
мощностью гармоническо-
го колебания q(Q =
=А0 cos (оо£, равной а2(^) =
Вероятность того, что
134
огибающая 4(f) превысит некоторый заданный уровень С, оп-
ределяется формулой
ОО
P(4>C) = J рА (A)dA =
с
ОО
j р	/	А2 \	/	С2 \
?? 3 А ехр ~wW = exP - W ’
с	4	'	v '
(4.73)
а вероятность того, что огибающая A (t) будет ниже уровня
С, — формулой
Р(Ас С) = 1—ехр (—С2/2ох2).
(4-74)
Из этих формул видно, что уже при С~3ах вероятность пре-
вышения уровня С составляет всего около 1%. Поэтому можно
считать, что ширина шумовой дорожки, наблюдаемой, напри-
мер, на экране осциллографа (рис. 4.17), не превышает
(5...6)ох.
Этот результат, естественно, близок к данным, приведенным
в § 4.2 для шумовой дорожки широкополосного гауссовского
процесса (со спектром, примыкающим к нулевой частоте).
Ковариационная функция огибающей узкополосного нор-
мального шума [6] определяется по формуле, приводимой без
вывода:
(4.75)
135
корреляционной функции шума x(t), т. е. функции, определяе-
мой выражением (при х=0)
гх (?) =/?* (?) /с2х =г0 (т) cos со0т.	(4.76)
Так как г0«£1, то ряд (4.75) быстро сходится. Поэтому мож-
но ограничиться первыми двумя членами:
2
/СЛ(т)«^[1 + ±г02(т)].	(4.77)
Применяя к Ка(х) преобразование Фурье [см. (4.38)], нахо-
дим спектральную плотность мощности огибающей
WA	2лб(П) + -^±	г02(т) е_/Стс?т.	(4.78)
Из выражения (4.78) видно, что спектр огибающей примы-
кает к нулевой частоте. Первое слагаемое в правой части (4.78)
соответствует постоянной составляющей огибающей, а вто-
рое — сплошной части спектра.
Примеры применения формул (4.75)—(4.78) приводятся в
§ 11.3—11.5.
4.6.2 ФАЗА
Интегрирование двумерной плотности вероятности р(А, 6),
определяемой выражением (4.69), по переменной А дает одно-
мерную плотность вероятности фазы
со
х о	х
СО
=^Нехр(_'^Ил2)=2^’ -я<е<я- (4-79)
Этот результат согласуется с пределами интегрирования
в (4.70).
Заметим, что из представления р(А, 0) [см. (4.69)] в виде
произведения
₽<Aeb	I
_hrexp (А)р‘т
непосредственно вытекает статистическая независимость слу-
чайных величин Л и 0. Как и в отношении Ac(t) и As(0, это
справедливо при отсчете Л(/) и 6(f) в один и тот же момент
времени [см. замечание к (4.67)].
136
Соотношения (4.70) и (4.79) позволяют сделать следующее
общее заключение: произведение вида %=Лсоз 0, в котором Л
и 6 — независимые случайные величины, причем А распределе-
на по Рэлею, а 0 равновероятна в интервале (—л, л), облада-
ет нормальной плотностью вероятности.
Условие узкополосности процесса x(t) не обязательно; необ-
ходимо лишь, чтобы Л и 6 были связаны соотношениями (4.63).
Корреляционная функция фазы Q(t) определяется выраже-
нием [6]
/?е(т)=-^го(т) + ^гО2(т)+тТго3(т)+ •••	(4.80)
При т=0 ряд сходится к л2/3, т. е. дисперсия фазы равна л2/3.
Действительно, при распределении (4.79)
ТС
р	1 / А* \[к тг2
Пе= 02ре(0)б/0=2_Ш|^=^_.	(4.81)
4.6.3. ЧАСТОТА
Основываясь на выражении (4.60), мгновенную частоту шу-
ма можно записать в форме
... di|>(0	. дб(о , • ...
® (0== “о+= “о+0
откуда следует, что закон распределения мгновенной частоты
определяется распределением производной фазы 0.
Приведем без вывода [7] выражение для плотности вероят-
ности случайной величины 0
Г / й2 \з/2-1-*
,	(4.82)
где Дсоэк — эквивалентная ширина спектра узкополосного про-
цесса, определяемая выражением
оо	/ оо
(Дсоэк)2 = (со — со0)2 VT (со) da / W (со) da.	(4.83)
о	/ о*’
График функции р(0)
изображен на рис. 4.18.
Среднее значение абсо-
лютной величины 101,
т. е. мгновенной частоты,
равно Дсоэк-
Рассмотрим случай,
когда	энергетический
спектр	IV'a.((o) = R70((o)
равномерен в полосе ча-
стот ±F,/2 при централь-
ной частоте f0 (в обозна-
Рис. 4.18
137
чениях рис. 4.9). Переходя в (4.83) к новой переменной
со—соо=й, получаем следующие соотношения
оо	£21
^(<o-co0)2UZx((o)d<o=
О	—£21
^Л(со)с/со = и7о dQ^W^
б	-£21
И
„ 2 о
(Д^эк)2 = wB2Qt = "з ^>2,
Итак, для узкополосного шума со спектром W'o в полосе
(—fii.Qi) среднее значение
j0| = A(o3K= ‘ Q1.	(4.83')
Г О
4.7. КОМПЛЕКСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ
ПРОЦЕСС
Пусть задан действительный стационарный случайный про-
цесс x(t) со спектром №\(ш). В теории случайных процессов
доказывается, что если x(t) дифференцируем в среднеквадрати-
СО
ческом смысле так, что выполняется условие Гсо^Цсо^соС00,
то к x(t) можно применить интегральное преобразование
причем интеграл также понимается в среднеквадратическом
смысле.
Определенный таким образом случайный (стацис зрный)
процесс Xi(t) по отношению к x(t) является сопряженным (по
Гильберту), а процесс
z (0 =х (t)	(4.84)
является комплексным случайным процессом.
Применение понятия комплексного случайного процесса
особенно полезно при рассмотрении узкополосных процессов.
Если x(t) можно представить в виде x(Q=A(f)cos[(oc^+6(0]1
где А (/) и 6 (/) — случайные функции, то, как и для детерми-
нированного аналитического сигнала (см. § 3.10), Xi(/) =
' 4)sin[co0f+0(/)] и
j=4(Qe'l"«'+°<4!.	(4.85)
z(t)=z(t)+ixf(t)
Рис. 4.19
Поясним физический смысл этого понятия на модели
(рис. 4.19), аналогичной использованной в гл. 3 модели форми-
рования детерминированного аналитического сигнала (см.
рис. 3.23).
Пусть узкополосный стационарный шум со спектром ^х(со)
поступает на выход по двум каналам: прямому и через фазо-
сдвигающее звено с характеристикой <р(ю)=—90° (в полосе
шума). Различие между процессами x(t) и Xi(t) обусловлено
лишь влиянием фазосдвигающего звена. Амплитудно-частотная
характеристика этого звена равна единице, следовательно,
спектры мощности процессов x(t) и Xi(t) одинаковы: IV'xl(ci)) =
-^(со). То же относится к корреляционным функциям
ОО
/?л-(т) = /?г. (т) = 2^ 5 ^(<")e'“Trfw
—оо
и к дисперсиям
оо
°x2 = < = /?x(0) = ^
—оо
(Имеются в виду процессы с нулевым средним.)
Найдем теперь спектральную и корреляционную функции
совокупности процессов x(t) и X\(t).
С этой целью выделим одну из реализаций процесса x(t) и
обозначим через Х*т-(о) спектральную плотность отрезка
Л-й реализации с конечной длительностью Т (см. § 4.3). Этот
же отрезок k-й реализации на выходе канала со звеном <р(со) =
=—90° будет иметь спектральную плотность Х1*г(с1)) =
=Xftr(<o)e1’₽(“)=—iX*r(co) при w>0 и 4-1'Х*г(о)) при со<0.
Рассматривая совокупность отрезков Xkr(t) и %1*т(0 как
сумму квадратурных колебаний
Zkr(t) =Xkr(t) +i%ifer(0,
можно определить спектральную плотность отрезка Zkr(t) сле-
дующим образом:
при со>О
Z*7'(fi>) =Х*г (fi>)	—iXfer(o))]=2Xftr (<в);
при co <C0
Zfir((D) =Х*г(<в) -1- i[l%kT ((fl) ]= 0.
139
На основании этих равенств можно утверждать, что Xiat(0
является по отношению к xkr(t) функцией, сопряженной по
Гильберту (см. § 3.9), и, следовательно, при определении спект-
ра и корреляционной функции аналитического случайного про-
цесса (4.84) исходить из выражений, аналогичных (3.84) и
(3.85), выведенных в § 3.10 для детерминированного аналити-
ческого сигнала
Переходя в выражении (3.77) от спектральной плотности
Sa(со) колебания (напряжение, ток) к спектральной плотности
W'x(co) средней мощности исходного колебания x(t), получаем
(4и7х(со) при со>О,
п	/П	(4.86)
'	(0 при со<О.	'
Применяя теорему Винера — Хинчина [см. (4.39')], находим
корреляционную функцию аналитического случайного процесса
оо	оо
^?г(т) = 9— ^Wx (со) е'“тС?СО =4	Wxf (со) cos СОТС/СО +
о	о
оо
-j- i4 Wx (со) sin coxcZco.	(4.87)
о
Это выражение совершенно аналогично выражению (3.85).
Как и для детерминированного аналитического сигнала,
7?г(т) —комплексная корреляционная функция. Действительная
часть этой функции совпадает с удвоенной корреляционной
функцией исходного процесса x(t), т. е. с 2/?х(т), а мнимая
часть учитывает взаимную корреляцию процессов x(t) и %i(i).
Комплексный характер корреляционной функции /?2(т) обу-
словлен тем, что спектр U7z(co) несимметричен относительно оси
со=О, т. е. существует только в области со>0.
При т=0 мнимая часть в соотношении (4.87) обращается в
нуль, что означает некоррелированность процессов x(t) и X|(f)
в один и тот же момент t.
По аналогии с выражениями (3.86) можно написать
7?г (т)	(т) -J-i27?x1x (т),	(4.88)
где
оо
RxlX (т)=2 2~ § Wx (<*>) sin coxt/т.	(4.89)
б
Характер взаимной корреляционной функции RXix(t) опре-
деляется формой энергетического спектра процесса 1^х(со).
При т=0 7?х1Ж(0)=0 и, следовательно, средняя мощность
аналитического случайного процесса
£>г=о2=/?г (0) =2/?л (0) =2£>х.	(4.90)
140
Очевидно также, что средние мощности процессов x(t) и
Xi(t) одинаковы: Dx=DXl .
Проиллюстрируем свойства корреляционной функции
RXt х(т), входящей в выражение (4.88), на примере, когда
исходный узкополосный случайный процесс x(t} обладает
спектром прямоугольной формы при центральной частоте о>о и
полосе G2i<C(Oq. Подобный спектр показан на рис. 4.9 (двойная
штриховка).
Приравнивая в (4.89) U7x(co) = 1Rzi(a>) и интегрируя в преде-
лах от соо—Й1/2 до (Oq+Qi/2, получаем
\ л 1^,12, sin (й,т/2) .	sin(Q,T/2) .
(Т) = 2	sin <о0т= Dx	sin tooT.
Здесь через	обозначена дисперсия исходного процес-
са x(t).
В данном примере огибающая sin(fii-c/2)/(QiT/2) взаимной
корреляционной функции 7?х,х(т) совпадает с огибающей кор-
реляционной функции Rx(x) [см. (4.44)]. Различие между дву-
мя этими функциями заключается в фазах высокочастотного
заполнения [cos «от в /?х(т) и sin о>от в #х,х(т)].
При т=0 Rx,x(x)=0 — процессы Xj(t) и x(t) в один и тот
же момент времени некоррелированны. Однако при соот=зг/2 т=
=л/2<о0= l/4/о — функция /?х,г(т) = /?х.х(1/4/0)= 1/4/0 =
= £>xsinc f-v-y2! При	эта функция достигает макси-
мальчэго значения, близкого к Dx=o2.
Глава 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ
СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
5.1.	ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. АКТИВНЫЕ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
В общей теории электрических цепей под активной подразу-
мевается цепь, содержащая наряду с пассивными элементами
(катушками индуктивности, конденсаторами и резисторами)
источники энергии (генераторы ЭДС или генераторы тока).
Активный характер цепей радиоэлектронных устройств об-
условлен применением в них усилительных элементов: транзис-
торов, ламп бегущей волны и т. д. При этом предполагается, что
энергия сигнала на выходе активной цепи больше, чем на вхо-
де. Для большей определенности видоизменим формулировку
141
|е2
Рис. 5.1
следующим образом: цепь ак-
тивна, если при гармониче-
ском возбуждении средняя
мощность сигнала на выходе
больше мощности на входе,
т. е. коэффициент усиления по
мощности больше единицы.
Из такого определения ясно,
что цепь, осуществляющая усиление напряжения, например, с
помощью повышающего трансформатора без усиления мощно-
сти, является пассивной, даже если в нее входят активные эле-
менты со своими источниками питания.
При построении схем замещения активных цепей источники
постоянного тока или напряжения опускаются. На этих схе-
мах активные элементы (транзисторы и др.) отображаются с
помощью элементов, параметры которых не зависят от пере-
даваемых сигналов. При этих допущениях любой (как актив-
ный, так и пассивный) линейный четырехполюсник можно
представить схемой, изображенной на рис. 5.1. На этом рисун-
ке Еь Е2, I] и 12 обозначают комплексные амплитуды гармо-
нических напряжений и токов независимых источников при
фиксированной частоте со.
Четырехполюсник полностью характеризуется соотношения-
ми между напряжениями и токами на его входе и выходе. Вид
этих соотношений зависит от исходных величин.
Напомним вкратце основные формы представления четы-
рехполюсников.
Если исходными являются напряжения Ei и Е2, то уравне-
ния для определения токов 1, и 12 записываются в форме
I^YhEi+Y^E,. i2=y21e1+y22e2
или в матричной форме
(5-1)
(5.2)
где
12
22.
(5.3)
является матрицей параметров, имеющих смысл и размер-
ность проводимостей.
Если уравнение (5.1) решить относительно Е1 и Е2, то по-
лучатся системы уравнений
Ei=2hIi+2i2I2, E2=22iIi+222I2,	(5.4)
F1 Г[ 1
(5.5)
где
(2Hf" &]	(Эд
142
является матрицей параметров, имеющих размерность сопро-
тивлений.
Исходным уравнениям четырехполюсника, записанным в
форме
Ei=//nIi+//i2E2, 12=Я2111+Я22Е2,	(5.7)
соответствует матрица параметров
в которой Нц имеет размерность сопротивления, Т/22 — прово-
димости, a Hi2 и Я21 — безразмерные параметры.
Приведем еще уравнения в форме
Ii=GiiEi-|-Gi2I2, E2==G2iEI-|-G22i2,	(5.9)
которой соответствует матрица
|G|-[
Gu Gj2
G21 G22J’
(5.Ю)
где Сп — проводимость; G22 — сопротивление, a Gi2 и G2i —
безразмерные параметры.
В теории усилителей наибольшее распространение получи-
ли матрицы Z-, У- и //-параметров.
Уравнения (5.1), (5.4), (5.7) и аналогичные им другие
уравнения позволяют построить эквивалентные схемы замеще-
ния четырехполюсников.
На рис. 5.2, а изображена схема замещения, построенная
в соответствии с уравнением (5.1). На этой схеме оба напря-
жения Ej и Е2 рассматриваются как напряжения внешних
источников. Генератор тока У]2Е2 учитывает влияние выходно-
го напряжения Е2 на вход-
ной ток I,, а генератор тока
УцЕ| — влияние напряже-
ния Е, на выходной ток 12.
Оба генератора можно
рассматривать как зависи-
мые источники, так как
обеспечиваемые ими токи
пропорциональны напря-
жениям внешних источни-
ков. Параметр У21 имеет
смысл взаимной проводи-
мости от входа к выходу, а
У)2 —от выхода к входу.
Очевидно также, что Уи —
входная проводимость че-
тырехполюсника при Е2=0,
т. е. при коротком замыка-
Рис. 5.2
143
нии выхода, а У22— выходная проводимость при возбуждении
четырехполюсника от источника Е2 при коротком замыкании
входа.
Эквивалентная схема четырехполюсника, соответствующая
уравнениям (5.4) и (5.5), изображена на рис. 5.2, б. На этой
схеме зависимые источники напряжения Z12I2 и Z2ili учиты-
вают влияние 12 на Ei и Ij на Е2 соответственно. Уравнениям
(5.7), (5.8) соответствует схема замещения на рис. 5.2, в.
необходимо отметить следующую особенность актив-
ного четырехполюсника: как правило, Уг^У^ или
^2i^Hi2. Это означает, что активные четырехполюсники необ-
ратимы и, следовательно, принцип взаимности к активным че-
тырехполюсникам неприменим.
При анализе радиоэлектронных цепей часто приходится
иметь дело с четырехполюсниками, возбуждаемыми только со
стороны входа: при этом под выходным напряжением подразу-
мевается падение напряжения на сопротивлении нагрузки
ZB=1/GB, т. е. Ег=—l2ZB. В подобных случаях нагрузочный
элемент целесообразно вводить внутрь четырехполюсника.
При представлении четырехполюсника с помощью У-матри-
цы получается схема замещения, показанная на рис. 5.3, а,
которая отличается от схемы на рис. 5.2, а только тем, что
нагрузочная проводимость GB введена в четырехполюсник. Это
позволяет рассматривать новый четырехполюсник как разо-
мкнутый, у которого ток на выходе 12' = 0. Матрица парамет-
ров этого нового четырехполюсника
в)
Рис. 5.3
144
Второе уравнение (5.1) принимает при этом вид
1,2== 1/21Е1 + 1/,22Е2=0,
откуда следует важное соотношение
Et
Ex
(5.12)
21  ____J 21
22	is + GH
При использовании Z- или /f-матриц получаются схемы за-
мещения, представленные на рис. 5.3, бив.
Выражение (5.12) можно трактовать как передаточ-
ную функцию линейного четырехполюсника
K(iw) = E2/E1,	(5.13)
где под Е] и Е2 независимо от выбранной матрицы параметров
У, Z или Н подразумеваются соответственно сигналы на вхо-
де и выходе четырехполюсника.
Характер функции K(ico) определяется частотными свойст-
вами проводимости нагрузки Он, а также параметрами У22 и
У21 активного элемента1 (например транзистора), или Z22, Z2i
И т. д.
Безразмерная комплексная функция K(ico) является исчер-
пывающей характеристикой в частотной области. Она опре-
деляется в стационарном режиме при гармоническом возбуж-
дении четырехполюсника.
Передаточную функцию удобно представлять в форме
K(i‘<b) =А(®)ей(ш).	(514)
Модуль /С(со) обычно называют амплитудно-частотной ха-
рактеристикой (АЧХ) четырехполюсника. Аргумент ф(со) на-
зывают фазочастотной характеристикой (ФЧХ) четырехполюс-
ника.
Другой исчерпывающей характеристикой четырехполюсника
является его импульсная характеристика g(t), которая исполь-
зуется для описания поведения цепи во временной области.
Для активных линейных цепей, как и для пассивных, под им-
пульсной характеристикой цепи g(t) подразумевается отклик,
реакция цепи на воздействие, имеющее вид единичного импуль-
са (дельта-функции). Связь между g(t) и K(ico) нетрудно
установить с помощью интеграла Фурье.
Если на входе четырехполюсника действует единичный им-
пульс (дельта-функция) ЭДС со спектральной плотностью, рав-
ной единице для всех частот, то спектральная плотность вы-
ходного напряжения равна просто K(tco). Отклик на единич-
ный импульс, т. е. импульсная характеристика цепи, легко
1 Инерционность активного элемента в данном случае не учитывается,
т. е. параметры У22 и У21—вещественные величины.
10—3305
1.45
определяется с помощью обратного преобразования Фурье,
примененного к передаточной функции K(ico):
ОО	с+<ь>
$ К(ш)е^(о = ^ 5 K(p)tf‘dp.	(5.15)
—ОО	С—i<0
Соответственно функция K(tco) является преобразованием
Фурье импульсной характеристики
оо
K(io>)=Jg(Oe“wrft	(5.16)
о
В дальнейшем импульсную характеристику будем обозна-
чать функцией g(t), под которой можно подразумевать не толь-
ко напряжение, но и любую другую электрическую величину,
являющуюся откликом на воздействие в виде дельта-функции.
5.2.	СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛА ЧЕРЕЗ
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
В основе этого метода лежит использование введенной в
предыдущем параграфе передаточной функции цепи K(ico).
Если на входе линейного четырехполюсника действует сигнал
произвольной формы в виде ЭДС e(t), то, применяя спектраль-
ный метод, следует определить спектральную плотность вход-
ного сигнала Е(<о). Эта операция легко осуществляется с по-
мощью выражения (2.38). Умножением Е(со) на К(i<o) опре-
деляется спектральная плотность сигнала на выходе четырех-
полюсника. Наконец, применение к произведению Е(со) K(ioj)
обратного преобразования Фурье [см. (2.39)] определяет выход-
ной сигнал в виде функции времени.
Таким образом, если входной сигнал записан в виде инте-
грала
оо
е(/)=А	Е(и>) e,b>,dco,
—оо
(5.17)
то выходной сигнал можно представить в аналогичной форме
оо
и(0 —Е (со) К (i(i>)eib)td(a.
—оо
(5.18)
Сравнение выражений (5.18) и (5.17) показывает, что сиг-
нал на выходе линейной цепи можно получить суммированием
составляющих спектра Е(со) входного сигнала, взятых с весом
K(io)). Иными словами, передаточная функция цепи K(tco) яв-
146
ляется весовой функ-
цией, определяющей относи-
тельный вклад различных со-
ставляющих спектра Е(о) в
сигнал u(t).
В § 2.9 отмечалось, что
анализ переходных процессов
значительно упрощается при
представлении как внешнего
воздействия, так и передаточ-
ной функции в виде преобра-
зований Лапласа. При этом
обозначение передаточной
функции можно сохранить
прежним, а изменить только	Рис. 5.4
аргумент, так что K(tco) перейдет в К(р). Функция же Е(со)
переходит в Е(р) (см. § 2.9). При этом выражение (5.18) при-
водится к виду (см. § 2.9)
e4-foo
«(0=^ j Е(р)К(р)^аР.
С—too
Контур интегрирования
(5.19)
При замкнутый контур интегрирования, образованный
добавлением дуги бесконечно большого радиуса в левой по-
луплоскости (рис. 5.4), охватывает все полюсы подынтеграль-
ных функций как Е(р), так и К(р), благодаря чему имеет
место соотношение

(5.19')
(здесь Sees — сумма вычетов в указанных полюсах).
При t<S) контур интегрирования лежит в правой полуплос-
кости, не содержит полюсов и интеграл равен нулю.
Показанное на рис. 5.4 расположение полюсов функции
Е(р) (на мнимой оси) соответствует ЭДС вида e(t)=EQcosc>)0t,
существующей при
Итак вычисление интеграла (5.19) сводится к определению
вычетов в полюсах подынтегральной функции. Представим
подынтегральную функцию выражения (5.19) в виде
E(p)K(p)ep'=U(p)epf = C(p)/D(p).
(5.20)
В данном случае знаменатель D(p) образуется произведе-
нием множителей вида (р—pni). где рп. — полюсы не только
функции К(р), но и функции Е(р).
Тогда вычет функции C(p)/Z>(p), имеющей в точке р,- прос-
той полюс (первой кратности), определится формулой

