/
Автор: Мюрей Дж.
Теги: биологические науки в целом математика биологические науки медицина дифференциальные уравнения переводная литература вич брачные отношения
ISBN: 978-5-93972-743-3
Год: 2009
Текст
J.D. Murray
Mathematical Biology
I. An Introduction
Third Edition
Springer
Джеймс Мюррей
Математическая биология
Том I
Введение
Перевод с английского
Л. С. Ванаг и А. Н. Дьяконовой
Под научной редакцией
Г. Ю. Ризниченко
Москва ♦ Ижевск
2009
УДК 57:51-76
ББК 28в641
М987
Издание осуществлено при финансовой поддержке Рос-
сийского фонда фундаментальных исследований по про-
екту №08-04-07067.
Мюррей Дж.
Математическая биология. Том I. Введение. — М.-Ижевск: НИЦ «Регу-
лярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований,
2009. - 776 с.
Настоящая книга представляет собой первый том знаменитого издания Джейм-
са Мюррея по математической биологии и служит введением в предмет. Здесь ис-
пользуется простой математический аппарат, в основном обыкновенные дифферен-
циальные уравнения, что делает книгу доступной студентам, обучающимся на стар-
ших курсах университетов и в аспирантуре. На некоторых вопросах — такие как
моделирование динамики брачных взаимоотношений и динамика распространения
ВИЧ — Дж. Мюррей останавливается более подробно и вводит новые приложения.
Также здесь рассматриваются базовые концепции моделирования, дается справоч-
ный материал и ссылки на дополнительную литературу. Большое внимание уделя-
ется обсуждению связей между моделями и экспериментальными данными.
Являясь обширным практическим руководством по математической биологии,
эта книга ярко демонстрирует читателю, как в области биологических и медицин-
ских наук рождаются новые задачи для математиков и какой вклад могут внести
математики в развитие этих областей исследования.
ISBN 978-5-93972-743-3 ББК 28в641
Translation from the English language edition:
Mathematical Biology I by J. D. Murray
© J. D. Murray, 2002
© Springer-Verlag Heidelberg 1989, 1993
Published by Springer-Verlag New York
Springer is a part of Springer Science+Business Media
All Rights Reserved
© Перевод на русский язык:
Ижевский Институт компьютерных исследований, 2009
http://shop.rcd.ru
Оглавление
Предисловие редактора.................................... 15
Предисловие к третьему изданию........................... 17
Предисловие к первому изданию............................ 22
Глава 1. Непрерывные популяционные модели для одного вида 26
1.1. Модели непрерывного роста............................ 27
1.2. Модель вспышки численности насекомых: гусеницы листо-
вертки-почкоеда елового..................................; 33
1.3. Модели с запаздыванием............................... 42
1.4. Линейный анализ популяционных моделей с запаздывани-
ем: периодические решения ................................. 48
1.5. Модели с запаздыванием в физиологии: болезни с перио-
дической динамикой......................................... 54
1.6. Рациональное использование одиночной естественной по-
пуляции ................................................... 66
1.7. Популяционная модель с возрастным распределением 74
Упражнения ................................................ 80
Глава 2. Дискретные популяционные модели для одного вида . 84
2.1. Введение: простые модели............................. 84
2.2. Плетение паутины: пример графического решения 92
2.3. Дискретные модели логистического типа: хаос.......... 96
2.4. Устойчивость, периодические решения и бифуркации .... 105
2.5. Дискретные модели с запаздыванием....................109
2.6. Модель рационального использования рыбных ресурсов . . 115
2.7. Экологические последствия и предостережения..........118
2.8. Рост опухолевых клеток...............................121
Упражнения ................................................127
8
Оглавление
Глава 3. Модели взаимодействующих популяций ....................131
3.1. Модели хищник-жертва: система Лотки-Вольтерра......131
3.2. Сложность и устойчивость...............................138
3.3. Реалистичные модели хищник-жертва......................140
3.4. Анализ модели хищник-жертва с периодическим поведе-
нием типа предельного цикла: параметрические области
устойчивости.............................................143
3.5. Модели конкуренции: принцип конкурентного исключения . 151
3.6. Мутуализм или симбиоз..............................158
3.7. Обобщенные модели, общие замечания и предостережения 160
3.8. Пороговые явления..................................167
3.9. Дискретные модели роста взаимодействующих популяций . 171
3.10. Модели хищник-жертва: детальный анализ.............173
Упражнения ..................................................179
Глава 4. Температурно-зависимое определение пола (ТОП) или
почему выжили крокодилы...................................185
4.1. Отряд крокодилы: биологическое вступление и историчес-
кое отступление...........................................185
4.2. Основные типы гнездовых участков и простая популяци-
онная модель..............................................192
4.3. Модель популяции крокодилов с возрастным распределе-
нием .....................................................200
4.4. Уравнения для модели с возрастным распределением и за-
висимостью от плотности популяции.........................206
4.5. Устойчивость популяции женских особей на участке сыро-
го болота I...............................................208
4.6. Соотношение между полами и выживание...................210
4.7. Температурно-зависимое определение пола (ТОП) против
генетического определения пола (ГОП)...................214
4.8. Вопросы, связанные с определением пола.................217
Упражнения ..................................................221
Глава 5. Моделирование динамики супружеских взаимоотноше-
ний: прогнозирование разводов и укрепление брака..........223
5.1. Психологические основы и данные: методика Gottman
и Levenson................................................225
5.2. Типы браков и мотивация моделирования..................229
5.3. Стратегия моделирования и уравнения модели.............233
5.4. Стационарные состояния и устойчивость..................238
Оглавление
9
5.5. Практические результаты модели........................249
5.6. Преимущества, последствия и сценарии терапии брака . . . 256
Глава 6. Кинетика реакций......................................264
6.1. Ферментативная кинетика: базовая ферментативная реакция 264
6.2. Оценки продолжительности переходного периода и приве-
дение к безразмерному виду..............................268
6.3. Анализ уравнения Михаэлиса-Ментен в приближении ква-
зистационарного состояния.............................272
6.4. Кинетика суицидного субстрата.........................281
6.5. Кооперативные явления.................................291
6.6. Автокатализ, активация и ингибирование................298
6.7. Множественные стационарные состояния, «грибы» и изолы 308
Упражнения .................................................316
Глава 7. Биологические осцилляторы и переключатели.........319
7.1. Мотивация, краткая история и предпосылки..............319
7.2. Механизмы управления при помощи обратной связи .... 323
7.3. Осцилляторы и переключатели с двумя и более перемен-
ными: общие качественные результаты.....................330
7.4. Простые осцилляторы с двумя переменными: определение
параметрической области колебаний.......................342
7.5. Теория Ходжкина-Хаксли для мембран нервных клеток:
модель ФитцХью-Нагумо...................................348
7.6. Моделирование регуляции выделения тестостерона и хи-
мическая кастрация......................................355
Упражнения .................................................368
Глава 8. Колебательные реакции Белоусова-Жаботинского . . . 373
8.1. Реакция Белоусова и модель Филда-Кереша-Нойеса (ФКН) 373
8.2. Линейный анализ модели Филда-Кереша-Нойеса на устой-
чивость стационарных состояний. Существование реше-
ний с предельным циклом ................................378
8.3. Нелокальная устойчивость модели Филда-Кереша-Нойеса . 383
8.4. Релаксационные осцилляторы: аппроксимация для реакции
Белоусова-Жаботинского..................................387
8.5. Анализ релаксационной модели автоколебаний в реакции
Белоусова-Жаботинского..................................390
Упражнения .................................................397
10
Оглавление
Глава 9. Возмущенные и сопряженные осцилляторы и черные
дыры .....................................................399
9.1. Подстройка фазы в осцилляторах.........................399
9.2. Кривые подстройки фазы.................................404
9.3. Черные дыры............................................410
9.4. Черные дыры в реальных биологических осцилляторах . . .413
9.5. Сопряженные осцилляторы: мотивация и модельная система 417
9.6. Фазовая синхронизация в осцилляторах: синхронизация
у светлячков..............................................420
9.7. Анализ сингулярно возмущенных систем: предварительное
преобразование............................................426
9.8. Анализ сингулярно возмущенных систем: преобразованная
система...................................................430
9.9. Анализ сингулярно возмущенных систем: разложение в ряд
по двум временам..........................................434
9.10. Анализ уравнения сдвига фазы и приложение к сопряжен-
ным реакциям Белоусова-Жаботинского.......................439
Упражнения ..................................................444
Глава 10. Динамика инфекционных заболеваний: эпидемиологи-
ческие модели и СПИД......................................445
10.1. Историческое отступление об эпидемиях..................445
10.2. Простые эпидемиологические модели и их практическое
применение................................................451
10.3. Моделирование венерических заболеваний.................461
10.4. Модель гонореи и ее контроля с несколькими группами . . 467
10.5. СПИД: моделирование динамики передачи ВИЧ..............470
10.6. ВИЧ: моделирование комбинированной лекарственной те-
рапии ....................................................482
10.7. Модель лекарственной терапии ВИЧ-инфекции с запазды-
ванием ...................................................493
10.8. Моделирование популяционной динамики приобретенного
иммунитета к паразитарной инфекции .......................495
10.9. Возрастная эпидемиологическая модель и пороговый кри-
терий ....................................................508
10.10. Простая эпидемиологическая модель употребления нарко-
тических и лекарственных препаратов и пороговый анализ .513
10.11. Бычий туберкулез у барсуков и крупного рогатого скота . . 519
Оглавление 11
10.12. Моделирование стратегий контроля бычьего туберкулеза
среди барсуков и крупного рогатого скота............532
Упражнения ..................................................551
Глава 11. Реакции с диффузией, хемотаксис и нелокальные меха-
низмы ..................................................554
11.1. Простое случайное блуждание и вывод уравнения диффузии 554
11.2. Уравнения реакции диффузии......................559
11.3. Модели распространения животных.................563
11.4. Хемотаксис......................................568
11.5. Нелокальные эффекты и диффузия на большие расстояния . 572
11.6. Клеточный потенциал и энергетический подход к диффу-
зии и дальнодействующим эффектам.......................578
Глава 12. Основанные на колебаниях волновые явления и цент-
ральные генераторы ритма................................585
12.1. Кинематические волны в реакции Белоусова-Жаботинского 585
12.2. Центральный генератор ритма: экспериментальные сведе-
ния о движении рыб...........................................590
12.3. Математическая модель центрального генератора ритма . . 594
12.4. Анализ системы модели фазового сопряжения..............602
Упражнения ..................................................609
Глава 13. Биологические волны: однокомпонентные модели . . 610
13.1. Предпосылки и распространяющиеся волны...............610
13.2. Уравнение Фишера-Колмогорова и решения с распростра-
няющимися волнами ......................................614
13.3. Асимптотическое решение и устойчивость решений типа
бегущих волн уравнения Фишера-Колмогорова...............619
13.4. Зависящие от плотности модели реакция-диффузия и неко-
торые точные решения....................................626
13.5. Волны в кинетических моделях со множественными стацио-
нарными состояниями: распространение и контроль попу-
ляции насекомых.........................................640
13.6. Кальциевые волны в яйцах амфибий: волна активации в ик-
ринках рыбы Medaka......................................650
13.7. Скорости волн заселения при разной способности особей
к распространению.......................................655
13.8. Вторжение видов и расширение границ ареала.............664
Упражнения ..................................................670
12
Оглавление
Глава 14. Правильное и неправильное применение фракталов . 672
14.1. Фракталы: основные понятия и биологическое значение . . 672
14.2. Примеры фракталов и их формирование................677
14.3. Размерность фракталов: принципы и методы расчета . . . .681
14.4. Фракталы или эффективное заполнение пространства? . . . 689
Приложение А. Анализ методом фазовой плоскости..............694
Приложение В. Условия Рауса-Гурвица, критерий Джури, прави-
ло знаков Декарта и точные решения кубического уравнения 700
В. 1. Характеристические многочлены, критерий Рауса-Гурвица
и критерий Джури...................................700
В.2. Правило знаков Декарта..............................703
В.З. Корни кубического многочлена общего вида............703
Литература..................................................705
Предметный указатель........................................749
Именной указатель...........................................767
Моей жене Шейле, с которой я счастливо живу
уже более сорока лет, и нашим детям, Марку и Саре
... que se el fuera de su consejo al tiempo de la
general criacion del mundo, i de lo que en el se
encierra, i se halla ra con el, se huvieran producido
iformado algunas cosas mejor quefueran hechas,
i otras ni se hicieran, и se enmendaran i corrigieran.
Альфонс X (Альфонс Мудрый), 1221-1284
Король Кастилии и Леона
Если бы Бог, создавая мир, спросил
у меня совета, я бы подсказал ему, как
устроить вселенную попроще.
Предисловие редактора
Предлагаемая читателю книга — уникальный труд по математическо-
му моделированию профессора Джеймса Мюррея, в котором обсуждается
широкий круг вопросов применения математического моделирования как
метода исследования в самых разных областях биологии — от кинетики
биохимических реакций до динамики популяций и теории распростране-
ния инфекционных заболеваний.
В последние десятилетия математическое моделирование в биологии
и медицине бурно развивается, и в настоящее время едва ли найдется об-
ласть биологии, где бы не применялись математические модели. Модели
являются не только средством формализации разнородных знаний, реше-
ния задач прогноза и оптимизации. «Хорошие» модели позволяют четко
поставить проблему там, где без четкой формализации обилие разнород-
ных фактов и знаний не позволяет выделить главное.
Профессор Джеймс Мюррей работает в математическом моделирова-
нии в биологии почти полвека, является мастером постановки, качествен-
ного и аналитического исследования «простой» модели для сложных био-
логических ситуаций самой разной природы. Список его работ, насчиты-
вающий более 200 названий, показывает, насколько плодотворной может
быть совместная работа математиков и специалистов-биологов.
Предлагаемая книга является переводом на русский язык третьего
издания книги «Математическая биология». Первые два издания вышли
в издательстве Springer в 1989 и 1993 годах. На русском языке выходи-
ла лишь более ранняя книга: Д. Мюррей «Нелинейные дифференциальные
уравнения в биологии. Лекции о моделях». — М.: Мир, 1983. (J.D. Murray.
“Lectures on Nonlinear Differential Equation”, Oxford, 1977.)
Книга Д. Мюррея многофункциональна. В первую очередь это — пано-
рама развития математической биологии за последние полвека. В книге об-
суждается большинство направлений математической биологии и цитиру-
ется большинство англоязычных книг, написанных в этой области. В книге
Д. Мюррея большое место уделяется анализу реакции Белоусова-Жаботин-
ского, уравнениям распространения волны в системах с диффузией Колмо-
горова-Петровского-Пискунова (независимые результаты Фишера), актив-
но используются уравнения Гинзбурга-Ландау.
16
Предисловие редактора
Российские ученые: А. А. Ляпунов, Г. Ф.Гаузе, А. Н. Колмогоров,
Ю. М. Свирежев, Д. С. Чернявский, Ю. М. Романовский, Н. В. Степанова,
Г. Р Иваницкий, В. И. Кринский внесли значительный вклад в развитие ма-
тематической биологии. Современные результаты российских авторов ши-
роко представлены в книгах серии «Биофизика и математическая биология»
научно-издательского центра «Регулярная и хаотическая динамика».
Кроме того, книга — подробный рассказ о последних собственных ра-
ботах автора. Соответствующие разделы, например разделы первого тома
о температурной регуляции пола у крокодилов, о динамике брачных от-
ношений, об инфекционных заболеваниях, содержат увлекательное изло-
жение биологической и социальной проблематики, обсуждение постановки
задачи и методов ее решения, возможных практических применений по-
лученных результатов. По ходу дела автор делится своими жизненными
наблюдениями, философскими и общенаучными соображениями.
При чтении книги перед читателем не только открывается панорама
развития математической биологии за последние полвека, но и личность
замечательного ученого и педагога — автора книги, который сам был важ-
ным действующим лицом этой истории. Эта книга также — учебник по
математической биологии, где изложены основные концепции и методичес-
кие приемы исследования, почти каждая глава заключается заданиями для
самостоятельной работы студентов.
Книга представит несомненный интерес для специалистов самого
разного профиля, интересующихся применением математических моделей
в биологических и биомедицинских исследованиях, а также может служить
исключительно ценным учебным пособием для проведения занятий по ма-
тематической биологии для студентов и аспирантов соответствующих спе-
циальностей.
Москва Г. Ю. Ризниченко
Март 2009 г.
Предисловие к третьему изданию
В последние 13 лет, прошедшие со времени выхода первого издания
этой книги, математическая биология стремительно развивалась, и для нее
стали находить все новые области применения. Существование математиче-
ской биологии как самостоятельной науки неоспоримо. Одним из практиче-
ских показателей этого является рост числа соответствующих должностей
в научном секторе, медицинской сфере и промышленности; другим — уве-
личение числа людей, состоящих в соответствующих научных обществах.
Количество ученых, задействованных сегодня в этой сфере, измеряется
тысячами. Математическое моделирование применяется во всех основных
медико-биологических дисциплинах. Одной из неожиданных и удивитель-
но удачных сфер применения является психология, в рамках которой зани-
маются моделированием взаимоотношений между людьми, включая случаи
изнасилований на свиданиях и прогнозирование разводов.
Развитие математической биологии повлекло за собой появление спе-
циализированных отраслей, которые, в сущности, являются самостоятель-
ными областями науки, такими, как механика биологических жидкостей,
теоретическая экология и т. д. Возникает естественный вопрос, почему я ре-
шил, что существует потребность в выпуске нового издания книги, носив-
шей незатейливое название «Математическая биология». Неразумно счи-
тать, что в одной-единственной книге возможно охватить хотя бы основы
каждой из подотраслей науки. Само собой разумеется, что это справедливо
и для настоящего издания. Однако мне кажется, что выпуск нового издания
оправдан, так как эта книга способна указать непосвященным на некото-
рые увлекательные проблемы, возникающие в биологии, а также показать
широту тематики, в которой применяется моделирование.
Во многих областях науки основные положения относительно стабиль-
ны, но, благодаря развитию математической биологии за последние 13 лет,
стало невозможно нарисовать подробную картину всех подходов к изуче-
нию данного предмета, как это было возможно в 80-х годах. Даже тогда
такие важные отрасли, как стохастическое моделирование, механика био-
логических жидкостей и др. не были включены в книгу. Ввиду этих обсто-
ятельств новое издание освещает лишь основные понятия моделирования
18
Предисловие к третьему изданию
(в области экологии и, в чуть меньшей степени, эпидемиологии), а ссыл-
ки для дальнейшего изучения приводятся в тексте. Наряду с последними
достижениями в других сферах, обсуждаются новые области применения
моделирования, такие как супружеские взаимоотношения (том I), рост ра-
ковых опухолей (том II), формирование пола в зависимости от температу-
ры (том I) и территориальные отношения у волков (том II). Я бы с удо-
вольствием включил в книгу и ряд других уникальных достижений, но это
невозможно просто из-за нехватки места. По этой же причине трудно бы-
ло выбрать наиболее важные темы. Я попытался показать разнообразие
достижений математической биологии, но сама возможность сделать это
изначально вызывала сомнения.
Что касается общего подхода, то он имеет весьма практическую на-
правленность, поскольку основное внимание в этом издании уделено тес-
ной связи многих моделей с экспериментальными данными и клинически-
ми наблюдениями, а также оценке реальных значений параметров. И все же
в некоторых главах невозможно соотнести математические модели с кон-
кретными экспериментами или даже с определенными биологическими
объектами. Тем не менее, такой подход породил множество эксперимен-
тов, основанных на моделировании как способе изучения реального ме-
ханизма. Некоторые разделы, в которых связь с биологией была не столь
очевидна, были удалены. Но некоторые, ориентированные скорее на ма-
тематические и технические проблемы, однако имеющие тесную связь
с медико-биологическими проблемами, были сохранены в образовательных
целях. Я все сильнее убеждаюсь в правильности высказанной в предисло-
вии к первому изданию мысли о том, что же на самом деле представляет
собой «хорошая» математическая биология. Одним из наиболее вдохнов-
ляющих свойств новых глав является их междисциплинарный характер.
Математическая или теоретическая биология без сомнения является пре-
имущественно междисциплинарной наукой.
Общей целью теоретического моделирования и экспериментальных
исследований в биологии является выяснение основополагающих биоло-
гических процессов, приводящих к конкретному наблюдаемому явлению,
будь то формирование структур в развитии, динамика взаимоотношений
популяций в эпидемиологии, нейронные связи и обработка информации,
рост опухолей, супружеские отношения и т. д. Однако следует отметить,
что математическое описание биологических явлений не представляет со-
бой объяснение процесса. Основным достоинством любой теории является
ее предсказательная сила, и даже если разные модели демонстрируют схо-
жее пространственно-временное поведение, их легко различить по экспе-
риментам, которые они предполагают, и, конечно, по их связи с реальной
биологией. В книге вы найдете множество таких примеров.
Предисловие к третьему изданию
19
Зачем использовать математику для изучения таких сложных и мало
понятных явлений, как развитие, ангиогенез, заживление ран, динамика
взаимодействия популяций, регуляторные сети, брачные взаимодействия
и т. д.? Мы считаем, что математику, а точнее, теоретическое моделиро-
вание, нужно развивать, если мы надеемся когда-нибудь превратить пони-
мание основополагающих механизмов в предсказательную науку. Матема-
тика необходима для того, чтобы связать уровень, на котором находится
основная часть наших знаний (в развитии это клеточный уровень и ниже)
с макроскопическим уровнем наблюдаемых структур. В случае заживления
ран и формирования шрамов, например, математических подход позволяет
проследить логику процесса восстановления тканей. Даже если бы меха-
низмы были хорошо изучены (а до этого еще далеко), математика была
бы необходима для изучения последствий изменения различных парамет-
ров. связанных с каждым конкретным процессом. В случае заживления ран
и роста опухолей (а теперь еще и ангиогенеза в его связи с возможными
способами терапии рака) количество различных доступных способов ле-
чения ранений и рака становится слишком велико для того, чтобы можно
было выбрать из них наиболее подходящий в каждом конкретном случае.
Чтобы решить этот вопрос, необходимо найти способ моделирования кон-
кретных сценариев лечения, прежде чем применять их на практике. Уже
сейчас такой подход используется для определения эффективности различ-
ных методов лечения опухолей мозга (глиобластом) и двушаговых режимов
терапии рака кожи.
Целью этих приложений не является создание математических моде-
лей, учитывающих абсолютно все процессы, потому что, даже если бы это
было возможно, конечная модель не предоставляла бы почти никаких дан-
ных о ключевых взаимодействиях в системе. Скорее, целью создания мо-
делей является улавливание сути различных взаимодействий, позволяющее
полнее понять их последствия. По мере появления все большего количества
данных о биологических системах усложняются модели и описывающий их
математический аппарат.
Например, в случае эмбриогенеза мы еще далеки от того, чтобы надеж-
но моделировать реальное биологическое развитие, несмотря на огромное
количество посвященных этому вопросу моделей и теорий. Даже ключевые
процессы большей частью до сих пор мало понятны. Несмотря на огра-
ничения, я считаю, что изучение логики формирования структур целесо-
образно, или скорее необходимо, даже при нынешнем нашем уровне зна-
ний. Это позволяет нам взять гипотетический механизм и исследовать его
последствия в виде математической модели, сделать предсказания и пред-
ложить эксперименты, подтверждающие или опровергающие модель; даже
это способно пролить свет на биологический процесс. Сам процесс созда-
20
Предисловие к третьему изданию
ния математической модели может быть полезен. Мы должны не только
следовать конкретному механизму, но и выбирать ключевые его аспекты,
главные действующие лица (переменные) и механизмы, согласно которым
они изменяются. Таким образом, мы участвуем в создании фундамента, на
котором должно основываться наше понимание. Модельные уравнения, ма-
тематический анализ и численные эксперименты служат для качественного
и количественного описания результатов такой логической цепочки.
Новое издание состоит из двух томов. Первый том представляет со-
бой введение в область математической биологии; математический аппарат,
в основном, включает в себя обыкновенные дифференциальные уравнения,
но встречаются и несколько базовых моделей в частных производных. Пер-
вый том доступен как аспирантам, так и студентам. Том II требует больше
знаний в области дифференциальных уравнений в частных производных
и более подходит для аспирантов и в качестве справочного издания.
Мне хотелось бы поблагодарить за поддержку и великодушие множе-
ство людей (среди них заключенный из Новой Англии) присылавших мне
письма со времени выхода первого издания этой книги. Многие из них взя-
ли на себя труд сообщить мне об ошибках и опечатках, внесли предложения
о том, как расширить модели, предложили сотрудничество и так далее. Их
вклад привел к множеству успешных междисциплинарных исследователь-
ских проектов, некоторые из которых описаны в этой книге. Я хочу побла-
годарить своих коллег Марка Кота и Хонга Куана, своих студентов, особен-
но Патришу Берджесс, Джулиана Кука, Трейси Джексон, Марка Льюиса,
Филипа Майни, Патрика Нельсона, Джонатана Шерратта, Кристин Свон-
сон и Ребекку Тайсон за их советы или тщательное вычитывание частей
рукописи. Я также хочу поблагодарить своего бывшего секретаря Эрика
Хинкле за заботу, глубокомыслие и преданность работе, благодаря кото-
рым от перевел большую часть рукописи в ИГрХ, и за его общую помощь
в отслеживании и структурировании множества невразумительных ссылок
и материалов.
Я очень благодарен профессору кафедры психологии университета Ва-
шингтона Джону Готтману, являющемуся мировым лидером в клинических
исследованиях супружеских и семейных взаимоотношений, с котрым мне
повезло сотрудничать в течение почти десяти лет. Без его заразительного
млузиазма, глубокой веры в использование математического моделирова-
ния. практического понимания человеческих отношений и стойкости перед
иоэом моего начального скептицизма я бы никогда не принял участия в раз-
•e~Toi обшей теории супружеских взаимоотношений. Я нахожусь в долгу
жгкд профессором Эллвортом К. Алвордом-младшим, главой отделения
университета Вашингтона, с которым я сотрудничал по-
: ждяиие семь лет. разрабатывая модели роста и контроля опухолей мозга.
Предисловие к третьему изданию
21
Что же до моего общего и, я надеюсь, практического подхода к моделиро-
ванию, то им я обязан профессору Джорджу Ф. Керриеру, который сильно
повлиял на меня в мое первое посещение Гарварда, когда я приехал в Аме-
рику в 1956 году. Его потрясающие проницательность и способность выде-
лять ключевые элементы сложной задачи, объединяя их для создания реа-
листичной и информативной модели, представляют собой талант, который
я пытался развить в себе в течение всей моей карьеры. Наконец, несмотря
на то, что невозможно поблагодарить поименно всех моих бывших студен-
тов, аспирантов, сотрудников, многочисленных коллабораторов и коллег по
всему миру, вдохновлявших меня на работу в этой области, я несомненно
нахожусь у них в долгу.
Оглядываясь на мои занятия математикой и биологическим науками за
последние почти тридцать лет, я сожалею, в основном, о том, что не начал
работать в этой области на много лет раньше.
Бейнбридж Айланд, Дж. Д. Мюррей
Вашингтон
Январь 2002 г.
Предисловие к первому изданию
Математике всегда удавалось извлечь немалую пользу из своих вза-
имоотношений с развивающимися науками, причем каждое последующее
взаимодействие существенно оживляет и улучшает эту область. Совершен-
но ясно, что главной наукой ближайшего будущего будет биомедицина. Что-
бы обеспечить дальнейшее процветание своей науки, математикам придет-
ся заняться и биологией. Памятуя о том, сколь полезной для математики
оказалась физика и как повлияла на нее математика, становится ясно, что
если математики не «влезут» в бионауки, они просто-напросто останутся
в стороне от научных открытий, которые обещают стать самыми важными
и волнительными за всю историю науки.
Математическая биология представляет собой быстро растущий, ши-
роко признанный, хотя и не вполне ясно определенный предмет и, на мой
взгляд, является наиболее интересной областью приложения математики.
Сегодня, когда очень быстро развивается количественный аспект биологии,
все более обширное присутствие математики в этой науке становится неиз-
бежным. Необходимость междисциплинарных взаимосвязей обусловлива-
ется сложностью биологических наук. Для математиков биология открыва-
ет совершенно новые и потрясающие возможности, тогда как для биолога
математическое моделирование становится дополнительным инструментом
исследований, аналогичным новой мощной лабораторной методике, но ис-
ключительно при надлежащем использовании и с учетом существующих
ограничений. При этом нужно отметить, что самонадеянное применение
математиками, мало что понимающими в настоящей биологии, своей эзо-
терической науки для решения биологических проблем вкупе с необосно-
ванными притязаниями на важность подобных теорий мало способствует
продвижению столь важных междисциплинарных взаимоотношений.
Интересным и полезным может быть лишь такое математическое ис-
следование в области биологии, которое является релевантным, прежде
всего, с позиций самой биологии. Лучшие модели демонстрируют прин-
цип действия того или иного процесса и предсказывают возможные его
последствия. Если таковые не являются очевидными для биологов и ес-
ли ваши предсказания оказываются правильными, вам удастся обратить на
Предисловие к первому изданию
23
себя внимание биологов. На основе этого можно будет развить предполо-
жения касательно механизмов, управляющих данным процессом. Истинное
междисциплинарное исследование и использование моделей может иметь
поразительные результаты, многие из которых описаны в этой книге.
Предварительного знания биологии от читателя не потребуется. При
обсуждении каждой темы я буду давать краткое описание ее биологическо-
го аспекта, достаточное для понимания изучаемых моделей. Несмотря на
всю важность стохастических моделей, я все же решил остановиться только
на моделях детерминистических, что позволило мне сохранить объем кни-
ги в разумных пределах. Эта книга представляет собой некоторый набор
методов моделирования с многочисленными примерами, взятыми из эколо-
гии населения, реакционной кинетики, теории биологических осциллято-
ров, онтогенетики, теории эволюции, эпидемиологии и прочих областей.
Основной упор на протяжении всей книги делается на практическое
применение математических моделей, способствующих выявлению базо-
вых механизмов, лежащих в основе биологических процессов. В книге так-
же описаны некоторые подвохи, которые могут ожидать нас при бездумном,
наивном или невежественном использовании описанных моделей. Я наде-
юсь представить вниманию своего читателя практический и реалистичный
взгляд на биологическое моделирование и математические методы, необ-
ходимые для получения приблизительных количественных решений, и тем
самым подтолкнуть его к пониманию всей важности соотнесения этих мо-
делей и полученных результатов с реальными биологическими проблема-
ми, ожидающими своего решения. Если использование той или иной мо-
дели стимулирует биологические эксперименты (даже если впоследствии
будет доказана ошибочность этой модели), ее можно считать успешной.
Математические модели могут дать биологическое понимание и оказать-
ся очень полезными для обобщения, толкования и интерполяции реальных
данных. Я надеюсь, что читатель также поймет, что (конечно же, на дан-
ном этапе) обычно не бывает «правильной» модели: создание аналогичных
временных или пространственных шаблонов экспериментально наблюдае-
мых процессов — это лишь первый шаг, который совсем не означает, что
к данной модели будет применен именно такой механизм. Математические
описания ничего не объясняют. Ни при каких обстоятельствах математи-
ка в одиночку не способна дать полное решение биологической проблемы.
Современная биология находится на таком этапе развития, где математикам
не стоит даже пытаться строить всеобъемлющие теории. Для достижения
реальности, стимулирования и содействия изменению механизмов матема-
тических моделей с целью более точного отражения биологии математики
должны работать в тесном сотрудничестве с биологами.
24
Предисловие к первому изданию
Я назвал свою книгу «Математическая биология», однако ее нельзя
считать авторитетным всеобъемлющим учебником по данному предмету
хотя бы потому, что такого учебника просто не может быть. Невероят-
но большой объем данной области требует весьма ограниченного выбо-
ра рассматриваемых тем. Некоторые модели я намеренно оставил в более
простом виде, для педагогических целей. Исключение из общего списка
той или иной темы (например, популяционной генетики) ни в коем случае
не значит, что я считаю ее неважной. Однако я надеюсь, что спектр рас-
смотренных в книге вопросов продемонстрирует читателю, насколько инте-
ресным может быть междисциплинарное сотрудничество и какую важную
роль в нем может сыграть математика. Главная задача этой книги заключа-
ется в представлении некоторых базовых и, в большой степени, общепри-
нятых теоретических основ множества биологических моделей. Я не ста-
ну утверждать, что представленный материал содержит самые последние
достижения в различных областях, многие из которых постоянно расширя-
ются. Ни в коем случае нельзя считать исчерпывающим и так уже очень
длинный список использованной литературы, поэтому я приношу извине-
ния многим авторам, которые должны были оказаться в этом списке, но так
в него и не попали.
Располагая подробно разобранными моделями образцов и проникнув-
шись философией данной книги, читатель должен реалистично взглянуть
на моделирование истинно практических задач. С математической точки
зрения, искусство хорошего моделирования базируется: 1) на правильном
понимании и оценке биологической проблемы; 2) реалистичном матема-
тическом представлении важных биологических явлений; 3) нахождении
полезных решений, лучше количественных; и, что особенно важно, 4) био-
логическом толковании математических результатов в смысле понимания
и предсказаний. Именно биология диктует математике, но не наоборот.
Иногда математика может быть очень простой. О полезности математи-
ческого исследования в биологии судят не по математическим стандартам,
а по совершенно другим, но не менее жестким нормам.
Эту книгу можно использовать и на курсах физики самого разного
уровня. Математика, необходимая для междисциплинарного биомедицин-
ского исследования, варьируется от очень простой до весьма сложной. От-
дельные главы использовались на курсах прикладной математики в Окс-
фордском университете для студентов последнего года обучения и аспи-
рантов первого года обучения. В США этот материал также использовался
на курсах для студентов со второго по последний год обучения. Материал
также будет доступен для более теоретически ориентированных биологов,
разбирающихся в математическом анализе и дифференциальной геометрии.
Предисловие к первому изданию
Мне хотелось бы поблагодарить многих своих коллег из самых разных
частей света, которые на протяжении прошедших нескольких лет коммен-
тировали разные главы моей рукописи, давали ценные советы и любезно
обеспечивали меня фотографиями. Особую благодарность мне хотелось бы
выразить доктору Филипу Мейни, Дэвиду Лейну и Диане Вудвард, а также
моим сегодняшним аспирантам, которые столь внимательно читали мно-
гочисленные черновики, особенно Дэниелю Бэнтилу, Меган Берк, Дэви-
ду Кроуфорду, Майклу Дженкинсу, Марку Льюису, Гвен Литтлворт, Мэри
Майерскаф, Кэтрин Роджерс и Луизе Шоу.
Оксфордский университет,
Великобритания
Январь 1989 г.
Дж. Д. Мюррей
Глава 1
Непрерывные популяционные модели
для одного вида
Растущий интерес к реалистичным и пригодным для применения ма-
тематическим моделям в популяционной биологии, идет ли речь о росте
численности населения земного шара с возрастным распределением или
без него, или о сокращении численности редких видов растений и жи-
вотных, или о динамике размножения бактерий и вирусов и т.д., объ-
ясняется значимостью подобных моделей для понимания происходящих
процессов и построения практических прогнозов. Изучение популяцион-
ной динамики имеет весьма почтенный возраст: так, в опубликованной
в 1202 году книге по арифметике Леонардо Пизанского содержалось упраж-
нение по построению модели растущей популяции кроликов (мы будем об-
суждать ее в главе 2). Экология, которая изучает взаимоотношения видов
друг с другом и с окружающей средой и рассматривает системы хищник-
жертва, межвидовую конкуренцию, управление возобновимыми ресурсами,
эволюцию устойчивых к пестицидам штаммов, экологический и генетиче-
ский контроль за вредителями, межвидовые сообщества, системы растение-
травоядное животное и т. д., представляется в настоящее время обширным
полем деятельности1. Список областей применения экологических знаний
непрерывно растет, так же как растет и число книг, посвященных много-
численным аспектам этой сферы научной деятельности. Одновидовые мо-
дели находят широкое применение и в биологической медицине; в разде-
ле 1.5 мы будем обсуждать два примера из физиологии. Прекрасные книги
Hastings (1997) и Kot (2001) специально посвящены экологическим моде-
лям. Элементарное введение в область дается также в учебниках Edelstein-
Keshet (1988) и Hoppensteadt, Peskin (1992).
: Kingsland (1995) дает замечательный легко написанный исторический обзор некоторых
основных научных идей XX века с рассказами об ученых и о том, как часто их непомерное
самомнение способствовало развитию того или иного направления.
1.1. Модели непрерывного роста
27
1.1. Модели непрерывного роста
Хотя для лабораторных исследований одновидовые модели представ-
ляются вполне надежными, в реальной жизни их использование может выз-
вать недооценку роли отдельных факторов в их воздействии на динамику
популяции. Пусть N(t) — это численность вида во время t, тогда скорость
изменения численности
= рождения — смерти 4- миграция (1.1)
at
определяется уравнением баланса для популяции. Вид членов правой час-
ти (1.1) требует моделирования рассматриваемой ситуации. Простейшая
модель исключает миграцию; члены, обозначающие рождаемость и смерт-
ность, пропорциональны N, то есть
= bN - dN => N(t) = Noe(b-d)t,
at
где b, d — положительные константы, и начальная численность населения
TV(O) = Nq. Тогда, если b > d, численность растет экспоненциально, в то
время как при b < d убывает. Этот подход, предложенный Мальтусом2
в 1798 году, едва ли реалистичен. Однако, если посмотреть на прошлые
и прогнозируемые оценки численности населения с XVII до XXI века, он,
пожалуй, не покажется таким уж неправдоподобным. Это можно видеть
из таблицы 1.1. (Приблизительные прогнозы на XXI век сделаны ООН.)
С 1900 года население растет экспоненциально.
Таблица 1.1
Середина Начало 1918—
Дата XVII века XIX века 1927 1960 1974 1987 2000 2050 2100
Численность
населения 0.5 1 2 3 4 5 6.3 10 11.2
в миллиардах
Несмотря на такой рост, многие демографы озабочены сегодня вопро-
сом, а хватит ли на земле людей! В 1975 году около 18 % населения земного
2Труд Мальтуса, вышедший анонимно, оказал огромное влияние на общество (в частности,
на Чарльза Дарвина, который впервые прочел его в 1838 году), но одновременно вызвал волну
гневных чувств, которая не утихала до конца века. Мальтус заявил, что непрерывный рост на-
селения будет сдерживаться войнами, эпидемиями и голодом. После бойни Первой мировой
войны о его пророчествах вновь громко заговорили. Мальтус, женившийся в 38 лет и прожив-
ший большую часть своей жизни в английской деревне в качестве сельского священника, был.
по отзывам многих, счастливым отцом семейства и всемерно наслаждался жизнью.
28
Глава 1
шара жило в странах с уровнем рождаемости или на уровне воспроизвод-
ства или ниже его (что составляет приблизительно 2,1 ребенка на одну
женщину), тогда как в 1997 году таких стран уже было 44 %, а к 2015 году
по прогнозам ООН их станет 67 %. Далее в главе 4 мы планируем деталь-
но обсудить, как подсчитать уровень рождаемости, необходимый для вос-
производства численности населения. В 1970 году в мире было 10 стран
с уровнем рождаемости ниже уровня воспроизводства населения, в то вре-
мя как в 1995 году их стало уже 51, а в 2015 году, согласно оценкам уче-
ных, 88 из приблизительно 180 стран мира войдет в группу стран с уров-
нем рождаемости ниже уровня воспроизводства. Двадцатый юбилей Все-
мирной организации здравоохранения в 1995 году был отмечен докладом,
в котором приводились интересные факты по всему миру; так, например,
100 миллионов ежедневных половых актов приводит к 910000 беремен-
ностям и 365 000 случаям венерических заболеваний. По оценкам доклад-
чиков 300 миллионов супружеских пар не хочет иметь больше детей, но
не имеют средств по планированию семьи. Из 910 000 беременностей око-
ло половины является незапланированными. Каждый день в мире делает-
ся 150000 абортов, треть из которых проводится в антисанитарных усло-
виях и приводит к 500 смертным случаям.
Подобное уменьшение численности — повод обсудить проблемы мо-
делирования. Трудно строить долгосрочные или даже краткосрочные про-
гнозы, коль скоро мы не располагаем достаточным количеством фактов,
которые следовало бы включить в модель, чтобы сделать ее надежной, хотя
знание общих тенденций может быть полезно само по себе, даже если от-
дельные цифры в конечном счете окажутся ошибочными. В то же время нет
сомнения в том, что, несмотря на доступные средства контрацепции, стери-
лизацию, которая все еще остается самым используемым методом контроля
за рождаемостью (стерилизация женщин достигает 26 %, а мужчин — 10 %),
ограничение размера семьи со стороны государства, локальный голод, но-
вые болезни, растущее число стран с уровнем рождаемости ниже уровня
воспроизводства и т. д., численность населения земного шара продолжает
расти с ужасающей быстротой.
Конечно, в далекой перспективе должны существовать способы сдер-
живания подобного экспоненциального роста. Ферхюльст (Verhulst 1838;
1845) высказал догадку, что в случае очень быстрого роста численности на-
селения должны включаться механизмы саморегуляции. Он предположил,
что
= rN(l - N/K), (1.2)
где г и К — положительные константы. Он назвал эту модель логистиче-
ским ростом численности. В этой модели число рождений на душу насе-
1.1. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНОГО РОСТА
29
пения равно r(l — N/K)\ то есть зависит от N. Константа К — это ем-
кость среды, которая обычно определяется количеством доступных ресур-
сов. необходимых для поддержания жизни.
Существует два стационарных или равновесных состояния для (1.2),
а именно, .V = 0 и N = то есть состояния, для которых dN/dt = 0.
Состояние Д’ = 0 неустойчиво, поскольку его линеаризация (то есть пре-
небрежение Д’2 по сравнению с Д’) дает dN/dt ~ гДГ, и тогда N растет
экспоненциально, начиная с любого сколь угодно малого числа. Другое по-
ложение равновесия Аг = К устойчиво: линеаризация относительно него
(то есть пренебрежение (Д’ — К)2 по сравнению с |ДГ — К|) дает d(N —
К, dt ъ -r(N — К), и тогда N -+ К, поскольку t —> оо. Емкость
среды К определяет размер популяции, находящейся в устойчивом стаци-
онарном состоянии, в то время как г — это скорость, с которой этот размер
достигается: то есть мера динамики роста: мы можем проследить за ее
изменением во времени, заменив г на rt. Таким образом, 1 /г является ре-
презентативным масштабом времени ответа модели на любое изменение
в популяции.
Если Ат(0) = Nq, решением (1.2) является
AT(t) = ----NoKert---- к < оо, (1.3)
' [К + N0(ert -1)] И V ’
что проиллюстрировано на рисунке 1.1. Как следует из (1.2), если Nq < К,
то Дг(f) просто монотонно возрастает до К, в то время как при Nq> К она
монотонно сокращается до К. В первом из упомянутых случаев существует
качественное различие в зависимости от того, Nq > К/2 или Nq < К/2;
при Nq < К/2 кривая имеет сигмоидную форму, что обычно и наблю-
дается.
В случае, когда Nq > К, оказывается, что число рождений на одного
человека — отрицательная величина! Конечно, в действительности это про-
сто означает, что в (1.1) число рождений плюс иммиграция меньше, чем
число смертей плюс эммиграция. Смысл уравнения (1.2) состоит в том,
что это скорее метафора для класса популяционных моделей с зависимым
от плотности населения регуляторным механизмом — своеобразной ком-
пенсацией в ответ на перенаселенность — и не должна восприниматься
слишком буквально, как уравнение, управляющее законами динамики чис-
ленности населения. Несмотря на его несовершенство, время от времени
это уравнение заново открывают и широко пропагандируют в качестве уни-
версального закона, управляющего ростом численности населения3. Один
3Не далее как в 1985 году я был свидетелем того, как этот закон с пылом первых миссио-
30
Глава 1
из таких примеров можно найти в вышедшей в 1925 году книге биолога
Pearl (1925). Kingsland (1995) описывает с замечательной подробностью,
как Pearl колесил по всей стране и пропагандировал свою теорию, в ко-
торый раз подтверждая изречение Чарльза Дарвина: «Всеобщее непонима-
ние — это великая сила». Главное в логистической модели — ее удобство
при качественном исследовании динамического поведения популяции, где
N = 0 является неустойчивым стационарным состоянием и N(t) стремит-
ся к конечному положительному устойчивому стационарному состоянию.
В дальнейшем мы часто будем обращаться к логистической модели прежде
всего из-за ее алгебраической простоты и из-за того, что она дает предва-
рительное качественное понятие о том, что можно ожидать от более реали-
стичных моделей.
Рис. 1.1. Логистический рост численности населения. Отметим качественное отли-
чие двух кривых для двух основных случаев No < К/2 п К > No > К/2
Весьма поучительно попытаться понять, почему была принята именно
логистическая модель, поскольку это объясняет основные принципы моде-
лирования в биологии и медицине. Логистическая модель роста (1.3) имеет
три параметра Nq, К иг, которые можно сопоставлять с реальными данны-
ми. Их использовал Pearl (1925) для исследования данных по численности
населения, полученных в результате переписи населения для нескольких
неров представлял во время своей основной лекции доктор Jonas Salk (известный как изобре-
татель вакцины против полиомиелита), выступавший в Университете штата Юта.
1.1. Модели непрерывного роста
31
Год
Рис. 1.2. Кривая логистического роста численности населения (13), использованная
для сопоставления с результатами переписи населения в (а) США и (Ь) Франции.
Данные соответствуют параметрам только на небольшом отрезке кривой. (Взято из
Pearl 1925)
(Ь)
стран, включая США, Швецию и Францию, за различные периоды време-
ни. Рисунок 1.2 показывает результаты сравнения для США и Франции.
Если мы посмотрим на данные по США, то увидим хорошее совпадение
с реальными цифрами с 1790 приблизительно до 1910 года; здесь нижние
части кривых совпадают. Однако остальная часть кривой сильно расходит-
32
Глава 1
ся с реальными показателями роста численности. Аналогичное сравнение
проводилось для Франции, но здесь данные сопоставлялись с верхней ча-
стью кривой, и даже в этом случае предсказания оказались неверны. Основ-
ным недостатком является не то, что предсказания были неточны, а то, что
для сравнения бралась только часть данных и, главное, не рассматривалась
большая часть кривой роста населения, что делало сравнение с данными
и будущие прогнозы крайне ненадежными. Конечно, мы бы могли напи-
сать алгебраическое выражение с несколько большим числом параметров
(и вывести дифференциальное уравнение, для которого оно бы являлось
решением) и сделать все намного лучше, но тогда вся наша деятельность
свелась бы к сопоставлению кривых, а не к лучшему пониманию действи-
тельного механизма, лежащего в основе явления. Принципы моделирова-
ния, о которых идет речь в данной книге, — это способ постичь глубинные
механизмы процессов, ведь только тогда можно сказать, что наши прогнозы
заслуживают доверия.
В общем, если предположить, что рост населения подчиняется урав-
нению
(1-4)
где в общем случае f(N) — нелинейная функция N, то тогда равновесные
решения 7V* являются решениями f(N) = 0 и обладают линейной устойчи-
востью к небольшим возмущениям, если < 0, и неустойчивостью,
если > 0. Это понятно, если провести линеаризацию в окрестно-
сти записав
и тогда (1.4) принимает вид
= f(N* + n) « f(N*) + nf'(N*) + • • • ,
что с точностью до первого порядка по n(t) дает
=> n(t) <xexp[f(N*)t]. (1.5)
at
Таким образом, п растет или убывает в соответствии с ff(N*) > 0 или
< 0. Характерное время ответа популяции на возмущение — поряд-
ка 1/ \f'(N*) |; это время, необходимое для изменения начального возмуще-
ние в е раз.
1.2. Модель вспышки численности насекомых
33
Возможно существование нескольких состояний равновесия — зна-
чений численности популяции N*, определяемых решением f(N) = 0.
Их число зависит от вида функции f(N). Построив график зависимости
f(N) от N, мы видим, что равновесие достигается в точках пересечения
с осью N. Градиент ff(N*) для каждого стационарного состояния, в свою
очередь, определяет его линейную устойчивость. Эти стационарные состоя-
ния могут, тем не менее, быть неустойчивы к конечным возмущениям.
Предположим, например, что f(N) соответствует функции, представлен-
ной на рисунке 1.3. Градиенты при N = 0 и N2 положительны,
поэтому эти равновесные состояния неустойчивы, в то время как градиен-
ты при N = Ni и N3 устойчивы к воздействию небольших возмущений:
стрелки символически указывают на устойчивость или неустойчивость. Ес-
ли, например, мы сдвинем популяцию из состояния равновесия М так,
чтобы значение N находилось в диапазоне N2 < N < N%, тогда, скорее,
N —> N3, чем вернется к ЛГ1. Сходный сдвиг из состояния N3 при значени-
ях N в диапазоне 0 < N < N2 дал бы N(t) —> Ni. Качественно это озна-
чает, что существует пороговое возмущение, ниже которого стационарные
состояния всегда устойчивы, и этот порог зависит от вида функции f(N).
Для Ni, например, необходимое пороговое возмущение равно N2 — М.
Рис. 1.3. Модель динамики популяции dN/dt = f(N) с несколькими стационарны-
ми состояниями. Градиент f'(N) в стационарном состоянии, то есть при f(N) = 0,
определяет линейную устойчивость
1.2. Модель вспышки численности насекомых: гусеницы
листовертки-почкоеда елового
Примером практической модели, демонстрирующей два линейно устой-
чивых стационарных состояния популяции, является модель динамики
34
Глава 1
численности гусениц листовертки-почкоеда елового, насекомых, которые
с невероятной прожорливостью опустошают леса и представляют одну из
основных экологических проблем в Канаде. Ludwig с соавторами (1978)
считали, что модель динамики популяции гусениц листовертки-почкоеда
елового может быть представлена следующим образом:
at у j\b /
где г в — характеризует линейный рост численности гусениц, а Кв — это
емкость среды, которая зависит от плотности листового покрова деревьев
(пища). Член p(N) выражает истребление гусениц, в основном, за счет по-
едания их птицами: его качественное выражение имеет существенное зна-
чение и представлено на рисунке 1.4. Истребление обычно достигает уров-
ня насыщения при достаточно больших N. Существует определенная по-
роговая величина Nc, ниже которой истребление мало, в то время как выше
этой величины истребление близко к уровню насыщения: такая функцио-
нальная модель подобна переключателю, где Nc — критическая величина,
нужная для переключения. При небольшой плотности популяции N птицы
ищут пищу в других местах, и по мере того как N —> 0, скорость истреб-
ления p(N) снижается не линейно-пропорционально N, а быстрее. Чтобы
быть более точными, мы взяли p(N) в том виде, в котором предложили
Ludwig et al. (1978), а именно, BN2/(А2 + TV2), где А и В положительные
константы, и динамика N(t) следует уравнению:
f (1-6)
ас \ Кв J Az + N2
Это уравнение имеет четыре параметра, г в, Кв, В и А, при этом А и Кв
имеют такую же размерность, как 7V, г в имеет размерность (время)-1,
а В имеет размерность ЛГ(время)”1. А — это величина порога, при кото-
рой включается истребление, что соответствует Nc на рисунке 1.4. Если
величина А мала, то «порог» мал, но эффект не менее значителен.
Прежде чем взяться за анализ модели, важно или, вернее, необходимо
привести ее к безразмерному виду. Эта операция дает нам ряд преиму-
ществ. Например, используемые в ходе анализа единицы измерения после
приведения к безразмерному виду делаются не важны, и можно провести
сопоставление «больших» и «малых» характеристик системы. К тому же
в результате этой операции всегда происходит сокращение числа значимых
параметров, определяющих динамику системы. Общие рассуждения о пре-
имуществах, а часто и необходимости приведения к безразмерному виду
1.2. Модель вспышки численности насекомых
35
Рис. 1.4. Типичный вид функции истребления в модели популяции гусениц листо-
вертки-почкоеда елового носит сигмоидный характер. Величина численности попу-
ляции Nc — это приблизительная пороговая величина: при N < Nc истребление
мало, в то время как при N > Nc происходит его «запуск»
и масштабированию можно найти в учебной статье Segel (1972), содержа-
щей ряд практических примеров. Здесь мы вводим безразмерные величины,
записав:
что после подстановки в (1.6) дает
g = ги (1 - = f(u-, г, q), (1.8)
где f определяется данным уравнением. Отметим, что выражение (1.8)
имеет только два параметра гид, которые являются безразмерными ве-
личинами, так же, конечно, как и и т. Теперь, например, если и 1, это
просто означает, что N А. В реальных переменных это означает, что ис-
треблением при данной численности можно пренебречь. В любой модели
обычно существуют несколько различных возможностей приведения к без-
размерному виду, и эта модель не исключение. Например, мы могли бы за-
писать и = N/Кв, т = t/гв и т. д. и получить безразмерное уравнение ино-
го, чем (1.8), вида. Выбор безразмерных переменных и параметров (комби-
наций размерных величин) зависит от того, какой аспект планируется ис-
следовать. Причины выбора конкретного вида (1.7) станут понятны ниже.
Стационарные состояния определяются решениями следующих урав-
нений:
Ж г, q) = 0 => ™ = 0. (1.9)
36
Глава 1
Ясно, что и = 0 — это одно из решений, тогда как другие, если они суще-
ствуют, должны удовлетворять соотношению:
Хотя мы и знаем аналитическое решение кубического уравнения (Прило-
жение В), но из-за своей алгебраической сложности оно слишком громозд-
ко, чтобы его использовать на практике; мы имеем именно этот случай.
Удобнее определить наличие решений (1.10) графически, как показано на
рисунке 1.5(a). Мы строим прямую линию, левую часть (1.10), и график
функции правой части (1.10); точки их пересечения и есть решения (1.10).
Аналитические выражения решений в данном случае не важны. Что важ-
но, однако, так это наличие одного, трех или, вновь, одного решения по
мере возрастания г при фиксированном q, как видно на рисунке 1.5(a), или
же существование аналогичного результата для фиксированного г и изме-
няющегося q. Когда г находится в соответствующем диапазоне, который
зависит от q, существует, как правило, три равновесных решения с соответ-
ствующими /(it; г, q), как показано на рисунке 1.5(b). Операция обезразме-
ривания (группировка размерных величин), которая оставила два параметра
(г и q), проявляющихся только в прямых линиях на рисунке 1.5, практиче-
ски полезна. Именно ради этого и проведено приведение к безразмерному
виду, представленное в (1.7). Анализ решений и = 0 и и — и<2 показывает,
что они линейно неустойчивы, поскольку df /ди > 0 при и = 0, it2, тог-
да как щ и its — устойчивые стационарные состояния, поскольку для них
df /ди < 0. Существует область в параметрическом пространстве г, q, где
уравнение (1.10) имеет три корня. Это показано на рисунке 1.6; аналити-
ческий вывод выражений для граничных кривых оставлен как упражнение
(упражнение 1).
Эта модель демонстрирует эффект гистерезиса. Пусть мы имеем, ска-
жем, фиксированную величину q и пусть г растет от 0 вдоль линии ABCD,
как показано на рисунке 1.6. Тогда, обратившись опять к рисунку 1.5(a), мы
видим, что если iti = 0 при г = 0, то значение iti монотонно возрастает
с ростом г до тех пор, пока не будет достигнута точка С на рисунке 1.6. При
более высоких значениях г это стационарное положение исчезает, и сис-
тема перескакивает в другое равновесное состояние, в точку из. Если мы
теперь начнем уменьшать г, то наша система останется в положении рав-
новесия из и будет там находиться до тех пор, пока г не достигнет нижней
критической величины, где опять будет существовать только одно стацио-
нарное состояние и откуда произойдет перескок из из в гц. Другими сло-
вами, по мере роста г вдоль ABCD происходит скачок вверх в точке С,
1.2. Модель вспышки численности насекомых
37
в то время как при уменьшении г от D до А происходит скачок вниз к точ-
ке В. Это — пример катастрофы типа «складка», который схематично
представлен на рисунке 1.7, где буквы А, В, С и D соответствуют этим же
буквам на рисунке 1.6. Нужно отметить, что рисунок 1.6 — это проекция
поверхности на плоскость г, q, где заштрихованная область соответствует
складке.
Согласно параметрам, полученным из полевых наблюдений, популя-
ция может иметь три стационарных состояния. Самое нижнее стационар-
ное состояние щ — это равновесие бегства, в то время как из — это рав-
новесие взрыва численности. Если наша задача — борьба с вредителями,
то что же надо предпринять, чтобы удержать популяцию на уровне бегства
и не позволить ей достичь взрыва численности? Здесь мы должны сопо-
ставить реальные параметры с безразмерными, используя (1.7). Например,
если деревья опрыскать и умерить таким образом аппетит вредителей, это
уменьшит q, поскольку Кв, емкость среды, в отсутствии вредителей станет
меньше. Если это уменьшение значительно, то развитие популяции приве-
дет только к одному равновесному состоянию; это означает, что эффек-
тивные г и q не находятся в заштрихованной области рисунка 1.6. Можно
попробовать уменьшить скорость воспроизводства г в или увеличить по-
роговую численность вредителей — оба варианта вызовут уменьшение г,
которое будет эффективно, если величина г будет ниже критической вели-
чины существования и%. Хотя эта схема дает предварительные качествен-
ные идеи для борьбы с вредителями, определение оптимальной стратегии —
нелегкая задача, в частности, из-за необходимости учета пространственных
факторов, таких, например, как распространение насекомых; в деталях этот
вопрос планируется обсудить в главе 2 тома II.
Здесь уместно затронуть вопрос, о какой временной шкале идет речь
в этой модели. Взрыв численности гусениц, во время которого деревья
остаются без листвы, случается раз в четыре года. Затем ели умирают,
и на их месте вырастают березы. С течением времени, в результате кон-
курентной борьбы деревьев за питание, на смену березам опять приходят
ели. Время, в течение которого происходит этот процесс, занимает от 50
до 100 лет. Полная модель должна включать также и деревья; см. Ludwig
и др. (1978). Таким образом, рассмотренная нами модель охватывает весь-
ма короткую временную шкалу, а именно, то время, которое нужно для
достижения взрыва численности.
Hassell и др. (1999) рассмотрели оригинальную и очень сложную мо-
дель взаимодействия видов (включающую более чем 80 параметров и пе-
ременных), в которой учли наличие крупных и мелких личинок, плодови-
тость, гибель листвы в отсутствие гусениц и в присутствии и массу дру-
38
Глава 1
Рис. 1.5. Равновесные состояния для модели (1.8) популяции гусениц листоверт-
ки-почкоеда елового. Положительные равновесные состояния — точки пересечения
прямой линии т(1 — и/к) с линией и/(1 + и2). Для средней прямой линии, пред-
ставленной на рисунке (а), существует три стационарных состояния с f(u;r, q),
типичный вид которой представлен на рисунке (Ь)
гих взаимодействующих друг с другом участников игры. Используя грубые,
но вполне оправданные допущения, они показали, что модель можно лег-
ко упростить, не потеряв основной действующей пары гусеницы-лес. Они
провели ряд упрощений, используя асимптотические пределы, и в конечном
счете свели систему к трем разностным (не путать с дифференциальными)
1.2. Модель вспышки численности насекомых
39
Рис. 1.6. Параметрические области существования для разного количества поло-
жительных стационарных состояний модели динамики популяции гусениц листо-
вертки-почкоеда елового (1.8). Граничные кривые заданы параметрически (см.
упражнение 1) как г(а) = 2а3/(а2 + I)2, q(a) = 2а3/(а2 — 1), здесь а у/З,
величины, задающие точку возврата (cusp) Р
уравнениям для личинок, листвы и участка старого леса. Анализ показал,
что механизм колебаний может быть воспроизведен только двумя уравне-
ниями. Более глубокий анализ, чем был показан только что, но, конечно, не
такой сложный, как проведенный Hassell и др. (1999), можно найти в весь-
ма практической книге по моделированию, написанной Fowler (1997).
Катастрофы в восприятии
Хотя, строго говоря, это не совсем тот материал, который ожидаешь
найти в разделе по популяционной динамике, мне кажется уместным вклю-
чить его в главу, посвященную гистерезису и катастрофам.
Существует серия ставших уже классикой рисунков Fisher (1967), де-
монстрирующих резкую смену в зрительном восприятии. Здесь мы даем
описание одной из таких серий картинок и показываем, что это — еще один
пример катастрофы с точкой возврата, а также демонстрация начального
запаздывания (гистерезиса) восприятия. Мы также представляем здесь ре-
зультаты проведенного автором эксперимента, подтверждающего гипотезу.
Обсуждаемый нами пример более глубоко изучался Zeeman (1982) и в более
общем виде Stewart и Peregoy (1983).
40
Глава 1
Рис. 1.7. Катастрофа с точкой возврата для состояний равновесия в параметричес-
ком (^равновесное состояние, г, q) пространстве; г увеличивается от величины А
по траектории А ВС CD и уменьшается от D по траектории DC В В А. Проекция
поверхности на плоскость г, q дана на рисунке 1.5. Три положения равновесия
существуют в месте складки
Мозг может быть запущен или переключен на совсем новую мысль
или модель поведения множеством разнообразных сигналов, и хотя мы все
еще далеки от понимания происходящих при этом тонких биологических
процессов, подробное описание явления и его демонстрация на примере
может стать первым шагом в нужном направлении. Так, внезапная переме-
на в восприятии и поведении — довольно обычное явление в физиологии
и терапии4.
4Интересный случай подобной перемены у пациентки, проходящей курс лечения психо-
анализом у французского психоаналитика Marie Claire Boons, описан в книге Zeeman (1982).
Речь идет о фригидной женщине, которая безуспешно лечилась в течение двух лет. Однажды
пациентка рассказала, что во сне она держала в руках замерзшего кролика, который проснулся
и сказал ей: «Здравствуй!» Слова пациентки были: «un lapin congele», что означало «замерз-
ший кролик». На что врач медленно повторила: «1а pin con gele?» Здесь-то и кроется суть. На
французском жаргоне слово «pin» означает «пенис», артикль женского рода «1а» указывает на
клитор, «соп» на французском жаргоне — женские половые органы, a «gele» означает одно-
временно замерзший и фригидный. Удивительно, что в последующие 20 минут пациентка не
1.2. Модель вспышки численности насекомых
41
Серия картинок, от номера 1 до номера 8 представлены на рисунке 1.8.
Рис. 1.8. Серия картинок, демонстрирующих резкую перемену в зрительном вос-
приятии при переходе от мужского лица к фигуре сидящей женщины (по Fisher
1967)
Картинка под номером 1 несомненно изображает мужское лицо, в то
время как картинка под номером 8 — очевидно сидящая женщина. Экс-
перимент, описывающий внезапный скачок в восприятии, описан Zeeman
(1982). Автор проводил аналогичный эксперимент с 57 студентами, ни один
из которых не видел серию раньше и не знал об этом примере внезапного
изменения зрительного восприятия. Эксперимент состоял в том, что серию
показывали три раза, начиная с лица мужчины на картинке 1 и перехо-
дя к сидящей женщине на картинке 8, затем последовательность меняли,
переходя к 1-й картинке, и опять в восходящем порядке; иными словами,
картинки показывали в последовательности 1234567876543212345678. Сту-
дентов попросили записать номера картинок, на которых они заметили пе-
ремену в своем восприятии; результаты представлены в таблице 1.2.
Предполагалось, что при первом просмотре серии картинок восприя-
тие большей части аудитории будет концентрироваться на изображении
мужского лица до тех пор пока не станет ясно, что в действительности
это — женщина, и на этом этапе случится резкий скачок в восприятии. Ког-
да картинки были показаны в обратном порядке, аудитория уже поняла, что
существуют две возможности, и могла сделать более взвешенное суждение
о том, что же представляет собой каждая картинка. Изменение восприя-
проронила ни слова, а прийдя на следующий день, сказала, что излечилась. Вероятно, нака-
нуне она впервые испытала оргазм со своим мужем.
42
Глава 1
тия должно бы было случиться с большей вероятностью около середины,
между картинками 5 и 4. Во время последнего просмотра серии изменение
опять должно бы было случиться около середины.
Результаты таблицы 1.2 представлены в виде схемы на рисунке 1.9,
где вертикальная ось — это восприятие р, а горизонтальная ось — зритель-
ный возбудитель, то есть номер картинки. График зависимости восприятия
от возбудителя является многозначным с точки зрения традиционной ка-
тастрофы с точкой возврата. Здесь в пределах некоторого диапазона суще-
ствуют два возможных варианта зрительного восприятия — лицо мужчины
или фигура женщины. Связь с примером популяции шелкопряда очевид-
на. Во время первого просмотра «включение» было отсрочено где-то до
7-й картинки, в то время как во время просмотра в обратном направлении
оно происходило уже на 5-м изображении, и на том же 5-м изображении оно
оставалось во время последнего финального просмотра. Существует, одна-
ко, фундаментальная разница между этим явлением и популяцией гусениц
листовертки-почкоеда елового. В последнем случае наблюдается опреде-
ленный и воспроизводимый гистерезис, в то время как в первом случае
эффект гистерезиса случается только однажды, после чего динамика одно-
значна для каждого зрительного стимула.
Если бы мы начали с картинки 8 и опять просмотрели бы всю серию
три раза, результаты были бы сходные, за исключением того, что скачок
случился бы первый раз где-то около 2-й картинки, как на рисунке 1.9,
а второй и третий скачок произошли бы опять-таки около 5-й картинки.
Катастрофическое изменение поведения и восприятия — широко распро-
страненное явление, и нет сомнения, что понимание глубинных динами-
ческих процессов могло бы быть очень полезно. Zeeman (1977) описывает
еще несколько качественных примеров из психологии.
1.3. Модели с запаздыванием
Один из недостатков популяционных моделей типа (1.4) с одной пе-
ременной состоит в том, что рождаемость начинают учитывать с самого
начала, хотя в реальной жизни для достижения половой зрелости, так же
как и для вынашивания плода, требуется время. Мы можем учесть подоб-
ную временную задержку, рассмотрев модель дифференциального уравне-
ния с запаздыванием следующего вида:
(1-П)
1.3. Модели с запаздыванием
43
Таблица 1.2. Цифры эксперимента с катастрофическим изменением восприятия,
в котором участвовали 57 студентов, ни один из которых не видел и не слышал
о серии картинок раньше
Последова- Последовательность Средний Последова-
тельность картинок показа- тельность
просмотра тель просмотра
—> 1 2 3 4 5 6 7 8
Номер перехода 0 0 0 0 5 8 25 19 7.0
1 2 3 4 5 6 7 8
Номер перехода 0 1 1 17 29 6 3 4.8
—> 1 2 3 4 5 6 7 8
Номер перехода — 0 3 19 19 12 3 1 4.9
точка точка точка
бифуркации Максвелла бифуркации
Рис. 1.9. Схематическое изображение явления катастрофы в зрительном вос-
приятии, основанное на данных таблицы 1.2 по результатам трех просмотров
(1234567876543212345678) серии картинок, представленных на рисунке 1.8. Пере-
ключение зрительного возбудителя происходило в точках, отмеченных цифрами 1,
2 и 3, в соответствующем порядке
где Т > 0, запаздывание является параметром. Подобная модель, уже ис-
пользовавшаяся ранее, является расширением логистической модели рос-
та (1.2) и представляет собой дифференциальное уравнение с запаздыва-
44
Глава 1
нием:
^=rN(t) 1-
N(t - Т)
К
(Ы2)
где г, К и Т — положительные константы, что говорит о том, что регуля-
торный эффект зависит скорее не от численности популяции в момент вре-
мени t, а от численности популяции в более ранний момент, то есть от t—Т.
Это уравнение само по себе является моделью эффекта запаздывания, кото-
рый в действительности должен был бы являться усреднением по числен-
ности за предшествующие годы и выражаться интегро-дифференциальным
уравнением. Так, более точной моделью, чем (1.12), является, например,
модель типа свертки:
^=г.
dt
(1-13)
где w(t) — это весовой коэффициент, который показывает, насколько чис-
ленность популяции в предшествующие годы важна для определения дос-
тупности ресурсов сегодня. На практике w(t) обычно стремится к нулю
при больших положительных и отрицательных t и достигает максимума
при некотором репрезентативном времени Т. В типичном случае w(t) име-
ет вид, представленный на рисунке 1.10. Если w(t) дает более острый пик,
в том смысле, что область вокруг Т более узкая или пик имеет большую
амплитуду, то тогда в предельном случае мы можем считать, что w(t) ап-
проксимируется функцией Дирака S(t — Т), где
8(t — T)f(t) dt = f(T).
Уравнение (1.13) в этом случае упрощается до (1.12)
8(t - Т - s)2V(s) ds = N(t - Г).
Вид решений (1.12) и тип граничных условий полностью отличны от
тех, что в (1.2). Даже решение безобидного на вид уравнения (1.12), как
правило, приходится искать путем вычислений. Следует отметить, что для
того, чтобы найти решение для t > 0, нам требуется знать N(t} для всех
—Т t 0. Мы, однако, можем получить некоторое представление о том,
какой вид решений (1.12) возможен, при помощи следующего эвристичес-
кого рассуждения.
1.3. Модели с запаздыванием
45
Рис. 1.10. Типичная весовая функция w(t) для обобщенного эффекта запаздывания
в модели с запаздыванием (1.13), описывающей ограниченный рост популяции
Рис. 1.11. Схематичное изображение периодического решения популяционной мо-
дели с запаздыванием (1.12)
Обратимся теперь к рисунку 1.11 и предположим, что для некоторого
t = ti выполняется N(ti) = К и что для некоторого времени t < ti верно
неравенство N(t — Т) < К. Тогда, в соответствии с управляющим урав-
нением (1.12), поскольку 1 — N(t — Т)/К > 0, то dN(t)/dt = 0, и тогда
Аф) при t\ будет находиться в состоянии роста. Когда t = t\ + Т, N(t —
— Т) = N(ti) = К, и тогда dN/dt = 0. Для + Т < t < t2 выполняется
неравенство N(t — Т) > К, и таким образом dN/dt < 0 и 7V(f) умень-
шается до тех пор, пока t = t2 + Т, а затем опять dN/dt = 0, поскольку
2V(t2 + Т — Т) = TV(^2) — К. Поэтому существует возможность колеба-
тельного поведения системы. Например, в простом линейном уравнении
с запаздыванием,
= N(t)=AcoS^
CLL &Л.
где А — константа. Это решение, как легко проверить, периодично во вре-
мени.
46
Глава 1
Действительно, уравнение (1.12) может обладать периодическими ре-
шениями типа устойчивого предельного цикла в широком диапазоне зна-
чений произведения гТ, где г — это скорость роста и Т — запаздывание.
Если tp — это период колебаний, то N(t 4- tp) — N(t) для всех t. Суть
устойчивого предельного цикла состоит в том, что если систему подверг-
нуть некоторому возмущению, то решение, пусть и через фазовый сдвиг,
возвращается к исходному периодическому решению при t —> оо. Перио-
дическое поведение также независимо от начальных условий.
Из рисунка 1.11 и вышеупомянутого эвристического рассуждения мож-
но ожидать, что период устойчивого предельного цикла должен быть по-
рядка 4Т. Как следует из численных расчетов именно так и происходит
для большого диапазона произведений гТ, которое является безразмерной
величиной. Причина, по которой мы выбираем эту комбинацию величин
состоит в том, что (1.12) в безразмерном виде принимает вид:
= N*(t*) [1 - N*(t* - Т*)],
где 7V*
N +*
К'
= rt, Т* = гТ. Впрочем, если что-то существенно ме-
няется в зависимости от гТ, так это амплитуда колебания. Например, для
гТ = 1,6 период tp « 4,03Т и Мпах/Мпт ~ 2,56; гТ = 2,1, tp ~ 4,54,
^max/^min ~ 42,3; гТ = 2,5, tp ~ 5,36Т, A\nax/-^min ~ 2 930. Для боль-
ших величин гТ период также меняется в значительной степени.
Эта простая модель с запаздыванием была использована в ряде практи-
чески важных ситуаций. Так, например, Мау (1975) употребил ее для ана-
лиза полученных Nicholson экспериментальных данных по динамике попу-
ляции зеленой мясной мухи (Lucila cuprina), опасного врага австралийских
овцеводов. На протяжении почти двух лет Nicholson наблюдал за популя-
цией мухи, тщательно контролируя температуру и питание. Он обнаружил
регулярные периодические колебания численности с приблизительной ча-
стотой в 35-40 дней. Применив (1.12) к ситуации эксперимента, можно
увидеть, что параметр К задается доступным количеством пищи. Задерж-
ка Т приблизительно равна времени, которое требуется личинке, чтобы до-
стичь зрелости. Тогда единственным неизвестным параметром остается т —
свойственная данной популяции скорость роста. На рис. 1.12 показано срав-
нение модели с экспериментальными данными для величины гТ = 2,1, что
соответствует периоду, равному приблизительно 4,54Т. Если мы примем,
что наблюдаемый период равен 40 дням, период запаздывания будет равен
приблизительно 9 дням, хотя истинная длительность запаздывания обыч-
но приближается к 11 дням. Как видно из модели, если К увеличивается
1.3. Модели с запаздыванием
47
в два раза, в отношении периодичности во времени ничего не меняется,
поэтому мы можем применить масштабирование, написав N/К для 7V; это
отсутствие изменений в зависимости от К как раз и наблюдалось.
Приятно видеть, что даже такая простая модель, как (1.12), может дать
вполне приемлемые результаты. Это объясняет широту использования мо-
делей с запаздыванием в изучении динамики одиночных популяций с пе-
риодическим поведением. Важно, однако, не стать жертвой заблуждения
о корректности и обоснованности модели только на основании того, что
некоторые ее решения так хорошо, даже в численном отношении, согла-
суются с данными эксперимента; с этим явлением, больше похожим на
ловушку, мы будем неоднократно встречаться на страницах этой книги,
особенно в главах 2-6 тома II, где обсуждается возникновение структур
и форм биологических объектов. Из экспериментальных данных, представ-
ленных на рис. 1.12, мы видим воспроизводящийся «второй пик», который
не содержится в решении (1.12). К тому же различие между вычисленным
запаздыванием в 9 дней и действительным запаздыванием в 11 дней, в сущ-
ности, слишком велико. Gurney et al. (1980) исследовал проблему, используя
более сложную модель с запаздыванием, которая показала еще лучшее сов-
падение с экспериментом, включая два пика репродуктивной активности.
Дополнительный материал по теме можно найти в книге Nisbet и Gurney
(1982), где этот вопрос рассматривается на конкретных примерах.
Другой пример применения модели (1.12) к имеющемуся материалу
дает Мау (1981), который рассматривал популяцию леммингов в окрестно-
стях города Черчилл в Канаде. Колебания численности происходят с четы-
рехлетней цикличностью, при этом продолжительность беременности Т —
= 0,72 года. Популяция полевки из гористой части Шотландии, изучав-
шаяся Stirzaker (1975) при помощи модели с запаздыванием, также имеет
цикличность чуть менее 4-х лет, что опять приблизительно равно 4Т, хо-
тя здесь продолжительность беременности Т — 0,75 года. В этой модели
эффект истребления включен в единственное уравнение для численности
полевок.
В статье, написаной Myers и Krebs (1974), обсуждаются популяцион-
ные волны, свойственные грызунам: обычно они имеют периодичность в 3-
4 года.
Не все периодические явления в популяциях так просто смоделиро-
вать. Одну из серьезных проблем представляют 13- и 17-летний циклы
некоторых видов саранчи, то есть ее появление с интервалом в 13 или
17 лет.
Пожалуй, здесь также стоит отметить, что модели роста популяции
без запаздывания, состоящие из одного обыкновенного дифференциального
48
Глава 1
Рис. 1.12. Сравнение полученных Nicholson (1957) экспериментальных данных по
численности австралийской мухи с решением модели (1.12), где гТ = 2,1. (Из
книги Мау 1975)
уравнения (для одной переменной), то есть модели вида dN/dt =
не содержат решений типа предельных циклов. Мы можем видеть это из
следующего рассуждения. Предположим, что задача имеет периодическое
решение с периодом Г, то есть N(t + Т) = N(t). Умножая это уравнение
на dN/dt и интегрируя от t до t + Т, получаем
ft+T / JAr\ 2 rt+T
/ (лО dt = fW^dt =
Jt \ dt J Jt dt
fN(t+T)
= / f(N)dN =
= o,
так как N(t + T) = N(t). Но интеграл в левой части положителен, посколь-
ку (dN/dt)2 не может тождественно равняться нулю, что является проти-
воречием. Таким образом, уравнение dN/dt = f(N) с одной переменной
не может иметь периодических решений.
1.4. Линейный анализ популяционных моделей
с запаздыванием: периодические решения
Мы видели в последнем разделе, что дифференциальная модель с за-
паздыванием может иметь периодические решения типа предельного цик-
ла. Одним из показателей их существования является неустойчивость ста-
ционарного состояния и возникновение колебаний, хотя, конечно, этим дело
1.4. Линейный анализ популяционных моделей
49
не ограничивается. Здесь мы рассмотрим линеаризацию уравнения (1.12)
вблизи равновесных состояний N = 0 и N = К. Малые отклонения от
N = 0 удовлетворяют уравнению dN/dt ~ rN, которое показывает, что
состояние N = 0 неустойчиво, так как N растет экспоненциально. Таким
образом, мы должны рассмотреть только возмущения стационарного сос-
тояния N = К.
Как и раньше, целесообразно привести модель (1.12) к безразмерному
виду, записав
jv*(t) = t* = rt, Т* = rT, (1.14)
К
где звездочки означают безразмерные величины. Теперь, для упрощения
записи можно отбросить звездочки, помня, однако, что теперь мы имеем
дело с безразмерными величинами; тогда (1.12) приобретает вид:
®=W)[1-W-T)]. (1.15)
Теперь проведем линеаризацию вблизи стационарного состояния N = 1,
записав
7V(t) = l + n(£) => ^—n(t — T). (1.16)
dt
Мы ищем решения (1.16) для n(t) в виде
n(t) = ceXt => А = —е~хт, (1-17)
где с является константой, а собственные значения А — это решения второго
уравнения в (1.17), трансцендентного уравнения, в котором Т > 0.
Найти аналитическое решение (1.17) вовсе не просто. Однако, все,
что мы хотим узнать с точки зрения устойчивости, — это существуют ли
какие-либо решения с ReA > 0, что на основании первого уравнения (1.17)
предполагает неустойчивость, поскольку в этом случае n(f) растет экспо-
ненциально во времени.
Пусть А = /л -I- ш, Существует такое действительное число д/о, что все
решения А второй части (1.17) удовлетворяют условию ReA < /zq. Чтобы
убедиться в этом, возьмем модуль |А| = е~^т, тогда, если |А| —> с», то
е~^т —> оо, что требует, чтобы /л —> —оо. Таким образом, должно суще-
ствовать число /ло, которое ограничивало бы ReA сверху. Если мы введем
z — 1/А и w(z) = l-hze-T7z, то w(z) будет иметь сингулярность при z — 0.
Тогда по теореме Пикара вблизи z = 0 уравнение w(z) = 0 имеет беско-
нечно много комплексных корней. Таким образом, существует бесконечно
много корней А.
50
ГЛАВА 1
Далее мы возьмем действительную и мнимую части трансцендентного
уравнения в (1.17), а именно,
/1 = — е~цТ coswT, ш = е~цТ sinwT, (1-18)
и определим диапазон Т так, что /1 < 0. То есть мы хотим найти такие
условия, при которых верхний предел величины //, //0, является отрица-
тельным. Вначале стоит разобраться с простым случаем, где А — действи-
тельное число, то есть ш = 0. Как следует из (1.18), условие ш = 0 удо-
влетворяет второму уравнению (1.18), а первое уравнение приобретает вид
/1 = — е~^т. У него нет положительных корней /л > 0, поскольку > 0
для всех /лТ, что также можно видеть, представив каждую часть уравнения
как функцию /л и отметив, что графики этих функций могут пересекаться
при Т > 0, только если /л < 0.
Рассмотрим теперь случай, когда ш 0. Как следует из (1.18), если
является решением, то таким же решением является и —и?, так что мы мо-
жем рассмотреть только случай и > 0 без потери общности. Из первой
части (1.18) следует, что условие ц < 0 требует, чтобы шТ < тгIе!, так как
—е~цТ < 0 для всех /лТ. В принципе (1.18) определяет /л(Т) и ш(Т). Мы
стремимся узнать величину Т, при которой /л(Т) меняет знак с /1 < 0 на
/1 > 0. С ростом Г, начиная от 0, /л = 0, впервые, когда шТ = тг/2. Из
системы (1.18) мы видим, что если /л = 0, то второе уравнение имеет един-
ственное приемлемое решение ш = 1, которое имеет место при Т = тг/2.
Поскольку это первое решение /л при растущем Т, то это дает бифуркаци-
онное значение Т = Тс = тг/2. Другой способ найти это значение состоит
в том, чтобы показать на основании (1.18), что градиент ii(T) при /л = 0,
а именно, (д/л/дТ)т=7Г/2 > 0- Предвидя результат дальнейшего анализа,
что о; < 1 для Т > тг/2, отметим по ходу дела, что (дш/дТ)т=7Г/2 < 0.
Таким образом, мы имеем:
0<Т<| (1.19)
как условие, наложенное на Т для устойчивости решения N = 1.
Вернувшись, наконец, к размерным величинам, мы видим, что стацио-
нарное состояние N(t) = К устойчиво, если 0 < гТ < тг/2, и неустойчиво,
если гТ > тг/2. В последнем случае можно ожидать, что решение будет де-
монстрировать свойства устойчивого предельного цикла. Критическое зна-
чение гТ — тг/2 является бифуркационным значением, то есть таким значе-
нием параметра, в нашем случае гТ, при котором характер решения (1.12)
резко меняется, переходя от устойчивого стационарного состояния к ре-
шению, зависящему от времени. Эффект запаздывания в моделях обычно
1.4. Линейный анализ популяционных моделей
51
проявляется в виде роста вероятности неустойчивости. В нашем случае при
увеличении Т выше бифуркационного значения Тс = к/2г стационарное
состояние становится неустойчивым.
Вблизи бифуркационного значения можно получить первую оценку пе-
риода колебаний. Рассмотрим безразмерное уравнение (115) и положим,
что
Т = Тс + Е=^+е, 0<е<£1. (1.20)
Решением Л = /л 4- iw уравнений (1.18) с самым большим Re А при Т =
= 7г/2 является ц = 0, ш = 1. Для малых е мы ожидаем, что ц и ш будут
отличаться от ц = 0, w = 1 также на малые величины, поэтому пусть
/л = 5, и = 1 + а, 0 < 5 <С 1, |сг| <с 1, (1.21)
где 8 и а предстоит определить. Подставляя их во второе уравнение (1.18)
и разлагая по малым 5, а и е, получаем
1 4- ст = exp — S I 4- £
sin
(1 4- ст) 4-
в первом приближении, в то время как первое уравнение (118) дает
8 = — ехр
cos
(1 4- ст) 4-
=> 6 ~
7ГСТ
2 ‘
Решив их одновременно, получаем
5*
г"
4
£7Г
( >7Г2
2 14-^-
\ 4
(1-22)
И, следовательно, около точки бифуркации первое уравнение (1.17) вместе
с (1.16) дает
2V(t) = 1 4- Re {сexp [8t 4- г(1 4- a)t\}
1 4- Re< с exp
et
(1.23)
52
Глава 1
Это показывает, что нестабильность реализуется в виде нарастающих коле-
баний с периодом
2(1 + ^-)
с точностью до 0(1) для малых е. В размерных единицах — это 2тг 1т, и,
с точностью до 0(1), гТ = 7г/2; получается, что период колебаний ра-
вен 4Т, как мы ожидали на основе приведенных выше интуитивных сооб-
ражений. Исходя из численных результатов для вышеприведенных предель-
ных циклов, решение с гТ = 1,6 имеет период 4,03Т. При гТ = tv/2 + е =
= 1,6 это дает е « 0,029, таким образом, из последнего уравнения следует,
что размерный период с точностью до О(е) равен
« 4,05Т,
7Г । _ £7Г ’ ’
^2
что мало отличается от полученной численным счетом величины 4,03Г.
Когда гТ = 2,1, это дает е ~ 0,53 и соответствующий период 5,26Т, ко-
торый надо сравнивать с вычисленным периодом, равным 4,54Т. Это е
слишком велико для проводимого нами анализа первого порядка (е2 нельзя
пренебречь по отношению к е); более точные результаты можно было бы
получить, если бы мы проводили анализ с точностью до второго порядка.
Естественное появление «медленного времени» Et в N(t) в (1.23)
предполагает, что для получения полного нелинейного решения (одинаково
верного на «быстрых» и «медленных» временах) вблизи бифуркационно-
го значения гТ = tv/2 нужно применить двухвременную асимптотическую
методику. Использование этой методики вполне возможно, о чем сказано,
например, в книге Murray (1984), посвещенной учебному описанию и спо-
собам применения асимптотических методов.
Тема запаздывания или функционально-дифференциальных уравнений
стала теперь весьма популярна. Введение в предмет можно найти в матема-
тической книге Driver (1977). Книга MacDonald (1979) всецело посвящена
временному запаздыванию в биологических моделях. Хотя определение ка-
чественных свойств моделей с запаздыванием при исследовании динамики
роста популяций, равно как и получение нелинейных аналитических ре-
шений вблизи точки бифуркации часто вполне возможно, в целом, для на-
хождения пригодных к использованию количественных результатов нужно
применять численные методы.
1.4. Линейный анализ популяционных моделей
53
Очень полезная методика для определения условий, необходимых для
устойчивости решения линейных уравнений с запаздыванием, приведена
в работе Van Den Driessche и Zou (1998): это использование функции Ля-
пунова (см. Jordan и Smith 1999), которая дает оценку параметрического
пространства устойчивости. К этой методике мы сейчас и обратимся. При-
веденное выше уравнение (1.16) является частным случаем общего урав-
нения
= ay{t) + by(t - г), t > О, (1-24)
где т — это запаздывание, а и Ь — параметры-константы. Мы бы, конечно,
могли провести анализ, аналогичный тому, что был выполнен для уравне-
ния (1.16), и получить необходимые и достаточные условия устойчивости,
определив, тем самым, параметрическое пространство, в котором стацио-
нарное состояние является устойчивым. Пусть у3 — это стационарное сос-
тояние L[j/(t)] — функция Ляпунова, если £,[?/(£)] > 0 для всех y(t) ф у3,
где уз определяется из решения L[?/s] = 0 (то есть L — это положительно-
определенная функция), и dL[y(t)]/dt < 0 для всех y(t) ф у3. Если такую
функцию можно найти, то тогда у3 глобально асимптотически устойчиво,
и никаких решений в виде замкнутых орбит не возникает. Такая функция
Ляпунова может быть найдена для (1.24); она дается выражением:
b[j/(t)] = y2W + |Ь| y2(s)ds, (L25)
где y(t) — это решение (1.24).
Покажем, что это и в самом деле функция Ляпунова. Конечно L > О
для всех у / 0 и L = 0, когда y(t) = ys = 0. Более того,
^=2y(f)^ + |b| [y2(t)-l/2(t-r)] =
(Lb CLL
= 2ay2(f) + 2 |Ь| y(t)y(t - г) + |b| [y2(t) - y\t - r)] < (1.26)
2ay2(i) + |b| [y2(f) + y2(t - t)] + |b| [y2(t) - y2(t - r)] =
= 2(a + |b|)y2(i) < 0, для a < - |&|.
Итак, L[j/(t)] удовлетворяет всем условиям функции Ляпунова, и, таким
образом, стационарное состояние у3 = 0 является глобально устойчивым
для всех а < — |Ь|, что и определяет параметрическое пространство, где
состояние у = 0 устойчиво, а не только линейно устойчиво. Если провести
полный анализ устойчивости, аналогичный сделанному нами для (1.16), то
станет видно, что область устойчивости на самом деле больше, но незна-
чительно; в целом в обоих случаях их общая форма схожа.
54
Глава 1
1.5. Модели с запаздыванием в физиологии: болезни
с периодической динамикой
Существует множество физиологических заболеваний с острым тече-
нием, где первичные симптомы проявляются в виде нерегулярности или
нарушения периодичности контролирующих процессов, которые в норме
являются периодичными, или, напротив, возникновением колебаний там,
где в норме их не существует. Glass и Mackey (1979) назвали подобные
физиологические заболевания с периодическим ходом течения «динамиче-
скими болезнями» и провели тщательное исследование некоторых важных
физиологических состояний. Описание сходных физиологических явлений
вместе со способами их моделирования приводится также в вышедших
под редакцией Rensing с соавторами (1987) материалах симпозиума, спе-
циально посвященного нарушениям временной регуляции периодических
процессов у людей, а также в неформальной, полной наглядных примеров
и содержащий множество прикладных задач книге Glass и Mackey (1988),
равно как и в книге под редакцией Othmer с соавторами (1993). Другие
примеры содержатся в книгах Mackey и Milton (1990) и-Milton и Mackey
(1989). Сейчас мы планируем обсудить два примера, которые были смоде-
лированы, проанализированы и сопоставлены с экспериментальными на-
блюдениями в работе Mackey и Glass (1977). Обзорная статья по динами-
ческим заболеваниям авторов Mackey и Milton (1988) имеет прямое от-
ношение к обсуждаемому материалу и содержит интересные примеры из
нейрофизиологии. Дополнительные примеры по теме можно найти в книге
Keener и Sneyd (1998). Хотя объектом второй из обсуждаемых нами моде-
лей является популяция клеток, в первой модели речь идет не о популяции,
а о концентрации газа. Тем не менее она естественным образом связана
с остальным материалом, поскольку представляет собой дифференциаль-
ную модель с запаздыванием для скалярной величины, и ее анализ прямо
приложим ко второй задаче. Кроме того, она представляет самостоятельный
интерес.
Чейн-Стоксово дыхание
Первый пример посвящен Чейн-Стоксову дыханию, которое представ-
ляет собой заболевание, состоящее в нарушении обычного дыхательного
ритма. Амплитуда дыхательных движений, напрямую связанная с дыха-
тельным объемом — вентиляцией V, — то увеличивается, то убывает, а каж-
дый период дыхания разделяется периодами апноэ, то есть такими перио-
дом, когда объем вдыхаемого воздуха крайне мал. На рис. 1.13 представлена
типичная спирограмма больных с Чейн-Стоксовым дыханием.
1.5. Модели с запаздыванием в физиологии
55
Время (мин)
Рис. 1.13. Спирограмма дыхательных движений 29-летнего мужчины с Чейн-Сток-
совым дыханием. Типичная временная зависимость увеличивающегося и умень-
шающегося объема дыхания с вкраплениями периодов низкого уровня вентиля-
ции — апноэ (перерисовано с разрешения Mackey and Glass 1977)
Прежде всего для построения модели нам нужны некоторые физиоло-
гические факты. Уровень СО2 в артериальной крови, пусть это будет c(t),
детектируется рецепторами, которые, в свою очередь, определяют уровень
насыщения легких воздухом. Считают, что эти СО2-чувствительные рецеп-
торы находятся в стволе мозга, что означает, что временная задержка, пусть
это будет Т, является врожденным свойством системы контроля за уровнем
дыхания. Известно, что кривая вентиляции в ответ на повышение уровня
СО2 имеет сигмоидный вид. Мы знаем, что вентиляция V в ответ на изме-
нение с адекватно описывается так называемой функцией Хилла и имеет
вид:
у - у _____~ _________ (1 27)
г — Vmax .
am + cm[t - T)
где Цпах — это максимально возможная вентиляция, параметр а и коэф-
фициент Хилла тп — положительные константы, которые определяются из
экспериментальных данных. (Биологический смысл функций Хилла и спо-
соб их определения обсуждаются в главе 6.) Мы принимаем, что скорость
выхода СО2 из крови пропорциональна произведению вентиляции и уровня
СО2 в крови.
Пусть р будет постоянная скорость образования СО2 в теле человека.
Тогда динамику уровня СО2 можно смоделировать следующим образом:
=p-№c(t) С"^Г)Т)' (1'28)
где b — положительный параметр, также определяемый из эксперименталь-
ных данных. Время запаздывания Т — это время, которое проходит между
56
Глава 1
насыщением крови кислородом в легких и мониторингом этого процесса
хеморецепторами, расположенными в стволе мозга. Как мы увидим, эта
дифференциальная модель первого порядка с запаздыванием демонстриру-
ет качественные черты как нормального, так и патологического дыхания.
Начнем анализ (1.28) с введения безразмерных величин
й&Цпах тг* V
а = ^р— ’ V = —'
г vmax
после чего уравнение модели приобретает вид:
xm(t - Т}
x'(t) = 1 - = 1 - axV^1 ~ ТУ>' (L30)
где для простоты обозначения мы опускаем звездочки у t и Т.
Как и раньше, мы можем судить о динамическом поведении решений,
проведя линейный анализ устойчивости стационарного состояния xq, по-
лученного из уравнения (1.30):
1 = а 2 m = axQV(xQ) = axoVo, (1-31)
i+^o
где Vo в последнем уравнении — это безразмерная величина вентиля-
ции в устойчивом стационарном состоянии. Простой график зависимостей
1/ахо и V(xq) от д?о показывает, что существует единственное положитель-
ное стационарное состояние. Рассмотрим теперь небольшое отклонение от
стационарного состояния xq9 записав, что и = х — xq, где |и| мало. Осуще-
ствив подстановку в (1.30) и сохранив только линейные члены, из (131)
получаем:
и' = — aVou - axQVnu(t — Т), (1.32)
где Vq = dV(xo)/dxo — положительная величина. Как и в последнем раз-
деле, мы ищем решение в следующем виде:
u(t) ос eXt => Л = — qVq - ахо\^е~хт. (1.33)
Если максимальная действительная часть решения Л отрицательна, то тогда
стационарное состояние является устойчивым. Поскольку в данном слу-
чае нас интересует колебательная природа болезни, нам важно знать, где
1.5. Модели с запаздыванием в физиологии
57
находится диапазон параметров, в котором стационарное состояние явля-
ется неустойчивым, и, в частности, где возникают нарастающие колеба-
ния, переходящие в поведение типа предельного цикла. Таким образом, как
и прежде, мы должны определить бифуркационные значения для парамет-
ров, при которых ReA = 0.
Пусть А = /z-1-га;. Так же, как и в предыдущем разделе, легко показать,
что существует такое действительное число /хо> при котором для всех ре-
шений А из (1.33) ReA < /хо> а также что действительного положительного
решения не существует. Для упрощения формы записи можно представить
трансцендентное уравнение (1.33) в следующем виде:
Л = -А - Ве~хт, A = aV0>Q, В = ах0Щ > 0. (1.34)
Приравняв реальную и мнимую части, получаем:
= —А — Ве~^т cosa/Г, ш = Ве~^т sin ivT. (1.35)
Одновременное решение обоих уравнений дает нам д и w, которые выра-
жаются через А, В и Т: конечно, мы не можем определить их точно, как
мы это видели в разделе 1.4. Бифуркация, которая нас интересует, происхо-
дит при /х = 0, поэтому нам предстоит рассмотреть диапазон параметров,
допускающих данное решение. При /х = 0 последние уравнения с s = шТ
дают:
ctgs = -^, => < 3] < 7Г (1.36)
для всех конечных АТ > 0, где si является решением. Мы можем увидеть,
что такое решение $1 существует, построив графики функциональных зави-
симостей ctg s и —AT/s от s. Существуют, конечно, и другие решения sm
этого уравнения в диапазоне [(2m -I- 1)тг/2, (m 4- 1)тг] для тп = 1,2,...,
но нам нужно рассмотреть только наименьшее положительное решение si,
поскольку так можно определить бифуркационную точку для наименьшей
критической величины Т > 0. Теперь нам нужно определить диапазон па-
раметров, в котором существует решение при д = 0 и «ь подставленном
обратно в уравнение (1.35). Другими словами, нам следует выяснить, какие
ограничения существуют для А, В иТ, при которых уравнения
0 = —А — В cos si, si = ВТ sinsi
совместимы. Это означает, что
ВТ = [(АТ)2 + з2]1/2. (1.37)
58
Глава 1
Если В, А и Т, которые определяют si, таковы, что последнее равенство
невыполнимо, тогда решений, где бы /х = 0, не существует.
Коль скоро А и В — положительные величины, решение устойчиво
в предельном случае Т = 0, поскольку тогда ReA = /1 = —А — В < 0.
Теперь рассмотрим (1.35) для случаев, когда Т равно или больше 0. Как
следует из последнего уравнения и из (1.36), решений с /х = 0 не может
существовать, если
ВТ < [(ЛТ)2 + з?]1/2,
(1-38)
Si ctg 31 = -АТ, 2 < 31 < 7Г
и, из соображений непрерывности, начиная от Т = 0, мы должны иметь
/1 < 0. Таким образом единственным условием возникновения бифурка-
ции, где бы /1 = 0, является (1.37). Или, выражаясь другими словами,
если выполняется (1.38), стационарное решение (1.30) является линейно
и глобально устойчивым. В терминах исходных безразмерных переменных
с помощью (1.34) можно записать искомые условия следующим образом:
ах0ЩТ< [(aV0^)2 + s?]1/2,
(1.39)
$1 ctg Si = -aVoT.
Если мы теперь зафиксируем величины Л и В, то бифуркационное зна-
чение Тс определяется из первого выражения (1.38), где знак «меньше»
изменен на знак равенства.
Фактические значения параметров для здоровых людей были получе-
ны Mackey и Glass (1977). Концентрация газа в крови определяется по его
парциальному давлению, измеряемому в мм ртутного столба (то есть в то-
рах). В соответствии с размерной системой (1.28), эти параметры оценива-
ются как:
Сл = 40 мм рт. ст., р = 6 мм рт. ст./мин, Vb = 7 л/мин,
(1.40)
Vq = 4 л/мин мм рт. ст., Т = 0,25 мин.
Из выражения (1.31), которое определяет безразмерное стационарное со-
стояние, мы имеем a Vo = 1/rro- Тогда, учитывая (1.39) и пользуясь (1.40),
вместе с проведенным в (1.29) переходом к безразмерным величинам, по-
лучаем:
тггтп Т p7dimensjonai
aV°T = ^ =--------Сб-----= °’0375-
1.5. Модели с запаздыванием в физиологии
59
Решением второй части выражения (1.39) с такой маленькой правой частью
является si « тг/2, и тогда si aVoT, что означает, что неравенство для
устойчивости из первой части выражения (1.39), приближенно, но с хоро-
шей точностью, преобразуется к виду:
V' < я
° 2ах0Т'
(1-41)
Итак, если градиент вентиляции в стационарном состоянии становится
слишком высок, стационарное состояние теряет устойчивость и систе-
ма переходит в периодический режим предельного цикла. Со значениями
из (1.40), критическая размерная величина Vq равна 7,44 л/мин мм рт. ст.
Градиент увеличивается с коэффициентом Хилла тп (1.27). Конечно, и дру-
гие параметры могут вызывать периодическое поведение; достаточно лишь
нарушить неравенство (1.41).
Из выражения (1.27) мы можем определить приводящие к неустойчи-
вому состоянию значения тп и а в размерных единицах, используя (1.41)
вместе с (1.29) и Vo из (1.31). На рисунках 1.14(a) и (Ь) представлены
результаты численного моделирования (1.28) для двух значений Vo' в раз-
мерных единицах.
Отметим, что период колебаний для обоих решений, представленных
на рисунке 1.14, равен приблизительно 1 минуте, или 4Т, где Т = 0,25 мин,
что является оценочной величиной запаздывания, данной в (1.40). Это чис-
ло соответствует результату, полученному из анализа, проведенного в пос-
леднем разделе. Анализ возмущений вблизи точки бифуркации, аналогич-
ный проведенному в последнем разделе, показывает, что период растущего
нестабильного решения равен приблизительно 4Т. Эту задачу предлагается
решить самостоятельно (упражнение 6).
Интересно, что реальные оценки периода, полученные в ходе экспери-
мента, приблизительно в два-три раза больше, чем время запаздывания, по-
лученное в результате моделирования. Представленная здесь модель оцен-
ки содержания двуокиси углерода в крови очень проста, и проводить ее де-
тальное количественное сравнение с идущими в живом организме сложны-
ми процессами едва ли уместно. Тем не менее модель показывает, как в хо-
де реальных физиологических процессов происходит запаздывание и воз-
никают колебания, что и наблюдается у больных с Чейн-Стоксовым дыха-
нием.
Проблема нарушения периодичности дыхательных движений детально
изучалась в работе Fowler и Kalamangalam (2000; см. другие ссылки в этой
работе). Они предположили возможность существования совершенно дру-
гого механизма болезни. Динамика системы, согласно их теории, определя-
60
Глава 1
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Время (мин)
Рис. 1.14. (а) Решение модели (1.30), представленное в размерных величинах для
Vo = 7,7 л/мин мм рт. ст. (Ь) То же решение для Vq = 10,01 л/мин мм рт. ст. Видны
выраженные участки апноэ, или участки, где газообмен крайне мал; это решение
следует сравнить со спирограммой на рис. 1.10. (Из Glass and Mackey 1979)
ется взаимодействием между двуокисью углерода в различных отделах тела
человека, и ее производство ни на что не влияет. Они показали, что дыха-
тельная система подвержена колебательной неустойчивости, когда, как это
бывает у больных с сердечной недостаточностью, количество крови, выбра-
сываемое сердцем, заметно снижено. Далее они показали, что время цик-
ла приблизительно в два раза больше временной задержки, наблюдаемой
в мозговых артериях, и что это согласуется с недавно проведенными на-
блюдениями за больными с нарушениями сердечной деятельности. Кроме
того ученые представили различные реакции сердца в ответ на изменение
уровня двуокиси углерода в крови и, как результат, возникновение различ-
ных временных задержек, показав, что они носят стабилизирующий харак-
тер. Важный аспект их работы составляет также обширная дискуссия по
вопросам физиологического смысла варьирования параметров их модели.
Моделирование дыхательных процессов ставит перед исследователем
множество сложных и интересных задач; на эту тему можно, например,
прочесть сборник статей под редакцией Benchetrit с соавторами (1987).
Кроме того, проблемы с периодичностью дыхательной деятельности связа-
ны не только с патологиями сердца и мозга. В книге Hoppensteadt и Peskin
(1992) можно найти другие физиологические примеры.
1.5. Модели с запаздыванием в физиологии
61
Регуляция гемопоэза
Второй пример мы рассмотрим кратко, поскольку из-за сходства с пер-
вым случаем его детальный анализ едва ли необходим. Он связан с регу-
ляцией кроветворения, то есть образования клеточных элементов крови че-
ловека. Белые и красные кровяные тельца, тромбоциты и другие элементы
крови образуются в красном костном мозге и оттуда попадают в кровяное
русло. Когда уровень кислорода в крови снижается, это ведет к высвобож-
дению вещества, которое, в свою очередь, влияет на образование формен-
ных элементов крови в костном мозге. Таким образом, мы наблюдаем об-
ратную связь между кровью и костным мозгом. Считается, что нарушения
в системе обратной связи являются основными причинами болезней кро-
ви с периодическим течением вообще, и этой болезни в частности. Более
подробное описание соответствующего физиологического процесса и его
моделирование можно найти в книгах Mackey и Glass (1977) и Glass и Mac-
key (1979).
Пусть c(t) — это концентрация клеток в кровяном потоке, и пусть еди-
ницей измерения с будут клетки/мм3. Мы полагаем, что клетки умирают
со скоростью, пропорциональной их концентрации в крови, как дс, где па-
раметр д измеряется в единицах (день)-1. После сокращения количества
клеток в кровяном русле требуется около шести дней, прежде чем кост-
ный мозг образует новые клетки и восполнит потерю. Таким образом, мы
предполагаем, что поступление Л клеток в кровяной поток зависит от кон-
центрации клеток в потоке в более раннее время, c(t—Т)9 где Т — это запаз-
дывание. На основании нашего предположения можно предложить модель,
записав ее в виде следующего уравнения:
^=A(C(t-T))-gc(i). (1.42)
Mackey и Glass (1977) предлагают два возможных вида функции X(c(t—Г)).
Для нашего рассмотрения мы выбираем следующий вид:
de = >amc(t - Т) _
dt ~ am + cm(t - Т) 9С'
(1-43)
где А, а, тп, д и Т — положительные константы. Это уравнение можно про-
анализировать точно таким же образом, как было уже сделано с (1.28)
(упражнение 5). Процедура состоит в переходе к безразмерным величи-
нам, поиске стационарного состояния, исследовании линейной устойчивос-
ти и определении условий нестабильности. Вблизи бифуркационных вели-
чин параметров, которые индуцируют колебательный рост нестабильности,
62
Глава 1
теория возмущений дает нам возможность оценить период нарождающего-
ся предельного цикла. На рисунке 1.15(a) и (Ь) представлено численное мо-
делирование (1.43) для двух значений запаздывания Т и параметров, при
которых стационарное состояние неустойчиво.
с(£)/а I (а)
100 * 200 1 300 * 400 * 500 * 600
Время (сут)
" 100 200 * 300 1 400 1 500 600
Время (сут)
Время (сут)
Рис. 1.15. (а) Численное решение (1.43), модели гемопоэза (регуляции концентра-
ции клеток крови), с величинами параметров д = 0,1 день-1, А = 0,2 дня-1, тп =
= 10 и запаздыванием Т = 6 дней. Низкоамплитудные колебания имеют период
около 20 дней. (Ь) Численное решение (1.43) с теми же значениями параметров, как
и в (а), за исключением более длительного запаздывания Т = 20 дней. Можно ви-
деть апериодическое поведение системы, (с) Содержание клеток крови у 12-летней
девочки, страдающей хронической лейкемией. Приблизительный период колебаний
составляет около 72 дней. (Из Mackey and Glass 1977)
1.5. Модели с запаздыванием в физиологии
63
Одним из проявлений лейкемии являются, например, периодические
колебания числа белых кровяных телец. На рисунке 1.15(c) дан пример
таких колебаний, обнаруженный у 12-летней пациентки, страдающей хро-
нической миелогенной лейкемией. Хотя общая картина квазипериодична,
в действительности она апериодична. Сравните рисунки 1.15(b) и (с).
Качественное изменение поведения системы в ответ на увеличение за-
держки свидетельствует о ее переходе в состояние, которое в настоящее
время принято называть хаосом. Более детальное обсуждение хаоса дано
в следующей главе. По сути под хаосом мы понимаем такое решение, кото-
рое со временем никоим образом не повторяется. Рабочее определение хао-
са следующее — это апериодическое поведение детерминированной систе-
мы, которой свойственна зависимость от начальных условий: самые незна-
чительные изменения в начальных условиях могут вызвать очень большие
изменения в дальнейшем. Признаки периодического поведения системы
и возникновения хаоса могут быть предсказаны из графика зависимости
c(t — Т) от c(t) для различных значений параметров. На рисунке 1.16 пред-
ставлена серия качественно меняющихся периодических решений (1.43)
при увеличении параметра тп.
Поведение системы траекторией на фазовой плоскости в виде простой
замкнутой кривой на рисунке 1.16(a) свидетельствует о простом периодиче-
ском решении. Так, например, начавшись в точке Р, траектория описывает
кривую и по прошествии конечного отрезка времени опять возвращается
в точку Р. Другими словами, если c(t) = Ci в момент времени ti, то c(t)
опять будет равняться ci, когда время t возрастет на период: на рисун-
ке 1.15(a) видно типичное решение c(t) как функции времени. Если теперь
посмотреть на рисунок 1.16(b), то может показаться, что это — удвоен-
ная траектория типа той, что представлена в (а); для того, чтобы вернуться
в исходную точку, нужно пройти путь дважды. Типичное решение в данном
случае аналогично решению, представленному на рисунке 1.17(a).
Решения с(£), представленные на рисунке 1.16, иллюстрируют важную
общую черту многих модельных систем, а именно, различные периодиче-
ские режимы системы при прохождении параметра через особые бифурка-
ционные значения; в данном случае это коэффициент Хилла тп в (1.43).
Обратимся теперь к рисунку 1.17(b). Если начать движение от точ-
ки Р, то решение сначало уменьшается со временем, а затем возрастает
по мере движения вдоль траектории по первой внутренней петле. Теперь,
когда c(f) достигает точки Q, вместо того, чтобы опять пойти по той же
петле через точку Р, решение проходит по внешней петле через точку R.
Через Р оно проходит во время второго оборота. Как и раньше, решение,
конечно, периодично, но выглядит оно как смесь двух решений, представ-
64
Глава 1
ленных на рисунке 1.15(a), но с другими периодами и амплитудами. По
мере увеличения тп траектории на фазовой плоскости становятся все более
запутанными, предполагая более сложные режимы поведения c(t). Для слу-
чая, изображенного на рисунке 1.16(e), фазовая точка описывает очень мно-
го петель, прежде чем предположительно возвращается в исходную точку.
В действительности этого не происходит! Решения в подобных случаях яв-
ляются непериодическими, хотя внешне выглядят как квазипериодические.
Это — пример хаотичного поведения.
Представленное на рисунке 1.15(b) решение уравнения (1.43) являет-
ся примером хаотичного поведения системы, тогда как на рисунке 1.15(c)
можно видеть динамическое поведение системы при определении количе-
ства белых кровяных телец в кровяном потоке больной лейкемией. Хотя
на рисунках 1.15(b) и (с) представлено сходное апериодическое поведение
системы, все же опасно на основании этого сходства делать вывод, что
эта модель хорошо описывает поведение белых кровяных телец у больной
лейкемией. Это упражнение по моделированию наглядно показывает, что
запаздывание может играть существенную роль в нарушении хода физио-
логического процесса. В нашем случае предполагается, что непостоянное
количество белых кровяных телец в крови — следствие недостаточного про-
изводства клеток костным мозгом. Итак, хотя подобная модель способна
прояснить важные вопросы, которые мог бы задать врач-физиолог, для ис-
пользования ее в практических целях необходимо тесное сотрудничество
многих специалистов, работающих в смежных областях, ибо только так
предположения и выводы, какими бы правдоподобными они ни казались,
могут наполниться реальным смыслом.
Численное моделирование дифференциальной модели с запаздыва-
нием (1.43), представляющей наглядный пример целого класса моделей,
демонстрирует каскад бифуркаций периодических режимов, переходящих
в хаотическое поведение. В дальнейшем с ростом параметра решения опять
становятся когерентными или периодическими и далее вновь появляется
хаос, и т. д. Как мы уже говорили, сходное поведение появляется в различ-
ных ситуациях, обсуждаемых в следующей главе, посвещенной дискрет-
ным моделям: бифуркация удвоения периода может быть получена ана-
литически. Такое явление каскадного удвоения периода, ведущего к ха-
осу с хаотическими режимами, разделенными последовательными коге-
рентными режимами с удвоенным периодом, часто имеет фрактальную
структуру. Мы обсудим такие фракталы в следующей главе, а фракталы
в других контекстах — позже в главе 14. Существование описанного выше
типа последовательного бифуркационного поведения в модельных систе-
мах имеет большое значение для биомедицинских исследований: напри-
1.5. Модели с запаздыванием в физиологии
65
Рис. 1.16. Различные периодические режимы, полученные в результате численного
решения модели гемопоэза (1.43), где у = а = 1, Л = 2, Т = 2, а диапазон из-
менений тп от тп = 7 до тп = 20. Отметим переход от простого периодического
режима, представленного на рис. (а), к сложному хаотическому поведению, пока-
занному на рис. (е). При еще больших m система опять возвращается к регулярному
периодическому поведению для того, чтобы перейти к следующему этапу хаотиче-
ского поведения, как показано на рис. (i). Подробное объяснение дается в тексте.
(Воспроизводится с разрешения Mackey and Milton 1988)
66
Глава 1
Рис. 1.17. (а) Качественное решение c(t), когда переменные в дифференциальном
уравнении с запаздыванием (1.28) имеют траекторию на фазовой плоскости подоб-
ную той, что показана в (Ь) или случаю, показанному на рисунке 1.16(b)
мер, в книге под редакцией Othmer и других (1993) многие главы посвя-
щены реальным примерам колебательных явлений в медицине и физиоло-
гии.
1.6. Рациональное использование одиночной естественной
популяции
Совершенно очевидно, насколько важным является экологически обос-
нованный подход к рациональному использованию любого возобновимо-
го ресурса, будь то звери, рыбы, растения или что-то другое. К тому же
обычно мы стремимся получить максимальный гарантированный урожай
в наиболее короткий срок. Включение экономических факторов в популя-
ционные модели возобновимых ресурсов происходит все более часто, что
неизбежно накладывает на эти модели серьезные ограничения. Материал
по данному вопросу можно найти в богатых идеями книгах Clark (1976;
1985; 1990). В книге Kot (2001) также есть глава, посвященная моделям
рационального использования природных ресурсов и теории оптимального
управления. В обзорной статье Plant и Mangel (1987) рассказывается о регу-
ляции численности насекомых-вредителей. Модель, которую мы обсужда-
ем в данной главе, является простой логистической моделью с элементами
изъятия части популяции в виде сбора урожая; ее описание дается в работе
Beddington и Мау (1977). Несмотря на явную простоту, она содержит инте-
ресные и важные особенности, которые должны учитваться более сложны-
1.6. Рациональное использование естественной популяции 67
ми моделями. Rotenberg (1987) также рассматривает логистическую модель
с изъятием части популяции в виде сбора урожая, которая описывает явле-
ние более количественно. В этой же работе исследуется влияние отдельных
стохастических параметров на возможное исчезновение популяции.
Большинство видов имеет скорость роста, которая зависит от их чис-
ленности и обеспечивает относительно постоянную численность популя-
ции, соответствующую емкости среды К. Это означает, что уровни рож-
даемости и смертности приблизительно равны. Изъятие части популяции
влияет на уровень ее смертности, и, если эта величина умеренная, популя-
ция приспосабливается, переходя в новое равновесное состояние Nh < К.
Задача моделирования состоит в том, чтобы увеличить объем гарантирован-
ного урожая посредством определения динамики роста популяции, с тем
чтобы установить такую скорость сбора урожая, которая бы поддерживала
популяцию в состоянии максимального прироста.
Мы обсуждаем в данной части базовую модель, состоящую из логи-
стической популяционной модели (1.2), в которой повышенный показатель
смертности в результате сбора урожая определяется членом, линейно про-
порциональным 7V, а именно,
dN=rN
dt V к
— EN = f(N).
(1-44)
Здесь г, К и Е — положительные константы, и EN — количество собранно-
го урожая за единицу времени, где Е является мерой активности промыс-
ла. К и г — это емкость среды и удельная линейная скорость роста соответ-
ственно. Новое ненулевое стационарное состояние, как следует из (144),
определяется выражением:
Nh(E)=Kl 1-^ 1 >0, если Е < г,
(1-45)
что дает выражение для количества добытого продукта:
Y(E) = ENh(E) = EK\l-^
(1-46)
Очевидно, что если активность промысла достаточно велика и превышает
линейную скорость роста при низкой численности популяции, вид вымрет.
То есть, если Е > г, единственным реалистичным стационарным состояни-
ем является N = 0. Если Е < г (условие, которое далеко не всегда выпол-
няется, как это было, например, с китобойным промыслом в начале 70-х),
68
Глава 1
максимальный возобновляемый урожай и новое стационарное состояние
после сбора урожая определяются из (1.46) и (1.45):
Ум = Г(£)|£=г/2 = = f (1-47)
Говорит ли нам анализ динамического поведения системы что-либо отлич-
ное от наивного и широко распространенного анализа стационарного сос-
тояния, приведенного выше?
На рисунке 1.18 показан прирост численности f(N), (1.44) как функ-
ция от N для различных активностей промысла Е. Линеаризация (1.44)
вблизи Nh(E) дает:
* ГШЕУ№ - Nh) = (Е - r)(N - Nh), (1.48)
что указывает на линейную стабильность, если Е < г: стрелки на рисун-
ке 1.18 обозначают устойчивость и неустойчивость.
Рис. 1.18. Функция роста численности f(N) для логистической модели с изъятием
части популяции в виде сбора урожая (1.44). Следует отметить, как с увеличе-
нием Е положительное стационарное состояние уменьшается, стремясь к 0, при
Е-+г
Мы можем рассмотреть динамические аспекты процесса, определив
сколько времени потребуется для восстановления популяции после сбора
урожая. Если Е = 0, тогда, как следует из (1.44), время восстановления
1.6. Рациональное использование естественной популяции 69
Рис. 1.19. (а) Отношение времен восстановления как функция количества собран-
ного урожая в логистической модели роста, где количество собранного урожая про-
порционально численности популяции: уравнение (1.44). (Ь) Графический метод
определения объема урожая У, соответствующего стационарному состоянию сис-
темы для логистической модели (144)
Т = О(1/г), что соответствует временному масштабу скорости воспро-
изводства. Это — порядок величины времени восстановления N до несу-
щей емкости К после небольшого отклонения от К, поскольку для малого
АГ(£) — К и Nh(ty = К, (1-48) показывает, что
~ ~r^N ~К} e~rt-
Если Е 0 иО < Е < г, то время восстановления популяции после сбора
урожая, как видно из (1.48), равно:
и тогда
W)
ТД(0)
(1-49)
Таким образом, для фиксированного параметра г больший показатель Е
влечет за собой более длительное время восстановления, поскольку
Тц(Е)/Тц(0) растет вместе с Е. Когда Е = г/2, величина, дающая макси-
мальный стабильный урожай Ум, есть 7#(Е) = 0(27# (0)).
70
Глава 1
Обычно определение времени восстановления звучит следующим об-
разом; это есть время, за которое происходит уменьшение отклонения от
равновесия в е раз. Тогда, с точностью до линейных членов
ТЯ(О) = |, =
=> Tr(e=%] =2Гй(0).
(1.50)
Поскольку обычно регистрируется количество собранного урожая У, то ес-
ли мы разрешим уравнение (1.46) для Е в единицах У, то получим
Tr(Y)
Tr(0)
2
(1.51)
1/2 ’
что представлено в виде графика на рисунке 1.19(a), где и L_ обозна-
чают положительный и отрицательный корни (1.51). Очевидно, что более
выгодно оставаться на ветви и заведомо опасно переходить на ветвь L_.
Давайте же посмотрим, что определяет эти ветви.
Предположим, мы начали сбор урожая с небольшой активностью про-
мысла Е; в этом случае, как следует из рисунка 1.19(b), популяция на-
ходится в состоянии равновесия Nh(E) близком к К и Nh(E) > К/2,
что соответствует равновесному состоянию при максимальном сборе уро-
жая Ym- В этом случае отношение времен восстановления Тд(Е)/Тя(0)
из (1.50) приблизительно равно 1. Тогда, увеличивая Е и, следовательно,
сбор урожая, мы перемещаемся по ветви L+. Если происходит дальней-
шее увеличение Е, то Nh(E) уменьшается в сторону К/2, величины, соот-
ветствующей максимальному возобновимому урожаю Ym, и мы достигаем
точки А на рисунке 1.19(a), где Nh(E) = К12. Если Е продолжает расти,
то Nh(E) < К/2, и время восстановления увеличивается, но количество
собранного урожая снижается — мы попадаем на ветвь L_.
Теперь становится понятным, какой должна быть стратегия сбора уро-
жая для достижения оптимальных результатов, по крайней мере с детер-
министской точки зрения. Активность промысла Е должна быть тако-
вы, чтобы поддерживать равновесную численность популяции выше К/2,
-\\(Е) > К/2, но как можно ближе к К/2, к величине, соответствующей
максимальному гарантированному урожаю. Однако, чем ближе мы подхо-
дим к К/2. тем более осторожными мы должны быть, поскольку суще-
ств} ст опасность случайно оказаться на ветви £_, показанной на рисун-
1.6. Рациональное использование естественной популяции
71
ке 1.19(a). На этой стадии, когда Nh(E) приближается кК/2, нужно про-
вести стохастический анализ, как это сделали Beddington и Мау (1977). Ко-
нечно, случайные элементы уменьшают гарантированность урожая. В дей-
ствительности, как показывает наша модель, они уменьшают средний уро-
жай, который можно получить в результате данной активности промысла.
Прежде чем завершить обсуждение этой модели, можно рассмотреть,
насколько сложным бывает использование подобных моделей для опреде-
ления максимального урожая на практике. В жизни часто бывает, что объем
максимального урожая становится очевиден только после попыток полу-
чить еще больший урожай. Если бы приведенная здесь модель была бы
надежной, подобное развитие событий могло бы закончиться катастрофой,
поскольку, оказавшись на верхней ветви кривой, уже бывает недостаточ-
но просто сократить промысел, чтобы попасть на нижнюю ветвь. Поэтому
даже без стохастического анализа мы можем наблюдать, как случайные из-
менения способны полностью разрушить концепцию максимального гаран-
тированного урожая.
Можно рассмотреть альтернативную стратегию сбора урожая, предпо-
ложив, что наша цель — постоянный урожай Уо. Эта модель, изученная
Brauer и Sanchez (1975), выглядит следующим образом:
^ = тЛг(1-^) -Y0 = f(N-,r,K,Y0). (1.52)
at \ J\ J
Рис. 1.20. (а) Равновесные состояния логистически растущей популяции, постоян-
ную часть которой, Уо, забирают в виде урожая: уравнение (1.52). (Ь) Скорости
роста f(N) в (1.52) при различных увеличивающихся Уо
72
ГЛАВА 1
На рисунке 1.20 показан графический способ определения стационар-
ных состояний при различных Yq. Конечно, существует тривиальный спо-
соб нахождения равновесного состояния аналитически, но часто особенно-
сти поведения системы при изменениях одного единственного параметра
лучше видны из подобного рисунка. Если 0 < Yq < rK/^ — Ym, что соот-
ветствует максимальному гарантированному урожаю, существуют два по-
ложительных стационарных состояния TVi(Yo) и А^^о) > ^1(^о)5 первое
из которых, как следует из рисунка 1.20(b), неустойчиво, а второе — устой-
чиво. Когда Yq —> тК1^ максимальный гарантированный урожай согласно
предыдущей модели еще больше подвержен флуктуациям, поскольку если
случайное отклонение от изменяет N к величине N < АГЬ то тогда
механизм, заложенный в модель, сдвигает N к нулю, как видно из рисун-
ка 1.20(b). Мало того, 7V —> 0 за конечное время, поскольку для достаточно
малых N, выражение (1.52) трансформируется в dN/dt « — Yq, и тогда
для любого начального Nq в момент времени to N(t) « Nq — Yq(1 — to),
и N(t) = 0, когда t — to + Nq/Yq.
Для простого сравнения с моделью постоянной активности про-
мысла мы вычисляем эквивалентное отношение времен восстановления
Tr(Yq)/Tr(0). Время восстановления Tr(Yq) важно только для устойчиво-
го равновесия Ar2(To), которое, как следует из (1.52), дается выражением:
ВД) = у ’
Уо < гК/4.
2
После линеаризации уравнение (1.52) приобретает вид:
d(N-N2(Y0))
dt
« (N - W2)
= -(W-Nj)r [1-^1'/!
Таким образом,
Тд(Уо)
Тд(0)
л _тК_
m 4 ’
(1.53)
что показывает, что Tr(Yq)/Tr(0) —> оо, когда Yq —> Ym. Таким образом,
эта модель является значительно более чувствительной, и едва ли подходит
для выбора стратегии при сборе урожая.
Главный вывод, который можно сделать из данного упражнения по
моделированию, состоит в том, что стратегию при сборе урожая должен
1.6. Рациональное использование естественной популяции 73
определять постоянный уровень активности промысла, а не постоянный
объем урожая. Тем самым, даже такая простая модель, как наша, ставит
под вопрос правомерность законов, регулирующих рыбную ловлю. Более
реалистичная модель, построенная на тех же принципах, что и вышеупомя-
нутая модель, должна учитывать денежные затраты на сбор урожая и дру-
гие показатели, что предполагает механизм обратной связи как возможный
стабилизирующий фактор; см. Clark (1976b; 1985; 1990). Принимая во вни-
мание непредсказуемость реальной жизни, включение в модель обратной
связи может стать необходимостью. Впрочем, даже самые простые модели
могут выявить весьма существенные экологические и долгосрочные эко-
номические проблемы, которые должны бы были рассматриваться более
сложными и реалистичными моделями.
Знание основ получения стабильного урожая возобновимых ресурсов
имеет большое значение в таких сферах хозяйственной деятельности чело-
века, как лов рыбы, заготовка леса или сбор любого другого возобновимого
ресурса, доступность которого зависит от наличия в популяции избыточ-
ного числа особей, способных к размножению. Приведенный выше про-
стейший пример показывает, как незнание объема максимального гаранти-
рованного урожая может легко обернуться катастрофой. Основное поня-
тие возобновимого ресурса определяется наличием в популяции избытка
способных к размножению особей, число которых зависит от самых раз-
ных обстоятельств, многие из которых с трудом поддаются количественной
оценке. Трудности в получении точных данных влекут за собой еще боль-
шие трудности в построении работающих моделей, которые могли бы по-
служить основой для принятия решений. Ludwig с коллегами (см. Ludwig
1993; 1994; 1995; 1996а; 1996b; Ludwig et al. 1993; 1997 и другие приве-
денные в данных работах ссылки) приводят убедительные доводы в поль-
зу более сложных и реалистичных моделей, центральная роль в которых
отводится случайным элементам. В книгах обсуждаются многочисленные
примеры из реальной жизни, которые показывают, как излишне простые
модели могут стать причиной серьезных проблем. Они демонстрируют, как
важно отдавать себе отчет в том, что вымирание популяции, среди прочих
причин, может стать следствием недооценки значимости отдельных пара-
метров, результатом воздействия малых стохастических элементов и ред-
ких катастроф. Каждому, кто намерен серьезно заняться областью экологии,
связанной с учетом возобновимых ресурсов, стоит ознакомиться с данны-
ми трудами. В книге, написанной Getz и Haight (1989), содержится широкое
исследование проблемы заготовки и рационального использования природ-
ных ресурсов. Там же приводится множество математических моделей и их
приложений к исследованиям практических случаев, подкрепленных кон-
74
Глава 1
кретными данными. Книга, вышедшая под редакцией Levin (1994, части 5
и 6), содержит статьи, которые также представляют несомненный интерес.
Не менее интересна книга авторов Hilbom и Mangel (1997), в которой про-
водится сопоставление моделей с имеющимися данными и обсуждаются
многочисленные исследования практических случаев, требующих вероят-
ностного подхода. В книге приводятся сведения по теории вероятности
и статистике, необходимые для исследования различных моделей. В 90-
х годах XX века мы стали свидетелями сокращения численности некоторых
популяций, считавшихся прежде устойчивыми; в их число входит северо-
атлантическая треска и, судя по всему, лосось северо-восточной части Ти-
хого океана. К сожалению, даже в том случае, когда ученые предсказывают
грядущую катастрофу, краткосрочные политические и экономические инте-
ресы препятствуют воплощению научных знаний в жизнь.
1.7. Популяционная модель с возрастным распределением
Одним из недостатков рассмотренных нами моделей, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями, является игнориро-
вание ими возрастной структуры, часто серьезно влияющей на числен-
ность и рост популяции. Хотя большинство природных популяций обладает
структурой, определяемой возрастом или стадией развития, она, как прави-
ло, не имеет первостепенного значения; в тех же случаях, когда она важна,
нужно уметь включать ее в модель. Итак, рассмотрим один из вариантов
известной модели, включив в него зависимость рождаемости и смертности
от возраста.
Одним из способов включения возрастной структуры в популяцион-
ную модель является использование матриц Лесли, предложенных Leslie5
(1945). С их помощью, например, можно включить в модель различные
возрастные группы, детей и взрослых, и дать количественную оценку пе-
ремещения особей из первой группы во вторую. Так, матричная модель
Лесли соотносит данные о численности детей и взрослых в более позднее
5Патрик Лесли был математиком, работавшим вместе с отцом-основателем экологии жи-
вотных Чарльзом Элтоном в Бюро численности животных в Оксфорде в середине 30-х годов
XX века. Несмотря на растущее использование математического моделирования, Элтон нико-
гда до конца не принимал подобных междисциплинарных исследований и всегда при случае
критиковал их. Я познакомился с Элтоном в 70-х годах, во время встречи, организованной для
сотрудников в саду Колледжа Тела Христова в Оксфорде. Когда я сказал о том, что интересу-
юсь экологией животных, и упомянул его широко известную работу, основанную на данных
Компании Гудзонова залива (см. главу 2), он принялся с энтузиазмом рассказывать о популя-
ционных волнах. Узнав, что я — математик, работающий в биологии, он заметно поскучнел
и заметил: «Ах, так вы — из этих» и добавил: «А я думал, вы — другой».
1.7. Популяционная модель с возрастным распределением
75
время с данными об их численности в более раннее время; например, члены
матрицы могут включать показатели рождаемости и выживания. В книгах
авторов Charlesworth (1980), Metz и Diekmann (1986) и Kot (2001) содержит-
ся исследование моделей с возрастным распределением и дается широкий
спектр областей их применения.
Пусть n(t, а) — это плотность популяции в возрастном диапазоне от а
до а + da в момент времени t. Пусть Ь(а) и ц(а), являющиеся функци-
ями возраста а, — это рождаемость и смертность; так, для человека их
качественный вид представлен кривыми на рисунке 1.21. Например, число
особей в возрасте а, которое умирает в течение небольшого отрезка вре-
мени dt, равно a) dt. Рождаемость вносит вклад только в п(£,0);
в возрасте а > 0 рождений может не быть. Закон сохранения для популя-
ции теперь может быть записан в виде:
Рис. 1.21. Качественные зависимости рождаемости (а) и смертности (Ь) человека
как функции возраста (в годах)
Член (dn/dt)da является вкладом в изменение n(t,a) за счет стареющих
особей. Разделив уравнение на dt и отметив, что da/dt = 1, поскольку а —
биологический возраст, получим, что п(£, а) удовлетворяет линейному диф-
ференциальному уравнению в частных производных
дп . дп
dt да
(1-54)
которое справедливо для t > 0 и а > 0. Например, если // = 0, то уравнение
упрощается до уравнения сохранения, которое говорит, что скорость изме-
нения популяции возраста а за время t, равное dn/dt, просто изменяется со
скоростью, равной скорости старения популяции, а именно, дп/да
76
Глава 1
Уравнение (1.54) является дифференциальным уравнением первого
порядка в частных производных, которое требует начальных условий для
n(£, а) по t и а. Начальное условие
п(0,а) = /(а)
(1.55)
говорит, что популяция в момент времени t = 0 имеет определенное воз-
растное распределение /(а). Другое граничное условие для а накладывает-
ся из скорости рождений и имеет вид
п
роо
м= /
6(a)n(£, a) da,
(1.56)
где, для математической простоты, примем верхнюю границу возраста как
сю; 6(a), конечно, будет стремиться к 0 при больших а, как, например, мож-
но видеть на рисунке 1.21(a), и тогда мы можем заменить сю, скажем, на ат,
где 6(a) = 0 для а > ат- Следует отметить, что рождаемость 6(a) появля-
ется только в интегральном выражении (1.56), а не в дифференциальном
уравнении. Уравнение (1.54) часто называется в экологической литерату-
ре уравнением Фон Ферстера, это уравнение используется в самых раз-
ных дисциплинах и во многих областях теоретической биологии, например,
в моделях клеточного роста, где важен возраст клетки. Основной вопрос,
на который нам бы хотелось найти ответ с помощью нашей модели, состо-
ит в том, как же рождаемость 6(a) и смертность р(а) влияют на динамику
популяции по прошествии длительного времени.
Один из способов решения уравнения (1.54) — использование харак-
теристик (см., например, книгу Kevorkian 2000), которые имеют вид:
da -1 dn /л р*^7\
— = 1 и на которых выполняется — = —рп. (1.57)
dt dt
Эти характеристики представляют собой прямые линии
j t 4- ao, а > t,
) t i>Q, cl t,
(1.58)
как показано на рисунке 1.22. Здесь ao и to — это начальный возраст инди-
видуума в момент времени t = 0 в исходной популяции и время его рожде-
ния соответственно. Вторая часть выражения (1.57), которая выполняется
вдоль каждой характеристики, имеет, соответственно, разные решения при
а > t и а < t, другими словами, одна модель для членов популяции, кото-
рые существовали во время t = 0, при а > t, и другая для тех, кто родился
1.7. Популяционная модель с возрастным распределением
77
Рис. 1.22. Характеристики для уравнения Фон Ферстера (1.54)
после t = 0, то есть при а < t. Проинтегрировав вторую часть выраже-
ния (1.57), использовав da/dt = 1 и (1.58), получим решения
n(t, а) — п(0, ао) ехр
а >
где п(0, ао) = п(0, а — t) = f(a — t) из (1.55), и тогда
ti(Z, а) = f(a — t) exp
а > t.
(1.59)
Для а < t
n(t,a) = 7i(^o, 0) exp
и коль скоро 7i(Zo, 0) = n(t — а, 0), то тогда имеем
71 (£, а) = n(t — а, 0) ехр
а < t.
(1.60)
В последнем уравнении n(t — а, 0) определяется из решения интегрального
уравнения (1.56) с использованием (1.59) и (1.60), что дает
71(Z, 0)
а, 0) ехр
(1-61)
Хотя это уравнение линейное, его не так просто решить, впрочем, сделать
это можно путем итерации.
78
Глава 1
Главное, что нас интересует, это динамика популяции на протяжении
длительного периода времени, и, в частности, вопрос, будет ли численность
популяции увеличиваться или сокращаться. Если t велико, и из практиче-
ских соображений мы принимаем, что t > а для всех а, то тогда f(a —
— t) = 0, и все, что нам нужно знать в (1.61), — это первый интегральный
член в правой части уравнения. В этом случае решение аппроксимируется
выражением n(t, а) в (1.60), хотя оно не удовлетворяет граничным услови-
ям по а в (1.56). Мы видим, что найти решение все еще совсем не просто,
поэтому вернемся к исходному дифференциальному уравнению в частных
производных (1.54) и посмотрим, возможны ли другие решения.
Мы можем попытаться решить (1.54), используя метод подобия (см.,
например, книгу Kevorkian 2000), что даст нам
n(£,a) = e7fr(a). (1.62)
То есть возрастное распределение просто заменяется коэффициентом, ко-
торый либо растет, либо уменьшается со временем в зависимости от того,
7 > 0 или 7 < 0. Подстановка (1.62) в (1.54) дает
^Г = - [м(а) + А] Г,
и тогда
г(а) = г(0) ехр —уа —
(1.63)
Подставив это г(а) в (1.62), получим п(£, а), которое при подстановке в вы-
ражение для граничных условий (1.56) дает
e7tr(0) =
—уа —
ехр —уа —
/ fj^sjds (1а = ф('у),
Jo J
(1-64)
и отсюда, отбросив е7*г(0), получим
/•ОО
1=/
что определяет 0(7). Это уравнение определяет единственное 7, скажем 70,
поскольку 0(7) является монотонно убывающей функцией 7. Знак 7 зави-
сит от размера 0(0); см. рисунок 1.23. То есть 70 зависит только от рождае-
мости и смертности, Ь(а) и /Да). Таким образом, пороговая величина S для
роста популяции равна
S = 0(0) =
(1.65)
1.7. Популяционная модель с возрастным распределением
79
где S > 1 значит рост, a S < 1 значит вымирание. В уравнении (1.65) мы
можем рассматривать exp [— [/(s') ds] как вероятность того, что индиви-
дуум доживет до возраста а при условии, что интеграл по всем а не равен
единице.
Решение (1.62), включающее (1.63), не может удовлетворить началь-
ному условию (1.55). Возникает вопрос, аппроксимирует ли оно решение
системы (1.54)-(1.56), то есть нашу исходную задачу, на больших време-
нах. Если t велико, и для всех практических целей для вычисления п(£,0),
определенного в (1.61), требуется только первый интеграл в правой час-
ти (1.61), то тогда
(1.66)
Рис. 1.23. Фактор роста 70 определяется пересечением </>(7) — 1: 70 > 0, если
</>(0) > 1, 70 < 0, если </>(0) < 1
Если теперь мы будем искать решение этого уравнения в форме, подоб-
ной (1.62), то подстановка (1.62) в (1.66) даст (1.64), опять как уравнение
для 7. Таким образом, мы предполагаем, что решение (1.62) с г (а) из (1.63)
и 7 из (164) является решением (1.54) для больших времен t, с начальными
и граничными условиями (1.55) и (1.56). Оно, конечно, определено только
с точностью до константы г(0), но поскольку основной интересующий нас
вопрос состоит в том, будет ли данная популяция расти или сокращаться,
то точное знание г(0) не важно. Важным параметром является пороговый
параметр S в (1.65), благодаря которому можно определить долгосрочные
последствия изменений в показателях рождаемости и смертности.
80
Глава 1
Упражнения
1. Модель популяции гусениц листовертки-почкоеда елового u(Z) имеет
вид:
du (л и\ и2
Tt -r“(I-gbrw'
где г и q являются положительными безразмерными параметрами.
Ненулевое стационарное состояние, таким образом, задается точкой
пересечения двух следующих кривых:
и<«) = (!-5), ВД = ^.
Покажите, пользуясь условиями для двукратного корня, что кривая в г,
q плоскости, которая делит ее на области с одним или тремя положи-
тельными стационарными состояниями, задается параметрически по-
средством:
Г = 2q3 г = 2fl3
(1+а2)2’ а2 — 1
Покажите, что две кривые встречаются в точке возврата, то есть в точ-
ке, где dr/da = dq/da = 0, при а = \/3. Нарисуйте эти кривые на г,
q плоскости, отмечая, что г(а) и q(a) стремятся к некоторому пределу
при а —* оо и а —> 1.
2. В разделе 1.3 мы показали, что не существует решения в виде пре-
дельного цикла для простого дифференциального уравнения первого
порядка (без запаздывания)
Противоположным примером может показаться N(t) = 2 H-sinZ (и лю-
бые другие сходные выражения). Найдите f(N), для которого это вы-
ражение является решением дифференциального уравнения, и объяс-
ните, почему это не является противоположным примером.
3. Если удельная рождаемость популяции определяется выражением [г —
— a(7V — b)2], где г, а и b — положительные параметры, напишите
уравнение популяционной модели вида dN/dt = f(N). Избавьтесь от
размерности в уравнении так, чтобы динамика зависела от единствен-
ного безразмерного параметра к = bfa/r)1/2. Если и представляет без-
размерную величину популяции, начертите f(u) для к > 1 и к < 1
1.7. Популяционная модель с возрастным распределением
81
и обсудите, как качественное поведение решения изменяется в зависи-
мости от А; и начальных условий.
4. Скорость истребления P(N) популяции N(t) очень велика, и модель
для добычи N(t) удовлетворяет уравнению:
dN=RN
dt к v к) г L m2Jj ’
О < е <С 1,
где R, К, Р и А — положительные константы. Путем соответствую-
щего приведения к безразмерному виду покажите, что это уравнение
эквивалентно следующему уравнению:
г-Ч'-ю-ЧЧЧ)'
где г и q — положительные параметры. Покажите, что существует ве-
роятность трех ненулевых стационарных состояний, если гид удовле-
творяют приблизительному неравенсту rq > 4. Может ли эта модель
демонстрировать гистерезис?
5. Непрерывная во времени модель динамики популяции китов-финвалов
(чуть более сложная модель использовалась Международной комисси-
ей по китобойному промыслу) является дифференциальным уравнени-
ем с запаздыванием
- T)[l + q {1 - [N(t - T)/K]z}].
Где //(> 0) — показатель смертности, д(> 0) — максимальный прирост
плодовитости, на который способна популяция, К — емкость среды
без учета эксплуатации, Т — время до достижения половой зрелости
и z > 0 — мера интенсивности зависимого от плотности популяции
ответа по мере сокращения популяции.
Определите стационарное состоянии популяции. Покажите, что урав-
нение, определяющее небольшие отклонения n(t) от состояния поло-
жительного равновесия, имеет вид:
- n(qz - l)n(f - Т),
82
Глава 1
и следовательно, что устойчивость равновесного состояния определя-
ется ReA, где
А = — р — p(qz — 1)е~хт.
Выведите, что стационарное состояние устойчиво (рассматривая гра-
ничный случай ReA = 0), если
7Г — COS-1 i
иТ < иТс = —--------—, b = qz — 1 > 1
(b2 - I)1/2
и устойчиво для всех Т, если b < 1.
Для Т = Тс + е, 0 < е <£ 1 покажите, что с точностью до 0(1) период
растущих колебаний равен 2тг/[^(Ь2 — I)1/2], b > 1.
6. Считается, что дыхание контролируется уровнем концентрации дву-
окиси углерода в крови посредством механизма обратной связи с за-
паздыванием. Простая модель с запаздыванием для концентрации СО2
в безразмерном виде представлена следующим выражением:
где а и m — положительные константы и Т — запаздывание. Для дан-
ных а и тп существует такое критическое запаздывание Тс, что при
Т > Тс стационарного состояния становится линейно неустойчивым.
Для Т = Тс + е, где 0 < е 1, проведите анализ отклонений и пока-
жите, что период экспоненциально растущих колебаний равен прибли-
зительно 4ТС.
7. В артериальной крови уравнение для концентрации c(t) углекислоты,
уровень которой контролирует образование форменных элементов кро-
ви, имеет вид:
-IT-”-VMt -ГМ’)-?- +
где р, b, а, Т и Vm&x — положительные константы. (Эта модель кратко
обсуждается в разделе 1.5.) Приведите это уравнение к безразмерно-
му виду и проведите линейный анализ устойчивости стационарного
состояния. Установите соотношения между параметрами, при которых
1.7. Популяционная модель с возрастным распределением
83
стационарное состояние устойчиво, и найдите бифуркационное значе-
ние Тс для запаздывания. Вычислите приблизительный период колеба-
ний, которые возникают из стационарного состояния при Т = Тс + е
для малых е.
8. Решение вида n(t,a) = eytr(d) для модельного уравнения с возраст-
ным распределением:
дп , дп _ , / ч
dt + да ~
удовлетворяет граничному условию для возраста
/•ОО
n(t,0) = / b(a)n(t, a) da,
Jo
если
Покажите, что если рождаемость Ь(а) практически равна нулю за ис-
ключением очень узкого диапазона в окрестностях ао > 0? то попу-
ляция обречена на вымирание независимо от уровня смертности
Если уровень смертности высок и находится в линейной зависимости
от возраста, объясните, какая должна быть рождаемость, чтобы попу-
ляция продолжала существовать.
Глава 2
Дискретные популяционные модели
для одного вида
2.1. Введение: простые модели
Популяционные модели, описываемые дифференциальными уравнени-
ями, простыми и с запаздыванием, стохастическими и в частных производ-
ных, предполагают непрерывное перекрывание поколений. Однако во мно-
гих биологических видах последовательные поколения никак не перекры-
ваются, и рост численности популяции происходит с дискретным времен-
ным шагом. В случае примитивных организмов продолжительность этих
шагов бывает очень коротка, и тогда использование непрерывной (во вре-
мени) модели оказывается допустимым приближением. Впрочем, в зави-
симости от вида продолжительность временных шагов может варьировать
в широком диапазоне. Как правило, это — год. Но для мухи дрозофилы
этот отрезок времени (выход взрослой особи из куколки) составляет один
день, для клетки — несколько часов, а для бактерий и вирусов — еще мень-
ше. Для моделей, обсуждаемых в настоящей главе и в главе 5, мы приняли
временной шаг равным единице. Модели должны, таким образом, связы-
вать численность популяции M+i в момент времени t + 1 с численностью
популяции Nt в момент времени t. Это приводит нас к рассмотрению раз-
ностных уравнений или дискретных моделей следующего вида:
7Vt+1 = NtF(Nt) = f(Nt), (2.1)
где f(Nt) в общем виде является нелинейной функцией Nt. Средний член
в формуле (2.1) часто используется для того, чтобы подчеркнуть существо-
вание нулевого стационарного состояния. Как правило, подобные уравне-
ния невозможно решить аналитически, но и без этого мы можем получить
большое количество информации о динамике популяции. В наши дни ма-
тематика разностных уравнений интенсивно изучается и находит широ-
кое применение в самых разных областях; результатом этих захватываю-
2.1. Введение: простые модели
85
щих исследований становится множество совершенно неожиданных откры-
тий, некоторые из которых мы планируем обсудить позже. Описываемые
разностными уравнениями модели оказываются весьма востребованными
в многочисленных сферах биомедицинских исследований, среди которых
можно назвать рост раковых клеток (см., например, статью Cross and Cotton
1994), старение (см., например, статью Lipsitz and Goldberger 1992), деле-
ние клетки (см., например, статью Hall and Levinson 1990) и отдельные
проблемы генетики (см., например, главу, посвященную наследственности,
в книге Hoppensteadt and Peskin 1992 и книгу Roughgarden 1996). Как было
недавно показано, разностные уравнения оказываются незаменимы в моде-
лировании семейных отношений и прогнозировании разводов; это прило-
жение модели обсуждается в главе 5. Хотя самое широкое их использование
на сегодняшний день относится, вероятно, к экологии; множество приме-
ров можно найти в книге Hassell (1978), а также в замечательной более
современной книге Kot (2001).
С практической точки зрения, если нам известен вид функции
то прямой метод определения Nt+i, а также численности последующих
поколений, состоит просто в последовательном использовании (2.1). Оче-
видно, что какой бы ни был вид функции f(Nt), нам интересны только
неотрицательные решения.
Умение моделировать динамику роста заданной популяции состоит
в том, чтобы найти подходящую функцию которая бы отража-
ла известные наблюдения или факты из жизни интересующего нас ви-
да. Для того, чтобы сделать это с достаточной уверенностью, мы долж-
ны понимать, какое влияние на решение могут оказать изменения вида
функции F(Nt) и ее параметров, а также как выглядят решения (2.1)
для некоторых случаев, имеющих практический интерес. Математиче-
ская задача состоит в построении отображений, а именно, в нахожде-
нии орбит или траекторий нелинейных отображений при начальной чис-
ленности Nq > 0. Здесь необходимо отметить, что не существует про-
стой связи между моделями, описываемыми разностными уравнениями,
и их кажущимися аналогами в виде непрерывных моделей, описывае-
мых дифференциальными уравнениями, даже если результатом конечно-
разностного приближения становится дискретное уравнение. Это станет
понятно ниже.
Предположим, функция F(Nt) = г > 0, то есть численность попу-
ляции через один временной шаг прямо пропорциональна ее численности
в текущий момент времени. Тогда из (2.1) получаем
Nt+1 = rNt => Nt = r^o-
(2-2)
86
Глава 2
Итак, численность растет или сокращается в геометрической прогрес-
сии в зависимости от того, г > 1 или г < 1 соответственно, где г — это
общая рождаемость. Эта исключительно простая модель не является реали-
стичной ни для большинства популяций, ни для длительных отрезков вре-
мени, хотя ее использование оказывается вполне оправданным при моде-
лировании ранних стадий размножения определенных видов бактерий. Эта
модель является дискретной версией модели Мальтуса, описанной в гла-
ве 1. Небольшая поправка, сделанная для учета эффекта тесноты, дает
М+1 = rNs, Ns = N}~b, b = const,
где Ns — часть популяции, которая выживает, чтобы оставить потомство.
Конечно, необходимо наложить ограничения на Ь, так чтобы Ns Nt,
в противном случае число тех, кто выживает, чтобы оставить потомство,
превышала бы численность популяции, частью которой они являются.
Ряд Фибоначчи
Леонардо из Пизы, который получил прозвище Фибоначчи, только
в XVIII веке, в своей вышедшей в 1202 году книге по арифметике поста-
вил модельную задачу описания роста численности условной популяции
кроликов. Задача1 заключается в следующем: в начале брачного сезона бе-
рется пара молодых неполовозрелых кроликов, самец и самка, которые за
один репродуктивный период производят на свет две пары неполовозрелых
кроликов, двух самок и двух самцов, после чего больше не размножаются.
Каждая пара их потомков делает, в свою очередь, точно то же самое и т. д.
Как определить число пар кроликов, появляющихся в течение каждого ре-
продуктивного периода? Обозначим число пар кроликов (самец и самка)
как Nt, тогда, полагая репродуктивный период равным 1, в r-й репродук-
тивный период получаем
Nt+1 =Nt + t = 2,3,..., (2.3)
что при Nq = 1 дает нам так называемый ряд Фибоначчи, а именно,
1,1,2,3,5,8,13,....
Каждый последующий член равен сумме двух предыдущих членов по-
следовательности. Уравнение (2.3) — это линейное разностное уравнение,
1В классической постановке задача Леонардо из Пизы о числе кроликов звучит следующим
образом. Найти ряд чисел, описывающий количество пар кроликов, имеющихся в популяции
каждый месяц, если кролики начинают размножаться со второго месяца и каждый месяц каж-
дая пара дает потомство в виде пары кроликов. — Прим. ред.
2.1. Введение: простые модели
87
которое можно решить, если искать решение в виде
Nt <х Л*,
что после подстановки в (2.3) дает А как решения уравнения:
А2 - А - 1 => Ai,2 = i(l±\/5).
Итак, при Nq = 1 и TVi = 1 решением (2.3) является
Ai = |(1 + х/5), A2 = |(1-v/5).
(2-4)
Так как Ai > А2, то для больших t
Nt « 1(1 + -L)a‘.
z \ v5/
Уравнение (2.3) — это модель обновления. Мы можем интуитивно уви-
деть в этой модели возрастную структуру, если обратим внимание на воз-
раст, в котором происходит размножение, а также на то, что после этого воз-
раста размножение прекращается. Такой подход приводит нас к матрицам
обновления и матрицам Лесли, которые включают возрастную структуру
(см., например, книгу под редакцией Caswell 1989).
Если взять отношение последовательных чисел Фибоначчи, то для
больших t получаем Nt/Nt+i ~ (\/5 — 1)/2. Это — так называемое зо-
лотое сечение или золотое число. Например, в классическом рисунке это
может быть отношение пространства, занимаемого небом, к пространству,
занимаемому землей, которое следует соблюдать в пейзаже.
Удивительно, как часто в жизни мы встречаемся с рядом Фибоначчи
и предельным числом, о котором только что шла речь. Шишка сосны, кор-
зинка подсолнуха, цветок маргаритки, у многих растений углы между пос-
ледовательными побегами и многое многое другое. Взглянув на корзинку
подсолнуха, можно увидеть ряды переплетающихся спиралей, выходящих
из центра (их же можно наблюдать в основании сосновой шишки). Число
спиралей бывает различно, но всегда оказывается, что это число — одно из
чисел ряда Фибоначчи.
На рисунке 2.1 видны два примера этих природных переплетающихся
логарифмических спиралей. Так, на рисунке 2.1(b) каждая чешуйка при-
надлежит как спирали, идущей по часовой стрелке, так и спирали, идущей
88
Глава 2
против часовой стрелки: аккуратный подсчет дает нам 8 спиралей, идущих
по часовой стрелке, и 13 спиралей, идущих против часовой стрелки, что
является двумя последовательными числами ряда Фибоначчи.
В случае образования побегов, если спроецировать их на плоскость,
то углы между последовательными побегами окажутся числом почти по-
стоянным и равным 137,5°. Для того, чтобы соотнести это число с рядом
Фибоначчи, нужно умножить 360° на вышеупомянутое число (\/5 — 1)/2,
что даст нам 222,5°. Поскольку эта цифра больше, чем 180°, мы должны
вычесть 222,5° из 360°, что даст нам 137,5°, число, известное как угол Фи-
боначчи.
Было предпринято несколько попыток смоделировать структуры, об-
разующиеся в процессе формирования растений так, чтобы получить угол
Фибоначчи между последовательными побегами и ряд Фибоначчи для
числа спиралей в головке подсолнуха, шишках сосны и т. д., но задача
так и осталась не решена. Опыты включали манипуляции с реакционно-
диффузионными моделями (например, Thornley 1976), исследование алгеб-
раических соотношений между перестановками первых п натуральных чи-
сел, каждое из которых соответствовало порядку появления данного листа
(Kunz and Rothen 1992), а также эксперименты с каплями магнитной жид-
кости в магнитном поле (Douady and Couder 1992). Далее в книге будут
подробно обсуждаться возможные механизмы образования пространствен-
ных структур, включая реакционно-диффузионные системы. Что до меня,
то я уверен, что это — процесс механический, а вовсе не генетический.
И работы Douady and Couder (1992; 1993а; 1993b), хотя они носят не биоло-
гический, а скорее физический характер, подтверждают мою уверенность.
Работа Douady и Couder (1992) умна, а также исключительно инте-
ресна и полезна для понимания сути происходящего, несмотря на то, что
это — физическая работа, в противовес биологическому процессу, который
она объясняет. В работе рассматривается последовательное появление ли-
стовых зачатков, образующихся на растущей верхушке растения, и их пере-
мещение через равные промежутки времени на периферию с образованием
кольца вокруг верхушки. Авторы предположили, что по мере продвиже-
ния листовые зачатки отталкиваются друг от друга, постепенно расходясь
все дальше от центра. Таким путем идет их эффективная самоорганизация
с образованием регулярных пространственных структур. Если в жизни все
случается именно так, говорили они, то в результате эксперимента, воспро-
изводящего весь ход событий, должно произойти распределение элемен-
тов, угол между которыми должен будет соответствовать углу Фибоначчи.
Экспериментаторы взяли блюдце диаметром 8 см, наполнили его силико-
новым маслом и поместили в вертикальное магнитное поле, сила которого
2.1. ВВЕДЕНИЕ: ПРОСТЫЕ МОДЕЛИ
89
(а)
(Ь)
Рис. 2.1. Примеры рядов переплетающихся спиралей, которые представлены (а) цве-
точками в соцветии-корзинке маргаритки и (Ь) чешуйками в шишке сосны. Каждый
элемент — деталь идущей по часовой стрелке и против часовой стрелки спирали.
(Фотографии д-ра Scott Camazine, воспроизводятся с разрешения автора)
90
Глава 2
возрастала к периметру блюдца. Затем через равные промежутки времени
они капали небольшие капли ферромагнитной жидкости на помещенный
в центр блюдца усеченный конус, имитирующий верхушку растения. В маг-
нитном поле капли поляризовались и образовывали маленькие магнитные
диполи, которые отталкивались друг от друга. Вследствие наличия гради-
ента магнитного поля, капельки двигались от центра к периферии блюд-
ца и выстраивались в регулярные структуры. В результате взаимодействия
с предыдущими каплями новые капли скатывались с конуса в направле-
нии минимальных затрат энергии. Для того чтобы предотвратить скопле-
ние капель на периферии по краю блюдца, был сделан желоб, куда капли
в конце концов и попадали. Время между падением капель магнитной жид-
кости влияло на образующиеся спирали и на окончательный угол между
достигшими края блюдца каплями; удивительно, но угол был именно уг-
лом Фибоначчи, а число спиралей равнялось числам из ряда Фибоначчи.
Полученные результаты были впоследствии подкреплены компьютерным
моделированием.
Рис. 2.2. Типичная кривая роста в модели M+i = f(Nt)
\
Вообще, принимая во внимание эффект тесноты и возможность са-
морегуляции, можно ожидать, что f(Nt) в (2.1) будет иметь максимум,
скажем, при Nm и уменьшаться при Nt > Nm; типичная кривая изоб-
ражена на рисунке 2.2. Различные f(Nt) использовались в практических
целях, подобно примерам, описанным выше; некоторые примеры интерес-
ных практических моделей в экологии можно найти, например, в книге Kot
(2001). Одна из таких моделей, называемых иногда процессом Ферхюльста
2.1. Введение: простые модели
91
(Verhulst), представлена следующим уравнением:
м+1 = rNt
г
О,
А" > 0.
(2-5)
Модель может показаться похожей на дискретный аналог непрерыв-
ной модели логистического роста, но это не совсем так: стационарное со-
стояние — это не N = К. Как мы увидим в дальнейшем, решения и их
зависимость от параметра г очень различны. Очевидный недостаток этой
конкретной модели состоит в том, что если Nt > К, то М+i < 0- Бо-
лее подходящий способ вывести ее (см. также подпись к рисунку 2.11) из
непрерывного уравнения Ферхюльста состоит в замене производной dN/dt
на разностную форму с временным шагом, равным 1, что дает
2V(t + 1) - АГ(£) = rN(t) [1 - ^2] =>
L KJ
N(t + 1) = [1 + г - N(t). (2.6)
Теперь, осуществив масштабирование Nt = ((1 + r)/r)Kx(t) и по-
ложив, что 1 + г — г', мы видим, что последнее уравнение приобретает
вид (2.2), а именно,
x(t + 1) = rfx(t)[l — rr(Z)]. (2.7)
Если говорить о более реалистичных моделях, то нужно, чтобы при
больших М скорость роста уменьшалась, а М+i оставалась неотрицатель-
ной; примером может служить качественный вид f(Nt) на рисунке 2.2.
Одной из таких часто используемых моделей, которая известна как кривая
Рикера, Ricker (1954), является модель, описываемая следующим уравнени-
ем:
М+1 = М ехр
г > О, К > О,
(2-8)
которое можно рассматривать как вариант (2.2), где присутствует коэффи-
циент смертности ехр(—rNt/K), который тем выше, чем больше М- Здесь
М > 0 Для всех f, если М) > О-
Поскольку t растет дискретными шагами, можно сказать, что любое
изменение, происходящее в популяции, всегда регистрируется с некоторым
запаздыванием. Таким образом, существует определенное основание для
того, чтобы соотнести вышеприведенные разностные уравнения с диффе-
ренциальными уравнениями с запаздыванием, которые обсуждались в гла-
ве 1 и которые, в зависимости от продолжительности запаздывания, могут
92
Глава 2
иметь колебательные решения. Поскольку в модели, представленной в об-
щем виде как (2.1), мы приняли временной шаг равный 1, мы могли бы
ожидать, что определять наличие или отсутствие периодичности в решени-
ях будут другие параметры. В (2.5) и (2.8) таким определяющим парамет-
ром является г, поскольку параметр К можно исключить масштабировани-
ем, заменив Nt/K на Nt.
2.2. Плетение паутины: пример графического решения
Немало информации о характере популяционного роста можно полу-
чить графическими средствами. Рассмотрим уравнение (2.1) с функцией /,
схожей с изображенной на рисунке 2.2. Стационарные состояния есть ре-
шения TV* следующего уравнения:
TV* = /(TV*) = TV*F(TV*) => TV* = 0 или F(TV*) = 1. (2.9)
Обычно мы используем только первую форму в (2.9); вторая форма
[TV* = TV*F(TV*)], в основном, служит для того, чтобы подчеркнуть, что
решение TV* = 0 всегда является стационарным состоянием. Графически
стационарные состояния — это точки пересечения кривой TVt+i — /(Nt)
и прямой линии TVt+i = Nt, как показано на рисунке 2.3(a) для случая,
когда максимум кривой TVt+1 = f(Nt), скажем, при Nm, больше TV*, то
есть Nm > N*. Проследить за динамикой развития Nt, определяемого
уравнением (2.1), можно графически. Предположим, мы начинаем с Nq,
показанного на рисунке 2.3(a). Тогда N± задается простым движением по
оси TVt+1 вверх до пересечения с кривой TVt+1 = f(Nt), в результате чего
получаем Ni = f(No). Далее используется линия TVt+i = Nt, чтобы начать
вновь с TVi вместо Nq. Мы получаем затем N2 по той же методике, что
и TVi ранее, потом и т. д.: направление траектории эволюции указа-
но стрелками. Траектория является серией отражений от линии M+i ~ Nt.
Мы видим, что Nt N* при Т —> оо, и приближение Nt к TV* происходит
монотонно, как видно из рисунка 2.3(b). Если бы мы начали с Nq > TV* [см.
рисунок 2.3(a)], то и в этом случае Nt —> TV*, что происходит монотонно
после первого шага. Если мы начнем с точки, расположенной достаточно
близко к стационарному состоянию TV*, то приближение к нему будет мо-
нотонным, коль скоро кривая TVt+1 = f(Nt) пересекает прямую TVt+i = Nt
соответствующим образом; здесь это означает
° = /'(АГ)<1. (2.10)
L dNt lNt=N>
2.2. Плетение паутины: пример графического решения
93
Рис. 2.3. (а) Графическое определение стационарного состояния и демонстрация то-
го, как Nt приближения к нему. (Ь) Рост численности популяции во времени с ис-
пользованием функции f(Nt), показанной в (а). Для наглядности показана непре-
рывная кривая, соединяющая значения Nt в различные моменты дискретного вре-
мени, строго говоря, численность популяции, соответствующая каждому временно-
му шагу, меняется скачками
Величина где знак штриха означает производную по Nt, явля-
ется, как мы покажем далее, важным параметром; это — собственное значе-
ние системы в стационарном состоянии 7V*. Поскольку любые малые воз-
мущения N* затухают, то 7V* является линейно устойчивым равновесным
состоянием.
Пусть теперь функция f(Nt) такова, что равновесное состояние 7V*
больше Nm, как изображено на рисунке 2.4. Динамическое поведение си-
стемы критически зависит от геометрии пересечения кривых в 7V*, как
видно на увеличенных вставках на рисунках 2.4(a), (Ь) и (с), где пред-
ставлены случаи —1 < f'(N*) < 09f'(N*) = — 1 и < —1 соот-
ветственно. Решение системы является колебательным в окрестности N*.
Если амплитуда колебаний уменьшается, и Nt N*, то N* — устойчиво,
как на рисунке 2.4(a), тогда как, если колебания растут, как изображено на
рисунке 2.4(c), оно неустойчиво. Случай на рисунке 2.4(b) демонстрирует
94
Глава 2
периодические колебания, что подразумевает возможность периодических
решений для уравнения Nt + 1 = Стационарное состояние являет-
ся неустойчивым, если небольшие отклонения от 7V* не стремятся к нулю.
Динамика поведения численности в каждом из трех случаев, изображенных
на рисунке 2.4, представлена на рисунке 2.5.
Параметр Л = собственное значение уравнения = f(Nt)
при равновесном значении 7V*, является ключевым в определении локаль-
ного поведения системы вблизи стационарного состояния. Случаи, когда
поведение можно назвать ясным и определенным, это те случаи, когда
О < I < 1, как на рисунке 2.3(a), а также когда -1 < / < 0 и I < -1, как
на рисунках 2.4(b) и (с) соответственно. Равновесие является устойчивым,
если — 1 < I < 1, и носит название притягивающего равновесия. Крити-
ческие бифуркационные значения Л = ±1 — это те значения, при которых
решение Nt меняет характер своего поведения. Случай Л = 1 соответствует
ситуации, когда кривая = f(Nt) касается прямой = Nt в точке
стационарного состояния, так как f(N*) — 1, и называется тангенциаль-
ной бифуркацией по понятным причинам. Случай А = — 1 по причинам,
которые станут понятны ниже, назывался обычно бифуркацией типа вил,
теперь же он называется бифуркацией удвоения периода.
Основание для того, чтобы дать только что описанному графическому
методу красочное название «плетение паутины», очевидно из рисунков 2.3,
2.4 и 2.6. Этот метод может быть исключительно полезен для предсказания
динамики поведения численности Nt в случае одиночных уравнений ти-
па (2.1). Хотя до сих пор мы, в основном, говорили о локальном поведении
системы вблизи положения равновесия, используя этот метод, мы могли
бы дать количественную оценку глобальному поведению системы. В слу-
чае неустойчивости стационарного состояния метод может помочь в пред-
сказании особого поведения, которое способны демонстрировать данные
уравнения. В качестве примера предположим, что А = < —1; это
означает, что локальное поведение системы около неустойчивого положе-
ния 7V* аналогично случаю, представленному на рисунке 2.4(c). Если мы
изобразим его графически, используя метод «плетения паутины», то по-
лучим ситуацию, изображенную на рисунке 2.6. Траектория решения не
стремится к TV*. С другой стороны, численность должна быть ограничена
значением 7Vmax, показанным на рисунке 2.6(a), поскольку мы никак не мо-
жем получить большее значение Nt, хотя начать с него было бы возможно.
Таким образом, решение глобально ограничено, но не стремится к стацио-
нарному состоянию. В действительности, если посмотреть на него как на
функцию времени на рисунке 2.6(b), может показаться, что оно блуждает
без всякого порядка. Решения подобного вида называются хаотическими.
2.2. Плетение паутины: пример графического решения
95
7V0 Nm N*
Рис. 2.4. Локальное поведение Nt вблизи стационарного состояния, где f'(N*) < 0.
На увеличенных вставках показаны следующие случаи: (а) 1 < f'(N*) < 0,
где 7V* — устойчиво, с затухающими колебаниями в ответ на небольшие отклоне-
ния от стационарного состояния; (b) = — 1, где А^* — нейтрально устойчиво;
(с) < — 1, где А^* — неустойчиво с растущими колебаниями
Рис. 2.5. Локальное поведение Nt при незначительных отклонениях от равновесного
значения А* в случаях (а), (Ь), и (с), соответствующих ситуациям, изображенным на
рисунках 2.3(a), (Ь) и (с) соответственно; (а) является устойчивым случаем, а (с) —
неустойчивым
96
Глава 2
Рис. 2.6. (а) «Паутина» при M+i = где собственное значение А =
= < —1. (b) Соответствующее поведение популяции во времени
Имея в распоряжении различные способы решения моделей типа (2.1),
среди которых «плетение паутины» и исследование чувствительности, на
которую указывают особые критические величины собственного значе-
ния А, мы должны теперь исследовать эти уравнения аналитически. Резуль-
таты, подсказанные графическим методом, могут очень пригодиться в ходе
этого анализа.
2.3. Дискретные модели логистического типа: хаос
В качестве конкретного примера рассмотрим нелинейную модель ло-
гистического типа:
uf+i = rut(l - Ut), г > О, (2.11)
где мы полагаем, что 0 < uq < 1, и где интересующие нас решения ut 0.
Если сравнить с непрерывной логистической моделью, описываемой диф-
ференциальным уравнением, «г» здесь, строго говоря, — это «1 -I- г». Ста-
ционарными состояниями и соответствующими собственными значения-
ми А являются
и* = 0, А - /'(0) = г,
= Л = = 2 - г. (2.12)
По мере того, как г увеличивается от нуля, в диапазоне 0 < г < 1,
единственное реалистичное, то есть неотрицательное состояние равнове-
сия, — это и* = 0, которое является устойчивым, поскольку 0 < I < 1.
2.3. Дискретные модели логистического типа: хаос
97
К такому же выводу можно прийти, исследуя (2.11) методом «плетения
паутины», при условии, что 0 < г < 1, или решая (2.11) аналитически,
отметив, что и\ < uq < 1 и ut_|_i < щ для всех t, что подразумевает,
что ut 0, когда t —> ос. Первая бифуркация происходит, когда г = 1,
поскольку положение и* = 0 становится неустойчивым, так как его соб-
ственное значение А > 1 для г > 1, тогда как положительное стационарное
состояние и* = (г — 1)/г > 0, для которого —1 < А < 1 при 1 < г < 3,
является устойчивым в этом диапазоне г. Вторая бифуркация происходит
при г = 3, где А = — 1. Здесь = — 1, и поэтому, локально рядом с и*,
мы встречаемся с ситуацией, изображенной на рисунке 2.4(b), где видно
периодическое решение.
Для того, чтобы понять, что именно происходит, когда г проходит би-
фуркационное значение г — 3, введем, прежде всего, следующие обозначе-
ния для итерационной процедуры:
'щ = /(ио)
«2 = /(/(и0)) = /2(«0)
< . (2.13)
Ut = /f(uo).
Для уравнения (2.11) первая итерации — это просто то же самое урав-
нение (2.11), тогда как вторая итерация:
ut+2 = /2(ut) = r[ruf(l - ut)][l - rut(l - ut)]. (2.14)
На рисунке 2.7(a) показано, как варьирование г влияет на первую ите-
рацию; собственное значение А = уменьшается при увеличении г,
и А = 0 при г — 3. Взглянем теперь на вторую итерацию (2.14) и спросим,
есть ли здесь равновесные состояния, или, другими словами, где ut_|_2 =
= ut = и2. Используя алгебраические преобразования, можно показать,
что и2 удовлетворяет уравнению:
U2[ru2 ~ (г ~ 1)] [r2u*2 ~ r(r + l)u2 + (r + 1)] = 0, (2.15)
которое имеет решения
г — 1
и2 = 0 или и2 = —— > 0, если г > 1,
а. = (r + l)±|(r + l)(r-3)]^>0i ест г>3 рл6)
98
Глава 2
Рис. 2.7. (а) Первая итерация как функция г для ut + 1 = rut(l — ut) : и* =
= (г — l)/r,I = f'(u*) = 2 — г. (Ь) Чертеж второй итерации ut + 2 = f2(ut)
как функции ut для г = 3 + е, где 0 < е < 1. Пунктирная линия обозначает
первую итерационную кривую ut + 1 как функцию она проходит через точку В,
неустойчивое стационарное состояние. Кривая симметрична относительно ut = 1 /2
Таким образом, мы видим, что для ut+2 — /2(^t) с /(ut) из (2.11)
существуют еще два действительных стационарных состояния, если г > 3.
Эту ситуацию можно видеть на рисунке 2.7(b), где А, В и С — положи-
тельные равновесные состояния с = (г — 1)/г для точки В, лежащей
между двумя новыми решениями для из (2.16), которые появляются,
когда г > 3.
Мы можем представить (2.14) как первую итерацию в модели с итера-
ционным временным шагом равным 2. Собственные значения А равновес-
ных состояний могут быть вычислены в точках А, В и С. Из рисунка 2.7(b)
ясно, что Хв = > 1, где ив означает и% в точке В; аналогично для
точек А и С. Если г чуть больше 3, то —1 < Ад < 1 и —1 < Хс < 1, как
можно видеть на рисунке, или из (2.14), вычислив df2(ut)/dut в точках иА
и и*с, заданных двумя последними решениями в (2.16). Таким образом, ста-
ционарные состояния и*А и и^, найденные в ходе второй итерации (2.14),
устойчивы. Это значит, что существует устойчивое равновесие второй ите-
рации (2.14), а также существует устойчивое периодическое решение с пе-
риодом 2 для уравнения (2.11). Другими словами, начав, например, в А,
мы вернемся туда после двух итераций, то есть Цд+2 = /2(ид)’ но ua+i =
= /(пд) 7^ иА- В действительности Цд+1 = и = иА.
По мере того, как г продолжает расти, собственные значения А в точ-
ках А и С на рисунке 2.7(b) проходят через А = — 1, после чего эти 2-
тактные периодические решения теряют устойчивость. На этой стадии мы
2.3. Дискретные модели логистического типа: хаос
99
обращаем внимание на четвертую итерацию и обнаруживаем, как уже мож-
но предположить, что щ+4 как функция щ имеет четыре горба, в отли-
чие от двух на рисунке 2.7(b), и 4-тактное периодическое решение. Таким
образом, когда г проходит серию бифуркационных значений, характер ре-
шения щ проходит через серию бифуркационных изменений, что в дан-
ном случае означает удвоение периода в периодических решениях. Схема
развития бифуркаций представлена на рисунке 2.8(a). Подобные бифурка-
ции, возникающие при Л = —1, по понятной причине, очевидной из ри-
сунка 2.8(a), были вначале названы бифуркациями типа вил. Впрочем, по-
скольку говорить о вилах можно только для 2-тактного цикла, теперь эту
бифуркацию принято называть бифуркацией удвоения периода. Так, напри-
мер, если 3 < г < г4, где г 4 — это бифуркационное значение, приводя-
щее к 4-тактному периодическому решению, тогда периодическое решение
находится между двумя и* на рисунке 2.8(a), которые являются пересече-
ниями вертикальной линии, проведенной через значение г, и кривой рав-
новесных состояний. Рисунок 2.8(b) иллюстрирует пример 4-тактного пе-
риодического решения, то есть случай, где г4 < г < с фактическими
значениями ut, заданными 4 пересечениями кривой равновесных состо-
яний с вертикальной линией, проходящей через соответствующее значе-
ние г.
По мере увеличения г в процессе его прохождения через ряд после-
довательных бифуркаций каждое р-тактное периодическое решение, раз-
ветвляется на 2р-тактное периодическое решение, и это происходит при
таком г, когда собственное значение р-тактного периодического решения
проходит через —1. Расстояние между бифуркациями в r-пространстве де-
лается все меньше и меньше; эта ситуация эвристически понятна, посколь-
ку чем выше порядок итерации, тем больше число горбов у кривой (см.,
например, рисунок 2.7(b)), и они все должны вместиться в один и тот же
интервал (0,1). Таким образом, имеется иерархия решений с периодом 2П
для каждого п, и соответствующий каждому из них параметрический ин-
тервал, в котором решение устойчиво. Существует предельное значение гс,
начиная с которого все периодические решения с периодом 2П становятся
нестабильны. Для г > гс все исходные 2п-тактные циклы нестабильны. Их
поведение очень сложно. При г > гс появляются циклы с нечетным числом
периодов, и в конце концов, когда г « 3,828, возникает простой 3-тактный
цикл, а также локально притягивающие циклы с периодами А:, 2к, 4к..., но
где к теперь нечетно. Следующий стабильный 4х-фазный цикл появляется,
например, когда г « 3,96. Критическое значение параметра гс в нашей мо-
дели (2.11) — это такое значение, начиная с которого становятся возможны
решения с нечетными периодами. Когда у третьего члена итерационного
100
Глава 2
ряда имеется 3 стационарных состояния, которые «касаются» линии щ +
4-3 = ut, то есть в этих стационарных состояниях уравнения uf+3 = f\ut)
собственное значение А равно 1, мы имеем 3-фазный цикл. Эта ситуация
показана схематично на рисунке 2.9. Для модели (2.11) таким критическим
значением является г « 3,828.
Рис. 2.8. (а) Устойчивые решения (схематичное изображение) для логистической
модели (2.11), когда г проходит через бифуркационные значения. В каждой бифур-
кационной точке предыдущее состояние становится неустойчивым и изображает-
ся пунктирной линией. Последовательность устойчивых решений имеет периоды
2, 22, 23 .... (Ь) Пример (схематичное изображение) 4-тактного периодического ре-
шения с г4 < г < re, где г4 и г8 — бифуркационные значения для 4-такгных
и 8-тактных периодических решений соответственно
Шарковский (Sarkovskii 1964) опубликовал важную работу, посвящен-
ную линейным отображениям, которая широко применяется на практике,
и прямо относится к ситуации, изображенной на рисунке 2.9. Он, в част-
ности, доказал, что если имеется решение с нечетным периодом (^ 3) для
некоего значения гз, то для г > гз существуют апериодические или хаоти-
ческие решения. Подобные решения просто колеблются довольно случай-
ным образом. Рассмотренная нами бифуркация при гз называется танген-
циальной бифуркацией, название предполагает ситуацию, изображенную
на рисунке 2.9. Рисунок 2.10 иллюстрирует некоторые решения модели,
описываемой уравнением (2.8) для различных г, включая примеры хаоса
на рисунках 2.10(d) и (f). Так, на рисунке 2.10(f), например, можно на-
блюдать популяционный взрыв, резкое падение численности и медленное
восстановление.
Теорема Шарковского была в дальнейшем развита в работах Stefan
(1977). Ее частным случаем можно считать вывод, сделанный Li и Yorke
2.3. Дискретные модели логистического типа: хаос
101
Рис. 2.9. Схематичное изображение третьего члена итерационного рада, и<+з =
= f3(ut), для модели (2.11) при г = гс, то есть значении параметра, при котором
все три стационарных состояния А, В и С имеют собственное значение А = 1.
Кривая симметрична относительно вертикальной линии ut = 1/2
(1975), который состоял в том, что в случае существования решения с пе-
риодом 3 существуют решения с периодом п для любых п 1.
Хотя здесь мы сосредоточили внимание на логистической моде-
ли (2.11), аналогичное поведение свойственно моделям, описываемым раз-
ностными уравнениями с динамикой, соответствующей (2.1) и представ-
ленной схематично на рисунке 2.2; так, все эти модели демонстрируют би-
фуркации, приводящие к решениям с более высоким уровнем периодично-
сти и в конце концов к хаосу.
Рисунки 2.10(d)—(f) иллюстрируют интересные особенности переходов
к хаосу. Начиная с г, при котором появляется апериодическое решение (см.
рисунок 2.10(d)), дальнейшее увеличение г снова дает периодическое ре-
шение (см. рисунок 2.10(e)). Таким образом, когда значение г становится
больше, чем то, при котором мы впервые наблюдаем хаос, в значениях пара-
метра появляются окна, в которых решение носит периодический характер.
Окна периодичности, таким образом, чередуются с окнами непериодично-
сти. На рисунке 2.11 дается типичная картина итеративного отображения,
начальное значение которого получено в результате множественной, по-
рядка нескольких тысяч шагов, итерации. В ходе дальнейшей итерации на
график наносились значения щ.
102
Глава 2
(а)
ut
3.0
г = 2.5
2.0
5 10 15 21) 25 30 t
г = 2.671
Рис. 2.10. Решения ut модельной системы ш + 1 = ut ехр[г(1—ш)] для различных г.
Здесь первая бифуркация, приводящая к периодическим решениям, происходит при
г = 2. Чем больше параметр г, тем больше амплитуда колебаний, (а), (Ь) и (с)
демонстрируют 2-, 4- и 8-тактные периодические решения, (d) и (f) — хаотическое
поведение и (е) — 3-тактное периодическое решение
Обратимся теперь к рисунку 2.11 и взглянем на то, как меняются реше-
ния в ответ на увеличение г. Для Г2 < г < гд решение щ просто колеблется
между двумя точками, например, между А и В, которые являются пересе-
чениями вертикальной линии, проходящей через значение величины г. Для
Т4 < г < г$ решение щ демонстрирует 4-тактное периодическое решение
с величинами, задаваемыми точками пересечения кривых с вертикальной
линией, проходящей, как показано, через значение г. Для тс < г < гр
решение становится хаотическим. В небольшой области значений г, боль-
ших чем гр, решения отличаются регулярной периодичностью, после чего
опять становятся не периодичными. Эта последовательность непериодич-
но сти — периодичности — непериодичности повторяется. Если мы посмот-
2.3. Дискретные модели логистического типа: хаос
103
рим на вставку на рисунке 2.11, которая является маленьким треугольником
в увеличенном виде, мы увидим ту же последовательность бифуркаций (во
фрактальном смысле), что и на большой схеме. Краткое знакомство с фрак-
талами содержится в главе 14, а упоминание о фракталах в биологическом
контексте дано в главе 3, разделе 3.9. В изящной книге Peitgen и Richter
(1986) представлена красочная подборка эффектных рисунков и фракталь-
ных последовательностей, которые могут возникнуть из дискретных моде-
лей, в частности, двумерных моделей; практическое применение обсужда-
ется в главе 5.
Рис. 2.11. Результат длительной асимптотической итерации для дискретного урав-
нения = Xt + rxt(l — xt) при 1,9 < г < 3. После соответствующего мас-
штабирования (ut — [г/(г + l)]xt,‘r’ = 1 + г) это уравнение можно записать
в виде (2.11). Подобные картинки типичны для дискретных моделей, которые де-
монстрируют удвоение периода, переход к хаосу и последующий путь сквозь хаос.
Пример другой модельной системы представлен на рисунке 2.10; детальное объ-
яснение дается в тексте. Представленное в увеличенном виде маленькое окошко
(с большим увеличением по оси г, чем по оси xt) указывает на фрактальную приро-
ду каскадов бифуркаций. (Воспроизводится с разрешения Peitgen and Richter, 1986;
добавлены некоторые обозначения)
104
Глава 2
Растущий интерес к теме хаотического поведения и масса исследова-
тельских работ, посвященных этому вопросу, некоторые аспекты которого
мы только что обсудили, диктуется широкими возможностями его примене-
ния в самых разных областях. В широкой печати эту тему называют «тео-
рией хаоса» или «новой (!) нелинейной теорией». (Известно, что нет луч-
шего способа пробудить интерес публики, чем пустить в обиход звонкое
и запоминающееся имя; теория катастроф и теория фракталов — еще два
подобных примера.) Конечно, интерес не ограничивается дискретными мо-
делями; впервые хаотическое поведение было продемонстрировано на си-
стеме простых дифференциальных уравнений — системе Лоренца (Lorenz
1963; см. также обзоры Sparrow 1982; 1986). Это исследование хаоса да-
ло основание для многих интересных и неожиданных открытий, связанных
с только что обсуждаемыми системами, а именно, системами с удвоением
периода. Так, например, если Г2, Гд,..., Г2п> • • • — это последовательность
значений, при которых происходит бифуркация удвоения периода, Фейген-
баум (Feigenbaum 1978) доказал, что
Um Г2(п+1)-----Т2п =6 = 4>66920
п—*оо Г2(п+2) — г2(п+1)
Он показал, что 5 является универсальной константой, то есть посто-
янной величиной для любых итеративных отображений вида
которые демонстрируют удвоение периода, где f(ut) имеет максимум, по-
добный изображенному на рисунке 2.2.
Полезный, практичный и быстрый способ показать существование ха-
оса был дан в работе Li и др. (1982). Авторы доказали, что если для некое-
го щ и некоего f(ut) существует некое нечетное целое число, при котором
выполняется следующее условие:
/n(ut;r) < ut < /(ut;r),
то тогда существует периодическое решение с нечетной тактностью, что
подразумевает хаос. Возьмем следующий пример:
Ut+1 = f(ut; г) = ut exp[r(l - u()],
если г = 3,0 и uq = 0,1, вычисление нескольких первых членов дает
U7 = у5(и2) < 112 < /(и2) = из,
то есть согласно условиям приведенного выше неравенства п = 5. Это
значит, что функция f(ut; г) с г = 3 хаотична.
2.4. УСТОЙЧИВОСТЬ, ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И БИФУРКАЦИИ
105
2.4. Устойчивость, периодические решения и бифуркации
Все важные популяционные модели включают, как минимум, один па-
раметр, скажем, г. Как следует из приведенного выше обсуждения, при
варьировании этого параметра решения общего модельного уравнения:
ut+1 =f(ut-,r) (2.17)
обычно претерпевают бифуркации при определенных значениях г. Такие
бифуркации могут привести к периодическим решениям с последовательно
растущей кратностью периода, и в конце концов вызвать хаос, при значе-
нии г больше, чем некоторое конечное критическое значение гс. Как видно
из графического анализа, подобные бифуркации происходят, когда соответ-
ствующие собственные значения Л проходят значения Л = 1 или Л = — 1.
Здесь мы обсудим некоторые аналитические результаты, имеющие отноше-
ние к данным бифуркациям. Из соображений алгебраической простоты мы
в дальнейшем будем часто опускать г в f(ut\ г) (если только мы не захотим
подчеркнуть его наличие), записывая f(ut), но зависимость от параметра
будет всегда подразумеваться. Функции /, о которых будет идти речь, каче-
ственно подобны функции на рисунке 2.2.
Точки равновесия или фиксированные точки уравнения (2.17) являют-
ся решениями:
и* = /(и*; г) => и*(г). (2.18)
Для исследования линейной стабильности и* напишем, как обычно
ut = u*+vt, |vt| С 1. (2.19)
Подставив эти значения в (2.17) и разлагая по малому параметру vt,
с использованием ряда Тейлора, получаем
И* + Vt+1 = f(u* + Vt) =
Поскольку и* = f(u*), то линейное (по vt) уравнение для определения
линейной устойчивости и* имеет вид:
ft+1 = Vtf'(u*) = Xvt, А = /'(u*),
где А — это собственное значение первого итерационного члена (2.17)
в фиксированной точке и*. Решением является
vt = А
0 IM < 1
когда t —> оо, если |Л| <
106
Глава 2
Таким образом,
и*
является <
устойчивым
неустойчивым,
если
-1 < < 1
!/'(«*)! > 1-
(2.20)
Если п* является устойчивым, то любое малое отклонение от равно-
весного состояния затухает до нуля, монотонно в случае, если 0 < /'(u*) < 1,
или с затухающими колебаниями, если — 1 < /'(и*) < 0. С другой стороны,
если и* — неустойчиво, то любое возмущение нарастает монотонно, если
/'(u*) > 1, или путем нарастающих колебаний, если f'(u*) < —1. Все
это соответствует уже известным заключениям, сделанным нами на основе
графического анализа.
Возьмем в качестве примера отнормированную модель (2.8):
ufc+i = utexp[r(l - ut)], г > 0. (2-21)
В этом случае стационарные состояния суть:
и* = 0 или 1 = ехр[г(1 — и*)] => u* = 1. (2.22)
Таким образом, соответствующими собственными значениями А явля-
ются
Аи*=о = /'(°) = er > 1 для г > 0,
так что решение п* = 0 неустойчиво (монотонно), и
хи*=1 = т = 1-г.
(2.23)
Из этого следует, что решение n* = 1 является устойчивым при
0 < г < 2 и характеризуется колебательным возвратом к равновесию, если
1 < г < 2. При г > 2 решение неустойчиво и характеризуется нарастаю-
щими колебаниями. Таким образом, г = 2 — это первое бифуркационное
значение. На основании вышесказанного мы ожидаем, что периодическое
решение появляется бифуркационно (из стационарного значения n* = 1),
когда г проходит бифуркационное значение г — 2. Если |1 — ut\ мало,
то (2.21) принимает вид:
Ut+l « uf[l +г(1 - ut)],
что в точности повторяет поведения модели на рисунке 2.11. Если мы за-
пишем последнее приближенное равенство в следующем виде:
[7f+1 = (l+r)C/t[l-C/t], где Ut = ^,
2.4. УСТОЙЧИВОСТЬ, ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И БИФУРКАЦИ14107
то получим такую же логистическую модель, как и (2.11), но с г + 1 вме-
сто г. Там мы видели, что после первой бифуркации появлялось устой-
чивое периодическое решение с периодом 2. В примере (2.21) следующая
бифуркация, приводящая к 4-тактному периодическому решению, происхо-
дит при г = Г4 ~ 2,45, и к 6-тактному решению при г = т~б ~ 2,54, с непе-
риодическим или хаотическим поведением для г > гс « 2,57. И в этом
случае последовательные значения г, при которых происходят бифуркации
с удвоением периода, становятся все ближе и ближе. В этой модели чув-
ствительность решений к небольшим изменениям г при г > 2 очень велика;
в действительности, это свойственно большинству подобных моделей (по
крайней мере в отношении величин, эквивалентных г) после нескольких
первых бифуркационных значений.
После t итераций uq, используя обозначения (2.13), можно записать
щ = /*(ио). Траектория или орбита, получившаяся в результате итера-
ции uq, является набором точек {ио, щ, U2,. ..}, где
Ui+1 = f(ui) = fz+1(u0), i = 0,1,2,....
Мы говорим, что точка периодична и имеет период т или является
m-периодичной,если
/ш(и0;г) = ио,
P(uo;r) / uq для i = 1,2,..., т — 1, (2.24)
и что ио, фиксированная точка отображения fm в (2.24), есть т-перио-
дичная фиксированная точка отображения f в (2.17). Точки uq,ui,...,
um_i образуют m-цикл.
Для устойчивости фиксированной точки (решения) нам требуется соб-
ственное значение; для равновесного состояния и* это было просто
Теперь расширим это определение до m-цикла точек uq, ui, U2,..., um-i.
Для удобства примем
F(u;r) = /m(u;r), G(u; г) = г).
Тогда собственные значения Хт m-цикла определяются следующим
образом:
_ "d/m(u; г)"
ди
г = 0 или 1 или 2 или ... m — 1 (2.25)
108
Глава 2
= /'(ui_1;r)G/(Ui;r) =
и тогда
тп— 1
Am = П f'(Ui5 Г)’ (2-26)
i=0
что показывает, что (2.25) не зависит от г.
Подводя итоги, скажем, что бифуркация происходит при значении па-
раметра го в том случае, если имеется качественное изменение динамики
решения при переходе от г < го к г > го- На основании приведенного выше
обсуждения можно ожидать, что это означает смену одного периодического
решения другим, с новым периодом. К тому же когда последовательность
решений с четными периодами проходит через бифуркацию к решению
с нечетным периодом, то согласно теореме Шарковского (1964) существу-
ют циклы с любым целым числом периодов, что подразумевает хаос. Би-
фуркации с А = — 1 являются бифуркациями удвоения периода, в то время
как бифуркации с А = 1 являются тангенциальными бифуркациями.
Используя одну из нескольких доступных сейчас компьютерных про-
грамм, выполняющих алгебраические действия, легко вычислить собствен-
ные значения А для каждого члена итерации и, таким образом, получить по-
следовательность бифуркационных значений г, используя (2.25) или (2.26).
Есть для этого и системные аналитические способы, которые, в сущно-
сти, являются вариантом того же метода; см., например, Gumowski и Mira
(1980). Существует также несколько приближенных методов, как, напри-
мер, метод, предложенный Hoppensteadt и Hyman (1977). Говоря о книгах,
нельзя не упомянуть книгу Strogatz (1994), которая прекрасно подходит для
вводного курса. Получить представление о более ранних работах, посвя-
щенных теме хаоса, можно из подборки репринтов наиболее цитируемых
статей, сделанной Cvitanovic (1984), а также сборника обзоров, вышедшего
под редакцией Holden (1986). Хорошим началом для знакомства с хаосом
в химии является книга Scott (1991). Хаос также можно использовать для
маскировки секретных посланий, наложив на послание хаотическую маску,
при условии, что модель хаоса известна только отправителю и получателю,
и последний, получив послание, знает, как эту маску снять. Strogatz (1994)
детально обсуждает этот вопрос в своей книге. Упомянутые здесь приме-
ры — это лишь малая часть из множества самых разных областей, где хаос
был обнаружен и изучен.
2.5. Дискретные модели с запаздыванием
109
2.5. Дискретные модели с запаздыванием
Все дискретные модели, о которых до сих пор шла речь, основаны
на допущении, что каждый член вида, рассматриваемый в момент време-
ни t, вносит вклад в изменение ее численности в момент времени t + 1.
Это подразумевается в общей модели (2.1) и в ее масштабированной вер-
сии (2.17). Конечно, в случае с насекомыми дело обстоит именно так, хо-
тя в других группах животных для достижения половой зрелости требует-
ся значительное время. Это значит, что модель популяционной динамики
должна включать запаздывание, что, в сущности, ничем не отличается от
учета возрастной структуры. Если это запаздывание до достижения поло-
вой зрелости составляет, скажем, Т временных шагов, то нам предстоит
рассмотреть разностные модели с задержкой, имеющие следующий вид:
Ut+1 = f(ut,ut_T)- (2.27)
В модели динамики популяции голубых китов, которую мы обсудим
ниже, время запаздывания Т составляло несколько лет.