(5.21)
ю*
147
Если функция C(p)/D(p) имеет в точке р полюс крат-
ности k (k — целое положительное число), то
5.3.	МЕТОД ИНТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ
Вместо разложения сложного сигнала на гармонические
составляющие (спектральный метод) можно воспользоваться
разбиением сигнала на достаточно короткие импульсы
(рис. 5.5, а).
Если в основе спектрального метода лежит передаточная
функция цепи К (/со), то метод интеграла наложения базирует-
ся на импульсной характеристике цепи g(t), введенной в
§ 5.1.
Пусть требуется найти сигнал sBMI(f) на выходе цепи, если
задан сигнал s(t) на входе цепи и известна ее импульсная ха-
рактеристика g(i). Для уяснения сути метода интеграла нало-
жения поступим следующим образом. Разобьем произвольный
сигнал s(x) на элементарные импульсы, как это показано на
рис. 5.5, а, и найдем отклик цепи в момент t на элементар-
ный импульс (на рис. 5.5, а заштрихован), действующий на
входе в момент х. Если бы площадь этого импульса равнялась
единице, то импульс можно было бы рассматривать как дель-
та-функцию, возникшую в момент х. При импульсной харак-
теристике цепи g(x) отклик в момент t был бы, очевидно, ра-
вен g(t—х). Поскольку, однако, заштрихованная на рис. 5.5, а
площадь импульса равна s(x)Ax (а не единице), отклик в мо-
мент t будет s(x)Axg(t—х).
Для определения полного значения выходного сигнала в
момент t нужно просуммировать действие всех импульсов в
промежутке от х=0 до x=t. При Дх->-0 суммирование сводит-
ся к интегрированию.
Следовательно,
148
В общем случае, если начало сигнала s(x) не совпадет с
началом отсчета времени х, последнее выражение можно за-
писать в форме
t
s(x)g(t—x) dx.	(5.24)
—оо
Приведем еще одну форму записи, которая получается из
выражения (5.24) при замене переменной х на t—т и соответ-
ственно t—х на т:
О	оо
^выХ(О= 5 s(Z —T)g(T)d( —т)=^ s(< —T)g(r)dT. (5.25)
«4-00	о
Возвращаясь к переменной х, получаем
оо
$вых (О = § $ (< — X) g (х) dx.	(5.26)
о
Выражение (5.23) можно также записать в эквивалентной
форме
ОО
$вых (О = S (*) g (t — X) dx,	(5.27)
о
поскольку для реальных цепей всегда выполняется условие
g(t—х)=0 при t<Zx (отклик не может опережать воздействие).
Интеграл, стоящий в правой части выражения (5.26) или
(5.27), в математике называется сверткой функций s(t) и
g(t) (см. § 2.5). Таким образом, приходим к следующему важ-
ному положению: сигнал sBtIZ(t) на выходе линейной цепи яв-
ляется сверткой входного сигнала s(t) с импульсной характерис-
тикой цепи g(t).
Из выражения (5.23) видно, что сигнал на выходе цепи
s.ui(O в момент t получается суммированием мгновенных зна-
чений входного сигнала s(t), взятых с весом g(t—х) за все
предыдущее время.
В § 5.2 при суммировании спектра входного сигнала весовой
функцией являлась передаточная функция цепи K(ico).
В данном случае при суммировании мгновенных значений вход-
ного сигнала s(t) весовой функцией является импульсная ха-
рактеристика цепи, взятая с аргументом (t—х), т. е. функция
£(*—*)
Из рис. 5.5,6, построенного для момента времени t>xs,
видно, что отклик цепи на воздействие s(x) не может закон-
читься раньше, чем функция g(t—х) сместится вправо от s(x)
на время, равное длительности импульсной характеристики т«.
Иными словами, сигнал на выходе цепи не может быть короче
Ts“|~ Tg.
Чтобы при прохождении через цепь сигнал не удлинялся,
149
требуется выполнение условия Tg->0, т. е. импульсная характе-
ристика цепи должна приближаться к дельта-функции, а это
равносильно требованию равномерности передаточной функции
К(ш) при OClcolC00.
5.4.	СОПОСТАВЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО
МЕТОДА И МЕТОДА ИНТЕГРАЛА
НАЛОЖЕНИЯ
Для большей наглядности проведем сопоставление на
простом примере — прохождение импульса прямоугольной фор-
мы через резистивный усилитель. Схема замещения коллектор-
ной цепи усилителя представлена на рис. 5.6. Активный эле-
мент обозначен в виде зависимого источника тока SE с внут-
ренней проводимостью Gi = l//?i. Емкость Со включает в себя
межэлектродную емкость и емкость внешней цепи, a GH=
= !//? — проводимость нагрузки; 5 — крутизна характеристи-
ки тока коллектора.
Напряжение на выходе усилителя
U - <?F--------1______
вых or Gi + Gn + iaCe’
передаточная функция усилителя
|Z	Ьвых _	S/(Gi + GH)	Ашах
— Е —	1+f<oCo/(G/ +GH) 1 +/сото ’
К(Р)=“ГТБГ’ ^max=-S(Gf + GH) при (0 = 0;
т0=С0/(Ог + Он) = С0/?э —постоянная времени, /?э = l/(Gf-|-GH).
Импульсная характеристика усилителя [см. (5.15)]
о- (А  __1— /Г	V	&Ptdp — _ ^max е-</То
>	2л1 А max J	1+рт0	т0 e
с—too
Пусть в момент t=0 на вход усилителя поступает прямо-
угольный импульс ЭДС e(t) с амплитудой Е и длительностью Т
(рис. 5.7, а). В интервале времени от t—О до t=T напряже-
ние на входе можно рассматривать как результат включения
постоянной ЭДС e\{t) (рис. 5,7, б).
Изображение по Лапласу для этой функции (см. табл. 2.1)
Е^р^Е/р.
Тогда по формуле (5.19) напряжение на выходе
С~]-1оо
С—/оо
С-|-/оо
g/Gnax	С eP'rfp
2nZ	J	р(1+рт<>)
С--loo
150
Рис. 5.6
Вычислив по формуле (5.21)
и Р2=—1/То> получим
Рис. 5.7
вычеты в полюсах А = 0
*>0.
В момент t=T включается ЭДС ег(О=—Е, компенсирую-
щая первую ЭДС еД£) (рис. 5.7, б).
Суперпозиция функций пД/) и п2Д) (рис. 5.7, в) обуслов-
ленных действием еД/) и e2(Z), образует выходной сигнал
(рис. 5.7, г).
Получим теперь этот результат, основываясь на заданной
импульсной характеристике усилителя g(t)= —
1	То
Обратимся к интегральной свертке (5.23), в которой под
s(x) будем подразумевать входной сигнал, т. е. прямоуголь-
ный импульс e(t) предыдущего примера. Тогда
t
пВЫх (0 = -
J ^0
О
t
er/xojx= — Km3yiE (1 — е~'/х»),
о
при
При t^T	определяется наложением отклика на
воздействие компенсирующей ЭДС, как и в предыдущем рас-
смотрении (рис. 5.7, г).
151
5.5.	АКТИВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
Введение отрицательной обратной связи (ООС) позволяет
существенно улучшить характеристики устройств обработки
сигналов, а также повысить стабильность режима работы этих
устройств.
На рис. 5.8 изображена структурная схема усилителя с
внешней обратной связью, осуществляемой с помощью вспо-
могательного четырехполюсника Кос(йо).
Как усилитель Ky(tco), так и четырехполюсник Кос(йо)
предполагаются полностью однонаправленными. Подобное
представление имеет смысл в тех случаях, когда входное со-
противление четырехполюсника Koc(io)) достаточно велико,
чтобы не нагружать усилитель Ky(io>); выходное сопротивле-
ние четырехполюсника Кос (ко) должно быть достаточно ма-
лым по сравнению с входным сопротивлением усилителя Ку(ico).
При этих допущениях передаточную функцию системы
Ko(ico) = U/E
(5.28)
можно найти с помощью следующих очевидных соотношений.
Напряжение на выходе четырехполюсника обратной связи
nOc=Koc(iw)U.	(5.29)
Напряжение на входе усилителя Ку(i<o) равно сумме вход-
ной ЭДС Е и напряжения обратной связи Uoc-
Следовательно, напряжение на выходе всей цепи
U=Ку (io>) (Е+ Uoc) = Ку (ico) [Е+Кос (й>) U].
152
Решая это уравнение относительно U, получаем
и- к>’№') Е
l-KyHOIKoodu) ’
откуда следует, что
K.(M=-g-= ,-ку«Х(»> 	(5а»
Это выражение является основным для системы с обрат-
ной связью; Ко (гы) иногда называют общей передаточ-
ной функцией, или передаточной функцией
замкнутой системы. Произведение же Ку (tco) КоС (ico),
имеющее смысл передаточной функции каскадного соединения
четырехполюсников Ку(£со) и Koc(i’g)), называют передаточ-
ной функцией разомкнутой системы.
При замене ico на р получаем передаточную функцию за-
мкнутой цепи в операторной форме
Ко(р) = Ку(р)/[1-Ку(р)Кое(р)].	(5.31)
Сопоставление Ко (to) с Ky(io) позволяет определить знак
обратной связи в общем случае, когда эти функции являются
комплексными. Если на какой-нибудь частоте имеет место не-
равенство Ло(о)) <Ау(о>), т. е. если введение обратной связи
приводит к уменьшению усиления, то обратная связь на дан-
ной частоте отрицательна, в противном случае — положительна.
При Ку(ico)Koc(io)) = 1 усиление Ко(а>) становится беско-
нечно большим. Это означает, что цепь становится неустойчи-
вой и для исследования ее поведения необходимо использовать
другие методы, так как выражения (5.28), (5.29), относящие-
ся к стационарным режимам, теряют смысл.
Рассмотрим влияние отрицательной обратной связи на
АЧХ усилителя. Непосредственно из (5.30) следует, что при
|Ку((со) - Кос (io)) |»1 модуль передаточной функции
Kq(g))«1/Koc(g)).	(5.32)
Если в заданной полосе частот обеспечивается равномер-
ность Кос(со), то А0(о) =const. Таким образом, задача сводит-
ся к выравниванию АЧХ пассивного четырехполюсника обрат-
ной связи, что значительно проще, чем устранение неравно-
мерности характеристики усилителя Ку((о).
В промежуточных случаях, когда Ay/fOc измеряется несколь-
кими единицами, предельное соотношение (5.32) не достигает-
ся, однако характеристика Ао(о)) становится значительно рав-
номернее, чем /Су(со). Это иллюстрируется рис. 5.9, построен-
ным для усилителя с АЧХ, максимальное значение которой
(при о)=0) Kymax=50; коэффициент обратной связи | Кос | =
=0,05. Характеристика Ao(g)) расположена ниже, чем Ку(о))
(на всех частотах). Это является результатом подачи выходного
153
напряжения на вход усилителя в противофазе с входным сиг-
налом.
На частотах, близких к нулю,
1
Аутах	50
° тЭх = 1+1 КосКу maxi =' 1+2,5 ЗТ У та*’
т. е. усиление уменьшается в 3,5 раза.
Однако нормированная характеристика Ао(ы)/Коии
(см. рис. 5.9) значительно равномернее, чем Ау(<о).
Заметим, что требуемую полосу пропускания можно полу-
чить и без отрицательной обратной связи, соответствующим
образом уменьшив сопротивление нагрузки /?- Однако при
этом остальные характеристики усилителя — линейность уси-
ления и стабильность уровня усиления — были бы ухудшены.
Дело в том, что из-за кривизны вольт-амперных характе-
ристик активных элементов на выходе усилителя возникают
высшие гармоники усиливаемого сигнала. Введение отрица-
тельной обратной связи уменьшает в одинаковой степени как
полезный сигнал, так и его гармоники (в месте их возникнове-
ния), однако повышением уровня полезного сигнала на вхо-
де усилителя относительный уровень гармоник на выходе мож-
но понизить.
Рассмотрим в заключение влияние отрицательной обрат-
ной связи на стабильность режима усиления.
Пусть в линейной цепи, находящейся под действием гармо-
нической ЭДС и охваченной обратной связью, произошло из-
менение какого-либо параметра: модуля или аргумента коэф-
фициентов усиления Ку(йо) или Кос (io). Причинами этого из-
менения могут быть непостоянство напряжений источников
питания усилителя, изменение температуры окружающей сре-
ды, механические вибрации, приводящие к изменению электри-
ческих параметров устройства и т. д. Выясним, как влияет
обратная связь на относительное изменение выходного сигна-
ла. Сначала рассмотрим случай, когда нестабильность имеет-
ся в цепи прямого усиления. Для упрощения анализа исходим
из условия, что до изменения режима работы коэффициенты
передачи Ку(ш) и Кос (io) являлись чисто действительными ве-
личинами Ау и Кос, так что коэффициент передачи замкну-
той цепи определялся выражением
Ао=Ку/(1—КуАос).	(5.33)
Пусть обусловленное нестабильностью изменение заклю-
чается в том, что коэффициент Ау изменился на малую вели-
чину ККУ. В отсутствие обратной связи это привело бы к отно-
сительному изменению амплитуды выходного напряжения, рав-
ному ККу/Ку (амплитуда ЭДС на входе считается неизменной).
Для определения относительного изменения амплитуда
154
яри наличии обратной связи продифференцируем выражение
(5.33) по Ау:
dKo I	ку	11
~ в-КуКос)2 = (1 —/СуАГос) (1—КуКос) Л? ’
Откуда
dKo _ I dKy
Ко 1 КуКос Ку
(5.34)
Из этого выражения видно, что относительное изменение
выходного напряжения при наличии обратной связи (т. е. вели-
чина dKo/Ko) может очень отличаться от изменения, которое
имело бы место в ее отсутствие.
Если обратная связь отрицательна (КуАос<0), имеет
место ослабление нестабильности системы
dKo 1 dKy
Ко 1 +1 КуКос I Ку
При положительной обратной связи нестабильность увели-
чивается:
dKo	I dKy
~кГ='\—\КуКос\
Отсюда следует, что для повышения стабильности усиления
цепи целесообразно вводить отрицательную обратную связь. Это
широко используют в современной радиоэлектронике. Абсо-
лютную величину f/Cy/Cocl в зависимости от требований к ста-
бильности системы доводят до 100 и более. При этом, естест-
венно, в (1 +1/СуАос |) раз уменьшается и усиление цепи Ко-
Это уменьшение может быть скомпенсировано увеличением Ку
(например, увеличением числа каскадов в кольце, охваченном
обратной связью).
Введем в рассмотрение нестабильности в цепи обратной
связи. Для этого продифференцируем выражением (5.33) по
Кос:
dKo Ку (~Ку) Ку
dKoc~ (1-КуКос)2 1-КуКос Д°’
откуда
dKo   КуКос dKoc
Ко	1—КуКос Кос
В случае отрицательной связи при |A\A"oc|^>l
dKo dKoc
Ко Кос
Из этого соотношения видно, что влияние на Ко нестабиль-
ности в самой цепи Кос не ослабляется обратной связью: не-
стабильность замкнутой цепи с отрицательной обратной связью
при | КуКос | 1 равна нестабильности величины Ко-
155
Следовательно, при применении отрицательной обратной
связи особое внимание следует обратить на повышение стабиль-
ности четырехполюсника Кос- Это требование распространяется
как на модуль, так и на аргумент (т. е. на фазовую характери-
стику) передаточной функции цепи. В практике выполнение
этого требования облегчается тем, что основные дестабилизи-
рующие факторы имеются в прямом усилителе Ку, содержащем
активные элементы и элементы нагрузки; четырехполюсник же
Кос, обычно представляющий собой простую пассивную цепь,
может быть сделан достаточно стабильным.
5.6.	УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ
АКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ
УСТОЙЧИВОСТИ
В реальной цепи, охваченной обратной связью, всегда име-
ются реактивные элементы, накапливающие энергию. Даже в
усилителе на резисторах имеются такие элементы (паразитные
емкости схемы и усилительных приборов, индуктивности про-
водов и т. д.). Реактивные элементы создают дополнительные
фазовые сдвиги. Если на какой-либо частоте эти сдвиги дают
в сумме дополнительный угол в 180°, то обратная связь из
отрицательной превращается в положительную и создаются
условия, при которых может возникать паразитная генерация.
Это обстоятельство во многих случаях существенно ограни-
чивает эффективность применения обратной связи, так как при
больших значениях | КуКос | для устранения паразитной гене-
рации требуются специальные фазокомпенсаторы и другие
устройства, уменьшающие крутизну ФЧХ кольца обратной свя-
зи. Однако часто оказывается, что введение в схему новых эле-
ментов приводит лишь к сдвигу частоты паразитной генерации
в область очень низких или очень высоких частот.
Итак, применение обратной связи тесно связано с проблемой
обеспечения устойчивости цепи.
Для правильного построения цепи и выбора ее параметров
большое значение приобретают методы определения устойчиво-
сти цепи. В настоящее время известно несколько критериев,
различающихся больше по форме, нежели по существу. В осно-
ве большинства этих критериев лежит критерий устойчивости
решений дифференциального уравнения, описывающего иссле-
дуемую цепь.
Пусть линейное однородное уравнение для цепи с сосредо-
точенными (и постоянными) параметрами задано в форме
, dnx . , dn~'x . , dn2x ,	, , dx , , . n	/Г
6o dt^+	'dt*-' + 'din-2 + • • • + bn-\ -^1 + bnX-—o,	(5.35)
156
где х — ток, напряжение и т. д., а постоянные коэффициенты
b0, bi, b2,...,bn— действительные числа, зависящие от пара-
метров цепи.
Решение уравнения (5.35), как известно, имеет вид
i—1
где Д- — постоянные; pt— корни характеристического уравне-
ния
Ь0рп+Ь1рп~х+Ь2рп~2+ ... +bn-ip+bn=O.	(5.36)
Условие устойчивости состояния покоя цепи заключается в
том, что после прекращения действия внешних возмущений
цепь возвращается в исходное состояние. Для этого необходи-
мо, чтобы возникающие в цепи при нарушении состояния покоя
свободные (переходные) токи и напряжения были затухающи-
ми. А это, в свою очередь, означает, что корни рь р2,... рп урав-
нения (5.36) должны быть либо отрицательными действитель-
ными величинами, либо комплексными величинами с отрица-
тельными действительными частями. Из этих простых физиче-
ских представлений вытекает следующий фундаментальный
критерий устойчивости любых линейных систем1: система
устойчива, если действительные части всех корней характери-
стического уравнения отрицательны.
Заметим, что левая часть характеристического уравнения
(5.36) представляет собой не что иное, как знаменатель пере-
даточной функции цепи, записанной в форме
К(Р)=	, П<т.	(5.37)
btlpm + bipm-' + ... +bm-ip+bm’	v >
Таким образом, корни характеристического уравнения цепи
являются полюсами передаточной функции К(р) этой цепи.
Отсюда следует, что сформулированные выше условия отри-
цательности действительных частей корней равносильны сле-
дующему положению: для устойчивости цепи необходимо, что-
бы передаточная функция К(р) не имела полюсов в правой
полуплоскости комплексной переменной р.
Это хорошо известное из теории цепей положение можно
распространить и на передаточную функцию Ко(р) цепи с об-
ратной связью.
В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным
уравнением высокого порядка, исследование корней характери-
стического уравнения, необходимое для решения вопроса об
устойчивости системы, является сложной задачей.
1 Это фундаментальное положение было обосновано А. М. Ляпуновым,
который в 90-х годах прошлого века заложил основы теории устойчивости.
Рассматриваемый вопрос об устойчивости состояния покоя системы является
частным случаем общей теории устойчивости Ляпунова.
157
Оказывается, ее можно решить, анализируя соотношения
между коэффициентами уравнения без определения самих кор-
ней уравнения. Это можно выполнить с помощью теоремы Гур-
вица 1, которая утверждает, что для того чтобы действительные
части всех корней уравнения
boXm-j-biX’n~J -j-b2xm~2-f- ...	jX-j-6m=0
с действительными коэффициентами и Ьо>0 были отрицатель-
ными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными
все определители Ль Аг,..., Лт, составленные из коэффициен-
тов уравнения b0, Ьх,..., Ьп по следующей схеме:
	1 ь,	6,1		<3 со <3		
Д| —	Ьх, a2=L*	ь • Ас	—	<3 сч •С <□ •л	»	
	1 И)			0 6] 63		
	> о* 3 М > <>		о о о —	63 65 67 62 64 66	05 CD	
д4=	'а о < с ЗУ < о — к ЗУ ЗУ < № W * ЗУ ' Л. сл с	 а5=	0 0 0	О <3* о О- о* — КЗ ы ЗУ ЗУ О- w л» ел	S X L-; •с	и т. д.
Сформулированный алгебраический критерий устойчивости
часто называют критерием Рауса — Гурвица. При со-
ставлении определителей по указанной схеме коэффициенты с
индексом, превышающим степень характеристического уравне-
ния, заменяются нулями.
Поэтому, например, для уравнения четвертой степени полу-
чаются следующие определители:
Л к ' А Мз
Д1 —Д2- bo
Аз—
Ьх
о"
Ь3 О
^2 ^4 >
Ьх Ь3
Д4-=
о”
о
^3
Ьх
^0
О
64
63
^2
о
о
о
&4
Нетрудно видеть, что все последовательные определители
являются главными диагональными минорами определителя
Дт. Так как последний столбец определителя Дт содержит лишь
один отличный от нуля элемент Ьт, расположенный на главной
диагонали, то выполняется равенство
Дт 6тДт—I*
’ Доказательство этой теоремы см., например, в книге: Курош А. Г,
Курс высшей алгебры.— М.: ГИФМЛ, 1972.
158
Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица
условия устойчивости можно формулировать в виде следующих
неравенств:
Ai>0, Д2>0.....Дт-1>0, Ьт>0.
Так, для характеристического уравнения второй степени
Л1=Ь1>0, &2>0,	(5.38)
для уравнения третьей степени
Д1=61>0,
Ib ь
b\ £ = М2-Мо>О. &з>0,	(5.39)
О
т. е. bi>0, bib2>bsb0, &з>0. Так как b0, &i и Ь3 положительны,
то и Ь2>0.
Для уравнения четвертой степени:
1. Д1 = Ь1>0, 2. Д2=Ь1Ь2—Ьз&о>О,
3. Дз=Ь3(Ь1Ь2—Ь3Ьо)—Ь12&4>0, 4. &4>0.
Из условия 3 на основании условий 4 и 1 вытекает неравен-
ство
Ь3(Ь1Ь2—bobs) >Ь12&4>0.
Поэтому условие 3 можно заменить условием &3>0. Таким
образом, для уравнения четвертой степени получаются следую-
щие условия устойчивости:
61>0, Ь3>0, 63(Ь1Ь2—bobs)—bi2bt>0, b<>0.	(5.40)
Критерий Рауса—Гурвица особенно удобен для проверки
устойчивости цепи с заданными параметрами (т. е. коэффици-
ентами дифференциального уравнения). Однако им неудобно
пользоваться при экспериментах, так как обычно бывают из-
вестны не коэффициенты уравнения, а передаточная функция
разомкнутой цепи Ку (р) • Кос(р). Кроме того, критерий Рауса—•
Гурвица не дает ясных указаний, как неустойчивую цепь сде-
лать устойчивой.
5.7. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ
УСТОЙЧИВОСТИ
Требование, чтобы передаточная функция
Ко (р) = Ку (р) /[ 1—Ку (Р) Кос (Р) ]	(5.41)
не имела полюсов в правой полуплоскости p=o+ico, т. е. в об-
ласти, ограниченной полуокружностью бесконечно большого
радиуса R и осью 1ы (рис. 5.10, а), равносильно условию, что
159
знаменатель выражения (5.41) не должен иметь нулей в ука-
занной области или, что то же самое, функция
н(Р) = Ку(р)Кос(р)	(5.42)
не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой
полуплоскости р. Но Н (р) представляет собой передаточную
функцию разомкнутого кольца обратной связи, т. е. отношение
напряжения на зажимах 2—2 к напряжению на зажимах 1—1
при разомкнутом кольце, как это показано на рис. 5.11. Следо-
вательно, об устойчивости системы с обратной связью можно
судить по характеристикам разомкнутого тракта.
Для дальнейшего анализа целесообразно перейти от плоско-
сти p=o+ico к плоскости H(p)=u+in (рис. 5.10,6). Каждой
точке р на плоскости о, io соответствует определенное значе-
ние Н на плоскости и, iv. Любой замкнутый контур на плоско-
сти р преобразуется с помощью выражения (5.41) в некоторый
(также замкнутый) контур на плоскости Н.
Если исходный контур на плоскости р задан в виде контура
на рис. 5.10, а, соответствующий ему контур на плоскости Н на-
зывается годографом функции Н.
Показанный на рис. 5.10, а контур С можно разбить на два
участка:
1) прямая ico от оо до —оо, 2) полуокружность бесконечно
большого радиуса R.
На первом участке, где о = 0, p=ico, функция Н(р) обра-
щается в функцию H(ico). В соответствии с выражением (5.42)
этот участок преобразуется на плоскости Н в линию, опреде-
ляемую соотношением
Н (М = КУ (Йо) кос = (со) Кос (со) е/(,ру+,рос) =
= И (о) 4-ГО (со),	(5.43)
откуда
Ц(<0) = Лу(со)Лос(со)С08(фУ+фос),
(5.44)
И ((о) = Лу (<0 ) Лее ((о) Sin (фу+фос) .
160
В этих выражениях <ру и <рОс —
аргументы передаточных функций
соответственно четырехполюсников
Ку (ico) и Кос (ico).
На втором участке контура С
(см. рис. 5.10, а) при R-^-oo функ-
ция Н (р)->0. Это вытекает из об-
щего выражения
[/ / .Л__ D (Р Poi) (Р Рог) • • • (Р Роп)
(Р Pni) (Р Рт) • • • (Р Рит)
Рис. 5.11
т,
(5.45)
которое при |р|->оо можно представить в виде Врп~т [здесь
В — постоянный коэффициент, а р04 и рт — соответственно нули
и полюсы функции К(р)].
Совершенно аналогично в функцию Н(р) при |р|—>-оо можно
представить в форме Н(р)=Арп-,п, где п и т — числа соот-
ветственно нулей и полюсов функции Н(р).
При и |р |->-оо модуль функции Н(р) на полуокруж-
ности	равен нулю*. Таким образом, полуокружность бес-
конечно большого радиуса R на плоскости р преобразуется в
точку, лежащую в начале координат на плоскости Н, и для
построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточ-
но знать поведение Н (р) на оси ico, т. е. знать АЧХ и ФЧХ
цепи КУ (ico) КОС (ico).
Обходу контура С на рис. 5.10, а в положительном направ-
лении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа
Н при изменении частоты от оо до —оо, т. е. также против часо-
вой стрелки (см. рис. 5.10,6).
Очевидно, что вся правая полуплоскость р преобразуется
на плоскости Н во внутреннюю область годографа. Следова-
тельно, если годограф передаточной функции разомкнутого
тракта не охватывает точку 1, Ю, то при замкнутой цепи обрат-
ной связи система устойчива, в противном случае система не-
устойчива.
Это условие называется критерием устойчивости
Найквиста.
Показанная на рис. 5.10,6 диаграмма соответствует устой-
чивой системе. Это видно из того, что годограф Н не охватыва-
ет точку 1, i0. Сплошной линией показана часть контура, соот-
ветствующая положительным частотам 0<со<оо, а штрихо-
вой — часть контура, соответствующая отрицательным часто-
там. Так как функция и(со) четная, а о (со) нечетная относи-
тельно а>, то оба участка годографа симметричны относительно
действительной оси.
Следует также отметить, что рис. 5.10,6 построен для слу-
1 Имеются в виду наиболее распространенные в практике четырехполюс-
ники с передаточной функцией, у которой степень числителя п меньше степе-
ни знаменателя т.
11—3305
161
чая, когда при о>=0 передаточная функция H(ico) отлична от
нуля (это возможно, например, для усилителей постоянного
тока, в которых отсутствуют разделительные конденсаторы).
При сложной схеме цепи форма годографа иногда бывает
настолько усложненной, что по ней трудно судить о том, охва-
тывается или не охватывается годографом точка 1, iO. В по-
добных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий
из критерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересе-
чений оси «(со) на участке 1, со. Для устойчивости цепи необ-
ходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отре-
зок (как на рис. 5.10,6), либо пересекал его в положительном
и отрицательном направлениях одинаковое число раз.
Критерий Найквиста получил наибольшее распространение
в радиоэлектронике, автоматике и других смежных областях.
Основное его преимущество: удобство оперирования с АЧХ и
ФЧХ разомкнутой цепи. В некоторых системах, например со-
держащих линии, этот метод по существу является единствен-
но приемлемым.
Суть частотного критерия можно наглядно пояснить, не при-
бегая к полярным диаграммам, на основе обычных АЧХ и ФЧХ
разомкнутой цепи КуКос.
Действительно, длина вектора H(i<b), как это ясно из вы-
ражения (5.43), есть не что иное, как модуль коэффициента
передачи разомкнутой цепи |КуКОс|, т. е. АЧХ этой цепи, а ар-
гумент фн (рис. 5.12), равный
Фн = агс^^=фу(<о)4-фос(и),	(5.46)
еСТЬ ФЧХ ЦеПИ КуКос.
Совместив на общем графике АЧХ и ФЧХ, нетрудно отве-
тить на вопрос об устойчивости цепи.
Если при изменении со от 0 до оо фаза фн не достигает 2л,
то замкнутая цепь устойчива при любом значении |КуКОс|-
Однако, если |KyKoJ при любой частоте меньше единицы,
то цепь устойчива при любой ФЧХ. Цепь неустойчива, если
имеются частоты, при которых одновременно выполняются два
условия:
ФУ+фос=п2л, п— целое число,	(5.46')
По существу эти два условия необходимы для обращения в
нуль знаменателя в выражении (5.30), определяющем переда-
точную функцию замкнутой цепи.
Пример АЧХ и ФЧХ устойчивой цепи с обратной связью
показан на рис. 5.12, а неустойчивой — на рис. 5.13. В первом
случае на частоте соо, соответствующей фУ+фос=2л, модуль
Н<\. Во втором случае сог — частота генерации. На рис. 5.12
и 5.13 отложены абсолютные значения фУ+фос. При учете зна-
ка реальных фу и фОС наклон ФЧХ будет отрицательным.
162
При построении этих характеристик учтено, что при <в = 0
и (о->сю величина 1КУКОС I обращается в нуль. При <о = 0 это
обусловлено влиянием последовательно включенных конденса-
торов в канале Ку или Кос, а при а)-*оо — влиянием шунтиру-
ющих (параллельных) емкостей. Полное изменение фазы при
изменении а от 0 до оо зависит от числа звеньев в усилителе
и в цепи обратней связи.
Для более сложных систем, когда набег фазы в тракте КуКос
может быть больше 2л, приходится прибегать к критерию Най-
квиста.
Заметим, что условия (5.46'), соответствующие усилителю
с положительной обратной связью, характерны для самовоз-
буждающейся системы. При обеспечении положительного знака
обратной связи на резко выраженной частоте (например, с по-
мощью нагрузки в виде высокодобротного колебательного кон-
тура), а также ограничении роста амплитуды с помощью нели-
нейного элемента получается автогенератор гармонического
колебания.
5.8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ
ОБРАТНОЙ СВЯЗИ
ПРИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ
И ИНТЕГРИРОВАНИИ СИГНАЛОВ
В радиоэлектронике часто требуется осуществлять преобра-
зование сигнала, имеющее характер дифференцирования или
интегрирования.
На вход линейного устройства, осуществляющего дифферен-
цирование, подается сигнал s(t); с выхода должен сниматься
СИГНЭЛ вида Sbwx (t)=xods(t)/dt.
В интегрирующем устройстве связь между выходным «вых (О
и входным s(t) сигналами должна иметь следующий вид:
^вых(0 = 7- \s(t)dt.
TQ J
В этих выражениях то—постоянная величина, имеющая раз-
мерность времени.
11*
163
Дифференцирование и интегрирование являются линейными
математическими операциями. Следовательно, для дифферен-
циального или интегрального преобразования сигнала следует
применять линейные цепи и элементы, обладающие требуемыми
соотношениями между входными и выходными величинами.
Этим требованиям отвечают в принципе такие элементы, как
обычные конденсаторы или катушки индуктивности в сочетании
с резистором при надлежащем съеме выходного сигнала.
Рассмотрим сначала цепь, изображенную на рис. 5.14.
Подразумевая под входным сигналом s(t) ЭДС, составляем
уравнение для тока в цепи i(t)
Ri(t)+^i(t)dt = s(t).
Умножив это уравнение на С и обозначив постоянную вре-
мени цепи t0=RC, получим
Тоф)+ [ i(t)dt=Cs(t).	(5.48)
Характер функциональной связи между током i(t) и входным
сигналом s(t) зависит от постоянной времени То. Рассмотрим
два крайних случая: очень малого и очень большого то. При
очень малом т0 первым слагаемым в левой части уравнения
(5.48) можно пренебречь. Продифференцировав оставшееся
после отбрасывания этого слагаемого уравнение по t, получим
Отсюда видно, что напряжение на резисторе /?, совпадающее
по форме с i(t), пропорционально производной входного сигна-
ла:
(5.47)
u« = Ri(t)~RCd-^=x0^
Таким образом, приходим к схеме дифференцирующего че-
тырехполюсника, показанной на рис. 5.15, в которой выходной
сигнал снимается с резистора R.
При очень больших значениях то второе слагаемое в левой
части уравнения (5.48) можно отбросить. При этом ток
Рис. 5.14
С
НН-—°
П* зВь1Х6У
О---1----о
Рис. 5.15
164
совпадает по форме с входным сигналом, а напряжение на кон-
денсаторе С, равное
ис \ 1 dt { s (t) dt,
пропорционально интегралу от входного сигнала s(t). Отсюда
следует, что для осуществления интегрирования /?С-цепь дол-
жна быть такой, как показано на рис. 5.16. Аналогичные
результаты можно получить с помощью 7?Е-цепи (рис. 5.17 и
5.18).
Постоянная времени x0—L/R дифференцирующей цепи
должна быть достаточно мала, а интегрирующей — достаточно
велика. Принцип дифференцирования для первой схемы (см.
рис. 5.17) можно представить следующим образом. При доста-
точно большом сопротивлении 7? ток через ^L-цепь почти не
зависит от L и совпадает по форме с входным сигналом s(t).
Выходной же сигнал sBhx(/), снимаемый с индуктивности L,
«вых =	= ~ZT~-
В схеме, показанной на рис.
определяется индуктивностью L
i(t)^~^s(t)dt,
5.18, наоборот, ток в основном
(так как Ц весьма мало):
выходной же сигнал, снимаемый
с резистора R,
«вых =	dt.
то J
Уточним теперь использованные выше понятия «малое» и
«большое» то. Это проще всего сделать на основе спектрального
рассмотрения. Если входной сигнал s(t) имеет спектральную
плотность S(co), то при точном дифференцировании выходной
ds(t)
сигнал 5Вых(г)=то —должен иметь спектральую плотность
i(i)ToS(co), а при точном интегрировании — плотность
(1/kotq)S (со) [см. (2.52) и (2.54)]. Это означает, что для точного
дифференцирования требуется четырехполюсник с коэффици-
ентом передачи
K(ico) =r0ico,	(5.49)
Рис. 5.16
Рис. 5.17
Рис. 5.18
165
а для точного интегрирования
K(ico) = 1/то»со.	(5.50)
Передаточные функции показанных на рис. 5.15 и 5.16 четы-
рехполюсников соответственно равны
— Я +	1 + (1/т.«»)'	I5'62
Из сравнения выражений (5.49) и (5.51) видно, что для
удовлетворительного дифференцирования требуется, чтобы вы-
полнялось условие
тоа<С1.	(5.53)
Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот
спектра входного сигнала, в том числе и для самой высокой.
Сравнивая (5.50) и (5.52), можно сделать вывод, что для
удовлетворительного интегрирования требуется выполнение
условия
tq(o »1.	(5.54)
Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот
спектра входного сигнала, в том числе и для самой низкой.
Из неравенств (5.53) и (5.54) следует, что при заданной
цепи дифференцирование тем точнее, чем ниже частоты, на
которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегри-
рование тем точнее, чем выше эти частоты.
Проиллюстрируем неравенство (5.53) следующим примером.
Пусть сигнал s(t) на входе схемы, показанной на рис. 5.15,
является импульсом с длительностью ти и требуется указать
значение то, обеспечивающее удовлетворительное дифференци-
рование. Наивысшую частоту в спектре сигнала можно оценить
величиной /т~1/ти (см. § 2.8). Следовательно, неравенство
(5.53) принимает вид т02л/ти<С1 или то<Сти/2л. Итак, постоян-
ная времени дифференцирующей цепи т0 должна быть мала по
сравнению с длительностью импульса s(t).
Из неравенств (5.53), (5.44) вытекает также следующее
принципиальное положение: чем точнее дифференцирование или
интегрирование, тем меньше (по модулю) передаточная функ-
ция К (ico) цепи, осуществляющей это преобразование сигнала.
Сказанное относится к простейшим RC- или /?Ь-цепям, пред-
ставленным на рис. 5.15—5.18. В пределе, при идеальном пре-
образовании K(i(o)->0.
Таким образом, простые RC- или /?Т-цепи пригодны лишь
для приближенного дифференцирования или интегрирования
сигналов. Указанные операции можно осуществить достаточно
точно при введении в схемы рис. 5.15 и 5.16 усилителя с отри-
166
цательной обратной связью при обеспечении условия | КуКос|2>
3>1. Этому требованию отвечают операционные усилители
(ОУ).
На рис. 5.19 представлена схема дифференцирующего
устройства на ОУ. Как известно, входное сопротивление ОУ
/?вх очень велико, благодаря чему коэффициент обратной связи,
определяемый отношением /?Вх/(Я«х-Н?), близок к единице.
Напряжение щ, являющееся разностью напряжения, поступа-
ющего со входа, и напряжения обратной связи, настолько
мало по сравнению с иВых, а следовательно, и по сравнению с
напряжением на К и С, что в первом приближении точки 1—2
в схеме на рис. 5.19 являются эквипотенциальными. Это позво-
ляет считать, что подлежащий дифференцированию сигнал при-
ложен непосредственно к емкости, так что ток
ic^Cdeldt.
Определим ток iR. Падение напряжения RiR на резисторе R
совпадает с напряжением —(uj-f-uiK) =—ивых(1+ 1/Л), откуда
вытекает равенство
i/?=—^-a+i/ю.
Учитывая, что ток ц близок к нулю (из-за малости щ и
очень большого входного сопротивления ОУ), приходим к соот-
ношению	откуда
_^(1 + 1/УС)_С^_,
ИЛИ
«вых= 1 + 1/т<7Г'	(5.55)
В реальных ОУ усиление К измеряется тысячами и более,
поэтому точность операции дифференцирования вполне доста-
точна для радиотехнических применений.
Схема интегрирующего устройства на ОУ представлена на
рис. 5.20.
Рис. 5.20
Рис. 5.19
167
В данной схеме
in = e/R и ic = C ^~цвЬ,хО + 1/Ю]
откуда
Мвых = — /?С(1 + !/Ю edt’
(5.55')
Глава 6. ВОЗДЕЙСТВИЕ РАДИОСИГНАЛОВ
НА ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
6.1.	ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В рассмотренных в предыдущей главе задачах мы имели
дело с сигналами, которые по своей форме полностью совпада-
ли с передаваемым сообщением. При передаче подобных сооб-
щений задача сохранения информации тесно связана с задачей
сохранения формы сигналов.
Иначе обстоит дело с радиосигналом, в котором информация
заключена в одном из нескольких параметров высокочастот-
ного колебания. Не обязательно сохранять полностью структу-
ру этого колебания; достаточно лишь сохранить закон измене-
ния того параметра, в котором заключена информация. Так, в
случае амплитудно-модулированного колебания важно точно
передать огибающую амплитуд, между тем как некоторое из-
менение частоты или фазы заполнения, не имеющее существен-
ного значения, при анализе можно не учитывать. При передаче
радиосигналов с угловой модуляцией, наоборот, основное вни-
мание следует уделить точному воспроизведению закона изме-
нения частоты и фазы.
Эти особенности радиосигналов открывают путь к упроще-
нию методов анализа их передачи через линейные цепи. Упро-
щение особенно существенно, когда радиосигнал представляет
собой узкополосный процесс, а цепь — узкополосную систему.
Это как раз и характерно для реальных радиосигналов и реаль-
ных избирательных цепей. В § 3.1 уже отмечалось, что даже
для «широкополосных» сигналов ширина спектра радиосигнала
мала по сравнению с несущей частотой сигнала. Соответствен-
но и полоса прозрачности цепи обычно мала по сравнению с
ее резонансной частотой.
Анализ передачи сигнала в подобной ситуации существенно
упрощается при использовании рассмотренного в § 3.10 аналити-
ческого сигнала
za (0 +	(0 = А (0 eZtD,/,	(6.1)
168
где комплексная огибающая А(/) =А (/)е'в(0 содержит всю ин-
формацию, заложенную в сигнал a(t) в результате модуляции,
как амплитудной, так и угловой.
После прохождения через заданную цепь получается новый
аналитический сигнал
%а вых (0 = ^вых (0“Ь ^1вых (О = Авых (О СгИо< =
= Аых (Цегевь«(/)е/и«',	(6.2)
действительная часть которого
Овых (t) =Re ^вых (0 =
=АВых (t) СОЗ[(Оо^~|”Овых (/)]	(6.3)
и есть выходной сигнал.
Таким образом, задача сводится к определению влияния це-
пи на комплексную огибающую входного сигнала.
6.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ СИГНАЛА
НА ВЫХОДЕ УЗКОПОЛОСНОЙ ЦЕПИ
Эта задача может быть решена двумя способами: в частот-
ной или во временной области. Рассмотрим сначала первый,
спектральный подход, основанный на заданной передаточной
функции цепи K(t’co).
На рис. 6.1 представлены спектр Ба(ю) исходного высоко-
частотного модулированного колебания a(t) и спектр Za(co)
соответствующего ему аналитического сигнала za(t). Штрихо-
вой линией показана АЧХ фильтра, причем для общности при-
нято, что резонансная частота фильтра юр может не совпадать
с центральной частотой сигнала юо, т. е. может иметь место
расстройка. При этом предполагается, что расстройка
ДП=юо—Юр
16»
близка по значению к полосе прозрачности цепи. Очевидно.
оо
% а вых (0=2^ §za(®)K(i<o)e'“'d<D =
о
=2~ §	(°) К (гю) e/b)<rf<o.
о
(6-4)
В § 3.10 было показано, что спектральная плотность Za(©)
аналитического сигнала связана со спектральной плотностью
комплексной огибающей соотношением
Za(©) =Za (coq-J-Q) = Sx (Q).
Перейдя, как и в (3.83), к новой переменной £2=со—(оо, за-
пишем (6.4) в форме
оо
?а вых (О = 2Г $ sA (Q) К Р (®0 + Q)]
о
2^- 5 SA (й) К [г (®0+ Q)] e^dfil ег“«'.
(6-5)
Сопоставив это выражение с (6.2), видим, что выражение,
стоящее в фигурных скобках, соответствует комплексной оги-
бающей выходного колебания
Авых(0 А!ых(0е;В-(О =
оо
=2Г J SA(Q)K[i(<D0+Q)]eia<rfQ.
—(1)q
(6.6)
Дальнейшее упрощение анализа вытекает из свойств пере-
даточной функции резонансных цепей, обладающих сильно вы-
раженной частотной избирательностью. Модуль передаточной
функции K(ico) быстро убывает при удалении ю от резонансной
частоты <вр. Поэтому передаточную функцию целесообразно вы-
ражать в виде функции разности <в—ыр.
Введем новое обозначение передаточной функции
K(i<o) = Ki[i (<в—®р)].
Подставив теперь ю=<оо+&> получим
KiP (соо—oip-J-fi)]—Ki[i (Д£2-}~Н)],
(6.7)
где AQ=a>o—Юр.
Так как при Q“—<оо коэффициент передачи Ki[i(Q4~AQ)]
практически равен нулю, нижний предел интеграла в выраже-
170
нии (6.6) можно заменить на —оо. При этом (6.6) принимает
следующий вид:
оо
Авых (0 = 2F § Sa К« +AQ)1
—оо
(6.8)
Это выражение ничем не отличается от обычного интеграла
Фурье, определяющего оригинал по заданной спектральной
плотности огибающей SA(Q) и передаточной функции KiP(£2-f-
+ДЙ)].
Заменив iQ на р, получим выражение в форме обратного
преобразования Лапласа
C-|-Zoo
Авых (0 = jj SA (/?)!<! +	(6.9)
C—iCQ
Вычисления, связанные с определением Авых(/) по формуле
(6.9), значительно проще, чем при непосредственном определе-
нии аВых(О с помощью обратного преобразования Лапласа,
так как переход от S0(co) к SA(p) и от К(р) к Ki(p-|-iA£2)
уменьшает вдвое число особых точек подынтегральной функ-
ции. После определения АВых(0 можно составить выражение
(6.3) для аВЫх(/).
Составим теперь выражение для аВЫх(О на основе заданной
импульсной характеристики узкополосной цепи g(t), которую
представим в форме
^(/) = G(/)cos[(op/+'r(0].	(6.10)
где сор — резонансная (собственная) частота фильтра.
Обращаясь к интегральной свертке, перепишем выражение
(2.59) в виде
оо
«выхЮ = § A (л) cos [coox + 0(jc)]G(^ — л)Х
—оо
Xcos[(op(£— л)-|--у(£— x)Jdx.	(6.11)
Произведение двух косинусов образует сумму двух колеба-
ний с частотами соо—гор и соо+<Ор. Интегралом от колебания,
содержащего быстропеременный множитель, можно пренебречь
по сравнению с первым интегралом в (6.11). Переходя к ком-
плексной форме, получаем
^вых (О
Re А (х) e,e<x)G (t —х) е'”^-*) &~l^-^dx егв»' ,
где АП=(Оо—сор.
171
Учитывая, что А (х)е*'е<х,=А(х) и G(t—x)eiUt~x, — G(t—х)
являются комплексными огибающими соответственно входного
сигнала и импульсной характеристики фильтра, приходим к
следующему выражению:
^вых (О
~ А (х) G (t —х) e~ltxQ(t~x^dx | е/и»' .
(6.12)
Из этого выражения вытекает, что комплексная огибающая
выходного сигнала
оо
Авых(0«4 $ А(л)О(/-л)е-^('-^х.
—оо
(6.13)
Множитель	учитывает расстройку центральной ча-
стоты спектра сигнала относительно резонансной частоты филь-
тра. При точной настройке (ыо=<Вр)
ОО
Авых^) — -^	A (х)О (/ — x)dx.
—оо
(6.13')
Можно отметить, что при совпадении частот wo и соР «несу-
щая частота» и0, не содержащая в себе информации, как бы
исключается из анализа. Задача сводится к анализу передачи
комплексной огибающей радиосигнала через эквивалентную
«низкочастотную» систему с передаточной функцией
Ki (i£2) — K[i (coo-J-Q)].
Применение описанных выше методов иллюстрируется в
следующем параграфе.
6.3.	ПРОХОЖДЕНИЕ РАДИОИМПУЛЬСА
ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНСНЫЙ УСИЛИТЕЛЬ
Рассмотрим воздействие радиоимпульса с прямоугольной
огибающей и немодулированным высокочастотным заполнением
на резонансный усилитель, схема которого представлена на
рис. 6.2. Передаточная функция усилителя
к (Z©)= — Gz + Gh + ZwC + i/Zc0£ = — A’max 1+£(т_Шр)Тк > (6-14М
где Amax=S/(G,-|-GH)—максимальное значение АЧХ усилите-
ля (при о>=<Вр); сор=1/|/ LC, TK=2QK/<0p—постоянная време-
ни колебательного контура (с учетом Он=1//?и), QK —доброт-
ность контура.
172
2
Рис. 6.2
Подставив в (6.14) о = со0+П, приведем это выражение к
виду (6.7):
K(i(o) = Ki[i(H+AQ)] —
=-Ктах/[1+1(Й+Д0)Тк]	(6.15)
или
к (р) = к, (p+iAQ) = Лтах/[1 + (p+iАП) Тк].	(6.15')
При определении сигнала на выходе усилителя, как и в при-
мере с передачей прямоугольного видеоимпульса через рези-
стивный усилитель (см. § 5.4), рассмотрим сначала явления на
фронте импульса, т. е. при включении в момент t—О гармони-
ческой ЭДС e(f) =£0cos(<o0/+60). В качестве выходной величи-
ны примем напряжение на колебательном контуре усилителя.
В данном случае огибающая A(t) имеет вид скачка £0 (в
момент t—О), а с учетом начальной фазы Оо комплексная оги-
бающая будет А(/) =£oefe»,
Преобразование Лапласа этой функции
S.4 (р) = £ое‘е<>/Р-	(6.16)
Комплексную огибающую колебания на выходе усилителя
определим непосредственно по формуле (6.9) с учетом (6.15')
и (6.16):
С-Ноо
Авых(О= — А’тах-Е'ое ,е°2Н}	р (1 + (р + Мй) ТКГ
с—1<х>
Подынтегральная функция имеет два полюса:
Р1=0, Р2——(1+iAQtk)/tk.
Вычеты в этих полюсах легко вычисляются по формуле
(5.21):
1	е~,,р
res»= 1 + мйх = г-птъ=& Ф=агс1£(ДЛтх),
1 +	у 1 (Д£2тк)г
-(1/тк+гдп)/	-'/тк -кдя/ц-ф)
FCS2 = . , -лп--=------г	' —•
1 + гДйтк	У ] + (Дйтк)2
173
Тогда выражение (6.17) принимает вид (знак минус опущен)
Авых (0 = у=== [е-'(е0-ч»_е“'/тКе/(ео-'₽-Д£г')],	(6.18)
а искомое физическое колебание
«вых (0=Re [Авых (0 e'“«q = J^ax£8 Re [e/«B,<+ee-q» _
V 1 + (Дйгк)2
_ e-</TKeH<op<+e.-»P)j== -^giax£o J ((0 / + вь_ф)_
— e“z/TKcos(cop^ + 0o —ф)].	(6.19)
Физический смысл полученного решения очевиден. Первое
слагаемое в квадратных скобках определяет стационарную
часть напряжения на выходе усилителя, а второе — свободное
(затухающее) колебание.
Рассмотрим важные для практики следствия, вытекающие
из выражения (6.19). Остановимся сначала на точной настройке
контура на частоту возбуждающей ЭДС. Приравнивая юР к ча-
стоте оо, получаем АЯ = 0. Тогда выражение (6.19) упрощает-
ся:
Овых (0 == TCmax-Eo ( 1—к ) COS ((Оо^Н-бо) == АВЫх (О COS ((i)q/-|-0o).
Из этого выражения видно, что при совпадении частот со0 и
сор огибающая амплитуд выходного колебания нарастает по за-
кону 1—е_,/тк независимо от фазы ЭДС в момент включения.
Соответствующая этому случаю кривая, вычисленная по
формуле Лвых(0 /Лтах£'о= 1—е~‘Лк , приведена на рис. 6.3.
При наличии расстройки огибающая АВых(0 изменяется по
более сложному закону. Для выявления этого закона вычислим
модуль разности в квадратных скобках выражения (6.18)
|1—е '/тке-/д^ | — 1 — 2е Z/Tkcos АЯ/ф-е 2</Тк.
Таким образом,
% = -г 1	. V1 —2е-</Ткcos b£it + e-2z/cK. (6.20)
Xmax^o У1 + (ДЯтк)2
Графики этой функции для двух значений параметра рас-
стройки АЯтк, равных 1 и 2, приведены на том же рис. 6.3.
Видно, что при значительных расстройках процесс установ-
ления огибающей принимает колебательный характер. Это объ-
ясняется биением двух колебаний: частот соо и сосв. Последняя
при сделанном выше допущении о высокой добротности контура
очень мало отличается от резонансной частоты <вр.
174
Эффект суммирования вынужденного и свободного колеба-
ний поясняется векторной диаграммой, показанной на рис. 6.4.
При вращении оси времени с угловой частотой <оо вектор ОВ,
соответствующий стационарному колебанию, неподвижен, а век-
тор ОС, соответствующий свободному колебанию [см. (6.19)],
вращается с угловой частотой AQ=<Oo—соР. Записав длину этого
вектора в форме £ое_дш/дс1тк и задав значение параметра
ДЙТк, можно проиллюстрировать характер изменения огибаю-
щей Лвых (/).
Векторная диаграмма на рис. 6.4 построена для параметра
Айтк=2, когда е~дш/Л“тк =е_д0'/2.
В момент времени t, соответствующий Ай/ = л, вектор сво-
бодного колебания совпадает по направлению с вектором вы-
нужденного колебания, так что результирующий вектор будет
£0(1+е-л/2) ~ 1,21£0. Очевидно, что при Дй/=2л результиру-
ющий вектор будет £0(1—е-л) «О,96£о и т. д.
Из рис. 6.5, где приведены графики нормированной огибаю-
щей, т. е. функции А вых (OKbHAQ)^/Kmaz£o, ВИДНО, ЧТО с
увеличением расстройки крутизна фронта огибающей растет и
175
общая продолжительность процесса установления несколько
уменьшается.
Используем полученные результаты для определения формы
и параметров радиоимпульса на выходе одноконтурного усили-
теля при прямоугольной форме огибающей импульса на входе.
Колебание на входе (рис. 6.6,а) определяется выражением
(E0cos (()(/ + 0о) при0<7<7\
(0	при t <0 и t>T.
Как и в § 5.4, задачу можно решить, рассматривая незави-
симо явления на фронте и срезе импульса с последующей су-
перпозицией полученных решений.
Если длительность импульса Т больше фактического времени
установления режима в контуре при включении гармонической
ЭДС, то к моменту окончания входного импульса на выходе
усилителя амплитуда колебания будет равна стационарному
значению
Лвых ст = Ки1ах£'о/У 1 + (ДЙ)2т'1 =COnst.
Начиная с момента t=T, после прекращения действия внеш-
ней ЭДС на выходе остается лишь свободное колебание, кото-
рое можно представить в форме
«вых (0 = Аых сте cos (ю 14- (р0) = -	е-//Тк х
У1 + (Лй)2 т2
Xcos(cOpZ + фо) при t>T,	(6.21)
где фо — фаза напряжения на контуре в момент t=T.
Рис. 6.6
176
Таким образом, в отличие от фронта на срезе импульса оги-
бающая амплитуд имеет вид экспоненты независимо от соот-
ношения частот соо и <вр. Сигнал на выходе усилителя при
Дйтк=0 и AQtk=2 (рис. 6.6,6 и в) изображен для случая,
когда длительность импульса значительно больше времени уста-
новления стационарного режима.
В заключение проиллюстрируем применение временного ва-
рианта метода огибающей на примере рассмотренного выше
сигнала a(t) =£0cos(co0/-|-6o) и резонансного усилителя. Им-
пульсная характеристика усилителя
g(f)=(S/C)e~t't“cosapt, t^O	(6.22)
[знак минус, как и в (6.18), отброшен].
Переходя к комплексной форме, записываем
а(/) =Е0Ке[е<в°е^']= Re[E(/)еЧ‘], *>0,
где E(O=Eoeie°,	(6.23)
g(t) = (S/C)e~‘/TKRe(e V) = (S/C)e“'/tKRe[e-iAD<ei“o<]=
= Re[G(0e‘“H,
G (0 = (S/C) e~'/тке~/дш	(6.24)
— комплексная огибающая импульсной характеристики, отне-
сенная к частоте соо-
Подставив (6.23) и (6.24) в (6.13), получим
t
Авых (0=4А
о
С учетом равенств тк = 2/?С и (S/C)TK = 2SA) = 2A'max [см.
(6.15)] последнее выражение легко приводится к виду
Авых (/) =	[е'<в°~Ф) “ е-'/ткеНе.-<Р-ди')].	(6.25)
Это выражение совпадает с (6.18).
6.4. ЛИНЕЙНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ
АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННОГО
КОЛЕБАНИЯ В РЕЗОНАНСНОМ УСИЛИТЕЛЕ
На вход одноконтурного усилителя, изображенного на рис.
6.2, воздействует колебание
a(t) =£0[1+Mcos(Q/-|-7o)]cos(«o/+Oo).	(6.26)
Требуется выявить структуру колебания на выходе усилите-
ля.
Колебательный контур, входящий в состав усилителя, яв-
ляется инерционной цепью, что не может не оказать влияния
на параметры выходного колебания.
12—3305
177
В данном случае простейшей гармонической модуляции ам-
плитуды, когда спектр колебания содержит всего три составля-
ющие, структуру колебания на выходе усилителя проще всего
отыскать, рассматривая прохождение через усилитель каждой
из составляющих отдельно.
Записав выражение (6.26) в форме
а (0 =£ocos (ь)о/+6о) (Л4Ео/2) cos[ ((Oo-j-Q) Z4_6o4_'fo]_l_
+ (AfEo/2) cos[ (<oo—Q) /+60—Ko],	(6.27)
найдем передаточные функции усилителя для частот ®о, «о+й
и ®о—Q.
Основываясь на выражении (6.15') и положив Ай=0 (точ-
ная настройка колебательного контура на несущую частоту (о0),
получаем:
для несущей частоты <оо
K(i©o)=Kl(O)=—Кгпах;
для боковой частоты юо+Q
К [i (coo + Q)] = К! (ZQ) = - .4222- -----г. Ama* e-‘E«;
1 v 1 ,J v ' 1+Штк у 1 + (QtK)2
для боковой частоты <о0— Q
К [t («0 — Q)] = К, ( — Ш) = -	=------*^ах ц
1 V 1 V '	1—гйтк Vl+(fi-rK)2
где £0=arctgQTK — фазовый сдвиг в колебательном контуре на
боковых частотах (запаздывание на верхней и опережение на
нижней боковых частотах).
С учетом амплитудных и фазовых изменений, претерпевае-
мых спектральными составляющими в усилителе, можно пред-
ставить выходное колебание в форме, аналогичной (6.27):
«вых (Л= —^maxfofcos (%f + 0О) + ^у==COS[(G)0+Qy+
I	z V 1+ (ЙТК)2
+ во + Ко — £о] + 2	cos l(wo+ во — Ко + £о])-
z V 1 + (йтк)2	J
Свернув это выражение, получим
«вых (0 = — ^max^ofl + у = COS (Q/-|-Ко — Ы COS (й)0М-
L у 1 + (йтк)2	j
+ 0о).	(6.28)
Сопоставим полученное выражение с (6.27). Как и следова-
ло ожидать, частота и фаза AM колебания при прохождении
через резонансный усилитель (<оо=<ор) не изменяются.
Инерционность колебательной цепи влияет на огибающую
колебания:
178
I) глубина модуляции на выходе
ЯыХ =	= М / VT+^i;
меньше, чем на входе; относительное уменьшение глубины мо-
дуляции, иногда называемое коэффициентом демодуляции,
jy __ Л -ВЫХ __	I_______________I________
М ~	VI + (2Й(?эк/Шр)2
(график зависимости D от частоты модуляции Q, представлен-
ный на рис. 6.7, соответствует правой ветви резонансной кривой
колебательного контура);
2) огибающая амплитуд на выходе отстает по фазе от оги-
бающей входного колебания на угол
£о= arctg аэк=arctg (2QQ3k/cop).
Оба этих фактора обусловлены тем, что инерционность ко-
лебательной цепи снижает скорость изменения во времени оги-
бающей колебания. При этом, однако, форма огибающей
остается неизменной (гармонической).
Смысл этого результата поясняется рис. 6.8, а, на котором
показано положение спектра входного колебания относительно
резонансной характеристики колебательного контура. Чем выше
частота модуляции Q, тем больше относительное ослабление
амплитуды колебаний боковых частот и, следовательно, меньше
глубина модуляции колебания.
Полученные из анализа тональной модуляции результаты
позволяют представить общую картину явлений при передаче
через контур колебаний, модулированных по амплитуде слож-
ным сообщением. Входящим в такое сообщение различным
частотам Q соответствует неодинаковое ослабление: чем выше
частота, тем сильнее выражена демодуляция. Так как при
приеме колебаний напряжение на выходе детектора приемника
пропорционально коэффициенту модуляции, получается относи-
тельное ослабление высших частот сообщения. Таким образом,
зависимость Z)(Q) определяет степень линейных частотных
искажений передаваемого сообщения. Подобные искажения на-
зываются линейными потому,
что они не сопровождаются
возникновением новых частот.
Имеет место также задерж-
ка сообщения. Это объяс-
няется тем, что фазовый сдвиг
огибающей (при тональной
модуляции) зависит от часто-
ты. Колебательный контур
влияет на сообщение, содер-
жащееся в огибающей, так же,
как фильтр нижних частот при
12*
17£)
Рис. 6.8
пропускании непосредственно через него сообщения. Задержка
определяется наклоном ФЧХ
Обычно задержку определяют по наклону ФЧХ в точке й=
=0. Тогда
to = 2Qai>/(>lp== t|;.
Итак, задержка сообщения в одиночном контуре, полоса
прозрачности которого достаточна для удовлетворительного про-
пускания спектра сообщения, равна постоянной времени кон-
тура.
Рассмотрим теперь случай неточной настройки контура на
несущую частоту модулированного колебания (рис. 6.8,6). Не-
совпадение частот ©о и (ор приводит к асимметрии боковых час-
тот на выходе усилителя. Возникновение асимметрии поясняет-
ся векторной диаграммой выходных напряжений, представлен-
ной на рис. 6.9. На этой диаграмме вектор OD изображает не-
сущее колебание, фаза которого запаздывает относительно
фазы входной ЭДС (принятой равной нулю) на угол 0О (так как
рис. 6.8, б соответствует положительной расстройке AQ=(i)o—
—йр>0). Амплитуда колебания верхней боковой частоты (век-
тор DCi) в данном случае значительно меньше амплитуды ко-
лебания нижней боковой частоты (вектор DC^). Длина равно-
действующего вектора OF, изображающего результирующее ко-
180
лебание, изменяется по сложному зако-
ну, не совпадающему с гармоническим
законом изменения огибающей входной
ЭДС.
Следует иметь в виду, что для вос-
становления передаваемого сообщения
на выходе радиолинии, работающей с
амплитудной модуляцией, применяется
амплитудный детектор, представля-
ющий собой нелинейное устройство. На-
пряжение на выходе детектора пропор-
ционально огибающей модулированного
колебания. Из этого следует, что нару-
шение симметрии амплитуд и фаз коле-
баний боковых частот при неточной настройке контура на не-
сущую частоту (Ор приводит к нелинейным искажениям переда-
ваемых сообщений. Эти искажения проявляются в возникнове-
нии новых частот, кратных частоте Q полезной модуляции.
Кроме искажения формы огибающей амплитуд возникает
также паразитная фазовая модуляция колебания, так как при
вращении векторов DCt и DC2 (см. рис. 6.9) непрерывно изме-
няется фаза 6(/) вектора OF относительно фазы несущего ко-
лебания (принятой в качестве исходной). В некоторых случаях
это может привести к дополнительным искажениям сигнала.
Полученные выше результаты нетрудно распространить на
любую колебательную цепь, например на связанные контуры.
Если резонансная кривая такой цепи симметрична относительно
несущей частоты ©о, то правую ветвь этой кривой можно рас-
сматривать как характеристику коэффициента D (см. рис. 6.7).
6.5. ПРОХОЖДЕНИЕ
ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННОГО КОЛЕБАНИЯ
ЧЕРЕЗ РЕЗОНАНСНУЮ ЦЕПЬ
Наряду с непрерывной фазовой модуляцией в радиотехнике
находит применение фазовая манипуляция, заключаю-
щаяся в скачкообразном изменении фазы высокочастотного ко-
лебания на 180° в определенные моменты времени (рис. 6.10, а).
Амплитуда и частота колебания поддерживаются при этом не-
изменными. На рис. 6.10,6 фазы Ойл чередуются периодиче-
Рис. 6.10
181
ски; при передаче реальных сигналов закон чередования может
быть более сложным.
Рассмотрим явления в резонансных цепях, возникающие в
моменты скачкообразного изменения фазы входного сигнала.
При этом будем считать, что тактовые интервалы Ti между
двумя соседними скачками фазы намного больше длительности
возникающих в цепи переходных процессов, так что рассмотре-
ние каждого из скачков изолированно от предыдущих вполне
допустимо.
Для выявления принципиальной стороны вопроса ограни-
чимся простейшим случаем — передачей фазоманипулированно-
го сигнала через одиночный колебательный контур, настроен-
ный на частоту сигнала ©о, т. е. «о=«р.
Совместим начало отсчета времени с моментом скачка, как
это показано на рис. 6.10. Тогда для t>0 выходной сигнал на
основании принципа суперпозиции можно представить в виде
суммы свободного колебания, существующего после выключе-
ния ранее действовавшего сигнала, и нарастающего колебания
с фазой заполнения, на 180° отличающейся от фазы предыду-
щего сигнала.
Пренебрегая различием между собственной частотой конту-
ра ©св и резонансной частотой ор, можно для двух упомянутых
колебаний написать следующие выражения:
ai (t) =Аое~а^cos	а2(0=—^о(1—е~“к<) cos apt.
Знак минус в правой части второго выражения учитывает ска-
чок фазы.
Результирующий сигнал на выходе цепи (рис. 6.11)
^вых=О) (f) Т"П2(/)= (—Ло-рЛов к+Лре к ) cos (jjpt—
——Ло(1—2e-aKz) cos ©pt
Из-за инерционности контура скачок фазы входного сигнала
приводит к изменению амплитуды выходного сигнала. В момент
времени /о=0,69/а.к, когда е’%7" =1/2, огибающая обращается
в нуль. Чем меньше ак (или чем больше добротность контура),
тем больше to, т. е. тем протяженнее процесс установления ко-
лебания с новой фазой.
В более сложных колебательных цепях, а также при нали-
чии расстройки между частотами ©о и ©р картина несколько
усложняется: помимо возникновения паразитного изменения
Рис. 6.11
182
огибающей нарушается и характер изменения фазы. Вместо
скачкообразного изменения получается плавный переход фазы
от первоначального значения к новому. При этом способ опре-
деления структуры выходного сигнала остается прежним, толь-
ко ai(t) и а2 (/) в выражении для аВых(О будут представлять
собой колебания с несовпадающими частотами. Вычислив мо-
дуль и аргумент суммарного колебания, нетрудно найти оги-
бающую и фазу выходного сигнала.
6.6. ПРОХОЖДЕНИЕ
ЧАСТОТНО-МАНИПУЛИРОВАННОГО
КОЛЕБАНИЯ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНУЮ
ЦЕПЬ
Пусть сигнал на входе избирательной цепи имеет вид коле-
бания, изображенного на рис. 6.12, а. В некоторые моменты
времени частота скачком изменяется от сщ до ю2 или от (о2 ДО
©1 при постоянной амплитуде и непрерывной фазе в моменты
скачков частоты. Последнее допущение продиктовано желанием
выяснить влияние на параметры выходного сигнала одной лишь
манипуляции частоты, без наложения манипуляции фазы (рас-
смотренной в предыдущем параграфе).
Совместим начало отсчета времени с моментом изменения
частоты от oi до ©2 (рис. 6.12,6) и положим, как и в § 6.5,
что к моменту t=0 все процессы, связанные с предыдущим
скачком частоты, уже закончены. Таким образом, при /<0 вы-
ходной сигнал представляет собой гармоническое колебание с
частотой (oi и постоянной амплитудой Л о.
На первый взгляд может показаться, что изменение скачком
одной лишь частоты входного сигнала при постоянстве ампли-
туды и отсутствии скачка фазы не должно сопровождаться пе-
реходными процессами. В действительности это не так, посколь-
ку в цепях, запасающих энергию, переход от одной частоты к
другой неизбежно связан с изменением запаса энергии.
Основная идея, на которой базируется дальнейшее рассмот-
рение, заключается в том, что мгновенное изменение частоты
внешней ЭДС эквива-
лентно выключению ста-
рой ЭДС с частотой (щ
и включению в тот же
момент новой ЭДС с ча-
стотой (о2. Аналогичный
прием был использован в
§ 6.5 для скачка фазы
входного сигнала, одна-
ко в данном случае дело
несколько осложняется
несовпадением частот
различных слагаемых.
183
Итак, результирующее колебание на выходе линейной цепи
при />0
авых(0=«1(0+«2(0>	(6.29)
где <Zi (/) — свободное колебание, связанное с выключением в
момент /=0 старой ЭДС (частоты ©i); а2(0—нарастающее
колебание, обусловленное включением новой ЭДС (частоты со2).
Рассмотрим одиночный колебательный контур при съеме
выходного напряжения с емкости (рис. 6.13). Резонансную час-
тоту контура <ор приравняем частоте g)0, а скачок частоты 2 А и
(см. рис. 6.12,6) будем считать симметричным относительно со0:
(01 = С00-А(О = (Ор-А(0, (02=(1)о+А(0 —й)р+А(О.
Тогда свободное колебание at (t) в соответствии с (6.25)
можно записать в форме
«1 (/) = ,.	=- е—//Хк sin (со / — q?j), />0,
V V1 + (Д«о)2 ТК2	' ₽
где множитель Q соответствует /Стах, косинус заменен синусом
ввиду съема напряжения с емкости, входящей в последователь-
ный контур, a <pi = arctg (сщ—<ор)тк. Поскольку сиСыр, то <pi =
= —arctgA(OTK и
Ci (0 =	------ е-< Тк sin (<%/ + <jp), Z > О
v 7 V1 + (А©)2 V	' р
(здесь использовано обозначение <]p = arctgA(OTK).
В результате аналогичных рассуждений колебание a2(i) по
аналогии с (6.19) можно представить в виде
«2 (0 = у—^)2-g-- [sin (w2Z - <р) - е-//тк Sin ((ор/ — ф)|,
t>0.	(6.30)
В данном случае ф входит со знаком минус, так как на час-
тоте (ог>сор ток в контуре отстает по фазе относительно ЭДС.
Рис. 6.13
184
После подстановки в (6.30) d)2=(Op+Aci) выражение (6.29)'
приводится к виду
«вых W = 1/1 	2rfc°S (Ды/ — ф) sin ®р* +
V I + (Дсо) тк2	1
4-	[sin (Aoj# — ср) Ц- 2 sin фе“^Тк] cos сор/}=
=Ab>x(0sin [<0р/ + £ (01-
Огибающая Лвых(0 и переменная часть фазы g(#) выходно-
го сигнала определяются выражениями
Лвых(Z)=1 +4е sinфsin(AwZ“'
+4е 2//Хк5Ш2ф,
£(O = arctg
/ / т
sin (Дсо#—<р)+2е к sin <р
cos (Дсо#—<р)
Основной интерес в данном случае представляет закон изме-
нения частоты выходного колебания
и (0 = ®р + ^2-= сор + Асо (/).
Выполнив дифференцирование, после некоторых несложных
выкладок1 можно прийти к следующему результату:
у___Дсо (#)_____________1—2е Acd</ft cos Дсо#________
Д®	1+4е—Л“//й sincp [sin (Дсо#—<р)+е—л“//6 sin ср]
где Ь=Аю/ак.
Графики У(Аси/) для нескольких значений параметра Ъ по-
строены на рис. 6.14. Заметим, что полоса пропускания контура,
определяемая по ослаблению сигнала до I/ V2 от максималь-
ного значения, равна 2aK=(i)p/Q. Следовательно, параметр b
есть не что иное, как отношение полного скачка частоты сигна-
ла 2Асо к полосе пропускания 2сск.
Из рис. 6.14 видно, что при 6^0,5, т. е. когда А©/ак^0,5,
процесс установления частоты практически не отличается от
процесса установления амплитуды при внезапном включении
ЭДС. Заметное расхождение наступает при Ь>0,5.
1 Подробные выкладки см. в третьем издании настоящей книги.
Там же рассматриваются амплитудные изменения выходного колебания при
скачкообразном изменении частоты ЭДС на входе контура.
185
6.7. ПРОХОЖДЕНИЕ
ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННОГО
КОЛЕБАНИЯ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ
ЦЕПИ
В § 6.4. было показано, что при гармонической AM переда-
ча колебания через контур, точно настроенный на несущую час-
тоту, не сопровождается изменением формы огибающей, имеет
место лишь ослабление глубины модуляции.
При ЧМ неравномерность амплитудно-частотной и кривизна
фазочастотной характеристик контура оказывают более "слож-
ное влияние на параметры выходного колебания. Даже при
гармонической модуляции частоты спектр колебания обычно со-
держит очень большое число пар боковых частот. Нарушение
нормальных амплитудных и фазовых соотношений между от-
дельными парами боковых частот приводит к искажению зако-
на модуляции даже при полной симметрии характеристик цепи
относительно несущей частоты колебания.
При ЧМ влияние цепи может выразиться:
в искажении закона изменения мгновенной частоты и мгно-
венной фазы колебания;
в изменении амплитуды полезного частотного отклонения в
.зависимости от частоты модуляции Q;
в возникновении паразитной AM.
При детектировании колебаний с помощью частотного детек-
тора напряжение на выходе приемника пропорционально изме-
нению мгновенной частоты колебания. Поэтому искажение за-
кона изменения мгновенной частоты в колебательных контурах
передатчика и приемника приводит к нелинейным искажениям
сигнала, проявляющимся на выходе детектора в виде добавоч-
ных напряжений с частотами, кратными частоте модуляции Й.
Второе из отмеченных выше изменений параметров частот-
но-модулированного колебания приводит к неравномерности
АЧХ радиолинии с ЧМ и, следовательно, к частотным (линей-
ным) искажениям сигнала.
Рассмотрим воздействие ЭДС, частота которой изменяется
по закону
со (Z) =<oo+wflCosQf,	(6.31)
на резонансную колебательную цепь. Амплитуду ЭДС считаем
строго постоянной, так что ЭДС можно представить выраже-
нием [см. (3.23)]
е (t) = Eocos (oof+msinQZ).
Комплексный коэффициент передачи цепи обозначим через
К(1<о)=К(©)еад<“>,
18G
Примерный вид модуля 7< (со) и фазы <р(со) для обычной
резонансной цепи изображен на рис. 6.15,а. Так как перед <р(со)
выбран знак плюс, то фазовая характеристика <р(ю) имеет
отрицательный наклон в полосе прозрачности цепи. Частотный
спектр и график изменения мгновенной частоты со (/) входной
ЭДС показаны на рис. 6.15,6 и в. Колебательные цепи обычно
настраиваются на среднюю частоту модулированного колебания,
поэтому рис. 6.15 и дальнейшее рассмотрение относятся к слу-
чаю (йр = (1)о-
Для нахождения колебания на выходе цепи в принципе
можно воспользоваться тем же методом, что и в случае AM
(см. § 6.4). При этом необходимо учесть изменение амплитуд и
фаз для каждой из пар боковых частот ЭДС в соответствии с
кривыми А(ы) и <р(<£>). Однако подобный вполне точный метод
пригоден лишь при очень малых индексах модуляции, т. е. если
состав спектра ЧМ колебания мало отличается от состава спек-
тра AM колебания.
В практике чаще всего приходится встречаться с модуля-
цией, характеризующейся столь большим числом спектральных
составляющих в используемой полосе частот, что применение
спектрального метода сопряжено с большими, иногда непреодо-
лимыми трудностями вычисления. В таких случаях приходится
прибегать к приближенным методам, позволяющим, хотя и не
вполне точно, находить колебание на выходе цепи по заданно-
му закону изменения мгно-
венной частоты ЭДС на
входе и по заданным ФЧХ
и АЧХ цепи без разложения
ЭДС в спектр.
Эти методы, называе-
мые методами мгно-
венной частоты, осно-
ваны на допущении медлен-
ности изменения частоты. Ча-
стота модуляции считается
настолько малой, что ам-
плитуду и фазу колебания
на выходе цепи в каждый
момент времени можно без
большой погрешности оп-
ределить по частотной и фа-
зовой характеристикам це-
пи так же, как в стационар-
ном режиме. Таким обра-
зом, принимается, что ста-
ционарные колебания на вы-
ходе устанавливаются поч-
ти одновременно с измене-
нием частоты на входе цепи.
Рис. 6.15
187
Эти предпосылки тем ближе к истине, чем больше период
модуляции 2jt/Q и чем меньше постоянная времени цепи тк.
Так как последняя обратно пропорциональна полосе пропуска-
ния цепи 2Д(оо, то одним из условий применимости метода мгно-
венной частоты является неравенство Q/Amo^l-
При одной и той же частоте Q скорость изменения мгновен-
ной частоты входной ЭДС зависит от амплитуды частотного
отклонения сод, поэтому соблюдения только этого неравенства
еще недостаточно. Должны быть наложены ограничения и на
отношение оэд/Дсоо-
Более подробное рассмотрение показывает, что если <од/Дсоо меньше еди-
ницы или близко к ней, то метод мгновенной частоты обеспечивает вполне
достаточную для практики точность.
При выполнении указанных условий напряжение на выходе цепи можно
определить с помощью выражения
uBM(0 =EoRe[ei’M<>K(i<o) ]=EoK(co)Re{ei[’W)+WJ},
где хр (0 =<Oof+msinQ/ — полная фаза ЭДС на входе цепи (см. § 3.4);
<р(<в)—аргумент коэффициента передачи цепи; при со = со(1) <р является
функцией времени.
Из этого выражения видно, что амплитуда выходного напряжения изме-
няется по закону
1/вых(0 =£оК(со) =£оК(сОо+0)дС05Й?),
а мгновенная частота — по закону
с/ср
С0вых(О=ТГ + тг-
at at
Так как первый член в правой части этого выражения представляет со-
бой мгновенную частоту входной ЭДС <o(Z), то £(/)=</cp/df характеризует
влияние рассматриваемой цепи на частоту выходного колебания. При выпол-
нении оговоренного выше условия медленности модуляции £, как правило,
мало по сравнению с <од. Итак,
®вых(П=И(0+6(0-	<6-32)
Если известно уравнение ФЧХ ср (со), то, подставляя вместо аргумента со
мгновенную частоту <o(Z) = co0+coAcosQf и дифференцируя по t, получаем об-
щее выражение для £(1):
£(O=Jt [ф(соо+ сод cos	(6.33)
При периодической модуляции частоты £(1) также является периодиче-
ской функцией времени и может быть разложена в ряд Фурье. Так как при
настройке цепи иа среднюю частоту соо ФЧХ обычно нечетна относительно
188
<Оо> то ряд Фурье содержит одни лишь нечетные гармоники: й, Зй, 5Й,___
Учитывая, наконец, что при изменении частоты по закону (6.31) производная
т. е. £(1), является нечетной функцией времени, приходим к выводу, что
ряд Фурье содержит одни лишь синусоидальные члены:
£(/) ==$’18тйЦ-#’381пЗЙ£+ ...,
где &з,---— амплитуды гармоник функции
Подставляя £(/) в (6.32), получаем
<0вых(0 =»СОо+<ВдС08Й/+$,18ШЙ/ + <?’381пЗЙН- . . .
~CDo+ V<02д+в’12СО8(й/—у) +#3sin3fif+ . . . «
«С|)о + <йдС08(й/—у)+^’з81пЗЙ1+ ,..
(6.34)
Слагаемое под знаком корня можно отбросить как величину высшего
порядка малости по сравнению с со^.
Сопоставление выражений (6.31) и (6.34) позволяет сделать вывод, что
влияние цепи на выходное колебание заключается в запаздывании фазы со-
общения на угол у, определяемый выражением
y=arctg(<8’i/<o„),
(6.35)
и в возникновении нечетных гармоник в законе изменения мгновенной часто-
ты. Как отмечалось выше, наибольшее значение обычно имеет последнее об-
стоятельство.
Поясним применение метода мгновенной частоты на примере одиночного
колебательного контура.
Подразумевая под К (Йо) отношение комплексной амплитуды напряже-
ния на конденсаторе к амплитуде ЭДС, включенной последовательно в кон-
тур, получаем
K(to) =
I/t'coC
r[l +i(CO—<Оо) тк]‘
Учитывая, что со—соо=содсо8Й1 и пренебрегая изменением со в числителе,
так как <од обычно мала по сравнению с соо. можно записать
* (I + 1’шдгк cos Й0 у/" 1 (содтк cos Й<)2
где <р= —
л
"2" + arctg (<ОдТк cos й/)].
На основании соотношения (6.33) находим
rf<P ЙСОдТк Sin Й£
rf/ 1 (O^T^COS2 Й1
Д к
189
СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
7.1.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕЙНЫХ
ЦЕПЯХ
Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 7.1) с пере-
даточной функцией K(i<o) и импульсной характеристикой g(t)
действует случайный процесс s(t) с заданными статистическими
характеристиками; требуется найти статистические характери-
стики процесса $Вых(0 на выходе четырехполюсника.
В гл. 4 были рассмотрены основные характеристики случай-
ного процесса: распределение вероятностей; корреляционная
функция; спектральная плотность мощности.
Определение последних двух характеристик является наибо-
лее простой задачей. Иначе обстоит дело с определением зако-
на распределения случайного процесса на выходе линейной це-
пи. В общем случае при произвольном распределении процесса
на входе отыскание распределения на выходе инерционной цепи
представляет собой весьма сложную задачу.
Лишь при нормальном распределении входного процесса за-
дача упрощается, так как при любых линейных операциях с
гауссовским процессом (усилении, фильтрации, дифференциро-
вании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормаль-
ным, изменяются лишь функции Д(т) и H7(g)). Поэтому если
задана плотность вероятности входного процесса (с нулевым
средним)
P(s)
1	/ S2 \
V 2^ етр ( 2о* )•
то плотность вероятности на выходе линейной цепи
Р Цвых)
-7=----ехр
(7.1)
1
Дисперсия Дзвых=о82вых легко определяется по спектру или
по корреляционной функции. Таким образом, анализ передачи
Рис. 7.1
гауссовских процессов через ли-
нейные цепи по существу сводит-
ся к спектральному (или корре-
ляционному) анализу.
Следующие четыре парагра-
фа посвящены преобразованию
190
только спектра и корреляционной функции случайного процес-
са. Это рассмотрение справедливо при любом законе распреде-
ления вероятностей. Вопрос же о преобразовании закона рас-
пределения при негауссовских входных процессах рассматри-
вается в § 7.6, 7.7.
7.2.	СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ
МОЩНОСТИ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ
ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО процесса
НА ВЫХОДЕ ЦЕПИ
Содержание данного параграфа ограничено рассмотрением
стационарных случайных процессов.
Спектральную плотность входного процесса обозначим.
И7,((о). Задача нахождения 1Е,вых(и) легко решается с помо-
щью рассуждений, аналогичных использованным при выводе
выражения (4.31). Умножив спектральную плотность XftT (со)
«усеченной» реализации процесса xh(t) на передаточную функ-
цию фильтра К (io), получим спектральную плотность этой же
реализации на выходе
Хивых (<o)=XftT((o)K(Ao).
Энергию рассматриваемого отрезка реализации можно опре-
делить с помощью равенства Парсеваля
Г/2	оо
3*гвых = 5	$ |Xftr(«)|2|K(M|2do.
—Г/2	— о»
Тогда по аналогии с выражением (4.34) получаем
^выХ(®) = Нт |Хгвы;((й)|!!- = Г»К2М-	(7.2>
г-»оо 1
Корреляционная функция случайного процесса на выходе
фильтра определяется с помощью выражения (4.39'):
со
/?хвыхС0 = ^ 5 ^вых(®)е'“^(О =
—оо
= i jj Ws (со) К2 (о) е'“Мй).	(7.3).
—оо
Соотношения между характеристиками случайных процессов
на входе и выходе цепи можно вывести также на основе задан-
ной импульсной характеристики цепи.
191
Действительно, поскольку спектральной функции W,(со)
соответствует корреляционная функция
оо
Ws(<*)ele”da,
—со
а спектральной функции № (со)—
оо
$ №(«)е'“М<о,
—оо
(7А)
(7.5)
т. е. корреляционная функция импульсной характеристики g(t)
[см., например, (2.122), в которой S2(co) нужно заменить иа
№(«)], то произведению спектральных функций №.(со) и №(®)
соответствует свертка функций 7?Цт) и 7?Дт) [см. (2.59)]
©о
вых (т) = § Rs (X) Rg (т — X) dx.	(7.6)
—оо
Таким образом, по заданным корреляционным функциям
К.(т) и 7?g(x) определяется корреляционная функция на выходе
^«вых(т), после чего находится энергетический спектр
оо
ws ВЫх (®) = § /?s ВЫх (т) е-'“Мт.	(7.7)
—оо
Особый интерес представляет случай, когда процесс на входе
.является белым шумом. При этом Ws вых(ьо)= VF0=const и в
соответствии с (7.3) и (7.5)
©о
Я,вых С0 = J № (ы) e'^Jco =	(T).	(7.7')
—oo
Выражение (7.7') можно применять и в тех случаях, когда
энергетический спектр Ws (со) равномерен лишь в полосе про-
зрачности цепи.
Итак, ни спектральный, ни корреляционный анализ прохож-
дения стационарного случайного процесса через линейную цепь
с постоянными параметрами не связан с какими-либо трудно-
стями.
7.3.	ХАРАКТЕРИСТИКИ СОБСТВЕННЫХ
ШУМОВ В РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЯХ
При анализе передачи сигналов по радиоэлектронным цепям
наряду с неизбежными искажениями формы сигналов необходи-
мо учитывать также собственные шумы цепи. Эти шумы, на-
кладываясь на сигнал, ограничивают информационную емкость
192
последнего. Проблема шумов особенно актуальна при усилении
слабых сигналов.
В радиоэлектронных устройствах имеются два основных ис-
точника шумов: дискретная структура тока в усилительных
элементах (транзисторах, электронных лампах и т. д.) и тепло-
вое движение свободных электронов в проводниках электриче-
ской цепи.
Рассмотрим первый источник на примере дробового эффекта,
присущего электронному току в усилительных приборах. Этот
ток представляет собой совокупность импульсов, каждый из ко-
торых обусловлен переносом заряда одного электрона. Полный
ток, являющийся суммой очень большого числа перекрываю-
щихся, расположенных случайным образом на оси времени им-
пульсов, представляет собой стационарный эргодический слу-
чайный процесс, для которого справедлива центральная пре-
дельная теорема1. Поэтому распределение электронного тока
можно считать нормальным с плотностью вероятности
-йЛ-	<7-8’
Постоянную составляющую тока 70 и среднюю мощность
флуктуационной составляющей о2 можно установить с помощью
следующих рассуждений.
Пусть среднее за 1 с число импульсов тока равно k\. Так
как каждый импульс переносит заряд одного электрона е, то
полное количество электричества, переносимое в среднем за
1 с, равно k\e. Это и есть постоянная составляющая тока. Та-
ким образом,
Введем в рассмотрение спектральную плотность Gi((o) оди-
ночного импульса тока ie(t—th), обусловленного переносом за-
ряда е одного электрона (th— момент вылета электрона). Не-
зависимо от формы этого импульса значение Gi(a>) при ю = 0
равно площади импульса [см. (2.46)]:
оо
01(0)- $ ie(t-tk)di = e.	(7.9)
—оо
Длительность ие импульса ie(t) зависит от геометрии элек-
тронного прибора, от напряженности электрического поля в
междуэлектродных промежутках и т. д. Ширину спектра им-
пульса в грубом приближении можно приравнять 2/тс. Таким
образом, модуль спектральной плотности импульса ie(t—th)
можно представить в виде графика, показанного на рис. 7.2.
Максимальная ордината ~е.
1 См. п. 4.2.3.
13—3305
193
Энергия одного импульса по формуле Парсеваля
оо
S Gi2(a>)da,
—оо
а суммарная энергия ki импульсов за 1 с, т. е. средняя мощ-
ность процесса (при сопротивлении 1 Ом),
ОО
Й^) = ад + /02=^ 5 ВД2(«)бГ(о + /02 = ^2 + /о2-	(7-10)
—оо
Первое слагаемое в правой части (7.10) определяет мощ-
ность флуктуационной составляющей тока, второе слагаемое —
Мощность постоянной составляющей 10.
Из выражения (7.10) вытекает, что энергетический спектр
флуктуационной составляющей электронного тока совпадает по
форме со спектральной плотностью энергии G12(o) отдельных
импульсов, образующих случайный процесс:
ВД-№2(о)-	(7.11)
Примерный вид Wifa) представлен на рис. 7.2.
Учитывая, что к\=Ще, а также то, что в пределах полосы
частот ~2/те имеет место равенство (7.9), получаем1
W'I(m)~e/0, 0< I со I < 1/те.	(7.12)
Таким образом, приходим к выводу, что в указанных преде-
лах дробовой шум можно считать белым.
Выражения (7.8) и (7.12) определяют основные статистиче-
ские характеристики дробового тока.
Теперь нетрудно выявить статистические характеристики на-
пряжения шума на выходе цепи, содержащей «шумящий» эле-
мент. На рис. 7.3, а и б изображены схемы транзисторного и
лампового усилителей, а на рис. 7.3, в — единая схема замеще-
ния для флуктуационного тока i(t). Входные зажимы база —
эмиттер (соответственно сетка — катод) соединены накоротко,
чтобы подчеркнуть отсутствие внешнего воздействия на усили-
тель. В качестве источника шума
в схеме замещения показан
генератор тока i(t), стати-
стические характеристики
которого p(i) и №г(со) бы-
ли определены выше.
Напряжение шума u(t),
создаваемое на линейном
нагрузочном элементе ZH(w),
распределено, как и ток
i(t), по нормальному закону
1 В технической литературе также распространена формула W'/fco) =2е/о.
при выводе которой среднюю мощность <r2i относят только к положительным
частотам.
194
Спектральная плотность случайного процесса u(t) опреде-
ляется соотношением
r«=^(®)ZH(<o)	(7.14)
[ср. с (7.2); в данном случае вместо безразмерной передаточной
функции Л (со) фигурирует сопротивление ZH(со)].
Применяя к (7.14) преобразование (4.39'), можно опреде-
лить корреляционную функцию напряжения шума на выходе
усилителя, а также величину аи, т. е. среднеквадратическое на-
пряжение шума.
Рассмотрим механизм формирования собственного шума в
резистивном и резонансном усилителях.
В резистивном усилителе сопротивление ZE(ico) определим
(для схемы на рис. 5.6) по формулам
rj ,. х (1/ZcoCo) —о у ,	/7 1 НУ
ZH (гм) — я + 1//юСо, ZH (®) = 1 + (Шс0/?)2 •	(7.15)
Постоянная времени цепи RCq во много раз больше дли-
тельности импульса те; соответственно полоса пропускания це-
пи 7?С0, примыкающая к нулевой частоте, во много раз уже,
чем ширина спектра И7,(ю), показанного на рис. 7.2. Поэтому
при определении воздействия на цепь дробового шума его
можно рассматривать как белый шум со спектром Wz((o)=e/0.
Тогда по формуле (7.14)
ТГ„(С))=е7о^2/[1 + (б)Со/?)2]	(7.16)|
и по формуле (4.39')
п / х г г>2	е'0” л eI0R2 1 С cos от ,
) 1 + (<оСо/?)2	Tj (l//?Ce)2 + o2
—oo	0
13*
195
Входящий в правую часть интеграл
оо
С COSCOT J л	/ I т| \
? (1/ЯСо)г + <ог dv> Т еХР ( “ RCa )•
о	4	'
Таким образом,
n /т\ _ руп (____________Iт I \
2С0 ехр\ /?Со/'
(7-17)
При т=0 это выражение определяет дисперсию напряже-
ния шума сг2 и среднеквадратическое напряжение шума аи:
°l=RuW=e-^>
**	ZC,o	* ZOo
(7.18)
Нормированная корреляционная функция шума
ги(т) = ехр(—1т1Д?С0).	(7.19)
Графики спектра	и функции г«(т) изображены на
рис. 7.4 и 7.5.
Интервал корреляции напряжения шума в данном примере
определяется величиной 1т1/7?Со~1. Нетрудно пояснить смысл
полученного результата. Напряжение шума на нагрузке обра-
зуется совокупностью беспорядочно следующих импульсов тока,
создаваемых отдельными электронами. Каждый из этих им-
пульсов создает импульс напряжения, длительность которого
определяется постоянной времени нагрузки. При наложении
большого числа импульсов относительная скорость изменения
суммарного напряжения шума u(t) должна быть того же по-
рядка, что и скорость изменения отдельных импульсов. Поэто-
му для независимости напряжений, отсчитываемых в моменты
t и величина т должна быть не менее длительности им-
пульсов, образующих шум.
Для количественной оценки напряжения шума, создаваемо-
го дробовым эффектом, приведем следующий пример, харак-
терный для апериодического усилителя: постоянный ток /0=
= 10 мА, сопротивление нагрузки 7?=5 кОм, емкость Со=5ОпФ.
Рис. 7.6
196
По формуле (7.18) находим среднеквадратическое напря-
жение шума на выходе усилителя
о„
1.6-10-”-10-10-3-5- 10s
2-50-10"*=
2,8-10-4В = 0,28 мВ.
Определенное таким образом напряжение можно условно
рассматривать как результат приложения некоторого напряже-
ния шума ко входу усилителя. При коэффициенте усиления Ку
эквивалентное напряжение шума на входе следует приравнять
величине «ск=Ои/Ау. При коэффициенте усиления Ay~100 по-
лучаем «ск~3 мкВ. Это значение и определяет нижний порог
сигнала, который еще имеет смысл усиливать данным усилите-
лем.
Аналогичным образом можно рассмотреть формирование
шума в колебательной цепи резонансного усилителя.
По аналогии с (7.14) определим спектр
Wu(a) = Wi(a)ZlK (G))=eIoZlK (ю),	(7.20)
где
.z z3K р __________________
-’к (г<й)~ 1 + /в ~	2 (со— <Ор)
1 +*----т;----
a ZaKP=Rm— сопротивление контура (шунтированного резисто-
ром 7?ш) при резонансе. Отсюда квадрат модуля сопротивления
нагрузки
гэк(®) = /?ш/[1 + (<»-«Р)2Тк],	(7.21)
где тк=2<2эк/юр — постоянная времени контура.
Таким образом,
W и (о) = е10К2ш /[ 1 + (о—юР) 2Тк\.
(7.22)
График спектра И7в(ю) изображен на рис. 7.6.
%
Рис. 7.6
О	(а-ар)Тк
197
Выражение (4.39') для корреляционной функции в данном
случае принимает следующий вид:
оо
9 I С е'“т
7?и(т) = е/с^ш — ) 1+(6)—сор)2Тгк С?С) =
— оо
оо
Г ~2 1 С cos СОТ .
—	J ! 4-(со—(0р)гт2к
о
л
Переходя к новой переменной coi=(o—свР, получаем
Г, . X е/о^ш С COS(<D1 + COP)T
л J l+W2!^ rf°l —
~“р
eleRl
л
C0StV J Tw. dM--sln v $ 1
_“р	-“р
Заметим, что при достаточно большой добротности контура
выполняется условие
СОрТк 0)р (2<2эк/сор) ZQsk^* 1.
Поэтому нижний предел интегралов —сор можно заменить
на —оо. При этом второй интеграл обращается в нуль вслед-
ствие нечетности подынтегральной функции относительно пере-
менной интегрирования ©j. Первый же интеграл вследствие
четности подынтегральной функции приводится к виду
оо	©о
С cos<b,t ,	2 С cos (01?	,
) Г+с^Л	)	Т7тгк	+	0Л	d(dl*
-0>р	о
Аналогичный интеграл был вычислен при выводе формулы
(7.17). Используя этот результат, получаем
RuW
2
л т2к
-|т|/т
~е
KCOS ОрТ =
—е |г,/Тк cos (ОрТ=е/с/йцаке~“к|г| cos орт.
(7.23)
Здесь через ак=1/тк обозначено затухание контура. Учитывая,
что при шунтировании контура сопротивлением /?ш коэффи-
циент затухания ак=1/2/?шС, записываем формулу (7.23) в
следующей форме:
/?ц(г) = ^е““к1г|со5сорг.	(7.23')
198
Из формул (7.23), (7.23') вытекает, во-первых, что средний
квадрат напряжения шума на контуре
= Ru (0) =e/0^iaK=e/0^in/2C	(7.24)
и среднеквадратическое напряжение шума ои = У е/0/?ш/2С;
во-вторых, нормированная корреляционная функция опреде-
ляется выражением
г и (т) =е~ак|т,со8 opT=e_,1[,/tKCOS соРт.	(7.25)
График функции ги(т) показан на рис. 7.7. Интервал корре-
ляции в рассматриваемом случае определяется ходом огибаю-
щей функции ru(r), т. е. множителем е_|т,/*к в выражении
(7.25).
Пересчет напряжения шумов ко входу усилителя, как и для
апериодического усилителя, можно сделать по формуле иск=
=Ои/Ку, в которой под Ку следует подразумевать коэффициент
усиления на резонансной частоте.
Напряжение шума, выделяемое на высокодобротном коле-
бательном контуре, показано на рис. 4.17. Приведенные в § 4.6
характеристики узкополосного случайного процесса могут быть
полностью отнесены к дробовому шуму в резонансном усили-
теле.
Нужно иметь в виду, что изложенный в данном параграфе
материал дает представление лишь о методе анализа характе-
ристик собственных шумов, формируемых избирательной цепью
усилителя. Механизм образования шумов зависит от ряда фи-
зических и конструктивных особенностей усилительных (актив-
ных) элементов, которые здесь не рассматриваются.
В заключение укажем, что приведенные выше соотношения
можно использовать также при анализе теплового шума в из-
бирательных цепях. Необходимо лишь спектр такого шума
определять по формуле, известной из физики:
Wu(a)=2kTR,	(7.26)
где R — сопротивление резистора, генерирующего шум; k=
= 1,38X10-2з Вт-с/град — постоянная Больцмана; Т—абсолют-
ная температура.
Тепловой шум можно считать белым шумом.
Как и в выражении (7.12), I^u(co) здесь определено для по-
ложительных и отрицательных частот. При отнесении мощности
шума только к положительным частотам коэффициент 2 следу-
ет заменить на 4.
7.4.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ
ФУНКЦИИ
Задан стационарный эргодический случайный процесс s(f)
со спектром M's (to) и корреляционной функцией /?s(t); требует-
ся найти аналогичные характеристики для производной s(t).
199
Не останавливаясь здесь на рассмотрении всех условий диффе-
ренцируемости случайной функции, ограничимся основным тре-
бованием: энергетический спектр	при ю-»-оо должен
убывать быстрее, чем 1/со2, так что
(J)2WS («) da> < оо.
(7.27)
Это условие выполняется для большинства практических за-
дач, так как спектр ^ (со) формируется физической цепью, пе-
редаточная функция которой при ©->-оо убывает быстрее, чем
1/© (а квадрат модуля уменьшается быстрее, чем I/©2). Усло-
вию (7.27) не отвечает белый шум с бесконечно широким
спектром, однако обычно рассматривается шум с ограниченным
спектром.
Считая условие (7.27) выполненным, рассмотрим прохож-
дение случайного сигнала s(t) через идеальную дифференци-
рующую цепь, передаточная функция которой K(i©)=i©T0
[см. (5.49)].
Применяя выражения (7.2), (7.3), можем написать
Ws Вых (<*) = К2 (©) Ws (©) = t0VU7s (©),
вых (т)= то^ $
Дисперсия процесса на выходе устройства
2 00
^вых = 0в2Ых=^$^(©)^.
—ОО
(7.28)
(7.29)
(7.30)
Рассмотрим следующий пример. Пусть спектр процесса
на входе дифференцирующего устройства равномерен в полосе
частот —
|^о ПРИ М^л/^Л©!,
’'Ю' [0 при | и |>2л/1 — Д©Р
(7.31)
Корреляционная функция подобного процесса [см. (4.41)]
/?s (т) = (sinAwix) /А©1Т,
а дисперсия
£>.=о^=/?в(0) = И702Л.
(7.32)
После дифференцирования получим W„ ВЫ1(©) = t^©2VT0 и
Да,
^вых^-тХо^ j ©2eW©.
—Дк>1
(7.33)
200
Дисперсия
Учитывая, что W02fi—о% —дисперсия шума на входе диффе-
ренцирующего устройства, приходим к следующему результату
Cx = (A“iW73.	(7.34)
Графики функций U7e(co) и ВЫ1(го). а также нормирован-
ных корреляционных функций г,(х) и гЯБЫГ (т) изображены на
рис. 7.8, а и б; параметр AcdiTo=1- Из рисунка видно, что диф-
ференцирование приводит к ослаблению нижних частот исход-
ного процесса. Относительное возрастание высших частот при-
водит к более четко выраженной осцилляции корреляционной
функции (см. рис. 7.8, б).
Рассмотрим прохождение того же случайного сигнала через
реальное дифференцирующее устройство в виде 7?С-цепи (см.
рис. 5.15). Квадрат передаточной функции дифференцирующей
цепи
=	№(«) = <о2г2о/(1 + ®2^), т0=/?С.
201
Таким образом, энергетический спектр на выходе цепи
ЛХХХ-
График IFjbhxC05) Для Асо,то= 1 представлен на рис. 7.8, а
штриховой линией.
Корреляционная функция
Да»!
п t \	2 IV7 1 С (02cos<0r ,
ВЫХ (Т) — Х 0^0 я ) 1 +(1)2Т2О
0
Ди,
Пвых = -^лвых (O)= t2o^() -	I +о2т20 ^М =
0
= V" 4 1ДЮ1 То — arctg (Л<°1 хо>1-	(7*36)
to
Результат вычисления нормированной корреляционной функ-
ции г„ЕЫ1 (т)=/?, вых (т)/а2вых представлен на рис. 7.8, б штри-
ховой линией (для Д(01То=1).
Можно считать, что при Д(01То<1 физическая ЯС-цепь осу-
ществляет дифференцирование рассматриваемого случайного
процесса, близкое к точному дифференцированию.
7.5.	ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ
ФУНКЦИИ
Для выявления некоторых особенностей интегрирования слу-
чайной функции рассмотрим сначала прохождение стационарно-
го случайного процесса через физическую интегрирующую RC-
цепь (см. рис. 5.16).
Пусть на входе этой цепи начиная с момента t=—°° дейст-
вует случайная функция s(t) со спектром U?„(co) и корреля-
ционной функцией 7?в(ю). Считая процесс на выходе установив-
шимся, можно определить W, ЕЫх(®) и R„ ЕЫх (т) с помощью вы-
ражений (7.2) и (7.3), подставив в них
K(to)°« + Utoc- ^г(«>)=1/[1+(“Ог1-
Таким образом,
^вых(®) = ^2(®) Ws №=WS (<о)/(1 + со2т2о),	(7.37)
/ \	1 С ^^5 COS (ОТ *	/*7 OQ\
5  ^37. <*«>	Р-38)
—ОО
Рассмотрим два частных случая: s(t)=O и s(/)^0. В нервом
случае спектр МДю) не содержит слагаемого с 6-функцией
202
{см. (4.35) — (4.37)]; полагая 1Г,((о) = R70=const (белый шум),
получаем корреляционную функцию
я,Вых (т)=^ 4А i/УТс^dto=^ е-|т|/т°	(7-39)
о
и дисперсию
a2Bb.x=W2To=W27?C.	(7.40)
Во втором случае (при s(i)^O), когда в соответствии с
(4.35) спектр
IF.(cd) =[s(7)]22n6((D)+VI7~((o),
причем U7~(<a) =№0=const (как и в предыдущем случае),
корреляционная функция и дисперсия будут
СО
/?SBb.x(i)=lMF)|22«i U((0)T^lrd(1) +
с)	1 I t ©ш
—©о
(7.41)
—©о
g2bux=W2to=^o/2/?C.	(7.42)
Из приведенных соотношений видно, что в установившемся
режиме процесс на выходе физической интегрирующей цепи
является стационарным, как и на входе.
Иначе обстоит дело при точном математическом интегри-
ровании, которому соответствует нереализуемая передаточная
функция
К (ico) = 1/icoto-
Условие интегрируемости случайного процесса при этом
принимает следующий вид:
(7.43)
—оо
Если условие дифференцируемости случайной функции
(7.27) накладывало требование достаточно быстрого убывания
UT’s(g)) при (о->оо, то при интегрировании аналогичное требо-
вание относится к поведению W\((o) при со-»-0.
Интегрирование стационарного процесса s(t) с W, (0)=5^0
приводит к нестационарному процессу с неограниченно возрас-
тающей дисперсией.
Если	то математическое ожидание процесса на вы-
воде также неограниченно возрастает.
203
Следует иметь в виду, что идеальное интегрирующее устрой-
ство можно рассматривать как фильтр с беконечно малой
полосой пропускания. Процесс установления в таком фильтре
длится бесконечно долго. Поэтому статистические характеристи-
ки интеграла случайного процесса существенно зависят от
длительности интегрирования.
7.6.	ПАРАМЕТРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ
ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ
ФУНКЦИЯ
Как отмечалось в § 7.1, при негауссовском случайном про-
цессе на входе отыскание закона распределения на выходе
инерционной цепи является сложной задачей, не имеющей пря-
мого решения. Существуют лишь приближенные методы реше-
ния, связанные с большими вычислительными трудностями.
Один из таких методов основан на использовании харак-
теристических функций случайного процесса и извест-
ных соотношений между характеристической функцией и мо-
ментами распределения процесса.
В теории вероятностей под характеристической функцией
6х(т]) случайной величины х или характеристической функцией
данного распределения р(х) подразумевается среднее значение
функции е,п*.т. е.
е«(т))=М(егт*)	(7.44)
(здесь т] — вещественная переменная).
При заданной плотности вероятности р(х) среднее значение
величины е”1* можно определить с помощью выражения
оо
Qc(n)= 5 ^Xp(x)dx.	(7.45)
7—00
Правая часть этого выражения есть не что иное, как пре-
образование Фурье функции р(х). Следовательно, если извест-
на характеристическая функция 6я(т]) какой-либо случайной
величины х, то плотность вероятности р(х) можно найти с
помощью обратного по отношению к (7.45) преобразования
Фурье
оо
=	5 0JfWe“'WTl-	(7-46),
—оо
В частности, для нормального закона распределения
, ч	1
р (х) = —7=— ехр
\ 2ах /
204
характеристическая функция в соответствии с (7.45)
оо
e-(,1)=FsiS Дет₽ (<^)схр(адл-
С помощью преобразований, аналогичных (2.61), получаем* 1
Мч)=ехр(—о^П2 * * */2)-	(7-47)
Таким образом, при нормальном распределении график ха-
рактеристической функции относительно г] имеет такую же
форму, как и график плотности вероятности относительно х.
Поэтому о степени приближения распределения какой-либо
случайной величины к нормальному можно судить по тому,
насколько характеристическая функция рассматриваемой ве-
личины приближается к функции, определяемой (7.47).
Характеристическая функция 6*(т]) полностью определяется
моментами случайного процесса и может быть представлена
рядом
оо
0лО1)=1 + 2	(7-48)
ft=0
где моменты k-ro порядка определяются [см. (4.3) для k = 1]
выражением
со
тхк= § xkp (X) dx.	(7.49)
—оо
Знание моментов распределения позволяет найти характе-
ристическую функцию 0х(т]), а по ней и функцию распределе-
ния.
Вычисление по формуле (7.48) оказывается неприемлемо
сложным для практики. Обычно довольствуются решением бо-
лее простой задачи о преобразовании лишь нескольких момент-
ных функций в линейной системе, которые дают косвенное
представление об одномерной плотности вероятности случайно-
го процесса на выходе. Поясним это на примере простого ли-
нейного преобразования — дифференцирования случайного
процесса x(t). Найдем первые две моментные функции случай-
1 В общем случае, когда среднее значение случайной величины ие равно
нулю и
I Г (х—х)21
'(”=7гй'еч’Г]•
характеристическая функция
0x(il) =ехр (ищ —<^П2/2)
(см., например, [6]).
205
ного процесса y(t)=dx(t)/dt, т. е. процесса на выходе диф-
ференцирующего устройства.
Математическое ожидание процесса y(t)
AJl[y(t)]=M[dx/dt] = .Mhim XSL+^~X^ 1
[д/—0	J
Операции усреднения и перехода к пределу .перестановочны,
поэтому можно написать
Л» [«/(01=11™	=
= ц	(* + AQ —тГ1 (Q _dmxi(t)
“™0 ы	at 
Следовательно, при дифференцировании случайной функции
ее моментная функция первого порядка также подвергается
дифференцированию. Очевидно, что для стационарного случай-
ного процесса первая моментная функция производной равна
нулю.
Повторяя аналогичные рассуждения для моментной функ-
ции второго порядка процесса y(t), можно получить [при усло-
вии стационарности процесса х(/)]
Гdx (*«) dx(t2) 1 == _ d2/nJt (?) = _ с1Ч{х (?)	(7 50х
L dtt dt2 J	d?2	d?2	’	' * *
где т= |/2—Л I-
При т=0
W(0]=-Ox2r«"(0)-	(7.51)
К этому результату, совпадающему с (7.34), можно прийти
более простым способом на основе спектральной плотности
мощности процесса x(t) и передаточной функции цепи К(йо) =
=ico (для момента второго порядка).
Для более сложных цепей, осуществляющих различные ли-
нейные преобразования случайного процесса, широко распро-
странен метод, основанный на стохастических дифференциаль-
ных уравнениях, и некоторые другие методы [7].
Приведем пример задачи, когда использование характерис-
тических функций оказывается весьма эффективным способом.
Пусть требуется найти плотность вероятности суммы неко-
торого числа взаимно независимых слагаемых Хь хг.......хк.
Характеристическая функция суммы имеет следующий вид:
0 (л) = М [е^] = Ж [ein(r,+х,+- ‘ ’+XJV)] = М [е^>] X
ХЛ1[е^.] ... Л1[е^] = 0Х1(т])0Л(т1)...0^(т)),	(7.52)
т. е. характеристическая функция суммы независимых слу-
чайных величин равна произведению характеристических
функций слагаемых.
206
Для частного случая, когда все слагаемые имеют одинако-
вые распределения и, следовательно, одинаковые характеристи-
ческие функции,
еЛт1)=[01(п)Г.	(7.53)
Используем выражения (7.45), (7.46) для определения плот-
ности вероятности суммы нескольких гармонических колебаний
со случайными фазами. Амплитуды колебаний одинаковы и
равны Ао=1/Л^.
Основываясь на плотности вероятности гармонического ко-
лебания (4.25), находим характеристическую функцию
Qi(n) = -^^ yr^dx-	(7<54)
Подставляя e<,)x=cosT]x+isini]X и учитывая, что sinr]x/K 1—х3
является нечетной функцией х, получаем (см. 3.753.2 в [5])
о ¥
(7.55)
где Jo — бесселева функция первого рода нулевого порядка.
Для отсчета, взятого из суммы N гармонических колеба-
ний с одинаковыми амплитудами 1/N, но со случайными взаим-
но независимыми фазами, характеристическая функция в соот-
ветствии с (7.53) будет
0Нп)=[Л(»]//МГ	(7-56)
Амплитуда каждой из синусоид приравнена l/'KW для то-
го, чтобы дисперсия суммы, равная 0,5 77(1/N)2, оставалась
при увеличении числа синусоид неизменной.
На рис. 7.9 изображены характеристические функции для
207
Рис. 7.10
различных значений N. При ^4 функция 0w(t]) быстро при-
ближается к предельной кривой N-»-oot соответствующей нор-
мальному распределению суммы.
Для отыскания плотности вероятности суммы N гармоничес-
ких колебаний необходимо в соответствии с выражением (7.46)
вычислить интеграл
оо	оо
Рлг(*)=2}Г j Мп) е_'Т1Жс?т1=4'$ [^(yW^cosn-Kcftl- (7-57)
При А=1 получается исходное выражение р(х) для одной
синусоиды [формула (4.25)], а при М=3, 4 функции рк(х) имеют
вид, показанный на рис. 7.10. Сплошной линией изображена
функция Pn(x) при нормальном распределении (N-*oo).
Полученные результаты показывают, что при суммировании
хотя бы пяти-шести гармонических колебаний со случайными и
взаимно независимыми фазами получается стационарный слу-
чайный процесс, близкий к гауссовскому.
Это справедливо для значений |х|< УN (при Ао=1)- При
больших значениях | х | pN(x)=0, в то время как при нормаль-
ном распределении р(х) отлично от нуля. Таким образом, при
конечном числе слагаемых У на «хвостах» кривой распределе-
ния неизбежно расхождение между pN(x) и рт(х).
7.7.	НОРМАЛИЗАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ В УЗКОПОЛОСНЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
Пусть на входе линейной цепи (с постоянными параметра-
ми) действует стационарный случайный процесс с распределе-
нием, отличным от нормального. Если интервал корреляции это-
208
го процесса меньше постоянной времени цепи (т. е. ширина
энергетического спектра больше полосы пропускания цепи), то
распределение случайного процесса на выходе приближается к
нормальному. Эффект нормализации проявляется тем сильнее,
чем уже полоса пропускания цепи. Поясним это положение на
двух примерах.
Сначала рассмотрим воздействие на высоко добротный коле-
бательный контур последовательности коротких, неперекрываю-
щихся, случайным образом расположенных на оси времени им-
пульсов (рис. 7.11), причем постоянная времени контура тк ве-
лика по сравнению со средней величиной интервалов между им-
пульсами. Напряжение на контуре в какой-либо момент време-
ни ti является суммой свободных колебаний, вызванных преды-
дущими импульсами и не успевших полностью затухнуть к рас-
сматриваемому моменту. Чем уже полоса пропускания цепи,
тем длительнее свободные колебания и, следовательно, тем
большее число соизмеримых по величине и некоррелированных
слагаемых принимает участие в образовании результирующего
напряжения в момент Л. В соответствии с центральной предель-
ной теоремой эти предпосылки достаточны для приближения
распределения к нормальному.
При спектральном подходе эффект нормализации можно
объяснить следующим образом. Спектр колебания в контуре
складывается из спектров отдельных импульсов входной после-
довательности. Внутри каждого из этих парциальных спектров
фазы спектральных составляющих полностью коррелированы, а
между фазами составляющих из различных спектров никакой
корреляции нет (из-за слу-
чайной расстановки им-
пульсов на оси времени).
Чем уже полоса прозрачно-
сти контура, тем меньшую
роль играет корреляция
фаз в парциальных спек-
трах.
Приведем другой при-
мер, поясняющий явление
нормализации в узкополос-
ной цепи. Пусть на контур
воздействует непрерывное
колебание с постоянной ам-
плитудой и с частотой, мо-
дулированной по пилооб-
разному закону со случай-
ным периодом (рис. 7.12).
При каждом пробеге часто-
ты через полосу прозрачно-
сти контура 2Дсоо в послед-
нем возникает свободное
Рис. 7.11
14—3305
209
Рис. 7.12
колебание, амплитуда которого обратно пропорциональна на-
клону «пилы». Так как моменты пересечения полосы прозрач-
ности расположены на оси времени случайным образом, то и
свободны^ колебания образуют импульсную последовательность
со случайными интервалами (th, th+i).
При медленном качании частоты, когда интервалы велики
по сравнению с постоянной времени контура тк, свободные ко-
лебания не перекрываются. Предположим, что тк велико по
сравнению со средним значением интервалов Тср. Тогда в лю-
бой момент времени будет суммироваться много колебаний со
случайными и взаимно независимыми фазами и амплитудами.
При этом входное колебание, закон распределения которого
определяется формулой (4.25) (изменение мгновенной частоты
не отражается на одномерном законе распределения высоко-
частотного колебания с постоянной амплитудой), преобразуется
в случайную функцию с распределением, близким к нормально-
му. Нормализация будет тем полнее, чем больше тк по сравне-
нию с ТСР.
Учитывая, что для одиночного контура имеет место соотно-
шение Д(£>0Тк=1, а средняя частота «пилы» FCp=l/TCp, условие
нормализации можно записать в форме неравенства Тср^Дсоо.
В широкополосных линейных цепях при некоторых условиях
может иметь место эффект, обратный описанному выше эффек-
ту нормализации: распределение процесса на выходе цепи мо-
жет отличаться от нормального распределения больше, чем это
отличие существует для процесса на входе. Можно привести
простой пример подобного эффекта.
Пусть на вход дифференцирующего устройства подается со-
вокупность относительно длинных импульсов, имеющая распре-
деление, близкое к нормальному. В результате дифференциро-
вания каждый из импульсов превращается на выходе в пару
очень коротких импульсов, соответствующих фронтам входного
импульса. Число взаимно перекрывающихся импульсов на вы-
ходе уменьшается, вследствие чего приближение к нормально-
му закону на выходе оказывается худшим, чем на входе. По-
добный эффект иногда называют «денормализацией» процесса.
Следует подчеркнуть, что отмеченный эффект не противоре-
чит тому, что в любой линейной цепи гауссовский процесс со-
храняет нормальный закон распределения. Если в приведенном
210
выше примере среднее число импульсов в единицу времени до-
вести до бесконечности (что необходимо для получения строго
нормального распределения), то при дифференцировании, ко-
торое можно осуществить в физически реализуемой цепи, про-
цесс будет гауссовским и на выходе цепи.
Глава 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
В СИСТЕМАХ С НЕЛИНЕЙНЫМИ
РЕЗИСТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
8.1. АППРОКСИМАЦИЯ ВОЛЬТ-АМПЕРНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Для радиотехнических устройств наиболее характерными и
распространенными нелинейными резистивными элементами
являются полупроводниковые и любые другие приборы, исполь-
зуемые для усиления или преобразования сигналов и имеющие
нелинейную вольт-амперную характеристику.
Для осуществления анализа и расчета нелинейных систем
реальные вольт-амперные характеристики, имеющие весьма
сложную форму и отличающиеся большим разнообразием,
должны быть аппроксимированы с помощью относительно про-
стых аналитических зависимостей.
Характеристики нелинейных элементов обычно задаются
таблично или в виде графиков.
Наиболее широко используется аппроксимация с помощью
степенного полинома. Запишем аппроксимирующий степенной
полином в форме
t(u) =i(t/0) -j-a, (Ы—Uo) -j-a2 (u-—t/0)24-a3(u—f/o)3+  • •	(8.1)
Если под нелинейным элементом подразумевается транзи-
стор, то i — ток коллектора, и — напряжение, например, между
базой и эмиттером, t/0 — постоянное напряжение, задающее по-
ложение рабочей точки на характеристике.
Важной задачей является определение коэффициентов
аппроксимации а2, а2,... При заданной форме вольт-ампер-
ной характеристики эти коэффициенты существенно зависят от
Uo, а также от ширины используемого участка характеристики,
определяемой величиной подводимого к элементу сигнала.
Рассмотрим некоторые типичные и важные для практики
случаи.
14*
211
Рис. 8.1
1. Рабочая точка расположена на относительно узком ли-
нейном участке характеристики нелинейного элемента, и сигнал
не выходит за пределы этого участка (рис. 8.1). В этом случае
i({70+es)=i(t/0)+aies,	(8.2)
где i (Uo) =Io — ток покоя;
a, S = (di/dti)\u=u0	(8.3
— дифференциальная крутизна характеристики.
Отметим, что аппроксимацией (8.2), включающей в себя
определение дифференциальной крутизны (8.3), можно пользо-
ваться только при слабом сигнале. Этот линейный режим ра-
боты был использован в гл. 5.
2.	Рабочая точка расположена на начальном участке харак-
теристики, имеющем вид квадратичной параболы, в пределах
которого (U0±Em) изменяется подводимый к прибору сигнал
(рис. 8.2).
Выражение (8.1) в данном случае можно записать в виде
полинома второй степени
i(U0+es) =i(Uo)+a{es+a2e}.	(8.4)
Как и в выражении (8.2), слагаемое i(Uo)—Io~ ток покоя,
а 01=5 — крутизна характеристики [см. (8.3)]. Для определе-
ния значений и а2 составим систему уравнений
i (Дт) /о+g i Ет~\~ а2Е т' i2
/ (17о Ет) Д atEm+a2E т
откуда O|= (i2—ij)/2£m, о2= (ii+i2—2I0)/2E2m.
212
3.	Рабочая точка является точкой перегиба характеристики,
показанной на рис. 8.3. В точке перегиба кривой i=f(u) все
производные четного порядка равны нулю. Поэтому коэффици-
енты при четных степенях в выражении (8.1) обращаются в
нуль.
Для упрощения анализа ограничимся полиномом лишь
третьей степени без квадратичного члена (неполным полиномом
третьей степени)
i(U0+es) =i (U0)+aies+a3e?.	(8.5)
Соответствующая этой аппроксимации характеристика пока-
зана на рис. 8.3 штриховой линией. Рабочий диапазон характе-
ристики определяется интервалом (£70—Ет, Е{г\-Ет). На грани-
цах этого интервала производные аппроксимирующей функции
обращаются в нуль. Коэффициенты аппроксимации а.\ и а3 на-
ходим из решения системы уравнений
i(U0—Em) =lo—aiEm—a3E!im'=O,
(di/des) |es=£-TO=aI+3a3£^=0.
Имеем Gi=3/o/2£m, a3=—/o/2E3m<0.
4.	Рабочая точка находится на нижнем сгибе характеристи-
ки, изображенной на рис. 8.4. Если изменение напряжения на-
столько велико, что используется участок, обозначенный на оси
абсцисс буквами а, Ь, то для удовлетворительной аппроксима-
ции требуется полином пятой и более высокой степени. При
этом анализ усложняется, и применение степенного полинома
для практических расчетов оказывается неэффективным.
При очень больших амплитудах сигнала часто удобнее за-
менять реальную характеристику идеализированной, составлен-
ной из отрезков прямых линий. Такое представление характе-
ристики называется кусочно-линейной аппроксима-
цией. Некоторые примеры кусочно-линейной аппроксимации
изображены на рис. 8.5. Рис. 8.5,а соответствует случаю, когда
используется нижний сгиб и линейная часть характеристики
(участок а—с); рис. 8.5,6 — когда сигнал захватывает нижний
и верхний сгибы (участок а—d), а рис. 8.5, в — когда сигнал
достигает также падающего участка характеристики (участок
213
Рис. <8.5
а—/)• Следует особо подчеркнуть, что замена реальной нелиней-
ной характеристики линейными отрезками не означает линеари-
зации системы. Например, несмотря на то, что на участке b—с
(рис. 8.5,а) характеристика линейна, по отношению к сигналу,
захватывающему область изменения а—с, система в целом
является существенно нелинейной.
Кусочно-линейная аппроксимация особенно проста и удобна
для исследований и расчетов, когда основное значение имеет
нижний сгиб характеристики, т. е. когда можно ограничиваться
двумя прямыми (рис. 8.5,а)При более сложной форме исполь-
зуемого участка характеристики число аппроксимирующих от-
резков растет и кусочно-линейная аппроксимация теряет свои
преимущества. В подобных случаях иногда для аппроксимации
применяются различные трансцендентные функции, например
гиперболический тангенс, экспоненциальные функции и некото-
рые другие.
8.2.	ВОЗДЕЙСТВИЕ УЗКОПОЛОСНОГО
РАДИОСИГНАЛА НА БЕЗЫНЕРЦИОННЫЙ
НЕЛИНЕЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Под безынерционным нелинейным элементом подразумевает-
ся любой электронный прибор с нелинейной вольт-амперной
характеристикой при использовании его в диапазоне частот, на
Рис. 8.6
которых можно пренебречь влия-
нием паразитных параметров
(внутренних емкостей и индук-
тивностей).
Рассмотрим режим работы,
представленный на рис. 8.6, при
котором напряжение сигнала
es(t) не выходит за пределы
точки Ut и вольт-амперная ха-
рактеристика i(u) удовлетвори- -
тельно аппроксимируется сте-
пенным полиномом (8.1).
Сигнал es(t) зададим снача-
ла в форме гармонического ко-
лебания es(t)=E cos (со1£-|-61) =
=Есо5ф1(/). Результаты ана-
2
лиза затем будут распространены на некоторые узкополосные
радиосигналы.
Подставив в (8.1) и—Uo=es(t), получим
i (/) — i (Uo) +ai£cosipi (t) +a2£2cos2ipi (/) 4*
+a3£3cos3ipi (/)+...	(8.6)
Форма тока i(t) показана на рис. 8.6.
С помощью тригонометрических соотношений
II	3	1
cos2 х— "2"+-2- cos 2х, cos3 х = -£- cos х+-4- cos Зх,
COS4 X — 4- + 4- COS 2х 4- -i- COS 4х, COS5 X — 4- COS X +
о Z	о	о
cos Зх+4г cos 5х и т. д.
выражение (8.6) приводим к виду
I (/) = [ i (Uo)+~ а2Е2+<цЕ* + ... ] +	Е+asE3 +
+А а5Е5 + • •.) cos (0 + (4- «2^ + 4-	. • •) X
X cos 2^ (О + (4" а*Е3+“Ш*	+ • • J соs 3^! (О4-
+(4~^Е44- ...) cos 4ф, (0+а5Е54-... j cos	(04- • • •
... = /04~ /, cos ip] (04- Z2cos 2ij>i (04~ Z3C0S 3,^i (04~ • • • (8-7)
Из этого выражения видны следующие проявления нелиней-
ности вольтамперной характеристики при гармоническом воз-
действии:
ток покоя i((70) получает приращение, обусловленное коэф-
фициентами а2> й4,__при четных степенях полинома (8.1):
/о = I Ро) 4- 4-	4-|-	+ • • • J	<8-8)
амплитуда /1 гармоники основной частоты coi связана с ам-
плитудой возбуждения Е нелинейным соотношением, обуслов-
ленным нечетными степенями полинома (8.1):
I^a.E + ^a^(8.9)
ток i(t) содержит высшие гармоники с частотами П(оь крат-
ными частоте воздействия соь Гармоника с частотой 2«i обус-
ловлена четными степенями (&=2,4, ...) полинома (8.1), гар-
моника с частотой 3coi — нечетными степенями (й=3,5, ...) и
т. д. Спектр тока при гармоническом воздействии изображен на
рис. 8.7,а.
215
Рис. 8.7
Очевидно также, что наивысший порядок гармоник совпада-
ет с максимальной степенью k аппроксимирующего полинома, а
полная фаза n-й гармоники
Выражения (8.6)—(8.9) полностью сохраняют свою структу-
ру при замене постоянной начальной фазы 61 модулированной
фазой 61 (/) — 0iinaxS(O. Из этого следует, что сформулирован-
ные выше положения можно распространить также на воздей-
ствие частотно-модулированного сигнала на безынерционный
нелинейный элемент (при постоянной амплитуде). Необходимо
лишь каждую из гармоник тока с амплитудой /„ трактовать
как несущее колебание, модулированное по углу. Это объяс-
няется тем, что при угловой модуляции -амплитуда колебания,
несмотря на возникновение спектра боковых частот, остается
неизменной.
Для первой (основной) гармоники индекс угловой модуля-
ции совпадает с 61тах=/^ь а для высших гармоник индекс
п61тах=ляц. Соответственно в п раз увеличивается и девиация
частоты.
Сказанное иллюстрируется рис. 8.7,6. Частота модуляции
Й-Ссон С увеличением номера гармоники ширина спектра боко-
вых частот возрастает, но, как отмечалось выше, амплитуда
суммарного колебания остается равной 1п.
Для амплитудно-модулированного колебания, когда
нелинейность характеристики может сильно изменить форму
передаваемого сигнала. Этот вопрос рассматривается в § 8.4,
8.7.
Рассмотрим теперь работу нелинейного элемента в режиме
существенно более нелинейном (рис. 8.8,а), получаемом при
сдвиге рабочей точки Uo влево и соответствующем увеличении
амплитуды возбуждающего напряжения Е. В данном случае
целесообразно применить кусочно-линейную аппроксимацию
вольт-амперной характеристики (см. § 8.1, комментарий к рис.
8.5,а).
216
о
Рис. 8.8
При гармоническом возбуждении ток t(Z) приобретает им-
пульсную форму (рис. 8.8,6). Угол 0, соответствующий измене-
нию тока от максимального значения до нуля, получил на-
звание угла отсечки тока. Длительность импульсов тока равна
26 (рис. 8.8,6). Из рис. 8.8,а очевидно следующее выражение:
cos0=(t/i—U о) IE.	(8.10)
Амплитуда тока
Im- a^E—(t/i—1/0)]=й]£ (1—cos 0),	(8.11)
где Oi — крутизна линейной части вольт-амперной характери-
стики [см. (8.3)].
При гармоническом возбуждении нелинейного элемента фор-
ма импульса тока в пределах —О<со/<О близка к отсеченной
косинусоиде и, если пренебречь кривизной вольт-амперной ха-
рактеристики на нижнем сгибе (см. рис. 8.8,а), мгновенное
значение тока можно выразить уравнением
i(t)=rm(cosa>t—cosO), —0<(о/<О.	(8.12)
Символом 1'т обозначена амплитуда импульса, которая по-
лучилась бы при 0=л/2.
Так как амплитуда реального импульса /т соответствует
моменту со/ = О, имеет место соотношение
7m=l(0)=7,m(l—COS0),
откуда
7'm = 7m/(l—COS0).
Подставив это выражение в (8.12), получим окончательно
Z(Z) = (cos coZ — cos 0), — 0 < coZ < 0.	(8.13)
217
Основываясь на этом выражении, нетрудно определить ам-
плитуды гармоник ряда Фурье для периодической последова-
тельности импульсов, представленной на рис. 8.9. Вследствие
четности функции i(t) ряд содержит одни лишь косинусоидаль-
ные члены. Используя (2.27), находим
е	е
С " л(1 -cos0)-s(CQS-c°sе)dИ)=
о
о —
—е
_ г sin 0 — 0 cos 0
т л(1—cos 6) ’
е
1 = -^- i(t)cos atd(at) =
-e
(8.14)
21т
л (1 —cos 0)
е
(cos Cd/—COS0)X
о
..	„ , ,, г 0—sin 0 cos 0
Xcos at d(at)=lm Л(|_СО5(|) .
Аналогично можно получить общее выражение для
т-уды п-й гармоники
г   г 2(sinn0cos0—п cos п0 sin 0)	_
п т	лп(па —1)(1—COS0)	’ п ’
Отношения
(8.15)
ампли-
(8.16)
/„	sin 0—6cos0
«0 (0) = 7- = яП-соч01 ’
1 т	«ГС 1 COS
0—sin 0 cos 0
л(1—cosO) ’
«1(6)
1т
«2(0)
МО) =l'n/K
называются коэффициентами соответственно постоянной
ляющей, первой гармоники и т. д. (функции Берга).
Графики коэффициентов а0, «ь «2, <•-, а также отношения
7i = «i/«o при изменении угла отсечки от 0=0 до 0=180° пока-
(8.17)
состав-
Рис. 8.9
Рис. 8-10
218
заны на рис. 8.10. При 0=0 ток вообще равен нулю (нелиней-
ный элемент заперт на протяжении всего периода); при 0=180°
отсечка тока отсутствует и режим работы становится линейным.
Из рассмотрения графиков функций а„(0) можно вывести
важное заключение: при работе с углом отсечки меньше 180°
отношение амплитуды первой гармоники 1\ к постоянной состав-
ляющей /о больше единицы. Видно, что с уменьшением 0 отно-
шение
_ 6—sinQcose
11 «о ц	sme—е cos е
растет. Кроме того, с повышением номера гармоники максиму-
мы функций а„(0) перемещаются в область малых значений 0.
Все эти обстоятельства существенно влияют на выбор режима
работы нелинейного элемента при усилении колебаний, умно-
жении частоты и при некоторых других преобразованиях, кото-
рые рассматриваются в последующих параграфах данной главы.
8.3.	ВОЗДЕЙСТВИЕ БИГАРМОНИЧЕСКОГО
СИГНАЛА НА НЕЛИНЕЙНЫЙ
РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Представим колебание в виде суммы
е8 (0 =Eicos (coi^+Oi) +E2C0S ((о2/+0г) =£icosi])i (/) +
+£2cosip2(0-	(8.19)
Подстановка (8.19) в ряд (8.1) приводит к следующим ре-
зультатам: для линейного члена ряда
(0 =a1£icosip1 (0 +а2£2СО5ф2 (0;	(8.20)
для квадратичного члена ряда
026/(0 =O2[£1COS1])1 (/) +£2COS^2 (012 = O2£12COS21])i (t) +
+a2£2zcos2ipz(/) +2a2£1£2cos i])t(0cos ф2(0 =l/2a2(El2-{-
+£22) +1/2«2£12COS2 (WiZ+01) +1/2«2£22cos2 (<й2/+02) +
+a2£i^2{cos[ (co 1 —J— 02) ^+ (0i+02) ]+cos[ (o.—(o2) ^+
+ (0.-02)]}.	(8.21)
Первое слагаемое, не зависящее от времени, определяет при-
ращение постоянного тока. Слагаемые с частотами 2<bi и 2<о2
представляют собой вторые гармоники от соответствующих ком-
понентов входного сигнала. Слагаемые же с частотами (0i+(02
и oi—иг представляют комбинационные колебания.
Частоты, образуемые квадратичным слагаемым a26s2(0»
можно записать в форме
(о=ты 1+п&>2>
219
где коэффициенты тип могут принимать следующие значения:
т = 0,
п = 0->С1) = 0,
771 = 2,
771 = 0,
71=0—> ct) = 2<Bj,
тг = 2-> ci) = 2co2,
гармоники второго порядка;
т=1, п= 1->й)=ь>1±о>2 — комбинационные частоты второго
порядка.
Проделав преобразование, аналогичное (8.21), над кубичес-
ким слагаемым a3e,3(Z), убедимся, что это слагаемое вносит в.
спектр частоты G> = 7ncdi±nco2 при следующих значениях т и п:
т— 1,
771 = 0,
71 = 0—> О) = (i)j,
71 = 1 ->&» = (02,
гармоники первого порядка;
771 = 3,
771 = 0,
71 = 0= 3(01,
71j—— 3 —(о — 3(о2,
гармоники третьего порядка;
771=1, /1 = 2-><о = <о1 + 2<о2,
771 = 2, П— 1 ->(0 = 2(0! + (02.
комбинационные частоты
третьего порядка.
Приведенных выражений достаточно для установления зако-
номерности образования частот гармоник и комбинационных
колебаний при бигармоническом воздействии на нелинейный
элемент:
слагаемые ряда (8.1) четной степени привносят в спектр
тока гармоники четных порядков [как и в случае воздействия
одного гармонического колебания (см. § 8.2)], и, кроме того,
комбинационные частоты четных порядков;
слагаемые ряда (8.1) нечетной степени привносят гармони-
ки и комбинационные колебания нечетных порядков.
Из предыдущих выражений видно, что число p =	опре-
деляет порядок колебаний, причем максимально возможный
порядок pmax=k, где k — степень полинома, аппроксимирую-
щего нелинейную характеристику.
Содержание предыдущего и настоящего параграфов пока-
зывает, что нелинейная цепь преобразует спектр входного
сигнала: возникают гармоники на кратных частотах и различ-
ные комбинационные колебания.
Принцип работы ряда радиотехнических устройств основан
на использовании тех или иных составляющих спектра тока
на выходе безынерционного нелинейного элемента. Обобщен-
ную структурную схему подобных устройств можно представить
в виде сочетания нелинейной цепи и линейного фильтра.
На рис. 8.11 изображена схема, соответствующая «развя-
занным» нелинейному и линейному элементам, когда отсутст-
вует обратная реакция выходного сигнала на ток в нелинейной
цепи. На схеме, показанной на рис. 8.12, ток в нелинейной цепи
1нл(0 зависит как от входного сигнала e(t), так и от напря-
220
о—
eft)
---нл бУ
ивыхСУ
<fet/6bixj
--*ТнлСО
Рис. 8.11	Рис. 8.12
жения «вых (0- Нелинейная функция f(e), описывающая харак-
теристику нелинейного элемента, зависит от его устройства и
от режима работы. Через Z(co) обозначено сопротивление
(комплексное) линейной частотно-избирательной цепи. Струк-
тура этой цепи, частотная характеристика и полоса пропуска-
ния выбираются в зависимости от назначения устройства.
Сформулированные в § 8.2 и 8.3 результаты используются
ниже для выявления основных свойств ряда важных нелиней-
ных преобразований, применяемых в радиотехнических систе-
мах передачи, приема и обработки информации.
8.4.	НЕЛИНЕЙНОЕ РЕЗОНАНСНОЕ
УСИЛЕНИЕ
В предыдущих главах линейные усилители трактовались как
усилители слабых сигналов, при которых амплитуда переменной
составляющей тока /1 в активном элементе (например, в цепи
коллектора транзистора) составляет небольшую долю от посто-
янного тока /0, отбираемого от источника питания усилителя.
При этом коэффициент полезного действия (КПД), определяе-
мый как отношение мощности выходного сигнала к мощности,
потребляемой от источника энергии, весьма мал. (В резонан-
сных усилителях, применяемых в радиоприемных устройствах,
отношение /1//0 настолько мало, что вопрос о КПД вообще не
принимается во внимание.)
При значительной требуемой мощности сигнала вопрос о
КПД усилителя приобретает первостепенное значение, особенно
в технике радиопередающих устройств. Повысить отношение
Ii//0 можно переводом усилителя в режим работы с отсечкой
тока, т. е. в нелинейный режим. При этом, естественно, должна
быть сохранена структура усиливаемого сигнала.
Рассмотрим сначала случай гармонического сигнала на вхо-
де усилителя. Схема нелинейного резонансного усилителя не
отличается от схемы, рассмотренной в гл. 6 (рис. 6.2). Основное
отличие — в режиме работы усилительного прибора. Сдвигом
рабочей точки на вольтамперной характеристике влево и уве-
личением амплитуды входного колебания устанавливается ре-
жим работы с отсечкой тока (в транзисторном усилителе —
коллекторного). Подобный режим представлен на рис. 8.8, а.
В дальнейшем рассматриваются особенности нелинейного
режима, характерные для любого типа усилителя Ток i(t) в
выходной цепи усилителя при работе с отсечкой имеет импуль-
221
сную форму (см. рис. 8.9) и содержит наряду с постоянной1
составляющей и полезной первой гармоникой ряд высших гар-
моник, которые должны быть подавлены (отфильтрованы). Эту
задачу решает параллельный колебательный контур, настроен-
ный на частоту <оо входного колебания. При резонансе токов-
эквивалентное сопротивление параллельного контура Z3KP
между точками 1—2 (см. рис. 6.2, а) очень велико и является
сопротивлением нагрузки усилителя. По отношению же к выс-
шим гармоникам тока i(t) контур, обладающий достаточно
большой добротностью Q, можно рассматривать как короткое
замыкание. В результате, несмотря на искаженную импуль-
сную форму тока i(t), на нагрузочном контуре, как и в линей-
ном усилителе, выделяется напряжение, очень близкое к гар-
моническому.
Установим соотношения между напряжениями и токами
основной частоты соо в нелинейном усилителе.
В первом приближении, если не учитывать обратной реак-
ции выходного напряжения на ток /ь т. е. исходить из обобщен-
ной схемы на рис. 8.11, можно воспользоваться формулой
(8.11), которая с учетом (8.17) приводит к выражению
7m=a1E(l—cos 0)=/1/а1(0),
откуда
/1=a1(0)/m=ai(0) (1—cos 0)0^.	(8.22)
Напомним, что в соответствии с выражением (8.3) коэффици-
ент 01=8 имеет смысл крутизны вольт-амперной характеристи-
ки на линейном участке.
Таким образом,
^1=<Х1(0)(1—cos0)SE.	(8.22')
Схема замещения выходной цепи усилителя представлена на
рис. 8.13,а. Активный элемент замещается генератором импуль-
сного тока, однако напряжение на резонансном контуре созда-
ется только первой гармоникой тока и поэтому определяется
выражением
Ок(^)   7iZ3k pCOS	— UbhxCOS	(8.23)
(знак минус связан с выбранным на схеме рис. 8.13 направле-
нием тока и отсчетом потенциалов относительно заземленной
точки схемы).
Разделив выражение (8.22) на Е, получим параметр
Scp=/1/E=a1 (1—cos 0)ai (0) =8(1—cos 0)<ц (0),	(8.24)
который можно трактовать как среднюю крутизну характерис-
тики для первой гармоники.
Таким образом.
/1=8срЕ.	(8.25)
222
Рис. 8.13
В отличие от дифференциальной крутизны S=ah которая
определяется в точке и поэтому при работе на нелинейном
участке характеристики зависит от рассматриваемого момента
времени, параметр Scp, выраженный через отношение амплитуд
тока и напряжения, является как бы усредненным по всему
периоду колебания. Понятие средней крутизны имеет смысл,
если обеспечивается синусоидальность напряжения на нагрузке
(несмотря на сложную форму тока
При учете влияния выходного напряжения на ток i(f) выра-
жение (8.25) должно быть заменено более точным
/1=ScPF— ивыхС/ =ScpE—UBblx/R'.	(8.25')
Здесь
=	=	(1—cos 6)	(8.26)
представляет собой внутреннюю проводимость нелинейного эле-
мента, приведенную к току первой грамоники.
Подставляя в (8.25') Ii — UBblx/Z3K р и учитывая (8.23), не-
трудно получить следующее выражение для коэффициента уси-
ления при работе с отсечкой тока:
УЭКР-	(8.27)
1 ~Г Zrg кр/ К i
При Z3KPIRi <С1 можно пользоваться приближенной фор-
мулой	I
^«-ScpZsKP-	(8.27')
На основании выражения (8.25') схему замещения выход-
ной цепи усилителя можно привести к виду, представленному
на рис. 8.13, б, где UBliX=—IiZ3K р обозначает амплитуду на-
пряжения на выходе.
От аналогичной схемы замещения линейного усилителя (см.
рис. 6.2, б) эта схема отличается тем, что в ней Scp и G/ явля-
ются функциями угла отсечки 0 и, следовательно, амплитуды
входного напряжения Е.
При 0 = 0 усилительный прибор полностью заперт и Scp=0.
223
При 0=90°, когда ток имеет форму полуволновых импульсов,
Scp^'Acii, а при 0=180° (линейный режим) средняя крутизна
•Sep стремится к S—a^
То обстоятельство, что при изменении амплитуды колебаний
изменяются параметры Scp и G/ и, следовательно, нарушается
пропорциональность между амплитудами на входе и выходе,
заставляет трактовать цепь как нелинейную. Но сохранение
-формы колебания (гармонического) позволяет трактовать цепь
как линейную (при фиксированной амплитуде).
Такой подход к анализу нелинейных устройств получил на-
звание квазилинейного метода.
Оценим КПД нелинейного резонансного усилителя. Мощ-
ность, выделяемая переменной составляющей тока в колеба-
тельном контуре (и расходуемая в сопротивлении г, учитыва-
ющем мощность, передаваемую в нагрузку), Р~ = '/гЛа
мощность, потребляемая от источника постоянного тока, Ро=
=10Е0. Следовательно,
1/ПП _G ^вых 1 „ Свых
кщ ~ р7 ~ 2 Тв	~ Т	•
Амплитуда напряжения на контуре t/вых может быть дове-
дена до значения, близкого к £0, а отношение токов
зависит от угла отсечки 0.
Из графиков на рис. 8.10 следует, что для повышения коэф-
фициента 7i=/i//o выгодно уменьшать угол отсечки 0. При
этом, однако, уменьшается 1Х (при заданной амплитуде импуль-
са /т), что ведет к уменьшению мощности Р~ (мощность Ро
уменьшается быстрее, чем Р~). Поэтому в тех случаях, когда
важно максимизировать мощность Р~, угол отсечки 0 доводят
до ~ 120°, при котором коэффициент cci(0) достигает максиму-
ма, допуская при этом некоторое снижение КПД.
Такой подход оправдан при постоянной амплитуде входного
сигнала. В случае же усиления амплитудно-модулированного
колебания выбор угла отсечки должен быть подчинен требова-
нию получения линейной зависимости тока Ц от амплитуды
E(t) входного радиосигнала. Это условие обеспечивается при
0=90°.
Из рис. 8.8 следует, что при UO=UX изменение амплитуды
входного напряжения Е приводит лишь к пропорциональному
изменению амплитуды импульса тока при сохранении формы
импульса. Таким образом, при работе с отсечкой 0=90° сред-
няя крутизна не зависит от амплитуды входного сигнала и всег-
да равна 0,5S. При этом коэффициент первой гармоники сц =
=/t/Im=0,5 [см. (8.17)], т. е. амплитуда первой гармоники рав-
на половине амплитуды импульса.
При 0 = 90°, у!=л/2 и /7вь,х~£о КПД=1 «78%. (Это
максимальный КПД, соответствующий пиковой амплитуде
входного колебания; в режиме же несущего колебания КПД
224
снижается до 1/(1-|-Л4) максимального значения; М — коэффи-
циент модуляции усиливаемого колебания.)
При угловой модуляции высокочастотного колебания нели-
нейность режима усиления не оказывает влияния на структуру
радиосигнала при любом угле отсечки и любой форме вольт-
амперной характеристики (см. § 8.2).
8.5.	РЕАЛИЗАЦИЯ АМПЛИТУДНОЙ
МОДУЛЯЦИИ
Из предыдущего параграфа очевидно, что изменение ампли-
туды высокочастотного колебания можно осуществить воздей-
ствием напряжения, пропорционального модулирующей функ-
ции s(t), на нелинейный резонансный усилитель. Структурная
схема устройства для получения AM колебания представлена
на рис. 8.14. На вход усилителя, работающего с отсечкой тока,
подается несущее колебание с частотой ы0 от независимого
источника (автогенератора). Модулирующий сигнал (сообще-
ние) s(t), спектр которого расположен в области частот, низ-
ких по сравнению с too, изменяет положение рабочей точки на
вольт-амперной характеристике нелинейного элемента и в ре-
зультате изменяется амплитуда колебаний на выходе.
Режим работы нелинейного усилителя при модуляции пояс-
няется рис. 8.15, построенным для тональной AM [s(t)ooea(t) —
гармоническая функция с частотой й].
При правильном выборе амплитуды модулирующего напря-
жения ео(1) огибающая импульсов тока /т изменяется относи-
тельно исходного значения 1т0 по закону
lm = ImO~{-Se0 (t) ,
где 5 — крутизна вольт-амперной характеристики нелинейного
элемента на линейном участке, а амплитуда первой гармоники
коллекторного тока — по закону
/к1=а1(е)/т=а1(е)[/т0+5ео(0].
Так как в процессе модуляции угол отсечки 0 не остается
постоянным, при рассматриваемом способе неизбежны иска-
жения передаваемого сообщения. Искажения могут быть
достаточно малыми при правильном выборе пределов изменения
угла отсечки и работе с не слишком глубокой AM (40... 50%)-
Для получения более глу-
бокой модуляции (близкой к
100%) в технике радиопере-
дающих устройств управле-
ние амплитудой осущест-
ляется в оконечном (мощном)
каскаде усиления, в котором
устанавливается перенапря-
Рис. 8.14
15—3305
225
женный режим, приводящий к расщеплению импульса тока.
Модулирующее напряжение eQ(t) изменяет ширину провала
в импульсе и, таким образом, амплитуду первой гармоники
тока.
8.6.	УМНОЖЕНИЕ ЧАСТОТЫ
Наличие в составе импульсного тока ряда гармоник с часто-
тами, кратными основной частоте возбуждения, позволяет ис-
пользовать усилитель, работающий с отсечкой тока, в качестве
умножителя частоты. Для этого не требуются какие-либо изме-
нения в схеме резонансного усилителя, достаточно лишь нагру-
зочный колебательный контур настроить на частоту выделяе-
мой гармоники и установить наиболее выгодный для подчерки-
вания полезной гармоники режим работы активного элемента.
Из графиков, изображенных на рис. 8.10, видно, что для удво-
ения частоты выгодно работать с углом отсечки, близким к 60°,
при котором коэффициент второй гармоники проходит через
максимум, для утроения частоты — с углом отсечки 40° и т. д.
Если контур настроен на частоту п<оо, п=2, 3,..., то гар-
моники тока порядков п — 1 и более низких пройдут преиму-
щественно через индуктивную ветвь, а гармоники порядков
п+1 и более высоких — через емкостную ветвь контура. При
достаточно высокой добротности напряжение на контуре от
всех гармоник, за исключением n-й, очень мало. Поэтому на-
пряжение на контуре близко к гармоническому с частотой п<в0.
Следует иметь в виду, что для полного использования мощ-
ности электронного прибора уменьшение угла отсечки должно
осуществляться при поддержании амплитуды импульса неиз-
менной. Для этого одновременно с изменением смещения |(70|
226
нужно увеличивать ам-
плитуду переменного на-
пряжения на входе Е. На
рис. 8.16 углу 0=90° со-
ответствует смещение (701,
углу 0=60° — смещение
П02 н т. д.; амплитуды
Ei, Е2,... выбраны та-
кими, что 1т остается
неизменной. Можно по-
этому считать, что для
умножителя частоты ха-
рактерен режим работы
с большими амплитудами
входного напряжения.
Это обстоятельство
наряду с уменьшением
полезной мощности при
повышении порядка ум-
ножения из-за убывания
коэффициентов а„ (см. рис. 8.10) существенно ухудшает энер-
гетические соотношения в умножителях.
Схема замещения умножителя частоты внешне не отли-
чается от схемы замещения нелинейного усилителя (см.
рис. 8.13,6). Следует лишь по аналогии с выражением (8.24)
под средней крутизной подразумевать
SCp=Zn/E=S(l—cos 0)а„,
(8.28)
где коэффициент n-й гармоники ап определяется формулой
(8.17).
Соответственно и внутреннее сопротивление электронного
прибора, приведенное к используемой гармонике,
7?i' = 7?j/an(l—cos0).	(8.29)
8.7.	АМПЛИТУДНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ
В радиотехнике часто возникает необходимость устранить
нежелательные изменения амплитуды высокочастотного колеба-
ния, возникающие из-за накладки помех на радиосигнал, при
передаче частотно-модулированных колебаний через избира-
тельные цепи и т. д.
Для этого широко используются амплитудные ограничители,
представляющие собой сочетание нелинейного элемента и изби-
рательной нагрузки. Вольт-амперная характеристика нелиней-
ного элемента должна иметь четко выраженную горизонталь-
ную часть, а полоса пропускания избирательной цепи должна
быть не шире той, которая требуется для передачи информа-
ции, содержащейся в частоте (или фазе) ограничиваемого ко-
лебания. В качестве амплитудного ограничителя может быть
15*
227
использован, в частности, обычный нелинейный резонансный
усилитель, рассмотренный в § 8.4, в режиме работы, показан-
ном на рис. 8.17.
Пусть к ограничителю подводится колебание вида
e(t) =Е(/) cos [о0/+е (0L	(8.30)
причем изменение огибающей E(t) является нежелательным,
паразитным фактором. Если это изменение не выходит за пре-
делы горизонтального участка характеристики i=f(u), как это
показано на рис. 8.17, то импульсы тока имеют одинаковую
амплитуду независимо от E(t). Несколько изменяется лишь ши-
рина вершины импульсов. Поэтому можно в первом приближе-
нии считать, что амплитуда первой гармоники, а следователь-
но, и амплитуда напряжения на колебательном контуре явля-
ются в некотором интервале изменения амплитуды E(t) посто-
янными величинами.
Характеристику ограничителя с избирательной нагрузкой,
обеспечивающей отфильтровывание высших гармоник, можно
представить в виде, изображенном на рис. 8.18. Через £пор
обозначено пороговое значение амплитуды входного напряже-
ния, начиная с которого достигается полное ограничение на
уровне Uo.
При £(/)>£пор амплитуда на выходе почти не изменяется.
Фаза же первой гармоники тока и соответственно выходного
напряжения совпадает с фазой напряжения на входе ограни-
чителя.
Поэтому для выходного напряжения можно записать
иВых(0 »t/oCOS[<Ol)f+0(0].	(8.31)
Амплитуда выходного напряжения С/о определяется пара-
метрами нелинейного элемента и избирательной нагрузки. Для
схемы, изображенной на рис. 8.13,6, 1/о=/12экр, где Л— ампли-
228
туда первой гармоники, определяемая с учетом уплощения вер-
шины импульса, a Z3K р — эквивалентное резонансное сопротив-
ление контура.
Для ряда практических задач особый интерес представляет
воздействие на амплитудный ограничитель двух сигналов с
близкими частотами.
Пусть, например, определяемое выражением (8.30) напря-
жение e(t) является суммой двух гармонических колебаний:
e(t) =Ei cos (d^+^2 cos a>2t, Ег<Е{.	(8.32)
Каждое из этих напряжений, действуя отдельно, создает на
выходе ограничителя простое гармоническое колебание с часто-
той (Dj (или о)2). Иная 1картина получается при одновременном
воздействии на ограничитель двух гармонических напряжений.
Для определения напряжения на выходе ограничителя входное
колебание необходимо привести к виду выражения (8.30).
Для этого обозначим Q = (d2—toj и сделаем в (8.32) следу-
ющую подстановку:
cos (o2^=cos (оч+П)/=cos £lt cos wtt — sin Qt sin coj.
Тогда
e(t) ~Et cos со^+Да (cos Q/ cos	—sin QZ sin (dtt) = (£t+
4-£2 cos QQcos —E2 sin (>/ sin шЛ
Рассматривая множители при cos ы,/ и sin как медленно
меняющиеся функции времени (поскольку Q-=C<ih), представим
последнее выражение в несколько иной форме
е(/)=/(£•, + е2cos Qt)2 + Д22 sin2 Qt cos [(oI/ + 0(/)] =
= £(<) cos [(Oj/-]-0(/)],	(8.33)
где огибающая результирующего напряжения E(t) опреде-
ляется выражением
Е(t)=E\ /1 + (2Д2/Д!) cos Ш + (Д2/Д1А	(8.34)
а фаза
a(<)=arctg	(8-35>
Рис. 8.19
229
Суммарное напряжение на входе ограничителя показано на
рис. 8.19, а векторная диаграмма напряжений — на рис. 8.20.
Огибающая E(t) имеет максимальное значение, равное
(при cosQ/=l), и минимальное, равное Е,—Е2 (при
cos Qt= —1).
Допустим, что Et—£2>£пор, так что условие ограничения
выполняется для всех значений, которые может принимать
амплитуда входного напряжения E(t) (см. рис. 8.19). Тогда
напряжение на выходе по аналогии с (8.31) можно записать в
виде
«Bbix(0 = i7oCOs[w1/+e(0].	(8.36)
Получается фазомодулированное колебание, которое в от-
личие от входного напряжения e(t) может иметь широкий
спектр.
При Ег/Е1=т^\ последнее выражение преобразуется к
виду
Пвых (0 UB cos (co^-f-ш sin QQ.	(8.37)
Таким образом, ограничение амплитуды приводит к гармо-
нической угловой модуляции с индексом т=Ег/Е1.
Выражение (8.37) полностью совпадает с (3.25z), из чего
следует, что спектр выходного напряжения при Е^/Е^Х со-
стоит из трех составляющих с частотами он, w1+Q=(d2 и
«1 — Q=2(Di — <о2 (см. рис. 3.10,6). Первые две частоты при-
сутствуют на входе ограничителя, а третья (2fth—<а2) является
продуктом взаимодействия входных колебаний в нелинейном
элементе. Соотношение спектров на входе и выходе ограничи-
теля при £2/£,<С1 показано на рис. 8.21 (без учета знака ми-
нус перед спектральной составляющей 2ц)!—со2). Частота
2со!—со2 является «зеркальной» по отношению к частоте (o2.
Колебания с частотами представляют собой помеху на
выходе ограничителя, а колебание с частотой оц— полезный
т2 /U2 \
сигнал. Суммарная мощность помехи 2 ту2) = Щ2Пг0/4, а по-
лезного сигнала 1/20/2, следовательно, отношение сигнал-поме-
Рис. 8.20
Рис. 8.21
230
ха равно 2/m2. На входе ограничителя аналогичное отношение
равно 1//п2. Таким образом, слабое колебание подавляется бо-
лее сильным.
8.8.	АМПЛИТУДНОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
Детектирование колебаний заключается в выделении сигна-
ла, пропорционального закону изменения того параметра мо-
дулированного колебания, в котором заключена передаваемая
информация. Детектирование является процессом, обратным
процессу модуляции, и, когда это требуется подчеркнуть, на-
ряду с термином «детектирование» (обнаружение) применяют
термин «демодуляция». В соответствии с основными видами
модуляции различают амплитудное, частотное и фазовое детек-
тирование.
На вход любого детектора подается модулированное коле-
бание, содержащее только высокочастотные составляющие: не-
сущее колебание и колебания боковых частот. На выходе вы-
деляется сигнал с низкочастотным спектром передаваемого со-
общения. Следовательно, детектирование сопровождается
трансформацией частотного спектра и не может быть осуще-
ствлено без применения нелинейных элементов или линейных
элементов с переменными параметрами.
Рассмотрим принцип действия амплитудного детектора в
режиме сильного немодулированного колебания е(0 —
=E'0cos (dot. Подобное колебание подается на вход устройства,
представляющего собой последовательное соединение нелиней-
ного элемента VD (диода) с простейшей избирательной на-
грузкой в виде 7?С-цепи (рис. 8.22). Напряжение на выходе
«вых (0 представляет собой пульсирующую около среднего зна-
чения Uo кривую (рис. 8.23, а). Это напряжение является от-
рицательным по отношению к диоду. Поэтому ток через диод
имеет форму импульсов (рис. 8.23, б), протекающих при пре-
вышении входным колебанием напряжения ыПых(0- В проме-
жутках между импульсами тока происходит разряд конденса-
Рис. 8.23
231
тора С через резистор R и напряжение «вых(0 уменьшается.
Заряд конденсатора и, следовательно, рост напряжения «Вых (О
совершается при протекании импульсов тока. Если постоянная
времени 7?С-цепи значительно превышает период 7’=2л/«0, то
амплитуда пульсаций напряжения «Вых(0 мала и в первом
приближении можно считать Цвых(0~£Л>. Режим работы
диода в схеме детектора (рис. 8.22) показан на рис. 8.24.
Вольт-амперная характеристика диода аппроксимирована ку-
сочно-линейной зависимостью (наклонный участок показан
штриховой линией), что допустимо только при большом уров-
не входного колебания. Постоянное напряжение Uo задает по-
ложение рабочей точки в стационарном режиме. В правой
части рис. 8.24 изображены импульсы тока, длительность кото-
рых равна 20.
Особенностью режима работы детектора в отличие от по-
строения на рис. 8.8 является то, что напряжение 1/0, создава-
емое постоянной составляющей тока /0 на нагрузочном сопро-
тивлении R, зависит от амплитуды Ео входного колебания. Из
этого, в частности, следует, что угол отсечки 0 не может пре-
вышать 90°.
Для нахождения напряжения на выходе Va при заданных
параметрах схемы воспользуемся результатами спектрального
анализа тока, проведенного в § 8.2.
Допуская, что угол отсечки тока 0 известен, можно запи-
сать следующие соотношения:
10=а0(в)1т, cos 0=f/o/£o-	(8.38), (8.39)
232
Последнее выражение вытекает непосредственно из
, рис. 8.24. Далее, при заданной крутизне вольт-амперной харак-
теристики диода S очевидно равенство
Im=(EB—U„)S=EB(l-UB/EB)S.	(8.40)
Подставив в это выражение (8.38) и (8.39), получим
/0/ао(0) =S£O(1—cos 0) =SUB (1—cos 0) /cos 0,
откуда
Л)/£А>=1/Д=5ао(0) (1—cos 0) /cos 0.	(8.41)
Подставляя в (8.41) ao(0) из (8.17) и учитывая соотноше-
ние 5=1/#, (Ri — внутреннее сопротивление диода), получаем
Rt/R= (sin 0—0 cos 0)/л cos 0= (tg 0—0)/л.	(8.42)
Итак, задание внутреннего сопротивления диода Ri и со-
противления нагрузки R однозначно определяет угол отсечки 0.
При этом предполагается, что емкость С, шунтирующая по пе-
ременному току сопротивление R, выбирается из условия
То=/?С^>2л/соо=7',	(8.43)
так как только при его выполнении напряжение на выходе
можно считать близким 'к постоянному.
Нахождение угла отсечки 0 из уравнения (8.42) затрудни-
тельно, поскольку оно является трансцендентным. Поэтому 0
можно определять по графику, представляющему собой зави-
симость отношения Ri/R от 0 (рис. 8.25).
Очевидно, что для получения на выходе детектора напря-
жения, близкого к амплитуде Ев входного колебания, угол от-
сечки должен быть малым, а отношение R/Ri большим. При
0^20° отношение UB/EB=cos 0^0,94. В этом случае справед-
ливо приближение tg0«0+03/3, используя которое приводим
(8.42) к виду
6=(3Л7?,/Д)^.	(8.42')
Например, для получения £70=0,95£’о требуется 0 = arccos 0,95«
18° и /?«300
После того как выбрано /?, требуемую емкость конденсато-
ра С можно определить из условия (8.43).
Режим детектирования AM сигнала с огибающей E(t) по-
казан на рис. 8.26. Напряжение смещения, создававшееся в ре-
жиме немодулированного воздействия постоянной составля-
ющей тока, теперь изменяется пропорционально огибающей
Е (t) входного сигнала. Но изменяющееся напряжение смеще-
ния диода есть не что иное, как выходное напряжение детек-
тора. Это напряжение (зубчатая кривая) совмещено на
рис. 8.27, а с высокочастотным входным напряжением. При вы-
полнении условия (8.43) зубцы практически отсутствуют и на-
пряжение на выходе воспроизводит форму огибающей входного
сигнала, т. е. передаваемое сообщение.
Таким образом, связь между выходным напряжением ивых(0
и огибающей E(t) входного сигнала получается линейной.
В этом смысле детектор, работающий в режиме больших амп-
литуд и с нагрузкой, обеспечивающей близкое совпадение на-
пряжений иВых(0 и E(t), называется линейным детек-
тором. При этом не следует, конечно, упускать из виду, что
детектор, работающий с отсечкой тока, является сугубо нели-
нейным устройством.
Режим модулированного воздействия накладывает на вы-
бор элементов нагрузки детектора дополнительные ограниче-
ния. Необходимо, чтобы постоянная времени цепи нагрузки
была мала по сравнению с периодом модуляции. В противном
случае изменение напряжения на нагрузке будет отставать от
изменения огибающей входного колебания. Подобный режим
представлен на рис. 8.27, б. На участке а—б из-за чрезмерно
большой инерционности 7?С-цепи напряжение uBBII(£) отстает в
своем росте от огибающей E(t). В точке б, где ивых(£) и E(t)
уравниваются, ток через диод и рост ивых(0 прекращаются. На
участке б—в, когда диод заперт, в нагрузочной цепи происхо-
дит разряд емкости С через резистор /?. Таким образом, на
участке б—в напряжение изменяется по экспоненте. Получают-
ся нелинейные искажения сигнала. Так как эти искажения об-
условлены тесным взаимодействием нелинейного элемента
(диод) с линейной цепью (RC), степень нелинейных искажений
зависит не только от параметров цепи и коэффициента моду-
ляции, но и от частоты модуляции й. Эти искажения возраста-
ют с повышением частоты, а также коэффициента модуляция
входного сигнала. Для устранения указанных искажений не-
обходимо, чтобы 7?С<2л/й. Совмещая это неравенство с усло-
234
вием (8.43), при выполнении которого обеспечивается сглажи-
вание высокочастотных пульсаций, получаем
2л/соо«/?С«2л/Й.	(8.44)
Так как несущая частота со о модулированного колебания
значительно превышает частоту модуляции Q (см. § 3.1), усло-
вия (8.44) обычно выполняются.
При детектировании радиоимпульсов в правой части нера-
венства (8.44) вместо периода модуляции 2 л/й следует под-
ставлять длительность импульса. При этом предполагается, что
интервалы между импульсами превышают длительность само-
го импульса.
Отметим, что условия (8.44) могут быть истолкованы со
спектральной точки зрения.
Для низкочастотных составляющих тока диода нагрузка
детектора в соответствии с пра-
вым неравенством (8.44) прак-
тически резистивна и равна /?.
В то же время в соответствии с
левым неравенством (8.44) эта
же нагрузка для высокочастот-
ных составляющих тона имеет
емкостной характер, а величина
ее много меньше 7?. Таким обра-
зом, «вых(0 создается только за
счет низкочастотных составля-
ющих спектра огибающей, возни-
кающих при воздействии AM ко-
лебания на нелиейный элемент.
Рассмотрим теперь резуль-
таты детектирования при малой
235
амплитуде входного колебания (режим слабого сигнала).
В этом случае изменения тока укладываются на относительно
небольшом участке нижнего сгиба вольт-амперной характери-
стики диода или транзистора (рис. 8.28).
Подставляя входное колебание e(t)=E(t)cosa0t в аппрок-
симирующий полином (8.4), получаем выражение для тока
(U0) -j- ахЕ (t) cos uot -j- «2-£2 (0 cos2 ыо* =
= i0+«i£'(i)cos	+ y a2E2(t)cos2(D0t-]-^a2E2(t).	(8.45)
Полезная информация содержится только в последнем, низ-
кочастотном слагаемом
А,ч(О=4-^2(/)>	(8.46)
а выходное напряжение благодаря фильтрующему действию
нагрузки детектора определяется именно этим током (постоян-
ную составляющую тока io не учитываем):
u^(t)=^a2RE2(t).	(8.47)
Так как это напряжение пропорционально квадрату огибаю-
щей амплитуд входного сигнала, детектор, работающий в ре-
жиме малых амплитуд, называется квадратичным.
Квадратичный характер детектирования не является пре-
пятствием для правильного воспроизведения передаваемого
сообщения при демодуляции радиоимпульсов с прямоугольной
огибающей. Нелинейность характеристики детектирования в
этом случае проявляется в том, что амплитуда видеоимпульсов
на выходе детектора пропорциональна квадрату амплитуды
радиоимпульсов на его входе.
Иначе обстоит дело при квадратичном детектировании коле-
баний, огибающая которых является непрерывной функцией
времени. Для упрощения анализа рассмотрим воздействие ко-
лебания с тональной AM. Подставив в (8.47) £(/)=£0(1 +
+McosQi), нетрудно получить для переменной составляющей
(низкочастотной) следующее выражение:
«вых (/) ==a2RME2cosQt+' /ia2RM2E2cos2Qt.
Таким образом, при детектировании колебания с тональ-
ной AM выходное напряжение содержит следующие два гар-
монических слагаемых:
а)	полезное, с частотой Q, воспроизводящее огибающую де-
тектируемого колебания;
б)	вредное, с частотой 2Q, приводящее к искажению гармо-
нической огибающей.
Отличие формы ивых(0 от гармонической оценивается коэф-
236
фициентом гармоник, равным в данном случае отношению
амплитуды второй гармоники к амплитуде первой:
kr2= l/4a2RM2E20/a2RME^=М/4.
При 100%-ной модуляции &г2=0,25 (25%).
При детектировании более сложных колебаний, например
AM колебания с двумя модулирующими частотами Ri и Й2, в
выходном напряжении наряду с гармониками частот 2Q1 и 2Й2
возникают еще колебания комбинационных частот вида Qi±Q2,
амплитуды которых пропорциональны произведению парциаль-
ных коэффициентов модуляции Mt и М2. Этот результат не-
трудно получить, если в (8.47) подставить
Е (/) =Е0 (1+М icosQi/+Af2cosQ2Z).
При детектировании сложных сигналов, содержащих боль-
шое число пар боковых частот, гармоники и комбинационные
частоты приводят при глубокой модуляции к значительным не-
линейным искажениям, влияющим, в частности, на разборчи-
вость и тембр речевого сигнала. Поэтому во всех случаях,
когда требуется неискаженное воспроизведение передаваемых
сообщений, необходимо увеличивать амплитуду несущего коле-
бания AM сигнала до уровня, при котором обеспечивается ре-
жим линейного детектирования.
8.9.	ЧАСТОТНОЕ И ФАЗОВОЕ
ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
Входной радиосигнал представим в виде
e(/)=E(/)cos[(j)o^+0(0]-
Для снятия нежелательной AM обязательно применение
амплитудного ограничения. Тогда на входе собственно частот-
ного детектора (ЧД) напряжение будет
e(O==£oCOs[ci>o/+0(O]. £'o=const.	(8.48)
Напряжение на выходе ЧД должно воспроизводить закон
изменения мгновенной частоты радиосигнала. Поэтому для
идеального ЧД получаем следующее функциональное соотно-
шение:
«.ых(О =S,„de/^=S,„A®(/),	(8.49)
где S,„=const — крутизна характеристики детектора, выра-
женная в вольтах на единицу угловой частоты.
Как отмечалось в § 8.8, спектр функции «ВЫ1(0 соответству-
ет передаваемому сообщению и расположен в области низких
частот. Однако в этом случае в отличие от амплитудного де-
тектора для образования частот сообщения одного лишь не-
линейного элемента недостаточно. В § 8.2 было показано, что
237
при воздействии ЧМ колебания на безынерционный нелиней-
ный элемент в спектре тока не возникают составляющие с
частотой модуляции. Иными словами, нелинейный элемент
нечувствителен к изменению частоты подаваемого на его вход
радиосигнала, а низкочастотные составляющие возникают толь-
ко при изменении амплитуды этого сигнала.
Поэтому для осуществления частотного детектирования
требуются дополнительные преобразования. Известны разно-
образные способы детектирования ЧМ колебаний. Большое
распространение получили, например, частотные детекторы,
представляющие собой сочетание двух функциональных эле-
ментов: избирательной линейной цепи, преобразующей частот-
ную модуляцию в амплитудную, и амплитудного детектора.
В качестве линейной цепи можно использовать любую
электрическую цепь, обладающую неравномерной частотной
характеристикой: цепи RL, RC, фильтры, колебательные конту-
ры и т. д.
Схема частотного детектора, содержащего одиночный кр-
лебательный контур, представлена на рис. 8.29. Если резо-
нансная частота контура <ор отличается от несущей частоты
модулированного колебания <о0, то изменение амплитуды на-
пряжения на контуре UK повторяет в некоторых пределах изме-
нение частоты входного колебания (рис. 8.30).
Изменение амплитуды UK высокочастотного колебания с по-
мощью диода VD создает низкочастотный сигнал, выделяемый
на /?С-цепи. Отметим попутно, что при точной настройке кон-
тура на частоту (op=g>q сигнал искажается: частота изменения
огибающей получается вдвое выше частоты полезной модуля-
ции. В исходном режиме, т. е. при отсутствии модуляции, ра-
бочая точка должна устанавливаться на левом скате резонанс-
ной кривой.
238
Недостатком рассмотренного способа является необходи-
мость настройки контура на частоту, отличную от частоты не-
сущего колебания. Кроме того, резонансная кривая одиночно-
го колебательного контура имеет весьма ограниченный линей-
ный участок на скате. Несколько лучшими характеристиками
обладает детектор наклона, в котором используются два коле-
бательных контура, настроенные симметрично относительно
несущей частоты.
Развитие техники интегральных микросхем позволяет осу-
ществить частотное детектирование с помощью миниатюрных
устройств, не содержащих катушек индуктивности. Один из
возможных способов основан на использовании опорного ге-
нератора (гетеродина) в виде мультивибратора, вырабатываю-
щего стабильное меандровое колебание с периодом, равным
периоду несущего колебания обрабатываемого сигнала. При-
нимаемое ЧМ колебание также преобразуется в меандр. Оба
колебания поступают на схему совпадения (перемножитель),
называемую «детектором произведения», на выходе которой
образуются прямоугольные импульсы с длительностью, про-
порциональной девиации частоты ЧМ сигнала. Преобразова-
ние этих импульсов в выходной сигнал достигается с помощью
интегрирующей А?С-цепи.
Обратимся к рассмотрению фазового детектирования. Пусть
фаза высокочастотного колебания, подлежащего детектирова-
нию, изменяется по закону 6(/)- Если такое колебание подать
на обычный частотный детектор, реагирующий на изменение
мгновенной частоты колебания, то напряжение на выходе де-
тектора
«вых(0 =5чдД(0 (/) =5Чдб№ (t)/dt,	(8.50)
т. е. выходное напряжение будет пропорционально производ-
ной фазы входного колебания. Отсюда следует, что для осу-
ществления фазового детектирования можно использовать
обычный частотный детектор. Необходимо лишь дополнить
его корректирующей цепью, осуществляющей интегрирование
выходного напряжения, т. е. цепью с передаточной функцией
вида К(йо) = 1/tcoTo- Простейшие интегрирующие устройства
описаны в § 5.8.
Подобный прием используется при детектировании колеба-
ний с фазой, изменяющейся по непрерывному закону, т. е. ког-
да производная фазы конечна (например, при передаче речи).
В случае же скачков фазы, а также при необходимости срав-
нения фазы принимаемого колебания с фазой опорного (эта-
лонного) колебания применяются специальные фазовые детек-
торы, в которых выходное напряжение пропорционально оги-
бающей напряжения, получаемого при суммировании колеба-
ний со сравниваемыми фазами.
239
8.10.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТОТЫ СИГНАЛА
В радиотехнике часто требуется осуществить сдвиг спект-
ра радиосигнала по оси частот на определенное постоянное зна-
чение при сохранении его структуры. Такой процесс сдвига
называется преобразованием частоты.
Для выяснения сути процесса преобразования частоты вер-
немся к вопросу о воздействии на нелинейный элемент двух
напряжений, рассмотренному в § 8.3. Однако в данном случае
только одно из колебаний, а именно то, которое создается
вспомогательным генератором (гетеродином), является гар-
моническим. Вторым колебанием будет любой сложный, но
узкополосный процесс, подлежащий преобразованию.
Представим колебания от гетеродина и источника сигнала
соответственно в виде
er=£rcos((orH-6r),	(8.51)
e,=Es (/) cos[(o0M-e8 (0 +60].	(8.52)
Задачей преобразования частоты является получение сум-
марной или разностной частоты ©о±®г. Как следует из выра-
жения (8.21), эти частоты возникают за счет квадратичного
члена аппроксимации вольт-амперной характеристики нелиней-
ного элемента. Для более полного выявления продуктов
взаимодействия сигнала и колебания гетеродина аппроксими-
руем характеристику нелинейного элемента (диода или тран-
зистора) полиномом четвертой степени:
i = i (U0) + ах (es+ег) + а2 (es + ег)2 -f- о3 (е3 + ег)3 +
+ а4 (е3 + er)4=i (U0) + av (е3 + <?г) + а2 (е32 + <?г2) +
+ |2flgser| + а3 (es3-{- егз) -J- |За3(е52ег + е^гг)| +
+ (е,4 + <?г4)+|ба4е/ег2| + 4tz4(e?gr4-e5er3) .
(8.53)
В этом выражении основное значение с точки зрения пре-
образования (сдвига) частоты имеют члены, представляющие
собой произведения вида е/егт (обведены рамками). Подстав-
ляя в эти произведения (8.51) и (8.52) и отбрасывая все со-
ставляющие, частоты которых не являются суммой ио+сог
или разностью ©о—<ог, после несложных тригонометрических
выкладок приходим к следующему окончательному результату:
^tl>,±<Dr (О=a2Es (f) Ег {cos [(©о + «г) f+9.V (0 + 0о+6г] +
+ cos [(«о - ®r) t + 0, (/) + 00- 0Г]} +| а4Е3 (0 Ет [Е2 (/) +
+ Ег2] {CoS [(“о + Мг) + 0J (^) + 00 + 0г1 +
4-COS [(«о — cor) t + 0, (/) + 0О—0Г]}.	(8.54)
240
Из этого результата видно, что интересующие нас частоты
соо±сог возникают лишь благодаря четным 'степеням полинома,
аппроксимирующего характеристику нелинейного элемента.
Однако один лишь квадратичный член полинома образует
составляющие, амплитуды которых пропорциональны только
первой степени Es(t). Более высокие четные степени полинома
нарушают эту пропорциональность, так как амплитуды созда-
ваемых ими колебаний содержат степени Es(t) выше первой.
Поэтому для того чтобы при нахождении тока можно было
ограничиться в (8.54) только первыми двумя слагаемыми
(с амплитудами, пропорциональными первой степени Es), тре-
буется выполнение неравенства £s2+£г2<С2а2/За4-
В радиоприемных и многих других устройствах, в которых
преобразование частоты тесно связано с задачей усиления сиг-
нала, обычно £,<с£г.
Окончательно выражение для тока записываем в форме
(f)«a}Es (t) Ег {cos [(соо ф- ыг) t + 0S (t) +&+ 0r] +
4-cos [((oo — <or) t + 0S (i) + 0o — er]}-	(8.54')
Первое слагаемое в фигурных скобках с частотой (оо+<ог со-
ответствует сдвигу спектра сигнала в область более высоких
частот, а второе слагаемое с частотой ю0—сог — в область более
низких частот. При этом предполагается, что |<оо—сог | лежит в
диапазоне радиочастот. Для выделения колебания с суммарной
или разностной частотой следует применить в качестве нагруз-
ки резонансную колебательную цепь (рис. 8.31) с соответст-
вующей настройкой на частоту ор=: |<во±<йг| •
Обычно полоса пропускания колебательной цепи, являю-
щейся нагрузкой преобразователя частоты, рассчитана на ши-
рину спектра модулированного колебания. При этом все состав-
ляющие тока с частотами, близкими к |(Оо±<Вг|, проходят через
контур таким образом, что структура сигнала на выходе совпа-
дает со структурой сигнала на входе. Единственное отличие за-
ключается в том, что несущая частота колебания на выходе
равна (о0+(Ог или | соо—<ог |, в зависимости от того, какова резо-
нансная частота нагрузочной цепи.
Итак, при преобразовании частоты законы изменения ампли-
16—3305
241
туды Es(t), фазы 0j(/) и частоты dBs(t)/dt входного колебания
переносятся на выходное колебание. В этом смысле рассмат-
риваемое преобразование сигнала является линейным, а устрой-
ство— линейным преобразователем или «смесителем».
В заключение следует отметить, что при выделении разност-
ной частоты структура сигнала сохраняется лишь в том случае,
когда (оо>(ог. Если же (оо<(ог, то спектр сигнала «переворачи-
вается». На рис. 8.32, а изображена спектральная диаграмма
сигнала на входе и выходе преобразователя для случая, когда
все частоты, входящие в спектр входного колебания, выше час-
тоты гетеродина ог. Преобразованный спектр, сдвинутый влево
на Юг, имеет такую же структуру, что и исходный спектр. В пре-
образованном спектре при (оо<ыг (рис. 8.32,6) (отах и со min ме-
няются местами.
Переворачивание спектра при преобразованиях частоты не-
обходимо принимать во внимание только в тех случаях, когда
спектр сигнала несимметричен относительно несущей частоты
(при угловой модуляции асимметрия заключается в том, что
знаки перед колебаниями нижних боковых частот со0—при
нечетных п отрицательны, см. § 3.6). При преобразовании сиг-
нала с несимметричным спектром для сохранения структуры
спектра частота гетеродина должна быть ниже частоты сиг-
нала.
8.11.	СИНХРОННОЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
Рассмотрим особый вид преобразования, который получает-
ся при частоте гетеродина, равной частоте сигнала. Полагая
в выражении (8.54) а>о=<Вг и рассматривая сначала немодули-
рованное колебание [es=E0cos (соо^+бо)]- получаем
i(O==«2EoEr[cos(2(uo^+0o+6r)+cos (0о—ег)].	(8.55)
Как видим, в частном случае (ог=®о колебание с разностной
комбинационной частотой вырождается в постоянный ток
io=a2EoErcos(0o—0Г).	(8.56)
При 0о—0г=О или л ток |io| достигает максимума, а при
Оо—0г=±л/2 ток i'o=O.
При включении на выходе преобразователя фильтра нижних
частот колебание с частотой 2ыо подавляется и на выходе филь-
тра остается одно лишь постоянное напряжение, пропорцио-
нальное току i0.
Если частоты (оо и <вг близки друг к другу, то возникающее
колебание разностной (низкой) частоты также выделяется с
помощью /?С-фильтра нижних частот. Такой режим исполь-
зуется в измерительной технике (метод «нулевых биений»), а
также для формирования колебаний низкой частоты.
При наличии AM, когда es=Es(t) cos ((оо/+0о), и точных ра-
242
венствах (ог=<во и 0Г=0О колебание на выходе будет пропорцио-
нально току
ia (0 = a2E,Es(t),	(8.57)
т. е. будет совпадать по форме с законом модуляции амплитуды
высокочастотного сигнала.
Иными словами, на выходе преобразователя выделяется пе-
редаваемое сообщение, причем по отношению к входному коле-
банию при Es<g.Er обработка по существу является линейной.
Основным преимуществом такого способа обработки, назы-
ваемого синхронны идете к тированием, является повы-
шенная избирательность радиоприема слабых сигналов на фоне
шума (устраняется взаимодействие сигнала с помехой в нели-
нейном устройстве, каковым является обычный амплитудный
детектор).
При наличии ФМ, когда es=Eocos[tt>oi+0s(i)+0oL и равенстве
0о—0г=—л/2, колебание на выходе будет пропорционально
току
io (/) = a2ErEG sin 0S (i).	(8.58)
Отсюда видно, что синхронный детектор позволяет при ма-
лых девиациях фазы [|0s(i) |^л/4] или манипуляции фазы осу-
ществлять фазовое детектирование.
Следует, однако, отметить, что реализация принципа син-
хронного детектирования связана с рядом трудностей, так как.
обеспечение синхронизма частоты гетеродина с частотой прини-
маемого сигнала является сложной задачей, особенно при прие-
ме слабых сигналов на фоне помех.
Глава 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
В СИСТЕМАХ С НЕЛИНЕЙНЫМИ
ЭНЕРГОЕМКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
9.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЭНЕРГОЕМКИХ
ЭЛЕМЕНТОВ
Под энергоемкими понимаются элементы, обладающие свой-
ством запасать энергию электрического (емкость) или магнит-
ного (индуктивность) полей.
Примером нелинейной емкости может служить любой эле-
16*
243
мент с нелинейной вольт-кулонной характеристикой q(u). Ем-
кость подобного элемента определяется соотношением С(и) —
=q(u)/u, которое справедливо при любом характере напряже-
ния и (постоянном или переменном).
Ток через емкость С (и) определяется производной заряда
q(u) по времени
i	<ц) du
1 > dt du dt'
(9.1)
При u=const ток t(0’=0, как и через линейную емкость
(C=qlu=const).
Выражение (9.1) можно записать в иной, но эквивалентной
форме:
i(0=il^4i) = a^>+c(„)^_=
-[“tF + C(u)]^.	(9.2)
Если на нелинейную емкость С (и) одновременно с постоян-
ным напряжением смещения Ео подан слабый сигнал e(t), то
выражение (9.1) можно представить в виде
» (/\ — d4 (и) I d № о + в) ./F\de(t)	/а
1 (t) ~ |U=EO ~dt— ~ с лиф (Ео) ~аГ-	(9.3)
Введенная в этом выражении дифференциальная ем-
кость
c,rt.(F„)-iga
и=-Е„
(9.4)
отличается от статической емкости С (и) =q(u)/u. При линей-
ной вольт-кулонной характеристике оба определения емкости
совпадают.
В качестве иллюстрации на рис. 9.1 изображены графики
следующих зависимостей
(при £>1=1-10-11 Кл/В и
&2=0,5-10“12 Кл/В2):
Рис. 9.1
q (и) =Ь\и+Ь2и2,
С (u)=qlu=b\+b2u,
Сдиф (Eq) =Ь\+2Ь2Ео.
В данном примере аргу-
мент £0 функции Сдаф сов-
падает с текущим значе-
нием и.
Примером нелинейной
индуктивности L (i) может
служить катушка с ферри-
244
товым сердечником, ампер-веберная характеристика которой
нелинейна.
Соотношения между током i и напряжением и на индуктив-
ности следуют из исходного выражения для потокосцепления
O(i) = L(t)i.
Очевидно,
„	(0 _	(Z) rfZ _ dL (I) di s , T di (<)
dt di dt dl dtl^rL^1' dt

(95)
(9.6)
При подаче на нелинейную индуктивность одновременно с
постоянным током подмагничивания Iq слабого сигнала i(t) на-
пряжение на ней определяется в виде

(9-7)
где
^иф(7о) = ^Ф(О/^к/.	(9.8)
(в случае линейной индуктивности u=Ldi[dt, где £ = ФЛ‘).
Понятиями «дифференциальные емкость и индуктивность»
широко пользуются при рассмотрении воздействия относитель-
но слабых сигналов на нелинейные элементы. При этом нели-
нейность элемента проявляется лишь в том, что СДИф и ЛдИф
зависят от управляющего напряжения (или тока), определя-
ющего положение рабочей точки на нелинейной характери-
стике.
9.2.	ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО
КОЛЕБАНИЯ НА НЕЛИНЕЙНУЮ ЕМКОСТЬ.
УМНОЖИТЕЛЬ ЧАСТОТЫ НА ВАРАКТОРЕ
Некоторые преобразования сигналов, рассмотренные в гл. 8,
можно осуществить с помощью реактивных нелинейных элемен-
тов, например, основанных на нелинейной емкости р—«-перехо-
да полупроводникового диода. Общее название подобных при-
боров — варикап. Варикап, предназначенный для работы в
диапазоне СВЧ, называют варактором. Он выделяет значи-
тельную мощность в режиме умножения частоты.
При гармоническом воздействии e(t) в цепи с емкостью
Сил=С(и) возникает ток 1нл(0» содержащий гармоники с часто-
тами пол, что позволяет осуществлять умножение частоты.
Метод анализа спектра тока 1нл(0 аналогичен методу, ис-
пользованному в § 8.2. В данном случае в основу анализа мож-
245
ио положить нелинейную вольт-кулонную характеристику ва-
рактора, аналогичную выражению (8.1):
q(e) =q0+bxe+b2e2+ ... +bfte*,	(9.9)
где
= ^{е_0 = ^диФ — Дифференциальная емкость
в рабочей точке [см. (9.4)],
62 = ^-(с?2<7/б/е2), b3=^-(d3q/de3), ...	(9.10)
Применяя выражение (9.1) к ряду (9.9), находим ток через
иединейную емкость
//\_d(lde _ г, de . ni, de .
«нл(0 — dt —dedt~bldt+2l>2edt +
+ 3b3e2^+...+kbke^£.	(9.11)
Рассмотрим структуру первых трех слагаемых этого ряда
при e(t) =Е cos(<oI/4-01) =Е cos фДО-
Первое слагаемое
de
biat =	sin ip! (0= — СдифО)^ Sin ((0^4-61)	(9.12)
•соответствует току частоты соi через обычную линейную емкость
С'днф.
Второе слагаемое
262е^| = 26?£‘cos t])j (<)[ — w^sinipj (<)] =
= — Ь2ыхЕ2 sin (2coj <4-20,)	(9.13)
вносит в спектр тока гнл(/) составляющую с частотой 2а»! и
и амплитудой = Ь2ыхЕ2.
Третье слагаемое
З63е2 = ЗЬ3Е2 cos2 ф, (О [ - ыхЕ sin (/)]
приводится к виду
---ЗЬ3уЕ> [sin + 0 ) + sJn (ЗМ + 301)]	(9 14)
Из соотношений (9.12)—(9.14) видна закономерность обра-
зования спектра тока 1'нл(0 при гармоническом воздействии.
Как и для цепи с безынерционным резистивным элементом,
слагаемые ряда (9.9) с четными степенями определяют четные
гармоники, а слагаемые с нечетными степенями — нечетные
246
Рис. 9.2
гармоники. Наивысший порядок гармоник равен степени поли-
нома k, аппроксимирующего вольт-кулонную характеристику.
Постоянная составляющая в спектре тока отсутствует.
Функциональная схема умножителя частоты на варакторе
представлена на рис. 9.2, а. Сопротивление полупроводникового
материала и активная проводимость, шунтирующая нелиней-
ную емкость варактора, этой схемой не учитываются.
Для частоты n-й гармоники тока £нл(0 сопротивление на-
грузки равно R, а для всех остальных частот сопротивление
можно считать пренебрежимо малым (при достаточно высокой
добротности контура).
Напряжение на контуре в соответствии с (9.13), (9.14)
un(t) =InR sin (п(О1/+п0!) = Un sin (n<oi/+n0i),	(9.15)
где /„— амплитуда n-й гармоники тока 1нл(0-
Введение нагрузочного контура, поглощающего мощность,
изменяет структуру спектра тока £нл(/), определяемого в холо-
стом режиме выражением (9.11). Для определения структуры
спектра в режиме нагрузки необходимо учесть взаимодействие
на нелинейной емкости двух напряжений: e(t) и un(t). С этой
целью в исходном выражении (9.11) e(t) должно быть допол-
нено слагаемым un(t). Выполнив затем преобразования, анало-
гичные (9.13), (9.14), найдем все спектральные составляющие
тока 1нл(0-
Для дальнейшего анализа последовательную схему замеще-
ния (рис. 9.2,а) целесообразно преобразовать в параллельную
(рис. 9.2,6). В параллельной схеме замещения для каждой из
спектральных составляющих тока гнл(/) предусмотрена отдель-
ная ветвь с фильтром, пропускающим (без ослабления) только
одну из гармоник. Напряжение генератора e(t), как и в схеме
рис. 9.2, а, оказывается приложенным непосредственно к Снл, а
токи с частотами 2<bi, Зои,..., обусловленные нелинейностью
Снл, замыкаются во внешней цепи, не создавая никакой нагруз-
ки для генератора с частотой соь Исключение составляет лишь
ветвь, содержащая нагрузочный контур. Падение напряжения,
создаваемое n-й гармоникой тока на контуре, прикладывается
к С„л последовательно с е(1).	.
247
Проиллюстрируем определение спектральных составляющих
тока и энергетических соотношений в схеме умножителя на
примере удвоения частоты. Для выявления принципиальной
стороны вопроса облегчим задачу допущением, что вольт-ку-
лонная характеристика варактора в пределах используемого
участка удовлетворительно аппроксимируется полиномом вто-
рой степени. Тогда амплитуда тока второй гармоники 12 опре-
деляется лишь квадратичным членом ряда (9.9).
Подставив в (9.13) вместо е(0 сумму e(t)+un(t) =
=£cosipi(0 + f72 sin тр2 (0, после несложных тригонометриче-
ских преобразований получим
2b2[e(0+un (0][е' (0+ц/ (0]=—b2oi£2 sin (2(oif+26i) +
+b2(Oi£L72 cos ((0i<+6i)+3b2ti)i£(72 cos(3(BiH-36i) —
—2b2oiit/22sin (4o)I/+4e1).	(9.16)
Токи с частотами Зол и 4wi, замыкающиеся через «пустые»
ветви схемы замещения, не выделяют мощности и могут не при-
ниматься во внимание.
Первое слагаемое в правой части (9.16), совпадающее с
(9.13), определяет ток в ветви, содержащей нагрузочный кон-
тур с резонансной частотой <Bp=2(oi. Амплитуда этого тока
А> z — b2(o i£2,	(9.17)
а мощность, выделяемая в сопротивлении /?,
р 1ч>2^	p4D
"ь>2= —2~ = —2---А-
Второе слагаемое в правой части (9.16) определяет ток
основной частоты соь нагружающий генератор eft). Амплитуда
этого тока с учетом (9.17)
7Ш1 = Ь2(01£172=&2(01А7и2£=Ь22а)12£3/?.	(9.19)
Следовательно, мощность, отбираемая от генератора eft),
р	Ьг*Ыг*Е*
Ги\----— =-----2---А. •
Сопоставление выражений (9.18) и (9.20) показывает, что Pai=
= Р<е2-
Легко убедиться, что при увеличении амплитуды £ входного
колебания и связанного с этим возрастанием влияния членов
ряда (9.9) с более высокими степенями структура спектра тока
£нл(0 усложнится, но соотношение между Pwi и Рш2 останется
прежним.
В равенстве Рт1=РюП заключается принципиальное отличие
умножителя частоты с энергоемким элементом СНл от безынер-
ционного умножителя на транзисторе, рассмотренного в § 8.6.
В транзисторном умножителе источник входного сигнала с ча-
(9.18)
(9.20)
248
стотой Qi лишь управляет током коллектора, энергия же коле-
бания с частотой neo] поставляется источником постоянного то-
ка в цепи коллектора. В варакторном умножителе единствен-
ным источником энергии является генератор частоты <oi, кото-
рый поставляет энергию в нелинейную емкость Снл, играющую
роль накопителя, откуда энергия «перекачивается» в колебание
с частотой пшь При пренебрежении потерями в варакторе КПД
умножителя равен единице. В реальном устройстве с учетом
потерь в сопротивлении самого варактора и в согласующих
цепях КПД достигает 60—70%.
9.3.	ВОЗДЕЙСТВИЕ БИГАРМОНИЧЕСКОГО
КОЛЕБАНИЯ НА НЕЛИНЕЙНУЮ ЕМКОСТЬ
Рассмотрим энергетические соотношения в цепи, содержа-
щей нелинейную емкость и колебательный контур, при вход-
ном воздействии в виде
(0 4“₽о (0 =ficos (coi^-f-Oi) +Eocos (<iW + Oo) -
Взаимодействие еД0 и eQ(t) в нелинейной емкости Снл
создает ток 1НЛ(0, спектр которого, как и при резистивном не-
линейном элементе, содержит частоты вида nzwi + ntoo (кроме
постоянной составляющей).
В данном параграфе нас будет интересовать выделение раз-
ностной комбинационной частоты и2=(Оо—к»1 при (Oo><bi- Для
выделения указанной частоты в схему включен колебательный
контур с резонансной частотой (оР=<ао—<вь Последовательная
схема замещения цепи представлена на рис. 9.3, а., а парал-
лельная — на рис. 9.3, б.
При достаточно высокой добротности на контуре создается
падение напряжения
Ц2 (0 = H2cos ((Ог^Ч-^) (co2)cos ((Ог^Ч-бг) >	(9.21)
Рис,. 9.3
249
где амплитуды тока Iz и напряжения £72, а также фаза 02 под-
лежат определению.
Результирующее напряжение, приложенное к Снл,
е (0 =е0 (0	(0 +«2 (0 =£0COS фо (О +£1COS Ф1 (0 +
+£2созф2(0,	(9.22)
где е2(0 =—«г(0 имеет смысл ЭДС, компенсирующей падение
напряжения и2(0. Подставив (9.22) в выражение (9.11) и
ограничившись в нем лишь первыми двумя слагаемыми (с ко-
эффициентами &i и &2), придем к следующему результату:
^'нл (0 = —b 1 [<i>ij-£osin (<во^”Ь6о) + cd i£i sin (cd + 0i) +
+o2£2sin (<o2^-[-62)]—b2{tto£iE2sin[<Do^Ь (61Ч-02 )]“!-
+<oi£o£2sin[ci)i^-}- (0o—02)]4-(O2^o^isin[co2f+ (0q—0i)]}.	(9.23)
При выводе этого выражения токи с частотами, отличными
от «о, <»1> и (о2=(оо—001, которые замыкаются через пустые
ветви (не содержащие нагрузочного контура), не учитывались.
Первые три тока (слагаемые с коэффициентом bi), сдвину-
тые по фазе на 90° относительно соответствующих напряжений
ei(0, е2(0 и ео(0, не создают расхода энергии (как и в обыч-
ном линейном конденсаторе без потерь).
Токи же частот со2 и (оо, обусловленные нелинейностью
вольт-кулонной характеристики реактивного элемента, создают
мощности Ра\, Рл2 и Ра0, которые нетрудно определить следую-
щими1 выражениями:
Ра, =—V^wi-EiBxEoCos <pz, Ра „ =—'/zbzinzEiEzEocos <pz,
L	(9.24)
Pa, /2bz(HoEiE2E0cos qpz.
В этих выражениях <pz—аргумент комплексного сопротив-
ления Z2(i<B2). При малых расстройках контура cos <pz близок к
единице.
Смысл отрицательных мощностей РЮ1 и Рю2 заключается в
том, что соответствующие источники на частотах о, и а2 не
отдают, а потребляют энергию. Положительное же значение
1 При прохождении тока	—&2co2E0£1sin[<o2Z+ (Go—Gi)J, определяе-
мого последним слагаемым выражения (9.23), через контур 22(102) получается
падение напряжения u2(t) =.— Ь&ъЕоЕ&г^г) sin [co2f+ (0O—0i)+<p4
Сопоставление этого выражения с (9.21) приводит к равенству 02=0о—
—01—л/2+<рг, откуда вытекают следующие формулы для токов:
i<01(0=—Ь2®|£'о£,2СОЗ(ш1/+01—фх),
«£0,(0 =—b2«02£'o£'lCOs(c02^+02—<Pz),
i0o (0 ==b2COo£i£2Cos(cW+0o+<Pz)-
Все три тока сдвинуты относительно соответствующих ЭДС fii(f), е2(<) и
e0(t) на угол <рж, что и определяет средние мощности.
250
Ра0 указывает на то, что источник e0(t) отдает энергию во внеш-
нюю цепь.
Суммарная мощность, выделяемая в нелинейном реактивном
элементе,
А>,+А>, +Ан, = ’/2^2(100—СО 1—(H2)£1E2E0COS <pz=0,	(9.25)
поскольку <bo=<bi+<B2. Этот результат находится в полном со-
ответствии с принятым допущением отсутствия потерь в емко-
сти.
Итак, в цепи, содержащей энергоемкий нелинейный элемент,
возможна перекачка энергии от одного генератора к другому.
Это указывает на возможность осуществления преобразования
частоты сигнала одновременно с «накачкой» энергией от вспо-
могательного генератора.
Из выражений (9.24) вытекает следующее соотношение:
Р Р	Р
=	_-----,9 26)
СО, С02	СОо	'	'
9.4.	ТЕОРЕМА МЭНЛИ—РОУ
Важное соотношение (9.26), выведенное для квадратичной
вольт-кулонной характеристики, можно распространить и на
большую нелинейность, когда в спектре тока, протекающего че-
рез нелинейную емкость Снл, существует большее число со-
ставляющих с частотами вида сот,п=^со1+п<о0 (т и п —целые
числа, которые в отличие от § 8.3 могут принимать как поло-
жительные, так и отрицательные значения. При этом сохра-
няется условие IтI +1п\^k, где k — степень полинома, аппро-
ксимирующего нелинейную характеристику).
Известна теорема Мэнли—Роу, устанавливающая энергети-
ческие соотношения в спектре колебания в цепи, содержащей
реактивную нелинейность (емкость или индуктивность) при
произвольном порядке нелинейности и произвольном числе ге-
нераторов.
Модель цепи, используемая при выводе теоремы Мэнли—
Роу, представлена на рис. 9.3,6 (для двух генераторов). Число
параллельных ветвей равно числу составляющих в спектре то-
ка, протекающего через Снл. Каждая ветвь содержит идеаль-
ный фильтр, пропускающий только колебание с соответствую-
щей частотой. Идеальный фильтр можно представлять в виде
последовательного соединения элементов L и С, отвечающих
условию 1/Г^ £С=т<й14-П(оо, «Пустые» ветви, не содержащие
сопротивлений Z, замыкают накоротко внешнюю цепь конден-
сатора Снл для токов соответствующей частоты. Таким обра-
зом, на Снл воздействуют помимо напряжений генераторов
только напряжения, создаваемые токами комбинационных ча-
стот в соответствующих нагруженных ветвях.
251
Замечаем, что при включении Z только в одну ветвь, соот-
ветствующую частоте (оо—(oi = <o2 (при т=—1, п=1), получает-
ся модель цепи, эквивалентная ранее рассмотренной последова-
тельной схеме с двумя генераторами и одним сопротивлением
Z2(i<o2) (см. рис. 9.3, а).
Прежде чем давать общую формулировку теоремы, выве-
дем уравнения Мэнли—Роу для случая, когда нагружена всего
лишь одна ветвь, содержащая фильтр, пропускающий частоту
fm,n==mfi-|-nfo-
Основываясь на законе сохранения энергии, исходим из ус-
ловия, что сумма средних мощностей, поступающих в элемент
Снл и отбираемых от него, равна нулю (конденсатор Снл СВО~
боден от потерь):
Po+Pi+Pm,n=O.	(9.27)
Выражение (9.25) иллюстрирует это равенство.
Выразим мощности Ро, Р} и Рт,п через энергию, выделяемую
за один период соответственно То, 1\ и Тт,п:
о	о	Э
Р0=*- = Э0/0, ^=^- = 3^ и Рт,п = -^=
= Эт>п (mf\ + я/0).
Тогда равенство (9.27) можно записать в форме
^^.„(m^-l-nfo) =fj (Э1-|- пгЭщ.п) -J-fo(^o~bw3min) =0.
Поскольку частоты fi и fo могут принимать любые значения,
то это равенство возможно, только если каждое слагаемое рав-
но нулю по отдельности:
514_^^т,л = 0, •Эо-|-П<Эт,п==О.
Переходя от энергии к мощности, получаем
Рг , тРт,п Р, , тРт,п  Q
Рв .	пРт,п Р„ пРт,п	Q
ш0 /пи, +п<в0
В общем случае при произвольном числе нагруженных вет-
вей приведенные уравнения должны быть просуммированы по
всем возможным при заданной нелинейности значениям тип,
что приводит к общей формулировке теоремы Мэнли—Роу:
оо оо	со со
у у	=0 у у	_0	(928)
miu)1 +па>0	znffl, 4- п®о	'	’
п=—оо	гг=о т=—оо
где (oi и (оо — частоты генераторов, возбуждающих систему;
Рт.п — мощность колебания частоты точ+псоо; целые числа т
и п определяют порядок комбинационного колебания.
252
Выражения (9.28) можно распространить на любые реак-
тивности — емкостные и индуктивные — при условии отсутствия
гистерезиса.
При рассмотрении систем с нелинейностью второго порядка
вычисление сумм в (9.28) не связано с какими-либо трудностя-
ми.
Поясним применение выражений (9.28) на примере рассмот-
ренной ранее цепи (см. рис. 9.3, а), возбуждаемой двумя гене-
раторами на частотах <bi и соо. Кроме этих частот на пассивном
элементе Z2(co2) создается одно комбинационное колебание с
резонансной частотой <В2=<во—<вь
В соответствии с обозначениями выражений (9.28) частоту
(Oi следует рассматривать как значение знаменателя mmi+ncoo
при т= 1 и п=0, а мощность на этой частоте Pa=Pit0. Частоте
соо соответствуют индексы суммирования т=0, п=1 и мощ-
ность Ра, —Рол- Наконец, частоте (о2=(оо—(о> соответствуют
индексы т=—1, п=1 и мощность Рт,=Р«>0-О1 = Р-1л-
Тогда внутренняя сумма в первом равенстве (9.28) дает
V тРт,п тРт,-\ . тРт,0  тР mA __
йЫ та1 +пав	та),— ы0 * /пш,4-О-шо ' znco,соо
п=—I
тРт,—\ , РтЛ гпРтД
та,—и>0	®i тио)] + со» ‘
Суммируя полученное выражение по щ, получаем первое
равенство (9.28)
( тРт,—1  Рт,0 I тРт,\ \fО-ТI I
йЫ Х/ПСО. — (Оо ' СО] ’ /71(0] +®о/ \ ' СО] ' )'
т—О
. ( Р1,-1 . р1.о 1	Р1.1 А_ Р1.-1 , /31.0__Q
“ЦсО]— СОо	СО] СО] Н-COq /	СО] — ®0 "I СО]
(Слагаемые, содержащие Рол и Pttt, отброшены.) Таким обра-
зом,
Рш,-а>Л—(соо—<щ)Н_^э «o/wi^O
или
^’m„-Wi/(tt>0-«1)=Ра,1(И2 — Р> Ml-
Аналогичным образом второе равенство в (9.28) дает
Pujto2=—PaJ <Й0-
Итак, получаем пропорции
f’../(i>i=T’a(,/(i)2=—Ра„ Мо,
совпадающие с выражением (9.28).
Из проведенного анализа видно, что с помощью нелинейной
емкости можно осуществить преобразование спектра, сопро-
263
вождающееся перекачкой энергии из одного источника в дру-
гой. Так, если coi — частота принимаемого сигнала, а соо— ча-
стота гетеродина, то можно выделить комбинационную частоту
«2 = <оо—®i с одновременным усилением мощности колебания
на этой частоте. Напомним, что при использовании резистивно-
го нелинейного элемента преобразование частоты сигнала
(см. § 8.10) не сопровождается перекачкой энергии от гетеро-
дина.
Приведенные выше соотношения будут использованы в
§ 10.8 при анализе работы параметрического усилителя.
Глава 10. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
И ПРОЦЕССЫ
10.1. ОБЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Параметрическими называются системы, в которых
хотя бы один из параметров изменяется во времени по какому-
либо заданному закону. Будем полагать, что изменение (моду-
ляция) параметра или параметров осуществляется электрон-
ным способом с помощью управляющего колебания.
Простыми примерами изменяемых параметров являются
дифференциальная крутизна нелинейного резистивного элемента
(см. § 8.1) и дифференциальные емкость и индуктивность не-
линейных энергоемких элементов (см. § 9.1), значения которых
изменяются под действием управляющего колебания.
Рассмотрим зависимость крутизны вольт-амперной характе-
ристики нелинейного элемента i(u) от управляющего колеба-
ния ey(t), наложенного на постоянное напряжение Ео (рис.
10.1,а). Используя определение крутизны (8.3), эту зависимость
можно записать в виде
S(ey) = di/du |в=дв+еу.	(10.1)
Если в пределах изменения еу(/) характеристика аппрокси-
мируется полиномом второй степени [см. (8.4)], то выражение
(ЮЛ) приводится к виду
S(ey)=ai-\-2a2ey—So+2a2ey,	(10.2)
где S0=ai—дифференциальная крутизна в точке А (рис.
10.1,а). Зависимость крутизны от управляющего напряжения
изображена на рис. 10.1,а в виде наклонной прямой линии.
254
Рис.
Пусть еу(/) =Eycos(Oy/. Тогда крутизну можно записать в
виде функции времени
S (О=So4-2a2£yCOS(£>yf=So (1-J-mcoswyO,	(10.3)
где m=2a2£y/So—коэффициент модуляции крутизны.
По отношению к слабому сигналу es(t), наложенному на
управляющее колебание еу(/), рассматриваемый нелинейный
элемент можно трактовать как линейный с переменным пара-
метром S(t), управляемым по закону (10.3). Существенной осо-
бенностью дифференциальной крутизны (а также дифференци-
ального сопротивления) является то, что этот параметр может
принимать отрицательное значение. Для этого вольт-амперная
характеристика должна на некотором участке иметь отрица-
тельный наклон (окрестность точки В на рис. 10.1,а).
Аналогично можно рассмотреть принцип электронного уп-
равления емкостью. Пусть к нелинейной емкости приложены
два колебания: сильное, которое является управляющим, и сла-
бое— сигнальное. Воспользуемся следующей аппроксимацией
вольт-кулонной характеристики нелинейной емкости:
<7(£0+еу) =q(E0)-\-bley-]-b2e2y, bi>0, Ь2>0.
Тогда дифференциальную емкость по аналогии с (10.2)
можно определить выражением
СдиФ (бу) =	|и=_£о+еу = bi + 2 62бу,
где &1 = СДиф(До) —дифференциальная емкость в точке Ео [см.
(9.4)], т. е. при еу = 0.
Если управляющее напряжение является гармоническим
колебанием ey(t)=EyCosayt, то СДНф(ву) можно представить в
виде
С(/)=СдИф(£'о) + 2&2£усозсМ=Сднф(£о) (l+mcoscoyf), (10.4)
где т=2Ь2£у/СдНф(£'о)—коэффициент модуляции емкости.
255
После такого представления можно говорить о воздействии
одного лишь сигнала es(t) на периодически изменяющуюся во
времени линейную емкость C(t), так как влияние управляющего
колебания сводится к изменению положения рабочей точки для
сигнала.
При использовании в качестве параметрической емкости ва-
рикапа можно исходить из вольт-фарадной характеристики,
представленной на рис. 10.1,6. При ц<0 эта характеристика
хорошо аппроксимируется зависимостью
С (и) = С(0) v<рк/(|и|+<рк),	(10.5)
где фк>0 — контактная разность потенциалов, зависящая от
кристалла, примесей и т. д.; и — приложенное (обратное) на-
пряжение.
Подставляя в (10.5) ]u| = |£0l+£ycos(oyf, получаем (при
£у <С<рк+ | Ео I)
СдИф (£0)
Ё~у ——
1+2(<рк + |£0 |) cOS<M
Слиф (£о) (1 ~ /П COS CD у/).
Сдиф (Е 0)
1 + т cos (Hyt
(10.5')
СдИф(£0)=С(0) 1Лрк/(фк + |£0|) — дифференциальная емкость
в точке и—Eq, т=Еу/2 (<рк +1 Ео |) < 1 — коэффициент моду-
ляции емкости.
В тех случаях, когда элемент с нелинейной вольт-кулонной
характеристикой подключается параллельно линейной постоян-
ной емкости СЛин, в выражения (10.4) и (10.5') вместо Сдиф(£0)
должна быть подставлена емкость Со=СДИф(£о)+Слин. При
этом коэффициент модуляции в (10.4) m=2b2Ey/C0, a C(t) =
= Со (14-mcos<By/).
Аналогично для варикапа (при т<С1) вместо (10.5') имеем
C(t) — Со—ACcos(oy/=C0(l—mcostoyf), m=\CICo.
По отношению к слабому сигналу (£s<c£y), подаваемому на
линейную параметрическую емкость C(t), справедливы следую-
щие соотношения между зарядом, током и напряжением:
q(t)=C(t)uc(t),	(10.6)
dq	dur	dC
^-^r=C{t)-^+uc (f)	(Ю.7)
° J J
(10.8)
256
Для линейной параметрической индуктивности L(t) имеют
место следующие соотношения, связывающие потокосцепление
Ф, напряжение uL и ток i:
Ф(/)=£(0Ф),	(10.9)
=	(Ю.10)
I (<)- Ф4VL (I) -	J uL (i) dt.	(10.11)
Отметим принципиальное отличие энергоемких (реактивных)
элементов от резистивных: дифференциальные емкость и индук-
тивность не могут быть отрицательными1. Физически это объяс-
няется тем, что увеличение напряжения на емкости не может
вызывать уменьшения заряда, а увеличение тока через индук-
тивность не может приводить к уменьшению потокосцепления.
Итак, элементы с изменяющимися во времени параметрами
R(t), C(t) и L(t) будут рассматриваться при воздействии сла-
бого сигнала как линейные; для них справедлив принцип супер-
позиции. Термины «дифференциальные» в названиях элементов
часто будут опускаться.
Системы с переменными параметрами играют очень боль-
шую роль в радиотехнике и электронике.
Можно говорить о двух принципиально различных видах из-
менения параметров:
1) управляемое изменение для осуществления различных
преобразований сигналов (модуляции, преобразования частоты,
усиления и т. д.);
2) случайное изменение, обусловленное различными физи-
ческими явлениями при передаче сигналов, например, изменяю-
щейся во времени задержкой сигнала, колебанием затухания
волн при их распространении, изменением фазовых соотноше-
ний при многолучевом распространении радиоволн, изменением
сигналов во времени из-за флюктуаций параметров тракта и
т. д.
Влияние изменений параметров второго вида, носящих ста-
тистический характер, будет рассмотрено в гл. 11. В настоящей
главе рассматриваются параметрические процессы при управ-
ляемом изменении во времени одного из параметров линейной
системы.
10.2. ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
В гл. 6 рассматривалась обработка различных сигналов в
линейных системах с постоянными параметрами. Связь между
входным и выходным сигналами в них определялась с помощью
1 Имеются в виду пассивные элементы. С помощью же усилительных
схем с обратной связью можно имитировать отрицательные С и L
17—3305
257

Sjtax'
Рис. 10.2
передаточной функции K(ico) (спект-
ральный метод) или с помощью им-
пульсной характеристики g(t) (метод
интеграла наложения).
Аналогичные алгоритмы можно со-
ставить и для линейных систем с пе-
ременными параметрами. Очевидно,
что в подобных системах функциональная зависимость между
входным и выходным сигналами в процессе передачи изме-
няется. Иными словами, передаточная функция системы зави-
сит не только от частоты, но и от времени; импульсная харак-
теристика также зависит от двух аргументов: от интервала
(t—х) между моментом приложения дельта-функции х и мо-
ментом наблюдения отклика t (как и для системы с постоян-
ными параметрами) и, кроме того, от положения интервала
(t—х) на оси времени. Поэтому импульсную характеристику
параметрической системы следует обозначать g(t, х).
Если на входе четырехполюсника с импульсной характери-
стикой g(t, х) действует произвольный сигнал s(t) (рис. 10.2),
то, основываясь на принципе суперпозиции, выходной сигнал по
аналогии с (5.24) определим с помощью выражения
•'’вых (0 = \	— g(t,x)dx.
(10.12)
Введем теперь передаточную функцию для этой же парамет-
рической системы. Для этого представим функцию s(t—х) в
виде интеграла Фурье:
со
s(/_x)=^_ J S(co)e'“<'-^c/co.	(10.13)
—со
где S(co) —спектральная плотность сигнала s{t).
Тогда выражение (10.12) переходит в следующее:
СО	оо
«вых(0=2^ i s(<°)e,w 5	^^^dxd^.
—co	—oo
Внутренний интеграл в этом выражении есть не что иное,
как передаточная функция параметрической системы
со
К (дсо, 0= § g(t, x)e-“^dx.	(10.14)
—со
Тогда определение выходного сигнала с помощью спектраль-
ного метода приобретает вид
ОО
5Вых(0 = 27Г $ s(w)K(i&, /)е/о<с/м.	(10.15)
—оо
258
Использование общего выражения (10.14) для систем с про-
извольным изменением параметров во времени обычно оказы-
вается слишком сложным из-за трудности нахождения импульс-
ной характеристики х). Задача существенно упрощается при
периодическом изменении параметра системы. Определение
функции К(«о. /), периодической во времени, рассматривается
в § 10.4.
10.3 ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ИМПУЛЬСНОЙ характеристики
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Для определения импульсной характеристики системы g (/, х)
непосредственно по заданным ее параметрам без обращения к
передаточной функции К(йо, t) необходимо использовать диф-
ференциальное уравнение системы.
Рассмотрим простейшую систему, описываемую уравнением
первого порядка
(10.16)
По определению импульсная характеристика является от-
кликом системы на дельта-функцию б(/—х), подаваемую на
вход в момент t—x (см. § 10.2). Из этого определения следует,
что если в правой части уравнения (10.16) функцию f(t) заме-
нить на 6(/—х), то в левой части y(t) можно заменить на
git, х).
Таким образом, приходим к уравнению
+	х) = б(^_х).	(Ю.17)
Так как правая часть этого уравнения равна нулю всюду,
кроме точки t=x, функцию g(t, х) можно искать в виде реше-
ния однородного уравнения (с нулевой правой частью)
щ(t)dg/dt-\-ao(t)g=O, а0=/=0,	(10.18)
при начальных условиях, вытекающих из уравнения (10.17), а
также из условия, что к моменту t=x система является «пу-
стой».
В (10.18) переменные разделяются:
4г- +	dt = 0, откуда
£=<ре_{ |а°	>	(10.19)
где
<p=g(Z, х) |1=1	(10.20)
17*
259
co
ftt-x)
Рис,. 10.4
представляет собой значение импульсной характеристики в мо-
мент t—x.
Для определения <р вернемся к исходному уравнению (10.17),
из которого видно, что в точке t=x функция g(t) должна со-
вершать скачок на величину 1/аДх) (рис. 10.3). Только при
этом условии первое слагаемое в уравнении (10.17), т. е.
ai(t)dg/dt, может образовать дельта-функцию б(/—х).
Так как при g(t, х) =0, то в момент t=x
g(t, x)\t^x=\/al(x).
(10.21)
Заменяя в выражении (10.19) неопределенный интеграл оп-
ределенным с переменным верхним пределом, получаем
(t	\
(10.22)
X	'
Для ясности переменная интегрирования вместо t обозначена
буквой и.
Используем выражение (10.22) для цепи (рис. 10.4), пред-
ставляющей собой последовательное соединение резистора с пе-
ременным сопротивлением
г (/) == Го/(1 —F^sinQ/)	(10.23)
и с постоянной емкостью Со. Под b(t—х) подразумевается им-
пульс напряжения, а в качестве определяемой функции g(t, х)
выберем заряд конденсатора q(t).
Тогда уравнение цепи в соответствии с (10.17) и (10.23)
можно записать в форме
7— Г°	+	= 6 (*—*)•	(10.24)
1+msinfiZ dt 1 Со 1	'
Подставляя в (10.22)
с, (/) ==ro/(l+msinfiO. ao(^) = 1/С0,
получаем
I	1
х 1+msinQZ	fl 4- т sin Qu , I
q (i. -*) =-r----exP — \ rC du =
'o	L * oV>o	J
1-b/nsinQZ Г t—x . tn ,
------g-----ex₽ L-Xc7+-?c^(cos£i/_CQsar)J-
(10.25)
260
10.5
Продифференцировав это выражение по t, можно найти ток
i(t). В момент t—x, когда q(t, х) образует скачок, равный
1/г(/), ток будет (1/г(/))6(/—х). Напряжение на емкости
можно определить делением выражения (10.25) на Со.
Из выражения (10.25) видно, как вариация сопротивления
по закону (10.23) влияет на характер разряда: в аргументе
экспоненты кроме —(/—х)/г0С0 (как и при постоянном сопро-
тивлении Го) появляется периодическое слагаемое (т/г0С0Й)Х
X (cos Qt—cos Qx).
Закон изменения r(t)/r0 показан на рис. 10.5, а, график
функции roq(t, х) при гоСоЙ=1 и т=0,25 — на рис. 10.5,6.
Штриховой линией показана зависимость ехр [—(/—*)/ГоСо],
соответствующая импульсной характеристике при постоянном
сопротивлении г0(т=0) и х=0.
Для более сложных цепей, описываемых дифференциальным
уравнением п-го порядка (п^>2), задача определения импульс-
ной характеристики усложняется.
10.4.	ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.
МОДУЛЯЦИЯ КАК ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ
ПРОЦЕСС
Наряду с выражением (10.14) можно дать еще одно опре-
деление передаточной функции K(ico, t), которое в некоторых
задачах позволяет избежать обращения к импульсной характе-
ристике. С этой целью используем выражение (10.15) для слу-
чая, когда входной сигнал является гармоническим колебанием
s(t) =cos соо^, а соответствующий ему аналитический сигнал
z(t) =е1аа*.
Спектральная плотность этого сигнала Z(co) =2л6(«—соо)
[см. (2.78z)]. Подставляя Z(co) вместо S(co) в (10.15), получаем
ОО
гвых(0=2^' \ 2nd (со —о0) К (f о, ^)eto'«Zto = K(/w0, 0ez“<
о
261
откуда, опуская индекс
нуль при со, находим
К («о, /)=2вых(/)/е‘“'.
(10.26)
Под zBbIx(i) в данном
выражении следует под-
разумевать аналитиче-
ский сигнал на выходе
системы при гармониче-
ском воздействии е<ш' на
входе.
Определение (10.26)
Рис. 10.6	особенно эффективно,
если передаточная функ-
ция К (ico, t) изменяется во времени по периодическому закону.
При периоде T—2n/Q функцию К («со, t) можно представить в
виде ряда Фурье:
К (ico, t) =Ko(i<o)+Ki(ico)cos(fii+£i) +
+ K2(ico)cos(2Q/+£2)+ ...,
(10.27)
где Ko(ico), Ki(ico), .... — не зависящие от времени коэффици-
енты, в общем случае комплексные, которые можно истолко-
вать как передаточные функции некоторых четырехполюсников
с постоянными параметрами. Произведение Kn (ico) cos (nQZ-(-£„)
можно рассматривать как передаточную функцию каскадного
соединения двух четырехполюсников: одного с передаточной
функцией K„(ico), не зависящей от времени, и второго с переда-
точной функцией cos(nQ/-|-gn), изменяющейся во времени, но
не зависящей от частоты со входного сигнала.
Основываясь на выражении (10.27), любую параметричес-
кую систему с периодически изменяющимися параметрами
можно представить в виде эквивалентной схемы, изображен-
ной на рис. 10.6.
В соответствии с (10.26) при входном сигнале s(i)=coscoi,
z(t)—eiat, сигнал на выходе
2вых (i) = К(ico, i)е’“‘ = Ко(ico)e’e<-f-Ki (ico)e’“*cos(Qi-}~^i) Ч-
+ К2(1со)е,ш'со8(2Й/+^2)+ ... =Ko(<o)ei(“'+’J+Ki(co)e‘<“'^-»X
Xcos(Q/+g1)+K2(co)e<(“'^)cos(2Q/+g2) + ...	(10.28)
Здесь cp0, epi, <p2, ... — ФЧХ четырехполюсников Ko(ico), Ki(ico),
K2(ico), ...
Переходя к вещественному сигналу на выходе, получаем
262
•$вых (О Re ^вых (О —	(®) COS (о/ - фо) -|-
+ Кх (о) cos (со/ + ф!) cos (QZ 4- g,) 4- к2 (со) COS (cof + ф2) X
X cos (2Ш 4~ £2) + • • • = Ко (w) cos (cof 4" Фо) 4"
со
+42 ^n(“){cos[(co4-«Q)t4-ф„4-g„]4-
Л—1
4-cos [(со— лй)/4-фп_у).	(10.29)
Этот результат указывает на следующее свойство системы
с переменными параметрами: при изменении передаточной
функции по любому сложному, но периодическому закону с
основной частотой Й гармонический входной сигнал с частотой
со образует на выходе системы спектр, содержащий частоты о,
<о±й, <о±2Й и т. д.
Возникновение в параметрической системе колебаний с
частотами 1о±пЙ есть не что иное, как процесс переноса спект-
ра низкочастотного управляющего (модулирующего) колебания
с основной частотой Й(Й<Сю) в область высоких частот, т. е.
процесс получения AM колебания (процесс модуляции).
Для пояснения сказанного представим передаточную функ-
цию параметрического четырехполюсника в соответствии с
определением (10.26) в виде отношения выходного AM коле-
бания к входному несущему:
К(*Ч. 0= Л[1 + *	е-- =Ко[14-feAM3(0L (10-30)
оС
где Лам — коэффициент пропорциональности, связывающий
относительное изменение амплитуды колебания с модулирую-
щим сообщением.
Как и следовало ожидать, передаточная функция в данном
случае не зависит от частоты соо и соответствует усилителю, у
которого коэффициент усиления изменяется пропорционально
величине s(t).
В § 8.5 рассматривался способ получения AM колебания,
основанный на изменении амплитуды импульсов тока в нелиней-
ном резонансном усилителе. По существу этот способ можно
рассматривать как пропускание несущего колебания через па-
раметрический четырехполюсник с передаточной функцией
(10.30), так как изменение амплитуды импульсов тока, а следо-
вательно, и средней крутизны приводит к требуемому измене-
нию коэффициента усиления.
Таким образом, устройство модуляции, использующее сугубо
нелинейный режим активного элемента (транзистора), можно
рассматривать как классический пример линейной параметри-
ческой системы.
263
Режим слабого колебания несущей частоты, когда диффе-
ренциальная крутизна нелинейного элемента определяется вы-
ражением (10.3), также обеспечивает реализацию передаточ-
ной функции (10.30). В этом случае нелинейный резонансный
усилитель на схеме рис. 8.14 должен быть заменен на линейный
резонансный усилитель.
Аналогичным образом могут быть рассмотрены другие па-
раметрические процессы, в которых происходит мультиплика-
тивное «сложение» колебаний (преобразование частоты, син-
хронное детектирование).
Отметим, что в линейной параметрической системе при по-
даче на вход негармонического сигнала не существует никако-
го взаимодействия между его спектральными компонентами
(принцип суперпозиции) и в системе не возникает частот вида
паи+тшг, где Ю] и сог—различные частоты входного сигнала.
Процесс угловой модуляции также использует параметри-
ческие устройства. Покажем это на примере передаточной
функции линии задержки т3 (0 = To+Tmsin Q/.
Пусть на вход этой линии задержки, передаточная функция
которой
К (гео, 0 = е-/отз<'\	(10.31)
подано несущее колебание е (t) = cos соЛ (соответственно
z \f) = Eоег“<>'] (рис. 10.7).
Основываясь на (10.26), определяем аналитический сигнал
на выходе
^вых (O=£,oeto*'K (i«0, 0 = £'0е/“,(,-т*-т'»’,пе°,	(10.32)
откуда следует
^вых (о = Re[zBbix (O] = ^oc0s[(0o (t—То)—COoTmSin Q/].	(10.33)
Получилось ФМ колебание с индексом модуляции /п=соотт
и со спектром, аналогичным выражению (3.31). Таким образом,
коэффициенты ряда Фурье для функции К (io, /) в данном при-
мере совпадают с бесселевыми функциями /п(®отто) (см. § 3.6).
Осуществление угловой модуляции рассматривается в сле-
дующем параграфе.