Для того, чтобы прояснить проблемы, связанные с анализом линейной
стабильности подобных моделей, и лучше понять, что можно ожидать от
уравнений с запаздыванием, мы рассмотрим следующую простую модель,
которая, несмотря на свою простоту, представляет определенный практиче-
ский интерес:
ut+1 = ut ехр[т(1 - ut-i)], г > 0. (2.28)
Это — версия модели (2.21) с запаздыванием. И в этом случае равно-
весные состояния — это и* = 0 и и = 1. Стационарное состояние и* =
= 0 — неустойчиво, что можно увидеть просто при внимательном взгляде
на (2.28); линеаризация вблизи и* = 0 немедленно это подтверждает.
Проводя линеаризацию вблизи и* = 1, мы, как обычно, полагаем, что
Щ = 1 + vt, Н <С 1,
тогда (2.28) дает
l + ^+i = (1 + ^)exp[-™t_i] « (1 + ut)(l -rvt-i).
из чего следует, что
vt+i - vt 4- rvt-i = 0. (2.29)
Мы ищем решения этого разностного уравнения в виде:
vt = zl => z2 — z 4- г = 0,
но
Глава 2
что дает два значения для z: z\ и 22, где
21,г2 = |[1±(1-4г)1/2], г<1 z1,z2 = pe±i0, г>1 (2.30)
р = г1!2, в = tg-1(4r — 1)1у/2, г >
Решением уравнения (2.29), для которого характеристическое уравне-
ние — это квадратное уравнение относительно z, таким образом, является:
vt = Az{ 4- Bz2, (2.31)
где А и В — произвольные постоянные.
Если 0 < г < 1/4, то zi и 22, - это действительные числа, 0 < z\ < 1,
0 < Z2 < 1, и тогда из (2.31) получаем, что vt —> 0 при t —> оо и, следо-
вательно, u* = 1 является линейно-стабильным равновесным состоянием.
Более того, возвращение в это равновесное состояние после небольшого
возмущения происходит монотонно.
Если г > 1/4, то 21 и 22 - комплексные числа, с z^ = z\ (zi ком-
плексно сопряжено с zi) и Z1Z2 = |zi|2 = р2 = г. Таким образом, для
1/4 < г < 1 |zi | |z2| < 1.В этом случае решением является
vt = Az{ 4- Bz^,
и поскольку решение — действительное, то В должно равняться А, и тогда,
с учетом (2.30), действительное решение — это
vt = 2|А|р* cos(tO 4- 7), 7 = arg А, 0 = tg-1(4r — I)1/2, (2.32)
если г —» 1, то 0 —»tg-1 л/З = 7г/3.
Когда г проходит через критическое значение тс = 1, то |zi | > 1, и тог-
да vt растет неограниченно при t —> оо, и и* в этом случае нестабильно.
Поскольку в 7г/3 для г ~ 1 и vt « 21 А| cos(^7r/3 4- 7) с периодом рав-
ным 6, то мы ожидаем, что решение уравнения (2.28), по крайней мере
для г чуть больше, чем rc(= 1), будет 6-тактным периодическим реше-
нием. Рисунок 2.12 иллюстрирует численное решение для трех значений
г > 1. На рисунке 2.12(b) все еще видны элементы 6-тактного цикла, но
они нерегулярны. На рисунке 2.12(c) элементы 6-тактного цикла исчезают,
и решение становится более пикообразным (с острыми пиками), что часто
является начальным признаком хаоса.
В последней главе мы видели, что запаздывание оказывает дестабили-
зирующее действие, которое растет вместе с ростом времени запаздывания.
2.5. Дискретные модели с запаздыванием
111
(а)
3 г = 1.02
2
О1----------1----------1------------1---------1
10 20 30 t 40
и- (Ъ)
з г = 1.1
ut (с) г= 1.4
Рис. 2.12. Решения разностного уравнения (2.28) с запаздыванием, ut + 1 =
= ut exp[r(l — Ut-i)] для трех значений г > rc = 1. (а) г = 1,02. Это решение
является 6-тактным периодическим решением, которое бифуркационно возникает
из стационарного состояния при г = гс. (Ь) г = 1,1. Здесь элементы 6-тактного
цикла все еще существуют, но они исчезают в (с), где г = 1,4
Оно имеет такой же дестабилизирующий эффект и в дискретных моделях,
как ясно видно из сравнения значений г, представленных на рисунках 2.10
и 2.12. На рисунке 2.10 при критическом значении тс = 2 решение пе-
реходит к 2-тактному циклу, тогда как на рисунке 2.12, иллюстрирующем
случай с задержкой, при критическом значении гс — 1 решение переходит
к 6-тактному циклу. И здесь мы снова видим, что чем дольше запаздыва-
112
Глава 2
ние, тем больше дестабилизирующий эффект. Это, конечно, еще одна при-
чина, почему моделирование и анализ данного примера давали повод для
беспокойства. Решения с высокой периодичностью часто характеризуются
значительными колебаниями популяционной численности, и в случае, ко-
гда падение численности некогда обширной популяции происходит очень
резко, вымирание становится весьма вероятным. В разделе 2.7 мы кратко
обсудим возможный путь, ведущий к вымиранию популяции.
В заключение данного раздела мы дадим краткое описание практиче-
ской модели, которую использует Международная комиссия по китобойно-
му промыслу (IWC) для голубых китов. Задача комиссии состоит в том,
чтобы контролировать состояние популяции с целью получения постоян-
ного прироста, препятствовать вымиранию популяции и т. д. Давление на
комиссию со стороны коммерческих и общественных организаций очень
велико. Для того, чтобы реалистично выполнять стоящие перед ней обязан-
ности, комиссия должна понимать динамику роста популяции китов и их
экологию.
Используемая комиссией модель охраняемых в наши дни голубых ки-
тов основывается на дискретной модели с запаздыванием для популяции Nt
половозрелых китов в момент времени t:
Nw = (1 - fi)Nt 4- Я(М-т). (2.33)
Здесь (1 — где 0 < д < 1, — это выжившая доля популяции
китов, которая вносит свой вклад в изменение численности год спустя,
и R(Nt-r) — это число особей, которые пополняют ряды взрослого на-
селения со времени своего рождения Т лет назад. Время запаздывания Т —
это время достижения половой зрелости, которое составляет порядка 5-
10 лет. В модели допускается, что соотношение между полами равно 1,
и смертность для каждого пола — величина одинаковая. Основная проблема
моделирования — это вид члена, соответствующего увеличению численно-
сти популяции по мере взросления населения который в соответ-
ствии с моделью комиссии (см., например, данные IWC за 1979) составляет
Здесь К — это плотность равновесной популяции без учета промыс-
ла, Р — это удельная плодовитость самок при N = К, Q — максимально
возможный прирост плодовитости в ответ на падение плотности популя-
ции до низкого уровня, и z — это мера точности, с которой регистрируется
эта плотность. Наконец, 1 — /1 — это вероятность того, что новорожденный
2.5. Дискретные модели с запаздыванием
113
кит переживет каждый следующий год, и тогда (1 — д)Т — это доля попу-
ляции, которая доживает до взрослого состояния после того, как пройдут
нужные для созревания Т лет; множитель 1/2 в (2.34) появляется из-за
того, что половина китов — самки, и это значит, что плодовитость самок
должна быть умножена на N/2. Именно эту модель детально изучал Clark
(1976а). Дополнительные модели, в основном по регулированию рыболов-
ства, можно найти в книге Getz и Haight (1989).
Параметры тп, Т и Р в (2.33) и (2.34) не независимы. Равновесное
состояние определяется следующим образом:
N* = Nt+i = Nt = Nt_T = К => м = = (2.35)
что вместе со значением h устанавливает зависимость плодовитости Р от
смертности тп и запаздывания Т. Независимое измерение этих парамет-
ров позволяет осуществить грубую проверку на непротиворечивость. Если
провести на этом этапе масштабирование модели с щ — Nt/K, то (2.33)
вместе с (2.34) приобретает вид:
ut+i = (1 - p)ut 4- hut_T[l 4- q(1 - uzt_T)\, (2.36)
где h определяется из (2.35) и q = Q/Р- Проведя линеаризацию вблизи
стационарного состояния u* = 1 (записывая, как обычно, щ = 1 4- vt),
получаем уравнение для возмущения vt'.
vt+i = (1 - p)vt + h(l - qz)vt-T- (2.37)
Положив, что vt (x sl, получаем уравнение:
sT+1 - (1 - p)sT 4- h(qz - 1) = 0, (2.38)
которое является характеристическим уравнением. Стационарное состоя-
ние становится неустойчивым, когда |s| > 1. Здесь имеется 4 параметра:
д, Г, h и qz, и анализ сосредоточивается вокруг исследования корней (2.38);
см. статью Clark (1976b). Хотя выражения для s сложные, мы, используя
критерий Jury (см. приложение В), можем определить ограничения, нала-
гаемые на параметры, при которых выполняется неравенство |s| < 1. Кри-
терий Jury — это неравенства, которым должны удовлетворять коэффици-
енты реальных (действительных) полиномов, чтобы абсолютные значения
корней полинома были меньше 1. Для полиномов со степенью больше 4
условия являются чрезмерно громоздкими. Когда |s| > 1, то, как и следует
ожидать, решения (2.33) демонстрируют бифуркационные переходы к пе-
риодическим режимам с последовательно растущими периодами и оконча-
тельному переходу к хаосу; при этом параметр z является критическим.
114
Глава 2
Хаос и данные
В действительности, хаос — это не слишком подходящее название
для кажущегося беспорядочным хаотического поведения, демонстрируемо-
го решениями только что обсуждаемых нами детерминистских уравнений.
Когда мы смотрим на сложные экспериментальные данные и пытаемся
смоделировать их, имея в распоряжении простую модель, мы подразуме-
ваем, что лежащий в основе процесса механизм в действительности совсем
прост. Итак, сталкиваясь с реальными данными, важно знать, является ли
случайная природа процесса в действительности стохастической или хаоти-
ческой, если употреблять это слово в детерминистском смысле. Не удиви-
тельно, что это вырастает в серьезную и противоречивую проблему. Хотя
мы и можем иметь некоторое биологическое представление о том, какой
механизм, возможно, управляет изучаемым процессом и является источни-
ком наших данных, маловероятно, однако, что мы узнаем это с достаточ-
ной определенностью, которая бы позволила нам создать точную модель
механизма. Существует ряд методов, которые были разработаны для того,
чтобы попытаться определить, являются ли данные стохастическими или
детерминистски-хаотическими, но ни один не является надежным.
Чтобы оценить сложность задачи, предположим, что у нас есть экспе-
риментальные точки, скажем Ni9 которые задают численность в отдельные
моменты времени t. Если мы построим график зависимости Nt от Nt +
+ 1 и получим относительно гладкую кривую, скажем, кривую, которая
качественно напоминает кривую на рисунке 2.2, то будет логично предпо-
ложить, что в основе механизма лежит детерминистская модель, а именно,
модель подобная тем, которые мы только что обсуждали и которые мо-
гут, как мы знаем, породить детерминистический хаос. Другими словами,
мы находим качественный вид функции f(Nt) в (2.1). Однако, если мы не
получим ничего похожего на приемлемую кривую, мы не сможем сделать
вывод, что лежащий в основе механизм не детерминистский. Например,
в этом разделе мы видели, что запаздывание может вполне естественно
включаться в процесс обновления. В этом случае, пожалуй, мы бы могли
построить трехмерное изображение Nt_i и Nt относительно Nt + 1. Если
в результате получается достаточно гладкая поверхность, то, возможно, это
означает наличие детерминистского механизма. И снова, если мы получаем
случайный разброс точек в пространстве, это не обязательно указывает на
недетерминистскую модель, поскольку отношения между Nt и 7Vt+i, или,
вернее, Nt-i, или любой другой величины численности популяции в более
ранние периоды времени, могут просто отвечать более сложной дискретной
модели или включать более чем одно запаздывание. Выбор, перед которым
оказывается каждый, кто пытается определить модель, исходя из имеющих-
ся данных, практически неограничен.
2.6. Модель рационального использования рыбных ресурсов 115
Безусловно, хорошее знание биологии может в значительной степени
сократить число возможностей. Итак, один подход заключается в том, что-
бы выбрать правдоподобную модель заранее и, представив, что в каждый
временной шаг в наличии имеется, например, только Nt и M+i, попы-
таться использовать имеющиеся данные для определения количественных
особенностей функциональной зависимости между Nt и 2V*+1. На редкость
удачным примером подобного моделирования неожиданно оказалось про-
гнозирование динамики брачных взаимодействий и возможных разводов,
которое обсуждается в главе 5; см. статью Cook с соавторами (1995), а так-
же книгу Gottman с соавторами (2002), посвященную общей теории бра-
ка. В последнем случае предварительная модель описывается дискретными
спаренными уравнениями.
Совсем иной пример того, как хаотические решения дискретных урав-
нений могут прояснить суть биологического процесса, даются у Cross
и Cotton (1994). Мы обсуждаем проблему и предложенную модель с анали-
зом ниже, в разделе 2.8.
2.6. Модель рационального использования рыбных
ресурсов
Уже много лет дискретные модели используются в регуляции добы-
чи рыбы. Часто они оказываются весьма полезны при выборе той или иной
стратегии лова для получения и поддержания максимальной экономической
выгоды. Тем не менее следует всегда помнить о замечаниях, высказанных
в конце раздела 1.6 главы 1. Среди множества книг, относящихся к пробле-
мам рационального использования ресурсов, можно выделить следующие:
Clark (1976b; 1985; 1990), Goh (1982), Getz и Haight (1989), Hilbom и Mangel
(1997), а также серию работ, вышедших под редакцией Cohen (1987), и со-
ответствующие разделы в сборнике статей, изданных под редакцией Levin
(1994). Модель, которую мы сейчас рассмотрим, применима, в принципе,
к любому возобновляемому ресурсу, часть которого регулярно изымается;
детальный анализ приложим к любой популяции, динамика которой может
быть описана дискретной моделью.
Предположим, что плотность популяции в отсутствии лова определя-
ется уравнением 2Vt+i = Если h будет уловом, который изымается
в момент времени t из популяции, рождающей новое поколение в момент
времени t + 1, то модель динамики численности будет следующей:
М+1 = /(М) - ht. (2.39)
116
Глава 2
Здесь уместно задать следующие вопросы: (1) Каков максимальный
объем гарантированного биологического улова? (сравните с разделом 1.5
главы 1); (2) Каков максимальный размер экономической прибыли?
В состоянии равновесия Nt = N* = Nt+i,ht = h*, где из (2.39):
Л* = f(N*)—N*. (2.40)
Для находящейся в стационарном состоянии популяции максимальный
гарантированный улов Ум достигается, когда N* = Nm, где
|^-=o => /W) = l И YM = f(NM) - NM. (2.41)
Единственным интересующим нас случаем является, естественно, случай,
когда Ум 0.
Стратегия рационального использования ресурсов может состоять
в простом поддержании такой численности популяции, которая обеспечива-
ла бы максимальный улов Ум- Поскольку трудно сказать, какова истинная
численность данной популяции рыб, эта задача трудно выполнима. Нам из-
вестен объем улова и объем трудозатрат при его добыче. Таким образом,
лучше сформулировать задачу оптимизации в понятиях улова и трудоза-
трат.
Пусть единица трудозатрат при добыче рыбы дает в результате
улов cN, изъятый из популяции N. Константа с — это параметр, обознача-
ющий «способность пойматься», не зависимый от плотности популяции N.
Трудозатраты по уменьшению N на одну единицу равны 1/cN, и умень-
шению f(N) также на одну единицу равны l/(c/(AQ). Тогда трудозатра-
ты Ем по обеспечению улова
f(NM)
YM = f(NM)-NM равны Ем = (сМ)-1-
Теперь, если значение cN велико по сравнению с единицей, мы можем
аппроксимировать сумму в последнем уравнении интегралом, в результате
чего получим
cJnm с I W J
Два уравнения (2.41) и (2.42) дают параметрическое (параметр TVm)
соотношение между Ем и Ум-
2.6. Модель рационального использования рыбных ресурсов 117
В качестве примера предположим, что в отсутствии лова динамика
популяции управляется уравнением Nt + 1 = f(Nt) = bNt/(a + Nt) с па-
раметрами 0 < а < Ь; тогда
1=/W) = 7------=> NM =а^2(Ь1/2~а1/2).
(a + NMy
Подставляя это выражение в (2.41) и (2.42), получим
Ум =
bNM
(а + Nm)
-NM,
EM = Un( b ).
c [(a + Nm) J
(2.43)
В этом примере мы можем получить точное соотношение между Ум
и Ем, исключив Nm-
Ym = [Ьехр(-сЕм) - а][ехр(сЕл/) - 1]. (2.44)
Рис. 2.13. (а) Схематичное изображение соотношения между уловом и трудозатра-
тами для получения максимального гарантированного улова с динамикой модели
Nt + 1 = bNt/(a 4- Nt) при 0 < а < Ь. (Ь) Кривая зависимости максимального
годового дохода R от трудозатрат Е, данная в сравнении с кривой зависимости Ум
от Ем
Рисунок 2.13(a) иллюстрирует соотношение между Ум и Ем • Посмот-
рев на эти данные, можно сказать, что стратегия управления рациональным
использованием ресурсов состоит, главным образом, в том, чтобы не остав-
лять без внимания случаи, когда рост промысла приводит к сокращению
улова, что означает, что максимальный гарантированный улов превышен
118
Глава 2
и промысел должен быть сокращен с тем, чтобы популяция могла восста-
новиться. Трудозатраты можно впоследствии отрегулировать таким обра-
зом, чтобы попытаться получить Yc в соответствии с Ес, как показано на
рисунке 2.13(a), вычисляя обе величины из уравнения (2.44). Этот анализ
служит для определения максимального гарантированного биологического
улова. Максимум экономической прибыли должен включать стоимость уло-
ва и стоимость затраченного труда. Как и в первой, модели мы можем вклю-
чить эти показатели в выражение, определяющее доход, R = рУм — кЕм,
где р — стоимость в пересчете на единицу улова, а к — стоимость в пере-
счете на единицу трудозатрат. Используя (2.43) для определения Ум(-^м)
и -Ед/СЭДи), мы, таким образом, получаем R(Nm), который мы должны
в данном случае максимально увеличить. Таким образом мы получим кри-
вую максимального годового дохода R как функцию трудозатрат Е; этот
случай изображен на рисунке 2.13(b).
Результаты исследования подобной «модели» не должны восприни-
маться слишком серьезно, коль скоро они не подкреплены эксперимен-
тальными наблюдениями. Тем не менее их можно использовать как важ-
ные качественные ориентиры. Проведенный нами анализ основывается на
том, что популяция, часть из которой забирают в качестве улова, находится
в стационарном состоянии. Рыбы, в частности, обладают высокой удельной
скоростью роста, что в детально проанализированных нами моделях отно-
сится к параметру г. Мы, таким образом, вправе ожидать, что численность
определенной популяции рыб будет испытывать периодические колебания,
что соответствует действительности. Достаточно высокая скорость роста
может иногда означать, что система функционирует в хаотическом режиме.
Поскольку изъятие части популяции является, в некотором роде, действен-
ным способом снижения скорости воспроизводства, вполне вероятно, что
оно может оказать стабилизирующее воздействие, переведя, например, си-
стему из хаотического состояния в колебательное и даже в стационарное
состояние.
2.7. Экологические последствия и предостережения
Мы моделируем динамику популяции для того, чтобы понять, как ре-
гулируется этот процесс, и предсказать его возможную эволюцию в ответ
на изменение параметров окружающей среды. При построении модели мы
можем обладать тем или иным объемом знаний биологии вида и получен-
ными в ходе наблюдений данными для сравнения их с результатами анализа
модели. Бывает полезно суммировать все, что мы можем узнать о популя-
2.7. Экологические последствия и предостережения
119
ционной динамике всех рассмотренных ранее типов моделей, и указать на
присущие им сложности и ограничения.
После того, как найдена правдоподобная модель динамики роста по-
пуляции, появляется возможность определить глобальную динамику. Ис-
пользование графических методов также помогает увидеть, как меняются
решения при варьировании одного из основных параметров окружающей
среды. Например, из рисунка 2.4 видно, что при низкой начальной чис-
ленности популяция какое-то время просто растет, а затем может перейти
к квазирегулярным колебаниям и в дальнейшем стабилизироваться, перей-
дя в стационарное состояние, или может демонстрировать периодическое
поведение или просто совершать беспорядочные, на первый взгляд, колеба-
ния со взлетом к большой численности на одном этапе и резким падением
к крайне низкой численности в следующий временной шаг. Какая бы ни бы-
ла модель, коль скоро ее общий вид напоминает пример, представленный
на рисунке 2.6, плотность популяции всегда ограничена.
Эта, на первый взгляд, случайная динамика создает серьезные пробле-
мы при моделировании. Мы спрашиваем, что лежит в основе полученных
нами данных о том или ином поведении системы, детерминистская мо-
дель или стохастическое поведение. А это, в свою очередь, означает, что
нам следует решить, что больше соответствует нашему случаю, хотя реаль-
ность может оказаться совсем не той, как увидели ее мы. Модели, однако,
могут указать, насколько чувствительна динамика популяции к изменениям
тех или иных параметров окружающей среды, численная оценка которых
часто бывает затруднена, хотя и весьма важна.
Тип динамики, демонстрируемый подобный случаю, представ-
ленному на рисунке 2.6, показывает, что численность популяции по про-
шествии длительного времени всегда бывает ограничена некоторым мак-
симальным значением Nma* и некоторым минимальным значением 7Vmin;
несколько первых итераций могут лежать ниже Nm[n, если значение Nq до-
статочно мало. В соответствии с рисунком 2.6 максимальное значение Nmax
определяется первой итерацией значения, при котором M+i = f(Nt) имеет
максимум, скажем АГт, то есть
=> 7Vm, А^шах = f(Nm).
dNt
Минимум Mnin в этом случае является первым членом итерационного
ряда для TVjnaxj а именно,
Mnin = /(Mnax) = (2.45)
120
Глава 2
Эти предельные в конечном счете размеры популяции легко вычисля-
ются для данной модели. Например, из следующих уравнений:
М+1
= f(Nt) = Ntexp r(l-^
= 0 => N,
= f(Nm) = ^er~1,
(2-46)
Mnin = /(/(^)) = ^exp[2r-l-er-1].
Когда кривая динамики M+i — f(Nt) ПРИ M > Мп круто идет вниз,
возможно резкое сокращение численности популяции до значений близких
к Nmin, что ставит вопрос о вымирании вида. Если численность падает
до значения Nt < 1, вид определенно исчезает. В действительности, вы-
мирание практически неизбежно, когда Nt падает до низких отметок. На
этой стадии требуется стохастическая модель. Впрочем, вычислить, когда
популяция сократится до 1, или меньше, и в этом случае исчезнет, мож-
но, найдя численное значение Mnin для данной модели. Используя (2.45),
можно определить условие:
Wmin =/2(МпК 1, =0. (2.47)
n=n„
Если использовать пример (2.46), то это условие принимает вид:
у- ехр[2г - 1 - er~1] 1.
Итак, если, например, г = 3,5 и К < 1 600 (приблизительно), то попу-
ляция обречена на вымирание.
Анализ данной модели (2.46) позволяет выявить важное явление: чем
больше параметр г (репродукция), тем меньше Mnm, и тем выше вероят-
ность резкого падения численности, что приведет к вымиранию вида. Заме-
тим также, что обычно так и бывает, когда численность популяции сильно
возрастает непосредственно перед ее катастрофическим падением. В на-
шем примере, при г = 3,5, эта цифра составляет почти 3 500, как следует
из (2.46). Интересным и обещающим примером практического применения
концепции вымирания является внедрение стерильных особей в популяцию
насекомых-вредителей для регуляции ее численности; см. далее упражне-
ние 6. Впрочем, высокая стоимость данной процедуры часто препятствует
ее применению.
Важная группа моделей, не обсуждавшаяся ранее, но также входя-
щая в общий класс моделей (2.1), — это модели с эффектом Олли. Био-
логические популяции, в которых проявляется этот эффект, уменьшаются
2.8. РОСТ ОПУХОЛЕВЫХ КЛЕТОК
121
в размере, если их численность опускается ниже порогового уровня, ска-
жем, Nc. Типичная зависящая от плотности популяционная модель, иллю-
стрирующая этот эффект, представлена на рисунке 2.14. Если взять такую
начальную численность популяции, скажем, Nq, чтобы /2(TVo) < NC9 тогда
Nt —> 0. Подобные модели обычно возникают в результате хищничества.
Непрерывная модель динамики популяции гусеницы листовертки-почкоеда
елового (1.6), в главе 1, имеет сходное поведение. Участок Nt < Nc ино-
гда называют ямой хищничества. В данном случае Nt = 0, Nc, и N* — все
являются стационарными состояниями, где Nt = 0 — устойчивое состоя-
ние, Nc — неустойчивое и 2V* — устойчивое или неустойчивое в зависимо-
сти от Такой тип динамики неизбежно ведет к вымиранию, если
Nt < Nc, независимо от того, насколько велико может быть значение Nc.
Модели с эффектом Олли демонстрируют еще более широкий спектр пове-
дения, чем модели, рассмотренные выше, а именно, все типы экзотическо-
го колебательного поведения плюс возможность вымирания, если итерация
fm(Nt) < Nc для какого-либо т.
Решения нелинейных дискретных моделей, подобных обсуждавшимся
в данной главе, основываются, главным образом, на биологических пара-
метрах, полученных при анализе данных наблюдений. В статье Southwood
(1981) наряду с другими вопросами обсуждаются эти популяционные па-
раметры, а также приводятся достоверные факты о некоторых биологиче-
ских видах. В статье Hassel с соавторами (1976) проведен анализ данных из
жизни многих биологических видов и проведено их сравнение с моделью
Л^+1 = f(Nt) = rNt/(l + aNt)b, где г, а и b — положительные парамет-
ры; см. также книгу Kot (2001). Если b > 1, то эта функция f(Nt) имеет
один горб, аналогично функции, показанной на рисунке 2.2. Так, например,
популяция колорадского жука находится в устойчивом периодическом ре-
жиме, тогда как описанная Nicholson (1954) популяция мясной мухи может
быть в хаотическом режиме.
В заключение следует подчеркнуть, что многообразие различных ре-
шений является следствием нелинейности этих моделей. Любопытно также
и то, что найти многие качественные свойства моделей можно на редкость
простыми методами, даже когда эти модели представляют собой весьма
сложные математические задачи.
2.8. Рост опухолевых клеток
Cross и Cotton (1994) обсуждают задачу из области патологии, где
представлены данные о популяции, и состоящей из опухолевых клеток, ко-
личество которых характеризуется переменной Nt. Для анализа была вы-
122
Глава 2
Рис. 2.14. Популяционная модель, демонстрирующая эффект Олли, в соответствии
с которым, если численность популяции Nt становится меньше Nc в некий момент
времени t, то для последующих моментов времени Nt —► 0, то есть популяция
вымирает
брана простая логистическая модель, описываемая уравнением (2.5) с К =
= 1, а именно,
ty+i = rNt(l-Nt), (2.48)
где г — скорость роста опухолевых клеток. Нормализация Nt к 1 означает,
что Nt — это часть общей численности клеток, которые могут поддержи-
ваться (существовать) в данном контейнере для клеточной культуры. Мы
знаем из анализа, проведенного в разделах 2.2-2.4, что для г < 3 популя-
ция Nt просто растет до тех пор, пока не достигнет стационарного состо-
яния (г — 1)/т, что происходит достаточно быстро, если Nq не слишком
мало: например, при Nq = 0,001 иг = 2 популяция вырастает прибли-
зительно в два раза с каждым временным шагом. При г > 3 появляются
периодические решения, которые со временем переходят в хаос при г > гс.
Когда г > гс (хаотический режим), популяция клеток в любое время t
сильно зависит от начальных условий. Рисунок 2.15 иллюстрирует типич-
ный популяционный рост для различных значений г. На рисунке 2.15(a)
Nt приближается к периодическому решению, но на ранних стадиях также
демонстрирует квазисигмоидную кривую роста. На рисунке 2.15(b) показа-
но хаотическое решение.
Рассмотрим теперь мультиклоновую модель, где различные клеточные
клоны имеют различные начальные численности. Предположим также, что
2.8. РОСТ ОПУХОЛЕВЫХ КЛЕТОК
123
скорость их роста различна, но для всех г > гс все они демонстрируют ха-
отическое поведение. Один из главных вопросов, интересующий врачей, —
это общий размер опухоли, то есть общее число клеток. Cross и Cotton
(1994) рассмотрели первые 5 клонов и суммировали их численности, что-
бы получить общую численность. Типичный результат представлен на ри-
сунке 2.16(a). Мы начинаем замечать первые признаки сглаживания хао-
тического поведения и начало появления сигмоидных кривых численности
популяций, изображенных на рисунке 2.15(a). Когда исследователи вклю-
чили 200 клонов, эффект сглаживания стал гораздо более выраженным, как
видно на рисунке 2.16(b). Наличие множества клонов характерно для опу-
холевого роста, и экспериментальные данные представляют картины роста,
подобные представленным на рисунке 2.16(b). Из этого простого примера
становится ясно, что наличие множества клонов могло скрывать в нашем
случае лежащий в основе детерминистический хаос. В этой модели есть
грубые допущения, одно из которых — это допущение, что параметр ро-
ста г — постоянный для каждого клона в течение всего времени. Моделиро-
вание того, как процесс деления клеток меняется в зависимости от времени,
интересно само по себе из-за перехода от дискретного деления до, по сути,
непрерывного деления для начальной группы новых клеток. Обсуждение
этой задачи можно найти в статье Murray и Frenzen (1986). Изменчивость
параметра при наличии множества клонов предполагает, что структуриро-
ванная по возрасту модель могла бы оказаться более подходящей. Было
бы любопытно исследовать характеристики роста многоклоновой системы
в модели с возрастной структурой, так, чтобы каждый клон находился в ре-
жиме хаотического роста, и посмотреть, как меняющиеся скорости роста
и возрастная структура могли бы проявить себя в экспериментальных на-
блюдениях.
Многие биологические процессы являются хаотическими, или, если не
явно хаотическими в том смысле, который придается этому понятию в на-
стоящей главе, то, по меньшей мере, стохастическими, хотя, когда встре-
чаешься с ними, например, в неврологии, или патологии, или физиологии,
они могут показаться вполне упорядоченными. Обзор, посвященный воз-
можной связи этого явления с эпилепсией дан lasemidis и Sackellares (1996).
Особенно важным, по мнению авторов, является тот факт, что во многих
хаотических системах наблюдаются сменяющие друг друга резкие перехо-
ды между участками хаоса — крайне неорганизованными состояниями —
и весьма организованными; типичный пример описанной ситуации дается
на рисунке 2.11. Выдвинутая в обзоре гипотеза о том, что эпилепсия — это,
возможно, пример хаоса, и проведенный с этих позиций тщательный ана-
лиз электроэнцефалограмм позволяет по-новому взглянуть на происхожде-
124
Глава 2
Время (условные единицы)
Рис. 2.15. При одинаковой начальной численности (No = 10-6) графики демон-
стрируют типичные кривые клеточного роста — сигмоидные кривые для различных
г: (а) 0 < г < 3, (Ь) 3 < г < гс. Для г > гс мы получаем типичное хаотическое по-
ведение (см. также рисунок 2.16). (а) По оси ординат: численность в процентах; по
оси абсцисс: время (условные единицы), (Ь) по оси ординат: средняя численность
в процентах; по оси абсцисс: время (условные единицы)
2.8. РОСТ ОПУХОЛЕВЫХ КЛЕТОК
125
Время (условные единицы)
Рис. 2.16. Общая средняя (нормированная на 1) численность Nt с (а) 5 клонами
и (Ь) 200 клонами; г = 3,93(> гс). Сглаживание хаотических колебаний тем отчет-
ливее, чем больше число клонов, каждый из которых индивидуально демонстрирует
детерминистический хаос. Начальные условия: RNq, где No = 10-6,Я — случай-
ное число (от 0 до 1). (Кривые эквивалентны кривым, представленным в статье
Cross and Cotton 1994). (а) и (b) по оси ординат: средняя доля численности; по оси
абсцисс: время (условные единицы)
126
Глава 2
ние болезни. Как считают авторы, их идеи могли бы принести пользу как
в диагностике, так и в лечении эпилепсии.
В интересном исследовании (barter el al. 1999), посвященном роли
хаоса в деятельности мозга, высказывается мысль о том, что хаос — это
норма, тогда как во время эпилептического припадка деятельность мозга
становится ненормально упорядоченной. Во время эпилептических присту-
пов, называемых парциальными припадками (страдающие от них больные
в наименьшей степени реагируют на действие лекарств), только часть мозга
начинает проявлять регулярную активность, которая распространяется од-
новременно с распространением припадка. Исследователи изучили тысячу
связанных друг с другом нейронов и подвергли систему уравнений возму-
щениям в попытке понять, как происходит процесс передачи информации.
Среди прочих вещей их интересовал вопрос о том, что влияет на скорость
перехода от регулярного поведения в одном участке головного мозга к хао-
су в соседнем участке. Их цель также состояла в том, чтобы использовать
результаты исследования для лечения больных, страдающих от парциаль-
ных припадков.
В случае волновой активности в сердце (см. главу 1, том II) все про-
исходит совсем иначе. Если регулярная активность сменяется хаотической,
происходит нарушение ритма, известное как сердечная фибрилляция; оно
приводит к смертельному исходу, если резко не вернуть сердце в прежнее
регулярное состояние; обычный способ для этого — мощный электрический
шок.
Еще один пример из статьи Cross и Cotton (1994) — это рост челове-
ческих волос, который в норме является асинхронным процессом, но ино-
гда под воздействием определенных факторов (обычно вследствие болезни)
синхронизуется. Это часто случается во время беременности и родов, когда
все волоски оказываются в телофазе, или, другими словами, в стадии кле-
точного отдыха, в результате чего может произойти частичное облысение;
состояние, называемое телофазное выпадение волос (Benedict el al. 1991).
Из графиков на рисунке 2.16 видно, как нарастает порядок в зависимости
от числа клонов, что подразумевает существование механизма «антихаоса»,
слова, которое все чаще встречается на страницах литературы. Он имеет
черты сходства с синхронизацией, наблюдаемой во многих ситуациях, свя-
занных с биологическими системами. Один из таких примеров — это разво-
димые в культуре клетки с изначально различными циклами, которые под
действием соответствующего стимула способны синхронизоваться. Другой
случай синхронизации — это светлячки, о которых мы рассказываем в гла-
ве 9, вместе с обсуждением биологических осцилляторов. Совсем другой
тип хаоса был найден Benchetrit с соавторами (1987) и Demongeot с соав-
2.8. РОСТ ОПУХОЛЕВЫХ КЛЕТОК
127
торами (1987; 1996) при анализе хаотических дыхательных диаграмм. По-
следняя группа исследователей использовала концепции из новой области
теории изменчивости, разработанной Aubin (1991), и показала, как опреде-
ленный когерентный порядок может быть выделен из лежащего в основе
хаоса (в том смысле, который вкладывается в это понятие в настоящей
главе). Интересный подход к концепции аттракторов и ограничителей был
разработан Demongeot и Jacob (1989) и Cosnard и Demongeot (1985).
Упражнения
1. Все перечисленные далее дискретные во времени популяционные
модели вида М+1 = f(Nt) были взяты из экологической литературы и ис-
пользованы для моделирования реальных ситуаций. Определите их неотри-
цательные стационарные состояния, проведите исследование их линейной
стабильности и найдите первые бифуркационные значения параметров, ко-
торые, естественно, должны быть положительными.
а) М+1
б) М+1
в) М+1
г) М+1
АГг[1 + г(1- §)],
\ А /
rNf~b, если Nt > К,
г Nt, если Nt < К,
rNt
(l + aNtf
rNt
1 +
2. Используя метод «плетения паутины», постройте отображения для
V = (1+lW
) f+1 1 + rNt ’
rNt
б) Nt+1 = -----——а > О, 6 > О, г > О,
(l + aNt)b
и исследуйте глобальное качественное поведение решений. Определите, где
возможно, максимальное и минимальное значения М и минимальное зна-
чение для (Ь), когда b 1.
128
Глава 2
3. Подтвердите, что точное решение существует для следующего ло-
гистического разностного уравнения:
IQ+1 = rut(l - ut), г > О,
в виде ut = Asin2 с/, определив величины для г, А и а. Является ли ре-
шение (1) периодическим? (2) колебательным? Опишите его! При г > 4
рассмотрите возможные следствия из решения.
4. Популяционная динамика вида определяется следующей дискрет-
ной моделью:
М+1 = ЯМ) = Мехр[г(1 -
где г и К — положительные константы. Определите стационарные состоя-
ния и соответствующие им собственные значения. Покажите, что бифурка-
ция удвоения периода происходит при г = 2. Дайте краткое качественное
описание динамики поведения популяции при г = 2 Н- е, где 0 < s 1. Для
случая г > 1 начертите график Nt+i = f(Nt) и покажите графически или
любым другим способом, что для больших t максимальная численность за-
дается уравнением Nm = f(K/r), а минимальная возможная численность
задается уравнением Nm = f(f(K/r)). Поскольку вид обречен на вымира-
ние, когда Nt 1 при любом t > 1, покажите, что для любого г > 1 вид
может исчезнуть, если емкость среды К < гехр[1 + ег~1 — 2г].
5. Популяция определенного вида, находящаяся под давлением со сто-
роны хищников, моделируется следующим разностным уравнением:
Ut+1 ab2 + u2t'
а > 0.
Определите равновесное состояние и покажите, что если а2 > 462, то
популяция может исчезнуть, если ее численность опустится ниже критиче-
ского уровня, который вам предстоит определить.
6. Было предложено, что одним из средств регуляции численности
насекомых-вредителей может стать внедрение в популяцию и поддержание
на определенном уровне некоторого числа стерильных насекомых. Одной
из моделей для динамики такой популяции является:
М+1 =
Д7У2
(R-rf± + Nt + S
2.8. РОСТ ОПУХОЛЕВЫХ КЛЕТОК
129
где R > 1 и М > 0 — постоянные параметры, и S — постоянная числен-
ность стерильных насекомых.
Определите стационарные состояния и исследуйте их линейную ста-
бильность, обратив внимание на возможность какой-либо бифуркации.
Найдите такое критическое значение Sc численности стерильных насеко-
мых, выраженное через R и М, чтобы при S > Sc популяция насеко-
мых была бы уничтожена. Используя метод «плетения паутины», постройте
отображение и нарисуйте график зависимости S от плотности популяции
в стационарном состоянии и, исходя из этого, определите возможное пове-
дение решений при 0 < S < Sc.
7. Дискретная модель популяции Nt описывается уравнением:
M+i = rNt =
+ 1 + bNf h
где t — это дискретное время, г и b — положительные параметры. Что из
себя представляют величины г и b в этой модели? Используя метод «плете-
ния паутины», покажите, что по прошествии длительного времени популя-
ция Nt будет ограничена следующей величиной:
ту . — < N < г
(4-|- г2)д/б 2у/Ь
Докажите, что при любом г популяция исчезнет, если b > 4. Определи-
те стационарные состояния и их собственные значения, и далее покажите,
что г = 1 является бифуркационным значением. Покажите, что при любом
конечном г колебательные решения для Nt невозможны.
Рассмотрите вариант модели с запаздыванием следующего вида:
r>L
Исследуйте линейную стабильность вблизи положительного стацио-
нарного состояния 7V*, положив Nt = N* + nt. Покажите, что nt удовлет-
воряет следующему условию:
nt+i - nt + 2(r - l)r-1nt_i = 0.
Покажите далее, что г = 2 является бифуркационным значением, и что
по мере того, как г —> 2, стационарное состояние бифуркационно переходит
в периодическое решение с периодом 6.
130
Глава 2
8. Базовая модель с запаздыванием, использованная Международной
комиссией по китобойному промыслу для мониторинга популяции китов,
имеет следующий вид:
ut+i = sut + R(ut-T), 0 < s < 0,
где Т 1 является целым числом.
(а) Если и* — положительное равновесное состояние, покажите, что дос-
таточным условием линейной стабильности является |l?'(u*)| < 1 — s.
[Подсказка: используйте теорему Руше о характеристических много-
членах для малых возмущений относительно и*.]
(б) Покажите, что если |7?(u)| = (1 — s)u[l + g(l — u)],g > 0, и запаз-
дывание Т = 1, то равновесное состояние является устойчивым для
всех 0 < q < 2. [В данной модели Т — время от рождения до поло-
вой зрелости, s — параметр, определяющий выживание, и —
пополнение взрослого состава популяции за счет взросления родивше-
гося Т лет назад потомства.]
9. Рассмотрите эффект регулярного изъятия части популяции в виде
урожая, если популяционная модель представлена следующим уравнением:
Ьи?
Ut+i = -----, - Eut = f(ut; Е), b > 2, Е > 0,
где Е — это мера труда, затраченного на сбор урожая, Eut. [Эта модель, где
Е = 0, является особым случаем упражнения 5.] Определите стационарные
состояния и далее покажите, что если трудозатраты Е > Ет = (Ь — 2)/2, то
собрать урожай не удастся. Если Е < Ет, то покажите, пользуясь методом
«плетения паутины» для ut + 1 = f(ut;E), или любым другим способом,
что модель реалистична только в том случае, когда численность ut нахо-
дится между двумя положительными значениями, которые вам потребуется
определить аналитически.
При Е < Ет определите собственное значение наибольшего положи-
тельного стационарного состояния. Покажите существование тангенциаль-
ной бифуркации при Е —> Ет.
Глава 3
Модели взаимодействующих популяций
Когда виды взаимодействуют друг с другом, это влияет на динамику
численности каждого из них. Вообще говоря, существует целая сеть взаи-
модействующих видов, иногда называемая трофической сетью, которая свя-
зывает воедино структурно организованные сообщества. Здесь мы рассмат-
риваем системы, состоящие из двух или более видов, уделяя особое внима-
ние двухвидовым системам. В книге Kot (2001) можно найти обсуждение
подобных моделей (включая взаимодействующие популяционные системы
с возрастной структурой) с большим количеством современных практиче-
ских примеров. Существует три основных типа взаимодействий: (1) Когда
скорость роста одной популяции уменьшается, а другой увеличивается, мы
говорим о системе хищник-жертва. (2) Когда скорость роста обеих попу-
ляций уменьшается, мы говорим о конкуренции. (3) Когда скорость роста
обеих популяций увеличивается, мы говорим о мутуализме или симбиозе.
Все математические приемы и аналитические методы, о которых пой-
дет речь в этой главе, находят прямое применение в реакционной кинетике,
речь о которой пойдет в главе 6, где используются те же уравнения, но
вместо слова «виды» употребляется словосочетание «химические концент-
рации».
3.1. Модели хищник-жертва: система Лотки-Вольтерра
Вольтерра (Volterra 1926) впервые предложил простую модель поеда-
ния одного биологического вида другим для объяснения колебательного
характера улова некоторых видов рыб в Адриатическом море. Если N(t) —
численность жертвы, a P(t) — численность хищника в момент времени t,
то модель Вольтерра имеет следующий вид:
= N(a - ЬР), (3.1)
= P(cN - d), (3.2)
где а, Ь, с и d — положительные константы.
132
Глава 3
В модели были приняты следующие допущения: (1) Численность
жертвы в отсутствии хищника неограниченно растет по закону Мальту-
са, что соответствует члену aN в уравнении (3.1). (2) Эффект хищничества
состоит в том, чтобы уменьшить удельную скорость роста численности
жертвы на величину, пропорциональную численностям хищника и жертвы,
что соответствует члену —bNP. (3) В отсутствии жертвы, необходимой для
поддержания жизни хищника, вымирание последнего развивается по экспо-
ненте, что соответствует члену —dP в уравнении (3.2). (4) Вклад жертвы
в скорость роста численности хищника определяется членом cNP, иными
словами, эта величина пропорциональна числу доступных жертв, а так-
же размеру популяции хищника. Член NP можно рассматривать как член,
описывающий переход энергии от одного источника к другому: bNP — то,
что отнимается у жертвы, и cNP — то, что достается хищнику. Далее мы
увидим, что эта модель не лишена серьезных недостатков. Тем не менее ее
неоспоримая ценность состоит в том, что она послужила основой для фор-
мулировки крайне важных вопросов и стала отправной точкой для создания
более реалистичных моделей, что, главным образом, и объясняет наш к ней
интерес.
Модель (3.1), (3.2) известна как модель Лотки-Волыперра, поскольку
те же самые уравнения вывел Лотка (Lotka 1920, см. также 1925) из гипо-
тетической химической реакции, где, по его словам, могли бы наблюдать-
ся периодические изменения концентраций химических веществ. По этой
причине зависимые переменные представляют химические концентрации,
о чем пойдет речь в главе 6.
Первым шагом в анализе модели Лотки-Вольтерра является приведе-
ние системы к безразмерному виду:
откуда
На
анализа
дает
и(т) = £^£1, = Т = at, а = d/a, (3.3)
u u
^=u(l-v), ^=cw(u-l). (3.4)
ат ат
фазовой плоскости (и, v) (краткое изложение основных методов
с использованием фазовой плоскости дается в приложении А) это
с особыми точками ви = и = 0ии-и = 1. Мы можем точно проинтегри-
ровать уравнение (3.5) и получить фазовые траектории:
аи + v — In uav = Н,
(3.6)
3.1. Модели хищник-жертва: система Лотки-Вольтерра
133
где Н > 7/min, ^min является константой: Hmin = 1 + а — это минимальное
значение Н на всей плоскости (гг, v), которое достигается в и — v — 1. Для
каждого значения Н > 1 + а все траектории (3.6) на фазовой плоскости
замкнуты, как видно из рисунка 3.1.
Замкнутая траектория на плоскости и, v означает наличие периоди-
ческих решений (3.4). Начальные условия гг(О) и г>(0) определяют кон-
станту Н в (3.6) и, следовательно, фазовую траекторию, изображенную на
рисунке 3.1. Типичные периодические решения м(т) и и(т) показаны на
рисунке 3.2. Из уравнения (3.4) мы сразу видим, что точки поворота для и
достигаются при v ~ 1, а для v — при и ~ 1.
Основной недостаток модели Лотки-Вольтерра виден из рисунка 3.1 —
ее решения не являются структурно устойчивыми. Предположим, напри-
мер, что гг(О) и v(0) таковы, что и и v при т > 0 лежат на траектории Я4,
проходящей вблизи осей и и v. Тогда любое незначительное возмущение
переместит решение на другую траекторию, которая на многих отрезках
своего пути не лежит вблизи исходной траектории Н4. Это означает, что
малое возмущение может иметь весьма значительный эффект, во всяком
случае, когда речь идет об амплитуде колебаний. В этом состоит проблема
любой системы, которая имеет первый интеграл (подобно (3.6)), который
представляет собой замкнутую траекторию на фазовой плоскости. Такие
системы называются консервативными'^ здесь уравнение (3.6) ассоцииру-
ется с «законом сохранения». Обычно такие модели редко используются
при моделировании реальных взаимодействующих популяций (ниже приве-
ден один любопытный и забавный пример такого моделирования). Однако
метод анализа стационарных состояний таких систем является типичным.
Вернемся к системе (3.4); линеаризация вблизи особых точек опреде-
ляет тип сингулярности и устойчивость стационарных состояний. Анало-
гичный анализ линейной стабильности должен проводиться на эквивалент-
ных системах с любым числом уравнений. Вначале рассмотрим стационар-
ное состояние (u,v) = (0,0). Пусть х и у будут малыми возмущениями
вблизи (0,0). Сохранив только линейные члены, из (3.4) получаем
( dx У
dr
dy
\ dr /
(3-7)
Решение имеет вид:
134
Глава 3
плоскости (и, v), полученные из (3.6) для различных Н: Hi = 2,1, Н2 = 2,4, Н3 =
= 3,0, Н4 = 4. Стрелки показывают направление движения при увеличивающемся
времени т
Рис. 3.2. Периодические решения для жертвы и(т) и хищника и(т) в системе Лот-
ки-Вольтерра (3.4) при а = 1 и начальных условиях и(0) = 1,25 и и(0) = 0.66
где В — это вектор-столбец, состоящий из произвольных констант, а соб-
ственные значения А задаются характеристическим полиномом матрицы А,
являясь, таким образом, решениями:
|Д-А/| = 1 Л 0 =0
1 1 0 -а - Л
Ai = 1, А2 — —а.
Поскольку, как минимум, одно собственное значение Ai > 0, то х(т)
и у(т) растут экспоненциально, а значит точка и = 0 = v является ли-
3.1. Модели хищник-жертва: система Лотки-Вольтерра
135
нейно неустойчивой. Так как Ai > 0 и А2 < 0, то это — точка типа седла
(см. приложение А).
Проведя линеаризацию вблизи стационарного состояния и = v — 1
и положив u = l + rr, v = 1 + у, где |х| и |j/| — это малые величины, из (3.4)
получаем
/ dx \
а = ( 0 “1 1
dy \У J \а О I
\ dr /
Собственные значения А матрицы А находятся как:
(3-8)
= 0 => Ai, А2 = ±iy/a. (3-9)
Таким образом, и = v = 1 — это особая точка типа центр, посколь-
ку собственные значения чисто мнимые величины. Так как ReA = 0, то
стационарное состояние нейтрально устойчиво. Решение (3.8) имеет сле-
дующий вид:
( х^\ ) = 1е^т + те"!^т,
\ J/О') )
где 1 и т — собственные векторы. Итак, решения в окрестности особой
точки и = v = 1 являются периодическими во времени с периодом 2тг/ у/а.
В размерных величинах, взятых из (3.3), этот период равен Т = 2тг(а/с?)1/2,
то есть период пропорционален корню квадратному из отношения линей-
ной скорости роста а численности жертвы к смертности d хищника. Даже
при том, что мы рассматриваем только малые возмущения вблизи стацио-
нарного состояния и = v = 1, мы видим, как период зависит от истинной
скорости роста популяции и ее смертности. Например, увеличение скоро-
сти роста численности жертвы увеличивает период; уменьшение смертно-
сти хищника делает то же самое. Похоже ли это на то, что вы ожидали бы
интуитивно?
В этом экологическом контексте матрица А в линейных уравнени-
ях (3.7) и(3.8) называется матрицей сообщества, и ее собственные значе-
ния А определяют устойчивость стационарных состояний. Если ReA > 0,
то стационарное состояние неустойчиво, тогда как если оба ReA < 0, оно
устойчиво. Критический случай, когда ReA = 0, носит название нейтраль-
ной устойчивости.
Много раз модель Лотки-Вольтерра пытались применить для объясне-
ния колебательных явлений в реальной жизни. Но вследствие ее структур-
ной неустойчивости любые попытки получить пригодные для использова-
ния количественные оценки оказывались несостоятельными. Тем не менее,
136
Глава 3
как уже было сказано, по ходу дела возникало множество вопросов, задать
которые было необходимо. Одним из особенно интересных примеров ста-
ла попытка использовать модель для объяснения многочисленных данных
о взаимодействии популяций канадской рыси и североамериканского зайца,
сохранившихся в записях учета добытых животных, которые Компания Гуд-
зонова залива вела приблизительно с 1845 года до 30-х годов XX века. Мы
полагаем, что эти цифры отражают постоянную долю от общей численно-
сти этих животных. И хотя справедливость этого допущения не очевидна,
что будет видно из последующего материала, эти данные, тем не менее,
представляют один из редких доступных нам примеров столь длительных
наблюдений. Эти данные воспроизводятся на рисунке 3.3. Хорошим ис-
точником информации о периодических и квазипериодических колебаниях
численности животных является книга Williamson (1996).
На рисунке 3.3 показаны заметные периодические флуктуации, а на
рисунке 3.3(c) — более или менее замкнутая кривая на фазовой плоскос-
ти, что можно ожидать в случае периодического поведения переменных.
Попытки объяснить эти данные предпринимал Leigh (1968), который ис-
пользовал для этого стандартную модель Лотки-Вольтерра, а также Gilpin
(1973), который делал то же самое, используя модифицированную систе-
му Лотки-Вольтерра. Давайте изучим представленные на рисунке 3.3 ре-
зультаты более внимательно. Вначале отметим, что направление стрелок,
указывающих время на рисунке 3.3(c), идет по часовой стрелке, в отличие
от рисунка 3.1. Это отражается на временных кривых на рисунках 3.3(a)
и (Ь), где колебания численности рыси, хищника, предваряют колебания
численности зайца, жертвы. Ситуация с хищником и жертвой, изображен-
ная на рисунке 3.2, иллюстрирует противоположный случай. Значит, в со-
ответствии с рисунком 3.3, заяц поедает рысь! Это ставит перед нами се-
рьезную проблему в объяснении фактов. Gilpin (1973) предположил, что
заяц, возможно, и способен убить рысь, если, например, он является носи-
телем болезни, которой может заболеть рысь. Он включил в свою модель
воздействие эпидемии, в результате чего его численные показатели стали
очень похожи на цифры на рисунке 3.3(c), что, казалось, дало объяснение
ситуации, когда заяц «поедает» рысь. Похвальная попытка, но такая бо-
лезнь никому не известна. Gilpin (1973) сделал еще одно предположение,
на этот раз вполне вероятное, что «болезнь» — это заготовители шкурок.
В те годы, когда плотность популяции была мала, они были вынужде-
ны заниматься чем-то другим и считали разумным возвращаться к своим
капканам, только когда популяция зайца вновь вырастала до значительных
размеров. Поскольку добыча рыси приносила больший доход, чем добыча
зайца, возможно, больше времени посвящалось добычи рыси, чем зайца.
3.1. Модели хищник-жертва: система Лотки-Вольтерра
137
Рис. 3.3. (а) Колебания числа шкурок, проданных Компанией Гудзонова залива (за-
имствовано из книги Odum 1953) (b) Детальное изображение ЗОи-летнего периода,
начиная с 1875 года, основанное на данных из статьи Elton и Nicholson (1942) (с)
График данных, представленных на рисунке (Ь) на фазовой плоскости (по статье
Gilpin 1973)
138
Глава 3
Вероятно, этим и объясняется картина, представленная на рисунках 3.3(b)
и (с). Schaffer (1984) высказал догадку, что данные о рыси и зайце могут
быть примером странного аттрактора (то есть они демонстрировали хао-
тическое поведение) в природе. Мораль истории состоит в том, что мало
просто создать модель, демонстрирующую колебания, гораздо важнее дать
явлению должное объяснение, способное выдержать тщательную экологи-
ческую и биологическую проверку.
3.2. Сложность и устойчивость
Для того, чтобы рассмотреть, как сложность системы сказывается на
ее устойчивости, мы кратко рассмотрим обобщенную систему Лотки-Воль-
терра хищник-жертва, где присутствует к видов жертвы и к особей хищни-
ка, причем все хищники охотятся на все виды жертвы, но с разной интен-
сивностью. Тогда вместо (3.1) и (3.2) получаем
dNj
dt
к
У? bij-Pj
(3.10)
dPj
dt
где все bij, Ctj, dij — положительные константы. Тривиальным стаци-
онарным состоянием является N} = Pi = 0 для всех г, и матрица сообще-
ства — это диагональная матрица следующего вида:
/ О1 о 0
д — 0 Gfc
Z1 — 0 -di 0
к 0 ~dk /
Таким образом, 2 к собственных значений этой матрицы есть
Aj — Q>i 0, )<k+i — di 0, *1 — 1,..., к.
И, следовательно, это стационарное состояние неустойчиво, так как
все Аг > 0, г = 1,..., к.
3.2. Сложность И УСТОЙЧИВОСТЬ
139
Нетривиальным стационарным состоянием является вектор-столбец
N*, Р*, где
к к
bij Рj = CLi, C^j Nj = di, Z = 1, . . . , А:,
j=l j=l
или в векторном обозначении с использованием векторов-столбцов N*, Р*,
а и b
BP* = a, CN*=d, (3.11)
где В и С — это к х к матрицы [Ь^] и [с^] соответственно.
Уравнения (3.10) можно записать в следующем виде:
= NT • [а - ВР], = Рт • [CN - d],
dt dt
где верхний индекс Т обозначает транспонирование матрицы. Итак, прово-
дим линеаризацию (3.11) вблизи (N*,P*), положив
N = N* + u, P = P*+v,
где |и| и |v| малы по сравнению с |N*| и |Р*|, в результате чего получаем:
и -N*T Bv, и Р*г - Си.
dt dt
Тогда
/ \ г
dt Л-( ,° ~N 'в (312)
rfv w’ А р*г • с
\ dt /
где в нашем случае матрица сообщества А — это блочная матрица 2к х 2к
с нулевыми диагональными блоками. Поскольку собственные значения Xi
(z = l,...,2fc) являются решениями |А — AZ| = 0, то сумма корней Xi
удовлетворяет уравнению:
2к
Xi = trA = о,
г=1
(3.13)
где trA — это след матрицы А. Так как элементы А — это действительные
числа, то собственные значения, если они комплексные, являются комп-
лексно-сопряженными числами. Таким образом, из (3.13) вытекают два
140
Глава 3
случая: все собственные значения являются либо чисто мнимыми, либо
нет. Если все ReA^ = 0, то тогда стационарное состояние (N*, Р*) является
нейтрально устойчивым, как в случае с двумя видами. Однако, если суще-
ствуют такие Ai, для которых ReA2 0, то, поскольку они являются ком-
плексно-сопряженными числами, то согласно (3.13) существует как мини-
мум одно собственное значение с ReA > 0; тогда (N*, Р*) — неустойчиво.
Из настоящего анализа мы видим, что сложность в сети популяцион-
ных взаимодействий привносит вероятность возникновения неустойчиво-
сти. Если оказывается так, что модель приводит только к мнимым собствен-
ным значениям (а это значит, что возмущения относительно стационарного
состояния периодичны во времени), то любое небольшое изменение одного
из параметров в матрице сообщества дает, как минимум, одно собственное
значение, при котором ReA ф 0, что означает неустойчивое стационарное
состояние. Это, конечно, справедливо только для матриц сообщества, по-
добных (3.12). Как бы то ни было, мы получили свидетельство достаточно
общего и важного вывода, что сложность порождает скорее неустойчи-
вость, чем устойчивость.
3.3. Реалистичные модели хищник-жертва
Хотя модель Лотки-Вольтерра и нельзя назвать реалистичной, тем не
менее она предполагает, что простые взаимоотношения между хищником
и жертвой могут приводить к периодическому поведению популяций. Рас-
суждая эвристически, это не является неожиданностью, поскольку, если
численность жертв возрастает, это стимулирует рост численности хищни-
ков. Большее число хищников, однако, потребляет большее число жертв,
численность которых начинает убывать. Сталкиваясь с нехваткой пищи, по-
пуляция хищников уменьшается, и когда она становится достаточно мала,
популяция жертв получает возможность увеличиться, и весь цикл повто-
ряется снова. В зависимости от особенностей каждой системы подобные
колебания могут расти и убывать, или переходить в устойчивые колебания
типа предельного цикла, или даже демонстрировать хаотическое поведение,
хотя в последнем случае в системе должно присутствовать как минимум
три взаимодействующих вида, или же модель должна иметь элементы за-
паздывания.
Решение типа предельного цикла представляет собой замкнутую тра-
екторию в пространстве хищник-жертва, которая не является членом непре-
рывного семейства замкнутых траекторий, подобно решениям модели
Лотки-Вольтерра, изображенным на рисунке 3.1. Траектория устойчивого
3.3. Реалистичные модели хищник-жертва
141
предельного цикла такова, что любое незначительное возмущение этой тра-
ектории затухает, сходя на нет. Схематичный пример траектории предель-
ного цикла при двухвидовом взаимодействии между хищником (Р) и жерт-
вой (N) представлен на рисунке 3.4. Условия существования подобного
решения даны в приложении А.
Одним из нереалистичных допущений модели Лотки-Вольтерра, кото-
рая описывается уравнениями (3.1) и (3.2), и обобщенной модели (3.10)
является то, что рост жертв в отсутствии хищников ничто не сдерживает.
В том виде, в котором мы записали модель (3.1) и (3.2), члены в скобках
в правых частях уравнений — это зависимые от плотности популяций удель-
ные скорости роста. Для того, чтобы сделать модель более реалистичной,
эти скорости роста должны зависеть от плотности популяций как хищника,
так и жертвы следующим образом:
= NF(N, Р), = PG(N, Р), (3.14)
(IL (1L
где вид членов F и G зависит от взаимодействия между видами, от числен-
ности видов и т. д.
N* N
Рис. 3.4. Типичная замкнутая траектория хищник-жертва, которая указывает на су-
ществование периодических колебаний типа предельного цикла. Любые отклонения
от предельного цикла со временем асимптотически стремятся к нулю
В качестве первого шага было бы разумно предположить, что, скажем,
в отсутствии хищников численность жертвы растет логистически, то есть
подобно модели (1.2) в главе 1, или имеет какую-либо сходную динамику
роста, которая имеет насыщение, соответствующее максимальной емкости
среды. Так, например, более реалистичное уравнение для популяции жерт-
142
Глава 3
вы могло бы выглядеть следующим образом:
^-=NF(N,P), F(N,P)=r(l-%]-PR(N),
at у К J
(3.15)
где R(N) — один из членов, определяющий хищничество, который обсуж-
дается ниже и графически представлен на рисунке 3.5, и К — постоянная
емкость среды для жертвы, когда Р = 0.
Рис. 3.5. Примеры ответа хищника NR(N) на плотность изменения популяции
жертвы N. (a) R(N) = А, тип модели Лотки-Вольтерра без насыщения, (b) R(N) =
= A/(N + В), (с) R(N) = AN/(N2 + В2), (d) Н(У) = А(1 - e~aN)/N
Член, определяющий хищничество, который является функциональ-
ным ответом хищника на изменение плотности популяции жертвы, обычно
демонстрирует эффект насыщения. Вместо ответа хищника, выраженного
членом bNP, как в модели Лотки-Вольтерра (3.1), мы берем PNR(N), где
NR(N) насыщается при больших N. Вот некоторые примеры:
s(n’ = 7vTb- = д(№) ° Л|1 T""1 <зл6>
где А, В и а — положительные константы; примеры представлены на ри-
сунках 3.5(b)-(d). Второе уравнение из (3.16), представленное на рисун-
ке 3.5(c), аналогично уравнению, использованному в модели динамики чис-
ленности гусениц листовертки-почкоеда елового, а именно, (1.6) в главе 1.
Эта же модель типична для выедания тли (Aphidicus zbeckistanicus). При-
меры на рисунках 3.5(b) и (с) демонстрируют почти линейный рост N при
низких плотностях численности хищника. Насыщение для больших N от-
ражает ограниченные возможности хищника или недостаток усилий с его
стороны при обилии жертвы.
Уравнение для численности хищника, второе в (3.14), также должно
иметь более реалистичный вид, чем просто G = —d + cN, как в модели
3.4. Анализ модели хищник-жертва
143
Лотки-Вольтерра (3.2). Член G может принимать следующие формы:
G(N,P) = k(l-^^, G(N,P) = -d + eR(N), (3.17)
где к, h,d и е, положительные константы, а член R(N) определяется так же,
как и в (3.16). Первое уравнение (3.17) указывает на то, что емкость среды
для хищника прямо пропорциональна плотности численности жертвы.
Модели, описанные уравнениями (3.14)-(3.17), — это лишь насколько
примеров из множества предложенных и исследованных моделей. Все они
являются более реалистичными, чем классическая модель Лотки-Вольтер-
ра. Дополнительные примеры можно найти в книге Nisbet и Gurney (1982),
а также в сборнике под редакцией Levin (1994), не говоря уже о многих
других.
3.4. Анализ модели хищник-жертва с периодическим
поведением типа предельного цикла:
параметрические области устойчивости
г 1-^
кР
В качестве примера того, как мы проводим анализ реалистичных
двухвидовых моделей подобного типа, рассмотрим одну из них подробно,
а именно,
^=N
dt
dP = p
dt
N + D ’
(3.18)
s 1-hP
Ч1 N
где г, К, к, D, s и h — положительные константы, всего 6. Как всегда,
из соображений удобства приведем систему к безразмерному виду. Хотя
универсального способа сделать это не существует, обычно представляется
разумным выразить переменные через один из ключевых параметров. В на-
шем случае, например, мы представляем N и Р в виде долей от емкости
среды К (среды, свободной от хищников). Обозначим
/ X W) / X МО
СП = «(-’) = —r = rt,
_ к 1 ____ s j___ D
hr' Ь~г' d~ К'
(3.19)
144
Глава 3
тогда (3.18) принимает вид:
du
dr
= и — (1 — и) —auv =
v 7 u + d J
(3.20)
где присутствуют только 3 безразмерных параметра а, Ъ и d. Приведение
к безразмерному виду сокращает число параметров путем их группирова-
ния неким сообразным способом. Безразмерные группы, как правило, дают
представление об относительной величине эффекта размерных параметров.
Например, если Ь — это отношение линейной скорости роста хищника к ли-
нейной скорости роста жертвы, то b > 1 и b < 1 имеют вполне опреде-
ленный экологический смысл; последнее неравенство означает, что жертва
размножается быстрее, чем хищник.
Численность популяций, находящихся в равновесном или стационар-
ном состоянии и*, v*, определяется из решения du/dr = 0 и dv/dr = 0,
а именно,
f(u*, v*) = 0, д(и*, v*) = 0,
что при подстановке в уравнения (3.20) дает
и*(1 - и*) -= 0, (3-21)
и * + d у и J
В данном случае нас интересуют только положительные решения,
а именно, положительные решения следующих уравнений:
v* = u*, u*2 + (а + d — l)u* — d = 0,
которые имеют только одно положительное решение, а именно,
«• = =(3.22)
2
Нас интересует устойчивость стационарных состояний, которые яв-
ляются особыми точками на фазовой плоскости системы (3.20). Анализ
линейной стабильности стационарных состояний эквивалентен анализу на
фазовой плоскости. Для проведения линейного анализа напишем
х(т) = и(т) — и*, у(т) = v(t) — V*,
(3.23)
3.4. Анализ модели хищник-жертва
145
что при подстановке в (3.20), линеаризации по малым |х|и \у\ и использо-
вании (3.21) дает:
Of \
dv
dg
dv /
/
dr
dy
\ dr /
au*
(n* + d)2
b
(3.24)
— au*
u* + d
~b /
A — матрица сообщества (community matrix) имеет собственные значения Л,
определяемые как
|Л - А/| = 0 => А2 - (trA)A + detA = 0. (3.25)
Для устойчивости стационарного состояния нам требуется ReA < 0,
и тогда необходимыми и достаточными условиями линейной стабильности
(на основании последнего уравнения) являются
trA < 0
detA >0 => 1 + * ,
и +d
аи*
(и* + d)2
(3.26)
Подставив выражение для и* из (3.22), получим условия устойчиво-
сти, выраженные соотношениями для параметров а, b и d и, следовательно,
для исходных параметров г, К, к, D, s и h из (3.18).
Вообще существует такая область в пространстве a, bud, что в случае,
если параметры лежат внутри нее, то (и*, ^*) устойчиво, то есть ReA < 0,
а в случае, если они лежат за ее пределами, то стационарное состояние
неустойчиво. Последний случай требует, чтобы хоть одно из условий (3.26)
было нарушено. Подставив выражение для и* из (3.22) и использовав пер-
вое уравнение системы (3.21), а также равенство v* = и*, получим
detA =
а
и* + d
аи*
(и* + d)2
bu* =
(3.27)
1 I ad
(и* + d)2
bu* > 0
146
Глава 3
для всех а > О, Ъ > 0 и d > О, и тогда второе неравенство из (3.26) всегда
выполнимо. Таким образом, область нестабильности определяется только
первым неравенством из (3.26), а именно, trX > 0, что вместе с выражени-
ем для и* из (3.22) и использованием (3.21) дает
Ь > [<,-((1 + I1 + “ + d . (3.28)
Это определяет трехмерную поверхность в параметрическом прост-
ранстве (а, 6, d).
Нас интересуют только положительные а, b и d. Вторая квадратная
скобка в (3.28) — это монотонно убывающая функция d, которая всегда по-
ложительна. Первая квадратная скобка — это монотонно убывающая функ-
ция d с максимумом в d = 0. Тогда, из (3.28) имеем
t [>2а—1, f 0 < а 1,
6d=o S . если
( > 1/a, [ 1 a,
что означает, что для 0 < a < 1/2 и для всех d > 0 условие устойчи-
вости (3.28) выполняется при любом b > 0. То есть стационарное состо-
яние u*, v* является линейно стабильным для всех 0<a<l/2,b>0
и d > 0. С другой стороны, если а > 1/2, то существует область в про-
странстве (а, 6, d) (b > 0 и d > 0), где (3.28) не выполняется, и тогда
первое неравенство из (3.26) нарушается, а значит одно из собственных
значений А из (3.25) имеет ReA > 0. Это, в свою очередь, подразумева-
ет, что стационарное состояние u*, v* неустойчиво к малым возмущениям.
Граничная поверхность, которая определена посредством (3.28), пересекает
плоскость Ъ = 0 по линии d = dm(a), задаваемой положительным решени-
ем уравнения:
а = {(1-a-dm)2 + 4drn}1/2 => dm(a) = ^ь=о = (a2+4a)1/2 - (1+ a).
Таким образом, dm(a) — это монотонно возрастающая функция а, ограни-
ченная сверху значением d = 1. Следует также отметить, что d < а для всех
а > 1/2. Рисунок 3.6 иллюстрирует области устойчивости/неустойчивости
в пространстве (а, Ь, d).
Когда ReA < 0, то стационарное состояние устойчиво, и либо оба соб-
ственных значения А, определенных в (3.25), действительны, и в этом слу-
чае особая точка u*, v* из (3.21) — это устойчивый узел на фазовой плоско-
сти (u, v) из (3.20), или собственные значения А комплексные, и тогда осо-
бая точка — это устойчивый фокус. Когда параметры таковы, что ReA > 0,
3.4. Анализ модели хищник-жертва
147
то особая точка — либо неустойчивый узел, либо неустойчивый фокус (рас-
кручивающаяся спираль). В этом случае наша задача состоит в выяснении
того, присутствует ли на фазовой плоскости (u, и) замкнутое множество
(confined set) или ограничивающая область (bounding domain), что дало бы
нам основание применить теорему Пуанкаре-Бендиксона для существова-
ния колебаний типа предельного цикла; см. приложение А. Другими сло-
вами, мы должны найти простую замкнутую граничную линию (границу)
в положительном квадранте фазовой плоскости (u,v), чтобы все находя-
щиеся на этой плоскости фазовые траектории всегда были бы направлены
внутрь ограниченной ею области. То есть, если л означает внешнюю нор-
маль к этой границе, то требуется выполнение следующего условия:
du dv
dr' dr
для всех точек, расположенных на границе. Если это неравенство выпол-
няется для любой точки, расположенной на границе, это значит, что вектор
«скорости» (du/dr, dv/dr) направлен внутрь. Как можно догадаться, ни
одна траектория ни одного решения, оказавшись внутри области, не смо-
жет выйти за ее пределы, поскольку, если она все-таки достигнет границы,
вектор ее «скорости» будет направлен внутрь, и значит, траектория переме-
стится назад в пределы области.
Для того, чтобы найти замкнутое множество, крайне важно и всегда
полезно нарисовать изоклины системы, то есть линии на фазовой плос-
кости, где du/dr = 0 и dv/dr = 0. Как следует из (3.20), это — линии
f(u, v) = 0 и д(и, v) = 0, которые можно видеть на рисунке 3.7. Знак функ-
ций f(u,v) и д(и, и) указывает направление вектора (du/dr, dv Idr) и, сле-
довательно, направление фазовой траектории. Так, если в какой-то области
f > 0, то du/dr > 0 и тогда и в этой области увеличивается. На участках
DE, ЕА, АВ и ВС траектории четко направлены внутрь, что следует из
знаков /(u, v) и д(и, v) на них. В ходе несложных, но утомительных ма-
нипуляций можно показать, что существует такая линия DC, на которой
л • (du/dr, dv/dr) < 0, то есть л • (f(u, v),g(u, v)) < 0, где п — единичный
вектор, перпендикулярный к DC.
Теперь мы имеем замкнутое множество, а значит у нас есть все осно-
вания применить теорему Пуанкаре-Бендиксона, когда стационарное сос-
тояние (u*, v*) неустойчиво. В этом случае, когда параметры а, b и d лежат
в нестабильной области, как показано на рисунке 3.6(c), траектория реше-
ния стремится к предельному циклу. По сути, теорема Пуанкаре-Бендик-
сона говорит, что поскольку никакая траектория, выходящая из неустой-
чивого стационарного состояния (u*,v*), не может пересечь замкнутый
148
Глава 3
b
1
2а - 1
(Ъ)
(с)
Рис. 3.6. Параметрические области устойчивости (дано схематично) положитель-
ного стационарного состояния для модели хищник-жертва (3.20). Для а < 1/2
и всех значений параметров b > 0 и d > 0 система устойчива. Для фиксированного
а > 1/2 область неустойчивости конечна, как в (а) и (Ь). Трехмерная бифурка-
ционная поверхность между устойчивостью и неустойчивостью представлена на
рисунке (с), где dm(a) = (а2 4- 4а)1/2 — (1 + а). Когда значения параметров нахо-
дятся в неустойчивой области, в популяциях возникают колебания типа предельного
цикла
контур ABCDEA, то она должна эволюционировать в замкнутую траек-
торию предельного цикла, качественно сходную с той, что представлена на
рисунке 3.4. Решение нашей модели (3.20) в виде замкнутой траектории
дано на рисунке 3.8(a), тогда как на рисунке 3.8(b) показаны изменения
численности популяций во времени. При значениях параметров, соответ-
ствующих заданным на рисунке 3.8, стационарное состояние представляет
собой неустойчивый узел на фазовой плоскости, то есть оба собственных
значения А — это действительные положительные числа. Любое возмуще-
ние предельного цикла быстро затухает.
Эта модельная система, как и большинство других, которые допус-
кают решение в виде предельного цикла, демонстрирует бифуркационные
3.4. Анализ модели хищник-жертва
149
Рис. 3.7. Изоклины f(u, v) = 0, д(и, v) = 0 системы (3.20); обратите внимание на
знаки f и д с каждой стороны изоклин. ABCDEA — граница замкнутого множе-
ства вокруг (ц*,ц*); траектория каждой расположенной на ней точки направлена
внутрь, то есть п • (du/dr, dv/dr) < 0, где n — единичный нормальный к контуру
Рис. 3.8. (а) Типичная фазовая траектория решения типа предельного цикла для
системы хищник-жертва (3.20). (Ь) Соответствующее периодическое поведение по-
пуляций жертвы (и) и хищника (ц). Значения параметров: а = 1, 6 = 5, d = 0,2,
что определяет стационарное состояние и* = v* = 0,36. Соотношения между без-
размерными и размерными параметрами определены в (3.19)
свойства при варьировании параметров, хотя без той сложности, которая
свойственна дискретным моделям, рассмотренным в главах 2 и 5, или мо-
делям с запаздыванием из главы 1. Достаточно взглянуть на рисунок 3.6,
чтобы сразу это увидеть. Рассмотрим конкретный пример: примем а > 1/2,
так что существует конечная область, в которой система неустойчива (эта
область проиллюстрирована на рисунке 3.9), и выберем фиксированное зна-
чение 0 < d < dm, соответствующее линии DEF. Пусть b изначально со-
150
Глава 3
\D
I Неустойчивая область
I Бифуркационная кривая
dm(a) d
Рис. 3.9. Типичная бифуркационная кривая перехода между стабильностью и неста-
бильностью в модели хищник-жертва (3.20). Как только точка параметрического
пространства пересекает бифуркационную кривую, стационарное состояние меняет
устойчивость
ответствует точке D и постепенно уменьшается. Когда b пересекает бифур-
кационную линию в точке Е, стационарное состояние становится неустой-
чивым, и возникают периодические колебания типа предельного цикла; то
есть однородное стационарное состояние бифуркационно переходит в ко-
лебательное состояние. Сходная ситуация происходит при переходе любого
параметра из области устойчивости в область неустойчивости, которые по-
казаны на рисунке 3.6(c).
Тот факт, что безразмерная переменная проходит через бифуркаци-
онное значение, дает полезную в практическом отношении информацию
о равнозначных эффектах размерных параметров. Например, из (3.19), b —
= s/г, что является отношением между линейными скоростями роста хищ-
ника и жертвы. Если стационарное состояние устойчиво, то по мере сни-
жения скорости роста хищника s наблюдается большая вероятность перио-
дического поведения, поскольку Ъ уменьшается, и если оно снизится в до-
статочной мере, мы перейдем в режим нестабильности. С другой стороны,
если г уменьшается, то b увеличивается, и, возможно, тем самым уменьша-
ется вероятность колебательного поведения. Хотя в последнем случае все
не так однозначно, поскольку, как следует из (3.19), уменьшение г вызывает
также увеличение а, что, как видно на рисунке 3.6(c), обычно увеличивает
вероятность периодического поведения. Размерное бифуркационное про-
странство шестимерно, что трудно передать графически; в ходе операции
по приведению к безразмерному виду (3.19) пространство сокращается до
трехмерного, что позволяет лучше показать равнозначные эффекты изме-
нения размерных параметров. Например, удвоение емкости среды К точно
соответствует уменьшению вдвое параметра ответа хищника D. Безразмер-
ные параметры очень важны для определения бифуркационных парамет-
ров.
3.5. Модели конкуренции: принцип конкурентного исключения 151
3.5. Модели конкуренции: принцип конкурентного
исключения
В этом разделе рассматриваются два или более видов, которые кон-
курируют за один и тот же ограниченный источник пищи или каким-то
образом тормозят рост численности друг друга. Например, это может быть
конкуренция за территорию, что имеет непосредственное отношение к ис-
точникам пищи. Некоторые интересные явления были обнаружены при изу-
чении практических моделей конкурентной борьбы, см., например, моно-
графию Hsu с соавторами (1979). Здесь мы рассматриваем простейшую мо-
дель конкуренции, которая демонстрирует основной наблюдаемый в при-
роде принцип, а именно, если два вида конкурируют за один и тот же огра-
ниченный ресурс, один из них, как правило, вымирает.
Рассмотрим основную двухвидовую модель конкуренции Лотки-Воль-
терра, где каждый вид TVi и N2 в отсутствии конкурента растет логисти-
чески. Включение логистического роста в системы Лотки-Вольтерра дела-
ет их, без сомнения, более реалистичными, но мы для наглядности рас-
смотрим более простой пример, который, тем не менее, отражает основные
принципы более сложных моделей, особенно, что касается устойчивости.
Итак, рассмотрим следующую систему уравнений:
dNi м L М , N2] . .
~dT = riN1 ’ (3-29)
dN? „ TV 1 -^2 . -^1 1 /О оп\
— _г2Л^1- —-i>21—J, (3.30)
где и, r2, К2, bi2 и 621 — положительные константы, и, как и преж-
де, г — линейный прирост численности и К — емкость среды. Параметры
612 и 621 — это меры конкуренции, меры влияния N2 на и М на N2
соответственно; как правило, они не равны. Нужно отметить, что модель
конкуренции (3.29) и (3.30) — это не консервативная система, в отличии от
модели Лотки-Вольтерра хищник-жертва.
Для приведения модели к безразмерному виду запишем
М N2 . Г2
и'=К{- иг’к~2’ Т‘Г‘‘-
. к,
^12 = fl21 = &217<2’
(3.31)
152
Глава 3
тогда (3.29) и (3.30) принимают вид
^7 = ui(l - ui - ai2u2) = /1(^1, u2),
= /ж2(1 -u2 -a2iUi) =/2(ui,u2).
(3.32)
Стационарные состояния и особые точки на фазовой плоскости, и\
и и%, являются решениями /i(ui,u2) = /2(ui,u2) = 0, что, с учетом (3.32),
дает
и\ = 0,^2 = 0; и\ = 1,^2 = 0; и\ = 0,^ = 1;
* 1 — &12 * 1 — g2i (3.33)
ui = i---------->Uti = 1--------•
1 — ai2a2i 1 — ai2a2i
Последнее уравнение имеет смысл только в том случае, если и\ 0
и и*2 0 — конечные величины, то есть ai2a2i 1. Достаточно нарисовать
изоклины /i = 0 и /2 = 0 на фазовой плоскости (ui,u2), чтобы сразу уви-
деть четыре возможности, представленные на рисунке 3.10. Существенная
часть изоклин, как следует из (3.32), представлена прямыми линиями:
1 — ui — ai2u2 = 0, 1 — U2 — a2iui = 0.
Первая из них вместе с осью и2 соответствует уравнению Д = 0, тогда
как вторая вместе с осью щ есть /2 — 0.
И в этом случае устойчивость стационарных состояний определяется
матрицей сообщества, которая для (3.32) имеет следующий вид:
/ ад ад \
ди\ ди2 _
ад ад
\ dui ди2 / и.<и.
I 1 — 2ui — ai2u2 —ai2ui
\ —pa2i^2 p(l — 2u2 — a2iui)
(3.34)
Первое стационарное состояние из (3.33), то есть (0,0), является
неустойчивым, поскольку собственные значения А, как следует из матри-
цы сообщества (3.34),
I-4-«1= V Да =»
Ai = 1, А2 = р,
3.5. Модели конкуренции: принцип конкурентного исключения 153
Рис. 3.10. Изоклины для модели конкуренции (3.32). /1=0 — это и\ = 0 и 1 —
— ui — ai2tZ2 = 0, тогда как /2 = 0 — это U2 = 0 и 1 — U2 — <221^1 = 0. Пересечение
двух сплошных линий дает положительное стационарное состояние, если оно су-
ществует, как в (а) и (Ь); относительные масштабы ai2 и 0.21, данные в сравнении
с 1, видны на рисунках (а)-((1)
положительны. Для второго стационарного состояния из (3.33), а именно,
(1,0), (3.34) дает
|А -ЛТ| =
— 1 — Л — Я]2
0 р(1-О21)-Л
А1 = -1,
А2 = р(1 - 021)
= 0 =>
154
Глава 3
(3.35)
(0,1), соб-
(3.36)
и, таким образом,
f УСТОЙЧИВО, f (121 > 1
ил = 1, и2 = 0, < если <
[ неустойчиво, ( a2i < 1
Аналогичным образом для третьего стационарного состояния
ственные значения А = — р, Д2 = (1 — ai2), и тогда
( УСТОЙЧИВО, f (212 > 1
и-, = 0,т12 — 1» 4 если <
( неустойчиво, [ ai2 < 1
И, наконец, для последнего стационарного состояния из (3.33), если
оно существует в положительном квадранте, матрица А из (3.34) есть:
л _ /-1 „ „ \-1 ( «12 - 1 «12(«12 - 1) \
12 21 \ £021(021-1) Р(О12 - 1) /
Эта матрица имеет следующие собственные значения:
А1, А2 = [2(1 — «12«21)]~ 1 [(«12 — 1) + р(«21 — 1)±
± {[(«12 — 1) + р(«21 — I)]2 — 4р(1 — G12«21)(«12 “ 1)(«21 “ 1)}1/<2].
(3.37)
Знак А, или ReA, если А — это комплексное число, и, следовательно,
устойчивость стационарного состояния зависит от значений р, <212 и а21-
Нам следует рассмотреть ряд случаев, каждый из которых имеет свой эко-
логический смысл, речь о котором пойдет далее.
Прежде чем начать обсуждение различных случаев, следует отметить
наличие замкнутого множества или области, на границе которой вектор
производных (du\/dr, du^/dr) направлен вдоль или внутрь этой области:
в нашем случае это прямоугольный квадрат на фазовой плоскости (щ, и^).
Из (3.32) это условие выполняется на осях щ и Внешние стороны пря-
моугольника представлены линиями щ = U\, где 1 — — a^U2 < О,
и U2 = U2, где 1 — U2 — «21 «1 < 0- Любые значения U\ > 1 и U2 > 1
удовлетворяют этим условиям. Таким образом, система является глобально
устойчивой.
Различные случаи включают: (1) ai2 < 1, «21 < 1; (2) <212 > 1, «21 > 1;
(3) ai2 < 1, «21 > 1; (4) «12 > 1, «21 < 1- Все они анализируются однотип-
но. Рисунки 3.10(a)-(d) и рисунки 3.1 l(a)-(d) иллюстрируют соответственно
случаи (1)-(4). В качестве примера рассмотрим один случай, скажем, (2).
3.5. Модели конкуренции: принцип конкурентного исключения 155
Анализ остальных случаев оставлен в качестве упражнения. Результаты
представлены на рисунке 3.11. Стрелки указывают направление фазовых
траекторий. Качественное поведение фазовых траекторий задается знаками
du\/dr (= /1(^1, ^2)) и duz/dr (= /2(^1, ^2)) с каждой стороны изоклин.
Итак, случай а 12 > 1, <221 > 1, которому соответствует рисунок 3.10(b).
Из (3.35) и (3.36) следует, что (1,0) и (0,1) — устойчивые состояния. По-
скольку 1—012^21 < 0, (tip U2), четвертое стационарное состояние из (3.33)
лежит в положительном квадранте и, как следует из (3.37), его собствен-
ные значения таковы, что А2 < 0 < Ai, из чего следует его нестабильность
к небольшим возмущениям — это точка седла. В этом случае фазовые тра-
ектории могут стремиться к каждому из двух устойчивых состояний, как
показано на рисунке 3.11(b). Каждое стационарное состояние обладает об-
ластью притяжения. Линия под названием сепаратриса разделяет поло-
жительный квадрант на две неперекрывающих друг друга области I и II,
что показано на рисунке 3.11(b). Сепаратриса проходит через стационарное
состояние (nJ, U2), являясь, по сути, одной из траекторий точки седла.
Теперь рассмотрим экологический смысл этих результатов. В слу-
чае (1), когда 012 < 1 и (Z21 < 1, существует устойчивое стационарное
состояние, находясь в котором, оба вида могут существовать, как показа-
но на рисунке 3.10(a). Представленный в исходных параметрах из (3.31)
случай (1) соответствует неравенствам 612^2/^1 < 1 и 621Л1/Л2 < 1.
Например, если К\ и К 2 приблизительно одинаковы, и межвидовая кон-
куренция, определяемая величинами 612 и 621, не слишком сильна, то эти
неравенства говорят о том, что два вида просто приспособились к совмест-
ному существованию и имеют численности меньше, чем они могли бы быть
в случае отсутствия конкуренции. Другими словами, конкуренция здесь не
агрессивная. С другой стороны, если 612 и 621 приблизительно одного по-
рядка, а и К2 — различны, то не просто сказать, что случится с видами,
пока мы не сформируем и не сравним безразмерные величины <212 и ^21-
В случае (2), когда (Z12 > 1 и (Z21 > 1, если оба К приблизительно
равны, то тогда Ь\2 и 621 не малы. Проведенный анализ говорит, что конку-
ренция такова, что возможны все три нетривиальных стационарных состоя-
ния, но из (3.35) и (3.37) следует, что только (1,0) и (0,1) — устойчивы, как
видно на рисунке 3.11(b). Кто, в конце концов, победит — деликатный во-
прос. Главным образом, все зависит от стартового преимущества, которым
может обладать каждый вид. Если начальные условия лежат в области I, то,
в конце концов, вымрет вид 2, U2 —> 0 и щ. —* 1, то есть TVi —* К\, емкости
среды для 2Vi. Значит в этом случае конкуренция приводит к исчезновению
вида N2. С другой стороны, если популяция N2 изначально имеет числен-
ное преимущество, то есть начальные и\ и U2 лежат в области II, то тогда
156
ГЛАВА 3
Рис. 3.11. Схематичное изображение фазовых траекторий вблизи стационарных со-
стояний для модели (3.32) конкурирующих популяций, (a) ai2 < 1, 021 < 1. Только
положительное стационарное состояние S устойчиво, и все траектории стремятся
к нему, (b) ai2 > 1, fl2i > 1. В этом случае (1,0) и (0,1) — устойчивые ста-
ционарные состояния, каждое из которых имеет область притяжения; эти области
разделены сепаратрисой, которая проходит через (u*,^). (с) ai2 < 1, 021 > 1.
Существует только одно устойчивое стационарное состояние, ttj = 1, = 0, для
которого областью притяжения является весь положительный квадрант, (d) 012 > 1,
G2i < 1- Имеется только одно устойчивое стационарное состояние, и* = 0, = 1,
для которого областью притяжения является весь положительный квадрант. Случаи
(Ь) и (d) иллюстрируют принцип конкурентного исключения, согласно которому два
конкурирующие за один ограниченный ресурс вида не могут сосуществовать
3.5. Модели конкуренции: принцип конкурентного исключения 157
и\ —* 0 и U2 —* 1, что означает вымирание вида TVi, то есть —* К2,
к своей емкости среды. Мы ожидаем вымирание одного из видов даже
в том случае, когда исходные популяции близки к сепаратрисе, или даже
если они лежат на ней, поскольку в любом случае присутствующие слу-
чайные флуктуации неизбежно заставят одно из щ, i = 1,2, устремиться
к нулю.
В случаях (3) и (4), где межвидовая конкурентоспособность одного
вида гораздо сильнее, чем другого, или емкости среды совершенно различ-
ны, так ЧТО (212 = ^2^2/< 1 И (221 = b21Ki/K2 > 1, или, наоборот,
<212 > 1 и <221 < 1, исход предопределен. В случае (3), представленном на
рисунке 3.11(c), более сильная безразмерная межвидовая конкурентность
вида иг является преобладающей, и другой вид, U2, вымирает. В случае (4)
все происходит наоборот, и вымирает вид щ.
Хотя не все случаи заканчиваются вымиранием одного вида, в случаях
(3) и (4) все происходит именно так, да и в случае (2) из-за естествен-
ных колебаний уровня численности неизбежен тот же исход. Этот анализ
приводит нас к принципу конкурентного исключения, упомянутому ранее.
Стоит отметить, что условия для его выполнения зависят от безразмерных
коэффициентов а\2 и <221; параметр отношения скоростей роста р не влияет
на результаты общей стабильности системы, а только на ее динамику. По-
скольку <212 = Ъ\2К2/К\ и <221 = b2iKi/K2, то условия для конкурентного
исключения целиком зависят от взаимосвязи между конкуренцией и емко-
стями среды, а также от стартовых условий в случае (2).
Представим, например, что мы имеем два вида, один из которых пред-
ставлен крупными животными и один — мелкими животными, конкуриру-
ющими за одну и ту же растительность на одном и том же участке. Пред-
положим, также, что они в равной степени конкурентоспособны, bi2 = 621-
Обозначив TVi — численность крупных животных и N2 — численность мел-
ких животных, получаем К\ < К2, и тогда ai2 — 612^2/^1 < £>21^1/^2 =
= <221- Для примера, если 612 = 1 = &2Ь ^12 < 1 и a2i > 1, то тогда в этом
случае TVi —* 0 и —* К 2, то есть крупные животные вымрут.
Особая ситуация может сложиться для случая «12 = 1 = <221, но при
наличии свойственной природе стохастической изменчивости эта ситуация
имеет мало шансов на существование в реальном мире. Но и в этом случае
также происходит конкурентное исключение одного из видов.
Важность межвидовой конкурентной борьбы в природе очевидна. Мы
обсудили только одну исключительно простую модель и видим, что и в этом
случае метод анализа остается общим. Обзор и вводная статья Pianka
(1981) посвящены некоторым практическим аспектам конкуренции, так-
же как и лекции Waltman (1984). Еще более простая модель конкуренции
158
Глава 3
(см. упражнение 2) была использована Flores (1998) для объяснения про-
цесса вытеснения неандертальцев предками современного человека. Мо-
дель Flores, основанная на несколько различных показателях смертности
двух видов, показывает, что их сосуществование было невозможно. Flores
дал численные оценки соответствующим параметрам, взятым из независи-
мых источников, и вычислил период существования неандертальцев, ко-
торый согласуется с археологическими оценками и составляет от 5 000
до 10000 лет. В главах 1 и 14 тома II мы обсуждаем некоторые практи-
ческие случаи пространственной конкуренции, среди которых: распростра-
нение серой американской белки, сосуществование волков и оленей и по-
явление в природе генетически модифицированных организмов.
3.6. Мутуализм или симбиоз
Существует много случаев, когда взаимодействие двух или более ви-
дов оказывается полезным для каждого из них. Мутуализм или симбиоз
часто играет определяющую роль в продвижении или даже поддержании
самого существования подобных видов; растение и распространение его
семян — один из таких примеров. Даже если речь не идет о выживании,
совместная выгода, которая достигается при мутуализме или симбиозе, мо-
жет быть крайне важна. Как предмет теоретической экологии, этот воп-
рос, даже в отношении двух видов, не так широко изучен как другие, хотя
его значение вполне сопоставимо с такими темами, как взаимоотношения
хищник-жертва или конкуренция. Частично это объясняется тем, что про-
стые модели в стиле Лотки-Вольтерра дают глупые результаты. Простей-
шая модель мутуализма, эквивалентная классической модели Лотки-Воль-
терра хищник-жертва, имеет следующий вид:
dNi , т % г % т dNo , т »г »г
= T1N1 + (Z17V1N25 1. — ^2^2 + 612^2^1,
dt at
где и, Г2, ai и а2 — положительные константы. Поскольку dN\/dt > 0
и dNz/dt > 0, то 7V1 и TV2 просто неограниченно растут, демонстрируя, по
удачному выражению Мау (1981), «необузданное самопожертвование».
Для того, чтобы быть реалистичными, модели должны, как минимум,
показывать взаимную выгоду для обоих видов, или для каждого из участ-
ников, если их несколько, и обладать положительными стационарными со-
стояниями или колебаниями типа предельного цикла.
Некоторые подобные модели описаны в книге Whittaker (1975). Прак-
тический пример дается в книге Мау (1975).
3.6. Мутуализм или симбиоз
159
В качестве первого шага при разработке приемлемой двухвидовой мо-
дели мы добавим в нее ограниченную емкость среды для обоих видов:
_ N NA
dt v
dN2 f N2 NA
_ = Г27у2(1__+б21_1
(3.38)
где и, Г2, Ai, K2, J>i2 и 621 — положительные константы. Если мы приведем
модель к безразмерному виду так же, как и в случае конкуренции (там
знаки перед параметрами b отрицательные), а именно, аналогично (3.31),
то получим
= U1(1 -U1 - ai2l«2) = fl(Ul,U2),
^7 = pw2(l - и2 - a2iUi) = f2(ui,u2),
(3.39)
где
Ul
kc
N2
k2
Г2
П’
k K2 k Kx
^12 = a21 “ &21 АУ
(3.40)
T = T\t,
p =
Анализируя модель обычным образом, мы начинаем со стационарных
состояний (uj,^), которые, как следует из (3.39), есть
(0,0), (1,0), (0,1),
1 + Q12
6
1 + Q21
6
положительно, если
5=1 — (112^21 > 0-
(3-41)
После вычисления матрицы сообщества для (3.39) и определения соб-
ственных значений А для каждого стационарного состояния из (3.41), лег-
ко показать, что состояния (0,0), (1,0) и (0,1) — неустойчивы: (0,0) —
неустойчивый узел, а (1,0) и (0,1) — равновесные состояния типа седла.
Если 1 — (112^21 < 0, то существует только три стационарных состояния,
первые три из (3.41), и значит рост численности не лимитируется. Мы ви-
дим это, начертив изоклины на фазовой плоскости для (3.39), а именно,
/1 = 0, /2 = 0, и отметив, что фазовые траектории уходят в бесконеч-
ность, что происходит в области, где щ —* оо и и2 —* оо, как показано на
рисунке 3.12(a).
160
Глава 3
Когда 1 — 012^21 > 0, то четвертое стационарное состояние из (3.41)
существует в положительном квадранте. Вычисление собственных значе-
ний Л матрицы сообщества показывает, что это — устойчивое равновесие,
соответствующее особой точке типа узла на фазовой плоскости. Этот слу-
чай изображен на рисунке 3.12(b). Здесь все траектории в положительном
квадранте стремятся к tz* > 1 и U2 > 1, то есть > К\ и А'2 > К2,
что означает, что каждый вид увеличивает свою численность по сравнению
с максимальной численностью, возможной в изоляции.
Эта модель имеет свои недостатки. Один из них состоит в слишком
высокой чувствительности положения границы между состоянием неогра-
ниченного роста и состоянием с конечным положительным стационарным
состоянием. Эта граница зависит от неравенства 012^21 < 1, которое, как
следует из (3.40), можно переписать в терминах исходных параметров
из (3.38): 612621 < 1, где члены b — безразмерные. Итак, если взаимопо-
мощь каждого вида слишком велика, последнее условие нарушается, и обе
популяции растут без ограничений.
3.1. Обобщенные модели, общие замечания
и предостережения
Все модели, которые мы обсуждали до сих пор, описываются система-
ми нелинейных дифференциальных уравнений следующего вида:
= NiF^N, ,N2,...,Nn), i = 1,2,..., (3.42)
что подчеркивает тот факт, что вектор популяций N имеет N = 0 в качестве
стационарного состояния. Двухвидовая версия называется иногда моделью
Колмогорова или уравнениями Колмогорова.
Хотя в этой главе мы, в основном, рассматривали двухвидовое взаимо-
действие, в природной среде и, в частности, в море, существует множество
видов или трофических уровней, где энергия в виде пищи переходит от од-
ного вида к другому. Другими словами, существует постоянный поток от
одного трофического уровня к другому. Масса общего числа особей одного
вида часто называется его биомассой, здесь это — численность, умноженная
на единицу массы. Первоисточник энергии — солнце, и в море, например,
трофическая цепь тянется от планктона к рыбам, потом к акулам, китам и,
наконец, к человеку, включая бесконечные промежуточные виды. Вид од-
ного уровня может кормиться несколькими видами более низкого уровня.
Вообще говоря, модели включают взаимодействие нескольких видов.
3.7. Обобщенные модели, общие замечания и предостережения 161
Рис. 3.12. Фазовые траектории для двухвидовой модели мутуализма при ограни-
ченных емкостях среды на основании безразмерной системы (3.39). (а) Случай
012021 > 1: происходит неограниченный рост с ш —> оо и U2 —> оо в обла-
сти, ограниченной изоклинами — сплошными линиями. (Ь) Случай 012^21 < 1:
все траектории стремятся к положительному стационарному состоянию S с и* > 1
и U2 > 1, что демонстрирует начальное преимущество, которое получает каждый из
участников, поскольку емкость среды у каждого взаимодействующего вида больше
той, что была бы у каждого из них в отдельности
Многовидовые модели имеют следующий вид:
$=f(u) или 5т-= /i(ui,...,un), г = 1,...,п, (3.43)
где u(t) — это n-мерный вектор плотности популяций, и f(u) описывает
нелинейное взаимодействие между видами. Функция f(u) включает пара-
метры, характеризующие различную скорость роста и особенности взаи-
модействия видов в исследуемой системе, где , ип) определяет
общую скорость роста г-го вида. Устойчивость стационарных состояний
определяется точно так же, как и прежде, путем линеаризации вблизи ста-
ционарных состояний и*, где f(u*) = 0, и последующего исследования
собственных значений Л матрицы сообщества или матрицы устойчивости:
^4 — (flf;) —
(3-44)
162
Глава 3
Необходимые и достаточные условия для того, чтобы собственные зна-
чения, решения многочлена |А—А1|=0, имели ReA>0, задаются критерием
устойчивости Рауса-Гурвица, о котором рассказывается в приложении В.
Если стационарное состояние неустойчиво, то решение и может
неограниченно расти, эволюционировать в другое стационарное состояние
или переходить в устойчивый колебательный режим типа предельного цик-
ла. Для двухвидовых моделей теория подобных уравнений, в целом, завер-
шена и представлена системами на фазовой плоскости, краткий анализ ко-
торых дается в приложении А. Для трех или более взаимодействующих ви-
дов общая теория представлена в значительно меньшей степени. Некоторые
решения, по крайней мере, когда речь идет о решениях вблизи неустойчиво-
го стационарного состояния, можно найти, применяя теорию бифуркации
Хопфа\ см., например, книгу Strogatz (1994), где бифуркация Хопфа излага-
ется в учебной манере. В элементарном изложении теория говорит, что если
какой-то параметр системы, скажем, р, имеет критическое значение рс та-
кое, что для р < рс выполняется неравенство ReA < 0 (в данном случае А —
это собственное значение с самым большим ReA), для р — рс ReA = О,
1шА ± 0, и для р > рс справедливо ReA > 0, 1шА =4 0, то тогда, если
р — рс > 0 и является малой величиной, то решение и будет демонстриро-
вать низкоамплитудные колебания в режиме предельного цикла вокруг и*.
Smith (1993) разработал новый подход для изучения трех (и более) конкури-
рующих или взаимодействующих видов. Его подход позволяет применить
теорему Пуанкаре-Бендиксона к трехвидовой системе путем соотнесения
потоков с топологически эквивалентными потоками в двухмерной системе.
Матрица сообщества А, определенная уравнением (3.44), которая так
важна для выяснения линейной стабильности стационарных состояний,
имеет прямое биологическое значение. Элементы определяют меру воз-
действия видов j на виды i вблизи состояния равновесия. Например, ес-
ли Ui — это отклонение от стационарного состояния и*, то уравнением
для Ui является
= (3.45)
7=1
и тогда dijUj — это воздействие вида Uj на рост численности вида Ui.
Если a>ij > 0, то тогда Uj непосредственно способствует увеличению Ui,
тогда как при аг; < 0, этот рост уменьшается. Если > 0 и dji > 0, то
тогда Ui п Uj стимулируют рост друг друга, что означает симбиотический
тип взаимоотношений. Если < 0 и dji < 0, то тогда Ui и Uj находят-
ся в состоянии конкурентной борьбы. Мау (1975) в своей книге дает об-
зор некоторых обобщенных моделей и обсуждает взаимоотношение между
3.7. Обобщенные модели, общие замечания и предостережения 163
устойчивостью и сложностью, находя некоторые устойчивые решения на
основании свойств матрицы сообщества.
Существует множество исследований, посвященных системам, для ко-
торых матрица сообщества диагонально симметрична, или асимметрична,
или обладает другими, довольно специфическими свойствами, и для ко-
торых могут быть получены общие результаты о собственных значениях
матрицы и, следовательно, о стабильности стационарных состояний. Впро-
чем, практическая ценность этих работ всегда была невелика, поскольку
реальные модели не обладают столь простыми свойствами. Стохастический
элемент при оценке параметров нивелируется даже в случае приближенных
моделей. Тем не менее точно так же, как и в случае классической модели
Лотки-Вольтерра, которая не очень подходит для использования в реальной
жизни, эти модели часто заставляют людей задавать правильные вопросы.
Пусть это и так, но все же не стоит слишком увлекаться подобными моде-
лями или их обобщенными вариантами, если главная цель — постижение
реального мира.
Важная группа еще не обсуждавшихся нами моделей — это модели вза-
имодействия с запаздыванием. Если какие-либо виды демонстрируют раз-
личное или распределенное запаздывание, то подобные модели поистине
открывают ящик Пандоры, полный разнообразных решений, которые все
еще в большой степени остаются не исследованными.
Если мы рассмотрим взаимодействие трех или более видов, мы можем
увидеть апериодическое поведение. Первым это продемонстрировал Lorenz
(1963) с модельной системой:
du / \ dv , 1 dw
— = a(v — u), — = —uw + bu — v, -r- — uv — cw,
dt dt dt
где a, b и с — положительные параметры (эти уравнения возникают в гид-
родинамических моделях). При варьировании параметров решения демон-
стрируют удвоение периода и затем переход к хаосу или апериодичности.
Подобными системами занимались многие авторы. Это, к примеру, Rossler
(1976а; 1976b; 1979; 1983), Sparrow (1982; 1986) и Strogatz (1994), кото-
рые сделали особенно много в этой области и открыли ряд новых систем
с подобными свойствами; см. также книгу под редакцией Holden (1986).
Было бы удивительно, если бы определенные модели популяционного вза-
имодействия для трех или более видов не проявляли бы сходных свойств.
Модели конкуренции для трех или более видов дают порой неожиданные
результаты.
Обнаружить и четко доказать существование хаоса (или даже сложных
колебаний) среди природных популяций — непростая задача. В связи с этим
164
Глава 3
было высказано предположение, что эволюционные механизмы охраняют
популяции от хаотического поведения. Вероятная хаотическая популяцион-
ная динамика как результат действия естественного отбора исследовалась
в интересной статье Ferriere и Gatto (1993). Исходя из полученных резуль-
татов, авторы высказали гипотезу, что эволюция, возможно, поддерживает
хаотическую популяционную динамику гораздо в большей степени, чем
это казалось ранее. В противовес общепринятому мнению они предполо-
жили, что хаос — это оптимальное состояние популяционной динамики.
В действительности, предположили они, хаос может быть оптимальным
поведением для самых разных биологических систем. Их вывод совпадает
со взглядами, высказанными Schaffer и Kot (1986) в отношении эпидемий.
Несмотря на все, что было сказано выше, создается впечатление, что
эволюционное развитие сложных популяционных взаимодействий привело
к созданию довольно устойчивых систем. Исходя из того, что мы узнали
о моделях взаимодействующих систем до сих пор, мы должны понимать,
что любую систему можно сделать нестабильной, если соответствующим
образом изменить определенные параметры, то есть провести их через би-
фуркационные значения. Это означает, что любое изменение системы пу-
тем внешнего воздействия требует предварительного проведения серьезных
научных исследований. Использование моделей для изучения эффектов ис-
кусственного вмешательства в трофические взаимоотношения может быть
весьма познавательным и иметь большое практическое значение. Если бы
об этом помнили, вполне вероятно, что катастрофа, о которой планируется
рассказать далее, могла бы не произойти. И хотя реалистичные динами-
ческие модели не могут дать исчерпывающий ответ на вопрос, что может
случиться в результате интродукции нового вида или изъятия одного из
видов из трофической цепи, они вполне годятся для того, чтобы указать
на многочисленные знаки опасности, требующие повышенного внимания.
Впрочем, столько же аргументов может быть высказано в пользу того, что
не стоит слишком доверять моделям, поскольку взаимодействия порой бы-
вают невероятно сложны, а модели — несовершенны. В завершении раздела
мы даем описание крупной экологической катастрофы, которая произошла
в Восточной Африке и стала следствием попытки вмешаться в сложные
трофические связи.
Озеро Виктория и нильский окунь: катастрофа I960 года
В 1960 году нильский окунь (Latis niloticus) был интродуцирован в озе-
ро Виктория, крупнейшее озеро Восточной Африки. Озеро лежит на грани-
цах трех государств: Кении, Танзании и Уганды и поддерживает существо-
вание сотен мелких общин, занимающихся рыбной ловлей. Считалось, что
3.7. Обобщенные модели, общие замечания и предостережения 165
эта крупная хищная рыба, которая может достигать веса в 100 и более кило-
граммов, явится ценным и легкодоступным источником белка. В то время
операция по переселению вида была поддержана Организацией Объеди-
ненных Наций по вопросам продовольствия и сельского хозяйства (ФАО).
Некоторые ученые высказывали свое несогласие с проектом, но их голоса
были оставлены без внимания.
Присутствие в озере крупного хищного окуня привело за последую-
щие 35 лет к исчезновению нескольких сотен видов более мелких цихли-
довых рыб, многие из которых являлись основой экономики прибрежных
рыболовецких общин. Рынки были завалены окунем. Было подсчитано, что
в 1984 году общая продуктивность озера снизилась на 80% по сравнению
с уровнем до 1960 года.
В самом озере плохо спланированное интродуцирование такого круп-
ного малоподходящего вида стало ошибкой ужасающих масштабов и при-
вело к экологической катастрофе. Впрочем, и за пределами озера в дополне-
ние к экономической катастрофе, которая вызвала гибель рыболовецких об-
щин, случились и другие неприятности, которые, несомненно, можно было
предугадать. Например, крупные окуни — жирная рыба, которая не сохнет
на солнце и может храниться только в копченом виде. Следствием этого
факта стало исчезновение растущих по берегам ценных пород деревьев,
использовавшихся как топливо.
Еще более серьезным кажется тот факт, что многие из цихлидовых
рыб, которые практически исчезли и которые в изобилии водились в озере
раньше, поддерживали на определенном уровне численность улиток, живу-
щих в озере и по его берегам.
Эти обитающие во всех крупных водохранилищах пресноводные улит-
ки являются важным звеном в цикле паразитарной болезни, называемой
шистосомоз (также известной как бильгарция), второй в мире по значи-
мости паразитарной болезни после малярии. Эта болезнь не подавляется
иммунной системой человека и в отсутствии лечения неизбежно приводит
к смерти. Как известно, компания специалистов самого разного профиля
является наиболее благоприятной средой для занятия математической био-
логией, поскольку часто бывает, что в процессе создания модели у экологов
возникают вопросы и решения, которые, в свою очередь, ведут к новым
вопросам, не имеющим непосредственной связи с моделью. Примером це-
пи взаимосвязей могли бы стать перечисленные выше эффекты. Несмотря
на катастрофу вызванную интродукцией неподходящего вида в такую де-
ликатную и сложную трофическую сеть, существовал план (в 1987 году)
переселить окуня в другие крупные озера региона, в частности, в озеро
Малави.
166
Глава 3
Шистосомоз1 является крайне неприятной болезнью, которая поражает
более 200 миллионов людей в 74 странах. В Египте, например, она приво-
дит к раку и является основной причиной смерти молодых людей в возрасте
от 20 до 44 лет. Улитки высвобождают в воду паразитов, называемых (ши-
стосома) церкариями, одна улитка высвобождает церкарии со скоростью
до 3 000 в день. Они проникают в кожу человека (во время купания или
плавания в зараженной воде), мигрируют в легкие, печень, мочевой пузырь
и другие органы. После приблизительно пяти недель червь достигает по-
ловой зрелости и начинает производить яйца со скоростью примерно 300
в день, около половины из которых выходит с экскрементами. Яйца, ко-
торые не выходят из организма, скапливаются преимущественно в печени.
Яйца вызывают поражение, поскольку они распознаются как чужеродные
агенты, и иммунная система образует вокруг них капсулу из рубцовой тка-
ни. Хроническая инфекция приводит к образованию большого количества
капсул из рубцовой ткани, что ведет к высокому кровяному давлению. Те-
ло пытается приспособиться к этому положению, образуя новые хрупкие
и ненадежные кровеносные сосуды, и в конце концов больной умирает от
кровотечений. Яйца, содержащиеся в экскрементах, попадают в пресную
воду и дают мирацидии, которые затем проникают в улиток и, проходя
в них цикл бесполого размножения, образуют церкарии и тем самым замы-
кают цикл. Одна из интересных идей лечения болезни состоит в том, чтобы
заставить иммунную систему атаковать яйца без образования капсул.
В более поздние годы (начало 90-х годов XX века) на озере Викто-
рия произошла другая катастрофа — нашествие водного гиацинта (Eichorria
1 Интересная теория родилась как-то раз за ужином в Колледже Тела Христова в Оксфорде.
За столом возник разговор насчет шистосомоза, которым я в то время занимался. Среди участ-
ников беседы были, в частности, историк древнего мира и археолог, которые попросили меня
описать симптомы болезни. Я коротко рассказал о том, как она проявляется. Например, если
мальчик болен с детства, то в возрасте 11 лет у него в моче появляется кровь, приблизительно
в то же время, когда у девочек в жарких странах начинается менструация. Зараженные мужчи-
ны (и женщины) в конце концов умирают (если болезнь не лечить) в возрасте 20-30 лет. Тут
историк древнего мира сказал, что в Древнем Египте существовало поверие, что у мальчиков,
так же как у девочек, бывают «периоды», которые начинаются у тех и у других приблизи-
тельно в одно и то же время. Шистосомоз был широко распространен в Древнем Египте
(и все еще часто встречается в наше время; Асуанская плотина только усугубила эту пробле-
му). Он продолжил, что если у мальчика не было «менструации», он объявлялся избранником
богов и предназначался в жрецы. Интересно, заметил при этом археолог, что большинство
египетских мумий были молодые люди, а мумии пожилых людей принадлежали почти исклю-
чительно жрецам. Можно предположить, что причина, по которой будущие жрецы в юном
возрасте не заболевали болезнью, был врожденный иммунитет, что также объясняло тот факт,
что возраст жрецов часто значительно превышал среднюю продолжительность жизни в Древ-
нем Египте. Возможно, все это звучит и странно, но вовсе не так уж невероятно, и еще раз
доказывает, как полезно бывает общение специалистов самого разного профиля!
3.8. Пороговые явления
167
crassipes), который образовал по краям озера широкий толстый ковер, уни-
чтожая рыбные нерестилища, мешая работе гидроэлектростанций и достав-
ляя множество других неприятностей. Уже поражено около 80 % побережья
Уганды. Хотя на своей родине в Бразилии это растение частично регули-
руется ржавчинным грибом, существуют большие опасения относительно
интродуцирования последнего. Это не мешает серьезно обсуждать этот ва-
риант наряду с возможным применением химических гербицидов.
3.8. Пороговые явления
За исключением модели Лотки-Вольтерра хищник-жертва, все двухви-
довые модели, которые мы обсуждали или о которых упоминали в этой гла-
ве, либо имели устойчивые стационарные состояния, где возмущения зату-
хали, либо неустойчивые стационарные состояния, где возмущения беспре-
дельно нарастали, или переходили в периодические решения типа предель-
ного цикла. Существует интересная группа моделей с ненулевым устойчи-
вым состоянием, где возмущение большой амплитуды или особого характе-
ра приводит к тому, что плотности популяций претерпевают значительные
изменения прежде чем вернуться к стационарному состоянию. О таких мо-
делях говорят, что они демонстрируют пороговый эффект. Здесь мы изучим
одну из таких моделей.
Рассмотрим модель системы хищник-жертва:
= AT[F(AT) — Р] = f(N, Р), (3.46)
^-=P[N- G(P)] = g(N, Р), (3.47)
где из соображений удобства все параметры после соответствующего мас-
штабирования были включены в F и G; качественный вид F(N) и G(P)
представлен на рисунке 3.13. Особый вид F(N) демонстрирует эффект
Олли, согласно которому удельный рост численности жертвы вначале уве-
личивается с увеличением плотности ее популяции, затем достигает мак-
симального значения при некоторой величине Nm и далее, при большей
плотности, убывает.
Стационарными состояниями ЛГ*, Р* системы (3.46), (3.47) являются
N* = 0 = Р* и неотрицательные решения следующих уравнений:
Р* = F(7V*), TV* = G(P*).
(3.48)
168
Глава 3
Как обычно, представляется удобным нарисовать изоклины f = 0, д =
= 0, изображенные на рисунке 3.14. В зависимости от различных парамет-
ров, включенных в F(N) и G(F), в типичном случае стационарное состо-
яние может быть в точках S или S'. В данном случае мы рассматриваем
ситуацию, где N* > Nm, то есть ситуацию, где стационарное состояние
достигается в точке S, показанной на рисунке 3.14.
Из (3.46) и (3.47) матрица сообщества А для нулевого стационарного
состояния N* = О, Р* = 0 имеет вид:
/ 01 д£\
Л - I 9N дР I _( F’(O) о \
dp ДО ~G(°) /’
\ 3N дР / jv=o=p
где собственные значения Л = F(0) > 0 и А = — G(0) < 0. Итак, при F(N)
и G(F), как они изображены на рисунке 3.13, точка (0,0) нестабильна —
это особая точка типа седла на фазовой плоскости (АГ, Р).
Рис. 3.13. (а) Качественный вид функции удельного роста численности жертвы
F(N) из (3.46), демонстрирующий эффект Олли. (Ь) Удельная смертность хищ-
ника
Для положительного стационарного состояния (ДР, Р*) матрица сооб-
щества из (3.46)-(3.48) имеет вид:
_ ( N*F'(N*) —N* \
А~ Р* -P*G'(P*) /
где штрих означает производную, и из рисунка 3.14 следует, что G'(P*) > 0
и F'(N*) < 0, когда (№*, Р*) находятся в точке S, и G'(P*) > 0 и F^AP) > 0,
когда (№*, Р*) находятся в точке S'. Собственные значения А находятся из
решения уравнений:
|Л - ЛГ| = 0 => Л2 - (tn4)A + deU = 0, (3.49)
3.8. Пороговые явления
169
Рис. 3.14. Изоклины N — О, Р = О, N = G(P), Р — F(N) для системы хищ-
ник-жертва (3.46) и (3.47); f = N[F(N) - Р)], д = P[N - G(P)], S и S' -
возможные устойчивые стационарные состояния
где
trA = N*F'(N*) - P*G'(P*),
det А = ГГ|1 - F'(N*)G'(P*)]. ^’5°^
Когда стационарное состояние находится в точке S, как это изображе-
но на рисунке 3.14, trA < 0 и det А > 0, что означает, что система устой-
чива к незначительным возмущениям для всех F(N) и G(P), поскольку
ReA < 0, как следует из (3.49). Если стационарное состояние находит-
ся в точке 5", то trA и det А могут быть положительными или отрица-
тельными, поскольку в этом случае Ff(N*) > 0. Таким образом, точка 5"
может быть устойчива или неустойчива в зависимости от вида функций
F(N) и G(P). Если она неустойчива, наблюдается решение типа предель-
ного цикла, поскольку для этой системы существует замкнутое множество;
пример качественно сходной задачи дан в разделе 3.4, а решение системы
графически представлено на рисунке 3.8.
Особый интерес в данной ситуации представляет случай, когда стаци-
онарное состояние находится в точке S и является, таким образом, всег-
да устойчивым. Предположим, в результате возмущения система оказалась
в точке X на фазовой плоскости, как представлено на рисунке 3.15(a). По-
скольку в этом случае f < 0 и д < 0, из уравнений (3.46) и (3.47) следует,
что dN/dt <0 и dP/dt < 0, в результате чего движение по траектории в ка-
чественном отношении аналогично движению по траектории, представлен-
ной на рисунке 3.15(a); система в конце концов возвращается в S, но только
после продолжительного путешествия по фазовой плоскости. Качественное
обозначение пути дается знаками f и д, а значит, dN/dt и dP/dt. Если воз-
мущение точки (ДГ, Р) приводит систему в точку Y, то наблюдается сход-
170
Глава 3
ное поведение. Если, однако, возмущение переводит систему в точку Z, то
система остается вблизи S. Рисунки 3.15(b) и (с) иллюстрируют типичное
поведение N и Р во времени.
Рис. 3.15. (а) Изоклины для пороговой модели хищник-жертва (3.46) и (3.47). Ста-
ционарное состояние S всегда устойчиво. Если возмутить систему до точки X, то
система совершает продолжительное путешествие по фазовой плоскости, и только
потом возвращается в S. Возмущение до Z является подпороговым, и, следователь-
но, система возвращается в S без предварительного путешествия. (Ь) и (с) Схема
временной эволюции решений, иллюстрирующая результат возмущения до точек X
и Z, показанных в (а)
Отчетливо видно существование четкого порога возмущения, ниже ко-
торого возмущение всегда остается вблизи стационарного состояния, а вы-
ше которого — нет, хотя решение, в конце концов, все равно возвращает-
ся к стационарному состоянию. Пороговое возмущение — это, скорее, по-
роговая кривая или, еще точнее, область, причем такая область, что если
в результате возмущения траектория минует максимум 7Vm, показанный на
рисунке 3.15(a), то в типичном случае траектории подобны тем, которые
начинаются в точках X или Y. Если траектория пересекает f = 0 при
N > Nm, то больших возмущений не наблюдается. Причина существо-
вания подобного порогового свойства — это следствие формы изоклины
3.9. Дискретные модели роста взаимодействующих популяций 171
f = 0, имеющей максимум, как показано на рисунке; в нашем случае это
следствие эффекта Олли в динамике модели (3.46). С учетом уже обсуждав-
шихся в данной главе проблем, картина временного поведения популяции
может навести нас на мысль, что мы имеем дело с неустойчивой ситуа-
цией. Понятно, насколько важно аккуратное изображение изоклин. Опре-
деление порога на этой стадии довольно приблизительно. Далее в главе 1
части II мы показываем, что если один из видов получает возможность
распространяться в пространстве, например, вследствие диффузии, то воз-
можны пороговые блуждающие волны. Они имеют важные биологические
последствия. В этом контексте понятие порога должно быть обозначено
более четко. Как будет видно из дальнейшего материала, особое значение
пороговое поведение приобретает в биохимическом контексте, что имеет
формальное сходство с нашими примерами, поскольку уравнения реакци-
онной кинетики имеют то же математическое содержание, что и только
что обсуждавшиеся здесь уравнения динамики взаимодействующих попу-
ляций.
Последнее замечание, касающееся проблемы моделирования взаимо-
действующих популяций, состоит в том, что «правильной» модели для
каждой ситуации может и не быть, поскольку многие модели способны
демонстрировать качественно сходное поведение. Подбор правильных ка-
чественных характеристик знаменует собой лишь первый шаг, который ни
в коем случае не должен становиться главной причиной выбора той или
иной модели. Это важное предостережение с настойчивой регулярностью
будет повторяться на протяжении всей книги. Что делает просто модель
хорошей моделью? Это следующее: правдоподобная динамика роста, ос-
нованная на наблюдениях и реальных данных, возможность обоснованной
оценки разнообразных параметров и, наконец, подтверждение прогнозов,
сделанных при помощи модели, соответствующими экспериментами и на-
блюдениями.
3.9. Дискретные модели роста взаимодействующих
популяций
Сейчас мы рассмотрим два взаимодействующих вида, каждый из ко-
торых обладает неперекрывающимися поколениями и оказывает влияние
на популяционную динамику другого. Как и в моделях с непрерывным
ростом, здесь выделяют те же основные типы взаимодействий, а имен-
но, хищник-жертва, конкуренция и мутуализм. В системе хищник-жертва
скорость роста одного участника увеличивается за счет другого, при кон-
172
Глава 3
куренции скорости роста обоих сторон уменьшаются, тогда как при му-
туализме — увеличиваются. Подобные системы широко изучались, но да-
леко не в том объеме, как системы с непрерывным ростом, для которых,
в случае двух видов существует полный математический анализ всех ти-
пов уравнений. Книга Hassel (1978) посвящена моделям хищник-жертва.
Beddington с сотрудниками (1975) представляет некоторые результаты ис-
следования динамической сложности сопряженных систем хищник-жертва.
Книга Gumowski и Mira (1980) носит более математический характер и по-
священа, в основном, математике связанных систем, но также содержит
некоторые интересные численные результаты; см. также вводную статью
Lauwerier (1986). Обзорная статья Мау (1986), главная тема которой — ре-
гуляция численности популяций, является удачным дополнением к матери-
алу этой и предыдущих глав. В ней, в частности, обсуждаются проблемы,
связанные с непредсказуемыми факторами внешней среды, наложенными
на детерминистские модели, и разнообразные практические аспекты раци-
онального использования ресурсов. Зная, насколько сложным бывает пове-
дение одновидовых дискретных моделей, не вызывает удивления тот факт,
что в случае сопряженных дискретных систем поведение может быть еще
сложнее. Хотя даже в том случае, когда мы готовы к сложному поведению
систем, трудно остаться равнодушными при виде невероятного разнооб-
разия решений, наблюдая образование причудливых структур, с большим
изяществом представленных в книге Peitgen и Richter (1986). В основном,
их книга посвящена решениям дискретных систем при помощи численно-
го моделирования. Используя яркие краски, авторы демонстрируют самые
разные структуры, которые могут возникать в системе, состоящей всего из
двух связанных уравнений; в данном случае нет необходимости в сложной
динамике. Они также показывают, наряду с другими вещами, как решения
связаны с образованием фракталов (см., например, множество Мандельбро-
та (Mandelbrot, 1982), множество Жюлиа, деревья Хаббарда и другую экзо-
тику). Большая часть текста технична, но обсуждение основных вопросов
легко читается и представляет несомненный интерес для всех, кто изучает
динамические системы. Краткое знакомство с фракталами дано в главе 14
нашей книги.
Итак, вернемся к моделям хищник-жертва. Важным аспектом эволю-
ции путем естественного отбора являются преимущества умелого хищника
и неуловимой жертвы. В пределах общего класса мы, в основном, говорим
о системах хищник-жертва, подразумевая насекомых, поскольку согласно
большому количеству доступных экспериментальных данных жизненные
циклы насекомых можно часто с успехом моделировать дискретными мо-
делями для двух видов.
3.10. Модели хищник-жертва: детальный анализ
173
Мы считаем, что взаимодействие жертвы (N) и хищника (Р) описыва-
ется дискретной во времени (t) системой сопряженных уравнений:
М+1 =rNtf(Nt,Pt), (3.51)
Pt+l=Ntg(Nt,Pt), (3.52)
где г > 0 — чистый линейный рост численности жертвы, a f и д — это функ-
ции, которые выражают зависимую от хищника репродуктивную эффектив-
ность жертвы и эффективность поиска жертвы хищником соответственно.
Конечно, обсуждаемые нами методы приложимы и к другим популяцион-
ным взаимодействиям. Следующая глава посвящена тому, что происходит
в случае перекрестного взаимодействия. Методы, используемые в этом слу-
чае, имеют сходство с предыдущими, хотя некоторые фундаментальные от-
личия все же имеются. Ключевое отличие, однако, состоит в том, что «вид»
в главе 5 означает пол.
3.10. Модели хищник-жертва: детальный анализ
Вначале рассмотрим простую модель, где хищник рыщет по опреде-
ленной территории и имеет неограниченные возможности для поглощения
жертвы. Это отражается в системе уравнений:
М+1 = гМехр[-аР<],
а > 0 (3.53)
Pt+i = м{1 -exp[-aPt]}.
На этом этапе следует отметить, что всегда бывает полезно попытать-
ся представить себе влияние видов друг на друга, просто внимательно по-
смотрев на их качественное поведение, выраженное в уравнениях. Взяв,
например, нашу систему, можно попробовать предугадать, каков будет итог
анализа стабильности. Даже если результат анализа не совпадет с тем, что
ожидали увидеть вы, подобное предварительное качественное впечатление
может часто пригодиться, чтобы изменить модель, сделав ее более реали-
стичной.
Из (3.53) найдем равновесные значения ДР, Р*:
ДР = 0, Р* = 0
или 1 = rexp[—aP*], Р* = N*(l — ехр[—aP*]),
и, таким образом, положительное стационарное состояние популяций есть
Р* = | In г, N* = , г ч In г, г > 1. (3.54)
и а(т — 1)
174
Глава 3
Линейная устойчивость равновесного состояния может быть установ-
лена обычным способом, если записать
Nt = N* + nt, Pt = Р* + pt,
nt
TV*
С 1, (3.55)
и подставить (3.55) в (3.53), сохранив только линейные члены. Для стаци-
онарного состояния (0,0) анализ совсем простой, поскольку
nw=rnt, Pt+i=o,
а значит оно устойчиво для г < 1, поскольку Nt —> 0 при £ —> ос, и неустой-
чиво для г > 1, то есть в том диапазоне г, при котором, в соответствии
с (3.54), положительное стационарное состояние существует. Для этого по-
ложительного стационарного состояния мы имеем линейную систему урав-
нений:
nt+1 = nt- N*apt, Pt+1 = nt (1 - + ^j^Pt,
(3.56)
где мы уже использовали соотношение 1 = г ехр[—аР*]9 которое определя-
ет Р*.
Прямой путь решения (3.56) состоит в итерации первого уравнения
и далее использовании второго уравнения для получения уравнения для nt,
то есть
п^+2 = nn+i - =
= nt+i - N*a
= nt+i - 7V*a
I 1 - - I + — Pt =
nt ( 1 — ) + ^(nt — nt+\)
и тогда
nt-^-2 ~ (1 4- G j nt+i + N*ant — 0.
(3.57)
Теперь мы ищем решение в виде:
nt = Ах1 => х2 - f 1 + ) х + N*a = 0.
Используя АГ* из (3.54), характеристический полином, таким образом,
приобретает вид:
х2 — < 1 Ч------- In г > х Ч-------In г = 0, г > 1.
I г — 1 I г — 1
(3.58)
3.10. Модели хищник-жертва: детальный анализ
175
Два решения Xi и х2 которого есть
(3.59)
Таким образом,
щ = А]Х1 + А2х\ (3.60)
где Л1 и А2 — произвольные постоянные. По аналогии с этим или в резуль-
тате подобного же анализа, мы получаем выражение для pt в виде:
pt = Вгх1 + В2х\
(3.61)
где Bi и В2 — произвольные постоянные.
Более элегантный и доступный для обобщения способ найти xi и х2
состоит в том, чтобы записать линейную систему (3.56) для возмущений
в виде матрицы:
(n*+1 \ = А
\Pt+i /
—N*a
N*a
r
(3.62)
и искать решения в виде:
где В — это произвольная матрица констант ранга 2x2. Подставив это
решение в (3.62), получаем
= АВ
хВ = АВ f^Y
\Х J \хJ
что имеет нетривиальное решение В ( ), если
1 — х
\А - А/| = 0 =>
—N*a
N*a „
— ~х
= 0,
что опять приводит к квадратному характеристическому уравнению (3.58).
Решения Xi и х2 — просто собственные значения матрицы А в (3.62). Этот
матричный подход для дискретных уравнений в точности соответствует то-
му, который использовался раньше для непрерывных моделей взаимодей-
ствующих видов. Обобщение на случай дискретных моделей с большим
числом переменных труда не составляет.
176
ГЛАВА 3
Устойчивость стационарного состояния (7У*,Р*) определяется вели-
чинами |о?1| и |хг2|- Если хотя бы одна из них больше единицы, |rri | > 1
или |гг21 > 1, то тогда nt и pt становятся неограниченными при t —> оо,
и, следовательно, состояние (№*,Р*) — неустойчиво, так как возмущения
относительно стационарного состояния растут со временем. Несложные ал-
гебраические преобразования для дискриминанта в (3.59) показывают, что
г I2
. In г 4т In г . п „„„
1 Ч----7---------г < и ДЛЯ Т > 1,
г — 1 г — 1
а значит корни х\ и Х2 являются комплексно-сопряженными. Произведение
корней уравнения (3.58), (3.59) равно
Ж1Д?2 = |xi |2 = (г In г)/(г — 1) > 1, для всех г > 1, => |д?1| > 1.
(Простой способ увидеть, что (г In т)/(г — 1) > 1 для всех г > 1, состоит
в том, чтобы рассмотреть графики In г и (г — 1)/г для г > 1 и отметить,
что d(lnr)/dr > d[(r — l)/r]/dr для всех г > 1.) Таким образом, решения
(nt,pt) из (3.60) и (3.61) становятся неограниченными при t —> оо, и зна-
чит положительное равновесное состояние (7У*,Р*) из (3.54) неустойчиво
и система способна к колебаниям, поскольку корни и х% — комплексно-
сопряженные. Численные решения системы (3.53) показывают, что система
также неустойчива и для конечных возмущений — решения неограниченно
растут. Таким образом, эта простая модель является слишком простой для
какого бы то ни было практического применения, возможно, она пригодна
лишь для специально подобранных лабораторных условий и только в тече-
ние ограниченного времени.
Модель хищник-жертва с зависимостью от плотности численности
Давайте еще раз исследуем допущения, лежащие в основе простой
исходной модели (3.53). Судя по виду уравнения, можно сделать вывод,
что число встреч хищника и жертвы неограниченно растет вслед за ро-
стом плотности численности добычи, что кажется маловероятным. Скорее
можно предположить, что аппетит у хищника не безграничен. Другой ва-
риант трактовки этого уравнения, который формально ничем не отличает-
ся от предыдущего, состоит в предположении, что в отсутствии хищников
Pt = 0, популяция жертвы Nt будет расти без ограничений, если г > 1,
и вымирать, если 0 < г < 1, что является простой моделью Мальтуса (2.2).
Представляется разумным изменить уравнение (3.53) для Nt, добавив по-
казатель насыщения для популяции жертвы, или, если говорить о числе
3.10. Модели хищник-жертва: детальный анализ
177
встреч хищника и жертвы, сделать модель с ограничением добычи. Таким
образом, мы получаем более реалистичную модель:
Nt+i = Nt exp г (1 - - aPt ,
(3.63)
Pt+i = Nt{l- exp[-aPt]}.
Теперь при Pt = 0 эта система сводится к одновидовой модели (2.8)
из раздела 2.1. Система обладает положительным устойчивым равновесием
А7* = А при 0 < г < 2 и демонстрирует колебательные и периодические
решения при г > 2. У нас есть все основания ожидать сходное бифурка-
ционное поведение, хотя, вероятно, не с первой бифуркацией при г = 2 и,
очевидно, с другими значениями для г при бифуркациях высшего поряд-
ка. Детальное рассмотрение этой модели можно найти в статье Beddington
с соавторами (1975).
Нетривиальные стационарные состояния (3.63) являются решениями
системы уравнений:
/ /V*
1 = exp г I 1-----—
-аР* ,
Р* = ДР(1 - ехр[—аР*]). (3.64)
Первое из которых дает
(3.65)
что при подстановке во второе уравнение позволяет получить как ре-
шение трансцендентного уравнения:
г
aN*
( N*
= 1 — ехр —г I 1-—
(3.66)
Очевидно, = К, Р* = 0 является решением. Если построить
график зависимостей левой и правой частей уравнения (3.66) от JV*, как
представлено на рисунке 3.16, то можно увидеть, что существует другое
равновесное состояние при 0 < < К в месте пересечения кривых,
которое зависит от г, а и К. Если определено, то из (3.65) можно
получить Р^.
Условия линейной устойчивости этого равновесного состояния можно
исследовать точно так же, как и в предыдущем случае, когда собственные
значения х определяются собственными значениями матрицы линеаризо-
ванной системы. Это следует делать численно. Можно показать, что при
178
Глава 3
некоторых г > 0, равновесие устойчиво, и что при больших г оно демон-
стрирует бифуркацию. Beddington с соавторами (1975) определили границы
устойчивости в параметрическом пространстве г, N^/K, где происходит
бифуркационный переход от устойчивости к неустойчивости и где реше-
ние демонстрирует периодические колебания, переходящие в хаос. Анализ
стабильности реалистичных двухвидовых моделей часто приходится про-
водить в численном виде. В случае моделей, содержащих три и более видов,
для определения условий, которым должны удовлетворять коэффициенты,
так, чтобы линейные решения х удовлетворяли неравенству |ж| < 1, можно
использовать критерий Jury (см. приложение В). Впрочем для систем более
высокого порядка пользы от критерия Jury немного, за исключением схемы
вычислений.
Рис. 3.16. Графическое решение модельной системы (3.63) позволяет найти поло-
жительное значение равновесия
Биологическая регуляция численности вредителей: общие соображе-
ния
Смысл использования естественных хищников для регуляции числен-
ности вредителей состоит в том, чтобы замедлить быстрый рост послед-
них путем соответствующего увеличения численности хищников. А окон-
чательной целью является поддержание численности и тех и других на воз-
можно низком уровне. В задачу не входит уничтожение вредителя, а толь-
ко контроль за его численностью. Хотя большинство системных моделей
с реальными хищниками и реальными вредителями являются достаточно
грубыми с точки зрения устойчивости, бывают и крайне чувствительные.
Вот почему анализ реалистичных моделей так важен. В случае, когда па-
раметры для модели берутся из наблюдений, результатом является или ста-
ционарное равновесие, или простое периодическое поведение; хаотическое
поведение, к счастью, встречается крайне редко. Таким образом, манипуля-
ция с эффективными параметрами вполне предсказуема для большинства
практических ситуаций.
3.10. Модели хищник-жертва: детальный анализ
179
Биологическая регуляция численности вредителей особенно успешно
осуществляется в долгоживущих системах, таких, например, как фруктовые
сады или лесные массивы, то есть в системах, где взаимодействие хищник-
жертва происходит непрерывно. Впрочем, глобальные экологические изме-
нения, вызванные сбором урожаев в системах с многолетними растениями,
делают успех не таким ощутимым. Основные достижения приходятся на
долю одной из разновидностей системы хищник-жертва, а именно, систе-
мы, где роль хищника играет паразит. Это может быть особенно важно для
лечения болезней человека. В книге Kot (2001) приводится подробное об-
суждение динамики моделей по использованию природных ресурсов, а так-
же важные аспекты оптимального контроля.
В проанализированных нами моделях мы обращали особое внимание
на способ создания моделей, исследование их устойчивости в зависимо-
сти от параметрических областей и существование стационарных состоя-
ний или периодического поведения. Мы не обсуждали влияние начальных
условий. А они бывают важны, пусть и не во всех случаях. Один из та-
ких примеров, где начальное соотношение хищник-жертва является реша-
ющим, — это регуляция численности красного паутинного клеща, который
является вредителем тепличных помидоров. Следует ожидать, что началь-
ные условия особенно важны для тех случаев, где колебания демонстриру-
ют внезапное усиление, резкий спад и медленное восстановление. Резкий
спад к низким уровням численности может поставить вид на грань ис-
чезновения или стать причиной его вымирания. Среди книг, посвященных
биологической регуляции численности вредителей, см., например, DeBach
(1974) и Huffaker (1971).
Относительно новой и, по сути, малоисследованной областью исследо-
ваний являются сопряженные системы, где временные шаги для хищника
и жертвы не равны. Именно так и обстоит дело в реальном мире. Прини-
мая во внимание множество интересных и неожиданных типов поведения,
продемонстрированных моделями в этой главе и главе 2, было бы удиви-
тельно, если бы модели с различными временными шагами не показали
нам примеры столь же необычного поведения.
Упражнения
1. В конкурентной модели для двух видов с численностями TVi и N2'.
<Wi N' ь N2 \
"а” = ‘‘V1 V - Jg “
dN2 , V Л h N'\
_=r27V2^i-b21— \
180
Глава 3
где только один вид JVi имеет ограниченную емкость среды. Приведите
систему к безразмерному виду и определите стационарные состояния.
Исследуйте их устойчивость и начертите фазовые траектории, пока-
жите, что независимо от величины параметров принцип конкурентно-
го исключения соблюдается. Кратко опишите экологические условия,
которые могут привести вид N2 к вымиранию.
2. Flores (1998) предложил следующую модель конкуренции между неан-
дертальцем (7V) и предком современного человека (Е):
= ДГ[Л - D(N + Е)-В], ^- = Е[А - D(N + Е) - sB],
иъ аъ
где А, В, D — положительные константы и s < 1 — мера различия
между уровнями смертности двух видов. Приведите систему к без-
размерному виду и опишите смысл каждого безразмерного параметра.
Покажите, что численности N и С связаны соотношением:
N(t) ос С(Т)ехр[-В(1 - s)t].
Теперь найдите, величину какого порядка составляет время исчезнове-
ния неандертальцев.
Если продолжительность жизни отдельного индивидуума составляла
приблизительно 30-40 лет, а время существования вида (по палеонто-
логическим данным) от 5 000 до 10000 лет, определите разброс пара-
метра з, обозначающего различие уровней смертности. [По независи-
мым оценкам (Flores 1998) s = 0,995.]
Постройте конкурентную модель для этой ситуации, пользуясь модель-
ной системой из раздела 3.5 с равными емкостями среды и линейной
рождаемостью в отсутствии конкуренции, но с немного различными
показателями конкурентной эффективности. Определите условия, при
которых неандертальцы исчезают, и условия, при которых два вида
способны сосуществовать.
3. Определите тип взаимодействия между двумя видами с численностя-
ми и 7V2 на основании следующей модели:
dNl NT ~dT = Г1М ^2 v —- = at fl- ], Ki + 612^2] ’1 . 7<2 + &21M_
3.10. Модели хищник-жертва: детальный анализ
181
Нарисуйте изоклины и определите стационарные состояния и их
устойчивость. Кратко опишите экологический смысл результатов ана-
лиза.
4. Модель хищник-жертва для системы взаимодействия травоядное жи-
вотное (Н) — планктон (Р) имеет следующий вид:
dP _ р (к _ р\ _ ВН dH _ ijtt Р _ ли
dt C + Pj’ dt DH[C + P
где г, К, Л, В, С и Н — положительные константы. Кратко опиши-
те сделанные в модели экологические допущения. Приведите систему
к безразмерному виду так, чтобы она приобрела следующий вид:
dp
~Г =Р
ат
= dh
ат
Р
1 +р
— ah
Нарисуйте изоклины и отметьте, наблюдаются ли качественные изме-
нения при варьировании параметра к. В том или в другом случае пока-
жите, что положительное стационарное состояние (ро, ^о) существует
для всех а > 0, к > 0.
Рассмотрев матрицу сообщества, определите знаки частных производ-
ных правых частей уравнений, взятых в точке (po,fto)> так, чтобы
это стационарное состояние было устойчивым. Отметив знаки dp/dT
и dh/dT с разных сторон изоклин на фазовой плоскости (р, h), пока-
жите, что (1) для к < 1 положительное стационарное состояние устой-
чиво, и что (2) для к > 1 и достаточно малом а положительное ста-
ционарное состояние может быть устойчиво или неустойчиво. Далее
покажите, что необходимым условием для существования периодиче-
ского решения в параметрической плоскости а, к является нахождение
а, к в области, ограниченной кривыми я = 0иа = 4(/с—l)/(fc+I)3. За-
тем покажите, что если а < 4/27, то существует диапазон величин к,
где возможны периодические решения. При каких условиях система
может демонстрировать пороговые явления?
5. Взаимодействие между двумя популяциями с плотностями Ni и N?
моделируется следующей системой:
= rM (1 - - аМ^(1 - ехр[-ЬМ]),
at у j
dNo
= -dN2 + ЛГ2е(1 - ехр[-6М]),
182
Глава 3
где a, b, d, е, г и К — положительные константы. Какой тип взаи-
модействий существует между Ni и N^? Каков экологический смысл
различных членов?
Приведите систему к безразмерному виду, записав:
М aNz е с d п
u=—, v = —r~, T = rt, a = ~, 8=-, /3 = bK.
Найдите неотрицательное состояние равновесия и отметьте все огра-
ничения для параметров. Обсудите линейную стабильность равновес-
ного состояния. Покажите, что популяция N2 с отличной от нуля чис-
ленностью может существовать, если (3 > (Зс = — 1п(1 — 8/а). Крат-
ко опишите бифуркационное поведение, если /3 увеличивается при
О < 8/а < 1.
6. Метод использования стерильных насекомых (МСН) для регуляции
численности вредителей состоит в их внедрении в популяцию. Если
в популяции поддерживается определенная численность п стерильных
насекомых, то возможная модель популяции фертильных насекомых
N(t) имеет следующий вид:
dN
dt
^-b N-kN(N + n),
N + n v ’
где а>Ь>0и/с>0 — постоянные параметры. Кратко опишите
допущения, принятые в этой модели.
Определите критическое число стерильных насекомых пс, которое тре-
буется для уничтожения вредителей, и покажите, что оно составляет
меньше четверти от несущей емкости среды.
Предположим, стерильных насекомых выпустили однократно, и уро-
вень их смертности равен уровню смертности фертильных насекомых.
Напишите подходящую модельную систему для N(t) и n(t) и пока-
жите, что невозможно уничтожить насекомых-вредителей путем одно-
кратного выпуска стерильных насекомых.
Если доля 7 родившихся насекомых стерильна,'предполагаемая модель
имеет вид:
dN
dt
-b N - kN(N + п), ^=yN- bn.
3.10. Модели хищник-жертва: детальный анализ
183
Определите, каковы должны быть условия для 7, чтобы уничтожение
насекомых-вредителей стало возможным, и кратко обсудите, насколько
это реально.
7. Модели системы насекомое-хищник (Р) — жертва (N) или насекомое-
паразит имеют общий вид:
М+1 =rNtf(Nt,Pt), Рм =М[1-/(М,Л)],
где f — нелинейная функция, включающая допущение об эффективно-
сти поиска хищником жертвы, а г > 0 — это скорость роста популяции
жертвы. Масштабирование таково, что 0 < f < 1. Здесь функция f
растет вместе с увеличением Nt и убывает вместе с увеличением Pt.
Имеет ли эта модель экологический смысл?
Покажите, что положительное равновесное состояние (TV*, Р*) воз-
можно, и укажите условия, которые должны выполняться для г. Пока-
жите, что линейная стабильность стационарного состояния обеспече-
на, если корни следующего уравнения:
х2 - [1 + rN* - N*-^-"| х -rN*— = 0
[ + dNt dpt\ dpt
имеют величины меньше 1, где df / dNt и df / dPt определяются в точ-
ке (TV*, Р*), и, исходя из этого, определите условия линейной стабиль-
ности.
8. Модель регуляции численности популяции хозяина микропаразитами
численностью щ, которая была предложена и изучена Мау (1985),
в безразмерном виде выглядит следующим образом:
1-Л = ехр[—ut+i = Aut(l - It),
где A > 0, и It означает долю популяции хозяина, которая была зара-
жена к тому времени, когда разразилась эпидемия. Допущение в этой
конкретной модели заключается в том, что заражение паразитом слу-
чается в каждом новом поколении хозяина до того, как происходит его
смена. [Поэтому уравнение для популяции хозяина не включает Л+1-]
Определите стационарные состояния и отметьте, есть ли ограничения
на А для существования положительных стационарных состояний как
для популяции хозяина, так и для популяции микропаразита. Иссле-
дуйте линейную стабильность положительного стационарного состоя-
ния. Покажите, что оно всегда неустойчиво и что нестабильность воз-
никает через бифуркационный переход удвоения периода.
184
Глава 3
[May (1985) досконально изучил эту модель и показал, что поло-
жительное стационарное состояние и все периодические решения
неустойчивы, то есть, что модель демонстрирует только хаотическое
поведение, минуя обычную стадию колебаний с удвоением периода.
Он также дал объяснение эпидемиологического смысла этой простой,
но удивительной системы.]
Глава 4
Температурно-зависимое определение
пола (ТОП) или почему выжили
крокодилы
4.1. Отряд крокодилы: биологическое вступление
и историческое отступление
Удивительно, почему одни виды вымирают, а другие нет. Почему, на-
пример, три семейства отряда Crocodilia (аллигаторы, крокодилы и гавиа-
лы) не вымерли за последние 100 миллионов лет. Они продолжают су-
ществовать практически без изменений с той поры, как исчезли динозав-
ры почти 63 миллиона лет назад, демонстрируя незаурядные способности
к выживанию. Впрочем, замечает Benton (1997), те, кто выжил, составляют
лишь небольшую группу из примерно 150 известных науке родов ископа-
емых крокодилов. Крокодилы и аллигаторы жили на Земле уже в конце
каменноугольного периода (63-135 миллионов лет назад). Многие ученые,
включая Benton (1997), указывают на то, что в те времена область обита-
ния крокодилов была значительно шире, чем теперь, и распространялась,
судя по окаменелым останкам, далеко на север, вплоть до территории тепе-
решних Канады и Швеции. Colbert и Morales (1991) отмечают, что пик эво-
люционного развития крокодилов пришелся на поздний каменноугольный
период; представители самого крупного рода Дайнозухус обладали челю-
стями, равных которым не было ни у одной рептилии того времени: най-
денный среди ископаемых останков череп одного из них достигал 6 футов
в длину, что предполагает, что вся его длина составляла 40-50 футов — без
сомнения, с таким хищником приходилось считаться. Carroll (1988) пред-
полагает, что, скорее всего, род пришел в упадок из-за ухудшения климата
где-то в начале кайнозоя (63 миллиона лет назад). Несмотря на массовое
вымирание, несколько семейств выжили, справедливо считаясь живыми ис-
копаемыми. В своей статье Meyer (1984) приводит общие сведения о кро-
кодилах, в то время как Pooley и Gans (1976) уделяют основное внимание
186
Глава 4
нильскому крокодилу и описывают его уникальную биологию и социальное
поведение, в немалой степени способствующее его выживанию.
На протяжении тысячи лет крокодилов чернили, как ни одно живот-
ное в мире, умножая самые чудовищные истории, связанные с его именем.
Описание Левиафана из Ветхого Завета (Книга Иова 41:1-34) было только
началом. Нет сомнения, что ни кто иной, как крокодил, явился прототипом
дракона. Им регулярно пугали детей на протяжении всего XIX века, но ду-
мается, и раньше тоже. Один из примеров — отрывок из «Книги для чтения
в воскресной школе» (том 17, 22 января 1888 года), где о нем сказаны такие
слова:
«Жуткое страшилище... мерзкая тварь — огромный речной дра-
кон...»
Отрывок кончается такими словами:
«Но пусть это одетое в чешую чудовище обитает не в наших кра-
ях, другой дракон без устали рыщет здесь в поисках добычи... Он
страшнее, чем аллигатор..Имя ему Грех!»
Удивительно, но эта безмерная и полная предрассудков неприязнь
к крокодилам была характерна и для многих серьезных ученых. Хорошо
известный натуралист Эдвард Топселл в своей книге о животных «Исто-
рия четвероногих зверей», вышедшей в Лондоне в 1607 году, писал:
«По природе — это животное, вселяющее страх, мстительное,
злобное и коварное. Хвост у крокодила — самая сильная его часть,
и он никогда не убьет ни зверя, ни человека, не оглушив его преж-
де ударом своего хвоста. Самцы этих животных любят своих са-
мок пуще всякой меры, и даже ревнуют их. И неудивительно, что
они так высоко ценят друг друга, ведь кроме самих себя нет у них
друзей в мире».
Хотя, пожалуй, самое обидное для крокодилов описание дает солид-
ный шведский натуралист Карл Линней. В 1766 году, в разделе о репти-
лиях-крокодилах он пишет:
«Эти гадкие и отвратительные животные отличаются сердцем
с одним желудочком и одним предсердием, невыраженными лег-
кими и двойным половым членом. Самые гнусные их черты — это
холодное тело, тусклая окраска, хрящевой скелет, нечистая кожа,
свирепый вид, оценивающий взгляд, мерзкий запах, резкий голос,
подлые привычки и страшный яд, — понятно, почему Творец не
слишком усердствовал, чтобы создать побольше таких существ».
4.1. Отряд крокодилы: биологическое вступление
187
Скромность не была отличительной чертой Линнея. Описывая самого
себя в третьем лице, он пишет:
«Бог позволил ему заглянуть в свой тайной кабинет.
Бог разрешил ему увидеть больше своих творений, чем любому
смертному до него.
Бог одарил его величайшей способностью проникать в тайны сво-
ей мастерской — природы, что не было дано никому из живших
ранее.
Никому до него не удавалось полностью преобразить всю науку
и создать новую эпоху.
Никто из живших прежде не мог определить каждому созданию
природы его место с такой четкостью».
Ключевое отличие крокодилов от большинства других видов живот-
ных состоит в том, что их пол зависит от температуры инкубации яиц во
время созревания, самки получаются при низких температурах, а самцы
при высоких. Интересно поразмышлять, может ли этот факт быть объяс-
нением или, по крайней мере, одной из причин их поразительной живу-
чести, и если да, то каким образом. В настоящей главе мы представляем
модели для исследования этой гипотезы. Вначале мы приводим некоторые
биологические данные и вводим термины, которые используем при ана-
лизе. Употребляя слова «крокодил» или «аллигатор», мы говорим о кро-
кодилах вообще, тогда как Alligator mississippiensis или A. mississippiensis
означает, что имеется в виду именно этот вид пресмыкающихся. Замеча-
тельный обзор, посвященный репродуктивной биологии крокодилов, дан
Ferguson (1985).
При генетическом определении пола (ГОП), характерном для млеко-
питающих и птиц, пол определяется при зачатии. При определении пола
окружающей средой (СОП) пол определяется факторами окружающей сре-
ды, что встречается у некоторых других позвоночных и беспозвоночных
(см., например, Chamov and Bull 1977, Deeming and Ferguson 1988a, 1989b).
Температурно-зависимое определение пола (ТОП) часто наблюдается у пре-
смыкающихся. Кроме собственно крокодилов, аллигаторов и других пред-
ставителей отряда Crocodilia, некоторые ящерицы и черепахи также извест-
ны тем, что главным определяющим пол фактором у них является темпера-
тура инкубации яиц. Например, сходный с крокодилами тип зависимости,
но в более низкой температурной области, от 26 до 32 °C, наблюдается
у леопардового геккона (Eublepharis macularius\ которого специально изу-
188
Глава 4
чали Gutzke и Crews (1988). У черепах более высокая температура способ-
ствует появлению одних только самок; исключение составляет каймановая
черепаха, которая обладает той же температурной зависимостью развития,
что и крокодилы.
Температура, которая способствует появлению на свет только самцов
или только самок, мало отличается для разных видов крокодилов. Самки
получаются на одном или обоих полюсах температурного режима, нужного
для инкубации жизнеспособного потомства, а промежуточная температу-
ра способствует образованию самцов. Например, у Alligator mississippiensis
искусственная инкубация яиц при температурах 30 °C и ниже дает са-
мок, при 33 °C получаются только самцы, тогда как высокая температу-
ра в 35 °C способствует получению 90% самок (но они обычно нежизне-
способны). Ferguson и Joanen (1983) инкубировали 500 яиц аллигаторов
и обнаружили, что если яйца содержались при температуре 32,5-33 °C,
то все потомство составляли самцы. Температуры выше и ниже, то есть
32 °C и 33,5-34,5 °C, способствовали образованию как самцов, так и са-
мок. Репродуктивная эффективность самок и самцов также в большой сте-
пени определяется средой. Пол начинает формироваться очень рано, при-
мерно на 12-й день после начала развития зародыша, но о полном завер-
шении формирования можно говорить не раньше 32-35 дней. У Alligator
mississippiensis зародыш развивается 65 дней в случае самцов и прибли-
зительно 75 дней в случае самок. Точные данные можно найти в обзоре
Ferguson (1985).
Основной вопрос состоит в том, какова причина возникновения ТОП.
Всегда считалось, что ТОП — это более древняя форма, а ГОП эволюци-
онировало из нее. Объяснение механизма температурно-зависимого опре-
деления пола у крокодилов предложили Deeming и Ferguson (1988; 1989а;
1989b). Их гипотеза состоит в том, что температура, способствующая обра-
зованию самцов, — это оптимальная температура для экспрессии гена, от-
вечающего за фактор формирования мужского пола. В теплом гнезде яйца
развиваются быстрее (см., например, графики далее, в разделе 4.2, а также
статью Murray et al., 1990), чем в холодном, что означает, что вылупление
происходит раньше. К тому же особи, развившиеся при высоких температу-
рах, во взрослом состоянии отличаются большим размером, что оказывает-
ся решающим фактором при образовании полос на коже у аллигаторов (см.
главу 4 тома II). Возможно, причина состоит в том, что крокодилу-самцу
лучше быть большим — крупный самец скорее отразит нападение сопер-
ников, тогда как среди черепах иметь большой размер полезнее самке —
крупная самка-черепаха отложит больше яиц. Последнее, однако, в равной
степени относится и к крокодилам. В этой главе мы предлагаем другое воз-
4.1. Отряд крокодилы: биологическое вступление
189
можное объяснение, которое, как нам кажется, может быть существенным
фактором, объясняющим успешное выживание этих животных.
Наблюдения за процессом реализации ТОП в естественной среде оби-
тания Alligator mississippiensis в Луизиане, США, показали, что существу-
ют три различных типа гнездовых участков: сырые болота, сухие болота
и береговая возвышенность (твердая почва на возвышении). Как прави-
ло, в гнездах, расположенных на береговой возвышенности, жарче всего
(34 °C), что приводит к 100% образованию самцов, тогда как в сырых бо-
лотах гнезда прохладнее (30°C), и в них выводятся 100% самок. В самих
гнездах тоже существует температурная изменчивость, но здесь этот аспект
не рассматривается, хотя такой случай можно было бы включить в более
сложную версию модели. Гнезда, сделанные на сухих болотах, обладают
промежуточным температурным режимом — жаркий центр и поверхность
гнезда (34° С), где вылупляются самцы, и более прохладная периферия
и дно гнезда (30 °C), где вылупляются самки (Ferguson and Joanen 1982;
1983). Поскольку случаи выведения жизнеспособных плодовитых самок
при температурах более 34 °C крайне редки, мы не включаем их в наши
модели. Потомство, развившееся при этих температурах, имеет очень низ-
кую конкурентную способность.
Самка аллигатора (и крокодила) не выбирает пол своего будущего
потомства заранее. Однако, отыскивая место для будущего гнезда, она ста-
рается учесть температуру, поскольку благоприятная среда требуется ей
самой, ведь три последующих месяца она будет проводить рядом с гнез-
дом, вплоть до того времени, пока потомству не придет пора вылупляться,
и она не раскроет гнездо. Самки аллигаторов с большой серьезностью под-
ходят к выбору гнездового места, роя землю своими рылами, содержащи-
ми особые чувствительные к температуре органы, и стараясь сделать все
как надо. Хорошие места часто используются многократно. Хотя точные
причины выбора того или иного места для гнезда неизвестны, мы можем
предположить, что вследствие ограниченного числа гнездовых мест проис-
ходит запуск зависимого от плотности механизма регуляции численности.
В частности, ограниченное число гнездовых мест на болоте будет препят-
ствовать появлению популяции, состоящей целиком из самок, хотя самки
крокодилов и аллигаторов чаще ищут такое температурное окружение, ко-
торое было бы максимально приближено к месту их собственного рожде-
ния (Pooley 1977), что означает, что самки предпочитают иметь гнездовые
места на сырых болотах. Joanen (1969) дает некоторые натурные данные об
относительных размерах трех перечисленных типов участков; мы предста-
вим их в соответствующем месте в процессе дальнейшего моделирования,
при определении значений параметров.
190
Глава 4
Ситуация с аллигаторами не так проста, как может показаться из
предыдущего материала. В действительности, поскольку аллигаторы рас-
тут быстрее при более высоких температурах, для самки лучше всего раз-
виваться около верхней границы температурной области, в которой форми-
руются жизнеспособные самки, что составляет около 32 °C. Эта же темпе-
ратура, но ее нижний предел, является оптимальной для развития самцов.
По сути конкурентоспособность, то есть выживание, умноженное на ре-
продуктивную эффективность, при сравнении между особями одного пола,
является максимальным как для самок, так и для самцов в среднем тем-
пературном диапазоне, то есть около 32 °C. В моделях, которые мы здесь
строим, мы обращаем основное внимание на главную черту ТОП, а именно,
воздействие температуры на определение пола. Такие аспекты, как конку-
рентоспособность, наряду с другими чертами развития крокодилов, могут
быть включены в более сложные модели.
Вероятно, асимметричное соотношение между полами, то есть соотно-
шение, отличное от 1 : 1 и сдвинутое в сторону образования большего числа
самок, встречается в видах, демонстрирующих СОП, и является следстви-
ем асимметрии типов среды. Значит естественный отбор благоприятствует
СОП, когда репродуктивная способность особи (самки или самца) сильно
зависит от среды (Chamov and Bull 1977). Тем не менее сильная асиммет-
рия в соотношении полов, такая как 10 : 1 в пользу самок, существующая
у крокодилов (Ferguson and Joanen, 1982; 1983; Smith and Webb 1985; Webb
and Smith 1987), плохо объяснима с позиций традиционной теории соот-
ношения между полами (Deeming and Ferguson 1988; 1989b; Nichols and
Chabreck 1980; Phelps 1992; Webb and Smith 1984). Webb и Smith (1984)
заявляют, что, обладай крокодилы ГОП, то есть симметричным соотноше-
нием между полами, они были бы приспособлены ничуть не хуже, если
не лучше. Впрочем, одним из поддерживаемых естественным отбором пре-
имуществ ТОП является сочетание максимальных возможностей, которые
предоставляет крупный рост в сочетании с мужским полом. Самцы алли-
гаторов и крокодилов содержат гаремы самок; крупные самцы содержат
большие гаремы, спариваются чаще и обладают длительным репродуктив-
ным периодом (Deeming and Ferguson 1989b). Хотя, как впервые указал
Fisher (1958; 1930), в условиях естественного отбора самки, которые строят
гнезда при более высоких температурах и производят на свет полностью
мужское потомство, будут иметь преимущество только до тех пор, пока не
будет достигнуто симметричное соотношение между полами, которое со-
ставляет 1 : 1 и является, по словам Fisher, «оптимальным», после чего оба
пола будут появляться на свет в равных количествах. Эволюционное пре-
имущество ТОП у аллигаторов и крокодилов можно, вероятно, объяснить
4.1. Отряд крокодилы: биологическое вступление
191
с позиций выживания вида, а не с позиций конкурентоспособности отдель-
ной особи, что в корне отлично от взгляда на эволюцию как на торжество
эгоистичного гена.
Конечно, от температуры зависит не только пол эмбриона: она, как
уже говорилось, влияет на его рост и развитие при формировании его во
взрослую особь, определяет узор на его теле и способность взрослой особи
регулировать собственную температуру тела (Deeming and Ferguson 1988;
1989b; Lang 1987; Murray at al. 1990; Webb et al. 1987). Мы обсуждаем
некоторые аспекты образования узоров на коже у A. mississippiensis в гла-
ве 4 части II. Мы считаем, что сочетание ТОП с потенциальным популя-
ционным ростом может не только защитить от природных катастроф, но
также дать популяциям возможность освоить новые места обитания, под-
страивая обмен веществ, прирост численности и максимальное количество
потомков к господствующим условиям среды. Deeming и Ferguson (1988;
1989b) высказали предположение, что это осуществляется путем настрой-
ки гипоталамуса у эмбриона. Интересно и, весьма вероятно, очень важно,
что все пресмыкающиеся (крокодилы, черепахи, несколько видов ящериц
и некоторые другие), обладающие ТОП, сохранили свой внешний вид прак-
тически неизменным на протяжении многих миллионов лет (Deeming and
Ferguson 1989b). Возникает впечатление, что они оптимально приспособле-
ны не только для существования в своей теперешней окружающей среде,
но также способны выживать в условиях изменений климата, происходив-
ших с начала кайнозойской эры. Они обладают и другими удивительными
и редкими свойствами (см., например, книгу статей под редакцией Gans et
al. 1985), которые без сомнения также способствовали их выживанию.
Здесь нас, в основном, интересует связь между температурно-зави-
симым определением пола, соотношением между полами и выживанием
популяции крокодилов. Вначале мы даем описание простой плотность-
зависимой модели, которая включает только время и служит для того, что-
бы на ее основе сформулировать основные идеи и объяснить необходи-
мость более сложной плотность-зависимой модели популяционной дина-
мики крокодилов с распределением по возрасту, и основанной на том, что
пол определяется температурой инкубации яиц. В случае возрастного рас-
пределения мы используем модель Woodward и Murray (1993). Наше моде-
лирование отражает устойчивость популяции крокодилов в природе, и эта
стабильность предполагает эволюционные преимущества определения по-
ла средой, а не генетикой, что не может быть объяснено с позиций теории
традиционного соотношения между полами.
Тот факт, что рост численности можно предсказать на основании дан-
ных об истории жизни, впервые понял Sadler в 1830 году (см. Cole 1954).
192
Глава 4
Однако только с появлением первых линейных моделей с возрастным рас-
пределением, построенных в работах Lotka (1907а; 1907b; 1913), Sharpe
и Lotka (1911), McKendrick (1926) и von Foerster (1959), возникли методы
исследования зависимости между параметрами, взятыми из истории жиз-
ни, и популяционной динамикой. Nichols и сотрудники (1976) использова-
ли дискретные линейные модели для численного моделирования популя-
ций аллигаторов, разводимых в неволе, тогда как Smith и Webb (1985; см.
также Webb and Smith 1987 и другие ссылки) использовали эти же моде-
ли для описания динамики численности природных популяций крокодилов.
В этих линейных моделях отсутствует зависимость от плотности, а значит
популяция растет или убывает экспоненциально по закону Мальтуса, как
мы видели с главах 1 и 2. Нелинейности в процессах рождения и смер-
ти обеспечивают механизм, по которому популяция способна стабилизиро-
ваться в состоянии ненулевого равновесия (см. Gurtin and MacCamy 1974;
Hoppensteadt 1975; Webb 1985). Наша нелинейная модель с возрастным рас-
пределением основана на данных об истории жизни, взятых из наблюдений
за популяциями крокодилов и аллигаторов в природе (Dietz and Hines 1980;
Goodwin and Marion 1978; Joanen 1969; Joanen and McNease 1971; Metzen
1977; Nichols at al. 1976, Smith and Webb 1985; Webb and Smith 1987). Вна-
чале мы описываем основные допущения и зависимую от времени модель,
демонстрирующую ключевые идеи. Даже она, при сравнении с эквивалент-
ной моделью для популяции с ГОП, демонстрирует ряд преимуществ, по-
лучаемых крокодилами от обладания ТОП.
4.2. Основные типы гнездовых участков и простая
популяционная модель
Здесь мы даем описание базовой модели распределения самок и сам-
цов на трех типах участков. Модель основана на наблюдениях Ferguson
и Joanen (1982; 1983) и дополнена рядом важных пространственных эле-
ментов. Мы полагаем, что существует три основных типа гнездовых участ-
ков:
I сырое болото, где появляются только самки из-за низкой инкубацион-
ной температуры,
II сухое болото, где получается 50% самок и 50% самцов,
III сухая листва, где появляются только самцы из-за более высокой инку-
бационной температуры.
На рисунке 4.1 схематично представлены три вида гнездовых участков.
4.2. Основные типы гнездовых участков
193
Далее мы полагаем, что число гнездовых мест у воды ограничено, что
препятствует возникновению популяции, состоящей только из самок; ти-
пичное число гнездовых мест на каждом из указанных участков в процент-
ном отношении к общему числу гнездовых мест дано Joanen (1969) и со-
ставляет 79.7 % для участка I, 6 % для участка II и 6.7 % для участка III.
Вся популяция в момент времени t разделена на четыре класса: fi (£)
и У*2(^) — это самки, которые вывелись на участках I и II, соответственно,
тогда как и тз(£) — это самцы, которые вывелись на участках II и III.
Самцы
и самки
Самцы
Самки
Рис. 4.1. Три основных типа гнездовых участков, демонстрирующих влияние окру-
жающей среды. I — сырое болото с низкой температурой, где выводятся только
самки, II — сухое болото, где выводится половина самок и половина самцов, III —
сухая листва, где все потомство составляют самцы. (Рисунки любезно предоставил
доктор David Piggins)
I. Сырое болото — выводятся только самки:
II. Сухое болото — выводится 50% самок, 50% самцов: /2W,
III. Сухая листва — выводятся только самцы:
Общая численность самок = f(t) =
Общая численность самцов = m(t) = rri2(t) +
(4.1)
194
Глава 4
Идеализированное пространственное распределение самцов по отно-
шению к общему числу особей в популяции, данное на основе модели трех
гнезд, показанной на рисунке 4.1, представлено на рисунке 4.2(a).
(Ъ)
Конкурентность =
= выживание х
х плодовитость
I II III
Сырое Сухое Сухие
болото болото листья
Рис. 4.2. (а) Идеализированное отношение общего числа самцов т к общему числу
самцов и самок т + f для трех участков, схематично представленных на рисун-
ке 4.1. Непрерывная кривая является более реалистичной. (Ь) Схематичные кривые
конкурентоспособности (выживание, умноженное на плодовитость) при сравнении
с особями того же пола. Как видно из графика, самые высокие показатели как для
самок, так и для самцов достигаются при средних температурах, составляющих
около 32 °C
Только некоторая доля самок может отложить свои яйца на участке
влажного болота (4.2). Пусть Ал означает емкость среды участка I. Эта доля
самок, скажем, F должна быть функцией емкости среды Ал и численности
всех самок /1 и удовлетворять определенным условиям. Если в наличии
4.2. Основные типы гнездовых участков
195
имеется всего несколько самок /1, то F « 1, поскольку практически все
они имеют возможность устроить гнезда на участке I, тогда как при очень
большом числе самок /i F « 0, поскольку в этой ситуации большинство
самок должно покинуть участок сырого болота I. Как приближение этой
функциональной зависимости доля
fcl
fcl + /1
(4-2)
удовлетворяет следующим условиям:
кл кл
F = - - > 0 при Л оо, F = 1 при /1 -» О,
м + fi к\ + /1
что и требовалось. Это, конечно, всего лишь приближенное представление
действительной функции. Строго говоря, равняется нулю до тех
пор, пока параметр Д не достигнет емкости среды ki участка I, после че-
го остальные самки должны покинуть участок сырого болота. Доля (4.2),
очевидно, не самое лучшее из всех доступных нам приближений (напри-
мер, если общая численность самок fa = ki, то есть равна емкости среды,
то F = 0.5, тогда как должна бы была равняться нулю). Мы используем
это выражение (4.2) для алгебраической простоты: в широком смысле оно
обладает нужным качественным поведением. Аналогичное приближенное
представление долей популяций используется нами и для других участков,
а также при анализе модели с возрастным распределением, обсуждаемой
ниже.
Если Ь — это фактический уровень рождаемости, то есть показатель,
который включает размер кладки С, а также высокую смертность молод-
няка и гибель яиц, иными словами, выживание S, тогда в простой популя-
ционной модели, подобной той, что обсуждалась в главе 1, мы получаем
следующее уравнение динамики популяции на участке I (все самки):
4А = ь Г fci
dt ki + fi
fi-dfi.
(4-3)
В данном случае мы приняли, что смертность пропорциональна численно-
сти, и обозначили коэффициент пропорциональности как d. Если величи-
на /1 велика, то тогда максимальная рождаемость пропорциональна ki, что
объясняет ее роль в качестве меры емкости среды обитания. Уровень рож-
даемости b является функцией от общего числа самцов т, и вполне может
196
Глава 4
быть принят равным
Ь = Ь(т) = 6о, для малых с,
(с + т)
(4-4)
где с — константа, которая, судя по полевым наблюдениям, в действитель-
ности очень мала. При малом значении с уравнение (4.3) является не свя-
занным с другими уравнениями приведенной ниже модельной системы.
Если теперь мы рассмотрим участок II, где рождаются как самки, так
и самцы, то доля самок, которая должна уйти с участка сырого болота I на
участок сухого болота II, просто равна
fci = /1
+ /i fci + /1
(4.5)
Итак, общее число самок, которые делают свои гнезда на участке II, равно
числу тех, кому такая температура нравится, плюс число тех, кто ушел
с участка I в силу обстоятельств:
/?
ki + fi
+ /2.
Число гнездовых мест на участке II также ограничено, и только некоторая
доля самок сможет отложить там свои яйца, что равно (сравните с (4.2))
^2
^2 + j~7~f + f2
Kl + Jl
где, как мы уже видели в случае (4.2), соответствует максимальной чис-
ленности потомства, которое способно существовать на участке сухого бо-
лота II. Из соображений алгебраической простоты мы аппроксимируем эту
долю следующим образом:
^2
^2 + fl + /2 ’
что в грубом приближении соответствует тому же качественному поведе-
нию. По сравнению с другими предположениями и допущениями это приб-
лижение ничтожно мало. Его, конечно, можно легко включить в численное
моделирование уравнения; это было проделано, и получившиеся решения
4.2. Основные типы гнездовых участков
197
оказались качественно не противоречивы. Таким образом, уравнения для
самок и самцов на участке II имеют вид:
число самок,
которые хотят
отложить яйца
на участке II
df2
dt
dm2
dt
Ьо\ fl
1 ki+fi
fl
ki + /1
к2
к2 + fi + /2
к2
к2 + fi + f2
(4.6)
число самок,
которые могут
отложить яйца
на участке II
Множитель 1/2 отражает тот факт, что половина вывода — самки, а полови-
на — самцы.
Наконец, на покрытом сухой листвой участке III число самок, вынуж-
денных уйти с участков I и II, чтобы отложить яйца, составляет
' Л2
_ki + /1
+ /2
fl
ki + fi
+ /2
к2 +
Л2
ki + /1
и доля самок, которая может отложить яйца на участке III, равна
кз
кз 4-
Л2
ki + fi
+ f2
где к3 — это величина емкости среды участка III. Из тех же алгебраических
соображений, что и раньше, мы аппроксимируем эти выражения для двух
долей следующим образом:
Л2 , f 1 Г У1 + /2 1 И к3
ki 4- fi _к2 + fi + f2 к3 4- fi 4- /2
198
Глава 4
Оставшиеся самки не могут строить гнезда в каком-либо подходящем
месте. Итак, на основании этих выражений уравнение для самцов на участ-
ке III (в нашей модели на данном участке появляются только самцы) имеет
вид:
dm3 _ 1 кз fi , г /1 + А
dt ~ ° + fi + A J [ki + fi J2\ [k2 + /1 + f2
Система уравнений (4.3), (4.6) и (4.7) представляет собой модель популя-
ций для различных участков, из которой мы можем получить соотношение
между полами во всей популяции.
Стационарное состояние популяций определяется путем приравнива-
ния правых частей уравнений (4.3), (4.6) и (4.7) к нулю и решения соответ-
ствующих алгебраических уравнений. Ноль для всех трех групп является,
конечно, решением, и, как легко видеть из линеаризованных уравнений, это
решение всегда неустойчиво (вспомним анализ из глав 1 и 3). В результа-
те несложных алгебраических преобразований можно получить следующие
положительные стационарные состояния (помеченные звездочкой):
УГ = (37 - 1) fcl, т2 = /2* =
\ a j
. 2ВД(/;+/г)
’пз=№+/1-+/2.)- А=!'
с <4'8’
к, '
Поскольку согласно натурным исследованиям действительная рождаемость
на протяжении всей жизни аллигатора или других крокодилов, bo/d, со-
ставляет порядка 100-300, мы можем аппроксимировать эти стационарные
состояния следующим образом:
m*2 = f^^F2(kl,k2), m^«^F3(fci,fc2,fc3), (4.9)
CL CL CL
где F2(ki, k2) и k2, кз) получаются из (4.8).
Нас, главным образом, интересует соотношение полов R. Оно опреде-
ляется из (4.9) для больших bo/d как
= т2 + т3 ~ F2(fci,fc2) + F3(fci,fc2,fc3) = ,, , , ,
/1 +/2 + т2 + т3 ~ fci+2F2(fc1,fc2) + F3(fc1,fc2,fc3) J
(4.Ю)
где ф определяется из (4.10). В этом асимптотическом случае соотноше-
ние между полами не зависит от b$/d, и, таким образом, параметры ki,
4.2. Основные типы гнездовых участков
199
где i = 1, 2 и 3, то есть параметры, пропорциональные емкостям среды для
участков I—III, являются ключевыми. Отчетливо видно, что окружающая
среда имеет основное влияние на соотношение между полами. Учитывая
оценки процентного отношения емкости среды для трех участков, сделан-
ные Joanen (1969), а именно, 79.7 : 13.6 : 6.7, отношение числа самцов
к общей численности популяции, как следует из (4.10), составляет при-
близительно 0.13, что означает, что на одного самца приходится прибли-
зительно 7-8 самок. Хотя мы не проводим здесь анализ стабильности ста-
ционарных состояний, мы можем сделать это, применив уже описанные
в книге методики, хотя сделать это алгебраически достаточно сложно. Ин-
тересно, что подобный анализ показывает, что в данном случае не может
быть периодических решений: положительное стационарное состояние все-
гда устойчиво. Используя уравнения, мы также можем исследовать эффект
какой-либо катастрофы, которая бы резко сократила численность популя-
ции, и узнать, сколько времени потребуется популяциям, чтобы вернуться
в устойчивое состояние: это должно делаться численно, за исключением
малых возмущений относительно стационарных состояний, где возможно
применение линейной теории. Если необходимо провести численный ана-
лиз уравнений, то можно использовать более подходящие дробные функ-
ции, хотя в качественном выражении общие результаты от этого не изме-
нятся.
Можно интуитивно догадаться, как ТОП поможет крокодилам восста-
новить численность после катастрофы. После крупного сокращения чис-
ленности все самки получат возможность сделать гнезда на участке I, в ре-
зультате чего из яиц выведутся только самки, что, в свою очередь, позволит
самцам иметь большие гаремы. Асимметричное соотношение между пола-
ми, существующее у крокодилов, поддерживает, таким образом, большую
численность репродуктивных особей, что способствует запуску механиз-
ма быстрого восстановления популяции после катастрофы. Глядя на заме-
чательные способности крокодилов к выживанию, не может быть и тени
сомнения в том, насколько эффективным репродуктивным механизмом яв-
ляется ТОП.
Катастрофы, как природные, так и антропогенные, заставляют заду-
маться о вымирании. Исследование этого вопроса позволяет сделать вы-
вод, что оно непременно произойдет, если, исходя из (4.3), b < d. При
Ь = Ьот/(с + т) это предполагает, что для малых с и больших Ьо выполня-
ется неравенство т < cd/(bo — d) = 0(1/6q)j что означает, что практически
все самцы должны быть уничтожены. Природная среда обитания самцов
крокодилов — вода, где истребить их полностью, в сущности, невозможно,
а это, в свою очередь, подразумевает, что их вымирание может стать реаль-
200
Глава 4
ностью только в результате уничтожения всех гнездовых участков, то есть
полного разрушения их среды обитания. Постоянно растущий натиск на
среду обитания крокодилов со стороны людей делает их вымирание вполне
реальной возможностью, по крайней мере, для аллигаторов на юге США.
На рисунке 4.3(b) приблизительно показана та область США, где эти жи-
вотные встречаются в настоящее время.
Обеспечить выживание аллигаторов в США могло бы их искусствен-
ное разведение на крокодиловых фермах, которых уже немало в южных
штатах. Это, однако, должно быть экономически выгодно, а значит, продажа
кожи аллигаторов для производства туфель, поясов и других привлекатель-
ных для потребителя товаров должна, вероятно, поощряться. Хотя охрана
животных в подобных обстоятельствах приобретает особый оттенок. Одна
из таких концепций охраны животных на примере искусственного разведе-
ния гавиалов (Gavialis gangeticus) в Индии обсуждается в докладе Bustard
(1984). Тщательно изучив положение дел в этой стране, автор стал ярым
защитником программ разведения животных в неволе. В статье также об-
суждается ситуация с крокодилами в Австралии. Ясно, что нам следует
заново уточнить, что же мы имеем в виду, говоря об «охране животных»
и выживании вида, если под этим подразумевается только регулируемое
выживание. Этот предмет уже стал темой жарких дебатов — и не только
в среде защитников природы и биологов-эволюционистов.
4.3. Модель популяции крокодилов с возрастным
распределением
Проблема популяционных моделей, включающих только время, состо-
ит в том, что если возраст, а, играет существенную роль в выживании
или размножении, то он также должен приниматься в расчет. В случае
с крокодилами он очень важен, поскольку как показатели половой зрело-
сти, так и уровни смертности сильно меняются в зависимости от возраста:
на рисунке 4.4 показан типичный вид зависимостей усредненных уровней
смертности d(a) и рождаемости 6(a) от возраста, взятых из литературных
источников (Smith and Webb 1985; Webb and Smith 1987). Поскольку ос-
новным предметом нашего изучения является способность к выживанию,
нам следует построить модель с возрастным распределением, используя со-
ображения, высказанные в разделах 4.1 и 4.2. В главе 1 мы уже говорили
о моделях с возрастным распределением и о приемах, которые используют-
ся при исследовании их решений. Читателю может быть полезно вначале
бегло просмотреть этот раздел и только затем перейти к рассмотрению по-
следующего материала.
4.3. Модель популяции крокодилов
201
Рис. 4.3. (а) Приблизительные области вблизи экватора, где встречаются крокодилы.
(Ь) Приблизительная территория США, где в настоящее время встречаются кроко-
дилы
Мы полагаем, что вся местность, где крокодилы строят свои гнезда,
поделена, как было указано в разделе 4.2, на три участка I, II и III, и,
в соответствии с разделом 4.2, мы выделяем четыре популяционных клас-
са, а именно, fi(a, t) и /2(а, £) — это самки, которые были выведены на
участках I и II, а m2 (a, t) и m3 (а, 2) — самцы, которые были выведены на
участках II и III, где а — это биологический возраст, а ам — максимально
достижимый возраст; крокодилы могут жить весьма долго, около 70 лет.
Итак, к примеру, fi(a, t) определяет плотность популяции в возрастном
диапазоне от а до a -h da в момент времени t. Общая численность попу-
202
Глава 4
ляции Fi(t) в момент времени t определяется интегрированием по всем
возрастам от а == 0 до а — ам,
Fl W = [ /1 (а, *) da.
Jo
Рис. 4.4. Типичные функциональные зависимости усредненных показателей рож-
даемости Ь(а) (сплошная линия) и смертности d(a) (пунктирная линия) от возрас-
та для австралийских пресноводных крокодилов (Crocodylus johnstoni). (Из статьи
Smith и Webb 1985)
Мы полагаем, как мы неявно предполагали и прежде, что популяция
является «закрытой», то есть ее численность определяется только двумя
процессами: рождением и смертью. Обширные радиотелеметрические ис-
следования Joanen и McNease (1970; 1972) показывают, что это допущение
является биологически оправданным, если мы рассматриваем достаточно
крупную популяцию. Мы полагаем, что уровень смертности d(a) и уровень
рождаемости Ь(а) являются только возрастными функциями, типичный вид
которых представлен на рисунке 4.4. Поскольку разница в уровнях смерт-
ности для самок и самцов не известна, мы допускаем, что этот показатель
не зависит от пола. Процессы, связанные с рождаемостью, как будет видно
из дальнейшего материала, оказываются более сложными.
На основании вышесказанного мы считаем, что распределение пола
среди новорожденных аллигаторов происходит в соответствии с доступ-
ностью мест для гнездования, в которых вылупляются самцы и самки. Мы
далее полагаем, что все самки, которые сами были выведены на террито-
рии сырого болота, предпочитают делать гнезда на участке I, поскольку
они ищут температурное окружение, которое было бы максимально при-
4.3. Модель популяции крокодилов
203
ближено к месту их собственной инкубации. Кроме того, поскольку коли-
чество гнездовых мест на участке I ограничено, только некоторая доля всех
самок может отложить свои яйца в сырых болотистых местах. В соответ-
ствии с (4.2) (и по тем же алгебраическим причинам) мы полагаем, что
эта доля равна kl/(kl + Q1), где к1 — максимальное число гнезд, которое
может быть размещено на сыром болоте. Ql(t) обозначает общее число
половозрелых (репродуктивных) самок, которые сами были выведены на
участке I, то есть
гам
Qi(t)= qi(a)fi(a,t)da. (4.11)
Jo
Здесь Qi(a) — это весовая функция, которая отражает эффект возраста,
так, например, более старые самки перестают размножаться. Qi(t) — это
средне-взвешенная величина, взятая с учетом распределения возрастной
плотности самок на участке I. Доля самок, которая остается на сыром боло-
те, имеет те же характеристики, что и аналогичная группа, описанная ранее
в разделе 4.2. По тем же причинам, что и тогда, мы берем приближенную
долю со следующими свойствами:
ki ki
. , г.---> 1 при <21 0, ---> 0 при Qi -> оо,
+ Ц/1 к\ + ц/i
и вновь это соответствует тому, что мы желаем видеть, а именно, когда Qi
мало, то почти все самки, которые были выведены на участке I, могут
строить там свои гнезда, а когда Qi велико, то подавляющее большинство
должно покинуть участок сырого болота и строить свои гнезда на участ-
ках II и III. Как было сказано ранее, эта доля является аппроксимацией
к более сложному, но более точному выражению, определяющему долю са-
мок, способных строить гнезда на участке I. Доводы в пользу применения
приближенных выражений для различных долей, используемых в данной
модели с возрастным распределением, остаются неизменны и для случаев,
рассмотренных ниже.
В гнездах на участке I вследствие низкой температуры выводятся толь-
ко самки /1. Зависимая от популяционной плотности и определяемая воз-
растом функция материнства b^\a, где 6ц — среднее число потом-
ков (за единицу времени), благополучно вылупившихся из яиц, отложенных
на участке I самкой возраста а, которая сама была выведена на участке I,
определяется следующим уравнением:
b^aMt^ = CSb{a)-^—, (4.12)
«1 + <2i
204
Глава 4
где С — это размер кладки, S — это показатель выживания яиц и молодняка
и Ь(а) — зависимый от возраста уровень рождаемости. Размер кладки может
быть любой величины, вплоть до 70 яиц, со средним количеством около 40,
но выживаемость яиц крайне мала, поскольку как яйца, так и молодняк
сильно страдают от хищников.
Мы полагаем, что самки, которые не могут построить свои гнезда на
участке I, переходят на участок II. Самки аллигаторов, которые сами были
выведены на сухом болоте, предпочитают делать свои гнезда на участке II.
Однако участок II также имеет ограниченное количество мест, пригодных
для устройства гнезд, в результате чего только доля ^2/(А?2 -Ь [Qi (£)+Q2 (£)])
самок получает возможность успешно завершить свое дело. Здесь /с 2 — это
максимальное число гнездовых мест, которое может вместить сухое боло-
то, a Q2(t) — это общее число половозрелых самок, которые сами были
выведены на участке II. Как и прежде, мы полагаем, что на участке II
выводится 50% самок /2 и 50% самцов m2. Для г = 1,2 зависимые от по-
пуляционной плотности и определяемые возрастом функции материнства
bi2(a, Qi(£), ^2(0) Равны среднему числу потомков (на единицу времени),
благополучно вылупившихся из яиц, отложенных на участке II самкой воз-
раста а, которая сама была выведена на участке г,
wa.g.H.Oaw)^sW[t2+Qi(^+Q2(i)]
«“• <г.«,%«))
Оставшиеся самки вынуждены перейти на участок III, где приблизитель-
ная доля самок, способных отложить яйца, составляет кз/(кз + [Qi(t) +
+ Q2 (*)]), где как и раньше, относится к максимальному числу гнез-
довых мест, которое может быть успешно устроено на береговом возвы-
шении. Из яиц, отложенных на участке III, из-за высокой инкубационной
температуры вылупляются только самцы, m3. Для i = 1,2 зависимая от
популяционной плотности и определяемая возрастом функция материнства
&гз(а, Qi(£), C?2(£)) — это среднее число потомков (за единицу времени),
благополучно вылупившихся из яиц, отложенных на участке III самкой воз-
раста а, которая сама была выведена на участке г, i = 1,2,
Ь1з(а, <21(t), <?2 (<)) = CSb(a) [ 1 [
кз + Qi\t) + 4/2(4 J L^2 + Qi\t) 4- Q2\h
„ [ 1 /Л
4.3. Модель популяции крокодилов
205
= CSi(“>UoXoJ Uo,w+~fw.
Как видно из доступных данных, даже при том, что в популяциях ал-
лигаторов и крокодилов самцов меньше, чем самок, размер мужской ча-
сти популяции редко является лимитирующим фактором при размножении
(Webb and Smith 1987; Nichols at al.). По этой причине функции материн-
ства (4.14) зависят только от fi и /2 (посредством Qi(t) и что
дает основание говорить о модели с женской доминантой (Keyfitz 1968;
Sowunmi 1976).
Данные об истории жизни, среди которых размер кладки С, выжи-
вание яиц и молодняка S, уровень смертности d(a), скорость размноже-
ния 6(a) и емкость трех типов среды ki, к% и к%, содержат массу ин-
формации о потенциальных возможностях популяции и об ее взаимоот-
ношениях с окружающей средой (Cole 1954; Steams 1976). Размер клад-
ки С у Л. mississippiensis колеблется от 1 до 68 (Ferguson 1985). Способ-
ность к выживанию делится на пять основных классов: (i) выживаемость
яиц (до вылупления молодняка), (ii) выживаемость молодняка (до дости-
жения одного года), (iii) выживаемость подростков (до достижения зре-
лости), (iv) выживаемость особей средней возрастной категории (до спа-
да репродуктивной активности) и (v) выживаемость особей преклонного
возраста (включая старение). Выживаемость яиц и молодняка крайне низ-
ка из-за хищничества, каннибализма, возможности затопления, высыхания
и замерзания, а также из-за вероятности повреждения скорлупы в процес-
се откладывания яиц и невозможности раскрыть гнездо. Подростки так-
же находятся в зоне риска, в основном, из-за хищников, но выживаемость
крокодилов среднего возраста достигает очень высоких показателей (поч-
ти 100% для всех семейств крокодилов) и опять снижается к старости.
Усреднение по каждому из перечисленных классов дает зависимый от воз-
раста уровень смертности d{d). В типичном случае уровень рождаемо-
сти 6(a) является постоянным для среднего возраста и равен нулю для
незрелых и престарелых крокодилов. Он получается из усредненных оце-
нок возраста, когда самки достигают половой зрелости (приблизительно
в 9-12 лет), пропорции самок, способных к деторождению и принося-
щих потомство каждый год (от 33 до 84%), и возраста, когда самки те-
ряют способность размножаться. Типичные усредненные выражения для
d(a) и 6(a) из статьи Smith и Webb (1985) представлены на рисунке 4.4.
Как и раньше, fci, /с 2 и пропорциональны емкостям среды каждого
типа: сырого болота, сухого болота и берегового возвышения соответст-
венно.
206
Глава 4
4.4. Уравнения для модели с возрастным распределением
и зависимостью от плотности популяции
Теперь мы можем написать уравнения, описывающие модели для
нескольких популяций, а именно, /1(аД), /2(аД), ^2(0- t) и со-
ответственно, при том, что самки сами были выведены на участках I и II
и самцы на участках II и III, как указывалось ранее.
Здесь а — это возраст, а ам — максимально достижимый возраст. Те-
перь мы напишем уравнения сохранения, как мы делали это в главе 1, раз-
деле 1.7, помня, что а — биологический возраст, a t — время. Уравнения
имеют следующий вид:
= -d(a)fi(a,t) для i = 1,2, (4.15)
ut oa
д d
—+ —mi^a^t) = —d(a)mi(a,t) для г = 2,3, (4.16)
ut oa
где d(a) — зависимый от возраста уровень смертности, который в типичном
случае имеет вид, представленный на рисунке 4.4. Как уже говорилось ра-
нее, мы полагаем, что самка аллигатора ищет для своего гнезда такое место,
которое имеет температурный режим, сходный с местом, где была выведена
она сама. Итак, процессы рождения, благодаря которым популяция попол-
няется новыми членами, описываются обычными уравнениями обновления.
Новое потомство появляется на свет в возрасте а = 0, и таким образом:
/1(0, t)= [ /i(a,i)i>n(a,<2i(t)) da,
Jo
/2(0,f) = | У fi(a,t)b12(a,Qi(t),Q2(t'))da +
+ /2(M)b22(a,Qi(i),Q2(i))da,
1 faM
m2(0,i) = 2 J fa(a,t)bi2(a,Qi(t),Q2(ty)da +
+ ^У f2(a,t)b22(,a,Q1(t),Q2(t))da,
m3(0,t) = [ fi(a,t)bi3(a,Q1(t),Q2(t))da +
Jo
+ / f2(a,t)b23(a,Q1(t),Q2(t))da,
Jo
(4.17)
4.4. Уравнения для модели с возрастным распределением 207
где из (4.11) и эквивалентного выражения для Qz(tY
Qi(t) = [ da, Q2(t) = f q2(a)f2(a,t) da. (4.18)
Jo Jo
Для i = 1,2, J = 1,3 зависимые от популяционной плотности и возраста
функции материнства bij{a,Q\(t),Q2(t)Y заданные уравнениями (4.12)-
(4.14), представляют собой среднее число потомков (за единицу времени),
благополучно вылупившихся из яиц, отложенных на участке j самкой воз-
раста а, которая сама была выведена на участке г. Мы полагаем, что попу-
ляционная плотность сдерживает рождаемость посредством ограниченного
числа гнездовых мест. Следует помнить, что Qi(t) и Q2(t) — это средне-
взвешенные по возрасту величины, полученные с учетом распределения
возрастной плотности самок на участках I и II соответственно.