Рис. 10.7
264
10.5.	РЕАЛИЗАЦИЯ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ
В автогенераторах, работающих на частотах не выше не-
скольких десятков мегагерц, широко используются методы
угловой модуляции, основанные на прямом изменении резонан-
сной частоты колебательной системы генератора за счет
управления величиной емкости или индуктивности контура
Так как резонансная частота колебательного контура непосред-
ственно определяет частоту генерации, то под угловой модуля-
цией в автогенераторе будем подразумевать частотную.
Существует ряд способов управления резонансной частотой
колебательного контура: электронные, электромагнитные и др.
Выбор того или иного способа зависит от основных парамет-
ров модуляции: относительного изменения частоты Дсо/(ор и
скорости изменения частоты. Последний параметр характери-
зуется спектром модулирующего (управляющего) колебания.
Широко распространенным способом электронного управ-
ления резонансной частотой колебательного контура является
подключение к нему варикапа, емкость которого зависит от
напряжения, приложенного в направлении запирания. Упро-
щенная схема автогенератора с варикапом изображена на рис.
10.8, а. На схеме замещения колебательной системы автогене-
ратора (рис. 10.8,6) Со обозначает среднюю емкость варикапа
(в отсутствие модулирующего напряжения), а ДС(/)—вари-
ацию емкости, пропорциональную модулирующему напряжению
е0(/). Сопротивление перехода обозначено/?, а объемное сопро-
тивление толщи полупроводника г.
При заданных значениях средней частоты д»о и частотного
отклонения До требуемое изменение емкости ДС нетрудно
найти с помощью очевидных соотношений
(оо—1/V LkCko, (Оо-|-Д(1)= 1/ V Ак(Ско-|-ДС) =
=________ 1__________ <>„_______
угдиско 1 4- ДС/Ско У^+ДС/Ско
где Ско=Ск+Со—средняя емкость контура.
Рис. 10.8
265
Разделив последнее выражение на соо, получим
1 -f-Д со/соо= 1/V 1+ДС/Ск0,
откуда
АС = _2Д<р/соо + (Дсо/соо)8	Л П W
Ско	(1 Ч-Дсо/Юо)2	'	'
В общем случае требуемое относительное изменение емкости
связано с заданным относительным изменением частоты нели-
нейной зависимостью (10.34). Однако необходимость использо-
вания этого соотношения возникает лишь при очень глубокой
частотной модуляции. В ряде применений ЧМ относительное
изменение частоты весьма невелико. Например, при передаче
речи и музыки на УКВ значение Дсо/соо не превышает несколь-
ких долей процента. В подобных случаях выражение (10.34)
можно упростить, если пренебречь значением Дсо/соо по сравне-
нию с единицей:
ДС/Ско^—2Ды/ыо.	(10.35)
Таким образом, при малых относительных изменениях Дсо и
ДС связаны линейными соотношениями и для получения ли-
нейной ЧМ емкость нужно изменять по закону функции ea(t).
Недостатком варикапа в схеме частотного модулятора яв-
ляется зависимость сопротивления перехода R от амплитуды
внешнего напряжения. При относительно глубокой ЧМ, требу-
ющей значительных амплитуд модулирующего напряжения,
эта зависимость приводит к существенному изменению вноси-
мого в контур автогенератора затухания и в конечном счете
к паразитной AM.
Аналогично, изменением резонансной частоты колебательно-
го контура, но включенного не в схему автогенератора, а в схе-
му резонансного усилителя, осуществляется фазовая модуля-
ция, т. е. реализуется передаточная функция линии задержки
(10.31). В этом случае при подаче на вход усилителя колебания
несущей частоты изменение резонансной частоты контура
Юр влияет лишь на фазу выходного колебания. Фазовый сдвиг
легко определяется с помощью выражения
e(0 = ^ctg2^^Q3KB^arctg^) Q3KB,	(Ю.36)
где Дсо(О=сор(О—соо- Замена в знаменателе а>Р(/) на &>о обыч-
но допустима из-за малости относительного изменения резо-
нансной частоты <ор при модуляции.
Недостатком рассмотренного способа, как следует из
(10.36), является малый диапазон изменения 0(/) {0тах=^20°),
при котором обеспечивается линейная связь между 0(/)
и Дсо (t).
Для устранения этого недостатка после ФМ модулятора
можно осуществить многократное умножение частоты, что при-
266
ведет к увеличению в такое же число раз индекса модуляции.
Такой же способ пригоден и для увеличения девиации частоты
ЧМ колебаний (см. § 8.2).
Проблема получения больших значений Отах упрощается в
диапазоне СВЧ при использовании приборов типа лампы бегу-
щей волны, в которых время пролета электронов можно изме-
нять в некоторых пределах, изменяя потенциал на соответству-
ющих электродах лампы. При заданной и неизменной частоте
возбуждения на входе лампы too изменение времени пролета
электронов на величину Дт эквивалентно изменению фазы вы-
ходного колебания на угол 6(/)=<исДт(0- Таким способом
удается получить весьма большие значения бтах, измеряемые
десятками и более радиан.
10.6.	ПРИНЦИП ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО
УСИЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
В § 10.1 было показано, что по отношению к сигналу, ма-
лому по сравнению с управляющим колебанием, нелинейная
емкость вместе с источником управляющего колебания может
быть замещена линейной, изменяющейся во времени емкостью.
Отвлекаясь от способа осуществления модуляции емкости (или
индуктивности), можно говорить об обмене энергией между
источником сигнала и энергоемким параметрическим элемен-
том.
Наглядным примером обмена энергией при изменении ем-
кости является хорошо известная модель с механическим раз-
движением пластин заряженного конденсатора. Пондемоторная
сила электрического поля конденсатора стремится сблизить
пластины (независимо от полярности напряжения); следова-
тельно, для их раздвижения, т. е. для уменьшения емкости,
необходимо произвести работу, которая увеличивает запас
энергии конденсатора. При сближении пластин, наоборот,
часть энергии поля конденсатора преобразуется в механиче-
скую энергию.
Рассмотрим высокодобротный колебательный контур, со-
ставленный из индуктивности L=const и емкости C(t), изменя-
ющейся (с помощью варикапа) по скачкообразному закону,
представленному на рис. 10.9. Допустим, что контур возбуж-
дается сигналом e(t) =Ecos at, частота которого со совпадает со
средним значением резонансной частоты контура <bp=
*=\/YLCq, а последняя вдвое меньше частоты изменения
C(t). Таким образом, полный цикл изменения емкости совер-
шается за время, равное половине периода напряжения на
емкости uc{t).
Напряжение на конденсаторе uc(t), близкое к гармониче-
скому, показано на нижней части рис. 10.9. Фаза изменения
C(t) подобрана с таким расчетом, чтобы емкость уменьшалась
267
кости C(t), не превышает
в моменты перехода uc(t) через
амплитудные значения, а увеличи-
валась в моменты прохождения че-
рез нуль. В моменты спада C(t)
напряжение uc(t) получает прира-
щение, поскольку заряд конденса-
тора не может мгновенно изме-
ниться.
Это означает, что энергия элек-
трического поля в конденсаторе
периодически получает прираще-
ние, а это эквивалентно увеличе-
нию средней мощности сигнала.
Если прирост энергии, обуслов-
ленный одним скачком (вниз) ем-
расход энергии за время Т, то пара-
метрическая цепь устойчива, в противном случае возникает па-
раметрическое возбуждение колебаний. Таким образом, регу-
лируя относительную величину АС/С0, т. е. глубину модуляции
параметра С, можно осуществить как параметрическое усиле-
ние сигнала, так и параметрическую генерацию.
Реализация скачкообразного изменения C(t) связана с тех-
ническими трудностями и в практике не применяется. Значи-
тельно проще модулировать емкость по гармоническому зако-
ну. Необходимо лишь соблюдать основной принцип: уменьшать
емкость в области максимальных значений заряда (напряже-
ния) конденсатора и увеличивать в области минимальных зна-
чений.
Дополнительная мощность сигнала поставляется («накачи-
вается») генератором напряжения, управляющего значением
C(t). В связи с этим его часто называют генератором накачки,
а управляющее колебание — напряжением накачки.
Способ получения периодически изменяющейся емкости по-
ясняется схемой на рис. 10.10, а. К нелинейной емкости Снл
подводится управляющее напряжение накачки eH=£Hcos((0H^+
+7), наложенное на постоянное напряжение Ео. Фильтр Ф|
преграждает путь току частоты сон в цепь источника сигнала, а
Рис. 10.10
268
фильтр Ф2 — току частоты сигнала © (и близких к © частот) в
цепь накачки.
Наложим условие Е<^Е„. Тогда, как указано в § 10.1, мож-
но пренебречь изменением емкости под действием сигнала и
считать, что закон изменения емкости определяется Одним
лишь управляющим напряжением. Запишем этот закон в виде
С (/) ~С0[1—mcos (©Н/-И )]=
= С0—ДСсо8(шн^-И), га<С1.	(10.37)
где
АС=тС0;	(10.38)
•у — начальная фаза.
На рис. 10.10,6 представлена эквивалентная линейная па-
раметрическая схема, на которой цепь накачки не показана.
Определим полный ток через емкость C{t) с помощью обще-
го выражения (10.7):
г(/) =[Со—ACcos(©H^+Tf)][—©£sin ш^]+
+©HAC£cos ©^sin (©н^+7) =—©C0£sin©/+
~Ь-1/2 (oj н “I-©) AC£sin[(©H+©)
+‘/2 (©н—ы) AC£sin[ (©н—©]/+7].	(10.39)
Частота ©н+©~3© в полосу прозрачности фильтра Ф\ не
попадает; следовательно, ток в цепи источника сигнала являет-
ся суммой двух токов: на частоте © и на комбинационной ча-
стоте ©н—©, близкой к © (поскольку, ©н~2©). Первый из этих
токов, сдвинутый по фазе относительно e(/)=£cos©/ на угол
90°, не может создавать активную проводимость — ни положи-
тельную, ни отрицательную. С точки зрения получения эффек-
та усиления интерес представляет комбинационное колебание
разностной частоты ©н—ы, особенно в частном случае ын=2©.
При этом ток на частоте ©
лИн_ю(О=1«>(О=+1/2(сон—©)AC£sin[(©H—©)*-Н]=
= +*/2<oAC£sin (©/+7) = */2fi»AC£cos[©^-f-7—л/2].	(10.40)
Амплитуда этого тока Ia=‘1/2d>^.CE.
При ЭДС источника e(/)=£cos©f и токе определяе-
мом выражением (10.40), отдаваемая источником мощность
Г,	1	~	£2
£и= —COS  2'J = '2'toACT sln'l = G3K;y
где символом
G3K = -2-c°sh—^-) = —2~ sin-Y	(10.41)
обозначена эквивалентная активная проводимость, учитываю-
щая расход мощности источника сигнала.
269
Таким образом, приходим к схеме замещения (рис. 10.11, б),
соответствующей параметрической цепи, показанной на
рис. 10.11,а. Комбинационная частота он+со=3со в этой схеме
не учитывается, а частота сон—со совпадает с частотой со. В ре-
зультате по отношению к источнику сигнала параметрическая
схема (см. рис. 10.11, а) приводится к схеме с постоянными па-
раметрами. Периодическое изменение C(t) с частотой й)н=2ь>
приводит лишь к появлению активной проводимости бэк, шун-
тирующей постоянную емкость Со.
Рассмотрим три следующих характерных режима: 7=0,
л/2 и —л/2 (рис. 10.12). В первом случае (7=0) C(t) модули-
руется таким образом, что изменение запаса энергии в емкости
за период колебания 7’Шн = 2л/й)н (а также за период 7\>=2л/й>)
равно нулю. При этом Оэк=0.
Во втором случае (7=л/2) максимальная скорость нараста-
ния C(t) имеет место в моменты, когда напряжение проходит
через максимумы; при этом часть энергии, запасенной в емко-
сти, переходит в устройство, изменяющее емкость. По отноше-
нию к источнику ЭДС это равносильно шунтированию постоян-
ной емкости Со положительной активной проводимостью G3K=
= (m/2)coCo.
Наконец, в третьем случае, при 7=—л/2, когда C(t) убыва-
ет в области е(/)=£ и нарастает в области e(t)=Q, активная
проводимость отрицательна: бэк=—(т/2) со Со.
Этот результат согласуется с результатами приведенного
выше качественного рассмотрения принципа параметрического
усиления. Отрицательная проводимость бэк учитывает приток
энергии от генератора накачки в цепь, содержащую С(/).
В данном примере с электронно-управляемой емкостью при-
270
a)
б)
Рис. 10.13
рост энергии, запасаемой в емкости, происходит за счет рабо-
ты, совершаемой генератором накачки при уменьшении емко-
сти (преодоление сил электрического поля при движении элек-
тронов и дырок через потенциальный барьер в области запира-
ющего слоя).
Результаты, аналогичные полученным выше для C(t), не-
трудно вывести и для периодически изменяющейся индуктивно-
сти L(t).
Исходя из схемы на рис. 10.13, а при изменении индуктив-
ности по закону
L (0 = Lol 1 +«cos (ioh^+y)]
(10.42)
находим ток с помощью соотношения (10.11) (при т<С1)
1 & -Гу) в (0	=	+ mcoS«oH/ + T)] Е Sfn
^711 — cos (+ >()] sin at = E {A- sin cof —
2^-sin [((o+oH) * + ?]—~~ sin [(co — wH)f —
При <oH = 2(o ток на частоте co
ia^==Ei;sin(,)t + E2^rB sin(o/ + 7) =
==Еы1Г Sino)t + E COS
cub Q	ZCOb о
271
Первое слагаемое никак не влияет на расход
второе, сдвинутое относительно ЭДС сигнала на
определяет расход мощности
п ___ т Ег ( П \ т Ег .	Ег
2соАо 2 C0S ( 2 "Кд 2<oL0 Т Sln — ^эк Т’
мощности, а
угол п/2—у,
где
tn.
Sin
— эквивалентная активная проводимость.
Таким образом, при сон=2со получается схема замещения,
изображенная на рис. 10.13,6. Фазовые соотношения между
e(t) =Ecos at, i(t) = (E/aL0) sin at и индуктивностью L(t), из-
меняющейся по закону (10.42), видны из рис. 10.13, в, построен-
ного для у=—п/2. В данном случае проводимость G3K отрица-
тельна (—m/2aL0), если при прохождении тока i(t) через ам-
плитудные значения L(t) убывает, а при прохождении его че-
рез нуль L (t) возрастает. Энергия вводится в цепь за счет
работы, совершаемой устройством накачки при уменьшении ин-
дуктивности, обтекаемой током (преодоление сил магнитного
поля, стремящихся сблизить витки и увеличить индуктивность
катушки).
10.7. ОДНОКОНТУРНЫЙ
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ
Из предыдущего параграфа следует, что введением в коле-
бательный контур переменной емкости или индуктивности мож-
но при соответствующем законе изменения параметра осущест-
влять усиление колебаний. Простейшая схема одноконтурного
параметрического усилителя с переменной емкостью изображе-
на на рис. 10.14, а. Нелинейная емкость СНл находится под
воздействием двух напряжений: сигнального с частотой со и
накачки с частотой сон.
Рассмотрим сначала режим работы усилителя при точном
соблюдении условия <о = сон/2. В этом так называемом синхрон-
ном режиме комбинационная частота сон—со совпадает с часто-
Рис. 10.14
272
той w, так что в контуре су-
ществует ток только на часто-
те со. Схема замещения для
синхронного режима пред-
ставлена на рис. 10.14,6 для
случая у= —л/2, соответ-
ствующего отрицательной ве-
щественной проводимости G3jt.	Рис. 10.15
Символом Со обозначена
сумма емкости конденсатора контура Ск и средней емкости ва-
рикапа (соответствующей постоянному напряжению Ео).
Для упрощения анализа источник ЭДС сигнала e(t), вклю-
ченный в контур последовательно, заменен на рис. 10.15 гене-
ратором тока, подключенным параллельно контуру и шунтиро-
ванным внутренней проводимостью Gt. Проводимость нагрузки
GH включает в себя также проводимость, учитывающую потери
мощности в элементах контура. Шунтирование проводимости
нагрузки G„ отрицательной проводимостью G3K= (юДС/2)Х
Xsin-Y=—оАС/2=—mwCo/2 уменьшает суммарную проводи-
мость и таким образом повышает добротность контура. Полу-
чается эффект усиления.
Составим выражение для коэффициента усиления в виде
отношения мощности сигнала на выходе усилителя к макси-
мальной мощности, которую можно получить при отсутствии
параметрической модуляции. Как известно, максимум мощно-
сти, выделяемой в проводимости нагрузки (при отсутствии уси-
ления), достигается при GH=G,-. При этом мощность сигнала
Р 1 р	1/2
" 2 4GH	2 4G\
(/— амплитуда тока генератора).
При подключении дополнительной проводимости G3K напря-
жение на выходе будет £=/(G,+GH+G3K) =//(2GH+GaK), а
мощность, выделяемая в проводимости нагрузки,
Р/=4 £	-4 0.Е5 - 4 G. pCH4Cst). =
IP 1
2 4GH (1 + G3k/2Gh)2
Отсюда коэффициент усиления мощности
Kp=Ps7P.= 1/(1+G3K/2Gh)2.	(10.43)
Напомним, что G3K — отрицательная величина.
Из этого выражения непосредственно вытекает условие
устойчивости параметрического усилителя (в синхронном ре-
жиме)
|G3K|<2GH или mtoCo/2<2GH,	(10.44)
18—3305
273
откуда критическое значение коэффициента параметрической
модуляции
^1кр=2 (2GH/<jjC0) —2/QaK,	(10.45)
где Q9k — добротность контура с учетом G{ и Ga=Gt.
Заметим, что при G ЭК GH, т. е. когда параметрическая
модуляция компенсирует потери только в GK, усиление по мощ-
ности равно всего четырем.
На практике при усилении реального сигнала, фаза которо-
го неизвестна, а частота может изменяться в некоторой поло-
се, соблюдение условий синхронного режима невозможно.
Пусть частота сигнала со будет неточно сон/2, а со=а»н/2-]-й,
где Й — небольшое отклонение, не выходящее из полосы про-
зрачности колебательного контура. Тогда комбинационная ча-
стота сон—<в = &)н—(сон/2-|-Й) =<Вн/2—Й. При этом в полосе про-
пускания контура оказываются два колебания: одно с частотой
сон/2+й (полезный сигнал), а другое с частотой сон/2—Й (ком-
бинационная частота).
Соотношение между амплитудами указанных двух колеба-
ний зависит от глубины модуляции емкости т и величины й.
Подробный анализ, который здесь не приводится, показывает,
что при значениях т, близких к критическому [см. (10.45)], и
относительно малой расстройке Й амплитуды обоих колебаний
примерно одинаковы. Возникают биения и связанные с этим
последствия (пульсация амплитуды и изменения фазы резуль-
тирующего колебания). Можно, правда, показать, что даже при
расхождении частот со и сон/2 средняя за период биений мощ-
ность колебаний больше, чем при отсутствии параметрического
воздействия, т. е. что и в этом, так называемом бигармониче-
ском, режиме имеет место усиление сигнала. Однако подобный
режим работы усилителя не всегда приемлем.
От недостатков, присущих одноконтурному параметрическо-
му усилителю, свободна схема, рассматриваемая в следующем
параграфе.
10.8. ДВУХКОНТУРНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ
УСИЛИТЕЛЬ
Принципиальная схема двухчастотного или, как его часто
называют, двухконтурного усилителя изображена на рис. 10.16.
Первый, сигнальный, контур настраивается на центральную ча-
стоту спектра сигнала (резонансная частота g>pi«coi), а вто-
рой, «холостой», контур — на частоту сор2, достаточно сильно
отличающуюся от сор1.
Частота накачки выбирается из условия
(£>н = Ыр14-(0р2-
(10.46)
274
Рис. 10.16
При выборе частоты (оР2 исходят из условия, что частота
сигнала cot находится вне полосы прозрачности вспомогатель-
ного контура. Но комбинационная частота (О2=(он—сох должна
находиться вне рабочей полосы сигнального контура.
При выполнении этих условий на сигнальном контуре будет
существовать лишь одно напряжение частоты (оц а на вспомо-
гательном контуре — частоты <02. Считая амплитуды Ех и Е2
этих напряжений малыми по сравнению с Еи, можно заменить
нелинейную емкость Снл совместно с генератором накачки ли-
нейной параметрической емкостью C(t), изменяющейся с ча-
стотой сон, как это было сделано в § 10.6. Тогда под воздей-
ствием напряжения сигнала (/) =Eicos (cM-J-Oi) в цепи пере-
менной емкости С(/) = С0—ACcos(&>h^-|-0h) возникает (помимо
других составляющих, не представляющих в данном случае ин-
тереса) ток
4он—И1 (0 =1'ы2 (0 =1/г (сок—(01) Д CEiSinKcoH^+OH— ((Oi^-|-0i)]=
==,/2(O2ACE1sin|Gj2/+(0II—0i)]=/m« sin[(o2/+(0H—Gi)] (10.47)
[см. 10.39)]. Здесь 1саг=*/2Ы2^СЕ1.
На сопротивлении холостого контура £2(1(02) =Z2((02)ei’’z
ток 4)! (0 создает нападение напряжения
Ло2^2 ((02) sin ((02^+Он—01 -Ьфг) = ЦъШъ&СЯъ (<0г) Е jX
Xsin ((02/4-Он—0]-(pz).
Эквивалентную ЭДС, воздействующую на емкость C(t), за-
пишем, как и в § 9.3 [см. (9.21)], в форме
(/) я=лЕ2с05 ((о2/4“02)==	/2Ы2Д CZ2 ((02) EiSin ((02^4“ Он—014“
4"фг) ==Е2СО5[(02^_]"вн-614“ф*"Ья/2],
где E2=1/2C02ACZ2((02)E'i.
Комбинационный ток н_Ю2(0> обусловленный этой ЭДС,
по аналогии с выражением (10.47) будет
1<»н—(0	(/) ==1/г ((Он—(Ог) ДCE2sin[(<OH—со2) t-\-
+0н—(Он—01+фг+л/2)]=1/2(О1ДСЕ2зт((О1/ + 01—ф2—л/2) =
=—УгсцДСЕгСОЭ ((01/4-01—<pt).	(10.48)
Заметим, что фаза накачки 0Н и частота ан в выражении
(10.48) отсутствуют.
18*
275
С учетом приведенного выше соотношения для Е2 последнее
равенство можно записать в форме
й, (0 =— (АС/2)2(о 1 <o2Z2(со2)£tcos(coif4-61—<pz).
Как видим, по отношению к сигнальному контуру нелиней-
ная емкость Снл вместе с генератором накачки и холостом кон-
туром может быть замещена проводимостью, учитывающей
найденный ток ia, (/).
Комплексная амплитуда этого тока
1<о, =—(AC/2)2G)tG)2Z2((o2)e—.
Комплексная амплитуда напряжения e1(f)=£,1cos(<aif4-6i)
на сигнальном контуре Е^Е^е е«. Следовательно, проводи-
мость, шунтирующая сигнальный контур, будет
I	/ лг-\2
ОЭк(^) = -^-=-	^2Z2{^e~^ =
= - Ы102Z2* (ш2) = - G)lto2Z2* (iio2),	(10.49)
где Z2* (ico2) =Z2((o2)e_<'I'z— функция, комплексно-сопряженная
функции Z2(ico2).
При резонансе, когда <oi==a)pi и, следовательно, (о2=юР2, со-
противление вспомогательного контура будет /?н2==1/бн2 и
формула (10.49) принимает вид
бэк (ыр1) =— (mCo/2)2<Oi<o27?H2.	(10.50)
На схеме замещения, представленной на рис. 10.17, эле-
менты, расположенные слева от штриховой линии, соответст-
вуют сигнальному контуру усилителя, а справа — нелинейной ем-
кости вместе со вспомогательным контуром. Полученная схема
по существу совпадает со схемой одноконтурного усилителя (см.
рис. 10.15). Различие лишь в способе определения эквивалент-
ной отрицательной проводимости.
Подробности, связанные с определением комбинационных
колебаний 1ин-и,(0 и	приведены с целью привлечения
внимания к следующим преимуществам двухконтурного усили-
теля:
а)	эквивалентная отрицательная проводимость, а следова-
Риц. 10.17
Рио. 10.18
276
тельно, и усиление мощности не зависят от фазы напряжения
накачки;
б)	не требуется соблюдение определенного соотношения меж-
ду частотами со, и ын.
Оба этих свойства двухконтурного усилителя объясняются
тем, что полная фаза комбинационного тока i<oH—<о2в выражении
(10.48), определяющая характер эквивалентной проводимости
6Э1(, по существу является разностью фаз напряжений накачки
ен(0 и е2(0- Первая из них имеет вид (<oHt+0H), а вторая
(®2^+0н—6,) (без учета <р2 и л/2). При образовании разности
0и выпадает, а разностная частота сон—со2 в любом случае сов-
падает с частотой сигнала (поскольку со2=соп—©J.
Коэффициент усиления двухконтурного усилителя при ре-
зонансной частоте ((щ = <oPi) можно определить из выражения,
аналогичного формуле (10.43):
Xp=I/(1+G8K/2Gb1)2,	(10.51)
где GaK вычисляется по формуле (10.49), a GHi — проводимость
нагрузки сигнального контура.
При отклонении частоты сигнала coj от резонансной частоты
Wpi и соответственно частоты ©г от ©p2 модуль сопротивления
Z(<o2) уменьшается, что приводит к уменьшению модуля G3K и,
следовательно, коэффициента усиления мощности.
Основываясь на выражении (10.49), можно вычислить АЧХ
и полосу пропускания двухконтурного усилителя.
Условие устойчивости усилителя в данном случае можно за-
писать в форме
I GaK | = (/ZZCo/2)2OJ]<jJ27?H2<2GH|
или
tn <2 V2
Рассмотрим энергетический баланс в двухчастотном усили-
теле в зависимости от соотношения частот (щ и ю2. Пусть за-
даны частота ей и мощность Ps сигнала на входе усилителя.
Так как с повышением вспомогательной частоты ©г модуль от-
рицательной величины G3K увеличивается [см. (10.49)], то КР
также растет [см. (10.51)]. Мощность сигнала на выходе уси-
лителя Pai—KPPs.
Для определения требуемой мощности генератора накачки
Р©в, а также мощности РШ1, выделяемой во вспомогательном
контуре, воспользуемся теоремой Мэнли-Роу. На основании
выражения (9.26) можно записать следующие соотношения:
р  °! р	р  р  р ,р
* <01  ' <0t > '<1)	,,, ' <о1 ' В|Т'<1>Г
UJj	п
(Знак минус в последнем выражении опущен, так как оче-
видно, что эта мощность отбирается от генератора накачки.)
277
Соотношение мощностей Р„ Ры,, Рш, и Р, иллюстрируется
рис. 10.18. Из этого рисунка видно, что при <b2>g>i на вспомо-
гательном контуре выделяется мощность, большая, чем на
сигнальном. Таким образом, хотя с повышением частоты <1)2
мощность Pcoi и растет, распределение мощности, отбираемой
от генератора накачки, изменяется в пользу частоты <о2. Не-
смотря на это, часто работают в режиме <b2>coi, так как при
усилении слабого сигнала основное значение имеет не степень
использования мощности Ра , а отношение мощности PW1 к Ps,
т. е. Кр.
Для иллюстрации количественных соотношений в двухчас-
тотном параметрическом усилителе приведем следующий при-
мер.
Пусть требуется осуществить усиление сигнала на частоте
fi = 30 МГц при ширине спектра 2Af0= 100 кГц.
Исходные данные первого (сигнального) контура: характе-
ристическое сопротивление pi=100 Ом; внутреннее сопротив-
ление источника сигнала, шунтирующее контур, 7?<=5 кОм;
сопротивление нагрузки /?н1=5 кОм-.
Исходные данные второго (холостого) контура: резонансная
частота /р2=60 МГц; характеристическое сопротивление р2=
= 50 Ом; сопротивление нагрузки 7?н2=5 кОм.
Прежде чем вычислять требуемую вариацию емкости ва-
рикапа, найдем предельную проводимость G3K, которую можно
подключать к сигнальному контуру при заданной ширине
спектра сигнала 2Af0.
Максимальная добротность сигнального контура (при
шунтировании отрицательной проводимостью), очевидно, не
должна превышать
Qi^fi/2 А/о=30 • 10е/100 • 103 = 300.
При pi = 100 Ом результирующая проводимость, шунтирую-
щая первый контур, должна быть не менее
G,+GHi+G8K>l/piQi,
откуда
G^l/piQ,— (Gi+GBi) = 1/piQi—2GH1=—367-10-6 См.
Подставляя значения G3K, соь си2 и /?н2 в (10.50), находим
тС0/2=АС/2= V ] G3K | /<ою>2/?н2 ~ 3 - Ю"12 Ф,
откуда
АС=6-10~12 Ф = 6 пФ.
Требуемое значение АС можно реализовать с помощью
обычного варикапа. Существующие в настоящее время вари-
капы допускают, например, изменение емкости до 30 пФ.
278
Коэффициент усиления мощности вычислим по формуле
(10.51):
A'o-l 1(]	367-Ю-6 \2~147
ЛР—1/\	2-200- 10~в ] ~ 1	'
В заключение отметим основные преимущества и недостат-
ки параметрического усилителя.
Важным преимуществом параметрического усилителя яв-
ляется относительно низкий уровень шумов по сравнению с
транзисторными или ламповыми усилителями. В § 7.3 отмеча-
лось, что главным источником шумов в транзисторном и лам-
повом усилителях является дробовой эффект, обусловленный
хаотическим переносом дискретных зарядов электронов и ды-
рок (в транзисторе). В параметрическом усилителе аналогич-
ный эффект, имеет место в приборе, осуществляющем модуля-
цию параметра. Например, изменение емкости варикапа про-
исходит за счет перемещений электронов и дырок. Однако ин-
тенсивность потока носителей электричества в варикапе во
много раз меньше, чем в транзисторе или лампе. В последних
интенсивность потока определяет непосредственно мощность
полезного сигнала, выделяемого в цепи нагрузки, а в варика-
пе — всего лишь эффект модуляции параметра. Ослабление
влияния дробового эффекта столь значительно, что в парамет-
рическом усилителе уровень шумов определяется в основном
тепловыми шумами. В связи с этим часто применяют охлажде-
ние параметрического диода до 5 ... 10 К.
Недостатком параметрического усилителя является слож-
ность развязки цепей накачки и сигнала.
В схеме, представленной на рисунке 10.14, а, характерной
для параметрических усилителей метрового диапазона, раз-
вязка осуществляется с помощью разделительных конденсато-
ров и блокировочных дросселей. В диапазоне СВЧ, на кото-
рых особенно широко применяются параметрические усилите-
ли, приходится прибегать к весьма сложным конструкциям, со-
четающим в одном узле двухчастотную колебательную цепь в
виде полых резонаторов, варикап и специальные элементы раз-
вязки (циркулятор, направленный ответвитель, поглотитель, за-
градительный фильтр).
10.9. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ
КОЛЕБАНИЙ
Из предыдущих параграфов следует, что параметрический
усилитель, в котором глубина модуляции т нелинейной ем-
кости или индуктивности доводится до значения, превышающего
некоторое критическое ткр, превращается в генератор. Подобные
генераторы называются параметронами. Простейший
параметрон представляет собой колебательный контур, один из
279
элементов которого'—нелинейная емкость или индуктивность —
подвергается периодическому изменению во времени с помощью
генератора накачки.
Можно наметить следующую картину возникновения и нарас-
тания колебания в параметрическом генераторе. Пусть закон
изменения емкости варикапа определяется выражением
C(O=Co/(l+msin оЕ/),	(10-52)
где частота накачки сон=2<ор; <ор— резонансная частота колеба-
тельного контура.
Если т>ткр (неустойчивая система), при запуске генерато-
ра накачки в контуре возникает колебание с частотой <оР=(он/2
и начальной фазой 0 или л (по отношению к фазе накачки).
При отсутствии внешнего воздействия, т. е. в режиме сво-
бодного колебания, фаза (0 или л), а также амплитуда возни-
кающего колебания являются случайными величинами, завися-
щими от фазы и амплитуды шумового напряжения еш(/) в кон-
туре.
Для выявления процесса нарастания амплитуды колебания
обратимся к рассмотрению свойств простого колебательного
контура, емкость которого изменяется по закону (10.52) при
L=const и r=const.
В режиме свободного колебания дифференциальное урав-
нение для тока в контуре будет
A^P + rZ(O4-^j$z(O^ = 0-
Переходя от тока i к заряду q и учитывая выражение
(10.52), получаем
d*q , г dq , (I +/nsin<BH<)
dt* + 7" dt * Tc0 q ~
Величина l/LCo=£oP2 определяет резонансную частоту контура
в отсутствие модуляции емкости, т. е. при zn=0.
Таким образом, уравнение (10.53) можно записать в форме
+ ®p2(l + /nsin <oHZ) q = Q,	(10.54)
где <bc=rl2L.
Основываясь на допущении высокой добротности контура
(Q=a>p/2aK> 1), мы вправе искать решение уравнения (10.54)
в виде колебания с частотой соР и медленно меняющейся ампли-
тудой
^(0=Лое^со5((Ор/+^),	(10.55)
где у. — показатель, зависящий от параметров контура и моду-
ляции емкости.
280
Заметим, что при Q»1 можно, как и для контура с постоян-
ной емкостью, считать
q (0 = Соес (0 = С0Ес, еи' cos (aPt+£).
(10.55')
Подстановкой (10.55') в (10.54) можно определить как ц,
так и начальную фазу £, однако задачу можно еще более
упростить, поскольку нас интересует режим заведомой неустой-
чивости решения q(t), при котором собственное колебание в
контуре возрастает за счет энергии, отбираемой от генератора
накачки. Это возможно, если напряжение ес(/) на емкости сфа-
зировано относительно функции C(t) так, как это показано на
рис. 10.19; начальная фаза может быть либо £ = 0 (сплошная
линия), либо £=л.
Подставив в (10.54) 9=Л0ец'со5<оР/, после несложных пре-
образований придем к следующему результату:
p=-J<op-aK	(10.56)
q.(t) = Лое(т<йР/4_“к>< coscopt	(10.57)
Для нарастания амплитуды должно выполняться условие
тсор/4>»а„ или m>4aB/coP=2/(Q=2d.
Этот результат совпадает с определением критического зна-
чения т в § 10.7 [см. (10.45)].
Механизм ограничения амплитуды при параметрическом
281
возбуждении обусловлен заходом амплитуды колебаний на не-
линейные участки характеристик емкости или индуктивности.
При этом изменяются средние значения C(t) или L(t), а следо-
вательно, и средняя резонансная частота контура. Расстройка
контура относительно частоты <он/2 ухудшает условия преобра-
зования энергии накачки и приводит к ограничению амплитуды.
В настоящее время принцип параметрического возбуждения
колебаний используется в специальных генераторах (парамет-
ронах), применяемых в различных устройствах для обработки
дискретной информации. Это объясняется главной особенностью
параметрического возбуждения — двузначностью фазы генери-
руемых колебаний. Так как установление фазы ф или ф+л за-
висит от начальных условий, то, задавая в момент запуска
генератора начальную фазу с помощью сигнала, можно полу-
чить одно из двух устойчивых состояний генератора, соответст-
вующих двум знакам двоичного кода (например, фазе ф услов-
но приписывается нуль, а фазе ф+л — единица).
В емкостном параметроне (рис. 10.20, а) в качестве пере-
менной емкости используются два полупроводниковых диода,
а индуктивностью контура служит первичная обмотка высоко-
частотного трансформатора. Напряжение накачки eK(t) с часто-
той Он, вдвое превышающей резонансную частоту контура, по-
дается на диоды синфазно, благодаря чему емкости диодов
уменьшаются или увеличиваются одновременно и вместе с тем
исключается прохождение частоты <он на выход. Благодаря сим-
метрии устраняется также прохождение колебаний частоты
<ои/2, возбуждаемых в контуре, в цепь накачки. Положение ра-
бочей точки на характеристиках р—«-переходов задается по-
стоянным напряжением смещения.
В индуктивном параметроне (рис. 10.20,6) контур состоит
из постоянной емкости и катушек LK, насаженных на феррито-
вые сердечники, магнитная проницаемость которых периодиче-
ски изменяется при пропускании тока накачки iH(t) через ка-
тушки LB. Исходное положение рабочей точки на характери-
стике нелинейной индуктивности задается постоянным током,
пропускаемым через катушки LH. Встречное включение кату-
шек на двух сердечниках устраняет прямое прохождение
колебаний частоты сон на выход, а также колебаний частоты
(он/2 из контура в цепь накачки.
Следует отметить, что к параметрону термин «генератор»
или «генерирование» может быть применен лишь условно.
В отличие от любой электронной автоколебательной системы
или генератора с посторонним возбуждением, в которых осу-
ществляется преобразование энергии источника постоянного то-
ка в энергию колебаний, в параметроне первичным источником
энергии является генератор накачки. Назначение параметрона,
используемого в качестве реле с двумя устойчивыми состо-
яниями, не в получении колебаний, а в «запоминании» фазы
сигнала.
282
В связи с таким информационным назначением параметро-
на основное значение приобретает его быстродействие, от кото-
рого зависит и быстродействие устройства, работающего на
параметронах. Необходимо по возможности повысить скорость
нарастания амплитуды при каждом запуске параметрона.
Так как в соответствии с формулами (10.55) и (10.56)
амплитуда напряжения на контуре нарастает по закону
£(0=£’ссе<",шр/4-ок>',
где через £с„ обозначена начальная амплитуда (т. е. амплиту-
да сигнала, фазу которого требуется запомнить), то время, не-
обходимое для достижения стационарной амплитуды Еет, мож-
но определить выражением
Ест	/отшр	\	_
II £	( 4 I ^тах \Я1 2d)	(
С»	'	'
откуда
^ах = (1п|^-)/(/7Г-2ф^-/р.
\ Со / /
Приведем следующий пример. Пусть на частоте fp=
=36 МГц (промежуточная частота приемника СВЧ) при до-
бротности колебательного контура Q~ 50 (d=0,02) требуется
обеспечить отношение £Ст/£с, ~ Юе (амплитуда запускающего
радиоимпульса ~ 1 мкВ, стационарная амплитуда 1 В).
Средняя емкость контура, включая варикап, ~ 15 пФ,
ДС«2 пФ, так что коэффициент модуляции емкости
щ=ДС/Со~0,13.
Находим
/тах~1п 106 /[(0,13-2-0,02) -J--36- Ю6] «2,7 мкс.
Это соответствует примерно 194 периодам напряжения накачки
{при /H=2fp=72 МГц).
Возможности увеличения параметра m и амплитуды Ес
весьма ограничены. Поэтому основным путем увеличения бы-
стродействия является повышение частоты fp.
Приведенные в данном параграфе соображения ограничены
случаем возбуждения колебания с частотой fp=fH/2. Более де-
тальный анализ явлений в контуре с периодической (гармони-
ческой) накачкой, основанный на теории дифференциального
уравнения Матье, указывает на возможность возбуждения ко-
лебаний с частотами f= (n/2)fH, п—1, 2, 3 ...
283
Глава 11. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ
И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
11.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
При анализе помехоустойчивости радиосистем особенно ча-
сто приходится рассматривать линейную сумму полезного сиг-
нала s(t) и шумовой помехи n(t)
(11.1}
В этом случае помеха называется аддитивной, a y(t) —
аддитивной смесью сигнала и шума. Примерами аддитивной
помехи являются рассмотренные в гл. 7 дробовый и тепловой
шумы, возникающие в электронных приборах и электрических
цепях независимо от действующих в них сигналов.
Однако при передаче сигнала по реальному каналу связи
помимо аддитивной помехи есть и другие факторы, которые
искажают сигнал, например паразитные изменения во времени
параметров цепей или любых других элементов канала связи.
В самом простом случае, когда эти изменения имеют характер
AM, сигнал на выходе канала связи можно представить в виде
sBHx(0=K(ns(0+n(f).
В этом выражении n(t), как и в (11.1), — аддитивная по-
меха, а К(О — коэффициент, характеризующий мультипли-
кативную помеху. В реальных условиях механизм образо-
вания мультипликативной помехи более сложен и не всегда мо-
жет быть сведен к простому перемножению помехи и сигнала.
Несмотря на это обычно под мультипликативной подразуме-
вают помеху, являющуюся результатом нежелательного изме-
нения параметров линейной системы, через которую передается
сигнал.
В следующих параграфах данной главы сначала изучается
воздействие гауссовского, в основном узкополосного, шума на
нелинейные устройства: амплитудный и частотный детекторы.
Затем в § 11.7 рассматриваются воздействие случайных процес-
сов на параметрические цепи и влияние мультипликативной по-
мехи на передачу сигналов.
11.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО
ПРОЦЕССА В БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
Реальное нелинейное устройство представляет собой сочета-
ние нелинейных безынерционных элементов с линейными инер-
ционными электрическими цепями. Это очень усложняет опре-
284
деление статистических характеристик сигнала и шума на вы-
ходе всего устройства. Для линейных цепей просто определить
корреляционную (или спектральную) функцию, но очень слож-
но— закон распределения. В нелинейных же, но безынерцион-
ных элементах, наоборот, основная трудность состоит в нахож-
дении корреляционной функции. Поэтому общих методов ана-
лиза преобразования случайных процессов в нелинейных
устройствах не существует. Приходится ограничиваться некото-
рыми частными задачами, представляющими практический
интерес и поддающимися решению, а также прибегать к раз-
личным идеализациям характеристик изучаемой модели
устройства.
Пусть на нелинейный элемент действует случайное колеба-
ние (напряжение, ток) с заданной плотностью вероятности р(х).
Требуется найти плотность вероятности р(у) выходной величи-
ны у. Связь между у и х определяется нелинейной зависи-
мостью y^=f(x), имеющей смысл, например, вольтамперной ха-
рактеристики электронного, полупроводникового или иного
активного элемента.
Если f(x) определяет однозначное соответствие между х и у
в каждый рассматриваемый момент независимо от значений х
в предыдущие моменты времени (безынерционный элемент), то
плотность вероятности находится из очевидного соотношения
P(y)dy=p(x)dx,	(11.2)
откуда с учетом неотрицательности р(х) и р(у)
p(y)=p(x)/|dy/dx|.	(11.3)
Если обратная функция х=ф(у) неоднозначна, то
Н Жт1-№>+	+ • • •  (1‘л>
где ф! (у), фп (у) — значения х на соответствующих ветвях
неоднозначной функции ф(у).
Если характеристика y—f(x) постоянна на некотором ин-
тервале изменения х, то выражение (11.3) следует дополнить
слагаемым с дельта-функцией, учитывающим интегральную
вероятность пребывания х ниже (или выше) определенного
уровня.
Нахождение р(у) проще всего пояснить на практических
примерах. Ограничимся случаем, когда р(х) соответствует нор-
мальному распределению.
1. Воздействие гауссовского случайного процесса x(t) на
элемент с симметричной квадратичной характеристикой
(рис. 11.1). Показанную на рис. 11.1 вольт-амперную характе-
ристику можно реализовать, например, с помощью двухтакт-
ного включения двух диодов с квадратичными характеристика-
ми (рис. 11.2).
285
Рис. 11.3
При полярности напряжения, обозначенной на рис. 11.2, ток,
равный a2xz, проходит через диод VDt, при противоположной
полярности — через диод VD2.
Полагая у = а2х2, dy/dx=2a2x и учитывая, что какому-
либо фиксированному значению у соответствуют два значения
х, а именно хг = +]/#/О2 и jc2= — V у/а2> по формуле (11.4)
находим
Р(У) =
Р (+VУ/а2)/2а2 VУ/а2-У_
+Р(—У у/а2)/2с^ У у/02 при у>0,
О	при у<0.
(11.5).
Подставляя х2г=у/а2 в выражение для плотности веро-
ятности р(х)
р (л,,2)	е^'2а‘\
V2nar	У2лог
получаем окончательно
Р(у) =
2
1 е~У12а‘ОХ
~-=----~т=----~=— при У>0,
У 2л ох У аг	У у
О	при у < 0.
(11.6)
График этого распределения изображен на рис. 11.3.
2. Воздействие гауссовского процесса на однополупериод-
ный детектор с линейно-ломаной характеристикой (рис. 11.4).
В данном случае
(fljX при л>0,
(О при х<0.
Очевидно, что в соответствии с (11.3)
а1
2 2
1 —уЧ2сха\
У 2п а,ах
о
при у>0,
при у<0.
286
Рис. 11.5
Особое внимание следует обратить на поведение функции
р(у) в точке у=0. Так как у=0 при любых отрицательных
значениях х, вероятность Р(у=0) равна вероятности того, что
х^О. Но вероятность Р(х^0) = 1/2. Отсюда вытекает, что
плотность вероятности р(у=0)=оо. Это обстоятельство можно'
учесть, записав выражение для р(у) в форме
Р(У)=
48 to)
О
2 2
I	— t)tl2alcx
+ —=--------е
у 2л
при у>0,
при у<0.

Слагаемое ‘ДбСу) равно нулю всюду, кроме точки у=0, где
оно обращается в бесконечность. При интегрировании же по у
это слагаемое дает 1/2. Графики р(х) и р(у) изображены на
рис. 11.5.	I
3. Воздействие гауссовского процесса на ограничитель
(рис. 11.6).
Рис. 11.7
285
2
2
Р(У)=
О
По аналогии с предыдущим случаем нетрудно составить вы-
ражение
6W + -	е~№'°* +
«1 у 2л Щ
+ Р(х>Хо)6(у— Уо) при О^у<уо, (11-8)
при у<0 и у>у0.
Графики распределения хну изображены на рис. 11.7.
Приведенных примеров достаточно для уяснения метода оп-
ределения плотности вероятности случайной величины на вы-
ходе нелинейного безынерционного элемента с любой вольт-
амперной характеристикой. Простота этого метода обусловле-
на тем, что не учитывается влияние выходных цепей (инерци-
онных) на работу рассматриваемого нелинейного элемента.
11.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СПЕКТРА
СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В
БЕЗЫНЕРЦИОННОМ НЕЛИНЕЙНОМ
ЭЛЕМЕНТЕ
Прямое определение энергетического спектра выходного
процесса по известному спектру на входе нелинейного элемента
не представляется возможным. Единственный путь — определе-
ние корреляционной функции с последующим применением пре-
образования Фурье.
Если на входе нелинейного элемента с характеристикой
действует стационарный процесс x(t), то ковариацион-
ная функция на выходе может быть представлена в форме
Kv (т) =М (ytyt+T) =M[f (xt )f (xi+t) ],	(11.9)
где xt и х/+т — значения x(t) в моменты времени t и /Ц-т; yt и
yt+x—'Соответствующие им значения у на выходе нелинейного
элемента.
Для усреднения произведения f(xt)f(xt+T) должна быть из-
вестна двумерная плотность вероятности входного процесса
p(Xt, xt+z). Если эта плотность вероятности известна, то кова-
риационную функцию можно представить в виде выражения
оо оо
А'у(т) =	§ f(xx)f(x2)p(xx,x2)dxxdx2,	(11.10)
—оо —оо
где для удобства записи через х( и х2 обозначены соответствен-
но xt, Xt+x.
Этот интеграл удается вычислить далеко не во всех практи-
чески важных задачах. В связи с этим часто приходится прибе-
гать к различным обходным способам, один из которых будет
приведен далее.
288
В качестве примера задачи, достаточно интересной для прак-
тики и доступной для решения прямым методом, рассмотрим
воздействие стационарного гауссовского процесса x(t) на
нелинейный элемент с квадратичной характеристикой у=а2х*
(см. § 11.2, п.1).
Двумерная плотность вероятности процесса x(t) равна1
Рк, х2)= 2я^
где г—коэффициент корреляции величин х^ и х2, т. е. г = гх(х)’
Подставив выражение (11.11), а также f{x) = a2x? в (11.10),
получим
Xi8 +х>8—2rxiX,
2<j’x (1 — г»)
(П-11)
a?
xfx?2 x

as2
2ло2 V1 —г2
Xi2 exp
хгг—2/’х1хг
2a2 (I-г8)
dx2 dxi.
Интеграл в фигурных скобках легко вычислить, дополнив
выражение хгг — 2rxtx2 до квадрата разности х2г — 2гх1ха=
= (ха—rxi)2—ггх2г и заменив переменную х2—rxt=z:
(г2+2гХ]2 + г2Л12) е-г,/2вг(1_,,)х/г =
exp
r2xf
2al(l-r8)
2поз yi=F

2<£(1-/*)
(11.12)
=exp
r’x?
Подставляя этот результат в (11.12), получаем
x,^-<.-n4dXl +

2	2
xt4e~Xl'2ajc dXi .
Далее определяем
~	2	2	__ ~	2	2
\ %i2e_'1/2a*dxi =	x14e“x,/2®r4fx1 = l/2n3a®.
1 См., например, [6, 7].
19—3305
289
Таким образом,
^(т) —а22о4 ((1—г2)+3г2]=в=а22о4+2а22а4я.г^ (т) =
=а2а4+2а22#.з (т).	(Ц,13)
Здесь использовано известное соотношение гх (т) =Я«(т)/ах2
[при Л1(х)=0].
Особый интерес представляет воздействие узкополосного
случайного процесса на нелинейный элемент (задача детекти-
рования).
Представляя корреляционную функцию узкополосного про-
цесса в форме (4.76) и учитывая, что
Я2 '(т) =о4г02 (т) [’/з+’/г cos 2о0т],	(11.14)
где Го — огибающая корреляционной функции узкополосного
процесса, записываем выражение (11.13) в окончательном виде
К»(т) “a2Vr+ а22о4/о2(т) +а22о4г02(т) cos 2<о0т.	(11.15)
Применяя затем преобразование Фурье, получаем общее вы-
ражение для спектра процесса на выходе квадратичного эле-
мента (при гауссовском процессе на входе)
оо
Wy (to) = a22^2nd((o) + a22o|	г02(т) е-/и\й +
—оо
оо
+а22<4 r02(T)cos(2<Bo'r)e~iti:,'tdT=
—оо
(11.16)
Первое слагаемое (дискретное) соответствует постоянной
составляющей выходного колебания, второе — низкочастотной
флуктуационной составляющей (спектр которой примыкает к
нулевой частоте) и третье — высокочастотной флуктуационной
составляющей со спектром, группирующимся вблизи частоты
2(оо-
11.4. ВОЗДЕЙСТВИЕ УЗКОПОЛОСНОГО
ШУМА НА АМПЛИТУДНЫЙ ДЕТЕКТОР
Амплитудный детектор, содержащий диод и фильтр нижних
частот (7?С-цепь), представляет собой сочетание безынерцион-
ного нелинейного элемента с инерционной линейной цепью.
Разделим рассматриваемое устройство на две самостоятель-
ные части: 1) нелинейный элемент; 2) фильтр нижних частот.
Изложенные в предыдущих параграфах методы, а также не-
которые другие специальные приемы позволяют в принципе
найти закон распределения и корреляционную функцию шума
сначала на выходе нелинейного элемента (диода), а затем и
290
на выходе фильтра. В общем случае эти исследования требуют
весьма громоздких вычислений. Задачу можно значительно об-
легчить, если использовать некоторые упрощения, вытекающие
из принципа работы реальных устройств.
Рассмотрим сначала «линейное» детектирование, т. е. детек-
тирование высокочастотного колебания с достаточно большими
амплитудами. В данном случае под таким колебанием подразу-
мевается гауссовский шум (в отсутствие сигнала), сформиро-
ванный избирательными цепями на входе детектора. Как и при
детектировании полезного амплитудно-модулированного коле-
бания, можно считать, что напряжение на выходе линейного де-
тектора воспроизводит огибающую амплитуд высокочастотного
колебания, в данном случае огибающую шума. Поэтому при
линейном детектировании нет необходимости рассматривать от-
дельно статистические характеристики тока диода и напряже-
ния на выходе 7?С-цепи. Напряжение «вых (0, развиваемое на
этой цепи, можно приравнять огибающей шума на входе детек-
тора U(/) (т. е. считать, что коэффициент передачи детектора
равен единице). При таком подходе статистические характери-
стики шума на выходе детектора полностью совпадают с приве-
денными в § 4.6 характеристиками огибающей A(t). Таким об-
разом, приходим к выводу, что напряжение шума на выходе ли-
нейного детектора обладает рэлеевским распределением
2	2
Р(Квых)=РИ)-^е-“ьь-'2Ч 0<цвых< со.	(11.17)
По формулам (4.71), (4.72) находим:
среднее значение (постоянную составляющую) шумового
напряжения
^о=М[ивых(0]==Лф1(О]= К^х=1,26ох,	(11.18)
средний квадрат напряжения
М«2вЫх(01=2о2.	(11.19)
Отсюда следует, что дисперсия шума на выходе линейного
детектора
°^ = ^(«U)-^o2 = 2aJ _А02 = о,43<т2.	(11.20)
Итак, основные параметры шума на выходе — постоянная
составляющая Uo и дисперсия о2ВЫх — просто выражаются через
дисперсию о,2 высокочастотного шума, действующего на входе
детектора.
Корреляционную функцию и энергетический спектр выход-
ного шума нетрудно вычислить по формулам (4.77), (4.78).
В качестве примера рассмотрим воздействие на линейный
детектор шума x(t), спектр которого определяется выражением
Wx («) =W0[e-“(“-“c),4-e-“<“+“«)s].	(11.21)1
9*
291
а корреляционная функция в соответствии с (4.39) и с учетом
[5, формулы (3.896.3) и (3.896.4)]