Для того чтобы завершить составление уравнений модели, мы долж-
ны, наконец, обозначить известные начальные возрастные структуры попу-
ляций как
fi(a, 0) = фг(а), г = 1,2, тДа, 0) = фДа), г = 2,3. (4.19)
Очевидно, что биологический смысл имеют только неотрицательные </>Да),
d(a) и 60(a,Qi(t),Q2(^)).
Показатели рождаемости и смертности
Мы используем (сглаженные) данные из статьи Smith и Webb (1985)
для построения графиков функциональных зависимостей рождаемости 6(a),
смертности d(a) и начальной численности </>(а); см. рисунок 4.4.
Фактический уровень рождаемости задается произведением CS6(a),
где С = 13.2 является средним размером кладки, S = 0.295 х 0.12 является
показателем выживания яиц и молодняка, а рождаемость как функциональ-
ная зависимость от возраста и смертность как функциональная зависимость
возраста определяются следующим образом:
' 0.000 0 < а ; 8, '0.151 1 < а < И,
6(a) = < 0.286 8 < а < : 12, d(a) = < 0.000 11 а • < 31, (4.20)
0.844 к 12 а < ам. 0.139 к 31 < а « < ам-
В данном случае мы полагаем, что начальная численность популяции ф(а)
имеет простую экспоненциальную зависимость от возраста а,
ф(а) = ci + (с2 - ci)e Сза, где
'С1 = 3.376,
< с2 = 135.970,
с3 =0.155,
(4-21)
208
Глава 4
где коэффициенты Ci были определены путем аппроксимации начальных
(сглаженных) данных из статьи Smith и Webb (1985) нелинейным методом
наименьших квадратов.
Эту модельную систему уравнений невозможно решить аналитически,
как мы имели возможность делать это в главе 1, разделе 1.7, но мы можем
решить ее численно, если известно начальное возрастное распределение
популяциии, а параметры истории жизни, то есть С, S, d(a), b(a), кг, къ, кз,
остаются постоянными (во времени). Таким способом мы можем вычис-
лить численность будущих популяций. Как можно интуитивно догадать-
ся, при фиксированных параметрах истории жизни должно существовать
устойчивое возрастное распределение и, следовательно, фиксированное со-
отношение между полами (Cole 1954).
4.5. Устойчивость популяции женских особей на участке
сырого болота I
Можно считать, что самки на участке I представляют собой отдельный
изолированный вид, поскольку рождаемость и смертность зависят только от
возраста а и числа половозрелых женских особей на участке I, Для
того, чтобы вид существовал, ему необходимо обладать такими репродук-
тивными свойствами, которые позволили бы ему заместить существующее
поколение новым к тому времени, когда само оно исчезнет. Мы определя-
ем удельную скорость воспроизводства, R\, как ожидаемое число женских
особей, рожденных одной самкой в течение ее жизни при размере популя-
ции женских особей Число потомков, рожденных самкой за период
от а до a + da, равно 6ц (a, Q\(t))da, поэтому, если мы просуммируем по а,
то получим
удельная скорость ожидаемое число женских
воспроизводства особей, рожденное одной самкой
на участке I в течение ее жизни
(4.22)
6ц (а, <Э1(^))тг(а) da,
где 7г(а) — вероятность того, что особь доживет до возраста а, то есть
7г(а) = е~К d{s)ds.
(4-23)
Популяция женских особей на участке I будет либо расти, либо убывать,
либо оставаться постоянной, в зависимости от того, какое из следующих
4.5. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОПУЛЯЦИИ ЖЕНСКИХ ОСОБЕЙ
209
соотношений выполняется: R[ > 1, < 1 или R^ = 1. Еще в 1760 году
Эйлер исследовал смертность и выживание у людей, пользуясь, в сущно-
сти, ничем иным, как понятием удельной скорости воспроизводства (см.
перевод его статьи в Euler 1970 (1760)). Итак, для того, чтобы существо-
вало устойчивое возрастное распределение, необходимо и достаточно, что-
бы уравнение J?i(Q*) = 1 имело ненулевое решение Q*; то есть чтобы
для каждой женской особи в течение ее жизни ожидаемое число рожде-
ний женского потомства равнялось 1. Gurtin и МасСату (1974), а также
Sowunmi (1976) и Webb (1985) указывали, что в классической (линейной)
теории R\ не зависит от Q\. Было бы странно, если бы так было и в нашем
случае, однако практически во всех интересующих нас здесь задачах суще-
ствует, как минимум, одно значение Q*, для которого R\(Q\) = 1, как мы
видим на рисунке 4.5. Этот рисунок представляет численное моделирова-
ние удельной скорости воспроизводства как функции числа половозрелых
самок на участке I, взятых в отношении к числу доступных гнездовых мест
на участке I, а именно, Qi/fci, при разном размере кладок и разных уровнях
выживания молодняка.
Мы до сих пор всегда полагали, что окружающая среда неизменна (то
есть что fci, /с2 и А?з — постоянные величины), тогда как в жизни ежегодный
прирост численности популяции за счет молодых особей (и соотношение
полов между ними) в огромной степени зависит от изменений окружаю-
щей среды (Webb and Smith 1984; 1987). Хотя, как показали Gurney и Nisbet
(1980), для популяций с распределением по возрасту и по плотности измен-
чивость окружающей среды не имеет существенного значения при условии,
что члены популяции имеют длительный репродуктивный возраст, с пери-
одами созревания и старения, или без них. Это согласуется с наблюдением
Deeming и Ferguson (1989b), что вид может испытывать серьезные трудно-
сти только в том случае, если соотношение между полами сдвинуто в сто-
рону рождения самцов и поддерживается в таком состоянии как минимум
в течение целого репродуктивного периода одного поколения.
Устойчивое решение уравнений для женской популяции на участке I
неизбежно дает устойчивое решение для мужской и женской популяций
на участках II и III. Модель с возрастным распределением и зависимо-
стью от популяционной плотности для трех участков была решена чис-
ленно (Woodward and Murray 1993) путем замены производных конечными
разностями и интегралов — квадратурными формулами (Kostova 1990). На
рисунке 4.6 представлены устойчивые возрастные распределения для са-
мок и самцов, /ь /2 = и тз в случае ki : к? : кз = 79.7 : 13.6 : 6.7
(Joanen 1969). Популяция не меняется при 11 < а < 31, поскольку мы
допускаем 100% выживание крокодилов среднего возраста. В равновес-
210
Глава 4
3.0
... CS = 0.2
--- CS = 0.4
-- CS - 0.6
—- CS = 0.8
4.0
Число половозрелых самок в гнезде на участке I
Рис. 4.5. Численное моделирование зависимости удельной скорости воспроизвод-
ства Ri от отношения числа половозрелых самок на участке I к пространству ki,
доступному для строительства гнезд на этом же участке, то есть Qi/к\. Этот график
показывает, что при условии, что произведение CS является достаточно большим,
где С и S — размер кладки и выживание молодняка соответственно (большое CS
означает, что практически из всех отложенных яиц выводится потомство), суще-
ствует такое значение QJ, для которого ^i(Qi) = 1, то есть существует устойчи-
вое возрастное распределение. Биологически реалистичное значение параметра CS
приблизительно равно 0.5 (из Woodward and Murray 1993)
0.0
ном состоянии отношение между полами (m2 + тз)/(/1 + /2), выраженное
в виде процентного отношения самцов в популяции, составляет 12.2 %, или
приблизительно один самец на каждые восемь самок.
4.6. Соотношение между полами и выживание
Ввиду аналитической сложности полной модели мы прибегаем к упро-
щению, полагая, что /2 = 0, что с биологической точки зрения является
вполне реалистичным, поскольку по сравнению с числом самок, делающих
гнезда на участке I, только небольшая доля самок оказывается на участ-
ке II (Joanen 1969); см. также рисунок 4.6. Итак, мы используем здесь эту
более простую модель, чтобы исследовать, как история жизни влияет на
соотношение между полами.
Модельная система, которую мы выбираем для этого случая, состоит
из двух популяций: /1 (a, t), или женской популяции, которая была выведена
4.6. Соотношение между полами и выживание
211
возраст (лет)
Рис. 4.6. Численное решение модели для трех участков, демонстрирующее равно-
весное распределение по возрасту (а) самок, выведенных на участке I (сплошная
линия) и II (пунктирная линия), и (Ь) самцов, выведенных на участке II (сплош-
ная линия) и III (пунктирная линия). Соотношение между полами в стационарном
состоянии (m2 + шз)/(/1 + /2) = 0.122 или, другими словами, 12.2% популяции
составляют самцы (из Woodward and Murray 1993)
на участке I, и m3 (a, t), или мужской популяции, которая была выведена на
участке III. В нашем случае участка II попросту нет. Все уравнения, а также
граничные и начальные условия определены из (4.16)-(4.17) и (4.19):
д д
ттЛМ) + = -d(a)/i(a,t),
ot oa
0 d
— m3(a,t) + — m3(a,t) = -d(a)m3(a,t),
at aa
(4.24)
212
Глава 4
где
1*0,м
/1(0, t) = / /i(a,t)bn(a,Qi(f))da,
Jo
гам
m3(0,i)= / fi(a,t)bi3(a,Qi(t),Q2(t))da
Jo
(4.25)
и с начальными условиями
/1 (a, 0) = фг (a), m3(a, 0) = фз(а). (4.26)
Уравнение для /i (a, t) из (4.24) с граничными и начальными условиями, за-
данными соотношениями (4.25) и (4.26), — это то же самое уравнение, что
и популяционное уравнение в главе 1, с условиями, определенными уравне-
ниями (1.54)-(1.56). Мы не могли записать аналитическое решение точно
(мы закончили анализ интегральным уравнением), но мы сумели провести
важный анализ методом подобия. Здесь мы решаем уравнение численно.
Поскольку мы допустили, что уровень смертности не зависит от пола,
то и соотношение между полами не зависит от возраста, и в состоянии рав-
новесия соотношение между полами в популяции равно первоначальному
соотношению (как при рождении). Определив удельную скорость воспроиз-
водства R% как ожидаемую численность мужского потомства, рожденного
одной самкой в течение ее жизни при размере популяции мы имеем
ожидаемая численность мужского
удельная скорость
воспроизводства потомства, рожденного одной самкой
на участке III в течение ее жизни
рам
/?з[Ф1(£)] = / 61з(а,<Э1(^))тг(а)б/а,
Jo
(4.27)
где функция материнства 6i3(a, Qi(£)) определена соотношением (4.14)
с Q2 = 0 и &2 = 0, а 7г(а) задается равенством (4.23), а именно,
bi3(a,Qi(t)) = CSb Г, ** 1 Г,
.K3 + 4/1WJ L"-2 +4i(i)
ki + Qi(t)
В равновесном состоянии Qi(t) = Q\, и соотношение между ожидае-
мым количеством мужского потомства и ожидаемым количеством женского
потомства равно
Дз((?П
&1з(а, Ql\n-(a)da,
(4.28)
4.6. Соотношение между полами и выживание
213
поскольку из рисунка 4.5 7?i(Q*) = 1. Итак, для устойчивого возраст-
ного распределения необходимо, чтобы ожидаемое количество мужского
потомства равнялось соотношению между полами, справедливому для но-
ворожденных особей (Sowunmi 1976).
/ Размер кладки (Q х выживание потомства. (S)
Коэффициент экстенсии
TSD GSD
Рис. 4.7. Численное моделирование зависимости соотношения между полами от
размера кладки С и выживания яиц и молодняка S при различных емкостях среды:
(i) ki = 500, кз = 100, и (ii) ki = кз — 500 в модели для двух участков. Здесь ki и кз
находятся в прямой зависимости от максимального числа гнезд, которые можно по-
строить на участке сырого болота и на возвышенности соответственно. Минималь-
ное значение CS для ненулевого устойчивого возрастного распределения модели
ТОП составляет 0.22, что является половиной того минимума, который необходим
для существования ненулевого равновесного состояния в модели ГОП, для которой
оно равно 0.44. (взято из статьи Woodward and Murray 1993, в которой даны точные
количественные формы и приведен еще один случай, где ki = 500 и кз = оо)
Для данной скорости воспроизводства Ь(а) и данного уровня смертно-
сти d(a) соотношение между полами будет зависеть от числа яиц с жизне-
способным потомством CS, а также от ki и к^. Этот результат иллюстри-
руется численным моделированием ситуации с двумя участками и пред-
ставлен на рисунке 4.7. Существует диапазон значений CS, а именно,
т < CS < М, при которых модель ТОП имеет ненулевое устойчивое воз-
растное распределение, в то время как для соответствующей модели ГОП
единственным равновесным состоянием является нулевое решение, что бу-
дет показано далее в разделе 4.7.
214
Глава 4
4.7. Температурно-зависимое определение пола (ТОП)
против генетического определения пола (ГОП)
На самом элементарном уровне простейший способ сравнения двух
методов определения пола состоит в исследовании модели для двух участ-
ков без возрастного распределения. В последнем разделе мы показали, ка-
ким образом соотношение между полами и выживание зависят от произ-
ведения двух величин, размера кладки и выживания потомства. Для того,
чтобы представить, какую роль эти величины играют при генетическом
определении пола, и для того, чтобы упростить сравнение, мы рассмотрим
здесь исключительно простую модель, где численность популяций зависит
только от времени. Как и в предыдущем разделе, мы снова возьмем мо-
дель для двух участков, для участка I, где были выведены только самки,
и для участка III, где были выведены только самцы. Это — упрощенная
версия модели из раздела 4.2 и эквивалент модели из раздела 4.4, но без
возрастного распределения.
С этими допущениями уровень рождаемости Ь и уровень смертности d
являются постоянными параметрами. Пусть размер кладки С и выживание
потомства S будут определены как и прежде. Женская и мужская популяции
обозначаются как /1(£) и m^t) соответственно.
Тогда уравнение для женской популяции имеет вид (сравните с (4.3)):
d4=csb
dt
fei
+ /1
(4.29)
fi—dfi.
но теперь для простоты сравнения с предыдущим разделом мы включили
СS явно в уровень рождаемости. Уравнение для мужской популяции соот-
ветствует (4.7), но теперь /2 = = 0, а именно,
dm3 гы
~=С'
кз 1 Г f? '
&3 + /1 _ _&1 + /1 _
— dm3
(4.30)
с начальными условиями /1(0) = /о и тпз(0) = то.
Численности популяций в стационарном состоянии равны
._csb ( к3 \ ( л2
3 d U + Wi + fJ
(4-31)
и являются неотрицательными числами, если С Sb > d. Соотношение меж-
ду полами, то есть между мужским и женским потомством, дано следую-
4.7. Температурно-зависимое определение пола (ТОП)
215
шим выражением:
тз _ k$(CSb — d)
= fad + k^CS-dy
(4-32)
Предположим теперь, что пол крокодилов был определен генетически,
что полового различия между потомством на разных участках не суще-
ствует, но есть эквивалентное ограничение гнездовых мест; в этом случае
fci + &з — это доступная емкость среды. Соответствующие уравнения для
женской f(t) и мужской т(£) популяций в этом случае принимают вид:
dfi
dt
dm3
dt
C Sb к^ + k3
2 k-[ + кз + /i
CSb k\ -T кз
2 k\ + кз + /i
/1 - dm3
(4.33)
fi-dfi,
с начальными условиями /i(£) = fo, тз($) = t/iq, и где опять мы вклю-
чили СS явно в уровень рождаемости. В этом случае мы наблюдаем сим-
метричное соотношение между полами, то есть половину потомства со-
ставляют самки и половину самцы. Стационарные состояния популяций
определены следующим соотношением:
Шз
Г* /7 ; \ (С Sb \
= /,
(4.34)
величины mJ и /г* неотрицательны, только если CSb > 2d. Соотношение
между самками и самцами всегда равно 1:1.
Даже из стационарных решений (4.31) и (4.34) мы можем видеть, что
ТОП имеет больше преимуществ для крокодилов, чем ГОП. Как следу-
ет из (4.31), для ТОП положительное стационарное состояние существует
при CSb/d > 1, тогда как для ГОП условием его существования являет-
ся CSb/d > 2. Теперь, более конкретно, из рисунка 4.7 мы видим, что
в ситуации с возрастным распределением при ТОП соотношение между
полами стремится к нулю при CS = т = 0.22, то есть величине, при ко-
торой вид вымирает. Относительно нашего анализа это означает, что мы
имеем CSb/d = 1, что соответствует CS = 0.22, и тогда критическое CS
для ГОП это просто CS — М = 0.44, то есть значение, которое мы исполь-
зовали в рисунке 4.7 для сравнения. Таким образом, вымирание при ГОП
происходит при CS < М = 0.44.
Минимальное значение CS, а именно, М9 для ненулевого равновесного
решения модели ГОП приблизительно в два раза больше, чем минимум т,
216
ГЛАВА 4
необходимый для существования ненулевого устойчивого решения модели
ТОП с возрастным распределением. В этом диапазоне чем меньше значе-
ние CS, тем больше перевес в соотношении между полами в пользу самок.
За пределами этого диапазона обе модели ТОП и ГОП имеют ненулевые
устойчивые возрастные распределения. Для больших значений СS соотно-
шение между полами в модели ТОП стремится к к\ : к%, тогда как в модели
ГОП оно составляет 1:1. Эти сравнения теоретических и эмпирических
популяционных явлений предполагают, что выживание вида имеет гораздо
большее значение, чем оптимальное соотношение между полами.
Создание и анализ модели популяции крокодилов с возрастным рас-
пределением, о которой шла речь в этой главе, основаны на значениях па-
раметров, полученных, насколько это возможно, из полевых наблюдений.
Модель демонстрирует эволюционное преимущество температурно-зави-
симого определения пола в популяции крокодилов даже при условии, что
вероятность собственного воспроизводства для отдельно взятой самки ма-
ла. В этом случае преимущество получает вся популяция в целом, а не
отдельный индивидуум, что характерно для ситуации с традиционным со-
отношением между полами.
У животных, пол которых определяется генетически, поддерживается
соотношение между полами 1:1. Тогда, если вид обладает ГОП, для сох-
ранения и поддержания плотности популяции на одном и том же уровне
каждая самка должна производить на свет двух потомков (одного мужского
пола, одного женского). В действительности, количество потомков на каж-
дую самку скорее равно 2.1. Хотя, если вид обладает температурно-зави-
симым определением пола, или, в более общем виде, зависимым от среды
определением пола СОП, неравномерное соотношение между полами будет,
скорее всего, отражать неравномерность условий окружающей среды. Ес-
ли соотношение между полами сдвинуто в сторону большего образования
самок, как обстоит дело в популяции крокодилов, то устойчивая популя-
ционная плотность может сохраняться при меньшем количестве потомства
в пересчете на одну самку. В природе каждая самка аллигатора или кроко-
дила откладывает в течение жизни примерно 600-800 яиц, но, в среднем,
менее двух из них (всего 1.1 в популяции с соотношением между пола-
ми 10 : 1 в пользу самок) доживает до успешного воспроизводства самих
себя. Таким образом, благодаря ТОП популяции аллигаторов и крокодилов
сохраняют необычайную устойчивость, несмотря на высокую смертность
яиц, новорожденных и молодых особей.
Дополнительно к преимуществу, которое получили крокодилы, произ-
водя на свет большее число самок, чем самцов, они выработали в ходе
эволюционного развития и другие полезные приемы (а именно, раннее со-
4.8. Вопросы, связанные с определением пола
217
зревание, большое количество потомства, сниженная родительская забота
и множественные выводки), которые снижают вероятность того, что особь
может уйти из жизни, не оставив после себя потомства (Steams 1976). Воз-
можно также, как уже было сказано, что температурно-зависимое опреде-
ление пола позволяет популяции пережить катастрофы и резкие измене-
ния окружающей среды. И дело не только в том, что быстрое увеличение
популяции связано обычно с рождением большого количества самок, но
и в том, что различные инкубационные температуры приводят к возникно-
вению популяции, приспособленной независимо от пола к различным усло-
виям окружающей среды (Deeming and Ferguson 1989b). Еще одно преиму-
щество состоит в расположении гнезд, когда мужское и женское потомство
появляется рядом с естественным местообитанием взрослых.
4.8. Вопросы, связанные с определением пола
Интересный и серьезный вопрос, который не обсуждался в этой главе
в связи с моделями, состоит в том, как может одна и та же температу-
ра инкубации, а именно, температура около 32 °C, привести к появлению
потомства обоих полов, как это происходит на участке II. Очевидно, что
здесь определение пола не может происходить путем простого переклю-
чения или реализации триггерного механизма. Особый интерес у многих
ученых (Deeming and Ferguson 1988; 1989а; Johnston at al. 1995) вызывали
молекулярные механизмы ТОП, поскольку практически не было сомнений
в том, что именно таким образом и происходит температурное воздействие.
Кроме того, в природе температура яиц в гнезде меняется в течение суток,
так же как и во время самой инкубации. Изменения средних условий ин-
кубации влияют на способность отдельной особи развиться в самку или
самца. Такая же особенность характерна для многих черепах, обладающих
ТОП. Georges (1989) предположил, что для естественных природных гнезд
пресноводных черепах, обладающих ТОП, критическим фактором в опре-
делении пола является время инкубации или продолжительность време-
ни развития при определенной температуре. Для исследования своей идеи
Georges (1989) предложил интересную базовую модель (см. упражнение).
Используя эту модель, Georges и соавторы (1994) представили эксперимен-
тальные данные (полученные в контролируемой экспериментальной ситу-
ации) о морской черепахе (Caretta caretta), говорящие о том, что, вполне
возможно, главным фактором при определении пола является продолжи-
тельность развития при какой-то температуре, а не усредненная за день
температура. Еще одной статьей на эту тему является работа Rhen и Lang
(1995), посвященная каймановой черепахе.
218
Глава 4
На примере A. mississippiensis Deeming и Ferguson (1988; 1989b) вы-
сказали гипотезу, что воздействие температуры носит скорее кумулятивный
характер, а не зависит от стадии развития. Они предположили, что разви-
тие семенных желез связано с действием некоего фактора, определяющего
мужской пол (ФОМП) в критический период развития. Возможно, сущест-
вует оптимальная температура для его развития, а именно, 33 °C, но он
может образовываться также и при более низких температурах, с одной из
сторон температурного режима, благоприятствующего появлению самцов,
а именно, при температуре около 32 °C. Если количество фактора ФОМП
в зародыше не достигает порогового уровня для развития самца, зародыш
развивается в самку. Эта гипотеза может объяснить, почему при некоторых
температурах могут образовываться как самки, так и самцы.
Интересное применение их гипотезы (Ferguson, личное сообщение
1993) основано на уверенности в том, что лежащий в основе определения
пола молекулярный механизм является одинаковым как для аллигаторов,
так и для цыплят, несмотря на то, что пол у цыплят определяется генети-
чески. Прогноз состоит в том, что пол птиц можно будет задавать посред-
ством изменения окружающей среды, например, температурной пульсацией
на ранних этапах инкубации. Было обнаружено, что определенная темпера-
турная пульсация, начиная с ранних стадий развития, действительно имела
эффект: у 10 % цыплят наблюдалась перемена пола.
Считается общепринятым, что женский организм у млекопитающих,
включая человека, — это не исполненный до конца проект. Зародыш при-
обретает мужской пол, если он подвергается достаточному влиянию тесто-
стерона на определенном этапе или этапах своего развития. Ген, запуска-
ющий производство тестостерона, находится в Y хромосоме, наследуемой
от отца. Женщины обычно имеют две X хромосомы; зародыш наследует
X хромосомы от матери. В США около 2 % мужчин и 1 % женщин испы-
тывают влечение к людям собственного пола. В проведенных не так давно
интересных исследованиях McFadden и Pasanen (1998) высказано предпо-
ложение, что предпочтение женщиной женщины может быть результатом
того, что женский эмбрион на определенных стадиях развития подвергался
действию мужских гормонов, в результате чего приобрел свойства, более
характерные для мужчин. Они основывают свои экспериментальные вы-
воды на изучении так называемой вызванной-щелчками-отоакустической-
эмиссии (CEOAES), что означает звуки, производимые ухом в ответ на
щелчки. Считают, что эти звуки возникают при расширении улитки уха,
происходящем при восприятии ухом очень низких звуков. Эксперименты
включали исследование силы CEOAES у 237 человек, гомосексуалов, би-
сексуалов и гетеросексуалов. Было обнаружено, что гомосексуальные и би-
4.8. Вопросы, связанные с определением пола
219
сексуальные женщины демонстрируют ответы, более похожие на ответы
мужчин, чем гетеросексуалы. Конечно, что касается выводов из экспери-
ментов. то тут следует быть осторожными и задать себе ряд вопросов. Один
ш них, откуда берется тестостерон. В женском организме тестостерон об-
разуется так же, как и в мужском (в котором также образуется небольшое
количество эстрогена), но в значительно меньшем количестве. Вполне воз-
можно, что подъем уровня тестостерона в материнском организме в крити-
ческий период развития может объяснить результаты McFadden и Pasanen
11998).
Уровень гормонов может влиять на соотношение полов у человека; см.,
например, James (1996; 1999), который предположил, что уровни гормонов
в организмах родителей в момент зачатия играют роль в определении пола
> потомства. James (2000) представляет дополнительные данные, подтвер-
ждающие влияние гормонов на определение пола. Среди прочих фактов
James (2000) приводит данные о том, что женщины, больные шизофрени-
ей. гораздо чаще имеют дочерей, в то время как страдающие эпилепси-
ей имеют гораздо больше потомков мужского пола. Поскольку стероидные
гормоны влияют на нейротрансмиттеры в мозгу, он предположил, что эти
необычные соотношения между полами подтверждают гипотезу о том, что
уровень гормонов при зачатии влияет на пол потомков. Возможно, яды так-
же влияют на соотношение между полами и, несомненно, на плодовитость.
James (1995) отмечал что у рабочих, подвергающихся воздействию диокси-
на, наблюдается пониженное содержание тестостерона. Этот яд влияет на
плодовитость наряду с боратами натрия (Whorton et al. 1994).
Как мы видели, соотношение между полами играет определяющую
роль в популяционной динамике аллигаторов и их выживании. В своей ин-
тересной статье Johnson (1994) предлагает простую, но, как он показыва-
ет, весьма информативную модель для исследования влияния соотношения
между мужским и женским полами на удельный уровень роста численно-
сти популяции (без влияния температуры в стиле ТОП). Он предполагает,
что эта модель может быть полезна для исследования того, как соотноше-
ние между полами может использоваться популяцией для выживания. Эта
статья является прекрасным примером того, как простая модель, основан-
ная на некой основополагающей биологической гипотезе, может привести
к интересным выводам и весьма важным вопросам. Поскольку женский
возраст имеет серьезное влияние на удельный уровень рождаемости, было
бы интересно добавить в модель Johnson (1994) возрастное распределение.
Хотя у людей соотношение между мужчинами и женщинами во всем мире
приблизительно одинаково (чуть больше женщин, чем мужчин), имеются
все более убедительные свидетельства некоторого сдвига в этом соотно-
220
Глава 4
шении (см., например, Alpert (1998), который спрашивает, куда подевались
все мальчики). Эта ситуация в корне отлична от положения, которое все еще
существует в сельских районах Китая, где количество мальчиков по срав-
нению с девочкам очень велико и сильно отличается от средне мирового
показателя благодаря внешним воздействиям до и после рождения.
Johnston и соавторы (1995) дают обзор предложенных ранее молеку-
лярных механизмов и высказывают свои соображения относительно то-
го, что следует принять во внимание, чтобы лучше понять ситуацию.
Они предполагают наличие также фактора, определяющего женский пол
(ФОЖП), возможность его накопления и вероятность того, что либо фактор
мужских свойств (ФОМП), либо фактор женских свойств (ФОЖП) могут
быть температурно-зависимыми. Они говорят, что в развитии пола имеет-
ся температурно-чувствительный период (ТЧП), и высказывают гипотезу
о том, что если пороговый уровень ФОЖП, приводящий к развитию жен-
ской особи, не достигнут к началу действия ТОП, то тогда у эмбриона
существует возможность развиться в мужскую особь. Если пороговый уро-
вень ФОЖП, необходимый для развития женской особи, к началу действия
ТОП уже достигнут, тогда эмбрион разовьется в женскую особь независи-
мо от последующей температуры инкубации. На основании проведенных
экспериментов Johnston и соавторы (1995) предполагают, что, вероятно,
в определении мужского пола играет роль определенный тип белка — SRY-
тип. Разнообразные эксперименты проводились на эмбрионах аллигаторов
(Lang and Andrews 1994) для того, чтобы узнать, что будет при переме-
щении яйца из одной температурной зоны в другую, как в одну сторону,
так и обратно. Результаты подтверждают гипотезу, что температура влия-
ет на образование некоего определяющего пол фактора — ФОМП, ФОЖП,
гормонов или еще чего-нибудь. Если они образуются с достаточной ско-
ростью в течение достаточно длительного времени, возникает так называ-
емый каскад образования пола (Wibbels et al. 1991). Wibbels и соавторы
(1994) говорят об определении пола как о механистическом процессе, хотя
употребляют слово «механистический» не в том смысле, который придаем
ему мы, используя слово «механизм» в этой книге.
Явление ТОП все еще до конца не понято. Впрочем, и упомянутые вы-
ше теории о возможном молекулярном механизме определения пола и ре-
зультаты, полученные при инкубации яиц в разных температурных режи-
мах, — это уже достаточно обоснованный повод для создания новых моде-
лей, которые могли бы объяснить различные варианты развития и послу-
жить основой для дальнейших многообещающих экспериментов.
В этой главе не обсуждались многие аспекты моделирования ТОП,
а также альтернативные и модифицированные версии моделей, которые бы-
4.8. Вопросы, связанные с определением пола
221
то бы интересно рассмотреть. Так, было бы любопытно взять независимую
от времени модель с запаздыванием, соответствующим времени достиже-
ния половой зрелости, и проверить, сравнимы ли ее результаты с результа-
тами модели с возрастным распределением. Конечно, исследовать разные
варианты контроля и т. д. с такой моделью было бы гораздо проще, по-
скольку было бы возможно провести некоторый предварительный анализ.
Сравнение моделей дало бы много полезной информации, даже если рас-
сматривать только два участка. И чем глубже мы знакомимся с ТОП (и не
только на примере крокодилов), зависимостью между развитием и темпера-
турой, влиянием изменений окружающей среды и т. д., тем более точными
становятся наши модели в отражении биологии и экологии этих замеча-
тельных созданий и определении путей их выживания.
Упражнение
1. Некоторые черепахи обладают температурно-зависимым определе-
нием пола, самки получаются при высоких температурах инкубации яиц,
а самцы при низких. Вследствие температурных колебаний в течение дня
яйцо находится только часть времени при высокой температуре. Предполо-
жим, существует пороговая температура То, ниже которой развитие прекра-
щается, и скорость развития аппроксимируется следующим уравнением:
где к — положительная константа. Допустим, температура в течение дня
колеблется следующим образом:
Т = R cos t + М, 0 < R < М,
где R — температурная амплитуда, а М — средняя температура, при том,
что М > То. Здесь t = 2тг соответствует 24 часам. Условие для М, R и То
состоит в том, что температура в гнезде всегда больше или равна пороговой
температуре.
Предположим, что самки получаются в том случае, когда больше поло-
вины эмбрионального развития происходит при температуре выше эффек-
тивной температуры в гнезде Т^. Покажите, что Ti определяется следую-
щими уравнениями:
71 = Rcosti + М, = - т; —7тг sinti.
2 М — 1Q
222
Глава 4
Покажите графически, как определить ti, и расскажите, как Tq варьиру-
ет в зависимости от отношения ежедневной температурной амплитуды R
к разности между средней температурой М и пороговой температурой Tq.
Как сказывается варьирование параметров на соотношение между полами?
Глава 5
Моделирование динамики супружеских
взаимоотношений: прогнозирование
разводов и укрепление брака
В этой главе мы знакомимся с новым использованием математиче-
ского моделирования и с новым подходом к моделированию социальных
взаимодействий, включающим применение разностных уравнений, уже об-
суждавшихся в главе 3. Эти уравнения выражают в математическом виде
предложенный механизм изменений, происходящих во взаимоотношениях
между супругами с течением времени. Мы рассчитываем, что моделирова-
ние способно подсказать точный механизм изменений. Цель методологии
почти всей нашей книги количественная. Так, на основании нашего психо-
логического понимания, мы описываем в математической форме причины
изменения зависимых переменных. Тогда как в области семейной психо-
логии традиционным аналитическим подходом к исследованиям является
статистический анализ, который к тому же основывается, в основном, на
линейных моделях. Впрочем, в последнее время становится все более оче-
видно, что большинство систем далеко не линейны. Новый подход к изу-
чению взаимодействия между супругами на базе математических моделей
был впервые предложен J. М. Gottman, взявшим за основу свои обширные
исследования семейных взаимодействий, и J. D. Murray (в книге Gottman
с соавторами, вышедшей в 2002 году, можно найти множество психоло-
гических деталей и исследование некоторых случаев, где использовались
приемы моделирования и философия, описанные в этой главе). Матери-
ал, обсуждаемый на этих страницах, в большой степени основан на статье
Cook с соавторами (1995).
Причина, по которой эта глава включена в книгу, объясняется, отчасти,
тем, что здесь рассказывается о новой области применения математиче-
ского моделирования. Уместно, однако, задать вопрос, почему мы решили
заниматься проблемами брака, а не любой другой темой психологических
исследований. Gottman (1998) дает весьма убедительное объяснение этому
224
Глава 5
факту, называя среди прочих причин постоянно растущее число разводов
в развитых странах. В США, например, в течение 40 лет супружества рас-
падается от 50 до 67% первых браков, а повторных браков — примерно
на 10% больше. Традиционную терапию брака нельзя назвать достаточ-
но успешной, поэтому любая теория брака, подобная обсуждаемой в этой
главе, которая могла бы лучше объяснить взаимодействие между супру-
гами, предсказать распад семьи и предложить способы укрепления брака,
несомненно заслуживает самого пристального внимания. Следует помнить,
что использование математических моделей для выяснения динамики взаи-
моотношений между супругами находится в самом зачаточном состоянии.
Цель данной главы — познакомить читателя с новым методом и показать,
как подобные модели могут использоваться в жизни, как для прогноза за-
болевания, так и для его лечения.
При моделировании взаимодействия между супругами мы столкнулись
с серьезной проблемой. Мы не могли взять ни одну из знакомых нам тео-
рий, чтобы написать зависимые от времени уравнения, объясняющие из-
менения взаимодействий между супругами. Например, у нас не было ни
эквивалента закона действующих масс, ни обычного образца качествен-
ного поведения, наблюдаемого во взаимодействующих популяциях, чтобы
иметь основу для построения модельных уравнений. Поэтому, в противо-
вес обычной практике, мы разработали подход, при котором имеющиеся
у нас данные и разностные уравнения использовались для математического
описания супружеских взаимоотношений конкретными выражениями. Эти
выражения затем использовались вместе с данными для «проверки» этих
качественных форм. Главное отличие этого подхода состояло в том, что мы
нуждались в использовании моделирования для того, чтобы разработать
сами уравнения. Итак, в нашем случае объектом математического модели-
рования стало создание теории, что является фундаментальным отличием
от обычного способа построения моделей в биологии.
Мы всегда считали, что «проверка» этих качественных форм измене-
ния не должна быть автоматическим процессом, подобным статистическо-
му t-тесту. Вместо этого мы предлагаем использовать данные для управ-
ления научной интуицией таким образом, чтобы уравнения для измене-
ния супружеских отношений имели теоретический смысл. Именно это ис-
пользование математического моделирования, а именно, создание теории
для изменения брачных отношений, мы и исследуем в этой главе. В обла-
сти, где заранее известно, насколько сложно использовать количественную
теорию для описания процессов взаимодействия, подход, использующий
качественное математическое моделирование и направленный на создание
математической теории, является, по нашему убеждению, полезным, цен-
5.1. Психологические основы и данные
225
ным и, можно надеяться, достаточно общим. Существуют две основные
причины, чтобы остановиться на этом подходе. Во-первых, он дает нам но-
вый язык, пригодный для обсуждения взаимоотношений между супругами
и изменения этих взаимоотношений во времени, и, во-вторых, как только
уравнения взаимоотношений для супружеской пары построены, мы можем
моделировать на компьютере поведение супругов при других обстоятель-
ствах, отличных от тех, что использовались в процессе получения данных.
В дальнейшем мы можем провести точные эксперименты, чтобы проверить,
насколько наше компьютерное моделирование соответствует истине. Таким
образом, теория создается и проверяется посредством моделирования.
Как и положено в реалистичном математическом моделировании, мы
должны обладать надежной и научно достоверной информацией по изу-
чаемой нами проблеме. Здесь мы начали с явления, о котором сообщали
Gottman и Levenson (1992), что одна переменная, описывающая характер-
ный тип взаимоотношений между партнерами с определенным соотноше-
нием между негативными и позитивными эмоциями, способна прогнози-
ровать распад брака. Мы намерены попытаться создать теорию, которая
смогла бы объяснить это явление. Здесь, пожалуй, читателю стоит осо-
знать, что, разрабатывая математические модели в области, традиционно
считавшейся менее «научной», чем естественные науки, неизбежно стал-
киваешься с проблемой, что многие используемые термины не могут быть
выражены количественно в определенных единицах измерения. В соответ-
ствии с этим конечная цель нашего моделирования — качественная, но тем
не менее вполне определенная1.
5.1. Психологические основы и данные: методика Gottman
и Levenson
Gottman и Levenson (1992) использовали методику одновременного по-
лучения физиологических, поведенческих и сообщенных в личной беседе
данных по 73 супружеским парам, которые участвовали в эксперименте
’Многие люди, а особенно ученые-биофизики, не раз выражали сомнение по поводу ис-
пользования математического моделирования в области психологии. Даже когда польза это-
го начинания была доказана, как, например, в случае замечательной работы Zeeman (1977),
посвященной анорексии, предрассудки сохранились. Первоначально данное исследование не
было исключением. Интересно, что во время встреч и обсуждений все без исключения мате-
матики отнеслись к проекту недоверчиво (и я в том числе). Точно так же без исключения все,
кто принимал участие в этой работе, в самый короткий срок поверили в ее важность и прак-
тическую значимость. Возможно, никому не хочется верить, что их эмоции и реакции могут
с такой точностью быть предсказаны такими простыми математическими моделями.
226
Глава 5
в течение периода между 1983 и 1987 годом. Ученые пользовались кодо-
вой системой наблюдений за интерактивным поведением под названием
Быстрая Система Оценки Взаимоотношений между Супругами (БСОВС;
Krokoff с соавторами 1989), которую мы описываем ниже в подразделе
Кодовая система наблюдений, где супружеские пары были поделены на
две группы, упорядоченные и неупорядоченные. Подсчет очков проводился
в ходе записываемой на пленку интерактивной дискуссии между супру-
гами и все оттенки их эмоций кодировались. Деление пар на два класса
упорядоченных и неупорядоченных основывалось на графическом методе,
впервые предложенном Gottman (1979) и являющемся предшественником
БСОВС2. Во время каждой реплики для каждого из супругов вычислялось
общее число позитивных кодов БСОВС говорящего (когда супруг говорил
что-то позитивное) минус общее число негативных кодов говорящего. За-
тем накопленная сумма этих очков наносилась на график для каждого из
супругов. Углы наклона этих графиков, которые, как считалось, обеспечи-
вали устойчивую оценку различия между позитивным и негативным ко-
дами во времени, определялись с использованием линейного регрессион-
ного анализа. Если графики как мужа, так и жены имели положительный
наклон, такая пара называлась «упорядоченной», а если нет — «неупоря-
доченной». Эта классификация основана на так называемой переменной
Gottman-Levenson. Все супружеские пары, даже самые счастливые, имеют
какую-то долю негативного взаимодействия, точно так же самые несчаст-
ливые семьи имеют какую-то долю позитивного взаимодействия. Занима-
ясь вычислением угла наклона графика, ученые руководствовались теорией
баланса в браке, а именно, что наиболее важными в предсказании исхода
брака являются процессы, связанные с балансом или упорядоченностью
позитивного и негативного воздействий. Таким образом, термины «упо-
рядоченная» и «неупорядоченная» пары имеют в нашем случае особенно
точное значение.
Упорядоченные супружеские пары определялись как пары, где графи-
ки как мужа, так и жены имели выраженный положительный наклон, тогда
как в неупорядоченных парах график хотя бы одного из супругов не имел
явного положительного наклона. По определению упорядоченными парами
назывались такие пары, которые демонстрировали с большим или мень-
шим постоянством, что они проявляют больше позитивных, чем негатив-
2 Эти коды были разработаны путем обзора литературы по исследованию всех типов взаи-
модействий и соотнесены с уровнем удовлетворения от брачных отношений. Такие типы по-
ведения, как критика и оборона, рассматривались как показатели семейного неблагополучия,
тогда как юмор и благожелательность считались признаками счастливых семейных отноше-
ний. Таким способом типы поведения были определены как «негативные» и «позитивные».
5.1. Психологические основы и данные
227
ных кодов БСОВС. В результате классификации супружеских пар описан-
ным способом мы получили две группы, состоящие из 42 упорядоченных
и 31 неупорядоченных пар3. На рисунке 5.1 представлены типичные дан-
ные по надежным и ненадежным (близким к разводу) парам.
В 1987 году, через четыре года после начала эксперимента, связь с ис-
ходными участниками была восстановлена, и, как минимум, один из супру-
гов (70 мужей и 72 жены) из 73 семей, оставшихся от исходных 79 семей
(92.4%), согласился участвовать в продолжении опыта. За эти четыре го-
да 49.3 % супружеских пар рассматривали возможность развода, а 24.7 %
расставались в среднем на 8.1 месяца. Из 73 пар 12.5% фактически нахо-
дились в разводе. Как указали в своей статье Gottman и Levenson (1992),
главной причиной такого низкого ежегодного уровня разводов в течение ко-
роткого четырехлетнего периода является трудность прогнозирования рас-
пада брака на столь короткие периоды времени. Формальное расторжение
неудовлетворительных браков может занять много больше лет. Кроме то-
го, полученные результаты свидетельствуют о проблеме малой выборки.
Более длительные эксперименты явно показывают более высокий процент
разводов. Среди интересных результатов, о которых сообщалось в статье
Gottman и Levenson (1992), было также проведенное в ходе продолжения
эксперимента исследование данных по упорядоченным (надежным) парам
с одной стороны и неупорядоченным (ненадежным) парам с другой. Cook
и соавторы (1995) обобщили их результаты, показав, что приблизительно
(i) 32 % надежных пар рассматривали возможность развода по сравнению
с 70% ненадежных пар, (ii) 17% надежных пар против 37% ненадежных
пар расставались за четырехлетний период, (iii) 7% надежных пар и 19%
ненадежных пар действительно развелись. Более подробные исследования
можно найти в книге Gottman с соавторами (2002).
Кодовая система наблюдений
Супружеской паре предлагали выбрать проблемную тему для пятна-
дцатиминутного обсуждения; детали обмена репликами записывали на ви-
деокамеры. Проблемной темой обсуждения могли быть секс, деньги, род-
ственники, в действительности это могла быть любая тема, вызывающая
споры в семье. Видеозаписи диалога на проблемную тему кодировались
с использованием двух кодовых систем наблюдения. Система БСОВС слу-
жила средством деления пар на упорядоченные и неупорядоченные ти-
пы браков, а также определяла базовые уровни характерных позитивных
и негативных кодов для говорящего и слушающего. Использовались так-
3Далее в главе мы моделируем ненакопленные данные.
228
Глава 5
(b)
Рис. 5.1. Кумулятивные графики показателей БСОВС из упорядоченной (надежной)
и неупорядоченной (ненадежной) супружеских пар. Поз-Нег = Позитив — Нега-
тив. (Из Gottman and Levenson 1992. Авторское право Американской ассоциации
психологов, 1992)
же и другие коды, которые должны были служить мерой достоверности
показателей БСОВС. Они не требуются нам для моделирования. Их обсуж-
дение можно найти в статьях Gottman и Levenson (1992), Cook с соавто-
рами (1995), а также в книге Gottman с соавторами (2002). На рисунке 5.1
5.2. ТИПЫ БРАКОВ И МОТИВАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
229
представлены типичные результаты БСОВС для надежных и ненадежных
супружеских пар.
Первое, что исчезает в неблагополучной семье, — это положитель-
ные эмоции, особенно улыбки и юмор. В этой главе параметры приводи-
мых ниже уравнений также зависели от количества смеха (измеряемого по
БСОВС) и количества улыбок, измеряемых по кодировке выражений лица
с использованием системы кодировки лицевых движений, предложенной
Ekman и Friesen (1978). Только то, что называется улыбкой Дюшена (улыб-
ка, включающая сокращение zygomaticus — обеих скуловых мышц, каждая
из которых тянется от скуловой кости до края рта, и сокращение orbicularis
oculi — мышц вокруг глаз), принималось в расчет, поскольку только такие
улыбки считались истинным выражением положительных эмоций.
5.2. Типы браков и мотивация моделирования
Gottman (1994) предложил и обосновал типологию устойчивых во вре-
мени браков и супружеских пар, которые близки к разводу. Он выделил три
группы устойчивых пар: основательные, вспыльчивые и осторожные, кото-
рые различались поведением при решении проблем, характерными эмоция-
ми и некой переменной, которая должна была служить показателем времени
и усилий, затраченных на убеждение партнера.
Он выделил две группы неустойчивых пар: враждебные и враждебно-
отчужденные, которые различались поведением во время обсуждения проб-
лем и характерными позитивными и негативными эмоциями; по сравне-
нию с враждебными парами враждебно-отчужденные пары были гораздо
более негативны (более обороняющиеся и презрительные) и гораздо ху-
же умели слушать. Gottman (1993) сообщил, что была обнаружена грубая
константа, которая оставалась неизменной во всех трех типах устойчивых
пар. Эта константа — отношение позитивного к негативному кодовому по-
казателю БСОВС во время диалога между партнерами равнялась прибли-
зительно 5, и она практически не менялась во всех трех типах устойчи-
вых браков. Возможно, каждое приспособление к достижению устойчивого
брака представляет сходный вид адаптации для каждого устойчивого типа
супружеских пар, хотя браки могут быть совсем разными. Вспыльчивые су-
пруги достигают соотношения 5 путем смешивания массы положительных
эмоций с массой отрицательных эмоций. Основательные пары смешивают
умеренное количество положительных и отрицательных эмоций. Осторож-
ные пары смешивают ничтожно малое количество положительных эмоций
с ничтожно малым количеством отрицательных эмоций. Каждый тип делает
это каким-то своим способом, в результате чего достигается приблизитель-
230
Глава 5
но одинаковое соотношение между позитивным и негативным. Мы можем
поразмышлять о том, что каждый тип брака имеет свои опасности, свои
достоинства и свою цену. Возможно также поразмышлять о том, что имен-
но составляет эти опасности, достоинства и цену на основании того, что
нам известно о каждом типе брака. Вспыльчивые партнеры часто бывают
романтическими и страстными, но они могут в любой момент скатиться
к бесконечной перебранке. Браки между основательными партнерами (ко-
торые являются образцом, используемым в настоящее время в семейной
терапии) более взвешенные и глубокие; эти супруги обычно ценят в браке
дружеские отношения и общий опыт, а не индивидуальность. Риск такого
брака состоит в том, что со временем из него может уйти романтика, и пара
превратится просто в близких друзей. Пары осторожного типа избегают бо-
ли противоборства и конфликта, но опасность такого брака — эмоциональ-
ная отстраненность и одиночество. Gottman (1994) также обнаружил, что
три типа устойчивых браков различаются по количеству времени и усилий,
затраченных на убеждение партнера. Вспыльчивые партнеры тратят массу
усилий на убеждение друг друга и начинают делать это в самом начале дис-
куссии. Основательные пары тратят меньше сил на убеждение, чем вспыль-
чивые, и выжидают приблизительно одну треть от времени всего диалога,
прежде чем начать убеждать партнера. Пары, которые стараются избежать
конфликта, практически не пытаются убедить друг друга. Мы задали себе
вопрос, можно ли распознать эти пять типов браков, используя параметры
и функции, полученные в ходе математического моделирования.
Цель математического моделирования состояла в том, чтобы разло-
жить графики очков БСОВС положительного (очки не накапливались) ми-
нус отрицательного поведения, связанного с каждой репликой, на состав-
ные части, которые бы имели теоретический смысл; следует помнить, что
рисунок 5.1 представляет график накопленных данных. Так, мы пытаемся
понять, насколько возможно использование этих данных для предсказания
конца брака посредством исследования динамики взаимодействия между
супругами. Мы начинаем с зависимой переменной Gottman-Levenson и раз-
лагаем ее на составляющие, которые представляют (i) функцию межлич-
ностного влияния одного партнера на другого, и (ii) члены, включающие
параметры, относящиеся к динамике отдельной личности. Это разложе-
ние суммарного показателя БСОВС на зависимое и независимое поведе-
ние представляет нашу теорию о том, как зависимая переменная может
быть разложена на составляющие, способные раскрыть механизм успешно-
го прогноза устойчивости или неустойчивости брака. Качественная часть
наших уравнений состоит в написании функций влияния в математическом
виде.
5.2. ТИПЫ БРАКОВ И МОТИВАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
231
Функция влияния используется для описания взаимоотношений между
супругами. Если выразить математическую форму графически, мы полу-
чим график, где по горизонтальной оси представлен диапазон значений за-
висимой переменной (позитив минус негатив во время одной разговорной
реплики) для одного супруга, а по вертикальной оси — среднее значение
зависимой переменной, отвечающей мгновенной реакции другого супруга,
усредненной по количеству реплик. Могло бы показаться, что дискретная
модель была бы в этом случае более подходящей, чем непрерывная, хо-
тя, как было показано в последующих работах (К.-К. Tung, личная бесе-
да 2000), непрерывная модель подходит в той же мере. Для того, чтобы
показать, как происходил выбор аналитического вида для функции влия-
ния, мы можем начать с простого допущения, что существует порог, только
перейдя который положительное значение оказывает действие в положи-
тельном направлении, и другой порог, только перейдя который отрицатель-
ное значение оказывает действие в отрицательном направлении. Более лег-
ковозбудимый супруг имеет более низкий порог ответа. Параметры этих
функций влияния (например, точка, когда негативность супруга начина-
ет оказывать действие) могут варьироваться в зависимости от культурного
уровня, удовлетворенности в браке, уровня стресса, ощущаемого супругом
в данный момент, темперамента личности и т. д. Эти соображения могут
быть использованы позже, чтобы сделать модель более общей и улучшить
ее способность прогнозировать. Далее мы допускаем, что величина вли-
яния будет оставаться неизменной и во всех других областях изменения
переменной. Это, конечно, только один тип функции влияния, который мы
могли бы предложить. Мы бы, например, могли также предположить, что
чем более отрицательным является зависимая переменная, тем более от-
рицательным будет влияние. Два варианта представлены на рисунке 5.2;
рисунок 5.2(a) показывает функцию влияния, которая остается постоянной,
если есть эффект (положительный или отрицательный), и рисунок 5.2(b)
показывает функцию влияния, где чем более позитивно предшествующее
поведение, тем более позитивно его воздействие на партнера, и чем более
негативно предшествующее поведение, тем более негативен его эффект на
супруга.
Мы начинаем с последовательности показателей БСОВС: Wt. Ht, Wt+i,
.... В процессе моделирования каждому супругу присваивается два
параметра. Один параметр определяет эмоциональную инертность (поло-
жительную или отрицательную), что является показателем склонности каж-
дого супруга оставаться в неизменном состоянии некоторый период вре-
мени, и второй — его естественное независимое стационарное состояние,
которое равняется усредненной разности его положительных и отрицатель-
232
Глава 5
Влияние на жену (Положительное)
Показатель мужа
(Отрицательный)
Показатель мужа
(Положительный)
Влияние на жену (Отрицательное)
(а)
Влияние на жену (Положительное)
Показатель мужа Показатель мужа
(Отрицательный) х' (Положительный)
х ' Влияние на жену (Отрицательное)
(Ь)
Рис. 5.2. Функции влияния двух возможных видов: функция влияния мужа на жену,
горизонтальная ось — предыдущий показатель БСОВС для мужа Я*, вертикальная
ось — зависимая составляющая Лнил(Н*+1) следующего показателя жены Wt+i.
Влияние жены на мужа Iwh(Wi+i) может быть представлено графически анало-
гичным образом. В (а) влияния нет, если только предыдущий показатель партнера
не лежит вне исследуемых пределов. Вне этих пределов влияние приобретает либо
устойчивую положительную величину, либо устойчивую отрицательную величину.
В (Ь) влияние растет линейно с величиной предыдущего показателя, но отрицатель-
ный показатель может иметь либо более сильное, либо менее сильное влияние, чем
положительный показатель. На обоих графиках показатель, равный нулю, имеет ну-
левое влияние на следующий показатель партнера (одно из допущений модели)
ных показателей при условии, что показатель партнера равен нулю, то есть
позитивное уравновешивается негативным4. Для облегчения вычислений
4Это независимое стационарное состояние не следует рассматривать как индивидуальную
переменную, отвечающую, например, настроению или темпераменту данной личности. Этот
показатель может рассматриваться как совокупный эффект замужества до начала наблюдения,
5.3. Стратегия моделирования и уравнения модели
233
мы допустили, что показатели, равные нулю, не имеют влияния на последу-
ющий показатель партнера. Вычислив эти параметры из части имеющихся
данных, мы далее вычли независимые эффекты из всего временного ря-
да, чтобы определить функцию влияния, отвечающую итоговому влиянию
партнера. Результатом нашего моделирования стало зависимое стационар-
ное состояние (или состояния) взаимоотношений. В контексте взаимоотно-
шений между супругами это означает последовательность двух показате-
лей (один для каждого партнера), которая бы повторялась без изменений,
если бы теоретическая модель точно описывала временной ряд; если та-
кое стационарное состояние (или состояния) устойчивое, тогда последова-
тельность показателей со временем сходится к некоей точке. Нам кажется,
было бы любопытно исследовать, является ли зависимое стационарное со-
стояние более положительным, чем независимое стационарное состояние;
иными словами, способствуют ли взаимоотношения между супругами бо-
лее позитивному или более негативному настрою каждого из них.
53. Стратегия моделирования и уравнения модели
Стратегия моделирования следует философии, заявленной в этой кни-
ге, а именно, мы начинаем с построения относительно простых нелиней-
ных моделей для бесспорно сложных процессов, а именно, для процес-
сов, являющихся частью человеческих отношений. Обычно стратегия кон-
струирования моделей состоит в том, чтобы предложить самые простые
и подходящие уравнения, которые бы включали в себя ключевые элемен-
ты биологических процессов, лежащих в основе моделируемых процессов.
Соответственно, в дальнейшем модели и их качественные решения расши-
ряются и модифицируются другими факторами и последующими данными.
Итак, в нашем случае мы также начинаем с самой простой модели, кото-
рая бы подходила для взаимоотношений между супругами и отражала бы
данные лабораторных исследований. Мы ожидаем, что уравнения нашей
модели можно будет со временем расширить, предположив впоследствии,
что некоторые из параметров могут и не быть устойчивыми константами,
а могут меняться наравне с другими переменными, описывающими экспе-
римент.
а также любой склонности, позитивной или негативной, которую этот индивидуум должен
проявить в данное время. Поэтому если наблюдается второе взаимодействие (особенно если
оно следует за вмешательством), интересно попытаться предсказать изменения этого пара-
метра во времени. Было бы интересно определить устойчивость независимого стационарного
состояния личности в процессе других нежели супружеских контактов, например, при взаи-
модействии с ребенком или друзьями.
234
Глава 5
Мы хотим, чтобы модель воспроизвела последовательность показате-
лей БСОВС для каждого говорящего. Мы используем детерминистскую мо-
дель, следуя которой, каждый показатель определяется только двумя самы-
ми последними показателями. Таким образом мы используем дискретную
модель для описания уровня позитивности каждой реплики говорящего.
Иными словами, мы стремимся представить взаимодействие таким обра-
зом, как будто поведение личности зависит исключительно от предопре-
деленных реакций (и объяснений) на последние действия (свои и партне-
ра). Этот сценарий может и не быть полностью верным, но он является
достаточно верным для того, чтобы результаты модели позволили бы впо-
следствии представить схему, лежащую в основе взаимоотношений пары,
стремящейся разрешить конфликт5.
Мы обозначаем как Wt и Ht показатели соответственно жены и му-
жа в момент реплики t и полагаем, что показатель каждого индивидуума
определен единственно его собственным показателем и предыдущим по-
казателем его партнера. Последовательность показателей, таким образом,
представлена чередующейся парой связанных разностных уравнений:
Ж+1 =f(wt,Ht),
где функции f и д должны быть определены. Асимметрия индексов объяс-
няется тем, что мы полагаем без потери общности, что жена говорит пер-
вая. Поэтому очередность речи обозначается как VKi, Hi, W2, Н2,.. Для
того, чтобы выбрать подходящие fug, мы делаем упрощающие допуще-
ния. Во-первых, мы полагаем, что последние два показателя вносят вклад
по отдельности и что эффект можно суммировать. Следовательно, показа-
тель индивидуума рассматривается как сумма двух составляющих, одна из
которых зависит только от его предыдущего показателя, а другая — от по-
казателя его партнера в момент его последней реплики. Мы называем их
независимая и зависимая составляющие соответственно.
Вначале рассмотрим независимую составляющую поведения. Это по-
ведение, которое бы демонстрировал индивидуум, не подверженный влия-
нию своего партнера. Оно могло бы быть функцией индивидуума, а не су-
пружеской пары, или оно могло бы быть накопленным эффектом от преды-
5 Этот вид моделей заметно отличается от моделей теории игр. где существует предполо-
жительная матрица наград и затрат и цель по оптимизации некой величины. Мы не ставим
задачей ни явную оптимизацию, ни личную цель. Каждый индивидуум просто обладает опре-
деленным уровнем положительных и отрицательных эмоций, а также инерцией (определяю-
щей насколько быстро гасится любой сдвиг из естественного состояния), на которые оказывает
свое влияние партнер и случайные факторы. Мы не вводим концепцию «стратегии».
5.3. Стратегия моделирования и уравнения модели
235
дущих взаимоотношений, или и тем и другим. Кажется разумным предпо-
ложить, что некоторые люди, как правило, проявляют больше отрицатель-
ных эмоций, оставаясь наедине, тогда как другие естественным образом
настроены более позитивно. Этот базисный нрав мы называем независи-
мым стационарным состоянием индивидуума. Мы полагаем, что каждый
индивидуум так или иначе приближается через какое-то время к этому ста-
ционарному состоянию, независимо от того, насколько счастливым или на-
сколько печальным он сделался в результате предыдущих взаимоотноше-
ний. Простейший способ моделирования последовательности независимых
показателей состоит в том, чтобы допустить, что независимое поведение
можно моделировать простым линейным уравнением:
Pt+1 = riPt + ai, (5.2)
где Pt — показатель говорящего в момент реплики t, г г — скорость, с ко-
торой индивидуум возвращается в независимое стационарное состояние,
и ai — константа. Это уравнение можно решить простой итерацией. Ес-
ли Pq — начальное состояние при t = 0, то мы имеем
Pi = пРо + а,
Pz = TiPi + а = п[пРо + а] + а = г2Р0 + а(1 + п),
: (5.3)
Pt = г*Р0 + а(1 + П + ... + г- т)
Параметр г*, начиная с этого места, будет называться инерцией. Неза-
висимое стационарное состояние определяется из условия, что Pt+i = Pt =
= Р, и из уравнения Р = ai(l — г^), что, конечно, является предельным
решением в (5.3), но только если гг меньше единицы. Поведение зависит
главным образом, от значения п. Если \п | < 1, то тогда система будет стре-
миться к стационарному состоянию независимо от начальных условий, в то
время как если \п | > 1, то стационарное состояние будет неустойчиво.
Очевидно, что естественное состояние должно быть устойчивым,
а значит нас интересует только случай, когда |rj| < 1. Величина гг опре-
деляет, как быстро достигается независимое состояние при переходе из
какого-то другого состояния, или как быстро у индивидуума меняется на-
строение, откуда и берется слово инерция. Чем больше г$, тем медленнее
возврат в стационарное состояние после возмущения.
Выбрать вид зависимой составляющей поведения можно несколькими
способами. Функция влияния представляет собой график, где показатель
236
Глава 5
поведения индивидуума в момент реплики t откладывается по горизон-
тальной оси и показатель поведения его партнера в момент ответной ре-
плики t 4-1 — по вертикальной оси. Усредненные показатели наносятся на
график на протяжении всего взаимодействия. Первый подход к решению
состоит в том, чтобы написать эти функции влияния в теоретическом виде
(вспомним рисунок 5.2). Например, мы можем взять за основу функцию
с двумя прямыми линиями, которые выходили бы из начальной точки под
двумя разными углами, причем одна ветвь располагалась в положительном
диапазоне, а другая — в отрицательном. Другая возможная функция имеет
сигмоидный вид или S-вид, то есть вид, который можно аппроксимировать
по кусочно-постоянным отрезкам прямой. Если рассмотреть эту функцию
вблизи нулевой области, то видно, что по горизонтальной оси влияние от-
сутствует, и появляется оно только после того, как функция проходит некий
порог позитивности, после чего влияние позитивно и неизменно во всем
положительном диапазоне. Аналогично, при переходе через порог негатив-
ности, влияние негативно и таким и остается по всему отрицательному
диапазону. Конечно, для функции влияния можно представить и другой
вид; например, можно совместить обе функции и получить порог и два
склона. Мы просто допускаем, что углы наклона кривой, отвечающей нега-
тивному и позитивному влиянию, появляются только после преодоления
неких пороговых значений. В соответствии с философией этой книги пра-
вильнее всего начать с наиболее простого допустимого вида, что потребует
вычисление меньшего числа параметров. Модель можно усложнить позже,
как только станет ясно, что это усложнение необходимо. В этой главе мы
обсуждаем обе функции, с двумя наклонами и сигмоидную.
Альтернативный подход к выбору функций влияния состоит в том, что-
бы попытаться представить вид функции; Cook с соавторами (1995) в дей-
ствительности выбрали этот подход. Мы ожидали, что функции влияния
каждого индивидуума будут отличаться друг от друга, и решили, что од-
на из целей построения модели состоит в очистке функции зависимости
от наносных данных. В первом исследовании мы действовали только эм-
пирически и использовали данные, чтобы выявить функции влияния. Мы
суммировали результаты, используя функцию влияния с двумя наклонами.
Все это означает, что цель нашего математического моделирования на этом
этапе состоит в создании теории. Обозначим функции влияния как Iab(Ai),
влияние состояния индивидуума А в момент реплики t на состояние инди-
видуума В. С такими допущениями модель имеет вид:
m+i = + n Wt + а, (5.4)
Ht+i = /wH(Wf+i) + r^Ht + Ь. (5.5)
5.3. Стратегия моделирования и уравнения модели
237
Как и раньше, асимметрия индексов объясняется тем, что мы допускаем,
что жена говорит первая. Ключевой проблемой на этом этапе представля-
ется оценка четырех параметров ri, а, 7*2 и 6, а также эмпирическое опре-
деление двух неизвестных функций влияния.
Оценка параметров и функций влияния
Для того чтобы вычленить и вычислить независимое поведение, мы
смотрим только на пару показателей для одного индивидуума при усло-
вии, что промежуточный показатель партнера равнялся нулю (около 15 %
данных). Например, возьмем операцию по определению параметров жены.
Мы смотрим на подмножество точек Wt), где Ht = 0, и допуска-
ем Ihw — 0, тогда уравнение (5.4) становится линейным (несвязанным)
уравнением подобно (5.2). Далее методом наименьших квадратов мы опре-
деляем параметры ri и сц. Мы делаем то же самое для набора показателей
мужа при Wt = 0 и определяем г 2 и а,2 аналогичным способом6. Теперь мы
можем рассчитать независимые стационарные состояния и инерцию каждо-
го партнера.
Если мы вычислили независимую составляющую показателя, мы мо-
жем вычесть ее из показателя в момент реплики t + 1, чтобы найти зависи-
мую составляющую. То есть мы вычисляем Inw(Ht') =
для каждого Ht. Каждому значению показателя мужа во время разговора
должен, вероятно, соответствовать некий диапазон наблюдаемых значений
зависимой составляющей вследствие шума в данных. Для того, чтобы пре-
вратить их в оценки функции влияния Inw(Ht), мы просто усредняем на-
блюдения для каждого из показателей мужа, Ht. Затем мы делаем то же
самое для функции влияния мужа Луя(И^), рассматривая ее как функ-
цию показателя жены Wt. Таким способом, имея сырые данные влияния
и усредненную функцию влияния, мы можем построить графики для каж-
дого члена семейной пары.
Для обоснования процесса вычисления мы воссоздаем диалог по мо-
дельным уравнениям. Мы начинаем с того, что берем двух партнеров, счи-
тая, что на их состояние ничто не влияет (независимое состояние) (для
этой реконструкции допускаются нецелые числа), и проводим итерацию
6 Если бы эти точки с нулевым влиянием были редки, было бы сложно получить точные
оценки параметров модели, поскольку доверительные интервалы вокруг параметров были бы
велики. Хотя это и кажется сильным предположением, однако предположение, что нулевые
показатели имеют нулевое влияние, является условным. Мы могли бы принять ненулевые
влияния, сделать из них дополнительные параметры и провести оценку и этих параметров то-
же. В действительности, асимметрия этих параметров могла бы иметь теоретический интерес
для характеристики взаимодействия супругов. В целях экономии мы приняли эти параметры
равными нулю.
238
Глава 5
для приблизительно 80 реплик, наблюдаемых в ходе обычного пятнадцати-
минутного диалога. При этом составляющие подсчитываются по отдельно-
сти, а затем суммируются, в результате чего получается следующий пока-
затель. Независимая составляющая получается из линейного уравнения ти-
па (5.2). Зависимая составляющая поведения вычисляется путем простого
округления предыдущего показателя партнера до ближайшего целого числа
и выведения влияния из средней функции влияния этого лица, о которой
говорилось выше. Воссозданный диалог, таким образом, оказывается ли-
шенным всякой случайности; мы не считаем, что подобный «ожидаемый»
разговор мог бы произойти в жизни. Скорее он представляет собой общее
направление.
5.4. Стационарные состояния и устойчивость
Для каждой супружеской пары мы чертили изоклины модели на фазо-
вой плоскости (Wt, Ht). Здесь одна точка на плоскости соответствует паре
чисел, представляющих показатели мужа и жены во время одного взаимо-
действия (две реплики). По мере того, как идет время, эта точка движется,
оставляя за собой след в фазовом пространстве. Нас интересует устойчи-
вость стационарных состояний, то есть точек пересечения изоклин. Нет
сомнения, что эти стационарные состояния очень важны, поскольку обес-
печивают критическую информацию о состоянии брака и являются направ-
ляющими при разработке курса возможной терапии. Поскольку изоклины
получаются из данных, мы определяем стационарные состояния обычным
способом, находя точки пересечения изоклин. Здесь, однако, мы имеем свя-
занные дискретные уравнения, что означает, что мы должны объяснить, что
мы имеем в виду, говоря об изоклине для таких уравнений. Вспомним, как
мы определяли изоклину в главе 3. Это — кривая на фазовой плоскости,
на которой величины не меняются со временем. Изоклина индивидуума
является функцией последнего показателя его партнера и в то же время яв-
ляется значением его собственного результата, если остается неизменной
после одной итерации, другими словами, когда И^+1 = Wt и = Ht.
Как мы видели в главе 3, построение изоклин дает простой графический
способ определения стационарных состояний. Из (5.4) и (5.5) изоклины
^hw и Nwh задаются соответственно следующими уравнениями:
NHW:W(Ht) = lH^Ht^a, NWH: H(Wt) = Iw^Wt)^b. (5.6)
(1-п) (1-Г?)
Эти уравнения — просто функции влияния, перемещенные на постоянные
величины а и b и отмасштабированные постоянными величинами 1 — п
5.4. Стационарные состояния и устойчивость
239
и 1 — г2 соответственно. Тогда стационарные состояния задаются точка-
ми пересечения этих изоклин, поскольку, по определению, если
начинаются в подобной точке, там они и остаются. Это понятие является
абсолютно тем же, что и для дифференциальных уравнений. Кроме того,
так же как и в случае дифференциальных уравнений, основную инфор-
мацию о системе получают из анализа устойчивости стационарных состоя-
ний. Поскольку мы не установили аналитическую форму функций влияния,
мы продолжим исследовать систему качественно.
Однако стоит поговорить о том, что бы было, если бы мы заранее
выбрали для функций влияния определенную функциональную форму. По-
ложим, мы решили, что Ihw(Hi) будет иметь ту же кусочно линейную
сигмоидную форму, что и кривая в верхней части рисунка 5.2, с анало-
гичной формой для /ц я(И^). Это предположение допустимо, поскольку
оно подразумевает наличие двух порогов влияния, а также тот факт, что
влияние ограничено как в положительной, так и в отрицательной областях.
Пара уравнений (5.6) может быть легко решена графически — достаточно
нарисовать графики функций влияния, а затем перемещать и растягивать
их в соответствии с (5.6). Стационарные состояния задаются, как обычно,
точками пересечения изоклин.
Эти стационарные состояния, находящиеся в точках пересечения изо-
клин, соответствуют положению, в котором показатели мужа и жены оста-
ются неизменными на протяжении некоторого времени диалога. Эти точ-
ки мы называем зависимыми стационарными состояниями. Даже если бы
пара во время диалога достигла одного из этих состояний, то ответ на во-
прос, останется ли она в этой точке или нет, при том, что показатель каж-
дого партнера с каждой новой репликой остается неизменным, зависит от
устойчивости стационарных состояний. Хотя может существовать несколь-
ко зависимых стационарных состояний (в зависимости от функций влия-
ния и независимых параметров), на сегодняшний день мы, как правило,
наблюдаем только одно. На рисунке 5.3 представлены возможные сценарии
с изоклинами, где возможно существование 5 стационарных зависимых со-
стояний. Соответствующие типичной форме функций влияния, изображен-
ной в верхней части рисунка 5.2, изоклины, обозначенные NhW и NwH,
представлены на рисунке 5.3.
Анализ устойчивости стационарных состояний приводится ниже. Мы
знакомы с понятием устойчивости и неустойчивости из моделей, обсуждав-
шихся в предыдущих главах. Основные идеи в этом случае абсолютно те
же, с той только разницей, что здесь мы имеем дело с показателями БСОВС.
Если бы воображаемый диалог продолжался какое-то время, то пары пока-
зателей приблизились бы к устойчивому стационарному состоянию и уда-
240
Глава 5
Рис. 5.3. Изоклины определяют стационарные состояния для типичной кусочно-ли-
нейной формы функции влияния, представленной на рисунке 5.2(a). Изоклины име-
ют ту же общую форму, что и функции влияния, но передвинуты и растянуты
(см. (5.6)). Когда изоклины проводятся относительно их соответствующих осей,
то стационарные состояния системы находятся в точках пересечения. На рисунке
(а) пересечение двух изоклин показывает, что эта форма функции влияния допус-
кает существование пяти стационарных состояний; можно заметить, что графики
функций влияния мужа и жены представлены как зеркальные отражения. Устойчи-
вость этих точек очень важна. На рисунке (Ь) существует только 2 стационарных
состояния (ни одно из них не может быть устойчивым). На рисунке (а) устойчивые
стационарные состояния (черные круги) чередуются с неустойчивыми стационар-
ными состояниями, как мы показываем в тексте. В зависимости от формы функций
взаимодействия существуют и другие возможности
5.4. Стационарные состояния и устойчивость
241
лились бы от неустойчивого состояния. Хотя в нашем случае теоретически
возможно наблюдать периодическое поведение, здесь эта возможность не
обсуждается. Каждое устойчивое стационарное состояние имеет бассейн
притяжения.
Давайте исследуем устойчивость стационарных состояний Ws и Hs
из (5.4) и (5.5). В соответствии с обычной процедурой мы полагаем
Wt = wa + ^
Ht = Hs + ht, ( )
где |о>$| и \ht\ малы. Подставив их в (5.4) и (5.5), разложив в ряд Тейлора
и сохранив только линейные члены, получаем
^it+i = + ^7+1 = Ihw(Hs + ht) + ri(lV5 + c^t) + а «
~ Ihw(Hs) + htljfw(Hs) + ri(^s + o?t) + a,
где производная I'HW(Hs) = dlHw{Ht)/dHt вычисляется в стационарном
состоянии Hs\ так же и для Но Ihw(Hs) + r\Ws + a = Ws
по определению стационарного состояния Ws, тогда последнее уравнение
упрощается до
— ri^t + (^-9)
Таким же образом из уравнения для мужа (5.5) получаем
ht+i = ^ht IwH(Ws)&t+i, (5.10)
что при подстановке вместо о^+1 дает вместе с (5.9) следующую систему
линейных дифференциальных уравнений:
Г1
nI'WH(Ws)
г2 + ^vh(Ws)I'hw(Hs)_
где M, определенная в (5.11), является матрицей устойчивости.
ht\ ’
(5.11)
В соответствии с обычной процедурой мы ищем решения (5.11) в ви-
де:
(5.12)
и определяем собственные значения Л. Поскольку эта система второго по-
рядка, у нее, как правило, два А. Устойчивость достигается, если величина
обоих А (которые могут быть как положительными, так и отрицательны-
ми) меньше единицы, поскольку в этом случае решения возмущений ви-
да (5.12) затухают с увеличением t и постепенно сходят на нет.
242
ГЛАВА 5
Подстановка (5.12) в (5.11) требует, чтобы А были решениями опреде-
лителя
^*1 ^HW Ш _ q /г -I о\
tJwh№) r2 + IfWH{Ws)IfHW{Hs}-X "U’
то есть
А2 — (ri + + rlr2 = О,
из чего следует, что значения А есть
Ai, Аг — [(п + r2IwHI'HW} ± {(ri + r^wH^Hw? ~ 4г1Гг} 1.
(5.14)
Тогда решения для возмущений wt и ht даются как
= AAi +ВА2,
(5.15)
где А, В — столбцы с постоянными элементами. Если |Ai | > 1 или |А2| > 1,
то тогда и ht будут расти с каждым увеличением t и стационарное состо-
яние будет линейно нестабильно. Для устойчивости, таким образом, требу-
ется:
— 1 < Ai < 1 и - 1 < А2 < 1. (5.16)
В этом случае wt и ht стремятся к нулю при увеличении t.
Подставим выражения для Ai и Х2 из (5.14) в (5.16) для того, что-
бы узнать, при каких и, r2, I'HW(Hs) и Iwh(Ws) стационарное состо-
яние Ws, Hs устойчиво. Хотя мы можем сделать это для общих значе-
ний ri и г2, в этом мало смысла, поскольку нам известно, что 0 п < 1
и 0 < r2 < 1. Если бы одно из них было бы больше 1, то не было бы
независимых стационарных состояний, поскольку, как следует из (5.3), оно
(Pt) было бы бесконечно велико при больших t. Тогда с этими практиче-
скими ограничениями, продиктованными моделью (и в действительности
подкрепленными данными), нам необходимо рассмотреть только неотрица-
тельные значения п < 1 и r2 < 1.
В этом случае для выполнения условий устойчивости необходимо,
чтобы выражение в квадратной скобке из (5.14) было бы меньше, чем 2.
Немного алгебраических преобразований показывает, что в стационарном
состоянии Ws, Hs мы должны иметь:
I'wh(Ws)I'hw(Hs) < (1 - п)(1 - г2),
(5-17)
5.4. Стационарные состояния и устойчивость
243
где 7(vh(H/s) — dIwH(Wt)/dWt вычисляется в стационарном состоя-
нии Ws, Н$ и аналогично Итак, если мы хотим оценить устой-
чивость стационарного состояния, мы должны вычислить производные
функций влияния и использовать (5.17).
В общем можно сказать, что большой наклон функции влияния и вы-
сокая инерция, или r-параметры, дестабилизируют стационарное состоя-
ние. Вспомним, что высокая инерция означает г близкое к 1. Например,
если каждая функция влияния имеет наклон больше единицы, то стацио-
нарное состояние будет неустойчивым, независимо от значений инерции.
Это согласуется с нашими интуитивными догадками, когда мы объясняем
неустойчивость как усиление небольших возмущений. Влияние является
мерой воздействия, которое один партнер оказывает на другого партнера
и которое может быть так велико, что изменение влияния может приводить
к усилению (флуктуаций) или совместной неустойчивости. С другой сто-
роны даже пары с относительно плоскими (производная мала) функциями
влияния могут иметь неустойчивое стационарное состояние, если инерция
одного из партнеров высока (близка к 1).
Условие (5.17) может быть представлено графически. Изоклины могут
пересекаться двумя способами, как представлено на рисунке 5.4(a) или (Ь).
На основании (5.4) и (5.5) выводятся уравнения для изоклин (5.6), а имен-
но:
+ Nwh:H=1^^, (5.18)
(1—Fi) (1-Г2)
где Nhw — это изоклина жены, a Xwh — изоклина мужа. Если мы те-
перь возьмем производные этих величин, соответственно, по Н и по W, то
получим
dW] [din I^W)
dH На изоклине 1 - n ’ dW На изоклине 1 — r2
жены, Nhw мужа, Nwh
Итак, условиями устойчивости (5.17) становятся просто
dH
dW На изоклине
мужа, Nwh,
в точке Ws, Hs
dW
dH
На изоклине
жены, Nhw,
в точке Ws, Hs
как условия для градиентов в точке стационарного состояния. Если обоз-
начить вертикальная ось как W и горизонтальная ось как Н, последнее
244
Глава 5
выражение, гарантирующее устойчивость, может быть написано как
dW
dH
На изоклине
жены, Nhw,
dW
dH
На изоклине
мужа, Nwh,
(5.19)
в точке Ws, Hs
в точке Ws, Hs
Итак, все, что от нас требуется, это оценить градиенты, и тогда устойчи-
вость или неустойчивость каждого стационарного состояния будет тут же
получена. Давайте рассмотрим несколько примеров, используя изоклины
и стационарные состояния, представленные на рисунках 5.4(a) и (Ь).
Рис. 5.4. Изоклины и устойчивость стационарных состояний в модели взаимоотно-
шений между супругами. Стационарные состояния соответствуют точкам пересе-
чения изоклин. Устойчивость любого стационарного состояния можно определить
графически (подробности смотри в тексте); когда изоклины пересекаются, как по-
казано на рисунке (а), тогда стационарное состояние неустойчиво; когда они пере-
секаются, как показано на рисунке (Ь), тогда стационарное состояние устойчиво,
Н = муж, W = жена
Рассмотрим вначале положительное стационарное состояние на рисун-
ке 5.4(a). При внимательном рассмотрении градиент изоклины жены боль-
ше, чем градиент изоклины мужа. Тогда условие (5.19) не удовлетворяется,
а значит положительное стационарное состояние неустойчиво. Если теперь
мы посмотрим на рисунок 5.4(b), то увидим, что условие (5.19) выполня-
ется, а значит стационарное состояние устойчиво.
Рассмотрим теперь рисунок 5.3. В стационарных состояниях, соответ-
ствующих белым кружкам, градиенты равны бесконечности, поэтому кри-
терий устойчивости, определенный в (5.19), не выполняется, таким обра-
5.4. Стационарные состояния и устойчивость
245
зом. можно сделать вывод, что эти стационарные состояния неустойчивы.
С другой стороны, черные кружки имеют нулевой градиент, тогда критерий
устойчивости, определенный в (5.19), удовлетворяется и, следовательно,
они устойчивы. Как мы могли бы ожидать, стационарные состояния череду-
ются в устойчивости и неустойчивости. В заключение стоит заметить, что
при упомянутых условиях для параметра инерции (0 С п < 1, 0 С г2 < 1)
мы можем определить графически не только стационарные состояния, но
и их устойчивость. Простым следствием этого условия устойчивости точ-
ки пересечения изоклин является тот факт, что устойчивые и неустойчивые
стационарные состояния должны чередоваться, то есть любые два устойчи-
вых стационарных состояния разделяются неустойчивым состоянием, или
наоборот. Если мы допустим, что функции влияния есть монотонно уве-
личивающиеся функции, тогда стационарные состояния могут быть упоря-
дочены. Под этим мы подразумеваем, что значения стационарных состоя-
ний Ws и Hs будут оба расти по мере перехода от одного стационарного
состояния к другому. Если мы допустим, что кажется вполне разумным, что
функции влияния насыщаются, тогда самое высокое и самое низкое стаци-
онарные состояния, очевидно, устойчивы (они должны пересекаться как
показано на рисунке 5.4(b)) (см. также рисунок 5.5); должно существовать
нечетное число стационарных состояний, в которых устойчивое состояние
чередовалось бы с неустойчивым, причем первое и последнее из них долж-
но быть устойчивым. Завершая вышесказанное, можно сказать, что, гово-
ря об устойчивости, мы подразумеваем линейную устойчивость, поскольку
очевидно, что мы можем возмутить устойчивое стационарное состояние та-
ким образом, что оно окажется в бассейне притяжения другого устойчивого
стационарного состояния.
Для определения бассейнов притяжения каждого устойчивого стацио-
нарного состояния нам требуется определить сепаратрисы. Как и для боль-
шинства систем дифференциальных уравнений, делать это следует путем
вычислений. Впрочем, по крайней мере, в окрестности каждого устойчиво-
го стационарного состояния мы можем получить представление о силе при-
тяжения. Когда речь идет о дифференциальных уравнениях, один из спо-
собов измерения силы притяжения в окрестности стационарного состояния
состоит в построении функции энергического типа, как, например, функ-
ции Ляпунова. Это не всегда просто. Насколько нам известно, для систем
разностных уравнений, подобных той, что описывает нашу модель взаи-
моотношений между супругами, такого эквивалента не существует. Тем не
менее мы можем задать параметр в окрестности устойчивого стационар-
ного состояния, особенно в линейной окрестности, который помог бы нам
представить, пусть и относительную, силу аттрактора устойчивого стацио-
нарного состояния.
246
Глава 5
Рис. 5.5. Изоклины и типичная последовательность показателей БСОВС в случае
трех стационарных состояний. Сплошная линия — это изоклина, отвечающая вли-
янию мужа на жену, в то время как пунктирная изоклина — влияние жены на му-
жа. Два устойчивых стационарных состояния (большие черные кружки) разделены
неустойчивыми стационарными состояниями (большие белые кружки). Показано,
что возможная последовательность показателей приближается к положительному
стационарному состоянию (маленькие черные кружки). Каждая точка соответствует
последовательной паре показателей (Wt, Ht). Оба устойчивых стационарных состо-
яния обладают бассейном притяжения, состоящим из точек, начиная с которых, по-
следовательность теоретических показателей БСОВС приближается к изучаемому
стационарному состоянию. Кривая сепаратрисы, очерчивающая бассейны притяже-
ния, показана как пунктирная линия. Пары показателей постепенно приближаются
к одному из положительных устойчивых стационарных состояний; долговремен-
ное поведение, таким образом, зависит от бассейна притяжения, в котором лежит
начальная пара показателей
Решения для линейных возмущений wt и ht вблизи стационарного сос-
тояния даны в (5.15). Для устойчивых стационарных состояний |Ai| < 1
и |А2| < 1- Для конкретности предположим, что |Д2| < |Ai|. По мере уве-
5.4. Стационарные состояния и устойчивость
247
личения t член, включающий А*, начинает доминировать в решении. Чем
ближе |Ai | к 1, тем медленнее угасают возмущения вблизи стационарно-
го состояния и, следовательно, тем слабее притяжение стационарного сос-
тояния. Итак, мера или линейная мера силы S притяжения устойчивого
стационарного состояния определяется следующим образом:
S = maximum(|Ai| и IA2I)-
Чем ближе S к единице, тем слабее аттрактор, или наоборот, чем ближе S
к нулю, тем аттрактор сильнее. Этот результат может иметь большое зна-
чение. Например, один из эффектов терапии брака может быть направлен
на укрепление положительного аттрактора и ослабление отрицательного ат-
трактора; мы обсуждаем использование теории в терапии брака ниже.
Пример гипотетической последовательности показателей, приближа-
ющихся к более положительному стационарному состоянию, представлен
на рисунке 5.5. Этот теоретический диалог мог бы быть построен путем
простой итерации уравнений (5.4) и (5.5), начиная с любой пары показа-
телей. Возможность существования множества устойчивых стационарных
состояний, каждого со своим собственным бассейном притяжения, имеет
практические последствия. Модель предполагает, что конечный исход (по-
ложительное или отрицательное направление) диалога может в решающей
степени определяться начальными показателями каждого супруга. Место
старта в фазовом пространстве определяется фактическими начальными
условиями для каждой пары, другими словами, все зависит от того, в каком
бассейне притяжения вы начинаете диалог. Вообще из наших наблюдений
мы поняли, что конечные оценки могут практически полностью зависеть
от начальных показателей7.
Наблюдаемый или «воссозданный» диалог можно представить на фа-
зовой плоскости в виде последовательности соединенных точек. Интере-
суясь вопросом устойчивости стационарных состояний, мы задаем себе
вопрос, подразумевают ли математические уравнения, что воссозданная
7Несмотря на существование так называемой ошибочной пунктуации, когда взаимодей-
ствие может быть начато в любом произвольном месте, в ходе наших наблюдений было отме-
чено, что начальные оценки взаимодействия каждой супружеской пары были определяющими
для итоговой траектории. Мы рассмотрели вариант изменения функции влияния путем вве-
дения элемента исправления, который дает супружеской паре возможность переместиться из
отрицательного стационарного состояния в положительное стационарное состояние. С учетом
действия элемента исправления, совокупный график мог бы выглядеть как буква V. идя сна-
чала вниз, а потом меняя направление. К сожалению, в наших наблюдениях такое случалось
только в 4% случаев. Возможно, эффективная брачная терапия могла бы добавить элемент
исправления в функцию влияния. Детальное обсуждение этого вопроса можно найти в книге
Gottman с соавторами (2002).
248
Глава 5
последовательность будет приближаться к данному стационарному состо-
янию. Проводя аналитическое исследование, мы спрашиваем, куда сдви-
нется стационарное состояние, если небольшое возмущение нарушит его
положение. Конечно, провести теоретическое исследование поведения мо-
дели в ответ на возмущение вблизи стационарного состояния возможно
только в том случае, если мы имеем функциональную форму функций вли-
яния. Например, как мы уже отмечали, для сигмоидной функциональной
зависимости мы можем иметь 1, 3 или 5 стационарных состояний (см. ри-
сунок 5.3). В последнем случае, как можно видеть из графика изоклин (см.
рисунок 5.3), мы видим, что существует 3 устойчивых и 2 неустойчивых
состояния.
Что означает существование нескольких стационарных состояний на
практике? Это значит, что для данной супружеской пары все эти состояния
возможны. Даже если мы наблюдаем, что пара находится только около од-
ного из них, то, как следует из уравнений для этой пары, доступны и все
остальные состояния. Каждое устойчивое стационарное состояние имеет
бассейн притяжения, который является набором начальных точек, от ко-
торых воссозданная теоретическая временная последовательность прибли-
жается к данному стационарному состоянию. При наличии единственного
стационарного состояния бассейном притяжения будет служить вся плос-
кость, а это означает, что какими бы ни были начальные показатели, по-
следовательность всегда будет приближаться к этому единственному ста-
ционарному состоянию. Мы обнаружили, что это стремление к единствен-
ному устойчивому стационарному состоянию является обычным явлением
в наших данных. Если, с другой стороны, существует два устойчивых ста-
ционарных состояния (и, неизбежно, одно неустойчивое), плоскость будет
поделена на две области, два бассейна притяжения (см. рисунок 5.5). Если
показатели начинаются в бассейне притяжения первого устойчивого стаци-
онарного состояния, то со временем последовательность показателей будет
приближаться к этому стационарному состоянию. То же самое происхо-
дит и со вторым устойчивым стационарным состоянием и его бассейном
притяжения. Эта ситуация отражена на рисунке 5.5. Супружеская пара на-
чинает в точке (VK1, Hi) на фазовой плоскости, затем перемещается в точ-
ку (W2,H2), далее в точку (W^H^) и так далее, направляясь к большо-
му черному кружку, представляющему устойчивое стационарное состояние
и находящемуся в точке пересечения изоклин. Окончательное направление,
в котором развивается диалог, в решающей степени зависит от начальных
условий. Таким образом, пары с высокой инерцией и высокой степенью
влияния (которые с большей вероятностью будут иметь множество стаци-
онарных состояний) могут потенциально демонстрировать положительный
5.5. Практические результаты модели
249
диалог один день и одновременно быть не в состоянии разрешить конфликт
днем позже. Единственной разницей могло быть только то, где начинался
диалог (начальные показатели БСОВС). Функции влияния и независимые
параметры должны были быть одинаковыми каждый день. Это обсуждение
конкретизирует понятие теории общих систем об изменении первого по-
рядка (или более внешней, поверхностной структуре) и изменении второго
порядка (или более значимой, глубокой структуре) (Watzlawick at al. 1967).
В нашей модели изменение первого порядка означает, что могут менять-
ся стационарные состояния, но не функции влияния, тогда как изменение
второго порядка подразумевает и изменение функций влияния тоже.
5.5. Практические результаты модели
Функции влияния
Заметим, что функции влияния принято считать принадлежностью то-
го, кто оказывает влияние, хотя мы понимаем, что партнер, на которого вли-
яют, также играет роль в определении влияния. В качестве грубого прибли-
жения к форме функции влияния, полученной в результате обработки дан-
ных методом наименьших квадратов, нами использовалась функция с дву-
мя наклонами, где высчитывался угол наклона функции влияния отдельно
для отрицательных и положительных оценок поведения партнера. Горизон-
тальная ось представляла диапазон положительных и отрицательных оце-
нок в каждой группе. Только о данных, находящихся вблизи естественного
стационарного состояния каждой группы, можно было с уверенностью ска-
зать, что они не включают редкие числа случайных оценок БСОВС в пре-
делах группы. Это значит, что мы получаем более надежные данные для
упорядоченных пар в положительных областях, а для неупорядоченных —
в отрицательных областях горизонтальной оси. На рисунке 5.6 представлен
обзор эмпирически полученных функций для пяти групп пар, три из кото-
рых представляют устойчивые браки (основательные, вспыльчивые и осто-
рожные) и две — неустойчивые (враждебные и враждебно-отчужденные).
В эвристических целях мы использовали модель функции влияния с 2-
наклонами. Итак, рассмотрим, что же изображено на рисунке. Три верхних
графика представляют функции влияния трех упорядоченных браков. Ос-
новательные пары имеют такую функцию влияния, при которой негативное
поведение одного из супругов оказывает негативное влияние на его парт-
нера, тогда как положительное поведение одного из супругов влияет на его
партнера позитивно. Функции влияния вспыльчивых и осторожных супру-
гов являются равными половине функции основательных партнеров каж-
250
Глава 5
Теоретическая функция
Вспыльчивый муж Вспыльчивая жена вспыльчивости супругов
0.10
0.20 '"—0.02 -0.02^ —
Теоретическая функция
Основательный муж Основательная жена основательных супругов
0.15
0.31
0.28
Осторожный муж
Осторожная жена
-0.05
0.30
0.15
Теоретическая функция
осторожных супругов
Враждебный муж
основательный.
муж
Враждебная жена
осторожная t
жена
0.16..
0.14
Враждебно-отчужденная
жена
вспыльчивая
жена
Враждебно-отчужденный
муж
основательный,,
0.17
0.02
0.25
Рис. 5.6. Эмпирически полученные функции влияния с использованием 2-наклон-
ной функциональной формы для функции влияния. Все три верхние типа брака
находятся в категории надежных; для каждого из них можно определить теорети-
ческую функцию влияния. Два нижние типа брака относятся к категории ненадеж-
ных; видно несовпадение между наклонами кривых. Например, в графиках враж-
дебно-отчужденных супругов муж имеет функцию влияния, характерную для осно-
вательных мужей, в то время как жена имеет функцию влияния, характерную для
осторожных жен. Из-за подобного несовпадения определить теоретические функ-
ции влияния для таких типов супружеских пар не представляется возможным
5.5. Практические результаты модели
251
дая, причем у вспыльчивых супругов угол наклона правой половины кри-
вой стремится к нулю, тогда как у осторожных супругов к нулю стремится
угол наклона левой половины кривой. Результат наблюдения за совпадени-
ем функций суммируется в третьей колонке под названием функция теоре-
тического влияния. Теперь исследуем функции влияния для враждебных
и враждебно-отчужденных пар. Возникает впечатление, что полученные
данные могли бы подтвердить гипотезу о несоответствии партнеров. Оказа-
лось, что враждебные пары смешивают функцию влияния основательного
мужа с функцией влияния осторожной жены, а враждебно-отчужденные па-
ры смешивают функцию влияния основательного мужа и функцию влияния
вспыльчивой жены.
На основании рассмотренных данных можно предположить, что ос-
новательные супруги умели оказывать влияние друг на друга как положи-
тельным, так и отрицательным поведением, положительное влияние имело
положительный угол наклона, и отрицательное влияние также имело поло-
жительный угол наклона. Это означает, что оценки на отрицательной гори-
зонтальной оси имели отрицательное влияние, а оценки на положительной
горизонтальной оси имели положительное влияние. У основательных пар
угол наклона функции влияния был постоянным во всей области показате-
лей БСОВС и выглядел как идущая вверх прямая линия. Эти данные могли
бы быть получены благодаря знанию, что при оценке надежных браков
функции влияния имеют неизменный наклон по всем положительным и от-
рицательным показателям: общее негативное поведение в надежных браках
имеет негативное влияние, тогда как положительное поведение имеет по-
ложительное влияние. Здесь мы видим, что при этом типе взаимодействия
допускается самый широкий диапазон соотношения эмоций. В отличие от
этого вспыльчивые и осторожные пары имели функции влияния практиче-
ски противоположной формы. Осторожные супруги влияли друг на друга
только позитивными эмоциями (угол наклона функции в отрицательной об-
ласти показателей БСОВС равнялся нулю), тогда как вспыльчивые супруги
влияли друг на друга прежде всего негативными эмоциями (функция влия-
ния имела нулевой наклон в положительной области показателей БСОВС).
Функция влияния осторожной пары является, таким образом, практически
полной противоположностью функции влияния вспыльчивой пары.
Теория несовпадения: неустойчивые браки как возможное следствие
неуспеха в создании брака чистого типа
Форма функций влияния наводит нас на мысль, что данные по устой-
чивости и неустойчивости браков можно упорядочить весьма простым
способом — достаточно предположить, что враждебные и враждебно-от-
252
Глава 5
чужденные пары являются следствием неудавшейся попытки выработать
устойчивую приспособленность к одному из трех типов брака, характер-
ных для основательных, вспыльчивых и осторожных супругов. Другими
словами, наша гипотеза состоит в том, что длительный и устойчивый брак
недостижим для пар, не обладающих умением приспособиться друг к дру-
гу и иметь один из трех типов брака. Например, в неустойчивом браке
индивидуум, который больше подходит для вспыльчивого или осторожного
партнера, может образовать пару с тем, кто желал бы иметь брак основа-
тельного типа. Их функции влияния попросту не совпадают.
Эти результаты несовпадения напоминают хорошо известное эмпири-
ческое наблюдение в области брачных взаимоотношений, которое носит
название «наступательно-оборонительный» стиль. В соответствии с этим
стилем поведения один партнер стремится добиться своей цели и раз-
решить конфликт, тогда как другой партнер пытается уйти и избежать
конфликта. Gottman и соавторы (2002) предположили, что «наступательно-
оборонительный» стиль — это явление, сопутствующее несовпадению меж-
ду функциями влияния и тем, что каждый из партнеров предпочитает раз-
ные стили убеждения. Личность, которой больше по душе функция вли-
яния, свойственная осторожному партнеру, использующему для влияния
только положительные доводы, будет чувствовать себя плохо как с основа-
тельным, так и со вспыльчивым супругом, которые используют для влияния
негативные доводы. Обычно жена в браке является наступающей стороной,
а муж — обороняющейся. Эти общие результаты совпадают с наблюдени-
ем, что в умении критиковать преуспевают жены, а в умении блокировать
рассмотрение вопроса — мужья.
К сожалению, проще предложить эту гипотезу, чем проверить ее спра-
ведливость. Проблема, возникающая при проверке этой гипотезы, состо-
ит в том, что взаимоотношения между супругами являются средством для
классификации пар. Результатом этой классификации является разделение
брака на три типа: основательные, вспыльчивые и осторожные, а не опи-
сание стиля и предпочтений каждого индивидуума. В то время как для
проверки нашей гипотезы нужен независимый метод, который бы разде-
лял людей в зависимости от свойственного каждому способа разрешения
конфликта. Для того чтобы начать проверку этой гипотезы, мы подсчитали
различие между мужьями и женами по положительным и отрицательным
показателям БСОВС. Если наша гипотеза о несовпадении верна, мы бы-
ли бы вправе ожидать, что результаты анализа различий между группами
покажут более значительные расхождения между мужьями и женами сре-
ди враждебных и враждебно-отчужденных групп, чем среди трех устой-
чивых групп. Так оно и оказалось в соответствии с итогами, сделанными
5.5. Практические результаты модели
253
в работе Cook с соавторами (1995), которые объединили устойчивые браки
в одну группу и неустойчивые в другую. Таким образом, вполне возможно,
именно так и обстоят дела, и неустойчивые пары — это пример несовпаде-
ния стилей взаимодействия мужа и жены, которые отражают их различия
в предпочитаемых приспособлениях к семейной жизни. Или, возможно, эти
различия появились с течением времени как следствие неудовлетворенно-
сти браком.
Этот анализ не будет полным без обсуждения других параметров на-
шей модели для всех пяти групп семейных пар, а именно, инерции и зави-
симых и независимых стационарных состояний. Нужно отметить, что здесь
мы не приводим никаких статистических тестов. Наша цель состоит в ка-
чественном описании данных для создания теории. Под словом теория мы
понимаем предполагаемый механизм предсказания неустойчивости браков
по Gottman-Levenson.
Стационарные состояния и инерция
В таблице 5.1 представлены средние значения стационарных состоя-
ний и инерции для всех типов супружеских пар. Начнем с исследования
параметра инерции. Неупорядоченные пары имеют более высокое среднее
значение эмоциональной инерции, чем упорядоченные (надежные) пары;
различия больше среди жен, чем среди мужей (четырехкратная разница со-
ставляет 0.29 против 0.07 соответственно). Жены в неупорядоченных (нена-
дежных) браках обладают большей эмоциональной инерцией, чем мужья,
но в упорядоченных браках все наоборот. Как зависимые, так и независи-
мые стационарные состояния более негативны в неупорядоченных по срав-
нению с упорядоченными браками, но особенно верно это в отношении
жен (хотя мы должны повторить еще раз, что зависимое стационарное со-
стояние — это свойство семейной пары, а не отдельной личности). Три
устойчивых (надежных) типа супружеских пар также отличались один от
другого. Вспыльчивые супруги имели самые высокие стационарные состо-
яния, за ними следовали основательные супруги и замыкали ряд осторож-
ные. Эффект влияния в неупорядоченных браках проявляется в том, что
стационарное состояние становится в них более отрицательным, тогда как
в упорядоченных браках, как правило, всё наоборот. Возможно, вспыль-
чивые супружеские пары нуждаются в очень высоком стационарном со-
стоянии для того, чтобы компенсировать тот факт, что они влияют друг на
друга, в основном, в отрицательной области своих взаимоотношений. Пове-
дение жен очень отличалось от поведения мужей. Жены в упорядоченных
браках имели стационарное состояние, которое было одинаково положи-
тельно, или более положительно, чем у их мужей. Однако во враждебных
254
Глава 5
браках у жен было более негативное стационарное состояние, чем у их
мужей, в то время как во враждебно-отчужденных браках все было наобо-
рот. Стационарные состояния жен в неупорядоченных браках были такие
же отрицательные, или более отрицательные, чем стационарные состояния
жен в упорядоченных браках. Жены во враждебных браках имели более
негативное стационарное состояние, чем жены во враждебно-отчужденных
браках.
Таблица 5.1. Численные значения параметров, полученные при математическом мо-
делировании графиков очков по БСОВС без накопления
Группа Стационарное состояние мужа Стационарное состояние жены
Инерция Независимое Зависимое Инерция Независимое Зависимое
Устойчивые пары Вспыльчивые .33 .68 .75 .20 .68 .61
Основательные .37 .38 .56 .14 .52 .59
Осторожные .18 .26 .53 .25 .46 .60
СРЕДНЕЕ .29 .44 .61 .20 .55 .60
Неустойчивые пары Враждебные .32 .10 .03 .51 -.64 -.45
Враждебно- отчужденные .40 -.42 -.50 .46 -.24 -.62
Осторожные .18 .26 .53 .25 .46 .60
СРЕДНЕЕ .36 -.16 -.24 .49 -.44 -.54
Параметры и предсказание разводов
Предсказание распада супружеских пар на основании полученных на-
ми результатов в сочетании с результатами работы Gottman и Levenson
(1992) предполагает, что (1) классификация на упорядоченные и неупоря-
доченные пары (что являлось критерием Gottman и Levenson для предсказа-
ния распада семьи) зависит от эмоциональной инерции жены и от независи-
мых стационарных состояний как мужа, так и жены, и что (2) независимые
стационарные состояния как мужа, так и жены являются надежными пока-
зателями развода. Впоследствие мы (Gottman at al. 2002) расширили наши
исследования взаимоотношений в супружеских парах, включив в него мо-
лодоженов, и обнаружили, что супружеские пары, распавшиеся в первые
несколько месяцев замужества, изначально отличались более негативными
независимыми стационарными состояниями как мужа, так и жены, более
5.5. Практические результаты модели
255
негативным зависимым стационарным состоянием мужа и более низким
негативным порогом функции влияния.
Мы можем вообразить, как изменение одного параметра могло бы
вызвать катастрофические последствия. Представим, например, функцию
влияния, сходную с изображенной на рисунке 5.2(a), с множественными
стационарными состояниями. Допустим, замужество имеет множество воз-
можных устойчивых стационарных состояний и находится в устойчивом
положительном стационарном состоянии, как показано на рисунке 5.5. Ес-
ли переместить изоклины в соответствии с рисунком 5.7, последователь-
ный ход любого диалога, начатого выше сепаратрисы, сместится в бассейн
притяжения негативного стационарного состояния, что является признаком
грядущего развода. Даже когда функции взаимодействия имеют более про-
стую билинейную форму, может случиться та же ситуация. Наличие прямой
зависимости между параметрами и числом стационарных состояний подра-
зумевает, что некоторые аспекты терапии брака могут быть направлены на
восстановление положительного стационарного состояния.
В будущем мы хотели бы исследовать, насколько независимые стаци-
онарные состояния не зависят от партнера, или не зависят от диалога, — то
есть насколько они являются внутренним свойством индивидуума, а значит
насколько они определяют общее качество брачного союза.
Эмоциональная инерция. Это, несомненно, важный параметр в семей-
ных взаимоотношениях. При использовании другой системы кодирования
(под названием Система Оценки Брачного Взаимодействия или СОБВ), из-
меряющей критику, отстраненность (внимания), оборону и презрение, в со-
четании с данными из Gottman и Levenson (1992), инерция мужа в процессе
взаимодействия имела отношение к его критике в ходе диалога, тогда как
инерция жены имела отношение к отстраненности мужа и к ее собствен-
ному презрению. По показателям БСОВС инерция мужа имела отношение
к общему презрению супругов и инерция жены имела отношение ко всем
переменным БСОВС.
Стационарное состояние. В соответствии с системой кодирования
СОБВ переменная стационарного состояния мужей имела отношение к их
собственной критике, презрению и отстраненности, а также отстраненно-
сти и критике жен. В соответствии с системой кодирования СОБВ перемен-
ная стационарного состояния жен имела отношение ко всем переменным
для обоих супругов. По системе кодирования БСОВС стационарное состо-
яние мужей имело отношение ко всем их собственным типам поведения
и ко всем типам поведения жен, кроме критики; стационарное состояние
жен имело отношение ко всем показателям мужей кроме критики и ко всем
собственным показателям.
256
Глава 5
Рис. 5.7. Изменение одной или обеих изоклин может повлиять как на число, так и на
устойчивость стационарных состояний. Если расположение изоклин, показанных
на рисунке 5.3(a), изменить так, как показано на данном рисунке, то устойчивые
положительные стационарные состояния исчезнут, и решение сдвинется в бассейн
притяжения отрицательного стационарного состояния
Положительные эмоции. Cook и соавторы (1995) также наблюдали
следующие отношения. Жены с большей эмоциональной инерцией мень-
ше улыбались улыбкой Дюшена, чем жены с более низкой эмоциональ-
ной инерцией. Стационарные состояния мужа и жены имели отношение
к меньшему количеству улыбок Дюшена, но только для жен. По показате-
лям БСОВС мужья с более высокими стационарными состояниями смея-
лись больше, в то время как жены смеялись больше, когда стационарные
состояния либо их собственные, либо их мужа были выше.
5.6. Преимущества, последствия и сценарии терапии
брака
Цель динамического математического моделирования, предложенного
в настоящей главе, состояла в выработке теории, которая могла бы обое-
5.6. Преимущества, последствия и сценарии терапии брака 257
новать возможность предсказания продолжительности браков при помощи
графиков показателей БСОВС. Мы нашли, что независимых стационарных
состояний, усредненных по группам, было достаточно, чтобы выполнить
задачу. Сам по себе этот результат уже интересен. В ходе последующих
попыток создать теорию было бы полезно сделать этот параметр функци-
ей других динамических переменных в эксперименте, например, показа-
телей физиологической активности. Возможно, независимое стационарное
состояние представляет собой общий итог брака и отражает то, что каждый
партнер привносит в любой конфликтный супружеский диалог. Вероятно,
было бы полезно исследовать, как другие переменные (например, стресс,
выдержка, запас жизненных сил) связаны с этим показателем.
Gottman (1994), наблюдая за интерактивным поведением супругов,
оцененным в показателях БСОВС во время первого интервью, проводи-
мого по методике Gottman и Levenson (1992), дал описание трех различ-
ных типов пар, которые с большей вероятностью имели устойчивые браки,
и двух типов пар, которые, скорее всего, были неустойчивы. В этой гла-
ве мы исследовали функции влияния этих пяти групп супружеских пар
и предположили, что функции влияния могли бы стать основой такого де-
ления. Казалось, что основательные супруги на протяжении всего диалога
имели линейное влияние; когда они проявляли больше негативных, чем по-
зитивных эмоций, они оказывали негативное воздействие на последующее
поведение партнера, и наоборот, когда они проявляли больше позитивных,
чем негативных эмоций, они оказывали положительное воздействие на его
поведение. Осторожные супруги, с другой стороны, хотя и были похожи на
основательные пары, но только в положительной области поведения. В от-
рицательной области они практически не имели влияния на своих партне-
ров. Вспыльчивые партнеры напоминали пары, близкие к разводу, посколь-
ку не имели влияния друг на друга в положительных областях поведения.
Единственное их отличие от группы неустойчивых браков состояло в более
положительном независимом стационарном состоянии.
Эти результаты дали возможность лучше понять потенциальные плю-
сы и минусы каждого типа устойчивого брака. Вспыльчивый тип супругов,
несомненно, обладает высокой степенью риска. Без изрядной доли пози-
тивных эмоций такие пары могут легко оказаться среди близких к раз-
воду супругов. Способность влиять друг на друга только в негативном
диапазоне интерактивного поведения, возможно, предполагает больший ак-
цент на перемену, влияние и конфликт в этом типе брака. Впрочем, стиль
брака между осторожными супругами кажется специально созданным для
стабильности без перемен и конфликтов. Основательные пары производят
впечатление умеющих сочетать оба стиля с успешным влиянием друг на
258
Глава 5
друга в ходе всего интерактивного поведения. С другой стороны, близкие
к кризису браки обладают несовпадающими функциями влияния. Во враж-
дебных парах муж, так же как и в основательных парах, оказывает влия-
ние на свою жену как в положительной, так и в отрицательной областях,
но она, как в случае осторожных супругов, влияет на него, только прояв-
ляя положительные эмоции. Как можно заключить при взгляде на основа-
тельные и осторожные пары, жена кажется мужу слишком равнодушной
и отстраненной, тогда как он в ее глазах выглядит слишком негативным
и конфликтным. Во враждебно-отчужденном браке мы видим другой тип
несоответствия. Муж, как и в основательных парах, оказывает влияние
на свою жену как в положительной, так и в отрицательной областях, но
она, как жена в паре вспыльчивых супругов, влияет на него, только вы-
сказывая отрицательные эмоции. Как можно сделать вывод, глядя на ос-
новательные и вспыльчивые пары, он, вероятно, кажется жене равнодуш-
ным и отстраненным, в то время как она кажется ему слишком негатив-
ной и чрезмерно конфликтной. Эти два типа несовпадения являются воз-
можными типами, то есть несовпадениями, способными пережить пери-
од ухаживания; мы ни разу не встречали, чтобы стили поведения, харак-
терные для вспыльчивого партнера и осторожного партнера, встречались
бы в пределах одной пары, — возможно, они слишком разные, и такой
союз невозможен даже на короткое время. Как показали наши результа-
ты, в основе потенциально непрочных браков лежит несовпадение стилей
влияния. Это — интересный результат, если учесть полную неудачу или
крайне ограниченные успехи в предсказании возможного несовпадения ти-
пов личности или сфер согласия при анализе проблемных браков (Powers
and Olson 1986; Bentler and Newcomb 1978); этот результат предполагает,
что исследование процесса взаимодействия может быть более полезным
для понимания конкретного брака, чем изучение характеристик отдельных
партнеров.
Что же нам дало применение математического моделирования? Как
только мы построили детерминистическую модель, мы уже добились очень
многого. Вместо эмпирических кривых, предсказывающих брачный успех
или неудачу, теперь у нас имеется набор концепций, способных обосно-
вать наш прогноз. Мы имеем параметры зависимого стационарного со-
стояния, независимого стационарного состояния, эмоциональной инерции
и функций влияния. Мы нашли язык, который с математической четкостью
позволяет говорить о графиках показателей, представляющих сумму очков.
Продолжительные браки обладают более положительными независимыми
стационарными состояниями. Более того, взаимодействие обычно переме-
щает независимые стационарные состояния в более позитивную область,
5.6. Преимущества, последствия и сценарии терапии брака 259
за исключением союза вспыльчивых партнеров, где единственный способ,
которым один партнер может оказать влияние на другого, — это быть нега-
тивным; в этом случае партнерам необходимо много положительных эмо-
ций для компенсации подобной функции влияния. Продолжительные бра-
ки имеют более низкую эмоциональную инерцию, они более гибкие, менее
предсказуемые, и состоящие в них супруги с большей готовностью реаги-
руют друг на друга. Природа влияния партнеров друг на друга в зависи-
мости от характерного для данной пары типа брака выражается в той или
иной форме функций зависимости. Мы высказали гипотезу, что близкие
к разрыву пары не сумели выработать общую схему влияния и что боль-
шая часть их споров состоит в различиях между тем, кто как спорит, кто
как выражает свои эмоции и кто как понимает близость и отчужденность,
все эти несовпадения сказываются на несоответствии функций влияния (см.
Gottman 1994). Конечно, мы никоим образом не можем заключить из наших
данных, существовало ли несовпадение функций влияния с самого начала
брака или возникло с течением времени. В настоящее время мы исследу-
ем эти процессы среди новобрачных во время их перехода к родительским
функциям.
В качестве новой методики исследования экспериментального эффек-
та и построения теории мы полагаем, что использование этих модельных
уравнений является методом, способным помочь исследователю разгадать
механизм наблюдаемого эффекта, в противовес использованию статисти-
ческой модели. Статистическая модель может сказать нечто о корреля-
ции между разными переменных, но она не может предложить нам ключ
к пониманию супружеских отношений. Например, мы можем заметить, что
социально-экономический статус имеет отношение к непрочности брака, но
мы не можем понять на основании этого факта, каким образом это явление
может выступать в роли механизма, способного объяснить ненадежность
союза. Использование модели, описанной системой разностных уравнений,
дает нам теоретический и математический язык для создания подобных ме-
ханизмов. Математическая модель имеет фундаментальное отличие от ста-
тистической модели в том, что она представляет уравнение, связывающее
конкретных мужа и жену в течение определенного времени, вместо того,
чтобы представлять некоторое количество абстрактных мужей и жен, не
разделенных ни во времени, ни по парам.
Использование сигмоидной функции влияния — следующий этап в со-
здании модели. Для воплощения этого этапа в жизнь мы нуждаемся в ис-
пользовании системы наблюдений, которая позволяет получить больше
данных, чем БСОВС. Gottman (1994) сделал открытие, что оценка по Систе-
ме Кодирования Особого Воздействия (СКОВ) в большой степени совпала-
260
Глава 5
ет с углом наклона графика, построенного в соответствии с БСОВС, а пре-
имущества СКОВ состоят в том, что взаимодействие пар может кодировать-
ся в режиме он-лайн в реальном времени, без расшифровки, и данные могут
суммироваться ежесекундно, а не с каждой новой репликой; таким образом,
СКОВ позволяет получить больше данных для каждой пары. У сигмоидной
функции влияния существует возможность пяти стационарных состояний
(пять точек пересечения изоклин), три из которых устойчивые. Возмож-
ность существования более чем одного устойчивого стационарного состоя-
ния для данной пары может быть выведена из их данных, достаточно только
построить модель. Это значит, что мы можем описать поведение пары даже
при условии, что мы не наблюдали ее в наших исследованиях. Это зна-
чит, что модель может использоваться для компьютерного моделирования
взаимоотношений данной пары, выходящее за рамки наших данных.
Слегка варьируя параметры, мы даже можем предсказать, что произой-
дет с этой супружеской парой в будущем, если бы мы могли поменять
отдельные аспекты их взаимоотношений, ставя, таким образом, мыслен-
ный количественный эксперимент для выяснения потенциальных возмож-
ностей, существующих для этой конкретной пары. В настоящее время мы
используем подобный подход в серии особых экспериментов вмешатель-
ства, направленных на изменение хода вторичных взаимоотношений меж-
ду супругами при обсуждении конкретного вопроса. Модель может быть
создана на базе первичного общения с парой в лаборатории, и вмешатель-
ство может быть направлено на изменение некоего модельного параметра
(независимо от того, можем ли мы дать ему численную оценку). Используя
параллельно экспериментальный подход, мы можем проверить, является
ли механизм изменения, описанный в модели, точным, проследив, будет
ли точным предсказанный моделью прогноз о том, что случится в буду-
щем, если мы изменим параметр модели. Таким путем можно проверить
справедливость модели и расширить ее возможности при помощи взаимо-
действия моделирования и экспериментирования.
К тому же этот процесс раскрывает качественные допущения, являю-
щиеся основой наших действий. Например, выбор формы функций влияния
может быть изменен, что неизбежно серьезным образом скажется на моде-
ли. Вслед за нашим качественным подходом, теорию можно проверить ко-
личественно путем последующего сопоставления данных. Это можно сде-
лать двумя путями: функции влияния могут быть заданы функциональной
(математической или графической) формой, и сами уравнения могут по-
степенно усложняться по мере необходимости. На сегодняшний день наша
эмпирическая подгонка показала, что сигмоидная форма является наиболее
подходящей для наших данных.
5.6. Преимущества, последствия и сценарии терапии брака 261
Один предложенный нами простой способ изменения уравнений за-
ключается в том, чтобы взглянуть на параметры не как на устойчивые
константы, а как на функции других более фундаментальных переменных.
В системе понятий Gottman и Levenson имеются два центральных класса
переменных, которые нас особенно интересуют. Первый класс переменных
является показателями физиологии пары, а второй класс переменных яв-
ляется показателями восприятия парой их взаимоотношений, полученных
в ходе повторного просмотра видеозаписей. Мы ожидаем, что физиологи-
ческие характеристики, являющиеся показателями рассеянного физиологи-
ческого возбуждения (Gottman 1990), соотносятся с меньшей способностью
перерабатывать информацию, меньшей способностью слушать и большей
склонностью к типам поведения, более характерным для сценария, причи-
няющего огорчение (например, ссора или бегство). Таким образом, логич-
но предположить, что величины, указывающие на большее рассеянное фи-
зиологическое возбуждение, могут предсказать большую эмоциональную
инерцию. Сходным образом мы ожидаем, что негативное восприятие взаи-
моотношений должно сопровождаться массой отрицательных эмоций, как
собственных (см. Gottman 1993), так и партнера (см. Fincham at al. ,1990).
Следовательно, у нас есть все основания предполагать, что переменные, со-
отнесенные со шкалой оценок повторного просмотра видеозаписей, долж-
ны предсказать независимое стационарное состояние. Если кто-то вступает
во взаимодействие с партнером и дает этому взаимодействию негативную
оценку, следующее взаимодействие может характеризоваться чуть менее
положительным независимым стационарным состоянием. В какой-то сте-
пени независимое стационарное состояние может служить показателем со-
вокупных воздействий положительных и отрицательных моментов брака,
интегрированных во времени. Вполне возможно также, что для того, чтобы
определить независимое стационарное состояние наилучшим образом, сто-
ит объединить черты отдельной личности и особенности ее взаимодействия
с партнером.
Интересно отметить, что созданная нами модель производит доволь-
но мрачное впечатление. Исходя из параметров начальные условия опре-
деляют окончательный наклон кумулятивных кривых БСОВС. К сожале-
нию, это, по существу, справедливо для большинства наших данных. Впро-
чем, один из способов дальнейшего совершенствования модели заключа-
ется в том, чтобы уделить особое внимание следующему факту, — опреде-
ленное число пар начинало взаимодействие с негативных эмоций, но затем
меняло характер своих отношений, переходя на ветвь кривой кумулятив-
ного графика показателей БСОВС с положительным наклоном; их кумуля-
тивный график был похож на букву V. Это случалось очень редко, всего
262
Глава 5
в 4 % случаев, но все же у 14 % пар такой сценарий наблюдался хотя бы во
время части их общения. Более оптимистический тип кривой предусмат-
ривает добавление в модель возможности исправления взаимоотношений,
коль скоро определенный отрицательный порог уже пройден. Мы могли бы
включить подобное добавление в модель путем изменения функции влия-
ния таким образом, чтобы ее базовая сигмоидная форма получила возмож-
ность исправления путем удара (хотя, наверное, «легкий толчок» было бы
ближе по смыслу) на отрицательных участках горизонтальной оси (рису-
нок 5.2). Величина исправляющих ударов добавила бы в модель два новых
параметра, каждый из которых должен бы был вычисляться из известных
данных. Впрочем, силы удара должно было бы хватить, чтобы сдвинуть
супружескую пару подальше от нулевого устойчивого стационарного со-
стояния, то есть перебросить ее из одного бассейна притяжения в другой.
Мы можем задать вопрос, а что же собственно соответствует подобному
исправительному удару в реальной жизни. Этот процесс предусматривает
наличие определенной прочности брака, исследовать которую можно поз-
же. Gottman и сотрудники (2002) подробно обсуждают этот вопрос.
Наконец, выяснение потенциальной точности уравнений предполагает
проведение экспериментов, где изменяется единственный параметр и оце-
ниваются результаты этого действия, в ходе чего можно повысить точность
уравнений и показать структуру самого взаимодействия. Вот как это можно
было бы осуществить. После первого взаимодействия между партнерами
стандартный доклад, основанный на данных, полученных в ходе наблю-
дений, используется для вычисления параметров модели и функции влия-
ния. Затем проводится эксперимент, где изменяется одна переменная, ко-
торая, как мы считаем, связана с параметрами модели. Например, мы про-
сим участников расслабиться и тем самым снизить сердечный ритм или
покрутить педали тренажера до тех пор, пока сердечный ритм не достиг-
нет 125 ударов в минуту, затем участники эксперимента проводят еще одно
обсуждение и параметры модели пересчитываются заново. Порядок собы-
тий можно менять. Эксперимент может выявить функциональную зависи-
мость между сердечным ритмом и параметром инерции. Что, с нашей точки
зрения, представляется еще более интересным, так это тот факт, что про-
цесс моделирования естественным образом ведет нас к изобретению новых
экспериментов. Мы считаем, что это объясняется тем, что мы моделиру-
ем механизм. Мы строим теорию, и теория естественно предполагает экс-
перименты. Есть надежда, что эксперименты все-таки помогут построить
теорию. Вот почему процесс включает как математику, так и лабораторные
исследования, что является новым подходом к изучению семейной психо-
логии.
5.6. Преимущества, последствия и сценарии терапии брака 263
Мы планируем построить эту модель в ходе последующих исследова-
ний, проводя постоянную кодировку и получая таким образом более надеж-
ные данные по каждой изучаемой паре и новым участникам эксперимента.
Возможно, таким образом мы сможем перейти от разностных уравнений
к дифференциальным уравнениям. Временное запаздывание (в этой модели
мы использовали запаздывание одной временной единицы) могло бы стать
параметром каждой супружеской пары; как нам известно, временное запаз-
дывание в разностных уравнениях способно генерировать периодические
решения значительной сложности. Проводимые нами эксперименты позво-
ляют проводить компьютерное моделирование и последующую проверку
модели. Что, например, произойдет, если мы понизим частоту сердечных
ударов у супругов и снизим тем самым их эмоциональную инерцию? Вы-
зовет ли это изменение других параметров? Изменится ли форма функций
влияния? Мы также планируем исследовать процесс перехода от семьи мо-
лодоженов к семье молодых родителей и влияние супружеских конфликтов
на развивающуюся семью. Когда ребенку исполнится три месяца, мы по-
пытаемся смоделировать тройственное взаимодействие с тремя уравнения-
ми, возможно, оценивая ключевые параметры на основании двойственных
брачных взаимодействий. Система трех нелинейных уравнений способна
моделировать многие сложные структуры, включая хаос.
Математические методы исследования базовых психологических про-
блем и человеческих взаимоотношений, подобных тем, о которых говори-
лось в данной главе, являются абсолютно новыми и находятся в начальной
стадии развития. Некоторые из только что упомянутых вариантов основно-
го эксперимента и новые области их применения в сфере взаимодействия
между супругами обсуждаются более полно в книге Gottman с соавторами
(2002). Возможно, наиболее успешный аспект разработанного нами теоре-
тического подхода — это то, что его ключевые элементы уже взяты на во-
оружение брачными терапевтами и используются в клиниках с весьма об-
надеживающими результатами (John М. Gottman, из личной беседы 2000).
Глава 6
Кинетика реакций
6.1. Ферментативная кинетика: базовая ферментативная
реакция
Во всех живых организмах непрерывно идут биохимические реакции,
и почти все они включают особые белки — ферменты, которые выполня-
ют роль высокоэффективных катализаторов. Ферменты отличаются изби-
рательностью и реагируют только с определенными химическими соедине-
ниями, называемыми субстратами. Например, гемоглобин в красных кро-
вяных клетках — это фермент, а кислород, с которым он соединяется, — это
субстрат. Ферменты важны для контроля биологических процессов, напри-
мер, замедляя или ускоряя их скорости. Для того чтобы понять роль фер-
ментов, мы должны изучить ферментативную кинетику, что, главным об-
разом, означает изучение скоростей реакций, особенностей поведения раз-
личных реагентов во времени и анализ влияющих на эти процессы условий.
Знакомство с предметом с математических позиций дано в книгах Rubinow
(1975), Murray (1977) и в книге под редакцией Segel (1980). Более подроб-
ная информация содержится в книгах с биохимическим уклоном Laidler
и Bunting (1977) и Roberts (1977).
Сложность биологических и биохимических процессов настолько ве-
лика, что часто только создание упрощенной модели может приблизить нас
к пониманию изучаемых явлений. В таких моделях мы должны исполь-
зовать биохимически достоверные реакции. Нередко случается, что пер-
вая выбранная модель является реалистичной, но все же слишком слож-
ной биохимической моделью. Модели моделей часто служат первым шагом
в исследовании, поскольку вначале нас интересует, главным образом, ка-
чественное понимание процесса. В этой главе мы обсуждаем некоторые
модельные реакционные механизмы, отражающие различные реально су-
ществующие процессы, а также общие закономерности реакций и их ма-
тематическую запись; все эти знания необходимы для создания моделей,
объясняющих специфические особенности уже известных биохимических
механизмов.
6.1. Ферментативная кинетика
265
Базовая ферментативная реакция
Одна из основополагающих ферментативных реакций, впервые пред-
ложенная Михаэлисом и Ментен (1913), включает субстрат S, вступающий
в реакцию с ферментом Е с образованием комплекса SE, который, в свою
очередь, превращается в продукт Р и в исходный фермент. Мы представ-
ляем эту реакцию в виде схемы:
S + E SE Р + Е. (6.1)
Здесь &i, fc-i и &2 — постоянные параметры, связанные со скоростями ре-
акций; они будут определены ниже. Две противоположно направленные
стрелки означают, что реакция обратима, в то время как одиночная стрелка
—> указывает на то, что реакция может идти только в одном направлении.
Суммарный механизм представляет собой превращение субстрата S в про-
дукт Р посредством взаимодействия с ферментативным катализатором Е.
На более детальном уровне механизм (6.1) означает, что одна молекула S
соединяется с одной молекулой Е с образованием одной молекулы SE,
которая, в свою очередь, дает одну молекулу Р и исходную молекулу Е.
В соответствии с законом действующих масс скорость реакции про-
порциональна произведению концентраций реагирующих веществ. Мы
обозначаем концентрации реагирующих веществ в (6.1) строчными бук-
ВЭМИ: s = [S], е = [Е], c=[SE], р = [Р], (6.2)
где символ [ ] по традиции означает концентрацию. Приложение закона
действующих масс к (6.1) дает нам по одному уравнению для каждого
реактанта и, следовательно, систему нелинейных уравнений:
ds de .
—- = —kies -I- K-ic, — = —Kies + (k-i + k2)c,
dt dt , .
de dp
— = kies - (fc_i + fc2)c, ~77 = k2c,
dt at
где величины k, называемые константами скоростей, являются констан-
тами пропорциональности в законе действующих масс. Например, первое
уравнение для s — это просто констатация факта, что скорость изменения
концентрации [S] состоит из скорости «убыли», пропорциональной [S] [Е],
и скорости «прибыли», пропорциональной [SE].
Для того чтобы завершить математическую формулировку, нам требу-
ются начальные условия, которые мы принимаем равными тем условиям,
которые существовали в начале процесса превращения S в Р, что означает:
5(0) = 50, е(0) = е0, с(0) = 0, р(0) = 0. (6.4)
266
Глава 6
Решения (6.3) вместе с (6.4) дают концентрации и, следовательно, ско-
рости реакций как функции времени. Конечно, в любой задаче, связанной
с кинетикой реакций, нас интересуют только неотрицательные концентра-
ции.
Последнее уравнение в (6.3) не связано с первыми тремя; оно опреде-
ляет продукт:
p(t) = k2 c(t')dt', (6.5)
Jo
если c(t) уже найдено; итак, нас должны беспокоить (с точки зрения ана-
литики) только первые три уравнения из (6.3).
В механизме (6.1) фермент Е является катализатором, который только
помогает реакции, а значит его общая концентрация ([£?] -I- [SE]) является
величиной постоянной. Этот закон сохранения для фермента также следу-
ет непосредственно из (6.3) при сложении второго и третьего уравнений,
определяющих скорости изменения концентраций свободного (е) и связан-
ного (с) фермента соответственно, что при использовании начальных усло-
вий (6.4) дает
de de , ч , ч z х
— + — = О => e(i) + c(i) = e0. (6.6
dt dt
В результате система обыкновенных дифференциальных уравнений реду-
цируется до системы, содержащей всего два уравнения, для s и с, а именно,
ds _ z
— = -AjjCos + (&1S + fc-i)c,
dt
de . 4
— = fcieos - (kiS -F k-г + k2)c,
dt
с начальными условиями:
s(0) = s0, c(0) = 0. (6.8)
Обычный подход к анализу подобных уравнений состоит в том, чтобы
принять, что начальная стадия образования комплекса с проходит очень
быстро, после чего достигается равновесие. То есть dc/dt ~ 0, в результате
чего из второго уравнения (6.7) получаем с, выраженное через s:
_ eos(t) _ fc-i + k2
s(£) -F ki
(6.7)
(6.9)
что при подстановке в первое уравнение системы (6.7) дает
ds
dt s + Кп
(6.10)
6.1. Ферментативная кинетика
267
где Кт называется константой Михаэлиса. Поскольку принято считать,
что фермент по сравнению с субстратом присутствует в реакции в ничтож-
ных количествах, мы допускаем, что концентрация субстрата в течение это-
го начального периода существенно не меняется. В этом случае (приблизи-
тельная) динамика описывается уравнением (6.10) с начальным условием
s = $0. Это допущение известно как приближение псевдо- или квазиста-
ционарного состояния. Решая (6.10) с начальными условиями для s(t), мы
получаем неявное решение, а именно,
s(t) + Km\ns(t) = so + Kmlnso. (6.11)
Если мы подставим это выражение в (6.9), то получим выражение для
комплекса с(£). Но это не удовлетворяет начальному условию для c(t), за-
данному в (6.8). Хотя, возможно, это приближение является обоснованным
для большинства временных отрезков; так обычно считают, пользуясь этим
подходом. В действительности, для многих экспериментальных ситуаций
этого вполне достаточно, но не всегда абсолютно достаточно. На самом
деле данная система включает две временные шкалы: одна шкала — на
начальном переходном отрезке времени вблизи t = 0, а другая шкала — бо-
лее длинная, когда изменения концентрации субстрата становятся заметны-
ми, а ферментативный комплекс успешно аппроксимируется системой (6.9)
с s(t) из (6.11). Как следствие всех вышеприведенных рассуждений возни-
кает ряд серьезных вопросов: (i) как быстро происходит начальный пере-
ход, (ii) для какой области параметров приближение (6.9) и (6.11) является
удовлетворительным, и, наконец, (iii) если концентрация фермента по срав-
нению с концентрацией субстрата не так мала, то что тогда?
Возникают и другие вопросы, обсуждением которых мы непременно
займемся, но позже. В качестве первого шага нам, безусловно, следует
привести систему к безразмерному виду. Конечно, для этого существуют
различные способы. Ключевой безразмерной величиной является время,
поскольку основные упомянутые допущения зависят от того, насколько ко-
ротким является переходный период. Стандартная процедура проведения
анализа квазистационарного состояния состоит в введении безразмерных
величин:
т = fcieo^, и(т) = v(t) =
, , 50 , 60 (6.12)
А=т-----’ К = —Т.-------- =-----’ г=— ’
/C1Sq Sq Sq Sq
которые являются вполне разумными в процедуре обезразмеривания, если
s 1. Подстановка этих выражений в (6.7) вместе с (6.8) дает безразмер-
268
Глава 6
ную систему для традиционного приближения квазистационарного состоя-
ния:
du / dv
— = -и + (и + К - A)v, е— = u-(u + K)v,
ат ат (о.13)
и(0) = 1, и(0) = 0.
Следует отметить, что К — А > 0, что следует из (6.12). Найдя решения
и(т) и и(т), мы немедленно получаем е и р из (6.6) и (6.5) соответственно.
Из исходной реакции (6.1), в ходе которой S превращается в про-
дукт Р, мы имеем конечное стационарное состояние и = 0 и v = 0, то есть
концентрации как субстрата, так и фермент-субстратного комплекса рав-
ны нулю. Здесь нас интересует временная эволюция реакции, а это значит,
что нам требуется решить нелинейную систему (6.13), что мы не можем
сделать аналитически в простой форме. Впрочем, мы можем посмотреть,
какой качественный вид имеют и(т) и v(t). Вблизи т = 0 du/dT < 0, что
означает, что и уменьшается, начиная си = 1, и поскольку на этом же
временном отрезке dv/dT > О, v увеличивается от v = 0 и продолжает
делать это до v = и/(и + К)9 где dv/dT — 0 и где, как следует из первого
уравнения (6.13), и продолжает уменьшаться. После того, как v достигает
максимального значения, оно уменьшается до нуля, так же как и и, кото-
рое уменьшается монотонно при всех t. Размерная концентрация фермента
e(t) сначала уменьшается, начиная от во, а затем опять вырастает до во при
t —> оо. Типичные решения представлены ниже на рисунке 6.1. Достаточно
часто качественное представление о поведении решения можно составить,
просто взглянув на уравнения; никогда не мешает попытаться сделать это.
6.2. Оценки продолжительности переходного периода
и приведение к безразмерному виду
Как известно из биологии, ферменты — поразительно эффективные ка-
тализаторы; для протекания реакций с их участием их концентрация по
сравнению с концентрациями субстратов может быть ничтожно мала. В мо-
дели Михаэлиса-Ментен, в ее безразмерном виде (6.13), это означает, что
s = eo/so 1. Хотя, как упоминалось ранее, не во всех случаях cq/sq 1-
Segel (1988) и Segel и Slemrod (1989) расширили традиционный анализ,
включив новый способ приведения к безразмерному виду, где рассмотрели
этот случай, но также и случай, где cq/sq — 0(1). Представленный ими
анализ мы сейчас и обсудим.
Вначале, нам следует провести оценку двух временных масштабов,
первого переходного, tc, и более длительного или медленного, ts, во время
6.2. Оценки продолжительности переходного периода
269
которого происходит основное изменение s(t). Во время начального пере-
ходного периода концентрация комплекса c(t) быстро увеличивается, в то
время как s(t) заметно не меняется; поэтому оценку времени tc можно по-
лучить из второго уравнения (6.7) с s(t) = sq, то есть
de
— = fcieoso - k^so + Кт)с. (6.14)
Решение (6.14) содержит экспоненту с характерным временем изменения
tc = ——1——. (6.15)
fcl($0 + Кт)
Для оценки времени ts, в течение которого происходит основное изме-
нение s(f), мы берем максимально возможное изменение субстрата, а имен-
но, sq, деленное на величину максимальной скорости изменения s(f), задан-
ную выражением (6.10) при s = sq. Тогда
Одно допущение, при котором квазистационарное приближение спра-
ведливо, состоит в том, что время начального быстрого переходного перио-
да гораздо короче «медленного» времени, за которое происходит основное
изменение s(f), что означает, что непременным условием является сильное
неравенство tc <^ts. С учетом выражений (6.15) и (6.16), это неравенство
требует, чтобы параметры удовлетворяли соотношению
к2ер
fcl(s0 + КтУ
1.
(6.17)
Другим условием квазистационарного приближения является то, что в ка-
честве начального условия для s(t) можно взять первое из равенств (6.8).
Это означает, что истощение субстрата As(£) во время быстрого переход-
ного периода является лишь малой долей от so, то есть | As/so| 1. Верх-
няя оценка для As(£) дается максимально возможной скоростью истощения
субстрата из первого уравнения (6.7), которая равняется k^eQSQ, умножен-
ной на tc. Таким образом, разделив это произведение на sq, получаем сле-
дующее требование к параметрам:
so + Кт
(6.18)
270
Глава 6
Но условие (6.17) с Кт из (6.9) может быть представлено в виде:
So + Кт 1 + (fc-i/A^) + (so^l/fo)
(6.19)
и значит условие (6.18) является более сильным, чем условие (6.19), и, сле-
довательно, (6.18) является тем условием, которое гарантирует приближе-
ние квазистационарного состояния. Глядя на это условие, мы видим, что
даже если cq/sq = 0(1), условие (6.19) все-таки может выполняться, ес-
ли Кт велико, как, собственно, и бывает во многих реакциях.
Поскольку способ приведения к безразмерному виду в решающей сте-
пени определяется тем, какой именно масштаб времени нас интересует,
мы можем выбрать один из двух имеющихся в нашем распоряжении вре-
менных масштабов, tc и ts. Мы используем тот или иной масштаб в за-
висимости от‘того, где мы хотим видеть наше решение; выбирая tc, мы
ищем решение в области около t == 0, тогда как выбор t3 означает, что нас
интересует длинная временная шкала, когда происходит основное измене-
ние s(t). Задача, включающая два временных масштаба, является, в общем
виде, задачей сингулярного возмущения, для решения которой существуют
стандартные приемы (см., например, небольшую книгу Murray 1984). Для
подобной задачи мы приводим детальный анализ сингулярного возмущения
в следующем разделе.
Если мы используем быстрый временной масштаб tc из (6.15), то мы
вводим следующие безразмерные переменные и параметры:
/ \ / \ и(т) = —V{T) = (so + T = = ki(s0 + Km)t,
Sq fc_i + k2 CqSq k-i sq c (6.20) eo
k2 Km' 6 = , So + Km
которые при подстановке в (6.7) и (6.8) дают:
du
dr=£
а р
и -----------UV -I- —--------77-------V
1 + СТ (1 + сг)(1 + р)
dv a v
— = и---------UV--------,
dr 1Ч- сг 1 + ст
(6-21)
u(0) = 1, и(0) = 0.
В случае использования длинной (или медленной) временной шка-
лы с характерным временем ts мы обезразмериваем время следующим
6.2. Оценки продолжительности переходного периода
271
образом:
Т = (1 + p)t/ts = ^+P^eot = £(1 + р)Ы. (6.22)
Смысл введения масштабного коэффициента (1 + р) заключается про-
сто в большей алгебраической простоте. С безразмерными переменными
wj ; 6.20) ис безразмерным временем Г, определенным последним уравне-
нием, уравнения модели (6.7) приобретают следующий вид:
du , р
— = -(1 + а)и + auv + —— v,
dT 1 + Р (6.23)
dv /ч
с— = (1 + а)и — auv — v.
аТ
Следует помнить, что исследуемая нами система — это система (6.7).
Все три системы уравнений (6.13), (6.21) и (6.23) являются абсолютно оди-
наковыми; их единственное различие состоит лишь в способе приведения
к безразмерному виду, хотя это и важно. Все они имеют малый параметр s,
но он встречается в разных местах уравнений. Место, где появляется ма-
лый параметр, определяет, какую аналитическую процедуру мы использу-
ем. В следующем разделе мы обсуждаем конкретный пример и знакомим
читателя с методиками, использующими метод асимптот или сингулярно-
го возмущения. Эти мощные методики позволяют получить приближенное
решение, одинаково верное для любого масштаба времени, что является
исключительно подходящим приближением для точного решения системы.
Прежде чем завершйть тему приведения к безразмерному виду, умест-
но задать вопрос, а что нужно делать, если имеется избыток фермента,
то есть е в (6.20) не мало. Такое случается в различных ферментативных
реакциях, но может возникнуть и в совсем другой ситуации — при размно-
жении Т-клеток в ответ на присутствие антигена. Эта тема рассматривается
в работе DeBoer и Perelson (1994). «Субстрат» там — это делящаяся клетка,
«фермент» — это место на антиген-презентирующей клетке, а комплекс —
это связанные Т-клетка и антиген-презентирующая клетка. Кинетика пред-
ставлена следующей системой:
E + S^^ С ^E + 2S.
Borghans и соавторы (1996) исследовали эту систему реакций для случая
избытка фермента и расширили вышеприведенный анализ так, чтобы по-
лучить однородно верное асимптотическое решение. Они сделали это, заме-
нив уравнение для субстрата s в (6.7) уравнением для общей концентрации
272
Глава 6
субстрата,
s(t) = s(t) + c(£),
которое получается путем сложения первого и третьего уравнений из (6.3).
Система, которую они изучали, состоит из этого уравнения для s(t) и тре-
тьего уравнения из (6.3), записанного для си s, вместе с граничными усло-
виями. Она имеет следующий вид:
37 = -к2с, = fci[(e0-c)(s-c)-Kmc], s(0) = so, с(0) = 0.
at at
Анализ чуть более сложный, но концепции схожие. Borghans и соавторы
(1996) выводят условия для эквивалентного квазистационарного прибли-
жения и обсуждают некоторые примеры, включая общий класс моделей
хищник-жертва.
6.3. Анализ уравнения Михаэлиса-Ментен в приближении
квазистационарного состояния
В настоящем разделе мы анализируем одну из вышеприведенных без-
размерных систем уравнений методом сингулярного возмущения. Эту ме-
тодику можно применить к любой из этих систем, но мы для большей
наглядности проводим детальный учебный анализ на конкретной систе-
ме (6.13), объясняя, почему мы предпочитаем именно эту методику, и по-
казывая, как ей лучше пользоваться. Таким путем мы получаем очень хоро-
шее приближенное или, скорее, асимптотическое решение (6.13) для диа-
пазона 0 < £ <^ 1. Прежде чем приступать к анализу, следует еще раз
повторить, что способ приведения к безразмерному виду, который исполь-
зовался в (6.12), является лишь одним из нескольких возможных спосо-
бов. В следующем разделе мы анализируем чуть более сложную систему
из класса практических ферментативных реакций, используя более общие
формулировки, поскольку в этой системе cq/sq не мало, тогда как констан-
та Кт достаточно велика, в результате чего е, как оно определено в (6.20),
мало. Другая практическая реакция, в которой большая константа Миха-
элиса Кт делает верным условие 0 < е « 1, изучалась в работе Frenzen
и Maini (1988), где использовался тот же тип анализа, что и приводимый
нами в разделе 6.4.
Итак, рассмотрим систему (6.13). Предположим, мы просто ищем ре-
шение для и и v в виде обычного ряда Тейлора:
е) = ^2 Епип(т), и(т;е) = ^2£пип(т), (6.24)
п=0 п=0
6.3. Анализ уравнения Михаэлиса-Ментен
273
которое при подстановке в (6.13) и уравнивании степеней е дает после-
довательность дифференциальных уравнений для ип(т) и vn(r). Другими
словами, мы полагаем, что u(t;e:) и v(t;s) являются аналитическими функ-
циями s при е —> 0. Уравнения точности 0(1) имеют вид:
= -и0 + (^о + к - А)и0, 0 = UQ - (ио 4- K)vq,
ат
ио(О) = 1, ио(0) = 0.
(6.25)
Уже на этом этапе мы можем заметить связанную с этим подходом пробле-
му, поскольку второе уравнение является просто алгебраическим и не удо-
влетворяет начальным условиям; действительно, если uo = l, Vo = l/(1 +
- К) 0. Если мы решим (6.25),
du$ 1 к \ \ х
Ь’о =---—т; => — = -и0 + (и0 + К- А)-------— = -А-------—,
uq -I- К dr ио + К uq + К
и тогда
и0(т) + ЬГ1пио(т) = А — Ат,
что является тем же, что и (6.11). Если нам требуется, чтобы uq(0) = 1, то
тогда А = 1. Таким образом, мы получаем решение Uq(t), данное неявно,
и соответствующее ему Vq(t),
Uo(t) + A'lnuo(r) = 1 - Хт, v0(t) = —, (6.26)
которое является тем же решением, что и (6.9). Однако это решение не
является одинаково верным приближенным решением для всех т 0, по-
скольку vq(0) 7^ 0. Это и неудивительно, поскольку система (6.25) включа-
ет только одну производную, которая была получена из (6.13) при е = 0.
Система уравнений (6.25) имеет только одну постоянную интегрирования,
получаемую из u-уравнения, поэтому очевидно, что начальные условия для
обоих ио и г?о не могут быть удовлетворены.
Тот факт, что малый параметр 0 < е 1 входит сомножителем в про-
изводную в (6.13), указывает на то, что это — задача сингулярного воз-
мущения. Один класс подобных задач можно сразу же отличить по тому,
что при е = 0 порядок системы дифференциальных уравнений понижа-
ется; подобная редуцированная система вообще не может удовлетворять
всем начальным условиям. Методики сингулярного возмущения являются
очень важными и мощными методами для определения асимптотических
решений, подобных системам уравнений для малых е. Асимптотические
274
Глава 6
решения обычно являются замечательно верными приближениями к точ-
ным решениям. Элементарное обсуждение некоторых основных практиче-
ских методик дается в книге Murray (1984), посвященной асимптотическо-
му анализу. Далее мы подробно описываем философию и приемы метода
сингулярного возмущения и приводим асимптотическое решение (6.13) для
О < £ 1. Мы делаем это, в основном, для того, чтобы показать, в каких
именно практических ситуациях мы можем пренебречь е-членами.
Поскольку решение (6.26), в частности г>о(т), не удовлетворяет на-
чальным условиям (и включение членов высшего порядка по е не способно
помочь проблеме), мы обязаны сделать вывод, что по меньшей мере одно из
решений и(т; s) и v(r; е) не является аналитической функцией е при s —> 0.
Приняв точность edv/dr порядка О(е) при переходе к (6.25), мы неявно до-
пустили, что и(т; е) — это аналитическая функция; конечно, аналитичность
требуется также и от (6.24). Так как начальное условие vq = 0 не могло
быть удовлетворено, поскольку мы пренебрегли edv/dr, мы должны тем
не менее сохранить этот член в нашем анализе, по крайней мере, в окрест-
ности т = 0. Таким образом, более подходящим временным масштабом
вблизи т = 0 является ст = т/е, а не т; в результате этого edv/dr = du/da.
Смысл преобразования а = т/е состоит в том, чтобы «увеличить» окрест-
ность вблизи т = 0 и взглянуть на эту область пристальнее, поскольку для
фиксированного 0 < т < 1 мы имеем а 1 при s —> 0. То есть очень ма-
лая область в окрестности т = 0 соответствует очень большой области для
сг-пространства. После того, как мы используем преобразование а = т/е
для анализа (6.13) в окрестности т = 0, мы уведем решение подальше от
т — 0 и в заключение покажем, как получить одинаково верное решение
для всех т 0.
В результате преобразований
и(т*,е) = t/(a;e), и(т; е) = У(сг; е) (6.27)
уравнения (6.13) принимают вид:
da da (о.2о)
1/(0) = 1, V(0) = 0.
Если мы теперь положим е = 0, чтобы получить точность 0(1) в решении
системы обычным методом возмущений:
и е) = £) = 52 £Пуп(ст)’ (6-29)
72=0 72=0
6.3. Анализ уравнения Михаэлиса-Ментен
275
то получаем
dU0
da
~y. = U0-(U0 + K)V0,
(6.30)
t/o(O) = 1, Vo(O) - 0,
порядок которой не является более низким по сравнению с исходной систе-
мой (6.28). Решением (6.30) является
W = l, Vo(a) = —!— (1-ехр[-(1 + ВД). (6.31)
1 + А
Нельзя ожидать, что последнее решение выполнимо для всех т 0, по-
скольку если бы это было так, то это означало бы, что точность dv/da =
= edv/dr равна 0(1) для всех т. Часть решения, представленного (6.31),
является сингулярным или внутренним решением для и и v и верна для
0 т < 1, тогда как (6.26) является несингулярным или внешним реше-
нием, верным для всех т, не находящихся в непосредственной близости от
т = 0. Если мы теперь положим е —> 0, то тогда для фиксированных (хотя
и малых) 0 т 1 мы получаем а —► оо. Таким образом, в пределе е —► 0
мы ожидаем, что решение (6.26) при т —> 0 будет равно решению (6.31)
при а —> оо, то есть сингулярное решение при а —> оо состыковывается
с несингулярным решением при т —> 0. В этом состоит смысл стыков-
ки или сшивки (matching) в теории сингулярного возмущения. Из (6.31)
и (6.26) мы, в действительности, видим, что
lim [Uo(a), V0(<t)] = 1, ——
сг-^оо 1 + К
= ЙП1 [u0(r), v0(r)].
Рисунок 6.1 иллюстрирует решение и(т) и v(r) вместе с безразмерной ве-
личиной концентрации фермента е/ео, определенной безразмерными урав-
нениями (6.6), то есть е/ео = 1 — v(r). Тонкий слой О(е) вблизи т = 0
иногда называют гранитным слоем, или т-областью, где происходят очень
быстрые изменения решения. Здесь из (6.31)
dVo
. ст=о
Е 1
.^Jr=O
= Е-1 » 1.
Конечно, в исходной системе (6.13) мы можем видеть это во втором урав-
нении и граничных условиях.
276
Глава 6
Рис. 6.1. Схематичное поведение решений системы (6.13) для безразмерных вели-
чин концентраций субстрата (и), фермент-субстратного комплекса (v) и свободного
фермента (е/ео = 1 — v) как функций времени т
Прежде чем продолжить системное применение метода сингулярно-
го возмущения, стоит попытаться найти внешнее решение системы (6.13)
в виде разложения в ряд Тейлора (6.24). Тогда последовательность уравне-
ний имеет вид:
0(1): = -ио + (и0 + К - A)v0, 0 = и0 - (u0 + K)vq,
ат
= wi(v0 - 1) + (ио + К - A)vi, (6.32)
°<е>: аГ
=2 = «,(1 -ад)-(«о +*)«,,
которая верна для т > 0. Решения включают постоянные интегрирования
(по одной константе для каждого порядка), которые пока не определены
и которые должны быть определены путем сшивания этих решений при
т —> 0 с сингулярными решениями при а —> оо.
Последовательность уравнений для сингулярной части решения, вер-
ной для О 1, задается подстановкой (6.29) в (6.28) и приравниванием
степеней s, а именно,
0(1): ^°=0, = Uo - (Uo + K)Vo, da da
0(e): ^-=-Uo + (Vo + К - X)V0, (6.33) da dVA —i- = (l-V0)^i-(Vo + 7C)Vi, aa
6.3. Анализ уравнения Михаэлиса-Ментен
277
так далее. Решения должны удовлетворять начальным условиям при а =
О. то есть т = О,
1 =C7(0;£) = ^£nt7n(0) => С7о(0) = 1, £7^1(0) = О,
X? (6-34)
О = У(0; е) = £П^(°) =* К^о(0) = °-
п=0
В этом случае сингулярные решения (6.33) определены полностью. Это
происходит далеко не во всех задачах с сингулярным возмущением (см.,
например, Murray 1984). Для сшивания внешнего и внутреннего решений
нужно найти постоянные интегрирования в решениях (6.32), так чтобы для
всех порядков е
lim [С7(сг; е), V(cr; е)] = lim [и(т; е), и(т; е)]. (6.35)
(7—>ОО Т—*0
Формально из (6.32), но как мы уже нашли раньше:
ио(т) + К\пи0(т) = А - Хт, v0(r) = —77777,
uo(T) + К
где А — это постоянная интегрирования, которую мы должны определить
в результате сшивки. Решение первого уравнения из (6.33) с условия-
ми (6.34) было, конечно, дано выше в (6.31). Мы получаем его теперь,
выполняя предельный переход (6.35) применительно к (6.31) и к послед-
ним уравнениям:
lim Vb(<r) = —1— = lim v0 (т) =>
(7—>OO 1 + К T—>0
' 1 МО)
=» vo(O) = ТТк = мо) + к^
=> uo(O) = 1 А = 1.
Таким образом, мы получаем верное при всех масштабах асимптотическое
решение для 0 < г < 1 с точностью до 0(1), выведенное эвристически
ранее и заданное соотношениями (6.26) для т > 0 и (6.31) для 0 < т 1,
хотя сингулярная часть решения более естественно выражается в единицах
О т/s < оо.
Теперь мы можем перейти к вычислению Ui(a) и Vi((t) из (6.33)
и ги(т) и vi(t) из (6.32) и так далее до любого порядка г; решения стано-
вятся все более сложными, даже несмотря на то, что все уравнения линей-
ные. Таким путем мы получаем верное для всех масштабов асимптотиче-
ское решение нелинейных кинетик, представленных системой (6.13), для
278
Глава 6
О < £ « 1 и для всех т > О. В заключение для малых £ и с точностью до
0(1)
u(t;e) = uq(t) + 0(e), uq(t) + К Intzo(r) = 1 - Ат,
v(r;e) = V0(<t) + O(e), Vo(<t)= 1 (1- exp Г—(14-К)—1), 0<т<1:
= и0(т) + 0(e), vo(t) = —, о < е « т.
uq\t) + К
(6.36)
Поскольку в большинстве биологических приложений 0 < е « 1,то нам
нужно оценивать только члены 0(1); вкладом членов O(s) можно прене-
бречь.
В завершении анализа исходной кинетической задачи (6.3) с (6.4), ес-
ли мы выразим безразмерные концентрации продукта и свободного фер-
мента как
ФИ5®, о,М = ^.
So е0
то тогда, используя (6.36) для и и v, из выражений (6.5) и (6.6) получаем
г(т) = А [ v(r')dr, cj(t) = 1 — и(т).
Jo
Быстрое изменение фермент-субстратного комплекса v(r; г) происхо-
дит за безразмерное время т = О (г), которое очень мало. Эквивалентное
размерное время t также очень коротко, порядка 0(l/A:iSo), и для мно-
гих экспериментальных ситуаций лежит за пределами возможностей изме-
рений. Поэтому во многих экспериментах подобное сингулярное решение
для и(т) и и(т) никогда не наблюдается. Тогда значимым решением явля-
ется внешнее решение точности 0(1) uq(t) и vq(t) из (6.26), полученное
из кинетической системы (6.13) при s = 0 и удовлетворении начального
условия только для и(т), концентрации субстрата. Другими словами, мы
говорим, что для комплекса v(r) реакция находится, по сути, в стационар-
ном состоянии, или, выражаясь математически, что edv/dr « 0. То есть
v-реакция протекает так быстро, что она практически все время находится
в состоянии равновесия. Это и есть обычная гипотеза псевдо- или квази-
стационарного состояния Михаэлиса-Ментен.
Форма уравнений (6.13) обычно имеет следующий вид:
du _, , dv ______1 . ч ,
— = f(u, v), — =е 'gtiijv), 0 < е < 1, (6.37)
ат ат
6.3. Анализ уравнения Михаэлиса-Ментен
279
откуда сразу же видно, что dv/dr 1, если д(и, v) не является приблизи-
тельно равным нулю. Итак, и-реакция происходит очень быстро по сравне-
нию с u-реакцией. ^-реакция достигает квазистационарное состояние очень
быстро, а это означает, что для времен т = 0(1) она практически постоян-
но находится в равновесном состоянии, и механизм модели в таком случае
аппроксимируется следующим образом:
— = g(u,v)=O, u(0) = 1.
ат
(6.38)
Если мы решим алгебраическое уравнение g(u,v) = 0, чтобы получить
= h(и), то тогда
du
— = f(u,h(u)), (6.39)
dr
что является уравнением скорости или расхода количества субстрата. Часто
моделирование биологических процессов вращается вокруг качественных
допущений для функции расхода f(u, h(u)).
Особый интерес для биологии представляет скорость реакции или ско-
рость расхода, то есть du/dr, когда и(т) уже определено. Эта величина
обычно определяется экспериментально, измерением размерной концентра-
ции субстрата s(t) в разные моменты времени, затем экстраполяцией назад
Kt — 0 и вычислением величины г для начальной скорости [ds/dt]t=o.
Поскольку почти всегда измерения происходят в моменты времени т г,
то есть t 1/fciso, что обычно составляет порядка секунд, эквивалентная
аналитическая скорость дается несингулярным или внешним решением. Та-
ким образом, из первого уравнения (6.36) решением с точностью до 0(1)
при 0 < е 1 для скорости г, скажем то, является
Го =
rfzzo(r)' _ 7Zq(Q) _ А
dr т=0 ^O(0) + /Cm 1 + К'
(6.40)
_ &2в0«90
«о + К-т Sq + Km
В безразмерных величинах, с использованием обозначений (6.12), скорость
реакции Rq с точностью до 0(1) есть
Qs0 „ fc-i + fc2 ~ го 1 l
Кт — -------------j---, О — лотах — ^2^0,
(6-41)
где Q — максимальная скорость реакции, и Кт — константа Михаэлиса
из (6.9). Эта скорость, лежащая в основе гипотезы о квазистационарном
состоянии, и есть та скорость, которая обычно бывает важна при изучении
биологических систем. Из (6.13) точная начальная скорость для субстрата
280
Глава 6
равна [du/dr]T=o = — 1, тогда как для комплекса она равна [dv/dr]T=o =
= 1/е.
Когда расход любого субстрата характеризуется как расход по Миха-
элису-Ментен, то это значит, что имеется в виду скорость реакции, пред-
ставленная в (6.41) и изображенная на рисунке 6.2. Скорость реакции, кото-
рая в действительности меняется во времени, имеет величину ds/dt, опре-
деляется из внешнего решения du^/dr и записывается в размерном виде.
Таким образом, расход субстрата S по Михаэлису-Ментен определяется
следующим уравнением:
ds Qs
dt Кт -J- s
(6.42)
что является просто размерным видом уравнения (6.39) (или тем же, что
и (6.10)), которое получается после алгебраических преобразований f(u, v)
и g(u,v) из (6.38) с использованием (6.13). Для s <<С Кт расход субстрата
находится в линейной зависимости относительно s; правая часть уравне-
ния (6.42) приблизительно равна —Qs/Km. Максимальная скорость Q =
= к2во из (6.41) зависит от константы скорости к? реакции образования
продукта SE Р + Е, называемой лимитирующей стадией в механизме
реакции (6.1).
Рис. 6.2. Зависимость скорости расхода субстрата по Михаэлису-Ментен Rq =
= Qsq/^Кгп 4- so) как функция концентрации субстрата sq. Q — максимальная
скорость, Кт — константа Михаэлиса
Какой бы важной и полезной ни была гипотеза квазистационарного
состояния, что-то теряется, когда мы допускаем, что величиной edv/dt
из (6.13) можно пренебречь, и сопоставляем экспериментальные резуль-
таты с теорией, не способной удовлетворять всем начальным услови-
ям. Впрочем, используя экспериментальные результаты вместе с теорией
6.4. Кинетика суицидного субстрата
281
Михаэлиса-Ментен, можно построить кривую, подобную представленной
на рисунке 6.2, которая позволяет найти значения максимальной скорости Q
и константы Михаэлиса Кт. Этим способом нельзя определить все три
константы скорости ki, k~i и к?, а только к? и соотношение между всеми
ними. Для их определения потребовались бы измерения т = <Э(е). Хотя
обычно скорость расхода субстрата из гипотезы квазистационарного со-
стояния, или, другими словами, теория Михаэлиса-Ментен, — это все, что
требуется.
6.4. Кинетика суицидного субстрата
Большой экспериментальный интерес представляет ферментативная
система (см., например, Seiler at al. 1978; Walsh 1984) с ингибирова-
нием-согласно-механизму или система суицидного субстрата, представлен-
ная в книге Walsh с соавторами (1978).
Е + S X Y Е + Р,
(6-43)
Et
где Е, S и Р означают фермент, субстрат и продукт соответственно,
X' и У — промежуточные фермент-субстратные комплексы, Ei — инактиви-
рованный фермент и различные к — положительные константы скорости.
В этой системе У имеет две возможности для превращений, а именно, пе-
реход к Е + Р со скоростью к$ или к Ei со скоростью к±. Отношение
этих скоростей к% /к± называется отношением распределения и обозначает-
ся как г. Считается, что оба эти пути необратимы (Waley 1980). S известен
как суицидный субстрат, поскольку он связывается с активным центром
фермента — как обычный субстрат — но под воздействием фермента пре-
вращается в ингибитор, необратимо инактивирующий фермент. Таким об-
разом фермент «совершает самоубийство».
Важное значение суицидных субстратов состоит в их способности
отыскивать нужный фермент и инактивировать его. Эти субстраты осо-
бенно полезны как лекарства, так как безвредны в своем обычном виде,
и только определенный фермент может превратить этот субстрат в ингиби-
тор. Например, исследовалась возможность использования этих субстратов
в лечении депрессии (ингибиторы моноаминоксидазы, Seiler at al. 1978),
эпилепсии (ингибиторы ГАМК-трансаминазы мозга, Walsh 1984) и некото-
рых опухолей (ингибиторы орнитиндекарбоксилазы, Seiler at al. 1978).
282
Глава 6
Кинетикой суицидных субстратов занимались Waley (1980) и Tatsunami
с соавторами (1981), исследуя, какой параметр определяет, будет или нет
исчерпан весь субстрат, прежде чем весь фермент инактивируется. Waley
предложил, что этот параметр — гд, где /1 — отношение начальной кон-
центрации фермента к начальной концентрации субстрата, а именно, cq/sq,
наше £ в (6.12). С другой стороны, Tatsunami и соавторы (1981) нашли, что
определяющий параметр — это (1 + r)/i. Когда (1 + r)fi > 1, то расходу-
ется весь субстрат, в то время как при (1 + r)/i < 1 инактивируется весь
фермент. При (1 + r)/i = 1 возможно и то, и другое. Глубокое исследо-
вание системы с использованием анализа сингулярного возмущения было
проведено Burke с соавторами (1990). Именно этот анализ мы и рассмот-
рим далее. Интересен случай, когда отношение ео/зо не мало, что было,
в действительности, принято с тех пор, как Waley (1980) и Tatsunami с со-
авторами (1981) использовали приближение квазистационарного состояния.
Как показывает наш предыдущий опыт, справедливость квазистационарно-
го приближения уменьшается при увеличении значений cq/sq. Duggleby
(1986) указал на то, что в действительности во/s0 не мало. Итак, нам нуж-
но использовать методику сингулярного возмущения, но в данном случае
для приведения к безразмерному виду следует выбрать вариант, эквива-
лентный (6.20), а не (6.12), так как именно величина ео/($о + Кт) мала,
a eo/so — порядка 0(1).
Уравнения скорости получены из (6.43) на основании закона действу-
ющих масс:
^l = -fc1[E][S] + A:_1[X], (6.44)
at
Я = -мад + fc-1 [АГ] + Л3[У], (6.45)
at
Я = fci№] - к-1 [X] - fc2[X], (6.46)
at
Я = к2[Х] - k3[Y] - fc4[y], (6.47)
at
S=fc4[y], (6.48)
Я = А:3[У], (6.49)
at
где, как и ранее, символ [ ] означает концентрацию и t — время. Типичные
начальные условия эксперимента, завершающие математическую формули-
6.4. Кинетика суицидного субстрата
283
ровку задачи, имеют следующий вид:
£(0) = е0, 5(0) = So,
Х(0) = У(0) = Ei(0) = Р(0) =0. 1 ’
Как и прежде, (6.49) не связано с остальными уравнениями, и [Р] оцени-
вается путем интегрирования после того, как найдено [У].
Порядок системы можно уменьшить и дальше, используя закон сохра-
нения массы для фермента, так как сложение (6.45)-(6.48) дает
^{[Е] + [Х] + [У] + [Е<]} = 0, (6.51)
=> [Е] + [X] + [У] + [Е,] = е0. (6.52)
Используя (6.52) для исключения [Р], мы получаем редуцированную си-
стему:
= -fci(eo - [X] - [У] - [Е,])[5] + fc-1 [X], (6.53)
at
® = кг(е0 - [X] - [У] - [Е^])[5] - (fc_j + fc2)[X], (6.54)
at
^i = fc2[X]-(fc3 + fc4)[X], (6.55)
at
® = МП (6-56)
Безразмерный вид
Существует несколько способов приведения системы к безразмерному
виду. Поскольку е0/зо порядка 0(1), мы следуем принятой в таких случаях
процедуре, описанной в разделе 6.2, которая является эквивалентной (6.20)
для внешней области и (6.22) для внутренней области.
Мы приводим переменные к безразмерному виду, положив
[S] = sos, [X] = —
[У] = еоу, [Ej] = еое,,
где
к— 1 + fc2
fci
(6.57)
(6.58)
284
Глава 6
Временной масштаб быстрого переходного периода определяется в виде
(сравните с (6.20)):
Т = t/tc = + Кт) (6.59)
и масштаб времени квазистационарного состояния — в виде:
Т = (1 + p)t/ts = te{k_x + fc2)(l + р) (6.60)
с р, приведенным ниже в (6.66), и
Используя масштабирование из (6.57) с т в качестве временного мас-
штаба, уравнения (6.53)-(6.56) для быстрой переходной фазы можно запи-
сать в виде:
ds — = 8 a p s+ , sx + sy + sei + „ 4/, , (6.62)
dr 1 + ст y (1 + р)(1 + ст)
dx dr ~ S / a \ x ]sx sy sei - , , \1 + a J 1 + a (6.63)
dy _ / dr \ a \ / \ (1 + ct)2(1 + p)J X \(1 + ст)/У’ (6.64)
dei f dr \ </> A l + a У' (6.65)
где
SQ _ fc-l
Km' Р~ к2'
кз + к^
Ф = Т---ПГ’ = Т------гг-
к— 1 4- к—\ + ^2
(6.66)
Начальные условия (6.50) с использованием (6.57) принимают вид:
s(0) = 1, я(0) = 0, ?/(0) = 0, е;(0) = 0. (6.67)
Уравнения (6.62)-(6.65) эквивалентны (6.21); они дают сингулярное
или внутреннее решение.
С временным масштабом Т получаем следующие уравнения скоро-
стей для несингулярной фазы квазистационарного состояния (уравнения
для внешнего решения):
77 = -s[(ct + 1) - ах - (ст + 1)у - (ст 4- 1)е,] + 7-7—х, (6.68)
al 1 + р
dx
е— = s[(ct + 1) - ах - (ст + 1)у - (ст + 1)е,] - х, (6.69)
al
6.4. Кинетика суицидного субстрата
285
dy ( су \ .
£Д; = ((1 + <7)(И-р)Г~*"'
Е «г = *
(6.70)
(6-71)
где е, ст, р, -0 и ф заданы в (6.66). Последние уравнения эквивалент-
ны (6.23).
Асимптотические методики и решения
Теперь для е в (6.61) мы используем тот факт, что 0 < е 1, и решим
уравнения, применяя методику сингулярного возмущения, подробно опи-
санную в последнем разделе. Впрочем, в анализе есть некоторые серьезные
отличия, которые не ограничиваются просто более сложными алгебраиче-
скими преобразованиями.
Внутренние или сингулярные решения
Для быстрой переходной фазы мы начинаем с уравнений (6.62)-(6.65)
с начальными условиями (6.67), и, поскольку е мало, мы ищем решения
в виде ряда Тейлора:
з(т) = з(0)(т) 4- ез(1)(т) 4- е2з(2)(т) 4-... (6.72)
для каждой переменной s, х, у и ег. Подставляем их в (6.62)-(6.65) и для
одинаковых степеней е находим
ds(o) = о ^(0) =__________^у(0)
dr ' dr 1 4- а
(6.73)
что вместе с (6.67) дает единственное решение s^°\r) = 1, у^(т) = 0.
Тем же способом получаем, что (6.65) с точностью до 0(1) дает
^ = -^о)=О.
dr 1 + ау
(6-74)
что подразумевает, что е-°\т) = 0, поскольку ег(0) = 0. Наконец, подстав-
ляя решение в виде ряда Тейлора (6.72) в (6.65), получаем
- s(0) _ s(0) (0) _ (0) (0) _ _ <7S^X^
dr 1 4- (т 1 4- ст
(6.75)
286
Глава 6
что вместе с уже полученными решениями для у^ и е-°) преобразу-
ется в
^^- = 1-х(0). (6.76)
ат
И последнее вместе с ж(0) = 0 дает х^(т) = 1 — е~т.
Чтобы получить ненулевые решения для у и е*, мы должны опреде-
лить, как минимум, члены порядка 0(e), а именно, т/^\т) и ер\т). Это
включает процедуру сшивки членов порядка 0(e).
Отметим, что из (6.61) вместе с (6.66) следует, что
So(l + К-ml so) So 1 + О’
Это подразумевает, что
а = е + о(е2). (6.78)
\ео/
Поскольку sq/ео = 0(1), то это подразумевает, что а = 0(e). Здесь мы
вводим переменную подобия для а.
(у = ер, (6.79)
где р — постоянная порядка 0(1). Мы показываем фактор е явно, так, чтобы
его можно было сопоставить с членами О(е). Подставляя выражение для а
из (6.79) в (6.64), мы приравниваем члены порядка 0(e):
= (6'80>
dr (1+р)
Так как мы уже знаем, что х^ (т) = 1 — е-г, то мы можем решить линейное
уравнение для у^(т):
Далее, процедура сшивки для коэффициентов О(е)-малости из (6.65)
дает уравнение для dei/dr, выраженное через у^. После алгебраических
преобразований получаем решение в виде:
<6-82)
6.4. Кинетика суицидного субстрата
287
При получении е^(т) мы приняли, что ф = 0(1). Если бы величина ф
была порядка O(s), то есть ф = О(е), то мы бы использовали другую
переменную подобия, q = еф, и нашли бы тогда, что не е^(т), а е[2\т)
дает тот же результат, что и ер\т).
Сходным способом мы можем найти коэффициенты для членов ряда
Тейлора более высокого порядка. Например, члены порядка 0(e) из (6.62)
дают
s(1)W = -ТТ7 + ~ (6.83)
1 4- р 1 4- р
Все эти решения удовлетворяют начальным условиям (6.67).
Внешние решения или решения квазистационарного состояния
Теперь мы перейдем к поиску решений для медленной временной шка-
лы. что дает приближение квазистационарного состояния. Затем нам при-
дется сшить решения для двух временных масштабов. Следует помнить,
что обычно решения длинного (или медленного) масштаба не удовлетворя-
ют начальным условиям. Неизвестные постоянные интегрирования оцени-
ваются путем сшивания двух областей решения, как мы делали это в раз-
деле 6.3.
Итак, мы ищем решения (6.68)-(6.71) в виде:
з(Т) = 5(о)(Г) 4- es(!)(T) 4- e2s^(T) 4-... (6.84)
для каждой из переменных з, х, у и ei. Подставляя их в (6.68)-(6.71),
мы вновь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях е. Здесь,
однако, мы должны найти неизвестные постоянные интегрирования, что
мы и делаем, используя метод асимптотического разложения со стыковкой
решений; внутреннее решение при г —> оо должно совпадать с внешним
решением при Т —> 0.
Взяв члены порядка 0(1) и помня, что ст = ер = 0(e) из (6.79), мы
получаем из (6.69)
о = S(0) - s(0)3/(0) — *(0) — 5(0)вг(0)« (6.85)
Полагая, что ф = 0(1) и т/(0) = 0 из (6.71), все это вместе нам дает
Я(о) = S(0)(l - ег(о))- (6.86)
Сходным образом мы получаем
=йЪ1"' (6-87)
288
Глава 6
Чтобы приравнивать другие коэффициенты при степенях е, мы должны
определить порядок величины каждого члена. Из экспериментов мы знаем,
что существует два фундаментально разных результата реакции: или весь
субстрат будет израсходован, или весь фермент инактивирован. Это соот-
ветствует: ф = 0(1) с ф = 0(1) и ф = 0(1) с ф = 0(1) (соотношение
между параметрами можно найти из (6.66)). Таким образом, мы должны
решить наши уравнения для каждого из этих двух наборов ограничитель-
ных соотношений.
Случай 1 р = 0(1), ф = 0(1), ф = 0(1)
Это тот случай, когда все константы скоростей — величины одного
порядка. Если принять, что ф = 0(1), то (6.68) вместе с (6.79), (6.84)
и (6.86) дает нам следующее уравнение:
-rfp- = ~ еко)). (6-88)
Из (6.69) вместе с (6.70), (6.84), (6.86) и (6.87) мы получаем:
^ = ^П^3(0)(1-Ч0))- (6-89)
Если мы разделим одно из двух последних уравнений на другое и проин-
тегрируем результат, то получим:
ei(0)(T) = - S(0)(T)), (6.90)
где В — это постоянная интегрирования и
0 = (6.91)
фр
Мы определяем В, используя условие сшивки, которое подробно об-
суждалось в разделе 6.3 (или, еще более подробно в книге Murray 1984).
Это условие, при котором х^(Т)9 у^(Т) и при Т —> О
должны, соответственно, совпадать с величинами s^(r), х^(т)9 у^(т)
и е^°\т) при т —> оо. Мы знаем, что s^°\r) = 1, х^\т) = 1 — е~т,
у^\т) = 0, е-°\т) = 0, тогда условиями для внешних решений порядка
6.4. Кинетика суицидного субстрата
289
0(1) являются
5(0)(Г)-> 1, Х(0)(Т)->1, у(0)(Т)->0 и ei(0)(T)-> 0 при £-> 0.
(6.92)
При этих условиях мы видим, что В = 1 в (6.90); далее при подстанов-
ке (6.90) в (6.88) получаем равенство:
d$(o) _ (0-1) Г _ 3(о)
dT /3(l + p)S(0)[ 1-/3
которое после интегрирования и использования условия из (6.92) при
Т -> 0, дает в(0)(Т) и ец0)(Т) в виде:
s(°)(r) ! _ ^ет[1-(1//3)]/(1+Р) ’
(6.93)
е,(о)(Г) =
1~з(о)(Т)
0
Случай 2 р = О(1), 0 = 0(1), ф = 0(e)
Положив ф = О(е), получаем
1 _ е-т/(1+Р)
з(0)(Т) = е-т/(1+р), 6,(0) = 0, eei(1)(T) =------$------, (6.94)
где мы вновь провели сопоставление с внутренними решениями.
Как во внутренних, так и во внешних решениях мы могли бы про-
должить нахождение членов более высокого порядка по е в рядах (6.72)
и (6.84). Решения становились бы все более сложными, но во всех случаях
уравнения были бы линейными. Для большинства практических случаев
первые ненулевые члены достаточно точны.
Решение, одинаково верное для любых диапазонов времен
Теперь, когда мы располагаем решениями для быстрого переходного
периода времени и для квазистационарного состояния, мы можем получить
составное решение, верное при любом времени t 0 (провести «слив-
ку» решений), применяя простой метод, подробно описанный, например,
в книге Kevorkian и Cole (1996). Мы складываем первый член внутрен-
него решения с соответствующим членом внешнего решения и вычитаем
их общую часть — предел внутреннего решения при времени (т), уходя-
щем в бесконечность, равен пределу внешнего решения при времени (Т),
290
Глава 6
стремящемся к нулю. Например, внутреннее решение для s есть з^0) (т) =
= 1. Внешнее решение для случая 2 есть s^(T) = ехр(—Т/(1 + р)). Оба
описанных выше предела равны 1, тогда составным решением является
scomP = 1 + е-т/(1+р) - 1 = e~t/ts = е-е(А:-1+к2>‘ (6.95)
при использовании (6.60).
Делая то же самое для других решений, мы получаем два набора со-
ставных решений, один — для случая 1 и другой — для случая 2, которые
верны для любого момента времени.
Случай 1:
so (t\ = ________1 _____ ео (t\ _ 1 ~ 5°отр
^сотр'Л/ 1 _ ^et(l-l/0)/ts ’ cicompW ,
4>mPW = Scomp (1 ~ 4отр) ~ , 2/c°omp(i) = 0, (6.96)
£yi (t)= а X
с^сотр\Л/ + р) \ Ф - 1 °сотр Vх ^сотрУ J •
Случай 2:
1 - s°
«сотр(^) = , е°отр(4) = 0, ее|сотр(<) =---------
^omp(t) = «сотр - e~tZS 3/c°omp(t) = о, (6.97)
х а / g-V't/tc _ о \
£Усотр W = + + «сотр J -
где /3 = ф/фр, а сг, риф как в (6.66).
Отметим, что важный параметр, по которому различаются случаи 1
и 2, — это /3. Если /3 < 1, то выполняется случай 1, когда /3 > 1, то вы-
полняется случай 2. В действительности, /3 — это тот же самый параметр,
что и (1 + г)р из статьи Tatsunami с соавторами (1981). Приведенные выше
выражения показывают, что для /3 < 1 вг —> 1 при Г —> эс (до первого
порядка по е), тогда как для /3 > 1 з —> 0 при Т —> оо (до первого поряд-
ка по s). Это прямо относится к количеству инактивированного фермента,
о которм шла речь в начале этого раздела.
Численные решения и сравнение с аналитическими решениями
Теперь, когда мы располагаем приблизительными асимптотическими
решениями для наших безразмерных систем, мы можем сравнить их с чис-
ленными решениями, полученными Burke с соавторами (1990), чтобы про-
верить их точность.
6.5. Кооперативные явления
291
Burke и соавторы (1990) решали безразмерные системы (6.53)-(6.56)
«смно. Поскольку численный анализ осуществляли на размерной систе-
ме хи простоты сравнения безразмерные концентрации перед нанесением
ш график умножались на соответствующие масштабные множители. Пер-
жж два члена составных решений сравниваются с численными решениями
рисунке 6.3. Эти графики показывают, что составные решения гораздо
^? юс точны, чем предыдущие решения для внутренней области.
На рисунке 6.4 представлено сравнение численных решений с состав-
ными решениями для промежуточных концентраций X и Y. Первый член
составного решения из приведенного ранее случая 2 использовался для
каждого X и Y. Эти результаты для концентраций промежуточных веществ
сжуются более точными, чем любые результаты, полученные методом ква-
жтационарного состояния, поскольку использованный нами метод вклю-
чает производные по времени концентрации промежуточных веществ для
периода, предшествующего квазистационарному состоянию.
Вышеприведенные результаты показывают, что аналитические реше-
ния являются очень хорошим приближением для кинетики системы с су-
ицидным субстратом, которая представлена схемой (6.43). Эта реакция не
выглядит намного сложнее, чем базовая ферментативная реакция (6.1), но,
гак мы видели, ее анализ требует гораздо больше усилий. Метод, о кото-
ром шла речь, особенно полезен для оценки промежуточных концентраций
। А* и У), что не позволял сделать ни один предыдущий анализ. Возможно,
самый важный результат описанного здесь метода состоит в том, что реше-
ния получены аналитически с использованием кинетических параметров.
Эти решения можно использовать для оценки параметров, используя ме-
тод. описанный Waley (1985) и Duggleby (1986). Подобные аналитические
решения особенно важны, когда уравнения являются жесткими, то есть ко-
гда производные в системе дифференциальных уравнений умножаются на
малые параметры и когда численные решения могут быть весьма трудоем-
кими, чтобы быть точными.
6.5. Кооперативные явления
В модельной реакции (6.1) одна молекула фермента соединяется с од-
ной молекулой субстрата, то есть фермент имеет один участок для связыва-
ния. Существует много ферментов, обладающих более чем одним участком
для связывания с молекулами субстрата. Например, гемоглобин (НЬ), кис-
лород переносящий белок в красных кровяных клетках, имеет 4 участка
для связывания с молекулами кислорода (О2). Реакция между ферментом
и субстратом называется кооперативной, если одна молекула фермента по-
292
Глава 6
Время
(Ь)
Рис. 6.3. Первые два члена ряда составных решений (случай 2) (-), представлен-
ных в сравнении с численными решениями (—) и предыдущими приближениями:
Waley (1985) (---) и Tatsunami с соавторами (1981) (---). (а) Концентрация
субстрата. (Ь) Концентрация неактивного фермента. Параметры: ki = 2, к-i = 4,
&2 = 12, кз = 10, А?4 = 2, ео = 0.5, «о = 0.5. Это дает г = 5.88 х 10“2, р = 0.333,
(3 = 5.647. (Из Burke et al. 1990)
еле соединения с одной молекулой субстрата на одном участке может затем
присоединить другую молекулу субстрата на другом участке. Такие явле-
ния широко распространены.
6.5. Кооперативные явления
293
** 6.4. Составные решения (случай 2) (-), представленные в сравнении с чис-
пкыми решениями (—) для промежуточных концентраций X и Y. Параметры те
же. что и на рисунке 6.3. (Из Burke et al. 1990)
Другой тип кооперативного поведения фермента с несколькими участ-
ками связывания состоит в том, что связывание одной молекулы субстра-
та на одном участке способно оказывать влияние на сродство фермента
к субстрату на другом участке. Это опосредованное взаимодействие между
позленными специфическими участками связывания называется аллосте-
рией или аллостерическим эффектом, а фермент с подобными свойства-
ми - аллостерическим ферментом. Если субстрат, который связывается на
соном участке, увеличивает связывающую активность другого участка, та-
нж субстрат называется активатором', если он уменьшает активность —
жгибитором. Детальный математический анализ кинетик подобных алло-
стерических реакций кратко дается в книге Murray (1977) и более детально
• книге Rubinow (1975). В последней книге также рассматривается иссле-
дование ферментативных реакций методом графов.
Как пример кооперативного явления, мы рассматриваем случай, когда
фермент имеет два участка связывания, и вычисляем для этого случая функ-
цию расхода субстрата в рамках эквивалентого квазистационарного прибли-
жения. Наша модель состоит из молекулы фермента Е, которая связывает
вначале одну молекулу субстрата S с образованием фермент-субстратного
комплекса С\. Этот комплекс не только распадается с образованием про-
дукта Р и исходного фермента Е, но может также присоединить другую
молекулу субстрата с образованием фермент-субстратного комплекса С2,
содержащего две молекулы субстрата. Фермент-субстратный комплекс С2
распадается с образованием продукта Р и фермент-субстратного комплек-
294
Глава 6
са Ci. Таким образом, механизм реакции выглядит следующим образом:
S + Е С1^Е + Р,
, (6-98)
S + Ch^Cz-^Ci+P,
где константы к — это константы скоростей различных реакций в соответ-
ствии с обозначениями.
Обозначив строчными буквами концентрации, мы можем записать за-
кон действующих масс применительно к (6.98):
ds
— = -kise + (A:_i - k3s)ci + к-3с2,
at
= fcise - (fc-i + к2 + &зз)с1 + (к-з + к4)с2,
at
= к3зС1 - (fc-з + fc4)c2, (6-99)
at
de _ . -
— = -^se + (fc-i + fe2)ci,
dt
dp > ,
— = fc2ci + fc4c2.
dt
Соответствующие начальные условия имеют вид:
s(0) - so, е(0) = е0, ci(0) = с2(0) =р(0) = 0. (6.100)
Закон сохранения общей концентрации фермента получается путем сложе-
ния второго, третьего и четвертого уравнений из (6.99), что с использова-
нием начальных условий записывается в виде:
dci dco de
“JT + “JT + ^7 = °> => е + С1+с2 = ео- (6.101)
dt dt dt
Уравнение для продукта p(t), как и в предыдущих случаях, не связано
с остальными уравнениями, и решение для p(t) находится путем интегри-
рования уравнения для p(t) после того, как становятся известны ci и с2.
Таким образом, учитывая (6.101), итоговая система, которую нам следует
решить, имеет вид:
ds
— = -kieos + (fc_i - kis - Ar3s)ci + (fas + Ar_3)c2,
de (6.102)
—y = k^eos - (A:_i + k2 + kis + k3s)ci + (к-з + кд - kis)c2,
dt
6.5. Кооперативные явления
295
de? j t j j \
— = fc3$Ci - (fc-3 + fc4)c2,
с начальными условиями (6.100).
Как обычно, мы приводим систему к безразмерному виду. Мы уже
видели, что делать это можно несколькими способами. Если €q/sq 1, то
мы пишем
т = k^evt.
k-i
«1 = 7—’
kiSQ
кд
= -7---,
kiso
s
и = —, 1
5о
а2 kiSo'
С2
V1 — —, V2 = —,
е0
к-з
= -J----,
/С1$0
- £1
е)’
кз
°* ~ ь-’
ki
(6.103)
ео
е ~ ,
5о
и (6.102) превращается в
c/tz . \ . \ - . .
— = -u + (u-a3u + fli)vi + (а4 + u)V2 = №,vi,v2),
ат
dvi . \ / \
s-т— = и - (u + а3и + Gi + a2)vi + (а4 + а5 - u)v2 = ^i(tz, vi,и2),
ат
(6.105)
(6.104)
dv2 / ч / ч
s-т— = азш?1 - (а4 + ^5)^2 = vi,v2),
ат
что, с начальными условиями
и(0) = 1, V1(0) = и2(0) = 0,
(6.106)
(6.107)
представляет хорошо сформулированную математическую задачу.
Эта задача, точно так же как и задача Михаэлиса-Ментен (6.13), про-
анализированная в разделе 6.5, является задачей сингулярного возмущения
для 0 < е 1. Полное внешнее и внутреннее решение может быть найде-
но путем сравнения с использованием уже изученного метода, поэтому мы
оставляем это задание как упражнение. Нас интересует вид функции рас-
хода продукта для концентрации субстрата и для времен т е, то есть для
времен, соответствующих режиму эксперимента. Итак, нам нужно только
внешнее или несингулярное решение, которое с точностью до 0(1) и для
0 < е 1 можно получить из (6.104)-(6.107), положив s-члены равны-
ми 0. Тогда это дает
— = f(u, Vi, V2), 91(и, Vi, v2) = о, g?(u, vi, v2) = 0.
ат
296
Глава 6
Последние два уравнения — алгебраические; решив их для vi и V2, мы
получаем
а^ищ и
v2 =--------, Щ =--------------------z-------—г.
й4 + а5 ai + а2 + и + а3гг(а4 + as)-1
Подставляя эти выражения в f(u, vi(u), V2(u)), мы получаем уравнение
расхода, или уравнение для изменения скорости и:
=/(u,vi(u),v2(u))
ат
_ и ^2 + аза5а(Д4 + as)-1 (6.108)
ai + а2 + а + а3а2(а4 + а5)-1
= — г(и) < 0.
Безразмерная скорость реакции, таким образом, есть г (и). Из (6.108), то
есть для случая 0 < eo/so 1, и с использованием (6.103) мы можем
выразить скорость реакции Михаэлиса-Ментен, 1?q(so), в размерных еди-
ницах
D , ч ds + /c4s0
Яо(5°) = 377 = возо-у • ----i~~ 2 ’
dt t=Q КтпКтп “1“ S0 (6 109)
_ А?2 + fc-i , А?4 + к-з
где Кт и К'т — константы Михаэлиса для механизма (6.98), эквивалентные
константе Михаэлиса в (6.41).
Скорость реакции #q(sq) представлена на рисунке 6.5. Если некото-
рые параметры равны нулю, то возникает точка перегиба; например, если
А*2 = 0, то, как с очевидностью следует из (6.109), при малых $о скорость
Ro ос Sq. Хорошим примером подобного кооперативного поведения явля-
ется связывание кислорода гемоглобином: экспериментальные измерения
дают кривую расхода, очень похожую на нижнюю кривую на рисунке 6.5.
Миоглобин (Mb), белок, находящийся в больших количествах в мышечных
волокнах, с другой стороны, имеет только один участок для связывания
кислорода, и его расход имеет вид кривой Михаэлиса-Ментен, также пред-
ставленной на рисунке 6.5 для сравнения.
Когда в ферментативной реакции ожидают встретить кооперативные
явления, то часто строят график Хилла. При этом подразумевается, что ско-
рость реакции, или функция скорости расхода субстрата, имеет вид:
Яо(Яо) = (6.110)
-**7П + Sq
6.5. Кооперативные явления
297
Рис. 6.5. Функциональная зависимость скорости реакции или расхода субстрата от
«жцентрации субстрата so в кооперативной реакции (6.98). Обратите внимание на
mjtho кривой кооперативного расхода субстрата при к? = О
где п > 0 обычно не является целым числом; это уравнение часто называ-
ется уравнением Хилла. Решая его для Sq , мы получаем
п _ ДрДт
s° " Q - До
п In So = In Кт + In
До
Q-Др’
График Хилла — это график зависимости ln[7^o/(Q — Ло)] от 1п$о с нак-
лоном, равным п, который является константой, если уравнение Хилла —
это верное описание кинетики реакции. Если п < 1, п = 1 или п > 1, то
мы говорим об отрицательной, нулевой или положительной кооперативно-
сти, соответственно. Хотя уравнение Хилла может быть разумной количе-
ственной формой для описания скорости реакции (в терминах уравнения
Михаэлиса-Ментен), детальные реакции, лежащие в его основе, не отлича-
ются реалистичностью; по сути — это механизм (6.1), но здесь вместо Е +
-S мы используем E+nS, описывая сложное комплексообразование одной
стадией. Если п — не целое число, то это может показаться маловероятным,
хотя и в этом случае реакция может быть стехиометрична. Если п — целое
число, и п > 2, то реакция, как минимум, трехмолекулярная. Таких реак-
ций не бывает, тогда как кажущиеся исключения чаще всего оказываются
результатом телескопического эффекта от сложения нескольких реакций,
поскольку промежуточные реакции идут очень быстро.
Даже когда предполагаемые механизмы реакций отличаются подоб-
ным несовершенством, такие эмпирические формы выражения скорости,
как уравнение Хилла, очень полезны в моделировании. В конце концов,
строя модели, мы хотим понять, что лежит в основе динамики и какие ме-
ханизмы управляют явлением. В качестве первого шага всегда хорошо най-
298
Глава 6
ти биологически разумную модель, которая бы дала качественное описание
явления. Мелкие уточнения и поправки приходят позже.
6.6. Автокатализ, активация и ингибирование
Многие биологические системы обладают встроенными в них меха-
низмами обратной связи. Эти системы очень важны, и мы должны уметь
их моделировать. В следующей главе, посвященной биологическим осцил-
ляторам, мы расскажем об одной из областей, где они очень существенны.
Обзор теоретических моделей и динамики метаболических систем регуля-
ции с обратной связью были даны Tyson и Othmer (1978). Здесь мы описы-
ваем некоторые из наиболее важных типов регуляции с обратной связью.
Мы говорим об обратной связи, когда продукт одной стадии реакции влия-
ет на другие стадии реакции. Обычно такое взаимодействие — нелинейное
и может или ускорять или замедлять эту реакцию. В следующей главе да-
ются характерные примеры реальных механизмов реакций.
Автокатализ — это процесс, посредством которого химическое веще-
ство участвует в собственном производстве. Простейший учебный пример
представлен схемой следующего вида:
А + х^гх, (6.1U)
где одна молекула X соединяется с одной молекулой А с образованием
двух молекул X. Если А поддерживается на уровне постоянной концентра-
ции а, то в соответствии с законом действующих масс скорость реакции
записывается как
= kiax — k-ix2 => x(t) —* xs = , (6.112)
dt k—i
где x = [X] и x9 — последнее ненулевое стационарное состояние при
t —> оо. Как показывает анализ, нулевое стационарное состояние неустой-
чиво. Эта автокаталитическая реакция демонстрирует сильную обратную
связь, где «продукт» активирует скорость реакции. Очевидно, что некая
обратная реакция (fc_i ф 0) необходима. Это — химический эквивалент
логистического роста, обсуждавшегося в главе 1.
Предположим, что вместо (6.111) мы имеем следующую систему:
А + х^^гх, в + х-^с. (б.пз)
6.6. Автокатализ, активация и ингибирование
299
То есть все молекулы X идут на образование С. Этот механизм, как мы
покажем, демонстрирует простую бифуркацию. Если концентрация В, так
же как и концентрация А, поддерживаются на постоянном уровне а и Ь, то
тогда
— = к\ах — к_\х2 — k%bx — (к\а — k2b)x — к_\х2.
(6.114)
Здесь к\а — это удельная (на единицу х) скорость производства х, a k2b —
удельная скорость убыли х. Из (6.114) мы видим, что если к±а > k2b,
то стационарное состояние х = 0 неустойчиво, и x(t) —> xs = (к^а —
k2b)/k-i > 0 при t оо, что устойчиво. С другой стороны, если
кia < k2b, тогда х = 0 является устойчивым, что неудивительно, посколь-
ку неравенство предусматривает, что скорость убыли больше, чем скорость
производства. В этом случае, согласно математическим расчетам, должно
существовать еще одно стационарное состояние, но оно отрицательно (что
значит нереалистично) и неустойчиво. Простая бифуркация, представлен-
ная этой реакцией, демонстрируется на рисунке 6.6, где стационарные со-
стояния xs даны отностительно параметра к^а — k2b. Бифуркация наблюда-
ется при kia — k2b = 0, где устойчивость меняется при переходе от одного
стационарного состояния к другому.
Устойчивое
*, = -сЧМ-М)
xs = О
Устойчивое
s' Неустойчивое
И I I I I Н И I И I I
к^а — к^Ь
Неустойчивое
Рис. 6.6. Устойчивость стационарных состояний xs системы (6.113) и (6.114). Ко-
гда параметр к±а — kzb, представляющий разность между скоростью производства
и скоростью убыли, меняет знак, то же случается и с устойчивостью, а именно,
происходит переход otxs^Okxs^O
Предваряя следующую главу, посвященную биологическим осциллято-
рам, рассмотрим классический механизм реакции Лотки (Lotka 1920), пред-
ложенный им в качестве гипотетического модельного осциллятора и явля-
ющийся еще одним примером автокатализа:
А + X 2Х, X + У 2У, У В,
(6.115)
300
Глава 6
где А поддерживается на постоянном уровне концентрации а. Первые две
реакции — автокаталитические. В соответствии с законом действующих
масс записываем
dx dy
—к^ах — к2ху, — = к2ху - к3у,
dt dt
что при введении безразмерных переменных
к2х к2у
и =----, v =-----,
к3 к^а
приобретает вид:
du /1 \
т = k\at, а = к3/к\а
= av(u - 1).
ат
Это — уравнения Лотки-Вольтерра (3.4), подробно обсуждавшиеся в разде-
ле 3.1 главы 3; решения и и и периодичны во времени, но, как мы видели,
структурно неустойчивы.
Практически во всех биологических процессах детали происходящих
в них биохимических реакций нам не известны. Тем не менее мы часто
представляем, какое именно качественное действие оказывает варьирова-
ние известного реагента или тех или иных условий реакции. Поэтому вклю-
чение подобного известного качественного поведения в механизм модели
при моделировании биологических процессов оказывается столь ценным
и эффективным. Было доказано, что именно такие модельные механизмы
наилучшим образом помогают разгадать и объяснить, что лежит в основе
явлений, и дать полезные прогнозы для самого широкого спектра биохими-
ческих проблем. Если нам известно, как представить последовательность
реакций в виде системы дифференциальных уравнений, то мы можем по-
строить модели, которые будут непосредственно вводить в дифференциаль-
ные уравнения для концентраций качественно различных типов поведения.
Таким образом, именно система дифференциальных уравнений является
моделью.
Положим, мы имеем некую систему дифференциальных уравнений,
тогда основанная на них модель может редуцироваться (посредством ис-
пользования упомянутых выше асимптотических методов) до двух ключе-
вых элементов, управляемых следующим безразмерным механизмом:
du а
— = ---------CU= f(U,V),
dr b + v
= du — ev = g(u, v),
dr
(6.116)
6.6. Автокатализ, активация и ингибирование
301
где а, Ь, с и d — положительные константы. Биологическая интерпрета-
ция этой модели состоит в том, что и активирует v посредством члена du,
и как и, так и v деградируют прямо пропорционально их концентрациям,
что соответствует членам си и ev. Эта линейная деградация называется
кинетикой деградации (или удаления) первого порядка. Член а/(Ь + v) де-
монстрирует отрицательную обратную связь между v и производством и,
поскольку рост v уменьшает производство и и, следовательно, опосредо-
ванно уменьшает производство самого себя. Чем больше v, тем меньше
производство и. Это — пример ингибирования при помощи обратной связи.
Мы можем легко показать, что для системы (6.116) существует устой-
чивое положительное стационарное состояние. Соответствующее стацио-
нарное состояние (uo, vo) является положительным решением следующих
уравнений:
/(uo, Vo) =ff(uo,vo) = 0
dun 9 ebun ае
=> v0 =-----, —--------=0.
е d cd
Система дифференциальных уравнений (6.116) представляет собой в точ-
ности тот же тип, что и системы, детальный анализ которых приводился
в главе 3. Линейная устойчивость в этом случае определяется собственны-
ми значениям Л линеаризованного якобиана, или матрицы реакции, или
матрицы устойчивости (что равнозначно матрице экосистемы из главы 3),
имеющей следующий вид:
^-А df_ \ с Up
% dv °°-Х — о — /\ d vo + Ь -е - А = 0.
ди dv Uo,V{)
Таким образом,
А2 + (с -Т е)Л +
cdu$
се + ------
b + ио
ReX < 0,
-0
и, следовательно, (uo, vo) линейно устойчиво. Это также глобально притя-
гивающее стационарное состояние: можно построить произвольную пря-
моугольную область на плоскости (u, v), внутри которой находится точ-
ка (uo, vo) и на границе которой вектор (du/dt, dv/dt) всегда направлен
внутрь.
Существует несколько конкретных модельных систем, предложенных
в качестве объяснения механизмов, управляющих рядом основных биоло-
302
Глава 6
гических явлений, включающих колебательное поведение, закладку струк-
тур в развивающихся зародышах, формирование узоров на шкурах живот-
ных и так далее. Мы разберем некоторые из этих моделей в последующих
главах. Здесь же мы кратко познакомимся с двумя из них.
Механизм, предложенный в работе Thomas (1975), основан на конкрет-
ной реакции, включающей субстраты кислород и мочевую кислоту, которые
реагируют в присутствии фермента уриказы. Безразмерные уравнения эм-
пирически найденных скоростей для кислорода (и) и мочевой кислоты (и)
имеют вид:
— = а — и — pR(u, v) = f(u, v),
= a(b — v) — pR(u, v) = g(u, v), (6.117)
at
x uv
R\u,v) = --------
1 + и + Ku2
где a, b, a, p и К - положительные константы. Обычно и п v поступают
с постоянными скоростями а и ab, деградируют прямо пропорционально их
концентрациям, и оба расходуются в реакции со скоростью pR(u, v). Вид
функции R(u, v) демонстрирует субстратное ингибирование. Для фикси-
рованных значений v функция R(u, v) имеет порядок O(uv) при малых и,
являясь, тем самым, линейной по и, тогда как при больших и ее порядок —
O(v/Ku). Итак, когда и мало, R растет вместе с и, но при больших и она
уменьшается вместе с и. Именно этот процесс и называется субстратным
ингибированием. Параметр К — это мера интенсивности ингибирования.
Из рисунка 6.7, где представлена функциональная зависимость R(u, v) от и,
мы видим, что скорость расхода напоминает кривую Михаэлиса-Ментен
для малых и, достигает максимума при и = 1/\/К и далее уменьшается
с увеличением и. Величина концентрации, соответствующей максимально-
му значению R(u, v), и максимум Я(и,и) уменьшаются при увеличении
ингибирования, то есть при увеличении К.
Всегда полезно рассмотреть изоклины кинетик на фазовой плоскости
(и, и) подобно тому, как мы делали это для моделей взаимодействующих
популяций в главе 3. Здесь изоклинами для (6.117) являются
,, . , .l + u + Ku2
J(uo, vo) =0 => v = (а — и)-----—-----,
/ а л l + u + tfu2
д(и0, vo) = 0 => v = Xb------——------
ри + а(1 + и + Ки2)
6.6. Автокатализ, активация и ингибирование
303
Рис. 6.7. Скорость реакции R(u, v) из (6.117) для фиксированного значения v.
Уменьшение R при увеличении и и при и > 1/\/~К является типичным приме-
ром субстратного (и) ингибирования: чем больше К, тем больше ингибирование
которые представлены на рисунке 6.8. В зависимости от параметров в этой
системе могут быть одно или три положительных стационарных состояния.
Хотя эти изоклины соответствуют конкретному механизму субстратного
ингибирования, они достаточно типичны для общих моделей субстратного
ингибирования, особенно изоклина f = 0; см. также рисунок 6.9.
Вопрос об устойчивости стационарных состояний будет обсуждаться
в общем и частном виде в следующей главе. Но на данном этапе мы мо-
жем составить представление об устойчивости системы, просто посмотрев
на изоклины на фазовой плоскости (гг, и). Рассмотрим ситуацию, представ-
ленную на рисунке 6.8, где имеются три стационарных состояния в точ-
ках Pi, Р2 и Р3, или, более конкретно, точку Pi(ui,vi). Теперь начнем
двигаться, скажем, по линии v = vi через Pi и обратим внимание на знаки
f(u, vi), когда мы будем пересекать изоклину f = 0. Задержимся в окрест-
ности Pi. Налево от изоклины f = 0 мы увидим f > 0, направо f < 0.
Итак, когда v = vi является постоянной величиной, df /ди < 0 в точке Pi.
Если теперь мы рассмотрим уравнение кинетики для и при условии v = vi,
а именно, du/dt = f(u, vj, то мы увидим, что локально df /ди < 0 в точ-
ке Pi, и тогда, как следует из нашего рассуждения, приведенного в раз-
деле 1.1 главы 1, если бы это было несопряженное скалярное уравнение
для и, то это бы значило, что Pi является линейно устойчивым стационар-
ным состоянием. Но, конечно, как следует из (6.117), уравнение для и не
является несопряженным, и, возможно, сопряжение имеет дестабилизиру-
ющий эффект.
Продолжим рассмотрение точки Pi и, используя те же рассуждения,
будем двигаться, пересекая изоклину g = 0 вдоль линии и = щ через Pi.
Теперь мы видим, что dg/dv < 0, поэтому локально dv/dt = g(ui,v)
304
Глава 6
Рис. 6.8. Схематичное представление изоклин для кинетики субстратного ингиби-
рования (6.117). Здесь возможно одно, S, или три, Pi, Р2, Рз (пунктирная линия
д = 0), стационарных состояния, которым соответствуют точки пересечения изо-
клин f = 0 и д = 0. Обратите внимание на знаки f и д с каждой стороны от их
изоклин
Рис. 6.9. Типичные изоклины для модели активатор-ингибитор (6.118)
с dg/dv < 0 в точке Pi, и, опираясь на те же доводы о скалярных уравне-
ниях, мы можем утвердиться в наших догадках, что система в точке Pi —
линейно устойчива. Итак, на основании суммарного анализа мы можем сде-
лать заключение, что точка Pi — линейно устойчива. Все перечисленные
доводы подвергаются строгой проверке в следующей главе, где мы пока-
зываем, что наша интуиция нас не обманывает. Аналогичным образом мы
можем интуитивно заключить, что точка Рз также устойчива. Если мы ис-
пользуем те же доводы для Р2 с v = V2 в Р2, то мы увидим из рисунка 6.8,
что df(u, V2)/du > 0, и поэтому можно ожидать, что точка Р2 неустойчива.
В том случае, когда существует единственное стационарное состояние в S,
ситуация требует тщательного анализа (см. главу 7).
И без проведения анализа понятно, что должна существовать пара-
метрическая область, в которой существует одно стационарное состояние,
и параметрическая область, в которой существует три стационарных состо-
6.6. Автокатализ, активация и ингибирование
305
(6.118)
«имя. Информативный анализ, таким образом, состоит в том, чтобы опреде-
лить эти области для каждого случая. Хотя это просто в принципе — нужно
определить положительные стационарные состояния из системы алгебра-
ических уравнений f(u,v) = g(u,v) = 0, — но обычно это сложно ал-
гебраически и должно выполняться численно. Анализ подобного рода дает
интересные результаты, которые обсуждаются подробнее в разделе 6.7.
Еще один модельный механизм, более простой алгебраически, чем си-
стема Thomas (6.117), представлен следующей гипотетической, но биоло-
гически возможной реакционной схемой:
= ц2 - v = g(u,v),
at
где а, b и К — константы. Это — система активатор (и) — ингибитор
(с), которая является безразмерной версией модели, предложенной Gierer
и Meinhardt (1972). Она использовалась в самых разных случаях, кото-
рые обсуждаются в последующих главах нашей книги. В этой модели мы
видим автокаталитическое производство активатора и посредством члена
u2/[v(l + Ки2)], который стремится к пределу 1/(Ки) при больших зна-
чениях и. Ингибитор v «активируется» молекулами и в соответствии со
вторым уравнением, но сам ингибитор ингибирует производство своего ак-
тиватора, поскольку член и2/v(l + К и2) уменьшается с увеличением v.
Изоклины f = 0 и д = 0 из (6.118) представлены на рисунке 6.9. Следует
отметить качественное сходство между изоклинами на рисунках 6.8 и 6.9,
особенно в окрестностях стационарного состояния и при больших значе-
ниях и; смысл этого явления рассматривается далее. В следующей главе
мы знакомим читателя с другими реакционными системами, а в главе 8 мы
даем детальное описание конкретной системы, имеющей большое экспери-
ментальное значение и биологическую важность.
Для общей системы:
du . dv . .
и является активатором и, если дд/ди > 0, тогда как и — ингибитор и,
если df /dv < 0. В зависимости от особенностей кинетики реагент мо-
жет быть, например, активатором только в определенной области значе-
ний концентраций или параметров. Таким образом, существует множество
возможностей для возникновения бифуркаций, имеющих, как мы увидим
позже, самые разные биологически значимые последствия.
(6.119)
306
Глава 6
При наличии математической параллели между взаимодействующими
популяциями и модельными системами реакционных кинетик, мы также
ожидаем встретить здесь пороговые явления, похожие на те, что обсужда-
лись в разделе 3.8 главы 3. Так действительно и происходит, и модельная
система (6.117) демонстрирует сходное пороговое поведение, если при со-
ответствующих параметрах стационарное состояние находится в точке S
или 5", как изображено на рисунке 6.10. Анализ, приведенный в разде-
ле 3.8, полностью приложим к этому случаю.
Теперь мы можем перейти к созданию моделей реакций, которые
включали бы разнообразные динамические типы поведения, например, ав-
токатализ, активацию, ингибирование и т. д., поскольку нам известно, какие
качественные условия для этого требуются. Так, предположим, например,
что у нас имеются клетки, которые реагируют на локальный уровень кон-
центрации химического вещества S путем активации гена, в результате че-
го в клетках образуется продукт G. Предположим, продукт производится
в ходе автокаталитической реакции насыщаемого типа и деградирует в ли-
нейной зависимости от своей концентрации, то есть в соответствии с кине-
тикой первого порядка. Обозначив концентрации строчными буквами, мы
можем получить уравнение скорости для продукта д, которое качественно
включает все перечисленные требования, например:
^ = klS+r^-k49 = f^' (6Л20)
at кз +
где константы k положительны. Эта модель имеет ряд полезных свойств
биологического переключения, обсуждение и использование которых со-
держится в главе 3 тома И, где мы рассматриваем модели, объясняющие
возникновение пространственных биологических структур.
Теперь ясно, что изучение кинетики из п реакций приводит нас к си-
стеме n-го порядка, состоящей из дифференциальных уравнений первого
порядка следующего вида:
г = 1,...,п. (6.121)
at
Это формально тот же тип общей системы, который наблюдался в мо-
делях взаимодействующих популяций, особенно это относится к уравне-
нию (3.43) в главе 3. Там нас интересовали только неотрицательные реше-
ния, так же как и здесь, поскольку u(t) — это вектор концентраций. Все
методы анализа устойчивости стационарных состояний, то есть решений
/(щ,..., ип) = 0, пригодны. Таким образом, все условия ограниченных
6.6. Автокатализ, активация и ингибирование
307
Рис. 6.10. Изоклины кинетик реакций, иллюстрирующие пороговое поведение. При
возмущении до точки Р решение отправляется в длительное путешествие по фазо-
вой плоскости, после чего возвращается в устойчивое стационарное состояние S.
Сходное пороговое поведение возможно, если изоклины пересекаются в стационар-
ном состоянии S'
циклов, пороговых явлений и так далее сохраняются и для этой системы
тоже.
Детали взаимодействия между реагентами и популяциями несомненно
отличны, как по форме, так и по движущим силам. В биологических си-
стемах обычно больше сложности, это требует соответствующего порядка
системы дифференциальных уравнений. Как мы, однако, видели, это часто
компенсируется присутствием катализаторов-ферментов, являющихся био-
логическим оправданием для значительного понижения порядка системы.
Например, система, которая описывается безразмерными уравнениями:
dui
-jr = fi(ui,...,un), г = 1,2,
at
dui .
8i — = . . ,Un), 1 =
at
(6.122)
0 < < 1, i = 3,..., n,
редуцируется почти для всех практических целей до системы второго по-
рядка:
= /i(Ul,U2,U3(Ul,U2),...,Un(Ul,«2)), г = 1,2,
at
для достаточно малых es. Здесь fi(u-[,..., ип) = 0 для i = 3,..., п — это
алгебраические уравнения, которые решаются, чтобы представить ип^з как
функции и\ и U2. Именно это общее расширенное рассмотрение квазиста-
ционарного приближения для систем более высокого порядка оправдывает
такое подробное рассмотрение кинетических моделей с двумя переменны-
ми. Математически последнее уравнение является 0(1) асимптотической
308
Глава 6
системой, при > 0 для всех г, для несингулярного решения (6.122).
Биологически это все, что нам нужно, поскольку в биологическом разви-
тии, как правило, доминируют механизмы относительно долговременного
режима.
6.7. Множественные стационарные состояния, «грибы»
и изолы
Мы видели на рисунке 6.8, что система может иметь несколько поло-
жительных стационарных состояний. Переход из режима с одним к режиму
с тремя стационарными состояниями происходит, когда некий параметр мо-
дели проходит через бифуркационное значение. На рисунке 6.11 изображен
типичный сценарий этих событий. Например, вспомнив рисунок 6.9 и ки-
нетики из (6.118), можно предположить, что качественные характеристики
стационарного состояния будут подобны изображенным на рисунке 6.11(a),
где ингибирующий параметр К играет роль р.
Рис. 6.11. (а) Типичное изменение стационарного состояния us в зависимости от
параметра р при фиксированном значении ki некоего другого кинетического пара-
метра к. (Ь) Когда параметр к проходит через бифуркационное значение кс, могут
появиться множественные стационарные состояния при pi < р < р2- Стационарное
состояние, лежащее на ветви DC, неустойчиво
Положим теперь, что при изменении какого-то параметра, например к,
кривая зависимости и3 от р меняется таким образом, что в определенной
области значений к качественный вад кривой соответствует изображенному
на рисунке 6.11(b). Для фиксированных к и в диапазоне pi < р < Р2 суще-
ствует три стационарных состояния, по одному на каждой ветви ВС, CD
и DE. Эта ситуация эквивалентна ситуации с тремя стационарными со-
стояниями, изображенными на рисунке 6.8. Из приведенного в последнем
разделе анализа мы ожидаем, что стационарные состояния, лежащие на
ветви CD, линейно неустойчивы; это доказывается в следующей главе.
6ЛМН0ЖЕСТВЕННЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ, «ГРИБЫ» И ИЗОЛЫ 309
Судя по виду графика (и3,р) на рисунке 6.11(b), здесь возможен ги-
стерезис (см. раздел 1.2) при изменении р. Положим, как в нашем случае,
что стационарные состояния, лежащие на ветвях АВС и DEF, являют-
ся устойчивыми. Теперь представим, что мы медленно увеличиваем пара-
метр р от значения р < р\ до р > pg- До тех пор пока р не достигнет р2,
□ , просто растет и задается соответствующим значением на ветви АВС.
Когда р проходит через р2, us резко меняется, переходя на ветвь EF\ с уве-
личением р она задается соответствующим значением на этой ветви. Теперь
представим, что мы медленно уменьшаем р. В этой ситуации и3 остается на
нижней ветви FED до тех пор, пока р не достигнет р\, поскольку решения
на этой ветви устойчивы. Теперь резкая перемена происходит в точке р\,
где и3 перескакивает на верхнюю ветвь В А. Это — типичная петля гисте-
резиса. Растущим р соответствует путь ABCEF, тогда как при уменьшаю-
щихся р — это путь FEDBA.
«Грибы»
Наряду с формой изменения (и3, р), представленной на рисунке 6.11(a),
существует и другой распространенный вид изменений (и3,р), где и3 уве-
личивается вместе с р, как это показано на рисунке 6.12(a): переход к трем
стационарным состояниям также проиллюстрирован на рисунке. Нетруд-
но представить, что возможно существование еще более сложного пове-
дения, когда простая кривая, изображенная на рисунке 6.12(a), эволюцио-
нирует с образованием грибовидной структуры, представленной на рисун-
ке 6.12(b), с двумя областями в р-пространстве, где существуют множе-
ственные стационарные состояния.
Грибовидная форма изменения (?zs,p) на рисунке 6.12(b) имеет две от-
четливо выраженные p-области, где существует три стационарных состоя-
ния. В этом случае стационарные состояния, лежащие на ветвях CD и GH,
неустойчивы. Видны две петли гистерезиса, сходные с изображенными на
рисунке 6.11(b), а именно, BCED и IHFG.
Изолы
Ситуация, изображенная на рисунке 6.12(c), а именно, возникновение
отдельного оторвавшегося участка, является очевидным развитием формы,
показанной на рисунке 6.12(b). Такое решение называется изолой. В этом
случае мы ожидаем, что решения, лежащие на ветви DCG, неустойчивы.
Физическая ситуация, представленная подобной формой, значительно от-
личается от той, которая имеет место в случае грибовидной формы. Во-
первых, здесь нет гистерезиса в его традиционной форме, поскольку и3
просто остается на ветви ABIJ по мере того, как параметр р увеличива-
310
Глава 6
Рис. 6.12. (а) Еще один типичный пример зависимости стационарного состояния
от параметра с переходом к множественным стационарным состояниям; сравните
с рисунком 6.11(a). (Ь) Типичная зависимость в виде «гриба» стационарного состоя-
ния как функции параметра р. (с) Пример изолы, которая может быть естественным
эволюционным развитием грибовидной формы, показанной в (Ь)
ется от величины р < р\ до величины р > р2'. и8 остается на этой же
ветви и при обратном прохождении области множественных стационарных
состояний pi < р < р2. Изолы — это изолированные замкнутые ветви (или
кривые) решений, которые могут возникнуть только в нелинейных уравне-
ниях.
Обратившись к рисунку 6.12(c), можно видеть, что если us лежит на
ветви BI, то оказаться на другой устойчивой ветви DFG решение us мо-
жет только единственным способом — благодаря конечному возмущению,
которое сместит переменную и в область притяжения устойчивого стаци-
онарного состояния ветви DFG. Некоторые возможные сценарии теперь
понятны.
Часто можно предсказать весьма сложный характер решений, просто
манипулируя кривыми, точно так же, как это только что делали мы. Имея
правильное представление о ходе реакции, нетрудно представить появление
множественных стационарных состояний. Dellwo с сотрудниками (1982)
6 7. Множественные стационарные состояния, «грибы» и изолы 311
представил общую теорию, которая дает аналитическое описание структур
класса изол, а именно, структур, которые стремятся к точке, когда неко-
торые параметры стремятся к критическому значению. Конечно, уместен
вопрос, а существуют ли изолы в реальном мире. Изолы были обнаружены
в самых разных реальных практических ситуациях, включающих химиче-
ские реакции. Один из первых обзоров по данной теме принадлежит Uppal
с сотрудниками (1976); ссылки на дополнительные источники даны в рабо-
те Gray и Scott (1986).
- X) - у)
Рис. 6.13. Модель автокаталитического механизма, демонстрирующего множествен-
ные стационарные состояния со структурами типа «грибов» и изол. Система реа-
лизуется в проточном реакторе постоянного перемешивания (ПРПП), в котором У
образуется как автокаталитически, так и в ходе простой некаталитической реакции.
Реагенты X и У постоянно поступают в систему, и У деградирует в ходе кинети-
ки первого порядка. Механизм описывается системой дифференциальных уравне-
ний (6.123). Строчные буквы х и у обозначают концентрации X и У
Простая модельная система, предложенная Gray и Scott (1983; 1986),
способна продемонстрировать (наряду с другими кинетическими режима-
ми) множественные стационарные состояния по типу «грибов» и изол. Эта
система состоит из нескольких гипотетических реакций, идущих в проточ-
ном реакторе постоянного перемешивания (ПРПП) между двумя реагента-
ми X и У, концентрации которых равны х и у соответственно, и включает
автокатализ. Эта система представлена схематично на рисунке 6.13.
Изображенный на этом рисунке процесс включает тримолекулярную
автокаталитическую реакцию X 4- 2 У —► ЗУ; весь процесс в целом описы-
вается следующей системой уравнений:
1 / \ 1 9 1
— = к0(х0 - х) - кгху - к3х,
at
37 = ко(уо - у) + к^ху2 + к3х - к2у,
at
(6.123)
где константы скоростей реакций к — положительные величины. Для при-
ведения этой системы к безразмерному виду вводим новые переменные
312
Глава 6
и параметры:
х
и — —,
к0
CL — ---п.
kix%
У
и — —
Xq
h = k3 Л = к2
к1Х%’ kix2’
t* = tk^XQ, с = —,
•Г О
(6.124)
(6.123) и отказе от звездочек из соображений
которые при подстановке в
простоты дают следующую безразмерную систему уравнений:
= а(1 — и) — uv2 —bu = f(u, v),
du . . i / \
— = а(с — и) 4- ии + bu — du = д(и, v),
dt
(6.125)
которая теперь включает четыре безразмерных параметра а, Ь, с и d.
Здесь нас интересуют только стационарные состояния и3 и и3, кото-
рые являются решениями f(u, и) = д(и, и) = 0. Немного алгебраических
преобразований — и мы получаем следующее:
gs(l + с- и3)2
= а ( 1 Ч— ) (1 — и3) — Ьи3
\ а /
(а Ч- d)2
а2
(6.126)
которое является кубическим уравнением, а именно,
з п/i \ 2 Г/i \2 (аЧ-d)2 (а 4-d)2
us — 2(1 4- c)us 4- (1 4- с) Ч---h b—^2—
(а Ч- d)2
a
(6.127)
Поскольку в этом кубическом уравнении знаки коэффициентов меняются
три раза, то, пользуясь правилом знаков Декарта (см. приложение В), мож-
но сделать вывод, что в данном случае существует возможность трех по-
ложительных решений. Конкретные аналитические решения можно найти
асимптотически для больших и малых величин параметров. Впрочем, для
того, чтобы составить полную картину, необходимы численные расчеты,
подобные проделанным в работе Gray и Scott (1986). Типичные результаты
представлены в виде схемы на рисунке 6.14. Полный обзор этой реакции
и ее сложного поведения вместе с аналитическими и численными резуль-
татами даны в работе Gray (1988).
Конечно, математически возможно придумывать все новые более
сложные решения и представлять гипотетические реакции, которые бы их
демонстрировали. Поэтому главное, что следует сделать на данном этапе, —
61 Множественные стационарные состояния, «грибы» и изолы 313
Рис. 6.14. Стационарные состояния us для системы (6.125) как функция парамет-
ра а для различных величин Ь, с и d. Ддя фиксированной величины с, меньшей
некоего критического значения, и растущей величины d, начиная от d = 0, форма
кривых стационарных состояний последовательно сменяется от ситуации с грибо-
видной структурой (с) через изолу (Ь) к ситуации с единственным стационарным
состоянием (а)
это задать вопрос, а встречаются ли реакции, демонстрирующие подобные
«грибы» и изолы в жизни. Как удалось показать экспериментально, неорга-
ническая реакция между йодатом и мышьяковистой кислотой при опреде-
ленных условиях способна к подобной кинетике. Это убедительно проде-
монстрировали Ganapathisubramanian и Showalter (1984), чья модель вместе
с экспериментальными результатами описывается ниже. Хотя эта реакция
не является ни ферментативной, ни биологической, она, тем не менее, по-
казывает, что реальные реакционные механизмы с решениями в виде «гри-
бов» и изол действительно существуют. Зная о многообразии и сложности
биологических процессов, нельзя сомневаться в том, что такие реакцион-
ные системы возможны в биологии и медицине. Итак, с этим убеждением
мы переходим к описанию элементов этой неорганической реакции и пред-
ставляем значимые экспериментальные результаты.
Система йодат-мышьяковистая кислота: бистабильность, «грибы»,
изолы
Реакция йодат-мышьяковистая кислота, идущая в проточном реакторе
постоянного перемешивания, может быть описана двумя составными реак-
циями, а именно,
Юз + 51" + 6Н+ 312 + ЗН2О, (6.128)
I2 + H3AsO3 + Н2О 2Г + H3AsO4 + 2Н+. (6.129)
Результирующая реакция, являющаяся суммой (6.128) + 3 х (6.129), выгля-
дит следующим образом:
Юз + 3H3AsO3 I" + 3H3AsO4.
(6.130)
314
Глава 6
6.8
6.4
6.0
5.6
5.2
4.8
4.4
4.0
5.0 + log(^ + fcj)
5.0 + log(^ + fcj)
5.0 + log^+k,)
Рис. 6.15. Численно найденная стационарная концентрация йодида Х3 из (6.135)
как функция ко + кз. Сплошные линии представляют ветви устойчивых реше-
ний, а пунктирные линии — ветви неустойчивых решений. Значения параметров:
fci = 4.5 х 103M-3s-1, к2 = 4.5 х 108A/-4s-1, Yo = 1.01 x 10-3M, Xo =
= 8.40 x 10-5M, [Я+] = 7.59 x 10-3M; (a) fc3 = 0. (b) fc3 = 1.20 x lO-3^1.
(с) кз = 1.30 x 10-3s-1. (d) кз = 1.42 x 10-3s-1. Сравните рисунки (a)-(d)
с соответствующими схематическими изображениями кривых на рисунке 6.11(b)
и рисунках 6.12(b), (с) и (а). (Из Ganapathisubramanian and Showalter 1984)
6.8
6.4
2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0
5.0 + log(VM
Поскольку реакция (6.128) идет гораздо медленнее, чем реакция (6.129),
она является скорость определяющей стадией в общем процессе (6.130).
Если мы обозначим скорость реакции (6.128) как R, то, как показывает
эксперимент, она имеет следующий эмпирический вид:
R = = (fcl + ^2[!-])[!-][Н+]2[Юз ]. (6.131)
Простой механизм, который количественно описывает реакцию йодат-
мышьяковистая кислота, идущую в проточном реакторе постоянного пе-
ремешивания, состоит из уравнений скорости для йодида I- и йодата IO3
6 Множественные стационарные состояния, «грибы» и изолы 315
из 6.130) с соответствующими потоковыми членами и членами распада:
=JR + fco[I-]o-(^o + fc3)[I-], (6.132)
at
®^ = -Л + <;о[Юз]о-(А:о + /гз)[10з], (6.133)
где А’о и А?з — положительные константы, [1“]о и [IO3 ]о — концентрации
реагентов во входящем потоке, и скорость R взята из (6.131).
Если теперь мы запишем
X = [!-], У = [Ю3-], Хо = [1-]о,
Уо = [Ю3-]о, = МН+]2, fc2* = fc2[H+]2, '
то стационарные состояния Xs и Ys определяются решениями следующих
уравнений:
0 = /? + коХо — (кокз)Х, 0 = —R + AjqYo ~ (&о +
R = (fe* + k$X)XY,
что дает кубический многочлен для Xs
к*2(к0 + к3)Ха + №о + кз) - к2ко(Хо + У0)]Х?+
п (о. 1 35)
+ [(ко + к3)2-к*гко(Хо + Уо)]Ха-ко(ко + к3)Хо = О.
Величины к} и ко были определены экспериментально, а величины Xq, Yq
и [Н+] могут меняться и задаются условиями эксперимента, а значит,
из (6.134) можно определить к$ и к£- На рисунке 6.15 показана (положи-
тельная) концентрация йодида Х3 в стационарном состоянии, полученная
в результате численного решения кубического уравнения (6.135), как функ-
ция ко + кз для различных значений к%.
Сравнение приведенной модели реакции йодат-мышьяковистая кис-
лота с полной реакционной системой дает хорошие количественные ре-
зультаты. Как видно из рисунка 6.15, эта система способна демонстри-
ровать множественные стационарные состояния типа «грибов» и изол.
Окончательным этапом доказательства реального существования подобно-
го поведения служит экспериментальное подтверждение. Его осуществили
Ganapathisubramanian и Showalter (1984), чьи результаты представлены на
рисунке 6.16. Рекомендуется обратить внимание на сравнение результатов,
полученных в ходе эксперимента, и результатов, полученных в результате
моделирования механизма реакции йодат-мышьяковистая кислота. Резуль-
таты, представленные на рисунке 6.16, отчетливо демонстрируют различ-
ные гистерезисные явления, изображенные на рисунках 6.11 и 6.12.
316
Глава 6
5.0 + log(^ + Ад) 5.0 + log(A^ + fcj)
Рис. 6.16. Экспериментально полученные стационарные концентрации йодида в ре-
акции йодат-мышьяковистая кислота как функция ко + кз при различных значени-
ях кз. Величины параметров: Xq = 1.01 х 10-3Л/, Yq = 8.40 х 10-5Л/ с потоком
[H3AsO33]0 = 4.99 х 10"3М; (а) к3 = 0. (Ь) к3 = 1.17 х Ю"3^"1. (с) к3 =
= 9.71 х 10-4s-1. (d) кз = 1.37 х 10-3s-1. Сравните с рисунками 6.15(a), (Ь), (с)
и (d) соответственно. (Из Ganapathisubramanian and Showalter 1984)
Упражнения
1. Аллостерический фермент Е вступает в реакцию с субстратом S
с образованием продукта Р в соответствии с механизмом:
S + E Ci^E + P,
S + C, ^кк3_з С2 Ci + Р,
где величины к — это константы скоростей, а С\ и С? — фермент-
субстратные комплексы. При том, что строчные буквы означают концентра-
6 7 Множественные стационарные состояния, «грибы» и изолы 317
ерш. а начальные условия определяются как s(0) = sq, е(0) = во, сЦО) =
- с2(0) = р(0) = 0, запишите для этой системы реакций дифференциаль-
ные уравнения на основе закона действующих масс, если
Со s Ci
е = — «С 1, т = АцеоЛ и = —, Vi — —.
So So Со
Покажите, что безразмерный реакционный механизм редуцируется к виду:
= f(u, V1,V2), =Pi(u,Vi,V2), г = 1,2.
ат ат
Определите /, д\ и д2 и затем покажите, что при т с расход и задается
выражением:
du . ч А + Ви
= -г("> =
где А, В, С и D — положительные параметры.
Для случая к2 = 0 нарисуйте график зависимости скорости расхода
г(и) от и и сравните его с зависимостью в реакции Михаэлиса-Ментен.
2. Два механизма типа активатор-ингибитор имеют кинетики реакции,
описываемые следующими безразмерными уравнениями:
du , и2
— = а-Ьи-\---,
dt v
—
,,du n
гг) ~— = a — u + uv,
7 dt
dv 9
— = и
dt
dv
dt
— b — u2v.
где а и b — положительные константы. Что является ингибитором, и что —
активатором в каждом из механизмов (i) и (и)? Какие явления описаны
нелинейными членами? Нарисуйте изоклины. Возможно ли при этих ки-
нетиках иметь положительные множественные стационарные состояния?
Расскажите, что будет, если включить субстратное ингибирование в меха-
низм (i), то есть заменить и2/v на и2/\у( 1 + Ки2}\.
3. Генный продукт с концентрацией д производится химически из
вещества S, автокаталитически увеличивается и линейно разлагается в со-
ответствии с кинетическим уравнением:
$ =s + fci = /(<?;«),
dt 1 + g
где и к2 — положительные константы и s = [S] - заданная концентра-
ция. Вначале покажите, что если s = 0, то существует два положительных
318
Глава 6
стационарных состояния при > 2А?2, и определите их устойчивость. На-
чертите график зависимости скорости реакции dg/dt от д при s = 0 (то
есть f{g\ 0)). Рассмотрите s) при s > 0 и покажите, что существует
такое критическое значение sc, при котором стационарное состояние пе-
реключается на большее значение для всех s > sc. Докажите, что если
#(0) = 0 и s увеличивается от s = 0 до достаточно большой величины и за-
тем вновь уменьшается до нуля, то включается механизм биохимического
переключения от д = 0 до д = д% >0; найдите его.
4. Рассмотрите систему реакций, в которой два реагента X и Y дегра-
дируют линейно, при этом X активирует У, а У активирует X следующим
образом:
dx у2
dt 1К+ у2
- Ь^Х,
dy х2
dt хН + х2
~ h2y.
где х = [X], у = [У], fci, k2, hi, h,2, К и Н — положительные констан-
ты. Приведите систему к безразмерному виду для того, чтобы сократить
соответствующее количество параметров. Покажите (i) графически и (ii)
аналитически, что в этой системе возможны два положительных стацио-
нарных состояния или ни одного. [Подсказка для случая (ii): используйте
правило знаков Декарта (см. приложение В).]
5. Если кинетика реакции f(u), представленная в общем виде:
является системой градиентного типа, то есть
f(u) = VuF(u),
что гарантировано, если rot f(u) = 0, то покажите, что решение и не может
быть типа предельного цикла. [Подсказка: используйте «энергетический»
подход, то есть вначале умножьте систему на du/dt.]
Глава 7
Биологические осцилляторы
и переключатели
7.1. Мотивация, краткая история и предпосылки
Хотя живые биологические системы невероятно сложны, их отличает
высокая упорядоченность и на редкость эффективная компактная сборка.
Эти системы хранят в сжатом виде информацию и средства запуска меха-
низмов, нужных для постоянного клеточного деления, организации, конт-
роля, и так далее. Чтобы понять, как велика эффективность этих систем,
достаточно просто сравнить объем информационной памяти, приходящий-
ся на единицу веса самого совершенного компьютерного чипа, с таким
же показателем, скажем, для молекулы рибонуклеиновой кислоты (мРНК)
или какой-либо другой биологической системы — разница составит поряд-
ка нескольких миллиардов раз. Эта и последующие две главы посвящены,
главным образом, колебательным процессам. В биологии и медицине мож-
но встретить немало примеров колебаний, которые возникают при самых
разных обстоятельствах и периоды которых варьируют от нескольких се-
кунд до часов, дней и даже недель. В этой главе мы даем детальный раз-
бор некоторых из них и упоминаем ряд других из огромного множества
областей современных исследований, связанных с биологическими коле-
баниями.
Периодическая работа водителей сердечного ритма — это, несомненно,
важный пример колебаний, который кратко обсуждается в главе 9. Keener
и Sneyd (1998) освещают эту тему более подробно; их прекрасная кни-
га знакомит читателя с математическими моделями в физиологии вооб-
ще, включая рассмотрение самого широкого круга вопросов. Появление
дрозофилл из куколок приблизительно с 24-часовой периодичностью мо-
жет показаться явлением, управляемым внешним суточным ритмом, но это
не так; достаточно обратиться к изящным исследованиям Winfree (1987;
2000), содержащим детальное описание биологических часов и биологи-
ческих ритмов вообще. В главе 9 настоящей книги мы кратко обсуждаем
эти явления у дрозофилл. Ставшая классической работа Hodgkin и Huxley
320
Глава 7
(1952) посвящена потенциалам действия нейронов, или проведению элек-
трических импульсов по нервному волокну. В настоящее время это хорошо
развитая область математической биологии (см., например, обзорную ста-
тью Rinzel 1981 и книгу Keener and Sneyd 1998). При определенных усло-
виях в таких нервных волокнах возникают регулярные периодические воз-
буждения (firing). Распространение импульсов в нейронах обычно зависит
от приложения порогового раздражителя и является важным практическим
примером свойств возбудимой среды. Мы обсуждаем основную модель для
регулярных периодических возбуждений и для пороговых характеристик
далее в разделе 7.5, а ее использование для объяснения волновых явле-
ний — в главе 1 тома II.
Дыхание является важнейшим примером еще одного физиологическо-
го осциллятора, период которого составляет порядка одной секунды. Есть
и многие другие колебательные процессы с очень коротким циклом, сре-
ди которых специфическая нервная активность головного мозга. Отлич-
ный от предыдущих тип колебаний наблюдается при гликолизе. Гликолиз —
это процесс, в ходе которого происходит расщепление глюкозы для снаб-
жения клетки необходимой для ее жизни энергией; колебания с периодом
в несколько минут наблюдаются при определенных концентрациях участ-
вующих в процессе химических веществ. В книге Goldbeter (1996), посвя-
щенной биохимическим колебаниям и клеточным ритмам, дается серьезное
и детальное обсуждение как этого, так и других явлений; в ней также об-
суждаются молекулярные основы хаотического поведения. Как показывают
наблюдения, уровни тестостерона в крови у мужчин часто колеблются с пе-
риодичностью порядка 2-3 часов. В разделе 7.6 мы обсуждаем моделиро-
вание этого физиологического процесса и связанного с ним механизма хи-
мической кастрации, который используется, в частности, для сдерживания
роста опухолей предстательной железы. Эта модель также имеет отноше-
ние к недавним экспериментам по разработке контрацептивных таблеток
для мужчин.
На некоторых этапах жизненного цикла слизевика Dictyostelium discoi-
deum его клетки с периодичностью в несколько минут выделяют химиче-
ское вещество — циклическую АМФ. Этой важной теме посвящено боль-
шое количество как теоретических, так и экспериментальных работ; среди
них, например, соответствующая глава о периодических явлениях в кни-
ге Segel (1984), модели, предложенные Martiel и Goldbeter (1987), Monk
и Othmer (1989), а также книга Goldbeter (1996). Всесторонний обзор,
написанный Othmer и Schaap (1999), охватывает основные аспекты важ-
ной области передачи сигнала, а также характерные свойства слизевика
Dictyostelium discoideum. Как мы показываем в главе 1 тома II, волновые
7.1. Мотивация, краткая история и предпосылки
321
явления в этом слизевике весьма разнообразны; в обзоре Othmer и Schaap
11999) этим пространственным волновым явлениям уделено особое внима-
ние. Регулярное клеточное деление, происходящее в Dictyostelium с перио-
дичностью, измеряемой часами, указывает на то, что некий биологический
осциллятор управляет этим процессом.
Все вышеприведенные примеры колебаний отличны от биологических
часов, которые связаны с циркадными или суточными ритмами или внеш-
ней периодичностью, в связи с чем их более корректное название — ав-
тономные осцилляторы. Осцилляторы типа предельного цикла, подобные
тем, о которых пойдет речь в этой главе, должны быть, конечно, открыты-
ми системами с точки зрения термодинамики, хотя их периодичность не
есть следствие неких внешних периодических сигналов.
Область исследования биологических осцилляторов в настоящее вре-
мя настолько велика, что дать на этих страницах нечто, хоть отдаленно на-
поминающее исчерпывающий обзор темы, не представляется возможным.
Вместо этого мы обращаем наше внимание на некоторые общие результаты
и подробно рассматриваем несколько простых и полезных моделей, вопло-
щающих разнообразные концепции. Мы также обсуждаем некоторые обла-
сти и механизмы, которые имеют практическое значение и представляют
текущий интерес. Эти знания важны для распространения идей математи-
ческого моделирования на новые ситуации. Из глав 1-3 нам уже известно
о периодических режимах в популяционных моделях, и из главы 6 — о воз-
можностях возникновения подобных явлений в ферментативных реакциях.
Среди других хорошо известных, но еще не упоминавшихся примеров ко-
лебаний, — эпидемии тех или иных обычных заболеваний, происходящие
с большей или меньшей периодичностью; в главе 10 мы коротко остано-
вимся на этих примерах и дадим соответствующие ссылки.
По сути история изучения колебательных реакций началась с работы
Лотки (Lotka 1910), который на примере теоретической реакции впервые
показал возможность существования затухающих колебаний. Позже Лотка
(1920; 1925) предложил механизм реакции, носящий теперь имя Лотки-
Вольтерра, который обсуждался нами в экологическом контексте в главе 3
и кратко в химическом контексте в последней главе. Экспериментально ко-
лебания были открыты Бреем (Вгау 1921) в реакции между перекисью во-
дорода и йодатом, в которой наблюдались временные колебания концентра-
ций йода и скорости выделения кислорода. В своей статье Брей специально
ссылался на раннюю работу Лотки. Эта интересная и важная работа была
объявлена лживой и предана забвению с тех пор, как среди других крити-
ческих замечаний было ошибочно сказано, что она противоречит второму
закону термодинамики. Позднее оказалось, что она ему вовсе не противо-
322
Глава 7
речит, поскольку колебания со временем затухают, но происходит это очень
медленно.
Следующим историческим событием в области колебательных реак-
ций стала колебательная реакция, открытая Белоусовым (Belousov 1951;
1959) и исследованая в дальнейшем Жаботинским (Zhabotinskii 1964), и но-
сящая теперь имя реакции Белоусова-Жаботинского. Этой важной системе
посвящена глава 8 настоящей книги. В наше время уже известны многие
системы, обладающие периодическим поведением; в сборнике статей под
редакцией Field и Burger (1985) дается детальное описание некоторых ис-
следований в данной области и, в особенности, исследований, связанных
с реакцией Белоусова-Жаботинского. Другие аспекты темы рассматрива-
ются в книгах Goldbeter (1996) и Keener и Sneyd (1998).
В остальной части данного раздела мы приводим общие замечания
о системах дифференциальных уравнений для осцилляторов, а в следую-
щем разделе мы описываем некоторые особые механизмы управления, мо-
дели, оказавшиеся особенно полезными для демонстрации как обычного,
так и особого поведения осцилляторов. Такие модели — разумно выбран-
ные отправные точки для начала моделирования реально существующих
конкретных биологических явлений, связанных с периодическим поведени-
ем. Некоторые замечания служат для расширения или обобщения анализа,
уже проводимого нами для двухвидовых систем в главах 3 и 6.
Все модели осцилляторов, интересующие нас в данном разделе, за ис-
ключением тех, что рассматриваются в разделе 7.6, приводят к системам
обыкновенных дифференциальных уравнений (типа (3.43), исследованных
в главе 3) для вектора концентрации u(t), а именно,
(7Л)
где f описывает нелинейную реакционную кинетику или механизм, лежа-
щий в основе биологических колебаний. Математическая литература, пос-
вященная нелинейным колебаниям, обширна и многообразна, но по боль-
шей части не связана с реальным биологическим моделированием. Хоро-
шим практическим обзором с позиций математической биологии является
пусть и не совсем современная статья Howard (1979). Итак, в основном нас
интересуют периодические решения (7.1), такие, что
u(HT) = u(t), (7.2)
где Т > 0 является периодом. В фазовом пространстве концентраций траек-
тория этого решения представляет собой простую замкнутую орбиту, ска-
жем, 7. Если Uo(t) — решение типа предельного цикла, то оно является
7.2. Механизмы управления при помощи обратной связи
323
жгнмптотически устойчивым (глобально устойчивым), если любое возму-
щение из положения Uq, или 7, в конечном счете, стремится к нулю при
* - ЭС.
Как и всегда в случаях с реалистичными биологическими моделями,
как качественными, так и количественными, дифференциальные уравнения
включают параметры, которые можно обозначить в целом, скажем, как 7.
Поведение решений и(£; А) варьирует в зависимости от значений парамет-
ров или от их диапазонов, подобно тому, как мы наблюдали это, напри-
мер, в главе 3. Как правило, стационарные решения (7.1), то есть решения
f и) = 0, устойчивы к небольшим возмущениям, если А находится в опре-
деленной области, и становятся неустойчивыми, когда А переходит через
критическое значение Ас или точку бифуркации. Когда модель включает
только две зависимые переменные, анализ (7.1) может быть выполнен це-
ликом на фазовой плоскости (см. приложение А), как мы видели в главах 3
и 6. Для систем более высокого порядка теория, конечно, не завершена,
и каждый случай должен, как правило, рассматриваться отдельно. Главное
исключение — это бифуркационная теорема Хопфа, которая строго выпол-
нима только вблизи бифуркационных значений. Основной полезный и легко
применимый вывод из теоремы Хопфа состоит в следующем.
Предположим, что и = 0 — стационарное состояние (7.1), и линеа-
ризованная вблизи него система имеет простую комплексно-сопряженную
пару собственных значений а (А) = Rea ± ilma. Теперь предположим, что
из всех собственных значений эта пара имеет наибольшую реальную часть
и в ближайшей окрестности бифуркационного значения Ас обладает следу-
ющими свойствами: (i) Rea < 0, если А < Ас, (ii) Rea = 0 и Ima О,
если А = Ас, и (iii) Rea > 0, если А > Ас. Тогда в ближайшей окрестности
бифуркационного значения Ас, а именно, при А > Ас, стационарное состоя-
ние является неустойчивым, демонстрируя нарастающие колебания и, хотя
и низкоамплитудное, периодическое решение в виде предельного цикла око-
ло и = 0. Период этого решения типа предельного цикла составляет 2тг/То,
где 7q = Im[a(Ac)]. Значение Ас — это значение бифуркации Хопфа. Тео-
рема не говорит ничего об устойчивости подобных решений типа предель-
ного цикла, хотя, как следует из практики, при численном моделировании
реальных биологических систем они обычно оказываются устойчивыми.
7.2. Механизмы управления при помощи обратной связи
Как неоднократно отмечалось, некоторые ферменты, содержащиеся
во многих клеточных культурах, демонстрируют периодическое нараста-
324
Глава 7
ние активности во время деления клеток, что является следствием пери-
одического изменения скорости синтеза ферментов; Goldbeter (1996) дает
несколько примеров на эту тему. В статье Tyson (1979; см. также 1983)
приводится несколько конкретных случаев того, где это бывает. Для меха-
низмов регуляции требуется обратная связь, с помощью которой и происхо-
дит управление этими механизмами. В классической работе Monod и Jacob
(1961), в основном посвященной механизмам регуляции в физиологии клет-
ки, было предложено несколько моделей саморегуляции и управления, ко-
торые соответствовали реальным процессам, происходящим в бактериях.
Одна из этих моделей предполагает, что определенные продукты обмена ве-
ществ подавляют активность ферментов, необходимых для их собственного
синтеза. Это осуществляется путем ингибирования транскрипции молеку-
лы ДНК при производстве информационной РНК (мРНК), которая являет-
ся матрицей для создания фермента. Goodwin предложил простую модель
этого процесса, представленную в виде схемы на рисунке 7.2 и детально
проанализированную в статье Hastings с соавторами (1977).
Обобщенная модель Гудвина (1965), отражающая версию процесса,
представленного в виде схемы на рисунке 7.2, имеет следующий вид:
dM V
—— = -------
dt D + P™
dE
— =ЬМ- сЕ,
dt
dP _
— = dE — eP,
dt
(7.3)
где M, E и P, соответственно, представляют концентрации мРНК, фер-
мента и продукта реакции между ферментом и субстратом, который, как
считается, всегда доступен в неизменном количестве. Все величины V, К,
т (коэффициент Хилла), а, 6, с, d и е — постоянные положительные пара-
метры. Так как ДНК поступает в этот процесс извне, то нам не требуется
уравнение для ее концентрации. Используя опыт, приобретенный в главе 6,
мы объясняем модель (7.3) следующим образом. Создание М тормозится
продуктом Р и М деградирует согласно кинетике первого порядка; Е и Р
создаются и деградируют согласно кинетике первого порядка. Ясно, что
можно использовать и более сложные кинетики, используя методы, описан-
ные в главе 6. Рассматривая устойчивость стационарного состояния, Griffith
(1968) показал, что колебания в этой системе невозможны, если коэффици-
ент Хилла т в первом уравнении системы (7.3) не является достаточно
большим (см. упражнение 4), немного больше 8, что является необычайно
7.2. Механизмы управления при помощи обратной связи
325
большим числом. Когда т находится в этой области, система действитель-
но демонстрирует колебания типа предельного цикла.
ДНК-------- мРНК (Л/)
Субстрат
Фермент (Е) --------►
Подавление
------------------------------------- Продукт (Р)
Рис. 7.1. Схематичная система управления производством фермента (Е) в соответ-
ствии с модельной системой (7.3). В этом случае фермент соединяется с субстратом
для образования продукта (Р), который подавляет транскрипцию ДНК матричной
РНК (А/), являющуюся матрицей для создания фермента
Более биологически оправданный вариант состоит в замене Р-уравне-
ния в системе (7.3) на
dP еР
dt k + P'
То есть скорость деградации продукта при больших величинах Р достигает
некоторого предела (насыщается) в соответствии с кинетикой Михаэлиса-
Ментен. Если в (7.3) использовать это нелинейное уравнение вместо линей-
ного, то колебания типа предельного цикла могут возникнуть при меньших
значениях коэффициента Хилла т, даже при т = 2.
Общее представление о последовательности связанных друг с другом
реакций является удобной концепцией, предполагающей разные варианты.
В одной из модификаций, которая широко изучалась и использовалась, чис-
ло реакций в общем виде доходило до и, и функция обратной связи имела
весьма общий вид и, следовательно, более широко приложимый. В удобном
безразмерном виде система выглядит следующим образом:
tl А I.
—7Г = f(Un) ~ «1«1,
at
dur
j, — Щ1 KrUr,
at
г = 2,3,..., п,
(7-4)
где кг > 0 и f(u), которая всегда положительна, является нелинейной функ-
цией обратной связи. Если f(u) растет с ростом и, то есть f'(u) > 0, то си-
стема (7.4) представляет собой петлю положительной обратной связи, то-
гда как если (7.3) является монотонно убывающей функцией и и f'(u) < О,
326
Глава 7
то система представляет петлю отрицательной обратной связи или инги-
биторной обратной связи. Положительные петли обратной связи не явля-
ются распространенным механизмом регуляции метаболизма, тогда как от-
рицательные — являются; см., например, Tyson и Othmer (1978) и Goldbeter
(1996). Yagil и Yagil (1971) предложили конкретные формы (7.3) для неко-
торых биохимических ситуаций.
Стационарные решения системы (7.4) задаются уравнениями:
~
^n—1 = • • • ч “Щ ~ ^2^3 • • •
первое из которых наиболее просто решается графически построением гра-
фика f(u) и нахождением точек пересечения с прямой линией fci&2 • • •
Для функций f(u)9 представляющих положительную обратную связь, воз-
можны множественные стационарные состояния, в то время для случаев
с ингибиторной обратной связью всегда существует только одно стацио-
нарное состояние (см. упражнение 3).
Хотя для систем уравнений с высокой размерностью не существует
аналога теоремы Пуанкаре-Бендиксона для двухразмерной фазовой плос-
кости (см. приложение А), но реалистичные системы должны иметь некую
замкнутую область с границей В (ограниченное множество), такую, что
du
п —<0 для ина границе#, (7.6)
at
где п — нормаль к В, направленная наружу.
В случае более важных систем с отрицательной обратной связью ти-
па (7.4) определение подобной области не представляет никакого труда.
Как мы уже отмечали, нас, конечно, интересуют неотрицательные значе-
ния и. Сначала рассмотрим систему (7.4) с двумя переменными, а именно,
=/(«2) - fciUi, ^=Ul~fc2U2,
at at
где f(u2) > 0 и < 0. Вначале исследуем прямоугольную область,
ограниченную линиями и± = 0, и? = 0, и\ = U\ и U2 = U2, где U\ и U2
предстоит определить. На границах:
du dui r. .
ui = 0, n • — = —— = —f\U2) < 0 для всех U2 0,
dt dt
du du2
U2 = 0, n • — =----— = — Щ < 0 ДЛЯ Щ > 0,
dt dt
7.2. Механизмы управления при помощи обратной связи
327
U! = LY п • — = /(u2) - kiUi < О,
(7.7)
если [7i > для всех 0 < u2 < U2 => Ui>
Ki ki
du
u2 = [/2, n • -j- = Щ — A:2[72 < 0,
at
щ
если l/2 > — для всех 0 щ Ui.
&2
Если теперь подобрать Ui и U2 так, чтобы они удовлетворяли неравенствам:
СА>Ж и2>у-, (7.8)
гС2
то (7.7) демонстрирует наличие замкнутого множества В, для которого
выполняется (7.6). Мы всегда можем найти такие Ui и С72, когда /(и) —
монотонно убывающая функция и. Следует заметить, что положительное
стационарное состояние, определяемое единственным решением
= k2U2, f(U2) = kik2U2,
всегда лежит внутри области В, определенной (7.7) и (7.8), и, поскольку
Г (и) < 0, оно всегда линейно стабильно, так как оба собственных значения
матрицы устойчивости (или матрицы сообщества) отрицательны. Из чего
следует, что модель с двумя переменными не может проявлять колебаний
типа предельного цикла.
Теперь ясно, как следует обобщить метод для того, чтобы определить
граничную область В, на которой выполняется условие (7.6) для петли от-
рицательной обратной связи в модели с п переменными. Соответствующее
замкнутое множество задается многогранником, грани которого представ-
лены плоскостями иг = 0, г = 1,2,..., п и ur = I7r, г = 1,2,..., п, где
любое значение Ur, г = 1,..., п, которое удовлетворяет
Un> U1 (7.9)
ki к2 к^к2 • • • кп
будет достаточным. Как и в случае с двумя переменными, это стационарное
состояние всегда лежит внутри такой границы В.
Сказать, будут или нет подобные системы с п 3 демонстрировать пе-
риодические решения, является более трудной задачей, чем в случае с дву-
мя видами (см. упражнение 4). По мере того, как порядок системы увели-
чивается, возможность появления периодических решений возрастает. Ес-
ли взять осциллятор (7.3), или в безразмерном виде (7.4) для и2, из
328
Глава 7
с /(из) = 1/(1 4- из), то можно показать, что его стационарное состояние
всегда устойчиво (см. упражнение 4). Если мы имеем /(из) = 1 /(l+u™), то
тогда, как следует из упражнения 4, используя условия Рауса-Гурвица для
собственных значений матрицы устойчивости в случае кубического урав-
нения, стационарное состояние неустойчиво только при т > 8, что, как мы
уже отмечали ранее, является нереалистично высоким числом для предпо-
лагаемой кооперативности. Когда число реакций в системе увеличивается,
то, как показали Tyson и Othmer (1978), стационарное состояние становит-
ся неустойчивым, если кооперативность т и длина петли обратной связи п
находятся в следующей зависимости, т > то(п) = secn(?r/n). Когда п =
= 3, то это дает т = 8; для больших п цифры следующие: п = 4, т = 4;
п = 10, т = 1.65 и п —> оо, ш —> 1.
Проведя линеаризацию (7.4) вблизи стационарного состояния (7.5),
можно найти такие условия для функции и параметров, при которых было
бы возможно существование периодических решений в режиме предельно-
го цикла; MacDonald (1977), например, использовал бифуркационную тео-
рию, тогда как Rapp (1976) разработал методику численного поиска для
полной нелинейной системы и дал численные оценки периода колебаний.
Получить некоторые приближенные значения для периодов колебаний,
если они существуют, можно аналитически с использованием метода, пред-
ложенного Tyson (1979). Вначале мы берем результат, указанный в ста-
тье Hunding (1974), а именно, что большинство кинетических параметров
Aji , А?2 ч • • ч кп должны быть приблизительно равны, поскольку в противном
случае колебательные решения будут невозможны для малых значений т.
Для того, чтобы это увидеть, вначале отметим, что каждая величина кг
находится в обратно пропорциональной зависимости от безразмерной дли-
тельности периода полураспада иг. Предположим, например, что одна из
констант, скажем, к3, много больше, чем все остальные, и выберем такое
время ti, при котором t\ 1/к3 и 1/кг для всех г s. По мере
того, как система эволюционирует во временном интервале 0 t ti, по-
скольку krti 1 для всех г / s, взятая из (7.4) us_i в данном временном
интервале существенно не меняется. Таким образом, решением обыкновен-
ного дифференциального уравнения для u3(t) из (7.4) при постоянной us_i
является
u3(t) « us(0)ехр[—k3t] 4- -7-^1 — ехр[—kst], 0 t t^.
К3
Но поскольку k3t\ 1, то из последнего уравнения следует, что u3(f) ~
Us-i/ks, а это означает, что s-я переменная находится в квазистационарном
состоянии (поскольку du3/dt = и3_\—к3и3 « 0) на протяжении времени, за
7.2. Механизмы управления при помощи обратной связи
329
которое все другие виды значительно меняются. Это говорит о том, что s-я
переменная не является активным участником в процессе развития петли
обратной связи, в результате чего порядок петли уменьшается на единицу
JO п - 1.
Положим теперь, что К — это наименьшая величина всех кинетиче-
ских параметров, и обозначим период полураспада ик как И, что является
самым длительным периодом полураспада для всех переменных. С уче-
том полученного результата эффективная длина петли обратной связи равна
числу N переменных, чьи периоды полураспада приблизительно равны Н,
или, что означает то же самое, имеют константы скорости к К. Все
лругие реакции происходят в более быстром временном масштабе и, таким
образом, не участвуют в схеме реакции.
Пусть теперь у нас есть периодическое решение; возьмем одно полное
колебание, при котором каждая переменная сначала увеличивается, потом
уменьшается и завершает цикл. Начнем с концентрации щ9 которая уве-
личивается первой, затем перейдем к ?/2, потом к из и так далее до и^.
Затем щ будет уменьшаться, то же произойдет с ?/2, потом с из и так да-
лее, пока, наконец, не уменьшится Таким образом, колебание состоит
в общей сложности из 2N шагов, и каждый подъем и спад занимает при-
близительно одно и то же характерное время, равное 1/К. Итак, прибли-
зительный период Т колебания равен Т « 2N/К. Более количественный
результат оценки периода был получен Rapp (1976), который показал, что
частота Q задается следующим выражением:
_ 2тг
Т = —,
Q ’
что редуцируется до Т « 2N/K для больших N.
Динамическое поведение упомянутых цепей реакций, регулируемых
обратной связью, применительно к метаболическим путям серьезно рас-
смотрено в статье Tyson и Othmer (1978), а также в статье Hastings с со-
авторами (1977), где материал представляется скорее с математических по-
зиций. В последней работе можно найти полезные данные об условиях
существования периодических решений у систем с более общими реакци-
ями, чем кинетики первого порядка с петлями обратной связи, которые мы
только что рассмотрели.
Что касается практической стороны дела, то обнадеживает тот факт,
что в том случае, когда (i) стационарное состояние теряет устойчивость
и входит в колебательный режим при определенном бифуркационном зна-
чении какого-то параметра, и (ii) стационарное состояние окружено замкну-
тым множеством, то можно сказать о существовании колебательного реше-
330
Глава 7
ния в виде предельного цикла. Конечно, в каждом отдельном случае необ-
ходимо показать и, если возможно, доказать, что перед нами — именно этот
случай. Но поскольку сделать это часто бывает сложно, лучше попытать-
ся построить прогнозы на основе опыта и эвристических доводов, а за-
тем провести компьютерное моделирование системы численно, а не ждать
математических доказательств, которые неизвестно когда появятся. Нали-
чие неустойчивого стационарного состояния со своим замкнутым множе-
ством (7.6) является хотя и необходимым, но не достаточным условием
для существования колебательного решения в системе (7.1). Одним из осо-
бенно полезных аспектов работы Hastings с соавторами (1977), содержа-
щей подробные математические вычисления, является полученный автора-
ми общий результат, который можно использовать для более реалистичных
цепей с обратной связью, лучше имитирующих реальные биохимические
механизмы управления с обратной связью.
Подобная приведенной модель с отрицательной обратной связью бы-
ла предложена Tyson (1983) для объяснения периодичности синтеза фер-
ментов. В статье объясняется, почему период синтеза близок по времени
клеточному циклу, то есть времени от одного деления клетки до другого.
7.3. Осцилляторы и переключатели с двумя и более
переменными: общие качественные результаты
Как мы уже видели в главе 3, двухвидовые модели взаимодействующих
популяций могут демонстрировать периодические колебания типа предель-
ного цикла. Здесь мы приводим некоторые общие выводы относительно
качественных особенностей моделей реакций, способных к подобным пе-
риодическим решениям.
Пусть два вида частиц или две переменные и и v удовлетворяют сле-
дующей кинетике:
du л. ч du . ч - \
— =/(u,v), —-=g(u,v), (7.10)
at at
где fug, конечно, нелинейны. Стационарные решения (uo,vq) для (7.10)
определяются из уравнений:
f(u0, v0) = p(u0, Vo) = 0, (7.11)
и нас интересуют только положительные решения. Проведя линеаризацию
вблизи (uq, Vo), мы имеем в соответствии с уже известной процедурой (см.
7.3. Осцилляторы с двумя и более переменными
331
главу 3)
/d(u - u0)\
d(y - v0)
\ dt /
U-Uq
V - Vq
fv\
gv /
/ U(),VQ
(7-12)
Линейная стабильность стационарного решения (uo,t»o) определяется соб-
ственными значениями Л матрицы стабильности А:
|Л - Л/| = 0 => Л2 - (trA)A + IА| = 0.
=> А = | {trA ± [(trA)2 — 4|А|]1//2} .
(7-13)
Необходимыми и достаточными условиями устойчивости являются:
— fu Н- 9v < 0? И| — fu9v fv9u > 0? (7.14)
где, как в этом, так и во всех последующих случаях, если это не оговари-
вается отдельно, производные берутся в точке (uq, vq).
Около стационарного состояния S(uq, vq) на фазовой плоскости (и, v)
изоклины /(u, v) = 0 и д(и, v) = 0 могут локально пересекаться различны-
ми способами, например, подобно тому, как это изображено на рисунке 7.2.
Следует отметить, что рисунок 7.2(b) является принципиально эквивалент-
ным рисунку 7.2(a) и получается путем простого вращения рисунка 7.2(a).
Рисунок 7.2(c) качественно отличен от первых двух.
Рис. 7.2. Локальное поведение изоклин f = 0, д = 0 вблизи стационарного состоя-
ния S(tto, vo)
Положим, что кинетики /(и, и) и д(и, v) таковы, что (7.10) имеет огра-
ничивающее (или замкнутое) множество в положительном квадранте. Тогда
согласно теореме Пуанкаре-Бендиксона решения в виде предельного цикла
332
Глава 7
существуют, если точка (uq,vq) является неустойчивые фокусом или уз-
лом, но не седлом (см. приложение А). Для существования неустойчивого
узла или фокуса (спирали) нам требуется
trA > О, |А| > 0, (trA)2 | < 4|А| => неустойчивый | спираль
(7-15)
Рассмотрим теперь рисунок 7.2(a). В стационарном состоянии (wo, Vo)
на каждой изоклине f = 0, д = 0 градиент dv/du > Ос дополнитель-
ным соотношением du/du]g==Q > du/du]f=Q. Тогда линейная стабильность
стационарного решения (wq, Vo) определяется собственными значениями Л
матрицы стабильности А:
du д<ц > du fn
du g—Q Qv du y=Q fv
Щ = fu9v fv9u > 0,
при условии, что fv и gv имеют одинаковый знак. Так как du/du > 0,
это также означает, что в точке S величины fu и fv, точно так же как ди
и gv, имеют противоположные знаки. Теперь в соответствии с (7.13) для
выполнения trA > 0 требуется, чтобы как минимум fu и gv имели про-
тивоположные знаки или были положительны. Тогда элементы матрицы А
(матрицы устойчивости или матрицы сообщества, если речь идет о взаимо-
действующих популяциях) из (7.12) могут иметь следующие знаки:
(7-16)
и для обеих комбинаций возможно выполнение trA > 0. Мы уже показали,
что |А| > 0. Для того, чтобы продолжить исследование, нам необходимо
знать знаки каждого члена fu, fv, 9и и gv в стационарном состоянии. Как
следует из рисунка 7.2(a), существует 4 возможности, представленные на
рисунке 7.3. Подразумевается, что элементы матрицы А из (7.12) могут
иметь следующие знаки:
А =
ИЛИ
(а)
(Ь)
или
или
(d)
(7-17)
7.3. Осцилляторы с двумя и более переменными
333
Например, для того, чтобы получить знак fu в точке S на рисунке 7.3(a), мы
просто отмечаем, что по мере движения вдоль линии параллельной оси и
через S f уменьшается, начиная от f > 0 на левой стороне и и f < 0 на
правой стороне и. Если теперь мы сравним эти формы с (7.16), то мы уви-
дим. что единственные возможные формы из (7.17) — это (Ь) и (с). В случае
id) определитель |А| < 0, что делает S седловой точкой (которая, конечно,
неустойчива) и что означает отсутствие решений в виде предельного цикла
•округ S (см. приложение А).
Рис. 7.3. Различные возможные знаки функций f(u, v) и д(и, v) на каждой стороне
их изоклин для случая, изображенного на рисунке 7.2(a). Стрелки дают качествен-
ное обозначение направления типичных траекторий в окрестностях стационарного
состояния S
Для любых данных кинетических функций можно легко определить
по изоклинам их качественное поведение в окрестностях стационарного
состояния и, следовательно, знаки матрицы А из (7.12). В том случае, если
в окрестности точки S (локально) изоклины выглядят так же, как на рисун-
ках 7.2(b) и (с), то для соответствующих типов кинетик можно легко полу-
чить сходные результаты, допускающие периодические решения для (7.10).
Теперь рассмотрим два типичных примера, иллюстрирующих только
что описанный качественный подход. Пусть некий параметр Л имеет такие
значения, при котором изоклины кинетики (7.10) имеют вид, представлен-
334
Глава 7
(с) А = А3
(d) А=А4
Рис. 7.4. Качественный вид изоклин для кинетики (7.10) при изменении парамет-
ра Л: Л1 7^ Аг Аз Ад. Для знаков fag, показанных на рисунке, существует
ограничивающее множество для (7.10); оно, например, может быть прямоугольни-
ком ABCDA, изображенным на рисунке (а)
ный на рисунке 7.4. (Что фактически является картиной изоклин реального
биологического осциллятора, описанного Thomas в 1975 и кратко обсуж-
давшегося в главе 6, разделе 6.7.) Для большей конкретности мы выбираем
знаки для f и д с каждой стороны изоклин, показанные на рисунке (что
отвечает реальной кинетической ситуации из работы Thomas 1975). Следу-
ет отметить наличие замкнутого ограничивающего множества, на границе
которого вектор du/dt, dv/dt направлен внутрь, одно такое множество, обо-
значенное буквами ABCDA, представлено на рисунке 7.4(a).
Теперь рассмотрим по очереди каждый из случаев, изображенных на
рисунке 7.4. Рисунок 7.4(a) эквивалентен рисунку 7.2(c). Здесь в окрестнос-
ти точки S
dv
du_ f=Q
dv~
du Л_п
Л
fv
9u
9v
<0,
>0,
fu
<0,
9u > 0,
fv <0,
9v < 0*
7.3. Осцилляторы с двумя и более переменными
335
Так что матрица устойчивости А из (7.12) имеет следующие знаки:
А =
=> trA < О, \А\ > О,
что не соответствует ни одной из форм из (7.16); как следует из (7.13),
ReA < 0, а значит стационарное состояние на рисунке 7.4(a) всегда устой-
чиво, и периодические решения в этой ситуации для (7.10) невозможны.
Впрочем этот случай абсолютно аналогичен случаю, изображенному на ри-
сунке 7.4(c), а значит и все выводы годятся и для него тоже. Такой же
анализ для рисунка 7.4(b) дает нам
А =
/+
у+
что соответствует (с) из (7.17) и является одной из возможных форм систе-
мы (7.10), способной дать периодическое решение.
Если мы рассмотрим ситуацию с множественными стационарными со-
стояниями, изображенную на рисунке 7.4(d), то увидим, что точки Si и S3
соответствуют точке S на рисунках 7.4(a) и (с), которые всегда линейно
устойчивы. Для стационарного состояния S2 мы имеем
fu >0, fv < о, ди >0, gv < 0,
0<^1 <
du g_Q du j=q gv fv
|A| = fugv fvgu < 0,
что, в соответствии с (7.15), показывает, что стационарное состояние явля-
ется точкой типа седла, и, хотя это означает, что точка S2 неустойчива, этот
вид особых точек, как следует из теоремы Пуанкаре-Бендиксона (приложе-
ние А), не предусматривает наличия периодических решений у (7.10).
Этот последний случай, показанный на рисунке 7.4(d), имеет большое
общее значение. Вспомним пороговое явление, описанное в разделе 6.7 по-
следней главы. Там мы видели, что в ситуации, сходной с изображенной
на рисунках 7.4(a) и (с), достаточно большое возмущение способно уве-
сти значения и и v весьма далеко от линейно-устойчивого стационарного
состояния, прежде чем они вернутся в стационарное состояние (см. рису-
нок 6.10). Это явление иллюстрируется на рисунках 7.5(a) и (Ь).
Рассмотрим теперь рисунок 7.4(d), где Si и S3 эквивалентны S на ри-
сунках 7.5(a) и (Ь) соответственно. Из рисунка 7.5(c) мы теперь видим, что
336
Глава 7
Рис. 7.5. Пороговые явления для различных кинетик из (7.10). В случае (с) возму-
щение достаточно большой величины способно необратимо перевести систему из
одного линейно устойчивого стационарного состояния в другое устойчивое стаци-
онарное состояние
при возмущении, скажем, стационарного состояния Si до точки Pi тра-
ектория решения приобретает следующий качественный вид. Вместо того,
чтобы вернуться в Si, решение перемещается в S3, во второе устойчи-
вое стационарное состояние. Таким способом производится переключение
из Si в S3. Подобным же образом производится переключение из точки S3
в Si при возмущении системы из стационарного состояния S3 до точки Р3.
Возможно, что некий параметр, скажем, в кинетической функции д, можно
изменить (например, увеличить) таким образом, что изоклина займет вер-
тикальное положение. В этом случае система способна демонстрировать
гистерезис в соответствии со сценарием, подробно обсуждавшемся в гла-
ве 1, разделе 1.2 и главе 6, разделе 6.7. Если реакционная кинетика способ-
на порождать «грибы», изолы или еще более причудливые структуры, то
пороговые явления или режимы типа предельного цикла вполне возможны
в данной системе. Биологические переключатели, и не только те, которые
способны демонстрировать гистерезис или другие более экзотичные ти-
пы поведения, имеют огромное значение для биологии. Мы обсудим один
важный пример далее в разделе 7.5. Мы также видим конкретный пример
практического значения переключателей в волновых явлениях, наблюдае-
7.3. Осцилляторы с двумя и более переменными
337
мых в некоторых яйцеклетках после оплодотворения, процесс и механизм
«пороге мы детально обсуждаем далее в главе 13, разделе 13.6 настоящего
тома и главе 6, разделе 6.8 тома II.
Как следует из вышесказанного, качественное поведение решений мо-
жет часто быть выведено из суммарного геометрического анализа изоклин
и глобального поведения траекторий на фазовой плоскости. Мы можем раз-
вить этот подход и дальше, как это сделал, например, Rinzel (1986), кото-
рый предсказал существование еще более сложных типов поведения у по-
добных систем дифференциальных уравнений. Здесь же мне хотелось бы
создать только самое общее представление обо всем многообразии, которое
можно встретить в данных системах.
Положим, мы имеем систему, описываемую следующими уравнения-
ми:
du . da , .
Л=г("'“>’ а=£9("’“>’ (7Л8>
где 0 < е 1, и — вектор концентраций и а — параметр, который сам,
в свою очередь, определяется неким дифференциальным уравнением, но
который меняется очень медленно. Быстрая подсистема (7.18) — это си-
стема 0(1) при е —> 0, где а — просто постоянный параметр, поскольку
da/dt « 0. Медленная динамика управляет изменением а во времени. Мы
проводим анализ некоторых конкретных систем, похожих на эту, в следую-
щей главе, где обсуждаются релаксационные осцилляторы.
Предположим, что однородное стационарное состояние Uq зависит от
а подобно тому, как схематично представлено на рисунке 7.6(a). То есть
существует диапазон ai < а < а<^ в котором возможны три стационарных
состояния 1>о; вспомним обсуждение в разделе 6.7 последней главы. Для
большей конкретности предположим, что а меняется периодически таким
образом, что в каждом цикле оно перемещается взад и вперед в этом интер-
вале, дающем три решения Uq, одно из которых, находящееся на пунктир-
ной линии на рисунке 7.6(a), как следует ожидать, является неустойчивым.
Вначале положим, что а = а\ и Uq находится в точке А, как изображено
на рисунке 7.6(a). Теперь при увеличении a Uq медленно меняется до тех
пор, пока а не пройдет через 02- При а = а^ решение Uq перескакивает
из В в С, после чего опять медленно меняется вместе с а. Когда а от-
правляется в обратный путь, Uq остается на нижней ветви кривой S, пока
не достигнет D, где оно опять перескакивает в точку А. Поведение этой
системы в режиме предельного цикла схематично представлено на рисун-
ке 7.6(b). Быстро меняющаяся область соответствует тому участку, где и
падает от В до С и возрастает от D до А. Это — типичное релаксационное
колебательное поведение; см. далее главу 8, раздел 8.4.
338
Глава 7
Рис. 7.6. (а) Схема зависимости стационарного состояния ио от параметра а; ста-
ционарные состояния на пунктирной линии неустойчивы. (Ь) Типичное поведение
и в режиме предельного цикла, если а медленно меняется периодически. Эти коле-
бания описываются в терминах релаксационного осциллятора; то есть существуют
медленно меняющиеся участки решений, чередующиеся с быстро меняющимися
участками
Быстрая динамическая подсистема из (7.18) может, конечно, иметь
в качестве устойчивого состояния периодическое решение, скажем, ирег.
В этом случае параметр а влияет на колебательное решение. Соответству-
ющей бифуркационной диаграммой, таким образом, является такая диа-
грамма, которая показывает переход от одного типа колебания к другому.
Рисунок 7.7(a) иллюстрирует такую возможность. Ветвь АВ представляет,
скажем, устойчивые малоамплитудные колебания типа предельного цикла
вокруг ио для данного параметра а. Решения на ветви ВС неустойчивы. Те-
перь при увеличении а наблюдаются медленные изменения решения до тех
пор, пока а не пройдет через »2 в точке В, после чего периодическое ре-
шение претерпевает бифуркационный переход к колебаниям большей амп-
литуды, с пределами для и, находящимися на кривых EF и HI. Переход
от решения одного типа к другому типу происходит быстро, так же как
и в случае релаксационного осциллятора, изображенного на рисунке 7.6.
Теперь пусть а уменьшается. Здесь бифуркация при переходе на ветвь АВ
происходит в точке D, где а = ац. Итак, при периодическом изменении а
в некотором интервале, который содержит значения а <а± и а > #2, каче-
ственный вид решения будет похож на представленный на рисунке 7.7(b).
Рисунок 7.7(c) представляет иной возможный сценарий. Линия АВ со-
ответствует неколебательному решению, которое демонстрирует бифурка-
ционный переход к периодическому решению в точке В при а = а$. Эти
ветви периодического решения оканчиваются в точках D и С, где а =
= аъ- Ветвь EF опять соответствует однородному устойчивому стацио-
нарному состоянию. Рассмотрим теперь случай, когда а меняется периоди-
7.3. Осцилляторы с двумя и более переменными
339
Рис. 7.7. (а) Схематичное представление бифуркации периодического решения
быстрой динамической подсистемы (7.18) при периодическом изменении а. Ветви,
изображенные пунктирными линиями, — неустойчивы. (Ь) Типичное периодическое
поведение при медленном периодическом увеличении и уменьшении а в интерва-
ле (ал, аг), для бифуркационной картины в (а), (с) Другой пример бифуркацион-
ной диаграммы периодического решения для подсистемы (7.18) при изменении а.
(d) Качественное периодическое решение системы при периодическом изменении
а между сц и «2 в (с). Это примеры «периодических взрывов» или прерывистой
генерации в виде «пачек» импульсов
чески между а > и ао < а < ai. Для конкретности начнем движение
из точки F на рисунке 7.7(c). По мере уменьшения а мы перемещаемся
вдоль ветви FE, то есть однородное стационарное состояние uss меняет-
ся медленно. В точке Е, где а = Qi, однородное стационарное состояние
переходит путем бифуркации к периодическому решению на ветвях BD
и ВС. Теперь, когда а увеличивается, периодическое решение остается на
этих ветвях до тех пор, пока а вновь не достигнет Q2, после чего решение
перескакивает вниз на ветвь EF, соответствующую однородному стацио-
нарному состоянию. Типичное временное поведение системы изображено
на рисунке 7.7(d). Как этот тип поведения, так и представленный на рисун-
340
Глава 7
ке 7.7(b) носят название «периодических взрывов». Keener и Sneyd (1998)
посвятили главу этому явлению и дали описание некоторых конкретных
моделей биологических систем с подобным поведением.
Сложность решений систем типа (7.18) поражает воображение. Толь-
ко что описанный тип поведения, представленный на рисунках 7.6 и 7.7,
был найден в моделях реально существующих биологических систем; при-
мер поведения, которое представлено на рисунке 7.6, описан в следующей
главе, тогда как системы с поведением, качественно подобным изображен-
ному на рисунке 7.7, были найдены Rinzel (1985). Система, которая изуча-
лась Rinzel (1985), непосредственно относится к модели, описанной ниже
в разделе 7.5 и представляющей собой пример периодического поведения
в нервных клетках. Модель системы, заданной уравнениями (6.125) в раз-
деле 6.7 предыдущей главы, и модель реакции йодат-мышьяковистая кис-
лота, представленной схемами (6.132) и (6.133), демонстрируют сравнимое
поведение, но с возможностями еще более сложных динамических явле-
ний. В статье Othmer и Schaap (1999) обсуждаются кинетики (надежно под-
тверждаемые биологическими явлениями), которые связаны с циклической
АМФ, испускаемой клетками слизевика Dictyostellium discoideum\ см. так-
же статью Dallon и Othmer (1997), где была выдвинута дискретная клеточ-
ная модель для объяснения адаптивной подачи сигналов слизевиком. Этот
плазмодий демонстрирует ряд замечательно сложных динамических режи-
мов. Decroly и Goldbeter (1987) рассматривали модельную систему с тре-
мя переменными, связанную с выделением цАМФ клетками Dictyostellium
discoideum, в которой можно было продемонстрировать переходы от про-
стого колебательного поведения к сложному. Наряду с последовательно
усложняющимися колебаниями типа «периодичских взрывов», они нашли
режим удвоения периода, который ведет к хаосу; см. также Goldbeter (1996).
На рисунке 7.7 показаны некоторые сложные эффекты, возникающие
при взаимодействии колебаний или при наличии в схемах реакции быстрых
и медленных подсистем. Эта чрезвычайно сложная и интересная с матема-
тической точки зрения область исследований непрерывно растет и разви-
вается. Более детальное рассмотрение некоторых существенных аспектов
взаимодействия осцилляторов приводится в главе 9. Важный и абсолютно
другой тип взаимодействующих осцилляторов обсуждается в главе 12.
Утки
«Утка» — термин, относящийся к колебательным системам, которые
претерпевают внезапные серьезные изменения в амплитуде и периоде ко-
лебательных решений при прохождении одного из параметров через узкую
область значений. Системы с таким названием впервые обсуждались в свя-
7.3. Осцилляторы с двумя и более переменными
341
ш с уравнением Ван Дер Поля в статье Benoit с соавторами (1981), и с тех
пор рассматривались применительно к самым разным системам. «Утки»
демонстрируют интересные и подчас весьма причудливые динамические
картины поведения. Открытие «уток» в достаточно простых системах хи-
мических реакций произошло во второй половине 80-х годов XX века; одна
из таких систем — это Орегонатор с двумя переменными (Brons and Bar-Eli
1991), система, которую мы достаточно подробно обсуждаем в главе 8.
«Утки» были обнаружены Gaspar и Showalter (1990) в колебатель-
ной реакции ферроцианид-йодат-сульфит, известной как реакция ЕОЕ, ко-
торая была открыта Edblom, и Epstein (1986). Анализ подобных систем
может быть достаточно сложным и интересным, поскольку, среди проче-
го. они обычно включают взаимодействие быстрых и медленных перемен-
ных, а значит, к ним приложима общая теория сингулярного возмущения.
Реакцию ЕОЕ можно описать моделью с 10 переменными и с эмпири-
ческими законами скоростей реакций, которая, как и реакция Белоусова-
Жаботинского (см. главу 8), может быть редуцирована (Gaspar and Showalter
1990) до системы с четырьмя переменными с сохранением всех существен-
ных черт полной системы. Эта система с четырьмя переменными имеет
следующий вид:
А + У^^Х, Х-^У, 4Y Z, Z + X^ZY, Z
где А = SO2~, X = HSO^ , Y = Н+ и Z — Gaspar и Showalter (1990)
пользовались методикой сингулярного возмущения, которая позволила из-
бавиться от переменных А и Z и получить минимальный набор уравнений:
——- = А51А3У — (fc-i + + k^Zs + fcg)-X,
at
dY
— - k,AsY - (fc-i + fc2 + 3fc4Zs)X - 2fc3y2 + ko(Yo - У),
at
где As и Z3 — функции X и У, заданные следующими выражениями:
А = к^Х + крАр z k3Y2
k\Y + ко к\Х + к$ + ко
и ко, Ао и Уо — константы, связанные с экспериментальными парамет-
рами. Анализ этой системы и других практических моделей химических
систем, демонстрирующих динамическое поведение типа «утки», можно
найти в работе Peng с сотрудниками (1991).
342
Глава 7
7.4. Простые осцилляторы с двумя переменными:
определение параметрической области колебаний
Если ограничить реакционную систему только двумя участниками,
то, как показал Hanusse (1972), решения типа предельного цикла могут
существовать только в случае трехмолекулярных реакций. Это было бы
невозможно с биохимической точки зрения, если бы в систему входили
только эти реакции, но, как было показано в главе 6, подобные модели,
включающие только два реагента, могут получиться естественным обра-
зом из систем более высокого порядка, если, например, частью изучаемого
механизма являются типичные ферментативные реакции. Таким образом,
рассмотрение трехмолекулярных моделей с двумя переменными является
обоснованным и не только с точки зрения алгебраического и математиче-
ского удобства при демонстрации основных принципов и методик. В книге
Schnakenberg (1979) рассматривается класс «простейших», но химически
допустимых трехмолекулярных модельных реакций с двумя переменными,
способных к периодическим решениям. Простейший механизм подобной
реакции имеет вид:
X A, B^Y, 2X + Y ЗХ, (7.19)
что с использованием закона действующих масс приводит к безразмерным
уравнениям для и и v, которые обозначают безразмерные концентрации X
и У:
du г) „, . du . гу , . ✓ _ л ч
— = а — и + и и = f(u, и), — =b — и и = д(и, и), (7.20)
CvL CvL
где а и b — положительные константы. Типичные изоклины представлены
на рисунке 7.8. В окрестностях стационарного состояния S они эквива-
лентны изоклинам, изображенным на рисунке 7.2(b). На основании (7.20)
не составляет труда построить ограничивающее замкнутое множество, на
границе которого векторы (du/dt, du/dt) направлены внутрь от границы
или вдоль нее; пример такого множества в виде четырехугольника мож-
но видеть на рисунке 7.8. Тогда на основании теоремы Пуанкаре-Бендик-
сона существование периодических решений возможно, если для систе-
мы (7.20) матрица стабильности А для стационарного состояния удовле-
творяет (7.15).
Определение параметрического пространства колебаний
Для любой модели с параметрами всегда полезно определить области
значений параметров, в которых колебательные решения могут существо-
7 А. Простые осцилляторы с двумя переменными
343
Рис. 7.8. Типичные изоклины f = 0 и д = 0 простейшего осциллятора (7.20) для
а > 0 и b > 0. Четырехугольник ABCDA — граница ограничивающего множества
вокруг стационарного состояния S
вать и в которых — не могут. Для всех, кроме самых простых кинетик,
это должно делаться численно, но принципы определения являются общи-
ми для всех. Здесь для иллюстрации общих принципов мы приводим по-
дробный анализ простой модельной реакции (7.20); модель включает толь-
ко два параметра а и 6, и мы легко можем вычислить параметрическое
пространство (а, Ь) аналитически. Необходимое пространство представле-
но областью параметров а и Ь, в которой стационарное состояние становит-
ся неустойчивым узлом или спиралью (фокусом), иными словами, это такая
параметрическая область, где в соответствии с (7.15) trA > 0 и |А| > 0.
В дальнейшем мы обсудим более мощные и общие параметрические мето-
ды, которые можно применять для более сложных кинетик.
Стационарное состояние (ио,^о) для (7.20) задается следующими вы-
ражениями:
У(и0, vQ) = а - и0 + u%vo = 0, g(uQ, v0) = b - и&о = 0,
b (7.21)
=> ио = b + a, Vo = т-----, с 6 > 0, а + b > 0.
(а + by
Подставляя значения uq, vq в матрицу стабильности А в (7.12), мы полу-
чаем
trA = fu + gv = (-1 + 2uo^o) + (-^о) = ~ (G + &)2,
a + b
HI = fu9v ~ fv9u = (a + 6)2 > 0 для всех a, b.
(7.22)
344
Глава 7
Область в пространстве (а, 6), где стационарное состояние (uq, vq) является
неустойчивым узлом или спиралью, — это такая параметрическая область,
где в соответствии с (7.15) trA > 0, а значит границей области является
tr А = О => Ь — а = (а + Ь)3.
(7.23)
Даже для этой очень простой модели определение границы включает
решение кубического уравнения, что, хотя и не является серьезной пробле-
мой, но требует утомительных вычислений. Следует быть особенно вни-
мательными, поскольку решение, скажем, при выражении b через а, вклю-
чает три ветви. На рисунке 7.9 представлена параметрическая область, где
колебания возможны для b > 0. Существует и другой более мощный спо-
соб (Murray 1982) для определения границы, а именно, параметрический;
этот метод является гораздо более простым и позволяет избежать проблем
с множественными ветвями. Более того, этот метод имеет более широкую
область применения, может использоваться для более сложных систем и да-
ет возможность провести численную оценку параметрической области в тех
системах, где нельзя это сделать аналитически. Для иллюстрации метода
мы вновь используем простую модельную систему (7.20); другие примеры
предлагается разобрать в качестве упражнения.
Рис. 7.9. Параметрическая область, в которой существуют периодические реше-
ния (7.20) типа предельного цикла для а > 0, Ъ > 0. Граница области задана
кривой (7.23), хотя в действительности она была вычислена с использованием па-
раметрической формы (7.27), которая более проста в применении
Возьмем стационарное состояние uq в качестве параметра и опреде-
лим b и а через uq. Как следует из (7.21),
Uq — а
W = ---—
ug
Ь = UqVq = uq — а,
(7-24)
7 А. Простые осцилляторы с двумя переменными
345
и
( Л 2 \
А=(^и /Л =/-1 +2uovo «0 \ = I ио U° I
9v J к -2u0V0 ~U% I _О -к “ „2 I '
z 4 z 1 Z, “Г CbQ /
\ Uo /
Так как |A| = Uq > 0, то необходимым условием, которое требуется для
существования колебаний, как следует из (7.15), является trA > 0, то есть
fu+9v> 0 => 1-------- -Uq> 0 => а < -° - .——. (7.25)
uq 2
Мы также имеем из (7.24)
Uo(l+«o)
Ь = ио - а >--—(7.26)
Последние два неравенства определяют параметрически, через ио, линию
границы, на которой trA = 0. Поскольку параметр uq — это стационар-
ное состояние, то единственная интересующая нас параметрическая об-
ласть — это ио 0. Таким образом, одна из граничных кривых в простран-
стве (а, Ь), определяющая область, в которой выполняются все необходи-
мые условия для возникновения колебаний (в нашем примере это только
trA > 0), задана следующими уравнениями:
Uo(l - Uq) Uo(1+Uo) _
a=------——, b =-------—— для всех uq > 0. (7.27)
Достаточные условия для существования колебательного решения да-
ются соотношениями (7.15) и наличием ограничивающего замкнутого мно-
жества. Поскольку это ограничивающее множество было получено именно
для этого механизма (см. рисунок 7.8), то условия (7.25) и (7.26) являются
достаточными. Рисунок 7.9, сделанный на основе вычислений с исполь-
зованием (7.27), показывает пространство, заданное уравнением (7.23).
Механизм (7.20) демонстрирует колебания в режиме предельного цикла
для любого значения параметра, лежащего в заштрихованной области; для
всех других значений в положительном квадранте стационарное состояние
устойчиво.
Модель (7.20) является крайне полезной в учебном плане, поскольку
определение параметрического пространства для существования периоди-
ческих решений в этой модели отличается особенной простотой. Это про-
исходит оттого, что требование | А| > 0 автоматически удовлетворяется для
346
Глава 7
всех значений параметра, и необходимое и достаточное условие существо-
вания периодических решений сводится к нахождению области, в которой
trA положительно. Вообще, если найдено ограничивающее множество (что
само по себе может часто накладывать ограничения на параметры), то пара-
метрическое пространство для периодических решений определяется двумя
граничными кривыми в параметрическом пространстве, которые определя-
ются уравнениями trA = О, |А| = 0.
Хотя мы предусматриваем, что для биохимического механизма (7.20)
должно выполняться условие а > 0, математическая задача не должна
иметь подобные ограничения, коль скоро uq и vq — неотрицательны.
Для того, чтобы показать, как вообще можно пользоваться парамет-
рической методикой, позволим параметру а быть и положительным и от-
рицательным. В этом случае необходимые и достаточные условия удовле-
творены, если trA > 0, а именно, (7.25) с (7.26), и |А| > 0. Поскольку
|А| = Uq > 0, то условие |А| > 0 удовлетворяется автоматически. Вместе
с требованием Uq 0 это определяет искомую кривую в (а, 6) пространстве
как
6 + а > 0 => а > —uq, b > uq, (7.28)
что является очень простым параметрическим представлением. Таким об-
разом, два наших неравенства выполняются в области параметрического
пространства, ограниченной кривыми:
U0(l - «о) L “о(1 + «о)
а — ---------, ь =-----------,
2 2
U = —Uq Ь = Uq >
ДЛЯ всех Uq 0.
(7.29)
На рисунке 7.10 изображена область параметрического пространства, за-
данная соотношениями (7.29). Неравенство (7.28) удовлетворяется величи-
нами (а, 6), которые лежат выше прямой линии, заданной (7.29), тогда как
неравенство (7.26) удовлетворяется величинами, лежащими ниже кривой,
заданной (7.29). Вместе они определяют замкнутую область.
Системы Л — ш
Это особенно простые системы уравнений, которые имеют точные ре-
шения типа предельного цикла и которые широко использовались в мо-
дельных исследованиях реакционно-диффузионных систем. Эти уравнения
могут быть записаны в виде:
du ч z ч /х dv . . ч . .
- = Л(г)о-ш(г)„, -.u.(r)u + AWt,, рзо)
Г = (ц2 + V2)1/2,
7.4. Простые осцилляторы с двумя переменными
347
Рис. 7.10. Область параметрического пространства, в которой уравнения (7.20) име-
ют периодическое решение типа предельного цикла. Заметим, что вариант а < 0
возможен, хотя в биохимическом аспекте интереса он не представляет
где А — положительная функция г для 0 < г го и отрицательная для
г > го, так что А(го) = 0, и о>(г) является положительной функцией г.
Представляется нереальным вывести эти уравнения из некой последова-
тельности разумных биохимических реакций. Впрочем, их польза, главным
образом, состоит в том, что их использование в качестве кинетических чле-
нов при изучении волновых явлений в реакционно-диффузионных моде-
лях может дать четкие аналитические результаты. Бывает, что подобные
аналитические решения могут указать, на что следует обратить внимание
в более реалистичных системах. Итак, хотя они используются в области,
которая обсуждается позже, здесь удобно представить их просто в качестве
примеров нетривиальных математических осцилляторов.
Если мы выразим переменные и, v в комплексном виде с = и + iv,
уравнения (7.30) преобразуются в комплексное уравнение:
de
— = М1с1) + М1С1)]С> с = u + w. (7-31)
Из него, или из суммы произведений первого уравнения из (7.30) на и
и второго уравнения из (7.30) на и, мы видим, что решение типа предель-
ного цикла представляет собой круг на плоскости (w, v) или на комплекс-
ной с-плоскости, поскольку
^ = А(|С|)|е| => |с| = г0) (7.32)
так как А(|с|) положительно, если 0 < |с| < го, и отрицательно, если |с| > tq.
348
Глава 7
Существует альтернативный способ записать (7.31) на комплексной
плоскости. Для этого положим
с = гегв => ^-=гХ(г), (7.33)
at at
где решением типа предельного цикла является
r = rQ, 0(£) = a?(r0)f + 0О, (7.34)
где 0о — константа.
7.5. Теория Ходжкина-Хаксли для мембран нервных
клеток: модель ФитцХью-Нагумо
Взаимодействие нейронов, без сомнения, является очень важной об-
ластью научных исследований. В данной книге мы ограничиваемся лишь
общим знакомством с темой и приводим анализ одной из ключевых хорошо
исследованных моделей. Краткий обзор нейробиологических моделей дает
Rinzel (1981); см. также книгу Keener и Sneyd (1998).
Генерация электрического импульса отдельно взятыми нервными клет-
ками или нейронами — широко известное явление. Этому свойству мембран
нервных клеток посвящена ставшая классической основополагающая рабо-
та Ходжкина и Хаксли (Hodgkin and Huxley 1952), выполненная на аксоне
гигантского кальмара. (За эту работу исследователи были удостоены Нобе-
левской премии.) По сути, аксон — это длинная отходящая от нервной клет-
ки циллиндрическая трубка, и электрические сигналы распространяются по
ее внешней мембране, толщина которой составляет около 50-70 ангстрем.
Электрические импульсы возникают из-за того, что мембрана избирательно
пропускает различные ионы, а их способность проникать сквозь мембрану
зависит от существующих силы тока и разности потенциалов. Ключевы-
ми элементами в этой системе являются ионы калия (К+) и ионы натрия
(Na+). В состоянии покоя концентрация ионов К+ внутри аксона превыша-
ет их количество в окружающей среде, в результате чего между внутренней
и наружной сторонами мембраны возникает разность потенциалов, состав-
ляющая около —70 милливольт (мВ). Отклонение напряжения на мембране
по сравнению с состоянием покоя — это главное, что фиксируется в экспе-
рименте. Мембранная проницаемость меняется под действием стимулиру-
ющего электрического тока /; она также зависит от напряжения. Ток может
быть генерирован, например, локальной деполяризацией относительно со-
стояния покоя.
7.5. Теория Ходжкина-Хаксли для мембран нервных клеток 349
В этом разделе нас интересует пространственно-фиксированная дина-
мика системы, или, другими словами, мы рассматриваем пространственно-
однородную динамику мембраны. В реальном аксоне пространственно-
фиксированное состояние может быть получено экспериментально путем
внедрения электрода в центр аксона и поддержания фиксированной раз-
ности потенциалов по сравнению с наружной средой. Далее в главе 1 то-
ма II мы обсуждаем важное явление пространственного распространения
потенциалов действия нервных импульсов вдоль по аксону нервной клет-
ки; там мы еще раз обращаемся к настоящей модели. В данном разделе
мы выводим модель Ходжкина-Хаксли (Hodgkin and Huxley 1952), а также
редуцированную и легко поддающуюся аналитической обработке матема-
тическую модель ФитцХью-Нагумо (FitzHugh 1961; Nagumo at al. 1962),
отражающую все ключевые события. Анализ разнообразных математиче-
ских моделей помог увидеть явления, послужившие основой для проведе-
ния многочисленных экспериментов. Теория генерации возбуждения и рас-
пространения биоэлектрических потенциалов в нервной клетке стала од-
ним из важнейших достижений реальной математической биологии.
Базовая математическая модель
Положим, что положительное направление мембранного тока, который
мы обозначим как 1, — это направление из аксона наружу. Ток 1(f) состоит
из тока, создаваемого отдельными проходящими сквозь мембрану ионами,
а также из членов, зависящих от временного изменения трансмембранного
потенциала или от ёмкости мембраны. Таким образом, мы имеем
7(«) = С^+Л, (7.35)
где С — емкость и Д — ток, создаваемый движением ионов через мембрану.
На основании экспериментальных наблюдений Ходжкин и Хаксли (1952)
приняли
Ii = lNa+Ik + II,
Q Л (7.36)
= gNam3h(V - VNa) + gKn\V - VK) + gL(V - VL),
где V — потенциал и 1ка, 1к и II — токи натрия, калия и «утечки» соответ-
ственно; Il — ток, создаваемый всеми остальными ионами, кроме обозна-
ченных. Все g — это постоянные проводимости, где, например, #лгат3/г —
проводимость натрия и V/va, Vk и Vl — постоянные равновесные потенци-
алы. Переменные т, п и h ограничены 0 и 1 и определяются дифференци-
350
Глава 7
альными уравнениями:
= am(V)(l - тп) - /3m(V)m,
at
^ = an(V)(l-n)-0n(V)n, (7.37)
at
= ah(V)(l -h)- (3h(V)h,
at
где а и /3 — заданные функции V (опять определенные эмпирически путем
сопоставления теоретических результатов с экспериментальными данны-
ми); см., например, Keener и Sneyd (1998). Здесь ап и ат — качественно по-
добны (1 + tg hV)/2, тогда как аь,(У) качественно похоже на (1 - tg ЛУ)/2,
являясь «выключателем», если V относительно велико. Ходжкин и Хаксли
аппроксимировали данные экспоненциальными формами.
После приложения тока /a(Z) основное уравнение с учетом (7.35) при-
обретает вид:
c^t = -9Na^h(V - VNa) + gKn\V - VK) + gL(V - VL) + Ia. (7.38)
Система (7.38) вместе с (7.37) представляет собой модель с четырьмя пе-
ременными, которая была численно решена Ходжкиным и Хаксли (1952).
Если 1а = 0, то состояние покоя модели, описываемой уравнения-
ми (7.37) и (7.38), является линейно устойчивым, но возбудимым (в смыс-
ле, обсуждавшемся в главе 6). То есть, если отклонение от стационарного
состояния достаточно велико, то переменные возвращаются в стационар-
ное состояние только после длительного путешествия в фазовом простран-
стве. Если 1а 7^ 0, то существует диапазон значений, при которых в си-
стеме возникает регулярно повторяющееся возбуждение, то есть механизм
демонстрирует характеристики предельного цикла. Оба типа явлений на-
блюдались в эксперименте. Из-за сложности данной системы уравнений
были предложены многочисленные более простые математические модели,
сохраняющие основные черты полной системы; самая известная и широ-
ко используемая из них — это модель ФитцХью-Нагумо (FitzHugh 1961;
Nagumo et al. 1962), которую мы сейчас выведем.
Временные масштабы для т, п и h из (7.37) не все одного порядка.
Временной масштаб для т гораздо быстрее остальных, поэтому разумно
принять, что он является настолько быстрым, что его значение мгновенно
достигает величины, которую можно определить из (7.37), если положить
dm/dt = 0. Если мы к тому же положим, что h = h0 некая константа, то
7.5. Теория Ходжкина-Хаксли для мембран нервных клеток 351
Рис. 7.11. Фазовая плоскость для модельной системы (7.39) при 1а = 0. При изме-
нении параметров здесь может быть (а) одно устойчивое, но возбудимое состояние
или (Ь) три возможных стационарных состояния, из которых одно неустойчивое,
а именно, Si, и два устойчивых, но возбудимых, а именно, (0,0) и S2
Рис. 7.12. (а) Фазовый портрет системы (7.39) с 1а = 0, а = 0.25, b = 7 = 2х 10“3,
который демонстрирует пороговое поведение. При возмущении стационарного со-
стояния v = ш = 0, скажем, до точки Р, где си = 0, v < а, траектория просто
возвращается к исходному состоянию и при этом v и щ остаются все время ма-
лыми. Отклонение до точки А приводит к продолжительному путешествию вдоль
ABCD и затем назад в (0,0) практически вдоль изоклины, поскольку b и 7 — малы.
(Ь) Временное изменение v и о>, соответствующее возбудимой траектории ABCDQ
в (а). (Взято из Rinzel 1981)
в системе все же сохранятся многие из признаков, которые наблюдаются
в эксперименте. Получаемая в результате модель с двумя переменными V
и п может быть в дальнейшем качественно аппроксимирована безразмер-
352
Глава 7
ной системой:
dv е. ч _ dw 1
+ Tl (?39)
/(v) = v(a — v)(v — 1),
где 0<а<1,а6и7 - положительные константы. Здесь переменная v ана-
логична мембранному потенциалу V, а ш играет роль трех переменных т,
п и h из (7.37).
Когда 1а = 0 или является просто постоянной величиной, систе-
ма (7.39) становится просто системой с двумя переменными на фазовой
плоскости, изоклины которой изображены на рисунке 7.11. Следует отме-
тить, что фазовый портрет меняется в зависимости от различных значе-
ний параметров а, b и 7. Здесь возможны, например, одно или три стаци-
онарных состояния, как показано на рисунках 7.11(a) и (Ь) соответственно.
Эта ситуация соответствует примеру, представленному на рисунке 7.5, за
исключением того, что в данном случае величина v может быть отрица-
тельной, поскольку это — электрический потенциал. Характеристика воз-
будимости, ключевая черта в системе Ходжкина-Хаксли, в данном случае
абсолютно очевидна. То есть возмущение от 0, скажем, до точки на оси v
с v > а означает длительное путешествие по фазовой плоскости и только
затем возвращение в 0. На рисунке 7.12 показан характерный пример.
Периодическое возбуждение нейрона
При 1а = 0, как видно из возможных фазовых портретов, представ-
ленных на рисунке 7.11, периодических решений быть не может (см. раз-
дел 7.3). Положим, теперь, что к системе прикладывается ток 1а. Соответ-
ствующие изоклины системы (7.39) для некоторых 1а > 0 представлены на
рисунках 7.13(а)-(с). Воздействие на изоклины состоит в простом переме-
щении v-изоклины при 1а = 0 вверх по оси о;. Когда значения параметров
таковы, что получается картина, изображенная на рисунке 7.13(a), можно
видеть, что, меняя только 1а, можно найти диапазон стимулирующих токов
/1, /2, где возможно неустойчивое стационарное состояние и, как следствие,
колебания в режиме предельного цикла, иными словами, картина изоклин,
представленная на рисунке 7.13(b). Определение параметрических областей
для а, 6, 7 и 1а, где бы было возможно осуществление каждой из перечис-
ленных возможностей, осуществляется путем несложных алгебраических
вычислений. Это простое упражнение из элементарной аналитической гео-
метрии мы оставляем в качестве индивидуального задания (упражнение 7).
В ситуации, представленной на рисунке 7.13(d), решения типа предельного
7.5. Теория Ходжкина-Хаксли для мембран нервных клеток 353
цикла невозможны. С другой стороны, для этой формы в системе возможны
переключения между стационарными состояниями.
Рис. 7.13. Изоклины модели ФитцХью-Нагумо (7.39) с различными стимулиру-
ющими токами 1а. Случаи (а), где 1а < Л, и (с), где Ia > I2, имеют линейно
стабильные, но возбудимые стационарные состояния, тогда как в случае (Ь), где
h < 1а < ^2, возможно наличие неустойчивого стационарного состояния и, как
следствие, возникновение периодических решений типа предельного цикла. С кон-
фигурацией (d) стационарные состояния Si и S3 устойчивы, a S2 — неустойчиво.
В этом случае возмущение, приложенное к системе в одном из устойчивых стацио-
нарных состояний, может приводить к переключению в другое устойчивое состоя-
ние, из Si в S3 и наоборот
Модель ФитцХью-Нагумо (7.39) является моделью модели Ходжкина-
Хаксли. Таким образом, дальнейшее упрощение механизма (7.39) не лише-
но смысла в том случае, если оно облегчает анализ системы или позволяет
увидеть наличие нескольких возможных решений. Конечно, необходимо,
чтобы подобное упрощение не затронуло основные черты оригинала, что
означает внимательный подход к осуществляемым действиям. Из рисун-
ка 7.13 видно, что изоклину v можно аккуратно аппроксимировать кусочно-
линейной функцией, подобно тому, как это сделано на рисунке 7.14, и ко-
торая на рисунке 7.14(a) имеет нули в точках v = 0, а, 1. Положения мини-
354
Глава 7
Рис. 7.14. (а) Изоклины на фазовой плоскости для кусочно-линейной аппроксима-
ции v-изоклины в модели ФитцХью-Нагумо (7.39) с 1а = 0, где (vi,u>i) и (г2,алг)
заданы в (7.40). (Ь) Геометрические условия для возможных периодических реше-
ний, которые требуют 1а > 0, показаны через угол 0 = tg-1[(a>2 — ал )/(v2 — vi)].
(с) Геометрические условия для множественных корней и возможности порогового
переключения из стационарного состояния Si в S3 и наоборот
мального и максимального значений функции, (vi,a>i) и (^2,^’2), получа-
ются из (7.39)
V2,vi = | [а + 1± {(а + I)2 - За}1/2],
<5 L J
= -Vi(a - Vi)(l - Vi) + Ia, i = 1,2.
(7.40)
Линия от (vi, а>1) до (у2, 0,2) проходит через v = а, если а = 1/2. Острый
угол 0, который образуется между изоклиной и осью v на рисунке 7.14,
равен
0 = tg 1
0^2 ~
V2 — Vi
(7-41)
Теперь нам не представляет труда записать необходимое условие для
существования колебаний в режиме предельного цикла для кусочной моде-
ли, то есть условия для изоклин, при которых их конфигурация напоминала
бы рисунок 7.14(b). Наклон изоклины v в стационарном состоянии должен
быть меньше, чем градиент b/у изоклины а>, то есть
О>2 — &
tg0 = --------- < -.
V 2 — Vl 7
(7-42)
Достаточные условия для существования решения типа предельного цикла
можно получить, применив результаты, полученные в разделе 7.3, и про-
7.6. Моделирование регуляции выделения тестостерона
355
демонстрировав наличие замкнутого ограничивающего множества. Анали-
тические выражения, определяющие диапазон значений стимулирующего
тока 1а, при которых возможно существование предельных циклов, можно
также найти самостоятельно (упражнение 7).
Главное свойство модели пространственно-фиксированной мембраны
аксона состоит в том, что она способна генерировать регулярные импульсы
типа предельных циклов, когда стимулирующий ток 1а находится в соот-
ветствующей области А < 1а < /г- Бифуркационный переход к реше-
нию типа предельного цикла, когда 1а увеличивается, проходя Д, является,
по сути, бифуркацией Хопфа, а значит, период предельного цикла зада-
ется путем применения теоремы Хопфа. Модель с генерацией периодиче-
ских импульсов будет рассматриваться еще раз в главе 9, когда речь пойдет
о воздействии возмущений на колебания. Все характеристики, найденные
в модели (7.39), были также найдены в полной модели Ходжкина-Хаксли,
конечно, численно. Различные свойства решений были также продемон-
стрированы экспериментально.
Некоторые нейроны генерируют периодические пачки высокочастот-
ных колебаний, как можно видеть на рисунках 7.7(b) и (d). Мы бы ожидали
увидеть такое поведение, если бы рассматривали сопряженные нейроны,
демонстрирующие независимое возбуждение. Если видоизменить описан-
ную модель, включив в нее другие ионы, например, добавить ток за счет
кальция Са++, то можно получить такое поведение периодической актив-
ности; см. Plant (1978; 1981). В настоящее время нам известно несколько
явлений, имеющих отношение к нервной системе, где генерацию периоди-
чески появляющихся пачек высокочастотных импульсов можно наблюдать
экспериментально. Благодаря полученным знаниям о качественном смыс-
ле членов уравнений и характере решений обсуждавшихся здесь моделей
и их возможных модификаций, мы можем создать теперь новые модели для
отражения различных наблюдений, которые указывали бы на сходные явле-
ния. Область изучения пространственной и временной передачи импульсов
в нервных клетках представляется удивительно интересной и важной сфе-
рой научной деятельности, которая, несомненно, сохранит свою привлека-
тельность для исследователей еще многие годы.
7.6. Моделирование регуляции выделения тестостерона
и химическая кастрация
Гормон тестостерон, хотя и присутствует в крови в ничтожно малых
количествах, является необычайно важным гормоном; любое регулярное
нарушение баланса в его содержании может привести к серьезным послед-
356
Глава 7
ствиям. Уровень содержания тестостерона в крови человека может перио-
дически колебаться с периодами порядка двух-трех часов. В этом разделе
мы обсуждаем физиологический процесс выработки тестостерона, а также
конструируем и анализируем модель, весьма отличную от моделей, обсуж-
давшихся ранее в этой главе, и созданную для объяснения наблюдаемых
периодических колебаний уровня тестостерона. Хотя это явление представ-
ляет самостоятельный интерес, одной из основных причин исследований
является стремление продемонстрировать приемы анализа подобного рода
моделей. Впрочем, наиболее важной причиной можно, вероятно, назвать
попытку понять механизм выработки тестостерона с тем, чтобы помочь ве-
дущимся в настоящее время исследованиям по регуляции выработки тесто-
стерона с целью создания химических средств контрацепции для мужчин
и сдерживанию роста злокачественных опухолей предстательной железы.
Прежде чем перейти к описанию важных физиологических этапов про-
цесса выработки тестостерона, следует рассказать о некоторых интересных
фактах и явлениях, связанных с этим важным гормоном. Уровень тестосте-
рона в крови у мужчин составляет 10-35 наномолей на литр крови, в крови
у женщин его уровень — 0.7-2.7 наномолей на литр. Пониженный уро-
вень тестостерона, или, вернее, связывающего половой гормон глобулина
(СПГГ), прямо зависимого от свободного тестостерона, часто сопровож-
даются изменениями личности — индивидуум становится менее склонен
к агрессии и доминантности. С другой стороны, повышенные уровни те-
стостерона провоцируют обратные изменения. Хотя действительная разни-
ца в уровнях тестостерона еле заметна, эффект оказывается весьма значи-
тельным.
У мужчин высокий уровень тестостерона является, в первую очередь,
результатом функционирования семенных желез, которые производят 90 %
гормона, тогда как за производство остальной части гормона отвечают дру-
гие органы эндокринной системы, вот почему он образуется также и в жен-
ском организме. Так, лекарство госерелин, созданное для лечения рака
предстательной железы, может привести к эффекту химической кастрации
в течение нескольких недель после начала его приема. Количество тесто-
стерона в организме пациента снижается до уровня, который был бы свой-
ственен его организму после удаления семенных желез. Это лекарство не
вызывает привыкания организма, и таким образом эффект кастрации со-
храняется только на время приема лекарства. Каким образом лекарство
осуществляет блокировку выработки гормона, рассказывается далее при
обсуждении физиологии процесса выработки тестостерона. Интенсивность
полового влечения зависит от многих причин, и не только от уровня тесто-
стерона, роль которого, безусловно, очень велика. Если взглянуть на про-
7.6. Моделирование регуляции выделения тестостерона
357
блему чрезмерного полового влечения, то окажется, что нередко мужчины,
осужденные за насилие, сами просят дать им лекарства, вызывающие ка-
страцию. В настоящее время существует несколько лекарств такого рода:
среди них уже упомянутый госерелин (Goserelin), лапрон (Lupron) и депо-
провера (Depo-Provera), последнее из которых отличается наибольшей дли-
тельностью действия. Использование лекарств для подавления выработки
тестостерона используется в Европе уже более десяти лет. Часто это бывает
условием для освобождения совершившего сексуальное насилие преступ-
ника из-под стражи. Использование депо-проверы (Depo-Provera) в Евро-
пе привело к снижению рецидивов полового насилия над детьми до 2 %,
в то время как в США, где лекарства обычно не используются, эта цифра
составляет порядка 50 %. Впрочем, применение лекарств, снижающих уро-
вень тестостерона, или химическая кастрация является спорным методом
лечения подобных преступников.
Полный физиологический процесс выработки тестостерона до конца
не понят, хотя общее согласие по ряду ключевых вопросов уже достигну-
то. Дальнейший материал показывает, как следовало бы изменить первую
модель, чтобы она включала ключевые физиологические факты, и указы-
вает путь к более современным и сложным моделям. Вначале мы строим
модель выработки тестостерона (Т) в организме мужчины, как было пред-
ложено Smith (1980); она основана на известных экспериментальных фак-
тах. Затем мы исследуем модификацию модели, получая модель с запаз-
дыванием, которая отвечает более реалистичной физиологической картине,
связанной с пространственным разделением различных контролирующих
областей. Более сложная модель с запаздыванием, сопоставимая с большим
числом экспериментов, была предложена Cartwright и Husain (1986); в ней
делается акцент на физиологической стороне процесса. Далее мы кратко
остановимся на этой модели.
Вначале следует рассмотреть физиологические основы. Секреция те-
стостерона половыми железами стимулируется гормоном гипофиза под на-
званием лютеинизирующий гормон (ЛГ). Секреция ЛГ из гипофиза стиму-
лируется лютеинизирующим гормонвысвобождающим гормоном (ЛГВГ).
Обычно ЛГВГ выделяется гипоталамусом (часть третьего желудочка мозга)
и переносится в гипофиз вместе с кровью. Считается, что тестостерон ока-
зывает эффект обратной связи на выработку ЛГ и ЛГВГ. На основании это-
го факта Smith (1980) предложил сходную с обсуждавшейся в разделе 7.2
простую блочную модель с отрицательной обратной связью, включающую
три гормона Т, ЛГ и ЛГВГ и схематично представленную на рисунке 7.15.
Обозначим концентрации ЛГВГ, ЛГ и Т соответственно как R(t), L(t)
и T(t). На простейшем уровне моделирования мы полагаем, что каждый
358
Глава 7
гормон удаляется из крови в соответствии с кинетиками первого поряд-
ка, а ЛГ и Т образуются из предшественников в соответствии с кинетика-
ми первого порядка. Существует нелинейная отрицательная обратная связь,
в результате которой T(t) влияет на R(t). Основная система, отражающая
эту схему, является, по сути, модельной системой с обратной связью (7.3),
которая записывается здесь в следующем виде:
^ = f(T)-blR,
%=91R-b2L, (7.43)
at
^=g2L-b3T,
где 6i, 62, 63, gi и g2 — положительные параметры, а функция отрицатель-
ной обратной связи f(T) — положительная монотонно убывающая функ-
ция Т. На этом этапе нам не нужна особая форма для f(T), хотя мы имеем
все основания полагать, что в типичном виде это — Aj(К + Тт) как у про-
тотипа модели с обратной связью (7.3).
Обратная связь
Рис. 7.15. Модель контроля производства тестостерона у мужчин. Гипоталамус вы-
деляет лютеинизирующий гормонвысвобождающий гормон (ЛГВГ), обозначенный
R(t), который контролирует высвобождение лютеинизирующего гормона (ЛГ), обо-
значенного L(t), гипофизом, который, в свою очередь, контролирует выработку те-
стостерона T(t) половыми железами. Пунктирная линия означает регуляцию обрат-
ной связью, в ходе которой семенные железы оказывают воздействие на гипотала-
мус
Как было упомянуто, содержание тестостерона в крови у мужчин под-
вержено колебаниям во времени. Были проведены эксперименты, где обыч-
ный ход событий нарушался; краткие исследования на эту тему даются
у Smith (1980) и Cartwright и Husain (1986). Нас в данном случае интересу-
ют, в основном, периодические флуктуации.
На основании анализа, приведенного в разделе 7.2, или просто из ис-
следования модели мы знаем, что для модели (7.43) существуют положи-
7.6. Моделирование регуляции выделения тестостерона
359
тельные стационарные состояния Ro, Lq и Tq. В случае особого вида (7.3)
для f(T) колебания существуют для коэффициента Хилла т 8 (упраж-
нение 4), что, как мы уже говорили, является нереалистично большой ве-
личиной. Мы можем модифицировать конкретный вид f (Т) так, чтобы су-
ществовали периодические решения, но, по существу, это является тем же
самым, что и выбирать вид (7.3) с т 8. Поэтому мы полагаем, что
функция с обратной связью f(T) такова, что ее стационарное состояние
всегда устойчиво. Теперь мы должны модифицировать модель с тем, чтобы
сделать ее более физиологически адекватной. Если посмотреть на реаль-
но происходящий в организме процесс, то видно, что между выработкой
гормона и его воздействием на выработку другого гормона должно быть
запаздывание просто из-за того, что эти процессы разделены в простран-
стве, и из-за того, что гормоны переносятся кровью. В соответствии с этим
W. R. Smith и J. D. Murray в начале 80-х годов предложили простую модель
с запаздыванием, основанную на модификации системы (7.3) с т = 1 и на-
поминающую предложенную Murray (1977) модель управления с запазды-
ванием, где выработка тестостерона происходит с запаздыванием. Хотя ка-
жется разумным рассмотреть явление запаздывания при выработке каждого
гормона в отдельности, исследователи включили их вместе в Т-уравнение
так, чтобы получить возможность исследовать систему аналитически и та-
ким образом составить представление об общем влиянии запаздывания на
систему. Итак, вместо (7.43) они взяли
^=f(T)-b,R,
at
dL „ , r
“7Г — 9iR — b%L,
at
dT
— = g2L(t -t)- b3T,
at
(7-44)
где т — запаздывание, связанное co временем переноса гормона по телу
вместе с током крови. Стационарное состояние (JRq, Lq,To) определяется
из
£„=«, % = (7.45)
92 9192 9192
которое всегда существует, если /(0) > 0 и f(T) — монотонно убывающая
функция. Если мы теперь исследуем устойчивость стационарного состоя-
ния. записав
х — R — Rq, у — L — Lq, z = Т — То,
(7-46)
360
Глава 7
dt
dy
dt
dz
то, проведя линеаризацию системы (7.44), получим
= /'(Т0)г - Ьхх.
= gix-b2y. (7.47)
= 92У(* — т) — b3z.
Теперь ищем решения в виде:
х\
у I = Аехр[А£], (7.48)
z /
где А — постоянный вектор. После подстановки в (7.47) получаем
А3 + аА2 + 6А + с + de~Xr = 0,
а = bi + b2 + 63, b = bib2 + b2b% + 6361, (7.49)
с = 616263, d = —f'(To)gig2 > 0.
Теперь мы хотим определить условия, при которых стационарное состоя-
ние линейно нестабильно, то есть условия для a, b, с, d и т, при которых
существовали бы решения (7.49) с ReA > 0.
Мы знаем, что при т = 0 стационарное состояние {Rq.Lq.Tq) устой-
чиво, иными словами, если т = 0 в (7.49), то ReA < 0. Используя критерий
Рауса-Гурвица для корней А кубического уравнения (7.49) при т = 0, по-
лучаем, что а, Ь, с и d должны удовлетворять соотношениям:
а > 0, c + d>0, ab — с — d > 0.
(7.50)
Мы знаем, что запаздывание может иметь дестабилизующий эффект, по-
этому теперь мы попытаемся определить критическое запаздывание тс > 0
(выраженное через а, Ь, с и d такое, чтобы для т > тс существовало ре-
шение с ReA > 0). Мы определяем эти условия, рассматривая (7.49) как
задачу по отображению комплексных переменных.
Из анализа трансцендентных уравнений в главе 1 мы знаем, что все
решения (7.49) имеют ReA, ограниченные сверху. Критическое значение
тс — это такое значение т, при котором ReA = 0, то есть это — бифуркация
между устойчивостью и неустойчивостью в решении (7.48). Рассмотрим
переход от A-плоскости к т-плоскости, определенной как
ш = X3+ аХ2+ bX + c + de~Xr, т > 0. (7.51)
7.6. Моделирование регуляции выделения тестостерона
361
Полагая, что Л = ц + iv, это дает
со =[р? — 3/il/2 + a(/i2 — l/2) + Ьц + с + de cosут\ +
+ i[—у3 + Зр,2у + 2ацу + Ьу — de~p,T sini/т].
(7.52)
Мы хотим найти условие для a, b, с, d и т, при которых со = 0 имеет
решения ц > 0; бифуркационное состояние при этом ц = 0.
Рис. 7.16. (а) A-плоскость. (Ь) ^-плоскость
Рассмотрим контур на плоскости Л, состоящий из мнимой оси и полу-
круга бесконечно большого радиуса, схематично представленного на рисун-
ке 7.16(a). Без запаздывания т — 0, и мы знаем, что в этом случае ReA < 0,
поэтому ио как функция А из (7.51) не проходит через начало координат на
плоскости со; другими словами, на рисунке 7.16(a) отображение AGHA на
плоскости со не проходит через со = 0. Вначале рассмотрим т = 0 и отоб-
ражение (7.52). Прямая AG на рисунке 7.16(a), где /1 = 0, посредством
преобразования
со = [(с — ay2) + d] + г[Ьу — у3] (7.53)
отображается на линию A'G' на рисунке 7.16(b) с точкой D'(= с + d + i0)
на с^-плоскости, соответствующей D(= 0 + г0) на A-плоскости. Область V
отображается на V'; штрихи на рисунке 7.16 указывают на соответствую-
щие области. Точки А, В, С, D, Е, F и G на рисунке 7.16(a) отображаются
362
Глава 7
Рис. 7.17. Отображение на о;-плоскости контура, показанного на рисунке 7.16(a) на
плоскости А, при преобразовании (7.55): (а) т < тс\ (Ь) т > тс. В последнем случае
отображение включает начало координат
в соответствующие точки, обозначенные знаком «прим» как
А
В
С
D
Е
F
G
(ооег7Г/2)
(л/бе^/2)
/Гс+<г|1/2
(0)
/Гс + ^11/2
(ч/бе-г7Г/2)
(оое-г,г/2)
А'
В'
С
D'
Е'
F'
G'
(оое3иг/2)
((ai> — с — d)et,r)
c + dl1/2 / c + d
----- I о------------
a J \ a
{c+d)
£±£11/2 (b-—\ e-^/2
a \ cl J
((ab — c — d)e~Z7r)
(ooe-3l7r/2).
(7-54)
По мере прохождения по полукругу GHA величина А перемещается от
оое-г7Г/2 до ооег7Г/2, и, соответственно, А3) перемещается от оое-3г7Г/2,
а именно, от Gf, до оо, а именно, до Hf, и затем до оое3г7Г/2, то есть до А',
все в соответствии с рисунком 7.16(b).
Теперь рассмотрим отображение в виде (7.52) с т > 0. Линия AG на
рисунке 7.16(a) имеет, как и прежде, /1 = 0, поэтому в данном случае она
7.6. Моделирование регуляции выделения тестостерона
363
отображается на
си = [(с — ау2) + d cos ут\ + i[by — z/3 — dsinL/т]. (7.55)
Эффект тригонометрических членов состоит просто в добавлении колеба-
ний по линии А1 В'С'DfEfFfG', как схематично представлено на рисун-
ке 7.17(a), которая теперь является отображением ABCDEFGHA соглас-
но (7.55). Теперь представим, что т увеличивается. Как только преобра-
зованная кривая проходит через начало координат с^-плоскости, это дает
критическое значение тс. Для т > тс отображение схематично представле-
но на рисунке 7.17(b), и начало координат uj-плоскости теперь находится
в V'-области, которая является отображением У-области согласно преобра-
зованию (7.55).
Если теперь мы пройдем вдоль границы V и вычислим изменения
arguj, мы сразу же получим число корней о; (А), заданных (7.51). Нам мо-
жет помочь исследование рисунков 7.17(a) и (Ь). Давайте начнем с А!, где
arg а? = Зтг/2. При достижении Bf arg о; = тг и так далее, что дает следую-
щее:
Точка А' В' С' Df Е' F' G' Х'(черезЯ')
Зтг Зтг л 5тг 5тг 5тг л . Птг.
arg о; — тг — 2тг — Зтг — — + Зтг(=-—).
6 2 2 2 2 2 v 2 '
Таким образом, изменение arg о; составляет 4тг, что подразумевает нали-
чие двух корней с ReA > 0 в области V; корни являются комплексно-
сопряженными.
Теперь давайте получим выражения для критического значения тс, при
котором кривая AfB'C'D'EfF'G'Hf А' проходит через начало координат на
^ -плоскости. Бифуркационное значение, которое нас интересует для ReA, —
это, конечно, /1 = 0, что означает, что нам требуется такая величина т, при
которой ш = 0 в (7.55), а именно,:
д(у) — с — ay2 + d cos ут = 0, /(м) = Ьу — z/3 — d sin ут = 0, (7.56)
что определяет /(м) и д(у), и откуда мы получаем
о
ау — с z ч _
ctg^T= —-------2? = (7-57)
y\b — yz)
Если мы построим график каждой части (7.57) как функцию у, что схе-
матично представлено на рисунке 7.18, где для наглядности мы взяли
364
Глава 7
Vb < %/т, то мы увидим, что решение всегда существует, и оно опре-
деляется пересечением нарисованных кривых, так что
О < z/(t) < —, 0 < z/(t) < Vb.
(7.58)
Более того, решение z/(t) как функция т удовлетворяет следующему усло-
вию:
^(п) < ^(72), если п > т2.
Если Vb > 7г/т, то тогда (7.58) все еще выполняется, но при тг/т< у(т} < Vb
существует другое решение.
Рис. 7.18. Схематичное графическое решение и из (7.57) в случае, когда Vb < %/т
Рассмотрим теперь решение у(т), которое удовлетворяет (7.58). Реше-
ние совместных уравнений (7.56) должно удовлетворять (7.57) и одному
из (7.56); чтобы быть конкретными, выберем второе уравнение из (7.56).
Второе уравнение из (7.56) вместе с решением у(т) из (7.57), удовлетво-
ряющим условиям (7.58), дает
d= [Ь - ^(Ф(т)
зш(г/(т)т)
(7.59)
Если т при этом таково, что это уравнение не может выполняться при со-
ответствующих у(т), то решений с ReA > 0 не существует. Мы не можем
7.6. Моделирование регуляции выделения тестостерона
365
получить аналитическое решение (7.57) для г/(т), но мы можем легко пред-
ставить себе, как поведет себя решение при больших и малых т. Для случая
из (7.58) мы имеем с учетом (7.57)
для 0 < т 1,
(7.60)
и левая часть второго уравнения из (7.56) дает:
У(^) = Ьи(т) — z/3(t) — dsin[i/(r)r] « (ab — c)rVb — drVb + ... =
= r(ab — c — d)Vb + O(t2) >
>0.
Последнее неравенство следует из третьего условия (7.50). Таким образом,
для достаточно малых т решений с ReA > 0 не существует. Теперь предста-
вим, что т растет до тех пор, пока решение (7.59) не будет выполняться: это
определяет критическое значение тс как решение (7.58) уравнения (7.57),
которое также удовлетворяет (7.59). Процедура состоит в получении ^(т)
из (7.57), а затем определении критического значения тс, которое удовлет-
воряет (7.59).
Теперь положим т 1. Из (7.57) мы получаем
, . 7Г ТгЬ _ / 1 \
^(т) ~-------х + О ДЛЯ т » 1,
т ст1 \тл)
и левая часть (7.56) дает /(0) = 0, /'(О) = b — тd < 0 для т 1 и
У(^) — by — р6 — dsin[p(r)r ~-----------И О I —~ >
т ст \т/
> 0, если d < с.
Таким образом, существует диапазон т > тс > 0, в котором решение А
с ReA > 0 существует, если d < с.
Приблизительный диапазон для у(т) можно найти, если отметить, что
при v < х/б < 7г/т (конкретный случай, который мы рассматриваем и ко-
торый изображен на рисунке 7.18) функция
д(у) — с — av2 + dcosvr
монотонно убывает в области 0 С ит < тг. Более того,
= — d + dcos I т
с -Т d
а
<0,
<?(0) = с + d > 0,
366
Глава 7
что подразумевает, что
Итак, мы продемонстрировали, что существует критическое запазды-
вание тс, при котором стационарное состояние (Но, Lq,To) является ли-
нейно неустойчивым, и система демонстрирует колебания. Поскольку мо-
дельная система (7.44) обладает замкнутым ограничивающим множеством,
у нас есть все основания ожидать здесь развитие периодических решений
типа предельного цикла, что, в действительности, и происходит, если па-
раметры подобраны таким образом, что стационарное состояние является
линейно нестабильным.
Модель, предложенная Cartwright и Husain (1986), основана на резуль-
татах последующих экспериментов и включает дополнительные времена
запаздываний в процессе наработки каждого из компонентов R, L и Т.
В модель также включена обратная связь, осуществляемая LH, а также Т.
Полученная ими модель неизбежно оказалась более сложной. Аналитиче-
ские результаты, подобные тем, что были получены нами выше, даже если
были бы возможны, неизбежно оказались бы много сложнее. Численное
компьютерное моделирование этой модельной системы с подходящими па-
раметрическими значениями дает устойчивые периодические решения для
производстваR,LhT. Cartwright и Husain (1986)также проводили матема-
тические «эксперименты», имитирующие отдельные лабораторные опыты,
и получали обнадеживающие результаты.
Химическая кастрация
Вернемся к действию уже упомянутых лекарств, например, лапрона,
который осуществляет химическую кастрацию путем блокировки выработ-
ки гормона LH, производимого гипофизом. То есть — 0 в модельной
системе (7.44). В этом случае уравнение, определяющее L(t), то есть кон-
центрацию LH, является не связанным с другими уравнениями, и с тече-
нием времени L —> 0, что, в свою очередь, подразумевает из Т-уравнения
в (7.44), что с течением времени Г —> 0, что эквивалентно кастрации. Та-
кая кастрация может использоваться для замены широко практикующих-
ся в настоящее время хирургических методов, используемых ветеринарами
для домашних и сельскохозяйственных животных. Подобная вакцина была
разработана Carelli с соавторами (1982).
Более поздние работы, посвященные химической кастрации, Ferro
и Stimson (1996) и Ferro с соавторами (1995) основаны на гонадолиберине
(ГЛ), который вводится в виде вакцины и блокирует образование лютей-
7.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГУЛЯЦИИ ВЫДЕЛЕНИЯ ТЕСТОСТЕРОНА 367
низирующего гормона; эта вакцина может применяться при нарушениях,
связанных с выработкой половых гормонов. Вероятно, она может также ис-
пользоваться при лечении эстроген-зависимого рака груди (Ferro и Stimson
1998).
Прежде чем завершить тему вмешательства в процесс выработки тес-
тостерона стоит упомянуть о многочисленных исследованиях, которые про-
водились с целью создания противозачаточных «таблеток» для мужчин. Од-
но из средств предполагало использование искусственного гормона для то-
го, чтобы попытаться обмануть организм и прекратить выработку тестосте-
рона. Например, применявшийся в прошлом метод состоит в насыщении
тела тестостероном, что вызывает прекращение выработки ЛГ гипофизом.
Гипофиз также производит другой гормон (не включенный в нашу простую
систему); это — фолликулостимулирующий гормон, который способствует
образованию мужских половых клеток, побуждая их делиться. ЛГ также
способствует этому процессу. При отсутствии ЛГ и низком уровне тесто-
стерона в семенных железах мужские половые клетки не образуются. Про-
блема состоит в том, что высокий уровень тестостерона в крови сопровож-
дается некоторыми неприятными побочными явлениями, среди которых по-
вышенная раздражительность, ожирение и прыщи. Не так давно Anderson
и сотрудники (1997) разработали комбинацию искусственной формы про-
гестерона (основное действующее вещество в женских противозачаточных
таблетках) и медленно растворимой таблетки тестостерона, имеющей ме-
нее выраженные побочные явления. Таблетка тестостерона помещается под
кожу и обеспечивает достаточное количество тестостерона на протяжении
нескольких месяцев, в то время как семенники бездействуют. Мужчины,
участвующие в клинических испытаниях, не скрывали своего удовольствия
от проводимых экспериментов.
Другой подход, разработанный Ferro и Stimson (1998), полностью от-
личается от предыдущего и состоит в полном удалении фолликулостимули-
рующего гормона (ФСГ). Это вакцина, способствующая образованию анти-
тел, которые присоединяются к ФСГ и делают его неактивным. Этот метод
еще не достиг стадии клинических испытаний — его испытывали только на
крысах, но если все пройдет успешно, то потребуется всего один курс лече-
ния за год. Несмотря на очевидные преимущества и потенциально огром-
ные прибыли для фармацевтических компаний, сумевших создать подоб-
ные противозачаточные средства для мужчин1, мало кто занимается этим,
возможно из страха перед судебными тяжбами в США.
’Согласно докладу Всемирной организации здравоохранения по состоянию на 1994 год
в 70 % супружеских пар ответственность за планирование семьи брала на себя женщина.
368
Глава 7
Упражнения
1. Механизм реакции «Брюсселятор», предложенной Prigogene и Lefe-
ver (1968), выглядит следующим образом:
А X, В + Х У + D, 2Х + Y ЗХ, X Е,
где fci, &2 • • • — константы скорости, а концентрации реагентов Аи В оста-
ются неизменными. Напишите основную систему дифференциальных урав-
нений, определяющую концентрации X и У, и приведите уравнения к без-
размерному виду, чтобы они приобрели следующий вид:
t/iz /т х о du , 9
— = 1 — (□ + 1)и -|- аи и, — = Ьи — аи и,
ат ат
где и и и соответствуют X и У, т = k±t, а = кз(кгА)2/к± и b = къВ/к^.
Определите положительное стационарное состояние и покажите, что суще-
ствует бифуркационное значение b = bc = 1 + а, при котором стационарное
состояние становится неустойчивым по Хопфу. Покажите, что в окрест-
ности b = Ьс существует периодическое решение типа предельного цикла
с периодом I'r/yfa.
2. В механизме реакции du/dt = f(u) для кинетической функции f
выполняется равенство curluf(u) = 0. Это означает, что f можно выразить
через градиент потенциала F(u); то есть
curluf(u) = 0 => f(u) = VuF(u).
Модельная система тогда преобретает вид:
= f(u) = V„F(u),
at
что называется градиентной системой. Предположив, что u(t) — периоди-
ческое решение с периодом Т, покажите, рассматривая выражение
что градиентная система не может иметь периодических решений.
7.6. Моделирование регуляции выделения тестостерона
369
3. В системе с обратной связью, определяемой следующими уравне-
ниями:
= /(un) - fciUi,
at
—— = ur-t — krur, r = 2.3,... n,
at
функция обратной связи задается как
л, к а + ит . 1
(i) f(u) = -------, (п) f(u) = ---------,
v 7 v 7 1 + um K 1 + um
где а и m — положительные константы. Определите, какая из этих функ-
ций представляет положительную и какая отрицательную обратную связь.
Определите стационарные состояния и покажите, что с положительной об-
ратной связью возможны множественные стационарные состояния, тогда
как если f(u) представляет отрицательную обратную связь, существует
только одно стационарное состояние.
4. Рассмотрите механизм с отрицательной обратной связью
(1щ 1
dt ~ 1 + u^ 1U1’
I) Для случая т = 1 покажите, что замкнутое ограничивающее мно-
жество В задано прямоугольником, сторонами которого являются оси
щ = 0, i = 1,2,3, и Ui, i = 1,2,3, где
. 1 < k1k2k3U3,
1 + из
и определите Ui, i = 1,2,3. Для случая т 1 покажите, что U%
задается соответствующим решением следующего уравнения:
CT+1 + и3 - -2_ = о.
II) Докажите, используя критерий Рауса-Гурвица (см. приложение В), что
модель с т = 1 не может иметь периодических решений типа пре-
дельного цикла.
370
Глава 7
III) Докажите, что решения типа предельного цикла возможны, если тп >
8. [На одной стадии анализа этого случая вам потребуется использо-
вать общее неравенство:
И- И-
3
5. Нарисуйте изоклины системы (упражнение 1):
c/lz ч Q v dV . Q z .
— = 1 — (о + l)u + au v = f(u, v), ——= bu — au v = g(u, v).
dr dr
Отметьте знаки f и g на фазовой плоскости (u,v) и найдите замкнутое
ограничивающее множество (не тривиальное упражнение), включающее
стационарное состояние. Определите параметрическую область (а, Ь), где
система имеет периодические решения.
6. Рассмотрите безразмерную систему активатор (и) - ингибитор (v),
представленную уравнениями:
du и2 л, v dv о ,
— = а — bu-\----= f(u, v), — = и2 — v = д(и, v),
dt v dt
где а, 6(> 0) — параметры. Нарисуйте изоклины, обозначьте знаки для f
и д и исследуйте знаки в матрице стабильности для стационарного состоя-
ния. Существует ли в этом случае замкнутое ограничивающее множество?
Покажите, что параметрическое пространство (а, 6), в котором и и v могут
демонстрировать периодическое поведение, ограничено кривой:
и нарисуйте область, в которой система могла бы иметь периодические
решения.
Рассмотрите модифицированную систему, где существует ингибиро-
вание посредством и. В этом случае u2/v заменяется на и2/[г;(1 + Ки2}]
в u-уравнении, где К(> 0) — параметр ингибирования. Нарисуйте изокли-
ны. Покажите, что граничная кривая в пространстве (а, Ь) для области, где
могут существовать периодические решения, задана параметрически:
Uo(l + Ки^У2
7.6. Моделирование регуляции выделения тестостерона 371
2 1
°- ~ (1 + ^)2 " U° " (1 + №§)’
b^O,
и нарисуйте эту область. Укажите, как изменяется область периодических
решений при варьировании параметра ингибирования К.
7. Модель ФитцХью-Нагумо с двумя переменными для пространст-
венно-фиксированного аксона нервной клетки, возбуждаемого стимулиру-
ющим внешним током 1а, имеет вид:
dv
dt
= v(a - v)(y - 1) - ш + Ia,
dw 1
— bv —
dt 1
где 0 < a < 1 и 6, и Ia — положительные константы. Здесь v прямо соот-
носится с трансмембранным потенциалому и ш — переменная, представля-
ющая эффекты потенциалов, генерированных разнообразными ионами.
Определите локальный максимум и минимум для v изоклин относи-
тельно а и 1а и представьте соответствующий кусочно-л инейный аппрок-
симированный вид функции.
Покажите, что для этой модельной системы существует замкнутое
ограничивающее множество. Используя кусочно-линейную модель, опре-
делите условия для параметров, при которых положительное стационарное
условие устойчиво, но возбудимо. Найдите такие условия для параметров
и такой соответствующий диапазон (Л,/2) стимулирующих токов, чтобы
положительное стационарное состояние было линейно нестабильным и су-
ществовала возможность возникновения решений типа предельного цикла.
Для фиксированного набора параметров a, b и 7 найдите период предель-
ного цикла малой амплитуды, когда 1а чуть больше, чем бифуркационное
значение Ц. [Используйте результат бифуркации Хопфа вблизи точки би-
фуркации.]
8. Рассмотрите упрощенную модель регуляции выделения тестосте-
рона:
= b2R(t - т) - Ь3Т,
где R — это лютеинизирующий гормонвысвобождающий гормон (ЛГВГ),
Т — это гормон тестостерон и F(T) — положительная монотонно убыва-
ющая функция Т. Запаздывание т связано с перемещением крови по телу
372
Глава 7
и 6i, 62 и 63 — положительные константы. При т = 0 покажите, что стаци-
онарное состояние устойчиво. Используя метод из раздела 7.6, исследуйте
возможность периодических решений при т > 0.
Глава 8
Колебательные реакции
Белоусова-Жаботинского
8.1. Реакция Белоусова и модель Филда-Кереша-Нойеса
(ФКН)
Одна из самых известных колебательных реакций, реакция Белоусова-
Жаботинского, была открыта русским биохимиком Белоусовым (1951). Ста-
тья, в которой она была описана, была презрительно отвергнута журналь-
ным издателем по причине того, что в то время колебательные реакции
считались неосуществимыми. Перевод оригинальной статьи представлен
в книге под редакцией Филда и Бургера (Field and Burger 1985). В кон-
це концов, Белоусов (1959) опубликовал короткую заметку в непримет-
ном сборнике статей Российского медицинского общества. Белоусов об-
наружил колебания в концентрации катализатора; в его реакции окисле-
ния лимонной кислоты броматом в этом качестве выступал церий. Коле-
бания проявлялись в изменении цвета церия, связанным с переходом Се3+
в Се4+. Этот эффект ярче проявляется с атомом железа: цвет изменяется
с кирпично-красного, когда железо находится в состоянии Fe2e, на ярко-
голубой, когда железо находится в состоянии Fe3e. Изучение реакции было
продолжено Жаботинским (1964). Сейчас эта реакция известна как реакция
Белоусова-Жаботинского, или просто реакция БЖ. Когда информация о ре-
акции и некоторых ее колебательных и волновых следствиях достигла Запа-
да в 70-х годах, она вызвала острый интерес, и начались широкие исследо-
вания. Посмертно работа Белоусова была заслуженно отмечена Ленинской
премией в 1980 году. Уинфри (Winfree 1984) дает краткое описание истории
реакции Белоусова-Жаботинского. В случае, когда компоненты реакции мо-
гут диффундировать, образуются разнообразные сложные структуры. Это
явление вызвало широкий резонанс среди биологов и физиков, интересую-
щихся проблемами пространственно-временной самоорганизации и ее при-
менения в биологическом формообразовании. Мы подробно обсудим эти
вопросы в последующих главах.
374
Глава 8
Прежде чем подробно обсуждать реакцию, стоит упомянуть ее сход-
ство с реальными биологическими осцилляторами; конечно, не на молеку-
лярном уровне, но на уровне сходства ее поведения с различными описан-
ными колебательными процессами, количество которых постоянно возрас-
тает. Уравнения, сходные с уравнениями реакции БЖ, используются в ре-
алистичной модели периодической передачи сигнала клетками во время
самоорганизации слизевиков Dictyostelium discoideum (для примера смотри
Goldbeter 1996). Конечно, здесь нет аналогии с реакцией БЖ на молекуляр-
ном уровне, но все равно изучение поведения, описываемого подобными
уравнениями, может быть крайне полезно. Уинфри (Winfree 1987) очень
необычно и изящно использовал данную реакцию в моделировании трех-
мерной активности желудочков сердца. Аналогичные уравнения также бы-
ли использованы Тайсоном (Tyson 1991) в исследовании молекулярной био-
логии клеточного цикла. Таким образом, реакция Белоусова-Жаботинского
представляет интерес не только с академической точки зрения.
Сейчас описано немало химических реакций, проявляющих периоди-
ческое поведение, и термин «реакция БЖ» применяется, главным образом,
к классу реакций, в которых органическое вещество окисляется ионами
бромата в присутствии иона металла (обычно железо или церий) в кис-
лом растворе. Несмотря на то, что реакция БЖ представляет собой ско-
рее химический, чем биологический осциллятор, она рассматривается как
прототип биологической колебательной системы. Реакции, составляющие
процесс, более или менее понятны, как и многие другие, хотя и не все, ре-
акции, описывающие пространственные феномены. Мы рассмотрим неко-
торые волновые свойства в главе 1 тома II. Сборник статей под редакцией
Филда и Бургера (Field and Burger 1994) представляет собой хорошее и раз-
нообразное введение в реакцию БЖ. В книге также присутствуют несколь-
ко статей о химических осцилляторах и волновых явлениях. Книга Уинфри
(Winfree 2000), среди прочего, включает в себя обсуждение свойств ре-
акции Белоусова-Жаботинского, как временных, так и пространственных.
В данной главе мы рассматриваем реакцию БЖ не только из-за ее важно-
сти для математической биологии, но также потому, что она иллюстрирует
широко распространенные аналитические приемы. Ссылки на более по-
дробное изучение кинетики даны в соответствующих местах. Почти все
явления, теоретически предсказанные в реакции, и ее диффузионные ме-
ханизмы были обнаружены в реальных и наблюдаемых экспериментально
реакциях.
Реакция БЖ (общий класс этих реакций), возможно, является наибо-
лее изученной практически и теоретически колебательной реакцией. Здесь
мы рассматриваем ее ключевые стадии и описываем модельную систему
8.1. Реакция Белоусова и модель Филда-Кереша-Нойеса (ФКН) 375
Филда-Кереша-Нойеса (Field and Noyes 1974), количественно воспроизво-
дящую реальные химические реакции (Field et al. 1972). Так как теоре-
тические гипотезы могут быть проверены экспериментально, модели ре-
акции БЖ используют как прототип реальной системы. Полученные ре-
зультаты, как было показано выше, напрямую могут быть использованы
в биологических осцилляторах. Объем литературы по данному предмету
огромен. Краткий обзор развернутой реакции БЖ был дан Тайсоном (Tyson
1994).
В исходной реакции Белоусова (1951) основной механизм состоит
в окислении малоновой кислоты в кислом растворе ионами бромата ВгОд .
Реакция катализируется ионами церия, имеющего два состояния — Се3+
и Се4+, что позволяет наблюдать устойчивые периодические колебания.
С ионами других металлов в качестве катализатора и подходящими краси-
телями, например, железом Fe2+ и Fe3+ и фенантролином, периодические
изменения цвета визуально проявляются ярче, в чередовании, как было ука-
зано выше, красного и синего. В течение времени меняется концентрация
не только катализатора, но и других участников реакции. На рисунке 8.1
показаны изменения концентраций бромида [Вг“] и отношения концентра-
ций ионов церия [Се4+]/[Се3+] во времени, измеренные Филдом (Field et al.
1972), подробно изучавшим механизм БЖ реакции. Подробности реакции
и ее свойства даны у Тайсона (Tyson 1994).
Рис. 8.1. Экспериментально измеренные изменения отношения концентраций ионов
церия [Се4+ ]/[Се3+ ] и концентрации бромида [Вг~] по типу предельного цикла
в реакции Белоусова-Жаботинского. (Из Field et al. 1972)
Реакция может быть разделена на два процесса, I и II, зависящих от
концентрации [Вг“]. Когда [Вг“] высока (в области А на рисунке 8.1), пре-
376
Глава 8
обладает процесс I. При этом Вг“ потребляется, что соответствует участ-
ку АВ, и ионы церия, в основном, находятся в состоянии Се3+. По ме-
ре уменьшения [Вг“] проходит критическое значение В и быстро падает
до уровня С. С этого момента преобладает процесс II, в течение которо-
го Се3+ переходит в Се4+. Однако на стадии II Се4+ вступает в реакцию,
ведущую к образованию Вг“, возвращаясь в состояние Се3+. Теперь [Вг“]
возрастает, что соответствует участку CD А, и при достаточно высоком ее
значении стадия I вновь становится преобладающей. Эта последователь-
ность постоянно повторяется, и, таким образом, реализуются наблюдаемые
колебания. Очевидно, что качественного описания недостаточно для дока-
зательства наличия колебаний. Процессы I и II могли бы просто достиг-
нуть устойчивого состояния сосуществования. Именно так и происходит
при некоторых значениях параметров. Необходимые для получения колеба-
ний значения параметров подробно выводятся ниже и зависят от точности
анализа кинетических уравнений.
Высокая скорость изменения концентрации на участках ВС и DA ха-
рактерна для релаксационных осцилляторов, то есть осцилляторов, у кото-
рых отдельные стадии предельного цикла протекают быстро. Подобное по-
ведение системы предполагает использование определенных методов ана-
лиза, позволяющих получить выражения для периода колебаний через па-
раметры; подробнее этот подход рассматривается в разделе 8.4.
Несмотря на большое количество вовлеченных реакций, для описа-
ния основных процессов возможно сокращение их количества до 5 клю-
чевых с известными константами скоростей. Эти 5 реакций можно пред-
ставить системой из трех уравнений, в которых значения констант скоро-
стей определены приблизительно. Эта модель известна как модель Филда-
Кереша-Нойеса или ФКН. Она была разработана Филдом и Нойесом (Field
and Noyes 1974) на основе механизма Филда-Кереша-Нойеса (Field, Koros,
Noyes 1972). Здесь мы рассматриваем более простую систему и выводим
трехкомпонентную модель. Полный химический вывод и оценка различных
констант скоростей реакции даны Тайсоном (1994).
Ключевыми химическими соединениями модели ФКН, состоящей из
пяти уравнений, являются:
X = HBrO2, Y = Br“, Z = Се4+,
Л~ВгО3, Р = НОВг.
Реакции могут быть записаны следующим образом:
A + Y^X + P, X + У 3 2Р,
А + У М 2Х + 2Z, 2Х А + Р, Z М /У,
(8-1)
(8-2)
8.1. Реакция Белоусова и модель Филда-Кереша-Нойеса (ФКН) 377
где константы скоростей к^,..., к$ известны, a f — стехиометрический
фактор, обычно равный 0.5. Первые две реакции примерно соответствуют
процессу I, описанному выше, последние три — процессу II. Филд и Нойес
(Field and Noyes 1974) немного иначе записывали последнюю реакцию: В+
+ Z —> fY + Q, где В — органическая кислота, Q — СО2, [В] не меняется
и может быть включена в одну из констант скоростей реакций в системе
уравнений модели. Рационально принять концентрацию бромата [А] по-
стоянной; концентрация [Р] значения не имеет. Таким образом, по закону
действующих масс, мы получаем следующую систему из трех дифференци-
альных уравнений для концентраций (прописные буквы заменены на строч-
ные):
. >9
—- = к\ау — к^ху + к$ах — к^х,
dt
37 = -kiay - к2ху + /A:5z, (8.3)
at
dz .
— = zk^ax — k5z.
dt
Так как данная система описывает колебания типа предельного цикла и бы-
ла разработана Филдом в университете Орегона, ее иногда называют «Оре-
гонатор».
Возникновение колебаний в системе (8.3) существенно зависит от па-
раметров модели. Например, при к$ — 0 концентрация бромида (Вг“) пада-
ет до нуля согласно второму уравнению, и колебания не возникают. С дру-
гой стороны, если f = 0.5 и к$ велика, последняя реакция в (8.2) протекает
очень быстро, а третья и пятая реакции сливаются в одну:
А + X М 2Х + Y.
В этом случае система редуцируется до двух уравнений, становится би-
молекулярной, и в ней не могут происходить колебания (Hanusse 1972).
Очевидно, на плоскости (/, к^) существует область, в которой колебания
невозможны.
Единственно разумным способом анализа системы (8.3) является рас-
смотрение ее в безразмерной форме. Существует несколько способов обез-
размеривания уравнений; смотри, например, Мюррея (Murray 1977) и Тай-
сона (Tyson 1982; 1985), которые дают более полное описание модели.
Здесь представлен способ, предложенный Тайсоном (1985). В нем исполь-
зуются оценочные константы скоростей реакций (8.3). Часто разные спосо-
бы обезразмеривания проливают свет на различные свойства осциллятора.
378
Глава 8
По Тайсону (1985) получаем следующее:
я = —, у = —, z — —, t = —,
То уо ZQ to
ХО = » 1.2 х 10-7М, уо = И 6 X 10~7М,
«4 К2
Z0 = « 5 х 10-3М, «О = Л « 60s, (8.4)
К4К5 К5
&5 £ = —— ? » 5 х 10“5, 6 = &4&5 а 2 х10“4
кзкза
kiki $ к2к3 » 8 х 1(Г4 (/ « 0.5).
Эти значения подставляем в (8.3). Филд и Нойес, основываясь на экспе-
рименте, предложили значение параметра f. Как было сказано выше, по
причине того, что модель включает в себя множество реакций, параметры
не могут быть точно определены, и используют их оценочные значения.
Для наших целей нам необходим лишь тот факт, что е, 8 и q малы. Из (8.4)
мы получаем следующую безразмерную систему:
е57 = ЯУ~ху + х(1 -х).
at
= -qy - ху + 2/z,
(8-5)
В векторной форме, приняв г = (т,?/,г)т, можно записать предыдущие
уравнения как
dr [ £ 4qy-ху + х-х2)
— = F(r; Е, 6, q,f)= S-^-qy - ху + 2/z)
dt \ x - z
(8-6)
8.2. Линейный анализ модели Филда-Кереша-Нойеса
на устойчивость стационарных состояний.
Существование решений с предельным циклом
Несмотря на то, что система (8.5) является системой третьего поряд-
ка, анализ устойчивости ее стационарных состояний проводят стандартным
8.2. Линейный анализ модели Филда-Кереша-Нойеса
379
образом, подробно описанным в главе 3. Сначала находят положительные
стационарные состояния, затем собственные значения характеристического
определителя системы и ищут конечную замкнутую поверхность S, вклю-
чающую в себя стационарное состояние, таким образом, что любое реше-
ние в точке to, лежащее внутри S, не покидает ее для любого t > to- Такой
анализ был проделан Murrey (1974) для первой модели ФКН; такой же спо-
соб мы применяем здесь для системы (8.6).
Неотрицательные стационарные состояния (x3,y9,z3) системы (8.5)
получают приравниванием частей к нулю и решением получившихся ал-
гебраических уравнений. В результате получаем
2 Ар
(0,0,0) или zs=xs, ys= * ,
Я + Xs (8.7)
xa = - {(1 - 2/ - q) + [(1 - 2/ - g)2 + 4g(l + 2f)^]} .
Второе ненулевое стационарное состояние отрицательно.
Линеаризация в точке (0,0,0) дает характеристический определи-
тель А с собственными значениями Л, определяемыми следующими вы-
ражениями:
:а - а/| = е 1 - Л qe 1 0 0 -qS-1 - X 2f5-1 1 0 -1-А = 0
=> А3 + А2(1 + е 2) — A[s + -1)-9<5-1]-^Ц^=О. ед
Если упрощенно представить левую часть этого кубического уравнения как
функцию от А при А 0, видно, что существует, по крайней мере, один
положительный корень. С другой стороны, три корня уравнения удовлетво-
ряют соотношению А1А2А3 = д(1 4- 2/)/г5 > 0, что означает то же самое.
Таким образом, стационарное состояние (0,0,0) всегда неустойчиво.
Линеаризация системы (8.5) в окрестности положительного стацио-
нарного состояния (х3, у3, z9) из (8.7) дает следующее характеристическое
уравнение для определения собственных значений А:
1 - 2xs - ys х А е g- xs е 0
\А-Х1\ = => А3 + АА2 ~ У* 8 1 + ВХ + С = 0. xs+q 5 А 0 2/ 6 -1-А ° (8-8)
380
Глава 8
А =
Е =
В =
С =
Используя выражение для х3, у3 из (8.7) и произведя утомительные, но
несложные алгебраические преобразования, получаем
1 + ц^ + Е
о е
q + Х2
<l + xs + Е (q + xs)E + y,(q-xs)
<5 е е<5
(<? + ха)Е - 2/(q - ха) + уа(д - Дз) _
еб
X2s + q(2f + l) Q
еб
Стоит отметить, что А > 0, так как Е > 0; а если поставить х3 из (8.7) в вы-
ражение для С, получим, что С > 0. В может быть как положительным, так
и отрицательным. Согласно теореме Декарта о знаках (см. приложение Б),
по крайней мере, одно собственное значение А определителя (8.8) являет-
ся действительным и отрицательным числом. Необходимым и достаточным
условием того, что все решения А имеют отрицательную действительную
часть, согласно критерию Рауса-Гурвица, является выполнение неравен-
ства: АВ — С > 0. Подставляя Л, В и С из (8.9), получаем квадратное
уравнение для 1/5 и, таким образом, условие устойчивости положительно-
го стационарного состояния (8.7). Это следует из уравнений:
АВ-С = ф(6, f, е) =-----------> 0,
д
L = (9 + xs) |(q + xs) + + J , (8 w)
№k: + Q(». + 2/)l^>0,
где M также определяется как функция от xS9 f, q и s; она не понадобится
нам в дальнейших расчетах, поэтому мы ее не приводим. После подстанов-
ки х3 из (8.7) L, М и N становятся функциями от /, q и s. Для того, чтобы
стационарное состояние было неустойчивым, 5, f и е должны лежать в та-
кой области пространства (5, /, е), где </>(5, /, е) < 0. Границы или бифурка-
ционная плоскость пространства (5, /, е) задается условием 0(5, /, е) = 0.
Поведение собственных значений А при больших отрицательных и по-
ложительных В можно получить асимптотически. Если В 1, асимптоти-
8.2. Линейный анализ модели Филда-Кереша-Нойеса
381
ческие решения уравнения (8.8) выглядят следующим образом:
А-
-- ±й/В,
2
(8.U)
когда как при В < 0 и \В\ 1 получается
(8-12)
Таким образом, при больших положительных В условие (8.10) выполняет-
ся. и согласно (8.11) ReA < 0, и стационарное состояние устойчиво. Если
же В большое и отрицательное, стационарное состояние неустойчиво.
Если В = С /А, то есть система находится в состоянии бифуркации,
корни уравнения (8.8) следующие:
А = —А,±г\/В при В = —.
(8.13)
Если В = С)А — и, 0 < tu 1, то, учитывая асимптотические реше-
ния уравнения (8.8) в виде А = ±г(С/Л)1/2 4- О(си), можно заметить, что
член О (си) имеет положительную действительную часть. Таким образом,
вблизи бифуркационной поверхности в неустойчивой области стационар-
ное состояние неустойчиво, и система демонстрирует нарастающие коле-
бания. Условия бифуркационной теоремы Хопфа (см., например, Strogatz
1994) выполняются, и вблизи поверхности 0(5,/,s) = 0 решением систе-
мы является предельный цикл с малой амплитудой и периодом
27Г
Т =--------.
/с\1/2
V А/
(8-14)
Если использовать экспериментальные значения параметров (8.4), ампли-
туда колебаний не будет столь малой, так что последнее выражение имеет
скорее учебный, чем практический смысл. Однако бифуркационная поверх-
ность 0(5, /, г) = 0, заданная выражениями (8.10), имеет практическое зна-
чение, и ее стоит обсудить подробнее.
Поверхность 0(5, /, с) = 0, а именно, 7V52 4- Мб 4- L = 0, где N > 0,
является квадратным многочленом относительно 5. Для того, чтобы ста-
ционарное состояние было неустойчивым, 5, f и s должны быть такими,
382
Глава 8
что ф < 0. Для параметра 6 условие записывается следующим образом:
0 < 8 < {-М + [М2 - 4£ДГ]1/2} .
(8.15)
Но ненулевая область положительных значений 5 существует только, ес-
ли правая часть неравенства положительна. Для этого необходимо, чтобы
для L из (8.10) выполнялось условие:
L = (q + x9) (q + x9) +
x3(l-g-4/) + 2g(l + 3/)\
е
<0.
Подставив х3 из (8.7), получим алгебраическое выражение для f,qine.
Из (8.4) следует, что s мало, так что в первом приближении числитель
при 1 равен нулю, и последнее неравенство упрощается до
(1 - 4/ - д){(1 - 2/ - 9) + [(1 - 2/ - g)2 + 4g(l + Zf)]'/2} +
(8.1о)
+ 4д(1 + 3/) <0.
Последнее выражение (если поставить знак равенства вместо <) опреде-
ляет критические значения f, fc для заданных q. Таких значений два: ifc
и 2/с? и f должно лежать между ними:
ifc < f < 2fc-
Подставив q = 8 х 10-4 и учитывая, что 0 < q 1, мы можем опреде-
лить точные значения ifc и 2/с- Критические fc определяются выражени-
ем (8.16). Предположим, что (1 — 2/ — q) > 0; то есть 2/ < 1 для 0(1).
Устремив q —> 0, получим
(1 — 4/)(1 — 2/) « О =>
При (1 — 2/ — q) < 0; то есть 2/ > 1 для 0(1), и g —> 0, получим 2/с
Для О(д) выражение (8.16) со знаком равенства примет следующий вид:
(1 — 4/) < —(2/+ 9 — 1) + (2/+ 9 — 1)
+ 4q(1 + 3/) «О,
т 2д(1 + 2/>
(2/+ 9 — д)2
8.3. Нелокальная устойчивость модели Филда-Кереша-Нойеса 383
который можно упростить до
1 4- \/2
4/2-4/-1«0 => 2/с«—-—•
Таким образом, для маленьких q диапазон значений /, при которых поло-
жительное стационарное состояние неустойчиво, составляет
1 1 + х/2
- « 1/с < / < 2/с « (8.17)
Бифуркационная кривая устойчивости для 8 в зависимости от f для любо-
го г задается выражением (8.15), а именно,
<5= {-М+ [М2-4£ЛГ]1/2}, (8.18)
где i/с < / < 2/с, критические fc получают из (8.16), a L, М и N выра-
жаются из (8.10) и (8.9) через f,qne.
8.3. Нелокальная устойчивость модели
Филда-Кереша-Нойеса
В предыдущем разделе мы показали, что, если 8 и f лежат в опре-
деленной области, для любого г положительное стационарное состояние
неустойчиво. В самом деле, если (8, f) близки к кривой бифуркации, на-
блюдаются нарастающие колебания. В любом случае, когда (8, f) лежат
в нестабильной области, мы должны рассматривать глобальную устойчи-
вость. Несмотря на то, что в данном случае мы не можем использовать
теорему Пуанкаре-Бендиксона, так как имеем дело с системой третьего
порядка, для существования периодического решения с конечными ампли-
тудами необходимо наличие такой замкнутой поверхности S, что, если п —
единичная внешняя нормаль к S, соблюдается следующее условие:
dr
п • — < 0 (г на поверхности S), (8.19)
dt
где dr/dt задается выражением (8.6).
384
Глава 8
Существование замкнутой поверхности, удовлетворяющей условию
(8.19), и единственного неустойчивого стационарного состояния недоста-
точно для доказательства существования предельного цикла, необходим
дальнейший анализ. В случае трех уравнений возможно существование ха-
отических решений, вроде тех, что мы обнаружили в дискретных моделях
в главе 2. Хаотическое поведение такого рода было найдено в реакции БЖ
(см., например, Scott 1991). (Классическая модель Лоренца (Lorenz 1963)
состоит из трех уравнений и проявляет хаотическое поведение; она описы-
вает динамику жидкости.) Гастингс и Мюррей (Hastings and Murray 1975)
строго доказали, что модельная система ФКН (8.5) имеет, по крайней мере,
одно решение с предельным циклом. Также они рассчитали общую тра-
екторию пути по циклу. Разработанную процедуру анализа можно также
применять к широкому классу реакций, регулируемых наличием обратной
связи (Hastings et al. 1977).
Рассмотрим простейшую поверхность S, а именно, параллелепипед
с гранями
X = Xi, X = х2; у = Уъ у = У2\ Z = z = z2,
содержащий стационарное состояние (zs, ?/s, zs) из (8.7). Сначала опреде-
лим плоскости х = Xi и х = Х2, где 0 < х-[ < xs < Х2- Пусть i, j и к —
единичные нормали к положительным направлениям осей х, у и z. При х =
= х\, n = — i и с учетом (8.19) необходимо
dr
dt
X=X1
<0 =+ qy-xy + x-x2]x=xi >0.
X=X1
Из (8.4) следует, что о < q « 1. Предполагая, что Xi = O(q), для вы-
полнения последнего неравенства величина xi должна удовлетворять сле-
дующему условию:
y(Q-Xi) +11 -х2 +Х1 > 0 для всех уг у у2.
Таким образом, первым приближением становится xi = q, служащее есте-
ственным ограничением для х < xs. Далее при х = xi = q мы получим
dr
dt
x=x±=q
«(1 -9) . n ,
-------- < 0 при q < 1
8.3. Нелокальная устойчивость модели Филда-Кереша-Нойеса 385
Для х — Х2, n = i и условия (8.19) требуется, чтобы
. dr
dt
Х=Х2
dx
dt
<о => [y(q-x)+x-x2]x=x2 <0.
X=X2
Если мы примем = 1, получим
. dr
dt
- Х=Х2
= £ 1y(Q — 1) < 0 при q < 1, для всех у > 0.
При заданном выражением (8.7), получим
q = Xi < xs < 1 при q < 1.
При обычных значениях параметров эти условия выполняются.
Теперь рассмотрим плоскости z = z\ и z = где z\ < zs < Z2.
Условия z = zi, n = —k и (8.19) требуют, чтобы выполнялось неравенство
dz
dt
= - z)]z=zi < 0.
2 = 21
Так как на границе поверхности S х х±, получаем естественную нижнюю
границу для z — z — Zi — q. Строго говоря, z\ должно быть немного
меньше, чем д, так как х\ = q. Для z — z^ n = к необходимо, чтобы
k j
dt
<0
(x - z)]2=22 < 0.
Z=Z2
Так как x 1, верхняя граница для z определяется как z = Z2 = 1; опять
же Z2 должно быть немного больше 1.
Наконец, рассмотрим прямые у = у\ и у — у2, где у\ < у3 < У2-
Для у = т/1? n = — j и (8.19) получаем
. dr
~}'dt
= [y(.q + х)~ 2fz]y=yi < 0.
У=У1
То есть должно выполняться следующее неравенство:
У1 <
2fz
q + x
для всех и q С z С 1.
386
Глава 8
Таким образом,
У1 <
2fq
q + 1
2/ -^minimum
- + ^maximum
Нижней границей для у является
У1 =
2fq
q + i
Когда у = у2, n = j, необходимо
J’ dt
<0
=> 2/z - y(q + x)]y=y2 < 0,
У=У2
что подразумевает
для всех и q z 1,
и мы можем принять
2/^maximum
У2 = —-----------
Q । ^minimum
/
q'
Вновь применив (8.4) для типичных значений q и f, получим у^ <у9 < у2-
Мы удовлетворили условие (8.19) для поверхности S параллелепипе-
да, получив
х = q, х = 1; у = ““р У — “5 z = q, z = 1. (8.20)
Стационарное состояние (8.7) лежит в области, ограниченной поверхно-
стью S, если для f и q выполняются определенные неравенства, значения
параметров реакции Белоусова-Жаботинского входят в эту область.
Данная граничная поверхность могла бы быть усовершенствована,
чтобы дать более точные значения граничных условий для любого реше-
ния (8.5). Но так как решения для предельного цикла должны быть най-
дены численно или асимптотически, как в следующем разделе, необходима
лишь демонстрация наличия такой замкнутой поверхности.
На рисунке 8.2 показано сравнение численного решения системы (8.5)
с наблюдаемыми экспериментально колебаниями.
8.4. Аппроксимация для реакции Белоусова-Жаботинского 387
Эксперимент
Численное решение
ьо
о
i
__।_________।_________।__________।_
600 900 1200 1500
Секунды
Рис. 8.2. Сравнение экспериментально наблюдаемых колебаний в реакции БЖ с чис-
ленным решением для предельного цикла модели ФКН при f = 0.3, 6 = 1/3, q =
= 5 х 10"3, е = 0.01. (Из Tyson 1997)
8.4. Релаксационные осцилляторы: аппроксимация
для реакции Белоусова-Жаботинского
Если мы вновь посмотрим на рис. 8.1, то увидим, что определенные
стадии цикла протекают очень быстро. Наиболее наглядно это проявляется
в случае Вг~, когда его концентрация резко возрастает на участке DA и так
же быстро падает на ВС. Если некоторые части цикла протекают быстрее,
чем другие, такие осцилляторы называют релаксационными. В модели это
означает наличие малого параметра в системе дифференциальных уравне-
ний, вызывающего быстрые изменения решения.
Для определенности рассмотрим для начала простой релаксационный
осциллятор:
£-^7=y-f(xY ~¥ = -х’ 0<е«1, (8-21)
at at
где f(x) — такая непрерывная функция, что f(x) —> ±оо при х —> ±оо.
Классическим примером, где f(x) = (l/3)rr3 — х, является осциллятор Ван
дер Поля. Система (8.21) представляет собой типичную сингулярно воз-
мущенную задачу (см., например, книгу Murray 1984), так как е являет-
ся множителем при одной из производных. На рисунке 8.3(a) изображен
388
Глава 8
типичный фазовый портрет предельного цикла системы (8.21); на рисун-
ке 8.3(b) — соответствующее ему решение x(t).
Рис. 8.3. (а) Типичный фазовый портрет предельного цикла ABCDA для релакса-
ционного осциллятора. Горизонтальные части траектории система проходит очень
быстро. (Ь) Решение x(t) для предельного цикла на рисунке (а)
Из первого уравнения (8.21) видно, что везде, кроме у « /(х), х меня-
ется быстро как О(1/е). На рисунке 8.3(b) этому соответствуют отрезки DA
и ВС. На этих участках траектории соответствующей независимой пере-
менной является т = 2/е, а не t. С учетом этого, второе уравнение (8.21)
при е —> 0 можно записать в виде:
dy _ _ . X
— = —ex => у ~ constant,
ат
так же как на DA и ВС на рисунке 8.3(b). Исходя из (8.21), вдоль изокли-
ны у = f(x) между DA и ВС второе уравнение принимает вид:
« -х, (8.22)
at
которое можно проинтегрировать и получить х как неявную функцию от t.
Если f(x) соответствует кубическому уравнению Ван дер Поля или мо-
жет быть аппроксимирована кусочно-линейной функцией, уравнение мож-
но проинтегрировать точно. Затем возможно оценить (что мы и делаем по-
дробно ниже) период колебаний Т, благодаря тому, что основной вклад
вносят участки АВ и CD (время движения вдоль ВС и DA мало, 0(1)).
Можно показать, что рассчитанный таким образом из (8.22) период пре-
дельного цикла Т дает поправку порядка О(е2/3) для асимптотического
предельного цикла (8.21). Для наших целей достаточно приближения по-
рядка 0(1) для расчета Т.
8.4, Аппроксимация для реакции Белоусова-Жаботинского 389
Для примера, предположим, что f(x) = (1/3)ят3 — х, то есть (8.21) —
простой осциллятор Ван дер Поля, и посчитаем период Т порядка 0(1).
Изоклина у = f(x) и фазовый портрет предельного цикла в данном случае
близки к изображенным на рисунке 8.3, за исключением того, что исход-
ная точка смещена на середину отрезка DB на рисунке 8.3(a), и решение
на рисунке 8.3(b) симметрично относительно оси х = 0. В соответствии
с приведенным выше анализом, подставляем f(x) — (1/3)д?3 — х в (8.22)
и интегрируем сначала от А до В, потом от С до D при е 0. Расче-
ты дают координаты А = (2,2/3) и В = (1,—2/3). Благодаря симметрии,
а точнее, если принять t = 0 в точке А, период Т определяется как
=> Т = 3-21п2.
(8.23)
Заметим, что, даже если f'(x)/x нельзя проинтегрировать, чтобы рас-
считать период, мы всегда можем определить минимум и максимум пе-
ременных из изоклин у = f(x). Для x(t) ими являются точки А и С,
для y(t) — В и D.
Сравнивая зависимость концентрации бромида [Вг“] от времени на
рисунке 8.1 с временным решением предельного цикла на рисунке 8.3(b),
стоит обратить внимание на аппроксимацию реакции БЖ с помощью ре-
лаксационного осциллятора. Такой анализ был проделан Тайсоном (Tyson
1976; 1977), и представлен в следующем разделе.
Снова рассмотрим механизм ФКН в безразмерном виде (8.5), а имен-
но,
dx ,л ч
е-тг = Q2/-^2/ + ^(1 ~х),
at
3^ = -qy-xy + 2fz, (8.24)
где безразмерные параметры заданы в (8.4). Заметим, что е 6, что поз-
воляет уменьшить порядок системы, приняв edx/dt « 0. Получаем
0 = qy - ху + х(1 - я) => х = х(у) = 1|(1 - у) + [(1 - у)2 + 4<?т/]1/2) .
(8.25)
390
Глава 8
Благодаря чему (8.24) редуцируется до системы дифференциальных урав-
нений второго порядка относительно у и z:
= 2/z ~ + зЬ
at
(8.26)
Эту систему можно полностью проанализировать на фазовой плоскости
(y,z). Мы можем, как обычно, найти стационарное состояние, провести
анализ на устойчивость, показать наличие замкнутой поверхности, удовле-
творяющей условию (8.19) и, таким образом, определить параметры суще-
ствования предельного цикла.
8.5. Анализ релаксационной модели автоколебаний
в реакции Белоусова-Жаботинского
В этом разделе мы рассмотрим систему (8.26) с точки зрения релакса-
ционного осциллятора, и таким образом определим приблизительный пе-
риод предельного цикла, максимумы и минимумы зависимых переменных
и сравним результаты с экспериментальными данными для колебательной
реакции. Для этого мы сначала зададим приближение для х(у), используя
условие 0 < q 1 из (8.4), и нарисуем нуль-иЗоклины.
Из выражения (8.25) и условия q 1 получаем г-нуль-изоклину:
Z = х(у) « <
1-2/
ЯУ
У- 1
при
q 1 -у < 1,
q У -1.
(8.27)
?/-нуль-изоклину получаем из системы (8.26):
_ У[х(у) + я]
Z 2
у(Д-у)
2f
ЯУ
У ----г +9
У- 1
2/
ЯУ
при
q < 1 - у 1,
< q < у - 1,
Y » 1.
(8.28)
8.5. Анализ релаксационной модели автоколебаний
391
с-нуль-изоклина представляет собой монотонно убывающую функцию от у
(рисунок 8.4). ?/-нуль-изоклина имеет немонотонный характер и зависит от
параметра f. Ее локальный максимум zmax(= = гд на рисунке 8.4(a))
можно найти из первого уравнения системы (8.28):
^тах
1 1
8/
При 2/тах — *
(8.29)
Из второго уравнения системы (8.28) получаем локальный минимум
Zmin(=zB = ZC на рисунке 8.4(a)):
~г = " -------7 ? Ру2 - 4у + 1} = О
dy (2№-1)2/гУ У '
_ 2 + у/2
3/min — ’
_ <7(1 + л/2)2 9(3 + 2х/2)
=> = ----------- = -------.
(8.30)
Значения переменных z и у в важных точках А, В, С и D можно по-
лучить из выражений (8.27) и (8.28), zd(=za) и уо из (8.29) и zb(=zc)
и у в из (8.30). Величину ус можно получить из первого уравнения систе-
мы (8.28) и условий q 1 и zc = zmin из (8.30):
ус(У~ус) 1 - [1 - 8/zc]1/2
zc =----2f--- Ус =------------2-----~
~ 1 -[1 -4д(3 + 2л/2]1/2 ~
« 2 ~
«9(3+ 2^2).
Из второго выражения системы (8.27) для больших у следует, что z ~ qy/р,
а из (8.29), что za = zmax- Таким образом, выражаем у а
8/ ZAK<lVfA yA~lq^V
Собрав вместе приведенные выше результаты, получим следующие коор-
динаты для точек ABCD на рисунке 8.4(a):
1 1 2 + у/2 д(3 + 2\/2)
УА ~ 8g’ ZA ~ 8f’ УВ * 2 ’ ZB ~ 2f ’
ус « 9(3 + 2ч/2), zc « ^3+^); yD « 1, ZD « _L.
ZJ Z oj
(8.31)
392
Глава 8
Рис. 8.4. Схематическое представление изоклин редуцированной модели БЖ (8.26),
полученное при помощи асимптотических форм (8.27) и (8.28) при О < g « 1.
Точки В и С относятся к zmin, заданному в (8.30), а точки А и D — к zmax
в (8.29). Асимптотические выражения для А, В, С и D даны в (8.31). Обратите
внимание, как меняется положение стационарного состояния в зависимости от /:
(а) 1/4 < / < (1 + л/2) /2; (b) f < 1/4; (с) (1 + /2 < f
На рисунке 8.4(а-Ь) изображены различные варианты расположения
главных изоклин для упрощенной модели БЖ (8.26). Из выражений (8.27),
(8.28) и (8.31) можно получить области значений параметра f для каждого
случая. На рисунке 8.4(b) локальный максимум zd лежит справа от стаци-
онарного состояния. Исходя из (8.31), в этом случае для г-нуль-изоклины,
определяемой выражением (8.27), должно выполняться следующее нера-
венство:
z\y=yD<zD => x(yD) « 1 - VD < ZD => f<~.
(8.32)
На рисунке 8.4(a) представлен случай, когда на z-нуль-изоклине переменная
z удовлетворяет неравенствам:
z^yo>zD и z]„<zB,
8.5. Анализ релаксационной модели автоколебаний
393
из которых следует, что
х(Уо) » 1 - 2/D >
х(уВ) «
УУв
У в - 1
q(3 + 2^2)
2/
Последнее неравенство можно упростить до
(8.33)
Наконец, случай, изображенный на рисунке 8.4(c), выполняется, когда
1 +v^2
2
z^y=ye
> ZB
(8.34)
Из главы 7 мы знаем, что в случае, изображенном на рисунке 8.4(a),
возможны автоколебания. То есть, если f лежит в пределах (8.33) и ста-
ционарное состояние неустойчиво, решением упрощенной модели БЖ на
фазовой плоскости будет предельный цикл. Сравнение рисунка 8.4(a) с ре-
лаксационным осциллятором, изображенным на рисунке 8.3(a), дает выра-
жение для определения периода колебательного решения системы (8.26)
порядка 0(1) для 0 < 8 1:
где dz/dt берется из (8.26). Таким образом,
Tab = [ [х(у) - z] 1 dz.
JzA
(8.36)
Из второго уравнения (8.28) следует, что z является функцией от у.
Этот факт, а также то, что АВ является частью ?/-нуль-изоклины, позволяет
нам точно рассчитать период порядка 0(1) для q 1 путем замены пере-
менной интегрирования на у. Взять этот интеграл сложно. Нам же нужно
лишь разумное приближение для периода. Так что, использовав выражения
для q 1 из (8.27), для большей части отрезка АВ получим
х(у)
УУ
У~1
У,
394
Глава 8
и с учетом (8.31) период равен
ТАВ = f^(q-z)-1dz = ln
za - q
zb - q
Г 1
8/
In <
(8.37)
4(3 + 2)
[ 2/ ]
~1п[4(3-2/ + 2л/2)9], 9<1.
Так как на участке АВ величина х(у) « qy/(у — 1) стремится к q величине
только при у 1, выражение (8.37) задает верхнюю границу для Tab-
х(у) на отрезке АВ меняется в пределах от
до
q
х{ул) =
q + O(q2), q « 1,
q
х(уВ) =
2 + 2-/2
2
—----------= ?(1 + л/2).
2 + 2^2 t
2
В интеграле (8.36) верхняя граница задается выражением (8.37), а нижняя
этим же выражением, но с заменой q на q(l + л/2):
1п[4(3 - 2/ + 2V2)q] <ТАВ<- 1п[4(3 - 2/ + 2^2)(1 + V^)q]. (8.38)
Теперь рассчитаем вклад интервала CD в период колебаний (8.35),
а именно,
TcD = /
В данном случае тоже следует интегрировать по у. Между точками С и D
на рисунке 8.4(a) для отрезка CD получаем
z(y) и 1 - у, z «
dz =
1 - 2у
2/
dy.
8.5. Анализ релаксационной модели автоколебаний
395
Таким образом, последний интеграл после достаточно утомительных пре-
образований дает выражение:
1-2у
Tcd
(1 - у) -
р(1 - у)
2f
dy =
(8.39)
4/— 1
2/- 1
2l/(4/-l)4/- 1
4/
Период порядка 0(1) для q < 1 задается суммой двух отрезков време-
ни ТАв + Tcd из (8.38) и (8.39), как функция от f и q. Размерный период
рассчитывается путем умножения Т на to из (8.4).
Чтобы завершить анализ релаксационного осциллятора, необходимо
проинтегрировать приблизительные уравнения для ветвей АВ и CD. Мы
уже успешно это сделали, когда рассчитывали Tab и Tcd- Для удобства
примем t = tA = 0, то есть z(0) = гд. Таким образом, решение систе-
мы (8.26) на отрезке АВ при х(у) ~ q для больших у, заданных выраже-
нием (8.27), выглядит следующим образом:
— ~q-z => z(t) = zAe * + q(1 — е *).
(8.40)
То есть наблюдается экспоненциальный спад от za до zb = O(q) на време-
нах порядка 0(1).
На отрезке CD х(у) ~ 1 —и z « у(1— y)/(2f). Таким образом, второе
уравнение системы (8.26) при замене переменной на у имеет решение:
1-2т/
2/
dy х
Это выражение при интегрировании дает у как неявную функцию от t:
(2/-у)4/-1
= К + (2/ - l)t,
(8.41)
где К — константа интегрирования. Так как время преодоления горизон-
тальной части траектории, а именно, ВС, незначительно, константу К мож-
но определить, приняв y(tc) = Ус, где t = tc ~ ts п te выражается
396
Глава 8
из (8.40) при z = zB'>
tB = In
za(1 ~ q)
ze-q
(8.42)
Из (8.41) и последнего уравнения получаем
К = In
1 - Ус
(2/ - ус)4'"1
(8.43)
-(2/-l)tB.
Теперь, когда у задан в неявном виде выражением (8.41), получаем z
из г ~ у(1 — y)/(2f). Наконец, время движения по участку DA также мало
(много меньше Т). В результате, мы получили аналитические выражения
для зависимых переменных релаксационного осциллятора как функции от
времени для 0 < q 1.
Теперь вернемся к точной модели реакции БЖ и вспомним из (8.1),
что z и у являются безразмерными переменными, связанными с катализа-
тором Се4+ и концентрацией бромида Вг_ соответственно. Траектория ав-
токолебаний на рисунке 8.4(a) начинается в точке А, проходит через BCD
и вновь возвращается в А. Эта траектория аналогична экспериментально
полученному циклу, представленному на рисунке 8.1 с теми же обозна-
чениями. [Вг_] экспоненциально уменьшается до В, затем наблюдается
резкое падение до уровня С. Значение В является пороговым, после его
достижения процесс II преобладает над процессом I. Затем на временах
порядка 0(1) концентрация повышается с С до D в соответствии с вы-
ражениями (8.42) и (8.43), с последующим быстрым увеличением [Вг~]
до величины А. Таким образом, приближение релаксационного осциллято-
ра (8.26) имитирует реальную колебательную систему, представленную на
рисунке 8.1. Далее мы должны сравнить количественные характеристики.
Экспериментальное значение f = 0.5 было предложено Филдом
и Нойесом (Field and Noyes 1974). Если взять предел f —* 0.5 в (8.38),
задав / = 0.5 + и, и устремить и> —* 0, получим Tcd = 21п(2) — 1. Так
как q мало, наибольший вклад в период вносит Tab- Теперь возьмем зна-
чения ц^раметров из (8.4), в том числе уо, использовавшееся в получении
выражения для обезразмеренной концентрации бромида у. Подставим их
в граничные значения для уоу (=[Вг-]) из (8.31) и в выражения для гра-
ниц Tab и Tcd (8.38) и (8.39). В таблице 8.1 представлены полученные
значения, а также экспериментальные данные (Field et al. 1972). Учитывая
сложность модели и количество использованных приближений при упро-
щении механизма и приведении его к модели релаксационного осцилля-
тора, полученные результаты дают хорошее количественное соответствие
с экспериментом.
8.5. Анализ релаксационной модели автоколебаний
397
Таблица 8.1. Сравнение результатов, полученных в модели релаксационного осцил-
лятора, с экспериментальными значениями (Field at al. 1972)
Значения, полученные в модели Экспериментальные значения
Период 183-228 с 110с
[Вг ]в — [Вг ]крит 1.7 х 10“5 [ВгОз ] 2 х 10“5 [ВгОз ]
[Вг ]С — [Вг ]сдвиг 0.3 [Вг ]крит 0.3 [Вг ]крит
[Вг ]л — [Вг ]макс 1.6 х 10“3 [ВгОз ] — 90 [Вг ]крит 3 [Вг ]крит
Как было показано в разделе 7.3, если значения параметра f дают изо-
клины, изображенные на рисунках 8.4(b) и (с), колебания в модели (8.26)
невозможны. Тем не менее реакция в этих случаях может проявлять поро-
говое поведение; сравни рисунки 7.4(a) и (Ь). Более того, если в базовом
механизме модели ФКН (8.2) разрешена обратимость реакций, возможно
получить три стационарных состояния, из которых два устойчивы (рису-
нок 7.4(d)). В этом случае система становится триггерной (см. раздел 7.3
главы 7 и рисунок 7.5(c)). Многочисленные исследования обратимой моде-
ли также показали наличие взрывного поведения и хаоса. Различные заслу-
живающие доверия модели реакции Белоусова-Жаботинского предсказали
большое количество неожиданных явлений, которые надо было доказать
экспериментально. Многие из них были подтверждены (Tyson 1985; Field
and Burger 1985; Scott 1991). Также было показано существование довольно
сложного поведения, включающего в себя периодические всплески, гисте-
резис и последовательности колебаний и хаоса (Barkley et al. 1987). Кроме
того, были представлены модели реакции БЖ, демонстрирующие детерми-
нированный хаос (Gyorgyi and Field 1991).
Выше мы рассмотрели только гомогенные и хорошо перемешиваемые
системы. В последующих главах мы рассмотрим сопряженные биологиче-
ские осцилляторы и неперемешиваемые системы, в которых необходимо
учитывать диффузию, и обнаружим новые и удивительные явления. Реак-
ция Белоусова-Жаботинского является ключевой экспериментальной реак-
цией, служащей для подтверждения теоретических результатов.
Упражнения
1. Иное упрощение модели ФКН (Murray 1977) дает следующую си-
стему третьего порядка:
dr dy dz
6— = у - ху + х(1 - qx), — = -у - ху + 2fz, — = д(х - г),
at at at
398
Глава 8
где £ и q малы. Найдите стационарные состояния и проведите анализ на
устойчивость. Покажите, что выражения
1
q
1 < х <
2/0
----<у < —,
1 + Q q
1
z < -
1 <
задают замкнутую поверхность, удовлетворяющую условию (8.19), для по-
ложительного стационарного состояния.
2. Приняв во внимание то, что 0 < £ 1, получите систему второго
порядка из системы, представленной в упражнении 1. На фазовой плос-
кости изобразите главные изоклины, учитывая, что 0 < g <С 1, и таким
образом определите область значений параметра /, при которых возможно
существование предельного цикла.
3. Дан релаксационный осциллятор:
dx dy
dz In
— = х - -х ,
dt 3
где 0 < £ «С 1. Начертите траекторию предельного цикла на фазовой плос-
кости (у,х), отметив направление движения. Определите период Т поряд-
ка 0(1) при £ —► 0.
Аппроксимируйте функцию f(x) кусочно-линейной функцией и изоб-
разите на фазовой плоскости соответствующий предельный цикл. Проинте-
грируйте уравнения, используя приближение кусочно-линейной функции,
и начертите решение — зависимость х от t. Также рассчитайте период Т
порядка 0(1) и сравните результат с первой частью упражнения.
4. Возможная модель релаксационного осциллятора для механизма
ФКН определяется следующей безразмерной системой:
dx 2fz(q-x) (л .