а(со—
а (со+®в)’е/
N
= ~^=- e-T4ia cos ыот = а/q—1,/4а cos соот.
У ла
Тогда
г0(т)=е-’’/4а
и в соответствии с (4.78)
2 Г	°°
^вых (Я)=-^ 2тгб (й)+4 $
L	— оо
[27т6(Я)4-1|Л2л^е-а£2’/2].
(11.22)
(11.23)
(11.24)
Слагаемое с дельта-функцией соответствует постоянной со-
ставляющей напряжения на выходе детектора.
График И?вых(£2) изображен на рис. 11.8,6. Ширина этого
спектра в V 2 раз больше ширины спектра W\((o) на входе де-
тектора (рис. 11.8, а).
Линейный амплитудный детектор воспроизводит огибающую
узкополосного колебания независимо от особенностей структу-
ры его спектра. Полученный результат свидетельствует о том,
что огибающая каждой из реализаций рассматриваемого шума
(на входе детектора) обладает более широким спектром, чем
частотная полоса самой реализации. На первый взгляд это мо-
жет показаться странным, поскольку известно, что для модули-
рованного колебания ширина спектра огибающей либо совпа-
дает с шириной спектра самого колебания (при AM), либо уже
его (при ЧМ). Это кажущееся противоречие легко устраняется,
если принять во внимание полную корреляцию между колеба-
Рис. 11.8
ниями нижних и верхних бо-
ковых частот при модуляции.
Достаточно нарушить, напри-
мер, симметрию амплитуд или
фаз боковых частот при AM,
чтобы сумма трех колебаний с
частотами <о0, <оо4-й и <а0 — й
представляла собой колеба-
ние, огибающая которого со-
держит помимо частоты Й еще
и частоты 2 й, 3 й и т. д.
В этом случае амплитудный
детектор выделит на выходе
колебание, спектр которого бу-
дет шире полосы частот вы-
292
сокочастотного колебания на входе. В спектре же шума нет
никакой корреляции (и тем более симметрии) между спек-
тральными составляющими, частоты которых расположены сле-
ва и справа от центральной частоты <в0. Естественно, что оги-
бающая каждой из реализаций шума обладает более широким
спектром, чем модулированное колебание с той же шириной
спектра. Соответственно увеличивается и средняя ширина спек-
тра огибающей шума, т. е. спектр огибающей.
Рассмотрим теперь воздействие гауссовского шума на квад-
ратичный детектор. В данном случае напряжение на выходе де-
тектора с учетом отфильтровывания высокочастотной состав-
ляющей шума по аналогии с выражением (8.46) можно пред-
ставить в форме
ивых(0=КЛ2(0/2,	(Н.25)
где К — коэффициент, учитывающий параметр вольт-амперной
характеристики диода а2 и сопротивление нагрузки на выходе
детектора.
По формуле (11.3), в которой под р(х) следует подразуме-
вать плотность вероятности огибающей Л(/), находим закон
распределения шумового напряжения на выходе квадратичного
детектора
Р(«вЫх)— Р\К 2 )“ 1Лгвых I О2 е
I dA I *
=-1_ e-“Bb,x/w<	(11.26)
Ка-
Нтак, при воздействии на квадратичный детектор с фильтром
иижних частот узкополосного гауссовского процесса шум на
выходе всего устройства имеет экспоненциальное распределе-
ние.
Вычислим среднее значение выходного напряжения
оо
^'1 [^вых (01 = ^выхР (^вых) б^вых
о
Лг ( «вЫхе~Ивых/КО^цВЬ1х = 7Со2
/<<г. ’
х О
(11.27)
а также средний квадрат напряжения
со
[^ВЫХ (01= Ивых^ (#вых) ^вых =
о
К * о
(11.28)
293
Отсюда следует, что дисперсия шума на выходе
°вых = [“вых (01 - {М 1ивых (О]}2 = 2К2^ - К^х =
= К^Х-	(11.29)
Для полного описания свойств шума на выходе квадратич-
ного детектора остается вычислить его корреляционную функ-
цию и энергетический спектр. Это можно выполнить с помощью
формул (11.15), (11.16). Второе слагаемое в (11.15) определяет
искомую корреляционную функцию, а второе слагаемое в
(11.16) — соответствующий этой функции спектр.
При г0(т) =е-т’/4а (см. предыдущий пример) получаем
^вых (Й) = wyo (й) + ГНЧ (Й)=[2nd (Q) +
со
+ J	=a2V[2n6(Q) + /2^e-“Q*'2].	(11.30)
— оо
Графики функций №7, (со) и №вых(й) по форме совпадают с
графиками на рис. 11.8. Они отличаются только масштабом по
оси ординат из-за различия в постоянных коэффициентах
[й22с\ вместо ло2/2 перед квадратными скобками в (11.24) и
единица вместо 1/4 перед вторым слагаемым].
11.5. СОВМЕСТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА
И ГАУССОВСКОГО ШУМА
НА АМПЛИТУДНЫЙ ДЕТЕКТОР
При наложении узкополосного шума x(t) (/)cos [ыоН-
+6(0] на сигнал s(t)=E cos суммарное колебание
u(0 =s(/)+%(/) =£ cos coo/+A(O cos[®оН-0(/)]=
=[£+A (0 cos 0] cos wot—A (/) sin 6(0 sin wot=U(t) cos [и0+
+£(0]-	(11.31)
Огибающая U (0 и фаза g(0 по аналогии c (8.34) и (8.35)
определяются выражениями
U (0 = VE2 + А2 (0 + 2ЕА (0 со s 6 (0.	(11 -32)
При анализе воздействия колебания на амплитудный детек-
тор статистическими характеристиками фазы |(0 можно не ин-
тересоваться (этот вопрос будет рассмотрен в следующем пара-
графе применительно к частотному детектору). Основное значе-
ние имеет плотность вероятности p(U) огибающей U, опреде-
ляемая по формуле [6, 7]
(11.34)
294
Рис. 11.9
Е очень велика по сравнению
где /о — бесселева функция
комплексного аргумента (мо-
дифицированная) .
Определяемая формулой
(11.34) функция называется
обобщенной функцией Рэлея.
Графики функции p(U) для
нескольких значений £/ох
приведены на рис. 11.9. При
Е/ах—0 (отсутствие сигнала)
выражение (11.34) переходит
в (4.70). В другом крайнем
случае, когда амплитуда сигнала
с ох, кривая p(U) близка к гауссовской кривой с дисперсией
с2* и средним значением, равным Е.
Рассмотрим сначала линейное детектирование. Будем счи-
тать, что напряжение на выходе детектора совпадает с огибаю-
щей амплитуд высокочастотного напряжения на входе. Тогда,
основываясь на формуле (11.34), находим постоянную состав-
ляющую напряжения на выходе детектора
оо
77О=М (U) = J Up (U) dU =
о
1	-£«/2а2р -tfW /£ и\ ,,г
= —е x\U2e /o\-iT-E~\dU
О	Л	\°Х °Х I
г	О
и средний квадрат напряжения
оо
М [{/2 (<)] = J и2р	dU =
0
1	-ЕЧ2^ г ~u‘l2axf ( Е и \..т
= —т-е	£73е	х10 ——— \dU.
а2	Л	\ °х °х /
После вычисления интегралов [8] получаем следующие выра-
жения:
770= ох]/^2{/о(£2/4о2) + £2/2о2 [/о (£2/4о2) +
+ Л (£2/4о2)]} e“e8/4^=ox^^72{/0(/z2/2)+
+А2[/о(^2/2) + /1 (/z2/2)]}e-fts/2,	(11.35)
где Л2 = £2/2сг2;
Л1р2(01 = 2о2 + £2.	(11.36
Из последнего выражения вытекает равенство
o2Bux=A4[t/2 (01— U0z^2a2+E2— U02.	(11.37)
Ранее было показано, что в отсутствие сигнала (£=0) по-
стоянная составляющая шума на выходе линейного детектора
равна Кл/2ох [см. (11.18)].
Приращение постоянной составляющей Uo—	л/2оя, где Uo
определяется выражением (11.35), и есть полезный сигнал.
Следовательно, отношение мощности сигнала к мощности
помехи на выходе линейного детектора
(С/П)вых= (С70—К^/2^)7(2о2 + £2—L702).	(11.38)
Рассмотрим предельные случаи Л2«С1 (слабый сигнал) и
Я2^>1 (сильный сигнал).
1. Л2<1, /о(/12/2)«1, /,(/172)^/174, е-"/2«1— /172.
Выражение (11.35) упрощается:
U о « V^2ax {1 + ft2 (1 4- h2 /4)} e-hI/2 ~ y^/2Ojc (1 _i_ &/2).
При этом приращение постоянной составляющей
U о = V ы/2бх ~ Vл/2ох/г2/2,
а дисперсия в соответствии с (11.36)
С,х = 2< + £2 - f о% (1 + ft2/2)2 « о7 (2 - f).
Таким образом,
(тг!	(тт)2>	(И-39)
X11 /вых \ z 4 /I	\ 11 /вх
где d — постоянный коэффициент, близкий к единице.
Выражение (11.39) показывает, что в амплитудном детекто-
ре имеет место подавление слабого сигнала сильной помехой.
Например, при (С/П)вх=0,1 (С/П)ВыХ«0,01.
Рассматриваемый вопрос имеет важное значение для про-
блемы обнаружения сигналов на фоне сильной помехи.
2. h2^>l, функции /0(/г2/2) и /,(/12/2) можно определять вы-
ражениями
/Л=\	ей*'2 /	1 \	. (h'\	еЛ“'2 /	3 \
Ч 2 уйй I / Ц2)-улй^ 4Л= /
Выражение (11.35) при указанных приближениях приводит-
ся к виду
170« V2^I/i(l+l/4/i2)=£(l+l/4/i2)«£.
Как и следовало ожидать, при £^>ох постоянная составляющая
выходного напряжения Uo почти совпадает1 с £.
1 См., например, кривую £/п*=4 на рис. 119 и комментарий к рисунку
296
При вычислении же дисперсии о2вых необходимо учитывать
слагаемое l/4/i2 в выражении
U02=Е2 (1+1 /4Л2)2 « £2 (1 +1 /2h2) = £2+ц2.
Таким образом,
о2Вых=2ох2+£2- (£2+о2) = о2
и отношение сигнал-помеха на выходе
(С/П)вых«С702/о2вых«£2/о2 = 2 (С/П)„.	(1140)
Проведем аналогичное рассмотрение для квадратичного де-
тектирования.
Заменяя в формуле (11.25) A(t) на U(t), получаем напря-
жение на выходе квадратичного детектора
и.ых (/) ==К[£2/2+Л2 (0/2+£Л (0 cos 6(0]-	(11.41)
Усредняя это выражение по времени и учитывая, чтоЛ2(/)=*
“2с2 и A(t) cos 0 (f)=0 (как и среднее значение x(t) =
“Л (/) cos [и<^+0(0])> получаем постоянную составляющую на-
пряжения на выходе квадратичного детектора
^At)=K(E2/2+a2)=Uoc+Uon.	(11.42)
Слагаемое £0п=Ко2 определяет постоянную составляющую,
обусловленную помехой [см. (11.27)] в отсутствие сигнала. Сла-
гаемое же иОс=КЕ2/2, представляющее собой приращение по-
стоянной составляющей под действием гармонического напря-
жения сигнала, можно рассматривать как полезный сигнал на
выходе детектора.
Возводя выражение (11.41) в квадрат, получаем
Сх (0=К2	+ЕА (/) cos 0 (/)]’ =
=№ [41 Ч-	+ Е2 А2 (0	+-L cos 20 (О)+
+-^-)- + Е3А (t)cos 0 (0 + Л3 (0 £ cos 0 (*)].	(11.43)
Слагаемые с cos 0(f) и cos 20(f) при усреднении обращают-
ся в нуль. Поэтому средняя мощность на выходе*
СГ(0=А'2 лчо+^W)] =
=^2(v+24+2f4)-
1 При усреднении Л4 (/)
М[А* (f)]=JА*р (Л) £?Л = 8о^.
о
Вследствие эргодичности рассматриваемого процесса в данном параграфе не
делается различия между усреднением по множеству и по времени.
297
Вычитая из этого выражения (иВЫх)2, находим дисперсию
шума на выходе квадратичного детектора
о2вь,х=Л2 (£4/4+2о i+2£2o х) —К2 (£4/4+£2о^+о -
=K2(E2o2x+ot).	(11.44)
При Е=0 это выражение переходит в (11.29). Составим те-
перь отношение сигнал-помеха на выходе детектора (по мощно-
сти)
/С\	_ ^ос _	№(Ь'4/4) _ (£2/2о|)г
°Lx	Г + 2^/2^ •
Но £2/2о| есть отношение сигнал-помеха (по мощности) на
входе детектора. Таким образом, при значениях (С/П)Вх<1
(т. е. при £2/2<Со|
(С/П).ых~ (С/П)2Вх,	(11.46)
а при больших значениях (С/П)вх, т. е. при £2/2^>ож.
(С/П)ВЫ1«72(С/П)В1.	(11.47)
Так, при £2/2ov= 1/Ю отношение (С/ПВЫ1) = 1/120 [(11.45)],
а при £2/2ох^4 отношение (С/П)вых близко к половине отно-
шения сигнала к помехе на входе.
На основании формулы (11.45) можно сделать следующее
важное заключение: при слабом (относительно помехи) сигна-
ле в квадратичном детекторе имеет место подавление сигнала,
а при сильном сигнале отношение сигнал-помеха пропорцио-
нально отношению сигнала к помехе на входе.
Сопоставим результаты, полученные для квадратичного и
линейного детектирования. Сравнение формул (11.46) и (11.39)
показывает, что при слабом сигнале и сильной помехе линей-
ный и квадратичный детекторы ведут себя одинаково: отноше-
ние сигнал-помеха на выходе пропорционально квадрату отно-
шения сигнал-помеха на входе. Таким образом, и в линейном
детекторе имеет место подавление слабого сигнала. Анализ по-
казывает, что это свойство присуще детекторам и с любыми
другими вольт-амперными характеристиками.
Однако при £^>ож отношение сигнал-помеха на выходе квад-
ратичного детектора в 4 раза (по мощности) меньше, чем у ли-
нейного [ср. (11.47) и (11.40)]. Это объясняется тем, что при
квадратичном детектировании сильный сигнал выносит помеху
на участок характеристики с повышенной крутизной, что приво-
дит к относительному увеличению помехи. Действительно, пусть
огибающая амплитуд входного напряжения, равная 1 В, полу-
чила приращение в результате наложения помехи а<^1. Тогда
напряжение на выходе квадратичного детектора в соответствии
с (11.25) увеличится от £/2 до (К/2) (1+а)2« (£/2) (1-|-2а),
т. е. относительное приращение (помехи) будет 2а, а при ли-
298
нейном детектировании это приращение будет всего лишь а.
Переходя от напряжения к мощности, получаем проигрыш в
4 раза.
Хотя проведенное рассмотрение относится к гармоническому
(немодулированному) сигналу, полученные выводы можно пол-
ностью распространить на обработку прямоугольных импульс-
ных радиосигналов на фоне помех, когда импульс на выходе
детектора есть приращение постоянной составляющей выпрям-
ленного напряжения в промежутке времени, равном длитель-
ности импульса.
Наличие амплитудной модуляции сигнала, которую можно
рассматривать как медленное изменение постоянной составля-
ющей напряжения на выходе детектора, также не оказывает
существенного влияния на сравнительную оценку (С/П)ВЫх при
квадратичном и линейном детектировании.
Следует, наконец, отметить, что все полученные в этом па-
раграфе результаты не зависят от соотношения между несущей
'частотой сигнала too и мгновенной частотой помехи ыо-^-dB/dt.
Из этого следует, что наложение паразитной частотной или фа-
зовой модуляции на сигнал (при постоянной амплитуде) не ока-
зывает влияния на отношение сигнал-помеха на выходе детек-
тора. Это положение согласуется с основными свойствами ам-
плитудного детектора, установленными в гл. 8.
11.6. СОВМЕСТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА
И ГАУССОВСКОГО ШУМА НА ЧАСТОТНЫЙ
ДЕТЕКТОР
Основываясь на рассмотренном в § 8.10 принципе работы
частотного детектора, в дальнейшем будем исходить из струк-
турной схемы, показанной на рис. 11.10. Сигнал s(t) на входе
резонансного амплитудного ограничителя представляет собой
ЧМ колебание (имеется в виду тональная модуляция частоты)
s (/)=Д cos (соо£ -ф ^3- sin
(11.48)
а помеха — гауссовский процесс со спектром 1^ж((о) = W'o, рав-
номерным в полосе пропускания фильтра промежуточной часто-
ты (имеется в виду супергетеродинный приемник).
Рис. 11.10
299
Полосу пропускания этого фильтра 2До0 можно приравнять
удвоенной девиации частоты, т. е. Д(йо=й>д. Фильтр нижних ча-
стот на выходе детектора должен обладать полосой прозрачно-
сти от 0 до Qmax, где Йщах — наивысшая частота модуляции.
Помеху, действующую на входе ограничителя, запишем, как и
в предыдущем параграфе, в виде x(/)=^(/)cos[<iW+0(O]-
При анализе совместного действия s(t) и x(t) на частотный
детектор облегчим задачу, рассматривая раздельно два режи-
ма: 1) при отсутствии полезной ЧМ, когда на входе действует
чисто гармоническое колебание s(t) = Ecostaot и шум x(t);
2) при наличии ЧМ. Будем считать, что во втором режиме по-
меха на выходе детектора остается такой же, что и в первом.
Итак, в отсутствие модуляции суммарное колебание на входе
ограничителя [см. (11.31)]
s (/) +* (О =£cos(ooH-^ (0 cos[<ooH-6 (0 ]=
==t/(0cos[(W+£(0L	(П-49)
где U(/) и определяются выражениями (11.32) и (11.33).
Обозначив порог ограничения UnOv, придем к следующему
выражению для колебания на выходе ограничителя, колеба-
тельный контур которого настроен на частоту о>о:
«вых(0 = I7nopCOs[(Oo/+B (0]	(И-5°)
[ср. с (8.36)].
Напряжение на выходе частотного детектора, пропорцио-
нальное производной фазы £(/), в отсутствие полезной модуля-
ции является помехой. Таким образом,
•Хвых(^) =<$чд£(О,	(11.51)
где Хчд — крутизна характеристики частотного детектора (см..
§ 8.9). Как видим, интенсивность и структура помехи ХвыЛО
на выходе частотного детектора полностью определяются ста-
тистическими характеристиками производной фазы ^(0-
Общее выражение для фазы при любых соотношениях меж-
ду А (/) и Е имеет вид (11.33). Однако в реальных условиях
приема ЧМ колебаний обеспечивается значительное превышение
сигнала над помехой. Обычно Е2/2охг^1. (Как и в предыдущем
параграфе, ох2 — средняя мощность помехи на входе ограничи-
теля). Поэтому выражение (11.33) можно упростить:
| (O«arctg [ л (<)у6 (0-]	(О-	(11.52)
Статистические характеристики случайной функции £(/) =
= [Л(O/£Jsin0(/) совпадают с характеристиками, найденными
в п. 4.6.1 для квадратурных слагаемых узкополосного процесса.
Там было показано, что функция Л(0зт6(/) обладает нормаль-
ным законом распределения и спектром 2Wx(g>0+Q) [см.
(4-64)]. Таким образом,
№e(Q)=2№x(®o+Q)/£2.	(11.53)»
300
При дифференцировании гауссовского случайного процесса
распределение остается нормальным (см. £ 7.1). Следовательно,
|(/), т. е. мгновенное значение частотного отклонения, также
обладает нормальным распределением.
Итак, при £2/2цж2^ 1 шум на выходе частотного детектора
(как и на входе) является гауссовским процессом.
Остается определить спектр процесса £(/). Для этого доста-
точно умножить ^(£2) на £22 (см. § 7.4). Таким образом,
Wt (£2) = £22^g (£2)=^- Wx К+£2),	(11.54)
а спектр помехи на выходе частотного детектора в соответствии
с выражением (11.51)
2S2 Й’
^вых (й)=(Q) = -gr- Wx (со0+£2).	(11.55)
Для белого шума с энергетическим спектром Wo (на входе
приемника) W?a.((Oo+,£2) = W7o. Следовательно, спектр помехи на
выходе частотного детектора в соответствии с (11.54)
^вых(Й)=?^-£22.	|£2|<ыд.	(11.56)
График этой функции, нормированной относительно макси-
мального значения и7ВЫ1(а)д), построен на рис. 11.11 для част-
ного случая /д=75 кГц и Fmax=10 кГц (параметры канала
звукового сопровождения с частотной модуляцией Московского
телецентра).
Рис. 1iL.11
301
Мощность помехи в полосе пропускания фильтра звуковых
частот
а2
ВЫХ
= 1 2ЙЗ-
~йтах
Е2 2л 3
(11.57)
Учитывая, что UZo2(2Finax) есть не что иное, как охг, т. е.
мощность в двух полосах 2Fmai (одна в области (о>0, вторая
в области соСО), приведем (11.57) к виду
S2 о2
о2	°х q2
вых 3 £3 /2 Ь,5тах'
Рассмотрим теперь режим ЧМ, при котором напряжение на
выходе частотного детектора пропорционально девиации часто-
ты. При тональной ЧМ
(11.58)
[/s=S4«g>a.	(11.59)
Итак, мощность сигнала на выходе (без учета влияния по-
мехи) С/а2/2=1/252чд(о,д, а мощность помехи (без учета моду-
ляции) определяется выражением (11.58). Следовательно, от-
ношение сигнал-помеха на выходе
Сум  Us2/2-
П 1ВЫХ а2
/вых "вых
1/2S>?
J_ о 2 °хг/2 о2
3 очл Е?/2 max
(11.60)
Соотношения (11.56) — (11.60) иллюстрируются рис. 11.11. В рассматри-
ваемой системе для осуществления частотной модуляции требуется очень ши-
рокая полоса пропускания в тракте промежуточной частоты, что обусловли-
вает сильное возрастание помехи иа выходе фильтра. Одиако, как очевидно
из рис. 11.11, только ничтожная доля мощности этой помехи попадает в
тракт низких частот (на рис. 11.11 эта мощность определяется площадью
заштрихованного участка).
Увеличив отношение сод/йт.х, т. е. индекс угловой модуляции, можно по-
лучить большой выигрыш в отношении сигнал — помеха по сравнению с
системами с AM. Подобный способ получил широкое распространение в си-
стемах радиовещания на УКВ, а также в каналах звукового сопровождения
телевидения.
Следует подчеркнуть, что преимущества широкополосной частотной мо-
дуляции сохраняются пока помеха иа входе детектора слабее сигнала и пока
обеспечивается полное ограничение амплитуды колебания на входе детекто-
ра. В тех случаях, когда помеха сильнее сигнала, имеет место его подавле-
ние.
302
11.7. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
И СПЕКТР СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
В ЛИНЕЙНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Пусть передаточная функция линейной параметрической це-
пи является вещественной функцией времени и не зависит от
частоты. В § 10.4 было показано, что подобная передаточная
функция характеризует цепь, в которой имеет место AM.
Обозначим передаточную функцию через К(Ц (аргумент
«о опущен), причем К(/) может представлять собой как детер-
минированную, так и случайную функцию. Входной сигнал
s(t) также может быть либо детерминированным, либо слу-
чайным процессом (с нулевым средним).
Составим выражение для ковариационной функции выход-
ного сигнала
^вых Т) =MSBblx(/)SBbIx(H-T)] =
=М[К (0 К (/+т) s (Ц s (Н-т) ].	(11 -61)
Нас интересует случай, когда передаточная функция К (О'
не зависит от входного сигнала s(t). Тогда среднее значение
произведения в (11.61) равно произведению средних значений
соответствующих сомножителей, т. е.
& Т)	К (*+Х) № (0 S (/+т)]=
=Кк(/, x)Rs(t, т),	(11.62)
где Rs(t, т)—корреляционная функция входного сигнала, а
(t, т) =М[К (0 К (/+т) ]	(11.63)
ковариационная функция цепи с коэффициентом передачи К(0-
Из выражения (11.62) вытекает важное свойство линейной
цепи с переменными параметрами: корреляционная функция
выходного сигнала равна произведению корреляционных функ-
ций входного сигнала Rs(t, т) и цепи RK{t, т).
Для нестационарных процессов корреляционные функции в
(11.62), (11.63) зависят не только от временного сдвига, ио и
от времени t. Этими характеристиками не всегда удобно поль-
зоваться. Далее в примерах используются функции 7?(т), полу-
чаемые усреднением R (t, т) по t.
Применяя преобразование Фурье к усредненной по времени
функции 7?вых(т), получаем также усредненный спектр выходно-
го сигнала
оо
^вых («) = 5 /?.нх СО	(11.64)
—оо
Проиллюстрируем использование соотношений (11.61) — (11.64)
на примерах.
303
1.	Гармонический сигнал s(/) = cos<Oo/ действует на входе линейной си-
стемы с передаточной функцией
К(О=Ко+ДК(О,	(11.65)
где Ко — среднее значение коэффициента усиления системы; ДК(<)—флюк-
туация коэффициента усиления, представляющая собой нормально распре-
деленную стационарную случайную функцию с дисперсией сг^--
Для полной характеристики изменения во времени передаточной функ-
ции системы должны быть заданы либо ковариационная функция Кг(т), ли-
бо спектр 1Гк(<о) случайной функции К(/).
Постоянной составляющей '(о соответствует спектр 1Г^(ы)=
ОО
= Ко2 f е~/шг</т=2лК026 (®). Спектр второго слагаемого, т. е.§ ДК{(0>
—ОО
зададим в форме (<о)=2с/(«2 + шг),^где а^и с—постоянные' величины
Таким образом, спектр суммы К0+АК
W'k(w) =2лКо!6(ш) +2с/(й24-<в2).	(11.66)
Заданному спектру lFK(o) соответствует ковариационная функция
ОО
^(Т)=2ТГ ! ^(Ф)е/ц,^и = КоЧ--^е-с1Ч	(11.67)
—оо
Найдем ковариационную функцию и спектр мощности сигнала на вы-
ходе системы.
Имея в виду соотношения (11.62) н (11.67), а также учитывая, что кор-
реляционная функция сигнала s(t) =cos<o0Z равна Rs(t) = 1/2 cos соот, по-
лучаем
1 / с \
KSbux (Т) = Кк (т) Rs (т)=Т	+ — е“аМ) cos <оот.	(11.68)
Находим теперь спектр мощности с помощью выражения (11.64):
ОО
Wzbhx(®) = 4'	(Ko!+4e“aN)cosG)(,Te-/<,)-cdT=
—ОО
оо
e-'(b>-o>o)TdT +
L- —СО
СО
e-a|T|e-i(m-b>,)tdT+ e-alTle-/(©-to.)TdT
>	— оо
Первые два интеграла дают дельта-функции 2л6(ш—соо) и 2лб (ш+шо).
Последние же два интеграла дают соответственно
2а/[а2+(ы—<о0)2] и 2а/[а2+(ш+шо)2]-
304
Таким образом, окончательно имеем
«7вых (“) = 3г tfo’ [6 (со — w.) + б (со + <Х>о)] +
с Г 1 t 1
+ 2 L а’ + (С0—С0о)’ + а’+ (со + СО»)’
(11.69)
Функция И^выИсо) изображена на рис. 11.12. Монохроматической со-
ставляющей выходного сигнала соответствуют две дискретные спектраль-
ные линии, а шумовой составляющей, обусловленной флюктуациями уси-
ления АЛ'(О,— сплошной спектр (на рис. 11.12 заштрихован). Этот спектр
состоит из комбинационных частот, располагающихся симметрично относи-
тельно частоты сигнала (Оо (в области отрицательных <о симметрично отно-
сительно —(Оо).
2.	Гауссовский случайный процесс s(t) с нулевым средним и со спек-
тром (рис. 11.13)
1Г,(со)=2а/(Ь2+<о2),	(11.70)
группирующимся вблизи нулевой частоты, действует на входе системы с пе-
редаточной функцией
K(t) =К0(Д+М cos Qt), Л1<1.	(11.71)
Находим корреляционную функцию входного сигнала
СО
П ______L С ---~--- „«Лщ-----£-е-*М	Л] 72)
KsW-2л J + е	b	'	’
—оо
н ковариационную функцию системы
Кк (т) = Ло2+ ‘-AW cos От.	(П 73)
Тогда в соответствии с (11.62) корреляционная функция выходного
сигнала
/?вых(т) = Кл-(-г)7?Лт) = 4(^’+4 AWcosSrje
(П-74)
20—3305
305
и спектр
^вых (га)=4^2 $ e~6,T|e“/MTdr + ^^ J е“6Н cos Пте-<МЛ=
—оо	—оо
2d	Г 1	11
= Ь2 + <о! + tfo’APd 62 + (ffl_fi)2 + +	+ Qyi J •	(11.75)
Функция 1ГВых(<о) изображена на рис. 11.13.
3.	Нормально распределенный случайный процесс s(t) действует иа
входе системы, передаточная функция K(t) которой является также случай-
ной функцией с нормальным распределением.
Спектры процессов s(t) и K(t) зададим в форме U7s(<o) =2d/(52+w2),
как в примере 2, и7к(ь>)=2лК026(ы-1-2с/(а2+(о2), как в примере 1.
Корреляционная функция входного сигнала и ковариационная функция
рассматриваемой системы соответственно
Rs =	e-^l’l, К* (т)=/<02 + ~ е-“М.
Находим корреляционную функцию выходного сигнала
/?ВЫХ (Т) = ^ (т) Rs	(П 76>
и спектр мощности
, ,	.. . 2rf cd 2 (а + b)
^вых (“) = Ко	+ (а + Ь)2 + <о2 ‘	(11.77)
Первое слагаемое в правой части (11.77) соответствует сигналу на вы-
ходе системы с передаточной функцией Ко (в отсутствие мультипликативной
помехи), а второе слагаемое — мультипликативной помехе. Значение этого
слагаемого пропорционально произведению параметра d, характеризующего
интенсивность сигнала, н параметра с, который определяет дисперсию
флюктуации передаточной функции системы ак2.
Глава 12. ДИСКРЕТНАЯ ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ.
ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
12.1.	ПРИНЦИП ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
Переход к системам цифровой обработки сигналов являет-
ся одной из основных тенденций современной радиоэлектрони-
ки. Это направление оказывает большое влияние на развитие
теории и техники сигналов и систем.
306
-Н эк
Рис. 12.1
Общее представление о принципе цифровой обработки кон-
тинуального сигнала можно получить из функциональной схе-
мы, изображенной на рис. 12.1. Сначала входной (континуаль-
ный) сигнал s(t) подвергается дискретизации с помощью элек-
тронного ключа (ЭК), работающего с шагом Т. Эта процедура
описана в § 2.13 (см. также рис. 2.26). Сигнал на выходе ЭК
имеет вид последовательности коротких импульсов sT(t), явля-
ющихся отсчетами сигнала s(t). Предполагается, что при выбо-
ре шага Т (на основании теоремы Котельникова) обеспечива-
ется сохранение информации, содержащейся в континуальном
сигнале.
Каждый отсчет запоминается в интегрирующей схеме (ИС)
на время t3, необходимое для срабатывания аналого-цифрового
преобразователя (АЦП). Очевидно, что t3<T. На выходе ИС
получается ступенчатое колебание sT'(t). В АЦП уровень каж-
дой ступени этого колебания измеряется (сравнивается с эта-
лонным) и ему присваивается значение ближайшего кванто-
ванного уровня, общее число которых L=2f. Каждому уровню в
АЦП ставится в соответствие кодовое слово — двоичное число,
состоящее из г разрядов, каждый из которых представлен
единицей или нулем (стандартным импульсом или паузой).
Очевидно, чем длиннее кодовое слово, тем выше точность
представления каждого отсчета сигнала.
Полученный таким образом цифровой сигнал поступает в
цифровой фильтр (ЦФ), представляющий собой вычислитель-
ное устройство. В ЦФ производится обработка кодовых слов по
заданному алгоритму, использующему математические опера-
ции сложения, умножения на постоянные коэффициенты и за-
держки во времени. Заметим, что в качестве ЦФ может быть
использована и универсальная ЭВМ.
Среди разнообразных алгоритмов обработки цифровых сиг-
налов наибольшее распространение получила цифровая филь-
трация, включающая в себя цифровой спектральный анализ.
На выходе ЦФ возникают новые кодовые слова, соответ-
ствующие профильтрованному сигналу, и после прохождения
ими цифроаналогового преобразователя (ЦАП) сигнал приоб-
ретает ступенчатую форму, причем высота каждой ступени
равна отсчету выходного сигнала в соответствующие моменты
времени. Под выходным дискретизованным сигналом $'ГВЫх(0
20*
307
в дальнейшем будем подразумевать последовательность корот-
ких импульсов, амплитуды которых равны высотам соответст-
вующих ступеней.
Наконец, в четырехполюснике, который можно назвать син-
тезирующим фильтром (СФ), осуществляется преобразование
сигнала с выхода ЦАП в континуальный выходной сигнал
$ВЫХ(Ц •
Одним из основных параметров рассмотренной системы яв-
ляется шаг дискретизации Т, задаваемый опорным генератором.
Особое внимание уделяется повышению стабильности частоты
1/Т этого генератора, задающего строгую синхронность управ-
ления всеми ключевыми элементами устройств системы.
Цифровые системы обработки сигналов обладают рядом
преимуществ по сравнению с аналоговыми. В первую очередь
следует отметить абсолютную стабильность их характеристик.
Кроме того, в цифровых фильтрах возможна реализация таких
алгоритмов обработки, которые в аналоговой обработке нере-
ализуемы. Характеристики фильтра легко перестраиваются.
Возможно создание адаптивных (самонастраивающихся) си-
стем. Эти и другие преимущества будут отмечены в дальнейшем
после детального рассмотрения основных характеристик циф-
рового фильтра.
Следует отметить, что при рассмотрении принципа дейст-
вия схемы, представленной на рис. 12.1, преобразования ана-
лог—цифра и цифра—аналог могут быть опущены. В этом
случае неквантованные отсчеты сигнала sT(t) (аналоговые)
вводятся в дискретный фильтр, в котором над ними совер-
шаются те же математические операции, что и над кодовыми
словами в цифровом фильтре.
Системы, в которых не используется цифровое кодирование,
относятся к классу дискретных систем аналогового типа. В по-
следующих параграфах рассматриваются именно такие систе-
мы, а оценка погрешностей, связанных с эффектом квантования,
дается в § 12.8.
Отметим также, что в «чисто» цифровых системах передачи
информации сигнал на выходе приемника уже имеет форму,
пригодную для цифровой обработки, и поэтому АЦП в такой
системе не нужен. Если при этом потребитель информации
использует непосредственно сигнал с выхода цифрового филь-
тра, то отпадает необходимость и в ЦАП.
12.2.	ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ
ДИСКРЕТНЫЕ (ЦИФРОВЫЕ) ФИЛЬТРЫ
Сигнал на входе дискретного фильтра представляет собой
последовательность отсчетов s(kT), fe=0, 1, 2, ..., взятых с
интервалом Т из континуального сигнала s(t). Этот сигнал
можно записать в форме, аналогичной (2.106'), но с использо-
308
ванием вместо дельта-функций б(/—kT) единичных импульсов
(отсчетов) б[(т—k)T], определяемых в виде
• г/ '7'1______Г 1 При /72 k
й[(//г-Л)Г] = (0 при m4=k
ЛГ [1 при /тг = О,
б[/пГ] |q при
(12.1)
где т и k — целые числа.
Как видно из этого определения, единичный импульс
6[(m—k)T] можно использовать для фиксации положения от-
счетов сигнала на оси времени только в дискретные моменты.
При этом выражение, аналогичное (2.106'), принимает следую-
щий вид:
СО
s (rnT) = ^s(kT)& [(m-k) Г],
w
(12.2)
При рассмотрении цифровых фильтров множитель Т в аргу-
ментах дискретных функций s(mT), s(kT) и S(mT) иногда
опускается.
На выходе фильтра в результате определенных операций
возникает последовательность отсчетов sBtit(mT), т—0,
1,2,...
Рассмотрим сначала наиболее простой алгоритм работы
цифрового фильтра, при котором отсчет sBux(mT) в момент
t=tnT зависит от отсчета, поступающего в этот же момент на
вход фильтра, и от Я предшествующих ему отсчетов:
sBblx(mT)=aos(mT)-{-als(mT—T)-\-a2s(mT—27')-j- ...
...+ans(mT— НТ).	(12.3)
Этот алгоритм реализуется схемой, представленной на рис.
12.2, на которой Т означает элемент задержки на шаг дискре-
тизации (в цифровом фильтре это элемент памяти); а0, alf ...
..., ан — умножители («весовые коэффициенты» фильтра), а
2 — сумматор отсчетов, из которых образуется выходной
сигнал.
Начиная с момента t—О выходные отсчеты в моменты t — Q,
Т, 2Т, ... будут определяться выражениями
8вых (0) —OqS (0) ,
Звых (7’)=aos(7')+a1s(O),
Sbkx(2Т) —aos (2Т) +aiS(T) +a2s (0),
sBW(mT)=aos(mT)-{-als[(m— l)7']H-a2s[(m—2) Т'Ц- ...
... -|-aKs[(m—Н)Т].
309
Рис. 12.2
Приведенные соотношения, соответствующие алгоритму
(12.3), обобщаются выражением
н
[(т —k) У].	(12.3')
ft=0
При подаче на вход фильтра единичного отсчета б(тТ) на
выходе сумматора возникает последовательность отсчетов, име-
ющая смысл импульсной характеристики фильтра g(tnT) (рис.
12.3). Из (12.3), а также непосредственно из схемы на рис. 12.2,
следует, что g(mT) = {ао, аь ..., ан), т. е. отсчеты g(mT) сов-
падают с весовыми коэффициентами фильтра.
Выражение (12.3') можно переписать в форме
«вых (тУ) = ^s [(m — k)T]g (ЛУ) =
k
= ^s(kT)g[(m-k)T].	(12.3")
ft
Выражение (12.3”) является дискретным эквивалентом
интегральной свертки, используемой при анализе передачи кон-
тинуальных сигналов в аналоговых системах.
Рис. 12.3
Рис. 12.4
310
Представленный на рис. 12.2 фильтр называется транс-
версальным. Иначе образуется сигнал на выходе фильтра
при введении в его схему обратных связей (рис. 12.4). В этом
случае значение сигнала на выходе сумматора в любой момент
времени тТ зависит дополнительно (по сравнению с транс-
версальным фильтром) от некоторого числа отсчетов выходного
сигнала в предшествующие моменты времени, что значительно
расширяет возможности фильтра. Подобные фильтры называ-
ются рекурсивными.
Разностное уравнение (12.3) следует заменить для рекур-
сивного фильтра более общим уравнением, учитывающим об-
ратные связи с весовыми коэффициентами Ь2, ..., Ьм:
sBMX(mT) =aos(m7’)+a1s[(m— 1)Т]+ ... +aHs[(m—//)Т]+
-|-Ь15вых[(иг—1)7']+... -|-Ьл1£вых[(Я1—Л!)?1].	(12.4)
Наглядное различие между трансверсальным и рекурсивным
фильтрами заключается в свойствах их импульсных характе-
ристик. В первом случае импульсная характеристика содержит
конечное число отсчетов (/7+1), а во втором благодаря обрат-
ной связи число отсчетов неограниченно велико. В связи с этим
трансверсальные фильтры иногда называют КИХ-фильтрами, а
рекурсивные — БИХ-фильтрами.
12.3.	ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ
И ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА
Из предыдущего параграфа ясно, что линейное разностное
уравнение [(12.3) или (12.4)] полностью описывает работу
цифрового фильтра. Анализ характеристик фильтра существен-
но упрощается при использовании аппарата преобразований
Лапласа и Фурье. Поэтому целесообразно представить слага-
емые разностных уравнений в форме (2.106') [вместо (12.2)].
В § 2.13 было определено изображение по Лапласу сигнала
5т(0 •'
оо
S’ [Sr (7)1 = Sr (Р) = 2 S (kT) е~РкТ.	(12.5)
fe-0
Аналогично изображение по Лапласу выходного сигнала
оо
2 [Згвых (/)] = Stbhx (?) = 2 $вых (k Т) г*	(12.5')
Передаточную функцию цифрового фильтра можно опреде-
лить как отношение
Kr(p)==S:rBMx(p)/ST(p).	(12.6)
311
Определим Кт(р) для трансверсального фильтра, представ-
ленного на рис. 12.2. Сначала запишем разностное уравнение
(12.3) с использованием записи дискретных сигналов в форме
(2.106')
5твых (0 =о0$т (/) -(-o,sT (/—Т)	-|~он5т(£—НТ).	(12.7)
Применив к этому выражению преобразование Лапласа, с
учетом теоремы смещения получим
Stbux (р)=a0Sr (9) а^т (р) е~Рт + • • • + ан$т (р) ^~рНТ =
н
= Sr (Р)^аке-Рьт,
6=0
откуда по формуле (12.6)
н
Kr(/2) = 2«fte-^.	(12.8)
6=0
Заметим, что такое же выражение получится, если приме-
нить преобразование Лапласа непосредственно к импульсной
характеристике g(kT), представив ее в форме
н
gT(t) = ^akb (i-kT)
6=0
(см. комментарий к рис. 12.3).
Очевидно, что обратное преобразование Лапласа передаточ-
ной функции Кт(р) даст импульсную характеристику gr(t)
или ее отсчеты [см. (2.112) и (2.113) J.
Подставив в (12.8) p=ia>, получим передаточную функцию
на оси частот (комплексную частотную характеристику)
н
К т (ico) = 2 ake~,akT.	(12.9)
6=0
Сопоставление выражений (12.9) и (2.110) показывает, что
передаточная функция цифрового фильтра Кт (ico), как и
спектры ST(со), Stbmx(co) имеет периодическую структуру с
периодом (на оси частот), равным со1=2л/7’.
Следовательно, рассматриваемую передаточную функцию
наряду с (12.9) можно записать также в форме
оо
Kr(tco) = V Кан [i (со—nirtj)],	(12.10)
п =—©о
где Кан(йо)—передаточная функция аналогового фильтра, об-
ладающего импульсной характеристикой g(t), которая соответ-
ствует дискретной характеристике
н
gT(t) = ^g(kT)t>(t-kT).
6-0
312
Рис. 12.5
Выражение (12.10) аналогично (2.109). Если шаг Т мал по
сравнению с протяженностью функции g(t) или, что то же са-
мое, частота повторения со, больше полосы прозрачности ана-
логового фильтра, то частотные характеристики, соответству-
ющие разным значениям п, не перекрываются. В этом случае
на центральном участке —(i)i/2<Z(i><Z.(i)i/2, т. е. при п=0, ха-
рактеристики Кт (io) и Кан(йо) полностью совпадают. Это ил-
люстрируется рис. 12.5 для дискретного фильтра нижних ча-
стот при воздействии гармонического колебания
со
$т-(/) = Д0 V cos со0йГ6 (t—kT), ы0<л/Т,
k=—оо
со спектральной плотностью
оо
2 16(“ — “о — Л(01)-|-6 (со-Ь С00—/ZCOj)]
п— — ОО
[см. (2.95) и (2.109) J. Сплошными линиями показаны спектр
сигнала и АЧХ фильтра в пределах центрального частотного
интервала, а штриховыми — их периодические продолжения.
После обратного преобразования дискретного сигнала $твых(0
в континуальный сигнал $ЕЫх(0 (с помощью СФ, как на
рис. 12.1) только центральный участок определяет спектраль-
ный состав выходного сигнала.
Следует подчеркнуть важность этого заключения. По суще-
ству оно означает, что определение передаточной функции
дискретного фильтра можно распространить и на отношение
SBMx(<b)/S(gj). Иными словами, выражение (12.6) можно трак-
товать как передаточную функцию дискретного фильтра в це-
лом с учетом как дискретизации сигнала s(t) на входе, так и
восстановления континуальной формы $ЕЫх(0 на выходе
устройства.
Определим теперь передаточную функцию рекурсивного
цифрового фильтра. Повторяя рассуждения, приведшие к фор-
313
Рис. 12.6
муле (12.8), и основываясь при этом на разностном уравнении
(12.4), нетрудно получить
а0 + а# рТ + а2е р2т + ... + ане рНТ
Кт - х-ь1е-рТ-ь^-2рТ-...-ьме-рМТ '
(12.11)
Передаточная функция (12.11) соответствует схеме на
,рис. 12.4. Однако эта схема не является единственной, посколь-
ку возможны другие формы реализации, обладающие этой же
передаточной функцией. Так, выражение (12.11) можно пред-
ставить в виде произведения двух передаточных функций
Г Т 1-2
fe=l
или при переходе от переменной р к ia>
н
Кг (гы) =------------------2 ak&~lu>kT = ₽г (гы) «г (i®).	(12.12)
1-2 bke-‘“>kT
й=1
Такому представлению соответствует каноническая схема
на рис. 12.6, являющаяся каскадным соединением фильтров
₽т(гы) и ат(гы). Достоинством схемы является использование
в ней минимального числа элементов задержки, равного поряд-
ку фильтра (порядку разностного уравнения).
•314
12.4.	ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ
СИГНАЛОВ
12.4.1.	ДИСКРЕТНЫЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ
СИГНАЛЫ
В § 2.13 было показано, что спектральная плотность 5т(со)
дискретизованного по времени сигнала sT(t) имеет периодиче-
скую структуру с периодом на оси частот ы,=2л/Т
(рис. 12.7,6). Этот спектр, как и спектр S (со) исходного (кон-
тинуального) сигнала (рис. 12.7, а), является сплошным. Меж-
ду тем при цифровой обработке сигналов осуществляется
дискретизация и в частотной области. Это означает, что сплош-
ной спектр ST(cd) представляется совокупностью своих значений
ST(nAo)) на дискретных частотах со=пАсо. Подобный спектр
для сигнала, длительность которого 7'С=АТ, показан на
рис. 12.7, в.
Интервал между соседними спектральными линиями в соот-
ветствии с теоремой отсчетов (см. § 2.12) не должен превы-
шать \a)=2n/Tc=2n/NT=wi/N. Отсюда следует, что число
отсчетов спектра Sr((o) в пределах одного его периода
<д1/Д(о=Л\ т. е. такое же, как и число временных отсчетов.
Выражение (2.110) для сигнала, состоящего из N отсчетов,
имеет вид
N-\
Sr («) = 2«(^Л
S=0
Подставляя в него co = nAw, получаем соотношение
АГ-1	7V~1	-i—nk
ST (пДю) = 2 s (kT) = 2 s (^r) e Iyv " •
fe=0	k=o
n=0, ±1, ±2,..., ±N/2 (при четном N).
Рис. 12.7
315
Полученное выражение называется дискретным пре-
образованием Фурье (ДПФ).
Аргументы пДсо и kT часто обозначаются просто п и k и
заключаются в квадратные скобки. Окончательно ДПФ можно
записать в форме
N~l	-i2
S [я] = 2 5 РИ е «=0, ±1. .... ±Лб/2.	(12.13)
fc=0
Выражение (12.13) является алгоритмом вычисления спек-
тральных коэффициентов [S[nj) по заданным временным отсче-
там (эр]}.
При четном N и действительных отсчетах {s[&]}
S|W/2+n=S*[A72—/], /=0, 1.......N/2,
где S*(n] — величина, комплексно-сопряженная S[n],
Действительно, подставляя в S[n] n=N/2-\-l и учитывая,.
что N является периодом, получаем
TV—1	2л	1	2л
S[W2+Z]= 2 s[*]e-Z"(W2+/)ft= 2 4^|e+'-<7V/2"/)ft =
ft=0	Л=0
= S*[2V/2—Z], Z=0, 1....N/2,
что и требовалось доказать.
Из этого свойства ДПФ, в частности, следует, что при 1=0
S[W/2]=S*|W/2], т. е. S[N/2] всегда действительное число. Это
справедливо и для S [0].
На основе доказанных свойств ДПФ картину образования
периодической структуры спектра можно пояснить построением,
показанным на рис. 12.8 (для W=8). Амплитудный спектр ис-
ходного континуального сигнала представлен на рис. 12.8, а.
Весь диапазон разбит на N равных интервалов А со. Отсчетные
точки на оси частот расположены в середине каждого интер-
вала. На рис. 12.8, б представлено периодическое продолжение
спектра. В точке n=N/2=4 S[4]=S[—4] —действительное чис-
ло, в точке n=2V/2-H=5 спектральная плотность S[5]=
S*|3], а по модулю | S[5] | = | S*[3]| и т. д. При n=N=8 начи-
нается следующий период последовательности S[n]. Очевидно,
что в выражении (12.13) можно изменить нумерацию отсчетов
спектра:
№1	2л „
2 s[*le • й=°>1.............W-1-	(12Л4)
fe=0
Именно в такой форме в дальнейшем будет записываться
ДПФ последовательности N временных отсчетов.
Существует обратное дискретное преобразо-
вание Фурье (ОДПФ), которое позволяет найти последова-
316
Рнс,. 12.8
тельность N отсчетов сигнала, по которой определялось ДПФ
S[n].
ОДПФ задается выражением
$[6] = 4" 2	£ = 0,1......../V—1,	(12.15)
л=0
которое отличается от (12.14) только масштабным множителем
1/N и знаком экспоненты, подобно тому, как это было в слу-
чае преобразований Фурье аналогового сигнала [см. (2.38),
(2.39)].
Для доказательства того, что (12.15) действительно являет-
ся ОДПФ, подставим (12.14) в (12.15):
W-1 7V-1	2п 2п	JV-1	„-г
п=0 т=0	т=0	n=Q
1 — n(k-m)
е
Внутренняя сумма в правой части этого выражения равна N
при k=m и нулю во всех других случаях (как сумма векто-
ров, концы которых делят окружность единичного радиуса на
W равных друг другу дуг). Таким образом, только одно сла-
гаемое внешней суммы отлично от нуля и равно s[£]7V=s[£],
что и требовалось доказать.
В литературе встречается запись, содержащая множитель
1/N в ДПФ (а не в ОДПФ), а также запись с множителями Т
в ДПФ и 1/NT в ОДПФ. В последнем случае учитывается зави-
симость временных и спектральных коэффициентов от интер-
вала дискретизации Т.
Итак, дискретизованному сигналу {$[£]}, £=0, 1,..., N—1,
соответствует сплошной спектр Sr(w) с периодической струк-
з 17
турой (рис. 12.7,6). Дискретизованному же спектру Spi], п=
=0, 1,..., N—1, соответствует периодическая последователь-
ность сигналов {s[A?J}, повторяемых с периодом N (рис. 12.7, в).
Однако в расчет следует принимать только N отсчетов этого1
сигнала: {«[Л]}, /г=0, 1,..., N—1. Заметим, что если дискрети-
зации подвергнуть периодический сигнал с периодом NT, где
Т — шаг дискретизации, то ему будет соответствовать дискрет-
ный спектр с периодом N.
Ряд свойств непрерывных преобразований Фурье, рассмот-
ренных в § 2.5, нетрудно сформулировать и для ДПФ. Рас-
смотрим некоторые из них.
1.	Линейность
Если $i[#| и s2[fe], k—0, 1,..., N—1, — дискретные сигналы,
a Si[n] и S2[n — их ДПФ, то ДПФ сигнала GSj[/j]-|-bs2[^] равно
aSi[n]-|-bS2[n].
2.	Сдвиг во времени
Если дискретному сигналу $[£], &=0, 1,..., N—1, соответству-
,2л
ет ДПФ S[n], то ДПФ сигнала s\k—пг] равно S[n]e-,wnra, m—
целое число. Иными словами, сдвиг отсчетов последовательно-
сти s[fe] на m интервалов приводит лишь к изменению фазоча-
стотной характеристики ДПФ. Следует отметить, что в отличие
от аналогового сигнала, когда s(t) целиком сдвигается по оси
времени, для дискретного сигнала имеется в виду круговой
сдвиг. Например, при /п>0 отсчеты s[0], s[l],..., s[m—1] по-
очередно переносятся в конец последовательности.
3.	Свертка сигналов
Если дискретным сигналам s[&] и g[/?], &=0, 1,..., IV—1,
соответствуют ДПФ S[n] и G[n], то ДПФ сигнала
N—1
У [т] = s М S [т — k],	(12.16)
Л=0
называемого круговой (периодической) сверт-
кой, равно
Y[n]=S[n]G[n],
Для доказательства этого равенства найдем ДПФ правой
части (12.16):
¥[«] =
N-1
*=о
,2тт
—I—пт
е N
К-1	ГЛ—1	1
=	6]е 'л'"'" | е~ ^" .
h—0	L m=0
318
Последнее выражение в квадратных скобках есть не что иное,,
как ДПФ G[n], Тогда
Y[n] = O[n]	s[Л]е '""-=О[/г]8[п],
*-=о
что и требовалось доказать.
Полученный результат можно распространить с некоторы-
ми уточнениями и на случай апериодической (линейной)
свертки, определяемой выражением (12.3"), когда дискретные
функции s[/e] и д[&] не являются периодическими и содержат
разное число отсчетов (JVS и Ng). Очевидно, что по алгоритму
(12.3") число отсчетов в совокупности {g[m]} равно W=Afs4-
4-Afg—1. Для получения такого же периода в круговой свертке
необходимо последовательности s[&] и g[&] дополнить нулевыми
отсчетами, чтобы каждая из них содержала в итоге по IV от-
счетов.
Итак, вычисление ОДПФ произведения S[n]G[n] дает такой
же результат, как вычисление круговой свертки (12.16) сигна-
лов {s[/e]J и {g[&]}. Это свойство ДПФ будет дополнительно об-
суждено в § 12.11 при рассмотрении алгоритмов цифровой
фильтрации во временной и частотной областях.
В заключение отметим, что алгоритм вычисления ДПФ
(12.14) можно использовать для вычисления ОДПФ. Для этого
необходимо все отсчеты сигнала $[&] заменить отсчетами спект-
ра S[n], поменяв их, кроме S[0], местами: S[l] с SfTV—1], S[2] с
S[A—2] и т. д., и полученный результат разделить на N.
12.4.2.	ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Под дискретным случайным процессом понимается после-
довательность отсчетов {*[&]} континуального случайного сиг-
нала (или помехи) x(t), взятых в моменты t=kT. Каждый от-
счет х[&]— случайная величина. Процесс x[k\ называется ста-
ционарным (в широком смысле), если его среднее значение
x[k] постоянно, а корреляционная функция х[^1]х[й2]=
=х[6]х[/г-|-7п]=/?Д7П] зависит только от разности m=kx—k2.
В дальнейшем полагаем х[&]=0.
Пусть заданы спектральная плотность мощности ^(о) и
корреляционная функция Rs(x) исходного континуального про-
цесса x(t), связанные между собой соотношениями (4.38')
и (4.39').
В результате дискретизации процесса x(t) аналогичные ха-
рактеристики принимают следующий вид:
со	оо
lFxr(a))=-l- 2-	2	(12.17)
П=—СО	/П==~“СО
319
T.fT
7?л[/п] = ^- WxT (co) dmaTd^> =
—т.]Т
it
=2^ Jj (w) e,m“rd (w7).	(12.18)
“TV
Следует иметь в виду, что в отличие от 1Гх((о) функция
№хт(<й) имеет размерность мощности [см. комментарий к
(2.110)].
Вывод выражений (12.17) совершенно аналогичен выводу
(2.109) и (2.110), а выражение (12.18) аналогично (2.113).
Как и при дискретизации детерминированного сигнала s(t),
спектр И7жТ((о) является сплошным, имеет периодическую
структуру и может быть выражен либо в виде суммы парциаль-
ных спектров 1^х(о)—п2л/Т), либо через дискретные отсчеты
/?х[пг] [в данном случае корреляционной функции 7?х(т)].
Рассмотрим два характерных примера:
1.	Спектральная плотность мощности исходного случайного
процесса IV'x(ti)) не выходит за пределы частотного интервала
(—л/Т, л/Т). В этом случае парциальные спектры не перекры-
ваются и в пределах центрального лепестка (п=0), как это
следует из (12.17), №хт((й) = Жх(ы)/Т. Пределы интегрирования
—л/Т, л/Т в выражении (12.18) можно заменить на ±оо, так
что
оо
= J ^(Че“йГ(о = /?Л(т)|г=тГ, /М0] = /?х(0)
—оо
Это означает, что корреляционная функция дискретизованного
процесса {*[&]} представляет собой последовательность отсче-
тов взятых из функции Rx(x).
Важное ирикладное значение имеет марковский нормаль-
ный процесс. Случайный процесс x(t) называется марковским,
если для любого набора моментов времени Л<^2< • -  <tm+i
условное распределение вероятностей для x(tm+i) относительно
величин x(tm),..., x(ti) совпадает с условным распределением
x(fm+1) относительно x(tm) [«будущее» x(fm+1) не зависит от
«прошлого» x(tm-i),..., х(Л) при фиксированном «настоя-
щем» х(^т)]. Существует следующая теорема1: гауссовский
случайный процесс х[&] будет одновременно и марковским тогда
и только тогда, когда при l<zk<Zm коэффициент корреляции
rx[m—I]	отвечает фундаментальному соотношению
rx[k— l]rx[m—k]=rx[m—/].
Для гауссовского стационарного процесса с нормированной
корреляционной функцией rx[m—Z]=exp(—aim—/|), а>0, это
1 Феллер В. Введение в теорию вероятности и ее приложения. Т. 1.— М..
Мир, 1967.
320
соотношение выполняется, причем дискретизованная экспонен-
та является единственной функцией, для которой по заданному
ее значению при одном частном сдвиге можно определить
значение rx\k] при любом другом k.
С этим связано важное свойство марковского процесса пер-
вого порядка: если установлено, что х[&] обладает нормальным
распределением, то на следующем шаге дискретизации Ze-j-l
распределение также нормальное. Так, при воздействии белого
шума на линейные системы, описываемые дифференциальными
уравнениями первого порядка, формируется марковский про-
цесс. Например, собственный шум в усилителе с /?С-цепью при
ги('с) = ехр(—ItI/RC) [см. (7.19)] является марковским (одно-
мерным) процессом. При более сложных корреляционных
функциях случайные процессы часто аппроксимируются близки-
ми к ним одномерными марковскими процессами1.
2.	Спектральная плотность мощности дискретного случай-
ного процесса {п[&]} задана в виде
^пг((1)) = 1^о/Л —л/Т <.ы<л/Т.
Корреляционная функция в соответствии с (12.18)
т:
$ e"d(o>D-
—7Г
При любых значениях т=^0 интеграл в правой части равен
нулю, а при т = 0 равен 2л.
Таким образом,
U7
/?Дт) = уб[т],	(12.19)
где б[ги] определяется выражением (12.1).
Итак, рассматриваемый процесс {п[&]} является дельта-кор-
релированным и может быть назван дискретным белым шумом.
Однако в отличие от непрерывного белого шума [см. (4.40)]
его дисперсия конечна и равна Wo/T, т. е. средней мощности в
полосе частот от —1/2Т до 1/2 Г.
12.5.	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА
z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА
ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ
12.5.1.	СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ р И г
В изображения по Лапласу дискретизованных сигналов, а
также в передаточные функции дискретных систем входит
1 Полляк Ю. Г. Вероятностное моделирование иа электронных вычисли-
тельных машинах.— М.: Сов. радио, 1971.
21—3305
321
функция ехр(рТ). Чтобы облегчить анализ, удобно сделать за-
мену
z = epr, р = —Inz.
При такой замене указанные трансцендентные функции
комплексной переменной р преобразуются в соответствующие
z-изображения, являющиеся алгебраическими функциями
комплексной переменной г, благодаря чему упрощается пред-
ставление их на плоскости г.
Преобразование плоскости p=o+ie> в плоскость z=x+iy
можно осуществлять с помощью следующих соотношений, свя-
зывающих координаты (oi, Oi) какой-либо точки рх на плос-
кости р с координатами (хь у^) соответствующей точки Zj
на плоскости z (рис. 12.9):
Zi = + iyx = е<о*+/М1>7',
Xi = еа*г cos ыхТ, yi = e.OiT sinw17'.
В полярных координатах на плоскости z
п=I I=К^12+У12=е°1Г>
Ч5! = агё z\ = Т + 7я2л,
где m — любое целое число.
На рис. 12.10 представлены отображения некоторых харак-
терных точек и областей из p-плоскости на z-плоскость. Точка
г'ы ,,
0\	<5
ita
<S
lT
Рис. 12.10
322
р=0 переходит в точку z= 1 на действительной оси z-плоскости.
При движении точки p-плоскости вдоль оси ico (т. е. при о=
=0) соответствующая ей точка z-плоскости описывает окруж-
ность единичного радиуса. Один полный оборот радиуса-век-
тора соответствует изменению частоты а в интервале от до
а1+2л/7'.
При движении точки pt вдоль оси ico в пределах от — too
до ioo точка Zi описывает бесконечно большое число окруж-
ностей. Таким образом, взаимно однозначное отображение р
на z существует только для полосы p-плоскости между ±in/T.
Внутри этой полосы левая полуплоскость отображается внутрь
единичного круга. Все параллельные полосы такой же ширины
в левой полуплоскости соответствуют этому же кругу. Правая
полуплоскость р преобразуется во всю z-плоскость, исключая
единичный круг.
12.5.2.	z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Преобразованию Лапласа дискретного сигнала [см. (2.111)1
соответствует функция
оо
S (z) = Sr (р) |р^1пг =2 S [Л]	(12.20)
которую будем называть прямым z-преобразованием
(односторонним).
Ряд (12.20) сходится для |z| >г0 и расходится для |z|<
<г0, где г о — радиус сходимости. Действительное число г о
определяется из условия cr*> |s[^]|, k=0, 1, 2, ..., с>0 —
постоянное действительное число.
Для |z|>»ro z-преобразование S(z) является аналитической
функцией переменной z. С помощью аналитического продол-
жения функция S(z) может быть распространена на всю плос-
кость, а выражение (12.20) справедливо только в области схо-
димости.
В случае ограниченной последовательности s[&], 0^k<ZN,
для сходимости ряда достаточно |s[£]|<co. При этом z может
принимать любые значения, кроме z=0.
На окружности единичного радиуса в z-плоскости перемен-
ная z=eiaT. Подставив эту переменную в (12.20) и учтя (2.110)»
получим важное соотношение
S(e‘or) = 2 s [Л] e-^r = sr (ы).	(12.21)
*=0
Итак, S(e’“T) есть не что иное, как спектральная плотность
ST(co) сигнала s[t), дискретизованного с шагом Т.
21*
323-
Аналогичные рассуждения приводят к выводу о том, что
ДПФ S[n] N отсчетов сигнала $[6] есть значения S(z), равно-
го
. ,	i -т.п
мерно расположенные в N точках z=e ” на окружности
единичного радиуса в плоскости z.
Учитывая периодичность функций Sr(o) и S[n], можно
ограничиваться только одним обходом по указанной окруж-
ности.
Найдем z-преобразования для некоторых распространенных
в теории сигналов временных функций s(t).
1.	Последовательность отсчетов из затухающей экспоненты
s(t)=e~at, а>0. В этом случае
s [6] = e~“fcr = bk, 6 = е-аГ<1,
S (z) = 2 bkz~k = ^ (bz~l)k.
fe=0	k-=0
Наложим условие I&Z-11<1. Тогда можно применить фор-
мулу геометрической прогрессии
«(*>=-1=^-=^-	(12-22)
Нуль функции S(z) в точке Zo=O, полюс в точке zn=6<l,
радиус сходимости ro=|zn|=6, область сходимости |2|>6.
Отметим, что расположение полюса вне круга г=1 (при
6<1) соответствует тому, что выражение (12.22) является z-
преобразованием отсчетов из нарастающей экспоненты (а<0),
не имеющей физического смысла.
На окружности единичного радиуса z-преобразование (12.22)
определяет спектр дискретизованного сигнала
S (е'юГ) = Sr (ю) = 1/ (1—6е'“г).	(12.23)
Модуль этой функции (АЧХ спектра)
Sr (со) = 1 //1—26 cos 0)7 +&2.	(12.23')
График АЧХ для некоторых значений параметра b пред-
ставлен на рис. 12.11.
2.	Последовательность отсчетов из единичного скачка
л(0 = 1> ^>0. Этот сигнал можно рассматривать как частный
случай предыдущего примера при а=0 (6=1)
s[6]=l[6]=H ПРИ
|0 при k < 0.
Подставляя в (12.22) 6=1, получаем
S (г) = 1/(1— z-*)=z/(z— 1).	(12.24)
Спектральная плотность Sr(<o) = l/(1—е_'“г) на частотах
<о=п2л/7’, п — целое число, обращается в бесконечность.
324
Для уточнения структуры спектра дискретизованного скач-
ка обратимся к исходной функции s(/) = l, и представим
ее в виде суммы s(Z) =-g--|--^-sgn(O (см. § 2.10, пример 3).
Спектральная плотность постоянной составляющей 1/2 рав-
на лб(ю) [см. (2.96)], а после дискретизации этой составляю-
щей во времени с шагом Т спектральная плотность будет
со
у 2 б (со—л2л/Г) [см. (2.109)].
П= — оо
Таким образом, полная спектральная плотность дискрети-
зованного скачка
оо
Sr (<->) = у- 2 б(а-п2л/Т) +	'1аТ.	(12.24')
п=— оо	1 е
Второе слагаемое в правой части определяет спектральную
плотность дискретизованной функции ’/2Sgn(£) на всех часто-
тах, кроме а^^л/Т, а первое слагаемое — именно на этих
частотах.
На интервале 0<<в7’<2л АЧХ спектра определяется выра-
жением 1/| 1—е‘“г | = 1/2sin (аТ/2).
На рис. 12.11 график этой функции представлен штриховой
линией (при а7’=0 6=1) [функция у 6(о) на рисунке не пока-
зана].
325
3.	Последовательность отсчетов из сигнала s(t)=e~a'cosoot,
а>0. В этом случае
s [Л] = e~akT cos (£>okT =	у е_/“«АГ,
где Ь = е~аТ.
Применяя (12.20) получаем
S (z) =	(6ei“»7'z-1)ft +	2 (6e-to«7'z"1)*.
*=о	ь=о
При 6<1 по формуле геометрической прогрессии
(Z) ~ "2 (1 — 6eie>°rz-1)	(1 —бе-10»7^-1)
_	z(z—fccosWoO	/19 9^
z2 — 2bz cos ШоГ + Л2 '	'
Нули: Zoi = O, Zo2==bcos(i)07’.
Полюсы: zn i>2=6 (coscooT’iisincooT').
Радиус сходимости ряда (12.25)	r0= j1,2j = &» а область
сходимости | z | > b.
В табл. 12.1 приведены Z-преобразования рассмотренных,
а также других распространенных сигналов.
Таблица 12.1
NN
s]*b *>0
S(z)= S
*=•0
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
II
6[й]
1[Л]
k
k2
bk
kbk~l
k (й-l) ,ft_2
2 b
k(k — 1) ... (A—Z+l)
11
Abk sin ak
A bk cos ak
ak—bk
a — b
(a=hb)
1
г/ (z-1)
z/ (z-1)»
Z(Z+1)/(Z-1)’
Zl (z—b)
z!(z-by
z
(z —by
(z—b)l+t
Abz sin a
z2—2bz cos a+b*
Az (z—b cos a)
z2—26zcos a-[-b2
(z—a) (z — b)
326
12.5.3.	z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ
ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Применим z-преобразование к передаточной функции диск-
ретной системы. Подстановка еРт==2 в выражение (12.11) дает
k(z)= Sb“x(z)
S(z)
н
У «й-г-6
й=о
Л1
1-2 bkz~k
Й=1
(12.26)
Из этого выражения видно, что передаточная функция дис-
кретной системы является дробно-рациональной. По заданному
выражению (12.26) легко составить разностное уравнение вида
(12.4), определяющее алгоритм преобразования входного дис-
кретного сигнала в выходной. Для этого каждому из слагаемых
вида s[m—/г] в уравнении (12.4) достаточно приписать коэффи-
циент ah при степени z~h в числителе, а слагаемым вида
sBblx[m—k] — коэффициент bh при степени z~h в знаменателе вы-
ражения (12.26). Соответственно по заданному разностному
уравнению можно составить выражение (12.26).
Следует, однако, отметить, что не всякая дробно-рациональ-
ная функция может быть реализована в виде передаточной
функции системы.
Пусть, например, передаточная функция задана в виде отно-
шения полиномов по положительным степеням
а^ + а^ 1 + ...+аи
К 2 ПД* ь	л
бог OjZ	...
(12.26')
Разделив числитель и знаменатель на bozM, приведем это
выражение к виду
-Н-М , Д.
K(z) = -
'о
61
6о
+ ...+^ZM
up
_-М
6о 2
Если Н>М, то первое слагаемое в числителе (с положи-
тельной степенью z) образует в уравнении (12.4) слагаемое
вида (а0/Ь0) s[m+&], где k=H—Л4>0, соответствующее импуль-
су s[m+&], который опережает во времени входной импульс
s[m], что, конечно, невозможно. Отсюда следует, что фильтр
осуществим при условии, что степень знаменателя в (12.26')
больше или равна степени числителя.
327
С учетом этих замечаний запишем передаточную функцию
в следующих эквивалентных формах (при Ьо—1):
* . ч	т	#2* -Г ... -Г а
К (z) = ---------------------— =
1 — й.г-1—62г-2— ... — bMz~M
гм~н (аъгн + atzH~' + аггн~2 + ...+ам)
zM-b1Z*-'-bszM-2-...-bM	;
К (z)=a0z^{Z~2°inz~Zo2) ••• {г~2°н}
(12.27)
(12.28)
(г—zni) (z—zn2)... (г—*пЛ1)'
В выражении (12.27) коэффициенты ah и bh следует подстав-
лять с теми же знаками, с которыми они входят в (12.4).
В выражении (12.28) гОп — нули, а гПп — полюсы передаточ-
ной функции; zOn и zn„ могут быть либо действительными, либо
комплексными числами. В первом случае они расположены на
действительной оси, а во втором образуют комплексно-сопря-
женные пары.
Нули могут быть расположены в любой точке плоскости г,
полюсы же — только внутри круга единичного радиуса. Это
условие вытекает из требования устойчивости цепи; при рас-
смотрении поведения передаточной функции на плоскости р
условие устойчивости требует расположения полюсов в левой
полуплоскости. Как отмечалось выше, левая полуплоскость р
отображается внутрь единичного круга на плоскости г.
Для перехода от функции K(z) к функции Кт (ico) следует,
как это вытекает из (12.21), приравнять z=e’“T(o=0).
Таким образом,
й() + я’е ‘аТ+аге 12аТ—.--+а„е 1НаТ
КТ (ЛМ) ~ 1 - 61е-гиГ- б2е-г2“г - ... - Ьме~1МаТ
°	(е'“г-гп1) (e'“r-zn2) ... (е'“г-гпЛ1) '
(12.29)
Для определения АЧХ цепи в диапазоне (0,2 л/Т) следует
вычислить модуль выражения (12.29) при изменении аТ от О
до 2л, т. е. при одном обходе окружности единичного радиуса
на z-плоскости. При последующих обходах окружности АЧХ
периодически повторяется.
Модули разностей е’’“т—zOh и е1шТ—znh являются расстояния-
ми от точки на окружности, соответствующей углу <в7’, до нуля
zOh или полюса znft. Обозначив эти расстояния через Ron и Rm,
получим для АЧХ формулу
Кг	R°" .	(12.30)
удобную для графических вычислений.
328
Вычисления особенно упрощаются при построении АЧХ в
логарифмическом масштабе:
Кт (<о)дб =20
н	м	"I
lgao+2 — 2	•
k*=\	I
(12.31)
Если заданы нули и полюсы передаточной функции, то коэф-
фициенты ак и bh легко определяются с помощью известных из
алгебры соотношений. Значительно более сложной (при М>2)
задачей является определение нулей и полюсов по заданным
коэффициентам ah и Ьк.
Передаточная функция может быть определена также как
z-преобразование импульсной характеристики фильтра
ОО
=	(12.32)
&»=0
На окружности единичного радиуса (г=е~<иТ) выражение
(12.32) переходит в
K(ez“r) = Kr (Z®)=2	(12,33)
12.5.4.	ОБРАТНОЕ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.
ДВУСТОРОННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Отыскание оригинала, т. е. функции s[&], по заданному изо-
бражению S(z) [или £[/г] по заданной передаточной функции
К (г)] производится с помощью обратного z-преобразования, ко-
торое получается подстановкой epT=z в обратное преобразова-
ние Лапласа. Основываясь на выражении (2.113) и подставляя
в него
Sr(p) = S(z), &>kT — zk и dp=~-dz, получаем
$ $(*)**	(12.34)
|г|=ес^	[z|—ec^
Интегрирование ведется по окружности радиуса г=есТ, в ко-
торую преобразуется прямая о=с из плоскости p=o+ito. По-
стоянная с определяется из условия, что все полюсы подынте-
гральной функции находятся внутри круга радиуса г=есТ. Об-
ход контура — в положительном направлении (против часовой
стрелки). Изменению частоты от —л/Т до л/Т соответствует
один обход окружности.
В тех случаях, когда полюсы функции S(z) расположены на
окружности единичного радиуса, постоянная с>0 может быть
сколь угодно малой. Поэтому контур интегрирования можно
329
свести к окружности радиуса г=1 с обходом полюсов вне кру-
га, подобно тому, как на плоскости p—o+ia интегрирование ве-
дется по оси io с обходом полюсов, лежащих на этой оси,
справа.
С учетом этого условия выражение (12.34) можно записать
в форме
=	§ ^(zJz^Mz.	(12.35)
|z|=l
Аналогичное выражение имеет место для gj/e] при замене
S(z) на K(z).
Интегрирование по окружности из дальнейшего рас-
смотрения исключается, поскольку положение полюсов функ-
ции S(z) вне круга г=1 соответствует неограниченно возра-
стающим временным последовательностям, не имеющим физи-
ческого смысла (см. также пример 1 в п. 12.5.2).
Заметим, что при интегрировании по окружности |z|=l
имеет место равенство z=eiuT, что позволяет с помощью соот-
ношения dz—iTe^do) привести выражение (12.35) к виду
s[^] = 2}T $ S(ez“7')ez“fcrd(«r).	(12.36)
—К
Обратимся к двустороннему z-преобразованию. Запишем его
в форме, аналогичной (12.20):
оо
S(z) = 2 s[^]z'fe.
—оо
Можно, очевидно, представить его в виде
оо	—1	оо
S(z) = 2'sf^l2’* + 2 s[&]z_fc=2
k=0	k=—oo	fe=«0
oo
+ 2 s[-A:]zfc-s[0].	(12.37)
fe=0
Первая сумма является односторонним 2-преобразованием,
которое сходится при |z| где ri^|s[^]ll/fc при любых
[см. комментарий к формуле (2.20)]. Вторая сумма сходится при
|z| <г2, где r2<|s[—/г]|1/fc, |£| >0. Таким образом, область схо-
димости двустороннего z-преобразования является кольцом с
внутренним радиусом г2 и внешним радиусом гг, эта область
включает в себя окружность единичного радиуса (z=e*“T).
Напомним, что область сходимости двустороннего преобра-
зования Лапласа представляет собой вертикальную полосу,
включающую ось ш (см. рис. 2.22).
330
Особый интерес представляет двустороннее z-преобразова-
ние чётных функций времени, например корреляционных функ-
ций действительного сигнала (процесса). Так, для стационар-
ного случайного процесса x(t) с корреляционной функцией
/Ц0]ехр(—сх | т |) и энергетическим спектром	после дис-
кретизации x(t) с шагом Т корреляционная функция принима-
ет вид последовательности /?J0]exp (—а | m | Т), т=0, ± 1, ±2,...
В соответствии с (12.20),	(12.37) и с учетом равенства
/?х[—m]=7?x[w] двустороннее z-преобразование принимает вид
оо
Wx(z)= 2 R[m}z~m=
т=—со
(12.38)
Первая сумма, как и в п. 12.5.2 [формула (12.22)], равна
1/(1—e~aTz~l) =z/(l—e~aT)=z/(l—b), а вторая сумма
1/(1—e~aT)z=z~1/ (z~*—b), где b—e~aT.
После несложных преобразований приходим к следующему
результату:
*	Л—1 — Л
^(г) = /?Л0](6 + Д_(:+^Г
раТ___f.—aT
= Rx [0] — г -т---------------, e-“Z <Z<&
J (е“г + е аТ)—(z + z1)
Переходя к переменной z=eiaT и учитывая, что IFx(e’mT)
есть не что иное, как энергетический спектр WxT(aT) дискрети-
зованного процесса х (t), получаем
№гЛт((оГ)= 2
т=—со
= %х	б-ч-б—2 cos аТ~ = ^х	Ц-6г—26costo7' ’	(12.39)
Итак, дискретизованному случайному процессу x(t) соответ-
ствует сплошной энергетический спектр с периодической струк-
турой, с периодом 1/7.
Исследуем поведение функции WxT(a)T) в интервале —л<
<оуТ<л. В точке <о7==0 №«Д0) ==/?«[0]^|, а в точках ®7=
-±лГхГ(л)=вдЬ|.
(J__£ \2
1 + 6 ). В частном случае
2>=0,8; а7«0,2 это отношение равно 1/81 и перекрытием
331
парциальных спектров в выражении (2.109) можно пренебречь.
При этом
r^(0)-R,[0]^-=b^-9=M-^9=UZ,(0)/7-.
Таким образом, при незначительном перекрытии спектров
можно исходить из простого соотношения
W^TjxW.^/T.
12.6.	ЦИФРОВОЙ РЕЗОНАТОР
Рассмотрим АЧХ рекурсивного фильтра второго порядка,
представленного на рис. 12.12. В соответствии с (12.26) переда-
точная функция подобного фильтра
*	Т	2
(12.40)
Рассматриваемая функция К (г) обладает одним нулем (дву-
кратным) в точке z=0 и двумя полюсами в точках zniA
являющихся корнями уравнения
z2—biz—b2=0.
Таким образом,
zm ,2 = bt/2 ± V(bi/2)2+b2.
При Ь2<0 и, кроме того, |Ь2| >b\2lt полюсы zni и zn2 —
комплексно-сопряженные числа:
Zni = bi/2 + i y\b2\-bi2/^, zn2 = z*,.	(12.41)
В этом случае
(z—z„,) (z—zn2)=z2—2Re(Zni,2)z+|Zni,2|2,	(12.42)
откуда вытекают следующие выражения для коэффициентов bi
и Ь2 в знаменателе (12.40):
&1=2Re(Zni,2), b2=— |znlt2|2.	(12.43)
Рис. 1,2.12
Рис. 12.13
332
Подставив Zni,2 в форме
2п1,2 = |гП1,21 е±/<в"г=ге±/фп,	(12.44)
где г=|2п1,2| —расстояние полюса от начала координат, а
<рп==С|)п7' — азимут полюса (рис. 12.13), получим
fei = 2rcos<Bn7’, &2=—А	(12.45)
Для определения АЧХ рассматриваемой цепи подставим в
(12.40) z=e‘“T и возьмем модуль:
|К(е'“г)| = ^г (о)=1/|(е'“7'-гег“п7’)(ег“7'-ге~'“пг)|. (12.46)
Видно, что при изменении частоты от <э7'=0 до <вТ=2л
АЧХ достигает максимума при аТ=(лпТ и о)7'=2л—апТ, когда
первый или второй множитель обращается в 1/(1—г). На рис.
12.14 приведена АЧХ для е»п7’=90° при значениях г=0,75;
0,875 и 0,9375.
С приближением г к единице АЧХ фильтра приближается к
резонансной кривой высокодобротного колебательного контура.
При этом, однако, возникает опасность потери устойчивости ре-
жима фильтра из-за накопления ошибки округления (при недо-
статочно высокой разрядности АЦП).
12.7.	ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
С КОМПЛЕКСНЫМИ ВЕСОВЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Переход от действительных весовых коэффициентов к комп-
лексным придает фильтрам новые свойства, важные для обра-
ботки комплексных сигналов.
Для выяснения сути дела обратимся к простому рекурсив-
ному фильтру первого порядка с передаточной функцией K(z) =
= 1(1—biz~l) и подставим в это выражение вместо комплекс-
ный коэффициент b\ = bx-}-ibv—reianT:
k(z) = 1/(1-612-’) = l/(l-Znz-9 =z/ (z-zn),	(12.47)
333
PiHt. 12Л5
где 2п=61 = ге<влт — единственный полюс, который может быть
расположен в любой точке внутри единичного круга г<1 (усло-
вие устойчивости). Угол и>„Т может быть любым в интервале
от —л до л.
Сигнал на входе фильтра зададим в виде последователь-
ности отсчетов взятых из соответствующего комплексно-
го континуального сигнала s(t) =sc(Z)+iss(O-
Схема замещения рассматриваемого фильтра показана на
рис. 12.15,а. Для построения развернутой схемы исходим из раз-
ностного уравнения [см. (12.4)]
sBbIJ[m] = s[m]+b i sBhJI[m— 1].
Подставляя bi=bx+ibv и s[m]=sc[m]+iss[m], приходим к ал-
горитму
ScBux[m]+iSsBKx[/n]=sc[m]+МсВЫ1[т—
—‘ 1] 6^5звых[и1 1 ]“Ь /
4~bvScBux[^— 1]“Ьбя5Свых[г1 1]}-
Этот алгоритм реализуется схемой, представленной
рис. 12.15,6.
Обратимся теперь к выражению (12.47) и подставим
=е*“г, а также zn=reianT. В результате получим
К (е/шГ) =	= }_Ге-1^-^т>
откуда следует простое выражение для АЧХ фильтра
|К(е|<йГ)I =	14-г2—2гcos (со —соп) Т.
на
z=
Максимальное значение АЧХ= 1/(1—г) соответствует ча-
стоте (£> = (йп. Существенно, что при заданном г значение макси-
мума АЧХ не зависит от резонансной частоты к>пТ.
График АЧХ при показанном на рис. 12.16,а положении
полюса zn, соответствующем о>>0, представлен на рис. 12.16,6.
При изменении знака перед Ьх, т. е. при положении полюса
ниже оси х, полоса прозрачности фильтра будет в диапазоне
334
Рис. 12.16
со<О или, что то же самое, в диапазоне л^(в7’^2л (на рис.
12.16,6 АЧХ обозначена штриховой линией).
Итак, однополюсный резонатор, т. е. рекурсивный фильтр
первого порядка с комплексным коэффициентом позволяет
осуществить фильтр, реагирующий либо только на положитель-
ную, либо только на отрицательную частоту. С понятием коле-
бания отрицательной частоты как с физическим процессом мы
встретимся в § 13.8 при рассмотрении квадратурной обработки
сигнала.
12.8.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНАЛОГ—ЦИФРА.
ШУМЫ КВАНТОВАНИЯ
В предыдущих параграфах при изучении дискретных филь-
тров вопрос о неизбежной погрешности преобразования вход-
ного сигнала из аналоговой формы в цифровую не рассматри-
вался. Погрешность возникает при квантовании сигнала на ко-
нечное, ограниченное число
уровней. Чтобы выявить
характер этой погрешности,
вернемся к структурной
схеме на рис. 12.1 и выде-
лим из нее два устройства:
АЦП и ЦАП.
Рассмотрим сначала
совместную работу этих
устройств без учета цифро-
вого фильтра при подаче на
вход АЦП постоянного на-
пряжения различного уров-
ня Ui (рис. 12.17, а). Основ-
ным параметром АЦП яв-
ляется число разрядов, ис-
пользуемых для кодирова-
ния входного напряжения.
При числе двоичных эле-
ментов г на выходе АЦП
335
получается комбинация (кодовое число) из г символов, каждый
из которых может принимать одно из двух значений (нуль или
единица).
Как указывалось в § 12.1, число возможных различных ком-
бинаций L=2T и определяет число дискретных уровней, на ко-
торое может быть разбит диапазон изменения входного напря-
жения.
В ЦАП осуществляется обратное преобразование. Каждой
комбинации нулей и единиц, поступающих на вход ЦАП, со-
ответствует определенный дискретный уровень выходного на-
пряжения. В результате при равномерном шаге квантования Л
зависимость и2 от Ui приобретает вид ломаной линии, показан-
ной на рис. 12.17,6.
Устройство, представленное на рис. 12.17, а и обладающее
подобной характеристикой, должно рассматриваться как нели-
нейное, а разность и2—ut—q— как ошибка, погрешность кван-
тования. Видно, что наибольшая ошибка, по абсолютной вели-
чине не превышающая А/2, с возрастанием щ остается неиз-
менной (рис. 12.17,6).
Продолжим это рассмотрение для гармонического входного
колебания s(t) (рис. 12.18, с). Колебание sBMX(0 приобретает
ступенчатую форму, отличающуюся от входного колебания s(t)
(на рис. 12.18,6, показанного тонкой линией), а ошибка кван-
тования определяется функцией
q (t) =—^вых (Ц s (t),
представленной на рис. 12.18, в.
При изменении в широких пределах амплитуды и частоты
гармонического колебания s(t) изменяется только частота сле-
дования зубцов: форма их остается близкой к треугольной при
неизменной амплитуде А/2. Функцию q(t) можно назвать поме-
хой или шумом квантования. Нетрудно вычислить
среднюю мощность шума квантования. При треугольной форме
зубцов (рис. 12,18, в) с амплитудой А/2 средняя за длитель-
ность одного зубца мощность равна (1/3) (А/2)2=А2/12. Так
как эта величина не зависит от длительности зубца, можно
считать, что средняя мощность шума квантования
Р,=А2/12.	(12.48)
Этот результат, выведенный для гармонического сигнала,
можно распространить на любой другой сигнал, в том числе
и случайный. Отличие лишь в том, что функция q(t) будет
случайным процессом из-за случайной длительности зубцов.
Нетрудно вычислить и отношение сигнал—помеха при кван-
товании. При высоте ступени А и общем числе ступеней, укла-
дывающихся в пределах характеристики АЦП, равном L, ам-
плитуда гармонического сигнала не должна превышать вели-
чину LA/2, а средняя мощность сигнала — величину ’/2 (Z-A/2)2
(во избежание ограничения сигнала). Следовательно, отноше-
336
Рис. 12.18
ние сигнал—помеха при квантовании гармонического сигнала
P,/P,<3L2/2.
Так как число ступеней L связано с числом двоичных раз-
рядов г соотношением L=2r, то последнее выражение можно
представить в форме
Р./Р,= (3/2)22\	(12.49)
которую можно рассматривать как частный случай общего вы-
ражения
Ps/P9=3-22'/W,	(12.50)
где /(пф — пикфактор сигнала, т. е. отношение максимального
значения к среднеквадратическому.
При гармоническом колебании Кп$ = V 2, что и приводит
к выражению (12.49). При случайном сигнале с нормальным
законом распределения КПф может быть принят 2,5—3 (см.
§ 4.2, п. 3); В этом случае PJPg~22г/3, а среднеквадратическое
напряжение сигнала не должно превышать ~LA/6. Физический
смысл выражения (12.50) очевиден: с увеличением числа раз-
рядов г очень быстро возрастает число дискретных уровней,
приходящихся на заданный диапазон изменения s(t), и, следо-
вательно, снижается перепад Д двух соседних уровней.
При грубой оценке превышения сигнала над шумом кванто-
22—3305
337
вания исходят из соотношения PJPg^22r или, в децибелах,
£>дв= (Ps/Pq)№= 101g22r=10-2rlg2 « 6г.	(12.51)
В современных АЦП число разрядов достигает десяти и
более. При этом величина ДДБ, характеризующая динамический
диапазон АЦП, равна примерно 60 дБ (6 дБ на один разряд)1.
Другой важной характеристикой шума квантования являет-
ся его спектральная плотность. При гармоническом колебании
на входе АЦП помеха квантования представляет собой перио-
дическую функцию времени. Спектр ее является линейчатым,
содержащим только составляющие с частотами, кратными час-
тоте входного колебания. Из-за зубчатой формы функции q(t)
(рис. 12.18, в) спектр шума богат высшими гармониками.
При входном воздействии типа случайного процесса с дис-
персией crs2 статические характеристики шума квантования
зависят не только от характеристик исходного процесса «(/),
но и от соотношения между os и А. В частности, при os>A
ширина fg спектра шума квантования WQ(со) во много раз боль-
ше ширины fs спектра процесса s(t).
Введем в рассмотрение дискретизацию входного сигнала. На
рис. 12.19 представлены одна из реализаций случайного сигнала
s(t) и совокупность отсчетов, взятых с шагом Т. В АЦП каж-
дый отсчет преобразуется в цифровой код, как было описано
в § 12.1 и в начале данного параграфа.
Как это очевидно из предыдущих рассуждений, преобразо-
вание осуществляется с ошибкой, заключенной в пределах
±А/2. Если отсчеты берутся из случайного сигнала, и измене-
ние функции s(t) за время Т превышает А или тем более не-
сколько А, то ошибки в различные отсчетные моменты времени
пТ и (п+1) Г можно считать взаимно независимыми и рав-
новероятными. Дисперсия случайной величины q, равновероят-
ной в интервале (—А/2, А/2), равна (1/3) (А/2)2 (см. п. 4.2.1).
Этот результат совпадает с выражением (12.48), полученным
усреднением мощности шума квантования по времени. Сделан-
ные выше допущения равносильны утверждению, что дискрет-
ная последователь-
_______________________	ность ошибок q(nT)
соответствует от-
\вф	четам из некоррели-
! [ V	рованного шума,
|	।	т. е. шума с равно-
X ]	]	I	|	1	мерным спектром.
।	।	I	I	I________________Этот спектр, как
пТ (ri+ffT mT	X * отмечалось выше,
во много раз шире
Рис. 12.19	спектра исходного
1 При пикфакторе Кпф«3 [(см. 12.50)] РдБ уменьшается до 5,5 дБ на
один разряд.
338
случайного процесса s(/). В связи с этим шум квантования обычно
рассматривают как белый шум, аддитивный по отношению к
s(t). Так как квантование осуществляется на входе цифрового
фильтра, то шум квантования можно трактовать как собствен-
ный шум цифрового фильтра (отнесенный к его входу).
Определим характеристики шума квантования на выходе
цифрового фильтра.
Как отмечалось в конце § 12.4, мощность дискретного бело-
го шума в полосе частот f\ = \]Т равна средней мощности шума
на входе, в данном случае Д2/12; следовательно, спектральная
плотность мощности шума на входе
№,(<))= (Д712)(1/Ь), 0</</,.	(12.52)
При АЧХ цифрового фильтра /Ст(со) спектр шума кванто-
вания на выходе фильтра
^вых((д) = (1/12) (Д2/^)Кг2(й), —и1/2<й<(01/2,	(12.53)
а средняя мощность (дисперсия)
0,72
.2	__ 1 Д2 1	С ,^2 . . ,
?вых~ 12 /1 2л	J АГт («)с?(0.
-«1/2
(12.54)
Для иллюстрации количественной стороны вопроса опре-
делим основные параметры шума квантования на выходе ре-
жекторного1 фильтра второго порядка при следующих данных:
число разрядов квантования г=8; раствор характеристики
АЦП 10В; шаг дискретизации Г=1/Ц = 1 мс; /t = 1000 Гц.
Шаг квантования Д найдем, разделив 10 В на число уров-
ней:
Г=2Г=28 = 256, Д = 10/256^0,04=40 мВ.
Дисперсия шума на входе
о,2«Д2/12=(4-10-2)2/12«1,310-4В2,	1,1 Ю"2 В = 11 мВ.
Основываясь на АЧХ Лт(со) =4sin2(co772), находим
01/2	cth/2
1	(' Г/2/ 1 J 1	С АС • 4 J
2^- \ /Ст-(<о)й?О) = 2^- \ lOsin4-^— С?(0 =
—й>,/2	—<01/2
Л/2
=2^-16-2	sin4xdx =.
' 'о
1 Имеется в виду трансверсальный фильтр с передаточной функцией
Kj-(Л>) = +д,е +аге [см. (12.9)]. При а0 = 1, а( =—2 и а2 = 1
Кт (со)=2 | cosffir—1 |=4sin2(co7’/2).
22*
339
По формуле (12.54) получаем
аг —А-Ш.” о _ Д ~96mR
а<7вых~ 12 /, т ~ 2 ’ '7чь'х-==~ZDMt5.
Итак, уровень собственных шумов квантования на выходе
рассматриваемого фильтра равен 26 мВ.
Форма спектра этого шума повторяет форму АЧХ во вто-
рой степени
^<7 вых («)	16 Sin4 ^-^2 - 10-6 sin4	В2/Гц>
В заключение укажем на требования, предъявляемые к АЦП
в зависимости от скорости изменения входного сигнала s(l).
Длительность отсчета то задается малой, чтобы изменение s(t)
за время т0 было пренебрежимо мало. Во всяком случае, это
изменение должно быть меньше А. В современных АЦП т0
уменьшают до единиц наносекунд, а время запоминания отсче-
та, необходимое для срабатывания АЦП, составляет десятки
наносекунд.
12.9.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦИФРА—АНАЛОГ
И ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОНТИНУАЛЬНОГО
СИГНАЛА
Обратное преобразование сигнала из цифровой в контину-
альную форму производится с помощью двух устройств:
1) ЦАП; 2) синтезирующего фильтра (см. схему на рис. 12.1).
В ЦАП имеются набор источников фиксированных напря-
жений, соответствующих каждому из г разрядов, и устройство
для синхронного подключения (или отключения) этих напря-
жений к сумматору в зависимости от поступающих из АЦП
символов (имеется в виду схема на рис. 12.17, а). Напряжение
на выходе ЦАП максимально, когда со всех элементов посту-
пают единицы,. Пусть, например, число разрядов г=4 и, сле-
довательно, число дискретных уровней Ё=24=16, а макси-
мальное напряжение сигнала условно равно 1 В. Тогда цена
самого младшего разряда 1/16 В, следующего за ним 1/8 В,
затем 1/4 и 1/2 В. При кодовом слове, поступающем от АЦП в
виде 0,1111, напряжение на выходе ЦАП будет 1/24-1/44-1/8+
4-1/16=15/16 В (максимальное значение), а при слове 0,0001
1/16 (минимальное значение). Кодовому слову 0,0010 соответ-
ствует напряжение 2/16 В, слову 0,1000 1/2 В и т. д.
Указанные напряжения поддерживаются на выходе ЦАП в
течение времени то<Г, а иногда вплоть до поступления новой
кодовой группы (то=Т). В результате при фильтрации сигнала
s(t) на выходе ЦАП появляется напряжение в виде импульс-
ной последовательности, представленной на рис. 12.20 (при
то<Г). Амплитуды прямоугольных импульсов равны соответ-
340
ствующим отсчетам, поступающим (в закодированном виде)
от АЦП.
Спектр такой последовательности имеет сложную структуру.
Фильтр на выходе ЦАП с полосой пропускания, меньшей или
равной частоте Л/2 (где fi = l/T — частота повторения импуль-
сов), выделяет основной частотный интервал, в котором содер-
жится вся информация о сигнале s(t) (спектр которого должен
быть не шире fm=fi/2). На этом и заканчивается процедура
восстановление континуальной формы профильтрованного сиг-
нала. Следует, однако, иметь в виду, что спектр последователь-
ности «толстых» импульсов, показанных на рис. 12.20, может
существенно отличаться от спектра, найденного в § 2.13 для
«тонких» импульсов (теоретически дельта-функций).
В данном случае импульсную последовательность (рис. 12.20) нельзя
трактовать просто как произведение континуального сигнала s(i) на такто-
вую последовательность прямоугольных импульсов. Каждый прямоугольный
импульс с амплитудой s(kT) можно представить в виде свертки прямоуголь-
ного импульса v0(t), показанного на рис. 12.21, с функцией s(kT)f>(t—kT).
Действительно,
s(kT) J vQ(t —т)б(т—kT) dx = s (kT) v0 (t — kT) =
(s(kT) при kT <t <kT + x0,
( 0 при t <kT и / >Л7’ + то.
Таким образом, всю последовательность импульсов на выходе ЦАП
(в отсутствие ЦФ для схемы, показанной на рис. 12.17, а) можно записать
в виде
S(t)=VS(kT) J Vo (<—т)б(т — kT) dx~
Aj₽=o —co
co
= J Vo (/ — T)
—oo
2 s(kT)b(x—kT)
*=o
dx.
(12.55)
CO
Получилась свертка двух функций: Vo(t) и sT(t) = S s(kT)f>(t—kT).
*=o
Первой соответствует спектральная плотность [см. (2.69) и рис. 2.15]
Vo (со) = То
S1H (tOTp/2)
1ото/2
е-/<0Т,/2,
Рис. 12.21
341
Рис. 12.20
oo
а функции У s (kT) 6 (т—kT) — спектральная плотность [см. (2.109)]
IM
Следовательно, временной свертке (12.55) соответствует спектральнаа
плотность, равная произведению [см. (2.59)]	I
- Г sin (cotc/2) _г 2Т Г 1	/	2л\
Sr (co)=[x0--Wfo/2 е	-у 2j	=
п— —ОО	7 _
То sin(<0T0/2)	;9 х''	,	2л\
= f --сото/2 е °' 1 5 “-ПуV	(12.56)
П= — оо Х	7
Множитель
F	\	sin (Ют»/2>
КЦАЦ 2 J - Т шт„/2 е
(12.57)
можно рассматривать как передаточную функцию преобразователя цифра-
аналог. Таким образом, АЧХ преобразователя
„т0 I sin (<ото/2) |
^ЦАП (OT«/2) = y | што/2 I'	(12.57')
Графики Кцап для значений Хо<Т и т0=Т показаны на рис. 12.22
штрих-пунктирной, а графики 5т'(со)—сплошной линией. Штриховыми ли-
342
яиями показаны истинные спектры сигна-
ла s(t), которые получились бы при бес-
конечно тонких выборках.
Видно, что утолщение импульсов при-
водит к деформации спектра обрабаты-
ваемого сигнала, причем эта деформация
выражена сильнее для высших частот
сигнала.
Аф 11
/ \
~Ъ/2 О ff/2
Рис. 12.23
Остановимся в заключение на требованиях к АЧХ синтези-
рующего фильтра Лф(со). Идеальная характеристика показана
на рис. 12.23 сплошной линией. Если спектр полезного сигнала
значительно уже частотного интервала (—fi/2, fi/2), то требо-
вания к крутизне скатов характеристики могут быть ослаблены
(штриховая линия на рис. 12.23).
12.10.	БЫСТРОДЕЙСТВИЕ
АРИФМЕТИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА
ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА
Структурная схема любого цифрового фильтра содержит
элементы памяти Т, сумматоры и перемножители. Совокупность
этих элементов образует арифметическое устройство фильтра.
(Коммутирующие устройства, необходимые для синхронной за-
писи и считывания двоичных символов в элементах памяти, и
другие вспомогательные цепи здесь не рассматриваются.)
Элементы памяти Т представляют собой набор двоичных
элементов, число которых равно числу разрядов г.
Перемножители, реализующие весовые коэффициенты а0, аь
а2,..., и bi, b2,..., работают по принципу поразрядного пере-
множения всех разрядов зходного числа на каждый из разря-
дов числа, представляющего весовой коэффициент, и последую-
щего суммирования частных произведений. Число двоичных
разрядов га.ь, используемых для представления весового коэф-
фициента, зависит от требуемой точности вычислений. В боль-
ших ЭВМ га,ь достигает 32 и более разрядов, в цифровых
фильтрах можно ограничиться 4—16 разрядами. Если входной
сигнал s(t) представлен г разрядами, то для полного сохране-
ния содержащейся в нем информации произведение s(t)ak тре-
бует г+га разрядов, а произведение s(t)bk соответственно г+
4-Гб разрядов. На это число разрядов должны быть рассчитаны
все последующие элементы цифрового тракта. Для уменьше-
ния объема аппаратуры обычно идут на округление произведе-
ния путем отсекания младших разрядов. Это приводит к ошиб-
ке, которую называют шумом округления.
Статистические свойства шума округления в основном
совпадают со свойствами шума квантования; дисперсия шума
округления приравнивается величине Д2а,б/12, где Да,ь— пере-
343
пад уровней, соответствующий отбрасываемому разряду про-
изведения.
Одной из важнейших характеристик арифметического
устройства цифрового фильтра является его быстродействие,
определяемое числом операций, которые необходимо произвести
за время Т, и длительностью одной операции. Последняя не
может быть меньше времени срабатывания двоичных элементов
(триггеров). Быстрое и непрерывное развитие микроэлектрон-
ной техники с каждым годом сокращает инерционность элек-
тронных приборов, используемых в вычислительной технике.
В современных приборах время срабатывания составляет еди-
ницы наносекунд.
Определим число операций, которое необходимо совершить
за время Т при обработке сигнала по заданному алгоритму.
В качестве исходного алгоритма возьмем свертку, определяе-
мую выражением (12.3"). Из этого выражения видно, что для
определения одного n-го отсчета выходного сигнала требуется
совершить п операций перемножения и столько же операций
сложения. При числе отсчетов в обрабатываемой реализации
сигнала N^>\ общее число операций умножения (N/2)N=N2/2
(столько же операций сложения).
Как уже отмечалось выше, операция умножения осущест-
вляется многократным сложением, причем число элементарных
сложений определяется числом разрядов сомножителей. При
длительности одной операции сложения п и числе разрядов г
общая длительность обработки № отсчетов ТОбр= (N2/2) (<+
+ 1)тц В тех случаях, когда требуется обработка «в реальном
времени», т. е. по ходу поступления сигнала s(/), Тсбр не дол-
жно превышать длительность обрабатываемой реализации
=NT. Отсюда получается условие
-^(г+1)Г1<Гс = ЛТ или Т >4-(г + 1)тр
Подставляя в это неравенство T=l/2fm, приходим к следую-
щей грубой оценке наивысшей допустимой частоты сигнала:
fm^l/(7V(r+l)Tb
В частности, при №=1000, г=10 и ti=1 нс
fm^l/103-ll-10-8«105 Гц.
При обработке более коротких сигналов, например с базой
№•=50, частота может быть доведена до 2 МГц.
Как видим, применение цифровых фильтров, работающих в
режиме последовательного анализа, ограничивается в настоя-
щее время обработкой относительно низкочастотных сигналов.
В § 12.11 будет рассмотрен один из возможных способов
повышения быстродействия цифровой обработки.
При переходе к параллельному анализу с помощью не-
скольких каналов ценой усложнения и удорожания аппаратуры
344	' .
быстродействие можно существенно повысить. В принципе
быстродействие можно довести до величины, близкой к ть т. е.
Главной особенностью цифрового фильтра является то, что
его характеристики — амплитудно- и фазочастотная — опреде-
ляются всего лишь весовыми коэффициентами в прямых и об-
ратных связях и шагом дискретизации Т. Это позволяет строить
фильтры с характеристиками, реализация которых с помощью
обычных фильтров на индуктивностях и емкостях весьма за-
труднительна или даже невозможна.
Применением кварцованных источников колебания тактовой
частоты можно обеспечить очень высокую стабильность частот-
ных характеристик. Цифровые фильтры надежны в работе, не
требуют подстройки и нечувствительны к температурным и
иным условиям эксплуатации. Простота осуществления
устройств памяти при использовании цифровых сигналов дела-
ет цифровые фильтры незаменимыми при обработке, требую-
щей задержку сигнала во времени. Наконец, следует отметить
удобство сопряжения цифровых фильтров с ЭВМ.
Благодаря всем этим преимуществам цифровые фильтры,
несмотря на сложность схемы и необходимость синхронизации
управления электронными ключами, находят все большее рас-
пространение.
12.11.	АЛГОРИТМ ЦИФРОВОЙ
ФИЛЬТРАЦИИ ВО ВРЕМЕННОЙ
И ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТЯХ
Рассмотренные в предыдущих параграфах данной главы
простейшие трансверсальные и рекурсивные цифровые фильтры
находят широкое применение при обработке относительно ко-
ротких дискретных последовательностей. При сложных сигна-
лах с базой N, достигающей десятков, сотен и даже тысяч,
структура фильтра усложняется и возникает проблема сокра-
щения вычислительных затрат.
Как и в аналоговой технике, в зависимости от способа зада-
ния фильтра — импульсной характеристикой {£[&]} или переда-
точной функцией Кг(йо)—возможны два подхода: во времен-
ной или в частотной области.
Временной подход основан на вычислении круговой свертки
(си. п. 12.4.1)
N—1
s[zn]g[A!-/n], Ь О, 1......д/-1.	(12.58)
ft-0
Частотный (спектральный) подход основан на вычислении
ДПФ
S[n] = 2 s[*Je N , n=0, 1...........jV-1,	(12.59)
ft-0
345
n=0,1,...,N-1 n=0,1,-..,/M k=0,1^N-1
Рис. 112.24
с последующим применением ОДПФ
N— 1	, 2л ь
1	"дУ
5Еых[^] = -77“^ S[n]Kr[i7zJe N , А = 0, 1, ..., TV — 1. (12.60)
л=0
Дискретная передаточная функция Кт-(in)	определяется
выражением (12.33) при подстановке о)Т=пАо)7->-п.
Функциональная схема определения $Вых[&]	представлена
на рис. 12.24.
Очевидно, что вычисления по алгоритму рис. 12.24 дают ре-
зультат, эквивалентный вычислению свертки сигнала {s[fe]| с
импульсной характеристикой {£[&]} по формуле (12.58).
Первый этап, т. е. вычисление ДПФ, представляет собой
спектральный анализ входного сигнала и во многих практиче-
ских задачах имеет самостоятельное значение. При больших
значениях N вычисление ДПФ требует очень большого числа
арифметических операций. Из формулы (12.59) следует, что
для определения одного спектрального коэффициента S[n] тре-
буется N умножений s[&] на комплексное число и N сложений,
а на все N коэффициентов требуется № умножений и столько
же сложений. Так, при Л/=21о=1024 необходимо ~106 умноже-
ний и сложений.
При использовании алгоритма свертки (12.58) требуется
приблизительно столько же арифметических операций. Это об-
стоятельство долгое время препятствовало применению цифро-
вой техники к обработке сложных сигналов. Только появление
алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) позволило
значительно снизить объем вычислительных затрат, благодаря
чему они получили широкое распространение. Алгоритм линей-
ной свертки используется в основном при фильтрации малоба-
зовых сигналов.
12.12.	БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Суть этого алгоритма заключается в многократном членении
заданной последовательности временных отсчетов на более ко-
роткие последовательности. Поясним достигаемый при этом
выигрыш на примере одного первого разбиения.
Пусть задана последовательность отсчетов {s[^]}, fc=0, 1,...
..., N—1, причем число N является степенью двойки, т. е.
=2Г, где г—-целое число. Разобьем эту последовательность на
346
sM
aj T_
О 1 2 3 4 5 6 7 8 8 10 11 12 13 14 15 к
Sjpr]“s[2A] -г
s) I_____I_____I_____I_____I_____I	I	Т
0	1	2	3	0	5	6	7	k
^Й-8[2А+Т]
& т Т I т т Т т т.^
0	1	2	3	0	5	6	7 k
Рис. 12.25
две подпоследовательности, как показано на рис. 12.25. Для
первой из них, составленной из четно пронумерованных отсче-
тов s[2£]=Si[fc] (рис. 12.25,6), выражение, аналогичное (12.14),
должно быть записано в форме
N-2	2
2 s[k]W^=^ s[2k]W%n
6=0
n=O,
6=0
1, ,--1
и в дальнейшем
Для второй (нечетной)
6=0
(12.61)
используется обозначение
подпоследовательности, со-
s[2fe+'l]=sn(A!) (рис. 12.25,в), ДПФ
Здесь
= e-<2n/W
ставленной из отсчетов
можно записать в виде
Г"1
2	s[2fe + l|M2ft+1)"=2 sn[A]UZ^+1)" =
6=1	6=0
г-
п-0,1......................4
N— 1
6=0
(12.62)
6=0
С учетом равенств
2п
uz2v=(е-'2г/^)2 = е = Wni2, w^n = W%2
правые части выражений (12.61), (12.62) можно
виду
N
2
(12.63)
привести к
г~*
2 *п[Ж^"/2=1П5и[/г].
6=0	6=0
В этих выражениях Si[n] и Sn[n] представляют собой ДПФ
соответственно четной и нечетной подпоследовательностей.
347
Замена И^л на
W k"/2 учитывает, что
шаг дискретизации в
{sipsJ} и {$п[6]} вдвое
больше, чем в исход-
ной последовательно-
сти {«[Л]}.
в)
Ф»
Фазовый множи-
тель = e ijVn
перед второй суммой
учитывает задержку
последовател ь н о с т и
{sn(A)} на один интер-
вал относительно по-
следе вательности
{si[£J} (рис. 12.25).
На рис. 12.26, а иб
представлен
ный вид
Бфп] и 8ц[п]. В соот-
N/2 число спектраль-
также равно W/2(n=0,l,..., N/2 — 1).
> периодическое
пример-
спсктров
ветствии с числом временных отсчетов
ных коэффициентов '
Штриховыми линиями на рисунках показано
продолжение спектра на участок N/2-^.n^N — 1.
Результирующее ДПФ S[n] исходной последовательности
{s[£]} можно выразить через Si[nJ и Sn[n].
В диапазоне n=0, 1,..., N/2—1 имеет место очевидное со-
отношение