е— = + х(1 - х\
dt х + q
dz
-- = X — z,
dt
где 0 < г « 1, 0 < g <£ 1 и / = 0(1). Используя решение упражнения 2
для значений параметра /, при которых возможен предельный цикл, на-
рисуйте траекторию релаксационного осциллятора, определите максимумы
и минимумы переменных х и z и получите выражения для оценки периода
предельного цикла порядка 0(1).
Глава 9
Возмущенные и сопряженные
осцилляторы и черные дыры
9.1. Подстройка фазы в осцилляторах
В связи с большим количеством известных биологических осциллято-
ров и их важностью, естественно задаться вопросом о том, какое влияние
оказывает на колебания внешнее возмущение. А. Т. Уинфри в 60-х годах
задал этот, казалось бы, простой вопрос в своей пионерской работе, по-
священной циркадным ритмам плодовой мушки Drosophila melanogaster,
а именно, периодическому выходу взрослых особей из куколок. Этот про-
стой, но глубокий вопрос привел к открытию множества неизвестных до
настоящего времени свойств возмущенных осцилляторов, частично сопря-
женных осцилляторов, осцилляторов, сопряженных с процессами диффу-
зии и тому подобных (смотри, например, главу 12 и главу 1 тома II). Уин-
фри разработал новую отвлеченную геометрическую модель биологическо-
го времени, несущую в себе много перспективных и интересных матема-
тических проблем. В книге Уинфри (Winfree 2000), где приведена его пол-
ная биография, подробно рассматривается эта область. Он также приводит
многочисленные примеры биологических ситуаций, в которых знание по-
добных эффектов необходимо для понимания определенного феномена.
Периодический водитель ритма в сердце являет собой важный био-
логический осциллятор, его широко изучают, в частности, в связи с влия-
нием наведенных возмущений. Например, Халиф и Анцелевич (Jalife and
Antzelevitch 1979), чьи результаты обсуждаются в разделе 9.4, имеют дело
с пейсмейкерной активностью в сердечной ткани; Кринский (1978) изучает
сердечные аритмии; Уинфри (Winfree 1983а; 1983b), среди прочего, обсуж-
дает топологические аспекты внезапной остановки сердца. Также суще-
ствует интересная работа, посвященная сложному неврологическому кон-
тролю синхронизации дыхания и шага у бегунов и лошадей (смотри, на-
пример, Hoppensteadt 1985 и приведенные там ссылки).
400
Глава 9
Как мы видели в разделе 7.5, в определенных условиях нейроны спо-
собны посылать периодические импульсы. В связи с важностью нервной
регуляции очевидно, что изучение влияния внешних стимулов на такого
рода колебания представляет немалый интерес. Работа Беста (Best 1979)
особенно важна для этого и трех последующих разделов. Объектом его ис-
следований была одна из общепринятых моделей проведения потенциала
действия, а именно, модель ФитцХью-Нагумо (смотри раздел 7.5, урав-
нения (7.39)). Он применил ее для периодических импульсов и проде-
монстрировал некоторые ее важные свойства, которые мы обсудим в этой
главе.
Как будет показано в главе 1 тома II, пространственное проведение им-
пульса по нейрону обычно зависит от приложенного порогового стимула
и является важным примером природного возбудимого объема. Проблема
пейсмейкеров сердца и некоторые виды сердечной недостаточности, воз-
можно, связаны с волновыми явлениями, сопряженными с возбужденными
осцилляторами (смотри, например, обзор Winfree 1983b). Данная область
изучается уже некоторое время, особенно в связи с сердечной недостаточ-
ностью, это служит стимулом для написания данного раздела. Результаты
и выводы, представленные в этом разделе, тем не менее, не зависят от мо-
дели, хотя мы и используем конкретные уравнения для учебных целей.
В качестве вступления, мы кратко опишем некоторые эксперименталь-
ные результаты, полученные для периодического выхода плодовых мушек
из куколок с периодом примерно 24 часа. Во время стадии куколки плодо-
вые мушки претерпевают метаморфоз, ведущий к появлению взрослой осо-
би. Если держать куколок при обычном суточном цикле света и тьмы, муш-
ки вылупляются группами в интервале времени продолжительностью 6-
8 часов примерно каждые 24 часа. Если таких куколок поместить в полную
темноту, мушки будут вылупляться практически таким же образом; на ри-
сунке 9.1 изображены результаты многочисленных экспериментов.
Если куколок, помещенных в темноту, осветить вспышкой, время, или
фаза, периодического выхода взрослых особей сдвигается. Другими сло-
вами, происходит сдвиг фазы циркадных ритмов. Сдвиг фазы зависит от
момента времени подачи вспышки света Т и ее продолжительности или,
скорее, дозы энергии D в эрг/см2, передаваемой вспышкой. Нас интере-
сует время выхода взрослых особей Те после вспышки; Те зависит от Т
и D. Если доза энергии D = Q подана в момент Т, то сдвиг фазы, очевид-
но, равен нулю; Те = Т — D. Уифри (Winfree 1975) приводит результаты
многочисленных экспериментов, в которых варьировались Т и D и записы-
вались Те- На данном этапе важно заметить, что существует критическая
доза энергии £>*, поданная в определенное время Т*, после которой уже не
9.1. Подстройка фазы в осцилляторах
401
Рис. 9.1. Куколки плодовых мушек были помещены в полную темноту. Выход взрос-
лых особей из куколок (вылупление) происходит примерно каждые 24 часа с пери-
одом около 7 часов до того момента, пока все куколки не созреют. В данном случае
нас интересует периодичность пиков во времени, а не количество вылупившихся
мушек. (Из Winfree 1980 с разрешения автора)
происходит периодических выходов мушек, но увеличивается время выхо-
да. Другими словами, разрушается периодическое поведение. Удивительно,
что доза, способная вызвать такой эффект, может быть очень маленькой
(Winfree 1975). Эти экспериментальные данные показывают, что существу-
ют критическая фаза и стимул, разрушающие основы периодического по-
ведения или биологические часы. Такой результат имеет важное значение
для любых осцилляторов.
Этот и три последующие раздела, главным образом, посвящены био-
логическим осцилляторам, влиянию величины стимула и времени воздей-
ствия на периодическое поведение и экспериментальным данным и след-
ствиям. В экспериментах с плодовой мушкой наблюдается сингулярность
(или сингулярности) в пространстве стимул-время-ответ осциллятора, ко-
гда колебания просто исчезают, или их поведение становится непредсказу-
емым. Вдали от области сингулярности поведение системы более или ме-
нее предсказуемо. В разделе 9.4 будут описаны эксперименты по стимули-
рованию сердечной ткани, демонстрирующие сходную фазовую сингуляр-
ность.
402
Глава 9
Прежде чем проводить анализ (для рассматриваемого нами иллюстра-
тивного примера он очень прост), полезно рассмотреть простой маятник
для демонстрации явления подстройки фазы и сингулярности в простран-
стве стимул-время-ответ. Представим, что маятник колеблется с часто-
той w и в момент, когда отвес маятника находится в наивысшей точке S,
скажем, справа, мы измеряем нулевую фазу или время t = 0. Если во вре-
мя очередного колебания мы придадим отвесу импульс, колебания могут
сбиться. После такого импульса или стимула, через какое-то время маят-
ник продолжит колебаться по простому гармоническому закону, но отвес
не будет приходить в точку S во время t = ncv, время станет t = ts + ncv,
где t8 — некоторая константа. Другими словами, фаза подстроится. Если
же теперь мы подействуем на маятник в самой нижней точке его движе-
ния, то, используя правильный стимул, мы можем совсем его остановить.
То есть, если мы дадим стимул правильной величины в правильную фазу
или время, мы можем полностью затушить колебания; это и есть сингу-
лярная точка в пространстве стимул-время-ответ, которую мы упоминали
в экспериментах с плодовой мушкой.
Предположим, что осциллятор описывается некой векторной перемен-
ной и, удовлетворяющей следующей системе дифференциальных уравне-
ний:
$ = f(u,A), (9.1)
at
где f — нелинейная степенная функция, а А — параметры осциллятора. Для
наглядности и математического удобства предположим, что (9.1) описы-
вает автоколебания с участием только двух переменных -хну. Типич-
ная траектория предельного цикла в этом случае будет представлять со-
бой простую замкнутую кривую, скажем, 7, на двумерной фазовой плос-
кости (рис. 9.2(a)). При подходящей замене переменной можно превратить
траекторию этого предельного цикла в окружность. В результате, состоя-
ние осциллятора будет описываться углом в («фазой»), отсчитываемым от
какой-то произвольной точки окружности. Движение по предельному циклу
происходит со скоростью v = d6/dt. После каждого прохождения цикла в
возрастает на 2тг.
Простым примером такой системы с предельным циклом является сле-
дующая:
dr d6
— = R(r), —=Ф{г),
dt dt
(9-2)
9.1. Подстройка фазы в осцилляторах
403
Рис. 9.2. (а) Типичная траектория 7 предельного цикла на фазовой плоскости.
(Ь) Типичное решение системы (9.2) при условиях (9.3). При любых начальных
условиях решение придет к предельному циклу ст = 1, dO/dt = 1. (с) Типич-
ное периодическое поведение точки Р на рисунке (а): стоит заметить, что скорость
точки Р в отличие от случая (Ь), в общем случае, непостоянна
где
Я(г) { J ° для | ° <[< г° , Я(го) = 0, Ф(г0) = 1. (9.3)
Эти условия предполагают, что (9.2) обладает единственным притягиваю-
щим предельным циклом: г = го, d6/dt = 1. (Очень простой пример был
приведен в главе 3, где 7?(г) = г(1 — г), Ф(т) = 1, и решение тривиально.)
Если нормировать окружность с учетом то, можно получить предельный
цикл с г = 1.
На рисунке 9.2(b) на фазовой плоскости изображено типичное реше-
ние с предельным циклом. На рисунке 9.2(c) для примера показана точ-
ка хр = xs + cos#(£) как функция от t, где xs — стационарное состояние,
изображенное на рисунке 9.2(a); также на рисунке отмечены эквивалентные
значения 0.
Представление автоколебаний как движения по окружности было ин-
туитивно предложено Уинфри (Winfree 2000) в разделе кольцевой динами-
404
Глава 9
ки. Интересны топологические аспекты проблемы, позволяющие получить
некоторые неожиданные результаты и новые концепции. Здесь мы рассмот-
рим только основные элементы проблемы, но они необходимы для демон-
страции некоторых важных идей.
Моделируя физиологические осцилляторы, мы мысленно представля-
ем, что некоторое событие, например, сокращение сердца, происходит при
определенном значении фазы, которую мы можем пронормировать к 0 —
= 0. Пейсмейкер проходит через повторяющийся цикл: он подает сигнал
в определенную фазу (то есть время), затем находится в состоянии рефрак-
терное™ и опять подает сигнал и так далее. Если применить к осциллято-
ру концепцию кольца или окружности, можно представить пейсмейкер как
точку, движущуюся по кольцу с постоянной скоростью и подающую сигнал
каждый раз при прохождении точки с фазой 0 = 0. Хотя время t линейно
возрастает, пейсмейкер подает сигнал в определенные моменты (период,
умноженный на п). Чтобы разъяснить основной принцип подстройки фа-
зы осциллятора при приложении стимула, рассмотрим теоретический при-
мер — простейшую нетривиальную колебательную систему:
dr d0 . .
— = r(l - г), — = 1, (9.4)
dt dt
для которой фаза 0(t) = 0o+t, наименьшее ее кратное равно 2тг (рис. 9.2(b)).
С помощью этой системы мы рассмотрим два основных типа подстройки
фазы, а именно, тип 1 и тип 0.
9.2. Кривые подстройки фазы
Кривые подстройки фазы типа 1
Предположим, что сначала мы возмущаем только фазу. В результате,
основное уравнение приобретает следующий вид:
d0
r = l, — = l + r(6>J), (9.5)
dt
где v(0, /) — изменение скорости, то есть стимул, прилагаемый к угловой
скорости dO/dt. I — параметр, определяющий силу импульса, приложенно-
го к осциллятору. Для учебных целей, вновь возьмем простую, но нетриви-
альную зависимость скорости v от 0 и I (Winfree 1980):
^ = 1 + Icos20, (9.6)
dt
9.2. Кривые подстройки фазы
405
где I может быть как отрицательным, так и положительным. Если стимул I
был приложен в момент t = 0 в течение времени Т, интегрирование (9.6)
даст выражение для новой фазы ф в зависимости от в — фазы, когда стимул
был приложен. Из (9.6) получим
-I- i cos 2s) 1 ds =
dt = T.
(9.7)
Интегрирование этого выражения даст
|Z( < 1: tg<£ = Atg[TB + tg Х(Л Hg#)],
/= 1: tg<£ = 2T + tg0,
где
g<^ 1- 2Ttg0’
‘^<4
[X + tg0
при |tg<£|> A,
при |tg</>|<4,
exp(2TB),
(9.8)
B = [|1 - Z2!]1/2.
(9.9)
A - tg6
Эти выражения дают нам в явном виде новую фазу ф как функцию от
старой фазы 0, а также силу I и продолжительность Т стимула. Таким об-
разом, приложение стимула приводит к сдвигу фазы осциллятора; другими
словами, оно подстраивает фазу. При t > Т осциллятор просто возвра-
щается к dO/dt = 1, но со сдвигом фазы. Это означает, что осциллятор
будет «выстреливать» в другое время, но при том же значении фазы, что
и раньше; последующий период, очевидно, будет таким же, как и до стиму-
ла. То есть периодическая «волновая» кривая (рис. 9.2(c)) просто немного
сместится.
Нас интересует кривая подстройки фазы ф как функция от в при раз-
личных значениях стимула, зависящих от силы I и продолжительности Т.
Важно заметить, что для стимулов типа (9.5) dф/d6 > 0 для любых 1, Т
и в. Это означает, что новая фаза ф будет тем больше, чем больше будет
старая фаза 0 в момент приложения импульса. Это сразу видно из вы-
ражения для v в (9.6) при дифференцировании (9.8) с учетом 0, так как
406
Глава 9
полученное в результате выражение для (1ф/dO строго положительно. Если
теперь мы построим зависимость новой фазы ф от фазы в момент приложе-
ния импульса в, мы получим кривую подстройки фазы, типичный пример
которой представлен на рисунке 9.3. Заметим, что, каким бы ни был прило-
женный импульс I, значения новой фазы ф полностью охватывают фазовую
окружность, в данном случае от 0 до 2тг. Другими словами, любая новая фа-
за 0 < ф 2тг может быть получена путем подбора старой фазы 0 < 0 2тг
и стимула I. Для данных I иТ новая фаза ф единственным образом опре-
деляется старой фазой 6. Такое поведение называется кривой подстройки
фазы типа 1 и характеризуется тем, что dф/dO > 0 для всех 0 < 0 2тг:
средний градиент по окружности равен 1, отсюда и название. Несмотря
на то, что на рисунке 9.3 I показывает опережение, в другом осцилляторе
могла бы быть задержка. Главное то, что с1ф/ dLO > 0 для подстройки по
типу 1.
Рис. 9.3. Типичные кривые подстройки фазы типа 1, представляющие зависимость
новой фазы от старой фазы при стимуле, определяемом фазовой скоростью (9.6)
при / ^ОиТ^О. В этом случае наблюдается фазовое опережение при импульсе
в пределах 0 < 0 < тг и задержка при тг < 0 < 2тг
Если I достаточно велик, а именно, \I\ > 1, фазовая скорость dф/dt =
= 14- v(6,1) может стать отрицательной для некоторых фаз: в случае (9.6)
для фазы 6, удовлетворяющей неравенству 1 + 1 cos 2тг0 < 0. Это озна-
чает, что в модели существуют фазовый аттрактор и фазовый репеллер,
в которых dO/dt = 0 и d[d0/dt\/dO соответственно меньше и больше нуля
(вспомним анализ на устойчивость моделей одной популяции из главы 1).
9.2. Кривые подстройки фазы
407
Стимул поддерживается не все время, так что осциллятор возобновляет пе-
риодический цикл после окончания стимула, но, конечно, с другой фазой,
определяемой выражением (9.8).
Кривые подстройки фазы типа 0
Рассмотрим тот же предельный цикл, но теперь стимул I будет сдви-
гать решение с предельного цикла г = 1. Точнее, возьмем такой импульс Z,
что он будет параллелен оси у (рис. 9.4). Анализ возможен для любого
возмущения, но алгебраические выкладки сложны и затеняют основную
мысль. Остановимся на утверждении, что I > 0, соответствующем ситуа-
ции, изображенной на рисунке 9.4; то есть при 0 < # тг/2 новая фаза ф
меньше старой фазы в, и новое положение в общем виде имеет решение г =
-- р ± 1. Нам необходимо выразить новую фазу ф в зависимости от старой
фазы в и стимула I. Из рисунка видно, что
pcos^ = cos#, psin^ 4-1 = sin#. (9.10)
Эти выражения после исключения р дадут ф = ф(#, /) в явном виде; таким
образом, получается трехмерная поверхность в пространстве (ф,0,Г). Как
будет видно далее, наиболее важна проекция этой поверхности на плос-
кость (/,#). Прежде чем рассматривать эту проекцию, построим кривые
подстройки фазы, аналогичные изображенным на рисунке 9.3, а именно,
зависимость новой фазы ф от старой фазы в и различных стимулов Z, то
есть проекции поверхности ф = ф(0,1) на плоскость (0, #) для различ-
ных I,
Рис. 9.4. Импульс I моментально переносит точку Р (г = 1, старая фаза = 0)
в точку S (г = р, новая фаза ф). (а) 0 < I < 1. (b) I > 1
408
Глава 9
Из выражения (9.10) видно, что
tg<£ = tg0—.
cos О
(9.П)
Это выражение дает ф в зависимости от в для заданного I. Для нача-
ла предположим, что 0 < I < 1. Из рисунка 9.4 качественно понят-
но, что при 0 < в < 7г/2 и Зтг/2 < в < 2тг, ф > 0, тогда как при
7г/2 < 0 < Зтг/2, ф < 0. Качественная кривая подстройки фазы ф в зависи-
мости от в показана на рисунке 9.5(a): она пересекает диагональ нулевого
стимула в точках в = тг/2, Зтг/2. Количественные детали здесь не важны.
Дифференцирование (9.11) с учетом в дает
z Q \ с1ф п . I sin 0
1 + tg 20)-£ = 1 + tg 20---------
dU cos 0
1 — I sin 0
cos2# (9.12)
{> 0 для всех 0 < в < 2тг, при |I| < 1.
< 0 при в, таких, что sin# > j.
То есть на кривых подстройки фазы при 0</<1с?ф/с?#>0 для всех #,
изображенных на рисунке 9.5(a). Сравнение этих кривых с кривыми на ри-
сунке 9.3 показывает, что они топологически эквивалентны, следовательно,
кривая на рисунке 9.5(a) принадлежит к типу 1. Аналогичные замечания
справедливы для случая — 1 < I < 0.
Теперь рассмотрим I > 1. Из выражения (9.12) следует, что существу-
ет область значений #, где (1ф/df) < 0. Обратимся теперь к рисунку 9.4(b),
на котором точка Р движется по окружности. При этом точка S нико-
гда не пересекает границу верхней полуплоскости. Таким образом, в то
время как в проходит полный период 2тг, ф никогда не принимает зна-
чения из области (0,7г); точная область значений может быть рассчитана
из (9.11) и (9.12). Количественная кривая подстройки фазы показана на
рисунке 9.5(b). Эта кривая топологически не эквивалентна изображенной
на рисунке 9.5(a). Все кривые подстройки фазы при I > 1 топологически
отличны от кривых типа 1. Кривые подстройки фазы, сходные с изобра-
женными на рисунке 9.5(b), то есть такие, где старая фаза в принимает
значения от 0 до 2тг, а новая фаза ф принимает только ограниченное число
значений полного цикла, называются кривыми подстройки фазы типа 0.
Заметим, что для этих кривых градиент dф/df) < 0 для некоторой области
9.2. Кривые подстройки фазы
409
Рис. 9.5. (а) Кривые подстройки фазы для выражения (9.11) при 0 < I < 1. Заме-
тим. что из выражения (9.12) следует, что (1ф/с10 > 0 при всех из этого интервала I.
(Ь) Кривые подстройки фазы для выражения (9.11) при I > 1. В данном случае для
всей области значений 0 с1ф/с10 < 0 и новая фаза может принять не все возможные
значения
значений в: средний градиент по кривой равен 0, что и дает название этим
кривым. Заметим также, что эти кривые не могут быть получены исключи-
тельно посредством фазового стимула. Также кривые типа 0 получаются,
если I < — 1.
Другим способом наглядно представить бифуркацию кривой подстрой-
ки фазы, приводящую к переходу кривой типа 0 в кривую типа 1 при про-
хождении I через точку I = 1, является построение зависимости новой фа-
зы ф от старой фазы в в соответствии с выражением (9.11). Такой пример
представлен на рисунке 9.6 для показательных значений 0 < I < 1, I =
= 1,/> 1.
Страдая от смены часовых поясов, все бы хотели моментально под-
строить свои внутренние ритмы. Уинфри недвусмысленно показал, что био-
логические часы очень чувствительны к свету. Он предложил новый подход
к такого рода проблемам. С точки зрения перестройки биологических ча-
сов, люди не отличаются от плодовых мушек, и человеческие часы могут
быть переведены правильным световым стимулом, поданным в нужное вре-
мя. Из статьи Уинфри (Winfree 1975) можно узнать, в какой момент стоит
принять дозу солнечного света, чтобы перенастроить свои внутренние рит-
мы после перелета через несколько часовых поясов1. В своих работах Уин-
1 Например, между Сиэтлом и Лондоном восемь часов разницы. Хорошая 15-минутная доза
солнечного света около часа дня по приезде в Лондон перестроит ваши часы. Единственной
проблемой будет найти солнечный свет в Англии. При перелете в обратную сторону, в Сиэтле,
гле. конечно же, нет такой проблемы, необходимо побывать на солнце около пяти часов дня.
410
Глава 9
Рис. 9.6. Кривые подстройки фазы для новой фазы ф в зависимости от старой фазы 0
для выражения (9.11) при 0 < / < 1, / = 1 и / > 1; в точке I = 1 наблюдается
бифуркация
фри (1982; 2000) рассматривает человеческие биологические часы и время
сна и предполагает, что понимание этих процессов может иметь практиче-
ское применение в медицине и психиатрии.
9.3. Черные дыры
Проведенный в предыдущем разделе анализ показал, что при увеличе-
нии стимула I от 0 наблюдается явная бифуркация типа подстройки фазы
при прохождении I через точку I = 1. То есть подстройка фазы обладает
сингулярностью для 1 = 1. Для того чтобы понять происходящие физиче-
ские процессы, нужно рассмотреть проекцию поверхности ф = ф(0,Г), за-
данную выражением (9.11), на плоскость (/, в) при различных значениях ф.
То есть нужно построить кривые, описываемые следующим уравнением:
I = sin 0 - cos в tg ф,
(9.13)
для различных ф в пределах 0 ф 2тг. Хотя это и элементарное упражне-
ние по рисованию кривых с использованием простейших расчетов, выпол-
нять его нужно с определенной осторожностью. Результаты схематически
9.3. Черные дыры
411
представлены на рисунке 9.7. Сначала рассмотрим область значений старой
фазы 0 6 тг и предположим на данный момент, что ф ф тг/2, Зтг/2.
Вне зависимости от значения ф, все кривые проходят через точку I =
= 1, в = тг/2, потому что в ней cos#tg</> = 0 и I = sin тг/2 = 1 для
любых ф. Все кривые, для которых справедливы неравенства тг/2 > ф > О
и 2тг > ф > Зтг/2, пересекают ось в = 0 в точке I = — tg</>. Выраже-
ние (9.13) при тг/2 < 0 < Зтг/2 дает приведенные на рисунке 9.7 кривые.
Если взять сингулярный предел ф тгIе! или просто проследить поведение
фазовых кривых, на которых ф постоянна, то по мере приближения ф к тг/2
становится видно, что особые значения ф = тг/2, Зтг/2 дают вертикальную
линию сингулярности, проходящую через точку в = тгIе!. Значения 0(тг, 2тг)
можно рассмотреть тем же образом, что и (0, тг). Совмещенные результаты
представлены на рисунке 9.7. Важно заметить, что существуют две точки
сингулярности Si и *$2, через которые проходят постоянные по ф фазовые
кривые для любой фазы в пределах (0, 2тг); в одном случае по мере уве-
личения ф кривые располагаются по часовой стрелке, в другом — против
часовой стрелки.
Теперь рассмотрим следствия рисунка 9.7. Предположим, что у нас
есть осциллятор, и мы подаем ему стимул I при определенной фазе 0.
Пока \I\ < 1, можно просто выразить новую фазу через I и 6. Более того,
результат будет единственным. Для всех \I\ > 1 в зависимости от старой
фазы 0 новая фаза также будет определяться единственным образом. Но
в этом случае можно получить одинаковую новую фазу ф при заданном I
для двух разных старых фаз 0. Обратимся к рисунку 9.5: сначала у нас есть
кривая подстройки фазы типа 1, затем она становится кривой типа 0.
Теперь предположим, что мы прикладываем определенный стимул I =
= 1 в фазу 0 = тг/2; в результате получим точку Si, изображенную на
рисунке 9.7. Эта точка не имеет ассоциированной с ней единственной фа-
зы ф, она относится ко всей области 0 ф 2тг. Другими словами, дей-
ствие такого стимула при данной фазе дает недетерминированный резуль-
тат. Сингулярные точки Si и S? являются черными дырами в пространстве
стимул-фаза, точками, в которых последствия стимула неизвестны. Если I
не точно равен 1, но близок к единице, результат, очевидно, материя тонкая,
так как все фазы ф проходят через область сингулярности. С практической
точки зрения, результат действия такого стимула на биологический осцил-
лятор непредсказуем. Тем не менее, с математической точки зрения, если
стимул 1 = 1 приложен точно при в = тг/2, результирующей новой фазы ф
просто не будет. Именно так и происходит в случае с простым маятни-
ком, когда строго определенный стимул подают в момент, когда маятник
находится в вертикальном положении. На практике остановить настоящий
412
Глава 9
маятник довольно сложно, и даже если бы было возможно приблизиться
к рассчитанным математически условиям, итоговая результирующая фаза
будет далеко не очевидной.
Рис. 9.7. Проекции поверхности новая фаза (</>) — старая фаза (0) — стимул (I),
определяемой выражением (9.13), на плоскость (7,0) при различных ф в пределах
периодического цикла 0 ф 2тг. Заметим, что точки Si и S? являются сингуляр-
ными; каждая из них проходит все возможные фазы ф, 0 ф < 2тг; в случае Si
фазы растут против часовой стрелки, в случае S? — по часовой стрелке
Уифри показал (Winfree 1970, см. также 2000), что описанные кон-
цепции применимы к любым автоколебательным осцилляторам, так что
представленные результаты и следствия широко применимы. Ключевым
моментом является то, что для биологического осциллятора, способного
к подстройке фазы по типу 1 и типу 0, существуют импульсы и фазы
в старом пространстве фаза-стимул, соответствующие черным дырам. Воз-
можно, наиболее важным приложением данной концепции является то, что
9.4. Черные дыры в реальных биологических осцилляторах 413
для таких осцилляторов существует стимул, способный полностью остано-
вить колебания. Доказательством существования черных дыр, связанным
с непрерывностью, служит тот факт, что, если непрерывно увеличивать
стимул, переход от типа 1 в тип 0 подстройки фазы произойдет в опре-
деленной точке, и тогда черная дыра существует в переходных значениях
стимула и фазы.
Теперь рассмотрим некоторые экспериментальные доказательства су-
ществования черных дыр и аннигиляции в реальных осцилляторах.
9.4. Черные дыры в реальных биологических
осцилляторах
На данный момент существует несколько подробно описанных случа-
ев подстройки фазы типа 0 и аннигиляции колебаний под действием пра-
вильного стимула, приложенного в правильную фазу, — как и было пред-
сказано выше. Помимо случаев, описанных в этом разделе, существуют,
например, кривая фазового ответа типа 0, измеренная для Hydra attenuata
(Taddei-Ferretti and Cordelia 1976); работа Пинскера (Pinsker 1977), посвя-
щенная залповым нейронам Aplysia, возбуждаемым синаптическим сиг-
налом, — вновь случай типа 0; работа Гуттмана и др. (Guttman et al.
1980), демонстрирующая аннигиляцию в колебательной системе — мем-
бране аксона кальмара. Прежде чем подробно рассматривать эксперимен-
тальный случай, мы дадим прямое доказательство существования черных
дыр в модели Ходжкина-Хаксли (см. раздел 7.5), описывающей колебания
в фиксированной пространственно однородной мембране гигантского аксо-
на кальмара.
Модель Ходжкина-Хаксли (Hodgkin and Huxley 1952) фиксированной
пространственно однородной передачи нервного сигнала гигантским аксо-
ном кальмара, описываемая системой уравнений (7.37) и (7.38), демон-
стрирует автоколебания. В разделе 7.5 мы показали, что модель ФитцХью-
Нагумо, упрощенная версия модели Ходжкина-Хаксли, обладает периоди-
ческим поведением по типу предельного цикла. Бест (Best 1979) численно
рассмотрел полную модель Ходжкина-Хаксли (7.37) и (7.38) при приложе-
нии силы тока в пределах, при которых наблюдаются автоколебания. Затем
он воспроизвел свои результаты в эксперименте, он возмущал осциллятор,
в качестве стимулов используя перепады напряжения. Он обнаружил, как
и ожидалось, кривые подстройки фазы типа 1 и типа 0; примеры кривых
представлены на рисунке 9.8.
На существование черной дыры, или нуль-пространства, в модельных
экспериментах Беста указывало наличие перехода от кривой подстройки
414
Глава 9
Рис. 9.8. (а) Кривая подстройки фазы типа 1, полученная в модели Ходжкина-Хакс-
ли (Hodgkin and Huxley 1952), при действии на эндогенный осциллятор возмущаю-
щего напряжения величиной 2 мВ. (Ь) Кривая подстройки фазы типа 0 при действии
возмущающего напряжения величиной 60 мВ; средний градиент в данном случае
равен нулю. (Из Best 1979)
фазы типа 1 к кривой типа 0 при увеличении стимула (напряжения). Об
этом говорит рисунок 9.8, на котором изображения (а) и (Ь) топологиче-
ски различны и, таким образом, разделены некоторым бифуркационным
состоянием. Из-за приближений, свойственных любым численным экспе-
риментам, невозможно найти единственную сингулярную точку, как это
было сделано на рисунке 9.7. Вместо этого существует область вокруг син-
гулярности (черная дыра или нуль-пространство), где, после приложения
подходящего стимула в подходящих пределах старой фазы, новая фаза бу-
дет неопределенной. На рисунке 9.9 показаны полученные Бестом резуль-
таты. Везде за пределами заштрихованных областей существует единствен-
ная новая фаза ф, соответствующая заданным старой фазе в и стимулу I;
заметим, однако, что существует подпространство (I, 0), где двум фазам 0
и стимулу I будет соответствовать одна и та же фаза ф. Следует также от-
метить, что новая фаза проходит полный цикл вокруг черной дыры 1 по
часовой стрелке, вокруг черной дыры 2 — против часовой стрелки, как по-
казано на рисунке. Главное свойство графиков стимула-старой фазы (типа
рисунка 9.9) состоит в том, что все контурные линии сходятся к черным
дырам, одна из которых соответствует положительному стимулу, другая —
отрицательному.
9.4. Черные дыры в реальных биологических осцилляторах 415
Время действия стимула, t
(Старая фаза, G)
Рис. 9.9. Черные дыры или нуль-пространство (из Winfree 1982), найденные Бестом
(Best 1979) в модели Ходжкина-Хаксли (уравнения (7.37) и (7.38)) для повторя-
ющейся генерации сигнала фиксированным пространственно однородным гигант-
ским аксоном кальмара. Напряжение (стимул) и фаза, дающие точку в заштрихо-
ванной области черных дыр, приводят к непредсказуемому сдвигу фазы. Полный
цикл по любой из пунктирных линий дает полный набор значений фаз
Другим важным свойством черных дыр является то, что, если эндоген-
ный осциллятор подвергнуть критическому стимулу в подходящую фазу,
колебания просто исчезнут. Бест продемонстрировал этот эффект в модели
Ходжкина-Хаксли; результат показан на рисунке 9.10. Обратите внимание
на аннигиляцию эндогенных колебаний. Гуттман и др. (Guttman et al. 1980)
экспериментально показали, что периодическое «выстреливание» в фик-
сированных пространственно однородных аксонах, погруженных в слабый
раствор кальция, может быть остановлено стимулом правильной величины,
приложенным в определенный момент цикла.
Халиф и Анцелевич (Jalife and Antzelevitch 1979) провели похожие экс-
перименты на сердечных пейсмейкерных клетках, находившихся в режиме
регулярных периодических биений, что, конечно же, напрямую относится
к сердечному водителю ритма. Они использовали сердечную ткань собак,
кошек и телят и давали электрический стимул на фоне базовых колебаний.
Из экспериментов они получили кривые подстройки фазы типа 1 и типа 0;
на рисунке 9.11 показаны некоторые их результаты.
Глядя на рисунок 9.11, естественно предположить наличие переходно-
го значения или значений продолжительности стимула, разрушающих коле-
416
Глава 9
Рис. 9.10. Колебания разности потенциалов в модельной системе Ходжкина-Хакс-
ли (7.37) и (7.38) и ответ при приложении критического стимула (здесь, 5 мВ)
в фазу, соответствующую 0.45 от полного цикла, нормированного на 1. (Из Best
1979.) Такую же разность потенциалов использовали на рисунках 9.8 и 9.9
Рис. 9.11. Нормированные кривые подстройки фазы в тех же обозначениях, что
и выше, полученные Халифом и Анцелевичем (Jalife and Antzelevitch 1979) пу-
тем краткого приложения напряжения к периодически генерирующим сигнал пей-
смейкерным клеткам, (а) Подстройка типа 1, полученная при достаточно маленькой
продолжительности стимула —10 мс. (Ь) Подстройка типа 0 при продолжительно-
сти стимула 50 мс. (Фотографии принадлежат X. Халифу и воспроизведены с его
разрешения)
бания, а именно, нуль-пространства или черной дыры эндогенного сердеч-
ного осциллятора. Такие значения были найдены, как показано на рисун-
ке 9.12(a). Рисунок 9.12(b) показывает кривую подстройки фазы стимулом,
9.5. Мотивация и модельная система
417
близким к переходному значению и промежуточным по отношению к зна-
чениям, показанным на рисунках 9.11(a) и (Ь). На рисунке 9.12(c) показано
разрушение стимулом регулярных колебаний в сердечных волокнах собаки.
А. Т. Уинфри несколько лет изучал возможные причины внезапной
остановки сердца и их связи с топологией колебаний пейсмейкеров, как
временной, так и пространственной. Несмотря на то, что сокращение серд-
ца зависит от водителя ритма, отклонения от нормы чаще происходят из-за
появления циркулирующих волн при сокращении сердца, чем из-за пре-
рывания механизма «выстреливания». В случае фибрилляции, когда арит-
мии заставляют сердце выглядеть как горсть извивающихся червей, пол-
ное понимание механизма появления сингулярных точек или черных дыр
могло бы помочь пролить свет на данную проблему. Уифри в статье для
«Scientific American» (Winfree 1983b) специально останавливается на топо-
логии внезапной сердечной недостаточности. В главе 1 тома II мы обсудим
спиральные вращающиеся волны, оказывающие прямое влияние на про-
цессы такого рода. Математические проблемы, связанные с сопряженны-
ми и пространственно распределенными осцилляторами, подвергающими-
ся пространственно гетерогенному стимулу, очевидно, сложны и интересны
и важны с биологической точки зрения.
9.5. Сопряженные осцилляторы: мотивация и модельная
система
Проявление биологических осцилляторов и периодических процессов
в экологии, эпидемиологии, биологии развития и так далее — общепри-
знанный факт. Во многих случаях для достижения необходимого результа-
та неизбежно сопряжение осцилляторов тем или иным способом. Мы уже
видели, насколько важно понимать влияние возмущения на осцилляторы.
Здесь же мы рассмотрим влияние сопряжения осцилляторов и опишем одну
из ключевых аналитических методик, использующуюся для изучения тако-
го рода проблем. Сопряженные осцилляторы с предельным циклом широко
изучались с математической точки зрения, и аналитические задачи, связан-
ные с ними, далеко не тривиальны. Неудивительно, что явления, которые
возникают в данном случае, гораздо разнообразнее, чем для любого оди-
ночного осциллятора (см., например, Winfree 2000). Эту тему все больше
изучают не только в биологии, но и в общем разделе нелинейной динамики.
Многие из наблюдаемых в эксперименте процессов до сих пор не получи-
ли объяснения. Далее в этой главе мы, в основном, займемся процессами
синхронизации и их нарушениями. К этим процессам относятся синхрони-
зация частоты, координация частот и так далее, и все они являются резуль-
418
Глава 9
Рис. 9.12. Экспериментальные результаты, полученные Халифом и Анцелевичем
(Jalife and Antzelevitch 1979). (а) Микроэлектродные измерения трансмембранного
потенциала колеблющейся сердечной ткани котенка, полученные при деполяризи-
рующей разности потенциалов длительностью 50 мс, прикладываемой на все более
поздних стадиях цикла. Когда время приложения стимула достигает 130 мс после
начала цикла (трек 3), колебания полностью подавляются. (Ь) Кривая подстрой-
ки фазы для промежуточного стимула длительностью 30 мс, то есть между значе-
ниями, представленными на рисунках 9.11(a) и (Ь): в этом случае периодическая
активность пейсмейкера разрушается так же, как в третьем случае на (а), (с) Анни-
гиляция стимулом колебаний сердечной ткани собаки. Показано влияние небольшо-
го дополнительного стимула продолжительностью 200 мс, прикладываемого на все
более поздних стадиях цикла (1, 2, 3, 4). На треке 1 следующий импульс слегка за-
держивается, тогда как на треке 4 он посылается раньше. (Фотографии принадлежат
X. Халифу и воспроизведены с его разрешения)
9.5. Мотивация и модельная система
419
татом согласованного сопряжения автоколебательных осцилляторов. Здесь
мы ограничимся сопряжением двух осцилляторов и рассмотрим лишь сла-
бые взаимодействия; в основном мы будем следовать анализу Неу (Neu
1979). В главе 12 мы рассмотрим важное явление, связанное с цепочкой
сопряженных осцилляторов, в модели расположения нейронов у некоторых
видов водных позвоночных.
Прежде чем рассматривать математическую проблему, следует кратко
описать эксперимент, послуживший стимулом для создания изучаемой на-
ми модельной системы. Марек и Штакль (Marek and Stuchl 1975) изучали
результаты сопряжения двух систем реакции Белоусова-Жаботинского, раз-
личавшихся значением параметров и, следовательно, демонстрировавших
разные периодические колебания. Реакционные смеси находились в раз-
ных перемешиваемых корпусных реакторах; сопряжение осуществлялось
посредством передачи вещества через обычную перфорированную стенку.
Марек и Штакль выяснили, что если частоты автономных осцилляторов по-
чти одинаковы, то с течением времени разница фаз стремится к постоянной
величине. Это явление известно как синхронизация (или захват) фаз. Одна-
ко если разница автономных частот слишком велика, то синхронизация фаз
не сохраняется, и вместо этого в системе наблюдаются длинные интервалы
медленного изменения разницы фаз, разделенные быстрыми флуктуациями
на очень коротких интервалах. Приведенный ниже анализ объясняет это
явление.
Для нашего анализа сопряженных осцилляторов не обязательно хоро-
шо знать специфическую модельную систему Марека и Штакля. Однако
ввиду описанных выше экспериментов следует держать в уме реакцию Бе-
лоусова. Предположим, что автоколебания идентичны, и каждые сами по
себе описываются уравнениями:
dx-i dvi
— = F(xi,yi), — =G(xi,yi), г = 1,2, (9.14)
at at
где нелинейные функции F и G описывают динамику осциллятора. (Эти-
ми функциями могли бы быть функции в правой части уравнения (8.27);
одна из двухкомпонентных моделей реакции Белоусова, описанных в раз-
делах 8.4 и 8.5; или согласованные динамики в модели хищник-жертва,
например, (3.18) в разделе 3.3). Предположим, что решения (9.14) дают
остойчивый предельный цикл с периодом, определяемым следующим вы-
ражением:
хг = X(t + ^i), yi = Y(t^-'ipi), i = 1,2, (9.15)
420
Глава 9
где 'фг — произвольные константы. Таким образом, получаем
X(t + фг + Г) = X(t + ^), + Т) = Y(t + М г = 1,2.
Для того, чтобы правильно (как мы увидим далее), но в общем ви-
де описать слабое сопряжение, рассмотрим следующую безразмерную мо-
дельную систему:
= F(xi,yi) + е{к(х2 -хг) + Xf(x1,y1)},
at
+ e{i(y2 -yi) + Ag(Ti.yi)},
— = F(x2, У2) + ек(х2 - a?i),
at
^7 = G(x2,y2) +ек(у2 -У1),
at
где 0<£<1и/с>0 - константа сопряжения. Когда е — 0, осцилляторы
не сопряжены, и эти уравнения упрощаются до (9.14). Общий вид (9.16)
следует из выражений для членов при Л. Если е 0 и Л = 0, то осциллято-
ры идентичны, их решения не сопряжены и имеют вид (9.15). Если е =4 0
и А 0, то сопряжены два разных осциллятора, и sA-члены в первых
двух уравнениях (9.16) просто описывают изолированный автоколебатель-
ный осциллятор. Выбранное нами специфическое сопряжение, описывае-
мое членами при fc, пропорционально разностям xi — Х2 и у\ — уъ- В случае
экспериментов Марека и Штакля, это отражает обмен вещества в системе.
В случае взаимодействующих популяций такое приближение можно рас-
сматривать как массовое перемещение видов, аналог приближения диффу-
зионных потоков. В самом деле, рассматривая взаимное влияние популяций
в соседних компартментах, поступают именно таким образом. Это позво-
ляет учесть пространственные эффекты без диффузионных членов в явном
виде, что, конечно, привело бы к дифференциальным уравнениям в част-
ных производных; мы рассмотрим эту проблему позже.
9.6. Фазовая синхронизация в осцилляторах:
синхронизация у светлячков
Сопряжение биологических осцилляторов может привести к удиви-
тельно разнообразным феноменам, таким как расщепление ритма, синхро-
низация фаз и «захват» ритма и тому подобное. Математика сопряженных
9.6. Синхронизация у светлячков
421
осцилляторов интересна и может быть очень сложной и запутанной. По
этой теме существует огромное количество литературы, от самой общей
до самой прикладной, посвященной, например, синхронизации во время
бега и человеческим циклам сна и бодрствования (Strogatz 1986). В пре-
красной (как с научной, так и с эстетической точек зрения) книге Уинфри
(1987) о биологических часах с использованием разных подходов рассмат-
риваются биологические часы с упором на циркадные ритмы и подстройку
фазы; смотри также книгу «When Time Breaks Down» (Winfree 1987), посвя-
щенную, в основном, сердечным ритмам. В доступной широкому читателю
книге Гласса и Мэки (Glass and Mackey 1988) приводится много примеров
ритмических явлений, связанных с биологическими часами; приложения,
в основном, связаны с физиологией. В научно-популярной статье Штрогаца
и Стюарта (Strogatz and Stewart 1993) в «Scientific American» описано много
интересных сихронизационных феноменов и приведена удивительная фо-
тография светлячков, вспыхивающих одновременно; именно эту тему мы
рассмотрим ниже.
Интересный природный пример, в котором математика и биология
близко связаны, был изучен Глассом и его коллегами (Guevara et al. 1981;
Guevara and Glass 1982; Keener and Glass 1984). Их модель была близка той,
которую мы рассмотрим ниже, но приводила к нелинейному дифференци-
альному уравнению вроде рассмотренных нами в главе 2. Они обозначили
фазу, существовавшую перед тем как системе дали стимул в виде дельта-
функции через фг', то есть фг — старая фаза. Следовательно, новая фаза,
обозначенная как ф^ в дискретной модели, выражается следующим обра-
зом:
фг+1 = д(фг) + 27TT(mod 2тг),
где д является функцией от фг (в скором времени эта функция была по-
лучена в эксперименте на специфической системе), ат — нормированная
на длину цикла продолжительность стимула. Устойчивые стационарные со-
стояния этого уравнения относятся к синхронизации фаз; предварительный
анализ совпадает с приведенным в главе 2. Гевера и Гласс использовали это
уравнение для изучения захвата ритма в базовом уравнении (9.4), подверг-
нутом периодическому стимулу типа дельта-функции. Для некоторой об-
ласти значений параметров они обнаружили хаотическое поведение. Даже
такое простое уравнение может привести к большому количеству сложных
и неожиданных решений. Особенно интересно то, что после этого анализа,
Гевера и др. (Guevara et al. 1981) экспериментально измерили кривые под-
стройки фазы в спонтанно сокращающихся эмбриональных клетках серд-
ца. Они оказались способны предсказать полученные ритмы, включая рит-
422
Глава 9
мы синхронизации фаз и хаотические, для широкого интервала амплитуд
и частот. Это прекрасный пример того, как математическое моделирование
и анализ помогли углубить наше понимание важных и сложных биологиче-
ских явлений.
Модельным проблемам в биомедицине, связанным с сопряженными
осцилляторами, не видно конца. Здесь мы лишь прикоснемся к предмету.
Ниже мы более подробно рассмотрим широко известный биологический
пример. В разделах 9.7-9.9 мы проанализируем слабое сопряжение двух
осцилляторов с использованием методов сингулярного возмущения. Другой
пример, затрагивающий много осцилляторов, представлен в главе 12.
Впечатляющим и хорошо изученным визуальным примером сопряжен-
ных биологических осцилляторов является фазовая синхронизация пери-
одического свечения больших групп неподвижных светлячков (Pteroptyx
malaccae). Самцы светятся, чтобы привлечь самок, летающих вокруг в по-
исках самца с особенно привлекательной вспышкой. Для количественного
описания способности одиночного светлячка (и других насекомых) изме-
нять периодичность световых вспышек было проведено множество экспе-
риментов. Статья Бака и Бак (Buck and Buck 1976) в «Scientific American»
представляет собой хорошее введение в синхронизацию светлячков. Бак
(Buck 1988) сделал обзор биологической литературы, посвященной син-
хронизации ритмических вспышек светлячков. В ранней работе Хэнсона
(Hanson 1978) показано, что одиночные светлячки способны менять фа-
зу своего светоизлучающего осциллятора, контролируемого эндогенным
нервным пейсмейкером. Также они могут синхронизировать (или захва-
тывать) свой ритм со вспышками света, если их период несильно отли-
чается от естественного периода вспышек светлячка, составляющего при-
мерно 0,9 секунды. Если период искусственных вспышек света далек от
естественного периода, синхронизация невозможна. Некоторые светлячки
синхронизируются лучше, чем другие; Pteroptyx malaccae, судя по всему,
лучше всех, так как способен менять свой период почти на 15 %. Существу-
ет несколько математических моделей синхронизации светлячков (Rinzel
and Ermentrout 1983; Ermentrout 1991; Mirollo and Strogartz 1990 и другие);
здесь мы рассмотрим только простую, но эффективную модель Ринцеля
и Эрментраута (Rinzel and Ermentrout 1983).
Как и в разделе 9.1, обозначим фазу осциллятора светлячка в момент
времени t как 9(t), и пусть естественная частота будет То есть в отсут-
ствие внешнего стимула фаза удовлетворяет уравнению:
de
— = CJ.
dt
(9-17)
9.6. Синхронизация у светлячков
423
А точнее, мы предполагаем, что осциллятор «выстреливает», а свет вспы-
хивает при 0 = 0. Обозначим внешнюю фазу как 0е(£), частоту как ие.
9е удовлетворяет следующему условию:
с?0е
dt
(9.18)
Светлячок пытается синхронизировать свою фазу с фазой внешнего стиму-
ла: ускоряется, если его фаза слишком медленная, или замедляется, если
слишком быстрая. Это явление можно описать простой моделью
de
— = w + I sin(0e — 0), (9.19)
dt
где параметр I > 0. Величина стимула, 7, является мерой того, насколько
эффективно светлячок меняет свою частоту. Если 0е опережает 0(0 < —
— w < тг), то 0 > и и светлячок старается увеличить свою фазу. Ес-
ли 0 < и, светлячок пытается замедлиться. Форма, в которой записано
уравнение (9.19), является особым случаем подстройки фазы, а именно,
уравнения (9.5). Сходное допущение, основанное на функции 0 — 0е(£), но
в более сложном случае, используется ниже в главе 12, разделе 12.3.
Так как нам интересно определить, когда будет проявляться синхро-
низация, будет информативно (как будет показано ниже и особенно в раз-
деле 12.3) рассматривать разность фаз ф, то есть ф = 0 — 0е. Из уравне-
ний (9.18) и (9.19) получаем
= ~ =Ше ~ = 0e(t) - 0(t). (9.20)
dt dt dt
Если мы введем новые следующие переменные:
т = It, 6= (9.21)
уравнение для ф примет следующий вид:
ф' = ~г = $ — sin<p. (9.22)
dr
Безразмерный параметр 5 имеет точную физическую интерпретацию: это
мера различия между внешней и естественной частотами, отнесенная к си-
ле стимула I. Как было показано в разделах 9.2 и 9.3, значение I является
критическим.
424
Глава 9
Нас интересуют стационарные состояния (9.22) и их устойчивость.
Если существует устойчивое стационарное состояние, скажем, фз > 0, это
означает, из (9.20), что фаза внешнего стимула 0е всегда превышает фазу
светлячка в на постоянную величину. Таким образом, осциллятор светляч-
ка синхронизирован по фазе со стимулом, но вспыхивает после него. Ес-
ли 6 = 0, ф = 0 является решением уравнения (9.22) и в данном случае,
если ф = 0 устойчиво, осцилляторы вспыхивают с нулевой разностью фаз,
то есть одновременно. Явление синхронизации зависит от стационарных
состояний (9.22) и их устойчивости.
В главе 1 было показано, что в сущности все, что нам нужно, это по-
строить правую часть уравнения (9.22), определить стационарные состоя-
ния и установить, положительна производная или отрицательна. На рисун-
ке 9.13 показаны основные возможные решения при £ > 0.
Устойчивость стационарного состояния определяется знаком произ-
водной в стационарном состоянии — устойчиво, если она отрицательна,
и неустойчиво, если производная положительна. В этой модели существует
только одно стационарное состояние, когда фазы светлячка и стимула син-
хронизированы; это осуществляется при — 1 < 6 < 1. Случай — 1 < £ < 0
аналогичен представленному на рисунке 9.13, но с 5 <0.
На рисунке 9.13(b) стационарным состоянием является 0 < ф\ < тг,
следовательно, светлячок должен увеличить свою частоту, чтобы синхро-
низировать фазу. Если 6 > 6с = 1, как на рисунке 9.13(c), светлячок просто
отстает, и фазовая разность ф увеличивается до тех пор, пока цикл не нач-
нется заново, а ф достигнет значения 2%. Последний случай — это сдвиг
фазы. Так как на рисунке 9.13(c) ф' > 0 и непостоянна, сдвиг фазы дол-
жен увеличиваться немонотонно. Этот вывод подтверждается результатами
эксперимента (Hanson 1978).
На основе данной модели можно сделать несколько предсказаний,
немонотонный характер изменения сдвига фазы при 6 > 1 — не един-
ственное. Основным предсказанием является то, что синхронизация фаз
возможна, если внешняя частота удовлетворяет условию:
+ (9.23)
Это условие дает область значений частоты стимула для синхронизации.
Здесь также важна интенсивность стимула I. Если мы знаем из экспери-
мента пределы частоты стимула, мы можем рассчитать I и предсказать раз-
ность фаз после синхронизации, используя уравнения (9.20) и (9.22):
фз = 0е - 0S = sin 1
7Г 7Г
- < Фз < -
(9.24)
1
9.6. Синхронизация у светлячков
425
Рис. 9.13. Стационарные состояния уравнения для разности фаз (9.22) при раз-
личных <5. Если <5 < <5С(= 1), существуют два решения, когда как при <5 > <5С
стационарных состояний нет
При — 1 5 1 размерный период Т синхронизированного по фазе ос-
циллятора светлячка может быть получен из (9.22) как время, за которое ф
меняется на 2тг; а именно,
1 f d i f2v _ЛФ_ _ £ ЛФ
I J Т I Jo йф/Лт 1 Jo <5 - sinф'
что дает следующий период после синхронизации:
j. 2тг 2тг
” /(<52 - I)1/2 “ [(We-W)2-/2]1/2'
(9.25)
426
Глава 9
При 8 —> ±1, период становится бесконечно большим; другими слова-
ми, синхронизация отсутствует, как и показано на рисунке 9.13(c). Теперь
мы видим, как светлячки способны синхронизировать свои периодические
вспышки света: если один светлячок, например, с большим /, подгоняет
другого, групповой стимул с единственной частотой растет до тех пор, по-
ка все светлячки не синхронизировались. Больший I требует меньшей 8 и
следовательно меньшей разности частот между «водителем ритма» и теми
особями, чьи частоты близки к его частоте. Теперь если вся группа светит
с одинаковой частотой, самке должно быть сложно заметить лидера!
Светлячки Pteroptyx malaccae не единственный вид светлячков, но они,
судя по всему, легче всех захватывают фазу с внешнего стимула. После то-
го, как мы увидели, как простая модель может описать экспериментальные
результаты, стоит рассмотреть модели, лучше описывающие реальные био-
логические явления. Предположение, что адаптация определяется синусо-
идальной функцией, как в выражении (9.19), слишком простое. В главе 12
мы вновь используем такое приближение в случае с N осцилляторами. Бо-
лее подходящим уравнением влияния вместо (9.19) будет следующее:
(9.26)
где Н(ф) — периодическая функция своего аргумента, но не обязательно
симметричная. Более сложная модель, описывающая большее число адап-
тивных способностей светлячков Pteroptyx malaccae и использующая более
общую функцию влияния, чем в последнем уравнении, была разработана
Эрментраутом (Ermentrout 1991). Он также численно моделирует процесс
синхронизацции группы светлячков, сидящих на одном дереве. Приведен-
ная выше модель демонстрирует синхронизацию, но, кроме случая 8 = О,
с постоянной фазовой задержкой. Это недостаток по сравнению с моделью
для дерева светлячков, где синхронизация происходит практически без фа-
зовой задержки. Этот аспект, как и возможный механизм его преодоления,
также рассматривается Эрментраутом (Ermentrout 1991).
9.7. Анализ сингулярно возмущенных систем:
предварительное преобразование
Уравнения (9.16) сложно анализировать в общем виде. Даже в числен-
ном эксперименте, особенно в случае неидентичных автономных осцил-
ляторов, нелегко понять, как решение зависит от различных параметров.
deb
— = ш + Л(</>),
at
9.7. Анализ сингулярно возмущенных систем
427
Во многих интересных случаях сопряжение слабое, и можно предположить,
что так будет и в реальных биологических системах, следовательно, стоит
использовать тот факт, что 0 < е 4С 1, и воспользоваться теорией сингу-
лярных возмущений (смотри, например, Murrey 1984, где кратко описана
проблема и базовые техники).
Каждый осциллятор имеет свое собственное автоколебательное реше-
ние, которое можно представить на фазовой плоскости (х 4- у) как замкну-
тую траекторию 7. Можно ввести новую систему координат, используя эту
кривую в качестве основы для локальной системы координат. Можно оха-
рактеризовать периодический предельный цикл фазой в, меняющейся от О
до Т при прохождении 7 полного круга. Любое отклонение от траектории
можно описать перпендикулярным расстоянием А, откладываемым от 7;
на 7 А = 0. Такой способ охарактеризовать систему оказывается алгебраи-
чески наиболее удобным для нашего анализа сопряженных осцилляторов.
Таким образом, вместо (9.15) мы получаем следующие автоколебательные
решения:
Xi=X(0i), yi=Y(0i), г = 1,2, (9.27)
где X(0i) и Y(0i) — функции от 0$ с периодом Т. Заметим, что 0$ и t
связаны между собой выражением ddi/dt = 1.
Способ описания автоколебательного решения системы на фазовой
плоскости в терминах фазы и возмущения, перпендикулярного к предельно-
му циклу, может быть проиллюстрирован следующим, хоть и надуманным,
но наглядным примером.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
= a:i(l-r)-wyi, ^-= 2/1(1-г)-олг!, г = (re2 + j/2)1/2, (9.28)
at at
где и — положительная константа. Анализ методом фазовой плоскости (см.
Приложение А) показывает, что единственной особой точкой является точ-
ка (0,0); это особая точка типа «фокус» с закручиванием против часовой
стрелки. Можно найти замкнутую поверхность, удовлетворяющую усло-
вию (8.19) (если г велико, вектор траекторий (dx\/dt, dy^/dt} будет направ-
лен внутрь получившейся большой окружности), так что по теореме Пуан-
каре-Бендиксона существуют автоколебательные решения, которые можно
представить как замкнутую кривую 7 на плоскости (xi, yi). Теперь введем
полярные координаты:
xi=rcos0, yi = г sin 0.
(9.29)
428
Глава 9
В результате, система (9.28) примет следующий вид:
dr dO
л=г(1-г)' di = u-
(9.30)
Видно, что предельный цикл (траектория 7) представлен кривой г = 1.
Это решение изображено на рисунке 9.14(a). Предельный цикл асимптоти-
чески устойчив. Это следует из (9.30): так как dO/dt > 0, любое возму-
щение, ведущее к отклонению от г = 1, затухнет благодаря тому, что г
просто вернется против часовой стрелки обратно на г = 1. В рассматрива-
емом примере, если отклонение от предельного цикла происходит в сторо-
ну г < 1, то, из (9.30), г возрастает, если в сторону г > 1, г уменьшается,
стремясь достигнуть траектории г = 1. В этом случае кривая г = 1 яв-
ляется аналогом траектории 7, и А, перпендикулярное расстояние от нее,
равно просто г — 1. Система дифференциальных уравнений в обозначени-
ях А(=г — 1) и 0, из (9.30), будет выглядеть следующим образом:
^ = -Л(1 + А),
de
— = W.
dt
(9.31)
Рис. 9.14. (а) Изображение решения системы дифференциальных уравнений (9.30)
на фазовой плоскости. Решением является асимптотически устойчивый предельный
цикл г = 1 с фазой е = wt при допущении, что в = 0 при t = 0. (b) Схематический
пример, демонстрирующий локальные координаты предельного цикла. В точке Р
фаза в = 0, и фаза возрастает на 2тг при возвращении в Р после полного прохож-
дения 7
Конечно, можно точно проинтегрировать (9.30) и получить следующие
выражения:
Гпв*
r(t) = 77---ТТ—Г W = ut + (9-32)
(1 - Го) + гое1
9.7. Анализ сингулярно возмущенных систем
429
где г(0) = го, 0(0) = 0q. Из (9.29) получаем
a?i(£) = r(t)cos0(t), т/i (t) = r(t) sin0(£). (9.33)
Если £ —> оо, to r(t) 1 (то есть A(t) -+ 0) и X\ cos0, y\ sin0.
Такие и yx являются аналогами X(0) и У(0) из (9.27): они тоже явля-
ются функциями от 0 с периодом 2тг. Из (9.31) скорость движения по 7 (то
есть по г = 1) равна dO/dt = uj. На рисунке 9.14(b) схематично показана
ситуация в общем: 0 = 0 в некоторой точке Р, и фаза возрастает на 2тг при
каждом полном прохождении траектории 7 против часовой стрелки.
Если мы теперь рассмотрим наши два осциллятора, каждый со своим
замкнутым предельным циклом 7*, г = 1,2, результатом сопряжения ста-
нет изменение траектории и фазы каждого. Можно охарактеризовать это
влияние в локальной системе координат фазой 0г, параметризующей точки
на 7j, и возмущением А^ перпендикулярным к первоначальной траектории
предельного цикла. Вспомним, что для сопряженной системы осциллято-
ров (9.16) нас интересует случай слабого сопряжения, то есть 0 < s 1.
При е = 0 каждый осциллятор имеет свое автоколебательное решение, ко-
торое можно записать в терминах фазы так же, как в (9.27). Получаем
следующие выражения:
Xi=X(0), Уг=У&\ г = 1,2, (9.34)
d6i
Oi=t + ^i => -^ = 1. (9.35)
dt
Следует ожидать, что влияние сопряжения порядка 0(e) приведет к замене
траекторий 7^ описываемых (9.27), на 0(e). Таким образом, видно, что сто-
ит заменить переменные (a?i, 2/1) при i = 1, 2 на локальные переменные Ai
и новую фазу 0г при i = 1, 2, где Ai — перпендикулярное к траектории 7*
расстояние.
Чтобы объяснить специфическое преобразование переменных, обра-
тимся к рисунку 9.15. В отсутствие сопряжения движение по траектории 7
происходит со скоростью (dx/dt, dy/dt), вектор скорости параллелен 7.
В терминах фазы 0, которая немонотонно возрастает при прохождении
траектории, скорость из выражений (9.34) и (9.35) равна (Х'(0), Y'(0)),
где штрихи обозначают дифференцирование по 0. Из-за сопряжения век-
тор скорости отклоняется, и траектория 7 смещается. В каждой точке
это смещение может быть описано перпендикулярным расстоянием, на
которое сдвигается траектория; на рисунке 9.15 оно обозначено как век-
тор А. Так как А представляет собой векторное произведение скоро-
430
Глава 9
сти (Х'(0), У'(0), 0) и единичного векторного перпендикуляра к плоско-
сти (я, ?/), то есть (0,0,1), получаем
А = А(Х'(0), Г(0), 0) х (0,0,1) = (АУ'(0), - АХ'(0), 0). (9.36)
Рис. 9.15. Схематическое изображение влияния сопряжения на траекторию предель-
ного цикла 7. Перпендикулярное отклонение А вектора скорости задается соот-
ветствующим векторным произведением, а именно, А(Х',У',0) х (0,0,1), рав-
ным А(У',-Х',0)
Теперь рассмотрим систему (9.16) с учетом того, что 0 < е 1,
и предположения, что автономные траектории испытывают возмущен-
ные О(е). Соответствующая замена переменных на (Ai,0J с уче-
том (9.34) и (9.35) дает следующие выражения:
хг = X(0i) + zAiY'tOi'), Vi = Y(0i) - eAiX'tfi), i = 1,2. (9.37)
Мы использовали обозначение в А вместо А, чтобы отметить тот факт, что
так как е мало, мало и возмущение.
9.8. Анализ сингулярно возмущенных систем:
преобразованная система
Теперь используем замену переменных (9.37) в сопряженной систе-
ме (9.16) при 0 < £ 1. То есть подставим (9.37) в правые части и раз-
ложим в ряд Тейлора по в: вычисления сложны и достаточно утомительны,
но компактный, интересный и важный конечный результат того стоит. Этот
результат мы используем не только в этой главе, но и в приложении к двум
эффектным феноменам, описанным в главах 12 и 13. Здесь представле-
но достаточно вычислений, чтобы показать, как получить уравнения (9.16)
9.8. Анализ сингулярно возмущенных систем
431
в терминах переменных и Д, но тем, кто хочет следить за деталями,
рекомендуем взять ручку и бумагу. (Те читатели, которые хотят пропустить
вычисления, могут сразу перейти к уравнениям (9.45), хотя позже будут
встречаться отсылки на некоторые определения, данные здесь.)
В вычислениях, представленных ниже, аргументом переменных функ-
ций, в основном, X и У, является 0г, кроме специально отмеченных случа-
ев. Первое уравнение (9.16) с использованием (9.37) дает
= Х'^ + еУ'^ + еАгУ"^- =
dt dt dt dt
= F(X, Y) + еЛ1[У'Гх(Х, У) - X'FY(X, У)] + ek{X(02) - X(^)] +
+ £A/(X, У) + £2fc[A2y'(^2) - 4^(01)] +
+ г2АЛ1[У'/х(*,У) — X'fY(X,Y)\ + O(e3),
(9.38)
тогда как второе уравнение приобретает следующий вид:
djn = y,d£i _ eX,dAi _ £AiXlldh =
dt dt dt dt
= G(X, У) + Mi [Y'GX (X, У) - X'Gy (X, У)] + sk[У (02) - Y^)] +
+ eXg(X, У) + е2к[АгX'(fr) - A2X'(02)] +
+ e2XA1[Y'gx(X,Y) - X'gY(X,Y)] + O(£3).
(9.39)
При e = 0 из (9.14) и (9.34) получаем
X'((9i) = F(X, У), У'(01) = G(X, У). (9.40)
Теперь умножим (9.38) на Х'(0) и прибавим Y'(0), умноженное на (9.39).
В результате получим следующее выражение:
(X'2 + Y'2)^-+ eAi(X'Y" - Y'X")^- =
= [X'F(X,Y) + У'С(Х,У)] +Mi {X'Y'[Fx(X,Y) — Gy(X,Y)] -
432
Глава 9
—X'2Fy(X,Y) + Y'2Gx(X,Y)} + sk{X'[X(02) -X(0i)] +
+У'[У(02) - m)]} + e2kA2 [Y'(02)X'(0i) -
-Х'(02)У'(01)] + sX[X'f(X,Y) +Y'g(X,Y)]+
+e2XA1 {X'Y'[fx(X,Y) - /у(Х,У)] - X’2fY(X,Y) +
+Yl2gx(X,Y)} + 0(e3).
Из (9.40) следует, что X'F(X, У) = X'2 и Y'G(X, У) = У'2. Соответствен-
но, последнее выражение приобретает следующий вид:
Я2(1 + £ГА1№- = R2 + е[В2ПА1 + R2kr + R2kV + R2yX] + О(е3),
at
где R2 = Х'2 + У'2 0 и для которого выполняется следующее:
R2r = X'Y" - Y'X",
Я27 = X'f(X, У) + Y'g(X, Y), R2r = -XX' - УУ',
r2q=x'y'\Fx(x,y) —gy(x,y)] —x'2fy(x,y) +yi2Gx(x,y), (9‘41)
R2V = X'(0i)X(0) + У'(01)У(02).
Если теперь поделить обе стороны на Я2(1 + еГА1) и разложить правые
части в ряд по 0 < £ 1, получается следующее дифференциальное урав-
нение:
= 1 +e[{f2(0i) - Г(01)М1 + A?(0i) + 4-*V(0i, 6>2)] + О(е2).
at
(9.42)
Аналогичным образом получаем выражение для Ai, то есть умно-
жаем (9.38) на K'(0i) и вычитаем из полученного произведение X'(0i)
на (9.39). Используя d6\/dt из (9.42) и (9.40) и помня, что в 1, получа-
ем
d л
—L = Ф(01)А1 + kU(0Y 02) + Хф(Ог) + еФ(А, 0) + О(е2), (9.43)
at
где
R2U(0!, 02) = Х(02)У'(01) - У(02)Х'(01), (9.44)
и Ф, ф и -0 определены: А и в представляют собой векторы (Ai,^2)
и (01,02) соответственно. Единственными функциями, чей точный вид нам
нужен, являются U(0i,02) и V(0i, #2) из выражений (9.44) и (9.41) соот-
ветственно.
9.8. Анализ сингулярно возмущенных систем
433
Если теперь мы проделаем то же самое с третьим и четвертым уравне-
ниями (9.16), то обнаружим, что преобразование в (А$, ^-зависимые пере-
менные означает замену модели системы сопряженных осцилляторов (9.16)
на следующую систему:
НА-,
= Ф(01')А1 + Ш(01,02) + А0(01) + е!₽Ч (А, 0) + О(£2),
at
~ = 1 + e[Wi) - Г(01)}А! + A7(0j) + кг(0г) + kVtfu02)] + О(е2),
(9.45)
= Ф(02)Л2 + кЩ02,0J + е^2(А, 0) + с>(£2),
1 <9-46)
~ = 1 + г[Ж) - Г(02)М2 + fcr(02) + fcV(02,0х)] + О(е2).
at
Функции V и U из выражений (9.41) и (9.44) будут обсуждены позже.
Точный вид функций Ф, ф, Г, у, ^2, ^2 иг не является необходимым
для последующего анализа. Важно то, что все они зависят от 9\ и 02 и,
следовательно, имеют период Г, и то, что Ф удовлетворяет следующему
соотношению: ?
[ Ф(<т) d<r<0. (9.47)
Jo
Последнее соотношение вытекает из того, что первоначальные авто-
колебательные решения несопряженных осцилляторов устойчивы; сделаем
краткое отступление, чтобы показать это.
Условие устойчивости автоколебаний несопряженных осцилляторов
Осцилляторы несопряжены, когда к и А равны нулю. Мы должны со-
хранить е ф 0, так как мы собираемся исследовать возмущенный автоко-
лебательный осциллятор с использованием преобразования (9.37). В тер-
минах переменных А и 9 основная система (9.45) и (9.46) при к = Л = О
принимает следующий вид:
— =Ф(0)Д + О(£), - = 1 + О(е), (9.48)
at at
где Ф является функцией от 9 с периодом Т. На временах порядка 0(1)
второе уравнение дает 9 « t, а первое принимает следующий вид:
— = <₽(t)A + O(e).
at
434
Глава 9
Это уравнение после интегрирования в пределах от t до t + Т дает
A(t + Г)
A(t)
>t+r
= [1 + О(е)] ехР J da
= [1 + О(е)] ехр f Ф(а) da ,
(9.49)
где поменялись пределы интегрирования, так как Ф имеет период Т.
В невозмущенном предельном цикле А = 0 и в = t+'ip. Таким образом, пре-
дельный цикл устойчив, если для всех решений системы (9.48) A(t) —> О
при t —> оо. Из (9.49) видно, что если выполняется условие
Ф(а) da < О,
то A(t + Г) < A(t) для всех t и, следовательно, A(t) —> 0 при t —> оо.
9.9. Анализ сингулярно возмущенных систем: разложение
в ряд по двум временам
Члены О(е) в уравнениях (9.45) и (9.46) будут иметь значение только
через длительное время, а именно, 0(1/е). Таким образом, стоит искать
асимптотическое решение при е —> 0 для и #г в (9.45) и (9.46) в следу-
ющем виде:
Ai^°Ai + e1Ai, +
(9.50)
где все А и в являются функциями от t, быстрого времени, и т — st,
длительного или медленного времени. Другими словами, только на вре-
менах т — 0(1), равных t = О(1/е), будут проявляться е — эффекты. (См.,
например, Murrey 1984 для простого объяснения процедуры разложения
в ряд по двум временам.) Производная по полному времени будет опреде-
ляться следующим выражением:
В результате система (9.45) и (9.46) станет системой дифференциальных
уравнений в частных производных.
9.9. Анализ сингулярно возмущенных систем
435
Вычисления, представленные в этом разделе, также довольно сложны.
Конечный результат, а именно, выражение (9.69), понадобится в следую-
щем разделе 9.10, где будет получен важный результат для сопряженных
осцилляторов.
Если теперь мы подставим (9.50) и (9.51) в (9.45) и (9.46) и прирав-
няем члены при одинаковых степенях в, то получим следующую иерархию
уравнений:
0(1): ^-Ф(°01)°А1 =Ш(°01,о02) + АФ(о01),
ot
д°0! =
dt
- ф(°е2)°А2 = ku(°e2,°e1),
д°в2 = х
dt
(9.52)
0(e): = {Ф'(°01)°А1 +
+ ^(°01,О02) + Л#(°01)}4 +
+*^(4,4)4 + *1(°А, °0) -
UU2 ОТ
= [П(Ч) - /44)]% + л7(°01) + ИЧ)+
ot
+fcV(°0i,4)-^,
ОТ
^-ФУ>О2УА2 = |^(О02)ОА2 + А:^(О02,Ч)|М2+
+А^(4,Ч)Ч + ^2(°А,°0) -
д0\ от
= [12(4) - Т(°92)]°А2 + кг(°е2) + ЩХЧ) -
ot от
(9.53)
Интегрирование второго и четвертого уравнений системы (9.52) даст
следующее выражение:
4=< + ^(т), i = l,2, (9.54)
436
Глава 9
где на данном этапе ^г(0 — неявные функции от т. Подстановка (9.54)
в первое и третье уравнения (9.52) даст следующую систему:
—i - Ф(1 + = kU(t + ^i, t + ф2) + Хф(Ь + V'l),
д°А (9’55)
- Ф(* + Ф2)°А2 = kU(t + ф2, t + ^1)-
ot
Чтобы получить необходимые решения, вновь сделаем отступление
и рассмотрим менее громоздкую систему:
-Ф(з)х = /(s),
dy <9-56)
/-Ф(8)у = и(8,8 + Х),
где х = гр2 — ”01 • Вспомним, что функции Ф, ф и U являются периодически-
ми с периодом Т. Комплиментарное или гомогенное решение для каждой
из них имеет вид:
exp[v(s)], v(s) = / <P(a)da.
Jo
Из (9.47) следует, что v(s) < 0. Это является необходимым условием устой-
чивости несопряженных автоколебаний. Таким образом, комплиментарные
решения, в конце концов, уменьшатся до нуля. Теперь можно показать, что
каждое уравнение из (9.56) имеет единственное решение с периодом Т. Для
этого рассмотрим, например, первое уравнение (9.56). Его точное решение
имеет вид:
д;($) = д;(0) ехр
Ф(сг) da
ф(а) da.
(9.57)
Это уравнение относительно х не изменится, если мы заменим s на s + Т.
Из того, что приведенное выше решение для х($) является периодическим,
следует следующее выражение для начального значения д;(0):
x(s) = х(Т) = д;(0) ехр
Ф(сг) da
ф(а) da.
+
Подстановка этого выражения в (9.57) даст единственное периодическое
решение первого уравнения (9.56). Таким же образом и второе уравнение
9.9. Анализ сингулярно возмущенных систем
437
(9.56) имеет единственное периодическое решение. Обозначим эти реше-
ния следующим образом:
х = p(s), у = р(х, х). (9.58)
В предложенных в (9.58) обозначениях общие результаты (9.55) при-
мут следующий вид:
°Ai = kp(t -I- V>i,x) + Xp(t -I- t/>i) + hi(r)exp[v(t + V>1)], fQ ,-Q4
°A2 =kp(t + i/>2,-x) + h2(r)exp[v(t + V>2)], ‘
где hi и h2 — неявные функции от т. Подстановка (9.59) в уравнения для в
из (9.53) даст следующие уравнения:
= {kp(t + V'i , х) + Xp(t -i- V'i )}{^(t + V’i ) - r(t + V’i )} + )+
ut
+ kr(t + 7Д1) + kV(t + V'i, t + iM ~ +
dr
+ /ii(r) exp[u(t + i/>i)]{f2(f + V>1) - r(t + V>1)},
= kp(t +^2, ~x){ft(t + ^2) - r(t + ^2)}+
ut
+ kr(t + tp2) + kV(t + il>2,t + V’i)-
- ~~ + h2(r) exp[v(t + ^2)]{Q(t + 7Д1) - r(t + 7Д1)}.
(9.60)
Если f(t) — периодическая функция с периодом Т, можно записать
выражения
f(t) = p + w(t), р = f(s)ds, (9.61)
где о>(£) имеет период Т и нулевое среднее. Если теперь использовать этот
факт в (9.60), получим
=М1(х) +wi(t,r),
(9’62)
=M2(x)+^2(t,r),
ut
438
Глава 9
где
=Я(Х) + А/3-^,
ат
и/ \ d^2
Д2 =Н(-х) - -Т-,
ат
(9.63)
(9.65)
(9.66)
и
0 = 7 fo {р(3Ж3) - Л3)] + 7(3)} ds,
(9.64)
Н(Х) = т /0T{Ms,x)[^(s) ~Л3)] + kr(s) + kV(s,s + x)}ds.
Функции cji(£,t) и Ш2(1,т) состоят из экспоненциально спадающих чле-
нов и периодических членов с нулевым средним значением, следовательно,
интегрирование (9.62) даст следующие выражения:
=М1(^ + Ж1(Лт),
’#2 = Мг(х)* + W2(t,r),
где Wi и W2 — ограниченные функции. Теперь подставим эти решения
с учетом (9.54) и (9.57) в третье уравнение системы (9.53). В результате
получим следующее выражение для М2:
- <₽(t + ^2)^2 = {Si(t,r)pi + S2(t,T^2}t + B(t,r),
ot
Si = fc^-(t + v,2,t + V’i),
(7C71
s2 = + V>2, t + V>1) + kpit + ф2, -xj&tt + ^2),
OU 2
где B(t, т) — еще одна функция, состоящая из экспоненциально спадающе-
го члена и периодической части.
Как обычно при анализе сингулярно возмущенных систем, нам теперь
требуется определить вклад О(е) в амплитуду, то есть М2, и его ограни-
ченную на всем временном отрезке производную по времени ЭМ2/ЭЛ Это
гарантирует, что решения в виде ряда (9.50) выполняются на всех временах.
Из (9.66) получаем следующее условие, которое должно быть ограничено
на всем временном отрезке
{Sl(t, t)/Zi + S2(t,T)/J,2}t.
Однако, Si и S2 — периодические функции и, следовательно, не могут стре-
миться к нулю при t оо. Таким образом, единственным способом полу-
чить ограниченность будет выполнение следующего условия:
Si (t, T)/J,i + S2(t, т)/12 = О-
(9.67)
9.10. Анализ уравнения сдвига фазы и приложение
439
В общем, 51 и 52 — разные периодические функции, так что для выполне-
ния (9.67) необходимо, чтобы /ii и /12 были равны нулю. Таким образом,
из (9.63) получаем
Mi = + Х/3 - = о,
ат
«=Ж-х)-^=0.
ат
Из чего следует
-Ф-=
ат
(9.68)
Вспомним, что х = ^2 — И вычтем второе выражение (9.68) из первого,
чтобы получить следующее уравнение для х-
= -Р(х) - А/?, (9.69)
гдеР(х) = Я(-х)-Н(х), X = ^2 - 01-
Зависимая переменная х является фазовым сдвигом, происходящим в ре-
зультате сопряжения: обыкновенное дифференциальное уравнение (9.69)
определяет поведение сдвига фазы во времени. Дифференцирование этого
выражения — главная цель анализа сингулярно возмущенных систем в раз-
делах 9.8 и 9.9. Это уравнение мы используем не только здесь, но и в гла-
ве 12.
9.10. Анализ уравнения сдвига фазы и приложение
к сопряженным реакциям Белоусова-Жаботинского
Из определения функций Н(х) и #(“х) следует, что они являются
периодическими функциями с периодом Т. Следовательно, функция Р(х) в
уравнении сдвига фазы (9.69) также является периодической с периодом Т.
Если х = 0, то Р(0) = Н(0) — Я(0) = 0. Производная Н(х) в точке х — 0
в форме, предложенной в выражении (9.64), равна
1 fT
н'т = т[
k (з,0) [Г?(s) - Г(з)] + (s, з) ds.
дх d02
(9.70)
Функция р(з, х) является периодическим решением второго уравнения
(9.56), а именно, следующего:
-Ф(з)р = С7(з,з + х),
OS
440
Глава 9
которое при дифференцировании относительно х и при х — 0 дает выра-
жение:
Из определения 17 в (9.44) видно, что [dU/df^] (s,s) = 0, и единственным
периодическим решением последнего уравнения является [9р/Эх](3?0) = 0.
Используя определение V из (9.41), получаем [9V/ д6^(8у9) = 1- Подставив
эти значения в (9.70), получим
Я (0) = - / kds = k.
Т Jo
Таким образом, Р'(0) = —Я'(0) — Я'(0) = — 2к. На рисунке 9.16(a) изоб-
ражена типичная функция Р(х).
Теперь рассмотрим зависимость сдвига фазы х — V*2 — Ф1 от време-
ни (9.69). Синхронизация фаз означает, что разность фаз постоянна во вре-
мени, то есть х — Хо ~ константа. Решения для синхронизации фаз можно
получить из (9.69), приняв dx/dr = 0, то есть найти Хо из следующего
уравнения:
Р(Х)-А/3 = О. (9.71)
Линеаризация (9.69) в области хо дает линейную устойчивость Хо-
<Кх ~ Хо)
dr
« -Р'(Хо)(х - Хо),
и, следовательно,
{устойчиво
неустойчиво
при
(9.72)
Например, если сопряженные осцилляторы идентичны, А = 0 (из (9.16))
и х — 0 является решением для Р(х) = 0 и ее производная Р'(0) < 0
(см. рис. 9.16(a)). Таким образом, точка х = 0 устойчива. Это означает, что
сопряжение синхронизирует одинаковые осцилляторы.
Теперь предположим, что сопряженные осцилляторы не одинаковы; то
есть в выражении (9.16) А^Оие^О. В этом случае стационарные со-
стояния хо уравнения (9.71) зависят от того, пересекает ли горизонтальная
линия А/3 кривую Р(х) на рисунке 9.16(a). То есть существуют, по крайней
9.10. Анализ уравнения сдвига фазы и приложение
441
Рис. 9.16. (а) Схематическое изображение периодической функции Р(х) из уравне-
ния фазового сдвига (9.69). Период функции равен Т. (Ь) Определение стационар-
ных состояний хо из пересечения функции Р(х) с линией Р(х) = А/3
мере, два стационарных состояния на отрезке 0 х С если выполняется
следующее условие:
minP(y) = P(xm) < А/3 < Р(хм) = тахР(у). (9.73)
Теперь обратимся к рисунку 9.16(b): из этих двух типичных решений одно,
а именно, xi, устойчиво, когда как второе, Х2, неустойчиво. Это следует
из выражения (9.72), так как P'(xi) > 0» а Р\Х2) < 0. В этом случае
система сопряженных осцилляторов через продолжительное время придет
к автоколебаниям с постоянным значением сдвига фазы Х2 между двумя
осцилляторами. Под длительным временем мы подразумеваем большое т,
в свою очередь, означающее большое et. Вне зависимости от того, сколько
стационарных состояний существует для сдвига фазы (два или больше),
\ зависит от вида Р(\); самый простой случай изображен на рисунке 9.16.
До тех пор, пока А/3 лежит между максимумом и минимумом функ-
ции Р(\), то есть выполняется условие (9.73), стационарные состояния
уравнения (9.71) непрерывно зависят от А/3. Это видно из рисунка 9.16(b),
если представить, что линия Р = А/3 непрерывно движется между верх-
ней и нижней границами Р(Хт) и Р(ум)- Например, при увеличении А/3
стационарное состояние сдвига фазы между осцилляторами уменьшается.
Предположим теперь, что А/3 такова, что решения сливаются либо
в Р(хт), либо в Р(хм)- Нас интересует, что случится, если А/3 станет
такой, что решения перестанут существовать. Чтобы рассмотреть этот при-
мер, предположим, что А/3 немного меньше критического значения, а имен-
но, (А/3)с = Р(Хт\ При А/3 меньше, чем Р(\т), пересечений между Р(х)
и линией А/3 нет. Пусть
Х0 = (Х/3)с - 62 = Р(Хт) - 52, 0<<52«1. (9.74)
442
Глава 9
Теперь запишем выражение для разности фаз в следующей форме:
= {Р(х) - РЬп)} + {РМ - А/З} =
ат
= {Лх)-Шп)} + <52-
(9.75)
На рисунке 9.17 показана dx/dr как функция от х при > 0- Это та же
кривая, что изображена на рисунке 9.16(b), просто сдвинутая на расстоя-
ние — Р(хт) + 82, что в нашем случае соответствует тому, что (9.75) не
Рис. 9.17. (а) Случай уравнения (9.75) относительно х, когда не существует стаци-
онарных состояний; здесь О < S2 « 1. (Ь) Схематическое изображение решения,
при котором длительные периоды малого изменения х прерываются быстрыми из-
менениями
Решение, представленное выражением (9.75), также является сингуляр-
ным при 0 < 8 1, и изучить его также можно при помощи стандартных
методов теории сингулярных возмущений (см. Murrey 1984). Однако нет
необходимости проводить асимптотический анализ, чтобы понять, что про-
исходит с решениями. Сперва заметим, что при 5 = 0 (то есть Х/3 = F(Xm))
существуют решения х — Хт + пТ для п = 0,1,2,..., так как Р(х) явля-
ется периодической функцией. Чтобы быть точными, начнем с х ~ Хт на
рисунке 9.17(a). Из (9.75) и графика на рисунке 9.17 следует, что dx/dr =
= О(52) > 0. Это означает, что х ~ Хт + ^2т и на временах т = 0(1)
X несильно отличается от \т. Однако, при г > 0, dx/dtau > 0 и, следо-
вательно, х медленно возрастает. При достаточно больших г, х начинает
сильно отличаться от Хт, а разность Р(х) — Р(Хт) больше не близка ну-
лю. В этом случае dx/dr равно 0(1) и изменения х можно измерить на
9.10. Анализ уравнения сдвига фазы и приложение
443
временах т = 0(1) и х —> + Т. Когда х близко к Xm + Т\ вновь Р(*) —
— F(Xm) ~ 0 и dx/dr = О(52). Качественная картина теперь ясна. Решение
остается вблизи решений х = Xm + пТ в течение долгого времени т —
= 0(1/J2), затем меняется на временах т = 0(1) на следующее решение
(при S = 0), где опять остается надолго. Хотя этот процесс повторяется
квазипериодическим образом, он довольно сильно отличается от автоколе-
бательного поведения с периодом Т, которое мы наблюдали ранее. Решение
продемонстрировано на рисунке 9.17(b). Быстро меняющиеся участки пред-
ставляют собой сингулярные области, тогда как почти постоянные участки
являются несингулярными частями решения. Такое поведение называется
расщеплением ритма. Таким образом, при Л/3 (Х(3)с — Р(Хт) происхо-
дит бифуркация решения х- синхронизация фаз сменяется расщеплением
ритма.
Теперь, когда нам известно качественно поведение х — V>2 — 'Фх, мы
можем определить и из системы (9.68):
Решения Xi и yi определяются следующими выражениями:
Xi = X(t + ^(т)), yi = Y(t + ^(т)), 1 = 1,2. (9.77)
Частота колебаний задается в приближении О(е) следующими выражения-
ми
dOi d'lpi
= 1 + £—-—
dt dr
l + s[H(X) + A/3], i = l
l + sH(-X), г = 2
(9.78)
На рисунке 9.18(a) показано решение при дроблении ритма. Маленькие пи-
ки представляют собой быстрые изменения х на временах 0(1), когда как
протяженные участки относятся к медленному изменению решений, когда
разность фаз V>2 — ^1(= х) примерно постоянна. На рисунке 9.18(b) пока-
зана типичная зависимость решения х^ от t в случае расщепления ритма.
Отметим резкое изменение частоты, происходящее, когда разность фаз х
проходит область быстрого перехода от решения х™, к следующему реше-
нию Xm + Т.
Явление бифуркации в системе сопряженных осцилляторов, когда про-
исходит внезапный переход от синхронизации фаз к расщеплению ритма,
было продемонстрировано экспериментально Мареком и Штаклем (Marek
and Stuchl 1975) (см. раздел 9.5). Они первыми наблюдали синхрониза-
цию фаз. Затем, когда параметры поменяли таким образом, что автономные
444
Глава 9
частоты автоколебаний стали сильно различаться, они наблюдали медлен-
ное изменение разности фаз, прерываемое короткими периодами быстрых
флуктуаций. Это и есть явление расщепления ритма, которое мы обсудили
выше.
xi
(Ь)
Рис. 9.18. (а) Частота одного из осцилляторов d6/dt в случае, когда Х/3 немного
меньше минимума Р(Хт) и наблюдается расщепление ритма. (Ь) Зависимость хг
от времени, демонстрирующая переход от фазовой синхронизации к расщеплению
ритма
Упражнения
1. Рассмотрите возмущение автоколебательного осциллятора, описы-
ваемого системой:
dr . . de
— = г(1 - г), — = 1,
dt dt
импульсом I, параллельным оси х (см. рисунок 9.4). Определите результи-
рующие кривые подстройки фаз и исследуйте возможность существования
черных дыр.
2. Исследуйте ситуацию бифуркации в системе сопряженных осцил-
ляторов, используя уравнение (9.73) для разности фаз если параметры
взаимодействия Х(3 больше Р(хм) — максимума Р(х) на рисунке 9.16(a).
Нарисуйте функции, эквивалентные изображенным на рисунках 9.17 и 9.18,
и обсудите их практическое значение.
Глава 10
Динамика инфекционных заболеваний:
эпидемиологические модели и СПИД
10.1. Историческое отступление об эпидемиях
История эпидемий всегда привлекала исследователей; «черная смерть»
в XIV веке является лишь исторически наиболее известной эпидемией
(краткую историю смотри в главе 13 тома II, посвященной пространствен-
ному распространению эпидемий). В Европе погибло около трети населе-
ния, насчитывавшего в те времена почти 85 миллионов человек.
Эпидемией, на которой поупражнялось не одно поколение специали-
стов по классической филологии, является «афинская чума» (430-428 годы
до н. э.). Она была подробно описана (включая симптомы и течение болез-
ни) Фукидидом. Он также привел несколько точных цифр, например, что
из 4 000 солдат в экспедиции погибло 1 050. Болезнь, столь скрупулёзно
описанная Фукидидом, вплоть до того факта, что собаки, поедавшие трупы,
также заболевали, в течение сотен лет была источником множества статей.
Авторы убежденно и страстно доказывали, что «афинской чумой» была
бубонная чума, корь, краснуха, бруцеллез, оспа, скарлатина, сыпной тиф,
брюшной тиф и многие другие болезни. Фукидид описал следующие симп-
томы: (1) жар в голове; (2) воспаление глаз; (3) гиперемия языка и горла;
(4) зловонное дыхание; (5) хрипота, сопровождающаяся ужасным кашлем;
(6) рвота желчью; (7) рвотные позывы и конвульсии; (8) гнойные и язвен-
ные высыпания на коже; (9) гиперестезия всего тела; (10) возбужденное
состояние; (11) непреодолимое желание утолить жажду и окунуться, чтобы
ослабить жар тела; (12) полное обезвоживание, вероятно, вызванное диаре-
ей; (13) потеря пальцев на руках и ногах и гениталий; (14) разрушение глаз
и, если наступило излечение, (15) амнезия, что в данном случае без сомне-
ний является благословением. Приведенные симптомы «афинской чумы»
не подходят ни одной из перечисленных выше болезней. Чем бы «афин-
ская чума» ни была, она определенно было крайне неприятна. Интересная
обзорная статья об «афинской чуме» была написана Пулом и Холладеем
446
Глава 10
(Poole and Holladay 1979). Они пришли к выводу, что болезнь либо исчез-
ла, либо сильно изменилась за тысячелетие. Но эта работа не помешала
появлению статей с новыми предположениями.
Одним из интересных моментов в отчете Фукидида является то, что
у него нет никакого упоминания о передаче болезни от человека к челове-
ку, факта, сейчас широко распространенного. Только в XIX веке этот аспект
начали обсуждать. В возникновении болезни обвиняли дурные испарения
из земли, воздушные миазмы и тому подобное. Последнее объяснение по-
кажется не таким на первый взгляд нелепым, если подумать о множестве
людей со сходными эпидемиологическими проблемами, живущих на за-
грязненных территориях или в регионах, где недостаток йода в воде приво-
дит к разрастанию щитовидной железы. Многим жителям Юго-Восточной
Азии можно простить веру в то, что смог и дым, выделяющиеся во время
лесных пожаров в Индонезии, приводят к значительному увеличению коли-
чества больных лихорадкой денге, переносящейся москитом Aedes aegypti.
Этот москит был выведен человеком, так как он размножается в воде, со-
бранной в пластиковых, резиновых или металлических контейнерах, часто
использующихся в бедных городских кварталах.
Долгая история изучения эпидемий привела к невероятно большому
количеству моделей и объяснений распространения и причин вспышек бо-
лезней. Даже сейчас эпидемии часто объясняют злыми духами или недо-
вольными богами. Например, СПИД (синдром приобретенного иммуноде-
фицита), основная эпидемия последних 20 лет и самая большая со времен
пандемии гриппа «испанки» в 19181 году, многими была названа карой
Господней. Гиппократ (459-377 годах до н. э.) в своем эссе «О воздухах,
водах и местностях» писал, что темперамент, индивидуальные привычки
и окружающая среда являются важными факторами — разумная мысль да-
же сейчас, особенно в свете замечаний, сделанных в предыдущем абзаце.
В несколько менее относящемся к делу, но не без своих забавных момен-
тов, труде Александра Хоу (Howe 1865) в 31 утверждении описаны «зако-
1 Эпидемия гриппа «испанки» в 1918-1919 годах стала самой смертельной пандемией (то
есть эпидемией, распространившейся по всему миру) такой продолжительности за всю за-
фиксированную историю человечества, и странным образом до недавнего времени была об-
делена историческими исследованиями. Черная смерть уступает «испанке» по жестокости.
Первоначальные оценки числа погибших постоянно повышаются. На конференции по поводу
эпидемии в 1998 была названа цифра в 100 миллионов жертв. К концу Первой мировой вой-
ны многие стали предполагать, что «испанка» является бактериологическим оружием. Если
бы такая же болезнь вспыхнула сейчас в США, погибло бы порядка 1.5 миллиона человек,
хотя современные методы лечения могли бы уменьшить эту цифру, если бы было возможно
достаточно быстро изготовить вакцину. Прошло около 20 лет с последней эпидемии гриппа,
и многие эпидемиологи чувствуют, что следующая в цикле таких вспышек случится очень
скоро.
10.1. Историческое отступление об эпидемиях
447
ны эпидемии». Утверждение 2 очень типично: «Длина промежутка между
предыдущим и последующим периодическим посещением болезни зависит
от времени одинарного оборота узловой точки орбиты Луны и двойного
оборота апсиды Луны».
Первой серьезной эпидемией в США была эпидемия желтой лихорад-
ки в Филадельфии в 1793 году, когда из 50000 жителей города умерло
около 5 000, при этом в расчетах учитывается, что около 20000 покину-
ли город; смотри интересную статью Фостера и др. в «Scientific American»
(Foster et al. 1998) и книгу Пауэлла (Powell 1993). История этой эпидемии
представляет собой сагу о диких и разумных теориях о причинах и лечении
болезни, о мелкой зависти, приведшей к катастрофическим последствиям,
об истинной человечности и раздутых разногласиях. Ведущий врач был
основным поборником кровопускания, как адекватного лечения болезни,
когда как другие рекомендовали чистоту, покой, хинную кору и вино. Эта
эпидемия имела большое значение для последующей жизни и политики
страны.
Знаковая книга МакНилла (McNeill 1989) представляет собой захва-
тывающую историю взаимоотношений между болезнью и людьми. В по-
следнее время появилось немало книг, пытающихся объяснить всевозмож-
ные аспекты болезней с различных позиций: от достижений медицины
(Oldstone 1998) до социоэкономики (Watts 1998). Последняя книга напи-
сана с очень антиевропейской («западные империалисты-колонизаторы во
всем виноваты») точки зрения. Европейцев обвиняют в большинстве ми-
ровых проблем, связанных с инфекционными болезнями. Оставив в сто-
роне некоторые из наиболее диких суждений2, полемику и эмоциональные
всплески, нужно признать, что автор прилежно исследовал исторические
данные и обнаружил некоторые пугающие примеры того, как болезни рас-
пространялись с ужасающими последствиями благодаря глупости некото-
рых западных колониальных наций. Книга Уоттса является существенным
вкладом в историю и показывает актуальность проблемы инфекционных
заболеваний в современном мире.
Со времен Второй мировой войны стратегия защиты здоровья насе-
ления сконцентрировалась на уничтожении и контроле организмов, вызы-
вающих болезни. Появление новых антибиотиков полностью изменило ха-
рактер борьбы с болезнями. Всего лишь чуть больше 20 лет назад Объеди-
ненные нации подписали соглашение «Здоровье для всех, 2000», в котором
была поставлена амбициозная цель искоренения болезней к 2000 году. В то
2 Например, Уоттс утверждает, что сифилис в XVII-XIX веках стал последствием христи-
анского запрета мастурбации.
448
Глава 10
время СПИД еще не был открыт (а точнее сказать, распознан), а последний
случай оспы был зафиксирован годом ранее. Тогда определенно были при-
чины для оптимизма, который, однако, продлился недолго. Ученые считали
микробы биологически статическими объектами, не способными мутиро-
вать и, следовательно, приобретать устойчивость к лекарствам и другим
биологическим воздействиям.
Эта приятная картина неизменных микробов стала вскоре меняться.
Причиной стало появление микробов, способных плавать в отбеливателе,
расти на кусках мыла и игнорировать дозы пенициллина, в десятки раз
превышающие дозы, эффективные в 50-х годах XX века (Garrett 1996). Ре-
альность мутации бактерий видна на примере туберкулеза в Нью-Йорке.
Контроль W-штамма (пекинского штамма) болезни, впервые появившегося
в городе в 1992 году, устойчивого ко всем имеющимся лекарствам и убива-
ющего более половины заболевших, уже обошелся Нью-Йорку более чем
в 1 миллиард долларов. А всего 20 лет назад было предсказано, что тубер-
кулез будет уничтожен к 2000 году.
Еще одним актуальным аспектом распространения заболеваний явля-
ется современная эра перевозок, позволяющая более миллиону людей еже-
дневно пересекать международные границы, что делает угрозу вспышки
экзотических болезней вполне реальной. Стремительный рост численно-
сти населения, особенно в неразвитых странах, является еще одним фак-
тором в пользу микробов. Именно эти аспекты сыграли решающую роль
в распространении ВИЧ (вируса иммунодефицита человека) в 80-х годах
XX века. Недавние оценки Всемирной организации здравоохранения (ВОЗ)
показали, что в настоящее время более 30 миллионов людей по всему миру
заражены ВИЧ. Статистику о болезнях в мировом масштабе и по отдель-
ным странам можно найти в Интернете, например, на официальных сайтах
ВОЗ (www. who. org) и Центра по контролю и профилактике заболеваний
(www. cdc. gov) в Атланте.
Болезни (включая болезни сердца и рак) уносят в десятки раз больше
жизней, чем что либо еще, даже войны и голод. Появление новых болезней
и возрождение старых делают необходимость междисциплинарного под-
хода еще более срочной. Важность моделирования возрастает. Историки
также могут внести свой вклад. Как и об «афинской чуме», многое было
написано об «английском поте», болезни, бушевавшей в Англии конца XV -
середины XVI века3. Симптомы течения болезни включают в себя, среди
3Генрих VIII взошел на трон и изменил ход истории благодаря тому, что его старший брат
скончался от «английского пота». Генрих, например, распустил монастыри, провел Реформа-
цию и сделал Британский флот профессиональной службой, открыв, таким образом, дорогу
к последующему становлению Британской империи.
10.1. Историческое отступление об эпидемиях
449
прочего, высокую температуру, заполнение органов жидкостью (особенно
легких), хорошее самочувствие человека утром и его смерть вечером или
в течение пары дней. Симптомы схожи с симптомами хантавируса, вспыш-
ка которого произошла на юго-западе США в 1993 году. Возможно, это
одна и та же болезнь, бездействовавшая несколько сотен лет. Существуют
подтверждения того, что некоторые новые болезни являются вновь появив-
шимися старыми.
Существуют четыре основных класса возбудителей заболеваний: виру-
сы, бактерии, паразиты и грибы. В этой главе описаны некоторые модели
популяционной динамики патогенов и позднее (в главе 13 тома II) будет
описано пространственно-временное распространение инфекций. Модели
такого рода широко используются для моделирования распространения ви-
русных, бактериальных и паразитических инфекций, но существенно мень-
ше для грибковых. Мы рассмотрим несколько моделей и постараемся ис-
пользовать их для контроля, а в лучшем случае и для искоренения болезни
или инфекции. Практическое использование таких моделей должно осно-
вываться на положенных в их основу реальных фактах. Как обычно, это не
значит, что в модель стоит включать все возможные явления, скорее, сто-
ит объединить наиболее простым образом те компоненты, которые кажут-
ся наиболее важными. Как и большинство моделей, эпидемиологические
модели проходят несколько стадий разработки прежде, чем могут описать
с большой долей уверенности количественные явления. С большой осто-
рожностью стоит использовать эпидемиологические модели на практике.
Однако, даже самые простые модели должны, и часто так и бывает, ставить
важные вопросы о базовых процессах и возможных средствах контроля бо-
лезни или эпидемии. Одним из исследований, прошедших многочислен-
ные возможные сценарии, была модель, предложенная Капассо и Павери-
Фонтана (Capasso and Paveri-Fontana 1979) для описания эпидемии холеры
в портовом городе Бари в южной Италии4.
4Во время эпидемии холера чаще встречалась в бедных районах рядом с портом. В то время
сточные воды из больницы, где лечили холеру, шли прямиком в море. Одним из предположе-
ний было то, что бактерии заражали людей, купавшихся в той области. Но исследования этого
не подтвердили. Другим предположением стало то, что вода в колодцах, часто использовав-
шихся в тех областях, была заражена. Опять же и это не было причиной. Также думали, что
холера попала в мидий, которых ловили в прибрежных областях рядом с портом и продавали
как деликатес в местных магазинах и с лотков. Таким образом, люди, поедавшие мидий, зара-
жались. Однако, через некоторое время после прямого контакта с бактериями, мидии убивают
холеру, так что и это предположение было отвергнуто, потому что между уловом и продажей
проходило несколько часов. Решение же и вправду заключалось в зараженной морской воде.
У владельцев лотков было ведро (зараженной) морской воды, которой они регулярно поливали
выставленных на продажу мидий, чтобы те выглядели свежими и сочными. Именно бактерии
в «свежей» морской воде, которой опрыскивали мидий, вызывали инфицирование холерой.
450
ГЛАВА 10
Интересная ранняя математическая модель Бернулли (Bernoulli 1760),
включающая в себя нелинейное обыкновенное дифференциальное урав-
нение, рассматривает влияние прививок коровьей оспы на распростране-
ние натуральной оспы. В статье приведены интересные данные о детской
смертности в те времена. Возможно, это первый раз, когда математическая
модель была использована для оценки преимуществ вакцинации населения.
Фукидид упоминает иммунитет в связи с «афинской чумой», а в Китае еще
раньше детей заставляли вдыхать пудру, сделанную из корочек ранок на
коже людей, выздоравливающих от оспы.
Модели могут быть очень полезны в оценке уровня вакцинации для
контроля передающихся напрямую инфекционных болезней. Одно из таких
исследований мы обсудим позже для случая коровьего туберкулеза (см., на-
пример, Anderson and May 1982; 1985; 1991; Herbert et al. 1994). В недавней
статье Шута и Хеткота (Shuette and Hethcote 1999) рассматриваются прото-
колы вакцинации от ветрянки и опоясывающего лишая и описана бесспор-
ная опасность чрезмерной вакцинации. Среди прочего, авторы при помощи
своих моделей оценивают эффект различных программ вакцинации. Клас-
сические теоретические работы об эпидемиологических моделях Кермака
и МакКендрика (Kermack and McKendrick 1927; 1932; 1933) сильно повлия-
ли на развитие математического моделирования и до сих пор подходят для,
на удивление, большого количества эпидемий; некоторые из этих моделей
мы опишем в данной главе. Количество книг и статей о моделировании
сейчас велико и постоянно растет. Книга Бейли (Bailey 1975), несмотря
на то, что была написана довольно давно, дает хорошее представление о
разнообразии проблем и моделей распространения и контроля инфекцион-
ных заболеваний. В статье Хеткота (Hethcote 1994) дан обзор трех базовых
эпидемиологических моделей. Книга Дикмана и Хэстербика (Diekman and
Heesterbeck 2000) также дает представление о проблеме. Например, в ней
описано, как использовать биологические предположения при создании мо-
делей и современных приложений; в книге охватывается как детерминисти-
ческое, так и стохастическое моделирование. Другими источниками могут
служить ссылки, данные в указанных выше книгах и статьях, а также ссыл-
ки данные в этой главе. Особенно полезными источниками информации об
определенных болезнях, как в мировых масштабах, так и для отдельной
страны, являются ВОЗ (www. who. org) и Центр по контролю и профилак-
тике заболеваний (www. cdc. gov); их поисковые системы и информацион-
ные возможности очень полезны.
В этой главе мы рассмотрим несколько отличающихся друг от друга
моделей, описывающих очень разные заболевания. Эти модели описыва-
ют некоторые общие аспекты эпидемиологического моделирования переда-
10.2. Простые эпидемиологические модели
451
чи болезни, развития эпидемии во времени, приобретенной устойчивости
к заболеванию, стратегий вакцинации и так далее. Использование матема-
тического моделирования в иммунологии и вирусологии также быстро уве-
личивается. Мы обсудим в некоторых подробностях модели динамики ВИЧ
и соотнесем их с данными о пациентах. Мы также рассмотрим бактериаль-
ные и паразитические инфекции. В главе 13 тома II мы опишем географиче-
ское распространение инфекционных заболеваний и подробно рассмотрим
практическую модель пространственного распространения бешенства, воз-
можные пути его контроля и эффект включения в модель иммунитета. Мо-
делирование инфекционных заболеваний также включает в себя некоторые
подходы популяционной динамики, описанной выше. Несмотря на то, что
формы уравнений различаются, базовые элементы и анализ очень похожи.
Мы рассмотрим два базовых типа моделей. В одном случае числен-
ность всей популяции принимается примерно постоянной. При этом, на-
пример, она подразделяется на восприимчивую, зараженную и обладаю-
щую иммунитетом группы (возможна и другая классификация, все зависит
от заболевания). Сначала мы рассмотрим модели такого типа. В другом
случае на численность популяции через уровень рождаемости, смертности
и так далее влияет заболевание. Популяции с взаимоотношениями хозяин —
паразит часто относятся к такому типу. Мы рассмотрим только детермини-
стические модели, которые бывают недостаточными в определенных слу-
чаях — например, в случае уничтожения заболевания, так как вероятность
того, что несколько последних больных особей заразят других, не являет-
ся детерминированной. Как бы то ни было, даже удивительно, насколько
полезными и количественно правильными детерминистические модели ча-
сто могут быть; приведенные ниже модели — лишь небольшое количество
примеров, подтверждающих это.
10.2. Простые эпидемиологические модели
и их практическое применение
В классических (но до сих пор очень полезных) моделях численность
популяции принимается постоянной. Если в большой популяции появля-
ется маленькая группа зараженных особей, основной задачей становится
описание распространения инфекции в пределах популяции в зависимости
от времени. Конечно, это зависит от различных обстоятельств, включая кон-
кретную болезнь, но при первом моделировании напрямую передающихся
заболеваний мы сделаем несколько вполне разумных общих допущений.
Рассмотрим болезнь, к которой в случае излечения приобретается им-
мунитет. Если болезнь смертельна, погибшие особи все равно учитывают-
452
Глава 10
ся. Предположим, что характер болезни позволяет разделить популяцию на
три класса: восприимчивые особи S (от англ, susceptibles); инфицирован-
ные особи I (от англ, infectives), несущие болезнь и способные ее пере-
давать; и устраненные особи R (от англ, removed), у которых болезнь бы-
ла, и они излечились, обладают иммунитетом или изолированы до полного
выздоровления. Переход от одного класса к другому можно представить
следующей схемой:
S I R.
Такие модели часто называют SIR моделями. Количество классов зависит
от болезни. SI модели, например, включают в себя только восприимчивый
и инфицированный классы, когда как SIER модели включают восприимчи-
вых особей S; особей, у которых болезнь находится в латентной форме, Е;
инфицированных особей I и выздоровевших или погибших особей R.
Допущения, связанные с передачей и инкубационным периодом ин-
фекции, очень важны в любой модели; они отражены в членах уравне-
ний и параметрах. Обозначим количество особей в каждом классе че-
рез S(t), I(t) и R(t) и примем следующие допущения: (1) Скорость приро-
ста инфицированного класса пропорциональна количеству инфицирован-
ных и восприимчивых особей, то есть равна rSI, где г > 0 — параметр,
являющийся константой. Число восприимчивых уменьшается с такой же
скоростью. (2) Скорость перехода особей из инфицированного в устранен-
ный класс пропорциональна количеству инфицированных особей, то есть
равна al, где a > 0 — константа; 1/а показывает время пребывания в ин-
фицированном классе. (3) Инкубационный период настолько мал, что им
можно пренебречь, то есть заболевшая восприимчивая особь сразу же ста-
новится инфицированной.
В модели различные классы равномерно перемешаны, то есть каждая
пара особей имеет одинаковую вероятность вступить в контакт друг с дру-
гом. Это важное допущение, которое в большинстве случаев не выполня-
ется для болезней, передающихся половым путем. Модельный механизм,
основанный на изложенных выше допущениях, имеет следующий вид:
dS
dt
= -rSI,
(10.1)
= г SI — al,
dt
dR
— = al,
dt
(10.2)
(10.3)
10.2. Простые эпидемиологические модели
453
где г > 0 — скорость инфицирования, а > 0 — скорость убыли класса ин-
фицированных. Это классическая модель Кермака-МакКендрика (Kermack
and McKendrick 1927). Нас, конечно же, интересуют только неотрицатель-
ные решения для S, I и R. Несмотря на то, что это базовая модель, на
ее основе возможно сделать несколько очень важных общих замечаний об
эпидемиях. Более того, с ее помощью можно адекватно описать некоторые
конкретные эпидемии.
Постоянство численности популяции изначально заложено в систе-
ме (10.1)—(10.3), так как при суммировании уравнений получим
dS di dR
Л+^ + ^=0 =* S(t) + I(t) + R(t) = N, (10.4)
at at at
где N — общая численность популяции. Таким образом, S, I и R связаны
между собой через N. Для того, чтобы закончить математическую форму-
лировку эпидемиологической задачи, введем следующие начальные усло-
вия:
S(0) = So > 0, 1(0) = /о > 0, Л(0) = 0. (10.5)
Ключевым вопросом в любой эпидемиологической ситуации при из-
вестных г, a, So и исходном количестве инфицированных Iq является, бу-
дет ли инфекция распространяться или нет, если да, то как она будет раз-
виваться во времени и, главное, когда эпидемия пойдет на спад. Из (10.2)
получаем
di
dt
= Io(rSo - а)
t=o
>0
<0
при So
р=-. (10.6)
г
> Р
< Р
Так как из (10.1) следует, что dS/dt 0, S So, получаем при So < а/г
следующее выражение:
— = I(rS — а) < 0 для любых t 0.
dt
(Ю.7)
В этом случае 7q > Т(£) при —> и инфекция постепенно исчезает, то
есть эпидемия возникнуть не может. С другой стороны, если So > a/r, I(t)
с самого начала возрастает, и разгорается эпидемия. Термин «эпидемия»
означает, что I(t) > t для некоторых t > 0; смотри рисунок 10.1. Таким об-
разом, наблюдается пороговый эффект. Если So > Sc = а/г, наблюдается
эпидемия, когда как при So < Sc ее нет. Критический параметр р = а/г
454
Глава 10
Рис. 10.1. Фазовые траектории на фазовой плоскости «восприимчивые (S) — ин-
фицированные (7)» для эпидемиологической модели SIR (10.1)—(10.3). Кривые
определяются начальными условиями 7(0) = 7о и 5(0) = Sq. При Н(0) = 0 все
траектории начинаются на линии S + 7 = N и остаются в пределах треугольника,
так как 0<5-|-7<ЛГна всем промежутке времени. Формально, эпидемическая
ситуация существует, если 7(f) > 7о для любых времен t > 0; это происходит
всегда, когда So > р(= а/г) и 7о > 0
иногда называют относительной интенсивностью устранения, а обратную
ей величину а(= г/а) — интенсивность контактов инфекции.
Запишем следующее выражение:
где Rq — базовое репродуктивное число инфекции, то есть количество
вторичных заболеваний, появившихся в результате передачи первичного
заболевания в популяции, полностью состоящей из восприимчивых осо-
бей. В данном случае 1/а — средний инфекционный период. Если пер-
вичная инфекция ведет к появлению более одной вторичной инфекции,
то есть 7?о > 1, очевидно, начинается эпидемия. Проблема пороговых
эффектов в эпидемиологии очень важна. Вывод выражения и получение
10.2. Простые эпидемиологические модели
455
численного значения базового репродуктивного числа необходимы и мо-
гут быть довольно сложными, например, в случае неоднородной популяции
(Diekmann et al. 1990).
Базовое репродуктивное число необходимо знать не только для того,
чтобы справиться с эпидемией, но и, например, в случае болезни, находя-
щейся под контролем благодаря вакцинации. Несмотря на то, что приве-
денные ниже утверждения основаны на Rq, они имеют общий характер.
Очевидно, что одним из способов уменьшить репродуктивное число, яв-
ляется уменьшение числа восприимчивых особей Sq. Обычным методом
достижения этого является вакцинация, благодаря которой была истребле-
на оспа. В США вакцинация привела к уменьшению количества зареги-
стрированных случаев кори с 894134 в 1941 году до 135 в 1997. В слу-
чае полиомиелита, если в 1952 году в США было зарегистрировано 21 269
случаев, то последний случай заражения диким типом вируса произошел
в 1979 (восточное полушарие было объявлено свободным от полиомиелита
в 1994). Другие детские болезни также были значительно подавлены. Мас-
совая вакцинация представляет собой самый дешевый и эффективный спо-
соб контроля заболеваний. Несмотря на то, что вакцины обычно в высшей
степени безвредны, ни одно лекарство не бывает абсолютно безопасным,
какой бы маленькой не была вероятность причинения вреда. (Существу-
ет, однако, несколько случаев незамедлительной смерти от противодифте-
рийной и противостолбнячной вакцин, и сейчас ведутся споры по поводу
вакцины от сибирской язвы, разработанной для американской армии.) По
мере того, как на Западе забываются ужасы полиомиелита, кори, дифтерии,
краснухи и так далее, многие родители не хотят делать прививки своим
детям из-за связанного с этим риска, пусть и минимального. Вакцинация
обеспечивает не только индивидуальную защиту, но и защиту всего со-
общества, поддерживая эффективное репродуктивное число ниже уровня,
способствующего началу эпидемии. Это так называемый «коллективный
иммунитет». Смысл заключается в том, что, как только достигается поро-
говый уровень Rq коллективного иммунитета, память о болезнях исчезает,
и существует вероятность того, что родители не будут вакцинировать своих
детей. При этом эффективный иммунитет непривитых детей, по сути, будет
таким же. В этом случае наилучшей (но аморальной) стратегией для таких
родителей будет призывать других к вакцинации, за счет этого обеспечи-
вая иммунитет своим детям. Однако стоит помнить, что эпидемия может
начаться и распространиться очень быстро, если репродуктивное число до-
стигнет критического значения для эпидемии. Так что полагаться исключи-
тельно на коллективной иммунитет довольно опасно. (Именно это произо-
шло с конкистадорами в Мексике.)
456
Глава 10
Из этой простой модели можно получить еще несколько полезных ана-
литических результатов. Из (10.1) и (10.2) следует
di (rS — a) I р а , т ч
^ = -----= + Р=~, (/^0).
ао г Ы Ь г
Все особые точки лежат на оси 1 = 0. Интегрирование последнего уравне-
ния с использованием начальных условий (10.5) дает следующие фазовые
траектории на плоскости (7, S):
I + S - plnS = constant = 70 + So - pin So- (10.8)
Фазовые траектории изображены на рисунке 10.1. Заметим, что с уче-
том (10.5) (то есть того, что Rq = 0) любые начальные значения So и Iq
удовлетворяют равенству Iq + So = N, и, таким образом, при t > 0 выпол-
няется неравенство 0 S + I < N.
Если существует эпидемия, необходимо знать, насколько тяжелой она
может быть. Из (10.7) следует, что максимальное 7, 7таа;, достигается
при S = р и di/dt = 0. Из (10.8) при S = р получаем
Дпах = plnp- p + Io + So- pin So =
= Io + (So-p) + pin(j^ = (W9)
= N - p + pln(-^-).
\O0/
При любых начальных значениях 7q и Sq > р фазовая траектория начина-
ется при S > р, и 7 со временем превышает Iq. Таким образом, начинается
эпидемия. Необязательно эпидемия будет такой же тяжелой, как в случае Iq,
близкого к 7тах. Из рисунка 10.1 видно, что если So < р, то 7 со временем
станет меньше Iq, и эпидемии не будет.
Так как ось 7 = 0 является сингулярной линией, на всех траекто-
риях 7 —> 0 при t —> оо. Из (10.1) следует, что S уменьшается, так
как dS/dt < 0 при S 0, 7 0. Из (10.1) и (10.3) получаем
dS _ _S
(10Л°>
=> 0 < S(oo) 7V.
Более того, из рисунка 10.1 следует, что 0 < S(oo) < р. Так как 7(оо) = 0,
(10.4) подразумевает, что 7?(оо) = N — S(oo). Следовательно, из (10.10)
10.2. Простые эпидемиологические модели
457
получаем следующее выражение:
S(oo) = So ехр
Я(оо) „ N-S(oo)
= So ехр-----------
Р Р
и таким образом S(oo) является положительным корнем 0 < z < р следу-
ющего трансцендентного уравнения:
So ехр
N-z
(10.11)
Теперь мы можем выразить общее число восприимчивых особей, подхва-
тывающих болезнь во время эпидемии:
Aotal — Л) “Ь <5о S(oo),
(10.12)
где S(oo) — положительное решение z уравнения (10.11). Важным выво-
дом, который можно сделать из этого анализа, является то, что /(f) —> 0
и S(t) —> S(oo) > 0, то есть эпидемия угасает из-за уменьшения числа
инфицированных особей, а не восприимчивых.
Результат для порога эпидемии напрямую связан с относительной
интенсивностью устранения р: если So > р, эпидемия начинается, ес-
ли So < р, то нет. Для конкретной болезни относительная интенсивность
устранения зависит от сообщества, и таким образом определяет, в каком со-
обществе может разразиться эпидемия. Конечно, количество восприимчи-
вых также играет важную роль. Например, если плотность восприимчивых
высока, а интенсивность устранения инфицированных, а, мала (благодаря
невежеству, недостаточной медицинской помощи, неправильной изоляции
больных и так далее), вероятность эпидемии велика. Выражение (10.9) по-
казывает максимальное количество инфицированных, когда как (10.12) дает
общее число заразившихся особей в терминах р(= a/r), Iq, Sq и N.
В большинстве случаев эпидемий трудно определить, сколько новых
инфицированных появляется каждый день, так как посчитать можно толь-
ко тех, кто был устранен из сообщества для оказания медицинской помо-
щи или по каким-либо другим причинам. Службы здравоохранения обычно
предоставляют информацию о количестве инфицированных за день, неде-
лю или месяц. Следовательно, для того, чтобы применить модель к реаль-
ным эпидемиологическим ситуациям, необходимо знать количество устра-
ненных особей в единицу времени, а именно, dR/dt, как функцию от вре-
мени.
458
Глава 10
—— = al — a(N — R — S) = a
dt
R(0) = 0. (10.13)
Из выражений (10.10), (10.4) и (10.3) получаем уравнение для R:
N — R — Soe~R/p),
Это уравнение можно решить аналитически только с применением пара-
метрического метода, но решение в таком виде не очень удобно. Конечно,
если известны а, г, So и N, рассчитать R легко численно. Обычно мы
не знаем всех параметров, и необходимо использовать наиболее подходя-
щую процедуру фитирования, предполагая, конечно же, что модель в до-
статочной мере описывает эпидемию. Однако на практике, если эпидемии
невелики, R/p мало, по крайней мере, R/р < 1. Вслед за Кермаком и Мак-
Кендриком аппроксимируем уравнение (10.13) следующей функцией:
dR
— = a
dt
N-So +
S0R2
2p2
Разложив правую часть уравнения на множители, содержащие R в квадра-
те, мы можем проинтегрировать это уравнение и, произведя серию элемен-
тарных и скучных алгебраических операций, получить решение
г2
RW = т
оо
$0 1 А I л. к (^O't
-----1 + a tanh----------ф
Р J \ 2
So
X 2 1 V2
So _rY ^2SQ(N-So)
P
Р2
tanh 1 ( — — 1
, ф =---——
а
(10.14)
В результате, скорость устранения определяется следующим образом:
dR аа2р2 , 9 / aat , \
~г = sech2 — - Ф •
dt 2S0 \ 2
(10.15)
Последнее уравнение включает в себя только три параметра, а имен-
но, аа2р2/(2So), eta и </>. В случае небольших эпидемий именно эту функ-
цию нужно фитировать с помощью данных служб здравоохранения. С дру-
гой стороны, если болезнь позволяет знать точное число устраненных
особей, то необходимо использовать R(t) из выражения (10.14). Одна-
ко, если R/p велико, для определения R(t) следует использовать уравне-
ние (10.13).
Теперь применим модель к двум очень разным эпидемиям.
10.2. Простые эпидемиологические модели
459
Бомбейская эпидемия чумы в 1905-1906 годах
Эта эпидемия чумы длилась почти год. Так как большинство заражен-
ных умирали, количество устраненных за неделю, то есть dR/dt, примерно
равно количеству смертей за неделю. Основываясь на том, что эпидемия
не была жестокой (в сравнении с общей численностью популяции), Кермак
и МакКендрик сравнили реальные данные с уравнением (10.15) и нашли
наиболее подходящие значения трех параметров. В результате они получи-
ли следующее выражение:
dR
— = 890 sech2 (0.2t - 3.4). (10.16)
dt
Аппроксимация и реальные данные показаны на рисунке 10.2.
Недели
Рис. 10.2. Эпидемия чумы в Бомбее в 1905-1906 годах. Сравнение реальных дан-
ных (•) и теоретических (о), полученных для модели небольшой эпидемии. Количе-
ство смертей в неделю примерно равно dR/dt, определяемым выражением (10.16).
(Kermack and McKendrick 1927)
Эпидемия гриппа в закрытой английской школе в 1978 году
В 1978 в британском медицинском журнале «The Lancet» вышла ста-
тья с подробным количественным описанием эпидемии гриппа в закрытой
460
Глава 10
школе для мальчиков, в которой жило в общей сложности 763 ученика. Из
них 512 во время эпидемии, длившейся с 22 января по 4 февраля 1978 года,
пришлось соблюдать постельный режим. По-видимому, один зараженный
мальчик вызвал эпидемию. Эта ситуация подразумевает многие допущения,
принятые при выводе представленной выше модели. Однако в данном слу-
чае эпидемия была тяжелой, и необходимо использовать полную систему.
К тому же, как только какой-либо мальчик подхватывал болезнь, его тут же
клали в постель, и в нашем распоряжении имеется I(t), взятая напрямую
из реальных данных. Так как в данном случае у нас нет аналитического
решения, уравнения (10.1)—(10.3) подвергли прямому фитированию, чтобы
сравнить с реальными данными. На рисунке 10.3 показано изменение числа
инфицированных в зависимости от времени I(t) вместе со статистически-
ми данными об эпидемии. Уравнение для R (10.3) является независимым;
решение для R(t) просто пропорционально площади под кривой I(t).
Чума в Айме, Англия в 1665-1666 годах
В деревне Айм в Англии с 1665 по 1666 год была вспышка чумы.
Это пример удивительного альтруизма, потому что жители деревни, чтобы
не допустить распространения болезни, изолировали себя, как только об-
наружили чуму. В результате болезнь не передалась в соседние деревни.
К концу эпидемии из 350 жителей в живых осталось только 83. Раггетт
(Raggett 1982) применил к этой вспышке эпидемии модель SIR (10.1)—
(10.3). В данном случае S(oo) = 83 при начальном So = 350. Это еще
один пример, как и в случае гриппа в закрытой школе, тяжелой эпидемии.
В своей статье Раггетт показывает, как определить параметры из имеющих-
ся данных и используя знание этиологии болезни. Он поддерживает мне-
ние о том, что несмотря на то, что исходной формой была, по-видимому,
бубонная чума, легочная форма, скорее всего, стала превалирующей; вто-
рая форма может передаваться через кашель жертвы заболевания (краткое
описание чумы и ее истории смотри в главе 13 тома II). Сравнение реше-
ний детерминистической модели и известных данных из деревни Айм дало
хороший результат. В случае стохастической модели, которую Раггетт так-
же рассматривает, аппроксимация хуже. Мы рассмотрим модель простран-
ственного распространения чумы в главе 13, том II.
Если болезнь не кратковременна, то уравнение (10.1) для восприимчи-
вых особей должно включать в себя члены, описывающие рождаемость
и смертность. Смертность от естественных причин также должна быть
учтена в уравнениях (10.2) для инфицированных и (10.3) для устраненных.
Полученные таким образом модели могут быть проанализированы теми же
способами, что мы использовали здесь и в главе 3 для взаимодействую-
10.3. Моделирование венерических заболеваний
461
щих популяций: результирующая система является системой обыкновен-
ных дифференциальных уравнений. Поэтому неудивительно, что колеба-
тельное поведение в эпидемиях распространено; это явление часто назы-
вают волной эпидемий. В данном случае это временные волны. Простран-
ственные волны эпидемий распространяются географически. Последние
также часто встречаются, и мы рассмотрим их в главе 13, том II.
Многие болезни обладают латентным или инкубационным периодом,
во время которого восприимчивая особь инфицирована, но незаразна. Корь,
например, имеет латентный период от 8 до 13 дней. Инкубационный период
СПИДа, с другой стороны, может длиться от несколько месяцев до несколь-
ких лет после того, как в крови пациента были найдены антитела к вирусу
иммунодефицита человека (ВИЧ). Это можно учесть, введя эффект запаз-
дывания, или при помощи новой переменной, скажем, E(t}, отражающей
некий новый класс, в котором восприимчивые особи проводят заданное
количество времени прежде чем перейти в инфицированный класс. Такие
модели ведут к интегральной формулировке уравнений, и могут демон-
стрировать колебательное поведение, благодаря включению запаздывания.
Некоторые модели были описаны Хоппенштадом (Hoppensteadt 1975, см.
также 1982). Нелинейные колебания в таких моделях были исследованы
Хеткотом и др. (Hethcote et al. 1982; Hethcote 1994). Альтернативные под-
ходы, используемые для моделирования СПИДа, описаны ниже. Наконец,
возраст а зачастую является решающим фактором в вопросах восприим-
чивости и заразности болезни. В этом случае модели состоят из диффе-
ренциальных уравнений в частных производных с зависимыми перемен-
ными (t, а); одну такую модель мы рассмотрим ниже в этой главе.
Существует множество модификаций и детализаций, которые можно,
а часто и необходимо, включить в эпидемиологические модели; это, в ос-
новном, зависит от болезни и ее местонахождения. В следующих разде-
лах мы обсудим еще несколько общих моделей, чтобы проиллюстрировать
некоторые важные моменты. В указанных выше книгах и статьях довольно
подробно описано множество моделей.
10.3. Моделирование венерических заболеваний
Распространенность заболеваний, передающихся половым путем
(ЗППП), таких как гонорея (Neisseria gonorrhoeae), хламидиоз, сифилис
и, конечно, СПИД, является серьезной проблемой здравоохранения как
в развитых, так и в развивающихся странах. В США, например, по дан-
ным Центра по контрол^ и профилактике заболеваний (www. cdc. gov)
в 1996 году было зарегистрировано более 300 тыс. случаев гонореи, бо-
462
Глава 10
Рис. 10.3. Данные (•) о заболеваемости гриппом в закрытой школе для мальчиков
согласно британскому медицинскому журналу «The Lancet» за 4 марта 1978 года.
Сплошные кривые для инфицированных (I) и восприимчивых (S) были получены
численной аппроксимацией решений системы SIR (10.1)-(10.3). Значения пара-
метров: N = 763, So = 762, I = 1, р = 202, г = 2.18 х 10-3/день. Условия
возникновения эпидемии, а именно, So > р, очевидно, выполняются, и эпидемия
тяжелая, так как R/р велико
лее 11 тыс. случаев сифилиса и почти 500 тыс. случаев хламидиоза. Тогда
как для гонореи и сифилиса количество случаев уменьшается, для хлами-
диоза оно увеличивается. Некоторые цифры по заболеваемости ВИЧ мы
приведем ниже в разделах, посвященных СПИДу.
ЗППП обладают определенными характеристиками, не свойственными
таким инфекциям, как корь или краснуха. Одним из отличий является то,
что распространение ЗППП ограничено сексуально активной прослойкой
населения, следовательно, предположение о равномерном перемешивании
в пределах популяции в данном случае не совсем выполняется. Другим
отличием можно считать то, что носитель часто не проявляет явных симп-
томов вплоть до поздних стадий развития заболевания. Третьим важным
отличием является то, что ЗППП не приводят к формированию приобре-
тенного иммунитета после выздоровления от инфекции. Для вирусных ин-
10.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕНЕРИЧЕСКИХ ЗАБОЛЕВАНИЙ
463
фекций также важно отсутствие знаний некоторых параметров, характери-
зующих динамику передачи заболевания.
Несмотря на то, что гонорея, сифилис и СПИД (частота которого опас-
но возрастает) знамениты, ЗППП, оставившее далеко позади гонорею, го-
раздо менее известно. Это хламидиоз, вызываемый бактерией Chlamydia
trachomatis, который в 1996 году по количеству случаев обогнал гонорею
и сифилис вместе взятых и сейчас находится на подъеме. Он может приво-
дить к бесплодию у женщин, которые даже не проявляют никаких других
симптомов. Методы диагностики хламидиоза в настоящее время достаточ-
но эффективны, не требуют больших затрат и позволяют поставить точный
диагноз. Возможно, этот факт также привел к увеличению количества заре-
гистрированных случаев заболевания5. Бессимптомный характер этого за-
болевания у женщин очень опасен. Без лечения хламидиоз вызывает воспа-
лительные заболевания органов малого таза (ВЗОМТ), часто сопровождае-
мые хроническими болями, высокой температурой и бесплодием. Во время
беременности ВЗОМТ, среди прочих осложнений, может привести к преж-
девременным родам и внематочной беременности (то есть имплантация
оплодотворенной яйцеклетки происходит вне матки), которые могут пред-
ставлять угрозу для жизни. Запущенная гонорея, например, также может
вызывать слепоту, ВЗОМТ, сердечную недостаточность и, в конечном счете,
смерть. ЗППП являются основной причиной бесплодия у женщин. Послед-
ствия запущенных ЗППП в общем очень неприятны. Еще одной угрозой
и трагедией ЗППП является вертикальная передача инфекции от матери
к новорожденному. Другой проблемой стало появление новых штаммов:
в связи со СПИДом обычным вирусом был ВИЧ-1, но недавно был найден
новый ВИЧ-2. Относительно новый штамм гонореи, Neisseria gonorrhoeae,
открытый в 70-е годы XX века, оказался устойчивым к пенициллину.
В этом разделе представлена простая классическая модель эпидемии,
объединяющая некоторые базовые элементы гетеросексуального распро-
странения венерических заболеваний. В основном это относится к таким
заболеваниям, как гонорея; СПИД мы обсудим отдельно ниже в этой гла-
ве. Монография Хеткота и Йорка (Hethcote and Yorke 1984) до сих пор
является полезным обзором моделей, использующихся для описания рас-
пространения и контроля гонореи. В монографии показано, как успешно
использовать модели и реальные данные; выводы, представленные в рабо-
те, в первую очередь предназначены для медицинских работников.
В модели предполагаем, что в популяции распространены беспорядоч-
ные половые связи. Для простоты, мы рассматриваем только гетеросексу-
5 Несколько лет назад один из чиновников Министерства здравоохранения США на вопрос
о большом количестве случаев хламидиоза и о том, что врачи предпринимают в связи с этим,
ответил следующее: «Предпринимают? Большинство из них даже не знают, как он пишется».
464
Глава 10
альные сношения. Популяция состоит из двух взаимодействующих клас-
сов, мужчин и женщин, и инфекция передается от члена одного класса
члену другого. Это перекрестное заболевание, при котором каждый класс
является носителем болезни для другого класса. Во всех моделях мы пред-
полагали равномерное смешение определенных популяционных подгрупп.
Дите и Хаделер (Dietz and Hadeler 1988), например, рассматривали эпиде-
миологические модели ЗППП, в которых смешение было неоднородным.
Более сложные модели могут включать спаривание двух восприимчивых,
что обеспечивает временный иммунитет, несколько подгрупп и так далее.
Мы рассмотрим пример с большим количеством подгрупп дальше в этом
разделе.
Перекрестные инфекции во многом схожи, например, со случаями ма-
лярии6 и шистосоматоза, когда имеют место две перекрестные инфекции.
В случае шистосоматоза перекрест происходит между людьми и определен-
ным видом улиток. Шистосоматоз, или бильгарциоз, очень давно является
эндемическим заболеванием в Африке (смотри сноску 1 в главе 3). Дальше
в этой главе мы рассмотрим более сложный практический пример пере-
крестной инфекции между барсуками и крупным рогатым скотом, а имен-
но, бычий туберкулез.
Так как инкубационный период венерических заболеваний в сравне-
нии с инфекционным периодом обычно довольно краток (для гонореи, на-
пример, от трех до семи дней), используем расширенную простую эпи-
демиологическую модель из раздела 10.2. Разделим сексуально активную
мужскую популяцию на восприимчивый S, инфицированный I и устранен-
ный R классы; соответствующие группы женщин обозначим S*, /* и Я*.
Если не учитывать переход из устраненного класса в восприимчивый, ди-
намика инфекции описывается следующей схемой:
S — I — R
X (10-17)
S* —7*-* R*
Здесь I* заражает S', и I заражает S*.
6Очень интересный, волнующий и потенциально важный новый и дешевый метод лече-
ния малярии, ежегодно убивающей 2.7 миллиона людей во всем мире, был открыт доктором
Генри Лаем и его коллегами с факультета биоинженерии Университета Вашингтона. Они об-
наружили, что малярийный паразит Plasmodium falciparum (самый смертельный из четырех
малярийных паразитов) теряет активность и погибает под действием малых осциллирующих
магнитных полей (порядка поля Земли). Они предполагают, что этот эффект вызван движе-
нием внутри паразита очень маленьких частиц железа. Это приводит к нарушению пище-
варительного процесса паразитов, связанного с гемоглобином в красных кровяных тельцах
хозяина. Лай и его коллеги обнаружили, что препараты паразитов после воздействия поля
содержали на 33-70 % меньше организмов, чем контроль.
10.3. Моделирование венерических заболеваний
465
Как было замечено выше, излечение гонореи не приводит к выработке
иммунитета, следовательно, устраненный для лечения человек вновь ста-
новится восприимчивым после выздоровления. В этом случае более подхо-
дящей схемой для гонореи будет следующая:
S — I R
S*-*7*-* R*
(10.18)
Еще более простым вариантом, включающим только восприимчивых и ин-
фицированных будет следующий:
S — I
S? —7*
(10.19)
который мы и будем анализировать для примера. Это перекрестная мо-
дель SI.
Общее число мужчин и женщин принимаем постоянным и равным,
соответственно, N и 7\Г*. Следовательно, для (10.19) получаем
5(7) + I(t) = N, S*(t) + Г (t) = N*.
(10.20)
Как и раньше, скорость уменьшения числа восприимчивых мужчин при-
нимаем пропорциональной числу восприимчивых мужчин, умноженному
на инфицированную женскую популяцию; ту же самую форму используем
и для женщин. Предполагаем, что как только инфицированные выздорав-
ливают, они возвращаются в восприимчивый класс. Модель для (10.19),
таким образом, будет включать (10.20) и следующие выражения:
dS т dS*
— = —rSI + а/, —— = —г S I 4- а I ,
dt dt
di Qr* T dr
— = rSI — al, —— = r S I - al,
dt dt
(10.21)
где г, а, г* и а* — положительные параметры. Нас интересует развитие
болезни с заданными начальными условиями:
S(0) = So, /(0)-/0, 5*(0) = 50*, Г(0) = /0*. (Ю.22)
466
Глава 10
Несмотря на то, что (10.21) является системой четвертого порядка,
с учетом (10.20) она упрощается до системы второго порядка как для S
и S*, так и для I и I*. В последнем случае получаем систему:
— = rI*(N — Г) — al,
dt
di*
——= г* I(N* — Г) — a* I*,
dt
(10.23)
которую можно проанализировать на фазовой плоскости (/,/*) стандарт-
ным образом (смотри главу 3). Система (10.23) имеет следующие точки
равновесия, то есть стационарные состояния: I = 0 = I* и
W _ рр* о* — рр* а * а*
s р + N* ’ 8 р* + N г' ? г*
Таким образом, ненулевые положительные стационарные состояния инфи-
цированных популяций существуют только при NN* / рр* > 1: это порого-
вое условие, в некоторой степени аналогичное условию из раздела 10.2.
Благодаря опыту, приобретенному в главе 3, можно ожидать, что ес-
ли положительное стационарное состояние существует, то нулевое стаци-
онарное состояние неустойчиво. Так и есть. Собственные значения А при
линеаризации системы (10.23) в окрестности I = 0 = I* определяются
следующим образом:
—а — A tW
г* АГ* —а* — А
=Ф 2А = — (а -F а*) ±
'/ л *(NN* '
(а -F а ) + 4аа* —-------1
\ РР
Следовательно, если выполняется пороговое условие NN* /рр* > 1,
то Ai < 0 < А2, и начало координат представляет собой «седло» на фазовой
плоскости (I, /*). Если же оно не выполняется, то есть (0 <)AW*/pp* < 1,
то начало координат устойчиво, так как оба А < 0. В этом случае положи-
тельные Is и I* не существуют.
Если Is и I* существуют, и это значит, что они положительны, ли-
неаризация системы (10.23) в их окрестности даст собственные значения,
удовлетворяющие условию:
-а — rl* - A rN - rl
r*N* — г* I* —а* — г* Is — А
10.4. Модель гонореи и ее контроля с несколькими группами 467
то есть
А2 + А[а + а* + rl* + г*13] + [агЦ + аг*13 + rr*(I*N + IN*) +
+аа* — rr*NN*] = 0.
Решения этого уравнения имеют Re А < 0, и, таким образом, положитель-
ное стационарное состояние (ZS,Z*) системы (10.24) устойчиво.
Пороговым условием для ненулевого стационарного состояния инфи-
цированной популяции является NN*/рр* = (rN/а)(г* N* /а*) > 1. Мож-
но объяснить каждый член по порядку. Если каждый мужчина восприим-
чив, то rN/а — среднее число мужчин, зараженных одной инфицированной
женщиной за время ее инфекционного периода; аналогично интерпретиру-
ется r*N*/а*. Эти величины, rN/а и r*N*/а*, представляют собой, соот-
ветственно, максимальные интенсивности контактов мужчин и женщин.
Несмотря на то, что значения параметров для контактов в течение ин-
фекционной стадии, полученные из индивидуальных анкет, крайне нена-
дежны, из статистических данных с 1950 года совершенно ясно, что эпиде-
мии существуют во многих странах, следовательно, NN* / рр* > 1. Из ин-
формации о количестве контактов во время инфекционной стадии, предос-
тавленной инфицированными мужчинами и женщинами в США в 1973 го-
ду были посчитаны максимальные интенсивности контактов для муж-
чин и женщин соответственно: N/р « 0,98 и N*/р* ~ 1,15, что да-
ет NN*/pp* « 1,127.
10.4. Модель гонореи и ее контроля с несколькими
группами
Несмотря на то, что модель SI в предыдущем разделе очень проста,
она применима в некоторых реальных случаях. Но в случае гонореи она
пренебрегает многими важными факторами. Например, как было замече-
но выше, значительная часть женщин хоть и инфицированы, но не прояв-
ляют симптомов; таким образом, они формируют бессимптомную группу.
Более того, в популяции существуют различные подгруппы. Например, ра-
зумно было бы предположить существование восприимчивых, проявляю-
щих симптомы, лечащихся инфицированных и не лечащихся инфицирован-
ных подгрупп. Лайманович и Йорк (Lajmanovich and Yorke 1976) предло-
жили и проанализировали модель инфицирования гонореей, состоящую из
восьми подгрупп: сексуально (1) очень активных и (2) активных женщин
(мужчин), не проявляющих симптомы при инфекции, и (3) очень активных
и (4) активных женщин (мужчин), проявляющих симптомы.
468
Глава 10
Если общее число активных мужчин и женщин составляет, соответ-
ственно, N и принимаемые постоянными, можно нормировать раз-
личные группы как доли N и №*. Обозначим группы женщин индекса-
ми 1,3,5,7, а мужчин — 2,4,6,8. Таким образом, если Ni9 i = 1,2,..8,
обозначают нормированные популяции, получаем
7V1 + + + дг7 = 1, дг2 + дг4 + дгб + дг8 = 1. (ю.25)
Так как ни иммунитет, ни устойчивость не приобретаются при гоно-
рее, рассмотрим только два класса, восприимчивых и инфицированных.
Если 4(t), г = 1,2,...,8, обозначает доли популяции, инфицированные
в любой момент времени t, то доли восприимчивых в то же время соста-
вят 1 — Ц(£), г = 1,2,..., 8.
Вновь предположим равномерное перемешивание. Пусть для каждой
группы Di будет средним временем (в месяцах) инфицирования для груп-
пы г. Следовательно, \/Di — вероятность излечения инфекции каждый ме-
сяц. Таким образом, интенсивность устранения в месяц составляет lilDi.
Пусть Lij будет числом эффективных контактов особи из группы i
с особью из группы j за месяц. Так как в модели рассматриваются только
гетеросексуальные (в противовес гомосексуальным) контакты, получаем
— 0, если i + j — четное.
Матрица [Ь^] называется матриц ей контактов. Несмотря на сезонные раз-
личия в здесь мы примем ее постоянной. Следовательно, среднее число
восприимчивых, зараженных в единицу времени (месяц) в группе i груп-
пой j составит Lij(l — L). Таким образом, модельная система дифферен-
циальных уравнений будет иметь следующий вид:
dt
скорость
инфицирования
8
3=1,
скорость
инфицирования (заболеваемость)
Nik
~D~
скорость
выздоровления
(10.26)
с начальными условиями Д(0) = Ао-
При рассмотрении линеаризации в окрестности ненулевого стационар-
ного состояния можно оценить влияние варьирования параметров и, следо-
вательно, различных стратегий контроля заболевания. Эта модель подробно
проанализирована Лаймановичем и Йорком.
Основными целями контроля являются уменьшение частоты заболе-
ваемости и увеличение количества обнаруженных случаев. И то, и другое
10.4. МОДЕЛЬ ГОНОРЕИ И ЕЕ КОНТРОЛЯ С НЕСКОЛЬКИМИ ГРУППАМИ 469
влияет на долговременное распространение заболевания. Таким образом,
скрининг, обнаружение и лечение инфицированных является важным пер-
вым шагом контроля. В статье Хеткота и др. (Hethcote et al. 1982) сравни-
ваются различные методы контроля гонореи; также в статье есть ссылки на
другие предложенные модели.
В качестве примера, предположим, что С — параметр, пропорцио-
нальный количеству женщин, сдавших анализы на гонорею, a CRi — ко-
личество женщин в группе г, у которых заболевание было обнаружено.
Пусть EPi — общее дополнительное число женщин, у которых обнару-
жили гонорею, Е — мера вложенных в это усилий, a Pi — численность
группы г: Е зависит от стратегии контроля. Следовательно, вместо (10.26)
получаем модель контроля:
g
(10.27)
J=1
Разные методы контроля подразумевают разные Ri и Р.
Предположим, что существует общий скрининг женщин (главный ме-
тод контроля в США). Основываясь на числе диагностированных инфи-
цированных женщин, прямо пропорциональном числу инфицированных,
и существовании дополнительной программы общего скрининга женской
популяции, получаем
Pi = Ri=IiNi, г = 1,3,5,7; ^=7^=0, г = 2,4,6,8.
Если программа рассчитана на мужчин, четные и нечетные диапазоны чи-
сел меняются местами.
Эти и другие методы контроля описаны в статье Хеткота и др.
(Hethcote et al. 1982); смотри'также статью Хеткота и Йорка (Hethcote
and Yorke 1984). Авторы также обсуждают важную проблему оценки пара-
метров и, в конце концов, дают сравнительную характеристику различных
стратегий контроля. Цену и социальные границы скрининга также необхо-
димо учитывать при практическом применении таких программ. Политиче-
ские и социологические соображения также могут быть довольно деликат-
ными.
Снова стоит сделать ударение на то, что модели венерических забо-
леваний, использующиеся в программах контроля, должны иметь подтвер-
ждение, которое можно получить только при сравнении их решений и про-
гнозов с реальными данными. Это, конечно, относится ко всем моделям
контроля заболеваний.
470
Глава 10
10.5. СПИД: моделирование динамики передачи ВИЧ
Немного предпосылок, мифов, статистики и полемики
Одним из аспектов эпидемии СПИДа (синдрома приобретенного им-
мунодефицита) является миф отрицания, часто встречающийся в случае бо-
лезней, которые, например, несут общественное клеймо позора или имеют
большое экономическое значение. В краткой и очень уместной статье Вайса
(Weiss 1996) обсуждаются некоторые недавние примеры такого отрицания,
связанные со СПИДом, и предложено несколько современных причин это-
го. Вайс также приводит несколько удивительных высказываний о предме-
те. Например, министр внутренних дел Великобритании заявил, что ВИЧ
(вирус иммунодефицита человека) не может передаваться в тюрьмах, так
как секс и наркотики там запрещены. Другим примером может служить ме-
дицинский обозреватель, написавший в уважаемой британской газете «The
Independent», что «правительство потратило £150 миллионов наших нало-
говых денег на то, чтобы предать анафеме невинные удовольствия случай-
ных гетеросексуальных половых связей». К вере в то, что ВИЧ не приводит
к СПИДу, присоединился в своей книге ученый Дьюсберг (Duesberg 1996)
из университета Калифорнии в Беркли. Среди прочего, он утверждает, что
СПИД не только не заразен, но также вызывается лекарствами, которые
применяются для быстрого блокирования ВИЧ. Лоритсен (Lauritsen 1993)
приписывает СПИД медико-индустриальному комплексу, чьей целью яв-
ляется получение прибыли и геноцид. Он утверждает, что лекарство AZT,
используемое для лечения ВИЧ, на самом деле вызывает СПИД! Вопрос
о том, каким образом так много AZT попало в расположенные к югу от Са-
хары африканские страны, наиболее проблемную область, им не рассматри-
вается. В недавней книге Хупера (Hooper 1999) о происхождении заболева-
ния выдвинуто спорное предположение о том, что СПИД вызван экспери-
ментальной пероральной вакциной от полиомиелита, которую испробовали
на себе более 1 миллиона человек в Руанде, Бурунди и Конго в период
с 1957 по 1960 год. Эти страны являются эпицентром африканской эпи-
демии. Хупер утверждает, что вакцина могла быть произведена с исполь-
зованием тканей шимпанзе, зараженных предком вируса. Это было опро-
вергнуто врачами, участвовавшими в программе. Аргументы Хупера были
аккуратно исследованы, но доказательства носят лишь косвенный характер.
Самая страшная эпидемия СПИДа наблюдается в Африке, где было
зарегистрировано около 70% всех мировых смертей от заболевания и где,
как недавно (июль 1999) сообщил доктор Питер Пиот, глава Объединенной
программы ООН по ВИЧ/СПИДу (ЮНЭЙДС), половина новорожденных
10.5. СПИД: МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЕРЕДАЧИ ВИЧ
471
ВИЧ-положительны. Однако обычная нелепая политика отрицания суще-
ствования заболевания в 80-х годах XX века некоторыми африканскими
лидерами («В моей стране нет СПИДа») и другими ответственными лица-
ми в середине 90-х годов поменялась. В южной Африке к 1998 году 34 мил-
лиона человек были заражены ВИЧ, с 1981 года вирус убил 11,5 миллионов
и приблизительно 1.8 миллинов только в 1998 году. По оценкам, в 1999 году
5,6 миллионов взрослых и детей заразились вирусом, и, таким образом, во
всем мире с 1981 года 50 миллионов людей были заражены и из них 16 мил-
лионов умерли; 2,6 миллиона умерли только в 1999 году, это самый высо-
кий показатель смертей за все время. Для Зимбабве, Малави и Ботсваны,
возможно, наиболее пораженных вирусом стран, ВИЧ стал человеческой и
экономической катастрофой: в Зимбабве по крайней мере 20% населения
ВИЧ-положительны, когда как в Ботсване эта цифра составляет 35 %. Неве-
роятно быстрый рост заболеваемости в ЮАР (где 20 % населения заражены
ВИЧ) вызывает тревогу7. Средняя продолжительность жизни в ЮАР суще-
ственно возросла в 90-х годах и сейчас резко снизилась. Вполне возможно,
что Мальтус (см. главу 1) был прав в своем прогнозе о болезнях и популя-
ционном контроле. Широкая картина в мировом масштабе и несколько важ-
ных аспектов заболевания представлены в специальном отчете о СПИДе
в «Scientific American» (1998). Авторы рассказали о своем опыте, связанном
с предотвращением, этическими дилеммами, детьми с ВИЧ, устойчивостью
к лекарствам, вакцинами и другими проблема заболевания.
СПИД, в отличие от раннего представления о нем как о болезни гомо-
сексуалистов, сейчас очень даже гетеросексуальное заболевание. В отчете
ЮНЭЙДС для Всемирного дня СПИДа, 1 декабря 1999 года, было сказа-
но, что 22,3 миллиона взрослых в африканских странах к югу от Сахары
заражены ВИЧ, из них 55 % — женщины. По оценкам, в Южной и Юго-
Восточной Азии женщины составляют 30%, в Северной Америке — 20%.
В Африке вирус большей частью распространяется за счет гетеросексуаль-
ных контактов, когда как в США, в основном, за счет гомосексуальных.
Наиболее важным аспектом защиты от инфекционных заболеваний
бесспорно является наблюдение за ними, характеризующее их клиниче-
скую картину. Несмотря на то, что существуют социальные проблемы,
7В случае ЮАР, заявление министра здравоохранения (во время недели Национальной ас-
самблеи 16 ноября 1999 года) о том, что использование AZT может быть слишком опасным,
точно не принесло пользы. (Возможно, стоит признать, что лекарство для лечения смертель-
ного заболевания более токсично, чем травяной чай.) Как будто этого было недостаточно,
в апреле 2000 года президент Табо Мбеки, к удивлению и сожалению многих, сказал, что хо-
тел бы обсудить ВИЧ и СПИД именно с теми учеными, которые утверждают отсутствие связи
между ними; он просто отказался признать связь между ВИЧ и СПИДом.
472
Глава 10
связанные со сбором данных о количестве зараженных ВИЧ людей, со-
мнительно, что эпидемию удастся остановить, если эту информацию не
сделать доступной8. Масштабный надзор за человеческим туберкулезом
(Mycobacterium tuberculosis) в 50-х годах XX века, в конце концов, привел
к искоренению заболевания во многих развитых странах. Однако сейчас
появляются новые человеческие штаммы туберкулеза, в том числе и в раз-
витом мире: это уже серьезная проблема в Нью-Йорке. Туберкулез до сих
пор убивает множество людей по всему миру; между 1990 и 1999 годами
от него погибло приблизительно 30 миллионов человек (Cosivi et al. 1998).
Недостаток знаний о ВИЧ приводит к огромным сложностям при раз-
работке эффективных методов контроля, не говоря о программах для меди-
цинских заведений. Образовательные программы о том, как он может рас-
пространяться, являются минимальным требованием. Те из них, которые
были осуществлены, имели некоторый успех, но даже их продолжительное
использование или новые программы часто были блокированы религиоз-
ными учреждениями (и не только ультраправыми). Без знаний об источ-
нике заболевания очень сложно создать эффективные стратегии предотвра-
щения и контроля. В соответствии с мрачным докладом ЮНЭЙДС (Гло-
бальная эпидемия ВИЧ/СПИДа, декабрь 1997), в день около 16000 людей
заражаются ВИЧ, а 27 миллионов ВИЧ-положительны, но не знают этого.
СПИД лишь одно из заболеваний, надзор над которым был катастрофиче-
ски неадекватным. Другим примером может служить отсутствие надзора
над неправильным применением антибиотиков, которое в скором времени
может привести к серьезным проблемам в связи с появлением устойчивых
штаммов бактерий.
Помимо новых штаммов ВИЧ, также наблюдается увеличение числа
новых или заново идентифицированных болезней или старых патогенов на
новых территориях. К ним относятся, например, холерный вибрион 0139
(новый агент, открытый в 1992 году), являющийся новым вариантом холе-
8 Однажды на занятии по моделированию эпидемий я предложил студентам построить мо-
дель распространения гипотетической болезни, основанной, в сущности, на распространении
ВИЧ, но этот факт я постарался скрыть. После того, как они создали разумную первую модель,
я попросил их предложить стратегии контроля. Все без исключения в аудитории согласились,
что единственным способом является глобальный надзор, при котором каждый должен сдать
анализ на вирус. Затем я взял их модель и на каждом шаге напрямую применил ее к современ-
ной эпидемии СПИДа. Реакция аудитории была такой, какую я и ожидал (хотя и не в смысле
силы эмоций): класс без промедления окунулся в очень жаркую дискуссию между борцами за
гражданские права, политиками, гуманистами, религиозной группой, занявшей позицию мо-
рального превосходства, и прагматиками. (Я не участвовал в дискуссии и лишь направлял ее.)
В конце концов, студенты объединились лишь в вере в то, что я обманом заставил их сказать,
что каждый должен сдать тест на ВИЧ, — и они были абсолютно правы, конечно же; именно
это и было моим намерением.
10.5. СПИД: МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЕРЕДАЧИ ВИЧ
473
ры, вирус гепатита Е (новый — 1990), геморрагическая лихорадка (1991)
в Венесуэле, хантавирус (1993) на юго-западе США, сибирская язва (1993)
на Карибах, лихорадка Ласа (1992) в Восточной Африке и многие другие.
Книга Гаррета (Garrett 1994) посвящена недавно появившимся заболева-
ниям, которые автор называет «грядущая чума». Несмотря на появление
других новых инфекций и возрождение старых и другие серьезные смер-
тельные болезни, СПИД, вероятно, является крупнейшей эпидемией XX
века, а может быть и за все время существования человечества. Его рас-
пространение превзошло мрачные ожидания, высказанные в первом изда-
нии этой книги в 1989 году. К сожалению, современная ситуация только
пессимистам может дать повод для оптимизма.
Вирус иммунодефицита человека. {ВИЧ)-предпосылки
Вирус иммунодефицита человека, ВИЧ, приводит к синдрому приобре-
тенного иммунодефицита — СПИДу. ВИЧ представляет собой ретровирус,
и как большинство вирусов семейства Retroviridae реплицируется только
в делящихся клетках. Даже в пределах семейства ретровирусов ВИЧ об-
ладает некоторыми несчастливыми особенностями. Например, он исполь-
зует процессинг мРНК в клетке для вторжения, после чего синтезирует
собственную вирусную РНК. Несмотря на то, что исследования (Но et al.
1995) показали высокую скорость репликации вируса in vivo, иммунная си-
стема способна от 5 до 10 лет и дольше, в зависимости от первоначальной
инфекции, противодействовать репликации. Больные гемофилией, которым
переливали зараженную кровь, погибали в течение месяцев.
Инфицирование наиболее распространенным вирусом ВИЧ-1 облада-
ет множеством очень сложных свойств, большая часть которых до сих пор
не понятна. Тот факт, что развитие заболевания может продолжаться бо-
лее 10 лет после заражения, лишь одно из них. К тому же, тогда как им-
мунный ответ уничтожает большинство вирусных инфекций, ВИЧ он кон-
тролирует очень слабо. В первую очередь ВИЧ инфицирует белые кровяные
тельца или лимфоциты, называемые CD4 Т-лимфоцитами, но также он за-
ражает и другие клетки, например, дендритные. Вирус обладает высоким
сродством к рецептору, расположенному на поверхности каждой из этих
клеток, что позволяет ему попадать в свое местообитание in vivo. Когда
уровень CD4 Т-лимфоцитов, в норме составляющий около 1000//Z л, пада-
ет до 200/р л или ниже, пациенту ставят диагноз СПИД. Существуют спе-
цифические точно определенные клинические критерии (Morb Mort Week
Report 42 (№ RR-17), таблица 308-1 и таблица 308-2, 18 декабря 1992), ис-
пользуемые для диагностирования СПИДа; уровень CD4 Т-лимфоцитов —
не единственный фактор. Критерии регулярно обновляются. Они исполь-
474
Глава 10
зуются Центром по контролю и профилактике заболеваний для надзора.
Например, если у зараженного пациента уровень CD4 Т-лимфоцитов вы-
ше 500hi л, но у него наблюдается одно из сопутствующих заболеваний,
ставится и регистрируется официальный диагноз. Причина падения коли-
чества Т-лимфоцитов неизвестна. Уровень Т-клеток в организме обычно
очень быстро восполняется, следовательно, инфекция может повлиять на
источник новых лимфоцитов или продолжительность жизни существую-
щих. Несмотря на то, что ВИЧ способен убивать инфицированные им клет-
ки, лишь малая часть CD4 Т-лимфоцитов заражена в каждый момент време-
ни. Так как CD4 Т-клетки играют ведущую роль в регуляции иммунитета,
уменьшение их количества ведет к масштабному разрушительному влия-
нию на функционирование иммунной системы как целого, и именно это
ведет к СПИДу.
Начиная с 80-х годов, было разработано множество моделей, детерми-
нистических и стохастических, для описания иммунной системы и ее взаи-
модействия с ВИЧ. Это очень противоречивая область. Стохастические мо-
дели нацелены на описание ранних событий заболевания, когда существует
несколько инфицированных клеток и небольшое количество вирусов. Новак
и др. (Nowak et al. 1996, также см. в этой статье ссылки на более ранние
работы) рассматривают влияние изменчивости среди вирусных штаммов,
но на эту и более раннюю работу было сделано несколько критических
отзывов (Stilianakis et al. 1994; Wein et al. 1998).
Большинство предложенных моделей детерминистические (McLean
and Nowak 1992; Perelson et al. 1993; Essunger and Perelson 1994; Frost
and McLean 1994; Stilianakis et al. 1994; Kirschner and Webb 1997; Wein
et al. 1998). Детерминистические модели, стремящиеся отобразить динами-
ческие изменения в среднем количестве клеток, больше подходят для позд-
них стадий процесса, когда популяция вируса велика. Эти модели обычно
рассматривают динамику CD4 Т-клеток, латентно инфицированных клеток
и вирусной популяции, а также эффекты лекарственной терапии.
Помимо прочего, по причине этических соображений, связанных
с проведением экспериментов на людях, существует нехватка фундамен-
тальных знаний о динамике инфекции ВИЧ. Например, так как болез-
ни в среднем требуется 10 лет для того, чтобы развиться, было широко
распространено мнение о том, что составляющие процесса также долж-
ны быть медленными. Сочетание математического моделирования и экспе-
римента показало, что это не так. В инфекции ВИЧ существует несколь-
ко временных шкал, занимающих от минут до часов и от дней до ме-
сяцев. Современное понимание стремительности инфекции ВИЧ корен-
ным образом изменило способы лечения пациентов и внесло серьезной
10.5. СПИД: МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЕРЕДАЧИ ВИЧ
475
вклад в продление жизней людей (см. обзорную статью Perelson and Nelson
1999).
На рисунке 10.4 показано типичное течение инфекции ВИЧ. Сразу по-
сле инфицирования количество вирусов в крови, У, быстро увеличивается.
Через несколько недель или месяцев симптомы исчезают, и концентрация
вирусов снижается до более низкого уровня. Происходит иммунный ответ
на вирус, и в крови наблюдаются антитела к нему. В настоящее время су-
ществует очень точный тест для определения этих антител, показывающий
был ли человек подвержен вирусу. Если антитела были найдены, человек
считается ВИЧ-положительным.
Рис. 10.4. Схема течения типичной инфекции ВИЧ в зараженном взрослом. Концен-
трация вируса, уровень антител и CD4 Т-лимфоцитов представлены как функции
от времени. Ранний пик соответствует первичной инфекции, ведущей к латентному
периоду. Заметим, что уровень CD4 Т-лимфоцитов постепенно снижается. В конце
концов начинают появляться симптомы полноценного СПИДа. (Воспроизведено из
Perelson and Nelson 1999 с разрешения авторов)
Уровень, до которого падает концентрация вируса после первичного
инфицирования, называется точкой отсчета. После ее достижения кажет-
ся, что концентрация вируса остается на квазистационарном уровне, ко-
гда как концентрация CD4 Т-клеток медленно падает. В этот период, когда
концентрация вируса относительно постоянна, а количество Т-лимфоцитов
медленно уменьшается, инфицированный человек обычно не проявляет
симптомов.
Ключевым вопросом, таким образом, является, что же происходит во
время этого бессимптомного периода? Было распространено мнение, что
вирус находится в покоящемся или латентном состоянии во время этого
476
ГЛАВА 10
периода, как бывает при других вирусных инфекциях, например, герпесе.
Одним из способов определения того, активен ли вирус, является возму-
щение системы хозяин-вирус во время бессимптомного периода. В сере-
дине 90-х годов была начата работа над новыми антиретровирусными ле-
карствами — ингибиторами протеаз. С помощью этих лекарств стало воз-
можно возмутить систему хозяин-вирус во время бессимптомного перио-
да. В 1994 году Дэвид Хо (Центр исследования СПИДа Аарона Даймонда)
провел эксперимент, во время которого он исследовал ответ 20 пациен-
тов, зараженных ВИЧ, на ингибитор протеазы ритонавир. Результаты были
впечатляющими. На рисунке 10.5 показано, как количество зарегистриро-
ванных в плазме крови вирусов быстро падает после принятия лекарства.
Алан Перельсон (Национальная лаборатория в Лос-Аламосе) и его колле-
ги разработали модельную систему, которая была применена к данным Хо,
и были получены оценки критических параметров (эта работа описана в Но
et al. 1995).
Прежде чем обсуждать модель, включающую лечение ингибито-
ром протеаз, для учебных целей рассмотрим раннюю модель Андерсона
(Anderson et al. 1986), так как она является примером часто применяемых
в моделировании эпидемий блок-схем. Эта модель менее специфична и не
относится напрямую к современному представлению о ВИЧ, в отличие от
модели, которую мы рассмотрим ниже в связи с данными и качествен-
ным поведением вируса, показанными на рисунках 10.4 и 10.5. Хороший
обзор состояния моделирования СПИДа в 80-е годы дан Ишамом (Isham
1988).
Базовая эпидемиологическая модель инфекции ВИЧ в гомосексуальной
популяции
Нас интересует развитие эпидемии СПИДа в гомосексуальной попу-
ляции. Предположим существование постоянной скорости иммиграции В
восприимчивых мужчин в популяцию размера N(t). Пусть X(t),Y(t), A(t)
и Z(t) обозначают численности, соответственно, восприимчивых мужчин,
инфицированных мужчин, пациентов со СПИДом и ВИЧ-положительных
или сероположительных мужчин, которые незаразны. Предположим, что
восприимчивые умирают естественной смертью со скоростью ц; если
бы СПИДа не было, стационарное состояние популяции описывалось бы
как 7V* = В///. Предположим, что больные СПИДом умирают со скоро-
стью d: 1 /d имеет порядок от месяцев до лет, последнее чаще. На рисун-
ке 10.6 показана схема заболевания, на которой основана наша модель.
Как и в предыдущих моделях, мы рассматриваем однородное смеше-
ние. Подходящей моделью первого порядка, основанной на схеме на рисун-
10.5. СПИД: МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЕРЕДАЧИ ВИЧ
477
Рис. 10.5. После начала лечения ингибитором протеаз в момент времени t = 0 со-
держание вируса в плазме резко снизилось. На рисунке представлены данные двух
из 20 пациентов, исследованных Хо (Но et al. 1995): все 20 пациентов показали
быстрое падение концентрации вируса. (Воспроизведено с разрешения авторов)
ке 10.6, будет следующая:
dX /ЗУ —— = В — цХ — АсХ, А = ——, dt N (10.28)
— ХсХ — (у + //)У, at (10.29)
dA — = pVY - (d + /z)A, at (10.30)
dZ , — = (1 - p)vY - pZ, at (10.31)
N(t) = X(t) + Y(t) + Z(t) + A(t). (10.32)
Здесь В — скорость пополнения восприимчивых, // — скорость естествен-
ной (не связанной со СПИДом) смерти, А — вероятность получения инфек-
ции от случайно выбранного партнера (А = (3Y/N, где (3 — вероятность
478
Глава 10
передачи болезни), с — количество сексуальных партнеров, d — скорость
вызванной СПИДом смерти, р — доля заразных ВИЧ-положительных муж-
чин и v — скорость превращения инфекции в СПИД, в данном случае при-
нимаемая постоянной. 1/v, равная, скажем, D, таким образом, представляет
собой средний инкубационный период болезни. (На самом деле, А должна
быть равна /ЗУ/(X + Y + Z), но А принимается много меньше чем 7V.)
Заметим, что в данном случае общая численность популяции N(t) не пос-
тоянна, как это было в эпидемиологических моделях в разделе 10.2. При
сложении уравнений (10.28)-( 10.32) получим
dN
——= В - pN - dA.
dt
(10.33)
В
р
Восприимчивые X ----► Естественная смерть
А.
Инфицированные Y —---► Естественная смерть
Естественная р СПИЛ А
смерть
(1 - P)v
d
Серопозитивные/ . Естественная
незаразные смерть
Вызванная болезнью смерть
Рис. 10.6. Схема заболевания, описываемого модельной системой (10.28)-( 10.31).
В представляет собой пополнение количества восприимчивых в гомосексуальном
сообществе. Скорость перехода из восприимчивого в инфицированный класс со-
ставляет Ас, где А — вероятность приобретения инфекции от случайно выбранного
партнера и с — количество сексуальных партнеров. Предполагается, что часть ин-
фицированного класса станет незаразной, когда как у остальных разовьется СПИД.
Естественная (не вызванная СПИДом) смерть также включена в модель. Параметры
объяснены в тексте
Эпидемия начинается, если базовое репродуктивное число Rq > 1: то
есть количество вторичных инфекций, вызванных первичной инфекцией,
больше 1. Из (10.32) следует, что если в момент времени t = 0, зараженный
10.5. СПИД: МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЕРЕДАЧИ ВИЧ
479
человек попадает в свободную от заболевания популяцию восприимчивых,
в начале X « N и, следовательно, вблизи t = 0
dY
dt
(/Зс — v — p)Y v(Rq — 1)Y,
(10.34)
так как среднее время инкубации 1/v от инфицирования до развития бо-
лезни много короче, чем средняя продолжительность жизни l//z восприим-
чивого; то есть v д. Следовательно, из последнего уравнения получаем
приблизительное пороговое условие для начала эпидемии:
Ro « — > 1. (10.35)
V
Здесь базовое репродуктивное число Rq выражено через количество сек-
суальных партнеров с, вероятность передачи /3 и среднее время инкубации
заболевания \/v.
Когда начинается эпидемия, система (10.28)-(10.32) приходит к ста-
ционарному состоянию, определяемому следующими выражениями:
(т; 4- v* _ (<* + М)(В -
VY — -----—---, 1 — ----------------,
с/3 pvd
Z* _ + А. =
pdp d
N» = В0[ц(у + d + ц) + vd(l - р)]
[v + p][6(d + р) — pv\
Если линеаризовать систему в окрестности стационарного состояния, мож-
но показать, что (X, У, Z, А) стремится к (X*, У*, Z*, А*) путем затуха-
ющих колебаний с периодом, заданным в терминах модельных парамет-
ров; метод получения этого результата точно такой же, как в главе 3, толь-
ко алгебра поутомительнее. При типичных значениях параметров для того
времени (Anderson et al. 1986) период вспышки эпидемии составлял от 30
до 40 лет. Нереалистично предполагать, что параметры, характеризующие
социальное поведение, связанное с заболеванием, останутся неизменными
за этот промежуток времени. Продолжительность жизни людей с ВИЧ с тех
пор значительно увеличилась, большей частью благодаря таким новым ле-
карствам, как AZT и ингибиторы протеаз.
Можно получить некоторую интересную информацию из анализа си-
стемы на ранних стадиях эпидемии. Популяция почти полностью состо-
480
Глава 10
ит из восприимчивых, так что X « N, и уравнение для роста численно-
сти инфицированных (ВИЧ-положительных) Y аппроксимируется уравне-
нием (10.34) со следующим решением:
у(г) = У(0)е*'(д°-1)‘ = У(0)ег(, (10.37)
где Rq — базовое репродуктивное число, 1/v — средний инфекционный
период и У(0) — первоначальное количество заразных людей, представ-
ленных в популяции. Действительная скорость роста г = v(Rq — 1) по-
ложительна, только если имеет место эпидемия (7?о > 1). Из (10.37) мы
можем получить время удвоения числа жертв эпидемии, то есть время td,
когда Y(td) = 2У(0):
. 1п2 ,
'' г (10'38’
Видно, что чем больше базовое репродуктивное число /?о, тем короче время
удвоения.
Если теперь мы подставим (10.37) в уравнение (10.30) для больных
СПИДом, получим
dA
— = pvY(0)ert — (d +р)А.
at
В начале эпидемии нет больных СПИДом, то есть Л(0) = 0, следовательно,
решение выглядит следующим образом:
_ g — (d+ii)t
A(t)=pvY(0)------—--------.
г + d + //
Оценка параметра г была сделана (Anderson and May 1986) благодаря
данным, полученным от 6 875 гомосексуальных и бисексуальных мужчин,
посещавших больницу в Сан-Франциско с 1978 по 1985 год: среднее значе-
ние составляет 0.88 год-1. Также были сделаны грубые оценки (Anderson
and May 1986; Anderson et al. 1986) остальных параметров: Ro = 3-4, d +
+ /i~d=l — 1.33 год-1, p = 10-30% (этот параметр определенно много
выше), v « 0.22 год-1, с = 2-6 партнеров в месяц. С этими оценками
получаем приблизительное время удвоения ВИЧ-положительного класса,
равное примерно 9 месяцам.
Многочисленные численные эксперименты, основанные на модельной
> системе уравнений (10.28)-(10.31), дали ясную картину развития эпидемии
10.5. СПИД: МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПЕРЕДАЧИ ВИЧ
481
после внедрения ВИЧ в восприимчивую гомосексуальную популяцию. На
рисунке 10.7 показан один из таких численных экспериментов: модель
предсказывает, что частота заболевания ВИЧ достигает максимума пример-
но через 12-15 лет после попадания вируса в популяцию. Следует помнить,
что это ранняя (и сейчас, скорее, учебная) модель. Интересно сравнить эти
предсказания, сделанные в середине 80-х, с ситуацией в 2000 году.
Рис. 10.7. Численные решения модельной системы (10.28)—(10.31) при начальных
условиях А(0) = Z(0) = 0, S(0) + У(0) = 7V(0) = 100 000. Значения парамет-
ров: В = 13 333.3 год-1, v = 0.2 год-1, р, = (1/32) год-1, d = 1 год-1, р = 0.3,
базовое репродуктивное число эпидемии Ro & — 5.15. Кривые показывают
долю ВИЧ-положительных и долю тех, у кого развился СПИД. (По Anderson et al.
1986)
Несмотря на простоту моделей, результаты согласовывались с наблю-
дением гомосексуальных сообществ. Были предложены более реалистич-
ные (и не всегда более сложные) модели, вроде тех, что представлены ни-
же. Обзор некоторых недавних математических моделей динамики переда-
чи инфекции ВИЧ и СПИДа сделан Перельсоном и Нельсоном (Perelson
and Nelson 1999). В ходе естественного развития реалистичного модели-
рования и с накоплением новых данных и информации об эпидемии, без
сомнения, понадобятся более сложные модели. Практической пользой хо-
роших моделей на любой стадии помимо прочего является то, что они ста-
вят вопросы, способные направить сбор данных, и фокусируются на том,
482
Глава 10
какая полезная информация может быть получена из скудных или более
чем неполных данных. Оценки времени удвоения эпидемии, ее жестокости
и так далее также представляют определенный интерес и приносят поль-
зу. Модель, представленная здесь, описывает гомосексуальную популяцию.
Сейчас, когда эпидемия в значительной степени гетеросексуальна, требуют-
ся другие модели. Подход, описанный здесь, является хорошей начальной
точкой. Модели, которые мы сейчас рассмотрим, основаны на совсем дру-
гом подходе к инфекции ВИЧ, так как имеют дело с популяцией вирусов,
а не людей. В результате, они могут быть ближе к данным in vivo.
10.6. ВИЧ: моделирование комбинированной
лекарственной терапии
Этот раздел частично основан на работе Нельсона (Nelson 1998). Мы
начнем с простой основанной на эксперименте модели, предложенной Пе-
рельсоном (Perelson et al. 1996). Затем мы создадим более сложную нели-
нейную модель, включающую лечение инфекции ВИЧ ингибитором проте-
аз и ингибитором обратной транскриптазы типа AZT.
Модель Хо и его коллег (Но et al. 1995) представляла собой простое ли-
нейное уравнение первого порядка, учитывавшее продукцию вирусов и па-
дение их численности:
dV
= Р-Су, (10.39)
dt
где Р — источник вирусных белков, а с — скорость избавления от вируса.
Несмотря на то, что в элиминации вирусных пептидов принимают участие
многие факторы, такие как клетки иммунной системы, поток жидкостей
и поглощение другими клетками, параметр с не делает различия между
ними. После введения ингибитора протеаз (специфического препарата, ис-
пользуемого для лечения пациентов) было сделано допущение, что он будет
абсолютно эффективен. Другими словами, после введения лекарство будет
полностью блокировать продукцию вирусов. Следовательно, Р = 0, и мы
получаем простое уравнение:
dV
— = -CV => V(t) = Voe~ct, (10.40)
dt
где Vo — измеренная средняя концентрация вирусов в плазме до лечения.
Построение зависимости InV от t и использование линейной регрессии
для определения наклона (см. рисунок 10.5) дало оценку для с и, следова-
тельно, времени полужизни вируса в плазме: ^/2 = 1п2/с. Среднее время
10.6. ВИЧ: МОДЕЛИРОВАНИЕ
483
полужизни составляло — 2.1 ± 0.4 дня (полные данные см. в Но et al.
1995). Затем экспериментаторы предположили, что пациенты до лечения
находились в квазистационарном состоянии, то есть измеряемое количе-
ство вирусов в плазме оставалось примерно постоянным. Такое допущение
и знание параметра с и первоначальной концентрации вирусов Vq позволи-
ло ученым, решив уравнение Р = eV, рассчитать продукцию вирусов до
терапии. Несмотря на то, что эти результаты были лишь минимальными
оценками, основанными на предположении об идеальном лекарстве (ра-
ботающем без запаздывания), они позволили оценить скорость продукции
вируса, которая составила более 1 миллиарда частиц в день. Этот важный
результат противоречил мнению о том, что во время латентного периода
синтеза вирусов практически не происходит9. Это прекрасный пример того,
как даже простые, математически тривиальные, модели помогают извлечь
важную информацию из медицинских данных. Другим примером может
служить модель (Connor et al. 1982а; 1982b), которая помогла понять, что
пациентам, страдающим заболеванием печени, дают лекарства в дозах, пре-
вышающих уровень токсичности10.
Результаты Хо и др. привели к созданию еще большего количества мо-
делей для изучения ВИЧ (исчерпывающий обзор см. в Perelson and Nelson
1999). Дальше в этом разделе мы рассмотрим модель, описывающую ком-
бинированную лекарственную терапию, а также кратко обсудим модель,
включающую запаздывание.
Ингибиторы протеаз — это лекарства, которые воздействуют в клетке
на ферменты-протеазы и приводят к тому, что только что синтезирован-
ные вирусы становятся неспособными к заражению. В настоящее время
не существует лекарства (и даже их комбинации), которое бы полностью
уничтожало инфекцию ВИЧ. Это объясняется тем, что вирус способен му-
тировать и становиться устойчивым к лекарствам. Однако для развития но-
вой формы требуется время. Комбинированная лекарственная терапия ос-
новывается на том, что если вирусу противодействуют два довольно разных
9Этот результат, основанный на удивительно простой модели, способствовал росту попу-
лярности математического моделирования в медицинском сообществе. Это привело к тому,
что все больше лабораторий ищут теоретиков для работы по моделированию.
10Это была двухкомпонентная модель, которая легко приводилась к двум сопряженным
обыкновенным линейным уравнениям. Она легко решалась аналитически с начальными усло-
виями, взятыми из медицинских данных. Я использовал ее в Оксфорде в качестве задачи по
моделированию для студентов-математиков первого года обучения, но вопрос был нехорошо
поставлен, и не было понятно, что же конкретно требовалось. Одному из наставников при-
шлось разбираться со сложностями, с которыми столкнулись его студенты, пытаясь понять,
что происходит и что требуется в задаче. Впоследствии он сказал мне, что я это сделал нароч-
но для того, чтобы показать, каково это разговаривать с врачами.
484
Глава 10
противовирусных лекарства, время, необходимое для появления устойчиво-
го к нескольким медикаментам штамма, много больше, чем если бы вирусу
пришлось бороться только с одним токсическим веществом (обсуждение
этого аспекта также см. в статье Perelson and Nelson 1999). Совместное ис-
пользование нескольких лекарств, таких как ингибиторы протеаз и AZT,
уже дало значительный эффект (в развитых странах) в замедлении перехо-
да от ВИЧ-инфекции к СПИДу. Однако это не излечение заболевания. Уже
сейчас в Сан-Франциско у гомосексуалистов, принимавших комбинирован-
ный лекарственный коктейль, появляются устойчивые штаммы вируса.
Мы рассматриваем каждое лекарство как неидеальное, то есть допус-
каем мутацию вируса до устойчивого штамма, если лекарства применять
по отдельности. Пусть пр — это мера эффективности ингибитора протеаз
или комбинации ингибиторов протеаз в блокировании синтеза инфекцион-
ных вирионов. Таким образом, этот параметр влияет напрямую на дина-
мику вируса и косвенно — на Т-лимфоциты. Другими часто используемы-
ми лекарствами являются ингибиторы обратных транскриптаз, из которых,
вероятно, наиболее известен AZT. После разработки ингибиторов проте-
аз стали назначать комбинированную, или «коктейльную», терапию, вклю-
чавшую в себя использование нескольких препаратов. Например, пациенту
выписывают комбинацию трех лекарств, состоящую из ингибитора протеаз
и двух ингибиторов обратных транскриптаз. Первое время это сочетание
значительно уменьшало количество вирусных пептидов в крови больных,
и появилось мнение, что комбинированная терапия может быть способом
излечения вируса СПИДа. К сожалению, в случае такого сложного виру-
са, как ВИЧ, появление устойчивого штамма было лишь делом времени.
Тогда как комбинированное лечение до сих пор обещает продление жизни
инфицированных пациентов, слишком рано (2001) говорить не только об
излечении, но и о том, удается ли хотя бы временно контролировать вирус.
Мы рассматриваем четырехкомпонентную модель, состоящую из урав-
нений для незаряженных Т-клеток Т, продуцирующих зараженных Т-кле-
ток Г* (не все инфицированные клетки синтезируют вирус), инфекцион-
ных (способных к заражению) вирусов Vj и неинфекционных вирусов V/vj.
Модель содержит следующие уравнения, которые мы подробно объясним
ниже:
= s + -drT-kV^T,
dt \ -l max J
— = (1 - nTt)kVxT. - 6T*, (10.41)
dt
dVi
^-dt = (1 - np)N6T* - cVi,
10.6. ВИЧ: МОДЕЛИРОВАНИЕ
485
= npN6T* -cVNJ.
В уравнении для Т-лимфоцитов принимаем, что разрушение клеток про-
порционально количеству клеток и инфекционных вирусов, помноженных
на параметр удаления к. В отсутствии инфекции существует ненулевое ста-
ционарное состояние T3i, следовательно, относительно Т получаем квад-
ратный многочлен для динамики незараженных Т-лимфоцитов; s, р, Тта,К,
d? и к — положительные константы. Специфический вид кинетики Т-кле-
ток, а именно, сочетание логарифмической формы, дополнительного источ-
ника (s) и члена (—drТ), описывающего удаление, следует из полученной
из медицинских данных формы восстановления Т-клеток после терапии.
Лекарства, основанные на ингибиторах обратных транскриптаз (ИОТ), на-
пример AZT, влияют на член, описывающий источник продуцирующих ин-
фицированных Т-лимфоцитов, где 0 nrt < 1 — мера эффективности
препарата. Если nrt = 1, то лекарство абсолютно эффективно и полно-
стью предотвращает появление зараженных Т-клеток. nrt = 0 подразуме-
вает, что пациенту не давали никаких ингибиторов обратных транскриптаз.
В уравнении для Т* влияние ИОТ приводит к уменьшению выработки за-
раженных клеток. Эти клетки также погибают естественной смертью со
скоростью 6. Ингибитор протеаз действует на источник вирусов и, таким
образом, появляется в уравнении для Vj, где пр — мера его эффективности.
Специфическое математическое описание влияния лекарств следует из кле-
точных механизмов действия каждого препарата и тех стадий инфекции,
на которые они направлены. Когда лекарство абсолютно эффективно, мы
полагаем пр = 1 или nrt = 1. В уравнении для инфекционных вирусов Vj
содержится фактор N — параметр, связанный с продукцией вирусов по-
сле лизиса (в сущности, разрыва, или смерти, клетки из-за проникновения
в нее вируса и последующего его активного синтеза); он составляет поряд-
ка 480 вирион/клетка (вирион — законченный вирус со всеми оболочками,
белками и тому подобным). Инфекционные вирусы гибнут естественным
образом со скоростью с. Наконец, скорость синтеза неинфекционных ви-
русов зависит от лекарства, и мы предполагаем, что они гибнут с той же
скоростью, что и инфекционные. Эта модель позволяет исследовать влия-
ние лекарств на ВИЧ путем варьирования параметров nrt и пр. Например,
если пр = 0, мы используем только ингибитор обратной транскриптазы.
Теперь проанализируем систему несколькими способами и сравним резуль-
таты с медицинскими данными.
Примерные значения зависимых переменных таковы (Но et al. 1995):
Т ~ 180 клетка/мм3, Г* ~ 2 % Т-клеток, Vj ~ 134 х 103 вирион/мл, Vyj =
486
Глава 10
= 0 вирион/мл. Доступны следующие оценки параметров: уровень вирус-
ной активности к ~ 3.43 х 10~5 вирион/мл (Но et al. 1995), скорость гибели
инфекционных клеток 6 ~ 0.5/день (Perelson et al. 1996), продукция виру-
са разорвавшейся клеткой N ~ 480 вирион/клетка (Perelson et al. 1996),
скорость удаления вируса с ~ 3/день (Perelson et al. 1996), источник Т-кле-
ток s = 0-10 клетка/мм3/день (Kirschner and Webb 1996) и скорость гибели
клеток-мишеней dr ~ 0.03/день (McLean and Mitchie 1995).
Восстановление Т-клеток
В некоторых моделях предполагается, что количество Т-клеток в пер-
вые недели лечения не меняется, и, следовательно, Т = константа = Tq.
Однако после начала антиретровирусной терапии наблюдается некоторое
восстановление Т-клеток, и медицинские данные (Но et al. 1995) говорят
о том, что восстановление Т-лимфоцитов за промежуток времени порядка
недель может быть описано линейной или экспоненциальной функцией от
времени. Значительная статистическая разница между двумя функциями за
такой период времени отсутствует. После начала терапии быстро па-
дает. В случае идеального ингибитора протеаз, то есть пр = 1, решением
четвертого уравнения (10.41) будет Vj(t) = Voe~ct. Следовательно, через
несколько дней (конечно, в зависимости от с) член —kVjT в уравнении для
Т-клеток станет пренебрежимо малым. Возмещение Т-лимфоцитов может
происходить либо благодаря источнику s, включающему в себя выработку
новых клеток в тимусе, их проникновение в кровь и транспорт уже со-
зданных в тканях Т-клеток в кровь, либо благодаря пролиферации клеток.
Раньше считалось, что тимус взрослых не вырабатывает Т-лимфоциты, но
значительные достижения в изучении динамики ВИЧ привели к тому, что
многие считают такое мнение несоответствующим действительности. Ес-
ли главным механизмом восстановления уровня Т-клеток является попол-
нение из источника s, можно аппроксимировать их динамику следующим
образом:
dT
— = s — drT или T(t) = Tq 4- at,
dt
где а — константа скорости.
Если рассматривать только влияние ингибиторов протеаз, то есть nrt =
= 0 (что напрямую относится к данным Но et al. 1995), и принять, что
представленный выше линейный рост количества Т-клеток соответствует
медицинским данным, то (10.41) преобразуется в
= kVi(To + at) - 6Т*,
10.6. ВИЧ: МОДЕЛИРОВАНИЕ
487
^ = (l-np)MJT*-cVi,
= npN6T* - cVNI.
at
(10.42)
Это неавтономная система, но она легко преобразуется в автономную. Для
этого в первом уравнении заменим Tq + at на Т и добавим к системе диф-
ференциальное уравнение dT/dt = ас начальным условием Т(0) = Tq.
Типичные решения этой системы показаны на рисунке 10.8; оценочные
значения параметров даны в подписи. На рисунке 10.9 показано сравне-
ние решений с медицинскими данными. Они очень хорошо согласуются
количественно.
Рис. 10.8. Решения для общей вирусной популяции Vi + Vni системы (10.42), пред-
полагающей линейный рост численности Т-клеток T(t) = Tq + at и монотерапию
ингибитором протеаз; то есть AZT-подобные лекарства не используются, и nrt =
= 0. Отметим изменение уровня синтеза вируса в зависимости от эффективности
лекарства, (а) Падение численности вирусов с учетом существования стационарно-
го состояния до терапии с с = NkTo и при различных пр. (Ь) Падение численности
вирусов после лечения в отсутствие с до терапии: здесь критическая эффектив-
ность пс = 0.33. Значения параметров: N = 480, к = 3.43 х 10-5/день, 8 =
= 0.43/день, То = 180, а = 1 клетка/день, с = 2/день. (Из Nelson 1998)
Теперь рассмотрим полную нелинейную модель, описываемую систе-
мой (10.41). Легко показать, что система обладает двумя стационарными
состояниями, одним из которых является неинфицированное стационарное
состояние (Tsi, 0,0,0). Уровень Т-клеток в этом случае соответствует уров-
488
Глава 10
Рис. 10.9. Решения системы (10.42) для общей вирусной популяции Vi + Vni, по-
строенные в терминах РНК, и их сравнение с медицинскими данными (Но et al.
1995). Рост численности Т-клеток принимается постоянным, для лечения использу-
ется монотерапия ингибитором протеаз. На рисунке представлены типичные для па-
циентов результаты. Параметры для каждого пациента были получены путем фити-
рования с использованием графиков, аналогичных представленным на рисунке 10.5.
Значения параметров: 6 = 0.5/день; пациент 104: То = 2 мм-3, а = 1.5, V(0) =
= 52 х 103, с = 3.7/день, общая скорость синтеза вирусов: Р = 2.9 х 109/день;
пациент 105: То = 11 мм-3, а = 10.18, У(0) = 643 х 103, с = 2.1/день, общая
скорость синтеза вирусов: Р = 32.1 х 109/день; пациент 107: То = 412 мм-3, а =
= 2.64, У(0) = 77 х 103, с = 3.1/день, общая скорость синтеза вирусов: Р =
= 3.0 х 109/день. (Воспроизведено с разрешения авторов из Perelson and Nelson
1999)
ню до заражения; очевидно, нас интересует только Тз1 0. После неболь-
ших алгебраических преобразований, получаем выражение для незаражен-
10.6. ВИЧ: МОДЕЛИРОВАНИЕ
489
ного состояния:
TS1 =
2rnax
2р
(р - dr) + J(p - dT)2 +
]/ max
(10.43)
Нас интересует устойчивость стационарного состояния в случае возмуще-
ния за счет введения ВИЧ. Мы исследуем на устойчивость обычным обра-
зом, точно так же, как делали это, например, в главе 3, то есть исследуем на
собственные значения возмущенной линейной системы. После некоторого
количества алгебраических преобразований получаем собственные значе-
ния
х A 2Tsi \ х
Ai — Р I 1 ~ — I ~ ^4 = —с,
у max J
А2,з = - ± | ^(с + 5)2 - 4с<5 + 4<WfcT3i (1 - пс), (10‘44)
Пс = 1 - (1 - Hrt)(l - Пр),
где пс — эффективность комбинированного лечения. Чтобы стационарное
состояние было устойчивым, собственные значения должны быть отрица-
тельными; в данном случае они все действительные. Единственным соб-
ственным значением, для которого неочевидна отрицательность, являет-
ся Аь Для того чтобы оно было меньше нуля, необходимо, чтобы Tsi >
> (1/2р)(р — с?т)^тах- Выполнение этого условия следует из (10.43) и А2.
Собственное значение А2 < 0, если выполняется неравенство:
А2 = + | У(с + <5)2 - 4с<5 + 46NkTsl(l - пс) < 0;
то есть
с + <5 > У(с + <5)2 - 4с<5 + 4<WfcTsi(l - пс).
Следовательно, незараженное стационарное состояние устойчиво, если
". = 1 - (1 - "’И1 - ".<) < > 1 -
Это означает, что, если лекарственная терапия достаточно сильна, вирус
уничтожается. (На самом деле, вирус никогда не уничтожается, но его чис-
ленность падает ниже обнаружимого уровня.) Из этого условия можно оце-
нить необходимую эффективность лечения. С учетом наличия стационарно-
го состояния до лечения, то есть Т = То, второе и третье уравнения (10.41)
490
Глава 10
подразумевают, что с = NkTo. Для примера, пусть nrt = 0, тогда условие
устойчивости (10.45) примет следующий вид:
У здоровых людей уровень Т-лимфоцитов составляет около 1 000/мм3, сле-
довательно, мы можем принять, что Т3у = 1 000. Таким образом, для па-
циента с уровнем Т-лимфоцитов до лечения, составляющим, скажем, Tq =
= 200, эффективность лечения пр должна быть больше 0.8. Для менее тя-
желого пациента с уровнем Т-клеток Tq = 500 пр должна быть больше 0.5.
Следовательно, данный анализ поддерживает мнение о том, что антиретро-
вирусную терапию нужно начинать как можно раньше (Perelson and Nelson
1999). С другой стороны, если пациент принимает оба лекарства, условие
устойчивости имеет следующий вид:
(1 — Пр)(1 — nrt) < 1 — — ,
s 1
и при Tq = 200 достаточно, чтобы эффективности терапии пр и nrt состав-
ляли около 0.55 для каждого препарата.