В диапазоне n—iV/2, ЛГ/2+1,.... N— 1 можно, основываясь
на периодичности Si[n] и Sn[n] (с периодом ЛГ/2), исходить из
равенств
Si[n]= Si[n—ад, Sn[n]=sn[n—ад.
(12.64)
Кроме того, необходимо учитывать перемену знака перед
фазовым множителем при n^N[2'.
WnN= W^n~Nl2='WNl2WnNNI2= —
поскольку Wn12—^ n 2 — e~ln=— 1.
В результате приходим к следующему выражению для
ДПФ всей последовательности:
S[n]=
Sj [n] + W^Sn[n], 0<n<2V/2—1,
Si [n - N/2] - WnN~N'2Sa [n - N/2,
N/2<n<N-\.
(12.65)
348
Спектр S[n] содержит N спектральных отсчетов на интерва-
ле одного периода (на оси и), как это представлено на
рис. 12.26, в.
Заметим, что Si[n—N/2] и Sn[n—N/2] совпадают с соответ-
ствующими значениями Si[n] и Sn[n].
Выяснив структуру спектров Si[n] и Sn[n], подсчитаем число
операций умножения, необходимых для получения N спектраль-
ных коэффициентов при использовании алгоритма (12.65). Для
отсчетов s[&] на комплексные коэффициенты WnN. Кроме того,
необходимо N умножений Sn[n] на коэффициент W1^. Всего
вычисления функций Si[n] и Sn[«] требуется (N/2)2 умножений
требуется 2(A72)2-f-W умножений, т. е. почти вдвое меньше,
чем при использовании алгоритма (12.58).
Разбиением каждой подпоследовательности можно осущест-
вить дальнейшее уменьшение объема вычислений. Разбиение
следует продолжать вплоть до получения простейших двухэле-
ментных последовательностей. Определив ДПФ указанных про-
стейших пар отсчетов, можно найти ДПФ четырехэлементных,
восьмиэлементных и т. д. последовательностей. При объедине-
нии ДПФ двух подпоследовательностей можно руководство-
ваться алгоритмом (12.65), подставляя в него соответствующие
значения N и п.
В основе алгоритма (12.65) лежит операция сложение-вы-
читание с умножением одного из слагаемых на коэффициент
IF*,. Указанную операцию, являющуюся базовой для БПФ,
можно представить в виде графа, изображенного на рис. 12.27, а
(так называемая бабочка).
При обозначениях (12.65) базовая операция принимает вид,
показанный на рис. 12.27,6. Основанный на этой базовой
операции сигнальный граф объединения двух ДПФ представлен
на рис. 12.27, в.
Проиллюстрируем описанный способ построения полного
Рис. 12.27
349
8Й-3ГИ ----у яИ-зИ *^^АИ-чЛ^8гИ-^-А. /ZSfl
s[4]-sz[2]« *И-з[2]	t^CVVV/S&J
8й-зг[з].—
вИ"5г[<].--.f0-s[/]	V/0\5\Z\ 5Н
s[3] -SjrH •—у «И-s И	ей ^ЛрО* s 2гК	sH
S0-sjz]—А^Й=8Й	SK
s[7]-sx[3]. ’44-8Й •^^Т’И^а2 S *[5]-^-^% \ S£7]
Рис. 12.28
графа БПФ от двухточечных до W-точечных ДПФ на примере
N=8.
После первого разбиения последовательности {•£[£]} полу-
чаются две четырехэлементные последовательности {si} и {sn},
показанные в левой части рис. 12.28. В первой из них четными
считаются Si[0]=s[0] и si[2]=s[4], а нечетными si[l]=s[2] и
si[3]=si[6]. Поэтому последовательность {Si} распадается на
две пары: а[0], а[1], и Ь[0], Ь[1] [т. е. s[0], s[4] и s[2], s[6]].
Аналогично последовательность {sn} распадается на две
пары: с[0], с[1] и d[0], d[l].
Определим ДПФ двухэлементных последовательностей. Для
пары а[0], а[1].
1
А [п] = 2 а И ^/4, п = 0, 1,
*=о
откуда
Л[0] = а[0]+а[ 1] W°N/i = а[0Ц-а[ 1], Л [ 1 ] = п[0]+
+ а[1]Г1Л74=а[0]+а[1]ГИ=о[0]—п[1].
Как видим, для вычисления А[0] и А[1] не требуется умно-
жений. Нужно лишь образовать сумму а[0] + а[1] и разность
а[0]—я[1], т. е. s[0] + s[4] и s[0]—s[4].
На рис. 12.18 для операции сложение-вычитание использова-
на символика, совпадающая с операцией «бабочка» при
1^°,= 1: верхний вывод соответствует сумме, а нижний — раз-
ности.
Аналогичным образом на рис. 12.28 обозначены ДПФ осталь-
ных пар: Ь[0], Ь[1], с[0], с[1] и d[0], d[l].
Следующий шаг— объединение ДПФ А[л] и В[п]. Число
спектральных коэффициентов в суммарном ДПФ равно 4: п=
=0, 1, 2 и 3.
По аналогии с (12.65) можем написать
(А[п] +УГ4пД[и], n=0, 1,
Н =	[п _ 2] - W(4n~2)В [п - 2], п= 2, 3.
350
Учитывая, что Wtn—Wln, переписываем®последнее выра-
жение в форме
S	«=°- 1.
111 Uln-2]-ir82("“2)B[n-2], /г = 2, 3.
Итак,
S,[0]=ЛЮЛ- Г8°В[0], Si(l]=Л [ 11+ Г82В[1].
8,[2]=Л[0]— 1Г8°В[0], Si[31=Z[0]— №82B[U.
Аналогичные выражения нетрудно составить для ДПФ
5ц|п], объединяющего ДПФ С(п) и D(n). Базовые операции
для S,[n] и So[n] одинаковы (см. рис. 12.28).
Для определения ДПФ всей последовательности из восьми
отсчетов нужно воспользоваться выражением (12.65) и графом,
представленным на рис. 12.27, в при Л/=8.
Выяснив структуру сигнального графа БПФ, подсчитаем
суммарное число операций умножения. При достаточно боль-
ших значениях N на каждом этапе вычислений (при каждом
разбиении последовательности на две более короткие) тре-
буется порядка N умножений. При числе разбиений logM об-
щее число операций равно примерно AUog2Af (приближенность
связана с тем, что умножение на W°N, W%12,
IJ73W/4 сводится просто к сложениям и вычитаниям комплекс-
ных чисел).
Итак, при использовании алгоритма БПФ для вычисления
ДПФ N-точечной последовательности требуется примерно
yiog2A операций умножения. Ранее было показано, что при
прямом вычислении ДПФ по выражению (12.59) требуется N2
умножений. Следовательно, алгоритм БПФ уменьшает число
операций в N2/N\og2N. При 77=1024 (r=10) log2A/=10 и
y/log2 100. Столь большое сокращение числа операций рез-
ко уменьшает объем аппаратуры и повышает быстродействие
цифровых устройств. Из рассмотрения графа следует, что эко-
номия достигается благодаря объединению всех слагаемых,
подлежащих умножению на одинаковые множители.
К обоснованию алгоритма БПФ можно также прийти, ис-
пользуя метод факторизации матрицы, описывающей дискрет-
ное преобразование [11].
Для большей наглядности все предыдущее рассмотрение
проводилось в предположении действительного (вещественно-
го) сигнала. Однако результаты можно распространить и на
комплексный сигнал.
Существует большое разнообразие вариантов построения
схем БПФ.
251
12.13.	СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НА БАЗЕ
БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Обратимся к выражению (12.13) для ДПФ
N—1	, 2r. t
2—i —п- kn
s	[A] e N , n=0, + 1, ±2.+N/2,
fe-0
и к рис. 12.29, иллюстрирующему преобразование исходного
сигнала s(t), начиная с его дискретизации с шагом Т до выде-
ления спектральных коэффициентов S[n] на выходе устройства,
осуществляющего ДПФ. Это устройство обозначено на
рис. 12.29 в виде «черного ящика» ДПФ (БПФ) без раскрытия
его внутренней структуры.
Если шаг Т выбран достаточно малым для сохранения со-
держащейся в сигнале s(t) информации, то совокупность N
спектральных коэффициентов S[n] дает полную информацию о
всем спектре S(co) континуального сигнала s(t). На рис. 12.29
функция S(<o) обозначена штриховой линией в виде огибающей
дискретного спектра 5[п] в пределах центрального участка
диапазона частот от о= —л/Т до ы=л/Т или, что то же, от
®7'=0 до С|)7'=2л (соответственно от п=0 до n=N—1, см.
нижнюю часть рис. 12.29).
С этой точки зрения устройство, осуществляющее ДПФ,
можно трактовать как анализатор спектра, представля-
ющий собой набор из N узкополосных фильтров, каждый из
которых пропускает одну дискретную частоту пАм.
Поскольку в образовании любого из спектральных коэффи-
циентов S [п] участвуют все временные отсчеты s[&], то инфор-
мацию о спектре сигнала s(t) можно получить не ранее чем
после ввода в устройство БПФ всех 2V отсчетов 5[/г]. В этом
Рис. 12.29
3 52
смысле ДПФ не отличается от обычного преобразования Фурье,
определяемого выражением
Гс
S(co)=^ s(t) e-^dt, t^Tc.
о
Нетрудно выявить АЧХ любого из N упомянутых выше
фильтров, образующих анализатор спектра, С этой целью за-
дадим испытательный сигнал на входе анализатора в виде гар-
монического колебания с частотой со, не превышающей п/Т,
что вытекает из теоремы отсчетов (см. § 2.11).
Для упрощения выкладок удобно исходить из комплексного
испытательного сигнала, заданного в одной из двух форм (при
—оо<;/<;оо):
s (f) =cos sincjt=eiut,	(12.66)
s(/)=cos a>t—i sin ©/—e-icl<.	(12.67)
Поддерживая неизменной амплитуду (1 В) входного сигна-
ла, проследим за изменением спектрального коэффициента S(n)
в зависимости от со.
После дискретизации s[f] с шагом Т получим временные
отсчеты вида
s[fe]=e'“ftr, 6=0, 1,..., N—l,
или
s[fe]=e-(,‘r, 6=0, 1,..., N—l,
где N—To/T.
Рассмотрим сначала случай s(/)=e,,,,f, когда выражение
(12.13) принимает вид
ЛС-1 -—nk
S(n, ыТ)—'^е1акТе N
л'-1 f т 2п 'i
2е
га=О, 1, .... N/2,
ОСсоТ’ < л.
(12.68)
При отрицательных значениях п коэффициенты S(n, соГ)
равны нулю, поскольку спектральная плотность аналитического
сигнала е,ю' отлична от нуля только в области частот со>О
[см. § 3.10 и формулу (3.77)].
Новое обозначение S(n, соГ) имеет тот же смысл, что и
S[nJ, т. е. это спектральный коэффициент на фиксированной
частоте иДсо, однако модуль и аргумент этого комплексного
коэффициента зависят от частоты со исходного сигнала s(t), из
которого взяты N временных отсчетов.
23—3305
353
Введем обозначение л=соГ — ^-п и запишем (12.68)
в форме
Д'—I	JV-1	JV-1
S(n, <вГ)=2 em=2 CQS kx-\-i 2 slnJLy.
*—о	w	л—о
Используя известные формулы для суммы косинусов или
синусов кратных дуг
N—1
2 COS kx
k-0
(N—l)x	Nx
cos---2----sin “
sinx/2
IV— I
2 sin kx -
k-0
(N—l)x Nx
sin---g---sin —
sinx/2
приведем (12.68) к виду
S(n, w7') =
N / 2л \
sin “I“T"—J/’'*)	Lr-^-n)
_l----Г7-----2й\*е	n=0, 1, ...,N/2,
Sin у (co 7’ —-Jy-nJ
0,	N/2<n<N— 1.
(12.69)
Ранее отмечалось, что информация об S(n, ыТ) получается
к моменту f=Tc=(jV—1)7, когда входной сигнал s(t) прини-
мает значение е*“да_1)7’. Поэтому передаточную функцию п-го
частотного канала анализатора спектра логично трактовать как
отношение
N / 2л \
s_ sln — и")	к+%»)
/(W-Ijcor	I /	2Л \ е
sin-g-1	п ]
0<со Г< л, /г = 0, 1, ..., 7V/2.
(12.70)
При задании испытательного сигнала в форме s(/)=e'f•,
передаточная функция определяется выражением, комплексно-
сопряженным с (12.70):
2V / 2л \
sin -7т-(<1)Г—-тгл)	(yv—О Lr,2«
S (п, <07') _	2 \	N ] '—— Гг+лГл7
-KN-i^T	1 /	2л \ е
sin-^l ыТ — Jy-п I
— ЖоГСО, п = 0, —1, .... —А//2.	(12.71)
354
Графики передаточных функций, построенные по формулам
(12.70), (12.71) для Л^=8 (без учета фазовых множителей),
представлены на рис. 12.30, а и б. Поскольку вне интервала ха-
рактеристики повторяются, эти графики можно объединить, как
это показано на рис. 12,30, в. (Представлены только главные
лепестки.)
Итак, на комплексный сигнал eiwt откликаются только ча-
стотные каналы анализатора с номерами О^п^Л7/2, а на
сигнал е~м — только каналы с номерами Nf2<Zn<zN—1. Это
означает, что при анализе спектра комплексных сигналов с по-
мощью БПФ можно определить не только абсолютное значе-
ние а, но и знак частоты. Это важное свойство будет проил-
люстрировано в § 13.9 на примере квадратурной обработки сиг-
налов.
При подаче на вход БПФ последовательности {s[&]}, k —
=0, 1,..., N—1, взятой из сигнала в виде постоянного напря-
жения (о>=0), на выходе БПФ спектральный коэффициент
S(0,0) равен N, а все остальные равны нулю; при частоте ис-
ходного (комплексного) сигнала	> один-единственный
коэффициент S 1, равен TV, а все остальные равны
нулю и т. д.
Соотношение между входными и выходными сигналами для
БПФ-8 иллюстрируются рис. 12.3L
Основываясь на выражении (12.68), (12.70), (12.71), нетруд-
но найти отклик рассматриваемого устройства на испытатель-
23*
355
N	О	О	О	О	О	О О
n=O I__1!	I!	I!	I!	II	IL I!
БПф-8
<t)“O

О Т 2Т ЗТ
N-1 Т t
П°=4
О О О О N О О О
БПФ-8
О
cos
t
0 N о о о о о о
п-1
п=5
s(t)=ElC>t
S(t)~Ei6>t
cjT~(v-5)^-
О
42 42 i£ /2 4242 '4141
rtr
J. 1 —ILL -ILL ILL
4242 4242 i£ £ £
БПФ-8
sin

З Г'ч£Г 5Т
О
D Н О
Рис. 12.31
ный сигнал s(£)=cos at, —oc<L.t<2.oo. Представив этот сигнал
в виде суммы двух комплексных сигналов
5(0=72е‘“(+72е-<ш‘,
придем к выходному сигналу в виде двух комплексно-сопряжен-
ных спектральных коэффициентов S(n,aT) и S(W — п,
2л — аТ), расположенных симметрично относительно точки л
на оси аТ.
Глава 13. ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОЙ
ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
СИГНАЛА НА ФОНЕ ПОМЕХ
13.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Центральной проблемой радиотехники была и остается проб-
лема помехоустойчивости связи. Система связи должна быть
спроектирована так, чтобы она обладала способностью наилуч-
шим образом противостоять мешающему действию помех.
Проблема помехоустойчивости радиосвязи включает в себя
большое число других проблем: генерирование мощных коле-
356
баний, выбор волн, обеспечивающий благоприятные условия
распространения, использование антенн направленного дей-
ствия, поиски новых видов радиосигналов и новых способов их
обработки на фоне помех и т. д.
Особый интерес представляет ослабление вредного дей-
ствия помехи, основанное на использовании линейных частот-
ных фильтров. На протяжении длительного периода развития
радиотехники к подобным фильтрам предъявлялось требование
возможно более равномерного пропускания спектра сигнала и
более полного подавления частот вне этого спектра. Идеальным
считался фильтр с прямоугольной П-образной АЧХ.
С развитием теории информации и статистической теории об-
наружения сигналов трактовка функций линейного фильтра, а
также подход к его построению существенно изменились. Ста-
ло очевидным, что указанная выше трактовка имеет следу-
ющие недостатки: не учитываются форма сигнала (которая мо-
жет быть различной при одной и той же ширине спектра сиг-
нала) и статистические свойства помехи.
Поэтому фильтр с П-образной АЧХ не является оптималь-
ным в тех случаях, когда имеется априорная информация о
форме сигнала и характеристиках помехи.
Коренной перелом в теории и практике линейной фильтра-
ции связан с появлением работ Н. Винера, А. Н. Колмогорова,
В. А. Котельникова и других ученых, которые поставили и ре-
шили задачу синтеза фильтра, оптимального в определенном
смысле для приема заданного сигнала, действующего на фоне
помехи с заданными статистическими характеристиками.
В зависимости от решаемой задачи — обнаружение сигна-
ла, измерение его параметров или разрешение (различение)
сигналов — критерии оптимальности могут быть разными. Для
задачи обнаружения сигналов заданной (известной) формы в
шумах наибольшее распространение получил критерий макси-
мума отношения сигнал-помеха на выходе фильтра. В § 13.2—
13.8 рассматриваются только такие фильтры.
Иной подход требуется при обработке сигналов, пред-
ставляющих собой случайный процесс. Этому вопросу посвя-
щены § 13.9—13.11.
13.2.	ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
СИГНАЛА ЗАДАННОЙ ФОРМЫ.
ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ФИЛЬТРА
Требования к фильтру, максимизирующему отношение сиг-
нал-помеха, можно сформулировать следующим образом. На
вход линейного четырехполюсника с постоянными параметра-
ми и передаточной функцией К(ш) подается аддитивная смесь
сигнала s(t) и шума n(t) (рис. 13.1). Сигнал полностью из-
вестен; это означает, что заданы его форма и положение на
357
Рис. 13.1
оси времени. Шум представляет
собой случайный процесс с за-
данными статистическими ха-
рактеристиками. Требуется син-
тезировать фильтр, обеспечива-
ющий получение на выходе наи-
большего возможного отноше-
ния пикового значения сигнала к среднеквадратическому зна-
чению шума. При этом не ставится условие сохранения формы
сигнала, так как для обнаружения его в шумах форма значе-
ния не имеет.
Под синтезом фильтра будем подразумевать отыскание
передаточной функции физически осуществимого фильтра
обеспечивающего упомянутую выше максимизацию отношения
сигнал-помеха. Передаточную функцию будем представлять в
форме K(i®)=A'(®)e;<₽*<“).
Таким образом, задача сводится к отысканию АЧХ /((о) и
ФЧХ <рл(<о) оптимального фильтра. Наиболее просто эта зада-
ча решается для сигнала, действующего на фоне белого шума
с равномерным спектром ИД®) =Лго== const.
Для отыскания оптимальной (в указанном смысле) пере-
даточной функции K(ico) составим выражения для сигнала и
шума на выходе фильтра сначала порознь, а затем в виде их
отношения.
Сигнал в фиксированный момент времени /о определяем
общим выражением
со
*вых(*о) = 2^ S(°))K(Zc0)e'“'orfw==
—оо
©о
= jj S(co)/<(G))e'l^(“)+^l“)+“/,,rfco,	(13.1)
— оо
а среднеквадратическое значение
помехи — выражением
[оо
2^ $ W (co)№((o)do>
—оо
1/2
ОО
—оо
1/2
. (13.2)
В выражении (13.1) 5(<в) =3(<о)е<<4(“)— спектральная
плотность заданного входного сигнала s(t), а под to подразуме-
вается момент времени (пока еще не определенный), соответ-
ствующий максимуму (пику) сигнала на выходе фильтра.
Смысл и минимально возможное значение to подробнее рас-
сматриваются в следующем параграфе, однако из простых
представлений очевидно, что для образования пика требуется
использование всей энергии сигнала, а это возможно не ранее
окончания действия входного сигнала. Иными словами, to не
может опережать момент окончания сигнала.
358

Составим отношение
$ВЫХ О >)
°вых
Js(a>)Ar(a»eiie^+^(td)+“,“,d®
—ОО
(13.3)
Воспользуемся известным неравенством Шварца
Ft (х) F2 (х) dx
а
2 b	b
(х) |2 t/x |F2(x)|2Jx,
а	а
(13.4)
где Ft(x) и F2(x) —в общем случае комплексные функции.
Это неравенство обращается в равенство только при выпол-
нении условия
F2(x)=AF^(x),	(13.5)
т. е. когда функция Д2(х) пропорциональна функции, комплекс-
но-сопряженной Fi (х) (Л — произвольный постоянный коэф-
фициент) .
Приравнивая в (13.4) (to) = 5 (со) е(°5(<й) и F2(<o)=
—Д'(to) е,ф*(ш) (задержку tQ пока опускаем), получаем условие
Д'(to) е/ф*(£й) = ЛЗ(со) е-/0‘(<й),	(13.6)
которое распадается на два:
<р*(<о)=—6.(<о), 7<((о)=ЛЗ(to).	(13.7), (13.8)
По сути дела, эти условия обеспечивают максимизацию
отношения сигнал-помеха
(13.9)
Учитывая, что интеграл в квадратных скобках правой части
последнего выражения есть не что иное, как полная энергия Э
входного сигнала [см. (2.58)], приходим к следующему важно-
му результату:
^=]/Э7Л^.	(13.10)
359
Введя в рассмотрение задержку сигнала на время t0, пере-
пишем (13.7), (13.8) в виде двух условий:
ФЧХ фильтра должна отвечать равенству
<P*(o)=~[es(®)+®f0],	(13.11)
АЧХ должна отвечать равенству
А(<») =AS((o).	(13.12)
Функция К (ico), отвечающая условиям (13.11)—(13.12), со-
гласована со спектральными характеристиками сигнала —
амплитудной и фазовой. В связи с этим рассматриваемый опти-
мальный фильтр часто называют согласованным фильтром.
Связь между ФЧХ 65(<о) входного сигнала, компенсирующей
ее частью характеристики фильтра — 6s(<o) и полной ФЧХ
фильтра (ph(tt>) =—[6, (со)+(о(М) поясняется рис. 13.2.
После прохождения через фильтр спектр выходного сигна-
ла будет иметь фазовую характеристику
6S вых(<о) =es<co)+q)(i(co) =—(13.13)
показанную прямой линией на том же рисунке.
Соотношение (13.12), устанавливающее, что АЧХ фильтра
К((£>) должна по форме совпадать с амплитудным спектром
сигнала S(io), также легко поддается физическому истолкова-
нию. При АЧХ А(<о), отвечающей условию (13.12), фильтр
пропускает спектральные составляющие шума неравномерно,
с тем большим ослаблением, чем меньше модуль 5(со). Это
приводит к существенному уменьшению мощности шума на вы-
ходе фильтра. На рис. 13.3, б эта мощность определяется пло-
щадью (заштрихованной), ограниченной кривой №вых(<о) =
=/(2(<о)М>, характеристики на рис. 13.3 построены в предполо-
жении, что AS(O) = 1.
Ослабление сигнала из-за неравномерности характеристики
/С(<о) выражено в меньшей степени, чем ослабление шума, по-
скольку А(ю) уменьшается для спектральных составляющих,
вклад которых в пиковое значение сигнала сравнительно мал.
В результате получается ослабление шума относительно сиг-
360
нала. В сочетании с устранением фазовых сдвигов между
спектральными составляющими сигнала это и приводит к мак-
симизации отношения сигнал-помеха на выходе фильтра.
Отметим важное свойство согласованной фильтрации сиг-
нала на фоне белого шума: при заданных энергии сигнала
s(t) и спектральной плотности мощности No шума отношение
сигнал-шум на выходе фильтра, как это видно из (13.10), со-
вершенно не зависит от формы сигнала.
13.3.	ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА.
ФИЗИЧЕСКАЯ ОСУЩЕСТВИМОСТЬ
Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильт-
ра K(i®) является функцией, сопряженной спектру сигнала
S(o>), указывает на существование тесной связи и между вре-
менными характеристиками фильтра и сигнала. Для выявления
этой связи найдем импульсную характеристику согласованно-
го фильтра.
Применяя выражение (5.15) и учитывая формулу (13.6),
получаем
^(0=2^ К (гго)	= A S* (to)	(13.14)
— оо	—оо
Учитывая, что S*(to) = S( — со) и переходя к новой пере-
менной (•)[=—to, переписываем выражение (13.14) следующим
образом:
—оо
g(0=-$ SfcoJe-^^-^Wto^
=А^ J S^e^.-o^.	(13.15)
—©о
Правая часть этого выражения есть не что иное, как про-
изведение As(/0—t). Следовательно, если задан сигнал s(Z), то
импульсная характеристика согласованного (оптимального)
фильтра g(t) определяется как функция
g(t)=As(t<r-1),	(13.16)
т. е. импульсная характеристика по своей форме должна со-
впадать с зеркальным отражением сигнала.
Построение графика функции s(to—t) показано на рис. 13.4.
Кривая s(—t) является зеркальным отражением заданного сиг-
нала s(t) с осью ординат в качестве оси симметрии. Функ-
ция же s(to—t), сдвинутая относительно s(—t) на время to
вправо, также зеркальна по отношению к исходному сигналу
361
Рис. 113.4
s(t), но с осью симметрии, проходящей через точку fo/2 на оси
абсцисс. На рис. 13.5 показано аналогичное построение для
случая, когда отсчет времени ведется от начала сигнала.
Поскольку импульсная характеристика физической цепи
не может начинаться при /<0 [отклик фильтра не может опе-
режать воздействие 6(f)], очевидно, что задержка t0, фигури-
рующая в (13.11), не может быть меньше Тс. Только при t0^Tc
может быть использована вся энергия сигнала для создания
наибольшего возможного пика в момент t=t0. Ясно, что уве-
личение tQ сверх Тс не влияет на пиковое значение выходного
сигнала, а просто сдвигает его вправо (в сторону запаздыва-
ния).
Кроме того, условие t0^Tc эквивалентно требованию конеч-
ной длительности Тс сигнала s(t); только в этом случае при
конечной задержке t0 можно реализовать пик сигнала. Иными
словами, применение согласованной фильтрации для макси-
мизации отношения сигнал-помеха в описанном выше смысле
возможно при импульсном сигнале (а также ограниченной по
продолжительности пачке импульсов).
Из приведенных замечаний вытекает следующее свойство
согласованного фильтра:
со
АЧХ фильтра удовлетворяет неравенству К2 (со) dm< оо;
это очевидно, так как при конечной энергии сигнала Э
CQ	СО
jj №(w)dw = A2 J S2(o)d(o = A25< оо.	(13.17)
—со	—со
Импульсная характеристика g(t), являющаяся Фурье-преоб-
разованием функции К (но) и отвечающая условию (13.16),
удовлетворяет также условию g(t)=O для /<0.
Возникает, однако, вопрос, при любой ли структуре спект-
ра сигнала 5 (со) найденная положительная функция К(со) =
=AS(co) может являться модулем передаточной функции фи-
зически реализуемой (каузальной) электрической цепи. Ответ
на этот вопрос дает критерий Пэли—Винера, согласно которо-
362
му кроме приведенных выше двух условий должно выполняться
я неравенство
°° (13Л8)
о
(здесь под со подразумевается нормированная, безразмерная
величина).
Можно доказать1 и обратное утверждение: если выпол-
оо
ияется условие (13.18), а также неравенство J’X2(w)d<jj<°°, то
—оо
функции К (to) можно поставить в соответствие такую фазу
Ф»((о), что передаточная функция X(Gj)e'M“) будет определять
каузальную цепь (т. е. цепь с импульсной характеристикой
g(t), равной нулю для всех Z<0).
Хотя критерий Пэли—Винера оставляет открытым вопрос о
структуре цепи, из него вытекают некоторые полезные следствия
о свойствах электрических цепей.
В частности, АЧХ Х(<±>) может быть равной нулю только на
некоторых дискретных частотах, но не в конечной или бесконеч-
но большой полосе частот. Действительно, если в полосе частот
oi<w<©2 функция Х((1))=0 и 11п/С(со) | =°°, то интеграл
(13.18) расходится. Аналогично рассуждая, можно прийти к
выводу, что фильтры со строго П-образной АЧХ нереализуемы.
Гауссовский фильтр с АЧХ Х(<о) = Л'ое~“ш> не реализуется, так
как |1п/С(со) | = 11п/Со—ato2| с увеличением о растет с такой же
скоростью, что и знаменатель l+to2 в (13.18), так что интеграл
расходится.
Следует, однако, отметить, что известны физические цепи,
АЧХ которых с достаточной для практики точностью аппрокси-
мируют идеальные фильтры.
Например, в гл. 15 рассмотрен близкий к П-образному
фильтр Баттерворта.
Там же рассматривается важный вопрос о связи между АЧХ
и ФЧХ каузального фильтра.
13.4.	СИГНАЛ И ПОМЕХА НА ВЫХОДЕ
СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА
Для определения формы сигнала на выходе используем об-
щее выражение
оо
5	S (<о) К (io) е,шЧ/(о.	(13.19)
1 Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем.— М.: Наука, 1970.
363
Подставив в него (13.6), получим
оо
^вых(0 = -А^ § S(w)S*((o)e“/“'»e,“/rf®=
—оо
оо
=А~ t s2 (w)
zn J ' '
—оо
(13.20)
Сопоставим это выражение с (2.122). Нетрудно видеть, что
интеграл в правой части выражения (13.20) есть не что иное,
как корреляционная функция входного сигнала Bs(x), в кото-
рой аргумент т заменен1 на t—t0. Таким образом, приходим к
важному выводу:
sBMx(O=HjBs(f—10)	(13.21)
и соответственно
MWt)=M(t).	(13.22)
Итак, сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью
до постоянного коэффициента А совпадает с корреляционной
функцией входного сигнала.
Для построения графика функции вВЫх(0 по заданной функ-
ции Bs(t) достаточно в последней т заменить на t—10 и учесть
коэффициент А. При t=t0, т. е. при т=0, величина Bs(0) равна
энергии сигнала. Следовательно, пиковое значение сигнала
s^(to)=ABs(Q)=A3.	(13.23)
Рассмотрим теперь параметры и статистические характери-
стики шума на выходе согласованного фильтра. При действии
белого шума с нормальным законом распределения (именно та-
кой шум и представляет основной интерес для практики) рас-
пределение шума на выходе линейного фильтра остается нор-
мальным. Спектр шума на выходе, как это ясно из (7.2) и
рис. 13.3, 1^вых(<а)=;7<2(<о)Л^о- Следовательно, корреляционная
функция шума на выходе согласованного фильтра
ОО	С5О
/?»ых м = гН ^вых («)	J № (®)	(13.24)
—оо	— ->
Подставляя К (ы) = (со) и учитывая выражение (2.122),
получаем
оо
/?вых(т) = Л2М^ 52(<о)е(“тб?ы = Д2М5Дт).	(13.25)
—оо
'Различие в знаках показателя степени eim,< не имеет значения вследствие
четности функции S2(co).
364
Отсюда следует, что корреляционная функция шума на вы-
ходе согласованного фильтра по форме совпадает с корреля-
ционной функцией входного сигнала (и, следовательно, с самим
выходным сигналом).
Приравнивая т=0, находим дисперсию (среднюю мощность)
шума на выходе
о2вых=^вых(0) =A2N0BS(0)=A2N03.	(13.26)
Составим отношение пикового значения сигнала 5ВЫХ (О к
среднеквадратическому значению шума овь1Х. В соответствии с
формулами (13.22) и (13.26) приходим к результату 8вЫХ(^о)/
Овых= (3/N0)1/2, который совпадает с (13.10).
Итак, при белом шуме отношение сигнал-шум на выходе
фильтра, согласованного с сигналом, зависит только от энергии
сигнала и энергетического спектра шума Nq. Из этого заключе-
ния следует, что при заданных энергии и ширине спектра сиг-
налу можно придавать различную форму, выгодную для реше-
ния конкретной задачи.
Так, для повышения скрытности передачи целесообразно
удлинять сигнал при соответствующем уменьшении амплитуды
(^o2Tc=const). Это приводит к уменьшению отношения сигнал-
помеха на входах любых радиоприемных устройств, что затруд-
няет извлечение информации из смеси сигнал+шум. Лишь в
приемнике с фильтром, согласованным с данным сигналом, вос-
станавливается наибольшее возможное при заданной энергии
отношение сигнал-помеха. Следует, конечно, обеспечить неиз-
менную ширину спектра при удлинении сигнала. Это можно
осуществить, введя внутриимпульсную модуляцию, например
частотную. Пример подобного сигнала — импульс с линейной
ЧМ (ЛЧМ импульс) был рассмотрен в § 3.7.
Удлинение радиоимпульса, дополняемое внутриимпульсной
модуляцией, позволяет также снизить пиковую мощность гене-
ратора в передатчике при заданной энергии сигнала и при со-
хранении разрешающей способности сигнала (после сжатия в
согласованном фильтре). Это преимущество более подробно
рассматривается в § 13.5.
Уточним смысл коэффициента А, фигурирующего во многих
предыдущих выражениях. При определении отношения сигнал-
помеха [см. (13.9)] в уточнении нет необходимости, однако при
рассмотрении сигнала и помехи порознь, как, например, в вы-
ражениях (13.23) и (13.25), необходимо учитывать, что А —
размерный коэффициент. Удобно нормировать А так, чтобы
энергии входного и выходного сигналов были одинаковы, тем
самым исключая из анализа усиление энергии сигнала.
Энергия входного сигнала 3=Bs(0), а выходного
ею	оо
Лых = J 52ых(0^ = ^ 5
—оо	—оо
(13.27)
365
Приравнивая ЭВЫх величине Э, получаем условие нормиро!
ния коэффициента А (если энергии Э и Эвых рассеиваются
одинаковых нагрузках)
1/2
л= 5S(O)
Подставив этот результат в (13.23), находим
сигнала
5ВЫХ
I Г °°	"Г 1/2
Go) = ^Bs(O) = [Bs(O)]3/2 / 5	.
(13.!
пик сжата
(13.!
Таким образом, пик сжатого сигнала (в отсутствие усиле
ния) выражается через корреляционную функцию исходного
сигнала s(t).
13.5. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
РАДИОИМПУЛЬСА
С ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫМ
ЗАПОЛНЕНИЕМ
В качестве иллюстрации согласованной фильтрации рас
смотрим оптимальную обработку важного для практики и рас
пространенного в радиолокации сигнала,
рис. 13.6, а. Огибающая этого сигнала
изображенного
форму, а частота заполнения
(рис. 13.6,6) со скоростью
имеет прямоугольную
нарастает
по
линейному
закону
р=2сод/Тс=2-2л/д/Тс,
(13.30)
где Тс — длительность импульса; 2<од — полное изменение час-
тоты внутри импульса; a>o=2nfo — центральная частота запол-
нения. В дальнейшем исходим из условия, что 2ыд<Са>о. Таким
образом,
о (t) =®о+^, —Тс/2С^<Тс/2,
а мгновенное значение сигнала в интервале —TJ2 до TJ2 опре-
деляется выражением
s(t)=E0cos(to0t+$t2/2).	(13.31)
Спектральная плотность подобного импульса была опреде-
лена в гл. 3. Было установлено, что модуль и фаза спектраль-
ной плотности определяются формулами (3.42) и (3.43) соот-
ветственно.
Эти выражения могут быть в принципе положены в основу
366
Рис. 13.6
образом, точные выражения заменя-
синтезирования фильтра,
во создание четырехпо-
люсника, точно реали-
зующего столь сложные
АЧХ и ФЧХ, представ-
ляет собой трудную или
вообще невыполнимую
задачу. Поэтому прихо-
дится прибегать к раз-
личным приемам аппро-
ксимации АЧХ и ФЧХ.
Делается допущение о
том, что огибающая
спектра сигнала имеет
прямоугольную форму, а
ФЧХ — форму квадра-
тичной параболы. Таким
ются приближенными [см. пояснения к формулам (3.42) и
(3-43)]:
5 (о))»А0Гс/2 ]/= const, ш0—о)я<«<а»0 + <од,
„ , V (£0 — со„)2 л	(со—СЬ0)2	,
е, (“) « —	2^	= — V т —«о - (Од < W < (О0 + О)д.
В § 3.7 было показано, что такое приближение тем лучше,
чем больше m=2f)1T<: (постоянный фазовый сдвиг л/4 опущен).
При отсчете времени t от начала импульса фазовый спектр
сигнала запишем в виде
----------------------2-
Для сигнала с подобными амплитудными и фазовыми спект-
рами согласованный фильтр должен иметь прямоугольную АЧХ
и ФЧХ, определяемую выражением
. .	_ , ,	„ Гл	(to—со0)2 , с»7'с\	™
фл- (со) = — 0? (со) — <о7\=	т  -----1----' —‘"Т =
Л	(со — СО0)2 (£>Т с	/19ЯОЧ
Строго прямоугольная АЧХ также неосуществима. Поэтому
дальнейшее упрощение заключается в замене прямоугольной
амплитудной характеристики характеристикой реализуемого по-
лосового фильтра. После этого фильтр может быть осуществлен
в виде сочетания двух линейных четырехполюсников: полосово-
го резонансного фильтра (обычный усилитель промежуточной
частоты приемника) и специального четырехполюсника с равно-
мерной АЧХ и квадратичной ФЧХ.
Заметим, что фазовой характеристике (13.32) соответствует
групповое время запаздывания узкополосного сигнала
_/,Л	л	(СО —СОо) Тс
----55-----2-
ем2
367
В качестве устройства с требуемой ФЧХ может быть исполь-
зована любая цепь, у которой задержка в некотором частотном
диапазоне (вблизи частоты соо) линейно зависит от частоты.
Такими свойствами обладают, в частности, дисперсионные
ультразвуковые линии задержки.
Определим сигнал на выходе фильтра. При этом будем иметь
в виду не аппроксимированный, а точно согласованный фильтр,
передаточная функция которого отвечает условию (13.6).
Основываясь на соотношении (13.21), воспользуемся выра-
жением (3.96') для корреляционной функции входного сигнала,
выведенным в § 3.11:
Ва(т)^±Е02Тс
пт (г/Тс)
COS (О0Т.
Заменяя в этом выражении т на t—Тс и ограничиваясь рас-
смотрением участка вблизи точки t=Tc, т. е. в окрестности точ-
ки, где выходной сигнал достигает пикового значения, можем
считать т/Тс<С1-
Тогда
ва (/ - Гс)«| ЕО2ГС	COS тоо (t - Тс).
Учитывая, что т= (1/л) а>дТс [см. (3.37)], последнее выраже-
ние перепишем в несколько иной форме:
в a (t -Гс)~ ЕО2ТС Si" дМ(д/1 7jc) cos “°	03-33)
Подставляя полученное выражение в (13.21), находим на-
пряжение на выходе согласованного фильтра
«вых (Л = АВа (/ - Гс) =	cos “о О- =
= ^вых (0 COSOo (t — Tc),
где огибающая
t/вых (?)ЛЕ*ТС	•	03.34)
Заметим, что частота заполнения не модулирована и равна
соо, т. е. средней частоте входного сигнала.
Определим пик сжатого сигнала при нормировании энергии
выходного сигнала к энергии сигнала на входе [см. (13.29)].
В данном случае
£а(О) = Э-=|£о2Гс, а (т)«4	coso)0T.
^2	X»	'-Ы д !•
368
поэтому
$вых (^о)
___________(7г£ог7’с)3/2_________
ОО	"11/2 •
I „ „	(* sin2 (ОдТ
"2 Еа Тс ) "G^C0S &°XdX
—оо	J
Подставив cos2 ®от = 1/2-}-*/2cos 2ojot и отбросив интеграл
с подынтегральной функцией, содержащей множитель cos2(o0r,
оо
Ssin2 х
—^—dx.=n, получим окончатель-
ный результат
-'’вых(^о) г
(7г£агГс)1/2
оо	1/2
1	(* Sin2 К
2©7 J -^2~dx
— V	иТ с — о от-
Таким образом, выражение (13.34) можно переписать в форме
г—	sinwn/f—Тс)
У„Ю-ЖЕ.	.	(13.35)
Сигналы на входе и выходе фильтра изображены на рис. 13.7
(при£о=1)- Наибольшая амплитуда выходного сигнала (в мо-
мент t=Tc) в Vm раз больше, чем на входе, а длительность
основного лепестка, отсчитываемого между двумя нулями, рав-
на 1//д. Длительность выходного импульса на уровне 1/ 1^2 от
максимального значения Тс Вых ~ 0,89/2/д.
Таким образом, отношение
Тс/Тс вых 1,1 • 2/дТс,
близкое по значению к параметру модуляции т=2{лТс, можно
назвать коэффициентом сжатия ЛЧМ импульса в согласованном
фильтре.
Из (13.35) видно, что компенсация фаз спектра сигнала —
основная операция в согласованном фильтре — приводит к сжа-
тию импульса в m раз при одновременном увеличении пика сиг-
нала в /т раз (при нормировании энергий входного и выход-
ного сигналов). Это весьма ценно для практики, так как позво-
ляет удлинять импульс, генерируемый передатчиком, для уве-
личения энергии сигнала без потери разрешающей способности,
которая определяется длительностью импульса на выходе со-
гласованного фильтра. Техническое преимущество этого метода
особенно проявляется в тех случаях, когда увеличение ампли-
туды импульсов в передатчике ограничивается импульсной мощ-
ностью электронных приборов, используемых для генерации
колебаний. Значительно проще увеличивать энергию сигнала
удлинением импульсов при одновременной ЧМ. При этом пара-
метр модуляции m должен расти пропорционально длительно-
24—3305
36 9

Рис. 13.7
сти Тс излучаемого сигнала (при заданной длительности Тс вых
импульса на выходе согласованного фильтра). Иными словами,
девиация частоты должна оставаться неизменной, а скорость
изменения частоты ₽ должна быть обратно пропорциональна Тс.
13.6.	ФИЛЬТРАЦИЯ ЗАДАННОГО СИГНАЛА
ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ
Пусть на полностью известный сигнал s(t) линейно (адди-
тивно) накладывается шум с неравномерным энергетическим
спектром №(со) (небелый шум). Требуется синтезировать
фильтр, максимизирующий отношение сигнал-помеха. В отли-
чие от ранее рассмотренных задач в данном случае передаточ-
ная функция должна быть согласована не только со спектром
сигнала S(<u), но и с энергетическим спектром шума №(а>) [22].
370
Рис. 13.8
Наиболее простым способом отыскания требуемой переда-
точной функции K(tco) является приведение заданного шума к
белому. Для выяснения сути этого способа рассмотрим вспомо-
гательную структурную схему, показанную на рис. 13.8. На
этой схеме K(ico) обозначает искомую передаточную функцию
синтезируемого фильтра, a Ki (to) и 1/Ki (ico) являются переда-
точными функциями двух вспомогательных условных четырех-
полюсников, введение которых не оказывает никакого влияния
на работу устройства, так как их результирующая передаточ-
ная функция равна единице. Поскольку функцию Ki (tco) можно
выбирать произвольно, то модуль этой функции зададим в виде
Кх (о) = VМ/У7(о),	(13.36)
где No — постоянная величина.
Тогда на выходе первого четырехполюсника будет действо-
вать шум с равномерным энергетическим спектром
(со) = W (со) [К, (со) ]2=2V0=const,
т. е. белый шум.
Само собой разумеется, сигнал на выходе этого четырехпо-
люсника отличается от входного сигнала, так как спектральная
плотность
Si(co) = S(co)Ki(t<o)	(13.37)
отличается от S(co). Однако это обстоятельство несущественно-
основной задачей является максимизация отношения сигнал-
помеха на выходе всего устройства. Поэтому важно отношение
энергии сигнала к энергетическому спектру шума, а форма сиг-
нала при этом роли не играет.
Так как в рассматриваемом сечении схемы шум является
белым, то для получения на выходе максимума отношения сиг-
нал-помеха вся последующая часть устройства должна иметь,
передаточную функцию, отвечающую условию (13.9). Таким об-
разом.
К (ico) = AS,* (со) е-^о.	(13.38)
Левая часть этого выражения является результирущей пере-
даточной функцией четырехполюсника, обведенного на рис. 13.8
штриховой линией, а правая часть — функцией, комплексно-со-
пряженной спектру Si (со) и дополненной множителем егм.
24*
371
Из выражения (13.38) получаем
K(i<o) =AS* (©) Ki (iw) е-“‘о.
(13.39)
Но из (13.37) следует, что S*(a>) =S* (со) Kf(ico).
Таким образом,
К (ico) =AS* (со) Kt(ico) Ki (i<o) е-‘"‘° =AS* (со) [Я, (со) ]2е-*-*<>.
Подставляя сюда (13.36), окончательно получаем
(13.40)
Нетрудно истолковать физический смысл этого соотношения.
Как и в случае белого шума, для максимизации отношения
сигнал-помеха в фильтре должна осуществляться компенсация
начальных фаз спектра входного сигнала S(o). Поэтому в пра-
вую часть (13.40) входит комплексно-сопряженная функция
S*(co). Однако модуль передаточной функции должен быть,
во-первых, пропорционален модулю S(co) (как и в случае бело-
го шума) и, во-вторых, обратно пропорционален энергетическо-
му спектру шума на входе фильтра. Тем самым обеспечивается
подчеркивание тех компонентов спектра сигнала, при которых
интенсивность шума меньше.
13.7.	ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛА С
НЕИЗВЕСТНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
При обработке сложных сигналов с внутриимпульсной моду-
ляцией начальная фаза 60 высокочастотного заполнения в выра-
жении
a(t, 0О) =А (t) cos [<d0/+e(/) +0О]	(13.41)
обычно является неизвестной величиной.
Если фильтр согласован с сигналом a (/, 0) = А (/) cos [сооН-
+0(/)1 без учета 0О, то при наличии фазового сдвига 0о фильтр
оказывается рассогласованным. Выясним влияние этого рассог-
ласования на выходное колебание.
При точном согласовании сигнал на выходе фильтра совпа-
дает по форме с корреляционной функцией входного сигнала,
поэтому в случае узкополосного сигнала (13.41) целесообразно
перейти к аналитическому сигналу, что позволяет воспользо-
ваться соотношением
^вых (
(t, 0)=-i-CRe e‘w < А(х) A* (x-|-f) dx I.
(13.42)
Это выражение получается из (3.87') заменой т на t—t0
(при t0=Q), а также переменной интегрирования t на х. Ин-
теграл в (13.42) имеет смысл корреляционной функции BA(t)
комплексной огибающей А (/).
372
Указанную функцию удобно записать в форме
В а (0 =	А (х) А* (х — 0 dx,
—оо
что равносильно изменению знака сдвига I. Тогда (13.42)
переходит в
свых(/, 0) = !/2С Re	А (х) А* (х — f) dx =
= ’/2С Re [егш-'БА (*)].	(13.42')
Введем в рассмотрение начальную фазу во входного сигнала.
Для этого достаточно домножить функцию А(х) на е/0°.
оо
Новый интеграл А(х)е'е°А*(х — t)dx определяет взаим-
ную корреляцию между функциями А(х)е/0« и А*(х — t),
однако после вынесения множителя ei0‘ за знак интеграла
получается произведение ei0,^A (t). Таким образом, приходим
к следующему выражению для сигнала на выходе рассогла-
сованного фильтра:
свых(Л 0о) = ’/2С Re[e'<^+0-)| ВА (/).	(13.43)
Из сравнения этого выражения с (13.42') следует, что для
учета начальной фазы достаточно прибавить 0о к слагаемому
ь)0(, сохранив огибающую выходного сигнала.
Проиллюстрируем этот результат на примере ЛЧМ импульса, рассмот-
ренного в примерах § 3.11 и 13.5.
Из соотношений (3.93) и (3.96) после замены в них т на t (задержка
сигнала не учитывается) вытекает следующее выражение для корреляци-
онной функции огибающей:
Г * (	* Y1
sin лт у- I 1 —jr-1
(О = Т’с	лиг (tfTc) •
Таким образом,
Г * I 1
(13.44)
авых (Л 6») — AT с	nm(t/Tc) cos (со</+ 60).
На рис. 13.9 изображено выходное колебание на отрезке времени вбли-
зи пика при во=9О° для фильтра, согласованного е ЛЧМ сигналом. Пара-
метры входного сигнала соответствуют приведенным на рис. 13.6. В зависи-
мости от 0О положение пика сжатого сигнала на оси времени может
изменяться в пределах ±л/<йо, т. е. половины периода высокочастотного запол-
нения. Из этого примера видно, что при достаточно большом числе пе-
риодов, приходящихся на длительность сжатого сигнала, влияние 0о иа пи-
373
Рис,. 13.9
новое значение невелико. Если дальнейшая обработка сигнала ведется по
огибающей, то при выполнении указанного условия относительно высоко-
частотного заполнения влияние 60 исключается.
13.8.	СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
КОМПЛЕКСНОГО СИГНАЛА.
КВАДРАТУРНАЯ ОБРАБОТКА
В гл. 3 и 6 отмечалось, что комплексная огибающая A(t)
узкополосного сигнала a(t)=A(t) cos [<в0^+б (/)] содержит в себе
всю информацию, обусловленную как амплитудной, так и угло-
вой модуляцией. Во многих практических задачах радиотехни-
ки обработку сигнала целесообразно проводить непосредствен-
но по огибающей А(/) с исключением несущей частоты <оо- Та-
кой подход особенно актуален при цифровой обработке сигна-
лов. Осуществление цифровой обработки на частотах радиотех-
нического диапазона усложняется из-за требования чрезвычай-
но высокого быстродействия АЦП и арифметических устройств
цифрового фильтра. В связи с этим цифровая обработка, как
правило, проводится в тракте видеочастоты приемного устрой-
ства.
Сигнал на выходе усилителя промежуточной частоты прием-
ного устройства представим в форме
о (/) =А (/)cos[o)o^4~e (Ц -4-0о]> O^t<ZTs.	(13.45)
После гетеродинирования на выходе двух фазовых детекто-
ров (ФД на рис. 13.10) образуется комплексный сигнал
s (ц =sc (/) +йз (0 =л (Ocos[e (/) +e0J+
+M(Osin[e(/)+eo]=A(/),	(13.46)
где
А(О=Д(ЦЯ6(О+во1
— комплексная огибающая исходного сигнала a(t).
374
Рис. 13.10
Свойства согласованной фильтрации, изложенные в
§ 13.1—13.4 для действительных сигналов, полностью рас-
пространяются и на комплексные сигналы. Поэтому импульсная
характеристика оптимального фильтра в соответствии с (13.16)
должна иметь вид
g(t) = Cs (Ts—t) =С{А (Ts—t)cos[6 (П—0 +0oJ+
4-1’Д (7\—Q sin[6 (Л—0 4-0o]}=gRe (0 +feim (0.	(13.47)
где £ке(О и gim(t) —действительная и мнимая части импульс-
ной характеристики фильтра.
Сигнал на выходе согласованного фильтра определим с по-
мощью интегральной свертки:
оо
Дшх(0= jj s(x)g(t—x)dx.	(13.48)
Подставив (13.47) в (13.48), придем к следующему резуль-
тату:
сю
$вых(0 = 5 к U) +	(*)] [gRe (t — x)—igim (/—*)] dx==
—oo
j) sAx)g^(t — x)dx-\- ss(x)gim(t — x)dx+
jj ss(x)gRe(/— x)dx — jj Sc(x)glm(i— x) dx=
— «с вых (О ^Ss вых (^)-
(13.49)
Алгоритм (13.49) реализуется схемой, показанной на
рис. 13.10. Первый интеграл определяет отклик физической цепи
с импульсной характеристикой gRe(/) на воздействие sc(t), вто-
рой интеграл — отклик цепи с импульсной характеристикой
gim(0 на воздействие ss(t) и т. д.
375
Сопоставление выражений (13.42') и (13.49) показывает,
что A3u^(t)=CBA(t) = CBAc(t)+iCBAs (t) совпадает по форме с
корреляционной функцией (комплексной) суммарного сигнала
4вых(0> сигнал на выходе сумматора I соответствует функции
CBAc(t), а на выходе сумматора II — функции CBAs (t). По-
стоянная задержка Т, опущена.
После дополнительной обработки (квадрирование и сумми-
рование), показанной в правой части структурной схемы
(рис. 13.10), получаем окончательно
[Звых (012 = С2 [В2дс (0 + B2as (/)] = С2 [в2д (0].	(13.50)
Отметим, что операция квадрирования исключает влияние
начальной фазы 0О. Поскольку эта операция осуществляется
после максимизации отношения сигнал-помеха в линейной ча-
сти устройства, потери, связанные с введением нелинейного
преобразования, выражены незначительно.
13.9.	ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА
В данном параграфе не только помеха, но и полезный сиг-
нал является случайным процессом.
Пусть на входе линейного фильтра с постоянными парамет-
рами действует аддитивная сумма сигнала s(t) и помехи n(t):
x(t)=s(t) +«(/)•	(13.51)
Оба случайных процесса стационарны, взаимно независимы,
с нулевыми средними: s(t) =n(t) =0.
Энергетические спектры 11^,(<в) и Wn(a>) предполагаются из-
вестными.
Отклик фильтра на воздействие x(t) определим выражени-
ем (5.24) или в эквивалентной форме (5.26):
t
(13.52)
—оо
оо
s(t)=\x(t-l)g(£)dZ	(13.53)
б
(s(/) обозначает не истинный сигнал s(t), а лишь его «оценку»,
поскольку на вход фильтра поступает смесь сигнала и помехи).
Бесконечный нижний предел в интеграле (13.52) указывает
на то, что для получения в момент t на выходе фильтра оцен-
ки s(t) требуется знание x(t) за все предшествующее время.
Подобный фильтр иногда называют каузальным (причинным).
Разность
e(/)=s(f)—s(/)	(13.54)
называется ошибкой, погрешностью оценки.
376
Проблема заключается в отыскании импульсной характери-
стики g(t), при которой среднеквадратическое значение ошибки
НО = [s(0-^ (О]2	(13.55)
оказывается минимальным, т. е. передаваемый сигнал воспро-
изводится с минимальными отклонениями от истинной величины
5(f).
Фильтр с такой импульсной характеристикой называется
оптимальным по критерию минимальной среднеквадратической
ошибки. Область применения: определение статистических ха-
рактеристик передаваемого процесса (корреляционной функции,
спектральной интенсивности, параметров распределения).
Определенный выше фильтр оптимален в классе линейных
цепей при гауссовском распределении процессов. При негауссов-
ском распределении возможны, в принципе, нелинейные цепи,
дающие меньшую ошибку.
В основу анализа положим уравнение (13.53). Подставив
s(0 в (13.55), получим
в2(/) =
СО	П2
S(<)_jx(f-^)ga) cd
О	-I
(13.56)
Можно показать, что е2(/) минимально, если ошибка е(/)
ортогональна по отношению к функции x(t—£).
Для детерминированного сигнала аналогичное утверждение
было обосновано в § 2.1 при определении коэффициентов обоб-
щенного ряда Фурье, обеспечивающих минимизацию средне-
квадратической ошибки аппроксимации.
Применительно к выражениям (13.54) и (13.56) можно дать
следующую геометрическую трактовку принципа ортогонально-
сти функций в (/) и x(t—т).
Рассмотрим трехмерное пространство сигналов V с взаимно
перпендикулярными координатными осями yh у% уз (рис. 13.11).
Вектор сигнала S, расположенный над плоскостью yi, у%, ап-
проксимируется вектором S, лежащим в указанной плоскости.
Каков должен быть этот вектор, чтобы длина вектора ошибки
S—S, т. е. норма || S—S||, была минимальной? Очевидно, что
вектор S нужно спроектировать на
плоскость yt, у2 в направлении, пер-
пендикулярном этой плоскости. Ины-
ми словами, вектор ошибки должен
быть ортогональным по отношению к
вектору S. Но направление векто-
ра S, соответствующего интегралу
00
J x(t—&)g(£)d£, определяется про-
377
функций e(Z) и s(t) сводится к уравнению
со
о
х (i — т) = 0, т > О.
(13.57)
Учитывая, что s(t)x(t—т)=Дах(т) —взаимная корреляционная
функция процессов s(t) и x(t), а х (/—£)х(/—т) =Я.(т—£) -
корреляционная функция процесса x(i), приходим к интеграль-
ному уравнению
оо
^(0-$/?x(r-£)g(^ = 0, т>0	(13.58)
о
(уравнение Винера—Хопфа).
В частном случае статистически независимых процессов $(1)
n(t) взаимная корреляционная функция /?«п(т)=0 и /?„(т) =
—	(т) =R, (т) есть корреляционная функция полезного
сигнала. В этом случае уравнение (13.58) принимает вид
оо
Я,(*)-$Яж(т-£)£(£)^=О, т>0.	(13.58')
О
Функция g(£), удовлетворяющая уравнению (13.58), а также
условию g(£)=0 при £<0, и является импульсной характери-
стикой фильтра, минимизирующего среднеквадратическую ошиб-
ку аппроксимации.
В уравнении (13.58') функция /?«(т) четная, а 1 Rx(t-
0
—— функция общего вида, поскольку g(£) существует
только при £>0. Следовательно, эта функция может компенси-
ровать R„(x) только при т>0.
Перепишем поэтому уравнение (13.58') в следующей экви-
валентной форме:
со
Я, (Г) - 5 R* (* - £) g Q) dl = у (г),	(13.59)
о
где г/(т)=О при т>0, а при т<0 г/(т) учитывает нескомпенси-
рованную часть /?,(т).
Для решения уравнения (13.59) целесообразно перейти к
спектральным интенсивностям ИТ, (to) и W'x(co), воспользовав-
шись соответствиями	Rx(x)-^-Wx(a>), вытекающи-
ми из теоремы Винера—Хинчина. С учетом особенности урав-
нения (13.58') —сочетания четной функции с функцией общего
вида — целесообразен переход к преобразованиям Лапласа,
двусторонним по отношению к /?. (т), 7?х(т) и односторонним
378
к#(т) и У^)- Для этого достаточно переменную со представить
в виде a>=p/i:
2lW)]=Ws(p/i), 2Vb(x)]=Wx(pli).
Преобразование Лапласа (одностороннее) функции g(x)
& [g (т)1 = S СО e~pxdx=К (р)
о
имеет смысл передаточной функции фильтра, а для функции
у{х), существующей только в области т<0,
^[f/(T)l = $ У (—т) е₽т</т=¥ (р).
о
Наконец, интегральной свертке в выражении (13.57) соот-
ветствует произведение №я(р/0К(р).
В результате приходим к новому уравнению
(р/0 ~WX (p/i) К (р)« Y (р).	(13.60)
Передаточная функция К(р), удовлетворяющая этому урав-
нению, и является оптимальной. Обозначим ее Kopt(p)-
По этой функции нетрудно найти и импульсную характери-
стику [см. (5.15)]
goptСО
c+ioo
2^ $ Kopt (р) epxdp.
(13.61)
Решение уравнения (13.60) основывается на методе фактори-
зации функции [15] Wx(p/i), т. е. представлении ее в виде про-
изведения
Wx(p/i)=A+(p)A~(p),	(13.62)
у которого сомножитель А+(р) имеет полюсы и нули только в
левой р-полуплоскости, а А~(р)—только в правой р-полупло-
скости. Для этого требуется, чтобы энергетический спектр
Wx(p/i) являлся рациональной функцией комплексной перемен-
ной р.
Кроме того, первое слагаемое в (13.60) необходимо пред-
ставить в форме
А~ & = 1£+ М А~ <13-63)
где В+(р)—функция, аналитическая в области
В~(р)— в области Rep<0 [т. е. В+(р) не имеет
правой, а В~(р) — в левой р-полуплоскости].
Как и в предыдущем случае, полюсы в левой
Repi>0, а
полюсов в
полуплоско-
379
сти относим к В+ (р), а полюсы правой — кВ' (р). Подставив
(13.62) и (13.63) в (13.60), получим
[В+ (р) 4-В- (р) ]Д" (р) —Л+ (р)А- (р) К (р) = Y (р).	(13.64)
Но изображение по Лапласу Y(p) функции р(т), существую-
щей только при т<0, не может иметь полюсов в левой р-полу-
плоскости. Следовательно, и левая часть уравнения (13.64)
должна быть выражена через функции, у которых полюсы толь-
ко в правой полуплоскости, что возможно при выполнении ра-
венства
В+ (р)А- (р) -Д+ (р) А- (р) К (р) = 0.
Итак, искомая передаточная функция фильтра
Ko₽t(p)=B+(p)M+(p).	(13.65)
Функции В+(р) и Л+(р), определяемые видом энергетиче-
ских спектров №s(to) и Ц7х(а>), будут далее проиллюстрированы
примером.
Составим в заключение выражение для среднеквадратиче-
ской ошибки на выходе оптимального фильтра. В соответствии
в (13.54) и (13.53) случайная ошибка
оо
e(0=s(0-$x(/-£)gopt (£)С£.
о
Образуем произведение
г
е (/) е (/) =
ОО
о
S (/) — $(/)
= s2 (0 - $ S (0 х (t - £) gopt (g) dt -e(t)s (/).
0
Функции e(Z) и s(t) по условию ортогональны, следователь-
но, усреднение последнего выражения приводит к уравнению
ОО
= (0) - 5 Rsx Ю gopt (£) dl.	(13.66)
о
Основываясь на независимости процессов s(t) и п(7), пола-
гаем /?51(т)=/?,(т) [см. комментарий к (13.58)].
Тогда окончательно
Т** ‘ 	ОО
-Rs (0) - $ Rs (£)gopt (£) du.	(13.67)
о
Пример, иллюстрирующий изложенный выше метод, при-
водится в следующем параграфе.
380
13.10.	УПРОЩЕННЫЙ МЕТОД
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК ФИЛЬТРА
Анализ характеристик оптимального фильтра существенно
упрощается, когда исследуемый процесс x(t) можно «записать»,
т. е. ввести в устройство памяти для последующей его обра-
ботки. Если время наблюдения достаточно велико (теоретиче-
ски— оо</<оо) то при вычислении оценки s(/) можно ис-
пользовать значения x(t) при всех t', как t' <Zt (предшеству-
ющие значения), так и t'>t (будущие значения)1. Фильтр, ра-
ботающий в подобном режиме, называется некаузальным. При
этом исходное выражение (13.53) должно быть заменено выра-
жением
ОО
s(0= $	(13.68)
отличающимся от (13.53) только нижним пределом интеграла.
Повторив рассуждения, приведшие к (13.58), получим новое
уравнение
оо
ЯвхСО— J /?jr(T—^)g (1)^ = 0, — оо < т < оо .
—ОО
В случае статистически независимых s(t) и п(/)
ОО
/?Дт)— J /?х(т—=	— оо<т<оо.
—оо
(13.69)
(13.69')
Перейдя к спектральным интенсивностям W. (со), И'Дсо) про-
цессов s(t) и x(t), первое слагаемое в (13.69') представим в
форме
оо
$ Г,((о)ег^,
—оо
а второе слагаемое в соответствии с теоремой о свертке [см.
(2.59)] — в форме
со	оо
$ /?х(т-ю^а)^=^ $ wк
—со	—оо
1 Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов иа фоне случай-
еых помех.— М.: Сов. радио, 1960.
381
Тогда уравнение (13.69') приводится к виду
оо
5 [^(<o)-W'x(o)/C(tt)]e"-do = 0.
—оо
из которого непосредственно определяется оптимальная переда-1
точная функция
[S /..\__Ws (со)_	(СО)	/12 7(11
Л opt И ^(а) Ws (со) + 1Г„(<0)‘
Смысл этого результата очевиден: на частотах, при которых
спектр сигнала существует, а спектр помехи равен нулю,
Kopt(<о) = 1. В противоположном случае K0pt(<o)=0. Если спек-
тры сигнала и помехи не перекрываются, то помеха полностью
подавляется, а функциональный вид сигнала не меняется.
Среднеквадратическая ошибка, по аналогии с (13.67)
оо
^(0=Я.(0)- J Я, a)&Pt (£)<£•
—оо
Переходя, как и в (13.69'), к спектральным
и учитывая (13.70), получаем
(13.71)
интенсивностям
оо
82(^)mln = 2^
—оо

= _L С 6°) W° 6°) //f,>
2л J ГДы) + Wn («)
ОО
=2л $ Wn(sd)Kopt(u)du.
—оо
(13.72)
Остановимся на вопросе об импульсной характеристике не-
каузального фильтра. В случае действительных функций s(0
и п(() функции W,(to), 1^х(со), а следовательно, и /(opt (о)
являются функциями действительными и четными относительно
о». Очевидно, что при этом импульсная характеристика фильтра
является функцией четной относительно t. В этом и проявляет-
ся нарушение причинности фильтра. Физическая цепь с подоб-
ной импульсной характеристикой нереализуема. Можно лишь,
как указывалось ранее, осуществить математическую обработку
процесса, записанного в устройство памяти.
Проиллюстрируем изложенный метод на примерах каузального и не-
каузального фильтров прн следующих характеристиках полезного сигнала
s(/) н помехи п(Х):
382

— сигнал в виде стационарного случайного процесса с корреляционной
функцией
fit (т)=/?Л (0) е—(13.73}
и с энергетическим спектром
(®)= J 7?j(r)e— l<SiXdx—2 J (т) cos сотс?т=
—co	о
°°	a2
=2T?S (0) J e at cos <oxrfT = Ws (0)	(13.74)
где	(0) = 27?5 (0)/a;
—помеха в виде белого шума с корреляционной функцией Rn(x)
(см. (4.40)] и энергетическим спектром W7n(co)=W=const.
Графики спектров U7s(co) и U7„(M) представлены на рис. 13.12.
При независимости процессов s(/) и n(t) энергетический спектр суммы
Х(/) =«(/)+«(/)
^х(Ф) = ^ (0>)+W=irs	(13.75)
где
P2=a2(l+m), m=lF,(0)/tf.	(13.76)
Коэффициент т характеризует соотношение уровней спектров сигнала и
помехи (рис. 13.12).
Представив со в форме p/i, приведем (13.74) и (13.75) к следующим
функциям:
Г, («) = ^4 (P/1)^WS (0)
„ . .	, ... »,Ра-~р‘ >г (Р+Р)(Р—р)
17х(со)_ Wx(ph) — N аг_рг — N +	(а—р)'
Обратимся сначала к каузальному фильтру.
383
а=
Из последнего выражения очевидно, что входящие в (13.62)
Л+(р) и А_(р) имеют следующий смысл:
Далее из (13.63) следует соотношение
я+ ми я- < гл -	^(0)________________
(р) + В (Р)_ л_(р)	-	(а + р)(р_р).
С помощью равенств (13.76) нетрудно получить слагаемые
Тогда оптимальная передаточная функция фильтра
Kept (Р) =в+(р)/д+(р) = (р-а)/(₽+р)
и соответствующая ей импульсная характеристика [см. (13.61)]
goPt(0 = (p—а)е-Р‘, t^O.
МН0Ж1
(13.77)
(13.78)
Непосредственно из (13.77) и (13.78) следует, что при спектрах сиг-
нала и помехи, представленных на рис. 13.12, оптимальный фильтр реали-
зуется простейшим интегрирующим AJC-звеном. Постоянная времени цепи
должна быть Тф=7?С=1/р.
С учетом (13.76) приведенные выше характеристики фильтра приводит-
ся к следующему виду:
1 к”' '-yferdsF'	+ т
Наконец, среднеквадратнческая ошибка в соответствии с (13.67)
®г (Omin = ^(0)-f 7?И0)е-“ЧУ1+т -1) ae“n+'ne6d6=s
о
Г УТ+т"—1]
= Rs (0) 1 1/тзг~ -с 7 •	(13-79)
L у 1 + т + 1J
Результаты вычисления Kept (co), gopt(0 н e2(t) для трех частных слу-
чаев приведены в следующей таблице:
Сигнал	^орт	^ОрТ	
Сильный	/щ—1 У 1+т+ (со/а)2	(УрГ—Оае-^С	2 ^(О)тг
т—3	1 У4+(со/а)2	ае-2“‘, 7>0	R, (0)2/3
Слабый т«1	т/2	 V 1+т+(со/а)2	та	^Р.(О)
384
I
Из иижней строки таблицы следует, что при т<&1 ошибка e2(t) дости-
гает полной мощности сигнала, т. е. при относительно слабом сигнале филь-
трация по критерию минимальной ошибки неэффективна.
Графики Й7,(<о), М и Kept (to)/^pt т«х для т®=3 представлены на
рис. 13.12. Отметим, что при т=3 параметр £=2а [см. (13.76)] и постоян-
аая времени интегрирующего звена должна быть Тф=1/2а.
Определим аналогичные характеристики для некаузальиого фильтра.
В соответствии с (13.70)
„ ( >	^(и)	Г ДО) а2	1____________т
Aopt(«J- Ws (£о)+?/ - а’ + и= 17Д0)аг	~ (1 + т)+(<о/а)«’
а2+<о2 +N
Импульсная характеристика
ОО	оо
1 (*	».,/ т f elwtd.&
^opt(0 = 2^ J Kopt(®)e =	) (l + /n) + (w/a)’ =
--OO	-CO
cos (£>tda>	ma
(H-w)+(co/a)2 ^2 УГ+77
e—/l+ma|i|
Среднеквадратическая ошибка
________ 1
(OmIn 2л
mda
(1 4-m) + (co/a)2
Nma 1
УН-m
= /?Д0)/ У1+/П
При m~3>
2	3	_________
Kopt(<o)=4Tj_y(a/--)-2-. SoPt(0 = -4 ae_2“lq ’ е2(От1п=ЛД0)/2.
Сопоставим каузальный и некаузальиый фильтры при одних
и тех же спектрах сигнала и помехи. Частотные характеристики
Kopt(co) этих фильтров при /п=3 представлены на рис. 13.12,
а импульсные характеристики gOpt(0—на рис. 13.13. Правая
ветвь характеристики g(t) определяет отклик фильтра на пре-
дыдущие значения x(t), а левая ветвь — на «будущие».
Отметим, что полоса пропускания некаузального фильтра
меньше, чем каузального. Этим и обусловлено некоторое сни-
жение ошибки [е2(/) = 1/27?5 (0) вместо 2/3/?(0)]. Сужение по-
лосы пропускания допустимо вследствие увеличения времени,
отводимого на обработку наблюдаемого процесса (например, в
сейсмологии).
25—3305
385
13.11.	ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
ДИСКРЕТНОГО СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА
Изложенный в предыдущем параграфе метод нетрудно рас-
пространить на дискретные функции s[A], п[&] и x[^]=s[A]+,
+п[6]. С этой целью обратимся к уравнению (13.59) и подверг-
нем его z-преобразованию.
Стационарному случайному процессу s(t) с характеристик»-
ми /?s(t) и Ws (со), дискретизованному с шагом Т, соответству-
ет двустороннее z-преобразование [см. (12.37)]
оо
С[/?,(т)]= 2 Rs[m]z~rn=Ws(z).
m^—co
Аналогично процессу x(t) соответствует
ДОх(т)]=1Г,(г).
Функции £(т) соответствует одностороннее z-преобразова-
ние, равное K(z), а интегральной свертке Rx(?)*g(?) — произ-
ведение Wx(z)K(z). Наконец, функции г/(т), отличной от нуля
только в области т<0, соответствует одностороннее преобразо-
вание Y (z).
Таким образом, дискретный эквивалент уравнения (13.60)
принимает следующий вид:
Ws (z) - Wx (z) К (z) = Y (z).	43.80)
Подставив Wx (z)=A+(z) A~(z), ^(г)=[В+(г)4-В_(г)]А“(г-
и повторив рассуждения, приведенные в § 13.9, придем к вы)
ражению
Ko₽t(z)=B+(z)/A+(z).	(13.81)
Использованное в § 13.9 условие аналитичности функций
А+(р) и В+(р) в правой р-полуплоскости (Rep>0) в данном
случае должно быть заменено условием аналитичности во всей
плоскости z вне круга единичного радиуса (|z|>1).
Среднеквадратическая ошибка при взаимной независимости
s(t) и п(/) по аналогии с (13.67)
оо
ЙЩГп =	[0] - 2 Rs [ml g [mJ.	(13.82)
m=-0
Опустив выкладки1, приведем формулы, которые можно
получить на основе выражения (13.81) для передаточной функ-
ции и импульсной характеристики оптимального дискретного
фильтра, а также для среднеквадратической ошибки. Характе-
ристики случайного процесса s(/) и шума n(t) такие же, что и
1 См. ссылку на с. 381.
385
в примере (13.73)]:	предыдущего параграфа	[/?Д/п]=/?Д0]е-вТ|т|, см.
KoptH =		(13.83)
«ЭДт1п =		(13.84)
Как видим, в рассматриваемой задаче оптимальный фильтр
реализуется рекурсивным звеном первого порядка с весовым
коэффициентом b в цепи обратной связи (рис. 13.14). Это уст-
ройство является дискретным эквивалентом аналогового интег-
рирующего 7?С-звена, упомянутого в задаче предыдущего пара-
графа.
В приведенных формулах постоянная а=е~аТ, постоянная b
определяется из уравнения
b + Ь- ’ = (а"» - а)	+ (а+а^),
постоянная с — 1 — Ь/а.
Коэффициент
/?Д0] Т _ Ws (0) а Т __ аТ
N	2 N m 2 ’
где m=W,(0)JN см. (13.76)].
Для сопоставления с аналоговым фильтром, рассмотренным
в § 13.9, положим а=е_“г=0,8, а7'«0,22, т=3. Тогда
frP}— =0,33, 6-Н-1 = 0,45-0,334-2,05=2,2. Из уравнения
64-6-1=2,2 находим два значения	61,2= 1,1±0,456.
Для устойчивости рекурсивного фильтра требуется
6<1. Следовательно, 6 = 0,64 и	с=1—Ь/а—0,8.
Наконец, £^«0,6 и е2[А]» 0,6 /?, [0]~0,2Л7Г.
Этот результат близок к ошибке, вычисленной в § 13.9
для аналогового фильтра [0,66/?, (0)].
Некоторое уменьшение ошибки обусловлено тем, что при
дискретизации сигнала и помехи внутри частотного интервала
1/Т сокращается относительная протяженность участка, на ко-
тором Ws (to)/N1 (на хвостах спектра, см. рис. 13.12).
Рис. 13.14
25*
387
13.12.	ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ. ЭКСТРАПОЛИРУЮЩИЙ
ФИЛЬТР
В предыдущих параграфах принципы оптимальной фильт-
рации изучались с позиций обнаружения сигналов на фоне
помех при достаточно полной информации как о сигналах, так
и о помехах.
Успехи в развитии цифровой техники обработки сигналов
открыли путь к решению более сложных задач в области радио-
связи, локации, управления и ряда других отраслей радиоэлек-
троники. К таким задачам относятся, в частности, обработка
случайных процессов при неполной информации об их характе-
ристиках, спектральное оценивание процессов, адаптивная
фильтрация, когда параметры системы перестраиваются на
основе дополнительной информации, извлекаемой из наблюда-
емого сигнала в процессе его обработки.
Решение подобных задач, как правило, требует экстрапо-
ляции обрабатываемых процессов. В данной книге рассматри-
ваются лишь некоторые понятия, необходимые для дальнейше-
го, более детального и систематического изучения новых мето-
дов обработки сигналов.
Экстраполяция случайного процесса {s[&]} основана на за-
данной корреляционной функции 7?„(т). йоясним суть экстра-
поляции сначала на простейшей задаче: известно значение от-
счета s[k—1] стационарного процесса и требуется прогнозиро-
вать отсчет sp]. Оценку ожидаемого отсчета обозначим s[£}.
Связь между д[/г] и s[fe—1] представим в форме
s[^]=tz! (l)s[Ze—1],	(13.85)
где коэффициент ajl), характеризующий фильтр, подлежит
определению. Здесь и в дальнейшем s(t) —процесс с нулевым
средним.
Случайная величина
е[Л]=s [£]—<?[£]=s [£]—a i (1) s [&— 1 ]	(13.86)
называется ошибкой предсказания.
Дисперсия ошибки при действительных s[&]
е2[&] = $2 [&] —2at (l)s [£]s [£ — l]4-ai2(l)s2[& — 1] =
= /?, [0] - 2a, (1) Rs [1] + a? [1] R, [0].	(13.87)
(Для стационарного процесса s2{fe—l]=s2[/e]=7?s[0].)
Коэффициент Oi(l) должен быть выбран так, чтобы диспер-
388
сия e2[k] была минимальна. Продифференцировав выражение
(13.87) по 0,(1) и приравняв производную нулю
d&[k]]/da,(l) =-2/?J[l]+2Ol(l)/?J[0]=0,	(13.88)
получим условие оптимальности фильтра
С1(1)=ЯЛИ/ЯЛ0].	(13.89);
Подставив найденное значение оптимального коэффициента
fli(l) в (13.87), определим минимально возможную дисперсию
ошибки
е2[Л]т1п=ЯДО] (1 -2^[1]/ед+^[1М0]) =
=ед(1-^2[1]/4о]).	(13.90);
В частном случае корреляционной функции вида 7?s(t) =
=Я8[0]е-ах оптимальный коэффициент Oi(l)=e-er и
t (1)= 1 -e-г.	(13.90')
Если шаг Т дискретизации процесса s(t) достаточно мал по
сравнению с интервалом корреляции т* процесса s(t), то
/?Д1]//?40]->1 и ё2[&]->0. В этих условиях оценка отсчета s[£]
почти достоверно совпадает с s[&—1].
Следует еще отметить важное свойство оптимального экст-
раполирующего фильтра. Случайная последовательность е[Аг],
т. е. ошибка экстраполяции, является некоррелированным про-
цессом:
Re [m] = e [А]е \k — /п] = е2[Л]6 [щ\,
где 6[т]=1 при т=0 и 6[т]=0 при т^О [см. (12.1)].
Это очевидно, так как если бы последовательность е[&] была
коррелированной, то это открывало бы путь для дальнейшего
снижения ошибки экстраполяции и данный фильтр не был бы
оптимальным.
Если экстраполяция осуществляется на основе М предыду-
щих отсчетов сигнала, то оценку А-го отсчета можно опреде-
лить выражением
sw [Л] = ам (1) s [k -1] + ам (2) s [k-2] + ...
м
. ..+ал1(7И)5[Л —	—	(13.91)
m=l
В символе aM(m) М обозначает порядок фильтра, ат — но-
мер коэффициента.
389
Ошибку предсказания обозначим, как и в (13.86),
м
Ем [fe] = s [А] — SM [А] = s [£] —	Ям (т) s [k — т\.	(13.92)
т=1
Это выражение можно записать в форме
м
^a'M(rn)s\k —т],	(13.93)
т—0
где ам' (0) = 1, ам'(т)——ам(т).
Как и в предыдущем случае, ем[&] — некоррелированная
случайная функция.
Структура фильтра предсказания оценки сигнала s[/e], а так-
же ошибки eM[fe], соответствующая алгоритмам (13.91) и
(13.92), представлена на рис. 13.15 (верхняя часть). Это фильтр
трансверсального вида, с отводами через Т.
Дисперсия ошибки в соответствии с (13.93)
(~~М	\2
^м s I —
т—0	/
Л1 М
== 2 aZd &М &М (•/') 3 [А т\ s (fe У] =
т—О J—0
М М
=	(13.9Д
m-О /=0
Для определения оптимальных коэффициентов аы'(т), ми-
нимизирующих дисперсию ошибки, продифференцируем выра-
390
жение (13.94) по какому-либо из коэффициентов, например
Ou'(i) при j—l. Производная внутренней суммы равна
aM'(m)R,[l—tn], 1=1, 2, .... М.
(При 1=0 ам' (0) = 1 =const и производная по a«'(0) обраща-
ется в нуль.) После суммирования по т получаем следующее
выражение для производной:
м
dz2M[k\/da'M(l} = ^dM(m)Rs[l — т\, 1=1, 2......М.
Приравнивая производную нулю и учитывая, что а^(0)=1
и dK(m)= — ам(т), приходим к следующему условию:
м
Rs[l]-^aM(ni)Rsll-rri]=O, Z=l,2, .... М. (13.95)
m—0
Таким образом, для определения М оптимальных коэффи-
циентов получается система уравнений
flM(l)/?s[0]4-aM (2)7?s[l]+ ... +a«r(M)/?s[A4- l]=7?s[l],
(13.96)
a„(l)/?s[M—l]+aM(2)/?s[M—2]+ ... +ам(Л4)/?8[0]=^[Л1].
При коэффициентах ам(т), удовлетворяющих этой системе,
дисперсия е2[£] минимальна. Обращаясь к (13.94), замечаем,
что при любых /#=0 внутренняя сумма в соответствии с (13.95)
равна нулю. Следовательно, эта сумма при /=0 отлична от
нуля и равна ам'(m)aM' (0)Rs[—rn\. Учитывая, что ам'(0) = 1 и
аи'(т) =—ам(т), окончательно получаем
м
= —
m=0
M
— ^UMkmlRAtn].	(13.97)
Для фильтра первого порядка (44 = 1)
e7iH^ = /?x[0]-a1(l)/?J[l],
что совпадает с (13.90).
При значительном М определение весовых коэффициентов
flM(m) является сложной процедурой. Приведем один из рас-
пространенных алгоритмов вычисления этих коэффициентов
(алгоритм Левинсона1):
ам(.!п)=ам-х(т)+ам(М){а11-х(М—т)}*,	(13.98)
1<т^Л1—1, 44 >1,
где М — порядок (длина) фильтра, т — номер коэффициента.
1 ТИИЭР.— 1982,— Т. 70, h's 9. Спектральное оценивание: Тем. выпуск.
391
Для коэффициентов ам(М), которые обозначим £м, существу(
равенство
К гл — &м (М) ==
(М—1	\
^аЛ1^(т)г^Л1~т]	(13.99)
т=1	J
где гДт] —нормированный коэффициент корреляции
и £о=гДО]=1,
£1=[l-af(l)]£0=[l-af(l)],
£2=[1-^(2)]£,=[1-4(2)11-4(1)],
£м—[1—°м (Л1)]£м_ t.
Вычисления начинаются с фильтра первого порядка. При
М — 1 единственный весовой коэффициент аД!) определяется
из выражения (13.99):
a1(l)=K1=rs[l]/£0=re[l],
что совпадает с (13.89).
Увеличив порядок фильтра на единицу, найдем для фильтра
второго порядка (7И=2) по формуле (13.98) при т=1
«2(1) =а.(1)+а2(2)аД1)=а1 (1) (1+К2).
В соответствии с (13.99)
/Г2=-(гД2]+а1(1)гД1])/£1 =
_	М2]-Ml] М2] _	G[2]-^(l)
(о '	(|зл14
Это выражение определяет коэффициент а2(2)=К2, откуда
о2 (i)=«i сп (1+^2)=^ (о -2-ff-	(13.Ю1)
1—а|(1)
Продолжая итерации до заданного порядка М, найдем все
весовые коэффициенты {ам(т)}, т=1, 2, М.
Оптимальная длина (порядок Л4) фильтра зависит от кор-
реляционной функции анализируемого процесса s(t). Чем
сложнее эта функция, тем больше должно быть М.
Вернемся к рассмотренному в начале настоящего парагра-
фа фильтру первого порядка (Л1 = 1) с весовым коэффициентом
at (1) =£,[1]/Я[0]=гД1] и допустим, что корреляционная функ-
ция имеет вид £s(t) =7?ч[0]е_“|х|, так что rs[l]= е““2' и rs[2]=
=е-2“т. Выясним, можно ли улучшить экстраполяцию повыше-
нием порядка фильтра. Положим М = 2 и вычислим новые ве-
совые коэффициенты фильтра а2(1) и а2(2).
392
Подставив в (13.100) и (13.101) rs[2]=e-2aT=a2i (I), полу-
чим
Mi)=fl1(i)4^-X1(i1)'=ai(i)>
а (О) = -	О) __ л
1—аМ-1)	°’
Это означает, что для процесса s(t) с экспоненциальной
корреляционной функцией фильтр первого порядка является
оптимальным. В § 13.14 будет приведен пример с более слож-
ной корреляционной функцией.
Остановимся на рассмотрении некоторой особенности пере-
даточной функции фильтра предсказания ошибки ем[Н Из рис.
13.15 следует, что передаточная функция данного трансверсаль-
ного фильтра определяется выражением [см. (12.9)]
м
Ke(ico)=l— ^ам(т)е-1г™т.	(13.102)
т—1
На входе этого фильтра действует случайная последова-
тельность s[A] с энергетическим спектром W, (со), а на выходе
выделяется последовательность ем[£]. энергетический спектр
которой W«(co) = rs(co) | (ico) |2.
Но, как ранее было показано, функция ем[£] представляет
собой некоррелированный шум. Следовательно, We (со) = const
(в полосе частот 1/Т) и
|Кз(К0)|2 = С/ГД(0),	(13.103)
где с — постоянный коэффициент.
Смысл этого равенства в том, что по отношению к процессу
s[A]c энергетическим спектром №\(со) оптимальный экстраполи-
рующий фильтр с передаточной функцией (13.103) является
«отбеливающим».
В современных устройствах обработки случайных процессов
наряду с экстраполяцией вперед применяется экстраполяция в
обратном направлении, т. е. оценка отсчета sM[/e—1] по М за-
данным последующим отсчетам:
sM[A-Af]=aM(l)s[A—A44-l]+aM(2)s[A—Л44-2]+ ...
<— <—
м
I ... 4-ам(Л4)$[&]= S aM(m)s[k—M-f-m].	(13.104)
•<—	m=l<-
Здесь ам(т) обозначают параметры фильтра обратной экст-
раполяции. Структурная схема подобного фильтра на рис. 13.15
объединена с фильтром прямой экстраполяции.
Применив к (13.104) рассуждения, аналогичные тем, кото-
рые были использованы при анализе выражения (13.91), при-
393
дем к следующим соотношениям между коэффициентами филь-
тров прямой и обратной экстраполяции:
ам (т) =а*Л1(т).	(13.105)
Для действительных чисел s[&] ам(гп)=ам(т). Как и емИ.
функция ем[&] — случайная, некоррелированная. Очевидно, что
и дисперсиием[Л]> ем[£] одинаковы.
Сочетание прямой и обратной экстраполяции открывает
путь к построению различных вариантов адаптивной обработки
случайных процессов (метод максимальной энтропии, метод
максимального отношения правдоподобия и др.). Кроме того,
это сочетание позволяет устранить некоторый недостаток, при-
сущий осуществлению экстраполяции на базе трансверсально-
го фильтра. Выше было показано, что для перехода от филь-
тра М = 1 к фильтру М = 2 потребовалось не только добавле-
ние весового коэффициента а2(2)=К2, но и изменение первого
коэффициента а/(1) на а2 (1) [сопоставить выражения (13.89)
и (13.101)]. При каждом удлинении фильтра требуется измене-
ние всех предыдущих параметров. От этого недостатка свобо-
ден «решетчатый» фильтр, получающийся из схемы, представ-
ленной на рис. 13.15, путем объединения операций прямого и
обратного предсказания ошибки1. Новый фильтр является
последовательным соединением М ступеней, каждую из кото-
рых можно оптимизировать по отдельности, благодаря чему
наращивание порядка (длины) фильтра не требует изменения
параметров предыдущих звеньев.
13.13.	ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ СИГНАЛА,
ДЕЙСТВУЮЩЕГО НА ФОНЕ ШУМА
Пусть процесс на входе фильтра является суммой
4Jfe]=s^]+n[A!], k=l, 2, .... N,	(13.106)
где п[/г] — стационарный белый шум; s[A] — полезный сигнал,
представляющий собой последовательность из N отсчетов (взя-
тых также из стационарного процесса).
Требуется прогнозировать отсчет $[&] на основе заданной
совокупности М предыдущих отсчетов x[k—m], m=l, 2, ..., М,
М Оценку s[£] ожидаемого сигнала определим выражением,
аналогичным (13.91):
м
s[fc] =	(13.107)
п-1
1 Фрид Ландер. Методы спектрального оценивания на основе решетча-
той структуры. ТИИЭР.— 1982.— Т. 70, № 9, с. 95—125.
394
Ошибка экстраполяции
м
tM[fe]=s [fe]— ^ал1(т)х[/г —т].
т=1
Как и в предыдущем параграфе, задача сводится к определе-
нию оптимальных весовых коэффициентов ам(/п), минимизиру-
ющих дисперсию
/ м	\2
[£] = з	2 «м (т) х [А — т] I 
\	т—1	/
(13.108)
Дифференцирование этого выражения по одному из коэф-
фициентов ам(1) в данном случае приводит к следующему ре-
зультату:
d(t2M[k])/daM(l) =
(М	\
s[A] — ^ам(tn)x[k — т\ x[fe—/] =
m=t	/
(М	\
, Z=l,2,
т—1	/
Здесь /?«[/] — взаимная корреляционная функция процес-
сов s(t) и x(t).
Приравнивание производной нулю приводит к системе
уравнений, аналогичной системе (13.96). Единственное отличие
состоит в том, что в правой части вместо /?х[т] фигурирует
/Цт]:
ам(1)ед+ам(2)/?1[1]+ ... 4-ам(М)/?х[М-1]=7?Д1],
ам(1)ЯХ[М- 1]4-Ям(2)/?JM-2]+ ... +ам(M)/?x[0]=flsx[M].
(13.109)
Для вычисления М оптимальных коэффициентов ам(т)
обычно используется алгоритм Левинсона. В отличие от выра-
жений (13.98), (13.99) в данном случае в алгоритм вводятся
коэффициенты, зависящие от соотношений между корреляцион-
ными функциями 7?Sz[/n] и 7?z[m] [19].
Для фильтра первого порядка (2И=1) коэффициент ах (1)
определяется непосредственно из первой строки системы
(13.109):
ai(l)=^41]//?40],	(13.110)
Поскольку в данном параграфе рассматриваются взаимно
независимые процессы s[&] и п[А] с корреляционными функция-
395
ми соответственно 7?s[m] и /?„[m]=y"6[m], можно считать
^jx[/n]=/?s[m] и
/?х[0]=/?Я0]+/?п[0]=/?40]+^/т.
Таким образом,
Mi)=/?Ji]/(/MO]+w0/r).	(i3.ui)
При /л#=0 все функции /?xfm] = /?.J/n|-
Для определения [£]га1п представим (13.108) в виде
произведения
м	V
$ [£] — 2 ам Ых№ - т] 6^ [/>] =
m=l	J
= s [й]еА1[Л]— еуи[£] ^ам{т)x[k — т\
М=1
и используем условие ортогональности функций и
м
з{Л] = ^aM(/n)x[k — т\ [см. текст после (13.56)].
т—1
Тогда
_______ м
Ем [^]mln = 's [М еЛ! [^] = /?j [0]	2	(m) RsX [ w].	(13-112)
т=\
Здесь /?s[0]=s2[A] — средняя мощность процесса s (t).
В частном случае статистической независимости процессов
s(t) и n(t) /?sx[m]=7?s[m] и
м
Ем =	[0]	Rs [ffi]-	(13.113)
m—I
Сопоставим полученное выражение с (13.82). Если число М
достаточно велико, так что дальнейшее его увеличение не дает
существенного уменьшения ем2[&], то оптимальный экстраполи-
рующий фильтр по значению погрешности приближается к
винеровскому фильтру, импульсная характеристика которого
g[m] совпадает с последовательностью коэффициентов См(т),
вычисленных по системе уравнений (13.109).
Для фильтра первого порядка (М=1) ошибка прогноза
^>]=ед-а1(1)/?з[1].
896
13.14.	АВТОРЕГРЕССИОННЫЙ МЕТОД
СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В практике часто требуется оценить энергетический спектр
стационарного случайного процесса по заданному, относительно
короткому отрезку одной реализации, содержащему N отсче-
тов. Для строгого определения спектра нужно знать всю кор-
реляционную функцию процесса, для приближенной оценки
приходится ограничиваться вычислением лишь некоторого чис-
ла значений /?Д/], 1=0, 1, 2..М,	N — число отсчетов
процесса s[£], Основываясь на этих данных, можно вычислить
приближенные весовые коэффициенты ам(т) оптимального
экстраполирующего фильтра [см. (13.98) и (13.99)] и его пере-
даточную функцию
м
Ke (ico) = 1 — 2ам (т) e~iamT
т—1
[см. (13.102)]. В § 13.11 было показано, что этот фильтр отбе-
ливает спектр Ws(to) анализируемого процесса s[fc]
[см. (13.103)]. Следовательно, для моделирования процесса с
энергетическим спектром, близким к Ws(co), требуется фильтр
с передаточной функцией вида
м
1— 2 «Л1(щ)е-'“тг
fe=i
|K(i<0)| = l/|Ke G<0)|=l
(13.114)
Но это не что иное, как передаточная функция рекурсивного
фильтра М-го порядка (см. § 12.3). Если
фильтра подать белый шум со спектром Wo,
де будет
на вход подобного
то спектр на выхо-
^вых(<о)=^о
Л1	2
1—^ам(т)е-1ютТ 
га-1
(13.115)
Это выражение можно трактовать как оценку истинного
спектра Wj(to). Таким образом, задачу оценивания спектра
процесса s[£T] по его отрезку, содержащему ограниченное чис-
ло отсчетов N, можно свести к вычислению спектра 1Г'Вых(со)
стационарного процесса. Описываемый метод получил назватие
авторегрессионного, а совокупность коэффициентов ам (т) —
название АР-коэффициентов.
Если (13.115) подвергнуть обратному фурье-преобразова-
нию, то получится функция
л/г
ЯвыхШ=Л ^вых(<о)е^со, Z = 0, ±1. +2, ..., (13.116)
-эт/г
которую можно рассматривать как оценку корреляционной
функции анализируемого процесса.
Обратим внимание на то, что последовательность {/?выхШ}
397
является бесконечной, но лишь первые 2Л4-|-1 значений совпа-
дают с исходной функцией 7?S[Z] (по которым определялись
оптимальные коэффициенты ам(т) экстраполирующего филь-
тра).
Последующие же значения А!ВыД определяемые рекуррент-
ной формулой
м	I
/?вЫх[Л=	1>м,
т-1
могут не совпадать с Z?S[ZJ. Рекуррентность обусловлена много-
кратной циркуляцией отсчетов белого шума в цепях обратной
связи моделирующего фильтра.
Авторегрессионный метод особенно эффективен при нали-
чии некоторой априорной информации о механизме образова-
ния исследуемого процесса. Пусть, например, имеются основа-
ния полагать, что процесс s(t) формируется из белого шума с
помощью простейшей /?С-цепи. Тогда в соответствии с (7.19)
корреляционную функцию можно положить глг[лтг]=г^г[1] и для
определения коэффициента <?i(l) достаточно вычислить
N	N	
*=i	*=i
ai(l)=G[l],
после чего по формуле (13.115) оценка спектра
№вых(со) = Wo!11-а, (1)е--т/21 = r0/[l-2ai (1)cos (оТЦ-а^!)),
В общем случае, если априорная информация отсутствует,
можно наметить следующую процедуру цифровой обработки
заданной последовательности отсчетов s[£], £=1,2,
1)	вычисление корреляционной функции
=	2 s[£]S[£-Z], Z=0, 1.......M-,	(13.117)
N—l
2)	нормирование rs[Z]=/?s[Z]/Z?s[O];
3)	вычисление весовых коэффициентов ам(т) оптимально-
го экстраполирующего фильтра по алгоритму (13.98);
4)	вычисление спектра U7BbIX(a>) по формуле (13.115), ко-
торую целесообразно преобразовать к виду
L
Л1
т=1
(13.118)
^вых (®)/1Гвых гоах
|2 ’
где L — нормировочный множитель.
Проиллюстрируем эту процедуру на отрезке
процесса s[£}, содержащего 64 отсчета (W=64):
166
119
стационарного
—292
—111,
188
208
356
199
90	33	9 -4239
—207 —122	—12 —197
—328	—188	—115	—31	44	—25	—1	307
—100	14	—326	—56	84	7	—190	335
89	180	—4911	—170	67	128	—242	157
—55	201	—358	—115	—113	91	46	79
—185	141	—25	126	—321	—2	144	157
—11	28	—16	3411	—181	73	—69	101
формуле (13.117) и пронор*
7?S[Z], вычисленные по
Первые 16 значений
рованиые:
—0.0963
0.12912
—0.0790
—0.4586
—0.4508
—0.0600
0.1064
—0.1283
АР-коэффициенты:
1.0000
0.5652
—0.0615
—0.1305
0.1589
0.1204
—0.2318
—0.3542
Вычисленные по алгоритму (13.98)
m	c4 (m)	a, (m)	Cx. (m)	m	a4 (m)	a» (m)	ai« <»ra)
1	— 1,3923	— 1,3672	—1,3828	9			—0,4316
2	1,5342	1,3828	1,2853	10			0,3731 —0,3155 0,3097 —0,1212
3	—0,9570	—0,8359	—0,6933	11			
4 5	0,2969	0,1719 0,1094	0,1221 0,2910	12 13			
6		—0,0947	—0,1191	14			—0,2812
7		0,0488	—0,0695	15			0,4414
8		—0,0938	0,1278	16			—0,2617
0.S
Wbun/jVjatiS
71
о
4/	0,2	О/- ы W О <?/	0/^3
&!S
42Н
a jjj цг £3 qp Ф&Г




Рис. 13.16
398
399-
Знаменатель выражения (13.118) вычислялся по алгоритму
БПФ с добавлением нулей до 512 точек.
Нормированные АР-спектры №вых((о)/Н7вых тах для трех
фильтров порядка М=4, 8 и 16 представлены на рис. 13.16.
Для проверки статистической устойчивости полученного ре-
зультата вычисления были повторены для четырех реализаций
анализируемого процесса. Существенных расхождений резуль-
татов вычислений не обнаружено.
Сопоставление частоты пульсаций спектра при Л1=16
(рис. 13.16, в) с характером осцилляции корреляционной функ-
ции /?в[7] позволяет считать полученную оценку спектра вполне
приемлемой.
13.15. АДАПТИВНЫЙ РЕКУРСИВНЫЙ
ФИЛЬТР
Рассмотренные в § 13.9—13.13 винеровские фильтры лучше
всего подходят для обработки процессов (или отрезков про-
цессов) в целом (блочная обработка). Для адаптивной обра-
ботки требуется текущая оценка сигнала на каждом такте с
учетом информации, поступающей на вход приемного устройства
в процессе наблюдения. При винеровской фильтрации каждый
новый отсчет сигнала потребовал бы пересчета всех весовых
коэффициентов фильтра. В настоящее время широкое распро-
странение получили адаптивные фильтры, в которых поступа-
ющая новая информация используется для непрерывной кор-
ректировки ранее сделанной оценки сигнала (сопровождение
цели в радиолокации, системы автоматического регулирования
и управления и т. д.). Особенный интерес представляют адап-
тивные фильтры рекурсивного вида.
Для уяснения сути подобной обработки ограничимся постро-
ением алгоритма оптимального фильтра, на вход которого по-
ступает смесь сигнала и шума
x[mj=cs[m]-|-n[m],	(13.119)
относительно которых имеется следующая априорная информа-
ция: s[mj — отсчеты из стационарного случайного процесса с
нормальным распределением и корреляционной функцией вида
ад=7?Д0]е~“т1г1 (марковский процесс первого порядка, см.
§ 12.4), s|m] =0; п[т] — дискретизованный белый шум с кор-
реляционной функцией
ад=^ ф] [см. (12.19)], 4^Г]=о.
Процессы s[m] и п[т]— взаимно независимые, коэффи-
циент с — либо постоянная величина, либо известная функция
времени.
400
Кт
X
Д'77] opt
х[т]= L—J
= СЗ[/Т7]+Л[/П]
Рид. 13.17

На рис. 13.17 обоб-
щенная схема рекурсив-
ного фильтра намечена
в виде линейного пара-
метрического устрой-
ства. Параметры Ьт и
Кт, в общем случае яв-
ляющиеся функциями
времени, подлежат оп-
ределению исходя из условия минимизации погрешности оцен-
ки сигнала s[mj. Оптимальную оценку, соответствующую мини-
муму среднеквадратической ошибки, обозначим s[m]Opt-
Величина s[mjopt, рассматриваемая как выход фильтра, свя-
зана с входным процессом х[т] очевидным соотношением
s[m]opt = Kmx[rn]-|- bms[m—1 ]opt.	(13.120)
Случайную величину ошибки представим в виде разности
е[т]=«[т]—s[m]opt=
s [mJ Д7Пх[т] — 1 ]opt,	(13.121)
а дисперсию ошибки — в одной из эквивалентных форм
вЧт]=М[ (s(mj —s [ m] opt)2] =
=Af[e[m](s[mJ—s[m]opt)] =
=M[e[mJ(s[mJ—Xmx[rnJ — bms[m— ljopt)].	(13.122)
Для определения оптимальных параметров фильтра bm и
Кт сначала продифференцируем (13.122) по переменной Ьт и
приравняем производную нулю:
м (2 Is М — s I w]opt]	[s [rn] — s [m] op,]j =
=2M {[s[m]—Kmx[m] —
—bms\m— 1 ]0Pt]s[m— 1 ]o p t} = 0.	(13.123)
Из условия (13.123) можно выявить соотношение между
оптимальными параметрами Ьт и Кт- Для этого перепишем
(13.123) в виде равенства
М [ (s [ mJ—Ктх [ mJ) s [ m— ljopt]=
=bmAl[s[m—ljopts[m—IJoptJ.	(13.123')
Дальнейшие преобразования основаны на принципе ортого-
нальности функций е[т] или е[т—1] по отношению к оптими-
зированным функциям s[m]Opt и s[m—ljopt (см. § 13.9):
M[e[mjs[m]opt]=0,
Af[e[m—l]s[m—l]opt] =0 и т. д.
26—3305	401
Один из множителей s[m— l]opt в правой части (13.123'),|
основываясь на разности е[т—l]=s[m—1]—s[m—l]opt [cil
(13.121)J, представим в форме s[/n—l]Opt= —e[m—1U
+s[m—1]. Тогда правая часть (13.123')
(—e[m—1]—)—s [ лгг—1]) sfwz—IJopt] =
=bmM[s[rn— 1 ]s[m— 1 ]0Ptj.
Левую часть (13.123') преобразуем, подставив x[m]a
—с s[mj+«[m]. Учитывая, что 7W[n[m]s[m—l]Opt]=0, полу
чаем (1—cKTO).M[s[mJs[m—ljoptj. Таким образом, (13.123*)
приводится к виду
femAl[s[/7i— 1 ]s [т — IJopt] =
= (1—cKm)7W[s[m]s[rn— l]opt].	(13.123")
Для нахождения связи между Ьт и Кт целесообразно в
правой части (13.123) выразить s[m] через s[m—1]. Рассматри-
вая условно s[m] как выход экстраполирующего фильтра перво-
го порядка, можно воспользоваться выражением (13.86), кото-
рое запишем в форме
s[m]=£s[/n—1]+е[т].	(13.124)
Для рассматриваемого процесса с корреляционной функ-
цией /?,[/]=/?Д0]е~аГ|'1 оптимальный коэффициент этого фильтра
P=tii(l)=e-ar (см. § 13.12). Итак, равенство (13.123") при-
нимает вид
bm7W[.s[m—1 ]s[/n— IJopt]—
= р (1—cKm) Af[s[m—l]s[/n—l]oPt+e[m]s[/n— 1 ]opt]-
Поскольку M[e[m]s[m—l]opt]=0, из последнего выражения
вытекает важное соотношение
6т=р(1—сКт).	(13.125)
Подставив этот результат в (13.120), получим
s[m]oPt=₽ (1—cKm}s[m— 1 ]opt+Ктх[ш]=
= ps[/n—Ijopt-f-Km (x[m]_ cps[m—l]opt),	(13.126)
где p, имеющее смысл весового коэффициента собственно ре-
циркулятора (рис. 13.18), в рассматриваемом частном случае
(фильтрация марковского процесса первого порядка) является
постоянной величиной.
Уравнение (13.126) определяет алгоритм рекурсивного
фильтра Калмана, позволяющего осуществить рекуррентную
оценку сигнала. Слагаемое cps[m—1] прогнозирует очередной
отсчет s[m], содержащийся в х[т]. Разность х[т]—cps[m— l]opt
является сигналом ошибки, корректирующим с учетом коэф-
фициента Кт оценку s[m]opt-
402
Структура фильтра
представлена на рис. 13.18
Заметим, что единствен-
ным элементом, придающим
фильтру параметрический
характер, является Кт
Между тем все предыдущие
рассуждения основаны на
Рис. 13.18
Кт фактически включен в ре-
двух переменных элемен-
тах Ьт И Кт (см. рис. 13.17).
Это кажущееся противоре-
чие устраняется тем, что элемент
циркулятор и вместе с постоянным элементом р обеспечивает
выполнение условия (13.125).
Для определения коэффициента Кт воспользуемся выраже-
нием (13.122). Считая условие (13.123) выполненным, мини-
мально возможную дисперсию е2[т], обозначаемую в дальней-
2
шем От , найдем из выражения
От =A'l[(s[m]—s[m]opt)2]=
=Af(s[m]~ р (1—сКт) s[m— l]oPt—Kmx[tri\}2.
В правой части использовано (13.120) для s[/n]opt и (13.125)
для Ьт. Подставив затем s[m] по формуле (13.124) и х[т\ по
(13.119), приведем последнее выражение к виду
о» =Л1{0 (1—сКт) е[т—1]+ (1—cKm)g[m—l]+Kmn[/n]}a.
При возведении полученной суммы в квадрат средние зна-
чения комбинационных произведений обращаются в нуль. Та-
ким образом,
(W=M{₽2 (1-сКт) 2г2[т-1]+ (l-cKm) 2g2[m- 1]+К^г2[т]}.
Учитывая, что А4[е2[пг—1]]=оД_1, M[g2[m—l]]=Og и
M[n2[m]]=7?„[0], получаем
Om= ₽z (1—сКт) 2Om-i + (1—cKm) W+Km/?B[0].	(13.127)
Используем теперь отмеченное ранее свойство ортогональ-
ности функции е[т] по отношению к оптимизированным
функциям s[m]opt. В частности, домножение (13.120) на е[т] и
усреднение приводит к очевидному результату: Л1[е[/п]х[/п]]=0,
откуда следует
сМ [e[m]s [щ]]=—М
Кроме того, из (13.122) ' вытекает, что Om=Af[e[zn]s[w]] и,
следовательно, сот =—Л1[е[щ]п[т]].
Наконец, подстановка е[т] по формуле (13.121) приводит к
соотношению
от2=— ^-Л1[ (s[m]—bms[m— l]0pt—ЛГтх[т]) n[m]].
26*
403
При усреднении все произведения, кроме последнего, обр<
щаются в нуль, и
o2m=| КтМ [п2 [т]]=1К mRn [0|,
Km = co2m/Rn[0].
Уравнения (13.127), (13.128) позволяют
выражение
К _ сР«+рЧ-1]
Подставив o2g=Rs [0](1 — (32) [см. (13.90)] и
перепишем (13.129) в следующей форме:
 (ЛД0]//?„(0])(1-₽’) + ₽гст^1/^п[01
(13.128)
получить общее
(13.129)
положив с = 1),
О2т
т 1+(/?И0]//?п[0])(1-рг) + р=а2_1//?п|0]	/?„[0] •	(131Э|
Итак, для определения оптимальных параметров р и Кт тре-
буется априорная информация о корреляционной функции
случайного сигнала s[m] и, кроме того, о соотношении дис-
персий сигнала 7?s[0] и шума 7?л[0].
Проследим за эволюцией Кт и соответственно дисперсии
<Ъл — 7GJ?n[0] по мере увеличения числа наблюдений т.
На такте т=1, когда обратные связи (рис. 13.18) еще не
вступили в действие, отсчету x[l]=s[l]+n[l] на выходе фильт-
ра соответствует дисперсия ошибки oi2=7?«[0], так ч"о Л|=
=О12/7?„[0]=1.
Рассмотрим сначала случай /?Д0]//?п[0]=1. Формула (13.130)
при этом принимает вид
К -
m 2—pz (1 —
Нетрудно составить следующую таблицу (р=0,9):
т	1	2	3	4	5	6
Кт	1	0,5	0,373	0,331	0,314	0,307
Заметим, что в данном случае (/?„[0]=7?о[0]) коэффициент
Кт определяет одновременно и отношение Цт/Я»[0].
Рассмотрим важный для практики случай 7?в[0]</?„[0]. Для
сопоставления калмайовского и винеровского фильтров поло-
жим, как и в примерах § 13.9—13.11, посвященных винеровской
фильтрации, /?г[0]//?п[0]= 1/3. Сохраняя характеристики сигна-
ла и шума, а также параметр [}==0,8 из примера § 13.11, при-
ведем результаты вычислений по формуле (13.130):
404
т	1	2	3	4	5	6	7
JL=o2m//?n[0] О т/^40]	1 3	0,432 1,295	0,283 0,849	0,237 0,712	0,213 0,639	0,204 0,612	0,200 0,601
Видно, что при т>6... 8 относительный уровень шума
оп2//?,[О] в рассматриваемом фильтре снижается до стационар-
ного уровня в винеровском фильтре (е2/7?я£0]=0,6, см, § 13.11).
Для иллюстрации особенностей адаптивного фильтра доста-
точно рассмотреть преобразование сигнала и шума на несколь-
ких первых тактах. С этой целью обратимся к основному урав-
нению (13.126). Замечаем, что при т = 1 (К™=1) первое сла-
гаемое в правой части обращается в нуль (при с=1). Следова-
тельно, s[l]Opt=x[l]=s[l]4-n[l], а среднеквадратическое значе-
ние оптимальной оценки
ИТйГ=/?.[0]+7?„[0].
На такте т=2 при /Сг=0,5 в соответствии с (13.126)
s[2]=р (1 —/С2) s[ 1 ]opt+/<2x[2]=0,5рх[1 ]+0,5х[2].
После несложных преобразований получаем
т^=0.25 [Р2^+^[2] + 2рТШМ2П.
Учитывая, что при некоррелированности процессов s[т]
и п[т] x[l]%f2]=/?s[1] = p/?s[0], последнее выражение при-
водится к виду (при р = 0,9)
s42U=0.25 [(1 + Зр2) RДО] + (1 + Р2) Rn [0]] =
= 0,857/?ДО] + 0,452/?Л[0].
Аналогично для третьего такта (w=3, ATm = 0,373)
£43^ = 0,52/?, [0J + 0,285/?„ [0J.
В частном случае	[0] приходим к следующим
результа там:
т— 1
?Пй = 2/?Л0], (зЧ1Ц)1/2=1.41 (^[0])>/2;
О12/7?л[О]=АГ1 = 1;
/71=2
1.31/?s [0], (^12й),/2= 1.15 (/?. [О])'/2;
oz2/Rn [0]=/<2=0,5;
т= 3
405
S2 {3]opt = 0,805/?s [0], l?T3]0Pt),/2=0,897 (#s [0])‘/2;
a32//?n[0J = /f3= 0,373.
При дальнейшем увеличении числа наблюдений т опти-
мальная оценка сигнала совпадает с величиной ₽ (/?.[0])1/2.
Заметим, что для простого рекурсивного фильтра с весовым
коэффициентом р=0,9 мощность накопленного сигнала на
третьем такте была бы
^=l(l+₽2+₽4)=2(₽2+2p4)]7?s[0]l=6,7U?s[0],
а уровень шума
Рп- (1+F+PW0] = 2,47/?„[0],
так что отношение /’„//’,=2,47/6,71 «0,37 совпадает с Ка=
= 0,373. Как видим, переход к схеме Калмана не дает выигры-
ша в подавлении помехи. Основной эффект — подавление по-
мехи при неизменном уровне выходного (полезного) сигнала.
Остановимся на вопросе о законе распределения сигнала на
выходе адаптивного фильтра. Поскольку рассматриваемая об-
работка является линейной, распределение, как и на входе,
остается нормальным, однако параметры — математическое
ожидание и дисперсия — изменяются от одного наблюдения к
следующему.
Величина оценки s[/n]opt на пг-м такте зависит как от s[m],
так и от всей совокупности отсчетов х[ 1], х[2],..., х[щ] (кото-
рую обозначим через Хт), поэтому, говоря о плотности веро-
ятности s[m], следует иметь в виду условную (апостериорную)
плотность p(s[m]/Xm). Для нахождения p(s[m]/Xm) требуется
учитывать совместное распределение вероятностей по всем пе-
ременным х[1], x[2J,..., х[пг], что практически нереализуемо.
Задача упрощается в случае марковского процесса, при кото-
ром задание нормального распределения для такта tm-i пред-
определяет распределение и для такта tm (см. п. 12.4.2).
Поэтому можно записать условную плотность вероятности
на щ-м шаге в стандартной форме:
..	1	I	(«[ml— sfwlont)2)
exp -	.	(13-131)
где параметры распределения s[m]Opt и о™ определяются вы-
ражениями (13.126) и (13.127).
Важно отметить, что оптимальная оценка s[m] opt совпадает
с математическим ожиданием (апостериорным средним) рас-
пределения (13.131). Кроме того, поскольку при нормальном
распределении наиболее вероятное значение случайной величи-
ны совпадает с математическим ожиданием, то опредленная
выше оценка s[/n]opt, оптимальная по критерию минимума сред-
неквадратической погрешности, является оптимальной и по кри-
терию максимума апостериорной вероятности.
406
В отличие от винеровского в рекурсивном фильтре тре-
буется обеспечивать устойчивость. Решающим преимуществом
рекурсивного фильтра Калмана является экономия объемов вы-
числения. Адаптивным фильтрам посвящена обширная литера-
тура [9, 10].
Глава 1 4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
ФУНКЦИЯМИ УОЛША
14.1.	ФУНКЦИИ УОЛША И РАДЕМАХЕРА
Указанные в заголовке функции, известные с 1922 г., были
надолго преданы забвению. Интерес к этим функциям и широ-
кое их распространение связаны с развитием вычислительной
техники.
Существуют различные способы определения функций
Уолша. Рассмотрим способ, основанный на взаимосвязи функ-
ций Уолша с функциями Радемахера. Последние получаются
из синусоидальных функций с помощью соотношения
r4e)=sign[Sin(2^e)], о<е<1,	(14.1)
где аргумент 6=t/T0 есть безразмерное время, т. е. время, нор-
мированное к произвольному интервалу То, а целое положи-
тельное число k — порядок функции. Символом sign (сигнум-
функция) обозначается функция
(	1 при х>0,
signx={ .	. л
&	( — 1 при х<0.
(14.2)
В соответствии с (14.1) и (14.2) функции Радемахера, при-
нимающие одно из двух значений ±1, имеют вид меандра
(рис. 14.1).
Функции Радемахера ортонормированы (см. § 2.1) с единич-
ной весовой функцией на интервале О^0<1. Действительно,
для любых двух функций гте(0), гп(0) имеют место соотноше-
ния
1
rm (е) гп (е)
1 при пь—п,
0 при т^п.
(14.3)
Все функции Радемахера являются нечетными относительно
середины интервала определения и, следовательно, не могут
407
быть использованы для аппроксимации сигналов s(0), четных
относительно момента 0=1/2. Иными словами, система функ-
ций Радемахера —~ неполная (см. § 2.2).
14.2.	ФОРМИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ УОЛША
Функции Уолша, образующие полную ортонормирозанную
систему, можно сформировать, образуя произведения степеней
соответствующих функций Радемахера. Первые восемь функ-
ций Уолша представлены на рис. 14.2. Сопоставление этих
функций с функциями Радемахера (см. рис. 14.1) позволяет со-
ставить очевидные, по крайней мере для первых четырех функ-
ций Уолша, соотношения
wal (0, 0) =г,°(0)г2°(0) = 1, wal(1, 0) =rt (0)r2°(0) =
=^(0), wal(2, 0) =Г1(О)г2(0), wal(3, 0) =
=Go(O)r2(0)=G(0).	(14.4)
Нетрудно также проверить правильность соотношений
wal (4, 0) —г ° (0)г2 (0) г9 (0) =r2(0)r3(0), wal (5, 0) =
=r1(0)r2(0)r3(0),	(14.5)
wal (6, 0) =r. (0)r2° (0) rs (0) =g (0)r, (0),
wal (7, 0) =g°(0)r2° (0)rs(0) =r3(0) 
Итак, каждая функция Уолша wal(w, 0) за номером w, вхо-
дящая в систему из 2V=2n функций, является произведением
степеней первых п функций Радемахера. Принцип нахождения
показателей этих степеней поясняется табл. 14.1 для Л/=23=8,
408
Таблица 14.1

W	%	wf	w2	W3	rf(B) х	T r/0) X гз®	— ual(w,£l
0	0	0	0	0	Г?(6) X	r%(8) X г°ъ(В)	= wal 0,0)
1	0	0	0	1	r/(e) x	r^(B) x f^(8)	- wal (7,#?
Z	0	0	1	0	г/й> x	r^CB) x r°(B)	- wal (2,6)
3	0	О	1	1	r°(B) x	x rfCai	- wal (3,0)
4	0	1	0	0	г/й?) X	rz№) x	- w al (4,0)
5	0	1	0	1	г’(6) X	r[(B) x	- wal (5,6)
6	0	1	1	0	x	л-/© x r^(6)	- wal(i^0)
7	0	1	1	1	Г ° (6) X	r°(B) x г'й?)	- wal (7,6)
В таблице использованы следующие						обозначения: w — номер	
функции в системе (в десятичном счислении); wm—m-h разряд
представления числа w в двоичной системе счисления, т. е.
®«=(WjW2... wm • • w„)2=Wi2n-1 + та)22л-2+ ...
п	п
.. . + Wm2n'mH------+ W„20= 2 Wm2n"m= 2 ®’«-m+12m"1. (14.6)
m=l	m=l
В выражении (14.6) n=log2 N — число разрядов, wm мо-
жет принимать одно из двух значений — нуль или единица, а
w0 равно нулю по определению.
Символ ф обозначает поразрядное суммирование по моду-
лю 2 по правилам
1ф1=0ф0=0, 1ф0=0ф1 = 1.	(14.7)
Показанный в табл. 14.1 способ построения функций Уолша
можно выразить аналитически для любого 7V=2n в виде сле-
дующего соотношения:
wal (w, 0) = П [г* (0)]w«-*+I®a’n~ft.	(14.8)
й=1
Поясним применение (14.8) на примере шестой функции
Уолша (ц?=6), входящей в систему размером Лг=23=8. Про-
изведение в (14.8) состоит из трех множителей вида
ki(0)]w,®W2 при k=l, [r2 (e)]w«®w‘ при Л = 2,
при k—3.
409
Подставив в левую часть (14.6) w=6 и п=3, получим
6=wt 2z4-sy2 2‘4-w3 2°,	11
откуда следуют равенства wt = \, w2=l, w3=0.	H
Таким образом,	I
®зф®2=о©1 = 1, ©2®ш,=1е1=0, а?,фшо=1®0=1	I
и по формуле (14.8)	1
wai(6, e)=r1(e)r2°(6)r3(e)=r1(0)r3(e).	1
Из рис. 14.2 видно, что четным относительно	середины ин-
тервала определения (0=0,5) функциям wal (w, 0) соответ-
ствуют четные номера w, а нечетным функциям — нечетные но-
мера. Такое взаимно однозначное соответствие между чет-
ностью функций wal (w, 0) и четностью их номеров w
аналогично свойствам тригонометрических функций cos (k -у-ij
и sin (/г-у-/) (рис. 14.3).
Поэтому иногда применяются обозначения са1(/, 0) для
четных и sal (/, 0) для нечетных функций Уолша. Легко прове-
рить, что функции са1(/, 0) и sal(j, 0) связаны с функциями
wal(w, 0) следующими соотношениями:
cal(/, 0)=wal(2/, 0), sal(j, 0)=wal(2/—1, 0).
Эти соотношения проиллюстрированы на рис. 14.4.
Функции Уолша ортонормированы на интервале О^0<1:
1
wal (k. 0) watt (г, 0) d0 = (n ПрИ
J	|0 при k^=i.
Функции Уолша обладают свойством мультипликативности,
т. е. перемножение двух функций Уолша дает другую функцию
Уолша, причем
wal(&, 0)wal(i, 0)=wal(£®i, 0).	£14.9)
410
Функции Уолша wal(t, 0) обладают свойством симметрии,
проявляющимся в том, что все выводы относительно I справед-
ливы также относительно 0. Например, свойство мультиплика-
гивности (14.9) с учетом свойства симметрии запишется в виде
wal(i, 0i)wal(i, 02)=wal(i, 0i®02).	(14.10)
I Умножение любой функции Уолша самой на себя дает
функцию нулевого порядка wal (0,0), так как в результате по-
(лучаются только произведения вида (+1) (+1) и (—1) (—1).
[Таким образом,
I wal(i,0) wal(i, 0)=wal(O, 0).
I Очевидно также, что умножение wal(t, 0) на wal (0,0) не
.изменяет функцию wal (i, 0).
I Функции Уолша иногда определяют на интервале
—1/2^6<*/2. Первые восемь функций на указанном интервале
представлены на рис. 14.4.
I Функции Уолша могут служить базисом спектрального (не-
гармонического) представления сигналов.
Любую интегрируемую на интервале 0=С0 <1 функцию f(0)
можно представить рядом Фурье по системе функций Уолша
/(0) =А (0) +Д (1) wal (1, 0) +Д (2) wal (2, 0) +
+ ... +Л (i)wal(i 0)	(14.11)
с коэффициентами
1
I Л(0=§/(0) wal(i, 0)с?0, 0=-^-.
о
Вне полуоткрытого интервала [0,1) ряд (14.11) описывает
периодическую функцию f(0+&), где k — любое целое число.
Как уже отмечалось, функции Уолша, широко используемые
б задачах вычислительной техники, могут быть легко реализо-
ваны с помощью ключевых схем. Один из возможных вариан-
тов схемы генератора первых восьми функций представлен на
рис. 14.5.
Алгоритм формирования функций Уолша в этом генераторе
основан на выражении (14.8), т. е. на перемножении степеней
трех функций Радемахера: о(0), г2(0) и г3(0). Функция г3(0)
получается непосредственно от генератора меандрового коле-
бания. Функция г2(0) получается из г3(0) удлинением периода
этого колебания в 2 раза. Это достигается с помощью триггера
со счетным входом (на рис. 14.5 изображен D-триггер Tt в
счетном режиме), запускаемого фронтом каждого периода
меандра. Аналогичным способом из г2(0) формируется функ-
ция г,(0). Таким образом, на выходах триггеров Tt и Т2 возни-
411
кают функции Радемахера, смещенные по уровню на положи-
тельную величину и/2, т. е.
MOJ+tt/S, r2(0)4-u/2 и г5(6)+ы/2.
Указанные смещенные функции соответствуют функциям
Уолша wal (1, 0), wal (3, 0) и wal (7, 0) (также смещенным).
Для получения остальных функций Уолша используются сум-
маторы по модулю 2 (на рис. 14.5 обозначены М2) с инверс-
ными выходами. Подобные сумматоры представляют собой
устройство совпадения, которому соответствует следующая таб-
лица истинности:
Вход г	Вход у	Выход с инверсией	Вход х	Вход у	Выход с инверсией
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	1	1
Легко убедиться, что при подаче на сумматор функций
Г1(0)+и/2 и r2(0)+u/2 на выходе получается функция Уолша
wal (2, 0)+u/2, т. е. эффект, эквивалентный перемножению соот-
ветствующих функций п(0) и г2(0) (см. табл. 14.1).
Аналогично при объединении в сумматоре функций г2(0)+
+и/2 и г3(0)+н/2 имеем wal (4, 0)+iz/2 и т. д.
Для получения несмещенных функций Уолша, которые мо-
гут принимать значения +1, —4, используются коммутаторы на
412
операционных усилителях ОУ-!—ОУ 7 (с большим коэффициен-
том усиления для сокращения длительности фронтов). На ин-
вертирующие входы усилителей задается смещающее напряже-
ние -1-Есы, выбираемое из интервала 0<Есм<и. Если поступаю-
щее с сумматора напряжение и>Есы, то на выходе коммутато-
ра возникает напряжение +Е, при и<Еск— напряжение —Е,
что соответствует +1 и —1.
Функции wal (1,0), wal (3,0) и wal (7,0) получаются без об-
ращения к сумматорам.
14.3.	РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ НУМЕРАЦИИ
ФУНКЦИЙ УОЛША
Способ нумерации функций в системе называется упоря-
дочением. Функции Уолша, сформированные в соответствии
с выражением (14.8), упорядочены по Уолшу.
В ряде практических задач целесообразно пользоваться
иными способами упорядочения. Часто применяются функции
Уолша, упорядоченные по Пэли [ра1(р, 6)], а также по Адамару
[had (/г, 0)]1.
Независимо от упорядочения функции Уолша, составляющие
систему из М=2" функций, всегда можно представить в виде
произведения степеней первых п функций Радемахера. Прин-
цип нахождения показателей этих степеней индивидуален для
каждого упорядочения.
Так, для упорядочения Пэли принцип нахождения этих сте-
пеней поясняется табл. 14.2 для N=23=8. В этой таблице по
Таблица 14.2
				
				
				
р	Р,	Рг	р*	fV г, (6) х г2(6) х r3(e) = pal (р,0)
0 1 2 3 4 5 6 7	0 0 0 О 1 1 1 1	6 0 1 1 0 0 1 1	О 1 0 1 0 1 0 1	г?(в)	х	г ° (в)	х	г3(в)	=	pal	(0, е) г](в)	X	Г°№)	-	г£(в)	=	pal	(1,6) г°(в)	х	r1z(e)	х	г ° (в)	=	pal	(2,6) г/ (в)	X	Г12 (в)	X	г° (в)	=	pal	(3,6) г ° (в)	х	r°(6)x	r13(6)	=	pal	(4,в) г/(6)	х	г°(в)х	г'(в)	=	pal	(5,6) г ° (6)	х	г2 (в) х	Г5 (в)	•=	pal	(6,6) г] (в)	X	r2(B) х	r13(8)	-	pal	(7,6)
1 Обозначения ра1(р, 0) и had(h, 0) образованы от начальных букв фа-
милий Paley н Hadamard соответственно.
413
аналогии с (14.6) номер р функций ра1(р, 0) имеет двоичное
представление
п
P = (PiP2... рт... Рп)2 = ^ Рп-т+1 • 2"*“’.	(14.6')*
т=1
Очевидно, что аналитическая запись функций Уолша в упо-
рядочении Пэли имеет вид
п
pal (р, 0) = П 1Г* (0)1Рл~^‘-	(14.12)
л-i
Сравнивая способы образования показателей степеней функ-
ций Радемахера (см. табл. 14.1 и 14.2), приходим к выводу, что
двоичные разряды номеров функций Уолша, упорядоченных
по Пэли, связаны с двоичными разрядами номеров функций
Уолша, упорядоченных по Уолшу, следующим соотношением:
Pm=wm-X®wm.	(14.13)
Итак, переход от упорядочения по Уолшу к упорядочению
этих функций по Пэли выражается в перестановке этих функ-
ций в системе по закону (14.13).
Функции had (Л, 0) можно сформировать с помощью матриц
Адамара. Матрицей Адамара HN порядка N=2n называется
квадратная матрица размера NXN с элементами ±1, такая, что
Hn\Htn = NI,
где I — единичная матрица; т — знак транспонирования.
Нормированную матрицу Адамара порядка N можно пост-
роить рекурсивно, т. е.
[НN/2	ндг/2
A//V/2 —Hn)2
(14.14)
HN=
при Я, —1.
Например,
2 [Я, -//J [1 — 1 j
 I 1 i 1	1 1
ч н S 1 1 Тц" J11. 11 । . II 1 счсч 1 СЧ СЧ II
Функция Уолша, упорядоченная по Адамару, т. е. had (Л, 0)
с номером h, является последовательностью прямоугольных им-
пульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответ-
ствующими знакам элементов /i-й строки матрицы Адамара.
Под длительностью импульсов подразумевается (l/AQ-я доля
интервала [0, 1]).
Для иллюстрации связи между функцией had (Л, 0) и матри-
414
цей Адамара, а также для определения места этих функций в
системе приведем матрицу Адамара для N=8=23, заменяя +1
и —1 знаками соответственно плюс и минус:
		1 ++ 1 + ++ 1 +				1 +1 1 ++1 +1 + +++				Йо Й! Ла й.	л 4 1,5)
		+ +	+ — — +								
						+ —		— ~ь			
6 |_/74 ~//4		+		+	+	—	—	—	—	й4'	
		+	—	+	—	—	+	—	+	й6	
		+ _ +	+	—	1 +	—	+	+ +		й» й»	
415
Матрица Адамара обладает свойством симметричности, за-
ключающимся в том, что транспонированная матрица совпадает
с исходной: Hn=Hn.
Следует подчеркнуть, что отмеченная в § 14.2 ортонормиро-
ванность функций Уолша сохраняется при любом способе их
упорядочения.
Нумерация первых шестнадцати функций Уолша при раз-
личных способах упорядочения дана в таблице на рис. 14.6.
14.4.	ДИСКРЕТНЫЕ ФУНКЦИИ УОЛША
Для цифровых методов спектрального анализа и обработки
•сигналов наибольший интерес представляют дискретные функ-
ции Уолша. Эти функции являются отсчетами непрерывных
функций Уолша. Каждый отсчет расположен в середине свя-
занного с ним элемента непрерывной функции. Длительность
элемента равна 1/N от интервала [0, 1].
В качестве примера на рис. 14.7 показаны первые две и по-
следняя (N—1)-я дискретные функции Уолша при М==8. В ка-
честве аргумента дискретной функции Уолша принят номер от-
счета х=0, 1,...,М—1	(см. ось абсцисс на верхней части
рис. 14.7). Основываясь на (14.6) и (14.7), можно получить об-
щее выражение для дискретной функции
Уолша
п
S	n-k^k
wal (w, jc) = ( — 1)*“’	,	(14.16)
где xft=0 или 1 есть k-й разряд в представлении номера отсче-
та х в двоичной системе счисления:
п
X=2	= (Xi, х2, .... хп)2.	(14.17)
s=i
Пусть, например, рассматривается система функций Уолша
•размером 7V=I6, n = log2AT = 4. Тогда
4
X = 2 Xk^-k=JC123 + х222 + Хз2' + *42°.	(14.18)
*=!
Определим одну из функций системы, например шестую
(о?=6). По модулю все отсчеты функций Уолша равны единице
и требуется определить лишь знак. Обратимся для этого к фор-
муле (14.16), в которую подставим w—6 и п—^:
4
2 (®44t+l®W4-fe)rfc
wal (6, л) = (—1)й=1
Напомним, что в соответствии с (14.6) при п=4
w=6—w 123+ w222+w32 l+wi2°,
416
IDUlft?,®) тттттпттттттпт
О 2 4 6 8 10 12 1b х
«хчаа TTTTTTTlf,,,,,,, .
' iiiiiiiii'
X
I
0
0,5
Рис. 14.7
1,0 0
откуда следуют равенства Wi=0, w2=l, щ3=1 и w4=0.
Далее находим значения щ4-Л+1, W4-k и сумму
^4-*+i®w4-ft при 6=1, 2,3, 4:
k=l: w4_ft+i = o>4=0, о»4_й=ау3=1, w4_ft+i®w4_ft=0®l = 1;
k—2: w4_A+1 = a?3= 1, tt>4_*=tt>2=l, 1® 1 =0;
&==3: o»4_w-i = tt»2=l, w4_/1=Wi = 0, 1®O=1;
6=4: w4_ft+i = Wi=0, w4_ft=w3=0, 0®0=0.
Значения xh (нуль или единица) находим из выражения
(14.17), приравнивая номер отсчета х последовательно значе-
ниям 0, 1,..., 15.
При х=0 все разряды хь х2, х3, х4 равны нулю и, следова-
тельно, по формуле (14.16) wal(6,0) = + 1.
При х=1 соответственно Х|=0, х2=0, х3=0 и х4=1; при
этом показатель степени в (14.16) при 6=4 равен 0-х4=0 и
wal(6, 1)= + 1.
При х=2, Xi = 0, х2=0, х3=1, х4=0; показатель степени в
(14.16) при 6=3 равен 1-х3=1, откуда получаем wal(6,2) =
Продолжая расчет для х=3, 4,..., 15, находим все отсчеты
функции wal (6, х).
Другой формой представления дискретных функций Уолша
являются матрицы Адамара, приведенные в § 14.3. Номера
столбцов матрицы Адамара соответствуют номерам дискретных
значений функций Уолша, а номера строк — номерам функций
Уолша. Строки матрицы Адамара могут быть упорядочены по
Пэли, по Уолшу и собственно по Адамару.
Перечисленные в § 14.2 свойства непрерывных функций
Уолше записываются для дискретных функций следующим об-
разом.
27—3305
417
Ортогональность
2.	I TV при i — l,
^wal(Z, x)wal(Z, x)-(Q при	(14.19>
Дискретные функции Уолша не нормированы; норма равна
N независимо от номера функции.
Мультипликативность [см. (14.9) и (14.10)]
wal (i, х) wal (/, х) =wal (i®I, x).	(14.20)
Дискретные функции Уолша могут служить базисом спект-
рального представления сигналов.
Пусть сигнал s(t) (вещественная функция) представлен сово-
купностью своих эквидистантных отсчетов s[£], £=0,1,2,...
1.
Тогда преобразования
7V-1
S[n]= 2 $[£]wal(n, k), п-0, 1......TV—1,	(14.21)
JV-1
s[6] = ^2 S[«]wal(n, £), £ = 0, 1, .... TV-I, (14.22)
n—0
образуют пару дискретных преобразований Уолша (ДПУ). Вы-
ражения (14.21), (14.22) аналогичны паре ДПФ в базисе гар-
монических функций см. (12.14), (12.15).
Как и ДПФ (см. п. 12.4.1), ДПУ обладают свойством перио-
дичности
S[n]=S[n+miV], s[£]=s[£+/nTV],	(14.23)
где m— целое число.
Имеются, однако, и существенные особенности ДПУ. Это
относится к теореме запаздывания. Напомним, что в случае
спектрального анализа в базисе гармонических функций умно-
2л
жение ДПФ S[n] на базисную функцию е'л'""2 эквивалентно
сдвигу во времени последовательности s[£], £=0,1,...,N—1,
иа m интервалов.
Действительно, вводя под знак суммы в правой части
/—лт
(12.15) множитель е N , получаем
ЛГ~1	-2"	-2п t	N~1	,2Л .
e" =-^2SH^/v	=s[£ + /n],
n—0	л-0
что эквивалентно сдвигу каждого из отсчетов s[£] на (k+tri)—
—k=m интервалов.
Проведем аналогичное рассуждение для ДПУ. Обращаясь
к выражению (14.22) для s [£], вводим под знак суммы множи-
418
тель wal(n, щ), т. е. базисную функцию, имеющую тот же смысл,
,2л
I гт-пт
что и е N для анализа в базисе гармонических функций.
Тогда получаем
TV—1
77-2 s Iя!waI (я> А)« wal («, т) =
л-0
N-1
= 4" 2 s И wal (я> k ® rn) = $ \k © т].	(14.24)
п—0
Здесь использовано свойство мультипликативности функций
Уолша.
Как видим, при заданном значении т сдвиг k-ro отсчета бу-
дет равен (k®m)—k интервалов (а не просто т интервалов).
Переход от х[/г] к s[£®m] означает диадный сдвиг на т
интервалов последовательности отсчетов s[&], k=0, 1, 2, ...
... Л—1.
Поясним смысл термина «диадный сдвиг». С понятием
«сдвиг функции» приходится иметь дело, например, при опреде-
лении корреляционной функции, при рассмотрении теоремы за-
паздывания, при определении свертки двух функций. В обычном
смысле сдвиг рассматривается как параллельный перенос сдви-
гаемых значений колебания вдоль оси времени. Такой сдвиг
можно назвать арифметическим, так как он выражается обыч-
ным арифметическим сложением или вычитанием. При арифме-
тическом сдвиге, например, на т=3 интервала k-й отсчет х[5]
переместится и станет х[5+3]=х[8]. При достаточно большом
т отсчет х[/г] выйдет за пределы исходной совокупности отсче-
тов. При диадном сдвиге тот же отсчет х[5], сдвинутый на т=
=3, займет положение х[5®3]=х[6], так как
5 = (101)2
3 = (011)2
(П0)2 = 6.
Диадный сдвиг обладает так называемым групповым
свойством: сдвиг отсчетов х[£| (где k=0, 1, 2, ..., N—1) на
m^N—1 соответствует лишь перестановке этих отсчетов внутри
их исходной совокупности. Эта перестановка определяется опе-
рацией сложения по модулю 2, т. е. k®m, для которой резуль-
тат сложения никогда не превышает число N—1 при любом
m=0, 1, 2......N—1. При этом имеется в виду, что Лг=2", где
п — целое положительное число.
Сделанное утверждение легко проверить перебором всевоз-
можных диадных сдвигов всех отсчетов х[&] при заданном jV.
27*
419
Например, при 7V=8 получается следующая квадратная матри-
ца значений q=k®m-.
0 12 3 4
0
1
2
Н
5
6
7
О
1
2
3
4
5
6
7
12 3 4
0 3 2 5
3 0 16
2 10 7
5 6 7 0
4 7 6 1
7 4 5 2
6 5 4 3
5 6 7 k
5 6 7~
4 7 6
7 4 5
6 5 4
1 2 3 ‘
0 3 2
3 0 1
2 1 О
т
Из этой матрицы видно, что диадный сдвиг не выводит
сдвинутые отсчеты за пределы исходной совокупности N отсче-
тов, а лишь производит их перестановку внутри этой совокуп-
ности.
Например, при исходной последовательности s[0]s[l]... s[7]
получим следующие последовательности:
при ГП=1
s[l]s[0]s[3]s[2]s[5]s[4]s[7]s[6];
при т=2
s[2]s[3]s[0]s[ 1 ]s[6]s[7]s[4]s[5];
при т = 3
s[3]s[2]s[l]s[0]s[7]s[6]s[5]s[4] и т. д.
Диадный сдвиг придает существенное своеобразие как спект-
ральному анализу в базе функций Уолша, так и представлению
сигналов во временной области. В частности, диадная свертка
двух временных последовательностей х[&] и у[/?] записывается в
форме
N-\
Л	[£®т]=х[&]®у [А].
Основное преимущество ДПУ перед ДПФ заключается в
том, что отсчеты сигнала умножаются на функции Уолша, ко-
торые принимают значения ±1 [см. (14.21), (14.22)]. По сущест-
ву операция умножения исключается и выражения (14.21),
(14.22) сводятся к суммированию отсчетов с соответствующими
знаками. В случае же ДПФ требуется умножение на комплекс-
ные числа вида e±*7v"'1, причем действительная и мнимая части
этих чисел должны представляться достаточно большим числом
разрядов (для снижения уровня шума округления).
420
Возведение спектральных коэффициентов Уолша S[n] в квад-
рат и обратное преобразование Уолша дают диадную корреля-
ционную функцию исходного сигнала. По своей форме эта функ-
ция сильно отличается от арифметической корреляционной
функции. Кроме того, диадная корреляционная функция неинва-
риантна относительно положения обрабатываемого сигнала во
времени. Эти обстоятельства препятствуют применению функций
Уолша для такой, например, обработки сигналов, как согласо-
ванная фильтрация.
Тем не менее важное преимущество функций Уолша, не тре-
бующих использования операций умножения при обработке
сигналов, способствует все более широкому их распространению
в различных областях (передача изображений, распознавание
образов, сжатие данных и др.).
14.5. БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УОЛША
По аналогии с БПФ и ОБПФ (см. § 12.12) можно построить
алгоритмы быстрых преобразований — прямого и обратного —
по Уолшу. Поясним принцип построения алгоритма БПУ на
примере простого четырехточечного (А=4) сигнала, представ-
ленного совокупностью из четырех отсчетов s[&], &=0, 1, 2, 3,
когда дискретное преобразование Уолша
з
S[/z] = 2s[A]wal(n, k), « = 0, 1,2,3.	(14.25)
к~0
Составим следующую таблицу:
	s[0]	3(1]	s[2]	s[3J
wal(0, k)	+	+	+	+
wal(l, k)	+	+	—	
wal (2, k)	+	—		+
wal(3, k)	+	»—	+	
Значения функции wal(n, k) в (14.25) при соответствующих
п и k, равные ±1, заменены знаками плюс и минус [при упо-
рядочении по Уолшу (см. § 14.3)].
Развернутые выражения для спектральных коэффициентов
S[n], n=0, 1, 2, 3, принимают следующий вид:
S[0]=s[0]+s[l]+s[2]+s[3]= (s[0]+s[l]) + (s[2]+s[3]),
S[l]=s[0]+s[l]-s[2]-s[3]= (s[0]+s[l])-(s[2]+s[3]),
(14.26)
S[2]=s[0]-s[l]-s[2]+s[3]= (s[0]-s[l]) + (s[3]-s[2]),
S[3]=s[0]-s[l]+s[2]-s[3]=(s[0]-s[l])-(s[3]-s[2]).
421
OOOOOOOOQQ
Рис. 14.8
SUBROUTINE WFWT(NN,N,X,Y,IR)
ПРОГРАММА БПУ В УПОРЯДОЧЕНИИ ПЭЛИ
NN-ЭЕО ЧИСЛО ПРЕОБРАЗУЕМЫХ ОТСЧЕТОВ,
РАВНОЕ 2 В СТЕПЕНИ N, (РАЗМЕР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ)
Х-МАССИВ ПРЕОБРАЗУЕМЫХ ОТСЧЕТОВ, ПОСЛЕ
ВЫПОЛНЕНИЯ СОДЕРЖИМОЕ МАССИВА НЕ СОХРАНЯЕТСЯ
Y-МАССИВ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
IR-1 ДЛЯ ПРЯМОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УОЛША
IR-2 ДЛЯ ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УОЛША
в «••••«•••••••••••<•••а•••••••••»••••*••«•••••«•*•••*••
DIMENSION X(NN),Y(NN)
NN1=NN—1
KP=NN/2
M=NN
DO 1 K=1,N
MM=M
M=M/2
M1=M-1
KL=1
DO 2 J=1,NN,MM
DO 2 1=1,M
Y(KL)=X(I«J-1)+X(I+J+M-1)
KL=KL+1
2	CONTINUE
DO 3 1=1,NN
3	X(I)=Y(I)
1	CONTINUE
IF(IR.EQ.l) GO TO 4
GO TO 6
4	DO 5 1=1,NN
7	Y(I)=Y(I)/NN
6	CONTINUE
RETURN
END
422
Очевидно, что повторяющиеся слагаемые нецелесообразно
вычислять для каждого п отдельно. Это обстоятельство учтено
на графе (рис. 14.8).
Аналогичные результаты получаются при использовании
функций Уолша, упорядоченных по Пэли и Адамару.
Число операций сложения, требующихся для дискретного
преобразования Уолша по алгоритму (14.26), равно (N—1)2V«
«№ (при М;>1), а по алгоритму БПУ равно Nr (имеется в
виду условие N—2r — целое число). Как и в случае БПФ (см.
§ 12.12), сокращение числа операций достигает W/log2V=y/r.
Напомним отмеченное в предыдущем параграфе основное
преимущество ДПУ перед ДПФ, обусловленное исключением в
нем операций умножения.
Программа вычисления прямого и обратного преобразований
Уолша в упорядочении Уолша приведена на с. 423, а в упорядо-
чении Пэли — на с. 422.
SUBROUTINE WFWT(NN,N,X,Y,IR)
С * >•••••••••••••••••••••••«•••••••••••••••••••••«•***•*
С	ПРОГРАММА БПУ В УПОРЯДОЧЕНИИ УОЛША
С	NN-ЧИСЛО ПРЕОБРАЗУЕМЫХ ОТСЧЕТОВ,
С	РАВНОЕ 2 В СТЕПЕНИ N,
С	Х-МАССИВ ПРЕОБРАЗУЕМЫХ ОТСЧЕТОВ, ПОСЛЕ
С	ВЫПОЛНЕНИЯ СОДЕРЖИМОЕ МАССИВА НЕ СОХРАНЯЕТСЯ
С	У-МАССИВ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
С	IR-1 ДЛЯ ПРЯМОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УОЛША
С	IR-2 ДЛЯ ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УОЛША
С	»•»»»»»••»»«»»»»«»«««,«»•««««»••»•»»••••»•••«•••»•»
DIMENSION X(NN),Y(NN)
NN1=NN-1
M=NN
DO 1 K=1,N
MM=M
M=M/2
M1=M-1
DO 2 J=1,NN,MM
VZ=-1
DO 3 1=1,M
vz=-vz
Y(I+J—1)=X(2»I+J—2)+X(2»I+J—1)
3	Y(I+J+M-1)=VZ»(X(2«I+J-2)-X(2»I+J—1))
2	CONTINUE
DO 4 1=1,NN
4	X(I)=Y(I)
1	CONTINUE
IF(IR.TQ.l) GO TO 5
GO TO 6
5	DO 7 1=1,NN
7	Y(I)=Y(I)/NN
€	CONTINUE
RETURN
END
423
14.6. ДВУМЕРНОЕ ДИСКРЕТНОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УОЛША
В предыдущих главах рассматривались одномерные дискрет-
ные сигналы s[6], являющиеся функцией единственной перемен-
ной k. Однако в природе существуют двумерные и в общем слу-
чае многомерные сигналы.
Двумерный сигнал $[&, /] представлен на рис. 14.9. Функция
s[k, I] может характеризовать, например, распределение осве-
щенности на поверхности по двум пространственным координа-
там k и Z.
Двумерный сигнал можно подвергнуть двумерному спект-
ральному анализу. Для этого сигнал s[k, I] нужно преобразо-
вать в двумерный спектр S[n, т] по системе двумерных базис-
ных функций	I). В качестве последних могут быть ис-
пользованы двумерные дискретные функции Уолша, имеющие
вид
(pm,n(k, I) = wal (n, k) wal (m, Z)
[в силу мультипликативности функций Уолша, см. (14.10)].
Тогда преобразования
TV-1 /V—1
S \п, щ} = 22 s \k, Z] wal (n, k) wal(m, I),
fc=0 1-0
n, m=0, 1, ..N — 1,	(14.27)
TV—1 ЛТ-1
^22 S[n, /n]wal(«, £)wal(7zz, Z),
n=0 m=0
Z=0, 1, ..., AZ-1,	(14.28)
определят пару двумерных дискретных преобразований Уолша.
Эти преобразования обладают теми же свойствами, что и одно-
мерное ДПУ. Как следует из (14.27) и (14.28), а также из
§ 14.4, для вычисления двумерного ДПУ требуется затратить
N* операций сложения. Перепишем выражение (14.27) в форме
N— 1	TV—1
S \п, т] = 2 wal 2 5 [&> Л wal (^> z)-	(14.29)
*=0	1=0
Внутренняя сумма
TV-1
SCTp [&> т] = 2 5wal ^т’	(14.30)
1=0
424
представляет собой двумерную
функцию, каждая строка кото-
рой есть не что иное, как одно-
мерное ДПУ строки k сигнала
4М], представленного на
рис. 14.9. В результате вычисле-
ния ДПУ по всем строкам k по-
лучим спектр 8Стр[А!,т]; на этом
заканчивается первый этап вы-
числений, схематически показан-
ный в нижней части рис. 14.10.
Далее запишем выражение (14.29) с учетом обозначений^
принятых в (14.30):
N—1
s [п, т]= SScTpIA, w] wal (п, k).
ft=O
Рис. 14.9
(14.31>
Из этого выражения видно, что искомый двумерный дискрет-
ный спектр Уолша S[n, т] — это двумерная функция, каждый
столбец которой есть одномерное ДПУ SCTPIA m], вычисленное-
на первом этапе. Определив SCTp[&, т] для всех значений k
найдем S[n, т]. На этом заканчивается второй этап построч-
но-столбцового метода вычисления двумерного ДПУ (рис-
к
О
1
N-1
I
0 12
С
s
Дискретное изображение
'БОУ
БПУ
БПУ
•)
Двумерный
спектр
lorn ап
N-1	1
Спектр строк
N-1
•=ч чз (5
—
о 1 2
Рис. 14.10
425
1
Рис. 14.11
426
14.10). Очевидно, что при вычислении ДПУ на обоих этапах
можно применить алгоритм БПУ, описанный в предыдущем
параграфе. На рис. 14.10 вместо ДНУ обозначено БПУ. Общее
число операций сложения при этом требуется 2№ log N вместо
У4 при прямом методе.
Обратное двумерное ДПУ (14.28) симметрично прямому
(14.27) и, следовательно, может быть вычислено тем же быст-
рым методом, но в обратном порядке: на первом этапе выпол-
няется обратное БПУ столбцов, а на втором этапе — БПУ строк.
Проиллюстрируем эффективность применения функций Уол-
ша для передачи изображений по цифровому каналу связи на
следующем примере.
Пусть исходное изображение, подлежащее передаче, пред-
ставляет собой черно-белое фото (рис. 14.11, а). Это непре-
рывное изображение для последующей цифровой обработки
подвергалось дискретизации, в результате чего был получен
двумерный дискретный сигнал s[k, I], содержащий 256X256
отсчетов (&,. 1=0, 1, ..., 255), каждый из которых может
принимать одно из 256 значений (т. е. s[fe, /]=0, 1, ..., 255).
Этот двумерный сигнал представлен на рис. 14.11,6. Уровень
255 соответствует самому яркому (белому) участку изобра-
жения, а уровень 0 — самому темному (черному) участку. Для
Рис. 14.12
427
Рис. 14.13
передачи такого числа уровней необходимо каждый отсчет
$[£, /] представить восьмиразрядным двоичным кодом. Это
означает, что в исходном изображении информационные затра-
ты достигают 8 бит на отсчет.
Для уменьшения этих затрат подвергнем исходное изобра-
жение двумерному преобразованию Уолша с помощью ЭВМ
и выясним, можно ли существенно ограничить спектр изобра-
жения ценою некоторого, приемлемого, ухудшения его качества.
Двумерный спектр S[n, m] исходного сообщения представ-
лен на рис. 14.12 (в упорядочении Пэли). На этом рисунке
начало координат находится в левом верхнем углу. Видно, что
двумерный спектр |S[n, m]| размером МХЛ^=256Х256 скон-
центрирован в начале координат.
Рис. 14.14
428
Для сокращения информационного потока целесообразно
передавать через канал связи не весь спектр, а лишь его наи-
более интенсивную часть. На рис. 14.13, а эта часть пространст-
венного спектра заштрихована. На приемной стороне непере-
данные спектральные компоненты заменялись нулями, после
чего осуществлялось обратное двумерное ДПУ, восстанавлива-
ющее передаваемое изображение.
Это изображение (рис. 14.14), несущественно отличающееся
от исходного, потребовало для передачи в 8 раз меньше инфор-
мационных затрат (1 бит на отсчет).
Если площадь передаваемого спектра уменьшить еще в 4 ра-
за (рис. 14.13,6) и тем самым снизить затраты до 0,25 бит на
отсчет, то получится изображение, представленное на рис. 14.15.
При этом проявляются дефекты изображения в виде прямо-
угольных клеток, обусловленных прямоугольностью функций
Уолша. Размеры этих клеток определяются граничной частотой
отсекаемого спектра.
Следует указать, что весьма большое число отсчетов $[/г, /],
равное 256X256, выбрано в данном примере для достижения
наглядности промежуточных результатов обработки. На прак-
тике используются различные приемы упрощения обработки:
разбиение изображения на фрагменты с небольшим числом
отсчетов (например, 16X16), адаптация алгоритма обработки
к специфике передаваемого изображения и др.
Рис. 14.15
429
Глава 15. ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА
РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ
15.1.	ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Вопросы общей теории синтеза электрических цепей не вхо-
дят в задачу этой книги.
В данной главе рассматриваются лишь некоторые частные
вопросы, актуальные для синтеза современных радиоэлектрон-
ных устройств обработки сигналов:
синтез безындуктивных четырехполюсников в виде каскад-
ного соединения элементарных, невзаимодействующих (развя-
занных) цепей первого или второго порядка (интегральные
микросхемы);
синтез цифровых фильтров по аналоговому прототипу;
связь между АЧХ и ФЧХ в аналоговых и цифровых филь-
трах (минимально-фазовые цепи).
Известно, что передаточная функция линейного четырехпо-
люсника однозначно определяется своими нулями и полюсами
на p-плоскости (аналоговые цепи) или на z-плоскости (цифро-
вые цепи). Поэтому выражение «синтез по заданной переда-
точной функции» эквивалентно выражению «синтез по задан-
ным нулям и полюсам передаточной функции». Теория синтеза
четырехполюсников рассматривает цепи, передаточная функ-
ция которых имеет конечное число нулей и полюсов, т. е. цепи,
состоящие из конечного числа звеньев с сосредоточенными па-
раметрами.
Общее выражение передаточной функции аналогового четы-
рехполюсника запишем в форме (5.45)
IZ 1п\   Р (Р Pol) (Р Рог) (р Роп) --	ЛК П
К (Р)“В(Р-РпО (Р-Рпг)	<Р~Рпга) ’ П<т-	(15Л>
Чтобы рациональная дробь (15.1) являлась передаточной
функцией физического четырехполюсника, степень числителя
п не должна превышать степень знаменателя т.
Общим требованием к передаточной функции К(р) любого
четырехполюсника, вытекающим из условия устойчивости,
является отсутствие полюсов в правой р-полуплоскости (см.
§ 5.6).
Нули и полюсы могут быть вещественными или комплексны-
ми. В последнем случае образуются комплексно-сопряженные
пары нулей или полюсов. В отличие от полюсов нули переда-
точной функции могут быть расположены как в левой, так и
в правой р-полуплоскости. Четырехполюсники с нулями пере-
430
даточной функции в правой полуплоскости обладают сущест-
венными особенностями, рассматриваемыми в § 15.6.
Излагаемый ниже материал ориентирован на чытерехполюс-
ники с небольшим числом звеньев, которые характерны для
фильтров нижних частот и верхних частот, полосовых или за-
градительных фильтров и т. д., широко применяемых в радио-
электронных устройствах.
В дальнейшем передаточную функцию многозвенного филь-
тра будем записывать в форме
Р — Рт Р — Рт ’ ’ ’ Р—Рпп
= ВК,(р)К2(р) ...Кп(р),	(15.2)
где Кт(р)—передаточная функция m-го звена (не выше вто-
рого порядка).
Трактовка выражения (15.2) как передаточной функции
каскадного соединения взаимно независимых четырехполюсни-
ков позволяет свести задачу синтеза сложного четырехполюс-
ника к синтезу простых звеньев. Увеличение числа нулей и
полюсов в передаточной функции приводит лишь к соответст-
вующему увеличению числа звеньев. Естественно, такой подход
имеет смысл и допустим лишь при достаточной развязке эле-
ментарных четырехполюсников. Применение эмиттерных повто-
рителей и некоторых других устройств современной микроэлек-
тронной техники обеспечивает выполнение этого требования.
В тех случаях, когда нельзя пренебрегать взаимным влиянием
элементарных четырехполюсников, приходится прибегать к
более сложным методам синтеза, излагаемым в специальной
литературе.
Цифровые фильтры, как и аналоговые, обычно синтезиру-
ются на основе передаточной функции, представленной в виде
рациональной дроби (12.26). В результате соответствующей
аппроксимации заданной передаточной функции K(z) опреде-
ляется положение нулей и полюсов на z-плоскости, после чего
находятся весовые коэффициенты ап и Ьп, входящие в (12.27).
Цифровой фильтр можно реализовать в виде совокупности
простых звеньев (первого или второго порядка) либо в виде
канонической схемы, описанной в § 12.3 (см. рис. 12.6).
При разбиении фильтра на простые звенья отпадают все
ограничения, отмеченные в § 15.1 по отношению к аналоговым
цепям. В цифровых цепях вопросы согласования входных, вы-
ходных и нагрузочных сопротивлений, а также вопросы развяз-
ки отдельных звеньев вообще не возникают. В связи с этим
наряду с каскадным (последовательным) соединением простых
звеньев широко применяется их параллельное включение.
Этот вопрос рассматривается в § 15.4.
431
15.2.	РЕАЛИЗАЦИЯ БЕЗЫНДУКТИВНОИ
ЦЕПИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В интегральных микросхемах, не допускающих применения
катушек индуктивности, цепь второго порядка реализуется с
помощью активной 7?С-цепи. Один из возможных вариантов
такой цепи представлен на рис. 15.1, а. Свойства этой цепи
обусловлены применением операционного усилителя Ко и об-
ратной связи. Усилитель в рассматриваемой схеме должен
обеспечить небольшое усиление (не более нескольких единиц).
Основные требования к усилителю — очень большое входное и
близкое к нулю выходное сопротивления, а также отсутствие
обратной реакции. При выполнении этих требований усилитель
можно рассматривать как идеальный источник напряжения
(управляемый напряжением), что позволяет при определении
токов и напряжений в схеме на рис. 15.1, а считать точки оиб
разомкнутыми, а напряжение на выходе приравнивать величи-
не KoUC1, где Цсг —напряжение на конденсаторе С2. Эти до-
пущения приводят к эквивалентной схеме на рис. 15.1,6, на
которой усилитель Ко опущен, а его влияние учтено тем, что
напряжение на конденсаторе С2 связано с выходным напряже-
нием соотношением UCs = Е2/К0.
Используя общие уравнения четырехполюсника (5.4) для
схемы на рис. 15.1,6 и учитывая дополнительное условие
E2=Ko(Ii+l2)/C2P, получаем
E1=ZltIl-]-Z12I2,
Ez=Z2iIi+Z22l2=/(l)(li+l2)/C2p.	(15.3)
.Здесь
Zh==/?i4-/?2_E 1/С2р; Z12=T?2-|-1/C2p;
Z21=T?2 + ^ICzp', Z22 = R2-\~l/C\P-[-]./C2P.
Исключив ток 12 из первого уравнения (15.3), после неслож-
ных преобразований получим выражение для передаточной
функции четырехполюсника
432
к (Р)=Е2/Е1=------------ с-^
CiRif? + I + -к1 + Аг-Ко ^Чг
\	/\2	'-'2^x2	С2Л2
1
p+c2r2
_____________________KqIC\C%R\Rt________________________
р2 + (MCiRi 4- l/Cj/^2 4~ IIC2R2—Къ!C2R2) р	/C1C2R1R2
— 1/(Рх2 + ^1Рл+ ^г)>
где рх—р/шс — частота, нормированная относительно частоты
среза АЧХ фильтра.
Дальнейшая задача синтеза сводится к подбору резисторов,
конденсаторов и Ко, обеспечивающих требуемые значения ко-
эффициентов bi и Ь2 полинома в знаменателе (15.4):
1,1,1 К» д _	1
’*	/?,С, К2С, + /?,С, RtC2 ’	2 RiR2CiC2 ’
(15.5)
Из первого равенства можно получить следующее выраже-
ние для требуемого коэффициента усиления:
Ко— 14~С2/С1-|-К1С2//?1С'1—biR2C2.
(15.6)
15.3.	СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
При реализации цифрового фильтра в виде последователь-
ного соединения простых звеньев (первого или второго поряд-
ка) заданная передаточная функция К (г) записывается в фор-
ме, аналогичной (12.12).
При реализации фильтра в виде параллельного включения
простых звеньев эта функция разлагается на простые дроби
т
к (г) = Ао = Ао 2 2-znk>
л Г p(z> 1
где Ak	dQ ^/dz J
— вычет функции K(z)/A0 в полю-
z~znk
се zuk.
Если знаменатель Q(z) содерижт всего т корней, из кото-
рых mt — число вещественных (лежащих на действительной
оси), а т2 —число комплексно-сопряженных пар корней (т=
=т,+2т2), то
К(2) = А
Ak
z—znk
Ak* \
Z~ZnJ.
Это выражение легко приводится к виду
28-3305
433
[mi	mt+m,
+ S —- F-+-al- -.
*=/ Znk ^+i zs~b^-b2k j
где a0ft=2 Re (A*); alk= — 2 [Re (zuk) Re(Aft)+Im (zr,fc) Im (Aft)K
biл = 2 Re(znk)’, b2k= — |znft |2.
Как в каскадной, так и в параллельной схеме отдельные
звенья реализуются по схеме, описанной в § 12.6 (см.
рис. 12.12). Весовые коэффициенты звена второго порядка оп-
ределяются по формуле (12.43), а звена первого порядка —
непосредственно из передаточной функции звена [K(z) =
= l/(l-AZ-‘)].
Существенно различны подходы к синтезу трансверсальных
и рекурсивных фильтров.
В § 12.2 отмечалось, что импульсная характеристика транс-
версального фильтра является ограниченной последователь-
ностью {#(&)}, k=0, 1,..., Н, содержащей N=H-\-\ отсчетов,
где Н — число элементов памяти, а значения g(k) равны весо-
вым коэффициентам фильтра ak. Из этого следует, что задание
импульсной характеристики g(k) непосредственно определяет
как структуру трансверсального фильтра, так и его передаточ-
ную функцию R(z) =a0+alz_‘+a2z_2+ ... -\-aHz~H.
В случае же рекурсивного фильтра структура и весовые
коэффициенты более сложным образом связаны с импульсной
характеристикой и передаточной функцией. Эти вопросы рас-
сматриваются в следующем параграфе.
15.4.	СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ПО
АНАЛОГОВОМУ ПРОТОТИПУ
Пусть задан аналоговый фильтр с передаточной функцией
Ka(i<o) и импульсной характеристикой ga(t) и требуется по-
строить эквивалентный ему (в определенном смысле) цифровой
фильтр.
Рассмотрим физически наглядный, хотя не во всех задачах
эффективный, способ, который основан на дискретизации диф-
ференциального уравнения, описывающего исходную аналого-
вую цепь.
Для сокращения выкладок обратимся к простейшему че-
тырехполюснику, представленному на рис. 15.2. Передаточная
функция и импульсная характеристика этого четырехполюсни-
ка
Ka(p) = I/(l+RCp), ga(f) = l/r	(15.7)
соответственно
/<оИ = 1/]/1 + (/?«С)2, ga(O = (l//?C)e-^.	(15.7')
434
Рис. 15.2
Выпишем основные соотношения между e(t), и i(t):
i(t)=C , Ивых (0=e (0 - Ri (0=е (0 - RC d“Bb^(0 -
Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи
dj^TL + 4c «вых(0-^е(0.	(15.8)
Для перехода от дифференциального уравнения к эквивалент-
ному ему разностному уравнению воспользуемся определением
производной
^цвых (О __
dt ~
Ijjjl ЦВЫХ (О-----Ывых (t Т)
7-.0	Т
Не переходя к пределу, выбираем произвольную конечную ве-
личину Т исходя лишь из условия T^iRC=x и подставляем в
(15.8) вместо </иВых(0/<Д дробь [иВЬ1Х(/)—нВых((—Т)]/Т. Тогда
«вых(О— «вых(/— 7') + (Т/т)«ВЬ1х(0 = (ЛМ^О, ИЛИ (1Н-Т/
т) «вых (0 = (Т/х) е(0 +пвых (t—T).
Перейдя к дискретному времени t=mT, перепишем послед-
нее выражение в форме
«вых (тТ)=-^е (щТ) + «вых (тТ -Т).	(15.9>
I Л	V Л
Введя обозначения Т/(х-\-Т) =а0, т/(т+7’)=&1 и опустив Т
в аргументах функций е(тТ) и ивых(тТ—Т), придем к вы-
ражению
«вых [m]=[m— 1],	(15.10)
имеющему смысл разностного уравнения рекурсивного фильтра
первого порядка, соответствующего условиям (15.7).
Передаточная функция и импульсная характеристика этого
фильтра Кг(р) = ; __ь°е-рт’ g[^]=a0^.
На оси частот
(Ш) =---д°—= -г-  fl° .--------.	(15.11)
V '	|1 —	V1 +V-2d1cosw7’
При уменьшении шага дискретизации Т до значения, малого
по сравнению с х, аргумент косинуса а>Т в области частот, со-
измеримых с 1/т, отвечает условию oT^l, так что cos аТ»
«1—(ь)Т)2/2. При этом
_-------д_—.
{Т! тг) + (шГ)2 + — (<эГ)г	1 + (®т)г + — (®т)2
28*
435
С помощью этого выражения легко оценить влияние Т на
отклонение Лт(ю) от ТС (со). При Т/т^0,2 это выражение несу-
щественно отличается от /Са2(<о).
Сравним импульсные характеристики g(kT) и ga(t). При
Т/т<^1 можно положить /?!=!/( I+T/t) « (1—Т/т)	Тогда
g(kT)=aQblk^aoe~fcT^, т. е. g(kT) отличается от ga(kT) только
постоянным коэффициентом (а0 вместо 1/т).
Итак, для удовлетворительного совпадения характеристик
цифрового и аналогового фильтров в данном примере требует-
ся выполнение условия 77т<0,2.
При более сложных цепях синтез, основанный на дискрети-
зации дифференциального уравнения, становится громоздким.
Более эффективен способ синтеза цифровых фильтров по за-
данным полюсам и нулям передаточной функции Ка(р) анало-
гового прототипа на p-плоскости. Задача синтеза при этом
сводится к рациональному выбору оператора преобразования
р-плоскости в z-плоскость. От выбранного оператора зависят
свойства и характеристики цифрового фильтра.
Наиболее простым оператором преобразования является
соотношение z=epr, использованное в гл. 12. В этом случае
полюсы Znm и нули z^ определяются равенствами
Znm=epnfn7', zOn=ep«"7'-	(15.12)
Метод, основанный на операторе г=ерГ, иногда называют
методом стандартного z-преобразования.
Выясним степень приближения характеристик синтезируемо-
го цифрового фильтра к аналоговой модели на примере рас-
смотренного выше четырехполюсника (рис. 15.2). Передаточ-
ная функция Ка(р), определяемая выражением (15.7), имеет
один полюс рп=— 1/RC— — 1/т.
Основываясь на (15.12), находим полюс на z-плоскости
гп=ер^т=е-^=е-т'кс.
Тогда
К (Z) = 1 / (1 —ZnZ-1) = 1 / (1 — e-T/RCz-l) f
К(е'“г) = 1/(1—е-г/те-'аг)	(15.13)
и АЧХ фильтра
| к (©)|= 1//1 +е-27'/’-2е-7’/’cos wT.	(15.14)
Далее, импульсная характеристика g(kT) =bih=e~hT,\ За-
мечаем, что g(kT) совпадает (с точностью до постоянного коэф-
фициента 1/т) с импульсной характеристикой ga(t) = (1/т)е_‘/т,
дискретизованной с шагом Т, причем это совпадение не зависит
от Т (в отличие от метода, основанного на дискретизации диф-
ференциального уравнения цепи).
Аналогичный результат имеет место и для более сложных
цепей.
436
В связи с этим метод синтеза, основанный на стандартном
преобразовании z=ep*, получил название метода, инва-
риантного относительно импульсной характери-
стики. При этом, однако, АЧХ цифрового фильтра может
существенно отличаться от АЧХ аналогового прототипа.
15.5.	МЕТОД ИНВАРИАНТНЫХ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Для осуществления синтеза, инвариантного по отношению к
АЧХ, следует применить преобразование, при котором вся мни-
мая ось ico p-плоскости отображалась бы на z-плоскости одним
обходом окружности радиуса lz| = l.
Этому требованию отвечает билинейное (дробно-рациональ-
ное) преобразование
2=(14-р)/(1-р), p=(z-l)/(z+l),	(15.15)
где р= (o-|-ico)/Qo; Qo—произвольная постоянная, обеспечива-
ющая безразмерность величины р и выбираемая исходя из со-
ображений нормирования.
Для уяснения смысла билинейного преобразования поло-
жим о=0, т. е. приравняем p=ico/Qo, и на основании (15.15) за-
пишем
z|p=to/n0 = t+S- = е/2 arc,g = е'^»).	(15.16)
I —IU)/ CidQ
Из этого выражения следует: перемещению точки р вдоль
оси ico/Qo соответствует перемещение z по окружности радиуса
lzl = l. В этом отношении билинейное преобразование не отли-
чается от обычного z-преобразования, при котором z|p=lw=e‘“r
(см. п. 12.5.1). Отличие в том, что угол со Г возрастает пропор-
ционально частоте со, а при билинейном преобразовании угол
<p(co/Qo) =2arctg co/Qo возрастает нелинейно; при стремлении
й->±оо угол cp(co/Qo) стремится к своим предельным значениям
±л. Таким образом, вся ось tco/Qo p-плоскости трансформирует-
ся на z-плоскости в один обход окружности |z| = l и тем самым
обеспечивается взаимно однозначное отображение р на z для
всей р-плоскости.
Сопоставление функций е”>(“/0 и eiaT позволяет трактовать
Ф (co/Qo) =2arctg co/Qo как эквивалентную частоту (ацТ (безраз-
мерную), связанную с обычной частотой сп, используемой при
анализе и синтезе аналоговых цепей, соотношением
cou7’=2arctg (co/Qo).	(15.17)
Соответствен но
co/Qo=tg(co47'/2).	(15.18)
Нормирующую частоту Qo можно определить, установив со-
отношение между какими-либо характерными частотами пере-
437
к
даточных функций аналоговой и цифровой цепей. Например,
если речь идет о цифровом ФНЧ с заданной частотой среза <ВсЦ,
эквивалентном (в смысле АЧХ) аналоговому фильтру с часто-
той среза сое, то выражения (15.17), (15.18) можно записать
так:
С1)сц7 2arctg((Oca/Qo). (Oca/Qfl — tg ((Осц7'/2).	(15.19)
Из последнего выражения следует, что Qo= (Oca/tg ((0сц7*/2).
Пусть, например, частота среза АЧХ цифрового фильтра
должна составлять 10% от частоты дискретизации 1/7.
Тогда (оСцТ=0,1-2л и tg (ысц7/2) =tg (0,1л) «0,3249,
а выражение (15.17) переходите
(Оц7'=2 arctgftg (осцТ/2)(о/(Оса]=2 arctg (0,3249%),	(15.20)
где х=(о/(Оса — частота, нормированная относительно частоты
среза АЧХ аналогового фильтра.
Полученное соотношение между couT и х позволяет по-
строить АЧХ синтезируемого цифрового фильтра по заданной
АЧХ исходного аналогового фильтра. На рис. 15.3 сопоставле-
ны подобные характеристики для фильтра Чебышева второго
порядка. Видно, что АЧХ цифрового фильтра, сохраняя мас-
штаб по оси ординат, сжимается по оси абсцисс в пределах
—л<со7<л [3].
Основываясь на выражениях (15.2) и (15.4), следует опреде-
лить полюсы передаточной функции Ка(р) аналогового про-
тотипа, после чего по формуле (15.16) можно вычислить полю-
сы функции K(z). Методика определения структуры и весовых
коэффициентов синтезируемого фильтра по заданным полю-
сам и нулям функции K(z) изложена в [3].
438
15.6.	СВЯЗЬ МЕЖДУ
АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ
И ФАЗОЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
При обработке сигналов часто возникает необходимость в
подборе оптимальных в определенном смысле АЧХ и ФЧХ
линейной цепи. Возникает вопрос, можно ли управлять одной
из них, не изменяя другую, или между ними имеется однознач-
ное соответствие.
Вопрос сводится к установлению связи между модулем и
аргументом комплексной функции К(р). Задача эта весьма
сложна. Значительно более простой задачей является установ-
ление связи между действительной и мнимой частями функ-
ции К(р). Поэтому целесообразно вместо функции К(р) рас-
сматривать функцию 6(р)=1пК(р). На оси частот эта новая
функция принимает вид
0(t<o) = ln K(tco) =ln[K((o)e‘’₽<B’]=
=1п К(й))+1ф(ю)=А((о)-|-1ф((о).	(15.21)
Очевидны равенства
А («) =1п К((о), К((о)=еА(“>.	(15.22)
Действительная часть функции 0(i(o), т. е. А (со), называет-
ся логарифмическим затуханием четырехполюсника.
После перехода от функции К (t'co) к функции O(ico) задача
сводится к установлению связи между А (со) и ф(«).
Для этого воспользуемся выражением, аналогичным
(2.112), при замене подынтегральной функции ST(p)ep‘ на
в(р)/(р—icoi), где (Oi — фиксированная частота. Тогда
c4-Zco	/со
с—to	—ico
с>0.	(15.23)
Наложим условие, что функция 0(р) не имеет полюсов в
правой р-полуплоскости. Тогда по теореме Коши интеграл в
левой части (15.23) равен нулю, а выражение (15.23) после
несложных преобразований приводит к следующим важным
соотношениям:
A((Oj)==----- I	(15.24)
' 17	nJ <j) — (0j	v '
 —oo
co
ч>М—Г $	<15-25’
439
Таким образом, при оговоренных выше условиях Л (со) и
ср (со) однозначно связаны между собой преобразованиями
Гильберта [см. (3.54), (3.55)].
С учетом четности А(<о) и нечетности <р(со) перепишем пре-
дыдущие формулы в окончательном виде:
С ®Ф(ю)_ .
J G)2 ~ф,2
О
Ф(«1)
А (ф)
ф2 — ф/
dco.
(15.24')
(15.25')
Итак, для определения одной из характеристик на какой-
либо фиксированной частоте coi требуется знание другой харак-
теристики во всем частотном диапазоне.
15.7.	СВЯЗЬ МЕЖДУ АЧХ И ФЧХ
В ЦИФРОВЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКАХ
Принципиальные положения, сформулированные в преды-
дущем параграфе для аналоговых четырехполюсников, можно
распространить и на цифровые четырехполюсники. Различие
только в аналитических выражениях, устанавливающих соот-
ношение между АЧХ и ФЧХ. Эти различия обусловлены пред-
ставлением передаточной функции цифрового фильтра не на
р-, а на z-плоскости.
Основываясь на результатах предыдущего параграфа,
можно утверждать, что цифровой четырехполюсник является
минимальнофазовым, если его передаточная функция K(z) не
содержит нулей вне круга |z| = l на z-плоскости и соответст-
венно функция
0(eiwT) =1пК(е’“г) =AT((o)+i<pT(®)	(15.26)
не содержит полюсов в указанной области.
Первое слагаемое в правой части (15.26) имеет смысл ло-
гарифмического затухания четырехполюсника [см. (15.22)]
Ат (<о) = 1п|К(е/шГ)Ь	(15.27)
а второе слагаемое — фазочастотной характеристики.
Индекс Т при Ат(со) и <рт(®) указывает на периодическую
структуру этих характеристик [см. (12.9)].
Формулы для АЧХ и ФЧХ можно получить, повторив рас-
суждения предыдущего параграфа при замене р на z=epT и
440
соответственно io на е!“т. Тогда по аналогии с правой частью
выражения (15.23) получим следующее равенство:
г./Т -
J е WT)-0-
—nfT
Подставив d(eiuT) =iTe'“Tdco, а также (15.27), придем к вы-
ражению
1	.	Т	Ат (ы)
-у [Лт (©1)4-i<fT (<0j)] + 2S" J р—е-Що-шОГ +
—тс/Г
г 2л
<₽г («)
I e-i(o—Ш1)Г
d<o = O.
(15.28)
Воспользуемся равенством
1	е/х/2	_ cosx/2 + Zsinr/2 _ 1 Z1 ir4rtv/<)\
----e/r/2_e-ir/2	у U Ctg-W
Тогда, выделив в (15.28) действительную и мнимую части
цридем к следующим формулам:
п/Г	"	«/Г
Ат(со1)= — — \ Лг((о)й<о —	£ <рт-(15.29)
' *'	J	XJL	£
—тс/Г	—п/Т
.. я/Т
фг(®1)=^- \ Ат ((oHtg^-^-dco.
X, J L	_)
(15.30)
Первое слагаемое в правой части (15.29) имеет смысл сред-
него значения Ат(а>) в полосе частот от «7=0 до (оГ=2л.
Ранее отмечалось, что Аг(<о) и <рт(<о) являются периоди-
ческими функциями частоты. Это обстоятельство позволяет cyj
щественно упростить соотношения, связывающие между собой
АЧХ и ФЧХ. С этой целью запишем функции Лг(<о) и <pT(w) в
виде рядов Фурье:
Ат(<о) ==1п | К(е’“г) |=/40+Aicos<oT+A2cos2<oT+. ..,	(15.31)
<Рт(<о) =Oisin<o7+02sin2G)T+ ...	(15.32)
Косинусоидальный ряд для Ат (со) обусловлен четностью этой
функции относительно со, а синусоидальный ряд — нечетностью
функции фг((0).
441
Коэффициенты рядов (15.31) и (15.32) определяются форму-
лами
п
А„ = -^- Ат (со) cos/zcoTcf ((оГ),
—л
Л
Фл=-^- фт (“) sinno)7’d(w7').
—л
(15.33)
(15.34)
Подстановкой ряда (15.31) в выражение (15.30) нетрудно
показать, что <рт(«и) (индекс 1 при со опускается)
СО
Фт (<о) = — 2 A;Sin пыТ.	(15.35)
л=1
Подстановка ряда (15.32) в (15.29) приводит к выражению
оо
Ат («) —Ао — 2 Фпсо5П<оГ.	(15.36)
П=1
Определив Аг (<о), найдем АЧХ
Кт (<о)=еЛ7'(ш>.
Из сопоставления рядов (15.35) и (15.32), а также (15.36)
и (15.31) вытекает важное соотношение
Ап=—Ф„.
Следовательно, по заданной функции Лг(<о), записанной в
виде ряда Фурье, можно найти коэффициенты Фп ФЧХ <рт(е>).
При заданной ФЧХ (также в виде ряда Фурье) функцию Ат(<о)
можно найти с точностью лишь до Ло. Физический смысл этого
факта очевиден, так как величина
Л
A=2F S 1г1К(ш)б/((0Т),
—л
зависящая только от АЧХ фильтра К (to), может изменяться
в широких пределах (изменением усиления) при сохранении
ФЧХ.
Итак, для полного описания передаточной функции мини-
мальнофазовой цифровой цепи достаточно знать коэффициен-
ты Фурье одной из характеристик: ФЧХ фт((о) или логарифми-
ческого затухания Ar(w).
Вычисление коэффициентов ряда Фурье любой от характе-
ристик Аг(со) и фт(а>), заданной на интервале ОСшГ<2л, не-
сравненно проще вычисления интегралов в бесконечных преде-
лах, требуемого при анализе аналоговых цепей [см. (15.24') и
(15.25')].
442
Глава 16. ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ
ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ.
КЕПСТРАЛЬНЫИ АНАЛИЗ
16.1.	ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП
СУПЕРПОЗИЦИИ
В предыдущих главах принцип суперпозиции рассматри-
вался как основное свойство линейных систем. Математическая
формулировка принципа суперпозиции, предусматривающая
только операцию сложения сигналов, является фундаменталь-
ной для обработки аддитивной смеси сигналов. Она также яв-
ляется основой для спектрального метода анализа воздействия
сложных сигналов на линейные цепи, для метода интеграла
наложения и других методов, в которых входной сигнал пред-
ставляется в виде суммы элементарных слагаемых.
Однако операция сложения, как указывалось в § 1.2, не
исчерпывает проблемы обработки сложных сигналов. Важное
значение для современной теории и техники обработки сигна-
лов имеют, в частности, операции умножения и свертки сиг-
налов.
Линейные системы не позволяют осуществить раздельную
обработку сигналов, входящих в произведение или образую-
щих свертку. Иными словами, по отношению к сигналам
s(t)=si (t)-s2(t) или s(i)=si (t)*s2(t) неприменим принцип
суперпозиции в том виде, в каком он сформулирован для ли-
нейных систем. Однако с помощью сочетания линейных и не-
которых нелинейных элементов можно реализовать систему,
подчиняющуюся обобщенному принципу суперпозиции по от-
ношению к упомянутым выше (и некоторым другим) сигна-
лам.
Отыскание классов подобных систем для различных комби-
наций входных сигналов основывается на теории линейных век-
торных пространств и на общей теории преобразования этих
пространств. Применение этих понятий к задаче синтеза цепей,
подчиняющихся обобщенному принципу суперпозиции, рассмат-
ривается в следующем параграфе. Предварительно поясним
принцип построения подобных цепей для одного частного слу-
чая, основываясь на физических представлениях.
Рассмотрим обработку мультипликативного сигнала s(t) —
=Si(t) -s2(t) и поставим перед собой задачу преобразования
его к виду суммы x(/)=Xi (t)+x2(t). Искомый оператор преоб-
разования обозначим символом D. Математически поставлен-
ная выше задача сводится к требованию
D[s(t)]=D[Sl(t) s2(/)]=Z)[s1(/)J+Z)[S2(/)].	(16.1)
443
Известно, что единственной непрерывной функцией, удов-
летворяющей функциональному уравнению (16.1), является
логарифмическая функция. Следовательно, оператор D соот-
ветствует логарифму и нелинейное устройство, осуществляю-
щее требуемое преобразование, должно иметь характеристику
вида x=D(s) = log s. Сигнал на выходе этого устройства
х(/) =log [s(Z)J1 = log [s,(f) -s2(f)]=log [si(O]+
+log[s2(01=xi(0+*2(0-	(16.2)
В данном случае для упрощения мы ограничились рассмот-
рением действительных и ненулевых функций S|(Z)>0 и s2(t)>
>0.
По своему частотному спектру, а следовательно, и по фор-
ме сигналы Х](£) и x2(t) отличаются от Si(t) и s2(Z). Сущест-
венно, однако, что сумму x(f)=Xi(f)+x2(f) можно обрабаты-
вать (фильтровать) с помощью обычной линейной цепи.
Обозначим через у\(t) и y2(t) сигналы на выходе линейного
фильтра L, осуществляющего фильтрацию сигналов Xi (t) и
x2(t). Поскольку последние имеют смысл логарифмов si(/) и
«г(0, то i/i(Z) и y2(t) можно рассматривать как логарифмы
выходных сигналов SiBbIX(/) и s2bbix(/). Тогда возникает задача,
обратная по отношению к (16.2): как перейти от суммы «/](/) +
+y2(t) к произведению sBbIX(O=SiBbIX(O-82вЫх(0.
Преобразованием, обратным логарифмированию, является
потенцирование. Оператор такого преобразования обозначим
D~l. Тогда характеристика нелинейного элемента, осуществ-
ляющего обратное преобразование, должна иметь вид sBbIX(/) =
=£>_|(t/), так что
sBux (0 =D~'[y (0 ]=ехр[«/ 1 (0 +у2 (0 ]=е1'>:')е»»(‘)=
= e,nS1BbIx(^e,nS2BbIX<^=SiBbIX(0 -82вых(0.	(16.3)
Между двумя нелинейными элементами, осуществляющими
преобразования D и D *, должно быть включено линейное
устройство L для фильтрации сигналов X\(t) и x2(t), т. е. для
основной линейной обработки.
В результате приходим к схеме обработки, представленной
на рис. 16.1. Как обозначено на этом рисунке, нелинейный эле-
мент D преобразует произведение (•) в сумму (+), линейный
элемент L сохраняет операции суммирования (+) и (+), а не-
линейный элемент D~l преобразует сумму в произведение.
Применение подобной обработки целесообразно в тех слу-
чаях, когда с помощью линейного устройства L можно разде-
лять по частотному признаку сигналы Xi (t) и x2(t) и изменять
в желательном направлении соотношение между уровнями сиг-
налов i/i(0 и y2(t).
1 Здесь и в дальнейшем log обозначает операцию логарифмирования.
При выкладках и вычислениях используются натуральные логарифмы.
444
(•)	(+) (+)	(+) Н-) И-' (•)
Рис. 16.1
Пусть, например, спектры функций #1(0 и ^(0 не перекры-
ваются, а линейный фильтр L пропускает только сигнал yi(t).
Тогда выражение (16.3) принимает следующий вид:
явых (0 =D~l[y (0 ]=exp[z/i (0 +0]= gyi<,) = glnJlBblx(<) =
= 51вых(/).	(16.3')
Аналогично при режекции сигнала yi(t) получим S2Bb.x(0-
Таким образом можно осуществить разделение сигналов.
Система, представленная на рис. 16.1, в целом подчиняется
обобщенному принципу суперпозиции, в данном случае по отно-
шению к сигналу s(t)=S{(t) так как в этой системе меж-
ду сигналами st (/) и s2(t) отсутствует взаимодействие и соот-
ношение между 51Вых(^) и si(/), а также между Я2ВЫх и s2(t)
определяется только линейным устройством L.
Именно в этом смысле в дальнейшем будет трактоваться
термин «обобщенный принцип суперпозиции».
16.2.	ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА ГОМОМОРФНОЙ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
Если сигналы на входе и выходе рассматриваемой системы
трактовать как элементы векторного пространства, то любое
преобразование H[s (/)], осуществляемое системой над сигналом
s(t), является преобразованием пространства сигналов. Такое
преобразование переводит элементы Si, s2,... пространства
входных сигналов в элементы 51ВЫх(0, «2вых(0>--- пространства
ВЫХОДНЫХ СИГНаЛОВ, Причем «1вых(0 =J^[S1 (0L «2вых(0 =HIS2(01-
Рассмотрим теперь преобразование входного сигнала, яв-
ляющегося некоторой комбинацией двух сигналов St(t) и s2(t).
Как уже отмечалось, для обработки сигналов в радиоэлектро-
нике наибольший интерес представляют следующие три комби-
нации: сложение, умножение и свертка. Обобщим эти операции
символом □, т. е. s(O=sI(/)Ds2(0. Каждому сигналу s(fj
соответствует вполне определенный элемент sBbix(t) =//[s(/)J в
пространстве выходных сигналов, однако различным опера-
циям — суммированию, умножению или свертке соответствует
определенный оператор: /7Ь Я2 или Нз.
Можно синтезировать систему, осуществляющую такое пре-
образование входного сигнала s(t) =s{ (t) Пхг^), при котором
сигнал на выходе будет иметь вид sBUx(/)=//[si(/)]Ofl[si(01
где О — обозначение (общее) операций над элементами прост-
445
ранства выходных сигналов (сложение, умножение, свертка),
причем операция О может не совпадать с операцией □.
Для такой системы имеет место следующее соотношение:
Я[51 (0 □s2(O]=//[s1 (0]Otf[s2(01.	(16.4)
Имеется в виду однозначное, но не обязательно взаимно од-
нозначное преобразование.
Примером невзаимно однозначного преобразования может
служить операция квадрирования
/W)]=[s(012-
Каждому значению s(t) соответствует единственное значе-
ние s2(/) в пространстве выходных сигналов, при обратном же
преобразовании получим два возможных значения ±s(t).
Преобразование векторного пространства, отвечающее ра-
венству (16.4), называется гомоморфным (в отличие от
обратимого, изоморфного преобразования), а системы, осу-
ществляющие такое преобразование, называются гомоморф-
ными относительно операции □ на входе и операции О на вы-
ходе системы.
В частном случае □ = О==(+) выражение (16.4) переходит
в соотношение
H[Sl (0 +s2 (0]=H[si (t)]+H[s2 (01,	(16.5)
соответствующее формулировке принципа суперпозиции для
обычной линейной системы.
С этой точки зрения выражение (16.4) можно трактовать
как обобщение принципа суперпозиции.
Пространство выходных сигналов, как и исходное, является
линейным векторным пространством, хотя сам оператор преоб-
разования Н[ ] может быть нелинейным.
Проиллюстрируем смысл этого обобщения на нескольких
примерах.
1.	Система, осуществляющая преобразование Фурье сигнала
s(O=s,(O+s2(Z).
В данном случае D = O= (+) и
ST[s (0]=^'[s1 (0 +s2(0]=^1«1 (Ol+^tss(01=
= S] ((o)+S2(g>)	(16.6)
— чисто линейное преобразование.
Аналогичное соотношение можно написать и для z-преобра-
зования, обозначаемого через £[ ]:
[s (t) 1=£[Sl (/) +s2 (О ]=^[S1 (0Ц-ф2 (01=81 (z) +S2(z). (16.7)
Выражения (16.6), (16.7) соответствуют определению прин-
ципа суперпозиции для линейной системы.
2.	Система, осуществляющая преобразование сигнала s(t) =
=sl(t)s2(t) в сумму х(0=Х|(/)4-х2(0-
446
В данном примере □->-(•), О->(+). В соответствии с пре-
дыдущим параграфом [см. (16.2)] оператор Н есть функция ло-
гарифмирования log:
H[s(t)]=77[si (0 • s2(/)]=log[si (0 • s2(/)]=log s, (f) +log s2(t),
S]>0, s2>0.	(16.8)
В данном случае гомоморфное преобразование с помощью
нелинейного элемента (с логарифмической характеристикой)
переводит операцию умножения в операцию сложения, что и
обеспечивает применимость принципа суперпозиции к выход-
ным сигналам.
3.	Система, осуществляющая преобразование Фурье сигнала,
представляющего собой свертку континуальных сигналов
$](£) =«! (t) *s2(t) или свертку дискретных сигналов s[m]=
=s1[m]®s2[m].
Известно, что свертке функций времени соответствует произ-
ведение их спектральных плотностей [см. (2.59)]; следователь-
но, в данном случае □ обозначает свертку * или ®, а О—•
умножение (•). Таким образом, для аналогового сигнала
(0 ]=ST[s 1 (О’ *«2 (0 ]=3ф1 (0 № (0 ]= S! (со) - S2 («) (16.9)
и для дискретного сигнала
[«[/«]]=ys1[m]®s2[/n] ]=фч[т]] • £[s2[m]]=
= S([z]-S2[z],	(16.10)
где £[ ], как и в п. 1, обозначает z-преобразование.
В рассматриваемом примере гомоморфное преобразование,
переводящее операцию свертки в операцию умножения, являет-
ся линейным (это относится как к ЗП ], так и к £[ ]). Оба этих
преобразования обратимы, так как каждому прямому преобра-
зованию соответствует однозначное обратное преобразование.
Иными словами, преобразование Фурье и z-преобразование
изоморфны.
Дополнительное гомоморфное преобразование с помощью
логарифмической нелинейности (как в примере 2) приводит к
сумме функций вида
log S] (со) +log S2 (со) или log S] (z) +log S2 (z),
что и обеспечивает применимость принципа суперпозиции.
4.	Система, осуществляющая преобразование операции сло-
жения сигналов в операцию их умножения.
В § 16.1 показано, что для такого преобразования требуется
нелинейный элемент с характеристикой x(t) =exp[s(0]
[см. (16.3)].
Приведенные выше рассуждения, а также примеры позво-
ляют обобщить намеченную в § 16.1 систему гомоморфной об-
работки так, как это показано на рис. 16.2. Обобщенная, так
447