Второе стационарное состояние, инфицированное, получаем из (10.41)
J-I __ С у __ S I 1
32 ~ Nknc ’ 1 ” kTs2 k
1 TS2
TmSLX
— dr
yi* _ у ____ TlpVl
~ 6N(1 -пру NI ~ 1 - пр ’
где надстрочная «черта» обозначает значения величин в стационарном со-
стоянии, и, как и раньше, пс = (1 — пг*)(1 — пр). Без лечения пс = 1, но
здесь нас интересует влияние неидеальных лекарств, так что 0 < пс < 1.
Второе стационарное состояние имеет смысл, только если Vj > 0; то
есть
s Т
— +p-dT-p^->0. (10.46)
Если мы заменим неравенство (10.46) на равенство и решим уравне-
ние Vi = 0, то получим выражение, совпадающее с выражением для Тз1.
Таким образом, при V/ = 0 зараженное и незараженное стационарные со-
стояния сливаются. Далее, при уменьшении Т32 левая часть (10.46) увели-
чивается. Следовательно, при Vi > 0 существует инфицированное стацио-
нарное состояние 0 < Т3^ < Т3\, которое, очевидно, имеет биологический
10.6. ВИЧ: МОДЕЛИРОВАНИЕ
491
смысл, так как в случае заражения система должна иметь меньше Т-клеток,
чем в здоровом состоянии.
Подстановка выражения для Т32 в уравнение стационарного состояния
для Vi дает необходимое условие существования инфицированного стаци-
онарного состояния:
(10.47)
Если мы рассмотрим предельный случай, когда s = 0, то, с учетом (10.47),
получим
Ттах(1 Пс)
Теперь, чтобы определить устойчивость инфицированного стационарного
состояния, найдем его собственные значения. Якобиан для этого стацио-
нарного состояния равен
/ / 2Т \
pl^Tr-j-dT-kVj
у J- max ]
(1 -nw)/cV}
0
0
-5
SN(1 - пр)
5Nnp
-кТ 0
(1 — nrt)kT 0
—с 0
0 — с )
0
где Т = Тз2.
Из характеристического уравнения сразу получаем одно собственное
значение А4 = — с < 0. Остальные три значения А можно определить, ре-
шив следующее уравнение:
/ 2Т \
p(r-—-\-dT-kVI-X
\ J- max /
—kVjkT6N(l -пс) =0,
[(с+ А)(<5 + А) - kT8N(l - не-
которое после использования стационарных значений для Т упрощается до
( 2Т \
Р 1 - — I - dT - kVj - А
\ шах /
[А2 + (5 + с)А] - ксбУ, = 0,
то есть
А3 + ЛА2 + ВХ + С = 0,
492
Глава 10
где
A = 6 + c+^-(p-dT) + kVI,
-t max
В = (5 + с)
^--(p-dT) + kVr
J- max
C = cSkVj.
Нам не нужны точные выражения для собственных значений, только зна-
ки их действительных частей. Из критерия Рауса-Гурвица следует, что ес-
ли А > 0, С > 0 и АВ — С > 0, то собственные значения имеют отрица-
тельные действительные части. Легко видеть, что С > 0. В стационарном
состоянии выполняется равенство:
- рТ2 - -
s + (р — dT)T — = kVTT.
max
Так как s > 0,
pt2 - -
(p-dT)T-^-<kVIT
J- max
ИЛИ
pT2
P~dT<^— + kVI,
J- max
откуда следует, что A > 0. Осталось одно условие устойчивости заражен-
ного стационарного состояния: АВ — С > 0. Запишем, что А = (8 + с +
+ Bi), Bi задано выражением для А. Заметим, что В может быть записано
как В = (8 + с)В}. Использовав эту форму и заметив, что Bi содержит
член kVj, легко показать, что АВ = В 1(5 + с)2 + В2(8 + с) > SckVj = С.
Следовательно, если инфицированное стационарное состояние существует,
оно устойчиво.
Как было замечено выше, если инфицированное стационарное состоя-
ние существует, то Т32 <T8i, что можно переписать как
с < NkT31(l - пс).
В итоге, если с > NkTsi(l — nc)9 то единственным неотрицательным стаци-
онарным состоянием является незаряженное, и оно устойчиво. И наоборот,
если с < NkTsi(l — пс)9 то незаряженное стационарное состояние неустой-
чиво, и существует устойчивое инфицированное стационарное состояние.
Это соответствует тому, что при с = NkT3i(l — nc) происходит бифуркация
10.7. МОДЕЛЬ ЛЕКАРСТВЕННОЙ ТЕРАПИИ ВИЧ-ИНФЕКЦИИ
493
между критическими состояниями. Можно записать эти условия в терми-
нах параметров модели. Критические эффективности лечения, например,
связаны с параметрами модели следующим образом:
С
[(1 — Пр)(1 — nrt )]critical =
(р - dT)2 +
L max
- (р - dT) .
(10.48)
10.7. Модель лекарственной терапии ВИЧ-инфекции
с запаздыванием
Теперь мы коснемся недавней работы, в которой для описания времен-
ной задержки между заражением клетки и началом синтеза вирусов к моде-
ли добавлено запаздывание. Работа в этой области показала, что включение
такого запаздывания влияет на оценочные значения параметров, а именно,
на полученные из кинетических экспериментов времена полужизни проду-
цирующих зараженных клеток и вирусов. Здесь мы дадим лишь очень крат-
кое описание последних работ, посвященных моделям с запаздыванием.
Временные задержки в процессе ВИЧ-инфекции
Жизненный цикл вируса играет важную роль в развитии болезни во
время ВИЧ-инфекции. Связывание вирусной частицы с рецептором CD4
Т-клетки или другой клетки-мишени запускает цепь событий, которая,
к конце концов, приводит к тому, что зараженные Т-клетки становятся про-
дуцирующими, то есть синтезируют новые вирусы. В большинстве преды-
дущих моделей предполагалось, что этот процесс происходит моментально.
Другими словами, было сделано допущение, что, как только вирус вступил
в контакт с клеткой-мишенью, клетка начала производить вирусы. Однако
с биологической точки зрения существует временной промежуток между
входом вируса в клетку и последующим синтезом вируса. Недавно были
созданы модели, исследующие этот эффект. Они показали, что для правиль-
ного определения времени полужизни свободного вируса в экспериментах
с возмущением системы медикаментами необходимо учитывать задержку.
Если лекарство рассматривается как идеальное, то введение запаздывания
не влияет на оценку скорости разрушения продуцирующих Т-клеток (Herz
et al. 1996; Mittler et al. 1998; 1999). Если же не принимать предположение
об идеальности лекарства (в настоящее время не существует 100% эффек-
тивных препаратов), введение запаздывания влияет на оценку значения ско-
рости гибели инфицированных Т-клеток (Nelson 1998; Nelson et al. 2000).
494
Глава 10
Модель такого рода была создана и описана Нельсоном (Nelson et al.
2000). Она основана на модели, описанной в предыдущем разделе. Внут-
риклеточная задержка вводится следующим образом. В модели считается,
что поколение синтезирующих вирус клеток в момент времени t является
результатом заражения клеток-мишеней в момент времени t — т; запаздыва-
ние т принимается постоянным. Конечно, в реальности запаздывание пред-
ставляет собой распределенную функцию (см. главу 1). Количество неин-
фицированных Т-клеток также принимается постоянным, то есть Т = Tq.
Описывающие такую ситуацию модельные уравнения имеют следующий
вид (сравни с (10.41)):
= fcToW - т) - <5Т‘,
at
^-dt = (1 - np)N6T* - cVi, (10.49)
dt
= npNST* - cVNI,
at
где член Vi(t — tau) вводит поправку на временное запаздывание между
контактом и синтезом вируса. Среднее время жизни вируса составляет 1/5.
С запаздыванием среднее время жизни клетки от момента заражения до
смерти становится т + (1/5). Точное значение т неизвестно, но по оценкам
оно составляет от 1 до 1.5 дней (Perelson et al. 1996; Mittler et al. 1998;
1999). Следовательно, в первом приближении зараженные ВИЧ-1 клетки
могут прожить в среднем от 2 до 3 дней, а не 1-2 дня. Константа скорости
инфекции к принимается постоянной, так как лекарство, которое мы моде-
лируем, ингибитор протеаз, на к не влияет. Если используется ингибитор
обратных транскриптаз, то в соответствующей модели вместо к в урав-
нении для dT*/dt будет стоять [1 — nrt(t — r)]k(t — т). Здесь уравнение
для Vni не сопряжено с уравнениями для Т* и Vj и, таким образом, может
быть решено независимо, если известны решения первых двух уравнений.
Анализ более общей формы модели с запаздыванием, включающей неинфи-
цированные Т-клетки и нелинейности, дан Нельсоном (Nelson 1998). Метод
анализа аналогичен описанному в главе 7.
Эта модель используется, среди прочего, для анализа изменения пара-
метров, связанного, со скоростью гибели вирусов в крови пациентов, про-
ходящих антивирусную терапию. Модель также помогла сделать лучшую
оценку важных параметров по медицинским данным. Как и ожидалось, ос-
новным выводом, который можно сделать из анализа этой модели с экс-
периментально определенными параметрами, является то, что, если эф-
10.8. Моделирование популяционной динамики
495
фективность лекарства меньше 100% (в настоящее время случай in vivo),
скорость уменьшения концентрации вируса в плазме, в основном, зависит
от эффективности терапии, скорости гибели продуцирующих вирус клеток
и времени запаздывания. Главной целью этой модели и ее анализа было
количественное описание этих эффектов в терминах экспериментально из-
меряемых (и изменяемых) параметров.
10.8. Моделирование популяционной динамики
приобретенного иммунитета к паразитарной
инфекции
Желудочно-кишечные паразитарные инфекции имеют огромное меди-
цинское значение во всех развивающихся странах. По оценкам, от 800
до 1 000 миллионов людей заражены червем Ascaris lumbricoides, от 700
до 900 миллионов анкилостоматидами Ancylostoma duodenale и Nector
lumbricoides и 500 миллионов власоглавом Trichuris trichiura (Walsh and
Warren 1979). Для создания оптимальных стратегий контроля необходимо
понимать факторы, регулирующие численность паразитов, и иметь возмож-
ность влиять на размер и устойчивость популяций гельминтов. В этом
разделе представлена модель иммунного ответа хозяина на желудочно-
кишечных паразитов, предложенная и изученная Бердингом (Berding et
al. 1986). Мы покажем, что даже такое относительно простое моде-
лирование может успешно применяться в реальных программах конт-
роля.
Паразиты вызывают у своих хозяев-млекопитающих очень сложный
иммунный ответ. До сих пор неизвестно, как это происходит, но недавние
исследования дали некоторые важные опорные точки для формирования
основы математической модели. Также моделирование в этом разделе по-
казывает, как за счет объединения теории и практики оценить некоторые
параметры, которые сложно получить экспериментально.
Сначала кратко изложим необходимые биологические факты. Начнем
с обзора ключевых экспериментов. Лабораторные эксперименты, в кото-
рых мышей многократно подвергают паразитарной инфекции постоянного
уровня, могут быть подходящей проверкой моделей динамики популяций
гельминтов. В экспериментах, имеющих значение для нашей модели (Slater
and Keymer 1986), две группы мышей по 120 особей в каждой кормили ис-
кусственной питательной средой, содержавшей либо 2 % («мало белка»),
либо 8% («много белка») белка по массе. Обе группы были подразделены
на 4 подгруппы по 30 мышей, которые мы обозначим (а), (Ь), (с) и (d).
Каждую подгруппу подвергали многократной инфекции личинками нема-
496
Глава 10
тоды Heligmosoides polygyrus разной интенсивности: для подгруппы (а) ин-
тенсивность составляла 5 личинок/мышь/две недели, для подгруппы (Ь) —
10 личинок/мышь/две недели, для подгруппы (с) — 20 личинок/мышь/две
недели, для подгруппы (d) — 40 личинок/мышь/две недели. Таким образом,
всего существует 8 подгрупп по 30 мышей, различающихся как по уровню
инфекции, так и по содержанию белков в их диете. Известно, что недоста-
ток белка ухудшает функционирование иммунной системы, так что такая
схема позволяет сравнить популяционную динамику паразитов при различ-
ных условиях инфицирования и при наличии и отсутствии приобретенного
иммунного ответа.
Самым важным экспериментальным наблюдением стало изменение во
времени среднего содержания паразитов М, то есть численности парази-
тов, поделенной на численность хозяев. Каждые две недели эксперимен-
та 5 мышей из каждой подгруппы были обследованы на наличие взрослых
гельминтов. Количество паразитов в каждой мыши определялось путем по-
смертного обследования тонкой кишки. Основные результаты эксперимента
показаны на рисунке 10.10, на котором изображена зависимость от времени
среднего содержания червей для мышей, потреблявших мало и много белка
соответственно. Буквы (а), (Ь), (с) и (d) относятся к уровням инфекции в 5,
10, 20 и 40 личинок в две недели.
Для количественного описания приживаемости и выживаемости пара-
зитов после первичного инфицирования были проведены другие экспери-
менты. В этом случае, в отличие от многократного заражения, как на ри-
сунке 10.10, мышам давали только одну дозу личинок. Результаты показаны
на рисунке 10.11 — здесь изображено содержание червей в зависимости от
инфекционной дозы. По этому рисунку можно оценить долю личинок, до-
живающих до взрослого состояния; она составляет 64 %.
Результаты экспериментов по оценке выживаемости взрослых червей
при однократном инфицировании приведены на рисунке 10.12: среднее со-
держание червей вновь показано в зависимости от времени. В этом случае
популяция нематод освобождена от влияния иммунной системы хозяина,
так что этот рисунок можно использовать для оценки смертности взрослых
червей от естественных причин.
Для того, чтобы создать реалистичную модель, кратко опишем резуль-
таты этих и некоторых других относящихся к делу экспериментов.
(А1) После попадания внутрь хозяина инфекционная личинка паразита пе-
реходит в миграционную стадию и, в конце концов, становится взрос-
лым паразитом в просвете пищеварительного тракта. Это приводит
к определенному иммунному ответу хозяина. Обычно, миграционная
10.8. Моделирование популяционной динамики
497
Недели
Рис. 10.10. Изменение среднего содержания червей М в хозяевах-мышах, которых
держали на белковой диете с многократным инфицированием в течение 12 недель:
(а) корм с большим содержанием белка; (Ь) корм с маленьким содержанием белка.
Уровни инфекции составляют (а) 5, (6) 10, (с) 20, (d) 40 личинок/мышь/2 недели.
Кружки представляют собой экспериментальные точки (по Slater and Keymer 1986),
сплошные линии — решения математической модели; их получение описано в тек-
сте в подразделе про анализ модели популяционной динамики. (Из Berding et al.
1986)
стадия жизненного цикла паразита вызывает наиболее сильный им-
мунный ответ. Таким образом, мы предполагаем, что взаимодействие
хозяина с личинками приводит к запуску иммунной системы.
(А2) Большое количество экспериментов указывает на существование эф-
фектов задержки, то есть памяти, в разворачивании иммунного ответа.
498
Глава 10
Доза инфекции
Рис. 10.11. Эти экспериментальные данные показывают выживаемость червей по-
сле однократного инфицирования личинками. Существует линейная зависимость
между дозой личинок и содержанием червей; эти результаты были получены че-
рез 14 дней после инфицирования. Кружки обозначают мышей, которых кормили
пищей с низким содержанием белка, треугольники — мышей, которых кормили пи-
щей с высоким содержанием белка. Сплошная линия показывает наилучшую линей-
ную аппроксимацию экспериментальных данных; наклон составляет 0.64, из чего
делаем вывод, что 64% личинок выживают. (Из Berding et al. 1986)
Некоторые из этих эффектов могут быть учтены путем введения в мо-
дель запаздывания.
(Б1) Экспериментальные данные, показанные на рисунке 10.10, подразу-
мевают, что сила иммунного ответа в значительной степени зависит
от состояния питания хозяина. Мы интерпретируем разницу динамики
инфекции в мышах, чей рацион содержал мало и много белка (рисун-
ки 10.10(a) и (Ъ) соответственно), как результат связи между состояни-
ем питания и состоянием иммунной системы.
(Б2) Сходство рисунков 10.10(a) (а),(Ь) и рисунков 10.10(b) (а), (Ь) и раз-
личие рисунков 10.10(a) (с), (d) с одной стороны и 10.10(b) (с), (d)
с другой ясно указывает на наличие порогового поведения иммунной
системы. С биологической точки зрения это означает, что для пол-
ной активации иммунную систему необходимо подвергнуть некоторо-
му пороговому уровню инфекции.
10.8. Моделирование популяционной динамики
499
40 г
M(t) .
20 -
Недели
Рис. 10.12. Выживаемость взрослых червей после однократного инфицирования
дозой 50 личинок/мышь в нулевой день. Представлены результаты для мышей,
корм которых содержал мало белка. Сплошная линия показывает наилучшую ап-
проксимацию экспоненциальной модели выживаемости; константа смертности 8 =
= 5.6 х 10-3 день-1: таким образом, делаем вывод, что гибель червей пропор-
циональна средней численности их популяции (см. ниже уравнение (10.53)). (Из
Berding et al. 1986)
(БЗ) Доступные данные об эффективности иммунного ответа, которую мы
в данном случае определяем как уровень ограничения приживаемости
и выживаемости паразитов на одну особь в зависимости от стимула (то
есть повышенного воздействия инфекции), предполагают следующий
сценарий. После начального возрастания интенсивность иммунного
ответа на паразита выходит на максимальный уровень. Дальнейшая
стимуляция не вызывает повышения эффективности приобретенного
иммунитета. Следовательно, мы предполагаем, что интенсивность им-
мунного ответа выходит на определенный постоянный максимальный
уровень.
(В) Иммунный ответ может быть направлен на разные стадии жизненно-
го цикла паразита. В некоторых линиях мышей он напрямую убивает
личинок, находящихся на миграционной стадии. Однако в других ли-
ниях иммунный ответ не способен предотвратить развитие личинок.
В этом случае личинки, подвергающиеся действию иммунной систе-
мы, переходят в недоразвитых взрослых с соответствующим высоким
уровнем смертности. Таким образом, чтобы отразить эти эксперимен-
500
Глава 10
тальные данные, мы моделируем состояние иммунной системы путем
повышения уровня смертности взрослых паразитов.
Теперь используем эти предположения, основанные на эксперимен-
тальных работах, для создания модели. Для этого последовательно выпол-
ним три описанных ниже шага.
(I) Для иммунной системы введем переменную Е, учитывающую предпо-
ложения (А1) и (А2):
Е = [ L(t')dt', (10.50)
Jt-т
где L(t) — средняя численность личинок на стадии миграции в момент
времени t, а Т — промежуток времени, который иммунная система
хранит память о предыдущих инфекциях. Следовательно, Е — это ме-
ра численности личинок в хозяине за временной интервал (t — T,t).
Заметим, что форма записи (10.50) в различных случаях (например,
при небольшой инфекции, сохраняющейся долгое время, и значитель-
ной инфекции, сохраняющейся недолго) может дать одинаковые зна-
чения Е.
(II) Для того, чтобы в простой форме учесть биологические факты (Б1)—
(БЗ), введем выражение, описывающее активность иммунной системы;
а именно,
аЕ2
1 = 1а0(Е) = ——^ (10.51)
р + -С/
где переменная Е задана выражением (10.50), а — максимальная функ-
циональная интенсивность иммунного ответа хозяина, а /3 — мера чув-
ствительности иммунной системы. (Вспомним ответ хищника в моде-
ли динамики почкоеда в главе 1.) В соответствии с (Б1), параметр а
также отражает состояние питания хозяина; его можно рассматри-
вать как монотонно возрастающую функцию состояния питания. Па-
раметр {3 также может зависеть от конкретного хозяина, так как он,
вероятно, имеет прямую биологическую интерпретацию в терминах
генома: у разных линий мышей разный иммунный ответ на паразити-
ческую инфекцию.
(III) Наконец, надо объединить (10.50) и (10.51) в динамическую модель
для системы хозяин-паразит. Согласно предположению (В), независи-
мо от рассматриваемой специфической динамической ситуации, ак-
тивность иммунной системы хозяина ведет только к повышенному
10.8. Моделирование популяционной динамики
501
уровню смертности взрослых паразитов. Это приводит к дополнитель-
ному члену, описывающему убыль, в уравнении для среднего содержа-
ния червей M(t) вида — IM(t) < 0, где I — сила иммунного ответа,
влияющая на смертность паразитов; она зависит от уровня инфекции.
Модель популяционной динамики и ее анализ
Согласно приведенным выше данным, мыши, в пище которых содер-
жалось мало белка, демонстрируют слабый иммунный ответ или даже его
отсутствие; назовем этих мышей группой с малым содержанием белка в пи-
ще (ГМБ). Исследуем динамику среднего содержания червей для этой груп-
пы при помощи простой модели миграция-гибель. С другой стороны, хозя-
ева, получающие с пищей много белка, должны показать иммунный ответ.
Модель «мало белка»
Начнем с рассмотрения динамики паразитов для ГМБ. Паразиты, оби-
тающие в популяции хозяев постоянной численности, подразделяются на
две категории: личинки в стенке тонкой кишки и взрослые черви в про-
свете кишечника. Динамику средней численности личинок L ддя одного
хозяина можно описать следующим образом:
dL
— =Xi- pDL, i = 1,2,3,4, (10.52)
dt
где Хг, i = 1,2, 3,4, относится к экспериментально контролируемым уров-
ням инфекции, например, 5, 10, 20 и 40 личинок на одну мышь раз в две
недели, как в экспериментах, изображенных на рисунке 10.10. Здесь 1 /D =
= Cl обозначает долю личинок, переходящих во взрослую стадию после
связанной с развитием временной задержки в данном случае обозна-
ченной как l//z. Для паразита Heligmosoides polygyrus время II = 1/м ~
« 8 дней, а из рисунка 10.11 получаем Cl = 0.64. Теперь посчитаем ис-
тинную скорость убыли популяции личинок: pD ж 0.195 день-1. Это зна-
чит, что (1) действительная продолжительность жизни личинки составля-
ет l/(pD) « 5.12 дней, и (2) естественный уровень смертности личинок
равен ро = p(D - 1) « 0.07 день-1.
Динамику среднего содержания взрослых червей М можно описать
следующим уравнением:
(10.53)
502
Глава 10
где <5 — естественный уровень смертности взрослых червей в отсутствие
конкурентных или иммунологических ограничений. Из экспериментальных
данных для однократного инфицирования, показанных на рисунке 10.12,
получаем оценку смертности S = 5.6 х 10-3 день-1. Это означает, что
время жизни взрослого червя составляет примерно 25 недель.
Решения линейных уравнений (10.52) и (10.53) при начальных усло-
виях L(0) = М(0) =0 имеют следующий простой вид:
дг) = ^(1-е-“п
A/(t) = {<У-1(1 — e-l5t)+ (10’54)
+(jiD - 5)-1 (e~*Dt - e-6t)} , i = 1,2,3,4.
На рисунке 10.13 с использованием приведенных выше оценок параметров
изображены M(t) при i = 1,2,3,4 для первых 12 недель инфекции. Эти
же кривые показаны вместе с экспериментальными результатами на рисун-
ке 10.10(a); они очень хорошо согласуются количественно.
Модель «много белка»
При таком питании в игру вступает иммунная система хозяина, и ее
действие нужно учесть в уравнении динамики содержания червей (10.53).
С учетом замечания (III), это уравнение принимает следующий вид:
= fiL - (<5 + 1)М, (10.55)
Г*
Е= L^dt>' (10-56)
Р + -С/ Jt-T
где I — суммарный эффект повышенной смертности червей за счет иммун-
ного ответа.
В качестве уравнения для личинок в данном случае также бе-
рем (10.52), так как предполагаем, что иммунный ответ незначительно вли-
яет на их динамику. Ход инфекции в лабораторных условиях описывается
системой (10.54) как
L(t) =
0, t < 0,
t>0,
(10.57)
10.8. Моделирование популяционной динамики
503
Рис. 10.13. Среднее содержание червей M(t) для мышей с малым содержанием бел-
ка в пище (ГМБ), полученное из аналитического решения (10.54) модели (10.52)
и (10.53). Кривые относятся к разным уровням личиночной инфекции Ai, i =
= 1,2, 3,4: (а) 5, (6) 10, (с) 20, (J) 40 личинок на одну мышь раз в две недели.
Значения параметров: р, = 0.125 день-1, D = 1.56, 6 = 5.6 х 10-3 день-1. Эти
кривые соответствуют изображенным на рисунке 10.10(a)
где А*, г = 1,2,3,4, обозначает разные уровни инфицирования личинками.
Это дает для иммунной системы входную функцию Е, заданную выраже-
нием (10.56); после интегрирования получаем
=
p,D
Ai
pD
0 <t<T,
t > T,
(10.58)
Это выражение при t оо выходит на постоянный уровень AiT /p,D.
Модель «много белка» содержит уравнения (10.52)-(10.55), и для то-
го, чтобы ее решить, сначала нужно получить оценки параметров иммунной
504
Глава 10
системы Т, а и /3: соответственно, времени памяти о предыдущих инфекци-
ях, максимального вклада иммунной системы в смертность и содержания
червей, при котором запускается иммунный ответ. Точных оценок време-
ни иммунологической памяти не существует. Некоторые данные (Rubin et
al. 1971) говорят о том, что мыши сохраняют активный иммунитет против
Heligmosoides polygyrus по крайней мере в течение 30 недель после инфи-
цирования. В связи с этим, предполагаем, что Т, по крайней мере, больше,
чем время проведения эксперимента, то есть 12 недель; см. рисунок 10.10.
Рассмотрим параметр а, характеризующий максимальную функцио-
нальную активность иммунного ответа хозяина, а также отражающий со-
стояние его питания. Значение а можно оценить из асимптотического зна-
чения стационарного состояния содержания червей М(оо) = М^. Рас-
смотрим самый большой уровень инфекции Л4. Тогда из (10.54) в пределе
при t —> 00 получим выражение:
h/ =,
pD
которое при подстановке в (10.56) даст
I ~ а при Т » —--------.
Л4
(10.59)
Экспериментально наблюдаемое насыщение, описанное в (БЗ), обеспечи-
вает справедливость этого неравенства для Т. Для определения а можно
использовать (10.59) вместе с (10.55) в стационарном состоянии:
аМоо = pL(oo) — 6Моо
^4
а = —------о.
DMoq
(10.60)
Так как за время проведения эксперимента система не достигает конеч-
ного стационарного состояния, для предсказания значения как функ-
ции от а используем (10.60):
л# _
°° “ Р(а + 5)’
(10.61)
Наконец, для определения чувствительности иммунной системы (3 ис-
пользуем экспериментальные данные о самом высоком уровне инфекции,
изображенные на рисунке 10.10(b), (d). Заметим, что среднее содержание
10.8. Моделирование популяционной динамики
505
взрослых червей достигает максимального уровня М* в момент време-
ни t*, а затем, несмотря на многократное повторное инфицирование, пада-
ет под действием иммунитета хозяина до асимптотического стационарного
состояния Mqq. Для максимальной точки (М*,£*), М* = уравне-
ния (10.55) и (10.56) дают выражение:
0 = fiL - Ш*
аЕ2М*
(3 + Е2 ‘
(10.62)
В лабораторных условиях t* удовлетворяет выражению:
< Т.
(10.63)
Следовательно, для получения Е используем первое уравнение (10.58)
и решим (10.62) относительно /3:
Е2(аМ*-//ШГ)
13 ~ рЕ - ЗМ*
(10.64)
где L(t) и E(t) — их значения при t — t*, как до этого было М* =
Получаем оценки для АГ(^ 50 червей) и t*(w 7 недель) из эксперимен-
тальных данных, изображенных на рисунке 10.10(b), (d). Затем использу-
ем (10.64) для определения чувствительности /3, измеряемой в единицах
[червь2день2] как функция от а. Таким образом, мы использовали экспери-
ментальные данные и тот факт, что в лабораторных условиях t < Т, чтобы
определить параметры а и /3 при помощи выражений (10.60) и (10.64).
Теперь можно проанализировать полную модель миграция-смерть:
— = Xi-vDL, i = 1,2,3,4,
dM
dt
= /Я, - (6 + /)М,
(10.65)
где функция приобретенного иммунного ответа I дана в зависимости от Е
и L в выражении (10.56). Численное интегрирование (10.65) дает реше-
ние для среднего содержания взрослых червей в зависимости от времени;
результаты для первых 12 недель изображены на рисунке 10.14. Каждая
кривая соответствует определенному уровню инфекции.
1
p,D
506
Глава 10
Рис. 10.14. Изменение среднего содержания червей во времени M(t) для мы-
шей, которых кормили пищей с высоким содержанием белка в течение 12 недель
с многократным инфицированием. Зависимости получены путем численного ин-
тегрирования уравнений (10.65), описывающих популяционную динамику в при-
сутствии иммунного ответа хозяина. Эти же кривые использованы для сравнения
с экспериментальными данными на рисунке 10.10(b). Значения параметров: р =
= 0.125 день-1, D = 1.56, 6 = 5.6 х 10-3 день-1, как и на рисунке 10.13, и макси-
мальная функциональная активность иммунной системы а = 0.5 (что подразумева-
ет /3 = 0.1 х 106)
Здесь а равна 0.5 день-1, что подразумевает /3 » 6.1 х 106 червь2день2
(единицы измерения следуют из формы функции иммунитета I (10.56)).
При таких значениях параметров решения хорошо согласуются с экспери-
ментальными данными, приведенными на рисунке 10.10. Так как а свя-
зана с Моо выражением (10.61), можно предсказать, что, если продол-
жить эксперимент, будет достигнуто асимптотическое стационарное состо-
яние Мх = 4 червя. Если использовать тот же генетический тип хозяина
и такие же условия питания, эта модель может быть использована для ис-
следования более реалистичных ситуаций, например, когда хозяева подвер-
гаются естественной инфекции. Мы кратко обсудим это ниже.
Для более общего применения модели (10.65), например, произволь-
ных условий питания или различных линий мышей, необходимы дальней-
шие эксперименты. Нужно прояснить: (1) детальную функциональную за-
висимость максимальной активности иммунитета а от состояния питания
хозяев; (2) специфическую зависимость чувствительности (3 от линии мы-
шей; (3) время иммунной памяти Т. Зная эти параметры, будет возможно
10.8. Моделирование популяционной динамики
507
использовать систему (10.65) для предсказания временного развития и ко-
нечного стационарного состояния среднего содержания червей в зависимо-
сти от состояния питания и генетических свойств хозяев.
Целями любого эпидемиологического моделирования являются: (1) пре-
доставление должного механистического описания реальной ситуации;
(2) предоставление надежных предсказаний, которые можно использовать
на практике. Однако обычно самой серьезной проблемой становится прак-
тическое определение многочисленных параметров, входящих в эти моде-
ли. Лабораторные эксперименты, исследующие определенные аспекты об-
щей динамики при строгом контроле остальных частей системы, доказали
в этом отношении свою пользу. В результате, мы смогли создать и исполь-
зовать простую, но реалистичную, модель предоставляющую полное коли-
чественное описание популяционной динамики в присутствии иммунного
ответа хозяина.
В этом месте стоит сделать несколько предостережений. Во-первых,
модель, в том виде, в котором она существует, не описывает полную кар-
тину лежащих в основе тонких биохимических и клеточных процессов.
Однако она предоставляет количественное описание макроскопических
свойств иммунного ответа: ограничение выживаемости паразитов в рас-
чете на особь может быть количественно отнесено к антигенному стиму-
лу (то есть контакту с инфекцией). Во-вторых, выбор входной функции Е
для иммунной системы в выражениях (10.50) и, особенно, (10.51), конеч-
но не однозначен; однако в свете изложенных биологических наблюдений,
он кажется вполне приемлемым. Более того, количественные характеристи-
ки экспериментальных данных могут быть воспроизведены даже с линей-
ной функцией 1(E) вместо функции иммунного ответа в (10.56). Однако
численные эксперименты показывают, что более сложное допущение дает
более удовлетворительное, чем линейная версия выражения (10.51), син-
хронное совпадение с экспериментальными данными, изображенными на
четырех рисунках в соответствии с четырьмя уровнями инфекции (рисун-
ки 10.10(b) (a)-(d)). В итоге, модель подтверждается следующими фактами:
(1) она соответствует биологическим наблюдениям; (2) она предоставля-
ет количественно совпадение с экспериментальными данными, использо-
ванными для ее проверки; (3) введенные параметры имеют биологический
смысл и могут быть оценены.
Важность приобретенного иммунного ответа в человеческих инфекци-
ях, вызванных несколькими видами гельминтов, была показана, например,
в иммунологических и эпидемиологических работах Баттерворта и его кол-
лег (Butterworth et al. 1985). Они описывают иммунный ответ устойчивых
и восприимчивых к инфекции кровяным паразитом Schistosoma mansoni
508
Глава 10
кенийских школьников. Роль человеческого иммунитета в контролирова-
нии других инфекций также доказана. Существует острая необходимость
полевых исследований: базовые математические модели, вроде описанных
и использованных здесь, могут принести огромную пользу в их планиро-
вании и интерпретации. К тому же, распространение техник моделирова-
ния в «реальный мир» может предоставить дешевый и действенный способ
проверки эффективности различных программ по контролю паразитов без
обращения к длительным и дорогостоящим полевым испытаниям. Даль-
нейшее моделирование по приведенному в этом разделе пути было сдела-
но Бердингом и др. (1987) для описания лабораторных опытов, в которых
популяция хозяев была генетически неоднородна, а заражение паразитом
происходило естественным образом. Как и раньше, мышей кормили пищей
с разным содержанием белка. Также в статье с медицинской точки зрения
обсуждается значение этих результатов для реальности.
Прямое практическое (и коммерческое) применение идей и модельных
техник, описанных в этом разделе, было предложено Парри и его коллегами
(Раггу et al. 1992). Они применили похожую модель для описания инфек-
ции кокцидиями у цыплят, сделав упор на вакцинацию путем добавления
оплодотворенных ооцист (ранняя стадия развития кокцидий) в пищу птиц:
это вызывало иммунный ответ при гораздо более низком уровне парази-
тов.
Уже сейчас абсолютно ясно, что в реальности состояние питания хозя-
ина является важным фактором популяционной динамики паразитических
инфекций, и его нельзя игнорировать при разработке оптимальных страте-
гий контроля.
10.9. Возрастная эпидемиологическая модель и пороговый
критерий
Для многих заболеваний хронологический возраст особи является важ-
ным фактором для оценки ее восприимчивости и способности к заражению.
Например, наглядной иллюстрацией могут служить данные о зависимости
вероятности заражения и тяжести оспы от возраста, приведенные Бернулли
(Bernoulli 1760): восприимчивость и смертность заметно падают с увели-
чением возраста. Большое количество разнообразных возрастных моделей
было описано, например, в книге Хоппенштада (Hoppensteadt 1975). Такая
модель, например, была предложена (Dietz 1982) для речной слепоты (онхо-
церкоза) и использовалась для сравнения различных возможных стратегий
контроля.
10.9. Возрастная эпидемиологическая модель
509
Возраст также можно понимать как время после вхождения в опреде-
ленный популяционный класс, как то восприимчивая, инфицированная или
устраненная группа в базовой модели SIR. Эти два толкования возраста
часто означают одно и то же. В особом случае, который мы рассмотрим
в следующем разделе в модели употребления наркотических и лекарствен-
ных препаратов, возраст внутри класса употребляющих может интерпрети-
роваться двояко. Другой более уместный и практический пример, касаю-
щийся бычьего туберкулеза, подробно описан в разделе 10.11.
Рассмотрим популяцию, которую можно обоснованно разделить на
восприимчивых S(t) и инфицированных I(a, t), где а — время после кон-
такта с заболеванием. Таким образом, мы рассматриваем возрастную мо-
дель SI. Количество восприимчивых уменьшается с распространением за-
болевания. Скорость удаления восприимчивых описывается следующим
уравнением:
dS
dt
r(a')I(a',t) da'
S,
S(0) = So.
(10.66)
To есть к убыли за счет инфицирования добавлена зависящая от возраста
функция г (а), описывающая способность инфицированных к заражению.
Так как инфицированные заразны только ограниченное время т, именно
оно является верхним пределом в интеграле.
Для того чтобы получить уравнение для инфицированной популя-
ции Z(a, t), используем закон сохранения. За промежуток времени А проис-
ходит увеличение хронологического возраста и времени пребывания в ин-
фицированном классе с (£, а) до (£+Д, а+Д). Закон сохранения утверждает,
что изменение числа инфицированных за время А должно быть скомпен-
сировано количеством устраненных. Таким образом, в момент времени А
получаем
I(a + A, t + А) — I(a, t) = —X(a)I(a, t) А,
где Л (а) — зависящий от возраста параметр устранения. В пределе,
при А —> 0, после разложения в ряд Тейлора получим дифференциальное
уравнение в частных производных:
(10.67)
/ = -А(а)А
В момент времени t = 0 существует некий заданный класс инфици-
рованных с распределением по возрасту При а = 0 происходит пе-
реход из восприимчивого класса в инфицированный. Так как все новые
510
Глава 10
зараженные особи пришли из восприимчивого класса, «коэффициент рож-
даемости» 1(0, t) равен —dS/dt. В результате получаем граничные условия
для (10.67):
(10.68)
dS
I(a,0) = Io(a), Z(O,t) = - —, t > 0.
dt
Интегродифференциальная модель теперь состоит из уравнений (10.66)-
(10.68), где Iq(cl) и Sq заданы изначально. Предположим также, что функ-
ции г (а) и А (а) для конкретного заболевания известны, по крайней мере,
качественно, и ими можно манипулировать (обычно так и бывает).
Заболевание не будет распространяться, если ожидаемое число вос-
приимчивых, зараженных одним инфицированным, меньше 1. Если же это
число больше единицы, инфекция будет распространяться, и начнется эпи-
демия. Число восприимчивых 7, зараженных каждым инфицированным,
определяется выражением:
(10.69)
Как и в (10.66), г (а) — способность инфицированной особи к заражению.
Она выражается весовой экспоненциальной функцией, описывающей веро-
ятность того, что инфицированный достигнет возраста а: А (а) такая же,
как в (10.67). Пороговым значением для инфекции является 7=1, по-
сле его превышения заболевание начинает распространяться. Теперь пока-
жем, как тяжесть эпидемии, описываемая отношением 5(оо)/5о, зависит
от 7. Из выражения (10.66) видно, что, так как dS/dt 0, S(f) —> S(oo),
где 0 < 5(оо) < Sq.
Математическую задачу (10.66)-( 10.68) можно решить методом харак-
теристических функций. (Аналогичный метод был использован в главе 1
в модели роста единственной популяции с возрастным распределением.)
Характеристические функции уравнения (10.67) представляют собой пря-
мые линии:
dt
da
t,
= t a <t,
где aQ и tQ, соответственно, возраст особи в момент времени t = 0 при за-
данной исходной популяции и время «рождения» инфицированного; смотри
рисунок 10.15.
Характеристическая форма уравнения (10.67) имеет следующий вид:
(10.70)
di . . dt
— = -Х(а)1 при — = 1.
da da
10.9. Возрастная эпидемиологическая модель
511
Рис. 10.15. Характеристические функции уравнения для инфицированных (10.67).
Дано, что при t = 0 7(а, t) = 7о(а), а при а = 0 7(0, t) = —dS/dt, t > 0
Следовательно, исходя из рисунка 10.15, интегрирование этих уравнений
даст
t) = lo(ao) exp — / X(a')da' ,
J ao
а > t.
ao
Таким образом, из (10.70) получаем:
/(a, t) = Io(a — t) exp
= 1(0, a -
Решение S(t) следует из выражения (10.66):
а > t.
а < t.
S(£) = Soexp —f r(a)Z(a, t') da .
(10.71)
(10.72)
Используя (10.71) для 7(а,£) на промежутках времени а < t и а > t,
получаем
da.
(10.73)
Так как период времени, в течение которого больная особь способна к за-
ражению, равен т, последний интеграл исчезает при t < т; можно рассмат-
ривать это условие как г (а) = 0, если а > т. С учетом (10.68) и (10.73)
о
о
о
512
ГЛАВА 10
для S(t) из (10.72) получаем
Пг(а)1(а, t')dadt' =
*
= I / r(a)exp —
Jo Jo .
/] dS{t' a)dadt'
J dt'
ra
a—t'
Л (a') da' dadt'.
Поменяв порядок интегрирования в первом интеграле из правой части, по-
лучим
Пг(аЩа, t')dadt' =
— / A(a')da' (S(t — a) — So) dt + Tn(t),
. Jo J
(10.74)
t
где
m(t) = У У г(а)7о(а — £') exp —
dadt'. (10.75)
Подстановка (10.74) в (10.72) дает
S(t) = So ехр < —mi
a) — Sq) da j .
(10.76)
Теперь устремим t —> оо и, с учетом того, что r(a) = 0 при a > т, и с ис-
пользованием параметра 7, заданного выражением (10.69), получим:
р — е-т(оо)+7(Г-1), р _ S(°°) .
So
(10.77)
Нас интересует тяжесть эпидемии, определяемая параметром F, то
есть доля восприимчивой популяции, пережившей эпидемию, и ее зави-
симость от 7. При заданных r(a), /о(«) и А(а) из выражения (10.75) по-
лучаем m(t) и, следовательно, т(оо). На рисунке 10.16 показана зависи-
мость F от 7 при 0 < т(оо) = б < 1. Для любого значения 7 суще-
ствуют два корня уравнения для F, но, так как S(oo) So, только ко-
рень F = S(oo)/Sq 1 имеет смысл. Заметим, что тяжесть эпидемии мала
при 7 < 1 и малом е, но резко увеличивается; то есть S(oo)/Sq быстро
10.10. Простая эпидемиологическая модель употребления 513
уменьшается (от S(oo)/Sq « 1), если 7 > 1. Например, если 0 < s 1
и 7 « 1.85, S(oo)/S0 «0.25.
Предположим, что одна инфицированная особь была представлена
в восприимчивую популяцию размера Sq. Можно аппроксимировать этот
случай, записав дельта-функцию Дирака: Io(a) = 8(a). Тогда получим
/ IQ(a) da = 1.
о
В этом случае, с учетом (10.75) и (10.69), получаем
т(£) = у* г(а)1о(а — tf) exj
= У У r(a)6(a — t') ехр
-Г
= -L
So’
о
Следовательно, (10.77) принимает следующий вид:
F = ехр
Р 5(оо)
(10.78)
Так как в общем случае 1/Sq 1, типичные решения для F в зависимости
от 7 имеют вид, представленный на рисунке 10.16. Следовательно, 7 > 1 не
обязательно должен быть большим для того, чтобы эпидемия была тяжелой.
Соответственно, оценка параметра 7 в выражении (10.69) является крити-
ческой в эпидемиологии возрастных моделей. Такую оценку мы сделаем
в следующем разделе для очень простой и грубой модели употребления
наркотических и лекарственных препаратов.
10.10. Простая эпидемиологическая модель употребления
наркотических и лекарственных препаратов
и пороговый анализ
В настоящее время широко распространено употребление медикамен-
тов (терапевтических и запрещенных) без рецепта врача. В некоторых слу-
514
Глава 10
Рис. 10.16. Зависимость тяжести эпидемии F = S(oo)/Sb, то есть доли восприим-
чивой популяции, пережившей эпидемию, от порогового параметра 7 из выраже-
ния (10.77), а именно, F = ехр[—е -I- y(F — 1)]. Биологический смысл, очевидно,
имеют только значения F = S(oo)/So 1
чаях это является результатом того, что люди на начальных стадиях ис-
пользования такого вещества с энтузиазмом начинают привлекать к упо-
треблению и других. Здесь мы рассмотрим простую иллюстративную мо-
дель этиологии такого медикамента, описанную Хоппенштадом и Мюрре-
ем (Hoppensteadt and Murray 1981), и покажем, как определить пороговый
параметр 7. Это влечет за собой определение заразности, которая связа-
на с реакцией потребляющего на медикамент. Это учебная модель, она не
описывает какое-либо конкретное вещество.
Предположим, что препарат вводят в кровяное русло с дозировкой d(t),
и пусть он выходит из организма со скоростью, пропорциональной c(t),
концентрации вещества в крови; таким образом, удаление описывается ки-
нетикой первого порядка. Основное уравнение для концентрации медика-
мента в крови c(t) имеет следующий вид:
de
— = d(t) - кс, с(0) = 0, (10.79)
dt
где к > 0 — константа, a t = 0 — время, когда человек впервые попробо-
вал препарат. При лекарственной зависимости дозировка d(t) обычно имеет
колебательный или почти периодический характер с постепенно уменьша-
ющимся периодом. Решение (10.79) имеет следующий вид:
c(t) = e~kt e~kt' d(t') dt'. (10.80)
Jo
10.10. Простая эпидемиологическая модель употребления 515
Взаимодействие медикамента со своим специфическим сайтом свя-
зывания вызывает ответ организма. Обозначим число свободных, то есть
активных или несвязанных, рецепторов через A(t), число связанных, то
есть неактивных, рецепторов через B(i), а их общее количество через N.
Предположим, что новые рецепторы не появляются, следовательно, A(t) 4-
+ B(t) = N. В качестве модели связывания с сайтом возьмем очень про-
стую систему:
£^=аВ-(ЗсА, А(0) = N,
dB (10-81)
= 0сА - 5(0) = 0,
at
где а, /3 и е — положительные константы. Включение в эту систему е необ-
ходимо для математического удобства — в дальнейшем мы примем его за
малый параметр. Таким образом, мы предполагаем, что скорость связыва-
ния активных сайтов пропорциональна концентрации препарата с(£) в ор-
ганизме и количеству доступных сайтов, то есть ^cAje. Также происходит
пополнение числа активных сайтов, пропорциональное количеству связан-
ных, а именно, а/?/е Второе уравнение (10.81) для В вытекает из усло-
вия А 4- В = N.
Теперь предположим, что реакция на медикамент, г(£), пропорцио-
нальна его концентрации в крови и количеству свободных сайтов. Следо-
вательно, запишем ее в следующем виде:
r(i) = Rcft^A^t),
(10.82)
где R > 0 — мера индивидуальной реакции на препарат.
Если скорость связывания велика, то есть а и /3 имеют порядок 0(1),
и в (10.81) 0 < е 1, число свободных и связанных рецепторов быстро
достигает состояния равновесия. Следовательно, с учетом А 4- В = N,
получаем
/ЗсА л aN п [3NC
а а 4- рс а + рс
Индивидуальный ответ равен
RaNc
а + /Зс
(10.83)
(10.84)
Это ответ по типу Михаэлиса-Ментен (см. главу 6, раздел 6.2), который вы-
ходит на плато rmax = RaN/(3 при высоких концентрациях с медикамента
в крови. Заметим, что если взять В из (10.83), то г = RaB//3, то есть ответ
пропорционален числу связанных рецепторов.
516
Глава 10
Если е в (10.81) имеет порядок 0(1), можно включить его в а и /?; это
то же самое, что принять 6 = 1. Теперь при В = N — Л и 6 = 1, уравнение
для A(t) из системы (10.81) принимает следующий вид
= aN-A(a + 0c), А(0) = N.
dt
Решением этого уравнения является
A(t) = TV ехр
a -h 0c(tf)} dt'
+ aN
а 4- /Зс(т)} dr
dt',
(10.85)
где c(f) определяется выражением (10.80).
Если d(f) известно, можно провести интегрирование, чтобы полу-
чить A(t) и c(t) в явном виде: это математически довольно сложно даже
для простой периодической функции d(t). Для того, чтобы детали алгеб-
раических преобразований не затеняли ключевые моменты, в этом особом
случае примем, что d(t) = d, то есть не меняется со временем, и предполо-
жим, что восстановления рецепторов из связанного состояния практически
не происходит, то есть а ~ 0. Следовательно, из (10.80) получаем с(£), а из
последнего уравнения — A(t):
Ф) = ^(1-е fct)’
A(£) = Nexp ~ i)
(10.86)
Ответ на препарат r(t) получаем из (10.82) в виде:
r(t) = ReA = & (1 — е kt) ехр
К
(10.87)
На рисунке 10.17 показаны кривые для c(t) и r(t), соответствующие выра-
жениям (10.86) и (10.87).
Интересно заметить, что даже в такой простой иллюстративной мо-
дели ответ индивидуума не просто увеличивается с увеличением дозы —
после начальной стадии возрастания, он со временем уменьшается.
10.10. Простая эпидемиологическая модель употребления 517
Рис. 10.17. (а) Концентрация c(t) медикамента в крови: согласно (10.86) для до-
стижения насыщения d/k требуется длительный промежуток времени. (Ь) Ответ
организма на медикамент согласно (10.87). Заметим, что вначале ответ растет, но
после длительного приема медикамента реакция на препарат начинает уменьшаться
Теперь рассмотрим возможность эпидемии употребления медикамента
в популяции Sq после появления в ней одного потребителя. Предположим,
что 1/So 1, тогда F = S(oo)/Sq определяется решением F < 1, изоб-
раженным на рисунке 10.16, при подходящем параметре 7, который мы
сейчас рассчитаем.
Возраст здесь измеряется с того момента, как человек впервые принял
препарат. Для способности к заражению нет временных ограничений, сле-
довательно, в определении 7 положим т = оо. Согласно рисунку 10.17(b)
ответ r(t) —> 0 при t —> 00; то есть заразительность, или пропагандист-
ский энтузиазм, со временем становится менее эффективным. Для просто-
ты предположим, что в вероятностном факторе в (10.69) А равна константе.
В результате получаем
/»оо
7 = So / r(t)e~Xt dt. (10.88)
Jo
Теперь можно дать оценку 7 для различных граничных ситуаций через
параметры а, /3, у и к в модели употребления (10.79)-(10.82).
В случае, когда d(t) = d, то есть постоянно, после простейших вы-
числений получаем таблицу 10.1. В ней представлены ответ потребляю-
щего r(t) и соответствующий пороговый параметр эпидемии 7. Напри-
мер, в случае 0 < в 1 выражение (10.84) имеет смысл, когда а /?,
r(t) « RNa//3, то есть константа, и (10.88) дает 7 « SqRNol/(X(3). С дру-
гой стороны, если 0 < е 1 и /3 а, то из (10.83) следует, что r(t) =
= RNc(t), и, при c(t) из (10.86), 7, согласно (10.88), определяется выра-
518
Глава 10
жением:
Jo к
S0RNd
X(X + k)'
Для получения остальных результатов в таблице 10.1 используется похожий
асимптотический подход.
Таблица 10.1. Случай, когда d(t) = d, то есть не меняется со временем. Здесь r(t) —
мера ответа индивидуума на прием препарата, а 7 — эпидемиологическая скорость
заражения (то есть пополнения количества принимающих медикамент)
Случай r(t) у/So
(1) RNa/0 RNa/X0
(2) е < 1,0 » а RNc(t) RNd/[X(X + k)\
(3) е < 1,к » 1 RNd/k RNd/kX
(4) £ < 1,к « 1, RN dt/[l + (0dt/a)] RNa/0X
a/0d С 1 ~ RNa/0
(5) е = 1, к 1 NdRt exp[—2d0t] RNd/(2d0 + X)2
(6) е = 1, k » 1 Rd exp[—d0t/k]/k RNd/kX
Для большинства случаев использования медикаментов без разреше-
ния врача 0 < е 1; то есть ответ происходит очень быстро. Вероятность
эпидемии довольно просто зависит от относительной амплитуды различ-
ных параметров. Этот случай описан в пунктах (1)-(4) таблицы 10.1. На-
пример, если скорость освобождения связанных рецепторов много мень-
ше скорости связывания, а именно, /3 а (случай (2)), то из-за того, что
большинство рецепторов будут связаны, реакция на препарат будет малень-
кой. Это уменьшает «заразность» пациента и, следовательно, риск эпиде-
мии.
Если увеличить скорость выздоровления, то есть увеличить Л, 7 умень-
шается. Снижение ответа индивидуума за счет образовательных программ
или лекарственной терапии также снижает 7 и, таким образом, уменьшает
вероятность тяжелой эпидемии. Эти результаты соответствуют эвристиче-
ским выводам, сделанным на основе здравого смысла.
Если описать критическую популяцию Sc следующим выражением:
. -1
da >
(10.89)
10.11. Бычий ТУБЕРКУЛЕЗ У БАРСУКОВ И КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА 519
то при So > Sc, что подразумевает 7 > 1, возникает эпидемия, тогда как
при Sq < Sc этого не происходит. Чувствительность Sc к значениям па-
раметров может быть определена, только если значения г и 7 известны
с определенной уверенностью.
Модели потребления медикаментов, вроде тех, что мы описали и про-
анализировали здесь, но без возрастной зависимости, с большой пользой
применялись к определенным аспектам хронического злоупотребления ал-
коголем и даже использовались при разработке алкотестеров. Метаболизм
этанола, связанный с расщеплением алкоголя в организме, сильно различа-
ется у нормальных людей по сравнению с алкоголиками. Смит и др. (Smith
et al. 1993) использовали подобную модель для изучения метаболизма эта-
нола, надеясь понять разницу между нормальными потребителями и алко-
голиками, и сравнили результаты и предсказания с реальными данными.
Еще более простая модель, а именно, dc/dt = d(t) — к, где с(£) — уровень
алкоголя в крови, d(t) — всасывание алкоголя, а к — метаболический коэф-
фициент распада, была использована Любкиным и др. (Lubkin et al. 1996).
Они исследовали возможность создания более сложной модели выделения
алкоголя при дыхании, которая могла бы сделать «контроль трезвости» на
дорогах более точным. В общем, они пришли к выводу, что это невозмож-
10.11. Бычий туберкулез у барсуков и крупного рогатого
скота
Бычий туберкулез — коварное заболевание крупного рогатого скота,
барсуков и свиней, оно обычно не проявляется до тех пор, пока не до-
стигнет поздней стадии. Исследования показали, что на юго-западе Англии
в популяции барсуков поддерживается высокий уровень численности воз-
будителей бычьего туберкулеза Mycobacterium bovis (М. Bovis). Также суще-
ствует предположение, что именно барсуки, благодаря высокой плотности
популяции, являются основной движущей силой распространения заболе-
11 Сержант Национальной гвардии из Вашингтона Род Галлберг, соавтор статьи, позвонил
мне и спросил, может ли он встретиться со мной и обсудить эту проблему. Когда он вызвался
приехать в университет, я наивно сказал: «Да, конечно, но на территории ужасные проблемы
с парковкой». Он спокойно ответил, что у него вряд ли возникнут затруднения. Он приехал на
огромной полицейской машине и припарковался прямо напротив главного входа в здание. Я
всегда думал, что это то же самое, что десять раз пересечь двойную сплошную линию, и в ре-
зультате тебя вместе с машиной за считанные секунды выкинут с территории университета. Но
сержант Галлберг, в форме, блистая полицейским снаряжением (дубинкой, пистолетом и так
далее), зашел в здание и спросил, где он может найти профессора Мюррея. Его с любопыт-
ством проводили наверх. Люди подумали, что у меня есть совершенно другая тайная жизнь.
520
ГЛАВА 10
вания. Условия в подверженных инфекции областях и, как было сказано,
социальная организация барсуков способствуют передаче заболевания не
только от одной зараженной группы барсуков другой, но и от барсуков
крупному рогатому скоту и наоборот.
В некоторых областях Англии и Уэльса места обитания барсуков ча-
сто значительно перекрываются с активно использующимися пастбищами
(Neal 1986; MAFF Report 1987; 1994). Так как основная пища барсуков
(земляные черви, насекомые и фрукты) претерпевает сезонные колебания,
животные используют пастбища крупного рогатого скота в качестве аль-
тернативного источника питания. Полевые исследования, проводившиеся
более 10 лет в подобных областях, подтвердили, что прямым последствием
пищевых привычек барсуков в этом случае становится повышенная частота
мочеиспускания и дефекации (MAFF Report 1987). В результате, больные
барсуки за счет своих пищевых привычек и через гнойные раны от уку-
сов долгое время заражают окружающую среду бациллами. Несмотря на
то, что большая часть бактерий может быстро погибнуть под воздействи-
ем прямых солнечных лучей, некоторое их количество способно выживать
в микроокружении в течение нескольких недель, в зависимости от клима-
тических условий. Исследования (MacDonald 1984) показали, что в дикой
природе риск заражения частично зависит от жизнеспособности бацилл.
В бронхиальном гное бациллы в существенном количестве живут до четы-
рех недель зимой и одной недели летом, в моче, соответственно, до семи
и трех дней, в коровьем навозе — до пяти и двух месяцев. Как правило,
для выживания на поверхности почвы бактериям требуются повышенная
температура, темнота и влажность.
Крупный рогатый скот может заразиться несколькими путями, но ос-
новных два: животное может вдохнуть бациллы при встрече с барсуком,
страдающим от тяжелого поражения легких и почек, или съесть или по-
нюхать траву, загрязненную инфекционными продуктами жизнедеятельно-
сти барсуков (слюной, гноем из легких и ран от укусов, экскрементами
и мочой). Таким образом, перекрестная инфекция может возникнуть, когда
скот контактирует с бациллами либо напрямую через загрязненную окру-
жающую среду, либо косвенно через зараженных барсуков. На некоторых
фермах барсуки свободно проникают в сараи для скота и пользуются там
солевыми лизунцами и поилками, что также может вносить определенный
вклад в распространение заболевания. Таким образом, существует большая
вероятность передачи болезни от барсуков скоту и от скота барсукам.
В этом разделе мы дадим описание перекрестной модели эпидемии бы-
чьего туберкулеза у крупного рогатого скота и барсуков и получим для нее
некоторые аналитические результаты. Эта модель была разработана док-
10.11. Бычий ТУБЕРКУЛЕЗ У БАРСУКОВ И КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА 521
тором Д. Э. Бентилом и мной в середине 90-х. Главной задачей является
применение полученных результатов в следующем разделе для изучения
динамики программ иммунизации, а также для того, чтобы понять, как
в случае эпидемии определенные практические меры по контролю могли
бы быть использованы для конечной цели минимизации передачи инфек-
ции от барсуков скоту и наоборот.
Перекрестная модель бычьего туберкулеза
При рассмотрении двух популяций (в данном случае, барсуков и скота)
необходимо создать эпидемиологические системы для каждой популяции,
а затем связать их через инфицирование восприимчивого скота зараженны-
ми барсуками и восприимчивых барсуков зараженным скотом. Использо-
вание модели SIER (типа подробно описанной в Bentil and Murray 1993)
и включение в нее возрастной структуры приведет к модели, состоящей
из восьми сопряженных дифференциальных уравнений в частных произ-
водных. В принципе, создавать модели нужно от простого к сложному.
В данном случае нам приходится выбирать между рассмотрением зависи-
мости численности популяции только от времени, без возрастной структу-
ры, и рассмотрением меньшего числа субпопуляций и включением возраст-
ной структуры. Здесь мы применим последний принцип и рассмотрим по
две субпопуляции барсуков и скота, то есть для изучения передачи заболе-
вания мы создадим структурированную по возрасту перекрестную модель
эпидемии типа SI. Таким образом, мы рассмотрим модель, включающую
две отдельные популяции (барсуков и скота) и инфекцию, связывающую
их. Мы исследуем простую, структурированную по возрасту перекрестную
модель, описывающую скорость перехода детенышей и взрослых особей
барсуков и скота между двумя разными — восприимчивым и инфициро-
ванным — состояниями. Одним из основных предположений является то,
что барсуки после инфицирования долго болеют: например, в неволе 12
естественным путем зараженных барсуков прожили от 165 до 1305 дней
(MacDonald 1984). Предположительно, именно во время длительной бо-
лезни они загрязняют коровьи пастбища бациллами. Смертность за счет
М. bovis и у барсуков, и у скота мала (Cheeseman et al. 1988), так что ра-
зумно пренебречь гибелью от заболевания по сравнению с естественной
смертью. Коэффициенты смертности барсуков и скота считаем постоянны-
ми. Могут быть использованы другие формы коэффициента смертности,
но на данном этапе они чрезмерно усложнят анализ. В первую очередь,
важно и полезно обозначить некоторые общие ориентиры. Инфицирование
М. bovis не приводит к выработке иммунитета, следовательно, предполага-
ем, что зараженные барсуки либо умирают, либо временно выздоравливают,
вновь становясь восприимчивыми. Такую же динамику передачи заболева-
522
Глава 10
ния используем и для скота. Блок-схема динамики передачи бычьего ту-
беркулеза для двух отдельных взаимодействующих популяций, а именно,
барсуков и крупного рогатого скота, изображена на рисунке 10.18.
Рождение
Восприимчивый скот U
Зараженный скот W
Рождение
Рождение
Рис. 10.18. Блок-схема перекрестной модели инфекции для барсуков и крупного
рогатого скота. Каждый класс является носителем заболевания для другого класса.
Здесь мы разделили популяцию барсуков на восприимчивых, U, и инфицирован-
ных, W. Популяция скота разделена аналогичным образом, восприимчивый и инфи-
цированный классы обозначены U и W. Заражение инфекцией М. bovis не приводит
к выработке иммунитета, так что инфицированное животное после выздоровления
вновь становится восприимчивым
Пусть общее число рискующих заразиться детенышей и взрослых осо-
бей в обеих популяциях будет постоянно, и равно N для барсуков и N ддя
скота. Также предположим, что зараженный скот выздоравливает со ско-
ростью г, пропорциональной W, количеству инфицированного скота, а за-
раженные барсуки выздоравливают со скоростью г, пропорциональной W,
численности инфицированной популяции барсуков. У скота симптомы раз-
виваются гораздо быстрее, следовательно, г г. Инфицирование скота
происходит со скоростями /31 и 02, которые пропорциональны произведе-
нию количества восприимчивого скота U на сумму зараженного скота W
и зараженных барсуков W. Точно так же, заражение барсуков происходит
со скоростями /31 и 02, пропорциональными произведению числа воспри-
имчивых барсуков U на сумму зараженных барсуков и скота, а именно, W
и W. Параметры /31, 02, 01, 02 представляют собой коэффициенты передачи
заболевания, соответственно, для барсуков и скота.
10.11. БЫЧИЙ ТУБЕРКУЛЕЗ У БАРСУКОВ И КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА 523
Схема, изображенная на рисунке 10.18, очевидно, является базовой
и содержит много упрощений. С учетом приведенных выше предположе-
ний, запишем нашу модельную систему:
ди ди ч тт
— + ^- = -X1U + rW - ци,
ut да
dW dU , тт
— + — = X^U - rW - nW,
dt да
дй дй г т~т _т~т
= - Al U + rW — nU,
dt да
dW дй г - _ - -
-£- + -х- = Al U -rW - nW,
dt да
(10.90)
где сила инфекции для соответствующих популяций определяется следую-
щим образом:
(В) Ai(t)=/?1 [ W(t,a)da + 02[ W(t,a)da,
Jo Jo
(C) Ai(f)=/31 f W(t,a)da + j32 f W(t,a)da.
Jo Jo
(10.91)
(10.92)
Это частичные вклады барсуков (В) и скота (С). Начальное распределение
по возрасту соответствующих классов в момент времени t = 0 задается
выражениями:
£7(0, а) = С70 (а), С/(0, а) = Ш
HZ(0, а) = Wo{a\ IV(0, а) = WQ(a).
Условия обновления (граничные) имеют следующий вид:
a) da =
N(t, a) da =
t >0,
t >0.
(10.93)
(10.94)
Отсутствие члена, описывающего рождаемость, объясняется тем, что по-
полнение популяции носителей происходит только в классе с нулевым воз-
растом и, следовательно, возникает как граничное условие. Если мы бу-
дем придерживаться предположения о том, что в популяциях с постоянной
численностью, где коэффициенты рождаемости 7, 7 равны коэффициентам
смертности д, Д для барсуков и скота, соответственно, все новорожденные
524
Глава 10
барсуки и телята являются восприимчивыми, то граничные условия (10.94)
для различных групп примут следующий вид:
U(t, 0) = 2V(£, 0) = W(t, 0) = 0,
U(t, 0) = 7V(t, 0) = 72V(0, W(t, 0) = 0.
(10.95)
Здесь, например, ^Nft) — число рождений барсуков в возрасте 0 для всех t,
a 2V(£) — общая численность барсучьей популяции. В любой момент вре-
мени t возрастное распределение барсуков и скота выражается следующим
образом:
2V(t, а) = 'yN^t) ехр
N(t, а) = ехр
= 7?/(£)т(а),
(10.96)
Это определение функций вероятности выживания т(а) и т(а). Напри-
мер, т(а) — это вероятность того, что барсук доживет до возраста а.
Теперь для того, чтобы обезразмерить систему, изменим масштаб зада-
чи. Для этого введем безразмерные переменные, описывающие определен-
ные экологические явления. Сперва в системе (10.90) вынесем за скобки
коэффициент смертности, сделав следующую замену:
u(t,a) =
u(t, а) —
U(t,a)
U(t,a)
w(t,a) =
w(t,a) =
W(t,a)
N(t,a) ’
W(t,a)
N(t,a) ’
(10.97)
ди ди
Теперь выберем новые шкалы отсчета для u(t,a), w(t,a), u(t,a), w(t,a),
а и t, и поделим эти переменные на максимальные значения, которые дости-
жимы в природе (максимальное значение для и(а) достигается при и(0)).
Затем обезразмерим время и хронологический возраст, задав г = rt, а =
= га, и получим следующую безразмерную систему:
ди ди 1 х
-—Ь — = —Ми + ш,
г
1 х
-Aiu — w,
г
1-
-~Ми + W,
дт да
dw dw
дт да
дй дй
дт + да
dw dw 1 г ~
-х- + = -Xiu-w.
дт да г
(10.98)
10.11. БЫЧИЙ ТУБЕРКУЛЕЗ У БАРСУКОВ И КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА 525
Граничные условия для этой системы записываются следующим образом:
и(т, 0) = 1, w(r, 0)=0, й(т, 0) = 1, w(t, 0) = 0. (10.99)
Начальные условия принимают следующий вид:
u(0,a) = u0(a), w(0,a) = w0(a), , >
й(0, а) = йо(о), w(0, а) = wq(^)-
Сила инфекции для соответствующих популяций определяется выра-
жениями:
(В) АДт) = — ( w(t^o)N(t^o) da + — [ w(r,d)N(T,a) da,
r Jo r Jo
(C) Ai(t) = — f w(r,a)N{r,a)da + — f w(r,a)N(r,a) da.
r Jo r Jo
(10.101)
Сила инфекции определяет, возникнет ли эпидемия. В простых моделях,
рассмотренных в предыдущих разделах, мы видели, что существуют по-
роговые условия, которые должны соблюдаться, если число зараженных
животных будет возрастать. Следовательно, расчет параметров А является
необходимой составляющей изучения распространения заболевания. В са-
мом простом виде, если сила инфекции больше 1, это значит, что более
одного восприимчивого будет заражено одним инфицированным. В слу-
чае модели SIER с зависимостью от возраста (Bentil and Murray 1993),
условия возникновения эпидемии упростились до определения того, имеет
ли функция А, полученная из аналогичного (10.101) выражения для си-
лы инфекции, решение А > 1. Таким образом, были получены пороговые
значения параметров и численности популяций, при которых начинается
эпидемия.
Математическая задача, поставленная уравнениями (10.98)—(10.101),
в общем виде решается непросто. Однако в состоянии равновесия полу-
чить решения относительно легко. Предположим, что через некоторое про-
должительное время достигается состояние равновесия, то есть все чле-
ны д/дт становятся равны нулю, и численность различных классов зави-
сит только от возраста а. Функции А в (10.101) равны константам, так как
в интегралы не включено т (т —* оо при равновесии). Уравнения систе-
мы (10.98) становятся набором из четырех обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, сопряженных попарно: и(а) и w(a), й(а) и w(q). Легко
вывести доли инфицированных и восприимчивых барсуков и скота в со-
стоянии равновесия. Например, в случае первых двух уравнений из (10.98)
526
Глава 10
после сложения и использования граничных условий u(0) = 1, w(0) = 0,
в и(а) получаем линейное уравнение первого порядка, которое легко реша-
ется. Эти решения, после простых преобразований, дают нам равновесные
силы инфекции, обозначаемые А2 и А2 (индекс «2» используем для того,
чтобы отличать их от зависящих от времени сил инфекции):
(В) а2 = г(А2 + г) /•ОО / т(а) Jo 1 — ехр L Г 1 da+
/32А272У /•00 ( ^2
+ / т(а) 1 — ехр [ — - 1^ da,
г(А2 + г) . /о г (10.102)
(С) А2 = 3iA277V /•ОО / т(а) 1 — ехр А2 -1^ da+
г (А2 + г) Jo (
З2А27ЛГ /•00 / / \ ( А2
+ / т(а) 1 — ехр 1 — -1^ da.
г(А2 + г) , /о г
где т(а) и т(а) — вероятности выживания, заданные выражения-
ми (10.96). Мы не можем идти дальше, пока точно не определим эти
функции. Если мы примем коэффициент смертности /1(а) постоянным,
то т(а) = е~^а и т(а) = е~^а. Теперь легко вычислить интегра-
лы (10.102). Мы получим сопряженные трансцендентные уравнения для
определения силы инфекции в популяциях барсуков и скота. В общем слу-
чае, они решаются численно при заданных значениях параметров.
В качестве иллюстрации, предположим, что вклад заражения внутри
соответствующих популяций пренебрежимо мал, и преобладает перекрест-
ное инфицирование, то есть = 0 = /31, а коэффициенты смертности
постоянны. В этом случае после некоторых преобразований получим
(в) а2(т) = —*—(1 _ g-a+r+^L) ,
г(А2 + г) [А А2 + г 4- jl
(С) A2(t) = [l(i _ е-мЬ) _ ---!----(1 _ е-О+г+м)^) ,
г(А2 + г) /1 А2 + Г +
(10.103)
где L — средняя продолжительность жизни, а (В) и (С) означают, соответ-
ственно, барсуков и скот. В обоих случаях, как и ожидалось, при L —> 0,
А2 —> 0 и А2 —> 0.
10.11. Бычий ТУБЕРКУЛЕЗ У БАРСУКОВ И КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА 527
При больших L из (10.103) получаем, соответственно, для барсуков
и скота
А2 _ 027 N Д2 _ fanN
А2 Д(^2 + Г + Д) ^2 /^(^2 + Г + /1)
(10.104)
Обратное отношение пропорциональности имеет следующий вид:
020277^N
1 =
МД(А2 + г + м)(Аг + г + Д)
(10.105)
или
-1
027 N
(10.106)
027^
/4^2 + г + /1) Д(А2 4- г + Д)
Эти выражения тесно связаны с условиями существования эпидемии, ко-
торые мы нашли в моделях венерических заболеваний в разделе 10.3. Для
объяснения этих результатов необходимо знать оценки параметров.
Оценка параметров
Нам известны некоторые ключевые параметры, влияющие на демо-
графию барсуков и скота в отсутствие инфекции Л/, bovis (см., например,
Anderson and Trewhella 1985 и Brown et al. 1994). Однако невероятно слож-
но получить убедительные полевые данные для перекрестного распростра-
нения заболевания среди барсуков и скота: доступная информация про-
тиворечива и относится к специфическим эпидемиологическим условиям,
и многие важные параметры выбраны произвольно. Отсутствие адекват-
ной информации и противоречивость данных делает сложным получение
надежных скоростей передачи заболевания из выражений (10.102). С точ-
ки зрения моделирования, выбор значений параметров является ключевым
фактором в определении уровня распространения болезни. По этой при-
чине для оценки параметров мы использовали численные методы, в основ-
ном, метод логического поиска параметров (Logical Parameter Search, LPS),
разработанный Бентилом и Мюрреем (Bentil and Murray 1993). Этот метод
позволяет генерировать подходящие значения параметров для воспроизве-
дения наблюдаемых в природе тенденций в отсутствие полевых данных.
Метод LPS представляет собой поисковую процедуру в он-лайн режиме,
сканирующую заданные границы значений параметров и генерирующую
наборы параметров, удовлетворяющих некоторым заданным логическим
условиям. Например, в перекрестной модели для того, чтобы задать реали-
стичные границы параметров, мы частично использовали полевые данные,
528
Глава 10
взятые из литературы (см. таблицу 10.2). Затем программа последователь-
но сканировала различные области значений параметров в поисках подхо-
дящих наборов, удовлетворяющих логическим условиям (например, кри-
терию преобладания заболевания, полученному из анализа модели). Для
того чтобы быть уверенными в том, что все требования, а именно, усло-
вия для частоты заболеваемости и уровня распространения инфекции удо-
влетворяются, мы сравнили полученные в программе параметры с поро-
говыми условиями (то есть частота заболевания увеличивается после вве-
дения инфицированной группы). Уравнения модели (10.90) были решены
с помощью конечно-разностной схемы с параметрами, указанными в табли-
це 10.2. Начальные условия были заданы решениями обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, полученными путем исключения производных
по времени. Мы получили устойчивое распределение по возрасту, опреде-
ляемое зависящими от возраста коэффициентами рождаемости и смертно-
сти, и возмутили полную систему путем замены 10% восприимчивых бар-
суков и 5 % восприимчивого скота на соответствующие инфицированные
классы.
Численные результаты и предсказания
Временные зависимости силы инфекции в популяциях барсуков и ско-
та заданы выражениями (10.101) и могут быть рассчитаны только после
решения полной системы. Это было сделано с параметрами, указанными
в таблице 10.2. Результаты показаны на рисунке 10.19. Как было показано
раньше, мы можем вычислить интегралы и получить алгебраические соот-
ношения, а именно, (10.104)—(10.106), между двумя силами инфекции для
барсуков и скота для состояния равновесия. В этом случае продолжитель-
ность жизни L велика, смертность постоянна (и дает экспоненциальную
вероятность выживания) и перекрестное заражение является основным пу-
тем возникновения инфекции. Это означает, что отношение силы инфекции
барсуков к силе инфекции скота обратно пропорционально отношению си-
лы инфекции скота к силе инфекции барсуков. Практический смысл заклю-
чается в том, что, если бычий туберкулез распространяется беспрепятствен-
но, возможно предсказать динамику распространения заболевания среди
различных возрастных групп барсуков, изучая только скот (и наоборот).
Модель предсказывает, что численность восприимчивых классов бар-
суков и скота уменьшается, в то время как численность зараженных осо-
бей плавно возрастает, особенно сильно внутри популяции барсуков (см.
рисунок 10.20). Таким образом, можно предположить, что если существу-
ет перекрестная передача инфекции, воздействие заболевания на популя-
цию барсуков будет много больше. Это подтверждает наше предположение
10.11. БЫЧИЙ ТУБЕРКУЛЕЗ У БАРСУКОВ И КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА 529
Таблица 10.2. Значения параметров, использованных в базовой перекрестной моде-
ли бычьего туберкулеза среди барсуков и крупного рогатого скота. Описание полу-
чения оценок методом LPS дано в тексте. (Из Anderson and Trewhella 1985; ВТЕС
1987)
Параметр Символ Значение Оценка LPS
Численность популяции (Скот) N — 10 коров км-2
Численность популяции (Барсуки) N 2-5 барсу- _9 КОВ км 3 барсука км-2
Смертность (Скот) д — 0.25 год-1
Смертность (Барсуки) м 0.25 год-1 0.125 год-1
Рождаемость (Скот) 7 — 0.05 год-1
Рождаемость (Барсуки) 7 0.125 год-1 0.02 год-1
Средняя скорость устранения (Скот) Й — 2 год-1
Средняя скорость устранения (Барсуки) П 2 год-1 1 год-1
Коэф, передачи заболевания (Скот-скот) 31 — 2.0 км2 год-1
Коэф, передачи заболевания (Скот-барсуки) 02 — 1.0 км2 год-1
Коэф, передачи заболевания (Барсуки-барсуки) 01 1.54 км2 год-1 1.54 км2 год-1
Коэф, передачи заболевания (Барсуки-скот) 02 — 3.5 км2 год-1
Средняя продолжительность жизни (Скот) L — 10 лет
Средняя продолжительность жизни (Барсуки) L 3.5-5.5 лет 10 лет
о том, что барсуки после заражения долго болеют, и именно за это продол-
жительное время загрязняют пастбища крупного рогатого скота бациллами.
Описанная здесь базовая перекрестная модель основана на предполо-
жении горизонтальной передачи воздушно-капельным путем, за счет ран от
укусов, поедания зараженной травы и так далее. Возможно, вертикальная
передача (от матери детенышу) тоже важна, но мы ее не учитывали. В об-
530
Глава 10
2.00
0.50
z' Барсуки
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/ .........................
Z s' Скот
0 2 4 6 8 10
Время (годы)
Рис. 10.19. Графическое представление силы инфекции, зависящей от динамики
передачи заболевания между барсуками и крупным рогатым скотом. Здесь основ-
ным предположением является то, что группы барсуков спят все вместе в норах,
где условия способствуют распространению туберкулеза; это одна из причин того,
что сила инфекции среди барсуков больше. Через некоторое время сила инфекции
стабилизируется
щих чертах, из-за разницы в интенсивностях контактов скот не может быть
надежным показателем степени распространения инфекции среди барсуков
в общем. По этой причине предложенная модель отражает эпидемиоло-
гию болезни в областях с условиями, благоприятными для сосуществова-
ния обоих видов.
Как было отмечено выше, установить реальную силу инфекции труд-
но, особенно для различных групп барсуков, где, например, возраст можно
определить только по весу, размеру и структуре зубов; для скота же су-
ществуют точные данные. Так или иначе, нам удалось с использованием
метода LPS сделать различные предсказания на основе модельных уравне-
ний. Мы предполагаем, что скот на фермах содержится в более или ме-
нее гигиенических условиях, что заметно снижает тенденцию к высоким
уровням заражения. Перекрестное распространение заболевания не име-
ет колебательного характера, однако некоторые исследования показывают,
10.11. БЫЧИЙ ТУБЕРКУЛЕЗ У БАРСУКОВ И КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА 531
Восприимчивая популяция
барсуков
Инфицированная популяция
барсуков
(Ь)
Восприимчивая популяция
скота
Инфицированная популяция
скота
(с) (d)
Рис. 10.20. Численные решения перекрестной модели, показывающие состояние
восприимчивой и инфицированной популяций барсуков и скота с учетом возраста
и времени (горизонтальная ось) после первичного инфицирования. На вертикаль-
ной оси отмечены соответствующие доли различных субпопуляций. Для выбранных
значений параметров (с использованием оценок LPS из таблицы 10.2) численность
инфицированных барсуков (Ь) возрастает до примерно 60 %, когда как численность
инфицированного скота достигает 30 % и стабилизируется
что среди барсуков возможно циклическое распространение инфекции (см.
Cheeseman et al. 1989 и Bentil and Murray 1993). В модели было предсказано
похожее поведение, и это делает исследование возможного (гипотетическо-
го) перекрестного типа инфекций еще более важным.
Результаты исследования показывают, что если известно, какие функ-
ции выживаемости нужно использовать, можно оценить зависящие от вре-
мени равновесные значения силы инфекции. Постоянные коэффициенты
смертности барсуков и скота, например, дают обратно пропорциональную
зависимость, которая позволяет упростить предсказание динамики переда-
532
Глава 10
чи заболевания среди различных возрастных групп. Возможно проанализи-
ровать поведение модели для ступенчатой функции смертности, но полу-
чить результаты, иначе как численно, будет гораздо сложнее.
Как не раз было отмечено (Dietz and Schenzle 1985; Anderson and May
1985; Murray et al. 1986), главной причиной сравнительного изучения струк-
турированных по возрасту моделей этого рецидивирующего заболевания
является разработка методов контроля для искоренения заболевания. Глав-
ной целью приведенного моделирования является использование результа-
тов для изучения динамики программ иммунизации и использования опре-
деленных методов контроля для достижения основной задачи — миними-
зации передачи инфекции от барсуков скоту и обратно в случае эпидемии.
Мы обсудим это в следующем разделе.
10.12. Моделирование стратегий контроля бычьего
туберкулеза среди барсуков и крупного рогатого
скота
Бентил и Мюррей (Bentil and Murray 1993) разработали и проанализи-
ровали модели динамики бычьего туберкулеза (Mycobacterium bovis) в ди-
кой популяции барсуков. Возможно (а скорее, крайне вероятно), что барсу-
ки являются носителями заболевания для скота на юго-западе Англии, и по-
этому в предыдущем разделе мы предложили и проанализировали простую
перекрестную модель. Несмотря на внедрение интенсивной национальной
кампании по искоренению туберкулеза, в случае заражения дикой популя-
ции (как на юго-западе Англии и в Новой Зеландии) победить заболевание
до сих пор не удается. Уничтожение или, скорее, приемлемый контроль
бычьего туберкулеза при помощи программ тестирования и забоя скота по-
казал хорошие результаты во многих странах, но полное искоренение до-
стигнуто не было. В США весь скот систематически тестируют, и больных
животных убивают. В результате, доля зараженного скота уменьшилась с 5
до 0.03% (USDA Report 1982а; 1982b).
Барсуки обитают в различных условиях, но преимущественно в ле-
сах, соседствующих с пашнями и пастбищами (Clements et al. 1988; Kruuk
1978). Такие местообитания обычно тесно перекрываются с активно ис-
пользуемыми пастбищами крупного рогатого скота, что делает передачу
заболевания от барсуков скоту и от скота барсукам еще более вероят-
ной. В предыдущем разделе анализ модели динамики гипотетической пе-
рекрестной инфекции предоставил некоторые ориентиры, касающиеся вли-
яния болезни на две популяции. Результаты моделирования перекрестной
инфекции показали, что возможно предсказать динамику передачи забо-
10.12. Моделирование стратегий контроля бычьего туберкулеза 533
левания для одной группы, скажем, скота, если есть данные о барсуках,
и наоборот.
В Британии, например, программы по контролю бычьего туберкуле-
за в областях с высокой частотой заболеваемости скота были направлены
на уменьшение плотности барсуков. Для этого уничтожались целые груп-
пы барсуков, в которых было заражено больше одной особи (обычно при
помощи ядовитого газа, что приводило простых англичан в ярость). Стра-
тегия контроля Министерства сельского хозяйства, рыболовства и продо-
вольствия (MAFF Report 1987) основывалась на том, что одного решитель-
ного шага по уничтожению всех зараженных групп животных будет доста-
точно для того, чтобы на долгое время ликвидировать болезнь в загряз-
ненных бациллами областях. Оказалось, что это не так. Как было отмече-
но выше, впоследствии контроль министерства стал более избирательным,
но от этого не более эффективным (MAFF Report 1994). В этом разделе
мы рассмотрим новый подход, разработанный доктором Д. Э. Бентилом и
мной в середине 90-х. Мы промоделируем динамику специфических про-
грамм иммунизации и рассмотрим, как определенные меры по контролю
могут быть применены для достижения основной цели — минимизации пе-
редачи инфекции от барсуков скоту, и наоборот, в случае эпидемии. Мы
сравним несколько программ по вакцинации и выведем для них критерий
выгодности. По существу, это пространственная модель, и мы использу-
ем дискретный подход для ее изучения. Дискретный подход подразумевает
использование модели клеточного автомата, которую легко понять и неспе-
циалистам. Также мы покажем, как можно получить характеристический
эмпирический ответ на стратегии вакцинации.
Перекрестная модель с иммунизацией
Мы исследуем влияние иммунизации при помощи описанной в преды-
дущем разделе перекрестной модели, включающей зависимость от возрас-
та. Мы предполагаем, что вакцинация уменьшит коэффициент передачи за-
болевания между двумя популяциями за счет уменьшения силы инфекции
в расчете на одну особь. В частности, мы рассмотрим следующие аспекты
иммунизации:
(1) ее влияние на стационарное состояние или условия равновесия, то есть
на состояние, к которому через продолжительное время могут прийти
популяции под влиянием программы иммунизации;
(2) ее быстрое влияние на временную динамику инфекции внутри различ-
ных подгрупп, связанное с появлением нового стационарного состоя-
ния за счет начала программы иммунизации.
534
Глава 10
(10.107)
Предположим, что зависящие от возраста скорости иммунизации бар-
суков и скота равны, соответственно, с(а) и с(а). Это приводит к тому, что
в уравнениях перекрестной модели для динамики восприимчивой популя-
ции появляется еще один член, описывающий устранение. Модифицируем
модель динамики передачи инфекции между барсуками и скотом (10.90):
ot oa
dW dU х rr
— + — = X^U + rW - pU,
ot oa
dZ dZ
+ c(a)U ~
ot oa
^ + ^- = "[Al + c(a)]l7 + fW - p.U
ot oa
dw дй ~fT
— + — = A1C7 + rW - pU,
ot oa
dz dz -
- + -=c(a)U-pZ.
Здесь мы ввели новые субпопуляции, а именно, иммунные классы Z и Z
барсуков и скота соответственно. Как и раньше, U и W — восприимчи-
вые и инфицированные барсуки; U и W — то же самое для скота. Сила
инфекции для каждой популяции, как и раньше, определяется выражени-
ями (10.91) и (10.92). Начальное распределение по возрасту задается вы-
ражениями (10.93), но с добавлением начальных условий для иммунных
классов:
[7(0, а) = U0(a), = С/0(а),
Ж(0,а) = Wo(a), Ж(0, а) = Wo(a), (10.108)
Z(0,a) = Zo(a), Z(0,a) = Zq(q).
Эти выражения характеризуют равновесное распределение до иммуниза-
ции. Условия обновления (граничные) для различных групп определяют-
ся уравнениями (10.95) с добавлением условий для иммунных классов,
а именно,
U(t, 0) = AT(t, 0) - W(t, 0) = Z(t, 0) = 0,
U(t, 0) = 7V(t, 0) = 7TV(t), W(t, 0) = Z(t, 0) = 0, 1 ’
где yN(t) — число рождений барсуков в возрасте 0 для всего промежутка
времени t. Коэффициент рождаемости 7 принимается постоянным, N(t) —
10.12. Моделирование стратегий контроля бычьего туберкулеза 535
общая численность популяции барсуков. Следовательно, в любой момент
времени t возрастное распределение барсуков и скота, как и раньше, опре-
деляется уравнениями (10.96).
Теперь обезразмерим систему так же, как мы это сделали в предыду-
щем разделе:
tz(t, а) =
tz(t, а) =
N(t,a) 1 N(t,a) b > N(t,a)’
U(t,a) W(t,a) Z(t,a)
—-----, w(t,a) = —-------, z(t,a) = —--------.
N(t,a) N(t,a) N(t,a)
Изменим масштаб времени и хронологического возраста, введя перемен-
ные т = rt, а = га (для барсуков), а = г а (для скота), и получим безраз-
мерную систему:
ди ди 1 ,, ч
— + — = —(Ai +c)tz +w.
дт да г
dw dw 1 х
-s- + -X- = -A1U-w,
дт да г
dz dz 1
ТГ + ТГ ::: ~сгг’
дт да г
дй дй 1 ~
= —-Aitz Н- w,
дт да г
dw dw 1 ~
Г~ + Г“ = — Aitz — w.
дт да г
dz dz 1
-х- + = -с.
дт да г
(10.111)
Пусть прошла вакцинация. Таким образом, доли f,f9gng восприим-
чивых барсуков и скота стали иммунными в возрасте 1\, и пусть Т? > Т\.
Следовательно, условия для возрастов Т\ и Т2, характеризующие соотно-
шения в точках разрыва непрерывности функций и и й, принимают следу-
ющую форму:
М(Т1+0) = (1-/МТ1+0); и(Г2+0) = (1-р)и(Г2 + 0)!
й(Т! + 0) = (1 - /)й(Т1 + 0); й(Т2 + 0) = (1 - д)й(Т2 + 0). 1 U >
536
Глава 10
В этом случае мы можем последовательно вывести «возрастные интер-
валы иммунизации» восприимчивых популяций барсуков и скота (см.,
например, Hethcote 1983). В результате, мы должны получить в безраз-
мерном виде равновесные доли восприимчивых для возрастных интерва-
лов [0,71), [Т1,Тг)> р2, оо)- Для этого нам нужны решения для состояния
равновесия.
Начальные значения и(0, а) = и(а), й(0, а) = й(а) представляют
собой выраженные в долях распределения в состоянии равновесия. Они
определяются независимыми от времени решениями системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений (10.112), из которых исключены члены,
описывающие иммунизацию, а все члены (d/dt) приравнены к нулю. Они
определяются обычным образом и равны
(10.113)
где силы инфекции А2 и А2 соответствуют состоянию равновесия и опре-
деляются следующими выражениями:
(В) Аг(т) = — [ w(r,a)N(r,a) da + — [ w(r,a)N(r,a) da,
r Jo ? Jo
(С) Аг(<) = — [ w(r,a)N(r,a)da + — [ w(r,a)N(r,a) da.
r Jo r Jo
(10.114)
Из (10.112) с использованием решений (10.113) получаем
-—[г + A2exp (------1 I a],
Л2Г \ r /
(l-/)r X ( A2 Л !
\ [r + A2 exp I-------1 ) a ,
A2r \rJ
(i-/)(i-$)r ч ( a2 Л ,
----;------- r + A2 exp (---1 I a ,
A2r \ r J
u(a) = <
0 C a < rTi;
rTi a < rTjz;
ГТ2 C a.
(10.115)
Аналогичные выражения описывают восприимчивый скот, только /, д, г
и А заменяются на f, д, г и А.
В состоянии равновесия базовое репродуктивное число ро связано
с общей численностью восприимчивой популяции ие следующим выраже-
10.12. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ КОНТРОЛЯ БЫЧЬЕГО ТУБЕРКУЛЕЗА 537
нием:
pQue = 1. (10.116)
В этих условиях, равновесная частота заболеваемости может быть опреде-
лена из следующего уравнения:
ро [ u(a)N(a) da = 1. (10.117)
Jo
Такое же выражение справедливо и для скота. Например, если мы предпо-
ложим, как и в предыдущем разделе, что коэффициент смертности р по-
стоянен, то получим выражение:
u(a)e-(M/r)a da = 1. (10.118)
Проинтегрируем его с использованием (10.115) и получим:
Р [1 _ /е-мтх _ (1 _ /)ремт2] +
А2 + Г [ р
+-----—----[1 - fe-^+r+^T1 - (1 - /)5в"(А2+г+м)Г2]'(> = 1-
А2 + Г + р J
(10.119)
Предположим, что вакцинацию проводят в одном возрасте, скажем, Ti;
следовательно, д = 0, и из последнего уравнения получаем
Р°7 /-[1 - /е-мГ1] +-------—------[1 - /е-(А2+г+м-)Г1] I = 1. (10.120)
А2 + Г А2 + Г + р J
Частота заболеваемости скота удовлетворяет выражению:
I т[1 - ~——---------[1 - /е-<А2+?+м)Г1] I = L (10.121)
А2 + г [ Д А2 + г + Д )
Согласно двум последним уравнениям, равновесные силы инфекции А2
и А2 для барсуков и скота после начала программы иммунизации могут
быть определены путем нахождения ро и ро из эпидемиологических дан-
ных, соответствующих времени до вакцинации. Затем нужно рассчитать А2
и А2 по уравнениям (10.120) и (10.121) в терминах f и Ti, характеризу-
ющих эффективность программы иммунизации. Согласно предположению
538
Глава 10
о том, что распространение и передача заболевания происходят по закону
действующих масс, эффективное репродуктивное число р (то есть случаи
вторичного заражения, когда часть популяции обладает иммунитетом) свя-
зано с ро следующим отношением:
р = Ръие = Ро(1 - /), (10.122)
где ие — доля восприимчивых, a f — доля популяции, обладающая времен-
ным иммунитетом.
Для того чтобы искоренить заболевание за счет правильного уровня
вакцинации или лечения, необходимо создать такой уровень коллективно-
го иммунитета, чтобы эффективное репродуктивное число р стало мень-
ше единицы. Коллективный иммунитет означает, что восприимчивая часть
популяции настолько мала, что эпидемия не возникнет, если одно живот-
ное вдруг станет инфекционным или в окружение будет введена заразная
особь. Также его можно рассматривать как косвенная защита невакциниро-
ванных особей за счет высокого уровня вакцинации среди остальной по-
пуляции. Такая защита является последствием уменьшения передачи забо-
левания за счет удаления вакцинированных животных из восприимчивого
класса. Именно благодаря влиянию коллективного иммунитета возможно
уничтожить болезнь без вакцинации каждого восприимчивого (Fox et al.
1971). Формально, критический уровень вакцинации соотносится с преде-
лами выражений (10.120) и (10.121) при А2 —>0, А2 —>0. В таком случае,
каждый первичный случай инфекции менее опасен для распространения
инфекции, чем один вторичный случай. Это очевидно из следующего отно-
шения:
р0[1-/ехр(-МТ1)]^1. (10.123)
Таким образом, это означает, что доля иммунных барсуков и скота должна
превышать критическое значение:
(1 \ f Т \ ( 1 \ (Т \
1----| ехр -у ) ; fc = [ 1 - — ) ехр I -у ) • (10.124)
Р°у у ь у у Роу у ь у
Следовательно, каждая новая когорта детенышей (телят), при рождении или
немного позже или в возрасте Т\, должна быть вакцинирована в пропорции,
превышающей fc. Если проводят иммунизацию только совсем молодых де-
тенышей (телят), то Т1 « 0 и ро(1 — /) 1- Искоренить заболевание про-
сто, если животных вакцинировать в наименьшем возможном возрасте, Т\,
и практически невозможно на более поздних стадиях.
10.12. Моделирование стратегий контроля бычьего туберкулеза 539
Официальные данные о случаях заболевания говорят о том, что по-
следние несколько десятилетий уровень инфекции М. bovis был очень мал
(MAFF Report 1987; 1994; Cheeseman et al. 1988; 1989). Важной задачей яв-
ляется определение уровня вакцинации, к которому нужно стремиться для
того, чтобы уничтожить инфекцию в случае ее возникновения. Пытаясь
выбрать или применить эффективную стратегию искоренения заболевания,
нужно помнить, что эффективность мер контроля различается в зависимо-
сти от ситуации. В таблице 10.3 приведены некоторые факторы, оказываю-
щие влияние на относительную эффективность мер по контролю заболева-
ния.
Таблица 10.3
Демографичес- кие факторы Эпидемиологи- ческие факторы Факторы эксплуатации программы Технические факторы (Эффективность)
Рост популяции Уровень распрос- Покрытие Клинические
(коэффициенты транения на на- популяции Затухание
смертности и рождаемости) чальном этапе Интенсивность внедрения программы Эффективная интенсивность контактов Квалифика- ционные крите- рии эпидемии
Программа контроля и ее воплощение
Сделаем следующие клинические допущения.
(1) Развитие М. bovis в инфицированных барсуках и скоте представляет
собой исключительно эндогенный процесс.
(2) Предполагается, что эффективность защиты вакцин каждой год снижа-
ется на 5 % и дает 66 % защиты (Waaler et al. 1969). Это означает, что
иммунизация 95 % популяции приводит к тому, что 66 % незараженных
особей переходят в защищенную вакциной группу.
Исследования по разработке анализов и вакцин для контроля туберку-
леза у барсуков показали, что по сравнению с лабораторными кроликами
барсуки вырабатывают мало антител в ответ на традиционные антигены
(Stuart et al. 1988). Однако было показано, что вакцинация стимулирует
клеточный иммунитет и приводит к увеличению продолжительности жиз-
ни барсуков, а также откладывает экскрецию бацилл.
540
Глава 10
Для того чтобы уменьшить силу инфекции и, следовательно, число
зараженных особей, мы применяем лекарственную терапию. Для контроля
инфекции М. bovis среди барсуков используется оральная вакцинация, когда
как для борьбы с заболеванием среди скота используют прививки. Сочета-
ние этих стратегий, когда вакцину смешивают с пищей или вводят в кровь
группе животных, может быть полезным. Однако по-настоящему эффектив-
на только вакцинация скота, так как барсуки не имеют строго определен-
ного ареала и иногда перемещаются по близлежащим областям или совсем
покидают прежнее местообитание (см., например, Rogers et al. 1998).
Разделим популяцию надвое, то есть на детенышей (телят) и взрослых
особей. В случае барсуков, например, доля детенышей, приобретающих им-
мунитет в возрасте (1 год), составляет /, а доля взрослых, становящихся
иммунными в возрасте Т2 (5 лет), равна д. Если роие 1, болезнь, в конце
концов, исчезнет, и появится коллективный иммунитет. С практической точ-
ки зрения, можно заключить, что политика 66 %-ной вакцинации в возрасте
одного года примерно на 5 лет уменьшит ежегодную частоту заболеваемо-
сти. В дальнейшем, если отказаться от вакцинации, годовая частота забо-
леваемости возрастет. Разумно предложить двойную 66 %-ную стратегию:
одну вакцинацию проводить в возрасте 1 года, вторую — в возрасте 5 лет.
Такая двойная кампания могла бы уменьшить инфекцию М. bovis прибли-
зительно на девять лет, прежде чем смогла бы начаться эпидемия.
Альтернативный и, на наш взгляд, более хороший метод заключается
в модификации стратегии вакцинации, предложенной Фрерихсом and Прав-
дой (Frerichs и Prawda 1975) и использующийся в Колумбии для контроля
бешенства. Мы зовем ее предпочтительной стратегией вакцинации (ПСВ).
Здесь, предполагая потенциальную вспышку заболевания в соседних обла-
стях, каждой целевой подобласти должна быть дана оценка в соответствии
с потенциальным вкладом в частоту заболеваемости в случае возникнове-
ния инфекции М. bovis. Риск Riit того, что барсуки/скот внесут вклад в по-
явление новых случаев инфекции, подсчитывается для каждой подобласти
из официальных данных о случаях заболевания в этом регионе по формуле:
5
Ri,t = CiUitt + I (10.125)
j=l
где:
— риск инфекции M. bovis для подобласти г в момент времени t. Он
подсчитывается из официальных данных о случаях заболевания;
Ci — доля барсуков/скота в подобласти г, относящаяся к соседним подоб-
ластям;
10.12. Моделирование стратегий контроля бычьего туберкулеза 541
Uift — число восприимчивых барсуков/скота в подобласти г в момент вре-
мени t;
i(j) — индекс, обозначающий соседние подобласти j, j = 1,5, окружаю-
щие г.
Так как существует вероятность миграции инфекции из соседних под-
областей, делаем допущение о том, что сумма значений U^j^t в каж-
дой из пяти соседних подобластей или социальных групп не менее важна
для последующего поколения инфекции М. bovis, чем значение CjUij, в са-
мой подобласти i. Все значения структурированы от самого высокого
к самому низкому. Стратегия контроля заключается в том, что существуют
специальные отряды вакцинации, отправляющиеся в подобласть с самым
высоким риском и остающиеся там до тех пор, пока не будет вакцинирова-
на необходимая доля восприимчивых. Затем их посылают в следующую по
уровню риска подобласть. Информация обновляется после того, как отряд
покинет очередную подобласть.
Модель клеточного автомата для практического применения
Здесь мы представляем дискретный подход к реализации ПСВ с ис-
пользованием модели клеточного автомата. У таких моделей есть важное
преимущество — они дают визуальное представление основных качествен-
ных характеристик процессов и позволяют получить результаты модели-
рования для различных наборов параметров. Модели клеточных автома-
тов заключаются в следующем. Во-первых, мы моделируем единичные
случаи и распространение заболевания среди популяций барсуков и ско-
та (правило А). Во-вторых, мы рассматриваем ситуацию, когда часть по-
пуляции приобретает иммунитет благодаря внедрению стратегии вакци-
нации, а именно, предпочтительной стратегии вакцинации (ПСВ) (пра-
вило Б).
Первая модель представляет собой одномерную решетку, изображаю-
щую передачу инфекции среди барсуков и скота (ниже правило А). Модель
включает в себя параметры Dc и Db — продолжительности заболевания,
соответственно, у скота и барсуков. Мы рассматриваем v как переменную
состояния, увеличивающуюся на 1 на каждом временном шаге. Когда до-
стигается максимальное число шагов D, v обращается в 0, то есть животное
вновь становится восприимчивым. В данном случае, мы предполагаем, что
иммунного класса не существует. Состояние животного меняется со вре-
менем в зависимости от состояния самого животного и состояния четырех
смежных с ним ячеек в соответствии с правилами моделирования передачи
инфекции в популяции барсуков. Правила таковы:
542
Глава 10
Правило А
Животное может заразиться, если оно находится в восприимчивом со-
стоянии и контактирует с инфицированной особью; то есть, по крайней
мере, один из четырех его соседей болен. После того, как произошел кон-
такт, вероятность того, что восприимчивая особь станет инфицированной,
зависит от параметров Рсс, Рсь, Ръъ и Рьс. Это вероятности передачи за-
болевания в единицу времени, соответственно, от зараженной коровы вос-
приимчивой корове, от зараженной коровы восприимчивому барсуку, от
зараженного барсука восприимчивому барсуку и от зараженного барсука
восприимчивой корове. На каждом временном шаге происходит подсчет
значения в ячейке. Если в ячейке находится зараженное животное, мы опре-
деляем, восприимчив ли каждый из его соседей. Если сосед восприимчив
или подвержен инфекции и не обладает устойчивостью к заболеванию, он
может заразиться с вероятностью р. После инфицирования животное оста-
ется зараженным в течение некоторого количества временных шагов, после
чего оно умирает или вновь становится восприимчивым.
Вторая модель воспроизводит частоту и уровень заболеваемости при
введении иммунного класса (ниже правило Б). Иммунный класс возника-
ет в результате работы отрядов вакцинации в подобластях с наибольшим
риском. Это и есть предпочтительная стратегия вакцинации (ПСВ).
Правило Б
В модели рассматривается редко заселенная решетка. Мы используем
расширенное правило А — в переменную состояния v включен иммунный
класс. После того, как животное пребывает в инфицированном состоянии
в течение D единиц времени, оно может стать иммунным с некоторой веро-
ятностью, свойственной данной подобласти. Животное, находящееся в им-
мунном состоянии, остается таковым некоторое число шагов по времени,
а затем умирает.
Результаты и их применение для контроля
Напрямую вакцинировать определенные возрастные группы барсуков
сложно, так что применяется оральная вакцинация, то есть разбрасывание
по окрестностям еды, содержащей вакцину. (Такой метод удивительно эф-
фективен для доставки вакцины лисам в случае бешенства.) Вакцинация
барсуков происходит случайно, когда, как в случае скота, прививки делают
всем особям, состоящим в одной возрастной группе, или тем, кто оказался
восприимчивым по результатам серологических анализов. Предложенная
стратегия вакцинации должна применяться через год после рождения, и за-
тем еще через четыре года.
10.12. Моделирование стратегий контроля бычьего туберкулеза 543
Для того чтобы как-то оценить стоимость С такой программы, исполь-
зуем выражения (10.120) и (10.121) и выведем критерий затраты-выгода.
Можно измерить усилия, вкладываемые в конкретную стратегию, напри-
мер, по такой формуле:
с = [1 + е-(Л2+г)Т1] + £?е-мТ2[1 + е-(А2+г)Т2]. (10.126)
Аналогично для скота:
с = fe~^Ti [1 + e“(A2+f)T1] + де-^Т2 [1 + e_(A2+f)T2], (10.127)
где в каждом рассматриваемом нами случае сила инфекции, скажем, для
скота, влияет на динамику передачи заболевания барсукам, и наоборот.
Несмотря на то, что предпочтительная стратегия вакцинации может сто-
ить дороже, чем другие стратегии, совокупная численность больного ско-
та через плановые 10 лет будет очень мала. Таким образом, показателем
успешности программы должна служить не стоимость вакцинации одного
барсука или коровы, а стоимость в расчете на одну инфицированную особь,
заражение которой было предотвращено.
Модели клеточных автоматов дают визуальное представление основ-
ных качественных характеристик уровня заболеваемости среди барсуков
и скота и влияния предпочтительной стратегии вакцинации. На рисун-
ке 10.21 показана модель клеточного автомата для типичной перекрест-
ной инфекции между двумя отдельными популяциями, а именно, барсуков
и скота. На рисунке 10.22 показан характеристический эмпирический ответ
на описанную ПСВ в случае слабо заселенной барсуками и скотом решетки
и распространения инфекции среди двух популяций.
Нас интересует долговременное влияние внедрения политики вакци-
нации на уровень заболеваемости. Для примера мы использовали анало-
гичные модели клеточного автомата для изучения уровня заболеваемости
среди барсуков для следующих стратегий контроля: (1) отсутствия вак-
цинации, (2) примерно 66 %-ной вакцинации, и (3) 66 %-ной начальной
вакцинации +66%-ная ревакцинации (через 5 лет). Предполагалось, что
вакцинация происходит при поедании животными содержащей лекарство
пищи. На рисунке 10.23 представлено сравнение возможных контрольных
экспериментов с результатами предпочтительной стратегии вакцинации для
периода в 10 лет.
Как было отмечено в начале этого раздела, согласно политике контро-
ля Министерства сельского хозяйства, рыболовства и продовольствия Ве-
ликобритании, единственное серьезное мероприятие по устранению всех
зараженных групп достаточно для того, чтобы на долгое время искоренить
544
Глава 10
(а)
(b)
(с)
Q Восприимчивая корова
(d)
ф Восприимчивый барсук
ф Зараженный барсук или корова
Рис. 10.21. Моделирование распространения заболевания среди барсуков и скота
методом клеточных автоматов. Мы рассматриваем слабо заселенный район (бе-
лые участки означают незаселенные области). Значения параметров: нормирован-
ная плотность популяции барсуков = 0.60, плотность популяции скота = 0.40,
длительность заболевания = 3 месяца. Вероятности передачи заболевания: от ин-
фицированной коровы восприимчивой корове = 0.25, от инфицированной коровы
восприимчивому барсуку = 0.1, от инфицированного барсука восприимчивой коро-
ве = 0.75. Развития иммунитета не происходит, (а) В момент времени t = 0 в си-
стему вводится один зараженный барсук. (Ь), (с) и (d) показывают распространение
инфекции в моменты времени t = 20 месяцев, t = 40 месяцев, t = 60 месяцев.
Начальные условия: один зараженный барсук был введен в центр решетки
10.12. Моделирование стратегий контроля бычьего туберкулеза 545
(а)
(Ь)
(с) (d)
©т^ /74 Восприимчивый или иммун-
Восприимчивая или иммунная корова Ф ~ J
ныи барсук
® Зараженный барсук или корова
Рис. 10.22. Эмпирический ответ на программу вакцинации. По сравнению с рас-
пространением инфекции среди барсуков и скота (рисунок 10.21), моделирование
иммунизации в случае воплощения ПСВ показывает уменьшение уровня распро-
странения болезни и частоты заболеваемости. Значения параметров: нормирован-
ная плотность популяции барсуков = 0.60, плотность популяции скота = 0.40,
длительность заболевания — 3 месяца. Вероятности передачи заболевания: от ин-
фицированной коровы восприимчивой корове = 0.25, от инфицированной коровы
восприимчивому барсуку = 0.1, от инфицированного барсука восприимчивой коро-
ве = 0.75. Иммунитет сохраняется 6 месяцев, (а) В момент времени t = 0 в систему
вводится один зараженный барсук. (Ь), (с) и (d) показывают распространение ин-
фекции в моменты времени t = 20 месяцев, t = 40 месяцев, t = 60 месяцев.
Начальные условия: один зараженный барсук был введен в центр решетки
546
Глава 10
Рис. 10.23. Рассчитанные на компьютере возможные сценарии для зараженных бар-
суков (в долях) для периода в 10 лет при различных стратегиях контроля. Графики
показывают эмпирический ответ на стратегии контроля, описанные выше: (1) отсут-
ствие вакцинации; (2) 66 %-ная вакцинация; (3) двукратная 66 %-ная вакцинация,
один раз в начале инфекции, и еще раз через 5 лет; (4) ПСВ. Очевидно, что до-
ля зараженных барсуков меньше всего при ПСВ, что также означает минимальный
уровень заболеваемости скота
инфекцию в зараженных областях (MAFF Report 1987). Отчет министер-
ства через несколько лет (MAFF Report 1994) привел к более избиратель-
ному выбраковыванию животных: теперь барсуки в Британии охраняются
законом. Политика контроля Министерства сельского хозяйства США была
направлена на ликвидацию в стадах всех зараженных животных с возмеще-
нием убытков фермерам, насколько это было возможно. Также стада дер-
жали в карантине и брали у них анализы до тех пор, пока не исключалась
любая возможность инфекции (USDA Report 1982а; 1982b). Но, согласно
предсказаниям нашей модели, это не единственные возможные подходы.
Мы показали, что лекарственная терапия в форме оральной вакцинации
(разбрасывание еды, смешанной с вакциной) может быть эффективным
способом контролирования распространения заболевания среди барсуков.
Это достойная альтернатива отравлению газом, отлову и убийству, так как
барсуки, в отличие от скота, не привязаны к определенным регионам и слу-
чайно перемещаются в пределах, а иногда и вне, своего ареала. Опять же,
10.12. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ КОНТРОЛЯ БЫЧЬЕГО ТУБЕРКУЛЕЗА 547
как было отмечено, такая стратегия показала свою эффективность в кон-
тролировании бешенства в некоторых областях Европы. Также мы показа-
ли, что остановить заболевание проще, если проводить вакцинацию в как
можно более юном возрасте (1 год), а не ждать возникновения инфекции,
когда уничтожить болезнь будет уже практически невозможно.
Программы ранней массовой вакцинации показывают уменьшение эф-
фективного репродуктивного числа инфекции в популяциях и, следова-
тельно, увеличение среднего возраста заражения для заболевших живот-
ных. Однако, если сила инфекции меняется с возрастом, тенденция массо-
вой иммунизации к увеличению среднего возраста инфицирования может
означать, что уровень подверженности инфекции в более пожилых клас-
сах может отличаться от уровня в возрастных классах, где восприимчивые
обычно приобретали инфекции в результате иммунизации. Возможным по-
следствием такого изменения является уменьшение числа вакцинирован-
ных животных, необходимого для поддержания болезни ниже определен-
ного уровня.
По-видимому, из трех представленных стратегий вакцинации, без уче-
та критерия затраты-выгода, предпочтительная стратегия вакцинации, на-
правленная на наиболее опасные «инфекционные» области и иммунизацию
восприимчивых особей, является наилучшей программой контроля пере-
крестной инфекции бычьего туберкулеза среди барсуков и крупного рога-
того скота в случае эпидемии. Однако стоит отметить, что рассмотренные
в этом и предыдущем разделе модели до сих пор в большей степени теоре-
тические. Более того, мы не приняли в расчет пространственное перемеще-
ние барсуков. Существуют данные о перемещениях 36 социальных групп
барсуков в графстве Глостершир в Англии в течение 18 лет (Rogers et al.
1998). Они показывают, что активность перемещений барсуков варьирует
для разных социальных групп, и вместе с этим меняется частота заболевае-
мости бычьим туберкулезом. Пространственные аспекты распространения
заболеваний очень важны. Мы обсудим такого рода пример позже в гла-
ве 13 тома II для случая пространственного распространения эпидемии бе-
шенства.
Совсем другой и очень интересный подход к контролю бычьего тубер-
кулеза был предложен Као и его коллегами (Као et al. 1997). Они разрабо-
тали стадную модель, включающую в себя «анализы и убой» в сочетании
с изоляцией стад и вакцинацией, и применили ее к ситуации в Новой Зелан-
дии. Их модельная система состоит из обыкновенных дифференциальных
уравнений, связанных с переходом из одного состояния в другое (например,
из латентного в инфицированное), и интегрального уравнения, определяю-
щего число зараженных стад.
548
Глава 10
Вопрос о том, какая стратегия контроля лучше, очень сложен и, оче-
видно, зависит от вида животных и географии их распространения. В при-
веденной выше модели ВИЧ мы могли объединить в модели два лекарства
и, таким образом, сравнить эффективности различных методов лечения.
В случае барсуков и туберкулеза, вакцинация на данный момент является
предпочтительным методом контроля в Англии. Бешенство, которое пере-
носят рыжие лисицы (Vulpes vulpes) и эпидемия которого наблюдается сей-
час в Европе, контролируется за счет вакцинации. Этого заболевания нет
(пока) в Британии, где домашним животным не делают прививки от бешен-
ства. (Охота на лис в Англии является потрясающе неэффективным спосо-
бом поддержания невысокой численности популяции этих животных.) Бы-
ло бы интересно разработать модель, объединяющую различные методы
контроля, и сравнить последствия вакцинации, избирательного забоя, кон-
трацепции и так далее. В 1994 году был предложен новый избирательный
убой животных (MAFF Report 1994): в отсутствие знаний, которые мож-
но было бы получить из дальнейшего изучения вопроса и реалистичного
моделирования, метод пестрит противоречиями. Хэнкоке (Напсох 1995) вы-
двинул множество доводов против. Он пришел к выводу, что могут суще-
ствовать носители туберкулеза среди скота, и, следовательно, именно скот
непрерывно заражает барсуков. Такая точка зрения гораздо больше привле-
кает британцев с их сентиментальным отношением к барсукам и неодобре-
нием массового убоя животных. Сценарий вакцинации, который мы приве-
ли в этом разделе, не делает различия в том, кто, барсуки или скот, являются
носителями заболевания.
Губкообразная энцефалопатия крупного рогатого скота (ГЭ КРС)
и болезнь Крейцфельдта-Якоба
Несмотря на то, что мы не будем предлагать никаких моделей, необ-
ходимо хотя бы кратко рассказать о губчатой энцефалопатии крупного ро-
гатого скота (ГЭ КРС), или «коровьем бешенстве». Впервые заболевание
было зарегистрировано в Англии в 1986 году, и к лету 1997 года число
случаев достигло 167 тысяч. Без сомнения, еще больше случаев просто не
были обнаружены12. Это была жестокая эпидемия не только с точки зрения
размеров, но и с точки зрения последствий для людей, так как она приве-
12История того, как правительство Британии отнеслось к этой проблеме, является при-
мером ужасающей некомпетентности, чтобы не сказать безответственности. По состоянию
на 2000 год, вопрос об экспорте британской говядины (сейчас объявленной свободной от ГЭ
КРС) решался между Францией с одной стороны и Британией и Европейским союзом с дру-
гой. Французы не считали доказательства того, что британская говядина безопасна, достаточно
убедительными. К концу 2000 года эпидемия во Франции и других европейских странах вы-
зывает серьезные опасения, и не только из-за связи ГЭ КРС с болезнью Крейцфельдта-Якоба.
10.12. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ КОНТРОЛЯ БЫЧЬЕГО ТУБЕРКУЛЕЗА 549
ла к появлению новой болезни человека, а именно, разновидности болезни
Крейцфельдта-Якоба (БКЯ).
Болезнь Крейцфельдта-Якоба — очень страшное нейродегенеративное
заболевание, затрагивающее, в основном, мозг. Она всегда смертельна. Бо-
лезнь вызывается прионами — очень маленькими частицами, представляю-
щими собой очень вязкие неправильно свернувшиеся белки. Их практиче-
ски невозможно уничтожить или убить. В отличие от вирусов, они не несут
никакого генетического материала и, следовательно, не вызывают иммун-
ного ответа. Прионы агрегируются в мозгу и делают там губкообразные
дырки. Перед смертью жертвы страдают от бессонницы, депрессии, нер-
возности, потери памяти, потери контроля над своим телом и координации,
слепоты. Так как прионы содержатся только в зараженной ткани, их легко
не заметить во время вскрытия. Именно поэтому болезнь Крейцфельдта-
Якоба сложно обнаружить. Становится ясно, что ГЭ КРС стала результа-
том загрязнения пищи возбудителями, связана с аналогичным заболеванием
овец и является прямой причиной разновидности болезни Крейцфельдта-
Якоба у человека. ГЭ КРС попадает в категорию инфекционных губчатых
энцефалопатий или ТГЭ.
С 1994 по 2000 год в Британии было зарегистрировано всего 87 слу-
чаев заболевания. По сравнению с малярией или ВИЧ, этим числом мож-
но пренебречь. Но благодаря леденящему кровь списку фактов о ГЭ КРС
и о том, как легко она передается от одного животного другому, существу-
ют несколько причин для паники, особенно во Франции. Патоген очень
вязкий и устойчив к высоким температурам, кипячению, алкоголю, иони-
зирующей радиации и так далее. Хирургические инструменты, контактиро-
вавшие с зараженными тканями, даже после обычной стерилизации могут
остаться загрязненными. Патоген может выживать под землей много лет,
а потом оказаться на свалке мусора и заразить питающихся там животных.
ГЭ КРС может передаться, если корова съест всего несколько граммов зара-
женной ткани. Животное может быть носителем заболевания, не проявляя
симптомов, но при этом передавать его другим животным. В случае разно-
видности болезни Крейцфельдта-Якоба, человек может быть заражен, но
не показывать симптомов, и все равно передать болезнь13. Это похоже на
укус собаки, которая, возможно, больна бешенством, но без надежды на
вакцину. Развитие болезни может продолжаться годами, а человек может
передать инфекцию (скорее всего, очень легко) другим, даже не зная этого.
Еще одной опасностью, связанной с зараженными животными, являет-
ся то, что большая часть забитого скота используется не для производства
13Задолго до эпидемии ГЭ КРС и появления разновидности болезни Крейцфельдта-Якоба
трансплантация роговицы стала причиной передачи заболевания от человека человеку (Duffy
et al. 1974).
550
Глава 10
говядины, а для других целей. Различные ткани животных часто использу-
ют в производстве косметических средств, корма скота и домашних питом-
цев и тому подобного. Хореограф Джордж Баланчин, умерший от болез-
ни Крейцфельдта-Якоба, скорее всего, заразился в результате использова-
ния косметических средств для поддержания красоты, произведенных с ис-
пользованием бычьих желез. Первый случай во Франции был зарегистри-
рован у бодибилдера, пользовавшегося средствами для увеличения мышеч-
ной массы. Один из этих препаратов, согласно доктору Майклу Хансену
из Объединения потребителей США, до сих пор (2000) доступно и содер-
жит коровий мозг, селезенку, гипофиз и глаза. Другим способом заразиться
являются вакцины, основанные на бычьей сыворотке крови, как это было
в Британии в 1993 году; вакцины вывели из употребления только в нояб-
ре 2000 года.
На данном этапе очень сложно предложить модель болезни Крейц-
фельдта-Якоба, предсказаниям которой можно было бы доверять, так как
неизвестно, насколько сложно или легко передается заболевание между
людьми, сколько занимает развитие болезни и тому подобное. Тем не менее,
необходимо попытаться получить представление о развитии как ГЭ КРС,
так и болезни Крейцфельдта-Якоба у людей. Оценки колеблются между
несколькими сотнями тысяч до (согласно Доминик Жило, министру здра-
воохранения Франции) нескольких дюжин: последнее, очевидно, просто
нелепо. Всплеск заболеваемости болезнью Крейцфельдта-Якоба в Брита-
нии вызывает тревогу. Несмотря на то, что количество больных невели-
ко, из математических принципов, изложенных в этой главе, мы узнали,
что по-настоящему важна скорость распространения. Например, 14 чело-
век умерло в 1999 году и 14 заразились в первые шесть с половиной ме-
сяцев 2000 года. К этому моменту погибло, в общей сложности, 74 че-
ловека. К концу 2000 года еще 13 людей скончались. Длительный инку-
бационный период человеческой формы заболевания и тот факт, что, по-
видимому, несколько миллионов человек контактировали с зараженной го-
вядиной в 80-х годах, указывают на то, что в ближайшие 25-30 лет несколь-
ко сотен тысяч человек могут умереть от болезни Крейцфельдта-Якоба.
Но кое-какое моделирование было проделано. Например, в одной из
работ (Donnelly et al. 1997) была обозначена демографическая сцена и про-
ведено обсуждение стратегий контроля. Также была создана структуриро-
ванная по возрасту модель динамики передачи заболевания (Ferguson et al.
1997). К сожалению, обе работы основаны на крайне малом количестве ин-
формации об этиологии болезни. Модель состоит из инфекции, полученной
через пищу (основного источника ГЭ КРС), а также прямого горизонталь-
ного заражения и передачи болезни от матери детенышу. Авторы сделали
10.12. Моделирование стратегий контроля бычьего туберкулеза 551
оценку параметров по экспериментальным данным и использовали расчет
от обратного для воссоздания временной картины инфекции. Такого рода
расчет от обратного был использован Мюрреем и др. (Murray et al. 1986)
для изучения пространственного распространения бешенства. Существует
обзор методологии таких расчетов для оценки параметров скоростей ВИЧ-
инфекции (Bacchetti et al. 1993). Фергюсон и его коллеги (Ferguson et al.
1997) провели анализ чувствительности параметров, дали оценки и пред-
сказания и обсудили некоторые следствия. Как было отмечено, при боль-
шом количестве неизвестных полученные в модели предсказания нужно
использовать с большой осторожностью.
В случае любой болезни главной целью эпидемиологов является ее
искоренение или, другими словами, уничтожение вируса, бактерии и так
далее. С другой стороны, экологи смотрят на вымирание видов, уменьше-
ние их территории, а точнее, уменьшение биоразнообразия в общем, как на
катастрофу. Несмотря на то, что у эпидемиологов и экологов разные цели,
математические уравнения используемых ими моделей имеют одинаковую
форму и анализ. В статье Эрна и др. (Earn et al. 1998) дан обзор сходства
и различия этих важных направлений биологической науки и обсуждаются
некоторые недавние работы по пространственным аспектам, хаотическому
поведению и синхронности такого рода моделей.
Упражнения
1. Рассмотрите динамику прямой передачи вирусного микропаразита,
описываемую следующей системой:
~ = bN - 0XY -ЬХ, /3XY - (b + r)Y, = rY - bZ,
dt dt dt
где b, /3 и г — положительные константы, а X, Y и Z — численности,
соответственно, восприимчивой, инфицированной и иммунной популяций.
В данном случае численность популяции остается постоянной за счет урав-
новешивания рождаемости и смертности (с вкладом от каждого класса).
Покажите, что существует такой пороговый размер популяции что, ес-
ли N < Nc = (Ь + г)//3, паразит не способен поддерживать свою чис-
ленность, и инфицированный и иммунный классы со временем исчезают.
Выражение (3N/ (Ь + г) определяет базовое репродуктивное число инфек-
ции.
2. Исследуйте всплеск эпидемии смертельного заболевания, при кото-
ром инфекционный и инкубационный периоды различны. Обозначьте чис-
ленность восприимчивых особей S(f), особей, находящихся в инкубацион-
552
Глава 10
ном периоде E(t), инфицированную популяцию I(t) и умерших R(t). Во
время эпидемии численность популяции постоянна и равна N. Для случая,
когда особь, находящаяся в инкубационном периоде, способна заразить вос-
приимчивую особь (но это происходит не так легко, как заражение воспри-
имчивой особи инфицированной), объясните следующую модель SIER:
dS /3S z x dE [3S z r „
— = -^-(7 + r£;), — = j—(I + rE) — bE,
dt In dt IN
di t T dR
— —bE — cl, — = cl,
dt dt
где b, /3, г и с — положительные константы. Что означает каждый из пара-
метров?
Предположите, что на ранних стадиях эпидемии небольшое число осо-
бей (по сравнению с численностью всей популяции), Eq, одновременно за-
ражается и, таким образом, находится в инкубационном периоде; эти особи
не становятся инфицированными в течение времени порядка 1 /Ь. Является
ли такое предположение разумным? В течение этого времени S(t) ~ N. Ис-
пользуйте это утверждение для решения уравнения для E(t) как функции
от t.
При помощи полной системы исследуйте устойчивость свободного
стационарного состояния без заболевания и, следовательно, определите
условия, при которых оно неустойчиво. В конце концов, получите, что ба-
зовое репродуктивное число Rq = (j3/bc)(b 4- ст).
3. Для случая модели перекрестной венерической инфекции, в кото-
рой устраненный класс становится перманентно иммунным, инфекционная
динамика описывается следующей схемой:
S + I + R
S'+I' Rf.
Обозначения восприимчивого, инфицированного и устраненного классов
сохранены. Кратко опишите допущения, сделанные для этой модели, в ре-
зультате которых получилась следующая система уравнений:
— = -rSI', = —r'S'I,
dt dt
= rSI' -al, ^- = r'S'I - a'I',
dt dt
dR dR z f
— = al, —— = ar,
dt dt
10.12. Моделирование стратегий контроля бычьего туберкулеза 553
где все параметры положительны. Начальные значения S, I, R, S', I' и R'
равны, соответственно, Sq, Iq, Rq, S'o, Iq и R'q.
Покажите, что численности женской и мужской популяций постоянны.
Затем покажите, что S(t) = Sq ехр[—rR'/а']; докажите, что S(oo) > 0
и 1(оо) — 0, и что результаты для S' и I' будут такими же. Получите
трансцендентные уравнения для нахождения S(oo) и S"(oo).
Покажите, что пороговое условие возникновения эпидемии удовлетво-
ряет, по крайней мере, одному из следующих неравенств:
SqIq > a
Io г' Ц г''
Какое единственное условие гарантирует развитие эпидемии?
4. Рассмотрите популяцию больных гемофилией, которым одновре-
менно ввели зараженную ВИЧ кровь в момент времени t = 0. Обозначьте
через y(t) долю популяции, у которой в момент времени t есть СПИД, и че-
рез x(t) долю ВИЧ-положительных, но не больных СПИДом. Пусть v(t) —
скорость перехода от инфекции к СПИДу. Покажите, что в этом случае
динамику описывает следующая простая модель с соответствующими на-
чальными условиями:
с/т /,\ dy ,
— = — v(t)x, — = V(t)X,
dt v 7 ’ dt v 7
z(0) = 1, 7/(0) = 0.
Предположите, что иммунная система пациентов с момента инфицирова-
ния непрерывно ослабевает, и, следовательно, v(t) — возрастающая функ-
ция от времени. Исследуйте систему, когда v(t) возрастает: (1) линейно от
времени, и нарисуйте скорость изменения численности популяции больных
СПИДом; (2) быстрее, чем линейно.
[Существуют данные (Peterman et al. 1985) о 194 случаях заболева-
ния СПИДом после переливания крови. При v(t) = at решение модели
при а — 0.237 год-1 и полученная скорость возрастания числа больных
СПИДом dy/dt очень хорошо (что совсем не утешительно) согласуются
с данными.]
5. Покажите, что приведенные в таблице 10.1 значения порогового па-
раметра 7/Sq для модели употребления лекарств, описанной в разделе 10.9,
в случаях (3) и (4) соответствуют действительности.
Глава 11
Реакции с диффузией, хемотаксис
и нелокальные механизмы
11.1. Простое случайное блуждание и вывод уравнения
диффузии
В группе частиц, например, клеток, бактерий, химических соединений,
животных и так далее, каждая частица обычно движется случайно. Груп-
па частиц распределяется в пространстве за счет нерегулярного движения
ее отдельных составляющих. Понятие процесса диффузии можно исполь-
зовать, когда микроскопическое нерегулярное движение приводит к макро-
скопическому или объемному регулярному движению. Конечно, окружаю-
щая среда может оказывать влияние на частицы, или они могут взаимо-
действовать друг с другом. В таком случае это уже не будет простой диф-
фузией. Описать макроскопическое поведение, зная индивидуальное мик-
роскопическое поведение, слишком сложно, поэтому мы выведем непре-
рывное модельное уравнение глобального поведения системы в терминах
плотности частиц или концентрации. Будет наглядно начать с простейше-
го случайного процесса и посмотреть на него с точки зрения вероятности,
а затем вывести детерминистическую модель.
Для удобства сначала рассмотрим одномерное движение и простей-
ший процесс случайного блуждания. После этого обобщения для большего
числа измерений будут интуитивно понятны из одномерного уравнения.
Представим, что частица движется случайным образом вдоль линии
вперед и назад. За фиксированное время Af она проходит заданное рассто-
яние Дж. Если на движение ничего не влияет, то частица с равной вероят-
ностью сделает шаг влево или вправо. Если мы примем стартовую точку за
начало координат, то через промежуток времени N At частица может нахо-
диться где угодно: от — NAx до NAx. Очевидно, что если мы поместим
около х = 0 группу частиц, их пространственное распределение не будет
однородным, так как вероятность того, что частица достигнет х — NAx
11.1. Простое случайное блуждание
555
через N шагов, очень мала по сравнению с вероятностью того, что х будет
ближе к х = 0.
Мы хотим получить вероятность р(т, п), то есть вероятность того,
что частица достигнет точки на расстоянии в т шагов вправо (то есть х =
- т&х) через п шагов по времени (то есть через время nAt). Предполо-
жим, что для того, чтобы достигнуть тДж, частица сделала а шагов вправо
и b шагов влево. Следовательно,
, . п + т
т = а — о, а + о = п => а =----------, о = п — а.
2
Число возможных траекторий, по которым частица могла попасть в точ-
ку х = тДж, равно
п- = п- Сп
а\Ь\ а!(п —а)! а’
где Сд — число сочетаний. Его можно определить, например, из такой фор-
мулы:
п
(х + у)п = ^С2хп-ауа.
а=0
Общее число возможных траекторий в п шагов составляет 2П, и, следова-
тельно, вероятность р(т, п) (число предпочтительных исходов/общее чис-
ло исходов) равно
, ч In! п + т ,
Р(™,П =^-77---------77, «=^—, (Hl)
2па\\п — а)\ 2
где п + т — четное число.
Заметим, что
п
52 Р(т,п) = 1.
т=—п
Это очевидное замечание, так как сумма всех вероятностей должна рав-
няться 1. Это математически очевидно:
-n r> / \ 'Pi—а / \ а / \ п
Л, , ч / И /1 \ /1 1\
p(m,n) = ^C” I - I 1-1 =1- + -1 =1,
тп= — п а=0 \ / \ / \ /
р(т, п) — биномиальное распределение.
556
Глава 11
Теперь пусть п будет большим. Таким образом, п ± т тоже велико,
и асимптотически получаем
п\ ~ (27гп)1/2ппе-п, п » 1. (И-2)
Это формула Стирлинга. Ее можно вывести, если заметить, что
п! = Г(п + 1) = [ е~Чп dt,
Jo
где Г — гамма-функция, и использовать преобразование Лапласа для асимп-
тотической аппроксимации такого рода интегралов при больших п (см.,
например, учебник Murray «Asymptotic Analysis» 1984). С помощью (11.2)
и (11.1) и некоторого количества алгебраических преобразований получим
нормальное или Гауссово распределение вероятностей:
/2\1/2
p(m,n)~l— j е~т /^2n), m>l, п 1. (11.3)
\ 7ГП I
Числа тип должны быть очень большими для того, чтобы (11.3) точно
аппроксимировало (11-1). Например, при п = 8 и т = б (11.3) отличается
от значения (11.1) на 5%; при п = 10 и т = 4 — на 1 %. Фактически,
формулу (11.3) можно использовать для практических целей при п > б.
Асимптотические аппроксимации часто могут быть удивительно точными
в больших пределах, чем можно было бы предположить.
Теперь зададим
тАх = х, nAt = t,
где х и t — непрерывные переменные пространства и времени. Если мы
хотим устремить т —> оо, п —> оо, Ах —> 0, —> 0 таким образом, что х
и t конечны, то не стоит использовать в качестве интересующей нас ве-
личины p(m,n), так как вероятность должна стремиться к 0: количество
точек на линии стремится к оо при Ах —> 0. В качестве подходящей зави-
симой переменной нужно использовать и = р/(2Ах): 2иАх представляет
собой вероятность нахождения частицы на отрезке (х, х -I- Ах) в момент
времени t. Из (11.3) при т = х/Ах, п = t/At получаем
х t \
--- --- I z ч 1/2 z
Ах At J j At [ J x2 At
2 Az 1 2?rt(Az)2 J eXP 1 ~2t (Az)2
11.1. Простое случайное блуждание
557
Если мы примем, что
(Аж)2
lim -----
Дх—О 2Д£
At—О
= Г>^0,
последнее уравнение приведет к следующему выражению:
Р
u(x.t) = lim —
Дх—О
At—О
2Дж
1 \1/2
1 | e-x2/(4Dt)
kxDt J
(П.4)
D — это коэффициент диффузии или диффузионная способность частицы;
заметим, что он имеет размерность (длина)2/(время). Это мера того, на-
сколько эффективно частицы движутся из области с высокой плотностью
в область с низкой. Например, в крови коэффициент диффузии молекул
гемоглобина составляет порядка 10-7 см2с-1, когда как для кислорода он
составляет около 10-5 см2с-1.
Теперь применим этот результат к классическому подходу к диффу-
зии, а именно, к диффузии Фика. Это означает, что поток J вещества, кото-
рое может быть клетками, количеством реагента, численностью животных
и так далее, пропорционален градиенту концентрации этого вещества. Для
одномерного случая:
дс
дх
дс
J — ’
их
(П-5)
где с(х, t) — концентрация компонента, a D — его коэффициент диффузии.
Знак «минус» означает, что диффузия переносит вещество из области с вы-
сокой концентрацией в область с низкой.
Теперь запишем общее уравнение сохранения. Оно говорит о том, что
скорость изменения количества вещества в области равна скорости потока
через границу и веществу, созданному на границе. Если область удовле-
творяет неравенству xq < х < х\, и на границе не происходит синтеза
вещества, получаем
д fX1
— / с(х, t) dx = J(xo,t) - J(xt, t). (11-6)
Jxo
Если мы примем х^ = xq + Ax, возьмем предел при Ax —> 0 и использу-
ем (11.5), то мы получим классическое уравнение диффузии:
dt дх дх
558
Глава 11
При постоянном D оно преобразуется в
дс д2с
dt дх2
(П-8)
Представим, что мы поместили Q частиц на единицу области в точку х = О
в момент времени t = 0, то есть
с(т,0) = Q5(x), (11.9)
где <5(т) — дельта-функция Дирака. Тогда решение (11.8) имеет следующий
вид (см., например, книгу Crank 1975):
c(x,t) =----^—r^e~x2/(4Dt), t > 0. (11.10)
При Q — 1 это выражение совпадает с уравнением (11.4), полученным
с помощью подхода случайных блужданий при малых по сравнению с х и t
шагах по пространству и времени. На рисунке 11.1 показано качественное
поведение концентрации с(т, t) из уравнения (11.10) как функции от х для
различных времен.
Рис. 11.1. Схематическое распределение концентрации частиц. В момент време-
ни t = 0 Q частиц поместили в точку х = 0. Диффузия идет в соответствии с урав-
нением (11.8)
Такой подход к получению уравнения диффузии методом случайных
блужданий основывается, в общем-то, на косвенных данных. Теперь мы вы-
ведем диффузионное уравнение при помощи расширенного подхода к слу-
чайным блужданиям. Начнем с р(х, t) из уравнения (11.4), то есть с вероят-
ности того, что частица помещенная в точку х = 0 в момент времени t = 0,
11.2. Уравнения реакции диффузии
559
достигнет точки х в момент времени t. В момент времени t — At частица
находилась в х — кх или х + £±х. Следовательно, если а и (3 — вероятности
того, что частица пойдет направо или налево, получаем
р(х, t) = ар(х - 6x,t — At) + (Зр(х + Аж, t - At), а + Д = 1. (11.11)
Если на случайные блуждания ничего не влияет, то есть они изотроп-
ны, а = 1/2 = /3. После разложения правой части (11.11) в ряд Тейлора
получим
др (Аж)2 д2р / At\ д2р
dt~ 2М fa? + + ’
Если теперь устремить Аж —> 0 и At —> О так, чтобы выполнялось условие
v (М2
hm —-— = D,
2 At
то получается следующее уравнение:
др = рд2р
dt дх2
Если общее число помещенных в систему частиц равно Q, то их концен-
трация c(x,t) = Qp(x,t), и последнее уравнение совпадает с (11.8).
Вывод уравнения диффузии при помощи случайных блужданий все
равно не удовлетворителен, так как основывается на том, что Аж и At
должны стремиться к нулю довольно специфическим образом, иначе D не
будет существовать. Другим, более сложным, но более точным, способом
является вывод этого уравнения из уравнений Фоккера-Планка с исполь-
зованием плотности вероятности и процесса Маркова, то есть процесса,
который в момент времени t зависит только от состояния в момент време-
ни t — At. Другими словами, используется временная зависимость только
от одного поколения. По этой теме смотри, например, статью Скеллама
(Skellam 1973) или великолепную книгу Окубо (Okubo 1980). В послед-
ней объясняются использованные выше пределы. Обзорная статья Окубо
(Okubo 1986) также посвящена выводу различных уравнений диффузии.
11.2. Уравнения реакции диффузии
Теперь рассмотрим диффузию в трехмерном пространстве. Пусть S —
произвольно выбранная поверхность, ограничивающая объем V. Согласно
560
ГЛАВА 11
общему уравнению сохранения, скорость изменения количества вещества
в V равна скорости потока вещества через S в V плюс вещество, созданное
в V. Следовательно,
(П-12)
где J — поток вещества, a f представляет собой источник вещества и может
быть функцией от с, х и t. Применим к поверхностному интегралу тео-
рему Гаусса-Остроградского о дивергенции. В результате, с учетом того,
что c(jr, t) — непрерывная функция, последнее уравнение примет следую-
щий вид:
дс
— 4- V • J — /(с, х, t) dv = 0.
(11.13)
Так как объем V выбран произвольно, подынтегральное выражение должно
быть равно нулю, и, следовательно, получаем уравнение сохранения для с:
— +v-J = /(c,x,t).
(П-14)
Это уравнение выполняется для любого переноса вещества потоком J: как
для диффузии, так и для любого другого процесса.
Если мы рассматриваем классическую диффузию, то в общем виде
выражение (11.5) принимает следующую форму:
J = -Z)Vc, (11.15)
а (11.4) можно записать следующим образом:
дс
-=f + V.(DVc), (11.16)
где D может быть функцией от х и с, a f — функцией от с, х и t. Ситуация,
когда D зависит от координаты, широко распространена в моделировании
важных с биомедицинской точки зрения процессов: от диффузии организ-
мов, созданных методами генетической инженерии, до влияния белого и се-
рого вещества на рост и распространение опухолей мозга.
Член у, описывающий источник, с точки зрения экологии может опи-
сывать процессы рождаемости и смертности, а с — плотность популяции п.
11.2. Уравнения реакции диффузии
561
При логистическом росте численности f = гп(1 — п/К\ где г — линейная
скорость воспроизводства, а К — емкость экологической ниши. В результа-
те получается следующее уравнение с постоянным D:
дп I п \ _ z
—- = rn I 1 - — j + Z) V2n. (11.17)
dt \ К I
Это уравнение Фишера-Колмогорова. Оно названо так в честь Фишера
(Fisher 1937), предложившего одномерную версию для модели распростра-
нения полезного гена в популяции, и Колмогорова (Kolmogoroff et al. 1937),
подробно изучавшего это уравнение и получившего некоторые аналитиче-
ские результаты. Подробнее мы рассмотрим это уравнение в главе 13.
Для того чтобы получить еще более общий вид уравнения (11.16), рас-
смотрим ситуацию, когда система состоит из нескольких взаимодействую-
щих видов или химических соединений. В этом случае, получаем вектор
плотностей или концентраций £), i = 1,.. .,m. Каждый из компонен-
тов диффундирует со своим коэффициентом диффузии Di и взаимодейству-
ет с окружением согласно векторному члену f, описывающему источник.
В результате (11.16) принимает следующий вид:
— = f + V-(DVu),
(11.18)
где D — матрица коэффициентов диффузии, которая является диагональ-
ной в отсутствие встречной диффузии. В (11.18) Vu — это тензор, сле-
довательно, V • DVu — вектор. Встречная диффузия нечасто встречает-
ся в чисто практических моделях, но один такой случай описан в главе 1
тома II в разделе 1.2. Системы с перекрестной диффузией могут поста-
вить много интересных математических проблем, особенно в связи с их
корректностью. Уравнение (11.18) называется системой реакция-диффузия.
Подобный механизм был предложен Тьюрингом (Turing 1952) в одной из
важнейших статей по теоретической биологии XX века для объяснения
химической основы морфогенеза. Такие системы начали широко изучать
примерно с 1970 года. Нас, в основном, будут интересовать системы ре-
акций с диффузией, в которых D — диагональная матрица, a f зависит
только от и. В случае популяционных моделей дальнейшие обобщения
могут включать, например, интегральные выражения в f, описывающие
историю популяции. В некоторых моделях рака, описывающих мутирую-
щие раковые клетки (встречающиеся в случае опухолей мозга (глиобласто-
562
Глава 11
ма) и других), включены члены, описывающие кросс-диффузию, а матри-
ца диффузии имеет неравные диагональные члены. Математические обоб-
щения бесконечны. Для большинства ныне существующих практических
моделей, описывающих реальные ситуации, бессмысленно тратить слиш-
ком много времени на сложные обобщения1. Этим стоит заниматься только
тогда, когда доказано, что более простые версии неадекватно описывают
эксперимент или наблюдения.
На данном этапе стоит кратко рассказать об облегченной диффузии.
Это важная область физиологии, связанная с уравнениями реакций с диф-
фузией, и мы не коснемся ее более в этой книге. Общепринятые модели хо-
рошо воспроизводят экспериментальные ситуации и описывают кинетику
биохимических реакций, например, обратимое связывание кислорода с ге-
моглобином и миоглобином; последнее особенно важно в мышцах. Миогло-
бин менее эффективно связывает кислород, чем гемоглобин. Этот вопрос
подробно изучен экспериментально (Wittenberg 1970 (обзор), Wittenberg et
al. 1975), в том числе и для случая переноса протонов белками (Gros et
al. 1976; 1984). Без облегченной диффузии, например, не смогла бы вы-
жить мышечная ткань (теоретическое доказательство см. в Wyman 1966).
Это та область, которая может быть понята только благодаря тесной связи
математических моделей и эксперимента. Теория переноса кислорода была
подробно описана Вайманом (Wyman 1966), Мюрреем (Murray 1971; 1974)
и, для случая угарного газа, Мюрреем и Вайманом (Murray and Wyman
1971). Для эффективного переноса кислорода, в ткани должна существо-
вать область химического равновесия. Это означает, что неравновесные гра-
ничные слои должны лежать близко к поверхности (Murray 1971; Mitchell
and Murray 1973; Rubinow and Dembo 1977). Условия существования зоны
равновесия объясняют, почему гемоглобин является лучшим переносчиком
кислорода, чем миоглобин, и почему угарный газ не связывается с миогло-
бином. Явление облегченной диффузии играет важную роль в отравлении
угарным газом и сложностях, связанных с выведением его из организма
(Britton and Murray 1977).
Теория переноса протонов гораздо сложнее, так как было эксперимен-
тально показано (Gros et al. 1976; 1984; также смотри в этих статьях ссылки
на более ранние работы), что в нее вовлечена вращательная диффузия ге-
моглобина и других белков: протон заставляет молекулу гемоглобина вра-
щаться, что приводит к увеличению общей диффузии через ткань. Мате-
матическая теория гораздо более сложной вращательной диффузии была
предложена Мюрреем и Смитом (Murray and Smith 1986).
*Де Токвиль сказал, что в обобщениях нет смысла, потому что Бог знает все исключения.
11.3. Модели распространения животных
563
11.3. Модели распространения животных
Диффузионные модели дают хорошую основу для изучения простран-
ственного распределения и заселения на новые территории насекомых
и животных (подробное описание этих и других аспектов популяционных
моделей см. в Okubo 1980; 1986; Shigesada 1980; Lewis 1997). Расселе-
ние взаимодействующих видов обсуждается Шигесадой и др. (Shigesada
et al. 1979), а конкурирующих — Шигесадой и Ругарденом (Shigesada and
Roughgarden 1982). Было показано (Kareiva 1983), что для значительно-
го числа видов расселение можно описать моделью реакций с диффузией
с постоянным диффузионным коэффициентом. В статье также приведены
значения коэффициента диффузии, полученные для различных видов насе-
комых. Кот и др. (Kot et al. 1996) изучали общие законы расселения орга-
низмов и, что самое важное, систематизировали реальные данные (см. так-
же Kot 2001). Обычным свойством популяции насекомых является то, что
ее рост можно рассматривать в дискретном времени. Интуитивно понятно,
что это должно значительно влиять на пространственное распространение
насекомых. Уравнения модели включают сопряжение дискретного време-
ни и непрерывного пространства (Kot 1992; Neubert et al. 1995). Сборник
статей под редакцией Тилмана и Каривы (Tilman and Kareiva 1998) поле-
зен в качестве источника информации о роли пространства в данной об-
ласти моделирования. В статьях затрагиваются вопросы о выживании на-
ходящихся под угрозой исчезновения видов, биоразнообразии, динамике
заболеваний, многовидовой конкуренции и тому подобные. Явления засе-
ления и нашествия видов хорошо описаны в книгах Реншо (Renshaw 1991)
и Ульямсона (Williamson 1996). Книг, посвященных данной теме, огромное
количество. Великолепная, ориентированная на математику и моделирова-
ние книга Шигесады и Кавасаки (Shigesada and Kawasaki 1997) посвящена
биологическому заселению млекопитающих, птиц, насекомых и растений
на новые территории. В ней рассматриваются различные варианты заселе-
ния, для которых диффузия является лишь одним из механизмов. Для тех,
кто интересуется моделированием этого явления, книга Шигесады и Кава-
саки является обязательным чтением.
Вариант классической диффузионной модели, описывающий увеличе-
ние диффузии за счет давления популяции, хорошо соотносится с распро-
странением насекомых. В одной из таких моделей коэффициент диффузии,
или, скорее, поток J, зависит от плотности популяции п таким образом,
что D увеличивается с увеличением п:
J = —£>(n)Vn, —— > 0.
дп
(11.19)
564
Глава 11
Обычно D(n) = Do(n/no)m, где т > 0, a Dq и по — положительные кон-
станты. Уравнение дисперсии для п без члена, описывающего рост, имеет
следующий вид:
Эп _ _
— = DqV •
В одномерном случае:
Эп д
dt дх
дп
дх
(11.20)
Это уравнение имеет точное аналитическое решение следующего вида:
/ . \ по
r0 =
И < r0A(t),
|x| > r0A(<),
(U-21)
где
(11.22)
ГдТП
2£>o(m + 2) ’
где Г — гамма-функция, a Q — число насекомых, находящихся в нуле ко-
ординат в начальный момент времени. Легко доказать, что (11.21) является
решением (11.20) при любых tq. Расчет Го подразумевает, что интеграл
от п по всему х равен Q. (В другом контексте уравнение (11.20) извест-
но как уравнение пористой среды.) Численность популяции равна нулю
при х > ToA(i). Решение в корне отличается от полученного при т =
= 0, а именно, (11.10). Различие объясняется тем, что D(0) = 0. Реше-
ние представляет собой волну с фронтом при х = Xf = roA(t). Про-
изводная от п здесь лишена непрерывности. Волновой «фронт», который
мы в данном случае определяем как точку, в которой п = 0, движется
со скоростью dxj/dt = rodX/dt, которая со временем уменьшается для
любых т согласно (11.22). Решение для п схематически изображено на
рисунке 11.2. В природе распространение кузнечиков происходит похожим
11.3. Модели распространения животных
565
образом (Aikman and Hewitt 1972). В отсутствие члена, описывающего ис-
точник, популяция п, согласно (11.22), стремится к нулю при t —> оо.
Шигесада (Shigesada 1980) предложил похожую модель для распростра-
нения животных. В этой модели использована линейная зависимость диф-
фузии D(n) (х п (см. также Shigesada and Kawasaki 1997).
Рис. 11.2. Схематическое изображение решения (11.21) уравнения (11.20) как функ-
ции от х при различных временах t. Отметим разрыв непрерывности производной
в точке Xf = гоА(£), соответствующей фронту волны
Эквивалентная задача для радиально симметричной плоскости для Q
насекомых, находящихся в г = 0 в момент времени t = 0, описывается
уравнением:
дп (Dq\ д dt у г J дг Решением этого уравнения является , .. По ( X n(r, t) = —z 1 — < —— A2(t) r0X(t) = 0, / к l/(2+m) A(t) = ( 7- ) , to = \t0 / 2 Q 1 ) ro = 1 + — • тгпо \ ml / \ m 1 n \ dn , Г - • (11.23) \ no J dr 2i l/m > , r r0A(t), r > roA(i), 2 (П-24) ГрТП 4D0(m + 1)’
566
ГЛАВА 1 1
При т —> 0, то есть D(ri) —> Dq, решения (11.21) и (11.24) стремятся к
обычным решениям с постоянной диффузией: например, к (11.10) в слу-
чае (11.21). Для того чтобы это доказать, нужно использовать определение
экспоненты exp[s] = limm_>o(l + ms)1/"1.
Насекомые при низкой плотности популяции часто стремятся к агре-
гации. В одной из моделей (одномерной), описывающей это явление, поток
определяется следующим образом:
J = Un-D(n) —,
где U — скорость переноса. Например, если центр притяжения совпадает
с началом координат и скорость переноса постоянна, принимается, что U =
= — I7osgn(x) (Shigesada et al. 1979). В этом случае, уравнение дисперсии
принимает следующий вид:
- = (/„-(п58пИ+О„-
п \ дп
По / дх
(11.25)
Решить это уравнение не так уж просто. Однако мы можем получить пред-
ставление о поведении решения в отдельных частях области.
Снова предположим, что Q — это начальный поток насекомых в точ-
ке х = 0. Стоит ожидать, что градиенты рядом с х = 0 при t « 0 вели-
ки и, следовательно, в этой области конвекционный член мал по сравне-
нию с диффузионным членом. В этом случае решение примерно описыва-
ется выражением (11.21). С другой стороны, через длительный промежу-
ток времени популяция должна достигнуть стационарного, пространствен-
но неоднородного состояния, при котором конвекция и диффузия будут
уравновешивать друг друга. В этом случае решение можно аппроксими-
ровать выражением (11.25) при dn/dt = 0. Дважды проинтегрировав это
уравнение стационарного состояния с учетом условий п —> 0, dn/dt 0
при |х| —> оо, получим пространственное распределение в стационарном
состоянии:
= 0,
Пр
mUo
11.3. Модели распространения животных
567
Вывод этого выражения оставим в качестве упражнения. Уравнение (11.26)
показывает, что распространение в пространстве ограничено по х. Форма
решения, полученная при т = 1/2, сходна с популяционным распределени-
ем определенного типа роя москитов (Okubo and Chiang 1974; Okubo 1980,
Fig. 9.6). На рисунке 11.3 схематически изображена популяция насекомых
в стационарном состоянии.
Рис. 11.3. Схематическое изображение формы стационарного состояния распре-
деления популяции насекомых из (11.26) для насекомых, стремящихся, соглас-
но (11.25), к агрегации при низких плотностях
Распространение насекомых является очень важной проблемой, кото-
рая до сих пор до конца не понятна. Приведенная выше модель очень про-
ста, но и она дает представление о возможном пространственном поведе-
нии популяции насекомых. Если в модель включен член, описывающий
рост и смертность популяции, мы просто добавляем его в правую часть
уравнения (11.25) (упражнения 3 и 4). В таких моделях, как и следовало
ожидать, популяция насекомых вымирает, так как рождения новых особей
не происходит, есть только гибель. Но интересно то, что в этом случае на-
секомые преодолевают конечное расстояние от начала координат.
Использование диффузионных моделей для описания распространения
животных и насекомых становится все популярнее. Уже сейчас такого рода
модели были применены к большому числу практических ситуаций (мно-
жество примеров описано в книгах Okubo 1980 и Shigesada and Kawasaki
1997). В обзорной статье Окубы (Okubo 1986) описаны разнообразные мо-
дели, большей частью относящиеся к объединению животных в группы
и роению насекомых. Существуют модели роения, основанные на нело-
кальных взаимодействиях (Mogilner and Edelstein-Keshet 1999). В этих мо-
делях объединяются дальнодействующее отталкивание и притяжение. Было
показано, что если зависящий от плотности член отталкивания имеет более
высокий порядок, чем член притяжения, рой обладает постоянной внутрен-
ней плотностью и резкими границами (другими словами, он выглядит как
рой). Глава 14 тома II большей частью посвящена распространению вол-
568
Глава 11
ков и формированию их территории, а также выживанию волков и оленей
(основной добычи волков). В ней мы, в том числе, рассмотрим более реа-
листичную форму члена, описывающего центр притяжения (для волков это
летнее логово), при котором не происходит разрыва непрерывности гради-
ента, как на рисунке 11.3.
11.4. Хемотаксис
Многие насекомые и животные (в том числе и люди) полагаются на
обоняние для обмена информацией друг с другом. Химические соедине-
ния, принимающие участие в этом процессе, называются феромонами. На-
пример, самка тутового шелкопряда Bombyx mori выделяет феромон под
названием бомбикол для привлечения самцов, на антеннах которых рас-
полагаются очень чувствительные к бомбиколу обонятельные рецепторы.
Учуяв запах феромона, самцы движутся в направлении увеличения его кон-
центрации. Модельная задача в этом случае увлекательна и трудна и подра-
зумевает использование в одной временной шкале, но в разных масштабах,
гидродинамики и теории фильтрации (Murray 1977). Острое обоняние иг-
рает важную роль в коммуникации и охоте для многих глубоководных рыб.
Помимо разграничения территорий, самой простой и важной функцией фе-
ромонов является направленное движение, которое они могут вызвать в по-
пуляции. Здесь мы промоделируем такое химически направляемое движе-
ние — хемотаксис. Стоит заметить, что, в отличие от диффузии, хемотаксис
вызывает движение вверх по градиенту концентрации.
Хемотаксис важен не только в экологии насекомых и животных. Он
также играет значительную роль в биологических процессах; такого рода
примеров очень много. Например, при попадании бактерии в организм ее
атакуют клетки, движущиеся к источнику заражения за счет хемотаксиса.
Существуют убедительные доказательства того, что лейкоциты в крови дви-
жутся в направлении вызванного бактериями воспаления для борьбы с ним,
и их движение происходит вверх по химическому градиенту, возникшему
из-за инфекции (см., например, Lauffenburger and Keller 1979; Tranquillo
and Lauffenburger 1986; 1988 и Alt and Lauffenburger 1987). Мы подроб-
но рассмотрим бактериальный хемотаксис и некоторые его удивительные
следствия в главе 5 тома II.
Широко изучено явление хемотаксиса в популяциях слизевика Dyc-
tyostelium discoideum. В этом случае, одноклеточные амебы движутся в на-
правлении областей с относительно высокой концентрацией химического
соединения, которое синтезируется самими амебами, а именно, цикличе-
11.4. Хемотаксис
569
ского АМФ. В эксперименте наблюдается интересное волновое движение
и пространственные структуры; смотри главу 1 тома II. Обсуждение этого
явления и некоторые ранние модели и их анализ представлены, например,
в книге Сэгеля (Segel 1984). Кинетика этого процесса была промоделирова-
на несколькими авторами. По мере того как появлялось больше знаний об
этой биологической системе, модели менялись (более сложные, но биологи-
чески реалистичные модели см. в Martiel and Goldbeter 1987; Golbeter 1996;
Monk and Othmer 1989). Во всех поздних моделях показано колебательное
поведение. Спиро и его коллеги (Spiro et al. 1997) предложили модель воз-
буждения и адаптации при бактериальном хемотаксисе в более широком
биологическом контексте. Авторы объединили в своей модели большое ко-
личество подробных биохимических данных, и в результате пролили свет
на наблюдаемые в эксперименте события.
Большинство математических моделей образования слизевиком Dic-
tyostelium discoideum пространственных структур основаны на непрерыв-
ных уравнениях для хемоаттрактантов и клеток. Была разработана (Dallon
and Othmer 1997) интересная модель, в которой клетки рассматривались как
отдельные частицы, а концентрация хемоаттрактанта была непрерывной.
Результаты этой модели хорошо согласовываются со многими эксперимен-
тальными данными. Эта модель позволяет исследовать влияние различных
правил клеточного движения на пространственные структуры и волновое
поведение системы, а также дает возможность найти источник распростра-
няющихся спиральных волн. Мы подробно обсудим распространение волн,
в том числе и спиральных, в главе 13 этого тома и главе 5 тома II. Важную
роль хемотаксиса признают для все большего количества биологических
процессов. Уравнения моделей этого процесса демонстрируют огромное
количество непредвиденных явлений, некоторые из которых мы обсудим
позже в этом и следующем томе.
Предположим, что наличие градиента аттрактанта, а(х, i), вызывает
движение, например, клеток, в сторону увеличения концентрации. Поток
клеток будет увеличиваться с увеличением количества клеток, n(x, t). Сле-
довательно, поток хемотаксиса можно описать следующим образом:
J = ny(a)Va, (11.27)
где х(&) — функция, описывающая концентрацию аттрактанта. Уравнение
сохранения для n(x, t) имеет вид:
дп
—+VJ = /(n),
570
Глава 11
где f(n) — функция, описывающая рост клеток. Общий поток складывается
из потока за счет диффузии и потока за счет хемотаксиса:
J J диффузия Н" ^хемотаксис,
где вклад диффузии описывается уравнением (11.15), а вклад хемотак-
сиса — уравнением (11.27). Следовательно, основное уравнение реакции
с диффузией и хемотаксисом имеет следующий вид:
дп
— = f(n) - V • nx(a)Va + V • £>Vn, (11.28)
dt
где D — коэффициент диффузии клеток.
Аттрактант а(х, t) является химическим веществом и, следовательно,
синтезируется амебами (например) и диффундирует. Таким образом, нам
нужно еще и уравнение для а(х, t). Обычно оно записывается следующим
образом:
да
— = д(а, n) + V • Z)aVa, (11.29)
dt
где Da — коэффициент диффузии а, и д(п, а) — функция, описываю-
щая кинетику/источник и зависящая от п и а. Естественно предположить,
что Da > D. Если несколько организмов или типов клеток реагируют на
аттрактант, то основным уравнением для вектора популяции будет преоб-
разованное в векторную форму выражение (11.28). Функция х(а), скорее
всего, будет различаться для разных видов. В главе 5 тома II мы покажем,
насколько важную роль играют формы функций /(n), д(а, п) и х(а) Для
формирования различных пространственных структур.
В основополагающей модели движения слизевиков Келлера и Сэгеля
(Keller and Segel 1971) g(a,ri) = hn — ka, где h, k — положительные кон-
станты. Здесь произведение hn описывает спонтанный синтез аттрактанта,
и оно пропорционально количеству амеб п. Член — ка описывает умень-
шение активности аттрактанта, то есть, если аттрактант не вырабатывается
клетками, его активность экспоненциально падает.
В одной из самых простых вариантов этой модели /(п) = 0, то есть
рождаемостью амеб можно пренебречь. Это описывает стадию формирова-
ния пространственных структур в жизненном цикле слизевиков. Функция
хемотаксиса х(а) принимается равной положительной константе хо- Фор-
ма этого члена должна быть определена экспериментально (см. главу 5 то-
ма II). Пусть коэффициенты диффузии постоянны, a g(ri, а) описывается
11.4. Хемотаксис
571
приведенной выше линейной функцией. Тогда одномерная модель пред-
ставляет собой нелинейную систему:
дп г>^2п & (
да . д2а
-— = tin — ка + Da —-.
dt адх2
(11.30)
Такого рода системы мы исследуем в главе 1 тома II. Здесь мы рассмот-
рим п как численность бактериальной популяции, а а как пищу, которую
эта популяция поглощает.
Для хемотаксического фактора х(а) были предложены и другие фор-
мы. Например, следующие:
Х(а) = -, х(а)= Хо>0, К > 0, (11.31)
а (К + а,у
которые известны, соответственно, как логарифмический и рецепторный
законы. Согласно этим выражениям, при уменьшении а влияние хемотак-
сиса увеличивается. В главе 5 тома II мы рассмотрим конкретные бакте-
рии Salmonella и Е. coli и приведем формы экспериментально определен-
ных /(n), д(а, п), х(а) и других параметров в уравнениях (11.28) и (11.29).
Существуют различные определения экспериментально измеряемого
индекса хемотаксиса, I, отражающего силу хемоаттрактанта. Приведем
лишь один пример. Для определенности рассмотрим плоское движение
клетки по направлению к источнику хемоаттрактанта в точке xs- Предпо-
ложим, что клетка начинает движение в точке ха, находящейся на рассто-
янии D\ от источника. В отсутствие хемотаксиса движение клетки случай-
но. и среднее расстояние, которое проходит точка за заданный промежуток
времени Т в направлении xs, равно нулю. Если же есть хемотаксис, то
случайное движение меняется таким образом, что наблюдается общая тен-
денция к движению в сторону источника хемоаттрактанта. И тогда за тот
же промежуток времени TD% > 0. Это позволяет нам ввести индекс I =
£>2/^1- чем больше I, тем сильнее хемотаксис. С целью определения
параметров хемотаксиса был проведен подробный анализ движения лей-
коцитов в ответ на химическое раздражение (Tranquillo and Lauffenburger
1988). Для Salmonella и Е. coli также были получены экспериментально па-
раметры хемотаксиса (значения см. в Woodward et al. 1995; Tyson 1996,
Murray et al. 1998; и Tyson et al. 1998; 1999).
572
Глава 11
На движение некоторых клеток влияет наложение внешнего электри-
ческого поля. В этом случае, клетки обычно движутся параллельно направ-
лению поля. Это явление называется гальванотаксисом. Силу гальванотак-
сиса можно определить так же, как силу хемотаксиса. Если V — это элек-
тростатический потенциал, то поток гальванотаксиса J разумно принять
пропорциональным nG(V)VV, где G может быть функцией приложенного
напряжения V.
Прежде чем оставить эту тему, заметим, что знаки членов диффузии
и хемотаксиса в (11.28) и (11.30) различаются. Обе функции включают
в себя лапласиан. Тогда как диффузия обычно является стабилизирующей
силой, хемотаксис чаще бывает дестабилизирующей, чем-то вроде отрица-
тельной диффузии. На этом этапе будет разумно предположить, что равно-
весие между стабилизирующими и дестабилизирующими силами в модель-
ной системе (11.30) приведет либо к стационарному состоянию с простран-
ственными структурами для п и а, либо к нестационарной волнообразной
пространственно неоднородной структуре. То есть возникнут неоднород-
ные пространственные структуры плотности клеток; смотри главы 1 и 5
в томе II. С другой стороны, если влияние хемотаксиса особенно сильное,
то существует вероятность коллапса решения, что и случается на самом де-
ле (см., например, Jager and Luckhaus 1992 и приведенные там ссылки на
более ранние работы).
11.5. Нелокальные эффекты и диффузия на большие
расстояния
Классический подход к диффузии, который мы использовали выше,
теоретически можно применять только к разбавленным системам, то есть
к системам, в которых концентрации с или плотности п малы. На прак-
тике такой подход, конечно, применяется гораздо шире. Для многих, ес-
ли не большинства, практических модельных процессов вполне достаточ-
но использовать фиковскую форму (11.15) для описания диффузионного
потока J = —DVc или J = —D(n)Vc из (11.19) с зависимостью диффу-
зии от п. На самом деле, такие формы записи требуют только того, чтобы
диффузия была локальна или происходила на малых расстояниях. Это лег-
ко увидеть, если рассмотреть оператор Лапласа V2n в простом уравнении
диффузии dnldt = DV2n. Лапласиан усредняет соседние плотности и,
формально получаем (см., например, Hopf 1948; Morse and Feshbach 1953):
r> (n(x, t)) — n(x, t)
V2n <x x k " 7 при R -> 0,
Rz
(11.32)
11.5. Нелокальные эффекты и диффузия на большие расстояния 573
где (п) — средняя плотность в сфере радиуса R с центром в точке х. Это
означает, что
Tlav = (п(х,£)) =
3
4тгЯ3
х + г, t) dr,
(11.33)
где V — сфера радиуса R. Такая интерпретация лапласиана была впервые
предложена Джеймсом Кларком Максвеллом в 1871 году (см. Maxwell 1952,
сборник некоторых его работ).
Так как радиус R -+ 0, можно разложить n(x + г, t) в ряд Тейлора
в окрестности х для малых г, а именно,
п(х + г, t) = n(x, t) + (г • V)n + ^(г • V)2n + • • • ,
и подставить это выражение под знак интеграла в (11.33). Тогда для nav
получим
T^av
3
4тг7?3
n(x, f) + (г • V)n + |(г • V)2n Ч--
dr.
Благодаря симметрии, второй интеграл равен нулю. Пренебрежем в подын-
тегральном выражении всеми членами порядка О (г3) и выше, и после ин-
тегрирования получим
nav = I -7^ I П(Х^) / dr+ —7T^5V2n(x,^)
\4tvR J Jv 15
= n(x, t) + —#2V2n(x, £).
(11.34)
Теперь подставим это выражение в (11.32) и найдем коэффициент пропор-
циональности, равный 10/3.
Во многих биологических процессах, например, в эмбриональном раз-
витии, плотность клеток велика, и локальный или распространяющийся
на малые расстояния диффузионный поток, пропорциональный градиенту,
недостаточно точно описывает ситуацию. Когда мы будем обсуждать меха-
ническую теорию формирования биологических структур в главе 6 тома II,
то покажем, что в определенных обстоятельствах интуитивно разумно, а ча-
сто и необходимо, включать в модель дальнодействующие эффекты.
574
Глава 11
Вместо того чтобы просто принять J ос Vn, рассмотрим следующее
выражение:
J = G [Vn(x + r,t)], (11.35)
rGN(x)
где 7V(x) — окрестность точки х, события в которой влияют на х, a G —
некий функционал градиента. Благодаря симметрии аргументов и предпо-
ложению об изотропности моделируемого объема, будь то по концентрации
или плотности, можно показать, что первой поправкой в простом линейном
градиенте Vn для потока J является член V(V2n). В результате получаем
следующую форму потока для (11.35):
J = -D1Vn + VZ>2(V2n), (11.36)
где D\ > 0 и Z>2 — константы. Z?2 описывает силу дальнодействующих эф-
фектов и обычно меньше по абсолютному значению, чем D\. Этот подход
был разработан Отмером (Othmer 1969), который подробно формулирует,
выводит и описывает общий функционал G. Мы дадим различные опреде-
ления члену дальнодействия Z?2 ниже и в разделе 11.6.
Теперь используем поток J, определяемый выражением (11.36), и ис-
пользуем его в уравнении сохранения ((11.14), где f = 0):
дтъ
— = -v • J = V • L>iVn + V V(L>2V2n). (11.37)
ot
Согласно (11.32), эта форма показывает, что если первый член представляет
собой среднее ближайшего окружения, то второй — бигармонический член —
вклад среднего окружающих средних.
Бигармонический член является стабилизирующим при > 0 и де-
стабилизирующим при Z>2 < 0- Это легко видеть, если посмотреть на ре-
шение уравнения (11.37) в следующем виде:
n(x, t) ос ехр[ст£ + гк • х], к = |к|. (11.38)
Это волновое решение с волновым вектором к (и, следовательно, длиной
волны, равной 2к/к). Нужно найти а. Так как (11.37) представляет собой
линейное уравнение, можно использовать последнее решение для получе-
ния решения общей задачи о начальных условиях с помощью подходящих
рядов Фурье или методов интегрирования. Подстановка (11.38) в уравне-
ние (11.37) дает нам так называемое дисперсионное уравнение относитель-
но ст в терминах волнового числа к:
а = -Dik2 -D2k4. (11.39)
11.5. Нелокальные эффекты и диффузия на большие расстояния 575
Будет решение нарастающим или убывающим, определяется членом ехр[сг£]
в (11.38). Дисперсионные уравнения играют важную роль в разных обла-
стях. Некоторые из них мы подробно обсудим в главе 2 тома II. Так как ст
является функцией от к, решение (11.38) показывает поведение во времени
каждой волны, то есть поведение при разных к. В самом деле, при подста-
новке (11.39) в решение (11.38) получаем
п(х,£) ос ехр[—(£>ifc2 4- Dzk4)t 4- гк • х].
Следовательно, при достаточно больших волновых числах к, к2 > Di / |Z>21-
И тогда всегда выполняется следующее:
п(х, t) —> | при £—>оо если < q’ (11.40)
В классической фиковской диффузии £>2 = 0 и п —> О при t —> оо для
всех к. Согласно (11.40), если £>2 > 0, бигармонический вклад (то есть
эффекты на больших расстояниях) в диффузионный процесс является ста-
билизирующим, когда как при £>2 < 0 он становится дестабилизирующим.
В другом важном подходе к моделированию дальнодействующих эф-
фектов используется интегральная формулировка уравнений. (Этот подход
предоставляет полезный способ унификации, к которому мы вернемся поз-
же в томе II при рассмотрении специфического класса моделей образования
пространственных структур в стационарном состоянии; смотри главу 12 то-
ма II.) Здесь скорость изменения п в точке х в момент времени t зависит от
влияния окружающих п во всех точках х'. Например, такого рода одномер-
ная модель математически описывается следующим уравнением:
дп
—- = f(n) 4- / w(x — х')п(х'dx', (11.41)
J — oo
где w(x — xf) — функция ядра, количественно описывающая влияние окру-
жения n(xf ,t) на n(x,t). Такая форма функции ядра означает, что влияние
соседей зависит только от расстояния от х rq х*. Функция /(п) является
обычным источником кинетического члена — такую же функцию мы вклю-
чали в механизмы реакций с диффузией (11.17) и (11.18). Ниже в этом то-
ме мы рассмотрим применение этой функции в моделировании процессов
в нервных клетках, там она будет называться частотой пульсации нейро-
на. Разумно предположить, что влияние соседних клеток стремится к нулю
при больших |гг — х'\ и что оно пространственно симметрично. Это можно
576
Глава 11
записать следующим образом:
w —» 0 при |я — я/| —> оо, w(x — xf) = w(xf — х). (11.42)
Модель (11.41) напрямую объединяет дальнодействующие эффекты че-
рез функцию ядра: если w быстро стремится к нулю, например, согласно
ехр[—(х — х')2/з], где 0 < s 1, то дальнодействующие эффекты слабые,
когда как при s 1 они сильные.
Для того чтобы определить пространственно-временные свойства ре-
шений уравнения (11.41), требуется получить функцию ядра w в явном
виде. Для этого нужно промоделировать рассматриваемое специфическое
биологическое явление. Представим группу нервных клеток, то есть клеток,
способных спонтанно посылать импульсы; в данном случае, п представля-
ет собой частоту пульсации клеток. Следовательно, f(n) — это автономная
пространственно независимая частота пульсации. В отсутствие влияния со-
седних клеток f(ri) со временем просто достигает стационарного состоя-
ния, определяемого нулями этой функции. Математический аппарат точно
такой же, как в главе 1. Например, если /(п) имеет форму, представленную
на рисунке 11.4(a), то со временем частота пульсации достигает единствен-
ного стационарного состояния п\. Если функции f(n) соответствует рису-
нок 11.4(b), то существует пороговая частота пульсации, выше которой п
достигает ненулевого стационарного состояния, а ниже — убывает до нуля.
Рис. 11.4. (а) Типичная функция /(п), описывающая частоту пульсации нейро-
на, с единственным ненулевым стационарным состоянием: в отсутствие простран-
ственных эффектов п —> щ. (Ь) Типичная частота пульсации с несколькими стаци-
онарными состояниями. Если п < пс, критической частоты пульсации, то п —► О,
то есть исчезает. Если п > пс, то п —► ni
Теперь для объединения пространственных эффектов требуется вклю-
чить влияние соседних клеток, то есть нужно задать функцию ядра w. Пред-
положим, что на клетки действуют как возбуждающие, так и ингибирую-
щие стимулы от соседних клеток. При этом самые сильные возбуждающие
сигналы подаются самими клетками. То есть, если клетка часто посылает
11.5. Нелокальные эффекты и диффузия на большие расстояния 577
импульсы, п стремится к увеличению; это похоже на автокатализ. Функция
ядра, описывающая такое поведение, представлена на рисунке 11.5.
Рис. 11.5. Типичная керн-функция w пространственного влияния окружения при
«возбуждении-ингибировании» для модели (11.41)
Можно применить подход интегральных уравнений к приближению
диффузии на больших расстояниях, которое мы использовали для получе-
ния (11.37). Пусть
у = х — х' =>
лею лею
( w(t — т/)п(х/, i) б/х7 = / w(y)n(x — y,f) dy.
—оо J —оо
Теперь, точно так же, как мы делали для интеграла в (11.33), разло-
жим п(х — у) в ряд Тейлора в окрестности х:
дп(х4) у2 d2n(x,i)
Благодаря симметричности функции ядра w(?/), получаем
•сю
?/2Tn+1w(?/) dy = 0, т = 0,1,2,... .
(11.44)
Теперь дадим следующее определение моментов wm функции ядра w(y):
1 г00
W2m = .. / ?/2m+1w(?/)rf?/, m = 0,1,2,.... (11.45)
(2ш)! J_ao
578
Глава 11
И тогда уравнение (11.41) принимает следующий вид:
дп
dt
д2п д4п
= f(n) + WQn + ^2^2 + + *’ ’ •
(11.46)
В случае типичных функций ядра, чем выше порядок момента, тем момент
меньше; это интуитивно понятно из (11.45). Если отбросить все члены ря-
да (11.46) после четвертого момента, то получится приближенное уравне-
ние модели с бигармоническим вкладом д4п/дх\ сравнимым с вкладом
в (11.37).
Поведение решения (11.41) сильно зависит от знаков моментов функ-
ции ядра и, следовательно, от точности ее описания. Типичная форма функ-
ции ядра показана на рисунке 11.5. Например, если W2 < 0, то член «диф-
фузии на малые расстояния» является дестабилизирующим, а если < О,
то «диффузия на большие расстояния» становится стабилизирующей (срав-
ни с (11.39)).
Подход интегральных уравнений во многих случаях дает лучшее опи-
сание дальнодействующих эффектов, так как дает представление о том, что
происходит биологически. Как было сказано выше, мы подробно обсудим
такие модели в главе 12 тома II при рассмотрении моделей нейронов, при-
водящих к образованию пространственных структур.
11.6. Клеточный потенциал и энергетический подход
к диффузии и дальнодействующим эффектам
Рассмотрим альтернативный подход для описания членов высокого по-
рядка в диффузии на большие расстояния. А именно, мы будем описывать
плотности клеточной популяции и для учебных целей, прежде чем рас-
сматривать более общий случай, выведем уравнения классической (фиков-
ской) диффузии (представленные ниже преобразования описаны в Cohen
and Murray 1981).
Феноменологически, если существует градиент потенциала //, он спо-
собен направлять поток J, то есть J пропорционален V/z (это классиче-
ский подход). Можно дать классическое определение потенциала, то есть
потенциал — это работа по изменению состояния системы на неболь-
шую величину, или, другими словами, вариационная производная энергии.
Пусть n(x, t) — плотность клеток. Соотнесем с пространственным распре-
делением клеток плотность энергии е(п), то есть внутреннюю энергию на
единицу объема развивающейся во времени пространственной структуры.
11.6. Клеточный потенциал и энергетический подход
579
Полная энергия Е[п] в объеме V определяется следующим выражением:
E[n] = I e(n)dx. (11.47)
Jv
Изменение в энергии дЕ, то есть работа, совершенная для изменения
состояния на величину дп, представляет собой вариационную производ-
ную дЕ/дп и определяет потенциал /1(п). Следовательно,
дЕ
(фг) = Т~ = е'^- (11.48)
дп
Градиент потенциала ц приводит к появлению потока J, то есть по-
ток J пропорционален V/z, и, следовательно,
J = -Z)V/z(n), (11.49)
где D — коэффициент пропорциональности, который в данном случае мо-
жет зависеть от х, t и п. Уравнение непрерывности п принимает следую-
щий вид:
дп
— = -V • J = V • [DV//(n)l = V • [Ee"(n)Vnl. (11.50)
dt
Применив к нему уравнение (11.48), для /Дп) получим
дп
— =V-[P*(n)Vn], (11.51)
at
где
D*(n) = De"(n). (11.52)
В этом простом классическом случае с постоянной диффузией плот-
ность внутренней энергии обычно принимается квадратичной: е(п) =
= п2/2. Следовательно, // (п) = п, и (11.51) становится обычным урав-
нением диффузии dn/dt = Z)V2n, где D* = D, то есть коэффициент диф-
фузии постоянен. Если D представляет собой функцию от х, t и п, то ход
рассуждений будет таким же, и в результате получится следующее уравне-
ние непрерывности для п:
дп
- = (11.53)
Здесь п может быть вектором, характеризующим численность видов кле-
ток.
580
Глава 11
Приведенный выше вывод уравнения диффузии подразумевает, что
плотность энергии е(п) зависит только от плотности клеток п. Если клетки
чувствительны не только к своему ближайшему окружению, разумно пред-
положить, что необходимая для поддержания пространственной неоднород-
ности энергия зависит от градиентов плотности соседних клеток. Такого
рода пространственная неоднородность особенно важна в формировании
биологических структур.
Теперь рассмотрим более реалистичный энергетический функционал,
инвариантный при отражении (хг —> — Xi) и вращении Xj):
£?[n] = [ [e(n) + fc!V2n + fc2(Vn)2 + ---]dx, (11.54)
Jv
где параметры fc могут быть функциями от п. Применим теорему Грина
и получим
[ fciV2ndx+ [ Vfci-Vndx= [ fci-f^ds,
Jv Jv Js dN
где N — внешняя нормаль в поверхности S, окружающей V, a fci зависит
от п таким образом, что Vfci = к{(п)^п. Согласно последнему уравнению
[ fciV2ndx=- [ fcJ(n)(Vn)2 dx + [ fci-^ds.
Jv Jv Js oN
(11.55)
Нас не интересуют эффекты на внешней границе, следовательно, можно
выбрать такую ограничивающую поверхность S, что Sdn/dN = 0, то есть
на границе поток равен нулю. Таким образом, уравнение (11.54) для энер-
гетического функционала в пространственно неоднородном случае прини-
мает следующий вид:
(11.56)
Здесь е(п) — плотность энергии в пространственно неоднородном слу-
чае, а остальные члены описывают плотность энергии (или «градиентную»
плотность), зависящую от различий в пространственной плотности окру-
жения.
11.6. Клеточный потенциал и энергетический подход
581
Теперь повторим те шаги, которые мы предприняли при выводе (11.53)
из (11.48). Потенциал р получаем из энергетического функционала (11.56):
р = р(п, Vn) = = _fcv2n + е'(п). (11.57)
дп
Здесь мы использовали вариационный анализ для получения дЕ[п]/дп
и приняли fc постоянным. Теперь поток J можно описать следующим обра-
зом:
J = —D*V/z(n, Vn).
Обобщенное уравнение диффузии принимает следующий вид:
дп
— = -V-J = V-(7)*Vm),
dt
= ZTV2[-V2n + e/(n)], (П-58)
= —kD*V4n + £>*V • [e"(n)Vn].
Здесь D* и fc принимаются постоянными.
Основным допущением для е(п) является то, что она может описы-
ваться только с помощью четных степеней п, так как плотность энер-
гии не может зависеть от знака п. Определение свободной энергии по
Ландау-Гинзбургу (см., например, Cahn and Hillard 1958; 1959; Cahn 1959
и Huberman 1976) записывается следующим образом:
z . an2 bn4
k 7 2 4
После подстановки этого выражения в (11.58) получаем
= -r>*fcV4n + Z>*aV2n + r>*6V2n3.
dt
Теперь запишем, что
Di — D*a, D% = D*k, D% = D*b.
Тогда обобщенное уравнение диффузии (11.58) примет следующий вид:
— = Z>iV2n - Z)2V4n + £>3V2n3.
at
(11.59)
582
Глава 11
Заметим, что в уравнении появился дополнительный нелинейный член,
включающий в себя коэффициент £>з. Если энергия е(п) содержит только
обычный квадратичный член п2, то b = 0, и (11.59) совпадает с (11.37)
из раздела 11.4. Если добавить в (11.59) реакционный или кинетиче-
ский член /(п), то получится обобщенное уравнение диффузии, аналогич-
ное (11.14). Для одномерной скалярной версии (11.59), если /(п) описы-
вает логистический рост, показано (Cohen and Murray 1981) существова-
ние пространственно неоднородных решений для стационарных состояний.
В двумерном случае уравнение отражает определенные морфогенетические
аспекты многоклеточных систем, сформированных подвижными клетками
(Lara-Ochoa 1984).
Упражнения
1. Пусть р(х, t) — вероятность того, что организм, находившийся в на-
чальный момент времени в х = 0, окажется в точке х в момент времени t.
При случайном блуждании есть небольшое предпочтение движений впра-
во, то есть вероятности движения вправо и влево, а и /3, удовлетворяют
условию а — /3 = е > 0, где 0 < е 1. Покажите, что уравнение диффу-
зии для концентрации с(х, t) = Qp(x, t), где Q частиц находились в начале
координат при t = 0, в данном случае имеет следующий вид:
дс дс т>д2с
777 + = ’
dt дх дх2
где V и D — константы, которым вы должны дать определение.
2. Для одномерной области рассмотрите ситуацию, когда точкой при-
тяжения для насекомых является начало координат, и они движутся туда
с постоянной скоростью V. Давление популяции аппроксимируется завися-
щим от плотности коэффициентом диффузии D(n) = Do(n/no)m, где п —
плотность популяции, a Dq, по и m — положительные константы. Покажи-
те, что модельное уравнение распределения насекомых в отсутствие роста
популяции имеет следующий вид:
дп dJ д гтг ... д
~ai = -fe = aJ|ysgnW"1 + CoS
дп
дх
Покажите, что если п —> О, дп/дх 0 при |гг| оо, существует про-
странственно неоднородное стационарное состояние, которое можно опи-
11.6. Клеточный потенциал и энергетический подход
583
сать следующим образом:
п(х) = (1-----— при х С —,
\ Ь'о / m V
п I I
= 0 при И>—.
3. Личинки паразитического червя (Trichostrongylus retortaeformis)
вылупляются из яиц в экскрементах овец и кроликов. Личинки случай-
но распределяются по траве и поедаются овцами и кроликами. Во внут-
ренних органах цикл начинается сначала. Рассмотрите одномерную зада-
чу, когда личинки распределяются с постоянным коэффициентом диффу-
зии, а их смертность пропорциональна численности популяции. Покажите,
что п удовлетворяет уравнению:
дп д2с _
— = D—2 -цп, D > 0, ц > 0,
dt дх
где п — численность популяции личинок. Найдите распределение популя-
ции в любой точке х в любой момент времени t в зависимости от числа
личинок Nq, помещенных в точку х = 0 в момент времени t = 0. Покажи-
те, что при t —> оо популяция вымирает.
Пусть личинки откладывают яйца со скоростью, пропорциональной
численности популяции, то есть
дЕ ч
—- = Ап, А > 0,
dt
где E(x,t) — плотность популяции личинок. Покажите, что в пределе
при t —> оо будет существовать ненулевое пространственное распределение
яиц. [Для E(x,t) получается интеграл, для которого при помощи преобра-
зования Лапласа можно получить асимптотическую аппроксимацию (см.,
например, книгу «Asymptotic Analysis» Murray 1984): в результате получа-
ется E{x,t) ~ О(ехр[—(/1/.D)1/2 |гг|]) при t —> оо.]
4. Рассмотрите модель распространения насекомых, включающую за-
висимость от плотности и линейную смертность. Уравнение для популя-
ции п(х, t) в этой модели имеет следующий вид:
584
Глава 11
Пусть Q насекомых поместили в х = 0 при t = 0, то есть п(я, 0) = Q8(x).
При помощи подходящих преобразований для п и t покажите, что урав-
нение может быть упрощено до эквивалентного уравнения с /х = 0. И,
следовательно, покажите, что, распространяясь от точки х = 0, волновой
фронт популяции при t оо достигает конечного расстояния #тах:
Гр
(/хттр)1/^4"2^ ’
где
«rGs +1)
гр =---------7\----Г’
ТГ1/2П0Г + 1)
Г — гамма-функция.
2Z?o(m + 2) ’
Глава 12
Основанные на колебаниях волновые
явления и центральные генераторы
ритма
В главе 11 мы видели, как процессы диффузии, хемотаксиса и кон-
векции могут приводить к возникновению пространственных структур; во
втором томе мы очень подробно рассмотрим связь этих механизмов с фор-
мированием биологических структур. В главе 13 этого тома, а также в гла-
вах 1 и 13 тома II мы покажем, как диффузионные процессы могут, напри-
мер, приводить к возникновению бегущих волн, использующихся для моде-
лирования нашествий вредителей, распространяющихся волн химических
концентраций, заселения популяцией новых территорий, пространственно-
го распространения эпидемий и так далее. Существование такого рода бегу-
щих волн обычно является результатом сопряжения различных процессов,
таких как диффузия, хемотаксис и конвекция. Однако существуют волно-
вые явления другого типа — так называемые кинематические волны. Они
представляют собой волнообразные пространственные структуры и возни-
кают в результате сопряжения биологических осцилляторов, свойства кото-
рых, связанные с периодом и фазой, варьируют в пространстве. В этой главе
мы обсудим два удивительных явления и модели, описывающие их. В дан-
ном случае, моделирование основывается на экспериментах или биологиче-
ских феноменах, ярко демонстрирующих кинематические волны. В первом
случае мы рассмотрим реакцию Белоусова-Жаботинского, а во втором —
движение, например, миног и акул, иллюстрирующее важное понятие цен-
трального генератора. Приведенные в этой главе результаты относятся
к пространственно распределенным осцилляторам в целом.
12.1. Кинематические волны в реакции
Белоусова-Жаботинского
Когда в качестве катализатора в колебательной реакции Белоусова ис-
пользуется железо (переходящее из состояния Fe2+ в состояние Fe3+ и об-
586
Глава 12
ратно) и подходящий краситель, колебания в системе очень хорошо видны.
Краситель показывает, в каком состоянии находится катализатор: в зависи-
мости от этого, цвет меняется с красного (или, скорее, оранжево-красного)
на синий. Если реагенты, не перемешивая, поместить в вертикальную ци-
линдрическую трубку, образуются синие и красные горизонтальные поло-
сы. Эти полосы обычно появляются на дне цилиндра и медленно подни-
маются вверх, при этом каждая последующая полоса движется медленнее
предыдущей. В конце концов, полосы заполняют всю трубку, но нерав-
номерно: чем ближе ко дну, тем плотнее их расположение. В отличие от
волн, которые мы рассмотрим позднее, здесь диффузия играет незначи-
тельную роль в формировании и движении полос. Бэк и Варади (Beck and
Varadi 1972) предоставили кинематическое объяснение этих «полосатых»
пространственных структур. Анализ, которому мы будем здесь следовать,
был разработан Копелль и Говардом (Корей and Howard 1973). Несмотря
на то, что этот анализ первоначально предназначался для полос, наблюда-
емых в реакции Белоусова, и экспериментальные результаты, показанные
на рисунке 12.1(b), также относятся к ней, это явление свойственно любым
биологическим осцилляторам в сходных условиях. Важно отметить, что
пространственные структуры могут возникать без всякого участия диффу-
зии или хемотаксиса.
Рассмотрим каждое пространственное положение в вертикальном ци-
линдре как независимый осциллятор с периодом Т, период может зависеть
от координаты. Если эти независимые осцилляторы находятся не в фазе
или отличаются по частоте, то из-за этих различий возникнут простран-
ственные структуры. (Простым, но показательным физическим примером
этого явления может служить ряд простых маятников, подвешенных к од-
ной горизонтальной балке. В длине этих маятников наблюдается неболь-
шой градиент, что приводит к небольшому градиенту в их периодах. Если
их все запустить одновременно, то через короткий промежуток времени
будет казаться, что вдоль линии маятников идет волна, причем длина этой
волны будет уменьшаться со временем.)
В случае колебательной реакции Белоусова, причиной градиента фазы
или частоты может быть концентрационный градиент одного из реагентов
или температурные различия. В экспериментах Копелль и Говарда исполь-
зовалось первое (см. рисунок 12.1(b)), а в экспериментах Тоенеса (Thoenes
1973) — второе. Вертикальный химический градиент концентрации был со-
здан для серной кислоты. Это привело к монотонному градиенту периода
колебаний. Горизонтальные полосы появлялись довольно быстро и затем
медленно двигались вверх. Через несколько минут они заполняли весь ци-
линдр. Очевидно, что если бы в цилиндр поместили непроницаемый для
12.1. Кинематические волны
587
одного из реагирующих веществ барьер, это бы никак не повлияло ни на
распространение псевдоволн, ни на плотность полос: процессы простран-
ственного переноса просто не участвуют в формировании этой структуры.
Эти «волны», на самом деле, представляют собой лишь псевдоволны, так
как переноса чего-либо не происходит.
Пусть z — пространственная координата, измеряемая вертикально от
дна цилиндра (для которого z = 0). Пусть длина цилиндра будет нормиро-
вана, и его вершине соответствует z = 1. Благодаря исходному концентра-
ционному градиенту существует градиент периодов. Пусть в положении z
периодом колебаний будет Т(г), и он будет определен для всех 0 С z С 1.
Охарактеризуем состояние осциллятора периодической функцией от его
фазы, обозначенной </>(z,£). Период этой функции равен 2тг. Например,
в реакции Белоусова фронт волны, представляющий собой точку, где ф об-
ладает определенным значением, можно отличить по четкой синей границе.
Обозначим исходное распределение фаз через фо(^). Тогда можно описать
фазу t) следующим образом:
</>(z, t) = t) + ^(z, 0) = 0, (12.1)
где -0(z, t) — функция, увеличивающаяся на 2тг, если время t возрастает в
течение периода Г(г). Таким образом, получаем
</>(z, t + T(z)) = 2тг + t) + </>0(z).
Теперь возьмем какую-нибудь точку отсчета фазы, скажем, ф = 0.
Пусть t*(z) — время в положении г, когда фаза равна нулю; таким обра-
зом, t*(z) удовлетворяет выражению:
0 = #,Г(г)) = i/>(z,t*(z)) + ф0&. (12.2)
Следовательно, согласно (12.1) и (12.2), для любого целого п и времени t =
= f*(z) + nT(z) выполняется равенство:
</>(z, t* + пТ) = t* + пТ) + фъ(г),
= 2птг + ^(г, t*) + 00 , (12.3)
= 2п7Г.
Таким образом, на плоскости (г, t) точка (z. t), соответствующая фазе 2птг,
движется по кривой, описывающейся выражением:
t = t*(z) + nT(z).
(12.4)
588
Глава 12
Можно продолжить анализ в самом общем виде, но будет проще и не
менее показательно выбрать более определенный период Т(г), скажем,
плавную монотонно возрастающую функцию от z для 0 z 1. Также
для простоты предположим, что начальное распределение фаз постоянно,
и примем его равным нулю, то есть </>o(z) = 0. Из определения (12.2)
для t*(z) следует, что t*(z) = 0.
Введем следующее определение:
tn(z) = пТ(г)
(12.5)
и получим
</>(z,tn(z)) = 2п7Г.
(12-6)
Это значит, что tn{z) — это время, когда фронт п проходит в цилиндре
точку z. Скорость t?n(z) этого волнового фронта п определяется скоростью
изменения положения фронта. Таким образом, с использованием последних
двух уравнений, получаем:
dz dtn(z} _ 1 fl 9 7"»
^п(^) — dt dz nT'(z) ’
ф=2птг
Если Т(г) — монотонно возрастающая функция от г, то Т'(г) > 0.
Следовательно, волновой фронт п, скажем, его ведущий край, возникает
в точке z — 0 в момент времени t = пТ(0) и движется вверх по цилиндру
со скоростью, составляющей 1/п от скорости первой волны. Волна п до-
стигает z — 1, то есть вершины цилиндра, в момент времени t = пТ(1).
Так как в качестве T(z) мы взяли монотонно возрастающую функцию от z,
со временем в 0 z 1 будет возникать все больше волн. А так как
их скорость, согласно (12.7), пропорционально уменьшается в 1/п раз, все
больше волн будут появляться в z = 0, а затем покидать z = 1 в один и тот
же промежуток времени.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть </>q(z) = 0 иТ(г) = 1 + z. Сле-
довательно, фаза 2п7г движется по плоскости (г, t) вдоль линий t = п(1+г),
и фаза 0(г, t) = 2Trt/T(z) = 2тг£/(1 + z). Согласно (12.7), скорость волны п
равна vn = 1/п. Пространственно-временная картина волновых фронтов,
определяемых выражением ф = 2птг, изображена на рисунке 12.1(a). Из
рисунка видно, что в момент времени t = 1 волна ф = 2тг входит в цилиндр
при z = 0 и движется вверх со скоростью v\ = 1. При t = 2 волна с фа-
зой 4% входит в цилиндр в z = 0: она движется со скоростью t>2 = 1/2.
При t = 3 волна с ф = бтг будет двигаться со скоростью уз = 1/3 и так
12.1. Кинематические волны
589
далее. Первой волне требуется время t = 1, чтобы пройти цилиндр, вто-
рой — t = 2 и так далее. Очевидно, что со временем в 0 z 1 появляется
все больше волн. Это легко видеть из рисунка 12.1(a) и экспериментальных
данных, показанных на рисунке 12.1(b): например, при t = 3.5 в цилиндре
находятся две волны, когда как при t = 7.5 их уже четыре. Из рисунка так-
же видно, что вблизи дна цилиндра, z = 0, с увеличением времени волны
располагаются все плотнее.
Рис. 12.1. (а) Волновые фронты для распределения по периоду T(z) = 1 + z и на-
чального распределения фаз </>o(z) = 0. Стоит отметить, сколько волн соответствует
разным временам t: при t = 1.5 в цилиндре находится одна волна, когда как при t =
= 7.5 их становится четыре. (Ь) Экспериментальная пространственно-временная
структура, эквивалентная теоретическим результатам, представленным на рисун-
ке (а). В эксперименте использовалась реакция Белоусова с начальным градиентом
концентрации серной кислоты в цилиндре. Общее время для рисунка составляет
примерно 7 минут, высота — порядка 20 см; рисунок представляет собой зарисовку
негатива (по Kopell and Howard 1973)
590
Глава 12
Предположим, что начальные фазы фо(г) 0; следовательно, t*(z) ф 0.
Тогда из (12.4) получаем, что T(z) = [t — £*(z)]/n. Таким образом, асимп-
тотически на больших временах t T(z) ~ t/n^ и приведенный выше анализ
для иллюстративного примера, в котором </>q(z) — 0, применим асимптоти-
чески по времени. Сомнительно, что экспериментальные условия, привед-
шие к ситуации, изображенной на рисунке 12.1(b), подразумевали строго
линейный период T(z), который мы использовали для анализа на рисун-
ке 12.1(a). Поэтому экспериментальные данные очень ярко иллюстрируют
именно асимптотический результат.
Приведенный анализ имеет определенное значение и для биологии.
Так как биологические осцилляторы и биологические часы — довольно рас-
пространенное явление, зависящие от времени пространственные структу-
ры могут быть результатом пространственного различия в параметрах ос-
циллятора, а не результатом, как можно было бы предположить, реакций
с диффузией или других подобных механизмов (эти механизмы формиро-
вания пространственных структур мы рассмотрим подробно в следующих
главах).
В этом разделе волновая структура постоянно меняется. В следующих
разделах мы изучим возможность существования генератора согласованных
волновых структур, имеющих важное биологическое значение.
12.2. Центральный генератор ритма: экспериментальные
сведения о движении рыб
Рыба движется в толще воды с помощью последовательных бегущих
волн, распространяющихся по ее телу от головы до хвоста. Скорость ры-
бы зависит от частоты бегущих волн. Расположенная вдоль позвоночника
рыбы последовательность нейронов контролирует движения мышц, кото-
рые, в свою очередь, генерируют волны и координируют их для достиже-
ния нужного эффекта. Среди неспециалистов распространено мнение, что
у млекопитающих генератор, или, скорее, нервный центр, контролирующий
ритм этих волн, расположен в головном мозге. Однако многие животные
способны плавать и после отделения головного мозга от спинного (техниче-
ский термин — пересечение спинного мозга). Например, в случае акул это
явление было известно с конца XIX века. Наблюдение за плавательными
движениями в таких экспериментах показало, что сохраняется правильная
межсегментарная координация мышц.
Основой ритмических процессов во время плавания и их межсегмен-
тарной координации является центральная сеть нейронов спинного моз-
га. Известно, что существуют нейронные сети, способные генерировать
12.2. Центральный генератор ритма
591
временные последовательности сигналов. Эти импульсы приводят к необ-
ходимому для движения циклическому характеру мышечной активности.
Такие нейронные сети называются центральными генераторами ритма
и по определению не требуют внешнего контроля для того, чтобы созда-
вать необходимый ритмичный выходной сигнал. Очевидно, что понимание
такого рода нервного контроля локомоции очень важно. Однако для того,
чтобы этого достичь, необходимы реальные модели и, по крайней мере, по-
дробная экспериментальная информация. В недавней книге о нервном кон-
троле ритмических движений (под редакцией Cohen et al. 1988) предмет
этого раздела подробно разбирается с точки зрения теории и моделирова-
ния. Особенно важны главы Kopell (1988) и Rand и др. (1988).
В случае высших позвоночных в движении, по-видимому, участвуют
миллионы нервных клеток. Таким образом, очевидно, что эксперименты
и связанное с ними моделирование должны начинаться с как можно мень-
шего по размеру спинного мозга, способного, однако, проявлять активность
после пересечения. Такая нервная активность, приводящая, в сущности,
к нормальному движению, называется «фиктивное плавание» или «фиктив-
ная локомоция». Это определение включает в себя ситуацию, когда после
удаления мышц, отвечающих за собственно движение, нервный сигнал от
спинного мозга не отличается от сигнала у нормальных плавающих рыб.
Существуют хорошие данные об экспериментах, проведенных на аку-
лах (Grillner 1974; Grillner and Kashin 1976; Grillner and Wallen 1982), и их
теоретическое обоснование (Kopell 1988). Также была проведена серия
интересных и показательных экспериментов над довольно примитивны-
ми позвоночными — миногами (Cohen and Wallen 1980, см. также Cohen
and Harris-Warrick 1984 и приведенные там ссылки). В этих эксперимен-
тах изучались определенные виды миног, длина которых варьировала от 13
до 30 см, а спинной мозг составляет примерно 0.3 мм по высоте и 1.5 мм
по толщине. Достоинством этого объекта (или недостатком, если посмот-
реть на это с точки зрения миноги) является то, что спинной мозг в данном
случае состоит из относительно небольшого числа клеток, но все равно
обладает необходимой, базовой для всех позвоночных, организацией и спо-
собен демонстрировать фиктивное плавание. В этих экспериментах (Cohen
and Wallen 1980; Cohen and Harris-Warrick 1984) использовались отрезки
спинного мозга длинной 25-50 сегментов; всего у миноги 100 сегментов.
Животных обезглавливали, спинной мозг отделяли, но большинство мышц
оставляли нетронутыми. За активностью мотонейронов следили при помо-
щи электродов, расположенных в вентральных корешках одного сегмента
по обе стороны от спинного мозга; на рисунке 12.2 схематически показано
положение спинного мозга во время эксперимента.
592
Глава 12
Рис. 12.2. (а) Схематическое изображение выделенного спинного мозга миноги
и постановки эксперимента. На рисунке (Ь) показано, как препарат был зафикси-
рован через оболочку мозга. На каждом сегменте есть вентральные корешки (ВК),
и их электрическая активность измерялась при помощи электродов. (Из Cohen and
Wallen 1980)
В этих экспериментах спинной мозг помещался в соляной раствор
и фиктивное плавание, то есть периодическая ритмическая активность,
вызывалась химически (при помощи L-ДОФА или аминокислоты D-
глутамата); движение могло продолжаться часами. Запись активности вен-
тральных корешков (ВК) при помощи электродов показала наличие между
правым и левым ВК одного сегмента следующих друг за другом импуль-
сов. То есть периодические импульсы на разных сторонах сегмента были
сдвинуты по фазе на 180°. На рисунке 12.3 показана активность правых
и левых ВК разных сегментов спинного мозга. Важно заметить (и мы ис-
пользуем это позже в модели), что правый и левый ВК сегмента представ-
ляют собой индивидуальные осцилляторы, синхронизированные по фазе со
сдвигом на 180°. Такое внутрисегментное сопряжение очень устойчиво.
Результаты, представленные на рисунке 12.3, были получены на изо-
лированном отрезке спинного мозга, состоявшем из 27 сегментов; измере-
ния проводились на сегментах 7 и 19 (отсчет начинался с головы). Период
импульсной активности составлял примерно 1 в секунду. Также важно за-
метить, что между двумя сегментами наблюдалась практически постоянная
временная задержка: разница между правыми ВК седьмого и девятнадцато-
го сегментов в первом приближении совпадала с разницей между левыми
ВК этих сегментов. В разделе 12.4 мы опишем такой тип поведения в од-
ном из специальных случаев представленной ниже модели. Отрезок спин-
ного мозга примерно в 10 сегментов способен генерировать стабильный
нервный сигнал для фиктивного плавания.
12.2. Центральный генератор ритма
593
Рис. 12.3. Импульсная активность левых (L) и правых (R) сторон вентральных ко-
решков сегментов 7 и 19 (отсчет идет с головы). Отрезок спинного мозга состоял
из 27 сегментов. (Из Cohen and Wallen 1980.) Время между импульсами составля-
ет примерно 1 секунду. Заметим примерно постоянную задержку по фазе между
сегментами 7 и 19
Периодическая активность изолированного спинного мозга миног, на-
прямую связанная с волнообразными движениями рыб, схематически пред-
ставлена на рисунке 12.4. Это явление контролируется центральным гене-
ратором, модель которого мы и хотим теперь создать. Для описания гене-
рации этих сигналов можно использовать различные модели (см., напри-
мер, Kopell 1988). В разделах 12.3 и 12.4 мы подробно опишем модель,
предложенную Коэном и его коллегами (Cohen et al. 1982); она довольно
успешно объяснила некоторые экспериментальные результаты, связанные
с селективным хирургическим повреждением спинного мозга (Cohen and
Harris-Warrick 1984).
Рис. 12.4. Типичная картина плавательных движений, иллюстрирующая распростра-
няющиеся волны. Эти волны создаются за счет сигналов вентральных корешков
типа изображенных на рисунке 12.3
594
Глава 12
12.3. Математическая модель центрального генератора
ритма
Эксперименты, результаты которых представлены на рисунке 12.3, по-
казали, что правые и левые вентральные корешки спинного мозга представ-
ляют собой синхронизированные по фазе осцилляторы, и вдоль туловища,
от головы до хвоста, наблюдается практически постоянная задержка по фа-
зе. Ключевыми допущениями модели являются следующие: (1) в каждом
сегменте спинного мозга находится связанная с ним пара нервных осцил-
ляторов, каждый из которых в изолированном состоянии демонстрирует
устойчивые автоколебания. Амплитуда колебаний зависит только от внут-
ренних параметров, и на нее не оказывают влияния такие внешние факто-
ры, как химические вещества или электрическая стимуляция. (2) Каждый
из осцилляторов связан со своим ближайшим соседом, но существует ве-
роятность сопряжения на больших расстояниях (есть подтверждающие это
экспериментальные данные, см. Buchanan and Cohen 1982).
В главе 7 на примере биологических осцилляторов мы показали, что во
многих биохимических системах реакций могут существовать устойчивые
автоколебания. Именно такого рода биологические генераторы колебаний,
или их сопряжение с некоторым электрическим свойством нейрона, мы ис-
пользуем в качестве движущей силы для каждого отдельного осциллятора,
связанного с сегментом спинного мозга. Для нашей модели нет необходи-
мости знать конкретные детали устройства этого генератора; на самом деле,
мы даже не знаем, что он собой представляет. В качестве вступления пе-
ред рассмотрением межсегментарного сопряжения рассмотрим отдельный
осциллятор, и на его примере представим математический подход, обозна-
чения и метод анализа.
Отдельный осциллятор и пара осцилляторов
Обозначим вектор значимых переменных предельного цикла следую-
щим образом:
x(t) = (ii(t),X2(t), • • • ,xn(t)). (12.8)
Мы не знаем количественных характеристик осциллятора, знаем лишь, что
колебания существуют и приводят к наблюдаемой экспериментально пе-
риодической нервной активности вентральных корешков. Например, век-
тор х(£) может включать в себя количество нейромедиатора и периодиче-
ски изменяющийся электрический потенциал. Запишем векторное диффе-
ренциальное уравнение для предельного цикла в виде:
dx ч z
— = f(x), (12.9)
at
12.3. Математическая модель центрального генератора ритма 595
где t — время. Так же, как нам не требуется знать, какой конкретно био-
логический осциллятор подразумевается, нам не нужна и подробная форма
функции f (х). Пусть предельный цикл на фазовой плоскости будет замкну-
той траекторией 7. Используя эту кривую в качестве локальной системы
координат, можем принять, что периодический предельный цикл имеет фа-
зу 0, меняющуюся от 0 до 2тг при полном прохождении замкнутой траек-
тории 7. Предположим, что в некоторой точке Р на этой замкнутой кривой
при фазе 0 = 0 посылается импульс, который экспериментально регистри-
руется электродами. Начиная с Р фаза возрастает от 0 до 2тг, и при возвра-
щении в Р вновь происходит генерация импульса. Для дальнейшего рас-
смотрения примем, что система координат для предельного цикла выбрана
так, что скорость движения решения вдоль 7, равная dO/dt, постоянна.
Предложенное выше представление предельного цикла в терминах фа-
зы можно проиллюстрировать следующим заведомо надуманным учебным
примером. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида:
= Х1(1 -р)-шх2, =ar2(l-p)-wari,
at at (JLz.lUj
P = (xl + x%y/2,
где cj — положительная константа. Несмотря на то, что эта система реша-
ется довольно тривиально, ее строгий анализ методом фазовой плоскости
(см. приложение А) показывает, что (0,0) является единственной особой
точкой и представляет собой неустойчивый фокус, закручивающийся про-
тив часовой стрелки. Можно найти замкнутую поверхность, удовлетворяю-
щую выражению (12.10) (нужно просто взять большое р). Таким образом,
согласно теореме Пуанкаре-Бендиксона существует периодическое реше-
ние с предельным циклом, представляющее собой замкнутую траекторию
на плоскости (#1, #2)- Теперь перейдем к полярным координатам р и в:
Xi — /9COS0, Х2 = psin0.
(12.11)
Система (12.10) примет следующий вид:
$ = р(1 - р)>
at
d0
— = CJ.
dt
(12.12)
Предельный цикл в этом случае соответствует кривой р = 1. Решение пока-
зано на рисунке 12.5. Предельный цикл асимптотически устойчив, так как
любое отклонение от р = 1 приведет к тому, что р просто вернется на р =
= 1, причем против часовой стрелки, так как dO/dt > 0. Если отклонение
596
Глава 12
от окружности направлено в сторону р < 1, то, согласно (12.12), р будет
возрастать, а если в направлении р < 1, р будет уменьшаться, но все равно
стремиться к р = 1. В этом случае окружность р = 1 эквивалентна тра-
ектории 7, и 0 представляет собой фазу, меняющуюся от 0 = 0 до 2тг при
Рис. 12.5. Решение системы дифференциальных уравнений (12.12) на фазовой
плоскости. Асимптотически устойчивому предельному циклу соответствуют окруж-
ность р = 1 и фаза 0 = ut
Вернемся к модельной системе (12.9). Пусть в будет одной из п пе-
ременных; для любого ее значения остатком целочисленного деления бу-
дет 2тг. Это означает, что для всех целых тп выполняется равенство 0 =
= 0 + 2ттг. Пусть оставшиеся п - 1 переменные, обозначим их через г,
будут возмущениями, перпендикулярными к траектории предельного цик-
ла 7. Мы так выбрали локальную систему координат, что в невозмущенном
состоянии траектория 7 соответствует кривой г = 0. (В примере, представ-
ленном на рисунке 12.5, это эквивалентно переходу от переменных (р, 0)
к переменным (г, 0), где г = 1 — р: траектория предельного цикла 7, теперь
выражается в виде р = 1, становится равной г = 0. Тогда г 0 представ-
ляет собой отклонение от предельного цикла 7.) На рисунке 12.6 показан
пример этой системы при п = 3.
После применения описанных выше замены координат и параметриза-
ции система (12.9) может быть представлена в следующем виде:
5 =fl(r,0),
at
(12.13)
12.3. Математическая модель центрального генератора ритма 597
Рис. 12.6. Пример фазового пространства для системы (12.9) при п = 3. Здесь г
включает в себя два компонента п и Г2, а фаза 0 является третьим компонентом
d0 , / лч
^- = W + Л(г, 0),
at
(12.14)
где fi(0,0) = 0 = /2(0,0), и период осциллятора Т = 2тг/са Благодаря
системе координат, которую мы выбрали для описания поведения предель-
ного цикла системы (12.9), функции fi и /2 являются периодическими по 0
с периодом 2тг. В отсутствие внешнего возмущения предельный цикл опи-
сывается очень просто:
г = 0, -—= и => 0(£) = 0(0) + ut.
at
(12.15)
В каждом сегменте располагаются два описанных выше сопряженных
осциллятора. Они связаны таким образом, что в отсутствие межсегментар-
ного влияния импульсы от правого и левого осцилляторов, обозначаемых,
соответственно, хд(£) и Х£,(£), колеблются с различием по фазе на 180°.
Каждый осциллятор описывается системой (12.9), то есть
XL), = fL(xL, Хд).
at dt
(12.16)
С каждым осциллятором связана фаза 0д или 0£ и вектор гд или г/,, пред-
ставляющий собой связанное с межсегментарным сопряжением отклонение
от колебаний в изолированном сегменте. Это означает, что в отсутствие со-
пряжения уравнения (12.6) были бы несвязанны, dOji/dt и ddb/dt были бы
равны tj, а гд и были бы равны нулю.
598
Глава 12
Согласно экспериментальным наблюдениям, описанным в разделе 12.2,
для пары осцилляторов одного сегмента сдвиг по фазе составляет 180°.
Следовательно, можно предположить, что
0l(t) = 0R(t)+ir. (12.17)
Позднее мы учтем также слабое межсегментарное сопряжение, так что это
выражение стоит рассматривать в качестве первого приближения. При та-
ком соотношении фаз выходные сигналы хд и также сдвинуты по фазе
на 180°. Это означает, что
xL(t)=xH(t + T/2), (12.18)
где Т — обычный период, определяющий соотношение между хд и х^.
Следовательно, два уравнения (12.16) могут быть сведены к единственно-
му уравнению для правого или левого осциллятора. Смысл в том, что с
таким предположением о межсегментарном сопряжении, в конце концов,
мы вернемся к упрощенной системе (12.13) и (12.14).
Рис. 12.7. Схематическое представление выходного сигнала x(t) отдельного осцил-
лятора. Когда уровень сигнала превышает пороговое значение, запускается генера-
ция импульса вентральным корешком
В случае отдельного осциллятора, по мере возрастания фазы в вы-
ходные уровни переменных х(£) периодически меняются; обычный их вид
представлен на рисунке 12.7. Предположим, что генерация импульсов начи-
нается, когда какой-либо выходной сигнал x(t) достигает порогового зна-
чения, и продолжается, пока x(t) не уменьшится. В качестве фазы, при
которой достигается пороговое значение x(t), можно принять в — 0: мы
можем принять за нуль фазы любую точку, какую пожелаем. Так как пе-
ременная x(t) периодически возрастает и уменьшается, в какой-то момент
12.3. Математическая модель центрального генератора ритма 599
она вновь пройдет через критическое пороговое значение, и генерация им-
пульсов прекратится. (В главе 13 этого тома и главе 1 тома II мы увидим,
что такое пороговое поведение встречается и в других волновых системах.)
Экспериментально генерация импульсов показана только для проме-
жутка времени, составляющего 0.4 периода, чему в нашей шкале соответ-
ствует 2тг х 0.4. Если мы обозначим фазу, при которой импульсы прекраща-
ются, через во, то в результате сигналы будут иметь вид, представленный
на рисунке 12.7 при в + 2ттг, 0 < в < во для всех т = 0,1,2,....
Последовательность сопряженных осцилляторов
Теперь нужно рассмотреть влияние сопряжения на осцилляторы каж-
дого сегмента. Таким образом, сейчас мы будем рассматривать группу ос-
цилляторов (в каждом сегменте их по два, но, как было показано выше,
для анализа требуется описание только одного). Для этого нам нужно N
уравнений, аналогичных (12.9); типичное уравнение такой системы имеет
следующий вид:
с/х,,
— = fj(xj)+ g.;(xi,...,xjv,c), j = (12.19)
at
где g описывает влияние сопряжения с другими N — 1 осцилляторами, ас-
вектор параметров сопряжения. Если с = 0, то осцилляторы не связаны, то
есть gj(xi,..., хдг, 0) = 0, и N осцилляторов просто колеблются в соответ-
ствии со своими индивидуальными предельными циклами 7^.
Обобщенная математическая задача (12.19) не поддается решению без
упрощающих допущений или конкретизации. Проблема определения пара-
метров взаимодействия сопряженных осцилляторов изучается уже много
лет. Достоверные количественные результаты для сопряженных осцилля-
торов пдлучить нелегко, поэтому большинство исследований проводились
для случая ограниченного количества осцилляторов, например, двух, или
для случая, когда сопряжение является слабым. Был использован широ-
кий спектр математических техник, среди которых одним из наиболее по-
лезных и эффективных был метод сингулярных возмущений. Мы обсуди-
ли некоторые свойства сопряженных осцилляторов в главе 9, разделах 9.5
и 9.10. В случае приведенной выше системы можно получить некоторые по-
лезные и соответствующие эксперименту результаты, если предположить,
что сопряжение слабо влияет на отдельные осцилляторы, то есть рассмот-
реть систему при |с| 1 и |g| |f|, а затем применить метод возму-
щений. Следствием или, скорее, допущением этого подхода является то,
что влияние сопряжения приведет лишь к слабому возмущению предель-
ных циклов j — 1,2,.. .,N, изолированных, осцилляторов (вспомним
600
Глава 12
раздел 9.5). Следовательно, можно использовать уравнение осциллятора
в форме (12.13) и (12.14), включающей фазу 0 и отклонения от пре-
дельного цикла но теперь в уравнение нужно добавить дополнительный
малый член, описывающий сопряжение. (На самом деле, на основе экспе-
риментальных данных позднее мы еще больше упростим модель, но сейчас
будет полезно некоторое время придерживаться этой линии рассуждений,
так как она является основой для строгого подтверждения допущений, ко-
торые мы сделаем позже.) Следовательно, набор из N уравнений, которые
мы должны исследовать, выглядит следующим образом:
dr
= Uj + ^2(Г1,...,глг,01,...,0п,с), j = 1,2,
(12.20)
Экспериментально было показано, что отдельные осцилляторы без со-
пряжения (что достигалось путем разрезания спинного мозга и, следова-
тельно, изоляции от соседей) имеют разные частоты щ и, следовательно,
разные периоды Tj = 2тг/о^. Важно помнить, что при сопряжении ос-
цилляторы все равно находятся в автоколебательном режиме, то есть де-
монстрируют поведение по типу предельного цикла. Таким образом, даже
связанные осцилляторы можно охарактеризовать с помощью фазы 93. Так
как фиктивное плавание является следствием сопряжения по фазе, то для
системы (12.19) нам нужно рассмотреть только модель фаз сопряжения.
Следовательно, вместо изучения возмущения системы (12.19) в окрестно-
сти г3 = 0 можно рассмотреть систему сопряженных по фазе осцилляторов
в следующем виде:
=a^+/b(01,...,0n,c), j = l,2,...,N, (12.21)
где hj включает в себя (слабое) влияние сопряжения всех остальных осцил-
ляторов. Уравнения (12.21) не затрагивают амплитуды колебаний. Пробле-
ма слабого сопряжения в системе осцилляторов широко изучается (напри-
мер, Neu 1979; 1980; Rand and Holmes 1980; Ermentrout 1981; Guckenheimer
and Holmes 1983). Введение возмущения системы (12.19) вблизи г7 =
= 0, в конце концов, приводит к сопряженной по фазе системе уравне-
ний (12.21) (см. главу 9). Следовательно, рассмотрение более простой мо-
дели (12.21) оправдано как с биологической точки зрения, так и с матема-
тической.
12.3. Математическая модель центрального генератора ритма 601
Так как мы предполагаем, что малые возмущения автоколебаний от-
дельных осцилляторов являются результатом сопряжения, разумно рас-
смотреть линейную модель сопряжения, где влияние J-ro осциллятора на г-
й просто пропорционально х^. В этом случае система связанных осцилля-
торов имеет вид (12.9) с линейными членами возмущения, а именно,
d*. N
— = fi(xi) + Аох,, (12.22)
J=1
где Aij — матрицы коэффициентов сопряжения.
Уравнения (12.22) включают как фазы, так и амплитуды. Выше
мы доказали, что нужно рассмотреть модель фазового сопряжения, так
что (12.22) представляет собой более сложную систему, чем необходимо.
В главе 9, разделе 9.9 (см. также Neu 1979; 1980 и Rand and Holmes 1980)
было показано, что в случае слабого сопряжения уравнения (12.22) приво-
дят к сопряженной для фаз системе дифференциальных уравнений следу-
ющего вида:
d6 N
=u>i + ^aijh(0j-0i), i = l,...,N, (12.23)
где h — периодическая функция своего аргумента. Можно эвристически
обосновать систему (12.23). Так как мы предположили, что нужно рассмат-
ривать фазовую модель, линейное сопряжение будет заключаться в добав-
лении члена сопряжения, представляющего собой функцию от разностей
фаз одного осциллятора и всех других осцилляторов системы. Периоди-
ческая природа функции h вытекает из того факта, что разумно предпо-
ложить периодическую разность фаз любых двух осцилляторов. К тому
же, существуют экспериментальные доказательства, подтверждающие эту
гипотезу (Buchanan and Cohen 1982): медленно изменяющиеся потенциа-
лы межсегментарных мотонейронов имеют псевдо-синусоидальную форму.
Таким образом, в качестве конкретной модели для изучения в (12.23) возь-
мем простую периодическую функцию Н(ф) — sin</>. Существуют также
другие, более общие, формы функции h (Kopell 1988).
Мы подробно проанализируем следующую модель фазового сопряже-
ния, состоящую из N уравнений для фазы:
de N
= o/j 4- Qjj sin(0j - Oi), i = 1,..., N. (12.24)
j=i
602
Глава 12
Параметры a^s описывают влияние J-ro осциллятора на г-й. Это влияние
может быть возбуждающим, то есть 9j стремится подтянуть Oi к своему
значению, если параметр положителен, или ингибиторным, если
отрицателен. В случае ингибирования 93 стремится увеличить разницу
между своим значением и 0i. Для конкретной функции sin ф, которую мы
выбрали в качестве h в системе (12.23), максимальное возбуждающее влия-
ние J-й осциллятор оказывает на г-й, если их фазы отличаются на гг/2; мак-
симальный ингибиторный эффект будет, когда они различаются на —ъ1с1.
На рисунке 12.8 схематически изображена модель и синусоидальное влия-
ние сопряжения.
Рис. 12.8. (а) Влияние J-ro осциллятора на г-й в случае синусоидальной формы
функции взаимодействия Аг(</>) в зависимости от разности фаз. (Ь) Схематическое
представление сопряжения г-го и J-ro осцилляторов согласно системе (12.24)
В нашей модели мы хотим при сопряжении сохранить периодический
характер осцилляторов. Конкретно, мы хотим, чтобы скорость dOi/dt всегда
была положительной и монотонно возрастающей функцией от времени t, то
есть чтобы движение по предельному циклу всегда происходило в одном
направлении. Другими словами, выходной сигнал должен сохранить регу-
лярный характер с подъемами и спадами, как на рисунке 12.8(a). Таким
образом, мы предполагаем, что величины и a^s таковы, что фаза
удовлетворяет этому условию. Теперь нужно проанализировать модельную
систему (12.24) и выяснить, можно ли сравнивать ее решения с экспери-
ментальными данными.
12.4. Анализ системы модели фазового сопряжения
Нужно решить, какого рода сопряжение необходимо включить в мо-
дельную систему (12.24). Здесь мы проанализируем простейший вид связи,
а именно, когда каждый осциллятор сопряжен только с ближайшими сосе-
12.4. Анализ системы модели фазового сопряжения
603
дями. В случае (12.24) получаем сопряженную систему из N уравнений:
=о?1 + а12 sin(02 - 01),
at
= w2 + 021 sin(0i - 02) + 023 sin(03 - 02)
at
dOj
— =u>j+ ajj-i sin(0j-i - 0j) + Ojj+i sin(0,+i - 0j)
(12.25)
—— =WN + 0.N N—l sin(0jy_i - 0w).
dt
В соответствии с видом правых частей введем следующие перемен-
ные:
Фз = Oj — = ujj — ujj—i (12.26)
и перепишем систему (12.25) в терминах разностей фаз ф и разностей ча-
стот Q путем попарного вычитания уравнений для в. В результате полу-
чим N — 1 уравнений:
с1ф\
—— - (ai2 + a2i)sin(/)i +a23sin</>2,
dt
= Q2 + <221 sin ф! - (a23 + Л32) sin ф2 + a34 sin </>3
« dt
= Qj + a7J_i sinфj-\- (12.27)
(^J,J+i “1“ ^j+i,j) sin ф^ + <Zj4_ij4_2 sin</)j+i
—--- =Qyv-l + (2^-1 Л-2 sin ^N-2 —
dt
— (CLN-1,N + CLN,N-1) 81пф^-<[.
604
Глава 12
Так как мы ищем регулярную периодическую структуру, которой мы могли
бы привести в соответствие фиктивное плавание, можно сделать несколько
допущений относительно коэффициентов сопряжения а^. (Также мы пы-
таемся найти наиболее простую модель, имитирующую эксперименталь-
ные данные.) Предположим, что все восходящие (то есть по индексу —
в нашем случае это направление от головы к хвосту) коэффициенты сопря-
жения = au, а все нисходящие коэффициенты а7,7-1 = ad- Тогда
в векторной форме система (12.27) выглядит следующим образом:
dd)
=Q + BS,
dt
(12.28)
с векторами:
/ sin
\ sin0yv-i
/ Qi
\ Oyv-l
(12.29)
В представляет собой матрицу (N — 1) х (N — 1):
В =
f (^d ^u) au
ad (<^d H- ^u)
(12.30)
ad fad Н- М /
Эту модель можно будет применить к фиктивному плаванию ми-
ног, если будут существовать синхронизированные по фазе решения систе-
мы (12.28). Это означает, что сопряжение должно быть таким, чтобы все
осцилляторы имели одинаковый период. Это аналогично тому, что разности
фаз осцилляторов ф3 постоянны для всех j = 1,2,..., N — 1. Это, в свою
очередь, означает, что d<pj/clt = 0, и, следовательно, нужно искать решения
системы (12.28) в состоянии равновесия:
0 = Q + BS => S = -B“1Q. (12.31)
Так как S включает в себя только sin j = 1,2,..., N — 1, решения суще-
ствуют тогда, когда все элементы B-1Q лежат в пределах от —1 до +1.
12.4. Анализ системы модели фазового сопряжения
605
Система двух осцилляторов
В этом случае у нас есть одно уравнение для разности фаз ф = — 02,
а именно,
dф
— = Q - (ad + аи) sin ф. (12.32)
at
Это уравнение имеет решения с синхронизированными фазами, где
Лф/dt, только тогда, когда выполняется условие:
|Q| \ad + а„|. (12.33)
Если мы обозначим решения через фз, то если
|fi| = \ad + а„| то </>5 = тг/2 или Зтг/2, . .
]П| < |a<f + а„| то |</>s| < тг/2 или тг/2 < |</>s| тг. '
Как обычно, мы можем определить устойчивость этих стационарных со-
стояний путем линеаризации системы в их окрестности (как в главе 1,
разделе 1.1). Если мы обозначим возмущения в окрестности фз через ф,
линейное уравнение устойчивости, согласно (12.32), примет следующий
вид:
+ au)cos<j>s]i/>.
dt
Первые два решения из (12.34) нейтрально устойчивы, потому что cos фз =
= 0. Из второго набора одно решение устойчиво, а второе неустойчи-
во. Следовательно, если связанная с разностью частот |Q| сила сопря-
жения \ad + au| уменьшается, отношение |Q| / \ad + au| увеличивается,
и устойчивое стационарное состояние, так же как и неустойчивое, стремит-
ся к нейтрально устойчивому по мере того, как \ad + аи\ —> |Q|. После того,
как \ad -I- аи\ достигает |Q|, решения перестают существовать. Таким обра-
зом, по мере того, как сила сопряжения \ad + au|, связанная с расстройкой
частоты |Q | = a?i — о?2, ослабевает, происходит бифуркация, и устойчивое
синхронизированное по фазе решение перестает существовать. Устойчивое
стационарное состояние, при котором такое решение существует, и являет-
ся интересующим нас решением с синхронизацией по фазе. В разделе 12.2
было сказано, что модель двух осцилляторов фактически описывает две па-
ры вентральных корешков. Следовательно, согласно пороговой генерации
сигнала, показанной на рисунке 12.7, и разности фаз для каждой пары ВК
выходной импульс имеет форму, изображенную на рисунке 12.9(a).
606
Глава 12
(b)
Рис. 12.9. (а) Выходной сигнал вентральных корешков в синхронизированной по фа-
зе модели двух осцилляторов. (Ь) Выходной сигнал вентральных корешков в син-
хронизированной по фазе модели трех осцилляторов. Отметим, что разность фаз
между 1 -м и 2-м корешками не обязательно равна разности фаз между 2-м и 3-м
Система трех осцилляторов
Согласно (12.31), эта система имеет следующие стационарные состо-
яния:
sin
sin ф2
1 । ^d "1“ CLu
а% + аааи + \ а<1
Ощ
O^d ”Ь CLU
(12.35)
Для того чтобы упростить алгебраические преобразования, возьмем следу-
ющие коэффициенты: ал = аи = а. В этом случае последнее уравнение
дает
sin</>i = (2Qi + Q2)/3a, sin ф2 = (Qi + 2Q2)/3a. (12.36)
Таким образом, решение с синхронизацией по фазе (</>i, </>2) существует
тогда и только тогда, когда выполняется условие:
max{|2Qi + Q2|/3a, |Qi + 2Q2|/3a} < 1. (12.37)
В случае трех осцилляторов разности фаз ф\ и ф2 в общем случае не рав-
ны. Типичный выходной сигнал ВК для этого случая представлен на ри-
сунке 12.9(b).
По мере увеличения количества осцилляторов алгебраические преоб-
разования быстро становятся слишком сложными. Но есть способ поста-
вить алгебраическую задачу так, чтобы ее можно было решить. То есть
можно получить такой набор условий, которые должны соблюдаться для
коэффициентов сопряжения и параметра расстройки Q, чтобы существова-
ло решение с синхронизацией по фазе.
12.4. Анализ системы модели фазового сопряжения
607
Система N осцилляторов с постоянной фазовой задержкой
Продолжать рассматривать модель для многих осцилляторов в общем
виде, как мы это делали в случае двух последних систем, возможно, будет
слишком трудоемко. Мы хотим показать, что такая система сопряженных
осцилляторов может дать устойчивую синхронизированную по фазе систе-
му, необходимую центральному генератору ритма для создания правильных
выходных сигналов ВК для фиктивного плавания. Поэтому здесь мы рас-
смотрим систему с постоянной задержкой по фазе между соседними сег-
ментами, то есть предположим, что разность фаз Ф3 — Oj—Oj+\ = 5, где 8 —
положительная константа. Такая ситуация имеет прямое отношение к экс-
периментальным данным, показанным на рисунке 12.3. Такого рода после-
довательность осцилляторов показательна для равномерно распространяю-
щихся волн. Несмотря на то, что в данном случае анализ можно провести
для любой периодической функции h в (12.23) (см. упражнение 2), будем
последовательны и продолжим использовать пример Н(ф) = sin</>. Если мы
зададим А = sin 8 > 0, то, согласно (12.31), с учетом (12.29) и (12.30),
система уравнений для стационарного состояния примет следующий вид:
Qi + [—(<2^ + аи) + (2и]Д — 0 => Qi =
Qj + lad ~ (ad + аи) + au] А = 0 => Qj = 0, j = 2, ...,7V- 2
TV—1 “h [(2d ((2d H- ®и)]Д — ^TV—1 (2n^V
(12.38)
Так как Qj = ajj — a>j+i, в терминах первоначальных частот получаем
♦ Uj = ai для всех j = 2, ...,7V — 1,
Ldl = (jJ + (2d Sin S > (12.39)
Ldyv = o; — au sin S < oj.
Это решение означает, что все осцилляторы, кроме первого, рострально-
го или головного, и последнего, каудального или хвостового, в изолиро-
ванном состоянии имеют естественную частоту колебаний. Головной ос-
циллятор настроен так, что обладает более высокой частотой, когда как
хвостовой — более низкой. Это означает, что коэффициенты сопряжения ad
и аи в (12.39) положительны, то есть сопряжение является возбуждаю-
щим. Результирующая волна, в итоге, распространяется от головы к хвосту.
Другим решением задачи постоянной фазовой задержки является решение,
при котором головной осциллятор имеет меньшую частоту, а хвостовой —
608
Глава 12
—— = В'ф cos 8,
dt
большую. Это означает, что волна распространяется от хвоста к голове,
и минога плывет задом наперед (и она на самом деле умеет это делать).
Наконец, нам нужно рассмотреть устойчивость решения с постоянной
фазовой задержкой. Делаем это как обычно, путем линеаризации в окрест-
ности cf)j =6:
(/)j=S + ^j, j = (12.40)
где || -01| 1. Подставим это выражение в зависящее от времени уравне-
ние (12.28) и после линеаризации получим
(12.41)
где матрица В задана в (12.30), зависит только от коэффициентов сопряже-
ния ad и аи и является тридиагональной размера (N — 1) х (TV — 1). Теперь
будем искать решения (12.41) в следующем виде:
V’(i) = eAt^o- (12.42)
Собственные значения можно найти при помощи следующего уравнения:
|Bcos5 —А1| =0, (12.43)
где I — единичная матрица размера (N — 1) х (TV — 1). Экспериментальные
наблюдения показали, что фазовая задержка между сегментами довольно
мала и 0 < cos 8 < 1. При таких условиях можно показать, например,
применив критерий Рауса-Гурвица к многочлену в А, что Re А < 0. Сле-
довательно, согласно (12.42), <ф(1) —> 0 при t —> оо. Это означает, что
приведенное выше синхронизированное по фазе решение для разности фаз
устойчиво к линейным возмущениям.
Очевидно, что существуют два решения уравнения для разности
фаз sin</>j = sin 8, что дает 2ЛГ-1 — 2 других синхронизированных по фазе
решений. Однако при помощи матрицы собственных значений можно пока-
зать, что все эти решения линейно неустойчивы, то есть в (12.42) существу-
ет, по крайней мере, одно собственное значение А с Re А > 0. Соответствен-
но, делаем вывод, что решение (12.39) является единственным, имеющим
смысл для случая постоянной фазовой задержки между осцилляторами со-
седних сегментов. Следовательно, это решение приводит к возникновению
устойчивой волны, распространяющейся вверх (или вниз) вдоль спинного
мозга.
Возможно, сейчас стоит отметать, что в случае миног даже изоли-
рованные часта спинного мозга могут «плавать» вперед и назад. Следо-
вательно, необходимо признать, что существует механизм, автоматически
12.4. Анализ системы модели фазового сопряжения
609
подгоняющий частоты первого и последнего сегментов. Другим недостат-
ком этой простой модели является то, что она не учитывает тот экспери-
ментальный факт, что фазовая задержка постоянна при изменении скорости
движения миноги. Это важный момент, так как фазовая задержка опреде-
ляет длину волны, а следовательно, и форму плывущей рыбы. Однако су-
ществуют другие возможные способы описания сопряжения осцилляторов
(см., например, Cohen et al. 1982).
Одной из целей разделов 12.2-12.4 было показать, как такая относи-
тельно простая модель может описывать генератор ритма и распростране-
ние волны, экспериментально наблюдаемое при фиктивном плавании. Важ-
но отметить, что различные простые механизмы межсегментарного сопря-
жения осцилляторов могут создавать устойчивые бегущие волны. Особен-
но удивительно то, что даже проанализированная нами простейшая модель
достаточно эффективно имитирует необходимую координацию сопряжения
фаз для движения как вперед, так и назад — только головной и хвостовой
осцилляторы нужно подгонять. Более подробное обсуждение сравнения мо-
дели с экспериментальными наблюдениями миног дано Коэном и его колле-
гами (Cohen et al. 1982). Несмотря на то, что еще не все проблемы решены,
результаты очень вдохновляют. Все сказанное выше не подразумевает, что
такой модельный механизм является центральным генератором ритма, но
допускает такую возможность.
Упражнения
1. Рассмотрите систему четырех осцилляторов с коэффициентами со-
пряжения аа = аи = а. Частота каждого осциллятора отличается от часто-
ты предшествующего ему осциллятора на малую величину е, то есть ojj =
= — s. Сначала найдите устойчивые стационарные состояния с син-
хронйзацией по фазе для = 9j — Oj-i, j = 1,2,3, из (12.29). Покажите,
что решения для ф^, j = 1,2,3, существуют только тогда, когда е а/2.
Обобщите этот результат для N осцилляторов и покажите, что в этом слу-
чае решения существуют только при е 8а/?/2.
2. Рассмотрите систему N осцилляторов, в которой сопряжены только
ближайшие соседи. Фазовая задержка равна 8. Начните с уравнения (12.23)
с функцией h(8) общего вида и найдите эквивалентное (12.38) выражение
для стационарного состояния разностей частот. Таким образом, определите
частоту первого и последнего осцилляторов в зависимости от h(8).
Глава 13
Биологические волны:
однокомпонентные модели
13.1. Предпосылки и распространяющиеся волны
В биологии часто встречаются явления, ключевым элементом или
предшественником развития которых является появление бегущей волны.
Это могут быть волны химических концентраций, механических дефор-
маций, электрических сигналов и так далее. При просмотре практически
любого фильма о развитии эмбриона трудно не заметить, как много вол-
нообразных процессов происходит после оплодотворения. Наверное, меха-
нические волны наиболее очевидны. Например, по поверхности яйцеклет-
ки позвоночных распространяются как химические, так и механические
волны. По поверхности икринки рыбы Medaka идут кальциевые (Са++)
волны. Они появляются, как только происходит взаимодействие со спер-
мой; мы кратко обсудим этот вопрос ниже, в разделе 13.6. Волны хими-
ческих концентраций, вроде тех, что наблюдаются в реакции Белоусова-
Жаботинского, являются визуально очень эффектным примером (см. гла-
ву 1, том II). Анализ распространения насекомых в разделе 11.3 главы 11
показал, что в этой области также имеет место волновые процессы, так же
как и в моделях взаимодействующих популяций, в которых важную роль
играют пространственные явления. В качестве другого примера, связанно-
го с взаимодействующими популяциями, можно привести волны эпидемий.
По такому механизму в Европе сейчас распространяется вызывающая опа-
сения эпизоотия (вспышка заболевания животных) бешенства; в главе 13
мы довольно подробно рассмотрим модель этого явления. Также в каче-
стве примера можно привести вызванное хемотаксисом движение микро-
организмов в сторону источника пищи. Слизевик Dictyostelium discoideum
широко изучается именно как яркий пример хемотаксиса; это явление мы
рассмотрим позже (см. фотографию волн в этом случае на рисунке 1.1 то-
ма II).
13.1. Предпосылки и распространяющиеся волны
611
Книга Уинфри (Winfree 2000) изобилует примерами волновых явле-
ний в биологии. Введение в математические модели в молекулярной и кле-
точной биологии под редакцией Сэгеля (Segel 1980) также рассматривает
некоторые аспекты волнового движения. Существует несколько полезных,
но менее ориентированных на практическое применение книг об уравне-
ниях реакций с диффузией (Fife 1979; Britton 1986; Grindrod 1996). Зиман
(Zeeman 1977) рассматривает волновые явления в эмбриональном развитии
и других областях биологии с точки зрения теории катастроф.
Стоит подчеркнуть широкое распространение волновых явлений в био-
медицинских науках, что делает необходимым подробное изучение бегу-
щих волн и связанных с ними моделирования и анализа. Эта глава и глава 1
тома II (на протяжении всего второго тома встречается множество приме-
ров) посвящены различным аспектам волнового поведения, основой кото-
рого является диффузия. Волны, которые мы будем здесь изучать, значи-
тельно отличаются от тех, которые мы рассматривали в главе 12. Количе-
ство математической литературы о них огромно, так что следует значитель-
но ограничить число тем и глубину обсуждения. Среди прочего, мы охва-
тим то, что сейчас считается базовой теорией в этой области, и опишем две
практические задачи. Одна из них связана с распространением и контролем
насекомых, вторая — с кальциевыми волнами в яйцах амфибий.
В развивающихся живых системах происходит практически непрерыв-
ный обмен информацией, как на межклеточном, так и на внутриклеточном
уровне. Такое взаимодействие требуется для последовательного развития
и формирования необходимых структур, например, в процессе эмбриогене-
за. Одним из способов передачи такого рода информации служат распро-
страняющиеся волны изменяющихся концентраций биохимических соеди-
нений. В развивающемся эмбрионе коэффициенты диффузии химических
веществ могут быть очень маленькими: часто встречаются значения поряд-
ка 10“9-10“11 см2с-1. Это означает, что, если диффузия является основ-
ным механизмом передачи информации, веществу для преодоления рассто-
яния порядка нескольких миллиметров требуется очень долгое время. Сей-
час проводится очень осторожная и сложная оценка коэффициентов диффу-
зии для модели распространения насекомых в случае взаимодействующих
популяций (см., например, Kareiva 1983 и Tilman and Karieva 1998): неуди-
вительно, что в этом случае значения больше и зависят от вида животных.
Согласно разделу 11.1 стандартное уравнение одномерной диффузии
имеет следующий вид:
ди ]jd2u
dt дх2'
(13.1)
612
Глава 13
где и — концентрация химического соединения. Следовательно, время пе-
редачи информации в виде изменившейся концентрации на расстоянии L
составляет величину порядка O(L2/D). Эту оценку времени можно полу-
чить из уравнения (13.1) либо используя размерные аргументы, либо путем
решения методом подобия, либо, что наиболее очевидно, из классического
решения, заданного выражением (11.10) в главе 11. Следовательно, если L
имеет порядок 1 мм, типичные времена с учетом приведенных выше диф-
фузионных коэффициентов составляют О(Ю7-Ю9), что слишком долго для
большинства процессов на ранней стадии эмбрионального развития. Таким
образом, сомнительно, что основной движущей силой передачи информа-
ции на значительные расстояния является простая диффузия. Возможно,
исключением является формирование рисунка крыльев бабочки, происхо-
дящее во время стадии куколки и занимающее несколько дней (см., напри-
мер, Murray 1981 и Nijhout 1991).
Мы покажем, что, в отличие от простой диффузии, кинетика реакций
и диффузия сопряжены, и что существуют бегущие волны концентраций.
Такой механизм вызывает биохимические изменения гораздо быстрее, чем
просто диффузионные процессы, описываемые уравнениями типа (13.1).
Такого рода сопряжение приводит к уравнениям реакций с диффузией, ко-
торые в простой одномерной скалярной форме выглядят следующим обра-
зом (ср. раздел 11.1, уравнение (11.6)):
(13.2)
Эи г/ ч д2и
— = f(u) + D—,
ot дх
где и — концентрация, /(и) описывает кинетику, a D — коэффициент диф-
фузии, принимаемый, в данном случае, постоянным.
Сначала мы должны решить, что мы понимаем под бегущей волной.
В главе 11 мы видели, что решения (11.21) и (11.24) описывают волну,
форма и скорость распространения фронта которой постоянно меняется.
Традиционно под бегущей волной понимают волну, движущуюся без изме-
нения формы, и именно такое определение мы будем использовать в даль-
нейшем. Следовательно, если решение и(х, f) представляет собой бегущую
волну, форма решения будет одинаковой для любого момента времени t.
а скорость распространения с этой формы будет постоянной. Если мы по-
смотрим на эту волну в системе координат, движущейся со скоростью с,
будет казаться, что волна не меняется. Математически это описывается сле-
дующим образом:
и(х, f) = и(х — ct) = u(z). z = х — ct.
(13.3)
13.1. Предпосылки и распространяющиеся волны
613
где и(х, t) — бегущая волна, движущаяся с постоянной скоростью с в по-
ложительном направлении оси х. Очевидно, что если х — ct равно кон-
станте, то и и равно константе. Это также означает, что и система коор-
динат движется со скоростью с. Волна, идущая в отрицательном направ-
лении оси х, имеет форму и(х + ct). Обычно, скорость волны с нужно
искать. Зависимую переменную z иногда называют автоволновой перемен-
ной. Если искать решения с бегущими волнами уравнения или системы
уравнений относительно х и t в форме (13.3), получается, что du/dt =
— —cdu/dz и ди/дх = du/dz. Следовательно, дифференциальные уравне-
ния в частных производных становятся обыкновенными дифференциальны-
ми уравнениями относительно z. Для того чтобы существовал физический
смысл, u{z) должно быть ограничено при всех г, неотрицательно и коли-
чественно соответствовать тем объектам, которые мы рассматриваем (будь
то химические вещества, популяции, бактерии или клетки).
Частью классической теории линейных параболических уравнений яв-
ляется утверждение о том, что для уравнений типа (13.1) не существует
решений с бегущими волнами, имеющих физический смысл. Предполо-
д^ и ди
жим, что мы ищем решения в форме (13.3); тогда (13.1) D—- + с— = О
dz dz
превращается в уравнение:
u(z) = A + Be~cz/D,
где А и В — постоянные интегрирования. Так как и должно быть ограни-
чено для всех г, В должно быть равно нулю, иначе экспонента становится
неограниченной при z —> оо. Функция и{А) = 0, то есть постоянна, и не яв-
ляется волновым решением. В противоположность этому, параболическое
уравнение (13.2) может иметь решения с бегущими волнами, зависящими
от формы члена реакции/взаимодействия f(u). Такое поведение решений
стало отправной точкой разработки математической теории реакций с диф-
фузией.
Наиболее реалистичные и интересные с точки зрения биологии моде-
ли включают в себя более чем одно пространственное измерение и больше
одной зависимой переменной (будь то концентрация или численность по-
пуляции). Однако существует несколько многокомпонентных систем, учи-
тывающих основные свойства реальных объектов моделирования, которые
можно упростить до одномерного однокомпонентного механизма. Так что
эта глава не просто учебный обзор некоторых математических техник и ба-
зовой теории. Мы обсудим две вполне практические задачи, одна из кото-
рых касается экологии, а другая — биологии развития. Обе эти модели при-
надлежат к областям, где моделирование всегда играло значительную роль.
614
ГЛАВА 13
13.2. Уравнение Фишера-Колмогорова и решения
с распространяющимися волнами
Классическим и самым простым примером нелинейного уравнения ре-
акции с диффузией (13.2) является следующее:
ди д2и
(13-4)
где к и D — положительные параметры. Это уравнение было предложено
Фишером (Fisher 1937) в качестве детерминистической версии стохастиче-
ской модели пространственного распространения полезного гена в попу-
ляции. Оно также является естественным расширением модели логисти-
ческого роста популяции, описанной в главе 11, когда популяция распро-
страняется при помощи линейной диффузии. Это уравнение, в том числе
с заменой Aru(l — и) на подходящий класс функций f(u), и его решения
с бегущими волнами хорошо изучены. Основополагающая и ныне клас-
сическая статья по этой теме была написана Колмогоровым (Kolmogoroff
et al. 1937). Полное описание уравнения и обширная библиография даны
в книгах Файфа (Fife 1979), Бриттона (Britton 1986) и Гриндрода (Grindrod
1996). Мы подробно обсудим это модельное уравнение в следующем разде-
ле не только потому, что оно само по себе имеет широкое применение, но
и потому, что оно является прототипом всех уравнений с решениями типа
бегущих волн. Также оно подходит для изучения множества стандартных
методов анализа однокомпонентных моделей с движением за счет диффу-
зии.
Несмотря на то, что (13.4) теперь называется уравнением Фишера-
Колмогорова, честь открытия, изучения и анализа бегущих волн в химиче-
ских реакциях принадлежит Лютеру (Luther 1906). Его статья не так давно
была заново открыта и переведена (Arnold et al. 1987). Лютер впервые пред-
ставил свою работу на конференции. После его доклада развернулась инте-
реснейшая дискуссия (она включена в перевод Arnold et al. 1987). В своей
статье Лютер утверждал, что скорость волны естественным образом воз-
никает в дифференциальных уравнениях. Удивительное открытие и анализ
химических волн Лютера в современном контексте рассмотрели Showalter
и Tyson (1987). Он получил скорость волны в терминах параметров, связан-
ных с изучавшимися им реакциями. Полученная им аналитическая форма
совпадает с найденным Колмогоровым (Kolmogoroff et al. 1937) и Фишером
(Fisher 1937) уравнением (13.4).
13.2. Уравнение Фишера-Колмогорова
615
Теперь рассмотрим уравнение (13.4). С самого начала удобно обезраз-
мерить систему, введя следующую замену переменных:
/fe\ 1/2
=- kt, х* ~ x\Jj) (13.5)
Тогда (13.4) приобретает следующий вид («звездочки» для удобства опус-
каем):
9и z . д2и .
— = и(1 - и) + —. (13.6)
ot дх
В пространственно однородном случае стационарными состояниями бу-
дут и — 0 и и = 1. Первое состояние неустойчиво, а второе устойчиво.
Таким образом, следует искать волновые решения уравнения (13.6), для
которых 0 С и С 1; отрицательные и в рассматриваемых нами моделях не
имеют физического смысла.
Если существует решение вида бегущей волны, его можно записать
в форме (13.3), скажем
u(x,t) = U(z), z = х — ct, (13-7)
где с — скорость волны. Здесь мы используем U(z), а не n(z), чтобы не
запутаться в обозначениях. Так как (13.6) инвариантно при х —> —х, ско-
рость с может быть как отрицательной, так и положительной. Для опреде-
ленности предположим, что с 0. Подставив эту бегущую волну в (13.6),
получим, что U(z) удовлетворяет уравнению:
U" + cU' + U(1 - U) = 0, (13.8)
где шфихи означают дифференцирование по z. Типичное решение с волно-
вым фронтом получается тогда, когда U на одном конце, скажем, при z
— оо, находится в одном стационарном состоянии, а при z —> оо — в дру-
гом. Следовательно, для нахождения значения или значений скорости с
нужно решить задачу о собственных числах. При этом неотрицательное
решение U уравнения (13.8) должно существовать и удовлетворять следу-
ющим условиям:
limt/(z)=0, lim C/(z) = l. (13.9)
z—>оо г—> — оо
На данном этапе мы не затрагиваем вопроса о том, как бегущая волна мо-
жет развиваться согласно уравнению в частных производных (13.6) при
заданных начальных условиях и(х, 0); к этой теме мы вернемся позднее.
616
Глава 13
Исследуем (13.8) для нахождения U на фазовой плоскости ((7, V), где
U' = V, V = -eV - (7(1 - U).
(13.10)
Соответственно, траектории на фазовой плоскости определяются как реше-
ния уравнения:
dV _ - eV - (7(1 - (7)
дй ~ V
(13.11)
Это уравнение имеет две особые точки для (С7, V), а именно, (0,0) и (1,0).
Конечно, эти точки являются стационарными состояниями. Анализ линей-
ной устойчивости (см. Приложение А) дает собственные значения для осо-
бых точек:
(0,0): А± = | [-с± (с2-4)1/2] =>
устойчивый узел при с2 > 4,
устойчивый фокус при с2 < 4,
(1,0): А± = | [-с ± (с2-F 4)1/2] => седло.
(13.12)
На рисунке 13.1(a) изображены фазовые траектории системы.
Рис. 13.1. (а) Фазовые траектории уравнения (13.8) для решения типа бегущей вол-
ны: здесь с2 > 4. (Ь) Решение уравнения Фишера-Колмогорова (13.6) с бегущим
волновым фронтом: скорость волны с > 2
(Ь)
Если с cmin = 2, то, согласно (13.12), начало координат является
устойчивым узлом, а случай с = cmin дает вырожденный узел. Если с2 < 4,
то (0,0) — устойчивый фокус, то есть в области приближения к началу
координат U колеблется. Согласно условиям непрерывности, или просто
в соответствии с изображенными на рисунке 13.1(a) траекториями на фазо-
вой плоскости, существует траектория, идущая от (1,0) к (0,0), полностью
13.2. Уравнение Фишера-Колмогорова
617
лежащая в квадранте 77 > 0, 77' < 0, и 0 < 77 < 1 при любых с cmin =
= 2. В терминах исходного размерного уравнения (13.4) скорость волны
удовлетворяет условию:
С cmin = 2(ЫЭ)1/2. (13.13)
На рисунке 13.1(b) показано типичное решение вида бегущей волны. Суще-
ствуют волновые решения для с < 2, но они не имеет физического смысла,
так как в этом случае начало координат представляет собой фокус, U «кру-
тится» вокруг него, и для некоторых zU < 0. Здесь на ведущем крае U —> 0,
и колебания уменьшаются в районе U = 0.
Главный вопрос на этом этапе заключается в том, какие начальные
условия гх(т, 0) исходного уравнения Фишера-Колмогорова (13.6) приведут
к решению вида бегущей волны и, если такое решение существует, какова
скорость волны с. Эта задача и ее обобщения широко изучаются аналити-
чески; смотри ссылки в книгах, упоминавшихся в разделе 13.1. Колмогоров
и др. (Kolmogoroff et al. 1937) доказали, что если и(х, 0) обладает компакт-
ным носителем, то есть
и(х, 0) = ио(х) О, и0(х) = | J 5 х J 2: (13.14)
где з?1 < Х2 и uq(x) непрерывна на х^ < х < х%, то решение и(х, t) урав-
нения (13.6) становится бегущим волновым фронтом U(z) с z = х — 2t. То
есть решение переходит в бегущую волну с минимальной скоростью cmin =
= 2. При отличных от (13.14) начальных условиях решение сильно зависит
от поведения и(х, 0) при х —> ±оо.
Зависимость скорости волны от начальных условий на бесконечности
легко Локазать на примере следующего простого анализа (Mollison 1977).
Сначала рассмотрим передний край формирующейся волны, где, так как и
мало, можно пренебречь и2 по сравнению с и. Линеаризация (13.6) дает
следующее уравнение:
ди
dt
д2и
дх2
(13.15)
Теперь рассмотрим
и(х, 0) ~ Ае~ах при т —> оо, (13.16)
где а > 0 и А > 0 выбраны произвольно. Будем искать волновые реше-
ния (13.15) в форме:
u(x,0) = Ae~a(x-Ct). (13.17)
618
Глава 13
Уравнение (13.17) мы рассматриваем как ведущий край волнового фрон-
та нелинейного уравнения. Подстановка последнего выражения в линейное
уравнение (13.15) дает дисперсионное уравнение, то есть соотношение меж-
ду а и с:
са = 1 + а2 => с = а + ~. (13.18)
а
Если теперь построить дисперсионное уравнение как зависимость с от а,
можно увидеть, что cmin = 2 при а = 1. Для всех других значений а(> 0)
скорость волны с > 2.
Теперь рассмотрим min[e-ax, е~х] для больших и положительных х
(так как нас интересует только область и2 и). Если
а < 1 => е~ах > е~х,
и, следовательно, скорость распространения при асимптотическом пове-
дении начальных условий типа (13.16) зависит от переднего края волны,
а волновая скорость с определяется выражением (13.18). С другой сторо-
ны, если а > 1, то экспонента е~ах ограничена сверху экспонентой е~х
и фронтом со скоростью с = 2. Таким образом, мы утверждаем, что если
начальные условия удовлетворяют (13.16), то асимптотической скоростью
решения типа бегущей волны уравнения (13.6) является
с = а-\—, 0 < а 1, с = 2, а 1. (13.19)
а
Эти утверждения доказывались не одним ученым и не один год (McKean
1975; Larson 1978; Manoranjan and Mitchell 1983).
Как было отмечено выше, уравнение Фишера-Колмогорова инвариант-
но при изменении знака х. Следовательно, существует решение с бегущей
волной формы и(х, t) = U(т+с£), с > 0, где теперь С7(—оо) = 0, U(оо) = 1.
Таким образом, если мы начнем с (13.6) при — оо < х < оо и начальных
условиях и(х, 0), которые равны нулю вне конечной области (вроде изобра-
женной на рисунке 13.2), решение u(x,t) станет двумя бегущими фронта-
ми, один из которых будет двигаться налево, а второй — направо, и оба со
скоростью с = 2. Отметим, что если и(х, 0) < 1, то член и(1 — и) приводит
к тому, что решение увеличивается до и = 1. Очевидно, что для любых х
и(х, t) —> 1 при t —> оо.
Осесимметричная форма уравнения Фишера-Колмогорова, а именно,
ди д2и 1 ди . .
«7 = ^т + -7Г+и1-и’ 13-20
dt dr2 г dr
13.3. Асимптотическое решение и устойчивость решений 619
Рис. 13.2. Схематическое представление развития волнового решения уравнения
Фишера-Колмогорова на бесконечной прямой
не имеет волновых решений, при которых волна распространялась бы
с постоянной скоростью. Из-за члена 1/г это уравнение не становится
обыкновенным дифференциальным уравнением относительно перемен-
ной z = г — ct. Интуитивно понятно, что будет происходить, так как пе-
ременная п(г, 0) качественно похожа на и, изображенную на первой части
рисунка 13.2. Решение и будет расти благодаря члену и(1 — и), потому
что и < 1. В то же время, диффузия приведет к волнообразной дисперсии
в направлении наружу. На «волне» производная ди/дг < 0, следователь-
но, она эффективно уменьшает величину правой части (13.20). Это экви-
валентно уменьшению диффузии путем конвекции или путем уменьшения
члена и(1 — и). В результате снизится скорость идущей наружу волны. Для
больших г членом (1/г)ди/дг можно пренебречь, следовательно, решение
будет асимптотически стремиться к такому же бегущему волновому фронту
со скоростью с = 2, как и в одномерном случае. Таким образом, можно счи-
тать, что у осесимметричных волнообразных решений есть «скорость вол-
ны» с(г), функция от г, которая монотонно возрастает для г вдали от г = 0,
а для больших гс(г) ~ 2.
Уравнение (13.4) стало базой для множества моделей пространствен-
ного распространения. Например, существует модель гено-культурных волн
совершенствования (Aoki 1987). Другим интересным примером прямого
применения уравнения может служить модель распространения раннего
фермерства в Европе (Ammerman and Cavalli-Sforza 1Ц1, 1983).
13.3. Асимптотическое решение и устойчивость решений
типа бегущих волн уравнения Фишера-Колмогорова
Решения с бегущим волновым фронтом U(z) уравнения (13.6) удовле-
творяют уравнению (13.8), а именно,
U" + cU' + 1/(1 - U) =0.
(13.21)
620
Глава 13
Также существуют монотонные решения, для которых //(—оо) = 1
и С7(оо) = 0 при любых скоростях с > 2. Фазовые траектории представля-
ют собой решения уравнения (13.11), то есть
dV _ - eV - 1/(1 - U)
dU ~ V
(13.22)
Для этих уравнений при произвольных с не было найдено аналитического
решения, но при конкретном с(> 2) точное решение существует, и мы по-
кажем это в разделе 13.4. Однако в этих уравнениях есть малый параметр,
а именно, 8 = 1/с2 0.25, и можно искать асимптотические решения
при 0 < е 1 (описания такого рода асимптотических методов смотри,
например, в книге Murray 1984, а для более глубокого изучения в книге
Kevorkian and Cole 1996). Эти решения для (13.21) были найдены Канозой
(Canosa 1973).
Так как волновые решения инвариантны для любого сдвига в нача-
ле системы координат (уравнение не изменится, если z —> z + константа),
пусть z — 0 будет точкой, в которой U = 1/2. Теперь применим стан-
дартный метод сингулярных возмущений. Задача заключается в том, чтобы
таким образом ввести изменение переменной в области фронта (которому
здесь соответствует z = 0), чтобы можно было найти решение в виде раз-
ложения в ряд Тейлора по малому параметру 8. Это можно сделать при
помощи следующего преобразования:
Щг) = $(£), £ = - = e1/2z.
С
(13.23)
Нужное преобразование во многих случаях ищется путем проб и ошибок
до тех пор, пока конечное уравнение не даст соответствующего возмущен-
ного решения, удовлетворяющего граничным условиям. Согласно (13.23),
(13.21) с учетом граничных условий для U приобретает следующий вид:
d2g dg . .
g(-oo) = 1, p(oo) = 0,
1
q < £ < = 0.25.
^min
(13.24)
В дальнейшем нам потребуется g(0) = 1/2.
13.3. Асимптотическое решение и устойчивость решений 621
Уравнение относительно д в этом виде похоже на стандартную сингу-
лярно возмущенную задачу, так как е является множителем при производ-
ной наивысшего порядка. Это означает, что, если е = 0, порядок уравне-
ния уменьшится, но могут возникнуть проблемы с граничными условиями.
В случае этого уравнения, и вообще часто в случае сингулярно возмущен-
ного анализа ударных волн и волновых фронтов, упрощенное уравнение
само по себе дает правильное приближение первого порядка однородно-
го решения. Причиной этого является нелинейный член д(1 — д), которой
обращается в нуль на обеих границах.
Теперь будем искать решения (13.24) в виде периодического возму-
щенного ряда по е, то есть пусть
5(e;E) = 5o(e)+^i(e) + ---. (13.25)
Граничные условия на ±оо и выбор U(0) = 1/2, что подразумева-
ет д(0; е) = 1/2 для всех е, дает, согласно (13.25), условия для <fr(£) для i =
= 0,1,2,...:
р0(-оо) = 1, д0(оо) = 0, 5о(О) = -
2 (13.2о)
(?г(±оо) = 0, </г(0)=0 для i = 1,2, ... .
После подстановки (13.25) в (13.24) и приравнивания степеней е, получаем
0(1): ^ = -д0(1-д0) => роф = _L_,
/ (13‘27)
О(£): ^ + (1-25о)51 = ^.
Точно так же делаем для более высоких порядков е. Константа интегри-
рования в уравнении для gQ была выбрана так, чтобы </о(О) = 1/2, так
как этого требуют условия (13.26). Используя первое выражение (13.27),
получаем следующее уравнение для д\:
dgi
d£
которое после интегрирования и применения условий (13.26) дает
91 = ~9о 1п[4|</л |] = -* In —
° L 1 OIJ (1W)2 (1 + ^)2
(13.28)
622
Глава 13
В терминах первоначальных переменных U и z из (13.23), применимое
всегда асимптотическое решение для любых z определяется выражения-
ми (13.25)-(13.28):
t/(z; е) = (1 + е2/с) + Д ег/с(1 + ez>c)~2 In
с
+ 0
С Cmin — 2.
4ez/c
(1 + е2/с)2
(13.29)
Это асимптотическое решение является наименее точным для с = 2. Однако
при сравнении этого решения с рассчитанным на компьютере волновым
фронтом для уравнения (13.6) при скорости с = 2 уже только первый член,
то есть член (1 + е2/с)-1 порядка 0(1), дает различия всего в несколько
процентов. Очень вдохновляет то, что асимптотические решения с «малым»
параметром даже такого порядка, который мы использовали здесь, часто
приводят к удивительно точным решениям.
Теперь используем асимптотическое решение (13.29) для исследова-
ния зависимости между крутизной наклона волнового фронта и скоростью
его распространения. Так как градиент волнового фронта повсюду отри-
цателен, мерой крутизны, скажем, з, волны является величина максимума
градиента U'(z\ то есть точка, в которой U" = 0. Это точка перегиба вол-
нового фронта, где, согласно (13.23) и (13.25), удовлетворяется следующее
равенство:
5о(£) W№) + O(^2) = o.
Это выражение, согласно (13.27) и (13.28), дает £ = 0, то есть z = 0.
Градиент в точке z = 0, с учетом (13.29), дает уравнение:
_[/'(0) = s = l + o(4
4с \ с°
(13.30)
которое, как мы помним, удовлетворяется только при с 2. Этот резуль-
тат показывает, что чем быстрее движется волна, то есть чем больше с,
тем меньше крутизна волнового фронта. Ширина волны заключена стро-
го между — оо и оо, применимый на практике показатель ширины, ска-
жем, L, представляет собой обратную крутизне величину. То есть, соглас-
но (13.30), L = 1/з = 4с. На рисунке 13.3 это проиллюстрировано.
Результаты, представленные в этом разделе, можно обобщить для од-
нокомпонентных популяционных моделей, в которых логистический рост
13.3. Асимптотическое решение и устойчивость решений 623
Рис. 13.3. Крутизна s(= |{7,(0)|) и применяемая на практике мера ширины £(= 1/s)
волновых решений уравнения Фишера-Колмогорова (13.6) для двух волновых ско-
ростей С2 и ci > С2 > 2. Волна движется тем быстрее, чем меньше ее крутизна
заменен на подходящую функцию f(u). Таким образом, (13.6) принимает
следующий вид:
ди /•/ ч / X
Ж = л») + ^, (1X31)
где f(u) имеет только два нуля функции, скажем, щ и uz > щ. Ес-
ли > 0 и f'(uz) < 0, то аналогичный приведенному выше анализ
показывает, что волновые решения развиваются во времени таким обра-
зом, что и монотонно движется от щ к Uz. Скорость волны в этом случае
удовлетворяет неравенству:
c^cmin = 2[//(u1)]1/2. (13.32)
Это ожидаемые результаты. Выражение (13.32) можно найти путем линеа-
ризации f(u) в окрестности переднего края волны, где и « щ, и сравнения
получившегося уравнения с (13.15).
Устойчивость решений типа бегущих волн
Устойчивость решений биологических моделей очень важна и часто
является одним из критериев правильности модельного механизма. Волно-
вые решения уравнения Фишера-Колмогорова являются хорошим учебным
примером исследования на устойчивость.
Выше мы видели, что скорость распространения волнового фронта
(см. (13.19) и (13.16), очень чувствительна к поведению начальных усло-
вий и(х, 0) при |гг| —> оо. Это означает, что волновые решения неустойчивы
к возмущениям вдали от начала координат. С другой стороны, если 0)
624
Глава 13
обладает компактным носителем, то есть удовлетворяет начальным усло-
виям типа (13.14) (Kolmogoroff et al. 1937), то конечная волна не зависит
от формы u(rr, 0). Если предварительно не проведен аккуратный числен-
ный анализ с известной заранее ожидаемой скоростью волны, развивающа-
яся волна будет иметь скорость с = 2. Случайные явления, появляющиеся
в результате применения численной схемы, ограничены конечной областью.
Любая практическая модель, очевидно, имеет дело только с конечной обла-
стью. Следовательно, важно рассмотреть устойчивость волновых решений
к возмущениям, равным нулю вне конечной области, включающей в себя
и волновой фронт. Следуя Канозе (Canosa 1973), мы покажем, что решения
устойчивы к таким возмущениям в конечной области движущейся системы
координат волны.
Пусть tz(rr, t) = где z = х — ct, то есть вместо х и t в каче-
стве независимых переменных возьмем z и t. Для u(z, t) уравнение (13.6)
принимает вид:
V>t — ?1(1 'll) 4“ CUZ “Ь 'Ujzz’> (13.33)
где индексы означают частные производные. Нас интересуют с cmin =
= 2. Обозначим решение с волновым фронтом Z7(z), а именно, решение
уравнения (13.21), через uc(z); оно удовлетворяет правой части (13.33),
приравненной к нулю. Рассмотрим малое отклонение от uc(z) следующего
вида:
u(z, t) = uc(z) + ujv(z, t), 0 < tu 1. (13.34)
Подставим это выражение в (13.33) и отбросим все члены си порядка выше
первого. В результате, получим уравнение для v(z, t):
vt = [1 - 2uc(z)]v + cvz + vzz. (13.35)
Решение uc(z) устойчиво к возмущениям v(zyt), если
duc(z)
lim v(z.t) = 0 или lim v(z.t) = —-—.
t-+oo ' 7 t-*oo dz
Тот факт, что uc(z) устойчиво, если выполняется второе из этих усло-
вий, объясняется тем, что v(zyt) в этом случае представляет собой неболь-
шое смещение волны вдоль оси х, так как
/ г ч /Хе dUc(z)
Uc{z 4- dz) « uc(z) 4- oz—-—.
13.3. Асимптотическое решение и устойчивость решений 625
Теперь будем искать решения линейного уравнения (13.35). Сначала зада-
дим переменную:
= g(z)e~Xt. (13.36)
Подставим это выражение в (13.35) и после сокращения экспоненциальных
функций получим следующее уравнение:
д" + сд' + [А + 1 - 2uc(z)]g = 0.
(13.37)
Отметим, что, если А = 0, g(z) = duc(z)/dz является решением этого
уравнения, которое, как было показано, подразумевает, что бегущая волна
инварианта при параллельном переносе по оси z.
Теперь учтем тот факт, что v(z,t) не равно нулю только в конечной
области. Согласно (13.36), это означает, что граничные условия g(±L) =
= 0 подходят для д в уравнении (13.37) при некоторых L. Введем h(z)
следующим образом:
t?(z) = h(z)e cz/2.
Теперь задача о собственных значениях, то есть об определении возмож-
ных А, принимает вид:
I с
h" + А — < 2?ic(z) Ч——— 1
h = 0, h(±L) = 0.
(13.38)
Для этого выражения выполняется неравенство:
2uc(z) + у - 1 2uc(z) > 0,
так как с 2 и uc(z) > 0 в конечной области — L < z < L. Согласно
стандартной теории (например, Titchmarsh 1964, глава 11), все собствен-
ные значения А для (13.38) действительны и положительны. Следователь-
но, согласно (13.36), v^z.t) стремится к нулю при t —> оо. Таким обра-
зом, решения типа бегущей волны uc(z) устойчивы ко всем малым воз-
мущениям в конечной области типа v(z,t) в (13.34). Более того, такие
возмущения не представляют собой общий случай, так как они являются
возмущениями в движущейся системе координат. Для более общей зада-
чи требуется гораздо более сложный анализ (Larson 1978). Тот факт, что
волны устойчивы к возмущениям в конечной области, делает понятным,
почему типичный эксперимент по численному моделированию уравнения
Фишера-Колмогорова приходит к устойчивому волновому фронту со ско-
ростью с = 2.
626
Глава 13
13.4. Зависящие от плотности модели реакция-диффузия
и некоторые точные решения
В разделе 11.3 главы 11 мы видели, что в некоторых моделях распро-
странения насекомых коэффициент диффузии D зависит от численности
популяции и. Там мы не учитывали динамику роста. Если мы хотим рас-
смотреть большую временную шкалу, необходимо включить члены, описы-
вающие популяционный рост. Для того чтобы учесть зависящую от плотно-
сти диффузию, в одномерном случае естественно рассмотреть следующее
уравнение:
ди д Г ди
+ D(u)— , (13.39)
dt дх [ дх
где обычно D(u) = Doum и Dq и т — положительные константы. Здесь
мы рассматриваем функции f(u)9 имеющие два нулевых состояния; одно
при и = 0, а второе при и = 1. Уравнения, в которых f = 0, изучались зна-
чительно более подробно, чем уравнения с ненулевой /; смотри, например,
главу 11. Для еще большей определенности рассмотрим f(u) = kup(l—uq),
где рп q — положительные константы. Обезразмерим t и х таким образом,
чтобы включить в них параметры Dq и к. В результате уравнения, которые
мы будем рассматривать в этом разделе, имеют следующий общий вид:
P(l_ua) + JLL-M (13.40)
ot ox L ох
где р, q и т — положительные параметры. Если записать диффузионный
член в развернутом виде, получится уравнение:
ди т (ди\2 д2и
— = ир(1 - uq) + тит (^-) +ит—.
dt \дх J дх2
Согласно этому уравнению, нелинейная диффузия как бы приводит к экви-
валентной конвекции со «скоростью» — тигп~1ди/дх.
Можно сказать, что вид членов в (13.40) довольно необычен. Но при
определенной свободе в выборе параметров р, q и т такие формы мо-
гут качественно имитировать более сложные случаи, решения для которых
можно получить лишь численно. Конечно, аналитические решения полез-
ны, потому что дают возможность посмотреть, как аналитически решения
зависят от параметров. Таким образом, мы можем сделать выводы о ка-
чественном поведении решений более сложных, но более реалистичных,
модельных уравнений. Однако здесь часто встречаются подводные камни,
один из них имеет большое значение, и мы отдельно отметим его ниже.
13.4. Зависящие от плотности модели реакция-диффузия 627
Для того чтобы связать точные решения, которые мы получим, с приве-
денными выше результатами для уравнения Фишера-Колмогорова, сперва
рассмотрим т = 0 и р = 1. Уравнение (13.40) принимает следующий вид:
= u(l-u9) + ^, q > 0. (13.41)
ot dxz
Так как и = 0 и и = 1 являются стационарными состояниями, будем искать
решения в виде бегущей волны в следующей форме:
u(x,t) = U(z), z — х — ct, Щ —oo) = 1, ?7(oo) = 0, (13.42)
где c > 0 — скорость волны, которую мы должны определить. Обыкно-
венное дифференциальное уравнение для u(z) записывается следующим
образом:
£([/) = и" + cU' + U(1 - Uq) = 0 (13.43)
и дает определение оператора L. Легко видеть, что это уравнение мож-
но исследовать на фазовой плоскости Согласно форме пер-
вого члена в асимптотическом волновом решении уравнения Фишера-
Колмогорова (13.29), попробуем искать решения (13.43) в форме:
U(z) = 777^’ (13‘44)
(1 -h ae°z)s
где а, b и s — положительные константы, которые нужно определить. Такой
вид решения автоматически удовлетворяет граничным условиям при z =
= ±оо в (13.42). Так как уравнение инвариантно при параллельном пере-
носе, на данном этапе можно сказать, что параметр а может быть выбран
произвольно: его можно включить в экспоненту как параллельный пере-
нос 6-1 In а по оси z. Однако, чтобы не запутаться в алгебраических преоб-
разованиях, полезно оставить его как есть. Другой причиной сохранить а
является тот факт, что, если возможно найти такие b и s, что (13.44) будет
точным решением (13.44), эти параметры могут зависеть от а.
Подстановка (13.44) в (13.43) после простых, но громоздких преобра-
зований даст следующее выражение:
L(U) =-,-----Т? { [*(* + !)&2 - sb(b + с) + 1] a2e2bz +
(l+ae^+2U J (13.45)
+ [2 - sb(b + с)]аеЬг + 1 - [1 + ае62]2-SQ} ,
628
Глава 13
где L(U) = 0 для любых z; коэффициенты е°, ebz и e2bz внутри фигурных
скобок должны тождественно равняться нулю. Это означает, что
2 — sq = 0, 1 или 2 => s = - или sq = 0.
Q Q
1 => s(s 4-1)62 = 0,
Очевидно, равенство sq = 0 не выполняется, так как s и q — положительные
константы. Рассмотрим другие возможности.
При s = \/q экспоненциальные коэффициенты из (13.45) дают
ebz'. 2 - sb(b 4- с)-1 = 0 => sb(b 4- с) = 1
e2bz: s(s 4-1)Ь2 — sb(b 4- с) 4-1 = 0
=>6 = 0,
так как s > 0. Этот случай также не подходит, так как обязательно b > 0.
Наконец, если s = 2/q, коэффициенты ebz и e2bz имеют следующий
вид:
ebz: sb(b 4- с) = 2; e2bz : s(s 4-1)62 — sb(b 4- с) 4- 1 => s(s 4- 1)62 = 1.
Соответственно, получаем Ьи с
2 t 1 2
s = b =--------------—, с = — — b.
q [s(s 4-1)]1/2 sb
Определяем b, s и единственную скорость волны с в зависимости от q
2 q <7 4- 4
S=-, b= ----------^777, C= ------- (13.46)
q [2(5 + 2)]1/2’ [2(9 + 2)]V2
Из этих выражений видно, что волновая скорость с возрастает при увеличе-
нии q(> 0). Меру крутизны S, определяемую величиной градиента в точке
изгиба, легко найти из (13.44). Точка изгиба Zi определяется выражени-
ем Zi = —6-1 ln(as), и, таким образом, градиент в Zi дает крутизну S:
дчЗ/2+2/q*
1+1)
13.4. Зависящие от плотности модели реакция-диффузия 629
Следовательно, при увеличении q скорость волны с увеличивается и крутиз-
на уменьшается; точно так же было в случае волновых решений уравнения
Фишера-Колмогорова.
При q = 1 уравнение (13.41) превращается в уравнение Фишера-Кол-
могорова (13.6), и, согласно (13.46),
1 5
<9 = 2, 6=——, с= ——.
х/6 х/6
И теперь из (13.44) мы находим точное решение типа бегущей волны. Про-
извольная константа а может быть выбрана таким образом, что z — 0 соот-
ветствует U = 1/2, и в этом случае а = \/2 — 1. Следовательно, решение
имеет вид:
L7(z) = -----------------2- (13.47)
11 + (v^- l)e2/v/g|
Волновая скорость этого решения с = 5/\/б, и, по сравнению с асимп-
готическим решением (13.29) порядка 0(1), волна в этом случае имеет
большую крутизну.
Этот пример, о чем мы упоминали выше, проливает свет на один из
серьезнейших недостатков такого рода точных решений: они часто не опи-
сывают все возможные решения, и иногда, как в этом случае, даже не дают
наиболее важные. Проблема не в том, что скорость волны не равна 2, на
самом деле с = 5/л/В « 2.04, но в том, что форма волны очень сильно от-
личается качественно. Для того чтобы правильно проанализировать общий
вид уравнений (13.43), необходимо провести аккуратный анализ методом
фазовой плоскости.
Другой класс точных решений (13.40) можно найти при т = 0, р =
= д + 1ид>0. Получаем следующее уравнение:
^=^+1(l-U’) + ^. (13.48)
dt dxz
Подставив U(z) из (13.44) в решение последнего уравнения и повторив
преобразования, которые мы делали ранее, находим, что решение с бегу-
щим волновым фронтом существует и обладает единственной скоростью:
С7(г) =-------’ s =Ь=----------------------——, с =------------ . (13.49)
(1 + ае^Г q (g + 1)1/2 (g + l)1/2
630
Глава 13
Более интересное и полезное точное решение было найдено для случая р =
= q = 1, т = 1. Здесь уравнение принимает вид:
ди . д ди
~at *1,(1 ~ + ai ["ai
(13.50)
Это нетривиальный пример зависящей от плотности диффузии с логисти-
ческим ростом популяции. Физический смысл заключается в том, что по-
пуляция при увеличении численности быстрее распространяется в области
с более низкой плотностью. Решение, вывод которого показан ниже, бы-
ло независимо найдено Аронсоном (Aronson 1980) и Ньюманом (Newman
1980; 1983).
Будем искать обычные решения уравнения (13.50) с бегущим волно-
вым фронтом при и(х, t) = U(г), z = х — ct. Таким образом, нас интересует
уравнение:
(ииу + cUf + U(1 - и) = 0.
Фазовая плоскость для этого уравнения описывается выражениями:
U' = V, UV' = -eV -V2 — U(l — U). (13.51)
Нас интересуют такие волновые решения, при которых £7(—оо) = 1
и 17(оо) = 0: мы предполагаем, что U' < 0. Для второго уравнения в
точке U = 0 есть сингулярность. Для того чтобы от нее избавиться, введем
новую переменную £:
UT = ^ W=UV' ^ = -cV-V2-U(l-U). (13.52)
dz dQ dQ dQ
Теперь сингулярности нет. Критическими точками на плоскости (17, V) яв-
ляются
(С/, V) = (0,0), (1,0), (0, —с).
Линейный анализ в окрестности (1,0) и (0, —с) показывает, что эти точ-
ки являются «седлами», когда как (0,0) подобна устойчивому нелинейно-
му узлу — нелинейному из-за члена UV в уравнении для U в (13.52). На
рисунке 13.4 показаны фазовые траектории для (13.52) при различных с.
Согласно разделу 11.2, можно ожидать появление волны с разрывным тан-
генсом в особой точке zc, в которой U = 0 при z zc. Это соответствует
фазовой траектории, идущей из точки (1,0) в точку на оси U = 0 с неким
конечным ненулевым V. Обратимся к рисунку 13.4(a): если 0 < с < cmin,
13.4. Зависящие от плотности модели реакция-диффузия 631
не существует траектории, идущей из (1,0) на U = 0, кроме как для не
имеющего смысла бесконечного V. При увеличении с появляется бифур-
кационное значение cmin, для которого существует уникальная траектория,
идущая от (1,0) в (0, — cmin) (она показана на рисунке 13.4(b)). Это означа-
ет, что для волнового фронта zc при U = 0 существует разрыв непрерыв-
ности производной V — Uf = —cmin, что приводит К [Г = 0 и 17 = 0 для
всех z > zc; смотри рисунок 13.4(d). При с меньше cmin траектория от (1,0)
до (0,0) существует всегда, но для волнового решения характерно U —> 0
и £7' —> 0 при z —> ос; такой тип волны также изображен на рисунке 13.4(d).
Рис. 13.4. Качественное представление фазовых траекторий для волнового уравне-
ния (13.52) при различных с (вслед за Aronson 1980). На рисунке (а) не существует
траектории, идущей из (1,0) к U = 0 при конечных V. На рисунках (Ъ) и (с) бе-
гущие волны из[7=1в[7 = 0 возможны, но обладают разными свойствами:
решения с бегущими волнами на (d) показывают эти различия. Важно отметить,
что решение, относящееся к (Ъ), имеет на переднем крае разрыв производной
Согласно точному решению, изображенная на рисунке 13.4(b) траекто-
рия, соединяющая точки (1,0) и (0, —с), при подходящем cmin представляет
собой прямую линию V = —cmin(l — U). Другими словами, это решение
уравнения фазовой плоскости, которое, согласно (13.51), имеет вид:
dV _ — eV — V2 — U(1 — U)
dU ~ UV ’
Подстановка в это уравнение V = — cmin(l — U) при с = cmin показывает,
что cmin = 1/\/2. Если мы теперь вернемся к первому фазовому урав-
нению в (13.51), а именно, U' = V, и применим решение для фазовой
632
Глава 13
траектории V = — (1 — U)/V%9 то получим
U'= -
1-U
х/2
Это выражение с учетом того, что С7(—оо) = 1, дает
U(z) = 1 — ехр
Z- zc
z < zc,
(13.53)
2
= 0,
где zc — фронт волны, его можно выбрать произвольно так же, как пара-
метр а в решениях (13.44). Это решение изображено на рисунке 13.4(d).
Этот анализ, показывающий существование бегущих волн, может быть
применен и к более общим случаям, в которых диффузионный коэффици-
ент равен ит при т 1, или даже для еще более общего случая D(u)
в (13.40), если он удовлетворяет определенным критериям.
Возможно, сейчас стоит кратко описать результаты, которые мы по-
лучили для уравнения Фишера-Колмогорова и его обобщений для функ-
ций f(u)9 нормированных таким образом, что /(0) = 0 = /(1), > 0
и /'(1) < 0. Мы показали, что в безразмерной системе существует бегу-
щий волновой фронт при 0 < и < 1, который может появиться при со-
ответствующих начальных условиях из (13.31). Важно отметить, что эти
решения имеют скорости с cmin = 2[/'(0)]1/2; при этом в компьютер-
ном эксперименте скорость обычно равна cmin. Для уравнения Фишера-
Колмогорова (13.4) такая размерная скорость волны, скажем, с*, в безраз-
мерном виде представленная (13.5), будет с* = 2[k/D]1^2; здесь к — мера
скорости линейного роста. Если мы рассмотрим обычные биологические
значения D = 10“9-10“11 см2с-1 и к порядка 0(1 с-1), скорость распро-
странения волны составит величину порядка 0(2 х 10-4,5-10-5 5 см с-1).
В соответствии с этим, время, которое требуется на преодоление расстоя-
ния порядка 1 мм, будет 0(5 х 10-2,5-10-3 5 с), что гораздо быстрее, чем
чисто диффузионное время О(Ю7-Ю9 с). Комбинация реакции и диффузии
значительно повышает эффективность передачи информации при помощи
бегущих волн изменения концентраций. Взаимодействие реакций с диф-
фузией меняет наши представления о роли диффузии во многих важных
биологических процессах.
Прежде чем заключить этот раздел, вернемся к вопросу, который мы
упоминали ранее в связи с тем, что нелинейная диффузия может рассматри-
13.4. Зависящие от плотности модели реакция-диффузия 633
ваться как аналог влияния нелинейной конвекции: это показывает уравне-
ние, следующее за (13.40). Если конвекция возникает в качестве естествен-
ного последствия закона сохранения, то получаем уравнения следующего
вида:
ди dh(u) . д2и . .
я? + + л“2 ’ (13-54)
ot ох дх
где h(u) — заданная функция от и. Здесь левая часть находится в стан-
дартной, соответствующей закону сохранения, форме: то есть в форме ди-
вергенции, а именно, (d/dt,d/dx). (u,h(u)), «скорость» конвекции, рав-
на h'(u). Такие уравнения используются в различных областях, например,
при описании процессов в ионообменных колонках и во время хромато-
графии (см. Goldstein and Murray 1959). Другие примеры практического
применения и аналитические методы решения этих уравнений изучались
Мюрреем (Murray 1968; 1970а; 1970b; 1973). О дифференциальных урав-
нениях в частных производных Кеворкяном была написана великолепная
и очень полезная книга (Kevorkian 2000).
Нелинейная конвекция может очень значительно влиять на уравнения
реакций с диффузией. Этого стоило ожидать, так как в этом случае мы по-
лучаем еще один механизм транспорта, а именно, конвекцию, нелинейно
зависящую от и. В некоторых случаях этот процесс может привести к уси-
лению диффузии. Если диффузионным механизмом можно пренебречь по
сравнению с конвекцией, могут возникать решения с ударными волнами
(см. Murray 1968; 1970а; 1970b; 1973).
Несмотря на то, что в этом случае анализ сложнее, чем для уравнения
Фишера-Колмогорова, можно определить условия существования решений
с волновым фронтом. Например, рассмотрим простой, но не тривиальный,
случай, когда h'(u) = ки, где к — положительная или отрицательная кон-
станта, a f(u) — логистическая функция. Уравнение (13.54) принимает сле-
дующий вид:
ди ди . .д2и
— + ku—= и(1 - и)—. (13.55)
dt дх дх2
При к = 0 оно упрощается до уравнения (13.6), чьи волновые решения мы
только что подробно обсудили.
Предположим, что к 0, и будем искать решения с бегущими волнами
уравнения (13.55) типа (13.7), а именно,
и(х, t) = U(z), z — х — ct, (13.56)
634
Глава 13
где, как обычно, нужно определить скорость волны с. Подставим (13.56)
в (13.55) и получим
U" + (с - kU)U' + U(1 - U) = 0. (13.57)
Начальные условия для этого уравнения определяются выражениями (13.9),
а именно,
lim J7(z) - 0, lim U(z) = 1. (13.58)
z—>оо z—> — оо
Уравнения (13.57) и (13.58) определяют задачу о собственных значениях
волновой скорости с(к).
Согласно (13.57), при V = U' фазовые траектории будут решением
уравнения:
dV = Utl-U) (1359)
Для последнего уравнения особыми точками будут (0,0) и (1,0). Нам нуж-
ны такие условия для с(/с), чтобы существовало монотонное решение, для
которого 0 U 1 и Uf(z) 0. Таким образом, мы требуем, что-
бы фазовая траектория, соединяющая особые точки, лежала в квадран-
те U 0, V 0. Стандартный линейный анализ методом фазовой плос-
кости в окрестности особых точек показывает, что с 2. Это гарантирует,
что (0,0) — устойчивый узел, а (1,0) — седловая точка. Особое уравне-
ние (13.55) и бегущая волна (13.59) были аналитически и численно иссле-
дованы автором и Р. Дж. Гиббсом (см. Murray 1977). Можно показать (смот-
ри ниже), что решение с бегущей волной существует для всех с с(к), где
с(к) = <
2;
к 2
2 + к'
если
2 > к > —оо;
2 < к < оо.
(13.60)
Легко видеть, что здесь с = 2 является нижней границей только для огра-
ниченной области значений к, более аккуратная граница дана в последнем
уравнении. Мы покажем основные стадии анализа ниже.
Выражение с = с(к) в последнем уравнении дает волновую скорость
в зависимости от ключевого параметра модели к. Это еще один при-
мер дисперсионного соотношения, в данном случае связанный с волновы-
ми явлениями. Общая концепция дисперсионных уравнений очень важна
и приносит большую практическую пользу. Мы еще не раз столкнемся
13.4. Зависящие от плотности модели реакция-диффузия 635
с дисперсионными уравнениями в томе II, особенно в главах 2-6, 8
и 12.
Краткий вывод дисперсионного уравнения для скорости волны
Линеаризация (13.59) в окрестности (0,0) приводит к уравнению:
dV _ - eV - U
dU ~ V ’
собственные значения которого определяются выражением:
— с± (с2 — 4)1/2
(13.61)
Так как необходимо, чтобы U 0, собственные значения должны быть
действительными. Следовательно, необходимо выполнение условия с 2.
Таким образом, 0 > е+ > е_, и точка (0,0) представляет собой устойчивый
узел. При больших z
V
U )
/ . \ ( е \
а [ 1 I exp[e+z] 4- b [ ~ I exp[e_z] 4- 6,
где а и b — константы. Это подразумевает, что
dV
dU
е_
при z —> оо для
( а 0;
[ а = 0.
(13.62)
Точным решением (13.59) является
k к 2
V — —U(1 — UY если с = —I- -
2 v ' 2 fc
(13.63)
Согласно этому выражению для с,
если
Г 2> fc;
[ к < 2.
636
Глава 13
Следовательно, согласно (13.61),
Но, в соответствии с (13.63),
dV
dU
Таким образом, согласно (13.62), при к 2 мы видим, что V(U) удовле-
творяет выражению dV/dU е_ при z —> оо. Это дает второе уравнение
в (13.60), а именно, волновую скорость
к 2
2 + к
для к ^2.
(13.64)
Теперь рассмотрим к < 2 и z - оо. Линеаризация в окрестнос-
ти (1,0) дает следующие собственные значения Е±:
-(с-к)±{(с-к)2+4}1/2
(13.65)
Следовательно, Е+ > 0 > Е_ и (1,0) является «седлом». При z —>
—> —оо, U —> 1 — O(exp[£+z]). Из этого видно, что
-— Е+(с,к) при z —> — оо.
dU
Согласно (13.65), при с 2
= [(<=-Ч2 + 4]-/2В+>0.
ак
(13.66)
и, следовательно, когда U достаточно близко к U = 1, dU/dV возрастает
при увеличении к. Таким образом, при U близком к U = 1 фазовая траек-
тория V(U, с, fc) удовлетворяет выражению:
V(U,c = 2,k) < V(U,c = 2,k = 2) при к < 2. (13.67)
13.4. Зависящие от плотности модели реакция-диффузия 637
Теперь предположим, что существует такое число d, 0 < d < 1, что
V(d, с = 2, к = 2) = V(d, с = 2, fc),
V(U,c = 2,к = 2) < V(U,c = 2,к) при d < U < 1.
Это значит, что
dV(d, с = 2, fc = 2) dV(d, с = 2, к)
dU dU
(13.68)
Но, согласно (13.59),
dV(d,c = 2,fc) d(l ~ d)
dU + V(d,c = 2,fc)’
И, с учетом (13.68), получаем
d(l - d) , , d(l - d)
—2 + 2d------------------- —2 + kd------------------—.
V(d,c = 2,k = 2) V(d,c = 2,k)
Это неравенство и первое выражение (13.67), в свою очередь, означает, что
2d kd => 2 < к.
Но это противоречит тому, что к < 2, следовательно, предположе-
ние (13.67) несправедливо. Таким образом, волновая скорость с 2 для
всех к < 2. Это утверждение вместе с (13.64) является результатом приве-
денных в формулах (13.60).
Здесь мы привели только основы; для строгого доказательства данного
результата необходимо подробнее исследовать траектории и показать от-
сутствие противоречий — например, что траектории не пересекают ось U
при U е (0,1). Это все можно проделать. Результат (13.60) связан с ана-
лизом в разделе 13.2, где мы показали, что скорость волны может зависеть
либо от фронта, либо от хвоста волны.
При к ф 0 можно представить (13.55) в другой форме, проливающей
свет на вклад нелинейной конвекции (в противоположность диффузион-
ному вкладу) в волновые решения. Предположим, что к > 0, и введем
следующие переменные:
Е = ^' (13.69)
Ut + UUy = и(1 — и) + EUyy.
638
Глава 13
Для к < 0 зададим
1 Я 1/9
£ = ~2 > У = т = £ 1 х (* < О)
к2 к
(13.70)
щ + ииу = u(l — и) + £Uyy.
Мы теперь рассматриваем решения с бегущими волнами как е —> 0.
Если u(x,t) — решение (13.55), то u(ky,t) — решение (13.69). Сле-
довательно, когда U(x — ct) является решением (13.59), удовлетворяющим
условиям U(—оо) = 1, С7(оо) = 0, решением (13.69) является U(ky — ct),
и волновая скорость А = с/к = се1/2. Таким образом, с учетом оценок
скорости волны из (13.60), уравнение (13.69) имеет решения типа бегущих
волн для всех
А А(е) = = с(£-1/2>1/21
к
и, следовательно,
А(г) = <
2с1/2;
если
Теперь в (13.69) устремим е —> 0 и получим
щ + UUy = ?1(1 — и).
Решения этого уравнения могут быть лишены непрерывности (это «сла-
бые» решения, для которых свойственно появление ударных волн; подроб-
ное описание см. в Murray 1970а). При малых е крутизна решения увели-
чивается до тех пор, пока не возникает ударная волна. С другой стороны,
в (13.70) при тех же граничных условиях решения с разрывами не возника-
ют (см. Murray 1970а). На рисунке 13.5 показаны численные решения с бе-
гущими волнами уравнения (13.69) при заданной скорости волны и двух
разных значений е; отметим, что на рисунке 13.5(b) решение имеет раз-
рыв. На рисунке 13.6 показаны волновые решения (13.70) при малых е;
отметим, что здесь крутизна волны увеличивается, но разрыва, как на ри-
сунке 13.5(b), не происходит.
Для того чтобы подвести итог этого раздела, необходимо отметить ре-
зультаты Сатсумы (Satsuma 1987), касающиеся точного решения скаляр-
ного уравнения реакции с диффузией с зависимостью от плотности. Сат-
сума разработал новаторский метод, который потенциально может иметь
13.4. Зависящие от плотности модели реакция-диффузия 639
и
1
Рис. 13.5. Бегущие волны, посчитанные для (13.69). Каждая имеет скорость вол-
ны А = 0.74, но разные (а) е = 0, (Ь) е = 0.12. Начало координат находится
при и = 0.5
Рис. 13.6. Бегущие волны, посчитанные для (13.70) с минимальной скоростью с =
= fc/2 + 2/fc, е2 = 1/к2, при различных значениях е\ (а) е = 10“4, волновая
скорость с « 2.2; (Ь) г = 10“\ скорость волны с « 50. Начало координат находится
при и = 1 — 10-6
широкое применение. Также существует напрямую относящая к содержа-
нию этого раздела работа, посвященная монотонным волновым решениям
такого рода уравнений (Hosono 1986).
640
Глава 13
Смысл представленного здесь обсуждения нелинейной конвекции
в уравнениях реакций с диффузией состоит в том, чтобы показать, насколь-
ко разнообразными могут быть решения таких уравнений.
13.5. Волны в кинетических моделях со множественными
стационарными состояниями: распространение
и контроль популяции насекомых
Кинетики типа функции роста в ферментативной реакционной системе
(глава 6) или функция роста-взаимодействия популяций f(u), которую мы
представили в главе 1, часто имеют более одного стационарного состояния.
То есть f(u) в (13.31) может иметь три или более нулей. Волновые явле-
ния, связанные с такими /(и), значительно отличаются от рассмотренных
в предыдущем разделе. Практическим примером является функция роста
почкоеда; пространственно однородный случай был подробно рассмотрен
в главе 1, разделе 1.2. Специфическая безразмерная f(u) в той модели име-
ла следующий вид:
( и\ и2
f(u) = ru 1-- (13.71)
\ q 1 + гг
где г и q — безразмерные параметры, связанные с измеряемыми практиче-
ски характеристиками (смотри уравнение (1.17)). Для положительных зна-
чений параметров г и q f(u) имеет вид, представленный на рисунке 1.5;
этот вид для удобства повторен на рисунке 13.7(a). Вспомним зависимость
числа и значений стационарных состояний от г и q: опять же для удобства
типичная кривая приведена на рисунке 13.7(b). В отсутствие диффузии, то
есть в пространственно однородном случае, могут существовать три стаци-
онарных состояния: два линейно устойчивых, щ и из, и одно неустойчи-
вое, U2. Стационарное состояние и = 0 также неустойчиво.
В разделе 1.2. мы видели, что меньшее стационарное состояние
относится к постоянной численности почкоедов, когда как из относится
к всплеску их численности. Необходимо рассмотреть следующие вопро-
сы: (1) как будет распространяться нашествие или всплеск численности
насекомых, если мы включим в модель пространственное распределение
почкоедов; (2) можем ли мы использовать результаты такого анализа для
того, чтобы сказать что-либо о стратегии контроля для предотвращения
распространения нашествия. Для решения обеих проблем рассмотрим мо-
дель, в которой почкоеды будут распространяться путем линейной диффу-
13.5. ВОЛНЫ В КИНЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
641
Рис. 13.7. (а) Кинетика роста-взаимодействия для численности популяции почко-
еда и: ui соответствует постоянной численности, а из — нашествию насекомых.
(Ь) Схематическая зависимость стационарных состояний из (а) от параметров гид
зии, и исследуем возможность существования решений с бегущими волна-
ми. Несмотря на то, что практическая задача является двумерной, здесь мы
рассмотрим одномерный случай, так как даже так мы можем предложить
разумные ответы на поставленные вопросы или, по крайней мере, поста-
вить цели для двумерной модели. На самом деле, в двумерной модели нет
никаких новых принципиальных сложностей. Модель, которую мы будем
рассматривать, имеет следующий вид:
^=Л“) + Й.
ot дх£
где f(u) обычно имеет вид, представленный на рисунке 13.7(a).
Будем искать волновые решения обычным способом. Зададим
u(x,t) = U(z), z = x-ct => U" + cU' + f(U) =0. (13.73)
Тогда система на фазовой плоскости описывается следующим образом:
U' = v, V' = -cV-f(U) => ^ = -CV+J{U\ (13.74)
и она имеет четыре особые точки:
(0,0), (г/1,0), (1/2,0), (113,0). (13.75)
Мы хотим решить задачу о собственных значениях для с таким образом,
чтобы существовали бегущие волны того вида, который мы ищем. Первым
делом определим тип особых точек, заданных в (13.75).
642
Глава 13
фокус
узел
О 0,
{фокус
узел
(13.77)
Линеаризация (13.74) в окрестности особых точек U = 0 и С7 = щ,1 —
= 1,2,3, дает
dV eV + f'(ui)(U — щ) . 1OQ n
—--------- =--------------------, г = 1,2,3 и Ui = 0. (13.76)
d\U — Ui) V
Эти уравнения после стандартного линейного анализа методом фазовой
плоскости дают следующую классификацию особых точек:
(0,0): /'(0) > 0 => устойчивый
о
если cz
(^2,0): /'(иг) > 0 => устойчивый
если с2 { < ^/'(гбг), с > 0,
(^г,0): /'(щ) < 0 => седло при всех с, г = 1,3.
Если с < 0, то (0,0) и (^2,0) становятся неустойчивыми — тип особых
точек тот же. Очевидно, существует несколько возможных фазовых траек-
торий в зависимости от величины /'(щ), где для щ i = 1,2,3, и щ = 0.
Вместо того чтобы приводить полный список всех возможных случаев, про-
анализируем только два и покажем, как можно исследовать остальные.
Существование различных решений с бегущими волнами для различ-
ных значений с может привести к довольно долгим и утомительным рас-
четам. Именно это уравнение было подробно pa3o6paHo(Fife and McLeod
1977). Здесь мы используем интуитивный подход, который на самом де-
ле не доказывает существование интересующих нас волн, но определенно
указывает на их существование. Таким образом, метод согласуется с фило-
софией, которой следует эта книга.
Предположим, что с2 > 4тах[/'(0), /'(^2)], и в этом случае (0,0)
и (tt2,0) являются устойчивыми узлами. Возможный фазовый портрет
и связи между особыми точками изображены на рисунке 13.8(a). Если раз-
делить фазовую плоскость на области, как показано на рисунке, например
так, чтобы область d\ включала в себя узел в начале координат и седло
в (ui, 0), легко видеть, что рисунки 13.8(a) и 13.1(b) одинаковы. Следова-
тельно, разумно предположить, что существует такое же волновое решение,
а именно, идущее от С7(—сю) = щ до U(oo) = 0, и оно существует при
13.5. ВОЛНЫ В КИНЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
643
всех волновых скоростях с 2[/,(0)]1/2. Такая ситуация показана на ри-
сунке 13.8(b). Аналогично в других областях существуют другие решения
с бегущими волнами, также показанные на рисунке 13.8(b).
Рис. 13.8. (а) Возможный фазовый портрет, когда с > 0 находится в пределах значе-
ний, относящихся к посчитанной в особых точках (b) Возможные волновые
фронты, если разделить фазовый портрет на показанные области di, d,2 и
При изменении с появляются другие возможные связи между особыми
точками. Сосредоточимся на точках (ui,0) и (из,0), являющихся седлами.
Собственные значения Ai и А2 можно найти из (13.76):
-с±{с2 ИЧ75П
=-------------------------, г = 1,3, (1о.7о)
где f\ui) < 0. Соответствующие собственные вектора и ег2 имеют вид:
( i \ ( 1 \
ег1 = I \ Ь ег2 = \ I,
у Ан J у Ai2 у
г = 1,3.
(13.79)
Они изменяются в зависимости от с. Несложная алгебра показывает, что по
мере увеличения с собственные векторы движутся в сторону оси U. Также
при изменении с меняется фазовый портрет; а именно, меняются траекто-
рии, обозначенные на рисунке 13.8(b) как Ti и Т3. В соответствии с усло-
виями непрерывности, если /'(ui) и /'(из) находятся в соответствующей
области значений, существует возможность того, что при изменении с най-
дется такое особое значение с, скажем, с*, при котором траектория Т\ объ-
644
Глава 13
единяется с траекторией Z3. В этом случае существует фазовый путь, со-
единяющий особые точки (ui, 0) и (из, 0), как показано на рисунке 13.9(a);
соответствующее волновое решение изображено на рисунке 13.9(b): эта
волна движется с единственной скоростью с*, зависящей от нелинейного
члена взаимодействия /(и). В этом случае решению U(z) удовлетворяют
следующие выражения:
[/(—оо) = из, С7(оо) = up
Именно этот случай мы и рассмотрим, держа в уме ситуацию с почкоедом.
Предположим, что мы начинаем при и = ui для всех х, то есть по-
пуляция почкоедов находится в стационарном состоянии постоянной чис-
ленности. Теперь пусть в какой-то конечной области произойдет локальное
увеличение численности до из, то есть локальный всплеск количества вре-
дителей. Для изучения возможности нашествия насекомых проще рассмот-
реть следующую алгебраическую задачу: существует ли бегущий волновой
фронт, соединяющий области, где и = ui и и = из (см. рисунок 13.9(b)),
и если существует, то каковы его скорость и направление распространения.
Если с > 0 волна движется в область с щ и происходит взрыв численно-
сти; если с < 0, насекомые не просто не распространяются — их количество
уменьшается.
Рис. 13.9. (а) Схематический фазовый портрет волны, соединяющей стационарные
состояния из и ui. (Ь) Типичное решение с волновым фронтом, идущим из из
в ui. Единственная скорость волны и направление ее распространения определяют-
ся производной f'(u) в (13.72)
Знак с, а следовательно, и направление волны можно легко найти пу-
тем умножения уравнения для U из (13.73) на U' и интегрирования от —оо
до оо. Это дает
/ос
-оо
[U'U" + cU'2 + U’f(U)] dz = 0.
13.5. ВОЛНЫ В КИНЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
645
Так как С7'(±оо) = О, С7(—оо) = из и [/(оо) = ui, интегрирование дает
/ОО 1*00 f*U\
[С7']2 dz = - f(U)U'dz = - / f(U) dU.
-oo J— oo j из
И, следовательно, так как кратное с всегда положительно, получаем
с| О,
если
(13.80)
Следовательно, знак с определяется исключительно интегралом функции
взаимодействия /(и). На рисунке 13.10 знак интеграла определяется про-
сто путем сравнения размеров областей Ai и A3. Если A3 > Ai, волна
имеет с > 0, и вспышка численности распространяется и на область с по-
стоянной численностью. В этом случае можно сказать, что из превалирует,
то есть при t оо повсюду и —> U3. С другой стороны, если A3 < Ai, с < 0
и преобладает ui и и -> из при t —> 00, то есть нашествие элиминируется.
Рис. 13.10. Если Ai > Аз, скорость волны с отрицательна, и вспышка численности,
при которой и = из, элиминируется. Если Ai < A3, нашествие распространяется
в область с постоянной численностью, где и = ui
С точки зрения контроля заражения, если происходит нашествие насе-
комых, и оно распространяется, нужно знать, как изменить местные усло-
вия для того, чтобы сдержать или уменьшить волну вспышки численности.
Согласно приведенным выше рассуждениям, нужно локально изменить ди-
намику роста почкоедов таким образом, чтобы новые области Ai и A3
удовлетворяли соотношению Ai > A3. Этого можно достичь, если нули
функции /(u)u2 и из, то есть наибольшие стационарные состояния, рас-
положены близко друг к другу. Из рисунка 13.7(b) видно, что для этого
в (13.71) необходимо уменьшить безразмерный параметр q. Согласно мето-
ду обезразмеривания, использованному в модели почкоеда (см. раздел 1.2
в главе 1), q связан с емкостью экологической ниши почкоедов Кв* Следо-
вательно, реально уменьшить q можно путей опрыскивания окружающей
646
Глава 13
среды для того, чтобы уменьшить пищевую емкость древесины. Таким об-
разом, возможно создать «разрыв» в ходе нашествия насекомых, то есть
создать ситуацию, при которой будет преобладать состояние щ, и волновая
скорость с в приведенном выше анализе перестанет быть положительной.
Практический вопрос, конечно, заключается в том, насколько широким дол-
жен быть этот «разрыв» для того, чтобы остановить распространение на-
секомых. Эта проблема требует аккуратного исследования модели, так как
в этом случае, по причине параболического (сходного с диффузией) харак-
тера уравнений, существует длинный ведущий край, даже и при 0 < и 1.
Сходная концепция будет подробно рассмотрена в главе 13 тома II при об-
суждении проблемы сдерживания распространения бешенства. Описанная
там методология напрямую применима к рассмотренной здесь задаче со-
здания «разрыва» для сдерживания нашествия почкоедов.
Точное решение для скорости волны в возбудимой кинетической моде-
ли: механизм калъций-индуцированного высвобождения кальция
В главе 6 мы кратко описали возможные кинетические механизмы,
а именно, уравнение (6.120), описывающие биохимические триггеры. Та-
кой механизм позволяет достаточно большому возмущению перевести си-
стему из одного стационарного состояния в другое. Важным примером,
взятым из эксперимента, является кальций-индуцированное высвобожде-
ние кальция. Это процесс, при котором ионы кальция, Са++, если их кон-
центрация превышает заданное пороговое значение, вызывают дальнейшее
высвобождение, или сброс, депонированного кальция; то есть система пе-
реходит в другое стационарное состояние. Это происходит, например, из
кальциевых центров, расположенных на мембранах оплодотворенных яиц
определенных видов амфибий (в следующем разделе рассмотрен такой при-
родный пример). Мембрана не только высвобождает кальций, но и заново
его депонирует. Если мы обозначим концентрацию Са++ через и, то кине-
тику можно промоделировать с помощью следующего уравнения скорости
реакции:
du
— = А(и) — r(u) + L, (13.81)
dt
где L — малая утечка кальция, А(и) — автокаталитическое высвобожде-
ние кальция, а r(u) — обратное депонирование кальция. Мы предполагаем,
что депонирование кальция происходит согласно кинетике первого поряд-
ка, а автокаталитическое высвобождение достигает насыщения при высо-
ких концентрациях Са++. Эти допущения позволяют прийти к обычно ис-
пользуемым формам кинетических уравнений для описания А(и) и г (и)
13.5. ВОЛНЫ В КИНЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
647
(например, Odell et al. 1981; Murray and Oster 1984; Cheer et al. 1987; Lane
et al. 1987). Тогда последнее уравнение принимает следующий, аналогич-
ный (6.120), вид:
du fciu2
— = L +——----------k3u = f(u), (13.82)
dt K2 + U2
где к и L — положительные параметры. Если для констант к выполняется
определенное соотношение (см. упражнение 3 в конце главы 6), то при до-
статочно малых L функция /(и) может иметь три стационарных состояния.
Форма f(u) для данного случая возбудимой кинетики показана на рисун-
ке 13.11(a). Этот механизм приводит к двум различным, но тесно связанным
процессам, протекающим за счет возмущения. Ниже мы кратко рассмотрим
каждый из них.
0
Депонирование (r(u))
(Ь)
Автокаталитическое
высвобождение (Л(и))
du/ dt (=Ди))
Утечка (L)
и
Рис. 13.11. а) Пример возбудимой кинетики. При 0 < L < Lc существуют три по-
ложительных стационарных состояния уравнения (13.82): щ, i = 1, 2,3. Два из них
сливаются при L = Lc. Предположим, что в начальный момент времени и = и±
и L < Lc. Если теперь L станет выше порогового значения, останется только самое
большое стационарное состояние. Следовательно, если теперь L вернется к своей
исходной величине, и —> из, и система останется в этом состоянии. Происходит пе-
реключение с ui на из. (Ь) Схематический вид каждого из членов в кинетических
уравнениях (13.81) и (13.82). При сложении они дают кинетику роста, изображен-
ную на (а)
Если L = 0, существуют три стационарных состояния, два устойчи-
вых и одно неустойчивое. Если L увеличивать, то сначала будет три поло-
жительных стационарных состояния ^(L), г = 1,2,3, причем щ и и3 бу-
дут линейно устойчивыми, a U2 линейно неустойчивым. Если L превышает
определенное пороговое значение Lc, щ и U2 ^начала сливаются, а затем
648
Глава 13
исчезают. Следовательно, если система находится в состоянии и = щ, то
достаточно большой перепад L может привести к тому, что система перей-
дет в большее по величине стационарное состояние из и останется там.
Несмотря на то, что качественно понятно, что именно это и происходит,
количественный анализ такого переключения совсем не прост; он был про-
веден в связи с модельным механизмом формирования рисунка крыльев
бабочки (Kath and Murray 1986), который мы рассмотрим в главе 3 тома И.
Второй тип возмущения связан с фиксированным параметром L,
но f(u) в этом случае имеет вид кривой, отмеченной как du/dt(= f(u))
на рисунке 13.11(b). Направления стрелок показывают, как будет менять-
ся и, если возмутить систему путем увеличения концентрации. При лю-
бых 0 < и < U2 и —* ui, тогда как при любых и > U2 и —* из. Таким обра-
зом, концентрация U2 представляет собой пороговую концентрацию. Если
в приведенном выше пороговом примере L был бифуркационным парамет-
ром, то здесь он является наложенным возмущением, так как связан с U2.
Сложность процесса кальций-индуцированного высвобождения каль-
ция в реальности такова, что модель кинетики (13.81) и ее количествен-
ную форму (13.82) можно рассматривать только как удачную карикатуру.
Однако использовать эту систему стоит, так как она, все же, качественно
описывает динамику поведения и и имеет необходимое количество нулей
функции, то есть /(и) имеет вид, представленный на рисунке 13.11(b). За-
меним /(и) на кубический многочлен с тремя положительными нулями,
а именно,
/(u) = А(и - ui)(u2 - и)(и - и3),
где А — положительная константа, и щ < U2 < U3. Качественно, это кривая
на рисунке 13.11(b) при 0 < L < Lc.
Теперь рассмотрим уравнение реакции с диффузией при такой кине-
тике реакции, а именно,
ди д2и
— = А(и - ui)(u2 - u)(u - u3) + D-. (13.83)
ot дх
Это не нормированное уравнение, так как в этом виде лучше видна роль А
и диффузии D. Это уравнение очень похоже на (13.72), которое мы толь-
ко что подробно изучили для нахождения решений с волновым фронтом.
Можно предположить, что (13.83) имеет волновые решения следующего
вида:
u(x,t) = z — х — ct, [/(—оо)=из, и(оо) = щ. (13.84)
13.5. ВОЛНЫ В КИНЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
649
Подстановка этих выражений в (13.83) дает
L(U) = DU" + cU' + A(U - U!)(iz2 - U)(U - u3) = 0. (13.85)
Согласно нашему опыту нахождения точных решений и форме асимптоти-
ческого решения, полученного для волн в уравнении Фишера-Колмогорова,
можно оптимистически предположить, что волновое решение (13.85) будет
обладать экспоненциальным поведением. Вместо того чтобы начать с неко-
торой точной формы решения, лучше для ее нахождения начнем с более
простого, чем (13.85), дифференциального уравнения. Метод заключается
в том, чтобы U удовлетворяло более простому уравнению (с экспоненци-
альными решениями нужного нам вида), и при этом можно было сделать
так, чтобы U удовлетворяло еще и (13.85) для различных значений па-
раметров. Фактически, это поиск решений дифференциального уравнения
при помощи более простого дифференциального уравнения, которое мы
можем решить.
Пусть U удовлетворяет следующему уравнению:
U' = a(U — щ)(11 — и3). (13.86)
Решения этого уравнения (см. (13.88) ниже) экспоненциально стремятся
к щ и и3 при z —> ос; именно такой тип поведения нам и нужен. Подставив
это уравнение в (13.85), получим
L(u) = (U — ui)(U — u3)Da2(2U — щ — и3) + са — Л(и2 — U) =
= (U - щ)(и - и3) {(2Da2 - A)U - [Da2^ + u3) - са - Au2] } ,
и, следовательно, для того, чтобы L(U) равнялось нулю, необходимо, чтобы
2Da2 — А = 0, Da2(ui + и3) — са — Аи2 = 0.
В результате получаем а и единственную волновую скорость с
(\ 1/2 / \ 1/2
Л \ /AD\
— 1 , c=l — j (ui -2и2 + и3). (13.87)
Таким образом, с помощью дифференциального уравнения (13.86) мы по-
казали, что его решения удовлетворяют полному уравнению, если а и с
определяются выражениями (13.87). Точное решение U тогда получается
путем решения (13.86):
_ из + Уи,ехр[<,(и3-и,И
1 + К ехр[а(и3 — ui)z]
650
Глава 13
где к — произвольная константа, позволяющая нам привычным образом
задать начало координат на плоскости z. Для этого решения
U(—оо) = из и C7(oo)=ui.
Знак с, согласно (13.87), определяется отношениями между величина-
ми Ui, i = 1,2,3; если и% больше, чем среднее щ и из, то с < 0. В про-
тивном случае с > 0. Очевидно, точно такой же результат мы получили бы
при использовании интеграла (13.80) с кубическим многочленом для /(и)
из (13.83).
Уравнение (13.83) и некоторые его модификации появились в кон-
тексте простой модели распространения нервного потенциала действия
(McKean 1970); этого вопроса мы коснемся в главе 1 тома II. Уравне-
ние (13.83) иногда называют упрощенным уравнением Нагумо, которое свя-
зано с моделью потенциалов действия нервных клеток ФитцХью-Нагумо,
рассмотренной в разделе 7.5.
13.6. Кальциевые волны в яйцах амфибий: волна
активации в икринках рыбы Medaka
Наружный слой яиц амфибий представляет собой мембранную обо-
лочку, окружающую яйцеклетку. Сразу после оплодотворения, но до перво-
го дробления яйца по наружной оболочке проходят несколько химических
волн ионов кальция, Са++. Верхушка икринки вблизи места, где начинают-
ся волны, называется анималъным полюсом и легко определяется как место
входа спермы. Нижняя часть яйца называется вегетативным полюсом. Вол-
ны распространяются от места проникновения сперматозоида. Каждая вол-
на является предшественником важного события, и после каждой следует
механическое явление. Такие волны Са++ называются волнами активации.
На рисунке 13.12(a) показано движение такого рода кальциевых волн по
икринке костистой рыбы Medaka. Рисунок был получен благодаря экспери-
ментальным данным (Gilkey et al. 1978). Описываемая нами в этом разделе
модель представляет собой упрощенный механизм химической волны, по-
лученный для кортикальных волн в яйцах позвоночных (Cheer et al. 1987;
Lane et al. 1987). Были промоделированы, с различными допущениями, как
механические, так и механохимические волны, наблюдаемые в икре ам-
фибий. Также были получены некоторые аналитические результаты, осно-
ванные на кусочно-линейном подходе, и они хорошо согласуются с чис-
ленным моделированием полной системы (Lane et al. 1987). Механические
и химические процессы и модель, основанная на биологических фактах,
13.6. Кальциевые волны в яйцах амфибий
651
подробно описаны в статьях. Полученные результаты анализа сравнивали
с экспериментальными наблюдениями икринок рыбы Medaka и яиц дру-
гих позвоночных. Чир и др. (Cheer et al. 1987) делают уверенные выводы
о том, что должно происходить во время биологического процесса, а также
о природе наружной оболочки яйца. В статье Лейна и др. (Lane et al. 1987)
проливается свет на ключевые элементы процесса и приводится аналитиче-
ская зависимость различных явлений от параметров модели. Механические
волны на поверхности, сопровождающие кальциевые волны, показаны на
рисунке 13.12(d). Мы вновь вернемся к этой проблеме в главе 6 тома II,
когда будем рассматривать механохимические модели.
Здесь мы создадим простую модель для концентрации Са++, осно-
ванную на том, что кинетика кальция является возбудимой; мы использу-
ем механизм кальций-индуцированного высвобождения кальция, описан-
ный в предыдущем разделе. Мы предполагаем, что Са++ диффундирует по
наружной оболочке (поверхности) яйца. Таким образом, получаем модель
реакции с диффузией, в которой как реакция, так и диффузия происходят
на сферической поверхности. Так как волновой фронт Са++ представля-
ет собой кольцо, распространяющееся по поверхности, его математическое
описание будет включать в себя только одну независимую переменную 0,
угол в полярных координатах, измеряемый с верхушки сферы, следователь-
но, 0 С 0 тг. Кинетика включает в себя высвобождение кальция из сай-
тов на поверхности икринки за счет механизма кальций-индуцированного
высвобождения кальция. Небольшая утечка здесь происходит за счет диф-
фузии малого количества Са++ в окружающую среду. Таким образом, су-
ществует пороговое значение концентрации кальция, вызывающее сброс
ионов из поверхностных центров. Феноменологическая модель, включаю-
щая возбудимую кинетику и некоторые известные данные о процессе, опи-
сывается уравнением (13.82). Мы вновь берем упрощенную кубическую
кинетику, использованную в (13.83), и, таким образом, приходим к следу-
ющей модели реакции с диффузией:
ди
^ = f(u) + D
ot
д2и ди
(13.89)
f(u) = А(и - Ui)(u2 - и)(и - u3),
где А — положительный параметр, a R — радиус яйца: в данном случае R
просто является параметром модели.
Теперь обратимся к средней кривой на рисунке 13.11(a), то есть ана-
логу кривой f(u) на рисунке 13.11(b). Предположим, что концентрация
652
Глава 13
кальция на поверхности яйца повсюду находится в меньшем стационарном
состоянии щ. Если возмущение будет таким, что концентрация превысит
пороговое значение U2, и будет стремиться к большему стационарному со-
стоянию U3. Если возмущение приведет к значению, меньшему, чем U2, и
вернется в щ. Следовательно, существует порог высвобождения, выше ко-
торого и —> U3.
Теперь рассмотрим возможные волновые решения системы (13.89).
Если бы в этом уравнении не было члена, содержащего ctg 0, мы бы знали,
что оно имеет решения с волновым фронтом, аналогичные (13.84), то есть
it(0, t) = U(z), z = RO — ct, и(—оо) = из, (7(oo) = iti. (13.90)
Конечно, в случае задачи со сферическим яйцом, если время t начинается
при t = 0, z не может стремиться к — оо. Более того, уравнение содержит
член ctg 0. Однако для того чтобы получить представление о том, что про-
исходит с волнами, похожими на найденные нами в предыдущем разделе,
в случае оперирующего на поверхности сферы механизма, можно рассуж-
дать следующим образом.
Предположим, что при каждом фиксированном значении 0 существует
решение с волновым фронтом следующего вида:
и(0, t) = U(z), z = RO — ct. (13.91)
Подставив это выражение в (13.89), получаем
DU" + c+^ctg(9 U' + A(U -ui)(u2-U)(U - u3) = 0. (13.92)
Так как мы рассматриваем фиксированные 0, это уравнение совпадает
с (13.85), за исключением того, что вместо с здесь [с 4- (D/R) ctg 0]. Та-
ким образом, вполне можно предположить, что количественное выражение
для волновой скорости с на поверхности яйца можно записать как (13.87)
с [с + (Z>/JR)ctg0] вместо с. Следовательно, решения с волновым фрон-
том системы (13.89) будут распространяться по поверхности икринки со
следующими скоростями:
/ \ 1/2
(AD\ ’ D
с = — (щ - 2и2 + из) - — ctg 0.
\ 2 I /1
(13.93)
Выражение (13.93) подразумевает, что по мере того, как волна движется
от анимального полюса, где 0 = 0, к вегетативному полюсу, где 0 = тг,
13.6. Кальциевые волны в яйцах амфибий
653
ее скорость меняется. Так как ctg0 > 0 при 0 < в < тг/2, волна движет-
ся медленнее в верхнем полушарии, когда как при тг/2 < 6 < тг ctg0 < О,
и в нижнем полушарии скорость увеличивается. Этот качественный резуль-
тат можно получить из уравнения реакции с диффузией (13.89), используя
аргументы, которые мы применяли в разделе 13.2 для осесимметричного
волнового решения уравнения Фишера-Колмогорова. Сравним диффузион-
ные члены в системе (13.89) с одномерным вариантом модели (13.83), для
которой скорость волны определяется либо как в (13.87), либо как в (13.93)
без члена ctg 0. Если волна движется в область и = щ из области с боль-
шим значением гхз, то ди/д0 < 0. В анимальном полушарии ctg 0 > 0,
следовательно, член ctg -0ди/д0 < 0 подразумевает эффективное уменьше-
ние вклада диффузионного процесса, что является критическим фактором
в распространении волны. Таким образом, в верхнем полушарии волна за-
медляется. Кроме того, в нижней полусфере c,t>g-0du/d0 > 0, и волна там
ускоряется. Это интуитивно понятно, так как в верхней полусфере волно-
вой фронт должен постоянно увеличивать свой периметр, тогда как в ниж-
ней все наоборот.
Выражение для волновой скорости (13.93) подразумевает, что, скорее
всего, в случае волн на сферической поверхности волновые решения с с > 0
существуют не при всех 0. Их существование, очевидно, зависит от тонкого
пространственного взаимодействия параметров.
Теперь после хорошей практики по математической биологии вернем-
ся к реальной биологии. Мы показали, что упрощенная модель механиз-
ма кальций-индуцированного высвобождения кальция дает решения с бе-
гущими по поверхности яйца волновыми фронтами кальция. Можно оце-
нить значимые параметры модели путем сравнения с экспериментом на раз-
личных временах. Однако существует значительное качественное различие
между поведением фронта в реальной и модельной икринках. В реально-
сти, волна в вегетативном полушарии замедляется, когда как в модели она
ускоряется. Из этого можно сделать важный вывод и предсказать неодно-
родность свойств наружной оболочки яйца, позволяющую преодолеть есте-
ственную тенденцию волн на поверхности к увеличению скорости (Cheer
et al. 1987). Выражение для скорости волны (13.93) подразумевает, что AD
= 1,2,3, меняются в зависимости от 0. Эта формула для скорости бу-
дет справедлива и в случае медленного изменения параметров на поверхно-
сти сферы. Таким образом, возможно аналитически определить качествен-
ное поведение свойств модели, влияющее на правильное распространение
волны по яйцу, и, следовательно, определить возможное пространственное
изменение параметров на наружной оболочке икринки. На рисунке 13.12(b)
показаны некоторые численные результаты, полученные Чиром и его кол-
654
Глава 13
Рис. 13.12. (а) Распространение волнового фронта Са++, идущее по поверхности
яйца от места проникновения сперматозоида вблизи верхушки (анимального полю-
са) до низа яйца (вегетативного полюса), в случае рыбы Medaka. Процесс проис-
ходит до деления яйцеклетки. Волновые фронты идут друг за другом с разницей
в 10 секунд. Отметим, что волна замедляется в нижней полусфере — фронты здесь
находятся ближе. (После Cheer et al. 1987, экспериментальные данные из Gilkey et
al. 1978.) (b) Сравнение численного решения для волн Са++ в случае однородных
и неоднородных свойств поверхности икринки. (После Cheer et al. 1987.) (с) Числен-
ные решения для волнового фронта Са++. (Из Lane et al. 1987.) Здесь волна ускоря-
ется в верхней полусфере и замедляется в нижней благодаря изменению параметра
в кинетике кальция. Линии показывают волновые фронты через равные промежут-
ки времени, (d) Волна Са++ и сопровождающая ее механическая деформация. (Из
Lane et al. 1987.) Здесь и(0)9 где 0 — угол в полярных координатах, измеряемый
от места проникновения спермы, представляет собой безразмерную механическую
деформацию поверхности икринки (в невозмущенном состоянии и = 0). Похожие
на спайки волны являются волнами сокращения поверхности
13.7. Скорости волн заселения при разной способности особей 655
летами (Cheer et al. 1987) на приведенной выше модели с неоднородными
свойствами параметров. В этой статье можно найти подробное обсуждение
биологии, полной модели и выводов, полученных из ее анализа. В главе 6
тома II мы представим и подробно обсудим новый механохимический под-
ход к описанию формирования биологических структур, примером которо-
го может служить рассмотренная здесь проблема.
13.7. Скорости волн заселения при разной способности
особей к распространению
Колонизация новых территорий насекомыми, семенами, животными,
болезнями и так далее имеет важное экологическое и эпидемиологическое
значение. По крайней мере, некоторое понимание вовлеченных в это явле-
ние процессов необходимо, например, для создания программ биоконтроля.
В статье Кота и др. (Kot et al. 1996) подробно рассматривается этот вопрос
(смотри также приведенные там ссылки). Несмотря на то, что мы ограни-
чимся рассмотрением непрерывных моделей, важное значение имеют также
и модели дискретного роста и распространения популяций. Модели вроде
тех, что мы рассматриваем в этой главе, широко используются для оцен-
ки скоростей заселения; смотри, например, великолепную книгу Шигесады
и Кавасаки (Shigesada and Kawasaki 1997), большей частью посвященную
вопросам вторжения и колонизации. Помимо прочего, в книге рассматрива-
ются неоднородные условия внешней среды, когда, например, коэффициент
диффузии меняется в пространстве.
Простые модели со скалярными непрерывными уравнениями в ре-
альности имеют определенные ограничения. Одним из них является тот
факт, что не все члены популяции обязательно распространяются одина-
ковым образом — всегда существует некое разнообразие. В этом разделе
мы рассмотрим основополагающий вклад Кука (Julian Cook, личное обще-
ние 1994) в эту проблему. Он пересмотрел классическую модель Фишера-
Колмогорова и исследовал, какое влияние оказывают индивидуальные раз-
личия в диффузии на скорость волн вторжения. Значение такого подхода
к разнообразию, при использовании модели Фишера-Колмогорова, сейчас
очевидно. Но все, кто изучал в течение последних десятилетий это скаляр-
ное уравнение, не замечали возможности такого подхода до тех пор, пока
его не предложил Кук. Часть его работы мы обсудим в этом разделе. Вли-
яние разнообразия на скорости вторжения далеко не очевидно и, как мы
увидим, интуитивно не совсем понятно.
Начнем с базового одномерного уравнения Фишера-Колмогорова, в ко-
тором рост популяции описывается логистической функцией и распростра-
656
Глава 13
нение в однородном пространстве происходит при постоянном коэффици-
енте диффузии D, линейной собственной скорости роста г и емкости эко-
логической ниши К. Согласно анализу, приведенному в разделе 13.2, ско-
рость волны, то есть скорость вторжения, определяется выражением 2\/tD,
минимальным значением из (13.13). Пусть популяция состоит из распро-
страняющихся и нераспространяющихся особей, скрещивание субпопуля-
ций происходит свободно, и все новорожденные имеют одинаковую веро-
ятность быть распространяющимися. Эта модель не является строго одно-
компонентной, но относится к этой главе из-за своей тесной связи с урав-
нением Фишера-Колмогорова.
Сперва разделим популяцию на распространяющихся особей А и нерас-
пространяющихся особей В. Держа в голове пространственную модель
Фишера-Колмогорова, запишем следующую модельную систему:
8 А В2 А
— = D— + Г1(Л + В)[1 - (Л + В)/К],
ot dxz
^=г2(Л + В)[1-(Л + ВЖ],
ot
где А относится к распространяющейся субпопуляции, а В — к нераспро-
страняющейся. Здесь D — коэффициент диффузии распространяющейся
субпопуляции, и он отличается от средней скорости распространения всей
популяции. Как и раньше, К — емкость экологической ниши, а г* (г=1,2) —
собственные скорости роста (в расчете на целую популяцию). Вероятность
того, что новорожденная особь будет распространяться, равна р = п / (и +
+ Г2). Таким образом, если Г2 = 0, вся популяция распространяется и си-
стема превращается в стандартное уравнение Фишера-Колмогорова.
Как отмечает Кук (Julian Cook, личное общение 1994), эта модель при-
менима к разнообразию по способности к распространению, то есть особь
может быть либо распространяющейся, либо нераспространяющейся, при-
чем в первом случае коэффициент диффузии постоянен, а во втором — ра-
вен нулю. Несмотря на то, что модельная система основана на логисти-
ческом росте, здесь, так же как и в случае модифицированного уравнения
Фишера-Колмогорова, анализ можно проводить и с более общим видом
функции роста; это точно так же влияет на скорость волны заселения, но
не меняет общих принципов.
Первым делом обезразмерим систему, введя следующие переменные:
А
и = —
В
v = —
/р\1/2
Т = Rt, X = I — I X,
где R = и + г2. (13.95)
13.7. Скорости волн заселения при разной способности особей 657
Здесь R — суммарная внутренняя скорость роста популяции. С учетом ве-
роятности р того, что особь будет распространяющейся, определяемой вы-
ражением:
Р = (13.96)
Г1 + Г2
система приобретает вид:
ди д2и . .. /
= ^2 +P(U + V)[1-(U + V)],
(13.97)
dv
= (1 - p)(w + v)[l - (и + v)].
Теперь будем обычным образом искать волновые решения. В первую
очередь введем следующие переменные:
u = U(X -СТ), v = V\X -СТ), Z = X-CT, (13.98)
где С — скорость волны; при положительной С волна движется в направле-
нии увеличения X. Подстановка (13.98) в (13.97) дает следующую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений по Z:
-CUZ = UZZ +p(U + V)[l - (U + V)], (13.99)
-CUZ = (1~P)(U + V)[l - (U + V)]. (13.100)
Теперь будем искать такие волновые решения, чтобы U + V = 1
при Z —оо и U = V = 0 при Z —> оо. Зададим W = Uz, и тогда (13.99)
и (13.100) становятся системой обыкновенных дифференциальных уравне-
ний по U, V и W. Как обычно, производные U и V должны быть равны
нулю при Z —> ±оо. Таким образом, в фазовом пространстве (U, V, РИ)
волновое решение должно соответствовать траектории, соединяющей два
стационарных состояния, то есть гетероклинической орбите. Точнее, эта
траектория соединяет точку (0,0,0) и ненулевую точку равновесия (Uq, 1 —
— Uq,0); в нашей безразмерной системе ненулевое Vq = 1 — Uq. Теперь
необходимо определить Uq. Стоит повторить, что нас интересуют только
неотрицательные решения для U и V, следовательно, они должны лежать
в положительном квадранте любой двумерной проекции Z = константа.
Рассмотрев линеаризованную систему (точно так же, как мы это дела-
ли в случае бегущих волн в уравнении Фишера-Колмогорова с двумя пе-
ременными), можно определить поведение решения вблизи нулевого ста-
ционарного состояния (0,0,0). Для, того чтобы решения не становились
658
Глава 13
отрицательными при приближении к началу координат, необходимо, что-
бы собственные значения линеаризованной системы в окрестности (0,0,0)
были действительными. Также требуется, чтобы U- и V-компоненты соот-
ветствующих собственных векторов имели одинаковые знаки, так как инте-
ресующая нас гетероклиническая траектория при подходе к (0,0,0) имеет
такое же направление, что и собственный вектор. Таким образом, нам необ-
ходимо проанализировать линеаризованную систему в окрестности (0,0,0)
и получить условия, при которых приведенные выше ограничения удовле-
творяются.
При W = Uz линеаризованная в окрестности (0,0,0) система (13.99)
и (13.100) соответствует фронту волны, и в данном случае можно пре-
небречь влиянием уплотнения популяции на рождаемость. Тогда система
приобретает следующий вид:
d и ' 0 0 1 и
J? V = -(1 -Р)/О -(1-р)/С 0 V (13.101)
W -р -р -с W
Обозначим матрицу буквой М. Следовательно, собственные значения Xi
являются решением уравнения \М — А/| = 0, то есть решениями следую-
щего кубического уравнения:
А[СА2 + (С2 + 1 - р)А + С] = 0,
которое можно упростить до
А = Ао = 0, СА2 + (С2 + 1 - р)А + С = 0. (13.102)
Решение этого квадратного уравнения дает собственные значения А (с).
Зависимость А от С представляет собой крайне важное дисперсионное урав-
нение. Эти А, очевидно, можно получить просто путем обычного поиска
решений линейной системы (13.101), а именно,
U
V
W
ос exz
(13.103)
Для наших целей будет удобнее записать (13.102) в форме квадратного
многочлена для С и использовать С(А) для построения дисперсионного
уравнения. Сделаем это:
АС,2 + (1 + А2)С + (1-р)А = 0. (13.104)
13.7. Скорости волн заселения при разной способности особей 659
Это уравнение дает
с = [-(1 + А2) ± v/(l + A2)2-4(l-p)A2]. (13.105)
На рисунке 13.13 схематически показано дисперсионное уравнение, С(А),
как функция от А; у него есть несколько ветвей.
Рис. 13.13. Дисперсионное уравнение, описывающее волновую скорость С как
функцию от собственных значений А, для линеаризованной модели с изменчиво-
стью по способности к распространению (13.99) и (13.100). Отметим, что здесь
существуют две области, для каждого А, в которых возможно существование поло-
жительных волновых скоростей
Для того чтобы определить максимальный и минимальный корни урав-
нения (13.105) как функции от А, будет проще использовать (13.104), про-
дифференцировать его по А и задать dC/dX — 0. В результате получим
С2 + 2АС + 1 — р = 0. (13.106)
Если теперь совместить (13.104) и (13.106), максимум и минимум придутся
на А = ±1. Согласно рисунку и с учетом (подходящих) отрицательных
собственных значений, дающих положительные волновые скорости, видно,
что существуют две области возможных значений С, а именно,
0 С 1 — у/р = Ci и С2 = 1 + у/р С оо,
(13.107)
660
Глава 13
определяющие С\ и С2. В ходе аналогичного анализа уравнения Фишера-
Колмогорова первой области значений не появляется. Теперь нужно опре-
делить, какая из областей отвечает нашим целям.
Для того чтобы продвинуться дальше, необходимо найти точные реше-
ния, или, скорее, определить их поведение вблизи нулевого стационарного
состояния. Это нужно для того, чтобы U и V оставались положительны-
ми вдали от (нулевого) стационарного состояния. Это можно сделать путем
исследования собственных векторов этих решений в каждой из возможных
областей значений С, определяемых выражениями (13.107).
Сначала рассмотрим меньшую область значений С, то есть первое вы-
ражение в (13.107), и посмотрим на асимптотическую форму А при С 1.
Согласно (13.102), собственные значения Аг определяются выражением:
А» = Нс2 + 1 -Р) ± ч/(С2 + 1-р)2-4С2],
L -I
которое, после разложения в ряд по малым С, дает
Ai = ———— +О(С'3), А2 = -177^ + ^+О(С3). (13.108)
1 — р С 1 — р
Теперь необходимо найти решения для ведущих членов компонен-
тов соответствующих собственных векторов с использованием (соглас-
но (13.101)) следующего уравнения:
Xi 0
(1-р)/С [(1-р)/С] + А,
р р
0
0
0
ei
в2
ез
(13.109)
о
с + Х{
Теперь подставим в это уравнение три собственных значения: А = 0 (кото-
рое, очевидно, не является приемлемым решением) и значения из (13.108).
Несложные алгебраические преобразования показывают, что при всех соб-
ственных значениях собственные вектора ei и 62 имеют противоположные
знаки. Например, предположим, что мы ищем решение для собственного
вектора, связанного с А2; в результате мы получим, что
(1 -p)ei +
рС2
1 -Р
+ О(С4)
е2 = 0.
Следовательно, е.\ и 62 должны иметь противоположные знаки (так
как р 1).
13.7. Скорости волн заселения при разной способности особей 661
Это подразумевает, что при малых С, то есть находящихся в преде-
лах (0,1 — у/p), U и V подходят к стационарному состоянию вдоль соб-
ственных векторов, имеющих противоположные знаки. Следовательно, та-
кие значения С не дают реалистичных (неотрицательных) решений одно-
временно для U и V. Таким образом, можно заключить, что при очень ма-
леньких С не существует собственных векторов, дающих имеющие смысл
решения с бегущими волновыми фронтами. Но при увеличении С в пре-
делах (0,Ci) в (13.107) собственные значения и собственные векторы
непрерывно меняются. Для того чтобы существовало реалистичное реше-
ние, один из двух компонентов собственного вектора должен пройти через
нуль. Но очевидно, что для (13.109) не существует нетривиальных реше-
ний как при ci = 0, так и при 62 = 0. Таким образом, согласно усло-
виям непрерывности, для волновых скоростей С, находящихся в преде-
лах (0, Ci), не существует реалистичных с точки зрения экологии волновых
решений.
Для обучения полезно провести такой же анализ для С, находящихся
в большей области значений, то есть (1 + у/р,оо) в (13.107). Разложив
собственные значения по большим С, получим
Л1 == ~с + Ъ + ° (с®)’ (13-110)
В этом случае, рассуждая точно таким же образом, получим, что у соот-
ветствующих собственных векторов U- и У-компоненты имеют одинако-
вые знаки. (Нужно помнить, что вектор, относящийся к Ао = 0, недопу-
стим.) Таким образом, можно сделать вывод о том, что для существова-
ния приемлемых траекторий решений волновые скорости С должны на-
ходиться в верхней области значений. Главным следствием этого является
то, что С? = 1 + у/p является наименьшей волновой скоростью, при ко-
торой существуют реалистичные решения. Эта значение соответствует ми-
нимальной скорости волны, а именно, в размерном виде 2\/RD, в уравне-
нии Фишера-Колмогорова (13.13) при стандартном анализе. Мы вернемся
к этому ниже и обсудим важность этого вывода для описания заселения
видом новой территории.
Относительные размеры субпопуляций
Бегущие волны, по сути, представляют собой волны роста популяции.
Следовательно, даже если только распространяющиеся особи отвечают за
движение, в любой точке волны происходит также рост нераспространя-
ющихся особей, наравне с ростом распространяющихся, согласно (13.94).
662
Глава 13
Можно определить относительные размеры распространяющейся и нерас-
пространяющейся субпопуляций вдоль бегущей волны при помощи иссле-
дования вида уравнений. Уравнения трехкомпонентной системы (13.99)
и (13.100) с W = Uz можно разделить благодаря специфической форме
нелинейных членов. Запишем следующие выражения:
Q = U + V, UZ = P, (13.111)
(13.112)
то есть Q — численность всей популяции. Тогда система приобретает вид:
Uz = Р, Pz = -СР - pQ(l - Q\
Qz=P-(l-p)Q(l-Q)/C.
И теперь можно анализировать плоскость Р — Q точно так же, как мы де-
лали выше, только здесь аргументы относительно собственных векторов
будут основаны на том, что Q rqtekrq быть положительным, а Р — отрица-
тельным в точке (0,0). Согласно такой формулировке, решить задачу мож-
но путем определения того, какое из равновесных состояний ([/, Р, Q) —
= ([То, 0,1) является источником гетероклинической траектории, заканчи-
вающейся в (0,0,0).
Точная форма проекции, нужной нам траектории на плоскость Р — Q,
определяется решением уравнения:
dP _ — CP — pQ(l — Q)
dQ ~ Р — (1 — p)Q(l — Q)/C'
(13.113)
Изменение U по ходу этой траектории, то есть движение «назад» вверх по
траектории, должно удовлетворять выражению:
Г1 dU f1 PdQ
U° = L dQdQJ0 P — (1—p)Q(l — Q)/C (13’114)
Верхний предел интеграла, Q = 1, следует из того, что Q — это нормиро-
ванная численность всей популяции. Для того чтобы посчитать этот инте-
грал, необходимо заметить, что
dP _ — CP — pQ(l — Q) _ PC С \ Р
dQ~ P-(l-p)Q(l-Q)/C~ 1-р~\1^) Р - (1 — p)Q(l - Q)/C
(13.115)
Это выражение можно переписать в виде:
Р (l-p)dP
Р — (1 — р)<Э(1 — <Э)/С “ Р С~ dQ
(13.116)
13.7. Скорости волн заселения при разной способности особей 663
Применив это уравнение, можно взять интеграл по Uq:
и0= [ dQ = p- (13.117)
Jo у С dQ J
Это значит, что при любой волновой скорости С значение U при Z — — оо
должно быть равно р. Именно это мы интуитивно и ожидали.
Теперь можно двигаться дальше. Используем последнее уравнение с Q
в качестве верхнего предела интегрирования:
fQ dU Р
U(Q) = ^dQ=pQ-(l-p)-. (13.118)
Jo dtj С
Это означает, что при любой численности всей популяции Q доля распро-
страняющихся особей будет определяться выражением:
U ( С \р
— = v — - —,
Q \1-р/ Q
(13.119)
где Р, как мы помним, представляет собой градиент распространяющих-
ся особей Uz- Так как Р отрицательно, доля распространяющихся особей
больше р во всех точках, за исключением границ, где Р = 0. Доля распро-
страняющихся особей увеличивается при приближении к фронту волны (по
мере того, как Р становится более отрицательным). Опять же, этого стоило
ожидать.
Можно и дальше исследовать несвязанную систему для того, чтобы
посмотреть на градиент траекторий при их приближении к (0,0,0). Осно-
вываясь на (13.113) и используя правило Лопиталя, можно получить квад-
ратное уравнение для dP/dQ при Q — 0 (и также Р — 0), а именно,
/ \ 2
(S) +[C-(1-P)/C]^f+Р = °-
\ ач ) ач
(13.120)
Так как необходимо, чтобы (dP/dQ) < 0, должно выполняться следующее
неравенство:
С > у/1 -р. (13.121)
Но это выражение справедливо для любых С из большей области, а имен-
но, (С*2, оо), и оно не выполняется в меньшей области (0, Ci). Следователь-
но, мы подтвердили приведенный выше результат о приемлемости волно-
вых скоростей С.
664
Глава 13
Кук (Julian Cook, личное общение 1994) исследовал (13.94) численно
и нашел решения, быстро приходящие к бегущим волнам с волновой скоро-
стью, очень близкой к предсказанной минимальной скорости. Например, ес-
ли доля распространяющейся популяции р = 1.0, 0.5, 0.1, 0.05, 0.01, то со-
ответствующие волновые скорости будут равны 2.01, 1.77, 1.34, 1.22, 1.10.
13.8. Вторжение видов и расширение границ ареала
Пространственное распространение видов имеет большое значение
с точки зрения экологии. В классической книге Элтона (Elton 1958) описа-
ны многочисленные примеры этого явления, и множество было зафиксиро-
вано после. Вторжение бразильских пчелиных волков на юго-запад США
является свежим и ярким примером. Совсем недавно было зафиксирова-
но заселение лягушкой-быком юга острова Ванкувер. Основополагающая
статья Скеллама (Skellam 1951) стала началом применения теоретическо-
го подхода к проблеме. Скеллам использовал, по сути, линеаризованное
уравнение Фишера-Колмогорова (13.4) с диффузией и мальтузианским, то
есть экспоненциальным, ростом. Среди прочего, его особенно интересовало
расширение границ ареала ондатр, и он определил, что волновая скорость
вторжения составляла примерно 2y/rD, где г и D, как обычно, параметры
скорости роста и диффузии. Скеллам также показал, что ареал линейно уве-
личивается со временем; смотри приведенный ниже анализ, в ходе которого
мы получим этот результат. Шигесада и Кавасаки (Shigesada and Kawasaki
1997) в своей книге обсуждают разнообразие способов заселения террито-
рии млекопитающими, растениями, насекомыми, эпидемиями и так далее.
В книге представлено несколько основных моделей, предложенных для та-
кого рода явлений. Модельные механизмы определяются многими фактора-
ми, связанными с движением видов и их взаимодействием. Шигесада и Ка-
васаки в своей книге исследуют заселение территорий, часто происходящее
по механизму бегущих волн, как в однородных, так и в неоднородных про-
странственных условиях внешней среды для нескольких различных типов
взаимодействия видов, например, хищник-жертва и конкуренции.
Если масштаб индивидуального движения особи мал по сравнению со
шкалой наблюдений, разумно начать с непрерывной модели. Хорошим при-
мером удачного совмещения модели и полевых данных является вторичное
заселение берега Калифорнии калифорнийским каланом (Enhydra lutris).
Любина и Левин (Lubina and Levin 1988) использовали имеющиеся данные
в уравнении Фишера-Колмогорова (13.4). Численность популяции каланов
в результате чрезмерной охоты сильно уменьшилась, и в начале XX ве-
13.8. ВТОРЖЕНИЕ ВИДОВ И РАСШИРЕНИЕ ГРАНИЦ АРЕАЛА
665
ка считалось, что этот вид вымер. В 1911 году каланы, несмотря на то, что
считались вымершими, были объявлены охраняемым видом. Небольшое ко-
личество (около 50) особей было обнаружено в 1914 году вблизи города Биг
Сур, и с тех пор популяция заметно увеличилась, а ее территория расши-
рилась как на юг, так и на север от Биг Сура. В этом случае повторного
заселения, подробно описанного Любиной и Левиным, очень интересно то,
что это фактически одномерный процесс. Авторам удалось оценить пара-
метры уравнения (13.4) и показать, что базовая скорость бегущей волны,
определяемая как 2(т7?)1/2, где г и D вновь представляют собой линейную
скорость роста и коэффициент диффузии, отлично согласуется с данными
наблюдений. В случае постоянной скорости увеличение ареала происходит
линейно во времени, и, как было показано, именно так и происходило по-
вторное заселение каланов согласно данным наблюдений, проводившихся
приблизительно с 1938 по 1984 год. Похожие результаты были получены
Скелламом (Skellam 1951) для ондатр. Для распространения на север бы-
ло получено значение D = 13.5 км2/год, а на юг — 7? = 54.7 км2/год.
Оценка скорости популяции дала г = 0.056/год, и, в результате, были по-
лучены волновые скорости, составившие 1.74 км/год и 3.4 км/год для рас-
пространения на север и на юг, соответственно. Эти значения согласуются
с наблюдаемыми скоростями 1.4 км/год и 3.1 км/год с 1938 по 1972 год
и 3.8 км/год для южного направления с 1973 по 1980 год. Авторы убе-
дительно доказывают, что разница в скоростях распространения на север
и на юг не является следствием конвекции в уравнении, а скорее возникает
в результате изменений параметров за счет различных условий окружаю-
щей среды.
Теперь вернемся к результатам, полученным нами в предыдущем раз-
деле для модели с изменчивостью по способности к распространению,
и рассмотрим их с точки зрения заселения территории. Мы показали, что
для того, чтобы система (13.97) имела экологически реалистичные, то есть
неотрицательные, решения с бегущими волнами вида (13.98), необходимо,
чтобы волновая скорость С удовлетворяла следующему соотношению:
С > С2 = 1 + у/р, (13.122)
где р, определяемая выражением (13.96), представляет собой вероятность
того, что новорожденная особь будет распространяться. В размерном виде
получим
с > с2 = л/ЛР(1 + у/р), (13.123)
где с — размерная скорость бегущей волны, D — скорость диффузии распро-
страняющейся субпопуляции, a R — внутренняя скорость роста. На рисун-
666
Глава 13
ке 13.14 изображены минимальные скорости в зависимости от вероятности
особи быть распространяющейся и для сравнения показан классический
результат Фишера-Колмогорова.
с, минимальная волновая скорость
р = вероятность того, что особь
является распространяющейся
Рис. 13.14. Минимальная размерная скорость с решения типа бегущей волны си-
стемы (13.97) как функция вероятности р того, что особь является распространя-
ющейся в популяции, состоящей из распространяющихся и нераспространяющих-
ся особей, (а) Минимальная волновая скорость для фиксированных коэффициента
диффузии и скорости роста в (13.123); отметим, что скорость конечна при р —> 0.
(Ь) Минимальная скорость волны, предсказанная в случае использования средней
скорости диффузии вместе с результатом Фишера-Колмогорова, (с) Стандартная
волновая скорость Фишера-Колмогорова, если вся популяция состоит из распро-
страняющихся особей с одинаковым коэффициентом диффузии
Конечно, мы не доказали, что волновое решение является результа-
том особых начальных условий, как это было сделано Колмогоровым и др.
(Kolmogoroff et al. 1937) для уравнения Фишера-Колмогорова. Но я был
бы крайне удивлен, если бы решение с минимальной волновой скоро-
стью (13.123) не являлось бы следствием разумных начальных условий,
как это происходит в уравнении Фишера-Колмогорова.
Теперь рассмотрим два особых случая, а именно, р = 1 и р 1.
1) р = 1. В этом случае все особи движутся с одинаковым коэф-
фициентом диффузии, и система становится уравнением Фишера-
Колмогорова с обычной нижней границей скорости волны С2 =
= 2\4RD; то же самое можно получить из (13.123) при р —» 1.
13.8. Вторжение видов и расширение границ ареала
667
2) р 1. В этом случае очень небольшое число особей способно к рас-
пространению. Пусть р уменьшается, a D остается фиксированным.
Тогда нижней границей волновой скорости, согласно (13.123), бу-
дет С2 ~ VRD[1 + ©(р1/2)]. Эта величина равна половине нижней
границы в случае, когда все особи распространяются с фиксированной
скоростью D. Этот результат противоречит интуитивным ожиданиям,
а именно, получается, что волновая скорость популяции, в которой рас-
пространяются всего несколько особей, незначительно отличается —
самое большее в два раза — от популяции, в которой с одинаковой
скоростью движутся все особи. Естественные факторы среды могут
привести к точно такому же результату.
Первоначальным интуитивным ожиданием будет то, что, когда в по-
пуляции всего несколько особей способно к распространению, заселение
новой территории должно быть очень мало, а в пределе — равняться ну-
лю. Конечно, когда число распространяющихся особей совсем незначитель-
но, предположение о непрерывной диффузии перестанет быть правильным,
и превалировать будут стохастические эффекты. Как бы то ни было, до тех
пор, пока не наступила такая ситуация, волновая скорость далека от нуля.
Возможно, смысл модели Кука и ее анализа заключается в том, что все-
го несколько способных к распространению особей могут привести к засе-
лению новых территорий. Причем, скорость в этом случае будет несильно
отличаться от скорости популяции, полностью состоящей их распространя-
ющихся особей. Очевидно, что этот результат имеет важные экологические
следствия. Как было отмечено в предыдущем разделе, волны заселения яв-
ляются по сути волнами размножения, потому что, как только численность
популяции становится отличной от нуля, в дело вступают члены рождае-
мости, приводящие к появлению как распространяющихся, так и нераспро-
страняющихся особей. Можно рассматривать быстрых распространяющих-
ся особей как причину размножения недвижимых нераспространяющихся
особей; другими словами, они являются движущей силой волны размноже-
ния.
Кук (Julian Cook, личное общение 1994) исследовал еще несколько ас-
пектов и модификаций этой модели. Например, он рассмотрел влияние из-
менения скорости распространения на волну заселения, эффект Олли для
роста популяции (что означает, что в популяции лишь минимальная часть
особей жизнеспособна; вспомним обсуждение в главе 1) и влияние того,
что обе субпопуляции распространяются, но с разными скоростями. Он
также провел многочисленные численные эксперименты, чтобы подтвер-
дить аналитические результаты, и применил базовую концепцию к другим
668
Глава 13
уравнениям, моделирующим движение с использованием скореллированно-
го случайного блуждания. В конце концов, Кук доказал, что его основной
результат для волновых скоростей применим не только в случае классиче-
ских моделей диффузии.
Работа Льюиса и Шмитса (Lewis and Schmitz 1996) напрямую отно-
сится к модели Кука (Julian Cook, личное общение 1994). Они также рас-
смотрели биологическое заселение организмов в случае мобильного и ста-
ционарного состояний (они включили возможность перехода из одного со-
стояния в другое) как для распространения, так и для размножения. Они
показали, что быстрое заселение возможно даже тогда, когда скорости пе-
редвижения бесконечно малы.
Статья Шигесады и др. (Shigesada et al. 1995) особенно важна в контек-
сте различной способности особей к распространению и заселения видами
новых территорий (см. также книгу Shigesada and Kawasaki 1997). Авто-
ры рассмотрели расширение ареала несколькими видами, например, домо-
вым воробьем в Англии, скворцом обыкновенным в США и рисовым водя-
ным долгоносиком в Японии. Для изучения расширения ареала в одной из
моделей они использовали скалярную линеаризованную форму уравнения
Фишера-Колмогорова в двумерном пространстве, предложенную Скелла-
мом (Skellam 1951) в его классической работе о распространении видов.
Таким образом, они рассмотрели мальтузианский, то есть экспоненциаль-
ный, рост. Они начали с размерного уравнения следующего вида:
(13.124)
где и — локальная плотность популяции, а пространство радиально сим-
метрично. Решение при начальных условиях типа 5-функции и(г, 0) =
= No8(r), представляющих собой локальное появление вида в начале ко-
ординат, определяется следующим выражением:
u(r, *) — ехР ( — Т77" I • (13.125)
v 7 47г£>/ \ 4Dt] v 7
С точки зрения пространственного распространения видов в природе, рас-
ширение ареала происходит за счет заселения территории несколькими осо-
бями. Следовательно, как предположили Шигесада и др. (Shigesada et al.
1995), возможно существование минимальной плотности, ниже которой на
практике популяцию нельзя обнаружить. Это de facto подразумевает су-
ществование периода ожидания до того момента, как популяция начнет
— = \?2и + ей,
dt
13.8. Вторжение видов и расширение границ ареала
669
расширять границы своего местообитания. Если детектируемую плотность
популяции обозначить и*, то область, в которой u(r, t) > п*9 будет ареа-
лом этой популяции. Согласно решению (13.125), плотность популяции и
вблизи начала координат при маленьких t очень быстро становится меньше
порогового значения и*. Однако благодаря экспоненциальному члену роста
в (13.124), который дает в решении et, и начинает возрастать и, в конце кон-
цов, преодолевает порог и*. Период задержки или фаза установления — это
время между моментом появления популяции и моментом, когда ее плот-
ность преодолевает пороговое значение. Теперь можно использовать реше-
ние (13.125) для того, чтобы определить, как увеличивается со временем
ареал. Для этого зададим и = и* и г = г* и получим
г / \ п V2
* D, I farDtu* \
г = 2t eD Ч----In I —— I
t \ Nq J
(13.126)
Для обезразмеривания системы введем следующие переменные:
(13.127)
В результате мы получим безразмерное соотношение для ареала и време-
ни R* — Т:
1 7
R =2Т 1 + - In -L-
Т 4тг7
(13.128)
Это уравнение зависит только от безразмерного параметра 7. Когда (1/7) х
х 1п(7/4тг7) <SC 1, ареал увеличивается линейно согласно выражению R* «
« 27.
Шигесада и др. (Shigesada et al. 1995) идут дальше и создают модель
заселения вида и расширения ареала за счет разрозненных колоний, кото-
рым положили начало особи, распространившиеся на большое расстояние.
Такие модели, по сути, представляют собой модели вторжения с перемен-
ной диффузией. Важно то, что авторы сравнивают свои аналитические ре-
зультаты с реальными данными и получают хорошее соответствие.
Принципы порогового значения и радиально симметричной линейной
диффузионной реакции, приводящей к появлению волнового фронта, были
использованы Мюрреем (Murray 1981) для описания совершенно другого
биологического явления, а именно, формирования «глазков» на крыльях
бабочек. Он также применил модель к другим, не радиально симметричным
случаям. Такое применение принципа подробно*описано в главе 3 тома II.
670
Глава 13
Упражнения
1. Рассмотрите следующее безразмерное уравнение реакции с диффу-
зией:
IZf — U и) ^хх‘
Получите обыкновенное дифференциальное уравнение для решения ти-
па бегущей волны с учетом того, что и = U(z), z = х — ct, где с —
скорость волны. Предположите, что неотрицательное монотонное решение
для U(z) существует при U(—оо) = 1, 17(оо) = 0 и такой волновой ско-
рости, что 0 < 1/с = б1/2, где е — малый параметр, позволяющий искать
асимптотические решения при 0 < е < 1. При £ = е1/2, U(z) = р(£) пока-
жите, что асимптотическое решение порядка 0(1), при котором р(0) = 1/2,
можно точно определить по следующему выражению:
—2 Ч——— + In
5(0
1-5(0
5(0
х — ct
е =
с
Выведите уравнение для решения типа бегущей волны на фазовой плоско-
сти (U, V), где V = U' и штрих означает дифференцирование по z. Пусть
в уравнении ф = V/e1/2. Получите асимптотическое решение для ф как
функции от U путем разложения в ряд Тейлора по е до члена порядка 0(e).
Таким образом, покажите, что наклон волны при U = 1/2 определяется до
порядка 0(e) выражением —((1/8с) + (1/25с3)).
2. Покажите, что для следующего скалярного уравнения реак-
ция-диффузия существует точное волновое решение:
ди ... д2и
— = u’+1(l -Uq) + —
ot дх
где q > 0. Для этого ищите решения в виде:
u(x.t) = U(z) =--------—, z = х — ct,
k (l+debz)3
где с — скорость волны, a b и s — положительные константы. Определите
единственные значения параметров с, b и s в зависимости от q. Подбери-
те такое значение d, чтобы величина градиента волны была максимальной
при z = 0.
13.8. Вторжение видов и расширение границ ареала
671
3. Безразмерная модель заселения с разнообразием по способности
к распространению имеет следующий вид:
ди д2и . чг / м
dv
= (1 - p)(w + v)[1 - (w + v)],
dJ
где и и v — соответственно субпопуляции распространяющихся и нераспро-
страняющихся особей, ар — вероятность того, что новорожденная особь
является распространяющейся. Найдите волновые решения с Z = X — СТ
и выведите систему обыкновенных дифференциальных уравнений для бе-
гущих волн. Введите следующие параметры:
е = I/O2, s = Z/C, u(Z) = g(s), v(Z) = h(s),
и покажите, что системы бегущих волн приобретают следующий вид:
sgSs + gs+ p(g + Л)[1 - (з + h)] = о,
hs + (1 -р)(р 4- Л)[1 - (р + /г)] = 0.
Хотя Cmin = 1 + у/р , с р 1, параметр в не будет маленьким, если р близко
к 1. Рассмотрите систему при малых е и найдите решение при периодиче-
ском возмущении в следующем виде:
9 = 9о + £91 + ••••> h = Hq eh\ + • • • .
Сделайте так, чтобы удовлетворялись следующие граничные условия:
(рО + ^о)|-ос — 1, ($0 + ^о)|оо = 0, (00 + ^о)|о = 1/2,
9г\— оо = ^г|±оо = 0, 2 > 0.
Выведите систему уравнений для до и ho. Пусть уо = до + ho, что соот-
ветствует численности всей популяции до порядка 0(1). Получите уравне-
ние для у о и задайте условия, которым должно удовлетворять у о на ±оо
и при s = 0, и, таким образом, определите решение уо(з). Покажите, что
d
-Н(1 ~Р)9о ~pho] = 0.
as
Используйте это уравнение вместе с определением уо для получения реше-
ния для до. Найдите волновые решения для u(Z-, С) и v(Z; С) порядка 0(1)
для больших С2.
Создайте модель с более общей нелинейной кинетикой размножения
и определите, можете ли вы провести такой же анализ с вашей моделью.
Глава 14
Правильное и неправильное
применение фракталов
14.1. Фракталы: основные понятия и биологическое
значение
Когда новая (или возрожденная) область науки завоевывает себе доб-
рое имя, она часто привлекает множество поклонников. Но слабая инфор-
мированность приводит к неправильному использованию теории и, сле-
довательно, подвергает сомнению ее правильность и применимость. Это
в большой степени справедливо для теории фракталов, так как она может
быть визуально очень эффектной и ее использование не требует особых
знаний или навыков. Другим примером служит теория катастроф: чрезмер-
ное усердие математиков нанесло ей немалый вред, исказив мотивы меж-
дисциплинарной науки. Несмотря на то, что хаос и фракталы некоторыми
рассматриваются как биологические панацеи, к счастью, существует до-
статочное число реалистов, противостоящих этому взгляду и пытающихся
правильно оценивать значение этих областей науки.
Основной и широко распространенной причиной превратного понима-
ния теории фракталов является тот факт, что она позволяет создавать объек-
ты, удивительно похожие на естественные структуры — деревья, траву, цве-
ты, узоры крыльев бабочек и так далее. Часто именно теорией фракталов
объясняют формирование такого рода систем. И хотя фракталоподобные
узоры могут служить хорошим графическим представлением естественных
структур, они ничего не говорят о биологических процессах или механиз-
мах, задействованных в развитии этих систем. От модели требуется гораздо
больше. Но, несмотря на эту критику, теория фракталов принесла большую
пользу.
Один из способов применения теории фракталов напрямую относит-
ся к количественному измерению биологических структур при различном
увеличении; этот пример мы рассмотрим в нашем кратком обзоре теории.
14.1. Фракталы: основные понятия и биологическое значение 673
Фракталы можно упрощенно рассматривать как геометрические фигуры,
повторяющие себя на все более малых масштабах или демонстрирующие
все более сложную структуру при рассмотрении их при увеличении. Ча-
сто фракталы обладают симметрией или неким ее подобием. То есть, ес-
ли мы увеличим маленькую часть, она будет более или менее повторять
свойства всей структуры. Сейчас существует большое количество книг об
этом предмете; многие из них также рассматривают хаос, который тес-
но связан с фракталами. В доступной книге Питгена и др. (Peitgen et al.
1992) обсуждается широкий круг относящихся к предмету вопросов и ис-
торических подробностей (но без практических биологических примеров);
математика в этой книге довольно проста, но нетривиальна. Книга Лей-
бовича (Leibovitch 1992) дает очень упрощенные и понятные объяснения
фракталов с уклоном в естественные науки; многие примеры детально рас-
смотрены. В книге Штрогаца (Strogatz 1994) рассматриваются, в основном,
математические аспекты, но и в ней показаны некоторые способы приме-
нения фракталов в биологии; большей частью она посвящена хаосу. Кни-
га Бассинггвейта и др. (Bassingthwaighte et al. 1994) направлена на зада-
чи физиологии; в ней также даны базовые понятия о фракталах (и хаосе).
Фальконер (Falconer 1990) очень понятно описывает основы теории и при-
менение фракталов в общем. В очень красивой книге Каандорпа (Kaandorp
1994) представлены разработки новых компьютерных методов моделиро-
вания фракталов (в двумерном и трехмерном пространствах) для разнооб-
разных случаев роста биологических структур, например, колоний корал-
лов. Подход Каандорпа отличается от подхода, при котором отправной точ-
кой является вероятностный механизм. Он вводит в свои модели элементы,
описывающие слабое изменение условий внешней среды и тому подобное.
Связь такого подхода с механистическим привела к интересным биологи-
ческим результатам. Например, в своей статье Каандорп (Kaandorp et al.
1996) предлагает способ включения в модель влияния диффузии и потока
питательных веществ на морфологию кораллов.
Можно ли отнести к фракталам широкий спектр явлений роста, кото-
рые можно феноменологически описать при помощи какой-либо степенной
зависимости на больших промежутках времени, является очень спорным
вопросом. Смотри, например, статью Авнира и др. в «Science» (Avnir et al.
1998) и последовавшие в следующих выпусках довольно агрессивные пись-
ма. В результате разных способов применения (правильных или неправиль-
ных) теории фракталов к природным явлениям была выдвинута гипотеза,
подчеркивающая необходимость изучения и, стоит надеяться, нахождения
реальных механизмов, участвующих в процессах роста. Этот подход отра-
жает точку зрения, высказывавшуюся на протяжении этой книги, а именно,
674
Глава 14
что феноменологические описания не объясняют механизмы, хотя и мо-
гут быть полезны для выяснения того, что происходит и не происходит в
процессе развития.
Для того чтобы мотивировать изучение фракталов, мы рассмотрим ре-
альную биологическую проблему (в действительности, целый класс про-
блем) и покажем, почему в этом случае без теории фракталов не обойтись.
В следующих разделах мы обсудим некоторые простые примеры фракта-
лов и покажем, как они создаются. Мы исследуем некоторые их основные
свойства и получим общее представление о том, что представляют собой
фракталы и их размерность. В разделе 14.3 мы вернемся к биологической
проблеме, с которой начали, и покажем, как использовать эти принципы на
практике. Мы также затронем некоторые ограничения фракталов в биоло-
гии в общем. Этого краткого введения должно быть достаточно для даль-
нейшего использования и понимания большинства способов применения
принципов и концепций теории фракталов. Будем надеяться, что эта глава
позволит читателям различать правильное и неправильное использование
теории фракталов.
Биологические примеры
Анализ ветвления и разрастания клеток сетчатки. Морфологические
характеристики и способы ветвления нервных клеток широко изучаются
для того, чтобы понять морфогенез этих структур, создать классификацию,
описать то, как клетки разрастаются и занимают новые территории, и так
далее. В такого рода исследованиях часто используется подробный анализ
различных типов клеток. Было разработано множество методов для изу-
чения специфических метрических характеристик клеток. Они помогают
ответить, например, на вопрос, являются ли инвариантными специфиче-
ские масштабы ганглиозных клеток? Иными словами, являются ли нервные
клетки фракталами? Фамиглетти (Famiglietti 1992) исследовал такого рода
сходства и различия в ганглиозных клетках сетчатки кроликов, предложил
фрактальный подход к проблеме и провел анализ. Фрид и Стерлинг (Freed
and Sterling 1988) изучали альфа-ганглиозные клетки сетчатки кошек; на
рисунке 14.1(a) показан обычный тип исследованной ими клеточной струк-
туры. Также были изучены форма и расположение специфических нервных
клеток сетчатки кроликов (Tauchi and Masland 1984; Tauchi et al. 1992);
структура этих клеток изображена на рисунке 14.1(b). На примере клеток
сетчатки кошек был исследован морфогенез и разрастание в пространстве
изолированных ганглиозных клеток (Montague and Friedlander 1991); струк-
туры в этом случае качественно похожи на изображенные на рисунке 14.1.
14.1. Фракталы: основные понятия и биологическое значение 675
Измерение площади и объема субклеточных мембранных систем при
различном увеличении. Измерения поверхности и объема некоторых мем-
бран часто приводили к совершенно разным результатам. Подобные рас-
хождения, например, в случае клеток печени крыс, были исследованы
Паумгартнером и др. (Paumgartner et al. 1981). Они рассмотрели значитель-
но различающиеся опубликованные значения поверхностной плотности эн-
доплазматического ретикулума в расчете на единицу объема цитоплазмы
и поверхностной плотности внешней и внутренней мембран митохондрий
в расчете на единицу объема митохондрии. Значения могли различаться
более чем в три раза. Несмотря на то, что может быть несколько объясне-
ний, Паумгартнер и его коллеги сконцентрировались на влиянии различного
увеличения, или масштаба, при котором проводились измерения. Для то-
го чтобы увидеть, откуда берутся такие несоответствия, необходимо иметь
представления о базовых принципах топологии фракталов и исследовать
некоторые простые примеры фракталоподобных структур и их формирова-
ния.
Рис. 14.1. (а) Типичная альфа-ганглиозная клетка сетчатки кошки: масштаб 1 см —
50 /хм. (Вслед за Freed and Sterling 1988.) (b) Типичная амакринная клетка цен-
тральной области сетчатки кролика: масштаб 1 см — 100 рм (по Tauchi and Masland
1994). Отметим, что разветвленные структуры на рисунках (а) и (Ь) различаются
Легочный кровоток. Легочный кровоток является важной проблемой.
Он стал предметом длительного исследования Робертсона, Гленни и их кол-
лег. Гленни и Робертсон (Glenny and Robertson 1990; см. также их обзор, по-
священный применению фрактального анализа в физиологии, 1991а) изу-
чали неоднородность легочного кровотока с использованием методов фрак-
тального анализа и сравнили свои результаты с традиционной гравитаци-
онной моделью. Более того, они сравнили свои экспериментальные данные
с фрактальной моделью и получили хорошее соответствие. Гленни и Ро-
бертсон (Glenny and Robertson 1991b) сравнили две фрактальные модели
ветвления. В одной из них степень ветвления (то есть доли 7 и 1 — 7 крови,
идущей от «родительского» сосуда к двум «дочерним») была фиксирована,
а в другой менялась вблизи среднего, составлявшего 0.5. Обе модели очень
хорошо согласовывались с экспериментальными данными. Авторы не толь-
ко показали, что гравитация играет вспомогательную роль в создании неод-
нородности, но и доказали, что фрактальные модели позволяют количе-
ственно описать структуру и функционирование легочной сосудистой сети.
Гленни и Робертсон (Glenny and Robertson 1995) создали трехмерную мо-
дель ветвления для кровоснабжения легких. Пространственная и временная
неоднородность легочного кровотока также имеет важное физиологическое
значение; исследования этого вопроса проводились Гленни и др. (Glenny et
al. 1995; 1997). В связи с нынешним избытком статей о фрактальном ха-
рактере широкого спектра природных явлений, многие из которых имеют
мало отношения к реальности или экспериментам, важность, как учебная,
так и научная, работ Гленни и Робертсона о легочном кровотоке заключа-
ется в том, что их моделирование основывается на реальных фактах. Это,
а также тесная связь с экспериментом делает их физиологические выводы
фундаментальными.
Фрактальный анализ успешно применялся к большому числу природ-
ных явлений и, несмотря на приведенную выше критику, оказался полез-
ным методом. Кросс (Cross 1994) сначала дает краткое учебное введение
о фракталах, а затем делает обзор применения фрактальной геометрии в ко-
личественной микроскопии. Он рассказывает, как она используется в систе-
мах анализа изображений, основанных на микрокомпьютерах, и описывает
разнообразие областей применения, например, некоторые бактериальные
структуры, легочные альвеолы, края опухолей и другие. Он также предла-
гает другие области, в которых фрактальные методы могли бы быть полез-
ны, например, при диагностике карциномы шейки матки. Одной из проблем
последнего метода является сложность количественного описания различий
между нормальными и патологическими клетками. Нет сомнений в том, что
фрактальный анализ может быть важным методом в этой области, хотя во
многих случаях его использовали неправильно. Панико и Стерлинг (Panico
and Sterling 1995) убедительно доказывают, что фрактальный анализ нель-
14.2. Примеры фракталов и их формирование
677
зя применять для нервных клеток сетчатки (см. также Murray 1995); мы
кратко обсудим этот вопрос в разделе 14.4.
14.2. Примеры фракталов и их формирование
Мы начнем с фрактала, называющегося кривой Коха. Впервые он был
описан в 1906 году. Как это часто бывает, этот фрактал создается рекурсив-
но. Мы начинаем с прямой Lq и заменяем ее центральную треть двумя оди-
наковыми линейными сегментами для того, чтобы получилась кривая L\
(рисунок 14.2). Затем делаем то же самое с каждой прямой линией в L\
и получаем L2, потом L3 и так далее. Предельная кривая Ln при п —> оо
называется кривой Коха. Такого рода рекурсивные процедуры дают кри-
вые и структуры с некоторыми интересными свойствами. Обозначим дли-
ны кривых Li, Z/2,... через so, si, .... Легко видеть, что si = (4/3)sq, S2 =
= (4/3)2sq, ..sn = (4/3)nso,.... Это означает, что длина каждой кривой
L возрастает после следующей итерации, и длина sn —> оо при п —> оо;
другими словами, предельная кривая имеет бесконечную длину. Более того,
расстояние между любыми двумя точками кривой Коха также бесконечно.
С практической точки зрения и в связи с применением в биологии, та-
кой предел недостижим. Однако важно то, что длина кривых зависит от
масштаба, при котором мы способны их измерить. Ниже мы обсудим это
подробнее.
Очевидно, существует симметрия между частями кривой на следую-
щем шаге создания и всей структурой, или ее фрагментом, на предыдущей
стадии. Это легко видеть, если изолировать какой-нибудь сегмент и срав-
нить его длину с более ранней Ln, как показано на рисунке 14.2. Таким об-
разом, кривая Коха, К, самоподобна и имеет структуру при любом масш-
табе, каким бы маленьким он не был. Самоподобие частей узора на все
меньших масштабах является обычным свойством определенного класса
фракталов. Более того, фигура, обладающая самоподобием при уменьше-
нии масштаба, также является фракталом, хотя и не все фракталы обяза-
тельно обладают этим свойством; смотри рисунок 14.3.
Пусть единицей шкалы на любом шаге создания фрактала п будет р,п.
Если мы примем длину линии Lq за единицу, то /io = 1, Mi = 1/3, М2 =
= (1/3)2,.. .,Mn = (1/3)п и так далее. Можно легко связать единицу шка-
лы, /г, и увеличение, скажем, М. Если мы рассмотрим часть структуры L4,
заключенную в рамку, и увеличим ее в три раза, мы получим L%. Если же
мы увеличим часть структуры L3, заключенную в рамку, в З2 раз, мы по-
лучим Z/i. Следовательно, масштаб /1 и увеличение М связаны следующим
678
Глава 14
Рис. 14.2. Создание кривой Коха. Здесь начальную линию Lq делят на три равные
части, и центральную часть меняют на две одинаковые линии, как на Li. Затем цен-
тральную часть каждого сегмента L] меняют на две равные линии и получают
Повторение этих действий бесконечное число раз приводит к кривой Коха. Длина s
каждой последующей кривой L в 4/3 раза больше длины предыдущей
АДАА
Рис. 14.3. Фрактальный треугольник Серпинского. Алгоритм создания следующий:
нужно начать с треугольника, извлечь из него маленький внутренний треугольник,
как на втором рисунке, состоящем из четырех равных треугольников, и точно так же
продолжить со всеми оставшимися черными треугольниками по мере уменьшения
масштаба
образом: р ос А/7И, где коэффициент А связан с единицей шкалы, кото-
рую можно различить на единице увеличения. Это означает, что, если мы
посмотрим на увеличенную микрофотографию, это будет единица плоско-
сти изображения, повторяющая исследуемую тестовую систему при самом
малом увеличении. Кривая Коха позволяет получить увеличение, М, невоз-
14.2. Примеры фракталов и их формирование
679
можное с точки зрения биологии; мы вернемся к этому вопросу ниже, так
как он связан с расчетом «размерности» фракталов.
Другим классическим примером самоподобного фрактала является
треугольник Серпинского, впервые описанный в 1916 году. В этом случае
нужно начать с равностороннего треугольника и последовательно удалять
из него одинаковые треугольники, составляющие четверть области. Началь-
ные стадии показаны на рисунке 14.3. Как и раньше, на любом шаге можно
рассчитать единицу шкалы (здесь это площадь). Этот фрактал, также как
и кривую Коха, можно использовать для получения разнообразных фрак-
тальных кривых путем изменения правил генерации (см., например, Peitgen
et al. 1992). Очевидно, что при любом масштабе, каким бы маленьким он
ни был, существует самоподобная структура.
Мы посмотрели, как можно создать самоподобные фракталы любой
сложности. Однако самоподобные фракталы являются лишь одним из клас-
сов фрактальных форм. Ниже мы подробно обсудим связанные с ними
правила подобия. Также мы увидели, что, обладая определенной изобрета-
тельностью, несложно придумать специфический генератор фракталов для
создания разнообразных форм и настроить его таким образом, чтобы он
воспроизводил рост таких структур, как деревья, трава, морские звезды,
папоротники, снежинки, цветная капуста и нервные клетки. Если генера-
тор фрактала обладает нелинейностью, то сложность структур, которые он
способен производить, практически не ограничена. Примерами таких нели-
нейных фракталов являются множества Жюлиа, названные в честь Гастона
Жюлиа, опубликовавшего свою новаторскую и фундаментальную работу
в 1918 году в возрасте 25 лет. Они являются лишь одним классом нелиней-
ных фракталов, но, возможно, наиболее известным благодаря очень тонкой
структуре конечных узоров и их красоте. К тому же, их эффектное разви-
тие можно легко воспроизвести на самом простом персональном компью-
тере при помощи несложных программ. Эти множества связаны с отобра-
жениями на плоскости комплексных чисел (обсуждение и многочисленные
примеры см. в книге Peitgen et al. 1992).
Множества Жюлиа, являющиеся нелинейными и, следовательно, неса-
моподобными, основаны на итерациях полиномов типа z2 + k, z2 + z +
+ к, г3 + к и так далее, где z и к — комплексные числа: комплексное чис-
ло z можно рассматривать как пару действительных чисел, определяющих
положение точки на плоскости. Алгоритм создания основан на повторяю-
щемся применении отображений многочленов. То есть процедура начинает
с заданного z, а затем рассчитывает эффект отображения многочлена. На-
пример, начнем с точки zq и рассчитаем точку z\ — z^ + к, затем z? — z2 +
+ к и так далее. Последовательность точек ц будет множеством Жюлиа;
680
Глава 14
на рисунке 14.4 показан созданный на компьютере пример. Исследовать
эти фракталы очень интересно, но необходимо помнить, что их связь с ре-
альными биологическими явлениями является спорной. Ниже мы обсудим
связь фракталов и биологических явлений.
Рис. 14.4. Пример множества Жюлиа, демонстрирующего фрактальные свойства.
Генератор фрактала является нелинейным. Отметьте схожесть двух последовательно
увеличенных частей. На третьем рисунке видно, как будет продолжаться процесс,
хотя здесь и нет точного самоподобия
На данном этапе стоит повторить наше замечание о реализме многих
сложных фигур и алгоритмических процессов генерации, позволяющих со-
здавать структуры, визуально повторяющие природные. Например, различ-
ные правила генерации, иногда очень отличающиеся друг от друга, могут
привести к созданию структур, повторяющих общую форму двух разных
видов деревьев. Несмотря на то, что это очень интересный результат, он
не говорит ничего о механизмах формирования биологической структуры
и, не внося никакого вклада в биологию, объясняет рост и формирование
деревьев не лучше, чем художественный вымысел. Я не утверждаю, что
фракталы не имеют применения в биологии, но хочу отметить, что их ис-
пользование для изучения основ биологических процессов должно быть
очень осторожным и, что самое важное, иметь отношение к реальности.
14.3. Размерность фракталов: принципы и методы расчета 681
14.3. Размерность фракталов: принципы и методы
расчета
Определить размерность обычных геометрических фигур очень про-
сто. Линия одномерна, фигура на плоскости двумерна, а что создает трех-
мерную структуру — очевидно. Размерность — это минимальное число ко-
ординат, необходимых для описания положения точки на объекте. Напри-
мер, любую точку на кривой мы можем описать единственной координа-
той, а именно, длиной дуги от какой-либо другой заданной точки кривой;
таким образом, это одномерная фигура. Точке на плоскости требуется две
координаты, следовательно, это двумерный случай, и так далее. Облада-
ют ли фрактал Коха, треугольник Серпинского и ганглиозные клетки на
рисунке 14.1 размерностью? Конечно, первые два примера не противоре-
чат нашему пониманию размерности, и нам просто нужно расширить наши
представления о том, что мы подразумеваем под этим термином и, особен-
но, под термином «размерность фракталов».
Кривая Коха представляет собой фрактал, обладающий необычным
свойством: расстояние между двумя любыми точками этой кривой бес-
конечно. Кривые, генерирующие кривую Коха, очевидно, также являются
фракталами, так как каждая их часть представляет собой редуцированную
версию фрагмента или целой кривой на предыдущих стадиях. Что такое
размерность кривой? Так как это кривая, естественно предположить, что
она одномерна. Однако, расстояние между любыми двумя точками беско-
нечно, и мы не можем попасть из одной точки в другую, определив рассто-
яние, так как они бесконечно далеки друг от друга. Очевидно, что она не
является и двумерной, так как не обладает никакой «плоскостью». Следо-
вательно, ее размерность должна находиться где-то между 1 и 2, но как ее
можно определить и посчитать?
Несмотря на то, чтц это может показаться академической софистикой,
вопрос размерности фракталов имеет практическое значение в связи с про-
блемой, изучавшейся Паумгартнером и др. (Paumgartner et al. 1981) и ко-
торую мы упоминали в разделе 14.1. Рассмотрим кривую, изображенную
на рисунке 14.5(a), и предположим, что она представляет собой границу
биологической мембраны, чью длину мы хотим найти. Если мы измерим
кривую линейкой, имеющей шкалу, скажем, и, как на рисунке 14.5(b), мы
не сможем учесть изрезанность между концевыми точками линейки. Мы
получаем длину как количество единиц, необходимое для охвата всей кри-
вой. Если мы используем меньшую шкалу, как на рисунке 14.5(c), мы по-
лучим другой ответ, так как теперь возможно учесть некоторые выступы.
Таким образом, если мы будем уменьшать шкалу или, другими словами,
682
Глава 14
увеличивать разрешение, «длина» кривой будет все больше. Хотелось бы
иметь шкалу, единица которой была бы меньше самого маленького выступа,
и было бы возможно получить точное значение длины. Но предположим,
что необходимое для этого увеличение недостижимо; как тогда определить
истинную длину? Для ответа на этот вопрос рассмотрим в некоторых по-
дробностях правила подобия в применении к созданию фракталов.
Рис. 14.5. Влияние изменения шкалы измерений на «длину» кривой на рисунке (а).
«Длина» кривой, измеренная при большой единице шкалы г (то есть при маленьком
увеличении), как на (Ь), меньше чем «длина», измеренная при меньшей шкале, как
на (с). «Длина», измеренная на (с), в свою очередь, меньше, чем «длина», измерен-
ная на (d)
Размерность самоподобного фрактала и правила подобия
Рассмотрим квадрат со стороной S. Уменьшим масштаб каждой сто-
роны, приняв в качестве коэффициента масштабирования г = 1/2. Сле-
довательно, нам понадобится 4(= 22) меньших квадрата для того, чтобы
заполнить исходный квадрат. Если мы уменьшим масштаб с коэффициен-
том г = 1/3, нам понадобится З2 квадратиков для заполнения исходного
14.3. Размерность фракталов: принципы и методы расчета 683
квадрата. В общем случае, если мы уменьшаем масштаб согласно коэф-
фициенту г, нам понадобится (1/г)2 уменьшенных квадратов для заполне-
ния исходного. Если проделать то же самое с кубом, то, при коэффициенте
масштабирования г, число кубиков для заполнения исходного куба соста-
вит (1/г)3. Степень 1/г напрямую связана с геометрической размерностью
исходной фигуры: 2 для квадрата и 3 для куба. Пусть г — это коэффициент
масштабирования, а т(г) — функция от г, представляющая собой число
фигур (подобных исходной), использованных для заполнения исходной фи-
гуры при уменьшении масштаба. Тогда для квадрата или куба справедливо
выражение т — (l/r)D, где D — размерность, 2 для квадрата и 3 для куба.
Это естественным образом приводит к определению размерности D само-
подобных фракталов, вроде тех, что мы получали выше:
= lnm(r)
1п(1/г) *
(14-1)
Это выражение получается после логарифмирования обеих частей. Стро-
го говоря, размерность фрактала, ^fractal, определяется как предел этого
выражения при коэффициенте масштабирования г —> оо; то есть единица
длины шкалы стремится к нулю, и, следовательно,
In т(г)
1п(1/г)
(14-2)
В случае кривой Коха, последующее поколение кривых длиной
при любом к получается из четырех равных частей, каждая из которых
совпадает с предыдущей кривой Lfc-i длиной Sk-\- При этом происходит
уменьшение масштаба с коэффициентом три. Следовательно, здесь число
копий т — 4, а коэффициент масштабирования г = 1/3. Согласно фрак-
тальному определению размерности (14.2), фрактальная размерность кри-
вой Коха будет D = In 4/In 3 = 1.262. Это число, и вправду, находится
между 1 и 2.