Рис. 16.2
называемая каноническая система гомоморфной обработки со-
стоит из трех каскадов.
Первая система Da , в общем случае нелинейная, обладаю-
щая свойством
Da[s, (ОПЫО1=0а[МО']+0а [МОНМО+МО, (16.11)
подчиняется обобщенному принципу суперпозиции со входной
операцией □ и выходной операцией (+) (см. обозначения на
рис. 16.2). Система Da называется характеристической систе-
мой гомоморфной обработки.
Система L, являющаяся обычной линейной цепью, удовлет-
воряет условию L[xi (0+x2(0]=£[>:i (0]+Z-[x2(0]==f/i (0+f/z(0 и
выполняет основную функцию по раздельной обработке (филь-
трации) сигналов Xi(t) и
Наконец, система £>о', преобразующая операцию сложения
в выходную операцию О, удовлетворяет условию
Do [Ух (0+Ы*)1=[Ух (OIODq [У2 (01 =
= ^1вых (ОО^гвых (0-	(16.12)
Преобразование Д-1 является обратным по отношению к
преобразованию D. Если D — система нелинейная, то и D~l —
нелинейная система.
В последующих параграфах поясняется выбор характери-
стических систем Do и D~l для двух классов сигналов — про-
изведения и свертки.
16.3.	ГОМОМОРФНАЯ ОБРАБОТКА
МУЛЬТИПЛИКАТИВНОГО СИГНАЛА
Структурная схема обработки мультипликативного сигнала
представлена на рис. 16.1 и описана в § 16.1. Наложенные при
анализе этой схемы ограничения — действительные и ненуле-
вые сигналы Si (/) и а также разнесенность или несущест-
венное перекрытие их спектров не препятствуют применению
гомоморфной обработки в ряде важных для практики задач.
К таким задачам относится, в частности, обработка сигналов
телевизионного изображения. Дело в том, что, как правило,
яркость фона на экране изменяется медленно, а контрастность
448
8)
О
Рис. 163
изображения определяется высокочастотными изменениями сиг-
нала, так что результирующий эффект можно считать пропор-
циональным произведению двух сигналов — низкочастотного
Si(0 и высокочастотного sz(t). По своей природе эти сигналы
являются действительными и положительными функциями вре-
мени.
Примерный вид сигналов Si(t) и s(t) представлен на
рис. 16.3,0. Запишем их в форме
si (0 — Лщ+Дл’! (0 >0, s2(0 =Ло2+Ая2(0 >0,
где Л01 и Л02 — постоянные составляющие соответственно функ-
ции S\(t) и s2(0.
Тогда
s (0 *=$! (0 • s2 (0 == А01А02+ЛozAsi (0 +Ло1 Дв2 (t) +Д«1 (0 • Дх2 (0.
В связи с тем, что сигнал S] (0 изменяется в широком дина-
мическом диапазоне, соответственно изменяется и сигнал s(0.
Это предъявляет жесткие требования к линейности амплитуд-
ной характеристики телевизионного тракта. Выгодно ослабить
влияние Si(0 и подчеркнуть сигнал s2(0, от которого зависит
контрастность изображения. Для выявления возможности такой
обработки рассмотрим спектры сигналов.
Спектры исходных сигналов si(0 и s2(0 показаны на рис.
29—3305
449
Oo
— A01 Aq2* if Co)
X2(fc>)
’('Mn	a
РИС. 16.4
*O2SAf®i>
16.3,6 и в. Дельта-функции относятся к спектральным плотно-
стям постоянных составляющих Л01 и Лог. а 8д|(<о) и 8д2(о)
обозначают спектры переменных составляющих Asi(Z) и As2(l).
Спектр результирующего сигнала s(t) представлен на
рис. 16.4, а. Произведению Asi(0-As2(/) соответствует свертка
спектров 8д1(ы) и 8д2(ы).
С помощью обычных линейных фильтров можно отфильтро-
вать постоянную составляющую и низкочастотную часть спект-
ра в полосе от нуля до й. Однако спектр 8Д| (ы) *Sa2((d) не под-
дается разделению с помощью линейной фильтрации. В этих
условиях применение системы, представленной на рис. 16.1, ока-
зывается весьма эффективным. Хотя форма колебаний xt (I) и
Xz(t) на выходе логарифмического преобразователя существен-
но отличается от исходных сигналов Si (t) и s2 (/), соответствую-
щие им спектральные полосы разнесены на оси частот в такой
же степени, что и спектры SAI(со) и SA2(co) (рис. 16.4,6).
В спектре Xi (со) преобладают низкие частоты, близкие к Q, а
в спектре Х2(со)—частоты, нижняя граница которых близка
К (Dm in-
Применение линейной цепи L с АЧХ, показанной на рис. 16.5,
позволяет существенно сни-
зить относительный уровень
сигнала у, (/).
После обратного нелиней-
ного преобразования по-
лучается новый мультиплика-
тивный СИГНаЛ 5ВЫх (0 =
=«тих (0«гвых (t) с требуемым
соотношением уровней sIBbIX(0
И 5гвых(0-
Таким образом можно
осуществить одновременно сжатие динамического диапазона и
повышение контрастности изображения.
АУХ,
Г)	1
Область
частот, <
определяющая
яркость ।
Область частот,
определяющая
контрастность
изображения
16.5
450
16.4.	ГОМОМОРФНАЯ ОБРАБОТКА
СВЕРНУТОГО СИГНАЛА
Пусть задан континуальный сигнал s(t) =Si(/)и тре-
буется осуществить обработку, в результате которой выходной
сигнал получится также в виде свертки «Вых (О 81 вых (О * 82вых (/),
но с измененным соотношением между составными сигналами.
В данном случае операции □ и О совпадают с * и канони-
ческая форма системы обработки принимает вид, показанный
на рис. 16.6, а.
В соответствии с (16.11) характеристическая система О,
должна отвечать условию
P.[s, (0 *s2(0]=£>4s1 (ОЖММОЬ	(16.13)
В отличие от мультипликативного сигнала (см. § 16.3) не
существует подходящей функции для прямой реализации усло-
вия (16.13). Можно, однако, сначала перевести операцию сверт-
ки в операцию умножения, а затем произведение преобразовать
в сумму.
Подвергнув входной сигнал преобразованию Фурье, получим
[см. (16.9)]
^-[s(Z)]=S((o) = S1((o)S2((o).	(16.14)
Следующий шаг — преобразование произведения в сумму с
помощью выражения
log S(w)=log S((co)+log S2(co).
Применив, наконец, к log S (со) обратное преобразование
Фурье, придем к характеристической системе D,.
Структурная схема D* представлена на рис. 16.7, а. На вы-
ходе этой системы сигнал
х(0 =ST~'[log S(со)]=8Г~'[log S, (co)]+ST~'[log S2(co)]=
=Xi(0+x2(0-	(16 15)
Рис. 16.6
29*
451
+log S2(taj
©
S(/n)-___
xog[ ]
—iscz;-l______ л
5yfe>S2(z)	logSCz;-
x(mj-
-lbgSXz}+LogS2GO
Рис. 16.7
Функции X\(t) и x2(/) по форме, естественно, существенно
отличаются от исходных сигналов Si(f) и Sz(t).
На рис. 16.8, а представлена обратная характеристическая
система D~l. Эта система получается из £>* заменой преобра-
зования log [ ] на преобразование ехр [ ].
На вход системы D~x подается сигнал y(t) =у^ (O+I/2G) с
выхода линейной системы L. После преобразования ff~[y(t)l
получаются спектральные функции Yi(o) и Y2(co). Дальнейшее
преобразование вида ехр [ ] приводит к произведению вида
eY’(“).eY» w, каждый из сомножителей которого также является
спектральной функцией.
Наконец, обратное преобразование Фурье
оо
*вых(0==2^ $ eY,^eYl(“)etozd<o = s1EbJX(фя2вЫх(0	(16.16)
—оо
определяет выходной сигнал в виде свертки, в которой сигналы
8|вых(/) и я2вых(/) изменены по сравнению с Si(t) и s2(Q в тре-
буемом соотношении.
о) ------------- ------------- ------------
------• •?”[ ] -----* езср[ ] ---*	] ----*-
у&>-1_____L__l L LI Js6bixc^
-У^)^)	=^ВЬ1ХЙУ*326МХ®
# ----------------- ---------------- --------------
 //Г_, * ft ] ——* езсрС ] -77-* £ '[ 1 -------------------7*
уИ “ L—-----------YC?; - ——j eYto-----------------—®.Вых
“У/Е777]^^] ^YfCzj+YzCz)	=8гбых[/?7]4'52бых[/77]
Рис. 16.8
452
Цифровой вариант характеристической системы D® пред-
ставлен на рис. 16.7,6.
Сигнал (дискретный) на выходе этой системы определяется
выражением, аналогичным (16.15):
х f=§ln $ (z) zm~ldz=2^ <J> In S1 (г) zm^ldz +
+2^<£lnS2(z)z'n^dz^Xy [m]+x2[m].	(16.17)
Обратная характеристическая система D®-1 представлена
на рис. 16.8,6. Сигнал на выходе всего устройства
«вых	§ ^M&^zm-'dz== х1вых [т] ® 5&ых [mJ. (16.18)
В практике наибольшее распространение получила гомомор-
фная обработка свернутого сигнала, заканчивающаяся выделе-
нием функций Xi (/), х2 (t) [или Xi[m], ХгГш]], содержащих всю
информацию о входных сигналах s( (t) и s2(f) [или si[m], S2[m]]-
При этом необходимость в громоздких преобразованиях D~
или D®-1 отпадает, а выходные сигналы определяются с помо-
щью соотношений (16.15) или (16.17).
Главная особенность указанных соотношений — замена спек-
тральной плотности S(co) логарифмом S(co), а z-преобразования
S(z) —логарифмом S(z).
Основанный на логарифмически-спектральном преобразова-
нии метод привел к новому направлению в теории сигналов, по-
лучившему название кепстральный анализ.
16.5.	КЕПСТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ.
КЕПСТР МОЩНОСТИ
Исторически понятие «кепстр» было определено выражени-
ем1
оо
СД<7)=2ТГ $ ln[S«e^®,
—оо
(16.19)
где S((o) —амплитудный спектр континуального сигнала s(/).
Поскольку S2(co) имеет смысл спектральной плотности энер-
гии сигнала s(t) (см. п. 2.5.9), то C„(q) истолковывается как
энергетический спектр функции ln[S((o)]2.
Но из (16.19) очевидно, что аргумент q этого «спектра» име-
ет размерность времени, а не частоты. Этим и объясняется рас-
пространение термина «кепстр», который образован перестанов-
1 См., например: Michel Noll A. Cepstrum Pitch Determination / The
Trans., of the Acoustical Soc. of America.— 1967.— Vol. 41, № 2.
153
кой букв в термине «спектр». (В зарубежной литературе
аргумент называют «quefrency», что по-русски выглядит как
«сачтота».)
Хотя q имеет размерность времени, это особое, централь-
ное время, поскольку Cs(q) в любой момент q зависит от
функции s (t), заданной при —оо<7<°о.
Определяемый выражением (16.19) кепстр принято называть
кепстром мощности. Фазочастотная характеристика
спектра не учитывается (в § 16.9 будет рассмотрен «комплекс-
ный кепстр»).
Кепстры мощности получили распространение при анализе
сигналов, представляющих собой свертку двух функций време-
ни, таких, что после преобразования s(t) по алгоритму (16.19)
образуются неперекрывающиеся на оси q импульсы. В подобной
ситуации фазовый спектр составных функций, образующих
свертку сигналов s^t) и s2(t), может не приниматься во вни-
мание.
Следует отметить, что выражение (16.19) имеет смысл не
для любого сигнала s(t). Действительно, для сигнала с конеч-
ной энергией выполняется условие J S2(w)dw<Zoo, из которого
следует, что при |<о|-*оо S2((o)->-0. Но тогда при 1ы1-»-оо обра-
щается в бесконечность |lnS(<o)| и интеграл J lnS2((o)dw
расходится.
Это противоречие в некоторых практических задачах обхо-
дят заменой пределов интегрирования ±оо граничными частота
ми ztwrp, в пределах которых заключена основная доля энергии
сигнала и значение функции 1п52(ы) ограничено.
Проиллюстрируем применение кепстра мощности на следу-
ющем примере. Задан сигнал s(t) на выходе линейного тракта
и требуется получить информацию об исходном сигнале
действующем на его входе, а также об импульсной характери-
стике g(t) самого тракта. Связь между тремя перечисленными
функциями времени определяется сверткой
s(t) =Si(0 *g (О-
Подобная задача возникает при анализе сейсмических про-
цессов, при использовании радиолокационных методов опреде-
ления характеристик среды распространения, при анализе сиг-
налов речи и т. д.
В частности, при разработке электронных синтезаторов речи
под Si (0 подразумевается сигнал, о котором известно лишь, что
его спектральная плотность Si (о) заключена в некоторой поло-
се | о | ^йтаг, а форма АЧХ характеризуется периодической
изрезанностью, однако период пульсации \/Т (на оси частот),
а также амплитуда пульсации подлежат определению. Об им-
пульсной характеристике речевого тракта g(t) известно только,
454
Рис. 16.9
что ее продолжительность мала по сравнению с Т, так что пе-
редаточная функция тракта К(ы) изменяется плавно по срав-
нению с пульсацией S^co).
Результаты обработки сигнала s(t) =Sj (t) *g(t) по схеме на
рис. 16.9 показаны на рис. 16.10.
После фурье-преобразования, определения квадрата модуля
спектра, а также логарифмирования получаются функции
1п5]2(ю) и 1п№((о), примерный вид которых представлен1 на
рис. 16.10,а.
Функции lnS(2((o), изменяющейся с периодом 1/Т, соответ-
ствует кепстр Csi (q) в виде пика на сачтоте Т. Медленному же
изменению функции 1п/С2(со) соответствует кепстр Cg(q) в виде
импульса, расположенного вблизи точки ^=0 (область малого
кепстрального времени на рис. 16.10,6).
Таким образом можно выявить основную частоту 1/Т, а так-
же получить некоторую информацию о форме АЧХ речевого
тракта.
В отличие от рассмотренной выше упрощенной модели со
строго периодической пульсацией спектра S] (со) и с постоянной
(во времени) передаточной функцией К(ы) при обработке ре-
альных сигналов речи приходится иметь дело с «квазипериоди-
ческим» процессом, частота которого изменяется во времени.
То же относится к функции К(<о). Путем усреднения спектров
по большому числу отрезков реализаций, в пределах которых
1 См. сноску на с. 444.
155
функции S(co) и К (со) практически неизменны, удается выявить
средние частоты и параметры тракта, необходимые для синтеза
звуков речи.
Составим теперь выражение для кепстра мощности цифрово-
го сигнала.
Основываясь на выражении (16.17), представим кепстр мощ-
ности дискретного сигнала в форме
С, ]т]	$ In | S (z)|2 zm~'dz	(16.20)
или в эквивалентной форме [см. (12.36)]
Я
С, \т]=— In IS (eto7)l2 cos d («Г).	(16.20')
—я
Вычисление С,(т), как правило, производится с помощью
БПФ. Для осуществления преобразований, эквивалентных алго-
ритму (16.20'), поступим следующим образом. Подвергнем
входной сигнал s(t) дискретному преобразованию Фурье по
формуле (12.14):
,2п
S[n] = 2 И/п]е "т", л=0, 1.........N-1,	(16.21)
т—0
в результате чего получим N спектральных коэффициентов вход-
ной последовательности {s[m]}.
В п. 12.5.2 было показано, что S[/z] совпадает со значе-
i —п
нием S(ez“r) в точке z = e N , лежащей на окружности еди-
ничного радиуса:
/	2г- \
S[«]=S^e zvnJ=ReS[n] + i!ni S [и].
Переходя к модулям |S[n]|2=[ReS[n]]2+[ImS[n]]2 и логариф-
мируя, получаем N чисел вида ln|S(n) |2.
Рнс, 16.11
456
Применив, наконец, ОДПФ
1	&
ln|S[n]|2e "пт, т=0, 1,	(16.22)
л=0
найдем кепстр мощности сигналов.
Алгоритм перечисленных выше преобразований представлен
на рис. 16.11.
Вычисление кепстра мощности дискретного сигнала будет
рассмотрено в следующем параграфе.
16.6.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАДЕРЖКИ СИГНАЛА
В ряде областей техники приходится иметь дело с обработ-
кой сигналов, являющихся суммой исходного (зондирующего)
сигнала и сигнала, отраженного от различных объектов. К та-
ким областям относятся радиолокация, сейсмология, акустика
и др. Сигнал на входе устройства обработки можно представить
в форме
s[m]=sl[m]+asl[/7?—т0], а<1,	(16.23)
где {s][/n]}, т—0, 1, ..., N—1, — дискретизованный зондирую-
щий сигнал, представляющий собой эквидистантную последо-
вательность отсчетов с шагом Т\ ccsifm—/По] — отраженный сиг-
нал, который можно трактовать как задержанную на время
to^moT копию исходного сигнала.
Пусть исходному сигналу {si(m)J соответствует z-преобразо-
вание Si(z). Тогда z-преобразование последовательности
asi[m—mo] будет aSi (z)z-m«, а суммарного сигнала {s(m)}
S (z) = S, (z) + aSj (z) z~m° = S, (z) (1 + az~m‘) =
= S,(z)S2(z).	(16.24)
Из (16.24) следует, что определяемый выражением (16.23)
сигнал s[m] можно трактовать как свертку s[m]= silyn]®s2[m],
где s2[m]— сигнал, z-преобразование которого равно l-J-az'’"».
Таким сигналом является сумма двух дельта-функций (рис.
16.12):
$2 (0 =6 (0 +аб (t—тоТ).
Это обстоятельство имеет фундаментальное значение, так как
показывает, что широкий класс задач в перечисленных ранее
областях, в которых приходится иметь дело с отраженными сиг-
налами, сводится к обработки свернутых сигналов.
Существенно, что множитель S2 (z) = (1 +az~m») в выраже-
нии (16.24), учитывающий задержку отраженного сигнала гп0Т,
457
Рис. 16.12
Тогда
и коэффициент отражения а от
структуры спектра исходного
сигнала не зависят.
Обратимся к (16.24) и, учи-
тывая, что контур интегрирова-
ния в (16.20) совпадает с окруж-
ностью единичного радиуса на
z-плоскости, подставим в множи-
тель (14-az“m«) вместо z пере-
менную eiaT.
| S2 (е'“г)|2 = j 1 4- ae~lb)m«T |2 — (1 -|- ae~lam°r) (1 4- aQiam«r) =
= 1 + а2-}-2а cos (а>т0Т).	(16.25
Таким образом, выражение (16.24) позволяет составить
следующее соотношение:
| S(e^)l2=l^ (е мг)|2[1 4-a2 + 2acos (сода0Г)].	(16.26)
Из (16.26) видно, что наложение задержанной копии
asjm—т0] на исходный сигнал Si(m) создает эффект модуля-
ции спектра энергии ISi (ei“r) |2 по закону l+a24-2acos(comoT).
Глубина модуляции определяется коэффициентом 2a/(14-a2),
а период модуляции равен 2л/т0.
С аналогичным явлением мы встретились в примере преды-
дущего параграфа, где спектр энергии исходного сигнала также
являлся периодической функцией со.
Прологарифмировав выражение (16.26), получим
In I S*(e^)|2=ln I s;(e^)|24-ln [14-a24_2xcjs (co П}Т)]. (16.27)
Примерный вид слагаемых поавэй части показан на рис.
16.13.
Вычислим кепстр мощности по выражению (16.23'), которое
на основании (16.25)— (16.27) можно записать в форме
л	л
Cs[m] = ^ J In | S( (ez“r)|2 cos (щсоГ) d (соГ) 4-^f j)In 11 +
—TX	— TX
4-ae_im°“rl2cos(mcor)J(co7’) = Св1[т]4-С,2[т].	(16.28)
Как видно, информация о задержке t0 содержится в кепстре
Cs2[ni], поэтому вычисление начнем именно с не уточняя
пока структуры сигнала sjm] и кепстра С51[т].
Основываясь на выражении (16.25), получаем
In 114-ae_<mo"r|2=ln(14-ae_4m»“T) 4-In(14-aeim»“T).
458
|ae_im«“r| <1, можно воспользоваться разложением
Так как
ln(l+%) =х—х2/2-}-х3/3— ...
Тогда
1n 11 4-ae-/m*“r |2 = а (e_,'m<>“7' + е/т«иГ) —
дг 3	_	__
*j=2acos (mtftiT)— a2 cos (2/п0о>7')	2 cos (Зт0ыТ)— ...
Подставив этот результат во второе слагаемое в правой
части (16.28), получим
Cs2fm] = a
7Z
2~ ^cos[(/n —/По)«г] J(wr)-|-
7С
+2Г 5cosKm+mo)“rJcf(<,)r)
—п
а*
~2
2~ cos [(т—2т0)	J(g)7)T-
— к

2гГ \ cos [(т Что) со7^] d (ыТ1) -j- . •.
Очевидно, что С^И] отлично от нуля только в точках т=
= т—±2тй и т. д., причем
Cs 2[т0]=С s2[— т0]=а, С si[2m0]=Cs 2[—2m0]=—а2/2,
Cf2[3/n0]=Cf2[—3m0]—а3/3, ...
459
«т
Т ~2/g0
Г
~т0 о т0
Рвд. 16.14
'о
I
Кепстр Cs2 [m] пред-
ставлен на рис. 16.14.
Истинная задержка опре-
деляется по положению пер-
вого пика.
Найденный выше кепстр
Cs2 [ш] наблюдается на фо-
не кепстра Cst [m] исходно-
го сигнала. Для надежного
определения tB требуется
достаточное превышение Cs2 [zn] над Csi [m], а также разне-
сение их на оси кепстрального времени тТ. Важно, чтобы
кепстр Csi [m] концентрировался вблизи начала отсчета кеп-
стрального времени. Кроме того, кепстр Csi [m] должен быть
свободен от ложных пиков. Степень выполнения этих требова-
ний зависит от структуры спектра ЗДсо) исходного сигнала s4(/).
Некоторые соображения по этому вопросу приводятся в сле-
дующем параграфе.
16.7.	ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДЕРЖКИ
СИГНАЛА
Для иллюстрации метода воспользуемся сигналом $1(0 в
виде импульса (рис. 16.15)
Si(t)=Ate-bt, b>0,
Импульс Si(t) достигает своего максимума при bt—l, так
что амплитуда импульса Simoi= (A/b)bte-b,= (A/b)e~l.
Спектральная плотность выбранной функции
S(o)=A/(fe+i«)2.	(16.29)
Имея в виду цифровую обработку, переходим к дискретному
времени t=tnT\ тогда
sx[tn\=ATme~bTm, т—0, 1, ..., N—1,
и максимальное значение отсчета сигнала s\(t) получается при
т=\/ЬТ (см. рис. 16.15, построенный при &=A = l/20r).
Перейдем от спектральной плотности (16.29) к z-преобразо-
ванию
N-1	N-\
S1 (е№7') = дг 2 те.~ЬТтеГ1ь>Тт = АТ 2	(16.30)
m—о	m=0
Получилась арифметико-геометрическая прогрессия.
Шаг дискретизации Т зададим из условия, чтобы на дли-
тельность импульса приходилось достаточно большое число
отсчетов N, а постоянную b — из условия Ne-bKT<^l. При этом
460
верхний предел суммирования N—1 в выражении (16.30) мож-
но заменить на оо, что приводит к простому результату
St (eieT) =Л7’е-',те-“7(1—е-^е-'^)2.	(16.31)
Модуль полученной функции
Is»
(16.31')
1пГ81(е‘“г)|2=1п (ЛГ)2—2^—2111(1—2е-ьг cos© 7’+е-2ьг).
Применив к этому выражению формулу (16.20'). получим1:
при /п—0
С41 [0] = In (AT)2-2bT — 2-^ jj In (1 — 2e-6rcos со Г +
о
+ е~26Г) d (соГ) = In (АГ)2;
при /га=И=0
Cjil/n]= -2-^- 1п (1 — 2e_ftrcoscor -^er2bT)c.os(m^T)d{wT)==
о
31 Q-2bmT
m
a-2bmT^
tn
Вычислим Csl[m] для следующего частотного случая: ти=
=5 кмс, М== 128, 7’=ти/М«4О нс, е~ь‘ = 0,95, ЬТ^ 0,05, Ь=
= 1,25-10б.
Кепстр Csi[m] представлен на рис. 16.16. На том же рисунке
показан кепстр Cs2[m], соответствующий коэффициенту а=0,8
и задержке t0—m0T при то=5. Как видно из этого рисунка,
1 См. [5], формулы (4.224.14), (4.397.6).
461
кепстр Сг1[т] концентрируется вблизи точки т=0 и монотонно
убывает с возрастанием т. При /0>57’ обеспечивается сущест-
венное превышение Cs2[m] над C.J/n], что открывает возмож-
ность измерения весьма малых задержек даже при наличии
помех. В данном примере минимальная измеряемая задержка
to составляет всего ~5% от длительности импульса.
Для реализации такого же разрешения путем укорочения
зондирующего импульса его длительность должна быть не
больше ~0,25 мкс.
Сопоставим полученный результат с тем, который можно
получить с помощью метода корреляционной функции. Заме-
тим, что структурная схема, показанная на рис. 16.11, отлича-
ется от схемы для определения корреляционной функции только
наличием операции логарифмирования. Определим корреляци-
онную функцию сигнала s[m]=s1[m]-|-as1[m—т0] выражением
В Jт] = J | S (е'^) |2 cos (m^T)d (юГ).
—ГС
С помощью процедуры, использованной при выводе выра-
жений (16.25) — (16.28), нетрудно прийти к следующему ре-
зультату:
В ,[m]= (1 +а2) Bsl[m]+aBel[m—m0]+aBtl[m+m0],
Даже при а—►! и отсутствии помехи определение задержки
по функции В,(т) возможно лишь при задержках t0, не мень-
ших чем ~ти/2. Этот результат иллюстрирует эффект, обус-
ловленный введением операции логарифмирования перед пре-
образованием Фурье.
Итак, кепстральная обработка позволяет существенно об-
легчить определение задержки. Однако этот выигрыш достига-
ется весьма дорогой ценой. Требуется применение широкопо-
лосного тракта обработки с очень низким уровнем шумов, по-
скольку уровень спектральной плотности полезного сигнала в
центральной части диапазона 0,1/Т чрезвычайно низок.
Так, при <оГ=0
|S,(Лгу	(1632)
а на частоте ыТ = л
|S, (е'п) |2 = (W ([	(16.33)
Отношение | S, (e/7t) |2/| S] (е/0) |2 при £>Г = 0,05 уменьшается
до (0,05/2)4^4.10~7->(—64 дБ).
Задача существенно облегчается при использовании сигна-
лов, спектр которых убывает пропорционально 1/<в [а не 1/(о2>
как в (16.29)].
462
16.8.	ВЛИЯНИЕ ПОМЕХ
Кепстральная обработка, основанная на логарифмической
нелинейности, весьма чувствительна к воздействию помех. Для
оценки допустимого уровня помехи рассмотрим следующую
модель: входной сигнал s(i), длительность которого Тс и
спектральная плотность S(w) известны, действует на фоне по-
мехи х(0, являющейся стационарным случайным процессом с
заданной спектральной плотностью мощности 1Гх(со).
Отношение сигнал-помеха на входе устройства определим
как отношение соответствующих энергий:
сигнала
ОО
^ = 2^ $	(16.34)
—оо
помехи
оо
3x=Tcox2 = Tc^ Wx(u)du,	(16.35)
—оо
где ох2—средняя мощность помехи, которая действует на от-
резке времени Тс, совпадающем с длительностью обрабатывае-
мого сигнала s(t).
Из последнего выражения видно, что величина Т'сТС'Дсо)
имеет смысл спектральной плотности энергии рассматриваемой
помехи. Учитывая, что S2(o) есть спектральная плотность энер-
гии сигнала, введем функцию
т] (со) = 52(со)/Гс^х(<о),	(16.36)
характеризующую соотношение спектральных плотностей энер-
гии сигнала s(t) и помехи x(t) на входе устройства.
Для упрощения анализа положим 1^х (со) = 1^0=const (бе-
лый шум). В реальных устройствах обработки сигнала, как
правило, предусматривается предварительная линейная фильт-
рация для режекции помехи на частотах, превышающих наи-
высшую частоту спектра сигнала. Пусть спектр S(co) заключен
в полосе —'ДтС/С'/гт, где Т — шаг дискретизации сигнала
s(t). Тогда полосу прозрачности фильтра можно приравнять
\/Т, а мощность помехи в указательной полосе cx2=Wo/T-, при
этом (16.36) принимает вид
nC®) Tf,Wo тсТихг’	(16.37)
Дискретизация сигнала и помехи является линейной опера-
цией, и отношение т] (со) остается неизменным. Разделив числи-
тель и знаменатель в (16.37) на Т2, получим
(со)/Г=  IS г (<о) |2
р
463
где N=TJT— число отсчетов сигнала s(/); Sr(to)/T — спект-
ральная плотность дискретизованного сигнала. Если T<'l2fm и
парциальные спектры не перекрываются, то ST(co) совпадает с
^-преобразованием S(z).
В дальнейшем исходим из выражения
| S (е<шГ) |г
	(16-38)
Следует, однако, иметь в виду, что определение квадрата
модуля функции S(z) является нелинейной операцией и необ-
ходимо учитывать взаимодействие сигнала и помехи.
Обратимся к структурной схеме на рис. 16.11 и допустим,
что на полезный сигнал s(t) накладывается (аддитивно) по-
меха x(t). После дискретизации смеси s(t) +х(Ц и осуществле-
ния дискретного преобразования Фурье (на выходе БПФ) по-
лучим совокупность спектральных коэффициентов Y[n]=
= S[n]+X[n], n=0, 1,..., N—1, где X[n] — случайная величина.
Представление Yl/i] в виде действительной и мнимой час-
тей, их квадрирование и дальнейшие преобразования имеют
смысл при условии, что IS [/г] |2>|Х[/г]|2 при любом п. Иными
словами, во всем спектре частот —1/2т</<*/2т спектральная
плотность энергии сигнала должна быть велика по сравнению
с величиной No2.
Исследования показывают, что при выполнении условия
шштЦсо) =т](<о=л/7') >10
погрешность определения кепстра, обусловленная квадриро-
ванием функции S(z), а также логарифмированием функции
(S | (z) |2, приемлема. Однако обеспечение приведенного условия
связано со значительными трудностями, особенно при исполь-
зовании сигналов со спектром, очень быстро убывающим на
хвостах.
Проиллюстрируем это на примере сигнала (/) из преды-
дущего параграфа, где под помехой подразумевается шум
квантования в АЦП.
Основываясь на выражении (16.31'), получаем
(АТе~ьту	1
(I—2е 6rcoswr + e 2ьту №з2х
Целесообразно выразить т](со) через отношение полных
энергий сигнала и помехи на входе логарифмической нелиней-
ности:
3, = J (0 dt=A t2e~2bidt=
о	о
3x = ^xTc = ax2NT-,
9S _ А2 1	(АТ)2
Эх 4b‘ a2xNT 4 (ЬТУ^Х ’
464
, x - 4(ЬТУе~-ьт 9S
11	(1— 2e“*r cos £07 + е-2йг)2 эх
Потребуем, чтобы в точке а>Т=л, в которой спектральная
плотность минимальна, выполнялось условие т]((о) = 10. При
{>7=0,05 это условие приводит к равенству
ю 4 (0,05)’0,9 Э*
1	(1+0.95)4 Эх
или
Э7Эх«3,1105- (55 дБ).
Реализация устройства кепстральной обработки при столь
жестком требовании 3S/9X является сложной проблемой. Для
ее упрощения целесообразно, как уже отмечалось, применять
сигналы со спектром, убывающим медленнее, чем в рассмот-
ренном примере. Но при этом следует помнить, что при неиз-
менном шаге дискретизации Т снижение скорости убывания
спектра приводит к ошибкам измерения из-за перекрытия спек-
тров на участке вблизи точки а>Г=л.
16.9.	КОМПЛЕКСНЫЙ КЕПСТР
В задачах, требующих не только определения задержки и
относительного уровня отраженного сигнала, но и выявления
формы сигналов, необходимо учитывать их фазовые характе-
ристики. Поэтому при определении кепстра следует исходить
из комплексной спектральной плотности сигнала, а не только
из ее модуля [как в выражениях (16.20) —(16.28)].
Комплексный кепстр континуального сигнала s(() определя-
ется выражением
Сл(?) = 2К $ lnS(to) e'^Jo),
— оо
а дискретного сигнала s[/?z] — в виде
= i § In$(2)zm~xdz,
или эквивалентной ему форме
Я
СДт] = ± Jln§(e'“r)e,fflmrrZ(«7').
—TZ
(16.39)
(16.40)
(16.41)
Преобразования сигнала s(t), приводящие к С, (q), пред-
ставлены на рис. 16.7, а; аналогичные преобразования дискрет-
ного сигнала s[m] — на рис. 16.7,6.
Отмеченное в § 16.5 требование сходимости интеграла в вы-
ражении (16.9) относится также к определению комплексного
30—3305
465
кепстра. Главной же особенностью комплексного кепстра
является его зависимость от неоднозначного аргу-
мента комплексного логарифма, так как el0s^'>—eies<-a'>+iK2n, где
k — любое целое число.
Этот вопрос рассматривается в § 16.10. Можно, однако, при-
вести большое число сигналов, для которых указанных затруд-
нений не существует. Это особенно относится к дискретным по-
следовательностям, а также к сигналам, выраженным через
дельта-функцию.
Например, для основного испытательного сигнала s(f)=6(f)
очевидны следующие равенства:
S(w) = l, lnS(co)=O, С,(<7) = 0.	(16.42)
Таким образом, кепстр С, (9) дельта-функции б (/) равен ну-
лю. В данном случае кепстральное преобразование полностью
подавляет дельта-функцию.
Кепстр той же функции, взятой с весом а, т. е. при s(t) =
=a&(t), tz>0,
S((o)=a, lnS((o)=lna
и
оо
С,(<?)=2^ § In яе'“?б?о = 1пб(<7).	(16.43)
—оо
Весовой коэффициент In а и при отрицателен, при а>1
положителен.
Пусть сигнал S(t) задан в виде последовательности
оо
zo>°-
л=-0
Тогда
оо
s(“)=2ae~"”4
И—0
оо
а с учетом соотношения ^лл/Л! = ех
А=0
S (о>) = ехр (е_'ш,«), In S (ci)) = e~,“<«,
оо
Cs(q) = ~	е_/“<0-е'“’б?о = 6 (<у —/0).	(16.44)
Кепстр рассматриваемого сигнала s(t) содержит всего один
импульс 6(9—to), задержанный (на оси q) на время to.
Приведем еще пример континуального сигнала вида
s(t) = l/nt, —co</<cof
466
для которого спектральная плотность
оо	~ со	оо
С / \	1 с 1	1 С cos cot ,,	. С sin (Of
S (co) =— \-re /<o<aco=— \ —— at —i\—-— at —
' ’ л J t	njt	J t
—oo	L — oo	—oo
_( — i при co > 0,
\-\-i п£и co<0
(cm. § 3.9).
Учитывая, что + i = eT/’^2 и In (eT/7t^2) = + сл/2, получаем
In S (о)-I-“/2 "P" “>«•
' ' (-|- т/2 при co<O.
Таким образом, InS(co) отличается от S(co) только коэффи-
циентом л/2, из чего следует, что кепстр рассматриваемого сиг-
нала s(J) = l/nt
Р I _ Л 1
W 2 nq~~2q'
В данном примере кепстральное преобразование не изме-
няет форму функции.
Приведем еще пример сигнала вида
$(/)=а/л(а2+/2),
для которого спектральная плотность S (со) =е~“|“| и lnS(co) =
=—а | со |.
Запишем это выражение в следующей эквивалентной форме:
1п5(м)=(-“<7«‘“ "Р” “>“
' ’	( — cz( + f) (fco) при со<1>.
От предыдущего примера InS(co) отличается множителем /со,
соответствующим операции дифференцирования, а также заме-
ной л/2 на а; следовательно, обратное преобразование Фурье,
определяющее кепстр, дает
Cs (q) = - а (1 /л9) = а/ nq2.
16.10.	О НЕОДНОЗНАЧНОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФАЗОЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СПЕКТРА СИГНАЛА
Основной операцией при определении кепстра является ло-
гарифмирование спектральной плотности входного сигнала.
В случае кепстра мощности задача ограничивается логарифми-
рованием модуля S(co) и вопрос об аргументе, т. е. о ФЧХ; не
возникает. В случае же комплексного кепстра приходится иметь
30*
467
дело с комплексным логарифмом InS(со) = ln[S(®)e'es(td)J, который
следует записывать в общей форме
lnS(<o) = lnS(o>) +i0s(o)) = lnS(co) +
+ ф65гл (co) + K‘ 2л].	(16.45)
Здесь 0ягл(со)—главное значение аргумента, определяемое
«по модулю 2л», т. е. с отбрасыванием целого числа 2л, так что
16,гл | <л.
Возникает неоднозначность определения ФЧХ, которая осо-
бенно проявляется при измерении фазы колебания. Известно,
что измерение фазы основано на сравнении ее с фазой опорно-
го колебания. Но «разность фаз» однозначно можно определить
только в пределах ±180°, хотя истинная разность фаз может при
этом достигать сотен и даже тысяч радиан (например, в спектре
ЛЧМ сигнала).
Проблема неоднозначности определения ФЧХ особенно ак-
туальна при обработке дискретных сигналов.
Неоднозначность можно устранить с помощью специальной
обработки, основанной на предположении о непрерывности
функции 0, (со) в спектрах реальных сигналов. Действительно, в
любой физической цепи, используемой для формирования сиг-
нала, имеет место задержка во времени. Величина задержки
сигнала, обусловленной полосой частот в окрестности фиксиро-
ванной частоты оо, так называемая групповая задержка, опре-
деляется производной функции 0„(<в) в указанной окрестности.
Поскольку величина задержки всегда конечна, очевидно, что
функция 0,(<в) не может иметь разрывов непрерывности и, сле-
довательно, производная функция lnS(<o) по частоте
In S (со)=(16.46)
da ' ' S (<о) dto	'	'
ограничена при любых частотах 0<со<со.
Зададим значение функции 0,(<в) на какой-либо фиксирован-
ной частоте. Из-за нечетности функции 0,(со) целесообразно
положить 0,(0) =0. Кроме того, пронормируем АЧХ, положив
3(0) = 1, так что lnS(0)=0.
Тогда, основываясь на выражении (16.46), представим
lnS(o>) в виде интеграла
lnS(‘M s'») “У	<16.47)
о
Определенная таким образом функция InS(co) является од-
нозначной.
Применим аналогичное рассуждение к дискретному сигналу
{s[m]}. Вместо спектральной плотности S(o>) введем в рассмот-
рение z-преобразование S(z).
468
Логарифмическая производная по аналогии с (16.46)
— lnS(z) = ——^l£L=Y'(z),	(16.48)
dz ' ’ S(z) dz v	'
где Y(z)=lnS(z), а штрих обозначает производную no z.
Функцию рассматриваемую как z-преобразование, можно за-
писать в виде ряда
Y(z) = lnS(z)= 2 y[m]z~m.	(16.49)
т=— оо
Заметим, что, применив к последнему выражению обрат-
ное z-преобразование (16.40), получим у[т], которое есть не что
иное, как искомый кепстр (комплексный). Однако предвари-
тельно необходимо устранить неоднозначность комплексного
логарифма InS(z). С этой целью продифференцируем (16.49) и
приравняем Y(z) выражению (16.48):
оо
Y'(z)= 2 {-m-ylm]}z^-1 = S/(z)/S(z).
/7Z=—оо
Домножив Y'(z) на z, получим
со
zN'(z) = 2 {~my[m]}z^m=zS'(z)/S(z).
Входящий в это выражение ряд по отрицательным степе-
ням z представляет собой z-преобразование последовательности
(—ту[т]}, поэтому с помощью (16.40) получаем
— ту [т][zS' (z)/S (z)] zm^dz
с
и окончательно
у[т] =	[S'(z)/S(z)]z-dz.	(16.50)
с
Найденное таким образом значение у[т] можно обозначить
символом Cs[m] аналогично выражению (16.40).
Приведенные рассуждения справедливы при условии, что
окружность единичного радиуса на z-плоскости входит в об-
ласть сходимости функции InS(z). Заменив контур интегриро-
вания С на |z| = l, 'перепишем (16.50) в форме
те
у[т]=—2~ J [S'(ei“7)/S(ei“r)]ei“H«+i)£f(tl)r) =
—те
— СД/гс] при да>1.	(16.51)
469
Итак, комплексный кепстр найден без обращения к логариф-
му и, следовательно, однозначно.
При т=0 значение кепстра можно определить непосредст-
венно из (16.41):
Cs[0]=y[0] = A- $ In S (е/шГ) d (о>Г) =
—К
7Z
= 2^ $ 1,п IS (е'°'г) | + г arg S (е'“г)] d («7).
—7Г
В данном случае неоднозначность логарифма не проявляет-
ся поскольку argS(/'w7')—нечетная функция частоты и
СЛ°1=ЙГ $ 1n|S(e/"r)|duT.	(16.51')
—Tt
Наряду с описанным методом, основанным на логарифми-
ческой производной, широко распространен метод прямого вы-
числения комплексного лографма с помощью БПФ. При этом
используются соотношения
A'—I	N—1
lnS(n)e'^/M-=^ 2{lnS(co) +
л=0	/1=0
+ i[0ir4«) + £.2n]}e/(2"/'v)'!m, w = 0, 1,	— 1.
Главное значение аргумента 05Гл(<в) вычисляется на ЭВМ
непосредственно с помощью стандартной программы. Это глав-
ное значение фазы затем «разворачивается» так, чтобы получи-
лись отсчеты из непрерывной ФЧХ спектра сигнала. Непрерыв-
ная ФЧХ 0s(co) и отсчеты 05(пД(о) показаны на рис. 16.17, а,
а главное значение 0s™ (со) — на рис. 16.17, б.
В пределах одного интервала Дсо набег фазы значительно
меньше л. На частотах (о=пДсо, где скачок 0s(со) превышает
4-я, для восстановления истинного аргумента требуется доба-
вить —2л; соответственно при скачке —л требуется добавить
+2л. На рис. 16.17, в изображена корректирующая последова-
тельность, добавляемая к последовательности 05гл(н).
В заключение рассмотрим важный для практики случай
входной последовательности {s[m]}, m^O, когда z-преобразова-
ние (одностороннее) определяется выражением
оо
S(z) = 2 s[rn]z~m,	(16.52)
т—0
причем полюсы и нули функции S(z) расположены внутри еди-
ничной окружности, т. е. радиус сходимости ряда (16.52) г0<1.
Подобные последовательности называются минималь-
470
Рис. 16.17
н о - ф аз овы ми, по аналогии с системами, передаточная
функция которых K(z) имеет особые точки (полюсы и нули)
внутри круга lzl = l (см. § 15.7).
Таким образом, модуль и аргумент z-преобразования мини-
мально-фазовой последовательности однозначно связаны, а
комплексный логарифм
In S (e‘“r) =ln IS (е‘"г) I ~H’0s (®)
обладает тем свойством, что его действительная и мнимая ча-
сти образуют пару преобразований Гильберта. В этом случае
комплексный кепстр можно вычислять по формуле
7Z
СДт) = (/(/«)=2 2^ J ^^(e'^IcQS^oDd^O.
—Л
которая отличается от (16.20') только степенью | S(е1ЮТ) | в
аргументе логарифма.
Из последнего выражения видно, что комплексный кепстр
минимально-фазового сигнала slm] равен кепстру мощности
Cs(m) того же сигнала, и для его получения можно воспользо-
ваться схемой, представленной на рис. 16.11.
Простейшим примером минимально-фазового сигнала яв-
ляется s(/)=e“a/, />0, с z-преобразованием S(e/“r)==
= 1/(1—е-аТе1аГ), имеющим нуль zo=O и полюс 2п=е_аг<1
[см. (12.22)].
Сигнал s(t)=‘Ate~bt, рассмотренный в § 16.7, является дру-
гим примером минимально-фазового сигнала.
471
16.11.	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА
КЕПСТРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
По аналогии с теоремами о спектрах, изложенными в
§ 2.5, рассмотрим связь между некоторыми преобразованиями
исходного сигнала s (/) и преобразованиями кепстра.
Установление этих связей представляет интерес в основном
применительно к комплексным кепстрам.
16.11.1.	СДВИГ СИГНАЛА ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
Пусть исходному сигналу s}(t) со спектральной плотностью
S1(co) соответствует кепстр Csl(^). При задержке сигнала на
t0 получим функцию времени s2(t)=Si(t—t0) со спектральной
плотностью S2((o)=e_i“<°S1((o), логарифм которой
In S2(<o) =—i(ato~I-In Si(co).
Второму слагаемому соответствует кепстр Cj(^) исходного
сигнала а первое слагаемое в соответствии с (16.39) при-
водит к следующему кепстру:
оо
С<0(^)= —icoeWco.	(16.53)
Учитывая, что функции &(q) соответствует спектральная
плотность, равная единице, множитель ico можно рассматри-
вать как спектральную плотность функции б(?). Тогда
(16.53) определяет функцию 6(?) и, следовательно,
С<0(9)=_^Аб(9).	(16.54)
Таким образом, кепстр сигнала s2(t) = sx (t — t0)
C,2 (<?) = - to± 6 (g) + CS1 (g).	(16.55)
Из сопоставления (16.55) и (16.54) вытекает, что кепстр
смещенной дельта-функции б(/—10) равен —10 £>(<?). Опери-
рование производной дельта-функции затруднительно, однако
при обработке сигнала можно исключить участок кепстраль-
ного времени в окрестности точки q=0.
Рассмотрим соотношение между Cs2[m] и Csl[m] для цифро-
вого сигнала s2[m]=s1[m—tnQ],
Основываясь на методе z-преобразования, получаем
S2 (е/<оГ) —	(е'“г),
In S2 (е'“г) = — imo^T -J-In S\ (e1“»7')«
472
Применяя к этому выражению обратное z-преобразование
по формуле (12.36), получаем
С*2[т]=-1т0~ 5 ^T&lmaTd^T) + Csi [т].
—тс
где Са1[/п]— кепстр сигнала sjm], а
ТС
czol"i]= — ^0 2^ $ X^lmxdx.
—ТС
При /п=0 интеграл обращается в нуль, так что
С<0[0]=0.
При т^О
я	тс	тс
xetmxdx— х cos (тх) dx-\- i х sin (тх) dx=
—Я	— п	—тс
sin (тл)-^ cos (/пл) = _2. 2LCOS (	}
т2	т '	'
И
Си|И1--^-[-2^С05(тл)] = ^(-1)-.
Таким образом, при /п=/=0
Ci2[/n] = ^(-ir-> + Csl \т\.
Как видим, в случае цифрового сигнала кепстр CS2[«] за-
держанного сигнала отличается от Csjlm] лишь знакоперемен-
ным сигналом — (—1)т-1, убывающим с возрастанием т; в
точке ш=0 С<о[О]=О и дельта-функция не возникает.
16.11.2.	ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ
Пусть s2(0=si(n0> л>0-
В соответствии с п. 2.5.4
S2 (to) = -i- S] (co/n), in S2 (co) = — In (n) -|- In Sj (co//z).
Кепстр сигнала s2(0
Csa(^)= — ln(n)^ ewc?to-|-^ InS, (<o/n)e/“?dco=
= — In (n) 6 (q) + nCsi (nq).
473
Изменение масштаба времени t приводит к такому же из-
менению масштаба кепстрального времени q; кроме того, воз-
никает функция б (<?).
При дискретизованном сигнале изменение масштаба време-
ни означает изменение шага Т при неизменном числе отсчетов
N (что необходимо для сохранения формы сигнала).
Положим 7’2”=п7'1, п>0, и запишем выражение (12.20) для
^-преобразования сигнала s2(f)
N—l	N— 1
S2(eiMr)= 2 s2 [/и] e“to7,« =
m=0	m—0
При сжатии или растяжении исходного сигнала отсчеты
функции si(t) сохраняют свое значение (при W=const).
Таким образом,
N—1
S2(e/“r)=	[m]e-/(""’r> = S1(eto"r0
m=0
и кепстр
л
С52[/п] = 2^ 1п81(е",“>7'‘)со5(тпсоГ1)й?(пюГ1).
—7U
Переход от шага дискретизации 7\ к Т2=пТ’1 не изменяет
структуру кепстра. Изменяется лишь диапазон частот to, соот-
ветствующий одному обходу окружности единичного радиуса
на z-плоскости (от —л/Тъ л/Тх до —л/пТь л1пТ\). Соответ-
ственно изменяется и масштаб кепстрального времени; интер-
валы между отсчетами кепстра на оси q будут 7’2=n7’i.
16.11.3.	СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА
Применим преобразование Фурье к произведению
a(t) = s (t) е/й><
где s(t)—«медленная» (модулирующая) функция со спект-
ральной плотностью S (со); е'“«'—несущее колебание.
Повторяя рассуждения, приведенные в п. 2.5.5, приходим
к спектру
оо
Se(®) =	s(^)e1“«<e_|“W = S(to —соо).
—оо
Тогда
1П Sa((«>)=ln S(®—®0)
474
и кепстр сигнала a(t)
Ca(q)=^ In S(o) —соо) elw9rfto.
—оо
Перейдя к новой переменной Q=co—«0> получим
Са(?)=2^ 5 In S(fi) eZfi9cZQe'“o9= С5 (^) е/ю«?,
— оо
где Cj(<7) — кепстр исходного сигнала s(t).
Итак, для определения кепстра Са(<?) модулированного ко-
лебания a(t) достаточно умножить кепстр Cs(q) модулирующей
функции на е,в§*. В этом смысле эффект модуляции — домноже-
ние сигнала на несущее колебание — проявляется одинаково
для a(t) и Со(?).
16.11.4.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
СИГНАЛА
Сигналу s	соответствует спектральная плот-
ность S(со) = icoSj (и) и логарифм
In S (со) = In (ico) -}-ln Si (со).
Поэтому
оо
СЛ?) = 2Н $ ,n(M е'“9dq 4-Ся (?)=Сдиф(?) + Сл1 (q).
—оо
При дифференцировании сигнала Si(t) к кепстру CSI(?) до-
бавляется кепстр СДиф(<7), который запишем в форме
Сдиф(<7)=2^ $ Рйг] е'“^-
—со
Спектральной плотности (lnico)/ia> соответствует оригинал
— (Y4-ln q)u(q), где y = 0,577... — постоянная Эйлера;
u(q)—единичный скачок в момент 9=0, а произве-
Г1п(До)'|
дению to I f(d соответствует производная
— [to + In ?)«(?)]= — [(ч + ^ ?) б (?) +	«(?) ] = Сдиф (?)•
Таким образом,
(?) = — [(7 + In q) б (?) + у и (q) ] + CS1 (q).
При интегрировании сигнала получается аналогичный ре-
зультат, изменяется лишь знак перед СДИф (?),
475
Отметим, что дополнительный кепстр, обусловленный диф-
ференцированием или интегрированием, не зависит от исход-
ного сигнала
16.11.5.	СЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ
По заданным сигналам s2(Z) и их кепстрам Csl(q),
Cs2(g) невозможно составить общее выражение для кепстра
суммы s(t) =S] (f)+s2(0- Необходимо предварительно вычис-
лить результирующую спектральную плотность S(a)) = S1(w)-J-
-bS2(co). Исключением является случай, когда s,(/) и s2(f)
полностью совпадают по форме и отличаются лишь значениями
и положением во времени, вследствие чего их сумма s(t) мо-
жет быть представлена в виде свертки. Этот случай был рас-
смотрен в § 16.6.
16.11.6.	ПРОИЗВЕДЕНИЕ СИГНАЛОВ
Для нахождения кепстра сигнала s(t)=sx(t) s2(t) требует-
ся знание свертки их спектров S^co) и S2(co), поэтому устано-
вить прямую связь между Csl(<7), Cs2(?) и кепстром Cs(<7) не
представляется возможным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Френке Л. Теория сигналов: Пер. с англ. / Под ред. Д. Е. Бакмана.—
М.: Сов. радио, 1974.
2.	Сиберт У. М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. Пер. с англ. Э. Я. Настро-
ив, Л. А. Шпирта / Под ред. И. С. Рыжака.— М.: Мир, 1988.— Ч. 1—2.
3.	Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для ву-
зов.— 4-е изд., перераб. и доп.— М.: Радио и связь, 1986.
4.	Янке Е. К., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: Пер. с англ. / Под
ред. Л. И. Седова.— М.: Наука, 1968.
5.	Градштейи И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений.— М.: ГИФМЛ, 1963.
6.	Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники: Кн. 1.
— М.: Сов. радио, 1974.
7.	Тихонов В. И. Статистическая радиотехника.— М.: Радио и связь, 1982.
8.	Вайнштейн Л. А., Вакман Д. Е. Разделение частот в теории колебаний
и волн.— М.: Наука, 1983.
9.	Белакришнан А. В. Теория фильтрации Калмаиа: Пер. с англ.— М.; Мир,
1988.
10.	Тихонов В. И., Бакаев Ю. Н. Статистическая теория радиотехнических
устоойств.— М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1978.
11.	Рабииер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигна-
лов: Пер. с англ. / Под ред. Ю. И. Александрова.— М.: Мир, 1978-
12.	Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов: Пер. с
англ. / Под ред. С. Я. Шаца.— М.: Связь, 1979.
13.	Хармут X. Ф. Теория секвентиого анализа; Пер. с аигл. / Под ред.
Л. М. Сороко.— М.: Мир, 1980.
1.4.	Вакман Д. Е., Седлецкий Р. М. Вопросы синтеза радиолокационных сиг-
налов.— М.: Сов. радио, 1973.
15.	Papoulis A. Signal Analysis.— Me. Graw-НШ, 1977.
476
16.	Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем: Пер. с аигл.— М.: Наука,
1970
17.	Марпл С. Л.-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер.
с англ. О. И. Хабарова, Г. А. Сидоровой / Под ред. И. С. Рыжака.—
М.: Мир, 1990.
18.	Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне случайных
помех.—! М.: Сов. радио, 1960
19.	Giordano A., Hsu F. Least Squoro Estimation with Applications to Digi-
tal Signal Processing.'— Wiliams and Sun, 1985.
20.	Адаптивные фильтры: Пер. с англ. / Под ред. С. М. Ряковского.— М.:
Мир, 1988.
21.	Трахтман А. М. Введение в обобщенную спектральную теорию.— М.:
Сов. радио, 1972.
22.	Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов.— М.:
Радио и связь, 1986.
23.	Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи: Учеб, пособие для
вузов / Г. Г. Галустов, И. С. Гоноровский, М. П. Демин и др.; Под ред.
И. С. Гоноровского.— М.: Радио и связь, 1989.
24.	Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб, для вузов.—
2-е изд., перераб. и доп.— М.: Высш, шк., 1988.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................... 3
Глава 1. Задачи анализа и обработки радиосигналов ....	4
1.1.	Узкополосный радиосигнал. Цель обработки....................
1.2.	Преобразование сигналов в радиотехнических системах ...	5
1.3.	Обработка непрерывных и дискретных сигналов.................... 6
1.4.	Некоторые проблемы обработки радиосигналов ....	8
Глава 2. Характеристики детерминированных сигналов ....	9
2.1.	Представление произвольного сигнала в виде суммы элементарных
колебаний .......................................................... 9
2.2	Гармонический анализ периодических сигналов.....................13
2.3.	Спектры простейших периодических сигналов .	............ 17
2.4.	Гармонический анализ непериодических сигналов..................22
2.5.	Основные свойства преобразования Фурье .	.	....	26
2.6.	Примеры математических моделей сигналов........................32
2.7.	Некоторые свойства дельта-функций	...............36
2.8.	Соотношение между длительностью сигнала и шириной его спект-
ра. Скорость убывания спектра.......................................39
2.9.	Представление сигналов на плоскости	комплексной переменной .	44
2.10.	Спектры некоторых неинтегрируемых функций.....................49
2.11.	Представление сигналов с ограниченной полосой частот в виде
ряда Котельникова...................................................56
2.12.	Теорема отсчетов в частотной области..........................59
2.13.	Дискретизованные сигналы ....	 60
2.14.	Корреляционный анализ детерминированных сигналов ...	65
Глава 3. Модулированные колебания...................................71
3.1.	Основные определения .	 71
3.2.	Радиосигналы с амплитудной модуляцией..........................73
3.3.	Спектр амплитудно-модулированного колебания....................75
3.4	Угловая модуляция. Фаза и мгновенная частота колебания .	.	79
3.5.	Спектр колебания при угловой модуляции. Общие соотношения	83
3.6.	Спектр колебания при гармонической угловой модуляции .	.	84
3.7.	Спектр радиоимпульса с частотно-модулированным заполнением	90
3.8.	Спектр колебания при амплитудно-частотной модуляции ...	92
3.9.	Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала ....	95
3.10.	Аналитический сигнал.........................................101
3.11.	Корреляционная функция модулированного колебания .	107
Глава 4. Основные характеристики случайных сигналов .	.	.	109
4.1	Общие определения..............................................109
4.2.	Виды случайных процессов. Примеры.............................114
4.3.	Спектральная плотность мощности случайного процесса .	.	.	121
4.4.	Соотношение между спектральной плотностью и ковариационной
функцией случайного процесса ..................................... 123
4.5.	Взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная
плотность двух случайных процессов.................................127
4.6.	Узкополосный случайный процесс................................130
4.7.	Комплексный случайный процесс.................................138
478
Глава 5. Преобразование аналоговых сигналов в линейных цепях с
постоянными параметрами........................................141
5.1.	Вводные замечания. Активные четырехполюсники..................141
5.2.	Спектральный метод анализа прохождения сигнала через линей-
ные цепи..........................................................146
5.3.	Метод интеграла	наложения.....................................148
5.4.	Сопоставление спектрального метода и метода интеграла нало-
жения .	.	 ..........................................150
5.5.	Активные линейные цепи с отрицательной обратной связью .	152
5.6.	Устойчивость линейных активных цепей с обратной связью. Алгеб-
раический критерий устойчивости...................................156
5.7.	Частотные критерии устойчивости...............................159
5.8.	Использование отрицательной обратной связи при дифференциро-
вании и интегрировании сигналов...................................163
Глава 6. Воздействие радиосигналов на избирательные цепи .	.	168
6.1.	Вводные замечания.............................................168
6.2.	Определение огибающей сигнала на выходе узкополосной цепи 169
6.3.	Прохождение радиоимпульса через резонансный усилитель .	172
6.4.	Линейные искажения амплитудно-модулированного колебания в
резонансном усилителе.............................................177
6.5.	Прохождение фазоманипулированного колебания через резонанс-
ную цепь......................................................... 181
6.6.	Прохождение частотно-манипулированного колебания через изби-
рательную цепь....................................................183
6.7.	Прохождение частотночмодулированного колебания через избира-
тельные цепи......................................................186
Глава 7. Прохождение случайных сигналов через линейные цепи с
постоянными параметрами........................................190
7.1.	Преобразование характеристик случайного процесса в линейных
цепях...........................................................  190
7.2.	Спектральная плотность мощности и корреляционная функция слу-
чайного процесса на выходе цепи.................................. 191
7.3.	Характеристики собственных шумов в	радиоэлектронных цепях	192
7.4.	Дифференцирование случайной функции...........................199
7.5.	Интегрирование случайной функции..............................202
7.6.	Параметры распределения случайного процесса на выходе линей-
ной цепи. Характеристическая функция..............................204
7.7.	Нормализация случайных процессов в узкополосных линейных це-
пях ...............................................................208
Глава 8. Преобразование детерминированных сигналов в системах с
нелинейными резистивными элементами.............................211
8.1.	Аппроксимация вольт-амперных характеристик нелинейных элемен-
тов .............................................................. 211
8.2.	Воздействие узкополосного радиосигнала на безынерционный не-
линейный элемент...................................................214
8.3.	Воздействие бигармонического сигнала на нелинейный резистивный
элемент............................................................219
8.4.	Нелинейное резонансное усиление...............................221
8.5.	Реализация амплитудной модуляции............................. 225
8.6.	Умножение частоты............................................ 226
8.7.	Амплитудное ограничение ....	 227
8.8.	Амплитудное детектирование....................................231
8.9.	Частотное и фазовое детектирование............................237
8.10.	Преобразование частоты сигнала...............................240
8.11.	Синхронное детектирование....................................242
479
Глава 9. Преобразование детерминированных сигналов в системах с
нелинейными энергоемкими элементами............................243
9.1.	Основные соотношения для нелинейных энергоемких элементов . 243
9.2.	Воздействие гармонического колебания на нелинейную емкость.
Умножитель частоты на варакторе....................................245
9.3.	Воздействие бигармонического колебания иа нелинейную емкость 249
9.4.	Теорема Мэнли—Роу.............................................251
Глава 10. Параметрические системы и процессы.......................254
10.1.	Общие характеристики параметрических элементов ....	254
10.2.	Прохождение сигналов через линейные системы с переменными
параметрами........................................................257
10.3.	Пример определения импульсной характеристики параметрической
системы............................................................259
10.4.	Передаточная функция параметрической системы. Модуляция как
параметрический процесс............................................261
10.5.	Реализация угловой модуляции.................................265
10.6.	Принцип параметрического усиления сигналов...................267
10.7.	Одноконтурный параметрический усилитель......................272
10.8.	Двухконтурный параметрический усилитель......................274
10.9.	Параметрическое возбуждение колебаний ....... 279
Глава 11. Воздействие случайных процессов на нелинейные и пара-
метрические цепи...............................................284
11.1	. Вводные замечания...........................................284
11.2	. Преобразование случайного процесса в безынерционных нелиней-
ных цепях..........................................................284
11.3	. Преобразование спектра случайного процесса в безынерционном
нелинейном элементе .............................................. 288
11.4	. Воздействие узкополосного шума на амплитудный детектор .	290
11.5	. Совместное воздействие гармонического сигнала и гауссовского
шума на амплитудный детектор.......................................294
116.	Совместное воздействие гармонического сигнала и гауссовского
шума на частотный детектор.........................................299
11.7	. Корреляционная функция и спектр случайного процесса в линей-
ной параметрической цепи...........................................303
Глава 12. Дискретная обработка сигналов. Цифровые фильтры .	306
12.1.	Принцип цифровой обработки сигналов..........................306
12.2.	Передача сигналов через дискретные (цифровые) фильтры .	.	308
12.3.	Передаточная функция и импульсная характеристика цифрового
фильтра...................................................311
12.4.	Характеристики цифровых сигналов....................315
12.5.	Применение метода г-преобразования для анализа дискретных
сигналов и систем.........................................321
12.6.	Цифровой резонатор..................................332
12.7.	Цифровые фильтры с комплексными	весовыми	коэффициентами	333
12.8.	Преобразование аналог—цифра. Шумы квантования	....	335
12.9.	Преобразование цифра—аналог и восстановление континуального
сигнала...................................................340
12.10.	Быстродействие арифметического устройства цифрового фильтра 343
12.11.	Алгоритм цифровой фильтрации во временной и частотной об-
ластях ............................................................345
12.12.	Быстрое преобразование Фурье................................346
12.13.	Спектральный анализ на	базе быстрого преобразования Фурье 352
Глава 13. Принципы оптимальной линейной фильтрации сигнала на
фоне помех.....................................................356
13.1. Постановка задачи..........................................  356
480
13.2. Оптимальная фильтрация сигнала заданной формы. Передаточная
функция фильтра...............................................357
13.3.	Импульсная характеристика согласованного фильтра. Физическая
осуществимость....................................................361
13.4.	Сигнал и помеха на выходе согласованного фильтра .	.	363
13.5.	Оптимальная фильтрация радиоимпульса с частотно-модулирован-
ным заполнением...................................................366
13.6.	Фильтрация заданного сигнала при небелом шуме ....	370
13.7.	Фильтрация сигнала с неизвестной начальной фазой .	.	372
13.8.	Согласованная фильтрация комплексного сигнала. Квадратурная
обработка.........................................................374
13.9.	Оптимальная фильтрация случайного сигнала....................376
13.10.	Упрощенный метод определения оптимальных характеристик
фильтра...........................................................381
13.11.	Оптимальная фильтрация дискретного	случайного	сигнала	386
13.12.	Оптимальная фильтрация и прогнозирование случайных процес-
сов. Экстраполирующий фильтр......................................388
13.13.	Экстраполяция сигнала, действующего на	фоне	шума	.	.	.	394
13.14.	Авторегрессионный метод спектрального оценивания случайных
процессов.........................................................397
13.15.	Адаптивный рекурсивный фильтр...............................400
Глава 14. Представление сигналов функциями Уолша ....	407
14.1.	Функции Уолша и Радемахера.................................  407
14.2.	Формирование функций Уолша...................................408
14.3.	Различные способы нумерации функций	Уолша................413
14.4.	Дискретные функции Уолша.....................................416
14.5.	Быстрое преобразование Уолша.................................421
14.6.	Двумерное дискретное преобразование	Уолша................424
Глава 15. Элементы синтеза радиоэлектронных цепей ....	430
15.1.	Вводные замечания............................................430
15.2.	Реализация безындуктивной цепи второго порядка ....	432
15.3.	Синтез цифровых фильтров.....................................433
15.4.	Синтез цифровых фильтров по аналоговому прототипу .	,	.	434
15.5.	Метод инвариантных частотных характеристик...................437
15.6.	Связь между амплитудно-частотной и фазочастотной характерис-
тики четырехполюсника..............................................439
15.7.	Связь между АЧХ и ФЧХ в цифровых четырехполюсниках .	.	440
Глава 16. Обобщенная линейная фильтрация сигналов. Кепстраль-
ный анализ....................................................443
16.1.	Обобщенный принцип суперпозиции..........................443
16.2.	Обобщенная схема гомоморфной обработки	сигналов	.	.	445
16.3.	Гомоморфная обработка мультипликативного	сигнала .	.	.	448
16.4.	Гомоморфная обработка свернутого сигнала.................451
16.5.	Кепстральный анализ сигналов. Кепстр мощности ....	453
16.6.	Определение задержки сигнала.............................457
16.7.	Пример определения задержки сигнала......................460
16.8.	Влияние помех............................................463
16.9.	Комплексный кепстр.......................................465
16.10.	О неоднозначности определения фазочастотной характеристики
спектра сигнала ................................................. 467
16.11.	Некоторые свойства кепстральных преобразований .	.	472
Список литературы..................................................476