Теперь рассмотрим общий закон подобия и некоторое множество, ска-
жем, Q, зависящее от шкалы г, при которой мы его измеряем. В качестве
примера и для определенности обратимся к рисунку 14.5. Легко видеть, что
чем лучше шкала, тем больше деталей можно учесть, и, вследствие этого,
измеряемая длина увеличивается по мере улучшения шкалы г, то есть при
увеличении. Следовательно, Q(r) является функцией от г, и, если мы рас-
смотрим длину кривой на рисунке 14.5, Q = N(f)r, где N(r) — число
единиц шкалы, необходимых для охвата всей кривой при масштабе г.
684
Глава 14
Если фигура самоподобна, можно сделать некоторые выводы о пове-
дении ДГ(г) как функции от г. Вспомним приведенное выше обсуждение
квадратов и кубов и их деление на меньшие квадраты и кубы. В случае
квадрата при коэффициенте масштабирования г = 1/2 нам понадобилось
7V(r) = (1/г)2 меньших единиц для заполнения исходной фигуры. В слу-
чае куба 7V(r) = (1/г)3 меньших кубиков. Степени 1/г напрямую относят-
ся к размерности рассматриваемого множества. Следовательно, в общем
случае для самоподобия получаем следующее правило:
N(r) = (14.3)
Г
где С — некая константа, a D — размерность, характеризующая множе-
ство Q. В примерах для квадрата и куба, когда для первого известна пло-
щадь, а для второго — объем, С представляет собой, соответственно, либо
площадь, либо объем. Если мы имеем дело с множеством, которое не зна-
ем, С заведомо неизвестно. Согласно выражению для 2V(r) в (14.3) полу-
чаем
<?(г) = 2V(r)r = (14.4)
1
Логарифмирование обеих частей дает
InQ(r) = — (Z) — 1) Inr + InC. (14.5)
С практической точки зрения, можно построить InQ(r) в зависимости
от In г при различных г и по наклону получившейся прямой определить
размерность D.
Определение размерности (14.4) согласуется с (14.1). Для того чтобы
это увидеть, заменим Q(r) в (14.5) на выражение из (14.4) и получим
In 7V(r)r = —D In r -I- In r + In C
In m(r) InC ~ In m(r)
ln(l/r) ln(l/r) ln(l/r)
для малых г.
(14.6)
Это то же самое определение размерности D, что и (14.1), так как 7V(r) =
= m(r). Нужно помнить, что в экспериментальных измерениях использу-
ется увеличение М, а не единица шкалы г. Существует прямая пропорци-
ональность между М и г, а именно, М = ц/г, где ц — коэффициент про-
порциональности, который можно рассчитать. В терминах увеличения М
размерность D определяется преобразованным выражением (14.5):
In Q(M) = -(Р - 1) ln(l/Af) + (14.7)
14.3. Размерность фракталов: принципы и методы расчета 685
Последний член в (14.7) — просто константа, и на данном этапе он
значения не имеет; мы кратко обсудим его позже. Если множество Q яв-
ляется фракталом, то выражение (14.6) представляет собой прямую линию
в координатах log-log. Эксперименты, во время которых измерения произ-
водят при различном масштабе, могут показать, является ли биологическое
множество фракталом или его подобием. Конкретным экспериментальным
примером являются упомянутые выше электронные микрофотографии эн-
доплазматического ретикулума и внешней и внутренней мембран митохон-
дрий, измеренные Паумгартнером и др. (Paumgartner et al. 1981). Здесь Q
представляет собой измерение длины и площади. Авторы построили лога-
рифм различных измерений, Q, в зависимости от логарифма 1 /М, где М —
увеличение; результаты, изображенные на рисунке 14.6, взяты из их статьи.
Обратимся к экспериментальным точкам на рисунке 14.6. При увели-
чении большем, чем в 130000 раз, видно, что размерность фрактала D = 1.
Другими словами, при таком увеличении больше нет тонкой структуры,
и мы видим объект в целом, без какой-либо «скрытой» изрезанности. Мы
знаем, что строго, то есть теоретически, в случае фракталов, например, кри-
вой Коха, предельная длина бесконечно велика. В биологии же, для любо-
го объекта невозможно бесконечно увеличивать степень увеличения. Более
того, существует определенный предел шкалы г, при котором размерность
становится обычной топологической размерностью. На рисунке 14.6 раз-
мерность D = 1 при увеличении больше, чем в 130000 раз, и это позволяет
определить (примерный) физический предел изрезанности структуры.
На данном этапе стоит спросить, зачем нужно знать, что какая-либо
структура представляет собой фрактал. Во многих случаях, ответ будет за-
ключаться в том, что смысла в этом знании немного. Но бывают и ситуа-
ции, когда это знание очень информативно. Предположим, что мы можем
измерить Q, которое на рисунке 14.6 представляет собой длины и площади,
только на небольшом количестве различных масштабов. При этом эти шка-
лы далеки от предельной, относящейся к увеличению в 130000 раз
и выше которой структура имеет целочисленную размерность. Также пред-
положим, что измерения показывают фрактальное поведение и позволя-
ют определить приблизительную фрактальную размерность D. Тогда, со-
гласно (14.4), отношение величин Q, измеренных при шкале г и при шка-
ле гцтц, определяется следующим выражением:
)D-1 / X D-1
=> <2(nimit) = | --- ) Q(r) = A'cQ(r),
y'Himit J
(14-8)
686
Глава 14
где Кс — поправочный множитель для измерений при шкале г. Это выраже-
ние предполагает знание физического предела шкалы г. Одним из способов
практического применения знаний о фрактальном поведении объекта, как
в этом биологическим примере, является измерение определенных вели-
чин. Также это показывает, что выводы, сделанные при наблюдениях на
больших шкалах, могут быть неточными.
Рис. 14.6. Измеренные значения длины и площади определенных мембран клеток
печени крыс как функция от увеличения М: (а) внутренняя мембрана митохондрий,
(Ь) внешняя мембрана митохондрий, (с) эндоплазматический ретикулум. Отметим,
что при увеличении в пределах х18000<М < х 130 000, кривая представляет
собой прямую линию (Перерисовано из Paumgartner et al. 1981). Прямая линия под-
разумевает фрактальное поведение с фрактальной размерностью, D, определяемой
фитированием экспериментальных точек при помощи выражения (14.7). Отметим,
что, согласно графикам, при увеличении больше, чем в 130 000 раз, D = 1
Другой потенциальный способ использования точных пространствен-
ных измерений, особенно площади, связан с расчетом диффузионных по-
токов химических соединений через мембранные поверхности. Количество
вещества, диффундирующего через поверхность, прямо пропорционально
14.3. Размерность фракталов: принципы и методы расчета 687
ее площади. Следовательно, если поверхность представляет собой фрактал
(или псевдо-фрактал), то, зная его размерность, можно получить более точ-
ное значение потока. Конечно, фрактальная «изрезанность» не должна быть
такой, что приближение случайных блужданий для диффузии перестает ра-
ботать, но на практике обычно такого и не случается.
Несамоподобные фракталы и расчет размерности при помощи ячеек
покрытия
Если фрактал не является самоподобным, требуется обобщить нашу
концепцию размерности. Также необходимо получить метод расчета раз-
мерности для любого экспериментального случая. Пример несамоподоб-
ного фрактала показан на рисунке 14.3. Одним из широко применяемых
методов является метод ячеек покрытия, который мы сейчас опишем. Су-
ществуют и другие способы, некоторые из них описаны в упомянутых вы-
ше книгах. В основном, эти методы основаны на измерениях какого-либо
признака на различных шкалах, г, или при разном увеличении, М. По сути,
измерения при заданной шкале не учитывают нерегулярность структуры на
меньших масштабах.
Метод ячеек покрытия основан на том, что объект покрывают регу-
лярной квадратной сеткой (также используют круги и сферы) размера г;
смотри рисунок 14.7. Если измерения производят на плоскости, использу-
ют квадраты, в трехмерных измерениях — кубы. Предположим, что изоб-
раженная на рисунке 14.7(a) исходная гладкая кривая имеет длину L. Тог-
да число ячеек N(r) связано с размерами используемой сетки, которые,
в свою очередь, зависят от единицы шкалы г; здесь 7V(r) ос L/r. Если
мы рассматриваем область площади А, как на рисунке 14.7(c), то число
ячеек 7V(r) ос Air1. В случае степенного закона (14.3), АГ (г) ос L/rD,
и размерность фрактала, согласно (14.6), определяется следующим выра-
жением:
D = lim
г—>0
JV(r)
1п(1/г)
(14.9)
Это справедливо до тех пор, пока существует предел.
Давайте теперь вернемся к клеточным структурам, изображенным на
рисунке 14.1, и рассчитаем их размерность. Для этого покроем клетку сет-
кой квадратных ячеек заданного размера (шкалы), определяемого через г,
и просто посчитаем их. В результате получим 7V(r). Теперь будем после-
довательно уменьшать размер ячейки и построим ln7V(r) в зависимости
от 1п(1/г) при различных г. Мы получим прямую линию, наклон которой
дает размерность D.
688
Глава 14
Рис. 14.7. Различные методы ячеек покрытия в случае кривой на (а) и (Ь) и плос-
кости на (с). В каждой ячейке должна лежать часть кривой или плоскости. В слу-
чае кривой на (а) возможны различные способы покрытия ячейками, что показано
на (Ь). В пределе, при очень маленьких размерах ячеек, их количество, необходимое
для покрытия кривой, на (а) и (Ь) будет одинаковым
Одним из недостатков расчета размерности при помощи ячеек явля-
ется то, что не всегда возможно найти минимальное покрытие; на ри-
сунках 14.7(a) и (Ь) это показано. Метод на рисунке 14.7(a) лучше, чем
на 14.7(b). Существуют и другие способы расчета размерностей фракталов,
лучшим из которых является метод Хаусдорфа, при котором используются
формы различного размера. Несмотря на то, что этот метод с математиче-
ской точки зрения дает более точное значение размерности, расчет с его по-
мощью гораздо сложнее. Простой пример несамоподобного фрактала пока-
зан на рисунке 14.8. Его построение начинается с квадрата, разделенного на
девять маленьких квадратов. Затем случайно один из них удаляется, и полу-
чается множество Si. Каждый из оставшихся восьми квадратов вновь делят
на девять частей, и из каждой ячейки удаляют один квадратик; получает-
ся структура 5*2 - Затем процедуру повторяют. Это фрактальная структура,
элементы которой при уменьшении масштаба качественно подобны всей
фигуре; в данном случае существует некое степенное правило подобия, ко-
торому подчиняются «выжившие» индивидуальные ячейки. Как посчитать
14.4. Фракталы или эффективное заполнение пространства? 689
размерность ячеек этой фрактальной структуры? Если длину стороны ис-
ходного квадрата принять за единицу, то Si состоит из N = 8 равных
квадратов со стороной 1/3; то есть масштаб г = 1/3. Структура S2 состоит
из N = 82 квадратов со шкалой г = (1/3)2. В поколении п получаем струк-
туру Sn, состоящую из N = 8П квадратов с длиной стороны г = (1/3)п.
Согласно (14.9), размерность ячеек определяется выражением:
In 8П
lim ------
r-»oo In3n
In 8
1пЗ
31n2
1пЗ
= 1.893.
В качестве упражнения, рассчитайте размерность ячеек несамоподобного
фрактала, который можно получить из треугольника Серпинского, изобра-
женного на рисунке 14.4, при помощи процедуры, показанной на рисун-
ке 14.8.
Структура Sx
Структура S2
Рис. 14.8. Пример несамоподобного фрактала; описание генератора смотри в тексте
14.4. Фракталы или эффективное заполнение
пространства?
Теперь рассмотрим биологические ситуации, связанные с клетками,
подобными изображенным на рисунке 14.1, объемом легких, занимаемым
альвеолярными мешочками, и обычным плющом, покрывающим стену, как
на рисунке 14.9. Теоретически, в случае легких основной целью являет-
ся максимальное увеличение эффективности обмена кислорода между кро-
вью и воздухом при минимальном расходе пространства. При росте ветвей
плюща кажется, что они покрывают доступную площадь стены оптималь-
ным образом, так, чтобы максимизировать поглощение солнечного света
690
Глава 14
и необходимых газов каждым листом и обеспечить наилучший рост в теп-
лый период. Такого рода ветвящиеся структуры часто встречаются в приро-
де; смотри, например, множество фрактало-подобных природных объектов,
описанных в практически любой книге о фракталах. Являются ли нервные
клетки, изображенные на рисунке 14.1, фракталами, или их форма опреде-
ляется необходимостью эффективного заполнения пространства?
(а) Лето
(Ь) Зима
Рис. 14.9. Заросшая плющом стена летом и зимой. Является ли ветвящаяся струк-
тура на (Ь) фракталом или всюду плотной кривой, позволяющей оптимизировать
расположение листьев (а) летом?
Во второй половине XIX — начале XX века возник значительный инте-
рес к кривым, целиком заполняющим доступное пространство; они носят
название всюду плотных кривых. Это означает, что для любого участка за-
данной области существует кривая, касающаяся каждой точки этого участ-
ка. К биологическому смыслу мы вскоре вернемся. Для того чтобы понять,
как создаются такие кривые, рассмотрим классическую всюду плотную
кривую, описанную в 1891 году Гильбертом. На рисунке 14.10 показаны на-
чальные стадии создания. Пусть длина линейных участков трехсторонней
фигуры на Sq будет равна 1. Следовательно, на промежуточной стадии бу-
дут существовать четыре такие трехсторонние фигуры с длиной линейных
сегментов, равной 1/2. Соединим четыре копии So тремя линиями и полу-
чим Si. Процедура с использованием таких же поворотов и соединением
кривых в различных квадрантах тремя линиями повторяется для получе-
14.4. Фракталы или эффективное заполнение пространства? 691
ния S2. Таким образом, S2 представляет собой 16 копий So, состоящих из
линейных участков длины 1/4. На стадии Sn будет 4п копий So, состоящих
из сегментов длины 1/2п.
Рис. 14.10. Пошаговое создание всюду плотной кривой Гильберта. Начинаем с про-
странства и кривой So, за ними следует промежуточный шаг на втором квадрате,
затем после соединения четырех наборов кривых получаем Si, потом S2, S3 и так
далее. В пределе кривая проходит через каждую точку квадрата
Теория всюду плотных кривых довольно сложна математически, но
с биологической точки зрения она нам не требуется. Рассмотрим орга-
низм, которому требуется оптимизировать заполнение заданной площади
или объема пространства. Одним из способов достижения этой цели явля-
ется ветвящаяся структура, подчиняющаяся локальным правилам развития
для покрытия всего доступного пространства. Развитие кривой на рисун-
ке 14.10 является примером применения такого правила. Будет ли такая
регулярная ветвящаяся структура лучше, чем случайное приспосабливаю-
щееся ветвление, обладающее нормальной топологической размерностью,
не являющееся фракталом и не обладающее самоподобием или любыми
другими изящными геометрическими свойствами, связанными с фрактала-
ми? Ветвление структуры, вне зависимости от того, является ли она фрак-
талом или нет, останавливается, когда расстояние между ветвями достигает
определенного значения, присущего данному конкретному организму. Это
приведет к тому, что на определенном этапе узор достигнет уровня, ниже
которого не будет структуры. Более того, создание более тонкой структу-
692
Глава 14
ры, чем необходимо, было бы непродуктивно. Аккуратный анализ нервных
клеток сетчатки и сосудов, проведенный Панико и Стерлингом (Panico and
Sterling 1995), показал, что эти структуры демонстрируют не больше само-
подобия, чем использованные для контроля не-фракталы. Авторы пришли
к выводу, что эти биологические объекты представляют собой всюду плот-
ные кривые, а не фракталы.
Несмотря на то, что эксперименты могут показать наличие структу-
ры, являющейся фракталом или имеющей нецелочисленную размерность,
обычно в такого рода измерениях играют роль границы, влияющие на по-
лученные в результате графики log-log. Для того чтобы показать, является
ли объект фракталом или нет, нужно доказать, что в данном конкретном
случае граничными эффектами можно пренебречь.
Предостережение
Часто утверждается, что, если какая-либо структура является фракта-
лом, можно сделать вывод о механизмах ее развития. Чаще всего упомина-
ется случай, когда полученная структура качественно напоминает изобра-
женную на рисунке 14.11, то есть типичный узор, полученный при помощи
(а)
(Ь)
Рис. 14.11. Типичная структура, полученная при помощи механизма агре-
гации, ограниченной диффузией. (Воспроизведено с разрешения авторов из
Bassingthwaighte et. al. 1994.) (b) Типичная амакринная клетка из центральной обла-
сти сетчатки кролика: масштаб 1 см — 100/2 м (с рисунка 14.1). (Вслед за Tauchi and
Masland 1984.) Нельзя делать поспешных выводов о механизмах формирования (Ь),
основываясь исключительно на визуальном сходстве со структурой (а)
14.4. Фракталы или эффективное заполнение пространства? 693
агрегации, ограниченной диффузией. Агрегация, ограниченная процессами
диффузии, представляет собой диффузию, при которой частицы движутся
за счет случайного блуждания. Когда частица контактирует с другой части-
цей, она прилипает к ней и больше не может двигаться. Процесс обычно
начинается с группы стационарных частиц, к которым добавляют частицы,
способные к диффузии. В результате образуется пространственная струк-
тура, представляющая собой фрактал. В этом примере агрегации, ограни-
ченной диффузией, можно рассчитать фрактальную размерность; она рав-
на 1.7. Можно, например, применить метод ячеек покрытия и рассчитать
размерность из рисунка. Теперь сравним структуру, изображенную на ри-
сунке 14.11, и клетки с рисунка 14.1. Не раз было высказано предположение
(например, Caserta et al. 1990; Schierwagen 1990), что форма нервных клеток
определяется процессом агрегации, ограниченной диффузией. Такой вывод
ни в коем случае нельзя делать только из-за визуального подобия структур.
Любой модельный механизм, например, агрегация, ограниченная про-
цессами диффузии, должен быть противопоставлен другим биологическим
генераторам пространственных структур при помощи соответствующих
данному объекту экспериментов. Только так можно отличить механизмы
друг от друга. Вследствие того, что создать гипотетические папоротники,
цветную капусту, деревья и так далее очень легко, часто забывают об основ-
ной цели изучения формирования структур в биологии, а именно, понима-
ния и открытия основополагающих биологических процессов, приводящих
к возникновению пространственных структур.
Приложение А
Анализ методом фазовой плоскости
Здесь мы дадим краткое описание автономных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка. Рассмотрим систему сле-
дующего вида:
-£=Лм), ^=5(^2/)- (А.1)
Здесь мы представим лишь основные результаты, необходимые для пони-
мания основного содержания книги. Существует большое количество книг,
рассматривающих анализ методом фазовой плоскости с разной степенью
подробности (Jordan and Smith 1999; Guckenheimer and Holmes 1983). Ка-
чественная теория систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
включая методы фазовой плоскости, хорошо, кратко и практично изложена
Оделлом (Odell 1980). Фазовые кривые или фазовые траектории являются
решениями уравнения:
dx f&,y) ,Д9х
dy д(х,уУ ( ’ }
Через каждую точку (хо, у о) проходит единственная кривая, за исключени-
ем особых точек (xs, ys}, где
f(x3,ys) = д(х3,у3) = 0.
Пусть х —> х — xs, у —> у — у s', следовательно, (0,0) представляет собой
особую точку преобразованного уравнения. Таким образом, не теряя общ-
ности, мы считаем, что (А.2) имеет особую точку в начале координат, то
есть
f(x,y) = д(х,у) = 0 => х = 0,у = 0. (А.З)
Если f и д — аналитические функции вблизи (0,0), можно разложить f
и д в ряд Тейлора. Оставим только линейные члены:
<&ах + Ьу А(а b\(fx fy\ (А4)
dy cx + dy \ с d J \9х ду J (0 0)
Анализ методом фазовой плоскости
695
Это определение матрицы А и констант а, Ь, с и d. Линейная форма экви-
валентна следующей системе:
dx dy
— = ах + by, — = сх 4- dy. (А.5)
Решения (А.5) дают параметрические формы фазовых кривых; t является
параметром.
Пусть Ai и А2 представляют собой собственные значения матрицы А,
заданной в (А.4), то есть
= 0 => Ai,А2 = ^(a+d±[(a+d)2 — 4detА]1/2). (А.6)
Следовательно, решения (А.5) имеют вид:
( У ) = C1V1 ехр[А1£] + C2V2 exp[A2t], (А.7)
где ci и С2 — произвольные константы, в Vi и V2 — собственные векторы
матрицы А, относящиеся, соответственно, к Ai и А2. Собственные векторы
определяются выражением
vi = (l+A2)-1/2f 1 Y Рг = ^-р, b^O, г = 1,2. (А.8)
\ Рг / О
Исключение параметра t в (А.7) дает фазовые кривые на плоскости (х, у).
Выражение (А.7) используется, если собственные значения не равны.
Если же они равны, решения будут пропорциональны (ci 4- c2t) ехр[At].
Типы (линейных) особых точек на фазовой плоскости
I) Ai, А2 являются действительными числами и не равны друг другу:
a) Ai и А2 имеют одинаковый знак. Типичные собственные век-
торы vi и V2 показаны на рисунке A. 1(a). Пусть А2 < Ai < 0.
Следовательно, согласно (А.7), например, при С2 = 0, ci 0,
справедливо выражение:
( у ) = C1V1 exptA1^‘
696
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Следовательно, решение на фазовой плоскости просто движет-
ся вдоль vi в сторону начала координат при t оо. Направ-
ление показано на рисунке A. 1(a): решение движется вдоль РО,
если ci > 0, и вдоль QO, если ci < 0.
Согласно (А.7), каждое решение стремится к (0,0) при t —> оо,
так как если А2 < Ai < 0, ехр[А2^] = о(ехр[А1ф при t —> 00.
Следовательно,
~ C1V1 exp[Ait] при t —► 00.
Таким образом, вблизи начала координат все решения стремят-
ся к нулю вдоль vi, как показано на рисунке A. 1(a). Такая осо-
бая точка называется «узел» (тип I). Если Ai А2 < 0, это бу-
дет устойчивый узел, так как все траектории стремятся к (0,0)
при t оо. Если Ai > А2 > 0, это неустойчивый узел;
здесь (х, у) —> (0,0) при t —> оо.
б) Ai и А2 имеют разные знаки. Предположим, например, что Ai <
0 < А2. Следовательно, vi exp[Ait] —> 0 вдоль vi при t —► 00,
тогда как V2 ехр[А2^] 0 вдоль V2 при t —> — 00.
Таким образом, движение вдоль vi и V2 происходит в разных на-
правлениях; решения вблизи (0,0) показаны на рисунке A. 1(b).
Такая особенность называется «седловой точкой». Она всегда
неустойчива', за исключением движения строго вдоль vi, любое
отклонение от (0,0) будет экспоненциально возрастать.
Ai, А2 являются комплексными числами: Ai, А2 = а ± i(3, /3 0.
Решения (А.7) в этом случае включают в себя exp[otf] ехр[±г/3] и, сле-
довательно, колебательно приближаются к (0,0).
а) а 0. В этом случае получается «фокус», устойчивый при а < 0,
и неустойчивый при а > 0; на рисунке A. 1(c) показана особая
точка типа «фокус».
б) а = 0. В этом случае фазовые кривые представляют собой эллип-
сы. Такая особая точка называется «центр»; она изображена на
рисунке A. 1(d). «Центры» не являются устойчивыми в обычном
смысле; малое отклонение от одной из фазовых кривых не за-
тухает, и система не возвращается на исходную невозмущенную
кривую. Отклонение просто приводит к другому решению. В слу-
чае особенностей такого типа, найденных при помощи линейного
Анализ методом фазовой плоскости
697
(Ь)
(f)
Рис. А.1. Типичные примеры базовых линейных особых точек на фазовой плоскости
для решений системы (А.4). (а) Узел (тип I): может быть как устойчивым (показан
на рисунке), так и неустойчивым. (Ь) Седловая точка: всегда неустойчива, (с) Фокус:
может быть как устойчивым, так и неустойчивым, (d) Центр: нейтрально устойчив,
(е) Узел (тип II): может быть и устойчивым, и неустойчивым, (f) Дикритическая
точка: может быть и устойчивой, и неустойчивой
698
Приложение А
приближения f(x,y) и д(х,у), необходимо рассматривать члены
более высокого порядка (чем линейные) для того, чтобы опреде-
лить, является ли точка фокусом или нет, и, следовательно, явля-
ется ли она устойчивой или неустойчивой.
Ill) Ai = А2 = А. Здесь собственные значения равны.
а) Решения включают члены типа t ехр [At] и в данном случае суще-
ствует только один собственный вектор v, вдоль которого реше-
ния стремятся к (0,0). Параметр t в texp[At] влияет на решения
вдали от (0,0). Эта точка называется «узел» (тип II); она изобра-
жена на рисунке A. 1(e).
б) Если решения не содержат члена t ехр[At], то особая точка назы-
вается дикритической, и может быть как устойчивой, так неустой-
чивой, в зависимости от знака А. Траектории вблизи дикритиче-
ской особой точки показаны на рисунке A. 1(f).
Тип особой точки зависит от параметров а, Ь, с и d в матрице А в (А.4).
На рисунке А.2 подведен итог приведенным выше результатам в терминах
следа и определителя матрицы А.
Если система (А.1) обладает замкнутой поверхностью (то есть обла-
стью на границе ЭВ, где вектор (dx/dt, dy/dt) направлен внутрь этой обла-
сти), окружающей единственную особую точку типа неустойчивого «фоку-
са» или «узла», то любая фазовая траектория не может со временем стре-
миться к особой точке и не может выйти за границы замкнутой поверхно-
сти. Теорема Пуанкаре-Бендиксона утверждает, что при t —* оо, траектория
будет стремиться к решению с предельным циклом. Это самое простое при-
менение теоремы. Если эта особая точка представляет собой «седло», пре-
дельный цикл существовать не может (доказательство теоремы, способы
ее применения и некоторые практические примеры см. в Jordan and Smith
1999).
Анализ методом фазовой плоскости
699
Рис. А.2. Итоговая диаграмма, показывающая, как tr А и det А, где А — матри-
ца (А.4), влияют на тип особой точки на фазовой плоскости. Здесь det А — fxgy —
— fygx, tr А = fx + ду, где частные производные рассчитываются в особой точке,
решении f(x,y) = д{х,у} = О
Приложение В
Условия Рауса-Гурвица, критерий
Джури, правило знаков Декарта
и точные решения кубического
уравнения
В.1. Характеристические многочлены, критерий
Рауса-Гурвица и критерий Джури
Линейная устойчивость систем обыкновенных дифференциальных
уравнений, описывающих, например, популяционные модели и кинетиче-
ские системы реакций (ср. главы 3 и 6), определяется корнями многочленов.
Интересующий нас анализ на устойчивость связан с линейными системами
в векторной форме следующего вида:
37=Лх’ (В.1)
dt
где А — матрица линеаризованных нелинейных членов взаимодействия/реак-
ции: это якобиан в окрестности стационарного состояния; в экологии он
называется матрицей сообщества. Решения можно получить, подставив
в (В.1)
х = xoeAt, (В.2)
где хо — постоянный вектор, а собственные значения А представляют собой
корни характеристического многочлена:
\А-Х1\=0, (В.З)
где I — единичная матрица. Решение х = 0 устойчиво, если все корни А
характеристического многочлена лежат в левой части комплексной плоско-
сти, то есть ReA < 0 для всех корней А. Если это условие выполняется,
В.1. Характеристические многочлены, критерий Рауса-Гурвица 701
то х —► 0 экспоненциально при t —► оо, и, следовательно, х = 0 устойчиво
к малым (линейным) возмущениям.
Для системы порядка п можно записать характеристический много-
член в следующем общем виде:
Р(А) — Хп + diXn 1 + • • • + dn — 0,
(В.4)
где коэффициенты аг, г = 0,1,..., п, являются действительными числа-
ми. Мы автоматически подразумеваем, что dn 0, так как в противном
случае А = 0 является решением, и многочлен имеет порядок п — 1. Мы
накладываем на di9 i = 0,1,...,п, следующее условие: нули Р(А) долж-
ны иметь ReA < 0. Необходимым и достаточным условием выполнения
этого неравенства является выполнение условий Рауса-Гурвица. Существу-
ет множество эквивалентных форм записи этих условий, одной из которых,
при dn > 0, является следующая:
7?i = > 0, Т?2 —
ai аз
1 d2
di аз as
Рз = 1 а2 d4 > о,
0 а2 аз
Dk
•
d2 d4
di аз
1 d2
(В.5)
> 0, к = 1, 2,..., п.
0 0
ак
Вывод этих условий при помощи методов комплексных переменных приво-
дится в стандартных учебниках по теории динамических систем (например,
Willems 1970). Например, для кубического уравнения
А3 И- aiA2 + аз А -I- аз — 0
условия для Re А < 0 выглядят следующим образом:
ai >0, аз > 0; aiag — аз > 0.
Надо сказать, что сложно представить кого-либо, кто бы стал использовать
эти условия для многочленов выше пятого порядка.
Несмотря на то, что (В.5) — необходимые и достаточные условия, ча-
сто бывают полезными стандартные алгебраические соотношения между
корнями и коэффициентами многочлена. Если Ai,..., Ап — неравные друг
702
Приложение В
другу ненулевые корни многочлена (В.4), соотношения будут иметь следу-
ющий вид:
п п
А$ — oi, = (12ч • • • ч А1А2 • • • Ап — ( 1) dn. (В.6)
г=1 i,j
Существуют полезные методы получения качественных результатов
с использованием непосредственно на матрицах условий Рауса-Гурвица
совместно с концепцией сетей (см. Lewis 1997).
В случае дискретных систем взаимодействующих популяций (ср. гла-
ва 3) и в случае модели одной популяции с задержкой (ср. глава 2) устойчи-
вость тоже определяется корнями характеристического уравнения (ср. раз-
дел 3.10 в главе 3). Линеаризованные системы также приводят к матрич-
ным формам типа (В.З) и, следовательно, многочленам типа (В.4). В слу-
чае уравнений с запаздыванием, скажем, с запаздыванием в п временных
шагов, необходимо решить линейное дифференциальное уравнение следу-
ющего вида:
— b^Ut + • • • + bnUt-n.
Примером такого уравнения может служить (2.37) в главе 2. Это уравнение
можно решить, задав ut ос А*. Это вновь приведет к появлению многочлена
относительно А. Но в данном случае линейная устойчивость определяется
величиной А: для устойчивости требуется, чтобы |А| < 1, так как в этом
случае и* —> 0 при t —> оо. Таким образом, для анализа на линейную устой-
чивость дискретных систем нам необходимо наложить условия на коэффи-
циенты характеристического многочлена таким образом, чтобы решения А
были меньше 1. Для этого подходит критерий Джури.
Критерий Джури дан, например, в книге Льюиса (Lewis 1977), посвя-
щенной описанию нескольких интересных аналитических и численных ме-
тодов, связанных с размерами и знаками корней многочленов. Пусть для
многочлена Р(А) в (В.4) выполняется:
= 1 Ьп— 1 — di dndn-iy • • • ч bfi—j — dj ,
bi — dn—1 andi]
cn — bn cn—i = bnbn—i • • • 4
cn—j — bnbn—j bibj+i,... , C2 — bnb2 bibn—i]
Cn ^2ч • • • ч dn—j ^nCfi—j d2Cj_^24 • • • ч CnC3 C2Cn—l,
и так до тех пор, пока не останутся три элемента следующего вида:
2 2
Зп ~ rп гп—3? ^п— 1 = гпгп—1 гп—Згп—2ч Зп—2 ~ гпгп—2 ^п—З^п—1 •
В.2. Правило знаков Декарта
703
Условия Джури (необходимые и достаточные), обеспечивающие то, что кор-
ни многочлена Р(А) в (В.4) меньше 1, записываются следующим образом:
Р(1)>0, (—l)nP(—1) > 0,
|ап|>1, |М > Iftil, (В.7)
|| > |О?1 ч |^п| > |^31 ч • • • ч |^п| |^п—2|*
В.2. Правило знаков Декарта
Рассмотрим многочлен (В.4) и, как и раньше, не нарушая общности,
примем ап > 0. Пусть N — число изменений знака в ряду коэффициен-
тов {an, an_i,..ао}; нулевые коэффициенты не учитываются. Согласно
правилу знаков Декарта, существует максимум N действительных и поло-
жительных корней многочлена (В.4), и дальше, что существует N,N —
— 2,N — 4,... действительных положительных корней. Задав и = — А
и вновь применив правило, можно получить информацию о возможном
числе отрицательных действительных корней. Вместе эти результаты дают
бесценную информацию о знаках всех корней, и, с точки зрения устойчи-
вости, обычно больше ничего не требуется.
В качестве примера рассмотрим следующий многочлен:
А3 + а2А2 — ai А + а0 = 0, ai > 0 для любых г = 0,1,2. (В.8)
В ряду коэффициентов происходят два изменения знака, следовательно,
существуют два или ноль действительных положительных корня. Теперь
пусть А = —и. Уравнение принимает следующий вид:
и?3 — — a-\uj — ао = 0.
Здесь в последовательности происходит одна смена знака, и, следователь-
но, существует не больше одного отрицательного действительного корня
Это означает, что многочлен (В.8) имеет один отрицательный корень А.
В.З. Корни кубического многочлена общего вида
Иногда полезно знать точные значения корней характеристического
многочлена, какими бы сложными они ни были. Несмотря на то, что воз-
можно найти корни и для многочленов, порядок которых больше трех,
сложность вычислений обычно не стоит затраченных усилий. Корни куби-
ческого многочлена, возможно, самые сложные из тех, которые нам когда-
либо понадобятся (их простой вывод см. в Miura 1980 и Namias 1985).
В таблице В.З в явном виде даны корни кубического многочлена.
Таблица В.1. Корни кубического многочлена Р(А) = Л3 4- АХ2 4- ВХ 4- С, где А, В и С — действительные числа g
Л3 + АА2+ +ВХ + С = 0 А = 3а, В = ЗЬ, а = а2 — Ь, 0 = 2а3 - ЗаЬ + С
а>0 /3>0 Ai = —а А2 = (За)1/2 — а Аз = —(За)1/2 - а
|/3| 2а3/2 Ai = 2а1/2 sin </> — а ф = (1/3) sin-1 {/3/[2а3/2]} Аг = —2а1/2 sin(7r/3 4- ф) — а —тг/6 < ф < тг/6 Аз = 2а1/2 sin(7r/3 — </>) — а
0 > 2а3/2 Ai = —2а1/2 cosh ф — а ф = (1/3) cosh-1 {|/3|/[2а3/2]} Аг = —а1/2 cosh?/; — а4- 4-i(3a)1/2sinh'i/>
/3 < 2а3/2 Ai = —2а1/2 cosh?/; — а Аг = —a1/2 cosh?/; — а4- 4-s(3a)1/2sinh?/; Аз = —a1/2 cosh?/; — а— —z(3a)1/2sinh?/;
а = 0 —оо < /3 < оо А1 =-/?1/з_а А2 = (3^3/2 - а 4- Зг/32/3/4 А3 = (3^3/2 -а- Зг/?2/3/4
а < 0 —оо < (3 < оо Ai = —2(—a)1/2 sinh# — а 6= (1/3) sinh’1 {/?/[2(-а)3/2]} Аг = (—a)1/2 sinh# — а4- 4-s(-3a)1/2cosh# Аз = (—a)1/2 sinh# - а- —г(—За)1/2 cosh#
Приложение В
Литература
[1] AIDS. Defeating AIDS: What will it take? Sci. Amer., 279:61-87, July
1998.
[2] D. Aikman and G. Hewitt. An experimental investigation of the rate and
form of dispersal in grasshoppers. J.Appl. Ecol. 9:807-817, 1972.
[3] M. Alpert. Where have all the boys gone? Sci. Amer, 279:22-23, 1998.
[4] W. Alt and D. A. Lauffenburger. Transient behavior of a chemotaxis
system modelling certain types of tissue inflamation. J. Math. Biol.,
24:691-722, 1987.
[5] A. J. Ammerman and L. L. Cavalli-Sforza. Measuring the rate of spread of
early fanning. Man, 6:674-688, 1971.
[6] A. J. Ammerman and L. L. Cavalli-Sforza. The Neolithic Transition and
the Genetics of Populations in Europe. Princeton University Press, NJ,
Princeton, 1983.
[7] R. A. Anderson, E.M. Wallace, N. P. Groome, A. J. Bellis and F. C. Wu.
Physiological relationships between inhibin B, follicle stimulating
hormone secretion and spermatogenesis in normal men and response
to gonadotrophin suppression by exogenous testosterone. Human
Reproduction, 12:746-751, 1997.
[8] R. M. Anderson. The epidemiology of HIV infection: variable incubation
plus infectious periods and heterogeneity in sexual activity. J. Roy. Stat.
Soc. (A), 151:66-93, 1988.
[9] R. M. Anderson and R. M. May. Directly transmitted infectious diseases:
control by vaccination. Science, 215:1053-1060, 1982.
[10] R.M. Anderson and R. M.May. Vaccination and herd immunity to
infectious diseases. Nature, 318:323-329, 1985.
[11] R.M.Anderson and R.M.May. The invasion, persistence and spread of
infectious diseases within animal and plant communities. Phil. Trans. Roy.
Soc. bond. B, 314:533-570, 1986.
706
Литература
[12] R.M. Anderson and R.M. May, editors. Infectious Diseases of Humans:
Dynamics and Control. Oxford University Press, Oxford, 1991.
[13] R.M.Anderson, G.F.Medley, R.M.May and A.M.Johnson. Aprelimi-
nary study of the transmission dynamics of the human immunodeficiency
virus (HIV), the causitive agent of AIDS. IMA J. Maths. Appl. in Medicine
and Biol., 3:229-263, 1986.
[14] R.M.Anderson and W.Trewhella. Population dynamics of the
badger (Meles meles) and the epidemiology of bovine tuberculosis
(Mycobacterium bovis). Phil. Trans. R. Soc. Lond. B, 310:327-381, 1985.
[15] K. Aoki. Gene-culture waves of advance. J. Math. Biol, 25:453-464,1987.
[16] R. Arnold, K. Showalter and J. J. Tyson. Propagation of chemical reactions
in space. J. Chem. Educ., 64:740-742, 1987. Translation of: Luther,
R.-L.: Rauemliche Fortpflanzung Chemischer Reaktionen. In Z. fur
Elektrochemie und angew. physikalische Chemie, vol. 1232, pp. 506-600,
1906.
[17] D.G. Aronson. Density-dependent interaction-diffusion systems. In
W. E. Stewart, W. H. Ray and С. C. Conley, editors. Dynamics and Model-
ling of Reactive Systems, pages 161-176. Academic Press, New York,
1980.
[18] J.-P. Aubin. Viability Theory. Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1991.
[19] D. Avnir, O. Biham, D. Lidar and O. Malcai. Is the geometry of nature
fractal? Science, 279:39-40, 1998.
[20] P. Bacchetti, M. R. Segal and N. P. Jewell. Backcalculation of HIV infec-
tion rates. Statist. ScL. 8:82-101, 1993.
[21] P. F. Baconnier, G. Benchetrit, P. Pachot and J. Demongeot. Entrainment
of the respiratory rhythm: a new approach. J. Theor. Biol., 164:149-162,
1993.
[22] N. T. J. Bailey. The Mathematical Theory of Infectious Diseases. Griffin,
London, second edition, 1975.
[23] D. Barkley, J. Ringland and J. S. Turner. Observations of a torus in a model
for the Belousov-Zhabotinskii reaction. J. Chem. Phys., 87:3812-3820,
1987.
[24] J. B. Bassingthwaighte, L. S. Liebovitch and B. J. West. Fractal Physio-
logy. Oxford University Press, New York, 1994.
Литература
707
[25] М. Т. Beck and Z. B.Varadi. One, two and three-dimensional spatially
periodic chemical reactions. Nature, 235:15-16, 1972.
[26] J. R. Beddington, C. A. Free and J. H. Lawton. Dynamic complexity in
predator-prey models framed in difference equations. Nature, 255:58-60,
1975.
[27] J. R. Beddington and R. M. May. Harvesting natural populations in a
randomly fluctuating environment. Science, 197:463-465, 1977.
[28] В. P. Belousov. An oscillating reaction and its mechanism. In Sbom,
referat. radiat. med. {Collection of abstracts on radiation medicine), page
145. Medgiz, Moscow, 1959.
Белоусов Б. П. (1958). Периодически действующая реакция и ее меха-
низмы: сборник рефератов по радиационной медицине за 1958 год. —
Москва. — С. 145.
[29] В. Р. Belousov. A periodic reaction and its mechanism. In R. J. Field
and M. Burger, editors. Oscillations and Travelling Waves in Chemical
Systems, 1951 (from his archives (in Russian)), pages 605-613. John
Wiley, New York, 1985.
[30] G. Benchetrit, P. Baconnier and J. Demongeot. Concepts and Forma-
lizations in the Control of Breathing. Manchester University Press,
Manchester, 1987.
[31] L. M. Benedict, E. Abell and B. Jegasothy. Telogen effluvium associated
with eosinophilia-myalgia syndrome. A. American Acad. Dermatol,
25:112-114, 1991.
[32] E. Benoit, J. L. Callot, F. Diener and M. Diener. Chasse au canard.
Collectanea Mathematica, 32:37-119, 1981.
[33] D. D. Bentil and J. D. Murray. Pattern selection in biological pattern
formation mechanisms. Appl. Maths. Letters, 4:1-5, 1991.
[34] D. E. Bentil and J. D. Murray. Modelling bovine tuberculosis in badgers.
J. Animal Ecol., 62:239-250, 1993.
[35] P. M. Bentler and M. D. Newcomb. Longitudinal study of marriage success
and failure. J. Consulting and Clinical Psychol., 46:1053-1070, 1978.
[36] M. J. Benton. Vertebrate Palaeontology. Chapman and Hall, London,
1997.
[37] C. Berding. On the heterogeneity of reaction-diffusion generated patterns.
Bull. Math. Biol., 49:233-252, 1987.
708
Литература
[38] С. Berding, А. Е. Keymer, J. D. Murray and A. F. G. Slater. The population
dynamics of acquired immunity to helminth infections. J. Theor. Biol.,
122:459-471, 1986.
[39] C. Berding, A. E. Keymer, J. D. Murray and A. E G. Slater. The population
dynamics of acquired immunity to helminth infections: experimental and
natural infections. J. Theor. Biol., 126:167-182, 1987.
[40] D. Bernoulli. Essai d‘une nouvelle analyse de la mortalite causee par la
petite verole, et des avantages de Г inoculation pour la prevenir. Histoire
de Г Acad. Roy. Sci. (Paris) avec Mem. des Math, et Phys, and Mem.,
pages 1-45, 1760.
[41] E. N. Best. Null space in the Hodgkin-Huxley equations: a critical test.
Biophys. J, 27:87-104, 1979.
[42] J. A. M. Borghans, R. J. DeBoer and L. A. Segel. Extending the quasi-
steady state approximation by changing variables. Bull. Math. Biol.,
58:43-63, 1996.
[43] E Brauer and D. A. Sanchez. Constant rate population harvesting:
equilibrium and stability. Theor. Population Biol., 8:12-30, 1975.
[44] W. C. Bray. A periodic reaction in homogeneous solution and its relation
to catalysis. J. Amer. Chem. Soc., 43:1262-1267, 1921.
[45] N.E Britton. Reaction-Diffusion Equations and their Applications to
Biology. Academic Press, New York, 1986.
[46] N. F. Britton and J. D. Murray. The effect of carbon monoxide on haem-
facilitated oxygen diffusion. Biophys. Chem., 7:159-167, 1977.
[47] M. Brons and K. Bar-Eli. Canard explosion and excitation in a model
of the Belousov-Zhabotinsky reaction. J. Physical Chem., 95:8706-8713,
1991.
[48] J. A. Brown, S. Harris and P.C.L. White. Persistence of mycobacterium
bovis in cattle. Trends Microbiol., 2:43-46-8713, 1994.
[49] BTEC. The Australian brucellosis and tuberculosis eradication campaign.
Technical Report 97, AGPS, Canberra, 1987.
[50] J. T. Buchanan and A. H. Cohen. Activities of identified interneurons,
motomeurons and muscle fibers during Active swimming in the lamprey
and effects of reticulospinal and dorsal cell stimulation. J. of Neurophys.,
47:948-960, 1982.
Литература
709
[51] J. Buck. Synchronous rhythmic flashing of fireflies. II [published erratum
appears in Q.Rev. Biol. 1989 Jun; 64(2): 146]. Q.Rev. Biol., 63(3):265-
289, 1988.
[52] J. Buck and E. Buck. Synchronous fireflies. Sci. Amer., 234(5):74-79,82-
85, 1976.
[53] M. A. Burke, P. K. Maini and J. D. Murray. On the kinetics of suicide
substrates. Biophys. Chem., 37:81-90, 1990. Jeffries Wyman Anniversary
Volume.
[54] H.R. Bustard. Breeding the gharial (Gavialis gangeticus)-. captive
breeding a key conservation strategy for endangered crocodiles. In The
Structure, Development and Evolution of Reptiles, volume 52 of Symp.
Zool. Soc. bond., pages 385^4-06, Academic Press, London, 1984.
[55] A. E. Butterworth, M. Kapron, J. S. Cordingley, P.R. Dalton, D.W. Dun-
ne, H. C. Kariuki, G. Kimani, D. Koech, M. Mugambi, J. H. Ouma,
M. A. Prentice, B. A. Richardson, T. K. Arap Siongok, R. F. Stur-rock and
D. W. Taylor. Immunity after treatment of human schistomiasis mansoni.
II. Identification of resistant individuals and analysis of their immune
responses. Trans. Roy. Soc. Trop. Med. Hyg., 79:393^4-08, 1985.
[56] J. W. Cahn. Free energy of a non-uniform system. II. Thermodynamic
basis. J. Chem. Phys., 30:1121-1124, 1959.
[57] J. W. Cahn and J. E. Hilliard. Free energy of a non-uniform system.
I. Interfacial free energy. J. Chem. Phys., 28:258-267, 1958.
[58] J. W. Cahn and J. E. Hilliard. Free energy of a non-uniform system.
III. Nucleation in a two-component incompressible fluid. J. Chem. Phys.,
31:688-699, 1959.
[59] J. Canosa. On a nonlinear diffusion equation describing population
growth. IBM J. Res. and Dev., 17:307-313, 1973.
[60] V. Capasso and S. L. Paveri-Fontana. A mathematical model for the 1973
cholera epidemic in the European Mediterranean region. Rev. Epidem. et
SantePubl., 27:121-132, 1979.
[61] C. Carelli, F. Audibert, J. Gaillard and L. Chedid. Immunological castra-
tion of male mice by a totally synthetic vaccine administered in saline.
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 79:5392-5395, 1982.
[62] R. L. Carroll. Vertebrate Palaeontology and Evolution. Freeman, New
York, 1988.
710
Литература
[63] М. Cartwright and М. A. Husain. A model for the control of testosterone
secretion. J. Theor. BioL, 123:239-250, 1986.
[64] F. Caserta, H.E. Stanley, W.D. Eldred, G. Daccord, R.E. Hausman and
J.Nittman. Physical mechanism underlying neurite outgrowth: a quan-
titative analysis of neuronal shape. Phys. Rev. Lett., 64:95-98, 1990.
[65] H. Caswell, editor. Matrix Population Models'. Construction, Analysis and
Interpretation. Sinauer Associates, Sunderland, MA, 1989.
[66] B. Charlesworth. Evolution in Age-structured Populations. Cambridge
University Press, Cambridge, 1980.
[67] E. L. Chamov and J. Bull. When is sex environmentally determined?
Nature, 266:828-830, 1977.
[68] A. Cheer, R. Nuccitelli, G.F. Oster and J.-P. Vincent. Cortical activity in
vertebrate eggs. I: The activation waves. J. Theor. Biol., 124:377^404,
1987.
[69] C. L. Cheeseman, J. W. Wilesmith and F. A. Stuart. Tuberculosis: the
disease and its epidemiology in the badger, a review. Epid. Inf., 103:113-
125, 1989.
[70] C. L. Cheeseman, J. W. Wilesmith, F. A. Stuart and P. J. Malhnson. Dyna-
mics of tuberculosis in a naturally infected badger population. Mammal
Review, 18:61-72, 1988.
[71] C.W. Clark. Mathematical Bioeconomics, the optimal control of renew-
able resources. John Wiley, New York, 1976a.
[72] C. W. Clark. A delayed-recruitment model of population dynamics with
an application to baleen whale populations. J. Math. Biol., 3:381-391,
1976b.
[73] C.W. Clark. Bioeconomics Modeling and Fishery Management. Wiley
Interscience, New York, 1985.
[74] C. W. Clark. Mathematical Bioeconomics. John Wiley, New York, 1990.
[75] E. D. Clements, E. G.Neal and D. W. Yalden. The national badger sett
survey. Mammal Review, 18:1-9, 1988.
[76] A. H. Cohen and R. M. Harris-Warrick. Strychnine eliminates alternating
motor output during Active locomotion in lamprey. Brain Res., 293:164-
167, 1984.
Литература
711
[77] А. Н. Cohen, Р. J. Holmes and R. R. Rand. The nature of coupling between
segmental oscillators and the lamprey spinal generator for locomotion: a
mathematical model. J. Math. Biol., 13:345-369, 1982.
[78] A. H. Cohen, S. Rossignol and S. Grillner, editors. Neural Control of
Rhythmic Movements in Vertebrates. John Wiley, New York, 1988.
[79] A. H. Cohen and P. Wallen. The neuronal correlate of locomotion in fish.
Exp. Brain Res., 41:11-18, 1980.
[80] D. S. Cohen and J. D. Murray. A generalized diffusion model for growth
and dispersal in a population. J. Math. Biol., 12:237-249, 1981.
[81] J. E. R. Cohen and J. D. Murray. On nonlinear convection dispersal effects
in an interacting population model. SIAMJ.Appl. Math., 43:66-78, 1983.
[82] Y. Cohen, editor. Applications of Control Theory in Ecology, volume 73 of
Led. Notes in Biomathematics. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New
York, 1987.
[83] E. H. Colbert and M. Morales. Evolution of the Vertebrates: A History of
Backboned Animals through Time. Wiley and Liss, New York, 1991.
[84] L. C.Cole. The population consequences of life history phenomena.
Q. Rev. Biol., 29:103-137, 1954.
[85] H. Connor, H. F. Woods, J. G. G. Ledingham and J. D. Murray. A model
of L+ lactate metabolism in normal man. Annals of Nutrition and
Metabolism, 26:254-263, 1982a.
[86] H. Connor, H. E Woods, J. D. Murray and J. G. G. Ledingham. Utilisation
of L+ lactate in patients with liver disease. Annals of Nutrition and
Metabolism, 26:308-314, 1982b.
[87] J. Cook, R.C. Tyson, J. White, R. Rushe, J. Gottman and J. D. Murray.
Mathematics of marital conflict: qualitative dynamic mathematical
modeling of marital interaction. J. Family Psychology, 9:110-130, 1995.
[88] O. Cosivi, J. M. Grange, C. J. Dabom et al. Zoonotic tuberculosis due
to Mycobacterium bovis in developing countries. Emerging Infectious
Diseases, 4:59-69, 1998.
[89] M. Cosnard and J. Demongeot. Attracteurs: une approche deterministe.
C.R.Acad. Set, 300:551-556, 1985.
[90] J. Crank. The Mathematics of Diffusion. Clarendon Press, Oxford, 1975.
712
Литература
[91] S. S. Cross. The application of fractal geometric analysis to microscopic
images. Micron, 1:101-113, 1994.
[92] S. S. Cross and D. W. K. Cotton. Chaos and antichaos in pathology. Human
Pathol, 25:630-637, 1994.
[93] P. Cvitanovic. Universality in Chaos. Adam Hilger, Bristol, 1984.
[94] C. J. Dabom and J. M. Grange. HIV/AIDS and its implications for the
control of animal tuberculosis. Brit. Vet. J., 149:405-417, 1993.
[95] J. C. Dallon and H.G. Othmer. A discrete cell model with adaptive
signalling for aggregation of Dictyostelium discoideum. Phil. Trans.
R.Soc. bond. B, 352:391-417, 1997.
[96] P. DeBach. Biological Control by Natural Enemies. Cambridge University
Press, Cambridge, 1974.
[97] R. J. DeBoer and A. S. Perelson. T-cell repertoires and competitive
exclusion. J. Theor. Biol., 169:375-390, 1994.
[98] O. Decroly and A. Goldbeter. From simple to complex oscillatory
behaviour: analysis of bursting in a multiply regulated biochemical
system. J. Theor. Biol., 124:219-250, 1987.
[99] D.C. Deeming and M. W. J. Ferguson. Environmental regulation of sex
determination in reptiles. Phil. Trans. R.Soc. bond. B, 322:19-39, 1988.
[100] D.C.Deeming and M.W.J.Ferguson. The mechanism of temperature
dependent sex determination in crocodiUans: a hypothesis. Am. Zool.,
29:973-985, 1989a.
[101] D.C.Deeming and M.W.J.Ferguson. In the heat of the nest. New
Scientist, 25:33-38, 1989b.
[102] D. Dellwo, H. B. Keller, B. J. Matkowsky and E. L. Reiss. On the birth of
isolas. SIAMJ.Appl. Math., 42:956-963, 1982.
[103] J. Demongeot and C. Jacob. Confmeurs: une approche stochastique.
C.R.Acad. Set, 56:206-210, 1989.
[104] J. Demongeot, P. M. Kulesa and J. D. Murray. Compact set valued flows:
Applications in biological modelling. Ada Biotheoretica, 44:349-358,
1996.
[105] J. Demongeot, P. Pachot, P. Baconnier, G. Benchetrit, S. Muzzin and
T. Pham Dinh. Entrainment of the respiratory rhythm: concepts and
techniques of analysis. In G. Benchetrit, P. Baconnier and J. Demongeot,
Литература
713
editors. Concepts and Formalizations in the Control of Breathing, pages
217-232. Manchester University Press, Manchester, 1987.
[106] O. Diekman, J. A. P. Heesterbeek and J. A. J. Metz. On the definition and
the computation of the basic reproduction ratio Rq in models for infectious
diseases in heterogeneous populations. J. Math. BioL, 28:365-382, 1990.
[107] O. Diekmann and J. A. P. Heesterbeek. Mathematical Epidemiology of
Infectious Diseases: Model Building, Analysis and Interpretation. John
Wiley, New York, 2000.
[108] D.C. Dietz and T.C. Hines. Alligator nesting in North Central Florida.
Copeia, 2:249-258, 1980.
[109] K. Dietz. The population dynamics of onchocersiasis. In R. M. Anderson,
editor. Population Dynamics of Infectious Diseases, pages 209-241.
Chapman and Hall, London, 1982.
[ПО] K. Dietz and К. P. Hadeler. Epidemiological models for sexually
transmitted diseases. J. Math. Biol., 26:1-25, 1988.
[Ill] K. Dietz and D. Schenzle. Mathematical models for infectious disease
statistics. In A Celebration of Statistics: The ISI (International Statistics
Institute) Centenary Volume, pages 167-204. Springer-Verlag, New York,
1985.
[112] C. A. Donnelly, N. M. Ferguson, A. C. Ghani, M. E. J. Woolhouse,
C. J. Watt and R. M. Anderson. The epidemiology of BSE in cattle
herds in great britain. I. Epidemiological processes, demography of cattle
and approaches to control and culling. Phil. Trans. R. Soc. bond. B,
352:781-801, 1997.
[113] S. Douady and Y. Couder. Phyllotaxis as a physical self-organised growth
process. Phys. Rev. Letters, 68:2098-2101, 1992.
[114] S. Douady and Y. Couder. La physique des spirales vegetales. La
Recherche, 24(250):26-35, 1993a.
[115] S. Douady and Y. Couder. Phyllotaxis as a self-organised growth process.
In J. M. Garcia-Ruiz et al., editors. Growth Patterns in Physical Sciences
and Biology. Plenum Press, New York, 1993b.
[116] R. D. Driver. Ordinary and Delay Differential Equations. Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York, 1977.
[117] P. Duesberg. Inventing the AIDS Virus. Regnery Press, Washington
D. C. Lanham MD, 1996.
714
Литература
[118] Р. Duffy, J. Wolf et al. Possible person-to-person transmission of
Creitzfeldt-Jakob disease. N. Engl. J. Med., 290:692-693, 1974.
[119] R. G. Duggleby. Progress curves of reactions catalyzed by unstable
enzymes. A theoretical approach. J. Theor. Biol., 123:67-80, 1986.
[120] D. J. D. Earn, P. Rohani and В. T. G. Renfell. Persistence, chaos and
synchrony in ecology and epidemiology. Proc. R. Soc. bond. B, 265:7-
10, 1998.
[121] E. C. Edblom and I. R. Epstein. A new iodate oscillator and Landolt
reaction with ferrocyanide in a CSTR. J. Amen Chem. Soc., 108:2826-
2830, 1986.
[122] L. Edelstein-Keshet. Mathematical Models in Biology. Random House,
New York, 1988.
[123] P. Ekman and W.V. Friesen. Facial Action Coding System. Consulting
Psychologist Press, Palo Alto, CA, 1978.
[124] C.S. Elton. The Ecology of Invasions by Animals and Plants. Methuen,
London, 1958.
[125] C.S.Elton and M.Nicholson. The ten-year cycle in numbers of lynx in
Canada. J. Anim. Ecol., 191:215-244,1942.
[126] G. B. Ermentrout. n:m phase-locking of weakly coupled oscillators.
J. Math. Biol., 12:327-342, 1981.
[127] G. B. Ermentrout. An adaptive model for synchrony in the firefly pteroptyx
malaccae. J. Math. Biol., 29:571-585, 1991.
[128] P. Essunger and A. S. Perelson. Modeling HIV infection of CD4+ T-cell
subpopulations. J. Theor. Biol., 170:367-391, 1994.
[129] L. Euler. A general investigation into the mortality and multiplication
of the human species. Theor. Popl. Biol., 1:307-314, 1970. (Reprinted
from: Euler, Leonhard. ’’Recherches generates sur la mortalite et la
multiplication du genre humain”, Histoire de Г Academic Roy ale des
Sciences et Belles-Lettres, annee 1760, pp. 144-164, Berlin, 1767.)
[130] K. J. Falconer. Fractal Geometry. Mathematical foundations and
Applications. John Wiley and sons, Ithaca, New York, 1990.
[131] E. V. Famiglietti. New metrics for analysis of dendritic branching patterns.
Demonstrating similarities in ON and ON-OFF directionally selective
retinal gangliion cells. J. Compar. Neurol., 324:295-321, 1992.
Литература
715
[132] М. J. Feigenbaum. Quantitative universality for a class of nonlinear
transformations. J. Stat. Phys., 19:25-52, 1978.
[133] M. W. J. Ferguson. Reproductive biology and embryology of the croco-
dilians. In C. Gans, F. Billet and P. Maderson, editors. Biology of the
Reptilia, volume 14A, pages 329-491. John Wiley and Sons, New York,
1985.
[134] M. W. J. Ferguson and T. Joanen. Temperature of egg-incubation deter-
mines sex in Alligator mississippiensis. Nature, 296:850-853, 1982.
[135] M. W. J. Ferguson and T. Joanen. Temperature-dependent sex determina-
tion in Alligator mississippiensis. J.Zool. bond., 200:143-177, 1983.
[136] N. M. Ferguson, C. A. Donnelly, M. E. J. Woolhouse and R. M. Anderson.
The epidemiology of BSE in cattle herds in great britain. II: model
construction and anlysis of transmission dynamics. Phil. Trans. R. Soc.
bond. B, 352:803-838, 1997.
[137] R. Ferriere and M. Gatto. Chaotic population dynamics can result from
natural selection. Proc. R.Soc. bond. B, 251:33-38, 1993.
[138] V. A. Ferro, J. E. O’Grady, J. Notman and W. H. Stimson. Development of
a GnRH-neutralising vaccine for use in hormone dependent disorders.
Therapeutic Immunol., 2:147-157, 1995.
[139] V. A. Ferro and W. H. Stimson. Effects of adjuvant, dose and carrier pre-
sensitization on the efficacy of a GnRH analogue. Drug Design and
Discovery, 14:179-195, 1996.
[140] V. A. Ferro and W.H. Stimson. Fertility disrupting potential of synthetic
peptides derived from the beta subunit of follicles stimulating hormone.
Amer. J. Reprod. Immunol., 40:187-197, 1998.
[141] R. J. Field and M. Burger, editors. Oscillations and Travelling Waves in
Chemical Systems. John Wiley, New York, 1985.
[142] R. J. Field, E.Kdrds and R.M. Noyes. Oscillations in chemical systems,
Part 2. Thorough analysis of temporal oscillations in the bromate-cerium-
malonic acid system. J. Am. Chem. Soc., 94:8649-8664, 1972.
[143] R.J.Field and R.M.Noyes. Oscillations in chemical systems, IV. Limit
cycle behaviour in a model of a real chemical reaction. J. Chem. Phys.,
60:1877-1884, 1974.
716
Литература
[144] Р. С. Fife. Mathematical aspects of reacting and diffusing systems. In
Leet. Notes in Biomathematics, volume 28. Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg-New York, 1979.
[145] P. C.Fife and J. B. McLeod. The approach of solutions of nonlinear
diffusion equations to traveling wave solutions. Archiv. Rat. Meeh. Anal,
65:335-361, 1977.
[146] F.D. Fincham, T.N. Bradbury and С. K. Scott. Cognition in marriage. In
F. D. Fincham and T. N. Bradbury, editors. The Psychology of Marriage,
pages 118-149. Guildford, New York, 1990.
[147] G. H. Fisher. Preparation of ambiguous stimulus material. Perception and
Psychophysics, 2:421-422, 1967.
[148] R. A. Fisher. The wave of advance of advantageous genes. Ann. Eugenics,
7:353-369, 1937.
[149] R. A. Fisher. The Genetical Theory of Natural Selection. Dover, New
York, 1958. (Reprint of 1930 edition).
[150] R. FitzHugh. Impulses and physiological states in theoretical models of
nerve membrane. Biophys. J., 1:445-466, 1961.
[151] J. C. Flores. A mathematical model for neanderthal extinction. J. Theor.
Biol., 191:295-298, 1998.
[152] K. R. Foster, M.E. Jenkins and A. C. Toogood. The Philadelphia Yellow
Fever Epidemic of 1793. Sci. Amen, pages 88-93, August 1998.
[153] B.J. Fowers and D.H. Olson. Predicting marital success with prepare: a
predictive validity study. J. Marital and Family Therapy, 12:403-413,
1986.
[154] A. C. Fowler. Mathematical Models in the Applied Sciences. Cambridge
University Press, Cambridge, 1997.
[155] A. C. Fowler and G. P. Kalamangalam. The role of the central
chemoreceptor in causing periodic breathing. IMA J. Math. Appl. Medic,
and Biol., 17:147-167,2000.
[156] J. P. Fox, I. Elveback, W. Scott, L. Gatewood and E. Ackerman. Herd
immunity: basic concept and relevance to public health immunization
practice. Am. J. of Epidemiology, 94:179-189, 1971.
[157] M. A. Freed and P. Sterling. The ON-alpha ganglion cell of the cat retina
and its presynaptic cell types. J.Neuroscl, 8:2303-2320, 1988.
Литература
717
[158] С. L. Frenzen and Р. К. Maini. Enzyme kinetics for a two-step enzymatic
reaction with comparable initial enzyme-substrate ratios. J. Math. Biol.,
26:689-703, 1988.
[159] R. R. Frerichs and J. Prawda. A computer simulation model for the control
of rabies in an urban area of Colombia. Management Science, 22:411-421,
1975.
[160] S.D.W. Frost and A. R. McLean. Germinal center destruction as a major
pathway of HIV pathogenesis. J. AIDS, 7:236-244, 1994.
[161] N. Ganapathisubramanian and K. Showalter. Bistability, mushrooms and
isolas. J. Chem. Phys., 80:4177-4184, 1984.
[162] C. Gans, F. Billet and P. F. A. Maderson, editors. Biology of the Reptilia,
volume Volume 14A, Development. John Wiley and Sons, New York,
1985.
[163] L. Garrett. The Coming Plague: Newly Emerging Diseases in a World Out
of Balance. Penquin, U. S. A., New York, 1994.
[164] L. Garrett. The return of infectious disease. Foreign Affairs, 75:66-79,
1996.
[165] V. Gaspar and K. Showalter. A simple model for the oscillatory iodate
oxidation of sulfite ferrocyanide. J. Physical Chem., 94:4973-4979,1990.
[166] A. Georges. Female turtles from hot nests: is it duration of incubation or
proportion of development at high temperatures that matters? Oecologia,
81:323-328, 1989.
[167] A. Georges, C. Limpus and R. Stoutjesdijk. Hatchling sex in the marine
turtle Caretta caretta is determined by proportion of development at a
temperature, not daily duration of exposure. J. Exp. Zool., 270:432-444,
1994.
[168] W. M. Getz and R.G. Haight. Population Harvesting Demographic
Models of Fish, Forest and Animal Resources. Princeton University Press,
NJ, Princeton, NJ, 1989.
[169] A. Gierer and H. Meinhardt. A theory of biological pattern formation.
Kybemetik, 12:30-39, 1972.
[170] J. C. Gilkey, L. F. Jaffe, E. B. Ridgeway and G. T. Reynolds. A free calcium
wave traverses the activating egg of Oryzias latipes. J. Cell. Biol., 76:448-
466, 1978.
718
Литература
[171] М.Е. Gilpin. Do hares eat lynx? Amer Nat., 107:727-730, 1973.
[172] L. Glass and M.C. Mackey. Pathological conditions resulting from
instabilities in physiological control systems. Ann. N. Y.Acad. Sci.,
316:214-235, 1979.
[173] L. Glass and M. C. Mackey. From Clocks to Chaos: The Rhythms of Life.
Princeton University Press, NJ, Princeton, 1988.
[174] R. W. Glenny, S. McKinney and H. T. Robertson. Spatial pattern of pul-
monary blood flow distribution is stable over days. J. Appl. Physiol.,
82:902-907, 1997.
[175] R.W. Glenny, N. L. Polissar, S. McKinney and H. T. Robertson. Temporal
heterogeneity of regional pulmonary perfusion is spatially clustered.
J. Appl. Physiol., 79:986-1001, 1995.
[176] R. W. Glenny and H. T. Robertson. Fractal properties of pulmonary blood
flow: characterization of spatial heterogeneity. J. Appl. Physiol., 69:532-
545, 1990.
[177] R.W. Glenny and H. T. Robertson. Applications of fractal analysis to
physiology. J. Appl. Physiol., 70:2351-2367, 1991a.
[178] R.W. Glenny and H. T. Robertson. Fractal modeling of pulmonary blood
flow heterogeneity. J. Appl. Physiol., 70:1024-1030, 1991b.
[179] R.W. Glenny and H. T. Robertson. A computer simulation of pulmonary
perfusion in three dimensions. J. Appl. Physiol., 79:357-369, 1995.
[180] B.-S. Goh. Management and Analysis of Biological Populations. Elsevier
Sci. Pub., Amsterdam, 1982.
[181] A. Goldbeter. Models for oscillations and excitability in biochemical
systems. In L. A. Segel, editor, Mathematical Models in Molecular
and Cellular Biology, pages 248-291. Cambridge University Press,
Cambridge, 1980.
[182] A. Goldbeter. Biochemical Oscillations and Cellular Rhythms. The
molecular bases of periodic and chaotic behaviour Cambridge University
Press, Cambridge, 1996.
[183] S. Goldstein and J. D. Murray. On the mathematics of exchange processes
in fixed columns. III. The solution for general entry conditions and a
method of obtaining asymptotic expressions. IV. Limiting values and
correction terms, for the kinetic-theory solution with general entry
Литература
719
conditions. V. The equilibrium-theory and perturbation solutions and their
connection with kinetic-theory solutions, for general entry conditions.
Proc. R.Soc. bond. A, 257:334-375, 1959.
[ 184] В. C. Goodwin. Oscillatory behaviour in enzymatic control processes. Adv.
in Enzyme Regulation, 3:425-438, 1965.
[185] T.M. Goodwin and W.R. Marion. Aspects of the nesting ecology of
American alligators (Alligator mississippiensis) in North Central Florida.
Herpetologica, 34:43-47, 1978.
[186] J. M. Gottman. Marital Interaction: Experimental Investigations. Acade-
mic Press, New York, 1979.
[187] J. M. Gottman. How marriages change. In G. R. Patterson, editor,
Advances in Family Research. Depression and Aggression in Family
Interaction, pages 75-101. Lawrence Erlbauin, Hillsdale, NJ, 1990.
[188] J. M. Gottman. The roles of conflict engagement, escalation, or avoidance
in marital interaction: A longitudinal view of five types of couples.
J. Consulting and Clinical Psychol., 61:6-15, 1993.
[189] J. M. Gottman. What Predicts Divorce? Lawrence Erlbaum, Hillsdale, NJ,
1994.
[190] J. M. Gottman. Psychology and the study of marital processes. Annu. Rev.
Psychol., 49:169-197, 1998.
[191] J. M. Gottman and R. W. Levenson. Marital processes predictive of later
dissolution: behavior, psychology and health. J. Personality and Social
Psychol., 63:221-233, 1992.
[192] J. M. Gottman, J. D. Murray, C. Swanson, R. C. Tyson and K. R. Swanson.
The Mathematics of Marriage: Dynamic Nonlinear Models. MIT Press,
Cambridge, MA, 2002.
[193] J. M. Gottman, C.B. Swanson and J. D. Murray. The mathematics of
marital conflict: dynamic mathematical nonlinear modeling of newlywed
marital interaction. J. Family Psychol., 13:1-17, 1999.
[ 194] P. Gray. Instabilities and oscillations in chemical reactions in closed and
open systems. Proc. R. Soc. bond. A, 415:1-34, 1988.
[195] P. Gray and S.K. Scott. Autocatalytic reactions in the isothermal conti-
nuous stirred tank reactor. Chem. Eng. Sci., 38:29-43, 1983.
720
Литература
[196] Р. Gray and S. К. Scott. A new model for oscillatory behaviour in closed
systems: the autocatalator. Ber. Bunsenges. Phys. Chem., 90:985-996,
1986.
[197] J. S. Griffith. Mathematics of cellular control processes. I. Negative
feedback to one gene. II. Positive feedback to one gene. J. Theor. Biol.,
20:202-216, 1968.
[198] S.Grillner. On the generation of locomotion in the spinal dogfish. Exp.
Brain Res., 20:459-470, 1974.
[199] S.Grillner and S.Kashin. On the generation and performance
of swimming fish. In R. M. Herman, S. Grillner, P. S. G. Stein and
D.G. Stuart, editors. Neural Control of Locomotion, pages 181-202.
Plenum, New York, 1976.
[200] S.Grillner and P.Wallen. On the peripheral control mechanisms acting
on the central pattern generators for swimming in dogfish. J. Exp. Biol.,
98:1-22, 1982.
[201] P. Grindrod. The Theory and Applications of Reaction-Diffusion
Equations — Patterns and Waves. Oxford University Press, New York,
1996.
[202] G. Gros, D. Lavalette, W. Moll, H. Gros, B. Amand and F. Pichon. Eviden-
ce of rotational contribution to protein-facilitated proton transport. Proc.
Natl. Acad. Sci. U.S.A., 81:1710-1714, 1984.
[203] G. Gros, W. Moll, H. Hoppe and H. Gros. Proton transport by phosphase
diffusion — a mechnism of facilitated CO2 transfer. J. Gen. Physiol.,
67:773-790, 1976.
[204] J. Guckenheimer and P. J. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical
Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg-New York, 1983.
[205] M. R. Guevara and L. Glass. Phase-locking, period-doubling bifurcations
and chaos in a mathematical of a periodically driven biological oscillator:
A theory for the entrainment of biological oscillators and the generation
of cardiac dysrhythmias. J. Math. Biol., 14:1-23, 1982.
[206] M.R. Guevara, L. Glass and A. Shrier. Phase-locking, period-doubling
bifurcations and irregular dynamics in periodically stimulated cardiac
cells. Science, 214:1350-1353, 1981.
Литература
721
[207] I. Gumowski and C. Mira. Dynamique Chaotique. Collection Nabla.
Cepadue, Toulouse, 1980.
[208] G. H. Gunaratne, Q. Ouyang and H. L. Swinney. Pattern formation in the
presence of symmetries. Phys. Rev. E, 50:2802-2820, 1994.
[209] W. S. C. Gurney, S. R Blythe and R. M. Nisbet. Nicholson’s blowflies
revisited. Nature, 287:17-21, 1980.
[210] W. S. C. Gurney and R. M. Nisbet. Age- and density-dependent population
dynamics in static and variable environments. Theor. Popul. Biol., 17:321-
344, 1980.
[211] M. E. Gurtin and R. C. MacCamy. Non-linear age-dependent population
dynamics. Arch. Rat. Meeh. Anal, 54:281-300, 1974.
[212] R. Guttman, S. Lewis and J. Rinzel. Control of repetitive firing in squid
axon membrane as a model for a neurone oscillator. J. Physiol, (bond.),
305:377-395, 1980.
[213] W. H.N. Gutzke and D. Crews. Embryonic temperature determines adult
sexuality in a reptile. Nature, 332:832-834, 1988.
[214] L. Gyorgyi and R. J. Field. Simple models of deterministic chaos in the
Belousov-Zhabotinsky reaction. J. Chem. Phys., 95:6594-6602, 1991.
[215] P. A. Hall and D. A. Levinson. Assessment of cell proliferation in
histological material. J. Clin. Pathology, 43:184-192, 1990.
[216] M. Hancox. The great badgers and bovine ТВ debate. Biologist, 42:159-
161, 1995.
[217] F.E. Hanson. Comparative studies of firefly pacemakers. Federation
Proceedings, 37(8):2158-2164, 1978.
[218] P. Hanusse. De Г existence d’un cycle limit dans revolution des systemes
chimique ouverts (on the existence of a limit cycle in the evolution of open
chemical systems). Comptes Rendus, Acad. Sci. Paris, (C), 274:1245-
1247, 1972.
[219] D. C. Hassell, D. J. Allwright and A. C. Fowler. A mathematical analysis of
Jones’ site model for spruce budworm infestations. J. Math. Biol., 38:377-
421, 1999.
[220] M.P. Hassell. The Dynamics of Arthropod Predator-Prey Systems.
Princeton University Press, NJ, Princeton, 1978.
722
Литература
[221 ] М. Р. Hassell, R. М. May and J. Lawton. Pattern of dynamic behaviour in
single species populations. J.Anim. Ecol., 45:471-486, 1976.
[222] A. Hastings. Population Biology (1st edition 1997). New York, Springer-
Verlag, 2000.
[223] S.P. Hastings and J. D. Murray. The existence of oscillatory solutions in
the Field-Noyes model for the Belousov-Zhabotinskii reaction. SIAM
J.Appl. Math., 28:678-688, 1975.
[224] S. R Hastings, J. J. Tyson and D. Webster. Existence of periodic solutions
for negative feedback control systems. J. Differential Eqns., 25:39-64,
1977.
[225] W. J. Herbert, P. C. Wilkinson and D. I. Stott. Life, Death and the Immune
System. W. H. Freeman, New York, 1994.
[226] A. V. M. Herz, S. Bonhoeffer, R. M. Anderson, R. M. May and M. A. No-
wak. Viral dynamics in vivo: Limitations on estimations on intracellular
delay and virus decay. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 93:7247-7251, 1996.
[227] H. W. Hethcote. Measles and rubella in the united states, qualitative
analysis of communicable disease models. Am. J. Epidemiology, 117:2—
13, 1983.
[228] H. W. Hethcote. Three basic epidemiological models. In S. A. Levin,
editor, Leet. Notes in Biomathematics, volume 100, pages 119-144.
Springer-Verlag, Heidelberg, 1994.
[229] H. W. Hethcote, H. W. Stech and P. van den Driessche. Nonlinear
oscillations in epidemic models. SIAMJ. Appl. Math., 40:1-9, 1981.
[230] H.W. Hethcote and J. A. Yorke. Gonorrhea transmission dynamics and
control. In Led. Notes in Biomathematics, volume 56. Springer-Verlag,
Heidelberg, 1984.
[231] H. W. Hethcote, J. A. Yorke and A.Nold. Gonorrhea modelling: a com-
parison of control methods. Math. Bioscl, 58:93-109, 1982.
[232] R. Hilbom and M. Mangel. The Ecological Detective. Confronting models
with data. Princeton University Press, NJ, Princeton, NJ, 1997.
[233] D. D. Ho, A. U. Neumann, A. S. Perelson, W.Chen, J. M. Leonard and
M. Markowitz. Rapid turnover of plasma virions and CD4 lymphocytes
in HIV-1 infection. Nature, 373:123-126, 1995.
Литература
723
[234] A. L. Hodgkin and A. F. Huxley. A quantitative description of membrane
current and its application to conduction and excitation in nerve.
J. Physiol, (bond.), 117:500-544, 1952.
[235] A. V. Holden, editor. Chaos. Manchester University Press, Manchester,
1986.
[236] E. Hooper. The River: A Journey Back to the Source of HIV and
AIDS. Little Brown and Co., Waltham, MA, USA., 1999.
[237] L. Hopf. Introduction to Differential Equations of Physics. Dover, New
York, 1948.
[238] E. C. Hoppensteadt. Mathematical Theories of Populations:
Demographics, Genetics and Epidemics, volume 20 of CBMS Lectures.
SIAM Publications, Philadelphia, 1975.
[239] E. C. Hoppensteadt. Mathematical Methods in Population Biology.
Cambridge University Press, Cambridge, 1982.
[240] E. C. Hoppensteadt. An Introduction to the Mathematics of Neurons.
Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
[241] E. C. Hoppensteadt and J. M. Hyman. Periodic solutions to a discrete
logistic equation. SIAM J. Appl. Math., 32:985-992, 1977.
[242] E. C. Hoppensteadt and J. D. Murray. Threshold analysis of a drug use
epidemic model. Math. Bioscl., 53:79-87, 1981.
[243] E. C. Hoppensteadt and C. S. Peskin. Mathematics in Medicine and the
Life Sciences. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1992.
[244] Y. Hosono. Travelling wave solutions for some density dependent
diffusion equations. Japan J. Appl. Math., 3:163-196, 1986.
[245] Y. Hosono. Travelling wave for some biological systems with density
dependent diffusion. Japan J. Appl. Math., 4:297-359, 1987.
[246] L.N. Howard. Nonlinear oscillations. Amer. Math. Soc. Led. Notes in
Appl. Math., 17:1-67, 1979.
[247] L. N. Howard and N. Kopell. Slowly varying waves and shock structures
in reaction-diffusion equations. Studies in Appl. Math., 56:95-145, 1977.
[248] A. H. Howe. A Theoretical Inquiry into the Physical Cause of Epidemic
Diseases. J. Churchill and Son, London, 1865.
[249] S-B. Hsu, S. P. Hubbell and P. Waltman. A contribution to the theory of
competing predators. Ecological Monographs, 48:337-349, 1979.
724
Литература
[250] В. A. Huberman. Striations in chemical reactions. J. Chem. Phys.,
65:2013-2019, 1976.
[251] С. B. Huffaker, editor. Biological Control. Plenum Press, New York, 1971.
[252] A. Hunding. Limit-cycles in enzyme systems with nonlinear feedback.
Biophys. Struct. Meeh., 1:47-54, 1974.
[253] L. D. lasemidis and J. C. Sackellares. Chaos theory and epilepsy. The
Neuroscientist, 2:118-126, 1996.
[254] V. Isham. Mathematical modelling of the transmission dynamics of HIV
infection and AIDS: a review. J. Roy. Stat. Soc. A, 151:5-30, 1988.
[255] IWC. Report no. 29. Technical report, International Whaling Commission,
Cambridge, 1979.
[256] W. Jager and S. Luckhaus. On explosion of solutions to a system of partial
differential equations modelling chemotaxis. Trans. Amer. Math. Soc.,
329:819-824, 1992.
[257] J. Jalife and C. Antzelevitch. Phase resetting and annihilation of
pacemaker activity in cardiac tissue. Science, 206:695-697, 1979.
[258] W. H. James. Re: Total serum testosterone and gonadotrophins in workers
exposed to dioxin. Am. J. Epidemiol, 141:476-477, 1995.
[259] W. H. James. Evidence that mammalian sex ratios at birth are partially
controlled by parental hormone levels at the time of conception. J. Theor.
Biol., 180:271-286, 1996.
[260] W.H. James. Further evidence relating offspring sex ratios to parental
hormone levels around the time of conception. J. Theor. Biol., 197:261-
263, 1999.
[261] W.H. James. The hypothesized hormonal control of offspring sex ratio:
evidence from families ascertained by schizophrenia and epilepsy.
J. Theor. Biol., 206:445-447, 2000.
[262] T. Joanen. Nesting ecology of alligators in Louisiana. Proc. Ann. Conf.
S.E. Assoc. Game and Fish Comm., 23:141-151, 1969.
[263] T. Joanen and L. McNease. A telemetric study of nesting female alligators
on Rockefeller Refuge, Louisiana. Proc. Ann. Conf. S. E. Assoc. Game and
Fish Comm., 24:175-193, 1970.
Литература
725
[264] Т. Joanen and L. McNease. Notes on the reproductive biology and captive
propagation of the American alligator. Proc. Ann. Conf. S. E. Assoc. Game
and Fish Comm., 25:407-414, 1971.
[265] T. Joanen and L. McNease. A telemetric study of adult male alligators on
Rockefeller Refuge, Louisiana. Proc. Ann. Conf. S. E. Assoc. Game and
Fish Comm., 26:252-275, 1972.
[266] S. D. Johnson. Sex ratio and population stability. Oikos, 69:172-176,1994.
[267] С. M. Johnston, M. Barnett and R. T. Sharpe. The molecular biology of
temperature-dependent sex determination. Phil. Trans. R. Soc. bond. B,
350:297-304, 1995.
[268] D. W. Jordan and P. Smith. Nonlinear Ordinary Differential Equations.
Oxford University Press, Oxford, third edition, 1999.
[269] J. A. Kaandorp, editor. Fractal Modelling. Growth and Form in Biology.
Springer-Verlag, Heidelberg, 1994.
[270] J. K. Kaandorp, С. P. Lowe, D. Frenkel and P. M. A. Sloot. Effect of
nutrient diffusion and flow on coral morphology. Physical Rev. Lett.,
77:2328-2331, 1996.
[271] R. R. Kao, M.G. Roberts and T. J. Ryan. A model of bovine tuberculosis
control in domesticated cattle herds. Proc. R.Soc. bond. B, 264:1069-
1076, 1997.
[272] P. M. Kareiva. Local movement in herbivorous insects: applying a passive
diffusion model to mark-recapture field experiments. Oecologia (Berlin),
57:322-327, 1983.
[273] W. L. Kath and J. D. Murray. Analysis of a model biological switch.
SIAMJ.Appl. Math., 45:943-955, 1986.
[274] M. J. Keeling and C. A. Gilligan. Bubonic plague: a metapopulation model
of a zoonosis. Proc. R. Soc. B, 267:2219-2230,2000.
[275] J. Keener and L. Glass. Global bifurcations of a periodically forced
nonlinear oscillator. J. Math. Biol., 21:175-190, 1984.
[276] J. Keener and J. Sneyd. Mathematical Physiology. Springer, New York,
1998.
[277] E. F. Keller and L. A. Segel. Initiation of slime mold aggregation viewed
as an instability. J. Theor. Biol., 26:399-415, 1970.
726
Литература
[278] Е. Е Keller and L. A. Segel. Travelling bands of chemotactic bacteria: a
theoretical analysis. J. Theor BioL, 30:235-248, 1971.
[279] W. O. Kermack and A. G. McKendrick. Contributions to the mathematical
theory of epidemics. Proc. R.Soc. bond. A, 115:700-721, 1927.
[280] W. O. Kermack and A. G. McKendrick. Contributions to the mathematical
theory of epidemics. Proc. R. Soc. bond. A, 138:55-83, 1932.
[281] W. O. Kermack and A. G. McKendrick. Contributions to the mathematical
theory of epidemics. Proc. R. Soc. bond. A, 141:94-122, 1933.
[282] J. Kevorkian. Partial Differential Equations: Analytical Solution
Techniques (2nd edition). Springer-Verlag, New York, 2000.
[283] J. Kevorkian and J. D. Cole. Multiple Scale and Singular Perturbation
Methods. Springer-Verlag, New York, 1996.
[284] N. Keyfitz. Introduction to the Mathematics of Population. Addison-
Wesley, Reading, MA, 1968.
[285] S. Kingsland. Modeling Nature: episodes in the History of Population
Ecology. University of Chicago Press, Chicago, 1995.
[286] D. E.Kirschner and G.E Webb. Understanding drug resistance for
monotherapy treatment of HIV infection. Bull. Math. Biol., 59:763-785,
1997.
[287] A. Kolmogoroff, I. Petrovsky and N. Piscounoff. Etude de Г equation de
la diffusion avec croissance de la quantite de matiere et son application a
un probleme biologique. Moscow University, Bull. Math., 1:1-25, 1937.
Колмогоров A. H., Петровский И.Г., Пискунов H.C. (1937). «Исследо-
вание уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и
его применение к одной биологической проблеме». Бюллетень МГУ,
Серия А, Математика и механика. — Перепечатано в: М.: Вопросы
кибернетики. — 1975. — Вып. 12. — С. 3-30.
[288] N. Kopell. Toward a theory of modelling central pattern generators.
In A. H. Cohen, S. Rossignol and S. Grillner, editors. Neural Control of
Rhythmic Movements in Vertebrates, pages 369-414. John Wiley, New
York, 1988.
[289] N. Kopell and L. N. Howard. Horizontal bands in the Belousov reaction.
Science, 180:1171-1173, 1973.
Литература
727
[290] Т. V. Kostova. Numerical solutions to equations modelling nonlinearly
interacting age-dependent populations. Comput. Math. Appl., 19(8):95-
103, 1990.
[291] M. Kot. Discrete-time travelling waves: ecological examples. J. Math.
Biol., 30:413-436, 1992.
[292] M. Kot. Elements of Mathematical Ecology. Cambridge University Press,
Cambridge, UK, 2001.
[293] M. Kot, M. Lewis and P. van den Driessche. Dispersal data and the spread
of invading organisms. Ecology, 77:2027-2042, 1996.
[294] V. I. Krinsky. Mathematical models of cardiac arrhythmias (spiral waves).
Pharmac. Ther (B), 3:539-555, 1978.
[295] L. J. Krokoff, J. M. Gottman and S. D. Haas. Validation of rapid couples
interaction scoring system. Behavioral Assessment, 11:65-79, 1989.
[296] H. Kruuk. Spatial organization and territorial behaviour of the european
badger Meles meles. J.Zool bond., 184:1-19, 1978.
[297] M. Kunz and F. Rothen. Phyllotaxis or the properties of spiral lattices.
III. An algebraic model of morphogenesis. J. Phys. Inst. France, 2:2131—
2172, 1992.
[298] K. J. Laidler and P. S. Bunting. The Chemical Kinetics of Enzyme Action.
Clarendon Press, Oxford, 1977.
[299] A. Lajmanovich and J. A. Yorke. A deterministic model for gonorrhea in
a nonhomogeneous population. Math. Biosci., 28:221-236, 1976.
[300] D. C. Lane, J. D. Murray and V. S. Manoranjan. Analysis of wave pheno-
mena in a morphogenetic mechanochemical model and an application
to post-fertilisation waves on eggs. IMA J. Math. Applied in Medic, and
Biol., 4:309-331, 1987.
[301] J. W. Lang. Crocodilian thermal selection. In G. J. W. Webb, S. C. Manolis
and P. J. Whitehead, editors. Wildlife Management: Crocodiles and
Alligators, pages 301-317. Surrey Beatty, Sydney, 1987.
[302] J. W. Lang and H. V. Andrews. Temperature-dependent sex determination
in crocodilians. J. Exp. Biol., 270:28-44, 1994.
[303] F. Lara-Ochoa. A generalized reaction diffusion model for spatial structure
formed by mobile cells. Biosystems, 17:35-50, 1984.
728
Литература
[304] D. A. Larson. Transient bounds and time asymptotic behaviour of
solutions of nonlinear equations of Fisher type. SIAM J. Appl. Math.,
34:93-103, 1978.
[305] R. barter, B. Speelman and R.M. Worth. A coupled ordinary differential
equation lattice model for the simulation of epileptic seizures. Chaos,
9:795-804, 1999.
[306] D. A. Lauffenburger and К. H. Keller. Effects of leukocyte random
motility and chemotaxis in tissue inflammatory response. J. Theor. Biol.,
81:475-503, 1979.
[307] J. Lauritsen. The AIDS War: propaganda and genocide from the medical-
industrial complex. Asklepios, New York, 1993.
[308] H. A. Lauwerier. Two-dimensional iterative maps. In A. V. Holden, editor.
Chaos, pages 58-95. Manchester University Press, Manchester, 1986.
[309] E. Leigh. The ecological role of Volterra’s equations. In M. Gerstenhaber,
editor, Some mathematical problems in biology, pages 1-64. Amer. Math.
Soc., Providence, 1968.
[310] P.H. Leslie. On the use of matrices in certain population mathematics.
Biometrika, 33:183-212, 1945a.
[311] P.H.Leslie. Some further notes on the use of matrices in population
mathematics. Biometrika, 35:213-245, 1945b.
[312] S. A. Levin, editor. Frontiers in Mathematical Biology, volume 100 of
Leet. Notes in Biomathematics. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New
York, 1994.
[313] E.R. Lewis. Network Models in Population Biology. Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York, 977.
[314] M. A. Lewis. Variability, patchiness and jump dispersal in the spread of an
invading population. In D. Tilman and P. Kareiva, editors. Spatial Ecology.
The Role of Space in Population Dynamics and Interspecific Interactions,
pages 46-69. Princeton University Press, NJ, Princeton, NJ, 1997.
[315] M. A. Lewis and G. Schmitz. Biological invasion of an organism with
separate mobile and stationary states: modeling and anlaysis. Forma,
11:1-25, 1996.
[316] T.-Y. Li, M. Misiurewicz, G. Pianigiani and J. A. Yorke. Odd chaos. Phys.
Letters (A), 87:271-273, 1982.
Литература
729
[317] T.-Y Li and J. A. Yorke. Period three implies chaos. Amer. Math. Monthly,
82:985-992, 1975.
[318] L. S. Liebovitch. Fractals and Chaos Simplified for the Life Sciences.
Oxford University Press, Oxford, 1998.
[319] L. A. Lipsitz and A. L. Goldberger. Loss of “complexity” and aging.
Potential applications of fractals and chaos theory to senescence. JAMA,
267:1806-1809, 1992.
[320] E.N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Set, 20:131-141,
1963.
[321] A. J. Lotka. Studies on the mode of growth of material aggregates. Am.
J.Sci., 24:199-216, 1907a.
[322] A. J. Lotka. Relation between birth and death rates. Science, 26:21-22,
1907b.
[323] A. J. Lotka. Contribution to the theory of periodic reactions. J. Phys.
Chem., 14:271-274, 1910.
[324] A. J. Lotka. Vital statistics — a natural population norm. J. Wash. Ac. Sci.,
3:289-293, 1913.
[325] A. J. Lotka. Undamped oscillations derived from the law of mass action.
J. Amer. Chem. Soc., 2:1595-1599, 1920.
[326] A. J. Lotka. Elements of Physical Biology. Williams and Wilkins,
Baltimore, 1925.
[327] J. A. Lubina and S. A. Levin. The spread of a reinvading species: range
expansion in the California sea otter. Amer. Naturalist, 131:526-543,
1988.
[328] S. R. Lubkin, R. G. Gullberg, В. K. Logan, P. K. Maini and J. D. Murray.
Simple vs. sophisticated models for breath alcohol exhilation profiles.
Alcohol and Alcohohlism, 31:61-67, 1996.
[329] D. Ludwig. Forest management strategies that account for short-term and
long-term consequences. Can. J. Forest Res., 23:563, 1993.
[330] D. Ludwig. Missed opportunities in natural resource management. Natural
Resource Modeling, (2): 111 -117, 1994a.
[331] D. Ludwig. Uncertainty and fisheries management. In Frontiers in
Mathematical Biology, volume 100 of Leet. Notes in Biomathematics,
pages 516-528. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994b.
730
Литература
[332] D. Ludwig. A theory of sustainable harvesting. SIAM J.Appl. Math.,
55(2):564-575, 1995.
[333] D. Ludwig. Uncertainty and the determination of extinction probabilities.
Ecological Applications, 6(4): 1067-1076, 1996a.
[334] D. Ludwig. The distribution of population survival times. Amer.
Naturalist, 147(4):506-526, 1996b.
[335] D. Ludwig, R. Hillbom and C. J. Walters. Uncertainty, resource
exploitation and conservation: lessons from history. Science, 260:17, 36,
1993.
[336] D. Ludwig, D.D. Jones and C. S.Holling. Qualitative analysis of insect
outbreak systems: the spruce budworm and forest. J. Anim. Ecol., 47:315—
332, 1978.
[337] D.Ludwig, B. Walker and C.S.Holling. Sustainability, stability
and resilience. Conservation Ecol. [online], 1(7), 1997. URL:
http://www.consecol.org/voll/issl/art7.
[338] R.-L. Luther. Rauemliche Fortpflanzung Chemischer Reaktionen. Z.fur
Elektrochemie und angew. physikalische Chemie., 12(32):506-600, 1906.
English translation: R. Arnold, and K. Showalter, and J. J. Tyson, In:
Propagation of chemical reactions in space, J. Chem. Educ., 64:740-742,
1987.
[339] D. W. MacDonald. Badgers and bovine tuberculosis — case not proven.
New Scientist, 104:17-20, 1984.
[340] N. MacDonald. Bifurcation theory applied to a simple model of a
biochemical oscillator. J. Theor. Biol., 65:727-734, 1977.
[341] N. MacDonald. Time lags in biological models. In Lecture Notes in
Biomathematics, volume 28. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New
York, 1979.
[342] M.C. Mackey and L. Glass. Oscillations and chaos in physiological
control systems. Science, 197:287-289, 1977.
[343] M. C. Mackey and J. G. Milton. Dynamical diseases. Ann. N. Y.Acad. Sci.,
504:16-32, 1988.
[344] M. C. Mackey and J. G. Milton. Feedback delays and the origins of blood
cell dynamics. Comments on modem biology. Part C. Comments on Theor.
Biol., 1:299-327, 1990.
Литература
731
[345] MAFF. Bovine ТВ in badgers 1972-85. Scientific report, Ministry of
Agric. Fish and Food (London), 1987.
[346] MAFF. Bovine ТВ in badgers. Scientific report, Ministry of Agric. Fish
and Food (London), 1994.
[347] T. R. Malthus. An essay on the Principal of Population. Penguin Books,
1970. Originally published in 1798.
[348] В. B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. Freeman, San
Francisco, 1982.
[349] V. S. Manoranjan and A. R. Mitchell. A numerical study of the Belousov-
Zhabotinskii reaction using Galerkin finite element methods. J. Math.
Biol., 16:251-260, 1983.
[350] M. Marek and I. Stuchl. Synchronization in two interacting oscillatory
systems. Biophys. Chem., 4:241-248, 1975.
[351] J.-L. Martiel and A. Goldbeter. A model based on receptor desensitization
for cyclic-АМР signaling in Dictyostelium cells. Biophys. J., 52:807-828,
1987.
[352] J. Clerk Maxwell. Scientific Papers. Dover, New York, 1952.
[353] R.M.May. Stability and Complexity in Model Ecosystems. Princeton
Univ. Press, Princeton, second edition, 1975.
[354] R. M. May. Theoretical Ecology. Principles and Applications. Blackwell
Scientific Publications, Oxford, second edition, 1981.
[355] R. M. May. Regulation of population with nonoverlapping generations by
microparasites: a purely chaotic system. Amer. Nat., 125:573-584, 1985.
[356] R. M. May. When two and two do not make four: nonlinear phenomena in
ecology. Proc. R.Soc. bond. B, 228:241-266, 1986.
[357] D. McFadden and E. G. Pasanen. Comparison of the auditory systems
of heterosexuals and homosexuals: click-evoked otoacoustic emissions.
Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 95:2709-2713, 1998.
[358] H.P. McKean. Nagumo’s equation. Adv. in Math., 4:209-223, 1970.
[359] H.P.McKean. Application of Brownian motion to the equation of
Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov. Comm. Pure Appl. Math., 28:323-331,
1975.
[360] A. G. McKendrick. Application of mathematics to medical problems.
Proc. Ed. Math. Soc., 44:98-130, 1926. *
732
Литература
[361] A. R. McLean and C. R. Mitchie. In vivo estimates of division and death
rate of human lymphocytes. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 92:3707-3711,
1995.
[362] A. R. McLean and M. A. Nowak. Models of interactions between HIV and
other pathogens. J. Theor. Biol., 155:69-86, 1992.
[363] M. McNeill. Plagues and People. Anchor Books, New York, 1989.
[364] J. A. J. Metz and O. Diekmann. The dynamics of physiologically
structured populations. In Leet. Notes in Biomathematics, volume 68.
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1986.
[365] W. D. Metzen. Nesting ecology of alligators on the Okefenokee National
Wildlife Refuge. Proc. Ann. Conf. S. E. Assoc. Fish and Wildl. Agencies,
31:29-32, 1977.
[366] E.R. Meyer. Crocodilians as Living Fossils. In N. Eldridge and M.
Stanley, editors. Living Fossils, pages 105-131. Springer-Verlag, New
York, 1984.
[367] L. Michaelis and M. I. Menten. Die Kinetik der Invertinwirkung. Biochem.
Z., 49:333-369, 1913.
[368] J. G. Milton and M.C. Mackey. Periodic haematological diseases:
Mystical entities or dynamical disorders? J. Roy. Coll, of Physicians,
23:236-241, 1989.
[369] R. E. Mirollo and S. H. Strogatz. Synchronization of pulse-coupled
biological oscillators. SIAM J. Appl. Math., 50:1645-1662, 1990.
[370] P. J. Mitchell and J. D. Murray. Facilitated diffusion: the problem of
boundary conditions. Biophysik, 9:177-190, 1973.
[371 ] J. E. Mittler, M. Markowitz, D. D. Ho and A. S. Perelson. Refined estimates
for HIV-1 clearance rate and intracellular delay. AIDS, 13:1415-1417,
1999.
[372] J. E. Mittler, B. Sulzer, A. U. Neumann and A. S. Perelson. Influence of
delayed virus production on viral dynamics in HIV-1 infected patients.
Math. Bioscl., 152:143-163, 1998.
[373] R. M. Miura. Explicit roots of the cubic polynomial and applications. Appl.
Math. Notes, 4:22-40, 1980.
[374] P. Moccarelli, P. Brambilla, P. M. Gerthoux, D. G. Patterson and
L.L. Needham. Change in sex ratio with exposure to dioxin. Lancet,
348:409, 1996.
Литература
733
[375] G. Moda, C. J. Dabom, J. M. Grange and O. Cosivi. The zoonic importance
of Mycobacterium bovis. Tubercle Lung Disease, 77:103-108, 1996.
[376] A. Mogilner and L. Edelstein-Keshet. A non-local model for a swarm.
J. Math. Biol., 38:534-570, 1999.
[377] D. Mollison. Spatial contact models for ecological and epidemic spread.
J. Roy. Stat. Soc. (B), 39:283-326, 1977.
[378] D. Mollison. Dependence of epidemic and population velocities on basic
parameters. Math. Biosci., 107:255-287, 1991.
[379] A.Monk and H.G.Othmer. Cyclic AMP oscillations in suspensions of
Dictyostelium discoideum. Phil. Trans. R.Soc. bond. B, 323:185-224,
1989.
[380] J. Monod and F. Jacob. General conclusions: teleonomic mechanisms in
cellular metabolism, growth and differentiation. In Cold Spring Harbor
Symposium on Quant. Biol., volume 26, pages 389—401, 1961.
[381] P.R. Montague and M. J. Friedlander. Morphogenesis and territorial
coverage by isolated mammalian retinal ganglion cells. J.Neuroscl.,
11:1440-1457, 1991.
[382] P. Morse and H.Feshbach. Methods of Theoretical Physics, volume 1.
McGraw Hill, New York, 1953.
[383] J. D. Murray. Singular perturbations of a class of nonlinear hyperbolic and
parabolic equations. J. Maths, and Physics, 47:111-133, 1968.
[384] J. D. Murray. Perturbation effects on the decay of discontinuous solutions
of nonlinear first order wave equations. SIAM J. Appl. Math., 19:273-298,
1970a.
[385] J. D. Murray. On the Gunn effect and other physical examples of perturbed
conservation equations. J. Fluid Meek, 44:315-346, 1970b.
[386] J. D. Murray. On the molecular mechanism of facilitated oxygen diffusion
by haemoglobin and myoglobin. Proc. R. Soc. bond. B, 178:95-110,1971.
[387] J. D. Murray. On Burgers’ model equations for turbulence. J. Fluid Meeh.,
59:263-279, 1973.
[388] J. D. Murray. On a model for the temporal oscillations in the Belousov-
Zhabotinskii reaction. J. Chem. Phys., 61:3610-3613, 1974a.
[389] J. D. Murray. On the role of myoglobin in muscle respiration. J. Theor.
Biol., 47:115-126, 1974b.
734
Литература
[390] J. D. Murray. Non-existence of wave solutions for a class of reaction
diffusion equations given by the volterra interacting-population equations
with diffusion. J. Theor. BioL, 52:459-469, 1975.
[391 ] J. D. Murray. Nonlinear Differential Equation Models in Biology. Claren-
don Press, Oxford, 1977.
[392] J. D. Murray. On pattern formation mechanisms for Lepidopteran wing
patterns and mammalian coat markings. Phil. Trans. R.Soc. bond. B,
295:473-496, 1981.
[393] J. D. Murray. Parameter space for Turing instability in reaction diffusion
mechanisms: a comparison of models. J. Theor. BioL, 98:143-163, 1982.
[394] J. D. Murray. Asymptotic Analysis. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-
New York, second edition, 1984.
[395] J. D. Murray. Use and abuse of fractal theory in neuroscience. J. Comp.
Neurol., 361:369-371, 1995.
[396] J. D. Murray, J. Cook, S.R. Lubkin and R.C. Tyson. Spatial pattern
formation in biology: I. dermal wound healing II. bacterial patterns.
J. Franklin Inst., 335:303-332, 1998.
[397] J. D. Murray, D. C. Deeming and M. W. J. Ferguson. Size-dependent
pigmentation-pattern formation n embryos of Alligator mississippiensis:
time of initiation of pattern generation mechanism. Proc. R. Soc. bond. B,
239:279-293, 1990.
[398] J. D. Murray and C. L. Frenzen. A cell justification for Gompertz’
equation. SIAM J. Appl. Math., 46:614-629, 1986.
[399] J. D. Murray, E. A. Stanley and D.L. Brown. On the spatial spread of
rabies among foxes. Proc. R.Soc. bond. B, 229:111-150, 1986.
[400] J. D. Murray and G. F. Oster. Cell traction models for generating pattern
and form in morphogenesis. J. Math. BioL, 19:265-279, 1984.
[401] J. D. Murray and D. A. Smith. Theory of the rotational contribution to
facilitated diffusion. J. Theor. BioL, 118:231-246, 1986.
[402] J. D. Murray and J. Wyman. Facilitated diffusion: the case of carbon
monoxide. J. BioL Chem., 246:5903-5906, 1971.
[403] J. H. Myers and C. J. Krebs. Population cycles in rodents. Set Amer., pages
38-46, June 1974.
Литература
735
[404] J. S. Nagumo, S. Arimoto and S. Yoshizawa. An active pulse transmission
line simulating nerve axon. Proc. IRE, 50:2061-2071, 1962.
[405] V.Namias. Simple derivation of the roots of a cubic equation. Am.
J. Phys., 53:775, 1985.
[406] E. G. Neal. The Natural History of Badgers. Croom Helm, Beckenham,
UK, 1986.
[407] P.W. Nelson. Mathematical Models in Immunology and HIV Patho-
genesis. PhD thesis, Department of Applied Mathematics, University of
Washington, Seattle, WA, 1998.
[408] P. W. Nelson, A. S. Perelson and J. D. Murray. Delay model for the dyna-
mics if HIV infection. Math. Bioscl., 163:201-215, 2000.
[409] J. C. Neu. Coupled chemical oscillators. SIAM J. Appl. Math., 37:307-315,
1979.
[410] J. C.Neu. Large populations of coupled chemical oscillators. SIAM
J. Appl. Math., 38:305-316, 1980.
[411] M. G.Neubert, M. Kot and M. A. Lewis. Dispersal and pattern formation
in a discrete-time predatorprey model. Theor. Popul. Biol., 48:7^43, 1995.
[412] W. I. Newman. Some exact solutions to a nonlinear diffusion problem in
population genetics and combustion. J. Theor. Biol., 85:325-334, 1980.
[413] W. I. Newman. The long-time behaviour of solutions to a nonlinear
diffusion problem in population genetics and combustion. J. Theor. BioL,
104:473^84, 1983.
[414] J. D. Nichols and R. H. Chabreck. On the variability of alligator sex ratios.
American Nature, 116:125-137, 1980.
[415] J. D. Nichols, L. Viehman, R.H. Chabreck and B. Fenderson. Simulation
of a commercially harvested alligator population in Louisiana. La. Agr.
Exp. Sta. Bull., 691:1-59, 1976.
[416] A. J. Nicholson. An outline of the dynamics of animal population.
Australian J. Zool., 2:9-65, 1954.
[417] A. J. Nicholson. The self adjustment of populations to change. In Cold
Spring Harbor Symposium on Quant. Biol., volume 22, pages 153-173,
1957.
[418] H. F. Nijhout. The Development and Evolution of Butterfly Wing Patterns.
Smithsonian Institution Press, Washington,-D. C., 1991.
736
Литература
[419] R. М. Nisbet and W.S. C. Gurney. Modelling Fluctuating Populations.
John Wiley, New York, 1982.
[420] M. A. Nowak, R. M. Anderson, M. R. Boerllist, S. Bonhoeffer, R. M. May
and A. J. McMichael. HIV-1 evolution and disease progression. Science,
274:1008-1010, 1996.
[421] G. Odell, G. F. Oster, B. Bumside and P. Alberch. The mechanical basis for
morphogenesis. Dev. Biol., 85:446-462, 1981.
[422] G.M. Odell. Qualitative theory of systems of ordinary differential
equations, including phase plane analysis and the use of the Hopf
bifurcation theorem. In L. A. Segel, editor. Mathematical Models in
Molecular and Cellular Biology, pages 649-727. Cambridge University
Press, Cambridge, 1980.
[423] E. P. Odum. Fun damentals of Ecology. Saunders, Philadelphia, 1953.
[424] A. Okubo. Diffusion and Ecological Problems: Mathematical Models.
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.
[425] A. Okubo. Dynamical aspects of animal grouping: swarms, schools, flocks
and herds. Adv. Biophys., 22:1-94, 1986.
[426] A. Okubo and H. C. Chiang. An analysis of the kinematics of swarming
of Anarete pritchardi Kim (Diptera: Cecideomyiidae). Res. Popul. EcoL,
16:1-42, 1974.
[427] M. Oldstone. Viruses, Plagues and History. Oxford University Press, New
York, 1998.
[428] G.F. Oster. Lectures in population dynamics. In R. C. Di Prima, editor,
Modern Modelling of Continuum Phenomena, volume 16 of Lectures in
Appl. Math., pages 149-190. Amer. Math. Soc., 1977.
[429] H. Othmer. Interactions of reaction and diffusion in open systems. PhD
thesis, Chem. Eng. Dept, and Univ. Minnesota, 1969.
[430] H. G. Othmer, P. K. Maini and J. D. Murray, editors. Mathematical Models
for Biological Pattern Formation. Plenum Press, New York, 1993.
[431] H.G. Othmer and P. Schaap. Oscillatory cAMP signalling in the
development of Dictyostelium discoideum. Comments Theor. Biol., 5:175-
282, 1999.
[432] J. Panico and P. Sterling. Retinal neurons and vessels are not fractal but
space-filling. J. Compar. Neurology, 361:479-490, 1995.
Литература
737
[433] S. Раггу, М. Е. J. Barratt, S. Jones, S. McKee and J. D. Murray. Modelling
coccidial infection in chickens: emphasis on vaccination by in-feed
delivery of oocysts. J. Theor. Biol., 157:407-425, 1992.
[434] D. Paumgartner, G. Losa and E. R. Weibel. Resolutipn effect on the
stereo logical estimation of surface and volume and its interpretation in
terms of fractal dimension. J. Microscopy, 121:51-63, 1981.
[435] R. Pearl. The Biology of Population Growth. Alfred A. Knopf, New York,
1925.
[436] H.-O. Peitgen, H. Jurgens and D. Saupe. Chaos and Fractals. Springer
Verlag, New York, 1992.
[437] H.-O.Peitgen and P.H.Richter. The Beauty of Fractals: Images of
Complex Dynamical Systems. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New
York, 1986.
[438] B.B.Peng, V. Gaspar and K. Showalter. False bifurcations in chemical
systems: canards. Phil. Trans. R.Soc. bond. A, 337:275-289, 1991.
[439] A. S. Perelson, D. E. Kirschner and R. De Boer. Dynamics of HIV
infection of CD4+ T cells. Math. Bioscl, 114:81-125, 1993.
[440] A. S. Perelson and P. W. Nelson. Mathematical models of HIV-1 dynamics
in vivo. SIAMRev., 41:3-44, 1999.
[441] A. S. Perelson, A. U. Neumann, M. Markowitz, J. M. Leonard and
D. D. Ho. HIV-1 dynamics in vivo: Virion clearance rate, infected
life-span and viral generation time. Science, 271:1582-1586, 1996.
[442] T. A. Peterman, D. P. Drotman and J. W. Curran. Epidemiology of the
acquired immunodeficiency syndrome (AIDS). Epidemiology Reviews,
7:7-21, 1985.
[443] F. Phelps. Optimal sex ratio as a function of egg incubation temperature
in the crocodilians. Bull. Math. BioL, 54:123-148, 1992.
[444] E. R. Pianka. Competition and niche theory. In R. M. May, editor,
Theoretical Ecology: Principles and Applications, pages 167-196.
Blackwells Scientific, Oxford, 1981.
[445] H. M. Pinsker. Aplysia bursting neurons as endogenous oscillators. I. Phase
response curves for pulsed inhibitory synaptic input. II. Synchronization
and entrainment by pulsed inhibitory synaptic input. J. Neurophysiol.,
40:527-556, 1977.
738
Литература
[446] R. Е. Plant. The effects of calcium++ on bursting neurons. Biophys. J.,
21:217-237, 1978.
[447] R. E. Plant. Bifurcation and resonance in a model for bursting nerve cells.
J. Math. Biol., 11:15-32, 1981.
[448] R. E. Plant and M. Mangel. Modelling and simulation in agricultural pest
management. SIAM. Rev., 29:235-361, 1987.
[449] J. C.F. Poole and A. J. Holladay. Thucydides and the Plague of Athens.
Classical Quarterly, 29:282-300, 1979.
[450] A. C. Pooley. Nest opening response of the Nile crocodile, Crocodylus
niloticus. J.Zool. bond., 182:17-26, 1977.
[451] A. C. Pooley and C.Gans. The Nile Crocodile. Set Amer., 234:114-124,
1976.
[452] J. H. Powell. Bring Out Your Dead: The Great Plague of Yellow Fever
in Philadelphia in 1793. University of Pennsylvania Press, Philadelphia,
1993.
[453] I. Prigogene and R. Lefever. Symmetry breaking instabilities in dissipative
systems. II. J. Chem. Phys., 48:1665-1700, 1968.
[454] G. F. Raggett. Modelling the Eyam plague. Bull. Inst. Math, and itsApplic,
18:221-226, 1982.
[455] R. H. Rand, A. H. Cohen and P. J. Holmes. Systems of coupled oscillators
as models of CPG’s. In A. H. Cohen, S. Rossignol and S. Grillner, editors.
Neural Control of Rhythmic Movements in Vertebrates, pages 333-368.
John Wiley, New York, 1988.
[456] R. H. Rand and P. J. Holmes. Bifurcation of periodic motions in two
weakly coupled van der Poloscillators. Int. J. Nonlinear Meek, 15:387-
399, 1980.
[457] R. E. Rapp. Analysis of biochemical phase shift oscillators by a harmonic
balancing technique. J. Math. BioL, 3:203-224, 1976.
[458] E. Renshaw. Modelling Biological Populations in Space and Time.
Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
[459] L. Rensing, U. an der Heiden and M.C. Mackey, editors. Temporal
Disorder in Human Oscillatory Systems. Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg-New York, 1987.
Литература
739
[460] Т. Rhen and J. W. Lang. Phenotypic plasticity for growth in the common
snapping turtle: effects of incubation temperature, clutch and their
interaction. American Naturalist, 146:727-747, 1995.
[461 ] W. E. Ricker. Stock and recruitment. J. Fisheries Res. Board of Canada,
11:559-623, 1954.
[462] J. Rinzel. Models in neurobiology. In R. H. Enns, B. L. Jones, R. M. Miu-
ra and S. S. Rangnekar, editors. Nonlinear Phenomena in Physics and
Biology, pages 345-367. Plenum Press, New York, 1981.
[463] J. Rinzel. On different mechanisms for membrane potential bursting. In
Proc. Sympos. on Nonlinear Oscillations in Biology and Chemistry, Salt
Lake City 1985, volume 66 of Leet. Notes in Biomathematics, pages 19-
33, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1986.
[464] J. Rinzel and G. B. Ermentrout. Beyond a pacemaker’s entrainment limit:
phase walkthrough. Am. J. Physiol., 246:R102-106, 1983.
[465] G. B. Risse. A long pull, a strong pull and all together — San Francisco
and bubonic plague 1907-1905. Bull. Hist. Med., 66:260-286, 1992.
[466] D. V. Roberts. Enzyme Kinetics. Cambridge University Press, Cambridge,
1977.
[467] L. M. Rogers, R. Delahay, C. L. Cheeseman, S. Langton, G. C. Smith and
R. S. Clifton-Hadley. Movement of badgers Meles meles in a high-density
population: individual, population and disease effects. Proc. R. Soc. bond.
B, 265:1269-1276, 1998.
[468] О. E. Rossler. Chaotic behaviour in simple reaction systems. Z.
Naturfosch. (A), 31:259-264, 1976a.
[469] О. E. Rossler. Chemical turbulence: chaos in a simple reaction-diffusion
system. Z. Naturfosch. (A), 31:1168-1172, 1976b.
[470] O.E. Rossler. An equation for hyperchaos. Phys. Lett. (A), 57:155-157,
1979.
[471] O.E.Rossler. The chaotic hyerarchy. Z. Naturfosch. (A), 38:788-801,
1983.
[472] M. Rotenberg. Effect of certain stochastic parameters on extinction and
harvested populations. J. Theor. BioL, 124:455-472, 1987.
[473] J. Roughgarden. Theory of Population Genetics and Evolutionary
Ecology. Prentice-Hall, Englewood Cliffy NJ, 1996.
740
Литература
[474] R. Rubin, D. C. Leuker, J. O. Flom and S. Andersen. Immunity against
Nematospiroides dubius in CFW Swiss Webster mice protected by
subcutaneous larval vaccination. J. ParasitoL, 57:815-817, 1971.
[475] S. I. Rubinow. Introduction to Mathematical Biology. John Wiley, New
York, 1975.
[476] S. I. Rubinow and M. Dembo. The facilitated diffusion of oxygen by
haemoglobin and myoglobin. Biophys. J., 18:29^41, 1977.
[477] M. T. Sadler. The law ofpopulation a treatise, in six books: in disproof of
the superfecundity of human beings and developing the real principle of
their increase. J. Murray, London, 1830. In Cole. Q.Rev. BioL, 29:103-
137, 1954.
[478] A. N. Sarkovskii. Coexistence of cycles of a continuous map of a line into
itself (in Russian). Ukr. Mat. Z., 16:61-71, 1964.
[479] J. Satsuma. Explicit solutions of nonlinear equations with density
dependent diffusion. J. Phys. Soc. Japan, 56:1947-1950, 1987.
[480] W. M. Schaffer. Stretching and folding in lynx fur returns: evidence for a
strange attractor in nature? Amer. Nat., 24:798-820, 1984.
[481] W.M. Schaffer and M. Kot. Chaos in ecological systems: the coals that
Newcastle forgot. Trend Ecol. Evol., 1:58-63, 1986.
[482] A. K. Schierwagen. Scale-invariant diffusive growth: a dissipative
principle relating neuronal form to function. In J. M. Smith and G. Vida,
editors. Organisational Constraints in the Dynamics of Evolution, pages
167-189. Manchester University Press, Manchester, 1990.
[483] J. Schnackenberg. Simple chemical reaction systems with limit cycle
behaviour. J. Theor. BioL, 81:389-400, 1979.
[484] M. C. Schuette and H. W. Hethcote. Modelling the effects of varicella
vaccination programs on the incidence of chickenpox and shingles. Bull.
Math. BioL, 61:1031-1064, 1999.
[485] S.K. Scott. Chemical Chaos. Oxford University Press, Oxford, 1991.
[486] L. A. Segel. Simplification and scaling. SIAM. Rev., 14:547-571, 1972.
[487] L. A. Segel, editor. Mathematical Models in Molecular and Cellular
Biology. Cambridge University Press, Cambridge, 1980.
[488] L. A. Segel. Modelling Dynamic Phenomena in Molecular and Cellular
Biology. Cambridge University Press, Cambridge, 1984.
Литература
741
[489] L. A. Segel. On the validity of the steady state assumption of enzyme
kinetics. Bull. Math. Biol., 50:579-593, 1988.
[490] L. A. Segel and S. A. Levin. Application of nonlinear stability theory to
the study of the effects of diffusion on predator prey interactions. In
R. A. Piccirelli, editor, Amer Inst. Phys. Conf. Proc: Topics in Statistical
Mechanics and Biophysics, volume 27, pages 123-152, 1976.
[491] L. A. Segel and M. Slemrod. The quasi-steady state assumption: a case
study in perturbation. SIAM. Rev., 31:446^411, 1989.
[492] N. Seiler, M. J. Jung and J. Koch-Weser. Enzyme-activated Irreversible
Inhibitors. Elsevier/North-Holland, Oxford, 1978.
[493] F. R. Sharpe and A. J. Lotka. A problem in age distribution. Philos. Mag.,
21:435-438, 1911.
[494] N. Shigesada. Spatial distribution of dispersing animals. J. Math. BioL,
9:85-96, 1980.
[495] N. Shigesada and K. Kawasaki. Biological Invasions: Theory and
Practice. Oxford University Press, Oxford, 1997.
[496] N. Shigesada, K. Kawasaki and Y. Takeda. Modeling stratified diffusion in
biological invasions. Amer Naturalist, 146:229-251, 1995.
[497] N. Shigesada, K. Kawasaki and E. Teramoto. Spatial segregation of
interacting species. J. Theor Biol., 79:83-99, 1979.
[498] N. Shigesada and J. Roughgarden. The role of rapid dispersal in the
population dynamics of competition. Theor. Popul. Biol., 21:353-372,
1982.
[499] K. Showalter and J. J. Tyson. Luther’s 1906 discovery and analysis of
chemical waves. J. Chem. Educ., 64:742-744, 1987.
[500] J. G. Skellam. Random dispersal in theoretical populations. Biometrika,
38:196-218, 1951.
[501] J. G. Skellam. The formulation and interpretation of mathematical models
of diffusional processes in population biology. In M. S. Bartlett and
R. W. Hioms, editors. The Mathematical Theory of the Dynamics of
Biological Populations, pages 63-85. Academic Press, New York, 1973.
[502] A. F. G. Slater and A. E. Keymer. Heligmosomides poly gyms (Nematoda):
the influence of dietary protein on the dynamics of repeated infection.
Proc. R. Soc. bond. B, 229:69-83, 1986. .
742
Литература
[503] А. М. A. Smith and G. J. W. Webb. Crocodylus johnstoni in the McKinlay
river area, N.T.VILA population simulation model. Aust. Wild. Res.,
12:541-554, 1985.
[504] G. D. Smith, L. J. Shaw, P. K. Maini, R. J. Ward, P. J. Peters and
J. D. Murray. Mathemical modelling of ethanol metabolism in normal
subjects and chronic alcohol misusers. Alcohol and Alcoholism, 28:25-32,
1993.
[505] H. L. Smith. Monotone Dynamical Systems; An Introduction to the Theory
of Competitive and Cooperative Systems. Mathematical Surveys and
Monogrpahs 41. American Mathematical Society, Providence, 1993.
[506] W. R. Smith. Hypothalmic regulation of pituitary secretion of luteinizing
hormone. II. Feedback, control of gonadotropin secretion. Bull. Math.
Biol., 42:57-78, 1980.
[507] T. R. E. Southwood. Bionomic strategies and population parameters. In
R.M.May, editor. Theoretical Ecology. Principles and Applications,
pages 30-52. Blackwell Scientific, Oxford, second edition, 1981.
[508] С. O. A. Sowunmi. Female dominant age-dependent deterministic
population dynamics. J. Math. Biol., 3:1-4, 1976.
[509] C. Sparrow. The Lorenz equations: Bifurcations, chaos and strange
attractors, in Appl. Math. Set, volume 41. Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg-New York, 1982.
[510] C. Sparrow. The Lorenz equations. In A. V. Holden, editor. Chaos.
Manchester University Press, Manchester, 1986.
[511] P. A. Spiro, J. S. Parkinson and H.G. Othmer. A model of excitation and
adaptation in bacterial chemotaxis. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 94:7263-
7268, 1997.
[512] S.C. Steams. Life history tactics: a review of the ideas. Q. Rev. Biol.,
51:3-47, 1976.
[513] P. Stefan. A theorem of Sarkovskii on the existence of periodic orbits of
continuous endomorphisms of the real line. Comm. Math. Phys., 54:237-
248, 1977.
[514] I. N. Steward and P. L. Peregoy. Catastrophe theory modelling in percep-
tion. Psychological Bull., 94:336-362, 1988.
[515] N. I. Stilianakis, С. A. B. Boucher, M. D. DeJong, R. VanLeeuwen,
R. Schuurman and R. J. DeBoer. Clinical data sets on human
Литература
743
immunodeficiency virus type 1 reverse transcriptase resistant mutants
explained by a mathematical model. J. Virol., 71:161-168, 1997.
[516] N. I. Stilianakis, D. Schenzle and K. Dietz. On the antigeneic diversity
threshold model for AIDS. Math. Bioscl., 121:235-247, 1994.
[517] D. Stirzaker. On a population model. Math. Bioscl., 23:329-336, 1975.
[518] S. H. Strogatz. The mathematical structure of the human sleep-wake cycle.
In Led. Notes in Biomathematics, volume 69. Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg-New York, 1986.
[519] S. H. Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos: with Applications in Phy-
sics, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison-Wesley Publishing,
Reading, MA, 1994.
[520] S.H. Strogatz and I. Stewart. Coupled oscillators and biological
synchronization. Sci. Amer., 269:102-109, 1993.
[521] F. A. Stuart, К. H. Mahmood, J. L. Stanford and D. G. Pritchard. Develop-
ment of diagnostic test for and vaccination against, tuberculosis in
badgers. Mammal. Review, 18:74-75, 1988.
[522] C. Taddei-Ferretti and L. Cordelia. Modulation of Hydra attenuata
rhythmic activity: phase response curve. J. Exp. Biol., 65:737-751, 1976.
[523] S. Tatsunami, N. Yago and M.Hosoe. Kinetics of suicide substrates.
Steady-state treatments and computer-aided exact solutions. Biochim.
Biophys. Ada., 662:226-235, 1981.
[524] M. Tauchi and R. H. Masland. The shape and arrangement of the
cholinergic neurons in the rabbit retina. Proc. R. Soc. bond. B, 223:101-
119, 1984.
[525] M. Tauchi, K. Morigawa and Y. Fukuda. Morphological comparisons
between outer and inner ramifying aplha cells of the albino rat retina.
Exp. Brain Res., 88:67-77, 1992.
[526] D. Thoenes. “Spatial oscillations” in the Zhabotinskii reaction. Nature
(Phys. Sci.), 243:18-20, 1973.
[527] D. Thomas. Artificial enzyme membranes, transport, memory and
oscillatory phenomena. In D. Thomas and J.-P. Kemevez, editors. Analysis
and Control of Immobilized Enzyme Systems, pages 115-150. Springer-
Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1975.
744
Литература
[528] J. Н. М. Thornley. Mathematical Models in Plant Morphology. Academic
Press, New York, 1976.
[529] D. Tilman and P. Kareiva, editors. Spatial Ecology, The Role of Space in
Population Dynamics and Interspecific Interactions. Princeton University
Press, NJ, Princeton, 1998.
[530] E. C. Titchmarsh. Eigenfunctions Expansions Associated with Second-
Order Differential Equations. Clarendon Press, Oxford, 1964.
[531] R. T. Tranquillo and D. A. Lauffenburger. Consequences of chemosensory
phenomena for leukocyte chemotactic orientation. Cell Biophys., 8:1-46,
1986.
[532] R. T. Tranquillo and D. A. Lauffenburger. Analysis of leukocyte
chemosensory movement. Adv. Bioscl., 66:29-38, 1988.
[533] A. M. Turing. The chemical basis of morphogenesis. Phil. Trans. R.Soc.
bond. B, 237:37-72, 1952.
[534] J. J. Tyson. The Вelousov-Zhabotinskii Reaction, volume lOofZecf Notes
in Biomathematics. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1976.
[535] J. J. Tyson. Analytical representation of oscillations, excitability and
travelling waves in a realistic model of the Belousov-Zhabotinskii
reaction. J. Chem. Phys., 66:905-915, 1977.
[536] J. J. Tyson. Periodic enzyme synthesis: reconsideration of the theory of
oscillatory repression. J. Theor. Biol., 80:27-38, 1979.
[537] J. J. Tyson. Scaling and reducing the Field-Koros-Noyes mechanism of
the Belousov-Zhabotinskii reaction. J. Phys. Chem., 86:3006-3012, 1982.
[538] J. J. Tyson. Periodic enzyme synthesis and oscillatory suppression: why
is the period of oscillation close to the cell cycle time? J. Theor. Biol.,
103:313-328, 1983.
[539] J. J. Tyson. A quantitative account of oscillations, bistability and travelling
waves in the Belousov-Zhabotinskii reaction. In R. J. Field and M. Burger,
editors. Oscillations and Travelling Waves in Chemical Systems, pages
92-144. John Wiley, New York, 1985.
[540] J. J. Tyson. Modeling the cell division cycle : cdc2 and cyclin interactions.
Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 88:7238-7232, 1991.
[541] J. J. Tyson. What everyone should know about the Belousov-Zhabotinsky
reaction. In Frontiers in Mathematical Biology, volume 100 of Leet. Notes
Литература
745
in Biomathematics, pages 569-587. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-
New York, 1994.
[542] J. J. Tyson and H. G. Othmer. The dynamics of feedback control circuits in
biochemical pathways. Prog. Theor. Biol., 5:1-62, 1978.
[543] R. C. Tyson. Pattern formation by E. coli — mathematical and numerical
investigation of a biological phenomenon. PhD thesis, Department of
Applied Mathematics, University of Washington, Seattle, WA, 1996.
[544] R.C. Tyson, S. R. Lubkin and J. D. Murray. A minimal mechanism for
bacterial pattern formation. Proc. R. Soc. bond. B, 266:299-304, 1998.
[545] R. C. Tyson, S. R. Lubkin and J. D. Murray. Model and analysis of
chemotactic bacterial patterns in liquid medium. J. Math. Biol., 38:359-
375, 1999.
[546] A. Uppal, W. H. Ray and A. B. Poore. The classification of the dynamic
behaviour of continuous stirred tank reactors — influence of reactor
residence time. Chem. Eng. Sci., 31:205-214, 1976.
[547] USDA. Bovine Tuberculosis: Still & Threat for US Cattle Herds.
Scientific report, US Dept. Agriculture, Washington, 1982a.
[548] USDA. Bovine Tuberculosis Eradication: Uniform Methods and Rules.
Scientific report, US Dept. Agriculture, Washington, 1982b.
[549] P. Van Den Driessche and X. Zou. Global attractivity in delay Hopfield
neural network models. SIDAM J. Appl. Math., 58:1878-1890, 1998.
[550] P.-F. Verhulst. Notice sur la loi que la population suit dans son
accroissement. Corr. Math, et Phys., 10:113-121, 1838.
[551] P.-F. Verhulst. Recherche mathemathiques sur le loi d’accroissement de
la population. Nouveau Memoires de Г Academic Royale des Sciences et
Belles Lettres de Bruxelles, 18:3-38, 1845.
[552] J. L. Vincent and J. M. Skowronski, editors. Renewable Resource
Management, volume 40 of Leet. Notes in Biomathematics. Springer-
Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1981.
[553] V. Volterra. Variazionie fluttuazioni del numero d’individui in specie
animali conviventi. Mem. Acad. Lincel, 2:31-113, 1926. Variations
and fluctuations of a number of individuals in animal species living
together. Translation by R.N. Chapman. In: Animal Ecology, pp. 409-
448. McGraw Hill, New York, 1931.
746
Литература
[554] Н. von Foerster. Some remarks on changing populations. In F. Stohlman,
editor. The Kinetics of Cellular Proliferation, pages 382-407. Grune and
Stratton, New York, 1959.
[555] H.T. Waaler and M. A. Piot. The use of an epidemiological model for
estimating the effectiveness of tuberculosis control measures. Bull. WHO,
41:75-93, 1969.
[556] S.G. Waley. Kinetics of suicide substrates. Biochem. J., 185:771-773,
1980.
[557] S.G.Waley. Kinetics of suicide substrates. Practical procedures for
determining parameters. Biochem. J., 227:843-849, 1985.
[558] C.T. Walsh. Suicide substrates, mechanism-based enzyme inactivators:
recent developments. Annu. Rev. Biochem., 53:493-535, 1984.
[559] C.T. Walsh, T.Cromartie, P.Marcotte and R. Spencer. Suicide substrates
for flavoprotein enzymes. Methods Enzymol., 53:437-448, 1978.
[560] J. A. Walsh and K. S. Warren. Disease control in developing countries.
Aew Eng. J. Med., 301:967-974, 1979.
[561] P. Waltman. Competition models in population biology. In CMBS
Lectures, volume 45. SIAM Publications, Philadelphia, 1984.
[562] S. Watts. Epidemics and History: Disease, Power and Imperialism. Yale
University Press, New Haven, 1998.
[563] P. Watzlawick, J. H. Beavin and D.D. Jackson. Pragmatics of Human
Communication. Norton, New York, 1967.
[564] G. Webb, A. M. Beal, S. C. Manolis and К. E. Dempsy. The effects of
incubation temperature on sex determination and embryonic development
rate in Crocodylus johnstoni and C. porosus. In G. J. W. Webb,
S. C. Manolis and P. J. Whitehead, editors. Wildlife Management:
Crocodiles and Alligators, pages 507-531. Surrey Beatty, Sydney, 1987.
[565] G. F. Webb. Theory of nonlinear age-dependent population dynamics.
Marcel Dekker, New York, 1985.
[566] G. J. WWebb and A. M. A. Smith. Sex ratio and survivorship in the
Australian freshwater crocodile Crocodylus johnstoni. Symp. Zool. Soc.
bond, 52:319-355, 1984.
[567] G. J. WWebb and A. M. A. Smith. Life history parameters, population
dynamics and the management of crocodilians. In G.J.WWebb,
Литература
747
S. С. Manolis and P. J. Whitehead, editors. Wildlife Management-
Crocodiles and Alligators, pages 199-210. Surrey Beatty, Sydney, 1987.
[568] L. M. Wein, R.M.D’Amato and A. S. Perelson. Mathematical
considerations of antiretroviral therapy aimed at HIV-1 eradication
or maintenance of low viral loads. J. Theor. Biol., 192:81-98, 1998.
[569] R. Weiss. AIDS and the myths of denial. Science and Public Affairs (Royal
Soc. (bond.) and The British Association), pages 40-44, 1996. October.
[570] R. H. Whittaker. Communities and Ecosystems. Macmillan, New York,
second edition, 1975.
[571] M. D. Whorton, J. L. Haas, L. Trent and O. Wong. Reproductive effects of
sodium borates on male employees: birthrate assessment. Occ. Environ.
Med., SVnfA-ICf 1994.
[572] T. Wibbels, J. J. Bull and D. Crews. Chronology and morphology of
temperature-dependent sex determination. J. Exp. Zool., 260:371-381,
1991.
[573] T. Wibbels, J. J. Bull and D. Crews. Temperature-dependent sex deter-
mination: a mechanistic approach. J. Exp. Zool., 270:71-78, 1994.
[574] J. L. Willems. Stability Theory of Dynamical Systems. John Wiley and
Sons, New York, 1970.
[575] M. H. Williamson. Biological Invasions. Chapman and Hall, London,
1996.
[576] A. T. Winfree. An integrated view of the resetting of a circadian clock.
J. Theor. BioL, 28:327-374, 1970.
[577] A. T. Winfree. Resetting biological clocks. Physics Today, 28:34-39, 1975.
[578] A. T. Winfree. The Geometry of Biological Time. Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg-New York, 1st edition, 1980.
[579] A. T. Winfree. Human body clocks and the timing of sleep. Nature,
Wltt-Tf 1982.
[580] A. T. Winfree. The rotor in reaction-diffusion problems and in sudden
cardiac death. In M. Cosnard and J. Demongeot, editors. Leet. Notes in
Biomathematics (Luminy Symposium on Oscillations, 1981), volume 49,
pages 201-207, Berlin-Heidelberg-New York, 1983a. Springer-Verlag.
[581] A. T. Winfree. Sudden cardiac death: a problem in topology. Sci. Amer.,
248(5): 144—161, 1983b.
748
Литература
[582] А. Т. Winfree. The prehistory of the Belousov-Zhabotinskii oscillator.
J. Chem. Educ., 61:661-663, 1984.
[583] A. T. Winfree. The Timing of Biological Clocks. Scientific American
Books, Inc., New York, 1987.
[584] A. T. Winfree. The Geometry of Biological Time. Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg-New York, 2nd edition, 2000.
[585] B. A. Wittenberg, J. B. Wittenberg and P. R. B. Caldwell. Role of
myoglobin in the oxygen supply to red skeletal muscle. J. Biol.
Chem., 250:9038-9043, 1975.
[586] J. B. Wittenberg. Myoglobin-facilitated oxygen diffusion: role of
myoglobin in oxygen entry into muscle. Physiol. Rev., 50:559-636, 1970.
[587] A. Woodward, T. Hines, C. Abercrombie and C. Hope. Spacing patterns in
alligator nests. J. Herpetol., 18:8-12, 1984.
[588] D. E. Woodward and J. D. Murray. On the effect of temperature-dependent
sex determination on sex ratio and survivorship in crocodilians. Proc.
R.Soc. bond. B, 252:149-155, 1993.
[589] D. E. Woodward, R.C. Tyson, J. D. Murray, E. O. Budrene and H. Berg.
Spatio-temporal patterns generated by Salmonella typhimurium. Biophy-
sical! 68:2181-2189, 1995.
[590] J. Wyman. Facilitated diffusion and the possible role of myoglobin as
transport mechanism. J. Biol. Chem., 241:115-121, 1966.
[591] G. Yagil and E. Yagil. On the relation between effector concentration and
the rate of induced enzyme synthesis. Biophys. J., 11:11-27, 1971.
[592] E.C. Zeeman. Catastrophe Theory. Selected Papers 1972-77. Addison-
Wesley, Reading, MA, 1977.
[593] E. C. Zeeman. Sudden changes in perception. In J. Petitot-Cocorda, editor.
Logos et Theories des Catastrophe, pages 298-309, Geneva, 1982. Patino.
Proc. Colloq., Cerisy-la Salle.
[594] A. M. Zhabotinskii. Periodic processes of the oxidation of malonic acid in
solution (Study of the kinetics of Belousov’s reaction). Biofizika, 9:306-
311, 1964.
Предметный указатель
«плетение паутины» (дискретная
модель), 94
alligator mississippiensis, см.
аллигаторы
Aplysia, 413
AZT, 470
Dictyostelium discoideum, 569, 610
— волновые явления, 321
— кинетические модели, 569
— клеточное деление, 321
— периодическое выделение
циклической АМФ, 320, 340
Drosophila melanogaster, см.
плодовая мушка
Heligmosoides polygyrus, 496
Hydra attenuata, 413
Latis niloticus (нильский окунь), 164
Lucila cuprina (зеленая мясная
муха), 46
Medaka, 610, 650, 651
— икринки, 650
SIR (эпидемилогические) модели,
452
Trichostrongylus retortaeformis
(паразитический червь), 583
— дисперсная модель, 583
БСОВС (семейные отношения), 226
— показатели, 231
Брюсселятор (механизм реакции),
368
ВЗОМТ (воспалительные
заболевания органов малого
таза), 463
ВИЧ (вирус иммунодефицита
человека)
— «коктельная» терапия, 484
— Т-клетки (Т-лимфоциты), 473
— биологические предпосылки, 473
— восстановление Т-клеток, 486
— время распространения
инфекции, 474
— время удвоения, 480
— динамика передачи, 470
— ингибиторы обратных
транскриптаз, 484
— критическая эффективность
лечения, 493
— лекарственная терапия, 482
— модель с временными
задержками, 493
— модель с запаздыванием, 493
— модель терапии с запаздыванием,
493
— новое заболевание, 473
— оценки параметров, 486
— продукция вирусов, 482
— терапия, 490
750
Предметный указатель
ВОЗ (Всемирная организация
здравоохранения), 448
Ван дер Поль, уравнение, 388
Всемирная организация
здравоохранения (ВОЗ), 448
ГЭ КРС, 548
— болезнь Крейцфельдта-Якоба,
549
Гауссово (нормальное)
распределение вероятностей, 556
ДНК (дезоксирибонуклеиновая
кислота), 324
ЗППП (заболевания, передающиеся
половым путем), 461
— интенсивность контактов, 467
Коха кривая, 677
— построение, 677
ЛГ (лютеинизирующий гормон),
357
ЛГВГ (лютеинизирующий
гормонвысвобождающий
гормон), 357
Леонардо из Пизы, 86
Лотка-Вольтерра, 131
— многовидовая модель, 138
— модель конкуренции, 151
— модель хищник-жертва, 131
МСН (метод использования
стерильных насекомых) для
регуляции численности, 182
Международная комиссия по
китобойному промыслу, 81
Михаэлис-Ментен
— расход, 279, 280
— реакция, 265
СПГГ (связывающий половой
гормон глобулин), 356
СПИД (синдром приобретенного
иммунодефицита), 446, 461, 470
- AZT, 470
— в гомосексуальной популяции,
476
— гемофилия, 553
— доклад ЮНЭЙДС 1997 года, 472
— ингибитор протеаз, 483
— клинические критерии, 473
— мифы, 470
— периодическая вспышка, 479
— специальный отчет Scientific
American, 471
— статистика, 470
ТГЭ, 549
ТОП (температурно-зависимое
определение пола), 188
— модель с возрастным
распределением, 200
— молекулярные механизмы, 217
— черепахи, 191, 217
— ящерицы, 191
Томас (Thomas)
— кинетика, 334
— механизм, 302
ФОМП (фактор, определяющий
мужской пол), 218
Фибоначчи, 86
— ряд, 86
— угол, 88
Фон Ферстера уравнение, 76
— метод подобия, 78
Хилла
— график, 297
— коэффициент, 55, 325
Предметный указатель
751
— уравнение, 297
— функция, 55
Ходжкин-Хаксли
— возбудимость системы, 350
— возмущенные колебания, 413
— кусочно-линейная модель, 353
— модель ФитцХью-Нагумо, 349,
353
— пространственно-фиксированная
динамика, 349
— теория для мембран нервных
клеток, 348
Хопфа
— бифуркационная теорема, 323
— предельный цикл, 322
Чейн-Стоксово дыхание
— модель с запаздыванием, 54
— периодические колебания, 59
агрегация, ограниченная
процессами диффузии, 692
активатор, 293, 305
активатор-ингибитор
— механизм, 305, 317, 370
— модель, 305
— параметрическое пространство
периодических решений, 370
активация, 298
— волна активации, 650
акула, 590
аллигатор
— конкурентоспособность, 190, 194
— пол, 187
— распределение на трех типах
участков, 192
— соотношение между полами, 194,
212,213
— способность к выживанию, 205,
209
— устойчивые возрастные
распределения, 209
аллигаторы
— Луизиана, 189
— вымирание, 199
— гнездовые участки, 189, 192
— жизнеспособность потомства,
213
— изменчивость окружающей
среды, 209
— отношения емкости среды, 199
— размер кладки, 214
— распределение в США, 200
— температура инкубации яиц, 188
— удельная скорость
воспроизводства, 208, 212
— функция материнства, 203
аллостерический
— фермент, 316
— эффект, 293
анимальный полюс, 650
анкилостоматид, 495
анорексия, 225
антихаос, 126
апериодические решения
(дискретные модели), 100
бактериальное воспаление, 568
барсуки
- MAFF Report, 520
— параметры таблицы, 528
— перекрестная модель, 520
— пространственное
распространение, 547
— туберкулез, 519
--стоимость программы
вакцинации, 543
бегущая волна, 610
— общие результаты, 632
— устойчивость, 623
752
Предметный указатель
— форма, 612
безразмерный вид (приведение), 34
бильгарция (шистосомоз), 165, 464
биномиальное распределение, 555
биологическая регуляция
численности вредителей, 178
биологические колебания, 319, 330
— Лотка, 300
— выделение циклической АМФ
(клетки Dictyostelium), 320
— дыхание, 320
— модель с двумя участниками, 342
— нервная активность, 320
— общие выводы, 330
— определение параметрической
области колебаний, 342
— появление дрозофилл, 319
— системы А — и, 347
— черные дыры, 413
биологические часы, 319
— плодовая мушка, 400
биологическое время
— геометрическая модель, 399
биологическое переключение, 306,
318,319, 330, 336, 397
— общие выводы, 330
биомасса, 160
биохимические реакции, 264
бистабильность, 313
бифуркация
— тангенциальная, 94, 100
— типа вил, 94
— удвоения периода, 94, 99
бифуркация периодического
решения, 61
болезнь Крейцфельдта-Якоба
(БКЯ), 549
болезнь Чейн-Стокса, 54
большие расстояния
— диффузия, 572
— формулировка интеграла, 574
— функция ядра, 575
бомбикол, 568
Bombyx mori (тутовый шелкопряд),
568
брак, 85
— враждебно-отчужденные супруги,
252
— враждебные супруги, 251
— вспыльчивые супруги, 252
— инерция, 253
— классификация пар, 252
— лечение, 256, 262
— неустойчивость, 251
— основательные супруги, 252
— осторожные супруги, 252
— положительные эмоции, 229
— распад, 225
— стационарные состояния, 253
— устойчивость, 248
— физиологическое возбуждение,
261
бубонная чума, 460
бычий туберкулез, 519
— кампания по искоренению
туберкулеза, 532
— коллективный иммунитет, 538
— критическое значение
коллективного иммунитета, 538
— модель клеточного автомата, 541
— модель с иммунизацией, 533
— перекрестная модель, 521
— предпочтительная стратегия
вакцинации, 540
— программа контроля, 539
— пространственное
распространение, 547
— смертность, 521
— стратегии контроля, 533
— фактор риска, 540
Предметный указатель
753
вакцинация, 450, 455
— коллективный иммунитет, 455
— непривитые дети, 455
вегетативный полюс, 650
венерические заболевания, 461
— гонорея, 461
— матрица контактов, 468
— модель контроля, 469
— сифилис, 461
— хламидиоз, 461
вентральный корешок, 591
взаимодействие
— между супругами, 223
— социальное, 223
взаимодействующие популяции
— Лотка-Вольтерра, 131
— дискретные модели роста, 171
— канадская рысь
и североамериканский заяц, 136
— конкуренция, 131, 563
— матрица сообщества, 135
— модель хищник-жертва
с зависимостью от плотности
численности (дискретная), 176
— мутуализм, 131
— непрерывные модели, 131
— сложность и устойчивость, 138
— характеристический многочлен
(дискретная модель), 64
— хищник-жертва, 131
взрывы (периодические), 340
— реакция
Белоусова-Жаботинского, 397
власоглав, 495
внезапная остановка сердца, 399,
417
водитель ритма в сердце,
периодический, 399
возбудимая кинетика
— волна, 646
— карикатура, 648
— уравнения модели, 646
возрастная модель
— метод подобия, 78, 79
— популяционная, 74
— пороговая величина, 78
— эпидемиологическая, 508
возрастная структура в популяции,
74
волна
— активации, 650
— бегущая, 610
— в кинетических моделях со
множественными
стационарными состояниями,
640
— волновая переменная, 613
— вывод дисперсионного уравнения
для скорости, 635
— гено-культурная, 619
— кальциевая, 610
--- механизм
кальций-индуцированного
высвобождения кальция, 646
— кинематическая, 585
— крутизна наклона фронта, 622,
628
— псевдоволна, 587
— распространение фермерства, 619
— распространяющаяся, 614
— скорость, 612
— точное решение, 646
---в возбудимой кинетической
модели, 646
— фронт, 587
волновое решение, 615
— асимптотическая форма, 621
— возмущенная кинетика, 648
— уравнение Фишера-Колмогорова,
616.
754
Предметный указатель
— устойчивость, 619
волновое решение, точное, 629
волны сокращения поверхности,
654
восприятие, катастрофа с точкой
возврата, 39
восстановление Т-клеток (ВИЧ),
486
вторжение
— период задержки, 669
— фаза установления, 669
вторжение видов, 664
— движущая сила, 667
гальванотаксис, 572
— поток, 572
ганглиозные клетки сетчатки, 674
гемоглобин, 264, 291, 562
гемопоэз, 61
генетика, 85
генетическое определение пола
(ГОП), 187
гипоталамус, 357
гипотеза псевдостационарного
состояния, 278
гистерезис, 36, 309
— восприятия, 39
гликолиз, 320
гонорея, 461
— контроль, 467
— модель с несколькими группами,
467
гормон, 355
госерелин (лекарство), 356
границы ареала, 664
грибы (кинетики реакций), 308-311,
313
губкообразная энцефалопатия
крупного рогатого скота (ГЭ
КРС), 548
гусеница листовертка-почкоед
— бегущие волны, 641
— модель, 33, 80
— нашествие насекомых, 645
динамика заболеваний
(физиологических), 54
диоксин, 219
дискретные модели (популяций)
с запаздыванием, 109
— вымирание, 120
— резкое падение численности, 120
— характеристическое уравнение,
110, 113
дискретные модели популяций
— m-периодические решения, 107
— анализ устойчивости
(стабильности), 109
— апериодические решения, 100
— бифуркация удвоения периода, 94
— вымирание, 120
— изъятие, 130
— колебания, 93
— критический бифуркационный
параметр, 94
— максимальное значение
численности, 119
— минимальное значение
численности, 119
— модель хищник-жертва
с зависимостью от плотности
численности, 176
— один вид, 84
— орбита, 107
— паразитическая эпидемия, 183
— периодические решения, 98, 105
— построение решения плетением
паутины, 92
— пример графического решения,
92
Предметный указатель
755
— решения с нечетным периодом,
100
— собственное значение, 93
— тангенциальная бифуркация, 94,
100
— траектория, 107
— удвоение периода, 99
— устойчивость (стабильность), 105
— хаотические решения, 94, 104
— хищник-жертва, 171
дисперсионное уравнение, 618, 635
— диффузия на большие
расстояния, 575
диффузия, 554
— Фика, 557
— вращательная, 562
— клеточный потенциал, 578
— локальная, 572
— модель распространения
насекомых, включающая
зависимость от плотности, 583
— на большие расстояния, 572
— на малые расстояния, 572
— облегченная, 562
— переменная, 655
— поток, 557
— фиковская, 572
— энергетический подход, 578
дыхание, 399
— синхронизация, 399
естественный отбор, хаос, 164
заболевание
— инкубационный период, 461
— новое, 473
— перекрестное, 464
закон действующих масс, 265
замкнутое множество, 147
заполнение пространства, 689
— кривая, 690
заселение берега Калифорнии
калифорнийским каланом, 664
зеленая мясная муха (Lucila
cuprind), 48
зеленая мясная муха (Lucila
cuprind), 46
золотое сечение, 87
измерение при различном
увеличении, 675
изолы, 308-311, 313
ингибирование, 298
ингибитор, 293, 305
ингибитор протеазы (ВИЧ), 482
исчезновение неандертальцев, 180
кальмар (гигантский), 348, 413
кальциевые волны в яйцах
амфибий, 650
канадская рысь
и североамериканский заяц
(взаимодействующие
популяции), 136
кастрация, 366
— депо-провера (Depo-Provera), 357
— лапрон (Lupron), 357
— лекарства, вызывающие
кастрацию, 357
— химическая, 357, 366
катастрофа
— в восприятии, 39
— нильский окунь (озеро
Виктория), 164
— типа «складка», 37
катастрофа с точкой возврата
— в восприятии, 39
керн-функция
— возбуждение-ингибирование, 576,
577
756
Предметный указатель
кинематические волны, 585
кинетика, 264
кинетика реакций, 264, 266
— «простейшая» кинетика
(предельный цикл), 342
— Брюсселятор, 368
— Лотка, 300
— автокатализ, 298
— активатор-ингибитор, 305
— активация, 298
— бистабильность, 313
— быстрая динамика, 338
— гистерезис (стационарное
состояние), 309
— грибы (стационарное состояние),
308, 309
— изоклины (окрестность
стационарного состояния), 331
— изолы, 309, 311
— ингибирование, 298
— йодат-мышьяковистая кислота,
313
— кооперативные явления, 291, 328
— Л — ш системы, 346
— медленная динамика, 338
— множественные стационарные
состояния, 308
— модель автокаталитического
механизма, 311
— необходимые и достаточные
условия устойчивости, 331
— первый порядок, 301
— периодические взрывы, 340
— пороговые явления, 307
— система градиентного типа, 318,
368
— скорость лимитирующая стадия,
280
— сложные типы поведения, 337
— трехмолекулярные реакции
(предельный цикл), 342
— устойчивость (стабильность),
303, 331
киты-финвалы, модель динамики
популяции, 81
классификация пар, 252
клетка
— плотность энергии, 580
— потенциал, 578
— энергетический подход
к диффузии, 578
кодовая система наблюдений
(семейные отношения), 227
колебание, 396
— аннигиляция, 417
колебания
— биологические, 319, 330
— модель Белоусова-Жаботинского
(БЖ), 377
— определение параметрического
пространства, 342
— орегонатор, 377
— простейший пример, 404
— релаксационные, 337
— химическая реакция БЖ, 375
коллективный иммунитет, 455
компания Гудзонова залива, 74
конвекция, 626
— нелинейная, 633
конкуренция, 131
— модели, 151
— пространственная, 158
— численность, 131
консервативная система
(популяция), 133
константа Михаэлиса, 267, 279
константы скоростей, 265
контроль инфекционных
заболеваний, 449
Предметный указатель
757
кооперативность (прохождение
реакции), 291, 328
корь, 462
коэффициент диффузии, 557
— биохимические соединения, 611
— гемоглобин, 557
— кислород (в крови), 557
— распространение насекомых, 611
краснуха, 462
красный паутинный клещ, 179
кривая Рикера, 91
критерий Джури, 700
критерий Рауса-Гурвица, 700
крокодилы
— области распространения в мире,
200
— приемы в ходе эволюции, 216
— уровень рождаемости, 207
— уровень смертности, 207
— устойчивость популяции, 192
крупный рогатый скот,
перекрестная модель, 520
Л — ш системы, 346
— комплексная форма, 347
— осциллятор, 347
легочный кровоток, 675
лейкемия, 63
лейкоциты, 568
лемминг, 47
лесбианизм, 218
логистическая
— дискретная модель, 91, 129
логистический
— рост, 28
логический поиск параметров
(Logical Parameter Search, LPS),
527
лютеинизирующий гормон (ЛГ),
357
лютеинизирующий
гормонвысвобождающий гормон
(ЛГВГ), 357
мРНК (молекула рибонуклеиновой
кислоты), 319, 324
максимальная
— гарантированная прибыль
(постоянный прирост), 66, 112
— экономическая прибыль (на
единицу), 116
максимальный
— прирост, 67
малярия, 464
матрица Лесли, 74, 87
матрица сообщества (популяция),
135
матрицы обновления, 87
медикаменты
— критическая популяция,
эпидемия, 518
— ответ организма, 515, 516
— эпидемиологическая модель, 515
— эпидемиологическая скорость
заражения, 518
место проникновения
сперматозоида, 650
метаболизм с обратной связью, 298
механизм кальций-индуцированного
высвобождения кальция, 646
механизм обратной связи, 73, 298,
323,325
— замкнутое множество, 327
— регуляция тестостерона, 357
— условия предельного цикла, 327
— частота колебаний, 329
механизм реакции Лотки, 300
механизм реакции с диффузией
— хемотаксис, 570
758
Предметный указатель
механизм регуляции метаболизма,
326
минога, 585, 591
миоглобин, 562
множества Жюлиа, 679
модели с запаздыванием
— регуляция тестостерона, 357
— физиологические заболевания, 54
модель SI
— возрастная, 509
— перекрестная, 465
модель ФитцХыо-Нагумо, 349, 350,
353,400,413
— кусочно-линейная модель, 353
— пространственно-фиксированная,
371
— условия для предельного цикла,
354
модель Ходжкина-Хаксли
— для мембран нервных клеток, 348
модель динамики популяции
китов-финвалов, 81
модель распределения животных,
563
модель с возрастным
распределением
— аллигатор, 192
модель семейных отношений
— инерция, 235
— практические преимущества, 256
— предсказания, 260
— проверка, 260
— эффекты вмешательства, 260
модельная система
Филда-Кереша-Нойеса для
реакции БЖ, 375, 376
— анализ на устойчивость, 378
— замкнутая поверхность, 384
— нелокальная устойчивость, 383
— обезразмеривание, 377
— обратимость реакций, 397
— периодические колебания, 381
— релаксационная модель для
предельного цикла, 390
— решения с предельным циклом,
378
— сравнение с экспериментом, 386
морфогенез (химическая основа),
561
мотонейрон, 591
мутуализм, 131, 158
насекомые
— «разрыв» в ходе нашествия, 646
— агрегация, 567
— вспышка численности, 33
— модель диффузии, зависящей от
плотности, 563, 582
— модель распространения, 563
— постоянная численность, 640
— распространение, 640
— регуляция численности, 179, 640
— роение, 567
натуральная оспа, 450
нейромедиатор, 594
нейрон, 348, 590
— периодическое возбуждение, 352
нелинейные отображения, 85
нелокальные эффекты, 572
нервная
— активность (колебания), 320
— импульсная активность, 592
— передача импульсов, 355
— теория Ходжкина-Хаксли, 348
нильский окунь (Latis niloticus), 164
нильский окунь: катастрофа на
озере Виктория, 164
нормальное (Гауссово)
распределение вероятностей, 556
Предметный указатель
759
область притяжения, 155
обратная связь
— ингибирование, 301, 326
— механизм, 298, 323, 369
— отрицательная, 326, 369
— положительная, 325, 369
окаменелые останки, 185
ондатра, 664
онхоцеркоз (речная слепота), 508
определение пола среды (СОП), 187
определение пола, ТОП против
ГОП, 214
орегонатор (БЖ) модель
(колебательная реакция), 377
осцилляторы
— возмущенные, 399, 404
— Л — о; системы, 347
— модели с двумя переменными,
342
— независимые, 586
— нервные, 594
— расстройка частоты, 605
— слабое сопряжение, 598
— сопряжение фаз, 601, 602
— сопряженные, 399, 417
— устойчивость, 608
— черные дыры, 399, 417
отравление угарным газом, 562
отрицательная обратная связь
(биологический контроль), 326
пара (супружеская)
— враждебно-отчужденные, 229
— враждебные, 229
— вспыльчивые, 229
— зависимое стационарное
состояние, 239
— избегающие конфликта, 230
— изоклина, 238
— молодожены, 263
— неупорядоченная, 226
— неустойчивая, 229
— основательные, 229
— осторожные, 229
— родители, 263
— стационарное состояние, 238
— упорядоченная, 226
— устойчивая, 229
— устойчивость, 238
паразит
— иммунный ответ, 505
— инфекция
---кокцидия, 508
— кровяной, 507
— результаты экспериментов, 496
паразит (гельминт)
— Heligmosoides polygyrus, 496
— Trichostrongylus retortaeformis,
583
— выживаемость, 499
— динамика популяций, 495
— иммунитет, пороговый уровень,
498
— иммунный ответ, 496, 499
— инфекционная модель, 495
— приобретенный иммунитет, 495
— эксперименты, 496
паразитическая модель
— малобелковая диета, 501
— многобелковая диета, 502
— цели, 507
параметр инерции, 235, 253
параметрическое пространство
— линейная стабильность, 145
— осцилляторы с двумя
переменными, 342, 344
— параметрический метод, 343
передача сигнала циклической
АМФ, 320
переключение
760
Предметный указатель
— биологическое, 330, 336
— гистерезис, 336
перекрестная
— модель SI (эпидемии), 465
перекрестное
— заболевание, 464
переменная Gottman-Levenson, 226
периодические
— биения (пейсмейкерные клетки),
415
— взрывы, 340
— изменения в синтезе ферментов,
324
— решения, при управлении с
обратной связью, 327
— хаотические последовательности,
397
периодический
— водитель ритма (в сердце), 399
— уровень тестостерона (гормона),
356
периодическое
— возбуждение нейрона, 352
— выделение циклической АМФ
(клетки Dictyostelium), 320
— клеточное деление, 321, 323
— появление дрозофилл, 319
плавательные движения, 594
плодовая мушка (Drosophila
melanogaster), 399
— вылупление, 400
— циркадные ритмы, 400
плодовитость, яды, 219
побеги, 88
поведение (брачные
взаимодействия)
— зависимое, 230
— независимое, 230
подстройка фазы в осцилляторах,
402
— кривые типа 0, 407
— кривые типа 1, 404
— черные дыры, сингулярность, 410
положительная обратная связь
(биологический контроль), 325
популяционная биология, 26
популяционная модель
— возобновимые ресурсы, 26
— возрастная структура, 74
— вспышка численности
насекомых, 33
— дискретная модель
взаимодействующих видов, 171
— дискретная модель для одного
вида, 84
— матрицы Лесли, 74
— модель Колмогорова, 160
— мутуализм, 158
— непрерывно взаимодействующие
виды,131
— непрерывные модели для одного
вида, 26
— обобщение, 160
— предостережения, 160
— рациональное использование, 66
— с запаздыванием, 42
— симбиоз, 158
— уравнение сохранения, 75
популяционная модель
с запаздыванием, 42
— критическое значение, 50
— линейный анализ, 48
— периодические решения, 46, 48,
51
популяция
— время восстановления, 68
— вымирание, 120
— гистерезис, 36
— емкость (среды), 29
— истребление, 34
Предметный указатель
761
— лемминги, 47
— логистический рост, 28
— максимальный прирост, 67
— модель конкуренции, 151
— население США, 30
— население Франции, 30
— полевки, 47
— порог истребления, 34
— рациональное использование, 66
— резкое падение численности, 120
— саморегуляция, 90
— сигмоидная форма кривой, 29
— численность населения в мире,
27
— число рождений, 28
порог
— кинетики реакций, 306, 335
— модель ФитцХью-Нагумо
(кусочно-линейная), 353
— пороговые явления, 167, 306
— пороговый эффект (эпидемия),
453
порог высвобождения, 652
порог эпидемии, 466
потенциал действия нейронов, 320,
650
правило знаков Декарта, 703
предельный цикл, 46
— «простейшая» кинетика, 342
— анализ модели осциллятора,
реакция БЖ, 322
— захват фаз, 419, 592
— Л — и системы, 348
— модель ФитцХью-Нагумо, 350
— модель хищник-жертва, 148
— период (модель с
запаздыванием), 53
— простой пример, 402
— сопряжение, 419
— трехмолекулярная реакция, 342
— управление обратной связью, 327
— условия для модели ФКН
(реакция БЖ), 379
предстательная железа, 320
привлечение противоположного
пола, 568
принцип конкурентного
исключения, 151
прион, 549
пространственно-временная
самоорганизация, 373
процесс Ферхюльста, 90
различная способность к
распространению, 655
размерность фракталов, 681
— Хаусдорф, 688
— кривая Коха, 683
— практическое определение, 683
рак, 85
— груди, 367
— предстательной железы, 320, 356
распад семьи, 254
— механизм, 259
распределение, биномиальное, 555
распространение волнового фронта,
654
распространение кузнечиков, 564
распространение насекомых
— вариантивная диффузия, 655
расчет от обратного, 551
реакция
— Лотки, 299
— бистабильность, 313
— гистерезис (стационарное
состояние), 309
— грибы (устойчивое состояние),
313
— изолы, 313
— кинетика, 264
762
Предметный указатель
— константа скоростей, 265
— матрица реакции (устойчивости),
301
— перекись водорода и йодат, 321
— расход (скорость), 279, 296
— скорость, 279
— скорость лимитирующая, 280
реакция Белоусова-Жаботинского
(БЖ), 373
— аналитическое приближение
периода осцилляции, 395
— взрывное поведение, 397
— гистерезис, 397
— детерминированный хаос, 397
— кинематические волны, 585, 627
— колебания, 322
— модель Филда-Кереша-Нойеса,
373
— основной механизм, 375
— последовательности колебаний
и хаоса, 397
— релаксационный осциллятор, 387
— сопряженные системы, 420
— хаос, 397
реакция ЕОЕ, 341
реакция йодат-мышьяковистая
кислота, 313
реакция с диффузией
и хемотаксисом
— система, 571
— уравнение, 570
регуляция, 178
регуляция гемопоэза, 61
— колебания, 63
— модель с запаздыванием, 61
регуляция численности вредителей,
178
релаксационное колебание, 337
релаксационный осциллятор, 387,
396
— механизм модели ФНК, 397
— период, 388
— период системы
Филда-Кереша-Нойеса для
реакции БЖ, 397
— реакция Белоусова-Жаботинского
(БЖ), 375, 390
речная слепота (онхоцеркоз), 508
решение с ударными волнами, 633,
638
рой москитов, 567
рост численности в соотношении
полов, 219
семейные отношения, 85
— бассейн притяжения, 241
— зависимая составляющая, 235
— независимое стационарное
состояние, 235
— условие устойчивости, 242
— функция влияния, 231
— эмоциональная инерция, 255
сердечная
— недостаточность, 417
— фибрилляция, 126
сердечные
— аритмии, 399, 417
— пейсмейкерные клетки
(периодические биения), 415
сердечный
— осциллятор, 416
симбиоз, 131, 158
сингулярность в пространстве
стимул-время-ответ, 402
синхронизация у светлячков, 421
система кодирования
- БСОВС, 226
— Кодировка Лицевых Движений,
229
- СКОВ, 260
Предметный указатель
763
- СОБВ, 255
— кумулятивные показатели
БСОВС, 228
система управления
(биологическая), 325
скорость волны
— вариантивная диффузия, 655
— заселение небольшого числа
особей, 667
слабое решение, 638
случайное блуждание (диффузия),
554
— влияние, 559, 582
соотношение между полами,
асимметричное, 190
сопряженные осцилляторы, 399
— модельная система, 419
спинной
— мозг, 590
— мозг, пересечение, 590
спинной мозг, 591
средства контрацепции для мужчин,
356
стабильность (устойчивость)
— бегущая волна, 623
— необходимые и достаточные
условия, 145
— параметрическая область, 147
старение, 85
стратегия моделирования семейных
отношений, 233
стратегия сбора урожая, 71
субстрат, 264
— ингибирование, 302, 317
— суицид, 281
суицидный субстрат, 281
тангенциальная бифуркация, 94, 100
температурно-зависимое
определение пола (ТОП)
- ТОП, 188
— молекулярные механизмы, 217
температурно-чувствительный
период (ТЧП), 220
терапия брака, 247
тестостерон, 219
— модель контроля, 358
— условия устойчивости
стационарных состояний модели,
359
типа вил бифуркация, 94
типы браков, 229
тля (Aphidicus zbeckistanicus), 142
точные решения, 626
— кубического уравнения, 700
трофическая сеть, 131
трофические уровни, 160
туберкулез
— крупный рогатый скот и барсуки,
519
— перекрестная инфекция, 521
— человеческий, 448, 472
тутовый шелкопряд (Bombyx mori),
568
удвоение периода, 64, 99, 163
управление рыбными ресурсами
— задача оптимизации, 116
— модель (дискретная), 115
— стабилизирующее воздействие,
118
— стратегия, 116
— экономический доход, 118
уравнение Нагумо, 650
уравнение Фишера-Колмогорова,
561,614
— асимптотическое решение, 620
— начальные условия, 617
— осесимметричная форма, 618
— решение с бегущей волной, 615
764
Предметный указатель
— точное решение, 620, 622
уравнение диффузии
— диффузия, зависящая от
плотности, 563
— скалярная версия, 582
— случайное блуждание, 554
уравнение обновления, 87
уравнение пористой среды, 564
уравнения Колмогорова, 160
уравнения Лоренца, 163
уравнения модели семейных
отношений, 236
уравнения реакции с диффузией,
575
— возмущенная кинетика, 648
— модель, зависящая от плотности,
626
— нелинейная конвекция, 633
— скалярная форма, 612
— точное решение, 626
уровень рождаемости для
воспроизводства, 28
утка, 340
фаза, 400, 585
— захват, 419, 420, 594, 606
— кривые подстройки, 404
— критическая доза энергии, 400
— недетерминированный результат,
411
— подстройка (в осцилляторах),
402, 405
— сдвиг, 46, 400, 405, 592
— синхронизирование, 592
фазовая плоскость, особые точки,
695
фактор, определяющий женский
пол (ФОЖП), 220
фактор, определяющий мужской
пол (ФОМП), 218
фермент, 264
— базовая реакция, 265
— кинетика, 264
— реакция субстрата, 265
— сохранение, 266
— субстрат-комплекс, 265
— суицидный субстрат, 281
феромон, 568
фибрилляция (сердца), 417
— спиральные волны, 417
физиологические заболевания, 54
— Чейн-Стоксово дыхание, 54
— регуляция гемопоэза, 61
фиктивное плавание, 591
фрактал Серпинского, 679
фракталы, 672
— биологические примеры, 674
— заполнение пространства, 689
— кривая Коха, 677
— легочная сосудистая сеть, 676
— легочный кровоток, 675
— микроскопия, 676
— нелинейность, 679
— неправильное применение, 672
— несамоподобные, 687
— определение, 683
— правила подобия, 682
— примеры, 677
— расчет размерности, 681
— самоподобные, 679, 682
— треугольник Серпинского, 679
— формирование, 677
— ячейки покрытия, 687
функция Ляпунова
— уравнение с запаздыванием, 53
функция влияния, 231, 236
функция материнства, 203
функция ядра
— бигармонический вклад, 578
— моменты, 577
Предметный указатель
765
хаос, 63, 104, 108, 340 — данные, 114 — детерминированный хаос в реакции БЖ, 397 — мозговая деятельность, 126 — реакция Белоусова-Жаботинского (БЖ), 397 — теория, 104 — эпилепсия, 126 хаотическая — маска, 108 хаотические — решения, 100 характеристический многочлен, 700 хеморецепторы, 56 хемотаксис, 554, 568 — вызванное движение клеток, 569 — индекс, 571 — коллапс, 572 — логарифмический закон, 571 — поток, 569 — рецепторный закон, 571 — система реакций с диффузией, 571 — уравнения, 570 хищник-жертва — взаимодействующие виды, 171 — дискретные модели роста, 171 — модель с зависимостью от плотности численности (дискретная), 176 — параметрические области устойчивости, 144 — реалистичные модели, 140 хламидиоз (венерическое заболевание), 462 черепахи, ТОП, 217 черные дыры, 417 черные дыры (в осцилляторах), 399, 444 — реальный биологический осциллятор, 413 — сердечные колебания, 415 — сингулярность, 410, 414 чума — афинская, 445 — бомбейская эпидемия, 459 — бубонная, 460 — легочная форма, 460 шистосомоз (бильгарция), 165, 464 экологические — предостережения (моделирование), 118 экологический — эффект Олли, 120 экологическое заселение распространяющихся особей, 667 экология — вымирание популяции, 112, 120, 121 — регуляция числа стерильных насекомых, 128 — яма хищничества, 121 электрический потенциал, 594 эмбриональные клетки сердца, 421 эмоциональная инерция, 255 эпидемиологическая — базовая модель СПИДа, 476 — бомбейская чума, 459 — возрастная модель, 509
центральный генератор, 585, 590 эпидемиологические — модели, 451
черепаха, каймановая, 217 эпидемиологический
766
Предметный указатель
— возрастной порог, 510
эпидемия
— выживание, 512
— гриппа, 462
— интенсивность контактов, 454
— история, 445
— колебательное поведение, 461
— модель SIER, 552
— ответ употребляющего
медикаменты, 517
— относительная интенсивность
устранения, 454
— порог, 453, 508
— пороговый анализ, 514
— репродуктивное число, 454
— тяжелая, 456
— уменьшение заразности, 518
— употребления наркотических
и лекарственных препаратов, 513
— цель моделирования, 507
— чумы, 460
эпидемия желтой лихорадки, 447
эпидемия холеры, 449
эпилепсия, 126
эпилептический припадок, 126
эстроген-зависимый
— рак груди, 367
эффект Олли, 120, 167, 171
яйца амфибий, 646
— волны ионов кальция, 650
Именной указатель
Aikman, D., 565
Alpert, M., 220
Alt, W., 568
Ammerman, A.J., 619
Anderson, R.A., 367
Anderson, R.M., 450, 476, 479^181,
527, 529, 532
Andrews, H.V., 220
Aoki, K., 619
Arnold, R., 614
Aubin, J.-P., 127
Bacchetti, P., 551
Bar-Eli, K., 341
Barkley, D., 397
Beddington, J.R., 66, 71, 172, 177, 178
Benchetrit, G., 60, 126
Benedict, L.M., 126
Benoit, E., 341
Bender, P.M, 258
Benton, M.J., 185
Boons, M.C., 40
Borghans, J.A.M., 271, 272
Brauer, F., 71
Britton, N.F., 562,611,614
Brons, M., 341
Brown, J.A., 527
Buchanan, J.T., 594, 601
Buck, E., 422
Buck, J., 422
Bull, J., 187, 190
Bunting, P.S., 264
Burger, M., 322, 373, 374, 397
Burke, M.A., 282, 290, 292, 293
Bustard, H.R., 200
Cahn, J.W., 581
Camazine, S., 89
Carelli, V., 366
Carroll, R.H., 185
Cartwright, M., 357, 358, 366
Caserta, F., 692
Caswell, H., 87
Cavalli-Sforza, L.L., 619
Chabreck, R.H., 190
Charles worth, B., 75
Chamov, E.L., 187, 190
Cheer, A., 647, 650, 651, 653-655
Cheeseman, C.L., 521, 531, 539
Chiang, H.C., 567
Clark, C.W., 66, 73, 113, 115
Clements, E.D., 532
Cohen, A.H., 591-594, 601, 609
Cohen, D.S., 578, 582
Cohen, Y, 115
Colbert, E.H., 185
Cole, J.D., 620
Cole, L.C., 205
Connor, H, 483
Cordelia, L., 413
Cosivi, O., 472
Cosnard, M., 127
Cotton, D.W.K., 85, 115, 121, 123
Couder, Y, 88
768
Именной указатель
Crank, J., 558
Crews, D., 188
Dallon, R., 340, 569
De Boer, R.J., 271
DeBach, R, 179
Decroly, O., 340
Deeming, D.C., 187, 188, 190, 191,
209,217,218
Dembo, M., 562
Demongeot, J., 126, 127
Donnelly, C.A., 550
Douady, S., 88
Driver, R.D., 52
Duffy, P., 549
Duggleby, R.G., 282, 291
Edblom, E.C., 341
Edelstein-Keshet, L., 26, 567
Ekman, P., 229
Epstein, I.R., 341
Essunger, P., 474
Ferguson, 187-192, 205, 217
Ferguson, N.M., 551
Ferriere, R., 164
Ferro, V.A., 366, 367
Feshbach, H., 572
Fife, PC., 611,614, 642
Fincham, F.D., 261
Flores, J.C., 158, 180
Fowers, B.J., 258
Fowler, A.C., 39, 59
Frenzen, C.L., 123, 272
Friedlander, M.J., 674
Friesen, W.V., 229
Frost, S.D.W., 474
Ganapathisubramanian, N., 313-315
Gans, C., 185, 191
Garrett, L., 448, 473
Gaspar, V., 341
Gatto, M., 164
Georges, A., 217
Getz, W.M., 73, 113, 115
Gierer, A., 305
Gilkey, J.C., 650, 653
Gilpin, M.E., 136, 137
Goh, B.-S., 115
Goldberger, A.L., 85
Goldbeter, A., 320,322, 324,326, 340,
374, 569
Goldstein, S., 633
Gottman, J.M., 115, 223-230, 247,
252-255,257, 259, 261,263
Gray, R, 311,312
Griffith, J.S., 324
Grillner, S., 591
Grindrod, R, 611,614
Gros, G., 562
Guckenheimer, J., 600, 694
Gumowski, L, 108, 172
Gurney, W.S.C., 47, 143, 209
Gurtin, M.E., 192
Gutzke, W.H.N., 188
Gyorgyi, L., 397
Haight, R.G., 73, 113, 115
Hall, P.A., 85
Hanusse, S.P., 342, 377
Harris-Warrick, R.M., 591, 593
Hassell, D.C., 37
Hassell, M.P., 85, 121, 172
Herbert, W.J., 450
Herz, V.M., 493
Hewitt, G., 565
Hilbom, R., 74, 115
Hillard, J.E., 581
Hines, T.C., 192
Holden, A.V., 108, 163
Именной указатель
769
Hsu, S.-В., 151
Huberman, В.А., 581
Huffaker, A.F., 179
Hunding, А., 328
Husain, М.А., 357, 358, 366
Hyman, J.M., 108
lasemidis, L.D., 123
Jacob, C., 127
Jacob, F., 324
Jager, W., 572
Joanen, T., 188-193, 199, 202, 209,
210
Jordan, D.W., 53, 694, 698
Kalamangalam, G.P., 59
Kath, W.L., 648
Keener, J., 54, 319, 320, 322, 340, 348,
350, 421
Keyfitz, N., 205
Keymer, A.E., 495
Kingsland, S., 26, 30
Kirschner, D.E., 474, 486
Krebs, C.J., 47
Krokoff, L.J., 226
Kruuk, H., 532
Kunz, M., 88
Laidler, K.J., 264
Lang, J.W., 191,217, 220
Lara-Ochoa, F., 582
Larson, D.A., 618, 625
Larter, R., 126
Lauffenburger, D.A., 568, 571
Lauwerier, H.A., 172
Lefever, R., 368
Leibovitch, 673
Leigh, E., 136
Levenson, R.W., 225-228, 230, 253-
255, 257, 261
Levinson, D.A., 85
Lipsitz, L.A., 85
Luckhaus, S., 572
Ludwig, D., 34, 73
MacCamy, R.C., 192
MacDonald, D., 520, 521
MacDonald, N., 52, 328
Maini, P.K., 272
Mangel, M., 66, 74, 115
Manoranjan, V.S., 618
Marion, W.R., 192
Martiel, J.-L., 320, 569
Masland, R.H., 674, 693
McFadden, D., 218, 219
McKean, H.P., 618, 650
McLean, A.R., 474, 486
McLeod, J.B., 642
McNease, L., 192, 202
McNeill, M., 447
Meinhardt, H., 305
Metz, J.A.J., 75
Metzen, W.D., 192
Meyer, E.R., 185
Milton, J.G., 54, 65
Mira, C., 108, 172
Mirollo, R.E., 422
Mitchell, A.R., 618
Mitchell, P.J., 562
Mitchie, C.A., 486
Mittler, J.E., 493, 494
Miura, R.M., 703
Mogilner, A., 567
Mollison, D., 617
Monk, A., 320, 569
Monod, J., 324
Montague, P., 674
Morales, M., 185
Morse, P, 572
Myers, J,H., 47
770
Именной указатель
Namias, V., 703 Neal, E.G., 520 Neubert, M.G., 563 Newcomb, M.D., 258 Nichols, J.D., 190, 192, 205 Nicholson, A.J., 46, 48, 121, 137 Nijhout, H.F., 612 Nisbet, R.M., 47, 143, 209 Sadler, M.T., 191 Salk, J., 30 Sanchez, D.A., 71 Schaap, P., 320, 321, 340 Schaffer, W.M., 138, 164 Schenzle, D., 532 Schierwagen, A.K., 692 Schnakenberg, J., 342 Seiler, N., 281
Odum, E.P., 137 Oldstone, M., 447 Olson, D.H, 258 Oster, G.E, 647 Sharpe, ER., 192 Showalter, K., 313-315, 341, 614 Shuette, M.C., 450 Slater, A.F.G., 495 Slemrod, M., 268
Pasanen, E.G., 218, 219 Pearl, R., 30 Peng, B.B., 341 Peregoy, P.L., 39 Peskin, C.S., 26, 60, 85 Peterman, T.A., 553 Phelps, E, 190 Pianka, E.R., 157 Pinsker, H.M., 413 Sneyd, J., 54, 319, 320, 322, 340, 348, 350 Southwood, T.R.E., 121 Sowunmi, C.O.A., 205, 209, 213 Sparrow, C., 104, 163 Steams, S.C., 205, 217 Stefan, P., 100 Stirzaker, D., 47
Pooley, A.C., 185, 189 Prigogene, L, 368 Taddei-Ferretti, C., 413 Tatsunami, S., 282, 290 Tauchi, M., 674, 675, 693
Rand, R.H., 591, 600 Rapp, P.E., 328, 329 Rensing, L., 54 Rhen, T„ 217 Richter, P.H., 103, 172 Rinzel, J., 320, 337,340,348, 351,422 Thornley, J.H.M., 88 Titchmarsh, E.C., 625 Tranquillo, R.T., 568, 571 Trewhella, W., 527, 529 Tung, K.-K., 231
Rogers, L.M., 540, 547 Uppal, A., 311
Rossler, О.Е., 163
Rotenberg, M., 67 Van Den Driessche, P., 53
Rothen, F., 88 Rubin, R., 504 Rubinow, S.L, 264, 293, 562 Waaler, H.T., 539 Waley, S.G., 281, 282, 291, 292 Wallen, P„ 591
Sackellares, J.C., 123 Walsh, C.T., 281
Именной указатель
771
Walsh, J.A., 495
Waltman, R, 157
Warren, K.S., 495
Watts, S., 447
Watzlawick, R, 249
Webb, G.F., 474, 486
Webb, G.J.W, 190-192,200, 202, 205,
207-209
Wein, L.M., 474
Whittaker, R.H., 158
Whorton, M.D., 219
Wibbels, T., 220
Willems, J.L., 701
Wittenberg, B.A., 562
Wittenberg, J.B., 562
Woodward, D.E., 191, 209, 571
Wyman, J., 562
Yagil, E., 326
Yagil, G., 326
Zou, X., 53
Авнир (Avnir, D.), 673
Анцелевич, (Antzelevitch, C.), 399,
415,416,418
Аронсон (Aronson, D.G.), 630, 631
Бассингтвейт (Bassingthwaighte,
J.B.), 673, 693
Баттерворт (Butterworth, A.E.), 507
Бейли (Bailey, N.J.H.), 450
Белоусов Б.П. (Belousov, B.R), 322,
373
Бентил Д.Э. (Bentil, D.E.), 521, 525,
527, 531,532
Бердинг (Berding, C.), 495^499, 508
Бернулли Д. (Bernoulli, D.), 450, 508
Бест (Best, E.N.), 400, 413^15
Брей (Bray, W.C.), 321
Бэк (Beck, M.T.), 586
Вайс (Weiss, R.), 470
Варади (Varadi, Z.B.), 586
Вольтерра (Volterra, V), 131
Гастингс (Hastings, A.), 26
Гастингс (Hastings, S.R), 324, 329,
330, 384
Гастон Жюлиа (Gaston, J.), 679
Гевера (Guevara, M.R.), 421
Гиббс, ЕДж. (Gibbs, R.J.), 634
Гильберт (Hilbert, H.), 690
Гиппократ (Hippocrates), 446
Гласс (Glass, L.), 54, 58, 61, 62, 421
Гленни (Glenny, R.W.), 676
Говард (Howard, L.N.), 322, 586, 589
Гудвин (Goodwin, B.C.), 324
Гудвин (Goodwin, T.M.), 192
Гуттман (Guttman, R.), 413, 415
Джеймс (James, W.H.), 219
Джонсон (Johnson, S.D.), 219
Джонстон (Johnston, C.M.), 217, 220
Дикман (Diekmann, O.), 75, 450, 455
Дите (Dietz, D.C.), 192
Дите (Dietz, K.), 464, 508, 532
Дьюсберг (Duesberg, R), 470
Жаботинский, A.M. (Zhabotinskii,
A.M.), 322, 373
Зиман (Zeeman, E.C.), 39^42, 225,
611
Ишам (Isham, V), 476
Йорк (Yorke, J.A.), 100,463,467,469
Каандорп (Kaandorp, J.A.), 673
772
Именной указатель
Кавасаки (Kawasaki, К.), 563, 565,
567, 655, 664, 668
Каноза (Canosa, J.), 620, 624
Као (Као, R.R.), 547
Капассо (Capasso, V.), 449
Карива (Kareiva, R), 563, 611
Кашин (Kashin, S.), 591
Кеворкян (Kevorkian, J.), 76, 78, 620,
633
Келлер (Keller, E.V.), 570
Келлер (Keller, К.Н.), 568
Кереш (Koros, Е.), 376
Кермак (Kermack, W.O.), 450, 453,
459
Кларк Максвелл, Джеймс, 573
Колмогоров (Kolmogoroff, А.), 160,
561, 614, 616-619, 623, 625, 627,
629, 632, 633, 649, 653, 655-657,
660, 661
Копелль (Kopell, N.), 586, 589, 591,
593, 601
Костова, Т.В. (Kostova, T.V.), 209
Кот, М. (Kot, М.), 26, 66, 75, 85, 90,
121, 131, 164, 179, 563,655
Кринский, В.И. (Krinsky, Krinskii,
V.I.), 399
Кросс (Cross, S.S.), 85, 115, 121, 123,
125, 126, 676
Кук (Cook, J.), 20, 115, 223, 655, 656,
664, 667, 668
Лай, Генри (Lai, Н.), 464
Лайманович, A. (Lajmanovich, А.),
467
Левин (Levin, S.A.), 74, 115, 143, 665
Лейн (Lane, D.C.), 647, 651, 653
Лесли, Патрик (Leslie, Р.Н.), 74
Ли (Li, T.-Y.), 100, 104
Линней, К. (Linnaeus), 186
Лоренц (Lorenz, E.N.), 104, 163, 384
Лоритсен (Lauritsen, J.), 470
Лотка (Lotka, A.J.), 131, 132, 192,
300, 321
Льюис (Lewis, E.R.), 702
Льюис (Lewis, М.А.), 563, 668
Любина (Lubina, J.A.), 664
Любкин (Lubkin, S.R.), 519
Лютер (Luther, R.-L.), 614
МакКендрик (McKendrick, A.G.),
192, 450, 453,459
Мальтус (Malthus, T.R.), 27
Мандельброт (Mandelbrot, В.В.), 172
Марек (Marek, М.), 419, 420, 443
Ментен (Menten, M.I.), 265
Михаэлис (Michaelis, L.), 265
Мэй, Р.М. (May, R.M.), 46, 47, 66, 71,
158, 162, 172, 183,450, 480
Мэки (Mackey, М.С.), 54, 58, 61, 421
Мюррей (Murray, J.D.), 52, 123, 188,
191, 209, 223, 264, 270, 274, 277,
293, 344, 359, 377, 379, 384, 387,
397, 514, 531, 551, 556, 562, 568,
571, 578, 582, 583, 612, 620, 633,
634, 638, 647, 669
Нагумо (Nagumo, J.S.), 349, 350
Нельсон (Nelson, P.W.), 475, 481,493
Неу (Neu, J.), 419, 600, 601
Новак (Nowak, М.А.), 474
Нойес (Noyes, R.M.), 375-377, 396
Ньюман (Newman, W.I.), 630
Оделл (Odell, G.M.), 647, 694
Окубо (Okubo, А.), 559, 563, 567
Отмер (Othmer, H.G.), 54, 66, 298,
320, 326, 328, 329, 340, 569, 574
Павери-Фонтана (Paveri-Fontana,
S.L.), 449
Именной указатель
773
Панико (Panico, J.), 676
Парри (Parry, S.), 508
Паумгартнер (Paumgartner, D.), 675,
681
Пауэлл (Powell, J.H.), 447
Перельсон (Perelson, A.S.), 271, 474,
475,481
Пиот, Питер (Piot, В), 470
Питген (Peitgen, H.-О.), ЮЗ, 172,
673, 679
Плант (Plant, R.E.), 66, 355
Правда (Prawda, J.), 540
Пул (Poole, J.C.F.), 445
Раггетт (Raggett, G.F.), 460
Реншо (Renshaw, Е.), 563
Робертс (Roberts, D.V.), 264
Робертсон (Robertson, Н.Т.), 676
Ругарден (Roughgarden, J.), 85, 563
Сатсума (Satsuma, J.), 638
Скеллам (Skellam, J.G.), 559, 664
Скотт (Scott, S.K.), 108, 311, 312,
384, 397
Смит (Smith, А.М.А.), 190, 192
Смит (Smith, D.A.), 562
Смит (Smith, G.D.), 519
Смит (Smith, H.L.), 162
Смит (Smith, В), 53, 698
Смит (Smith, W.R.), 357, 358
Спиро (Spiro, Р.А.), 569
Стерлинг (Sterling, В), 674
Стимсон (Stimson, W.H.), 366, 367
Стрелинг (Sterling, В), 676
Стюарт (Stewart, LN.), 39, 421
Стюарт (Stuart, F.A.), 539
Сэгель (Segel, L.A.), 35, 264, 268,
320, 569,611
Тайсон (Tyson, J.J.), 298, 324, 326,
328, 330, 374-377, 387, 389, 397,
614
Тайсон (Tyson, R.), 571
Тилман (Tilman, D.), 563, 611
Тоенес (Thoenes, D.), 586
Томас (Thomas, D.), 302, 305, 334
Топселл, Эдвард (Topsell, E.), 186
Тьюринг (Turing, A.M.), 561
Уинфри (Winfree, A.T.), 319, 373,
374, 399, 400, 403, 404, 409, 412,
417, 421
Ульямсон (Williamson, M.H.), 136,
563
Фальконер (Falconer, K.J.), 673
Фамиглетти (Famiglietti, E.V), 674
Фейгенбаум (Feigenbaum, M.J.), 104
Ферхюльст (Verhulst, P.-F.), 28
Филд (Field, R.J.), 322, 373-378, 397
ФитцХью (FitzHugh, R.), 349
Фишер (Fisher, G.H.), 39
Фишер (Fisher, R.A.), 190, 561, 614
Фокс (Fox, J.P.), 538
Фон Ферстер (von Foerster, H.), 192
Фостер (Foster, K.R.), 447
Фрерихс (Frerichs, R.R.), 540
Фрид (Freed, M.A.), 674, 675
Фукидид (Thucydides), 445
Хаделер (Hadeler, K.P.), 464
Хаксли (Huxley, A.F.), 319, 348, 349,
413^415
Халиф (Jalife, J.), 399, 415, 416, 418
Хеткот (Hethcote, H.W.), 461, 463,
469
Хо, Д. (Ho, D.D.), 473, 476, 482, 486
Ходжкин (Hodgkin, A.L.), 319, 348,
349, 413,415
774
Именной указатель
Холладей (Holladay, A.J.), 446
Холмс (Holmes, P.J.), 600, 694
Хоппенштад (Hoppensteadt, ЕС.), 26,
60, 85, 108,192, 399,461,508,514
Хопф (Hopf, L.), 572
Хосоно (Hosono, У.), 639
Хоу, Александр (Howe, А.Н.), 446
Хупер (Hooper, Е.), 470
Хэнкоке (Hancox, М.), 548
Хэнсон (Hanson, ЕЕ.), 422, 424
Хэстербик (Heesterbeck, J.A.P.), 450
Цвитанович (Cvitanovic, Р.), 108
Шарковский, А.Н. (Sarkovskii, A.N.).
100
Шигесада (Shigesada, N.), 563-567
655, 664, 668
Шмите (Schmitz, G.), 668
Штакль (Stuchl, I.), 419
Штрогац (Strogatz, S.H.), 108, 162.
163,381,421,422, 673
Эйлер (Euler, L.), 209
Элтон (Elton, C.S.), 74, 137, 664
Эрментраут (Ermentrout, G.B.), 422.
426, 600
Эрн (Earn, D.J.D.), 551
Джеймс Д. Мюррей
Математическая биология
Том I. Введение
Дизайнер Л. Н. Загуменова
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка А. В. Моторин
Корректор А. В. Бекмачева
Подписано в печать 01.06.2009. Формат 60 х 847^.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 45,11. Уч. изд. л. 44,89.
Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ №29.
АНО «Ижевский Институт компьютерных исследований»
426034. г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295
Уважаемые читатели!
Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать через наш
Интернет-магазин http://shop.rcd.ru или по электронной почте subscribe@rcd.ru
Книги можно приобрести в наших представительствах:
МОСКВА
Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН
ул. Бардина, д.4, корп. 3, к. 414, тел.: (499) 135-54-37
ИЖЕВСК
Удмуртский государственный университет
ул. Университетская, д. 1, корп. 4, 2 эт., к. 211, тел./факс: (3412) 500-295
Также книги можно приобрести:
МОСКВА
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
ГЗ (1 эт.), Физический ф-т (1 эт.), Гуманитарный ф-т (0 и 1 эт.),
Биологический ф-т (1 эт.).
Российский государственный университет нефти и газа им. И. М. Губкина
ГЗ (3-4 эт.), книжные киоски фирмы «Аргумент».
Магазины:
МОСКВА: «Дом научно-технической книги»
Ленинский пр., 40, тел.: 137-06-33
«Московский дом книги»
ул. Новый Арбат, 8, тел.: 290-45-07
ДОЛГОПРУДНЫЙ: Книжный магазин «Физматкнига»
новый корп. МФТИ, 1 эт., тел.: 409-93-28
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ: «Санкт-Петербургский дом книги»
Невский проспект, 28
Издательство СПбГУ, Магазин №1
Университетская набережная, 7/9